Kurvennetze ohne Umwege [Reprint 2019 ed.] 9783111559957, 9783111189307

Citation preview

Sitzungsberichte d e r H e i d e l b e r g e r A k a d e m i e der W i s s e n s c h a f t e n Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse J a h r g a n g 1928. 17. A b h a n d l u n g .

Kurvennetze ohne Umwege Von

Max Schneidt in München

Vorgelegt von H e i n r i c h L i e b m a n n in Heidelberg

Berlin

und

Leipzig

1928

W a l t e r d e G r u y t e r & Co. v o r m a l s G. J . G ö s c h e n ' s c l i c V e r l a g s l i a n t l l u n g I J . G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g / G e o r g K e i m e r / K a r l J . T r ü b n e r I Veit & Comp.

Sitzungsberichte der

Heidelberger Akademie der Wissenschaften Stiftung Heinrich Lanz

Mathematisch - naturwissenschaftliche Klasse *) Jahrgang 1921 erschien im Verlage von Carl Winters in Heidelberg.

Universitätsbuchhandlung

Im Verlag von Walter de Gruyter & Co. vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung - J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J. Trübner — Veit & Comp., Berlin erschienen:

Abteilung A. 1. 2.

3. 1. 2. 3.

4. 5. 1. 2. 3.

4.

5. 6. 7.

8. 9. 10. 11.

Mathematisch-physikalische Wissenschaften.

J a h r g a n g 1922. Neue Summationsmethoden und Entwicklungen nach Polynomen. Reichsmark 0'30 PERRON, OSKAR. Über transzendente Funktionen auf RiEMANNSchen Flächen. Reichsmark 0 60 BALDUS, RICHARD. Über die singulären Punkte reeller Parauieterkurven. Reichsmark 0'50 J a h r g a n g 1923. DEECKE, W. Mitteleuropäische Meeresströmungen der Vorzeit. Reichsmark 060 LIEBMANN, HEINRICH. Die LiE'sche Cyklide und die Inversionskrümmung. Reichsmark 0-40 PERRON, OSKAR. Über Gleichungen ohne Affekt. Reichsmark 0 ' 4 0 LIEBMANN, HEINRICH. Beiträge zur Inversionsgeometne III. Reichsmark 0'40 KRATZERT, J. Beitrag zur Kenntnis des Andesins von Bodenmais. Reichsmark 050 J a h r g a n g 1924. T H . CURTIUS und A . BERTHO. Einwirkung von Stickstoffkohlenoxyd und von Stickwasserstoffsäure unter Druck auf aromatische Kohlenwasserstoffe. Reichsmark 0*50 LIEBMANN, HEINRICH. Umkehrung des Variationsproblems der ebenen Affingeometrie. Reichsmark 0 60 SALOMON, WILHELM. Die Intensitäten alluvialer und diluvialer geologischer Vorgänge und ihre Einwirkung auf die pliocäne Rumpffläche des Kraichgaues und Odenwaldes. Reichsmark 1'20 HEFFTER, L. Zur absoluten Geometrie. Reichsmark 0 ' 6 0 VAN WERVEKE, L. Über die Entstehung der lothringischen Lehme und des mittelrheinischen Lößes. Reichsmark 1'50 KRULL, WOLFGAND. Die verschiedenen Arten der Hauptidealringe. Reichsmark 0-50 ROESER, ERNST. Übergang von der nichteuklidischen Streckentrigonometrie zur Winkelmessung. Reichsmark 0 - 30 WELLSTEIN, J U L I U S . Zur Differentialgeometrie der isotropen Kurven. Reichsmark 1'50 EWALD RUDOLF. Die geodynamischen Erscheinungen des krystallinen Odenwaldes als Beispiel einer geoisostatischen Ausgleichsschwingung. Reichsmark 150 VOELCKER, ILSE. Über eine ganz junge Verwerfung bei Rauenberg im Kraichgau. Reichsmark 0 30 LIEBMANN, HEINRICH. Die Aufschließung von Differentialinvariauten. Reichsmark 0'50 PERRON, OSKAR.

