Introduction to Computing with Geometry 1874728038, 9781874728030

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Introduction to

Computing with

Geometry Adrian Bowyer and John Woodwark

INFORMATION GEOMETERS

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Contents

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Foreword

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1 Introduction

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Computer graphics

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Computer vision and image processing

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Computational geometry

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

❛♥❛❧②s❡s ♠❛② ❜❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞✱ t❤❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝❛❧ ❡♥t✐t✐❡s ✇✐t❤ ✇❤✐❝❤ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❣❡♦♠❡t❡rs ❝♦♥❝❡r♥ t❤❡♠s❡❧✈❡s ❛r❡ ♦❢t❡♥ s✐♠♣❧❡✱ s✉❝❤ ❛s ❛ s❡t ♦❢ ♣♦✐♥ts✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡r❡ ✐s ❣r♦✇✐♥❣ ✐♥t❡r❡st ✐♥ t❤❡ ❡✣❝✐❡♥❝② ♦❢ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥s✱ ❛ ❧❡✈❡r ♦♥ ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ❡❧❡♠❡♥ts✳ Data visualization

❉❛t❛ ✈✐s✉❛❧✐③❛t✐♦♥ ✐s ❛ ♥❡✇✲✐s❤ t❡r♠ ❝♦✈❡r✐♥❣ t❤❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❞✐s♣❧❛② ♦❢ ❧❛r❣❡ ❛♠♦✉♥ts ♦❢ ❞❛t❛ t②♣✐❝❛❧❧② ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ s❡♥s♦rs s✉❝❤ ❛s s❛t❡❧❧✐t❡s ❛♥❞ ❜♦❞②✲s❝❛♥♥❡rs✳ ❚❤❡s❡ ❛r❡ ❧✐❦❡ ✐♠❛❣❡ ❞❛t❛ ❜✉t t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❞❛t❛ ✐s ❤✐❣❤❡r❀ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ s❛t❡❧❧✐t❡s ❝♦❧❧❡❝t ❡❧❡❝tr♦♠❛❣♥❡t✐❝ r❛❞✐❛t✐♦♥ ❛❝r♦ss t❤❡ s♣❡❝tr✉♠✱ ❛♥❞ ❜♦❞②✲s❝❛♥s ❝❛♥ ❜❡ ❞♦♥❡ ✇✐t❤ ❞✐✛❡r❡♥t t②♣❡s ♦❢ ✐♥str✉♠❡♥t✳ ❚❤❡ ❝❡♥tr❛❧ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ❧❡tt✐♥❣ s♦♠❡♦♥❡ ✭♦❢t❡♥ ❝❛❧❧❡❞ ❵t❤❡ s❝✐❡♥t✐st✬✮ ♠❛❦❡ s❡♥s❡ ♦❢ t❤r❡❡ ♦r ♠♦r❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✳ ❆♥❞ ❛ ❜✐❣ ♣❛rt ♦❢ t❤❛t ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ❝♦♥str✉❝t✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❡✣❝✐❡♥t ✇❤❡♥ ❢❛❝❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❧❛r❣❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ❞❛t❛ ✐♥✈♦❧✈❡❞ ✐♥ ♠♦st ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✳ Numerical control and robotics

❨♦✉ ❝❛♥ ✇♦rr② ❛ ❧♦t ❛❜♦✉t ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❝♦❞❡ ✇❤❡♥ ✐t✬s ❝♦♥tr♦❧❧✐♥❣ ❛ ❢❡✇ t♦♥♥❡s ♦❢ ♠❛❝❤✐♥❡ t♦♦❧ ♦r ✐♥❞✉str✐❛❧ r♦❜♦t✳ ❆ s❡r✈♦♠♦t♦r ❝❛♥✲ ♥♦t ♠♦✈❡ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s❧② t♦ s♦♠❡✇❤❡r❡✱ ❛s ❛ ❝✉rs♦r ♦♥ ❛ ❣r❛♣❤✐❝s s❝r❡❡♥ ✇✐❧❧ ✭✇❡❧❧✱ ♥❡❛r❧②✮❀ ❛♥❞ ②♦✉ ❝❛♥♥♦t ❜✉✐❧❞ ❛ ♠❡❝❤❛♥✐❝❛❧ ❛❝t✉❛✲ t♦r ✇❤✐❝❤ ✐s ✐♥✜♥✐t❡❧② t❤✐♥✱ ❛s t❤❡ ❧✐❣❤t r❛②s ❝♦♠✐♥❣ t♦ ❛ ❝❛♠❡r❛ ❛r❡ ✭✇❡❧❧✱ ♥❡❛r❧②✮✳ ❚❤❡s❡ t✇✐♥ ♣r♦❜❧❡♠s ♦❢ ❞②♥❛♠✐❝s ❛♥❞ ♣❛t❤ ♣❧❛♥♥✐♥❣ ❛✛❡❝t t❤❡ s♦rt ♦❢ ❣❡♦♠❡tr② ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❞♦✿ t❤✐♥❣s ❧✐❦❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ ♠♦♠❡♥ts ♦❢ ✐♥❡rt✐❛✱ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s✱ ❛♥❞ ♦✛s❡ts ❢r♦♠ s✉r❢❛❝❡s✳

From geometry to program ❚♦ ❣❡t ❢r♦♠ ❛ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❝♦♥❝❡♣t t♦ ❛ ♣r♦❣r❛♠✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❣♦ t❤r♦✉❣❤ t❤✐s s❡q✉❡♥❝❡✿ ❣❡♦♠❡tr②

→

❛❧❣❡❜r❛

→

❛❧❣♦r✐t❤♠

→

❊❛❝❤ ♦❢ t❤❡s❡ ❧✐tt❧❡ ❛rr♦✇s ❤✐❞❡s ❜✐❣ ♣r♦❜❧❡♠s✳ Geometry → algebra

♣r♦❣r❛♠✳

❋r♦♠ ❣❡♦♠❡tr② t♦ ♣r♦❣r❛♠

✶✶

❲❡ ✉s✉❛❧❧② st❛rt ♦✛ ✇✐t❤ s♦♠❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣r♦❜❧❡♠✱ s✉❝❤ ❛s ✏✇❤❡r❡ ❞♦❡s s✉❝❤✲❛♥❞✲s✉❝❤ ❛ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ ♠❡❡t s✉❝❤✲❛♥❞✲s✉❝❤ ❛ ♣❧❛♥❡❄✑✳

❚♦ ❣❡t ❛♥②✇❤❡r❡✱ ✇❡ ♠✉st ✜rst ❝♦♥✈❡rt t❤❡ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡

❛♥❞ t❤❡ ♣❧❛♥❡ ✐♥t♦ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❢♦r♠ ✐♥ ❛ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s②st❡♠ ✭✉s✉✲ ❛❧❧② ❈❛rt❡s✐❛♥ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s✮✱ ❛♥❞ ❞❡❝✐❞❡ ✇❤❛t ❤❛s t♦ ❜❡ s♦❧✈❡❞ t♦ ✜♥❞ ✇❤❡r❡ t❤❡② ✐♥t❡rs❡❝t✳ ❚❤❛t ❛❧❧ ❤❛s t♦ ❜❡ ❞♦♥❡ ❜❡❢♦r❡ ❛❝t✉❛❧❧② ✇r✐t✐♥❣ ❛♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠✱ ❛❧t❤♦✉❣❤ t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥ts ♦❢ ❛♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠✐❝ s♦❧✉t✐♦♥ ♠✉st ❜❡ ❜♦r♥❡ ✐♥ ♠✐♥❞ ❢r♦♠ t❤❡ ♦✉ts❡t✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ✉♥✐q✉❡ ❛♥❞ ❞✐✣✲ ❝✉❧t ♣❛rt ♦❢ ❝♦♠♣✉t✐♥❣ ✇✐t❤ ❣❡♦♠❡tr②✱ ❛♥❞ ♦❢t❡♥ ✇❡ ❣❡t ♥♦ ❢✉rt❤❡r ✇✐t❤♦✉t ♥❡❡❞✐♥❣ t♦ t❤✐♥❦ ❛❣❛✐♥✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡ ✏❝♦♥str✉❝t ❛ s✉r❢❛❝❡ ❛ ❝♦♥st❛♥t ❞✐st❛♥❝❡ ❢r♦♠ ❛♥ ❡①✐st✐♥❣ s✉r❢❛❝❡✑ ✭t❤❡ ❞❡✈❡❧♦♣s r❡❛❧❧② ✜❡r❝❡ ❛❧❣❡❜r❛ ✈❡r② q✉✐❝❦❧②✳

♦✛s❡t

♣r♦❜❧❡♠✮

❲❡ ✇✐❧❧ ✉s✉❛❧❧② r❡❝❛st

t❤❛t ♣r♦❜❧❡♠ ❛t t❤✐s ✜rst st❛❣❡✱ ✐♥t♦ t❤❡ ❢♦r♠ ✏✜♥❞ ❛ ✭✉s❡❢✉❧✮ s❡t ♦❢ ♣♦✐♥ts ❛ ❝♦♥st❛♥t ❞✐st❛♥❝❡ ❢r♦♠ ❛ ❣✐✈❡♥ s✉r❢❛❝❡✑❀ t❤❛t✬s ❛ ❧♦t ❧❡ss ❣❡♥❡r❛❧✱ ❜✉t ❛ ❧♦t ❡❛s✐❡r✳ ❋❛❧❧✐♥❣ ❜❛❝❦ ♦♥ ♣r♦❝❡❞✉r❛❧ ♦r ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ s♦❧✉t✐♦♥s ✭②❡s✱ ❛s s♦♦♥ ❛s t❤✐s✮ ✐s ♦❢t❡♥ t❤❡ ❜❡tt❡r ♣❛rt ♦❢ ✈❛❧♦✉r✳ ❊✈❡♥ ✐❢ t❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ❛❧❣❡❜r❛ ❣♦❡s ✇❡❧❧✱ t❤❡r❡ ❛r❡ ♦t❤❡r t❤✐♥❣s t♦ t❤✐♥❦ ❛❜♦✉t ❛t t❤✐s st❛❣❡❀ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✐❢ ✇❡ ✇✐s❤ t♦ ✉s❡ ♦♥❧② s♦♠❡ ♣❛rts ♦❢ ❛ ✇❤♦❧❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ s❤❛♣❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② ❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭❛s ✇❡ ✉s✉❛❧❧② ❞♦✮ t❤❡♥ ✇❡ ♥❡❡❞ s♦♠❡ ❢♦r♠❛❧✐s♠ t♦ ❝✉t ❛♥❞ ❝♦♥♥❡❝t t❤❡♠❀ ❝♦♥✈❡rt✐♥❣ s✉❝❤ ❜♦✉♥❞✐♥❣ r❡q✉✐r❡♠❡♥ts ✐♥t♦ ❛ ❣r❛♣❤✲str✉❝t✉r❡✱ ♦r t♦ s❡t✲t❤❡♦r❡t✐❝ ❛❧❣❡❜r❛✱ ❝❛♥ ❜❡ ❛♥♦t❤❡r ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ♣r♦❝❡ss ♦❢ ✐♥t❡r✲ ♣r❡t✐♥❣ t❤❡ ❣❡♦♠❡tr② t❤❛t t❤✐s ✜rst ❛rr♦✇ r❡♣r❡s❡♥ts✳

Algebra → algorithm ◆♦✇ ✇❡✬r❡ ♦♥ ❝♦♠♠♦♥ ❣r♦✉♥❞ ✇✐t❤ ♦t❤❡r ❜✐ts ♦❢ s❝✐❡♥t✐✜❝ ♣r♦❣r❛♠✲ ♠✐♥❣✳

❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ s♦rt ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥s t❤❛t ❝♦♠❡ ♦✉t ♦❢ ❣❡♦♠❡tr✐❝

♣r♦❜❧❡♠s ❤❛✈❡ t❤❡✐r ♦✇♥ ♣❡rs♦♥❛❧✐t②✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ❝♦♠♣✉t❡r ❛❧❣❡✲ ❜r❛ s②st❡♠s

✸

❛r❡ ❛ ❝♦♠♠♦♥ ❛♥❞ ♣r❛❝t✐❝❛❧ t♦♦❧ ❢♦r ♠❛♥② ❛♣♣❧✐❝❛✲

t✐♦♥s✱ ♣❛rt✐❝✉❧❛r❧② s②♠❜♦❧✐❝ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥✳ ●❡♦♠✲ ❡tr✐❝ ♣r♦❜❧❡♠s t❡♥❞ t♦ ♣r♦❞✉❝❡ ❧❛r❣❡ s❡ts ♦❢ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ❡q✉❛t✐♦♥s t❤❛t ❜r❡❛❦ ❛❧❣❡❜r❛ s②st❡♠s ❧✐❦❡ ❡❣❣s❀ ✇❡✬✈❡ s❡❡♥ ♠❛♥② ♦♠❡❧❡tt❡s✳ ❖♥❧② r❡❝❡♥t❧② ❤❛s t❤✐s ❞✐✣❝✉❧t② ❜❡❡♥ r❡❝♦❣♥✐③❡❞ ❛♥❞ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ s♣❡❝✐❛❧✐③❡❞ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❛❧❣❡❜r❛ s②st❡♠ ❤❛s ❜❡❡♥ ❜✉✐❧t✳ ❊✈❡♥ s♦✱ ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ✇❡ ♠✉st ♠❛❦❡ ❢✉rt❤❡r ❝♦♥❝❡ss✐♦♥s t♦ t❤❡ ♣r♦❜✲ ❧❡♠ ❛t t❤✐s st❛❣❡✳

❲❡✬✈❡ tr✐❡❞ t♦ ✐❞❡♥t✐❢② ❢♦✉r ❧❡✈❡❧s ❛t ✇❤✐❝❤ ✇❡

✸ ❈❛❧❧❡❞ ✏❛❧❣❡❜r❛ s②st❡♠s✑ ❢r♦♠ ♥♦✇ ♦♥✳

✶✷

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

♠❛② ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ ♠❛♥❛❣❡ t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ → ❛❧❣♦r✐t❤♠ tr❛♥s✐t✐♦♥✿ ❙②♠❜♦❧✐❝✿ t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ s②st❡♠ ❧❡✈❡❧❀ ♦✉r ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✇✐❧❧ ❛❝❝❡♣t ❛ r❛♥❣❡ ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❛♥❞ ✇♦r❦s ♦✉t ✇❤❛t t♦ ❞♦ ✇✐t❤ t❤❡♠ ♦♥ t❤❡ ✢②✳ ❚❤✐s ♣r♦❞✉❝t ✐s ♦♥ t❤❡ ♠❛r❦❡t✱ ✐♥ t❤❡ ❢♦r♠ ♦❢ ❧✐❜r❛r✐❡s ♦❢ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✹ ✳ ❆♥❛❧②t✐❝✿ t❤❡ ❧❡✈❡❧ ❛t ✇❤✐❝❤ ✇❡✬r❡ ✉s✉❛❧❧② ❤❛♣♣② t♦ ❜❡❀ t❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐s t❤❡ ❞✐r❡❝t ❡♠❜♦❞✐♠❡♥t ♦❢ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ s♦❧✉t✐♦♥✳ ◆✉♠❡r✐❝❛❧✿ t❤❡ ❧❡✈❡❧ ✇❤❡r❡ ✇❡ ♦❢t❡♥ ❡♥❞ ✉♣❀ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❝❛♥ ❜❡ ❢♦r♠✉❧❛t❡❞✱ ❜✉t t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ❝❧♦s❡❞✲❢♦r♠ s♦❧✉t✐♦♥ ✺ ✳ ❲❡ ❝❛♥ ♦❢t❡♥ ✉s❡ ❛ st❛♥❞❛r❞ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞ ✭❡✳❣✳ r❡❧❛①❛t✐♦♥✮ ❢♦r s✐♠✉❧t❛✲ ♥❡♦✉s ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❆♣♣r♦①✐♠❛t❡✿ t❤❡ ❜❛r❣❛✐♥ ❜❛s❡♠❡♥t❀ ✇❡ ❞♦♥✬t ❡✈❡♥ ❢❛♥❝② t❤❡ ❵♣r♦♣❡r✬ ❛❧❣❡❜r❛✱ ❛♥❞ ❛r❡ ✇♦r❦✐♥❣ ✇✐t❤ ❛ s✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥✳ ❚❤❡s❡ ❧❡✈❡❧s ♦❢ ❛tt❛❝❦ ❛r❡ ✉s✉❛❧❧② ❢❛r ❢r♦♠ t❤❡ ✇❤♦❧❡ st♦r②✳ ❚❤❡② ❝❛♥ ❜❡✱ ❛♥❞ ✉s✉❛❧❧② ❛r❡✱ ♥❡st❡❞✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✇❡ ♠✐❣❤t ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ t❤❡ ❣❡♦♠❡tr② ♦❢ ❛ ♣r♦❜❧❡♠✱ ❛♥❞ t❤❡♥ ❢♦r♠✉❧❛t❡ ❛♥ ❛♥❛❧②t✐❝ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ t❤❛t s✐♠♣❧❡r ❣❡♦♠❡tr②✳ ❚❤❡ ❜♦✉♥❞✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ r❡❝✉rs ❤❡r❡✱ ❛♥❞ ✐♥ ❢❛❝t ♣r♦❧✐❢❡r❛t❡s t♦ ❜❡❝♦♠❡ t❤❡ ✇❤♦❧❡ q✉❡st✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ❞❛t❛ str✉❝t✉r❡✳ Algorithm → program

❖✉r ❧❛st ❵❛rr♦✇✬ ✐s ♠♦r❡ ❞✐✣❝✉❧t t♦ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t❡ ❢r♦♠ st❛♥❞❛r❞ ❣♦♦❞ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣ ♣r❛❝t✐❝❡✳ ❲❡ ♠❛② ❜❡ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦r ❤❡❧♣❡❞ ❜② ❛ ♣❛r✲ t✐❝✉❧❛r ❝✐r❝✉♠st❛♥❝❡ r❡❧❛t✐♥❣ t♦ t❤❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ ❣❡♦♠❡tr② ✭❛♥ ❡①✲ ❛♠♣❧❡ ❝♦♥str❛✐♥t✿ t❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ♦♥ ❛ ♥✉♠❡r✐❝❛❧❧② ❝♦♥tr♦❧❧❡❞ ♠❛❝❤✐♥❡ t♦♦❧❀ ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡ ❤❡❧♣✿ ✐♥t❡❣❡r ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ♦♥ ❛ ❞✐s♣❧❛② s❝r❡❡♥✮✳ ❲❡ ♠❛② ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ♣r❡♣❛r❡❞ t♦ ❞❡s❝❡♥❞ t♦ ❧♦✇✲❧❡✈❡❧ ❝♦❞❡ ♦♥ ♦❝❝❛s✐♦♥s❀ ❣❡♦♠❡tr✐❝❛❧ ✭♣❛rt✐❝✉❧❛r❧② ❣r❛♣❤✐❝❛❧✮ ♣r♦❣r❛♠s ❛r❡ ♥♦t♦r✐✲ ♦✉s ❢♦r ✐♥♥❡r ❧♦♦♣s t❤❛t ♠✉st r✉♥ ✈❡r② ❢❛st❀ ❛♥❞ ❛❝❝✉r❛❝② ♣r♦❜❧❡♠s ❛r❡ ❝♦♠♠♦♥✳ ❆❣❛✐♥st t❤✐s✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ♦✉r ❞❡❜✉❣❣✐♥❣ ❛✐❞✱ t❤❡ ❞✐s♣❧❛② s❝r❡❡♥✱ ❢♦r ❢❡❡❞❜❛❝❦✱ ❡✈❡♥ ✇❤❡♥ t❤❡r❡✬s ♥♦ ❣r❛♣❤✐❝s ✭♦❞❞ s✐♥❣✉❧❛r✱ ❣r❛♣❤✐❝s✳✳✳✮ ✐♥ t❤❡ ✜♥❛❧ ♣r♦❣r❛♠✳ ♦♥❧② ❥✉st ✭✶✾✾✸✮❀ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ❛s ❛♥ ❡①t❡♥s✐♦♥ t♦ t❤❡ ♥❛❣ ❧✐❜r❛r②✳ ❝❧♦s❡❞✲❢♦r♠ s♦❧✉t✐♦♥ ✐s ❛♥ ❛♥s✇❡r t❤❛t√❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❞♦✇♥ str❛✐❣❤t ❛✇❛②❀

✹ ❚❤♦✉❣❤ ✺❆

−b ±

b2 − 4ac

✐s ❛ ❝❧♦s❡❞✲❢♦r♠ s♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡ t❤❡ s❝❤♦♦❧❜♦♦❦ ❢♦r♠✉❧❛ 2a t♦ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ✜♥❞✐♥❣ t❤❡ r♦♦ts ♦❢ ❛ q✉❛❞r❛t✐❝✱ ❜✉t t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ❝❧♦s❡❞✲❢♦r♠ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ✜♥❞✐♥❣ t❤❡ r♦♦ts ♦❢ ❛ q✉✐♥t✐❝✳

❋r♦♠ ❣❡♦♠❡tr② t♦ ♣r♦❣r❛♠

✶✭✐✐✮✖❉✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✱ ❛♥❛❧②t✐❝ ❛♥❞ ❝♦♠❜✐♥❛t♦r✐❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✲ ✐t② ❛r❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✱ ❛♥❞ t❤✉s t❤❡♠s❡❧✈❡s ❞❡✜♥❡ ❛ s♦rt ♦❢ ❵t❤r❡❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s♣❛❝❡✬✳

✶✸

✶✹

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

Dimensional, analytic and combinatorial snags

❍❛✈✐♥❣ ❧♦♦❦❡❞ ❛t ❣❡♦♠❡tr✐❝ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣ ❛s ❛ ♣r♦❝❡ss✱ ❛t t❤❡ r✐s❦ ♦❢ s♦♠❡ r❡♣❡t✐t✐♦♥✱ ✇❡ ❝❛♥ ❝❧❛ss✐❢② t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠s ✐t ♣r❡s❡♥ts ❢r♦♠ ❛♥♦t❤❡r ✈✐❡✇♣♦✐♥t❀ t❤❛t ✐s✱ ✇❤❡r❡ ✐s t❤❡ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ✐♥ ❛ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ♣r♦❜❧❡♠❄ ■t t❡♥❞s t♦ ♦❝❝✉r ✐♥ t❤r❡❡ s❡♣❛r❛t❡ ❢♦r♠s✱ ✐♥✈♦❧✈✐♥❣✿ ❧♦ts ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ tr✐❝❦s② ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❛♥❞ t♦♦ ♠❛♥② ✭❞✐✛❡r❡♥t✮ ❜✐ts ♦❢ ❣❡♦♠❡tr② ❛t ♦♥❝❡✳ ❙❡❡ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✶✭✐✐✮✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ♥♦t ♥❡✇ ✳ ✻

Dimensional complexity

●❡♦♠❡tr② ✇♦r❦s r❡♠❛r❦❛❜❧② ❞✐✛❡r❡♥t❧② ✐♥ ❞✐✛❡r❡♥t ♥✉♠❜❡rs ♦❢ ❞✐✲ ♠❡♥s✐♦♥s✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ❛♥❣❧❡s ❛r❡ ✇❡❧❧✲❜❡❤❛✈❡❞ t❤✐♥❣s ✐♥ t✇♦ ❞✐✲ ♠❡♥s✐♦♥s✱ ❧✐tt❧❡ ❞❡✈✐❧s ✐♥ t❤r❡❡✳ ✭❈♦♠♣❛r❡ ❛ ❣❧♦❜❡ ❛♥❞ ❛ ❝❧♦❝❦ ❢❛❝❡✳ ❲❤❛t ❞✐r❡❝t✐♦♥ ✐s ❲❡st ❛t t❤❡ ◆♦rt❤ P♦❧❡❄ ❨♦✉ ❞♦♥✬t ❣❡t t❤✐s ♣r♦❜✲ ❧❡♠ ♦♥ ❛ ❝❧♦❝❦✳✮ ❆♥❞ ❜❡②♦♥❞ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s t❤✐♥❣s ❛r❡ ✇♦rs❡❀ ②♦✉ ❝❛♥ tr❡❛t ❛ ♠♦✈✐♥❣ s♦❧✐❞ ❛s ❛ ❢♦✉r✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ♦❜❥❡❝t✱ ❜✉t ✐t ❞♦❡s♥✬t ❤❡❧♣ ♠✉❝❤✱ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛r❡ ♥♦t s②♠♠❡tr✐❝❛❧❀ t❤❡ t✐♠❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ st✐❝❦s ♦✉t ❧✐❦❡ ❛ s♦r❡ t❤✉♠❜✳ Analytic complexity

❲❡ ❤❛✈❡ ❛❧r❡❛❞② s❛✐❞ ❛ ❜✐t ❛❜♦✉t t❤✐s✳ ❊q✉❛t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ♥✐❝❡ ♦r t❤❡② ❝❛♥ ❜❡ ♥❛st②❀ t❤❡ ♣❡❝❦✐♥❣ ♦r❞❡r ❣♦❡s s♦♠❡t❤✐♥❣ ❧✐❦❡ t❤✐s✿ ❧✐♥✲

❡❛r✱ q✉❛❞r❛t✐❝✱ ❝✉❜✐❝✱ r❛t✐♦♥❛❧ q✉❛❞r❛t✐❝✱ ✇✐t❤ sq✉❛r❡ r♦♦ts✱ q✉❛rt✐❝ ♣❧✉s✱ ❤✐❣❤✲❞❡❣r❡❡ r❛t✐♦♥❛❧✱ ✇✐t❤ tr✐❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ✇✐t❤ tr❛♥s❝❡♥❞❡♥t❛❧s✱ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦❧❧❛♣s❡✳✳✳✳

❚❤❡s❡ ♣r♦❜❧❡♠s ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧② ❜❡❝♦♠❡ ♠✉❝❤ ✇♦rs❡ ✇❤❡♥ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥s✱ ❜❧❡♥❞s✱ ❛♥❞ ♦t❤❡r ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥s ♦❢ ❡q✉❛✲ t✐♦♥s ♠✉st ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ❛❧s♦ ♦t❤❡r ❛❧❣❡❜r❛s✖s❡t t❤❡♦r②✱ ❣r❛♣❤ t❤❡♦r②✖t♦ ✇♦rr② ❛❜♦✉t ✉♥❞❡r t❤❡ ❤❡❛❞✐♥❣ ♦❢ ❛♥❛❧②t✐❝ ❝♦♠✲ ♣❧❡①✐t②✱ ❛s ✐❢ t❤❡r❡ ✇❛s♥✬t ❡♥♦✉❣❤ ❛❧r❡❛❞②✳ Combinatorial complexity

❚❤✐s ♦❝❝✉rs ♠♦st ♦❜✈✐♦✉s❧② ✇❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ ❧♦t ♦❢ ❞❛t❛❀ ❡✈❡♥ ❛ ❣♦♦❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣♦✐♥ts ❝❛♥ ❝❛✉s❡ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ✭❨♦✉ s❡❡✱ ✇❡ ❝❛♥✬t ♦r❞❡r ♣♦✐♥ts ✐♥ ♠♦r❡ t❤❛♥ ♦♥❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥✱ s♦ ♥✐❝❡ ❞❛t❛❜❛s❡ t❡❝❤♥✐q✉❡s ✻ ■t✬s

✐♥

❈♦♠♣✉t✐♥❣ ❙❤❛♣❡

✭s❡❡ t❤❡ ❘❡❢❡r❡♥❝❡s ❛♥❞ ❇✐❜❧✐♦❣r❛♣❤② ❢♦r ❞❡t❛✐❧s ♦❢

❜♦♦❦s ❛♥❞ ♣❛♣❡rs ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ✐♥ t❤❡ t❡①t✮✱ ❜✉t t❤❡ ✐❞❡❛ ✐s ♦r✐❣✐♥❛❧❧② ❛ttr✐❜✉t❛❜❧❡ t♦ ❈❤❛r❧❡s ▲❛♥❣✱ ✇❡ ❜❡❧✐❡✈❡✳

❉✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✱ ❛♥❛❧②t✐❝ ❛♥❞ ❝♦♠❜✐♥❛t♦r✐❛❧ s♥❛❣s

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❝♦♠❡ ✉♥st✉❝❦✳✮ ❆ ❣♦♦❞ ❞❡❛❧ ♦❢ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❣❡♦♠❡tr② ✐s ❛❜♦✉t ♣♦✐♥ts✱ ❛♥❞ ❡✣❝✐❡♥t ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❢♦r ❞❡❛❧✐♥❣ ✇✐t❤ ❧♦ts ♦❢ t❤❡♠✳ ▼♦r❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❡♥t✐t✐❡s ❣✐✈❡ ♦t❤❡r ❝♦♠❜✐♥❛t♦r✐❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s❀ ✇❡ ♠❛② ♥❡❡❞ t♦ ♠❛❦❡ ♣❛✐r✇✐s❡ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥s ❛♥❞ ✇♦rs❡✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ t♦ ✜♥❞ ❛❧❧ t❤❡ ❡❞❣❡s ❢♦r♠❡❞ ❜② ❛ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐♥t❡rs❡❝t✐♥❣ s✉r❢❛❝❡s✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❝♦♠♣❛r❡ ❡✈❡r② ♣❛✐r❀ t♦ ✜♥❞ t❤❡ ✈❡rt✐❝❡s✱ ❡✈❡r② s❡t ♦❢ t❤r❡❡✳ ❚❤✐s ✐s ❛♥ ♦r❞❡r n3 ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r st❛rt❡rs✳ ❆♥ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧✱ ❜✉t ❞✐✛❡r❡♥t✱ ❝♦♠❜✐♥❛t♦r✐❛❧ ❜❧♦✇ ❤✐ts ✉s ✇❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ ❧♦t ♦❢ ❞✐✛❡r❡♥t t②♣❡s ♦❢ ❣❡♦♠❡tr② t♦ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ ✐♥ ♦♥❡ ♣r♦❣r❛♠✳ ■❢ ✭✐♥ ❛ ♠❡r❡ t✇♦ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✮ ✇❡ ✇❛♥t t♦ ✜♥❞ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡s✱ ✇❡ ✇r✐t❡ ❛ r♦✉t✐♥❡ t♦ ❞♦ ✐t❀ ✐❢ ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ ❝✐r❝❧❡s✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t❤r❡❡ r♦✉t✐♥❡s✿ ❧✐♥❡✲❧✐♥❡✱ ❝✐r❝❧❡✲❝✐r❝❧❡✱ ❛♥❞ ❧✐♥❡✲❝✐r❝❧❡✳ ■❢ ✇❡ ❤❛✈❡ ❡❧❧✐♣s❡s✱ ✇❡ ♥❡❡❞ s✐① r♦✉t✐♥❡s✱ ❛♥❞ s♦ ♦♥✳ ❚❤✐s ❤✐ts ②♦✉ t❤❡ ♣r♦❣r❛♠♠❡r ✭❜❡❝❛✉s❡ ②♦✉ ❤❛✈❡ t♦ ✇r✐t❡ t❤❡ r♦✉t✐♥❡s✮❀ ✐t ❞♦❡s♥✬t ❥✉st ❛✛❡❝t t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t✐♠❡ t❤❡ ♣r♦❣r❛♠ t❛❦❡s✳ ■t✬s ❛ ♣♦✇❡r❢✉❧ ✐♥❝❡♥t✐✈❡ ❢♦r ❛❧❣❡❜r❛✐❝❛❧❧② ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ r♦✉t✐♥❡s✱ ❜✉t ✐t s❡♥❞s ✉s ❧♦♦♣✐♥❣ ❜❛❝❦ t♦ t❤❡ t❤r❡❡ ❛rr♦✇s ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥✳✳✳✳

2 Geometric basics

Dimensions

▲❡t✬s ❛ss✉♠❡ ❡✈❡r②♦♥❡✬s ❢❛♠✐❧✐❛r ✇✐t❤ t❤✐♥❣s ❜❡✐♥❣ ✐♥ ♦♥❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥✖ ❛❧♦♥❣ ❛ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡✿ ✐♥ t✇♦ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✖✐♥ ❛ ♣❧❛♥❡✿ ♦r ✐♥ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✖✐♥ s♣❛❝❡✳ ◆♦✇✱ ✐❢ ②♦✉ t❤✐♥❦ ✇❡✬r❡ ❣♦✐♥❣ t♦ ❝❤❛r❣❡ ♦✛ ✐♥t♦ n ❞✐♠❡♥s✐♦♥s ❛t t❤❡ ❞r♦♣ ♦❢ ❛ ❤❛t✱ ②♦✉✬r❡ ♠✐st❛❦❡♥✳ ■♥ ❢❛❝t✱ t❤❡r❡✬s ❛ ❧♦t ♦❢ ❤②♣❡r❜♦❧❡ ❛❜♦✉t n ❛r♦✉♥❞✳ P❡r♠✐t ✉s t♦ ♠❛❦❡ s♦♠❡ st❛t❡♠❡♥ts t❤❛t ✇✐❧❧ s❡t t❤❡ ❣r♦✉♥❞ r✉❧❡s ❢♦r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝❤❛♣t❡rs✳ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s

Dimensionality looks easy to extend but it isn’t

❖♥❡✱ t✇♦✱ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s s♦✉♥❞s ❧✐❦❡ ♦♥❡✱ t✇♦✱ t❤r❡❡ ❛♣♣❧❡s ✭♦r ♣❡❛rs✮✖✐✳❡✳ ♠♦r❡ ♦❢ t❤❡ s❛♠❡❀ ❜✉t t❤❛t✬s ♥♦t ❤♦✇ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✐t② ✇♦r❦s✳ ❆❞❞✐♥❣ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s t♦ ❛ ♣r♦❜❧❡♠ ❝❤❛♥❣❡s t❤❡ str✉❝t✉r❡s ✇❡ ❝❛♥ ❝r❡❛t❡✱ t❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ✇❡ ❝❛♥ ✉s❡✱ ❛♥❞ ✇❤❛t ✐s ❛♥❞ ✐s ♥♦t ❢❡❛s✐❜❧❡✳ ■♥ ♦♥❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥✱ ❡✈❡r②t❤✐♥❣ ✐s ✈❡r② ❡❛s② ✭✐✳❡✳ ✐t✬s ❧✐❦❡ ♣r♦❣r❛♠✲ ♠✐♥❣ ✇✐t❤ ♠♦♥❡②✮❀ ✐♥ ❢❛❝t t❤❡r❡✬s ♥♦t r❡❛❧❧② ❛♥② ❣❡♦♠❡tr② ❛t ❛❧❧✳ ✇❡ ♦❢t❡♥ s♦❧✈❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ♣r♦❜❧❡♠s ❜② ❝r❡❛t✐♥❣ ♦♥❡✲ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ str✉❝t✉r❡s✱ ❛♥❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s♣❛❝❡s ❞❡✜♥❡❞ t♦ ✈❛❧✉❡s ✐♥t♦ ❛s❝❡♥❞✐♥❣ ♦r ❞❡s❝❡♥❞✐♥❣ ♦r❞❡r✱ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❝❛♥✬t ❞♦ ✐♥ ❛♥② ❤✐❣❤❡r✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s♣❛❝❡s✳ ■♥ t✇♦ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ ✇❡ ❝❛♥ s❡❡ ❡✈❡r②t❤✐♥❣ ♦♥ ❛ ❝♦♠♣✉t❡r s❝r❡❡♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ ❜✐❣ ❤❡❧♣✳ ▼❛♥② q✉✐t❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ str✉❝t✉r❡s ✭❡✳❣✳ q✉❛❧✐t❛t✐✈❡❧②

❇✉t✱

s♦rt

✶✼ ♣♦❧②❣♦♥ ❡❞❣❡s✮ ❛r❡ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ str✉❝t✉r❡s ✐♥ t❤❡ s♣❛❝❡✱ s♦ ✇❡ ❝❛♥ ❤♦♣ ❜❛❝❦ ✐♥t♦ ❛ s✐♥❣❧❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❛♥❞ ❞♦ s♦rt✐♥❣ ✭❡✳❣✳ t♦ ♦r❞❡r t❤❡ ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ ❛ ♣♦❧②❣♦♥✮✳ ■♥ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ ♣r♦❥❡❝t ❡✈❡♥ t♦ ❣❡t ♦♥ t♦ ❛ ❝♦♠✲ ♣✉t❡r s❝r❡❡♥✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ✇❡ ❝❛♥ ❞❡s❝r✐❜❡ ♦❜❥❡❝ts t♦ ❜❡ ❜✉✐❧t ✐♥ t❤❡ r❡❛❧ ✇♦r❧❞✳ ❲❡ ♥♦✇ ❤❛✈❡ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ str✉❝t✉r❡s ✭❝✉r✈❡s✮ ❛♥❞ t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ str✉❝t✉r❡s ✭s✉r❢❛❝❡s✮ ❡♠❜❡❞❞❡❞ ✐♥ ♦✉r s♣❛❝❡✳ ❆ ♣♦❧②❤❡❞r♦♥✖❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✖✐s ❛♥ ❛ss❡♠❜❧② ♦❢ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡s ✭❡❞❣❡s✮ ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s ✭❢❛❝❡s✮ ❛♥❞✱ ✉♥❧✐❦❡ ❛ ♣♦❧②❣♦♥✱ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♥✐❝❡ ✇❛② ♦❢ ♦r❞❡r✐♥❣ t❤❡♠✳ ❖♥❡✱ t✇♦ ♦r t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s s♦✉♥❞s r❛t❤❡r ❡❧❡♠❡♥t❛r②✳ ❲❤② ♥♦t ❢♦✉r✱ ✜✈❡✖♦r ♠♦r❡❄ ▼❛♥② ❡q✉❛t✐♦♥s ❣❡♥❡r❛❧✐③❡ ❞❡❝❡♣t✐✈❡❧② ❡❛s✐❧② ✐♥t♦ n ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ ❜✉t t❤❛t ❞♦❡s♥✬t ♠❡❛♥ ✇❡ ❝❛♥ ❞♦ ❛♥②t❤✐♥❣ s❡♥✲ s✐❜❧❡ ✇✐t❤ t❤❡♠✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✿ ❏✉st ❜❡❝❛✉s❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝s✖❛♥❞ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❡r✖❝❛♥ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ ♠♦r❡ t❤❛♥ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ ❞♦♥✬t ❡①♣❡❝t t❤✐s t♦ ❤❡❧♣ ②♦✉r ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ ❤✐❣❤❡r✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s♣❛❝❡s✿ ❛❧t❤♦✉❣❤ t❤❡r❡ ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ✈❛❧✐❛♥t ❛tt❡♠♣ts t♦ ♣❡rs✉❛❞❡ ✉s ❞✐✛❡r❡♥t❧② ✭s❡❡ ❇❛♥❝❤♦✛✬s ❜♦♦❦✮✳ ■t ✐s ❡❛s② t♦ ❣❡♥❡r❛t❡ ❞❛t❛ t❤❛t ✐s ♠❛♥②✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✿ ❢♦r ✐♥✲ st❛♥❝❡ ❛ ♠✉❧t✐✲s♣❡❝tr❛❧ ▲❛♥❞s❛t ♣✐❝t✉r❡ ❤❛s t✇♦ s♣❛t✐❛❧ ❞✐♠❡♥✲ s✐♦♥s ❛♥❞ ♣❡r❤❛♣s ❢♦✉r ♦r ✜✈❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s ♦❢ s❡♥s♦r ❞❛t❛ ✐♥ t❤❛t s♣❛❝❡✳ ❇✉t t❤❛t ❞♦❡s ♥♦t ♠❡❛♥ t❤❛t ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ ♠✉❧t✐✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s♣❛❝❡ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❛❧❧ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s ❤❛✈❡ ❡q✉❛❧ ✇❡✐❣❤t ❛♥❞ ♠❡❛♥✲ ✐♥❣✱ ✐♥ t❤❡ ✇❛② t❤❛t s♣❛t✐❛❧ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s ❞♦✳ ❉✐♠❡♥s✐♦♥s

❡♠❜❡❞❞❡❞

✐♥✲

t✉✐t✐✈❡

▲❡t✬s ❥✉♠♣ ❛❤❡❛❞ ♦❢ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✱ ❛♥❞ ❧♦♦❦ ❛t s♦♠❡ ✐❧❧✉str❛t✐♦♥s✳ ✐s s♦♠❡t✐♠❡s s❛✐❞ t♦ ❜❡ t❤❡ ❢♦✉rt❤ ❞✐♠❡♥s✐♦♥✳ ❇✉t t❤❡ t❤✐♥❣s t❤❛t ❤❛♣♣❡♥ ✐♥ t✐♠❡✖❡✐t❤❡r ♣❤②s✐❝❛❧❧② ♦r ❛❧❣❡❜r❛✐❝❛❧❧②✖❛r❡ ♥♦t ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤✐♥❣s ❤❛♣♣❡♥✐♥❣ ✐♥ ❛♥ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ s♣❛t✐❛❧ ❞✐♠❡♥s✐♦♥✳ ❚♦ ❜❡ ♠♦r❡ ♣r❡❝✐s❡✱ t❡♠♣♦r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s t❤❛t ❛r❡ ✉s❡❢✉❧ ❛r❡ r❛r❡❧② s②♠♠❡tr✐❝❛❧ ❜❡t✇❡❡♥ x✱ y✱ z ❛♥❞ t✐♠❡❀ ❛♥❞ t❤♦s❡ t❤❛t ❛r❡ s②♠♠❡t✲ r✐❝❛❧ ❛r❡ r❛r❡❧② ✉s❡❢✉❧✳ ❲❡ ❝❛♥ ❣❡♥❡r❛t❡ ❡①❛♠♣❧❡s ✇✐t❤♦✉t ❣♦✐♥❣ ❛❜♦✈❡ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✳ ❚❛❦❡ t❤❡ ✐♠♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❝✐r❝❧❡ ✭t❤✐s ✐s ✇❤❡r❡ ✇❡ ❣❡t ❛ ❧✐tt❧❡ ❛❤❡❛❞ ♦❢ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r❀ ✐❢ ②♦✉✬r❡ ✇♦rr✐❡❞✱ ❝♦♠❡ ❜❛❝❦ ❤❡r❡ ❧❛t❡r✮✿ ❚✐♠❡

(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r2 = 0.

✶✽

●❡♦♠❡tr✐❝ ❜❛s✐❝s

❆❞❞ ✐♥ t✐♠❡✿ ❛♥ ♦❜✈✐♦✉s t❤✐♥❣ ✇♦✉❧❞ ❜❡ t♦ ♠♦❞❡❧ t❤❡ ❝✐r❝❧❡ ♠♦✈✐♥❣ ✐♥ ❛ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡✳ ❙✉♣♣♦s❡ ✐ts tr❛❥❡❝t♦r② ✐s t❤❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❧✐♥❡ x = x0 + f t y = y0 + gt,

✇❤❡r❡ t ✐s t✐♠❡✿ s❡❝♦♥❞s ✐❢ ②♦✉ ❧✐❦❡✳ ❙♦ ❛❢t❡r t s❡❝♦♥❞s t❤❡ ❝✐r❝❧❡ ✇✐❧❧ ❤❛✈❡ ❜❡❝♦♠❡✿ (x − x0 + f t)2 + (y − y0 + gt)2 − r2 = 0.

❋✐♥❡✿ ✐❢ ✇❡ r❡♣❧❛❝❡ t ✇✐t❤ z ✇❡ ❣❡t ❛ q✉❛❞r✐❝ s✉r❢❛❝❡ t♦ ❜❡ s✉r❡✱ ❜✉t ✐t✬s ❛♥ ❡❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❝②❧✐♥❞❡r✿ ♥♦t ✈❡r② s②♠♠❡tr✐❝❛❧✱ ❛♥❞ ♥♦t❤✐♥❣ ❧✐❦❡ ❛ s♣❤❡r❡✳ ▲♦♦❦ ❛t t❤❡ t❤✐♥❣ t❤❡ ♦t❤❡r ✇❛② ❛r♦✉♥❞✳ ❚❛❦❡ t❤❛t s♣❤❡r❡ ❡q✉❛✲ t✐♦♥✿ 2 2 2 2 (x − x0 ) + (y − y0 ) + (z − z0 ) − r = 0.

❙✉♣♣♦s✐♥❣ ✇❡ ✇❡r❡ t♦ r❡♣❧❛❝❡ z ✇✐t❤ t ✭❢♦r t✐♠❡✮✱ ✇❤❛t ❤❛✈❡ ✇❡ ❣♦t❄ ◆♦t ❛ ♠♦✈✐♥❣ ❝✐r❝❧❡ ❛t ❛❧❧✱ ❜✉t ❛ ❝✐r❝❧❡ t❤❛t ✐s ❝❤❛♥❣✐♥❣ ✐ts r❛❞✐✉s ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛✿ r=

q

t2 + pt + q

✭✇❤❡r❡ p ❛♥❞ q ❛r❡ ❝♦♠♣♦s✐t❡ ❝♦♥st❛♥ts ❞❡r✐✈❡❞ ❢r♦♠ z0 ❛♥❞ r✮✳ ❊✈❡♥ ✐♥ t❤✐s s✐♠♣❧❡ ❝❛s❡✱ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♦❜✈✐♦✉s ✐♥t✉✐t✐✈❡ ❧✐♥❦ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♠♦✈✐♥❣ t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s❤❛♣❡s ❛♥❞ t❤❡ st❛t✐❝ t❤r❡❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ♦♥❡s✳ ■♥ ♣r❛❝t✐❝❡ t❤✐♥❣s ❛r❡ ♠✉❝❤ ✇♦rs❡❀ t❤❡ ❵t❡♠♣♦r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s✬ ♦❢ t❤r❡❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ♠♦✈❡♠❡♥ts ❝♦♥t❛✐♥ tr✐❣♦♥♦♠❡tr✐❝ t❡r♠s✱ ❢♦r r❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ r♦t❛t✐♦♥s✱ ✇❤✐❝❤ ♠❛❦❡ t❤❡♠ ✈❡r② ❞✐✣❝✉❧t t♦ ❤❛♥❞❧❡✳ ❚❤❡r❡ ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ♣r❛❝t✐❝❛❧ ❛tt❡♠♣ts t♦ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡ ❛♥✐♠❛t✐♦♥✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ t♦ ❛ ❢♦✉r✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❧❡♠✱ ✇✐t❤ t✐♠❡ ❛s t❤❡ ❢♦✉rt❤ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❀ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧✐t② ✐s t♦ ❛ ❣r❡❛t❡r ♦r ❧❡ss❡r ❡①t❡♥t ✐❧❧✉s♦r②✱ t❤❡② ❤❛✈❡ ♥♦t ❜❡❡♥ ♥♦t❛❜❧② s✉❝❝❡ss❢✉❧ ✭❡✳❣✳ s❡❡ ●❧❛ss♥❡r✬s ✶✾✽✽ ♣❛♣❡r✱ ❛♥❞ ❲♦♦❞✇❛r❦✬s ❧❡tt❡r ❛❜♦✉t ✐t✮✳

Pr♦❥❡❝t✐♦♥

✶✾

Projection

❖♥❡ ♦❢ t❤❡ ♥❛tt✐❡st t❤✐♥❣s ✇❡ ❝❛♥ ❞♦ t♦ ❣❡t ❛r♦✉♥❞ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s ✐s t♦ r❡❞✉❝❡ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✐t② ♦❢ ♦✉r ❞❛t❛ ❜② t❤r♦✇✐♥❣ s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s ❛✇❛②✳ ❚❤❛t ✐s ✇❤❛t ✇❡ ❞♦ ✇❤❡♥ ✇❡ ♠❛❦❡ ❛ ♣✐❝t✉r❡ ❢r♦♠ ❛ t❤r❡❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s❝❡♥❡✱ ❛♥❞ ✐t ✐s ❝❛❧❧❡❞ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥✳ ❏✉st t❤r♦✇✐♥❣ ❛✇❛② ❛ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ✐s s❡❧❞♦♠ t❤❡ ❜❡st ✇❛② ♦❢ ❛❝❤✐❡✈✲ ✐♥❣ t❤✐s✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✐♥ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❛ ♣✐❝t✉r❡ ♦❢ ♦❜❥❡❝ts s❡❡♥ ✐♥ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡✱ t❤❡r❡ ✐s q✉✐t❡ ❛ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ t❤r❡❡ ♦❜❥❡❝t ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ❛♥❞ t❤❡ t✇♦ ♥❡✇ s❝r❡❡♥ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s✳ ❋✉rt❤❡r✱ ✇❡ ♦❢t❡♥ ✇❛♥t t♦ t❤r♦✇ ❛✇❛② ❛ ❣♦♦❞ ❧♦t ♦❢ ❞❛t❛ ❡♥ r♦✉t❡✿ ✐♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s t♦ s❛♠♣❧❡ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❣❡♦♠❡tr②✳ ■♥ ❛ ♣✐❝t✉r❡ ♦❢ ❛ s♦❧✐❞ ♦❜❥❡❝t✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✇❡ ♦♥❧② ✇❛♥t t♦ s❡❡ ✐ts ❢❛❝❡s ♥❡❛r❡st t♦ t❤❡ ✈✐❡✇❡r✳ ❚❤❛t ✈✐s✐❜✐❧✐t② ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ✐♥ t✉r♥ ✐ts❡❧❢ s✉s❝❡♣t✐❜❧❡ t♦ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ t❡❝❤♥✐q✉❡s✳ ❘❛②✲tr❛❝✐♥❣ ✐s ❛ ✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥ r❡♥❞❡r✐♥❣ t❡❝❤♥✐q✉❡❀ t❤❡ ♦❜❥❡❝t t♦ ❜❡ ✈✐❡✇❡❞ ✐s ♣r♦❥❡❝t❡❞ ♦♥ t♦ ❛ ♥✉♠❜❡r ♦❢ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡s✱ ❡❛❝❤ ♦❢ ✇❤✐❝❤ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ r❛② ❣♦✐♥❣ ❢r♦♠ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❞♦ts ✭ ♣✐①❡❧s✱ ❢♦r t❤❡ ✐♥✐t✐❛t❡❞✮ ♦♥ t❤❡ ❣r❛♣❤✐❝s s❝r❡❡♥ ✐♥t♦ t❤❡ s❝❡♥❡✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ s❛♠♣❧✐♥❣ ✐s ❛♥ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss ✭s❡❡ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✷✭✐✮✮✳ ❚❤❡ ♣❛②♦✛ ❢r♦♠ t❤✐s ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐s ❥✉st t❤❡ ❛❞✈❛♥t❛❣❡ ♦❢ ✇♦r❦✐♥❣ ✐♥ ❛ s✐♥❣❧❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ t❤❛t ✇❛s ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ❛❜♦✈❡❀ t❤❡ ❞❛t❛ ❛❜♦✉t ❤♦✇ ❢❛r ❞✐✛❡r❡♥t ♦❜❥❡❝ts ❛r❡ ❢r♦♠ t❤❡ ✈✐❡✇❡r ❝❛♥ ❜❡ s♦rt❡❞✱ ❛♥❞ s♦ t❤❡ ♥❡❛r❡st ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✖✇❤✐❝❤ ✐s ❛❧s♦ t❤❡ ♥❡❛r❡st ♣❛rt ♦❢ t❤❡ s❝❡♥❡✖ t♦ t❤❡ ✈✐❡✇❡r ✐s ❢♦✉♥❞ q✉✐❝❦❧②✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ s❛♠♣❧✐♥❣ ✐s ♥♦t ❛♥ ✐♥tr✐♥s✐❝ ♣r♦♣❡rt② ♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠✱ ❜✉t ♦❢ t❤❡ ❣r❛♣❤✐❝s ❞❡✈✐❝❡❀ ❛ t❡❧❡✈✐s✐♦♥✲t②♣❡ ♣✐❝t✉r❡ ✐s ♦❢ ❝♦✉rs❡ ♠❛❞❡ ✉♣ ♦❢ ❛ ❧♦t ♦❢ ❞♦ts✳ ■♥ ♦t❤❡r ❝❛s❡s✱ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ✐s ♥♦t ❛ ❜✐❣ ❤❡❧♣✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✐♥ ❛♣✲ ♣❧②✐♥❣ s✉r❢❛❝❡ ♣❛tt❡r♥s t♦ ❛♥ ♦❜❥❡❝t✱ ✐t ✇♦✉❧❞ s❡❡♠ ♥❛t✉r❛❧ t♦ ✇♦r❦ ♦♥ t❤❡ t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s♣❛❝❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❤❡✐r s✉r❢❛❝❡s✳ ■♥ ♣r❛❝t✐❝❡✱ t❤✐s ✐s ♦❢t❡♥ ✈❡r② ❞✐✣❝✉❧t ❜❡❝❛✉s❡✱ ❛❧t❤♦✉❣❤ t❤❡ s✉r❢❛❝❡s ❛r❡ t✇♦✲ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✱ t❤❡② ❛r❡ ❣r❡❛t ❞✐st♦rt✐♦♥s ♦❢ r❡❣✉❧❛r t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s♣❛❝❡❀ s♦ ✐t t❛❦❡s s♦♠❡ ❡✛♦rt t♦ ♣❧❛❝❡ ❛ ♣❛tt❡r♥ ♦♥ ❡✈❡♥ ❛ s✐♠♣❧❡ ♦❜✲ ❥❡❝t ✇✐t❤♦✉t ✐t ❜❡❝♦♠✐♥❣ ✇✐❧❞❧② ❞✐st♦rt❡❞✳ ❚❤✐♥❦ ♦❢ tr②✐♥❣ t♦ ❞r❛✇ ❛ ❝❤❡q✉❡r❜♦❛r❞ ♣❛tt❡r♥ ♦♥ t♦ ❛ ❝♦♥❡❀ ❡✐t❤❡r ✇❡ ❣❡t ❛ ♥❛st② s❡❛♠✱ ♦r ✇❡ sq✉❛s❤ t❤❡ ♣❛tt❡r♥ t♦ ♥♦t❤✐♥❣ ❛t t❤❡ ❝♦♥❡✬s ❛♣❡①✳ ❚♦ ❛♣♣❧② ❛ ♣❛tt❡r♥ t♦ ❛♥ ♦❜❥❡❝t✱ ✐t t✉r♥s ♦✉t t♦ ❜❡ ♠✉❝❤ ❡❛s✐❡r ✐❢ ✇❡ ❝❛♥ ❞❡✜♥❡ t❤❛t ♣❛tt❡r♥ ✐♥ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s ✭s❡❡ P❡r❧✐♥✬s ✇❡❧❧✲

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●❡♦♠❡tr✐❝ ❜❛s✐❝s

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✷✶ ❦♥♦✇♥ s✐❣❣r❛♣❤ ♣❛♣❡r✮✳ ❆❧t❤♦✉❣❤ ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ t❛❦❡ ❝❛r❡ t♦ ❞❡✜♥❡ ✐t ✐♥ s✉❝❤ ❛ ✇❛② t❤❛t ✇❡ ♦♥❧② ♥❡❡❞ t♦ ❡✈❛❧✉❛t❡ ✐t ♦♥ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ♦❢ t❤❡ ♦❜❥❡❝t✱ ✇❡ ❞♦♥✬t ♥❡❡❞ t♦ t❛❦❡ ❛♥② ❛❝❝♦✉♥t ♦❢ t❤❡ ✭✇❡✐r❞ ❛♥❞ ✇♦♥❞❡r❢✉❧✮ s❤❛♣❡s ♦❢ t❤❡ ♦❜❥❡❝ts t❤❛t ✇✐❧❧ ❛❝t✉❛❧❧② ❜❡ ♣❛tt❡r♥❡❞✳ P♦✐♥ts ❛♥❞ ✈❡❝t♦rs

Points and vectors

■❢ ✇❡✬✈❡ ❣♦t s♦♠❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✖❛ s♣❛❝❡✖✇❡✬r❡ ❤❛♣♣② ✇✐t❤✱ ✇❤❛t ❛❜♦✉t s♦♠❡t❤✐♥❣ t♦ ♣✉t ✐♥ ✐t❄ P♦✐♥ts ❛r❡ ❛ ❣♦♦❞ st❛rt✿ ❥✉st ❧✐sts ♦❢ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ✈❛❧✉❡s✳ ❆ ♣♦✐♥t ✐s ❛ ❧✐st ♦❢ ❞✐s♣❧❛❝❡♠❡♥ts ✐♥ ❡❛❝❤ ❝♦✲ ♦r❞✐♥❛t❡ (x, y, . . .) ❢r♦♠ t❤❡ ♦r✐❣✐♥ (0, 0, . . .)✳ ❙♦♠❡t✐♠❡s ✇❡✬❞ ❧✐❦❡ t♦ ❝❛rr② t❤❡s❡ ❞✐s♣❧❛❝❡♠❡♥ts ❛r♦✉♥❞✱ ❛♥❞ ✉s❡ t❤❡♠ t♦ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦✉r✲ s❡❧✈❡s ❢r♦♠ ❛ ♣♦✐♥t ✇❡✬✈❡ ❛❧r❡❛❞② ❣♦t✳ ❚❤❡s❡ ❵✢♦❛t✐♥❣✬ ♣♦✐♥ts ❛r❡ ❝❛❧❧❡❞ ✈❡❝t♦rs✳ ■❢ ②♦✉ ❛❞❞ ❛ ✈❡❝t♦r t♦ ❛ ♣♦✐♥t✱ ②♦✉ ❞❡✜♥❡ ❛♥♦t❤❡r ♣♦✐♥t✱ ✐❢ ②♦✉ ❛❞❞ t✇♦ ✈❡❝t♦rs ②♦✉ ❣❡t ❛♥♦t❤❡r ✈❡❝t♦r✳✳✳✳ ■♥ ❢❛❝t ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ ❧✐tt❧❡ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ t❤❡ t❤✐♥❣s✿ P V V P P P

−P +V −V +V −V +P

= = = = = =

V V V P P ...

❍❛✦ ❚❤❡ s✉♠ ♦❢ t✇♦ ♣♦✐♥ts ✐s ✉♥❞❡✜♥❡❞ ✳ ▲♦♦❦❡❞ ❛t ❛♥♦t❤❡r ✇❛②✱ ✈❡❝t♦rs ❞❡✜♥❡ ❛ ♠♦✈❡♠❡♥t t❤r♦✉❣❤ ❛ ❝❡rt❛✐♥ ❞✐st❛♥❝❡ ✐♥ ❛ s♣❡❝✐✜❡❞ ❞✐r❡❝t✐♦♥✳ ❲❡ ❝❛♥ s❡♣❛r❛t❡ ♦✉t t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❛♥❞ t❤❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ❜② ♥♦r♠❛❧✐③✐♥❣ t❤❡ ✈❡❝t♦r✳ ❚❛❦❡ ❛ t❤r❡❡✲ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✈❡❝t♦r ❛✱ (x , y , z )✳ ❋✐rst ❡①tr❛❝t t❤❡ ♠❛❣♥✐t✉❞❡✿ ✶

a

a

a

|a| =

q

x2a + ya2 + za2 .

❚❤✐s ✐s t❤❡ P②t❤❛❣♦r❡❛♥ ❞✐st❛♥❝❡ ❢♦r♠✉❧❛❀ ✇❡✬❧❧ ❜❡ s❡❡✐♥❣ ♠♦r❡ ♦❢ ✐t ❧❛t❡r✳ ■❢ ✇❡ ❞✐✈✐❞❡ ❛❧❧ t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ t❤❡ ✈❡❝t♦r ❜② t❤✐s ♠❛❣♥✐✲ t✉❞❡ ✇❡ ❣❡t ❛ ♥❡✇✱ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ✱ ✈❡❝t♦r✿ ✇✐t❤ ❛ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ✶✱ ❜✉t t❤❡ ✶ ■♥

♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ t❤❡ s❡t ♦❢ ♣♦✐♥ts ❛♥❞ ✈❡❝t♦rs ✐s ♥♦t

t✐♦♥s ♦❢ ❛❞❞✐t✐♦♥ ❛♥❞ s✉❜tr❛❝t✐♦♥✳

❝❧♦s❡❞

✉♥❞❡r t❤❡ ♦♣❡r❛✲

✷✷ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ✉♥❝❤❛♥❣❡❞✿

●❡♦♠❡tr✐❝ ❜❛s✐❝s

ˆ a=

!

xa ya za . , , |a| |a| |a|

❲❤❛t ❛❜♦✉t ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥❄ ❲❡ ❝❛♥ ❡❛s✐❧② ♠✉❧t✐♣❧② ❛ ✈❡❝t♦r ❜② ❛ ❝♦♥st❛♥t✱ t♦ ❣❡t ❛ ❧♦♥❣❡r ♦r s❤♦rt❡r ♦♥❡✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ❛❧s♦ t✇♦ ✈❡r② ✉s❡❢✉❧ ✇❛②s t♦ ❝♦♠❜✐♥❡ ✈❡❝t♦rs✿ ❚❤❡ ❞♦t ♣r♦❞✉❝t ♦❢ t✇♦ ✈❡❝t♦rs a ❛♥❞ b ②✐❡❧❞s ❛ s❝❛❧❛r ✭✐✳❡✳ ❛ ♥✉♠❜❡r✮ ❡q✉❛❧ t♦ |a||b| cos θ✱ ✇❤❡r❡ θ ✐s t❤❡ ❛♥❣❧❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡♠✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ❣♦♦❞ ✇❛② t♦ ✜♥❞ ♦✉t t❤❡ ❛♥❣❧❡ ❜❡t✇❡❡♥ ✈❡❝t♦rs✱ ❡s♣❡❝✐❛❧❧② ✉♥✐t ✈❡❝t♦rs✳ ❲❡ ❝❛♥ ❣❡t t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ❞✐r❡❝t❧② ❢r♦♠ t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ t❤❡ ✈❡❝t♦r✱ ❥✉st ❜② ♠✉❧t✐♣❧②✐♥❣ t❤❡♠ t♦❣❡t❤❡r✿ a.b = xa xb + ya yb + za zb .

❚❤❡ ❝r♦ss ♣r♦❞✉❝t ❣❡♥❡r❛t❡s ❛ ♥❡✇ ✈❡❝t♦r ♣❡r♣❡♥❞✐❝✉❧❛r t♦ t❤❡ t✇♦ t❤❛t ❛r❡ ❜❡✐♥❣ ♠✉❧t✐♣❧✐❡❞✱ ✇✐t❤ ❛ ❧❡♥❣t❤ ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ✭♦r❞✐✲ ♥❛r②✮ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ t❤❡✐r ❧❡♥❣t❤s✿ a × b = ((ya zb − yb za ), (xb za − xa zb ), (xa yb − xb ya )) .

❚❤❡s❡ t✇♦ ♣r♦❞✉❝ts ♦❢ ✈❡❝t♦rs ❛r❡ ❝❧❛ss✐❝ ♠❛t❡r✐❛❧ ❢♦r t❤❡ ❵✐♥♥❡r ❧♦♦♣s✬ ♦❢ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ♣r♦❣r❛♠s✳ ❚❤❡② ♥❡❡❞ t♦ r✉♥ ✈❡r② q✉✐❝❦❧②✱ ❛❧✲ t❤♦✉❣❤ t❤❡r❡ ✐s ❧✐tt❧❡ t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ❞♦♥❡ t♦ r❡❞✉❝❡ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❛r✐t❤♠❡t✐❝ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ♥❡❝❡ss❛r②✳ ❚❤✐♥❦ t✇✐❝❡ ❜❡❢♦r❡ ❡♥❝❛♣s✉❧❛t✐♥❣ t❤❡♠ ✐♥ s✉❜r♦✉t✐♥❡s ♦r ❢✉♥❝t✐♦♥s ❤♦✇❡✈❡r❀ t❤❡ ♦✈❡r❤❡❛❞ ❢r♦♠ ❝❛❧❧✐♥❣ t❤❡♠ ❝♦✉❧❞ ❜❡❝♦♠❡ ❛ ❜✐❣ ❢❛❝t♦r ✐♥ ②♦✉r ❝♦❞❡✬s ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡✳ ❚❤❡ s❧✐❣❤t❧② ✉♥❢❛s❤✐♦♥❛❜❧❡ ✐❞❡❛ ♦❢ ♠❛❝r♦s✖r♦✉t✐♥❡s t❤❛t ❛r❡ ❡①♣❛♥❞❡❞ ✐♥t♦ ❵✐♥✲❧✐♥❡✬ ❝♦❞❡ ❛t t❤❡ t✐♠❡ ♦❢ ❝♦♠♣✐❧❛t✐♦♥✖❛r❡ ❛♥ ❡①❝❡❧❧❡♥t ❝♦♠✲ ♣r♦♠✐s❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❧❡❣✐❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❡✣❝✐❡♥❝② ✐♥ t❤✐s ❝♦♥t❡①t✳ Implicit and parametric geometry

❲❤❛t ❛❜♦✉t s♦♠❡ ♠♦r❡ ❡①❝✐t✐♥❣ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❡❧❡♠❡♥ts❄ ❲❤❡♥ ②♦✉ ✇❡r❡ ❛t s❝❤♦♦❧ ②♦✉ ♣r♦❜❛❜❧② ❧❡❛r♥❡❞ ❛❜♦✉t t❤❡ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ y = mx + c✱ ❛♥❞ t❤❡♥ ❢♦✉♥❞ ♦✉t t❤❛t t❤❛t ❡q✉❛t✐♦♥ ❝♦✉❧❞♥✬t r❡♣r❡s❡♥t ✈❡rt✐❝❛❧ ❧✐♥❡s✱ ✇❤✐❝❤ ❤❛❞ t♦ ❜❡ x = k❀ ♦❤✱ ❛♥❞ t❤❡♥ ❧✐♥❡s ♥❡❛r ✈❡rt✐❝❛❧

✷✸ ❤❛✈❡ ✈❡r② ❧❛r❣❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ m✱ s♦ ②♦✉✬❞ ❜❡ ❜❡tt❡r ♦✛ ✇✐t❤ ❛ ❢♦r♠ x = m y + c ✳✳✳ ❛♥❞ ❛ ❧♦t ♠♦r❡ ♦❢ t❤❛t ♥❛st② s♦rt ♦❢ st✉✛✳ ❚❤♦s❡ explicit ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ❝✉r✈❡s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ y = f (x) ♦r x = f (y) ✭❛♥❞ ❡①♣❧✐❝✐t s✉r❢❛❝❡s✱ z = f (x, y) ❡t❝✳✮ ❛r❡ ♦♥❧② ✉s❡❢✉❧ ❢♦r ❞❡s❝r✐❜✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✱ s✉❝❤ ❛s ❛ s✐❣♥❛❧ ✈❛r②✐♥❣ ✇✐t❤ t✐♠❡✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ s✐♥❣❧❡✲✈❛❧✉❡❞✖s♦ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡② ✇♦♥✬t ❞♦✉❜❧❡ ❜❛❝❦ ♦♥ t❤❡♠✲ s❡❧✈❡s✳ ■♥ t❤♦s❡ ❝❛s❡s ✭s❡❡ ❈❤❛♣t❡r ✹✮ ❡①♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥s ❛r❡ ❛❝t✉❛❧❧② ♠✉❝❤ ❡❛s✐❡r t♦ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ t❤❛♥ t❤❡ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❡❧❡♠❡♥ts t❤❛t ✇❡ s❤❛❧❧ ♥♦✇ ❧♦♦❦ ❛t✳ ■❢ ✇❡ ✇✐s❤ t♦ ❢♦r♠✉❧❛t❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❡❧❡♠❡♥ts t❤❛t ❛r❡ ♥♦t t✐❡❞ t♦ ❛❧✐❣♥♠❡♥t t♦ ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❛①✐s✱ t❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ t✇♦ ❝❤♦✐❝❡s✿ ■♠♣❧✐❝✐t ❛♥❞ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❣❡♦♠❡tr②

′

′

Implicit equations

■♠♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥s ❝❧❛ss✐❢② ❛❧❧ t❤❡ ♣♦✐♥ts ✐♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡✱ ♦r ✐♥ s♣❛❝❡✱ ✐♥t♦ t✇♦ s❡ts❀ s♦ t❤❡ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡ ②♦✉ ❛r❡ tr②✐♥❣ t♦ ❞❡✜♥❡ ✐s t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ t✇♦ s❡ts✳ ❚❤❡ s✐♠♣❧❡st ✇❛② t♦ ❞♦ t❤✐s ✐s t♦ ❡✈❛❧✉❛t❡ ❛ ❢♦r♠✉❧❛ f (x, y)✖♦r f (x, y, z) ✐♥ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✖❛t ❡✈❡r② ♣♦✐♥t✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t ✐s ❛ ♥✉♠❜❡r❀ ✐❢ ✐t✬s ♥❡❣❛t✐✈❡✱ t❤❡ ♣♦✐♥t ✐s ♦♥ ♦♥❡ s✐❞❡ ♦❢ t❤❡ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡❀ ✐❢ ✐t✬s ♣♦s✐t✐✈❡✱ t❤❡ ♣♦✐♥t ✐s ♦♥ t❤❡ ♦t❤❡r✳ ❲❡ ❝❛♥ ❛❧s♦ t❤✐♥❦ ♦❢ t❤✐s ❛s ❛ ♠❛♣♣✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡ s♣❛❝❡ ♦♥ t♦ ❛ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡✱ ❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✷✭✐✐✮✳ ❚❤❡ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡ ✐ts❡❧❢ ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ♣♦✐♥ts ✇❤✐❝❤ ♠❛♣ ♦♥ t♦ t❤❡ ♦r✐❣✐♥ ♦❢ t❤❛t ♦♥❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡✿ t❤♦s❡ ❢♦r ✇❤✐❝❤ f (x, y) = 0 ♦r f (x, y, z) = 0✳ ❚❤❡② ❛r❡ ❝❛❧❧❡❞ ✐♠♣❧✐❝✐t ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s✱ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡② ❛r❡ ✐♠♣❧✐❡❞ ❜② t❤❡ ♣♦✐♥t ❝❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥✳ ❚❤❡② ❛r❡ ❛❧s♦ r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛s ❤❛❧❢✲s♣❛❝❡s✱ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡② ❞✐✈✐❞❡ t❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s♣❛❝❡ ✉♣ ✐♥t♦ t✇♦ ❤❛❧✈❡s✿ ♣♦✐♥ts ❝❧❛ss✐✜❡❞ ❛s ♣♦s✐t✐✈❡ ❛♥❞ ♣♦✐♥ts ❝❧❛ss✐✜❡❞ ❛s ♥❡❣❛t✐✈❡✳ ❚❤❡ t✇♦ ❤❛❧✈❡s ❛r❡ ♥♦t ✐♥ ❛♥② s❡♥s❡ ❡q✉❛❧✱ ♦❢ ❝♦✉rs❡✱ ❛♥❞ ♦♥❡ ♠❛② ❜❡ ❜♦✉♥❞❡❞ ❛♥❞ t❤❡ ♦t❤❡r ♥♦t ✭❛s ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❛ ❝✐r❝❧❡✮ ♦r ❜♦t❤ ✉♥❜♦✉♥❞❡❞ ✭❛s ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❛ ♣❧❛♥❡✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❜❡❝❛✉s❡ ❤❛❧❢✲s♣❛❝❡s ❞✐✈✐❞❡ ✉♣ s♣❛❝❡✱ t❤❡② ♠✉st ❤❛✈❡ ❛ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✐t② t❤❛t ✐s ♦♥❡ ❧♦✇❡r t❤❛♥ t❤❡ s♣❛❝❡ ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡② ❛r❡ ❡♠❜❡❞❞❡❞✳ ❙♦✱ ✐♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡✱ ❛❧❧ ✐♠♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥s ❞❡s❝r✐❜❡ ❝✉r✈❡s❀ ✐♥ t❤r❡❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s♣❛❝❡✱ t❤❡② ❛❧❧ ❞❡s❝r✐❜❡ s✉r❢❛❝❡s❀ ❛♥❞ ✐♥ ❢♦✉r ❞✐♠❡♥s✐♦♥s t❤❡② ❞❡s❝r✐❜❡ ✈♦❧✉♠❡s ✭✈✐s✉❛❧✐③❡ t❤❛t ✐❢ ②♦✉ ❝❛♥✮✳

✷✹

●❡♦♠❡tr✐❝ ❜❛s✐❝s

✷✭✐✐✮✖❈✉r✈❡s ❛s ♠❛♣♣✐♥❣s ✿ ❛♥ ✐♠♣❧✐❝✐t ♣❧❛♥❡ ❝✉r✈❡ ♠❛♣s ❢r♦♠ t✇♦ t♦ ♦♥❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s❀ t❤❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ✈❡rs✐♦♥ ♠❛♣s t❤❡ ♦t❤❡r ✇❛②✱ ❢r♦♠ ♦♥❡ t♦ t✇♦ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✳

■♠♣❧✐❝✐t ❛♥❞ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❣❡♦♠❡tr②

✷✺

Parametric equations

P❛r❛♠❡tr✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛r❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ ♦♥❡ ♦r ♠♦r❡ ❡①✲ tr❛ ✈❛r✐❛❜❧❡s✱ ♦r ♣❛r❛♠❡t❡rs ✱ ❛♥❞ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ x✱ y✖❛♥❞ z ❡t❝✳✖❛s ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡♠✿ x = φ1 (t, u, v, . . .) y = φ2 (t, u, v, . . .) z = φ3 (. . .)

