La música de los números primos

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A LOS NIÑOS LES ENSEÑAN EN LA ESCUELA QUE LOS NÚMEROS PRIMOS SÓLO PUEDEN DIVIDIRSE POR SÍ MISMOS Y POR LA UNIDAD. LO QUE NO LES ENSEÑAN ES QUE LOS NÚMEROS PRIMOS REPRESENTAN EL MISTERIO MÁS FASCINANTE AL QUE NOS ENFRENTAMOS EN NUESTRA BÚSQUEDA DEL CONOCIMIENTO. ¿CÓMO PREDECIR CUÁL VA A SER EL SIGUIENTE NÚMERO PRIMO DE UNA SERIE? ¿EXISTE ALGUNA FÓRMULA PARA GENERAR NÚMEROS PRIMOS? EN

1859,

EL

MATEMÁTICO

ALEMÁN BERNHARD RIEMANN PLANTEÓ UNA HIPÓTESIS QUE APUNTABA A LA SOLUCIÓN DEL ANTIGUO ENIGMA. PERO NO CONSIGUIÓ DEMOSTRARLA Y EL MISTERIO NO HIZO MÁS QUE AUMENTAR. EN ESTE LIBRO ASOMBROSO, MARCUS DU SAUTOY NOS CUENTA LA HISTORIA DE LOS HOMBRES EXCÉNTRICOS Y BRILLANTES QUE HAN BUSCADO UNA SOLUCIÓN PARA REVOLUCIONAR ÁMBITOS TAN DISTINTOS COMO EL COMERCIO DIGITAL, LA MECÁNICA CUÁNTICA Y LA INFORMÁTICA. EL RELATO DE DU SAUTOY CONSTITUYE UNA

EVOCACIÓN MARAVILLOSA Y EMOCIONANTE DEL MUNDO DE LAS MATEMÁTICAS, DE SU BELLEZA Y SUS SECRETOS.

MARCUS DU SAUTOY

LA MÚSICA DE LOS NÚMEROS PRIMOS EL ENIGMA DE UN PROBLEMA

MATEMÁTICO ABIERTO EPUB R1.2 KOOT HRAP ALI 21.04.15

Título original: The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mistery in Mathematics Marcus du Sautoy, 2003 Traducción: Joan Miralles de Imperial Llobet Diseño de cubierta: rafcastro Editor digital: koothrapali Corrección de erratas: cmolinap ePub base r1.2

En memoria de Yonathan du Sautoy 21 de octubre de 2000

1 ¿QUIÉN QUIERE SER MILLONARIO? ¿Sabemos cuál es la secuencia de números? Bien, vamos a hacerlo mentalmente… cincuenta y nueve, sesenta y uno, sesenta y siete… setenta y uno… ¿No son todos estos números primos?». Un murmullo de conmoción recorrió la sala de control. La expresión de Ellie reveló por un instante el aleteo de una emoción intensa, que sin embargo fue rápidamente sustituido por la templanza, por el temor de verse superada, por una inquietud de parecer boba,

no científica. CARL SAGAN Contacto

Una

cálida y húmeda mañana de agosto de 1900 David Hilbert, de la Universidad de Gotinga, tomó la palabra en el Congreso Internacional de Matemáticos, en una atestada sala de conferencias en la Sorbona. Hilbert, que ya entonces era reconocido como uno de los más grandes matemáticos de la época, había preparado un importante discurso: se proponía hablar no de lo que había sido demostrado, sino de lo que todavía era desconocido. Esto iba

contra todas las reglas, y cuando Hilbert empezó a exponer su propia visión sobre el futuro de las matemáticas el público pudo percibir el nerviosismo en su voz: «¿Quién de nosotros no gozaría descorriendo el velo tras el cual se oculta el porvenir, dejando caer su mirada sobre los futuros progresos de nuestra ciencia y sobre los secretos de su desarrollo durante los próximos siglos?». Para anunciar el nuevo siglo, Hilbert proponía como reto a sus oyentes una lista de veintitrés problemas que, según él, trazarían el camino de los exploradores matemáticos del siglo XX. Los siguientes decenios pudieron ver la respuesta a muchos de aquellos

problemas, y los que descubrieron las soluciones forman un ilustre grupo de matemáticos conocidos como «Los primeros de la clase». El grupo cuenta con personajes del calibre de Kurt Gödel y de Henri Poincaré, junto con muchos otros pioneros cuyas ideas han revolucionado radicalmente el paisaje matemático. Pero había un problema, el octavo de la lista de Hilbert, que parecía destinado a sobrevivir al siglo sin que apareciera un campeón capaz de vencerlo: la hipótesis de Riemann. De todos los retos que Hilbert había propuesto, el octavo ocupaba un lugar especial en su corazón. Existe un mito germánico sobre Federico Barbarroja,

un emperador muy querido por los alemanes. Tras su muerte, acaecida durante la Tercera Cruzada, se difundió la leyenda de que en realidad Federico continuaba con vida, que yacía dormido en una cueva del monte Kyffhäuser y despertaría cuando Alemania lo necesitara. Se dice que alguien preguntó a Hilbert: «Si usted, como Barbarroja, despertara dentro de quinientos años, ¿qué sería lo primero que haría?». «Preguntaría si alguien ha demostrado la hipótesis de Riemann», respondió. A finales del siglo XX la mayor parte de los matemáticos se había convencido de que, entre todos los problemas propuestos por Hilbert,

aquella piedra preciosa no sólo tenía grandes posibilidades de sobrevivir al siglo, sino que quizá no estaría resuelta cuando Hilbert se despertara de su sueño de quinientos años. Con su revolucionario discurso, cargado de misterio, había provocado el desconcierto en el primer Congreso Internacional del siglo XX. Sin embargo, a los matemáticos que tenían intención de participar en el último Congreso del siglo les aguardaba una sorpresa. El 7 de abril de 1997 una noticia excepcional apareció en las pantallas de los ordenadores de toda la comunidad matemática mundial. En la página de Internet del Congreso Internacional que

tenía que celebrarse al año siguiente en Berlín se anunció que habían encontrado el Santo Grial de las matemáticas: alguien había demostrado la hipótesis de Riemann. Era una noticia destinada a tener efectos muy profundos. La hipótesis de Riemann es un problema fundamental para las matemáticas en su conjunto. Al leer su correo electrónico los matemáticos temblaban de emoción ante la perspectiva de comprender al fin uno de los más grandes misterios de su disciplina. La noticia se anunciaba en una carta del profesor Enrico Bombieri. No era posible contar con una fuente más fiable: Bombieri es uno de los albaceas de la

hipótesis de Riemann y forma parte del Institute for Advanced Study de Princeton, de cuyo equipo formaron parte Einstein y Gödel. Habla muy pausadamente, pero los matemáticos escuchan con atención todo lo que tenga que decir. Bombieri creció en Italia, donde los viñedos de su acaudalada familia le hicieron adquirir el gusto por la belleza de la vida. Los colegas lo llaman afectuosamente «el aristócrata de las matemáticas». Cuando era joven, su elegancia llamaba siempre la atención en las reuniones europeas, donde llegaba a menudo a bordo de costosos automóviles deportivos. Por otra parte,

a él le encantaba alimentar los rumores que contaban que alguna vez había llegado sexto en un rallye de veinticuatro horas celebrado en Italia. Con el tiempo, sus éxitos en el circuito de las matemáticas fueron más tangibles, de modo que en los años setenta le valieron una invitación a Princeton, donde se encuentra todavía. Ha sustituido el entusiasmo por las carreras por la pasión de pintar, sobre todo retratos. Pero lo que procura a Bombieri la mayor emoción es el arte creativo de las matemáticas, y en particular el reto de la hipótesis de Riemann, que lo tiene obsesionado desde la tierna edad de

quince años, cuando oyó hablar de la cuestión por vez primera. Las propiedades de los números lo fascinaron desde que comenzó a ojear los libros de matemáticas que su padre, economista, tenía en su inmensa biblioteca. Descubrió que la hipótesis de Riemann era considerada el problema más profundo y fundamental de la teoría de los números. Su pasión por el problema se vio acrecentada cuando su padre le prometió un Ferrari si lo resolvía, en un desesperado intento de evitar que condujera su Ferrari. Volviendo al mensaje electrónico de Bombieri, alguien se le había adelantado haciéndole perder el premio. «Se han

producido fantásticos acontecimientos tras la conferencia que Alain Connes pronunció el pasado miércoles en el Institute for Advanced Study», empezaba Bombieri. Muchos años atrás, la noticia de que Connes fijaba su atención en la hipótesis de Riemann con intención de resolverla había puesto en tensión al mundo matemático. Connes es uno de los revolucionarios de la disciplina, un benigno Robespierre de las matemáticas respecto del Luis XVI que encarnaría Bombieri. Se trata de un personaje dotado de un extraordinario carisma, cuyo estilo fogoso dista mucho de la imagen tradicional del matemático serio y circunspecto. Está dotado de la pasión

de un fanático profundamente convencido de su propia visión del mundo, y deja hipnotizados a cuantos asisten a sus clases. Para sus seguidores es casi una figura de culto; les encantaría unirse a él en las barricadas matemáticas para defender a su héroe de cualquier contraofensiva que fuera lanzada desde las posiciones del Antiguo Régimen. El lugar de trabajo de Connes es la respuesta francesa al Instituto de Princeton: el Institut des Hautes Études Scientifiques de París. Desde su llegada, en el año 1979, Connes ha creado un lenguaje totalmente nuevo para la comprensión de la geometría. La idea de

llevar esta disciplina hasta el extremo de la abstracción no le espanta en absoluto. Incluso entre los matemáticos, que están habituados a las aproximaciones fuertemente conceptuales de su disciplina con relación a la realidad, en muchos casos existen dudas sobre la revolución abstracta que propone Connes. Sin embargo, según ha demostrado a los que dudan de la necesidad de una teoría tan árida, su nuevo lenguaje geométrico contiene muchos elementos útiles para comprender el mundo real de la física cuántica. Si resulta que provoca el terror de las masas matemáticas, paciencia. La audaz convicción de Connes de

que su nueva geometría no sólo podría descorrer el velo de la física cuántica, sino también explicar la hipótesis de Riemann —el mayor misterio numérico — produjo sorpresa e incluso turbación. El simple hecho de osar aventurarse en el corazón de la teoría de los números y enfrentarse directamente con el más difícil de los problemas irresueltos de las matemáticas reflejaba su desprecio por los límites convencionales. Desde su aparición en escena, a finales de los noventa, flotaba en el aire la sensación de que, si alguna vez había existido alguien con recursos suficientes para enfrentarse a un problema de tamaña dificultad, ése era Alain Connes.

Pero, según parecía, no había sido Connes quien había hallado la última pieza del complicado rompecabezas. En su correo, Bombieri narraba que un joven físico que asistía a la conferencia había percibido «como un relámpago» un modo de utilizar su extraño mundo de «sistemas supersimétricos fermiónicobosónicos» para atacar la hipótesis de Riemann. Pocos eran los matemáticos que conocían el significado de aquel cóctel de tecnicismos, pero Bombieri explicaba que describían «la física correspondiente a un conjunto muy próximo al cero absoluto de una mezcla de aniones y morones con spins opuestos». La cuestión seguía sonando

un tanto oscura, pero ya que se trataba de la solución del problema más difícil de la historia de las matemáticas, nadie esperaba que se tratara de una cosa simple. Volviendo a Bombieri, afirmaba que, después de seis días de trabajo ininterrumpido y, gracias a un nuevo lenguaje de programación llamado MISPAR, el joven físico había desentrañado por fin el problema más arduo de las matemáticas. Bombieri terminaba su correo con las palabras: «¡Guau! Por favor, den la máxima difusión a esta noticia». Aunque parezca extraordinario que un joven físico hubiera acabado demostrando la hipótesis de Riemann, después de todo

la noticia no era tan sorprendente: en los últimos decenios había sucedido con frecuencia que las matemáticas y la física se entretejieran. Por más que se trataba de un problema central de la teoría de los números, desde hacía algunos años la hipótesis de Riemann mostraba relaciones inesperadas con algunos problemas de la física de partículas. Los matemáticos se prepararon para cambiar sus planes de viaje y volar a Princeton para compartir el momento. Todavía se mantenía fresco el recuerdo de la emoción de pocos años atrás, cuando Andrew Wiles, matemático inglés, anunció la demostración del

último teorema de Fermat durante una conferencia celebrada en Cambridge en junio de 1993. Wiles demostró que la afirmación de Fermat, según la cual la ecuación xn + yn = zn no tiene soluciones para cualquier valor de n mayor que 2, era correcta. Apenas soltó Wiles la tiza al final de la conferencia, saltaron los tapones de las botellas de champán y empezaron a dispararse los flashes de las cámaras. Los matemáticos eran conscientes de que la demostración de la hipótesis de Riemann tendría una importancia enormemente mayor para el futuro de las matemáticas de la que tuvo saber que la ecuación de Fermat no admite

soluciones. Tal y como Bombieri había descubierto a la tierna edad de quince años, con la hipótesis de Riemann se intentaba comprender los objetos más fundamentales de las matemáticas: los números primos. Los números primos son los auténticos átomos de la aritmética. Se definen como primos los números enteros indivisibles, es decir, los que no pueden expresarse como producto de dos enteros menores. Los números 13 y 17 son primos, mientras que el número 15 no lo es, ya que puede expresarse como producto de 3 y 5. Los números primos son joyas engarzadas en la inmensa extensión de los números, el

universo infinito que los matemáticos exploran desde la antigüedad. Los números primos producen en los matemáticos una sensación maravillosa: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…, números sin tiempo que existen en un mundo independiente de nuestra realidad física. Son un don que la naturaleza ha entregado al matemático. Su importancia para las matemáticas descansa en el hecho de que tienen la capacidad de construir todos los demás números. Cualquier otro número entero que no sea primo puede construirse multiplicando estos números de base primitiva. Cualquier molécula existente en el mundo físico puede construirse

utilizando los átomos de la tabla periódica de los elementos químicos. La lista de los números primos es la tabla periódica del matemático. Los números 2, 3 y 5 son el hidrógeno, el helio y el litio de su laboratorio. Dominar esos elementos básicos ofrece al matemático la esperanza de poder descubrir nuevos métodos para trazar un recorrido a través de la desmesurada complejidad del mundo matemático. Sin embargo, a pesar de su aparente simplicidad y de su carácter fundamental, los números primos siguen siendo los objetos más misteriosos que estudian los matemáticos. En una disciplina que se dedica a investigar

patrones y orden, los números primos suponen el supremo reto. Probemos a examinar una lista de números primos y descubriremos que es imposible prever cuándo aparecerá el siguiente. La lista parece caótica, y no nos proporciona ninguna pista sobre cómo determinar el siguiente elemento. La lista de los números primos es el ritmo cardíaco de las matemáticas, pero sus pulsaciones parecen estimuladas por un potente cóctel de cafeína:

Los números primos comprendidos entre 1 y 100: el ritmo cardíaco irregular de las matemáticas.

¿Y si intentamos hallar una fórmula que genere los números primos de esta lista, una regla mágica que nos diga cuál es el centésimo número primo? Este es un problema que obsesiona a los matemáticos desde hace muchos siglos. Tras más de dos mil años de esfuerzos, los números primos se resisten a cualquier intento de insertarlos en un esquema sencillo y regular. Generaciones enteras han escuchado con atención el redoble de los primos emitiendo su secuencia de números: dos golpes, después tres, más adelante cinco, siete, once. A medida que continúa la secuencia, fácilmente terminaremos por pensar que el redoble

de los números primos no es más que un ruido aleatorio, sin ninguna lógica. En el centro de las matemáticas, de la búsqueda del orden, los matemáticos sólo consiguen oír el sonido del caos. Los matemáticos se resisten a admitir la posibilidad de que no exista una explicación de cómo la naturaleza elige los números primos. Si las matemáticas no tuvieran una estructura, si no poseyeran una maravillosa simplicidad, no merecerían ser estudiadas. Escuchar un ruido nunca se ha considerado un pasatiempo agradable. Como escribió el matemático francés Henri Poincaré: «el científico no estudia la naturaleza por la utilidad de

hacerlo; la estudia porque obtiene placer, y obtiene placer porque la naturaleza es bella. Si no fuera bella no valdría la pena conocerla, y si no valiera la pena conocer la naturaleza, la vida no sería digna de ser vivida». Es de esperar que, tras un inicio nervioso, el latido de los números primos se regularice. No es así: cuanto más avanzamos en la secuencia, más empeoran las cosas. Consideremos, por ejemplo, los números primos comprendidos en el intervalo de los cien números anteriores a 10.000.000 y en el intervalo de los cien números posteriores a 10.000.000. Empecemos por los números primos anteriores a

10.000.000: 9.999.901, 9.999.931, 9.999.971,

9.999.907, 9.999.937, 9.999.973,

9.999.929 9.999.943 9.999.991

Sin embargo, observemos qué pocos son los números primos comprendidos entre 10.000.000 y 10.000.100: 10.000.019, 10.000.079 Es difícil pensar en una fórmula capaz de generar una secuencia de este tipo. En efecto, esta serie de números primos recuerda mucho más a una sucesión aleatoria de números que a una estructura bien ordenada. Así como

noventa y nueve lanzamientos de una moneda son de muy poca utilidad para establecer el resultado del centésimo lanzamiento, del mismo modo los números primos parecen hacer inútil cualquier intento de previsión. Los números primos presentan a los matemáticos una de las contraposiciones más extrañas que existen en su disciplina. Por un lado, un número o es primo o no lo es. No es lanzando al aire una moneda como sabremos si un número es divisible por otro menor. Por otra parte, es imposible negar que la sucesión de los números primos aparece de manera indudable como una secuencia de números al azar. Es cierto

que los físicos están cada vez más habituados a la idea de que un dado cuántico puede decidir el futuro del universo y de que cada lanzamiento de ese dado determina el lugar donde los científicos encontrarán materia. Pero provoca una cierta incomodidad el hecho de tener que admitir que los números fundamentales, los números sobre los que se basan las matemáticas, hayan sido elegidos por la naturaleza lanzando una moneda, decidiendo en cada lanzamiento el destino de un número. Azar y caos son anatema para un matemático. Si dejamos de lado su aleatoriedad, los números primos poseen —más que

cualquier otra parte de nuestro acervo matemático— un carácter inmutable, universal. Los números primos existirían aunque nosotros no hubiéramos evolucionado lo suficiente como para reconocerlos. Como afirmó el matemático de Cambridge G. H. Hardy en su famoso libro Apología de un matemático: «317 es un número primo no porque nosotros pensemos que lo es o porque nuestra mente esté conformada de un modo o de otro, sino porque es así, porque la realidad matemática está hecha así». Es probable que algunos filósofos estén en desacuerdo con esta visión platónica del mundo —la convicción de

que se trata de una realidad absoluta y eterna más allá de la existencia humana — pero, en mi opinión, es precisamente eso lo que los hace filósofos y no matemáticos. En Materia de reflexión hay un diálogo fascinante entre Alain Connes, el matemático al que se citaba en el correo electrónico de Bombieri, y el neurobiólogo Jean-Pierre Changeux. En el libro se palpa la tensión, con Connes sosteniendo la existencia de las matemáticas fuera de la mente humana y Changeux decidido a refutar cualquier idea similar: «¿Por qué no vemos “π = 3,1416” escrito en el cielo con letras de oro o “6,02 × 1023” apareciendo en los reflejos de una bola

de cristal?». Changeux expresa su frustración ante la insistencia de Connes en sostener que «existe, con independencia de la mente humana, una realidad matemática pura e inmutable» y que en el corazón del mundo se halla la secuencia inmutable de los números primos. Las matemáticas, afirma Connes, «son indiscutiblemente el único lenguaje universal». Puede concebirse que en otra parte del universo existan una química o una biología distintas, pero los números primos seguirán siendo números primos en cualquier galaxia que elijamos. En la conocida novela de Carl Sagan, Contacto, los extraterrestres usan

los números primos para entrar en contacto con la Tierra. Ellie Arroway, la heroína del libro, trabaja en el SETI (Search for Extraterrestrial Intelligence), el programa internacional para la búsqueda de señales de vida inteligente provenientes del espacio. De pronto una noche, cuando están dirigidos hacia Vega, los radiotelescopios captan extraños impulsos que emergen del ruido de fondo. Ellie reconoce al instante el ritmo de esas señales de radio: dos latidos seguidos por una pausa, luego tres latidos, cinco, siete, once… y así sucesivamente, reproduciendo la secuencia de los números primos hasta el 907. Después

la secuencia vuelve a empezar. Aquel redoble cósmico interpretaba una música que los terrícolas no podrían dejar de reconocer. Ellie está convencida de que sólo una forma de vida inteligente puede generar tal ritmo: «Es difícil imaginar un plasma irradiante que envíe una serie regular de señales matemáticas como ésta. Los números primos sirven para atraer nuestra atención». Si una civilización alienígena hubiera transmitido los números ganadores de una lotería extraterrestre durante los últimos diez años, Ellie no hubiera sido capaz de distinguirlos del ruido de fondo; pero a pesar de que la lista de números primos

parece tan aleatoria como la de la lotería, su invariabilidad universal ha determinado su elección en la trasmisión alienígena. Es en esa estructura que Ellie reconoce la firma de una vida inteligente. La comunicación mediante números primos no sólo es ciencia ficción. En el libro El hombre que confundió a su mujer con un sombrero , Oliver Sacks documenta el caso de John y Michael, dos gemelos autistas de veintiséis años cuya más profunda forma de comunicación consistía en el intercambio de números primos de seis cifras. Sacks narra su sorpresa cuando los descubrió por primera vez, en el

rincón de una habitación, intercambiando números primos en secreto: «A primera vista parecían dos expertos catadores degustando vinos raros de añadas prestigiosas». En un principio, Sacks no consigue imaginar qué es lo que traman los gemelos; sin embargo, en cuanto consigue descifrar su código, memoriza algunos números primos de ocho cifras que, en la siguiente entrevista, deja caer astutamente en medio de la conversación. La sorpresa de los gemelos es seguida por una intensa concentración que se transforma en emoción cuando reconocen que se trata de nuevos números primos. Ahora, si

bien Sacks había recurrido a tablas numéricas para determinar sus números primos, es un misterio la forma en que los gemelos consiguieron los suyos: ¿podría ser que aquellos sabios autistas estuvieran en posesión de una fórmula secreta desconocida por generaciones y generaciones de matemáticos? La historia de los gemelos está entre las preferidas de Bombieri: Para mí es difícil oír esta historia sin sentirme intimidado y pasmado ante el funcionamiento del cerebro humano. Sin embargo, me pregunto: mis amigos no

matemáticos ¿tienen la misma reacción que yo? ¿Tienen la menor idea de hasta qué punto es sorprendente, prodigioso e incluso sobrehumano el talento singular que poseen los dos gemelos de manera tan natural? ¿Son conscientes de que desde hace siglos los matemáticos se esfuerzan por encontrar una forma de hacer lo que John y Michael hacían espontáneamente: generar y reconocer números primos? A los treinta y siete años, antes de que alguien pudiera descubrir cómo lo conseguían, los gemelos fueron

separados por los médicos, convencidos de que su lenguaje numerológico privado estaba obstaculizando su desarrollo. Si esos médicos hubieran oído las conversaciones habituales de las salas de profesores en los departamentos universitarios de matemáticas, probablemente también habrían recomendado su clausura. Cabe la posibilidad de que los gemelos, para verificar si un número era primo, utilizaran un truco basado en el llamado teorema menor de Fermat. Este método es similar al utilizado por los sabios autistas para averiguar rápidamente, por ejemplo, que el 13 de abril de 1922 cayó en jueves. Los

gemelos presentaban habitualmente este número en los programas televisivos de variedades en que participaban. Ambos trucos se basan en la aritmética modular o del reloj. Aunque no tuviesen una fórmula mágica para obtener los números primos, su habilidad sigue siendo asombrosa. Antes de que los separaran habían llegado a determinar primos de veintidós cifras, sobrepasando de mucho el límite más alto de las tablas de números primos de que disponía Sacks. Igual que la heroína del libro de Sagan, que escucha el latido de los números primos cósmicos, o como Sacks, que espía el misterioso diálogo

numérico de los gemelos, desde hace siglos los matemáticos se han esforzado por percibir un orden en este caos. Nada parecía tener sentido: era como escuchar música oriental con oídos occidentales. Más tarde, a mediados del siglo XIX, se llegó a una encrucijada decisiva: Bernhard Riemann empezó a observar el problema de una manera completamente nueva. Con esta nueva perspectiva, Riemann empezó a comprender algunas cosas sobre la estructura que estaba en el origen del caos de los números primos. Bajo el ruido aparente se escondía una armonía fina e inesperada. Pero a pesar de aquel gran paso adelante, muchos de los secretos de la

nueva música permanecían todavía fuera de su alcance. Riemann, el Wagner del mundo de las matemáticas, no se desanimó. Hizo una previsión audaz sobre la misteriosa música que había descubierto. Aquella previsión ha pasado a la historia con el nombre de hipótesis de Riemann. Quien consiga demostrar que la intuición de Riemann sobre la naturaleza de aquella música era correcta estará en disposición de explicar por qué los números primos dan una impresión tan convincente de aleatoriedad. La intuición de Riemann siguió a su descubrimiento de un espejo matemático que le permitía escrutar los primos.

Cuando Alicia atravesó su espejo, el mundo se invirtió; en el extraño mundo matemático que se encuentra más allá del espejo de Riemann, en cambio, el caos de los números primos parece transformarse en una estructura ordenada más estable de lo que cualquier matemático podría esperar. Riemann conjeturó que, por más lejos que se mire en el mundo infinito del espejo, aquel orden se mantendrá. La existencia de una armonía interna en el otro lado del espejo explicaría por qué externamente los números primos parecen tan caóticos. Para muchos matemáticos, la metamorfosis que produce el espejo de Riemann, donde el caos se transmuta en

orden, es casi milagrosa. La empresa que Riemann encargó al mundo matemático fue demostrar que el orden que él creía haber discernido existía realmente. El correo electrónico del 7 de abril de 1997 prometía el inicio de una nueva era: la visión de Riemann no había sido un espejismo. El aristócrata de las matemáticas había ofrecido a sus colegas la halagüeña posibilidad de la existencia de una explicación en el aparente caos de los números primos. Los matemáticos esperaban impacientes el momento de apropiarse de todos los tesoros que, como bien sabían, habrían sido desenterrados gracias a la

resolución del gran problema. En efecto, la solución de la hipótesis de Riemann tendrá enormes consecuencias sobre muchos otros problemas matemáticos. Los números primos son tan fundamentales para la actividad del matemático que cualquier progreso en la comprensión de su naturaleza tendría un enorme impacto. La hipótesis de Riemann parece un problema imposible de eludir: cuando uno se mueve en el terreno matemático tiene la impresión de que todos los caminos conducirán necesariamente a algún punto desde el cual divisaremos el imponente panorama de la hipótesis de Riemann.

Muchos han comparado la hipótesis de Riemann con el ascenso al Everest: cuanto más tiempo la cumbre permanece inalcanzada, mayor es el deseo de conquistarla. Y el matemático que finalmente consiga escalar el monte Riemann será ciertamente recordado mucho más que Edmund Hillary. La conquista del Everest produce admiración no porque su cima sea un lugar particularmente emocionante para vivir, sino por el reto que supone. Bajo este aspecto la hipótesis de Riemann difiere significativamente del ascenso a la montaña más alta del mundo. La cima de Riemann es un lugar donde queremos instalarnos porque conocemos ya los

panoramas que se abrirán ante nuestros ojos cuando consigamos alcanzarla. Aquel que demuestre la hipótesis de Riemann habrá hecho posible completar las lagunas de miles de teoremas que dependen de su veracidad. Para alcanzar sus propias metas, muchos matemáticos han tenido que suponer que la hipótesis es cierta. El hecho de que tantos resultados dependan del reto lanzado por Riemann justifica que los matemáticos lo definan como hipótesis en lugar de hablar de conjetura. El término hipótesis tiene la connotación mucho más fuerte de una suposición necesaria que hace un matemático para edificar una teoría. En

cambio, una conjetura representa simplemente una previsión sobre cómo el matemático cree que se comportará su mundo. Para muchos no hubo otra solución que aceptar su propia incapacidad para resolver el enigma de Riemann y se han limitado a adoptar su previsión como hipótesis de trabajo. Si alguien consiguiese transformar la hipótesis en teorema, todos aquellos resultados no demostrados se confirmarían. Cuando apelan a la hipótesis de Riemann, los matemáticos están poniendo en juego su reputación con la esperanza de que algún día alguien demuestre que la intuición de este

matemático era correcta. Hay quien no se limita a adoptarla como hipótesis de trabajo: para Bombieri, el hecho de que los números primos se comporten de la manera prevista por la hipótesis de Riemann es un artículo de fe. En pocas palabras, la hipótesis de Riemann se ha convertido en una piedra angular en la búsqueda de la verdad matemática. Si resultase falsa, destruiría completamente nuestra confianza en la capacidad que tenemos de intuir el funcionamiento de las cosas. Estamos ya tan seguros de que Riemann tenía razón que la alternativa exigiría una revisión radical de nuestro modo de concebir el mundo matemático. En particular, todos los resultados que

creemos que existen más allá de la cumbre de Riemann se desvanecerían en el vacío. Sin embargo, una demostración de la hipótesis de Riemann significaría para los matemáticos sobre todo la posibilidad de disponer de un procedimiento muy rápido y absolutamente cierto para determinar, por ejemplo, un número primo de cien cifras o de cualquier otra cantidad de cifras que elijamos. «¿Y qué?», se preguntará usted, con toda la razón. A menos que sea matemático, la idea de que este hecho pueda tener importantes consecuencias en su vida le parecerá harto improbable.

Encontrar números primos de cien cifras parece tan inútil como contar los granos de arena de una playa. La mayor parte de la gente reconoce que las matemáticas están en la base de la construcción de un avión o del desarrollo de la tecnología electrónica, pero pocos esperarían que el esotérico mundo de los números primos tenga un impacto directo en sus vidas. En realidad, todavía en los años cuarenta del pasado siglo, G. H. Hardy opinaba igual: «Tanto un Gauss como otros matemáticos menos importantes pueden alegrarse con razón del hecho de que, de todos modos, hay una ciencia [la teoría de los números] cuya propia lejanía de

las actividades humanas ordinarias debería mantenerla amable y pura». Sin embargo, más recientemente, los acontecimientos han tomado un nuevo cariz que ha permitido a los números primos conquistar el centro del escenario del mundo sucio y despiadado del comercio. Los números primos ya no están encerrados en la ciudadela matemática. En los años setenta tres científicos —Ron Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman— transformaron la investigación sobre los números primos de un juego desinteresado que se practicaba en las torres de marfil del mundo académico en una aplicación comercial seria: explotando un

descubrimiento de Pierre de Fermat en el siglo XVII, los tres idearon un modo de utilizar los números primos para proteger los números de nuestras tarjetas de crédito mientras viajan por los centros comerciales electrónicos del mercado global. Cuando se propuso la idea por primera vez en los años setenta nadie podía ni remotamente imaginar las dimensiones que alcanzaría el comercio electrónico, pero hoy ese comercio no podría existir sin el poder de los números primos. Cada vez que usted compra algo en una página de Internet, su ordenador usa la seguridad que proporciona la existencia de números primos de cien cifras. El sistema se

llama RSA, a partir de las iniciales de sus tres inventores. Actualmente se han usado ya más de un millón de números primos para proteger el mundo del comercio electrónico. Cualquier actividad comercial en Internet depende de los números primos de cien cifras para mantener la seguridad de la transacción. Finalmente, la expansión del comercio en Internet llevará a identificar a cada uno de nosotros mediante un número primo personal. El hecho de saber cómo una demostración de la hipótesis de Riemann puede contribuir a conocer la distribución de los números primos en el universo de los números ha adquirido de

pronto un interés comercial. Lo extraordinario es que, si bien la construcción de ese código de seguridad depende de los descubrimientos sobre números primos que Fermat realizó hace más de trescientos años, su decodificación depende de un problema que todavía somos incapaces de resolver. La seguridad de la codificación RSA depende de nuestra incapacidad de responder a cuestiones fundamentales sobre los números primos. Somos capaces de comprender la mitad de la ecuación, pero no la otra mitad. Por tanto, cuanto más penetramos en el misterio de los números primos tanto

menos seguros se vuelven los códigos usados en Internet. Los números primos son la llave del cerrojo que protege los secretos electrónicos del mundo. Por eso empresas como AT&T o HewlettPackard están invirtiendo ingentes cantidades de dinero para comprender las sutilezas de los números primos y de la hipótesis de Riemann: lo que termine por descubrirse podría servir para descifrar códigos. Por esta razón la teoría de los números y el mundo de los negocios han sellado tan extraña alianza. El mundo de los negocios y los servicios de seguridad vigilan atentamente a los matemáticos puros. En consecuencia, no sólo los

matemáticos se agitaron ante el anuncio de Bombieri: ¿aquella solución de la hipótesis de Riemann iba a provocar el descalabro del comercio electrónico? Enviaron a Princeton agentes de la NSA, la agencia de seguridad nacional estadounidense, para averiguarlo. Sin embargo, mientras matemáticos y agentes del contraespionaje se dirigían a Princeton, algunas personas empezaron a notar algo sospechoso en el correo electrónico de Bombieri. Ciertamente se han asignado nombres extravagantes a algunas partículas elementales descubiertas: gluones, hiperones csi, mesones encantados, quark —este último gentileza del Finnegan’s Wake

[1]

de James Joyce—. ¿Pero morones? ¡Desde luego que no! Bombieri tiene la reputación de conocer al dedillo la hipótesis de Riemann, pero quienes lo tratan personalmente saben que posee además un pérfido sentido del humor. Incluso el último teorema de Fermat había sido motivo de una inocentada cuando se descubrió una laguna en la demostración que Andrew Wiles había propuesto en Cambridge. Con el correo de Bombieri, la comunidad matemática se había dejado embaucar otra vez: el ansia de volver a vivir la emoción levantada por la demostración del último teorema de Fermat había llevado a los matemáticos a precipitarse sobre

el anzuelo que Bombieri había puesto a su alcance. Además, el placer de reenviar un correo electrónico tan singular hizo que, mientras éste se difundía rápidamente, la fecha del 1 de abril desapareciera del texto. Todo lo anterior, en combinación con el hecho de que el correo se difundió en países en los que no se celebra el April Fool’s [2]

Day provocó que la burla tuviera un éxito mucho mayor de lo que su autor podía prever. Finalmente, Bombieri tuvo que confesar que su mensaje era una broma. Mientras se aproximaba el siglo XXI, los números más fundamentales de las matemáticas se mantenían en la más

profunda oscuridad: quien reía el último eran los números primos. ¿Cómo es posible que los matemáticos fuesen tan ingenuos como para creer a Bombieri? Desde luego, no se trata de personas dispuestas a conceder trofeos fácilmente. Antes de declarar que se ha demostrado un resultado, los matemáticos exigen severísimas verificaciones, mucho más severas que cualquier otra disciplina. Wiles lo comprendió cuando apareció la laguna en su primera demostración del último teorema de Fermat: completar el noventa y nueve por ciento del rompecabezas no es suficiente; la historia sólo recordará a quien coloque

la última pieza. Y muy a menudo la última pieza permanece oculta durante años. La búsqueda del manantial secreto de donde brotaban los números primos estaba en marcha desde hacía más de dos milenios; el aroma de aquel elixir había vuelto a los matemáticos demasiado vulnerables al engaño de Bombieri. Durante años, la simple idea de enfrentarse de algún modo a aquel problema tan difícil había aterrorizado a muchos de ellos; sin embargo, con el fin de siglo ocurrió un hecho singular: cada vez eran más numerosos los matemáticos dispuestos a hablar de la posibilidad de abordarlo, y la demostración del último

teorema de Fermat alimentó todavía más la esperanza de resolver los grandes problemas. Los matemáticos habían disfrutado de la atención que la solución de Wiles al problema de Fermat había atraído sobre su gremio, y no cabe duda de que esa sensación contribuyó a su deseo de creer a Bombieri. Un buen día, le propusieron a Andrew Wiles que posase para un anuncio de pantalones. Ser matemático casi te hacía sentir sexy. Los matemáticos pasan mucho tiempo en un mundo que los colma de emoción y de placer y, sin embargo, se trata de un placer que raramente pueden compartir con el resto del mundo; ahora se

presentaba la ocasión de levantar un trofeo, de mostrar los tesoros que habían descubierto en sus largos y solitarios viajes. La demostración de la hipótesis de Riemann hubiera sido un digno colofón matemático al siglo XX, un siglo que se había iniciado con el reto de Hilbert a los matemáticos de todo el mundo para que resolvieran aquel enigma. De los veintitrés problemas de la lista de Hilbert, la hipótesis de Riemann era el único que alcanzaba invicto el siglo XXI. El 24 de mayo de 2000, con motivo del centenario del reto de Hilbert, matemáticos y periodistas se reunieron en el Collège de France de París para

escuchar el anuncio de una nueva colección de siete problemas con los que se retaba a la comunidad matemática ante el tercer milenio. Los proponía un pequeño grupo de matemáticos de fama mundial formado, entre otros, por Andrew Wiles y Alain Connes. Se trataba de problemas inéditos en todos los casos excepto uno, que ya había formado parte de la lista de Hilbert: la hipótesis de Riemann. En homenaje a los ideales capitalistas que caracterizaron el s i gl o XX, estos retos aumentaban su interés con el añadido de un premio de un millón de dólares para cada uno: un incentivo seguro para el joven físico inventado por Bombieri, en caso de que

no se conformara con la gloria. La idea de los Problemas del Milenio se le ocurrió a Landon T. Clay, un hombre de negocios de Boston que hizo fortuna con la compraventa de fondos de inversión en un momento en que la bolsa iba viento en popa. A pesar de haber abandonado sus estudios de matemáticas en Harvard, Clay siente una auténtica pasión por esta disciplina, y quiere compartirla. Sabe que la fuerza que motiva a los matemáticos no es el dinero: «Lo que espolea a los matemáticos es el deseo de verdad, la sensibilidad ante la belleza, el poder y la elegancia de las matemáticas». Pero Clay no es ingenuo, y como hombre de

negocios sabe bien que un millón de dólares podrían inducir a un nuevo Andrew Wiles a incorporarse a la cacería de soluciones de los grandes problemas irresueltos. Y así ha sido: la página de Internet del Instituto Clay de Matemáticas, donde se exponen al público los Problemas del Milenio, quedó bloqueado por la gran cantidad de visitas que recibió. Los siete Problemas del Milenio tienen un espíritu distinto de los veintitrés problemas que Hilbert eligió un siglo antes: Hilbert había señalado el camino para los matemáticos de su siglo; muchos de sus problemas eran inéditos, y alentaban un cambio de

actitud significativo respecto de las matemáticas. A diferencia del último teorema de Fermat, que obligaba a concentrarse en un detalle, los veintitrés problemas de Hilbert dirigían a la comunidad matemática hacia un modo de pensar más conceptual. Hilbert ofrecía a los matemáticos la oportunidad de efectuar un paseo en globo a gran altura sobre su disciplina, incitándolos a comprender la configuración global del terreno en lugar de examinar una a una las rocas presentes en el paisaje matemático. Este nuevo punto de vista debe mucho a Riemann, quien cincuenta años antes había iniciado ya la revolucionaria transición de las

matemáticas de una disciplina de fórmulas y ecuaciones a una disciplina de ideas y teorías abstractas. La elección de los siete Problemas del Milenio fue más conservadora: son los Turner de la galería de arte de los problemas matemáticos, mientras que las cuestiones de Hilbert constituían una colección más revolucionaria, más vanguardista. El conservadurismo de los nuevos problemas es imputable en parte al deseo de que las soluciones sean suficientemente definidas como para que quienes las planteen puedan recibir el premio de un millón de dólares. Los Problemas del Milenio son cuestiones que los matemáticos conocen desde hace

ya décadas y, en el caso de la hipótesis de Riemann, desde hace más de un siglo: se trata de un compendio de clásicos. Los siete millones de dólares que Clay puso sobre la mesa no suponen el primer caso en que se ofrece dinero para la solución de un problema matemático. Por haber demostrado el último teorema de Fermat, Wiles ingresó 75.000 marcos alemanes del premio que ofreció Paul Wolfskehl en 1908. De hecho, fue la historia del premio Wolfskehl lo que hizo que Wiles se fijara en Fermat a la impresionable edad de diez años. Clay cree que, si consigue otro tanto con la hipótesis de Riemann, será un dinero bien gastado. Más recientemente, dos

editoriales, Faber & Faber de Gran Bretaña y Bloomsbury de los Estados Unidos, han ofrecido un millón de dólares a quien logre demostrar la conjetura de Goldbach, como reclamo publicitario para el lanzamiento de la novela El tío Petros y la conjetura de Goldbach, de Apostolos Doxiadis. Para ganar el premio había que explicar por qué todo número par puede expresarse como suma de dos números primos. Sin embargo, los editores no concedieron mucho tiempo a los posibles concursantes: la solución debía presentarse antes de la medianoche del 15 de marzo de 2002 y, cosa absurda, el concurso sólo estaba abierto a los

residentes en Gran Bretaña y los Estados Unidos. Según Clay, los matemáticos reciben escasas recompensas y poco reconocimiento a sus desvelos; por ejemplo, no existe un premio Nobel de Matemática al que puedan aspirar. En cambio, la medalla Fields puede ser considerada como el más importante reconocimiento en el mundo matemático. A diferencia de los Nobel, que acostumbran a concederse a científicos que se acercan al término de su carrera por los resultados que han obtenido mucho antes, las medallas Fields están reservadas a los matemáticos que todavía no hayan cumplido cuarenta

años. Esta elección no está basada en la opinión muy extendida de que los matemáticos se queman muy jóvenes: John Fields, que concibió y dotó el premio, quería que los fondos sirvieran para incentivar a los matemáticos más prometedores para que obtuvieran resultados aún más importantes. Las medallas se otorgan cada cuatro años con motivo del Congreso Internacional de Matemáticos, y las primeras se entregaron en Oslo en 1936. El límite máximo de edad se respeta estrictamente. A pesar de lo extraordinario de la labor desarrollada por Andrew Wiles al demostrar el último teorema de Fermat, el comité del

premio no pudo otorgarle una medalla en el Congreso de Berlín de 1998, es decir, en la primera ocasión posible tras la aceptación definitiva de su demostración, porque Wiles había nacido en 1953. Por supuesto, se acuñó una medalla especial para conmemorar su empresa, pero no es comparable con el hecho de ser miembro del ilustre club de los agraciados con una medalla Fields. Entre éstos hay muchos de los protagonistas principales de nuestra historia: Enrico Bombieri, Alain Connes, Atle Selberg, Paul Cohen, Alexandre Grothendieck, Alan Barker, Pierre Deligne. Estos nombres suponen casi la quinta parte de la totalidad de las

medallas concedidas hasta ahora. Pero los matemáticos no aspiran a la medalla Fields por dinero. En lugar de las importantes sumas que ingresan los ganadores de un Nobel, la dotación que acompaña a una medalla Fields es de unos modestos 15.000 dólares canadienses. Sin embargo, los millones de Clay contribuirán a competir con el poderío económico de los premios Nobel. Al contrario de lo que ocurre con la medalla Fields o con el premio que ofrecieron Faber & Faber y Bloomsbury por la solución de la conjetura de Goldbach, en este caso cualquiera puede aspirar a ganar el premio, con independencia de su edad o

nacionalidad, y sin más límite de tiempo para hallar la solución que el inexorable tic-tac de la inflación. De todas maneras, la recompensa económica no es el principal motivo que empuja a los matemáticos a la caza de uno de los Problemas del Milenio, sino más bien la embriagadora perspectiva de alcanzar la inmortalidad que las matemáticas pueden conferir. Ciertamente, resolviendo uno de los problemas de Clay ganaría un millón de dólares, pero eso no es nada en comparación con el hecho de inscribir el propio nombre en el mapa intelectual de la civilización. La hipótesis de Riemann, el último teorema de Fermat, la

conjetura de Goldbach, el espacio de Hilbert, la función tau de Ramanujan, el algoritmo de Euclides, el método del círculo de Hardy-Littlewood, la serie de Fourier, la numeración de Gödel, un cero de Siegel, la fórmula de la traza de Selberg, la criba de Eratóstenes, los números primos de Mersenne, el producto de Euler, los enteros de Gauss: todos ellos son descubrimientos que han llevado a la inmortalidad a los matemáticos que han desenterrado esos tesoros en el curso de sus exploraciones sobre los números primos. Sus nombres sobrevivirán mucho después de que nos hayamos olvidado de Esquilo, de Goethe o de Shakespeare. Como

explicaba G. H. Hardy, «las lenguas mueren, pero las ideas matemáticas no. Inmortalidad quizá sea una palabra ingenua, pero un matemático tiene más probabilidades que cualquier otro ser humano de alcanzar lo que aquella palabra designa». Los matemáticos que han luchado larga y fatigosamente en esta aventura épica para comprender que los números primos son algo más que simples nombres inscritos en el firmamento matemático. El tortuoso camino que ha seguido la historia de los números primos es el resultado de vidas concretas, de un conjunto rico y variado d e dramatis personae. Figuras

históricas de la Revolución francesa y amigos de Napoleón dan paso a modernos magos y a empresarios de Internet. Las historias de un contable indio, de un espía francés que se libró de ser ejecutado y de un judío húngaro fugitivo de la persecución de la Alemania nazi, tienen como denominador común la obsesión por los números primos. Cada uno de estos personajes ofrece una perspectiva única en su intento de añadir el propio nombre al cuadro de honor matemático. Los números primos han unido a los matemáticos a través de muchas fronteras nacionales: China, Francia, Grecia, América, Noruega, Australia,

Rusia, India y Alemania son sólo algunos de los países que han aportado miembros prominentes a la tribu nómada de los matemáticos que cada cuatro años se reúne en un congreso internacional para narrar las historias de sus viajes. No sólo es el deseo de dejar una impronta en el pasado lo que motiva a los matemáticos. Igual que ocurrió cuando Hilbert osó posar su mirada sobre lo desconocido, la demostración de la hipótesis de Riemann supondría el comienzo de una nueva aventura. Cuando Wiles tomó la palabra en la conferencia de prensa convocada para anunciar los premios Clay, insistió en subrayar que los problemas no son la

meta final: Allá afuera hay todo un mundo de matemáticas esperando a que lo descubran. Piensen, por favor, en los europeos de 1600. Sabían que al otro lado del Atlántico había un Nuevo Mundo; ¿qué clase de premio habrían otorgado para contribuir al descubrimiento y al desarrollo de los Estados Unidos? No un premio a la invención del aeroplano, no un premio a la invención del ordenador, no un premio a la fundación de Chicago, no un premio a la construcción de máquinas

capaces de trillar campos de trigo; todas estas cosas han pasado a formar parte de Estados Unidos, pero en 1600 no podían ni imaginárselas: no, habrían dado un premio a la solución de problemas como el de la longitud. La hipótesis de Riemann es la longitud de las matemáticas. Su solución abre la perspectiva de dibujar un mapa de las brumosas aguas del inmenso océano de los números primos. Representa apenas el comienzo de nuestra comprensión de los números de la naturaleza. Una vez que descubramos

el secreto para orientarnos entre los números primos, quién sabe qué otras cosas podría haber allá afuera esperando a que las descubramos.

2 LOS ÁTOMOS DE LA ARITMÉTICA

Cuando las cosas se vuelven demasiado complicadas, a veces tiene sentido parar y preguntarse: ¿he planteado la pregunta correcta? ENRICO BOM BIERI «Prime Territory», en The Sciences

Dos siglos antes de que la inocentada de Bombieri pusiera en evidencia al

mundo de los matemáticos, otro italiano, Giuseppe Piazzi, difundía una noticia igual de apasionante: desde el observatorio astronómico de Palermo, Piazzi había descubierto un nuevo planeta que giraba alrededor del Sol en una órbita entre las de Marte y Júpiter. Ceres, como lo llamaron, era mucho más pequeño que los siete planetas mayores conocidos hasta entonces, pero su descubrimiento, el 1 de enero de 1801, se consideró un maravilloso augurio para el futuro de la ciencia en el nuevo siglo. El entusiasmo se convirtió en decepción pocas semanas después, cuando el pequeño planeta desapareció

de la vista: su órbita estaba conduciéndolo al otro lado del Sol, donde su débil luz terminó ocultada por el deslumbrador brillo solar. Ceres desapareció del cielo nocturno, perdido de nuevo entre la plétora de estrellas del firmamento. Los astrónomos del siglo XIX no disponían de suficientes instrumentos matemáticos para calcular su órbita completa a partir de la breve trayectoria que habían seguido durante las primeras semanas del nuevo siglo. Lo habían perdido, y parecía que no existía ningún modo de prever dónde haría su siguiente aparición. Sin embargo, casi un año después de desvanecerse el planeta de Pazzi, un

alemán de veinticuatro años, natural de Brunswick, anunció que sabía dónde debían buscar los astrónomos el objeto perdido. A falta de previsiones alternativas a su disposición, los astrónomos dirigieron sus telescopios hacia la región del cielo que indicaba el jovencito. Como por milagro, Ceres se encontraba precisamente allí. Esa previsión astronómica sin precedentes no procedía, sin embargo, de la misteriosa magia de un astrólogo: la trayectoria de Ceres había sido calculada por un matemático que había identificado un orden allí donde los demás habían visto simplemente un minúsculo e imprevisible planeta. Carl

Friederich Gauss había tomado los escasísimos datos que se habían registrado sobre la trayectoria del planeta y había aplicado un nuevo método de cálculo desarrollado recientemente por él mismo para determinar dónde se encontraría Ceres en cualquier fecha futura. Gracias al descubrimiento de la trayectoria de Ceres, Gauss se convirtió de inmediato en una estrella de primera magnitud en la comunidad científica. Su gesta fue un símbolo del poder de predicción de las matemáticas en un período, la primera mitad del siglo XIX, en que la ciencia estaba en plena eclosión. Si bien los astrónomos habían

descubierto el planeta por casualidad, un matemático había puesto en juego la capacidad analítica necesaria para explicar qué ocurriría a continuación. A pesar de que el nombre de Gauss todavía era desconocido en la comunidad astronómica, su joven voz ya había dejado una impronta formidable en el mundo matemático. Gauss había conseguido trazar la trayectoria de Ceres, pero su auténtica pasión era la de identificar estructuras regulares en el mundo de los números. Para él, el universo de los números suponía un reto más importante: hallar estructura y orden donde los demás sólo veían caos. Con excesiva frecuencia se usan epítetos

c o mo niño prodigio y genio de las matemáticas, pero pocos matemáticos tendrían nada que objetar al hecho de que tales calificativos se atribuyan a Gauss. El simple número de ideas nuevas y descubrimientos que produjo incluso antes de cumplir los veinticinco años parece inexplicable. Gauss nació en una familia de modestos trabajadores de Brunswick (Alemania) en 1777. A los tres años corregía las cuentas de su padre; a los diecinueve, su descubrimiento de una magnífica construcción geométrica de una figura de 17 lados le convenció de que debía dedicar su vida a las matemáticas. Antes que él, los antiguos

griegos habían demostrado que era posible construir un pentágono perfecto usando sólo regla y compás. Desde entonces nadie había sido capaz de demostrar cómo utilizar aquellos simples instrumentos para construir otros polígonos perfectos, llamados polígonos regulares, con un número primo de lados. La excitación de Gauss cuando descubrió la manera de construir aquella figura perfecta de 17 lados lo empujó a dar comienzo a un diario matemático que mantuvo durante los siguientes dieciocho años. Este diario, que quedó en manos de su familia hasta 1898, se convirtió en uno de los documentos más importantes de la

historia de las matemáticas, entre otras razones porque confirmó que Gauss había probado, sin publicarlos, muchos resultados que otros matemáticos intentaron demostrar hasta bien entrado el siglo XIX. Entre las primeras contribuciones matemáticas de Gauss, una de las principales fue la invención de la calculadora de reloj. No se trataba de una máquina material, sino de una idea que abría la posibilidad de hacer matemáticas con números que hasta aquel momento habían sido considerados inabordables. La calculadora de reloj se basa en el mismo principio que los relojes

convencionales. Si su reloj marca las 9 y le añade 4 horas, la manecilla se colocará sobre la una. De igual manera, la calculadora de reloj de Gauss da 1 como resultado de 9 + 4. Si Gauss deseaba realizar un cálculo más complicado, como por ejemplo 7 × 7, la calculadora de reloj daba como resultado el resto que se obtiene al dividir 49 (es decir, 7 × 7) entre 12. El resultado es otra vez 1. Sin embargo, la potencia y velocidad de la calculadora de reloj comenzaba a ponerse de manifiesto cuando Gauss quería calcular 7 × 7 × 7. En lugar de multiplicar otra vez 49 por 7, Gauss podía limitarse a multiplicar 7

por el último resultado obtenido, es decir 1, para obtener la respuesta, que es 7. De esta forma, sin tener que calcular 7 × 7 × 7 —que da 343— podía saber sin gran esfuerzo que aquel resultado, al dividirlo por 12, daba como resto 7. La calculadora demostró toda su potencia cuando Gauss empezó a utilizarla con grandes números, que sobrepasaban sus propias capacidades de cálculo. Incluso sin tener ni idea del valor de 799, su calculadora de reloj le decía que ese número dividido entre 12 daría 7 como resto. Gauss se dio cuenta de que en los relojes de 12 horas no había nada de especial. Por ello introdujo la idea de

una aritmética del reloj —o aritmética modular, como se llama a veces— basada en relojes con cualquier número de horas. Por ejemplo, si insertamos el número 11 en una calculadora de reloj de 4 horas, obtendremos 3 como respuesta ya que al dividir 11 entre 4 el resto que se obtiene es 3. Los estudios de Gauss sobre este nuevo tipo de aritmética revolucionaron las matemáticas de principios del siglo XIX. Así como el telescopio había permitido a los astrónomos vislumbrar nuevos mundos, la invención de la calculadora de reloj ayudó a los matemáticos a descubrir en el universo de los números estructuras que habían estado ocultas

durante generaciones. Todavía hoy la aritmética modular de Gauss es fundamental para la seguridad en Internet, donde se utilizan relojes con cuadrantes divididos en más horas que átomos existen en el universo observable. Gauss, hijo de padres pobres, tuvo la suerte de poder sacar provecho de su talento matemático. Había nacido en una época en que las matemáticas eran todavía una actividad privilegiada, financiada por cortesanos y mecenas, o practicada a ratos libres por aficionados como Pierre de Fermat. El protector de Gauss era Carl Wilhelm Ferdinand, duque de Brunswick. La familia de

Ferdinand siempre había apoyado la cultura y la economía del ducado. Su padre había sido el fundador del Collegium Carolinum, una de las universidades técnicas más antiguas de Alemania. Ferdinand, imbuido del ethos paterno según el cual la instrucción era la base de los éxitos comerciales de Brunswick, estaba siempre al acecho de talentos dignos de apoyo. Coincidió por primera vez con Gauss en 1791, y quedó tan impresionado por sus capacidades que se ofreció a financiar los estudios de aquel joven en el Collegium Carolinum para que pudiera así desarrollar su indiscutible potencial. Lleno de gratitud, Gauss dedicó su

primer libro al duque en 1801. Aquel libro, titulado Disquisitiones arithmeticae, recogía muchos de los descubrimientos sobre las propiedades de los números que Gauss había anotado en sus diarios. Todo el mundo reconoce que no se trata de un simple compendio de observaciones sobre los números, sino que supone el anuncio del nacimiento de la teoría de los números como disciplina independiente. Su publicación hizo de la teoría de los números «la reina de las matemáticas», como siempre le gustó a Gauss definirla. Y si esa teoría era una reina, las joyas engarzadas en su corona eran los números primos, los números que habían

fascinado y atormentado a generaciones enteras de matemáticos. La prueba más antigua del conocimiento de los humanos sobre las propiedades especiales de los números primos es un hueso que data del 6500 a. C. El hueso, llamado de Ishango, se descubrió en 1960 en las montañas de Africa ecuatorial. Tiene grabadas tres columnas con cuatro series de muescas. En una de las columnas encontramos 11, 13, 17, 19 muescas, es decir, la lista de los números primos comprendidos entre 10 y 20. También las otras columnas parecen tener significados de naturaleza matemática. No está claro si este hueso, que se conserva en el Instituto Real de

las Ciencias Naturales de Bruselas, representa realmente uno de los primeros intentos que hicieron nuestros antepasados para entender los números primos o si se trata de una selección de números que resultan ser primos por casualidad. Sin embargo, no podemos excluir la posibilidad de que se trate de la primera incursión humana en los números primos. Algunos sostienen que la civilización china fue la primera en oír el tamtam de los números primos. Los chinos atribuían características femeninas a los números pares y masculinas a los impares, pero además de esa nítida separación, consideraban

afeminados los impares que no son primos, como el 15. Hay pruebas de que, antes del 1000 a. C., los chinos habían ideado un método muy concreto para comprender qué hace especiales a los números primos entre todos los números. Si tomamos 15 alubias podemos distribuirlas en un rectángulo perfecto compuesto por tres columnas de cinco alubias. En cambio, si tomamos 17 alubias sólo podremos construir un rectángulo de una fila de 17 alubias. Para los chinos, los números primos eran números viriles que resistían cualquier intento de descomponerlos en producto de números menores. Si bien a los antiguos griegos

también les gustaba atribuir cualidades sexuales a los números, fueron ellos los que descubrieron, en el siglo IV a. C., la fuerza real de los números primos como elementos básicos para la construcción de todos los demás. Comprendieron que todo número puede ser construido multiplicando entre sí números primos. Aunque se equivocaron al creer que el fuego, el aire, el agua y la tierra constituían la base de la materia, acertaron al identificar los átomos de la aritmética. Durante siglos los químicos intentaron en vano identificar los elementos constitutivos básicos de su disciplina, hasta que la búsqueda iniciada por los antiguos griegos

culminó en la tabla periódica de los elementos de Dimitri Mendeleyev. En cambio, a pesar de disfrutar de la ventaja de la identificación por los griegos de los elementos básicos de la aritmética, los matemáticos todavía se debaten en sus intentos por descubrir su tabla de los números primos. Hasta donde sabemos fue Eratóstenes, gran bibliotecario del importantísimo centro cultural de la Grecia antigua que fue Alejandría, el primero en producir tablas de números primos. Como una especie de antiguo Mendeleyev de las matemáticas, en el s i gl o III a. C., Eratóstenes ideó un procedimiento razonablemente sencillo

para determinar qué números eran primos entre los comprendidos, por ejemplo, entre 1 y 1.000. Para empezar, escribía la secuencia entera de números; a continuación tomaba el menor primo, es decir 2, y a partir de él tachaba de la lista un número de cada dos: como son divisibles entre 2, todos los tachados no son primos. Entonces pasaba al siguiente número no tachado, es decir 3, y a partir de él tachaba de la lista un número de cada tres: como todos esos números son divisibles entre 3, no son primos. Continuaba el proceso tomando el siguiente número no tachado y suprimiendo de la lista todos sus múltiplos. Con este proceso sistemático

construyó tablas de números primos, y este método recibió el nombre de criba de Eratóstenes: cada nuevo número primo crea una «criba», un cedazo que Eratóstenes utiliza para eliminar una parte de los números que no son primos. En cada nueva fase del proceso las dimensiones de la malla cambian y, cuando Eratóstenes llega a 1.000, los únicos números supervivientes del proceso de selección son los primos. Cuando Gauss era un jovencito recibió como regalo un libro que contenía una lista de varios millares de números primos que probablemente se había construido utilizando los antiguos cedazos numéricos. Para Gauss,

aquellos números aparecían desordenadamente. Predecir la órbita elíptica de Ceres había sido ya suficientemente difícil, pero el reto de los números primos tenía más en común con la empresa casi imposible de analizar la rotación de cuerpos celestes del tipo de Hiperión, uno de los satélites de Saturno, que tiene forma de hamburguesa. A diferencia de nuestra Luna, Hiperión no es en absoluto estable desde el punto de vista gravitacional, y por esa razón gira caóticamente sobre sí mismo. De todos modos, por más que la rotación de Hiperión o las órbitas de algunos asteroides sean caóticas, por lo menos sabemos que su comportamiento

viene determinado por la atracción gravitacional del Sol y de los planetas; en cuanto los números primos, no tenemos ni la más ligera idea de qué fuerzas los atraen o los repelen. Cuando escrutaba sus tablas numéricas, Gauss no conseguía determinar ninguna regla que le indicara cuánto tenía que saltar para hallar el siguiente número primo. ¿Podría ser que los matemáticos debieran resignarse a aceptar que esos números han sido elegidos al azar por la naturaleza, que hubieran sido fijados como estrellas en el cielo nocturno, sin pies ni cabeza? Gauss no podía aceptar semejante idea: la motivación primaria en la vida de un matemático es

determinar estructuras ordenadas, descubrir y explicar las reglas que están en los cimientos de la naturaleza, prever qué sucederá a continuación.

LA BÚSQUEDA DE MODELOS

La aventura de la búsqueda de los números primos por parte de los matemáticos está perfectamente expresada en uno de los problemas que todos hemos resuelto en la escuela: dada una sucesión de números, determinar el siguiente elemento. Veamos, a título de ejemplo, tres de estos problemas:

1, 3, 6, 10, 15, … 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, … Muchas preguntas asaltan la mente matemática ante listas así: ¿cuál es la regla que está detrás de la creación de cada sucesión? ¿Es posible predecir el siguiente elemento? ¿Se puede determinar una fórmula que nos permita calcular el centésimo término de la sucesión sin que sea necesario calcular los 99 anteriores? La primera de las tres sucesiones anteriores está formada por los llamados números triangulares . El décimo

número de la lista es el número de alubias necesarias para construir un triángulo de diez filas que comience con una fila de una única alubia y que termine con una fila de diez alubias. Por esta razón, el enésimo número triangular se obtiene simplemente sumando los primeros N números: 1 + 2 + 3 + … + N. Si deseamos determinar el centésimo número triangular tenemos ya un método largo y laborioso: atacar frontalmente el problema sumando los 100 primeros números de la sucesión. El maestro de la escuela a la que asistía Gauss tenía por costumbre poner este problema a sus alumnos, con la seguridad de que tardarían en resolverlo

el tiempo suficiente para que él pudiera echar una cabezadita. A medida que terminaban el problema, los alumnos se levantaban y ponían su pizarra en una pila ante el maestro. Mientras los demás alumnos apenas se habían puesto a la tarea, en pocos segundos Gauss, con diez años, había dejado ya su pizarra sobre el escritorio del maestro. Furioso, éste creyó que el joven Gauss estaba siendo insolente, pero cuando miró la pizarra, vio que la respuesta —5.050— estaba allí, sin un solo paso de cálculo. El maestro pensó que Gauss había hecho trampa de un modo u otro, pero el alumno explicó que bastaba con insertar N = 100 en la fórmula 1/2 × (N + 1) × N,

para obtener el centésimo término de la sucesión sin tener que calcular ningún otro término. Gauss no había atacado el problema directamente, sino que se había aproximado a él lateralmente. El mejor modo de descubrir cuántas alubias hay en un triángulo de 100 filas, razonó, era tomar otro triángulo igual, darle la vuelta y ponerlo al lado del primero. Ahora Gauss tenía un rectángulo de 100 filas, de 100 alubias cada una, y calcular el número total de alubias de este rectángulo formado por dos triángulos era muy fácil: el total de alubias es 101 × 100 = 10.100. Por tanto, un único triángulo contenía la mitad de ese

número de alubias, es decir, 1/2 × 101 × 100 = 5.050. Además, el número 100 no tiene nada de especial: si lo sustituimos p o r N obtendremos la fórmula 1/2 × (N + 1) × N. La siguiente figura ilustra el razonamiento en el caso de un triángulo de 10 filas en lugar de 100.

Una ilustración del método usado por Gauss para demostrar su fórmula para

el cálculo de los números triangulares.

En lugar de atacar frontalmente el problema que su maestro le proponía, Gauss había encontrado un punto de vista distinto. El pensamiento lateral, la capacidad de observar el problema desde todos los ángulos posibles para verlo desde una nueva perspectiva, es una cuestión de inmensa importancia para el descubrimiento matemático y supone una de las razones por las que las personas capaces de razonar como el joven Gauss son buenos matemáticos. La segunda de las sucesiones que hemos propuesto, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, es la de los llamados números de

Fibonacci. Para construirla basta calcular cada número sumando los dos inmediatamente anteriores. Por ejemplo, 13 = 5 + 8. Leonardo Fibonacci, matemático pisano del siglo XIII, dio con ella al estudiar los hábitos reproductores de los conejos. Fibonacci intentó divulgar los descubrimientos de los matemáticos árabes en un intento fracasado de sacar las matemáticas europeas de los oscuros siglos de la Alta Edad Media. Sin embargo, fueron los conejos los que le confirieron la inmortalidad en el mundo matemático. Según su modelo de reproducción, cada nueva estación tendremos un número de parejas de

conejos que siguen una pauta regular. Este esquema está basado en dos reglas: cada pareja madura de conejos producirá una nueva pareja de conejos por estación, y cada nueva pareja necesitará una estación para llegar a la madurez sexual. Pero los números de Fibonacci no sólo gobiernan el mundo de los conejos. Esta sucesión aparece en la Naturaleza de mil maneras distintas. El número de pétalos de una flor es siempre un número de Fibonacci, y también el número de espirales de una piña de abeto. Y el crecimiento de una concha marina a lo largo del tiempo sigue la progresión de los números de Fibonacci.

¿Existe una fórmula rápida que, como la de Gauss para los números triangulares, permita determinar el centésimo número de Fibonacci? También en este caso, la primera impresión es que tendremos que calcular los 99 términos anteriores, ya que para determinar el centésimo término necesitamos conocer el nonagésimo octavo y el nonagésimo noveno. ¿Puede ser que exista una fórmula que nos determine este centésimo término insertando simplemente el número 100? Tal fórmula existe, pero su determinación es mucho más complicada que la regla que nos permite determinar esos otros números.

La fórmula para generar los números de Fibonacci se basa en un número especial llamado número de oro o proporción áurea , un número que empieza por 1,61803… Igual que π, la proporción áurea es un número cuya expresión decimal no tiene fin, no manifiesta ninguna regularidad y, sin embargo, encierra las que a lo largo de los siglos han sido consideradas como las proporciones perfectas. Si examinamos los lienzos que se exponen en el Louvre o en la Tate Gallery, descubriremos que con mucha frecuencia el artista ha elegido un rectángulo cuyos lados están en la proporción de 1 a 1,61803. Además, los

experimentos revelan que entre la altura de una persona y la distancia que separa sus pies del ombligo se conserva esa misma proporción numérica. La aparición de la proporción áurea en la naturaleza tiene algo de misterioso. El enésimo número de Fibonacci puede expresarse mediante una fórmula construida a partir de la enésima potencia de la proporción áurea. Dejaremos la tercera sucesión numérica —1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, …— como un reto estimulante sobre el cual volveremos más adelante. Sus propiedades contribuyeron a consolidar la fama de uno de los personajes más fascinantes de las matemáticas del siglo

XX: Srinivasa Ramanujan, que poseía

una extraordinaria habilidad para descubrir nuevas estructuras y fórmulas en zonas de las matemáticas en las que otros se habían encallado. En la Naturaleza no sólo se encuentran los números de Fibonacci: el reino animal también conoce los números primos. Existen dos especies de cigarras llamadas Magicicada septendecim y Magicicada tredecim que viven a menudo en el mismo medio. Tienen ciclos de vida de 17 y 13 años respectivamente. Durante todos esos años se alimentan de la savia de las raíces de los árboles. Luego, en el último año del ciclo, se metamorfosean

de crisálidas en adultos completamente formados y salen del suelo en masa. Asistimos a un acontecimiento extraordinario cuando, cada 17 años, los ejemplares de Magicicada septendecim se apoderan del bosque en una sola noche. Entonan su potente canto, se aparean, se alimentan, ponen sus huevos, y al cabo de seis semanas, mueren. El bosque vuelve al silencio durante otros 17 años. Pero ¿por qué esas dos especies han elegido como duración de su vida un número primo de años? Hay diversas explicaciones posibles; como las dos especies han desarrollado ciclos de vida que duran un número primo de años, es raro que

aparezcan el mismo año. En efecto, ambas especies deberán compartir el bosque solamente una vez cada 13 x 17 = 221 años. Imaginemos lo que sucedería en el caso de elegir ciclos de años no primos, por ejemplo 18 y 12. En el mismo período de 221 años se habrían encontrado en sincronía seis veces, exactamente en los años 36, 72, 108, 144, 180 y 216, es decir, en los años compuestos de los números primos que son divisores de 18 y de 12. Los números primos 13 y 17, por tanto, evitaban a las dos especies de cigarra una competencia excesiva. La aparición de un hongo que se presentaba simultáneamente con las

cigarras nos ofrece otra posible explicación. Para las cigarras aquel hongo era letal, y por esa razón desarrollaron un ciclo de vida que les permitiera evitarlo. Al pasar a un ciclo de 17 o 13 años, las cigarras se han asegurado de aparecer en el mismo año que el hongo con mucha menor frecuencia de la que se daría si sus ciclos de vida durasen un número no primo de años. Para las cigarras, los números primos no eran una simple curiosidad abstracta, sino la clave de la supervivencia. Por más que la evolución hubiere descubierto algunos números primos a las cigarras, los matemáticos

necesitaban un método más sistemático para obtenerlos. Entre todos los enigmas numéricos, la lista de los números primos era el lugar donde, más que en ningún otro, los matemáticos buscaban una fórmula secreta. Sin embargo, debemos ser cautos al pensar que en el mundo matemático hay estructura y orden en todos los rincones. A lo largo de la historia han sido muchos los que se han perdido en el vano intento de determinar una estructura escondida en la expresión decimal de π, uno de los números más importantes de las matemáticas. Precisamente ha sido su importancia la que ha alimentado intentos desesperados por descubrir

mensajes bajo su caótica expresión decimal. Si una vida alienígena utilizaba los números primos para atraer la atención de Ellie Arroway al principio de la novela de Carl Sagan Contacto, el mensaje último del libro está escondido en las profundidades de la sucesión decimal de π, en la que repentinamente aparece una serie de ceros y de unos definiendo unas pautas que revelarían «la existencia de una inteligencia anterior al Universo». En la película π, Darren Aronofsky también juega con este célebre icono cultural. A modo de advertencia para aquellos que se sientan fascinados ante la idea de descubrir mensajes

escondidos en números como π, los matemáticos han conseguido demostrar que la mayoría de los números decimales esconden, en alguna parte de sus expresiones decimales infinitas, cualquier secuencia de números que deseemos. Por ello, existe una elevada probabilidad de que π contenga el programa informático para escribir el libro del Génesis si lo buscamos con paciencia suficiente. En resumen, para buscar estructuras escondidas en las matemáticas es preciso determinar el punto de vista correcto; su importancia se hace evidente cuando se examina desde perspectivas distintas. Lo mismo ocurría con los números primos.

Armado con sus tablas de números primos y con su talento para el pensamiento lateral, Gauss estaba preparado para determinar el ángulo y la perspectiva correctos desde donde examinar los números primos de forma que, tras su fachada caótica, pudiera surgir un orden antes oculto.

LA DEMOSTRACIÓN, GUÍA DE VIAJE DEL MATEMÁTICO

Si una parte del trabajo de los matemáticos consiste en hallar esquemas y estructuras en el mundo de las

matemáticas, la otra parte consiste en demostrar que cierta estructura será siempre válida. El concepto de demostración marca quizás el auténtico principio de las matemáticas como arte de la deducción en lugar de la simple observación de los números; el punto en el cual la alquimia matemática cede el puesto a la química matemática. Los antiguos griegos fueron los primeros en comprender que era posible demostrar que ciertos hechos siguen siendo ciertos por muy lejos que contemos, por muchos ejemplos que examinemos. El proceso creativo matemático empieza con una suposición. A menudo ésta emerge como resultado de la

intuición que el matemático ha desarrollado durante años de exploración del mundo de las matemáticas, cultivando una sensibilidad como consecuencia de sus idas y venidas. Quizá simples experimentos numéricos revelen una regla que se suponga válida para siempre: en el siglo XVII, por ejemplo, los matemáticos descubrieron lo que creyeron un método seguro para verificar la primalidad de un número N: elevar 2 a la N y dividir el resultado por N. Si el resto es 2, entonces N sería un número primo. En términos de la calculadora de reloj de Gauss, aquellos matemáticos querían calcular 2N con un

reloj de N horas. El reto consistía en demostrar si tal suposición era cierta o falsa. Estas suposiciones o predicciones son lo que los matemáticos denominan conjeturas o hipótesis. Una suposición matemática recibe el nombre de teorema sólo después de haber sido demostrada; este paso de conjetura o hipótesis a teorema es lo que indica la madurez matemática de un enunciado. Fermat legó a las matemáticas una montaña de predicciones: generaciones enteras de matemáticos se han labrado un nombre demostrando la verdad o la falsedad de las hipótesis de Fermat. Ciertamente, el último teorema de Fermat siempre ha

recibido el nombre de teorema y no de conjetura, pero se trata de un caso insólito, que probablemente se debe a que en sus notas garabateadas en la copia de la Arithmetica de Diofanto, Fermat afirmaba poseer una maravillosa demostración que desgraciadamente era demasiado larga para caber en el margen de la página. Fermat nunca transcribió en parte alguna su presunta demostración, y esos comentarios al margen se convirtieron en la mayor broma matemática de la historia. Hasta que Andrew Wiles proporcionó una argumentación, una demostración del porqué de la inexistencia de soluciones interesantes de la ecuación de Fermat, el

último teorema siguió siendo una mera hipótesis, simplemente un buen deseo. La anécdota escolar de Gauss resume perfectamente el paso de la suposición al teorema mediante la demostración. Gauss concibió una fórmula que, según su previsión, podía producir cualquier número triangular. ¿Cómo podía tener la seguridad de que la fórmula siempre funcionaría? Evidentemente, puesto que la sucesión tiene una longitud infinita, no podía verificar la fórmula sobre cada número de la sucesión para comprobar la corrección del resultado. Por tanto, recurrió a la potente arma de la demostración matemática. Su método de

combinar dos triángulos para construir un rectángulo aseguraba que la fórmula funcionaría siempre sin necesidad de hacer un número infinito de cálculos. Por el contrario, el método ideado en el siglo XVII para verificar la primalidad con base en el cálculo de 2N fue rechazado por el tribunal de las matemáticas en 1819: el método funciona correctamente hasta 340, pero a continuación determina 341 como número primo. Ahí es donde falla la verificación, ya que 341 = 11 × 31. Esta excepción no pudo ser descubierta hasta que fue posible usar una calculadora de reloj de Gauss con 341 horas para simplificar el análisis de un número

c o mo 2341, que en una calculadora convencional tiene más de 100 cifras. El matemático de Cambridge G. H. Hardy, autor de la Apología de un matemático, solía comparar el proceso de descubrimiento y demostración matemáticos con el trabajo de un cartógrafo que estudia paisajes lejanos: «Siempre he pensado en el matemático en primer lugar como un observador: un hombre que escruta una remota cadena montañosa y anota sus observaciones». Cuando el matemático ha observado la montaña a distancia, su siguiente labor consiste en explicar a los demás cómo alcanzarla. Se comienza en un lugar donde el

paisaje nos es familiar y no hay sorpresas que temer; en esa región conocida se encuentran los axiomas de las matemáticas, las verdades numéricas evidentes, junto con las proposiciones que ya han sido demostradas. Una demostración es como un sendero que, a través del paisaje matemático, conduce desde ese territorio familiar hasta cumbres remotas. El avance está ligado al respeto de las reglas de la deducción que, al igual que los movimientos permitidos a una pieza de ajedrez, prescriben qué pasos está permitido dar en ese mundo. A veces se llega a lo que parece un punto muerto, lo que obliga a uno de los característicos pasos

laterales, cambios de dirección o incluso retrocesos para superar el obstáculo. Quizá para continuar el ascenso es necesario esperar a que se inventen nuevos instrumentos, como las calculadoras de reloj de Gauss. En palabras de Hardy, el observador matemático Ve nítidamente A, mientras que de B sólo consigue breves visiones momentáneas. Finalmente elige una cresta que parte de A y, siguiéndola hasta el final, descubre que culmina en B. Si quiere que los demás lo vean lo indica, o bien directamente o

bien a través de la cadena de cumbres que lo han conducido a él mismo a reconocerlo. Cuando su discípulo también lo ve, la búsqueda, la argumentación, la demostración ha terminado. La demostración es la historia del viaje y el mapa que registra sus coordenadas: es el cuaderno de bitácora del matemático. Los que lean la demostración experimentarán la misma emergencia de la comprensión que experimentó su autor; no sólo verán finalmente la ruta que conduce a la cumbre, sino que además comprenderán que ningún futuro desarrollo podrá

comprometer el nuevo recorrido. Muy a menudo una demostración no pretende poner todos los puntos sobre las íes: se trata de una reconstrucción del viaje y no necesariamente la reconstrucción de cada uno de sus pasos. Las argumentaciones que los matemáticos dan como demostraciones pretenden entusiasmar al lector. Hardy acostumbraba a describir las argumentaciones que damos los matemáticos como «cháchara, florituras retóricas construidas para golpear la psicología, figuras en la pizarra durante las clases, instrumentos para estimular la imaginación de los alumnos». Los matemáticos están obsesionados

con la demostración, y la simple prueba experimental de una hipótesis no basta para satisfacerlos. A menudo esta actitud provoca estupor e incluso burlas en otras disciplinas científicas. La conjetura de Goldbach ha sido verificada para todos los números hasta 400.000.000.000.000, pero no está aceptada como teorema; en casi cualquier otra disciplina científica estarían encantados de considerar estos aplastantes datos numéricos como argumento más que convincente y pasarían a otra cosa: si un día aparecieran nuevos datos que obligaran a reconsiderar aquel canon matemático, pues adelante. Si para las demás

ciencias basta con eso, ¿por qué no para las matemáticas? Muchísimos matemáticos se estremecerían sólo con plantearse tal herejía. Dicho en palabras del matemático francés André Weil: «el rigor es para los matemáticos lo que la moral es para los humanos». En parte ello se debe a que, en matemáticas, a menudo los indicios son difíciles de valorar. Más que cualquier otra parte de las matemáticas, los números primos se resisten a revelar su auténtica naturaleza. Incluso Gauss se dejó llevar por una corazonada ante la enorme cantidad de datos que había obtenido sobre los números primos, pero un

posterior análisis teórico lo despertó de su error. Por esta razón es esencial la demostración: las primeras impresiones pueden ser engañosas. Mientras que el ethos de cualquier otra ciencia establece que las pruebas experimentales son lo único realmente fiable, los matemáticos han aprendido a no fiarse nunca de los datos numéricos sin una demostración. En cierto sentido, la naturaleza etérea de las matemáticas como disciplina de la mente hace al matemático más propenso a proporcionar demostraciones para dar una sensación de realidad a ese mundo. Los químicos pueden estudiar tranquilamente la molécula real de

futboleno, la secuencia del genoma supone un problema concreto para el genetista, incluso los físicos pueden comprobar la realidad de las minúsculas partículas subatómicas o de un remoto agujero negro; en cambio, el matemático se encuentra en la tesitura de tener que comprender objetos que no poseen ninguna realidad física evidente: formas geométricas en ocho dimensiones o números primos tan grandes que superan el número de átomos del universo. Ante tan monstruosa lista de conceptos abstractos la mente puede hacer jugarretas extrañas, y sin una demostración se correría el riesgo de crear auténticos castillos de naipes. En

las demás disciplinas científicas la observación y el experimento sirven para validar la realidad de un objeto de estudio, pero si los demás científicos pueden usar los ojos para ver esa realidad física, los matemáticos tienen que confiar en la demostración matemática, como si de un sexto sentido se tratara, para gestionar su invisible objeto de estudio. Intentar demostrar pautas que ya han sido identificadas es, además, un gran catalizador para ulteriores descubrimientos matemáticos. Muchos matemáticos opinan que sería mejor si los problemas de ese tipo no se resolvieran nunca, habida cuenta de las

nuevas maravillas matemáticas que se encuentran por el camino. Tales problemas le ofrecen al matemático pionero la posibilidad de explorar territorios cuya existencia jamás habría imaginado cuando empezó su travesía. Pero quizás el argumento más convincente para justificar por qué la cultura matemática da tanto valor al hecho de demostrar la verdad de un aserto sería que, a diferencia del resto de las ciencias, puede permitirse el lujo de hacerlo. ¿En cuántas disciplinas existe algo comparable a la posibilidad de afirmar que la fórmula de Gauss para los números triangulares no dejará nunca de dar la respuesta correcta? Es

posible que las matemáticas sean una materia etérea, circunscrita a la mente, pero su falta de realidad tangible está más que compensada por la certeza que proporcionan las demostraciones. A diferencia de lo que sucede en otras ciencias cuyo modelo del mundo puede desmoronarse en una generación, la demostración en matemáticas nos permite establecer con certeza absoluta que los hechos relativos a los números primos no cambiarán a la luz de futuros descubrimientos. Las matemáticas son una pirámide en la que cada generación edifica sobre lo realizado por la que la precedió sin necesidad de temer ningún hundimiento. Es esta indestructibilidad

lo que hace tan apasionante el hecho de ser matemático: para ninguna otra ciencia se puede afirmar que lo que establecieron los antiguos griegos continúa siendo cierto. Hoy en día podemos reírnos de su idea de la materia compuesta por fuego, aire, agua y tierra; y quizá las futuras generaciones contemplarán la lista de 109 átomos de los que consta la tabla periódica de los elementos de Mendeleyev con el mismo desprecio con que nosotros consideramos el modelo del mundo químico que elaboraron los griegos. En cambio, todo matemático empieza su formación aprendiendo lo que los antiguos griegos demostraron sobre los

números primos. Los miembros de otros departamentos universitarios envidian la certeza que la demostración da al matemático al menos tanto como se burlan de ella. La estabilidad que crea la demostración matemática conduce a la auténtica inmortalidad citada por Hardy; a menudo es ésa la razón por la cual personas que están rodeadas de un mundo de inseguridades se sienten atraídas por esta disciplina. En muchos casos el mundo matemático ha ofrecido refugio a jóvenes mentes deseosas de evadirse de un mundo real que no conseguían afrontar. Nuestra fe en la indestructibilidad de

una demostración se refleja en las reglas que gobiernan la asignación de los premios para quien resuelva los Problemas del Milenio de Clay: el premio monetario se ingresa al cabo de dos años de la publicación de la demostración, y una vez que ésta ha recibido la aceptación general de la comunidad matemática. Naturalmente, ello no garantiza completamente que la demostración esté libre de errores, pero reconoce un hecho que todos aceptamos: es posible determinar la existencia de errores en una demostración sin tener que esperar durante años a que aparezcan nuevas pruebas. Si hay un error deberá estar ahí, en la página que

tenemos delante. ¿Son arrogantes los matemáticos por opinar que tienen acceso a demostraciones absolutas? ¿Puede sostenerse que la demostración de que cualquier número puede expresarse como producto de números primos tiene la misma probabilidad de ser refutada que la física newtoniana o la teoría de la indivisibilidad del átomo? La mayoría de los matemáticos creen que las investigaciones futuras nunca supondrán la destrucción de los axiomas relativos a los números, que se consideran verdades incontestables. Según ellos, si se aplican correctamente las leyes de la lógica para edificar sobre aquellas

bases, se producirán demostraciones de los asertos sobre números que nunca serán invalidadas por nuevas intuiciones. Es posible que se trate de una idea ingenua desde el punto de vista filosófico, pero ciertamente se trata del principio fundamental de la secta de los matemáticos. Mencionemos además la excitación emotiva que se adueña del matemático al trazar nuevos recorridos en el mapa de las matemáticas: hay una increíble sensación de euforia al descubrir una vía para alcanzar la cima de una montaña lejana que ha sido atisbada desde hace generaciones. Es como crear una historia maravillosa o una pieza

musical que transporta a la mente desde lo familiar hasta lo desconocido. Es grandioso ser el primero en entrever la posible existencia de una montaña remota como el último teorema de Fermat o la hipótesis de Riemann, pero no se puede comparar con la satisfacción de explorar las tierras que nos conducen a tal fin. Quizá los que más adelante recorran la pista trazada por aquel pionero experimentarán en parte el sentido de elevación espiritual que acompañó el primer momento de epifanía en el descubrimiento de una nueva demostración. Esa es la razón por la cual los matemáticos siguen valorando la búsqueda de la

demostración aunque estén absolutamente convencidos de la certeza de cosas como la hipótesis de Riemann: en matemáticas, el viaje es tan importante como la conquista de la meta. Las matemáticas ¿son un acto de creación o de descubrimiento? Muchos matemáticos oscilan entre la sensación de ser creativos y la de descubrir verdades científicas absolutas. A menudo las ideas matemáticas pueden parecer muy personales y ligadas a la mente creativa que las concibió; sin embargo, esta impresión tiene su contrapeso en la convicción de que la naturaleza lógica de la disciplina implica que todos los matemáticos viven

un mismo mundo matemático, un mundo lleno de verdades inmutables. Esas verdades sólo esperan a ser desenterradas, y no existe ningún pensamiento creativo que pueda plantearse la discusión sobre su existencia. Hardy expresa perfectamente esta tensión entre creación y descubrimiento con la que luchan los matemáticos: «Defiendo que la realidad matemática se sitúa fuera de nosotros, que nuestra función es descubrirla u observarla y que los teoremas que demostramos y describimos con grandilocuencia como nuestras “creaciones” no son más que las notas de nuestras observaciones». Pero en

otros momentos opta por una descripción más artística del proceso de hacer matemáticas: «Las matemáticas no son una disciplina contemplativa, sino creativa», escribe en Apología de un matemático, un libro que Graham Greene colocó junto a los diarios de Henry James como los mejores ejemplos de lo que significa ser un artista creativo. Por más que los números primos, junto con otros elementos de las matemáticas, sobrepasen las barreras culturales, mucha matemática es creativa y producto de la psique humana. Ocurre a menudo que las demostraciones, las historias que cuentan los matemáticos

sobre su disciplina, pueden ser narradas de diversas maneras: probablemente la demostración de Wiles del último teorema de Fermat resultará a oídos extraños tan misteriosa como el ciclo del Anillo de Wagner. Las matemáticas son un arte creativo sujeto a reglas rígidas, como escribir poesía o tocar blues: los matemáticos están limitados por los pasos lógicos que tienen que seguir para dar forma a sus demostraciones; pero a pesar de todo, en el interior de esas rígidas reglas aún existe una gran libertad. De hecho, la belleza de crear obedeciendo a un sistema de reglas está en que nos vemos empujados hacia nuevas direcciones y

hallamos cosas que nunca esperaríamos descubrir si no nos hubiéramos dejado llevar. Los números primos son como las notas de una escala musical, y cada cultura ha elegido tocar esas notas de una determinada manera, revelando más de lo que era de esperar sobre influencias sociales e históricas. La historia de los números primos es un espejo social como lo es el descubrimiento de verdades eternas. El floreciente amor por las máquinas en los siglos XVII y XVIII se reflejó en un enfoque muy práctico, experimental, del estudio de los números primos; en contraste, la Europa de las revoluciones produjo una atmósfera que favoreció la

aplicación de ideas abstractas, nuevas y audaces, en su análisis. La elección sobre cómo narrar el viaje es específica de cada cultura particular.

LAS FÁBULAS DE EUCLIDES

Los antiguos griegos fueron los primeros en narrar esas historias. Comprendieron el poder de las demostraciones en la búsqueda de los caminos definitivos que en el mundo matemático conducen a las montañas. Una vez coronadas, se desvanece para siempre el miedo de que aquellas montañas sean un remoto espejismo

matemático. Por ejemplo, ¿cómo podemos estar realmente seguros de la inexistencia de ciertos números anómalos que no puedan construirse multiplicando números primos? Los antiguos griegos concibieron un razonamiento que no habría de permitir dudas ni en sus mentes ni en las de generaciones posteriores sobre la posibilidad de que tales números aparecieran jamás. A menudo los matemáticos descubren una demostración aplicando a un caso particular la teoría general que intentan demostrar, e intentando después comprender por qué la teoría es válida en ese caso: tienen la esperanza de que

la argumentación o la receta que ha funcionado una vez funcione siempre, con independencia del caso particular que hayan elegido para ser analizado. Por ejemplo, para demostrar que cualquier número es producto de números primos podríamos empezar por considerar el caso particular del número 140. Supongamos que hemos comprobado que cualquier número menor que 140 o bien es primo o bien es producto de números primos: ¿qué podemos decir del número 140? ¿Es posible que se trate de un número anómalo, que no sea ni primo ni producto de primos? Empezaremos por comprobar que no se trata de un número

primo. ¿Cómo? Demostrando que puede ser expresado como producto de dos números menores que él. Por ejemplo, es igual a 4 × 35. Ya hemos conseguido lo más importante al establecer que 4 y 35, números inferiores a la presunta anomalía, 140, pueden escribirse como producto de números primos: 4 es igual a 2 × 2 y 35 es igual a 5 × 7. Uniendo esas informaciones verificamos que efectivamente 140 es producto de 2 × 2 × 5 × 7. Por tanto, en definitiva, 140 no es un número anómalo. Los antiguos griegos hallaron la manera de traducir este ejemplo particular en un razonamiento que es de aplicación general a todos los números.

Lo más curioso es que su razonamiento empieza por pedirnos que imaginemos que existen números anómalos, números que ni son primos ni pueden escribirse como producto de primos. Si esos números anómalos existen, entonces cuando revisemos la secuencia completa de los números daremos antes o después con el menor de ellos, que llamaremos N. Dado que este número hipotético N no es un número primo, estaremos en condiciones de expresarlo como producto de dos números A y B menores que N. Si ello no fuera posible, N sería un número primo. Como A y B son menores que N, nuestra definición de N exige que A y B

puedan expresarse como producto de números primos. Por tanto, si multiplicamos entre sí todos los primos que componen A por todos los primos que componen B obtendremos necesariamente el número N y, por tanto, habremos demostrado que N puede expresarse como producto de números primos, lo cual es contradictorio con la definición de N. En consecuencia, nuestra hipótesis de partida, la existencia de números anómalos, no se puede sostener y, en definitiva, cualquier número, o bien es primo, o bien puede expresarse como producto de números primos. Cuando he intentado explicar este

razonamiento a mis amigos, siempre han tenido la sensación de que les estaba haciendo trampa. Hay algo vagamente falaz en nuestro gambito de apertura: se supone que existen cosas que no queremos que existan y se termina por demostrar que no existen. Esta estrategia de pensar lo impensable se convirtió en un potente instrumento para la construcción de demostraciones por parte de los antiguos griegos. Está basada en un principio lógico: una afirmación debe ser cierta o falsa. Si partimos del supuesto de que la afirmación es falsa y terminamos en una contradicción, podemos deducir de ello que nuestro supuesto era erróneo y

concluir que la afirmación tenía que ser cierta. La técnica de demostración que idearon los antiguos griegos se apoya en la pereza de muchos matemáticos: en lugar de afrontar la tarea imposible de realizar infinitos cálculos explícitos para demostrar que todos los números pueden ser construidos utilizando números primos, el razonamiento abstracto captura la esencia de cada uno de esos cálculos; es como conocer la manera de subirse a lo alto de una escalera infinita sin tener que llevar a término la empresa físicamente. Euclides, más que cualquier otro matemático griego, es considerado el

padre de la demostración. Vivió en Alejandría alrededor del 300 a. C., en la época en la que Ptolomeo I acababa de fundar allí lo que hoy llamaríamos un gran instituto de investigación. Ahí escribió uno de los manuales más influyentes de toda la historia conocida: Elementos. En la primera parte del libro, Euclides fijó los axiomas de la geometría que describen las relaciones entre puntos y líneas. Estos axiomas se enuncian como verdades evidentes sobre los objetos geométricos, para que luego la geometría pueda dar una descripción matemática del mundo físico. A continuación Euclides utilizó las reglas de la deducción para enunciar quinientos

teoremas geométricos. La parte central de los Elementos de Euclides se refiere a las propiedades de los números, y ahí hallamos lo que muchos consideran el primer ejemplo realmente brillante de razonamiento matemático. En la proposición 20, Euclides describe una verdad simple, pero fundamental, sobre los números primos: que hay infinitos. Parte del supuesto de que cualquier número puede construirse multiplicando entre sí números primos. Sobre esto edifica la demostración. Si los números primos son los elementos básicos de todos los demás números, se pregunta: ¿es posible que sólo exista un número finito de tales

elementos básicos? La tabla periódica de los elementos químicos fue obra de Mendeleyev, y en su forma actual clasifica 109 átomos distintos con los que se puede construir toda la materia. ¿No podría suceder lo mismo con los números primos? ¿Y si un Mendeleyev de las matemáticas hubiera presentado a Euclides una lista de 109 números primos y lo hubiera retado a demostrar que faltaba alguno en la lista? ¿Por qué, por ejemplo, no es posible construir todos los números simplemente multiplicando diversas combinaciones de los números primos 2, 3, 5 y 7? Euclides reflexionó sobre cómo se podrían buscar números que no fueran

producto de esos cuatro primos. «Bueno, es fácil», podríamos decir. «Basta con tomar el siguiente primo, que es 11»; ciertamente no se puede obtener 11 utilizando 2, 3, 5 y 7. Pero antes o después esa estrategia está condenada al fracaso ya que, todavía hoy, no tenemos una idea nítida sobre cómo establecer con certeza dónde se encontrará el siguiente número primo. Y precisamente por esa impredecibilidad fue por lo que Euclides tuvo que intentar un camino distinto en su búsqueda de un método que funcionase con independencia de lo larga que fuera la lista de los primos. No tenemos forma de saber si la idea fue realmente de Euclides o si él se

limitó a poner por escrito las ideas que otros habían tenido en Alejandría. En cualquier caso, Euclides consiguió mostrar cómo podía construirse un número imposible de calcular utilizando cualquier lista de números primos dada. Tomemos, por ejemplo, los primos 2, 3, 5 y 7; Euclides calculó su producto, con lo que obtuvo 2 × 3 × 5 × 7 = 210 y a continuación —y aquí está el golpe genial— sumó 1 al producto para obtener 211, que no era divisible por ninguno de los primos de la lista, es decir, 2, 3, 5 y 7. Al añadir 1 al producto garantizaba que la división entre un número primo de la lista daría siempre 1 de resto.

Ahora bien, dado que Euclides sabía que todos los números se construyen multiplicando números primos entre sí, esto también tenía que ser cierto para 211. Y como 211 no es divisible por 2, 3, 5 ni 7, tenía que haber forzosamente otros números primos tales que al multiplicarlos entre sí dieran 211 como resultado. En este ejemplo en particular, 211 es en sí mismo un número primo. Euclides no afirmaba que el número así obtenido sería siempre primo, sino que tenía que estar formado por un producto de números primos que no estaban en la lista proporcionada por nuestro Mendeleyev de las matemáticas. Por ejemplo, supongamos que

alguien afirme que todos los números se pueden construir utilizando la lista finita de números primos 2, 3, 5, 7, 11 y 13. En este caso, el número que se obtiene con el método pensado por Euclides es 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30.031, que no es primo. Todo lo que Euclides afirmaba es que, dada una lista finita cualquiera de números primos, él siempre podía construir un número que fuese el producto de números primos no comprendidos en esa lista. En el caso particular de 30.031, los números primos necesarios para construirlo son 59 y 509. Sin embargo, en general Euclides no tenía manera de conocer el valor exacto de esos nuevos números

primos: sólo sabía que tenían que existir. Era una argumentación maravillosa: Euclides no sabía cómo producir explícitamente números primos, pero podía demostrar que los primos no se terminarían jamás. Un hecho sorprendente es que todavía hoy no sabemos si los números de Euclides contienen infinitos números primos, pero en cambio son suficientes para demostrar que tienen que existir infinitos números primos. Con la demostración de Euclides se desvanecía la posibilidad de construir una tabla periódica que comprendiera todos los números primos o de descubrir un

genoma de los números primos capaz de codificarlos por millones. Si nos limitamos a coleccionar ejemplares no llegaremos jamás a comprender estos números. He ahí, pues, el reto final: el matemático, dotado de armamento limitado, se lanza sobre la extensión infinita de los números primos. ¿Cómo podremos algún día conseguir trazar un recorrido a través de este caos infinito de números y determinar una estructura que nos permita prever su comportamiento?

A LA CAZA DE LOS NÚMEROS PRIMOS

Durante generaciones se ha intentado sin éxito superar a Euclides en la comprensión de los números primos y se han planteado especulaciones interesantes, pero, como le gustaba decir a Hardy, profesor de matemáticas de Cambridge, «cualquier bobo puede plantear preguntas sobre los números primos a las cuales el más inteligente de los hombres no puede responder». Con la conjetura de los primos gemelos, por ejemplo, se nos pregunta si existen infinitos números primos p tales que p + 2 sea también un número primo. Un par de números primos gemelos está formado por 1.000.037 y 1.000.039 (observemos que esa es la mínima

distancia entre dos números primos, ya q u e N y N + 1 no pueden ser ambos primos —excepto en el caso N = 2— ya que al menos uno de ellos es divisible por 2), ¿es posible que los hermanos gemelos de Sacks, los sabios autistas, poseyeran una especial capacidad para determinar esos primos gemelos? Euclides demostró hace dos mil años que hay infinitos números primos, pero nadie sabe si existe un número más allá del cual no hay más de esas parejas de primos vecinos. Pero si las suposiciones son una cosa, el objetivo final sigue siendo la demostración. Con diferentes grados de éxito, los matemáticos buscaron inventar fórmulas

que, aunque no generaran todos los números primos, al menos produjeran una lista de primos. Fermat creyó haber hallado una: su hipótesis era que elevando 2 a la potencia 2N y sumándole 1, el número resultante sería un número primo; este número recibe el nombre de enésimo número de Fermat. Por ejemplo, si tomamos N = 2 y lo elevamos a la potencia 22 = 4, obtenemos 16 y, al añadirle 1, obtenemos 17, que es el segundo número primo de Fermat. Fermat creía que su fórmula siempre le proporcionaría un número primo, pero ésta resultó una de las pocas ocasiones en que se equivocó. Los números de Fermat se hacen

enormes muy rápidamente: el quinto número de Fermat tiene ya diez cifras, y estaba fuera del alcance de sus cálculos. Se trata además del menor número de Fermat que no es primo, ya que es divisible entre 641. Los números de Fermat eran muy estimados por Gauss. El hecho de que 17 sea uno de los primeros números de Fermat es la clave gracias a la cual Gauss consiguió construir su figura geométrica perfecta de 17 lados. En su gran tratado Disquisitiones arithmeticae, Gauss demuestra por qué, si el enésimo número de Fermat es un número primo, se puede realizar una construcción geométrica de N lados

utilizando sólo la regla y el compás. El cuarto número de Fermat, 65.537, es primo, y ello significa que con estos instrumentos realmente elementales es posible construir una figura geométrica perfecta con 65.537 lados. Hasta la fecha los números de Fermat apenas nos han dado más de cuatro números primos, pero Fermat tuvo mayor éxito en determinar algunas de las propiedades muy especiales que poseen. Descubrió un hecho curioso relativo a los números primos que, como 5, 13, 17 o 29, al dividirlos entre 4 dan 1 de resto: tales números se pueden escribir como la suma de dos cuadrados, por ejemplo: 29 = 22 + 52. Esta es otra

de las bromas de Fermat: aunque afirmó poseer la demostración, le faltó poner por escrito la mayoría de sus pormenores. El día de Navidad de 1640 Fermat escribió sobre su descubrimiento —que ciertos números primos podían expresarse como suma de dos cuadrados — en una carta que envió a un monje francés llamado Marín Mersenne. Los intereses de Mersenne no se limitaban a las cuestiones litúrgicas, amaba la música y fue el primero en elaborar una teoría de los armónicos coherente. También amaba los números. Mersenne y Fermat mantenían correspondencia regular sobre sus descubrimientos

matemáticos: Mersenne se hizo famoso por su papel de intermediario en la comunidad científica internacional: los matemáticos de la época difundieron sus ideas a través de él. Tal como ha sucedido a generaciones enteras de matemáticos, también Mersenne fue poseído por la obsesión de descubrir un orden en los números primos. Y, a pesar de no conseguir una fórmula que produjera todos los primos, ideó una que a la larga se ha demostrado mucho más eficaz para descubrir números primos que la fórmula de Fermat. También él, como Fermat, empezó por considerar las potencias de 2. Pero en lugar de sumar 1

al resultado, como había hecho Fermat, Mersenne decidió restar 1, por ejemplo: 23 − 1 = 8 − 1 = 7, que es un número primo. Es posible que Mersenne se apoyara en su intuición musical: doblando la frecuencia de una nota se la aumenta una octava y, por tanto, las potencias de 2 producen notas armónicas; por otra parte, es natural esperar que un desplazamiento de frecuencias de 1 dé lugar a una nota disonante, incompatible con todas las frecuencias anteriores, una «nota prima». Mersenne descubrió enseguida que su fórmula no siempre daba un número primo, por ejemplo: 24 − 1 = 15.

