Jacques Hadamard: Un mathématicien universel 9782759802074

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Jacques Hadamard I

mathématicien universel

Jacques Hadamard 1865-1963

Jacques Hadamard Un mathématicien universel Vladimir Maz’ya Université de Linkoping

Tatiana Shaposhnikova Université de Linkoping

Traduit de l’anglais par Gérard Tronel Université Pierre et Marie Curie

El SCIENCES

17, avenue du Hoggar Parc d’activités de Courtabœuf, BI’ 112 91944 Les Ulis Cedex A, France

> (alinéa 1“ de l’article 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du code pénal. ((

((

@ 1998 by the American Mathematical Society (édition originale) @ 2005 EDP Sciences pour l’édition française

Ouvrage publié avec le concours du Centre national du livre.

À notrefils Michael, afectueusement

À propos des auteurs Tatyana Shaposhnikova est Professeur au département de mathématiques de l’université de Linkoping, en Suède. Elle est titulaire d‘un Ph.D. de l’université de Léningrad. Ses recherches portent sur la théorie des fonctions et ses applications aux équations aux dérivées partielles et aux équations intégrales. Elle est également connue pour ses traductions d’ouvrages russes en anglais et d’ouvrages anglais et suédois en russe. Vladimir Maz’ya est Professeur à l’université Liverpool, Ohio et à l’université de Linkoping. I1 est titulaire d’un Ph.D. de l’université de Moscou et d‘un doctorat ès Sciences de l’université de Léningrad. En 1990, il a émigré en Suède avec son épouse Tatyana Shaposhnikova. Ses recherches couvrent plusieurs domaines : équations aux dérivées partielles, analyse fonctionnelle,théorie de l’approximation, méthodes numériques et applications des mathématiques à la mécanique et à la physique mathématique. I1 a publié une quinzaine de livres et quatre cents articles. I1 est, entre autre, membre correspondant de la Royal Society of Edinbourg et membre de l’Académie Royale des Sciences de Suède. En 2004, la Société Royale des Sciences de Suède lui a décerné la médaille d’or Celsius. En 2003 les deux auteurs ont été lauréats du prix Verdaguer de l’Académie des Sciences; ce prix récompense la version originale du livre N Jacques Hadamard, A Universal Mathematician ». Gérard Tronel a été maître-assistant de mécanique à la faculté des sciences de Paris, puis maître de conférences de mathématiques au laboratoire Jacques-Louis Lions à l’université Pierre et Marie Curie. I1 est ancien élève de l’École Normale Supérieure de l’Enseignement Technique, aujourd’hui École Normale Supérieure de Cachan. I1 est licencié de la faculté des sciences de Paris, Professeur de l’École Nationale Supérieure des Arts et Métiers, agrégé de mathématiques. Ses recherches portent sur la théorie de l’homogénéisation et la théorie de l’hystérésis. I1 est Co-auteur d’une dizaine d’articles. I1 a été l’un des organisateurs de l’Année Mondiale des Mathématiques en l’an 2000 et à ce titre il participe actuellement à des actions de diffusion des mathématiques en direction du grand public.

Sommaire À propos des auteurs

vii

Préface et remerciements

xi

Note du traducteur

xv

I La vie d’Hadamard

1

Prologue

3

1 Les premières années

7

2 Le tournant du siècle

51

3 Les années de maturité

81

4 Après la Grande Guerre

113

5 Le Maître

149

6

Les années trente

173

7 La Seconde Guerre Mondiale

195

8 Après les quatre-vingt ans

217

II Les mathématiques d’Hadamard

255

9 La théorie des fonctions analytiques

257

10 Théorie des nombres

283

11 Mécanique analytique et géométrie

301

Document1

19/02/2008

12:25

Page 1

Préface et remerciements Nous reconnaissons une profonde et particulière dette de gratitude envers E. Polishchuk (19131987) qui a éveillé notre intérêt sur la vie et les mathématiques d’Hadamard lorsqu’il nous a invité à participer à l’écriture d’un livre sur le grand mathématicien français. Le livre c Jacques Hadamard », de Polischuk et Shaposhnikova écrit avec la partication de Maz’ya a été publié en 1990, à Léningrad (maintenant Saint Pétersbourg). La partie biographique de ce premier livre était plutôt réduite car des documents originaux, des lettres et des publications nous étaient inaccessibles. Depuis notre émigration en Suède en 1990, nous avons pu voyager et consulter de nouveaux matériaux concernant Hadamard. Ses documents personnels ont disparus pendant la seconde guerre mondiale et nous avons dû reconstituer la mosaïque de sa vie à partir d’anciens fragments dispersés dans des archives et des bibliothèques de nombreux pays. La première partie du présent livre est le résultat de cette recherche. Des spécialistes de l’histoire des sciences ne se sont jamais véritablement intéressés à Hadamard. Pendant trente années après sa mort aucune tentative n’a été faite d’écrire une biographie exhaustive. En attendant, très rares sont ceux qui restent et qui pourraient partager les souvenirs de l’homme qui a été qualifié une fois de légende vivante des mathématiques ». Comme le remarquait J.-P. Kahane dans son essai [II.28I1, aucune bibliothèque ne contient l’ensemble de l’œuvre d’Hadamard, - car à la différence de mathématiciens moins importants - elle n’a jamais été rassemblée et publiée dans sa totalité. Aucune rue de Paris porte son nom2. La légende doit revivre, spécialement en France. H (
[IV.29].