✳✳ = ✳✳ ❨♦✉ ❝❛♥ t❤✐♥❦ ♦❢ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛s ❛♥♦t❤❡r s❡t ♦❢ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s✳ ✭■❢ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✇❡r❡ t❤❡ s❛♠❡ x✱ y✱ z ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s✱ t❤❡♥ t❤❡s❡ ✇♦✉❧❞ ❜❡ tr❛♥s❢♦r♠ ❡q✉❛t✐♦♥s✖s❡❡ ❈❤❛♣t❡r ✾✳✮ ❆ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡ ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ s❡❡♥ ❛s ❛ ♠❛♣♣✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ♦♣♣♦s✐t❡ s❡♥s❡ t♦ ❛♥ ✐♠♣❧✐❝✐t ♦♥❡✿ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❛ ❝✉r✈❡✖❧♦♦❦ ❛t ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✷✭✐✐✮ ❛❣❛✐♥✖❣♦✐♥❣ ❢r♦♠ ❛ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ t♦ ❛ t✇♦✲ ♦r t❤r❡❡✲ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s♣❛❝❡✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❜❡❝❛✉s❡ ✇❡ ❝❛♥ ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ❛♥❞ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t❧②✱ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ✜①❡❞ r❡✲ ❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ s♦rt ♦❢ ❣❡♦♠❡tr✐❝❛❧ ❡❧❡♠❡♥t ✇❡ ❝❛♥ ❞❡s❝r✐❜❡ ✇✐t❤ ❛ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ s♣❛❝❡ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❛r❡ ✇♦r❦✐♥❣✳ ❲❡ ❝❛♥ ♣❡r❢♦r♠ ♠❛♣♣✐♥❣s ✇❤✐❝❤ ❡♠❜❡❞ ❛ t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s♣❛❝❡ ✐♥ ❛ ❢♦✉r✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s♣❛❝❡✱ ♦r ✇❤❛t❡✈❡r ❡❧s❡ ✇❡ ❢❛♥❝②✳ ❇✉t ❜② ❢❛r t❤❡ ♠♦st ✉s❡❢✉❧ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ ❛ s✐♥❣❧❡ ♣❛✲ r❛♠❡t❡r ✐♥ t✇♦ ❛♥❞ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s ✭♣❧❛♥❛r ❛♥❞ s♣❛❝❡ ❝✉r✈❡s✮ ❛♥❞ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t✇♦ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✐♥ s♣❛❝❡ ✭s✉r❢❛❝❡s✮✳ ❚♦ s✉♠♠❛r✐③❡✿ ■♠♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥s

❈❧❛ss✐❢② ♣♦✐♥ts ❋✐①❡❞ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✐t② ✐♥ t❤❡ s♣❛❝❡ r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡ s♣❛❝❡ P❛r❛♠❡tr✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ●❡♥❡r❛t❡ ♣♦✐♥ts ♦♥ ❆♥② ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✐t② t❤❡ ❡❧❡♠❡♥t

■♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ ✐t ✐s ♥♦t ❡❛s② t♦ ❝♦♥✈❡rt ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ✐♠♣❧✐❝✐t ❛♥❞ ♣❛r❛✲ ♠❡tr✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ❛ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❡❧❡♠❡♥t ✭s❡❡ ❈❤❛♣t❡r ✶✶✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ s✐♠♣❧❡r s❤❛♣❡s ❞♦ ❤❛✈❡ ❜♦t❤ ✐♠♣❧✐❝✐t ❛♥❞ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❛♥❞ ✇❡ s❤❛❧❧ s♣❡♥❞ t❤❡ r❡st ♦❢ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ❧♦♦❦✐♥❣ ❛t t❤❡ s✐♠♣❧❡st ♦♥❡s✿ t❤❡ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡✱ ♣❧❛♥❡✱ ❝✐r❝❧❡ ❛♥❞ s♣❤❡r❡✳ ■❢ ②♦✉ ✇❛♥t ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧s✱

●❡♦♠❡tr✐❝ ❜❛s✐❝s

✷✻

✜♥❛♥❝✐❛❧ ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥s ♣r♦♠♣t ✉s t♦ r❡❝♦♠♠❡♥❞ t❤❛t ♦t❤❡r ❡✛♦rt ♦❢ ♦✉rs✿ ❆ Pr♦❣r❛♠♠❡r✬s ●❡♦♠❡tr② ✳ The straight line and plane

❚❤❡ ✐♠♣❧✐❝✐t str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ ✐s ax + by + c = 0❀ t❤❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ ✐s✿ x = x0 + f t y = y0 + gt.

❇② ❡①t❡♥s✐♦♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡ ✐s ax + by + cz + d = 0 ❛♥❞ x = x0 + f1 t + f2 u y = y0 + g1 t + g2 u z = z0 + h1 t + h2 u. The circle and sphere

❲❡ ❤❛✈❡ ❛❧r❡❛❞② s❡❡♥ t❤❛t t❤❡ ✐♠♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝✐r❝❧❡ ✐s (x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r2 = 0,

✇❤✐❝❤ ✐s ❡❛s✐❧② ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ t❤❡ s♣❤❡r❡✿ (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 − r2 = 0.

❚❤❡ ❝❡♥tr❡ ✐s (x0 , y0 , z0 ) ❛♥❞ t❤❡ r❛❞✐✉s ✐s r✳ ❚❤❡ ❝❧❛ss✐❝ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝✐r❝❧❡ ✐s✿ x = x0 + r cos θ y = y0 + r sin θ

❛♥❞ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝✱ ❜✉t ♥♦t✲t♦♦✲✉s❡❢✉❧✱ s♣❤❡r❡ ✐s✿ x = x0 + r cos θ cos ψ y = y0 + r sin θ cos ψ z = z0 + r sin ψ.

❚❤❡ ❛♥❣❧❡s θ ❛♥❞ ψ ❛r❡ ❧❛t✐t✉❞❡ ❛♥❞ ❧♦♥❣✐t✉❞❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ t✇♦ ♣r♦❜❧❡♠s ✇♦rt❤ ♠❡♥t✐♦♥✐♥❣ ❤❡r❡✳ ❋✐rst✱ ❢♦r ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧

✷✼ r❡❛s♦♥s ✇❡ ❞♦♥✬t ❧✐❦❡ tr✐❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭t❤❡② t❛❦❡ t♦♦ ❧♦♥❣✮✱ s♦ ❝♦♠✲ ♠♦♥❧② r❡♣❧❛❝❡ cos ❛♥❞ sin ✇✐t❤ t❤❡ ❤❛❧❢✲❛♥❣❧❡ ❢♦r♠✉❧❛❡✿ ❇♦✉♥❞✐♥❣ ❣❡♦♠❡tr②

2t 1 + t2 1−t cos θ = 1 + t2 sin θ =

where

θ t = tan . 2

❚❤❡s❡ ❤❛✈❡ t❤❡✐r ♦✇♥ ♣r♦❜❧❡♠s ✭s❡❡ ✮❀ t❤❡② ♦♥❧② ❞♦ 90 ✇♦rt❤ ♦❢ t❤❡ ❝✐r❝❧❡✳ ❙❡❝♦♥❞✱ t❤❡ s♣❤❡r❡ ✐s t❤❡ ✜rst ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❛ ♥❛st② ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❛t✐♦♥ ✳ ●❡♦❣r❛♣❤❡rs ❜❡❢♦r❡ ❛♥❞ ❛❢t❡r ▼❡r❝❛t♦r ❤❛✈❡ str✉❣❣❧❡❞ ✇✐t❤ t❤✐s ✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥ ♣r♦❜❧❡♠❀ ❡✈❡♥ ❢♦r s✉❝❤ ❛ s✐♠♣❧❡ s❤❛♣❡ t❤❡r❡ ✐s✖❤♦rr♦rs✖ ✿ ♥♦r ❡✈❡♥ ❛ ✉♥✐✈❡rs❛❧❧② ❛❝❝❡♣t❛❜❧❡ ❜❡st ❡✛♦rt✳ ❆ Pr♦❣r❛♠♠❡r✬s ●❡♦♠❡tr②

◦

✷

♥♦ ♣❡r❢❡❝t s♦❧✉t✐♦♥

Bounding geometry

■♥ ♣r❛❝t✐❝❡✱ ✇❡ s❡❧❞♦♠ ✇❛♥t ❛♥ ✐♥✜♥✐t❡ ❝✉r✈❡❀ ✇❡✬✈❡ ❣♦t t♦ ❝❧✐♣ ✐t t♦ ❣❡t ✐t ✐♥t♦ ❛ ♣✐❝t✉r❡✱ ✐❢ ❢♦r ♥♦t❤✐♥❣ ❡❧s❡✳ ❲❡ ✇❛♥t str❛✐❣❤t✲❧✐♥❡ s❡❣✲ ♠❡♥ts✱ ❝✐r❝✉❧❛r ❛r❝s✱ ❛♥❞ ♣✐❡❝❡s ♦❢ ♦t❤❡r ❝✉r✈❡s ❛♥❞ ♦❢ s✉r❢❛❝❡s t♦♦✳ ❚❤❡ t❤❛t ❣❡♥❡r❛t❡s t❤❡s❡ ♣✐❡❝❡s ✐s ❛ ♣r♦❝❡ss ♦❢ s❡❧❡❝t✐♥❣ ♦❢ s♦♠❡t❤✐♥❣✱ ❛♥❞ t❤r♦✇✐♥❣ t❤❡ r❡st ❛✇❛②✳ ■♠♣❧✐❝✐t ❣❡♦♠❡tr② ❝❧❛ss✐✜❡s t❤✐♥❣s✱ ❛♥❞ s♦ ✐s t❤❡ ♦❜✈✐♦✉s t♦♦❧ ❢♦r t❤✐s ❥♦❜✳ ❆♥ ❡❧❡♠❡♥t ♦❢ ✐♠♣❧✐❝✐t ❣❡♦♠❡tr② ❝❧❛ss✐✜❡s ❛ s♣❛❝❡ ✐♥t♦ t✇♦ ♣❛rts✳ ❚❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♣❛rts ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ♦❜❥❡❝t✳ ❲❤❡♥ s✉❝❤ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛r❡ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ✉s✉❛❧ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♦♣❡r❛t♦rs✱ t❤❡ r❡s✉❧t ✐s✖❡①❝❡♣t ✐♥ ❝❡rt❛✐♥ s♣❡❝✐❛❧ ❛♥❞ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ❝❛s❡s✖❛ s♠♦♦t❤ ❝✉r✈❡✱ s✉r❢❛❝❡ ❡t❝✳ ❚♦ ❣❡t ❛ s❤❛♣❡ ✇✐t❤ s❤❛r♣ ❝♦r♥❡rs✖s✉❝❤ ❛s ❛ r❡❝t❛♥❣❧❡ ✐♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡✖✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ✐♥tr♦❞✉❝❡ ♦♣❡r❛t♦rs ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❝♦♠❜✐♥❡ t❤❡ r❡❣✐♦♥s ❝❧❛ss✐✜❡❞ ❜② s❡✈❡r❛❧ ❵♦r❞✐♥❛r②✬ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ■❢ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❛♥ ✐♠♣❧✐❝✐t ♣✐❡❝❡ ♦❢ ❣❡♦♠❡tr② ❛s ❛ s❡t ♦❢ ♣♦✐♥ts✱ ✇❡ ❝❛♥ s❡❡ ❜♦✉♥❞✐♥❣

♣❛rt

✷ ◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ ✇♦r❞

♣❛r❛♠❡t❡r✐③❛t✐♦♥

❤❛s t✇♦ ♠❡❛♥✐♥❣s✿ ✏❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ♣❛r❛♠❡✲

t❡rs✑ ✭❛s ❤❡r❡✮ ❛♥❞ ✏❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ❢r♦♠ ✐♠♣❧✐❝✐t t♦ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❢♦r♠✑ ✭t❤❡ ♦♣♣♦s✐t❡ ♦❢ ✐♠♣❧✐❝✐t✐③❛t✐♦♥✮✳ ❚❤❡r❡ s❡❡♠s ♥♦ ❡❛s② ✇❛② ❛r♦✉♥❞ t❤✐s t❡r♠✐♥♦❧♦❣✐❝❛❧ tr❛♣✳

✷✽ ●❡♦♠❡tr✐❝ ❜❛s✐❝s t❤❛t ✇❡ ❝♦♠❜✐♥❡ t❤❡s❡ s❡ts ✉s✐♥❣ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦rs ✇❤✐❝❤ ❛❧r❡❛❞② ❡①✐st ✐♥ s❡t t❤❡♦r②❀ ❤❡r❡ ✇❡ s❤❛❧❧ ♥❡❡❞ ♦♥❧② t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦r✱ ∩✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✐❢ t❤❡ ❢♦✉r s✐❞❡s ♦❢ ❛ r❡❝t❛♥❣❧❡ ❛❧✐❣♥❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ❛①❡s ❛r❡✿

and

x x y y

= = = =

x0 , x1 (x1 > x0 ), y0 , y1 (y1 > y0 ),

✇❡ ❝❛♥ ❣❡♥❡r❛t❡ ❢♦✉r s❡ts ♦❢ ♣♦✐♥ts ❢r♦♠ t❤❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✿ x x y y

❛♥❞ ❝♦♠❜✐♥❡ t❤❡♠✿

≥ ≤ ≥ ≤

x0 x1 y0 y1

(x ≥ x0 ) ∩ (x ≤ x1 ) ∩ (y ≥ y0 ) ∩ (y ≤ y1 ).

❆♥② ♣♦✐♥t ✇❤✐❝❤ s❛t✐s✜❡s t❤❛t ❡q✉❛❧✐t② ✐s ✐♥s✐❞❡ ✭♦❦❛②✱ ♣✉r✐sts✖♦r ♦♥ t❤❡ ❡❞❣❡s ♦r ❝♦r♥❡rs ♦❢✮ t❤❡ r❡❝t❛♥❣❧❡✳ ❏✉st t♦ ♠❛❦❡ t❤✐♥❣s ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞✱ ♥♦t❡ t❤❛t ✇❡ ❝♦✉❧❞ ❤❛✈❡ ❛❝❤✐❡✈❡❞ t❤❡ s❛♠❡ ❜♦✉♥❞s ❜② r❡♣❧❛❝✐♥❣ ∩ ✇✐t❤ ❛ ♠✐♥✐♠✉♠ ❢✉♥❝t✐♦♥✿ min ((x − x0 ), (x1 − x), (y − y0 ), (y1 − y)) ≥ 0.

❆❧t❤♦✉❣❤ t❤✐s ✐s ♥♦t ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s❧② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ✐t ✐s ❛♥ ✐♠♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥ ✐♥ ✐ts ♦✇♥ r✐❣❤t✳ ❲❤❡♥ ✇❡ ❝♦♠❡ ♦♥ t♦ t❛❧❦ ❛❜♦✉t ♣❡♥❛❧t② ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭❈❤❛♣t❡r ✺✮ ✐t ✇✐❧❧ ❜❡❝♦♠❡ ❛♣♣❛r❡♥t ❤♦✇ t❤✐s ✇❛② ♦❢ ❢♦r♠✉❧❛t✐♥❣ s❡t ♦♣❡r❛t✐♦♥s ♠✐❣❤t ❜❡ ✉s❡❢✉❧✳ ❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ✐♠♣❧✐❝✐t ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇✐t❤ s❡t✲t❤❡♦r❡t✐❝ ♦♣❡r❛t♦rs ✐s ❛ ❝❛t❝❤✐♥❣ ❞✐s❡❛s❡✱ ❛♥❞ ✐s ✐♥ ❢❛❝t t❤❡ ❢♦✉♥❞❛t✐♦♥ ♦❢ s❡t✲t❤❡♦r❡t✐❝ ✭♦r ❝♦♥str✉❝t✐✈❡ s♦❧✐❞ ❣❡♦♠❡tr②✖ ❝s❣✮ s♦❧✐❞ ♠♦❞❡❧❧✐♥❣✱ ✇❤✐❝❤ ✇❡ r❡s✐st t❤❡ t❡♠♣t❛t✐♦♥ t♦ ❡①♣❛♥❞ ✐♥t♦ ❤❡r❡✳✳✳✳ ❲❤❛t ❛❜♦✉t ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s❄ ❚❤❡② ❝❛♥ ❡❛s✐❧② ❜❡ ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② ✐♠♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✭t✱ u✱ ❛♥❞ s♦ ♦♥ ❛r❡ ♥♦✇ t❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s✖s♦ ✇❡ s❛② t❤❛t t❤❡s❡ ❛r❡ ✐♠♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥

❇♦✉♥❞✐♥❣ ❣❡♦♠❡tr② ♣❛r❛♠❡t❡r s♣❛❝❡ ✮✳

✷✾

❆s r❡❣❛r❞s ❝✉r✈❡s✱ t❤❡② ❤❛✈❡ ❛ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧

♣❛r❛♠❡t❡r s♣❛❝❡✱ s♦ t❤✐s ❜♦✉♥❞✐♥❣ ✐s♥✬t ✉s✉❛❧❧② t❤♦✉❣❤t ♦❢ ❛s ❣❡♦♠✲ ❡tr✐❝ ❛t ❛❧❧✳ ❲❡ ❥✉st s♣❡❝✐❢② ❛ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ❛♥❞ ❛♥ ❡♥❞✐♥❣ ♣❛r❛♠❡t❡r ❢♦r t❤❡ ❝✉r✈❡✖s❛②

t0

❛♥❞

t1 ✳

❇✉t ♦❢ ❝♦✉rs❡ ✇❡ ❛r❡ r❡❛❧❧② ✉s✐♥❣ t❤❡

✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ t✇♦ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✐♠♣❧✐❝✐t ❢✉♥❝t✐♦♥s✿

t ≥ t0 t ≤ t1 . ■♥ t✇♦ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ ✐t ❜❡❝♦♠❡s ❝❧❡❛r❡r ✇❤❛t✬s ❣♦✐♥❣ ♦♥✳ ❚②♣✐❝❛❧❧②✱ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ s✉r❢❛❝❡s ❛r❡ ❛rr❛♥❣❡❞ ❛s ♣❛t❝❤❡s ✱ ❛♥❞ t❤❡s❡ ❛r❡ ♣✐❡❝❡s ♦❢ s✉r❢❛❝❡ ❞❡❧✐♥❡❛t❡❞ ❜② ❛ r❡❝t❛♥❣❧❡ ✭❛♥❞ t❤❛t✬s ✉s✉❛❧❧② ❛ sq✉❛r❡✮ ✐♥ ♣❛r❛♠❡t❡r s♣❛❝❡✳ ❆❣❛✐♥✱ ✐♥ ♣r❛❝t✐❝❡ ✇❡ ❥✉st s♣❡❝✐❢② t❤❡ ❧✐♠✐t✐♥❣ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ t✇♦ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✭t②♣✐❝❛❧❧②

0

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1✮✱

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✸

♣❛t❝❤❡s ❛r❡ q✉✐t❡ ❝♦♠♠♦♥ ✳ ❚❤❡s❡ ❛r❡❛s ♦❢ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ s✉r❢❛❝❡ ❛r❡ t❤❡♥ ♠❛t❝❤❡❞✖❜② ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss❡s ✇❡ ✇✐❧❧ ❧♦♦❦ ❛t✖t♦ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ ♦t❤❡r ♣❛t❝❤❡s ✐♥ t❤r❡❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❵r❡❛❧✬ s♣❛❝❡✳ ❚❤✐s t❛❦❡s ✉s ❛ ❝❡rt❛✐♥ ❞✐st❛♥❝❡ ✐♥ ♠❛♥② ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❜✉t ❡✈❡♥t✉❛❧❧② ✇❡ ✇✐❧❧ ❤❛✈❡✱ s❛②✱ ❛♥♦t❤❡r s✉r❢❛❝❡ t❤❛t ✐♥t❡rs❡❝ts ❛ ♣❛t❝❤✱ ❛♥❞ ✇❡ ✇✐❧❧ ✇❛♥t t♦ r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ r❡s✉❧t ♦❢ t❤❛t ♦♣❡r❛t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ♣❛t❝❤ ❜② ❜♦✉♥❞✐♥❣ t❤❡ ♣✐❡❝❡s t❤❛t ❛r❡ ❝r❡❛t❡❞✳

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✈✐♦✉s ❜♦✉♥❞✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❡✐t❤❡r ✐♥ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♦r r❡❛❧ s♣❛❝❡✳

❲❡

❝❛♥ ❝❤♦♦s❡ t♦ ✇♦r❦ ✐♥ ❡✐t❤❡r s♣❛❝❡✱ ✇❤✐❝❤❡✈❡r ✐s ♠♦r❡ ❝♦♥✈❡♥✐❡♥t ✭✏❝♦♥✈❡♥✐❡♥t✑ ✐s ❛♥ ♦✈❡rst❛t❡♠❡♥t ✐♥ t❤✐s ❝♦♥t❡①t✱ ❛s ②♦✉ ✇✐❧❧ s❡❡ ✐♥ ❈❤❛♣t❡r ✶✵✮✳ P❛r❛♠❡tr✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜♦✉♥❞ t❤✐♥❣s✱ ❜✉t t❤✐s ✐s ❛ ♠✉❝❤ tr✐❝❦✐❡r ❜✉s✐♥❡ss❀ ♥♦✇✱ ❛♥ ✐♠♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥✱ ♦r ❛ s❡t✲t❤❡♦r❡t✐❝ ❝♦♠✲ ❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ✐♠♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❝✉ts s♣❛❝❡ ✐♥t♦ t✇♦ ♣❛rts✳ ■❢ ✇❡ ❝❛♥ ♠❛❦❡ ❛ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡ t❤❛t ❝✉ts s♣❛❝❡ ✐♥t♦ t✇♦ ♣❛rts ♦✉t ♦❢ ♦t❤❡r ✭✐✳❡✳ ♣❛r❛♠❡tr✐❝✮ ❡❧❡♠❡♥ts✱ t❤❡♥ t❤❛t ✐s ❛ ❞❡ ❢❛❝t♦ ❤❛❧❢✲s♣❛❝❡✳

❆

s✐♠♣❧❡ ❡①❛♠♣❧❡ ✐s ❛ ♣♦❧②❣♦♥ ♠❛❞❡ ✉♣ ♦❢ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ s❡❣♠❡♥ts✳ ❆s ❧♦♥❣ ❛s t❤❡ ♣♦❧②❣♦♥ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ✐t ❞❡✲ ✜♥❡s ❛♥ ✐♥s✐❞❡ ❛♥❞ ❛♥ ♦✉ts✐❞❡✳ ❚❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ❝❧❛ss✐❢②✐♥❣ ❛ ♣♦✐♥t✱

✸ ❚❤❡②

❛r❡ ♥❡❡❞❡❞ ❢♦r t❤❡ ❝♦r♥❡rs ♦❢ ♦❜ ❥❡❝ts ✇✐t❤ r♦✉♥❞❡❞ ❡❞❣❡s❀ t❤❡② ❛r❡

♥♦t✱ ✐♥ ❢❛❝t✱ ✉s✉❛❧❧② ❞♦♥❡ ❜② s❡tt✐♥❣ ✉♣ ❛ tr✐❛♥❣✉❧❛r ❜♦✉♥❞❛r② ✐♥ t❤❡ s♣❛❝❡ ♦❢ t❤❡ t✇♦ ♣❛r❛♠❡t❡rs✱ ❜✉t ❜② s❡tt✐♥❣ ✉♣ ❛ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ s②st❡♠

✐♥ t❤❡ tr✐❛♥❣❧❡ ✐ts❡❧❢ ✳

✸✵

●❡♦♠❡tr✐❝ ❜❛s✐❝s

✷✭✐✐✐✮✖❯s✐♥❣ ❛ ❵r❛②✲t❡st✬ t♦ ✜♥❞ ♦✉t ✇❤❡t❤❡r ❛ ♣♦✐♥t ✐s ✐♥s✐❞❡ ❛ ♣♦❧②❣♦♥✿ ✐❢ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥s ✐s ♦❞❞✱ ✐t ✐s✳ s✐♥❝❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ♥♦ ✐♠♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥✳ ❲❡✬✈❡ ❣♦t t♦ ❞♦ t❤❛t ✐♥ ❛ ♠♦st ♦❜❧✐q✉❡ ✇❛②✱ ❜② s❤♦♦t✐♥❣ ♦✉t ❛ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ ❢r♦♠ t❤❡ ♣♦✐♥t ♦❢ ✐♥t❡r❡st t♦ ✐♥✜♥✐t②✱ ❛♥❞ ❝♦✉♥t✐♥❣ ❤♦✇ ♠❛♥② t✐♠❡s ✐t ❝r♦ss❡s t❤❡ ♣♦❧②❣♦♥ ✭s❡❡ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✷✭✐✐✐✮✮❀ t❤❡ ❏♦r❞❛♥ ❝✉r✈❡ t❤❡♦r❡♠ t❡❧❧s ✉s t❤❛t ✇❤❡t❤❡r t❤❡ ✜♥❛❧ ❝♦✉♥t ✐s ♦❞❞ ♦r ❡✈❡♥ ❞❡t❡r♠✐♥❡s ✇❤❡t❤❡r ✇❡✬r❡ ✐♥s✐❞❡ t❤❡ ♣♦❧②❣♦♥ ♦r ♥♦t✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ❝❧❛ss✐❝ ❛r❡❛ ♦❢ ❛❝t✐✈✐t② ✭❡s♣❡❝✐❛❧❧② ✐♥ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✮✱ ❛♥❞ ✐❢ ✇❡ ✇❡♥t ❛♥② ❞❡❡♣❡r ✐♥t♦ t❤❡ ♠❛tt❡r ✇❡✬❞ ❜❡ t❛❧❦✐♥❣ ❛❜♦✉t ❛♥♦t❤❡r t②♣❡ ♦❢ s♦❧✐❞ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✱ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♠♦❞❡❧✳✳✳✳

3 Parametric curves and surfaces

❲❡ ❤❛✈❡ s❡❡♥ t❤❛t ✐♥ t✇♦ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s t❤❡ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ ❛♥❞ ❝✐r❝❧❡ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❜② ❡q✉❛t✐♦♥s ❢♦r x ❛♥❞ y ✱ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❛♥ ❛✉①✐❧✐❛r② ♣❛r❛♠❡t❡r t✳ ❆s t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t ❝❤❛♥❣❡s✱ ♥❡✇ ✈❛❧✉❡s ♦❢ x ❛♥❞ y ❛r❡ ❣❡♥❡r❛t❡❞✳ ■♥ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ ✇❡ ♥❡❡❞ ♦♥❧② ❛❞❞ ❛♥♦t❤❡r ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r z ✳ ❚❤✉s ❛ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ ✐♥ s♣❛❝❡ ✐s✿ x = x0 + f t y = y0 + gt z = z0 + ht.

❨♦✉ ♠❛② ✭♦r ♠❛② ♥♦t✮ ✜♥❞ ✐t ❤❡❧♣❢✉❧ t♦ t❤✐♥❦ ♦❢ t❤❡s❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛s ♠❛♣♣✐♥❣s ❢r♦♠ ❛ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s②st❡♠ ✇✐t❤ t❤❡ s✐♥❣❧❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ t ✐♥t♦ ♦✉r ✉s✉❛❧ t✇♦✲ ♦r t❤r❡❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s♣❛❝❡✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ ✶ ♣r♦✈✐❞❡s ❛ ✇❛② t♦ ❣❡t ❢r♦♠ ❛♥② ✈❛❧✉❡ ♦❢ t t♦ ❛ ✈❛❧✉❡ ♦❢ x✱ y ♦r z ✭❜✉t ♥♦t ❛ ✇❛② t♦ ❣❡t ❢r♦♠ ✈❛❧✉❡s ♦❢ x, y, z t♦ ❛ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t✱ ❛s ♦♥❧② ♣♦✐♥ts ♦♥ t❤❡ ❝✉r✈❡ ❤❛✈❡ ❛ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t✮✳ ■❢ ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ ❛ s❡❝♦♥❞ ♣❛r❛♠❡t❡r ✐♥t♦ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛❜♦✈❡✱ t❤❡♥ ✇❡ ❛r❡ ♠❛♣♣✐♥❣ ❢r♦♠ ❛ t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s♣❛❝❡ ✭✇❡✬❧❧ ✉s❡ t ❛♥❞ u ❢♦r ✐ts t✇♦ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✮ ✐♥t♦ r❡❛❧ s♣❛❝❡✳ ❇✉t ✐❢ ✇❡ ❞r♦♣ ❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♠❛♣ ❢r♦♠ t❤❡ t, u s♣❛❝❡ ✐♥t♦ ❛♥♦t❤❡r t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s♣❛❝❡✱ t❤❡♥ ✇❤❛t ✇❡ ❤❛✈❡ ✐s ❛ t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ tr❛♥s❢♦r♠✿ ♦r✱ ✇✐t❤ t❤r❡❡ ❡q✉❛✲ t✐♦♥s ❛♥❞ t❤r❡❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs✱ ❛ t❤r❡❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ tr❛♥s❢♦r♠✳ ❨♦✉ ❝❛♥ t❤✐♥❦ ♦❢ ❈❤❛♣t❡r ✾ ✇❤❡♥ ②♦✉ ❣❡t t❤❡r❡ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❡q✉❛✲ t✐♦♥s ✐❢ ✐t ♠❛❦❡s ②♦✉ ❤❛♣♣✐❡r✳ ■t ♠❛❦❡s ♠♦st ♣❡♦♣❧❡ q✉✐t❡ ❛ ❧♦t ❧❡ss ❤❛♣♣②✱ s♦ ✇❡ ✇♦♥✬t ♣✉rs✉❡ t❤❛t ❛✈❡♥✉❡✳ ✶ ❖r

❝✉r✈❡✱ ✐❢ ✇❡ ❤❛✈❡

t2 , t 3

❛♥❞ s♦ ♦♥ ✐♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥✳

✸✷

P❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s

▲❡t✬s ❜❛❝❦ ✉♣ ❛ ❜✐t ❤❡r❡❀ ✐❢ ✇❡ ♠❛♣ ❢r♦♠ t, u s♣❛❝❡ ✐♥t♦ ❛ t❤r❡❡✲ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s②st❡♠ ✭✐✳❡✳ x, y, z ❛s ✉s✉❛❧✮✱ ✇❡ ❝r❡❛t❡ ❛ s✉r❢❛❝❡✳ ❚❤❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣❧❛♥❡ x = x0 + f1 t + f2 u y = y0 + g1 t + g2 u z = z0 + h1 t + h2 u

❤❛s ❛❧r❡❛❞② ❛♣♣❡❛r❡❞✳ ■t✬s ♣r❡tt② t❡♠♣t✐♥❣ t♦ tr② ♠♦r❡ ❛❞✈❡♥t✉r♦✉s ❡①♣r❡ss✐♦♥s ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t ♦r t ❛♥❞ u ✐♥ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ■t ✐s ❡s♣❡❝✐❛❧❧② ❛ttr❛❝t✐✈❡ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ✇❤♦❧❡ ❡ss❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❢♦r♠ ✐s t❤❛t ✐t ♠❛❦❡s ✐t ❡❛s② t♦ ❣❡♥❡r❛t❡ ♣♦✐♥ts ♦♥ t❤❡ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡✱ ❛♥❞ t♦ ❜♦✉♥❞ t❤❡♠ t♦ ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r r❛♥❣❡ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡r ✈❛❧✉❡s✳ ■❢ ✇❡ ❝❛♥ ❡✈❛❧✉❛t❡ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ✇❡ ❤❛✈❡ ❝r❡❛t❡❞✱ t❤❡♥ ✇❡ ❝❛♥ ❣❡t ♣♦✐♥ts❀ ❛♥❞ ✇❡ ❝❛♥ ❣❡t t❤❡♠ ✇✐t❤✐♥ ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r r❛♥❣❡ ✭✐♥t❡r✈❛❧✮ ♦❢ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t✱ ♦r ✇✐t❤✐♥ ❛ r❡❝t❛♥❣❧❡ ✐♥ t❤❡ t, u ♣❧❛♥❡✳ ❖❢ ❝♦✉rs❡ t❤❛t ❞♦❡s♥✬t ♠❡❛♥ t❤❛t ♦t❤❡r ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❛r❡ s♦ ❡❛s② ✭♠♦r❡ ♦❢ t❤❛t ❧❛t❡r✮✳ ❆r❣✉❛❜❧② t❤❡ s✐♠♣❧❡st ✇❛② t♦ ❡①t❡♥❞ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐s t♦ ♠❛❦❡ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r✭s✮ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✿ x = a0 + a1 t + a2 t2 + · · · y = ···

✳✳ = ✳✳ ♦r✱ ✇✐t❤ t✇♦ ♣❛r❛♠❡t❡rs✱

x = a0 + a1 t + a2 u + a3 tu + a4 t2 + a5 u2 + a6 t2 u + a7 tu2 + a8 t3 + · · · y = ···

✳✳ = ✳✳ ❆❧t❡r♥❛t✐✈❡❧② ✇❡ ♠✐❣❤t ❝♦♥s✐❞❡r r❛t✐♦♥❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s❀ ❣♦✐♥❣ ❜❛❝❦ t♦ ♦♥❡ ♣❛r❛♠❡t❡r✖t♦ ❦❡❡♣ t❤✐♥❣s ❛ ❧✐tt❧❡ ❜✐t s✐♠♣❧❡r✖✇❡ ❤❛✈❡✿ a0 + a1 t + a2 t2 + · · · b0 + b1 t + b2 t2 + · · · ··· y = ···

x =

✳✳

=

✳✳

■♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥

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❲❤❡♥ ✇❡ ❧♦♦❦❡❞ ❛t t❤❡ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ ❛♥❞ t❤❡ ♣❧❛♥❡✱ ✇❡ ✉s❡❞ ♥♦t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s s♦rt✿ x = x0 +f t❀ ♥♦✇ ✇❡ ❤❛✈❡ ❝❤❛♥❣❡❞ t♦ x = a1 +a2t+a3t2 + · · ·✳ ❨♦✉ ♠❛② t❤✐♥❦ t❤❛t ✇❡✬✈❡ ❥✉st r✉♥ ♦✉t ♦❢ ❧❡tt❡rs✱ ❛♥❞ t❤❛t✬s tr✉❡✱ ❜✉t t❤❡ ♠❛✐♥ ♣♦✐♥t ✐s t❤❛t✱ ✐♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ ❛♥❞ ♣❧❛♥❡✱ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❤❛❞ ❛ ♠❡❛♥✐♥❣✳ ❚❛❦❡ t❤❡ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ ✐♥ s♣❛❝❡✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡❀ (x0, y0, z0) ✐s t❤❡ ♣♦✐♥t ✇❤❡r❡ t = 0 ❛♥❞ (f, g, h) ✐s ❛ ✈❡❝t♦r ✐♥ t❤❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❧✐♥❡✳ ❲❤❡♥ ✇❡ st❛rt ❛❞❞✐♥❣ t❡r♠s ✐♥ ❤✐❣❤❡r ♣♦✇❡rs ♦❢ t✱ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❤❛✈❡ ♥♦ ✐♥t✉✐t✐✈❡ ♠❡❛♥✐♥❣ ✳ ❲❡ ♠✉st t❤❡r❡❢♦r❡ ❝♦♥tr♦❧ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s ✐♥ ❛ ❧❡ss ❞✐r❡❝t ✇❛②✳ ❚❤❡ ♠♦st ❝♦♠♠♦♥ ♠❡t❤♦❞ ✐s t♦ ♠❛❦❡ t❤❡ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡ ♦❜❡② ❝❡rt❛✐♥ ❝♦♥str❛✐♥ts✱ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦st ❝♦♠✲ ♠♦♥ ❝♦♥str❛✐♥ts ❛r❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ❛♥❞ t❛♥❣❡♥t ❞✐r❡❝t✐♦♥✱ ❛❧t❤♦✉❣❤ ♦t❤❡r ❝♦♥str❛✐♥ts✱ s✉❝❤ ❛s ❤✐❣❤❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ❛♥❞ ❝✉r✈❛t✉r❡✱ ❛r❡ ❛❧s♦ ✉s❡❞✳ ❈♦♥str✉❝t✐♥❣ ❛ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❡❧❡♠❡♥t t♦ ♦❜❡② ❝♦♥str❛✐♥ts ♦❢ t❤✐s s♦rt ✐s ❝❛❧❧❡❞ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥ ✳ ■♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ t❤❡ ♠♦r❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts t❤❡r❡ ❛r❡ ✐♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡✱ t❤❡ ♠♦r❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ✐t ✐s ❛❜❧❡ t♦ ♠❡❡t✳ ❚❤❛t

✸✹ P❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s ♠❡❛♥s t✇♦ t❤✐♥❣s✿ ❲❡ ♥❡❡❞ ❡♥♦✉❣❤ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❢♦r t❤❡ ❥♦❜ ✐♥ ❤❛♥❞ ✭✉♥❧❡ss ✇❡✬r❡ ❣♦✐♥❣ t♦ ✉s❡ ♠♦r❡ t❤❛♥ ♦♥❡ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡✖s❡❡ ❧❛t❡r✮✳ ❲❡ ❞♦♥✬t ✇❛♥t t♦♦ ♠❛♥② ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✱ ❛s t❤❡ ❡①tr❛ ❞❡❣r❡❡s ♦❢ ❢r❡❡❞♦♠ t❤❛t t❤❡s❡ ♣r♦✈✐❞❡ ❢♦r ✉s ✭♦r ❡♥❝✉♠❜❡r ✉s ✇✐t❤✮ ❤❛✈❡ t♦ ❜❡ ♠♦♣♣❡❞ ✉♣ s♦♠❡ ♦t❤❡r ✇❛②✳ ❙♦✱ ❧❡t✬s ❧♦♦❦ ❛t t❤❡ s♦rt ♦❢ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥s ✇❡ ❝❛♥ ❞♦ ✇✐t❤ ♣♦✐♥ts✱ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡s ❛♥❞ ❝✐r❝❧❡s✳ ❆ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ ✐s ❛❜❧❡ t♦ ❢✉❧✜❧ t✇♦ ❝♦♥✲ str❛✐♥ts✿ ✐t ❝❛♥ ❣♦ t❤r♦✉❣❤ t✇♦ ♣♦✐♥ts✱ ♦r ❣♦ t❤r♦✉❣❤ ❛ ♣♦✐♥t ❛♥❞ ❜❡ t❛♥❣❡♥t t♦ ❛ ❝✐r❝❧❡✳ ❆ ❝✐r❝❧❡ ❤❛s t❤r❡❡ ❞❡❣r❡❡s ♦❢ ❢r❡❡❞♦♠✱ s♦ ✐t ❝❛♥ ❣♦ t❤r♦✉❣❤ t❤r❡❡ ♣♦✐♥ts✱ ❣♦ t❤r♦✉❣❤ t✇♦ ❛♥❞ ❜❡ t❛♥❣❡♥t t♦ ❛ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡✱ ❜❡ t❛♥❣❡♥t t♦ t✇♦ ❝✐r❝❧❡s ❛♥❞ ❛ ❧✐♥❡✱ ❛♥❞ ❧♦❛❞s ♠♦r❡❀ ♦r ✇❡ ❝❛♥ ✜① ✐ts r❛❞✐✉s✱ ❛♥❞ ✐t ❤❛s t✇♦ ❞❡❣r❡❡s ♦❢ ❢r❡❡❞♦♠ ❧✐❦❡ ❛ ❧✐♥❡✳ ❆❧t❤♦✉❣❤ t❤❡ ❣❡♦♠❡tr② ✐♥ ♣♦✐♥t✱ str❛✐❣❤t✲❧✐♥❡ ❛♥❞ ❝✐r❝❧❡ ❝♦♥✲ str✉❝t✐♦♥s ✐s s✐♠♣❧❡✱ t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥s ❛r❡ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡r❡ ❛r❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣♦s✐t✐♦♥ ❛♥❞ t❛♥❣❡♥t ❝♦♥str❛✐♥ts ✐♥ ♠❛♥② ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥s✳ ❲✐t❤ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✱ ✇❡ ❛r❡ ♥♦r♠❛❧❧② r❡✲ str✐❝t❡❞ t♦ s♣❡❝✐❢②✐♥❣ ♣♦s✐t✐♦♥ ❛♥❞ t❛♥❣❡♥t ✈❛❧✉❡s ❛t ♣❛rt✐❝✉❧❛r ✈❛❧✲ ✉❡s ♦❢ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r✳ Lagrange interpolation

▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥ ♠❛❦❡s t❤❡ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡ ♣❛ss t❤r♦✉❣❤ ❛ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣♦✐♥ts✳ ■t ❝❛♥ ♣❛ss t❤r♦✉❣❤ ❛ ♣♦✐♥t ❢♦r ❡✈❡r② ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✐♥ ❡❛❝❤ ❡q✉❛t✐♦♥✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ❛ q✉❛❞r❛t✐❝ ✇✐❧❧ ❣♦ t❤r♦✉❣❤ t❤r❡❡✳ ❲❡ ❞❡❝✐❞❡ ✇❤❛t t❤❡ ❛❝t✉❛❧ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✇✐❧❧ ❜❡ ❜② s♦❧✈✐♥❣ ❛ s❡t ♦❢ s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✳ ❚❤❡s❡ ❛r❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② s✉❜st✐t✉t✐♥❣ t❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ♦❢ ❡❛❝❤ ♣♦✐♥t✖ (x, y, . . .)✖❛♥❞ t❤❡ ✈❛❧✉❡ t❤❛t ✇❡ ✇❛♥t t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r✭s✮ t♦ ❤❛✈❡ ❛t t❤❛t ♣♦✐♥t✖ t, . . .✖ ✐♥t♦ t❤❡ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ Hermite interpolation

■♥ ❍❡r♠✐t❡ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥✱ ✇❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t❡ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡✱ ❛♥❞ s♦❧✈❡ s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s ❡q✉❛t✐♦♥s ❢♦r ❜♦t❤ ♣♦s✐t✐♦♥ ❛♥❞ t❛♥❣❡♥t ✈❛❧✉❡ ❛t ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ ♣♦✐♥ts ❜❡✐♥❣ ✐♥t❡r♣♦❧❛t❡❞✳ ❚❤✉s t✇✐❝❡ ❛s ♠❛♥② ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❛r❡ r❡q✉✐r❡❞ ❛s ✐♥ t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣❡ ❝❛s❡✳ ❆ ♣❛r✲ t✐❝✉❧❛r❧② ✐♠♣♦rt❛♥t ❝❛s❡ ✐s ❝♦♥str✉❝t✐♥❣ ❛ ❝✉r✈❡ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❡♥❞

■♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥

✸✺

✸✭✐✮✖▲❛❣r❛♥❣❡ ❛♥❞ ❍❡r♠✐t❡ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥ ✉s❡❞ t♦ ❝♦♥✲ str✉❝t ❛ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉❜✐❝ ❝✉r✈❡ s❡❣♠❡♥t✳ ♣♦✐♥ts✱ ✇✐t❤ ❦♥♦✇♥ t❛♥❣❡♥t ✈❛❧✉❡s ❛t ❡❛❝❤✳ ❚❤❛t r❡q✉✐r❡s ❛ ❝✉r✈❡ ✇✐t❤ ❢♦✉r ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✐♥ ❡❛❝❤ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❝✉❜✐❝s ❀ t❤❡r❡ ✐s ❛❧s♦ ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ♣❛t❝❤ ✇❤✐❝❤ r✉♥s ❜❡t✇❡❡♥ ❢♦✉r ❝♦r♥❡r ♣♦✐♥ts✱ ❛♥❞ ❤❛s ✶✻ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✳ ❈✉❜✐❝s ❛r❡ ❢r❡q✉❡♥t s✐❣❤t✐♥❣s ✐♥ ❝♦♠♣✉t✐♥❣ ✇✐t❤ ❣❡♦♠❡tr②✿ s❡❡ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✸✭✐✮✳ The problem of parameterization

■♥t❡r♣♦❧❛t✐♥❣ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡s✱ ❞❡❝✐❞✐♥❣ ✇❤❛t t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ✈❛❧✲ ✉❡s ❛t ❡❛❝❤ ♣♦✐♥t ✇✐❧❧ ❜❡✖t❤❡ ✐ss✉❡ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❛t✐♦♥✖✐s ❝r✉❝✐❛❧✳ ✭❚❤❛t ✐s ❛ ♣r♦❜❧❡♠ t❤❛t ❞♦❡s ♥♦t ♦❝❝✉r ✇✐t❤ ❡①♣❧✐❝✐t✱ s✐♥❣❧❡✲✈❛❧✉❡❞✱ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s✿ ❛♥❞ s♦ ✇❡ ❝❛♥ s❡❡ ✇❤② t❤❡s❡ ❛r❡ ♣r❡❢❡rr❡❞ ❢♦r ❞r❛✇✐♥❣ ❣r❛♣❤s ❛♥❞ s♦ ♦♥✳ ❆♥❞ t❡❝❤♥✐q✉❡s ❢r♦♠ ❵❣r❛♣❤✐♥❣✬ ❛♣♣❧✐❝❛✲ t✐♦♥s ✉s✉❛❧❧② ❡①♣❧♦✐t t❤✐s ❧✐♠✐t❛t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ✇❤② ✇❡ s❤♦✉❧❞ ❜❡ ✇❛r② ♦❢ tr②✐♥❣ t♦ tr❛♥s♣❧❛♥t t❤❡♠ t♦ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ♣r♦❜❧❡♠s✳✮ ❙♦✱ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✇✐t❤ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♥❣ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡s ✐s t❤❛t✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥s ❛♥❞ t❛♥❣❡♥t ❞✐r❡❝t✐♦♥s ♠❛② ❜❡ ♣r♦✈✐❞❡❞✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ ❡st✐♠❛t❡ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ✈❛❧✉❡s t❤❛t t❤❡ ❝✉r✈❡ ❵s❤♦✉❧❞✬ ❤❛✈❡ ✇❤❡♥ ✐t ♣❛ss❡s ❡❛❝❤ ♣♦✐♥t✱ ❛♥❞ t❤❡ ♠❛❣♥✐t✉❞❡ ❛s ✇❡❧❧ ❛s ❞✐r❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❞❡r✐✈❛✲ t✐✈❡s✳ ■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ▲❛❣r❛♥❣❡ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥✱ t❤❡ s✐♠♣❧❡st ❝❤♦✐❝❡ ✐s t♦ s♣❛❝❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ✈❛❧✉❡s ❡q✉❛❧❧② ❜❡t✇❡❡♥ ♣♦✐♥t ❞❛t❛✳ ❚❤✐s ✇♦r❦s ✐❢ t❤❡ ♣♦✐♥ts ❛r❡ t❤❡♠s❡❧✈❡s q✉✐t❡ ❡✈❡♥❧② s♣❛❝❡❞❀ ♦t❤❡r✇✐s❡ s♦♠❡✲ t❤✐♥❣ ❜❡tt❡r ✐s ♥❡❡❞❡❞✳ ❙✐♥❝❡ ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❛t✐♦♥ ✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ ❝✉r✈❡

✸✻ P❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s ❧❡♥❣t❤✱ ✇❡ ✇♦✉❧❞ ❧✐❦❡ t♦ ❦♥♦✇ ✇❤❛t t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❝✉r✈❡ ✇✐❧❧ ❜❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❡❛❝❤ ❞❛t❛ ♣♦✐♥t❀ ❜✉t t❤❛t ✐s ♣✉tt✐♥❣ t❤❡ ❝❛rt ❜❡❢♦r❡ t❤❡ ❤♦rs❡✱ ❜❡❝❛✉s❡ ✇❡ ❤❛✈❡♥✬t ❣♦t t❤❡ ❝✉r✈❡ ②❡t✳ ❖♥❡ ❝♦✉❧❞ ✐♠♣❧❡♠❡♥t ❛ t❡❝❤♥✐q✉❡ ♦❢ s✉❝❝❡ss✐✈❡ r❡✜♥❡♠❡♥t✖s❡t ✉♣ ♦♥❡ ❝✉r✈❡✱ ❣❡t t❤❡ ❝✉r✈❡ ❧❡♥❣t❤s ❢r♦♠ ✐t✱ ❛♥❞ t❤✉s ♦❜t❛✐♥ ♥❡✇ ♣❛r❛♠❡t❡r ✈❛❧✉❡s ❛t t❤❡ ❞❛t❛ ♣♦✐♥ts✱ ❛♥❞ r❡♣❡❛t t❤❡ ❡①❡r❝✐s❡✖❜✉t t❤✐s r✐❣♠❛r♦❧❡ ✐s ♥♦t ✉s✉❛❧❧② ❛t✲ t❡♠♣t❡❞❀ ✐t ✇♦✉❧❞ ♣r♦❜❛❜❧② ❜❡ ❞✐✣❝✉❧t ❡✈❡♥ t♦ ♣r♦✈❡ t❤❛t ✐t ✇♦✉❧❞ ❝♦♥✈❡r❣❡✳ ❚❤❡ ✉s✉❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ✐s ❝❤♦r❞✲❧❡♥❣t❤ ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❛t✐♦♥✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ✈❛❧✉❡s ❛t t❤❡ ♣♦✐♥ts ❛r❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❧❡♥❣t❤s ♦❢ t❤❡ str❛✐❣❤t✲❧✐♥❡ s❡❣♠❡♥ts ❝♦♥♥❡❝t✐♥❣ t❤❡♠✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ❣♦♦❞ ✇♦r❦❤♦rs❡✱ ❣✐✈✐♥❣ tr♦✉❜❧❡ ♦♥❧② ✇❤❡♥ t❤❡r❡ ❛r❡ ❛❜r✉♣t ❵❝♦r♥❡rs✬ ✐♠♣❧✐❡❞ ❜② t❤❡ ❞❛t❛✱ ❛♥❞ ❝❤❛♥❣❡s ♦❢ s♣❛❝✐♥❣✳ ❋✉rt❤❡r r❡✜♥❡♠❡♥ts ✐♥✈♦❧✈❡ t❛❦✐♥❣ t❤❡ ❛♥❣❧❡ ❜❡t✇❡❡♥ s✉❝❝❡ss✐✈❡ s♣❛♥s ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t ✭s❡❡ ❋❛r✐♥✬s ❜♦♦❦ ❈✉r✈❡s ❛♥❞ ❙✉r❢❛❝❡s ❢♦r ❈♦♠♣✉t❡r ❆✐❞❡❞ ●❡♦♠❡tr✐❝ ❉❡s✐❣♥ ❢♦r ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧✮✳ ❲✐t❤ ❍❡r♠✐t❡ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥✱ s✐♠✐❧❛r ♣r♦❜❧❡♠s ♦❝❝✉r❀ ❛♥❞ dx ✐t ♠✉st ❜❡ r❡♠❡♠❜❡r❡❞ t❤❛t ♠❛❣♥✐t✉❞❡s ♦❢ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ dt ❡t❝✳✱ ❛r❡ r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ❛❝t✉❛❧ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ❝✉r✈❡ ✐♥ t❤❡ ✉♥✐ts ♦❢ ❧❡♥❣t❤ ❜❡✐♥❣ ✉s❡❞✳ ❚❤✉s✱ ✐❢ ✇❡ s❝❛❧❡ ❛ ❝✉r✈❡ ❜② s❝❛❧✐♥❣ t❤❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ ✐ts ❍❡r♠✐t❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✱ ✇❡ ♠✉st s❝❛❧❡ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ❡①♣❧✐❝✐t❧②✳ ❚❤❛t✬s ❡❛s② ❡♥♦✉❣❤ ❢♦r ❛ s✐♠♣❧❡ s❝❛❧✐♥❣✱ ❜✉t ✇❤❛t ❛❜♦✉t ❛ s❤❡❛r tr❛♥s❢♦r♠❄ ❆❧❧ t❤❡s❡ r❡♠❛r❦s ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❛❞❞r❡ss❡❞ t♦ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ✐♥t❡r✲ ♣♦❧❛t✐♦♥✱ ❜✉t ❛❧s♦ ❛♣♣❧② t♦ ❝✉r✈❡ ✜tt✐♥❣✳ ❆❣❛✐♥✱ t❤✐s ✐s ❛ ♣r♦❝❡ss t❤❛t ✇♦r❦s ✇❡❧❧ ✇✐t❤ ❡①♣❧✐❝✐t ❣❡♦♠❡tr②✱ ❛♥❞ ❢❛✐r❧② ✇❡❧❧ ✇✐t❤ ✐♠♣❧✐❝✲ ✐ts ✭❡①❝❡♣t t❤❛t ♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❝❛✉s❡s ❛ ♣r♦❜❧❡♠✮✳ ❲✐t❤ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❣❡♦♠❡tr②✱ ✇❡ ❛❣❛✐♥ ❤❛✈❡ t♦ ❞❡❝✐❞❡ ✐♥ ❛❞✈❛♥❝❡ ✇❤❛t ♣❛r❛♠❡t❡r ✈❛❧✉❡ ❡❛❝❤ ♣♦✐♥t ✇✐❧❧ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦✳ ❇✉t ✐❢ t❤❡ ♣♦✐♥ts ❛r❡ ❛t ❛❧❧ ❞❡♥s❡✱ t❤✐s ✐s ❞✐✣❝✉❧t✿ ❝❤♦r❞✲❧❡♥❣t❤ ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❛t✐♦♥ ✐s ❝❡rt❛✐♥❧② ✉s❡❧❡ss✳ ❲❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ❈ ❝♦❞❡ ❢♦r ▲❛❣r❛♥❣❡ ❛♥❞ ❍❡r♠✐t❡ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ ✜rst ♣r♦❝❡❞✉r❡ ✇♦r❦s ♦✉t t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐♥t❡r✲ ♣♦❧❛t✐♥❣ ❝✉❜✐❝ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ t❤r♦✉❣❤ ❢♦✉r ♣♦✐♥ts ✐♥ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✳ ❚❤❡ ♣♦✐♥ts ✇✐❧❧ ❜❡ s✉♣♣❧✐❡❞ ✐♥ ♣①✱ ♣②✱ ❛♥❞ ♣③✳ ❚❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ♦♥ t❤❡ ❝✉r✈❡ ❛t t❤❡ ✜rst ♣♦✐♥t ✇✐❧❧ ❜❡ 0✱ ❛♥❞ t❤❡ ♣❛r❛♠✲ ❡t❡r ❛t t❤❡ ❧❛st ♣♦✐♥t 1❀ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✇✐❧❧ ❜❡ r❡t✉r♥❡❞ ✐♥ ♣♦❧②①✱ ♣♦❧②②✱ ❛♥❞ ♣♦❧②③❀ ♣♦❧②①❬✸❪ ✐s t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ♦❢

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✐❢ ✭✐ ❂❂ ✶✮ ✯t✶ ❂ ❞❢❧❀ ✐❢ ✭✐ ❂❂ ✷✮ ✯t✷ ❂ ❞❢❧❀

✐❢ ✭❞❢❧ ❁ ❆❈❈❨✮ ④ ❢♣r✐♥t❢✭st❞❡rr✱ ✧▲❛❣r❛♥❣❡✿ ❝✉r✈❡ t♦♦ s❤♦rt✿ ✪❢❭♥✧✱❞❢❧✮❀ r❡t✉r♥✭✶✮❀ ⑥ ✯t✶ ❂ ✯t✶✴❞❢❧❀ ✯t✷ ❂ ✯t✷✴❞❢❧❀ ✴✯ ✯✴

❈❛❧❧ t❤❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❝♦❡❢❢✐❝✐❡♥ts ✐♥ ❡❛❝❤ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡✳ ✐❢✭❧❛❣r❛♥❣❡❴❝♦❡❢❢s✭♣①✱♣♦❧②①✱t✶✱t✷✮✮ r❡t✉r♥✭✷✮❀ ✐❢✭❧❛❣r❛♥❣❡❴❝♦❡❢❢s✭♣②✱♣♦❧②②✱t✶✱t✷✮✮ r❡t✉r♥✭✸✮❀ ✐❢✭❧❛❣r❛♥❣❡❴❝♦❡❢❢s✭♣③✱♣♦❧②③✱t✶✱t✷✮✮ r❡t✉r♥✭✹✮❀ r❡t✉r♥✭✵✮❀

⑥ ✴✯ ❧❛❣r❛♥❣❡ ✯✴ ✴✯

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Pr♦❝❡❞✉r❡ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❝♦❡❢❢✐❝✐❡♥ts ✐♥ ♦♥❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❝✉❜✐❝ t❤r♦✉❣❤ ❢♦✉r ♣♦✐♥ts✳ ❚❤❡ ❝♦❞❡ r❡❢❧❡❝ts t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛✳

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✹✵

P❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s

❞✐♠❡♥s✐♦♥s t❤r♦✉❣❤ t✇♦ ♣♦✐♥ts ✇✐t❤ t✇♦ ❣r❛❞✐❡♥t ✈❡❝t♦rs ❛t t❤❡ ❡♥❞s✳ ❚❤❡ ♣♦✐♥ts ❛r❡ ♣✵ ❛♥❞ ♣✶✱ ❛♥❞ t❤❡ ❣r❛❞✐❡♥ts ❛r❡ ❣✵ ❛♥❞ ❣✶✳ ❚❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♥❣ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❛r❡ r❡t✉r♥❡❞ ✐♥ ♣♦❧②①✱ ♣♦❧②②✱ ❛♥❞ ♣♦❧②③✳ ❚❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡ ✐s ♠✉❝❤ s✐♠♣❧❡r t❤❛♥ t❤❛t ❢♦r ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥✳ ✈♦✐❞ ❤❡r♠✐t❡✭♣✵✱♣✶✱❣✵✱❣✶✱♣♦❧②①✱♣♦❧②②✱♣♦❧②③✮ ❢❧♦❛t ♣✵❬✸❪✱♣✶❬✸❪✱❣✵❬✸❪✱❣✶❬✸❪❀ ❢❧♦❛t ♣♦❧②①❬✹❪✱♣♦❧②②❬✹❪✱♣♦❧②③❬✹❪❀ ④ ✈♦✐❞ ❤❡r♠✐t❡❴❝♦❡❢❢s✭✮❀ ❤❡r♠✐t❡❴❝♦❡❢❢s✭♣✵❬✵❪✱♣✶❬✵❪✱❣✵❬✵❪✱❣✶❬✵❪✱♣♦❧②①✮❀ ❤❡r♠✐t❡❴❝♦❡❢❢s✭♣✵❬✶❪✱♣✶❬✶❪✱❣✵❬✶❪✱❣✶❬✶❪✱♣♦❧②②✮❀ ❤❡r♠✐t❡❴❝♦❡❢❢s✭♣✵❬✷❪✱♣✶❬✷❪✱❣✵❬✷❪✱❣✶❬✷❪✱♣♦❧②③✮❀ ⑥ ✴✯ ❤❡r♠✐t❡ ✯✴ ✈♦✐❞ ❤❡r♠✐t❡❴❝♦❡❢❢s✭♣✵✱♣✶✱❣✵✱❣✶✱♣♦❧②✮ ❢❧♦❛t ♣✵✱♣✶✱❣✵✱❣✶❀ ❢❧♦❛t ♣♦❧②❬✹❪❀ ④ ❢❧♦❛t ❞✱❣❀ ❞ ❂ ♣✶ ✲ ♣✵ ✲ ❣✵❀ ❣ ❂ ❣✶ ✲ ❣✵❀ ♣♦❧②❬✵❪ ♣♦❧②❬✶❪ ♣♦❧②❬✷❪ ♣♦❧②❬✸❪

❂ ❂ ❂ ❂

♣✵❀ ❣✵❀ ✸✳✵✯❞ ✲ ❣❀ ✲✷✳✵✯❞ ✰ ❣❀

⑥ ✴✯ ❤❡r♠✐t❡❴❝♦❡❢❢s ✯✴

Surface patches

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❙✉r❢❛❝❡ ♣❛t❝❤❡s

✸✭✐✐✮✖❆ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♣❛t❝❤ Q = F(t, u) ❞❡✜♥❡❞ ♦✈❡r t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ 0 ≤ t ≤ 1, 0 ≤ u ≤ 1✳ ❙✉r❢❛❝❡ ♣❛t❝❤❡s ❛r❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ s✉r❢❛❝❡s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ x = f1 (t, u) y = f2 (t, u) z = f3 (t, u)

✭✇❤✐❝❤ ✇❡ ❝❛♥ ❛❧s♦ ✇r✐t❡ ✇✐t❤ ✈❡❝t♦r ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✱ ❛s Q = F(t, u) ❛ ♣❛♣❡r✲s❛✈✐♥❣ ♠❡❛s✉r❡ t❤❛t ✇✐❧❧ ❜❡ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣❧② ✉s❡❞ ✐♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✮✳ ❆ ♣❛t❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ♦✈❡r ❛♥② ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♣♦rt✐♦♥ ♦❢ t❤❡ (t, u) ♣❛r❛♠❡t❡r s♣❛❝❡ ✱ ❜✉t ✐s ❡❛s✐❡st t♦ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ ♦✈❡r t❤❡ t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✐♥t❡r✈❛❧✿ 0≤ t ≤1 0 ≤ u ≤ 1.

❚❤❡ ♣r✐♠❛r② ❝♦♥str❛✐♥t ♦♥ t❤❡s❡ sq✉❛r❡ ❛r❡❛s ♦❢ s✉r❢❛❝❡ ✐s t❤❛t t❤❡✐r ❜♦✉♥❞❛r② s❤♦✉❧❞ ♠❛t❝❤ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r✐❡s ♦❢ ❛❞❥❛❝❡♥t ♣❛t❝❤❡s✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ ♠❡t ✐♥ t✇♦ ✇❛②s✿ ❉❡✜♥❡ t❤❡ ♣❛t❝❤ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ✐ts ❜♦✉♥❞❛r✐❡s❀ t❤✐s ✐s t❤❡ ❛♣♣r♦❛❝❤ t❛❦❡♥ ✐♥ t❤❡ ❈♦♦♥s ♣❛t❝❤ ✭s❡❡ ❈♦♦♥s✬ ✶✾✻✼ ♣❛♣❡r✮✱ ✇❤❡r❡ t❤❡

✹✷

P❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s

✐♥t❡r✐♦r ♦❢ t❤❡ ♣❛t❝❤ ✐s t❤❡ r❡s✉❧t ♦❢ ❛ ❜❧❡♥❞✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ♣❡r✲ ❢♦r♠❡❞ ♦♥ ✐ts ❢♦✉r ❜♦✉♥❞❛r② ❝✉r✈❡s✳ ❊①♣❧✐❝✐t❧② ❝❤♦♦s❡ ❛ ♣❛t❝❤ ❡q✉❛t✐♦♥ t❤❛t ❣✐✈❡s ❦♥♦✇♥ t②♣❡s ♦❢ ❝✉r✈❡s ❛t t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✳ ❚❤❡ ❈❛rt❡s✐❛♥ ♣r♦❞✉❝t ♣❛t❝❤ ❤❛s ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ t❡r♠s ❛r❡ ♣r♦❞✉❝ts ♦❢ ♣♦✇❡rs ♦❢ t ❢r♦♠ 0 t♦ 3 ✭✐✳❡✳ 1, t, t , t ✮ ❛♥❞ t❤❡ s❛♠❡ ♣♦✇❡rs ♦❢ u ✭✐✳❡✳ 1, u, u , u ✮✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ✶✻ s✉❝❤ t❡r♠s ✐♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❡❛❝❤ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡✿ 2

2

x = + + +

3

3

a0 t3 u3 + a1 t3 u2 + a2 t3 u + a3 t3 a4 t2 u3 + a5 t2 u2 + a6 t2 u + a7 t2 a8 tu3 + a9 tu2 + a10 tu + a11 t a12 u3 + a13 u2 + a14 u + a15 .

❖❢ ❝♦✉rs❡ t❤❡r❡ ❛r❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥ y ❛♥❞ z✱ ♠❛❦✐♥❣ ✹✽ t❡r♠s ✐♥ ❛❧❧✳ ■t✬s ❡❛s② t♦ s❡❡ ✇❤❛t ❝✉r✈❡s ✇❡ ✇✐❧❧ ❣❡t ❛t t❤❡ ❡❞❣❡s ♦❢ t❤❡ ♣❛t❝❤✳ ❆t t❤❡ ❡❞❣❡ u = 0✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡s t♦✿ x = a3 t3 + a7 t2 + a11 t + a15 .

■♥ ❢❛❝t✱ ❢♦r ❛♥② ✜①❡❞ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t ♦r u✱ ✇❡ ❣❡t ♦✉t ❛ ❝✉❜✐❝ ✐s♦✲♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡ ✐♥ t❤❡ ♦t❤❡r ♣❛r❛♠❡t❡r✳ ❆s ✇❡❧❧ ❛s ❦♥♦✇✐♥❣ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝✉r✈❡s✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ♠❛t❝❤ t❛♥❣❡♥ts✖❛♥❞ ♠❛②❜❡ ❤✐❣❤❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✱ r❛❞✐✉s ♦❢ ❝✉r✈❛✲ t✉r❡ ❡t❝✳✖❛❝r♦ss t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✳ ▲❡t✬s ✜♥❞ ❛♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r t❤❡ t❛♥❣❡♥t ❛❝r♦ss t❤❡ u = 0 ❡❞❣❡ ♦❢ ❛ ❈❛rt❡s✐❛♥ ♣r♦❞✉❝t ♣❛t❝❤✳ ❋✐rst ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t❡ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ u✿ ∂x = ∂u + + +

3a0 t3 u2 + 2a1 t3 u + a2 t3 3a4 t2 u2 + 2a5 t2 u + a6 t2 3a8 tu2 + 2a9 tu + a10 t 3a12 u2 + 2a13 u + a14 .

❚❤❡♥ s❡t u = 0 ❛❣❛✐♥✿ ∂x = a2 t3 + a6 t2 + a10 t + a14 . ∂u u=0

✹✸ ❆♥② ♦t❤❡r ♣❛t❝❤ ✇❤✐❝❤ ❤❛s t❤❡ s❛♠❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝✉r✈❡ ❛♥❞ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❛t ✐ts ❡❞❣❡ ✇✐❧❧ ♠❛t❝❤ t❤✐s ♣❛t❝❤ ❛t ✐ts u = 0 ❡❞❣❡❀ s✐♠✐❧❛r ❝♦♥str❛✐♥ts ❛♣♣❧② ❛t t❤❡ ♦t❤❡r ❡❞❣❡s ✳ ■♥ ❛ ❝♦♠♠♦♥ ❝❛s❡✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ ♥❡t✇♦r❦ ♦❢ s♣❛❝❡ ❝✉r✈❡s r❡❛❞②✲ ❞❡s✐❣♥❡❞✳ ❆♥♥♦②✐♥❣❧②✱ ✐t ✇♦r❦s ♦✉t t❤❛t ❜✐❝✉❜✐❝ ♣❛t❝❤❡s ❤❛✈❡ ❥✉st ♦♥❡ t♦♦ ♠❛♥② ❞❡❣r❡❡s ♦❢ ❢r❡❡❞♦♠ ✭✐♥ ❡❛❝❤ ❞✐♠❡♥s✐♦♥✮ t♦ s✉r❢❛❝❡ s✉❝❤ ❛ ♥❡t✇♦r❦ ✇✐t❤♦✉t t❤❡ s✉♣♣❧② ♦❢ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❞❛t❛✳ ✭❍✐❣❤❡r✲❞❡❣r❡❡ ♣❛t❝❤❡s ❤❛✈❡ ❧♦ts ♦❢ ❡①tr❛ ❞❡❣r❡❡s ♦❢ ❢r❡❡❞♦♠✱ q✉❛❞r❛t✐❝s ❞♦♥✬t ❤❛✈❡ ❡♥♦✉❣❤✳✮ ■❢ t❤❡ ♣❛t❝❤❡s ❛r❡ ❜❡✐♥❣ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② ❛ ❍❡r♠✐t❡ t❡❝❤✲ ♥✐q✉❡✱ ♦r ❛s ❛ ❣❡♦♠❡tr✐❝ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❛❧❧♦✇❛❜❧❡ ♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r♥❛❧ ♣♦✐♥ts ✐♥ ❛❞❥❛❝❡♥t ♣❛t❝❤❡s ✭♦r✖❧♦♦❦✐♥❣ ❛❤❡❛❞✖t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ ❛ ❇é③✐❡r ❝♦♥tr♦❧ ♠❡s❤✮✱ t❤❡♥ t❤❡ ❡①tr❛ ❞❡❣r❡❡s ♦❢ ❢r❡❡❞♦♠ ❡♠❡r❣❡ ❛s s♦✲❝❛❧❧❡❞ t✇✐st ✈❡❝t♦rs ❛t t❤❡ ♣❛t❝❤ ❝♦r♥❡rs✿ ∂ Q(t, u) ❙✉r❢❛❝❡ ♣❛t❝❤❡s ✷

✸

2

∂t∂u

.