Entendió que si n no era primo, entonces tampoco lo era 2n − 1, pero afirmó con osadía que, para valores de n no superiores a 257, 2n − 1 sería primo si y sólo si n era uno de los siguientes números: 2, 3, 5, 7, 13, 19, 31, 67, 127, 257. Había descubierto un hecho engorroso: aunque n fuera un número primo, ello no garantizaba que lo fuera 2n − 1. Mersenne podía calcular a mano 211 − 1 obteniendo 2.047, que es 23 × 89. Generaciones de matemáticos se han quedado estupefactas ante la capacidad de Mersenne de afirmar que un número grande como 2257 − 1 era primo. Se trata de un número de setenta

y siete cifras. ¿Podría ser que el monje hubiera accedido a una fórmula mística aritmética que le dijera por qué aquel número, absolutamente fuera de las capacidades humanas, era primo? Los matemáticos opinan que si continuáramos con la lista de Mersenne, hallaríamos infinitos valores de n tales que sus correspondientes números de Mersenne 2n − 1 serían primos, pero todavía falta una demostración de la veracidad de tal suposición. Todavía estamos a la espera de un Euclides de nuestros días que demuestre que los primos de Mersenne no se terminarán nunca. O quizás esa cumbre remota es sólo un espejismo.

Muchos matemáticos de la generación de Fermat y Mersenne se recrearon en las interesantes propiedades numerológicas de los números primos, pero sus métodos no estaban a la altura del ideal de demostración de los antiguos griegos. Ello explica en parte por qué Fermat no proporcionó los detalles de muchas demostraciones que decía haber descubierto: en su época había una manifiesta falta de interés en proporcionar tales explicaciones lógicas. Los matemáticos quedaban satisfechos plenamente con una aproximación más empírica a su disciplina, una disciplina en la que, de

manera cada vez más mecánica, los resultados se justificaban a partir de sus aplicaciones prácticas. Sin embargo, en el siglo XVIII apareció en escena un personaje que habría de recuperar el sentido de la demostración en matemáticas: el matemático suizo Leonard Euler, nacido en 1707, encontró explicación a muchas de las regularidades que Fermat y Mersenne habían descubierto pero no habían conseguido justificar. Los métodos de Euler habrían de tener más adelante un papel fundamental en la apertura de nuevas ventanas teóricas a nuestra comprensión de los números primos.

EULER, EL ÁGUILA MATEMÁTICA

Los años centrales del siglo XVIII fueron un período de mecenazgo cortesano. Se trata de la Europa prerrevolucionaria, cuando los países estaban regidos por déspotas ilustrados: Federico el Grande en Berlín, Pedro el Grande y Catalina la Grande en San Petersburgo, Luis XV y Luis XVI en París. Bajo su mecenazgo se financiaron las academias que dieron impulso intelectual a la Ilustración. Para aquellos soberanos, el rodearse de intelectuales en sus cortes era un signo de distinción y eran conscientes de la potencialidad de

las ciencias y de las matemáticas para aumentar las capacidades militares e industriales de los países que regían. El padre de Euler era pastor, y esperaba que su hijo lo siguiese en su carrera eclesiástica; sin embargo, los precoces talentos matemáticos de Euler habían reclamado la atención de los poderosos: bien pronto las academias de toda Europa empezaron a hacerle ofertas. Estuvo tentado de inscribirse en la Academia de París, que en aquella época se había convertido en el centro mundial de la actividad matemática, pero eligió aceptar la oferta que recibió en 1726 de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, piedra angular de la

campaña que Pedro el Grande promovió para la mejora de la instrucción en Rusia. Allí, Euler se reencontraría con distintos amigos de Basilea que habían estimulado su interés por las matemáticas cuando era niño. Le escribieron desde San Petersburgo pidiéndole que trajera de Suiza quince libras de café, una libra del mejor té verde, seis botellas de brandy, doce docenas de pipas de buen tabaco y algunas docenas de paquetes de naipes. Cargado de regalos, el joven Euler necesitó siete semanas para completar su largo viaje en barco, a pie y en diligencia; finalmente, llegó a San Petersburgo en mayo de 1727 para

continuar sus sueños matemáticos. La producción posterior de Euler fue tan vasta que, cincuenta años después de su muerte, acaecida en 1783, la Academia de San Petersburgo estaba todavía publicando los materiales que se guardaban en sus archivos. El papel del matemático cortesano queda reflejado a la perfección en una anécdota que habría tenido lugar mientras Euler se encontraba en San Petersburgo: Catalina la Grande tenía como huésped al famoso filósofo ateo francés Denis Diderot; Diderot tuvo siempre una actitud más bien despreciativa hacia las matemáticas, manteniendo que éstas no añadían nada a

la experiencia y que únicamente servían para interponer un velo entre los hombres y la naturaleza; Catalina se cansó pronto de su huésped, pero no por sus ideas denigratorias hacia las matemáticas sino por sus irritantes intentos de hacer tambalear la fe religiosa de los cortesanos. Euler fue llamado a la corte para que contribuyera a silenciar a aquel ateo insoportable; por gratitud al mecenazgo de Catalina, Euler aceptó rápidamente y, ante la corte reunida, se dirigió a Diderot en tono solemne: «Señor, (a + bn)/n = x; por tanto, Dios existe: responda». Se dice que, ante un asalto matemático tan impetuoso, Diderot se batió en retirada.

Es probable que esta anécdota, que fue narrada por el famoso matemático inglés Augustus De Morgan en 1872, haya sido adornada para hacerla más ocurrente, y refleja sobre todo el hecho de que muchísimos matemáticos gozan humillando a los filósofos; pero demuestra que las cortes reales europeas no se consideraban completas sin un ramillete de matemáticos junto a los astrónomos, los artistas y los compositores. Catalina la Grande estaba menos interesada en las demostraciones matemáticas de la existencia de Dios que en la obra de Euler en el campo de la hidráulica, de las construcciones

navales y de la balística. Los intereses del matemático suizo se dirigían a todos los rincones de las matemáticas de su tiempo: además de dedicarse a las matemáticas militares, Euler escribió sobre teoría de la música, aunque se da la paradoja de que su tratado fue considerado demasiado matemático por los músicos y demasiado musical por los matemáticos. Uno de sus triunfos más populares fue la solución del problema de los puentes de Königsberg. El río Pregel, hoy conocido con el nombre de Pregolya, cruza la ciudad prusiana de Königsberg (hoy se encuentra en Rusia, y se llama Kaliningrado). Como, al

dividirse, el río crea dos islas en el centro de la ciudad, los habitantes de Königsberg habían construido siete puentes para cruzarlo (véase figura).

Los puentes de Königsberg.

Para sus ciudadanos se había convertido en un reto saber si era

posible pasear por la ciudad cruzando por cada puente una y sólo una vez y volver al punto de partida. Finalmente, en 1735, Euler demostró que se trataba de una empresa imposible. A menudo se cita su demostración como el origen de la topología, en la que las dimensiones físicas reales son irrelevantes para el problema: lo que contaba para la solución de Euler era la red de conexiones entre las diversas partes de la ciudad, y no sus localizaciones reales ni las distancias respectivas. El mapa del metro de Londres nos muestra un ejemplo de este principio. Pero lo que cautivaba por encima de todo el corazón de Euler eran los

números. Como escribiría Gauss: Las particulares bellezas de estos campos han atraído a todos los que se han dedicado activamente a su cultivo; pero ninguno ha expresado este hecho tan a menudo como Euler quien, en casi todos sus numerosos escritos dedicados a la teoría de los números, cita continuamente el placer que obtiene de esas investigaciones, y el grato cambio que halla respecto a las labores más directamente ligadas a aplicaciones prácticas. La pasión de Euler por la teoría de

los números había sido estimulada por su correspondencia con Christian Goldbach, un matemático aficionado alemán que vivía en Moscú con el empleo no oficial de secretario de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Igual que el matemático aficionado Mersenne antes que él, Goldbach encontraba fascinante jugar con los números y ejecutar experimentos numéricos. Fue a Euler a quien Goldbach comunicó su propia conjetura: según él, era posible escribir cualquier número par como producto de dos números primos. Como respuesta, Euler escribiría a Goldbach para pedirle que verificara muchas de las demostraciones

que él había formulado con el objeto de validar el misterioso catálogo de los descubrimientos de Fermat. En contraste con la reticencia de Fermat para informar al mundo de sus presuntas demostraciones, Euler estuvo encantado de mostrar a Goldbach su demostración del hecho de que ciertos números primos se pueden expresar como la suma de dos cuadrados, como había afirmado Fermat. Euler consiguió incluso demostrar un caso particular del último teorema de Fermat. A pesar de su pasión por las demostraciones, en lo más profundo Euler seguía siendo, por encima de todo, un matemático experimental: muchas de

sus argumentaciones contenían pasos que no eran totalmente rigurosos; que andaban, a fin de cuentas, sobre el filo de la navaja. Ello no le preocupaba, a condición de que condujeran a nuevos descubrimientos interesantes. Como matemático, poseía excepcionales capacidades de cálculo y era extraordinariamente hábil manipulando fórmulas hasta conseguir que aparecieran extrañas conexiones. Como hizo notar el académico francés François Arago: «Euler calculaba sin esfuerzo aparente, como los hombres respiran o las águilas se sostienen en el viento». Más que cualquier otra cosa, a Euler

le gustaba calcular números primos. Confeccionó tablas de todos los primos menores de 100.000, y de algunos mayores. En 1732 fue también el primero en demostrar que la fórmula de Fermat para calcular números primos, N

22 , dejaba de ser válida cuando N = 5. Empleando nuevas ideas teóricas consiguió mostrar que es posible descomponer aquel número de diez cifras como producto de dos primos menores. Uno de sus descubrimientos más curiosos fue una fórmula que parecía generar una inexplicable cantidad de números primos. En 1772 calculó todos los resultados que se obtienen cuando se sustituyen todos los

números comprendidos entre 0 y 39 en la fórmula x2 − 1 − x + 41. Obtuvo la lista siguiente: 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1.033, 1.097, 1.163, 1.231, 1.301, 1.373, 1.447, 1.523, 1.601. A Euler le pareció extraño que fuera posible generar tantos números primos utilizando aquella fórmula. Comprendió que el proceso estaba destinado a

interrumpirse en un cierto punto. Es probable que el lector ya haya notado que, cuando se sustituye x por 41 en la fórmula, obtenemos un resultado que es divisible entre 41. También cuando x = 40 la fórmula produce un número que no es primo. De todas formas, Euler se sorprendió de la capacidad de su fórmula para generar tantos números primos. Empezó a preguntarse con qué números distintos de 41 podría obtener un resultado similar. Descubrió que, además de 41, podía elegir también q = 2, 3, 5, 11, 17 para que la fórmula x2 + x + q nos diera números primos para cualquier valor de x comprendido

entre 0 y q − 2. Sin embargo, hallar una fórmula así de simple que generara todos los números primos era una empresa imposible, incluso para el gran Euler. Como escribió en 1751: «Hay algunos misterios que la mente humana no penetrará jamás. Para convencernos de ello basta con que echemos un vistazo a las tablas de números primos. Observaremos que en ellas no reina orden ni ley». Resulta paradójico que los objetos fundamentales sobre los que construimos el mundo lleno de orden de las matemáticas se comporten de un modo tan salvaje e impredecible. Más adelante se descubrió que Euler

estaba prácticamente sentado sobre una ecuación que terminaría por sacar a los números primos del punto muerto. Pero tendrían que pasar otros cien años, y se necesitaría otra gran mente para hacer evidente lo que Euler no consiguió mostrar: esa mente era la de Bernhard Riemann. Sin embargo, fue Gauss quien en uno de sus clásicos movimientos laterales, terminó por sugerir a Riemann la nueva perspectiva.

LA ESTIMACIÓN DE GAUSS

Si muchos siglos de investigaciones no habían servido para alumbrar una

fórmula mágica que generara la lista de los números primos, quizá había llegado ya el momento de adoptar una estrategia distinta. Esto es lo que pensaba Gauss a los quince años, en 1792. El año anterior le habían regalado un libro de logaritmos. Hasta hace pocas décadas, las tablas de logaritmos les resultaban familiares a todos los adolescentes que efectuaban cálculos escolares. Después, con la aparición de las calculadoras de bolsillo, estas tablas han perdido su papel como instrumentos fundamentales en la vida cotidiana, sin embargo, desde hace centenares de años los navegantes, banqueros y mercaderes venían utilizándolas para convertir difíciles

multiplicaciones en simples sumas. Al final del nuevo libro de Gauss había también una tabla de números primos. Para Gauss, el hecho de que los números primos y los logaritmos aparecieran juntos tenía algo de misterioso. De hecho, tras muchos cálculos, había llegado a tener la sensación de que había alguna conexión entre estos dos objetos aparentemente independientes. La primera tabla de logaritmos se concibió en 1614, en una época en que magia y ciencia eran compañeras inseparables. Su creador, el barón escocés John Napier, era considerado por sus vecinos como un brujo que practicaba las ciencias ocultas. Vestido

de negro, con un gallo negro como el carbón sobre el hombro, rondaba con aires furtivos por los alrededores de su castillo farfullando lo que predecía su álgebra apocalíptica: que entre 1688 y 1700 tendría lugar el Juicio Universal. Pero además de aplicar sus habilidades matemáticas a la práctica del ocultismo, Napier descubrió la magia de la función logarítmica. Si introducimos un número en nuestra calculadora, por ejemplo 100, y a continuación pulsamos la tecla «log», la calculadora nos dará un nuevo número, el logaritmo de 100. Lo que la calculadora ha hecho es resolver un pequeño enigma: ha buscado el número

x que es solución de la ecuación 10x = 100. En este caso específico la respuesta que nos da la calculadora es 2. Si introducimos 1.000, un número diez veces mayor que 100, la respuesta de la calculadora será 3: el logaritmo ha aumentado en 1 unidad. Esta es la característica fundamental del logaritmo: transforma la multiplicación en suma. Cada vez que multiplicamos el número original por diez, obtenemos el nuevo resultado sumando una unidad al resultado anterior. Para los matemáticos fue un paso importante comprender que era posible considerar logaritmos de números que no fueran potencias enteras de 10. Por

ejemplo, Gauss podía ir a sus tablas de logaritmos para descubrir que si elevaba 10 a la potencia 2,10721 obtendría un número muy próximo a 128. Esos eran los cálculos que Napier había recogido en sus tablas de 1614. Las tablas logarítmicas contribuyeron a acelerar el desarrollo del mundo del comercio y de la navegación que florecía en el siglo XVII. Gracias al diálogo que los logaritmos permiten entre multiplicación y suma, las tablas transformaban el complejo problema de multiplicar dos números grandes en la tarea más sencilla de sumar sus logaritmos. Para multiplicar números grandes, el mercader sumaba

sus logaritmos, y a continuación utilizaba las tablas logarítmicas a la inversa para hallar el resultado de la multiplicación original. El tiempo que un marinero o un vendedor ahorraba gracias a las tablas podía evitar el naufragio de una nave o el fracaso de un negocio. Pero lo que realmente fascinó a Gauss fue la tabla de los números primos que se adjuntaba al final de su libro de logaritmos. Al contrario de lo que sucedía con los logaritmos, para los que se interesaban en las aplicaciones prácticas de las matemática, esas tablas de números primos no eran sino una curiosidad. (¡Las tablas de números

primos confeccionadas en 1776 por Antonio Felkel se consideraron tan inútiles que terminaron por ser utilizadas como cartuchos en la guerra entre Austria y Turquía!). Los logaritmos eran muy predecibles; los números primos eran completamente azarosos: parecía que no hubiera forma de predecir el menor número primo mayor que 1.000, por ejemplo. El importante paso que dio Gauss fue plantearse una pregunta distinta. En lugar de intentar prever la posición precisa de un número primo respecto del anterior, intentó comprender si era posible averiguar cuántos números primos existirían inferiores a 100,

cuántos inferiores a 1.000, y así sucesivamente. Dado un número N cualquiera, ¿había alguna forma de estimar el número de primos comprendidos entre 1 y N? Por ejemplo, los números primos menores que 100 son 25; es decir, si elegimos un número al azar comprendido entre 1 y 100, tenemos una posibilidad sobre cuatro de dar con un número primo, ¿cómo cambia esta proporción cuando se consideran los números comprendidos entre 1 y 1.000, o entre 1 y 10.000? Armado con sus tablas de números primos, Gauss empezó la búsqueda. Al observar la fracción de números primos comprendidos entre intervalos cada vez

mayores, descubrió que empezaba a aparecer una estructura. Dejando aparte el azar de aquellos números, parecía como si una sorprendente regularidad apareciera entre la niebla. Si observamos la tabla de valores de los números primos comprendidos entre 1 y diversas potencias de diez que transcribimos a continuación, que está basada en métodos de cálculo más modernos, esa regularidad resulta evidente.

N

Número de primos comprendidos entre 1 y N, que se suele indicar como π(N).

Dist media dos nú pri conse

10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000 10.000.000.000

4 25 168 1.229 9.592 78.498 664.579 5.761.455 50.847.534 455.052.511

10 12 15 17 19 22

Esta tabla, que contiene mucha más información de la que tenía Gauss a su

disposición, nos muestra claramente la regularidad que descubrió. Esta se manifiesta sobre todo en la última columna, que representa la proporción de números primos sobre la totalidad de los números considerados. Por ejemplo, cuando se cuenta hasta 100, uno de cada cuatro números es primo, es decir, en este intervalo deberemos contar 4, en promedio, para pasar de un número primo al siguiente. Entre los números menores a 10 millones, 1 de cada 15 es primo. (Es decir, por ejemplo, que hay una probabilidad sobre 15 de que un número telefónico de siete cifras sea primo). Para N mayor que 10.000, el incremento de valores de esta última

columna es siempre aproximadamente igual a 2,3. O sea que, cada vez que Gauss multiplicaba N por 10, tenía que añadir 2,3 a la relación entre los números primos y N; este nexo entre multiplicación y suma es precisamente la relación subyacente en un logaritmo. Gauss, con su libro de logaritmos, debió tropezar con esta conexión que lo miraba directamente a la cara. La razón por la que las fracciones de números primos aumentaban en 2,3 en lugar de hacerlo en 1 cada vez que Gauss multiplicaba N por 10 está en el hecho de que los números primos prefieren los logaritmos basados en

potencias de un número distinto de 10. Cuando tecleamos el número 100 en nuestra calculadora y pulsamos a continuación la tecla «log», el resultado que obtenemos es 2, es decir, la solución de la ecuación. Pero nada nos impide elegir un número distinto de 10 para elevarlo a la potencia x: lo que hace al número 10 tan atrayente es nuestra obsesión por los diez dedos. El número que se eleva a la potencia x recibe el nombre de base del logaritmo. Podemos calcular el logaritmo de un número en una base distinta de 10; si, por ejemplo, queremos calcular el logaritmo de 128 en base 2 en lugar de la base 10, tendremos que resolver un

problema distinto: hallar un número x tal q u e 2x = 128. Si nuestra calculadora tuviera una tecla «log en base 2», la pulsaríamos y obtendríamos 7 como respuesta, ya que tenemos que elevar 2 a la séptima potencia para obtener 128: 27 = 128. Lo que Gauss descubrió es que para contar los números primos se pueden usar los logaritmos en base e, un número especial que, hasta la duodécima cifra decimal, vale 2,718 281 828 459… (igual que π, este número tiene una expresión decimal infinita y no periódica). En matemáticas e resulta ser tan importante como π, y hace su aparición en cualquier rincón del mundo

matemático. Por esta razón, los logaritmos en base e reciben el nombre de logaritmos «naturales». La tabla que Gauss había construido a los quince años lo llevó a formular la siguiente hipótesis: para los números comprendidos entre 1 y N, cada log(N) números se dará en promedio uno que será primo (donde log(N) indica el logaritmo de N en base e). En consecuencia, podía estimar que la cantidad de números primos comprendidos entre 1 y N es aproximadamente N/log(N). Gauss no afirmaba que ello le diera por arte de magia una fórmula exacta para calcular cuántos números primos hay entre 1 y N;

sólo que parecía proporcionar una óptima estimación aproximada. Su filosofía era similar a la que había aplicado para calcular el reencuentro con Ceres: aquel método astronómico proporcionaba una buena previsión para la observación de una pequeña región del espacio, sobre la base de los datos disponibles, de modo que Gauss adoptó la misma actitud al analizar los números primos. Para generaciones de matemáticos, el hecho de intentar prever la posición exacta de un número primo respecto del anterior e idear fórmulas que generen números primos se había convertido en una obsesión. Al evitar fijar su atención en

el detalle insignificante de establecer qué números eran o no primos, Gauss había identificado una especie de orden. Si en lugar de preguntarnos qué números son primos, damos un paso atrás y nos planteamos la cuestión más amplia de cuántos números primos hay menores que un millón aparece una notable regularidad. Gauss había introducido una importante modificación psicológica en la observación de los números primos. Era como si las generaciones anteriores hubieran escuchado una nota de la música de los números primos cada vez, sin conseguir oír la composición completa. Al concentrarse en la cantidad

de números primos que se localizan cada vez que contamos cifras más altas, Gauss descubrió una nueva forma de escuchar el tema principal. Siguiendo el ejemplo de Gauss, se ha convertido en práctica habitual indicar la cantidad de números primos comprendidos entre 1 y N con el símbolo π(N) (que no tiene nada que ver con el número π). Fue muy desafortunado que adoptara un símbolo que recuerda la circunferencia y el número 3,1415… Para evitar malas interpretaciones, pensémoslo sólo como una nueva tecla de nuestra calculadora, escribamos el número N y pulsemos la tecla π(N) para que la calculadora nos

revele el número de primos menores o iguales que N. Por ejemplo, π(100) = 25 es el número de primos no mayores que 100, y π(1.000) = 168. Observemos que también podemos utilizar esta nueva tecla «cuentaprimos» para identificar con precisión la posición de un número primo. Si tecleamos 100 y pulsamos nuestra tecla para contar los números primos entre 1 y 100, obtendremos 25. Si ahora tecleamos el número 101 la respuesta aumentará en una unidad y obtendremos 26, lo cual significa que 101 es un nuevo número primo. Es decir, cada vez que hay diferencia entre π(N) y π(N + 1) sabremos que N + 1 ha de ser un nuevo

número primo. Para ilustrar hasta qué punto es sorprendente la regularidad que descubrió Gauss, podemos observar un gráfico de la función π(N). Veamos el aspecto de la gráfica de π(N) para valores de N entre 1 y 100:

La escalinata de los números primos. La gráfica representa las cantidades acumuladas de números primos que hay contando desde 1 hasta 100.

A esta pequeña escala, el resultado de la gráfica es una escalinata caprichosa, en la que es difícil prever cuánto habrá que esperar antes de encontrar el siguiente escalón. Con estas dimensiones todavía conseguimos ver los pequeños detalles de los números primos, las notas individuales. Demos ahora un paso atrás y observemos la gráfica de la misma función cuando N toma valores comprendidos en un intervalo mucho mayor. Contemos, por ejemplo, los

números primos hasta 100.000:

La escalinata de los números primos en el intervalo que va de 1 a 100.000.

Cada escalón particular se vuelve insignificante y podemos observar la tendencia general de esta función: un ascenso lento y regular. Este era el gran

tema que había oído Gauss y que era capaz de imitar utilizando la función logarítmica. La revelación del crecimiento regular de la gráfica, a pesar de la extrema impredecibilidad de los números primos, es uno de los hechos más milagrosos de las matemáticas y supone uno de los hitos de la historia de los números primos. En la última página de su libro de logaritmos, Gauss anotó el descubrimiento de su fórmula para conocer la cantidad de números primos comprendidos entre 1 y N en términos de la función logarítmica. Sin embargo, y a pesar de la importancia del descubrimiento, Gauss no le contó a

nadie lo que había encontrado. Lo único que el mundo supo de la revelación que Gauss había tenido fueron estas enigmáticas palabras: «No os podéis imaginar cuánta poesía hay en una tabla de logaritmos». El porqué de la discreción de Gauss sobre un asunto de tanta importancia permanece envuelto en el misterio. Es cierto que únicamente había identificado los primeros indicios de una conexión entre números primos y logaritmos. Sabía que no poseía absolutamente ninguna explicación ni demostración del motivo por el que esas dos entidades tenían algo en común. No había certeza de que aquel patrón no pudiera

desaparecer de repente al considerar valores de N aún mayores. En cualquier caso la renuencia de Gauss a anunciar resultados no demostrados supuso un punto de inflexión en la historia de las matemáticas. Si bien los antiguos griegos habían introducido la idea de la importancia de la demostración como componente del proceso matemático, antes de la época de Gauss los matemáticos se interesaban mucho más por la especulación científica sobre su disciplina. Si las matemáticas funcionaban, no se preocupaban demasiado de justificar de forma rigurosa por qué lo hacían. Las matemáticas seguían siendo el

instrumento de las demás ciencias. Al poner el acento sobre el valor de la demostración, Gauss rompió con el pasado. Para él, el objetivo principal de las matemáticas era ofrecer demostraciones, y tal regla sigue siendo fundamental hasta hoy. Sin una demostración, para Gauss, el descubrimiento de la conexión entre logaritmos y números primos no tenía ningún valor. La libertad de acción que suponía para él el apoyo financiero del duque de Brunswick le permitía ser muy selectivo, casi darse el lujo de cierta complacencia. Su motivación primaria no estaba en la fama ni en el reconocimiento sino en la comprensión

personal de la disciplina que amaba. En su sello llevaba el lema Pauca sed matura [«poco pero maduro»]. Hasta que hubiera alcanzado la plena madurez, un resultado no pasaba de ser un mero apunte en su diario o un garabato en la contraportada de su tabla de logaritmos. Para Gauss, la matemática era una búsqueda personal: llegó a proteger las notas de su diario con un lenguaje cifrado. La interpretación de algunas de esas notas es fácil, por ejemplo, el 10 de julio de 1796 escribió la famosa exclamación de Arquímedes, «¡Eureka!», seguida por la ecuación núm = ∆ + ∆ + ∆, para representar su descubrimiento de que todo número

puede expresarse como suma de tres números triangulares —1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, …—, es decir, los números cuya fórmula había ideado Gauss en sus años escolares. Por ejemplo: 50 = 1 + 21 + 28. Sin embargo otras de sus notas permanecen en un absoluto misterio: nadie ha conseguido entender lo que se esconde tras el escrito de Gauss del 11 de octubre de 1796: «Vicimus GEGAN». En opinión de algunos, la falta de difusión de los descubrimientos de Gauss ha provocado un retraso de medio siglo en el desarrollo de las matemáticas: si Gauss se hubiera preocupado de explicar la mitad de lo que había descubierto y no hubiera sido

tan críptico en sus explicaciones, quizá las matemáticas habrían avanzado más rápidamente. Algunos mantienen que Gauss se reservó sus resultados porque la Academia de París había rechazado su gran tratado de la teoría de los números: l a s Disquisitiones arithmeticae, juzgándolo oscuro y denso. Ofendido por el rechazo, para protegerse de más humillaciones decidió no considerar siquiera la posibilidad de publicar algo antes de que todas las piezas del rompecabezas matemático encajaran a la perfección. Una de las causas de que las Disquisitiones arithmeticae no recibieran el aplauso inmediato es que

Gauss se mantuvo críptico incluso en las obras a las que dio publicidad. Sostuvo siempre que las matemáticas eran como una obra arquitectónica: un arquitecto jamás dejará los andamios para que la gente vea cómo se construyó el edificio. Desde luego, esta filosofía no ayudó a los matemáticos en su comprensión de la obra de Gauss. Pero había otras razones por las que París no fuese tan receptiva como podía esperarse con las ideas de Gauss. A finales del siglo XVIII, en París más que en cualquier otro sitio, las matemáticas estaban consagradas a satisfacer las demandas de un Estado cada vez más industrializado. La revolución de 1789 y

sus consecuencias confirmaron a Napoleón la necesidad de una enseñanza centralizada de la ingeniería militar. Respondió a tal necesidad con la militarización de la École Polytechnique. «El progreso y el perfeccionamiento de las matemáticas están íntimamente vinculados con la prosperidad del Estado», declaró Napoleón. De esta forma, las matemáticas francesas quedaron, a partir de 1805, consagradas a la resolución de problemas de balística e hidráulica. Pero a pesar del énfasis que ponía en las necesidades prácticas del Estado, París ensalzaba aún a algunos de los matemáticos puros más eminentes de

Europa. Una de las mayores autoridades parisienses era Adrien-Marie Legendre, veinticinco años mayor que Gauss. Los retratos de Legendre nos muestran el rostro redondo y regordete de un gentilhombre de aspecto engreído. Al contrario que Gauss, Legendre procedía de una familia rica, pero había perdido su patrimonio durante la Revolución y no había tenido más remedio que utilizar sus propias capacidades matemáticas para ganarse la vida. También estaba interesado en la teoría de los números, y en 1798, con seis años de retraso sobre los cálculos del jovencísimo Gauss, anunció el descubrimiento de un nexo

experimental entre números primos y logaritmos. Aunque más tarde se probó la precedencia de Gauss en el descubrimiento, Legendre perfeccionó la estimación sobre el número de primos comprendidos entre 1 y N. Gauss había supuesto que los números primos comprendidos entre 1 y N eran aproximadamente N/log(N). Aunque su fórmula proporcionaba una buena aproximación, se comprobó que se alejaba progresivamente de los datos reales a medida que aumentaba el valor d e N. Vemos a continuación una comparación entre la estimación juvenil de Gauss (la curva inferior del diagrama

siguiente) y el número efectivo de números primos (la curva superior):

Comparación entre la estimación de Gauss y el número efectivo de números primos.

Esta gráfica revela que, aunque ciertamente Gauss había descubierto algo, todavía quedaba espacio para la

mejora. Legendre sustituyó la aproximación dada de N/log(N) por la fórmula

introduciendo así una pequeña corrección que conseguía elevar la curva de Gauss, acercándola a la de la distribución real de los números primos. Con los valores de estas funciones susceptibles de ser calculados en aquella época, era imposible distinguir la gráfica de π(N) de la correspondiente a la estimación de Legendre. Éste, centrado en su preocupación principal

de hallar aplicaciones prácticas de las matemáticas, era mucho menos reacio a arriesgarse y a aventurar alguna hipótesis sobre la relación entre números primos y logaritmos. No era persona que temiera poner en circulación ideas no demostradas, incluso demostraciones con lagunas. En 1808 publicó su hipótesis sobre los números primos en un libro titulado Théorie des nombres. La controversia sobre quién había sido el primero en descubrir la conexión entre los números primos y los logaritmos provocó una agria disputa entre Legendre y Gauss. No se limitaba a la cuestión de los números primos:

Legendre afirmaba que también había sido él el primero en descubrir el método de Gauss para determinar el movimiento de Ceres. Ocurría con gran frecuencia que, si Legendre afirmaba haber descubierto una nueva verdad matemática, Gauss lo rebatía afirmando que ya había saqueado tal tesoro. En una carta escrita el 30 de julio de 1806 a una colega astrónomo llamado Schumacher, Gauss comentaba: «Parece como si yo estuviese destinado a coincidir con Legendre en casi todos mis trabajos teóricos». Durante toda su vida, Gauss fue demasiado orgulloso como para meterse en guerras abiertas sobre la precedencia

de sus descubrimientos. Cuando, tras su muerte, se estudiaron sus notas y su correspondencia, quedó claro que la razón estaba invariablemente de su parte. Sólo en 1849 el mundo supo que Gauss había ganado a Legendre en el descubrimiento de la relación entre números primos y logaritmos, un descubrimiento que él reveló a su colega, el matemático y astrónomo Johann Encke, en una carta escrita la Nochebuena de aquel año. Teniendo en cuenta los datos disponibles al principio del siglo XIX, la función de Legendre proporcionaba, respecto de la fórmula de Gauss, una aproximación mucho mejor del número

de primos menores o iguales que N. Pero la presencia de un término de corrección tan feo como 1,08366 indujo a los matemáticos a pensar que tenía que existir un método mejor, más natural, para describir el comportamiento de los números primos. Desde luego, números feos como éste seguramente son muy comunes en otras ciencias, pero es extraordinaria la frecuencia con la cual el mundo matemático opta por la formulación más elegante posible. Como veremos, la hipótesis de Riemann puede tomarse como ejemplo de una filosofía muy difundida entre los matemáticos: ante la alternativa de un mundo feo y otro bello,

la naturaleza elige siempre el segundo. Es motivo de asombro para la mayoría de los matemáticos que las matemáticas deban ser así, y explica por qué a menudo les entusiasma la belleza de su disciplina. Por este motivo, no nos sorprende que, en los últimos años de su vida, Gauss perfeccionara su estimación del número de primos, llegando a una fórmula todavía más precisa, que además era mucho más bella. En la misma carta que escribió a Encke en Nochebuena, Gauss explica cómo había encontrado una forma de hacerlo mejor que Legendre: había vuelto a sus primeras investigaciones sobre los

números primos, las que había hecho de joven. Había calculado que la cuarta parte de los números comprendidos entre 1 y 100 eran primos, pero cuando consideraba los números comprendidos entre 1 y 1.000, la probabilidad de que uno de ellos fuera primo descendía a 1 entre 6: Gauss comprendió que a medida que ascendía en la cuenta disminuía la probabilidad de que un número fuera primo. De esta forma, Gauss formó en su mente una imagen de cómo la naturaleza podía haber decidido qué números estaban destinados a ser primos y cuáles no. Ya que su distribución parecía tan aleatoria, ¿no podría ser que lanzar una

moneda al aire fuera un buen modelo para la elección de números primos? ¿Y si realmente la naturaleza hubiera lanzado una moneda (cara, número primo, cruz no)? Podríamos ahora, pensó Gauss, trucar la moneda de forma que el resultado no fuera «cara» en la mitad de los casos, sino con una probabilidad parecida a 1/log(N). Así, la probabilidad de que el número 1.000.000 fuera primo debería ser 1/log(1.000.000), que es próximo a 1/15. Las posibilidades de que un númer o N sea primo disminuyen al crecer N, ya que disminuye el valor de 1/log(N), es decir, la probabilidad de que el resultado del lanzamiento sea

«cara». Se trata de una pura especulación, ya que 1.000.000, igual que cualquier otro número, o es primo o no lo es, y el lanzamiento de una moneda no podrá nunca modificar este hecho. Aunque su modelo conceptual no servía para predecir si un número era primo, Gauss descubrió que era muy eficaz para hacer previsiones sobre la cuestión mucho menos específica de cuántos números primos se espera encontrar a medida que los contamos. Lo utilizó pues para estimar la cantidad de números primos que deberíamos encontrar tras lanzar la moneda de los números primos N veces. Con una moneda normal, que cae en cara

con probabilidad y, el número de caras debería ser 1/2 N. Pero con la moneda de los números primos la probabilidad disminuye a cada lanzamiento. El modelo de Gauss prevé que la cantidad de números primos menores o iguales que N sea

En realidad, Gauss fue un paso más allá para crear una función que llamó logaritmo integral y que se indica como Li(N). La formulación de esta nueva función se basaba en una ligera variación de la anterior suma de

probabilidades y resultó increíblemente precisa. Cuando Gauss, ya con más de setenta años, escribió a Encke, había construido tablas de números primos hasta 3.000.000: «Con mucha frecuencia yo utilizaba un cuarto de hora de inactividad para revisar otra chilíada [intervalo de mil números] a la búsqueda de números primos». La estimación de los números primos inferiores a 3.000.000 que hizo mediante su logaritmo integral Li(N) se desviaba apenas siete centésimas del uno por ciento de la realidad. Legendre había logrado manipular su fea fórmula de forma que igualara a π(N) para valores

relativamente pequeños de N; por esta razón, con los datos disponibles en la época, parecía que su fórmula fuera superior. Cuando se empezaron a confeccionar tablas más extensas, se descubrió que la estimación de Legendre resultaba mucho menos precisa para los números primos mayores que 10.000.000. Un profesor de la Universidad de Praga, Jakub Kulik, dedicó veinte años de su vida exclusivamente a la confección de tablas de números primos hasta 100.000.000. Los ocho volúmenes de esta obra faraónica, completada en 1863, nunca se publicaron, pero quedaron custodiados en los archivos de la Academia de

Ciencias de Viena. A pesar de que el segundo volumen se perdió, aquellas tablas eran ya suficientes para revelar que el método de Gauss, basado en la función Li(N), se mostraba una vez más superior al de Legendre. Las tablas modernas muestran hasta qué punto fue mejor la intuición de Gauss. Por ejemplo, su estimación de los números primos menores que 1016 (es decir, 10.000.000.000.000.000) se aparta del valor correcto en apenas una diezmillonésima del uno por ciento, mientras que con la estimación de Legendre está cerca de la décima parte del uno por ciento. El análisis teórico de Gauss había triunfado sobre los intentos

de Legendre de manipular su fórmula para que coincidiera con los datos disponibles. Gauss observó una curiosa característica en su propio método. A partir de lo que sabía sobre los números primos menores que 3.000.000 podía ver que la función Li(N) parecía sobreestimar la cantidad de números primos. Supuso entonces que siempre sería así; y, ¿quién pondría en duda la intuición de Gauss ahora que las modernas comprobaciones numéricas la confirman hasta 1016? Indudablemente, cualquier experimento que diera el mismo resultado 1016 veces se consideraría muy convincente en casi

todos los laboratorios; pero no en el de un matemático. Una vez más, una de las hipótesis de Gauss se reveló errónea. Pero a pesar de que hoy los matemáticos han demostrado que, antes o después, π(N) tomará valores mayores que Li(N), nadie lo ha visto suceder nunca, ya que todavía no estamos en situación de poder llegar suficientemente lejos con los cálculos. La comparación entre las gráficas de π(N) y de Li(N) muestra tal concordancia que es casi imposible distinguirlas por un largo trecho. Sin embargo, debo subrayar que si se observa con una lente de aumento una porción cualquiera de esta imagen, la

diferencia entre las funciones se hace evidente. La gráfica de π(N) se parece a una escalinata, mientras que la de Li(N) es una curva lisa, sin saltos bruscos. Gauss había mostrado las pruebas de la existencia de la moneda que la naturaleza había lanzado para elegir los números primos. Se trataba de una moneda hecha de manera que un número N tenía una probabilidad de 1 entre log(N) de ser primo. Pero a Gauss todavía le faltaba un método para predecir el resultado preciso de los lanzamientos. Serían necesarias las capacidades de penetración de una generación entera de matemáticos para descubrirlo.

Al cambiar su perspectiva, Gauss había percibido un patrón en los primos: su hipótesis fue llamada conjetura de los números primos. Para conseguir el trofeo de Gauss, los matemáticos tenían que demostrar que el porcentaje de error que separa el logaritmo integral de la verdadera cantidad de números primos se reduce siempre conforme se va contando. Gauss había visto aquella cumbre remota, pero quedaba para las futuras generaciones el deber de obtener una demostración, de revelar el sendero para alcanzarla o, en caso contrario, de desenmascarar el carácter ilusorio del nexo. Muchos atribuyen a la aparición de

Ceres la responsabilidad de haber distraído a Gauss del intento de demostrar por su cuenta la Conjetura de los números primos. La fama inmediata que alcanzó con sólo veinticuatro años lo dirigió hacia la astronomía. En 1806, cuando su mecenas, el duque Ferdinand, fue asesinado por Napoleón, Gauss tuvo que buscar otro empleo para alimentar a su familia. A pesar de las propuestas de la Academia de San Petersburgo, que estaba buscando un sucesor para Euler, decidió aceptar el puesto de director del Observatorio de Gotinga, una pequeña ciudad universitaria de la Baja Sajonia. Dedicó su tiempo a seguir el rastro de otros asteroides en el cielo nocturno y a

realizar reconocimientos topográficos para los gobiernos de Hannover y Dinamarca, pero nunca dejó de pensar en las matemáticas: mientras trazaba los mapas de las montañas de Hannover, meditaba sobre el axioma euclidiano de las rectas paralelas, y de vuelta al observatorio continuaba ampliando su tabla de números primos. Gauss había oído el primer gran tema de la música de los números primos, pero sería uno de sus pocos discípulos, Riemann, quien revelaría la verdadera fuerza de los armónicos que se escondían bajo la cacofonía de los números primos.

3 EL ESPEJO MATEMÁTICO IMAGINARIO DE RIEMANN ¿No lo oís, no lo veis? Sólo yo oigo esta melodía que tan maravillosa y gentil… RICHARD WAGNER Tristán e Isolda (Acto III, escena III)

En 1809,

Wilhelm convirtió en ministro Prusia, en Alemania una carta de 1816 a

von Humbold se de instrucción de septentrional. En Goethe, escribió:

«Aquí me he ocupado mucho de ciencia, pero he sentido profundamente el poder que la antigüedad siempre ha ejercido en mí. Lo nuevo me disgusta…». Humboldt promovió un movimiento de alejamiento de la ciencia como medio para conseguir objetivos prácticos y favoreció un retorno a la más clásica tradición de la búsqueda del conocimiento por el conocimiento mismo. Los programas de estudios anteriores se habían orientado a producir funcionarios públicos para mayor gloria de Prusia; a partir de ahora se pondría el énfasis en una instrucción al servicio de las necesidades del individuo, más que del Estado.

En su papel de pensador y de funcionario, Humbold puso en marcha una revolución que habría de tener efectos de largo alcance. En toda Prusia y en el estado colindante de Hannover se crearon nuevas escuelas secundarias, llamadas Gymnasien. A la larga, los maestros de esas escuelas ya no serían miembros del clero, como sucedía en el viejo sistema educativo, sino licenciados de las nuevas universidades y politécnicos que iban surgiendo en aquel período. La joya de la corona era la Universidad de Berlín, fundada en 1810, durante la ocupación francesa: Humboldt la definía como «la madre de

todas las universidades modernas». Instalada en lo que antes había sido el palacio del príncipe Enrique de Prusia, en la gran avenida Unter den Linden, la Universidad promovió por vez primera la investigación a la vez que la enseñanza: «La enseñanza universitaria no sólo hace posible una comprensión de la unidad de la ciencia sino también su avance», declaró Humbold. Pese a su pasión por el mundo antiguo, fue bajo su guía que la universidad se abrió a nuevas disciplinas junto a las clásicas facultades de leyes, medicina, filosofía y teología. El estudio de las matemáticas constituyó por vez primera una parte

importante del currículum de los nuevos Gymnasien y universidades: se animaba a los estudiantes a estudiar las matemáticas por sí mismas, y no simplemente como una disciplina al servicio de las demás ciencias. Todo ello contrastaba fuertemente con las reformas educativas que Napoleón había introducido, consistentes en la explotación de las matemáticas para la expansión de los horizontes militares franceses. En 1830, Carl Jacobi, uno de los profesores de Berlín, escribió a Legendre en París sobre el matemático francés Joseph Fourier, que había reprochado a la escuela alemana de pensamiento su ignorancia de los

problemas más prácticos: Ciertamente, Fourier opinaba que el objetivo principal de las matemáticas es la utilidad pública y la explicación de los fenómenos naturales; pero un filósofo como él debería haber sabido que el único objetivo de la ciencia es honrar el espíritu humano, y que desde este punto de vista un problema de teoría de los números es tan digno como un problema sobre el sistema del mundo. Para Napoleón, la educación destruiría finalmente las arcanas reglas

del Antiguo Régimen. Su reconocimiento de la educación como la espina dorsal sobre la que había que construir la nueva Francia llevó a la creación de algunos de los institutos parisienses que todavía hoy mantienen su fama. Tales institutos no sólo eran meritocráticos, es decir, podían seguir sus cursos estudiantes de cualquier clase social, sino que su filosofía didáctica ponía gran énfasis en una educación y una ciencia al servicio de la sociedad. En 1794, uno de los representantes regionales del gobierno revolucionario escribió a un profesor de matemáticas para recomendarle que impartiera un curso de «aritmética republicana»:

«Ciudadano: la revolución no sólo mejora nuestros principios morales y allana el camino para nuestra felicidad y para la de las generaciones futuras, sino que desata las cadenas que frenan el progreso científico». La actitud de Humboldt respecto de las matemáticas era muy distinta de la filosofía utilitaria que prevalecía al otro lado de la frontera. El efecto emancipador de la revolución didáctica en Alemania estaba destinado a tener un gran impacto sobre la comprensión por parte de los matemáticos de muchos aspectos de su campo. Les permitiría desarrollar un nuevo lenguaje matemático, más abstracto. En

particular, revolucionaría el estudio de los números primos. Una ciudad que se benefició de las iniciativas de Humboldt fue Luneburgo, en Hannover. Luneburgo, que había sido un importante centro comercial, estaba en decadencia; sus amplias avenidas adoquinadas ya no vibraban con la actividad de la que habían sido testigos en los siglos anteriores. Pero en 1829 se erigió un nuevo edificio entre los altos campanarios de las tres iglesias góticas de Luneburgo: el Gymnasium Johanneum. Pocos años más tarde, hacia 1840, la nueva escuela había prosperado. Su director, Schmalfuss, era un defensor

entusiasta de los ideales humanísticos propugnados por Humboldt. Su biblioteca reflejaba sus ideas ilustradas: no sólo albergaba los clásicos y las obras de los escritores alemanes modernos, sino también volúmenes provenientes de lugares lejanos. En concreto, Schmalfuss consiguió algunos libros procedentes de París, motor de la actividad intelectual europea en la primera mitad del siglo. Schmalfuss acababa de admitir un nuevo alumno en el Gymnasium Johanneum: Bernhard Riemann. Riemann era un joven muy tímido y tenía grandes dificultades para hacer amigos. Había estudiado en el Gymnasium de la ciudad

de Hannover, donde se alojaba en casa de su abuela, pero al morir ésta había tenido que trasladarse a Luneburgo, donde estaba a pensión en casa de uno de los profesores. Ingresar en la escuela cuando todos los demás habían ya establecido sus lazos de amistad no le facilitó la vida a Riemann: sufría una desesperada añoranza de su casa y los demás estudiantes le tomaban el pelo. Habría preferido volver a pie a la lejana casa de su padre en Quickborn antes que quedarse jugando con sus compañeros. El padre de Riemann, pastor en Quickborn, tenía grandes expectativas sobre su hijo. Por esto, aunque fuera infeliz en la escuela, Bernhard se

empleaba a fondo y estudiaba concienzudamente para no defraudarlo, pero tenía que luchar contra un perfeccionismo obsesivo. Frecuentemente, su incapacidad para entregar a tiempo sus deberes descorazonaba a los profesores. Era incapaz de entregar un trabajo que no fuera perfecto: no podía soportar la indignidad de obtener una nota inferior a la máxima. Sus profesores empezaron a dudar de que Riemann llegara a superar los exámenes finales. Fue Schmalfuss quien ideó una manera de desarrollar a aquel jovencito y sacar provecho de su perfeccionismo. Schmalfuss había observado enseguida

las extraordinarias capacidades matemáticas de Riemann y estaba ansioso por estimular sus habilidades escolares: le dio libre acceso a su biblioteca, con la excelente colección de libros de matemáticas que contenía; allí, el jovencito podía huir de las presiones sociales de sus compañeros de clase. La biblioteca abrió a Riemann un mundo nuevo, un lugar donde se sintió como en su casa, dueño de la situación: de repente se encontró con un mundo matemático perfecto, idealizado, un nuevo mundo al que las demostraciones impedían hundirse y en el cual los números se convertían en sus amigos. El impulso que Humboldt dio a la

enseñanza para apartarse de las ciencias como instrumento práctico y abrazar una concepción estética del conocimiento impregnó las aulas escolares de Schmalfuss. Apartó a Riemann de la lectura de textos matemáticos llenos de fórmulas y reglas cuya finalidad era la de satisfacer las demandas de un mundo industrial en expansión, y lo dirigió hacia los clásicos de Euclides, Arquímedes y Apolonio. Con su geometría, los antiguos griegos buscaban la comprensión de una estructura abstracta hecha con puntos y líneas; no les obsesionaban las fórmulas que se escondían detrás de los conceptos matemáticos. Cuando Schmalfuss dio a

Riemann un texto más moderno, el tratado de geometría analítica de Descartes —un libro lleno de ecuaciones y de fórmulas— el maestro se dio cuenta de que el método que se desarrollaba en el libro no era del agrado de un Riemann cada vez más interesado en una matemática conceptual: «Ya en aquel tiempo era un matemático en posesión de medios ante los cuales un maestro se sentía pobre», recordó más tarde Schmalfuss en una carta a un amigo. Uno de los libros que había en las estanterías de la biblioteca de Schmalfuss era un volumen de matemáticas contemporáneas que el

maestro había comprado en Francia. Publicado en 1808, la Théorie des nombres de Adrien-Marie Legendre era el primer texto en registrar la observación de un extraño nexo entre la función que permitía contar los números primos en un intervalo dado y la función logarítmica. Tal nexo, descubierto por Gauss y Legendre, se basaba únicamente en indicios experimentales: no estaba en absoluto claro si, suponiendo que continuáramos contando, la función de Gauss o la de Legendre continuarían aproximándose al verdadero número de primos. A pesar del grosor del volumen — 859 páginas de gran formato—, Riemann

lo devoró, y apenas seis días más tarde, lo devolvió al profesor diciendo: «Es un libro maravilloso: me lo sé de memoria». Schmalfuss no lo creyó pero, cuando dos años más tarde, durante los exámenes finales, preguntó a Riemann sobre el contenido del libro, el estudiante respondió impecablemente. Aquel episodio supuso el principio de la carrera de uno de los gigantes de las matemáticas modernas. Gracias a Legendre, en la mente del joven Riemann se plantó una semilla que años más tarde terminaría por dar frutos espectaculares. Una vez superados los exámenes finales, Riemann estaba ansioso por

inscribirse en una de las nuevas universidades que, con gran energía, estaban pilotando la revolución didáctica en Alemania. Sin embargo, su padre tenía otras ideas: la familia de Riemann era pobre y su padre esperaba que Bernhard siguiera sus pasos y entrara a formar parte de la Iglesia. Una vida eclesiástica le habría supuesto unos ingresos regulares con los que mantener a sus hermanas. La única universidad del reino de Hannover donde se enseñaba teología no era una de aquellas nuevas instituciones, sino la Universidad de Gotinga, fundada más de un siglo antes, en 1734. Por esa razón, para satisfacer los deseos de su padre,

Riemann tomó el camino de la húmeda y fría ciudad de Gotinga. Gotinga reposa plácidamente entre las suaves colinas de la Baja Sajonia. Su núcleo central es una ciudadela medieval circundada de antiguas murallas: esa es la Gotinga que Riemann conoció y que todavía hoy conserva mucho de su carácter original, las callejuelas serpenteaban entre casas de madera y tejados rojos. Los hermanos Grimm escribieron muchos de sus cuentos en Gotinga, y no es difícil imaginarse a Hansel y Gretel corriendo por sus calles. En el centro se levanta el edificio medieval del Ayuntamiento, sobre cuyos muros campea el lema: «No

hay vida fuera de Gotinga». Para los que estaban en la universidad, ésa era ciertamente la sensación: la vida académica era autosuficiente. Aunque la teología había dominado los primeros años de la universidad, los vientos de cambio académico que soplaban en Alemania habían estimulado los estudios científicos también en Gotinga. Cuando Gauss fue nombrado profesor de Astronomía y director del observatorio de la ciudad, en 1807, era más la ciencia que la teología lo que estaba haciendo famosa a Gotinga. El fuego matemático que el profesor Schmalfuss había encendido en el joven Riemann aún ardía vigorosamente. El

deseo paterno de que estudiara teología lo había conducido a Gotinga, pero fue la influencia del gran Gauss y de la tradición científica lo que lo marcó durante aquel primer año. Fue sólo una cuestión de tiempo el que las clases de griego y de latín dejaran paso a las tentaciones de los cursos de física y de matemáticas. Con inquietud, Riemann escribió a su padre dándole a entender que desearía cambiarse de teología a matemáticas. La aprobación paterna lo significaba todo para Riemann. Recibió su bendición con alivio, e inmediatamente se sumergió en la vida científica de la universidad. Para un joven dotado de su talento,

Gotinga pronto empezó a parecer pequeña. En un año, Riemann había agotado los recursos que tenía a su disposición. Gauss, ya anciano, se había alejado un tanto de la vida intelectual de la universidad: desde 1828 sólo había pasado una noche lejos del observatorio, donde vivía. En la universidad se limitaba a impartir clases de astronomía, en concreto sobre el método que lo había hecho famoso muchos años antes, cuando había reencontrado a Ceres, el planeta «perdido». Riemann tendría que buscar en otra parte los estímulos que necesitaba para dar un paso más en su desarrollo: se dio cuenta de que Berlín

era el lugar donde sonaba más fuerte el murmullo de la actividad intelectual. Los prestigiosos institutos franceses de investigación creados por Napoleón, como la Ecole Polytechnique, tuvieron una gran influencia sobre la Universidad de Berlín que, después de todo, se había fundado durante la ocupación francesa. Uno de los embajadores científicos más importantes fue un brillante matemático llamado Peter Gustav Lejeune-Dirichlet. Había nacido en Alemania en 1805, pero su familia era de origen francés. En 1822, el regreso a las raíces lo condujo a París, donde pasó cinco años impregnándose de la actividad intelectual que florecía en las

academias. Alexander von Humboldt, hermano de Wilhelm y científico aficionado, coincidió con Dirichlet durante sus viajes y quedó tan impresionado que le buscó un empleo en Alemania. Dirichlet tenía un espíritu más bien rebelde: quizá la atmósfera de las calles de París le había desarrollado el gusto por retar a la autoridad. En Berlín, disfrutó ignorando algunas de las tradiciones anticuadas que habían impuesto las autoridades universitarias, bastante retrógradas, y a menudo se mofaba de sus peticiones para demostrar su dominio del latín. Gotinga y Berlín ofrecían ambientes distintos a los nuevos matemáticos como

Riemann. Gotinga tenía a gala su independencia y aislamiento; raramente se celebraban seminarios que impartieran personajes procedentes de más allá de las murallas de la ciudad. La universidad era autosuficiente y producía ciencia a partir de su combustible interno. En cambio, Berlín prosperaba gracias a los estímulos de más allá de sus fronteras: las ideas procedentes de Francia se entremezclaban con el innovador enfoque alemán de la filosofía natural para crear un nuevo y prometedor cóctel. Los distintos climas de Gotinga y Berlín se adaptan a distintos tipos de matemáticos. Algunos no hubieran

avanzado nunca sin entrar en contacto con las nuevas ideas que provenían del extranjero, mientras que el éxito de otros matemáticos se puede imputar a un aislamiento que los obligaba a encontrar una fuerza interior y, con ella, nuevos lenguajes y formas de pensar. En lo referente a Riemann, sus conquistas matemáticas fueron fruto del contacto con la abundancia de nuevas ideas que flotaban en el aire, y él era consciente de que Berlín era precisamente el lugar donde tenía que estar. Riemann se trasladó a Berlín en 1847 y vivió dos años en la ciudad. Durante su estancia consiguió estudiar los papeles de Gauss que no había

podido conseguir directamente del reservado maestro en Gotinga. Asistió a las clases de Dirichlet, quien rápidamente adoptó una parte de los sensacionales descubrimientos de Riemann sobre los números primos. Era opinión general que Dirichlet tenía la capacidad de insuflar la inspiración a todo aquel que lo escuchaba. Un matemático que asistió a sus clases lo describía así: Dirichlet es insuperable en cuanto a riqueza de materiales y capacidad de penetración. … Se sienta a su alto escritorio de cara a nosotros, se sube las gafas

hasta la frente, toma su cabeza entre las manos y… de entre ellas surge un cálculo imaginario que nos lee en voz alta, y que nosotros comprendemos como si también fuésemos capaces de verlo. Me gusta mucho esta forma de enseñar. En los seminarios de Dirichlet, Riemann trabó amistad con varios jóvenes investigadores que, como él, ardían de pasión por las matemáticas. Pero en Berlín había también otras fuerzas que se agitaban. Desde las calles de París, la revolución de 1848 que acabó con la monarquía francesa se

difundió por gran parte de Europa, y alcanzó las calles de Berlín cuando Riemann estaba allí estudiando. Según el relato de sus contemporáneos, aquellos acontecimientos produjeron un profundo impacto sobre él. En una de las pocas ocasiones de su vida en las que se unió a los que estaban a su alrededor en algo que fuera más allá del estricto nivel intelectual, Riemann se unió a los estudiantes que defendían al rey en su palacio de Berlín. Se cuenta que se mantuvo en su puesto en las barricadas durante dieciséis horas seguidas. Sin embargo, la respuesta de Riemann a la revolución matemática que venía de París no fue la de un

reaccionario. Berlín no sólo importaba de París la propaganda política, sino también muchas de las revistas y publicaciones que salían de las academias: Riemann recibía los volúmenes más recientes de la influyente revista francesa Comptes rendus y se encerraba en su habitación para estudiar los artículos del matemático revolucionario Augustin-Louis Cauchy. Cauchy, que había nacido pocas semanas después de la toma de la Bastilla, era hijo de la Revolución. Desnutrido a causa de las carencias alimenticias de aquellos años, desde joven el frágil Cauchy prefirió ejercitar la mente en lugar del cuerpo. Siguiendo

la moda consagrada por la época, el mundo de las matemáticas fue su refugio. Un matemático amigo de su padre, Lagrange, reconoció el talento precoz del joven. Comentó a un conocido: «¿Veis a aquel jovencito? Bien, ¡como matemático nos superará a todos!». Tuvo también un buen consejo para el padre de Cauchy: «Haced que no toque un libro de matemáticas hasta que cumpla diecisiete años». En su lugar sugirió estimular las capacidades literarias del joven, para que cuando volviera a las matemáticas estuviera en condiciones de expresarse por escrito con su propia voz y con la que hubiera adquirido en los libros de la época.

Se demostró que se trataba de un consejo certero: Cauchy desarrolló una voz nueva que, una vez abiertas las compuertas que lo protegían del mundo exterior, fue imposible frenar. La producción de Cauchy creció hasta hacerse tan importante que la revista Comptes rendus tuvo que imponer un límite de páginas para los artículos publicados, un límite al que todavía hoy se ciñe estrictamente. El nuevo lenguaje matemático de Cauchy era demasiado difícil para algunos de sus contemporáneos; en 1826 el matemático noruego Niels Henrik Abel escribió: «Cauchy está loco… Lo que hace es excelente, pero confuso. Al principio no

entendía prácticamente nada; ahora consigo discernir una parte con mayor claridad». Abel continuaba haciendo notar que, de todos los matemáticos de París, Cauchy era el único que hacía «matemáticas puras» mientras que los demás «se dedicaban exclusivamente al magnetismo y a otros temas físicos… Él es el único que sabe cómo se debería hacer matemática». Cauchy tuvo problemas con las autoridades parisienses por haber alejado a los estudiantes de las aplicaciones prácticas de las matemáticas. El director de la Ecole Polytechnique, donde Cauchy enseñaba, le escribió criticando su obsesión por la

matemática abstracta: «Es opinión de muchas personas que se está exagerando claramente con la enseñanza de las matemáticas puras en la Ecole y que una tan inmotivada extravagancia es dañina para las demás disciplinas». No hay, por tanto, motivos para extrañarse de que la obra de Cauchy fuera tan apreciada por el joven Riemann. Aquellas nuevas ideas eran tan emocionantes que Riemann se convirtió casi en un recluso. Durante el tiempo que dedicó a estudiar la producción matemática de Cauchy desapareció completamente de la vista de sus colegas. Reapareció unas semanas más tarde declarando: «Esta es una nueva

matemática». Lo que había captado la imaginación de Cauchy y de Riemann era el poder emergente de los números imaginarios.

LOS NÚMEROS IMAGINARIOS: UN NUEVO PANORAMA MATEMÁTICO

La raíz cuadrada de −1, el elemento base de los números imaginarios, parece una contradicción en los términos. Algunos opinan que el hecho de admitir la posibilidad de que tal número exista es lo que separa a los matemáticos de todos los demás. Es necesario un salto

creativo para ganarse el acceso a esta pequeña porción del mundo matemático. A primera vista se tiene la impresión de que no tiene nada que ver con el mundo físico: éste parece estar construido sobre números cuyo cuadrado es siempre un número positivo. Sin embargo, los números imaginarios son más que un simple juego abstracto: son ellos los que guardan la llave que da acceso al mundo de las partículas subatómicas del siglo XX. En una escala mayor, los aviones no habrían alzado jamás el vuelo si los ingenieros no hubieran emprendido un viaje al mundo de los números imaginarios. Este nuevo mundo ofrece una flexibilidad que se

niega a los que permanecen atados a los números ordinarios. La historia del descubrimiento de esos nuevos números empieza con la necesidad de resolver simples ecuaciones. Tal como ya sabían los babilonios y los egipcios, si, por ejemplo, queremos dividir siete pescados entre tres personas, en la ecuación aparecerán números fraccionarios: 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, etcétera. En el siglo VI a. C. los griegos, al estudiar la geometría del triángulo, descubrieron que a veces estas fracciones eran incapaces de expresar la longitud de los lados de un triángulo. El teorema de Pitágoras los obligó a

inventar nuevos números que no podían escribirse como simples fracciones. Por ejemplo, Pitágoras podía tomar un triángulo rectángulo con ambos catetos de longitud unitaria; su famoso teorema le decía entonces que la hipotenusa tenía una longitud x, donde x es una solución de la ecuación x2 = 12 + 12 = 2. Dicho de otra forma: la longitud de la hipotenusa era igual a la raíz cuadrada de 2. Las fracciones son los números cuya expresión decimal tiene un patrón que se repite, por ejemplo 1/7 = 0,142 857 142 857…, o bien 1/4 = 0,250 000 000… En contraste, los griegos pudieron demostrar que la raíz cuadrada de 2 no

es igual a una fracción: por más que avancemos en el cálculo de la expresión decimal de la raíz cuadrada de 2, nunca se estabilizará con un patrón repetitivo como los que hemos visto. La raíz cuadrada de 2 empieza con 1,414 213 562… En los años en los que Riemann estuvo en Gotinga era frecuente que dedicara sus horas libres a calcular un número cada vez mayor de estos decimales. Su récord fue de treinta y ocho decimales, una empresa no precisamente fácil sin un calculador, pero quizá también un buen indicio de lo aburrida que debía ser la vida nocturna en Gotinga y lo esquivo de la personalidad de Riemann, que se

entregaba a esa extraña distracción. En todo caso, Riemann sabía que por más que avanzara en sus cálculos nunca podría escribir el número completo o descubrir un patrón repetitivo. Para describir la imposibilidad de expresar aquellos números de otra forma que como la solución de ecuaciones del t i p o x2 = 2, los matemáticos los bautizaron como números irracionales. El nombre reflejaba la incapacidad de los matemáticos de escribirlos de forma exacta. A pesar de todo, los números irracionales conservaban un significado real, ya que se podían ver como puntos marcados sobre una regla, o sobre lo que los matemáticos llaman recta

numérica. La raíz cuadrada de 2, por ejemplo, es un punto que se encuentra en alguna parte entre 1,4 y 1,5. Si se construyese un triángulo rectángulo pitagórico con sus dos catetos de una unidad de longitud, entonces podríamos determinar la posición exacta de este número irracional apoyando la hipotenusa del triángulo sobre la regla y marcando el punto correspondiente a su longitud.

Los números reales. Cada número fraccionario, negativo o irracional se representa como un punto sobre la recta

numérica.

Los números negativos se descubrieron de forma similar, al intentar resolver simples ecuaciones como x + 3 = 1. Los matemáticos indios propusieron estos nuevos números en el siglo VII d. C. Los números negativos se crearon para responder a las exigencias de un mundo financiero en expansión, ya que eran útiles para representar los débitos. Tuvo que pasar otro milenio antes de que los matemáticos europeos se decidieran a admitir la existencia de tales «números ficticios», como les llamaban. Los números negativos ocuparon su lugar sobre la recta

numérica en el lugar que se extendía a la izquierda del cero. Los números irracionales y los números negativos nos permiten resolver diversos tipos de ecuaciones. La ecuación de Fermat x3 + y3 = z3 tiene soluciones interesantes si uno no se obstina en pretender, como había hecho Fermat, que x, y y z sean números enteros. Por ejemplo, podríamos elegir x = 1 e y = 1, colocar z igual a la raíz cúbica de 2, y la ecuación estaría resuelta. Sin embargo, quedaban otras ecuaciones que no se podían resolver recurriendo a los números de la recta numérica. Parecía que ninguno de los números

existentes daba una solución de la ecuación x2 = −1. Al fin y al cabo, si elevamos al cuadrado un número, ya sea positivo o negativo, el resultado siempre es positivo; por ello, un número que satisfaga una ecuación así no podrá ser un número ordinario. Pero los griegos habían imaginado un número como la raíz cuadrada de 2, a pesar de no poder escribirlo en forma de fracción, y los matemáticos comenzaron a entender que podían hacer un salto análogo con su imaginación y crear un nuevo número para resolver la ecuación x2 = −1. Semejante salto creativo supone uno de los retos conceptuales que deben afrontar todos los que estudian

matemáticas. El nuevo número, la raíz cuadrada de menos uno, se definió como número imaginario y se le asignó el símbolo «i». Por contraste, los matemáticos empezaron a llamar números reales a los que se encontraban sobre la recta numérica. El crear aparentemente de la nada una solución para esta ecuación parece un engaño: ¿por qué no aceptar que la ecuación no tiene soluciones? Esa es una posible forma de proceder, pero a los matemáticos nos gusta ser más optimistas: una vez aceptada la idea de la existencia de un número que efectivamente resuelve la ecuación, las ventajas del salto creativo efectuado

superan con creces cualquier incomodidad inicial. Una vez que se le ha asignado un nombre, su existencia parece inevitable; ya no da la sensación de tratarse de un número creado artificialmente, sino más bien parece como si siempre hubiera estado ahí y hubiera pasado desapercibido hasta que nos planteamos la pregunta oportuna. Los matemáticos del siglo XVIII fueron reacios a aceptar la existencia de números de este tipo, pero los matemáticos del siglo XIX tuvieron la valentía de creer en nuevas formas de pensar que ponían en cuestión las ideas comúnmente aceptadas sobre lo que constituía el canon matemático oficial.

Francamente, la raíz cuadrada de −1 es tan abstracta como la raíz cuadrada de 2. Ambas se definen como soluciones de ecuaciones. ¿Significa esto que los matemáticos deberían empezar a crear nuevos números para cada nueva ecuación que aparezca? ¿Y si quisiéramos las soluciones de una ecuación como x4 = −1? ¿Tendríamos que usar cada vez más letras para intentar dar un nombre a todas esas nuevas ecuaciones? Hubo un cierto alivio cuando Gauss demostró en 1799 que no hacían falta más números nuevos: usando el número i, la raíz cuadrada de −1, los matemáticos podían resolver cualquier ecuación que se les pusiera

por delante. Cada ecuación tenía una solución que consistía en una combinación de los habituales números reales —es decir, las fracciones y los números irracionales— y de este nuevo número, i. La clave de la demostración de Gauss era la extensión de la imagen que ya teníamos de los números habituales como puntos situados sobre la recta numérica: una línea recta que va de este a oeste en la que cada uno de sus puntos representa un número. Estos números eran los números reales, que eran familiares a los matemáticos desde los tiempos de los antiguos griegos. Pero en la recta no había sitio para aquel nuevo

número imaginario, la raíz cuadrada de −1. Por esta razón, Gauss se preguntó qué sucedería si se introdujera una nueva dirección, si para representar i se usara un punto situado por encima de la recta numérica, a una unidad de distancia. Todos los nuevos números necesarios para resolver ecuaciones eran combinaciones de i y de números habituales, por ejemplo, 1 + 2i. Gauss comprendió que cada punto situado sobre este mapa bidimensional correspondía a cualquier número posible. Los números imaginarios se convertían, simplemente, en coordenadas sobre el mapa. El número 1 + 2i se representaba por el punto que

se alcanzaba recorriendo una unidad hacia el este y dos unidades hacia el norte. Gauss interpretaba estos números como coordenadas para moverse en su mapa del mundo imaginario. Sumar dos números imaginarios: A + Bi y C + Di, significaba seguir dos pares de coordenadas, uno tras otro. Por ejemplo, si sumamos 6 + 3i y 1 + 2i, eso nos llevará a la posición 7 + 5i (véase la siguiente gráfica).

Cómo sumar dos números imaginarios: siguiendo sus direcciones.

A pesar de tratarse de una representación muy eficaz, Gauss tuvo

que mantener escondido su mapa del mundo imaginario. Una vez construida la demostración, retiró los andamios gráficos de manera que no quedara ningún rastro de su visión. Era consciente de que, en aquella época, en matemáticas se miraban las gráficas con cierta sospecha. El predominio de la tradición francesa durante la juventud de Gauss implicaba que el camino preferido para ingresar en el mundo matemático era el lenguaje de las fórmulas y de las ecuaciones, lenguaje que encajaba a la perfección con el enfoque utilitario de la disciplina. Había también otras razones para tal aversión hacia los números imaginarios.

Durante muchos siglos, los matemáticos habían creído que las representaciones gráficas tenían el poder de provocar errores. Al fin y al cabo, el lenguaje de las matemáticas había sido introducido para domesticar el mundo físico. En el siglo XVII, Descartes había intentado reducir el estudio de la geometría a simples aserciones sobre números y ecuaciones: «Las percepciones sensoriales son engaños de los sentidos», era su lema. Riemann había aprendido a detestar este menosprecio de la representación física cuando leía a Descartes en la comodidad de la biblioteca de Schmalfuss.

En los albores del siglo XIX, los matemáticos estaban escaldados debido a una demostración gráfica equivocada que describía la relación entre el número de ángulos, aristas y caras de los sólidos geométricos: Euler había avanzado la hipótesis de que, si un poliedro tiene V vértices, A aristas y C caras, entonces los números V, A y C tienen que satisfacer la relación V − A + C = 2; un cubo, por ejemplo, tiene 8 vértices, 12 aristas y 6 caras. En 1811, el mismo joven Cauchy había elaborado una «demostración» de la fórmula que se basaba en una intuición visual, pero quedó desacreditada cuando se mostró un sólido que no obedecía a la

fórmula: un cubo con un agujero en el centro. La «demostración» había olvidado el hecho de que un sólido puede tener agujeros. Por esta razón era necesario introducir en la fórmula un elemento añadido que tuviera en cuenta el número de agujeros presentes en un sólido. Al haber sido engañado por el poder de las imágenes de esconder perspectivas que al principio no resultan evidentes, Cauchy se refugió en la seguridad que parecían dar las fórmulas. Una de las revoluciones que provocó fue la creación de un nuevo lenguaje que permitió a los matemáticos analizar rigurosamente el concepto de simetría

sin tener que recurrir a figuras. Gauss sabía que su mapa secreto de los números imaginarios hubiera estado mal visto por los matemáticos de finales del siglo XVIII, y por ello lo excluyó de su demostración. Los números eran entidades para ser sumadas y multiplicadas, no para ser dibujadas. Tuvieron que pasar unos cuarenta años antes de que Gauss se decidiera a desvelar el andamiaje gráfico que había usado en su tesis doctoral.

UN MUNDO MÁS ALLÁ DEL ESPEJO

Incluso sin el mapa de Gauss, Cauchy y otros matemáticos habían empezado a explorar lo que sucede si se extiende el concepto de función a ese nuevo mundo de números imaginarios en lugar de limitarse a los números reales. Para su sorpresa, los números imaginarios inauguraban nuevas relaciones entre partes del mundo matemático aparentemente independientes. Una función es como un programa de ordenador en el cual se introduce un número, se hacen unos cálculos y el resultado es un nuevo número. La función puede definirse por medio de una simple ecuación como x2 + 1.

Cuando se le inserta un número, por ejemplo 2, la función calcula 22 + 1, y da 5 como resultado. Otras funciones son más complicadas: Gauss estaba interesado en las funciones que contaban la cantidad de números primos. Si introducimos un número x en una función así, nos dirá cuántos números primos hay que sean menores o iguales a x. Gauss había decidido darle a esta función el nombre de π(x). Su gráfica es una escalera ascendente, como vimos en la página 85. Cada vez que el número que insertamos en la función π(x) es un número primo, el valor numérico que ésta nos da como resultado sube un peldaño en la escalinata. Por ejemplo,

cuando x va de 4,9 a 5,1, el número de primos aumenta pasando de dos a tres para registrar el nuevo número primo: 5. Los matemáticos observaron enseguida que en algunas funciones, como la que viene dada por la ecuación x2 + 1, se podían insertar números imaginarios lo mismo que números reales. Por ejemplo, si insertamos x = 2i en la función obtendremos (2i)2 + 1 = −4 + 1 = −3. En la generación de Euler se empezaron a introducir números imaginarios en las funciones. Ya en 1748, en una de sus excursiones más allá del espejo, Euler se había topado con extrañas conexiones entre fragmentos separados de las matemáticas. Euler

sabía que cuando se insertaban números reales x en la función 2x, se obtenía una gráfica que ascendía con rapidez. Pero cuando intentó insertar números imaginarios en la función, el resultado que obtuvo fue bastante inesperado; en lugar de una gráfica que crecía exponencialmente vio aparecer ondas del tipo que asociamos, por poner un ejemplo, a los sonidos. La función que produce tal tipo de ondas se llama función seno. La imagen de la función seno es una curva familiar que se repite cíclicamente, de manera que cada 360 grados vemos reaparecer la misma forma. Actualmente la función seno se utiliza en una gran cantidad de cálculos

prácticos: por ejemplo, puede usarse para calcular la altura de un edificio midiendo ángulos desde el suelo. Fue la generación de Euler la que descubrió que estas ondas sinusoidales eran también la clave para reproducir sonidos musicales; una nota pura como el la que da un diapasón que se usa para afinar un piano se puede representar mediante una onda sinusoidal. Euler insertó números imaginarios en la función 2x. Para su sorpresa, lo que apareció fueron las ondas correspondientes a una determinada nota musical. Euler demostró que las características de cada nota individual dependían de las coordenadas del

número imaginario correspondiente. Cuanto más al norte se encuentra un número, tanto más alta es la nota a él asociada. Cuanto más al este se encuentra, tanto mayor es la intensidad de la nota. El descubrimiento de Euler era el primer indicio del hecho de que los números imaginarios podían abrir caminos nuevos e insospechados en el paisaje matemático. Siguiendo a Euler, los matemáticos empezaron a aventurarse en las tierras recién descubiertas de los números imaginarios. La búsqueda de nuevas relaciones se revelaría contagiosa. Riemann volvió a Gotinga en 1849 para completar su tesis doctoral y

someterla a la consideración de Gauss. Era el año en que Gauss escribió a su amigo Encke a propósito de la relación que había descubierto de joven entre números primos y logaritmos. Aunque es posible que Gauss discutiera su descubrimiento con miembros de la facultad de Gotinga, Riemann todavía no se preocupaba por los números primos: estaba completamente concentrado en la nueva matemática que venía de París, ansioso por explorar el extraño mundo de funciones alimentadas con números imaginarios que estaba surgiendo. Cauchy se había puesto a la labor de transformar en una disciplina rigurosa los primeros pasos inciertos de Euler en

aquel nuevo territorio. Pero si los franceses eran maestros en ecuaciones y manipulación de fórmulas, Riemann estaba preparado para capitalizar el retorno de la didáctica alemana a una concepción del mundo más abstracta. En noviembre de 1851 sus ideas ya habían tomado forma, y presentó su tesis en la facultad de Gotinga. Como era de esperar, las ideas de Riemann impresionaron gratamente a Gauss. Éste recibió aquella tesis doctoral como el signo evidente «de una mente creativa, activa, genuinamente matemática, y de una originalidad magníficamente fértil». Riemann, escribió a su padre, ansioso de explicarle sus progresos:

«Creo haber mejorado mis expectativas con la tesis. Espero también aprender ahora a escribir más rápido y con mayor fluidez, sobre todo si me inserto en la sociedad». Pero la vida académica de Gotinga no se podía comparar con la excitante vida de Berlín. La universidad era muy cerrada, provinciana, y a Riemann le faltaba seguridad en sí mismo para entrar en conflicto con la vieja jerarquía intelectual. Había menos estudiantes en Gotinga con quienes pudiera relacionarse; era sospechoso para los demás y nunca se encontraba realmente a gusto en ese ambiente social. «Ha hecho aquí las cosas más extrañas sólo porque está convencido de

que nadie lo soporta», escribió su contemporáneo Richard Dedekind. Riemann era hipocondríaco y una persona propensa a sufrir crisis depresivas. Escondía su rostro tras la seguridad de una barba negra cada vez más tupida. Estaba muy preocupado por su situación económica, ya que su supervivencia dependía de los inciertos honorarios de media docena de alumnos particulares. La sobrecarga de trabajo que ello suponía, junto a la presión de la indigencia, le produjo una breve crisis nerviosa en 1854. Pero su humor se iluminaba cada vez que Dirichlet, el campeón de la tradición matemática, se presentaba de visita en Gotinga.

Un profesor de esta universidad con quien Riemann consiguió trabar amistad fue el eminente físico Wilhelm Weber. Weber había colaborado con Gauss en numerosos proyectos durante el tiempo que pasaron juntos en Gotinga. Se convirtieron en un Sherlock Holmes y un doctor Watson de la ciencia, con Gauss proporcionando las bases teóricas y Weber poniéndolas en práctica. Uno de sus inventos más famosos fue la aplicación del electromagnetismo para la comunicación a distancia. Consiguieron establecer una línea telegráfica entre el observatorio de Gauss y el laboratorio de Weber a través de la cual se intercambiaban

mensajes. Mientras que para Gauss aquel invento era una simple curiosidad, Weber se dio cuenta claramente del alcance de aquel descubrimiento: «Cuando el globo terráqueo esté cubierto de una red de caminos de hierro y de hilos telegráficos», escribió, «esa red prestará servicios comparables a los del sistema nervioso en el cuerpo humano, en parte como medio de transporte, en parte como medio para la propagación de ideas y sensaciones a la velocidad del rayo». La rápida difusión del telégrafo, además de la posterior aplicación a la seguridad informática de la calculadora de reloj inventada por

Gauss, hacen de Gauss y Weber los abuelos del comercio electrónico y de Internet. La ciudad de Gotinga ha inmortalizado su colaboración con una estatua que los representa juntos. Un huésped de Weber en Gotinga nos lo representa con la típica imagen del científico un poco loco: «Un tipo curioso que habla con voz estridente, desagradable y vacilante. Tartamudea sin parar; no se puede hacer otra cosa que escucharle. A veces ríe sin ninguna razón, y uno lamenta no poder unirse a él». Weber era algo más rebelde que Gauss: había sido uno de los «siete de Gotinga», profesores expulsados temporalmente de la universidad por

haber protestado contra el gobierno arbitrario del rey de Hannover. Tras haber terminado su tesis, Riemann fue asistente de Weber durante algún tiempo. Durante este aprendizaje cortejó a la hija de Weber, pero sus avances no fueron correspondidos. En 1854 Riemann escribió a su padre: «Gauss está seriamente enfermo y los médicos temen su muerte inminente». Temía que Gauss muriera antes de que superara su examen de habilitación, que era indispensable para convertirse en docente de una universidad alemana. Afortunadamente Gauss vivió lo suficiente como para escuchar las ideas de Riemann sobre la geometría y sus

relaciones con la física que habían germinado durante la etapa de trabajo con Weber. Riemann estaba convencido de que se podían contestar todas las preguntas fundamentales de la física usando únicamente las matemáticas. Muchos consideran la teoría de la geometría de Riemann como una de sus más significativas contribuciones científicas, y llegaría a ser uno de los ejes fundamentales de la plataforma sobre la que Einstein lanzó su revolución científica a principios del siglo XX. Gauss murió un año más tarde. Pero si el hombre se había marchado, sus ideas tendrían ocupados a los

matemáticos durante las siguientes generaciones. La hipótesis que dejó tras de sí sobre el nexo entre los números primos y la función logarítmica, daría mucho que pensar a las generaciones posteriores. Los astrónomos lo inmortalizaron en el firmamento bautizando un asteroide con el nombre de Gaussia, y en la colección de anatomía de la Universidad de Gotinga todavía se puede observar el cerebro de Gauss conservado para la eternidad, del que se afirma que es más rico en circunvoluciones que cualquier otro cerebro diseccionado con anterioridad. Dirichlet, a cuyas clases había asistido Riemann en Berlín, fue

nombrado titular de la cátedra que Gauss dejó vacante. Llevó a Gotinga una parte de la vivaz actividad intelectual que Riemann había añorado tanto desde su estancia berlinesa. Un matemático inglés describió la impresión que tuvo de Dirichlet al visitarlo en Gotinga por aquella época: «Es un hombre más bien alto, de aspecto enjuto, con bigote y barba que empiezan a volverse grises… su voz es algo estridente y está más bien sordo: todavía era temprano, no se había lavado ni afeitado, llevaba su schlafrock [bata], las zapatillas, una taza de café y un cigarro». A pesar de esta apariencia bohemia, en su interior ardía un deseo de rigor y un amor por

las demostraciones sin igual en su época. Carl Jacobi, coetáneo suyo y colega en Berlín, escribió al primer protector de Dirichlet, Alexander von Humboldt, que «sólo Dirichlet, ni yo ni Cauchy ni Gauss, sabe qué es una demostración perfectamente rigurosa, mientras que nosotros sólo lo aprendemos de él. Cuando Gauss dice haber demostrado algo, pienso que muy probablemente sea cierto; cuando lo dice Cauchy, está al cincuenta por ciento; cuando lo dice Dirichlet, se trata de una certeza». La llegada de Dirichlet a Gotinga sacudió el tejido social de la ciudad. Su mujer Rebecka era hermana del

compositor Félix Mendelssohn. Rebecka detestaba el soporífero ambiente social de Gotinga y organizó muchas recepciones para intentar recrear la atmósfera de los salones berlineses que había tenido que abandonar. La actitud menos formal de Dirichlet hacia la jerarquía académica supuso para Riemann la posibilidad de discutir abiertamente de matemáticas con el nuevo profesor. Desde su vuelta a Gotinga desde Berlín, Riemann estaba más bien aislado. A causa de la personalidad austera del anciano Gauss y de su propia timidez, había discutido poco con el gran maestro. En cambio, las formas relajadas de Dirichlet fueron

perfectas para Riemann quien, en una atmósfera más favorable a la discusión, empezó a abrirse. Riemann escribió a su padre sobre su nuevo mentor: «A la mañana siguiente Dirichlet estuvo conmigo durante dos horas. Leyó toda mi tesis y estuvo muy amable conmigo, cosa que no me esperaba, dada la gran diferencia de rango entre nosotros». Por su parte, Dirichlet apreciaba la modestia de Riemann y reconocía la originalidad de su trabajo. En alguna ocasión incluso consiguió sacarlo de la biblioteca y salir con él a pasear por la campiña de los alrededores de Gotinga. Casi en tono de excusa, Riemann escribió a su padre que aquellas fugas

de las matemáticas le eran más útiles desde el punto de vista científico que si se hubiese quedado en casa consultando sus libros. Fue durante una de las discusiones mantenidas caminando por los bosques de la Baja Sajonia cuando Dirichlet inspiró el paso siguiente de Riemann, que vendría a inaugurar una perspectiva completamente nueva sobre los números primos.

LA FUNCIÓN ZETA: EL DIÁLOGO ENTRE MÚSICA Y MATEMÁTICA

Durante los años que pasó en París

antes de 1830, Dirichlet quedó fascinado con el gran tratado juvenil de Gauss, las Disquisitiones arithmeticae. Por más que supusiera el inicio de la teoría de los números como disciplina independiente, se trataba de un libro difícil y muchos no conseguían penetrar en el estilo conciso que Gauss prefería. De todas formas, Dirichlet estaba más que feliz de batallar con aquella sucesión ininterrumpida de párrafos difíciles. Por la noche ponía el libro bajo la almohada con la esperanza de que a la mañana siguiente lo leído tomara sentido de repente. El tratado de Gauss había sido descrito como un «libro de siete sellos» pero, gracias a

las fatigas y vigilias de Dirichlet, los sellos se fueron rompiendo y los tesoros guardados en su interior obtuvieron la amplia difusión que merecían. Dirichlet tenía un interés especial en el reloj calculador de Gauss. Le intrigaba particularmente una conjetura formulada por Fermat: si tomamos una calculadora de reloj con un cuadrante de N horas y le introducimos los números primos, entonces, había conjeturado Fermat, el reloj señalaría la una un número infinito de veces. Si, por ejemplo, tomamos un reloj con un cuadrante de cuatro horas, según la conjetura de Fermat, hay infinitos números primos que al dividirlos entre 4

dan de resto 1. La lista empieza con 5, 13, 17, 29 … En 1838, a los treinta y tres años, Dirichlet había dejado su propia marca en la teoría de los números al demostrar que la intuición de Fermat era correcta. Lo consiguió mezclando ideas que provenían de diversas áreas de las matemáticas sin aparente relación entre sí. En lugar de una argumentación elemental como la que había permitido a Euclides demostrar que existen infinitos números primos, Dirichlet utilizó una función sofisticada que había aparecido en el circuito matemático por vez primera en tiempos de Euler: se llamaba función zeta, y se indicaba con la letra

griega La siguiente ecuación suministró a Dirichlet la regla para calcular el valor de la función zeta según el valor de x:

Para continuar su cálculo, Dirichlet tenía que efectuar tres pasos matemáticos. Primero, calcular los valores de las potencias 1x, 2x, 3x, …, nx,… A continuación, tomar los inversos de todos los números obtenidos en el primer paso (el inverso de 2x es

).

Para terminar, sumar todos los resultados obtenidos en el segundo paso.

Se trata de una receta complicada. El hecho de que cada número 1, 2, 3, … contribuya a la definición de zeta es un indicio de la utilidad de la función zeta para el estudioso de la teoría de los números. La cruz de la moneda es que nos las tenemos que ver con una suma infinita de números. Pocos matemáticos habrían podido prever hasta qué punto tal función resultaría potente como instrumento para el estudio de los números primos. El descubrimiento tuvo lugar casi por casualidad. El origen del interés de los matemáticos por esta suma infinita procedía de la música, y se remontaba a un descubrimiento realizado por los

antiguos griegos. En realidad, Pitágoras había sido el primero en determinar el nexo fundamental que liga matemáticas y música. Había llenado de agua un recipiente y lo había percutido con un pequeño martillo para producir una nota. Al retirar la mitad del agua y percutir de nuevo el recipiente la nota había subido una octava. Cada vez que retiraba agua de manera que quedara un tercio, un cuarto, y así sucesivamente, las notas que se producían sonaban en su oído en armonía con la primera nota que había obtenido. Cualquier otra nota que se obtuviera retirando del recipiente una cantidad distinta de agua resultaba disonante con respecto a la nota

original. Estas fracciones contenían una belleza que podía ser escuchada. La armonía que Pitágoras había descubierto en los números 1, 1/2, 1/3, 1/4, … lo indujo a creer que el universo entero estaba controlado por la música, y por esta razón acuñó la expresión «la música de las esferas». A partir del descubrimiento pitagórico de un nexo aritmético entre matemática y música, las características estéticas y físicas de las dos disciplinas siempre han estado próximas. En 1722, el compositor barroco francés JeanPhilippe Rameau escribió: «A pesar de toda la experiencia que yo pueda haber adquirido en la música por el hecho de

haberme asociado a ella desde hace mucho tiempo, debo confesar que sólo con la ayuda de las matemáticas se han clarificado mis ideas». Euler intentó hacer de la teoría musical «una parte de las matemáticas y de deducir de forma ordenada, a partir de principios correctos, todo lo que pueda hacer placentera una unión y una mezcla de tonos». Euler opinaba que tras la belleza de ciertas combinaciones de notas se escondían los números primos. Muchos matemáticos sienten una atracción natural por la música: tras una dura jornada de cálculos, a Euler le gustaba relajarse tocando su clavicémbalo. Los departamentos de

matemáticas nunca tienen grandes problemas en organizar una orquesta reclutada entre sus propias filas. Existe un nexo numérico obvio entre los dos campos, ya que ambos se basan en el hecho de contar. Por citar la definición de Leibniz: «la música es el placer que siente la mente humana cuando cuenta sin ser consciente de contar». Pero las resonancias entre música y matemática son aún más profundas. Las matemáticas son una disciplina estética, en la que continuamente se habla de demostraciones magníficas y de soluciones elegantes. Sólo quien posee una sensibilidad estética especial dispone de los medios para llegar a

descubrimientos matemáticos. El relámpago de iluminación que anhelan los matemáticos se parece al acto de pulsar las teclas de un piano hasta que, de pronto, aparece una combinación de notas que contiene una armonía interna que la hace diferente. G. H. Hardy escribió que se interesaba por las matemáticas «sólo como arte creativo». Incluso para los matemáticos franceses de las academias napoleónicas, la emoción de hacer matemáticas no procedía de sus aplicaciones prácticas, sino de su íntima belleza. Las experiencias estéticas que se viven haciendo matemáticas o escuchando música tienen mucho en

común. Igual que podemos escuchar muchas veces una pieza musical para descubrir nuevas sonoridades que antes nos habían pasado desapercibidas, a menudo también los matemáticos obtienen placer de la relectura de una demostración en la que se descubren cada vez más los sutiles matices que le confieren coherencia lógica. Hardy pensaba que la auténtica verificación de una buena demostración matemática consistía en que «las ideas deben combinarse de manera armónica. La belleza es la primera verificación: no hay espacio para las matemáticas feas». Para Hardy, «una demostración matemática debería parecerse a una

constelación simple y de contornos delimitados, no a una Vía Láctea dispersa». Tanto las matemáticas como la música utilizan un lenguaje técnico de símbolos que nos permite expresar con claridad lo que creamos o descubrimos. La música es mucho más que las notas blancas o las corcheas que bailan por los pentagramas. Análogamente, los símbolos matemáticos cobran vida sólo cuando la mente los interpreta matemáticamente. Como descubrió Pitágoras, matemática y música no sólo se superponen en el domino estético. La propia física de la música tiene sus

raíces en los fundamentos de las matemáticas. Si soplamos sobre un cuello de botella, podemos oír una nota. Si soplamos más fuerte, y con un poco de pericia, empezaremos a oír notas más agudas: los armónicos superiores. Cuando un músico toca una nota con su instrumento, produce también una infinidad de armónicos, igual que nosotros cuando soplamos en el cuello de una botella. Estos armónicos suplementarios contribuyen a dar a cada instrumento su timbre distintivo. Son las características físicas de cada instrumento particular las que hacen oír diversas combinaciones de armónicos. Más allá de la nota fundamental, el

clarinete produce sólo los armónicos correspondientes a fracciones impares: 1/3, 1/5, 1/7, … Por otra parte la cuerda de un violín, al vibrar, crea todos los armónicos que Pitágoras produjo con su recipiente: los correspondientes a las fracciones 1/2, 1/3, 1/4, … Teniendo en cuenta que el sonido de una cuerda de violín que vibra es la suma infinita de la nota fundamental y de todos los armónicos posibles, los matemáticos empezaron a interesarse por la analogía matemática. La suma infinita 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … recibió el nombre de serie armónica. Esta suma era, además, el resultado que obtenía Euler cuando insertaba el valor x = 1 en

su función zeta. Aunque el valor de la suma crece muy lentamente a medida que vamos añadiendo nuevos términos, desde finales del siglo XIV los matemáticos sabían que al final tendería al infinito de forma inexorable. Por tanto, la función zeta debe dar un resultado infinito cuando se introduce el número x = 1. Pero si, en lugar de tomar x = 1, Euler insertaba en la función un número mayor, la suma ya no tendía al infinito. Por ejemplo, tomando x = 2 habrá que sumar todos los cuadrados de la serie armónica:

Éste es un número menor, ya que no comprende todas las fracciones posibles que forman la serie armónica cuando x vale 1. Ahora estamos sumando sólo algunas de las fracciones, y Euler sabía que en este caso la suma no tendería al infinito sino que volvería a un número concreto. En aquella época, identificar el valor numérico preciso al que tendía la serie armónica para x = 2 se había convertido en un reto formidable. La mejor estimación rondaba 8/5. En 1735 Euler escribió: «Es tanto el trabajo hecho sobre la serie que parece poco probable que pueda aparecer nada nuevo… También yo, a pesar de mis repetidos esfuerzos, sólo he conseguido

obtener valores aproximados de sus sumas». No obstante, Euler, animado por sus descubrimientos anteriores, empezó a juguetear con esta suma infinita. Haciéndola girar en todas las direcciones posibles como si se tratara de un cubo de Rubik, de repente se encontró con la serie transformada. Como los colores del cubo, los números tomaron forma para componer un motivo completamente distinto del original. Continuaba Euler: «Ahora, sin embargo, de forma totalmente inesperada, he hallado una fórmula elegante que depende de la cuadratura del círculo». Dicho en términos modernos: había

encontrado una fórmula que dependía del número π = 3,1415… Con un análisis más bien temerario, Euler había descubierto que aquella suma infinita tendía al cuadrado de π dividido entre 6:

La expresión decimal de

, como

la de π, es completamente caótica e impredecible. Todavía hoy el descubrimiento hecho por Euler de este orden escondido en el interior del número sigue suponiendo uno de los

cálculos más fascinantes de todas las matemáticas; en su época impactó en la comunidad científica como un huracán. Nadie había previsto la existencia de un nexo entre la inocente suma 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … y el caótico número π. El éxito obtenido indujo a Euler a indagar, más tarde, sobre los poderes de la función zeta. Sabía que si insertaba en la función cualquier número mayor que 1, el resultado siempre sería un número finito. Tras varios años de solitarios estudios consiguió identificar los valores producidos por la función zeta para todos los números pares. Sin embargo había algo insatisfactorio en la función zeta. Siempre que Euler

insertaba un número menor que 1, fuera el que fuera, en la fórmula que define la función, el resultado que obtenía era infinito. Por ejemplo, para x = −1 la fórmula nos da la suma infinita 1 + 2 + 3 + 4 + … La función sólo se comportaba bien para los números mayores que 1. El descubrimiento por parte de Euler de la expresión de en términos de simples fracciones fue la primera señal de que la función zeta podría desvelar nexos inesperados entre partes aparentemente desemejantes del canon matemático. El segundo nexo extraño que Euler descubrió tenía que ver con una sucesión de números aún más

imprevisible.

UNA REESCRITURA DE LA HISTORIA GRIEGA DE LOS NÚMEROS PRIMOS

Los números primos hicieron su imprevista aparición en la historia de Euler cuando éste intentaba apoyar su inestable análisis de la expresión de sobre sólidas bases matemáticas. Mientras jugaba con las sumas infinitas recordó un descubrimiento de los antiguos griegos: todo número se puede construir multiplicando números primos entre sí. Entonces comprendió que

existía una forma alternativa de escribir la función zeta: que se podía descomponer cada término de la serie armónica utilizando el conocimiento de que cada número está constituido por los mismos elementos básicos, y de que tales elementos básicos son los números primos. Así que escribió:

En lugar de expresar la serie armónica como suma infinita de todas las fracciones, Euler podía tomar sólo las fracciones que contenían números primos, como 1/2, 1/3, 1/5, 1/7, …, y

multiplicarlas entre sí. La expresión que obtuvo, actualmente llamada producto de Euler, ligaba los mundos de la suma y de la multiplicación. En un lado de la nueva ecuación aparecía la función zeta y en el otro lado aparecían los números primos:

A primera vista no tenemos la impresión de que el producto de Euler pueda ser de gran ayuda en nuestro interés por comprender los números primos. Después de todo, se trata simplemente de una manera de expresar

algo que ya era conocido por los griegos hace más de dos mil años. En efecto, el mismo Euler no comprendió del todo el alcance de su reescritura de esta propiedad de los primos. Hicieron falta cien años, además de la capacidad de penetración de Dirichlet y de Riemann, para reconocer el alcance del producto de Euler. Dando vueltas a aquella piedra preciosa y observándola desde la perspectiva del siglo XIX, apareció un nuevo horizonte matemático que los antiguos griegos no habrían podido ni siquiera imaginar. En Berlín, Dirichlet quedó fascinado por la manera en que Euler usaba la función zeta para expresar una importante propiedad de

los números primos, una propiedad que los griegos habían demostrado dos mil años atrás. Cuando Euler insertaba el número 1 en la función zeta, el resultado de 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … tendía al infinito. Entendió que esto sólo podía suceder si existían infinitos números primos. La clave para llegar a esta conclusión fue el producto de Euler, que relacionaba la función zeta con los números primos. Aunque los antiguos griegos habían demostrado muchos siglos antes que existían infinitos números primos, la inédita demostración de Euler incorporaba conceptos completamente distintos de los que utilizó Euclides.

Expresar nociones familiares en un nuevo lenguaje puede ser de gran ayuda en muchas ocasiones: la reformulación de Euler sugirió a Dirichlet el uso de la función zeta para demostrar la predicción de Fermat sobre la existencia de infinitos números primos que darían 1 como resultado en una calculadora de reloj. Las ideas de Euclides no habían sido de ninguna utilidad para confirmar la intuición de Fermat. La demostración de Euler, en cambio, proporcionó a Dirichlet la flexibilidad necesaria para contar sólo los números primos que, divididos por un número entero N, daban de resto 1. Funcionó: Dirichlet fue el primero en usar las ideas de Euler

de forma expresa para descubrir algo nuevo sobre los números primos. Era un enorme paso adelante en la comprensión de estos números únicos, pero quedaría un largo camino para alcanzar el Santo Grial. Cuando Dirichlet se trasladó a Gotinga, la posibilidad de que su interés por la función zeta se transmitiera a Riemann fue una cuestión de tiempo. Es probable que Dirichlet hablara con Riemann sobre el poder de aquellas sumas infinitas, pero la cabeza de Riemann todavía estaba ocupada por el extraño mundo de los números imaginarios que había creado Cauchy. Para él, la función zeta representaba

sólo otra función interesante en la que podían insertarse números imaginarios en lugar de los números reales con los que trabajaban sus contemporáneos. Un nuevo y extraño punto de vista apareció ante los ojos de Riemann. Cuantos más folios de cálculos llenaba en su escritorio, mayor era su excitación. Se encontró absorbido en un túnel espacial que lo conducía desde el mundo abstracto de las funciones imaginarias al de los números primos. Súbitamente empezaba a vislumbrar un método que podía explicar por qué la estimación de Gauss sobre la cantidad de números primos se mantenía tan precisa como Gauss había previsto.

Gracias al uso de la función zeta, parecía que la clave para demostrar la conjetura de Gauss sobre los números primos estuviera al alcance de Riemann y que transformaría la intuición de Gauss en la demostración cierta que el propio Gauss había anhelado. Los matemáticos tendrían finalmente la certeza de que la diferencia porcentual entre el logaritmo integral y el número efectivo de números primos se reducía a medida que se iba contando. Pero los descubrimientos de Riemann fueron mucho más allá de esa simple idea: se encontró observando los números primos desde una perspectiva totalmente nueva. De repente, la función zeta se

había puesto a tocar una música capaz de desvelar los secretos de los números primos. El paralizante perfeccionismo que había sufrido Riemann en su época de aprendizaje casi le impidió poner por escrito uno solo de sus descubrimientos. Estaba influido por la insistencia de Gauss sobre la necesidad de publicar sólo demostraciones perfectas, absolutamente libres de lagunas. A pesar de ello, se sintió obligado a explicar y a interpretar una parte de la nueva música que oía. Acababan de llamarlo a la Academia de Berlín, donde se acostumbraba pedir a los nuevos miembros la presentación de una

relación escrita de sus descubrimientos recientes, lo que le obligó a asumir un plazo improrrogable para la elaboración de un ensayo sobre aquellas ideas nuevas. Sería una manera apropiada de mostrar a la Academia su gratitud por la influencia y los consejos de Dirichlet y por los dos años que había pasado en la universidad como estudiante de doctorado. Al fin y al cabo, Berlín era el lugar donde por vez primera había tenido conocimiento del poder que tienen los números imaginarios para abrir nuevos puntos de vista. En noviembre de 1859 Riemann publicó en las notas mensuales de la Academia de Berlín un ensayo sobre sus

descubrimientos. Aquellas diez páginas de densa matemática estaban destinadas a ser las únicas que Riemann publicaría sobre la cuestión de los números primos, y a pesar de ello habrían de tener un efecto fundamental sobre la forma en que serían percibidos. La función zeta proporcionó a Riemann un espejo en el cual los números primos aparecían transformados. Como en Alicia en el país de las maravillas: a través de la madriguera de un conejo, el ensayo de Riemann absorbió en torbellino a los matemáticos, desde el mundo que les era familiar hasta un territorio matemático nuevo y lleno de sorpresas inesperadas. Cuando, en los

siguientes decenios, consiguieron hacer balance de lo obtenido con aquella nueva perspectiva, los matemáticos comprendieron la inevitabilidad y la genialidad de las ideas de Riemann. Sin embargo y a pesar de sus cualidades visionarias, aquel ensayo de diez páginas era profundamente frustrante. Como Gauss, Riemann acostumbraba a borrar sus rastros al escribir. El texto anuncia muchos resultados tentadores que Riemann afirma poder demostrar pero que, en su opinión, no están totalmente a punto para ser publicados. En cierto modo es casi un milagro que escribiera su ensayo sobre los números primos, dadas las

lagunas que contenía. Si hubiera continuado aplazándolo, probablemente habríamos sido privados de una conjetura en particular, que él admitía no poder demostrar: sepultado en su documento de diez páginas, casi invisible, está el enunciado del problema cuya solución vale hoy un millón de dólares: la hipótesis de Riemann. A diferencia de lo que ocurre con muchas de las aserciones que plantea en su ensayo, Riemann es bastante sincero sobre sus propias limitaciones al hablar de la hipótesis que tomará su nombre: «Naturalmente que me gustaría tener una demostración rigurosa de ello, pero he

dejado de lado la búsqueda de esa demostración después de algunos intentos infructuosos, ya que no es necesaria para el objetivo de mi investigación». El objetivo principal de su ensayo berlinés era confirmar que la función de Gauss proporcionaría una aproximación cada vez mejor de la cantidad de números primos a medida que avanzáramos en el cómputo. Aunque había conseguido encontrar los instrumentos que eventualmente permitirían demostrar la conjetura de Gauss sobre los números primos, la solución permaneció fuera de su alcance. Sin embargo, si bien Riemann no proporcionó todas las respuestas, su

ensayo introdujo una forma de aproximación completamente nueva al asunto, una aproximación que fijaría el curso de la teoría de los números hasta nuestros días. Dirichlet, que sin duda habría acogido el descubrimiento de Riemann con gran entusiasmo, murió el 5 de mayo de 1859, pocos meses antes de que el ensayo se publicara. La recompensa de Riemann por su propio trabajo fue la cátedra universitaria que anteriormente había ocupado Gauss y que ahora la muerte de Dirichlet dejaba vacante.