6.7 Avant la tempête Les années trente connurent de grandes tensions, le danger de guerre en Europe grondait inéxorablement. Le régime de Mussolini, devenu plus agressif, avait envahi l’Abyssinie. En

*

La conjecture de Waring énonce que tout entier est la somme d’un nombre fixé g(ii) de puissances nièmes d’entiers. L‘existence de g(n) a été démontrée par Hilbert en 1909. Le problème de la valeur minimale de g(n) n’est pas encore complètement résolu.

192

Jacques Hadamard, un mathématicien universel

1936 la guerre civile commence en Espagne. Les actions de mauvais augures de l’Allemagne nazie provoquent une profonde anxiété : la remilitarisation de la Rhénanie en 1936, le coup d’état en Autriche en 1938 et son annexion, la complète militarisation du pays en sont les aspects les plus tangibles. Quand les savants juifs durent s’échapper de l’Allemagne, Hadamard fit de son mieux pour leur trouver des postes en France et dans d’autres pays. Wiener, qui était membre du comité de vigilance d’aide aux universitaires allemands déplacés, essaya d’obtenir de philanthropes une aide pour accueillir des réfugiés en Amérique. En 1935 il inclut une lettre d’Hadamard dans un de ses articles [III.440, p. 9281, pour convaincre les Américains de l’aide que les Français apportaient aux réfugiés; voici cette lettre : Cher Professeur Wiener, La tâche de venir en aide aux intellectuels allemands réfugiés - une lourde charge, car comme vous le savez, des réfugiés de toute condition viennent chez nous en grand nombre - est difficile pour la France. Notre pays est petit en comparaison du vôtre, et nous avons un nombre limité d’universités. Actuellement, le nombre de jeunes universitaires, je parle d’hommes de grand talent, est élevé et, pour eux, il est difficile de faire carrière. Ainsi, aucun réfugié n’a pu être nommé dans notre enseignement public et nous ne pensons pas trouver de postes. Pendant une année, nous avons pu prendre en charge financièrement ceux qui étaient sur notre sol. Toutefois, cette aide a cessé puisque les fonds sont épuisés. Heureusement, pour ce qui concerne les mathématiciens, pratiquement tous ceux qui sont venus en France, ont trouvé, ou je l’espère vont bientôt trouver, un emploi à l’étranger.Je regrette ceci pour mon pays. Certains sont déjà partis en Amérique, - à mon avis c’est mieux pour vous mais pire pour nous. Ce serait une grande chose pour votre pays et pour la civilisation si vous réussissez dans cette voie. Nous ne pouvons pas faire plus car nous sommes débordés par une foule de réfugiés de toute sorte, non seulement des intellectuels. D’un autre côté, je viens d’écrire à Genève au D. Kotsching qui vous informera, si vous ne le savez

Les années trente

pas déjà, de ce ce qui a été fait par le Haut Commissaire nommé par la Société des Nations. Vous souhaitant plein succès. Je vous prie de me croire. Votre dévoué,

J. Hadamard.

Dans la lettre suivante datée du 27 janvier 1935, Hadamard revient sur ce sujet : Cher Professeur Wiener, Pour ce qui concerne la France, la situation est moins grave que ce que je l’ai décrite dans ma lettre précédente. Je viens d’apprendre que, au lieu de cinquantehuit universitaires allemands pris en charge l’an dernier, il a été possible, jusqu’ici, d’en aider - plutôt chichement - trente. Mais on craint que même ce dernier effort ne cesse très bientôt. Je voulais, naturellement, vous donner une information précise, et c’est pourquoi je vous ai réécrit. Vous pouvez me croire. Votre dévoué,

J. Hadamard.

Comme membre du Comité du foyer des enfants juifs allemands, Hadamard a essayé d’organiser l’accueil des enfants juifs dont les parents avaient été arrêtés en Allemagne. Le 6 juillet 1933, il écrit à Einstein : Mon cher Ami, Nous cherchons en ce moment à organiser ici l’accueil d’enfants juifs allemands que leurs parents voudraient soustraire aux épouvantables conditions de vie qui leur sont faites. La tentative me paraît tout à fait intéressante, je m’y associe activement : il s’agit, comme on vous l’expliquera, d’élever ces enfants non pas seulement, cela va sans dire, dans de bonnes conditions matérielles, mais dans des conditions morales telles qu’ils puissent ensuite ne pas se trouver dépaysés dans les pays libres. Parmi tous les efforts qui, en ce moment, sont tentés en faveur des proscrits, celui-là me semble le plus digne d’intérêt. [III.122, p. 1231

En avril 1938, le gouvernement de Front Populaire est renversé, et une coalition centriste forme un nouveau cabinet avec comme premier ministre le radical Édouard Daladier. Le 29 septembre 1938, il signe les accords de Munich avec

193

194

Tacques Hadamard, un mathématicien universel

Hitler, Mussolini, et Chamberlain. Ce fut une trahison de la Tchécoslovaquie, un proche allié de la France. Après cet acte, les Hadamard envoyèrent la lettre suivante aux mathématiciens tchécoslovaques : Chers Amis, En ces jours de deuil, est-il besoin de vous dire combien nous sommes proches de vous. Du moins n’avez-vous pas la honte et pouvez-vous avoir la fierté de dire que vous avez maintenu haut votre honneur. L‘attitude de votre Président, la dignité dont il ne s’est pas départi un seul instant, ont fait l’admiration de tous et feront celle de l’Histoire, et on est en droit de l’espérer, la justice immanente s’en souviendra. Par dessus les gouvernements occidentaux qui nous ont trahis, nous vous serrons la main.