❙❡❡ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✸✭✐✐✐✮ ❢♦r ❛ s❦❡t❝❤ ♦❢ ❜♦t❤ ♦❢ t❤❡s❡ ❝❛s❡s✳ ❙✉❣❣❡st❡❞ s♦❧✉t✐♦♥s t♦ t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ❤❛✈❡ ♣❛❞❞❡❞ ♦✉t ♠❛♥② ❛ t❤❡s✐s✳ ✭❚❤❛t✬s ✇❤② t❤❡②✬r❡ ❝❛❧❧❡❞ ❤✐❣❤❡r✲❞❡❣r❡❡ ♣❛t❝❤❡s✳✳✳✳✮ ❋♦r ♥♦✇✱ ❧❡t✬s ❧♦♦❦ ❛t s♦♠❡t❤✐♥❣ s✐♠♣❧❡✳ ❍♦✇ ❞♦ ✇❡ ❞r❛✇ ❛ ♣❛t❝❤❄ ❚❤❡ s✐♠♣❧❡st ✇❛② ✐s t♦ ♠❛❦❡ ❛ ❧✐♥❡ ❞r❛✇✐♥❣ ♦❢ ❛♥ ✐s♦✲♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❣r✐❞✳ ▲❡t✬s ❧♦♦❦ ❛t s♦♠❡ ❝♦❞❡ t♦ ❞♦ t❤❛t✳ ❲❡ ❝♦✉❧❞ s✐♠♣❧② ✇r✐t❡ ❛ r♦✉t✐♥❡ t♦ ❡✈❛❧✉❛t❡ x✱ y ❛♥❞ z ✐♥ t❤❡ ♦❜✈✐♦✉s ✇❛②✱ ❛♥❞ ❦❡❡♣ ❝❛❧❧✐♥❣ t❤❛t❀ ❜✉t ✐t✬s ♥♦t ✈❡r② ❡✣❝✐❡♥t ❜❡❝❛✉s❡✱ ❛❧♦♥❣ ✐s♦✲♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡s✱ ❡✐t❤❡r t ♦r u ✐s ✜①❡❞✱ ❛♥❞ s♦ ✇❡ ✇♦✉❧❞ ❜❡ ❞♦✐♥❣ ❛ ❧♦t ♦❢ r❡❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❝♦❞❡ t❤❛t ❢♦❧❧♦✇s ❞r❛✇s ❛♥ ✐s♦✲♣❛r❛♠❡tr✐❝ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ ❛t ❛ s♣❡❝✐✜❡❞ ✈❛❧✉❡ ♦❢ u✱ ✈❛r②✐♥❣ t ✐♥ n st❡♣s✳ ❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❛r❡ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ❛s t❤r❡❡ s❡ts ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛①❬✶✻❪✱ ❛②❬✶✻❪✱ ❛③❬✶✻❪✱ ✇❤✐❝❤ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ t❤❡ s✉❜s❝r✐♣ts ✐♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛❜♦✈❡ ❛♥❞ t❤❡ t❤r❡❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ❛①❡s✳ ❍❡r❡✬s t❤❡ r❡s✉❧t❀ ♥♦t❡ t❤❡ ♥❡st❡❞ ♦r ❍♦r♥❡r ❢♦r♠s ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛✲ ✹

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Splines

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Sequential splining

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P❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s

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❚②♣❡s ♦❢ ❝♦♥t✐♥✉✐t②

❆ Pr♦❣r❛♠♠❡r✬s ●❡♦♠✲

❡tr②

Global splining

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◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❘❡❝✐♣❡s

Types of continuity

❆t t❤❡ ❦♥♦ts ♦❢ s♣❧✐♥❡ ❝✉r✈❡s ✭✇❤❡r❡ t✇♦ ♣✐❡❝❡s✖♦r s♣❛♥s✖❛r❡ ❥♦✐♥❡❞✮ ✇❡ ❞♦ ♥♦t ✉s✉❛❧❧② ❛tt❡♠♣t t♦ ♠❛t❝❤ ❛❧❧ t❤❡ ♥♦♥✲③❡r♦ ❞❡r✐✈❛✲ t✐✈❡s t❤❛t t❤❡ s♣❛♥s ♣♦ss❡ss✳ ❈✉❜✐❝ s♣❛♥s✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ❤❛✈❡ ❛ ♥♦♥✲③❡r♦ t❤✐r❞ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡❀ ❜✉t ❝♦♠♠♦♥❧② ♦♥❧② ♣♦s✐t✐♦♥ ❛♥❞ ✜rst ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✖❛♥❞ ♣♦ss✐❜❧② s❡❝♦♥❞ t♦♦✖❛r❡ ❡♥❢♦r❝❡❞ ❛❝r♦ss t❤❡ ❦♥♦ts✳ ❚❤❡s❡ ❞❡❣r❡❡s ♦❢ ❝♦♥t✐♥✉✐t② ❛r❡ ❝♦♠♠♦♥❧② ✇r✐tt❡♥ C ✭♣♦s✐t✐♦♥✮✱ 0

✺ ❙✉r❢❛❝❡s

❛r❡ ♥♦t ❣❧♦❜❛❧❧② s♣❧✐♥❡❞✱ ❜✉t s♦♠❡ t❡❝❤♥✐q✉❡s ❞♦ ❡①✐st ❢♦r s♣❧✐♥✐♥❣ ❛

♠❡s❤ ♦❢ ❝✉r✈❡s✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❦♥♦ts ✐♥ t❤❡ t✇♦ s❡ts ❛r❡ ❝♦✐♥❝✐❞❡♥t ❛♥❞ s❤❛r❡ t❛♥❣❡♥t ♣❧❛♥❡s✳

✺✵

P❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s

✱ ❡t❝✳ ❲❡ s❤♦✉❧❞ ❜❡❛r ✐♥ ♠✐♥❞ t❤❛t s♣❧✐♥❡s ✇❡r❡ ♦r✐❣✐♥❛❧❧② ❝♦♥❝❡✐✈❡❞ ❛s ❡①♣❧✐❝✐t ❝✉r✈❡s ✭r❡♠✐♥❞❡r✿ y = f (x)✮ ❛♥❞ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❛t✐♦♥✖ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❣❡t ❣❡♦♠❡tr✐❝ ✢❡①✐❜✐❧✐t②✖✐s ❛ ❧✐❛❜✐❧✐t②✳ ❚❤✉s✱ ❝♦♥t✐♥✉✐t② ✐♥ ♣❛r❛♠❡t❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ✐s ♥♦t t❤❡ s❛♠❡ ❛s ❝♦♥t✐♥✉✐t② ✐♥ ❛ ❣❡♦♠❡tr✐❝ s❡♥s❡❀ t❤✐s ✐s ❛ ✈❛r✐❛♥t ♦❢ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜✲ ❧❡♠s ✇❡ s❛✇ ✐♥ t❤❡ ❧❛st s❡❝t✐♦♥✳ ❋✐rst✲ ❛♥❞ s❡❝♦♥❞✲❞❡❣r❡❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❝♦♥t✐♥✉✐t② ❛r❡ ❝♦♥t✐♥✉✐t② ♦❢ ✉♥✐t t❛♥❣❡♥t ✈❡❝t♦r✱ ❛♥❞ ❝♦♥t✐♥✉✐t② ♦❢ ❝✉r✈❛t✉r❡✳ ❚❤❡② ✇♦✉❧❞ ❜❡ t❤❡ s❛♠❡ ❛s ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❝♦♥t✐♥✉✐t② ✐❢ ✇❡ ❤❛❞ ❛ tr✉❡ ❛r❝✲❧❡♥❣t❤ ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❛t✐♦♥❀ s✐♥❝❡ ✇❡ ♥❡✈❡r ❞♦✱ t❤❛t✬s ♥♦t s✉❝❤ ❛♥ ✐♥s✐❣❤t ✭s❡❡ ❋❛r♦✉❦✐ ❛♥❞ ❙❛❦❦❛❧✐s✬ ♣❛♣❡r ♦♥ t❤❡ ✐♠♣r❡s✲ s✐✈❡❧② ♥❛♠❡❞ P②t❤❛❣♦r❡❛♥ ❤♦❞♦❣r❛♣❤s ✱ ✇❤✐❝❤ ❤❛✈❡ ❛t ❧❡❛st ❛ r❛t✐♦♥❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r ❛r❝ ❧❡♥❣t❤✮✳ ❚❤❡ ✉♥✐t t❛♥❣❡♥t ✐s ❡❛s✐❧② ✇r✐tt❡♥ ❞♦✇♥✿ C1 C2

dQ dt dQ dt .

❚❤❡ ❝✉r✈❛t✉r❡ ♦❢ ❛ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢♦r✲ ♠✉❧❛✱ ✇❤✐❝❤ ✐♥✈♦❧✈❡s ❛ ✈❡❝t♦r ♣r♦❞✉❝t ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ✜rst ❛♥❞ s❡❝♦♥❞ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✿ dQ d Q 2

dt × dt2 . κ= dQ 3 dt

❨♦✉ ❝❛♥ s❡❡ ✇❤② ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡r ❛r❡ ♠♦r❡ ❝♦♠♠♦♥❧② ✉s❡❞ ❢♦r ♠❛t❝❤✐♥❣ ❜❡t✇❡❡♥ ❝✉r✈❡ s❡❣♠❡♥ts✱ ❛❧t❤♦✉❣❤ t❤❡ r❡s✉❧t ✐s ❛ ♠♦r❡ ❝♦♥str❛✐♥❡❞✖❛♥❞ ❤❡♥❝❡ ❤✐❣❤❡r✲❞❡❣r❡❡✖❝✉r✈❡ t❤❛♥ ✇♦✉❧❞ ♦t❤❡r✇✐s❡ ❜❡ ♥❡❝❡ss❛r②✳ ■♥ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ t❤❡ ♠❛t❝❤✐♥❣ ♦❢ ♣♦s✐t✐♦♥ ❛♥❞ ✜rst ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ❛r❡ ♥♦t ♠✉❝❤ ❞✐✛❡r❡♥t✳ ❙❡❝♦♥❞ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ♠✉st ♥♦✇ ❜❡ ♠❛t❝❤❡❞ ✐♥ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ❛s ✇❡❧❧ ❛s ♠❛❣♥✐t✉❞❡✳ ■♥ ❢❛❝t✱ t❤❡ ✜rst✱ s❡❝♦♥❞ ❛♥❞ t❤✐r❞ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ♦❢ ❛ ❝✉r✈❡ ✐♥ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s ❢♦r♠ ❛ ❧♦❝❛❧ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ❛①✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❋r❡♥❡t ❢r❛♠❡ ✱ ✇❤✐❝❤ ❝❤❛♥❣❡s ✐ts ♦r✐❡♥t❛t✐♦♥ ❛❧♦♥❣ t❤❡ ❝✉r✈❡✳ ❆s ✇❡❧❧ ❛s ❝✉r✈❛t✉r❡✱ ✇❡ ♥♦✇ ❤❛✈❡ t❤❡ ❝♦♥❝❡♣t ♦❢ t♦rs✐♦♥✿ t❤❡ r❛t❡ ❛t ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❋r❡♥❡t ❢r❛♠❡ r♦t❛t❡s ❵❛r♦✉♥❞✬ t❤❡ ❝✉r✈❡✳ ❙♣❧✐♥❡ ❝✉r✈❡s ❝❛♥ ❜❡ ♠❛❞❡ t♦ ♠❛t❝❤ ❛♥② ♦r ❛❧❧ ♦❢ t❤✐s st✉✛ ✐♥ ❛ ♣r♦❢✉s✐♦♥ ♦❢ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥s✳

4 Bernstein-basis curves and surfaces

❇❡r♥st❡✐♥✲❜❛s✐s ❢✉♥❝t✐♦♥s ❣❡♥❡r❛t❡ ❇é③✐❡r ❛♥❞ ❇✲s♣❧✐♥❡ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s✳ ❚❤❡r❡ ✐s ♠♦r❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡ ❛❜♦✉t t❤❡s❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s t❤❛♥ ❛❜♦✉t ❛♥② ♦t❤❡r t♦♣✐❝ ✐♥ ❝♦♠♣✉t✐♥❣ ✇✐t❤ ❣❡♦♠❡tr②✿ ✈❡r② ❧✐❦❡❧②✱ ♠♦r❡ t❤❛♥ ❛❜♦✉t ❡✈❡r② ♦t❤❡r t♦♣✐❝ ♣✉t t♦❣❡t❤❡r✳ ▼✉❝❤ ♦❢ ✐t ✐s ❤✐❣❤❧② ♠❛t❤❡✲ ♠❛t✐❝❛❧✱ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞✖❛♥❞ ✈❛r✐❛❜❧❡✖♥♦t❛t✐♦♥✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ❛❧s♦ ❛ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❜♦♦❦s t❤❛t ♣r♦✈✐❞❡ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥s t♦ t❤❡ r❡s❡❛r❝❤ ❧✐t❡r✲ ❛t✉r❡ ✭s❡❡ ❘♦❣❡rs ❛♥❞ ❆❞❛♠s✬ ❜♦♦❦✱ ♦r ❋❛r✐♥✬s✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✮✳ ❲❤❛t ❝❛♥ ✇❡ ❤♦♣❡ t♦ ❛❝❝♦♠♣❧✐s❤ ✐♥ t❤✐s ♣r❡s❡♥t ✈♦❧✉♠❡❄ ▲❡t✬s tr② t♦ ❞♦ ❥✉st t✇♦ t❤✐♥❣s✿ ❋✐rst❧②✱ ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ ✐❞❡❛s ♦❢ ❇❡r♥st❡✐♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ♣❧❛❝✐♥❣ t❤❡ ❡♠♣❤❛s✐s ♦♥ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐❜✐❧✐t②✱ r❛t❤❡r t❤❛♥ ❣❡♥❡r❛❧✐t②❀ ✐t ✐s ♠✉❝❤ ♠♦r❡ ❞✐✣❝✉❧t t♦ ♦❜t❛✐♥ ❛♥ ✐♥t✉✐t✐✈❡ ❛♣♣r❡❝✐❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡✐r ♣r♦♣❡rt✐❡s t❤❛♥ t♦ ♣❡r❢♦r♠ ❛t ❧❡❛st t❤❡ s✐♠♣❧❡r ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♠❛♥✐♣✲ ✉❧❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡♠✳ ❙❡❝♦♥❞❧②✱ ✇❡ ❣✐✈❡ ❛ ❝❤❡❝❦❧✐st ♦❢ t❤❡ ❛❞✈❛♥t❛❣❡s ❛♥❞ ❞✐s❛❞✈❛♥✲ t❛❣❡s ♦❢ ❇❡r♥st❡✐♥✲❜❛s✐s ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s✱ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ ♠♦r❡ ❵♦❜✈✐♦✉s✬ ♠❡t❤♦❞s❀ t❤✐s ✐s ❛♥ ❛r❡❛ ✇❤❡r❡ ♣♦♣✉❧❛r t❡❝❤♥✐❝❛❧✖❛♥❞ ♣r♦♠♦t✐♦♥❛❧✖❧✐t❡r❛t✉r❡ ✐s ♦❢t❡♥ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✱ t♦ s❛② t❤❡ ❧❡❛st✳ ✶

Introducing Bernstein-Bézier curves

❨♦✉ ♠❛② t❤✐♥❦ ♦❢ ❛ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ Q = A + A t + A t + . . . ❛s ❛♥ ♦r❞✐♥❛r② ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧❀ ❜✉t ✐t ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ s❡❡♥ ❛s ❛ ✇❡✐❣❤t❡❞ 0

✶ ❍②♣❡r❜♦❧❡✱

♥♦t ✲❛✿ ♥♦t ❣❡♦♠❡tr✐❝✱ ❢♦r ♦♥❝❡✳

1

2

2

✺✷

❇❡r♥st❡✐♥✲❜❛s✐s ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s

❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s❡t ♦❢ ♣♦✇❡rs ♦❢ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡✱ t ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡❀ t❤❡s❡ ♣♦✇❡rs ❛r❡ t❤❡ ❜❛s✐s ♦❢ ❛♥ ♦r❞✐♥❛r② ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❣♦✐♥❣ t♦ ❣❡t ❛✐rs ❜② ❝❛❧❧✐♥❣ ✐ts❡❧❢ ❛ ♣♦✇❡r ❜❛s✐s ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✐♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✳ ■❢ ✇❡ ❧♦♦❦ ❛t t❤❡ ✇❛② t❤❛t t❤❡s❡ ❜❛s✐s ❢✉♥❝t✐♦♥s ✈❛r② ♦✈❡r ❛♥ ✐♥✲ t❡r✈❛❧✱ s❛② [0, 1] ❛s ✐♥ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✹✭✐✮✱ t❤❡② ❞♦♥✬t ❧♦♦❦ ✐♥t✉✐t✐✈❡❧② s②♠♠❡tr✐❝❛❧ ♦r ❛♥②t❤✐♥❣ ♥✐❝❡✳ ❚❤❡② ❞♦♥✬t ❧♦♦❦ ♠✉❝❤ ❜❡tt❡r ♦✈❡r ❛ s②♠♠❡tr✐❝❛❧ ✐♥t❡r✈❛❧ [−0.5, 0.5]✳ ❋✉rt❤❡r✱ ❛s ❛❧r❡❛❞② ♠❡♥t✐♦♥❡❞✱ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❜❡②♦♥❞ A1 r❡❛❧❧② ❤❛✈❡ ♥♦ ❛♣♣❛r❡♥t ❣❡♦♠❡tr✐❝❛❧ s✐❣♥✐✜✲ ❝❛♥❝❡✳ ❍♦✇❡✈❡r t❤❡ ❵str❛✐❣❤t✲❧✐♥❡ ❜✐t✬ ✐s ❜♦t❤ s②♠♠❡tr✐❝❛❧ ❛♥❞ ❝♦♠♣r❡✲ ❤❡♥s✐❜❧❡✳ ■t✬s ❡✈❡♥ ❜❡tt❡r ✇❤❡♥ ✇❡ r❡✇r✐t❡ ✐t ❛s Q = (1 − t)P0 + tP1 ✳ ■♥ t❤❛t ❝❛s❡✱ ✇❡ ❝❛♥ s❡❡ t❤❛t P0 ✐s t❤❡ ♣♦✐♥t ✇❡ st❛rt ❢r♦♠✱ P1 ✐s t❤❡ ♣♦✐♥t ✇❡ ❣♦ t♦✱ ❛♥❞ ✇❡ ♠❛❦❡ st❡❛❞② ♣r♦❣r❡ss ✐♥ ❜❡t✇❡❡♥✳ ❇✉t ❤♦✇ ❝❛♥ ✇❡ ♠❛❦❡ ❝✉r✈❡s t❤✐s ✇❛②❄ ❚❤❡ ❞❡ ❈❛st❡❧❥❛✉ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ✐s ❛ ✇❛② ♦❢ ❞♦✐♥❣ ❥✉st t❤❛t✳ ❆❞❞ ❛ ♥❡✇ ♣♦✐♥t✱ P2 ✱ ❛♥❞ s❡t ✉♣ t✇♦ str❛✐❣❤t✲❧✐♥❡ s❡❣♠❡♥ts ✭s❡❡ ❋✐❣✉r❡ ✹✭✐✐✮✮✿

P′ 0 = (1 − t)P0 + tP1 P′ 1 = (1 − t)P1 + tP2 ❚❤❡♥ ❝r❡❛t❡ ❛ ♥❡✇ str❛✐❣❤t✲❧✐♥❡ s❡❣♠❡♥t ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♠♦✈✐♥❣ ♣♦✐♥ts ♦♥ t❤❡ ✜rst t✇♦❀ ❛s ✇❡ s❡❡ ✐♥ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✹✭✐✐✮✱ t❤✐s ✐s ❛❝t✉❛❧❧② ❛ ♣♦✐♥t ♦♥ t❤❡ ❝✉r✈❡✿ Q = P′′ 0 = (1 − t)P′ 0 + tP′ 1

■♥ t❤❡ ♦❧❞ ♣♦✇❡r ❜❛s✐s✱ ✇❡✬✈❡ ❛❝t✉❛❧❧② ❝r❡❛t❡❞ t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧

Q = P0 + 2(P1 − P0 )t + (P0 − 2P1 + P2 )t2 , ✇❤✐❝❤ ✐s ♦♥❝❡ ❛❣❛✐♥ ❧❡ss t❤❛♥ ♦❜✈✐♦✉s❀ ❜✉t t❤❡♥ ♦✉r ♥❡✇ ❜❛s✐s ❢✉♥❝✲ t✐♦♥s ❛r❡ ❛❝t✉❛❧❧② (1 − t)2 ✱ 2t(1 − t) ❛♥❞ t2 ✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ s②♠♠❡tr✐❝❛❧ ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ❬✵✕✶❪✱ ❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✹✭✐✮✳ ❲❡ ❝❛♥ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡ t❤❡ ❞❡ ❈❛st❡❧❥❛✉ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥✱ ❜✉t ✐t✬s q✉✐❝❦❡r t♦ ❥✉♠♣ ✐♥ ❛♥❞ s❛② t❤❛t t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ✇❡ ❛r❡ ❝r❡❛t✐♥❣ ❛r❡✿

Q(t) =

i=m X i=0

m! ti (1 − t)(m−i) Pi , (m − i)!i!

m! ✇❤❡r❡ t❤❡ t❡r♠ (m−i)!i! r❡✢❡❝ts t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t t❤❡ ♣♦✐♥ts ♥❡❛r t❤❡ ♠✐❞❞❧❡ ♦❢ t❤❡ ❝✉r✈❡ ❛r❡ ✉s❡❞ ♠♦r❡ ♦❢t❡♥ ✐♥ ❢♦r♠✉❧❛t✐♥❣ t❤❡ str❛✐❣❤t✲ ❧✐♥❡ s❡❣♠❡♥ts✱ s♦ ❤❛✈❡ ❛ ❣r❡❛t❡r ✐♥✢✉❡♥❝❡ ✐♥ t❤❡ q✉❛❞r❛t✐❝s ❛♥❞ t❤❡

■♥tr♦❞✉❝✐♥❣ ❇❡r♥st❡✐♥✲❇é③✐❡r ❝✉r✈❡s

✹✭✐✮✖P♦✇❡r ❛♥❞ ❇❡r♥st❡✐♥ ❜❛s✐s ❢✉♥❝t✐♦♥s ❢♦r ❛ ❝✉❜✐❝ ♣♦❧②✲ ♥♦♠✐❛❧✳

✺✸

✺✹

❇❡r♥st❡✐♥✲❜❛s✐s ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s

✹✭✐✐✮✖❆ q✉❛❞r❛t✐❝ ❇é③✐❡r ❝✉r✈❡ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ♦✉t ♦❢ t✇♦ ✜①❡❞ ❛♥❞ ♦♥❡ ✈❛r②✐♥❣ str❛✐❣❤t✲❧✐♥❡ s❡❣♠❡♥t✳ ❚❤❡ t❡r♠s t ❛♥❞ 1 − t ✐♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ ❣❡♦♠❡tr✐❝❛❧❧② t♦ ❡q✉❛❧ r❛t✐♦s ❜❡✐♥❣ ♠❛✐♥t❛✐♥❡❞ ❜❡t✇❡❡♥ ❡❛❝❤ s✐♥❣❧❡✲ ❛♥❞ ❞♦✉❜❧❡✲t✐❝❦❡❞ ♣❛rt ♦❢ ❡❛❝❤ str❛✐❣❤t✲❧✐♥❡ s❡❣♠❡♥t✳

✺✺

❇✲s♣❧✐♥❡s

❤✐❣❤❡r✲❞❡❣r❡❡ ❝✉r✈❡s✱ ❛♥❞ t❤❡ ✜♥❛❧ ❝✉r✈❡✳ ❚❤❡ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ t❤❡ ❧❛st ❝✉r✈❡ ✐s m✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ♦♥❡ ❢❡✇❡r t❤❛♥ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣♦✐♥ts ✇❤✐❝❤ ❝♦♥tr♦❧ ✐t ✭❜❡❝❛✉s❡ ✇❡ st❛rt❡❞ ✇✐t❤ P0 ✮✳ m! ti (1 − t)(m−i) t❤❛t ✇❡ ❛r❡ ✉s✐♥❣ t♦ ♠✉❧t✐♣❧② P ❚❤❡ ✇❡✐❣❤ts (m−i)!i! ❛r❡ t❤❡ ❇❡r♥st❡✐♥ ❜❛s✐s ✳ ❚♦❣❡t❤❡r✱ t❤❡② ✭♠❡r❡❧②❄✮ ❝♦♠♣r✐s❡ ❛ ✈❡r② ❢❛♥❝② ✇❛② ♦❢ ✇r✐t✐♥❣ ❞♦✇♥ t❤❡ ♥✉♠❜❡r 1✿ m

1 = [t + (1 − t)] =

i=m X i=0

m! ti (1 − t)(m−i) . (m − i)!i!

❚❤❡r❡ ❛r❡ ♠❛♥② ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ✭✇❡❧❧✱ q✉✐t❡ ✐♥t❡r❡st✐♥❣✮ r❡❧❛t✐♦♥s t❤❛t ✇❡ ❝❛♥ ❞❡r✐✈❡ ❢r♦♠ t❤❡ ❇❡r♥st❡✐♥ ❜❛s✐s✳ ❈♦♥✈❡rt✐♥❣ t♦ ❛ ♣♦✇❡r ❜❛s✐s ✐s r❡❧❛t✐✈❡❧② str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞✿ Ak =

k X

(−1)(k−j)

j=0

m! Pj . j!(j − k)!(m − k)!

❚❤❡ r❡✈❡rs❡ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✐s ♠✉❝❤ ❧❡ss ❡❛s② t♦ ❢♦r♠✉❧❛t❡✱ ❛♥❞ ✐t ❤❛s ♦♥❧② ❢❛✐r❧② r❡❝❡♥t❧② ❜❡❝♦♠❡ ❛♣♣❛r❡♥t t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ ❝❧♦s❡❞ ❢♦r♠ ❢♦r t❤✐s❀ ✇❡ r❡♠❡♠❜❡r ✉s✐♥❣ ●❛✉ss✐❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ♣✉r♣♦s❡ ✐♥ t❤❡ ❡❛r❧② ❊✐❣❤t✐❡s ✭♠❛②❜❡ t❤❛t ✇❛s ❥✉st ✐❣♥♦r❛♥❝❡✮✳ ❚❤❡ ❝❧♦s❡❞ ❢♦r♠ ✭s❡❡ ❋❛r♦✉❦✐ ❛♥❞ ❘❛❥❛♥✬s ✶✾✽✼ ♣❛♣❡r✮ ✐s✿ Pk =

k X k!(m − j)!

j=0

m!(k − j)!

Aj .

B-splines ❇✲s♣❧✐♥❡ ❝✉r✈❡s ❛r❡ ❥✉st ♣✐❡❝❡s ♦❢ ❇é③✐❡r ❝✉r✈❡ ✐♥❣❡♥✐♦✉s❧② ❦♥♦tt❡❞ t♦❣❡t❤❡r❀ ✇❤❛t❡✈❡r t❤❡ ❤②♣❡✱ ❞♦♥✬t ❢♦r❣❡t t❤✐s✳ ❚❤❡② ❛r❡ ♥♦r♠❛❧❧② ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❛ r❡❝✉rs✐✈❡ ❞❡ ❈❛st❡❧❥❛✉✲❧✐❦❡ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥✿ Q(t) =

i=m X

Bi,k (t)Pi

i=0

✇❤❡r❡ Pi ❛r❡ ❛ s❡t ♦❢ ♣♦✐♥ts ♦♥ ✇❤❛t ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ ❝♦♥tr♦❧ tr❛❝❦ ✱ ❧✐❦❡ t❤❡ ❇é③✐❡r ♦♥❡s✱ ❛♥❞ t❤❡ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥ ✐s ❛❝❤✐❡✈❡❞ ❜② t❤❡ B t❡r♠s✿ Bi,k (t) =

t − ti ti+k − t Bi,k−1 (t) + Bi+1,k−1 (t). ti+k−1 − ti ti+k − ti+1

✺✻

❇❡r♥st❡✐♥✲❜❛s✐s ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s

❚❤✐s r❡❝✉rs✐✈❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ t❡r♠✐♥❛t❡s ✐♥ t❤❡ ✇❛② ②♦✉ ✇♦✉❧❞ ❡①♣❡❝t✱ ❛t

k = 1✿ Bi,1 (t) = 1, (ti ≤ t ≤ ti+1 ) = 0, (t < ti ) = 0, (t > ti+1 ).

❚❤❡ ❝♦♥st❛♥t ✈❛❧✉❡s ♦❢

t✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ti . . . (i = 0, m+k)✱ ❛r❡ t❤❡ ❦♥♦ts

✇❤❡r❡ t❤❡ ❝✉r✈❡s ❥♦✐♥✱ ❛♥❞ t❤❡ ✇❤♦❧❡ ❧✐st ♦❢ t❤❡♠ ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❦♥♦t ✈❡❝t♦r✳ ❲❤✐❧❡ t❤❡ r❡❝✉rs✐✈❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✐s t❤❡ s✐♠♣❧❡st t♦ ✉♥❞❡rst❛♥❞✱ ✐t ✐s ❛♣♣❛r❡♥t t❤❛t ❡❛❝❤ s♣❛♥ ❤❛s ❛ ❝❧♦s❡❞ ❢♦r♠ ❡✐t❤❡r ❛s ❛ ❇é③✐❡r ❝✉r✈❡ ♦r ✐♥ t❤❡ ♣♦✇❡r ❜❛s✐s✱ ❛♥❞ t❤❡s❡ ♠❛② ✇❡❧❧ ❧❡❛❞ t♦ ♠♦r❡ ❡✣❝✐❡♥t ❡✈❛❧✲ 2 ✉❛t✐♦♥✱ ❜❡❝❛✉s❡ ❞❡ ❈❛st❡❧❥❛✉✲t②♣❡ r❡❝✉rs✐♦♥ ❢♦r♠✉❧❛❡ ❤❛✈❡ ❛♥ O(n ) ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡✳ ◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ ❝♦♥tr♦❧✲tr❛❝❦ ♣♦✐♥ts ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❛ ❇é③✐❡r ❝✉r✈❡ s❡❣♠❡♥t ✇✐❧❧ ♥♦t ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ t❤♦s❡ ❢♦r t❤❡ ❇✲s♣❧✐♥❡ ❛s ❛ ✇❤♦❧❡✱ ❡①❝❡♣t ❢♦r ❝❡rt❛✐♥ ❦♥♦t ✈❡❝t♦rs✱ s✉❝❤ ❛s ✵✵✵✵✶✶✶✶✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ✇❤♦❧❡ ❇✲s♣❧✐♥❡ ✐s ❛❝t✉❛❧❧② ❛ ✭s✐♥❣❧❡ ❝✉❜✐❝✮ ❇é③✐❡r ❝✉r✈❡✳

Advantages of the Bernstein basis ❚❤❡r❡ ✐s ♥♦ ❞♦✉❜t t❤❛t ❇é③✐❡r ❛♥❞ ❇✲s♣❧✐♥❡ t❡❝❤♥✐q✉❡s ❛r❡ ❛♥ ❛❝❛✲ ❞❡♠✐❝ ❜❛♥❞✇❛❣♦♥ ♦❢ ❝♦♥s✐❞❡r❛❜❧❡ ❤♦rs❡♣♦✇❡r❀ ♠❛♥② ♣❡♦♣❧❡ ❤❛✈❡ ❤❛❞ ♣❛♣❡rs ♣✉❜❧✐s❤❡❞✱ ♦❜t❛✐♥❡❞ ♣r♦❢❡ss♦rs❤✐♣s✱ ❛♥❞ s✉♥❞r② ♦t❤❡r ❤♦♥♦✉rs✱ ❢r♦♠ ✇♦r❦ ♦♥ t❤❡s❡ t♦♣✐❝s✳ ◆♦r ❝❛♥ ✐t ❜❡ ❞❡♥✐❡❞ t❤❛t t❤❡② ❛r❡ t❤❡ ❜❛s✐s ♦❢ ♠♦st r❡❝❡♥t❧② ✇r✐tt❡♥ ❝✉r✈❡ ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡ ❞❡s✐❣♥ s♦❢t✲ ✇❛r❡✳ ❇✉t ✐t ✇♦✉❧❞ ❜❡ s✉r♣r✐s✐♥❣ ✐❢ t❤❛t ✇❡r❡ ♥♦t t❤❡ ❝❛s❡✱ ❣✐✈❡♥ t❤❡ str❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ s♦♠❡ ❞✐s❝✉ss✐♦♥s ♦❢ ❛❞✈❛♥t❛❣❡s ❛♥❞ ❞✐s❛❞✈❛♥t❛❣❡s t♦ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡ ✭❡✳❣✳ ✐♥ t❤❡ ❜❛❝❦ ♦❢ ❋❛r✐♥✬s ❜♦♦❦✮❀ ❤❡r❡ ✐s ♦✉r ♦✇♥ ❧✐st✳

Advantage 1: interacting using the control track ❚❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❛r❣✉♠❡♥t ✐♥ ❢❛✈♦✉r ♦❢ ❇é③✐❡r ❝✉r✈❡s ✇❛s ❛ s✐♠♣❧❡ ♦♥❡✳ ✏❨♦✉ ❝❛♥♥♦t ❞❡s✐❣♥ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❝✉r✈❡s ❢r♦♠ t❤❡✐r ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✳ ■❢ ②♦✉ tr② t♦ ✐♥t❡r♣♦❧❛t❡ t❤r♦✉❣❤ ❛♥② ❜✉t ❛ ✈❡r② s❤♦rt s❡r✐❡s ♦❢ ♣♦✐♥ts✱ ✐♥✲ t❡r♣♦❧❛t✐♦♥ t❡❝❤♥✐q✉❡s ♣r♦❞✉❝❡ ✇❛✈② ❝✉r✈❡s ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ✉s❡❧❡ss❀ ❢✉r✲ t❤❡r♠♦r❡✱ ②♦✉ ❤❛✈❡ t♦ s♦❧✈❡ s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s ❡q✉❛t✐♦♥s t♦ ❣❡t t❤❡♠✳

❆❞✈❛♥t❛❣❡s ♦❢ t❤❡ ❇❡r♥st❡✐♥ ❜❛s✐s

✺✼

❆ ❇é③✐❡r ❝✉r✈❡ ❝❛♥ ❜❡ ❞❡s✐❣♥❡❞ ❜② s❦❡t❝❤✐♥❣ ✐ts ❝♦♥tr♦❧ tr❛❝❦ ♦♥ ❛ ❣r❛♣❤✐❝s s❝r❡❡♥❀ ❛s ②♦✉ ♠♦✈❡ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧ tr❛❝❦ ❛❜♦✉t✱ ✐t ♣✉❧❧s t❤❡ ❝✉r✈❡ ✐♥ ❛♥ ✐♥t✉✐t✐✈❡❧② ❛❝❝❡♣t❛❜❧❡ ✇❛②✳ ❡q✉❛t✐♦♥s t♦ s♦❧✈❡✳✑

❖❤✱ ❛♥❞ t❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦

■t ✐s ♦♥ t❤✐s ❜❛s✐s t❤❛t ❇é③✐❡r ❝✉r✈❡s ❝❛♠❡ t♦

♣♦♣✉❧❛r✐t② ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❙❡✈❡♥t✐❡s✳

❚❤❡ ❛❞✈❛♥t❛❣❡ ✐s st✐❧❧ ✈❛❧✐❞✱ ❜✉t

t❤❡r❡ ❛r❡ ❝♦✉♥t❡r✲❛r❣✉♠❡♥ts✱ ✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ❢♦❧❧♦✇✳

Advantage 2: transforms ❇❡r♥st❡✐♥✲❜❛s✐s ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s ❤❛✈❡ t❤❡ ✉s❡❢✉❧ ♣r♦♣❡rt② ♦❢ ❜❡✲ ✐♥❣

✐♥✈❛r✐❛♥t

✉♥❞❡r

❛✣♥❡

✷

tr❛♥s❢♦r♠s ✳

❚❤✐s ♦✛❡rs ❛ ❝♦♥s✐❞❡r❛❜❧❡

s✐♠♣❧✐❝✐t② ♦❢ s②st❡♠ ♦r❣❛♥✐③❛t✐♦♥❀ ✐t ✐s ♦♥❧② ♥❡❝❡ss❛r② t♦ ❤❛✈❡ ♦♥❡ tr❛♥s❢♦r♠ ✐♥ t❤❡ s②st❡♠✿ ❢♦r ♣♦✐♥ts✳ ❆♥❞✱ ❛❧t❤♦✉❣❤ ❇❡r♥st❡✐♥✲❜❛s✐s ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s ❛r❡ ♥♦t ✐♥✈❛r✐❛♥t ✉♥❞❡r t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠s ❝♦rr❡✲ s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥✱ t❤❡r❡ ✐s t❤❡ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② ♦❢ ❛ ✉s❡✲ ❢✉❧ ❝❤❡❛t ✭s♦rr②✱ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✮ ❤❡r❡✱ ✇❤✐❝❤ ❛✈♦✐❞s t❤❡ ♥❡❝❡ss✐t② ♦❢ ✇♦r❦✐♥❣ ✇✐t❤ t❤❡ ❡①❛❝t ✭♥❡❝❡ss❛r✐❧② r❛t✐♦♥❛❧✮ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s✳ ❆❣❛✐♥st t❤❛t✱ ✇❡ ♥♦t❡ t❤❛t t❤❡r❡ ♠❛② ❜❡ ♠♦r❡ ✇♦r❦ r❡q✉✐r❡❞ t♦ tr❛♥s❢♦r♠ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧✲tr❛❝❦ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❛ ❇✲s♣❧✐♥❡ ❝✉r✈❡ t❤❛♥ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ t❤❡ s❛♠❡ ❝✉r✈❡ ♦♥ ❛ ♣♦✇❡r ❜❛s✐s✳

❚❤❡ ❇é③✐❡r ❢♦r♠

♦❢ ♦✉r ❢❛✈♦✉r✐t❡✱ t❤❡ ❝✉❜✐❝✱ ❤❛s ❢♦✉r ❝♦♥tr♦❧✲tr❛❝❦ ♣♦✐♥ts✱ ❛♥❞ t❤❡ ♣♦✇❡r ❜❛s✐s ❢♦✉r ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✐♥ ❡❛❝❤ ❞✐♠❡♥s✐♦♥✿

Q = A0 + A1 t + A2 t2 + A3 t3 . ❚♦ r♦t❛t❡ t❤❡ ❝✉❜✐❝ ✐♥ ❡✐t❤❡r ❢♦r♠ r❡q✉✐r❡s t✇♦ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❛♥ ❛❞❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❡✈❡r② ❝♦♥tr♦❧✲tr❛❝❦ ♣♦✐♥t ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ♦r ❝♦❡✣❝✐❡♥t✿ ✶✻ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ ✽ ❛❞❞✐t✐♦♥s✱ ❡✐t❤❡r ✇❛②✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t♦ tr❛♥s✲ ❧❛t❡ t❤❡ ❝✉❜✐❝ r❡q✉✐r❡s t❤❛t ❡✈❡r② ❝♦♥tr♦❧✲tr❛❝❦ ♣♦✐♥t ❜❡ tr❛♥s❧❛t❡❞✿ ✽ ❛❞❞✐t✐♦♥s❀ ✇❤✐❧❡ ♦♥❧② t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t

A0 t = 0✮

♦❢ t❤❡ ♣♦✇❡r ❜❛s✐s ✭ A0

✐s ❝❧❡❛r❧② t❤❡ ♣♦✐♥t ♦♥ t❤❡ ❝✉r✈❡ ❛t

♥❡❡❞s t♦ ❜❡ ♠♦❞✐✜❡❞ t♦

tr❛♥s❧❛t❡ t❤❡ ❝✉r✈❡ t♦ s♦♠❡✇❤❡r❡ ❡❧s❡✳

Advantage 3: convex hull property

❆✣♥❡ tr❛♥s❢♦r♠s ❛r❡ r✐❣✐❞✲❜♦❞② ♠♦t✐♦♥s ✭tr❛♥s❧❛t✐♦♥ ❛♥❞ r♦t❛t✐♦♥✮✱ s❝❛❧✐♥❣ ✐♥ ♦♥❡ ♦r ♠♦r❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s✱ ❛♥❞ s❤❡❛r✐♥❣✳ ■♥✈❛r✐❛♥t ♠❡❛♥s t❤❛t ✐t ❞♦❡s♥✬t ♠❛tt❡r ✇❤❡t❤❡r ②♦✉ tr❛♥s❢♦r♠ t❤❡ ♣♦✐♥ts ❛♥❞ t❤❡♥ r❡❣❡♥❡r❛t❡ t❤❡ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡✱ ♦r tr❛♥s❢♦r♠ t❤❡ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡ ❞✐r❡❝t❧②✖②♦✉ ❣❡t t❤❡ s❛♠❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ❝✉r✈❡ ❡✐t❤❡r ✇❛②✳ ✷

✺✽

❇❡r♥st❡✐♥✲❜❛s✐s ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s

■❢ ❛ t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ♣♦✐♥t (x, y) ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❛ ✇❡✐❣❤t❡❞ ❝♦♠❜✐♥❛✲ t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♦t❤❡r ♣♦✐♥ts (xi , yi )✿

x = w1 x1 + w2 x2 + w3 x3 . . . wi xi , y = w1 y1 + w2 y2 + w3 y3 . . . wi yi , ✇❤❡r❡ ❛❧❧ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts ❛r❡ ♣♦s✐t✐✈❡✱ ❛♥❞ t❤❡② ❛❞❞ ✉♣ t♦ ♦♥❡✱ t❤❡♥ t❤❡ ♣♦✐♥t (x, y) ♠✉st ❧✐❡ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r ♣♦✐♥ts✳ ❲❤❛t ✐s t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧❄ ❏♦✐♥ ❛❧❧ t❤❡ ♣♦✐♥ts ❛♥❞ t❛❦❡ t❤❡ ♦✉t❡r♠♦st ♣♦❧②❣♦♥❀ t❤❛t✬s ✐t✳ ❍♦✇ ❞♦ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t (x, y) ♠✉st ❧✐❡ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧❄ ❙✉♣♣♦s❡ ✐t ❧✐❡s ♦♥ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❡❞❣❡s ♦❢ t❤❡ ❤✉❧❧✱ ❢♦r♠❡❞ ❜② t❤❡ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ ❥♦✐♥✐♥❣ (x1 , y1 ) ❛♥❞ (x2 , y2 )✳ ❚❤❡♥ w1 ❛♥❞ w2 ✇✐❧❧ ❜❡ t❤❡ ♦♥❧② ♥♦♥✲③❡r♦ ✇❡✐❣❤ts✳ ■❢ ✇❡ r❡❞✉❝❡ w1 ♦r w2 ✱ ♦r ❜♦t❤ ♦❢ t❤❡♠✱ ❛♥❞ ✐♥❝r❡❛s❡ ❛♥♦t❤❡r ✇❡✐❣❤t✱ (x, y) ♠✉st ❜❡ ♣✉❧❧❡❞ t♦✇❛r❞s ❛♥♦t❤❡r ♣♦✐♥t (xi , yi )✳ ❇✉t t❤❡② ❛r❡ ❛❧❧ ♦♥ ♦♥❡ s✐❞❡ ♦❢ t❤❡ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ (x1 , y1 )✕(x2 , y2 )✱ ❛♥❞ s♦ t❤❡ ♥❡✇ (x, y) ✐s ✐♥s✐❞❡ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧❀ ✐t ❝❛♥ ♥❡✈❡r ❣❡t ♦✉t ♦❢ ✐t✱ ❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✹✭✐✐✐✮✳ ❚❤✐s ❛r❣✉♠❡♥t ✐s s❧✐❣❤t❧② s✐♠♣❧✐✜❡❞❀ ❝❛♥ ②♦✉ t❡❧❧ ❤♦✇❄ ❆♥s✇❡r✿ ❛♥♦t❤❡r ♣♦✐♥t✱ s✉❝❤ ❛s (x3 , y3 )✱ ♠✐❣❤t ❜❡ ❝♦❧❧✐♥❡❛r ✇✐t❤ (x1 , y1 ) ❛♥❞ (x2 , y2 )✳ ❚❤❛t ✇♦✉❧❞ ❛❧❧♦✇ ♠♦r❡ t❤❛♥ t✇♦ ✇❡✐❣❤ts t♦ ❜❡ ♥♦♥✲③❡r♦ ✇❤❡♥ (x, y) ✐s ♦♥ t❤❡ ❡❞❣❡ ♦❢ t❤❡ ❤✉❧❧✳ ■♥❞❡❡❞✱ ❛♥② ♥✉♠❜❡r ♦❢ t❤❡ ♣♦✐♥ts (xi , yi ) ♠✐❣❤t ❧✐❡ ♦♥ ♦♥❡ ❡❞❣❡ ♦❢ t❤❡ ❤✉❧❧✳ ❚❤❛t ✇♦✉❧❞ ♠❡❛♥ t❤❛t ♠♦r❡ ✇❡✐❣❤ts ♠✐❣❤t ❜❡ ♥♦♥✲③❡r♦✱ ❜✉t ✐t ❞♦❡s♥✬t ❧❡t (x, y) ♦✉t✲ s✐❞❡✳ ❚❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ ❛ ❇❡r♥st❡✐♥ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❛r❡ ❛❧❧ ♣♦s✐t✐✈❡✱ ❛♥❞ t❤❡② ❛❞❞ ✉♣ t♦ ♦♥❡✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡ ❝✉r✈❡ ✐s ❝♦♥str❛✐♥❡❞ t♦ r❡♠❛✐♥ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧✲tr❛❝❦ ♣♦✐♥ts ✳ ❚❤✐s ✐s ❡①tr❛♦r❞✐♥❛r✐❧② ✉s❡❢✉❧✱ ❜❡❝❛✉s❡ ✐♥ ♠❛♥② ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✇❡ ❞♦♥✬t ✇❛♥t t♦ ❝❤❛r❣❡ ❛❧❧ ♦✈❡r s♣❛❝❡ ❧♦♦❦✐♥❣ ❢♦r ❛ t✐♥② s❡❣♠❡♥t ♦❢ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡✳ ❲❡ ❝❛♥ ✉s❡ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ❛s ❛ ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ✈♦❧✉♠❡✱ ♦r ❜♦①✱ ♦r ✇❡ ❝❛♥ t❛❦❡ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❛♥❞ ♠✐♥✐♠✉♠ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ♦❢ ❡❛❝❤ ❝♦♥tr♦❧✲ tr❛❝❦ ♣♦✐♥t ❛♥❞ ❢♦r♠ ❛ ❝♦❛rs❡r ❜✉t r❡❝t❛♥❣✉❧❛r ❜♦①✱ ❛❧✐❣♥❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ❛①❡s✳ ❊✈❡♥ ✇❤❡♥ ♦✉r t❡st ❢❛✐❧s✱ ❛♥❞ t❤❡ ❜♦① ✐s t♦♦ ❧❛r❣❡✱ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥t✐♥✉❡ t♦ ♣❧❛② t❤❡ s❛♠❡ tr✐❝❦ ❜② ❞✐✈✐❞✐♥❣ t❤❡ ❝✉r✈❡ ✐♥t♦ t✇♦ ♣✐❡❝❡s✱ ❛♥❞ ❢♦r♠✐♥❣ ❛ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ❢♦r ❡❛❝❤✳ ❍❡r❡ ✐s t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r t❤❡ ❝♦♥tr♦❧✲tr❛❝❦ ♣♦✐♥ts ✐♥ ❛ ♥❡✇ ❝✉r✈❡ s♣❛♥♥✐♥❣ t❤❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ✐♥t❡r✈❛❧ [0, ts ]✿

P′ j =

i=j X

j! tis (1 − ts )j−i Pi . (j − i)!i! i=0

❆❞✈❛♥t❛❣❡s ♦❢ t❤❡ ❇❡r♥st❡✐♥ ❜❛s✐s

✹✭✐✐✐✮✖❚❤❡ ♣♦✐♥t (x, y) ❝❛♥♥♦t ❡s❝❛♣❡ ❢r♦♠ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ❢♦r♠❡❞ ❜② t❤❡ ♣♦✐♥ts (x , y )✱ ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ✇❛② ✐ts ❝♦♦r✲ ❞✐♥❛t❡s ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❛ s✉♠ ♦❢ t❤❡✐rs✳ ✭❆♥ ❡①❛♠♣❧❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ✐s ✐♥s❡t t♦♣ ❧❡❢t✳✮ i

i

✺✾

✻✵ ❲❡ ❝❛♥ ❝♦♥t✐♥✉❡ s✉❜❞✐✈✐❞✐♥❣ ❛♥❞ s✉❝❤ r❡❝✉rs✐✈❡ s✉❜❞✐✈✐s✐♦♥ ❛❧❣♦✲ r✐t❤♠s ❛r❡ ❝♦♠♠♦♥✿ ❡s♣❡❝✐❛❧❧② ✇❤❡♥ t❤❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡s ❛r❡ t♦✉❣❤✳ ❆❧t❤♦✉❣❤ t❤❡ ❝♦♥✈❡①✲❤✉❧❧ ♣r♦♣❡rt② ✐s ✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥ ❛♥❞ ❛ttr❛❝✲ t✐✈❡✱ ✐t ✐s ♥♦t ✐♠♠✉♥❡ ❢r♦♠ ❝r✐t✐❝✐s♠✿ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ♦t❤❡r ❝♦♥✈❡① ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥s ♦❢ ♣♦✐♥ts t❤❛t ❝❛♥ ❤❛✈❡ s♠❛❧❧❡r ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧s✱ ❢♦r s♦♠❡ ❝✉r✈❡s✱ t❤❛♥ t❤❡ ❇✲s♣❧✐♥❡ ❝♦♥tr♦❧ tr❛❝❦✳ ❲❡ ♠❡♥t✐♦♥ t❤✐s ❥✉st t♦ ❡♠♣❤❛s✐③❡ t❤❛t t❤✐s ♣r♦♣❡rt② ✐s ♥♦t ❡①❝❧✉s✐✈❡ t♦ ❇✲s♣❧✐♥❡ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s✳ ■♥ ♦t❤❡r r❡s♣❡❝ts ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❝♦♥✈❡① ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥s ❛r❡ ♥♦t s♦ ❛ttr❛❝t✐✈❡✳ ❖t❤❡r s❝❤❡♠❡s ❢♦r ❜♦✉♥❞✐♥❣ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s✖❜♦t❤ ♣❛r❛✲ ♠❡tr✐❝ ❛♥❞ ✐♠♣❧✐❝✐t✖❛r❡ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡❀ ✇❡ ✇✐❧❧ ♠❡♥t✐♦♥ t❤❡♠ ❧❛t❡r✳ ❚❤❡② ♠❛② ♦r ♠❛② ♥♦t ❜❡ ❡✐t❤❡r t✐❣❤t❡r ♦r ❡❛s✐❡r t♦ ❝♦♠♣✉t❡ ✇✐t❤ t❤❛♥ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧s ♦❢ ❝♦♥tr♦❧✲tr❛❝❦ ♣♦✐♥ts✳

❇❡r♥st❡✐♥✲❜❛s✐s ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s

Advantage 4: numerical stability

❆ ♣r♦♣❡r ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ st❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇❡r♥st❡✐♥ ❜❛s✐s ✭s❡❡ ❋❛r♦✉❦✐ ❛♥❞ ❘❛❥❛♥✬s ✶✾✽✼ ❛♥❞ ✶✾✽✽ ♣❛♣❡rs✮ ✐s ✭♠✐❧❡s✮ ❜❡②♦♥❞ t❤❡ ♣r❡s❡♥t s❝♦♣❡✳ ■♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ ✐t s✉✣❝❡s t♦ s❛② t❤❛t t❤❡ ❇❡r♥st❡✐♥ ❜❛s✐s ✐s ❧❡ss ♣r♦♥❡ t♦ ♠❛❣♥✐❢② ❡rr♦rs ✐♥ ✐ts ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✱ ❜♦t❤ ✐♥ ❡✈❛❧✲ ✉❛t✐♥❣ ♣♦✐♥ts ♦♥ ❛ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡✱ ❛♥❞ ✐♥ ✜♥❞✐♥❣ r♦♦ts ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✱ ✇❤✐❝❤ ✐s r❡q✉✐r❡❞ ✇❤❡♥ ✇❡ ❝♦♠❡ t♦ tr② t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ ✐♥✲ t❡rs❡❝t✐♦♥s ❡t❝✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤✐s ❛❞✈❛♥t❛❣❡ ✐s r❛t❤❡r ♦❜✈✐♦✉s❧② ❧♦st ✐❢ ❛ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ❢r♦♠ t❤❡ ♣♦✇❡r ❜❛s✐s ✐s ♥❡❝❡ss❛r②✳ ❚♦ ♣r❡s❡r✈❡ ✐t✱ ❛❧❧ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ♠✉st ❜❡ ♣❡r❢♦r♠❡❞ ✐♥ t❤❡ ❇❡r♥st❡✐♥ ❜❛s✐s❀ t❤✐s ✐s ♥♦t ②❡t ❛ ♣❡r❢❡❝t❡❞ ❛rt✳ ▲❡t✬s tr② t♦ ❣✐✈❡ ❛♥ ✐♥❦❧✐♥❣ ✇❤② t❤❡ ❇❡r♥st❡✐♥ ❢♦r♠ ✐s ♠♦r❡ st❛✲ ❜❧❡✳ ❆ s✐♠♣❧❡ ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ st❛❜✐❧✐t② ✐s t♦ s❡❡ ✇❤❛t ❤❛♣♣❡♥s ✇❤❡♥ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ t✇♦ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ s❛♠❡ ♣♦❧②♥♦✲ ♠✐❛❧ ❛r❡ ♣❡rt✉r❜❡❞❀ t❤✐s ✇✐❧❧ ❝❡rt❛✐♥❧② ❤❛♣♣❡♥ ✐♥ ♣r❛❝t✐❝❡✱ ❡✐t❤❡r ❞✉❡ t♦ t❤❡ ✐♥❛❝❝✉r❛❝✐❡s ✐♥❤❡r❡♥t ✐♥ t❤❡ ✢♦❛t✐♥❣✲♣♦✐♥t r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✐ts❡❧❢✱ ♦r ❛ s❡r✐❡s ♦❢ ✢♦❛t✐♥❣✲♣♦✐♥t ♦♣❡r❛t✐♦♥s ♣❡r❢♦r♠❡❞ ♦♥ t❤❡♠✱ s✉❝❤ ❛s ❛ tr❛♥s❢♦r♠✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❡ ❇❡r♥st❡✐♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✭♦❢ ❛ s✐♥❣❧❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✖❢♦r❣❡t ✈❡❝t♦r ✈❛❧✉❡s ❢♦r ❛ ♠♦♠❡♥t✮ ❛r❡ p ❛♥❞ t❤♦s❡ ♦❢ t❤❡ ♣♦✇❡r ❢♦r♠ ❛r❡ a ✳ ●✐✈❡♥ ❛ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ ♦❢ s✐③❡ ǫ t♦ ❡❛❝❤ ❝♦❡✣❝✐❡♥t✱ t❤❡♥ t❤❡ ❝❤❛♥❣❡s ✐♥ t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ❛r❡ s✐♠♣❧②✿ i

i

|δq| =

i=m X i=0

m! i (m−i) t (1 − t) pi ǫ (m − i)!i!

❆❞✈❛♥t❛❣❡s ♦❢ t❤❡ ❇❡r♥st❡✐♥ ❜❛s✐s

✻✶

✐♥ t❤❡ ❇❡r♥st❡✐♥ ❢♦r♠✱ ❛♥❞✿ |δq ′ | =

i=m X i=0

|ti ai |ǫ

✐♥ t❤❡ ♣♦✇❡r ❢♦r♠✳ ❖✉r ❛❜✐❧✐t② t♦ s❤♦✇ t❤❡ s✉♣❡r✐♦r✐t② ♦❢ t❤❡ ❇❡r♥✲ st❡✐♥ ❢♦r♠ ❡ss❡♥t✐❛❧❧② ❞❡r✐✈❡s ❢r♦♠ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r ❝♦♥✈❡rt✐♥❣ ❢r♦♠ ❇❡r♥st❡✐♥ t♦ ♣♦✇❡r ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✱ ❣✐✈❡♥ ❛t t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤✐s s❡❝✲ t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❇❡r♥st❡✐♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❝❛♥ ❛❧❧ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② s✉♠♠✐♥❣ ♣♦s✐t✐✈❡ ❢❛❝t♦rs ♠✉❧t✐♣❧✐❡❞ ❜② t❤❡ ♣♦✇❡r ❢♦r♠ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✱ ❜✉t ♥♦t ✈✐❝❡ ✈❡rs❛✳ ❙♦✱ ✐❢ ✇❡ s✉❜st✐t✉t❡ ✐♥t♦ t❤❡ ❇❡r♥st❡✐♥ ❢♦r♠ ❛❜♦✈❡✱ ✇❡ ❛r❡ ❛❜❧❡ t♦ s❤♦✇✿ |δq ′ | = |C

✇❤✐❧❡ |δq| = C

i=m X i=1

i=m X i=0

ai |

|ai |,

✭✇❤❡r❡ t❤❡ ❜✐❣ C s ❤✐❞❡ ❛ ❧♦t ♦❢ ❞❡t❛✐❧✳✮ ■t s❤♦✉❧❞ ❜❡ ✐♥t✉✐t✐✈❡❧② ♦❜✈✐♦✉s t❤❛t t❤❡ s✉♠ ♦❢ t❤❡ ♠♦❞✉❧✐ ♦❢ ❛ ❧♦t ♦❢ q✉❛♥t✐t✐❡s ✐s ❛❧✇❛②s ❛s ❜✐❣ ♦r ❜✐❣❣❡r t❤❛♥ t❤❡ ♠♦❞✉❧✉s ♦❢ t❤❡ s✉♠ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✐t✐❡s✳ ❚❤✐s ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ tr✐❛♥❣❧❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✸ ✳ ❯s✐♥❣ ✐t ❤❡r❡✱ ✇❡ ❝❛♥ s❤♦✇ t❤❛t |δq| ≤ |δq ′ |✳ ❚❤❡ ♣r❛❝t✐❝❛❧ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤✐s ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ❝❧❡❛r❧② ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ❤♦✇ ❧❛r❣❡ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ ♦♣♣♦s✐t❡ s✐❣♥ ❛r❡ ✐♥ ❛ ♣♦✇❡r ❢r♦♠ ❡q✉❛t✐♦♥✳ ❚❤❛t ❝❛♥ ✈❛r② ✭✐✳❡✳ ❣❡t ✇♦rs❡ ❛♥❞ ✇♦rs❡✮ ❛s ✇❡ ♠♦✈❡ ❛✇❛② ❢r♦♠ t❤❡ ♦r✐❣✐♥✳ ■♥ ♣r❛❝t✐❝❡✱ t❤❡ ❛❝❝✉r❛❝② ♦❢ ❛❧❧ ❣❡♦♠❡tr② ❞✐♠✐♥✐s❤❡s ❛✇❛② ❢r♦♠ t❤❡ ♦r✐❣✐♥✱ ❛s ❛♥② ❡rr♦r ❜❡❝♦♠❡s ❜✐❣❣❡r ❛♥❞ ❜✐❣❣❡r ❛❧♦♥❣ ✇✐t❤ t❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ✈❛❧✉❡s✳ ❆ ♣♦✇❡r✲❜❛s✐s ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❡①❛❝❡r❜❛t❡s t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ❜② t❛❦✐♥❣ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡s❡ ♥✉♠❜❡rs✳ Advantage 5: built-in approximations

❉❡❣r❡❡ ❡❧❡✈❛t✐♦♥

✐s ❛❞❞✐♥❣ ❡①tr❛ t❡r♠s t♦ ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✇❤✐❝❤ ❤❛✈❡ ❛ ❤✐❣❤❡r ❞❡❣r❡❡ t❤❛♥ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧✳ ■♥ t❤❡ ♣♦✇❡r ❜❛s✐s✱ t❤❡ ✐❞❡❛ ♦❢ ❞❡❣r❡❡ ❡❧❡✈❛t✐♦♥ ❞♦❡s ♥♦t r❡❛❧❧② ❡①✐st❀ t❤❡r❡ ✐s ♥❡✐t❤❡r ❛ r❡❛s♦♥ ❢♦r✱ ♥♦r ❛ ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥✱ ❛❞❞✐♥❣ ❛ t❡r♠ 0tn+1 t♦ ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ♦❢ ❞❡❣r❡❡ ✸ ❙♦

❝❛❧❧❡❞ ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ t❤❛t ❛♥② t✇♦ s✐❞❡s ♦❢ ❛ tr✐❛♥❣❧❡ ❛r❡

t♦❣❡t❤❡r ❧♦♥❣❡r t❤❛♥ t❤❡ t❤✐r❞✳

✻✷ n✳ ■♥ t❤❡ ❇❡r♥st❡✐♥ ❜❛s✐s✱ ❞❡❣r❡❡ ❡❧❡✈❛t✐♦♥ ✐s ♦❢ ✐♥t❡r❡st✱ ❜❡❝❛✉s❡ ❛❧❧ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❝❤❛♥❣❡✳ ■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❛ ❝✉r✈❡✱ t❤❡ ♥❡✇ ❝♦♥tr♦❧ tr❛❝❦ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❡❧❡✈❛t❡❞ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✐s ❛ ❝❧♦s❡r ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ t♦ t❤❡ ❝✉r✈❡✖✇❤✐❝❤ ✐ts❡❧❢ r❡♠❛✐♥s ✉♥❝❤❛♥❣❡❞✳ ❚❤❡ ❞❡❣r❡❡ ❡❧❡✈❛t✐♦♥ ❢♦r♠✉❧❛ ✐s✿   i i

❇❡r♥st❡✐♥✲❜❛s✐s ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s

P′ i =

n+1

Pi−1 + 1 −

n+1

Pi .