4 LA HIPÓTESIS DE RIEMANN: DE LOS NÚMEROS PRIMOS ALEATORIOS A LOS CEROS ORDENADOS

La hipótesis de Riemann es un enunciado matemático según el cual es posible descomponer los números primos en música. Afirmar que los números primos tienen música en sí mismos es una forma poética de describir este teorema matemático. Sin embargo, se trata de una música claramente postmoderna.

MICHAEL BERRY Universidad de Bristol

Riemann había encontrado un pasadizo que conducía del mundo familiar de los números a una matemática que habría parecido absolutamente extraña a los griegos que habían estudiado los números primos dos mil años antes que él. Había mezclado inocentemente los números imaginarios con su función zeta descubriendo, como un alquimista de las matemáticas, el tesoro que emergía de aquella mezcla de elementos, un tesoro matemático que generaciones enteras habían buscado en vano. Riemann había

planteado sus ideas en un estudio de diez páginas, pero era totalmente consciente de que aquellas ideas abrirían puntos de vista radicalmente nuevos sobre los números primos. La capacidad de Riemann para liberar toda la potencia de la función zeta tiene su origen en los cruciales descubrimientos que hizo durante sus años de estancia en Berlín y durante sus estudios de doctorado en Gotinga. Lo que más había impresionado a Gauss cuando examinaba la tesis de Riemann era la fuerte intuición geométrica que demostraba poseer el joven matemático cuando insertaba números imaginarios en las funciones. Al fin y al cabo, el

mismo Gauss se había aprovechado de su propia y particular imagen mental para trazar sus bocetos de los números imaginarios, antes de construir su andamiaje conceptual. El punto de partida de Riemann para la elaboración de su teoría de las funciones imaginarias había sido el trabajo de Cauchy, y para éste una función estaba definida por una ecuación. Ahora Riemann añadió la idea de que, si bien la ecuación era el punto de partida, lo verdaderamente importante era la geometría de la gráfica de la ecuación. El problema está en la imposibilidad de dibujar la gráfica completa de una función en la que se introduzcan

números imaginarios. Para ilustrar su gráfica, Riemann habría tenido que trabajar en cuatro dimensiones. ¿Qué quieren decir los matemáticos con cuarta dimensión? Quien haya leído los libros escritos por cosmólogos como Stephen Hawking podría legítimamente responder: «el tiempo». La verdad es que los matemáticos utilizamos las dimensiones para cualquier cosa que sea de interés. En física hay tres dimensiones para el espacio y una cuarta dimensión para el tiempo. Los economistas que quieren indagar las relaciones entre tasas de interés, inflación, desempleo y deuda nacional pueden interpretar la economía como un

espacio de cuatro dimensiones. De esta forma, mientras remontan la cuesta en dirección a las tasas de interés, pueden explorar lo que sucede con la economía en las tres direcciones restantes. A pesar de que en realidad no es posible dibujar una imagen de este modelo tetradimensional de la economía, al menos nos da una visión de conjunto que nos permite analizar sus cumbres y valles. Para Riemann, la función zeta se describía en un espacio análogo de cuatro dimensiones: dos dimensiones servían para trazar las coordenadas de los números imaginarios que introducimos en la función zeta, mientras

que la tercera y la cuarta dimensiones se utilizaban para indicar las dos coordenadas que describen el número imaginario resultado de la función. La dificultad consiste en que vivimos en un espacio de tres dimensiones y ello nos impide basarnos en el mundo visible para comprender este nuevo «diagrama imaginario». Los matemáticos utilizan el lenguaje de las matemáticas para adiestrar su capacidad de visualización mental, de forma que les ayude a «ver» tales estructuras. Pero, aunque no estemos en posesión de esta «lente» matemática, existen otras formas de ayudarnos a penetrar en esos mundos de más dimensiones. Uno de los mejores

métodos para comprenderlos es mirar las sombras. La sombra que proyectamos es una imagen bidimensional de nuestro cuerpo tridimensional. Si la observamos desde algunas perspectivas, una sombra puede ofrecer poca información, pero vista de perfil, por ejemplo, la silueta de una persona puede revelar la información necesaria para reconocer una cara. De forma similar, podemos construir una sombra tridimensional del espacio de cuatro dimensiones que Riemann creó utilizando la función zeta, una sombra que conserve información suficiente para permitirnos captar las ideas de Riemann.

El mapa bidimensional de los números imaginarios que ideó Gauss nos da una representación gráfica de los números que introducimos en la función zeta. El eje norte-sur marca el número de pasos a dar en la dirección imaginaria, mientras que el eje esteoeste representa los números reales. Podemos extender este mapa sobre una mesa: lo que pretendemos es crear un paisaje físico situado en el espacio que está sobre este mapa, la sombra de la función zeta se transformará entonces en un objeto físico cuyas cumbres y valles podremos explorar. La altura del espacio que hay sobre cada número imaginario del mapa

debería registrar el resultado que se obtiene al introducir aquel número en la función zeta. Por la misma razón por la que una sombra nos muestra únicamente algunos aspectos de un objeto tridimensional, algunas informaciones se perderán inevitablemente en la construcción gráfica del paisaje. Haciendo girar el objeto obtendremos sombras distintas que nos proporcionarán información distinta. Análogamente, tenemos una cierta capacidad de elección sobre lo que queremos que registre la altura del espacio por encima de cada número imaginario del mapa que hemos extendido sobre la mesa. Sin embargo,

es posible elegir una sombra que recoja suficiente información para permitirnos comprender el descubrimiento de Riemann. Tal perspectiva fue de gran ayuda para Riemann en su viaje en aquel mundo más allá del espejo. Entonces, ¿cuál es esa particular sombra tridimensional de la función zeta?

El espacio zeta. Riemann descubrió cómo continuar el dibujo en un nuevo territorio hacia el oeste.

Cuando Riemann comenzó a explorar este paisaje se topó con algunos aspectos fundamentales de su geografía. Colocándose dentro del

espacio zeta y mirando hacia el este el paisaje era una llanura uniforme que se elevaba una unidad sobre el nivel del mar. Si se giraba y miraba hacia el oeste, veía una cresta de alturas onduladas que iba de norte a sur. Las cimas de estas montañas estaban todas ellas situadas por encima de la línea que cruzaba el eje este-oeste hasta el número 1. Por encima de este punto de intersección había un pico en forma de torre que subía al cielo. Era, en efecto, infinitamente alto: tal y como había descubierto Euler, cuando se inserta el número 1 en la función zeta se obtiene un resultado que tiende al infinito. Si se dirigía hacia el norte o hacia el sur de

esta cumbre de altura infinita, Riemann encontraba otros picos; ninguno de ellos, sin embargo, era de altura infinita. El primer pico aparecía a poco menos de diez pasos hacia el norte, correspondiente al número imaginario 1 + (9,986…)i, y alcanzaba una altura de apenas 1,4 unidades aproximadamente. Si Riemann hubiera hecho girar el espacio y hubiera representado en un diagrama la sección transversal de las colinas correspondientes a la línea de división norte-sur que pasa por 1, habría obtenido algo así:

Sección transversal de la cadena de montañas a lo largo de la línea crítica de la coordenada este-oeste fijada a una unidad este.

Había un aspecto crucial del paisaje que no dejó de atraer la atención de Riemann. Parecía que fuera imposible utilizar la fórmula que define la función

zeta para construir el paisaje al oeste más allá de la cadena montañosa. Riemann tenía el mismo problema que Euler había sufrido al insertar números reales en la función zeta. Cada vez que insertaba un número situado al oeste de 1, las demás montañas de la cadena norte-sur parecían transitables. ¿Por qué entonces no continuaban onduladas, con independencia de los resultados de la función zeta? Con toda seguridad, el paisaje no terminaba allí, en la línea norte-sur. ¿Es posible que no hubiera nada al oeste de esa frontera? Si tenía que hacer caso sólo de las ecuaciones, se diría que no se podía construir otro paisaje que el que se

encuentra al este del 1. Las ecuaciones carecían de sentido cuando se insertaban números situados al oeste del 1. ¿Conseguiría Riemann completar el paisaje? Y, en caso afirmativo, ¿cómo? Afortunadamente, Riemann no se dejó desorientar por la apariencia intratable de la función zeta. Su formación lo había provisto de una perspectiva de la que carecían los matemáticos franceses. Para él, la ecuación sobre la que se basaba un paisaje imaginario debía considerarse como un aspecto secundario. La importancia primordial estaba en la topografía efectiva del paisaje de cuatro dimensiones. Podía suceder que las

ecuaciones no tuvieran sentido, pero la geometría del paisaje sugería otra cosa. Riemann descubrió una fórmula que podía usar para construir el paisaje que faltaba al oeste. Aquel nuevo paisaje podía encajarse perfectamente con el paisaje original. Ahora un explorador del mundo imaginario podría pasar tranquilamente de la región definida por la fórmula de Euler al paisaje creado por la fórmula de Riemann sin tener siquiera conciencia de cruzar una frontera. Llegado a este punto, Riemann disponía de un paisaje completo que cubría el mapa completo de los números imaginarios. Ahora estaba ya preparado

para el movimiento siguiente. Durante sus estudios de doctorado había descubierto dos hechos cruciales e inesperados sobre los espacios imaginarios; en primer lugar había aprendido que estaban dotados de una geometría extraordinariamente rígida. Había una única forma de expandirlos: lo que podía existir al oeste estaba completamente determinado por la geometría del paisaje de Euler al este. Riemann no podía manipular a su gusto su nuevo paisaje para crear alturas donde le apeteciera hacerlo: cualquier modificación provocaría un descosido en la costura que separaba los dos espacios.

La inflexibilidad de tales paisajes imaginarios suponía un importante descubrimiento. Cuando un cartógrafo de mundos imaginarios traza una pequeña región cualquiera del paisaje, ello le basta para reconstruirlo completo. Riemann había descubierto que las alturas y los valles presentes en una región contienen información sobre la topografía del paisaje completo. Se trata de un hecho realmente sorprendente; no esperaríamos que un cartógrafo del mundo real, tras dibujar los alrededores de Oxford, pudiera ya deducir el mapa completo de las Islas Británicas. Pero Riemann hizo un segundo

descubrimiento crucial en relación a ese extraño nuevo tipo de matemática. Descubrió lo que podríamos considerar como el ADN de los espacios imaginarios: cualquier cartógrafo matemático capaz de trazar sobre el mapa imaginario bidimensional los puntos en los que el paisaje coincide con el nivel del mar será capaz de reconstruir la configuración del paisaje completo. El mapa que indica tales puntos es el mapa del tesoro de cualquier paisaje imaginario. Se trataba de un descubrimiento sorprendente. Un cartógrafo que viva en nuestro mundo real no podría reconstruir los Alpes sabiendo la posición de todos los puntos

del mundo que se hallan al nivel del mar. Sin embargo, en los espacios imaginarios, la posición de todos los números imaginarios que tienen imagen cero lo describe todo. Estos puntos reciben el nombre de ceros de la función zeta. Los astrónomos están muy acostumbrados a deducir la composición química de astros lejanos sin necesidad de visitarlos. La luz que proviene de un astro puede analizarse gracias a la espectroscopia y contiene información suficiente para que conozcamos su química. Estos ceros se comportan de la misma manera que el espectro de luz emitido por un compuesto químico.

Riemann sabía que lo único que tenía que hacer era marcar todos los puntos del mapa en los cuales la altura del paisaje zeta fuera igual a cero. Las coordenadas de todos estos puntos situados al nivel del mar darían información suficiente para reconstruir todas las alturas y valles sobre el nivel del mar. Riemann no olvidaba cuál había sido el punto de partida de su exploración: el big bang que había creado el paisaje zeta era la fórmula con la que Euler había definido la función zeta, una fórmula que, gracias al producto de Euler, podía construirse utilizando sólo números primos. Y si ambas cosas —los

números primos y los ceros de la función zeta— daban lugar al mismo espacio, Riemann sabía que tenía que existir algún nexo que los ligara: un único objeto construido de dos maneras distintas. Fue el genio de Riemann el que desveló cómo aquellas dos entidades eran dos caras de la misma ecuación.

NÚMEROS PRIMOS Y CEROS

La conexión que Riemann consiguió encontrar entre los números primos y los puntos situados a nivel del mar en el

paisaje zeta no podía ser más directa. Gauss había intentado estimar cuántos números primos había entre 1 y un número N cualquiera. Pero Riemann, usando las coordenadas de aquellos ceros, pudo crear una fórmula que diera el número exacto de primos no mayores q ue N. La fórmula que Riemann ideó tenía dos ingredientes clave; el primero era una nueva función R(N) que servía para estimar el número de primos no mayores que N y que básicamente proporcionaba una estimación mejor que la de Gauss. La nueva función contenía todavía algunos errores, pero los cálculos de Riemann determinaron que tales errores eran notablemente menores

que los que contenía la fórmula de Gauss. Para poner un ejemplo, el logaritmo integral de Gauss predecía la existencia de 754 números primos más de los que realmente hay en el intervalo comprendido entre 1 y cien millones. La función perfeccionada que Riemann introdujo predecía sólo 97 de más, con un error aproximado de la milésima parte del uno por ciento. La siguiente tabla evidencia la precisión de la nueva función de Riemann en la estimación de la cantidad de primos no mayores que N desde 102 hasta 1016.

Sobreestimación de la función de Riemann R(N)

Sobrees de la fu Gauss

N

Número de primos p(N) comprendidos entre 1 y N

102

25

1

103

168

0

104

1,229

−2

105

9.592

−5

106

78.498

29

107

664.579

88

108

5.761.455

97

109

50.84.7534

−79

1010

455.052.511

−1.828

1011

4.118.054.813

−2.318

1012

37.607.912.018

−1.476

1013

346.065.536.839

−5.773

10

1014

3.204.941.750.802

−19.200

31

1015

29.844.570.422.669

73.218

1.05

1016

279.238.341.033.925

327.052

3.21

Aunque la nueva función de Riemann representaba una mejora en relación a la función logaritmo de Gauss, seguía produciendo algunos errores. Pero la excursión de Riemann por el mundo imaginario le dio acceso a algo que Gauss ni siquiera habría soñado con obtener: un método para eliminar los errores. Riemann comprendió que, usando los puntos del mapa de los números imaginarios que señalaban los lugares en los que el espacio zeta estaba al nivel del mar, podía deshacerse de los errores y obtener una fórmula exacta para contar los números primos. Ese fue el segundo ingrediente clave de su

fórmula. Euler había hecho un descubrimiento sorprendente: si se insertaba un número imaginario en la función exponencial se obtenía una onda sinusoidal. La curva en rápido ascenso que se asocia normalmente a la función exponencial se transformaba, con la introducción de estos números imaginarios, en una curva de marcha sinuosa de las que habitualmente se asocian con las ondas sonoras. Su descubrimiento abrió una vía para la exploración de los extraños nexos que sacaban a la luz los números imaginarios: Riemann comprendió que era posible extender el descubrimiento de Euler usando su mapa de puntos

correspondientes a los ceros del paisaje imaginario. En aquel mundo del otro lado del espejo consiguió ver cómo, usando la función zeta, cada uno de aquellos puntos se podía transformar en una onda específica. Cada onda tendría el aspecto de una variación en el diagrama de una función seno. Las características de cada onda venían determinadas por la posición del correspondiente cero. Cuanto más al norte se situaba un punto al nivel del mar, más rápidamente oscilaba la onda correspondiente. Si imaginamos esta onda como una onda sonora, la nota asociada a un cero resulta tanto más aguda cuanto más al norte se sitúa el

correspondiente cero en el paisaje zeta. ¿Por qué tales ondas —estas notas musicales— eran útiles para contar los números primos? Riemann hizo un descubrimiento espectacular: en las alturas variables de aquellas ondas estaba codificado el modo de corregir los errores que aparecían en su estimación de la cantidad de números primos. La función R(N) proporcionaba una estimación razonablemente buena de la cantidad de primos menores o iguales q u e N, pero si a esta estimación le añadía la altura de cada onda por encima del número N, podía obtener el número exacto de primos: había eliminado completamente el error.

Había conseguido desenterrar el Santo Grial que Gauss había buscado en vano: una fórmula exacta para calcular el número de primos menores o iguales que N. La ecuación que describe este descubrimiento puede resumirse con palabras simplemente como «números primos = ceros = ondas». Para un matemático, la fórmula de Riemann que proporciona el número de primos en términos de ceros tiene un impacto similar al de la ecuación de Einstein E = mc2, que reveló la existencia de una conexión directa entre masa y energía. Como la ecuación de Einstein, ésta es una fórmula de conexiones y

transformaciones: Riemann fue testigo de la paulatina metamorfosis de los números primos. Los números primos crean el paisaje zeta, y los puntos que en tal paisaje se encuentran al nivel del mar son la clave para desentrañar sus secretos. A continuación emerge una nueva conexión consistente en que cada uno de aquellos puntos a nivel del mar produce una onda, una nota musical. Finalmente, Riemann retornó al punto de partida para mostrar de qué manera estas ondas permitían contar en cantidad exacta de números primos. Riemann debió de quedarse asombrado al ver el círculo cerrarse de forma tan espectacular.

Riemann sabía que, dado que existen infinitos números primos, en el paisaje zeta existen infinitos puntos que se encuentran al nivel del mar. Por tanto, tienen que existir infinitas ondas que permitan mantener los errores bajo control. Hay una manera muy gráfica de ver que la adición de cada onda suplementaria mejora la estimación de la cantidad de números primos que proporciona la fórmula de Riemann: antes de añadir las ondas que corresponden a los ceros, la gráfica de la función de Riemann R(N) (ver gráfica adjunta, arriba) no se parece en absoluto a la escalinata que representa el número efectivo de números primos (abajo). En

el primer caso tenemos una curva uniforme mientras que en el segundo aparece una curva dentada.

El reto: pasar de la gráfica uniforme de la función de Riemann (arriba), a la gráfica escalonada que representa el verdadero número de números primos, (abajo).

Basta con tener en cuenta los errores previstos por las treinta ondas creadas por los treinta primeros ceros que

encontramos cuando miramos al norte en el paisaje zeta, para que se produzca un efecto más que evidente: la gráfica de Riemann se transforma respecto a la curva de R(N) y se parece mucho más a la escalinata que describe el verdadero número de números primos:

Efecto que se obtiene al añadir las treinta primeras ondas a la gráfica uniforme de Riemann.

Cada nueva onda retuerce un poco más la curva perfectamente uniforme de partida. Riemann comprendió que cuando añadiera las infinitas ondas, una por cada punto a nivel del mar, que encontraba a medida que avanzaba hacia el norte en el paisaje zeta, la curva se superpondría exactamente con la escalinata de los números primos. Una generación antes, Gauss había descubierto la que consideró como la moneda que la naturaleza lanzaba al aire para elegir los números primos. Las ondas que Riemann descubrió eran los

verdaderos resultados de los lanzamientos que la naturaleza había hecho: las alturas de cada una de aquellas ondas para el número N predecían para cada lanzamiento si la moneda de los números primos daría cara o cruz. Si el descubrimiento de la relación entre números primos y logaritmos que había conseguido Gauss permitió prever el comportamiento medio de los números primos, Riemann identificó lo que controlaba tal comportamiento hasta los más mínimos detalles: había hallado la lista completa de los billetes ganadores de la lotería de los números primos.

LA MÚSICA DE LOS NÚMEROS PRIMOS

Durante siglos los matemáticos escucharon los números primos sin oír nada más que un ruido desorganizado. Aquellos números eran como notas diseminadas por el pentagrama de forma totalmente aleatoria, en un caos del que no emergía ninguna melodía reconocible. Ahora Riemann había descubierto oídos nuevos con los que escuchar aquellas misteriosas tonadas: las ondas sinusoidales que creó usando los ceros de su espacio zeta revelaban la existencia de una estructura armónica escondida.

Al percutir su recipiente, Pitágoras había desvelado la armonía musical que se ocultaba en una sucesión de fracciones. Mersenne y Euler, dos grandes expertos en números primos, habían creado la teoría de los armónicos. Pero ninguno de ellos sospechó siquiera que se pudieran dar relaciones directas entre la música y los números primos: la de los números primos era una melodía que para ser captada necesitaba oídos matemáticos del siglo XIX. El mundo imaginario de Riemann generó simples ondas que, juntas, pudieron reproducir las armonías sutiles de los números primos. Un matemático comprendió mejor

que todos los demás hasta qué punto la fórmula de Riemann captaba la música que se escondía tras los números primos: Joseph Fourier. Huérfano, Fourier se educó en una escuela militar dirigida por monjes benedictinos. Hasta los trece años, cuando descubrió el encanto de las matemáticas, fue un chico indisciplinado. Fourier estaba destinado a ser monje, pero los sucesos de 1789 lo liberaron de las perspectivas que para él tenía preparadas el período prerrevolucionario. Ahora podía ya dedicarse a su pasión por las matemáticas y por la vida militar. Fourier fue un entusiasta defensor de la Revolución, y enseguida atrajo la

atención de Napoleón. El futuro emperador estaba instituyendo las academias de las que deberían salir los maestros e ingenieros que habrían de dinamizar la revolución cultural y militar. Cuando comprobó la capacidad excepcional de Fourier no sólo como matemático sino también como maestro, Napoleón lo nombró profesor de matemáticas en la Ecole Polytechnique. Napoleón quedó tan impresionado por los logros de su protegido que lo reclutó para la legión de científicos y artistas que acompañaron a las tropas que invadieron Egipto en 1798 con el objetivo de «civilizarlo». Lo que empujaba a Napoleón a aquella

expedición era en realidad el deseo de poner fin a la creciente supremacía colonial inglesa, pero en su programa también se preveía la oportunidad de estudiar el mundo antiguo. Su ejército de intelectuales se puso manos a la obra en cuanto embarcaron en el Orient, el buque insignia de Napoleón, camino de las costas septentrionales de África. Cada mañana, Napoleón anunciaba el tema con el que sus embajadores académicos lo entretendrían por la noche: mientras la marinería se afanaba con jarcias y velamen, bajo cubierta Fourier y sus compañeros se aventuraban en los temas preferidos por Napoleón, desde la edad de la Tierra

hasta la posibilidad de la existencia de otros mundos habitados. Al llegar a Egipto no todo sucedió según lo previsto: tras conquistar El Cairo por la fuerza en la batalla de las Pirámides en julio de 1798, Napoleón sufrió la desilusión de descubrir que los egipcios no parecían apreciar la alimentación cultural forzosa que les suministraba gente del calibre de Joseph Fourier. Cuando trescientos de sus hombres fueron degollados en una escaramuza nocturna, Napoleón decidió minimizar pérdidas y regresar a ocuparse de los disturbios que se estaban urdiendo en París. Zarpó sin decir a ninguno de los miembros de su

ejército de intelectuales que los estaba abandonando. Fourier, encallado en El Cairo, no tenía rango suficiente para poner tierra de por medio sin riesgo de ser fusilado como desertor, y no tuvo más remedio que quedarse en el desierto. Consiguió volver a Francia en 1801, cuando los franceses decidieron dejar a los ingleses el trabajo de «civilizar» Egipto. Durante su estancia en aquel país, Fourier se volvió adicto al calor sofocante del desierto; en París tenía su vivienda a una temperatura tan alta que sus amigos la comparaban con los hornos del infierno. Estaba convencido de que el extremo calor contribuía a

mantener el cuerpo sano y que incluso podía curar algunas enfermedades. Sus amigos lo encontraban cubierto como una momia egipcia, sudando en una habitación ardiente como el Sahara. La predilección de Fourier por el calor se extendía a su trabajo académico. Conquistó su lugar en la historia de las matemáticas por su análisis de la propagación del calor, una obra que el físico inglés Lord Kelvin definió como «un gran poema matemático». Fourier redobló sus esfuerzos cuando la Academia de París anunció la concesión del Grand Prix des Mathématiques de 1812 a quien desvelara los misterios de la

propagación del calor en la materia. Fourier recibió el premio como reconocimiento a la novedad e importancia de sus ideas, pero tuvo que encajar algunas críticas procedentes, entre otros, de Legendre. Los jueces del Grand Prix constataron que buena parte de su tratado contenía errores y que su tratamiento matemático no era ni mucho menos riguroso. Fourier se ofendió profundamente por las críticas de la Academia, pero reconoció que todavía le quedaba mucho trabajo por hacer. Al tiempo que corregía los errores de su análisis, Fourier intentaba comprender la naturaleza de las gráficas que representaban los fenómenos

físicos; por ejemplo, la gráfica que muestra cómo la temperatura varía según transcurre el tiempo, o la gráfica que representa una onda sonora. Sabía que se puede representar el sonido mediante un diagrama en cuyo eje horizontal se señala el tiempo mientras que en el eje vertical se controlan el volumen y el nivel del sonido en cada instante. Fourier empezó por el diagrama del sonido más sencillo que existe. Si se hace vibrar un diapasón, al trazar la gráfica de la onda sonora resultante se descubre que se trata de una onda sinusoidal perfecta, pura. Fourier empezó a estudiar la manera de construir ondas más complejas combinando estas

ondas sinusoidales puras. Si un violín toca la misma nota que un diapasón, el sonido que produce es muy distinto. Como hemos visto (pág. 128), la cuerda de un violín no sólo vibra en la frecuencia fundamental, que viene determinada por su longitud: junto a aquella nota hay otras, los armónicos, que corresponden a fracciones simples de la longitud de la cuerda. Las gráficas de cada una de estas notas son también ondas sinusoidales, pero de frecuencias más altas; se trata de una combinación de todas estas notas puras, dominada por la nota fundamental, la más baja, que crea el sonido emitido por una cuerda de violín. La gráfica de este sonido

compuesto se parece a los dientes de una sierra. ¿Por qué un clarinete emite un sonido tan característicamente distinto de un violín que toca la misma nota? La gráfica de la onda sonora creada por el clarinete no se parece en nada a la onda erizada del violín: se trata de una función de onda escuadrada, como un perfil de almenas sobre los muros de un castillo. La causa de la diferencia está en que el clarinete está abierto por uno de sus extremos, mientras que la cuerda de un violín está fija por ambos lados. Ello implica que los armónicos producidos por el clarinete varíen con respecto de los del violín, y por esta

razón la gráfica producida por el sonido del clarinete está formada por ondas sinusoidales que oscilan frecuencias diferentes. Fourier comprendió que incluso la complicada gráfica que representa el sonido de una orquesta completa podía descomponerse en simples curvas sinusoidales de las notas fundamentales y de los armónicos de cada particular instrumento. Como cada una de las ondas sonoras puras puede reproducirse con un diapasón, Fourier había demostrado que tocando un enorme número de diapasones simultáneamente se puede crear el sonido de una orquesta completa: alguien con los ojos vendados

no podría decir si está escuchando una auténtica orquesta o millares de diapasones. Sobre este principio se basa el sonido codificado en un CD: éste envía instrucciones a nuestros altavoces sobre cómo vibrar para crear todas las ondas sinusoidales que componen la música. Esta combinación de ondas sinusoidales nos da la sensación milagrosa de tener una orquesta o un conjunto tocando en vivo en nuestro salón. Sin embargo, no era sólo el sonido de los instrumentos musicales lo que podía reproducirse sumando entre sí ondas sinusoidales puras de frecuencias distintas. Por ejemplo, el ruido blanco

que emite una radio no sintonizada o un grifo abierto puede representarse como una suma infinita de ondas sinusoidales. Al contrario de lo que ocurre con las distintas frecuencias necesarias para reproducir el sonido de una orquesta, el ruido aleatorio de una radio se compone de una gama continua de frecuencias. Las intuiciones revolucionarias de Fourier no se limitaron a la reproducción de los sonidos: empezó a comprender que era posible usar las ondas sinusoidales para trazar gráficas que proporcionaban una representación de otros fenómenos físicos y matemáticos. Entre los contemporáneos de Fourier eran muchos los que tenían

dudas sobre la posibilidad de que una simple curva como la onda sinusoidal pudiera utilizarse como elemento de base para construir gráficas complicadas del sonido de una orquesta o de un grifo abierto. En efecto, muchos matemáticos franceses autorizados expresaron su vigorosa oposición a las ideas de Fourier. Sin embargo, alentado por su relación prestigiosa con Napoleón, Fourier no evitó el reto planteado por tales autoridades. Mostró cómo, con una elección apropiada de ondas sinusoidales oscilantes a distintas frecuencias, se podía crear una gama completa de gráficas complejas. Sumando las alturas de las ondas

sinusoidales se podían reproducir las formas de estas gráficas, de la misma forma en que un CD combina las notas puras que emite el diapasón para recrear sonidos musicales complejos. Esto es lo que Riemann consiguió hacer en su ensayo de diez páginas. Reprodujo la gráfica escalonada que indicaba la cantidad de números primos utilizando idéntica técnica: sumó las alturas de las funciones de onda que había obtenido de los ceros del espacio zeta. Por esta razón, Fourier reconoció en la fórmula de Riemann para el cálculo de la cantidad de primos el descubrimiento de las notas básicas que componen el sonido de los números

primos. Este complicado sonido se representa con la gráfica escalonada. Las ondas que Riemann había creado a partir de los ceros, de los puntos situados al nivel del mar en el paisaje, eran como sonidos emitidos por el diapasón, simples notas nítidas, sin armónicos. Al tocarlas simultáneamente estas notas reproducían el sonido de los números primos. Pero ¿cómo es la música de los números primos que compuso Riemann? ¿Se trata del sonido de una orquesta o más bien se parece al ruido blanco de un grifo abierto? Si las frecuencias de las notas de Riemann cubren una gama continua, entonces los números primos producen ruido blanco;

pero si las frecuencias son notas aisladas, el sonido de los números primos se parece a la música de una orquesta. Dado el carácter aleatorio de los números primos, es muy lícito esperar que la combinación de las notas que tocan los ceros del paisaje de Riemann no sea más que ruido. La coordenada norte-sur de cada cero determina la altura de la nota correspondiente: si el sonido de los números primos fuera efectivamente ruido blanco, en el espacio zeta debería darse una concentración de ceros. Y Riemann sabía, a partir de la tesis que había escrito para Gauss, que tal

concentración de puntos a nivel del mar comportaría necesariamente que todo el paisaje estuviera al nivel del mar. Evidentemente no era así. El sonido de los números primos no era, por tanto, un ruido blanco: los puntos situados al nivel del mar tenían que ser puntos aislados y, en consecuencia, debían producir una colección de notas aisladas. La naturaleza había escondido en los números primos la música de una orquesta matemática.

LA HIPÓTESIS DE RIEMANN: ORDEN A PARTIR DEL CAOS

Lo que Riemann había hecho era tomar cada uno de los puntos situados al nivel del mar en el mapa del mundo imaginario. A partir de cada punto había creado una onda, una nota emitida por cierto instrumento matemático: al combinar todas estas ondas obtuvo una orquesta que tocaba la música de los números primos. La coordenada nortesur de cada punto a nivel del mar controlaba la frecuencia de la onda, es decir, la altura de la nota correspondiente; en cambio, la coordenada este-oeste controlaba, tal y como había comprendido Euler, la intensidad a la que sonaría cada nota. Cuanto mayor fuera la intensidad de la

nota, tanto mayores eran las fluctuaciones de su gráfica ondulada. Riemann tenía interés en comprender si alguno de los ceros sonaría con una intensidad significativamente mayor que los demás: un cero así produciría una onda cuya gráfica oscilaría más que el resto de las ondas y, en consecuencia, tendría un papel más importante en la cuenta de los números primos; al fin y al cabo son las alturas de estas ondas las que controlan la diferencia entre la estimación de Gauss y la verdadera cantidad de números primos. ¿Había algún instrumento de esta orquesta de números primos que tocara un solo por encima de los demás instrumentos?

Cuanto más al este se situaba un punto al nivel del mar, más intensa era la nota: para determinar el balance de la orquesta, Riemann tenía que volver atrás y observar las coordenadas de cada uno de los ceros en su mapa imaginario. Conviene subrayar que, hasta aquel momento, su análisis había funcionado sin necesidad de conocer la posición de ninguno de los puntos a nivel del mar: sabía que algunos de los ceros que se encontraban al oeste eran fáciles de identificar, pero no aportaban ninguna contribución interesante al sonido de los números primos porque no tenían tono. Con su típico estilo despectivo, los matemáticos los llamarían enseguida

ceros triviales. Riemann fue a la caza de las posiciones de los demás ceros. En cuanto empezó a analizar la posición exacta de estos puntos, se sorprendió muchísimo: en lugar de distribuirse de manera aleatoria por todo el mapa con algunas notas más intensas que otras, los ceros que calculaba parecían disponerse milagrosamente sobre una recta que cruzaba el paisaje en dirección nortesur. Era como si cada punto situado al nivel del mar tuviera la misma coordenada este-oeste, igual a 1/2. Si era cierto, significaba que las ondas correspondientes estaban perfectamente equilibradas, que ninguna de ellas

producía una nota más intensa que las demás.

El mapa del tesoro de los números

primos que descubrió Riemann. Las cruces indican las posiciones de los puntos que se encuentran al nivel del mar en el espacio zeta.

El primer cero que Riemann calculó tenía coordenadas (1/2, 14,134 725…): medio paso al este y aproximadamente 14,134 725 pasos al norte. El siguiente cero tenía coordenadas (1/2, 21,022 040…). (Durante años fue un misterio cómo consiguió calcular las posiciones de estos ceros). Calculó el tercer cero en la posición (1/2, 25,010 856…). Estos ceros no parecían distribuirse de forma aleatoria en absoluto: los cálculos de Riemann indicaban que estaban alineados, como

si se encontraran a lo largo de una recta mágica que cruzaba el espacio. Riemann pensó que el comportamiento uniforme de los pocos ceros que consiguió calcular no era una coincidencia. La idea de que cada punto situado al nivel del mar en el espacio se encuentra sobre aquella recta tomó el nombre de hipótesis de Riemann. Riemann miró la imagen de los números primos en el espejo que separaba el mundo de los números del paisaje matemático zeta. Mientras observaba, vio cómo la disposición caótica de los números primos en un lado del espejo se transformaba en el orden absolutamente rígido de los ceros

del otro lado del espejo. Por fin, Riemann había identificado la misteriosa estructura que durante siglos y siglos los matemáticos habían deseado ardientemente captar cuando observaban los números primos. El descubrimiento de este patrón fue totalmente inesperado: Riemann tuvo la suerte de ser la persona adecuada en el lugar y en el momento adecuados; no podía prever lo que hallaría al otro lado del espejo, pero lo que allí encontró transformó completamente la empresa de comprender los misterios de los números primos. Ahora los matemáticos tenían un nuevo espacio para explorar: si conseguían orientarse en el territorio

de la función zeta y construir un diagrama de los lugares situados al nivel del mar, los números primos podrían revelar sus secretos. Riemann también descubrió el rastro de la existencia de una recta mágica que cruzaba este espacio y cuyo alcance conducía directamente al corazón de las matemáticas. La importancia de la recta mágica de Riemann puede juzgarse por el nombre que hoy día le dan los matemáticos: la línea crítica. En un instante, el enigma de la distribución aleatoria de los números primos en el mundo real quedó sustituido por el intento de comprender la armonía del paisaje imaginario que se encontraba al

otro lado del espejo. Dado que hay infinitos números primos, los pocos fragmentos que Riemann había descubierto parecían elementos de prueba más bien precarios como base para la construcción de una teoría. A pesar de ello, Riemann sabía que la recta mágica tenía un importante significado. Sabía ya que el eje esteoeste indicaba un eje de simetría en el paisaje zeta: todo lo que sucedía al norte del eje se reflejaba de forma idéntica en el sur. Pero Riemann hizo un descubrimiento de mucho mayor alcance: la recta mágica —la línea norte-sur que pasa por el punto 1/2— también era un importante eje de

simetría. Plausiblemente, este hecho le proporcionó a Riemann una razón para creer que la naturaleza también había utilizado esta línea de simetría para ordenar los ceros. Lo más extraordinario que sucedía en relación con este importantísimo descubrimiento de Riemann es que sus cálculos de las posiciones de los pocos ceros iniciales no aparecía por ninguna parte en el ensayo sobre los números primos que escribió para la Academia de Berlín. De hecho, en la versión del ensayo que se publicó tenemos dificultades para localizar alguna referencia explícita a este descubrimiento. Riemann sólo escribe

que muchos de los ceros hacen su aparición sobre aquella recta, y que es «bastante probable» que suceda lo mismo con todos los demás ceros. Sin embargo, en el ensayo admite no haberse esforzado mucho para demostrar su hipótesis. En realidad Riemann tenía el objetivo mucho más inmediato de demostrar la conjetura de Gauss sobre los números primos, es decir, explicar por qué la estimación de los números primos que dio Gauss se hacía cada vez más precisa a medida que se contaba un número cada vez mayor de primos. Pero también esta demostración se le escapaba: Riemann comprendió que, si

su intuición sobre la recta mágica era verdadera, entonces de ella se deduciría que Gauss tenía razón. Tal y como Riemann había descubierto, era posible describir los errores presentes en la fórmula de Gauss por medio de la posición de cada cero: cuanto más al este se situaba un cero, mayor era la intensidad de la onda; cuanto mayor era la intensidad de la onda, más grande era el error. Por esta razón la predicción de Riemann sobre la posición de los ceros era tan importante para las matemáticas: si tenía razón, es decir, si todos los ceros se situaban sobre la recta mágica, significaba que la estimación de Gauss sería siempre increíblemente precisa.

La publicación del ensayo de diez páginas supuso un breve período de felicidad en la vida de Riemann: tuvo el honor de heredar la cátedra que sus dos mentores, Gauss y Dirichlet, habían ocupado; sus hermanas se instalaron en Gotinga tras la muerte del hermano que las mantenía, en 1857: la proximidad de la familia levantó la moral de Riemann, y se alejaron un poco las depresiones que había sufrido durante los años anteriores. Gracias al sueldo de profesor, se libró de la indigencia que tuvo que soportar en su época de estudiante; y por fin pudo permitirse un alojamiento decoroso e incluso una gobernanta, lo que le permitió dedicar

su tiempo a trabajar las ideas que le rondaban por la cabeza. Sin embargo, no volvió jamás a ocuparse de los números primos. Continuó detrás de su intuición geométrica y elaboró una noción de geometría del espacio destinada a convertirse en una de las piedras angulares de la teoría de la relatividad de Einstein. Aquella época de buena fortuna culminó con su matrimonio con Elise Koch, una amiga de su hermana; pero al cabo de apenas un mes, Riemann enfermó de pleuresía: a partir de aquel momento su mala salud ya no le dio tregua nunca más. En muchas ocasiones buscó refugio en la campiña italiana. Se

sintió especialmente atraído por Pisa, la ciudad en que nació su único hijo, una niña a la que llamaron Ida. Riemann disfrutaba con aquellos viajes a Italia no sólo por el buen clima, sino también por la vivacidad intelectual que encontraba: durante aquella época la comunidad matemática italiana fue la más abierta a sus ideas revolucionarias. Su última visita a Italia no fue para huir del clima húmedo de Alemania, sino de un ejército invasor: en 1866 los ejércitos de Hannover y de Prusia se enfrentaron en Gotinga. Riemann se quedó aislado en los locales donde se alojaba, en el viejo observatorio de Gauss, fuera de las murallas de la

ciudad. A juzgar por el estado en que los dejó, Riemann debió de marcharse a Italia a toda prisa. Aquel golpe fue excesivo para su frágil constitución: siete años después de la publicación de su ensayo sobre los números primos, Riemann moría a la temprana edad de treinta y nueve años. Ante el desorden que Riemann había dejado, su gobernanta destruyó muchos de sus apuntes inéditos antes de que algunos miembros de la Facultad de Gotinga pudieran detenerla. Las cartas que sobrevivieron fueron entregadas a su viuda y desaparecieron durante años. Es difícil resistir la tentación de especular sobre lo que se habría

encontrado si la gobernanta de Riemann no hubiera estado tan ansiosa de poner orden en su estudio: una afirmación de Riemann en su ensayo de diez páginas indica que se creía capaz de demostrar que la mayor parte de los ceros se hallaban sobre la recta mágica; su perfeccionismo le impidió desarrollar el tema, y se limitó a escribir que la demostración todavía no estaba preparada para su publicación. Entre sus cartas inéditas nunca se halló tal demostración, y hasta hoy los matemáticos no han conseguido reconstruirla. Aquellas páginas desaparecidas de Riemann intrigan tanto como la anotación en la que Fermat

afirmaba poseer una demostración de su último teorema. Algunos apuntes inéditos que sobrevivieron al fuego de la gobernanta reaparecieron al cabo de cincuenta años. Lo más frustrante es que de ellos se deduce que Riemann realmente había demostrado mucho más de lo que publicó. Pero, por desgracia, muchas de las cartas en las que se describían con todo detalle los resultados que Riemann dejaba entender que había comprendido al menos en parte probablemente se perdieron para siempre en el hornillo de una gobernanta demasiado ordenada.

5 LA CARRERA DE RELEVOS MATEMÁTICA: COMIENZA LA REVOLUCIÓN RIEMANIANA

Un problema de teoría de los números es eterno como una obra de arte. DAVID HILBERT Introducción a The Elements of the Theory of Algebraic Numbers, de LEGHT WILBER REID

Euclides en Alejandría, Euler en San

Petersburgo; el trío de Gotinga: — Gauss, Dirichlet, Riemann—: el problema de los números primos pasaba como un testigo de generación en generación. Las nuevas perspectivas de cada generación proporcionaban el impulso para el siguiente relevo: cada oleada de matemáticos iba dejando su propia marca característica en los números primos, reflejo de la particular visión cultural de su época sobre las matemáticas. Sin embargo, las contribuciones de Riemann fueron tan lejos en este campo que hicieron falta más de treinta años para que alguien pudiera aprovechar aquel impetuoso torrente de nuevas ideas.

Más tarde, en 1885, repentinamente pareció que las apuestas se ponían sobre la mesa. Aunque no tan rápidamente como habría de suceder más de un siglo más tarde con la inocentada que Bombieri difundió por correo electrónico, una noticia sensacional empezó a circular: un personaje poco conocido no sólo había cogido el testigo de Riemann, sino que había cruzado la línea de meta. Un matemático holandés, Thomas Stieltjes, decía estar en posesión de una demostración de la hipótesis de Riemann, una demostración que confirmaba que todos los ceros se encontraban sobre la recta mágica de Riemann que pasa por 1/2. Stieltjes era

un ganador poco fiable: en su época de estudiante había suspendido tres veces los exámenes universitarios para desesperación de su padre, que era miembro del parlamento holandés y eminente ingeniero encargado de la construcción de los muelles portuarios de Rotterdam. Pero los fracasos de Stieltjes no se debían a la pereza: lo único que le distraía era el simple placer de leer auténticas matemáticas en la biblioteca de Delft, en lugar de dedicarse intensamente a los ejercicios técnicos que debería de haber preparado para sus exámenes. Uno de sus autores preferidos fue Gauss, a quien pretendía emular. Y

como Gauss había trabajado en el observatorio de Gotinga, Stieltjes se empleó en el observatorio de Leiden. Aquella plaza apareció como por ensalmo gracias a una sugerencia de su influyente padre al director del observatorio, aunque Stieltjes nunca fue consciente de tal ayuda. Cada vez que apuntaba al cielo con su telescopio, su imaginación no estaba pendiente de la posibilidad de medir las posiciones de nuevas estrellas, sino de las matemáticas del movimiento celeste. Cuando germinaron sus ideas, decidió escribir a uno de los eminentes matemáticos de las famosas academias francesas, Charles Hermite.

Hermite había nacido en 1822, cuatro años antes que Riemann. Ahora, con más de sesenta años, era uno de los abanderados de la obra de Cauchy y de Riemann sobre las funciones de números imaginarios. La influencia de Cauchy no se limitaba a las matemáticas: en su juventud Hermite había sido agnóstico, pero Cauchy, que era devoto católico, aprovechó un momento suyo de debilidad durante una grave enfermedad para convertirlo al catolicismo. El resultado fue una extraña mezcla de misticismo matemático semejante al culto pitagórico. Hermite creía que la existencia matemática era una especie de estado sobrenatural al que los

matemáticos mortales sólo fugazmente podían echar algún vistazo. Quizá fue esta la razón por la cual respondió con tanto entusiasmo a la carta que le mandaba un oscuro asistente del observatorio de Leiden: se debió convencer de que, mirando las estrellas, aquel astrónomo había recibido el don de una visión matemática especialmente intensa. Muy pronto ambos se vieron envueltos en una impetuosa correspondencia matemática que, en un período de doce años, supuso el intercambio de 432 cartas. Hermite estaba impresionado por las ideas matemáticas del joven holandés y, aunque Stieltjes no era licenciado, le dio

su apoyo y consiguió que lo recompensaran con una cátedra en la Universidad de Toulouse. En una carta a Stieltjes a propósito de su trabajo, Hermite escribió: «Vous avez toujours raison et jai toujours tort» [Usted siempre tiene razón y yo siempre me equivoco]. Durante el período en que mantenía esta correspondencia, Stieltjes hizo la extraordinaria afirmación de haber demostrado la hipótesis de Riemann. Dada la confianza de Hermite en su joven protegido, no se planteó la posibilidad de dudar de que Stieltjes hubiera efectivamente conseguido concebir una demostración; al fin y al

cabo, había hecho ya aportaciones en otras ramas de las matemáticas. Puesto que la conjetura de Riemann todavía no había tenido tiempo de adquirir el carácter de duro reto que tiene en la actualidad, el anuncio de Stieltjes se recibió con menos entusiasmo del que hoy suscitaría. Riemann no había pregonado su intuición sobre los ceros, sino más bien la había enterrado cuidadosamente en su ensayo de diez páginas sin dar apenas indicios que la apoyaran. Haría falta una nueva generación para que la importancia de la hipótesis de Riemann se comprendiera en toda su magnitud. En todo caso, el anuncio de Stieltjes era

excitante, ya que demostrar la hipótesis de Riemann significaría demostrar también la conjetura de Gauss sobre los números primos, que en aquella época era el Santo Grial de la teoría de los números. Para N = 1.000.000, la estimación de la cantidad de números primos que da el logaritmo integral Li(N) de Gauss produce un error del 0,17 por ciento. Cuando se consiguió contar la cantidad de números primos comprendidos entre 1 y 1.000.000.000 se descubrió que el error descendía al 0,003 por ciento. Gauss había creído que el error porcentual se reduciría cada vez más a medida que se consideraran valores de N cada vez mayores. Hacia

finales del siglo XIX la conjetura de Gauss llevaba en circulación tiempo suficiente como para que con su potencial conquistara grandes honores. Los indicios que apoyaban la intuición de Gauss eran ciertamente convincentes. En los tiempos en que Stieltjes escribía a Hermite sobre su demostración, el mayor progreso en la dirección de una confirmación de la conjetura de Gauss se había producido alrededor de 1850, en el viejo y amado refugio de Euler: San Petersburgo. El matemático ruso Pafnuty Chebyshev, a pesar de no poder demostrar que la diferencia porcentual entre la estimación de Gauss y la verdadera cantidad de

números primos se hace cada vez menor, había demostrado que el error sobre el número de primos menores o iguales que N nunca sería mayor del once por ciento, por grande que sea el valor de N. El once por ciento puede parecer muy lejano del 0,003 por ciento que Gauss había obtenido para la cantidad de números primos comprendidos entre uno y mil millones, pero la importancia del resultado de Chebyshev radica en el hecho de garantizar con certeza absoluta que, por más que continuemos contando números primos, el error nunca se volverá enorme. Antes de los resultados de Chebyshev, la conjetura de Gauss se había basado exclusivamente en una

pequeña cantidad de indicios experimentales. El análisis teórico de Chebyshev proporcionó la primera base auténtica a la hipótesis de la existencia de una relación entre logaritmos y números primos. En todo caso, quedaba todavía mucho camino por recorrer para demostrar que aquella relación se mantendría tan estrecha como conjeturaba Gauss. Chebyshev consiguió mantener este control sobre los errores usando métodos absolutamente elementales. Riemann, que trabajaba en Gotinga con su sofisticado espacio imaginario, tuvo conocimiento del trabajo de Chebyshev: hay evidencias de que se disponía a

enviarle una carta en la que subrayaba sus propios avances: entre las páginas de notas de Riemann que sobrevivieron se encuentran borradores en los que prueba diversas grafías para el nombre de su colega ruso. No sabemos si finalmente Riemann mandó la carta a Chebyshev pero, enviada o no, Chebyshev no consiguió mejorar su estimación del error en la cuenta de los números primos. Por todo ello, el anuncio de Stieltjes suscitó, a pesar de todo, un entusiasmo notable entre los matemáticos de su época: nadie sospechaba todavía hasta qué punto resultaría difícil demostrar la hipótesis de Riemann, pero una

demostración de la conjetura de Gauss era un acontecimiento digno de reconocimiento. Hermite estaba ansioso por conocer los detalles de la demostración de Stieltjes, pero el joven matemático se mostró reticente: la demostración no estaba a punto. A pesar de las continuas presiones, en los siguientes cinco años Stieltjes no dio a conocer nada que apoyara su afirmación. Para superar la frustración cada vez mayor en que vivía ante la resistencia de Stieltjes a exponerle sus ideas, Hermite ideó lo que creyó que sería un procedimiento ingenioso para obligarlo a salir a la luz: propuso que la Academia de París dedicara el Grand

Prix des Sciences Mathématiques de 1890 a la demostración de la conjetura de Gauss sobre los números primos. Hermite se puso a esperar tranquilamente, confiado en que el premio iría a parar a su amigo Stieltjes. El plan de Hermite consistía en lo siguiente: para adjudicarse el premio no era necesario que Stieltjes proclamara nada tan grandioso como haber demostrado la hipótesis de Riemann, bastaría con trazar el mapa de una pequeña porción del paisaje imaginario: la frontera entre el paisaje de Euler y la extensión de Riemann. Bastaba con demostrar que no había ceros en aquella frontera, es decir, sobre la línea recta

que se extiende de norte a sur pasando por el número 1; entonces podría usarse el paisaje de Riemann para estimar los errores en la fórmula de Gauss, errores que venían determinados por la posición al este de cada uno de los ceros en el paisaje de Riemann. Cuanto más al este cae un cero, mayor será el error correspondiente. Si la hipótesis de Riemann es correcta, el error será muy pequeño, pero la conjetura de Gauss continuaría siendo cierta aunque la hipótesis de Riemann resultara falsa siempre que todos los ceros sin excepción cayeran al oeste de la frontera norte-sur que pasa por el número 1. El plazo de inscripción al premio

venció sin que Stieltjes hiciera acto de presencia, pero Hermite no quedaría completamente decepcionado: de manera inesperada, su alumno Jacques Hadamard presentó un ensayo. Si bien Hadamard no proporcionó una demostración completa, sus ideas bastaron para convertirlo en el ganador del premio. Espoleado por aquel éxito, en 1896 Hadamard consiguió colmar las lagunas de su propia argumentación. No fue capaz de probar que todos los ceros están sobre la recta crítica de Riemann que pasa por 1/2, pero pudo demostrar que ningún cero se encontraba al este de la frontera que pasa por 1. Un siglo después de que Gauss

descubriera una relación entre números primos y función logarítmica, finalmente las matemáticas disponía de una demostración de la conjetura de Gauss sobre los números primos. Puesto que ya no se trataba de una conjetura, a partir de aquel momento pasó a llamarse teorema de los números primos . La demostración era el resultado más significativo que se había obtenido sobre los números primos desde que los antiguos griegos establecieran la existencia de una infinidad de tales números. Aunque nunca llegaremos a contar hasta los límites extremos del universo de los números, Hadamard demostró que un intrépido viajero nunca

encontraría sorpresas, por más lejos que fuera. Los primeros indicios experimentales que Gauss había descubierto no eran un engañoso truco de la naturaleza. Hadamard nunca habría podido obtener su resultado sin el trabajo que había realizado Riemann: sus ideas estaban empapadas por el análisis del paisaje zeta que éste había realizado, pero estaba todavía muy lejos de demostrar la hipótesis de Riemann. En el ensayo que contenía la demostración, Hadamard reconocía que su trabajo no igualaba los resultados de Stieltjes, que continuó afirmando poseer una demostración de la hipótesis de

Riemann hasta su muerte, ocurrida en 1894. Stieltjes fue el primero de una larga lista de reputados matemáticos que han anunciado demostraciones que luego no han sido capaces de mostrar. Hadamard supo pronto que tendría que compartir la gloria de haber demostrado el teorema de los números primos: al mismo tiempo que él, un matemático belga, Charles de la ValléePoussin, había hallado una demostración. El gran éxito de Hadamard y de la Vallée-Poussin supuso el principio de un viaje que continuaría durante el siglo XX, con matemáticos que ahora estaban impacientes por lanzarse a la

exploración del paisaje de Riemann. Hadamard y de la Vallée-Poussin habían establecido el campamento base desde el que habría que partir para el ascenso principal hacia la recta crítica de Riemann. Durante este período el problema empezó a jugar el papel de monte Everest de la exploración matemática, a pesar de que, paradójicamente, para su demostración hacía falta pasar por los puntos más bajos del paisaje zeta. Ahora que la solución de la conjetura de Gauss sobre los números primos estaba por fin completa, era el momento oportuno para que el gran problema de Riemann emergiera de las oscuras profundidades

del denso ensayo berlinés. Quien llamó la atención del mundo sobre la extraordinaria intuición de Riemann fue otro matemático residente en Gotinga: David Hilbert. La carismática figura de este matemático contribuyó más que ninguna otra cosa a lanzar al siglo XX en persecución del más importante trofeo: la hipótesis de Riemann.

HILBERT, EL FLAUTISTA DE HAMELIN DE LAS MATEMÁTICAS

La ciudad prusiana de Königsberg

había alcanzado una cierta notoriedad matemática en el siglo XVIII gracias al rompecabezas sobre sus puentes que Euler había resuelto en 1735. A finales del siglo XIX la ciudad reconquistó un puesto en el mapa matemático por haber alumbrado a David Hilbert, uno de los gigantes de las matemáticas del siglo XX. Aunque apreciaba mucho su ciudad de origen, Hilbert era consciente de que el fuego matemático más resplandeciente ardía tras las murallas de Gotinga. Gracias a la herencia que dejaron Gauss, Dirichlet, Dedekind y, sobre todo, Riemann, Gotinga se había convertido en la meca de las

matemáticas. En aquel momento Hilbert fue quien, quizá más que ningún otro, tomó conciencia del alcance del cambio que Riemann había introducido en la disciplina: Riemann había llegado a la conclusión de que el intento de comprender las estructuras y los esquemas que se hallan en la base del mundo matemático era más provechoso que concentrarse en fórmulas y cálculos pesados. Los matemáticos empezaban a escuchar la orquesta matemática de un nuevo modo: ya no obsesionados por las notas individuales, ahora empezaban a oír la música subyacente que provenía de los objetos que estudiaban. Riemann había sido el pionero de un renacimiento

del pensamiento matemático que se reforzó con la generación de Hilbert. Como el mismo Hilbert escribió en 1897, su intención era implementar «el principio de Riemann según el cual las demostraciones deberían de guiarse sólo por el razonamiento y no por los cálculos». Hilbert consiguió prestigio en los círculos académicos alemanes precisamente llevando a la práctica este principio. Desde niño había aprendido que los antiguos griegos habían demostrado la existencia de infinitos números primos, es decir, de los números indispensables para la construcción de cualquier otro número

posible. En su época de estudiante leyó que, si tomábamos en consideración las ecuaciones en lugar de los números, las cosas parecían ser de otro modo. A finales del siglo XIX se había convertido en un reto demostrar que, al contrario de lo que ocurre con los números primos, existía un número finito de ecuaciones que se podían usar para generar ciertos conjuntos infinitos de ecuaciones: los matemáticos de la época de Hilbert intentaban demostrar este hecho recurriendo a un laborioso trabajo de construcción de ecuaciones. Hilbert dejó estupefactos a sus contemporáneos al demostrar la existencia de tal conjunto finito de elementos básicos, aunque no

estaba en condiciones de construirlo. Igual que el maestro de la escuela de Gauss se había quedado observando con incredulidad a aquel alumno que calculaba la suma de los números del 1 al 100, a los superiores de Hilbert les costaba creer que se pudiera explicar la teoría de las ecuaciones sin un duro trabajo. Se trataba de un auténtico reto a la ortodoxia matemática de la época: al no poder ver aquella lista finita se hacía difícil aceptar su existencia, aunque estuviera confirmada por la demostración. Tener que aceptar que algo no podía ser visto aunque su existencia fuera irrefutable provocaba

desconcierto en unos matemáticos todavía devotos de la tradición francesa, fundada en las ecuaciones y fórmulas explícitas. A propósito de la obra de Hilbert, Paul Gordan, uno de los expertos en este campo, declaró: «Esto no es matemática. Esto es teología». Pero Hilbert, a pesar de no haber cumplido todavía los treinta años, no rectificó. Finalmente, sus ideas fueron aceptadas, e incluso Gordan le dio la razón: «Me he convencido de que la teología tiene su mérito». A partir de entonces Hilbert se dedicó al estudio de los números enteros, un tema que él describió como «un edificio de rara belleza y armonía».

En 1893 la Sociedad Matemática Alemana le pidió un informe sobre el estado de la teoría de los números en el fin de siglo. Se trataba de un encargo de gran dificultad para una persona de poco más de treinta años. Cien años antes, la disciplina no existía ni siquiera como entidad coherente. Las Disquisitiones arithmeticae de Gauss, publicadas en 1801, habían iluminado un terreno tan fértil que a finales de siglo la teoría de los números se había desarrollado hasta tal punto que era ya incontrolable. Para contribuir a ponerla bajo control, Hilbert se hizo acompañar por un viejo amigo, Hermann Minkowski. Se conocían de su época de estudiantes en

Königsberg. Minkowski se había labrado una reputación en el campo de la teoría de los números al ganar el Grand Prix des Sciences Mathématiques a los dieciocho años. Estuvo encantado de trabajar en un proyecto para traer a la luz lo que él llamaba «las insinuantes melodías de esta potente música». Su colaboración reforzó la pasión de Hilbert por los números primos que, según Minkowski, «menearían el esqueleto» bajo su reflector. La «teología» de Hilbert le valió el respeto de un buen número de influyentes matemáticos europeos. En 1895 recibió una carta de un profesor de Gotinga, Felix Klein, para ofrecerle un

puesto en la venerada universidad: Hilbert no lo dudó, y aceptó inmediatamente. En el transcurso de la reunión que tuvo lugar para discutir su candidatura, los miembros de la Facultad pusieron en cuestión el apoyo que Klein daba a Hilbert, e insinuaron que pretendía otorgar la plaza a un lacayo que nunca se valdría por sí solo. Klein les aseguró, por el contrario: «He propuesto a la persona más difícil de todas». Aquel otoño, Hilbert se trasladó a la ciudad donde Riemann, su fuente de inspiración, había sido profesor, con la esperanza de continuar su revolución matemática. Los miembros de la facultad no

tardaron en comprender que Hilbert no se contentaba con retar a la ortodoxia matemática: las esposas de los profesores estaban horrorizadas con el comportamiento del recién llegado. Como escribió una de ellas: «Está provocando un trastorno general. He sabido que la otra noche fue visto en algunos restaurantes jugando al billar con los estudiantes». Con el tiempo, Hilbert empezó a conquistar los corazones de las señoras de Gotinga y se labró una reputación de mujeriego. En la fiesta de su quincuagésimo cumpleaños, sus estudiantes entonaron una canción en la que cada estrofa, una por cada letra del alfabeto, describía

con pelos y señales una de sus conquistas. El bohemio profesor compró una bicicleta a la que se aficionó profundamente: era común verlo pedaleando por las calles de Gotinga llevando un ramo de flores que había recogido en el jardín para uno de sus amores. Impartía sus clases en mangas de camisa, cosa inaudita para la época. En los restaurantes, para protegerse de las corrientes de aire, no dudaba en pedir prestadas sus estolas a las mujeres que estaban cenando. No está claro hasta qué punto Hilbert buscaba deliberadamente el escándalo o simplemente planteaba la solución más

obvia a los posibles problemas; en todo caso, lo único claro es que su mente estaba más concentrada en las cuestiones matemáticas que en los detalles de la etiqueta social. Hilbert instaló una pizarra de tres metros en su propio jardín; allí, entre cuidados a los macizos de flores y sus acrobacias de ciclista, garabateaba con tiza sus matemáticas. Le gustaban las fiestas y ponía música siempre a un volumen alto, para lo cual, elegía siempre la aguja más grande para su gramófono. Cuando finalmente consiguió oír a Caruso en vivo, quedó algo decepcionado: «Caruso canta con la aguja pequeña», comentó. Pero la

matemática de Hilbert iba mucho más allá de sus excentricidades. En 1898 apartó su atención de la teoría de los números y la centró en los retos de la geometría. Se sintió atraído por los nuevos tipos de geometría que varios matemáticos habían propuesto a lo largo del siglo XIX, teorías que pretendían poner en duda uno de los axiomas fundamentales de la geometría de los antiguos griegos. Como consecuencia de su profunda fe en el poder abstracto de las matemáticas, Hilbert consideraba irrelevante la realidad física de los objetos, lo que lo llevó a estudiar las conexiones y las estructuras abstractas que estaban en la base de estas nuevas

geometrías; para él lo importante eran las relaciones entre los objetos: en una famosa declaración mantuvo que una teoría geométrica tendría sentido aunque se sustituyeran puntos, líneas y planos por mesas, sillas y jarras de cerveza. Un siglo antes, Gauss se había planteado el reto que suponían estos nuevos modelos de geometría, pero no se atrevió a exteriorizar tales pensamientos heréticos. Con toda seguridad, era imposible que los griegos se hubieran equivocado. A pesar de todo, Gauss había empezado a poner en duda uno de los axiomas fundamentales de la geometría euclidiana, el relativo a la existencia de rectas paralelas. La

pregunta que Euclides se había planteado era la siguiente: si se trazan una recta y un punto exterior a la recta, ¿cuántas rectas hay que pasen por el punto y sean paralelas a la primera recta? Para Euclides la respuesta obvia era que existía una y sólo una de tales rectas paralelas. Desde los dieciséis años, Gauss había empezado a formular hipótesis sobre la posible existencia de geometrías igualmente coherentes y válidas en las que no hubiera rectas paralelas. Además de la geometría euclidiana y de estas nuevas geometrías sin paralelas, podía también existir una tercera clase de geometría en la que

hubiera más de una recta paralela. Así las cosas, podrían existir geometrías en las que la suma de los ángulos de un triángulo no fuera igual a 180 grados, una eventualidad que los antiguos griegos habrían considerado inadmisible. Pero, si había muchas geometrías posibles, se preguntó Gauss, ¿cuál de ellas describía mejor el mundo real? Sin duda, los griegos estaban convencidos de que su modelo proporcionaba una descripción matemática de la realidad física, pero Gauss no estaba muy convencido de que tuvieran razón. Muchos años más tarde, mientras efectuaba tareas de inspección para el

estado de Hannover, Gauss utilizó algunas de las mediciones que efectuaba en los alrededores de Gotinga para verificar si un triángulo de haces de luz proyectado desde las cimas de tres colinas contradecía la geometría euclidiana produciendo una suma de sus ángulos distinta de 180 grados. Gauss se preguntaba si era posible que la trayectoria rectilínea de un rayo de luz se curvara en el espacio: quizás el espacio tridimensional fuera curvado, de la misma manera que el espacio bidimensional del globo. Gauss pensaba en los llamados círculos máximos, como las líneas de longitud a lo largo de las cuales se mide el recorrido más corto

entre dos puntos sobre la superficie de la Tierra. En esta geometría bidimensional no existen líneas paralelas de longitud ya que todas ellas se encuentran en los polos. Nadie había considerado la posibilidad de que el espacio tridimensional pudiera curvarse. Hoy sabemos que Gauss operaba en una escala demasiado pequeña para observar una curvatura significativa del espacio y así contradecir la concepción euclidiana del mundo. Su intuición se confirmó cuando, durante el eclipse solar de 1919, Arthur Eddington consiguió la prueba de que la luz procedente de las estrellas sufría una desviación. Gauss nunca hizo públicas

sus ideas, quizá porque sus nuevas geometrías parecían entrar en conflicto con el deber de las matemáticas, que consistía en dar una representación de la realidad física. A los amigos a quienes confió sus dudas les pidió que guardaran el secreto. La idea de estas nuevas geometrías fue hecha pública hacia 1830 por el ruso Nikolai Lobachevsky y por el húngaro Janos Bolyai. El descubrimiento de las geometrías no euclidianas, como Gauss las bautizó, no removió las aguas del estanque matemático tanto como él había temido: simplemente se descartó por demasiado abstracta. La consecuencia fue que las geometrías no euclidianas

quedaron descartadas durante muchos años. En la época de Hilbert, sin embargo, empezaron a emerger como expresión perfecta de su propia aproximación, más abstracta, al mundo matemático. En opinión de algunos matemáticos, toda geometría que no verificara el axioma de Euclides sobre las rectas paralelas contendría alguna contradicción interna que provocaría su derrumbe. Cuando Hilbert empezó a explorar esta posibilidad comprendió que había un fuerte nexo lógico entre geometría no euclidiana y geometría euclidiana. Descubrió que sólo en un caso las geometrías no euclidianas

podían contener contradicciones: si también las contenía la geometría euclidiana. Pareció un buen primer paso. En aquella época los matemáticos tenían el convencimiento de que la geometría de Euclides se fundaba en una lógica sólida: el descubrimiento de Hilbert significaba que los modelos no euclidianos estaban basados sobre los mismos fundamentos lógicos, si una geometría se hundía, arrastraría con ella a todas las demás. Pero entonces Hilbert se dio cuenta de algo inquietante: en realidad, nadie había demostrado jamás que la geometría euclidiana estuviera libre de contradicciones ocultas. Hilbert empezó a pensar cómo se

podría demostrar que la geometría euclidiana carecía de contradicciones. Aunque en los dos mil años posteriores a Euclides nadie había encontrado ninguna, ello no garantizaba que no pudieran existir. Hilbert decidió que lo primero que debía de hacerse era reformular la geometría en términos de fórmulas y ecuaciones. Esta práctica había sido inaugurada por Descartes — de ahí el nombre de geometría cartesiana— y había sido adoptada por los matemáticos franceses del siglo XVIII. Se podía reconducir la geometría a la aritmética por medio de ecuaciones que describían líneas y puntos, en la que cada punto podía transformarse en

números para describir sus coordenadas en el espacio. Los matemáticos estaban convencidos de que la teoría de los números no contenía contradicciones y, por tanto, Hilbert esperaba que expresando la geometría euclidiana con números sería posible establecer si contenía o no contradicciones. Pero, en lugar de una respuesta al problema, Hilbert halló algo todavía más inquietante: en realidad nadie había demostrado que la propia teoría de los números estuviera libre de contradicciones. Hilbert debió de quedarse de piedra. El hecho de que durante milenios las matemáticas hubieran funcionado tanto en teoría

como en práctica sin producir contradicciones había infundido en los matemáticos una gran confianza en lo que hacían. «Allez en avant, et la foi vous viendra» [Avanzad, y os llegará la fe] era la respuesta dada por el matemático francés Jean-Baptiste Le Rond d’Alembert a los que ponían en duda los fundamentos de la disciplina. Para los matemáticos, la existencia de los números que estudiaban era tan real como la de los organismos que clasificaban los biólogos. Estaban muy satisfechos de desarrollar su actividad llegando a deducciones a partir de supuestos, que consideraban verdades evidentes sobre los números: nadie

había considerado la eventualidad de que aquellos supuestos pudieran llevar a contradicciones. Hilbert había ido retrocediendo cada vez más, hasta poner en duda la base misma sobre la que se construía las matemáticas; ahora que se había planteado la cuestión, se hacía imposible ignorar aquellos problemas fundamentales. El mismo Hilbert estaba convencido de que nunca se descubriría ninguna contradicción y que los matemáticos disponían de los medios necesarios para disipar cualquier duda al respecto y demostrar que la disciplina estaba edificada sobre pilares más que sólidos. Su pregunta anunció la llegada

de una nueva era de las matemáticas: el s i g l o XIX había contemplado la transición desde un útil auxilio práctico para la ciencia hasta investigación teórica de verdades fundamentales, más parecida a la filosofía de un antiguo ciudadano de Königsberg, Emmanuel Kant. Las consideraciones de Hilbert sobre los fundamentos mismos de la disciplina le proporcionaron la plataforma para lanzar esta nueva práctica de una matemática abstracta. Su enfoque inédito caracterizaría las matemáticas del siglo XX. A finales de 1899, Hilbert se encontró ante una oportunidad ideal para reunir los extraordinarios cambios que

sus nuevas ideas estaban produciendo en los campos de la geometría, de la teoría de los números y de los fundamentos lógicos de las matemáticas. Fue invitado a pronunciar uno de los discursos más importantes del Congreso Internacional de Matemáticos que debía celebrarse en París al año siguiente. Se trataba de un gran honor para un matemático que aún no había cumplido los cuarenta años. El encargo de hablar ante toda la comunidad matemática en los albores del nuevo siglo intimidaba a Hilbert. Con toda seguridad pensó en preparar un discurso trascendental, que estuviera a la altura de la ocasión. Hilbert empezó a consultar a sus amigos sobre la

conveniencia de utilizar el discurso para avanzar hipótesis sobre el futuro de las matemáticas. Se trataba de una propuesta claramente no convencional, que conculcaba la regla no escrita de que únicamente las ideas completas, plenamente formadas, debían hacerse públicas. Hacía falta una fuerte dosis de audacia para renunciar a la seguridad que garantiza el hecho de presentar demostraciones de teoremas conocidos y, en cambio, especular sobre las incertidumbres del futuro, pero Hilbert nunca fue una persona proclive a retroceder ante la controversia. Finalmente, decidió proponer como reto a la comunidad matemática internacional

lo que no se había demostrado, en lugar de limitarse a disertar sobre lo que ya era cierto. Aún le quedaban dudas: ¿era razonable usar aquella ocasión para intentar algo tan innovador? Quizá habría sido mejor seguir las convenciones y hablar de lo que había conseguido en lugar de hacerlo sobre lo que no podía resolver. Los aplazamientos le impidieron poner título a su discurso en los plazos establecidos, y no apareció en la lista de los conferenciantes del congreso. En el verano de 1900 los amigos de Hilbert temieron que dejara escapar aquella maravillosa oportunidad de presentar

sus ideas, pero un buen día todos ellos hallaron sobre su escritorio el texto del discurso que Hilbert pensaba leer. Se titulaba simplemente: «Problemas matemáticos». Hilbert opinaba que los problemas eran la savia vital de las matemáticas, pero también creía que era necesario elegirlos con cuidado: «Un problema matemático ha de ser difícil para que nos atraiga —escribió—, pero no completamente inaccesible, para evitar que nuestros esfuerzos sean inútiles. Para nosotros debería de ser una señal con la que podamos orientarnos por los caminos laberínticos que conducen a verdades escondidas, y en definitiva se

trata de una manera de recordarnos el placer que nos da el conseguir una solución». Los veintitrés problemas que había decidido presentar habían sido seleccionados de manera que se ajustaran perfectamente a este criterio riguroso. En el calor húmedo del agosto parisiense, Hilbert se puso en pie en el salón de la Sorbona para leer su discurso y proponer un reto a los exploradores matemáticos del nuevo siglo. A fines del siglo XIX muchas áreas de estudio estaban influidas por el movimiento filosófico del ilustre fisiólogo Emil du Bois-Reymond, que defendía la existencia de límites para

nuestra capacidad de comprender la naturaleza. La frase de moda en los círculos filosóficos era Ignoramus et ignorabimus: lo ignoramos y seguiremos ignorándolo. Pero el sueño de Hilbert para el nuevo siglo suponía dejar de lado aquel pesimismo. Terminó su introducción a los veintitrés problemas con un exaltado grito de batalla: «Esta convicción de la condición resoluble de cada uno de los problemas matemáticos es un potente incentivo para los que operamos en este campo. En nuestro interior sentimos el reclamo incesante: hay un problema. Buscamos la solución. Puede ser hallada por la pura razón, porque en

matemáticas no existe ignorabimus». Los problemas que Hilbert planteó a los matemáticos del nuevo siglo recogían el espíritu revolucionario de Bernhard Riemann. Los dos primeros de la lista de Hilbert se referían a cuestiones sobre los fundamentos de las matemáticas que habían empezado a obsesionarlo, pero los demás se repartían por todos los rincones del paisaje matemático. Algunos de ellos eran más bien proyectos abiertos que cuestiones sobre las que conviniera obtener respuestas claras. Entre ellos, uno estaba ligado al sueño de Riemann sobre la posibilidad de responder a las cuestiones fundamentales de la física

usando sólo las matemáticas. El quinto problema nacía del enfoque de Riemann según el cual los diversos campos de las matemáticas, como el álgebra, el análisis y la geometría, están íntimamente relacionados, de modo que se hace imposible comprenderlos si los mantenemos aislados. Riemann había demostrado que era posible deducir las propiedades algebraicas de las ecuaciones a partir de la geometría de los grafos definidos por estas ecuaciones. Hizo falta bastante coraje para oponerse al dogma que obligaba al álgebra y al análisis a mantenerse lejos del poder potencialmente engañoso de la

geometría. Por este motivo matemáticos como Euler o Cauchy eran tan contrarios a la representación gráfica de los números imaginarios: para ellos, los números imaginarios eran soluciones de ecuaciones como x2 = −1 y no debían confundirse con imágenes. Pero para Riemann era evidente la relación entre las disciplinas. Hilbert mencionó el último teorema de Fermat en los preparativos del anuncio de sus veintitrés problemas, pero, curiosamente, a pesar de la percepción pública de este problema como una de las grandes cuestiones irresueltas de las matemáticas ya en tiempos de Hilbert, nunca pasó a formar

parte de su selección: Hilbert opinaba que se trataba de «un notable ejemplo del efecto inspirador que un problema tan particular y aparentemente sin importancia puede tener sobre la ciencia». Gauss había expresado la misma opinión al declarar que se podrían haber elegido muchas otras ecuaciones y preguntarse si tenían o no soluciones: no había nada de especial en la elección de Fermat. Hilbert tomó la crítica de Gauss al último teorema de Fermat como punto de inspiración para su décimo problema: ¿existe un algoritmo —un procedimiento matemático que opera de un modo similar a un programa de ordenador—

que permita decidir en un tiempo finito si una ecuación cualquiera tiene soluciones? Hilbert esperaba que su pregunta distraería la atención de los matemáticos sobre el caso particular y los haría concentrarse en lo abstracto: él mismo, por ejemplo, siempre había apreciado la manera en que Gauss y Riemann habían alentado la adopción de una nueva perspectiva sobre los números primos; Hilbert esperaba que su cuestión sobre las ecuaciones tuviera un efecto similar. Aunque un periodista que cubría la conferencia describió la discusión posterior como «inconsistente», ello tenía más que ver con el opresivo clima

de agosto que con el atractivo del discurso de Hilbert. Como dijo Minkowski, su amigo más íntimo: «gracias a este discurso, que todos los matemáticos del mundo sin excepción se asegurarán de leer, tu atractivo sobre los jóvenes matemáticos aumentará». El riesgo que Hilbert asumió al presentar un discurso tan poco convencional cimentó su reputación de pionero del nuevo pensamiento matemático del siglo XX. Minkowski opinaba que aquellos veintitrés problemas tendrían una enorme influencia: «Verdaderamente, tú has monopolizado las matemáticas para el siglo XX», dijo a Hilbert. Sus palabras resultaron proféticas.

En medio de su lista de problemas abiertos y generales había uno, el octavo, muy específico: demostrar la hipótesis de Riemann. En una entrevista, Hilbert dijo que, en su opinión, la hipótesis de Riemann era el problema más importante «no sólo de las matemáticas, sino el más importante en términos absolutos». Durante la misma entrevista le preguntaron cuál sería la mayor empresa tecnológica: «Capturar una mosca en la Luna. Porque los problemas complementarios que habría que resolver para obtener tal resultado requerirían la solución de casi todos los problemas materiales de la humanidad». Un profundo análisis, si se considera

cómo han ido las cosas en el siglo XX. Hilbert opinaba que una demostración de la hipótesis de Riemann tendría para las matemáticas el mismo efecto que la caza lunar de una mosca para la tecnología. Tras haber propuesto la hipótesis como octavo problema de su lista, continuó explicando a los delegados del congreso internacional que una comprensión plena de la fórmula de Riemann sobre los números primos probablemente nos pondría en situación de entender muchos otros de los misterios de los números primos. Citó la conjetura de Goldbach y la existencia de números primos gemelos. El interés de demostrar la

hipótesis de Riemann era doble: además de cerrar un capítulo de la historia de las matemáticas, supondría abrir muchas otras puertas nuevas. Hilbert no pensaba que la hipótesis de Riemann seguiría tanto tiempo sin solución. En una conferencia que pronunció en 1919 se declaró optimista sobre la posibilidad de vivir lo suficiente para ver la demostración, y que la persona más joven del público viviría lo suficiente como para asistir a la del último teorema de Fermat. Pero predijo con atrevimiento que nadie de los presentes sería testigo de la conquista del séptimo problema de su lista: establecer si 2 elevado a la raíz

cuadrada de 2 es la solución de una ecuación. No hay dudas sobre la gran intuición matemática de Hilbert, pero sus capacidades proféticas no estaban a la misma altura: el séptimo problema cayó diez años después. Queda una posibilidad remota de que aquel joven licenciado que asistía a la conferencia de Hilbert de 1919 haya vivido lo suficiente como para ser testigo de la demostración del último teorema de Fermat por parte de Andrew Wiles en 1994. Pero, a pesar de los interesantes progresos que se han logrado en los últimos decenios, es muy posible que la hipótesis de Riemann siga sin resolver cuando Hilbert, como Barbarroja, se

despierte tras una espera de quinientos años. En una ocasión, Hilbert creyó que no haría falta esperar tanto. Un día recibió el escrito de un estudiante que afirmaba haber demostrado la hipótesis de Riemann. Hilbert no tardó mucho en encontrar un error en la presunta demostración, pero el método utilizado lo impresionó. Desgraciadamente, el estudiante murió un año después, y pidieron a Hilbert que participara en las honras fúnebres. Alabó las ideas del joven y expresó la esperanza de que pudieran estimular una demostración de la gran hipótesis; a continuación —con una actitud totalmente fuera de lugar que

ilustra perfectamente el estereotipo del matemático apartado de la realidad social— dijo: «Consideremos una función definida en el dominio de los números imaginarios…», Hilbert entonces entró en los detalles de la demostración equivocada. Sea o no cierto, el episodio es verosímil: de vez en cuando los matemáticos tienen visiones muy limitadas. El discurso de Hilbert en el congreso de 1900 puso inmediatamente la hipótesis de Riemann en el centro de atención: ahora se la consideraba uno de los más grandes problemas irresueltos de las matemáticas. Aunque la obsesión de Hilbert por la hipótesis de Riemann

no produjo contribuciones directas a su solución, el nuevo programa que propuso para las matemáticas del siglo XX tuvo efectos profundos: al final del siglo, incluso las cuestiones que había planteado sobre la física o las de carácter fundamental sobre los axiomas de las matemáticas habían jugado un papel en la mejora de nuestra comprensión de los números primos. Mientras tanto, Hilbert tuvo el mérito de llevar a Gotinga a un matemático que terminaría por recoger el testigo que había pasado de Gauss a Dirichlet y de éste a Riemann.

LANDAU, EL MÁS DIFÍCIL DE LOS HOMBRES

La Universidad de Gotinga dispuso de una cátedra vacante como consecuencia de la muerte trágicamente precoz de Minkowski, el mejor amigo de Hilbert: con sólo cuarenta y cinco años, Minkowski fue víctima de una apendicitis mortal. Hilbert acababa de conseguir resolver el problema de Waring, relacionado con la expresión de los números enteros como suma finita de cubos o de potencias superiores. Sabía que su amigo habría valorado aquel resultado, ya que ampliaba el resultado por el que Minkowski había recibido de

la Academia de Francia, con apenas dieciocho años, el Grand Prix des Sciences Mathématiques: «Incluso en el lecho del hospital, donde yacía gravemente enfermo, le preocupaba no estar presente en la siguiente sesión del seminario, en la que yo expondría mi solución del problema de Waring». La muerte de Minkowski sacudió a Hilbert profundamente. Un estudiante de Gotinga relató: «Yo estaba en clase cuando Hilbert nos relató la muerte de Minkowski, y rompió a llorar. Dado el prestigio de un profesor en aquellos tiempos y la gran distancia que lo separaba de los estudiantes, para nosotros fue mayor el trauma de ver

llorar a Hilbert que el de saber que Minkowski había muerto». Hilbert deseaba hallar un sucesor de Minkowski que se apasionara por la teoría de los números tanto como su llorado amigo. Según la opinión de todos, la persona que Hilbert eligió, Edmund Landau, no era un hombre fácil. Parece que hubo una especie de empate para decidir entre él y otro candidato. Hilbert preguntó a sus colegas: «¿Quién de los dos es el más difícil?». Cuando le respondieron que, sin duda, era Landau, Hilbert dijo que Gotinga tenía que tener a Landau. El suyo nunca sería un departamento de gente dócil: Hilbert quería colegas que retaran las

convenciones sociales y matemáticas. Landau era severo con sus estudiantes y era considerado el individuo más difícil del departamento. Los estudiantes estaban aterrorizados con la posibilidad de que les invitara a su casa los fines de semana, donde tendrían que soportar su pasión por los juegos matemáticos. Uno de ellos, recién casado, partía de luna de miel; el tren estaba a punto de salir de la estación de Gotinga cuando Landau llegó furioso al andén, metió por la ventanilla el borrador de su último libro y ordenó: «¡Lo quiero corregido a su regreso!». Muy pronto Landau asumió el papel de continuador de la tradición de

Riemann y Gauss, y se convirtió en la figura más importante de Europa por su desarrollo de la obra de la ValléePoussin y de Hadamard. Su temperamento se adaptaba perfectamente al objetivo de abandonar el campo base que aquellos habían establecido y dirigirse con decisión hacia las pendientes del monte Riemann. Para demostrar la conjetura de Gauss sobre los números primos, Hadamard y la Vallée-Poussin habían mostrado la inexistencia de ceros sobre la línea de frontera norte-sur que pasa por el número 1. El reto que ahora se planteaba era demostrar que tampoco se hallarían ceros antes de alcanzar la línea crítica

de Riemann que pasa por 1/2. El matemático danés Harald Bohr se unió a la expedición de Landau. A pesar de trabajar en Copenhague, era uno de los muchos peregrinos que atravesaban Europa regularmente para visitar Gotinga. Su hermano Niels alcanzaría fama mundial como uno de los creadores de la teoría de la mecánica cuántica. Harald se había labrado un nombre en el fútbol: había sido uno de los jugadores más importantes del equipo nacional danés que obtuvo la medalla de plata en los Juegos Olímpicos de 1908. Juntos, Landau y Bohr completaron el primer intento exitoso de navegar por los puntos a nivel del mar en el paisaje

de Riemann. Consiguieron demostrar que a la mayoría de los ceros les gustaba estar pegados a la recta mágica de Riemann. Consideraron el número de ceros comprendidos entre 0,50 y 0,51 y lo compararon con el número de ceros que aparecían fuera de esta estrecha banda de tierra; así pudieron demostrar que los ceros contenidos en la banda representan al menos una gran proporción del total de ceros. Riemann había previsto que todos los ceros estarían sobre la recta que pasa por 1/2. Landau y Bohr no consiguieron demostrarlo con tanta precisión, pero dieron un primer paso en esa dirección. Para que su argumentación

funcionara no era imprescindible que la banda tuviera una anchura de 0,01. Aunque su anchura fuera de sólo 1/1030, por ejemplo, Landau y Bohr estaban en condiciones de demostrar que la mayoría de los ceros están dentro de esta franja vertical de territorio. Pero lo frustrante era que ni Landau ni Bohr estaban en condiciones de deducir que la mayoría de los ceros tenía que encontrarse efectivamente sobre la recta de Riemann que pasa por 1/2, una verdad que Riemann afirmaba haber demostrado pero que nunca publicó. Este hecho puede parecer absurdo: si todos los ceros se encuentran en una banda cuya anchura puede reducirse más

y más, ¿por qué no podemos concluir que la mayoría de ellos tiene que estar sobre la recta crítica? Estos son los misterios de las matemáticas. Supongamos, por ejemplo, que para cada número N haya 10N ceros en la estrecha banda comprendida entre 1/2 + 1/10N+1 y 1/2 + 10N. Tal resultado hipotético satisfaría el resultado de Bohr y Landau sin implicar que ni siquiera uno de los ceros esté sobre la recta crítica que pasa por 1/2. En aquella época, Gotinga empezaba a estar a la altura del lema que, grabado en el blasón de la fachada del ayuntamiento de la ciudad, proclamaba que no había vida fuera de sus murallas

medievales. A principios del siglo XX, la tranquila ciudad universitaria de Riemann se había transformado, debido a la influencia de Hilbert, en una potencia de las matemáticas europea. En tiempos de Riemann era Berlín la que vibraba de energía intelectual, pero algunos decenios más tarde, cuando ofrecieron a Hilbert una cátedra universitaria en Berlín, la rechazó: ahora era la ciudad medieval impregnada por la herencia que Gauss había legado la que constituía un ambiente perfecto para desarrollar la actividad matemática. Hilbert consiguió llevar a Gotinga a los mejores matemáticos del mundo

gracias a una donación de Paul Wolfskehl, un profesor de matemáticas que había muerto en 1908: en su testamento, había expresado el deseo de legar cien mil marcos como premio para la primera persona que concibiera una demostración del último teorema de Fermat. Se trata del premio sobre el cual Andrew Wiles leyó de pequeño, y que encendió su interés por la búsqueda de una solución al enigma de Fermat. (El incentivo económico que finalmente recibió Wiles por su demostración sufrió una fuerte devaluación a causa de la enorme inflación que golpeó Alemania en el período de entreguerras). El testamento de

Wolfskehl establecía que cada año transcurrido sin que se resolviera el problema, los intereses generados por el capital inicial asignado como premio se utilizarían como fondo para los matemáticos que visitaran Gotinga. Landau se encargó de revisar las soluciones que se enviaban a Gotinga. Finalmente, la carga de trabajo resultó tan pesada que decidió enviar los manuscritos a sus estudiantes junto con una carta de rechazo preimpresa. El texto de la carta era: «Le agradecemos su solución del último teorema de Fermat. El primer error tiene lugar en la página… línea…». Hilbert asumió el encargo mucho más placentero de

invertir los intereses que generaba el premio en metálico. Esos intereses le dieron los medios para invitar a muchos matemáticos a visitar Gotinga, hasta el punto de hacerle desear que nunca se resolviera el último teorema de Fermat: «¿Por qué tendríamos que matar a la gallina de los huevos de oro?», se preguntaba. Era opinión general que todo joven matemático que quisiera abrirse camino en el mundo académico antes que nada tenía que pasar por Gotinga: un estudiante comparó la influencia de Hilbert sobre las matemáticas con la «dulce música del flautista de Hammelin… que seduce un gran número

de ratas induciéndolas a seguirlo en el profundo río de las matemáticas». No sorprende que muchas de tales ratas matemáticas procedieran de las academias que florecieron en la Europa continental durante las revoluciones políticas e intelectuales que habían tenido lugar a lo largo de todo el siglo XIX. En cambio, Gran Bretaña sufría su tradicional incapacidad de absorber las buenas ideas procedentes del continente: igual que las costas de Inglaterra habían supuesto un baluarte inexpugnable contra los tumultos políticos de la Revolución francesa, los matemáticos ingleses dejaron escapar la revolución de

Riemann. Los números imaginarios continuaron siendo considerados un peligroso concepto continental. De hecho, la Inglaterra matemática no había hecho grandes avances desde los tiempos de la disputa entre Leibniz y Newton, en el siglo XVII, sobre a cuál de los dos tenía que atribuirse el mérito del descubrimiento del cálculo infinitesimal. A pesar de que Newton había sido el primero, durante muchos años el desarrollo matemático de su país estuvo obstaculizado por el rechazo del reconocimiento de la superioridad de Leibniz sobre la forma de elaborar la nueva materia. Las cosas, sin embargo, iban a cambiar.

HARDY, EL ESTETA DE LAS MATEMÁTICAS

En 1914 Landau y Bohr habían completado su obra, demostrando que la mayoría de los ceros se concentraban alrededor de la recta crítica de Riemann. Sin embargo, ¿hasta qué punto habían conseguido determinar los ceros que caían exactamente sobre la línea? Del número infinito de puntos a nivel del mar, hasta el momento habían identificado sólo setenta y uno que se encontraran alineados a lo largo de la recta crítica de Riemann. Entonces se produjo un importante avance psicológico: tras dos siglos

transcurridos en el más completo desinterés por las ideas procedentes del continente, un matemático inglés, G. H. Hardy, tomó el testigo de Riemann y consiguió demostrar que existen infinitos ceros que se alinean efectivamente sobre la recta norte-sur que pasa por 1/2. Hilbert quedó altamente impresionado por la contribución de Hardy, hasta el punto de que, cuando se enteró de que aquél tenía dificultades con las autoridades del Trinity College de Cambridge en relación con su alojamiento, escribió una carta al director del College; Hardy, escribió Hilbert, no sólo era el mejor matemático del Trinity, era el mejor de Inglaterra y,

en consecuencia, debía de asignársele el mejor alojamiento disponible. La notoriedad de Hardy más allá de los círculos matemáticos se debe en gran parte a sus incisivas memorias tituladas Apología de un matemático, pero conquistó su gloria matemática por sus contribuciones a la teoría de los números primos y a la hipótesis de Riemann. Si Hardy había demostrado que había un número infinito de ceros sobre la recta crítica, ¿significaba esto que el problema estaba cerrado? ¿Significaba que Hardy había demostrado la hipótesis de Riemann? Al fin y al cabo, si hay infinitos ceros y Hardy había demostrado que un número

infinito de esos ceros se encuentran sobre la recta de Riemann, ¿no estamos al cabo de la calle? El infinito, desgraciadamente, tiene carácter escurridizo. Hilbert gustaba de ilustrar sus misterios usando la imagen de un hotel con un número infinito de habitaciones: podríamos comprobar que todas las habitaciones con número impar están ocupadas, pero aunque hubiéramos comprobado un número infinito de ellas aún nos quedarían por comprobar todas las de número par. En el caso de Hardy, el control de las habitaciones para ver si están o no ocupadas se sustituye por el de comprobar si los ceros se encuentran sobre la recta crítica.

Desgraciadamente, Hardy ni siquiera fue capaz de demostrar que al menos la mitad de los ceros están sobre la recta. Aun habiendo comprobado un número infinito de habitaciones, éstas representan el cero por ciento del total de habitaciones que quedan por comprobar. El resultado que obtuvo Hardy era extraordinario, pero el camino que quedaba por recorrer era aún muy largo: había hincado el diente al conjunto de los ceros, pero lo que quedaba por delante seguía siendo tan enorme y oscuro como antes. Aquel primer ensayo tan excitante tuvo sobre Hardy el efecto de una droga. Si exceptuamos quizá su pasión por el

cricket y una incesante lucha personal con Dios, nada lo obsesionaba tanto como el deseo de demostrar que todos los ceros se encontraban sobre la recta de Riemann. Igual que para Hilbert, la hipótesis de Riemann estaba en la cima de la lista de los deseos de Hardy, lo que aparece con claridad en los propósitos para el Nuevo Año que escribió en una de las muchas tarjetas postales que mandaba a sus colegas y amigos: 1) demostrar la hipótesis de Riemann; 2) conseguir una puntuación de 211 [el primer número primo

mayor que 200] en el cuarto inning del último Campeonato [3]

Internacional en el Oval;

3) hallar un argumento sobre la no existencia de Dios que convenza al gran público; 4) ser el primer hombre que alcance la cima del Everest. 5) ser proclamado primer presidente de la URSS, de Gran Bretaña y de Alemania; 6) asesinar a Mussolini. Los números primos habían fascinado a Hardy desde su infancia. De niño, en la iglesia, se divertía

descomponiendo los números de los himnos en producto de números primos. Le gustaba estudiar minuciosamente libros de curiosidades sobre estos números fundamentales, libros que, según él, eran «mejores que las crónicas de partidos de fútbol como lectura ligera para el desayuno». En realidad, Hardy estaba convencido de que cualquiera que gozara con las crónicas de los partidos de fútbol apreciaría las joyas de los números primos: «Una peculiaridad de la teoría de los números es que una buena parte se podría publicar en los diarios, y haría ganar nuevos lectores al Daily Mail». Opinaba que los números primos

guardaban misterio suficiente para intrigar al lector y que además eran lo bastante sencillos como para que cualquiera pudiera empezar a explorar su magia. Más que cualquier otro matemático de su época, Hardy trabajó arduamente para comunicar una parte de esta pasión por su disciplina, y no creía que su placer secreto debiera reservarse para los que están en las torres de marfil de los ambientes académicos. Tal como indica el tercero de sus propósitos para el nuevo año, la iglesia en la que de pequeño descomponía los números de los himnos en producto de números primos tuvo un efecto profundo en él. Muy pronto se convirtió en un

despiadado adversario de la idea de la existencia de Dios y de los signos externos de la religión. Durante toda su vida mantuvo una batalla permanente con Dios, intentando demostrar la imposibilidad de su existencia. Su lucha acabó siendo tan personal que, paradójicamente, terminó por evocar a aquella figura cuya existencia tan vehementemente deseaba negar. Cuando iba a ver los partidos de cricket llevaba consigo una batería de armas anti-Dios para conjurar cualquier posibilidad de lluvia. Aunque no hubiera ni una nube en el cielo, llegaba al estadio con cuatro chaquetas, un paraguas y un fardo de trabajo pendiente bajo el brazo.

Explicaba a sus vecinos de localidad que estaba intentando inducir a Dios a pensar que él esperaba que lloviera para tener la posibilidad de avanzar un poco de trabajo. Su idea era que Dios, su enemigo jurado, haría resplandecer el sol con el único objetivo de destruir cualquier posibilidad de utilizar aquel tiempo para hacer matemáticas. Un día de verano, Hardy quedó decepcionado al ver que bruscamente se interrumpía el partido de cricket que presenciaba porque el bateador se había quejado de un rayo de luz que lo deslumbraba y que procedía de la tribuna en la que él se sentaba. Pero su irritación se transformó en alegría

cuando pidieron a un voluminoso sacerdote que se sacara una gigantesca cruz plateada que llevaba colgada del cuello, ya que reflejaba la luz del sol. Hardy no pudo contenerse y durante toda la pausa estuvo mandando postales a sus amigos para darles cuenta de la aplastante victoria del cricket sobre el clero. En septiembre, una vez terminada la temporada del cricket, Hardy acostumbraba a visitar a Harald Bohr en Copenhague antes del inicio del curso académico inglés. Los dos tenían un ritual de trabajo cotidiano; cada mañana ponían sobre la mesa una hoja de papel en la cual Hardy escribía lo que sería su

trabajo del día: demostrar la hipótesis de Riemann. Hardy cultivaba la esperanza de que las ideas que Bohr había desarrollado durante sus visitas a Gotinga pudieran proporcionar un recorrido que condujera a la demostración. El resto de la jornada podían dedicarlo a pasear y a charlar, o a garabatear notas. Una y otra vez sus esfuerzos no consiguieron el progreso que Hardy tanto esperaba alcanzar. En una ocasión, poco después de la marcha de Hardy camino de Inglaterra para el inicio de un nuevo curso académico, Bohr recibió una tarjeta postal. El corazón no le cabía en el pecho al leer las palabras de Hardy:

«Tengo la demostración de la hipótesis de Riemann. La postal es demasiado pequeña para la demostración». Finalmente, Hardy había superado el punto muerto. Aquella postal, sin embargo, tenía algo extrañamente familiar: en la mente de Bohr flotaban los excitantes comentarios que Fermat había como escrito al margen. Hardy era demasiado bromista para que se le hubiera escapado el toque de ironía de la postal. Bohr decidió aplazar las celebraciones y esperar posteriores detalles de Hardy. Como era de prever, la postal no supuso el anunciado paso adelante que Bohr había esperado: Hardy estaba jugando una de sus

partidas con Dios. Cuando Hardy tenía que empezar su travesía por el mar del Norte en el barco que debía trasladarlo de Dinamarca a Inglaterra, el mar estaba insólitamente agitado. El barco no era muy grande y Hardy empezó a temer por su vida. Entonces se procuró una póliza de seguros muy personal: mandó a Bohr la tarjeta con el anuncio del falso descubrimiento. Si la principal pasión de la vida de Hardy consistía en demostrar la hipótesis de Riemann, sin duda la segunda era su guerra con Dios. Sabía que Dios nunca consentiría que se hundiera el barco dando al mundo la impresión de que Hardy y su presunta

demostración se habían ahogado y perdido para siempre. El plan de Hardy funcionó y llegó a Inglaterra sano y salvo. Es probable que la pasión maníaca de Hilbert por la hipótesis de Riemann, combinada con el carácter pintoresco y carismático del matemático inglés, contribuyeran a llevarla a la cima de la lista de los problemas más ambicionados de las matemáticas. El estilo expresivo de la escritura de Hardy, que encuentra una manifestación ejemplar en la Apología de un matemático, tuvo un papel decisivo en la promoción de la importancia de la teoría de los números y de lo que

consideraba como problema central en este campo. No deja de sorprender que, con todo el énfasis que, en la Apología de un matemático, pone Hardy en la belleza y la estética de las matemáticas, la belleza de sus meritorias demostraciones a menudo queda oscurecida por la masa de detalles técnicos necesarios para llegar a sus conclusiones. La mayor parte de las veces el éxito no fue tanto el fruto de una gran idea como el resultado de un duro y largo trabajo. El libro que probablemente encendió en Hardy el deseo de convertirse en matemático no tenía nada que ver con las matemáticas. Era una historia

relacionada con las delicias de la vida en la mesa académica del Trinity College, donde comen los profesores y otras autoridades. Quedó fascinado con la escena de los profesores que beben oporto en la sala reservada para ellos, la Sénior Combination Room, en la no v e l a A Fellow of Trinity. Hardy reconoció haber elegido estudiar matemáticas porque «es lo único que sé hacer bien… Hasta que llegué a obtener una, para mí las matemáticas significaban ante todo una plaza de profesor en el Trinity». Para conseguirla tuvo que superar la extenuante serie de exámenes que exigía el sistema universitario de Cambridge.

Muy pronto, Hardy comprendió que una consecuencia perversa del sistema de exámenes sobre la resolución de problemas técnicos y enigmas matemáticos era que pocos, incluso tras terminar su licenciatura en matemáticas, eran conscientes de su verdadera esencia. En 1904 un profesor de Gotinga hizo una parodia del tipo de problemas que los estudiantes ingleses tenían que resolver: «Sobre un puente elástico se encuentra un elefante de masa despreciable; sobre su trompa se posa un mosquito de masa m. Calcular las vibraciones del puente cuando el elefante aparta el mosquito haciendo girar su trompa». Los estudiantes tenían

que citar los Principia de Newton como si se tratara de la Biblia. Los resultados se reconocían más por la página en que se encontraban que por su auténtico significado. Según Hardy, aquel sistema contribuyó a prolongar el período en el que Gran Bretaña se vio reducida a un desierto matemático. Los matemáticos ingleses aprendían a tocar su música cada vez más deprisa, pero no tenían la menor noción de la estupenda música matemática que habrían podido oír una vez dominadas las escalas. Hardy atribuía su propia iluminación matemática al libro del matemático francés Camille Jordán: Course d’Analyse, que le abrió los ojos sobre

las matemáticas que estaban floreciendo en el continente: «Nunca olvidaré el asombro con el que leí aquella obra extraordinaria… y mientras la leía comprendí por primera vez lo que realmente significaban las matemáticas». La elección de Hardy como profesor del Trinity en 1900 lo liberó del peso de los exámenes y le concedió la libertad para explorar el auténtico mundo matemático.