J. Hadamard, L. Hadamard. [IV.22]

La lettre n’est pas datée, mais l’enveloppe porte la date du 7 octobre 193S9. Le 15 mars 1939, Hitler envahissait la Tchécoslovaquie, et le le‘ septembre, une semaine après la signature du pacte de non-agression germano-soviétique, il envahissait la Pologne. Deux jours après, le gouvernement Daladier annonçait qu’il se considérait obligé de respecter les termes de son traité avec la Pologne.

Dans les Archives de l’Académie des sciences à Paris on trouve une lettre datée du 10juin 1966, du professeur Kofinek de l’université Charles de Prague à Szolem Mandelbrojt, qui commence par ces mots : N Cher Collègue, comme VOUS le souhaitez, je vous envoie la lettre que le Professeur Jacques Hadamard envoya aux mathématiciens tchécoslovaques après Munich, par i’intermédiaire du Professeur Budiovsky >, [IV.22].

Chapitre 7

La Seconde Guerre Mondiale 7.1 À nouveau, la guerre De septembre 1939à mai 1940il n‘y eut aucune action militaire entre la France et l’Allemagne : c’était la période de la drôle de guerre. Hadamard, sa femme et ses petits fils, Étienne et Francis, étaient à Rambouillet (22 rue Pasteur). Les habitants de la petite ville, qui le voyaient circuler dans les rues ou parcourir les forêts, ne se doutaient généralement pas que ce monsieur à la silhouette frêle, affable avec toutes les personnes qu’il rencontrait, était un membre de l’Institut, et bien plus, un savant de réputation mondiale, qui s’intéressait, en savant, aux plantes qui poussent dans les bois, et qu’il ne cherchait pas seulement des champignons comestibles [II.26, p. 312-3131. Les garçons étaient en seconde et en cinquième au lycée, et leur grand-père, qu’ils appelaient Père, s’intéressait à leurs leçons et à leurs devoirs. I1 me parla un jour non sans humour de la dernière version latine que j’avais donnée dans la classe où son petit-fils, Étienne Picard, était mon élève », écrit A. Rossat-Mignot [II.57, p. 3121. Francis Picard rappelait que le plus fidèle souvenir de ses grands-parents était leur extraordinaire gentillesse. Cependant, les nuages de la guerre s’accumulaient. Après la percée de Sedan et la bataille de Dunkerque, l’armée allemande avançait rapidement sur Paris. Jacqueline Hadamard décrit de manière vivante le départ des Hadamard quittant Paris. Le 9 juin 1940, le personnel du laboratoire de Langevin, où elle travaillait, reçut l’ordre d’évacuer à Toulouse. Elle accourut chez ses parents, qui étaient à Rambouillet, mais en arrivant elle s’aperçut qu’il n’était pas possible d’emmener sa famille immédiatement. Son père, par obligation, était venu à Paris par le train, pour présider une commission à l’Institut, où il fut le seul à venir. La gare que devait rejoindre Jacques (
1. Riemann prouve que la fonction S(s) peut être étendue analytiquement en une fonction méromorphe dans le plan s, sa singularité étant un pôle simple s = 1 de résidu égal à 1, soit : (10.9)

I1 montre aussi que 1, alors 1. De l’égalité (10.10) et des propriétés de la fonction r, il résulte que, dans le demi-plan O < O, la fonction zêta a seulement des zéros simples aux points réels -2, -4,. . ., qui sont des zéros triviaux. L‘identité

(1 - 21-$))T(s)= 1 - 2-5 + 3-5 - . . . implique immédiatement que 1 est o(x)lorsque x tend vers l'infini. En réalité, 2k < pk < x implique

Théorie des nombres

293

k < log x/ log 2. De plus on a :

c

l o g y l o g ~< logxlog

Pk -

p O et Iu < O. La première partie contient tous les points des trajectoires sur lesquelles U atteint ses valeurs minimales, c’est-à-dire les points où un état d’équilibre stable est possible. Ainsi dans le cas (a), cette partie contient une infinité d’arcs de trajectoires.

308

Jacques Hadamard, un mathématicien universel

Hadamard appelle cette partie le domaine d’attraction. La seconde partie, où le point ne peut pas rester au delà d’un certain temps, est appelé domaine de répulsion. Tous les points où LI atteint son maximum appartiennent au domaine de répulsion et en ces points le domaine est convexe dans la direction de la force (cela est dû au fait que le dénominateur de la formule de la coubure géodésique coïncide avec lu.) En particulier, dans l’exemple ci-dessus du point mobile sur la sphère, l’hémisphère le plus bas est un ensemble attractif. Dans le cas (b), lorsqu’il y a seulement un nombre fini de positions d’équilibre sur la surface, Hadamard établit, sous les hypothèses que la surface et le potententiel ont une certaine régularité, l’alternative suivante : ou bien une trajectoire passe une infinité de fois dans le domaine d’attraction ou bien elle s’approche asymptotiquement de la position d’équilibre. De manière analogue, il obtient des résultats pour les trajectoires dans R”,n > 2 mais ils sont beaucoup moins généraux. Par exemple, il montre que si les surfaces équipotentielles sont convexes dans la direction de la force, alors, ou bien la trajectoire part à l’infini, ou bien elle s’approche asymptotiquement d’un point d’équilibre instable. I1 inclut aussi la réciproque du théorème de Dirichlet sur la stabilité de l’équilibre : une position d’équilibre où le potentiel n’atteint pas son maximum est instable. Hadamard remarque que cet énoncé est contenu dans le mémoire de Liapounov malheureusement écrit en russe )> et il ajoute, puisque la démonstration est analogue, mais pas identique, à celle de Liapounov, je crois qu’il est utile de la donner ici H [1.406, p. 17831. [III.201], qu‘en utilisant des transformations compliquées, les équations des géodésiques sur un ellipsoïde pouvaient s’écrire en termes de fonctions elliptiques. Considérons l’ellipsoïde d‘équation : x2 y2 22 -+-+-=1, a2 b2 c2

a>b>c.