(Fortsetzung

siehe 3.

Umsehlagseite.)

*) Bestellungen auf solche Veröffentlichungen der math.-naturw. Klasse, welche früher im Verlag von Carl Winters Universitätsbuchhandlung in Heidelberg erschienen sind nimmt auch der Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlin, entgegen.

Kurvennetze ohne Umwege. §

1.

Die Differentialgleichung

der Kurvenscharen, die zusammen

mit einer gegebenen Kurvenschar ein Netz ohne Umwege bilden.

Es sei eine Fläche durch die Gleichungeu gegeben: x= x{u, t)

i) = y («, t)

s = s (m, t)

Wir setzen in bekannter Bezeichnung:

« M S T * (£)'-*

(ff),+®'+®'-G

Su dt du dt du dt Soll auf der Fläche eine Kurvenschar v = Const gefunden werdeu, die mit der Schar u = Const ohne Umwege ist, so setzen wir t = t (u, v), wodurch die Schar u = Const unverändert bleibt. Dann wird: S ^ + t r f D ' ^ + a f ^ •sa (dxY_

^

+

(dx a n 2 _

tf-v, n

w«

, ,

d±. a«'

v t

_dt

\dvj - JU \dt ' dvJ ~ * ' - dv' Die Bedingung dafür, daß u = Const und v = Coust ohne Umwege sind, ist dann bekanntlich: |-VE

+ 2F.tl

+ G.tl*

=

¡-UVG^-,

Bezeichnen 0l und (u, v) nach u und v, so genügt es also, zu setzen: E+2F-tl Es folgt: 02 =

+ G-tl*

=

&=Judu+JVG

= • dt, wobei U eine will-

kürliche Funktion von u bedeutet. Danach wird: E+.2

F• t, + G• t,* = 0 X 2 = [ U + VG • t, + A fVG

• dt]

Max Schneidt:

4

im, v) die Differentialgleichung:

Also kommt für t=t „

a

(

"

'

^ - r s i u + ^ f v a ^ y

v tritt als Integrationskonstante auf. Man kann ein partikuläres Integral t = q (u) willkürlich annehmen, wodurch die Funktion U bestimmt wird; es darf also eine Kurve vorgeschrieben werden, die die gesuchte Schar enthalten soll.

Man bemerkt

aber, daß für U eine quadratische Gleichung auftritt, aus der zwei Werte Ul

und U2,

demnach auch zwei Kurvenscharen folgen, die die

Kurve t = q ( u ) gemeinsam haben. Dieser Umstand erklärt sich daraus, daß das System ohne Umwege u = Const v = Const erst dann eindeutig festgelegt ist, wenn auf der Kurve t = q ( u ) die positive Fortschreitungsrichtung gewählt ist. Wenn wir annehmen, daß das Ausgangssystem u = Const, t = Const schon ohne Umwege ist, so wird

und die Differentialgleichung für t hat die F o r m :

2• In diesem Fall

tl • [F - VEG

-

VG

• U]

=

kann speziell eine Kurve

U

(2

VE+

t = a,

U).

= 0 der

Schar

t = Const als partikuläres Integral gewählt werden. Diskussion eines Beispiels.

§ 2.

Bezugnehmend auf die letzten Zeilen des § 1 soll folgendes Beispiel betrachtet werden: In der Ebene bilden die Tangenten des Einheitskreises um den Anfangspunkt x2 + y2 — 1 = 0

ein Kurvennetz

ohne Umwege.