❚❤✐s ❤❛s ❛ ♥✐❝❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ s✐❣♥✐✜❝❛♥❝❡✱ ❛s ❡❛❝❤ ♥❡✇ P ❧✐❡s ♦♥ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❡❞❣❡s ♦❢ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❝♦♥tr♦❧ tr❛❝❦✳ ❙✉❝❤ ❛rt✐✜❝✐❛❧❧② ❡❧❡✈❛t❡❞ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ❝❛♥ ♦❢ ❝♦✉rs❡ ❤❛✈❡ t❤❡✐r ❞❡❣r❡❡s r❡❞✉❝❡❞ ✇✐t❤♦✉t ❝❤❛♥❣✲ ✐♥❣ t❤❡✐r ✈❛❧✉❡ ✭❛❧t❤♦✉❣❤ ♥♦t ✇✐t❤♦✉t ❧♦ss ♦❢ ❛❝❝✉r❛❝②✮✳ ▼♦r❡ ❣❡♥❡r✲ ❛❧❧②✱ ♦❢ ❝♦✉rs❡✱ ❞❡❣r❡❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ♣❡r❢♦r♠❡❞ ❡①❛❝t❧②✳ ■♥ t❤❡ ♣♦✇❡r ❜❛s✐s✱ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♦❜✈✐♦✉s ✇❛② t♦ ❞♦ t❤✐s✳ ❲❡ ❝❛♥ ❡♥❞❡❛✈♦✉r t♦ ✐♥✈❡rt t❤❡ ❞❡❣r❡❡ ❡❧❡✈❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss ✭s❡❡ ❋❛r✐♥✬s ❜♦♦❦✖②❡t ❛❣❛✐♥✖❢♦r ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧✿ ♣❛❣❡ ✺✺✮✱ ❜✉t t❤❡ r❡s✉❧ts ❛r❡ ✉♥♣r❡❞✐❝t❛❜❧❡✳ ❚❤❡ ❣❡♦♠✲ ❡tr✐❝ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❇❡r♥st❡✐♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts s❡❡♠s ❧✐tt❧❡ ❤❡❧♣❀ ♦t❤❡r✱ ♠♦r❡ s♦♣❤✐st✐❝❛t❡❞ t❡❝❤♥✐q✉❡s ✐♥✈♦❧✈❡ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ t♦ ❛♥♦t❤❡r ❜❛s❡ ✭s❡❡ ❲❛t❦✐♥s ❛♥❞ ❲♦rs❡②✬s ✶✾✽✽ ♣❛♣❡r✮✳ ❚❤✐s ✐s t❤❡r❡❢♦r❡ ❛ ♠✐♥♦r ❛❞✈❛♥t❛❣❡✳ ′

i

Advantage 6: a de facto standard

❖♥❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠s ✇✐t❤ st❛♥❞❛r❞s ✐s t❤❛t t❤❡✐r ❡①✐st❡♥❝❡ ❝❛♥ ❜❧✐❣❤t t❤❡ ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥t ♦❢ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ t❡❝❤♥✐q✉❡s✳ ❲✐t❤ t❤❡ tr♦♣✐❝❛❧ r✐♦t ♦❢ ♥❡✇ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ t❡❝❤♥✐q✉❡s t❤❛t ❦❡❡♣ s♣r✐♥❣✐♥❣ ✉♣ ✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡✱ t❤✐s ❞♦❡s ♥♦t s❡❡♠ t♦ ❜❡ ❤❛♣♣❡♥✐♥❣✳ ❲❤❡t❤❡r ✐t✬s ❞❡s✐r❛❜❧❡ ♦r ♥♦t✱ ❇❡r♥st❡✐♥ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ t❡❝❤♥✐q✉❡s✖ ❛♥❞ ♣❛rt✐❝✉❧❛r❧② t❤❡ r❛t✐♦♥❛❧ ❇✲s♣❧✐♥❡ ✖❛r❡ ♥♦✇ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❜✉✐❧❞✲ ✐♥❣ ❜❧♦❝❦s ❢♦r r❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ ❵s❝✉❧♣t✉r❡❞✬ ❣❡♦♠❡tr② ✐♥ ❝♦♠♣✉t❡r✲❛✐❞❡❞ ❞❡s✐❣♥ s②st❡♠s✳ ✹

✹ ❆ r❛t✐♦♥❛❧ ❇✲s♣❧✐♥❡ ✐s ♦♥❡ ❇✲s♣❧✐♥❡ ❞✐✈✐❞❡❞ ❜② ❛♥♦t❤❡r✖s❡❡ ❈❤❛♣t❡r ✽ ❢♦r t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛✳ ❆

♥✉r❜s

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♥✉r❜s s♦✉♥❞s ❧✐❦❡ ❛ ♣❧✉r❛❧✱ ❜✉t ✇♦r❦s ❜♦t❤ ❛s ❛ s✐♥❣✉❧❛r ❛♥❞ ♣❧✉r❛❧ ♥✉r❜s ✑✱ ✏t❤❡s❡ ❛r❡ ♥✉r❜s ✑✱ ❛♥❞ ♥✉r❜s ❝✉r✈❡✑✳ ❆s ✇✐t❤ ♠♦st ❥❛r❣♦♥✱ t❤✐s ❤❛s t❤❡ r❡❣r❡tt❛❜❧❡ ❡✛❡❝t ♦❢

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Disadvantages of the Bernstein basis Disadvantage 1: expensive to compute ❚❤❡ ❞❡ ❈❛st❡❧❥❛✉ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❢♦r ❡✈❛❧✉❛t✐♥❣ ❇❡r♥st❡✐♥ ♣♦❧②♥♦♠✐✲ ❛❧s ✐s ❡❧❡❣❛♥t✱ ❛♥❞ ❤❛s ❡①❝❡❧❧❡♥t ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s✳ ❯♥❢♦rt✉✲ 2 ♥❛t❡❧② ✐t s❤♦✇s O(n ) ❣r♦✇t❤ ✐♥ r✉♥♥✐♥❣ t✐♠❡ ✇✐t❤ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ♣♦❧②♥♦✲ ♠✐❛❧✳ ❊✈❡♥ ✉s✐♥❣ ❍♦r♥❡r✬s ♠❡t❤♦❞ ✭❛s ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ✐♥ ❋❛r✐♥✬s ❜♦♦❦✿ ♣❛❣❡ ✹✼✮✱ ❡✈❛❧✉❛t✐♥❣ ❇❡r♥st❡✐♥ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ❞✐r❡❝t❧② ✐s st✐❧❧ ♥♦t ❛s ❢❛st ❛s ❝❛♥ ❜❡ ❛❝❤✐❡✈❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♣♦✇❡r ❜❛s✐s✳

❆♥❞ t❤❡ ❇✲s♣❧✐♥❡

❢♦r♠✉❧❛❡ ❛r❡ t❤❡♠s❡❧✈❡s ♦✈❡r❧② ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ❢♦r s✐♠♣❧❡ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s s✉❝❤ ❛s ❝✐r❝❧❡s ♦r s♣❤❡r❡s✳ ❲❡✬❧❧ s❛② ♥♦ ♠♦r❡ ❤❡r❡❀ t❤❡r❡ ❛r❡ s♦♠❡ ❝♦♥❝r❡t❡ ❡①❛♠♣❧❡s ✐♥ ❈❤❛♣t❡r ✶✸✳

Disadvantage 2: difficult to understand ❨♦✉ s❤♦✉❧❞ ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ ♠❛❦❡ ✉♣ ②♦✉r ♦✇♥ ♠✐♥❞ ❛❜♦✉t t❤✐s ❜② ♥♦✇✦ ■♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ ♠❛②❜❡ ✐t ✐s t❤❡ ♠❛❥♦r ♣r♦❜❧❡♠ ✇✐t❤ t❤❡ ❇❡r♥st❡✐♥ ❛♣✲ ♣r♦❛❝❤✱ ❡s♣❡❝✐❛❧❧② ❛♠♦♥❣ ♥♦♥✲♠❛t❤❡♠❛t✐❝✐❛♥s ✭❥♦✐♥ t❤❡ ❝❧✉❜✮✳ ▼♦st ♣❡♦♣❧❡ st❛rt ❧❡❛r♥✐♥❣ ❛❜♦✉t ❈❛rt❡s✐❛♥ ❣❡♦♠❡tr② ✇✐t❤ ❡①♣❧✐❝✐t ❢♦r✲ ♠✉❧❛❡✱ ❝♦♠❡ ❛❝r♦ss ✐♠♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❛♥❞ ✜♥❛❧❧② ♠❡❡t ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❣❡♦♠❡tr② ✇❤❡♥ ✐t ❜❡❝♦♠❡s ♥❡❝❡ss❛r② t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ ❝✉r✈❡s ✐♥ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✳ ❚❤❡ ❇❡r♥st❡✐♥ ❜❛s✐s ✐ts❡❧❢ ✐s ❛♥ ♦✈❡r✲❡❧❛❜♦r❛t❡ ✇❛② t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ ❛ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ ✭s❡❡ ❈❤❛♣t❡r ✶✸✮✱ ❜✉t ✐❢ ②♦✉ ✇❛♥t❡❞ t♦ ❝❤❛♥❣❡ t❤❡ ✇♦r❧❞✱ ②♦✉ ❝♦✉❧❞ ♠❛❦❡ s✉r❡ t❤❛t t❤❡ ✜rst ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r ❛ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ t❤❛t ❛♥②❜♦❞② ❧❡❛r♥❡❞ ✇❛s

y = mx + c✱ ax + by + c = 0✱

P = (1 − t)P0 + tP1 ✱ r❛t❤❡r t❤❛♥ x = x0 + f t, y = y0 + gt✳

♦r ❡✈❡♥

Disadvantage 3: unacceptable control technique ❚❤❡ ❝♦♥tr♦❧ ♦❢ ❇é③✐❡r ❛♥❞ ❇✲s♣❧✐♥❡ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s ✉s✐♥❣ ❝♦♥tr♦❧✲ tr❛❝❦ ❛♥❞ ❝♦♥tr♦❧✲♠❡s❤ ♣♦✐♥ts✖❤♦✇❡✈❡r ✐♥✢✉❡♥t✐❛❧ ✐♥ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❞❡✲ ✈❡❧♦♣♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ♠❡t❤♦❞✖✐s ♥♦t ♥♦✇ t❤❡ ♣r✐♠❛r② r❡❛s♦♥ ❢♦r t❤❡✐r ❝♦♥t✐♥✉✐♥❣ ✉s❡✳ ❲❤② s❤♦✉❧❞ t❤❡ ❇é③✐❡r ❝♦♥tr♦❧ tr❛❝❦ ❜❡ ❛ ♣❛rt✐❝✉✲ ❧❛r❧② ✐♥t✉✐t✐✈❡ ❵❤❛♥❞❧❡✬ ♦♥ ❛ ❝✉r✈❡❄ ■t ❥✉st ❞r♦♣s ♦✉t ♦❢ t❤❡ ♠❛t❤✲ ❡♠❛t✐❝s✱ r❛t❤❡r t❤❛♥ ❜❡✐♥❣ ❞❡s✐❣♥❡❞ ✇✐t❤ ❛♥② ❵❡r❣♦♥♦♠✐❝✬ ✐♥s✐❣❤t ♦r ❡①♣❡r✐♠❡♥t✳ ■t ✐s ❡✣❝✐❡♥t ✐♥ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥✱ ❜✉t ✷✺ ②❡❛rs ♦♥ ❢r♦♠ ❇é③✐❡r✬s ♦r✐❣✐♥❛❧ ♣❛♣❡r✱ t❤❛t ❛r❣✉♠❡♥t ✐s ❛s str♦♥❣ ❛s t❤❡ ♦♥❡ t❤❛t s❛②s ✇❡ s❤♦✉❧❞ ❛❧✇❛②s ♣r♦❣r❛♠ ✐♥ ❛ss❡♠❜❧② ❝♦❞❡ ✏❢♦r ❡✣❝✐❡♥❝②✑✳ ❙♦✱ t♦❞❛②✱ s❤♦✉❧❞♥✬t ✇❡ ❡①♣❡❝t t♦ s❦❡t❝❤ ❛ ❝✉r✈❡✱ ♦r ♠♦✉❧❞ ❛ s✉r❢❛❝❡

✻✹

❇❡r♥st❡✐♥✲❜❛s✐s ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s

✇✐t❤ ❛ ❞❛t❛ ❣❧♦✈❡✱ ❛♥❞ ❣❡t t❤❡ ❝♦♠♣✉t❡r t♦ ♠❛❦❡ t❤❡ ❛❝t✉❛❧ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡ t❤❛t ✇❡✬✈❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞❄ ❚❤❡ ❛♥s✇❡r ♠✉st ❜❡ ②❡s✳ ❖❢ ❝♦✉rs❡✱ ②♦✉ ❝❛♥ s❛② t❤❛t t❤❡ ❇é③✐❡r ❝♦♥tr♦❧ tr❛❝❦ ✐s ♥♦✇ ❛ tr❛✲ ❞✐t✐♦♥❛❧ t♦♦❧✱ ✇❤✐❝❤ ♠❛♥② ♣❡♦♣❧❡ ❤❛✈❡ ❣r♦✇♥ t♦ ✉♥❞❡rst❛♥❞✳ ❇✉t ❝♦♠♣✉t❡rs ❤❛✈❡ ❛ ✇❛② ♦❢ ❡❛t✐♥❣ ✉♣ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ t♦♦❧s✱ ❛♥❞ t❤❡✐r ♦✇♥ ♣r♦❣❡♥② ❛r❡ ♥♦ ❡①❝❡♣t✐♦♥✳ ■❢ t❤❡ ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥t ♦❢ ✉s❡r✲✐♥t❡r❢❛❝❡ t❡❝❤✲ ♥✐q✉❡s ✐s ❛rr❡st❡❞ ❜② ❛♥ ♦✉t❞❛t❡❞ ❧✐♥❦❛❣❡ t♦ ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❛❧❣❡❜r❛✐❝ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✱ t❤❡♥ t❤❛t ✐s ♦♥❡ ♦❢ ✐ts ❞✐s❛❞✈❛♥t❛❣❡s✳ ❚❤✐s ❝❤❛♣t❡r ✐s ❝♦♥❝❧✉❞❡❞ ✇✐t❤ ❛ ❈ ♣r♦❝❡❞✉r❡ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ ❛ ♣♦✐♥t ♦♥ ❛ ❇✲s♣❧✐♥❡ ❛t ❛ ♣❛r❛♠❡t❡r ✈❛❧✉❡ t✳ ❚❤❡ ❝♦♥tr♦❧ tr❛❝❦ ✐s ❤❡❧❞ ✐♥ t❤❡ ❛rr❛② tr❛❝❦❬♠❪✱ ❛♥❞ t❤❡ ❦♥♦t ✈❡❝t♦r ✐♥ t❤❡ ❛rr❛② ❦♥♦ts❬❪✳ ❚❤❡ s❡t❴✇❡✐❣❤ts ♣r♦❝❡❞✉r❡ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ♦♥❝❡ t♦ ✜❧❧ t❤❡ ❛rr❛② ✇❡✐❣❤ts❬♠❪✱ t❤❡♥ ❜❴s♣❧✐♥❡ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❢♦r ❡❛❝❤ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥✳ ❚❤❡s❡ ♣r♦❝❡✲ ❞✉r❡s ❞♦ ♥♦t ❝❤❡❝❦ ✐❢ t❤❡r❡ ❛r❡ ❡♥♦✉❣❤ ❦♥♦t ✈❛❧✉❡s st♦r❡❞ ✐♥ ❦♥♦ts❬❪✳ ❚❤❡r❡ s❤♦✉❧❞ ❜❡ m+k+1 ♦❢ t❤❡♠ ✇❤❡r❡ t❤❡r❡ ❛r❡ m+1 ❝♦♥tr♦❧✲tr❛❝❦ ♣♦✐♥ts ✭✜rst ✐s 0✮✱ ❛♥❞ t❤❡ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ t❤❡ ❝✉r✈❡s ✐s t♦ ❜❡ k ✳

❉✐s❛❞✈❛♥t❛❣❡s ♦❢ t❤❡ ❇❡r♥st❡✐♥ ❜❛s✐s ❢❧♦❛t ❜❴s♣❧✐♥❡✭tr❛❝❦✱✇❡✐❣❤ts✱♠✮ ❢❧♦❛t tr❛❝❦❬❪✱✇❡✐❣❤ts❬❪❀ ✐♥t ♠❀ ④ ❢❧♦❛t ♣❀ ✐♥t ✐❀ ♣ ❂ ✵✳✵❀ ❢♦r ✭✐ ❂ ✵❀ ✐ ❁❂ ♠❀ ✐✰✰✮ ♣ ❂ ♣ ✰ tr❛❝❦❬✐❪✯✇❡✐❣❤ts❬✐❪❀ r❡t✉r♥✭♣✮❀ ⑥ ✴✯ ❜❴s♣❧✐♥❡ ✯✴ ✴✯ ✯✴

Pr♦❝❡❞✉r❡ t♦ s❡t ✉♣ ❛ ❧✐st ♦❢ ✇❡✐❣❤ts✱ ♦♥❡ ❢♦r ❡❛❝❤ tr❛❝❦ ♣♦✐♥t✳

✈♦✐❞ s❡t❴✇❡✐❣❤ts✭t✱❦✱♠✱❦♥♦ts✱✇❡✐❣❤ts✮ ❢❧♦❛t t❀ ✐♥t ❦✱♠❀ ❢❧♦❛t ❦♥♦ts❬❪✱✇❡✐❣❤ts❬❪❀ ④ ❢❧♦❛t ✇t✭✮❀ ✐♥t ✐❀ ❢♦r ✭✐ ❂ ✵❀ ✐ ❁❂ ♠❀ ✐✰✰✮ ✇❡✐❣❤ts❬✐❪ ❂ ✇t✭t✱✐✱❦✱❦♥♦ts✮❀ ⑥ ✴✯ s❡t❴✇❡✐❣❤ts ✯✴ ✴✯ ✯✴

❘❡❝✉rs✐✈❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ ❛ ✇❡✐❣❤t ✈❛❧✉❡ ❢♦r ♦♥❡ ❝♦♥tr♦❧✲tr❛❝❦ ♣♦✐♥t✳

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❇❡r♥st❡✐♥✲❜❛s✐s ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s

❢❧♦❛t ✇t✭t✱✐✱❦✱❦♥♦ts✮ ❢❧♦❛t t❀ ✐♥t ✐✱❦❀ ❢❧♦❛t ❦♥♦ts❬❪❀ ④ ❢❧♦❛t ❛✱❜✱❝✱❞❀ ✐❢✭❦ ❂❂ ✶✮ ④ ✐❢✭✭t ❃❂ ❦♥♦ts❬✐❪✮ ✫✫ ✭t ❁ ❦♥♦ts❬✐✰✶❪✮✮ r❡t✉r♥✭✶✳✵✮❀ ❡❧s❡ r❡t✉r♥✭✵✳✵✮❀ ⑥ ❡❧s❡ ④ ❛ ❂ ✭t ✲ ❦♥♦ts❬✐❪✮✯✇t✭t✱✐✱❦✲✶✱❦♥♦ts✮❀ ❜ ❂ ❦♥♦ts❬✐✰❦✲✶❪ ✲ ❦♥♦ts❬✐❪❀ ❝ ❂ ✭❦♥♦ts❬✐✰❦❪ ✲ t✮✯✇t✭t✱✐✰✶✱❦✲✶✱❦♥♦ts✮❀ ❞ ❂ ❦♥♦ts❬✐✰❦❪ ✲ ❦♥♦ts❬✐✰✶❪❀ ✴✯ ❆✈♦✐❞ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❜② ③❡r♦ ✯✴ ✐❢ ✭❜ ❂❂ ✵✳✵✮ ❛ ❂ ✶✳✵❀ ❡❧s❡ ❛ ❂ ❛✴❜❀ ✐❢ ✭❞ ❂❂ ✵✳✵✮ ❝ ❂ ✶✳✵❀ ❡❧s❡ ❝ ❂ ❝✴❞❀ ⑥ ⑥ ✴✯ ✇t ✯✴

r❡t✉r♥✭❛✰❝✮❀

5 General implicit curves and surfaces

❚❤❡ ❣r❡❛t ❛❞✈❛♥t❛❣❡ ♦❢ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s ✐s t❤❛t ✇❡ ❝❛♥ ❜♦✉♥❞ t❤❡♠ s✐♠♣❧② ❜② ♣✉tt✐♥❣ ❧✐♠✐ts ♦♥ ♣❛r❛♠❡t❡r ✈❛❧✉❡s❀ t❤❡✐r ❣r❡❛t ❞✐s❛❞✈❛♥t❛❣❡ ✐s t❤❛t ✇❡ ❝❛♥♥♦t ❡❛s✐❧② ✜♥❞ ♦✉t ♦♥ ✇❤✐❝❤ s✐❞❡ ♦❢ ❛ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡ ❛ ♣♦✐♥t ❧✐❡s✳ ❚❤❡ s✐t✉❛t✐♦♥ ❢♦r ✐♠♣❧✐❝✐ts ✐s r❡✈❡rs❡❞✳ ■t ✐s ♥♦t ❡❛s② t♦ ❜♦✉♥❞ t❤❡♠❀ ✇❡ ♠✉st ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ♣r♦✈✐❞❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❡❧❡♠❡♥ts✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞ t❤❡② ❛r❡ ♥❛t✉r❛❧❧② ❤❛❧❢✲s♣❛❝❡s✱ ❛♥❞ ✜♥❞✐♥❣ ♦✉t ♦♥ ✇❤✐❝❤ s✐❞❡ ♦❢ ✐♠♣❧✐❝✐ts ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ♣♦✐♥t ❧✐❡s ❢❛❧❧s ♦✉t ♦❢ t❤❡✐r ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❙♦ ❢❛r✱ t❤❡ ♦♥❧② ✐♠♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥s ✇❡ ❤❛✈❡ s❡❡♥ ❛r❡ t❤♦s❡ ♦❢ t❤❡ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ ❛♥❞ t❤❡ ❝♦♥✐❝s ✐♥ t✇♦ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ ❛♥❞ ♦❢ t❤❡ ♣❧❛♥❡ ❛♥❞ q✉❛❞r✐❝s ✐♥ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✳ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡s❡ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s ❤❛r❞❧② ♥❡❡❞s ❡❧❛❜♦r❛t✐♥❣❀ ❛♥❞ ❛♥②✇❛② t❤❡② ❛❧❧ ❤❛✈❡ ♣❛r❛✲ ♠❡tr✐❝ ❢♦r♠s ✭❛❧❜❡✐t r❛t✐♦♥❛❧ ♦♥❡s ✐♥ s♦♠❡ ❝❛s❡s✮✳ ❙♦ ✇❤❡r❡ ❞♦ ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ✐♠♣❧✐❝✐t ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s ❝♦♠❡ ❢r♦♠❄ ❙♦♠❡ s❤❛♣❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ❛r❡ ❜❛s❡❞ ❡①❝❧✉s✐✈❡❧② ♦♥ ❤✐❣❤✲❞❡❣r❡❡ ✐♠♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❲❡ ♠❛② ✇✐s❤ t♦ ❤❛✈❡ ♣✐❡❝❡s ♦❢ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ s✉r❢❛❝❡ ✐♥ ❛ s❤❛♣❡ ♠♦❞❡❧ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ✐♥s✐❞❡✴♦✉ts✐❞❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s ❛r❡ ✈❡r② ✐♠♣♦rt❛♥t ✭❡✳❣✳ ❛ s♦❧✐❞ ♠♦❞❡❧✮✳ ■❢ ❛❧❧ t❤❡ s✐♠♣❧❡ s✉r❢❛❝❡s ❛r❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t❡❞ ❛s ✐♠♣❧✐❝✐ts✱ ✐t ♠❛❦❡s s❡♥s❡ t♦ ✉s❡ ✐♠♣❧✐❝✐t ❢♦r♠s ❢♦r t❤❡ ♦t❤❡r ❜✐ts✱ ✐❢ ✇❡ ❝❛♥✳ ✭◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ ❵❡♥❣✐♥❡❡r✐♥❣✬ s✉r❢❛❝❡s ❛r❡ q✉❛❞r✐❝s✱ ❛♥❞ s♦ ✇✐t❤ ✐♠♣❧✐❝✐ts ✇❡ ❞♦ ♥♦t ♥❡❡❞ t♦ ❣❡t ✐♥✈♦❧✈❡❞ ✇✐t❤ r❛t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ❝♦♥s✐❞❡r❛❜❧❡ s✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥✿ ❛♥❞ ❥✉st ❛s ✇❡❧❧✱ s✐♥❝❡ ✐t ✐s ♠♦r❡ ❞✐✣❝✉❧t t♦ ❣✉❛r❛♥t❡❡ ❛ ♥♦♥✲③❡r♦ ❞❡♥♦♠✐♥❛t♦r ✇❤❡♥ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ♥♦t ❧♦❝❛❧✐③❡❞ t♦ ❛ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ✐♥t❡r✈❛❧✳✮

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●❡♥❡r❛❧ ✐♠♣❧✐❝✐t ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s

✺✭✐✮✖❚❤✐s ✐s ❛♥ ✐♥❢♦r♠❛❧ ✐❧❧✉str❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✇❛② ✐♥ ✇❤✐❝❤ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❛♥❞ ✐♠♣❧✐❝✐t ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❡❧❡♠❡♥ts ❝❡❛s❡ t♦ ❜❡ ✐♥✲ t❡r❝❤❛♥❣❡❛❜❧❡ ❛s ❝♦♠♣❧❡①✐t② ✐♥❝r❡❛s❡s✳

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❢❛❝t♦

✐♥ ♣❛t❝❤✲

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Blends

▼❛♥② ❤✐❣❤✲❞❡❣r❡❡ ✐♠♣❧✐❝✐ts ♠❛② ❜❡ ✈✐❡✇❡❞ ❛s ✿ t❤❛t ✐s✱ ❛ ❝♦♠✲ ❜✐♥❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ❛ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✐♠♣❧❡r ❡❧❡♠❡♥ts✖s❡❡✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✺✭✐✐✐✮✳ ❚❤❡ ✜rst ♦❢ t❤❡s❡ ❜❧❡♥❞✐♥❣ ✐❞❡❛s ✇❛s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❜② ❘✐❝❝✐ ✭✐♥ ❤✐s ✶✾✼✸ ♣❛♣❡r✮✳ ❍❡ t♦♦❦ ❛ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐♠♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥s f (x, y, z)✱ ✇❤❡r❡ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡s❡ ♠✐❣❤t ❜❡ ❛ s♣❤❡r❡✱ ❝♦♥❡✱ ♦r ✇❤❛t❡✈❡r✱ ❛♥❞ ❝♦♠❜✐♥❡❞ t❤❡♠ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ❜❧❡♥❞s

i

f ′ = (f1−w + f2−w + · · · + fn−w )w .

❚❤✐s ❡q✉❛t✐♦♥ ❣❡♥❡r❛t❡s ❛♥ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ t♦ t❤❡ s❡t✲t❤❡♦r❡t✐❝ ♦❢ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ s❤❛♣❡s✿ ✐♥ ❢❛❝t ❛ ♥❡✇ s✉r❢❛❝❡ t❤❛t ✐s ❛ ❵❜❛❣✬ ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛❧❧ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ s❤❛♣❡s✳ ❆s t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ w ✐s ✐♥❝r❡❛s❡❞✱ t❤❡ ❜❛❣ s❤r✐♥❦s

✉♥✐♦♥

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✐t✬s ❛❧✇❛②s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❞♦ t❤✐s❀ t❤❡ r❡✈❡rs❡ ♦♣❡r❛t✐♦♥✱ ♣❛r❛♠❡t❡r✐✲

③❛t✐♦♥ ✭❣♦✐♥❣ ❢r♦♠ ✐♠♣❧✐❝✐t t♦ ♣❛r❛♠❡tr✐❝✮✱ ✐s ♥♦t ❛❧✇❛②s ♣♦ss✐❜❧❡✳

✼✵

●❡♥❡r❛❧ ✐♠♣❧✐❝✐t ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s

✺✭✐✐✮✖❆ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡ s❡❣♠❡♥t ✭t❤❡ t❤✐❝❦ ❧✐♥❡✮ ✇❤✐❝❤ ✐ts❡❧❢ ✐s ♣❡r❢❡❝t❧② ✇❡❧❧✲❜❡❤❛✈❡❞ ♠❛② ♥❡✈❡rt❤❡❧❡ss ❝♦♥t❛✐♥ ❛ s❡❧❢✲✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ✐♠♣❧✐❝✐t ❝✉r✈❡✳ ♦♥ t♦ t❤❡ ♦❜❥❡❝ts✳ ✭❘✐❝❝✐ ❛❧s♦ ❣❛✈❡ ❛ s✐♠✐❧❛r ❢♦r♠✉❧❛ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ ❛♥ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ t♦ t❤❡ r❡❣✐♦♥ s❤❛r❡❞ ❜② ❛❧❧ t❤❡ s❤❛♣❡s✖t❤❡✐r s❡t✲ t❤❡♦r❡t✐❝ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✖❜✉t t❤✐s ✐s ❜❡②♦♥❞ ♦✉r ♣r❡s❡♥t s❝♦♣❡✳✮ ■♥ t❤✐s ❢♦r♠✉❧❛✱ t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ ❡❛❝❤ f ✐s ❢❡❧t ♦✈❡r ❛❧❧ s♣❛❝❡✱ ❛❧❜❡✐t ❞✐♠✐♥✐s❤✐♥❣ q✉✐❝❦❧②✳ ▲❛t❡r ✭✐♥ ✶✾✽✷✮ ❇❧✐♥♥ ❝❛♠❡ ♦✉t ✇✐t❤ ❛ ✈❛r✐❛t✐♦♥ ♦♥ t❤✐s t❡❝❤♥✐q✉❡ ❢♦r ♠♦❧❡❝✉❧❛r ♠♦❞❡❧❧✐♥❣✱ ✇❤❡r❡ ❡❛❝❤ f ✐s ❛ s♣❤❡r❡ ❡q✉❛t✐♦♥✳ ❇❧✐♥♥ ✉s❡❞ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧s✱ ❛♥❞ ❤❡ ♣r❛❣♠❛t✐❝❛❧❧② ♥❡❣❧❡❝t❡❞ ✈❡r② s♠❛❧❧ ✈❛❧✉❡s ❛s t❤❡ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧s ❞❡❝❛②❡❞ ❛✇❛② ❢r♦♠ ❡❛❝❤ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❵❛t♦♠✬✳ ❆ ♠♦r❡ str✉❝t✉r❡❞ ✇❛② ♦❢ ❞❡❛❧✐♥❣ ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s t❤❡ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❘✐❝❝✐✬s ❜❧❡♥❞ ❞✉❡ t♦ ❘♦❝❦✇♦♦❞ ❛♥❞ ❖✇❡♥❀ ✐♥ ❡ss❡♥❝❡✱ t❤❡✐r ❜❧❡♥❞ ✐s✿ i

i

f′ =

[ max((1 − f1 ), 0)w + max((1 − f2 ), 0)w

✳✳

+ 1 + max((1 − fn ), 0)w ] w .

❚❤❡ ❲②✈✐❧❧s✬ ❵s♦❢t ♦❜❥❡❝t✬ s②st❡♠ ✭s❡❡ ❲②✈✐❧❧✱ ▼❝P❤❡❡t❡rs ❛♥❞ ❲②✈✐❧❧✬s ✶✾✽✻ ♣❛♣❡r✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ♦♥❧② ♦♥❡ ♦❢ ❛ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t❤❡✐r ♣✉❜❧✐❝❛t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ s✉❜❥❡❝t✮ ❛✈♦✐❞s ✈❛r✐❛❜❧❡ ❡①♣♦♥❡♥ts✳ ❚❤❡

❇❧❡♥❞s

✼✶

❢✉♥❝t✐♦♥s ✇❤✐❝❤ t❤❡② ❜❧❡♥❞ t♦❣❡t❤❡r ❛r❡ ♣♦✐♥ts ✭✐✳❡✳ s♣❤❡r❡s ♦❢ ③❡r♦ r❛❞✐✉s fi = (x − xi )2 + (y − yi )2 + (z − zi )2 ✮ ❛♥❞ t❤❡② ❝♦♠❜✐♥❡ t❤❡♠ ✇✐t❤ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥✿ f′ =

n  X 1



−0.44fi3 + 1.89fi2 − 2.44fi + 1 .

❚❤✐s ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✐s ❛♥ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ t♦ ❛ ❝✉❜✐❝ ✐♥ ❞✐st❛♥❝❡ ✭r❛t❤❡r t❤❛♥ sq✉❛r❡❞ ❞✐st❛♥❝❡✮✱ ❛♥❞ ❜❡❝♦♠❡s ③❡r♦ ❛t fi = 1✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ❣♦♦❞ ❛♥❛❧♦❣② ✇✐t❤ s♣❧✐♥❡s ✐♥ t❤❡s❡ ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥ts✿ t❤❡ s❡❛r❝❤ ❢♦r ❧♦❝❛❧✐③❡❞ ❡✛❡❝t ♦❢ ❡❛❝❤ ❞❛t❛ ✈❛❧✉❡ ✭❡❛❝❤ ✐♠♣❧✐❝✐t ♣♦❧②♥♦✲ ♠✐❛❧ ❜❡✐♥❣ ❜❧❡♥❞❡❞ t♦❣❡t❤❡r✱ ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡✮✱ t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ ❡❝♦♥♦♠② ✐♥ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥✳ ❆♥♦t❤❡r ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ✐s t❤❛t t❤❡s❡ ❢♦r♠✉❧❛✲ t✐♦♥s ❛❝t✉❛❧❧② ❜❡❤❛✈❡ q✉✐t❡ ✇❡❧❧✱ ❞❡s♣✐t❡ ❜❡✐♥❣ ♣♦t❡♥t✐❛❧❧② ✈❡r② ❤✐❣❤ ❞❡❣r❡❡ ✭✐♥❞❡❡❞✱ ♦♥❧② t❤❡ ❲②✈✐❧❧s✬ ❢♦r♠✉❧❛ ✐s ❛❝t✉❛❧❧② ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✮✳ ◆♦r ✐s t❤❡r❡ ❛ ❤✐❣❤ st♦r❛❣❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t❀ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♥❡❝❡ss✐t② t♦ st♦r❡ ❛❧❧ t❤❡ t❡r♠s t❤❛t ✇♦✉❧❞ ❜❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ✐♠♣❧✐❝✐t ♦❢ t❤❡ s❛♠❡ ❞❡❣r❡❡✳ ■♥st❡❛❞ ♦❢ ❝♦♥tr♦❧❧✐♥❣ t❤❡ ❜❧❡♥❞ s✉r❢❛❝❡ ❜② r❛♥❣❡✱ ✇❡ ❝❛♥ ✉s❡ ②❡t ♠♦r❡ ✐♠♣❧✐❝✐ts ❛s ❜♦✉♥❞✐♥❣ ❣❡♦♠❡tr②✳ ■♥ t❤❡ ▲✐♠✐♥❣ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥✱ f ′ = (1 − u)(f1 f2 · · · fm ) + u(g12 g22 · · · gn2 ),

t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ s✉r❢❛❝❡ f ′ r✉♥s ❜❡t✇❡❡♥ ❛❧❧ t❤❡ ❝✉r✈❡s ✇❤❡r❡ t❤❡ s✉r✲ ❢❛❝❡s fi ♠❡❡t t❤❡ s✉r❢❛❝❡s gj ✳ ❲❤❛t✬s ♠♦r❡✱ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ t❡r♠s gj ❛r❡ sq✉❛r❡❞✱ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ❣❡♥❡r❛t❡❞ ✐s t❛♥❣❡♥t t♦ t❤❡ s✉r❢❛❝❡s fj ❛t t❤♦s❡ ❝✉r✈❡s✳ ❆s ②♦✉ s❡❡ ✐♥ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✺✭✐✐✐✮✱ t❤❡ s❡t✲t❤❡♦r❡t✐❝ ✐♥✲ t❡rs❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❤❛❧❢✲s♣❛❝❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ s✉r❢❛❝❡s fi ❛♥❞ gj ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❜♦✉♥❞ t❤❡ ❜❧❡♥❞✿ (f1 ≤ 0) ∩ (f2 ≤ 0) ∩ . . . ∩ (gn ≤ 0).

❇② s✇❛♣♣✐♥❣ ❛♥② ♦r ❛❧❧ ♦❢ t❤❡ ❵ ≤✬s ❢♦r ❵≥✬s✱ t❤❡ s❡ts t❤❛t t❤❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❞❡✜♥❡ ❛r❡ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❡❞✱ ❛♥❞ t❤❡ r❡❣✐♦♥ ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❜❧❡♥❞ ✐s ❝♦♥✜♥❡❞ ✐s ❝❤❛♥❣❡❞✳ ❚❤✐s ❧✐♥❡ ♦❢ t❤♦✉❣❤t ❧❡❛❞s ✭②❡t ❛❣❛✐♥✮ t♦ s♦❧✐❞ ♠♦❞❡❧❧✐♥❣ t♦♣✐❝s ❜❡②♦♥❞ ♦✉r s❝♦♣❡✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ q✉✐t❡ ❛ ❢❡✇ ♠♦r❡ ❜❧❡♥❞s ✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ♣r♦❞✉❝❡ ❤✐❣❤✲❞❡❣r❡❡ ✐♠♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ ②♦✉ ✇✐❧❧ ♥♦t✐❝❡ t❤❛t ♥♦t ✈❡r② ♠✉❝❤ ❤❛s ❜❡❡♥ s❛✐❞ ❛❜♦✉t t❤❡ t❡r♠s fi ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❣❛✐❧② ❜❧❡♥❞✲ ✐♥❣ t♦❣❡t❤❡r✳ ■♥ ❢❛❝t ✇❡ ❝❛♥ ❜❧❡♥❞ ❜❧❡♥❞s✱ ❛♥❞ ✐♥❞❡❡❞ ♣r♦❞✉❝❡ ❛s ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛s ❛♥②♦♥❡ ♠✐❣❤t ❢❛♥❝②✳

✼✷

●❡♥❡r❛❧ ✐♠♣❧✐❝✐t ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s

✺✭✐✐✐✮✖❆ t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ▲✐♠✐♥❣ ❜❧❡♥❞ ✭t❤❡ t❤✐❝❦ ❝✉r✈❡✮ ✐s ❢♦r♠✉❧❛t❡❞ ❛s (1 − u)AB + uC ✱ s♦ t❤❛t ✐t ❜❧❡♥❞s ❝✉r✈❡s ❆ ❛♥❞ ❇✱ ❛♥❞ ✐s ❝♦♥tr♦❧❧❡❞ ❜② ❈✳ ❚❤❡ ❝♦♥st❛♥t u ❤❛s ❛ ✈❛❧✉❡ ❜❡t✇❡❡♥ 0 ❛♥❞ 1 ❛♥❞ ✐s ✉s❡❞ t♦ ❝♦♥tr♦❧ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ ❜❧❡♥❞✳ ❆s u ❛♣♣r♦❛❝❤❡s 0 t❤❡ ❜❧❡♥❞ ❣❡ts ❝❧♦s❡r t♦ A ❛♥❞ B❀ ❛s u ❛♣♣r♦❛❝❤❡s 1 t❤❡ ❜❧❡♥❞ ❣❡ts ❝❧♦s❡r t♦ C ✳ ❚❤❡ ❡①t❡♥t ♦❢ t❤❡ ❜❧❡♥❞ ❝❛♥ ❝♦♥✈❡♥✐❡♥t❧② ❜❡ ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② t❤❡ s❡t✲t❤❡♦r❡t✐❝ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❤❛❧❢✲s♣❛❝❡s ❢♦r♠❡❞ ❢r♦♠ ❆✱ ❇ ❛♥❞ ❈✿ 2

(A ≥ 0) ∩ (B ≤ 0) ∩ (C ≤ 0).

✼✸

❙♦♠❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ✐♠♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥s

Some properties of implicit equations ■t ✐s ✐♥ t❤❡♦r② ❡❛s② t♦ ❞❡t❡❝t ✇❤❡♥ ❛ ♣♦✐♥t ❧✐❡s ♦♥ ❛♥ ✐♠♣❧✐❝✐t ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡❀ ✐❢ t❤❡ ♣♦✐♥t ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ❛r❡ s✉❜st✐t✉t❡❞ ✐♥t♦ t❤❡ ❡q✉❛✲ t✐♦♥✱ t❤❡ r❡s✉❧t ✐s ③❡r♦✳ ■♥ ♣r❛❝t✐❝❡✱ ♦❢ ❝♦✉rs❡✱ s♦♠❡ ❢✉❞❣❡ ❢❛❝t♦r ✐s ✉♥❢♦rt✉♥❛t❡❧② ✐♥❡✈✐t❛❜❧❡✱ ❛♥❞ ❝❤♦♦s✐♥❣ ✐ts ✈❛❧✉❡ ✐s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ❡❛s②✳ ❲❡ ❝❛♥ ❛❧s♦ ✜♥❞ t❤❡ ♥♦r♠❛❧ t♦ t❤❡ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡ ❜② ♣❛rt✐❛❧ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♦♥✳ ■❢ f = 0 ✐s ❛ ✐♠♣❧✐❝✐t s✉r❢❛❝❡✱ t❤❡ ♥♦r♠❛❧ ✭♥♦t ❛ ✉♥✐t ✈❡❝t♦r✮ ✐s t❤❡ ❣r❛❞ ♦❢ t❤❡ s✉r❢❛❝❡✿ ▽f =

∂f ∂f ∂f , , ∂x ∂y ∂z

!

.

❆s ✇✐❧❧ ❜❡ ❤❛♠♠❡r❡❞ ❤♦♠❡ ✐♥ ❈❤❛♣t❡r ✶✶✱ ♦♥❧② t❤❡ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ ❛♥❞ ♣❧❛♥❡ ②✐❡❧❞ ❞✐st❛♥❝❡ ✐❢ ❛ ♣♦✐♥t ✐s s✉❜st✐t✉t❡❞ ✐♥t♦ t❤❡✐r ❡q✉❛✲ t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ❝✐r❝❧❡ ❛♥❞ s♣❤❡r❡ ❣✐✈❡ sq✉❛r❡❞ ❞✐st❛♥❝❡❀ ✇❡ ❝❛♥ t❤✐♥❦ ♦❢ t❤❡♠ ❛s ♥♦t❤✐♥❣ ♠♦r❡ t❤❛♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❝♦♥t♦✉rs ♦❢ ❞✐st❛♥❝❡ ❢r♦♠ ❛ ♣♦✐♥t✳ ❆❧t❤♦✉❣❤ t❤❡ r❡s✉❧t ♦❢ s✉❜st✐t✉t✐♥❣ t❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ♦❢ ❛ ♣♦✐♥t ✐♥t♦ ❛♥ ✐♠♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥ ✐s ♥♦t t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ t♦ t❤❛t ♣♦✐♥t✱ ✐t ✐s ❛ ✈❛❧✉❡ t❤❛t ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥❝r❡❛s❡s ❛s ✇❡ ❣❡t ❢✉rt❤❡r ❢r♦♠ t❤❡ ❝✉r✈❡✳ ❲❡ ❝❛❧❧ t❤✐s ❛ ♣❡♥❛❧t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ✳ ❚❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ ♣❡♥❛❧t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❞✐st❛♥❝❡ ✐s ❛ s❧✐♣♣❡r② ♦♥❡✳ ❏✉st ❜② t❤✐♥❦✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣❡♥❛❧t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥s✐❞❡ ❛♥ ❡❧❧✐♣s❡✱ ②♦✉ ❝❛♥ s❡❡ t❤❛t ②♦✉ ❝❛♥ st❛② ♦♥ ❛ ❝✉r✈❡ ♦❢ ❝♦♥st❛♥t ♣❡♥❛❧t② ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ❛♥❞ ②❡t ❣❡t ♥❡❛r❡r t♦ ❛♥❞ ❢✉rt❤❡r ❢r♦♠ t❤❡ ❛❝t✉❛❧ s✉r❢❛❝❡✳ ■❢ ✇❡ ❡✈❛❧✉❛t❡ t❤❡ ♣❛rt✐❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r ❛ ♣♦✐♥t ♦✛ t❤❡ s✉r❢❛❝❡✱ ✇❡ ❣❡t ❛ ♥♦r♠❛❧ t♦ t❤❡ ♣❡♥❛❧t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝♦♥t♦✉r✳ ❋♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❛t ♥♦r♠❛❧ ♣r♦❞✉❝❡s ❛ ❝✉r✈❡ ♦❢ ❵st❡❡♣❡st ❞❡s❝❡♥t✬✳ ❍♦✇❡✈❡r t❤❡ ♥♦r♠❛❧ t♦ t❤❡ ♣❡♥❛❧t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❛ ❧♦❝❛❧ ♣r♦♣❡rt②✱ ❛♥❞ s♦ t❤❡ ❝✉r✈❡ ♦❢ st❡❡♣❡st ❞❡s❝❡♥t ✐s ♥♦t q✉✐❝❦❡st r♦✉t❡ t♦ t❤❡ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡✿ ✇❤✐❝❤ ✐s ❤❛r❞❧② s✉r♣r✐s✐♥❣✱ s✐♥❝❡ ✐t✬s ❛ ❝✉r✈❡✳ ❯s✐♥❣ ❤✐❧❧✲❝❧✐♠❜✐♥❣ ♠❡t❤♦❞s ✷ ✇✐t❤ ♣❡♥❛❧t② ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐s ♦❢t❡♥ ❛♥ ❡✛❡❝t✐✈❡ ✇❛② t♦ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ ✐♠♣❧✐❝✐t ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s✱ ❜✉t ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❞✐✣❝✉❧t t♦ s❤♦✇ t❤❛t ♠❡t❤♦❞s ✇✐❧❧ ❛❧✇❛②s ✇♦r❦✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✷ ❖♥❡

♠✐❣❤t ✐♠❛❣✐♥❡ t❤❛t ❵♠❡t❤♦❞s ♦❢ st❡❡♣❡st ❞❡s❝❡♥t✬ ✇❡r❡ t❡❝❤♥✐q✉❡s ♦❢

❛ ❞✐❛♠❡tr✐❝❛❧❧② ♦♣♣♦s✐t❡ s♦rt❀ ✐♥ ❢❛❝t t❤❡② ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡❀ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❵❛s❝❡♥t✬ ❛♥❞ ❵❞❡s❝❡♥t✬ ✐s ♥♦t✐♦♥❛❧✱ ❥✉st ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ ♦♥❡ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ s✐❣♥✳

✼✹

●❡♥❡r❛❧ ✐♠♣❧✐❝✐t ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s

■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✺✭✐✈✮ s❤♦✇s ❛ s✐t✉❛t✐♦♥ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ♠♦✈✐♥❣ ✉♣❤✐❧❧ ❝❛♥ ❧❡❛❞ t♦ ❛ ❧♦❝❛❧ ♠❛①✐♠✉♠ ♦❢ t❤❡ ♣❡♥❛❧t② ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ■♥ s♦♠❡ ❝❛s❡s✱ ✇❡ ✇❛♥t t❤❡ ♣❡♥❛❧t② ❢✉♥❝t✐♦♥ t♦ ❜❡❤❛✈❡ ❧✐❦❡ tr✉❡ ❞✐st❛♥❝❡ ✐♥ ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❧♦❝❛❧✐t② ✭❡✳❣✳ t❤❡ r❡❣✐♦♥ ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❝✉r✈❡ ♦❢ s✉r❢❛❝❡ ✐s ❛❝t✉❛❧❧② ❢♦r♠✐♥❣ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ♦❢ ❛♥ ♦❜❥❡❝t✮✳ ❖❜✲ ✈✐♦✉s❧②✱ ✇❡ ❝❛♥ ♠✉❧t✐♣❧② t❤❡ ✇❤♦❧❡ ❡q✉❛t✐♦♥ t❤r♦✉❣❤ ❜② ❛ ❝♦♥st❛♥t✱ s♦ t❤❛t t❤❡ ❡✈❛❧✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ❛t t❤❡ ♣♦✐♥t ♦❢ ✐♥t❡r❡st r❡❛❧❧② ❞♦❡s ♠❛t❝❤ tr✉❡ ❞✐st❛♥❝❡ ✭✐❢ ✇❡ ❦♥♦✇ ✇❤❛t t❤❛t s❤♦✉❧❞ ❜❡✮✳ ❲❡ ❝❛♥ ❢✉rt❤❡r ✐♠♣r♦✈❡ t❤❡ r❡s❡♠❜❧❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♣❡♥❛❧t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛t t❤❛t ♣♦✐♥t t♦ ❛ ❣❡♥✉✐♥❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❜② ♠❛❦✐♥❣ ♠♦r❡ ❉r❛❝♦♥✐❛♥ ♠♦❞✐✜❝❛t✐♦♥s t♦ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❝r✉❞❡ ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ t❛❦✐♥❣ t❤❡ nt❤ r♦♦t ♦❢ ❛ ❞❡❣r❡❡ n ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ❝❛♥ r❡❞✉❝❡ t❤❡ ♠❛❣♥✐t✉❞❡ ♦❢ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♥❡❛r❡r t♦ ✉♥✐t②✳ ❲❡ ❝❛♥ ❛❧s♦ ♠✉❧t✐♣❧② t❤r♦✉❣❤ ❜② ❛♥ ❛✉①✐❧✐❛r② ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✭❡✳❣✳ ❛ ♣❧❛♥❡✮ ❛♥❞ ✐♥ t❤✐s ✇❛② ❣❡t ❜♦t❤ ♠❛❣♥✐t✉❞❡ ❛♥❞ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s❧♦♣❡ t♦ ♠❛t❝❤ ❛ tr✉❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❧♦❝❛❧❧② ✳ ❇✉t ❜❡ ✈❡r② ❝❛r❡❢✉❧ ❛❜♦✉t t❤✐s s♦rt ♦❢ t❤✐♥❣❀ ✐t t❡♥❞s t♦ ❝❛✉s❡ ♦t❤❡r ♣r♦❜❧❡♠s✱ ❡s♣❡❝✐❛❧❧② ✐♥ r❡❣✐♦♥s ❛✇❛② ❢r♦♠ t❤❡ ♠❛❣✐❝ ♣♦✐♥t✳ ❚❛❦✐♥❣ ❛ r♦♦t✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ♠❡❛♥s ❝♦♥s✐❞❡r❛❜❧② ♠♦r❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥✱ ♥❡❣❛t✐✈❡ ✈❛❧✉❡s ♥❡❡❞ s♣❡❝✐❛❧ ❤❛♥❞❧✐♥❣✱ ❛♥❞ ✐♥ s♦♠❡ r❡❣✐♦♥s t❤❡ ♣❡♥❛❧t② ❢✉♥❝✲ t✐♦♥ ♠❛② ❜❡❝♦♠❡ ❧❡ss ❧✐❦❡ ❞✐st❛♥❝❡✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✐❢ t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✐s x3 − y ✱ ❛♥❞ ✇❡ t❛❦❡ ✐ts ❝✉❜❡ r♦♦t✱ ♦❜✈✐♦✉s❧② ✈❛❧✉❡s ♥❡❛r t❤❡ y ❛①✐s ✇✐❧❧ ❜❡❝♦♠❡ ♠♦r❡ ❧✐❦❡ ❞✐st❛♥❝❡✱ ❜✉t ✈❛❧✉❡s ♥❡❛r t❤❡ x ❛①✐s ✇✐❧❧ ❜❡❝♦♠❡ ❧❡ss ❧✐❦❡ tr✉❡ ❞✐st❛♥❝❡✳ ❆♥❞ ✐❢ ✇❡ ♠✉❧t✐♣❧② ❜② ❛♥♦t❤❡r ♣♦❧②✲ ♥♦♠✐❛❧✱ ✇❡ ❛r❡ ❛❝t✉❛❧❧② ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ ❛♥♦t❤❡r ♣✐❡❝❡ ♦❢ s✉r❢❛❝❡❀ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ③❡r♦ ♦♥ t❤❡ ❛✉①✐❧✐❛r② ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❛s ✇❡❧❧ ❛s ♦♥ t❤❡ ♦r✐❣✐✲ ♥❛❧ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡✳ ❯s✉❛❧❧②✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ✈❡r② s✉r❡ t❤❛t t❤❡ ❛✉①✐❧✐❛r② ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❞♦❡s ♥♦t ❡♥t❡r ❛♥② r❡❣✐♦♥ ♦❢ s♣❛❝❡ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❛r❡ ❛❝t✉❛❧❧② ✐♥t❡r❡st❡❞✳ Bernstein-basis implicit curves and surfaces

❲❤❡♥ ✇❡ ❛r❡ ♦♥❧② ✇♦r❦✐♥❣ ✇✐t❤✐♥ ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r r❡❣✐♦♥✱ ♦♥❡ ♦♣t✐♦♥ t❤❛t ✇❡ ❤❛✈❡ ✐s t♦ ✉s❡ t❤❡ ❇❡r♥st❡✐♥ ❢♦r♠ ♦❢ t❤❡ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡✳ ■t✬s ♦❢t❡♥ ♥♦t ❛♣♣r❡❝✐❛t❡❞ t❤❛t ✐♠♣❧✐❝✐t ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ❤❛✈❡ ❛ ❇❡r♥st❡✐♥ ❢♦r♠✳ ❚❤❡② ❞♦ ✭s❡❡ P❛tr✐❦❛❧❛❦✐s ❛♥❞ ❑r❡✐③✐s✬ ✶✾✽✾ ♣❛♣❡r✮❀ ✐t ✐s ❞❡✜♥❡❞ ✇✐t❤✐♥ ❛ r❡❝t❛♥❣✉❧❛r ♦r ❝✉❜♦✐❞❛❧ r❡❣✐♦♥✱ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ t♦ t❤❡ ❛①❡s✱ ❛♥❞ ✐s ❢♦r♠✉❧❛t❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❝♦r♥❡r ✈❡rt✐❝❡s ❛♥❞ ❛ s❡t ♦❢

❙♦♠❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ✐♠♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥s

✺✭✐✈✮✖❆ ❧♦❝❛❧ ♠❛①✐♠✉♠ ✐♥ t❤❡ ♣❡♥❛❧t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ♥❡❛r ❛♥ ✐♠♣❧✐❝✐t ❝✉r✈❡❀ t❤❡ ❝♦♥t♦✉rs ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ ✈❛❧✉❡s ♦❢ f (x, y)✳

✼✺

●❡♥❡r❛❧ ✐♠♣❧✐❝✐t ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s

✼✻

✇❡✐❣❤ts✳

❍❡r❡ ✐s t❤❡ t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✈❡rs✐♦♥✱ ❢♦r t❤❡ r❡❣✐♦♥

x ≤ x 1 , y0 ≤ y ≤ y 1 ✿ f=

n m X X

x0 ≤

wij Bi,m (x)Bj,n (y),

i=0 j=0

✇❤❡r❡

x − x0 m! Bi,m (x) = (n − i)!i! x1 − x0 

❛♥❞ s✐♠✐❧❛r❧② ❢♦r

y✳

i 

x1 − x x1 − x0

m−i

❲❡ ❝❛♥ ❡✈❡♥ ♠❛♥✐♣✉❧❛t❡ t❤❡ ❝✉r✈❡ ✭♦r s✉r❢❛❝❡✮ ✉s✐♥❣ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts

wij ❀

❜✉t ✐t✬s ♥♦t r❡❛❧❧② t❤❡ s❛♠❡ ✐♥t❡r❛❝t✐✈❡ t♦♦❧ ❛s t❤❡ ❇é③✐❡r ❝♦♥✲

tr♦❧ tr❛❝❦❀ ❢✉rt❤❡r✱ ✐t ❞♦❡s♥✬t ❤❛✈❡ t❤❡ s❛♠❡ ❛❞✈❛♥t❛❣❡ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ tr❛♥s❢♦r♠✐♥❣ t❤❡ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡✳

❋♦r✱ ✐❢ ✇❡ r♦t❛t❡ ✐t✱ t❤❡ ❝✉❜♦✐❞

❝♦♠❡s ♦✉t ♦❢ ❛❧✐❣♥♠❡♥t ✇✐t❤ t❤❡ ❛①❡s✱ ❛♥❞ ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ ❝❤♦♦s❡ ❛ ♥❡✇ r❡❣✐♦♥ ♦❢ ✐♥t❡r❡st✳

6 Tessellations

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❚❡ss❡❧❧❛t✐♦♥s

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Regular tessellations Rectangular grids

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❚❡ss❡❧❧❛t✐♦♥s

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❛♣♣r♦♣r✐❛t❡❧②✳ ❉❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥✱ ✐t ♠❛② ❜❡ ❛ ❣♦♦❞ ✐❞❡❛ t♦ ❦❡❡♣ ❧✐sts ❢♦r ❡❛❝❤ ❣❡♦♠❡tr✐❝❛❧ ❡❧❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ t✐❧❡s t❤❡② ✐♥t❡rs❡❝t✳ ❚❤✐s ♠❛❦❡s t❤✐♥❣s ❡❛s② ✐❢✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ❛♥ ❡❧❡♠❡♥t ✐s t♦ ❜❡ r❡♠♦✈❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ str✉❝t✉r❡✳ ❲❤❛t ❤❛s ❜❡❡♥ ❛❝❤✐❡✈❡❞ ❜② t❤❡ ❣r✐❞ t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥ ✐s ♥♦t ❛♥❛❧♦❣♦✉s t♦ ❛ tr✉❡ s♦rt ✐♥ ♦♥❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥✱ ❜✉t ✐s ❧✐❦❡ ❛ ❜✉❝❦❡t✲s♦rt ♦❢ t❤❡ t②♣❡ ♥❡❡❞❡❞ t♦ ❝♦♥str✉❝t ❛ ❤✐st♦❣r❛♠✳ ❚❤❡ r❡❝t❛♥❣✉❧❛r t✐❧❡s ❛r❡ t❤❡ ❜✉❝❦❡ts✳

Non-rectangular regular tessellations ❚❤❡r❡ ❛r❡ ♠❛♥② r❡❣✉❧❛r t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥s ♦t❤❡r t❤❛♥ t❤♦s❡ ❝♦♠♣♦s❡❞ ♦❢ ❝♦♥❣r✉❡♥t r❡❝t❛♥❣❧❡s✳ ❚❤❡✐r ✉s❡ ❢♦r t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ❞❛t❛✲♦r❞❡r✐♥❣ ❛♥❞ ❞❛t❛✲s❡❛r❝❤✐♥❣ ✐s ❧❡ss ❝♦♠♠♦♥ ❜✉t✱ ✇❤❡♥ t❤❡ ❞❛t❛ ❛r❡ ♦❢ ❛ ❤✐❣❤❧② ♦r❞❡r❡❞ ❜✉t ♥♦♥✲r❡❝t❛♥❣✉❧❛r ❢♦r♠✱ t❤❡② ❛r❡ s♦♠❡t✐♠❡s ✉s❡❢✉❧✳ ❚❤❡ s✐♠♣❧❡st ♥♦♥✲r❡❝t❛♥❣✉❧❛r r❡❣✉❧❛r t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥ ✐s ❛ t✐❧✐♥❣ ♦❢ ✐❞❡♥t✐❝❛❧ ❡q✉✐❧❛t❡r❛❧ tr✐❛♥❣❧❡s✳ ❍❡r❡ ♦♥❧② ♦♥❡ s✐❞❡ ❧❡♥❣t❤ ❛♥❞ ✈❡rt❡① ♣♦s✐t✐♦♥ ♥❡❡❞s t♦ ❜❡ st♦r❡❞ ✭❛❧♦♥❣ ✇✐t❤ ❛♥ ❛♥❣❧❡ ✐❢ t❤❡ ♣❛tt❡r♥ ✐s t♦ ❜❡ ✐♥❝❧✐♥❡❞ t♦ t❤❡ ❛①❡s✮✳ ❊♠❜❡❞❞❡❞ ✇✐t❤✐♥ t❤✐s t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥ ✐s ♦♥❡ ♦❢ ❝♦♥❣r✉❡♥t r❡❣✉❧❛r ❤❡①❛❣♦♥s✳

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120◦ ✳

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❚❤❡ ✇❛② t♦ ❡①✲

♣❡r✐♠❡♥t ✇✐t❤ t❤❡s❡ ✐s t♦ st❛rt ✇✐t❤ ❛♥ ❡❛s② t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡♥ t♦ ❞✐✈✐❞❡ ✉♣ ❛❧❧ ✐ts ❡❧❡♠❡♥ts ✐♥ ❛♥ ✐❞❡♥t✐❝❛❧ ✇❛② t♦ ♠❛❦❡ ❛ ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ♦♥❡✳ ❚❤✐s ✐s ❛❧s♦ t❤❡ ✇❛② t♦ st♦r❡ ✐t ✐♥ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❡r✳

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Adaptive tessellations: quad-trees and oct-trees

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❚❡ss❡❧❧❛t✐♦♥s

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❉✐r✐❝❤❧❡t t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❉❡❧❛✉♥❛② tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥s

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✻✭✐✐✮✖❚❤❡ ❉✐r✐❝❤❧❡t t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❉❡❧❛✉♥❛② tr✐❛♥❣✉❧❛✲ t✐♦♥ ♦❢ ✶✷ ❞❛t❛ s✐t❡s✳ Dirichlet tessellations and Delaunay triangulations

❚❤❡ r❡❣✉❧❛r r❡❝t❛♥❣✉❧❛r ❣r✐❞ t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥ ✐s ✐♠♣♦s❡❞ ✉♣♦♥ ♦✉r ❞❛t❛✱ t❤❡ q✉❛❞✲tr❡❡ ❛♥❞ ✐ts ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ❛❞❛♣t t❤❡♠s❡❧✈❡s t♦ ✐t✱ ❜✉t t❤❡ ❉✐r✐❝❤❧❡t t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥ ✐s ❡♥t✐r❡❧② ❞❡r✐✈❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ❞❛t❛✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❡ ❞❛t❛ ❝♦♥s✐st ♦❢ ❛ ♠❛♣ ♦❢ s♦♠❡ r♦❜✐♥s✬ ♥❡sts✳ ❙✉♣♣♦s❡ ❢✉rt❤❡r t❤❛t t❤❡ r♦❜✐♥s ✭❤✐❣❤❧② t❡rr✐t♦r✐❛❧ ❜✐r❞s✮ ❛r❡ ❛❧❧ ❡q✉❛❧❧② ✜❡r❝❡ ✐♥ ❞❡❢❡♥❞✐♥❣ t❤❡✐r ♥❡st s✐t❡s✳ ❲❤❛t s❤❛♣❡ ✇♦✉❧❞ ✇❡ ❡①♣❡❝t t❤❡✐r t❡rr✐t♦r✐❡s t♦ ❤❛✈❡❄ ❚❤❡ ❛♥s✇❡r ✐s t❤❡ ❉✐r✐❝❤❧❡t t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥ ✭s♦♠❡t✐♠❡s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❱♦r♦♥♦✐ ❞✐❛❣r❛♠✮ ♦❢ t❤❡✐r ♥❡st ❧♦❝❛t✐♦♥s✳ ❚❤✐s ❣✐✈❡s ❡❛❝❤ ❞❛t❛ s✐t❡

✽✻ ❚❡ss❡❧❧❛t✐♦♥s ✭♥❡st✮ ❛ t❡rr✐t♦r② t❤❛t ✐s t❤❡ r❡❣✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣❧❛♥❡ ♥❡❛r❡r t♦ ✐t t❤❛♥ t♦ ❛♥② ♦t❤❡r s✐t❡ ✳ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✻✭✐✐✮ s❤♦✇s t❤❡ ♣❛tt❡r♥ ✭❜♦❧❞ ❧✐♥❡s✮ ❢♦r t✇❡❧✈❡ ❞❛t❛ s✐t❡s✳ ❚❤❡ ✜♥❡ ❧✐♥❡s ✐♥ t❤❡ ✜❣✉r❡ ❛r❡ t❤❡ ❉❡❧❛✉♥❛② tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥ ✳ ❚❤✐s tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ❢r♦♠ ❥♦✐♥✐♥❣ ❡❛❝❤ ♣❛✐r ♦❢ ❞❛t❛ s✐t❡s t❤❛t s❤❛r❡ ❛ ❝♦♠♠♦♥ t✐❧❡ ❜♦✉♥❞❛r② ✭t❤❛t ✐s✱ ❛r❡ t❡rr✐t♦r✐❛❧ ♥❡✐❣❤❜♦✉rs✮✳ ❚❤❡ t❡rr✐t♦r✐❛❧ t✐❧❡s ❛r❡ ❝♦♥✈❡① ♣♦❧②❣♦♥s✳ ❚❤❡✐r ❡❞❣❡s ❛r❡ t❤❡ ♣❡r✲ ♣❡♥❞✐❝✉❧❛r ❜✐s❡❝t♦rs ♦❢ t❤❡ ❉❡❧❛✉♥❛② tr✐❛♥❣❧❡ ❡❞❣❡s ❥♦✐♥✐♥❣ ♥❡✐❣❤✲ ❜♦✉r✐♥❣ s✐t❡s✳ ❚❤❡ ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ t❤❡ t✐❧❡s ✭✇❤❡r❡ t❤r❡❡ ♠❡❡t✮ ❛r❡ t❤❡ ❝✐r❝✉♠❝❡♥tr❡s ♦❢ t❤❡ ❉❡❧❛✉♥❛② tr✐❛♥❣❧❡s✳ ❚❤❡ ❉❡❧❛✉♥❛② tr✐❛♥❣❧❡s ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❝♦✈❡r t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ♦❢ t❤❡ ❞❛t❛ s✐t❡s❀ t❤❡ ❉✐r✐❝❤❧❡t t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥ ❡①t❡♥❞s t♦ ✐♥✜♥✐t②✖s✐t❡s ✇✐t❤✐♥ t❤❛t ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ❤❛✈❡ ✜♥✐t❡ t❡rr✐t♦r✐❡s✱ t❤♦s❡ ♦♥ ✐t ✐♥✜♥✐t❡ ♦♥❡s✳ ❚❤❡s❡ t✇♦ ❣❡♦♠❡tr✐❝❛❧ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥s ❤❛✈❡ ❛ ✇✐❞❡ ✈❛r✐❡t② ♦❢ ❛♣✲ ♣❧✐❝❛t✐♦♥s✳ ■t ✐s ♥♦t ❞✐✣❝✉❧t t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡♠✱ ❛♥❞ ♠❛♥② ♣r♦❣r❛♠s ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ✇r✐tt❡♥ t♦ ❞♦ s♦ ✭s❡❡ ●r❡❡♥ ❛♥❞ ❙✐❜s♦♥✬s ✶✾✼✽ ♣❛♣❡r✱ ❛♥❞ ❇♦✇②❡r✬s ✶✾✽✶ ♣❛♣❡r ❢♦r ❡✣❝✐❡♥t ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❛♥❞ ❞❛t❛ str✉❝t✉r❡s ❢♦r ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ ❛♥❞ st♦r✐♥❣ t❤❡♠✮✳ ❚❤❡ t✇♦ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥s ❢♦r♠ ❛ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❞✉❛❧❀ ✐❢ ②♦✉ ❦♥♦✇ ♦♥❡✱ ②♦✉ ❝❛♥ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❞❡❞✉❝❡ t❤❡ ♦t❤❡r✖♥♦ ❡①tr❛ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s ♥❡❡❞❡❞✳ ▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r s♦♠❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡s❡ t✇♦ ✐♥t✐♠❛t❡❧② r❡❧❛t❡❞ t✐❧✐♥❣s ✭❢♦r ♣r♦♦❢s ♦❢ s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❧✐st❡❞ ❜❡❧♦✇✱ ②♦✉ ❛r❡ r❡❝♦♠♠❡♥❞❡❞ t♦ s❡❡ Pr❡♣❛r❛t❛ ❛♥❞ ❙❤❛♠♦s✬ ❜♦♦❦✮✳ ◆❡❛r❡st ♥❡✐❣❤❜♦✉rs✿ t❤❡ ♥❡❛r❡st✲♥❡✐❣❤❜♦✉r ♦❢ ❡❛❝❤ ❞❛t❛ s✐t❡ ✐s ❛❧✇❛②s ♦♥❡ ♦❢ ✐ts ❉❡❧❛✉♥❛② ♥❡✐❣❤❜♦✉rs✳ ❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t t❤❡ t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥ ♠❛❦❡s ✐t tr✐✈✐❛❧ t♦ ❝♦♥str✉❝t ❛ ♥❡❛r❡st✲♥❡✐❣❤❜♦✉r ❧✐st✳ ❈✐r❝✉♠❝✐r❝❧❡s✿ t❤❡ ❝✐r❝✉♠❝✐r❝❧❡ r♦✉♥❞ ❛ ❉❡❧❛✉♥❛② tr✐❛♥❣❧❡ ❝♦♥✲ t❛✐♥s ♥♦ ❞❛t❛ s✐t❡s ♦t❤❡r t❤❛♥ t❤❡ t❤r❡❡ ❛t t❤❡ tr✐❛♥❣❧❡✬s ❝♦r♥❡rs✳ ▼✐♥✐♠✉♠ s♣❛♥♥✐♥❣ tr❡❡s✿ t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ s♣❛♥♥✐♥❣ tr❡❡ ✭♠st✮ ♦❢ t❤❡ ❞❛t❛ s✐t❡s ✐s ❡♠❜❡❞❞❡❞ ✐♥ t❤❡ ❉❡❧❛✉♥❛② tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥✳ ■t ✐s t❤❡ tr❡❡ ✇✐t❤ t❤❡ ❞❛t❛ s✐t❡s ❛t ✐ts ♥♦❞❡s ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ s✉♠ ♦❢ t❤❡ ❧❡♥❣t❤s ♦❢ t❤❡ ❜r❛♥❝❤❡s ✐s ❛s s♠❛❧❧ ❛s ♣♦ss✐❜❧❡✳ ■t ✐s t❤❡ ❜❛s✐s ❢♦r s♦♠❡ ❤❡✉r✐st✐❝ s♦❧✉t✐♦♥s t♦ t❤❡ ✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥ tr❛✈❡❧❧✐♥❣ s❛❧❡s♠❛♥ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❖♣t✐♠✉♠ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥✿ ❚❤❡ ❉❡❧❛✉♥❛② tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥ ✐s ❧♦❝❛❧❧② ❡q✉✐❛♥❣✉❧❛r ✱ ❜② ✇❤✐❝❤ ✐s ♠❡❛♥t t❤❛t✱ ❣✐✈❡♥ t❤❡ ❞❛t❛ s✐t❡s✱ ✐t ✐s ✶

✶ ❆❢t❡r

●r❡❡♥ ❛♥❞ ❙✐❜s♦♥✬s ✶✾✼✽ ♣❛♣❡r✳

✽✼ t❤❡ ♥❡❛r❡st t❤❛t ♦♥❡ ❝❛♥ ❣❡t t♦ ❛ ♣❛tt❡r♥ ♦❢ ❡q✉✐❧❛t❡r❛❧ tr✐❛♥❣❧❡s ✉s✐♥❣ t❤❡ s✐t❡s ❛s ✈❡rt✐❝❡s✳ ❚❤✐s ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t ❢♦r ♠❛♥② ❛♣♣❧✐❝❛✲ t✐♦♥s✱ ❛s ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s ❞♦♥❡ ♦♥ tr✐❛♥❣❧❡s ✭s✉❝❤ ❛s t❤♦s❡ ✐♥ ✜♥✐t❡✲ ❡❧❡♠❡♥t ❛♥❛❧②s✐s✮ t❤❛t ❛r❡ ❝❧♦s❡ t♦ ❡q✉✐❧❛t❡r❛❧ t❡♥❞ t♦ ❜❡ ♠♦r❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧❧② st❛❜❧❡ t❤❛♥ t❤♦s❡ ❞♦♥❡ ♦♥ ❧♦♥❣ t❤✐♥ tr✐❛♥❣❧❡s✳ ■♥ ❢❛❝t✱ tr✐❛♥❣❧❡s ❞♦♥✬t ♠❛❦❡ ❣♦♦❞ ✜♥✐t❡ ❡❧❡♠❡♥ts✖♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❛♥✲ ❛❧②sts ♣r❡❢❡r q✉❛❞r✐❧❛t❡r❛❧s✖❜✉t t❤❡② ❛r❡ ♦❢t❡♥ ✉s❡❞ ❢♦r t❤✐♥❣s ❧✐❦❡ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥✱ s♦ t❤❡ ♣r♦♣❡rt② ✐s st✐❧❧ ✐♠♣♦rt❛♥t✳ ▲✐❦❡ t❤❡ ♦t❤❡r t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥s t❤❛t ✇❡ ❤❛✈❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞✱ t❤❡ ❉✐r✐❝❤❧❡t t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥ ✐♠♣♦s❡s ❛♥ ♦r❞❡r✐♥❣ ♦❢ ❛ ❦✐♥❞ ♦♥ t❤❡ ❞❛t❛✳ ■t ♠❛❦❡s ✐t ❡❛s② t♦ s❡❛r❝❤ ❢♦r t❤❡ ♥❡❛r❡st ❞❛t❛ s✐t❡ t♦ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ♣♦✐♥t ✭t❤❡ ❞❛t❛ s✐t❡ ✐♥ ✇❤♦s❡ t❡rr✐t♦r② t❤❡ ♣♦✐♥t ❧✐❡s ✐s t❤❡ ♦♥❡ ✇❡ ✇❛♥t❀ ✇❡ ❣❡t t❤❡r❡ ❜② ✇❛❧❦✐♥❣ ❛❧♦♥❣ t❤❡ ❉❡❧❛✉♥❛② ❧✐♥❦s ❢r♦♠ ❛♥② ❞❛t❛ s✐t❡✱ ❛❧✇❛②s ❝❤♦♦s✐♥❣ ❛ ❧✐♥❦ t❤❛t t❛❦❡s ✉s ♥❡❛r❡r t♦ t❤❡ ♣♦✐♥t ✇❡✬r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥✮✳ ■t ❧♦❝❛❧✐③❡s t❤❡ ❞❛t❛ ✐♥ ❛ ✇❛② t❤❛t ✐s ❡♥t✐r❡❧② ❝♦♥tr♦❧❧❡❞ ❜② t❤❡ ❞❛t❛ t❤❡♠s❡❧✈❡s✳ ❏✉st ❛s q✉❛❞✲tr❡❡s ❧❡❛❞ t♦ ♦❝t✲tr❡❡s✱ ❛❧❧ t❤❡ t❤✐♥❣s t❤❛t ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ s❛✐❞ ❛❜♦✉t ❉✐r✐❝❤❧❡t t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❉❡❧❛✉♥❛② tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥s ❣❡♥✲ ❡r❛❧✐③❡ ✐♥t♦ ❛♥② ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✳ ■♥ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s t❤❡ t❡r✲ r✐t♦r✐❛❧ t✐❧❡s ❜❡❝♦♠❡ ❝♦♥✈❡① ♣♦❧②❤❡❞r❛ ❛♥❞ t❤❡ tr✐❛♥❣❧❡s t❡tr❛❤❡❞r❛✱ ❛♥❞ s♦ ♦♥✳ ■t ✐s ❛❧s♦ ♣♦ss✐❜❧❡ ♣r♦♣❡r❧② t♦ ❞❡✜♥❡ t❡rr✐t♦r✐❛❧ t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥s ♦❢ ❣❡♦♠❡tr✐❝❛❧ ❡♥t✐t✐❡s ♦t❤❡r t❤❛♥ s❡ts ♦❢ ♣♦✐♥ts✳ ❆ ♣❛tt❡r♥ ♦❢ ✐♥✜♥✐t❡ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡s✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✇✐❧❧ ❤❛✈❡ t❡rr✐t♦r✐❡s t❤❛t ❛r❡ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ♦❢ tr✐❛♥❣❧❡s ❢♦r♠❡❞ ❜② t❤❡ ❜✐s❡❝t♦rs ♦❢ t❤❡ ❛♥❣❧❡s ❛t t❤❡ ♣♦✐♥ts ✇❤❡r❡ t❤❡ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡s ♠❡❡t✳ ■❢ ✇❡ ❤❛✈❡ str❛✐❣❤t✲❧✐♥❡ s❡❣♠❡♥ts✱ t❤✐♥❣s ❣❡t ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ✭✐♥ t❤❡ ❧✐♠✐t✱ ❛ ❧✐♥❡ s❡❣♠❡♥t ✐s ❛ ♣♦✐♥t s♦✱ ✐❢ ✇❡ ❝❛♥ s♦❧✈❡ t❤❛t ♣r♦❜❧❡♠✱ ✇❡ ❣❡t t❤❡ ❉✐r✐❝❤❧❡t t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥ ♦❢ ♣♦✐♥ts ♠♦r❡ ♦r ❧❡ss ❢r❡❡✮✳ ❚❤✐♥❣s ❛r❡ ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ t❡rr✐t♦r✐❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② t❤❛t ✐s ❡q✉✐❞✐st❛♥t ❢r♦♠ ❛ ♣♦✐♥t ❛♥❞ ❛ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ ✐s ❛ ❤②♣❡r❜♦❧❛✖♦✉r ❉✐r✐❝❤❧❡t t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥ ♠✉st ♥♦✇ ❤❛✈❡ t❡rr✐t♦r✐❡s ✇✐t❤ ❝✉r✈❡❞ ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✳ ❚❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s ♥❡❡❞❡❞ t♦ ✜♥❞ t❤❡s❡ ❛r❡ ❞✐✣❝✉❧t❀ ❡ss❡♥t✐❛❧❧② t❤❡② ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡ ❛s t❤♦s❡ ♥❡❡❞❡❞ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ ♦✛s❡t ❝✉r✈❡s ✭❛♥❞✱ ✐♥ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ s✉r❢❛❝❡s✮❀ t❤❡② ❛r❡ ❝♦✈❡r❡❞ ✐♥ ❈❤❛♣t❡r ✶✶✳ ❉✐r✐❝❤❧❡t t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❉❡❧❛✉♥❛② tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥s