Chacune des ellipses situées dans les plans x = O, y = O, z = O est une géodésique fermée. Quel est le comportement Carl Jacobi (1804-1851). d’une géodésique qui rencontre la géodésique du plan z = O?

Mécaniaue analutiaue et Péornétrie

311

Figure 3. Géodésiques sur un ellipsoïde.

I1 apparait que, si l’angle entre les deux coubes au point d’intersection est petit, alors cette courbe est ou bien fermée ou bien elle forme un sous-ensemble partout dense de l’« anneau limité par les courbes d’intersection de l’ellipsoïde et d’un hyperboloïde à une nappe (figure 3a). Lorsque l’angle est grand, alors la géodésique forme un ensemble dense dans 1’« anneau limité par les courbes d’intersection de l’ellipsoïde avec un hyperboloïde à deux napppes (figure 3b). On trouvera une information plus détaillée sur le comportement des géodésiques dans le livre tIII.121. Un an plus tard, en 1897, Hadamard publie un nouvel article sur les géodésiques. Cette fois il considère des surfaces à courbure gaussienne négative. I1 écrit : l

où 6j est égal à O ou 2. En assignant une certaine suite { bj} à chaque direction initiale de géodésique de la troisième classe, Hadamard donne la première application de la notion de dynamique symbolique, technique qui consiste à caractériser la structure des trajectoires des systèmes dynamiques par une suite infinie de N symboles B (dans le cas d’Hadamard des zéros et des deux). La dynamique symbolique permet de réduire l’étude des déplacements le long des trajectoires à celles d’homéomorphismes de suites qui sont parfois plus faciles. Cette technique sera développée plus tard par G.D. Birkhoff [III.39] dans l’étude des systèmes dynamiques. Hadamard montre qu’un changement infinitésimal de la direction initiale d’une géodésique qui ne va pas à l’infini, peut produire une variation quelconque de sa position finale ; une géodésique perturbée peut appartenir à l’une quelconque des trois classes mentionnées plus haut. Mandelbrojt [II.41, p. 51 suggère que ce phénomène pourrait être à l’origine du concept de problème bien posé. En réalité, en 1901, dans sa G Notice sur

313

Figure 5. Construction de l’ensemble de Cantor.

314

Tacaues Hadamard, un mathématicien universel

les travaux scientifiques D [I.88], en commentaire de son travail sur les trajectoires dynamiques, Hadamard utilise, pour la première fois, l’expression )

où y; = dyt/ax. Donc il vient : (12.8) où on a

avec ht indépendante de x.Hadamard détermine kt à partir de la condition d’orthogonalité

f

Qtdx = 0

et propose de trouver yt(x) comme solution de l’équation

(12.9)

Calcul des variations et fonctionnelles

325

où et est une fonction positive quelconque de x et t. D’après (12.8) et (12.9) on a :

dt c’est-à-dire que U[yt] est une fonction décroissante de t. Hadamard choisit e = 1 et montre que (12.9) peut être résolue par approximations successives de la même manière qu‘une équation différentielle ordinaire de la variable t. Le procédé donne yt sur un certain intervalle O < t < t o et c’est la seule solution partant de la donnée initiale ytlt=o = yo. La trajectoire obtenue peut être prolongée à tout le demiaxe t > O si on a établi tout d’abord que yt et y; sont bornées; cette propriété est vraie sous certaines conditions satisfaites par la fonction f i la plus simple de ces conditions est : If(X,Z,Z’)I

q > 1.

= O(lZ’lV,

En obtenant un majorant de la fonction lytl, Hadamard démontre une inégalité intéressante pour les fonctions différentiables, inégalité qui sera décrite plus en détail dans la section 13.5. I1 montre finalement, que pour t + m,yt(x) tend vers une solution de problème variationnel.

12.3 Le principe de Dirichlet Un article d’Hadamard, de quatre pages, (< Sur le principe de Dirichlet B [I.139],parait en 1906, dans le (

))

Pour une histoire du (< principe de Dirichlet >> consulter le livre de Monna [III.297] et l’appendice du livre de Bottazzini [III.54].

Calcul des variations et fonctionnelles

Une des premières méthodes rigoureuses pour la résolution du problème de Dirichlet fut la méthode de la moyenne artithmétique de C. Neumann, en 1870, méthode qui rendit possible la résolution dans les domaines convexes. En même temps, Schwarz introusduisit sa méthode alternative permettant de résoudre le problème pour la réunion de deux domaines, s’il est résolu dans chacun des deux domaines. En H qui permet 1887, Poincaré proposa la méthode de l

Une fonction harmonique dans C l dont les valeurs sur le cercle sont g(9),est donnée par la série de Fourier : U ( Y , 9) =

!

?(un cos n9 + b, sin na),

+ n>i

cette série converge pour tout r < 1 et elle est différentiable terme à terme. Ecrivant l’intégrale (12.10) en coordonnées polaires,

Calcul des variations et fonctionnelles

329

et appliquant la formule de Parseval, Hadamard obtient l’identité : D ( u ) = 71 n (a; + b;) (12.12) n>l

et il conclut que le principe de Dirichlet ne s’applique pas à la fonction g(9) quand la série au second membre de (12.12) diverge. Un exemple de fonction g(9) c inadmissible est la série uniformément convergente donnée par : ))

2-n cos (2%).