LITTLEWOOD, EL MATON DE LAS MATEMÁTICAS

En 1910 Hardy se encontró en el

Trinity College con un matemático ocho años más joven que él: J. E. Littlewood. Terminarían por pasar los treinta y siete años siguientes como una especie de Scott y Oates de las matemáticas, una pareja de intrépidos exploradores del mundo de los números, adentrándose en las nuevas tierras cuyas puertas se habían abierto en el continente. Su colaboración dio lugar a casi cien publicaciones. Bohr solía bromear diciendo que en aquella época había tres grandes matemáticos: Hardy, Littlewood y Hardy-Littlewood. Cada uno de ellos aportaba al equipo sus cualidades específicas. Littlewood era el pendenciero que

cuando preparaba el asalto a un problema lo hacía sacando brillo a sus pistolas: para él, el placer consistía en poner de rodillas el problema difícil. Hardy, por el contrario, valoraba la belleza y la elegancia. Todo ello se trasladaba a sus publicaciones: Hardy tomaba las notas de Littlewood y les añadía lo que ellos llamaban la «cháchara» para producir la prosa elegante que nunca dejaba de acompañar sus demostraciones. Es curioso cómo los estilos de ambos matemáticos se reflejaban en su apariencia física. Hardy era un galán, una de esas personas cuyo aspecto conserva la marca de la juventud aunque

la fecha de caducidad haya pasado hace tiempo. Los primeros días tras su elección como profesor del Trinity College varias veces le llamaron la atención en la Senior Combination Room al confundirlo con un estudiante que se hubiera perdido por aquellos pasillos laberínticos del College. Littlewood, por su parte, era tosco: «un auténtico personaje salido de Dickens», como observó un matemático. Era fuerte y ágil de cuerpo y mente. Igual que Hardy, era aficionado al cricket y buen bateador. Su otra pasión era la música, por la que Hardy no sentía la menor atracción. Ya mayor, aprendió por su cuenta a tocar el piano. Encontraba un

profundo placer con la música de Bach, Beethoven y Mozart. Opinaba que la vida era demasiado breve para malgastarla con compositores de segundo orden. También los separaba la sexualidad: se sabe que, muy probablemente, Hardy era homosexual. Sin embargo él mantenía una gran discreción al respecto, aunque en Cambridge la homosexualidad era casi más aceptable que el matrimonio: en aquella época, los profesores de Oxford y Cambridge tenían que renunciar a su puesto en caso de casarse. Littlewood afirmó que Hardy era un «homosexual no practicante». A los ojos de todos, en

cambio, Littlewood era un mujeriego. Aunque en este terreno no llegó al nivel de Hilbert, mantuvo relaciones íntimas con la esposa de un médico del lugar, con quien pasaba las vacaciones de verano en Cornualles. Años más tarde, al mirarse en el espejo, uno de los hijos de la mujer comentó su extraordinario parecido con el tío John: «No hay nada sorprendente», respondió ella. «Es tu padre». Tal y como corresponde a dos matemáticos, la colaboración de Hardy y Littlewood se basaba en axiomas muy claros:

Axioma 1. No importaba si lo que se escribían el uno al otro era cierto o falso. Axioma 2. No había ninguna obligación de contestar una carta del otro. Ni siquiera había obligación de leerla. Axioma 3. Tenían que esforzarse para no pensar en las mismas cosas. Y, finalmente, el axioma más importante de todos:

Axioma 4. Para evitar cualquier discusión, todas sus publicaciones científicas llevaban la firma de ambos, con independencia de si uno u otro no hubiera ni siquiera contribuido a su elaboración. Bohr resumió así su relación: «Nunca hubo una colaboración tan importante y cordial que se fundara sobre axiomas aparentemente tan negativos». Todavía hoy los matemáticos hablan de «jugar con las reglas de Hardy-Littlewood» cuando

desarrollan un trabajo conjunto. Bohr comprobó que Hardy respetaba el segundo axioma cuando colaboraba con él en Copenhague. Recordaba las voluminosas cartas de temas matemáticos de Littlewood que llegaban a diario, y cómo Hardy, imperturbable, las tiraba en un rincón de la habitación comentando con desdén: «Supongo que un día u otro tendré que leerlas». Mientras estaba en Copenhague, sólo una cosa ocupaba la mente de Hardy: la hipótesis de Riemann. A menos que Littlewood le enviara una demostración de la hipótesis, sus cartas estaban destinadas a terminar en un rincón. Según narra Harold Davenport, un

estudiante de Littlewood, faltó poco para que la hipótesis de Riemann provocara una fractura entre Hardy y Littlewood. Hardy escribió una novela de misterio en la que un matemático demostraba la hipótesis de Riemann para ser asesinado por otro matemático que luego se atribuía la paternidad de la demostración. Littlewood montó en cólera. El problema no era que Hardy hubiera violado el axioma 4 sobre la obligación de citarlo como coautor de la historia; Littlewood estaba convencido de que el personaje del asesino se inspiraba en él, y exigió que el manuscrito nunca llegara a ver la luz. Hardy cedió y las matemáticas quedó

privada de esta pequeña joya literaria. Littlewood había ido ascendiendo entre los estudiantes de matemáticas de Cambridge utilizando todas las estratagemas que el sistema de exámenes requería. Consiguió alcanzar la cumbre al obtener el ambicionado título de sénior wrangler, que compartió con otro estudiante llamado Mercer. En Cambridge los sénior wranglers eran celebridades, hasta el extremo de que al final del curso académico se ponía en venta su fotografía. Probablemente los compañeros de estudios de Littlewood ya intuyeron que aquello era el inicio de una extraordinaria carrera. Cuando un amigo fue a comprar una de sus

fotografías le respondieron: «Me temo que el señor Littlewood está agotado, pero todavía nos quedan bastantes del señor Mercer». Littlewood era consciente de que los exámenes universitarios tenían muy poco que ver con la verdadera esencia de las matemáticas, que eran simples juegos técnicos que había que superar antes de pasar a la siguiente fase: «Los juegos que practicábamos me resultaban fáciles, y conseguía una cierta satisfacción poniendo en práctica estas habilidades». Ansiaba poner en práctica aquel arte que había aprendido para alcanzar objetivos más creativos. Su entrada a la investigación matemática

seria resultó una especie de bautismo de fuego. Ya libre de exámenes, Littlewood estaba impaciente por gozar de unas largas vacaciones estivales para sumergirse en cuerpo y alma en la investigación. Pidió a su tutor, Ernest Barnes, un problema apropiado para roer. Barnes, que más adelante sería nombrado obispo de Birmingham, reflexionó por un momento, y entonces recordó una interesante función que todavía no había sido abordada por nadie: quizá Littlewood podría determinar los ceros de esa función. Barnes escribió la definición de la función para que Littlewood pudiera

llevársela a veranear: «Se llama función zeta», dijo Barnes, con aire inocente. Littlewood salió del despacho con el folio en la mano, inconsciente de que lo que Barnes le había sugerido era que pasara el verano intentando demostrar la hipótesis de Riemann. Barnes no había explicado a Littlewood el marco histórico en que se encuadraba el problema, lo que le habría revelado su dificultad. Es probable que el tutor de Littlewood no conociera la existencia de un nexo entre los ceros de la función zeta y los números primos y, simplemente, considerara interesante la pregunta: ¿dónde produce esta función un valor

igual a cero? Peter Sarnak, uno de los autores de referencia en los intentos modernos de demostración de la hipótesis de Riemann, explica: «En realidad se trataba de la única función analítica que, ya entrados en el siglo XX, los matemáticos todavía no comprendían». Tal como observó sir Peter Swinnerton-Dyer, que había sido uno de sus alumnos, en las exequias de Littlewood, el hecho de que «Barnes creyera que [la hipótesis de Riemann] era idónea para un estudiante de investigación, aunque fuera el más brillante, y que Littlewood debiera de afrontarla sin vacilar» da una idea clara de hasta qué punto era desastroso el

estado en que languidecía las matemáticas inglesa antes de que Hardy y Littlewood ejercitaran su influjo positivo. Littlewood luchó todo el verano, enfrentándose con el problema de aspecto inocente que Barnes le había propuesto. A pesar de que sus intentos de determinar los ceros no tuvieron ningún éxito, lo que encontró lo llenó de satisfacción. Como había descubierto Riemann cincuenta años antes, Littlewood comprendió que aquellos ceros podían revelar algo sobre los números primos. A pesar de que en el continente estaba claro desde los tiempos de Riemann, en Inglaterra el

nexo entre la función zeta y los números primos todavía no se comprendía bien. Littlewood se estremeció ante lo que creía una conexión inédita, y en septiembre de 1907 dio cuenta de ella en la disertación con la que se postulaba como profesor investigador del Trinity. El hecho de que Littlewood creyera que su descubrimiento era original es una nueva confirmación de hasta qué punto estaban aisladas las matemáticas en Inglaterra. Hardy, que era uno de los pocos que en Inglaterra estaban informados sobre los recientes progresos de Hadamard y de la Vallée-Poussin, sabía que aquel resultado no era tan original como

Littlewood suponía. Pero reconoció su potencial y, aunque aquel año Littlewood no consiguió convertirse en profesor del College, se llegó a un pacto entre caballeros que garantizaba su nombramiento en la primera ocasión posible. Littlewood se reunió con Hardy en el Trinity College en octubre de 1910. Cambridge empezaba a florecer ahora que abría sus puertas a las influencias del otro lado del Canal. Viajar entre el continente e Inglaterra se estaba haciendo más fácil, y Hardy y otros académicos se esforzaban en visitar muchos de los centros culturales de Europa. Los nuevos contactos que

establecían favorecieron el flujo de revistas, libros e ideas nuevas del exterior. El Trinity College, en concreto, se convirtió en una comunidad extraordinariamente dinámica durante los primeros años del siglo XX. La Senior Combination Room dejó de ser un club de aristócratas para convertirse en un lugar de investigación. La conversación en la mesa principal ya no se limitaba al oporto y al clarete, sino que se impregnaba de las más nuevas ideas. En el Trinity, además de Hardy y Littlewood, trabajaban los dos filósofos en activo más eminentes de Inglaterra: Bertrand Russell y Ludwig Wittgenstein. Ambos luchaban con los mismos

problemas relacionados con los fundamentos lógicos de las matemáticas que tanto habían interesado a Hilbert. Y Cambridge vibraba con los grandes progresos obtenidos en física por J. J. Thomson, que ganó un premio Nobel por el descubrimiento del electrón, y por Arthur Eddington, que había confirmado la convicción de Gauss y de Einstein de que el espacio era en realidad curvo y no euclidiano. La gran colaboración entre Hardy y Littlewood se alimentó con la oportuna llegada, procedente de Gotinga, de un libro de Landau sobre los números primos. La publicación en 1909 de su obra en dos volúmenes: Handbuch der

Lehre von der Verteilung der Primzahlen [Manual de teoría de la distribución de los números primos] hizo que muchos se sumaran a la maravilla de las relaciones entre los números primos y la función zeta. Antes de aparecer el libro de Landau, la historia de Riemann y los números primos era casi completamente desconocida entre la comunidad matemática. Como Hardy reconoció en su necrológica sobre Landau (escrita con Hans Heilbronn): «el libro transformó la materia, hasta entonces terreno de caza de algunos audaces héroes, en uno de los campos más fértiles de los últimos treinta años». Fue

el libro de Landau el que permitió a Hardy demostrar en 1914 que existían infinitos ceros sobre la recta crítica de Riemann. Motivado por sus experiencias estudiantiles sobre la función zeta, también Littlewood se animó a hacer su primera contribución importante a la materia. Demostrar un teorema que Gauss consideraba cierto pero que no fue capaz de demostrar se considera una prueba de la valentía de un matemático. Demostrar la falsedad de uno de tales teoremas lo colocaba en otra categoría. No es frecuente que una intuición de Gauss resulte equivocada. Había inventado una función, el logaritmo

integral Li(N), y había predicho que nos proporcionaría la cantidad de números primos no mayores que N con precisión creciente al aumentar el valor de N. Hadamard y de la Vallée-Poussin habían grabado sus nombres en la historia de las matemáticas al demostrar que Gauss tenía razón. Pero Gauss había planteado una segunda conjetura: que su logaritmo integral siempre sobreestimaría la cantidad de números primos, es decir, que en ningún caso predeciría la existencia de menos números primos de los que efectivamente hubiera entre 1 y N. Ello contrastaba con el perfeccionamiento que introdujo Riemann, según el cual los valores

fluctúan entre subestimaciones y sobreestimaciones de la verdadera cantidad de números primos. En la época en la que Littlewood empezó a ocuparse del tema, la segunda conjetura de Gauss se había confirmado para todos los números hasta 10.000.000. En tiempos de Gauss cualquier científico experimental habría aceptado diez millones de testimonios como confirmación absolutamente convincente de la hipótesis de Gauss: las ciencias que no sufren de una adicción tal a la demostración, y muestran un mayor respeto por los resultados experimentales, habrían estado absolutamente satisfechas de

aceptar la conjetura de Gauss como una piedra fundacional sobre la que podían empezar a construirse nuevas teorías. En la época de Littlewood, unos cien años más tarde, era plausible que el edificio matemático se elevara sobre tales fundamentos. Pero en 1912 Littlewood descubrió que, en contra de todas las previsiones, la hipótesis de Gauss era un espejismo. La piedra angular se desintegró en polvo bajo su ojo indagador. Demostró que, cuando seguimos contando, antes o después se llega a una región numérica en la que el logaritmo integral de Gauss pasa de una sobreestimación a una subestimación de la verdadera cantidad de números

primos. Littlewood consiguió también demoler otra idea que se estaba convirtiendo en una referencia: muchos opinaban que el perfeccionamiento que Riemann había aportado a la estimación de la cantidad de números primos propuesta por Gauss proporcionaría estimaciones cada vez más precisas; Littlewood demostró que, aunque el perfeccionamiento de Riemann resultaba más preciso cuando nos movemos en el ámbito de los primeros millones de números, cuando nos trasladamos a distancias mayores en el universo de los números la estimación de Gauss resultaba más precisa.

El descubrimiento de Littlewood era especialmente notable por el hecho de que el logaritmo integral de Gauss empieza a proporcionar una subestimación de la cantidad de números primos sólo en regiones numéricas que probablemente nunca alcanzaremos. Littlewood ni siquiera podía prever hasta dónde deberíamos llegar para observar alguno de estos fenómenos. De hecho, hasta hoy nadie ha conseguido avanzar lo suficiente como para llegar a una región numérica en la que el logaritmo integral de Gauss dé una subestimación de la cantidad de primos. Si estamos en condiciones de afirmar que en un cierto punto la

predicción original de Gauss resultará falsa, es sólo gracias al análisis teórico de Littlewood y al poder de la demostración matemática. Algunos años más tarde, en 1933, un estudiante de Littlewood llamado Stanley Skewes estimó que sólo cuando se contaran los números primos hasta 10 1010

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hallaríamos una subestimación del número de primos por parte del logaritmo integral de Gauss. Se trata de un número absurdamente grande: números tan grandes a menudo producen comparaciones con la cantidad de átomos que existen en el universo visible, que según las mejores

estimaciones está en torno a los 1078; pero el número que sugirió Skewes hace imposible incluso esta comparación. Se trata de un número que empieza por 1 y continúa con tantos ceros que, si escribiéramos un cero sobre cada átomo del universo, no llegaríamos a ninguna parte. Hardy señaló que el número de Skewes, que así pasó a llamarse, era sin ninguna duda el mayor número que jamás se había considerado en una demostración matemática. La demostración de la estimación de Skewes era interesante por otro motivo: se trata de uno de los millares de demostraciones que comienzan con la frase: «supongamos que es cierta la

hipótesis de Riemann». Skewes podía dar valor a su demostración sólo presuponiendo que la hipótesis de Riemann es correcta, es decir, que todos los puntos al nivel del mar en el espacio zeta se encuentran efectivamente sobre la recta que pasa por 1/2. Sin este supuesto, los matemáticos de los años treinta del siglo pasado no podían afirmar con certeza hasta dónde había que ir contando hasta descubrir que el logaritmo integral de Gauss proporcionaba una subestimación de la cantidad de números primos. Sin embargo, en este caso específico los matemáticos hallaron por fin un modo de evitar la ascensión al monte Riemann. El

mismo Skewes determinó un número todavía más grande, que sería válido aunque la hipótesis de Riemann resultara falsa. Lo más curioso es que, en contraste con su resistencia a aceptar la segunda conjetura de Gauss, la confianza de los matemáticos en la validez de la hipótesis de Riemann empezaba a ser lo bastante firme como para atreverse a edificar sobre ella aunque no estuviera demostrada. La hipótesis de Riemann se estaba convirtiendo ya en un componente estructural del edificio matemático. También es posible que se tratara tanto de una cuestión de pragmatismo como de confianza: un número de matemáticos

cada vez mayor se topaba con la hipótesis de Riemann obstaculizando sus progresos; sólo tenían posibilidades de avanzar si presuponían su veracidad. Sin embargo, tal como Littlewood había dejado claro en el caso de la segunda conjetura de Gauss, los matemáticos tienen que estar preparados para un posible derrumbamiento de todo lo construido sobre la hipótesis de Riemann si alguien hallara un simple cero de la función zeta fuera de la recta crítica. La demostración de Littlewood tuvo un efecto psicológico muy fuerte sobre la percepción de las matemáticas y en particular sobre la manera de observar

los números primos: aquella demostración supuso una seria advertencia a quien se dejara impresionar por una gran acumulación de indicios. Dejaba al descubierto que los números primos eran maestros del camuflaje: estos números esconden su verdadero carácter en los rincones más recónditos del universo numérico, tan profundamente, que la posibilidad de ser testigos oculares de su auténtica naturaleza probablemente supera la capacidad de cálculo de los seres humanos, de manera que se puede observar su comportamiento real sólo a través de los penetrantes ojos de la demostración matemática abstracta.

La demostración de Littlewood proporcionó también la munición ideal para los que defendían que había una diferencia esencial entre las matemáticas y las demás ciencias. Los matemáticos ya no podían contentarse con el experimentalismo propio de las matemáticas de los siglos XVII y XVIII, cuando se planteaban teorías tras realizar unos pocos cálculos. El empirismo dejaba de ser un medio apto para la exploración del mundo matemático. En las otras ciencias, millones de datos pueden constituir una prueba suficiente sobre la que basar una teoría, pero Littlewood había mostrado que en matemáticas esto significaba

moverse en terreno minado. A partir de ahora, la demostración lo sería todo: sin una prueba irrefutable no se podían tener certezas. A medida que aumentaba el número de matemáticos que se veían obligados a suponer cierta la hipótesis de Riemann, se hacía más y más imperativo asegurarse de que en cualquier remota región del espacio de Riemann no hubiera ceros que se apartaran de la recta crítica. Hasta que no se consiguiera, los matemáticos vivirían siempre con el temor de que la hipótesis de Riemann pudiera resultar falsa.

6 RAMANUJAN, EL MÍSTICO MATEMÁTICO

Una ecuación no significa nada para mí a menos que exprese un pensamiento de Dios. SRINIVASA RAM ANUJAN

Mientras

Hardy y Littlewood avanzaban fatigosamente a través del extraño espacio de Riemann, a cinco mil millas de distancia, en las oficinas de la capitanía del puerto de Madrás, en la

India, un joven empleado llamado Srinivasa Ramanujan había desarrollado una obsesión por el misterio embriagador del flujo irregular de los números primos. En lugar de ocuparse del tedioso deber de mantener los registros contables, para lo que había sido contratado, pasaba su tiempo llenando cuadernos de observaciones y cálculos en búsqueda de lo que dictaba el ritmo a aquellos extraños números. Ramanujan contaba los números primos sin tener la menor noción de la sofisticada perspectiva que se había elaborado en Occidente. Carente de una instrucción formal, no tenía el respeto reverencial que mostraban Hardy y

Littlewood hacia la teoría de los números y hacia los números primos en particular, que Hardy definía como «la más difícil de todas las ramas de las matemáticas puras». Desvinculado de toda tradición matemática, Ramanujan se sumergió en los números primos con un entusiasmo casi infantil. Su candor, combinado con una extraordinaria predisposición natural para las matemáticas, se reveló como su gran fuerza. En Cambridge, Hardy y Littlewood estudiaban ávidamente la maravillosa historia de los números primos desarrollada en el libro de Landau; en la India, la obsesión de Ramanujan por los

primos se había inspirado en un libro mucho más elemental, pero con consecuencias igualmente amplias. Hay algunos momentos decisivos en la vida de un joven científico que a veces pueden identificarse como fundamentales para su futuro desarrollo, para Riemann se trató del libro de Legendre que le dieron cuando era estudiante: aquel libro depositó la semilla que habría de germinar en una fase posterior de su vida. Para Hardy y Littlewood, el libro de Landau tuvo una influencia muy fuerte. En 1903, a los quince años, Ramanujan descubrió una copia de A synopsis of Elementary Results in Pure and Applied

Mathematics de George Carr. Excepto por su relación con Ramanujan, el libro de Carr y la vida de su autor tienen escasa importancia, pero para Ramanujan fue importante la estructura del libro: era una lista de unos 4.400 resultados clásicos de las matemáticas; sólo resultados, sin demostraciones. Ramanujan aceptó el reto y dedicó los años siguientes a estudiar a fondo el libro y a explicar cada una de las afirmaciones que describía. Como tenía poca familiaridad con el estilo occidental de demostración, Ramanujan tuvo que crear sus propias matemáticas. El hecho de no estar atado por la camisa de fuerza de las formas convencionales

de pensamiento le dio la libertad de moverse a placer, y no pasó mucho tiempo antes de que su libreta se llenara de ideas y resultados que no aparecían en el libro de Carr. Euler se había devanado los sesos con muchas de las afirmaciones no demostradas de Fermat. En las aproximaciones de Ramanujan a los problemas matemáticos podemos reconocer el mismo espíritu de Euler: poseía una capacidad fantástica de intuir la manera de dar vueltas y más vueltas a las fórmulas hasta hacer emerger nuevas perspectivas. Sintió una gran emoción cuando descubrió por su cuenta la relación que los números imaginarios

proporcionan entre la función exponencial y las ecuaciones que describen las ondas sonoras. Pero su alegría se transformó en desesperación cuando, pocos días después, el joven empleado indio descubrió que Euler se le había adelantado unos ciento cincuenta años. Humillado y desanimado, Ramanujan escondió sus cálculos en el desván de su casa. La comprensión del significado de la creatividad matemática es, en el mejor de los casos, difícil, pero la forma de proceder de Ramanujan siempre tuvo algo de misterioso: afirmaba que la diosa Namagiri, protectora de su familia y consorte de Narashima, el dios león,

cuarta encarnación de Vishnu, le aportaba sus ideas en sueños. En la aldea de Ramanujan algunos creían que la diosa tenía el poder de exorcizar los demonios; para Ramanujan, Namagiri era la explicación de los relámpagos de iluminación que desencadenaban su flujo ininterrumpido de descubrimientos matemáticos. Ramanujan no es el único ejemplo de matemático para quien el mundo de los sueños resulta ser un territorio fértil para la exploración matemática. Dirichlet tenía las Disquisitiones arithmeticae bajo la almohada, esperando recibir la inspiración para comprender las afirmaciones a menudo

crípticas que contenía el libro. En los sueños es como si la mente se liberara de las barreras del mundo real y tuviera la libertad de abrir caminos que se excluyen en estado consciente. Ramanujan parecía capaz de inducir este estado onírico en sus horas de vigilia: un trance así está muy cerca del estado mental que la mayoría de los matemáticos intenta conseguir. Hadamard, que se hizo famoso demostrando el teorema de los números primos, estaba fascinado por lo que ocurre en la mente de un matemático creativo. Puso sus ideas por escrito en un libro titulado The Psychology of Invention in the Mathematical Field,

que publicó en 1945, donde avanzaba poderosas tesis sobre el papel del subconsciente. Actualmente los neurólogos se interesan cada vez más por los mecanismos de la mente matemática, porque podrían ayudar a conocer el funcionamiento del cerebro. A menudo es en los períodos de reposo o de sueño donde se concede a nuestro cerebro la libertad de jugar con ideas que se han implantado en el cerebro durante una actividad intelectual consciente. En su libro, Hadamard dividía el acto del descubrimiento matemático en cuatro etapas: preparación, incubación, iluminación y verificación. Si

Ramanujan tenía un don natural para la tercera etapa, claramente le faltaba talento para la cuarta. La simple iluminación le bastaba, pero no consideraba la etapa de verificación. Quizás el hecho de no estar presionado por la responsabilidad de la demostración le concedía la libertad de descubrir nuevos caminos en el páramo matemático. Su estilo intuitivo contrastaba con las tradiciones científicas de Occidente; como escribió Littlewood más adelante: «de hecho no poseía una idea muy clara de lo que se entiende por demostración; si del conjunto de la mezcla de indicios y de intuiciones extraía una certeza, no iba

más allá». Las escuelas indias debían mucho a las ideas que había introducido el Imperio británico, sin embargo, el sistema didáctico inglés, que tan útil había sido para Hardy y Littlewood, no fue de ninguna ayuda para el joven Ramanujan en la India: en 1907, mientras la tesis doctoral de Littlewood recibía una calurosa acogida en Cambridge, Ramanujan suspendía por tercera y definitiva vez los exámenes de admisión en el College. Ciertamente, habría superado aquellos exámenes si sólo se hubiera tratado de matemáticas, pero se le pedían también conocimientos de inglés, de historia, de sánscrito e

incluso de fisiología. Como buen brahmán, Ramanujan era rigurosamente vegetariano, y para él la disección de ranas y conejos era intolerable. Pero el fracaso, aunque significó que no podría ingresar en la Universidad de Madrás, no extinguió el fuego matemático que ardía en su interior. En 1910, Ramanujan esperaba impacientemente que sus ideas recibieran alguna forma de reconocimiento; en particular, le interesaba una fórmula que parecía proporcionar una cuenta extraordinariamente precisa de los números primos. En un principio había experimentado la frustración que casi

todos sufren al intentar domesticar esta salvaje secuencia de números, pero Ramanujan sabía hasta qué punto los números primos son fundamentales para las matemáticas, y no abandonó su convicción de la existencia de una fórmula capaz de explicarlos. Como comentó Littlewood más adelante: «¿qué gran matemático hubiera sido Ramanujan cien o ciento cincuenta años antes? ¿Qué habría ocurrido si hubiera entrado en contacto con Euler en el momento oportuno?… Pero el gran período de las fórmulas parece que ya ha pasado». Sin embargo, Ramanujan no había estado sometido al cambio de perspectiva que indujo Riemann: estaba

decidido a hallar una fórmula que produjera los números primos, y estaba ansioso por explicar sus descubrimientos a cualquiera que pudiese apreciar sus ideas. La impresión que producían sus cuadernos y la influencia de la red brahmánica le garantizaron un empleo de contable en la capitanía del puerto de Madrás. Incluso empezó a publicar sus ideas en el Journal of the Indian Mathematical Society, y su nombre había llamado la atención de las autoridades británicas. C. L. T. Griffith, que trabajaba en el Instituto de Ingeniería de Madrás, reconoció que la obra de Ramanujan era la de un

«matemático notable», pero no se sentía capaz de comprenderla o de criticarla. En consecuencia, decidió pedir la opinión de uno de los profesores que le habían enseñado matemáticas cuando estudiaba en Londres. Al faltarle una preparación formal, Ramanujan había elaborado un muy personal estilo matemático. Por ello no tiene nada de extraño que, cuando el profesor Hill del University College de Londres recibió las cartas en las que Ramanujan afirmaba haber demostrado que 1 + 2 + 3 + 4 + … + ∞ = −1/12, liquidó buena parte de ellas por tratarse de un sin sentido. Una fórmula así se presenta como ridícula incluso a un ojo

no calificado: ¡sumar todos los números enteros y obtener como resultado una fracción negativa es claramente la obra de un loco! «El señor Ramanujan ha caído en las trampas del tema más bien difícil de las series divergentes», escribió el profesor a Griffith. A pesar de todo, el juicio de Hill no fue totalmente negativo. Animado por esos comentarios, Ramanujan decidió tentar a la suerte y escribir directamente a algunos matemáticos de Cambridge. Dos de los destinatarios no consiguieron penetrar en el mensaje que se escondía detrás de la extraña matemática de Ramanujan y rechazaron su petición de ayuda. Pero luego la carta de Ramanujan

fue a parar al escritorio de Hardy. Las matemáticas parecen tener el poder de atraer a los excéntricos, y quizás una parte de la responsabilidad ha de atribuirse a Fermat. El modelo de carta de rechazo de Landau da testimonio de la cantidad de respuestas absurdas que se reciben procedentes de individuos que reivindican su derecho a recibir el premio Wolfskehl por haber resuelto el último teorema de Fermat. Los matemáticos están acostumbrados a recibir cartas no solicitadas llenas de locas teorías numerológicas; Hardy, por ejemplo, estaba acostumbrado a quedar sumergido en un diluvio de manuscritos cuyos autores, como recordaba su amigo

C. P. Snow, afirmaban haber resuelto los misterios proféticos de la Gran Pirámide o descifrado los criptogramas que Francis Bacon había escondido en los dramas de Shakespeare. Hacía poco que Ramanujan había recibido un ejemplar del libro de Hardy: Orders of Infinity, de parte de Ganapathy Iyer, un profesor de matemáticas de Madrás con quien pasaba veladas enteras en la playa discutiendo de matemáticas. Mientras leía a Hardy, Ramanujan debió de comprender que finalmente había encontrado a alguien capaz de apreciar sus ideas, pero más tarde reconoció haber temido que sus sumas infinitas

indujeran a Hardy «a hacerme notar que mi destino era el manicomio». Había una afirmación de Hardy que interesaba particularmente a Ramanujan: «Hasta hoy no se ha encontrado una expresión definida que proporcione la cantidad de números primos menores que un número dado cualquiera». Ramanujan había descubierto una expresión que creía que daba tal número con una precisión casi absoluta, y ardía en deseos de saber lo que pensaría Hardy de su fórmula. La primera impresión de Hardy, cuando encontró en el correo de la mañana el enorme sobre de Ramanujan cubierto de sellos indios, no fue favorable: dentro había un manuscrito

lleno de teoremas extraños, delirantes, sobre la cuenta de los números primos, junto con resultados muy conocidos que se presentaban como descubrimientos originales. En la carta adjunta, Ramanujan declaraba que había «encontrado una función que da una representación exacta de la cantidad de primos». Hardy sabía que se trataba de una afirmación estupenda, pero en el manuscrito no aparecía ninguna fórmula; peor todavía: ¡no se demostraba nada! Para Hardy, la demostración lo era todo. Una vez, hablando con Bertrand Russell en el comedor del Trinity College, dijo: «Si yo consiguiera demostrar con la lógica que tú morirás dentro de cinco

minutos, estaría consternado por tu muerte inminente, pero mi dolor quedaría muy mitigado por el placer de la demostración». Según C. P. Snow, tras una ojeada al trabajo de Ramanujan, Hardy «no sólo se había aburrido, sino que también estaba irritado. Daba la impresión de tratarse de un curioso fraude». Pero antes del atardecer aquellos locos teoremas empezaron a ejercer su magia y Hardy convocó a Littlewood para discutirlos después de cenar. A medianoche estaban descifrados. Armados con los conocimientos necesarios para comprender el lenguaje no convencional de Ramanujan, ahora

Hardy y Littlewood se daban cuenta de que no se trataba de las manifestaciones de un desequilibrado sino de la obra de un genio, de un matemático falto de preparación formal pero, sin la menor duda, brillante. Ambos comprendieron que la suma infinita aparentemente insensata de Ramanujan no era otra cosa que el redescubrimiento del método para definir la parte que falta del paisaje zeta de Riemann. La clave para decodificar la fórmula de Ramanujan consiste en expresar el número 2 como 1/(2−1) (2−1 es otra forma de escribir 1/2). Aplicando el mismo truco a cada número de la suma infinita, Hardy y

Littlewood reescribieron la fórmula de Ramanujan en la forma siguiente:

Lo que tenían delante era la solución de Riemann para el cálculo de la función zeta cuando se le introducía el número −1. Sin una instrucción formal, Ramanujan había recorrido todo el camino solo y había reconstruido el descubrimiento que Riemann había hecho del paisaje zeta. La carta de Ramanujan no podía haber llegado en mejor momento: gracias al libro de Landau, Littlewood y Hardy estaban fascinados por las

maravillas de la función zeta de Riemann y por sus conexiones con los números primos. Y he aquí que Ramanujan afirmaba tener una fórmula increíblemente precisa para calcular la cantidad de números primos que se hallan en un intervalo numérico dado. Aquella misma mañana, Hardy había descartado esta afirmación, convencido de que Ramanujan era uno de tantos desequilibrados que se dedican a las matemáticas. Pero su trabajo de la tarde había colocado aquel sobre procedente de la India bajo una luz completamente distinta. Hardy y Littlewood debieron de quedar atónitos ante la afirmación de

Ramanujan según la cual su fórmula permitía calcular la cantidad de números primos hasta 100.000.000, «en general sin ningún error y en algunos casos con un error de 1 o de 2». El problema radicaba en que no daba ninguna fórmula. En efecto, toda la carta era profundamente frustrante para los dos matemáticos, ya que para ellos era absolutamente fundamental disponer de una demostración. Las fórmulas y las afirmaciones que llenaban la carta, en cambio, nunca se justificaban ni se explicaba de dónde venían. Hardy respondió a Ramanujan en términos muy positivos, pidiéndole que mandara las demostraciones y mayores

detalles sobre las fórmulas relativas a los números primos. Littlewood añadió una nota pidiendo que les mandara la fórmula para los números primos y «todas las demostraciones posibles, rápidamente». Los dos matemáticos estaban en ascuas ante la respuesta de Ramanujan. Pasaron muchas cenas intentando descifrar otras partes de su primera carta. Bertrand Russell escribió a un amigo que había encontrado «durante la cena a Hardy y Littlewood en un estado de gran agitación, porque creían haber descubierto a un segundo Newton, un empleado hindú de Madrás con un estipendio de 20 libras al año». Puntualmente llegó una segunda carta

de Ramanujan. Contenía varias fórmulas para calcular la cantidad de números primos, pero faltaba todavía una demostración. «Qué exasperante su carta en estas circunstancias» escribió Littlewood, y conjeturó que quizá Ramanujan temía que Hardy tuviera la intención de robarle sus descubrimientos. Al estudiar esta segunda carta, Hardy y Littlewood descubrieron que Ramanujan había concebido otro de los descubrimientos fundamentales de Riemann: el perfeccionamiento de la fórmula de Gauss para la cuenta de los números primos que introdujo Riemann era muy preciso, y además Riemann había

descubierto cómo usar los ceros del paisaje zeta para eliminar los errores que todavía daba su fórmula; literalmente de la nada, Ramanujan había reconstruido una parte de la fórmula que Riemann había ideado cincuenta años antes. La fórmula de Ramanujan incluía el perfeccionamiento de Riemann sobre la estimación del número de primos que Gauss había dado, pero no las correcciones que Riemann obtuvo utilizando los ceros de su paisaje. ¿Quizá Ramanujan estaba afirmando que los errores que producen los puntos a nivel del mar se anulaban de alguna manera milagrosa? Fourier había

proporcionado una explicación musical de estos errores: cada cero es como un diapasón, y cuando vibran todos juntos estos diapasones crean el ruido de los números primos. Quizá las ondas sonoras pueden combinarse para producir el silencio si se anulan unas a otras. En un aeroplano se reduce el zumbido de los motores creando ondas sonoras en el interior de la cabina para compensarlo, ¿podía ser que Ramanujan estuviera afirmando que las ondas de los ceros de Riemann crearían silencio? Durante las vacaciones de Pascua, Littlewood marchó a Cornualles con su amante y la familia de ésta acompañado de una copia de la carta de Ramanujan.

«Estimado Hardy —escribió (nunca se llamaban el uno al otro por el nombre de pila)—, la cuestión de los números primos está equivocada». Littlewood había conseguido demostrar que en ningún caso los errores causados por aquellas ondas podrían anularse unos a otros para justificar lo que afirmaba Ramanujan, es decir, que su reconstrucción de la fórmula de Riemann no era tan precisa como él afirmaba. Siempre habría ruido, por más lejos que llegáramos a contar. Ocurrió que el análisis de Littlewood, estimulado por la carta de Ramanujan, lo llevó a una nueva intuición interesante sobre la obra de

Riemann. La hipótesis de Riemann era importante para los matemáticos porque implicaba que la diferencia entre la estimación de Gauss y la verdadera cantidad de números primos comprendidos entre 1 y N sería muy pequeña en relación con N; en realidad nunca habría sido mayor que la raíz cuadrada de N. Pero si se hubiera hallado un simple cero fuera de la recta mágica de Riemann, entonces el error sería mucho mayor. Ahora, la carta de Ramanujan parecía sugerir que era posible hacerlo mejor que Riemann: podía suceder que, al seguir contando números primos, el error resultara todavía menor que la raíz cuadrada de

N. El trabajo de Littlewood en Cornualles truncó aquella esperanza: Littlewood consiguió demostrar que en un número infinito de casos el error producido por los ceros sería al menos tan grande como la raíz cuadrada de N. La hipótesis de Riemann representaba el escenario óptimo: sencillamente, Ramanujan se había equivocado, pero a pesar de ello Hardy había quedado impresionado. Como escribió más adelante: «no estoy seguro de que en cierto modo este fracaso no haya sido más maravilloso que todos sus triunfos». «Tengo una vaga teoría sobre el origen de sus errores». En su carta a Hardy, Littlewood conjeturaba que

Ramanujan creía erróneamente que en el paisaje zeta no había puntos a nivel del mar; si realmente hubiera sido así, entonces las fórmulas de Ramanujan hubieran resultado exactas. No obstante, Littlewood estaba emocionado: «Puedo creer que se trata al menos de un Jacobi», declaró, comparando a Ramanujan con una de las celebridades entre los matemáticos de la generación de Riemann. Hardy escribió a Ramanujan: «Haber demostrado lo que usted afirma habría sido la empresa matemática más extraordinaria de toda la historia de las matemáticas». Estaba claro que, a pesar de su enorme talento, Ramanujan tenía una desesperada

necesidad de que lo pusieran al día sobre el estado actual de los conocimientos. Littlewood escribió a Hardy sobre su intuición: «No sorprende que haya terminado por equivocarse, ignorante como parece sobre la diabólica malignidad que esconden los primos». Como observó Hardy: «tenía u n handicap imposible de superar, un hindú pobre y solitario que se medía intelectualmente con la sabiduría acumulada en Europa». Decidieron hacer todo lo posible para traer a Ramanujan a Cambridge. Enviaron a la India a E. H. Neville, un profesor del Trinity College, para que convenciera a Ramanujan de la

conveniencia de unirse a ellos. Al principio Ramanujan era reacio a dejar la India ya que, al ser un brahmán practicante, creía que cruzando los mares se convertiría en un paria. Un amigo, Narayana Iyer, se dio cuenta de las vacilaciones de Ramanujan y trazó un plan. Iyer estaba convencido de que la devoción de Ramanujan por las matemáticas y la que sentía por la diosa Namagiri podrían, reunidas, producir una revelación que lo persuadiera de la conveniencia de ir a Cambridge. Lo acompañó al templo de Namagiri para buscar la inspiración divina; al cabo de tres días durmiendo sobre el suelo de piedra del templo, Ramanujan se

despertó con sobresalto y corrió a despertar a su amigo: «He visto en un relámpago de luz resplandeciente a Namagiri ordenándome que atravesara el mar». Iyer sonrió: su plan había funcionado. Ramanujan también temía la oposición de su familia, pero Namagiri, la divinidad que lo protegía, intervino de nuevo: la madre de Ramanujan soñó que su hijo tomaba asiento en una gran sala rodeado de europeos y que la diosa Namagiri le ordenaba que no pusiera dificultades. Por último, le preocupaba la perspectiva de volver a someterse a exámenes humillantes cuando llegara a Cambridge. Neville consiguió disipar

este último temor: todo estaba ya a punto para que Ramanujan cambiara la extensión caótica de casas minúsculas de Madrás por los imponentes salones y las grandes bibliotecas de Cambridge, el escenario soñado por su madre.

CHOQUE CULTURAL EN CAMBRIDGE

En 1914, Ramanujan llegó a Cambridge, y así pudo dar comienzo una de las grandes colaboraciones de la historia de las matemáticas. Hardy habló siempre con pasión del período de colaboración con Ramanujan: cada uno

gozaba con las ideas del otro, encantados de haber hallado un espíritu afín con quien compartir su amor por los números. Más adelante Hardy evocaría aquellos años como unos de los más felices de su vida y hablaría de su relación con Ramanujan en términos conmovedores, definiéndola como «la única historia romántica de mi vida». La asociación de Hardy y Ramanujan recuerda a la clásica pareja de policías que dirige un interrogatorio, una pareja con un bueno y un malo. El bueno es el eterno optimista lleno de locas propuestas, el malo es el pesimista, que sospecha de todo y ve desaparecer la carta en la manga.

Ramanujan tenía necesidad de que Hardy el crítico frenara su entusiasmo mientras ambos interrogaban a su sospechoso matemático. De todas formas, no siempre era fácil encontrar un terreno común: con toda seguridad se producía un choque cultural. Mientras Hardy y Littlewood pretendían demostraciones rigurosas, al estilo occidental, los teoremas de Ramanujan simplemente se derramaban, por inspiración de la diosa Namagiri. A veces, Hardy y Littlewood ni siquiera conseguían entender de dónde salían las ideas de su nuevo colega. Hardy observó: «Parecía ridículo angustiarlo preguntándole cómo había descubierto

este o aquel teorema ya demostrado, cuando me presentaba media docena diaria de nuevos teoremas». Ramanujan no sólo tenía que luchar contra el choque cultural-matemático, estaba solo en un mundo extraño hecho de birretes y togas negras; no conseguía encontrar comida vegetariana y escribía a su casa para que le mandaran paquetes de tamarindo y aceite de coco. Si no hubiera sido por el mundo familiar de las matemáticas, probablemente la transición habría sido imposible. Neville, el profesor que había conquistado su confianza en la India, describió aquellos primeros días: «Sufría las pequeñas miserias de la vida

en una civilización extraña: el gusto desagradable de las verduras a las que no estaba acostumbrado, los zapatos que le atormentaban los pies que habían sido libres durante veintiséis años. Pero era un hombre feliz, que encontraba alegría en la sociedad matemática en que se estaba introduciendo». Se le podía ver todos los días caminando desgarbado, en zapatillas, por el patio del College, tras renunciar por desesperación a sus zapatos ingleses. Pero, una vez instalado en el despacho de Hardy, con sus libretas abiertas, podía refugiarse en sus fórmulas y ecuaciones mientras Hardy lo observaba, preso en las redes de sus mágicos teoremas. Ramanujan había

pasado del aislamiento matemático de la India a la soledad cultural de Cambridge, pero había ganado un compañero con quien explorar su mundo matemático. Hardy descubrió que dar una educación matemática a Ramanujan era una auténtica obra de equilibrismo: temía que, si insistía demasiado en obligarlo a consumir energías en la demostración de sus resultados, podría «destruir su confianza en sí mismo o romper el sortilegio de su inspiración». Confió a Littlewood el trabajo de familiarizarlo con el rigor de las matemáticas occidental. Littlewood descubrió que se trataba de un trabajo

virtualmente imposible: ante cualquier cosa que intentara presentar a Ramanujan, obtenía como respuesta una catarata de ideas originales que lo dejaban clavado en su silla. Si bien los intentos de Ramanujan por producir fórmulas exactas para contar los números primos contribuyeron a llevar su barco hasta Inglaterra, sería en ámbitos relacionados donde terminaría dejando su marca. La lectura de los comentarios pesimistas de Hardy y Littlewood sobre la malignidad de los números primos lo disuadió de atacarlos directamente. Sólo podemos especular sobre lo que Ramanujan habría podido descubrir si no le

hubieran transmitido el miedo de Occidente a los números primos. Junto a Hardy, sin embargo, Ramanujan continuó su exploración de las propiedades relacionadas con ellos. Las ideas que él y Hardy elaboraron contribuirían al primer paso adelante en el camino de una demostración de la conjetura de Goldbach, que afirma que todo número par se puede escribir como suma de dos números primos. Tal progreso llegó por vía indirecta, pero el punto de partida fue la ingenua confianza de Ramanujan en la existencia de fórmulas exactas para expresar sucesiones numéricas importantes, como la de los números primos. En la misma

carta en que afirmaba haber encontrado una fórmula para los números primos, decía haber comprendido la manera de generar otra sucesión hasta entonces indomable: la partición de números. ¿De cuántas maneras distintas se puede dividir cinco piedras en montones diferentes? El número de montones varía de un máximo de cinco montones compuestos por una única piedra a un único montón de cinco piedras, con un cierto número de posibilidades intermedias:

Las siete maneras de repartir cinco piedras.

Estas distintas posibilidades reciben el nombre de particiones del número 5. Como muestra el dibujo, hay siete

posibles particiones de 5. He aquí el número de particiones para los números de 1 a 15: Número

1 2 3 4 5

6

7

8

9 10 11

Particiones 1 2 3 5 7 11 15 22 30 42 56

Ésta es una de las sucesiones numéricas que habíamos planteado en el capítulo 2. Son números que aparecen en el mundo físico casi con la misma frecuencia que los números de Fibonacci; por ejemplo, deducir la densidad de los niveles energéticos en determinados sistemas cuánticos simples se reduce a comprender el crecimiento del número de particiones.

La distribución de estos números no parece tan casual como la de los números primos, pero la generación de Hardy casi había renunciado a encontrar una fórmula exacta que diera su secuencia. Los matemáticos opinaban que, como máximo, podía existir una fórmula que diera una estimación que no se apartara excesivamente del número efectivo de particiones de N, de modo similar al modo en que la fórmula de Gauss para los números primos proporcionaba una buena aproximación la cantidad de números primos no mayores que N. Pero a Ramanujan nunca le habían enseñado a tener miedo de las sucesiones. Estaba decidido a hallar una

fórmula que le dijera que existían exactamente cinco modos de dividir cuatro piedras en montones distintos, o que había 3.972.999.029.388 maneras de dividir 200 piedras en montones distintos. Si bien había fracasado con los números primos, Ramanujan obtuvo un éxito espectacular con las particiones. La capacidad de Hardy para construir demostraciones complejas junto con la ciega confianza de Ramanujan en la existencia de una fórmula exacta se combinaron para conducirlos a su descubrimiento. Littlewood nunca comprendió «por qué Ramanujan estaba tan seguro de que existía una fórmula

exacta». Y cuando observamos la fórmula —donde aparecen la raíz cuadrada de 2, π, derivadas, funciones trigonométricas, números imaginarios— no podemos menos que preguntarnos cómo se concibió:

Más adelante Littlewood observó: «Debemos el teorema a una colaboración excepcionalmente feliz entre dos hombres dotados de talentos bien distintos, a la que cada cual dio su mejor contribución, la más característica y afortunada que poseía».

En la cuestión del cálculo de las particiones hay un detalle curioso. La complicada fórmula de Hardy y Ramanujan no proporciona el número exacto de particiones: proporciona una respuesta correcta cuando se la aproxima al número entero más próximo. Así, por ejemplo, cuando insertamos en la fórmula el número 200, obtenemos un valor no entero aproximado a 3.972.999.029.388. Por ello, aunque la fórmula permite obtener la respuesta exacta, produce una cierta frustración el hecho de que no recoja la esencia de estos números. (Más adelante se descubrió una variante de la fórmula que da la respuesta rigurosamente

exacta). A pesar de que Ramanujan no consiguió llevar a buen puerto la misma estratagema en el caso de los números primos, el trabajo que realizó junto con Hardy sobre la función de partición tuvo un impacto importante sobre la conjetura de Goldbach, uno de los grandes problemas irresueltos de la teoría de los números primos. La mayor parte de los matemáticos había renunciado incluso a plantearse este problema: no se había propuesto ni siquiera una sola idea de partida para intentar algún progreso concreto hacia su resolución. Sólo algunos años antes, Landau había declarado que el problema era

simplemente inabordable. El trabajo de Hardy y Littlewood sobre la función de partición inauguró una técnica que hoy se llama método del círculo de Hardy-Littlewood. La referencia al círculo en el nombre del método procede de los pequeños diagramas que acompañaban a los cálculos de Hardy y Ramanujan y que representaban círculos en el mapa de los números imaginarios alrededor de los cuales ambos matemáticos trataban de hacer integraciones. La razón por la que el método se asocia al nombre de Littlewood y no al de Ramanujan está en la utilización que del mismo hicieron Hardy y Littlewood para aportar la

primera contribución sustancial a una demostración de la conjetura de Goldbach. Aun no pudiendo probar que todo número par puede expresarse como suma de dos números primos, en 1923 Hardy y Littlewood consiguieron demostrar algo que para los matemáticos era casi igual de importante: que todos los números impares mayores que un número dado (un número enorme) podían escribirse como suma de tres números primos. Pero hacía falta imponer una condición para que su demostración fuera válida: que fuera cierta la hipótesis de Riemann. Por tanto, éste era un nuevo resultado que se subordinaba a que la hipótesis de

Riemann se convirtiera tarde o temprano en el teorema de Riemann. Ramanujan contribuyó a desarrollar aquella técnica, pero desgraciadamente no vivió lo suficiente para ser testigo del inesperado papel que tendría en el desarrollo de las matemáticas. En 1917 estaba cada vez más deprimido. Gran Bretaña se enfrentaba a los horrores de la Primera Guerra Mundial. El Trinity College acababa de nombrar profesor a Ramanujan. La plaza de profesor que ocupaba Russell hacía poco que había sido revocada a causa de su militancia antibelicista y el College no estaba dispuesto a tolerar las posiciones pacifistas de Ramanujan. Aunque

finalmente había aprendido a comprimir sus pies dentro de los zapatos occidentales y a llevar toga y birrete, su corazón seguía estando en la India meridional. Cambridge se había convertido en una prisión: Ramanujan estaba habituado a la libertad que ofrecía la vida en la India, cuyo clima cálido permitía que la gente pasara mucho tiempo al aire libre. En Cambridge tenía que refugiarse tras los gruesos muros del College para protegerse del viento gélido del mar del Norte. Las divisiones sociales le impedían tener relaciones más allá de las interacciones formales de la vida académica. Además, estaba empezando

a descubrir que la insistencia de Hardy en el rigor matemático impedía que su mente pudiera vagar libremente por el espacio matemático. Al declive de su estado psicológico se unía el deterioro físico: el Trinity College no comprendía las rígidas reglas de alimentación que le imponía su religión. En la India estaba acostumbrado a recibir la comida directamente de manos de su esposa mientras él llenaba sus libretas; aunque las cocinas del College le ofrecían un servicio idéntico al que se reservaba para profesores como Hardy y Littlewood, para Ramanujan lo que se servía en el comedor era absolutamente

imposible de digerir. Simplemente no era capaz de sobrevivir por sí mismo y se sentía terriblemente solo, ya que había dejado a su esposa y a su familia en la India. Su malnutrición llevó a la sospecha de que había contraído tuberculosis, lo que lo obligó a pasar por una serie de clínicas de reposo. Ramanujan intentó salir adelante concentrándose en las matemáticas, pero sin mucho éxito. Sus sueños estaban plagados de imágenes matemáticas delirantes. Creía que sus dolores abdominales estaban causados por el clavo sin fin que se elevaba sobre el paisaje de Riemann cuando la función zeta tendía al infinito. ¿Se trataba quizá

de un castigo terrible por haber incumplido la ley brahmánica que le prohibía atravesar los mares? ¿Había interpretado mal el mensaje de Namagiri? Desde su llegada a Cambridge su esposa no le había escrito. La presión que tenía que soportar resultaba demasiado fuerte. Tras un restablecimiento parcial, aún bajo la depresión, Ramanujan intentó suicidarse lanzándose ante un convoy del metro londinense. Falló gracias a la intervención de un guardia que consiguió hacer parar el tren a pocos metros del cuerpo de Ramanujan. En 1917 el intento de suicidio era un delito, pero gracias a la intervención de

Hardy se retiraron las acusaciones contra Ramanujan, a condición de que fuera internado en un sanatorio de Marlock, en Derbyshire, donde debería permanecer doce meses bajo control médico. Ahora Ramanujan estaba en un callejón sin salida: lejos de todo, sin siquiera el estímulo de sus encuentros cotidianos con Hardy. «Llevo un mes aquí —escribió a Hardy—, y no me han permitido encender la calefacción ni un solo día. Me han prometido calefacción para los días de trabajo matemático serio. Esos días no han llegado aún, y yo estoy en esta habitación abierta y terriblemente fría».

Por fin Hardy consiguió trasladar a Ramanujan a un sanatorio de Putney, un barrio de Londres. Por más que él confesara que Ramanujan había sido el único verdadero amor de su vida, su relación estaba casi totalmente falta de sentimiento, si excluimos la emoción de hacer matemáticas juntos. Durante una visita a Ramanujan, que yacía en cama, a falta de tema de conversación Hardy le comentó el número del taxi que lo había llevado hasta allí, 1.729, como ejemplo de un número sin ningún atractivo. Incluso en cama, Ramanujan era irrefrenable: «¡No, Hardy!, ¡no, Hardy!; es un número muy interesante, es el menor número que se puede expresar de

dos maneras distintas como suma de dos cubos». Tenía razón: 1.729 = 13 + 123 = 103 + 93. La suerte de Ramanujan mejoró ligeramente con su nombramiento como miembro de la Royal Society, la institución científica más prestigiosa de Gran Bretaña, y finalmente también con su nombramiento como profesor del Trinity College. La influencia de Hardy sobre estos nombramientos era la única manera que conocía de expresar el amor del que hablaba. Pero Ramanujan nunca recobró la salud: al terminar la Primera Guerra Mundial, Hardy sugirió que quizá debería volver a la India para completar su convalecencia. El 26 de

abril de 1920, Ramanujan murió en Madrás a la edad de treinta y tres años, a causa de una enfermedad que hoy se cree que podía ser amebiasis, una infección del intestino grueso que probablemente había contraído antes de marchar a Inglaterra. A pesar de que Ramanujan finalmente no consiguió dominar los números primos, su primera carta a Hardy tuvo un efecto duradero sobre la teoría de estos números. Los matemáticos están convencidos de que la respuesta a este enigma irresuelto puede aparecer en cualquier momento y a partir de cualquier fuente. Una nueva intuición podría proyectar un nombre

antes desconocido desde las sombras de una existencia oscura a las luces de los focos. Como demostró el caso de Ramanujan, quizás el conocimiento y las expectativas pueden llegar a frenar los progresos: los académicos que se han formado en las sedes tradicionales de la cultura no necesariamente están en la mejor posición para escapar de los esquemas. Siempre existe la posibilidad de que otro sobre voluminoso acabe en el escritorio de algún matemático, anunciando la llegada de un genio desconocido preparado para convertir en realidad el sueño de Ramanujan de descifrar el enigma de los números primos.

Las ideas que Ramanujan dejó tras de sí estaban destinadas a alimentar el trabajo de generaciones enteras de matemáticos, y continúan haciéndolo. De hecho, podría afirmarse que sólo en los últimos decenios se ha empezado a apreciar completamente el valor real de las ideas de Ramanujan. Incluso a la muerte de Hardy, el verdadero alcance de las fórmulas de Ramanujan no era todavía evidente; el propio Hardy fue muy crítico con una de las conjeturas de Ramanujan: «Parece que hayamos ido a parar a uno de los páramos de las matemáticas», observó en uno de sus escritos en relación con ella. Sin embargo, con la distancia de los años

podemos emitir un juicio bien distinto sobre la importancia de la conjetura tau de Ramanujan, que es como se la conoce, ya que en 1978 su solución le valió a Pierre Deligne la concesión de una medalla Fields. Bruce Berndt, uno de los grandes admiradores de Ramanujan, lo ha comparado con Bach, que tras su muerte cayó en el olvido durante años. Berndt dedicó buena parte de su propia vida a analizar los cuadernos inéditos de Ramanujan: se trata del continuador de una tradición de matemáticos que quedaron fascinados por la masa de fórmulas y de ecuaciones que generó Ramanujan. Explorando los

cuadernos, Berndt descubrió una curiosa tabla que entra en los detalles de la cantidad de números primos para N menor que 100.000.000; los valores son correctos totalmente, o casi, además, son más precisos de los que da la fórmula que Ramanujan envió a Hardy en su primera carta. Sin embargo, no hay ningún indicio sobre cómo los dedujo. ¿Podría ser que Ramanujan hubiera accedido a una fórmula secreta para calcular la distribución de los números primos, una fórmula tan precisa como la relativa a la función de partición? ¿Podría ser que los cuadernos de Ramanujan escondan aún indicios a la espera de ser descubiertos? En 1976 la

comunidad matemática se estremeció ante la noticia del descubrimiento de un cuaderno de Ramanujan que se creía perdido, y que resultó estar repleto de matemáticas inéditas; este descubrimiento está destinado inevitablemente a alimentar hipótesis sobre la posibilidad de que, escondidos en los archivos del Trinity College o en cualquier cajón de Madrás, haya tesoros que todavía no han visto la luz y que explicarían la capacidad de Ramanujan de contar los números primos con tanta precisión. La muerte de Ramanujan supuso una gran conmoción para Hardy, quien sólo dos meses antes había recibido de su

amigo una carta «más bien alegre y llena de matemáticas». La pérdida de tan maravilloso compañero de viaje en sus excursiones a través del territorio matemático le produjo una gran desolación: «Para mí, su originalidad ha sido fuente constante de inspiración desde que lo conocí, y su muerte es uno de los peores golpes que jamás haya recibido». Cuando envejeció, Hardy cayó víctima de la depresión. Siempre había pensado en sí mismo como si fuera joven; ahora, la imagen de su cara cruzada de arrugas le repugnaba tanto que cogió la costumbre de pedir insistentemente que dieran la vuelta a

todos los espejos cuando entraba en una habitación. Odiaba los efectos de la edad sobre su capacidad de hacer matemáticas. Su Apología de un matemático es la descripción memorable de un matemático al final de su carrera: para hacer matemáticas, un matemático «no ha de ser demasiado viejo, las matemáticas son un ejercicio creativo y no contemplativo, y nadie puede consolarse cuando pierde el poder o el deseo de crear; y tal cosa es fácil que le ocurra muy pronto a un matemático». Como antes había hecho Ramanujan, Hardy intentó quitarse la vida, aunque escogió tomar pastillas en lugar de

saltar ante un tren. Sin embargo vomitó las pastillas y quedó tuerto. C. P. Snow recuerda una visita que hizo a Hardy tras su intento de suicidio: «Se burlaba de sí mismo. Se las arreglaba muy mal. ¿Había existido alguien que se las arreglara peor que él?». El único consuelo para Hardy, como escribió en l a Apología, había sido Ramanujan: «Todavía hoy, en los momentos de depresión, cuando estoy obligado a escuchar a gente pedante y presuntuosa, me digo: “bueno, he hecho una cosa que vosotros nunca seréis capaces de hacer: he colaborado con Littlewood y Ramanujan casi de igual a igual”».

7 ÉXODO MATEMÁTICO: DE GOTINGA A PRINCETON Dado que las ciencias matemáticas son tan amplias y variadas, es necesario circunscribir su cultivo, ya que toda actividad humana está ligada a lugares y a personas. DAVID HILBERT , hablando en una fiesta con motivo de la llegada de Landau a Gotinga como profesor en 1913.

El

padre de Landau, Leopold, descubrió que en la misma calle de Berlín donde vivía habitaba también un joven portento de las matemáticas. Lleno de curiosidad, lo invitó a tomar el té en su casa; a pesar de su timidez, Carl Ludwig Siegel aceptó la cita con el padre del gran matemático de Gotinga. El viejo Landau tomó de su biblioteca los dos volúmenes del libro sobre los números primos que había escrito su hijo y se los entregó a Siegel; probablemente aún eran demasiado difíciles para él, explicó, pero quizá más adelante estaría preparado para leerlos. Siegel debió guardar como un

tesoro el libro de Edmund Landau, que tendría un impacto duradero sobre su desarrollo matemático. La mayoría de edad de Siegel coincidió con el estallido de la Primera Guerra Mundial. Aquel muchacho joven y reservado se asustaba con la idea de prestar servicio en el ejército: empezó a desarrollar una profunda aversión a todo lo que tuviera que ver con las fuerzas armadas. A pesar del interés que el padre de Landau había mostrado por sus progresos matemáticos, inicialmente Siegel había elegido estudiar astronomía, pensando que se trataba de una disciplina que nunca tendría nada que ver con la guerra. Pero los cursos de

astronomía empezaban tarde y, para matar el tiempo, Siegel empezó a asistir a cursos de matemáticas. Al cabo de poco tiempo se entregó a ellas: explorar el universo de los números se convirtió en su pasión. Muy pronto adquirió la preparación suficiente para comprender el contenido de los volúmenes sobre los números primos que le había dado el padre de Landau. En 1917 la guerra invadió de manera inexorable la vida de Siegel y, cuando se negó a prestar el servicio militar, lo recluyeron en un manicomio. El padre de Landau intervino para que lo liberaran: «Si no hubiera sido por Landau habría muerto», reconoció más

tarde Siegel. En 1919, cuando aún estaba recuperándose de aquel calvario, el joven Siegel conoció a Edmund Landau, su héroe matemático, en Gotinga, donde florecería su talento matemático. Siegel también descubrió que tendría que aprender a soportar el carácter exasperante de Landau. Una vez, cuando ya era licenciado en matemáticas, Siegel visitó a Landau en Berlín. El profesor pasó toda la cena explicando meticulosamente una demostración extremadamente detallada y técnica, obstinándose en ofrecer cada detalle por mínimo que fuera. Siegel lo escuchó con paciencia, pero cuando Landau terminó

era tan tarde que ya no había autobús para devolverlo a su casa: tuvo que hacer el trayecto a pie. Durante la larga caminata volvió a pensar en la demostración de Landau, que trataba de los puntos a nivel del mar en un paisaje similar al que Riemann había construido: antes de llegar a su casa ya había ideado una demostración alternativa a la que le había hecho perder el autobús. Al día siguiente, en un momento de franqueza, Siegel envió a Landau una tarjeta con su agradecimiento por la cena y los detalles sucintos de su demostración alternativa: todo ello cabía en la tarjeta postal.

Cuando Siegel llegó a Gotinga, mientras Alemania sufría la opresión de las reparaciones de guerra, tuvo que alojarse en casa de uno de los profesores del departamento. Otro profesor le compró una bicicleta para que pudiera pedalear por las callejas de la ciudad medieval. Al principio, Siegel estaba un poco intimidado por la cantidad de nombres famosos que daban lustre al Departamento de Matemática de la universidad, sobre todo del gran Hilbert. Por tanto, trabajaba en silencio y en soledad, con la decisión de conseguir un descubrimiento fundamental que impresionaría a todos los matemáticos famosos con los que se

cruzaba por los pasillos del departamento. Asistía a las clases de Hilbert, absorbiendo las ideas de aquel hombre formidable. Sabía que la respuesta a uno solo de los veintitrés problemas de Hilbert supondría el pasaporte al éxito. Al principio, ante gigantes del calibre de Hilbert, era absolutamente incapaz de expresar sus propias ideas; finalmente consiguió el coraje necesario cuando algunos de los miembros veteranos de la facultad lo invitaron a nadar en el río Leine: en traje de baño el aspecto de Hilbert intimidaba mucho menos, y Siegel se sintió lo bastante audaz como para hacerlo partícipe de su

opinión sobre la hipótesis de Riemann. La reacción de Hilbert fue entusiasta y su apoyo aseguró al tímido colega un empleo en la Universidad de Francfort en 1922. Durante su vida, Siegel contribuyó con éxito a la solución de muchos de los problemas de Hilbert, pero lo que consiguió imprimir su nombre en letras de oro en el mapa matemático fue su poco convencional contribución al octavo problema: la hipótesis de Riemann.

REPENSAR A RIEMANN

Cuando decidió dedicarse a la solución del octavo problema de Hilbert, Siegel estaba empezando a notar que algunos matemáticos estaban cada vez más desilusionados con la contribución de Riemann a este problema: Landau, el mentor de Siegel, era probablemente la voz más abiertamente crítica sobre lo que realmente había conseguido Riemann en su ensayo de diez páginas publicado en 1859. Incluso reconociendo que se trataba de un «ensayo extremadamente brillante y útil», Landau continuaba poniendo sordina a sus alabanzas: «La fórmula de Riemann no es en realidad lo más importante de la teoría de los

números. Riemann sólo ha creado los instrumentos que, una vez perfeccionados, han permitido más tarde demostrar muchas otras cosas». Mientras tanto, en Cambridge, Hardy y Littlewood asumían una actitud igualmente desdeñosa: hacia finales de los años veinte, la incapacidad de resolver la hipótesis de Riemann empezaba a resultar frustrante para Hardy; también Littlewood empezó a preguntarse si el hecho de no conseguir demostrarla podía significar que en realidad la hipótesis fuera equivocada: Creo que es falsa. No hay indicios de ningún tipo que la

sostengan. Y no deberíamos creer cosas sobre las que no hay indicios. Debo también dejar constancia de mi opinión personal: no existe ni una sola razón concebible para creer que sea verdadera… Por otra parte, la vida sería más agradable si existieran razones fundadas para creer que la hipótesis es falsa. En efecto, Riemann se había mostrado más bien evasivo cuando se trataba de proporcionar pruebas de la presencia de los ceros donde predecía su hipótesis. En su ensayo de diez páginas no encontramos el cálculo de

uno solo de dichos puntos a nivel del mar. Según Hardy, la intuición de Riemann sobre los ceros presentes en su paisaje no pasaba de ser una especulación de carácter heurístico. El hecho de que en su ensayo Riemann diera la impresión de no haber calculado la posición de los ceros contribuyó a que se le endosara la imagen de matemático conceptual, un hombre de ideas poco dispuesto a ensuciarse las manos calculando. Al fin y al cabo, ese era el espíritu de la revolución que Riemann había encabezado. De forma parecida, Hilbert había dedicado su vida a promover esta nueva concepción de las matemáticas.

Como escribió en uno de sus ensayos científicos: «he intentado evitar el enorme aparato calculístico de Kummer [Ernst Kummer, sucesor de Dirichlet en Berlín], de manera que también en este caso debería de satisfacerse el principio de Riemann de que las demostraciones deben ser estimuladas sólo por el pensamiento y no por los cálculos». A Félix Klein, colega de Hilbert en Gotinga, le gustaba decir que Riemann operaba principalmente mediante «grandes ideas generales» y que «a menudo confiaba en su propia intuición». A Hardy, sin embargo, no le bastaba con su intuición. Él y Littlewood

consiguieron elaborar un método para calcular con precisión la posición de algunos de los primeros ceros. Si la hipótesis de Riemann hubiera sido falsa, entonces, armados con su fórmula, habrían tenido una pequeña posibilidad de determinar un cero que no estuviera sobre la recta crítica de Riemann. El método que elaboraron explotaba la simetría que Riemann había descubierto en su paisaje entre la tierra al este y al oeste, respectivamente, de la línea mágica que pasa por 1/2. Usaron su método en combinación con un eficiente procedimiento que había sido concebido por Euler para proporcionar valores aproximados de sumas infinitas. A

finales de los años veinte, los dos matemáticos de Cambridge habían conseguido localizar 138 ceros. Tal como Riemann había previsto, todos ellos estaban sobre la recta que pasa por 1/2. De todos modos, estaba claro que la fórmula de Hardy y Littlewood estaba agotando sus posibilidades: determinar la posición exacta de cualquier cero al norte de los primeros 138 ceros a través de los cálculos se estaba convirtiendo en un camino impracticable. Parecía clara la imposibilidad de llevar más allá aquellos cálculos. Mediante el análisis teórico, Hardy había demostrado que un número infinito de ceros caería sobre la recta; ahora

tenían la sensación cada vez más nítida de que, para poder ver uno cualquiera de los ceros que eventualmente pudieran caer fuera de la recta, haría falta ir muy hacia el norte en el espacio de Riemann. Como Littlewood había explicado, los números primos, más que cualquier otra criatura del zoo matemático, gustaban de esconder su verdadero carácter en las áreas más remotas del universo de los números. Por ello, los matemáticos empezaron a abandonar la idea de determinar de forma explícita la posición de los ceros y empezaron a concentrarse en las características más teóricas del paisaje que pudieran revelar los misterios del razonamiento

de Riemann. Todo este panorama cambió como consecuencia de un descubrimiento absolutamente inesperado. Mientras Siegel se esforzaba en Francfort en ordenar sus propias ideas sobre la hipótesis de Riemann, recibió una carta del historiador de las matemáticas Erich Bessel-Hagen, que estaba trabajando con las notas inéditas de Riemann. Elise, la esposa de Riemann, había recuperado algunas de las cartas de manos de la celosa gobernanta responsable de haber reducido a cenizas buena parte de ellas. Más tarde, Elise entregó a Richard Dedekind, coetáneo de su marido, las notas que quedaron, pero algunos años

más tarde, comenzó a arrepentirse de haber cedido documentos que podrían contener detalles personales, y pidió a Dedekind que se los devolviera. Incluso en el caso de que alguno de los manuscritos estuviera casi completamente ocupado por notas matemáticas, si contenía la más mínima traza de una lista de la compra o el nombre de un amigo de la familia, Elise pretendía que le fuera restituida. Finamente Dedekind había depositado las restantes notas científicas en la biblioteca de Gotinga. Ahora Bessel-Hagen intentaba encontrar un sentido en el amasijo de cartas que se conservaban en los archivos, con escaso

éxito. Como suele suceder con los apuntes de los matemáticos, las notas de Riemann eran un barullo caótico de fórmulas e ideas a medio construir. Bessel-Hagen se preguntaba si quizá Siegel conseguiría relacionar alguna cosa del descifrado de aquellos jeroglíficos. Siegel escribió al bibliotecario de Gotinga pidiéndole permiso para [4]

consultar las Nachlass de Riemann, que es como se llama actualmente a sus escritos póstumos. El bibliotecario dispuso la expedición de los documentos a una biblioteca de Francfort para que Siegel pudiera consultarlos. Siegel esperaba

ansiosamente dedicarse a aquella labor: sería una agradable distracción ante la frustración que le producían sus escasos progresos en la investigación. Los documentos llegaron puntualmente, y él se precipitó a la biblioteca junto con un colega que estaba de visita en la Universidad de Francfort. Al abrir el paquete apareció una gran cantidad de folios repletos de complicados cálculos numéricos. Aquellas páginas desmentían de una vez por todas la imagen que de Riemann se había dado en los últimos setenta años: la de un matemático intuitivo y conceptual incapaz de producir pruebas sólidas para sostener sus propias ideas. Ante aquella masa de

cálculos, Siegel exclamó irónicamente: «¡He aquí los grandes conceptos generales de Riemann!». Algunos matemáticos de segunda fila habían ojeado anteriormente aquellas páginas, en busca de indicios de la demostración de la hipótesis de Riemann, pero ninguno de ellos había logrado dar sentido a aquella masa de ecuaciones fragmentadas. Lo más desconcertante era la gran cantidad de cálculos numéricos que Riemann parecía haber efectuado en su tiempo libre: ¿qué significaban todos aquellos cálculos? Hizo falta un matemático de la talla de Siegel para comprender lo que Riemann había hecho.

Al estudiar aquellas páginas, Siegel empezó a comprender que Riemann había seguido el dictado de su maestro: como Gauss había subrayado siempre, un arquitecto retira los andamios una vez completado el edificio. Los frágiles folios que ahora Siegel tenía en sus manos estaban llenos de cálculos, incluso en los márgenes. Riemann había vivido los últimos años de su vida en la pobreza, habiéndose visto obligado a mantener a su hermana, y sólo podía permitirse papel de mala calidad, del que exprimía hasta el último rincón de espacio disponible. El Riemann pensador de Hilbert se convertía ahora en un maestro de los cálculos, y en

realidad era sobre esos cálculos que había construido su visión conceptual del mundo, determinando esquemas a partir de las pruebas que iba recogiendo. Algunos de los cálculos de Riemann, como el de la raíz cuadrada de 2 hasta la trigésimo octava cifra, no eran innovadores, pero otros intrigaron a Siegel, que nunca se las había tenido que ver con nada parecido. Al ir hurgando en aquellas páginas, el barullo caótico de los cálculos empezó a mostrar un sentido: Siegel comprendió que Riemann estaba calculando los ceros del paisaje zeta. Siegel descubrió que Riemann había usado una fórmula extraordinaria, que le

permitía calcular las alturas en el espacio zeta con extrema precisión. La primera parte de la fórmula se basaba en un truco posteriormente descubierto por Hardy y Littlewood: Riemann se les había adelantado unos sesenta años. La segunda parte de la fórmula era completamente inédita: Riemann había descubierto una forma de calcular el resto de la suma infinita que era muchísimo más ingeniosa que la que se utilizaba aún en tiempos de Siegel; al contrario del método de Euler que se había utilizado para determinar los primeros 138 ceros (es decir, los primeros 138 puntos a nivel del mar en el paisaje zeta), la fórmula que Riemann

había ideado no perdía eficacia cuando se utilizaba para calcular la posición de los puntos situados mucho más al norte. Sesenta y cinco años después de la muerte de Riemann, el augusto matemático mantenía aún un amplio margen de ventaja en la competición. Hardy y Landau se habían equivocado al creer que el ensayo de Riemann era un extraordinario compendio de intuiciones heurísticas. Al contrario, se basaba en cálculos sólidos e ideas teóricas que Riemann había decidido no revelar al mundo. Pocos años después de su descubrimiento por parte de Siegel, la fórmula secreta de Riemann se utilizó en Cambridge por algunos estudiantes de

Hardy para confirmar que los primeros 1.041 ceros estaban sobre la recta de Riemann; sin embargo, la fórmula sólo demostraría todo su valor con la llegada de la era de la informática. Resulta muy extraño que los matemáticos necesitaran tanto tiempo para comprender que los apuntes de Riemann podían contener joyas como ésta: en su ensayo de diez páginas, y en algunas cartas que escribió en aquella época a otros matemáticos, hay claros indicios de que Riemann estaba trabajando en algo realmente importante. En efecto, en su ensayo cita una nueva fórmula, pero añade que no la ha «simplificado lo suficiente para

anunciarla». Los matemáticos de Gotinga estudiaban desde hacía setenta años aquel documento publicado, ignorando que aquella fórmula mágica se encontraba a pocas manzanas de distancia. Klein, Hilbert y Landau no se lo habían pensado dos veces para emitir su sentencia sobre Riemann, aunque ninguno de ellos había ni siquiera echado un vistazo a sus inéditas Nachlass. Para ser honestos, basta una ojeada a los apuntes desordenados de Riemann para darse cuenta del alcance de la labor. Como escribió Siegel: «ninguna parte de los escritos de Riemann relativos a la función zeta está

preparada para ser publicada; a veces encontramos fórmulas inconexas en una misma página, con frecuencia sólo tenemos escritas la mitad de las ecuaciones». Era como estudiar los primeros compases de una sinfonía inacabada. La composición final debe mucho al virtuosismo con que Siegel extrajo la fórmula de entre el caos de las notas de Riemann. El nombre con el que hoy se la conoce —fórmula de RiemannSiegel— está plenamente justificado. Gracias a la perseverancia de Siegel se había revelado un aspecto inédito de la personalidad de Riemann: ciertamente, Riemann había defendido con ardor la importancia del

pensamiento abstracto y de los conceptos generales, pero sabía bien que también era importante no olvidar el cálculo y la experimentación numérica: no había olvidado la tradición del siglo XVIII de la que había emergido su matemática. E l Nachlass conservado en la biblioteca de Gotinga representaba sólo una parte de lo que se recuperó de manos de la gobernanta de Riemann. El primero de mayo de 1875 Elise Riemann escribió a Dedekind para pedirle otra vez una parte del material personal que deseaba que volviera a posesión de la familia. Entre este material había «un librito negro que contiene anotaciones

sobre la estancia de Riemann en París durante la primavera de 1860». Apenas unos meses antes de aquel viaje, Riemann había publicado su fundamental ensayo de diez páginas sobre los números primos, dándose prisa para mandarlo a la imprenta coincidiendo con su nombramiento en la Academia de Berlín. En París, tras la actividad frenética de la publicación, tuvo tiempo de añadir detalles a sus propias ideas. El clima en París era horrible: la nieve y el granizo impidieron a Riemann visitar la ciudad. Tuvo que permanecer tranquilamente en su habitación poniendo sus pensamientos por escrito. No es irracional pensar que, junto con

sus impresiones personales de París, en aquel «librito negro» Riemann anotara sus propios razonamientos sobre los puntos a nivel del mar en el paisaje zeta. El libro nunca se ha recuperado, aunque hay muchos indicios sobre cuál fue su destino. El 22 de julio de 1892, el yerno de Riemann escribió a Heinrich Weber: «Al principio mamá no podía aceptar que las cartas de Riemann no estuvieran en manos privadas; para ella son sagradas y no le gusta la idea de que estén al alcance de cualquier estudiante, que también podría leer las notas al margen, algunas de las cuales son puramente personales». A diferencia de

lo que ocurrió con Fermat, cuyo sobrino había estado incluso ansioso por publicar las notas al margen de su tío, la familia de Riemann era reacia a hacer públicas las notas que Riemann nunca había previsto publicar. Parece que en aquel momento el librito negro aún estaba en poder de la familia. Abundan las hipótesis sobre el destino del cuaderno: hay indicios que hacen creer que más adelante BesselHagen compró una parte del material inédito que estaba en manos de la familia. No está claro si compró el material en una subasta o si lo consiguió a través de algún contacto personal. Una parte de las cartas terminó en los

archivos de la Universidad de Berlín, pero parece ser que Bessel-Hagen decidió quedarse con el resto. Murió de inanición en invierno de 1946, en el caos que siguió al final de la Segunda Guerra Mundial. Sus efectos personales no se hallaron nunca. Según otra versión, el librito negro terminó en manos de Landau. Se dice que, en medio de las incertidumbres del período de entreguerras, se lo confió a su yerno, el matemático I. J. Schoenberg, que en 1930 huyó a los Estados Unidos, pero esta pista también se pierde en la nada. Como actualmente hay un premio de un millón de dólares, la búsqueda del librito negro se ha convertido en la caza

del tesoro. Sin los apuntes de Riemann y la determinación de Siegel, ¿cuánto tiempo habría hecho falta para sacar a la luz la fórmula mágica? Se trata de una fórmula tan sofisticada que con toda probabilidad no la conoceríamos ni siquiera hoy. ¿Qué otros tesoros hemos perdido por culpa de la desaparición del librito negro? Riemann creía que podía demostrar que la mayor parte de los ceros se encontraba sobre la recta crítica, y sin embargo nadie ha dado con una demostración de tal aserto. ¿Qué podría permanecer oculto en los archivos de las bibliotecas alemanas? ¿Podría ser que el librito negro

terminara en América? ¿O quizá sobrevivió a la hoguera de la gobernanta para quemarse en el fuego de la Segunda Guerra Mundial? En 1933, en toda Alemania, a los matemáticos les resultaba cada vez más difícil concentrarse en el estudio de su disciplina. La esvástica ondeaba sobre la biblioteca de Gotinga. La facultad estaba repleta de matemáticos judíos o de izquierdas. En las manifestaciones callejeras de aquel período se apuntaba específicamente al Departamento de Matemática como «fortaleza marxista», y a mediados de los años treinta gran parte de los miembros de la facultad habían perdido su trabajo como

consecuencia de las purgas universitarias ordenadas por Hitler. Muchos buscaron refugio en el extranjero. A Landau, a pesar de ser hebreo, le permitieron quedarse porque había sido nombrado profesor antes del estallido de la Primera Guerra Mundial. La cláusula de exclusión de los no arios en la ley sobre empleo público de abril de 1933 no se aplicaba a los profesores con una amplia hoja de servicios o a los que habían combatido en la guerra. Las cosas empeoraron. En el invierno de 1933 las clases de Landau eran boicoteadas por los estudiantes nazis, entre los que se encontraba uno de los matemáticos más brillantes de

aquella generación: Oswald Teichmüller. Un profesor judío de Gotinga describió a Teichmüller como: «un hombre muy joven, científicamente dotado, pero completamente desorientado y notoriamente loco». Un día, cuando llegó al aula donde debía dar clases, Landau se encontró con que el joven fanático nazi le impedía el paso. Teichmüller dijo a Landau que su modo judío de presentar el cálculo infinitesimal era completamente incompatible con el modo de pensar ario. Landau no resistió la presión, presentó la dimisión y se retiró a Berlín. El hecho de que le negaran la posibilidad de enseñar lo hirió

profundamente. Hardy lo invitó a dar algunas clases en Cambridge: «Fue realmente conmovedor ver su alegría al hallarse de nuevo ante una pizarra y su pena de que aquella oportunidad llegara a su término», recordó Hardy. Incapaz de plantearse la posibilidad de abandonar su país, Landau volvió a Alemania, donde murió en 1938. Aquel año Siegel, que no tenía parientes judíos, se trasladó de Francfort a Gotinga para intentar recuperar la reputación del departamento de Matemáticas. En 1940 se exilió voluntariamente en los Estados Unidos como protesta por los horrores de la guerra. Tras las terribles

experiencias que había vivido de joven durante la Primera Guerra Mundial, había jurado que no permanecería en Alemania si su país entraba de nuevo en guerra. Pasó los años de la guerra en el Institute for Advanced Study de Princeton. De los matemáticos que habían forjado la reputación de Gotinga, sólo Hilbert permaneció en Alemania: para él siempre había sido una obsesión la supremacía matemática de Gotinga. Ya anciano, no conseguía comprender los motivos de la devastación que ahora lo rodeaba. Siegel intentó explicarle por qué se habían ido muchos miembros de la facultad: «Tenía la impresión, me pareció, de que estábamos intentando

hacerle una broma de mal gusto», recordó más adelante Siegel. En pocas semanas, Hitler destruyó las grandes tradiciones de Gotinga que Gauss, Riemann, Dirichlet y Hilbert habían creado: «Fue una de las peores tragedias que ha sufrido la cultura humana desde los tiempos del Renacimiento», escribió un comentarista. Gotinga (y, podría quizás añadirse, la matemática alemana), nunca se recuperó del todo de la purga que los nazis perpetraron durante los años treinta del siglo XX. Hilbert murió el día de San Valentín de 1943, tras una caída sufrida en las calles medievales de Gotinga: su muerte marcó el fin de la

ciudad como meca de las matemáticas. Las matemáticas habían entrado en crisis en toda Europa. Mientras las naciones se preparaban para la inevitable confrontación, se hacía muy difícil justificar la investigación de ideas abstractas por sí mismas. Una vez más, la ciencia europea recibió el encargo de proporcionar la supremacía militar a las naciones. Muchos matemáticos siguieron el ejemplo de Siegel y emigraron a los Estados Unidos. Para la mayor parte de ellos, la prosperidad y el apoyo que recibieron del otro lado del Atlántico resultó el ambiente perfecto para reemprender la investigación pura. Mientras que los

Estados Unidos se benefició de esta inmigración académica, Europa nunca ha reconquistado su papel de potencia mundial de las matemáticas. Algunos matemáticos volvieron del exilio: una vez terminada la guerra, Siegel volvió a Alemania. Durante su exilio en Princeton había permanecido completamente al margen de los desarrollos matemáticos de Europa y creía que durante su ausencia no se habían producido grandes cambios. Le esperaba una sorpresa: aunque muchísimos matemáticos se marcharon o dejaron de ocuparse de su disciplina, resultó que había novedades. Siegel encontró a su amigo Harald Bohr, el

matemático danés que desde Copenhague había colaborado con Hardy en sus intentos de demostrar la hipótesis de Riemann: «¿O sea que ha sucedido algo durante mi exilio en Princeton?», preguntó Siegel a su viejo colega; «¡Selberg!», le respondió Bohr.

SELBERG, EL ESCANDINAVO SOLITARIO

En 1940 Siegel consiguió llegar a Princeton pasando por Noruega. Había sido invitado a dictar una conferencia en la Universidad de Oslo, y los alemanes habían autorizado la visita sin saber que

para Siegel aquella conferencia era un pretexto. En realidad, el objetivo principal del viaje era huir de Europa en un barco que partía de Oslo directamente a los Estados Unidos. Mientras la nave en la que se había embarcado salía del puerto, Siegel vio una flota de barcos mercantes alemanes que se disponían a atracar; más tarde supo que aquellos barcos formaban parte de la vanguardia de las fuerzas invasoras alemanas. Él huyó, pero en el Departamento de Matemática de Oslo se quedó un joven matemático llamado Atle Selberg. Apenas era un muchacho, y estaba escondiendo la cabeza en la arena matemática en un esfuerzo por

ignorar el caos que lo rodeaba. Aún antes de que la guerra engullera a Noruega, Selberg estaba contento de pasar sus días de trabajo en reclusión voluntaria. A menudo, una existencia aislada empuja al matemático en una dirección completamente nueva: Selberg ya tenía decidido trabajar en un campo de las matemáticas con el que nadie más en Escandinavia tenía una especial familiaridad. El hecho de no recibir ayuda de sus colegas no lo desanimaba; al contrario, parecía gozar con la soledad. Mientras la guerra se acercaba y Noruega quedaba cada vez más aislada, sin posibilidades de recibir la prensa científica extranjera, Selberg

halló inspiración en aquel silencio: «Era como estar en una especie de prisión. Estabas en el límite. Tenías la seguridad de poder concentrarte en tus ideas. No te distraía lo que hicieran los demás. En este sentido creía que desde muchos puntos de vista la situación era decididamente buena para mi trabajo». Aquella autosuficiencia iba a caracterizar toda la vida matemática de Selberg. La había cultivado durante los años de su adolescencia, cuando, en la biblioteca personal de su padre, ojeaba la gran cantidad de libros de matemáticas que poblaban los estantes sin que nadie lo molestara. Fue en aquellas largas horas de lectura que

Selberg tuvo la oportunidad de sumergirse en un artículo sobre Ramanujan, publicado en una revista de las Sociedad Matemática Noruega. Selberg recuerda cómo aquellas «extrañas y bellísimas fórmulas… causaron en mí una impresión muy profunda y duradera». La obra de Ramanujan se convirtió en una de las principales fuentes de inspiración de Selberg: «Era como una revelación, un mundo completamente nuevo para mí, que ejercitaba una atracción mucho mayor sobre la imaginación». Su padre le regaló los Collected Papers de Ramanujan, que Selberg todavía hoy conserva. Formado de manera

autodidacta gracias a la amplia colección de volúmenes de su padre, Selberg producía ya trabajos originales cuando se matriculó en la Universidad de Oslo, en 1935. Estaba especialmente fascinado por la fórmula para el cálculo de la sucesión del número de particiones que el matemático indio había descubierto junto con Hardy. A pesar de que la fórmula de Ramanujan estaba considerada como un resultado maravilloso, había en ella algo insatisfactorio: la fórmula proporcionaba una respuesta que no era un número entero; lo que daba el número de particiones era el número entero más

próximo al resultado generado por la fórmula. Tenía que existir una fórmula capaz de generar exactamente el número de particiones de N objetos. Selberg se colmó de alegría cuando, en otoño de 1937, consiguió hacerlo mejor que Ramanujan: halló una fórmula exacta. Poco después del descubrimiento, cuando estaba leyendo una recensión de lo que era su primer artículo científico, sus ojos cayeron sobre la recensión siguiente: tuvo una gran decepción al comprobar que había sido batido en la misma línea de meta por Hans Rademacher en un artículo publicado el año anterior. Rademacher había huido directamente a los Estados Unidos desde

su Alemania natal en 1934, cuando los nazis lo obligaron a dejar su trabajo en Breslavia por sus ideas pacifistas: «Entonces fue un golpe para mí, pero luego me he habituado a este tipo de cosas». El hecho de que Selberg no tuviera información sobre la contribución de Rademacher ilustra hasta qué punto Noruega estaba aislada en aquella época de los desarrollos matemáticos que tenían lugar allende sus fronteras. Según Selberg, había algo sorprendente en el hecho de que Hardy y Ramanujan no hubieran hallado la fórmula exacta: «Creo firmemente que la responsabilidad recae en Hardy…

Hardy no confió completamente en la intuición de Ramanujan… Creo que si Hardy hubiera confiado más en Ramanujan, habrían terminado llegando inevitablemente en las sucesiones de Rademacher. Hay pocas dudas sobre ello». Tal vez, sin embargo, fue la ruta que tomaron Ramanujan y Hardy lo que derivó en la contribución HardyLittlewood a la conjetura de Goldbach, algo que, de otro modo, no habría sucedido. Selberg empezó a leer todo lo que encontró sobre el trío de Cambridge: Ramanujan, Hardy y Littlewood. Le interesó sobre todo su trabajo sobre los números primos en relación con la

función zeta. En uno de los artículos de Hardy y Littlewood había una afirmación que despertó particularmente su curiosidad: sus métodos de entonces, decían, no parecían ofrecer ninguna esperanza de demostrar que la mayor parte de los ceros, los puntos a nivel del mar del paisaje de Riemann, se encontraran sobre la recta mágica de Riemann. Hardy había completado el importantísimo paso de demostrar que un número infinito de ceros estaba sobre la recta, pero no había conseguido demostrar que aquel número infinito abarcara siquiera una porción del número total de ceros. A pesar de algunos progresos

debidos a Littlewood, el número de ceros cuya presencia sobre la recta habían conseguido demostrar los dos matemáticos quedaba aplastado por los ceros que no habían sido capaces de determinar. Hardy y Littlewood afirmaban sin titubeos que era imposible mejorar sus resultados utilizando los métodos que ellos mismos habían desarrollado. Pero Selberg no fue tan pesimista. Pensaba que aún era posible obtener algo de sus ideas: «Estaba mirando la parte del artículo original de Hardy y Littlewood en la que explican por qué su método no podía dar más de lo que ellos habían conseguido demostrar. Lo leí y

razoné sobre ello. Y después me di cuenta que aquello era totalmente absurdo». La intuición de Selberg —la sensación de poder ir más allá de los resultados de Hardy y Littlewood— resultó certera. A pesar de que aún no podía demostrar que todos los ceros están sobre la recta, consiguió probar que el porcentaje de ceros capturados con su método no se reducía a cero cuando se utilizaba para calcular la posición de los ceros colocados más al norte. Selberg no estaba muy seguro de qué proporción de ceros podría determinar así, pero el suyo fue el primer intento exitoso de abrir una brecha de una cierta entidad en el

problema. Mirado retrospectivamente, parece que Selberg consiguió demostrar que un cinco o diez por ciento de los ceros caían sobre la recta, lo que significa que, si continuamos contando ceros hacia el norte, al menos esta parte responderá a la hipótesis de Riemann. A pesar de no tratarse de una demostración de la hipótesis de Riemann, la brecha abierta por Selberg representó un importante avance psicológico, aunque nadie fue consciente de ello. Él mismo no estaba seguro de que ningún otro lo hubiera precedido en el descubrimiento. Una vez acabada la guerra, en el verano de 1946, Selberg fue invitado a hablar en el Congreso

Escandinavo de Matemáticas, en Copenhague. Ya escarmentado por su experiencia anterior con la fórmula exacta para el cálculo del número de particiones, decidió que lo mejor sería verificar si sus resultados sobre los ceros de la función de Riemann eran ya conocidos o no. Pero la Universidad de Oslo todavía no había recibido las revistas de matemáticas que no habían llegado durante la guerra. «Había oído que en la biblioteca del Instituto de Trondheim habían recibido los ejemplares. Por tanto, fui a Trondheim especialmente para ello. Estuve casi una semana en la biblioteca». Su preocupación era infundada:

descubrió que estaba muy por delante de cualquier otro en la comprensión de los ceros del paisaje zeta de Riemann. La conferencia que dictó en Copenhague constituyó la confirmación de lo que afirmaba Bohr a los que venían de visita desde los Estados Unidos: en Europa las novedades matemáticas se reducían a un nombre: «¡Selberg!». En la conferencia éste habló de sus ideas sobre la hipótesis de Riemann. A pesar de su importante contribución al camino que conducía a su demostración, Selberg subrayó que los elementos de apoyo a la veracidad de la hipótesis de Riemann todavía eran muy escasos: «Pienso que la razón por la que en un tiempo

estábamos convencidos de la validez de la hipótesis de Riemann es substancialmente el hecho de que nos da la distribución más bella y simple que se pueda obtener: la simetría a lo largo de la recta. Además, la hipótesis conduciría a la distribución más racional de los números primos. Piensen que al menos habría algo correcto en este universo». Algunos malinterpretaron sus comentarios, y pensaron que estaba poniendo en duda la validez de la hipótesis de Riemann, pero Selberg no era tan pesimista como Littlewood, que creía que la falta de pruebas concretas significaba que la hipótesis de Riemann era falsa: «Siempre he creído

intensamente en la hipótesis de Riemann. No argumentaría nunca contra ella. Pero en aquella fase afirmaba que en realidad no disponíamos de resultados ni numéricos ni teóricos que indicaran con fuerza la veracidad de la hipótesis. Los resultados más bien sugerían que la hipótesis era en general cierta». En otras palabras, probablemente la mayoría de los ceros estaría sobre la recta, como Riemann afirmaba haber demostrado casi un siglo antes. Los progresos de Selberg durante la guerra fueron el canto del cisne de la supremacía matemática europea. Tras aquel éxito, Selberg terminó en el punto de mira de Hermann Weyl, un profesor

del Institute for Advanced Study de Princeton, que había huido de Gotinga en 1933, cuando la situación empezó a deteriorarse: el solitario matemático que había permanecido en Europa y había soportado las privaciones de la Segunda Guerra Mundial sucumbió al reclamo del otro lado del Atlántico. Selberg aceptó la invitación a visitar el instituto, ilusionado ante la perspectiva de obtener nuevas ideas. Llegó al bullicioso puerto de Nueva York, y desde allí alcanzó la somnolienta ciudad de Princeton, a unas pocas decenas de kilómetros al sur de Manhattan. Los Estados Unidos se beneficiarían inmensamente del flujo transoceánico de

matemáticos de talento como Selberg: si antes estaba en la cola de la actividad matemática, los Estados Unidos se convertían entonces en la gran potencia que continúa siendo hoy: la patria de las matemáticas, un paraíso que atrae a los matemáticos de todo el globo. Destrozada por la devastación provocada por Hitler y por la Segunda Guerra Mundial, la reputación de Gotinga como meca de las matemáticas resurgiría como ave fénix en Princeton. El Institute for Advanced Study había sido fundado en 1932, con la ayuda de una donación de cinco millones de dólares por parte de Louis Bamberger y de su hermana Caroline

Bamberger Fuld. Su objetivo era atraer a los mejores estudiosos del mundo ofreciéndoles un refugio tranquilo y un salario generoso: no es por casualidad que el instituto recibe el sobrenombre de Institute for Advanced Salaries. El lugar se esforzaba por emular la atmósfera típica de los College de Oxford y Cambridge, donde estudiosos de todas las disciplinas podían interactuar fructíferamente. Pero, en contraste con la rancia atmósfera de aquellas antiguas instituciones europeas, en Princeton se respiraba un aire joven y fresco, desbordante de vida y de ideas. Si en Oxford o en Cambridge se consideraba

de mala educación hablar de trabajo en la mesa, Princeton ignoraba tales finuras: los miembros del instituto hablaban abiertamente de su trabajo tantas veces como hiciera falta. Einstein lo comparó con una pipa aún no ennegrecida por el humo. «Princeton es un lugar maravilloso, un pueblecito pintoresco y ceremonioso de gráciles semidioses zancudos. Así, ignorando ciertas convenciones sociales he conseguido crearme una atmósfera favorable al estudio y libre de distracciones. En esta ciudad universitaria las voces caóticas del conflicto humano casi no penetran». A pesar de que se fundó para servir

a todas las disciplinas, el instituto nació en el antiguo edificio de matemáticas de la Universidad de Princeton. Más tarde, el Departamento de Matemática se trasladó al único rascacielos de Princeton, y tomó su nombre: Fine Hall. Es probable que la primera sede del instituto contribuyera a hacer de las matemáticas y de la física sus principales líneas de fuerza. Sobre la chimenea de la sala de profesores del Fine Hall están escritas algunas palabras que a Einstein le gustaba repetir: «Raffiniert ist der Herr Gott, aber boshaft ist Er nicht» [Dios es sutil, pero no es malicioso]. En cambio, los matemáticos eran bastante más

escépticos sobre la veracidad de tal afirmación: como Hardy había explicado a Ramanujan, hay «una diabólica malignidad inherente a los números primos». El instituto se trasladó a su nueva sede en 1940. Situado en las afueras de Princeton y rodeado de bosques, estaba completamente aislado de los horrores que azotaban al mundo. Einstein lo definió como su exilio paradisíaco: «He deseado este aislamiento durante toda la vida, y ahora, finalmente, lo he obtenido en Princeton». En muchos sentidos, el instituto era un reflejo de su precursor: la Universidad de Gotinga. La gente venía de todas partes y se sumergía en

su comunidad autosuficiente. Algunos opinan que la autosuficiencia de Princeton creció hasta convertirse en autocomplacencia. No sólo había acogido a los matemáticos de Gotinga, sino que incluso parecía apropiarse del lema de la ciudad alemana: para los miembros del instituto, no había vida fuera de Princeton. Escondido entre bosques, el Institute for Advanced Study suponía el ambiente de trabajo ideal para europeos exiliados y huidos.