Es

soll die Kurvenschar gesucht werden, die mit den Kreistangenten ohne Umwege ist und eine der Tangenten (cc — 1 = 0 ) enthält. Die Schar der Tangenten werde in der Form dargestellt: _ cos (u — t) ~ cos (w + t)'

X

y

sin (u — t) _ cos (u +1)'

Es wird: * =

• K ^

2

+ * - 2 ¿t cos 2 (u + i)] = 2 { f r Y _ —A \dvj ~cos* (u + t)

t

2

'

(fu+Jt -

Kurvennetze ohne Umwege. * - J

üdu

+ t9(u+t),

Q

^

U

+

J

^

y

Partikuläres Integral: t = 0 (x — 1 = 0), U, = 0, u2 =

-

cos2 (u)' Die gesuchte Differentialgleichung lautet: t.1 • sin 2 u = Die Substitution s — tg (u +t) gleichung in z: dz . 29 OU

= — ctg

- 1; cos2 U liefert eine RiccATische Differential, . 1 4- cos 2w —. » cos 2W

u. s2 H

von der das partikuläre Integral z=tgu ergibt schließlich: ctg t = tgn + ^^

bekannt ist.

Die Integration

(v — ctg3 u)>

Ersetzt man abkürzend ctgu. durch u, so werden die Gleichungen des gesuchten Kurvennetzes: , , 6m 1 , 3(1 — U2) ® = H V — Ur> 3y=— U + —V — u3i-,' Durch Elimination von u kommt als Gleichung der Schar v = Const: [ t > ( « - l ) > + 4y» + 3 y ( « - l ) (z + 3 ) ] 2 = — 1 ) (®+7)]»; = { x 2 + y 2 _ l } Es handelt sich also um Kurven 6. Grades mit folgenden Eigenschaften: 1. Die Kurven verlaufen außerhalb des Kreises x 2 -\-y 2 —1 = 0; 2. Sie gehen alle durch den Punkt x—\, y—0, in dem sie den Kreis berühren. 3. Die Kurven haben zwei reelle Asymptoten für u= 0 (x - 1 = 0) und für m3 — v=0: ( s - 1 ) (m2 — 1) + 2 (uy — 1) = 0, also die feste Kreistangente x — 1 = 0 und eine veränderliche Kreistangente; die Kurven v = Const sind also mit ihren eigenen Asymptoten ohne Umwege! Ausnahmen: v = 0 ohne Asymptote; v=\-, Asymptoten x— 1 = 0 und y — 3 = 0 . 4. Die Kurven berühren den Kreis außer in dem Punkt x = 1, y = 0 noch in einem weiteren Punkt (ausgenommen wieder v = 0 ) . 1 3J1J-M)2 2 x2 -\-y 2 — 1 = 0 gibt in u und v: = 0; 3 w

v —u

6

MAX SCHNEIDT: Kurvennetze ohne Umwege.

F ü r den gemeinsamen Punkt von Kurve und Kreis folgt: w-(-2m 3 + 3w = 0 ; bei gegebenem v hat diese Gleichung 3. Grades in u stets eine reelle Wurzel. Für v = — (2M3 + 3M) wird ~ = — M ~ v

'

1

dx

1

>

2u

also gleich der aus der Tangentengleichung (x— 1) (m2 — \)-\-2{uy — 1) = 0 folgenden Richtung, womit die Berührung von Kurve und Kreis gezeigt ist. 5. Die Gleichung der Schar bleibt ungeändert, wenn man gleichzeitig v mit -v und y mit - y vertauscht; die Kurven mit negativem v gehen also aus denen mit positivem v durch Spiegelung an der X-Achse hervor. (Diesem Beispiel ist eine Zeichnung des Verlaufs der Kurven v = 0, v = 0,5, v — 1, v — 5 beigegeben.) § 3.

Regelflächen, auf denen die Geraden mit der zweiten Schar von Asymptotenlinien ein Netz ohne Umwege bilden.

Die im § 1 entwickelte Differentialgleichung soll angewendet werden zur Bestimmung von Kurvenscharen auf Regelflächen, die mit den Erzeugenden ohne Umwege sind. Die Regelfläche werde dargestellt durch die Gleichungen x — =q> (u), yj = y j (u), % = % (u) heiße die „Leitkurve". Zur Aufstellung der Schar v = Const werde t = t(u,v) gesetzt und es wird: 2

2