Ainsi les exemples de Prym et d’Hadamard montrent que le principe variationnel n’est pas vrai bien que le problème aux limites (12.11) soit résoluble. Le fait que le second membre de (12.12) soit borné détermine les valeurs au bord (en terme de leurs coefficients de Fourier) pour lesquelles le principe de Dirichlet est applicable. Dans un article sur le problème de Plateau et les surfaces minimales, écrit en 1933, Douglas démontre que si u est solution du problème de Dirichlet (12.11) dans R,le disque unité, on a :

L‘identité (12.13) est utilisée par Beurling dans un article [III.35] où il étudie ce qu’il appelle les sous-ensembles exceptionnels du cercle. Les intégrales doubles du type (12.13) fournissent une caractérisation des valeurs aux limites de fonctions qui donnent une valeur finie à l’intégrale D(u) dans des domaines dont la frontière n’est pas trop mauvaise. Cela a été réalisé dans les années 1950, quand la représentation (12.13)fut redécouverte; partant de cette représentation et de l’identité (12.12) une théorie extensive des espaces de fonctions à C, et posons : M(C) = ( t E [O,a] : lu(t)l > C). D'après la définition de A, il résulte :

f(C) mesM(C) I A. Puisque la fonction IuI est nulle en un point de [O,a], elle prend la valeur C. Appliquons maintenant le théorème fondamental du calcul à la partie positive (lu1 - C), de la function lu1 - C, on obtient :

D'après l'inégalité de Cauchy, la dernière intégrale est bornée par (BmesM(C))'/2ce qui conduit à l'estimation : (13.12) Pour achever la démonstration on utilise la définition de C. L'inégalité (13.11) et sa généralisation (13.12) sont restées dans l'ombre. En 1941, Szokefalvy-Nagyobtenait (13.11) avec la meilleure constante, (1+~7/2)~, et d'autres inégalités de même nature [III.404] sans connaître le travail d'Hadamard. Sous la forme la plus générale, les versions tridimensionnelles de (13.12)ou inégalités de Gagliardo-Nirenberg, comme sont souvent appellées les estimations de la forme (13.11), furent démontrées en 1959, indépendamment par Gagliardo et par Nirenberg [III.143, 111.3101. Elles donnent les valeurs admissibles pour m, 1, p , 4, Y, 8 dans l'inégalité :

Mathématiques en mélange

357

où C l est un domaine de R”, Da = aiai/dxll . . .ax:n et a est un multi-indice ( a l , . . . ,an), avec Jal = 4 + . . . + a, et c est une constante. L‘utilité de telles estimations donnant des informations sur les dérivées intermédiaires, à partir d’informations connues sur la fonction et sur ses dérivées d’un certain ordre, apparaît en théorie des problèmes aux limites pour les équations aux dérivées partielles linéaires et non-linéaires. Dans un de ses premiers articles (< Sur certaines propriétés des trajectoires en dynamique [I.49], article qui lui valut le Prix Bordin N on touve le lemme suivant qui est dans le même cycle d’idées : ))

((

Lemme. Si, lorsque la variable t augmente indéfiniment, la fonction V de cette variable tend vers une limite et que ses n + 1 premières dérivées existent et restentfinies, les n premières d’entre elles tendent vers zéro. Voici la démonstration que propose Hadamard [I.49] : Bornons nous, pour simplifier, à la dérivée première. Nous avons à faire voir que cette dérivée est, pour t suffisamment grand, plus petite en valeur absolue qu’un nombre quelconque donné E . Soit à cet effet, I un nombre choisi arbitrairement. Dans la suite des valeurs de t, il ne peut exister une infinité d’intervalles ayant chacun une étendue supérieure à 1 et où IdVldtl soit plus grand que t.12 : car, dans un pareil intervalle, V varierait de plus de le.12, ce qui ne peut se produire indéfiniment puisque V tend vers une limite. À partir du moment où ces intervalles cesseront de se rencontrer, le module de d V / d t sera manifestement plus petit que t‘ si nous avons pris pour I un nombre qui, multiplié par la limite supérieure de (d2V/dt21,donne un produit inférieur à €12.

La même propriété des fonctions différentiables a été découverte et utilisée indépendamment par Kneser, en 1897, dans un article sur le mouvement au voisinage d’un point d’équilibre instable [III.220]. Le lemme d’Hadamard-Kneser a aussi été démontré par Littlewood qui, lui, utilise un théorème taubérien sur les séries de puissances. Si on a :

anxM.-3 s

quand x -+ 1-

,>O

et si a, = O(n-’), alors on a :

Ea, n>O

= s.

Tacaues Hadamard. un mathématicien universel

358

Ce résultat de Littlewood date de 1911;une version plus faible d’un théorème du même type fut démontrée par Tauber en 1897, sous l’hypothèse que a, = o(n-l). Le lemme ci-dessus apparaît deux fois dans le livre de Littlewood A matkematician’s miscellany avec le commentaire cc Pas, hélas, par J.E. Littlewood, bien que ma découverte de ce résultat fût un moment important de ma carrière [II1.258,p. 361. La démonstration de Littlewood se présentait sous forme de diagrammes, mais pour l’essentiel elle était la même que celle d’Hadamard. I1 note plus loin (c ... sans elle je n’aurais jamais pu trouver le théorème principal. (Le théorème sur la dérivée était déjà connu mais enfoui dans un article d’Hadamard portant sur les ondes6)B [111.258, p. 831. Deux ans plus tard, Hardy et Littlewood, dans un long article sur les séries de puissances et les séries de Dirichlet [III.174], utilisent le résultat suivant : si If\ et if”! ont des majorants ‘p et alors If’[ = O( @). Une autre utilisation du lemme d’Hadamard-Kneser est due à Landau [III.235], qui démontre que les inégalités l f ( ~ ) l 5 M, lY’(x)l5 N, inégalités valables sur un intervalle I de longueur JI12 2 impliquent l’inégalité suivante : ))

m,

sup lf’l I 2

m

(13.13)

et 2 est la meilleure constante. E n 1914, Hadamard répond à l’article de Landau dans son article [I.188], dans lequel, ayant en tête des applications possibles à la dynamique, il traite le cas (11 < 2 I1 démontre aussi que, pour des fonctions données sur un intervalle quelconque I , on a, ou bien :

m.