ERDÖS, EL MAGO DE BUDAPEST

En el instituto había otro prófugo europeo cuya vida se entrelazaría con la de Selberg. Mientras la historia de Ramanujan inspiraba al joven Selberg en Noruega, su magia actuaba sobre otra mente joven: el húngaro Paul Erdös estaba destinado a convertirse en una de las figuras matemáticas más fascinantes de la segunda mitad del siglo XX. Pero no sería sólo Ramanujan quien relacionaría a ambos jóvenes: también estaba la controversia. Mientras que a Selberg le gustaba trabajar en soledad, Erdös floreció en la colaboración. Su figura cargada de espaldas, en sandalias y traje, resultaba familiar al profesorado de los

departamentos de matemáticas de todo el mundo. Era fácil encontrarlo doblado sobre un bloc de notas, junto con un nuevo colaborador, dedicado a su gran pasión: crear y resolver problemas numéricos. Durante su vida publicó más de mil quinientos artículos científicos, un extraordinario logro. Entre los matemáticos, sólo Euler escribió más que él. Erdös era un monje de las matemáticas, que se desembarazaba de todos sus bienes personales por miedo a que lo distrajeran de su misión. Regalaba todo lo que ganaba a sus estudiantes, o como premio para quien conseguía responder a una de las tantas preguntas que formulaba. Igual que

anteriormente para Hardy, Dios jugaba un importante aunque poco convencional papel en su visión del mundo. Llamaba el «Supremo Fascista» al guardián del «Gran Libro», un libro que contenía todos los detalles de las demostraciones más elegantes de los problemas matemáticos, resueltos o no. El máximo parabién de Erdös para una demostración era: «¡Esta llega directamente del Libro!». Creía que en el momento del nacimiento, todos los niños —o los «épsilon», como él los llamaba en referencia a la letra griega que se usa en matemáticas para indicar números muy pequeños— conocían la demostración de la hipótesis de

Riemann que se guardaba en el Gran Libro. El problema era que, al cabo de seis meses, lo olvidaba. A Erdös le gustaba hacer matemáticas escuchando música, y a menudo se le podía ver en conciertos tomando apuntes frenéticamente en un cuaderno, incapaz de contener la excitación que le producía una idea nueva. A pesar de ser un gran colaborador y de que odiaba estar solo, le repugnaba el contacto físico. Lo mantenía el placer mental, que alimentaba con una dieta a base de cafés y pastillas de cafeína. Según una definición suya que hizo fortuna: «un matemático es una máquina que

transforma el café en teoremas». Como sucede con tantísimos grandes matemáticos, Erdös tuvo la suerte de tener un padre que le permitió absorber ideas que estimularían su pasión por los números. En una ocasión, su padre le explicó el método utilizado por Euclides para demostrar la existencia de infinitos números primos; pero lo que realmente fascinó a Erdös fue la manera cómo su padre dio la vuelta al razonamiento de Euclides para demostrar que se pueden hallar sucesiones de números de longitud arbitraria en las que no haya números primos. Si queremos una sucesión de 100 números consecutivos en la que no haya

primos basta con tomar los números enteros entre 1 y 101 y multiplicarlos entre sí. El resultado es un número llamado el factorial de 101 (o 101 factorial), que se escribe 101!. Por tanto, 101! será divisible por todos los números comprendidos entre 1 y 101. Pero si N es uno cualquiera de estos números, entonces 101! + N será también divisible entre N ya que 101! y N son ambos divisibles entre N. Por esta razón, los números 101! + 2, 101! + 3, …, 101! + 101 no son primos. De esta manera hemos obtenido una sucesión de 100 números

enteros consecutivos ninguno de los cuales es primo. Esta conclusión suscitó el interés de Erdös. ¿Cuánto hay que contar a partir de 101! o de cualquier otro número antes de tener la garantía de obtener un número primo? Euclides había demostrado que tarde o temprano tendría que haber un número primo, ¿pero habría que esperar un tiempo arbitrariamente largo antes de encontrarlo? Al fin y al cabo, si la naturaleza ha elegido los números primos lanzando una moneda al aire, no hay forma de saber cuántos lanzamientos separan una «cara» de la siguiente. Naturalmente, obtener «cruz» mil veces

seguidas es muy improbable, pero no imposible. Al proseguir su exploración, Erdös se dio cuenta de que desde este punto de vista la distribución de los números primos no se podía comparar con los resultados del lanzamiento de una moneda: aunque es cierto que los primos pueden parecer una masa caótica de números, su comportamiento no es totalmente aleatorio. En 1845, el matemático francés Joseph Bertrand había planteado una hipótesis sobre cuánto habría que contar para tener la certeza de hallar un número primo. Según Bertrand, si tomamos un número cualquiera, por ejemplo 1.009, y continuamos contando hasta llegar al

doble de este número, tendríamos la certeza de hallar un número primo en nuestro recorrido. Efectivamente, entre 1.009 y 2.018 hay algunos números primos, empezando por 1.013. Pero ¿sería igualmente cierto si hubiéramos elegido cualquier otro número N? A pesar de que Bertrand no consiguió demostrar que entre un número N cualquiera y su doble 2N siempre hallaremos al menos un número primo, esta sensacional predicción, que fue hecha cuando contaba apenas veintitrés años, fue conocida a partir de entonces con el nombre de postulado de Bertrand. A diferencia de la hipótesis de

Riemann, el postulado de Bertrand no tardó en ser resuelto: pasados sólo siete años desde su formulación, el matemático ruso Pafnuty Chebyshev consiguió demostrarlo. Chebyshev utilizó ideas parecidas a las que había empleado en sus primeras incursiones al interior del teorema de los números primos, cuando había demostrado que la estimación de Gauss nunca se apartaría más del once por ciento de la verdadera cantidad de números primos. Sus métodos no eran tan sofisticados como los elaborados por Riemann, pero eran eficaces. De esta forma, Chebyshev consiguió demostrar que, a diferencia de lo que sucede al lanzar una moneda,

donde nunca sabemos cuándo el resultado volverá a ser «cruz», los números primos contienen siempre un pequeño componente de predictibilidad. Uno de los primeros resultados que Erdös publicó, en 1931, con sólo dieciocho años, fue una demostración inédita del postulado de Bertrand; pero se decepcionó mucho cuando alguien le hizo ver la obra de Ramanujan y descubrió que su demostración no era tan nueva como había supuesto: uno de los últimos trabajos matemáticos de Ramanujan era una argumentación que simplificaba mucho la demostración del postulado de Bertrand que había ideado Chebyshev. A pesar de la turbación del

joven Erdös, la alegría de descubrir a Ramanujan compensó ampliamente su desilusión. Erdös decidió intentar si podía hacerlo mejor que Ramanujan y que Chebyshev. Empezó por observar hasta qué punto podía ser grande la distancia que separa dos números primos: el problema de la diferencia entre dos números primos consecutivos continuaría fascinándolo durante toda su vida. Era famoso por ofrecer recompensas monetarias por la demostración de sus conjeturas; la segunda cantidad más importante que puso en juego, diez mil dólares, estaba destinada a quien demostrara su

conjetura sobre la distancia que separa dos números primos consecutivos. Todavía hoy no se ha resuelto el problema y puede reclamarse el premio, aunque Erdös ya murió y no podría apreciar la demostración; pero, como a él le gustaba decir bromeando: el trabajo necesario para conquistar uno de sus premios probablemente violaba la ley del salario mínimo. Una vez, en un momento de precipitación, ofreció el factorial de diez mil millones de dólares por la demostración de una conjetura que generalizaba el teorema de los números primos de Gauss (el factorial de diez mil millones es el producto de todos los números comprendidos entre 1

y diez mil millones). 100 factorial es ya un número mayor que el número de átomos del universo, y Erdös dio un gran suspiro de alivio cuando, en los años sesenta, el matemático que halló una demostración de la conjetura renunció a reclamar el premio. Al cabo de poco tiempo de llegar al Institute for Advanced Study, a finales de los años treinta, Erdös dio pruebas de sus propias dotes. Mark Kac era un exiliado polaco huido de las tempestades que asolaban Europa. Aunque su área de interés fuera la teoría de la probabilidad, Kac anunció una conferencia que despertó el interés de Erdös: hablaría de una función que

permitiría calcular cuántos números primos distintos son divisores de un número entero dado. Por poner un ejemplo, 15 = 3 × 5 es divisible por dos números primos distintos, mientras que 16 = 2 × 2 × 2 × 2 sólo es divisible por un número primo. Por esta razón, a cada número se le puede asignar una puntuación en base a la cantidad de números primos por los cuales es divisible. Erdös recordaba que Hardy y Ramanujan se habían interesado por la manera de variar de estas puntuaciones, pero hacía falta un estadístico como Kac para comprender que éstas siguen un comportamiento completamente

aleatorio: Kac se dio cuenta de que, si ponemos en una gráfica todos los puntos de la sucesión, la gráfica tendría la forma de campana tan bien conocida por los estadísticos, que corresponde a la firma inconfundible de una distribución aleatoria. A pesar de reconocer aquel comportamiento peculiar de la función contando la cantidad de números primos distintos con los que se podía construir cada número, Kac no disponía de los instrumentos propios de la teoría de los números necesarios para demostrar su intuición sobre aquel comportamiento aleatorio: «Enuncié la conjetura por primera vez durante una conferencia que pronuncié en Princeton en marzo de

1939. Para mi suerte, entre el público estaba Erdös, que inmediatamente se animó. Antes de terminar la conferencia ya tenía hecha la demostración». Para Erdös, aquel éxito significó el comienzo de una pasión que lo acompañó durante toda su vida: combinar la teoría de los números con la teoría de la probabilidad. A primera vista, ambas disciplinas se parecen tanto como el día y la noche: «La probabilidad no es un concepto propio de las matemáticas pura, sino de la filosofía o de la física», declaró alguna vez Hardy con desprecio. Los objetos que estudian los teóricos de los números están esculpidos en piedra desde el

principio de los tiempos, inmóviles e inmutables. Como decía Hardy: 317 es un número primo tanto si nos gusta como si no. La teoría de la probabilidad, por su parte, es la más resbaladiza de las disciplinas: nunca estamos seguros de lo que sucederá luego.

CEROS ORDENADOS SIGNIFICAN PRIMOS ALEATORIOS

Aunque ya Gauss había utilizado la idea del lanzamiento de una moneda para intentar una estimación de la cantidad de números primos, fue sólo en

el siglo XX cuando los matemáticos empezaron a tomar en consideración la posibilidad de relacionar disciplinas tan distintas como el cálculo de probabilidades y la teoría de los números. En los primeros decenios del siglo, los físicos avanzaron la hipótesis de que esta relación podía formar parte del mundo subatómico: podría suceder que el comportamiento de un electrón se asimila al de una minúscula bola de billar, pero nunca se puede estar muy seguro de la posición exacta de esa bola. Aunque en aquella época resultara difícil de aceptar para muchos físicos, parece que es un dado cuántico quien decide dónde se halla un electrón. Es

posible que las consecuencias inquietantes de la naciente teoría de la física cuántica y del modelo probabilístico del mundo que de ella se deducía contribuyeran a poner en duda la opinión general según la cual el azar no jugaba ningún papel en entidades fuertemente deterministas como los números primos. Mientras Einstein intentaba negar que Dios jugara a los dados con la naturaleza, a pocos pasos de él, en el Institute for Advanced Study, Erdös estaba demostrando que en el corazón de la teoría de los números había un lanzamiento de dados. En efecto, durante aquel período los matemáticos empezaron a comprender

cómo la hipótesis de Riemann, que se refería al comportamiento regulado de los ceros del espacio zeta, conseguía explicar por qué los números primos nos parecen tan poco regulares y azarosos. La mejor forma de comprender la tensión entre el orden de los ceros y el caos de los números primos es dar un vistazo más detenido al modelo quintaesencial de la aleatoriedad: el lanzamiento de una moneda. Si lanzamos una moneda un millón de veces deberíamos obtener la mitad de caras y la mitad de cruces, pero no esperemos una perfecta paridad: con una moneda «perfecta» —una moneda que se comporta de forma perfectamente

aleatoria, sin desviaciones sistemáticas de la media— no nos tendría que sorprender la constatación de que los lanzamientos hayan dado «cara» unas 1.000 veces más —o menos— que «cruz», respecto del valor previsto de 500.000. La teoría de la probabilidad proporciona una forma de medir la importancia de ese error para experimentos en cuyo origen haya procesos aleatorios. Si lanzamos la mo ne d a N veces habrá una cierta desviación —un «error», por exceso o por defecto— respecto del valor teórico d e (1/2)N. En el caso de una moneda perfecta, el análisis de este error lleva a la conclusión de que su valor será

aproximadamente del orden de la raíz cuadrada de N. Así, por ejemplo, si lanzamos una moneda perfecta un millón de veces, es altamente probable que se obtenga «cara» un número de veces comprendido entre 499.000 y 501.000 (ya que 1.000 es la raíz cuadrada de 1.000.000). En cambio, si la moneda estuviera trucada de manera que favoreciera un resultado respecto del otro, entonces deberíamos esperar un error claramente mayor que la raíz cuadrada de N. Para su estimación de la cantidad de números primos, Gauss tomó el modelo del lanzamiento de una moneda especial. La probabilidad de que en el enésimo

lanzamiento esta teórica moneda diera «cara» —es decir, que N fuera un número primo—, no valía 1/2, sino 1/log(N). Sin embargo, de la misma manera que al lanzar una moneda convencional no sale exactamente la mitad de caras y la mitad de cruces, la moneda de los números primos que lanza la naturaleza no da el número exacto de números primos que Gauss había previsto. Pero ¿cuáles son las características de ese error? ¿Se mantiene en los límites de la desviación del valor esperando de una moneda que se comporta de manera aleatoria, o más bien muestra una fuerte tendencia a producir números primos en unas áreas

numéricas en particular dejando desguarnecidas otras? La respuesta se halla en la hipótesis de Riemann y su forma de predecir la ubicación de los ceros: estos puntos a nivel del mar controlan los errores presentes en la estimación que dio Gauss de la cantidad de números primos. Cada cero con coordenada esteoeste igual a 1/2 produce un error de N1/2 (que es otra forma de escribir la raíz cuadrada de N). Por ello, si Riemann tenía razón sobre la posición de los ceros, entonces la desviación entre la estimación que dio Gauss de la cantidad de números primos y el verdadero número de ellos resulta como

máximo del orden de la raíz cuadrada de N. Este es el mayor error que prevé la teoría de la probabilidad en el caso de una moneda perfecta, cuyo comportamiento no está afectado por desviaciones sistemáticas. En cambio, si la hipótesis de Riemann es falsa y existen ceros situados más al este de la recta crítica, estos ceros producirán un error mucho mayor que la raíz cuadrada de N: sería como una moneda que en una serie de lanzamientos diera como resultado «cara» mucho más a menudo del cincuenta por ciento esperado cuando se utiliza una moneda perfecta. Cuanto más al este se encuentran los ceros, tanto más

trucada resulta la moneda de los números primos. Una moneda perfecta produce un comportamiento verdaderamente aleatorio, mientras que una moneda trucada tiene un funcionamiento irreconocible. Por ello, la hipótesis de Riemann describe perfectamente la razón por la que los números primos parecen distribuidos de manera tan casual: gracias a su brillante intuición, Riemann consiguió refutar completamente esta aleatoriedad al descubrir el nexo entre los ceros de su espacio y los números primos. Para demostrar que la distribución de los números primos es realmente aleatoria

es necesario demostrar que más allá del espejo de Riemann los ceros están dispuestos ordenadamente a lo largo de la recta crítica. A Erdös le gustaba esta interpretación probabilística de la hipótesis de Riemann. En primer lugar, porque recordaba a los matemáticos el motivo originario de su aventura al otro lado del espejo de Riemann. Erdös deseaba alentar un retorno al objeto fundamental de estudio de la teoría de los números: los números. Lo sorprendente era que, desde que el agujero espacio-temporal de Riemann se había abierto y había engullido a los matemáticos en un mundo nuevo, los

teóricos de los números que hablaban de números eran cada vez más raros. Estaban mucho más preocupados por la exploración de la geometría del paisaje zeta que por tratar de los números primos. Erdös dio un giro a esa situación; y enseguida descubrió que no estaba solo en este viaje de vuelta.

POLÉMICA MATEMÁTICA

A pesar de la fascinación principal de Selberg por el paisaje zeta de Riemann, en Princeton su interés empezó a alejarse de la función zeta para centrarse más directamente en los

números primos. Su éxodo matemático a los Estados Unidos fue acompañado por un retorno al lado más concreto del espejo de Riemann. Tras la demostración del teorema de los números primos por parte de la Vallée-Poussin y Hadamard, los matemáticos habían intentado inútilmente hallar una forma más simple de demostrar la validez del nexo que Gauss había establecido entre logaritmos y números primos. ¿Sólo utilizando instrumentos altamente sofisticados como la función zeta de Riemann y su espacio imaginario era posible demostrar la exactitud de la estimación de los números primos dada

por Gauss? Ahora los matemáticos estaban dispuestos a admitir que, con toda probabilidad, aquellos instrumentos eran necesarios para demostrar que la estimación de Gauss era tan buena como predecía la hipótesis de Riemann, es decir, que el error nunca sería mayor que la raíz cuadrada de N. En todo caso, creían que tenía que haber una forma más sencilla de obtener la primera estimación aproximada de Gauss. Habían esperado generalizar la aproximación elemental con la que Chebyshev había conseguido demostrar que en el peor de los casos la estimación de Gauss no iría más allá del once por ciento del valor correcto. Pero,

a medida que pasaba el tiempo, después de cincuenta años intentando en vano una demostración más simple, empezaron a convencerse de que era inevitable recurrir a los instrumentos sofisticados que había introducido Riemann y que habían sido desarrollados por de la Vallée-Poussin y Hadamard. Hardy no creía que existiera una demostración elemental. No es que no la deseara: los matemáticos buscan la simplicidad con la misma tenacidad con la cual persiguen las demostraciones; simplemente, Hardy se estaba volviendo pesimista y escéptico sobre la existencia de una demostración de aquel tipo.

Había apreciado la contribución de Erdös y Selberg que, apenas unos meses después de su muerte en 1947, hallaron una argumentación elemental que probaba el nexo entre números primos y logaritmos. Pero la polémica que se desencadenó alrededor de la atribución del mérito de aquella demostración lo hubiera horrorizado. El caso ha sido narrado en varias ocasiones, y no sólo en las dos últimas biografías de Erdös. Considerando la gigantesca red de colaboradores y corresponsales que Erdös desarrolló, unida a las reticencias de Selberg, no sorprende que en la mayoría de estas crónicas prevalezca el punto de vista de Erdös. Sin embargo,

merece la pena dedicar un poco de espacio a la posición de Selberg sobre la cuestión. Fue Dirichlet quien explotó primero el sofisticado instrumento de la función zeta y lo utilizó para confirmar una de las intuiciones de Fermat: Dirichlet demostró que, si tomamos una calculadora de reloj con un cuadrante de N horas y le introducimos los números primos, entonces la calculadora indicará la una un número infinito de veces. En otras palabras, existen infinitos números primos que al dividirlos por N dan resto 1. La demostración de Dirichlet se basaba en un uso complicado de la función zeta. Su demostración jugó un

papel de catalizador para los grandes descubrimientos de Riemann. Pero en 1946, casi ciento diez años más tarde del descubrimiento de Dirichlet, Selberg concibió una demostración elemental del teorema de Dirichlet, una demostración más cercana en su espíritu a aquella con la que Euclides había demostrado la existencia de infinitos números primos. La demostración de Selberg, evitando la función zeta, supuso una importante inflexión psicológica en una época en la que muchos creían que era imposible realizar ningún progreso en la teoría de los números primos sin recurrir a las ideas de Riemann. A pesar de su

sutileza, la demostración no requería ninguno de los sofisticados instrumentos de las matemáticas del siglo XIX, y es verosímil creer que los propios griegos de la antigüedad la habrían comprendido. Paul Turán, un matemático húngaro que estaba invitado a Princeton, trabó amistad con Selberg durante la época que pasaron juntos. También era un buen amigo de Erdös: un artículo suyo escrito en colaboración con Erdös fue el único documento de identificación que pudo exhibir cuando una patrulla de militares soviéticos lo detuvo en las calles de la Budapest liberada, en 1945; los miembros de la patrulla quedaron

comprensiblemente impresionados y Turán se ahorró una temporada en el Gulag. «Fue una aplicación inesperada de la teoría de los números», bromeó más tarde. Turán quería saber algo sobre las ideas en que se basaba la demostración de Selberg del resultado de Dirichlet, pero tuvo que abandonar el instituto tras pasar allí una primavera. Selberg estuvo encantado de mostrarle algunos de los detalles, e incluso propuso a Turán que diera una conferencia sobre la demostración mientras Selberg renovaba su visado aprovechando una breve estancia en Canadá. Pero al discutirlo con Turán, Selberg mostró sus propias

cartas un poco más de lo previsto. Durante la conferencia, Turán citó una fórmula algo insólita que Selberg había demostrado, una fórmula que no tenía nada que ver directamente con la demostración del teorema de Dirichlet. Erdös, que se encontraba entre el público, comprendió que aquella fórmula era todo lo que necesitaba para perfeccionar el postulado de Bertrand, según el cual siempre hay un número primo en el intervalo comprendido entre N y 2N. Lo que Erdös intentaba era verificar si realmente era necesario ir desde N hasta 2N para estar seguro de hallar un número primo. ¿No sería posible, por ejemplo, hallar un número

primo en el intervalo comprendido entre N y 1,01N? Era consciente de que ello no podía suceder para cualquier valor de N. Al fin y al cabo, si tomamos N = 100, no existen números enteros, ni por tanto primos, comprendidos en el intervalo entre 100 y 101 (que es 100 multiplicado por 1,01). Sin embargo, Erdös pensaba que para valores suficientemente grandes de N, en el espíritu del postulado de Bertrand, siempre se encontraría un número primo comprendido entre N y 1,01N. Por otra parte, 1,01 no tiene nada de particular: la idea de Erdös era que lo mismo sería cierto para cualquier otro valor

numérico que quisiéramos elegir comprendido entre 1 y 2. Al asistir a la conferencia de Turán, Erdös comprendió que la fórmula de Selberg le proporcionaba el elemento necesario para completar la demostración del postulado. «Cuando volví, Erdös me dijo que pretendía usar mi fórmula para una demostración elemental de esta generalización del teorema de Bertrand, y me preguntó si tenía algún inconveniente». Se trataba de un resultado sobre el que el propio Selberg había pensado, pero que no le había llevado a ninguna parte. «Dado que no estaba ocupándome de aquel problema,

le dije que no había inconveniente». En aquella época Selberg estaba distraído por una multitud de problemas prácticos: tenía que renovar su visado, encontrar alojamiento en Syracuse, donde había aceptado un trabajo para el siguiente curso académico, y preparar unas clases que debía impartir en una escuela de verano para ingenieros. «En cualquier caso, Erdös trabajaba siempre muy deprisa y consiguió hallar una demostración». Ahora bien, había algunas cosa que Selberg no había revelado a Turán. En concreto, el motivo por el que también él había pensado en aquella generalización del postulado de

Bertrand: había comprendido la manera de introducirla en un rompecabezas para obtener el cuadro completo de una demostración elemental del teorema de los números primos. Gracias al resultado de Erdös, ahora Selberg había entrado en posesión de la última pieza del rompecabezas. Explicó a Erdös cómo había utilizado su resultado para completar una demostración elemental del teorema de los números primos. Erdös sugirió que presentaran juntos el trabajo al reducido grupo de colegas que había asistido a la conferencia de Turán, pero no consiguió frenar su propio entusiasmo y se puso a repartir

invitaciones a diestro y siniestro para la que prometía ser una conferencia muy interesante. Selberg no esperaba en absoluto un público tan amplio. Cuando llegué allí a última hora de la tarde, hacia las cuatro o las cinco, la sala estaba repleta. Subí a la tribuna y expuse la argumentación, pidiendo después a Erdös que expusiera su parte. Después volví a tomar la palabra para exponer el resto, es decir, lo necesario para completar la demostración. Por tanto, la primera demostración se obtuvo utilizando el resultado intermedio que él había

obtenido. Erdös le propuso escribir juntos un artículo sobre la demostración. Pero, como explica Selberg: Nunca había publicado artículos escritos en colaboración. Hubiera querido que escribiéramos artículos separados, pero Erdös insistió en que deberíamos hacer las cosas como las habían hecho Hardy y Littlewood. Yo nunca había querido trabajar en colaboración. Antes de venir a los Estados Unidos había desarrollado toda mi actividad

matemática en Noruega. La había desarrollado solo, sin siquiera hablar de ella con nadie… no, nunca había sido un colaborador en este sentido. Hablo con la gente pero trabajo solo, que es lo que se ajusta a mi temperamento. La verdad es que allí se encontraban dos matemáticos con temperamentos opuestos: uno era un solitario enteramente autosuficiente que en toda su vida había escrito un sólo artículo con un colega, el indio Saravadam Chowla; el otro llevó la colaboración hasta tales extremos que hoy los matemáticos hablan de su «número de

Erdös», el número de coautores que le separan de alguien que escribió un texto con Erdös. Mi número de Erdös es 3, lo que significa que he escrito un artículo con alguien que ha escrito un artículo con alguien que ha escrito un artículo con Erdös. Dado que Chowla fue uno de los 507 coautores de Erdös, el único artículo que Selberg había escrito en colaboración le confería un número de Erdös igual a 2. Los matemáticos con un número de Erdös igual a dos pasan de cinco mil. Tras aquel rechazo, como actualmente admite Selberg: «las cosas se me fueron de las manos». Durante 1947, Erdös había construido una

extensa red de colaboradores y de corresponsales; los mantenía informados sobre sus propios progresos matemáticos bombardeándolos de correo. Se dice que Selberg recibió un golpe mortal cuando, a su llegada a Syracuse, fue saludado por un miembro de la Facultad con estas palabras: «¿Ha oído la noticia? Erdös y un matemático escandinavo han ideado una demostración elemental del teorema de los números primos». Mientras tanto, Selberg había formulado una argumentación alternativa que evitaba la necesidad de recurrir al paso intermedio que Erdös había proporcionado. Decidió continuar y publicó los

resultados de aquel trabajo individual. Su artículo apareció en los Annals of Mathematics, la publicación que se redacta en Princeton y que, por consenso general, está considerada una de las tres revistas matemáticas más importantes del mundo. Es en los Annals of Mathematics, por ejemplo, donde Andrew Wiles publicó su demostración del último teorema de Fermat. Erdös estaba furioso: pidió a Hermann Weyl su arbitraje sobre la cuestión. Selberg cuenta: «Me satisface el hecho de que finalmente Hermann Weyl se inclinara sustancialmente de mi parte tras haber escuchado a ambos». Erdös publicó su demostración

reconociendo el papel de Selberg, pero todo el episodio resultó bastante deplorable. A pesar de la naturaleza abstracta de las matemáticas, los matemáticos poseen un ego que necesita ser halagado. No hay nada que estimule tanto el proceso creativo de un matemático como el pensamiento en la inmortalidad que proporciona el hecho de poner el propio nombre en un teorema: la anécdota de Erdös y Selberg pone en evidencia la importancia que tienen en matemáticas —y, de hecho, en todas las ciencias— el reconocimiento de los méritos y la prioridad. Es por ello que Wiles pasó siete años encerrado en su ático trabajando

secretamente sobre el último teorema de Fermat, por miedo a tener que compartir la gloria de la empresa. Aunque los matemáticos son como corredores de una carrera de relevos que pasan el testigo de una generación a otra, anhelan siempre la gloria individual que recibirán pasando los primeros por la línea de meta: la investigación matemática es un difícil acto de equilibrio entre la necesidad de colaborar en proyectos que pueden mantenerse durante siglos y el deseo de inmortalidad. Al cabo de algún tiempo fue claro que la demostración elemental del teorema de los números primos que

Selberg había obtenido no era aquel extraordinario paso adelante que se esperaba. Algunos creían que aquella intuición podría abrir un camino simple para demostrar la hipótesis de Riemann; al fin y al cabo, aquella intuición podía confirmar que la diferencia entre la estimación de Gauss y la verdadera cantidad de números primos nunca fallaría la diana de una distancia mayor que la raíz cuadrada de N. Y se sabía que esto era equivalente a tener todos los ceros disciplinadamente colocados sobre la recta crítica de Riemann. A finales de los años cuarenta, Selberg detentaba todavía el récord del mayor porcentaje de ceros cuya

presencia sobre la recta mágica de Riemann se había demostrado. Este fue uno de los resultados por los que se le concedió la medalla Fields en 1950. Hadamard, que entonces tenía ochenta años, deseaba asistir al Congreso Internacional de Matemáticos que tendría lugar en Cambridge, Massachusetts, para celebrar la obtención del premio por Selberg. Sobre todo, estaba impaciente por encontrarse con el explorador que había descubierto un recorrido elemental para alcanzar el campo base que él y de la ValléePoussin habían instalado hacía cincuenta años. Sin embargo, tanto a él como a Laurent Schwartz, el otro matemático

que debía recibir la medalla Fields, les negaron el visado de entrada en los Estados Unidos por sus contactos soviéticos: el maccarthismo empezaba a asomar su horrible cabeza. Hizo falta la intervención del presidente Truman para que se concediera a los dos matemáticos la autorización para entrar en los Estados Unidos, pocos días antes del congreso. Más adelante, otros matemáticos, añadiendo sus propias ingeniosas variaciones, han extendido las argumentaciones de Selberg para aumentar el porcentaje de ceros de los cuales se puede demostrar su ubicación efectiva sobre la recta mágica de

Riemann. Algunas demostraciones de teoremas matemáticos se desarrollan de manera muy natural una vez conseguida una idea general de la dirección que debe tomarse: lo difícil es encontrar el origen del recorrido. Mejorar la estimación de Selberg, sin embargo, es muy distinto. Las demostraciones necesitan un análisis muy delicado. No son el resultado de una única idea grandiosa, pero llevarlas a buen fin requiere mucha perseverancia. El recorrido está sembrado de trampas. Un movimiento en falso y el número que se creía mayor que cero puede transformarse de golpe en negativo. Cada paso debe realizarse con mucho

cuidado y es fácil que se deslicen errores. En los años setenta, Norman Levinson mejoró la estimación de Selberg y, en un momento dado, creyó que había conseguido capturar un 98,6 por ciento de los ceros. Levinson dio una copia del manuscrito con la demostración a Giancarlo Rota, del MIT (Instituto Tecnológico de Massachusetts), y le comentó bromeando que había demostrado que todos los ceros se encontraban sobre la recta: el manuscrito se refería al 98,6 por ciento, mientras que el otro 1,4 por ciento se dejaba para el lector. Rota creyó que hablaba en serio y empezó a hacer

correr la voz de que Levinson había demostrado la hipótesis de Riemann. Naturalmente, aunque hubiera realmente llegado al 100 por ciento, no se deducía necesariamente que todos los ceros se hallaban sobre la recta ya que estamos habiéndonoslas con el infinito. Pero ello no bastó para acallar los rumores. Finalmente, se descubrió un error en el manuscrito que redujo la proporción de los ceros determinados sobre la recta al treinta y cuatro por ciento. Fue un récord que se mantuvo durante algún tiempo, resultado aún más sorprendente si se tiene en cuenta que Levinson pasaba ya de los sesenta años cuando lo logró. Como dice Selberg: «tuvo que

tener una gran valentía para seguir adelante con tal cantidad de cálculos numéricos, teniendo en cuenta que era imposible saber anticipadamente si lo llevarían a alguna parte». Se afirmaba también que Levinson tenía grandes ideas sobre cómo generalizar sus propios métodos, pero murió de un tumor cerebral antes de poder ponerlas en práctica. Actualmente el récord está en poder de Brian Conrey, de la Universidad de Oklahoma, que en 1987 demostró que el cuarenta por ciento de los ceros tiene que estar sobre la recta. Conrey tiene algunas ideas sobre cómo perfeccionar su propia estimación, pero pocos puntos porcentuales más no

parecen valer la enorme cantidad de trabajo que requerirían: «Valdría la pena si pudiera llevar la estimación más allá del cincuenta por ciento, porque en tal caso al menos podría decir que la mayoría de los ceros se encuentra sobre la recta». La polémica sobre la atribución del mérito por la demostración elemental dejó a Erdös profundamente dolido, pero continuó siendo prolífico durante toda su vida, desafiando los mitos sobre el envejecimiento y la capacidad de producción matemática. Como no consiguió obtener una plaza permanente en el Institute for Advanced Study, eligió la vida del matemático itinerante. Sin

domicilio ni puesto de trabajo, prefería aparecer de repente en casa de alguno de sus muchos amigos diseminados por el mundo para permitirse su colaboración, quedándose a menudo durante varias semanas antes de volver a marcharse de repente. Murió en 1996, en el centenario de la primera demostración del teorema de los números primos. A los ochenta y tres años todavía estaba colaborando en publicaciones con sus colegas. Poco antes de morir dijo: «Pasará al menos otro millón de años antes de que consigamos comprender los números primos». Hoy, cuando ya es un anciano de más

de noventa años, con el cabello blanco, Selberg sigue leyendo las últimas novedades sobre la hipótesis de Riemann y dando conferencias en las que ofrece perlas de sabiduría a los jóvenes asistentes. En 1996 su discurso en el congreso que tuvo lugar en Seattle para celebrar el centenario de la demostración del teorema de los números primos se cerró con la ovación de más de seiscientos matemáticos. Selberg opina que, a pesar de los importantes progresos que se han alcanzado, aún no tenemos ninguna idea concreta sobre cómo demostrar la hipótesis de Riemann:

No creo que nadie sepa con certeza si estamos o no cerca de una solución. Algunos creen que nos estamos acercando. Si hay una solución, es obvio que con el transcurso del tiempo nos estamos acercando a ella. Pero algunos opinan que poseemos los elementos esenciales de una solución. Yo discrepo absolutamente. Es muy probable que la hipótesis sobreviva a su bicentenario, en 2059, pero naturalmente yo no estaré para verlo. Es imposible predecir cuánto resistirá el problema. Creo que finalmente se hallará

una solución. No creo que se trate de un resultado indemostrable. También podría suceder que la demostración fuera tan complicada que el cerebro humano no consiga nunca alcanzarla. En la conferencia que pronunció en Copenhague después de la guerra, Selberg había despertado dudas sobre la existencia de pruebas concretas a favor de la certeza de la hipótesis de Riemann. En aquel tiempo, la posibilidad de demostrar la hipótesis le parecía un buen deseo, pero ahora ha cambiado de opinión: según Selberg, las pruebas

aparecidas durante los cincuenta años transcurridos desde el final de la guerra son ya aplastantes. Pero en realidad fue la guerra, y particularmente los descifradores de códigos de Bletchley Park, lo que condujo al desarrollo de la máquina que generaría estas nuevas pruebas: el ordenador.

8 MÁQUINAS DE LA MENTE Propongo considerar la cuestión: «¿Pueden pensar las máquinas?» ALAN TURING Computing Machinery and Intelligence

El

nombre de Alan Turing estará asociado siempre a la decodificación de Enigma, el código secreto que usaban los alemanes durante la Segunda Guerra Mundial. En la tranquilidad de la enorme casa campestre de Bletchley

Park, a medio camino entre Oxford y Cambridge, los descifradores de códigos de Churchill crearon una máquina que podía descifrar los mensajes que cada día mandaban los servicios secretos alemanes. La historia de cómo la irrepetible combinación de lógica matemática y determinación propias de Turing contribuyó a salvar muchas vidas de la amenaza de los submarinos alemanes ha sido objeto de novelas, obras teatrales y películas. Sin embargo, la inspiración que llevó a Turing a la creación de sus «bombas», las máquinas de descifrar, puede remontarse a sus tiempos de estudiante de matemática en Cambridge, cuando

Hardy y Littlewood todavía estaban en activo. Antes de que la Segunda Guerra Mundial engullera Europa, Turing ya estaba proyectando máquinas que terminarían por hacer saltar por los aires dos de los veintitrés problemas de Hilbert. La primera fue una máquina teórica, que sólo existía en su mente, una máquina que demolería cualquier esperanza de verificar la solidez de los fundamentos del edificio matemático. La segunda máquina era muy real, fabricada con ruedas dentadas y goteando aceite, y con esta máquina Turing pretendía desafiar a la ortodoxia matemática: su sueño era que aquel artilugio mecánico

pudiera tener el poder de demostrar la falta de veracidad del octavo de los problemas de Hilbert, y preferido de éste: la hipótesis de Riemann. Después de que sus colegas dedicaran años intentando en vano demostrar la hipótesis de Riemann, Turing creía que quizá había llegado el momento de indagar la posibilidad de que Riemann se hubiera equivocado: quizás existe realmente un cero fuera de la recta crítica de Riemann, y este cero tendría forzosamente que producir alguna modulación reconocible en la sucesión de los números primos. Turing era consciente de que las máquinas se convertirían en el instrumento más eficaz

para la búsqueda de ceros que pudieran demostrar la falta de fundamento de la conjetura de Riemann; gracias a él, los matemáticos podrían gozar de la colaboración de un nuevo socio mecánico en su análisis de la hipótesis de Riemann. Pero no fueron sólo las máquinas materiales las que tuvieron un impacto en la exploración matemática de los números primos: sus máquinas de la mente, creadas inicialmente para atacar el segundo problema de Hilbert, traerían al final del siglo XX el más inesperado de los éxitos: una fórmula para generar todos los números primos. La fascinación que las máquinas ejercían sobre Turing había sido

estimulada por un libro que le regalaron en 1922, cuando tenía diez años: Natural Wonders Every Child Should Know [Maravillas naturales que todos los niños deberían conocer], de Edwin Tenney Brewster, estaba repleto de pequeñas perlas que excitaron la imaginación del joven Alan. El libro, que se había publicado en 1912, enseñaba que existían explicaciones de los fenómenos naturales y no se limitaba a nutrir de observaciones pasivas a sus jóvenes lectores. Si consideramos la pasión por la inteligencia artificial que más adelante desarrolló Turing, la descripción de los seres vivos que da Brewster resulta particularmente

reveladora: Resulta evidente que el cuerpo es una máquina. Es una máquina enormemente compleja, muchas, muchas veces más complicada que cualquier máquina que se haya construido jamás, pero es una máquina. Ha sido comparado con una máquina de vapor, pero esto sucedió antes de que consiguiéramos los conocimientos que hoy tenemos sobre su funcionamiento: en realidad se trata de un motor a gas; como el motor de un automóvil, de una lancha o de una máquina voladora.

Ya desde la escuela Turing tenía la obsesión de inventar y construir objetos: una máquina fotográfica, una pluma estilográfica recargable, incluso una máquina de escribir. Esta pasión lo acompañaría a Cambridge, a donde llegó en 1931 para estudiar matemáticas en el King’s College. Dada su timidez y su carácter en cierta medida asocial, igual que otros muchos antes que él, Turing encontró seguridad en las certezas que ofrecían las matemáticas. Pero la pasión por construir objetos no lo abandonó: nunca dejó de buscar la máquina física que pudiera poner en evidencia el mecanismo de cualquier problema abstracto.

La primera investigación que Turing realizó en la universidad consistió en un intento de comprender una de aquellas zonas fronterizas en las que las matemáticas abstractas entran en contacto con las extravagancias de la naturaleza. Su punto de partida fue el problema práctico de los resultados del lanzamiento de una moneda. El resultado final fue un sofisticado análisis teórico de los resultados estadísticos de cualquier experimento aleatorio. Turing quedó muy afligido cuando al presentar su demostración descubrió que, de la misma forma en que les había sucedido anteriormente a Erdös y a Selberg, su primera investigación duplicaba un

resultado obtenido unos diez años antes por un matemático finlandés, J. W. Lindeberg: el teorema central del límite. Con el tiempo, los teóricos de los números descubrieron que el teorema central del límite ofrece nuevas perspectivas para la estimación de la cantidad de números primos. Una vez demostrada, la hipótesis de Riemann confirmaría que la desviación entre la verdadera cantidad de números primos y la estimación de Gauss es igual a lo esperado cuando se lanza una moneda perfecta. Pero el teorema central del límite reveló que no es posible describir perfectamente la distribución de los números primos utilizando como modelo

el lanzamiento de una moneda: la medición más refinada de la aleatoriedad que se hizo posible con el teorema central del límite mostró que los primos no la obedecen. La estadística se ocupa de los diversos ángulos desde los que se puede valorar un conjunto de datos, gracias al punto de vista que ofrece el teorema central del límite de Turing y de Lindeberg, los matemáticos pudieron darse cuenta de que, aun teniendo mucho en común, los números primos y los lanzamientos de una moneda no eran exactamente lo mismo. La demostración del teorema central del límite que consiguió Turing, aunque

no original, demostraba de sobra su potencial, hasta el punto de valerle una plaza de profesor en el King’s College a la temprana edad de veintidós años. En el interior de la comunidad científica de Cambridge, Turing siguió siendo, en cierta medida, un solitario: mientras que Hardy y Littlewood se peleaban con los problemas clásicos de la teoría de los números, Turing prefería trabajar fuera de los cánones matemáticos; en vez de leer los artículos de sus colegas, prefería llegar a sus propias conclusiones en solitario. Igual que Selberg, renunció a la distracción de una vida académica convencional. Sin embargo, a pesar de su

aislamiento voluntario, Turing no dejaba de ser consciente de la crisis que estaban sufriendo las matemáticas: en Cambridge se hablaba del trabajo de un joven austríaco que había colocado la incertidumbre en el centro de la disciplina que a Turing le había ofrecido seguridad.

GÖDEL Y LAS LIMITACIONES DEL MÉTODO MATEMÁTICO

Con su segundo problema, Hilbert había retado a la comunidad de los matemáticos a demostrar que las

matemáticas no contenían contradicciones. Los antiguos griegos fueron los que iniciaron el desarrollo de las matemáticas como disciplina basada en los teoremas y las demostraciones; para hacerlo habían partido de aserciones que parecían verdades evidentes. Estas aserciones, los axiomas de las matemáticas, son las semillas a partir de las cuales se ha desarrollado todo el jardín matemático: partiendo de las primeras demostraciones de Euclides sobre los números primos, los matemáticos han utilizado el instrumento de la deducción para extender nuestro conocimiento más allá de aquellos axiomas.

Pero los estudios de Hilbert sobre las geometrías no euclidianas habían planteado una cuestión preocupante: ¿estamos seguros de no poder demostrar jamás que un enunciado es a la vez cierto y falso? ¿Podemos tener la certeza absoluta de que no existe una secuencia de deducciones que, a partir de los axiomas de las matemáticas, demuestre la veracidad de la hipótesis de Riemann mientras que otra secuencia alternativa demuestre su falsedad? Hilbert no vacilaba: sería posible usar la lógica matemática para demostrar que la disciplina no contenía contradicciones de este tipo; opinaba que la resolución del segundo de sus veintitrés problemas

supondría poner orden en el edificio matemático. La cuestión se hizo aún más urgente cuando Bertrand Russell, el filósofo amigo de Hardy y Littlewood, planteó lo que parecían paradojas matemáticas. Aunque en su monumental o b r a Principia Mathematica Russell encontró la forma de resolver sus paradojas, aquello hizo comprender a muchos la seriedad de la cuestión que Hilbert había planteado. El 7 de septiembre de 1930, Hilbert tuvo el privilegio de ser nombrado hijo predilecto de Königsberg, su estimada ciudad natal. En aquel mismo año había abandonado la cátedra de Gotinga. Hilbert terminó su discurso de

agradecimiento con una llamada urgente a todos los matemáticos: «Wir müssen wissen. Wir werden wissen» [Debemos saber. Sabremos]. Tras su discurso, lo trasladaron rápidamente a un estudio radiofónico para grabar la última parte, que debía integrarse en un programa de radio. Entre los ruidos de fondo de la grabación se puede escuchar a Hilbert riendo tras declarar: «Debemos saber». Pero él no sabía aún que quien se había reído el último con otra persona, el día anterior, durante una conferencia pronunciada a muy poca distancia de aquel estudio radiofónico, en la Universidad de Königsberg: Kurt Gödel, el lógico austríaco de

veinticinco años, había hecho un anuncio que golpeaba el corazón del mundo de Hilbert. De niño, Gödel se había ganado el apodo de Herr Warum [señor Por qué] por el incesante flujo de preguntas que planteaba. Como consecuencia de un ataque de fiebre reumática durante su infancia, su corazón era débil y sufría de una hipocondría incurable. En los últimos años de su vida, su hipocondría se transformó en paranoia manifiesta. Estaba tan convencido de que lo querían envenenar que literalmente se dejó morir de hambre. Sin embargo, a los veinticinco años fue él quien envenenó el sueño de Hilbert y desencadenó un

ataque de paranoia en toda la comunidad matemática. Para su tesis doctoral, Gödel había dirigido su espíritu inquiridor a la cuestión de Hilbert que se hallaba en el corazón de la actividad matemática: demostró que los matemáticos nunca podrían demostrar que poseían los fundamentos seguros que Hilbert ansiaba. Era imposible utilizar los axiomas de las matemáticas para demostrar que aquellos axiomas no conducirían a contradicciones. Entonces, ¿no se podría arreglar el problema cambiando los axiomas o añadiendo otros nuevos? No serviría de nada: Gödel demostró que, cualesquiera que

fueran los axiomas elegidos por las matemáticas, nunca podrían ser usados para demostrar la inexistencia de contradicciones. Los matemáticos definen un sistema de axiomas como consistente cuando tales axiomas no conducen a contradicciones. Puede ser que los axiomas elegidos no conduzcan nunca a contradicciones, pero ello nunca podrá ser demostrado utilizando tales axiomas. Podría ser que se consiguiera demostrar la consistencia de un sistema de axiomas tomando un sistema alternativo, pero se trataría de una victoria parcial ya que, en tal caso, la consistencia del nuevo sistema de axiomas sería igualmente

discutible. Es lo mismo que el intento de Hilbert de demostrar que la geometría era consistente transformándola en una teoría de los números: el único resultado fue trasladar la cuestión a la consistencia de la aritmética. La toma de conciencia de Gödel recuerda la descripción del universo que da una señora anciana y menuda con la que se abre el libro de Stephen Hawking Breve historia del tiempo. Al terminar una conferencia de divulgación sobre astronomía, una anciana se levanta y, dirigiéndose al orador, declara: «Todo lo que nos ha contado son tonterías. En realidad, el mundo es un disco plano que se apoya sobre la espalda de una

inmensa tortuga». La respuesta de la señora a la pregunta del conferenciante sobre cuál sería entonces el apoyo de la tortuga habría provocado una sonrisa en el rostro de Gödel: «Usted es muy inteligente, jovencito, verdaderamente muy inteligente. ¡Pero es evidente que cada tortuga se apoya sobre otra tortuga!». Gödel había proporcionado a las matemáticas una demostración de que el universo matemático se apoya en una torre de tortugas: se puede conseguir una teoría libre de contradicciones pero no se puede demostrar que en el interior de dicha teoría no hay contradicciones. Todo lo que podemos hacer es

demostrar la consistencia interior de otro sistema cuya consistencia, sin embargo, no podemos demostrar. Había una cierta ironía en todo esto: las matemáticas podía ser utilizada para demostrar las limitaciones de las propias demostraciones. El matemático francés André Weil sintetizó la situación que se producía después de Gödel con una frase memorable: «Dios existe porque las matemáticas son consistentes, y el demonio existe porque no podemos demostrar que lo es». En 1900 Hilbert había declarado que en matemáticas no hay nada que sea imposible conocer; treinta años más tarde, Gödel demostró que la ignorancia

es parte integrante de las matemáticas. Hilbert se enteró de la noticia bomba de Gödel algunos meses después de su discurso en Königsberg. Parece que reaccionó «con cierta irritación». Su declaración «Wir müssen wissen. Wir werden wissen» [Debemos saber. Sabremos], hecha el día después del anuncio de Gödel, encontró un destino apropiado: se grabó en la lápida de la tumba de Hilbert; un sueño idealista del cual, finalmente, las matemáticas se había despertado. Mientras los físicos empezaban a comprender, a partir del principio de indeterminación de Heisenberg, que existían limitaciones al conocimiento

dentro de su disciplina, la demostración de Gödel significaba que también los matemáticos tendrían que resignarse a convivir para siempre con su propia y peculiar incertidumbre: la posibilidad de descubrir de repente que todo el edificio de las matemáticas era un espejismo. Está claro que, para gran parte de los matemáticos, el hecho de que esto no haya sucedido hasta ahora es la mejor confirmación de que nunca sucederá: tenemos un modelo que funciona, y ello parece suficiente para justificar la consistencia de las matemáticas. Sin embargo, dado que el modelo es infinito, no podemos tener la seguridad de que en un momento

determinado no termine contradiciendo nuestros axiomas. Y, como ya hemos podido comprobar, cuando se profundiza en las áreas más remotas del universo numérico, incluso entidades aparentemente inocentes como los números primos pueden esconder sorpresas, de las que nunca habríamos sido conscientes si hubiéramos procedido sólo por experimentación y observación. Gödel no se detuvo ahí. Su tesis doctoral contenía una segunda noticia bomba: si los axiomas de las matemáticas son consistentes, entonces siempre habrá enunciados verdaderos sobre los números que no pueden

demostrarse formalmente a partir de aquellos axiomas. Esto conculcaba las bases de lo que las matemáticas habían significado desde la Grecia Antigua. La demostración siempre había sido considerada como el camino que conducía a la verdad matemática. Ahora Gödel había hecho saltar en pedazos esta fe en el poder de la demostración. Algunos esperaban que, añadiendo nuevos axiomas, sería posible remendar el edificio matemático: ahora Gödel demostraba que tales esfuerzos serían vanos. Por más que se añadieran nuevos axiomas a los fundamentos de las matemáticas, siempre quedaría algún enunciado verdadero imposible de

demostrar. Este resultado tomó el nombre de Teorema de incompletitud de Gödel : cualquier sistema consistente de axiomas es necesariamente incompleto, en el sentido de que existirán siempre enunciados verdaderos que no podrán ser deducidos de los axiomas. Y para acompañarlo en su acto de terrorismo matemático, Gödel se procuró nada menos que los números primos: los utilizó para asignar a cada enunciado matemático un código numérico de identificación, el número de Gödel. A través del análisis de tales números, Gödel pudo demostrar que para cualquier elección de axiomas siempre

existirán enunciados verdaderos que no pueden ser demostrados. El resultado obtenido por Gödel supuso un duro golpe para los matemáticos de todo el mundo: había muchísimos enunciados sobre números, y en particular sobre números primos, que parecían verdaderos pero que no se tenía la menor idea de cómo demostrar. La conjetura de Goldbach: cada número par es suma de dos números primos; números primos gemelos: existen infinitas parejas de números primos cuya diferencia es 2, como 17 y 19. ¿Estaban estas aserciones condenadas a no poder ser demostradas utilizando los fundamentos axiomáticos existentes?

Es innegable que tal estado de cosas era como para ponerse nervioso: quizá la hipótesis de Riemann era simplemente indemostrable en el ámbito de la descripción axiomática corriente de lo que entendemos por aritmética. Muchos matemáticos se consolaron pensando que todo lo verdaderamente importante tenía que ser demostrable, y que sólo enunciados tortuosos y faltos de un contenido matemático apreciable terminarían entre los enunciados indemostrables de Gödel. Pero Gödel no estaba tan seguro de ello. En 1951 puso en duda que los axiomas habituales fueran suficientes para resolver muchos de los problemas

de la teoría de los números: Nos encontramos ante una serie infinita de axiomas que puede extenderse cada vez más, sin que sea visible el final… Es cierto que en las matemáticas de hoy los niveles más elevados de esta jerarquía no se usan prácticamente nunca… no es realmente inverosímil que esta característica de la matemática contemporánea pueda tener algo que ver con su incapacidad de demostrar algunos teoremas fundamentales como, por ejemplo, la hipótesis de Riemann.

En opinión de Gödel, las matemáticas no habían sido capaces de demostrar la hipótesis de Riemann porque sus axiomas no eran suficientes para hacerlo: podría ser que fuera necesario ampliar la base del edificio matemático para descubrir unas matemáticas en las que este problema fuera resoluble. El teorema de incompletitud de Gödel modificó drásticamente la forma de razonar de la gente: si existen problemas tan difíciles de resolver, como los de Riemann y de Goldbach, entonces quizá son simplemente indemostrables con los instrumentos lógicos y con los axiomas que aplicamos para intentarlo.

Al mismo tiempo, tenemos que procurar no enfatizar demasiado el significado de los resultados de Gödel: no se trataba de las honras fúnebres de las matemáticas. Gödel no había cuestionado la verdad de lo que ya había sido demostrado; lo que su teorema demostraba era la realidad matemática no se reducía a la deducción de teoremas a partir de axiomas: las matemáticas son algo más que una partida de ajedrez. Es necesario que a la obra incesante de construcción del edificio matemático se acompañe una continua evolución de los fundamentos sobre los que se basa el edificio. A diferencia de la naturaleza formal de las

reglas para la construcción del edificio, la evolución de los fundamentos se tiene que basar en las intuiciones de los matemáticos sobre la elección de los axiomas que, en su opinión, puedan proporcionar una mejor descripción del mundo de las matemáticas. Muchos sintieron satisfacción al interpretar en el teorema de Gödel una confirmación de la superioridad de la mente sobre el espíritu mecanicista propiciado por la Revolución industrial.

LA MILAGROSA MAQUINA MENTAL DE TURING

La revelación de Gödel abrió una cuestión totalmente nueva que empezó a fascinar tanto a Hilbert como al joven Turing: ¿existe alguna forma de establecer la diferencia entre los enunciados verdaderos para los que existen demostraciones y aquellos enunciados que, como Gödel había descubierto, son verdaderos aunque sean indemostrables? Turing, con su estilo pragmático, empezó a considerar la posibilidad de que existiera una máquina capaz de ahorrar a los matemáticos el riesgo de intentar demostrar un enunciado indemostrable. ¿Podía concebirse una máquina que, al introducirle cualquier enunciado, fuera

capaz de establecer si podía ser deducido de los axiomas de las matemáticas, aunque sin dar la demostración? En caso de existir una máquina así, podría utilizarse a modo de oráculo de Delfos para tener la certeza de que la búsqueda de una demostración de la conjetura de Goldbach o de la hipótesis de Riemann no sería tiempo perdido. La cuestión de la existencia de un oráculo así no se apartaba mucho del décimo problema que Hilbert había planteado en los albores del siglo XX: en aquel problema, Hilbert había considerado la posible existencia de un método universal, de un algoritmo,

capaz de decidir si una ecuación cualquiera tiene solución o no. Hilbert estaba concibiendo la idea de un programa de ordenador antes de que se planteara siquiera la idea misma de un ordenador: imaginó un procedimiento mecánico que pudiera aplicarse a las ecuaciones y respondiera «sí» o «no» a la pregunta «¿esta ecuación tiene soluciones?», sin necesidad de ninguna intervención por parte del operador. Todos estos comentarios sobre máquinas eran puramente teóricos: nadie pensaba todavía en un objeto físico real. Eran máquinas de la mente, métodos o algoritmos para producir respuestas. Era como si se hubiera concebido la idea

d e l software antes de que existiera un hardware capaz de hacerlo funcionar: aunque hubiera existido la máquina de Hilbert no habría sido de ninguna utilidad práctica porque, con toda probabilidad, el tiempo que habría necesitado para decidir si una ecuación cualquiera tenía solución hubiera superado la edad del universo. Para Hilbert, la existencia de esta máquina tenía una importancia filosófica. La idea de estas máquinas teóricas horrorizaba a muchos matemáticos: habrían puesto al matemático fuera de juego. Nunca tendríamos necesidad de confiar en la imaginación, en la intuición genial de la mente humana para producir

argumentaciones inteligentes. El matemático quedaría reemplazado por un autómata cuya fuerza bruta abriría una brecha hacia la solución de nuevos problemas sin recurrir en absoluto a nuevas y sutiles formas de razonamiento. Hardy no tenía la menor duda de que nunca podría existir una máquina así; el simple pensamiento de que pudiera haber una ponía en peligro su propia existencia: Naturalmente, no existe un teorema así, y ello es una gran suerte, porque si existiera tendríamos un conjunto de reglas mecánicas para la resolución de

todos los problemas matemáticos, y se habría terminado nuestra actividad de matemáticos. Sólo un observador externo muy ingenuo puede imaginarse que los matemáticos alcancen sus descubrimientos girando la manivela de cualquier máquina milagrosa. La fascinación que ejercían sobre Turing las complejidades de la ideas de Gödel nacía de una serie de conferencias que Max Newman, uno de los docentes de matemáticas de Cambridge, dictó durante la primavera de 1935. Newman también había sido

seducido por las cuestiones de Hilbert cuando oyó hablar al gran matemático de Gotinga durante el Congreso Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en Bolonia en 1928. Era la primera vez desde el final de la Primera Guerra Mundial que una delegación de matemáticos alemanes era invitada a un congreso internacional. Muchos de ellos rechazaron participar, aún ofendidos por su exclusión del congreso anterior de 1924, pero Hilbert pasó por encima de estas divisiones políticas y presidió una delegación de sesenta y siete matemáticos alemanes. Cuando hizo su aparición en la sala de conferencias para asistir a la sesión de apertura, el

público se puso en pie para aplaudirlo. Hilbert respondió expresando una opinión, compartida por muchos matemáticos: «Supone una total incomprensión de nuestra ciencia crear diferencias basadas en los pueblos o en las razas, y los motivos por los que tales cosas se han planteado son muy mezquinos. Las matemáticas no conocen razas… Para las matemáticas, el mundo entero de la cultura es una sola nación». En 1930, justo después de saber que el programa de Hilbert había sido completamente demolido por Gödel, Newman sintió un fuerte deseo de explorar algunos de los aspectos más difíciles de las ideas de este último. Al

cabo de cinco años había adquirido la seguridad necesaria para anunciar una serie de cursos sobre el teorema de incompletitud de Gödel. Turing asistió, y quedó totalmente paralizado por la tortuosidad de las demostraciones de Gödel. Newman terminó el ciclo con una pregunta que serviría para catalizar tanto la imaginación de Hilbert como la de Turing: ¿sería posible distinguir de alguna manera los enunciados demostrables de los enunciados indemostrables? Hilbert bautizó la cuestión como «el problema de la decidibilidad». Al escuchar las clases de Newman sobre la obra de Gödel, Turing se

convenció de la imposibilidad de construir una máquina milagrosa capaz de conseguir aquella distinción. Sin embargo, era difícil demostrar que una máquina así no podía existir: al fin y al cabo, ¿cómo se sabe cuáles serán los límites futuros del ingenio humano? Se podía probar que una máquina en particular no daría respuestas, pero proyectar esta prueba a todas las máquinas posibles era negar la imposibilidad del futuro. Y a pesar de todo, Turing lo hizo. Fue el primer gran logro de Turing: concibió la idea de máquinas especiales que pudieran ser efectivamente hechas para comportarse como una persona o

una máquina que hiciera cálculos aritméticos. Más tarde estas máquinas se harían famosas con el nombre de máquinas de Turing. Hilbert había sido más bien impreciso sobre lo que entendía por una máquina capaz de establecer si un enunciado es demostrable o no; ahora, gracias a Turing, la cuestión planteada por Hilbert quedaba precisada: si una de las máquinas de Turing no podía discriminar lo demostrable de lo indemostrable, entonces ninguna máquina podría hacerlo. ¿Significaba esto que sus máquinas eran todo lo potentes que era necesario para afrontar el reto del problema de la decidibilidad

de Hilbert? Un día, mientras corría junto al río Cam, Turing tuvo su segundo relámpago de inspiración y comprendió que ninguna de sus máquinas imaginarias podía ser capaz de distinguir entre los enunciados que tenían demostraciones y los que no las tenían. Mientras tomaba aliento, yaciendo de espaldas en un prado de los alrededores de Granchester, Turing comprendió que una idea ya utilizada con éxito para responder a una pregunta sobre los números racionales se podría aplicar a la cuestión de la existencia de una máquina capaz de verificar la demostrabilidad.

La idea de Turing se basaba en un descubrimiento asombroso que había hecho en 1873 Georg Cantor, un matemático alemán de Halle: Cantor había descubierto que existen diversos tipos de infinito. Aunque parezca una proposición extraña, es realmente posible comparar dos conjuntos infinitos y decir que uno es mayor que el otro. Cuando Cantor anunció sus conclusiones, hacia 1870, fueron consideradas casi como heréticas o, en el mejor de los casos, como las divagaciones de un loco. Para comprender cómo pueden compararse dos infinitos, imaginemos una tribu cuyo sistema de contar se reduce a «uno, dos,

tres, muchos». Los miembros de la tribu son capaces de decidir quién es el más rico de ellos aunque no puedan indicar el valor numérico exacto de sus riquezas. Por ejemplo, si los pollos son el signo de riqueza de un individuo, basta que dos personas emparejen sus pollos: el que agote antes sus pollos es obviamente el más pobre de los dos. No hace falta ser capaz de contar los pollos para saber que un grupo es más numeroso que otro. Explotando esta idea, Cantor demostró que si emparejamos todos los números enteros con todas las fracciones (como 1/3, 1/4, 1/101) se puede hacer corresponder a cada

fracción un número entero y sólo uno. Parece paradójico, ya que en apariencia las fracciones son mucho más numerosas que los números enteros. Y sin embargo Cantor encontró la forma de establecer una correspondencia exacta entre ambos conjuntos de manera que ninguna de las fracciones quede falta de compañero. Cantor formuló también una argumentación ingeniosa para demostrar que, al contrario que en el caso anterior, no hay forma de emparejar todas las fracciones con todos los números reales, que comprenden, además de los números enteros y de las fracciones, también los números irracionales como π, y todos los demás números con una expresión

decimal infinita y no periódica. Cantor demostró que cualquier intento de emparejar las fracciones con los números reales dejaría fuera de forma inevitable una parte de los números irracionales: había demostrado la existencia de dos conjuntos infinitos de dimensiones distintas. Hilbert comprendió que Cantor estaba creando unas matemáticas auténticamente nuevas. Declaró que las ideas de Cantor sobre los infinitos eran «el producto más extraordinario del pensamiento matemático, una de las realizaciones más hermosas de la actividad humana en el dominio de lo puramente inteligible… Nadie nos

expulsará del paraíso que Cantor ha creado para nosotros». Como reconocimiento a esas ideas pioneras, Hilbert dedicó a una cuestión planteada por Cantor el primero de su lista de veintitrés problemas: ¿existe un conjunto infinito de números que sea mayor que el conjunto de las fracciones pero menor que el conjunto de los números reales? Fue la demostración de Cantor sobre el hecho de que el conjunto de los números irracionales es más numeroso que el de las fracciones lo que cruzó como un rayo la mente de Turing mientras se encontraba tumbado al sol de Cambridge: comprendió de repente que aquel hecho podía ser utilizado para

demostrar que el sueño que Hilbert había cultivado sobre una máquina capaz de verificar si un enunciado es demostrable era pura fantasía. Turing empezó planteando la hipótesis de que una de sus máquinas fuera capaz de decidir si un enunciado verdadero cualquiera es demostrable. Mediante un elegante procedimiento, Cantor había demostrado que, de cualquier manera que se agruparan las fracciones y los números reales, el emparejamiento siempre excluiría algún número irracional. Turing adoptó esta técnica y la adaptó para producir un enunciado verdadero «excluido», es decir, un enunciado para el cual su

máquina nunca podría establecer la existencia de una demostración. La belleza del razonamiento de Cantor venía dada por el hecho de que, si se intentaba modificar la máquina de manera que incluyera el enunciado faltante, siempre habría otro enunciado excluido, siempre habría otro enunciado que escaparía al análisis, de la misma manera que el teorema de incompletitud de Gödel demostraba que la adición de un nuevo axioma sólo serviría para producir algún nuevo enunciado indemostrable. Turing era consciente de lo escurridizo de su argumentación: mientras volvía corriendo a su

apartamento del King’s College, la reexaminó con detalle buscando los posibles puntos débiles. Había un aspecto que lo preocupaba particularmente: había demostrado que ninguna de sus máquinas de Turing podía responder al problema de la decidibilidad de Hilbert. Pero ¿cómo podía tener la certeza de la inexistencia de otra máquina capaz de dar una respuesta a aquel problema? Ahí realizó su tercer avance: la idea de una máquina universal. Turing elaboró el proyecto de una máquina a la que se le proporcionarían las instrucciones necesarias para que operara como todas las máquinas de Turing o como

cualquier otra máquina potencialmente capaz de responder a la pregunta de Hilbert. Incluso el cerebro es una máquina que quizá podía discriminar lo demostrable de lo indemostrable, y ello estimuló las siguientes investigaciones de Turing sobre la posibilidad de que una máquina fuera capaz de elaborar pensamientos. Por el momento, se concentró en la verificación de cada detalle de la solución que proponía a la pregunta de Hilbert. Turing trabajó durante un año hasta tener la certeza de que su argumentación era inatacable: sabía que cuando la hiciera pública sería sometida a las más severas verificaciones. Decidió que la

persona-idónea para ponerla a prueba era la primera persona con quien había hablado del problema: Newman. Al principio, Newman dudó del planteamiento: tenía todas las posibilidades de que uno se engañara creyendo verdadero lo que no lo era. Pero cuando se puso a dar vueltas a la argumentación se convenció de que quizá Turing había hecho diana. Al cabo de poco tiempo descubrirían que no era el único que había acertado. Turing se enteró de que uno de los matemáticos de Princeton le había ganado en el último momento: Alonzo Church había llegado a las mismas conclusiones casi al mismo tiempo que

Turing, pero había sido más rápido en la publicación de su descubrimiento. Como es natural, Turing estaba preocupado por la idea de que su intento de obtener un reconocimiento en la jungla académica se frustrara por el anuncio de Church; pero gracias al apoyo de Newman, su mentor en Cambridge, también la demostración de Turing se aceptó para ser publicada. Para su desánimo, la publicación recibió una atención muy escasa; sin embargo, su idea de una máquina universal era mucho más tangible que el método que proponía Church, y tenía consecuencias de más largo alcance: la manía de Turing por los inventos materiales había

prevalecido sobre las consideraciones teóricas. Aunque su máquina universal fuera sólo una máquina de la mente, la descripción que hizo de ella hacía pensar en el proyecto de una maquinaria real. Un amigo suyo afirmó bromeando que, en caso de construirla, probablemente habría ocupado la totalidad del Albert Hall. La máquina universal supuso el comienzo de la era de la informática, que dotaría a los matemáticos de un nuevo medio con el que explorar el universo de los números. Incluso durante su vida, Turing comprendió el impacto que podrían tener las máquinas reales de cálculo sobre el estudio de los números

primos; lo que no podía prever era el papel que jugaría su máquina teórica en el descubrimiento de uno de los tesoros más inaccesibles de las matemáticas. El análisis extremadamente abstracto que Turing hizo del problema de la decidibilidad de Hilbert se convirtió, decenios más tarde, en la clave del descubrimiento fortuito de una ecuación que genera todos los números primos.

ENGRANAJES, POLEAS Y ACEITE

El paso siguiente de Turing consistió en cruzar el Atlántico para encontrarse

con Church. También tenía la esperanza de conocer a Gödel, que estaba de visita en el Institute for Advanced Study, aunque durante la travesía su preocupación estaba centrada en las máquinas teóricas, Turing no había abandonado su pasión por las máquinas reales: pasó una semana del viaje trazando la ruta con la ayuda de un sextante. A su llegada a Princeton descubrió con decepción que Gödel estaba de vuelta en Austria. Volvería a Princeton dos años más tarde para hacerse cargo de una plaza permanente en el instituto, tras su persecución en Europa. En Princeton, Turing consiguió entrar en

contacto con Hardy, que también estaba de visita. Turing escribió a su madre sobre su entrevista con Hardy: «Al principio estaba muy distante o, probablemente, reservado. Lo encontré en el despacho de Maurice Pryce el día de mi llegada y ni siquiera me dirigió la palabra. Pero ahora está resultando mucho más amigable». Una vez puesta por escrito su demostración del problema de la decidibilidad de Hilbert para ser publicada, Turing empezó a buscar otro problema de peso susceptible de ser atacado. Tras la resolución del problema de la decidibilidad, se hacía difícil otra empresa tan excepcional,

pero, si quería elegir un problema de gran importancia, ¿por qué no apuntar hacia el objetivo más ambicionado por todos, la hipótesis de Riemann? Hizo que le mandaran los artículos más recientes sobre la hipótesis que había publicado Albert Ingham, un colega suyo de Cambridge. Empezó también a hablar con Hardy para conocer su opinión. En 1937 Hardy se estaba haciendo cada vez más pesimista sobre la validez de la hipótesis de Riemann: había consumido tanto tiempo intentando demostrarla sin éxito que empezaba a estar convencido de su falsedad. Turing, influido por la actitud de Hardy, pensó que podría construir una máquina con la

que demostrar que Riemann estaba equivocado. También había oído hablar del redescubrimiento de Siegel del fantástico método de Riemann para calcular los ceros de la función zeta: en la fórmula que Siegel había descubierto se hacía un uso ingenioso de la suma de senos y cosenos para estimar de manera eficiente las altitudes del paisaje de Riemann. En Cambridge, el método propuesto por Turing para resolver el problema de la decidibilidad de Hilbert creando una máquina se consideraba absolutamente innovador, pero Turing comprendió que sería posible utilizar máquinas también para analizar la fórmula secreta de Riemann. Era

consciente de que había muchas analogías entre la fórmula de Riemann y las que se utilizaban para prever fenómenos físicos periódicos, como los movimientos orbitales de los planetas: en 1936 Ted Titchmarsh, un matemático de Oxford, tomó una máquina pensada para el cálculo de los movimientos celestes y la adaptó para demostrar que los primeros 1.041 ceros del paisaje zeta se hallaban efectivamente sobre la recta mágica de Riemann. Pero Turing conocía una maquinaria todavía más sofisticada que se utilizaba para prever otro fenómeno periódico natural: las mareas. Las mareas planteaban un problema

matemático complejo porque su estudio dependía del cálculo del ciclo diario de la rotación terrestre, del ciclo mensual de la revolución lunar y del ciclo anual de la órbita de la Tierra alrededor del Sol. En Liverpool, Turing había visto una máquina que efectuaba tales cálculos de forma automática: la suma de todas las ondas sinusoidales se sustituía por el accionamiento de un sistema de cuerdas y poleas, y la respuesta venía dada por la longitud de algunas secciones de una cuerdecilla que sobresalía del artilugio. Turing escribió a Titchmarsh confesándole que, cuando había visto por vez primera la máquina de Liverpool, no había

sospechado ni remotamente que pudiera ser usada para estudiar los números primos; pero ahora su mente trabajaba de manera febril: quería construir una máquina capaz de calcular las latitudes del paisaje de Riemann. De esta forma conseguiría determinar un punto a nivel del mar que se hallara fuera de la recta crítica de Riemann, y así demostrar que la hipótesis de Riemann era falsa. Turing no fue el primero que se planteó el uso de una máquina para acelerar los cálculos tediosos: Charles Babbage, otro matemático que había estudiado en Cambridge, ya había concebido en el siglo anterior la idea de construir máquinas calculadoras. En

1810, cuando era un estudiante del Trinity College, Babbage estaba tan fascinado como Turing por los ingenios mecánicos: en su autobiografía recuerda la génesis de su idea de construir una máquina para calcular las tablas matemáticas que resultaban fundamentales para que Inglaterra capitaneara la navegación marítima: Una tarde estaba sentado en los locales de la Analytical Society, en Cambridge, con la cabeza apoyada sobre la mesa en un estado de somnolencia, con una tabla de logaritmos ante mí. Otro miembro de la Sociedad, al

entrar en la estancia y verme adormecido, gritó: «Y bien, Babbage, ¿con qué está soñando?». Yo le respondí, señalando los logaritmos: «Estoy pensando cómo se calcularían todas estas tablas utilizando una máquina mecánica». Hasta 1823 Babbage no pudo empezar a cumplir su sueño de construir s u máquina de diferencias. Pero el proyecto naufragó en 1833 como consecuencia de un litigio económico entre Babbage y el ingeniero responsable de los trabajos. Finalmente, se completó una parte de la máquina,

pero hubo que esperar hasta 1991, el bicentenario del nacimiento de Babbage, para que su visión se concretase por entero. Sucedió cuando, con un coste de 300.000 libras esterlinas, se construyó la máquina de diferencias en el Museo de la Ciencia de Londres, donde puede visitarse actualmente. La idea de Turing de una «máquina zeta» era parecida al proyecto de Babbage para el cálculo de los logaritmos con su máquina de diferencias. El mecanismo se adaptaba al problema específico que había que resolver. Ciertamente, no se trataba de una de las máquinas universales que concibió Turing, con las que se podría

simular cualquier clase de cálculo: las propiedades físicas del artilugio reflejaban las cuestiones conceptuales del problema, de forma que lo hacían inútil para la resolución de otros problemas; Turing lo reconoció explícitamente en una solicitud que presentó a la Royal Society para obtener la financiación necesaria para emprender la construcción de la máquina zeta: «El aparato mantendría un escaso valor al cabo del tiempo… No imagino ninguna otra aplicación que no esté relacionada con la función zeta». El propio Babbage se dio cuenta de los inconvenientes de una máquina que sólo sirviera para el cálculo de los

logaritmos: hacia 1830 soñaba con una máquina aún más ambiciosa, capaz de ejecutar diversas tareas. Se había inspirado en los telares mecánicos inventados por el francés Jacquard, que se usaban en las fábricas de tejidos de toda Europa: los obreros especializados habían sido sustituidos por tarjetas perforadas que, una vez puestas en el telar, controlaban su funcionamiento. (Algunos han definido aquellas tarjetas como el primer software). Babbage quedó tan impresionado por el invento de Jacquard que compró el retrato del inventor francés en seda tejida gracias a una de aquellas tarjetas perforadas. «El telar es capaz de tejer cualquier dibujo

que la imaginación humana sea capaz de concebir», afirmó con admiración. Si aquella máquina podía producir cualquier figura, ¿por qué no podría él construir una máquina en la que insertar una tarjeta para indicarle cómo efectuar cualquier cálculo matemático? El proyecto de una «máquina analítica», como Babbage la bautizó, era el precursor de la máquina universal que concibió Turing. Fue la hija del poeta lord Byron, Ada Lovelace, quien comprendió el increíble potencial de programación que suponía la máquina de Babbage. Mientras traducía al francés un ejemplar del ensayo en el que Babbage había

descrito su máquina analítica, Ada no resistió la tentación de añadir algunas notas personales para destacar sus virtudes: «Podemos afirmar de manera totalmente apropiada que la máquina analítica teje motivos algebraicos, de la misma manera en que el telar de Jacquard teje flores y hojas». Sus anotaciones indicaban muchos programas que la nueva máquina de Babbage, aunque fuera totalmente teórica y nunca hubiera sido construida, habría podido ejecutar. Una vez terminada la traducción, sus anotaciones resultaron tan copiosas que la versión francesa del ensayo resultó tres veces más extensa que el original inglés. Hoy,

Ada Lovelace está considerada unánimemente como la primera programadora de ordenadores del mundo. En 1852 murió víctima de un cáncer, entre atroces sufrimientos, con sólo treinta y seis años. Mientras Babbage trabajaba intensamente en sus propios proyectos de máquinas calculadoras, en Alemania Riemann estaba elaborando sus conceptos matemáticos abstractos. Ochenta años más tarde, Turing acariciaba esperanzas de poder unificar ambos temas. Había alcanzado ya gran experiencia estudiando la computabilidad teórica del teorema de incompletitud de Gödel, que había sido

la base de su tesis doctoral. Ahora tenía que empezar la labor mucho más concreta de construir físicamente las ruedas dentadas de su máquina zeta. Gracias al apoyo de Hardy y de Titchmarsh, la Royal Society aprobó su petición de financiación de 40 libras esterlinas como contribución a la fabricación del invento. Durante el verano de 1939 la habitación de Turing estuvo repleta de «engranajes diseminados por el suelo como las piezas de un rompecabezas», escribió su biógrafo Andrew Hodges. Pero el sueño de Turing de construir una máquina zeta, que uniría la pasión de los ingleses del siglo XIX por las máquinas

con la pasión alemana por la teoría, estaba destinado a ser bruscamente interrumpido: con el estallido de la Segunda Guerra Mundial, la floreciente unidad intelectual entre los dos países fue sustituida por un conflicto armado. Las fuerzas intelectuales británicas se reunieron en Bletchley Park, y sus mentes pasaron de la búsqueda de los ceros al descifrado de códigos secretos. El éxito de Turing en la concepción de máquinas para descifrar el código Enigma debe algo a su aprendizaje en el cálculo de los ceros de la función zeta de Riemann. Su compleja red de ruedas dentadas superpuestas no desvelaría el secreto de los números primos, pero los

nuevos artilugios que ideó resultaron increíblemente eficaces para descubrir los movimientos secretos de la maquinaria militar alemana. Bletchley Park era una extraña mezcla entre la tradicional torre de marfil del ambiente académico y el mundo real. Recordaba a un college de Cambridge, con partidos de cricket jugándose en el prado de delante del edificio. Para Turing y los demás matemáticos, los mensajes cifrados que llegaban cada día ocuparon el lugar de los crucigramas del Times que resolvían en la sala de descanso de los colleges: rompecabezas teóricos, aunque en este caso había vidas que dependían de su

solución. Vista la atmósfera que se respiraba en Bletchley Park, no es extraño que Turing continuara pensando en matemáticas mientras ofrecía su contribución a la victoria aliada. Fue precisamente mientras trabajaba en Bletchley Park que Turing comprendió, como hizo Babbage un centenar de años antes, que era mucho mejor construir una única máquina a la que dar las instrucciones necesarias para ejecutar menesteres diversos que construir una nueva máquina apropiada para cada nuevo problema que fuera necesario resolver. Aun conociendo este hecho en teoría, todavía tuvo que aprender en carne propia hasta qué

punto era difícil e importante llevarlo a la práctica. Cuando los alemanes cambiaron los modelos de las máquinas Enigma que utilizaban, Bletchley Park se sumió en el silencio durante semanas; Turing comprendió entonces que los descifradores necesitaban una máquina que pudiera adaptarse de manera que se adecuara a cualquier modificación que los alemanes decidieran introducir en las suyas. Tras el fin de la guerra, Turing empezó a examinar la posibilidad de construir una máquina calculadora universal que pudiera programarse para ejecutar gran variedad de operaciones. Tras varios años en el Laboratorio

Nacional de Física británico empezó a trabajar con Max Newman en Manchester, en el recién constituido Laboratorio de Cálculo de la Royal Society. Newman había estado con Turing en Cambridge durante el desarrollo de la máquina teórica que había hecho saltar en pedazos la esperanza de Hilbert de idear un algoritmo capaz de decidir si un enunciado verdadero era demostrable. Ahora Newman y Turing trabajarían juntos en el proyecto y la construcción de una máquina real. En Manchester, Turing tuvo la oportunidad de aprovechar las capacidades que había madurado

descifrando códigos en Bletchley, aunque las actividades que había desplegado durante el período bélico estuvieron cubiertos por el secreto de Estado durante decenios. Volvió a la idea que lo había obsesionado en los años anteriores a la guerra: utilizar máquinas para explorar el espacio de Riemann en búsqueda de contraejemplos de la hipótesis de Riemann, o bien de ceros que estuvieran fuera de la recta crítica. Pero esta vez, en lugar de construir una máquina cuyas características físicas reflejaran los aspectos del problema que intentaba resolver, Turing buscó la manera de crear un programa que pudiera ser

ejecutado con la calculadora universal que él y Newman estaban construyendo con tubos de rayos catódicos y bobinas magnéticas. Naturalmente, una máquina teórica funciona suavemente y sin esfuerzo: las máquinas reales, como Turing había descubierto en Bletchley Park, son mucho más temperamentales. Pero en 1950 su nuevo artilugio estuvo terminado, funcionando y a punto para empezar las exploraciones del paisaje zeta. El récord del número de ceros determinados sobre la recta de Riemann se remontaba a antes de la guerra, y lo detentaba un antiguo estudiante de Hardy llamado Ted Titchmarsh: éste había

confirmado que los primeros 1.041 puntos a nivel del mar satisfacían la hipótesis de Riemann. Turing batió aquel récord: consiguió que su máquina verificara la posición de los primeros 1.104 ceros y luego, como escribió, «desgraciadamente la máquina se averió». Pero no eran sus máquinas lo único que se estropeaba. La vida privada de Turing empezaba a hundirse a su alrededor. En 1952 fue detenido cuando la policía lo investigó por homosexualidad. Su casa había sido desvalijada y él mismo había llamado a la policía: se descubrió que el ladrón era conocido de uno de los amantes de Turing. La policía detuvo al allanador,

pero se ocupó también del «acto de indecencia grave», como lo describían las leyes de entonces, que la víctima del robo reconoció haber cometido. Turing estaba trastornado: aquel asunto podía significar la cárcel. Newman testificó en su defensa, declarando que Turing estaba «completamente dedicado a su trabajo y es una de las mentes matemáticas más profundas y originales de su generación». Se libró de una condena de cárcel a cambio de someterse voluntariamente a un tratamiento con drogas para controlar su comportamiento sexual. Escribió a uno de sus viejos profesores de Cambridge: «Dicen que reduce el deseo sexual

mientras se aplica, pero que después se vuelve a la normalidad. Espero que tengan razón». El 8 de junio de 1954, Turing fue hallado muerto en su habitación, envenenado con cianuro. Su madre no aceptó la idea de que pudiera haberse suicidado. Alan había hecho experimentos con sustancias químicas desde su infancia, y nunca se lavaba las manos: se trataba de un accidente, insistía su madre. Pero junto a la cama de Turing había una manzana mordisqueada por varios sitios. Aunque nunca fue analizada, hay pocas dudas de que estaba empapada de cianuro. Una de las secuencias cinematográficas

preferidas por Turing era, en la versión de Disney de Blancanieves y los siete enanitos, la de la bruja mala creando la manzana que hará que Blancanieves caiga dormida: «Pon la fruta en el veneno hasta que esté empapada». Cuarenta y seis años después de su muerte, en los albores del siglo XXI, empezó a extenderse entre la comunidad matemática el rumor de que las máquinas de Turing habían determinado efectivamente un contraejemplo de la hipótesis de Riemann, pero como el descubrimiento había tenido lugar en Bletchley Park durante la Segunda Guerra Mundial, con las mismas máquinas que habían descifrado el

código Enigma, los servicios secretos ingleses se oponían a que se hiciera público. Finalmente el rumor resultó ser eso, nada más que un rumor, y se descubrió que había sido puesto en circulación por uno de los amigos de Bombieri, que compartía con él la tendencia italiana a las inocentadas de mal gusto. A pesar de haberse roto justo después de batir el récord de ceros establecido antes de la guerra, la máquina de Turing supuso el primer paso de una era en la que el ordenador tomaría el lugar de la mente humana en la exploración del espacio de Riemann. Faltaba aún bastante para desarrollar los

«vehículos teledirigidos» adaptados para su exploración eficiente, pero pronto estos vehículos sin conductor serían enviados cada vez más al norte a lo largo de la recta mágica de Riemann, y nos darían un número cada vez mayor de pruebas —aunque no una demostración definitiva— de que, a diferencia de lo que creía Turing, Riemann había acertado. Pero, aunque las máquinas reales de Turing tuvieron efectos concretos sobre la hipótesis de Riemann, sus ideas abstractas terminarían contribuyendo a un giro inesperado en la historia de los números primos: el descubrimiento de una ecuación capaz de generarlos todos.

Turing no habría podido imaginar jamás que esta ecuación emergería de la devastación a la que Gödel y él mismo habían reducido el programa con el que Hilbert pretendía dotar a las matemáticas de sólidas bases.

DEL CAOS DE LA INCERTIDUMBRE A UNA ECUACIÓN PARA LOS NÚMEROS PRIMOS

Turing había demostrado que su máquina universal no podía responder todas las preguntas de las matemáticas. Pero si nos marcamos objetivos menos ambiciosos, ¿podría decirnos algo sobre

la existencia de soluciones de una ecuación? Ese era el núcleo del décimo problema de Hilbert, que en 1948 empezó a obsesionar a Julia Robinson, una matemática de talento que trabajaba en Berkeley. Con poquísimas excepciones dignas de mención, hace pocos decenios que las mujeres han hecho su aparición en la historia de las matemáticas, la matemática francesa Sophie Germain mantuvo correspondencia con Gauss, pero fingiendo ser un hombre para evitar que sus ideas fueran descartadas directamente: había descubierto un tipo particular de números primos ligados al último teorema de Fermat, que hoy

reciben el nombre de «números primos de Germain». Gauss estaba impresionado por las cartas que recibía de un tal Monsieur le Blanc y quedó maravillado al enterarse, tras larga correspondencia, que el monsieur era en realidad una mademoiselle. Le escribió: El gusto por los misterios de los números es raro… La fascinación de esta ciencia sublime se revela en toda su belleza sólo a aquellos que tienen el valor de desentrañarla. Pero cuando una mujer, que a causa de su sexo es víctima de nuestras costumbres y prejuicios,

… supera estos impedimentos y penetra en lo más profundo, es indudable que está dotada de un coraje notabilísimo, de un talento extraordinario y de un genio superior. Gauss intentó convencer a la Universidad de Gotinga para que le concedieran una licenciatura honoris causa, pero Germain murió antes de que Gauss lo lograra. En la Gotinga de Hilbert, Emmy Noether fue una algebrista de talento excepcional. Hilbert luchó por ella para conseguir que se revocaran las normas arcaicas que negaban a las mujeres la

posibilidad de obtener empleos en las instituciones académicas alemanas: «No creo que el sexo del candidato sea un argumento válido contra su nombramiento», objetó. La universidad, declaró, no era «un baño público». Finalmente Noether, que era judía, tuvo que abandonar Gotinga y trasladarse a los Estados Unidos. Algunas de las estructuras algebraicas que permean las matemáticas llevan su nombre. Julia Robinson siempre fue considerada como algo más que una matemática muy dotada: también era una mujer de los años sesenta, y su éxito animó a otras mujeres a hacer carrera en matemáticas. Más adelante recordó que,

por ser una de las pocas mujeres académicas, siempre le pedían que se encargara de la recogida de datos estadísticos: «Estoy en todas las muestras científicamente seleccionadas». La infancia de Julia transcurrió en el desierto de Arizona. Era una vida solitaria, con una hermana y el espacio como única compañía. De pequeña ya disfrutaba buscando formas en el desierto: «En uno de mis primeros recuerdos, estoy ordenando piedrecillas a la sombra de un saguaro gigante, con los ojos medio cegados por la luz del sol. Creo que siempre he tenido una predilección fundamental por los

números naturales. Para mí son la única cosa real». A los nueve años, Julia contrajo unas fiebres reumáticas y tuvo que guardar cama durante un par de años. Un aislamiento como éste puede ser fuente de inspiración para jóvenes científicos en ciernes: Cauchy y Riemann buscaron refugio en el mundo matemático ante los problemas físicos y emotivos de su mundo real; aunque Robinson no dedicó sus horas de confinamiento en el lecho a inventar teoremas, adquirió unas habilidades que la colocaron en las mejores condiciones para afrontar las batallas matemáticas que la esperaban: «Tiendo a creer que

lo que aprendí durante los años en que tuve que guardar cama fue la paciencia. Mi madre decía que era la niña más testaruda que jamás había conocido. Yo diría que mi testarudez ha estado en el origen de todos los éxitos matemáticos que he alcanzado». Una vez recuperada de la enfermedad, Robinson había perdido ya dos años de escuela. Sin embargo, tras un año de clases particulares descubrió que iba por delante de sus compañeros. En una ocasión, su profesor le explicó que hacía más de dos mil años que los griegos sabían que la raíz cuadrada de 2 no podía escribirse como una fracción exacta: a diferencia de la expresión

decimal de una fracción, la de la raíz cuadrada no se repetía periódicamente. A Robinson le pareció extraordinario que una cosa así pudiera demostrarse: ¿cómo era posible tener la certeza de que tras millones de cifras decimales no aparecería una pauta regular? «Volví a casa y utilicé las nociones que acababa de aprender sobre la extracción de raíces cuadradas para verificarlo pero, al anochecer, renuncié a ello». A pesar del fracaso comenzó a apreciar el poder del razonamiento matemático para mostrar de forma convincente que, por más que continuáramos el cálculo de la expresión decimal de la raíz cuadrada de 2, nunca aparecería una pauta regular.

Lo que fascina a muchos de los que se dedican a las matemáticas es el poder de estas argumentaciones simples: en el caso de la raíz cuadrada de 2, por ejemplo, nos encontramos con un problema que nunca podría resolverse por medio de la fuerza bruta de los cálculos, ni siquiera con la ayuda del ordenador más potente, pero basta con alinear unas pocas simples ideas matemáticas elegidas con inteligencia para desvelar el misterio de aquella expresión decimal infinita. El trabajo imposible de calcular un número infinito de cifras decimales se reduce así a un pequeño e ingenioso razonamiento. A los catorce años, Julia Robinson

se lanzó a la búsqueda de cualquier razonamiento matemático con que aliviar el aburrimiento de la árida aritmética escolar. Escuchaba con entusiasmo un programa radiofónico t i t ul a d o University Explorer. Una emisión dedicada a la historia del matemático D. N. Lehmer y de su hijo D. H. Lehmer la intrigó particularmente; en la transmisión se explicaba que este equipo matemático intentaba atacar algunos problemas con máquinas de cálculo realizadas con ruedas dentadas y cadenas de bicicleta. El más joven de los Lehmer sería el primero en tomar el testigo de manos de Turing y utilizar modernas máquinas de cálculo para

mostrar, en 1956, que los primeros 25.000 ceros de la función zeta satisfacen la hipótesis de Riemann. Lehmer padre describió cómo su vetusta máquina «funcionaba tranquila y suave durante unos pocos minutos y después se volvía repentinamente incoherente. Se recuperaba de golpe, pero poco más tarde volvía a hacer tonterías». Por fin, los dos Lehmer consiguieron determinar el origen de aquel galimatías: un vecino escuchaba la radio. El problema matemático preferido de los Lehmer era la búsqueda de los números primos que componían los grandes números. Robinson quedó tan impresionada por la descripción de aquellas máquinas que

escribió a la radio pidiendo una trascripción de la emisión. Encontró en un diario una nota sobre el presunto descubrimiento del mayor número primo que jamás se había determinado, y lo recortó con entusiasmo. Bajo el título ENCUENTRA EL NUMERO MÁS GRANDE PERO A NADIE LE IMPORTA informaba:

El doctor Samuel I. Krieger ha consumido seis lápices, ha usado 72 folios y se ha destrozado los nervios, pero hoy ha podido anunciar que 231.584.178. 474. 632. 390. 847. 141. 970. 017. 375. 815. 706. 539. 969.

331. 281. 128. 078. 915. 826. 259.279.871 es el mayor de los números primos conocidos. No ha sabido decir con seguridad a quién le importa. Podría ser que la falta de interés reflejara el hecho de que en realidad este número es divisible por 47, como el periódico habría podido descubrir si lo hubiera verificado. Robinson conservó aquel recorte durante toda su vida, junto con la trascripción del programa radiofónico sobre la máquina de cálculo de los Lehmer y un folleto que compró sobre los misterios de la cuarta dimensión.

Así quedaron sentadas las bases de la carrera matemática de Julia Robinson. Se licenció en el San Diego State College, después fue a la Universidad de California, en Berkeley, donde Raphael Robinson, un joven profesor que más adelante se convertiría en su marido, despertó en ella la pasión por la teoría de los números. Desde el principio, Raphael descubrió que las matemáticas eran el camino que había que recorrer para conquistar el corazón de Julia, y empezó a bombardearla con explicaciones sobre las conquistas más recientes de este campo. La descripción que le hizo Raphael de los resultados obtenidos por Gödel y

Turing la fascinó particularmente: «El hecho de que fuera posible demostrar verdades sobre los números mediante la lógica simbólica me impresionó y me entusiasmó mucho», dijo. A pesar de la naturaleza inquietante de los resultados de Gödel, Julia conservó el sentido de la realidad de los números que había adquirido en su infancia, jugando con los guijarros del desierto: «Podemos concebir una química distinta de la nuestra, pero no podemos concebir unas matemáticas distintas de la de los números. Lo que se demuestra sobre los números pasa a ser un hecho en cualquier universo». A pesar de estar dotada de una gran

habilidad matemática, Robinson reconocía que sin el apoyo de su marido le hubiera resultado muy difícil continuar practicando profesionalmente su amada disciplina en una época en la que, para muchísimas mujeres, tener una carrera académica no resultaba en absoluto fácil. Las reglas de la Universidad de Berkeley impedían que marido y mujer formaran parte del mismo departamento. Como reconocimiento de su capacidad investigadora se creó ex profeso para ella una plaza en el campo de la estadística. La descripción de su propia actividad que presentó en la oficina de personal junto con la solicitud de la

plaza supone un clásico resumen de la semana laboral de gran parte de los matemáticos: «Lunes, intento demostrar un teorema. Martes, intento demostrar un teorema. Miércoles, intento demostrar un teorema. Jueves, intento demostrar un teorema. Viernes: teorema falso». Su interés por la obra de Gödel y de Turing se vio alimentada por la oportunidad de estudiar con uno de los grandes lógicos del siglo XX, Alfred Tarski, un polaco al que la guerra sorprendió mientras estaba de visita en Harvard, en 1939. Julia Robinson, en todo caso, no pretendía abandonar su propia pasión por los números primos. El décimo problema de Hilbert ofrecía

una mezcla perfecta de ambas disciplinas: ¿Existe un algoritmo —un programa, en términos informáticos— que pueda usarse para decidir si una ecuación cualquiera admite soluciones? A la vista de los trabajos de Gödel y de Turing estaba resultando cada vez más claro que, en contra de la opinión inicial de Hilbert, con toda probabilidad no existía tal programa. Julia Robinson estaba segura de que tenía que haber alguna forma de explotar las bases que Turing había sentado. Sabía que cada una de las máquinas de Turing da lugar a una sucesión de números: una máquina de Turing, por ejemplo, podía producir una lista de todos los cuadrados de los

números enteros (1, 4, 9, 16, 25, …) mientras que otra podía generar los números primos. Uno de los pasos de la solución de Turing al problema de la decidibilidad de Hilbert consiste en demostrar que, dados una máquina de Turing y un número, no existe un programa capaz de establecer si aquella máquina producirá tal número. Robinson buscaba una relación entre ecuaciones y máquinas de Turing. A cada máquina de Turing, creía, tenía que corresponderle una ecuación concreta. Su esperanza era que, en caso de existir una relación así, el hecho de preguntarse si una máquina de Turing concreta produce un número se tradujera

en preguntarse si la ecuación asociada a aquella máquina tenía una solución: una vez establecida la relación, la victoria estaba asegurada. Si existía un programa capaz de verificar la resolubilidad de una ecuación, tal y como Hilbert esperaba al plantear su décimo problema, entonces, gracias a la todavía hipotética relación entre ecuaciones y máquinas de Turing, sería posible utilizar aquel programa para verificar qué números producían las máquinas de Turing. Pero Turing había demostrado que un programa así —un programa capaz de determinar los números que producían las máquinas de Turing— no existía; por consiguiente, no podía

existir ningún programa capaz de establecer si las ecuaciones tienen solución. La respuesta al décimo problema de Hilbert habría sido «no». Robinson se centró en establecer de qué forma cada máquina de Turing podía asociarse a una ecuación concreta: pretendía obtener una ecuación cuyas soluciones estuvieran ligadas a la sucesión de números producidos por la correspondiente máquina de Turing. Consideraba muy divertida la pregunta que se había planteado: «Habitualmente, en matemáticas tienes una ecuación y quieres hallar una solución. Aquí te daban una solución y tenías que encontrar la ecuación. Me gustaba». Con

el paso de los años, el interés que había empezado en 1948 terminó convirtiéndose en una obsesión. Tras la enfermedad que había sufrido a los nueve años, los médicos habían previsto que su corazón se debilitaría hasta hacer improbable que superara los cuarenta años. En cada cumpleaños, «cuando me llegaba el momento de apagar las velas del pastel expresaba siempre el mismo deseo, año tras año: que se resolviera el décimo problema de Hilbert. No que lo resolviera yo, sólo que se resolviera. Sentía que no podría soportar morir sin conocer la respuesta». Cada año que pasaba, Julia conseguía nuevos progresos. Otros dos

matemáticos se unieron a sus investigaciones: Martin Davis y Hilary Putnam. A finales de los años sesenta habían reducido el problema a algo más simple: en lugar de tener que encontrar todas las ecuaciones para todas las respuestas que dieran las máquinas de Turing descubrieron que, si conseguían encontrar una ecuación para una sucesión concreta de números, habrían demostrado la hipótesis de Robinson. Se trataba de un resultado importante. Todo se reducía a encontrar la ecuación correspondiente a aquella sucesión única de números; ahora toda la teoría dependía de la capacidad de los tres matemáticos para confirmar la

existencia de un único ladrillo en su muro matemático. Si hubieran descubierto que a aquella sucesión no le correspondía una ecuación de Robinson específica, entonces el muro a cuya construcción habían dedicado tanto tiempo se habría desmoronado de golpe. Existía un escepticismo creciente respecto de que la idea de Robinson fuera la manera correcta de atacar el décimo problema de Hilbert: un buen número de matemáticos creía que se trataba de un intento desencaminado. Luego, de forma inesperada, Robinson recibió la llamada telefónica de un recién llegado de una conferencia en Siberia. Allí había asistido a una

comunicación muy importante, que creía que sería de su interés. Un matemático ruso de veintidós años, Yuri Matijasevitch, había colocado la última pieza del rompecabezas y había demostrado el décimo problema de Hilbert: había demostrado la existencia de una ecuación que daba lugar a una serie numérica, tal y como Robinson había predicho. Se trataba del ladrillo sobre el que se apoyaba todo el enfoque de Julia Robinson. La solución del décimo problema de Hilbert estaba completa: no existe un programa capaz de determinar si una ecuación tiene soluciones. «Aquel año, cuando llegó el

momento de apagar las velas de mi pastel, me detuve a punto de soplar cuando de repente me di cuenta de que el deseo que había expresado durante tantos años por fin se había realizado». Robinson comprendió que durante todo aquel tiempo había tenido la solución ante sus narices, pero había sido necesario que Matijasevitch la determinara: «Hay un montón de cosas en una playa que no vemos hasta que alguien coge una de ellas. Entonces, la vemos todos», explicó. Escribió a Matijasevitch para felicitarlo: «Me alegra particularmente pensar que cuando formulé la conjetura por primera vez usted era un chiquillo y que yo

simplemente tenía que esperar a que creciera». Es sorprendente la capacidad de las matemáticas para unir individuos superando fronteras políticas e históricas: a pesar de las dificultades de la guerra fría, estos matemáticos americanos y rusos construyeron una sólida amistad basada sobre la común obsesión que les había inspirado el problema de Hilbert. Robinson describió esa extraña relación entre matemáticos como «una nación propia, sin distinciones de origen geográfico, de raza, de credo, de sexo, de edad y ni siquiera de tiempo —también los matemáticos del pasado son nuestros

colegas—, donde todos se dedican a la más bella de todas las artes y de las ciencias». La atribución del mérito de la demostración provocó un enfrentamiento entre Matijasevitch y Robinson, pero no porque buscaran su atribución personal; al contrario, cada uno de ellos sostenía que la parte más dura del trabajo había sido realizada por el otro. Ciertamente, puesto que Matijasevitch puso la última pieza del rompecabezas, a menudo se le atribuye la solución del décimo problema de Hilbert; en realidad, como no podía ser de otra forma, muchos matemáticos contribuyeron al largo viaje que llevó desde el anuncio de Hilbert en

1900 a la solución final que se obtuvo setenta años más tarde. Aunque el problema se resolvió en términos negativos —demostrando la inexistencia de programas que pudieran usarse para establecer si una ecuación cualquiera tiene soluciones— había motivos para el optimismo: Robinson acertó al pensar que las sucesiones de números que producían las máquinas de Turing podían describirse mediante ecuaciones. Los matemáticos sabían que existía una máquina de Turing capaz de reproducir la lista completa de los números primos. Por ello, gracias al trabajo de Robinson y Matijasevitch, en teoría debería de existir una fórmula

capaz de generar todos los números primos. ¿Serían capaces los matemáticos de hallar esa fórmula? En 1971, Matijasevitch elaboró un método explícito para llegar a una fórmula, pero no lo siguió hasta obtener el resultado final. La primera fórmula explícita que se escribió con detalle fue descubierta en 1976 y utilizaba 26 variables, de la A a la Z: (K + 2){1 − [WZ + H + J − Q]2 − [(GK + 2G + K + 1)(H + J) + H − Z]2 − [2N + P + Q + Z − E]2 − [16(K + 1)3(K + 2)(N + 1)2 + 1 − F2]2 − [E3(E + 2)(A + 1)2 + 1 −

O2]2 − [(A2 − 1)Y2 + 1 − Z2]2 − [16R2Y4(A2 − 1) + 1 − U2]2 − [((A + U2(U2 − A))2 − 1) × (N + 4DY)2 + 1 − (X + CU)2]2 − [N + L + V − Y]2 − [(A2 − 1)L2 + 1 − M2]2 − [AI + K + 1 − L − I]2 − [P + L(A − N − 1) + B(2AN + 2A − N2 − 2N - 2) − M]2 − [Q + Y(A − P − 1) + S(2AP + 2A − p2 − 2P - 2) − X]2 − [Z + PL(A − P) + T(2AP − p2 − 1) − PM]2} La fórmula funciona como un programa de ordenador: se sustituyen al azar las letras por números enteros y se aplica la fórmula con estos números; por ejemplo, podríamos tomar A = 1, B = 2,

…, Z = 26. Si la respuesta es mayor que cero, entonces el resultado del cálculo es un número primo. El proceso puede reiterarse indefinidamente asignando nuevos valores numéricos a las letras y rehaciendo los cálculos. La elección sistemática de los valores de las variables permitirá hallar todos los posibles números primos. La fórmula no omite ningún número primo: existe siempre una elección de los valores numéricos de A, …, Z tal que la expresión dará lugar al número primo en cuestión. Hay únicamente una cláusula molesta: algunas de las elecciones producen resultados negativos, y hay que ignorarlos: por ejemplo, nuestra

elección de A = 1, B = 2, …, Z = 26 es [5]

de las que hay que descartar. ¿Era éste el Santo Grial que ponía fin a la búsqueda, el descubrimiento de un extraordinario polinomio capaz de generar todos los números primos? Si se hubiera hallado en tiempos de Euler, es indudable que habría tenido una resonancia sensacional: Euler había descubierto una ecuación capaz de producir muchos números primos, pero había sido muy pesimista sobre la posibilidad de hallar una ecuación que produjera todos los números primos. Sin embargo, desde los tiempos de Euler las matemáticas se habían alejado del mero estudio de ecuaciones y fórmulas para

abrazar la fe de Riemann en la importancia de las estructuras y de los temas fundamentales que atraviesan el mundo matemático. Ahora los exploradores matemáticos trazaban los mapas de paisajes que conducían a nuevos mundos. El descubrimiento de esta ecuación para obtener los números primos era un éxito que nacía en una época equivocada: para las nuevas generaciones de matemáticos equivalía a trazar un mapa muy perfecto de una tierra que se había explorado hacía años y que ahora estaba abandonada. Ciertamente, los matemáticos se sorprendieron de la existencia de la fórmula, pero Riemann había llevado el

estudio de los números primos a un plano distinto. Una sinfonía clásica al estilo de Mozart escrita e interpretada en tiempos de Shostakovich no impresionaría al auditorio, aunque se interpretara con una gran perfección estilística. Pero no sólo el nuevo sentido estético de las matemáticas hizo cambiar la acogida dispensada a aquella milagrosa ecuación: la verdad es que era sustancialmente inútil. Los valores que da la ecuación son en muchos casos negativos. Incluso desde el punto de vista teórico la ecuación tiene, en cierta medida, una importancia relativa: Robinson y Matijasevitch habían

demostrado que toda sucesión de números que pueda ser producida por unas máquina de Turing está asociada a una ecuación del tipo de la que da los números primos; por tanto, en este sentido no hay nada de especial en los números primos respecto de cualquier otra clase de números. Cuando alguien explicó al matemático ruso Y. V. Linnik el resultado de Matijasevitch sobre los números primos, comentó: «Es maravilloso. Con toda probabilidad enseguida aprenderemos una montaña de cosas sobre los números primos». Pero cuando le explicaron cómo se había demostrado el resultado, y que el mismo método se aplicaba a muchas sucesiones

de números enteros, el entusiasmo inicial de Linnik se enfrió: «Es una pena. Con toda probabilidad no aprenderemos nada nuevo sobre los números primos». Si la existencia de una ecuación de este tipo es universalmente válida para toda sucesión de números, entonces no nos dice nada específico sobre los números primos. Ello hace especialmente interesante la interpretación de Riemann: la existencia del paisaje de Riemann y sus notas sobre los puntos a nivel del mar forman una música que sólo corresponde a los números primos. Esta estructura armónica no se halla en la base de

ninguna otra sucesión de números. Mientras Julia Robinson jubilaba definitivamente el décimo problema de Hilbert, un amigo suyo de Stanford estaba terminando con la fe de Hilbert en el hecho de que en matemáticas no hay nada incognoscible. Paul Cohen había preguntado con cierta arrogancia a sus profesores de Stanford cuál de los problemas de Hilbert le haría famoso si conseguía resolverlo. Sus profesores lo meditaron un poco y le indicaron que el primer problema era uno de los más importantes. Dicho de forma algo tosca, el problema preguntaba cuántos números hay. Para comenzar su lista, Hilbert había puesto la pregunta de Cantor sobre

los distintos infinitos: ¿existe un conjunto infinito de números de dimensiones mayores que el conjunto de todos los números fraccionarios, pero que al mismo tiempo no sea tan grande como el conjunto de los números reales, incluidos los números irracionales como π, y cualquier otro número cuya expresión decimal sea infinita y no periódica? Probablemente Hilbert se retorcería en su tumba cuando Cohen volvió un año después con la solución: ¡ambas respuestas eran posibles! Cohen demostró que la primera de las cuestiones de Hilbert era uno de los enunciados indemostrables de Gödel. Se

desvanecía, por tanto, cualquier esperanza de que únicamente fueran indecidibles los problemas más abstrusos. Cohen había demostrado lo siguiente: es imposible demostrar, en base a los axiomas que actualmente usamos en matemáticas, que exista un conjunto de números cuya dimensión sea estrictamente mayor que la del conjunto de todos los números fraccionarios y estrictamente inferior que la del conjunto de todos los números reales; de la misma forma, es imposible demostrar que no existe tal conjunto. De hecho, Cohen había conseguido construir dos mundos matemáticos distintos que satisfacían los axiomas utilizados en

matemáticas: en uno de estos mundos la respuesta a la cuestión de Cantor era «sí»; en el otro mundo la respuesta era «no». Algunos comparan el resultado de Cohen con la toma de conciencia por parte de Gauss sobre la existencia de geometrías alternativas a la que describe el mundo físico que nos rodea. Pero el caso es que los matemáticos tienen un fuerte sentido de lo que entienden por números. Ciertamente, los axiomas que se utilizan para demostrar las propiedades de estos números podrían también ser satisfechos por otros números «supranaturales»; sin embargo, la mayoría de los matemáticos continúa

creyendo que la cuestión de Cantor admite sólo una respuesta verdadera para los números con los que construimos nuestro edificio matemático. Julia Robinson expresó las reacciones a la demostración de Cohen por parte de casi todos los matemáticos en una carta que le dirigió: «¡Por el amor de Dios, hay una única teoría de los números verdadera! Tal es mi religión». Al final tachó la última frase antes de enviar la carta. La revolucionaria obra de Cohen, por más alarmante que resultara para la ortodoxia matemática, le valió una medalla Fields. Una vez culminado el sensacional descubrimiento de la

imposibilidad de responder a la cuestión de Cantor, decidió pasar al que consideraba el problema más arduo de la lista de Hilbert: la hipótesis de Riemann. Cohen ha sido uno de los pocos matemáticos que ha admitido estar trabajando activamente sobre este problema de gran complejidad; hasta el momento, sin embargo, la hipótesis de Riemann ha resistido su ataque. Curiosamente, la hipótesis de Riemann se encuentra en una categoría distinta respecto de la cuestión de Cantor. Si Cohen repitiera su propio éxito y consiguiera demostrar que la hipótesis es indecidible sobre la base de los axiomas de las matemáticas,

¡demostraría que la hipótesis es, de hecho, verdadera! En realidad, si es indecidible, entonces o es falsa y no podemos demostrarlo, o bien es cierta y no podemos demostrarlo. Pero, si es falsa, entonces existe al menos un cero que cae fuera de la recta crítica y que puede ser usado para demostrar que es falsa. Por tanto, no puede ser falsa sin que seamos capaces de demostrar que lo es. Por ello, la única posibilidad de que la hipótesis de Riemann sea indecidible se verifica si es cierta aunque no podamos demostrar que todos los ceros están sobre la recta crítica. Turing fue uno de los primeros en darse cuenta de la posibilidad de una confirmación tan

extraña de la hipótesis de Riemann, pero pocos creen que una artimaña lógica así termine por llevar a una solución del octavo problema de Hilbert. Gracias a la máquina universal de Turing, los ordenadores de la mente han jugado un papel fundamental en nuestra comprensión del mundo matemático, pero serían las máquinas reales que había intentado construir las que tomarían la iniciativa en la segunda mitad del siglo XX, cuando la tendencia cambió a favor de los ordenadores hechos con válvulas, hilos eléctricos y, posteriormente, de silicio. En todo el mundo se estaban construyendo máquinas que permitirían a los

matemáticos escrutar en profundidad el universo de los números.