7 Approximations

❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ❛r❡ ♥❡❝❡ss❛r② ❥✉st ❛❜♦✉t ❛❧❧ ♦✈❡r✳ ❚♦ st❛rt ✇✐t❤✱ ♠❛♥② ❣❡♦♠❡tr✐❝ ♣r♦❜❧❡♠s ❤❛✈❡ s♦❧✉t✐♦♥s t❤❛t ❛r❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝❛❧❧② ✐♥✲ ❢❡❛s✐❜❧❡✳ ❊✈❡♥ ✐❢ ✇❡ ❞♦ ❤❛✈❡ ❛ ♥♦t✐♦♥❛❧ ❡①❛❝t s♦❧✉t✐♦♥✿ ■t ♠❛② ❜❡ ✉♥❛❝❝❡♣t❛❜❧② s❧♦✇✳ ■t ♠❛② r❡q✉✐r❡ t♦♦ ♠✉❝❤ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ st♦r❛❣❡ t♦ ✐♠♣❧❡♠❡♥t ✭t❤❡ ❵✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ s✇❡❧❧✬ ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥ ❛❧❣❡❜r❛ s②st❡♠s✮✳ ❚❤❡ r❡s✉❧ts ♠❛② ❜❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❡♥t✐t✐❡s ✐♥ ❢♦r♠s t❤❛t ❝❛✉s❡ ♣r♦❜✲ ❧❡♠s ✐♥ s✉❜s❡q✉❡♥t ♣r♦❝❡ss❡s❀ ✐✳❡✳ ✇❡ ❡♥❞ ✉♣ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♥❣ ❧❛t❡r ❛♥②❤♦✇ ✭❛ s✐♠♣❧❡ ❡①❛♠♣❧❡ ✐s ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ s♦❧✉t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ❣✐✈❡s ❛♥ ❡①❛❝t r❡s✉❧t ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ ❤✐❣❤✲❞❡❣r❡❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ t❤❛t ❧❛t❡r ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ ❡✈❛❧✉❛t❡ ✉s✐♥❣ ✢♦❛t✐♥❣✲♣♦✐♥t ❛r✐t❤♠❡t✐❝✮✳ ❆ ✢♦❛t✐♥❣✲♣♦✐♥t ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❵s♦❧✉t✐♦♥✬ ✐s ❛❝t✉❛❧❧② s♦ ✐♥❡①❛❝t t❤❛t ❛♥ ❡①♣❧✐❝✐t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ✇♦✉❧❞ ❜❡ ♠♦r❡ ❛❝❝✉r❛t❡ ✭✇❡ ✇✐❧❧ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ t❤❛t s♦rt ♦❢ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ✐♥ ❈❤❛♣t❡r ✶✷✮✳ ❙♦✱ r❛t❤❡r t❤❛♥ ❝♦♥t✐♥✉❡ ✜❣❤t✐♥❣ ✇✐t❤ t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛✱ ✇❡ ♦❢t❡♥ ❞❡❝✐❞❡ t♦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ t❤❡ ❣❡♦♠❡tr② t♦ ❡❧❡♠❡♥ts ✇❤✐❝❤ ✇❡ ♦♣❡r❛t❡ ♦♥ ❡①❛❝t❧② ✭♦r ❛t ❧❡❛st ✈❡r② ❛❝❝✉r❛t❡❧②✮✳ ❍❡r❡ ❛r❡ s♦♠❡ q✉❡st✐♦♥s t♦ ❛s❦ ②♦✉rs❡❧❢ ✇❤❡♥ ②♦✉ ❛r❡ ❝❤♦♦s✐♥❣ ❛♥ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✿ ❲❤❛t ✐s t❤❡ ❛❝❝✉r❛❝② r❡q✉✐r❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥❄ ■♥ s♦♠❡ r♦❜♦t✐❝s ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s st❛rt ❢r♦♠ ❤✐❣❤❧② ✐♥❛❝❝✉r❛t❡ s❡♥s♦r ❞❛t❛❀ ②♦✉ ✇✐❧❧ s❡❡ ❡①❛❝t ❛❧❣❡❜r❛✐❝ s♦❧✉t✐♦♥s t♦ ✇❤❛t ♣✉r✲ ♣♦rt t♦ ❜❡ r♦❜♦t✐❝s ♣r♦❜❧❡♠s ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡ ✭❧✐❦❡ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠✖❤♦✇ t♦ s❤✐❢t ❛♥ ✐rr❡❣✉❧❛r ♦❜❥❡❝t t❤r♦✉❣❤ ❛♥ ♦❜st❛❝❧❡ ❝♦✉rs❡✮✱ ❜✉t t❤❡② ❛r❡ ♦❢t❡♥ ✇✐❧❞❧② ✐♥❛♣♣r♦✲ ♣r✐❛t❡ ❢♦r r❡❛❧ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✳ ❝❛♥

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❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s

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■t ✐s ❡❛s✐❡r t♦ ❝❛rr② ❛r♦✉♥❞ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❣❡♦♠❡tr② ✐❢ ✇❡ ❛r❡ ✉s✲ ✐♥❣ ❡♥❝❧♦s✉r❡s✳ ■❢ ✇❡ s✐♠♣❧② ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡✱ s❛②✱ ❛ s✉r❢❛❝❡✱ ✇❡ ♠❛② ✜♥❞ t❤❛t s♦♠❡t❤✐♥❣ ✇❡ ❤❛✈❡ ❞♦♥❡ t♦ t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ✭❡✳❣✳ ♦✛s❡tt✐♥❣ ✐t✮ ❝❛♥♥♦t ❜❡ r❡✢❡❝t❡❞ ❜❛❝❦ ♦♥ t♦ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❣❡♦♠❡tr②✳ ❊♥❝❧♦s✉r❡s ❛r❡ ♦❢t❡♥ s❧♦✇❡r t❤❛♥ ♣✉r❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s✱ ❜❡❝❛✉s❡ ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ r❡❣✐♦♥s r❛t❤❡r t❤❛♥ ❝✉r✈❡s✱ s✉r❢❛❝❡s ❡t❝✳ ❚❤❡ ✈❛❣❛r✐❡s ♦❢ ✢♦❛t✐♥❣✲♣♦✐♥t ❛r✐t❤♠❡t✐❝ ❝❛♥ ❝❤✐♣ ❛✇❛② ❛t t❤❡ ✈❛❧✐❞✐t② ♦❢ t❤❡ ❡♥❝❧♦s✉r❡ ❛♣♣r♦❛❝❤✱ ❜✉t ✇❡ ♠❛② ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ r❡♠❡❞② t❤✐s ❜② ✐♥✢❛t✐♥❣ t❤❡ s✐③❡s ♦❢ t❤❡ ❡♥❝❧♦s✉r❡s❀ s❡❡ t❤❡ s❡❝t✐♦♥ ♦♥ ❛❝❝✉r❛❝②✳ ❆❜♦✉t t❤❡ ✇♦rst t❤✐♥❣ t❤❛t ❤❛♣♣❡♥s ✇✐t❤ ❡♥❝❧♦s✉r❡s ✐s t❤❛t t❤❡② ❣r♦✇ s♦ ❧❛r❣❡ ❛s t♦ ❜❡ ♣r❛❝t✐❝❛❧❧② ✉s❡❧❡ss✳ ■❢ t❤❡ ❡♥❝❧♦s✉r❡s ❝♦♥✲ t❛✐♥ ♦t❤❡r ❣❡♦♠❡tr②✱ ❛♥❞ ✐❢ t❤❡ ❝♦❞❡ ✐s ❝♦rr❡❝t✱ ♣r♦❣r❛♠s ✇♦♥✬t ❢❛✐❧❀ t❤❡② ❥✉st r✉♥ ❣r✐♥❞✐♥❣❧② s❧♦✇✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ ❛ ❞✐✣❝✉❧t ❜❡✲ ❤❛✈✐♦✉r t♦ ♣r❡❞✐❝t ❛♥❞ ❝♦♥tr♦❧✳ ❚❤❡ ❜❡st ❡♥❝❧♦s✉r❡s ❛r❡ t❤❡ t✐❣❤t❡st✱ ❛♥❞ ♦❢t❡♥ s♦♠❡t❤✐♥❣ ❝❧❡✈❡r ❝❛♥ ❜❡ ❛rr❛♥❣❡❞ ❢♦r ♣❛rt✐❝✉❧❛r ♣✐❡❝❡s ♦❢ ❣❡♦♠❡tr②✳ ❚❤❡r❡ ✐s ♦♥❡ ❣❡♥❡r❛❧ t❡❝❤♥✐q✉❡ t❤❛t ✇❡ ✇✐❧❧ ♥♦✇ ❞✐s❝✉ss✳

Intervals ❘❡❝t❛♥❣✉❧❛r ❜♦①❡s✱ ♦r ❝✉❜♦✐❞s✱ ❛r❡ ❛ ♣♦♣✉❧❛r s♦rt ♦❢ ❡♥❝❧♦s✉r❡✱ ❛♥❞ t❡sts ✉s✐♥❣ ❡♥❝❧♦s✉r❡s ❛r❡ ♦❢t❡♥ ❝❛❧❧❡❞ ❜♦①✐♥❣ t❡sts ✱ ❡✈❡♥ ✇❤❡♥ t❤❡ ❜♦①❡s ❛r❡ ♥♦t ✐♥ ❢❛❝t ❝✉❜♦✐❞s✳ ❚❤❡ ❜♦① ❛❧✐❣♥❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ❛①❡s ✐s ♣❛rt✐❝✉❧❛r❧② ♣♦♣✉❧❛r✿ ■t✬s ❡❛s② t♦ ✉s❡✱ ❜❡❝❛✉s❡ ✐t✬s ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② ♣❧❛♥❡s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ x = xmin ✱ y = ymin ❡t❝✳ ❚❤❡ ♣❧❛♥❡ ❤❛s ❛ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❛♥❞ ❛♥ ✐♠♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❜♦t❤ s✐♠♣❧❡ ❡♥♦✉❣❤ t♦ s✉❜st✐t✉t❡ ❡❛s✐❧② ✐♥t♦ ♠❛♥② ♦t❤❡r ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❣✐✈✐♥❣ ❛ ❤❡❛❞ st❛rt ♦♥ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s✳ ❖♥❡ s✉❝❤ ❜♦① ✐s ❡❛s✐❧② ✉♥✐♦♥❡❞ ✇✐t❤ ❛♥♦t❤❡r✱ ❡✈❡♥ t❤♦✉❣❤ t❤❡ r❡s✉❧t ✭✐✳❡✳ ❛ ❜♦① ✇❤✐❝❤ ❡♥❝❧♦s❡s t❤❡♠ ❜♦t❤✮ ♠❛② ❜❡ r❛t❤❡r ❧❛r❣❡✳ ❆①✐❛❧❧②✲❛❧✐❣♥❡❞ ❜♦①❡s ♠❛② ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❛s ✐♥t❡r✈❛❧s ✐♥ t❤❡ t❤r❡❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s✳

✾✶ ❚❤❡ ♦♥❧② ❞✐s❛❞✈❛♥t❛❣❡ ♦❢ r❡❝t❛♥❣✉❧❛r ❜♦①❡s ✐s t❤❛t t❤❡② ❞♦ ♥♦t ❝♦♥✲ ❢♦r♠ ✇❡❧❧ t♦ ❝❡rt❛✐♥ s♦rts ♦❢ ❣❡♦♠❡tr②✱ ❛♥❞ s♦✿ ❚❤❡② ❝❛♥ ❡❛s✐❧② ❣r♦✇ r❛t❤❡r ❧❛r❣❡✳ ❆♥ ✐♥t❡r✈❛❧ ✐s s✐♠♣❧② ❛ r❛♥❣❡ ♦❢ ✈❛❧✉❡s ♦❢ s♦♠❡t❤✐♥❣❀ s♦ [3.0, 4.0] ♠❡❛♥s ❛❧❧ t❤❡ ✐♥✜♥✐t❡❧② ♠❛♥② r❡❛❧ ♥✉♠❜❡rs ❜❡t✇❡❡♥ ✸✳✵ ❛♥❞ ✹✳✵✳ ✭❚❤❡r❡ ✐s ❛ ❢✉ss② ❞✐st✐♥❝t✐♦♥ ✐♥ r❡❛❧ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛❜♦✉t ✇❤❡t❤❡r ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧ ❝♦♥t❛✐♥s ✐ts ❡♥❞✲♣♦✐♥ts ♦r ♥♦t✱ ❜✉t s✐♥❝❡ ✇❡ ❛r❡ ✉s✉❛❧❧② ♦✈❡r ❛ ✢♦❛t✐♥❣✲♣♦✐♥t ❜❛rr❡❧✱ t❤✐s ✐s ♥♦t ♥♦r♠❛❧❧② s✐❣♥✐✜❝❛♥t✳✮ ❙♦ ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧ ✐♥ ❜♦t❤ x ❛♥❞ y✱ ✐✳❡✳ ■♥t❡r✈❛❧s

x = [xmin , xmax ] y = [ymin , ymax ],

❞❡✜♥❡s t❤❡ s♦rt ♦❢ ❛①✐❛❧❧②✲❛❧✐❣♥❡❞ ❜♦① ✇❡✬✈❡ ❜❡❡♥ t❛❧❦✐♥❣ ❛❜♦✉t✱ ✐♥ t✇♦ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✳ ❲❡✬❧❧ ❦❡❡♣ ❡✈❡r②t❤✐♥❣ ✐♥ t✇♦ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ t♦ ♠❛❦❡ ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡ ❞r❛✇❛❜❧❡✖❜✉t ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❣r❡❛t ✢❡①✐❜✐❧✐t✐❡s ♦❢ ✐♥t❡r✈❛❧s ✐s t❤❛t t❤❡②✬r❡ ❛♣♣❧✐❝❛❜❧❡ t♦ ❛♥② ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ ❛s ✇❡❧❧ ❛s ❛❧❧ s♦rts ♦❢ ❞✐✛❡r❡♥t t②♣❡s ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥✳ ❙♦ ❤♦✇ ❞♦ ✇❡ ✉s❡ ✐t❄ ❲❡❧❧✱ ✐❢ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧ ♦❢ t✇♦ ✈❛r✐❛❜❧❡s✱ ❛♥❞ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛r❡ ❝♦♠❜✐♥❡❞ ❛❧❣❡❜r❛✐❝❛❧❧② ✐♥ s♦♠❡ ✇❛②✱ ✇❡ ❝❛♥ ✇♦r❦ ♦✉t t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ♦♥ t❤❡ r❡s✉❧t✳ ✭■♥ ❞r❛❢t✱ t❤❡ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❜❡❧♦✇ ✇❡r❡ ✇r✐tt❡♥ ♦✉t ✉s✐♥❣ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♥♦t❛t✐♦♥✳ ❙❤♦✇✐♥❣ ❤♦✇ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦rs ♠✐❣❤t ❜❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ✐♥ ♣r♦❧♦❣ ✐s ❛ ❧✐tt❧❡ ♠♦r❡ ✐♥t❡r✲ ❡st✐♥❣✱ ❛♥❞ ❛❝t✉❛❧❧② ❞♦❡s♥✬t ❧♦♦❦ t♦♦ ❞✐✛❡r❡♥t✳ ❚❤❡ ❧❛②♦✉t ❢♦❧❧♦✇s ▼♦♦r❡✬s ❜♦♦❦✱ ✐♥ ❝❛s❡ ②♦✉ ❞♦♥✬t ❝❛r❡ ❢♦r ♣r♦❧♦❣✳✮ ✴✯ ■♥t❡r✈❛❧ ❛❞❞✐t✐♦♥✿ ✐♥t❴❛❞❞✭❆✱❇✱❆✰❇✮ ✯✴ ✐♥t❴❛❞❞✭✭❆❧♦✱❆❤✐✮✱✭❇❧♦✱❇❤✐✮✱✭❆❧♦✰❇❧♦✱❆❤✐✰❇❤✐✮✮✳ ✴✯ ■♥t❡r✈❛❧ s✉❜tr❛❝t✐♦♥✿ ✐♥t❴s✉❜✭❆✱❇✱❆✲❇✮ ✯✴ ✐♥t❴s✉❜✭✭❆❧♦✱❆❤✐✮✱✭❇❧♦✱❇❤✐✮✱✭❆❧♦✲❇❤✐✱❆❤✐✲❇❧♦✮✮✳ ✴✯ ■♥t❡r✈❛❧ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥✿ ✐♥t❴♠✉❧✭❆✱❇✱❆✯❇✮ ✯✴ ✐♥t❴♠✉❧✭✭❆❧♦✱❆❤✐✮✱✭❇❧♦✱❇❤✐✮✱✭❆❧♦✯❇❧♦✱❆❤✐✯❇❤✐✮✮ ✿✲ ✵ ❁❂ ❆❧♦✱ ✵ ❁❂ ❇❧♦✳

✾✷

❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s

✐♥t❴♠✉❧✭✭❆❧♦✱❆❤✐✮✱✭❇❧♦✱❇❤✐✮✱✭❆❧♦✯❇❤✐✱❆❤✐✯❇❤✐✮✮ ✿✲ ❆❧♦ ❁ ✵✱ ✵ ❁ ❆❤✐✱ ✵ ❁❂ ❇❧♦✳ ✐♥t❴♠✉❧✭✭❆❧♦✱❆❤✐✮✱✭❇❧♦✱❇❤✐✮✱✭❆❧♦✯❇❤✐✱❆❤✐✯❇❧♦✮✮ ✿✲ ❆❤✐ ❁❂ ✵✱ ✵ ❁❂ ❨❧♦✳ ✐♥t❴♠✉❧✭✭❆❧♦✱❆❤✐✮✱✭❇❧♦✱❇❤✐✮✱✭❆❤✐✯❇❧♦✱❆❤✐✯❇❤✐✮✮ ✿✲ ✵ ❁❂ ❆❧♦✱ ❇❧♦ ❁ ✵ ✱ ✵ ❁ ❇❤✐✳ ✐♥t❴♠✉❧✭✭❆❧♦✱❆❤✐✮✱✭❇❧♦✱❇❤✐✮✱✭❆❧♦✯❇❤✐✱❆❧♦✯❇❧♦✮✮ ✿✲ ❆❤✐ ❁❂ ✵✱ ❇❧♦ ❁ ✵✱ ✵ ❁ ❇❤✐✳ ✐♥t❴♠✉❧✭✭❆❧♦✱❆❤✐✮✱✭❇❧♦✱❇❤✐✮✱✭❆❤✐✯❇❧♦✱❆❧♦✯❇❤✐✮✮ ✿✲ ✵ ❁❂ ❆❧♦✱ ❇❤✐ ❁❂ ✵✳ ✐♥t❴♠✉❧✭✭❆❧♦✱❆❤✐✮✱✭❇❧♦✱❇❤✐✮✱✭❆❤✐✯❇❧♦✱❆❧♦✯❇❧♦✮✮ ✿✲ ❆❧♦ ❁ ✵✱ ✵ ❁ ❆❤✐✱ ❨ ❁❂ ✵✳ ✐♥t❴♠✉❧✭✭❆❧♦✱❆❤✐✮✱✭❇❧♦✱❇❤✐✮✱✭❆❤✐✯❇❤✐✱❆❧♦✯❇❧♦✮✮ ✿✲ ❆❤✐ ❁❂ ✵✱ ❇❤✐ ❁❂ ✵✳ ✐♥t❴♠✉❧✭✭❆❧♦✱❆❤✐✮✱✭❇❧♦✱❇❤✐✮✱✭❈❧♦✱❈❤✐✮ ✿✲ ❆❧♦ ❁ ✵✱ ✵ ❁ ❆❤✐✱ ❇❧♦ ❁ ✵✱ ✵ ❁ ❇❤✐✱ ♠✐♥✭❆❧♦✯❇❤✐✱❆❤✐✯❇❧♦✱❈❧♦✮✱ ♠❛①✭❆❧♦✯❇❧♦✱❆❤✐✱❇❤✐✱❈❤✐✮✳ ✴✯ P✉r❡❧② ❛ ♣r❡❝❛✉t✐♦♥✿✲ ✯✴ ✐♥t❴♠✉❧✭❴✱❴✱❴✮ ✿✲ ✇r✐t❡✭✬✐♥t❴♠✉❧✿ ✉♥❦♥♦✇♥ ❡rr♦r✬✮✱ ✦✱ ❢❛✐❧✳ ✴✯ ❊①♣♦♥❡♥t✐❛t❡✿ ♣♦s✐t✐✈❡ ✐♥t❡❣❡r ◆ ♦♥❧② ✯✴ ✐♥t❴❡①♣✭❆✱◆✱❈✮ ✿✲ ◆ ❁ ✵✱ ✇r✐t❡ ✭✬✐♥t❴❡①♣✿ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❡①♣♦♥❡♥t✬✮✱ ✦✱ ❢❛✐❧✳ ✐♥t❴❡①♣✭❆✱◆✱❈✮ ✿✲ ◆ ♠♦❞ ✶ ❁ ✵✱ ✇r✐t❡ ✭✬✐♥t❴❡①♣✿ r❡❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t✬✮✱ ✦✱ ❢❛✐❧✳ ✐♥t❴❡①♣✭✭❆❧♦✱❆❤✐✮✱◆✱✭❈❧♦✱❈❤✐✮✮ ✿✲ ◆ ♠♦❞ ✷ ❂ ✶✱ ❡①♣✭❆❧♦✱◆✱❈❧♦✮✱ ❡①♣✭❆❤✐✱◆✱❈❤✐✮✳ ✐♥t❴❡①♣✭✭❆❧♦✱❆❤✐✮✱◆✱✭❈❧♦✱❈❤✐✮✮ ✿✲ ❆❧♦ ❃ ✵✱ ❡①♣✭❆❧♦✱◆✱❈❧♦✮✱ ❡①♣✭❆❤✐✱◆✱❈❤✐✮✳ ✐♥t❴❡①♣✭✭❆❧♦✱❆❤✐✮✱◆✱✭❈❧♦✱❈❤✐✮✮ ✿✲ ❆❤✐ ❁ ✵✱ ◆ ♠♦❞ ✷ ❂ ✵✱ ❡①♣✭❆❧♦✱◆✱❈❤✐✮✱ ❡①♣✭❆❤✐✱◆✱❈❤✐✮✳ ✐♥t❴❡①♣✭✭❆❧♦✱❆❤✐✮✱◆✱✭✵✱❈❤✐✮✮ ✿✲ ❆❧♦ ❁❂ ✵✱ ❆❤✐ ❃❂ ✵✱ ◆ ♠♦❞ ✷ ❂ ✵

✾✸

■♥t❡r✈❛❧s

❆❧♦❛❜s ❂ ✲❆❧♦✱ ♠❛①✭❆❧♦❛❜s✱❆❤✐✱❈❤✐✮✳ ✴✯ P✉r❡❧② ❛ ♣r❡❝❛✉t✐♦♥ ✯✴ ✐♥t❴❡①♣✭❴✱❴✱❴✮ ✿✲ ✇r✐t❡✭✬✐♥t❴❡①♣✿ ✉♥❦♥♦✇♥ ❡rr♦r✬✮✱ ✦✱ ❢❛✐❧✳

❚❤❡ ✉t✐❧✐t✐❡s ✉s❡❞ ❢♦❧❧♦✇✱ ✐♥ ❝❛s❡ ②♦✉ ❤❛✈❡♥✬t ❣♦t t❤❡♠❀ ❡✈❡r②t❤✐♥❣ ❡❧s❡ ✐s ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❣♦s♣❡❧ ♦❢ ❈❧♦❝❦s✐♥ ❛♥❞ ▼❡❧❧✐s❤ ✭s❡❡ t❤❡ ❘❡❢✲ ❡r❡♥❝❡s✮✱ ❡①❝❡♣t t❤❛t ✇❡ ✉s❡ ❛ r❛t❤❡r t✐❞✐❡r ✿❂ ❢♦r ❛r✐t❤♠❡t✐❝ ♦♣❡r❛✲ t✐♦♥s ✇❤✐❝❤✱ ♦❢ ❝♦✉rs❡✱ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t♦ s✉♣♣♦rt ✢♦❛t✐♥❣✲♣♦✐♥t ♥✉♠❜❡rs✳ ✴✯ ▼✐♥ ❛♥❞ ♠❛①✿ ♠✐♥✭❆✱❇✱♠✐♥✭❆✱❇✮✮✱ ♠❛①✭❆✱❇✱♠❛①✭❆✱❇✮✮ ✯✴ ♠✐♥✭❆✱❇✱❆✮ ✿✲ ❆❁❂❇✳ ♠✐♥✭❆✱❇✱❇✮✳ ♠❛①✭❆✱❇✱❆✮ ✿✲ ❇❁❂❆✳ ♠❛①✭❆✱❇✱❇✮✳ ✴✯ ❊①♣♦♥❡♥t✐❛t✐♦♥ ✭❜② r❡❝✉rs✐♦♥✮✿ ❡①♣✭❆✱◆✱❆✯✯◆✮ ✯✴ ❡①♣✭❆✱◆✱❇✮ ✿✲ ❡①♣✭❆✱✶✱❆✮✳

◆❞❡❝ ✿❂ ◆ ✲ ✶✱ ❡①♣✭❆✱◆❞❡❝✱❇❞❡❝✮✱ ❇ ✿❂ ❆ ✯ ❇❞❡❝✳

❲❡ ❝♦✉❧❞ s✉r✈✐✈❡ ✇✐t❤♦✉t ❡①♣❧✐❝✐t ❡①♣♦♥❡♥t✐❛t✐♦♥✱ ❜② ✉s✐♥❣ ♠✉❧✲ t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥✱ ❜✉t ✇❡ ❝❛♥ ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧② s❡❡ t❤❛t t❤✐s ❜r♦❛❞❡♥s ✐♥t❡r✈❛❧s ✉♥♥❡❝❡ss❛r✐❧②✿ [−1, 1]2 ✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✇♦✉❧❞ ❜❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❛s [−1, 1] r❛t❤❡r t❤❛♥ t❤❡ t✐❣❤t❡r [0, 1]✳❚❤❛t✬s ❛❧❧ ✇❡ ♥❡❡❞ ❢♦r ❞❡❛❧✐♥❣ ✇✐t❤ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ✶ ✱ s♦ ❧❡t✬s r✉s❤ ❛❤❡❛❞ ❛♥❞ ❧♦♦❦ ❛t ❛ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❙✉♣♣♦s✐♥❣ ✇❡ ✇❛♥t t♦ ✜♥❞ t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ q✉❛❞r❛t✐❝ s❡❣♠❡♥t x = 1+t y = 1 + 2t − t2

■♥ ❢❛❝t✱ ❛❧❧ ✇❡✬✈❡ ❧❡❢t ♦✉t ✐s t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧✱ ❢r♦♠ ✇❤✐❝❤ ❞✐✈✐s✐♦♥ ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧② ❢♦❧❧♦✇s✱ ❛♥❞ r♦♦ts✱ ✇❤✐❝❤ ✇♦✉❧❞ ❛❧❧♦✇ ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ♣♦✇❡rs✳ ■♥✈❡rs✐♦♥ ✐♥✈♦❧✈❡s ∞ ✭t❤✐♥❦ ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧ ✇❤✐❝❤ ❝♦♥t❛✐♥s ③❡r♦✮✱ ❜✉t ✐s ♣❡r❢❡❝t❧② ✇❡❧❧✲ ❜❡❤❛✈❡❞✖s❡❡ ▼✐❧♥❡✬s t❤❡s✐s ✐♥ t❤❡ ❘❡❢❡r❡♥❝❡s✳ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ♣♦✇❡rs s♠❡❛r ✉s ❛❧❧ ♦✈❡r t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ♣❧❛♥❡✱ ♦❢ ❝♦✉rs❡✳ ❖❤✱ ❛♥❞ t❤❡r❡✬s r❛✐s✐♥❣ t❤✐♥❣s t♦ t❤❡ ♣♦✇❡r ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧✳✳✳✳ ✶

✾✹

❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s

✼✭✐✮✖❚❤❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ q✉❛❞r❛t✐❝ x = 1 + t, y = 1 + 2t − t ✱ ❛♥❞ t❤❡ ❝✐r❝❧❡ (x − 1) + (y − 2) − 4 = 0✳ 2

2

2

✇❤❡r❡ 0 ≤ t ≤ 1❀ ❛♥❞ ❛ ❝✐r❝❧❡✱ ❝❡♥tr❡ (1, 2)✱ r❛❞✐✉s 2✿ (x − 1)2 + (y − 2)2 − 4 = 0.

❚❤❡②✬r❡ ❜♦t❤ s❦❡t❝❤❡❞ ✐♥ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✼✭✐✮✳ ❲❡❧❧✱ ✇❡ ❝♦✉❧❞ s✉❜st✐t✉t❡ t❤❡ q✉❛❞r❛t✐❝ ✐♥t♦ t❤❡ ❝✐r❝❧❡✱ ✐♥ t❤❡ ✉s✉❛❧ ✇❛②✱ ❛♥❞ tr② t♦ s♦❧✈❡ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ q✉❛rt✐❝✳ ✭❲❡ ❝♦✉❧❞ ❡✈❡♥ ✉s❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ❛r✐t❤♠❡t✐❝ t♦ tr② t♦ s❡❡ ✐❢ t❤❛t ❤❛❞ ❛♥② r♦♦ts ❜❡t✇❡❡♥ t = 0 ❛♥❞ t = 1✳✮ ■♥st❡❛❞✱ ✇❡✬❧❧ ❡♠♣❧♦② ❛ ♠♦r❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ✉s❡ ♦❢ ✐♥t❡r✈❛❧s t❤❛t ✐❧❧✉str❛t❡s ❤♦✇ t❤❡② ❞❡✜♥❡ ❜♦①❡s✳ ❚❛❦❡ t❤❡ q✉❛❞r❛t✐❝❀ ✐t ✐s ❞❡✜♥❡❞ ♦✈❡r ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧ [0, 1] ✐♥ t✳ ❙♦✱ ❧❡t✬s s✉❜st✐t✉t❡ t❤❛t ✐♥t❡r✈❛❧ ✐♥t♦ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ❢♦r x ❛♥❞ y✱ ❛♥❞ t❤✉s ❣❡t ✐♥t❡r✈❛❧s ✐♥ x

✾✺

■♥t❡r✈❛❧s

❛♥❞ y ♦✉t✿ x[0,1] = [1, 1] + [0, 1] = [1, 2] y[0,1] = [1, 1] + [0, 2] − [0, 1] = [0, 3].

❍♦✇ ❞♦ ✇❡ ❝♦♠♣❛r❡ t❤❡ ❜♦① ✇✐t❤ t❤❡ ❝✐r❝❧❡❄ ❲❡ s✉❜st✐t✉t❡ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧s [1, 2] ❛♥❞ [0, 3] ❢♦r x ❛♥❞ y ✐♥t♦ t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ❝✐r❝❧❡ ❡q✉❛t✐♦♥✿ (x − 1)2 + (y − 2)2 − 4.

❲❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ❛♥② ♣♦✐♥ts ♦♥ t❤❡ ❝✐r❝❧❡ ✇✐❧❧ ❣✐✈❡ 0 ✐❢ s✉❜st✐t✉t❡❞ ✐♥t♦ t❤❛t ❡q✉❛t✐♦♥❀ ❛♥② ♣♦✐♥ts ✐♥s✐❞❡ ✇✐❧❧ ❣✐✈❡ ❛ ♥❡❣❛t✐✈❡ r❡s✉❧t❀ ❛♥② ♣♦✐♥ts ♦✉ts✐❞❡✱ ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ r❡s✉❧t✳ ❙♦ ✐❢ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ✇❡ ❣❡t ♦✉t ✐s ♥❡❣❛t✐✈❡ ✭✐✳❡✳ [a, b]✱ a < 0 ❛♥❞ b < 0 ✮✱ t❤❡♥ t❤❡ ❜♦① t❤❛t t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ r❡♣r❡s❡♥ts ✐s ❛❧❧ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❝✐r❝❧❡❀ ✐❢ ✐t✬s ♣♦s✐t✐✈❡ t❤❡♥ t❤❡ ❜♦① ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♦✉ts✐❞❡ t❤❡ ❝✐r❝❧❡✳ ■❢ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ❝♦♥t❛✐♥s 0 ✭✐✳❡✳ a ≤ 0 ❛♥❞ b ≥ 0 ✮ t❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ❧❡❛r♥❡❞ ♥♦t❤✐♥❣✱ ❛♥❞ ♠✉st ❡✐t❤❡r ❣✐✈❡ ✉♣✱ ♦r tr② s♦♠❡ ♠♦r❡ ♣r❡❝✐s❡ ❛♣♣r♦❛❝❤✳ ❙♦ ❤❡r❡ ❣♦❡s ✇✐t❤ t❤❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ✐♥t♦ t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❛❜♦✈❡✿ ([1, 2] − 1])2 + ([0, 3] − 2)2 − 4 = [0, 1]2 + [−2, 1]2 − 4 = [0, 1] + [0, 4] − 4 = [−4, 1].

❙♦✱ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ❝♦♥t❛✐♥s ③❡r♦✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❤❛r❞❧② s✉r♣r✐s✐♥❣ ✐❢ ✇❡ ❧♦♦❦ ❛t t❤❡ ✜❣✉r❡❀ ✇❡ ❝❛♥ s❡❡ t❤❛t t❤❡ ❝✐r❝❧❡ ✐♥t❡rs❡❝ts t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ♦♥ x ❛♥❞ y ✇❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ❝✉r✈❡✳ ■♥ ❢❛❝t✱ t❤❛t ✐♥t❡r✈❛❧ ✐s r❛t❤❡r ❣r♦ss✳ ▲❡t✬s tr② ❛♥♦t❤❡r ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ q✉❛❞r❛t✐❝✖ t❤❡ ❍♦r♥❡r ❢♦r♠✳ ❖❜✈✐♦✉s❧② t❤✐s ♦♥❧② ❛✛❡❝ts t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r y✿ y = 1 + t(2 − t).

❆❣❛✐♥ s✉❜st✐t✉t✐♥❣ [0, 1] ❢♦r t✱ ✇❡ ❣❡t✿

1 + [0, 1](2 − [0, 1]) = 1 + [0, 1][1, 2] = [1, 3].

❨♦✉ ❝❛♥ s❡❡ ❢r♦♠ t❤❡ ✜❣✉r❡ t❤❛t t❤❡ ♥❡✇ ✐♥t❡r✈❛❧ ♠✐ss❡s t❤❡ ❝✐r❝❧❡✱ ❛♥❞ ✐♥❞❡❡❞ ✐❢ ✇❡ s✉❜st✐t✉t❡ ✐t ✐♥t♦ t❤❡ ❝✐r❝❧❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✇❡ ❣❡t t❤❡ r❡s✉❧t [−4, −2]❀ ❝♦rr❡❝t❧② ❝♦♥✜r♠✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ q✉❛❞r❛t✐❝ ❧✐❡s ✐♥s✐❞❡ t❤❡ ✐♠♣❧✐❝✐t ❝✐r❝❧❡✳

✾✻

❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s

❚❤❡ ❢❛❝t t❤❛t ❛ r❡❛rr❛♥❣❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ q✉❛❞r❛t✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ♣r♦❞✉❝❡❞ ❛ ❜❡tt❡r r❡s✉❧t ✐s ❛❝t✉❛❧❧② r❛t❤❡r ✇♦rr②✐♥❣❀ ✐♥ ❢❛❝t✱ ❛♥② ❡q✉❛t✐♦♥ ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❛♣♣❡❛rs ♠♦r❡ t❤❛♥ ♦♥❝❡ ✇✐❧❧ ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ❣✐✈❡ ❛♥ ♦✈❡r✲♣❡ss✐♠✐st✐❝ r❡s✉❧t✿ ✐✳❡✳ ❛ ❧❛r❣❡r ✐♥t❡r✈❛❧ t❤❛♥ ♥❡❝❡ss❛r② t♦ ❝♦♥t❛✐♥ t❤❡ ❣❡♦♠❡tr②✳ ◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ ❝✐r❝❧❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ♣❛r❛✲ ♠❡tr✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r x✱ ❛s ✇r✐tt❡♥ ❛❜♦✈❡ ❝♦♥t❛✐♥ ♦♥❧② ♦♥❡ r❡❢❡r❡♥❝❡ t♦ x ❛♥❞ y✱ ❛♥❞ t✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ■♥ s✉❝❤ ❝❛s❡s✱ t❤❡ r❡s✉❧t ✐s t❤❡r❡❢♦r❡ ❛s t✐❣❤t ❛s ♣♦ss✐❜❧❡✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❡✈❡♥ t❤❡ r❡❛rr❛♥❣❡❞ q✉❛❞r❛t✐❝ ❢♦r y ❞✐❞ ♥♦t ♣r♦❞✉❝❡ ❛ ✈❡r② s❛t✐s❢❛❝t♦r② r❡s✉❧t❀ t❤❡ ♣❡❛❦ ✈❛❧✉❡ ♦❢ y ✐s ❛❝t✉❛❧❧② 3✱ ✇❤✐❝❤ ♦❝✲ ❝✉rs ❛t t = 1✱ t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ t❤❡ s♣❛♥✳ ❙♦ t❤❡ t✐❣❤t❡st ✐♥t❡r✈❛❧ ♦❜t❛✐♥❛❜❧❡ ✐s [1, 2]✳ ❙♦ ❧❡t✬s tr② ❛ ❝♦✉♣❧❡ ♠♦r❡ tr✐❝❦s ♦♥ t❤❛t q✉❛❞r❛t✐❝ ❢♦r y✳ ❚❤❡ ✜rst t❤✐♥❣ t♦ ♥♦t❡ ✐s t❤❛t t❤❡ ❣r♦✇t❤ ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ❝❛✉s❡❞ ❜② t❤❡ t − t t❡r♠ ✐s s✉r❡ t♦ ❣❡t ✇♦rs❡ t❤❡ ❢✉rt❤❡r ✇❡ ❣❡t ❢r♦♠ ③❡r♦❀ ✇❡ ❛r❡ s✉❜tr❛❝t✐♥❣ t✇♦ ❧❛r❣❡r ❛♥❞ ❧❛r❣❡r ♥✉♠❜❡rs t♦ ❣❡t ❛ s♠❛❧❧ ♦♥❡✱ ❛♥❞ t❤❡ ♣❡ss✐♠✐st✐❝ ♥❛t✉r❡ ♦❢ ✐♥t❡r✈❛❧ ❛r✐t❤♠❡t✐❝ ♠❛❦❡s t❤✐s ❜❛❞ ♥❡✇s✳ ❙♦ ✇❡ ✇♦✉❧❞ ❞♦ ❜❡tt❡r t♦ ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧ ❝❡♥tr❡❞ ❛r♦✉♥❞ ③❡r♦✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ r❡✲♣❛r❛♠❡t❡r✐③❡ t❤❡ ❝✉r✈❡ ✇✐t❤ ❛ ♥❡✇ ♣❛r❛♠❡t❡r u = t − ❀ s♦ t❤❛t u ✇✐❧❧ r✉♥ ❜❡t✇❡❡♥ − ❛♥❞ ✳ ◆♦✇✱ t❤❡ ♥❡✇ ❡q✉❛t✐♦♥ ✐s✿ 2

1 2

1 2

1 2

y = 1 43 + u − u2

❛♥❞✱ s✉❜st✐t✉t✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧s✱ ✇❡ ❣❡t✿

1 43 + [− 12 , 12 ] − [− 21 , 21 ]2 = [1, 2 41 ].

❚❤❛t✬s ❜❡tt❡r t❤❛♥ ❜♦t❤ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❛♥❞ ❍♦r♥❡r ✈❡rs✐♦♥s ♦✈❡r t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ [0, 1]✳ ❚❤❡ t✇♦ ✐❞❡❛s ✇❡✬✈❡ tr✐❡❞ s♦ ❢❛r✖r❡❛rr❛♥❣✐♥❣ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❝❡♥t❡r✐♥❣ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧✖❝❛♥ ♦♥❧② ❜❡ ❞♦♥❡ ♦♥❝❡❀ s✉♣♣♦s✐♥❣ ✇❡ ✇❛♥t t♦ tr② t♦ ♠❛❦❡ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ t✐❣❤t❡r st✐❧❧❄ ❚❤❡ ❧❛st t❡❝❤♥✐q✉❡ ✇❡ s❤❛❧❧ s❡❡ ❤❡r❡✖t❛❦✐♥❣ s✉❜✲✐♥t❡r✈❛❧s✖❝❛♥ ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞ ❛s ♠❛♥② t✐♠❡s ❛s ♥❡❝❡ss❛r②✳ ▲❡t ✉s ②❡t ❛❣❛✐♥ ❣♦ ❜❛❝❦ t♦ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❢♦r♠ ♦❢ t❤❡ q✉❛❞r❛t✐❝ ❛❜♦✈❡✱ ❛♥❞ ❞✐✈✐❞❡ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ✐♥ t ✐♥t♦ t✇♦ ♣❛rts✿ [0, ] ❛♥❞ [ , 1]✳ ❙✉❜st✐t✉t✐♥❣ t❤❡ ✜rst ❤❛❧❢✲✐♥t❡r✈❛❧ ✐♥t♦ t❤❡ q✉❛❞r❛t✐❝✱ ✇❡ ❣❡t✿ 1 2

1 + 2[0, 21 ] − [0, 21 ]2 = 1 + [0, 1] − [0, 14 ] = [ 34 , 2];

1 2

❖t❤❡r ❡♥❝❧♦s✉r❡s

✾✼

❛♥❞ s✉❜st✐t✉t✐♥❣ ✐♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞✿ 1 + 2[ 21 , 1] − [ 12 , 1]2 = 1 + [1, 2] − [ 41 , 1] = [1, 2 43 ].

❚❤❛t✬s ❜❡tt❡r t❤❛♥ t❤❡ ❍♦r♥❡r ❢♦r♠✱ ❜✉t ♥♦t ❛s ❣♦♦❞ ❛s t❤❡ ❝❡♥tr❡❞ ✐♥t❡r✈❛❧✱ ❜✉t t❤❛t✬s ♥♦t r❡❛❧❧② ✐♠♣♦rt❛♥t❀ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♠❜✐♥❡ ❛❧❧ t❤r❡❡ t❡❝❤♥✐q✉❡s✱ ❛♥❞ r❡♣❡❛t t❤❡ ❧❛st ✳ ❚❤✐s s♣❧✐tt✐♥❣ ♦❢ ✐♥t❡r✈❛❧s ❢❡❛t✉r❡s ✐♥ t❤❡ t❡①t❜♦♦❦s ♦♥ t❤❡ s✉❜❥❡❝t✱ ❛♥❞ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ♦❜✈✐♦✉s r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ✇✐t❤ q✉❛❞✲tr❡❡ ❛♥❞ ♦❝t✲tr❡❡ str✉❝t✉r❡s t❤❛t ✇❡ ❝❛♥ ❡①♣❧♦✐t✳ ❆s ❛♥ ❡①❡r❝✐s❡✱ tr② ❛♣♣❧②✐♥❣ ❛❧❧ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ t❡❝❤♥✐q✉❡s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛t ♦♥❝❡ t♦ ♦✉r ♣❡t q✉❛❞r❛t✐❝❀ t❤❡ r❡s✉❧t s❤♦✉❧❞ ❜❡ [1, 2 18 ]✳

Other enclosures ❆ ❧♦t ✇❛s s❛✐❞ ❛❜♦✉t ✐♥t❡r✈❛❧s✱ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡②✬r❡ ♥♦t ✇❡❧❧✲❝♦✈❡r❡❞ ❡❧s❡✇❤❡r❡✳ ■♥ t❤✐s s❤♦rt s✉❜✲s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ✇✐❧❧ r✉♥ t❤r♦✉❣❤ s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r ❡♥❝❧♦s✉r❡s ❛✈❛✐❧❛❜❧❡✳ ■♥ ❡✈❡r② ❝❛s❡✱ t❤❡ ❡♥❝❧♦s✉r❡ ❝❛♥ ❜❡ ❛ ♣❡r♠❛♥❡♥t r❡♣❧❛❝❡♠❡♥t ❢♦r ✇❤❛t ✐t ❝♦♥t❛✐♥s✱ ❜✉t ✐t ✐s ♠♦r❡ ♦❢t❡♥ ❛ ❞②♥❛♠✐❝ str✉❝t✉r❡ t❤❛t ✐s r❡✜♥❡❞ ✐♥ r❡❣✐♦♥s ♦❢ ✐♥t❡r❡st✳ Non-orthogonal boxes

❆ ✈❡r② s✐❣♥✐✜❝❛♥t ✐♠♣r♦✈❡♠❡♥t ✐♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞✐♥❣ ♦❢ ✐♥t❡r✈❛❧s ❝❛♥ ❜❡ ❛❝❤✐❡✈❡❞ ❜② ❤❛✈✐♥❣ ❜♦①❡s ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ♥♦t ❛❧✐❣♥❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❛①❡s✳ ■♥ t✇♦ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ ❛ ❝✉r✈❡ ♠❛② ❜❡ ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✇✐t❤✐♥ ❛ s❡r✐❡s ♦❢ r❡❝t❛♥❣✉❧❛r ❜♦①❡s ✭t❤❡ str✐♣ tr❡❡✮✳ ■♥ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ ❡♥❝❧♦s✉r❡s ♠❛② ❜❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ♣r✐♠✐t✐✈❡ ✭❡✳❣✳ ❛ ❜♦① ❛r♦✉♥❞ ❛ ❝♦♥❡✮ ♦r ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❢r♦♠ ❧♦❝❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ✭❡✳❣✳ ❛❧✐❣♥❡❞ ✇✐t❤ ❛ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s②st❡♠ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ♥♦r♠❛❧✮✳ Convex hulls

❇♦✉♥❞✐♥❣ ✈♦❧✉♠❡s ♥❡❡❞ ♥♦t ❜❡ r❡❝t❛♥❣✉❧❛r ❜♦①❡s❀ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧s ❛r❡ ♠♦st ❝♦♠♠♦♥❧② ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❇❡r♥st❡✐♥✲❜❛s✐s ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐♥ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ t❤❡ ♣r❡❝✐s❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ♦❢ ❛ ❇é③✐❡r ❝♦♥tr♦❧ tr❛❝❦ ✐s ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ t♦ ❝r❡❛t❡ ❛♥❞ ✉s❡❀ ❛ ❜♦① ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❡①tr❡♠❡ ❝♦♥tr♦❧✲tr❛❝❦ ♣♦✐♥ts ✭♦♣t✐♦♥❛❧❧② ❛❧✐❣♥❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ♥♦r♠❛❧✮ ✐s ♦❢t❡♥ ♠♦r❡ ♣r❛❝t✐❝❛❧ ✭s❡❡ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✼✭✐✐✮✮✳ ❚❤✐s ✐s ❛ t②♣✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❛ str✉❝t✉r❡ t❤❛t ✐s ✉s✉❛❧❧② ✉s❡❞ ❞②♥❛♠✐❝❛❧❧②✱

✾✽

❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s

✼✭✐✐✮✖❆ q✉❛rt✐❝ ❇é③✐❡r ❝✉r✈❡✱ ✐ts ❝♦♥tr♦❧ tr❛❝❦✱ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧ tr❛❝❦ ✭t❤✐❝❦ ❞♦tt❡❞✮✱ ❛♥❞ ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧ ✐♥ x ❛♥❞ y ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ t❤❡ ❤✉❧❧ ✭t❤✐♥ ❞♦tt❡❞✮✳ ■♥ t❤✐s ♣❛r✲ t✐❝✉❧❛r ❝❛s❡✱ ✐t ✐s ✐♥t❡r❡st✐♥❣ t♦ ♥♦t❡ t❤❛t✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡r❡ ❛r❡ ✜✈❡ ♣♦✐♥ts ♦♥ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧ tr❛❝❦✱ ♦♥❧② ❢♦✉r ❝♦♥tr✐❜✉t❡ t♦ t❤❡ ❤✉❧❧✱ ❛♥❞ ♦♥❧② t❤r❡❡ t♦ t❤❡ t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✐♥t❡r✈❛❧ ✭t❤❡ s✉rr♦✉♥❞✐♥❣ r❡❝t❛♥❣❧❡✮✳ s❤r✐♥❦✐♥❣ ❞♦✇♥ ✉♣♦♥ r❡❣✐♦♥s ♦❢ ✐♥t❡r❡st ❞✉r✐♥❣ ❛ r❡❝✉rs✐✈❡ ❞✐✈✐s✐♦♥ ♣r♦❝❡ss✳ ❇♦✉♥❞✐♥❣ ✈♦❧✉♠❡s ❞♦♥✬t ❡✈❡♥ ❤❛✈❡ t♦ ❤❛✈❡ str❛✐❣❤t ❡❞❣❡s ♦r ✢❛t s✉r❢❛❝❡s✳ ■♥ t✇♦ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ ❝✐r❝✉❧❛r r❡❣✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❡♥❝❧♦s❡ ❝✉r✈❡s ✭s❡❡ ❙❡❞❡r❜❡r❣ ❛♥❞ ❝♦❧❧❡❛❣✉❡s✬ ♣❛♣❡r ♦♥ ❢❛t ❛r❝s✮✳ ■♥ t❤r❡❡ ❞✐✲ ♠❡♥s✐♦♥s✱ s♣❤❡r❡s ❛♥❞ ❡❧❧✐♣s♦✐❞s ❛r❡ s♦♠❡t✐♠❡s ✉s❡❞✱ ❛❧t❤♦✉❣❤ t❤❡② ❝❛♥ ❜❡ ✈❡r② ❝✉♠❜❡rs♦♠❡✳

❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❣❡♦♠❡tr②

✾✾

Approximate geometry ❚❤❡r❡ ❛r❡ ♠❛♥② ✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥ ❣❡♥✉✐♥❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s✱ r❛t❤❡r t❤❛♥ ❡♥❝❧♦s✉r❡s✳ ❚❤❡② ❛❧♠♦st ❛❧❧ ✐♥✈♦❧✈❡ r❡♣❧❛❝❡♠❡♥t ♦❢ ❛♥ ❡❧❡♠❡♥t ❜② s❡✈❡r❛❧ ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ ❧♦✇❡r ❞❡❣r❡❡✳ ❚❤❡ ❛♥❛❧♦❣✐❡s ✇✐t❤ s♣❧✐♥❡s ❛♥❞ ✇✐t❤ ❞❡❣r❡❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ ❇❡r♥st❡✐♥✲❜❛s✐s ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s ❛r❡ ❛♣✲ ♣❛r❡♥t✳ ■t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❤❛✈❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❣❡♦♠❡tr② t❤❛t ✐s r❡✜♥❡❞ ✐♥ r❡❣✐♦♥s ♦❢ ✐♥t❡r❡st✱ ♦r ❡✈❡♥ r❡♣❧❛❝❡❞ ❜② t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❡①❛❝t ❣❡♦♠❡tr②❀ ❜✉t t❤❛t ❛♣♣r♦❛❝❤ ❞♦❡s♥✬t ✇♦r❦ ❛s ✇❡❧❧ ❛s ✐t ❞♦❡s ✇✐t❤ ❡♥❝❧♦s✉r❡s✳ ❚❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❝❛♥ ♠❡❛♥ t❤❛t ❛ ❵r❡❣✐♦♥ ♦❢ ✐♥t❡r❡st✬ ✭❡✳❣✳ ❛♥ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✮ ✐s ♠✐ss❡❞ ❝♦♠♣❧❡t❡❧②❀ ✐♥ t❤❛t ❝❛s❡✱ t❤❡ ♣r♦❣r❛♠ ♥❡✈❡r ✜♥❞s ♦✉t t❤❛t ✐t s❤♦✉❧❞ r❡✜♥❡ t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✱ ♦r r❡st♦r❡ ❛ ♠♦r❡ ❛❝❝✉r❛t❡ ♦♥❡✳ Pixels

❚❤❡ ♣✐❝t✉r❡ ♦♥ ❛ r❛st❡r✲s❝❛♥ ❞✐s♣❧❛② ✐s ❥✉st ❛ sq✉❛r❡ ❛rr❛② ♦❢ ❞♦ts✱ ♦r ♣✐①❡❧s ✳ ❆ ❧♦t ❤❛s ❜❡❡♥ ✇r✐tt❡♥ ❛❜♦✉t ❣❡tt✐♥❣ ❝✉r✈❡s ✐♥t♦ ♣✐①❡❧s ✭✐✳❡✳ r❡♥❞❡r✐♥❣ t❤❡♠✮✱ ❛♥❞ r❡❝♦✈❡r✐♥❣ ❣❡♦♠❡tr② ❢r♦♠ ♣✐①❡❧s✳ ❚❤✐s ✐s ❛ s♣❡❝✐❛❧✐③❡❞ s✉❜❥❡❝t✱ ✉s✉❛❧❧② ♦♥❧② ♦❢ ✉s❡ ✐♥ ❧♦✇✲❧❡✈❡❧ ❣r❛♣❤✐❝s ❛♥❞ ✐♠❛❣❡ ♣r♦❝❡ss✐♥❣✳ Polylines

P♦❧②❧✐♥❡s ❛r❡ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ str❛✐❣❤t✲❧✐♥❡ s❡❣♠❡♥ts✱ ❝♦♠♠♦♥ ❜♦t❤ ❛s ❛♥ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❛s t❤❡ ❞❛t❛ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ ❛♥ ✐♥♣✉t ❞❡✈✐❝❡ s✉❝❤ ❛s ❛ t❛❜❧❡t ♦r ♠♦✉s❡✳ ■t✬s ♠♦❞❡r❛t❡❧② ❡❛s② t♦ ❝♦♥✈❡rt ❛ ♣❛r❛✲ ♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡ t♦ ❛ ♣♦❧②❧✐♥❡ ✭❜✉t ✇❛t❝❤ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❛t✐♦♥✮❀ ❧❡ss ❡❛s② t♦ ❝♦♥✈❡rt ❛♥ ✐♠♣❧✐❝✐t ❝✉r✈❡✳ ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❜❛❝❦ ✐s s♣❧✐♥✐♥❣✳ ❆ ❜✐❣ ♣r♦❜❧❡♠ ✇✐t❤ ♣♦❧②❧✐♥❡s ✐s t❤❛t t❤❡ s❧♦♣❡s ♦❢ t❤❡ str❛✐❣❤t✲❧✐♥❡ s❡❣✲ ♠❡♥ts ❡ss❡♥t✐❛❧❧② ♥❡✈❡r ♠❛t❝❤ ❛♥❞ s♦ t❤❡r❡ ✐s ❛❧✇❛②s s♦♠❡ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ♠❛❣♥✐✜❝❛t✐♦♥ t❤❛t ♠❛❦❡s t❤❡♠ ❧♦♦❦ t❛❝❦②✳ Facets

❋❛❝❡ts ❛r❡ t❤❡ t❤r❡❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ♦❢ ♣♦❧②❧✐♥❡s✳ ❚❤❡② ♠❛❦❡ ♠❛♥② t❤r❡❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ♠✉❝❤ s✐♠♣❧❡r✱ ❜❡❝❛✉s❡ ❛❧❧ ✐♥t❡r✲ s❡❝t✐♦♥s ❛r❡ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡s ❛♥❞ t❤❡② ❝r❡❛t❡ ♥♦ ❤♦r✐③♦♥s ❛✇❛② ❢r♦♠ t❤❡✐r ❡❞❣❡s ❡t❝✳ ❡t❝✳ ❚❤❡ ✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥ s♠♦♦t❤✲s❤❛❞✐♥❣ t❡❝❤♥✐q✉❡s ♦❢ ●♦✉r❛✉❞ ❛♥❞ P❤♦♥❣ ❤❛✈❡ ❣✐✈❡♥ ❢❛❝❡ts ❛♥ ❡♥♦r♠♦✉s ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐♥ t❤❡

✶✵✵ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ❣r❛♣❤✐❝s ✇♦r❧❞✳ ❇❡✇❛r❡ ♦❢ r❡✜♥✐♥❣ ❢❛❝❡t❡❞ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s t♦♦ ❢❛r❀ ②♦✉ ❛r❡ tr❛❞✐♥❣ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❢♦r ❝♦♠❜✐♥❛t♦r✐❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ❛♥❞ ✭✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❞♦✉❜❧②✲❝✉r✈❡❞ s✉r❢❛❝❡s s✉❝❤ ❛s s♣❤❡r❡s✮ t❤❡ ❜❛r❣❛✐♥ ♠❛② ❜❡ ✈❡r② ❜❛❞✳ Biarcs

❇✐❛r❝s ❛♥❞ ❜✐q✉❛❞r❛t✐❝s ❛r❡ r❡❛❧❧② ❛ s♦rt ♦❢ s♣❧✐♥✐♥❣ t❡❝❤♥✐q✉❡✱ ❜✉t ♠❛② ❜❡ ✉s❡❞ t♦ r❡♣❧❛❝❡ ❤✐❣❤❡r✲❞❡❣r❡❡ ❝✉r✈❡s✱ r❛t❤❡r t❤❛♥ t♦ ❛♣♣r♦①✲ ✐♠❛t❡ ❞❛t❛✳ ❚❤❡ r❡❛s♦♥ ❢♦r t❤❡ ♣r❡✜① ❵❜✐✬ ✐s t❤❛t ❛r❝s ❛♥❞ q✉❛❞r❛t✐❝s ❛r❡ ✉♥❛❜❧❡ t♦ ♠❡❡t ❍❡r♠✐t❡ ❡♥❞✲❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦♥ t❤❡✐r ♦✇♥✱ ❜✉t ❝❛♥ ✐❢ t✇♦ ❛r❡ ✉s❡❞ ❛❝r♦ss ❛ s♣❛♥✳ ❆❢t❡r ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ t❤❡ ❧♦✇❡r✲❞❡❣r❡❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ♠❛❦❡ ♠❛♥② ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s ❢❛st❡r✱ ❜✉t t❤❡r❡ ✐s r❡❛❧ t❛♥❣❡♥t ❝♦♥t✐♥✉✐t②✱ ✉♥❧✐❦❡ ♣♦❧②❧✐♥❡s ❛♥❞ ❢❛❝❡ts✳ ❇✐❛r❝s ❛r❡ ❝♦♠♠♦♥❧② ✉s❡❞ ❢♦r ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ t♦ t❛❦❡ ❛❞✈❛♥t❛❣❡ ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ✐♥ ♠❛❝❤✐♥❡✲t♦♦❧ ❝♦♥tr♦❧❧❡rs✳ ❇✐q✉❛❞r❛t✐❝s ❛r❡ r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ♣❛t❝❤❡s ♦❢ t❤❡ s❛♠❡ ♥❛♠❡✱ ✇❤✐❝❤ ♦✛❡r s✐♠♣❧❡r✲t❤❛♥✲✉s✉❛❧ ✐♥t❡r✲ s❡❝t✐♦♥ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s✳ Arc length, surface area, and volume

❆❧t❤♦✉❣❤ ✐♥t❡❣r❛❧ ❢♦r♠✉❧❛❡ ❢♦r ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ❝✉r✈❡s✱ ❛r✲ ❡❛s ♦❢ s✉r❢❛❝❡s ❛♥❞ ✈♦❧✉♠❡s ♦❢ s♦❧✐❞s ♠❛② s♦♠❡t✐♠❡s ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❞♦✇♥ ❡❛s✐❧② ✭✇❡❧❧✱ ❢❛✐r❧② ❡❛s✐❧②✮✱ s♦❧✈✐♥❣ t❤❡♠ ✐s ❛♥♦t❤❡r ♠❛tt❡r✿ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ t❡❝❤♥✐q✉❡s ❛r❡ ✉s✉❛❧❧② ✉s❡❞✳ ❚❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ❛♥ ❛r❝ ♦❢ ❛ ❝✉r✈❡ ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ❜② s✉♠♠✐♥❣ ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ♣♦❧②❧✐♥❡✱ ❜✉t t❤✐s ✐s ❛❧✇❛②s ❛♥ ✉♥❞❡r❡st✐♠❛t❡✳ ❙✐♠♣s♦♥✬s r✉❧❡✖❛♥❞ s✐♠✐❧❛r ❜✉t ❜❡tt❡r q✉❛❞r❛t✉r❡ ❢♦r♠✉❧❛❡ ✭s❡❡ ●✉❡♥t❡r ❛♥❞ P❛r❡♥t✬s ♣❛♣❡r✮✖❣✐✈❡ ❛ ♠✉❝❤ ♠♦r❡ ❛❝❝✉r❛t❡ r❡s✉❧t ❢♦r ❢❡✇❡r st❡♣s✳ ❙✉r❢❛❝❡ ❛r❡❛s ❝❛♥ ❜❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ✇❛②✱ ❛s t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛✲ t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❞♦✉❜❧❡ ✐♥t❡❣r❛❧✱ ❛♥❞ ✈♦❧✉♠❡s ✭♦❢ s✐♠♣❧❡ s♦❧✐❞s✮ ❜② ❛ tr✐♣❧❡ ✐♥t❡❣r❛❧✳ ❊st✐♠❛t✐♥❣ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ❝✉r✈❡ s❡❣♠❡♥ts ✐s ♥♦t ❞✐✣❝✉❧t✱ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ❡♥❞s ♦❢ t❤❡ ❝✉r✈❡ ♣r♦✈✐❞❡ ♥❛t✉r❛❧ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ❧✐♠✐ts✳ ❈♦♠♣✉t✐♥❣ t❤❡ ❛r❡❛s ♦❢ ♣✐❡❝❡s ♦❢ s✉r❢❛❝❡s✱ ❛♥❞ t❤❡ ✈♦❧✉♠❡ ♦❢ s♦❧✐❞s ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② ♠❛♥② ❢❛❝❡s✱ ✐s ♠✉❝❤ ♠♦r❡ ❞✐✣❝✉❧t✳ ❲❡ ♦❢t❡♥ ❡♥❞ ✉♣ ❝r❡❛t✐♥❣ ❛ t✇♦ ♦r t❤r❡❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❣r✐❞ ❛♥❞✖✐♥ ❡✛❡❝t✖❝♦✉♥t✐♥❣ sq✉❛r❡s✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ ❡rr❛t✐❝✱ ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ ❛❝❝✐❞❡♥t❛❧ ❛❧✐❣♥♠❡♥ts ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❣r✐❞

❆r❝ ❧❡♥❣t❤✱ s✉r❢❛❝❡ ❛r❡❛✱ ❛♥❞ ✈♦❧✉♠❡

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❛♥❞ t❤❡ ♦❜❥❡❝t✱ ❛♥❞ ✐s t❤❡r❡❢♦r❡ ❝♦♠❜✐♥❡❞ ✇✐t❤ ❛ r❛♥❞♦♠ s❛♠♣❧✐♥❣ t❡❝❤♥✐q✉❡ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❣r✐❞ ❜♦①❡s✳ ❙❛♠♣❧✐♥❣ ♣♦✐♥ts ❢♦r ✈♦❧✉♠❡ ✐s q✉✐t❡ ❡❛s②✱ ❜✉t s❛♠♣❧✐♥❣ ❛r❡❛ ✐s ♠♦r❡ ❞✐✣❝✉❧t✳ ■t ✐s ♥❡❝❡ss❛r② t♦ ❣❡♥❡r❛t❡ ❛ ♣❛tt❡r♥ ♦❢ r❛♥❞♦♠ ❧✐♥❡s✱ ❛♥❞ t❤❡♥ ❝♦✉♥t t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❧✐♥❡s ❛♥❞ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ t♦ ❜❡ ♠❡❛s✉r❡❞✳ ❍❡r❡ ❛r❡ t✇♦ q✉❡st✐♦♥s ❢♦r ❢✉rt❤❡r t❤♦✉❣❤t✿ ❲❤❛t ✐s ❛ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧❧② tr❛❝t❛❜❧❡ ✇❛② t♦ ❣❡♥❡r❛t❡ ❛ ❣❡♥✉✐♥❡❧② ✉♥❜✐❛s❡❞ s❡t ♦❢ r❛♥❞♦♠ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡s❄ ❍♦✇ ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❵❤✐ts✬ ❝♦♥✈❡rt❡❞ t♦ ❛ ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ s✉r❢❛❝❡ ❛r❡❛❄

8 Storing geometry

❚❤❡r❡ ✐s ♠✉❝❤✱ ♠✉❝❤ ♠♦r❡ ✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡ ❛❜♦✉t t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t t②♣❡s ♦❢ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❡❧❡♠❡♥t t❤❛♥ t❤❡r❡ ✐s ❛❜♦✉t ✇❤❡r❡ t♦ ♣✉t t❤❡♠ ✇❤❡♥ ②♦✉✬✈❡ ❣♦t t❤❡♠✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ st♦r✐♥❣ ❣❡♦♠❡tr② ✐s ♥♦t ❛ tr✐✈✐❛❧ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❚❤❡ ✜rst ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥ ✐s t❤❡ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥t ✇✐❧❧ ❜❡ ✐♥✈♦❧✈❡❞✱ ✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ❞❡t❡r♠✐♥❡ ❛ ❝❤♦✐❝❡✱ ✇❤❡r❡ ♣♦ss✐❜❧❡✱ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ✐♠♣❧✐❝✐t ❛♥❞ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❢♦r♠s✳ ❲✐t❤ s✐♠♣❧❡ ❡❧❡♠❡♥ts✱ ✇❡ ♠❛② ❡✈❡♥ ✐♥❞✉❧❣❡ ✐♥ t❤❡ ❧✉①✉r② ♦❢ st♦r✐♥❣ ❜♦t❤ ❢♦r♠s❀ ✐♥ t❤❛t ❝❛s❡ t❤❡② ♠✉st ♦❢ ❝♦✉rs❡ ❜❡ ❦❡♣t ❝♦♥s✐st❡♥t✳ ❚❤❡♥ t❤❡r❡ ❛r❡ ❞✐✛❡r❡♥t ❢♦r♠s ♦❢ t❤❡ s❛♠❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧❀ s✉❝❤ ❛s t❤❡ ♣♦✇❡r✱ ❍♦r♥❡r ❛♥❞ ❇❡r♥st❡✐♥ ❢♦r♠s✳ ❚❤❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♦r ❛❧❣♦r✐t❤♠✐❝ r❡❛s♦♥s ❢♦r ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❛r❡ ♦❢t❡♥ ♦✈❡rr✐❞✐♥❣❀ ❤❡r❡ ✇❡ ✇✐❧❧ ❥✉st ❝♦♥s✐❞❡r s♦♠❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝s ♦❢ ❛ ❵❣❡♦♠❡tr② ❜✐♥✬✳ ❈♦♠♣❛❝t♥❡ss ✐s ♣r♦❜❛❜❧② t❤❡ ♠♦st ♦❜✈✐♦✉s ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥✳ ❚♦ t❛❦❡ ❛ s✐♠♣❧❡ ❡①❛♠♣❧❡✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛❧r❡❛❞② s❡❡♥ t❤❛t t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣❧❛♥❡ ✐s ax + by + cz + d = 0

✐♥ t❤❡ ✐♠♣❧✐❝✐t ❢♦r♠✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❢♦r♠ ✐s✿ x = x0 + f1 s + f2 t y = y0 + g1 s + g2 t z = z0 + h1 s + h2 t.