(/-1)/(2/+1)

sup If(i)11/(2[+1) I

I

I

où c l , c2 sont des constantes absolues explicites. En 1938, Kolmogorov [III.223, 111.2241 obtient l’inégalité suivante avec la meilleure constante possible :

’I

Ceci est une erreur. C’est dans l’article d’Hadamard sur les systèmes dynamiques.

Mathématiques en mélange

359

où f est une fonction sur R,m < I et

Les inégalités du type (13.13) et leurs généralisations sont discutées dans les livres de Hardy, Littlewood, Polya [III.175], et Beckenbach et Bellman 1111.221sous le même titre Inequulities. Si on ne s’intéresse pas aux meilleures constantes possibles, toutes ces inégalités sont des cas particuliers des théorèmes de Gagliardo et Nirenberg.

13.6 Articles sur les chaînes de Markov Les articles d’Hadamard [1.259,1.285]ainsi qu’un autre article en collaboration avec Fréchet CI.3961 concernent la théorie des probabilités. Dans [I.259,1.285]il étudie le problème du battage des cartes à jouer qu’il décrit comme suit : Pendant un jeu de cartes (sans tricherie) les changements dans le tas de cartes sont aléatoires. Soit pij(m) la probabilité conditionnelle du tirage : en m étapes exactement le système passe de l’état i à l’état j . On doit montrer l’existence de la limite de la suite {pij(rn)]zzlet la calculer. résolu par Poincaré Ce problème a été dans [III.336, p. 301-3131, au moyen d’une méthode astucieuse, mais compliquée. I1 montre que la limite ci-dessus est égale à l/N!, où N est le nombre de cartes d u jeu. Le résultat de Poincaré est valable seulement si pi,(rn) > O pout tout i, j et pour rn assez grand. Dans son article [I.259] de 1927, Hadamard propose une méthode plus simple pour résoudre le problème du battage des cartes : il considère le cas opposé, qu’il appelle singulier c’est-à-dire plus précisément, qu’il existe des états i # j avec pi,(m) = O à partir d’une certaine valeur de m. Ni Hadamard, ni Poincaré n’étaient au courant du travail fondamental de A.A. Markov. Considérant une référence de l’article [I.285], c’est Polya qui aurait attiré l’attention d’Hadamard sur l’article de Markov lequel considère des suites de Y variables aléatoires qui représentent le résultat de r essais (dans le cas du battage des cartes, Y = N!). I1 suppose que le résultat d’un essai ne dépend que du résultat de l’essai qui le précède et uniquement de lui. De telles suite sont appelées chaînes de Markov. Puisque le battage des cartes est un exemple d’une telle chaîne, le résultat de Poincaré est une

A.A. Markov (1856-1922) à travaillé à l’université de Saint-Pétersbourg. Ses principaux résultats portent sur la théorie des nombres, les probabilités et l’analyse mathématique. Les chaines de Markov, les processus de Markov, l’inégalité de Markov pour les polynômes gardent les traces de ses contributions.

360

Jacques Hadamard, un mathématicien universel

conséquence des théorémes de Markov qui, de plus, ne considère pas seulement le cas régulier. Cependant la méthode d’Hadamard s’avérait nouvelle et utile. Dans son livre [III.138] Fréchet expose la méthode et décrit son développement par Kolmogorov. I1 écrit : Mr. Hadamard est la première personne qui a utilisé, pour le problème des probabilités dans une chaîne, une méthode directe lui permettant d’utiliser exclusivement le langage des probabilités en évitant tout emprunt aux théories algébriques. Sa méthode, qui s’applique au battage des cartes, s’étend sans modification au problème de Markov où on a la condition

(13.14) Elle lui permettait d’établir des résultats qui n’avaient, jusqu’alors, pas été obtenus par la méthode algébrique et qui montrent la distinction entre des propriétés sûres (celles qui ont une probabilité égale à 1)des variations du système considéré et celles qui sont dues strictement au hasard. Mr. Kolmogorov, inspiré par la méthode d’Hadamard, fut capable de modifier cette méthode de telle sorte qu’elle s’étende aux cas où la condition (13.14) n’est pas satisfaite ce qui nécessite des modificationsimportantes et non évidentes des raisonnements d’Hadamard.

Dans tI.2591 et [1.285], Hadamard considère des itérations d’une application aléatoire d’un intervalle (a, b) sur lui-même en complément d’un travail de Hostinsky qui vient de paraître. I1 remarque l’analogie entre l’étude de sa distribution limite et les problèmes ergodiques de la mécanique statistique. Ces travaux d’Hadamard de 1927-1928paraissentavant les remarquables avancées de la théorie des processus de Markov dues à Kolmogorov, Fréchet, P. Lévy, Feller et d’autres. Paul Lévy écrit : Hadamard avait le sentiment de ce prodigieux développement. I1 est certain, en tout cas, qu’il comprenait l’importance du principe ergodique en théorie des probabilités ainsi qu’en mécanique statistique; les souvenirs de conversations remontant à cette époque me permettent de le confirmer [II.36, p. 181.