9 LA ERA DE LA INFORMÁTICA: DE LA MENTE AL PC

Le propongo una apuesta: cuando se demuestre la hipótesis de Riemann, se hará sin usar ordenadores. GERHARD FREY (descubridor de la relación fundamental entre el último teorema de Fermat y las curvas elípticas).

Una vez abandonada la escuela, para la mayoría de la gente su única relación con los números primos tiene lugar, si es que alguna vez sucede, a través de las noticias recurrentes de grandes ordenadores que calculan el mayor número conocido. El recorte de diario que Julia Robinson conservó como una reliquia ilustra cómo, desde los años treinta del siglo pasado, incluso los falsos descubrimientos sobre la cuestión eran noticia. Gracias a la demostración de Euclides sobre la existencia de infinitos números primos, este tipo de noticias nunca dejará de aparecer en los diarios. A finales de la Segunda Guerra

Mundial el mayor número primo conocido tenía treinta y nueve cifras, y detentaba el récord desde su descubrimiento en el año 1876: hoy, el mayor número primo conocido tiene más de un millón de cifras: harían falta más páginas que las de este libro para imprimirlo, y varios meses para leerlo. Lo que nos ha permitido alcanzar estas alturas vertiginosas ha sido el ordenador; pero, en Bletchley Park, Turing estaba ya pensando en cómo utilizar su máquina para determinar números primos cada vez mayores. Aunque la máquina universal teórica de Turing tuviera la suerte de disponer de una cantidad infinita de memoria en

la que almacenar información, las máquinas reales que él y Newman construyeron en Manchester después de la guerra eran muy limitadas en cuanto a su memoria. Por poner un ejemplo, lo único que hace falta para generar la sucesión de números de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …) es recordar los dos números anteriores de la lista, y sus ordenadores no tenían ninguna dificultad en ello: Turing conocía un truco que había desarrollado Lehmer hijo para determinar los números primos especiales que había hecho famosos el fraile francés Marín Mersenne, en el siglo XVII; se dio cuenta de que para aplicar el test de Lehmer, igual que para

generar los números de Fibonacci, no hacía falta disponer de mucha memoria. La búsqueda de los números primos de Mersenne resultó ser un trabajo perfecto para las máquinas que Turing y Newman estaban proyectando. Mersenne había tenido la idea de generar números primos multiplicando 2 por sí mismo muchas veces y restando 1 al resultado, por ejemplo, 2 × 2 × 2 − 1 = 7 es un número primo. Mersenne intuyó que, para que 2n − 1 fuera un número primo, había que elegir valores de n que a su vez fueran números primos. Sin embargo, ello no basta para garantizar que 2n − 1 sea un número primo. 211 - 1 no es un número

primo, aunque 11 sí lo es. Mersenne había predicho que 2, 3, 5, 7, 13, 19, 31, 67, 127, 257 serían los únicos valores de n no mayores que 257 para los que 2n − 1 es primo. Un número de la magnitud de 2257 − 1 es tan enorme que la mente humana nunca podría verificar el fundamento de la afirmación de Mersenne. Quizá fue ésa la razón por la cual hizo tranquilamente una afirmación tan audaz: creía que «la eternidad no bastaría para establecer si esos números son primos». Le guió en la elección de esos números

la demostración de Euclides sobre la existencia de infinitos números primos: se trata de tomar un número como 2n, que es divisible por muchos números, y añadirle o quitarle una unidad con la esperanza de que resulte indivisible. Aunque no tuviera la certeza de generar números primos, la intuición de Mersenne era correcta en un aspecto: dado que los números de Mersenne son adyacentes a 2n, es decir, a números dotados de una gran divisibilidad, existe un método muy eficaz para verificar si se trata efectivamente de números primos. El método fue ideado en 1876 por el matemático Edouard Lucas, cuando descubrió la manera de

confirmar que, en el caso de 2127 − 1, Mersenne había acertado: este número primo de treinta y nueve cifras siguió siendo el mayor conocido hasta los inicios de la era de la informática. Armado con su nuevo método, Lucas consiguió desenmascarar la verdadera naturaleza de la lista de Mersenne. La lista de los valores de n que según el monje francés haría que fuera un número primo estaba lejos de ser exacta: Mersenne se había olvidado de 61, 89 y 107, y había incluido erróneamente 67. Pero estaba absolutamente fuera del alcance de Lucas. La intuición mística de Mersenne resultó ser una conjetura a ciegas. Su

reputación pudo haber sufrido un duro golpe y, sin embargo, el nombre de Mersenne sobrevive como rey de los grandes números primos. La realidad es que los números primos de récord que aparecen en la prensa son en todos los casos números primos de Mersenne. Aunque Lucas consiguió establecer que no es primo, su método no le permitía descomponerlo en los números primos que lo forman. Como veremos, descomponer estos números está considerado como un problema tan difícil que actualmente se encuentra en la base de los sistemas de seguridad criptográficos, herederos del código Enigma que Turing descifró con sus

«bombas» de Bletchley. Turing no era el único que pensaba en la relación entre los números primos y los ordenadores: tal como Julia Robinson había descubierto en su infancia escuchando la radio, también la familia Lehmer esta fascinada con la idea de usar máquinas para analizar los números primos. A principios de siglo, Lehmer padre había ya construido una tabla de números primos que llegaba hasta 10.017.000. (Desde entonces nadie ha publicado tablas de números primos más allá de este número). Su hijo hizo una contribución más teórica a la disciplina: en 1930, con sólo veinticinco años, ideó una manera de perfeccionar

la idea de Lucas para verificar cuáles entre los números de Mersenne son primos. Para demostrar que un número de Mersenne es primo y, por tanto, no es divisible por ningún número entero menor que él, Lehmer comprendió que podía darse la vuelta al problema: el número de Mersenne 2n − 1 resultará ser primo sólo cuando divida a otro número, llamado número de Lucas-Lehmer y que se indica como Ln. Un número de Lucas Lehmer puede construirse, de la misma manera que un número de Fibonacci, utilizando los números que lo preceden en la sucesión. Para obtener Ln se eleva

al cuadrado el número anterior, Ln−1 y se resta 2 al resultado: Ln = (Ln−1)2 − 2. La fórmula empieza a funcionar para n = 3, y el número de Lucas Lehmer correspondiente resulta ser L3 = 14. A partir de ahí la sucesión continúa con L4 = 194 y L5 = 37.634. Lo que da a este test todo su valor es el hecho de que únicamente se necesita generar el número Ln y verificar si es divisible entre el número de Mersenne 2n − 1, un cálculo relativamente fácil para un ordenador. Por ejemplo, como 25 − 1 = 31 divide al número de LucasLe hme r L5 = 37.634, el número de Mersenne 25 − 1 es un número primo.

Esta simple verificación permitió a Lehmer revisar toda la lista que Mersenne había presentado y demostrar que se había equivocado sobre la primalidad de 2257 − 1. ¿Cómo pudieron Lucas y Lehmer idear su método de verificación de los números de Mersenne? No se trata en absoluto de una idea evidente: un descubrimiento como éste es muy distinto del fulgurante descubrimiento de la hipótesis de Riemann o de la existencia de una relación entre los números primos y los logaritmos que Gauss intuyó. El test de Lucas-Lehmer no se deduce de una pauta regular que emerge de la experimentación o de la

observación numérica. Los dos matemáticos lo descubrieron jugueteando con los posibles significados de la primalidad de 2n − 1, dando vueltas y más vueltas a esta cuestión como si de un cubo de Rubik se tratara hasta que los colores de sus caras se combinaran repentinamente de una nueva manera. Cada rotación es como un paso en la demostración: a diferencia de lo que ocurre con otras demostraciones, cuyo punto final está claro desde el principio, el test de Lucas-Lehmer emergió básicamente procediendo en la demostración sin tener ni la menor idea de a dónde llevaría. Lucas había empezado a hacer rodar el cubo, pero

fue Lehmer quien consiguió ponerlo en la configuración simple que hoy se utiliza. En Bletchley Park, mientras estaba descifrando los códigos alemanes Enigma, Turing discutía con sus compañeros sobre la posibilidad de hallar grandes números primos utilizando máquinas de cálculo similares a las «bombas» que habían construido. Gracias al método desarrollado por Lucas y Lehmer, los números de Mersenne son especialmente susceptibles de verificación en cuanto a su posible primalidad. El método se adaptaba perfectamente a la automatización a través de un ordenador,

pero las presiones de la empresa bélica hicieron que Turing tuviera que abandonar el proyecto. Después de la guerra, sin embargo, Turing y Newman pudieron reemprender la idea de determinar nuevos números primos de Mersenne. Hubiera sido una prueba perfecta para la máquina que se proponían construir en el laboratorio de investigación de Manchester: aunque la máquina tuviera una muy reducida capacidad de almacenar información, el método de Lucas-Lehmer no requería una gran cantidad de memoria en cada uno de los pasos. Para poder calcular el enésimo número de Lucas-Lehmer, de hecho, el ordenador tenía suficiente con

recordar el valor del (n − 1)-ésimo número de Lucas-Lehmer. Turing no había tenido suerte con los ceros de Riemann, y las cosas no cambiaron cuando dirigió su atención a la búsqueda de los números primos de Mersenne: el ordenador que construyeron en Manchester no consiguió superar el récord establecido con el número 2127 − 1, que se resistía desde hacía setenta años. Para hallar el siguiente número primo de Mersenne hubiera tenido que llegar hasta 2521 − 1, un número que por muy poco quedaba fuera del alcance de la máquina ideada por Turing. Por una extraña broma del destino, sería el marido de Julia

Robinson, Raphael, quien reivindicaría el descubrimiento del nuevo número primo récord. Había conseguido el manual de una máquina que Derrick Lehmer había construido en Los Angeles: Lehmer había ya abandonado los piñones y las cadenas de bicicleta del período prebélico, y ahora era el director del National Bureau of Standards’ Institute for Numerical Analysis y había creado una máquina llamada Standard Western Automatic Computer (SWAC). En la tranquilidad de su despacho de Berkeley, y sin haber visto nunca la máquina, Raphael Robinson escribió un programa con el cual el SWAC pudo dar caza a los

números primos de Mersenne: el 30 de enero de 1952, el ordenador descubrió los primeros números primos que se encontraban fuera del alcance de la capacidad de cálculo de la mente humana. Apenas unas horas después de establecer el nuevo récord con 2521 − 1, e l SWAC produjo un número primo aún mayor: 2607 − 1. En aquel año, Raphael Robinson batió tres veces más su propio récord, y el mayor primo conocido resultó ser 22.281 − 1. La caza de los grandes números primos terminó por ser dominada por quien tuviera acceso a los ordenadores más potentes; hasta mediados de los años noventa del siglo pasado todos los

nuevos records se batieron utilizando los ordenadores Cray, los gigantes del mundo de la computación electrónica. La Cray Research, fundada en 1971, aprovechó a fondo el hecho de que un ordenador no necesita terminar una operación para poder empezar la siguiente; esta simple idea estuvo en la base de la creación de máquinas que durante decenios fueron consideradas como las máquinas más veloces del mundo. A partir de los años ochenta, el ordenador Cray del Lawrence Livermore Laboratory, en California, bajo la mirada vigilante de Paul Gage y David Slowinski, monopolizó los récords y los titulares de la prensa. En

1996, Gage y Slowinski anunciaron el descubrimiento de su séptimo número primo récord: 21.257.787 − 1, un número de 378.632 cifras. Sin embargo, últimamente los vientos han cambiado favoreciendo a participantes mucho más modestos. Como tantos pequeños David que retan a Goliat, actualmente son los humildes PC’s los que baten un récord tras otro. ¿Y cuál es la honda que les da el poder de retar a los ordenadores Cray? Internet: gracias a la fuerza combinada de un número enorme de pequeños ordenadores conectados en red se obtiene el potencial que pone a esta familia de hormigas en condiciones de ir

a la caza de los grandes números primos. No es la primera vez que se utiliza Internet para permitir hacer ciencia a los aficionados: la astronomía ha obtenido grandes beneficios asignando a millares de astrónomos aficionados un pedacito de cielo para recorrer. Internet puso la red a través de la cual se coordinó este esfuerzo astronómico. Inspirado en el éxito de los astrónomos, un programador americano, George Woltman, puso a disposición de todos en Internet un software que, una vez descargado, asigna a cada PC una minúscula porción de la infinita extensión de los números: en lugar de dirigir sus propios telescopios al cielo

nocturno a la búsqueda de una nueva supernova, los matemáticos aficionados usan el tiempo de inactividad de sus ordenadores para escrutar diversos rincones de la galaxia numérica a la caza de nuevos números primos y de nuevas marcas. La búsqueda no está exenta de peligros: una de las personas reclutadas por Woltman trabajaba en una importante compañía telefónica estadounidense y se procuró la ayuda de 2.585 de los ordenadores de la empresa para su caza de números primos de Mersenne; la empresa empezó a sospechar que algo no iba como debía cuando los ordenadores de Phoenix, que

de ordinario tardaban una media de cinco segundos para repetir los números de teléfono, empezaron a necesitar cinco minutos. Cuando el FBI consiguió finalmente determinar la fuente de aquel retraso, el empleado confesó que «toda aquella potencia de cálculo era una tentación demasiado fuerte para mí». La compañía telefónica no mostró mucha comprensión por la actividad científica de su empleado y fue despedido. El primer hallazgo de un nuevo número primo de Mersenne por parte de esta banda de cazadores vía Internet tuvo lugar pocos meses después del anuncio del Lawrence Livermore Laboratory en 1998: Joel Armengaud, un

programador de París, encontró el oro en el pequeño estrato de números que estaba excavando en el contexto del proyecto de Woltman. Para los grandes medios de comunicación, su descubrimiento tuvo lugar un poco demasiado pronto en relación con el anterior: cuando me puse en contacto con el Times para informar del hallazgo de este nuevo número primo record me respondieron que ellos sólo publicaban esta historia en años alternos. En este sentido la oferta de Slowinski y Gage, los gemelos del Cray, se adaptaba perfectamente a la demanda de descubrimientos que, a partir de 1979, tenían lugar por término medio cada dos

años. Pero en todo esto había algo más que el descubrimiento de nuevos números primos. Se estaba ante una encrucijada por el papel de los ordenadores en la búsqueda de números primos, y la revista especializada Wired no la dejó escapar. Wired dedicó un artículo a lo que hoy se conoce como Great Internet Mersenne Prime Search, o GIMPS. Woltman consiguió reclutar otros doscientos mil ordenadores en todo el mundo, creando la que a todos los efectos es una máquina gigantesca de elaboración en paralelo. No se trata de que las grandes máquinas como el ordenador Cray estén fuera de juego:

ahora son compañeros del mismo rango, con el encargo de verificar los descubrimientos de los terribles enanitos. Hasta el 2002 han sido cinco los afortunados ganadores de la caza de los números primos de Mersenne. Al descubrimiento parisiense le siguió uno en Inglaterra y más tarde un tercero en California. Pero fue Nayan Hajratwala de Plymouth, Michigan, quien dio el gran golpe en junio de 1999: el número que descubrió, 26.972.593 − 1, ha superado el umbral del millón de cifras (se compone de 2.098.960 cifras). Además de constituir por sí mismo un premio simbólico, este trabajo ha hecho

ganar a Hajratwala cincuenta mil dólares en efectivo que ofrecía la Electronic Frontier Foundation, una organización californiana que se autoproclama tutora de las libertades civiles de los netizens, los ciudadanos de la red. Si el éxito de Hajratwala ha estimulado vuestro apetito, sabed que la fundación dispone aún de millones de dólares para premiar a los descubridores de otros grandes números primos. El récord de Hajratwala fue batido en noviembre del 2001 por el estudiante canadiense Michael Carneron que, gracias a su PC, demostró la primalidad de 213.466.917 − 1, un número con más de cuatro millones de cifras.

Los matemáticos creen que existen infinitos de estos especiales números primos de Mersenne esperando a ser descubiertos.

¿SUPONE EL ORDENADOR LA MUERTE DE LAS MATEMÁTICAS?

Si el ordenador sobrepasa nuestra capacidad de cálculo, ¿no convierte a las matemáticas en superflua? Afortunadamente, no: lejos de anunciar el fin de las matemáticas, este hecho resalta la verdadera diferencia que se da entre el artista creativo que es el

matemático y el ejecutor de tediosos cálculos que es el ordenador. No hay duda de que el ordenador es un aliado precioso de los matemáticos en la exploración de su mundo numérico y un experto sherpa en el ascenso al monte Riemann, pero también es cierto que no podrá tomar nunca el lugar de un matemático. Incluso si el ordenador puede ganar fácilmente al matemático en cualquier cálculo finito, le falta — todavía— la imaginación necesaria para comprender un mundo infinito y revelar la estructura y las regularidades que están en la base de las matemáticas. Cuando, por ejemplo, nos planteamos la búsqueda de grandes

números primos con la ayuda de un ordenador, ¿obtenemos una mejor comprensión de su naturaleza? Aunque aprendamos a cantar notas cada vez más altas, ese hecho no nos desvelará la estructura musical que se esconde tras ellas. Ya Euclides nos había proporcionado la certeza de que siempre habrá un número primo mayor para encontrar; no sabemos, sin embargo, si los números de Mersenne darán lugar a infinitos números primos: podría ser que Michael Cameron hubiera descubierto el trigésimo noveno y último número primo de Mersenne. Cuando se lo pregunté, Paul Erdös me dijo que consideraba la demostración de la existencia de

infinitos números primos de Mersenne como uno de los máximos problemas irresueltos de la teoría de los números. La opinión general es que efectivamente existen infinitos valores de n tales que 2n − 1 resulta ser un número primo. Pero, si ello es cierto, es extremadamente improbable que sea demostrado por un ordenador. Todo lo anterior no significa que los ordenadores no puedan demostrar algunas cosas: dado un conjunto de axiomas y algunas reglas de deducción, puede programarse el ordenador de forma que empiece a soltar teoremas matemáticos. La cuestión es que, como en el caso de un chimpancé con una

máquina de escribir, el ordenador no será capaz de distinguir entre teoremas gaussianos y sumas de escuela elemental. Los matemáticos han desarrollado las capacidades críticas que les permiten distinguir entre los teoremas que son importantes y los que no lo son. La sensibilidad estética de una mente matemática permite apreciar las demostraciones que constituyen composiciones magníficas y despreciar las que son feas. Y aunque una demostración fea sea tan válida como una bella, la elegancia siempre ha supuesto un criterio importante para trazar la mejor ruta que puede seguirse cuando nos movemos en el mundo

matemático. El primer caso de demostración de un teorema por ordenador se ha dado con el llamado «problema de los cuatro colores», que nació como una simple curiosidad matemática. El problema trata de un hecho con el que probablemente todos nos hemos enfrentado en nuestra infancia: si queremos pintar un mapa geográfico de manera que dos naciones fronterizas nunca tengan el mismo color, siempre puede hacerse utilizando sólo cuatro colores. Por más que intentemos rediseñar de la forma más creativa las fronteras nacionales, parece imposible obtener un mapa político de Europa que

necesite de un número de colores superior a cuatro. Las fronteras actuales de Francia, Alemania, Bélgica y Luxemburgo, por otra parte, demuestran que hacen falta al menos cuatro colores:

Hacen falta al menos cuatro colores para pintar este mapa de manera que no haya estados fronterizos con el mismo color.

Pero ¿es posible demostrar que bastan cuatro colores para cualquier

mapa? La cuestión se planteó públicamente por primera vez en 1852, cuando un estudiante de leyes, Francis Guthrie, escribió a su hermano, un matemático del University College de Londres, preguntándole si alguien había demostrado que siempre bastaría con cuatro colores. En realidad, en aquella época muy pocos pensaban que la cuestión fuera importante. Algunos matemáticos de segundo plano probaron suerte intentando proporcionar a Guthrie una demostración, pero como la demostración se resistía, al cabo de poco el problema avanzó hacia el vértice de la escala de las habilidades

matemáticas. Incluso Hermann Minkowski, el mejor amigo de Hilbert en Gotinga, lo intentó. La cuestión de los cuatro colores se planteó durante un curso universitario que impartió Minkowski: «Este problema todavía no ha sido demostrado sólo porque se han ocupado de él matemáticos de tercera fila», anunció el profesor. «Creo poder demostrarlo». Durante varias sesiones se peleó en la pizarra con sus propias ideas. Una mañana, cuando entraba en el aula en la que impartía el curso, se oyó un trueno fortísimo: «El cielo se enfada por mi arrogancia», admitió. «Mi demostración no funciona». Cuantas más personas lo intentaban y

fracasaban, tanto más crecía el prestigio del problema, sobre todo a causa de la extrema simplicidad de su enunciado. Resistió a todos los intentos de demostración hasta 1976, más de un siglo después de que Francis Guthrie mandara la carta a su hermano: dos matemáticos de la Universidad de Illinois, Kenneth Appel y Wolfgang Haken, razonaron que en lugar de afrontar la tarea imposible de colorear los infinitos mapas imaginables, el problema podía reconducirse al análisis de 1.500 mapas fundamentales. Fue un paso adelante decisivo. Era como el descubrimiento de una tabla periódica cartográfica que contuviera

los mapas elementales que permitirían construir todos los otros. Pero si Appel y Haken hubieran querido verificar a mano cada uno de estos mapas «atómicos», aunque hubieran empezado en 1976 hoy todavía estarían coloreándolos. Así, por vez primera, se recurrió al uso del ordenador. Fueron necesarias 1.200 horas de tiempo de máquina, pero finalmente llegó la respuesta: todos los mapas podían colorearse utilizando cuatro colores. En combinación con la fuerza bruta del ordenador, la genialidad humana con la que se había demostrado que bastaba con colorear aquellos 1.500 mapas básicos para alcanzar todos los demás

mapas confirmó lo que Guthrie había conjeturado en 1852: para cualquier mapa nunca serán necesarios más de cuatro colores. El hecho de saber que el teorema de los cuatro colores es cierto carece de utilidad práctica. Los cartógrafos no emitieron ningún suspiro colectivo de satisfacción al recibir la noticia de que no tendrían necesidad de salir a comprar un quinto lápiz de colores. Los matemáticos no estaban ansiosamente a la espera de la confirmación del resultado para proseguir sus exploraciones: no conseguían ver nada más allá que valiera particularmente la pena estudiar. No se trataba de la

hipótesis de Riemann, de cuya demostración dependen miles de resultados: el problema de los cuatro colores era significativo sólo porque nuestra incapacidad de resolverlo indicaba que todavía no teníamos una comprensión suficiente del espacio bidimensional para poder hacerlo. Hasta que fue resuelto, el problema azuzó a los matemáticos en su búsqueda de una comprensión más profunda del espacio que nos rodea. Por esta razón, la demostración de Appel y Haken dejó insatisfechos a muchos: el ordenador nos había dado una respuesta, pero no había contribuido a profundizar nuestros conocimientos.

Existe un encendido debate sobre si la solución del problema de los cuatro colores que obtuvieron Appel y Haken con la ayuda del ordenador se corresponde o no con el verdadero espíritu de la demostración: el papel que jugó el ordenador provocó en muchos una sensación de incomodidad, a pesar de que casi todos sabían que la demostración tenía mayores probabilidades de ser correcta que muchas otras obtenidas por el hombre. Pero ¿una demostración no debería generar comprensión? Como Hardy gustaba decir: «una demostración matemática debería de parecerse a una constelación simple y de contornos

nítidos, no a una Vía Láctea dispersa». La demostración con ordenador del problema de los cuatro colores recurría a una laboriosa reconstrucción del caos de los cielos en lugar de ofrecer una comprensión más profunda del por qué los cielos son tal como se nos muestran. La demostración asistida por ordenador ponía en evidencia un hecho: el placer de las matemáticas no se obtiene sólo del resultado final. Nosotros no leemos historias de misterios matemáticos sólo para descubrir quién es el culpable. El placer proviene de ver cómo las tortuosidades de la trama se van despejando a medida que se acerca el momento de la

revelación. La demostración del problema de los cuatro colores por Appel y Haken nos ha privado de aquel sentido de súbita iluminación (de aquel «¡Ajá, ahora lo entiendo!») que anhelamos al sumergirnos en una lectura matemática. Lo que nos gusta es compartir el momento de intensa revelación que ha sentido quien por primera vez ha creado una demostración. Durante decenios se debatirá sobre la posibilidad de que un día los ordenadores puedan sentir emociones pero, con toda seguridad, el problema de los cuatro colores no nos ha ofrecido la oportunidad de compartir la eventual sensación de euforia que el

ordenador pudo sentir. Sin embargo, a pesar de la sensibilidad estética herida, el ordenador ha continuado sirviendo a la comunidad matemática en la demostración de teoremas: una vez que un problema se reconduce a la verificación de un número finito de posibilidades, un ordenador puede ser útil. Y lo es. ¡Ello significa que el ordenador puede ayudarnos en el ascenso a la cumbre de la hipótesis de Riemann! Cuando Hardy murió, poco después del final de la Segunda Guerra Mundial, se sospechaba que la hipótesis de Riemann era falsa. Turing comprendió que si la hipótesis fuera

falsa un ordenador podría ser útil para descubrirlo. En tal caso, una máquina puede programarse para que busque ceros hasta que encuentre uno que esté fuera de la recta mágica de Riemann. Pero si la hipótesis es cierta, entonces el ordenador es totalmente inútil: nunca podrá demostrar que los infinitos ceros están sobre la recta: lo máximo que puede hacer es generar una cantidad cada vez mayor de indicios para sostener nuestra fe en la certeza de la intuición de Riemann. El ordenador satisfacía también otra necesidad. En la época de la muerte de Hardy, los matemáticos estaban en una situación de atasco: los progresos

teóricos que se habían conseguido con la hipótesis de Riemann estaban agotados; parecía que, dadas las técnicas disponibles, Hardy, Littlewood y Selberg hubieran conseguido los mejores resultados posibles respecto a la determinación de puntos a nivel del mar en el paisaje de Riemann: habían exprimido todo lo que se podía exprimir de aquellas técnicas. Buena parte de los matemáticos compartía la misma opinión sobre la necesidad de concebir nuevas ideas si más adelante pretendían conseguir aproximarse a la demostración de la hipótesis de Riemann; y a falta de nuevas ideas el ordenador daba la sensación de

progreso. Pero era sólo una impresión: la verdad es que el recurso al ordenador enmascaraba una evidente falta de progresos en el camino que debía conducir a una demostración de la hipótesis de Riemann. El cálculo se convirtió en un sucedáneo del pensamiento, un chicle mental con el que nos adormecíamos en la ilusión de hacer algo cuando en realidad nos estábamos dando cabezazos contra la pared.

ZAGIER, EL MOSQUETERO DE LAS MATEMÁTICAS

La fórmula secreta que Siegel había

descubierto en 1932 entre los apuntes inéditos de Riemann servía para calcular de forma precisa y eficiente la posición de los ceros en el paisaje zeta. Turing había intentado acelerar los cálculos por medio de su complicado sistema de ruedas dentadas, pero se han necesitado máquinas más modernas para liberar todo el potencial de aquella fórmula. Cuando se introdujo la fórmula secreta en un ordenador electrónico pudieron empezar a sondearse regiones del paisaje zeta que antes era inimaginable alcanzar. En los años sesenta, mientras el hombre empezaba a explorar el universo con vehículos espaciales no tripulados, los

matemáticos asignaban a los ordenadores la tarea de trazar un recorrido que condujera a las regiones más remotas del espacio de Riemann. Cuanto más al norte se dirigían los matemáticos en búsqueda de ceros de la función zeta, más indicios recogían. Pero ¿cuál era la utilidad real de tales indicios? ¿Cuántos ceros habría que determinar sobre la recta antes de convencerse de la certeza de la hipótesis de Riemann? El problema es que, tal como había demostrado Littlewood en su trabajo sobre la hipótesis, los indicios en matemáticas no construyen un terreno sobre el que se puedan edificar certezas. Por esta razón muchos

rechazaban la idea de que el ordenador pudiera resultar útil para el análisis de la hipótesis de Riemann. Sin embargo, acechaba una sorpresa que empezaría a convencer a los escépticos más irreductibles sobre la posibilidad fundada de que la hipótesis de Riemann fuera finalmente cierta. A principios de los años setenta, Don Zagier capitaneaba la pequeña banda de los escépticos: Zagier es una de las personalidades más vigorosas de los circuitos matemáticos, un hombre cuya figura se recorta elegante mientras recorre con decisión los pasillos del Max Planck Institut für Mathematik de Bonn, la respuesta alemana al Institute for Advanced Study

de Princeton. Como un mosquetero de las matemáticas, Zagier blande su afiladísimo intelecto, a punto para cortar en rodajas cualquier problema que se le ponga a tiro. Su entusiasmo por la disciplina y la energía con que la afronta te arrastra en un torbellino de ideas expresadas con voz de ametralladora y a una velocidad que te deja sin resuello. Enfoca la disciplina de manera lúdica, y siempre tiene a punto un rompecabezas matemático con el que sazonar las comidas del Instituto de Bonn. El deseo planteado por algunos de creer en la hipótesis de Riemann sobre la base de razones puramente estéticas, ignorando la falta de indicios concretos,

había terminado por exasperar a Zagier: la fe en la hipótesis se basaba probablemente en un sentido de deferencia hacia la simplicidad en matemáticas, y en poco más. Un cero que cayera fuera de la recta hubiera representado una fealdad en aquel paisaje maravilloso: cada cero contribuía con una nota a la melodiosa música de los números primos. Enrico Bombieri propuso una imagen propia de lo que significaría la eventual falsedad de la hipótesis de Riemann: «Piensen en ir a un concierto para escuchar a los músicos que tocan todos juntos en perfecta armonía. Después, de repente, una gran tuba emite un sonido fuertísimo

y apaga a todos los demás». Hay tal profusión de belleza en el mundo matemático que no podemos —no nos atrevemos— creer que la Naturaleza haya elegido un universo cacofónico en el que la hipótesis de Riemann resulte falsa. Si a partir de este argumento Zagier era el escéptico por excelencia, Bombieri representaba el prototipo de los que creían ciegamente en la hipótesis de Riemann. En los primeros años setenta, cuando aún no se había trasladado a Princeton, Bombieri era profesor en Italia. «Para él —explicaba Zagier—, la certeza de la hipótesis de Riemann es un artículo de fe. El hecho

de que sea verdadera es un acto de fe religiosa para Bombieri; si no fuera así, todo el mundo estaría equivocado». Efectivamente, como precisaba el propio Bombieri: «en la escuela había estudiado a muchos de los filósofos medievales. Uno de ellos, Guillermo de Occam, promovió una idea según la cual, cuando hay que elegir entre dos explicaciones, siempre hay que inclinarse por la más simple. La navaja de Occam, como se le ha llamado desde el principio, excluye lo complejo y elige lo simple». Para Bombieri, un cero que estuviera fuera de la recta de Riemann sería como el instrumento de la orquesta «que apaga a todos los demás, una

situación estéticamente desagradable. Como seguidor de Guillermo de Occam, no puedo menos que rechazar tal conclusión y aceptar la verdad de la hipótesis de Riemann». Cuando Bombieri visitó el Instituto de Bonn y las charlas a la hora del té se centraron en la hipótesis de Riemann, el enfrentamiento resultó inevitable. Zagier, matemático de capa y espada, no dejó escapar la oportunidad de retar en duelo a Bombieri: «Mientras tomábamos el té, le dije que aún no había indicios suficientes para convencerme de una cosa o de la otra. Por ello estaba dispuesto a que nos jugáramos una suma de dinero a la par sobre la falta de

fundamento de la hipótesis de Riemann. No es que pensara que tenía que ser forzosamente falsa, pero estaba dispuesto a hacer de abogado del diablo». «Muy bien —contestó Bombieri—. Estoy dispuesto a aceptar los términos de la apuesta». Y entonces Zagier se dio cuenta de que había sido un estúpido al proponer una apuesta a la par: Bombieri tenía tal confianza en la hipótesis de Riemann que habría aceptado tranquilamente una apuesta de mil millones contra uno. Acordaron los términos de la apuesta: dos botellas del mejor Burdeos, que elegiría el ganador. «Queríamos que el asunto se

resolviera durante nuestra vida», explica Zagier. «Sin embargo, había muchas probabilidades de que estuviéramos en la tumba y la batalla prosiguiera. Por otra parte, no queríamos poner un límite temporal, del tipo de que dentro de diez años abandonaríamos la apuesta. Parecía estúpido. ¿Qué importan diez años para la hipótesis de Riemann? Necesitábamos algo matemático». Entonces Zagier propuso lo siguiente: si bien la máquina de Turing se había estropeado tras calcular los primeros 1.104 ceros, en 1956 Derrick Lehmer había tenido más suerte: había conseguido verificar con sus máquinas en California que los primeros 25.000

ceros estaban sobre la recta. A principios de los años setenta, un cálculo famoso había confirmado que los primeros tres millones y medio de ceros se encontraban efectivamente sobre la recta: aquella demostración había supuesto un increíble tour de forcé para el que se habían explotado algunas brillantes técnicas teóricas para llevar los cálculos hasta los límites extremos de la tecnología informática disponible. Narra Zagier: Entonces dije: de acuerdo, en este momento hay tres millones de ceros cuya posición se ha calculado, pero todavía no estoy

convencido, a pesar de que casi todos dirían pero qué más quieres… caramba… son tres millones de ceros. Es justamente de esto de lo que te estoy hablando. No es así: tres millones de ceros no bastan para convencerme. Hubiera preferido hacer la apuesta un poco antes, porque ya estaba empezando a convencerme. Me hubiera gustado haber hecho la apuesta en cien mil ceros porque en aquel momento no había absolutamente ninguna razón para creer en la hipótesis de Riemann. Cuando se analizan los datos, cien mil ceros son

completamente inútiles: equivalen sustancialmente a cero pruebas. En tres millones de ceros la cosa empieza a ponerse interesante. Pero Zagier reconocía que trescientos millones de ceros representaban un punto de inflexión importante: había razones teóricas para creer que los primeros millares de ceros tenían que encontrarse sobre la recta mágica de Riemann; a medida que se avanzaba hacia el norte, sin embargo, las razones por las que los ceros anteriores tenían que estar sobre la recta de Riemann empezaban a ser

sobrepasadas por razones todavía más fuertes que permitían afirmar que los ceros deberían empezar a situarse fuera de la recta. Zagier sabía que, una vez llegados a trescientos millones, para que los ceros salieran fuera de la recta habría tenido que ocurrir un milagro. Zagier basó su análisis en una gráfica que le permitiría seguir la pauta del gradiente entre las montañas y los valles del paisaje zeta a lo largo de la recta mágica de Riemann. La gráfica de Zagier suponía una nueva perspectiva desde la que observar la sección transversal del paisaje de Riemann trazada a través de la recta crítica. Lo

interesante es que esta nueva perspectiva permitía una nueva interpretación de la hipótesis de Riemann: si la gráfica hubiera cruzado la recta crítica en un punto cualquiera, entonces en aquel punto habría un cero que caería fuera de la recta, lo que haría falsa la hipótesis de Riemann. Al principio la gráfica no se acerca nunca a la recta crítica, sino que más bien se aleja subiendo. Pero a medida que se avanza hacia el norte la gráfica empieza a descender acercándose a la recta. De vez en cuando la gráfica de Zagier intenta abrirse paso a través de la recta pero, tal como se ve en la figura siguiente, parece que algo le impide

cruzarla.

La gráfica que utilizó Zagier muestra un punto sobre la recta crítica en el cual aparece un quasi-contraejemplo de la hipótesis de Riemann. Si la gráfica cruzara el eje horizontal, entonces la hipótesis de Riemann sería falsa.

En resumen, cuanto más avanzamos

hacia el norte tanto más probable parece que esta gráfica pueda cruzar la línea crítica. Zagier sabía que el primer auténtico punto débil tendría lugar alrededor del cero número trescientos millones: esta región de la recta crítica supondría un test probatorio. Una vez que nos hemos trasladado tan al norte, si la gráfica no ha cruzado todavía la recta, con toda seguridad debe haber un motivo para que no lo haga; y ese motivo, razonaba Zagier, no podía ser otro que la certeza de la hipótesis de Riemann. Por esta razón, Zagier fijó el campo base para su ataque a la cima en los trescientos millones de ceros: Bombieri habría ganado la apuesta tanto

en el caso de que se encontrara una demostración de la hipótesis como en caso de que se calcularan las posiciones de los primeros trescientos millones de ceros sin que apareciera un contraejemplo. Zagier era consciente de que los ordenadores de los años setenta no eran capaces de explorar aquella remota región de la recta mágica de Riemann. Hasta aquel momento, los ordenadores habían sido capaces de calcular las posiciones de tres millones y medio de ceros; teniendo en cuenta el crecimiento de la tecnología informática de la época, Zagier estimó que harían falta al menos treinta años antes de poder determinar la

posición de los primeros trescientos millones de ceros. Pero no había contado con la revolución informática que esperaba justo al doblar la esquina. Durante cinco años no sucedió nada: la potencia de los ordenadores, aunque lentamente, crecía, pero determinar sólo la posición del doble de ceros, por no hablar de cien veces el número de ceros, hubiera requerido tal cantidad de trabajo que nadie se preocupó de ello; al fin y al cabo, en este tipo de actividad no tenía sentido consumir grandes cantidades de energía con la única finalidad de doblar el número de indicios. Pero luego, pasados cinco años, los ordenadores empezaron repentinamente a ir mucho

más de prisa, y dos equipos aceptaron el reto de explotar la nueva e inédita potencia de cálculo para establecer las posiciones de otros ceros. Un equipo, bajo la dirección de Herman te Riele, trabajaba en Amsterdam; el otro equipo era australiano, y su responsable era Richard Brent. Brent fue el primero en hacer su anuncio, en 1978: los primeros setenta y cinco millones de ceros estaban situados sobre la recta. En aquel momento, el equipo de Amsterdam unió sus propias fuerzas a las del grupo de Brent. Tras un año de trabajo, los dos grupos publicaron un gran trabajo, redactado con gran detalle y magníficamente

presentado. Todo había sido cuidado al detalle, y habían conseguido calcular las posiciones de los ceros hasta… ¡doscientos millones! Zagier ríe al hablar de ello: Dejé escapar un suspiro de alivio, porque se trataba de un proyecto verdaderamente enorme. Gracias a Dios, se habían detenido en los doscientos millones. Naturalmente, habrían podido llegar hasta los trescientos millones, pero gracias a Dios no lo hicieron. Ahora, pensé, se me concederá una prórroga de

muchos años. No habrían seguido adelante sólo para avanzar un miserable cincuenta por ciento. Todos tendríamos que esperar hasta que alcanzaran los mil millones de ceros. Para ello serían necesarios muchos años. Desgraciadamente no había contado con mi amigo Hendrik Lenstra, que conocía la apuesta y se hallaba en Amsterdam. Lenstra fue a ver a te Riele y le preguntó: «¿Por qué os habéis detenido en los doscientos millones? ¿No sabéis que si llegáis a los trescientos millones Don Zagier perderá una apuesta?».

Entonces el equipo continuó hasta los trescientos millones. Naturalmente, no hallaron ni un solo cero que estuviera fuera de la línea y Zagier tuvo que pagar su apuesta. Llevó las dos botellas a Bombieri, y se bebieron juntos la primera. Zagier insistió en hacer notar que aquella era probablemente la botella más cara que nunca nadie hubiera bebido, ya que doscientos millones no tenían nada que ver con mi apuesta: el cálculo se hacía independientemente. Pero para los últimos cien millones de ceros la cuestión era distinta:

decidieron calcularlos sólo porque se enteraron de mi apuesta. Fue necesario un tiempo de elaboración de unas cinco mil horas para calcular aquellos cien millones de más. En aquella época el coste del tiempo de elaboración era de setecientos dólares por hora; y dado que hicieron el cálculo con la única finalidad de hacerme perder la apuesta y obligarme a pagar mis dos botellas de vino, sostengo que aquellas dos botellas costaron trescientos cincuenta mil dólares cada una, que es mucho más que el precio de la botella de vino más cara que

jamás se haya vendido hasta ahora. Más importante, sin embargo, era el hecho de que, en opinión de Zagier, la masa de indicios a favor de la hipótesis de Riemann era verdaderamente aplastante. El ordenador había conseguido finalmente una potencia como instrumento de cálculo que permitía explorar los territorios septentrionales del paisaje zeta de Riemann lo suficiente como para que se dieran todas las oportunidades de hallar un contraejemplo. A pesar de los numerosos intentos por parte de la gráfica de Zagier de hender la recta

crítica de Riemann, era evidente que algo actuaba como una potente fuerza de repulsión, impidiendo que la gráfica cruce la recta. ¿El motivo? La hipótesis de Riemann. «Esto es lo que me convirtió en un convencido partidario del fundamento de la hipótesis de Riemann», admite hoy Zagier, y compara el papel del ordenador con el del acelerador de partículas usado para confirmar las teorías de la física de las partículas elementales: los físicos tienen un modelo de los elementos constituyentes de la materia, pero para someter a verificación el modelo es necesario generar energía suficiente para romper

el átomo; para Zagier, trescientos millones de ceros representaban la energía suficiente para verificar si la hipótesis de Riemann tenía altas posibilidades de ser cierta: Esta es, en mi opinión, una prueba convincente al cien por cien de que hay algo que impide que la gráfica cruce la recta, y lo único que consigo imaginar que pueda ocurrir es, y estoy absolutamente convencido de ello, que la hipótesis de Riemann sea cierta. Y ahora creo en la hipótesis de Riemann con la misma convicción que Bombieri,

no a priori —por su gran belleza y elegancia o a causa de la existencia de Dios— sino porque disponemos de esta prueba. Jan van de Lune, uno de los componentes del equipo de te Riele, está hoy jubilado, pero los matemáticos no se curan nunca del todo del virus de las matemáticas, ni siquiera cuando han abandonado sus despachos: utilizando el mismo programa que el equipo empleaba quince años antes y tres ordenadores personales que tiene en su casa, van de Lune ha conseguido verificar que los primeros 6.300

millones de ceros obedecen todos a la hipótesis de Riemann. Por más años que sus tres ordenadores puedan continuar calculando las posiciones de los ceros, no existe ninguna posibilidad de que obtengan una demostración de la hipótesis de Riemann; pero si existe un cero que caiga fuera de la recta, entonces existe la posibilidad de que el ordenador tenga un papel en su determinación, es decir, que el ordenador sirva para desenmascarar la naturaleza puramente ilusoria de la hipótesis de Riemann. Y ahí es donde el ordenador se encuentra en su elemento: como demoledor de conjeturas. En los años

ochenta, el cálculo de las posiciones de los ceros se utilizó para demoler un pariente cercano de la hipótesis de Riemann: la conjetura de Mertens. Pero aquellos cálculos no se realizaron en la tranquilidad de un departamento de matemáticas; el interés se trasladó a los cálculos de las posiciones de los ceros por parte de una fuente más bien inesperada: la compañía telefónica AT&T.

ODLYZKO, EL MAESTRO DE CALCULO DE NUEVA JERSEY

En el corazón de Nueva Jersey, cerca de la somnolienta ciudad de Florham Park, prospera una inverosímil central de talento matemático bajo la égida comercial de los laboratorios de investigación de la AT&T. Una vez dentro del edificio podríamos tener la sensación errónea de encontrarnos en el departamento de matemáticas de una universidad. En cambio, estamos en la sede de una gran empresa de telecomunicaciones. Los orígenes de este centro de investigación se remontan a los años 1920, cuando la AT&T creó Bell Laboratories. Durante la guerra, Turing estuvo en Bell Laboratories de Nueva York por un breve período:

participó en el proyecto de un sistema de codificación global capaz de garantizar comunicaciones telefónicas seguras entre Washington y Londres. Turing declaró que el período transcurrido en Bell Laboratories fue más excitante que los días en Princeton, aunque en esta afirmación podría tener un cierto peso la vida nocturna del Village en Manhattan. Erdös visitaba a menudo la sede central de Nueva Jersey durante sus vagabundeos matemáticos. Con la explosión tecnológica que marcó la industria de las telecomunicaciones en los años sesenta, estaba claro que para mantener una ventaja competitiva la AT&T necesitaba

asegurarse una competencia matemática cada vez mayor. Tras la rápida expansión de las universidades en aquel decenio, los setenta fueron años magros para los matemáticos que buscaban trabajo en el mundo académico; al expandir sus propios centros de investigación, la AT&T consiguió atraer una parte de aquel exceso de cerebros. Aunque la cúpula empresarial esperaba que finalmente la investigación se tradujera en innovación tecnológica, les parecía bien que sus científicos se dedicaran a sus propias pasiones matemáticas. Aunque parezca altruista, en realidad se trataba de negocios bien entendidos: a causa del monopolio

comercial de que gozaba la empresa en los años setenta, el gobierno había impuesto algunas restricciones sobre las posibles maneras de gastar los beneficios. Invertir en los laboratorios de investigación se consideraba por ello un método apropiado para absorber una parte de las ganancias. Fueran las que fueran las razones de tal elección, las matemáticas debe estar muy agradecida a la AT&T: algunos de los progresos teóricos más interesantes de los últimos tiempos nacen de ideas que salieron de sus laboratorios, que son una fascinante combinación del ambiente académico con el mundo práctico de los negocios. Cuando los he visitado para

hablar con los matemáticos que están trabajando en ellos, he tenido la oportunidad de ver con mis propios ojos el significado de esa combinación: enfrentados al trabajo de optimizar las ofertas de la AT&T en un concurso para la asignación de la banda de frecuencias de los teléfonos móviles, algunos matemáticos presentaron durante un almuerzo de trabajo un modelo teórico para proporcionar a la empresa la mejor estrategia de negociación en el complejo proceso de licitación. Para estos matemáticos daba lo mismo que se tratara de una estrategia para el ajedrez que de un asunto de millones de dólares. Pero ambas cosas no eran

incompatibles. Hasta el año 2001, Andrew Odlyzko estuvo al mando del laboratorio. Originario de Polonia, Odlyzko conserva un acento de Europa Oriental fuerte y agradable al mismo tiempo. El período en que trabajó en el sector comercial lo convirtió en un óptimo comunicador de las ideas matemáticas difíciles; su actitud es siempre amistosa, de manera que nunca excluye, sino que anima a unirse a él en su viaje matemático. De todas formas, es extremadamente preciso y nunca abandona su propio papel de matemático consumado: cada paso debe realizarse sin dejar espacio a la ambigüedad. El

interés de Odlyzko por la función zeta nació durante su doctorado en el MIT, bajo la supervisión de Harold Stark. Uno de los problemas de los que tuvo que ocuparse requería un conocimiento lo más preciso posible de los primeros ceros del paisaje zeta. Los cálculos de alta precisión son precisamente el tipo de cosas que un ordenador hace mucho mejor que un ser humano. Poco después de ingresar en los Bell Laboratories de la AT&T, Odlyzko tuvo su gran ocasión: en 1978 los laboratorios adquirieron su primer supercomputador, un Cray 1. Era el primer Cray que compraba una empresa privada en lugar de un gobierno o una

universidad. Dado que la AT&T era una organización comercial, en la que la contabilidad y los balances lo controlaban casi todo, cada sección tenía que pagar las horas de utilización del ordenador central. De todas formas, como hacía falta cierto tiempo para que la gente aprendiera a programarlo, en la primera época el Cray se utilizaba muy poco. Por tanto, la sección informática de la empresa decidió destinar gratuitamente períodos de cinco horas de trabajo con el Cray a proyectos científicos que no disponían de financiación. La oportunidad de explotar la potencia del Cray era una tentación

demasiado fuerte para que Odlyzko pudiera resistirse. Se puso rápidamente en contacto con los equipos de matemáticos de Amsterdam y de Australia que habían demostrado que los primeros trescientos millones de ceros se situaban sobre la recta de Riemann: ¿Alguno de ellos había determinado la posición precisa de aquellos ceros a lo largo de la recta mágica? No lo había hecho nadie. Ambos equipos se habían concentrado en demostrar que la coordenada este-oeste de cada cero era igual a 1/2, tal y como Riemann había previsto. No se habían preocupado de la ubicación exacta de los ceros a lo largo de la dirección norte-sur.

Odlyzko solicitó utilizar el tiempo del Cray con la finalidad de determinar la ubicación exacta de los primeros millones de ceros. La AT&T aceptó su petición, y desde hace decenios Odlyzko utiliza todo el tiempo máquina que la empresa puede concederle para calcular las posiciones de un número de ceros cada vez mayor. Tales cálculos no son un ejercicio de computación como un fin en sí mismos: Stark, el supervisor de Odlyzko en el MIT, había aplicado los conocimientos adquiridos sobre la posición de los primerísimos ceros en el paisaje zeta para demostrar una de las conjeturas de Gauss sobre la manera de factorizar ciertos conjuntos de números

imaginarios; Odlyzko, por su parte, utilizó la determinación precisa de las posiciones de los primeros dos mil ceros para demostrar la falta de fundamento de una hipótesis que circulaba en los ambientes matemáticos de principios del siglo XX: la conjetura de Mertens. Herman te Riele se unió a Odlyzko en la demolición de la conjetura de Mertens: era el matemático de Amsterdam que había contribuido a hacer perder a Zagier la apuesta al demostrar que los primeros trescientos millones de ceros estaban sobre la recta de Riemann. La conjetura de Mertens está estrechamente ligada a la hipótesis

de Riemann, y la demostración de su falsedad hizo comprender a los matemáticos que si la hipótesis de Riemann fuera verdadera, sería apenas verdadera. La mejor manera de comprender la conjetura de Mertens es pensarla como una variante del lanzamiento de la moneda de los números primos. El resultado del enésimo lanzamiento de la moneda de Mertens es «cara» si N se compone por el producto de un par de números primos. Por ejemplo, cuando N = 15 el resultado del lanzamiento es «cara», ya que 15 es el producto de dos números primos (3 y 5). En cambio, si N se compone del producto de un número

impar de números primos, por ejemplo N = 105 = 3 × 5 × 7, entonces el resultado del lanzamiento es «cruz». Pero existe una tercera posibilidad: si para construir N se usa un número primo dos veces, entonces el lanzamiento es nulo: 12, por ejemplo, es producto de dos 2 y un 3 (12 = 2 × 2 × 3) y por esta razón su resultado es cero. Podemos pensar un resultado nulo como el equivalente al lanzamiento en el que la moneda se pierde de vista o bien cae de costado. Mertens hizo una conjetura sobre el comportamiento de esta moneda al crecer los valores de N: se trata de una conjetura muy similar a la hipótesis de Riemann, que afirma que la moneda

de los números primos es una moneda perfecta. La conjetura de Mertens, en cambio, era un poco más fuerte en cuanto a la predicción que Riemann había hecho sobre los números primos: predecía que el error sería ligeramente inferior al que debería de esperarse de una moneda perfecta. Si la conjetura hubiera sido cierta, entonces también lo sería la hipótesis de Riemann, pero no al revés. En 1897, para sostener su conjetura, Mertens había publicado tablas de cálculo que comprendían todos los valores de N comprendidos entre 1 y 10.000. En los años setenta los cálculos habían llevado los valores de N que se

habían verificado experimentalmente hasta los mil millones. Pero en la teoría de los números, tal y como Littlewood había mostrado, miles de millones de indicios experimentales no valen prácticamente nada. Mientras tanto, crecía el escepticismo sobre la posibilidad de que la conjetura de Mertens fuera cierta. Sin embargo, fueron necesarios los cálculos de Odlyzko y de te Riele sobre la ubicación exacta de los primeros dos mil ceros de la función zeta, cálculos precisos hasta la centésima cifra decimal, para demostrar finalmente que la conjetura de Mertens era falsa. Como aviso para los que se dejan impresionar por los

indicios numéricos experimentales, Odlyzko y te Riele estimaron que incluso si Mertens hubiera analizado los lanzamientos de una moneda hasta un valor de N como 1030 su conjetura habría seguido pareciendo verdadera. Los ordenadores que utilizó Odlyzko en la AT&T continúan ayudando a los matemáticos en sus intentos de desenterrar los misterios de los números primos, pero no se trata de un tráfico de sentido único: hoy, los números primos están aportando su contribución a la expansión irrefrenable de la era informática. En los años setenta, los números primos se convirtieron de pronto en la clave, en sentido literal, que

permitía garantizar la privacidad de las comunicaciones electrónicas. Hardy siempre había estado muy orgulloso de la inutilidad total de las matemáticas, y de la teoría de los números en particular, en el mundo real: Las «verdaderas» matemáticas de los «verdaderos» matemáticos, las de Fermat, de Euler, de Gauss, de Abel y de Riemann, son casi totalmente «inútiles» (y esto vale tanto para las matemáticas «aplicadas» como para las matemáticas «puras»). No puede justificarse la vida de ningún matemático

profesional verdadero sobre la base de la «utilidad» de su trabajo. Hardy no pudo equivocarse más: las matemáticas de Fermat, de Gauss y de Riemann estaban destinada a convertirse en un instrumento fundamental para el mundo del comercio. Por esta razón, en los años ochenta y noventa la AT&T reclutó un número de matemáticos aún mayor. Hoy, la seguridad de la aldea electrónica depende enteramente de nuestra comprensión de los números primos.

10 DESCIFRAR NÚMEROS Y CÓDIGOS

Si Gauss estuviera vivo, hoy sería un hacker. P ETER SARNAK catedrático de la Universidad de Princeton

En 1903, Frank Nelson Cole, profesor de matemáticas en la Universidad de Columbia, de Nueva York, pronunció una curiosa conferencia con ocasión de una reunión de la American

Mathematical Society. Sin mediar palabra, Cole escribió uno de los números de Mersenne en una pizarra. En la pizarra adjunta escribió dos números más pequeños y los multiplicó. En medio escribió un signo de igualdad. A continuación tomó asiento. 267 − 1 = 193.707.721 × 761.838.257.287 El público se levantó para aplaudirlo, en una explosión de entusiasmo que se da muy rara vez en un local lleno de matemáticos. Y sin embargo multiplicar dos números no era tan difícil, ni siquiera para los

matemáticos de principios de siglo, ¿verdad? En realidad, Cole había efectuado la operación opuesta: desde 1876 se sabía que 267 − 1, un número de Mersenne de veintiocho cifras, no era un número primo, sino el producto de dos números más pequeños. Nadie sabía aún cuáles. Cole necesitó tres años de tardes dominicales para descomponer aquel número en los dos números primos que lo forman. No sólo el público de Cole apreció su trabajo en aquel lejano 1903. En el 2000, un esotérico espectáculo offBroadway titulado El teorema de las cinco muchachas histéricas rindió homenaje a aquel cálculo haciendo que

una de las muchachas resolviera el problema de la factorización del número de Cole. Los números primos son un tema recurrente en esta comedia teatral que narra el viaje al mar de una familia matemática: el padre lamenta la inminente mayoría de edad de la hija pero no porque será lo bastante mayor para irse con su enamorado sino porque 17 es un número primo, mientras que 18 ¡es divisible entre otros cuatro números! Hace más de dos mil años que los matemáticos griegos demostraron que todo número entero puede escribirse como producto de números primos; desde entonces, los matemáticos siguen sin encontrar un método rápido y

eficiente para determinar los números primos con los que se construyen los demás números. Lo que nos falta es un equivalente matemático de la espectroscopia, que permite a los químicos establecer qué elementos de la tabla periódica forman parte de una sustancia compuesta. El descubrimiento de algo análogo en matemáticas, capaz de descomponer un número entero en los números primos que lo constituyen, daría a su creador algo más que el simple aplauso académico. En 1903 el cálculo de Cole se acogió como una interesante curiosidad matemática: la larga ovación que recibió era un reconocimiento por el

extraordinario esfuerzo consumido en aquel cálculo, pero con toda seguridad, nadie pensaba que la solución de aquel problema tuviera importancia intrínseca. Actualmente, la factorización de los números —su descomposición en los números primos que los forman— ha dejado de ser un pasatiempo para tardes de domingo y se ha situado en el centro de las modernas técnicas de descifrado de códigos: los matemáticos han ideado una forma de ligar el difícil problema de la factorización con los códigos que protegen las finanzas de todo el mundo en Internet. En el caso de números de cien cifras, el trabajo aparentemente inocente de determinar los factores

primos es lo suficientemente arduo como para persuadir a la banca y al comercio electrónico de que confíen la seguridad de sus propias transacciones financieras a los tiempos increíblemente largos que, hasta el momento, ello requiere. Mientras tanto, estos nuevos códigos matemáticos se han usado para resolver un problema que obsesionaba al mundo de la criptografía.

EL NACIMIENTO DE LA CRIPTOGRAFÍA EN INTERNET

Desde

que

fuimos

capaces

de

comunicarnos, hemos tenido necesidad de enviar mensajes secretos. Para impedir que informaciones importantes cayeran en manos equivocadas, nuestros antepasados idearon sistemas cada vez más complejos con los que enmascarar el contenido de un mensaje. Uno de los métodos más antiguos que se usó para esconder mensajes fue ideado por el ejército de Esparta hace más de dos mil quinientos años: el remitente y el destinatario de los mensajes poseían cada uno de ellos una scitala, un delgado cilindro de madera de dimensiones perfectamente idénticas. Para cifrar un mensaje, el remitente empezaba por enrollar en espiral una

delgada tira de pergamino alrededor de l a scitala. A continuación escribía el mensaje sobre el pergamino, a lo largo del cilindro. Una vez desenrollado el pergamino, el texto del mensaje aparecía sin sentido. Volvía a adquirir su forma auténtica sólo cuando el pergamino se enrollaba alrededor de la scitala gemela que poseía el destinatario. Desde entonces, las generaciones sucesivas han inventado métodos criptográficos cada vez más sofisticados. El último y más refinado ingenio mecánico para el cifrado de mensajes fue Enigma, la máquina que usaron las fuerzas armadas alemanas durante la Segunda Guerra Mundial.

Antes de 1977, quien quisiera enviar un mensaje secreto se encontraba con un problema substancial: antes de transmitir el mensaje, remitente y destinatario tenían que encontrarse para decidir qué cifra —qué sistema de codificación— adoptarían. Los generales espartanos, por ejemplo, necesitaban ponerse de acuerdo sobre las dimensiones de la scitala. Incluso con la producción en serie de la máquina Enigma, Berlín tenía que mandar agentes que hicieran llegar a los capitanes de los submarinos y de las divisiones mecanizadas los libros con la descripción detallada de la puesta a punto de las máquinas para codificar los

mensajes diarios. Naturalmente, si el enemigo hubiera conseguido esos libros, todo habría terminado. Podemos imaginar las dificultades logísticas que surgirían si tuviéramos que usar un sistema de criptografía de este estilo para comprar por Internet. Antes de que pudiéramos mandar nuestras informaciones bancarias con seguridad, las empresas que gestionan los sitios de Internet en los que pretendemos comprar nos tendrían que enviar una carta protegida para explicarnos cómo codificar la información. Dado el enorme tráfico de Internet, habría altísimas probabilidades de que muchas de aquellas cartas

terminaran por ser interceptadas. Se hacía imprescindible, en los inicios de la era de las comunicaciones rápidas, desarrollar un sistema criptográfico adaptado a las nuevas necesidades. Y de la misma manera que, durante la guerra, eran los matemáticos de Bletchley Park quienes descifraron Enigma, serían los matemáticos quienes crearían una nueva generación de códigos que ha hecho salir la criptografía de las novelas de espionaje para introducirla en la aldea global. Estos códigos matemáticos han favorecido el nacimiento de la que hoy se conoce con el nombre de criptografía de clave pública. Podemos pensar en la codificación y

decodificación de un mensaje como la apertura y el cierre de una puerta con una llave. En el caso de una puerta convencional, se usa la misma llave para cerrarla y para abrirla. Análogamente, en el caso de la máquina Enigma la configuración utilizada para cifrar un mensaje es idéntica a la configuración usada para descifrarlo: la configuración —llamémosla la clave— debe mantenerse en secreto; cuanto más lejos está el destinatario del remitente, más difícil resulta desde el punto de vista logístico hacer entrega de la clave utilizada para cifrar y descifrar el mensaje. Supongamos que el jefe de una organización de espionaje desea recibir

informes reservados de un cierto número de agentes activos, pero no desea que ellos lean los informes que envían sus colegas: en este caso no tendría más remedio que enviar una clave distinta a cada agente. Ahora cambiemos «algunos agentes secretos» por millones de personas ansiosas de comprar productos por Internet. Una operación de estas dimensiones, aun no siendo imposible desde el punto de vista teórico, es una pesadilla logística: para empezar, un comprador potencial que visitara el sitio web no podría cursar una orden inmediatamente, sino que tendría que esperar a recibir una clave segura de codificación. La World Wide Web , la

red informática mundial, se transformaría en un World Wide Wait: la espera informática mundial. El sistema de la criptografía de clave pública es como una puerta con dos llaves distintas: la llave A cierra la puerta pero es otra llave distinta, la B, la que la abre. Inmediatamente desaparece la necesidad de mantener en secreto la llave A: la posesión de esta llave no compromete la seguridad. Imaginemos ahora que esta puerta se encuentra en la entrada del área protegida de la página de Internet de una empresa: la empresa puede distribuir libremente la clave A a cualquier visitante que desee mandar un mensaje

seguro, como por ejemplo el número de su tarjeta de crédito; aunque todos estén usando la misma clave para codificar sus propios mensajes —es decir, para cerrar la puerta y asegurar su información secreta— nadie podrá leer el mensaje codificado por los demás. De hecho, cuando los datos han sido codificados, sus autores no pueden leerlos, ni siquiera si aquellos son sus propios datos: sólo la empresa que gestiona el sitio dispone de la clave B, que le permite abrir la puerta y leer los números de la tarjeta de crédito. La criptografía de clave pública se propuso por vez primera en 1976, en un importante artículo científico escrito por

dos matemáticos de la Universidad de Stanford, en California: Whit Diffie y Martin Hellman. La pareja hizo nacer un movimiento alternativo en el mundo de la criptografía, un movimiento que retaría al monopolio de las agencias gubernamentales sobre la seguridad de los datos. Diffie, en particular, era el arquetipo antisistema del joven melenudo de los años sesenta. Tanto él como Hellman estaban profundamente convencidos de que la criptografía no tenía que ser propiedad exclusiva del gobierno y que sus ideas tenían que ser públicas, para beneficio de las personas. Bastante tiempo después se filtró la noticia de que otro sistema

criptográfico análogo había sido propuesto por algunas agencias gubernamentales, pero en lugar de publicarse en una revista científica la propuesta se había escondido en alguna parte con el sello de Top Secret. El artículo del grupo de Stanford, t i t u l a d o New Directions in Cryptography, anunciaba una nueva era en el campo de la criptografía y de la seguridad electrónica. El cifrado en clave pública, con su doble clave, parecía una gran innovación, al menos en teoría; pero ¿era posible llevar a la práctica aquella teoría y crear un código que funcionara según aquellos principios? Tras algunos años de

intentos infructuosos, algunos criptógrafos empezaban a dudar de la posibilidad de construir una clave de ese tipo: temían que en el mundo real del espionaje aquella clave académica no podría funcionar.

RSA, EL TRÍO DEL MIT

Ron Rivest, del Massachusetts Institute of Technology, fue uno de los muchos que se inspiraron en el artículo de Diffie y Hellman. Rivest, en contraste con el estilo rebelde de Diffie y de Hellman, es un hombre que respeta las convenciones: es una persona reservada,

habla en voz baja y reacciona con prudencia ante el mundo que lo rodea. En la época en que leyó New Directions in Cryptography, ambicionaba entrar a formar parte del establishment académico. Sus sueños estaban poblados de cátedras universitarias y de teoremas, pero no de espías y de códigos secretos: no imaginaba ni remotamente que la lectura de aquel artículo sería el principio de un viaje que lo llevaría a idear uno de los sistemas criptográficos más potentes y de mayor éxito comercial jamás creados. Rivest ingresó en el Departamento de Informática del MIT en 1974, después

de haber trabajado como investigador en la Universidad de Stanford y en París. Como Turing, se interesaba por la interacción entre teoría abstracta y máquinas reales; en Stanford había dedicado algún tiempo a construir robots inteligentes, pero ahora dirigía su atención hacia los aspectos más teóricos de las ciencias informáticas. En tiempos de Turing, la cuestión más importante en el ámbito del cálculo matemático, inspirada por el segundo y el décimo problema de Hilbert, era la existencia teórica de programas capaces de resolver ciertos tipos de problemas. Como Turing había mostrado, ningún programa sería capaz de establecer

cuáles de las verdades matemáticas son demostrables. En los años setenta, otra cuestión teórica hacía furor en los departamentos universitarios de ciencias informáticas. Supongamos que existiera efectivamente un programa capaz de resolver un problema específico. Se puede analizar cuánto tiempo empleará el programa en resolver el problema. Obviamente, la cuestión adquiere una gran importancia si el programa está destinado a funcionar en un ordenador de verdad. La cuestión requería un análisis muy teórico, pero profundamente ligado con el mundo real. Y precisamente esta combinación de teoría y práctica suponía un reto

perfecto para Rivest: dejó sus robots en Stanford y se trasladó al MIT para dedicarse a una disciplina en rápido crecimiento: la complejidad computacional. «Un día, un estudiante de doctorado me hizo llegar un artículo diciéndome: “Quizá pueda interesarle”», recuerda Rivest. Se trataba del artículo de Diffie y Hellman, y Rivest quedó inmediatamente fascinado por él. «Presentaba una visión general de lo que es la criptografía y de lo que podría ser. Nos permitía hacernos una idea». El reto que el artículo planteaba reunía todos los intereses de Rivest: informática, lógica y matemáticas. Era un problema

con implicaciones prácticas evidentes para el mundo real, pero que al mismo tiempo se relacionaba directamente con las cuestiones teóricas que tanto preocupaban a Rivest: «Lo que importa en criptografía es distinguir entre los problemas fáciles y los problemas difíciles», explica Rivest. «Y la Informática se ocupaba precisamente de eso». Si se quería un código difícil de descifrar, debía de construirse en base a un problema cuya solución fuera difícil de calcular. Para empezar sus intentos de construir un sistema de criptografía de clave pública, Rivest propuso apropiarse de la riqueza de gran

cantidad de problemas que, como él bien sabía, habrían requerido mucho tiempo para ser resueltos por los ordenadores. También necesitaba alguien con quien discutir sus ideas. En aquellos años, el MIT empezaba ya a romper los esquemas de una universidad tradicional, difuminando las fronteras entre departamentos con la esperanza de alentar las relaciones interdisciplinarias. Rivest, que era un científico informático, contaba en su misma planta con miembros del departamento de matemáticas; y los despachos vecinos del suyo también estaban ocupados por dos matemáticos: Leonard Adleman y Adi Shamir.

Adleman era más sociable que Rivest, pero era un típico académico con ideas locas y maravillosas sobre cosas que parecían no tener nada que ver con la realidad. Adleman recuerda la mañana en que entró en el despacho de Rivest: «Ron estaba sentado con aquel manuscrito: “¿Has visto esa historia de Stanford sobre criptogramas, códigos secretos, sistemas de codificación… bla, bla, bla…?”. Mi reacción fue: “Bueno, parece muy bonito Ron, pero yo vengo a hablar de cosas serias. No me importa en absoluto”. Pero Ron estaba muy interesado». Lo que le importaba a Adleman se interesaba por el mundo abstracto de

Gauss y de Euler: era descifrar el último teorema de Fermat, no dedicarse a un tema de moda como la criptografía. Rivest halló oídos más receptivos en otro despacho del mismo pasillo, el que ocupaba Adi Shamir, un matemático israelí de visita en el MIT. Juntos, Shamir y Rivest se pusieron a buscar una idea que pudiera usarse para traducir en algo real el sueño de Diffie y Hellman. Aunque Adleman no tenía mucho interés por la cuestión, resultaba difícil ignorar la obsesión de Rivest y Shamir por aquel problema: «Cada vez que iba a sus despachos, estaban hablando de ello. La mayoría de los sistemas que ideaban eran muy sencillos

y, ya que estaba allí, intervenía en sus discusiones para ver si lo que proponían aquel día tenía sentido». Mientras exploraban el abanico de problemas matemáticos «duros», empezaron a utilizar para sus sistemas criptográficos en estado embrionario un número cada vez mayor de ideas extraídas de la teoría de los números; esto sí entraba en la esfera de interés de Adleman: «Como se trataba de mi área de competencia, podía resultar más útil en el análisis de sus sistemas, y eliminarlos casi todos». Pensó que por fin había hallado la horma de su zapato cuando Rivest y Shamir propusieron un sistema que parecía muy seguro, pero

tras una noche de trabajo en la que repasó toda la teoría de los números que conocía, consiguió hallar un modo de descifrar también aquel último código. «La cosa duró mucho. Si iban a esquiar, hablaban del tema… Incluso en el telecabina que nos llevaba a las pistas no dejaban de hablar de ello…». El salto adelante tuvo lugar una noche, cuando los tres estaban invitados a cenar en casa de un graduado que celebraba la primera noche de la Pascua judía. Adleman era abstemio, pero recuerda que Rivest bebió de golpe el [6]

vino del Seder. Adleman volvió a casa a medianoche, y poco más tarde sonó el teléfono: era Rivest. «He tenido otra

idea…». Adleman escuchó con atención. «Ron, creo que esta vez lo tenemos. Me parece que esta es la idea buena». Durante algún tiempo habían considerado el difícil problema de la factorización de los números: no existían proyectos interesantes de programas capaces de descomponer los números enteros en los números primos que los forman. Aquel problema tenía el sabor preciso. Bajo el efecto del vino ritual del Seder, Rivest había comprendido la forma de traducirlo a su código. Recuerda: «A primera vista daba muy buena impresión, pero sabíamos por experiencia que las cosas que al principio parecen convincentes

pueden quedarse en nada; por ello lo aparqué hasta la mañana siguiente». Cuando Adleman llegó al departamento del MIT hacia media mañana del día siguiente, Rivest lo saludó mostrándole el esbozo escrito a mano de un artículo que tenía los nombres de Adleman, Rivest y Shamir en el encabezado. Mientras lo leía, Adleman se dio cuenta de que contenía lo que Rivest le había comentado por teléfono la noche anterior. «Le dije a Ron: “Quita mi nombre. Esto es cosa tuya”. Y empezamos a pelearnos sobre la oportunidad de que mi nombre apareciera o no en el artículo». Adleman aceptó reflexionar sobre ello. Entonces

no creía que se tratara de una cuestión importante, ya que se suponía que el artículo sería el menos leído de todas sus publicaciones. Pero más tarde se acordó del sistema de criptografía que lo había tenido despierto toda una noche. En aquella ocasión había evitado que Rivest y Shamir hicieran un papelón publicando precipitadamente un código poco seguro. «Por esto volví a hablar con Ron: “Ponme el tercero de la lista”. Así nacieron las siglas RSA». Rivest decidió que lo mejor que podían hacer era estudiar hasta qué punto era difícil el problema de la factorización de los números: «El problema de la factorización era una

forma de arte oscura en aquellos tiempos. La literatura de referencia era escasa. Era difícil obtener buenas estimaciones del tiempo que emplearían los algoritmos existentes». Una persona que sabía del tema más que casi cualquier otro era Martin Gardner, uno de los más grandes divulgadores de matemáticas del mundo. Gardner sintió curiosidad por el método que Rivest proponía y le pidió permiso para publicar un artículo dedicado a aquella idea en su sección fija del Scientific American. La reacción al artículo de Gardner convenció finalmente a Adleman de que habían descubierto algo gordo:

Aquel verano entré en una librería de Berkeley. Un cliente y el hombre que había tras el mostrador estaban discutiendo algo, y el cliente le dijo: «¿Ha visto aquel artículo sobre criptografía del Scientific American?». Intervine: «¡Eh!, yo participo en aquello». Y el tipo se vuelve hacia mí y me dice: «¿me firma un autógrafo?». ¿Cuántas veces nos piden un autógrafo? Cero. Ea, de qué se trata… ¡Me parece que aquí está pasando algo serio! Gardner había escrito en su artículo que los tres matemáticos estaban

dispuestos a mandar una versión preliminar a todos los que les hicieran llegar un sobre franqueado. «Cuando vuelvo al MIT encuentro miles, literalmente miles, de sobres de éstos procedentes de todo el mundo, incluido uno del servicio de seguridad búlgaro, y bla bla bla». La gente empezó a decirles que se harían ricos. Incluso en los años setenta, cuando el comercio electrónico era pura fantasía, la gente se dio cuenta de la potencialidad de aquellas ideas. Adleman pensaba que el dinero empezaría a fluir al cabo de pocos meses, y corrió a comprar un deportivo rojo para celebrarlo: Bombieri no era el

único matemático que deseaba un deportivo como premio por sus éxitos. Finalmente Adleman terminó por tener que pagar su coche a plazos, visto el sueldo que cobraba en el MIT. Hizo falta un poco más de tiempo para que los servicios de seguridad y el mundo de los negocios fueran completamente conscientes de la fiabilidad y de la potencia del cifrado RSA. Mientras Adleman se iba de paseo con su coche pensando aún en Fermat, Rivest ya empezaba a sintonizar con las implicaciones de su propuesta para el mundo real: Pensábamos que el proyecto

podía tener implicaciones económicas. Por ello pasamos por el despacho de patentes del MIT y luego buscamos alguna empresa que pudiera interesarse en comercializar el producto. Pero en los primeros años ochenta aún no existía un mercado. El interés era escaso en aquella fase. El mundo todavía no estaba ligado por una gran red. La gente no tenía un ordenador sobre la mesa de trabajo. Los que sí se interesaron fueron, obviamente, los servicios de seguridad gubernamentales: «Los servicios de

seguridad empezaban a estar muy preocupados por el desarrollo de toda aquella tecnología», explica Rivest. «Hacían lo que podían para comprender si el sistema que proponíamos iba demasiado rápido». Parece que la misma idea ya se había sugerido secretamente en los ambientes de los servicios de inteligencia. Pero los servicios de seguridad tenían muchas dudas sobre la pertinencia de poner la vida de sus agentes en manos de algunos matemáticos convencidos de la dificultad de descomponer números. Ansgar Heuser, de los servicios de seguridad alemanes, el BSI, recuerda que en los años ochenta ellos mismos

consideraron la posibilidad de usar en la práctica el sistema RSA. Preguntaron a los matemáticos si Occidente era mejor que los rusos en teoría de los números. Cuando recibieron un claro «no» por respuesta, desecharon la idea. Sin embargo, en el decenio siguiente el RSA demostró su propio valor no sólo con relación a la protección de la vida de los espías, sino también en el mundo público de los negocios.

UN TRUCO DE NAIPES CRIPTOGRAFICO

Hoy, el cifrado RSA salvaguarda

gran parte de las transacciones que se realizan por Internet. Lo extraordinario es que las matemáticas que hacen posible este sistema de criptografía de clave pública se remonta a las calculadoras de reloj de Gauss y a un teorema que demostró Pierre de Fermat, uno de los héroes de Adleman: el teorema menor de Fermat. La suma en calculadoras de reloj de Gauss es una operación que a todos nos es familiar. La hacemos cuando calculamos el tiempo con un reloj normal de doce horas en su esfera. Sabemos que cuatro horas después de las nueve será la una. Este es el principio de la adición sobre la

calculadora de reloj: sumamos los números y obtenemos el resto de dividir por doce el resultado. Para expresar este hecho, utilizamos exactamente la misma notación que Gauss introdujo hace cerca de doscientos años: 4 + 9 = 1 (módulo 12) La multiplicación o la operación de elevar a la potencia de un número con una calculadora de reloj de Gauss funcionan de manera similar: se calcula el resultado con una calculadora convencional, se divide entre doce y se toma el resto de la división. Gauss había comprendido que no era

necesario limitarse a los relojes con esferas de doce horas. Incluso antes de que Gauss formulara explícitamente su concepto de la aritmética del reloj, Fermat había hecho un descubrimiento fundamental, que recibió el nombre de teorema menor, en el que se consideraba una calculadora de reloj con un número primo de horas, llamado p. Si tomamos un número en esta calculadora y lo elevamos a la potencia p, obtenemos siempre el número del que habíamos partido. Por ejemplo, si en una calculadora de reloj de cinco horas multiplicamos 2 por sí mismo 5 veces, obtenemos 32, al que corresponde de nuevo 2 en el reloj de 5 horas. Cada vez

que Fermat multiplicaba el resultado anterior por 2, la manecilla del reloj parecía trazar un recorrido iterativo. Después de cinco pasos, la manecilla volvía al punto de partida, dispuesta a repetir la secuencia. Potencias de 2

21 22 23 24 25 26

Con calculadora convencional

2

4

8 16 32 64 128 256

Con calculadora de reloj de 5 horas

2

4

3

1

2

4

27

3

28

1

Si tomamos un reloj con esfera de trece horas y repetimos el procedimiento con las potencias de 3, desde 31, 32,…

hasta 313, obtenemos 3, 9, 1, 3, 9, 1, 3, 9, 1, 3, 9, 1, 3 Esta vez la manecilla no se detiene en todas las horas de la esfera del reloj, pero así y todo se da una pauta iterativa que la lleva nuevamente sobre el 3 tras multiplicar 3 por sí mismo 13 veces. Parecía que, con independencia del valor elegido por Fermat para el número primo p, tuviera lugar la misma magia: Fermat había descubierto que, con la notación que Gauss utilizaba para la aritmética del reloj (o aritmética modular), para cualquier número primo p y para cualquier valor x sobre el reloj

con esfera de p horas resultaba xp = x (módulo p) El descubrimiento de Fermat es el tipo de cosas que hace latir con fuerza el corazón de los matemáticos. ¿Qué se esconde en los números primos para producir este tipo de magia? No contento con las observaciones experimentales, Fermat quería encontrar una demostración del hecho de que cualquiera que fuera el número primo de horas elegido para su reloj, los números primos nunca lo decepcionarían. En lugar de utilizar los márgenes de un libro, esta vez Fermat declaró que

había encontrado una demostración en una carta escrita en 1640 a un amigo, Bernard Frenicle de Bessy. Pero, como en el caso del último teorema, la demostración era demasiado larga para escribirla extensamente en el espacio disponible: aunque prometió que la enviaría a Bessy, Fermat nunca reveló al mundo la demostración. Hubo que esperar otro siglo para que la demostración fuera redescubierta. En 1736, Leonard Euler descubrió por qué en los relojes de números primos de Fermat la manecilla volvía siempre al punto de partida cuando la hora se multiplicaba por sí misma un número primo de veces. Euler también consiguió

extender el descubrimiento de Fermat a los relojes con N horas en la esfera donde es el producto de dos números primos p y q. Euler descubrió que en un reloj así la pauta empezaría a repetirse tras (p − 1) × (q − 1) + 1 pasos. El descubrimiento de Fermat acerca de la magia de los relojes de números primos y la generalización de Euler cruzaron como un relámpago por la mente de Rivest mientras estaba sentado, pensando, aquella noche tras la cena del Seder. Rivest comprendió que podía utilizar el teorema menor de Fermat como llave para construir un código matemático capaz de hacer desaparecer el número de una tarjeta de crédito para

después hacerlo reaparecer mágicamente. Cifrar un número de tarjeta de crédito recuerda el inicio de un truco de naipes; pero aquí no tenemos una baraja corriente: el número de cartas de la baraja de Rivest es tan increíblemente enorme que requiere más de cien cifras para ser escrito. El número de la tarjeta de crédito de un cliente es una de las cartas de esa baraja. El cliente coloca su tarjeta de crédito en la parte superior de la baraja. La página de Internet mezcla las cartas, de manera que la ubicación de la tarjeta del cliente parece haberse perdido completamente: un hacker tiene que afrontar la misión imposible de extraer

aquella carta en particular de la baraja mezclada. La página de Internet, sin embargo, conoce un truco ingenioso: gracias al teorema menor de Fermat, es capaz de hacer reaparecer la carta en la parte superior de la baraja tras barajar nuevamente. Esta segunda vez que se baraja es la clave secreta, que sólo es conocida por la empresa a la que pertenece el sitio. Las matemáticas que Rivest utilizó para idear este truco criptográfico es realmente simple: la mezcla de las cartas se hace mediante un cálculo matemático; cuando el cliente coloca una orden en el sitio, el ordenador toma su número de tarjeta de crédito y hace un

cálculo con él. Se trata de un cálculo muy fácil, pero casi imposible de deshacer si no se conoce la clave secreta. Ello se debe a que el cálculo no se hace con una calculadora convencional, sino con una de las calculadoras de reloj de Gauss. Cuando un cliente coloca una orden en el sitio de una empresa, la empresa le dice cuántas horas debe usar en la calculadora de reloj. Para elegir este número de horas, la empresa toma dos grandes números primos, p y q, cada uno compuesto de aproximadamente 6o cifras. Los multiplica para obtener un tercer número, por tanto, el número de horas del reloj resultará enorme, hasta

un máximo de 120 cifras. Cada cliente utilizará el mismo reloj para cifrar su propio número de tarjeta de crédito. Gracias a la seguridad de este código, la empresa puede utilizar el mismo reloj durante meses antes de tener que considerar la pertinencia de cambiar el número de horas de su esfera. La selección del número de horas de la esfera de la calculadora de reloj de la página de Internet es el primer paso en la elección de la clave pública. Aunque el número N se haga público, los dos números primos p y q que lo componen son secretos. Estos números son los dos ingredientes de la clave que se usa para decodificar el número cifrado de la

tarjeta de crédito. A continuación, cada cliente recibe un segundo número: se llama número de código y lo indicaremos por E. Este número es el mismo para todos y es público, igual que el número N de horas que tiene la esfera de la calculadora de reloj. Para cifrar su número de tarjeta de crédito C, el cliente lo eleva a la potencia E con la calculadora de reloj pública de la página de Internet. (Podemos imaginar que E es el número de cortes que un prestidigitador hace para esconder en la baraja la carta que hemos elegido). El resultado, en la notación de Gauss, es CE (módulo N). ¿Qué es lo que hace más seguro este

procedimiento? Al fin y al cabo, cualquier hacker puede ver el número cifrado de la tarjeta de crédito mientras viaja por el ciberespacio, y puede buscar la clave pública de la empresa, que consiste en la calculadora de N horas y la instrucción de elevar a E el número de tarjeta de crédito. Todo lo que el hacker tiene que hacer para descifrar este código es hallar un número que, multiplicado E veces por sí mismo con la calculadora de reloj de N horas, dé el número cifrado de la tarjeta de crédito. Pero esto es muy difícil. Una ulterior complicación resulta de la forma de calcular las potencias con una calculadora de reloj: en una calculadora

convencional, el resultado de la operación aumenta constantemente a cada nueva multiplicación del número de la tarjeta de crédito por sí mismo. No sucede lo mismo con las calculadoras de reloj. En éstas, el punto de partida se pierde de vista muy rápidamente, ya que las dimensiones del resultado no tienen ninguna relación con la posición de partida. Tras barajar E veces, el hacker se encuentra completamente perdido. ¿Y si el hacker intenta probar con cualquier posible hora en la calculadora de reloj? No hay nada que hacer: hoy los criptógrafos utilizan relojes en los que N, el número de horas, tiene más de cien cifras. En otras palabras, hay más horas

en la esfera de la calculadora que átomos en el universo. (En cambio, el número de código E es, en general, más bien pequeño). Pero, si el problema es imposible de resolver, ¿cómo hace la empresa para recuperar el número de tarjeta de crédito del cliente? Rivest sabía que el teorema menor de Fermat garantizaba la existencia de un número mágico de decodificación, D. Cuando la empresa que opera en Internet multiplica el número cifrado de la tarjeta de crédito por sí mismo D veces, reaparece el número original de la tarjeta de crédito. Los prestidigitadores utilizan la misma idea para recuperar la carta escondida en una baraja. Tras un

cierto número de cortes, se tiene la impresión de que el orden de las cartas sea completamente aleatorio, pero el prestidigitador sabe que algunos cortes más llevarán a la baraja a su estado original. Por ejemplo, en el caso del llamado corte perfecto —en el que se divide la baraja en dos partes iguales y a continuación se mezclan las dos mitades de forma que se alternen cada carta de una mitad con una carta de la otra mitad—, hacen falta ocho cortes para devolver a la baraja su configuración original. Naturalmente, la habilidad del prestidigitador consiste en efectuar ocho cortes perfectos seguidos. Fermat había descubierto un

procedimiento análogo para los relojes, es decir, equivalente al número de cortes perfectos que se necesitan para devolver la baraja de 52 naipes a la configuración inicial. Y Rivest adaptó el truco de Fermat para decodificar los mensajes cifrados con el sistema RSA. Aunque la baraja haya sido mezclada por la página de Internet un número de veces suficiente como para hacer imposible encontrar el número de nuestra tarjeta de crédito, la empresa que gestiona el sitio sabe que barajándola otras D veces hará reaparecer sobre la baraja nuestra tarjeta de crédito. Pero podremos hallar el valor de D sólo si conocemos los

números primos secretos p y q. Rivest utilizó la generalización del teorema menor de Fermat que Euler había descubierto, que funciona con calculadoras de reloj constituidas por dos números primos en lugar de uno solo. Euler había demostrado que, en uno de estos relojes, la pauta se repite tras cortes; por ello, la única manera de saber cuánto tendremos que esperar para que la secuencia vuelva a empezar en un reloj con horas en su esfera es conocer los valores de ambos números primos p y q. En todo caso, aunque los dos números primos p y q se mantengan en secreto, su producto es público; por

tanto, la seguridad de la cifra RSA de Rivest se basa en la dificultad de su factorización. Un hacker tendría que afrontar el mismo problema que ocupó al profesor Cole a principios del siglo pasado: hallar los dos números primos con los que se construye N.

SE ARROJA EL GUANTE DEL DESAFÍO RSA 129

Para convencer al mundo de los negocios de que el problema de la factorización tenía un respetable abolengo, el trío del MIT acostumbraba a citar lo que uno de los pesos pesados,

Gauss, decía al respecto: «La dignidad misma de la ciencia parece reclamar que se utilicen todos los medios posibles para hallar la solución a un problema tan elegante y celebrado». Pero, a pesar de su reconocimiento de la importancia del problema de la factorización, Gauss no consiguió avanzar ningún paso en el camino para solucionarlo. Y si Gauss lo había intentado sin éxito, no cabía ninguna duda sobre las garantías de poner en manos de la cifra RSA la seguridad de las empresas. A pesar de la «aprobación» de Gauss al sistema RSA, el problema de la factorización había sido relegado a los márgenes de las matemáticas hasta que

el trío del MIT lo tradujo a su cifra. Buena parte de los matemáticos mostraba muy poco interés por el trabajito práctico de descomponer los números enteros. Aunque se hubiera requerido un tiempo equivalente a la edad del universo para determinar los números primos que forman los grandes números, ¿qué importancia teórica podía tener este hecho? Sin embargo, con el descubrimiento de Rivest, Shamir y Adleman, el problema de la factorización adquirió una importancia muy superior a la que había tenido en tiempos de Cole. ¿Hasta qué punto es difícil descomponer un número en los primos

que lo forman? Cole no tenía acceso a los ordenadores electrónicos, y por ello necesitó muchos domingos por la tarde para descubrir que 193.707.721 y 761.838.257.287 son los dos números primos que, una vez multiplicados, dan el número de Mersenne 267 − 1. Pero nosotros, armados con nuestros ordenadores, ¿no podemos simplemente verificar un número primo tras otro hasta hallar uno que divida al número que pretendemos factorizar? El problema es que factorizar un número de más de cien cifras significa tener que verificar más números que la cantidad de partículas existentes en el universo observable.

Con tal cantidad de números para verificar, Rivest, Shamir y Adleman se sintieron lo bastante confiados como para lanzar un desafío: factorizar un número de 129 cifras que ellos mismos habían construido multiplicando dos números primos. El número, junto con un mensaje cifrado, se publicó en el artículo de Martin Gardner en Scientific American que llevó el código al centro de la atención mundial. Como aún no eran los millonarios en los que se convertirían más adelante, los tres ofrecieron sólo cien dólares como premio a quien descubriera los dos números primos usados para construir aquel número enorme, bautizado como

«RSA 129 ». En el artículo estimaban que serían necesarios cuarenta cuatrillones de años para descomponer RSA 129 . Poco después se dieron cuenta de que habían cometido un pequeño error aritmético en su estimación del tiempo necesario. Sin embargo, dadas las técnicas de factorización disponibles en aquella época, se necesitarían miles de años. La cifra RSA parecía la realización del sueño de los constructores de códigos secretos: un código absolutamente seguro. Con tantos números primos para verificar, la confianza en la inexpugnabilidad del sistema parecía justificada. Pero

también los alemanes habían creído que Enigma era invencible, ya que sus configuraciones posibles eran más numerosas que las estrellas del universo. Sin embargo, los matemáticos de Bletchley Park habían mostrado que no siempre se puede recurrir a la propia confianza en los grandes números. El guante del desafío de RSA 129 había sido arrojado. Siempre dispuestos a aceptar un desafío, matemáticos de todo el mundo se pusieron manos a la obra. En los años siguientes, estos matemáticos idearon sistemas cada vez más ingeniosos para determinar los dos números primos secretos de Rivest, Shamir y Adleman. En lugar de los

cuarenta cuatrillones de años que había estimado el trío del MIT, finalmente los números se determinaron en un tiempo irrisorio de diecisiete años. Este es un tiempo suficiente como para que caduque una tarjeta de crédito codificada utilizando RSA 129 ; sin embargo, plantea la cuestión de cuánto tiempo pasará antes de que aparezca un matemático con ideas capaces de reducir los diecisiete años a diecisiete minutos.

LLEGAN NUEVOS TRUCOS

La interacción entre criptografía y

matemática introdujo a los matemáticos modernos en una nueva cultura, más próxima a las ciencias experimentales. Se trataba de una cultura desconocida desde que el sistema académico alemán del siglo XIX había tomado el testigo de manos de los matemáticos de la Francia revolucionaria. Los matemáticos franceses habían considerado su disciplina como un instrumento práctico, un medio para conseguir un objetivo, mientras que Wilhelm von Humboldt consideraba la búsqueda del conocimiento como un fin en sí mismo. Los teóricos que aún estaban embebidos de la tradición alemana no tardaron en condenar el estudio de los métodos de

factorización de los números, llegando a compararlo con «un cerdo en un jardín de rosas», por usar las palabras de Hendrik Lenstra. Frente a la búsqueda de demostraciones irrefutables, «ir a por primos» se vio como una ocupación secundaria, de escaso relieve matemático. Pero cuando creció la importancia comercial de la cifra RSA, se hizo imposible ignorar las implicaciones prácticas que tendría el descubrimiento de un método eficiente para iluminar los números primos que se esconden en el interior de los grandes números. Al cabo de poco, cada vez más matemáticos se dejaron llevar por el reto de descomponer el RSA 129. El paso

decisivo tuvo lugar no tanto como consecuencia del desarrollo de ordenadores cada vez más veloces sino gracias a inesperados avances teóricos. Los nuevos problemas que resultaron de estas incursiones en el descifrado de códigos llevaron al desarrollo de una matemática profunda y compleja. Uno de los matemáticos que sintieron la atracción por esta disciplina emergente fue Carl Pomerance. Pomerance goza dividiendo su tiempo entre los pasillos académicos de la Universidad de Georgia y el ambiente más comercial de los Bell Laboratories de Murray Hill, en Nueva Jersey. Como buen matemático, nunca ha perdido el

placer adolescente de jugar con los números y de buscar nuevas relaciones entre ellos. Pomerance atrajo la atención de Paul Erdös cuando el matemático húngaro conoció un singular artículo suyo sobre las combinaciones numéricas de la puntuación del béisbol. Con el estímulo de una pregunta curiosa que se planteaba en aquel artículo, Erdös se presentó a Pomerance en Georgia para plantear una colaboración que terminaría por producir treinta publicaciones firmadas conjuntamente. La descomposición de los números había fascinado a Pomerance desde que se había preguntado cómo factorizar el número 8.051 en un concurso

matemático en la escuela secundaria. Había un límite de tiempo de cinco minutos y en aquella época no existían las calculadoras de bolsillo. A pesar de ser muy rápido con el cálculo aritmético mental, Pomerance decidió empezar por buscar un camino rápido que lo llevara a la solución sin tener que actuar sistemáticamente verificando uno a uno los divisores posibles: «Dediqué un par de minutos a buscar un método ingenioso, pero empecé a temer que estaba dedicando a ello demasiado tiempo. Entonces empecé con retraso a hacer intentos de divisiones, pero había perdido demasiado tiempo y no conseguí resolver el problema».

Aquel fracaso en la descomposición de 8.051 originó la caza de un método rápido para factorizar los números que Pomerance nunca más abandonó. Finalmente descubrió cuál era el truco que el profesor de la escuela había pensado. Antes de 1977, la manera más ingeniosa para descomponer un número pertenecía aún, increíblemente, al hombre cuyo teorema menor había servido de catalizador para la invención de la cifra RSA. El método de factorización de Fermat es la forma más rápida de descomponer algunas categorías especiales de números por medio de simples estructuras algebraicas.

Utilizando el método de Fermat, Pomerance necesitó unos pocos segundos para descomponer 8.051 en 83 × 97. Fermat, que sentía una auténtica pasión por los códigos secretos, con toda seguridad habría gozado al encontrar, tres siglos más tarde, su obra en el corazón de la realización y del descifrado de códigos. Cuando Pomerance conoció el reto de Rivest, Shamir y Adleman, comprendió inmediatamente que la descomposición de aquel número de 129 cifras sería la manera de exorcizar el recuerdo de su fracaso escolar. En los primeros años ochenta repentinamente vio claro que existía un sistema para

explotar el método de factorización de Fermat. Aplicándolo a una multitud de calculadoras de reloj distintas, el método podía proporcionar una potente máquina para la factorización; pero ahora lo que estaba en juego ya no era una simple competición matemática de la escuela superior: el nuevo descubrimiento, que se bautizó como criba cuadrática, tenía implicaciones muy serias para el mundo emergente de la seguridad en Internet. La criba cuadrática de Pomerance funciona en base al método de factorización de Fermat, pero cambiando continuamente la calculadora de reloj que se usa para intentar

descomponer el número. El método es similar a la criba de Eratóstenes, la técnica que inventó el bibliotecario alejandrino para determinar los números primos a base de considerar un primo cada vez y borrar a continuación todos sus múltiplos. De esta forma, haciendo pasar los números a través de cedazos con mallas de distintas dimensiones, los números que no son primos se eliminan sin necesidad de examinarlos uno a uno. En el ataque de Pomerance, en lugar de usar cedazos con mallas de dimensiones diversas se varía el número de horas de la esfera de la calculadora de reloj. Los cálculos que se efectúan en cada calculadora de reloj particular permitían

a Pomerance disponer de informaciones cada vez más precisas sobre posibles factores primos de un número; cuanto mayor fuera el número de relojes que consiguiera usar, tanto más se acercaría a la descomposición de un número en sus factores primos. La verificación definitiva consistió en aplicar la idea al reto planteado por RSA 129 . Pero en los años ochenta aquel número estaba todavía muy lejos del alcance de la máquina de Pomerance para la factorización. En los primeros noventa llegó una ayuda en el marco de Internet. Dos matemáticos, Arjen Lenstra y Mark Manasse, comprendieron que Internet sería un aliado precioso para la

criba cuadrática en un ataque a RSA 129 . La belleza del método de Pomerance procedía del hecho de que la carga de trabajo podía dividirse entre diversos ordenadores. Internet ya había sido utilizado para hallar primos de Mersenne asignando trabajos diversos a diversos ordenadores personales. Manasse y Lenstra comprendieron que ahora podían usar Internet para un ataque coordinado a RSA 129 : podían asignar a cada ordenador distintos relojes con los que cribar los números primos. De pronto se pedía a Internet, que en teoría estaba protegido por aquellos códigos, que contribuyera a superar el reto planteado por RSA 129.