❙♦✱ ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ✇❡ ❝❛♥ s❛✈❡ ✜✈❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❜② ✉s✐♥❣ t❤❡ ✐♠♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥✳ ■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t t❤❡r❡ ♠✉st ❜❡ s♦♠❡ r❡❞✉♥❞❛♥❝② ✐♥ t❤❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ✈❡rs✐♦♥✳ ❖❢ ❝♦✉rs❡✱ t❤❡r❡ ✐s ❛ r❡❞✉♥❞❛♥t ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❢r❡❡✲ ❞♦♠ ✐♥ t❤❡ ✐♠♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥ t♦♦❀ ✇❡ ❝❛♥ √ ♥♦r♠❛❧✐③❡ ✐t t♦ ❡❧✐♠✐♥❛t❡ t❤❛t ❢r❡❡❞♦♠✱ ❜② ❞✐✈✐❞✐♥❣ t❤r♦✉❣❤ ❜② a2 + b2 + c2 ✳

❙t♦r✐♥❣ ❣❡♦♠❡tr②

✶✵✸

❲❡ ❝♦✉❧❞ ❡❧✐♠✐♥❛t❡ r❡❞✉♥❞❛♥❝② ❛❧t♦❣❡t❤❡r❀ s✉♣♣♦s❡ ✇❡ √ ❥✉st st♦r❡❞ 1 − a2 − b 2 ✱ ✇❤❡♥ ✇❡ ♥❡❡❞❡❞ ✐t✳ ❚❤✐s ♠❛❦❡s ❛ ✷✺✪ s❛✈✐♥❣✱ ❜✉t ✐s ♥♦t ✉s✉❛❧❧② ❞♦♥❡ ❜❡❝❛✉s❡✿

a✱ b ❛♥❞ d✱ ❛♥❞ r❡❝♦♠♣✉t❡❞ c ❢r♦♠ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ c =

❆ sq✉❛r❡ r♦♦t ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✐s r❡q✉✐r❡❞ t♦ r❡❝♦♥st✐t✉t❡ c✳ ❚❤❡ s✐❣♥ ♦❢ c ❤❛s t♦ ❜❡ st♦r❡❞ ❛♥②✇❛②✳ ❚❤❡ r❡❝♦♥st✐t✉t✐♦♥ ✇✐❧❧ ❜❡ ✐❧❧✲❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ✇❤❡♥ c ✐s s♠❛❧❧✳ ✭❆❧t❤♦✉❣❤ ✇❡ ❝♦✉❧❞ ❜❡ r❡❛❧❧② ♦❜s❡ss✐✈❡ ❛♥❞ ❣❡t ❛r♦✉♥❞ t❤✐s ❧❛st ❞✐✣❝✉❧t② ❜② st♦r✐♥❣ t❤❡ t✇♦ s♠❛❧❧❡r ♦❢ a✱ b✱ ❛♥❞ c✱ ❜✉t ②♦✉✬❞ ♥❡❡❞ ❛ ✢❛❣ s♦♠❡✇❤❡r❡ t♦ ✐♥❞✐❝❛t❡ ✇❤✐❝❤ ♦♥❡ ✇❛s ♦♠✐tt❡❞✳ ●♦♦❞ ❧✉❝❦✳✮ ❙♦✱ ✐♥ st♦r✐♥❣ ♣❧❛♥❡s✱ ✇❡ ♣✉t ✉♣ ✇✐t❤ t❤❡ r❡❞✉♥❞❛♥❝②✱ ❜✉t t❤❡ ♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ✐s ✈❡r② ✐♠♣♦rt❛♥t✱ ❜❡❝❛✉s❡✿ ■t ♠❛❦❡s t❤❡ ♠❛❣♥✐t✉❞❡s ♦❢ t❤❡ ♥✉♠❜❡rs ♠♦r❡ ♣r❡❞✐❝t❛❜❧❡✱ ❛♥❞ s♦ r❡❞✉❝❡s t❤❡ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ♦❢ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ■t ♠❛❦❡s ✐t ❡❛s✐❡r t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ ✇❤❡♥ t✇♦ ♣❧❛♥❡s ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡✱ ♦r ♥❡❛r❧② t❤❡ s❛♠❡✱ ❛♥❞ ❝❛♥ s❤❛r❡ st♦r❛❣❡✳ ■t ❛✈♦✐❞s ❛ ♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ st❡♣ ✐♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ✇❤✐❝❤ ❣❡t t❤❡ ♣❧❛♥❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢r♦♠ t❤✐s s♦✉r❝❡✳ ❚❤❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❢♦r♠ ♦❢ ❛ ♣❧❛♥❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ✐♥ ❛q s✐♠✐❧❛r ✇❛②✱ t❤✐s t✐♠❡ ❜② ❞✐✈✐❞✐♥❣ f1 ✱ g1 ✱ ❛♥❞ h1 t❤r♦✉❣❤ ❜② f12 + g12 + h21 ✱ ❛♥❞ s✐♠✐❧❛r❧② ❢♦r f2 ✱ g2 ❛♥❞ h2 ✳ ❚❤❡ ❡①tr❛ ❞❡✲ ❣r❡❡s ♦❢ ❢r❡❡❞♦♠ ✐♥ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❡❞ ❡q✉❛t✐♦♥ ❛r✐s❡ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ♣♦✐♥t (x0 , y0 , z0 )✮ ❝❛♥ ❧✐❡ ❛♥②✇❤❡r❡ ♦♥ ✐ts s✉r❢❛❝❡ ✭✐✳❡✳ ❛♥②✇❤❡r❡ ✐♥ ✐ts ♣❛r❛♠❡t❡r s♣❛❝❡✮✱ ❛♥❞ t❤❛t ✐s t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✳ ❲❡ ❝❛♥ ❛♥❝❤♦r (x0 , y0 , z0 ) ❜② ♣✉tt✐♥❣ ✐t ✐♥t♦ ❛ ❞❡✜♥❡❞ ♣♦s✐t✐♦♥ ✭t❤❡ ♣♦✐♥t ♥❡❛r❡st t❤❡ ♦r✐❣✐♥ ✐s ✉s✉❛❧✮❀ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♥❛t✉r❛❧ ❝❤♦✐❝❡ ❢♦r t❤❡ ♦r✐❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ t, u ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s②st❡♠✱ ❜✉t ❝♦♥s✐st❡♥t ❝❤♦✐❝❡s ❛r❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ✭s❡❡ ❆ Pr♦❣r❛♠♠❡r✬s ●❡♦♠❡tr② ✮✳ ❙♦ ✇❡ s❡❡ t❤❛t✱ ❡✈❡♥ ❢♦r ❛ s✐♠♣❧❡ s✉r❢❛❝❡ ❧✐❦❡ t❤❡ ♣❧❛♥❡✱ t❤❡r❡ ❛r❡ ❛ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣♦ss✐❜❧❡ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s t♦ ♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥✳ ▼♦r❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛r❡ ♠♦r❡ ❞✐✣❝✉❧t ❛❣❛✐♥ t♦ ♥♦r♠❛❧✐③❡ s❛t✐s❢❛❝t♦r✐❧②✳ ❋♦r ❣❡♥❡r❛❧ ✐♠♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ✇❡ ❝❛♥ ❛❞♦♣t s♦♠❡ ♠♦r❡ ♦r ❧❡ss ❛r❜✐tr❛r② ❜✉t ❝♦♥s✐st❡♥t s❝❛❧✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✳ ❉✐✈✐❞✐♥❣ t❤r♦✉❣❤ ❜② t❤❡ s✉♠ ♦❢ t❤❡ sq✉❛r❡s ♦❢ ❛❧❧ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✱ ❡①❝❡♣t t❤❡ ❝♦♥st❛♥t t❡r♠✱ ✐s t❤❡ ✉s✉❛❧ ❞❡✈✐❝❡✱ ❛♥❞ ✐s s♦♠❡t✐♠❡s ❝❛❧❧❡❞ s✉♣❡r♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥❀ ✐t

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◆♦t t♦♦ ❡✣❝✐❡♥t✿ ❛♥❞ ❞♦ ✇❡ r❡❛❧❧② ✇❛♥t t♦ tr② t♦ ✜♥❞ t❤❡ ❡q✉❛✲ t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ♦❢ t✇♦ ♣❧❛♥❡s ❜② tr❛❝✐♥❣ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❝✉r✈❡s ♦❢ t✇♦ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ q✉❛❞r✐❝s❄ ❙t♦r❡ ❡✈❡r②t❤✐♥❣ ❛s ❛ ❢✉❧❧✲❧❡♥❣t❤ ❣❡♥❡r❛❧ q✉❛❞r✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ❜✉t t❛❣ ♣❧❛♥❡s✱ ❝②❧✐♥❞❡rs ❡t❝✳ s♦ t❤❛t ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ♣✐❡❝❡s ♦❢ ❝♦❞❡ ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞✿ s✐♠♣❧❡✱ ❜✉t ❝r✉❞❡✳ ❊❝♦♥♦♠✐③❡ ♦♥ t❤♦s❡ s❤❛♣❡s✖♣❧❛♥❡s✱ s♣❤❡r❡s✱ ❡❧❧✐♣s♦✐❞s✖t❤❛t ❛❧✇❛②s ❤❛✈❡ ❛ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts s❡t t♦ ③❡r♦✱ ❜② ❛❧❧♦❝❛t✐♥❣

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An example: storing NURBS

♥♦t

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❞❡✜♥❡ ❛ ♣❧❛♥❡ ✐♥ t❤✐s ❡❧❡♣❤❛♥t✐♥❡ ✇❛②✱ ✇❡ r❡q✉✐r❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣✐❡❝❡s ♦❢ ❞❛t❛✿ ❚❤❡ ❞❡❣r❡❡

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Q(t, u) = tuP0,0 + t(1 − u)P0,1 + (1 − t)uP1,0 + (1 − t)(1 − u)P1,1 . ❚❤✉s t❤❡ ❝♦♥tr♦❧✲♠❡s❤ ♣♦✐♥ts

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     

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  =    

✳ ✳ ✳

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cn,0 cn,1 · · · cn,n

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. 

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Bounded geometry

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❆❧t❡r♥❛t✐✈❡❧②✱ ✇❡ ❝❛♥ ✉s❡ ❣❡♦♠❡tr② ♦❢ ❧♦✇❡r ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✐t② ✇❤✐❝❤ ❞✐r❡❝t❧② ♠♦❞❡❧s t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ✐ts❡❧❢ ✭✐✳❡✳ ❧✐❦❡ ♣❛r❛♠❡t✲ r✐❝ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s✮✱ ❛♥❞ r❡❧② ♦♥ s♦♠❡t❤✐♥❣ ❧✐❦❡ ❛ r❛②✲t❡st ✭❛s ✇❡ ❤❛✈❡ ❛❧r❡❛❞② ♠❡♥t✐♦♥❡❞✮ t♦ ❞❡❝✐❞❡ ♦♥ ✇❤✐❝❤ s✐❞❡ ♦❢ t❤✐s ❜♦✉♥❞❛r② ✇❡ ❛r❡✳ ❲❤❡r❡ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❜❡t✇❡❡♥ ✐♥s✐❞❡ ❛♥❞ ♦✉ts✐❞❡ ✐s ♠❛❞❡ ✉♣ ♦❢ ♠❛♥② s♠❛❧❧ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❡❧❡♠❡♥ts✱ t❤❡② ❝❛♥ ❛❧❧ ❜❡ st♦r❡❞ s❡♣❛r❛t❡❧② ✭❛s ✐♥ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝ ❣r❛♣❤✐❝s ❢❛❝❡ ♠♦❞❡❧ ✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐t ✐s ♠✉❝❤ ❜❡tt❡r t♦ st♦r❡ s♦♠❡ ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t② ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ❡♥s✉r✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ♣✐❡❝❡s r❡❛❧❧② ❞♦ ♠❛❦❡ ✉♣ ❛ ❝♦♥t✐❣✉♦✉s ❧♦♦♣✱ ♦r ❛ ❝❧♦s❡❞ s✉r❢❛❝❡✱ ❛♥❞ t❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ ♠✐ss✐♥❣ ♦r s❡♣❛r❛t❡❞ ❝✉r✈❡ s❡❣♠❡♥ts ♦r ❢❛❝❡s✳ ❚❤✐s s❡❝♦♥❞ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ s♦✉♥❞s ❧❡ss ♣r♦♠✐s✐♥❣✱ ❜✉t ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❡❧❡✲ ♠❡♥ts ❤❛✈❡ ✈❡r② tr❛❝t❛❜❧❡ s❤❛♣❡s✱ ❛♥❞ ✜♥❞✐♥❣ t❤❡ ❝♦rr❡❝t s❡t✲t❤❡♦r② t♦ ❝♦♠❜✐♥❡ ❡❧❡♠❡♥ts ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❤❛❧❢✲s♣❛❝❡s ❤❛s ♦❢t❡♥ ♣r♦✈❡❞ ✈❡r② ❞✐❢✲ ✜❝✉❧t✱ s♦ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♠♦❞❡❧ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐s ✈❡r② ❝♦♠♠♦♥❧② ✉s❡❞✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ❜r✐❡✢② ❞✐s❝✉ss t❤❡ st♦r❛❣❡ ✐♠♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ ❡❛❝❤✳

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Set-theoretic bounds

❙❡t✲t❤❡♦r❡t✐❝ ❜♦✉♥❞✐♥❣ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐♥❝❧✉❞❡s s✐♠♣❧❡ t❤✐♥❣s ❧✐❦❡ ✐♥✲ t❡r✈❛❧s ✇❤✐❝❤ ❛r❡ r❛t❤❡r tr✐✈✐❛❧❧② ✐♥❝♦r♣♦r❛t❡❞ ✐♥t♦ ❞❛t❛ str✉❝t✉r❡s✳ ❲❡ ❝♦✉❧❞ ✇r✐t❡ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ [0, 1] ❛s (t ≥ 0) ∩ (t ≤ 1) ❛♥❞ st♦r❡ ✐t ❛s ❛ ♣✐❡❝❡ ♦❢ s❡t✲t❤❡♦r❡t✐❝ ❛❧❣❡❜r❛✖✇❤✐❝❤ ✐t ✐s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ❛ s✐♥❣❧❡ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✐♥t❡r✈❛❧ ✐s ✐♥t❡♥❞❡❞ ❛♥❞ ❛❧✲ ❧♦❝❛t❡ st♦r❛❣❡ t♦ s✉✐t✳ ■♥❞❡❡❞✱ ♠♦r❡ ♦❢t❡♥ t❤❛♥ ♥♦t✱ ✇❤❡♥ ❝✉r✈❡s ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜❡t✇❡❡♥ 0 ❛♥❞ 1 t❤✐s ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s ♥❡✈❡r r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❡①♣❧✐❝✐t❧② ❛t ❛❧❧✦ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ❛ ❧❛r❣❡ ❝♦♥str✉❝t✐✈❡ s♦❧✐❞ ❣❡♦♠❡tr② ♠♦❞❡❧ ♠❛② r❡q✉✐r❡ ♠❛♥② ♣r✐♠✐t✐✈❡ s♦❧✐❞s r❡❧❛t❡❞ ❜② ❛ ✈❡r② ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ s❡t✲t❤❡♦r❡t✐❝ ❡①♣r❡ss✐♦♥✱ s✉❝❤ ❛s ❛ tr❡❡✳ ❚❤✐s ✐s st♦r❡❞ ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ✇❛② ❛s ♦t❤❡r t②♣❡s ♦❢ ❛❧❣❡❜r❛ ✭✐✳❡✳ ❛ tr❡❡✱ ♦r s♦♠❡ tr❛✈❡rs❛❧✱ s✉❝❤ ❛s r❡✈❡rs❡ P♦❧✐s❤ ♥♦t❛t✐♦♥✮✳ ❇❡❝❛✉s❡ s❡t✲t❤❡♦r❡t✐❝ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s ❛r❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ st❛t❡♠❡♥ts✱ t❤❡✐r ❝♦♠♣❧❡①✐t② ❞♦❡s ♥♦t ✐♥❝r❡❛s❡ ✇✐t❤ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ s❡ts ❜❡✐♥❣ ❝♦♠❜✐♥❡❞✳ ✶ ❖♥❧② ♦♥❡

❢❡✇❡r ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✿

❜♦✉♥❞✐♥❣ ❡❧❡♠❡♥ts t❤❛t ❢❛✐❧ t♦ ♣❛rt✐t✐♦♥ t❤❡

s♣❛❝❡ ❞♦ ♥♦t ✇♦r❦❀ t❤✉s✱ ✇✐r❡✲❢r❛♠❡s ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ s❤♦✇♥ t♦ ❜❡ ❤✐❣❤❧② ❛♠❜✐❣✉♦✉s r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ♦❢ ♣♦❧②❤❡❞r❛❧ s♦❧✐❞s✳ ♣❛♣❡r ♦❢ ✶✾✽✵✿

❙❡❡ ▼❛r❦♦✇s❦② ❛♥❞ ❲❡s❧❡②✬s ♠✐❧❡st♦♥❡

s♦♠❡t❤✐♥❣ ♦❢ ❛ t♦♠❜st♦♥❡ ❢♦r t❤❡ ✇✐r❡✲❢r❛♠❡ ✭❛❧t❤♦✉❣❤ ✐t ❤❛s

r❡❝❡♥t❧② ❜❡❡♥ r❡❝❡✐✈✐♥❣ t❤❡ ❛tt❡♥t✐♦♥ ♦❢ ❣r❛✈❡✲r♦❜❜❡rs✮✳

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❊①♣❧♦✐t✐♥❣ ❧♦❝❛❧✐t② Connectivity

❆s ❢❛r ❛s st✐t❝❤✐♥❣ ✉♣ ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ ❧♦✇❡r ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✐t② ✐s ❝♦♥❝❡r♥❡❞✱ ❛ ✈❛r✐❡t② ♦❢ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ str✉❝t✉r❡s ✐s ❝♦♠♠♦♥❧② ✉s❡❞ t♦ r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣✖♦r ❝♦♥♥❡❝t✐✈✐t②✖❜❡t✇❡❡♥ t❤❡♠✳ ■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❛ ♣♦❧②❣♦♥✱ t❤✐s ♠❛② ♦♥❧② ❜❡ ❛ ❧✐st ♦❢ t❤❡ ❡❞❣❡s✳ ■♥ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ t❤❡ ❢❛❝❡s ♦❢ ❛ ❜♦✉♥❞❛r② ♠♦❞❡❧ ❤❛✈❡ t♦ ❜❡ ❧✐♥❦❡❞ ❜② ♣♦✐♥t❡rs✱ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡② ❝❛♥✬t ❜❡ ❛rr❛♥❣❡❞ ❛s ❛ ❧✐st ✭t❤❡ ✉s✉❛❧ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ♥♦ ♥❛t✉r❛❧ ♦r❞❡r✐♥❣✮✳ ❆❧s♦✱ ❡❛❝❤ ❢❛❝❡ ♠✉st ✐ts❡❧❢ ❜❡ ❜♦✉♥❞❡❞✳ ❚❤✐s ❝♦✉❧❞ ❜❡ ❞♦♥❡ ❜② ❤❛❧❢✲s♣❛❝❡s ✐♥ t❤❡ ❢❛❝❡✬s ♣❛r❛♠❡t❡r s♣❛❝❡✱ ❜✉t ✐t ✐s ♠✉❝❤ ♠♦r❡ ✉s✉❛❧ t♦ ❜♦✉♥❞ ❡❛❝❤ ❢❛❝❡ ❜② ❛♥♦t❤❡r s❡t ♦❢ ②❡t✲❧♦✇❡r✲ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❡♥t✐t✐❡s ✐✳❡✳ ❝✉r✈❡s✳ ❊❛❝❤ ❢❛❝❡ ❝❛♥ ❜❡ ❛ ❢r❡❡✲st❛♥❞✐♥❣ ♣♦❧②❣♦♥✱ ❜✉t t❤✐s ❧❡❛❞s t♦ ❞✉♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♣♦ss✐❜❧❡ ❡rr♦r✳ ❙♦✱ ✐♥ t❤❡ ❜❡tt❡r ❝❧❛ss ♦❢ ♠♦❞❡❧✱ ❢❛❝❡s✱ ❡❞❣❡s ❛♥❞ ✈❡rt✐❝❡s ✭✈❡rt✐❝❡s ❂ ❜♦✉♥❞s ♦♥ ❡❞❣❡s✦✮ ❛r❡ ❜♦✉♥❞ t♦❣❡t❤❡r ✐♥t♦ ❛ s✐♥❣❧❡ s♣❛❣❤❡tt✐ ❇♦❧♦❣♥❡s❡✖s♦rr②✱ ❞❛t❛ str✉❝t✉r❡✖s✉❝❤ ❛s t❤❡ ✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥ ✇✐♥❣❡❞✲❡❞❣❡ ❞❛t❛ str✉❝t✉r❡✳ ❚❤❡s❡ ❵t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧✬ str✉❝t✉r❡s ❣✉❛r❛♥t❡❡ t❤❛t ❛ ♣♦❧②❣♦♥ ✇✐❧❧ ❜❡ ❛ ❧♦♦♣✱ ❛♥❞ ❛ ♣♦❧②❤❡❞r♦♥ ✇✐❧❧ ❜❡ ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ t♦ ❛ s♣❤❡r❡✱ ♦r ✇❤❛t❡✈❡r ❵s♣❤❡r❡✲✇✐t❤✲❤❛♥❞❧❡s✬ s❤❛♣❡ t❤❛t t❤❡ ❣❡♥✉s ❞✐❝t❛t❡s❀ ❢❛❝❡s ❛♥❞ ❡❞❣❡s ❝❛♥♥♦t ❜❡ ♠✐ss✐♥❣✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤✐s ❞♦❡s ♥♦t st♦♣ ❛ ♣♦❧②❣♦♥ ❜❡✐♥❣ ❛ ✜❣✉r❡✲♦❢✲❡✐❣❤t✱ ♦r ❛ ♣♦❧②❤❡❞r♦♥ ❜❡✐♥❣ s❡❧❢✲✐♥t❡rs❡❝t✐♥❣✳ ❙♦♠❡ ♦t❤❡r ❛❣❡♥❝② ♠✉st ❛ss✉r❡ t❤❛t✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ❛ ❜♦✉♥❞❛r② ♠♦❞❡❧ t❤❛t ✐s ❝r❡❛t❡❞ ❢r♦♠ ❛ s❡t✲t❤❡♦r❡t✐❝ ♠♦❞❡❧ ✇✐❧❧ ❜r✐♥❣ ❛ ❣✉❛r❛♥t❡❡ ♦❢ s♦❧✐❞✐t② ✇✐t❤ ✐t✳ ❇✉t✱ ✐♥ ♠❛♥② s②st❡♠s✱ t❤❡ ✉s❡r ✭✇❤♦ ✐s✱ ❛❢t❡r ❛❧❧✱ r❡s♣♦♥s✐❜❧❡ ❢♦r t❤❡ ♦❢ t❤❡ s❤❛♣❡✮ ✐s ❛❧s♦ ❣✐✈❡♥ r❡s♣♦♥s✐❜✐❧✐t② t♦ ❡♥s✉r❡ t❤❛t ❛♥ ❛r❡❛ ♦r ❛ ✈♦❧✉♠❡ ❤❛s ❛❝t✉❛❧❧② ❜❡❡♥ ❝r❡❛t❡❞✳ ❈♦♥♥❡❝t✐✈✐t② r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s r❡q✉✐r❡ ❛ ❤✐❡r❛r❝❤② ♦❢ ❜♦✉♥❞s ✇❤✐❝❤ ❤❛✈❡ ❞✐✛❡r❡♥t ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✐t✐❡s ✭❡✳❣✳ ③❡r♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✈❡rt✐❝❡s✱ ♦♥❡✲ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❡❞❣❡s ❛♥❞ t❤r❡❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❢❛❝❡s ❜♦✉♥❞✐♥❣ ❛ t❤r❡❡✲ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ♦❜❥❡❝t✮✱ ❛♥❞ s♦ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ t❤❡ ♣♦✐♥t❡r✐♥❣ ❣♦❡s ✉♣ ❞r❛♠❛t✐❝❛❧❧② ❛s ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✐t② ✐♥❝r❡❛s❡s ✭❝❢✳ ❛ ♣♦❧②❣♦♥ ❛♥❞ ❛ ❜♦✉♥❞❛r② ♠♦❞❡❧✮✳ ❉♦✉❜❧❡✲❡♥❞❡❞ ♣♦✐♥t❡rs ✐♥❝r❡❛s❡ s♣❡❡❞ ❛t t❤❡ ❝♦st ♦❢ st♦r❛❣❡✳ ✷

✉t✐❧✐t②

Exploiting locality ✷ ●❡♥✉s

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❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ s❤❛♣❡ ❞❛t❛ ♠❛② ❜❡ s♦rt❡❞✳

▲♦❝❛❧✐③✐♥❣ str✉❝t✉r❡s ❛r❡

t❤❡r❡❢♦r❡ ❝♦♠♠♦♥❧② st♦r❡❞ ✇✐t❤ s❤❛♣❡ ♠♦❞❡❧s ♦❢ ❛❧❧ s♦rts✱ ❛♥❞ ♣r♦✲ ✈✐❞❡ ❡✣❝✐❡♥t ❛❝❝❡ss t♦ t❤❡♠✳ ❚❤❡ s✉✐t❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❛ ❧♦❝❛❧✐③✐♥❣ str✉❝t✉r❡ ❢♦r t❤✐s ♣✉r♣♦s❡ ♠❛② ❡❛s✐❧② ❜❡ ❛ss❡ss❡❞ ❛❣❛✐♥st ❛ s♠❛❧❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝r✐t❡r✐❛✿ ❍♦✇ ✇❡❧❧ ❞♦❡s t❤❡ ❧♦❝❛❧✐③✐♥❣ str✉❝t✉r❡ ✜t t❤❡ ❡①❛❝t ❣❡♦♠❡tr②❄ ❆r❡ ✇❡ ❣♦✐♥❣ t♦ ❤❛✈❡ t♦ ❜r❡❛❦ ✉♣ q✉✐t❡ s✐♠♣❧❡ ❡①❛❝t ❡❧❡♠❡♥ts ✐♥t♦ ♣❡♥♥② ♣❛❝❦❡ts❀ ❛r❡ ✇❡ ❣♦✐♥❣ t♦ ✜♥❞ t❤❛t s♦♠❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ r❡❣✐♦♥s ❛r❡ ♥♦t ❧♦❝❛❧✐③❡❞ ❛t ❛❧❧❄ ❍♦✇ ❡❛s② ✐s ✐t t♦ ❛❝❝❡ss t❤❡ ❧♦❝❛❧✐③✐♥❣ str✉❝t✉r❡❄ ❖❜✈✐♦✉s❧②✱ ✐t s❤♦✉❧❞ ❜❡ ❛ ❧♦t ❡❛s✐❡r t❤❛♥ ❛❝❝❡ss✐♥❣ t❤❡ ❡①❛❝t ❣❡♦♠❡tr②✱ ❛♥❞ t❤❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❛❣❛✐♥st ❝♦♠♣❧❡①✐t② s❤♦✉❧❞ ❜❡ ❛ttr❛❝t✐✈❡✳ ❍♦✇ ❡❛s② ✐s t❤❡ ❧♦❝❛❧✐③✐♥❣ str✉❝t✉r❡ t♦ ✐♠♣❧❡♠❡♥t ❛♥❞ t♦ ♠❛✐♥✲ t❛✐♥❄ ❚❤❡ ❡♥❝❧♦s✉r❡s ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ✐♥ t❤❡ ❧❛st ❝❤❛♣t❡r ❛r❡ t❤❡ ❵❝❧❛ss✐❝❛❧✬ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠❀ ✐♥ ❣r❛♣❤✐❝s✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ❵s♣❤❡r❡s r♦✉♥❞ ❡✈❡r②t❤✐♥❣✬ ✇❛s ♦♥❝❡ t❤❡ ♠♦tt♦✳ ❚❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✇✐t❤ ❡♥❝❧♦s✉r❡s ✐s t❤❛t ✐t ✐s ♥♦t✱ ♦❢ ❝♦✉rs❡✱ ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❣❡t ❡♥❝❧♦s✉r❡s t❤❛t ✇✐❧❧ ✜t ❞✐✛❡r❡♥t s♦rts ♦❢ ❞❛t❛ ✈❡r② ✇❡❧❧✳

❲❤❡♥ ❡♥❝❧♦s✉r❡s ❞♦♥✬t ✜t✱ tr♦✉❜❧❡ st❛rts✳

❙✉♣♣♦s❡ ✇❡ ❛r❡ tr②✐♥❣ t♦ ❝♦✈❡r ❢❛❝❡s ♦❢ ♣♦❧②❤❡❞r❛ ✇✐t❤ s♣❤❡r❡s✳ ■❢ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ ❧♦♥❣ t❤✐♥ ❢❛❝❡ t❤❛t ✐s ❛ ♣♦♦r ✜t t♦ ❛ s♣❤❡r❡✱ t❤❡ ♦❜✈✐♦✉s t❤✐♥❣ ✐s t♦ tr② ❛♥❞ ✜t ❛ ❧♦t ♦❢ s♠❛❧❧❡r s♣❤❡r❡s✳ ❇✉t s♠❛❧❧ s♣❤❡r❡s ❞♦♥✬t ✜t ❡①❛❝t❧② ✐♥s✐❞❡ ❛ ❜✐❣ ♦♥❡✱ s♦ t❤❡r❡ ✐s ❛❧✇❛②s ❝♦♠♣❧✐❝❛t✐♦♥

✐♥ ❡♥s✉r✐♥❣ t❤❛t ❛ ♥❡✇ s❡t ♦❢ s♣❤❡r❡s ✐s ❝❤♦s❡♥ ✇❤✐❝❤ ❞♦❡s♥✬t ❧❡❛✈❡ s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ♦✉t❀ ❛♥❞ ✇✐t❤ s♦ ♠✉❝❤ ♦✈❡r❧❛♣♣✐♥❣ ❛ ❢❡✇ ❧❡✈❡❧s ♦❢ s♠❛❧❧❡r ❛♥❞ s♠❛❧❧❡r s♣❤❡r❡s ♠❛② ❜❡ ❛ ✈❡r② ❧♦♦s❡ ❜✐t ♦❢ ❧♦❝❛❧✐③❛t✐♦♥ ✐♥❞❡❡❞✦

❊①♣❧♦✐t✐♥❣ ❧♦❝❛❧✐t②

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❆❞❛♣t✐✈❡ t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥s ❛r❡✱ ♦❢ ❝♦✉rs❡✱ ❛ ❜❡tt❡r ❛♥❞ ♠♦r❡ ❵♠♦❞❡r♥✬ ❛♥s✇❡r t♦ t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠❀ ✐❢ ❛ t✐❧❡ ✐s ❛ ♣♦♦r ✜t t♦ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ❞❛t❛✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ s✉❜❞✐✈✐❞❡❞ ✐♥t♦ ♣✐❡❝❡s ✇❤✐❝❤ ✐t ✐s ❦♥♦✇♥ ✇✐❧❧ ✜❧❧ t❤❡ s♣❛❝❡ ❡①❛❝t❧② ❀ t❤❛t✬s ✇❤❛t t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥s ❛r❡ ❛❜♦✉t✳ ❙♦ s✉❜❞✐✈✐s✐♦♥ ❝❛♥ ❝♦♥t✐♥✉❡ ❝❧❡❛♥❧② ✉♥t✐❧ ❛❞❡q✉❛t❡ ❧♦❝❛❧✐③❛t✐♦♥ ✐s ❛❝❤✐❡✈❡❞✳ ❆❧t❤♦✉❣❤ ❝♦✈❡r✐♥❣ t❤❡ ❞❛t❛ ❡✣❝✐❡♥t❧② ✐s ♥♦t ❛ ♣r♦❜❧❡♠ ✇✐t❤ t❡s✲ s❡❧❧❛t✐♦♥s✱ t❤❡✐r s❤❛♣❡s ❛♥❞ ❛❝❝❡ss ♠❡t❤♦❞s ❞✐✛❡r s✉❜st❛♥t✐❛❧❧②✳ ❍❡r❡ ✐s ❛ s❤♦rt r❡✈✐❡✇ ♦❢ s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥s ♠♦r❡ ❝♦♠♠♦♥❧② ✉s❡❞ ❢♦r ❧♦❝❛❧✐③❛t✐♦♥✿ Grids

●r✐❞s ❛r❡ ♥♦t ♦❢ ❝♦✉rs❡ ❛❞❛♣t✐✈❡❀ t❤❡ ♦♥❧② t❛✐❧♦r✐♥❣ ②♦✉ ❝❛♥ ❞♦ ✐s t♦ ❝❤♦♦s❡ ❛ s✉✐t❛❜❧❡ ♣✐t❝❤✳ ❇✉t t❤❡② ❛r❡ ❧✐❣❤t♥✐♥❣✲❢❛st t♦ ❛❝❝❡ss❀ ②♦✉ ❝❛♥ ❣❡t str❛✐❣❤t t♦ t❤❡ ❜♦① t❤❛t ✐s ❤♦❧❞✐♥❣ ❛ ♣✐❡❝❡ ♦❢ ❣❡♦♠❡tr② ✉s✲ ✐♥❣ t❤❡ s❛♠❡ s✐♠♣❧❡ ❛❝❝❡ss ♠❡❝❤❛♥✐s♠ ❛s ❛ ♠✉❧t✐✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❛rr❛②✳ ●r✐❞s ❛r❡ ❡❛s✐❧② ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ❛♥❞ ✇✐❞❡❧② ✉s❡❞ ✐♥ ❵s✐♠♣❧❡✬ ❛♣♣❧✐❝❛✲ t✐♦♥s ✇❤❡r❡ ❞✐✛❡r❡♥t s❝❛❧❡s ♦❢ ❞❛t❛ ❛r❡ ♥♦t ❡①♣❡❝t❡❞✳ Quad- and oct-trees

❚r❡❡ str✉❝t✉r❡s ❛❧❧♦✇ ♠✉❝❤ ❜❡tt❡r ❛❞❛♣t❛t✐♦♥ t♦ r❡❣✐♦♥s ♦❢ ❞❡t❛✐❧✱ ❜✉t t❤❡② ❛r❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝❛❧❧② ✐♥✢❡①✐❜❧❡✱ ❛s t❤❡② ❛r❡ ❛①✐❛❧❧②✲❛❧✐❣♥❡❞ ❛♥❞ ✇✐t❤ t✐❧❡s ♦❢ ❛ s✐♥❣❧❡ s❤❛♣❡✳ ❚❤❡ O(log n) t✐♠❡ r❡q✉✐r❡❞ t♦ ❞❡s❝❡♥❞ t❤❡ tr❡❡ ❝❛♥ ❜❡ ❛ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ❧❛r❣❡ s❡ts ♦❢ ❞❛t❛✳ Excell

❚❛♠♠✐♥❡♥✬s ❊①❝❡❧❧ str✉❝t✉r❡ ✭❤✐s ✶✾✽✵ r❡♣♦rt ✐s ✇♦rt❤ t❤❡ tr♦✉❜❧❡ ♦❢ ❣❡tt✐♥❣✮ ✐s ❛ ❣r✐❞ ♦❢ tr❡❡s✿ ❛ ♣r❛❣♠❛t✐❝ ❤②❜r✐❞ t❤❛t ❛✈♦✐❞s t✐♠❡ s♣❡♥t tr❛✈❡rs✐♥❣ t❤❡ ✉♣♣❡r ❧✐♥❦s ♦❢ ❛ q✉❛❞✲ ♦r ♦❝t✲tr❡❡✱ ♦♥ t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ t❤❛t✱ ✇✐t❤ r❡❛❧ ❞❛t❛ ♦❢ ♠❛♥② s♦rts✱ ♥♦ ✈❡r② ❧❛r❣❡ q✉❛❞s ♦r ♦❝ts ✇✐❧❧ ❜❡ ♣r❡s❡♥t✳ ❊✈❡♥ ✐❢ t❤❡② ❛r❡✱ t❤❡ ✉♥♥❡❝❡ss❛r② ✇♦r❦ r❡q✉✐r❡❞ t♦ ❛❝❝❡ss t❤❡♠ ✐s ✉s✉❛❧❧② ♦❢ ❧✐tt❧❡ ❝♦♥❝❡r♥❀ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡② ❞♦♥✬t ❝♦♥t❛✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ❜✐ts✱ ✐t ♣r♦❜❛❜❧② ✇♦♥✬t ❜❡ ♥❡❝❡ss❛r② t♦ ❛❝❝❡ss t❤❡♠ ✈❡r② ♦❢t❡♥✳ Binary space partition

❆ tr❡❡✲str✉❝t✉r❡❞ t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥ t❤❛t ✇❛s ♥♦t ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ✐♥ ❈❤❛♣t❡r ✻ ✐s t❤❡ ❜✐♥❛r② s♣❛❝❡ ♣❛rt✐t✐♦♥ ✭ ❜s♣✮ ✭s❡❡ ❚❤✐❜❛✉❧t✬s ✶✾✽✼ ♣❛♣❡r✮✳ ■t✬s

✶✶✹ ❙t♦r✐♥❣ ❣❡♦♠❡tr② ♥♦t t❤❡♦r❡t✐❝❛❧❧② ❤✐❣❤❜r♦✇ ❜✉t ✐s ✇✐❞❡❧② ✉s❡❞ ✐♥ ❣r❛♣❤✐❝s✳ ■t ✐s ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❜② s❡❣♠❡♥t✐♥❣ t❤❡ ❞❛t❛ ✉s✐♥❣ ❛r❜✐tr❛r② ❝✉tt✐♥❣ ♣❧❛♥❡s✱ ❝❤♦s❡♥ ❜② s♦♠❡ ❞❛t❛✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❤❡✉r✐st✐❝✳ ❇❡❝❛✉s❡ t❤❡ ♣❧❛♥❡s ❛r❡ ♥♦t ❛①✐❛❧❧② ❛❧✐❣♥❡❞✱ t❤❡② ❝❛♥ ❜❡ r♦t❛t❡❞ t♦ ❛♥② ♣♦s✐t✐♦♥✱ ♦r ♣r♦✲ ❥❡❝t❡❞ ✐♥t♦ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡✱ ❛t ❧♦✇ ❝♦st ❛♥❞ ✇✐t❤♦✉t ❛♥② ❞❡❣r❛❞❛t✐♦♥ ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✐t② ✭✉♥❧✐❦❡ ❣r✐❞s✱ q✉❛❞✲ ❛♥❞ ♦❝t✲tr❡❡s✮✳ ❚❤✐s ❛ttr✐❜✉t❡ ✐s ❤✐❣❤❧② ♣r✐③❡❞ ❢♦r ❣r❛♣❤✐❝s ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ✇❤❡♥ s❝❡♥❡s ❛r❡ t♦ ❜❡ r❡♥❞❡r❡❞ ❢r♦♠ ❛ s❡r✐❡s ♦❢ ❞✐✛❡r❡♥t ✈✐❡✇♣♦✐♥ts✳ ❚❤❡ ❜✐♥❛r② s♣❛❝❡ ♣❛rt✐t✐♦♥ ✐s✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ ✈✐rt✉❛❧❧② ✐♠♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❡❞✐t❀ ✐t ✐s ❛ ♦♥❝❡✲♦♥❧② ❧♦❝❛❧✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss✳ Dirichlet tessellations revisited

▲♦❝❛❧✐③❛t✐♦♥ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❉✐r✐❝❤❧❡t t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥ ❤❛s ❛ttr❛❝t❡❞ ✐♥t❡r✲ ❡st ✐♥ r❡❝❡♥t ②❡❛rs❀ ❉✐r✐❝❤❧❡t t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥s ❤❛✈❡ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ r✐❣♦✉r✱ ❜✉t ❛r❡ s♦♠❡✇❤❛t ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ❛♥❞ st✐❧❧ t❤❡ s✉❜❥❡❝t ♦❢ r❡s❡❛r❝❤✳ ❆s ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ✐♥ ❈❤❛♣t❡r ✻✱ ❛♥ ❡①❛❝t ❉✐r✐❝❤❧❡t t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♠♣❧❡① ❞❛t❛ ✭✐✳❡✳ ❛♥②t❤✐♥❣ ♦t❤❡r t❤❛♥ ♣♦✐♥t s❡ts✮ ✐s ❛❧❣❡❜r❛✐❝❛❧❧② ✈❡r② ❤❛r❞✳ Pr❛❝t✐❝❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ✐♥❝♦r♣♦r❛t✐♥❣ ❤❡✉r✐st✐❝s t♦ s❡❡❞ ❛ ❝♦♠♣❧❡① s❤❛♣❡ ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ ♣♦✐♥ts ✭❡✳❣✳ t❛❦❡ t❤❡ ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ ❛ s♦❧✐❞ ♠♦❞❡❧✮ ❛♥❞ t❡ss❡❧❧❛t❡ t❤❡♠✱ r❛t❤❡r t❤❛♥ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ str✉❝✲ t✉r❡✳ ■❢ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ t❤❡s❡ ♣♦✐♥ts ❝♦rr❡s♣♦♥❞s r❡❛s♦♥❛❜❧② ✇❡❧❧ t♦ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ❞❛t❛ ✭t❤❡ r❡❣✐♦♥s ♦❢ ❞❡t❛✐❧✱ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❛ ♠♦❞❡❧✮ t❤❡♥ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥ s❤♦✉❧❞ ❧♦❝❛❧✐③❡ t❤❡ ❞❛t❛ r❡❛s♦♥❛❜❧② ❡✣❝✐❡♥t❧②✳ ❆❧t❤♦✉❣❤ ❛ ❉✐r✐❝❤❧❡t t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥ ♠❛② ✜t t❤❡ ❞❛t❛ ✇❡❧❧✱ ❛❝❝❡ss r❡✲ q✉✐r❡s tr❛✈❡rs✐♥❣ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ❢r♦♠ ♦♥❡ t✐❧❡ t♦ ❛♥♦t❤❡r✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✉♥❡①♣❡❝t❡❞❧②✱ ❛❝❝❡ss t♦ ❉✐r✐❝❤❧❡t t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥s ❜❡❝♦♠❡s ♠♦r❡ ❝♦♠✲ ♣❡t✐t✐✈❡ ❛s ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✐t② ✐♥❝r❡❛s❡s✳ ❆♥ ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ✐s t♦ ✉s❡ t❤❡ ❧♦❣✐❝ ♦❢ ❛ ❉✐r✐❝❤❧❡t t❡ss❡❧✲ ❧❛t✐♦♥✱ ❜✉t ❛❝t✉❛❧❧② t♦ ❝♦♠♣✉t❡ ❛♥♦t❤❡r t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥ t♦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ ✐t✱ ✉s✉❛❧❧② ❛ q✉❛❞✲tr❡❡✱ ♦r ♦❝t✲tr❡❡✳ ❚❤❛t ❦❡❡♣s t❤❡ ❣❡♦♠❡tr② s✐♠✲ ♣❧❡✱ ♠❛❦❡s ❛❝❝❡ss q✉✐❝❦❡r✱ ❛♥❞ ✐s ♣❛rt✐❝✉❧❛r❧② ✉s❡❢✉❧ ❢♦r ♣r♦❜❧❡♠s ❧✐❦❡ t❤♦s❡ ✐♥ r♦❜♦t✐❝s✱ ✇❤❡r❡ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❦♥♦✇ ❛❧❧ t❤❡ t✐♠❡ ❤♦✇ ❢❛r ✇❡ ❛r❡ ❢r♦♠ ❛♥② ♣✐❡❝❡ ♦❢ ❞❛t❛✖❛♥❞ t❤✉s ❢r♦♠ ❛ ❝♦❧❧✐s✐♦♥ ✇✐t❤ ✐t✳

❊①♣❧♦✐t✐♥❣ ❧♦❝❛❧✐t②

✽✭✐✮✖❆ ♣♦✐♥t ♣❛tt❡r♥ ❧♦❝❛❧✐③❡❞ ❜② ❛ ❣r✐❞✱ ❛ q✉❛❞✲tr❡❡✱ ❛ ❜✐✲ ♥❛r② s♣❛❝❡ ♣❛rt✐t✐♦♥ ❛♥❞ ❛ ❉✐r✐❝❤❧❡t t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥✳ ❖❜s❡r✈❡ t❤❛t✱ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❣r✐❞✱ s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ❜♦①❡s ❛r❡ ❡♠♣t②✱ s♦♠❡ ❤♦❧❞ ♠♦r❡ t❤❛♥ ♦♥❡ ♣♦✐♥t❀ t❤❡ q✉❛❞✲tr❡❡ ❤❛s s♦♠❡ ❡♠♣t② ❜♦①❡s✱ ❜✉t ♥♦♥❡ ♠✉❧t✐♣❧②✲♦❝❝✉♣✐❡❞✳ ❚❤❡ ❜✐♥❛r② s♣❛❝❡ ♣❛r✲ t✐t✐♦♥ tr❡❡ ❛♥❞ ❉✐r✐❝❤❧❡t t❡ss❡❧❧❛t✐♦♥ ❤❛✈❡ ♦♥❡ ♣♦✐♥t ♣❡r r❡❣✐♦♥✳ ❚❤❡ ❣r✐❞ ❛♥❞ q✉❛❞✲tr❡❡ ❡①❤✐❜✐t ❛r❜✐tr❛r✐♥❡ss ✐♥ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ♦r✐❡♥t❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♦r✐❣✐♥❀ t❤❡ ❜✐♥❛r② s♣❛❝❡ ♣❛rt✐t✐♦♥ ✐s ❛r❜✐tr❛r② ✐♥ ♦r❞❡r ♦❢ ♣❛rt✐t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❉✐r✐❝❤❧❡t t❡ss❡❧❧❛✲ t✐♦♥ ✐s ✉♥✐q✉❡✱ ❜✉t ✐t ✐s ❛❧s♦ t❤❡ ♠♦st ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ♦❢ t❤❡ str✉❝t✉r❡s✳

✶✶✺

9 Transforms

❚r❛♥s❢♦r♠s ❛r❡ r❡❛❧❧② ❞✐st♦rt✐♦♥s ♦❢ s♣❛❝❡ ❀ t❤❡② ❛❧❧♦✇ ✉s t♦ ❣❡♥❡r❛t❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❡❧❡♠❡♥ts ✐♥ ❝♦♥✈❡♥✐❡♥t s✐③❡s✱ ♣❧❛❝❡s ❛♥❞ ♦r✐❡♥t❛t✐♦♥s✱ ❛♥❞ t❤❡♥ t♦ ♠♦✈❡ t❤❡♠ t♦ ✇❤❡r❡ ✇❡ r❡❛❧❧② ✇❛♥t t❤❡♠✳ ❚❤❡② ❛r❡ ♣❛r✲ t✐❝✉❧❛r❧② s✐❣♥✐✜❝❛♥t ✐♥ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s s✉❝❤ ❛s r♦❜♦t✐❝s ❛♥❞ ❣r❛♣❤✐❝s✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ♦❜❥❡❝ts ✐s ♦❢t❡♥ ❝❤❛♥❣✐♥❣✳ ❆♥② ♠❛♣♣✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ❛①❡s x′ = f1 (x, y, z) y ′ = f2 (x, y, z) z ′ = f3 (x, y, z)

✐s ❛♥ ❛❝❝❡♣t❛❜❧❡ tr❛♥s❢♦r♠✳ ❲❡ ❛r❡ ✉s✉❛❧❧② ♠♦r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ t❤❡ r✐❣✐❞✲❜♦❞② tr❛♥s❢♦r♠s ✇❤✐❝❤ ♠♦✈❡ ❣❡♦♠❡tr② ✇✐t❤♦✉t ❝❤❛♥❣✐♥❣ ✐ts s❤❛♣❡✿ ❚r❛♥s❧❛t✐♦♥ ✭♦r s❤✐❢t✐♥❣✮✳ ❘♦t❛t✐♦♥✳ ❚♦ t❤❡s❡ ♠❛② ❜❡ ❛❞❞❡❞ t❤❡ s❤❛♣❡✲♣r❡s❡r✈✐♥❣ tr❛♥s❢♦r♠s✱ ✇❤✐❝❤ ❛❧❧♦✇ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ s✐③❡ ❛♥❞ ❤❛♥❞❡❞♥❡ss✿ ❙❝❛❧✐♥❣✱ ✇❤✐❝❤ ❝❤❛♥❣❡s s✐③❡ ♦♥❧②✳ ▼✐rr♦r✐♥❣✱ ✇❤✐❝❤ ♣r♦❞✉❝❡s r✐❣❤t✲❤❛♥❞ ❛♥❞ ❧❡❢t✲❤❛♥❞ ❝♦♣✐❡s✳ ❚❤❡s❡ ❛r❡ ❛❧❧ ❛✣♥❡ ✭♣❛r❛❧❧❡❧✐s♠ ♣r❡s❡r✈✐♥❣✮ tr❛♥s❢♦r♠s ❛♥❞ ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ x′ = a11 x + a12 y + a13 z + d1 y ′ = a21 x + a22 y + a23 z + d2 z ′ = a31 x + a32 y + a33 z + d3 .

❚r❛♥s❢♦r♠s

✶✶✼

❚❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts a ❛r❡ ♦❜✈✐♦✉s❧② t❤❡ ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ ♠❛tr✐①✱ ❛♥❞ s♦ ✇❡ ❛rr✐✈❡ ❛t t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ tr❛♥s❢♦r♠s ❛♥❞ ♠❛tr✐① ❛❧❣❡❜r❛ t❤❛t ✐s ✐♥ ❡✈❡r② ❜♦♦❦ ♦♥ ❣r❛♣❤✐❝s✳ ❲❡ r❡✐t❡r❛t❡ ✐t ❜r✐❡✢② ❤❡r❡✱ ✉s✐♥❣ t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s t♦ s❛✈❡ ❛ ❜✐t ♦❢ s♣❛❝❡✳ ❆ s✐♠♣❧❡ ♠❛tr✐① ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥✿ "

x′ y′

#

"

=

a11 a12 a21 a22

#"

x y

#

❝❛♥ r❡♣r❡s❡♥t ♠♦✈❡♠❡♥ts ✐♥ t✇♦ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s s✉❝❤ ❛s ❛ r♦t❛t✐♦♥ θ ❛❜♦✉t t❤❡ ♦r✐❣✐♥ " # cos θ sin θ − sin θ cos θ

♦r ❛ ♠✐rr♦r✐♥❣ ✭✐♥ t❤✐s ❝❛s❡ ❛❜♦✉t t❤❡ ①✲❛①✐s✮ "

−1 0 0 1

#

.

◆♦t❡ t❤❛t ❜♦t❤ t❤❡ ♠❛tr✐❝❡s ✇❤✐❝❤ ♣❡r❢♦r♠ t❤❡s❡ r✐❣✐❞✲❜♦❞② tr❛♥s✲ ❢♦r♠s ❤❛✈❡ ❛ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t ♦❢ 1✳ ❙❝❛❧✐♥❣ ♠❛tr✐❝❡s ❞♦ ♥♦t ❤❛✈❡ ✉♥✐t ❞❡t❡r♠✐♥❛♥ts❀ s❝❛❧✐♥❣ ❜② ❛ ❢❛❝t♦r s ✐s ❛❝❤✐❡✈❡❞ ❜② t❤❡ ♠❛tr✐① "

s 0 0 s

#

.

❇✉t ❛ ♠❛tr✐① ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✐s ✉♥❛❜❧❡ t♦ ❛✛❡❝t t❤❡ ♦r✐❣✐♥ (0, 0)✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛❧✇❛②s ♠❛♣♣❡❞ t♦ ✐ts❡❧❢✳ ❚♦ ♦❜t❛✐♥ ❛ s❤✐❢t✱ ✇❡ ♥❡❡❞ s♦♠❡ ✇❛② ♦❢ ❛❞❞✐♥❣ ✈❛❧✉❡s✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ ❞♦♥❡ ❛s ❛ s❡♣❛r❛t❡ ♦♣❡r❛t✐♦♥✱ ♦r ✇❡ ❝❛♥ ✐♥❝r❡❛s❡ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐❝❡s t❤❛t ✇❡ ❛r❡ ✉s✐♥❣✱ ❛♥❞ ❡♠✲ ♣❧♦② ✇❤❛t ❛r❡ ❝❛❧❧❡❞ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ✳ ❖✉r ♥❡✇ tr❛♥s❢♦r♠s ❧♦♦❦ ❧✐❦❡✿      x′ a11 a12 d1 x  ′      y  =  a21 a22 d2   y  . s′ p1 p2 s 1

❆❢t❡r ❛ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s tr❛♥s❢♦r♠✱ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥t ❛t t❤❡ ❜♦tt♦♠ ♦❢ t❤❡ ❝♦❧✉♠♥ ♠❛tr✐① r❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ t❤❡ r❡s✉❧t ✐s r❡st♦r❡❞ t♦ 1 ❜② ❞✐✈✐❞✐♥❣ t❤❡ ✇❤♦❧❡ ♠❛tr✐① t❤r♦✉❣❤ ❜② s′ ✳ ❙♦✱ t❤❡ ♠❛♣♣✐♥❣ ❢r♦♠ x ❛♥❞ y t♦ x′ ❛♥❞ y ′ ✐s✿ a11 x + a12 y + d1 p1 x + p2 y + s a21 x + a22 y + d2 = . p1 x + p2 y + s

x′ = y′

❚r❛♥s❢♦r♠s

✶✶✽

❚❤❡ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ 2 × 2 s✉❜✲♠❛tr✐①✱ a11 ✕a22 ✱ ♣r♦❞✉❝❡ r♦t❛t✐♦♥✱ ❛♥❞ s❤❡❛r✐♥❣ ✐❢ ✇❡ ✇❛♥t ✐t✳ ■t ✐s ❝♦♥✈❡♥✐❡♥t t♦ ❦❡❡♣ t❤❡ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t ♦❢ t❤❛t s✉❜✲♠❛tr✐① ❛t ✶ ✭t❤✉s ②✐❡❧❞✐♥❣ ❛ ❝♦♥st❛♥t✲❛r❡❛ tr❛♥s❢♦r♠✱ ✐♥ t❤✐s t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❝❛s❡✮ ❛s s ❞♦❡s t❤❡ s❝❛❧✐♥❣✳ ❚❤❡ ❡❧❡♠❡♥ts d1 ❛♥❞ d2 ❣✐✈❡ tr❛♥s❧❛t✐♦♥✱ ✇❤✐❧❡ p1 ❛♥❞ p2 ♣r♦❞✉❝❡ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡ tr❛♥s❢♦r♠✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ✉s❡❞ ✐♥ ❣r❛♣❤✐❝s✳ ❚❤❛t ❝♦♠♣❧❡t❡s ❛ ✇❤✐st❧❡✲st♦♣ t♦✉r ♦❢ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥t❛r② ✐❞❡❛s✱ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ♣♦✐♥t❡❞ ♦✉t ❝❛♥ ❜❡ ✭✐♥❞❡❡❞ ❛r❡ ❛❧✇❛②s✮ ❢♦✉♥❞ ❡❧s❡✇❤❡r❡✳ ■♥ t❤❡ r❡♠❛✐♥❞❡r ♦❢ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r ✇❡ ✇✐❧❧ ❧♦♦❦ ❛t s♦♠❡ ❛s♣❡❝ts ♦❢ tr❛♥s❢♦r♠s✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❧❡ss ❝♦♠♠♦♥❧② ❞✐s❝✉ss❡❞✱ ❜✉t ✐♥❡✈✐t❛❜❧② ❡♠❡r❣❡ ✐❢ ②♦✉ ❛❝t✉❛❧❧② ✇❛♥t t♦ ✉s❡ t❤❡♠✳

Implementing transforms ❲❤✐❧❡ ♠❛tr✐❝❡s ♣r♦✈✐❞❡ ❛ ❣r❡❛t ❢♦r♠❛❧✐s♠ ❢♦r ❞❡s❝r✐❜✐♥❣ tr❛♥s❢♦r♠s✱ t❤❡ ✜t ✐s ♥♦t ❛s ❣♦♦❞ ❛s ✐t ✐s ✇✐❞❡❧② ♣r♦❝❧❛✐♠❡❞ t♦ ❜❡✿ ▼❛tr✐❝❡s ❞♦ ♥♦t ♣❡r s❡ ♣❧❛❝❡ ❛♥ ✐♥t✉✐t✐✈❡❧② ♦❜✈✐♦✉s ❝♦♥str❛✐♥t ♦♥ t❤❡ ♦♣❡r❛t✐♦♥s t❤❛t t❤❡② ❞❡s❝r✐❜❡ ✭❛s ✇♦✉❧❞ ❜❡ t❤❡ ❝❛s❡ ✐❢✖ s❛②✖❛❧❧ ♠❛tr✐① ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡❞ t♦ r✐❣✐❞✲❜♦❞② tr❛♥s✲ ❢♦r♠s✮❀ ♦♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞ t❤❡② ❛r❡ ♥♦t ❛ ❢✉❧❧② ❣❡♥❡r❛❧ ♣❛r❛❞✐❣♠ ✭s✉♣♣♦s❡ ✇❡ ✇❛♥t x′ t♦ ❤❛✈❡ ❛ t❡r♠ ✐♥ x2 ✮✳ ❙✐♠♣❧❡ ♦♣❡r❛t✐♦♥s s✉❝❤ ❛s s❤✐❢t✐♥❣ ❛♥❞ ♠✐rr♦r✐♥❣ ❛r❡ ✉♥♥❡❝❡s✲ s❛r✐❧② ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ t♦ ❡①♣❧❛✐♥✱ ❛♥❞ t♦ ❡①❡❝✉t❡✱ ✉s✐♥❣ ♠❛tr✐❝❡s✳ ❊✈❡♥ ✉s✐♥❣ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ♠❛tr✐❝❡s✱ tr❛♥s❢♦r♠s ❞♦ ♥♦t ♠❛♣ ❞✐✲ r❡❝t❧② ✐♥t♦ ♠❛tr✐① ❛❧❣❡❜r❛❀ ❡①tr❛ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ✭s✉❜s❡q✉❡♥t ♥♦r✲ ♠❛❧✐③❛t✐♦♥s✮ ♠✉st ❜❡ t❛❝❦❡❞ ♦♥✳ ❆❣❛✐♥st t❤✐s✿ ▼❛tr✐❝❡s ♣r♦✈✐❞❡ t❤❡ ❜❡st ✇❛② t♦ ❢♦r♠❛❧✐③❡ t❤❡ ❝♦♥❝❛t❡♥❛t✐♦♥ ♦❢ tr❛♥s❢♦r♠s✳ ❉❡t❡r♠✐♥❛♥ts ♣r♦✈✐❞❡ ❛♥ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ❢♦r♠❛❧✐s♠ t♦ ❛♥❛❧②s❡ ❝❡rt❛✐♥ ✭✐✳❡✳ ❛r❡❛✲ ♦r ✈♦❧✉♠❡✲♣r❡s❡r✈✐♥❣✮ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ♠❛tr✐❝❡s✳ ▼❛tr✐❝❡s ❛r❡ ❞❡ ❢❛❝t♦ ❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ✇✐t❤ ❣r❛♣❤✐❝s ♣❛❝❦❛❣❡s ❛♥❞ ♠❛tr✐① ❤❛r❞✇❛r❡ ✭❛❧t❤♦✉❣❤ t❤❡ ❧❛tt❡r ✐s st✐❧❧ r❛t❤❡r r❛r❡✮✳ ■♥ ♣r❛❝t✐❝❡✱ ✐t ✐s t❤❡ ❝♦♥❝❛t❡♥❛t✐♦♥ ♣r♦♣❡rt② t❤❛t ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t✳ ■❢ ✇❡ ✇✐s❤ t♦ s❤✐❢t s♦♠❡ ♣♦✐♥ts ♦♥❝❡ ❛♥❞ ♦♥❝❡ ♦♥❧②✱ t❤❡♥ s♦♠❡ s♣❡❝✐❛❧ ❝♦❞❡✿

■♠♣❧❡♠❡♥t✐♥❣ tr❛♥s❢♦r♠s

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① ❂ ① ✰ ❞①❀ ② ❂ ② ✰ ❞②❀ ③ ❂ ③ ✰ ❞③❀ ✐s ❜♦t❤ tr✐✈✐❛❧ ❛♥❞ ❡❛s② t♦ ✉♥❞❡rst❛♥❞✳ ❚❤❡ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❢✉❧❧ ❤♦♠♦✲ ❣❡♥❡♦✉s ♠❛tr✐① ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ ✶✻ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ✶✷ ❛❞❞✐t✐♦♥s ❛♥❞ t❤r❡❡ ❞✐✈✐s✐♦♥s ✐s ♥♦t t♦ ❜❡ t❤♦✉❣❤t ♦❢✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ t❤❡ t♦t❛❧ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ✇♦r❦ r❡q✉✐r❡❞ ❢♦r ❛ s♠❛❧❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✐♠♣❧❡ tr❛♥s❢♦r♠s ❞♦♥❡ s❡q✉❡♥t✐❛❧❧② s♦♦♥ ❜❡❝♦♠❡s ♠♦r❡ t❤❛♥ ❢♦r t❤❡ ❝♦♥✲ ❝❛t❡♥❛t❡❞ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✳ ❚❤❡ ❝♦st ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❝❛t❡♥❛t✐♦♥ ❛r✐t❤♠❡t✐❝ ❝❛♥ ❜❡ q✉✐❝❦❧② ❛♠♦rt✐③❡❞ ♦✈❡r ❛ ❢❡✇ ♣♦✐♥ts✱ ❧❡t ❛❧♦♥❡ ❛ ❢❡✇ t❤♦✉s❛♥❞✳ ❙♦✱ ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✿

❋❡✇ ♣♦✐♥ts ▲♦ts ♦❢ ♣♦✐♥ts ❋❡✇ tr❛♥s❢♦r♠s ❇❡s♣♦❦❡ ❝♦❞❡ ❇❡s♣♦❦❡ ❝♦❞❡ ▼❛♥② tr❛♥s❢♦r♠s ❇❡s♣♦❦❡ ❝♦❞❡ ❍♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ♠❛tr✐❝❡s ❙♦♠❡t✐♠❡s✱ ✇❡ ♠❛② ❡①♣❡❝t s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠s r❡❛❝❤✐♥❣ ❛ ♣❛r✲ t✐❝✉❧❛r ♣✐❡❝❡ ♦❢ ❝♦❞❡ t♦ ❜❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞✱ ❜✉t ♦t❤❡rs ✭♠♦st❄✮ t♦ ❜❡ s✐♠♣❧❡✳ ❲❤❛t t❤❡♥❄ ■❢ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ❛ tr❛♥s❢♦r♠ ♠❛tr✐① ♦♥❧② r❡♣r❡s❡♥ts✖s❛②✖❛ tr❛♥s❧❛t✐♦♥✱ t❤❡♥ ✇❡ ❝❛♥ ♣✐❝❦ ♦✉t t❤❡ ❞❛t❛ ✇❡ ♥❡❡❞ ❢r♦♠ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ♠❛tr✐①✳ ❚❤❡r❡ ✐s s♦♠❡ ❝♦❞❡ t❤❛t ❞♦❡s ❝♦♥❝❛t❡✲ ♥❛t✐♦♥ ✐♥ t❤✐s ✇❛② ✭s❡❡ ❈②❝❤♦s③✬ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ t♦ ●❧❛ss♥❡r✬s ♣❛❣❡s ✹✼✻✕✹✽✶✮ ❛❧t❤♦✉❣❤ ✐t ✐s r❛t❤❡r s♣♦✐❧❡❞ ❜② ✉s✐♥❣ ❞♦✉❜❧❡✲ s✉❜s❝r✐♣t ❛rr❛②s✳ ❲❤✐❧❡ t❤❡s❡ ♣r♦✈✐❞❡ t❤❡ ❜❡st ✇❛② t♦ ✇r✐t❡ ♠❛tr✐① ❡❧❡♠❡♥ts ❞♦✇♥✱ ❛❝❝❡ss✐♥❣ t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❡❧❡♠❡♥ts r❡q✉✐r❡s ❛ ❣r❛✲ t✉✐t♦✉s ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ t❤❛t ✇❡ ❝❛♥ ❛✈♦✐❞✱ ❜❡❝❛✉s❡ ✇❡ ♦♥❧② ♥❡❡❞ ♦♥❡ s✐③❡ ♦❢ ♠❛tr✐①✳ ❋♦r t❤✐s r❡❛s♦♥✱ ❣❡♥❡r❛❧ ♠❛tr✐① ✭✇♦rs❡✱ t❡♥s♦r ♠❛✲ ♥✐♣✉❧❛t✐♦♥ ♣❛❝❦❛❣❡s✮ ❛r❡ ❜❡st ❛✈♦✐❞❡❞✳

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❙♦✱ ❛s ❛ tr✐✈✐❛❧ ❡①❛♠♣❧❡✱ s✉♣♣♦s❡ ✇❡ ✇✐s❤ t♦ tr❛♥s❢♦r♠ ❛ ♣♦✐♥t ✭❳❖▲❉✱ ❨❖▲❉✮ t♦ ❛ ♥❡✇ ♣♦✐♥t ✭❳◆❊❲✱ ❨◆❊❲✮✱ ✉s✐♥❣ t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ♠❛tr✐❝❡s t❤❛t ✇❡ ❦♥♦✇ ✇✐❧❧ ♦❢t❡♥ ❜❡ s❤✐❢ts✱ r♦t❛t✐♦♥s✱ ♦r s❝❛❧✐♥❣s✳ Pr❡s✉♠✐♥❣ ❢♦r ♥♦✇ t❤❛t t❤❡ ♠❛tr✐❝❡s ❝❛♠❡ ❢r♦♠ s♦♠❡✲ ✇❤❡r❡ ❡❧s❡ ✐♥ ♦✉r ♦✇♥ ♣r♦❣r❛♠✱ ✐t ✐s ❡❛s② t♦ t❛❣ t❤❡♠ ✇✐t❤ t❤❡✐r t②♣❡✿ ✶ ✷ ✸ ✹ ❍❡r❡✬s ✇❤❛t t❤❡ ❝♦❞❡ ♠✐❣❤t ❧♦♦❦ ❧✐❦❡✳ ◆♦t❡ t❤❛t✱ ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ❣♦♦❞ ♦❧❞ ❊◗❯■❱❆▲❊◆❈❊ st❛t❡♠❡♥t✱ ❛t r✉♥✲t✐♠❡ ✇❡ ❛✈♦✐❞ ❤❛✈✐♥❣ t♦ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ ❛rr❛② s✉❜s❝r✐♣ts ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ✐♥ t❤✐s ♣✐❡❝❡ ♦❢ ❢♦rtr❛♥ ✿

✖❣❡♥❡r❛❧✱ ✖s❤✐❢t✱ ✖r♦t❛t✐♦♥✱ ✖s❝❛❧✐♥❣✳

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❈r✉❞❡ ❜✉t ❡✛❡❝t✐✈❡✿ t❤❡ ❛❝❝✉r❛❝② ❝♦♥st❛♥t ♦❜✈✐♦✉s❧② ♥❡❡❞s t♦ ❜❡ s❡t ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥✳ ◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ ♠❛tr✐① t②♣❡ ❝♦❞❡s ♠❛② ❛❧s♦ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ♠❛❦❡ ❝♦♥❝❛t❡♥❛t✐♦♥s ♠♦r❡ ❡✣❝✐❡♥t✱ ❜② ❣♦✐♥❣ t♦ s♣❡❝✐❛❧ ❝♦❞❡ ✇❤❡♥✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ❛ s❤✐❢t ✐s t♦ ❜❡ ❛❞❞❡❞ t♦ ❛♥ ❡①✐st✐♥❣ ♠❛tr✐①✳ ❚❤❡ t②♣❡ ❝♦❞❡s ❝❛♥ ❜❡ ♠❛❞❡ t♦ s✉r✈✐✈❡ ❝❡rt❛✐♥ ❝♦♥❝❛t❡♥❛t✐♦♥s ✭❡✳❣✳ ❛ s❡r✐❡s ♦❢ s❤✐❢ts✮ ❛♥❞ t❤✉s ✐♥❝r❡❛s❡ ❡✣❝✐❡♥❝② ❛❧❧ ❛❧♦♥❣ t❤❡ ❧✐♥❡✳ ❖❜✈✐♦✉s❧②✱ ❝♦♥❝❛t❡♥❛t✐♦♥s s❤♦✉❧❞ ❜❡ ❞♦♥❡ ❜② ✉♣❞❛t✐♥❣ ❛ r✉♥♥✐♥❣ tr❛♥s❢♦r♠ ♠❛tr✐①✱ r❛t❤❡r t❤❛♥ ❝r❡❛t✐♥❣ ❛ ♥❡✇ ♦♥❡✱ t♦ ❛✈♦✐❞ ❝♦♣②✐♥❣✳ ❚❤✐s ✐s tr✐❝❦② ✐♥ ❧❛♥❣✉❛❣❡s ✭❡✳❣✳ ♣r♦❧♦❣✮ t❤❛t st♦♣ ②♦✉ ✇r✐t✐♥❣ ❜❛❝❦ ✐♥t♦ ❛ ❞❛t❛ str✉❝t✉r❡✱ ❜✉t ♦t❤❡r✇✐s❡ s✐♠♣❧❡✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ t♦ ❛♣♣❧② ❛ r♦t❛t✐♦♥ t♦ ❛ ♠❛tr✐① t❤❛t ✐s ✐ts❡❧❢ ♠❛r❦❡❞ ❛s ❛ r♦t❛t✐♦♥ ♠❛tr✐①✱ ❧♦♦❦s ❧✐❦❡ t❤✐s ✇❤❡♥ ✇r✐tt❡♥ ♦✉t✿ 





cos θ sin θ 0 a11 a12 0     − sin θ cos θ 0   a12 a22 0  . 0 0 1 0 0 1

✭P❧✉s ❛ ✈❡st✐❣✐❛❧ ♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ st❡♣✱ ✐❢ t❤❡ ❝♦❞❡ ✐s r❡❛❧❧② ❞✉♠❜✳✮ ❇✉t ✐t ❝♦♠❡s ❞♦✇♥ t♦ t❤❡ ❝♦❞❡ ❘❊❆▲ ❆✭✸✱✸✮ ❊◗❯■❱❆▲❊◆❈❊ ✭❆✭✶✱✶✮✱❆✶✶✮✱✭❆✭✶✱✷✮✱❆✶✷✮✱✭❆✭✶✱✸✮✱❆✶✸✮✱ ✰ ✭❆✭✷✱✶✮✱❆✷✶✮✱✭❆✭✷✱✷✮✱❆✷✷✮✱✭❆✭✷✱✸✮✱❆✷✸✮✱ ✰ ✭❆✭✸✱✶✮✱❆✸✶✮✱✭❆✭✸✱✷✮✱❆✸✷✮✱✭❆✭✸✱✸✮✱❆✸✸✮ ●❖❚❖ ✭■❚❨P❊✮✱ ✳✳✳ ✱✶✵✱ ✳✳✳ ✳✳✳ ✶✵ ❙❚ ❂ ❙■◆✭❚❍❊❚❆✮ ❈❚ ❂ ❙◗❘❚✭✶✳✵ ✲ ❈❚✮

✶✷✷

❚r❛♥s❢♦r♠s ❚❊▼P ❂ ❙❚ ✯ ❆✶✶ ✲ ❈❚ ✯ ❆✷✶ ❆✶✶ ❂ ❈❚ ✯ ❆✶✶ ✰ ❙❚ ✯ ❆✷✶ ❆✷✶ ❂ ❚❊▼P ❚❊▼P ❂ ❙❚ ✯ ❆✶✷ ✲ ❈❚ ✯ ❆✷✷ ❆✶✷ ❂ ❈❚ ✯ ❆✶✷ ✰ ❙❚ ✯ ❆✷✷ ❆✷✷ ❂ ❚❊▼P

■♥ ❢❛❝t t❤✐s ♣✐❡❝❡ ♦❢ ❝♦❞❡ ✇♦r❦s ❢♦r ❛♥② ♠❛tr✐① ❢♦r ✇❤✐❝❤✿ a 11 a21

a12 a22

= 1.