Chapitre 14

Élasticité et Hydrodynamique 14.1 Quelques aspects de l’histoire de la physique mathématique Laurent Schwartz écrit : Déjà dans ses contacts avec ses camarades physiciens à Normale Supérieure, il (Hadamard) avait été très tenté par les relations étroites entre mathématiques et physique. I1 a toujours gardé d’excellentes relations avec Duhem, Langevin et d’autres physiciens, et il a toujours dit que ces contacts l’avaient inspiré. [II.5, p. 171

Cependant Hadamard commença à travailler en physique mathématique ; vers la fin du XIXe siècle la physique mathématique était plus ou moins synonyme de théorie des équations aux dérivées partielles. Ce fut le thème dominant de ses dernières recherches qu’il poursuivra jusqu’à la fin de sa vie. O, il est raisonable d’ajouter des informations sur le mouvement de son extrémité ;la condition u(0,t) = O signifie que l’extrémité de la corde est fixée, alors que la condition (du/dx)(O,t) = O signifie que cette extrémité est libre. De la même manière, on peut considérer une corde de longueur finie. Les problèmes de ce type étaient appelés problèmes mixtes par Hadamard, mais aujourd’hui il est plus courant de les appeler problèmes aux limites avec données initiales. La première formulation de problèmes aux limites pour l’équation de Laplace. remonte au XIXe siècle. Ils ét&ent considérés dans un domaine bidimensionnel ou tridimensionnel SZ limité par une courbe ou une surface notée da. C’est le mathématicien autodidacte Green qui, dès 1828, en étudiant un problème d’électrostatique, considéra le problème dit premier problème aux limites, appelé par la suite problème de Dirichlet :

Au = O

dans Q,

u= q

sur dQ,

(14.7)

où y est donnée. Le problème dit second problème aux limites pour l’équation de Laplace est posé dans le cas où la dérivée par rapport à la normale de la fonction inconnue est imposée sur le bord, c’est-à-dire : Au = O

dans SZ,

dl4

-=q dV

sur da,

Élasticité et hudrodunamiaue

365

où v = (VI,. . . ,v,) est la normale unité à an et

au

au

6%

ZV‘.

-= 1=1

La formulation de ce problème est essentiellement due à Kirchhoff en 1845; il étudiait alors un problème d’électrodynamique. L‘appellation cc condition aux limites de Neumann », utilisée pour l’égalité du/dv = q~ sur an, est due à Carl Neumann qui a fait une étude systématique de problèmes aux limites pour l’équation de Laplace dans son livre paru en 1877 [III.308]. Au XVIIIe siècle et au début du XIX‘ siècle, les mathématiciens s’intéressaient surtout à la détermination de solutions explicites des problèmes de la physique mathématique. La solution générale pour l’équation des cordes vibrantes (14.1) a été donnée par d’Alembert en 1747 sous la forme :

u(x,t ) = qI(x + w f )+ $(x

- wf),

où q~ et $ sont des fonctions arbitraires d’une seule variable. On détermine q et $ en utilisant les conditions initiales (14.6); la solution est alors fournie par la formule de D’Alembert : b

1 u(x,t ) = -[f(x 2

+ w t ) - f(x - w f ) ]+ 2

g( T) dT. x-’lt

À peu près à la même époque (vers 1754),Daniel Bernoulli donna une solution de l’équation (14.1) sous forme de séries trigonométriques. Dans leur correspondance, Euler et d’Alembert commencèrent une discussion restée célèbre sur les cordes vibrantes, discussion à laquelle participèrent D. Bernoulli, Lagrange et d’autres’. D’Alembert adopta le point de vue d’une forme initiale de la corde donnée seulement par une fonction analytique, mais Euler pensait qu’on pouvait prendre une courbe arbitraire (c tracée d’un mouvement libre de la main ». En 1743, D. Bernoulli affirmait que les séries trigonométriques donnaient la solution générale. Dans la suite, cette discussion a joué un rôle important pour la clarification de la notion de fonction tout d’abord au XIXème siècle; elle préfigure le problème de la recherche de l’espace fonctionnel dans lequel on devrait chercher la solution (ce dernier point a été élucidé au XXe siècle). Consulter la section 1.3 du livre de Bottazzini [III.54] et la Partie I du livre de Lützen [III.262]. Sur l’histoire de la physique mathématique en France consulter le livre de Grattan-Guinness [III.160].

Tacaues Hadamard, un mathématicien universel

366

Les représentations des solutions pour le problème de Cauchy associé à l’équation des ondes (14.4) et de l’équation de la chaleur (14.5) ont été trouvées par Poisson. I1 a donné aussi les solutions explicites du problème de Dirichlet (14.7) dans un disque et dans une boule. Les formules de Poisson sont devenues des prototypes pour les solutions d’autres problèmes de la physique mathématique. Green a introduit une fonction particulière g(P, Q) de deux points (fonction qui porte son nom) qui lui permettait de donner la solution du problème de Dirichlet : Au = f dans R,

u = cp sur

an,

(14.8)

comme somme de deux intégrales. La fonction de Green pour l’opérateur de Laplace dans le domaine Cl c Rn,n = 2 , 3 , est définie par : Siméon-Denis Poisso:n (1781-1840).