Lenstra y Manasse distribuyeron la criba cuadrática por Internet y reclutaron voluntarios: en abril de 1994 llegó el anuncio de la capitulación de RSA 129 . Gracias al trabajo coordinado de varios centenares de ordenadores personales en veinticuatro países, RSA 129 se descompuso tras ocho meses de tiempo máquina real, en el ámbito de un proyecto dirigido por Derek Atkins del MIT, Michael Graff de la Iowa State University, Paul Leyland de la Oxford University y Arjen Menstra. También participaron en la investigación dos aparatos de fax: cuando no estaban ocupados enviando o recibiendo mensajes, también contribuían a buscar

los dos números primos de 65 y 64 cifras. En el proyecto se usaron 524.339 calculadoras de reloj distintas con un número primo de horas. A finales de los noventa Rivest, Shamir y Adleman plantearon una serie de nuevos retos. A finales del 2002, el menor de los números puestos sobre la mesa que todavía resistía los intentos de descomposición era de 160 cifras. Las finanzas de los tres habían mejorado mucho desde 1977, de manera que ahora podemos ganar diez mil dólares si conseguimos descomponer uno de los números RSA que están planteados como reto. Rivest se ha deshecho de los números primos que usaron para

construir estos números y, en consecuencia, nadie sabrá las respuestas hasta que sean factorizados. Para el sistema de cifra RSA, diez mil dólares es un precio pequeño a cambio de la oportunidad de mantenerse por delante del aguerrido grupo de descifradores de números que están en la lucha. Y, cada vez que se establece un nuevo récord, a l a RSA le basta con aconsejar a sus clientes un aumento en las dimensiones de los números primos. La criba cuadrática de Pomerance ha sido sustituida por un nuevo método de descifrado llamado criba del campo numérico. Esta criba ha permitido la descomposición del número RSA 155 en

agosto de 1999. El resultado lo obtuvo una red de matemáticos reunidos bajo el mesiánico nombre de Kabalah. RSA 155 ha supuesto una ruptura psicológica importante: a mitad de los ochenta, cuando los servicios de seguridad todavía dudaban sobre la conveniencia de adoptar el sistema RSA, este nivel de complejidad se consideraba suficiente para garantizar la seguridad de los ordenadores; como ha admitido Ansgar Heuser, del BSI, la agencia alemana para la seguridad nacional, si se hubieran decidido a adoptar aquel estándar «nos habríamos podido encontrar en el centro de un desastre». El 3 de diciembre del 2003 los matemáticos anunciaron que

también RSA 174 había sido factorizado. Hoy, el sistema de seguridad RSA recomienda utilizar relojes con un número N de horas de al menos 230 cifras; pero las agencias gubernamentales como el BSI, que requieren un nivel de seguridad capaz de garantizar una protección a largo plazo para sus propios agentes, actualmente recomiendan el uso de relojes con más de 600 cifras.

CON LA CABEZA BAJO EL ALA

La

criba

del

campo

numérico

aparece brevemente en la película de H o l l yw o o d Los fisgones. Robert Redford está sentado escuchando a un joven matemático que imparte una charla sobre la descomposición de números muy grandes: «La criba del campo numérico es el mejor método disponible en la actualidad. Existe la interesante posibilidad de un enfoque más elegante… Pero quizá —digo quizá— puede haber un atajo…». Naturalmente, este joven prodigio de las matemáticas, interpretado por Donal Logue, ha descubierto aquel método, «un avance de proporciones gaussianas», y lo ha colocado en una cajita que, como era de prever, acabará en manos del malo de la

película, interpretado por Ben Kingsley. La trama es tan descabellada que la mayoría de los espectadores probablemente imaginan que cosas así no podrían suceder nunca en el mundo real. Sin embargo, mientras desfilan los títulos finales aparece: «Asesor matemático: Len Adleman». La A de RSA. Tal como admite el propio Adleman, no podemos excluir la posibilidad de que tal escenario suceda. Larry Lasker, que ha escrito Los fisgones, Despertares y Juegos de guerra, pidió a Adleman que se asegurara de que la puesta en escena no tuviera errores matemáticos: «Me gustaba Larry y me gustaba su deseo de

verosimilitud, así que acepté. Larry me ofreció dinero, pero le hice una contraoferta: escribiría la escena si mi mujer podía conocer a Robert Redford». ¿Hasta qué punto están preparadas las empresas comerciales y los entes gubernamentales de seguridad para un avance tal en el ámbito teórico? Algunos más que otros, pero en conjunto se esconde la cabeza debajo del ala. Si les planteamos la pregunta, las respuestas que obtendremos son más bien preocupantes. A continuación veremos algunos comentarios recogidos en el circuito criptográfico: «Nosotros nos adaptamos a los

estándares del gobierno, que es lo único que nos preocupa». «Si fracasamos, al menos habrá muchos otros que fracasarán con nosotros». «La esperanza está en que ya estaré jubilado cuando tenga lugar un avance matemático de este tipo y, por tanto, no será mi problema». «Trabajamos basándonos en el principio de la esperanza: nadie cuenta con un avance de tales proporciones en un futuro inmediato».

«Nadie puede ofrecer garantías. Simplemente, esperamos que no suceda». Cuando tengo que hablar de seguridad en Internet con gente importante del mundo económico, me gusta plantear mi propio pequeño reto sobre la cifra RSA: apuesto una botella de champán a la primera persona que descubra los dos números primos cuyo producto es 126.619. Las diversas reacciones que he observado al proponer este reto en tres seminarios para directivos de bancos realizados en diversos puntos del planeta me han permitido captar las diferencias de

intereses culturales en la actitud del mundo financiero respecto del problema de la seguridad. En Venecia, el reto propuesto y las matemáticas en las que se basa los códigos atravesaron las cabezas de los banqueros europeos sin dejar literalmente el menor rastro, y tuve que recurrir a un cómplice infiltrado entre el público para proporcionar la solución. A diferencia de los banqueros europeos, la mayoría de ellos con preparación humanística, la comunidad financiera del Extremo Oriente tiene una preparación científica bastante más consistente. Antes de que terminara mi conferencia en Bali, un hombre se levantó, dijo cuáles eran los dos

números primos y reclamó el champán. Los presentes demostraron apreciar las matemáticas y su aplicación a los negocios electrónicos mucho más que sus colegas europeos. Pero la indicación más relevante me la proporcionó la presentación ante un público de operadores estadounidenses. Aún no habían transcurrido ni quince minutos de mi vuelta a la habitación del hotel después del final de mi conferencia cuando recibí tres llamadas telefónicas con las soluciones correctas. Dos de los directivos de banco estadounidenses se habían conectado a Internet, habían descargado programas de descifrado y los habían utilizado para

descomponer 126.619. El tercero fue poco explícito respecto al método que había utilizado, y tengo fuertes sospechas de que había interceptado las llamadas de los otros dos. El mundo de los negocios ha puesto su confianza en métodos matemáticos que muy pocos se han molestado en examinar directamente. No deja de ser cierto que la amenaza inmediata para la seguridad de las transacciones diarias procede muy probablemente de un administrador negligente, que deja información no cifrada en la página de Internet: como cualquier sistema criptográfico, el RSA está expuesto a las debilidades humanas. Durante la

Segunda Guerra Mundial, los aliados se aprovecharon de una caterva de errores de manual que cometieron los operadores alemanes, errores que les ayudaron a descifrar Enigma. De la misma manera, la seguridad del sistema RSA puede resultar minada por operadores que elijan números demasiado fáciles de descomponer: si tiene intención de descifrar códigos, dedicarse a la compra de ordenadores de segunda mano es probablemente mejor inversión que inscribirse en el programa de doctorado de un departamento universitario de matemáticas puras: la cantidad de información delicada que se suele dejar

en máquinas anticuadas es espantosa. Corromper a alguien que protege las claves secretas sería mucho mejor para sus finanzas que patrocinar un equipo de matemáticos para dedicarlos a la tarea de descomponer grandes números. Como hace notar Bruce Scheiner en su l i b r o Applied Cryptography: «es muchísimo más fácil hallar puntos débiles en las personas que en los sistemas criptográficos». En todo caso, estas grietas de seguridad, aunque graves para la empresa que las sufre, no suponen ninguna amenaza para el tejido global de los negocios en Internet. Es este aspecto lo que hace interesante la película Los

fisgones: aunque las probabilidades de que se produzca un avance importante en la descomposición de números sean pequeñas, el riesgo está presente, y el resultado sería devastador a escala global. Podría producirse una auténtica catástrofe para el mundo de los negocios por Internet, y hacer caer todo el edificio del correo electrónico. Creemos que la descomposición de grandes números es un problema intrínsecamente difícil, pero no podemos demostrarlo: muchos directivos se librarían de un gran peso si pudiéramos garantizarles la imposibilidad de encontrar un programa rápido capaz de factorizar los números. Naturalmente, es

difícil demostrar que no existe nada así. La descomposición de números es un trabajo complejo no por la particular dificultad de las matemáticas que se utilizan, sino porque el pajar en donde han de buscarse las dos agujas es gigantesco. Hay muchos otros problemas caracterizados por un «pajar» análogo: por ejemplo, aunque cualquier mapa puede pintarse con cuatro colores, ¿cómo establecer, dado un mapa particular, la posibilidad de pintarlo con sólo tres? La única forma de saberlo parecería ser la muy laboriosa de repasar todas las combinaciones posibles hasta que, con un poco de suerte, vayamos a parar a un mapa que

sólo requiera tres colores. Uno de los «Problemas del Milenio» de Landon T. Clay, conocido como P versus NP, plantea una cuestión interesante sobre este tipo de problemas: si la complejidad de un problema como la factorización de números o la manera de colorear mapas deriva de las grandes dimensiones del pajar en el que hay que buscar, ¿es posible que exista siempre un método eficiente de encontrar la aguja? La sensación es que la respuesta al problema P versus NP tiene que ser «no»: hay problemas cuya complejidad intrínseca no puede evitarse ni siquiera con la capacidad de penetración de un

Gauss moderno. Sin embargo, si la respuesta resultara ser «sí», entonces, como afirma Rivest: «sería una catástrofe para la comunidad de los criptógrafos». La mayoría de los sistemas criptográficos, incluido el RSA, tiene que ver con problemas en los que están implicados grandes pajares. Una respuesta positiva a este problema del milenio significaría que existe realmente un método rápido para descomponer los números: ¡sólo nos faltaría encontrarlo! Al fin y al cabo, la falta de interés del mundo de los negocios respecto de la obsesión con la que nosotros los matemáticos perseguimos la construcción de nuestro edificio sobre

bases seguras al cien por cien no es tan sorprendente: la descomposición de números es, desde hace milenios, una empresa difícil y, en consecuencia, el mundo económico está satisfecho de poder construir su centro comercial global en Internet sobre bases que están aseguradas al 99,99 por ciento. La mayoría de los matemáticos están convencidos de que hay algo intrínsecamente difícil en los procedimientos de cálculo necesarios para la factorización; pero nadie es capaz de prever qué progresos nos traerán los próximos decenios. Después de todo, hace unos veinte años RSA 129 parecía indestructible.

Una de las principales razones de la dificultad de factorización de los números es la aleatoriedad de la distribución de los números primos. Dado que la hipótesis de Riemann trata de determinar el origen de este comportamiento incontrolable de los números primos, su demostración proporcionaría nuevas intuiciones. En 1900, al describir la hipótesis de Riemann, Hilbert había subrayado que su solución abría la posibilidad teórica de desvelar muchos otros secretos relativos a los números. Visto el papel central de la hipótesis de Riemann para la comprensión de los números primos, los matemáticos han empezado a

plantear la hipótesis de que su demostración, en caso de hallarse, podría producir nuevos métodos de factorización de los números. Por esta razón, actualmente las empresas están empezando a vigilar el abstruso mundo de la investigación sobre los números primos. Pero hay otra razón para que el mundo económico se interese por la hipótesis de Riemann: antes de poder utilizar la cifra RSA, las empresas que operan en Internet tienen que hallar dos números primos de sesenta cifras. Si la hipótesis de Riemann es correcta, entonces existe un método rápido para descubrir los números primos con los que construir los códigos RSA sobre los

que actualmente se basa la seguridad del comercio electrónico.

A LA CAZA DE LOS GRANDES NÚMEROS PRIMOS

Dado el ritmo creciente de desarrollo de Internet y la consiguiente demanda de números primos cada vez mayor, la demostración de Euclides sobre la infinitud del conjunto de los números primos toma repentinamente una inesperada importancia comercial. Pero, si los números primos forman un conjunto tan indisciplinado, ¿cómo harán

las empresas para encontrar estos grandes números primos? Ciertamente, existen infinitos, pero a medida que vamos buscándolos cuesta cada vez más de encontrarlos. Y si disminuyen a medida que avanzamos, ¿existen suficientes números primos de unas sesenta cifras para que cualquiera en el mundo tenga dos con los que construir su propia clave privada? Aun admitiendo que sean suficientes, quizá son apenas suficientes, en cuyo caso hay elevadas probabilidades de que dos personas elijan la misma pareja. Afortunadamente, la naturaleza ha sido benévola con el mundo del comercio electrónico: del teorema de

Gauss sobre los números primos se deduce que la cantidad de números primos de sesenta cifras vale aproximadamente 1060 dividido por el logaritmo de 1060. Esto significa que existen suficientes números primos de sesenta cifras como para que cada átomo de la Tierra tenga su propia pareja. Y no sólo esto: las posibilidades de acertar la Primitiva son mucho mayores que las probabilidades de que a dos átomos distintos les sea asignado el mismo par de números primos. Por ello, una vez establecido que hay suficientes números primos para todo el mundo, ¿cómo podemos tener la certeza de que un número es primo?

Como hemos visto, hallar los números primos que forman un número no primo es ya muy difícil. Si un número candidato es primo, ¿no será dos veces más difícil saberlo? Al fin y al cabo, se trata de verificar que ningún número menor es uno de sus divisores. En realidad, establecer si un número es primo no es la empresa ímproba que podríamos imaginar: existe un método que permite verificar rápidamente si un número no es primo, incluso si no somos capaces de determinar ni uno solo de los números primos que lo forman. Por ello, veintisiete años antes de anunciar su cálculo, Cole sabía, y con él el resto del mundo matemático, que el número que

estaba descomponiendo no era primo. Este método de comprobación no es de gran ayuda en la predicción de la distribución de los números primos, el corazón de la hipótesis de Riemann, pero al decirnos si un número concreto cualquiera es o no primo, nos da la oportunidad de escuchar las notas individuales de la música, a pesar de no servirnos para apreciar el conjunto de la melodía escondida en la hipótesis de Riemann. En el origen de este test encontramos el teorema menor de Fermat, que Rivest utilizó aquella noche en que descubrió la cifra RSA con la ayuda del vino del Seder. Fermat había descubierto que si

se introduce un número en una calculadora de reloj con un número pr i mo p de horas en su esfera, y a continuación se eleva a la p-ésima potencia, se obtiene siempre el número de partida. Euler comprendió que el teorema menor de Fermat podía ser utilizado para demostrar que un número no es primo: en un reloj de seis horas, por ejemplo, multiplicar 2 por sí mismo seis veces lleva la manecilla del reloj a las 4; si 6 fuera un número primo, tras el cálculo nos hubiéramos encontrado de nuevo en las 2. Por esto, el teorema menor de Fermat nos dice que 6 no puede ser primo, o se trataría de un contraejemplo del teorema.

Si queremos decidir si un número p es primo, tomaremos una calculadora de reloj con p horas en su esfera. Probaremos con diversas horas para ver si elevándolas a p volvemos siempre al punto de partida. Si ello no sucede, podemos descartar el número p con la seguridad de que no se trata de un número primo. Cada vez que encontremos una hora que satisface el test de Fermat, por otra parte, no habremos demostrado que p es primo pero aquella hora del reloj testificará, por decirlo así, a favor de la primalidad de p. ¿Por qué razón es mucho mejor comprobar las horas en el reloj que

verificar si cada número menor que p es divisor suyo? La cuestión radica en que, s i p falla el test de Fermat, el error es realmente grande. De hecho, más de la mitad de los números primos que están en la esfera del reloj no superan el test, convirtiéndose así en testigos de la no primalidad de p. El hecho de que haya muchas formas de demostrar que aquel número no es primo representa por ello un paso adelante de gran importancia. En este sentido el método difiere mucho de la comprobación sistemática de la divisibilidad de p, en la que se comprueba cada número para ver si es divisor de p. Si, por ejemplo, p es producto de sólo dos números primos,

entonces cuando se aplica el test de divisibilidad son sólo aquellos dos números los que pueden demostrar que p no es primo: ningún otro número supondrá una ayuda. Hay que apuntar muy bien para que el test de divisibilidad funcione. En una de sus numerosísimas colaboraciones, Erdös estimó, aunque no demostró rigurosamente, que en caso de querer determinar si un número menor que 10150 es primo, encontrar una sola hora en el reloj que supere el test de Fermat significa que la probabilidad de que aquel número sea primo se reduce ya a 1 entre 1043. Paulo Ribenboim, autor de The Book of Prime

Number Records, subraya que usando este test cualquier empresa que venda números primos podría colocar su producto de manera realista con el eslogan: «satisfacción o reembolso», sin peligro de terminar en la ruina. A lo largo de los siglos, los matemáticos han perfeccionado el test de Fermat: en los años ochenta del siglo pasado dos matemáticos, Gary Miller y Michael Rabin, idearon finalmente una variante del test capaz de garantizar la primalidad de un número tras pocas comprobaciones. Pero el test de MillerRabin viene acompañado de una pequeña dificultad matemática: en el caso de números realmente grandes,

funciona sólo a condición de que la hipótesis de Riemann sea cierta. (Para ser más precisos, es necesario que sea cierta una versión ligeramente generalizada de la hipótesis de Riemann). De todo lo que sabemos que se esconde tras el monte Riemann, ésta es probablemente una de las cosas más importantes: si se consigue demostrar la hipótesis de Riemann y su generalización, entonces, además de conseguir un millón de dólares, quedará demostrado con certeza que el test de Miller-Rabin es un método rápido y eficiente de comprobar si un número es o no primo. En agosto del 2002, Manindra

Agrawal, Neeraj Kayal y Nitin Saxena, tres matemáticos indios del Instituto de Tecnología de Kanpur, idearon una alternativa al test de Miller-Rabin. Se trata de un método ligeramente más lento, pero evita suponer la validez de la hipótesis de Riemann. Para la comunidad de los matemáticos que estudian los números primos este descubrimiento supuso una sorpresa: en las veinticuatro horas siguientes al anuncio proveniente de Kanpur, treinta mil personas de todos los rincones del mundo —y, entre ellos, Carl Pomerance — descargaron el artículo de la red. El test era lo bastante simple como para permitir a Pomerance presentar los

detalles a sus colegas en un seminario que tuvo lugar la misma tarde. Definió el nuevo método como «maravillosamente elegante». El espíritu de Ramanujan late todavía en la India, y estos tres matemáticos no han temido retar a la opinión dominante sobre la manera de comprobar la primalidad de un número. Su historia alimenta la esperanza de que un día pueda aparecer un matemático desconocido con la idea que resolverá finalmente la hipótesis de Riemann, el problema más importante relacionado con los números primos. La naturaleza es increíblemente benévola con la comunidad de los criptógrafos: les ha regalado un método

rápido y simple para producir los números primos con los que construir la criptografía por Internet, y mientras tanto ha apartado de la vista de cualquiera un método rápido para descomponer los números en los primos que los forman. Pero ¿durante cuánto tiempo la naturaleza estará de parte de los criptógrafos?

UN FUTURO BRILLANTE, UN FUTURO ELÍPTICO

La aplicación de la teoría de los números primos a un problema tan fundamental para el mundo de los

negocios ha aumentado notablemente el prestigio social de las matemáticas: cuando alguien pone en duda la utilidad de un área de investigación tan esotérica como la teoría de los números, el hacer notar el papel de los números primos en la cifra RSA se ha convertido en una forma eficaz de refutar la acusación. En el discurso titulado «La importancia de las matemáticas», pronunciado con ocasión del anuncio de los premios Clay para los Problemas del Milenio, Timothy Gowers, poseedor de una medalla Fields, ha utilizado precisamente este ejemplo para justificar la utilidad de las matemáticas. En los días anteriores a esta nueva

criptografía, la mayoría de los matemáticos habría tenido grandes dificultades para imaginar una aplicación de las matemáticas abstractas con un perfil tan alto y que, además, fuera capaz de atraer la atención inmediata de la gente. Todo ello ha supuesto una fractura positiva y oportuna para la disciplina. Podemos tener la certeza casi absoluta de que cualquier solicitud de financiación para una investigación en el campo de la teoría de los números tendrá, en alguna parte, la efectiva frase: «y podrían también derivarse aplicaciones criptográficas». Para ser honestos, las matemáticas que están en la base del sistema

criptográfico RSA no son muy profundas. La mayor parte de los matemáticos ni siquiera compararía la solución de los problemas de la factorización de números con la perspectiva de posible solución de misterios de largo alcance como la hipótesis de Riemann. Aunque la solución de la hipótesis de Riemann y del problema P versus NP puedan tener consecuencias para la cifra RSA, ha sido otro de los Problemas del Milenio el que ha estado a punto de causar una catástrofe en el mundo de los negocios electrónicos: a principios de 1999 empezó a correr rápidamente la voz de que una cosa extraña llamada conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer,

un problema relativo a unas entidades extrañas llamadas curvas elípticas, podría revelar el talón de Aquiles de la seguridad en Internet. En enero de aquel año apareció en primera página del Times un artículo titulado: «Una adolescente descifra los códigos del correo electrónico». La hazaña había permitido a Sarah Flannery, una jovencita irlandesa, obtener el primer premio en una competición científica, pero prometía riquezas mucho más sólidas. Aparecía en una fotografía, ante una pizarra abarrotada de complejos cálculos matemáticos. El pie de la foto explicaba: «Sarah Flannery, 16 años, ha

desconcertado a los jueces con su dominio de la criptografía. Han definido su trabajo como brillante». Dada la dependencia de Internet de los códigos de correo electrónico, el artículo pretendía atraer la atención de los medios y del público. Una lectura más profunda revelaba que el «descifrado» al que se refería el título no era un nuevo ataque a la seguridad de la cifra RSA, sino a la solución de un problema práctico relacionado con su aplicación. Para cifrar y descifrar un número de tarjeta de crédito usando el sistema RSA, se multiplica el número por sí mismo muchas veces con una calculadora de reloj cuyo número de horas está formado

por algunos centenares de cifras. Un ordenador emplea un tiempo más bien largo para hacer cálculos con números tan grandes. En la mayoría de los casos las páginas de Internet piden, además del número de la tarjeta de crédito, algunos otros datos, y utilizan la cifra RSA para elegir la clave privada que utilizarán el ordenador y la página de Internet para codificar todos los datos. Las claves privadas, compartidas entre quien envía los datos y quien los recibe, permiten una codificación mucho más rápida que las claves públicas RSA. Si usted está comprando por Internet desde la tranquilidad de su casa, utilizando un ordenador personal dotado

de una gran memoria y de un microprocesador rápido, ni siquiera notará el tiempo que dedica para cifrar su número de tarjeta de crédito. Cada vez con mayor frecuencia, sin embargo, no sólo accedemos a Internet desde casa: también se puede navegar por Internet con teléfonos móviles, agendas electrónicas y otros aparatos portátiles que aparecerán en los próximos años. La llamada tecnología 3G (de tercera generación) proporciona a estos aparatos los elementos necesarios para comunicarse en la red. Pero, llegado el momento de codificar un número de tarjeta de crédito con una agenda electrónica tras una mañana de compras

por Internet, la potencia del pequeño portátil se utilizará hasta el extremo. Los teléfonos móviles y las agendas electrónicas no están pensados para ejecutar cálculos tan grandes: disponen de mucha menos memoria y microprocesadores mucho más lentos que el ordenador que tenemos sobre la mesa. Y no sólo esto: la banda de frecuencias que utilizan los teléfonos móviles para transmitir información es mucho más estrecha que la disponible al enviar datos a través de la línea telefónica o el cable de fibra óptica. Por tanto, es importante minimizar la cantidad de datos a transmitir. Los números cada vez mayores que necesita

la cifra RSA para afrontar los ordenadores cada vez más rápidos que se utilizan para descifrar los códigos la hacen poco apta para los aparatos portátiles. Durante algún tiempo, los criptógrafos buscaron un nuevo sistema de cifrado de clave pública que garantizara toda la seguridad y capacidad del RSA, pero que fuera menor y más veloz. En 1999, el Times y otros medios de comunicación ingleses se lanzaron como halcones sobre la noticia del posible descubrimiento de un sistema de este tipo por la jovencísima Sarah Flannery. Hay que decir en su favor que Sarah nunca afirmó que su

código fuera seguro: la seguridad de un sistema criptográfico sólo puede demostrarse con tiempo y comprobaciones, dos cosas que los medios de comunicación no aprecian en demasía. En definitiva, precisamente lo que había permitido que el código fuera más rápido es lo que había hecho aumentar su vulnerabilidad. Existe un rival del RSA que está empezando a responder a los desafíos que plantea el mundo del llamado mcomercio, de las comunicaciones móviles, sin hilos. Tras estos nuevos códigos no hay números primos sino otras entidades mucho más exóticas: las curvas elípticas. Estas curvas se definen

mediante ecuaciones de un tipo especial, y han sido fundamentales para la demostración del último teorema de Fermat por parte de Andrew Wiles. Las curvas elípticas ya se habían abierto camino en el mundo de la criptografía como parte de un nuevo método para factorizar rápidamente los números. Parece como si existiera una regla no escrita en base a la cual los descifradores que consiguen violar un sistema de cifra resarcen a los criptógrafos proporcionándoles de manera involuntaria un código aún más seguro. Neal Koblitz, de la Universidad del Estado de Washington en Seattle, estaba estudiando un método para

descifrar los códigos basados en números primos cuando intuyó que las curvas elípticas podían ser también útiles para producir códigos. Koblitz propuso su idea de una criptografía basada en las curvas elípticas a mitades de los años ochenta. Simultáneamente, también Victor Miller del Ramapo College de New Jersey, descubrió cómo elaborar códigos utilizando curvas elípticas. Aunque resultan más complicados que la cifra RSA, los códigos basados en las curvas elípticas no necesitan claves numéricas enormes, lo que las hace perfectas para el comercio móvil. A pesar de que Koblitz ha sido

captado por el mundo de los negocios para la creación de su propio sistema criptográfico adaptado a los aparatos móviles, su corazón sigue siendo fiel al mundo de la pura teoría de los números al estilo de Hardy. Koblitz, que es uno de los veteranos del mundo de la teoría de los números, conserva el entusiasmo por las matemáticas que tenía en su juventud, un entusiasmo que se desencadenó como consecuencia de una serie de hechos fortuitos: Cuando tenía seis años, mi familia vivió un año en Baroda, en la India: allí los niveles de enseñanza de las matemáticas

eran mucho más altos que en las escuelas estadounidenses. Al año siguiente, cuando regresé a los Estados Unidos, iba tan adelantado con respecto a mis compañeros de clase que mis profesores cometieron el error de creer que tenía una predisposición especial por las matemáticas. Igual que tantas otras ideas equivocadas que los profesores se meten en la cabeza, este tipo de convicción termina por convertirse en una profecía que se retroalimenta: como consecuencia de todos los ánimos que recibí tras volver de mi viaje a la India, tomé el

camino que terminaría por convertirme en un matemático. El año que el pequeño Koblitz pasó en la India no sólo contribuyó a su desarrollo matemático: también fue el origen de una profunda toma de conciencia de las injusticias sociales en el mundo. Ya adulto, Koblitz ha participado en misiones en Vietnam y en América Central. Uno de sus muchos libros sobre teoría de los números y criptografía está dedicado «a la memoria de los estudiantes de Vietnam, de Nicaragua y del Salvador que han perdido la vida en la lucha contra la agresión de los Estados Unidos». Los

beneficios de la venta del libro se usan para proporcionar libros a las poblaciones de esos tres países. En su país, Koblitz soporta mal el control sofocante de la Agencia para la Seguridad Nacional (NSA) sobre el área de las matemáticas que lo ocupa. Actualmente, antes de publicar cierto tipo de investigación en el campo de la teoría de los números, hace falta obtener la autorización de la NSA, aunque los textos vayan destinados a las más oscuras revistas. Gracias a las innovadoras ideas de Koblitz, las curvas elípticas se han colocado junto a los números primos en la «lista de las investigaciones sometidas a restricción»

que las autoridades desean mantener bajo control. Rivest, Shamir y Adleman habían utilizado las calculadoras de reloj de Gauss para codificar los números de las tarjetas de crédito. Ahora Koblitz proponía hacer desaparecer las huellas de las tarjetas de crédito en algún punto de estas extrañas curvas: en lugar de multiplicar las horas de un reloj, Koblitz pretendía sacar provecho de una extraña multiplicación que podía definirse sobre puntos de las curvas elípticas.

LOS PLACERES DE LA POESÍA CALDEA

Desde el primer momento, el trío de l a RSA se sintió amenazado por la llegada inesperada del nuevo código. Era un desafío a su monopolio sobre la criptografía en Internet. Su preocupación llegó al máximo en 1997, cuando decidieron abrir una página de Internet l l a ma d a ECC Central. Ahí podían encontrarse citas de matemáticos y criptógrafos eminentes que planteaban dudas sobre la presunta seguridad de las curvas elípticas. Algunos mantenían que la factorización de los números tenía una tradición mucho más larga, una tradición que se remontaba a los tiempos de Gauss, y si ni siquiera Gauss había conseguido resolverla, entonces la

seguridad de los que adoptaran la cifra RSA estaba garantizada. Otros argumentaban que la estructura de las curvas elípticas era lo bastante rica como para permitir que los hackers establecieran una cabeza de puente desde donde preparar su ataque: se trataba de una criptografía demasiado nueva como para que los matemáticos pudiéramos decir si nuestro conocimiento de las curvas elípticas sería suficiente para descifrar un código con claves de dimensiones tan pequeñas. Al fin y al cabo, el código de Sarah Flannery había resistido sólo seis meses de comprobaciones. El equipo de RSA subrayaba también

que, cuando se habla con banqueros sobre lo que se encuentra en la base de la seguridad de sus transacciones de miles de millones de dólares, explicar el problema de la factorización de los números no es tan difícil. Pero si empezamos a escribir y2 = x3 + …, sus ojos no tardan en entornarse. La Certicom, la más importante de las empresas que propone la criptografía de curvas elípticas, replica a esta crítica manteniendo que antes de terminar los cursos que se han impartido en la propia empresa sobre seguridad financiera, los funcionarios de banca se divertían jugando con los puntos de las curvas elípticas. Pero lo que más molestó a los

defensores de las curvas elípticas fue un comentario de Ron Rivest, la «R» de RSA: «Intentar evaluar la seguridad de un sistema de cifrado basado en las curvas elípticas es algo así como intentar evaluar una poesía caldea recién descubierta». Neal Koblitz estaba impartiendo un curso sobre curvas elípticas en Berkeley cuando abrió sus puertas el sitio ECC Central; como nunca había oído hablar de poesía caldea, Koblitz corrió a informarse en la biblioteca de la universidad. Allí descubrió que los caldeos eran un antiguo pueblo semítico que había dominado el sur de Babilonia entre el 625 y el 539 a. C.: «Su poesía

era realmente fantástica», explica. Por tanto, se hizo dibujar camisetas decoradas con la imagen de una curva elíptica y la inscripción: «Me encanta la poesía caldea», y las regaló a sus alumnos. De momento, la cifra a base de curvas elípticas ha soportado la prueba del tiempo y ha hallado su plena legitimación entrando a formar parte de los estándares gubernamentales. Actualmente, el nuevo sistema criptográfico se utiliza sin dificultades en los teléfonos móviles, en las agendas y en las tarjetas electrónicas. Su número de tarjeta de crédito es transportado a gran velocidad a lo largo de estas

curvas elípticas borrando sus huellas durante el trayecto. Aunque en un principio estaba destinada a aparatos portátiles, la criptografía de curvas elípticas se está convirtiendo en el método preferido para la protección de la información, incluso en sistemas mayores: el citado BSI, la agencia alemana de seguridad, admite hoy abiertamente que la vida de sus agentes está confiada a la seguridad de las curvas elípticas. Incluso pronto nuestras propias vidas estarán en manos de estas curvas cada vez que volemos: las curvas elípticas están destinadas a proteger la seguridad de los sistemas de control del tráfico aéreo de todo el mundo. Después

de estos éxitos, los responsables del RSA han decidido cerrar el sitio ECC Central y ahora dirigen sus propias investigaciones al objetivo de adaptar la cifra de las curvas elípticas a su sistema RSA. Sin embargo, durante el verano de 1998, los temores de que la estructura suplementaria de las curvas elípticas pudiera causar su ruina criptográfica empezaron a obsesionar a quienes habían invertido en la seguridad que prometían. Sólo unos pocos meses antes, Neal Koblitz había afirmado que la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer, uno de los principales problemas abiertos relacionados con las curvas

elípticas, nunca podría tener consecuencias para el uso de las curvas elípticas en criptografía. Pero, de la misma forma en que la predicción de Hardy afirmaba que la teoría de los números nunca sería útil, también la de Koblitz produjo el efecto contrario. Podría ser que la propia afirmación provocadora de Koblitz indujera a Joseph Silverman, de la Universidad de Brown, a proponer un ataque sobre la base de la presunta validez de la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer. La conjetura de Birch-SwinnertonDyer es uno de los siete «Problemas del milenio»: propone un modo de determinar si la ecuación asociada a una

curva elíptica posee un número finito de soluciones. En 1960 dos matemáticos ingleses, Bryan Birch y sir Peter Swinnerton-Dyer, plantearon la hipótesis de que la respuesta podría esconderse en un paisaje imaginario como el que había descubierto Riemann. Gracias a su conjetura, los nombres de Birch y de Swinnerton-Dyer están íntimamente ligados, al menos para los matemáticos, a los de Laurel y Hardy, a pesar de que muchos creen erróneamente que tras la conjetura se esconden tres matemáticos: Birch, Swinnerton y Dyer. Birch, con sus maneras torpes, toma el papel de Stan Laurel frente a un más austero Oliver Hardy, representado por

Swinnerton-Dyer. Riemann había descubierto el pasadizo que conducía desde los números primos hasta el paisaje zeta. Otro matemático de Gotinga, Helmut Hasse, planteó la hipótesis de que cada curva elíptica podría tener su propio espacio imaginario. Hasse es una figura muy discutida en la Historia de las matemáticas alemanas: los nazis le encargaron la gestión del Departamento de Matemáticas de Gotinga en el período en que Hitler lo desmanteló. Las simpatías nazis de Hasse, unidas a sus capacidades matemáticas, lo convertían en el candidato ideal a ojos de las autoridades y a los de los matemáticos

alemanes que deseaban preservar la tradición de Gotinga. Dentro de la comunidad matemática se dan sentimientos muy confusos en relación con Hasse. Pocos le perdonan sus opciones políticas. Incluso escribió en 1937 a las autoridades pidiendo que uno de sus antepasados judíos fuera borrado del registro civil para que él pudiera inscribirse en el partido. Carl Ludwig Siegel recuerda que, a su regreso de un viaje en 1938, se encontró con él: «¡Hasse, que por vez primera se había vestido con sus enseñas nazis! Para mí resultaba incomprensible que un hombre inteligente y concienzudo pudiera hacer una cosa así». Más que

sus opciones políticas, la intuición matemática de Hasse resultó ser mucho más íntegra. Su nombre se ha hecho inmortal por las funciones zeta de Hasse. Estas funciones permiten construir los paisajes que guardan los secretos para la determinación de la soluciones de las ecuaciones de curvas elípticas. Así como Riemann había conseguido mostrar la manera de construir la totalidad del paisaje que cubre el mapa de los números imaginarios, Hasse no pudo hacer lo mismo con los espacios elípticos. Para cada curva elíptica era capaz de construir una parte del paisaje asociado, pero llegado a cierto punto se

encontraba con una monstruosa cadena montañosa que seguía la dirección norte-sur, y no disponía de técnicas para sobrepasarla. En realidad fue la solución de Wiles al último teorema de Fermat la que mostró finalmente cómo cruzar aquella frontera y construir el mapa de la parte restante del paisaje. Sin embargo, cuando aún no sabíamos ni siquiera si más allá de aquella cadena había o no un paisaje, Birch y Swinnerton-Dyer ya se planteaban conjeturas sobre lo que nos podría desvelar aquel paisaje hipotético. Predijeron que en cada paisaje debía haber un punto que escondía un secreto relativo a la curva

elíptica usada para construir aquel paisaje particular: aquel punto permitiría establecer si la curva elíptica asociada tenía o no un número infinito de soluciones. El truco para establecerlo consistía en medir la altitud del paisaje respecto del número 1 del mapa de los números imaginarios. Si en aquel punto el paisaje estaba a nivel del mar, entonces la curva elíptica tendría infinitas soluciones fraccionarias. Por el contrario, si el paisaje en aquel punto no estaba al nivel del mar, entonces habría un número finito de soluciones fraccionarias. Si la conjetura de BirchSwinnerton-Dyer es cierta, y este punto esconde verdaderamente el secreto para

encontrar las soluciones sobre la curva elíptica correspondiente, entonces estamos ante otro ejemplo notable del poder de estos paisajes imaginarios. Aunque Birch y Swinnerton-Dyer tenían motivaciones teóricas, su conjetura era sobre todo el resultado de experimentos realizados sobre algunas curvas elípticas particulares. Birch recuerda el momento de repentina iluminación en que cada cosa se puso en su lugar como por arte de magia; estaba jugueteando con los números que aparecían en sus cálculos: «Sucedió mientras me alojaba en un encantador hotel de la Selva Negra, en Alemania. Estaba colocando sobre una gráfica los

números que obtenía, y me encontré con docenas de puntos situados sobre cuatro redes paralelas… ¡Maravilloso!». Aquellas cuatro líneas paralelas indicaban la existencia de un fuerte nexo que obligaba a los puntos a alinearse. «A partir de aquel momento tuve absolutamente claro que allí había algo. Contacté con Peter y le dije: “¡Oh, mira esto!”. Y, como si yo hubiera perdido algo que Birch había encontrado, Peter respondió: “¡Ya te lo decía yo!”, como hace siempre». Desde que se propuso, en los años sesenta, se han hecho avances significativos en relación con la conjetura. Tanto Wiles como Zagier han

planteado contribuciones relevantes, pero el camino que queda por recorrer es aún largo. Para confirmar su importancia, la conjetura ha pasado a formar parte de los siete Problemas del Milenio. Es el único de estos problemas sobre el que se producen avances continuos hacia la solución. Birch, sin embargo, opina que deberá pasar aún mucho tiempo antes de que alguien pueda reclamar el premio de Clay. Pero la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer se ha convertido en la clave para acceder, no al millón de dólares apostado por Clay, sino a los muchos millones de dólares que dependen de la seguridad de los códigos de Internet.

Los códigos construidos sobre curvas elípticas basan su fiabilidad en la dificultad de hallar las soluciones a ciertos problemas aritméticos. Joseph Silverman vio que el método heurístico de la conjetura de Birch-SwinnertonDyer podría proporcionarle una manera de dar la vuelta al problema criptográfico de modo que se obtuvieran indicaciones sobre dónde buscar las soluciones. Ciertamente, se trataba de un planteamiento arriesgado, y él mismo reconoce que dudaba de la eficacia de su estrategia de ataque. Pero ningún experto podía descartar la posibilidad de que apareciera uno de aquellos algoritmos rápidos que intentan cazar

los hackers. Silverman habría podido hacer público el ataque que intentaba contra la cifra de las curvas elípticas; los medios de comunicación se hubieran vuelto locos; la RSA hubiera saltado de gozo; las acciones de Certicom se hubieran hundido; y las curvas elípticas nunca más se habrían recuperado de la imagen de falta de confianza que habría generado aquel ataque, aunque hubiera fracasado. Pero Silverman decidió seguir una línea de comportamiento más académica. Envió por correo electrónico a Koblitz un esquema de su trabajo, tres semanas antes de la conferencia en la que tenía que presentar

un artículo sobre el tema. Koblitz tenía que volar a Waterloo, en Canadá, donde se encuentra la sede de la Certicom, a finales de la semana. Los directivos de la empresa le estaban mandando fax urgentes: esperaban la aparición de una solución temporal o una explicación de por qué el ataque estaba condenado al fracaso. «Al principio no conseguí encontrar ninguna razón para que no funcionara el proyecto de Silverman». Cuando tiene que tomar un avión, Koblitz se levanta temprano, y ese día sabía que debía encontrar alguna idea que tranquilizara a sus amigos de Waterloo. Antes de subir al avión estaba ya convencido de que, si el ataque de

Silverman tenía éxito, podría utilizarse también para atacar la cifra RSA. Por tanto, si ellos se hundían, la RSA se hundiría con ellos. «Fue un momento terrorífico — recuerda Koblitz—. Mandé un correo electrónico a Silverman para decirle que es en momentos así cuando uno se alegra de ser un matemático y no un hombre de negocios: empiezas a ser consciente de que la vida es mucho más excitante que las películas». Pero probablemente a Silverman no debía preocuparle mucho la idea de que también cayera la RSA. De hecho formaba parte de un equipo dedicado al desarrollo de un nuevo sistema de cifra conocido por sus siglas

NTRU. Las personas implicadas en el

proyecto son reacias a desvelar el significado de NTRU, pero la opinión general es que las siglas correspondan a Number Theorists «R» Us: «Nosotros somos los teóricos de los números». A diferencia de los demás códigos, el de la compañía habría sido inmune al ataque de Silverman: un giro interesante para las acciones de NTRU. Al cabo de dos semanas, Koblitz había identificado elementos suficientes de la estructura especial de las curvas elípticas como para demostrar que el proyecto de Silverman era aún irrealizable desde el punto de vista computacional. La cifra de curvas

elípticas se salvó por un detalle técnico que recibe el nombre de función altura, pero ahora Koblitz lo llama el escudo de oro. Al parecer, protege los códigos no sólo de los ataques de Silverman, sino también de una plétora de otros ataques. Pasado el pánico inicial, los desarrollos siguientes se han caracterizado por el retorno a una serenidad más acorde con el mundo académico, y Koblitz aún se divierte dictando la conferencia que ha dedicado a la historia completa y que lleva por título: «Cómo las matemáticas puras casi provocan el hundimiento de los enegocios». La historia pone en evidencia cómo los progresos realizados en los

rincones más oscuros o abstractos del mundo matemático tienen hoy la capacidad de poner de rodillas al mundo económico. Es exactamente por estas razones que la empresa AT&T y los servicios de seguridad nacionales vigilan con cuidado el mundo «amable y puro», por decirlo con Hardy, de la teoría de los números. En los años ochenta y noventa el responsable de los laboratorios de investigación de la AT&T, Andrew Odlyzko, empezó a dirigir los supercomputadores de la empresa hacia regiones del paisaje de Riemann que nunca antes se habían tenido en cuenta. Si no esperamos encontrar un

contraejemplo a la hipótesis de Riemann, ¿por qué gastar tantas energías y tanto dinero de la AT&T para el cálculo de las posiciones de los ceros? Lo que ha estimulado el interés de Odlyzko es la noticia de algunas extrañas predicciones teóricas hechas por el matemático estadounidense Hugh Montgomery sobre los ceros situados en puntos remotos de la recta mágica de Riemann. Odlyzko ha comprendido que si aquellas predicciones fueran correctas, entonces está a punto de tener lugar uno de los avances más extraños e imprevistos de la historia de los números primos.

11 DE LOS CEROS ORDENADOS AL CAOS CUÁNTICO

El único viaje verdadero hacia el descubrimiento no consiste en la búsqueda de nuevos paisajes, sino en mirar con nuevos ojos. MARCEL P ROUST En busca del tiempo perdido

C

¿ ómo se disponen los puntos a nivel del mar del paisaje zeta a lo largo de la

recta mágica de Riemann? Parecía una pregunta loca, pero Hugh Montgomery no había pretendido planteársela. En efecto, casi todos consideraban por lo menos arriesgado plantearse tal cuestión cuando nadie era capaz de demostrar que los ceros están realmente sobre la recta. Sin embargo, las sorprendentes configuraciones que Montgomery descubrió tras planteársela representan hoy el mejor indicio sobre dónde buscar una solución a la hipótesis de Riemann. Si Montgomery se planteaba la pregunta era, en primer lugar, porque le ayudaría a comprender una cuestión de naturaleza muy distinta, una cuestión que le atraía desde el tiempo de sus estudios de

doctorado. En aquella época se movía en un área del mundo matemático aparentemente inconexa, en búsqueda de una ocasión para destacar cuando, igual que Alicia, sin sospechar nada, se encontró en un pasadizo secreto del que salió a un paisaje misterioso que era, mira por dónde, precisamente el de Riemann. A diferencia de la cohorte de matemáticos que calzan sandalias y visten camisetas y vaqueros, Montgomery viste de manera impecable, con traje y corbata: su forma de vestir es un reflejo de su carácter reservado y del control con el que ejerce su propia existencia de matemático. A pesar de ser

originario de los Estados Unidos eligió hacer su doctorado en Inglaterra, en Cambridge, donde se convirtió en un apasionado de los fastos de la vida del College. Montgomery, como joven matemático nació gracias a un experimento educativo de los años sesenta para enseñar matemáticas a los escolares. El objetivo no era inculcar a los escolares un canon que fuese aceptado sin explicaciones sobre cómo los matemáticos habían llegado a un descubrimiento, sino capturar el verdadero espíritu de la actividad del matemático. Montgomery y sus compañeros recibían las explicaciones de los axiomas fundamentales y luego se

les pedía que dedujeran consecuencias por sí mismos. En lugar de mostrarles el monumento como si fueran turistas, se los armaba de reglas de deducción y se los dejaba libres para reconstruir por su cuenta el edificio matemático. Ello proporcionó a Montgomery un buen punto de partida: Fui realmente afortunado porque aquel programa didáctico hizo que me apasionara por las matemáticas. Una vez en la Escuela secundaria comprendí lo que significaba ser matemático. Naturalmente, el problema era que tenían que reciclar a todo el

profesorado de matemáticas para que estuvieran en condiciones de aplicar el método. Tuve la suerte de ser alumno de uno de sus inventores. A pesar de afectar a un número de estudiantes relativamente pequeño, el proyecto produjo una cantidad sorprendentemente grande de matemáticos profesionales. En la escuela, Montgomery se divertía especialmente explorando las propiedades de los números, sobre todo de los números primos. También descubrió lo poco que se sabía sobre estos números especiales: ¿existen

infinitos números primos gemelos como 17 y 19 o 1.000.037 y 1.000.039? ¿Todo número par es suma de dos números primos, como conjeturó Goldbach? Montgomery tuvo que esperar a su doctorado en Cambridge para oír hablar del más importante de los problemas sobre números primos: la hipótesis de Riemann. Pero otro problema llamó su atención cuando cayó víctima de la gran tradición matemática de Cambridge. Cuando llegó a Cambridge, a finales de los sesenta, Montgomery encontró un ambiente festivo: en el Departamento de Matemática se celebraba un avance importante para la solución de un problema propuesto por el gran Gauss.

Alan Baker, profesor del Trinity College, había conseguido avances significativos en la factorización de los números imaginarios. Se trata de un problema que Gauss había tratado extensamente en sus Disquisitiones arithmeticae. El conjunto de los números primos que forman un número ordinario, por ejemplo 140, es único; en el caso de 140, estos primos son 2, 2, 5 y 7. No existe elección alternativa de números primos que al multiplicarlos nos den 140. En cambio, los números imaginarios no se comportan tan bien: Gauss se extrañó mucho al descubrir que quizá había más de una manera de construir un número imaginario

utilizando números primos. Montgomery estaba ansioso por participar de la excitación que había provocado la solución de Baker a uno de los problemas de Gauss. Esperaba ganar fama matemática extendiendo las ideas de Baker a otro de los problemas propuestos por Gauss. Sacar partido de la contribución de Baker resultaría difícil, pero Montgomery no desesperó: empezó a leer muchísimo, estudiando toda la teoría de los números que pudo. No habría podido encontrar un ambiente mejor: Cambridge, con su larga tradición corroborada por Hardy y Littlewood, era un lugar fantástico para absorber nuevas ideas. Descubrió que

Hardy y Littlewood habían planteado bellísimas conjeturas sobre la frecuencia de los números primos gemelos, que tanto lo habían fascinado en sus tiempos de escolar. También descubrió los desconcertantes teoremas de Gödel. En la escuela, Montgomery había aprendido cómo el edificio matemático se construye deduciendo teoremas a partir de un conjunto de axiomas. Según Gödel, sin embargo, esta técnica no funcionaría en algunos casos: siempre habría conjeturas sobre los números que nunca podrían ser demostradas a partir de los axiomas que Montgomery había aprendido durante sus años escolares.

¿Y si se descubriera que no existía solución para alguno de los problemas sobre números primos que pretendía afrontar? Corría el riesgo de pasarse la vida persiguiendo sombras. Para ampliar sus propios horizontes más allá de las agujas y los patios del College de Cambridge, Montgomery decidió pasar un año en el Institute for Advanced Study de Princeton. Allí tuvo la oportunidad de expresar sus temores sobre el peligro de acabar intentando demostrar lo indemostrable. Por tradición, todos los huéspedes del instituto, con independencia de sus títulos académicos, son invitados a almorzar con el director. Cuando éste le

preguntó en qué estaba trabajando, Montgomery dijo que hacía tiempo que se interesaba por la conjetura de los números primos gemelos, pero tenía que admitir que los teoremas de Gödel lo inquietaban. La respuesta del director acrecentó el nerviosismo del joven matemático: «Bueno, ¿por qué no se lo preguntamos a Gödel?». Dicho y hecho: llamaron a Gödel para que diera su opinión. Para desgracia de Montgomery, Gödel no pudo garantizarle que algo como la conjetura de los números primos gemelos fuera demostrable en base a los axiomas actualmente vigentes en la teoría de los números. El propio Gödel había manifestado

preocupaciones análogas en relación con la hipótesis de Riemann: quizá los axiomas que constituían los fundamentos del edificio matemático no eran suficientemente amplios para sostener la demostración buscada, en cuyo caso existía la posibilidad de continuar levantando el edificio sin encontrar nunca una conexión con la hipótesis. Pero Gödel también ofrecía algún motivo de consolación: estaba convencido de que cualquier conjetura realmente interesante no quedaría para siempre fuera de alcance: se trataba simplemente de encontrar una nueva piedra angular con la que ampliar la base del edificio. Sólo volviendo a los

fundamentos de la disciplina y buscando la manera de ampliarlos sería posible construir la demostración que faltaba. Si la conjetura era realmente importante — si el resultado conjeturado era una extensión natural de lo que ya había sido demostrado— entonces, creía Gödel, siempre sería posible encontrar la piedra que encajara con igual naturalidad en los fundamentos existentes; gracias a este encaje se abriría la posibilidad de demostrar la conjetura. El propio Gödel había demostrado que este procedimiento no permitiría establecer la validez de cualquier conjetura, pero en la evolución permanente de las bases

axiomáticas de las matemáticas residía la esperanza de capturar un número cada vez mayor de problemas irresueltos. Montgomery volvió a Cambridge con mayor confianza en que su sueño de comprender los misterios del universo de los números no fuera en vano. Volvió al estudio del problema de la factorización de los números imaginarios de Gauss. A partir de sus lecturas sabía de la existencia de una relación entre las propiedades del espacio de Riemann y los intentos que Gauss había hecho en este campo. En concreto, a principios del siglo XX, la hipótesis de Riemann había jugado un papel más bien paradójico en la

demostración de una de las conjeturas de Gauss sobre la factorización de los números imaginarios: la llamada conjetura del número de clase. En 1916, un matemático alemán, Erich Hecke, consiguió demostrar que si la hipótesis de Riemann era cierta entonces también lo sería la conjetura del número de clase. La de Hecke era una de tantas demostraciones «con reserva» que aparecieron durante el siglo. Para que se confirmaran era necesario llegar a la cumbre del monte Riemann, obteniendo así acceso a los tesoros que éste escondía. Ninguna de ellas podría llamarse «demostración» hasta que no se demostrara la hipótesis

de Riemann. El giro paradójico que Montgomery descubrió sobre la conjetura del número de clase de Gauss salió a la luz pocos años más tarde: tres matemáticos, Max Deuring, Louis Mordell y Hans Heilbronn, consiguieron demostrar que, si la hipótesis de Riemann fuera falsa, entonces podría utilizarse para demostrar que la conjetura de Gauss sobre la factorización de los números imaginarios era cierta. Se cerraba el círculo: en cualquier caso, la intuición de Gauss sobre la factorización de los números imaginarios era correcta. La demostración «sin reserva» de la conjetura del número de clase, en la que

se combinaban la demostración de Hecke y la de Deuring, Mordell y Heilbronn, es una de las más extrañas aplicaciones de la hipótesis de Riemann. Ahora Montgomery sabía hasta qué punto son importantes los ceros de Riemann para atacar algunos de los problemas propuestos por Gauss sobre la factorización de los números imaginarios. Si consiguiera demostrar que tendían a reagruparse a lo largo de la recta mágica de Riemann, entonces estaba seguro de hacer progresos en la generalización del famoso trabajo de Baker. La idea de que un cero fuera seguido casi inmediatamente por otro se inspiraba en la conjetura de los números

primos gemelos, que lo fascinaba desde los tiempos de la escuela: ¿estaría en condiciones de demostrar que los puntos a nivel del mar del paisaje de Riemann pueden estar uno frente al otro, igual que los números primos gemelos que esperamos encontrar infinitas veces? La existencia de puntos a nivel del mar muy próximos entre sí tendría importantes consecuencias para el problema de la factorización de los números imaginarios: ¿sería el primer trofeo de Montgomery, el tipo de trofeo con el que sueña cualquier estudiante de doctorado para hacerse un nombre en el despiadado mundo académico? Montgomery estaba apostando por

una distribución aleatoria de los ceros a lo largo de la recta mágica de Riemann; una distribución que de algún modo reflejaba la de los números primos a lo largo de la recta numérica. Al fin y al cabo, si los números primos parecían ser el resultado del lanzamiento de una moneda, era razonable pensar que también los ceros de la función zeta estuvieran distribuidos aleatoriamente. El azar crea siempre agrupaciones, que son la razón por la que los autobuses llegan siempre de tres en tres y los números premiados en la lotería a menudo están unos cerca de otros. Montgomery esperaba encontrarse con una serie de pequeñas agrupaciones de

ceros, que usaría para demostrar algunas ideas relativas a la factorización de los números imaginarios. El problema era que los indicios en los cuales basarse eran escasos. Los ceros cuya posición se había calculado no eran suficientes para hacer visible ni siquiera uno de esos agrupamientos. Por ello, Montgomery tuvo que hacer una aproximación indirecta. A falta de indicios experimentales, ¿existía algún aspecto de la teoría que indicara una tendencia de los ceros a agruparse? El método que Montgomery ideó era una ingeniosa inversión del papel que habitualmente jugaban los ceros. La fórmula explícita que Riemann había

descubierto utilizando el paisaje zeta expresaba un nexo directo entre los números primos y los ceros. La fórmula se interpretaba como una manera de comprender los números primos a través del análisis de los ceros. Montgomery se limitó a invertir la ecuación: usaría los conocimientos sobre los números primos para deducir el comportamiento de los ceros a lo largo de la recta mágica de Riemann. Recordaba que Hardy y Littlewood habían hecho una estimación de la frecuencia con la que se presentarían los primos gemelos a lo largo de los números primos: quizá podría extender la estimación al comportamiento de los ceros. Pero

cuando la insertó en la fórmula explícita de Riemann descubrió con sorpresa y desilusión que la estimación de Hardy y Littlewood no predecía realmente la existencia de agrupaciones de ceros. Montgomery se puso a analizar con detalle aquella predicción: parecía indicar que, cuando se iba hacia el norte a lo largo de la recta de Riemann, los ceros —a diferencia de los números primos—, se repelían unos a otros. Montgomery pronto se dio cuenta de que a los ceros no les gustaba nada la compañía: al contrario de lo que sucede con los números primos, a un cero nunca le siguen otros ceros en rápida sucesión. De hecho, los resultados que obtuvo

Montgomery sugerían la posibilidad de que los ceros se distribuyeran de forma totalmente uniforme a lo largo de la recta de Riemann, en claro contraste con la distribución aleatoria que había esperado encontrar:

Los intervalos que separan gotas de lluvia, números primos y ceros de Riemann.

Montgomery buscaba la manera de describir su estimación del comportamiento de las distancias que separan los puntos a nivel del mar. Para representar el campo de variación teórico de la distancia entre ceros adyacentes, construyó un diagrama que se llama gráfica de correlación de parejas. La curva que obtuvo era distinta de cualquier otra que hubiera visto antes. No se parecía en absoluto a la que se obtiene, por ejemplo, cuando se colocan en un diagrama las alturas correspondientes entre grupos de

personas elegidas al azar, que es similar a la clásica curva de campana que corresponde a la distribución gaussiana.

La gráfica de Montgomery. En el eje

horizontal se coloca la distancia entre parejas de ceros, mientras que el eje vertical mide el número de parejas para cada distancia dada.

La gráfica de Montgomery da el número de ceros que debería haber para cada posible distancia que separa una pareja. La primera parte de la gráfica muestra que a los ceros no les gusta estar cerca, ya que la altura de la curva se mantiene pequeña. Montgomery creía que en la parte derecha de la gráfica se insinuaría un movimiento ondulatorio, que indicaría una distribución estadística insólita y específica. No podía demostrar que la pauta de las distancias entre ceros continuaría

realmente de esta forma, ni tenía suficientes valores calculados de las posiciones de los ceros para verificar experimentalmente la corrección de su propia predicción: su extraña gráfica se basaba exclusivamente en la conjetura de Hardy y Littlewood sobre la distribución de los números primos gemelos. Sin embargo, la gráfica no resultó tan nueva como Montgomery creyó al principio. Como esperaba descubrir que los ceros se agrupaban, Montgomery consideró su trabajo como algo parecido a un fracaso. Había pensado usar las pequeñas agrupaciones de ceros sobre la recta crítica de Riemann para

responder a algunas de las preguntas planteadas por Gauss sobre la factorización de los números imaginarios y que seguían pendientes de respuesta. Pero había obtenido el resultado opuesto: si su nueva conjetura era cierta, si los ceros tendían a alejarse; entonces la investigación de Montgomery no serviría para iluminar sus ideas de partida. Pero cuando se emprende un viaje nunca se sabe dónde se acabará. Como Littlewood le dijo a Montgomery una vez en Cambridge: «no tema trabajar sobre problemas difíciles, porque durante el recorrido puede suceder que se resuelvan cosas interesantes». Littlewood lo había

experimentado en carne propia cuando, siendo estudiante de doctorado, su ignorante tutor le había encargado el trabajo de demostrar la hipótesis de Riemann. Montgomery había tropezado con aquella inesperada distribución de las distancias que separan los ceros en el otoño de 1971. En marzo de 1972 defendió su tesis doctoral y aceptó una plaza en la Universidad de Michigan, donde hoy es profesor. Aún estaba convencido de la novedad e interés de sus ideas, pero una gran duda le preocupaba. Sabía que Atle Selberg se había convertido en una especie de moderno Gauss: «Selberg tenía muchos

trabajos inéditos, y siempre existía el peligro de que dijera: “¡Oh sí, esto lo sé desde hace muchos años!”». Igual que los nuevos descubrimientos anunciados por Legendre resultaron ser viejos resultados que Gauss había anotado años antes en manuscritos inéditos, a menudo los matemáticos modernos descubren que Selberg se les ha anticipado. Después de sus problemas de relación con Erdös por la demostración elemental del teorema de los números primos, Selberg trabajó en absoluta soledad sus propias ideas en el campo de la teoría de los números, y muchas de aquellas ideas permanecen inéditas.

Así, de camino a un seminario dedicado a la teoría de los números en la primavera de 1972, Montgomery decidió hacer escala en Princeton para hablar con Selberg sobre sus descubrimientos. Había algo que lo angustiaba: «Estaba preocupado porque pensaba que quizá hubiera un mensaje en lo que había hecho, y yo no sabía cuál era». Sin embargo, no fue Selberg quien ayudó a Montgomery a interpretar aquel mensaje, sino otro miembro de la potente mafia de Princeton.

DYSON, EL PRÍNCIPE ENCANTADO DE LA FÍSICA

El físico inglés Freeman Dyson se hizo famoso justo después de la guerra al proporcionar su apoyo a un joven científico de espíritu independiente: Richard Feynman. Una vez licenciado en Cambridge, Dyson obtuvo una beca en la Universidad de Cornell; allí conoció al joven Feynman, que trabajaba en una interpretación absolutamente única y personal de la física cuántica. Al principio muchos ignoraban lo que Feynman tenía que decir porque no comprendían su lenguaje: Dyson captó la potencialidad de la perspectiva de Feynman y lo ayudó a articular de manera más clara sus revolucionarias ideas. Hoy, los instrumentos

desarrollados por Feynman están en la base de gran parte de los cálculos que realizan los físicos de partículas: si no hubiera sido por la capacidad interpretativa de Dyson, quizás esos instrumentos se habrían perdido para siempre. La física no fue lo primero que captó la imaginación de Dyson. Procedía de una familia de fuerte tradición musical pero poco interesada por la ciencia. En la escuela, sin embargo, lo embrujaron las embriagantes melodías de las matemáticas. Quedó fascinado por la teoría de las particiones de Ramanujan, tras conseguir un ejemplar de uno de los libros que Hardy había dedicado a la

teoría de los números: «En los cuarenta años transcurridos desde aquel fausto día, jamás he dejado de visitar el jardín de Ramanujan. Y cada vez hallo flores frescas, apenas abiertas. Esto es lo más increíble de Ramanujan: descubrió una enorme cantidad de cosas pero dejó otras tantas en su jardín para que otros pudieran descubrirlas». Según Dyson, aunque todos exploren el mismo terreno, los científicos se dividen en dos categorías: los pájaros y las ranas. Los pájaros vuelan a gran altura sobre su campo, hábiles para comprender las grandiosas conexiones que cruzan el panorama; las ranas pasan su tiempo chapoteando en el fango y

nadando en un pequeño charco, con el que llegan a tener una gran familiaridad. Las matemáticas eran la típica disciplina para los pájaros, pero Dyson se consideraba una rana, lo que le llevó a ocuparse de cuestiones concretas de la física. Gracias a su éxito en la promoción de la física cuántica de Feynman, Dyson atrajo la atención del director del Institute for Advanced Study de Princeton, Robert Oppenheimer, el físico que durante la Segunda Guerra Mundial había encabezado el programa nuclear de los Estados Unidos. En 1953 Dyson aceptó la oferta de Oppenheimer y tomó posesión de una plaza

permanente en el Instituto. A pesar de su tono de voz suave y de su carácter discreto, las opiniones directas de Dyson lo ayudaron a darse a conocer fuera de los círculos académicos. Se hizo famoso por sus especulaciones sobre la posible existencia de civilizaciones extraterrestres. La gran admiración de que gozaba entre el público, fascinado por el cosmos, alcanzó sus cotas más altas durante los años cincuenta y sesenta, cuando trabajó en el Proyecto Orion, que pretendía construir aeronaves capaces de transportar al hombre a Marte y Saturno. A pesar de haber pasado todo el curso académico 1970-1971 en el

Institute for Advanced Study, cuando habló con Gödel por primera vez, Montgomery había tenido pocos contactos con los físicos: la gran cantidad de especialistas en teoría de los números de Princeton bastaba para mantenerlo ocupado; pero, como él mismo recuerda: «conocía a Dyson de vista. Teníamos una especie de relación a base de saludos y sonrisas, aunque dudo que él supiera quién era yo. Yo sabía quién era porque durante la Segunda Guerra Mundial se había dedicado a la teoría de los números en Londres». Durante la primavera de 1972, cuando decidió detenerse en Princeton,

de camino a una conferencia sobre teoría de los números, Montgomery dedicó la jornada a explicar sus ideas a Selberg y a algunos teóricos de números que estaban de visita en el instituto. En su momento, el trabajo se interrumpió para un ritual que se observa escrupulosamente en muchísimos departamentos de matemáticas: el té de la tarde. La hora del té es siempre una ocasión importante en Princeton, porque permite el intercambio de ideas entre gente dedicada a disciplinas diversas. Montgomery estaba charlando con uno de los teóricos de números que habían asistido a su seminario informal, Saravadam Chowla. Chowla era un

estudiante de Littlewood que había huido a los Estados Unidos en 1947 cuando, tras la fundación de los nuevos estados de la India y Pakistán, su ciudad natal, Lahore, pasó a ser pakistaní. Se convirtió en visitante asiduo del instituto, donde se ganó la simpatía de sus miembros permanentes con su personalidad exuberante y su buen humor. Mientras charlaba con Montgomery, el matemático indio descubrió a Dyson en la otra punta de la sala. «Chowla dijo: “¿Conoce a Dyson?”, y respondí que no. “Permítame que se lo presente”. Dije que no». Pero Chowla era famoso por no aceptar las negativas:

es la única persona que ha conseguido obligar a Selberg a escribir un artículo en colaboración. «Chowla fue muy insistente, y me arrastró hasta Dyson para presentármelo. Yo me sentía avergonzado, no quería molestar a Dyson, pero él fue muy cordial y me preguntó en qué estaba trabajando». Montgomery empezó a hablar de lo que creía pudiera ser el comportamiento de los intervalos que separan las parejas de ceros. En cuanto mencionó su gráfica de distribución de los intervalos, los ojos de Dyson se iluminaron: «¡Pero si es exactamente el mismo comportamiento de las diferencias entre pares de valores propios de las matrices aleatorias

hermitianas!». Dyson explicó rápidamente a Montgomery que aquellas entidades matemáticas de nombre esotérico eran utilizadas por los físicos cuánticos para predecir los niveles energéticos en el núcleo de un átomo pesado cuando es bombardeado con neutrones de baja energía. Dyson, que estaba en la vanguardia de aquellas investigaciones, señaló a Montgomery algunos de los experimentos que se habían realizado para determinar aquellos niveles energéticos. De hecho, cuando Montgomery fue a observar los intervalos entre niveles energéticos en el núcleo del átomo de erbio, el

sexagésimo octavo elemento de la tabla periódica, notó algo extraordinariamente familiar: tomando una secuencia de los ceros de Riemann y poniéndola junto a aquellos niveles energéticos medidos por vía experimental, se notaba al instante un misterioso parecido. Tanto los intervalos entre los ceros como entre los niveles de energía se sucedían de manera mucho más ordenada que si se hubieran elegido al azar. Montgomery no podía creerlo: las configuraciones que preveía en la distribución de los ceros eran idénticas a las que los físicos cuánticos estaban descubriendo en los niveles energéticos de los núcleos de átomos pesados. Se

trataba de configuraciones tan características que el fuerte parecido no podía ser fruto de una coincidencia. Ahí estaba el mensaje que Montgomery estaba buscando: quizá las matemáticas que se esconden en los niveles cuánticos de energía en los núcleos de los átomos pesados son las mismas matemáticas que determinan las posiciones de los ceros de Riemann. Las matemáticas que explican estos niveles energéticos se remontan a la revelación que supuso el inicio del desarrollo de la física cuántica en el si gl o XX. Las partículas elementales, como los electrones o los fotones, tienen dos características aparentemente

contradictorias: por una parte, se comportan de manera muy similar a minúsculas bolas de billar, pero, al mismo tiempo, los experimentos revelan una naturaleza distinta, que sólo puede explicarse considerando las «partículas» elementales como ondas. La física cuántica nació de los intentos de la ciencia de explicar este desdoblamiento subatómico de la personalidad: la dualidad ondapartícula.

TAMBORES CUÁNTICOS

A

principios

del

siglo XX se

desarrolló una imagen del átomo similar a la de un sistema solar en miniatura, constituido por partículas indivisibles. El Sol, que se hallaba en el centro de este minúsculo sistema, se llamó núcleo: los físicos descubrieron después que aquel núcleo estaba formado a su vez por partículas que se llamaron protones y neutrones. Alrededor del núcleo orbitaban los electrones, los planetas de la estructura atómica. Los progresos teóricos y los experimentos obligaron rápidamente a los físicos a replantear el modelo; empezaron a ser conscientes de que el átomo, más que como un sistema planetario, se comporta como un tambor: las vibraciones que se crean cuando se

percute el tambor están compuestas por algunas formas de ondas fundamentales, cada una con su propia frecuencia característica. En teoría, existen infinitas frecuencias posibles y, por tanto, el sonido del tambor es una combinación de estas diversas frecuencias. A diferencia de los armónicos que produce una cuerda de violín, el sonido del tambor es una mezcla mucho más compleja de frecuencias que vienen determinadas por la forma del instrumento, por la tensión de la piel del tambor, por la presión exterior del aire y por otros factores. La complejidad de las diversas formas de ondas producidas por un tambor explica por qué muchos

de los instrumentos de percusión de una orquesta no producen una nota identificable. Existe una manera de visualizar la complejidad de las vibraciones que componen el sonido de un tambor. Un científico del siglo XIX, Ernst Chladni, ideó un experimento que se puso de moda en las cortes europeas. (Napoleón quedó particularmente fascinado por la demostración, y lo premió con seis mil francos). Para representar el tambor, Chladni utilizaba una placa metálica cuadrada. Cuando la percutía, la placa emitía un horrible sonido metálico, pero haciéndola vibrar hábilmente con un arco de violín, Chladni conseguía aislar

cada frecuencia individual. Recubriendo la placa con una fina capa de arena mostraba a su público los diversos tipos de vibraciones que cada frecuencia básica produce en el metal. La arena se agrupaba en las zonas de la placa que no vibraban, y sobre su superficie aparecían extrañas formas regulares. Cada vez que Chladni hacía vibrar la placa con un nuevo golpe del arco, aparecía una nueva forma en la arena, que significaba una nueva frecuencia. Hacia 1920 los físicos comprendieron que las matemáticas que describen las frecuencias del sonido emitido por un tambor podían usarse también para calcular los niveles

energéticos de vibración de los electrones en un átomo. En este sentido, átomo y tambor son físicamente equivalentes: fuerzas presentes en el átomo controlan las vibraciones de las partículas subatómicas, de la misma manera que la tensión de la membrana de piel o la presión del aire gobiernan las vibraciones que terminan por formar el sonido del tambor. Cada uno de los átomos es como una de las placas de Chladni. En el átomo, los electrones vibran sólo de maneras bien definidas, como las que Chladni hacía visibles. Cuando un electrón se excita, empieza a vibrar en una nueva frecuencia, de manera similar a como Chladni podía

crear nuevas formas en la arena extendida sobre su placa utilizando un arco de violín. Cada átomo de la tabla periódica tiene su propio conjunto de frecuencias en las cuales prefiere vibrar con sus electrones. Estas frecuencias son las huellas dactilares de los átomos, frecuencias que los físicos utilizan con los espectroscopios para identificar los distintos átomos presentes en las sustancias que están investigando.

Algunas de las extrañas formas de

vibración de una placa metálica con que Chladni entretuvo a Napoleón.

Para explicar las figuras —o formas de onda— que aparecen en la superficie del tambor, se desarrolló una teoría matemática. La teoría se remonta a la ecuación de onda de Euler: basta con insertar las propiedades físicas del tambor —su forma, la tensión de la membrana, la presión del aire circundante— y las soluciones de la ecuación proporcionan las formas posibles de la onda. La física del átomo difiere de la del tambor en que utiliza números imaginarios. Y son los números imaginarios los que dan a la física

cuántica su extraño carácter probabilístico. En nuestro mundo ordinario, macroscópico, podemos medir sin influir sobre lo que medimos. Cuando utilizamos un cronómetro no frenamos a los atletas cuyos tiempos medimos; cuando medimos dónde ha caído una jabalina no alteramos la longitud del lanzamiento. Como observadores, somos independientes del sistema que medimos. Pero en el mundo microscópico las cosas son distintas: cuando observamos un electrón interactuamos con él, modificando invariablemente su comportamiento. La física cuántica intenta explicar lo

que le sucede a una partícula antes de que entre en juego el observador. Hasta que la observamos en nuestro mundo macroscópico, la realidad cuántica sólo existe en el mundo de los números imaginarios: son ellos los que explican las observaciones aparentemente inexplicables desde nuestra perspectiva macroscópica. Por ejemplo, hasta que es observado, parece que el electrón puede estar al mismo tiempo en dos lugares distintos, o que puede vibrar a muchas frecuencias distintas, que corresponden a diversos niveles energéticos. Cuando observamos un acontecimiento en el mundo cuántico es como si no estuviéramos viendo el acontecimiento

en su mundo natural, sino su sombra proyectada en nuestro mundo «real» de números ordinarios. El acto de la observación reduce el mundo bidimensional de los números imaginarios a la línea unidimensional de los números ordinarios. Antes de ser observado, el electrón vibrará, como un tambor, en una combinación de frecuencias distintas. Pero cuando lo observamos no es como si escucháramos el sonido de un tambor y oyéramos todas las frecuencias al mismo tiempo: sólo percibimos un electrón que vibra a una sola frecuencia. Dos de los personajes clave para la exploración del nuevo mundo de los

cuanta fueron los físicos de Gotinga Werner Heisenberg y Max Born. Al mirar por la ventana de su despacho, a menudo Hilbert los veía caminar arriba y abajo por los prados de los alrededores del departamento de Matemática, en plena discusión, dedicados a construir el modelo atómico del siglo XX. Hilbert empezó a preguntarse si las posiciones de los ceros en el paisaje de Riemann podrían explicarse a partir de las matemáticas de las vibraciones que Heisenberg estaba elaborando para explicar los niveles energéticos en el átomo. Sin embargo, en aquella época había poco sobre qué basarse. Los descubrimientos de

Montgomery relanzaron la idea de Hilbert de que la mejor oportunidad para comprender los ceros de Riemann vendría de la mano de las matemáticas de los tambores cuánticos que, precisamente entonces, Born y Heisenberg estaban creando para explicar los niveles energéticos. La combinación de números imaginarios y de ondas originaba un característico conjunto de frecuencias que hacía pensar más en tambores cuánticos que en una orquesta clásica. Pero, como Montgomery aprendió de Dyson durante su breve encuentro en Princeton, las frecuencias características que se adaptan mejor a las posiciones de los

ceros de Riemann provienen de algunos de los átomos más complejos de la orquesta cuántica.

UN RITMO FASCINANTE

El primer átomo analizado por los físicos cuánticos fue el de hidrógeno. Un átomo de hidrógeno es un tambor muy sencillo: un electrón que órbita alrededor de un protón. Y las ecuaciones que determinan las frecuencias o los niveles energéticos de este electrón y de este protón son lo bastante simples como para poder resolverse con exactitud. Las

frecuencias de este único electrón tienen mucho que ver con los armónicos que produce una cuerda de violín. Pero si bien los físicos cuánticos tuvieron éxito con el hidrógeno, en cuanto intentaron continuar con la tabla periódica descubrieron que era prácticamente imposible describir el tambor cuántico de manera precisa: cuantos más protones y neutrones había en el núcleo, y cuantos más electrones había orbitándolo, más crecían las dificultades. Ante los 92 protones y 146 neutrones que forman el núcleo de un átomo de uranio 238, los físicos se encontraban perdidos. El problema más difícil era determinar los niveles energéticos del núcleo, el sol

central del sistema atómico. Descifrar la forma del tambor matemático que determinaba estos niveles energéticos nucleares era demasiado complicado. Incluso si los físicos hubieran conseguido determinar qué tambores matemáticos producían los niveles energéticos, aquellos tambores serían tan complejos que habría resultado imposible determinar sus frecuencias. Hasta los años cincuenta no se encontró la manera de analizar aquellas estructuras tan complicadas. En lugar de buscar la manera de establecer los valores precisos de cada nivel energético particular, Eugene Wigner y Lev Landau decidieron estudiar sus

pautas estadísticas: hicieron con los niveles energéticos lo que Gauss había hecho con los números primos. Gauss había desplazado su atención del intento de predecir la posición concreta de un número primo en la sucesión, a una estimación de la cantidad de números primos que se encontrarían en promedio a medida que se contaran. De la misma manera, Wigner y Landau sostenían la oportunidad de un enfoque menos rígido del estudio de los niveles energéticos del átomo: el análisis estadístico revelaría la probabilidad de encontrar, en una pequeña zona del espectro de todas las frecuencias, los niveles energéticos de un núcleo particular.

El núcleo de uranio era tan complicado que existía un número enorme de posibles ecuaciones con las que determinar sus niveles energéticos según el estado en que se encontraba el uranio. Por ello, las esperanzas de estimar los valores estadísticos de los niveles energéticos se reducían si los valores cambiaban drásticamente al cambiar el estado del núcleo. Como los niveles se determinaban analizando tambores cuánticos, Wigner y Landau decidieron verificar si la distribución de frecuencias variaba de forma incontrolada al cambiar la forma de los tambores. Afortunadamente resultó que para gran parte de los tambores no

sucedía. Wigner y Landau descubrieron que, cuando elegían tambores cuánticos al azar, las frecuencias específicas podían cambiar, pero no cambiaban los valores estadísticos de las frecuencias. En resumen, por término medio los tambores cuánticos se comportaban de la misma forma. Pero ¿se comportaba el núcleo de un átomo pesado como un tambor cuántico medio? Wigner y Landau estaban convencidos de que no había nada que hicieran distintos a los tambores que describían —por ejemplo, el núcleo del uranio— de la mayoría de los tambores cuánticos. La intuición de Wigner y Landau daba en la diana. Al comparar los

valores estadísticos de los niveles energéticos de un tambor cuántico elegido al azar con los de niveles energéticos observados en los experimentos, encontraron una excelente concordancia. En particular, al observar los intervalos que separan los niveles energéticos en un núcleo de uranio, parecía que estos niveles energéticos se repelieran. De ahí la excitación de Freeman Dyson durante su breve intercambio con Montgomery en Princeton: la gráfica que Montgomery le mostró tenía la marca concreta de la descripción estadística de los niveles energéticos. Pero Montgomery había hecho visible aquella extraña

configuración en un área de la ciencia que parecía no tener nada que ver. En consecuencia, la siguiente pregunta que había que plantearse era por qué aquellas dos entidades — niveles energéticos y ceros de Riemann — tenían algo en común, y qué era lo que las relacionaba. Montgomery debió de sentir la misma impresión que un arqueólogo que descubriera pinturas paleolíticas idénticas en cuevas situadas en extremos opuestos del mundo: forzosamente tenía que existir un vínculo. Montgomery reconoce que su conversación con Dyson fue probablemente una de las coincidencias más fortuitas de la historia de la ciencia:

«Fue por pura casualidad que estuviera allí, precisamente en el sitio justo». Desde los tiempos de Galileo y Newton, a menudo la física y las matemáticas se mueven en territorios parecidos, pero nadie habría esperado que la teoría de los números de Riemann y la física cuántica estuvieran tan íntimamente ligadas. Los intentos de Montgomery por comprender la factorización de los números imaginarios no lo habían llevado a ninguna parte, pero se había metido en algo mucho más interesante: «Si consideramos los proyectos de investigación fallidos, éste fue mejor que muchísimos otros», admite sonriendo Montgomery.

¿Qué significado tienen para la hipótesis de Riemann estas revelaciones surgidas durante una pausa para el té en Princeton? Si los puntos a nivel del mar del paisaje de Riemann podían explicarse a partir de las matemáticas de los niveles energéticos en física, entonces se perfilaba la perspectiva excitante de conseguir demostrar por qué los puntos a nivel del mar se encuentran sobre una misma recta: un cero que cayera fuera de la recta correspondería a un nivel energético imaginario, es decir, una cosa prohibida por las ecuaciones de la física cuántica. Nunca hasta entonces había existido una esperanza tan fundada de proporcionar

una explicación para la hipótesis de Riemann. Mientras se efectuaban experimentos para confirmar el modelo de los niveles energéticos en átomos pesados propuesto por Wigner y Landau, Montgomery seguía sin confirmaciones experimentales del hecho de que los puntos a nivel del mar del paisaje de Riemann se comportaran de la manera en la que él creía que debían hacerlo en base a la teoría. Nadie había verificado que los ceros se repelieran realmente, como él sugería. El problema radicaba en que las regiones del paisaje de Riemann en las que era probable que se produjeran estas pautas estadísticas se

encontraban muy lejos del alcance de los cálculos que Motgomery podía efectuar. En Cambridge, Montgomery había sabido de los descubrimientos de Littlewood respecto de la imposibilidad de observar el verdadero carácter de los números primos a menos que nos trasladáramos a los más remotos rincones del universo numérico. A pesar de que Littlewood había demostrado teóricamente que en algunos casos la fórmula de Gauss para el cálculo de la cantidad de números primos podía producir subestimaciones, nadie había podido confirmar este hecho experimentalmente. Montgomery

empezaba a resignarse a sufrir el mismo destino. Haría falta algún tiempo antes de que los físicos experimentales construyeran aceleradores de partículas capaces de generar la energía suficiente para confirmar las predicciones teóricas de Wigner y Landau. Montgomery temía que los matemáticos nunca consiguieran calcular números tan grandes como para verificar si los ceros situados en zonas remotas de la recta crítica seguían efectivamente la pauta teórica prevista. Pero Montgomery no había tenido en cuenta las grandes capacidades de cálculo de Andrew Odlyzko y del supercomputador Cray que tenía a su disposición en el laboratorio de la

AT&T, en el corazón de Nueva Jersey.

Odlyzko conocía las predicciones teóricas de Montgomery sobre los intervalos que separan los ceros y de su paralelismo con los tambores aleatorios escondidos en los niveles energéticos de los núcleos atómicos pesados. Precisamente éste era el tipo de reto que lo fascinaba. Odlyzko empezó a salir a la caza de los ceros hasta más allá de 1012 unidades de distancia sobre la recta mágica de Riemann. Si imaginamos que el mapa del paisaje de Riemann está centrado sobre Nueva Jersey y a cada unidad a lo largo de la recta crítica le hacemos corresponder la distancia de un centímetro, en ese caso Odlyzko

examinaba áreas de la recta mágica de Riemann que se hallaban a una distancia equivalente a veinticinco veces la de la Luna. Cuando el supercomputador Cray consiguiera analizar unos cien mil ceros, Odlyzko sería capaz de examinar los valores estadísticos de los intervalos que los dividen. A mitad de los ochenta estuvo preparado para publicar los resultados de sus cálculos: la separación entre los ceros del paisaje de Riemann mostraba efectivamente un cierto parecido con el de los niveles energéticos en los átomos pesados, pero era evidente que la correspondencia no era perfecta. Aquella concordancia nunca habría satisfecho a un estadístico:

¿había que deducir que Motgomery se equivocaba? ¿O más bien Odlyzko habría tenido que proseguir sus investigaciones más al norte? Sin intimidarse en absoluto por la magnitud del trabajo, Odlyzko decidió llegar hasta 1020 pasos hacia el norte. Si consideramos el mapa hipotético centrado en Nueva Jersey, ahora Odlyzko estaba explorando regiones situadas a cien años luz de la Tierra, una distancia mayor que la de Vega, la estrella desde la cual, en la novela Contacto de Carl Sagan, partía la misteriosa sucesión de números primos. En 1989, Odlyzko presentó en una gráfica los intervalos que separaban los

ceros y los puso junto a los valores previstos por Montgomery: esta vez la correspondencia era asombrosa. Se trataba de la prueba convincente de una nueva propiedad de los ceros. Desde aquellas distancias siderales los ceros enviaban un mensaje muy claro: los producía un complicado tambor matemático.

MAGIA MATEMÁTICA

¿Hasta qué punto era significativa la concordancia estadística que había descubierto Andrew Odlyzko? Quizá era posible obtener aquellos mismos datos

estadísticos usando otro tipo de matemáticas totalmente distinto. ¿Odlyzko nos estaba mostrando la dirección correcta o más bien nos estaba complicando la vida? Para responder a estas preguntas lo mejor es dirigirse a Persi Diaconis, estadístico de la Universidad de Stanford y experto en desenmascarar presuntos fenómenos paranormales: Diaconis ha contribuido a descubrir todo el montaje del «código secreto de la Biblia», el presunto descubrimiento de mensajes y profecías escondidos en el texto de la Biblia. Ante los datos de Riemann, Diaconis reconoce que le sería difícil encontrar una concordancia

estadística mejor: «Llevo toda la vida dedicado a la estadística, y nunca había visto datos que concordaran tan perfectamente». Diaconis sabe muy bien que lo que parece válido desde un determinado punto de vista debe examinarse desde todas las perspectivas para estar seguro de que alguna imperfección reveladora no haya quedado hábilmente oculta. Diaconis es un maestro en esta clase de trucos: al principio fue la magia, no las matemáticas, la que capturó su imaginación. Durante su infancia, en Nueva York, Diaconis hacía novillos para escaparse a las tiendas de magia. Su destreza

atrajo la atención de uno de los más grandes ilusionistas de los Estados Unidos: Dai Vernon. Cuenta Diaconis que Vernon, quien por entonces contaba sesenta y ocho años, le ofreció unirse a él como ayudante en sus espectáculos itinerantes: «Mañana me voy a Delaware, ¿quieres venir?». Con sus catorce años, Persi llenó una mochila y se marchó sin decir nada a sus padres. Durante los dos años siguientes viajaron por todo el país: Éramos como Oliver Twist y Fagin. La de los magos es una comunidad muy solidaria. Nada que ver con barracones de feria

o cosas así: son gente de la clase media alta, que lo hace por pasión. A los magos les fascinan los que practican juegos de azar. Vernon y yo queríamos descubrir a los tramposos, y si nos enterábamos de que un esquimal era capaz de repartir la segunda carta con raquetas de nieve, nos íbamos a Alaska. Así eran nuestras aventuras. Lo hicimos durante dos años, íbamos hacia donde nos llevaba el viento. Frecuentando a los jugadores se oía hablar de probabilidad con frecuencia. Quedé fascinado y quise saber más sobre esto.

Durante sus viajes, Diaconis empezó a leer libros sobre las matemáticas de la probabilidad. Como tantas otras veces, fue la influencia decisiva de un libro concreto lo que puso en marcha la carrera de uno de los matemáticos más fascinantes de nuestro tiempo: cayó en sus manos An Introduction to Probability Theory and its Applications, de William Feller, uno de los textos universitarios clásicos sobre el tema. Con su falta de base matemática, Diaconis no sabía por dónde empezar. Decidió que la única manera de avanzar era inscribirse en los cursos nocturnos del City College de Nueva York. El interés se convirtió en

pasión. En dos años y medio se licenció, y rápidamente se inscribió en los cursos de doctorado. Harvard dio una oportunidad a aquel estudiante poco convencional, que desde entonces no se ha detenido. Diaconis permanece fiel a sus raíces de ilusionista, y reconoce que ambas artes tienen mucho en común. Mi manera de hacer matemáticas es muy similar a la magia. En ambas disciplinas tienes un problema que debes intentar resolver respetando ciertos límites. En matemáticas son los de una argumentación lógica

construida con los instrumentos que tienes a tu disposición, y en el caso de la magia significa utilizar tus instrumentos y tu destreza para producir determinado efecto sin que el público se dé cuenta de los que estás haciendo. El proceso intelectual es casi el mismo en ambos campos; una cosa que distingue magia y matemáticas es la competición: en matemáticas la competición es mucho más dura que en el mundo de la magia. Como estadístico, Diaconis está interesado en el problema de establecer

si algo es o no aleatorio. Consiguió salir en la primera página del New York Times por su análisis del barajado de naipes. Según Diaconis, un jugador medio necesita siete cortes para poner las cartas en un orden aleatorio. Pero esto es cierto para el jugador medio que hace cortes medios: las cosas cambian notablemente si el que baraja las cartas tiene las manos mágicas de Diaconis. Muchos de sus trucos se basan en su capacidad de efectuar el corte perfecto: sabe que ocho cortes perfectos seguidos devuelven las cartas a su disposición inicial, aunque el público esté convencido de que se trata de un orden aleatorio. Es particularmente hábil para

distinguir si una baraja mezclada está «clavada». Diaconis ha conseguido tal reputación con su habilidad para determinar regularidades allá donde otros sólo ven caos, que fue contratado por Las Vegas para controlar que las máquinas electrónicas con las que se barajan las cartas no revelen nada al jugador experto. Diaconis sintió curiosidad cuando los teóricos de números hicieron correr la noticia de que Montgomery y Odlyzko afirmaban que los ceros del paisaje de Riemann presentaban el mismo aspecto que las frecuencias de un tambor cuántico. Si había alguien preparado para husmear un posible gato encerrado,

ése era él: «Por esto llamé a Andrew y le dije que quería los ceros. Me dio unos cincuenta mil, todos para mí, a partir de más o menos 1020». Diaconis probó un método nuevo de verificación que había descubierto durante su estancia en la AT&T para trabajar en la codificación de conversaciones telefónicas: «Peiné los ceros en todos los sentidos, y descubrí que se adaptaban perfectamente a las predicciones teóricas». Se trataba de una última confirmación de que los ceros derivaban de los redobles de un tambor matemático aleatorio cuyas frecuencias se comportaban como los niveles energéticos de la física cuántica.

Para Diaconis, las relaciones entre los números primos y los niveles de energía no son un engaño maligno de la naturaleza, sino auténtica magia. Una vez descubierto, este nuevo tratamiento estadístico empezó a emerger por todas partes: núcleos pesados, ceros de las funciones zeta de Riemann, secuenciación del ADN, propiedades del cristal. Lo más curioso, sin embargo, es la posibilidad de utilizarlo para responder a otro problema pendiente: ¿cuál es la probabilidad de completar un solitario de cartas? Naturalmente, fue Diaconis quien descubrió esta aplicación. En uno de los solitarios más

difundidos, se distribuyen las cartas en siete columnas: una carta en la primera columna, dos en la segunda… y siete en la última. La última carta de cada columna está descubierta; el resto de cartas se van girando de tres en tres. Se puede colocar una carta descubierta sobre otra si la carta que se tiene que poner es de color distinto de la carta sobre la que se quiere colocar y la sigue en orden decreciente de valor. Así, por ejemplo, un 7 rojo puede colocarse sobre un 8 negro, y una J negra sobre una Q roja. Cuando aparecen, los ases abren nuevas pilas, una separada de la otra. Sobre cada as se colocarán, en orden creciente, las cartas del palo

correspondiente, hasta completarlas.

El Klondike, uno de los más populares solitarios de naipes, que aún es un misterio para los matemáticos.

El juego tiene diversos nombres, de los cuales el más conocido es el Klondike. Existen otras variantes del juego. En Las Vegas se puede comprar

un juego por 52 dólares y, en lugar de reutilizar las cartas que han quedado en la baraja tras cada ciclo descubriendo una de cada tres, se pueden descubrir las cartas de una en una, pero sólo una vez. La banca paga cinco dólares por cada carta que se consigue colocar en las cuatro pilas ordenadas por palos empezando por los ases. A pesar de que el solitario se juega desde 1780 o antes, y es familiar a casi todos los poseedores de un ordenador personal, nadie sabe con qué frecuencia se consigue terminarlo. Si tenemos en cuenta que jugar al Klondike en Las Vegas puede hacer ganar cinco dólares por carta, valdría la pena saber qué

probabilidades tenemos de completarlo. Incluso un juego de aspecto tan sencillo tiene suficientes elementos de complejidad como para eludir los intentos de Diaconis de calcular la tasa media de éxito. A partir de los datos que ha recogido a lo largo de años, parece que el solitario se completa una vez de cada quince. A él, sin embargo, le gustaría demostrarlo. Una estrategia muy común para resolver un problema matemático difícil es empezar por un problema más fácil: Diaconis ha analizado una versión muy simplificada del solitario Klondike y ha tenido la gran sorpresa de descubrir que la frecuencia media de éxito tiene un

nexo profundo con las frecuencias de los tambores matemáticos aleatorios. Sin embargo, y a pesar de los avances conseguidos, Diaconis cree que un análisis completo del solitario Klondike está aún lejos. Promete a sus estudiantes que llegarán a la primera página del New York Times si triunfan en la empresa. A pesar de las prometedoras conexiones con los tambores matemáticos aleatorios, tanto el solitario Klondike como la hipótesis de Riemann siguen resistiéndose.

BILLARES CUANTICOS

Los teóricos de números intentaban situarse ante el extraño giro que había tomado su disciplina tras el breve encuentro informal entre Montgomery y Dyson. A pesar de que el análisis de Montgomery parecía indicar que en el origen de los ceros de Riemann se podía encontrar la física de los tambores cuánticos, pocas cosas más iluminaban el recorrido: ¿dónde estaba escondido el tambor mágico? A juzgar por los datos estadísticos y por los indicios recogidos hasta el momento, el tambor específico asociado a los ceros de Riemann no parecía distinto de cualquier otro tambor elegido al azar. Ciertamente, esto no facilitaba su determinación. Cuando se

analizó más a fondo aquella extraña relación, resultó claro que el nexo con la física cuántica no representaba el único giro sorprendente en la historia de los ceros de Riemann. En realidad emergió un nuevo nexo que ayudaría a los matemáticos en su búsqueda del tambor cuántico. Diaconis y los otros estadísticos han desarrollado una serie de armas sofisticadas para verificar la solidez de cualquier afirmación susceptible de ser analizada. El «código secreto de la Biblia» parecía estadísticamente significativo porque los que lo proponían mostraban los datos siempre y sólo desde un punto de vista

particular. Pero cuando fue sometido a otras verificaciones se desmoronó. A pesar de que las previsiones teóricas de Montgomery habían resistido las verificaciones de Diaconis, en Nueva Jersey, Odlyzko empezaba a inquietarse por algunos resultados de sus nuevos cálculos. Había empezado a utilizar otro test estadístico para comprender si el nexo entre ceros de Riemann y física cuántica tenía una base real, y había notado que en los datos relativos a los ceros de Riemann empezaban a insinuarse preocupantes discrepancias. Odlyzko estaba considerando otra medida estadística llamada varianza. Trazó la gráfica de los ceros de

Riemann y la comparó con la gráfica correspondiente que se obtenía a partir del análisis de las frecuencias de un tambor cuántico aleatorio. Observando las pautas de los dos gráficos notó que, si bien al principio había una muy buena correspondencia, a partir de un cierto punto los datos relativos a los ceros de Riemann se apartaban bruscamente de la gráfica de las frecuencias teóricas de los tambores cuánticos aleatorios. La primera parte de la gráfica confirmaba la pauta estadística de la distancia entre ceros adyacentes. Pero cuando Odlyzko procedió al análisis, descubrió que empezaban a aparecer discrepancias. La gráfica ya no seguía la pauta estadística

de las distancias entre ceros consecutivos, como sucedía al principio, sino más bien el de la distancia entre el N-ésimo y el (N+100)-ésimo cero. En un primer momento, Odlyzko creyó que la desviación podía deberse a un error en los cálculos. En cambio, descubrió que estaba asistiendo por primera vez a los efectos producidos en el espacio de Riemann por otro importante tema del siglo XX: la teoría del caos. Como la física cuántica, también la teoría del caos se ha afirmado en la cultura popular. En los años noventa, no había fiesta sin la imagen de un fractal proyectada en las paredes. A pesar de su complejidad visual, los fractales se

generan por leyes de aspecto aparentemente inocuo. La teoría del caos, las matemáticas que se esconde tras estas imágenes, ayuda a comprender por qué, por muy simples que puedan ser las leyes de la naturaleza, la realidad aparece infinitamente compleja. El término «caos» se utiliza cuando un sistema dinámico es muy sensible a las condiciones iniciales; cuando una mínima variación en el momento de iniciar un experimento produce una diferencia drástica en los resultados obtenidos, ésta es la inconfundible firma del caos. Una de las manifestaciones de las matemáticas del caos se encuentra en el

juego del billar. Si damos un fuerte golpe a una bola en una mesa de billar, la trayectoria que seguirá vendrá determinada por los ángulos con que choca con los bordes de la mesa. La cosa se pone interesante cuando se modifica muy poco la dirección inicial de tiro: ¿la trayectoria se aparta o no drásticamente de la que siguió la primera vez? La respuesta depende de la forma de la mesa. En una mesa de billar rectangular normal, no se pone de manifiesto ningún comportamiento caótico en la trayectoria de la bola (a pesar de lo que probablemente creen muchos jugadores aficionados). La trayectoria de la bola es perfectamente

previsible, y un ligero cambio en la dirección inicial del tiro no la altera sensiblemente. Pero en una mesa de billar de forma parecida a la de un estadio, las trayectorias de las bolas toman un aspecto totalmente distinto: si ahora lanzamos con fuerza dos bolas variando sólo mínimamente sus direcciones iniciales, seguirán trayectorias totalmente distintas que no parecerán tener nada en común. Como se puede observar en la gráfica siguiente, la física de una mesa de billar con forma de estadio es caótica, en claro contraste con las previsibles trayectorias que siguen las bolas en una mesa rectangular normal.

Movimiento caótico: las trayectorias trazadas de las bolas en una mesa de billar con forma de estadio.

Al aparecer las matemáticas del caos, en los años setenta, algunos físicos cuánticos empezaron a interesarse por las implicaciones de la nueva teoría para su campo de investigación. En

concreto, se preguntaban qué sucedería si jugaran a ese tipo de billar en escala atómica: al fin y al cabo, en algún sentido los electrones se comportan como bolas de billar microscópicas. Utilizando materiales semiconductores, los mismos con los que se fabrican los microchips de los ordenadores, se puede construir una mesa de billar tan pequeña que cabrían centenares de ellas en la cabeza de un alfiler. Los físicos empezaron a analizar el movimiento de un electrón que rebota contra las paredes de esta minúscula mesa. El electrón, sin su atracción por el átomo, es libre de moverse por el semiconductor. Precisamente es este

movimiento de los electrones el que hace posible la transferencia de datos en el chip del ordenador. Pero la trayectoria de un electrón no es completamente libre: aunque no orbite ya alrededor del núcleo de un átomo, sus movimientos están limitados por los bordes de la mesa. Los físicos tenían interés en estudiar los efectos que las distintas formas de la mesa podrían tener tanto sobre el comportamiento ondulatorio del electrón como sobre su movimiento de partícula, asimilable al de una bola de billar. Igual que un electrón ligado a un átomo vibra con ciertas frecuencias características, otro tanto hace un electrón libre cuando traza

una trayectoria sobre su minúscula mesa. Cuando los físicos analizaron la pauta estadística de los niveles energéticos, descubrieron que variaba según la mesa de billar producía trayectorias caóticas o normales. Si los electrones se encerraban en una zona rectangular, en la que trazaban trayectorias normales, no caóticas, entonces sus niveles energéticos se distribuían de manera bastante aleatoria. Pero el análisis estadístico proporcionaba valores muy distintos cuando se confinaba a los electrones en una zona con forma de estadio, en la que sus trayectorias eran caóticas: los niveles energéticos dejaban de ser

aleatorios. Más bien seguían una pauta mucho más uniforme, en la que nunca compartían dos niveles próximos. Era una nueva manifestación de la extraña repulsión entre niveles energéticos. Los billares cuánticos caóticos producían la misma pauta regular que ya había sido observada por Dyson en los niveles energéticos de los núcleos de átomos pesados, y por Montgomery y Odlyzko en la situación de los ceros de Riemann. Estos niveles energéticos casaban muy bien con la distribución estadística de las frecuencias de un tambor cuántico aleatorio. Pero se descubrió que no todos los datos estadísticos coincidían a

la perfección: los físicos estaban empezando a comprender que la distribución de las distancias entre el N-ésimo y el (N+100)-ésimo nivel energético cambiaba según se estuviera jugando en un billar cuántico o simplemente se midieran las frecuencias de un tambor cuántico aleatorio. Uno de los expertos en este cóctel entre teoría del caos y física cuántica es sir Michael Berry, de la Universidad de Bristol. Berry ha sido el primero en comprender que las desviaciones que había notado Odlyzko entre las gráficas de la varianza de los ceros de Riemann y de los tambores cuánticos aleatorios indican que un sistema cuántico puede

ofrecer el mejor modelo físico para el comportamiento de los números primos. Berry es una figura carismática de la comunidad científica actual: da un aire de sofisticación a su disciplina que quizá falta a los que viven inmersos en el mundo científico. Es un hombre del Renacimiento, que gusta de citar tanto a los gigantes de la literatura como a los de la ciencia para persuadir a los demás de su propia visión del mundo. Además, es un experto en hallar la imagen perfecta con que penetrar en la complejidad de las fórmulas matemáticas. Es una gran suerte para los matemáticos que este caballero inglés se haya unido a sus filas en el asalto a la

hipótesis de Riemann. Berry quedó fascinado por los números primos en los años ochenta, cuando leyó en el Mathematical Intelligencer un artículo titulado «Los primeros cincuenta millones de números primos». El artículo era de Don Zagier, el mosquetero de las matemáticas del Instituto Max Planck que había retado en duelo a Bombieri por la hipótesis de Riemann. En el artículo, Zagier no proponía una aburrida lista de millones de números, sino que explicaba cómo utilizar los ceros de Riemann para crear ondas que reproducían mágicamente la cantidad de números primos que se espera encontrar a medida que se va

contando. «Era un artículo magnífico. Los ceros de Riemann, pensé, son una cosa maravillosa». Berry fue capturado por la interpretación física del descubrimiento de Riemann: la existencia de una música en el interior de los números primos. Siendo físico, Berry aporta al estudio de los números primos una capacidad de captar las relaciones con la realidad física de la que carecen la mayoría de los matemáticos. Los matemáticos pueden pasar tanto tiempo en el mundo abstracto de sus construcciones mentales que terminan por olvidar todas las relaciones entre las matemáticas y la realidad física que

los rodea. Riemann había transformado los números primos en funciones de onda; para un físico como Berry, estas ondas no son sólo una música abstracta, sino que pueden traducirse en sonidos reales, sonidos que cualquiera puede escuchar. En sus presentaciones de la hipótesis proponía siempre la audición de una grabación de la música de Riemann: un ruido blanco, suave y sordo. Berry lo describe como «una especie de música bastante posmoderna, pero gracias a la obra de Riemann podemos decir lo que Bernard Shaw le dijo a Wagner: “esta música es mejor de lo que suena”». El interés de Berry por los números

primos coincidió con una mejor comprensión de las diferencias entre la distribución de los niveles energéticos en los electrones en los billares cuánticos y la de los niveles energéticos en un tambor cuántico aleatorio: «Pensé que podría ser interesante reexaminar la historia de los ceros de Riemann y las ideas de Dyson a la luz de las nuevas relaciones con el caos cuántico». La particular distribución que Berry había descubierto en los niveles energéticos de los billares cuánticos, ¿se reflejaría en la distribución de los ceros en el paisaje zeta de Riemann? «Pensaba que sería muy bonito comprender si los ceros se comportaban realmente de

aquella manera, y por ello hice algunos cálculos aproximativos». Pero no disponía de datos suficientes: «Más adelante supe que Odlyzko había efectuado sus famosos cálculos. Le escribí y estuvo muy dispuesto a ayudarme. Me explicó que estaba un poco preocupado porque a partir de un cierto punto sus cálculos habían empezado a manifestar algunas desviaciones: creía haber cometido algún error». Pero Odlyzko no tenía la intuición de un físico. Cuando Berry comparó los ceros con los niveles energéticos de los billares cuánticos aleatorios, descubrió una concordancia perfecta. Las

discrepancias que Odlyzko había observado resultaron ser el primer signo de la diferencia entre la distribución de las frecuencias en un tambor cuántico aleatorio y la de los niveles de energía de los billares cuánticos caóticos. Odlyzko no sabía nada de este nuevo sistema cuántico caótico, pero Berry lo reconoció rápidamente: Fue un gran momento, porque el resultado era manifiestamente correcto. Para mí se trataba de una prueba circunstancial, aunque convincente e incontrovertible, de que, si aceptamos la certeza de la

hipótesis de Riemann, entonces en la base de los ceros de Riemann no habría simplemente un sistema cuántico, sino un sistema cuántico con una contraparte clásica, moderadamente simple aunque caótico. Fue un momento delicioso: era, por así decir, un regalo que la mecánica cuántica hacía a la teoría de los ceros de Riemann. Lo más curioso es que, si el secreto de los números primos es verdaderamente un juego de billar cuántico, entonces los números primos se representan mediante trayectorias

muy especiales sobre la mesa de billar. Algunas trayectorias hacen volver la bola al punto de partida tras un cierto número de rebotes en la mesa, que a partir de entonces se vuelven iguales a sí mismas. Parece que estas trayectorias especiales son precisamente las que representan los números primos: a cada trayectoria le corresponde un número primo, y cuanto más tarda una trayectoria en repetirse, mayor es el número primo correspondiente. El nuevo giro conseguido por Berry podría llevar a una unificación de tres grandes temas científicos: la física cuántica (la física de lo extremadamente pequeño), el caos (las matemáticas de la

impredecibilidad) y los números primos (los átomos de la aritmética). Después de todo, quizás el orden que Riemann había esperado descubrir en los números primos se describe por el caos cuántico. Una vez más, los números primos hacen gala de su carácter enigmático. La relación aparente entre la distribución estadística de los ceros y la de los niveles energéticos ha llevado a muchos físicos a la búsqueda de una demostración de la hipótesis de Riemann. En el origen de los ceros podrían estar las frecuencias de un tambor matemático; si así fuera, los físicos cuánticos serían los mejor equipados para localizarlos: sus propias

existencias bailan al son de aquellos tambores. Ahora bien, a pesar de todas estas pruebas de que los ceros de Riemann son vibraciones, aún no sabemos qué es lo que vibra. Puede ser que la fuente de las vibraciones sea puramente matemática, sin ningún modelo físico. Ciertamente, las matemáticas que explican los ceros podrían ser las mismas matemáticas del caos cuántico, pero ello no significa que la solución tenga necesariamente una manifestación física. Berry no lo cree así; según él, cuando las matemáticas estén completamente definidas emergerá el correspondiente modelo físico cuyos

niveles energéticos reflejarán los ceros de Riemann: «No tengo la menor duda de que, cuando alguien encuentre el origen de los ceros, ese alguien construirá el modelo físico». ¿Sería posible que tal modelo ya existiera, escondido en algún rincón del universo, esperando a ser descubierto? Quizá los números primos cósmicos que Ellie Arroway descubre en la novela Contacto de Carl Sagan no son una señal de vida extraterrestre, sino sólo las frecuencias de vibración de una estrella de neutrones. Tal como explica Berry, «Existe el famoso principio totalitario según el cual todo lo que está permitido por las leyes de la física

puede encontrarse en alguna parte de la naturaleza. Soy escéptico sobre la aplicación del principio a este caso. Lo que sí es cierto es que se podría conseguir crear el modelo de una u otra forma». Si Odlyzko ha tenido a la AT&T a sus espaldas, Berry y su grupo de investigación se han beneficiado durante algunos años del apoyo de otro importante actor económico: en Bristol, su sede central del Reino Unido, la Hewlett-Packard contrató a algunos miembros del grupo de Berry para que contribuyeran a la explotación del poder de la física cuántica. En HewlettPackard sabían que cualquier progreso

en dirección de la hipótesis de Riemann tenía la capacidad implícita de mejorar nuestra comprensión del juego de billar cuántico. Y, puesto que, las reglas del billar cuántico determinan el comportamiento de los circuitos electrónicos de los ordenadores, en la medida en que los electrones se lanzan a toda carrera por los surcos grabados en los microchips, sabían también hasta qué punto era importante estar al día de los progresos de los expertos jugadores de billar cuántico que contrataban.