Interpreting matrices

❙♦ ❢❛r ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ss✉♠❡❞ ✭❡✳❣✳ ✐♥ t❤❡ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ♦❢ t❤❡s❡ ♥♦t✐♦♥❛❧ t②♣❡ ❝♦❞❡s✮ t❤❛t ✇❡ ❦♥♦✇ ✇❤❡r❡ ♠❛tr✐❝❡s ❤❛✈❡ ❝♦♠❡ ❢r♦♠✳ ❙♦♠❡t✐♠❡s✱ ✇❡ ❞♦♥✬t✳ ▼❛②❜❡ t❤❡② ❝♦♠❡ ❢r♦♠ ❛♥♦t❤❡r ♣✐❡❝❡ ♦❢ s♦❢t✇❛r❡✱ ♦r ❢r♦♠ s♦♠❡ ❡①t❡r♥❛❧ ✐♥♣✉t✳ ❲❡ ❝❛♥ s❡❡ ❢r♦♠ t❤❡ ♣❛rt✐t✐♦♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ tr❛♥s❢♦r♠ ♠❛tr✐① t❤❛t ✇❡ ❤❛✈❡ ❛❧r❡❛❞② ❧♦♦❦❡❞ ❛t✖   a11 a12 d1 a22 d2   p1 p2 s

  a21

✖t❤❛t s♦♠❡ ❜✐ts ❛r❡ ❡❛s②✳ ■❢ p ♦r p ❛r❡ ♥♦♥✲③❡r♦✱ t❤❡♥ ✇❡✬✈❡ ❣♦t ❛ ♥♦♥✲❛✣♥❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✐♥ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❀ ♦t❤❡r✇✐s❡ t❤❡ s❤✐❢ts ✐♥ d ❛♥❞ d ✱ ❛♥❞ t❤❡ s❝❛❧✐♥❣ ❢❛❝t♦r ✐♥ s✱ ❛r❡ ❡❛s✐❧② ❡①tr❛❝t❡❞✳ ❇✉t ✇❤❛t ❛❜♦✉t a t♦ a ❄ ❙✉♣♣♦s✐♥❣✱ ❛s ✇❡ ✇❡❧❧ ♠❛②✱ t❤❛t ✇❡ ✇❛♥t t♦ ✜♥❞ ♦✉t ✇❤❡t❤❡r ✐t✬s ❛ r♦t❛t✐♦♥❀ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ❛ r♦t❛t✐♦♥ s❤♦✉❧❞ ❜❡ 1

2

1

2

11

22

"

cos θ sin θ − sin θ cos θ

#

s♦ ✇❡ ❝❛♥ ❡①tr❛❝t θ ❢r♦♠ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① ✭❡✳❣✳ θ = cos a ✮ ❛♥❞ t❤❡♥ ❝❤❡❝❦ ✇❤❡t❤❡r t❤❡ ♦t❤❡r t❤r❡❡ ❛❣r❡❡✳ ■♥ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ t❤❛t ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ✐s ❛ ❧✐tt❧❡ ❧❡ss tr✐✈✐❛❧✱ ❛♥❞ ✇♦rt❤ ❧♦♦❦✐♥❣ ❛t✳ −1

11

■♥t❡r♣r❡t✐♥❣ ♠❛tr✐❝❡s

✶✷✸

■♥ s♣❛❝❡✱ ❛ r♦t❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❛❜♦✉t ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ♣r✐♠❛r② ❛①❡s✱ ❜✉t ✐t ✐s ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧❧② ❛❜♦✉t ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❛①✐s✳ ❚❤❡ ♠❛tr✐① ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② t❤r❡❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ r♦t❛t✐♦♥ ✐s ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ♠♦r❡ ✉s❡❢✉❧✱ ❜✉t ✐t ✐s ✐♥❝♦♥✲

✐s ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❊❧❡♠❡♥ts ❢♦r ❈♦♠♣✉t❡r ●r❛♣❤✐❝s

✈❡♥✐❡♥t❧② ♦♠✐tt❡❞ ❢r♦♠ ♠♦st ♦❢ t❤❡ ❜♦♦❦s ✭❛❧t❤♦✉❣❤ ✐t ❛♥❞ ❆❞❛♠s✬ ❜♦♦❦

■❢ t❤❡ r♦t❛t✐♦♥ ❛①✐s ✐s ❛ ✉♥✐t ✈❡❝t♦r



c2x + (1 − c2x ) cos θ  cx cy (1 − cos θ) + cz sin θ cx cz (1 − cos θ) + cy sin θ

(cx , cy , cz )✱

cx cy (1 − cos θ) + cz sin θ c2y + (1 − c2y ) cos θ cy cz (1 − cos θ) − cx sin θ

✐♥ ❘♦❣❡rs ✮✳

t❤❡♥ t❤❡ ♠❛tr✐① ✐s✿

 cx cz (1 − cos θ) − cy sin θ cy cz (1 − cos θ + cx sin θ  c2z + (1 − c2z ) cos θ

✇❤✐❝❤ ❧♦♦❦s ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞❀ ❛s ❛♥ ❛s✐❞❡✱ ✇❡ s❡❡ t❤❛t ✐t ❝♦❞❡s ✉♣ ♥✐❝❡❧②✿

❙■◆❚ ❂ ❙■◆✭❚❍❊❚❆✮ ❈❖❙❚ ❂ ❙◗❘❚✭✶✳✵ ✲ ❙■◆❚ ✯ ❙■◆❚✮ ❉ ❂ ✶✳✵ ✲ ❈❖❙❚ ❈❳❙◗ ❂ ❈❳ ✯ ❈❳ ❈❨❙◗ ❂ ❈❨ ✯ ❈❨ ❈❩❙◗ ❂ ❈❩ ✯ ❈❩ ❚❊▼P ❂ ❈❳ ✯ ❉ ❈❳❈❨❉ ❂ ❈❨ ✯ ❚❊▼P ❈❨❈❩❉ ❂ ❈❨ ✯ ❈❩ ✯ ❉ ❈❩❈❳❉ ❂ ❈❩ ✯ ❚❊▼P ❈❳❙ ❂ ❈❳ ✯ ❙■◆❚ ❈❨❙ ❂ ❈❨ ✯ ❙■◆❚ ❈❩❙ ❂ ❈❩ ✯ ❙■◆❚ ❆✶✶ ❆✶✷ ❆✶✸ ❆✷✶ ❆✷✷ ❆✷✸ ❆✸✶ ❆✸✷ ❆✸✸

❂ ❂ ❂ ❂ ❂ ❂ ❂ ❂ ❂

❈❳❙◗ ✰ ✭❈❨❙◗ ✰ ❈❩❙◗✮ ✯ ❈❖❙❚ ❈❳❈❨❉ ✰ ❈❩❙ ❈❳❈❩❉ ✰ ❈❨❙ ❈❳❈❨❉ ✰ ❈❩❙ ❈❨❙◗ ✰ ✭❈❳❙◗ ✰ ❈❩❙◗✮ ✯ ❈❖❙❚ ❈❨❈❩❉ ✰ ❈❳❙ ❈❳❈❩❉ ✰ ❈❨❙ ❈❨❈❩❉ ✲ ❈❳❙ ❈❩❙◗ ✰ ✭❈❳❙◗ ✰ ❈❨❙◗✮ ✯ ❈❖❙❚

❇✉t s✉♣♣♦s✐♥❣ ✇❡ ❞♦ ✇❛♥t t♦ ❣♦ t❤❡ ♦t❤❡r ✇❛②✱ ❛♥❞

❚r❛♥s❢♦r♠s

✶✷✹

❋✐♥❞ ♦✉t ✇❤❡t❤❡r ❛ ❣✐✈❡♥ ♠❛tr✐① ✐s ❛ r♦t❛t✐♦♥✳ ❉✐s❝♦✈❡r t❤❡ ❛①✐s ❛♥❞ ❛♥❣❧❡❄ ❊q✉❛t✐♥❣ ❛❧❧ t❤❡ t❡r♠s ✐♥ t❤❡ ♠❛tr✐① ♣r♦❞✉❝❡s ❛ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r✱ ❛♥❞ ✈❡r② ♦✈❡r✲❝♦♥str❛✐♥❡❞✱ ♠❡ss❀ ✇❡ ❝❛♥ ❡❛s✐❧② s♣♦t ❛ ♠❡t❤♦❞ ♦❢ ❡①tr❛❝t✐♥❣ cx sin θ✱ cy sin θ ❛♥❞ cz sin θ✳ ❙✐♥❝❡ ✇❡ ❦♥♦✇ c2x + c2y + c2z = 1✱ ✇❡ ❝❛♥ ✜♥❞ sin θ✿ ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ cx ✱ cy ❛♥❞ cz ✳ ❲❡ ❝❛♥ t❤❡♥ ❝❤❡❝❦ ❛❧❧ t❤❡ ♦t❤❡r t❡r♠s t♦ ✇❤❛t❡✈❡r ❛❝❝✉r❛❝② s❡❡♠s ♥❡❝❡ss❛r②✳

Transformation of equations ▼♦st t❡①ts r❡str✐❝t t❤❡♠s❡❧✈❡s t♦ ❛♣♣❧②✐♥❣ tr❛♥s❢♦r♠s t♦ ♣♦✐♥ts ✳ ❚❤✐s ✐s ❛❞❡q✉❛t❡✱ ♣r♦✈✐❞❡❞ t❤❛t t❤❡ ❣❡♦♠❡tr② t♦ ❜❡ tr❛♥s❢♦r♠❡❞ ✐s ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❢r♦♠ ❛ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣♦✐♥ts✱ ❛♥❞ ❝❛♥ ❜❡ r❡❝♦♥str✉❝t❡❞ ❛❢t❡r tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ❚❤✐s ❛♣♣❧✐❡s t♦ ✇✐r❡✲❢r❛♠❡s✱ ♣♦❧②❣♦♥s✱ ❇❡r♥st❡✐♥✲ ❜❛s✐s ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s✱ ❛♥❞ ❛❧s♦ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s t❤❛t ✇❡ ❛r❡ ♣r❡♣❛r❡❞ t♦ r❡❝♦♥str✉❝t ❢r♦♠ ♣♦✐♥t ❞❛t❛ ❜② ▲❛❣r❛♥❣❡ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥✳ ❊q✉❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ♣♦✇❡r ❜❛s✐s ❛r❡ ❛ ❞✐✛❡r❡♥t st♦r②✳ P❛r❛♠❡tr✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛r❡ r❡❧❛t✐✈❡❧② ❡❛s②✳ ■❢ t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✐s✿ x = x0 + c11 t + c12 t2 + c13 t3 . . . y = y0 + c21 t + c22 t2 + c23 t3 . . . z = z0 + c31 t + c32 t2 + c33 t3 . . . ,

❛♥❞ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠ ✐s t❤❡ ❛✣♥❡✿ x′ = a11 x + a12 y + a13 z + d1 y ′ = a21 x + a22 y + a23 z + d2 z ′ = a31 x + a32 y + a33 z + d3 ,

t❤❡♥ t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❝❛♥ r❡❛❞✐❧② ❜❡ s✉❜st✐t✉t❡❞ ✐♥t♦ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠✱ t♦ ❣✐✈❡✿ x′ = + + + ....

a11 x0 + a12 y0 + a22 z0 + d1 (a11 c11 + a12 c21 + a13 c31 + . . .)t (a11 c21 + a11 c22 + a13 c32 + . . .)t2 (a11 c31 + a12 c32 + a13 c33 + . . .)t3

❚r❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥s

✶✷✺

■t✬s ❡❛s② t♦ s❡❡ ❢r♦♠ t❤✐s t❤❛t t❤❡ s❡t ♦❢ ♥♦♥✲r❛t✐♦♥❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐s ♥♦t ❝❧♦s❡❞ ✉♥❞❡r ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡ tr❛♥s❢♦r♠s ✭✐✳❡✳ ❛❧❧ ♣♦❧②✲ ♥♦♠✐❛❧s ❞♦♥✬t tr❛♥s❢♦r♠ t♦ ♦t❤❡r ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✮❀ ✐❢ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠s ❛r❡ r❛t✐♦♥❛❧ ✭❡✐t❤❡r ♦❢ t❤❡ t❡r♠s p1 ♦r p2 ❛r❡ ♥♦♥✲③❡r♦✮ t❤❡♥ ✇❡ ♠✉st ❣❡t ❛ r❛t✐♦♥❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ♦✉t✳ ■♠♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥s ❛r❡ ♠✉❝❤ ❤❛r❞❡r✳ ❲❡ ❤❛✈❡ t♦ ✐♥✈❡rt t❤❡ tr❛♥s✲ ❢♦r♠s✱ s♦ t❤❛t ✇❡ ❝❛♥ s✉❜st✐t✉t❡ t❤❡♠ ✐♥t♦ t❤❡ ✐♠♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥✱ r❛t❤❡r t❤❛♥ ✈✐❝❡ ✈❡rs❛✳ ❚❤✐s ❣❡ts ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞✱ s♦ ❧❡t✬s ❧♦♦❦ ❛t ❛ s✐♠♣❧❡ t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❡①❛♠♣❧❡✱ t❤❡ q✉❛❞r❛t✐❝✿ c1 x2 + c2 y 2 + c3 xy + c4 x + c5 y + c6 = 0

❛♥❞ t❤❡ ❛✣♥❡ tr❛♥s❢♦r♠✿ x′ = a11 x + a12 y + d1 y ′ = a21 x + a22 y + d2 .

■♥✈❡rt✐♥❣ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠s ❣✐✈❡s✿ a22 x′ − a21 y ′ + a12 d2 − a22 d1 a11 a22 − a12 a21 ′ a11 y − a21 x′ + a21 d1 − a11 d2 y = . a11 a22 − a12 a21

x =

❆♥❞ s✉❜st✐t✉t✐♥❣ ✐♥t♦ t❤❡ q✉❛❞r❛t✐❝ ❣✐✈❡s ❛ ♥❡✇ s❡t ♦❢ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✿ c′1 = c1 a222 +c2 a221 −c3 a22 a21 c′2 = c1 a212 +c2 a211 −c3 a12 a11 c′3 = −2c1 a22 a21 −2c2 a11 a21 +c3 (a11 a22 + a12 a21

✶✷✻

❚r❛♥s❢♦r♠s c′4 = 2c1 (a12 a22 d2 − a222 d1 ) 2c2 (a11 a21 d2 − a221 d1 ) +c3 (2a21 a22 d1 − (a11 a22 + a12 a21 )d2 ) +c4 a22 (a11 a22 + a12 a21 ) +c5 a21(a11 a22 + a12 a21 ) c′5 = 2c1 (a12 a22 d1 − a212 d2 ) +2c2 (a11 a21 d1 − a211 d2 ) +c3 (2a11 a12 d2 − (a11 a22 + a12 a21 )d1 ) +c4 a12 (a11 a22 − a12 a21 ) +c5 a11 (a11 a22 − a12 a21 ) c′6 = c1 (a12 d2 − a22 d1 )2 +c2 (a21 d1 − a11 d2 )2 +c3 (a12 d2 − a22 d1 )(a21 d1 − a12 d2 ) +c4 (a11 a22 − a12 a21 )(a11 a22 − a12 a21 ) +c5 (a21 d1 − a11 d2 )(a11 a22 − a12 a21 ) +c6 (a11 a22 − a12 a21 ).

❚❤✐s ✐s ❛ ❧♦t ♦❢ ❛❧❣❡❜r❛✱ ❥✉st ❢♦r ❛ q✉❛❞r❛t✐❝✿ ✐t s❤♦✇s ❤♦✇ q✉✐❝❦❧② t❤✐♥❣s ❝❛♥ ❣❡t ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞✳ ❇✉t t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ✇❛② ❛r♦✉♥❞ ✇♦r❦✐♥❣ t❤✐s s♦rt ♦❢ t❤✐♥❣ ♦✉t✱ ❛♥❞ ❝♦❞✐♥❣ ✐t ✉♣✱ ✐❢ ②♦✉ ✇❛♥t t♦ tr❛♥s❢♦r♠ ✐♠♣❧✐❝✐t ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ✐♥ t❤❡ ♣♦✇❡r ❢♦r♠ ❡✣❝✐❡♥t❧②✳ ❆❣❛✐♥✱ ❛ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡ tr❛♥s❢♦r♠ ✇✐❧❧ ❣❡♥❡r❛t❡ ❛ r❛t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ❡①❝❡♣t ❢♦r t❤❡ ♣❧❛♥❡✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ♥♦t ❞✐st♦rt❡❞✳ ❚❤❡ ❛❞✈❛♥t❛❣❡s ♦❢ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❡❧❡♠❡♥ts ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ r❡❛❞✐❧② ❜❡ ❣❡♥✲ ❡r❛t❡❞ ❢r♦♠ s❡ts ♦❢ ♣♦✐♥ts ✐s ♦❜✈✐♦✉s✳ ❲❡ ❞♦♥✬t ♥❡❡❞ s♣❡❝✐❛❧ tr❛♥s✲ ❢♦r♠ ❝♦❞❡ ❢♦r ❡✈❡r② ❞✐✛❡r❡♥t s♦rt ♦❢ ❣❡♦♠❡tr②✱ ❛♥❞ ❛s ❛♥ ❛❞❞❡❞ ❜♦♥✉s✱ ✐❢ ✇❡ r❡q✉✐r❡ ❛ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r tr❛♥s❢♦r♠✱ ❛♥ ❡✛❡❝t✐✈❡ ❝❤❡❛t✖ tr❛♥s❢♦r♠✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧ ♣♦✐♥ts ❛♥❞ r❡❝♦♥str✉❝t✐♥❣ ✇✐❧❧②✲♥✐❧❧② t♦ ♠❛❦❡ ❛♥ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✖✐s r❡❛❞✐❧② ❛✈❛✐❧❛❜❧❡✳

10 Intersections

❚❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥s t❤❛t ✇❡ ❤❛✈❡ s❡❡♥ s♦ ❢❛r ❤❛✈❡ ❛❧❧♦✇❡❞ t❤❡ ♣♦♦r ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s ✇❡✬✈❡ ❜❡❡♥ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ s♦♠❡ ❧❛t✐t✉❞❡ t♦ ♠♦✈❡✱ ❜✉❧❣❡✱ ✢❛tt❡♥✱ ♦r ❧♦♦♣✲t❤❡✲❧♦♦♣ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ♠❡❡t ♦✉r r❡q✉✐r❡♠❡♥ts✳ ▲❡t✬s r❡❝♦❧❧❡❝t✿ P♦✐♥t✱ str❛✐❣❤t✲❧✐♥❡ ❛♥❞ ❝✐r❝❧❡ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥s✿ s♦ s✐♠♣❧❡ t❤❡r❡ ❛r❡ ❝❧♦s❡❞✲❢♦r♠ s♦❧✉t✐♦♥s ❢♦r t❤❡♠ ✭❛❧t❤♦✉❣❤ s♦♠❡ t❛❦❡ ❛ ❞❛② ♦r t✇♦ t♦ ✇♦r❦ ♦✉t ❜② ❤❛♥❞✖tr② t❤❡ ❵❝✐r❝❧❡ t❛♥❣❡♥t t♦ t❤r❡❡ ❝✐r❝❧❡s✬ ❢♦r♠✉❧❛✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✦ ■t✬s ✇♦rt❤ ✉s✐♥❣ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛ s②s✲ t❡♠ ❢♦r s✉❝❤ t❤✐♥❣s t❤❡s❡ ❞❛②s✮✳ ■♥t❡r♣♦❧❛t✐♥❣ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡s t❤r♦✉❣❤ ♣♦✐♥ts ❛♥❞ ✇✐t❤ ❣✐✈❡♥ t❛♥❣❡♥ts❀ ❝❤♦♦s✐♥❣ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❛t✐♦♥ ✐♥ ❛❞✈❛♥❝❡ ♠❛❦❡s t❤✐♥❣s ❡❛s✐❡r✱ ❜✉t s♦♠❡t✐♠❡s ❛❧s♦ ❜✉♠♣✐❡r✳ ■♥t❡r♣♦❧❛t✐♥❣ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♣❛t❝❤❡s ❛❝r♦ss s❡ts ♦❢ ❝✉r✈❡s✿ ❛❣❛✐♥ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♣♦s✐t✐♦♥s ❛r❡ ❦♥♦✇♥❀ ♣♦✐♥ts ♦♥ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ❝❛♥ ❜❡ ❞❡r✐✈❡❞ ❢r♦♠ ❢♦✉r ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥ts ♦♥❧②✱ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❈♦♦♥s ♣❛t❝❤✳ ■♠♣❧✐❝✐t ❜❧❡♥❞s✿ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ♦♥ ❛ ♣♦✐♥t✲✇✐s❡ ❜❛s✐s✱ ❛♥❞ ❞❡❣r❡❡s ♦❢ ❜❧❡♥❞ ❡q✉❛t✐♦♥s s♦♦♥ ❜❡❝♦♠❡ ✈❡r② ❧❛r❣❡✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐♥ ❛❧❧ t❤❡s❡ ❝❛s❡s✱ t❤❡ ✇❛② ✇❡ ❢♦r♠✉❧❛t❡❞ t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ✇❛s ✐♥ s♦♠❡ ✇❛② ❢❛✈♦✉r❛❜❧❡ t♦ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥ts ❜❡✐♥❣ ❝♦♥str✉❝t❡❞✳ ■t ♠❛② ❜❡ ❧❡ss ❡❛s② t♦ ✐♥t❡r♣♦❧❛t❡ ❛ ❇é③✐❡r ❝✉r✈❡ t❤r♦✉❣❤ ♣♦✐♥ts ♦♥ t❤❡ ❝✉r✈❡ t❤❛♥ t♦ ❣❡♥❡r❛t❡ ✐t ❢r♦♠ ♣♦✐♥ts ♦♥ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧ tr❛❝❦✱ ❜✉t t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ ✐s r❡❧❛t✐✈❡❧② str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞✳ ■♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r ❛♥❞ t❤❡ ♦♥❡ t❤❛t ❢♦❧❧♦✇s✱ ✇❡ ❛r❡ ❣♦✐♥❣ t♦ ❧♦♦❦ ❛t ❛ ❝♦✉♣❧❡ ♦❢ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥s ✇❤❡r❡ t❤❡ ♥❡✇ ❣❡♦♠❡tr② ✐s ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♥♦t ❜❡✐♥❣ ❛❧❧♦✇❡❞ ✐♥ ✐ts ❡♥t✐r❡t②❀

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■♥t❡rs❡❝t✐♦♥s

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❚❤❡ q✉❛❞r✐❝ ❧♦♦❦s ❧✐❦❡✿ a1 x2 + a2 y 2 + a3 z 2 + a4 yz + a5 zx + a6 xy + a7 x + a8 y + a9 z + a10 = 0.

◆♦t❡ t❤❛t ✇❡ ✉s❡ ❛ s②♠♠❡tr✐❝❛❧ ❢♦r♠ ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥✱ r❛t❤❡r t❤❛♥ ❡①✲ ❛❝t ❧❡①✐❝♦❣r❛♣❤✐❝ ♦r❞❡r ✭✇❤✐❝❤ ✇♦✉❧❞ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦✉rt❤ t♦ s✐①t❤ t❡r♠s a4 xy + a5 xz + a6 ✮❀ t❤❛t ✐s ✇❤❛t ✇❡ ✇♦✉❧❞ ❣❡t ♦✉t ♦❢ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛ s②st❡♠✱ ❜✉t s②♠♠❡tr② ♠❛❦❡s t❤❡ ❝♦❞❡ ♠✉❝❤ ❡❛s✐❡r t♦ ❝❤❡❝❦✳

■♥t❡rs❡❝t✐♦♥s

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❙♦✱ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ q✉❛❞r❛t✐❝ ✐♥

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❧♦♦❦s ❧✐❦❡✿

(a1 f 2 + a2 g 2 + a3 h2 + a4 gh + a5 hf + a6 f g)t2 +(2a1 f x0 + 2a2 gy0 + 2a3 hz0 +a4 (hy0 + gz0 ) + a5 (f z0 + hx0 ) +a6 (gx0 + f y0 ) + a7 f + a8 g + a9 h)t +a1 x20 + a2 y02 + a3 z02 +a4 y0 z0 + a5 z0 a0 + a6 x0 y0 + a7 x0 + a8 y0 + a9 z0 + a10 . ❈♦♥s✐❞❡r✐♥❣ ✐t ❛s

at2 + bt + c = 0✱ ✇❡ s♦❧✈❡ ✐t ✇✐t❤ t❤❡ ✉s✉❛❧ ❢♦r♠✉❧❛✿ √ −b ± b2 − 4ac . t= 2a

❆♥❞ ❤❡r❡✬s t❤❡ ❝♦❞❡ ❢♦r t❤❡ ✐♥t❡r♥❛❧s ♦❢ ❛ ♣r♦❝❡❞✉r❡ t♦ ❞♦ ✐t✿

★✐♥❝❧✉❞❡ ❁♠❛t❤✳❤❃ ★❞❡❢✐♥❡ ❆❈❈❨ ✭✶✳✵❡✲✻✮ ✴✯ ❚❤❡ ✉s✉❛❧ ♥❡❛r✲③❡r♦ ❡♣s✐❧♦♥ ✯✴ ✴✯ ❆❜s♦❧✉t❡ ✈❛❧✉❡ ♠❛❝r♦ ❢♦❧❧♦✇s ✯✴ ★❞❡❢✐♥❡ ❛❜s✭①✮ ✭ ✭✭①✮ ❁ ✵✮ ❄ ✭✲✭①✮✮ ✿ ✭①✮ ✮ ✴✯ ✯ ■♥♣✉t ✈❛r✐❛❜❧❡s ✯✴ ❢❧♦❛t ①✵✱②✵✱③✵✱❢✱❣✱❤❀ ❢❧♦❛t ❛✶✱❛✷✱❛✸✱❛✹✱❛✺✱❛✻✱❛✼✱❛✽✱❛✾✱❛✶✵❀ ✴✯ ✯ ❚❤❡ ❛♥s✇❡rs ✯✴ ❢❧♦❛t ✯t✶✱✯t✷❀ ✐♥t ✯r♦♦t❴❝♦✉♥t❀ ✴✯ ✯ ■♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ r❡s✉❧ts ✯✴ ❢❧♦❛t ❛✱❜✱❝❀ ❢❧♦❛t ❛✶❴❢✱❛✷❴❣✱❛✸❴❤✱❞❡♥♦♠✱❞❡♥❴✐♥✈✱s✉❜❴❢❛❝✱ ❛✹❴②✵✱❛✺❴③✵✱❛✻❴①✵✱❛❝✷✱r♦♦t❀

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✴✯ ✯ ❆s②♠♣t♦t✐❝❛❧❧② ♠❡❡ts t❤❡ q✉❛❞r✐❝ ✭❡✳❣✳ ❛ ✯ ❤②♣❡r❜♦❧♦✐❞✮ ❛t ✐♥❢✐♥✐t②❀ ♥♦t ♠✉❝❤ ✉s❡✳ ✯✴ ✯r♦♦t❴❝♦✉♥t ❂ ✵❀ r❡t✉r♥❀ ⑥ s✉❜❴❢❛❝ ❛✹❴②✵ ❂ ❛✺❴③✵ ❂ ❛✻❴①✵ ❂

❂ ①✵✯❛✶❴❢ ✰ ②✵✯❛✷❴❣ ✰ ③✵✯❛✸❴❤❀ ❛✹✯②✵❀ ❛✺✯③✵❀ ❛✻✯①✵❀

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✶✸✸ r❛②✳ ■♥ ❢❛❝t t❤✐s ✐s t❤❡ st❛rt ♦❢ t❤❡ ♥❡①t ♣r♦❜❧❡♠ t♦ t❤✐♥❦ ❛❜♦✉t✿ r❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s ✇❤❡♥ ✇❡✬✈❡ ❞♦♥❡ t❤❡♠✳ ❚✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥s✱ ❛♥❞ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥s ♦❢ ❝✉r✈❡s ✇✐t❤ s✉r❢❛❝❡s ✐♥ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ ❤❛✈❡ t❤❡ ❡♥♦r♠♦✉s ❛❞✈❛♥t❛❣❡ t❤❛t t❤❡ r❡s✉❧ts ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❛s ♣♦✐♥ts✳ ❋✉rt❤❡r✱ t❤❡② ❛r❡ ♣♦✐♥ts ♦♥ ❛ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❝✉r✈❡✱ ❛♥❞ s♦ ❝❛♥ ❜❡ s♦rt❡❞✳ ❚❤✉s✱ ❡✈❡♥ ✐❢ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ t❤❡ ❞❡❣r❡❡s ♦❢ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ❛♥❞ t❤❡ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ ✐s ❧❛r❣❡✱ ❛♥❞ t❤❡r❡ ❝❛♥ ❜❡ ♠❛♥② r♦♦ts ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♠❛♥② ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ♣♦✐♥ts✱ ✇❡ ❝❛♥ ✉s✉❛❧❧② ❞❡❛❧ ❡✛❡❝t✐✈❡❧② ✇✐t❤ t❤❡s❡ ❜② ✜♥❞✐♥❣ t❤❡ ✜rst✱ ❧❛st✱ t❤❡ ♦♥❡ ❧②✐♥❣ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ♣❛r❛♠✲ ❡t❡r ✈❛❧✉❡s✱ ♦r ✇❤❛t❡✈❡r✳ ■♥ ❢❛❝t✱ ✐♥ ❛ ♥❛ï✈❡ ✭✐✳❡✳ s❧♦✇✮ r❛②✲tr❛❝✐♥❣ ♣r♦❝❡ss✱ ✇❡ ♠✐❣❤t ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥s ✇✐t❤ ❛❧❧ t❤❡ s✉r❢❛❝❡s ✐♥ t❤❡ s❝❡♥❡✱ ❡✈❡♥ ✇❤❡♥ t❤❡s❡ ❛r❡ ❞✐✛❡r❡♥t ♣✐❡❝❡s ♦❢ ❣❡♦♠❡tr②✳ ❆❧❧ t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ♣♦✐♥ts✱ ♦❢ ✇❤❛t❡✈❡r t❤❡✐r ♦r✐❣✐♥✖♦♥❡ ❢r♦♠ t❤✐s ♣❧❛♥❡✱ t❤❛t q✉❛❞r✐❝ ❡t❝✳✖❝❛♥ ❜❡ s♦rt❡❞ ❡♥ ♠❛ss❡ ❛♥❞ t❤❡ ♥❡❛r❡st t♦ t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ t❤❡ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ ✐s t❤❡ ✜rst s✉r❢❛❝❡ t❤❛t t❤❡ r❛② str✐❦❡s✳ ❙♦✱ ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ✇❡ ❤❛✈❡✿ ❆ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✿ ❛ ❧✐st ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡r ✈❛❧✉❡s ✭✉s✉❛❧❧② ❛♥ ❛rr❛② ✐❢ ♠♦r❡ t❤❛♥ t✇♦✮✳ ❆ ✇❛② ♦❢ s❡❧❡❝t✐♥❣ t❤❡ r❡s✉❧t ✇❡ ✇❛♥t ✭❡✳❣✳ t❛❦✐♥❣ t❤❡ ✜rst✱ t❤❡ ✜rst ❛❢t❡r ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ♣❛r❛♠❡t❡r ✈❛❧✉❡✱ ♦r ✇❤❛t❡✈❡r✮✳ ❲❤❡♥ ✐t ❝♦♠❡s t♦ s✉r❢❛❝❡✲s✉r❢❛❝❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥s✱ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ♠✉❝❤ ♠♦r❡ ❞✐✣❝✉❧t❀ ✐t✬s st✐❧❧ ❛ r❡s❡❛r❝❤ t♦♣✐❝✳ ❲❡ ♦✛❡r ❛ ❤✐❣❤❧② ✐♥❢♦r✲ ♠❛❧ s✉♠♠❛r② ❤❡r❡❀ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♣❛rt✐❝✉❧❛r❧② ❣♦♦❞ s✐♥❣❧❡ s♦✉r❝❡ ♦❢ ❢✉r✲ t❤❡r ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ❛❧t❤♦✉❣❤ t❤❡ ♣❛♣❡r ❜② P❛tr❛❦❛❧❛❦✐s ❛♥❞ Pr❛❦❛s❤ ♦❢ ✶✾✽✾ ✐s r❡❛s♦♥❛❜❧② ❛❝❝❡ss✐❜❧❡✳ ▲❡t ✉s ❧♦♦❦ ✐♥ t✉r♥ ❛t t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠s ♦❢ ✜♥❞✐♥❣ ❛♥❞ r❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✳ ■♥t❡rs❡❝t✐♦♥s

Finding intersection curves

❚❤❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♣r♦❜❧❡♠s ✇❡ ❤❛✈❡ ❛❧r❡❛❞② ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ❛r❡ s❡✈❡r❡✱ ❜✉t ✇❡ ♦✛❡r s♦♠❡ ✐♥s✐❣❤t ✐♥ t❤❡ ✜♥❛❧ s❡❝t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✳ ❍♦✇✲ ❡✈❡r✱ r❛t❤❡r t❤❛♥ ✉s❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s t♦ t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ ♦r ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞s✱ ♦r ❜♦t❤✱ ♠♦st ♣✉❜❧✐s❤❡❞ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❛tt❛❝❦ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❣❡♦♠❡tr✐❝❛❧❧②✳ ❲❡ ❝❛♥ ✐❞❡♥t✐❢② ❢♦✉r ❛♣♣r♦❛❝❤❡s✿ ❋✐♥❞ ✭s♦♠❡❤♦✇✮ ❛ ♣♦✐♥t ♦♥ t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✱ ❛♥❞ st❡♣ ❛❧♦♥❣ ✐t ❜② ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞s✱ r❡♠❛✐♥✐♥❣ ✇✐t❤✐♥ ✭❛♥ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥

✶✸✹

■♥t❡rs❡❝t✐♦♥s

t♦✮ ❛ ❝❡rt❛✐♥ ❞✐st❛♥❝❡ ♦❢ ❡❛❝❤ s✉r❢❛❝❡ ✭t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛✲ t✐♦♥ ✐s ♠♦r❡ ❡❛s✐❧② ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ❢♦r ✐♠♣❧✐❝✐t s✉r❢❛❝❡s✱ ❛s ✇❡ ❝❛♥ ✉s❡ t❤❡♠ ❛s ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s✮✳ ❈♦♠♣✉t❡ ✭✐s♦✲♣❛r❛♠❡tr✐❝✮ ❝✉r✈❡s ♦♥ ♦♥❡ s✉r❢❛❝❡ ❛♥❞ ✜♥❞ t❤❡✐r ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ♦t❤❡r ♦♥❡ ✭♦❜✈✐♦✉s❧② ♦♥❡ s✉r❢❛❝❡ ♠✉st ❜❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝✮✳ ❘❡❝✉rs✐✈❡❧② ❞✐✈✐❞❡ ❡❛❝❤ s✉r❢❛❝❡ ✭✐❢ t❤❡② ❛r❡ ❜♦t❤ ♣❛r❛♠❡tr✐❝✮ ✐♥t♦ s♠❛❧❧❡r ❛♥❞ s♠❛❧❧❡r ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ✐♥t❡r✈❛❧s ✭s✉❜✲♣❛t❝❤❡s✮✳ ❈♦♠♣❛r❡ t❤❡s❡ ✉s✐♥❣ ❝♦♥✈❡①✲❤✉❧❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s✱ ♦r ✉❧t✐♠❛t❡❧② ❛s ❢❛❝❡ts✳ ❘❡❝✉rs✐✈❡❧② ❞✐✈✐❞❡ s♣❛❝❡ ✐♥t♦ ✭❡✳❣✳✮ ❛♥ ♦❝t✲tr❡❡ ❛♥❞ ✉s❡ ✭❡✳❣✳✮ ✐♥t❡r✈❛❧ ❛r✐t❤♠❡t✐❝ t♦ ❞✐s❝❛r❞ s✉❜✲s♣❛❝❡s t❤r♦✉❣❤ ✇❤✐❝❤ t❤❡ s✉r❢❛❝❡s ❞♦♥✬t ♣❛ss✳ ❚❤✐s ✇♦r❦s ❜❡st ✇✐t❤ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ s✉r❢❛❝❡s✱ ❛♥❞ ✐♥ t❤❡ ❧❡❛❢ s✉❜✲s♣❛❝❡s ❛ ♣❧❛♥❛r ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ♠❛❞❡ t♦ t❤❡ s✉r❢❛❝❡✱ ❛♥❞ ❛ ♣✐❡❝❡ ♦❢ ♣♦❧②❧✐♥❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ t♦ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❝✉r✈❡ ❢♦r♠❡❞ ❛s ❛ ♣❧❛♥❡✲♣❧❛♥❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡s❡ ❢❛❝❡ts✳ ■♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❝✉r✈❡s ❝❛♥ ❜❡ ✈❡r② ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞❀ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ❡✈❡♥ ❛ s✐♠♣❧❡ ❝②❧✐♥❞❡r✲❝②❧✐♥❞❡r ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❤❛✈❡ s✐① ❝❛s❡s✱ ❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✶✵✭✐✮✳ ■❢ t❤❡ st❛rt✐♥❣ ♣♦✐♥ts ❛r❡ ♣♦♦r❧② s❡❧❡❝t❡❞✱ t❤❡♥ t❤❡ ✜rst ♠❡t❤♦❞ r✉♥s t❤❡ r✐s❦ ♦❢ ❢❛✐❧✐♥❣ t♦ ✜♥❞ ❣r❡❛t ❝❤✉♥❦s ♦❢ ❝✉r✈❡✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ♠❡t❤♦❞ ❛❧s♦ ❤❛s t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠✳ ❚❤❡ t❤✐r❞ ❛♥❞ ❢♦✉rt❤ ♠❡t❤♦❞s ✇✐❧❧ ✜♥❞ ❡✈❡r②t❤✐♥❣ ✭❞♦✇♥ t♦ t❤❡✐r r❡s♦❧✈✐♥❣ ❛❝❝✉r❛❝②✮ ❜✉t ❝❛♥ ❜❡ s❧♦✇✳ ❆ ❢❛✈♦✉r✐t❡ ✭❜✉t ♥♦t ❣✉❛r❛♥t❡❡❞✮ ❝♦♠♣r♦♠✐s❡ ✐s t♦ st❛rt ❜② ❛ s❡❛r❝❤ ❛♥❞ t❤❡♥ tr❛❝❡ t❤❡ ♣✐❡❝❡s ♦❢ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❝✉r✈❡ ❢♦✉♥❞ t♦ ❣❡t ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧✳ Representing intersection curves

❘❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ t❤❡ ❝✉r✈❡s ✐s ❛♥♦t❤❡r ♣r♦❜❧❡♠✳ ❆s ✇❡ s❛✇ ❛❜♦✈❡✱ ✇❤❡♥ ❛♥ ✐♠♣❧✐❝✐t ❝✉r✈❡ ✐♥t❡rs❡❝ts ✇✐t❤ ❛ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ s✉r❢❛❝❡✱ t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝✲ t✐♦♥ ❝♦♠❡s ♦✉t ❛s ❛♥ ✐♠♣❧✐❝✐t t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❝✉r✈❡ ✐♥ t❤❡ ♣❛r❛♠✲ ❡t❡r s♣❛❝❡ ♦❢ t❤❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡✳ ❲❤❡r❡ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❞♦❡s ♥♦t ❛♣♣❡❛r ✐♥ s✉❝❤ ❛ ♥✐❝❡ ✇❛②✱ ✇❡ ❝❛♥ st✐❧❧ ❝❤♦♦s❡ t♦ r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ r❡s✉❧t ❛s ❛ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ♣r♦❝❡ss ✐♥ t❤✐s ❢♦r♠✿ ❛s ❛ ♣♦❧②❧✐♥❡ ♦r s♣❧✐♥❡ ✐♥ t❤❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s♣❛❝❡ ♦❢ ♦♥❡ s✉r❢❛❝❡ ✭♦r ❜♦t❤✱ ❜✉t ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡ t❤❡② ✇♦♥✬t ❡✈❡♥ ❜❡ t❤❡ s❛♠❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ t♦ t❤❡ r❡❛❧ ❝✉r✈❡✦✮✳ ❘❡♣✲ r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✐♥ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ✐s ❛❞✈❛♥t❛❣❡♦✉s ✐❢ ✇❡ ✇❛♥t t♦

■♥t❡rs❡❝t✐♦♥s

✶✵✭✐✮✖❙✐① ❝❛s❡s ♦❢ ❛ ❝②❧✐♥❞❡r✲❝②❧✐♥❞❡r ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ✭t❤❡ t✇♦ ❝②❧✐♥❞❡rs ❛r❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧✱ ❛♥❞ ❞r❛✇♥ ✐♥ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥✮✿ ✭❛✮ ♥♦ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❝✉r✈❡❀ ✭❜✮ ♦♥❡✲♣♦✐♥t ❝♦♥t❛❝t❀ ✭❝✮ ♦♥❡ ❧♦♦♣ ♦❢ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❝✉r✈❡❀ ✭❞✮ t✇♦ ❧♦♦♣s❀ ✭❡✮ t✇♦ ❧♦♦♣s ♠❡❡t✐♥❣ ❛t ❛ ♣♦✐♥t❀ ✭❢✮ ❢♦✉r s❡❣♠❡♥ts ♠❡❡t✐♥❣ ❛t t✇♦ ♣♦✐♥ts✳

✶✸✺

✶✸✻

■♥t❡rs❡❝t✐♦♥s

r❡♣r❡s❡♥t ♣✐❡❝❡s ♦❢ s✉r❢❛❝❡ ✭✐✳❡✳ tr✐♠♠❡❞ ♣❛t❝❤❡s✮✳ ■❢ ✇❡ ❛r❡ ❤❛♣♣② t♦ ❤❛✈❡ t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❛s ❛ s♣❛❝❡ ❝✉r✈❡✱ ♦r ✐❢ ❜♦t❤ t❤❡ s✉r❢❛❝❡s ✇❡r❡ ✐♠♣❧✐❝✐t ❛♥②✇❛②✱ t❤❡♥ ✇❡ ❝❛♥ r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥s ❛s s✉❝❤✳ ❆t ❧❡❛st t❤❡♥ ✇❡ ❞♦♥✬t ❤❛✈❡ t♦ ❛❧❧♦✇ ❢♦r ❞✐st♦rt✐♦♥ ✐♥ ❛ s✉r❢❛❝❡✬s ♣❛r❛✲ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡ ✇❤✐❝❤ ♠❛❦❡s ✐t ❞✐✣❝✉❧t t♦ ❞❡❝✐❞❡ ✇❤❛t r❡s♦❧✉t✐♦♥ ✭❡✳❣✳ s❡❣♠❡♥t ❧❡♥❣t❤ ✐♥ ❛ ♣♦❧②❧✐♥❡✮ ✐s ❛❝❝❡♣t❛❜❧❡✳

Resultants and discriminants Resultants

❚❤♦✉❣❤ ✇❡ ♠❛② ♥♦t ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ ✜♥❞ t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ♦❢✱ s❛②✱ t✇♦ ♠✉❧t✐✈❛r✐❛t❡ ✐♠♣❧✐❝✐t ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ❡①❛❝t❧②✱ ♠♦st ❛❧❣❡❜r❛ s②st❡♠s ✭s❡❡ ❉❛✈❡♥♣♦rt✱ ❙✐r❡t ❛♥❞ ❚♦✉r♥✐❡r✬s ❜♦♦❦✮ ❤❛✈❡ r♦✉t✐♥❡s t♦ ✜♥❞ t❤❡ r❡✲ s✉❧t❛♥ts ♦❢ s✉❝❤ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✳ ❆ r❡s✉❧t❛♥t ✐s ❛ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡r✲ s❡❝t✐♦♥✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡ ✭s❡❡ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✶✵✭✐✐✮✮✱ s✉♣♣♦s❡ ✇❡ ❤❛✈❡ t✇♦ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s P (x, y) = 0 ❛♥❞ Q(x, y) = 0✳ ❲❡ ❝❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t❡ x ❢r♦♠ t❤❡♠ ❜♦t❤ ✭❡ss❡♥t✐❛❧❧② ❜② tr❡❛t✐♥❣ t❤❡♠ ❛s ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s ❡q✉❛t✐♦♥s✮✳ ❚❤❡ ❛♥s✇❡r ✐s ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✇❤✐❝❤ ♦♥❧② ❝♦♥t❛✐♥s t❡r♠s ✐♥ y ✱ ❛♥❞ t❤❡ r♦♦ts ♦❢ t❤✐s ❛r❡ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥s ♦♥ t♦ t❤❡ y ❛①✐s ♦❢ ✇❤❡r❡ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ t✇♦ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ✐♥t❡rs❡❝t❡❞✳ ❖❜✈✐♦✉s❧② ✇❡ ❝❛♥ ❞♦ t❤❡ s❛♠❡ tr✐❝❦✱ ❜✉t ❡❧✐♠✐♥❛t✐♥❣ y ✐♥st❡❛❞✱ t♦ ❣❡t t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♦♥ t♦ t❤❡ x ❛①✐s✳ ❚❤✐s ✇♦r❦s ✐♥ ❛♥② ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s❀ ✐❢ ✇❡ ❤❛✈❡ P (x, y, z) = 0 ❛♥❞ Q(x, y, z) = 0 ✇❡ ❝❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t❡ z ✱ s❛②✱ ❢r♦♠ t❤❡ ♣❛✐r ❛♥❞ ♦❜t❛✐♥ ❛ r❡s✉❧t❛♥t✱ R(x, y) = 0 ✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ❜❡ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ x − y ♣❧❛♥❡ ♦❢ t❤❡ ❛❝t✉❛❧ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❝✉r✈❡✭s✮ ✐♥ s♣❛❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ P ❛♥❞ Q✳ ❲❡ ❛r❡ ♥♦t r❡str✐❝t❡❞ t♦ ♣r♦❥❡❝t✐♥❣ ✐♥ ❛ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥✿ t❤❡ ✇❤♦❧❡ s②st❡♠ ❝❛♥ ❜❡ r♦t❛t❡❞✱ ❛♥❞ ❛ ♣r♦❥❡❝t❡❞ r❡s✉❧t❛♥t t❛❦❡♥ ✐♥ ❛♥② ❞✐r❡❝t✐♦♥✳ ❲❤❛t ❢♦❧❧♦✇s ✐s ❛ tr❛♥s❝r✐♣t ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡r❛❝t✐✈❡ s❡ss✐♦♥ ✇✐t❤ ❛ ♣r♦✲ ❣r❛♠ ❝❛❧❧❡❞ ❣❛s ✭●❡♦♠❡tr✐❝ ❆❧❣❡❜r❛ ❙②st❡♠✮ ✭s❡❡ ▼✐❧♥❡✬s t❤❡s✐s✮ ✜♥❞✐♥❣ t❤❡ x r❡s✉❧t❛♥t ♦❢ t✇♦ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ✐♥ x, y ❛♥❞ z ✿ ❬✶❪ ♣ ✿❂ ✷✯①✯② ✰ ✸✯①✯③ ✲ ✺✯③❫✷ ✲ ✷✯① ✰ ✼❀ ✭✷✯❨✰✸✯❩✲✷✮✯❳✲✺✯❩❫✷✰✼

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0

1

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◆♦t❡ t❤❛t✱ t❤♦✉❣❤ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❤❛s ❜❡❡♥ r❡❞✉❝❡❞✱ t❤❡ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ t❤❡ r❡s✉❧t❛♥t ✐s ❤✐❣❤❡r t❤❛♥ t❤❛t ♦❢ t❤❡ ♣❛r❡♥t ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✳ ❚❤❡ ♠❡t❤♦❞ ♦❢ r❡s✉❧t❛♥ts ✐s ✐♥ ❡ss❡♥❝❡ t❤❡ t❡❝❤♥✐q✉❡ ✉s❡❞ ❢♦r ✐♠♣❧✐❝✐t✐③❛t✐♦♥✿ t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❝♦♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s t♦ ✐♠♣❧✐❝✐t ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✳ ■❢ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♣❛t❝❤ x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v),

✇❡ ❝❛♥ tr❡❛t ✐t ❛s t❤r❡❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ✜✈❡ ✉♥❦♥♦✇♥s ✭ x✱ y✱ z✱ u✱ ❛♥❞

✶✸✽

■♥t❡rs❡❝t✐♦♥s

v ✮✱ ❡❧✐♠✐♥❛t❡ v

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t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ t✇♦ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ❛♥s✇❡r ✇✐❧❧ ❜❡ ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✐♥

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✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♣❛t❝❤✳

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Discriminants ❚❤❡

❞✐s❝r✐♠✐♥❛♥ts

♦❢ ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❛r❡ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥s ♦❢ ✐ts ❤♦r✐③♦♥

❝✉r✈❡s ✐♥ s♦♠❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥✳ ❚❤❡② ❛r❡ ❢♦✉♥❞ ❜② t❛❦✐♥❣ t❤❡ r❡s✉❧t❛♥t ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✇✐t❤ ✐ts ♦✇♥ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✳ ❚❤❡ ❞✐s❝r✐♠✐♥❛♥t ♦❢ ❛ ❝②❧✐♥❞❡r ✇♦✉❧❞ ❜❡ t✇♦ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡s ✭♦r ❛ ❝✐r❝❧❡✱ ✐❢ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ✇❛s ❛❧♦♥❣ t❤❡ ❛①✐s✮❀ t❤❛t ♦❢ ❛ s♣❤❡r❡ ✇♦✉❧❞ ❜❡ ❛ ❝✐r❝❧❡ ✐♥ ❛♥② ❞✐r❡❝t✐♦♥✱ ❛♥❞ s♦ ♦♥✳

11 Distances and offsets

Distance ❚❤❡ ✐❞❡❛ ♦❢ ❞✐st❛♥❝❡ ✐s ♦❢ ❝♦✉rs❡ ❛ ♣♦✇❡r❢✉❧ ♦♥❡ ✐♥ ❣❡♦♠❡tr②✱ ❜✉t tr❡❜❧② s♦ ✐♥ ❝♦♠♣✉t✐♥❣ ✇✐t❤ ❣❡♦♠❡tr②✿ ❆ ❞✐st❛♥❝❡ ♠❛② ❜❡ t❤❡ ❛♥s✇❡r t♦ ❛ ♣r♦❜❧❡♠❀ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❦♥♦✇ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❝♦♥❞✉❝t♦rs ✇❡ ❛r❡ ❞❡s✐❣♥✐♥❣ t♦ s❡❡ ✇❤❡t❤❡r ❛ s♣❛r❦ ✇✐❧❧ ❥✉♠♣ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡♠✳ ❆ ♣r♦❜❧❡♠ t❤❛t ❞♦❡s ♥♦t s❡❡♠ ♣❛rt✐❝✉❧❛r❧② ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✇✐t❤ ❞✐st❛♥❝❡ ✐s ❛❝t✉❛❧❧② ♠♦st ❡❛s✐❧② ❢♦r♠✉❧❛t❡❞ ✐♥ t❤❛t ✇❛②✳ ❆♥ ❡①❛♠♣❧❡ ✐s t❤❡ ♦✛s❡t t♦ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✭❝♦✈❡r❡❞ ❜❡❧♦✇✮❀ ✇❡ ♠❛② ✈✐s✉❛❧✐③❡ ✐t ❛s t❤❡ ♣❛t❤ ♦❢ ❛ ❜❛❧❧ r♦❧❧✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t❛❝t ✇✐t❤ t❤❡ s✉r❢❛❝❡✱ ❜✉t t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ♠♦st s❛t✐s❢❛❝t♦r✐❧② ❢♦r♠✉❧❛t❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❞✐st❛♥❝❡✱ ♥♦t t❛♥❣❡♥❝②✳ ❚❤❡ ♠♦st ❢r❡q✉❡♥t ✉s❡ ♦❢ ❞✐st❛♥❝❡ ✐♥ ❝♦♠♣✉t✐♥❣ ✇✐t❤ ❣❡♦♠❡tr② ✐s ✐♥ ❝✉❧❧✐♥❣ ♦✉t ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥s ✇✐t❤♦✉t ❛❝t✉❛❧❧② ❞♦✐♥❣ t❤❡♠✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✐❢ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t✇♦ s✉r❢❛❝❡s ❛r❡ t♦♦ ❢❛r ❛♣❛rt t♦ ✐♥t❡rs❡❝t✱ ✇❡ ♥❡❡❞ ♥❡✈❡r ❛tt❡♠♣t t❤❡ ✭❞✐✣❝✉❧t✮ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s ✭s❡❡ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❝❤❛♣t❡r✮✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ❣❡♥❡r❛❧❧② ❜❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐st❛♥❝❡✱ t❤❛t ✐s✱ t❤❡ ✉s✉❛❧ ❵❛s t❤❡ ❝r♦✇ ✢✐❡s✬ s♦rt✳ ❙♦♠❡ ♣r♦❜❧❡♠s r❡q✉✐r❡ ❞✐✛❡r❡♥t ♠❡tr✐❝s ✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✐❢ ✇❡ ✇✐s❤ t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ ✇❤✐❝❤ ♣♦✐♥ts ✇✐❧❧ ❝♦♥t❛❝t ✜rst ♦♥ t❤❡ ❥❛✇s ♦❢ ❛ ♣r❡ss ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❝♦♠✐♥❣ t♦❣❡t❤❡r✱ ✇❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ ❞✐st❛♥❝❡ ❛❧♦♥❣ t❤❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ♦❢ tr❛✈❡❧✳ ❚❤❛t ✐s ❛ s✐♠♣❧❡ ❡①❛♠♣❧❡❀ ❞✐st❛♥❝❡ ✐♥ ❛ ❣✐✈❡♥ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ✐s ❡❛s✐❡r t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡

✶✹✵ ❉✐st❛♥❝❡s ❛♥❞ ♦✛s❡ts t❤❛♥ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐st❛♥❝❡✳ ❆t t❤❡ ♦t❤❡r ❡♥❞ ♦❢ t❤❡ s♣❡❝tr✉♠ ❛r❡ t❤✐♥❣s ❧✐❦❡ ♥♦♥✲✉♥✐❢♦r♠ ♦✛s❡ts t♦ s✉r❢❛❝❡s✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ♠❡tr✐❝ ✈❛r✐❡s ✇✐t❤ ❞✐r❡❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❧❛st ♦❢ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ✉s❡s ♦❢ ❞✐st❛♥❝❡✖❛s ❛ t❡st✖✐s s♦ ❝♦♠♠♦♥ t❤❛t ✐t ❜✐❛s❡s t❤❡ ✇❛② ✇❡ t❤✐♥❦ ❛❜♦✉t ❞✐st❛♥❝❡❀ ♦❢t❡♥ ✇❡ ❝❛♥♥♦t ♦❜t❛✐♥ ❡①❛❝t ✈❛❧✉❡s ❢r♦♠ ❞✐st❛♥❝❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥s✱ ❜✉t ❣✉❛r❛♥t❡❡❞ ✉♥❞❡r ❡st✐♠❛t❡s ❛r❡ ♦❢t❡♥ ♥❡❛r❧② ❛s ❣♦♦❞✳ ❚❤❛t ✐s t♦ s❛②✱ ✐❢ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t s♦♠❡t❤✐♥❣ ✐s ❞❡✜♥✐t❡❧② ♥♦t ♥❡❛r❡r t❤❛♥ ❛ ❝❡rt❛✐♥ ❞✐st❛♥❝❡✱ t❤❡♥ ✇❡ ❝❛♥ ♦❢t❡♥ ❜✉✐❧❞ ❛ t❡st ♦r ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❛r♦✉♥❞ t❤❛t✱ ❡✈❡♥ ✐❢ t❤❡ ✉♥❞❡r❡st✐♠❛t✐♦♥ ✐s s❡✈❡r❡✳ ✭❲❡ ✇♦✉❧❞ ♦❢ ❝♦✉rs❡ ❧✐❦❡ ✐t t♦ ❜❡ ❛s ❣♦♦❞ ❛s ♣♦ss✐❜❧❡✱ ❜✉t ✇❤❛t ❞♦❡s t❤❛t ❝♦st❄✮ ❊st✐♠❛t❡s ♦❢ ❞✐st❛♥❝❡ t❤❛t ♠❛② ❜❡ t♦♦ ❣r❡❛t ♦r t♦♦ s♠❛❧❧ ❛r❡ r❛r❡❧② ♦❢ ✐♥t❡r❡st✳ ▲✐❦❡ ❡✈❡r②t❤✐♥❣ ❡❧s❡✱ ❞✐st❛♥❝❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s st❛rt ❜② ❜❡✐♥❣ ❡❛s②✭✐s❤✮ ❛♥❞ ❣❡t t♦✉❣❤❡r q✉✐❝❦❧②✳ ▲❡t✬s st❛rt ✇✐t❤ ♣♦✐♥ts✳ Point-to-point distance

❚❤❡ s✐♠♣❧❡st ❞✐st❛♥❝❡ ❢♦r♠✉❧❛ ✐s t❤❛t ❢r♦♠ ❛ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ ♦r ♣❧❛♥❡ t♦ ❛ ♣♦✐♥t✳ ❋r♦♠ t❤❡ ♣♦✐♥t (x , y , z ) t♦ t❤❡ ♣❧❛♥❡ ax + by + cz + d = 0 t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ✐s |ax + by + cz + d|✱ ♣r♦✈✐❞❡❞ t❤❛t t❤❡ ♣❧❛♥❡ ✐s ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ✭✐✳❡✳ a +b +c = 1 ✮❀ t❤❛t✬s ❛❧❧✱ ❛♥❞ t❤❛t✬s ✇❤② ♣r♦❜❧❡♠s ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ ❞✐st❛♥❝❡ ✐♥ ❛ ❣✐✈❡♥ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ r❡❧❛t✐✈❡❧② ❡❛s②✳ ■♥ ❡✛❡❝t ✐t ✐s t❤❡ s❛♠❡ ❛s ✜♥❞✐♥❣ ❞✐st❛♥❝❡ ✐♥ ❛ s✐♥❣❧❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡❀ t❤❡ ♣❧❛♥❡ ❡✛❡❝t✐✈❡❧② r♦t❛t❡s t❤❡ ❛①❡s✳ q ❚❤❡ P②t❤❛❣♦r❡❛♥ ❢♦r♠✉❧❛ x + x + x + · · · ✐s✱ ♦❢ ❝♦✉rs❡✱ ✉s❡❞ t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣♦✐♥ts❀ ✐t ✇♦r❦s ✐♥ ❛♥② ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ ❛s t❤❡ t❡r♠s x ❛r❡ ♠❡❛♥t t♦ ✐♥❞✐❝❛t❡✳ ▼❛②❜❡ t❤✐s ✐s t❤❡ ❛❧❧✲t✐♠❡ ♠♦st ✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥ ❢♦r♠✉❧❛✱ ✐♥ ❣❡♦♠❡tr② ❛t ❧❡❛st✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ♥❡❝❡ss✐t② ❢♦r ❛ sq✉❛r❡ r♦♦t ✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉✐♥❣ ❛♥♥♦②❛♥❝❡ ✭♥♦ ❞♦✉❜t t❤❡ ●r❡❡❦s t❤♦✉❣❤t ✐t ✇❛s ❛♥♥♦②✐♥❣ t♦♦✮✳ ❙✉r♣r✐s✐♥❣❧②✱ t❤❡r❡ ❛r❡ ❛❝t✉❛❧❧② ❛ ❢❡✇ t❤✐♥❣s ✇❡ ❝❛♥ ❞♦ ❛❜♦✉t ✐t✿ ❉♦♥✬t ❞♦ ✐t❀ ✐❢ ✇❡ ❛r❡ ❝♦♠♣❛r✐♥❣ ❞✐st❛♥❝❡s✱ t❤❡♥ ❝♦♠♣❛r✐♥❣ sq✉❛r❡❞ ❞✐st❛♥❝❡s ✐s ❥✉st ❛s ❣♦♦❞ ✭❛❧t❤♦✉❣❤ ②♦✉✬❧❧ ❤❛✈❡ t♦ sq✉❛r❡ ❛♥② t❤❛t ❝♦♠❡ ♦✉t ❧✐♥❡❛r ❢♦r♠✉❧❛✱ s✉❝❤ ❛s ♣♦✐♥t✲t♦✲ ♣❧❛♥❡✮✳ ❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ✐t❀ t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ max|x −x |, |x −x | . . . ✐s q✉✐t❡ ❣♦♦❞ ❢♦r ❡✈❡r②❞❛② ♥✉♠❜❡rs ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✳ ✭❇✉t ❛✇❢✉❧ ❢♦r s♣❛❝❡s ♦❢ s❝✐❡♥❝❡✲✜❝t✐♦♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✳ ❈♦♠♣❛r❡ t❤❡ ♠❛①✐✲ 0

0

2

2

0 2

0

0

0

2 1

2 2

2 3

i

1

′ 1

2

′ 2

❉✐st❛♥❝❡

✶✹✶

♠✉♠ ❡rr♦r ✐♥ t✇♦✱ t❤r❡❡ ❛♥❞ ❛ ❤✉♥❞r❡❞ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s❀ ❝✉r✐♦✉s✱ ✐s♥✬t ✐t❄✮ ■♥ t✇♦ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ t❤❡ r❡❝✐♣❡ |x − x′ | + |y − y ′ | − min(|x − x′ |, |y − y ′ |)/2 ✐s ❡✛❡❝t✐✈❡ ✭s❡❡ P❛❡t❤✬s ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ t♦ ●❧❛ss♥❡r✬s ●r❛♣❤✐❝s ●❡♠s ✿ ♣❛❣❡s ✹✷✼✕✹✸✶✮✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ❛ ♥✉♠✲ ❜❡r ♦❢ ♦t❤❡r ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r♠✉❧❛❡✿ s♦♠❡ ❛r❡ ♦✈❡r✲❡st✐♠❛t❡s ❛♥❞ s♦♠❡ ❛r❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ✇❤✐❝❤ ♠❛② ❜❡ ♦✈❡r ♦r ✉♥❞❡r❀ t❤❡s❡ ❛r❡ ❧❡ss ✉s❡❢✉❧✳ ◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ sq✉❛r❡ r♦♦t ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦♥ ❛ ❝♦♠♣✉t❡r ✐s ♣❡r✲ ❢♦r♠❡❞ ♠❡❛♥s ♦❢ ❛♥ ❡①♣❛♥s✐♦♥✳ ❲❡ ❝❛♥ ❡①♣❛♥❞ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ √ 2 ❜② 2 x + y ❞✐r❡❝t❧②✱ ❛s ❛ ❚❛②❧♦r s❡r✐❡s ♦r ✉s❡ ❍❛❧❧❡②✬s ♠❡t❤♦❞ ✭s❡❡ ❉✉❜r✉❧❧❡✬s ♣❛♣❡r✱ ♦r t❤❛t ♦❢ ▼♦❧❡r ❛♥❞ ▼♦rr✐s♦♥✱ ❜♦t❤ ♣✉❜❧✐s❤❡❞ ✐♥ t❤❡ ■❇▼ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❘❡s❡❛r❝❤ ❛♥❞ ❉❡✈❡❧♦♣♠❡♥t ✐♥ ✶✾✽✸✮✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❛❞✈❛♥t❛❣❡s ✐♥ t❤✐s ❛♣♣r♦❛❝❤❀ t❤❡ ❧♦ss ♦❢ ❛❝❝✉r❛❝② ✇❤❡♥ x ✐s ♠✉❝❤ ❧❛r❣❡r t❤❛♥ y ✭♦r ✈✐❝❡ ✈❡rs❛✮ ❝❛♥ ❜❡ r❡❞✉❝❡❞✱ ❛♥❞ ❧✐❦❡✇✐s❡ t❤❡ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ sq✉❛r❡s ♣r♦✲ ❞✉❝✐♥❣ ❛r✐t❤♠❡t✐❝ ♦✈❡r✢♦✇ ♦r ✉♥❞❡r✢♦✇✳ ❇✉t ✉♥❧❡ss ②♦✉ ❛r❡ ✇r✐t✐♥❣ ✈❡r② ❧♦✇✲❧❡✈❡❧ ❝♦❞❡ ✭❡✳❣✳ ❢♦r ❛ ❣r❛♣❤✐❝s ❞❡✈✐❝❡✮✱ ✐t ✐s ❞♦✉❜t❢✉❧ ✇❤❡t❤❡r t❤✐s s♦rt ♦❢ t❤✐♥❣ ❝❛♥ ❜❡ ♠❛❞❡ t♦ ♣❛② ✐♥ t❡r♠s ♦❢ s♣❡❡❞ ❛❧♦♥❡✳

Distances to general curves and surfaces ❖♥❧② t❤❡ str❛✐❣❤t ❧✐♥❡ ❛♥❞ ❝✐r❝❧❡✱ ❛♥❞ ♣❧❛♥❡ ❛♥❞ s♣❤❡r❡ ✐♥ t❤r❡❡ ❞✐✲ ♠❡♥s✐♦♥s✱ ❤❛✈❡ ♦❜✈✐♦✉s ❡①❛❝t ❞✐st❛♥❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ❝✐r❝❧❡ ❛♥❞ s♣❤❡r❡ ❛r❡ ♠❡r❡❧② ❝♦♥t♦✉rs ♦❢ ❞✐st❛♥❝❡ ❢r♦♠ ❛ ♣♦✐♥t✿ ♥♦t ♣❛rt✐❝✉✲ ❧❛r❧② s✐❣♥✐✜❝❛♥t✳ ❚❤❡ ✐♠♣❧✐❝✐t ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♦t❤❡r q✉❛❞r❛t✐❝ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ q✉❛❞r✐❝ s✉r❢❛❝❡s✖❡✈❡♥ t❤❡ ❤✉♠❜❧❡ ❡❧❧✐♣s❡✖❞♦ ♥♦t ❤❛✈❡ ❧✐♥❡❛r r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ✇✐t❤ ❞✐st❛♥❝❡ t❤❛t ✇❡ ✇♦✉❧❞ ❧✐❦❡✳ ❚❤❡✐r ❡q✉❛t✐♦♥s ❞♦ ❞❡✜♥❡ ❛ ♠♦❝❦✲❞✐st❛♥❝❡✱ ❝❛❧❧❡❞ ✈❛r✐♦✉s❧② ❛ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦r ❛❧✲ ❣❡❜r❛✐❝ ❞✐st❛♥❝❡ ✱ ✇❤✐❝❤ ✇❛s ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ✐♥ ❈❤❛♣t❡r ✺✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ❧✐tt❧❡ ♠♦r❡ t♦ ❜❡ s❛✐❞✱ ❤♦✇❡✈❡r✳ P❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡s ❛r❡ ♥♦t t♦♦ ❤♦rr✐❜❧❡✳ ■❢ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ ❝✉r✈❡

x = f (t) y = g(t) ❛♥❞ ❛ ♣♦✐♥t (x0 , y0 )✱ t❤❡♥ ✇❡ ❝❛♥ ❡①♣r❡ss t❤❡ ✭sq✉❛r❡❞✮ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡♠ ❛s

(x0 − f (t))2 + (y0 − g(t))2 .