1 g(P, Q) = log IP - QI + h(P, Q) pour 2.rr g(p, Q) = -

1 4 x 1-~QI

+h(P,Q) pour

M = 2,

n = 3,

où h est une fonction harmonique en chaque variable P, QI et E dCl ou Q E d a . À l’aide de la formule de Green,

g = O dès que P

~ ( u A v-)VAUdQ ) =

où VQ est la normale unité extérieure à d o au point Q et d s ~ est l’élément de longueur ou d’aire de la surface d a au point Q, on peut démontrer que la solution du problème (14.8)peut s’écrire sous la forme :

Pour un disque, une boule ou certains domaines particuliers, les fontions de Green peuvent être écrites explicitemene. Au XIXe siècle, la méthode de Fourier, qui permettait d’exprimer les solutions en séries des fonctions propres de certains opérateurs différentiels se développa. L‘application de Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830).

Pour des informations sur la vie de Green et sur sa formule, consulter le livre de Cannel1 [III.68] et les essais de Grattan-Guinness [III.161] et de J.J. Gray [III.166].

Élasticité et hydrodynamique

367

cette méthode a donné naissance à la théorie des fonctions spéciales. Ces dernières fonctions ont joué un rôle essentiel en analyse et des mathématiciens ont atteint une grande virtuosité en les utilisant. En dépit de ces succès, il devint rapidement clair qu’il y avait des limites à la possibilité de résoudre explicitement les problèmes de la physique mathématique. Par exemple, les tentatives pour trouver les solutions de problèmes aux limites sous forme explicite, pour des domaines plus ou moins quelconques, furent vaines, même pour l’équations de Laplace. Ce n’est qu’à la fin du XIXe siècle que des méthodes de démonstration de l’existence des solutions des problèmes aux limites pour l’équation de Laplace furent développées (consulter la section 12.3). La solution des problèmes aux limites pour des équations à coefficients variables, que l’on rencontre naturellement dans la description des processus physiques dans des milieux non homogènes, pose également des difficultés. I1 est parfois possible d’obtenir des résultats positifs en utilisant des changements de variables et de réduire l’équation de départ à une équation que l’on sait résoudre par quadrature, c’est-à-dire explicitement. Cela a conduit à la classification des équations aux dérivées partielles du second ordre faite par Du Bois-Reymond dans son article [III.113].I1 distinguait trois types : elliptique, parabolique, hyperbolique, dont les exemples les plus simples sont l’équation de Laplace, l’équation de la chaleur, et l’équation des ondes. L‘équation : d2u 3% au + 2b+ C+ F(x, y, U,-, ax2

au = O, (14.10) ax a y axay ay2 où a, b, c sont des fontions des variables x,y est de type ela2u

a-

-)

liptique, hyperbolique ou parabolique au point (x,y) si on a respectivement : b2 - ac < O,

b2 - ac > O,

b2 - ac = O.

Utilisant un changement de variables non dégénéré

x = x(5,q), y = y(& q), on peut transformer l’équation (14.10) d’un des trois types ci-dessus, en l’une des trois formes canoniques suivantes :

au au 7 + f(E, 7, -, -) = O, aq as aq

a2u

d2U

-+

at2

-

-

1

\

-’

I I

(elliptique),

Paul Du Bois-Reymond (1831-1889).

lacques Hadamard, un mathématicien universel

368

d2u

= O,

(parabolique).

La généralisation de ces trois types d’équations au cas de

rn variables se présente sous la forme suivante. L‘équation : m

d2u

axiaxi + F(x, u, grad u) = O,

Aii(x) i,j=l

où grad est la notation du gradient, est elliptique au point x si toutes les valeurs propres de la forme quadratique m

sont non nulles et de même signe. Si le signe d’une valeur propre est opposé au signe des autres, alors l’équation est de type hyperbolique. Si toutes les valeurs propres sont de même signe, à l’exception de l’une d’entre elles qui est nulle, alors l’équation est de type parabolique. Les propriétés des équations du second ordre épendent fortement du concept de surface caractéristique lorsque rn 2 O et de courbe caractéristique lorsque rn = 2. I1 s’agit de surface ( m - 1)-dimensionnelle S définie par une fonction 7 ( x ) = const., telle que grad F # O sur S, et la fonction 7 vérifie l’équation différentielle :

Les caractéristiques ont la particularité correspondant au fait que l’on ne peut pas imposer sur elles de données de Cauchy pour une solution arbitraire. Un opérateur elliptique n’a pas de caractéristiques (réelles), alors qu’un opérateur hyperbolique du second ordre à deux variables a deux familles de courbes caractéristiques et un opérateur parabolique une seule. Le concept de caractéristique a été utilisé de manière cruciale par Riemann en 1830 [III.359], lorsqu’il a obtenu la représentation de la solution du problème de Cauchy pour les équations hyperboliques du second ordre de deux variables indépendantes. Le terme -1, Duke Math. I., 75:l (1994) 51-78. [III.181] R. Heim, Exposé sur la nécessité de protéger certaines ressources en voie de disparition, Vie Académique, C. X. Acad. Sci. Paris, 265 (1967) 140-144. [III.182] C. Hermite, Extrait d'une lettre de M. Ch. Hermite à M. Mittag-Leffler sur quelques points de la théorie des fonctions, J.fur Math., 91 (1881)53-78. [III.183] H. Herz, Die Prinzipien der Mechanik in neuen Zusarnrnenhüngen dargestellt, Bd. 3, Ges. Werke, Leipzig (1894-1895). [III.184] D. Hilbert, Sur les problèmes futurs des mathématiques, Comptes Rendus du deuxième Congrès international des mathématiciens tenu à Paris du 6 au 12 août 2900, GauthierVillars, Paris (1902)58-114. [III.185] A.S.B. Holland, Introduction to the theory of entire functions, New York-London (1973).

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