42: LA RESPUESTA A LA PREGUNTA FUNDAMENTAL

Aunque los colosos como AT&T y Hewlett-Packard hayan tenido que reducir sus inversiones en los números primos como consecuencia del período de estancamiento que ha sufrido la industria de los ordenadores, hay todavía un actor económico que se permite continuar con las investigaciones sobre este juego aparentemente abstracto. La Fry Electronics es una cadena de unos veinte grandes almacenes de electrónica esparcidos por toda la costa oeste de los Estados Unidos, que vende a todo el país accesorios para ordenadores y otros artículos electrónicos. La empresa no puede ofrecer subvenciones similares

a las de los gigantes de la AT&T y la Hewlett-Packard pero, al visitar su sede central en Palo Alto (California), hallaremos, junto a la entrada principal del gran almacén, una destartalada puerta metálica con la placa American Institute of Mathematics. El instituto es inspiración de uno de los administradores de la empresa: John Fry. Él y Brian Conrey estudiaron matemáticas juntos en la Universidad de Santa Clara. Mientras Conrey ha perseverado hasta conquistar un lugar en los libros al demostrar la pertenencia a la recta de Riemann de la que hasta hoy es la más alta proporción de ceros, Fry se ha dedicado a una aventura más

comercial, pero no ha perdido su interés por las matemáticas. Cuando se produjo la eclosión de la industria de la electrónica, Fry se preguntó si podía haber alguna forma de dar su apoyo a la disciplina. Anteriormente había financiado un equipo de fútbol-sala, y por ello decidió llevar su idea a la práctica financiando un equipo de matemáticos. Fry contactó con Conrey, y juntos idearon un plan para coordinar los esfuerzos dedicados a demostrar la hipótesis de Riemann. Para anunciar la iniciativa, los dos financiaron un encuentro que debía de tener lugar en Seattle, en 1996, con ocasión del

centenario de la demostración del teorema de los números primos. No se trataba simplemente de aportar el dinero: pretendían fomentar la adopción de un nuevo código de comportamiento en la colaboración entre matemáticos. La hipótesis de Riemann es ya un trofeo tan ambicionado que muchos son reacios a hacer pública incluso la más vaga de las ideas por miedo a proporcionar a algún otro la última y decisiva pieza del rompecabezas. Conrey y Fry querían interrumpir ese ciclo que, a su modo de ver, no llevaba a ninguna parte. En las reuniones y en los congresos se tenía que poner el énfasis en compartir unas ideas que no necesariamente llevarían a

resultados concretos. Consiguieron incluso sentar a los matemáticos alrededor de una mesa como si tuvieran que decidir sobre un plan empresarial. La reunión de Seattle dio lugar a los que hoy son algunos de los indicios más convincentes de que la hipótesis de Riemann tiene algo que ver con el caos cuántico. Los indicios se materializaron después de que algunos de los matemáticos presentes plantearan sus dudas sobre la oportunidad de basar el nexo exclusivamente en la observación de que las dos gráficas parecen indistinguibles. Uno de los matemáticos que manifestaron su escepticismo fue Peter Sarnak: a pesar de que quedó muy

impresionado por la cantidad de analogías que se dan entre el caos cuántico y los ceros de la función zeta de Riemann, Sarnak aún tenía que convencerse de la existencia de un auténtico nexo. Sarnak es una de las figuras más prestigiosas de Princeton. Fue, entre otras cosas, confidente de Andrew Wiles cuando éste lanzaba con gran secreto su ataque al último teorema de Fermat. El interés de Sarnak por la hipótesis de Riemann había nacido a mediados de los años setenta, cuando se trasladó a los Estados Unidos desde Sudáfrica para trabajar con Paul Cohen en la Universidad de Stanford, no muy

lejos de Fry Electronics. Durante sus estudios, Sarnak se había dirigido a Cohen porque estaba interesado en la lógica matemática. Diez años antes, en 1963, Cohen había conmocionado el mundo al resolver el primero de los veintitrés problemas de Hilbert gracias a una ingeniosa serie de argumentaciones lógicas: en contra de las previsiones de Hilbert, que creía que su pregunta se contestaría con un «sí» o con un «no», Cohen demostró que se podía elegir la respuesta que se deseara cierta. El joven sudafricano llegó a Stanford pensando que se tendría que poner a trabajar sobre otro endiablado

rompecabezas lógico. Pero Cohen había puesto los ojos en otro de los problemas de Hilbert, el octavo. La resolución del primer problema de Hilbert era una empresa difícil de igualar, y Cohen estaba convencido que únicamente la hipótesis de Riemann podría darle un placer aún mayor. Hizo partícipe a Sarnak de sus propias ideas sobre el problema, suscitando en él una pasión por la teoría de los números que nunca más lo abandonó. La pasión de Sarnak por la propia disciplina es contagiosa: cuando habla de matemáticas transmite energía y entusiasmo. Selberg, que ahora se reconoce viejo y duro de oído, dice que

Sarnak es uno de los pocos matemáticos de Princeton de quien aún entiende lo que dice. Su acento sudafricano resuena por el departamento cuando se entusiasma por cualquier novedad en la disciplina. La entrada de la física cuántica en los pasillos sagrados de la teoría de los números había producido una gran excitación, pero Sarnak quería más: ¿existían pruebas concretas de que el nexo entre los niveles energéticos y los ceros daría lugar a algún progreso real? Ciertamente, esta explicación nos ha sugerido dónde ir a buscar una explicación, pero no nos ha dicho nada que no supiéramos. El nexo parece

basarse en la fuerte concordancia entre varios resultados estadísticos. El hecho de que dos imágenes parezcan muy similares no es, sin embargo, algo a que los teóricos de números atribuyan valor de prueba irrefutable de la existencia de una conexión. En resumen, aunque Riemann hubiera puesto la geometría en primera línea, los matemáticos miraban aún con escepticismo el poder de las imágenes para revelar la verdad. Cuando llegó a la cita de Seattle, Sarnak dudaba que algo distinto de una profunda intuición matemática pudiera revelar aspectos significativos del espacio de Riemann. Tras oír discursos sobre analogías entre ceros de Riemann

y niveles energéticos en los billares cuánticos caóticos y haber escuchado la ejecución de la música de los números primos propuesta por Berry, Sarnak no pudo más: era realmente fascinante ver emerger las mismas imágenes en los dos campos, pero ¿había alguien capaz de señalar una sola contribución real a la teoría de los números que fuera posible gracias a estos nexos? Sarnak propuso un reto a los físicos cuánticos: utilizar la analogía entre caos cuántico y números primos para descubrir algo que no se supiera aún sobre el paisaje de Riemann, algo que no resultara de un análisis estadístico. Para animarlos, Sarnak apostó una botella de buen vino.

Un antiguo estudiante de Berry, Jon Keating, se adjudicó la botella de Sarnak gracias al papel fundamental de un número muy especial, el 42. En la literatura popular, el número 42 juega un papel de importancia: en el libro de Douglas Adams Guía del autoestopista galáctico, Zaphod Beeblebrox descubre que 42 es la «respuesta a la pregunta fundamental sobre la vida, el universo y todo» (aunque no queda muy claro cuál era la pregunta). En la segunda mitad del s i gl o XIX, el número 42 fue muy apreciado por Lewis Carroll que, por otra parte, además de escritor era un matemático formado en Oxford. En el proceso a la sota de copas, en Alicia en

el País de las Maravillas, el Rey proclama: «Regla cuarenta y dos: TODAS LA PERSONAS QUE MIDAN MÁS DE UNA MILLA DEBEN ABANDONAR LA CORTE ».

En sus escritos, Carroll utiliza este número muy a menudo: en La caza del Snark, por ejemplo, el castor llega con «cuarenta y dos cajas, todas cuidadosamente empaquetadas con su nombre pintado claramente en cada una». Lo extraño es que aquel número estaba a punto de entrar en la historia de la hipótesis de Riemann, contribuyendo a convencer a los teóricos de los números más escépticos de que el caos cuántico era la otra cara de la moneda de los números primos.

Cuando supo de la botella de buen vino que Sarnak había apostado, Conrey propuso a los físicos un reto muy especial que constituiría un precedente. Era un reto que le tocaba muy de cerca, ya que estaba relacionado con un problema sobre el que trabajaba desde hacía años, con escasa fortuna. Se sabía que algunos coeficientes concretos de la función zeta de Riemann, los llamados momentos de la función, deberían producir una sucesión de números enteros. El hecho era que los matemáticos disponían de muy pocas indicaciones sobre cómo calcular la sucesión. Hardy y Littlewood habían conseguido demostrar que el primer

número de la sucesión era 1. En los años veinte Albert Ingham, un discípulo de Littlewood, demostró que el número siguiente era 2. Estos resultados no bastaban para definir una pauta que contribuyera a ulteriores exploraciones. Antes de la reunión de Seattle, Conrey había trabajado arduamente sobre aquel problema junto con un colega, Amit Ghosh, y su trabajo sugería que el tercer elemento de la sucesión estaba mucho más adelante, y correspondía al número 42. Para Conrey, el hecho de que fuera éste el tercer número de la sucesión «fue de algún modo sorprendente. Era la indicación de la presencia de cierto

nivel de complejidad». No tenían la menor idea sobre cómo proseguiría la sucesión. Conrey retó a los físicos a explicar aquel 42 en términos de la analogía con la física cuántica: «Cuarenta y dos es un número. O está o no está. No es como ver lo bien que los datos se adaptan a una curva», subrayó Conrey. En absoluto desanimado, Jon Keating se fue de Seattle y puso manos a la obra. El encuentro había supuesto tal éxito que Fry y Conrey decidieron organizar otro. Tuvo lugar pasados dos años en el Schrödinger Institut de Viena, una sede apropiada si consideramos la nueva alianza que estaba fraguándose

entre la teoría de los números y una disciplina, la física cuántica, que Schrödinger había contribuido a crear. Mientras tanto, Conrey había unido sus propias fuerzas con las de otro matemático: Steve Gonek. Tras grandes esfuerzos en los que llevaron hasta el extremo sus conocimientos de teoría de los números, Conrey y Gonek consiguieron formular una hipótesis sobre el valor del cuarto término de la sucesión: 24.024. «Así que teníamos esta sucesión: 1, 2, 42, 24.024,… Probamos todas las maneras imaginables de adivinar cuál sería la secuencia. Sabíamos que nuestro método ya no funcionaba, porque proporcionaba

un resultado negativo para el siguiente término de la sucesión». Se sabía que todos los términos de la sucesión eran mayores que cero. Conrey llegó a Viena con la intención de exponer las razones por las que él y Gonek creían que el cuarto término de la sucesión era 24.024. «Keating llegó a última hora. Lo vi la tarde en que tenía que dar su conferencia; había visto el título y empezaba a creer que lo había conseguido. Apenas apareció fui a su encuentro y le pregunté de repente: “¿Lo ha conseguido?”. Dijo que sí, que había encontrado el 42». En efecto, junto con Nina Snaith, una de sus estudiantes de

doctorado, Keating había creado una fórmula capaz de generar cada número de la sucesión. «Entonces le hablé del 24.024». Se trataba de una prueba decisiva. ¿Confirmaría la fórmula de Keating y Nina Snaith el valor conjeturado por Gonek? Al fin y al cabo, Keating sabía que el resultado que tenía que encontrar era el 42, y ello podía haberlo llevado a manipular su fórmula de manera que obtuviera ese número. Pero el nuevo número, el 24.024 era completamente desconocido para Keating que, por tanto, no podía haber hecho trampa. «Faltaba poco para la conferencia de Jon. Buscamos una pizarra del

Schrödinger Institut y calculamos el valor que la fórmula daba para el cuarto término de la sucesión». Seguían cometiendo errores de cálculo banales (sucede a veces que, tras años de razonamientos abstractos en los que raramente se recurre a las tablas pitagóricas que aprendimos de pequeños, los matemáticos no sean unos ases del cálculo aritmético). Finalmente consiguieron calcular correctamente el resultado: «Cuando descubrimos que era 24.024 tuvimos una sensación realmente increíble», narra Conrey. Pocos segundos más tarde, Keating se precipitó a dictar su conferencia, donde anunció públicamente la fórmula que habían

descubierto él y Nina Snaith, presa todavía de la excitación sentida al hallar confirmado el resultado que Conrey y Gonek habían previsto. Keating definió la experiencia vivida en la pizarra como «los segundos más excitantes de mi vida científica». Keating estaba preocupado ante la perspectiva de dar una conferencia ante la élite de los teóricos de números: él, físico, estaba a punto de hablar ante una platea de matemáticos sobre algo en lo que trabajaban desde hacía años. Pero la euforia de haber descubierto 24.024 le dio la confianza necesaria. Entre el público se encontraba Selberg, que era ya el abuelo de la materia. Al terminar

la conferencia se pidió la opinión del público. Selberg tiene fama de no preguntar tras las conferencias, sino más bien de hacer declaraciones del tipo: «Esto lo demostré en los años cincuenta», o: «Intenté este enfoque hace treinta años: no funciona». Keating se preparó para lo inevitable. Sin embargo, Selberg empezó a hacer una pregunta tras otra, claramente fascinado con la idea. Sólo cuando Keating terminó heroicamente de contestar todas sus preguntas, Selberg hizo su declaración: «Debe de ser correcto». Keating había respondido al reto de Sarnak, y había dicho a los matemáticos algo que no sabían. Sarnak mantuvo su promesa y le

hizo llegar la botella de vino. El poder de la analogía entre los ceros de Riemann y la física cuántica es doble. Primero, nos dice que tendremos que buscar una solución a la hipótesis de Riemann. Y segundo, como ahora había demostrado Keating, puede desvelar otras propiedades del espacio de Riemann. Explica Berry: «La analogía no tiene un fundamento matemático sólido. Se juzga en cuanto se revela útil para sugerir a los matemáticos cosas que luego tendrán que demostrar. No me avergüenza admitirlo: como físico me gusta aquella máxima de Feynman según la cual “se conocen muchas más cosas de las que se han demostrado”». A pesar

de que los físicos no son capaces de concebir un modelo físico que genere los ceros, los matemáticos admiten que podría suceder que, finalmente, un físico demostrara la hipótesis de Riemann. Y por ello las inocentadas de Bombieri con las que comenzamos este libro eran tan creíbles.

LA ÚLTIMA SORPRESA DE RIEMANN

Los físicos creen que la razón por la que los ceros de Riemann deben situarse todos sobre la recta es que terminarán por ser las frecuencias de un tambor

matemático. A un cero que se situara fuera de la recta le correspondería una frecuencia imaginaria prohibida por la teoría. No es la primera vez que una argumentación de este tipo se utiliza para resolver un problema: cuando eran estudiantes, Keating, Berry y otros físicos habían trabajado un problema clásico de hidrodinámica cuya solución se basa en un razonamiento similar. El problema se refiere a una esfera de fluido en rotación que se mantiene unida gracias a interacciones gravitacionales recíprocas entre las partículas que la componen. Una estrella, por ejemplo, es una enorme bola de gas giratorio que se mantiene unido por su propia gravedad.

La cuestión es: ¿qué sucederá con la bola si se le da una patada? ¿Se limitará a temblar ligeramente o se desintegrará? Para responder a estas preguntas es necesario determinar si ciertos números imaginarios determinados están o no alineados. Si lo están, la esfera de fluido en rotación quedará intacta. La razón por la que estos números imaginarios se colocan en línea recta está estrechamente ligada a las ideas de la física cuántica con las que se espera demostrar la hipótesis de Riemann. ¿Quién descubrió la solución de este problema? Aquel que utilizó las matemáticas de las vibraciones para obligar a aquellos números imaginarios

a colocarse en línea recta: nada menos que Bernhard Riemann. Poco después del triunfo conseguido en el Schrödinger Institut, Keating se trasladó a Gotinga para dar una conferencia sobre el uso de la física cuántica para ilustrar la hipótesis de Riemann. Casi todos los matemáticos que pasan por Gotinga aprovechan para visitar la biblioteca y examinar las notas inéditas de Riemann, sus Nachlass. Entrar en relación con una figura tan importante de la historia de las matemáticas no sólo es una experiencia emocionante: los Nachlass guardan aún muchos misterios sin resolver, escondidos en los ilegibles garabatos de

Riemann. Se trata de la piedra de Rosetta de las matemáticas. Antes de que Keating se marchara a Gotinga, uno de sus colegas del departamento de Matemática, Philip Drazin, le encargó que examinara la parte de los Nachlass en la que Riemann afronta aquel problema clásico de la hidrodinámica. Aunque la gobernanta de Riemann destruyó muchísimos de sus apuntes, los Nachlass contienen aún una gran cantidad de material, por lo que han sido divididos en varias partes que cubren los diversos períodos de la vida de Riemann y sus múltiples áreas de interés. En la biblioteca de Gotinga, Keating

pidió las dos partes de los Nachlass que deseaba consultar: uno contenía las ideas de Riemann sobre los ceros en su paisaje zeta, y otro se refería a sus estudios de hidrodinámica. Cuando salió de la cámara acorazada de la biblioteca un único grupo de documentos, Keating hizo notar que él había pedido consultar dos partes. Pero el bibliotecario le respondió que ambas «partes» se encontraban en los mismos folios. Al examinar aquellas páginas, Keating descubrió maravillado que Riemann había ideado su demostración relativa a la esfera de fluido en rotación precisamente en el mismo período en que estaba razonando sobre los puntos a

nivel del mar en su paisaje zeta. Para resolver aquel problema de hidrodinámica, Riemann había utilizado exactamente el mismo método que ahora estaban proponiendo los físicos para obligar a los ceros de Riemann a situarse en línea recta. Allí, ante Keating, recogidos en las mismas páginas, estaban los pensamientos de Riemann sobre ambos problemas. Una vez más, los Nachlass revelaban hasta qué punto Riemann se adelantó a su tiempo. Es imposible que no fuera consciente del significado que implicaba su solución al problema de dinámica de fluidos. Su método había demostrado por qué ciertos números

imaginarios que aparecían en su análisis de la esfera de fluido se colocaban en línea recta; y al mismo tiempo —y en los mismos folios— estaba intentando demostrar por qué los ceros de su paisaje zeta se situaban todos sobre la misma línea. Durante los años que siguieron a aquellos descubrimientos sobre los números primos y la hidrodinámica, Riemann siguió registrando sus nuevas ideas en la libreta negra cuya desaparición ha enfurecido a generaciones de matemáticos. Con ella desaparecieron los pensamientos de Riemann sobre la posibilidad de unir los temas de la teoría de los números y de la física.

En los decenios que siguieron a la muerte de Riemann, las matemáticas y la física empezaron a diverger. Si Riemann había gozado combinándolas, los científicos que le siguieron estaban cada vez menos interesados en explorar las relaciones entre ambas disciplinas. Sólo en el siglo XX física y matemática volvieron a trabajar codo con codo, y esta reconciliación podía llevar al descubrimiento decisivo e indiscutible que soñó Riemann. Pero, por más excitantes que fueran estas conexiones con la física, muchos matemáticos creían aún en el poder de la propia disciplina para resolver el enigma de los números primos. Muchos

estaban de acuerdo con Sarnak: la solución de la hipótesis de Riemann se esconde en el corazón más profundo de las matemáticas. Los motivos para creer que las matemáticas por sí solas pueden proporcionar una respuesta se remontan a 1949, y a la actividad de un prisionero francés muy especial.

12 LA ÚLTIMA PIEZA DEL ROMPECABEZAS

Se dice que la historia de las matemáticas debería proceder como el análisis musical de una sinfonía. Hay un cierto número de temas, y puede verse más o menos cuándo aparece por primera vez cada uno de ellos. A continuación, cada tema se sobrepone a los otros, y la habilidad artística del compositor está precisamente en su capacidad para gestionarlos todos simultáneamente. A veces, el violín sigue un tema particular y la flauta otro, después se

invierten los papeles, y así sucesivamente. Con la historia de las matemáticas ocurre exactamente lo mismo. ANDRÉ WEIL Two Lectures on Number Theory: Past and Present

A pesar de la euforia ante el juego de billar cuántico que podía ofrecer una explicación de la hipótesis de Riemann, muchos matemáticos seguían escépticos sobre la intrusión de los físicos en el mundo de la pura teoría de los números. La mayoría de estos matemáticos continuaban convencidos de que su disciplina tenía todos los papeles en

regla para explicar por sí sola por qué los números primos se comportan según nuestras hipótesis. La idea de que tanto el fenómeno cuántico como los números primos obedecen a un mismo modelo matemático era ciertamente plausible, pero muchos matemáticos estaban convencidos de que era muy improbable que la intuición física pudiera ser de ayuda para demostrar la hipótesis de Riemann. Cuando empezó a correr la voz de que uno de los mayores artífices de la teoría matemática pura había centrado su atención en la hipótesis de Riemann, la confianza de los matemáticos en sí mismos pareció justificarse: Alain Connes había

empezado a dar clases sobre sus ideas para una solución hacia mediados de los noventa; muchos creían que la hipótesis de Riemann sería finalmente demostrada. El simple hecho de que Connes se planteara frontalmente la hipótesis de Riemann era ya un motivo de reflexión. Selberg, por ejemplo, reconoce que nunca ha intentado realmente demostrarla: es inútil bajar al campo para combatir en una batalla —son sus palabras— cuando no se dispone de un arma para combatir. Sobre su decisión de emprender esta batalla, Connes escribe: «Según mi primer maestro, Gustave Choquet, al afrontar

abiertamente un conocido problema irresuelto uno corre el riesgo de ser más recordado por un posible fracaso en esta empresa que por cualquier otra cosa positiva que haya hecho en su vida. Pero, a una cierta edad, me he dado cuenta de que esperar “con seguridad” la llegada al término de la propia vida significa también aceptar ir al encuentro de la derrota». Daba la impresión de que Connes podía tener acceso a todo un arsenal de técnicas que había utilizado para desvelar una serie de misterios escondidos en otros rincones de las matemáticas: su creación de la llamada geometría no conmutativa había sido

saludada como una versión moderna de la visión riemanniana de la Geometría, visión que ha tenido un impacto enormemente significativo en el desarrollo de las matemáticas del siglo XX. De la misma forma en que el trabajo de Riemann había preparado el camino a la teoría einsteniana de la relatividad, la geometría no conmutativa de Connes ha demostrado ser un potente instrumento lingüístico para la comprensión de la complejidad del mundo de la física cuántica. La nueva matemática creada por Connes se considera una de las piedras angulares de las matemáticas del siglo XX y le reportó, en 1983, el

reconocimiento de una medalla Fields. Hay que señalar, sin embargo, que el nuevo lenguaje introducido por Connes no apareció repentinamente de la nada, sino en el contexto de un renacimiento de las matemáticas francesas que empezó durante la Segunda Guerra Mundial. Mientras el instituto de Princeton crecía gracias a la afluencia de intelectuales que huían de las persecuciones que tenían lugar en Europa, Connes era profesor en un instituto francés, creado en los años cincuenta, que ayudó a que París volviera al centro internacional de las matemáticas, una posición que, durante el reinado de Napoleón, había perdido

en favor de Gotinga. Las ideas de Connes se insertan en el marco de un movimiento matemático que plantea un punto de vista muy elaborado y abstracto de esta disciplina, así como de sus objetos de investigación. Durante los últimos cincuenta años, el lenguaje mismo de las matemáticas ha sufrido una profunda evolución que todavía está en marcha, y muchos investigadores opinan que, hasta que este proceso no se complete, no tendremos a nuestra disposición un lenguaje suficientemente avanzado para articular una explicación del por qué los números primos se comportan según las predicciones de la hipótesis de

Riemann. Esta nueva revolución matemática nació en la celda de una prisión francesa durante la Segunda Guerra Mundial. De aquella celda emergió un nuevo lenguaje matemático, que enseguida dio pruebas de sus potencialidades en la exploración de nuevos escenarios, como el que Riemann había elaborado para comprender los números primos.

HABLAR MUCHAS LENGUAS

En 1940, Élie Cartan director de la prestigiosa revista francesa Comptes

Rendus recibió un sobre. Desde principios del siglo XIX, cuando Cauchy había publicado sus célebres escritos sobre las matemáticas de los números imaginarios, Comptes Rendus se había convertido en una de las principales revistas en las que se anunciaban los nuevos emocionantes resultados de las investigaciones. Cuando Cartan vio el sobre, lo que le llamó inmediatamente la atención fue la dirección del remitente: la prisión militar Bonne-Nouvelle, de Rouen. Si no fuera porque reconoció la caligrafía del remitente, Cartan la habría tirado a la papelera sin siquiera abrirla, creyendo que se trataba del enésimo anuncio extravagante de una

demostración del último teorema de Fermat. La caligrafía, sin embargo, era la de un joven matemático llamado André Weil, que tenía ya la reputación de ser una de las principales estrellas de las matemáticas francesas. Cartan sabía que, hubiera escrito lo que hubiera escrito Weil, aquello merecía leerse. Cartan estaba extrañado por el hecho de haber recibido una carta desde una prisión militar, pero la sorpresa fue mayor cuando la abrió y vio su contenido: Weil había descubierto una demostración de por qué, en ciertos paisaje matemáticos, los puntos a nivel del mar tienden a disponerse a lo largo de una recta. A pesar de que esta técnica

no funcionaba en el paisaje de Riemann, el mero hecho de que funcionara en otros paisajes era suficiente para que Cartan se convenciera de estar ante algo significativo. A partir de entonces, el teorema de Weil se convirtió en un faro para los matemáticos que buscaban una prueba de la hipótesis de Riemann. El propio enfoque de Connes debe mucho a estas ideas elaboradas por Weil en la soledad de su celda de Rouen. La habilidad de Weil para moverse por algunos de estos paisajes, donde otros habían fracasado, puede deberse a su pasión por las lenguas antiguas, y especialmente por el sánscrito. Opinaba que el desarrollo de nuevas ideas

matemáticas tenía lugar con pasos similares al desarrollo de formas lingüísticas elaboradas. Ciertamente, para Weil no era una sorpresa que en la India la invención de la gramática hubiera precedido a la del sistema decimal y de los números negativos, y que el álgebra de los árabes naciera del sofisticado desarrollo de su lengua en la época medieval. Las notables competencias lingüísticas de Weil contribuyeron a su gran habilidad para crear un nuevo lenguaje matemático que le permitió articular sutilezas conceptuales inexpresables de otra forma. Pero fue precisamente su obsesión por las

lenguas y, en concreto, su amor por el Mahabbarata —un antiguo texto sánscrito—, lo que, a principios de 1940, condujo a prisión al eminente joven matemático. El talento matemático de Weil se había manifestado claramente desde la infancia: su primera maestra hablaba de este alumno de seis años diciendo que «cualquier cosa que le explique sobre matemáticas, tengo la impresión de que ya la sabía». Su madre estaba convencida de que, si André era siempre el primero de la clase, no podría obtener ningún estímulo intelectual adecuado de parte de la escuela. Por tanto se presentó a hablar con el director para insistir en

que se hiciera avanzar varios cursos a su hijo. El director, estupefacto, respondió: «Señora, es la primera vez que una madre viene a quejarse de que las notas de su hijo son demasiado altas». Gracias al empuje de su madre, sin embargo, André se encontró en la clase de Monsieur Monbeig. Monbeig tenía una concepción muy personal de la enseñanza, a la que Weil atribuye el mérito de sus progresos en el ámbito de las matemáticas. Por ejemplo, en lugar de hacer aprender la gramática de memoria, Monbeig había desarrollado un complejo sistema de notaciones algebraicas que desvelaba los esquemas que se escondían en las

frases. Más adelante, cuando Weil conoció las ideas revolucionarias de Noam Chomsky sobre la lingüística, no halló nada que le pareciera especialmente nuevo. Weil admitió que «la adquisición precoz de familiaridad con un simbolismo no banal puede tener, sobre todo para un matemático, un alto valor educativo». Las matemáticas se convirtieron en la pasión de Weil, casi su droga: «Una vez que sufrí una mala caída, mi hermana Simone pensó que la mejor forma de consolarme era traerme rápidamente mi libro de álgebra». El talento de Weil fue captado por una de las grandes leyendas de las matemáticas

francesas: Jacques Hadamard, que se había hecho famoso a principios de siglo demostrando el teorema de los números primos de Gauss, animó a Weil a dedicarse a las matemáticas; así, a los dieciséis años, Weil ingresó en la Ecole Normale Supérieure, una de las academias parisienses creadas durante la Revolución francesa, para iniciar sus estudios profesionales como matemático. Mientras seguía cursos de matemáticas, Weil satisfacía también su pasión por las lenguas antiguas. De este amor nacería más adelante un nuevo mundo matemático, pero por entonces Weil pretendía simplemente aprender a

leer los poemas épicos de la antigua Grecia y de la India en sus lenguas originales. En concreto, había un poema que estaría a su lado durante toda la vida: la Bhagavad Gita, el Canto de Dios incluido en el Mahabbarata. En París, Weil dedicó al estudio del sánscrito tanto tiempo como a las matemáticas. Weil creía que la única forma de captar plenamente la belleza de cualquier texto —y no sólo de un poema épico— era leyéndolo en su lengua original. Pensaba que también en matemáticas era necesario releer los escritos originales de los maestros, evitando basarse sólo en las

exposiciones posteriores de sus obras: «Estaba convencido que en la historia de la humanidad sólo cuentan los grandes genios, y que para conocerlos lo único que vale es el contacto directo con sus obras», escribiría después en su a u t o b i o g r a f í a , Memorias de aprendizaje. Por ello se puso a estudiar la obra de Riemann: «Tuve una gran suerte de empezar por ahí, y siempre me he alegrado de ello». La hipótesis de Riemann sobre la naturaleza de los números primos marcaría la vida matemática de Weil. Weil terminó sus exámenes en la Ecole antes de la edad de prestación del servicio militar obligatorio, y decidió

viajar por las grandes ciudades matemáticas de Europa. Cruzó el continente a lo largo y a lo ancho — Milán, Copenaghe, Berlín, Estocolmo— asistiendo a clases y hablando con los pioneros de las matemáticas de aquella época. En Gotinga, que aún no había sido golpeada por las purgas académicas de Hitler, Weil ordenó en su mente las ideas básicas de lo que sería su tesis doctoral. En la ciudad natal de tres de los más grandes matemáticos europeos —Gauss, Riemann y Hilbert —, a Weil le pareció claro que París había perdido, en el ámbito matemático, la reputación de que había gozado en los grandes días de Fourier y de Cauchy.

Ello se debía en parte porque muchos jóvenes matemáticos franceses que se hubieran podido convertir en figuras importantes en los años treinta habían muerto en la Primera Guerra Mundial: se había perdido una generación. En la posguerra, pocos de los grandes matemáticos alemanes habían ido a París para presentar sus trabajos, de manera que la ciudad se encontraba desesperadamente falta de ideas nuevas. ¿A dónde había ido a parar la gran tradición matemática francesa, que se remontaba a Fermat? Weil y otros jóvenes matemáticos decidieron cambiar esta situación. Dado que no tenían una figura

paterna alrededor de la cual recogerse, estos ambiciosos jóvenes estudiantes decidieron crearse uno: Nicolas Bourbaki. Bajo este pseudónimo compilaron colectivamente un tratado sobre el estado de las matemáticas contemporáneas. El espíritu que los guiaba se remontaba a lo que hace de las matemáticas una disciplina única en el contexto de las demás ciencias: en realidad, las matemáticas son un edificio, construido sobre axiomas, en el que un teorema demostrado en la Grecia antigua hoy sigue siendo un teorema, en el siglo XXI. El grupo Bourbaki empezó a examinar las condiciones actuales del edificio, y expuso sus resultados en un

amplio informe escrito en el lenguaje de las matemáticas moderna. Inspirándose en el gran tratado de Euclides que dos mil años antes había disparado el tiro de salida de las matemáticas occidentales, llamaron a su obra Elements de Mathématique. A pesar de esta herencia griega, se trataba de un proyecto netamente francés. Se ponía el énfasis sobre el contexto más amplio posible para cualquier resultado; si ello significaba perder de vista las cuestiones específicas para cuya respuesta habían nacido las matemáticas, se consideraba que era un precio que los jóvenes del grupo estaban dispuestos a pagar.

La elección de «Nicolas Bourbaki» —que corresponde al nombre de un semidesconocido general francés— como guía de su asalto matemático encuentra sus raíces en un ritual que solía llevarse a cabo en la Ecole Normale Supérieure a principios del siglo XX: los novatos pasaban por una ceremonia de iniciación durante la cual un estudiante de los últimos cursos, fingiendo ser un célebre profesor visitante de la Escuela, dictaba una clase sobre algunos famosos teoremas matemáticos. El «profesor» insertaba errores deliberados en algunas de las demostraciones que presentaba, y los novatos tenían que identificarlos. La

clave consistía en que estos teoremas con errores se atribuían falsamente a desconocidos generales franceses en lugar de a sus autores reales. Las reuniones de estos jóvenes matemáticos franceses eran anárquicas y caóticas; uno de los fundadores del grupo, Jean Dieudonné, narró: «cuando venía algún invitado a las reuniones del círculo de Bourbaki, salía siempre con la impresión de que se trataba de una jaula de grillos. No conseguían imaginar cómo esta gente, gritando tres o cuatro a la vez, podrían llegar a alguna conclusión inteligente». Los miembros del grupo Bourbaki, en cambio, creían que este carácter anárquico era

indispensable para el funcionamiento de su proyecto. En su batalla para la unificación de las matemáticas contemporáneas empezó a emerger el nuevo lenguaje que Weil desarrollaría. Su amor por las lenguas antiguas y la literatura sánscrita llevó a Weil, en 1930, a su primer trabajo académico como profesor en la universidad musulmana de Aligarh, no lejos de Delhi. Al principio la universidad pretendía asignarle un curso de lengua francesa, pero en el último momento decidió que enseñara matemáticas. Durante su época india, Weil conoció a Gandhi. Su contacto con la filosofía gandhiana, junto con su lectura del Gita,

tuvieron fatales consecuencias para Weil a su regreso a una Europa que se preparaba para la guerra. En el Gita, Krishna aconseja a Arjuna que actúe de acuerdo con su propio dharma, su código personal de comportamiento. Para Arjuna, que pertenecía a la casta de los guerreros, ello significaba combatir a pesar de la devastación inevitable que traería la guerra. Weil sentía que su dharma le decía lo contrario, es decir, que se mantuviera fiel a sus propias convicciones pacifistas. Decidió que, si estallaba la guerra, evitaría su movilización trasladándose a un país neutral. Durante el verano de 1939 se

trasladó a Finlandia con su mujer. Weil esperaba que Finlandia fuera un buen trampolín para huir a los Estados Unidos más adelante, pero resultó ser un grave error: la noche del 23 de agosto de 1939, Stalin firmó un pacto de no agresión con la Alemania nazi; a cambio de la neutralidad soviética, Hitler prometió a Stalin que le dejaría las manos libres en Estonia, Letonia, Polonia oriental y Finlandia. Al estallar la guerra, en septiembre de 1939, el gobierno finlandés sabía que muy pronto Finlandia sería invadida; por tanto, todo lo que tenía que ver con la Unión Soviética se consideraba sospechoso. Cuando las autoridades interceptaron

algunas cartas, llenas de ecuaciones incomprensibles, dirigidas a señas soviéticas por parte de un ciudadano francés, llegaron rápidamente a la conclusión de que este extranjero trabajaba para el enemigo. En septiembre de 1939, el francés fue arrestado bajo la acusación de ser un espía al servicio de Moscú. La noche anterior a la fijada para la ejecución, el jefe de policía, con motivo de una cena de Estado, se encontró sentado junto a un matemático de la Universidad de Helsinki, Rolf Nevanlinna. Al llegar al café, el jefe de policía se dirigió a Nevanlinna: «Mañana fusilamos a un espía que dice

conocerle. No me habría permitido molestarle por tan poca cosa, pero, al encontrarme ahora con usted, aprovecho la ocasión para pedirle su parecer». «¿Cómo se llama?», preguntó el académico. «André Weil», respondió el oficial. Nevanlinna se quedó con la boca abierta: durante el verano había hospedado a Weil y a su mujer en su propia casa de campo, junto al lago. «¿Es realmente necesario fusilarlo?», preguntó. «¿No pueden simplemente llevarlo hasta la frontera y expulsarlo?». «Es una idea; no lo había pensado». Así, gracias a este encuentro fortuito, Weil se ahorró la ejecución y las matemáticas se ahorraron la pérdida de uno de sus

principales representantes en el siglo XX. En febrero de 1940, Weil estaba de nuevo en Francia, aunque languideciera en una prisión de Rouen a la espera de ser procesado por desertor. Uno de los placeres de las matemáticas consiste en que, para dedicarse a ella, no hacen falta muchos instrumentos: basta con papel, lápiz e imaginación. La prisión proporcionaba los dos primeros instrumentos y, en cuanto al tercero, Weil tenía de sobra. En su Noruega natal, Selberg había hallado en el aislamiento impuesto en los años de la guerra las condiciones perfectas para dedicarse a las matemáticas. Trabajando

en la India como contable, Ramanujan había desarrollado sus increíbles dotes matemáticas incluso sin haber tenido acceso a una formación académica. Bromeando con Weil, uno de los discípulos de Hardy, Vijayaraghavan — que había sido colega de Weil en la India—, le había repetido muchas veces: «si usted pudiera pasar seis meses o un año en la cárcel, ciertamente sería capaz de demostrar la hipótesis de Riemann». Ahora Weil estaba en condiciones de probar directamente las afirmaciones de Vijayaraghavan. Riemann había construido un paisaje cuyos puntos a nivel del mar custodian los secretos del comportamiento de los

números primos. Para demostrar la hipótesis de Riemann, Weil tenía que explicar por qué estos puntos a nivel del mar estaban alineados. Hizo diversos intentos para orientarse en el paisaje de Riemann, pero no tuvo éxito. Sin embargo, tras el descubrimiento por Riemann de un agujero que liga los números primos con el paisaje zeta, los matemáticos han luchado con una serie de paisajes parecidos que les han ayudado a explicar otros problemas de la teoría de los números. Era tal la potencialidad de estos paisajes, cada uno definido por una variante de la función zeta, que estaban empezando a convertirse en objetos de culto. Su uso

como método de resolución de los problemas de la teoría de los números terminó por ser de tal manera universal que Selberg llegó a decir que creía oportuna la firma de un tratado de no proliferación de funciones zeta. Fue precisamente al explorar algunos de estos espacios que Weil descubrió un método capaz de explicar por qué en ellos los puntos a nivel del mar tienden a alinearse a lo largo de una recta. Los paisajes en los que Weil tuvo éxito no tenían relación con los números primos, pero guardaban la clave para calcular el número de soluciones de una ecuación del tipo y2 = x3 − x trabajando con una de las calculadoras de reloj de

Gauss. Tomemos, por ejemplo, esta ecuación y una calculadora de reloj con cinco horas en su esfera. Si en la parte derecha de la ecuación ponemos x = 2, tendremos que 23 − 2 = 8 − 2 = 6, que en nuestro reloj con cinco horas corresponderá al número 1. De la misma forma, si ponemos y = 4 en la parte izquierda de la ecuación, obtenemos 16, que en nuestro reloj corresponderá nuevamente al número 1. Este resultado, que podemos escribir de la forma (x, y) = (2, 4), se llama solución de la ecuación, ya que ambos lados de la propia ecuación coincidirán al sustituir los valores 2 y 4 en nuestra calculadora de reloj de cinco horas. En realidad

existen siete pares posibles de números (x, y) que verifican nuestra ecuación: (x, y) = (0, 0), (1, 0), (2, 1), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (4, 0) ¿Qué sucedería si eligiéramos un reloj con otro número primo p de horas en su esfera? El número de pares que satisfarían la ecuación sería apr oxi madamente p, aunque no coincidiría exactamente con p. De la misma forma en que la estimación logarítmica de Gauss para la cantidad de números primos oscila por arriba y por debajo del verdadero número de números primos, también el número p

sobrestima o subestima la verdadera cantidad de soluciones de la ecuación. Efectivamente, el propio Gauss, en la última anotación de su diario matemático, había demostrado antes que nadie, en esta ecuación en concreto, que el error en la estimación no sería superior al doble de la raíz cuadrada de p. Sin embargo, Gauss había utilizado métodos ad hoc que no servirían para otras ecuaciones; en cambio, la belleza de la demostración de Weil consiste en que se aplica a cualquier ecuación en las variables x e y. Al demostrar que los puntos a nivel del mar en el paisaje zeta de cada ecuación se encuentran sobre la recta, Weil había generalizado el

descubrimiento de Gauss que indica que, como orden de magnitud, el error en la estimación no será nunca superior a la raíz cuadrada de p. Aunque no está directamente ligada a la hipótesis de Riemann sobre los números primos, la demostración de Weil representa un vuelco importante desde el punto de vista psicológico. En realidad había encontrado una forma de mostrar que los puntos a nivel del mar en un paisaje construido con ecuaciones c o mo y2 = x3 − x se encuentran todos sobre una recta. La razón del entusiasmo de Cartan cuando abrió el paquete de Weil y se encontró ante la demostración hay que buscarla en su comprensión de

la ayuda que estas nuevas técnicas podrían proporcionar para la comprensión del paisaje original de Riemann. Weil había dado los primeros pasos hacia la creación de un lenguaje totalmente nuevo para la comprensión de las soluciones de ecuaciones. Una escuela de matemáticos italianos, con sede en Roma y dirigida por Francesco Severi y Guido Castelnuovo, había empezado algo similar, y Weil había conocido su trabajo durante su viaje a través de las capitales europeas. Pero las bases sentadas por los italianos eran aún bastante inestables, y no habrían sido capaces de sostener aquellas

matemáticas que Weil necesitaba. Las ideas de Weil se convirtieron en los fundamentos de lo que hoy llamamos geometría algebraica, que está en el centro de la demostración del último teorema de Fermat. Trabajando con este nuevo lenguaje, Weil consiguió construir para cada ecuación una especie muy particular de tambor matemático. Este tambor tenía un número finito de frecuencias, a diferencia de las infinitas frecuencias de los tambores físicos y de los infinitos niveles energéticos de la física cuántica. Las frecuencias del tambor de Weil indicaban con precisión las coordenadas de los puntos a nivel del mar en el

paisaje de la ecuación correspondiente. Sin embargo, necesitó mucho más trabajo para hacer que los puntos se situaran a lo largo de una recta. Ya no se trataba de frecuencias que reflejaban los niveles energéticos de la física cuántica, donde un cero fuera de la línea habría significado un nivel de energía imaginario, es decir, algo prohibido por la teoría física. Necesitaba algo distinto para obligar a los ceros a situarse sobre la línea recta. Mientras estaba sentado en su celda escuchando el tambor que había construido, repentinamente se le ocurrió que ya tenía la última pieza del rompecabezas, la que explicaría por qué

las frecuencias de este tambor están situadas a lo largo de una recta. Durante su viaje a través de Europa, tras su licenciatura, había tenido conocimiento de un teorema demostrado por el matemático italiano Guido Castelnuovo, un teorema que resultó de importancia crucial para forzar a los ceros de aquellos paisajes de las ecuaciones a alinearse ordenadamente. Sin la feliz ayuda proporcionada por el resultado de Castelnuovo, estos paisajes habrían podido permanecer tan inaccesibles como el de Riemann. Como reconoció Sarnak en Princeton: «el hecho de que Weil consiguiera hacer funcionar su demostración fue, en cierto modo, un

milagro». Al menos en parte, Weil había conseguido realizar el sueño de Vijayaraghavan. Aunque no había podido con la hipótesis de Riemann sobre los números primos, había encontrado la forma de demostrar que los puntos a nivel del mar en paisajes análogos tienden a situarse a lo largo de una recta. El 7 de abril de 1940 escribió a su mujer Eveline diciéndole: «Mi trabajo matemático hace progresos superiores a todas mis expectativas; pero estoy un poco preocupado porque si trabajo tan bien en la cárcel, ¿no podría organizarme para pasar en ella dos o tres meses cada año?». En

condiciones normales, Weil habría esperado antes de publicar, pero en aquella situación el futuro era demasiado incierto como para correr riesgos; por tanto, preparó una nota para Comptes Rendus y se la mandó a Elie Cartan. En una carta que le mandó desde la cárcel, Weil relató a su mujer, a propósito de aquella nota: «Estoy muy satisfecho de ella, especialmente porque la he escrito aquí, lo que es bastante inusitado en la historia de las matemáticas, y también porque representa una buena manera de hacer saber a todos mis amigos matemáticos diseminados por el mundo que aún

existo. Estoy encantado con la belleza de mis teoremas». Tras leer el manuscrito, el hijo de Elie Cartan, Henri —matemático amigo y coetáneo de Weil —, le respondió con una carta en la que escribía con envidia: «No todos tenemos tu suerte de poder trabajar sin ser molestados…». Elie Cartan estuvo encantado de publicar el escrito. El 3 de mayo de 1940 terminó el fecundo período de prisión de Weil. Cartan testificó en el proceso, que fue descrito por Weil como «una comedia mal representada». Weil fue condenado a cinco años de prisión por no presentarse a filas, pero la condena quedaría en suspenso si

aceptaba prestar el servicio militar en el frente. A pesar de los óptimos resultados matemáticos que había conseguido durante el tiempo que pasó en la cárcel de Rouen, Weil aceptó entrar en el ejército. Resultó ser una sabia elección: un mes más tarde, ante el avance de las tropas alemanas, los franceses fusilaron a todos los prisioneros de Rouen con el fin de acelerar, dicen, la retirada de las tropas. Por medio de un certificado médico falso que había conseguido en Inglaterra, en 1941 Weil fue autorizado a abandonar el ejército por pulmonía. Obtuvo los visados para que él y su familia pudieran trasladarse a los

Estados Unidos, donde coincidió con Siegel en el Institute for Advanced Study de Princeton. Los dos habían trabado amistad durante el viaje de Weil a través de Europa. Cuando Siegel se había trasladado a estudiar las notas inéditas de Riemann y había descubierto su fórmula secreta para el cálculo de los ceros, Weil lo había acompañado. Como es natural, Siegel estaba ansioso por saber si era posible extender a la comprensión del espacio original de Riemann el enfoque que Weil había utilizado para orientarse en un espacio matemático análogo. Muchos, entre ellos el propio Siegel, estaban convencidos de que la

demostración que Weil había conseguido para un paisaje concreto proporcionaría elementos fundamentales en la búsqueda del que era realmente el Grial: la hipótesis de Riemann. Weil dedicó años a determinar este esquivo nexo de unión con el paisaje que Riemann había creado; por desgracia, como hombre libre no volvió a gozar del éxito que le había sonreído en la cárcel de Rouen. Podemos percibir la melancolía de Weil en las palabras con que, más adelante, describió su deseo de revivir el ímpetu de su primer descubrimiento: Todos los matemáticos dignos de

tal nombre han experimentado… aquel estado de lúcida exaltación en el que un pensamiento sigue a otro de manera casi milagrosa… esta sensación puede prolongarse durante horas, a veces durante días. Cuando uno la ha experimentado desearía poder repetirla, pero no es capaz de hacerlo cuando quiera, si no es lanzándose de cabeza al trabajo… En una entrevista para La Science, en 1979, le preguntaron qué teorema habría querido demostrar por encima de todo. Respondió que «en el pasado, a

veces, me he dicho que, si hubiera conseguido demostrar la hipótesis de Riemann —que se había formulado en 1859—, habría mantenido mis resultados en secreto hasta 1959, para poder hacerlos públicos con motivo de su centenario». Pero, a pesar de todos los esfuerzos, no llegó a ningún resultado: «Después de 1959 me he dado cuenta de que aún estoy muy lejos de una solución; y me he ido apartando de manera gradual, no sin pesar». Durante toda su vida, Weil se mantuvo en estrecho contacto con Goro Shimura, uno de los matemáticos japoneses que plantearon la conjetura resuelta por Andrew Wiles mientras

avanzaba en la demostración del último teorema de Fermat. Shimura rememora lo que Weil, ya de avanzada edad, le dijo: «Antes de morir, me gustaría ver demostrada la hipótesis de Riemann, pero tengo que admitir que se trata de una eventualidad improbable». Shimura recuerda también una conversación que tuvieron sobre Charlie Chaplin. En su juventud, Chaplin había visitado a un adivino que le había predicho con todo detalle lo que le reservaba el futuro. Bromeando melancólicamente, Weil dijo: «Bueno, en mi autobiografía podría escribir que, de joven, un adivino me había predicho que nunca conseguiría resolver la hipótesis de Riemann».

Aunque el sueño de Weil de demostrar la hipótesis de Riemann, o al menos verla demostrada, no se cumplió, no obstante, no hay duda de que su obra posee importancia fundamental: la demostración de Weil ha proporcionado a los matemáticos un rayo de esperanza sobre la posibilidad de alcanzar la cumbre del monte Riemann. Por otra parte, ha alimentado su fe en la certeza de la intuición de Riemann. Si los puntos a nivel del mar se alinean en un paisaje zeta, es lícito esperar que hagan otro tanto en el espacio de los números primos. Además, para orientarse en su paisaje, Weil había recurrido a un extraño tambor matemático, mucho antes

de que las conexiones con el caos cuántico nos revelaran que se trata de un buen método para buscar una solución. En palabras de Sarnak, «El resultado que Weil obtuvo se ha convertido en el faro que nos guía en nuestra búsqueda de una demostración de la hipótesis de Riemann». El nuevo lenguaje matemático de Weil, la geometría algebraica, le había permitido articular sutilezas sobre la solución de ecuaciones que de otra forma hubieran sido imposibles. Pero si quedaba alguna esperanza de extender las ideas de Weil de manera que ayudaran a demostrar la hipótesis de Riemann, estaba claro que aquellas

ideas se desarrollarían más allá de las bases que él había sentado desde su celda de Rouen. Sería otro matemático parisiense quien daría vida al esqueleto del nuevo lenguaje ideado por Weil. El gran artífice de esta empresa fue uno de los matemáticos más extraños y más revolucionarios del siglo XX: Alexandre Grothendieck.

UNA NUEVA REVOLUCIÓN FRANCESA

Napoleón había forjado su propia revolución académica creando instituciones como la École

Polytechnique y la Ecole Normale Supérieure. Sin embargo, el excesivo énfasis que puso en unas matemáticas al servicio de las necesidades del Estado había hecho que París perdiera la centralidad en el mapa de las matemáticas internacionales a favor de Gotinga, donde el enfoque más abstracto de Gauss y de Riemann pudo desarrollarse y florecer. En la segunda mitad del siglo XX, Francia fue sacudida por un nuevo vendaval de optimismo sobre las posibilidades de que París reconquistara su posición de primera línea en el mundo de las matemáticas. Gracias a la iniciativa de un emigrante ruso, el industrial Léon

Motchane, que era un apasionado de la ciencia, y bajo la dirección académica de algunas figuras clave del grupo Bourbaki, se decidió crear un nuevo instituto inspirado en el brillante ejemplo del Institute for Advanced Study de Princeton. A diferencia de las academias napoleónicas, este nuevo instituto no estaría bajo control estatal. Fundado como empresa privada, el Institut des Hautes Études Scientifiques se inauguró en 1958. Sus edificios se esconden entre los bosques del BoisMarie, no lejos de París. A lo largo de los años ha hecho realidad los sueños de sus creadores. Marcel Boiteux, un antiguo rector del instituto, lo ha

descrito como «un foco de radiación, una colmena vibrante, y un monasterio, donde las semillas, plantadas en profundidad, pueden germinar y alcanzar la madurez según sus propios ritmos naturales». Uno de los primeros profesores del instituto fue una joven estrella de las matemáticas que respondía al nombre de Alexandre Grothendieck. Esta primera semilla parece haber florecido de la forma más espectacular. Grothendieck es un matemático austero: su despacho en el instituto no tenía más adornos que un óleo que representaba a su padre, pintado por un compañero de éste en uno de los campos

donde estuvo internado antes de ser trasladado a Auschwitz, donde murió en 1942. Grothendieck había tomado de su padre la fiera expresión de aquellos ojos que resplandecían en la cara del retrato, donde se le veía con la cabeza rapada. Aunque no había llegado a conocer a su padre directamente, la devoción con que su madre le había hablado de él surtió un profundo efecto sobre Grothendieck. Como comentó él mismo, con la vida de su padre podrían estudiarse los hechos más importantes de las revoluciones europeas entre 1900 y 1940: desde la Revolución bolchevique de octubre de 1917 —de la

que había sido dirigente—, pasando por los enfrentamientos armados con los nazis en las calles de Berlín, hasta el enrolamiento en las milicias anarquistas durante la Guerra Civil española. Finalmente los nazis consiguieron detenerlo en Francia, gracias al gobierno de Vichy, que se lo entregó como judío. Grothendieck llevó a cabo su propia revolución, no en el campo de batalla político, sino en el ámbito de las matemáticas. Partiendo de los primeros intentos de Weil, puso a punto un nuevo lenguaje matemático. Así como las nuevas intuiciones de Riemann supusieron un punto de inflexión, el

nuevo lenguaje de la geometría y del álgebra que Grothendieck elaboró hizo posible la creación de una dialéctica totalmente nueva, que permitió a los matemáticos articular ideas que anteriormente eran imposibles de expresar. Todo ello puede compararse con las nuevas perspectivas que se abrieron a finales del siglo XVIII, cuando los matemáticos aceptaron el concepto de número imaginario. Pero este nuevo lenguaje no era fácil de aprender: incluso el propio Weil quedó bastante desconcertado ante el nuevo mundo abstracto de Grothendieck. El Institut des Hautes Études Scientifiques se convirtió en la sede

posbélica natural del proyecto Bourbaki, todavía dedicado a producir ulteriores volúmenes de su estudio enciclopédico sobre las modernas matemáticas. Grothendieck se convirtió en uno de sus principales colaboradores. Cuando los primeros miembros del grupo cumplieron los cincuenta años, se retiraron de Bourbaki, y empezó la caza de nuevos reclutas, jóvenes matemáticos franceses que ocuparan sus puestos. Más que cualquier otra iniciativa, las publicaciones de Bourbaki ayudaron decisivamente a Francia a recuperar su posición central en las matemáticas internacionales. Muchos matemáticos creían que Bourbaki era una persona

verdadera y real; y Bourbaki, por su parte, incluso presentó su solicitud para ingresar en la American Mathematical Society. Más allá de las fronteras francesas, muchos han criticado el efecto de Bourbaki sobre las matemáticas, lamentando sus criterios de selección sobre lo que había que documentar. Los críticos pensaban que Bourbaki había convertido en estéril la investigación matemática al presentar esta disciplina como un producto acabado en lugar de un organismo en evolución. Su énfasis en la mayor universalidad posible hacía perder de vista la excentricidad y los aspectos a menudo específicos de esta

disciplina. Pero Bourbaki cree que su proyecto ha sido mal interpretado: los tomos que llevan su nombre están ahí para confirmar la solidez de la posición que ahora ocupamos. Han sido concebidos como una nueva versión de l o s Elementos, como el equivalente moderno del punto de partida que Euclides nos proporcionó hace dos mil años. La vieja guardia, compuesta por los matemáticos que estaban en activo antes de la Segunda Guerra Mundial, empezó a lamentarse de no reconocer ya la disciplina sobre la que llevaban largos años trabajando. Siegel comentó así una presentación de su obra, traducida en el

nuevo lenguaje: Me disgusté por la forma en que mi contribución a la cuestión ha sido desfigurada y vuelta incomprensible. Todo el estilo… contradice aquel sentido de simplicidad y honestidad que admiramos en las obras de los maestros de la teoría de los números: Lagrange, Gauss o, en menor escala, Hardy y Landau. Me parece ver un cerdo entrando en un espléndido jardín y poniéndose a destrozar flores y plantas. Siegel era pesimista sobre el futuro

de las matemáticas ante una abstracción así: «Temo que, si no conseguimos bloquear la tendencia actual a desarrollar una abstracción falta de sentido —o, como yo la llamo, una teoría del conjunto vacío—, las matemáticas morirán antes del fin del siglo». Muchos compartían este punto de vista. Selberg describió sus propias impresiones tras asistir a una conferencia en la que se presentaba, a grandes rasgos, el esquema abstracto de una posible demostración de la hipótesis de Riemann: «Lo que yo creía era que nunca se habían visto conferencias de este tono. Al final, hice partícipes a

algunos de un pensamiento que se me ocurrió: si los deseos fueran caballos, incluso los mendigos podrían cabalgar». En la conferencia se había propuesto todo un marco de hipótesis abstractas. Si fuera suficiente un simple cambio de lenguaje para resolver la teoría de los números primos, entonces el matemático que dictó aquella conferencia habría conseguido demostrar la hipótesis de Riemann. Pero, como subraya Selberg: «en realidad él no disponía de ninguna de las hipótesis que necesitaba. Esta, probablemente, no es la manera correcta de enfocar las matemáticas. Sería necesario buscar un punto de partida que consiguiéramos realmente captar y

comprender. Aquel discurso contenía muchas cosas interesantes, pero es un ejemplo de una tendencia que considero muy peligrosa». Para Grothendieck, en cambio, aquello no era abstracción por mor de la abstracción misma: desde su punto de vista, se trataba de una revolución que se había hecho necesaria por las propias preguntas que las matemáticas intentaba responder. Escribió un volumen tras otro describiendo este nuevo lenguaje. Grothendieck tenía un punto de vista mesiánico, y empezó a atraer a un grupo de jóvenes fieles. Su producción científica ha sido inmensa, alrededor de diez mil páginas. Cuando un invitado le

hizo notar que la biblioteca del instituto no estaba muy dotada le replicó: «Aquí no leemos libros, los escribimos». Gödel había hablado de la necesidad de expandir los fundamentos de las matemáticas para poder afrontar la hipótesis de Riemann: el nuevo lenguaje revolucionario de Grothendieck era el primer paso en esta dirección, pero a pesar de todos sus esfuerzos la hipótesis de Riemann continuaba siendo una meta inalcanzable, alimentando su frustración. Su revolución respondía a numerosos problemas, incluidas las importantes conjeturas de Weil sobre el número de soluciones de las ecuaciones, pero no a aquél.

De hecho, la responsabilidad última del fracaso de Grothendieck en su intento de escalar la cumbre del monte Riemann hay que buscarla en el pasado político de su padre. Grothendieck hizo todo lo posible para vivir de acuerdo con los ideales políticos de su progenitor: se convirtió en un pacifista incondicional, participando directamente en las campañas contra la carrera armamentística de los años sesenta. Denunció con fuerza el empeoramiento de la situación política en Rusia hasta el punto de que, cuando en 1966 se le otorgó la medalla Fields en reconocimiento a sus progresos en el campo de la geometría algebraica, se

negó a ir a Moscú a recoger el premio como gesto de protesta contra la escalada militar soviética. Todo su tiempo dedicado a explorar el mundo de las matemáticas había hecho que, en el plano político, las posiciones de Grothendieck fueran algo ingenuas. Cuando le mostraron un cartel que anunciaba una conferencia patrocinada por la OTAN, en la que tenía que ser el orador principal, Grothendieck preguntó, con gran inocencia, qué significaban las siglas OTAN. Cuando le explicaron que se trataba de una organización militar, escribió una carta a los organizadores amenazando con no presentarse (los

organizadores prefirieron renunciar al patrocinio antes que perder a su principal conferenciante). En 1967, Grothendieck impartió un breve curso de geometría algebraica abstracta ante un público que lo observaba estupefacto: estaban en la jungla de Vietnam del Norte, donde la Universidad de Hanoi había sido evacuada durante los bombardeos. Él veía aquellas clases, llenas de ideas abstractas, como una forma de protesta contra la guerra que rugía a pocos metros. Las cosas alcanzaron su punto crítico en 1970, cuando Grothendieck descubrió que una parte de la financiación privada del instituto

procedía de fuentes militares. Fue directo al despacho del director, Léon Motchane, amenazando con dimitir. Motchane, que había contribuido más que nadie a la creación del instituto, no era tan flexible como los organizadores de la conferencia del año anterior; Grothendieck, por su parte, permaneció fiel a sus principios y se marchó. Los que lo conocen de cerca creen que quizá tomó como excusa la financiación militar para huir de la jaula de oro en que se había transformado el instituto. Grothendieck se sentía como un mandarín matemático al servicio de los poderes establecidos. Prefería su papel de marginado: odiaba la idea de sentirse

cómodo dentro del sistema. También está el hecho de que tenía cuarenta y dos años; el mito según el cual un matemático, al llegar a los cuarenta años, ha dado ya lo mejor de sí mismo, empezaba a preocuparle: ¿Qué pasaría si el resto de su vida matemática careciera de creatividad? No era el tipo de persona capaz de dormirse en sus laureles. Además, su desilusión al no conseguir progresos en su estudio de los puntos a nivel del mar aumentaba cada día. En la comodidad del instituto, Grothendieck no había conseguido más avances de los que había hecho Weil en su celda de Rouen. Cuando abandonó el Institut des Hautes Études Scientifiques,

abandonó prácticamente las matemáticas. Empezó a ir a la deriva. Se unió a un grupo llamado Survive, dedicado a temas antimilitaristas y medioambientales. Empezó a practicar el budismo con un fervor en el que sus antepasados judíos se habrían reconocido plenamente. La amargura que sentía al no poder completar su visión matemática se tradujo en una extraordinaria autobiografía de mil páginas, en la que atacaba con violencia lo que se había hecho con su herencia matemática. No conseguía aceptar que sus discípulos fueran ahora los nuevos líderes de la revolución que él había

inspirado y que pusieran su firma en ella. Actualmente, pasados casi treinta años de su marcha del instituto, Grothendieck vive en un pueblo perdido del Pirineo. Según una pareja de matemáticos que lo visitó hace algunos años: «está obsesionado con el diablo, cuya obra ve en cada rincón del mundo, empeñado en destruir la armonía divina». Entre otras cosas, acusa al diablo de haber cambiado la velocidad de la luz del bello valor preciso de 300.000 km/s al «horrible» 299.887 km/s. Todos los matemáticos han de estar algo locos para encontrarse como en casa en el mundo matemático: todas

las horas que Grothendieck dedicó a explorar los confines de ese mundo lo hicieron incapaz de encontrar el camino de vuelta. Grothendieck no es el único matemático que ha enloquecido intentando demostrar la hipótesis de Riemann: hacia finales de los cincuenta, tras unos primeros éxitos, John Forbes Nash se dejó fascinar por la perspectiva de demostrar la hipótesis de Riemann. Según la biografía de Nash escrita por Sylvia Nasar, Una mente prodigiosa, la gente «especulaba con que Nash estaba enamorado de Cohen», que a su vez estaba luchando con la hipótesis de Riemann. Nash habló largamente con

Paul Cohen de sus ideas sobre el tema, pero Cohen no le vio ninguna salida posible. Algunos creen que el rechazo de Cohen, ya sea en el plano emotivo o en el matemático, contribuyó a la subsiguiente decadencia de las facultades mentales de Nash. En 1959 fue invitado a presentar sus ideas para una solución de la hipótesis de Riemann en una convención de la American Mathematical Society, en la Universidad de Columbia en Nueva York. Fue un desastre: el público estaba inmóvil en atónito silencio mientras Nash levantaba la cabeza ante sus ojos, presentando una serie de argumentaciones carentes de sentido, con la pretensión de que se

trataba de demostraciones de la hipótesis de Riemann. Los ejemplos de Grothendieck y de Nash ilustran los peligros de la obsesión matemática. (A diferencia de Grothendieck, Nash consiguió recuperarse: en 1994 obtuvo el Premio Nobel de Economía por sus contribuciones matemáticas a la teoría de juegos). Si Grothendieck ha ido al colapso psicológico, la estructura matemática que creó continúa en pie. Muchos creen que las ideas cruciales que aún nos faltan extenderán la revolución de Grothendieck y por fin desvelarán los misterios de los números primos. Hacia mitades de los noventa, entre la

comunidad matemática empezó a circular una voz: quizás estábamos cerca de encontrar al sucesor de Grothendieck.

QUIEN RÍE EL ÚLTIMO

Cuando empezó a correrse la voz de que Alain Connes estaba trabajando en la hipótesis de Riemann, muchos fruncieron el ceño. Connes, profesor del Institut de Hautes Études Scientifiques y del Collège de France, es un peso pesado con una reputación similar a la de Grothendieck. En efecto, su invención de la geometría no conmutativa va más allá de la geometría de Weil y

Grothendieck. Connes, como Grothendieck, es capaz de ver una estructura allá donde los demás sólo ven caos. En matemáticas, no conmutativo significa que el orden en que se hace algo es fundamental. Por ejemplo, tomemos una fotografía cuadrada de la cara de alguien y pongámosla boca abajo. Primero démosle la vuelta de derecha a izquierda y a continuación hagámosla girar noventa grados en sentido horario. Repitamos el experimento, pero esta vez hagamos girar la foto antes de darle la vuelta (también en este caso hay que asegurarse de darle la vuelta de derecha a

izquierda) y comprobaremos que ahora la cara está girada en sentido opuesto. Depende de qué operación efectuemos primero. El mismo principio está en el centro de muchos de los misterios de la física cuántica. El principio de indeterminación de Heisenberg dice que nunca podremos conocer con precisión la posición y, al mismo tiempo, la velocidad de una partícula. La razón matemática que está en la base de esta indeterminación es que el resultado depende del orden en que se miden la posición y la velocidad. Connes ha llevado la geometría algebraica de Weil y Grothendieck a regiones de las matemáticas en las que

estas simetrías dejan de funcionar, revelando un mundo matemático completamente nuevo. Si la mayor parte de los matemáticos se pasan la vida intentando alcanzar una mejor comprensión de estructuras matemáticas ya conocidas, de vez en cuando —una vez en varias generaciones—, aparece un explorador capaz de superar tales esquemas y descubrir continentes desconocidos: Connes es uno de esos exploradores. Connes pone toda su pasión en estas exploraciones. Su amor por esta disciplina se remonta a cuando, a los siete años, reflexionó por vez primera sobre problemas matemáticos

elementales: «Recuerdo con toda claridad el intenso placer que encontraba sumergiéndome en aquel particular estado de concentración necesario para aplicarse en matemáticas». Se diría que Connes nunca ha salido de este trance. Y a pesar de todas sus teorías y sus abstracciones, que intimidarían a quien lo observa, algo en él ha quedado de aquella fogosidad infantil que tenía a los siete años. Para Connes las matemáticas es lo que más puede acercarse a un concepto de verdad última. Y, desde su juventud, la alegre búsqueda de este fin ha sido una componente fundamental de su dedicación a ella. Para decirlo con sus

propias palabras, ya que «la realidad matemática no puede colocarse en el espacio ni en el tiempo, esto proporciona, cuando uno es lo bastante afortunado para descubrir una ínfima porción de ello, una sensación de extraordinario placer por la impresión de eternidad que proporciona». Connes describe al matemático como una persona siempre activa, siempre a la búsqueda de nuevos territorios en los que penetrar. Si otros se limitan a navegar en las proximidades de las costas de las tierras conocidas, Connes se apartará del horizonte matemático familiar y navegará hacia aguas desconocidas, más allá de

nuestros actuales conocimientos matemáticos. Su capacidad de comprensión de las conexiones entre los números primos y el árido mundo abstracto de la geometría no conmutativa se debe en buena parte a su talento para adoptar diversos elementos de las diferentes culturas matemáticas que ha visitado en sus viajes. Algunos investigadores prefieren moverse, durante sus exploraciones, en parejas o en grupo. Juntos, sus diversas habilidades pueden ayudarles a cruzar océanos matemáticos en los que podrían perderse en soledad. Connes, en cambio, es uno de esos viajeros que aman la soledad: «Si se quiere realmente

descubrir algo, hay que estar solo». La nueva geometría que Connes había descubierto tenía en su propia base el desarrollo de la geometría algebraica conseguido por Weil y Grothendieck, que habían elaborado un nuevo diccionario con el que traducir la geometría al álgebra. La utilidad de este diccionario se hace evidente cuando nos encontramos ante un problema que, expresado en el campo de la geometría, permanece oscuro y rodeado de misterio, mientras que se clarifica rápidamente en cuanto se traduce en términos algebraicos. De esta forma Weil consiguió calcular el número de soluciones de las ecuaciones y

demostrar que los ceros de los paisajes correspondientes están alineados. Si se hubiera limitado a tratar de comprender las formas geométricas modeladas por aquellas ecuaciones, no habría llegado a ninguna parte; pero, una vez preparado su diccionario algebraico-geométrico, tenía los medios para comprender. Si la geometría de Weil dio respuesta a las preguntas sobre la teoría de los números pura, las ideas de Connes proporcionaron una descripción matemática de una geometría que los físicos de la teoría de cuerdas y los físicos cuánticos buscaban, ya desesperadamente, construir. A finales del siglo XX, los físicos estaban

buscando una nueva geometría para apuntalar la teoría de cuerdas, que se había introducido en los años setenta como una posible solución de la incompatibilidad entre la física cuántica y la teoría de la relatividad. Connes quedó fascinado por el problema, y empezó a buscar la geometría que los físicos creían que tenía que existir. Comprendió que, aun no teniendo una imagen clara de la parte física de esta geometría, siempre podía construir su lado geométrico abstracto. Fue un descubrimiento que sólo un estudioso acostumbrado a moverse entre las abstracciones del mundo matemático podía completar: la intuición física no lo

habría conseguido. El extraño comportamiento del mundo subatómico obligó a Connes a dejar totalmente de lado las maneras ordinarias con las que comprendemos la geometría convencional. Si la revolución geométrica de Riemann ofreció a Einstein el lenguaje necesario para describir la física de lo increíblemente grande, la geometría de Connes ofrece a los matemáticos la posibilidad de penetrar en la extraña geometría de lo increíblemente pequeño. Gracias a él, quizá podremos descifrar la estructura elemental del espacio. Hugh Montgomery y Michael Berry habían puesto en evidencia la posible

conexión entre los números primos y el caos cuántico. El hecho de que el lenguaje de Connes se adaptara perfectamente a las necesidades de la física cuántica contribuyó a alimentar el optimismo sobre el éxito de su ataque a la hipótesis de Riemann. Como provenía de un renacimiento matemático francés que había creado ya nuevas técnicas para orientarse en los paisajes zeta, es comprensible que la comunidad matemática creyera estar cerca de la respuesta al problema: todos los hilos convergían en el mismo punto. Lo que Connes cree haber identificado es un espacio geométrico muy complejo, llamado el espacio no

conmutativo de las clases de Adele, construido en el mundo del álgebra. Para construir este espacio utilizó unos extraños números descubiertos a principios del siglo XX, los números p-ádicos. Existe una familia de números p-ádicos para cada número primo p. Connes cree que reuniendo todos estos números y observando cómo opera la multiplicación en ese espacio extremadamente singular, los ceros de Riemann tendrían que aparecer naturalmente como resonancias en el interior de ese espacio. Su enfoque es una mezcla exótica de muchos de los ingredientes aparecidos durante los siglos de estudio de los números primos.

No es sorprendente que los matemáticos valoraran con confianza sus posibilidades de éxito. Connes no sólo es un maestro de las matemáticas, sino que tiene también un carisma particular para exponer sus propias ideas a los demás. Muchos han quedado hipnotizados ante sus presentaciones de la hipótesis de Riemann. Al escucharlo, yo estaba convencido de que aparecería una demostración como consecuencia de su trabajo, que había realizado el grueso del trabajo y que los demás sólo tendrían que hacer algún retoque final. Pero por más que da la impresión de haber comprendido ya la gran idea

buscada por todos, el mismo Connes sabe bien que queda todavía mucho camino por andar: «El proceso de verificación puede ser muy doloroso: hay un miedo terrible a equivocarse… que hace crecer increíblemente el ansia, ya que nunca somos capaces de saber si nuestras intuiciones son correctas, un poco como en los sueños, donde a menudo las intuiciones resultan equivocadas». En la primavera de 1997, Connes fue a Princeton para explicar sus nuevas ideas a los peces gordos: Bombieri, Selberg y Sarnak. Princeton continuaba siendo indiscutiblemente la meca de la hipótesis de Riemann, aunque París

intentaba conseguir el primer puesto. Selberg se había convertido en el padrino del problema: era inconcebible que cualquier hipótesis pudiera superar la barrera sin haber sido antes cuidadosamente examinada por un hombre que había dedicado medio siglo a luchar con los números primos. Sarnak era el joven matemático cuyo afilado intelecto determinaría rápidamente la menor debilidad de la teoría. Hacía poco que había unido sus fuerzas con Nick Katz, también de Princeton, uno de los maestros indiscutidos de las matemáticas desarrolladas por Weil y Grothendieck. Juntos habían demostrado que la extraña distribución estadística en

los tambores aleatorios que creemos que describen el paisaje de Riemann está también presente en los paisajes examinados por Weil y Grothendieck. La mirada de Katz es particularmente fina, y pocas cosas se le escapan: fue precisamente Katz quien, algunos años antes, determinó el error de la primera demostración del último teorema de Fermat que Wiles propuso. Finalmente, estaba Bombieri, el maestro indiscutido de la hipótesis de Riemann. Había ganado su medalla Fields por haber conseguido lo que hoy es el resultado más significativo sobre la proximidad entre la verdadera cantidad de números primos y la

estimación de Gauss: la demostración de lo que los matemáticos llaman la hipótesis de Riemann «en promedio». En la tranquilidad de su despacho, desde el que se goza de una panorámica de los bosques que circundan el Institute for Advanced Study, Bombieri intentaba ordenar todas las intuiciones elaboradas por sí mismo en los años anteriores en vistas al asalto final a la solución definitiva del problema. Como Katz, también Bombieri tiene un ojo agudo para los detalles. Apasionado de la filatelia, una vez se le presentó la ocasión de comprar un sello muy raro para su colección. Tras examinarlo detalladamente, descubrió tres

imperfecciones y se lo devolvió al vendedor, indicándole sólo dos de ellas; se guardó la tercera, leve imperfección, por si más adelante le ofrecían otro falso con las correcciones que había indicado. Cualquier teoría candidata a la demostración de la hipótesis de Riemann tiene que estar dispuesta a afrontar un examen altamente severo. Selberg, Sarnak, Katz y Bombieri: un equipo formidable, pero que no conseguía intimidar en absoluto a Connes. La fuerza de sus argumentaciones y de su personalidad fácilmente estarían a la altura de los peces gordos de Princeton. Sabía que no disponía aún de la demostración, pero

estaba convencido de que su propio enfoque ofrecía las mejores perspectivas de hallar una solución a la hipótesis de Riemann. Reunía muchas de las ideas que habían emergido de la física cuántica y de las intuiciones matemáticas de Weil y de Grothendieck. El grupo de Princeton aceptó que se habían producido muchos avances, pero no se había resuelto el problema. Sarnak reconoció que Connes había sabido desarrollar con éxito las ideas que él mismo había aprendido de su supervisor, Paul Cohen, poco después de su llegada a Stanford. La diferencia radicaba en el hecho de que Connes disponía ahora de un nuevo lenguaje

sofisticado y de nuevas técnicas que lo ayudaban a dar una forma precisa a las ideas de Cohen. Pero en el enfoque de Connes se mantenía aún un problema: parecía haber arreglado las cosas de manera que fuera imposible ver cualquier punto que se hallara fuera de la recta de Riemann. Igual que un prestidigitador, Connes hacía ver a su público sólo los puntos que se hallaban sobre la recta, mientras que los de fuera desaparecían por su manga matemática. «Connes es capaz de hipnotizar al público», afirma Sarnak. «Es un tipo muy persuasivo. Produce fascinación. Si le haces notar un punto débil en su enfoque, la vez siguiente dice: “Tenías

razón”. Por eso consigue conquistar tan fácilmente». Y así, explica Sarnak, al cabo de poco Connes incluye alguna cabriola nueva en su razonamiento. Sarnak cree, sin embargo, que Connes aún no tiene la clase de magia que permitió a Weil hacer su gran descubrimiento mientras estaba en la cárcel, en 1940. Bombieri recuerda: «Sigo pensando que hace falta alguna nueva, gran idea». Al cabo de poco tiempo de la presentación de Connes, Bombieri recibió un correo electrónico de un amigo, Doron Zeilberger, de la Universidad de Temple. Según sus palabras, parecía como si Zeilberger

hubiera descubierto nuevas e increíbles propiedades de π. Pero Bombieri fue lo suficientemente astuto para fijarse en la fecha: era el primero de abril. Para hacer notar que había comprendido la broma, respondió al mismo nivel. Astutamente, se sumó a la fiebre que se estaba extendiendo alrededor de las contribuciones de Connes a la búsqueda de estructuras regulares en la distribución de los números primos: «Se han producido fantásticos acontecimientos tras la conferencia que Alain Connes pronunció en el Institute for Advanced Study el miércoles pasado…». Un joven físico presente entre el público intuyó de repente cómo

completar el proyecto de Connes. La hipótesis de Riemann es válida. «Por favor, da la máxima difusión a esta noticia». Zeilberger entró en el juego, y una semana después se había comunicado la noticia a todos los matemáticos del mundo a través del boletín electrónico del siguiente congreso internacional. Hizo falta tiempo para encauzar la excitación provocada por la broma de Bombieri. Volviendo a París, Connes descubrió que aquellas noticias estaban en boca de la gente. Y aunque el blanco de la broma eran en realidad los físicos, le dolió igualmente. La inocentada de Bombieri de

alguna manera supuso el fin del entusiasmo alrededor del trabajo de Connes sobre la hipótesis de Riemann. Ahora que las aguas se han calmado, parece que se han desvanecido gran parte de las esperanzas de que las ideas de Connes puedan descubrir el secreto de los números primos. Incluso en su sofisticado mundo de la geometría no conmutativa, los primos permanecen inalcanzables. Han pasado ya algunos años desde la entrada en escena de Connes, pero la fortaleza Riemann continúa inexpugnable. Naturalmente, aún es posible que el enfoque de Connes dé fruto: hay muchos motivos para creerlo. Sin embargo, ya ha disminuido

la sensación de que tal enfoque pueda garantizar un camino fácil hacia la demostración. Es posible que ahora los muros que protegen la hipótesis de Riemann parezcan un poco distintos, pero permanecen tan impenetrables como ayer. El mismo Connes intenta tomarse con filosofía este punto muerto en que ha embarrancado su investigación. Como comentó frente al anuncio de un premio de un millón de dólares para el que resolviera la hipótesis de Riemann: «para mí, las matemáticas ha sido siempre la mayor escuela de humildad. El valor inestimable de las matemáticas radica sobre todo en sus problemas más

increíblemente difíciles, que son como el Himalaya de las matemáticas. Conseguir la cumbre será extremadamente difícil, e incluso podría ser que tuviéramos que pagar un alto precio. Pero la verdad es que, una vez que la alcancemos, podremos admirar un panorama estupendo». Connes aún no se ha rendido, y continúa su batalla a la espera de una última gran idea que le permita alcanzar el final de su viaje. Su deseo es alcanzar aquel instante maravilloso, que todo matemático puede reconocer en algún momento de su propia vida, cuando repentinamente las cosas se ponen en su sitio: «Cuando llega la iluminación, se produce tal

escalofrío emotivo que es imposible permanecer pasivos o indiferentes. En las raras ocasiones en las que lo he experimentado no he podido contener las lágrimas». Por tanto, continuemos escuchando el misterioso ritmo de los primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,… Los números primos se extienden hasta los más extremos confines del universo de los números, sin terminarse nunca. Ellos están en el centro de las matemáticas, son los elementos primarios con los que se consigue cualquier cosa. ¿Deberemos realmente resignarnos al hecho de que, por más que deseemos hallar un orden y una explicación, estos números

fundamentales permanezcan para siempre fuera de nuestro alcance? Euclides demostró que los números primos siguen hasta el infinito; Gauss planteó la hipótesis de que siguen un orden aleatorio, como si hubieran sido elegidos lanzando una moneda; Riemann fue aspirado por un agujero que lo condujo a un espacio imaginario donde los números primos se convierten en música. En este espacio, cada punto a nivel del mar hace sonar una nota. Por tanto, se trataba de interpretar el mapa del tesoro de Riemann, y de descubrir la ubicación de cada punto a nivel del mar. Armado con una fórmula que mantuvo en secreto para el resto del mundo,

Riemann descubrió que, aunque la disposición de los números primos pareciera caótica, los puntos de su mapa estaban ordenados perfectamente: en lugar de estar desparramados aquí y allá, estaban todos sobre una misma recta. No podía ver lo bastante lejos en aquel paisaje como para poder afirmar que este orden siempre sería respetado, así lo creía. Había nacido la hipótesis de Riemann. Si la hipótesis de Riemann es correcta, ninguna de las notas tendrá un sonido más alto que otra: la orquesta que toca la música de los números primos tendrá una armonía perfecta. Esto explicaría el hecho de que, en la

distribución de los números primos, no vemos emerger pautas dominantes: a una pauta así correspondería un instrumento que toca más fuerte que los demás. Es como si cada instrumento siguiera su propio motivo, pero con una armonía tan perfecta que los motivos terminarían por anularse, dejando sólo el flujo y el reflujo aparentemente caóticos de los primos. Si es correcta, la hipótesis de Riemann nos ayudará a comprender por qué los números primos se nos aparecen como si hubieran sido extraídos al azar, lanzando una moneda. Pero quizá la intuición de Riemann sobre estos puntos a nivel del mar es sólo una ilusión;

quizás, al proseguir la música, un instrumento concreto de la orquesta de los números primos empezará a dominar sobre los demás; quizás en los horizontes extremos de los números se esconden estructuras regulares que aún no hemos descubierto; quizá la moneda de los números primos empezó a mostrar una inclinación particular cuando la naturaleza la lanzó más y más vueltas en el proceso de creación del universo matemático en que vivimos. Como hemos tenido la oportunidad de descubrir, los números primos son sujetos maliciosos, capaces de esconder a nuestra vista su verdadero carácter. Empezó así la búsqueda de una

confirmación a la convicción de Riemann según la cual los puntos a nivel del mar en su mapa del tesoro de los primos tenían que estar alineados. Hemos cruzado a lo largo y a lo ancho el mundo histórico y el mundo físico: la Francia revolucionaria de Napoleón; la revolución neohumanística de Alemania, desde el gran Berlín hasta las angostas calles medievales de Gotinga; la extraña alianza entre Cambridge y la India; el aislamiento de Noruega durante la guerra; el Nuevo Mundo, y una nueva academia fundada en Princeton para los valerosos buscadores del Grial de Riemann obligados a abandonar Europa por las devastaciones de la guerra; y,

finalmente, París y su nuevo lenguaje, que se habló por vez primera en la celda de una cárcel y que ha deshecho la mente de una de las principales personas que lo desarrollaron. La historia de los números primos se extiende mucho más allá de los confines del mundo matemático. Los progresos tecnológicos han cambiado la manera de hacer matemáticas. El ordenador, nacido en Bletchley Park, nos ha dado la capacidad de ver números que anteriormente permanecían confinados en un universo inaccesible. El lenguaje de la física cuántica ha permitido a los matemáticos articular estructuras y conexiones que nunca se hubieran

descubierto sin la superposición de culturas científicas. Incluso el mundo empresarial de la AT&T, de la HewlettPackard y de una cadena californiana de grandes almacenes de electrónica ha tenido su participación en la investigación. El papel central de los números primos en el panorama de la seguridad informática ha llevado estos números al primer plano. Hoy, los números primos tienen un impacto sobre la vida de todos nosotros, ya que en Internet protegen los secretos electrónicos del mundo a los ojos indiscretos de los hackers. Pero, a pesar de todos estos avances, los números primos continúan

siendo inalcanzables: cada vez que les damos caza en un nuevo territorio, ya sea en el mundo no conmutativo de Connes o en el caos cuántico de Berry, siempre encuentran nuevos lugares donde esconderse. Muchos de los matemáticos que han contribuido a nuestra comprensión de los números primos han sido recompensados con una larga vida. Jacques Hadamard y Charles de la Vallée-Poussin, que en 1896 habían demostrado el teorema de los números primos, vivieron ambos más de noventa años. La gente empezaba a pensar que el haber demostrado el teorema los había vuelto inmortales. La creencia en una

conexión entre la longevidad y los números primos ha sido alimentada posteriormente por Atle Selberg y Paul Erdös: tras su demostración elemental alternativa al teorema de los números primos, en los años cuarenta, ambos han superado la barrera de los ochenta años. Bromeando, los matemáticos han planteado una nueva conjetura: aquel que consiga demostrar la hipótesis de Riemann conquistará la inmortalidad. Continuando con la conjetura bromista, se dice que alguien en alguna parte ha demostrado ya que la hipótesis de Riemann es falsa, pero nadie se ha enterado porque el desgraciado matemático murió instantáneamente en

cuanto terminó su trabajo. Hay diversas opiniones sobre lo lejos que estamos de una demostración. Andrew Odlyzko, que ha calculado numerosísimos puntos a nivel del mar en el mapa del tesoro de Riemann, cree que no somos capaces en absoluto de hacer una previsión: «Podría ser la próxima semana, como podría ser dentro de un siglo. El problema parece demasiado complicado. Sospecho que su solución será muy simple, entre otras razones porque numerosísimas personas realmente preparadas le han dedicado todo su empeño durante mucho tiempo. Pero, por otra parte, también es posible que alguien tenga una idea

particularmente brillante ya la semana que viene». Otros creen que, para alcanzar una solución, aún hacen falta al menos un par de buenas ideas. Basándose en su conversación en Princeton con el físico cuántico Freeman Dyson durante la pausa de té, Hugh Montgomery está convencido de que nuestra escalada al monte Riemann se encuentra en un buen punto. Pero hay una nota a pie que modula bastante aquel optimismo: «Si no fuera por una única laguna, nuestra demostración de la hipótesis de Riemann estaría completa. Desafortunadamente, la laguna está precisamente al principio». Como subraya Montgomery, es un feo sitio

para una laguna. Una laguna en el medio significaría al menos que hemos progresado en nuestro camino; pero si se encuentra en el principio significa que, a menos que encontremos una forma de superar este primer obstáculo, el resto del recorrido que hemos trazado para llegar a la cumbre del monte Riemann es totalmente inútil: «Es por culpa de un obstáculo a nivel teórico que no somos capaces de demostrar este teorema». Muchos matemáticos están aún demasiado atemorizados para acercarse a este problema notoriamente difícil, a pesar del incentivo de un millón de dólares para quien encuentre la solución. Los nombres que lo han

intentado y han fracasado son legión: Riemann, Hilbert, Hardy, Selberg, Connes… Pero aún quedan matemáticos lo bastante valientes para intentarlo, y entre los nombres que hay que tener presentes en un futuro están Christopher Deninger en Alemania y Shai Haran en Israel. Muchos predicen que la hipótesis de Riemann llegará a su bicentenario sin haber sido demostrada. Otros, en cambio, creen que su hora está próxima, y que con todo lo que hemos descubierto sobre dónde buscar una solución, no podrá resistirse mucho más. Otros creen, en cambio, que es falsa. Otros creen que ya ha sido demostrada pero que el

establishment matemático no se atreve a renunciar a este enigma. Finalmente, algunos se han vuelto locos buscando una solución. Quizá nos hemos obsesionado de tal forma en mirar los números primos desde la perspectiva de Gauss y de Riemann que lo que nos hace falta es simplemente una forma distinta de comprender estos enigmáticos números. Gauss propuso una estimación de la cantidad de números primos, Riemann previo que en la peor de las hipótesis el margen de error, por exceso o por defecto, sería equivalente a la raíz cuadrada de N, y Littlewood mostró que no podía hacerse mejor. Quizás existe un

punto de vista alternativo que nadie ha sido capaz de encontrar por culpa de nuestro ligamen cultural con el edificio construido por Gauss. Como los investigadores en la escena de un misterioso asesinato, hemos examinado a los diversos sospechosos matemáticos: ¿quién o qué ha puesto los ceros sobre la recta de Riemann? La escena está llena de pruebas diseminadas, hay huellas por todas partes, tenemos un retrato robot del presunto culpable. Pero aún se nos escapa la respuesta. Nos queda, para consolarnos, el hecho de que aunque los números primos no nos revelen nunca su secreto, nos están guiando por la más

extraordinaria de las odiseas intelectuales. Han adquirido una importancia que va mucho más allá de su papel fundamental de átomos de la aritmética. Como hemos descubierto, los números primos han puesto en comunicación áreas de las matemáticas entre las que no se conocían relaciones. Teoría de los números, geometría, análisis, lógica, teoría de la probabilidad, física cuántica: todas han terminado convergiendo en nuestra búsqueda de una solución a la hipótesis de Riemann. Y esta búsqueda ha puesto a las matemáticas bajo una luz nueva. Hoy nos maravillamos ante su extraordinaria interconexión: las

matemáticas se han transformado, han pasado de ser una disciplina que se ocupa de estructuras a una disciplina que indaga las interconexiones. Estas conexiones no sólo existen en el interior del mundo matemático. Hubo un tiempo en que los números primos se consideraban el concepto más abstracto, entidad que perdería todo su significado fuera de la torre de marfil de las matemáticas. Hubo un tiempo en que los matemáticos —G. H. Hardy es quizá el mejor ejemplo— gozaban ante la idea de poder examinar sus objetos de estudio en total aislamiento, sin distracciones con problemas del mundo exterior. Pero ahora los números primos

no ofrecen ya una vía de fuga de los problemas del mundo real, como aún podían hacer Riemann y otros. Los números primos revisten una importancia central en el marco de la seguridad de nuestro mundo electrónico, y sus resonancias con la física cuántica podrían decirnos algo sobre la propia naturaleza del mundo físico. Aunque consigamos demostrar la hipótesis de Riemann, hay muchas otras preguntas y conjeturas que nos esperan, muchas nuevas áreas de entusiasmo en las matemáticas que sólo esperan la demostración de la hipótesis de Riemann para entrar en escena. La solución será sólo un principio, la

apertura de la puerta de un territorio virgen, aún inexplorado. Tomando las palabras de Andrew Wiles, la demostración de la hipótesis de Riemann nos dará la posibilidad de orientarnos en este mundo como la solución del problema de la longitud ayudó a los exploradores del siglo XVIII a navegar en el mundo físico. Hasta entonces, tendremos que contentarnos con escuchar con fascinación esta música matemática imprevisible, incapaces de controlar sus pautas. Los números primos siempre nos han acompañado en nuestra exploración del mundo matemático, y siguen siendo los más enigmáticos entre los números.

Aunque las mejores mentes matemáticas han dado lo mejor de sí mismas en el intento de explicar las modulaciones y los cambios de esta música mística, los números primos siguen siendo hoy un enigma sin respuesta. Todavía estamos esperando a la persona cuyo nombre vivirá para siempre como el del matemático que ha hecho cantar a los números primos.

AGRADECIMIENTOS Muchos de mis colegas me han ofrecido con gran generosidad su tiempo y su apoyo. En concreto, quisiera dar las gracias a los siguientes, que han estado encantados de sentarse y de contrastar conmigo sus ideas y sus puntos de vista: Leonard Adleman, sir Michael Berry, Bryan Birch, Enrico Bombieri, Richard Brent, Paula Cohen, Brian Conrey, Persi Diaconis, Gerhard Frey, Timothy Gowers, Fritz Grünewald, Shai Haran, Roger Heath-Brown, Jon Keating, Neal

Koblitz, Jeff Lagarias, Arjen Lenstra, Hendrik Lenstra, Alfred Menezes, Hugh Montgomery, Andrew Odlyzko, Samuel Patterson, Ron Rivest, Zeev Rudnick, Peter Sarnak, Dan Segal, Atle Selberg, Peter Shor, Herman te Riele, Scott Vanstone y Don Zagier. Querría dar especialmente las gracias a sir Michael Berry, a quien conocí en la escalera del 10 de Downing Street, mientras yo estaba en la fila esperando mi turno para estrechar la mano del primer ministro, y que fue el primero en fijar mi atención sobre la música escondida en los números primos. El título original de este libro, The music of the primes, está inspirado

precisamente en aquel encuentro. Estoy en deuda con muchísimas personas que han leído atentamente las primeras versiones parciales o totales del manuscrito: sir Michael Berry, Jeremy Butterfield, Bernard du Sautoy, Jeremy Gray, Fritz Grünewald, Roger Heath-Brown, Andrew Hodges, Jon Keating, Angus Macintyre, Dan Segal, Jim Semple y Eric Weinstein. Naturalmente, la responsabilidad de los eventuales errores que puedan haber quedado en el texto es sólo mía. Me han ayudado numerosos libros y artículos, de los cuales he recopilado una serie de preciosas informaciones de fondo sobre los temas estudiados.

Merece una mención especial la revista Notices of the American Mathematical Society, que publica incesantemente artículos llenos de brillantes intuiciones sobre las matemáticas y sobre la comunidad de los que se dedican a ella. Diversas instituciones me han ayudado con gran disponibilidad durante la elaboración de este libro, incluidos el American Institute of Mathematics, la Certicom, la biblioteca de la Universidad de Gotinga, los laboratorios de la AT&T de Florham Park, el Institute of Advanced Study de Princeton, los laboratorios de la Hewlett-Packard de Bristol y el Max Planck Institut für Mathematik de Bonn.

Me alegra poder reconocer aquí mi deuda con las personas que han hecho posible la publicación de este libro: mi agente, Antony Topping, de la Greene & Heaton, que me ha acompañado desde las primeras ideas hasta la publicación; Judith Murray, que nos presentó; mis redactores, Christopher Potter, Leo Hollis y Mitzi Angel, de la editorial Fourth Estate; Tim Duggan, de la editorial Harper Collins; y John Woodruff, que ha preparado el volumen para la imprenta. Debo dar las gracias especialmente a Leo, que ha dedicado muchísimas horas inmerso en abstrusas reflexiones sobre la cuarta dimensión. No habría sido capaz de escribir

este libro sin el apoyo de la Royal Society. El hecho de ser miembro investigador de la Royal Society me ha permitido no sólo alcanzar mis sueños matemáticos, sino también comunicar el entusiasmo que he podido experimentar a lo largo de este camino. La Royal Society es más que una simple cuenta bancaria: cuida lo que financia. Su apoyo a mi actividad de divulgación matemática ha sido inestimable. También querría dar las gracias a diversas personas del mundo de los medios de comunicación, que han tenido la valentía suficiente como para correr el riesgo de publicar y transmitir mis primeros breves escritos sobre

matemáticas serias, y que han dedicado su tiempo a que un matemático aprendiera a escribir: Graham Patterson, Philippa Ingram y Anjana Ahuja, que trabajan para The Times; John Wrakins y Peter Evans, de la BBC; y Gerhart Friedlander, de Science Spectra. También doy las gracias a la NCR y a la Milestone Pictures por haber dado la oportunidad de hacer llegar las matemáticas a la comunidad bancaria. He llegado a ser matemático gracias a uno de mis profesores de la escuela secundaria, el señor Bailson, que fue el primero en enseñarme algo de la música escondida tras la aritmética escolar. A él debo mi inspiración, y a la Gillots

Comprehensive School, al King James 6th Form College y al Wadham College de Oxford, la formación excepcional que he recibido. Gracias al Arsenal por haber conseguido el doblete mientras estaba escribiendo este libro. Y al campo de fútbol de Highbury por haberme dado la oportunidad de descargar la tensión de mis luchas con Riemann. A título personal, quiero agradecer a mis amigos y a mi familia el apoyo que me han dado: a mi padre, que me ha ayudado a comprender el poder de los números; a mi madre, que me ha ayudado a comprender el poder de las palabras; y a mis abuelos, especialmente

a Peter, que han sido fuente de inspiración para mí; y a mi compañera, Shani, por haber tolerado un libro en casa y por su confianza en mi capacidad para escribirlo. Y mi mayor agradecimiento para mi hijo, Tomer, con quien he podido jugar tras largas jornadas de trabajo, y sin el cual no habría sobrevivido a la elaboración de este libro.

MARCUS PETER FRANCIS DU SAUTOY. (Londres, 1965). Es un escritor, presentador, columnista y profesor de matemáticas de la Universidad de Oxford británico. Ha sido también profesor invitado en el Collège de France y la École Normale Supérieure de París, en el Max Planck

Institut de Bonn, la Universidad Hebrea de Jerusalén y la Universidad Nacional Australiana en Canberra. En 2001, ganó el premio Berwick de la London Mathematical Society. Colabora, con éxito enorme, en la televisión con programas de divulgación matemática, así como en la prensa escrita. Es conocido principalmente por su labor de popularización de las matemáticas y por ser un especialista en la teoría de los números. Los tres libros que ha escrito hasta el momento han recibido grandes elogios por parte de la crítica. Con La música

de los números primos ganó en 2004 el Premio Peano en Italia y en Alemania en 2005 el Premio Sartorius.

Notas

[1]

Moron en inglés «idiota». (Nota del T., como todas las que siguen).