✶✹✷

❉✐st❛♥❝❡s ❛♥❞ ♦✛s❡ts

❆t t❤❡ ♣♦✐♥t ♦♥ t❤❡ ❝✉r✈❡ ❝❧♦s❡st t♦ (x0 , y0 )✱ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ✭sq✉❛r❡❞ ♦r ♥♦t✮ ✇✐❧❧ ❜❡ ❛ ♠✐♥✐♠✉♠✳ ❚❤✉s d [(x0 − f (t))2 + (y0 − g(t))2 ] = 0. dt

❋♦r q✉❛❞r❛t✐❝ f ❛♥❞ g ✱ ✇❡ ✇♦✉❧❞ ♦❜t❛✐♥ ❛ ❝✉❜✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ t♦ s♦❧✈❡✱ ✇❤✐❝❤ ❞♦❡s ❤❛✈❡ ❛ ❢♦r♠✉❧❛✳ ❖❢ ❝♦✉rs❡✱ t❤❡ r♦♦ts ♠❛② ❜❡ ♠❛①✐♠❛ ♦r ♠✐♥✐♠❛❀ t♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ t❤❡s❡ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ❤❛s t♦ ❜❡ ❡①✲ ❛♠✐♥❡❞✳ ❋♦r ❤✐❣❤❡r✲♦r❞❡r ❝✉r✈❡s✱ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞s ❛r❡ r❡q✉✐r❡❞✳ ❘❡♣❧❛❝✐♥❣ t❤❡ ❝✉r✈❡ ❜② ❛ s✉r❢❛❝❡ ♣r♦❞✉❝❡s ♥♦t ♦♥❧② t✇♦ ♣❛r❛♠❡t❡rs✱ ❜✉t t✇♦ ❡q✉❛t✐♦♥s t♦ ❜❡ s♦❧✈❡❞✱ ❛s t❤❡ ♣❛rt✐❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ✐♥ ❜♦t❤ ♣❛r❛♠❡t❡rs ♠✉st ❜❡ ❡q✉❛t❡❞ t♦ ③❡r♦❀ t❤❛t ✐s ♥♦t s♦ ❡❛s② t♦ s♦❧✈❡✳

Offsets ❆ ♣♦✇❡r❢✉❧ ✐❞❡❛ ✐♥ ❣❡♦♠❡tr② ✐s t♦ ❧❡t ♦♥❡ t❤✐♥❣ s❧✐❞❡ ♦r r♦❧❧ ❛❧♦♥❣ ❛♥♦t❤❡r ❛♥❞ s❡❡ ✇❤❛t s❤❛♣❡ ✐t tr❛❝❡s ♦✉t✳ ❚❤❡ ❝②❝❧♦✐❞❛❧ ❝✉r✈❡s ♦❢ ❣❡❛r t❡❡t❤ ❛r❡ ♦♥❡ ✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥ ❡♠❜♦❞✐♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ✐❞❡❛❀ t❤❡ ❝✉r✈❡s ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ❤♦✇ t❤❡② ❛r❡ s♦ t❤❛t t❤❡② ❞♦ r♦❧❧✱ ❛♥❞ ❞♦♥✬t s❧✐❞❡✳ ❆♥✲ ♦t❤❡r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✐s ✐♥ ♠❛❝❤✐♥✐♥❣❀ ✐♥ ♠♦st ♠❛❝❤✐♥✐♥❣ ♣r♦❝❡ss❡s✱ t❤❡ ❝✉tt❡r ✐s ♥♦t ❛ ♣♦✐♥t t♦♦❧✳ ❚❤❡ tr❛❥❡❝t♦r② t❤❛t t❤❡ ❝❡♥tr❡ ♦❢ t❤❡ ❝✉tt❡r t❛❦❡s t♦ ♣r♦❞✉❝❡ ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡ ✐s ❛ ♥❡✇ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡ s♦♠❡✇❤❛t ❛✇❛② ❢r♦♠✱ ♦r ♦✛s❡t ❢r♦♠✱ t❤❡ ✜rst✱ s♦ t❤❛t t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❝❡♥tr❡ ❛♥❞ ♣❡r✐♣❤❡r② ✐s ❛❝❝♦✉♥t❡❞ ❢♦r✱ ❛♥❞ t❤❡ ❝♦rr❡❝t s❤❛♣❡ ✐s ♠❛♥✉❢❛❝t✉r❡❞✳ ❚❤✐s ♠❛② ❜❡ ❛♥ ❡❧❡❣❛♥t ✐❞❡❛✱ ❜✉t ✐t ♣r♦❞✉❝❡s ♥❛st② ❣❡♦♠❡tr②✿ ❚❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ ✐s ❤♦rr✐❞❀ ✇❡ ❛r❡ ✉s✉❛❧❧② ❢♦r❝❡❞ str❛✐❣❤t ❛✇❛② ✐♥t♦ ♦♥❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦r ❛♥♦t❤❡r✳ ❲❡ ❝❛♥ ❣❡t ♣✐❡❝❡s ♦❢ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡ t❤❛t ✇❡ ❞♦♥✬t ✇❛♥t✱ ❛♥❞ ✇❡ ♠❛② ♥♦t ❣❡t s♦♠❡ ♣✐❡❝❡s t❤❛t ✇❡ ❞♦ ✇❛♥t✳ ❚❤❡ s✐♠♣❧❡st ❢♦r♠ ♦❢ ♦✛s❡t ✐s ❛ ❝✉r✈❡ ❛ ❝♦♥st❛♥t ❞✐st❛♥❝❡ ❢r♦♠ ❛♥✲ ♦t❤❡r✳ ❚❤✐♥❦ ♦❢ ✐t ❛s t❤❡ ❝✉r✈❡ tr❛❝❡❞ ♦✉t ❜② t❤❡ ❝❡♥tr❡ ♦❢ ❛ ❝✐r❝❧❡ r♦❧❧✐♥❣ ❛❧♦♥❣ ❛ ❝✉r✈❡✿ ✐♥ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ ❛ s♣❤❡r❡ r♦❧❧✐♥❣ ♦✈❡r ❛ s✉r❢❛❝❡✳ ❱❡r② ❢❡✇ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡ t②♣❡s ❛r❡ ❝❧♦s❡❞ ✉♥❞❡r ♦✛s❡t✲ t✐♥❣❀ t❤❛t ♠❡❛♥s✱ t❤❡ ♦✛s❡t ✐s ♥♦t ❛ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡ ♦❢ t❤❡ s❛♠❡ t②♣❡✳ ■♥ ❢❛❝t✱ ♦♥❧② str❛✐❣❤t ❧✐♥❡s ❛♥❞ ❝✐r❝❧❡s ✐♥ t✇♦ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ ❛♥❞ t❤❡

❖✛s❡ts

✶✹✸

♥❛t✉r❛❧ q✉❛❞r✐❝s ❛♥❞ t♦r✉s ✭❛❝t✉❛❧❧② ❝②❝❧✐❞❡s ✶ ✮ ✐♥ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ ❛r❡ ❝❧♦s❡❞ ✉♥❞❡r ♦✛s❡tt✐♥❣✳ ❲❡ ❝❛♥ ❣❡t ❢✉rt❤❡r ✇✐t❤ ❣❡♥❡r❛❧ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s✳ ❋♦r ❛ ❝✉r✈❡✱ ✇❡ ❝❛♥ ♠❛❦❡ s♦♠❡ ♣r♦❣r❡ss ❜② r❡❛❧✐③✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ❝❡♥tr❡ ♦❢ t❤❡ ❝✐r❝❧❡ ✇❤✐❝❤ tr❛❝❡s ♦✉t t❤❡ ♦✛s❡t ✐s ❛❧✇❛②s ❛❧♦♥❣ t❤❡ ♥♦r♠❛❧ ❢r♦♠ t❤❡ ♣♦✐♥t ✇❤❡r❡ t❤❡ ❝✐r❝❧❡ t♦✉❝❤❡s t❤❡ ❝✉r✈❡✳ ■❢ t❤❡ ❝✉r✈❡ ✐s✿ x = f (t) y = g(t),

t❤❡♥ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❡ t❛♥❣❡♥t ✈❡❝t♦r ✐s (f ′ (t), g ′ (t))❀ ✇❡ ❝❛♥ ♦❜t❛✐♥ ♥♦r✲ ♠❛❧ ✈❡❝t♦rs ❜② ❛ q✉✐❝❦ tr✐♣ ✐♥t♦ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✳ ❚❛❦✐♥❣ t❤❡ ✈❡❝✲ t♦r ♣r♦❞✉❝t ♦❢ (f ′ (t), g ′ (t), 0) ✇✐t❤ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ ✉♥✐t ✈❡❝t♦rs ♣♦✐♥t✐♥❣ ♦✉t ♦❢ t❤❡ ♣❧❛♥❡ (0, 0, 1) ❛♥❞ (0, 0, −1)✱ ✇❡ ❣❡t (g ′ (t), −f ′ (t)) ❛♥❞ (−g ′ (t), f ′ (t))✳ ❚❤❡s❡ r❡s✉❧ts ♠✉st ❜❡ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ✭♥♦t❡ t❤❡ t✇♦ ✉s❡s ♦❢ t❤❡ ✇♦r❞ ❵♥♦r♠❛❧✬✮✱ t♦ ❣✐✈❡ t❤❡ ✉♥✐t ♥♦r♠❛❧s✿ 

± q

g ′ (t) f ′ (t)2 + g ′ (t)2

❚r② ✐t ②♦✉rs❡❧❢ ❢♦r t❤❡ q✉❛❞r❛t✐❝

, −q

f ′ (t) f ′ (t)2 + g ′ (t)2



.

x = a1 + b1 t + c1 t2 y = a2 + b2 t + c2 t2 .

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▼❡❛s✉r✐♥❣ ❤♦✇ ❣♦♦❞ t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ✐s ❝❛♥ ❜❡ ❞♦♥❡ ❜② ❛ ♥✉♠❡r✲ ✐❝❛❧ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss ✭s❡❡ ❋❛r♦✉❦✐✬s ✶✾✽✻ ♣❛♣❡r ♦♥ t❤❡ s✉❜❥❡❝t✮ ❜✉t ✐♥ ♣r❛❝t✐❝❡ ✐t ✐s ♦❢t❡♥ ❛❞❡q✉❛t❡ t♦ tr② ❛ ❢❡✇ t❡st ♣♦✐♥ts❀ ❡✈❡♥ t❤❛t ✐s♥✬t s♦ ❡❛s②✳ ❲♦r❦✐♥❣ ♦✉t ✇❤❡r❡ t❤❡ ♥♦r♠❛❧s ❢r♦♠ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❝✉r✈❡ ❝✉t ✐ts ♦✛s❡ts ✐s ♥♦t ❛❞✈✐s❡❞❀ ②♦✉✬❧❧ ❣❡t ❡q✉❛t✐♦♥s ✇✐t❤ ❛ ❧✲♦✲t ♦❢ r♦♦ts✳ ❇✉t ✇❡ ❝❛♥✬t s✐♠♣❧② ❧♦♦❦ ❛t t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ♣♦✐♥ts ❛t t❤❡ s❛♠❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦♥ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❛♥❞ ♦✛s❡t ❝✉r✈❡❀ t❤❡ r❡s✉❧t ♠❛② ❛♣♣❡❛r ❛❝❝✉r❛t❡✱ ❜✉t ❜❡ r✉❜❜✐s❤ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❛t✐♦♥ ✐s ❞✐s♣❧❛❝❡❞ ❢r♦♠ ♦♥❡ ❝✉r✈❡ t♦ ❛♥♦t❤❡r✱ ❛♥❞ t❤❡ ♥♦r♠❛❧ ❞✐st❛♥❝❡ ✐s ❛❝t✉❛❧❧② t♦♦ s♠❛❧❧✳ ❲❤❛t ②♦✉ ❤❛✈❡ t♦ ❞♦ ✐s t♦ ❝♦♠♣❛r❡ t❤❡ ♦✛s❡t ❢r♦♠ t❤❡ ✜rst ❝✉r✈❡ ✇✐t❤ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♣♦✐♥t ♦♥ t❤❡ ♦✛s❡t ❝✉r✈❡✳ ❚❤❛t ♠❛② ✐♥❞✐❝❛t❡ ❛♥ ❡rr♦r ✇❤❡♥ t❤❡ ♦✛s❡t ✐s ❛❝t✉❛❧❧② ❛❝❝❡♣t❛❜❧❡✱ ❛❣❛✐♥ ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ ❛ ❝❤❛♥❣❡ ✐♥ ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❛t✐♦♥✱ ❜✉t ❛t ❧❡❛st ✐t ✇♦♥✬t ❛♣♣❡❛r t♦ ❜❡ ❝♦rr❡❝t ✇❤❡♥ ✐t ✐s♥✬t✳

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P (xP , yP , zP ) (xP − xR ) + (yP − yR ) + (zP − zR )2 − d2 ∂P xP − xR + k ∂x ∂P yP − yR + k ∂y ∂P zP − zR + k ∂z 2

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Non-uniform offsets

❲❡ ❤❛✈❡ ❛ss✉♠❡❞ t❤❛t t❤❡ ❝♦♥st❛♥t✲❞✐st❛♥❝❡ ♦✛s❡t ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡ t❤❛t ✇❡ ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❞❡s❝r✐❜✐♥❣ s♦ ❢❛r ✇✐❧❧ ❜❡ ❛❞❡q✉❛t❡✳ ❇✉t t❤❡r❡ ❛r❡ ♠❛♥② s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✐♥ ✇❤✐❝❤ ✐t ✐s ♥♦t✿ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡ ♠❛❝❤✐♥✐♥❣ ♣r♦❝❡ss❡s s✉❝❤ ❛s ♣✉♥❝❤✐♥❣ ✇✐t❤ ♥♦♥✲❝✐r❝✉❧❛r ♣✉♥❝❤❡s✱ ❛♥❞ ♠✐❧❧✐♥❣ ✇✐t❤ ♥♦♥✲s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝✉tt❡rs ✭t❤❡r❡ ❛r❡ ❣♦♦❞ t❡❝❤♥♦❧♦❣✐❝❛❧ r❡❛s♦♥s ❢♦r t❤❡s❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥ts✮✳ ❋♦r♠✉❧❛t✐♥❣ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s s♦❧✉t✐♦♥s t♦ ♣r♦❜❧❡♠s ♦❢ t❤✐s s♦rt ✐s ♥♦t ❢❡❛s✐❜❧❡❀ ❜✉t t❤❡② ❝❛♥ ❜❡ ❛♣♣r♦❛❝❤❡❞ ♦♥ ❛ ♣♦✐♥t✲❜②✲♣♦✐♥t ❜❛s✐s✱ ❜② t❛❦✐♥❣ t❤❡ ♥♦r♠❛❧ ❛s ❜❡❢♦r❡✱ ❛♥❞ ♣❡r✲ ❢♦r♠✐♥❣ ❛ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ❜❛s❡❞ ♦♥ ✐ts ❞✐r❡❝t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ②✐❡❧❞s t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ❝❡♥tr❡ ♦❢ t❤❡ ❝✉tt❡r t❤❛t ✇♦✉❧❞ ❜❡ t❛♥❣❡♥t t♦ t❤❛t ♣♦✐♥t❀ s❡❡ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✶✶✭✐✐✐✮✳ ■♥ ❡✛❡❝t✱ t❤✐s ✐s ❛ ❧♦♦❦✉♣ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ❛♥❞✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ ❝✉tt❡r ✐s ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞✱ t❤✐s ❝❛♥ ❜❡ ❛ ❣♦♦❞ ✇❛② t♦ ♣r♦❣r❛♠ ♦✛s❡tt✐♥❣✳ ❚❤❡ ♣r♦❜❧❡♠s ♦❢ ❛✈♦✐❞✐♥❣ ❣♦✉❣✐♥❣✖❡❧✐♠✐♥❛t✐♥❣ ♣❛rts ♦❢ t❤❡ ♦✛s❡t s✉r❢❛❝❡ t❤❛t ❛r❡ ♥♦t ✈❛❧✐❞ ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦①✲ ✐♠✐t② ♦❢ ❛♥♦t❤❡r ♣❛rt ♦❢ t❤❡ s✉r❢❛❝❡✖✐s ♠♦r❡ ♥♦✇ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞✳ ❲❡ s❤♦✉❧❞ ❝❤❡❝❦ ❢♦r ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ ❛♥② ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ❝✉tt❡r ❛♥❞ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ❜❡✐♥❣ ♠❛❝❤✐♥❡❞✳ ❊✈❡♥ ✐❢ ✇❡ s❡tt❧❡ ❛ s✐♠♣❧❡ t❡st ❜❛s❡❞ ♦♥ ❝✉r✈❛t✉r❡ ❜❡✐♥❣ ❛❞❡q✉❛t❡❧② ❧❛r❣❡✱ ❛ s✐♥❣❧❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ❝✉r✈❛t✉r❡ ♦❜✈✐✲ ♦✉s❧② ❝❛♥♥♦t ❜❡ ✉s❡❞❀ ✐t ✇✐❧❧ ❜❡ ♥❡❝❡ss❛r② t♦ ❧♦♦❦ ✉♣ t❤❡ ❝✉r✈❛t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❝✉tt❡r ❛t ❡❛❝❤ ❝♦♥t❛❝t ♣♦✐♥t✳

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12 Geometric algorithms

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❇② t❤❡✐r ✢❡①✐❜✐❧✐t②✖❡①t❡♥❞✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ♦✈❡r ❛ r❛♥❣❡ ♦❢ r❡✲ ❧❛t❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s✱ ♦r ❡✈❡♥ r❡✲✉s✐♥❣ ❝♦❞❡ ❢♦r ❞✐✛❡r❡♥t t②♣❡s ♦❢ ❞❛t❛✳ ▲❡t ✉s ❣✉❡ss t❤❛t ✾✵✪ ♦❢ r❡s✉❧ts ✐♥ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❣❡♦♠❡tr② ❛r❡ ❝♦♥❝❡r♥❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ t✐♠❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♦❢ ❛❧✲ ❣♦r✐t❤♠s ❛❣❛✐♥st ♣r♦❜❧❡♠ s✐③❡✳ ❚❤❡ ❞✐s❝✐♣❧✐♥❡ ✐s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣❧② ❜❡st✲❞❡✈❡❧♦♣❡❞ ✐♥ t❤❡ ✇♦r❧❞ ♦❢ ♣r♦❜❧❡♠s ❝♦♥❝❡r♥✐♥❣ s❡ts ♦❢ ♣♦✐♥ts✱ ✉s✉❛❧❧② ✐♥ t✇♦ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s❀ Pr❡♣❛r❛t❛ ❛♥❞ ❙❤❛♠♦s✬ ❜♦♦❦ ❧❡❞ t❤❡ ✇❛② ❤❡r❡✳ ■t ✐s ♥♦✇ ❝♦♠♠♦♥ t♦ s❡❡ ❝♦♥❝❡♣ts ♦❢ ♦r❞❡r ♦❢ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❜❡✐♥❣ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ❣❡♦♠❡tr✐❝ s✐t✉❛t✐♦♥s✱ ❜✉t t❤✐s ❝❛♥ ❜❡ ❧❡ss s✉❝❝❡ss❢✉❧ ❜❡❝❛✉s❡✿ ■t ✐s ♥♦t ❛❧✇❛②s ♦❜✈✐♦✉s ✇❤❛t t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s❀ ✐❢ ✇❡ ❛r❡ ✇♦r❦✐♥❣ ♦✉t t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥✱ s❛②✱ s♣❤❡r❡s✱ t❤❡✐r r❛❞✐✐ ✭❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡✐r ❛✈❡r❛❣❡ s❡♣❛r❛t✐♦♥✮ ❛s ✇❡❧❧ ❛s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t❤❡♠ ✐s r❡❧❡✈❛♥t✳ ❚❤❡ ✇♦rst✲❝❛s❡ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♠❛② ❜❡ ❧❛✉❣❤❛❜❧② ❢❛r ❢r♦♠ t❤❡ ❛❝✲ t✉❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t②✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ❛♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ t❤❛t ❡①♣❧♦✐ts ♣❛r✲ ❛❧❧❡❧ ❢❛❝❡s ✐♥ ♠♦❞❡❧s ♦❢ ❡♥❣✐♥❡❡r✐♥❣ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♠✐❣❤t ❞♦ q✉✐t❡ ✇❡❧❧ ✐♥ ♣r❛❝t✐❝❡✳ ❇✉t✱ ✐♥ t❤❡ ✇♦rst ❝❛s❡✱ ♥♦ ♣❧❛♥❡s ❛r❡ ♣❛r❛❧❧❡❧❀ ✐s t❤✐s ❛ ❣♦♦❞ r❡❛s♦♥ t♦ ❥✉❞❣❡ t❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✇♦rt❤❧❡ss❄ ❆ ❢✉rt❤❡r ❝❛✈❡❛t✱ ✇❤✐❝❤ Pr❡♣❛r❛t❛ ❛♥❞ ❙❤❛♠♦s ❛r❡ ♠♦st ❝❛r❡❢✉❧ t♦ ♠❛❦❡✱ ✐s t❤❛t ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❛❣❛✐♥st ♣r♦❜❧❡♠ s✐③❡ ✐s ♦♥❧② ♦❢ ✐♥t❡r❡st ✐♥ ❛ ✇♦r❧❞ ♦❢ ♣❡r♣❡t✉❛❧❧② ❣r♦✇✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ❆❧t❤♦✉❣❤ t❤❡r❡ ❛r❡ ❣❡♦♠✲ ❡tr✐❝ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✇❤❡r❡ s❡ts ♦❢ ❞❛t❛ ❣r♦✇ ❛s ❢❛st ❛s ✇♦r❦st❛t✐♦♥s ❝❛♥ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ t❤❡♠✱ ✐♥ ♦t❤❡r ❛r❡❛s t❤❛t ✐s ♥♦t t❤❡ ❝❛s❡❀ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡ s❤✐♣ ❤✉❧❧s ❞♦ ♥♦t ❜❡❝♦♠❡ ♣❡r♣❡t✉❛❧❧② ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞✳ ❚❤❡♥ ♦t❤❡r ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥s✱ s✉❝❤ ❛s ❡❛s❡ ♦❢ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥✱ ♠❛② ❜❡❝♦♠❡ ❞♦♠✲ ✐♥❛♥t✳ ❋✉rt❤❡r✱ ❡✈❡♥ ✐❢ ✇❡ ❛r❡ ❝♦♥❝❡r♥❡❞ ✇✐t❤ ❣r♦✇✐♥❣ ❞❛t❛ s❡ts✱ ✇❡ ❝❛♥ ♦❢t❡♥ ✉s❡ ❛♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✇✐t❤ ❛ ♣♦♦r ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♦♥ ❧❛r❣❡ ❞❛t❛ s❡ts ❛s ❛ ♦❢ ❛ ♣r♦❣r❛♠✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✇❡ ♠✐❣❤t ✇❛♥t t♦ ❣❡♥❡r❛t❡ t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ ❛ ❧❛r❣❡ s❡t ♦❢ ❡❧❡♠❡♥ts ❜② ❣❡♥❡r✲ ❛t✐♥❣ t❤❡ ✉♥❜♦✉♥❞❡❞ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥s✱ ❛♥❞ t❤❡♥ ❜♦✉♥❞✐♥❣ t❤❡♠✳ ❚❤✐s s♦rt ♦❢ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐s ♥♦t ❡✣❝✐❡♥t ✭✐t ✐s O(n )✮ ❛s ❛ ❣❧♦❜❛❧ str❛t❡❣②✱ ❜✉t ❝❛♥ ❜❡ ❛♥❞ ✐s ✉s❡❞ ✇✐t❤✐♥ ❛ ❧✐♠✐t❡❞ r❡❣✐♦♥ ♦❢ s♣❛❝❡✱ ✇❤❡r❡ ❞❛t❛ s❡t s✐③❡ ✐s ✐♥ ❡✛❡❝t ❝♦♥st❛♥t✳ P♦♦r✲♦r❞❡r ❛❧❣♦r✐t❤♠s ♠❛② ❜❡ ♠✉❝❤ q✉✐❝❦❡r t❤❛♥ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧❧② ❜❡tt❡r ♦♥❡s ♦♥ ❛ ❧✐♠✐t❡❞ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ❞❛t❛✳ ❨♦✉ ❝❛♥ ♥❡st ♦♥❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐♥s✐❞❡ ❛♥♦t❤❡r ✐♥ t❤✐s ✇❛②✱ ❛♥❞ t✉♥❡ ✇♦rst✲❝❛s❡

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3

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Point-set algorithms P♦✐♥t s❡ts ❣✐✈❡ t❤❡♦r✐st ♦❢ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❛ ✜❡❧❞ ❞❛② ✶ ✳ ❋✐rst❧②✱ ❛❧❣♦✲ r✐t❤♠✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❝❛♥ ❜❡ st✉❞✐❡❞ ✇✐t❤♦✉t t❤❡ ♦✈❡r❤❡❛❞ ♦❢ t♦♦ ♠✉❝❤ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❣❡♦♠❡tr②✳ ❙❡❝♦♥❞❧②✱ t❤❡ r❡s✉❧ts ♣r❡❞✐❝t❡❞ ❢♦r r❛♥❞♦♠ ♣♦✐♥t s❡ts ♠♦r❡ ♥❡❛r❧② ❝♦rr❡s♣♦♥❞ ✇✐t❤ r❡❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s❀ r❛♥❞♦♠ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡ ❛r❡ s❝❛r❝❡❧② ❝r❡❞✐❜❧❡ t❡st❜❡❞s ❢♦r ❛♥②t❤✐♥❣✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ t✇♦ s♦rts ♦❢ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s t❤❛t ✐♥✈♦❧✈❡ ♣♦✐♥t s❡ts✳ ❚❤❡ ✜rst ✐s t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣r♦♣❡rt② ♦❢ t❤❡ s❡t✱ s✉❝❤ ❛s✿ ❚❤❡ s❤♦rt❡st ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❛♥② t✇♦ ♣♦✐♥ts✳ ❚❤❡ ❧♦♥❣❡st ❞✐tt♦✳ ❚❤❡ t✐❣❤t❡st ♣♦❧②❣♦♥ ♦r ♣♦❧②❤❡❞r♦♥ ❛r♦✉♥❞ t❤❡ ♣♦✐♥ts✿ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ s♦rt ♦❢ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ r❡q✉✐r❡s ❛ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ s❡t ❛♥❞ s♦♠❡ ♦t❤❡r ❡♥t✐t②✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✿ ❚❤❡ ♣♦✐♥t ♥❡❛r❡st t♦ ❛ ❣✐✈❡♥ ♣♦✐♥t✳ ❆❧❧ t❤❡ ♣♦✐♥ts ✐♥ ❛ ❣✐✈❡♥ ♣♦❧②❣♦♥ ♦r ♣♦❧②❤❡❞r♦♥✳ ❲❤❡♥ ♦♥❧② ♣♦✐♥ts ❛r❡ ✐♥✈♦❧✈❡❞ ✐♥ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣r♦❜❧❡♠ ✭❡✳❣✳ ❝❧♦s❡st ♣❛✐r✮✱ t❤❡♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❛r❡ t②♣✐❝❛❧❧② ❡①t❡♥s✐❜❧❡ ✇✐t❤♦✉t ❞✐✣❝✉❧t② ❢r♦♠ t✇♦ t♦ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✳ ❲❤❡r❡ ♦t❤❡r str✉❝t✉r❡s✱ s✉❝❤ ❛s ♣♦❧②❣♦♥s ❛♥❞ ♣♦❧②❤❡❞r❛✱ ❛r❡ ✐♥✈♦❧✈❡❞✱ t❤r❡❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❛❧✲ ❣♦r✐t❤♠s ❛r❡ t②♣✐❝❛❧❧② ❛ ❧♦t ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞✳ ❆s ✉s✉❛❧✱ t❤❡s❡ ❞✐✣✲ ❝✉❧t✐❡s ❛r❡ ❛❝t✉❛❧❧② ❝❛✉s❡❞ ❜② ❛ ❝❤❛♥❣❡ ❢r♦♠ ♦♥❡ t♦ t✇♦ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ ❜✉t ✐♥ str✉❝t✉r❡s ❡♠❜❡❞❞❡❞ ✐♥ t❤❡ s♣❛❝❡ ✭❡✳❣✳ ❢r♦♠ ❛♥ ♦r❞❡r❛❜❧❡ ♣♦❧②❣♦♥ t♦ ❛ ♣♦❧②❤❡❞r♦♥ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥♥♦t ❜❡ s♦rt❡❞✮✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ♣❡r❤❛♣s t❤❡ ♠♦st ✐♠♣♦rt❛♥t ❢❛❝t♦r ✐♥ ♣♦✐♥t✲s❡t ❛❧❣♦✲ r✐t❤♠s ✐s t❤❛t ♦❢ ❞❛t❛ str✉❝t✉r❡❀ ✇❤❡t❤❡r ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ st❛rt ✇✐t❤✿ ❏✉st ❛ ❧✐st ♦❢ ♣♦✐♥ts✳ ✶ ❖r

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13 Geometric programming

❖♥❝❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ❣♦t s♦♠❡ ❛❧❣❡❜r❛ ❛♥❞ ❛♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠✱ ✇❡ ❝❛♥ t❤✐♥❦ ❛❜♦✉t ❝♦❞❡✳ ❆t t❤✐s ❧❡✈❡❧✱ s♦❧✈✐♥❣ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ♣r♦❜❧❡♠s ✐s ♥♦t t❤❛t ❞✐✛❡r❡♥t ❢r♦♠ ♦t❤❡r ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣ t❛s❦s✳ ❚❤✐s ❝❤❛♣t❡r ❝♦♥❝❡♥tr❛t❡s s♣❡❝✐✜❝❛❧❧② ♦♥ t✇♦ ❛s♣❡❝ts✿ ❆❝❝✉r❛❝②✖t❤❡ ❧❛❝❦ ♦❢ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❤❛✈❡ ❛ ❞❡✈❛st❛t✐♥❣ ❡✛❡❝t ♦♥ ❣❡♦♠❡tr②✳ ❚❤❡ ✉s❡ ♦❢ st♦r❛❣❡✖s♣❡❡❞✐♥❣ ✉♣ ♣r♦❝❡ss✐♥❣ t❤r♦✉❣❤ ❝♦❞❡ ❡①✲ ♣❛♥s✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ✉s❡ ♦❢ ❧♦♦❦✉♣ t❛❜❧❡s✳ ❚❤❡ t♦♦❧s ♦❢ t❤❡ tr❛❞❡✖❧❛♥❣✉❛❣❡s✱ ♣❛❝❦❛❣❡s ❛♥❞ ♠❛❝❤✐♥❡s✖r❡♠❛✐♥ ♠✉❝❤ ❛s ✐♥ ♦t❤❡r ❛r❡❛s✱ ❜✉t ❛ ❢❡✇ r❡♠❛r❦s ❛r❡ ✐♥ ♦r❞❡r✳ ❚❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ❛ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ✐s ♦❢t❡♥ ❍♦❜s♦♥✐❛♥❀ ❝♦♠♣❛t✐❜✐❧✐t② ✇✐t❤ ❡①✐st✐♥❣ ❝♦❞❡✱ ❛✈❛✐❧❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❛ ❝♦♠♣✐❧❡r✱ ❛♥❞ s❦✐❧❧s ♦❢ ♣r♦❣r❛♠♠❡rs ❝❛♥ ❛❧❧ ❜❡ ♦✈❡rr✐❞✐♥❣✳ ❲❤✐❝❤ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ✐s ❢❛st❡st✱ ❡s♣❡❝✐❛❧❧② ✐❢ ✐♥✲ t❡r❛❝t✐♦♥ ✐s r❡q✉✐r❡❞❄ ❢♦rtr❛♥ ✐s t❤❡ ❆♥❝✐❡♥t✱ ❛♥❞ ❈ t❤❡ ▼♦❞❡r♥ ❛♥s✇❡r t♦ t❤✐s q✉❡st✐♦♥❀ ❈ ❛❧❧♦✇s ②♦✉ t♦ ❣❡t ❝❧♦s❡r t♦ t❤❡ ♠❛❝❤✐♥❡✱ ❜✉t r✐s❝ ❛r❝❤✐t❡❝t✉r❡s ♠❛❦❡ t❤✐s ❛♥ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣❧② q✉❡st✐♦♥❛❜❧❡ ❛✐♠❀ t❤❡r❡ ❛r❡ s♦♠❡ ❜❧✐♥❞✐♥❣❧② ✇❡❧❧✲♦♣t✐♠✐③❡❞ ❢♦rtr❛♥ ❝♦♠♣✐❧❡rs✱ ❛♥❞ t❤✐s ❧❛♥❣✉❛❣❡ ✐s st✐❧❧ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ✐♥ ♠❛♥② ✈❛r✐❡t✐❡s ♦❢ s❝✐❡♥t✐✜❝ ♣r♦✲ ❣r❛♠♠✐♥❣✳ ❢♦rtr❛♥ r❡t❛✐♥s ✐ts ❤❛❧❧♦✇❡❞ ❜✉t ❝✉r✐♦✉s s②♥t❛① ✐♥ ♣❧❛❝❡s✱ ❛♥❞ t❤❡ ❧♦✇ ❧❡✈❡❧ ♦❢ ❈ ❝❛♥ ♠❛❦❡ ✐t ❞✐✣❝✉❧t t♦ ❞❡❜✉❣❀ ❛♥❞ t❤❡② ❜♦❛st ✐♥✢❡①✐❜❧❡ ❛♥❞ ③❡r♦ t②♣✐♥❣ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❈✰✰ ♠❛② ❜❡ t❤❡ ♦❜✈✐♦✉s s♦❧✉t✐♦♥ t♦ t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠✳ ❚❤❡ ❛❜✐❧✐t② t♦ ❞❡✜♥❡ ❞❛t❛ t②♣❡s ❛♥❞ ♦♣❡r❛t✐♦♥s✖❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❡♥t✐t✐❡s ❧✐❦❡ ✈❡❝✲ t♦rs✱ ❛♥❞ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❧✐❦❡ ✈❡❝t♦r ♣r♦❞✉❝ts✖✐s ❛♥ ♦❜✈✐♦✉s ❛❞✈❛♥t❛❣❡✳ ✶

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❂ ①❛✯①❜❀ ❂ ②❛✯②❜❀ ❂ ③❛✯③❜❀ s✉♠❴✶ ✰ s✉♠❴✷ ✰ s✉♠❴✸❀

❇✉t t❤✐♥❣s ❧✐❦❡ ❍♦r♥❡r ❢♦r♠s a0 + t(a1 + t(a2 + . . . ❛r❡ t✐r❡s♦♠❡✱ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❛❞❞✐t✐♦♥s ♠✉st ❜❡ ❞♦♥❡ s❡q✉❡♥t✐❛❧❧②✳ ❖❢ ❝♦✉rs❡✱ ❛❧❧ t❤✐s ❢❛st ❤❛r❞✇❛r❡ ✐s ✐♥❝r❡❛s✐♥❣❧② ❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦♥ ❤❛✈✐♥❣ ❞❛t❛ ❝❧♦s❡ t♦ ❤❛♥❞✿ ✐♥ r❡❣✐st❡rs✱ ♦r ❛ ❝❛❝❤❡ ❛t t❤❡ ❧❡❛st✳ ■❢ ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ ❢❡t❝❤ ❞❛t❛ ❢r♦♠ ♠❛✐♥ ♠❡♠♦r② ✭❧❡t ❛❧♦♥❡ ❛ ❞✐s❦ t❤❡♥ t❤❡ ❛❞✈❛♥t❛❣❡ ♦❢ s✉❝❤ ❛r❝❤✐t❡❝t✉r❡s q✉✐t❡ ❞✐s❛♣♣❡❛rs✳ ❚♦❞❛②✬s ✇♦r❦st❛t✐♦♥s ✇✐t❤ ❧✐♠✐t❡❞ ♣❛r❛❧❧❡❧✐s♠ s❡❡♠ ❢♦r❡✈❡r t♦ ❦❡❡♣ ❛❤❡❛❞ ♦❢ ❧❛r❣❡✲s❝❛❧❡ ♣❛r❛❧❧❡❧ ❝♦♠♣✉t❡rs✱ s✉❝❤ ❛s t❤❡ ■♥♠♦s ❚r❛♥s♣✉t❡r ❛rr❛②s✱ ❛s ♣r❛❝t✐❝❛❧ ❣❡♥❡r❛❧✲♣✉r♣♦s❡ ♠❛❝❤✐♥❡s✳ ❲❤❡r❡ ♣r♦❜❧❡♠s ✇✐t❤ ✐♥tr✐♥s✐❝ ♣❛r❛❧❧❡❧✐s♠✱ s✉❝❤ ❛s s♦♠❡ s✐❣♥❛❧✲♣r♦❝❡ss✐♥❣ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞✱ ❛ ✈❡r② ❢❛st s♣❡❝✐❛❧✲♣✉r♣♦s❡ ♣❛r❛❧❧❡❧ ❝♦❞❡ ❝❛♥ ❝❡rt❛✐♥❧② ❜❡ ✇r✐tt❡♥✳ ❚❤❡r❡ ❤❛✈❡✱ ♦❢ ❝♦✉rs❡✱ ❜❡❡♥ ♠❛♥② ❡✛♦rts t♦ ✇r✐t❡ ♣❛r❛❧❧❡❧ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❛❧❣♦r✐t❤♠s✱ ❜✉t ✐t ✐s ♥♦t t♦❞❛② ❛ ♠❛✐♥✲ str❡❛♠ s✉❜❥❡❝t✳ ■t ✐s ✐♥t❡r❡st✐♥❣ t♦ s♣❡❝✉❧❛t❡ ✇❤❡t❤❡r✱ ✐♥ t❤❡ ❢✉t✉r❡✱ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♠❛❝❤✐♥❡s ✇✐❧❧✿ ❘❡♠❛✐♥ ❛ s♣❡❝✐❛❧✲♣✉r♣♦s❡ t♦♦❧✳ ❇❡❝♦♠❡ ❛ ❣❡♥❡r❛❧✲♣✉r♣♦s❡ t♦♦❧✱ ❜✉t r❡q✉✐r❡ t❤❡ ✉s❡ ♦❢ ❧❛♥✲ ❣✉❛❣❡s ✇❤✐❝❤ s✉♣♣♦rt ♣❛r❛❧❧❡❧ ❝♦♥str✉❝ts ❡①♣❧✐❝✐t❧②✳

❆❝❝✉r❛❝②

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❇❡❝♦♠❡ ❛ ❣❡♥❡r❛❧✲♣✉r♣♦s❡ t♦♦❧✱ s✉♣♣♦rt❡❞ ❜② s②st❡♠s t♦ ❡①✲ tr❛❝t ♣❛r❛❧❧❡❧✐s♠ ❢r♦♠ ❛❧❣♦r✐t❤♠s✳ ❚❤❡ ❧❛st ♣r♦s♣❡❝t ✐s ❞✐st❛♥t✳

Accuracy ❚❤❡ ❛❝❝✉r❛❝② ♦❢ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❞❡t❡r♠✐♥❡s ♥♦t ♠❡r❡❧② t❤❡ ❛❝❝✉r❛❝② ♦❢ t❤❡ ❛♥s✇❡r✱ ✐♥ ❛ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ s❡♥s❡✱ ❜✉t ♦❢t❡♥ ✐ts ✇❤♦❧❡ q✉❛❧✐t②✳ ■♥ ❛ ❣r❛♣❤✐❝s ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ❛❝❝✉r❛❝② ♣r♦❜❧❡♠s ❝♦✉❧❞ ♠❛❦❡ ❛ t❤✐♥ ♦❜❥❡❝t ✈❛♥✐s❤✿ ❛♥❞ r✉✐♥✱ ♦r ❛t ❧❡❛st ❞r❛st✐❝❛❧❧② ❝❤❛♥❣❡✱ t❤❡ ✇❤♦❧❡ ♦❢ ❛ ♣✐❝t✉r❡✳ ❨♦✉ ❛r❡ ♣r♦❜❛❜❧② ❢❛♠✐❧✐❛r ✇✐t❤ t❤✐s s♦rt ♦❢ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❘❡♠❛r❦❛❜❧② ❢❡✇ ❣r❛♣❤✐❝s ♣r♦❣r❛♠s ❛r❡ ❢r❡❡ ♦❢ ❵❜✉❣❣② ♣✐①❡❧s✬ ❡✈❡♥ ✇✐t❤ r✉♥✲♦❢✲t❤❡✲♠✐❧❧ ✐♥♣✉t✱ ❧❡t ❛❧♦♥❡ ❞❛t❛ ❞❡❧✐❜✲ ❡r❛t❡❧② ❞❡s✐❣♥❡❞ t♦ ❜r❡❛❦ t❤❡ ♣r♦❣r❛♠✳ ❍❡r❡ ❛r❡ ✜✈❡ ❞✐✛❡r❡♥t ❛♣♣r♦❛❝❤❡s t♦ t❤❡ ❛❝❝✉r❛❝② q✉❡st✐♦♥✱ ✇✐t❤ t❤❡✐r ❛❞✈❛♥t❛❣❡s ❛♥❞ ❞✐s❛❞✈❛♥t❛❣❡s✳ Do what you can algebraically

❚❤❡r❡✬s ♥♦ ♣♦✐♥t ✐♥ ✜❞❞❧✐♥❣ ✇✐t❤ t❤❡ ❝♦❞❡ ✐❢ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ♥♦t ❛s ✇❡❧❧✲❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ❛s ♣♦ss✐❜❧❡✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ❛❧r❡❛❞② ❝♦✈❡r❡❞ ❛ ❧♦t ♦❢ t❤✐s ❣r♦✉♥❞✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✿ ❆r❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ♥♦r♠❛❧✐③❡❞❄ ❆r❡ ②♦✉ ✉s✐♥❣ ❍♦r♥❡r ♦r ❇❡r♥st❡✐♥ ❜❛s❡s ✇❤❡r❡ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡❄ ❆r❡ ②♦✉ ❞♦✐♥❣ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❛s ♥❡❛r t❤❡ ♦r✐❣✐♥ ❛s ♣♦ss✐❜❧❡❄ Maximize the raw accuracy available

❚❤❡ ✉s❡ ♦❢ ❞♦✉❜❧❡ ♣r❡❝✐s✐♦♥ ✐s t❤❡ ♦❜✈✐♦✉s ❡①❛♠♣❧❡✳ ◗✉❛❞r✉♣❧❡ ♣r❡❝✐s✐♦♥ ❤❛s ❜❡❡♥ tr✐❡❞ ✐♥ s♦♠❡ s❝✉❧♣t✉r❡❞✲s✉r❢❛❝❡ ♣r♦❜❧❡♠s ✭❡✳❣✳ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥s✮❀ t❤❡ ♣❡r♣❡tr❛t♦rs ♦❢ t❤❡s❡ ♦✉tr❛❣❡s ❛r❡ ✐♥ ❤✐❞✐♥❣✳ ❚❤❡ ❛❞✈❛♥t❛❣❡ ♦❢ ✐♥❝r❡❛s❡❞ ♣r❡❝✐s✐♦♥ ✐s✿ ■t ❝❛♥ ♦❢t❡♥ ❜❡ ❞♦♥❡ ❛t t❤❡ ✢✐❝❦ ♦❢ ❛ ❝♦♠♣✐❧❡r ♦♣t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❞✐s❛❞✈❛♥t❛❣❡s ❛r❡✿ ■t ♠❛❦❡s ❡✈❡r②t❤✐♥❣ s❧♦✇❡r✳

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●❡♦♠❡tr✐❝ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣

■t ✐s ✉s✉❛❧❧② ❛ ❝♦✉♥s❡❧ ♦❢ ❞❡s♣❡r❛t✐♦♥❀ ❞♦✉❜❧❡ ♣r❡❝✐s✐♦♥ s♦❧✈❡s ✈❡r② ❢❡✇ ♣r♦❜❧❡♠s ❝♦♠♣❧❡t❡❧②✱ ❜✉t ♠❛② r❡❞✉❝❡ t❤❡ ✐♥❝✐❞❡♥❝❡ ♦❢ tr♦✉❜❧❡✳ Do the computations exactly

❙♦♠❡ ❣r❛♣❤✐❝s ❛❧❣♦r✐t❤♠s t❤❛t ✇♦r❦ ✐♥ s❝r❡❡♥ s♣❛❝❡ s❤♦✇ ❤♦✇ t❤✐s ❝❛♥ ❜❡ ❞♦♥❡❀ ❛ ❧❡ss r❡str✐❝t❡❞ t❡❝❤♥✐q✉❡ ✐s ✉s❡ ♦❢ ❛r❜✐tr❛r②✲♣r❡❝✐s✐♦♥ r❛t✐♦♥❛❧ ❛r✐t❤♠❡t✐❝✱ ❝♦♠♠♦♥ ✐♥ ❛❧❣❡❜r❛ s②st❡♠s ❜✉t ♥♦t ♦❢t❡♥ s❡❡♥ ✐♥ ♣r❛❝t✐❝❡ ✐♥ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ♣r♦❣r❛♠s✳ ❚❤❡ ❛❞✈❛♥t❛❣❡s ♦❢ t❤✐s ❛♣♣r♦❛❝❤ ❛r❡✿ ❘❡s✉❧ts ❛r❡ ❛s ❡①❛❝t ❛s t❤❡ ✐♥♣✉t✳ ■♥ t❤❡ ❝♦rr❡❝t ❝♦♥t❡①t✱ ✐♥t❡❣❡r ❛r✐t❤♠❡t✐❝ ✐s ❢❛st✳ ■ts ❞✐s❛❞✈❛♥t❛❣❡s ❛r❡✿ ❚❤❡ r❛♥❣❡ ♦❢ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥s t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ❤❛♥❞❧❡❞ ✐s ❡①tr❡♠❡❧② ❧✐♠✐t❡❞✳ ❊✈❡♥ sq✉❛r❡ r♦♦ts✱ ❛♥❞ t❤✉s ❞✐st❛♥❝❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s✱ ❝❛♥♥♦t ❜❡ s✉♣♣♦rt❡❞ ❜② ✐♥t❡❣❡r ♦r r❛t✐♦♥❛❧ ❛r✐t❤♠❡t✐❝ ✭s♦♠❡ ❝❧❡✈❡r ♣❡♦♣❧❡ ❛r❡ st❛rt✐♥❣ t♦ ❞♦ ❡①❛❝t ❛r✐t❤♠❡t✐❝ ✇✐t❤ r♦♦ts❀ ❜✉t t❤❡♥ ✇❤❛t ❛❜♦✉t tr✐❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s❄✮✳ ❆r❜✐tr❛r②✲♣r❡❝✐s✐♦♥ r❛t✐♦♥❛❧ ❛r✐t❤♠❡t✐❝ ✐s s❧♦✇✳ Do the computations repeatably

❆❝❝✉r❛❝② ♣r♦❜❧❡♠s ❝❛♥ s♦♠❡t✐♠❡s ❜❡ ❛✈♦✐❞❡❞ ✐❢ ❣r❡❛t ❝❛r❡ ✐s t❛❦❡♥ ❛❧✇❛②s t♦ ❞♦ t❤❡ s❛♠❡ t❤✐♥❣s t♦ t❤❡ s❛♠❡ ❞❛t❛ ❛♥❞ ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ♦r❞❡r✳ ❚❤✉s✱ t✇♦ ♣♦✐♥ts t❤❛t ❛r❡ tr❛♥s❢♦r♠❡❞ ✉s✐♥❣ ❛♥ ✐❞❡♥t✐❝❛❧ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✢♦❛t✐♥❣✲♣♦✐♥t ♦♣❡r❛t✐♦♥s ✇✐❧❧ ❡♥❞ ✉♣ ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ♣❧❛❝❡✳ ❚❤❡ ♣♦✐♥ts✬ ♣♦s✐t✐♦♥s ♠❛② ❜❡ ❵✇r♦♥❣✬✱ ❜✉t ❛t ❧❡❛st t❤❡r❡ ✐s♥✬t✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ❛ ❣❛♣ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ t✇♦ ♣♦❧②❣♦♥s ♦❢ ✇❤✐❝❤ ❡❛❝❤ ♣♦✐♥t ✐s ❛ ✈❡rt❡①✳ ❆❞✈❛♥t❛❣❡✿ ❙♠❛❧❧ r✉♥✲t✐♠❡ ♦✈❡r❤❡❛❞✳ ❉✐s❛❞✈❛♥t❛❣❡✿ ❈❛♥✬t ❜❡ ✉s❡❞ ✐♥ t♦♦ ♠❛♥② s✐t✉❛t✐♦♥s✳ ❚r✐❝❦② t♦ ♣r♦❣r❛♠ ✭❛♥❞ t♦ ♣♦rt✖✇❛t❝❤ ❢♦r ❝♦♠♣✐❧❡r ♦♣t✐♠✐③❛✲ t✐♦♥s✮✳

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Allow for the inaccuracy in the computations

❚❤✐s ✐s ✇❤❡r❡ ✇❡ ❛❧❧ ❣❡t t♦ ✐♥ t❤❡ ❡♥❞✳ ❙♦♣❤✐st✐❝❛t❡❞ s❝❤❡♠❡s tr② t♦ tr❛❝❦ ✐♥❛❝❝✉r❛❝✐❡s ✉s✐♥❣ ✐♥t❡r✈❛❧ ❛r✐t❤♠❡t✐❝ ❛♥❞ s♦ ♦♥✳ ▼✉❝❤ ♠♦r❡ ❝♦♠♠♦♥ ✐s t❤❡ ✉s❡ ♦❢ ❵❢✉❞❣❡ ❢❛❝t♦rs✬ ✐✳❡✳ ❛❝❝✉r❛❝② ❝♦♥st❛♥ts t❤❛t ❛r❡ ❝♦♠♣❛r❡❞ ❛❣❛✐♥st r❡s✉❧ts✳ ❆❞✈❛♥t❛❣❡s✿ ❲✐❞❡❧② ✉s❛❜❧❡ ✭❛♥❞ ✇✐❞❡❧② ✉s❡❞✮✳ Pr♦❣r❛♠s ❝❛♥ ❜❡ ✐♠♣r♦✈❡❞ ❜② t✉♥✐♥❣ ❢✉❞❣❡ ❢❛❝t♦rs ❛❢t❡r ✐♠✲ ♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥✳ ❉✐s❛❞✈❛♥t❛❣❡s✿ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ ❢❛❝t♦rs ❛r❡ ♥♦t ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ s♦❧❡❧② ❜② ❛❧❧♦✇✐♥❣ ❛ ❣❡♥❡r♦✉s ❜♦✉♥❞ ♦♥ t❤❡ ✢♦❛t✐♥❣✲♣♦✐♥t ❛❝❝✉r❛❝②✳ ❚❤❡② ♠✉st ❜❡ ❝❤♦s❡♥ t♦ ♠❛t❝❤ t❤❡ ✇❡❧❧✲❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞✱ ♦r ✐❧❧✲❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞✱ ♥❛t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s✳ ❲♦rs❡✱ ❢❛❝t♦rs ♠✉st ♦❢t❡♥ ❤❛✈❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✐t②✱ ❛♥❞ ❛r❡ s✉s❝❡♣t✐❜❧❡ t♦ s❝❛❧❡ ❡✛❡❝t✳ ❉✐✣❝✉❧t t♦ ❣❡t ✇♦r❦✐♥❣✳ ❘❛r❡❧② ❢✉❧❧② ❡✛❡❝t✐✈❡ ✐♥ ♣r❛❝t✐❝❡✿ ✐♠♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❣✉❛r❛♥t❡❡✳ Fudge factors: a cautionary example

■t ✐s ♥♦t ❞✐✣❝✉❧t t♦ s❡❡ t❤❛t ✇❡ ♠❛② ♥❡❡❞ ♠♦r❡ t❤❛♥ ♦♥❡ ❢✉❞❣❡ ❢❛❝t♦r ✐♥ ❛ ♣r♦❣r❛♠✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✇❡ ♠✐❣❤t ✇❛♥t t♦ ❦♥♦✇ ✇❤❡♥ ♣♦✐♥ts ❛r❡ ♦♥ ♣❧❛♥❡s ❛♥❞ ✇❤❡♥ ✈❡❝t♦rs ❛r❡ ♣❡r♣❡♥❞✐❝✉❧❛r t♦ t❤❡♠✳ ■♥ t❤❡ ✜rst ❝❛s❡✱ t❤❡ ❧✐♥❡❛r s❝❛❧❡ ♦❢ t❤❡ ❞❛t❛ ✇✐t❤ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❛r❡ ✇♦r❦✐♥❣ ✐s ❝❧❡❛r❧② ✐♠♣♦rt❛♥t✿ r❡s❝❛❧❡ ❛❧❧ ♦✉r ❞✐♠❡♥s✐♦♥s ❢r♦♠ ♠❡tr❡s t♦ ♠✐❧❧✐♠❡tr❡s ❛♥❞ s♦♠❡ ♣r♦❣r❛♠s st♦♣ ✇♦r❦✐♥❣✳ ■♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❝❛s❡✱ ✇❡ ❝❛♥ ✜① ❛ ❛❝❝✉r❛❝② ❝♦♥st❛♥t ❢♦r s❝❛❧❛r ♣r♦❞✉❝ts t❤❛t ❞❡✜♥❡s ❛ s♠❛❧❧ ❛♥❣❧❡✱ ❛♥❞ ✇✐❧❧ ♥♦t ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ❝❤❛♥❣❡❞ ❢♦r ❜✐❣❣❡r ♦r s♠❛❧❧❡r ♦❜❥❡❝ts ✭❜✉t ♠❛②❜❡ ✇✐❧❧ ✐❢ t❤❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❝❤❛♥❣❡s✮✳ ❆♥♦t❤❡r ✇❛② ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❢✉❞❣❡ ❢❛❝t♦rs ♠❛② ♣r♦❧✐❢❡r❛t❡ ✐s t❤❛t ✇❡ s♦♠❡t✐♠❡s ♥❡❡❞ ❝♦❛rs❡r ❢❛❝t♦rs t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ ✇❤❛t ❡❧❡♠❡♥ts t❛❦❡ ♣❛rt ✐♥ ❛ s✉❜s❡q✉❡♥t ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥✱ t♦ ✇❤✐❝❤ ❛ ✜♥❡r ❢❛❝t♦r ❛♣♣❧✐❡s✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ s✉♣♣♦s✐♥❣ ✇❡ ❛r❡ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ t❤❡ ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ s♦♠❡ ♣♦❧②❤❡✲ ❞r❛ ❢r♦♠ t❤❡ ♣❧❛♥❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡✐r ❢❛❝❡s✱ ❛♥❞ t❤❡s❡ ♣♦❧②❤❡❞r❛ ❛r❡ ❦♥♦✇♥ t♦ s❤❛r❡ ❢❛❝❡s✳ ■❢ ♠♦r❡ t❤❛♥ t❤r❡❡ ♣❧❛♥❡s ♠❡❡t ❛t ❛ ✈❡rt❡①✱ t❤❡✐r ♠✉t✉❛❧ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ♣♦✐♥ts ❛r❡ ♠♦st ✉♥❧✐❦❡❧② t♦ ❝♦✐♥❝✐❞❡ ❡①✲ ❛❝t❧②✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ♦♥❧② ❛ ♥✐t✇✐t ✇❛♥ts t♦ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡ t❤❡ ❡❞❣❡s ♦❢ t❤❡

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●❡♦♠❡tr✐❝ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣

♣♦❧②❤❡❞r❛ ✇✐t❤ ❛ ❧♦t ♦❢ t✐♥② ❜♦❣✉s ❡❞❣❡s ❛r♦✉♥❞ t❤❡ ✐♥t❡♥❞❡❞ ✈❡r✲ t✐❝❡s✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡ t❤❡ ✈❡rt❡① ❵❡st✐♠❛t❡s✬ r❡s✉❧t✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡ t❤r❡❡✲♣❧❛♥❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s ♠✉st ❜❡ ❝♦❛❧❡s❝❡❞✳ ■❢ t❤❡ ♣❧❛♥❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ❤❛✈❡ ✢♦❛t✐♥❣✲♣♦✐♥t ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✭✐✳❡✳ ♥♦t❤✐♥❣ ❡①♦t✐❝✮ t❤❡ ♦♥❧② ✇❛② t♦ ❝♦♥tr♦❧ t❤❛t ❝♦❛❧❡s❝✐♥❣ ✐s ❜② ❛ ❢✉❞❣❡ ❢❛❝t♦r✱ s♣❡❝✐❢②✐♥❣ ❛ ❞✐st❛♥❝❡✳ ■❢ ❛ ❣r♦✉♣ ♦❢ ♣♦✐♥ts ✐s ❝❧♦s❡r t♦❣❡t❤❡r t❤❛♥ t❤❛t ❞✐st❛♥❝❡✱ ✐t ✐s r❡♣❧❛❝❡❞ ❜② t❤❡ ❝❡♥tr♦✐❞ ♦❢ t❤❡ ❣r♦✉♣✳ ❚♦ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ ❛ ❧❛r❣❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣♦✐♥ts ❡✣❝✐❡♥t❧②✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ♥❡❡❞ ❛ s♣❛t✐❛❧ str✉❝t✉r❡✳ ❙✉♣♣♦s❡ ✇❡ ❣♦ ❢♦r ❛♥ ♦❝t✲tr❡❡❀ ✇❤❛t ❤❛♣♣❡♥s t❤❡♥❄ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡ ♣❧❛♥ ✐s t♦ ❝r❡❛t❡ t❤❡ ♦❝t✲tr❡❡ ❛s t❤❡ ♣♦✐♥ts ❛r❡ ❣❡♥❡r❛t❡❞✱ ❛♥❞ t❤❡♥ t♦ ❝♦❛❧❡s❝❡ t❤❡ ❣r♦✉♣s ❢♦✉♥❞ ✐♥ ❡❛❝❤ ❵♦❝t✬✳ ❇✉t ✇❤❛t ❤❛♣♣❡♥s ✐❢ ❛ ❝❧♦✉❞ ♦❢ ♣♦✐♥ts s♣❛♥s t❤❡ ✇❛❧❧ ♦❢ ❛♥ ♦❝t❄ ❲❡ ✇✐❧❧ ❣❡t t✇♦ ✈❡r② ❝❧♦s❡ ✈❡rt✐❝❡s ❛♥❞ ❛ ❜✐❥♦✉ ❡❞❣❡❀ ❥✉st ✇❤❛t ✇❡ ❞✐❞♥✬t ✇❛♥t✳ ◆♦✇✱ ✇❤❡♥ ✇❡ ✈✐s✐t ❡❛❝❤ ♦❝t✱ ✇❡ ❝♦✉❧❞ ❛❧s♦ ❧♦♦❦ ❛t t❤❡ ♣♦✐♥ts ✐♥ ❛❞❥♦✐♥✐♥❣ ♦❝ts✳ ❇✉t ♥❡✐❣❤❜♦✉r✲✜♥❞✐♥❣ ✐♥ ❛♥ ♦❝t✲tr❡❡ ✐s r❛t❤❡r ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞✱ ❡s♣❡❝✐❛❧❧② ✐❢ ✐t ✐s st♦r❡❞ ✐♥ ❛ s♣❛❝❡✲❡✣❝✐❡♥t ♠❛♥♥❡r✳ ❋✉rt❤❡r✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❜❡ ❡①❛♠✐♥✐♥❣ ❛ ❣r❡❛t ❞❡❛❧ ♦❢ t❤❡ ❞❛t❛ ♥✐♥❡ t✐♠❡s ♦✈❡r✳ ❙♦✱ ✇❤❛t ❛❜♦✉t ♠❛❦✐♥❣ t❤❡ ♦❝ts ❥✉st ❛ ❧✐tt❧❡ ❜✐t ❜✐❣❣❡r ✇❤❡♥ ✇❡ s♦rt t❤❡ ♣♦✐♥ts ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡♠❄ ❚❤❛t ✇✐❧❧ ♠❛❦❡ s✉r❡ t❤❛t ✇❡✬✈❡ ❣♦t ❛❧❧ t❤❡ ♣♦✐♥ts ✇❡ ♥❡❡❞ ✐♥ ❡❛❝❤ ♦❝t✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ t❤❡♥ ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ♦♥❧② ♦♥❝❡✳ ◆♦✇✱ ✇❡ ♠✐❣❤t ✐♠❛❣✐♥❡ t❤❛t ✇❡ ❝♦✉❧❞ ❡①♣❛♥❞ ❡❛❝❤ ♦❝t ❜② t❤❡ s❛♠❡ ❢❛❝t♦r t❤❛t ✇❡✬r❡ ❣♦✐♥❣ t♦ ✉s❡ t♦ ❝♦❛❧❡s❝❡ t❤❡ ♣♦✐♥ts✳ ❇✉t ✐t✬s t♦♦ r✐s❦②❀ ✇❡ ♠✐❣❤t ❥✉st ❢❛✐❧ t♦ ✐♥❝❧✉❞❡ ❛ ♣♦✐♥t ✐♥ ❛ ❜♦① t❤❛t ✇♦✉❧❞ st✐❧❧ ❜❡ ❛❝❝❡♣t❛❜❧❡ ❢♦r t❤❡ ❝♦❛❧❡s❝✐♥❣ ♣r♦❝❡ss✿ ♠✉❝❤ ♠♦r❡ s❡♥s✐❜❧❡ t♦ ❞❡✜♥❡ ❛ ♠✉❝❤ ✇✐❞❡r ❢✉❞❣❡ ❢❛❝t♦r t♦ ❛❞❞ t♦ t❤❡ ❜♦①✱ ❛♥❞ ❜❡ s✉r❡ ✇❡ ❝❛t❝❤ ❡✈❡r②t❤✐♥❣ ♦❢ ✐♥t❡r❡st✳ ❖❢ ❝♦✉rs❡✱ ②♦✉✬❧❧ ❜❡ s❛②✐♥❣ t❤❛t t❤✐s ♠❡t❤♦❞ ✇♦♥✬t ✇♦r❦ ❛♥②✇❛②✱ ❜❡❝❛✉s❡ ❝♦❛❧❡s❝❡❞ ♣♦✐♥ts ♥❡❛r t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ ❛♥ ♦❝t ✇✐❧❧ ❛♣♣❡❛r ✐♥ ❜♦t❤ ♦❝ts❀ ✐♥ ❢❛❝t✱ ♥❡❛r ❛ ❝♦r♥❡r✱ ❝♦❛❧❡s❝❡❞ ♣♦✐♥ts ❝♦✉❧❞ ❛♣♣❡❛r ❡✐❣❤t t✐♠❡s✳ ❆♥❞ t♦ ❤✉♥t t❤❡♠ ❞♦✇♥✱ ②♦✉ s❛② ✇❡✬❞ ♥❡❡❞ t♦ ✜♥❞ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦✉rs✱ ✇❤✐❝❤ ✇❡ s✇♦r❡ ✇❡ ✇♦✉❧❞♥✬t ❞♦✳ ❲❤❛t ❛❜♦✉t t❤✐s s♦❧✉t✐♦♥❄ ❆ss✉♠❡ ❡❛❝❤ ♣♦✐♥t ✐s ♥✉♠❜❡r❡❞ ✭t❤✐s ♠❛② ❥✉st ❜❡ ❛♥ ❛rr❛② ✐♥❞❡①✮✳ ❯s✐♥❣ t❤✐s ♥✉♠❜❡r✐♥❣✱ ❡♥s✉r❡ t❤❛t t❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝❡♥tr❡ ♦❢ ❣r❛✈✐t② ♦❢ ❛ ❣r♦✉♣ ♦❢ ♣♦✐♥ts ✐s ❞♦♥❡ ✐♥ ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ❢❛s❤✐♦♥✳ ❚❤❡ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❛t ❝❡♥tr♦✐❞ ✇✐t❤ ❡❛❝❤ ✭❡①❛❝t✱ ♥♦ ❢✉❞❣❡ ❢❛❝t♦r✮ ✇❛❧❧ ♦❢ ❛♥ ♦❝t ✐s ❡❛s② t♦ ❞♦ ❝♦♥s✐st❡♥t❧②✱ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ♦❝ts ❛r❡ ❛①✐❛❧❧② ❛❧✐❣♥❡❞✱ ❛♥❞ ♦♥❧② ❛ s✉❜tr❛❝t✐♦♥ ✐s r❡q✉✐r❡❞✳ ❯s✐♥❣

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Using storage effectively ❲❤✐❧❡ ♦♣❡r❛t✐♥❣ s②st❡♠s ♠✐r❛❝✉❧♦✉s❧② ❡①♣❛♥❞ t♦ ✜❧❧ ❛♥② ❛♥❞ ❛❧❧ ❞✐s❦s ❛✈❛✐❧❛❜❧❡✱ s❝✐❡♥t✐✜❝ ❛❧❣♦r✐t❤♠s s❡❡♠ t♦ r❡♠❛✐♥ ❥✉st t❤❡ s❛♠❡ s✐③❡✳ ❚❤❛t ✐s t♦ s❛②✱ ❜♦♦❦s ❛❜♦✉t ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣ ❛♥❞ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❛r❡♥✬t t❡♥ t✐♠❡s t❤✐❝❦❡r t❤❛♥ t❤❡② ✇❡r❡ ✐♥ ✶✾✽✵✱ ❛♥❞ ❝❡rt❛✐♥❧② ♥♦t ✶✵✵ t✐♠❡s t❤✐❝❦❡r t❤❛♥ t❤❡② ✇❡r❡ ✐♥ ✶✾✼✵✱ ❛❧t❤♦✉❣❤ t❤❡r❡ ♠❛② ❜❡ ♠♦r❡ ❜♦♦❦s ♦✉t t❤❡r❡✳ P✉t ✐t ❛♥♦t❤❡r ✇❛②✳ P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❛♥❞ ♠❡♠♦r② ❝❛♣❛❝✐t② ♦❢ ❵❛✈✲ ❡r❛❣❡✬ ❝♦♠♣✉t❡rs ❤❛s ✐♥❝r❡❛s❡❞ ✐♥ r❡♠❛r❦❛❜❧❡ s②♥❝❤r♦♥✐③❛t✐♦♥ ♦✈❡r t❤❡ ❧❛st t✇❡♥t② ②❡❛rs✳ ■❢ ②♦✉ ✉s❡ t❤❡ s❛♠❡ ❝♦❞❡ ❛s ②♦✉ ❞✐❞ t✇❡♥t② ②❡❛rs ❛❣♦ ✐t ✇✐❧❧ r✉♥ ❢❛st❡r✱ ❛♥❞ ②♦✉ ❝❛♥ ❤❛✈❡ ♠♦r❡ ❞❛t❛✱ ❜✉t ②♦✉r ❛❧❣♦r✐t❤♠s ♠❛② ♥♦t ❜❡ ❛s ❡✣❝✐❡♥t ❛s t❤❡② ❝♦✉❧❞ ❜❡ ✇❡r❡ t❤❡② ♠♦r❡ ❝♦♠♣❛❝t✳ ❚❤✐s ✐s ♥♦t ❛ ♣❧❡❛ ❢♦r s❧♦♣♣② ❝♦❞❡ ✭ ♦s ✇r✐t❡rs ♣❧❡❛s❡ ♥♦t❡✮✱ ❜✉t ✐t ✐s ❛ s✉❣❣❡st✐♦♥ t❤❛t ♠♦r❡ ❡✣❝✐❡♥t ❛♥❞ ❡✈❡♥ s✐♠♣❧❡r ❝♦❞❡ ❝❛♥ r❡s✉❧t ❢r♦♠ ❛♥ ✐♠❛❣✐♥❛t✐✈❡ ✉s❡ ♦❢ s♣❛❝❡✳ ❲❡ s✉❣❣❡st t✇♦ ❛r❡❛s ✇❤✐❝❤ str♦♥❣❧② r❡❧❛t❡ t♦ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❝♦❞❡✳ Expanding loops and recursive calls

●❡♦♠❡tr✐❝ ❝♦❞❡ ✐s ♥♦t♦r✐♦✉s ❢♦r ❤❛✈✐♥❣ t✐❣❤t ❧♦♦♣s ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ s❛♠❡ ❝♦❞❡ ✐s ❡①❡❝✉t❡❞ ♠❛♥② t✐♠❡s✳ ❏✉st ♣✉tt✐♥❣ ♠♦r❡ ❝♦❞❡ ✐♥t♦ ❧♦♦♣s ✐s ♥♦t ♦❢ ❝♦✉rs❡ ❛ ❣♦♦❞ ✐❞❡❛✱ ❜✉t t❤❡r❡ ❛r❡ ❝❛s❡s ✇❤❡r❡ ❧♦♦♣s ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣❛♥❞❡❞ t♦ ❣♦♦❞ ❡✛❡❝t✳ ❆ s✐♠♣❧❡ ❡①❛♠♣❧❡ ✐s s♦♠❡ ❝♦❞❡ t♦ ❡✈❛❧✉❛t❡ ❛ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✐♥ t❤❡ ❍♦r♥❡r s❝❤❡♠❡✳ ❲❡ ❝♦✉❧❞ ❤❛✈❡ t✇♦ ❧♦♦♣s ❤❡r❡✿ ♦♥❡ ❢♦r t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✭ ❛✮ ❛♥❞ ♦♥❡ ❢♦r t❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s

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●❡♦♠❡tr✐❝ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣

♦❢ t❤❡ r❡s✉❧t ✭ q✮✳ ❍❡r❡ ✐s ❛♥ ❡①❡❝r❛❜❧❡ ❡①❛♠♣❧❡✿ ❢♦r✭❞✐♠ ❂ ✵❀ ❞✐♠ ❁ ♥❴❞✐♠❀ ❞✐♠✰✰✮ ④ q❬❞✐♠❪ ❂ ❛❬♥❴❝♦❡❢❢✱❞✐♠❪❀ ❢♦r ✭❝♦❡❢❢ ❂ ♥❴❝♦❡❢❢✲✷❀ ❝♦❡❢❢ ❃❂ ✵❀ ❝♦❡❢❢✲✲✮ q❬❞✐♠❪ ❂ t✯q❬❞✐♠❪ ✰ ❛❬❝♦❡❢❢✱❞✐♠❪❀ ⑥

❲❡❧❧ t❤❛t✬s q✉✐t❡ ♥❛st②✳ ❇✉t ♥♦t❡✿ ❚❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐s ❜❛s✐❝❛❧❧② ❛♥ ❡✣❝✐❡♥t ♦♥❡✳ ❚❤❡ ❝♦❞❡ ✐s t②♣♦❣r❛♣❤✐❝❛❧❧② ❝♦♠♣❛❝t✳ ■t ✐s ❛❝❛❞❡♠✐❝❛❧❧② ✐♠♣r❡ss✐✈❡✱ t♦ t❤❡ ❡①t❡♥t t❤❛t ✐t ♣❡r♠✐ts ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❛♥❞ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞✐♠❡♥✲ s✐♦♥s✱ ✉s❡❧❡ss ❛s ❜♦t❤ ♦❢ t❤❡s❡ ✇✐❧❧ ♦❢t❡♥ ❜❡✳ ❙✐♠✐❧❛r t❤✐♥❣s ❤❛♣♣❡♥ ✇✐t❤ r❡❝✉rs✐♦♥✳ ❆❣❛✐♥✱ t❤✐s ♠❛❦❡s ❡❧❡❣❛♥t ❝♦❞❡✱ ❜✉t t❤❡r❡ ♠❛② ❜❡ ❛♥ ♦✈❡r❤❡❛❞ ✐♠♣♦s❡❞ ❜② t❤❡ r❡❝✉rs✐♦♥ ✐t✲ s❡❧❢✱ ❛♥❞ t❤❡ r❡❝✉rs✐♦♥ ♠❛② ❢❛✐❧ t♦ ♣❡r♠✐t ✉s t♦ t❛❦❡ ♦❜✈✐♦✉s s❤♦rt ❝✉ts✳ ❆s ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡✱ ✇❡ ♦✛❡r t❤r❡❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠s t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ ❇✲s♣❧✐♥❡ ❝✉r✈❡s✿ ❚❤❡ r❡❝✉rs✐✈❡ ❞❡ ❈❛st❡❧❥❛✉ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥✿ ❛♥ O(n2 ) ❛❧❣♦r✐t❤♠✱ ❜✉t ✇♦♥❞❡r❢✉❧❧② ❡❧❡❣❛♥t✳ ❚❤❡ ❍♦r♥❡r s❝❤❡♠❡✱ r♦✉❣❤❧② ❛s ❣✐✈❡♥ ❜② ❋❛r✐♥ ✐♥ ❤✐s ❜♦♦❦✳ ❖✉r ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❍♦r♥❡r ✇✐t❤ t❤❡ ❧♦♦♣ ❡①♣❛♥❞❡❞ ✭❢♦r ❝✉❜✐❝s ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡✮✳ ❍❡r❡✬s t❤❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❞❡ ❈❛st❡❧❥❛✉ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ✐♥ ♣r♦❧♦❣✳ ❚❤✐s ✈❡rs✐♦♥ ✇♦r❦s ❢♦r ❛ s✐♥❣❧❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ♦♥❧②✱ ❛♥❞ t❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ✈❛❧✉❡s st❛rt ♦✛ ✐♥ ❞❛t❛ ♣r❡❞✐❝❛t❡s✳ ❚❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥ ❢♦❧❧♦✇s t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ ✐♥ ❈❤❛♣t❡r ✹✳ ❞❡❝❛st✭✶✱✵✱✯✱❳✶✮✳ ❞❡❝❛st✭✶✱✶✱✯✱❳✷✮✳ ✳✳✳ ❆♥❞ s♦ ♦♥✳ ◆♦✇ s♦♠❡ ❛❝t✐♦♥✳

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References and Bibliography

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Books and papers ❏✳❍✳ ❆❤❧❜❡r❣✱ ❊✳◆✳ ◆✐❧s♦♥ ❛♥❞ ❆✳❏✳ ❙t❡✐♥✱ ❚❤❡ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❙♣❧✐♥❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❆❝❛❞❡♠✐❝ Pr❡ss✱ ✶✾✻✼✳

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❖♥❡ ♦❢ ▼❝●r❛✇✲❍✐❧❧✬s ❙❝❤❛✉♠ ❖✉t❧✐♥❡ t❡①ts✱ ✐♥t❡♥❞❡❞ ❢♦r t❤❡ st✉❞❡♥t ♣♦❝❦❡t✳ ●♦♦❞ ✈❛❧✉❡✱ ❛♥❞ ❝♦✈❡rs t❤❡ ❜❛s✐❝s✳ ❚✳❋✳ ❇❛♥❝❤♦✛✱ ❇❡②♦♥❞ t❤❡ ❚❤✐r❞ ❉✐♠❡♥s✐♦♥ ✱ ❋r❡❡♠❛♥✱ ✶✾✾✵✳

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