Introduccion ala ingenieria enfoque de resolucion de problemas 3

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Introducción a la ingeniería enfoque de resolución de problemas

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Introducción a la ingeniería enfoque de resolución de problemas Tercera edición

K ir k D . H a g e n W e b e r State U n ive rsity

Traducción JAIM E ESPINOSA LIMÓN In g e n ie ro m e c á n ic o . P e rito tra d u c to r

Revisión técnica JO R G E DEL CORRAL LANDEROS U n iv e r s id a d d e l V a lle d e M é x ic o

Prentice H a ll M éxico • A rg e n tin a • Brasil • C olom bia • C o sta Rica • C hile • Ecuador E spaña • G u a te m a la • P an am á • Perú • P u erto Rico • U ru g u a y • V enezuela

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/

Dalos de catalogación bibliográfica

HAGEN, K IR K I). Introducción a la ingeniería enfoque de resolución de problemas. Tercera edición PEARSON EDUCACIÓN. México. 2009 ISBN: 978-607-442-223-8 .Arca: Ingeniería Formato: 20 x 25.5 cm

Páginas: 376

A uthorized tran slatio n from th e English language edition, entitled Introduction to engineering analysis 3th edition, by K irk H agen published by P earso n E d ucation. Inc.,publishing a s P R E N T IC E H A L L . IN C .. C opyright © 2009. A ll rights reserved. IS B N 9780136017721 Traducción au torizada de la edición en idiom a inglés, Introduction to engineering analysis 3a edición p o r K irk H agen, publicada por P earson E d ucation. Inc.. publicada com o P R E N T IC E H A L L IN C ..C opyright © 2009.T odos los derechos reservados. E sta edición e n esp añ o l e s la única autorizada. E d ición e n español E ditor:

Luis M iguel C ruz Castillo e-m ail: luis.cruzts’pearsoned.com E d ito r d e desarrollo: C laudia C elia M artínez Am igon Supervisor d e producción: E n riq u eT rejo H ernández T ER C E R /A E D IC IÓ N V E R S IÓ N IM P R E S A . 2009 T E R C E R A E D IC IÓ N E -B O O K . 2009 D.R. © 2009 por P earson E ducación de M éxico. S.A. de C.V. A tlacom ulco 500-5o. piso C ol. Industrial A to to 53519. N aucalpan de Juárez. E stado d e México C ám ara N acional de la Industria E ditorial M exicana. Reg. núm . 1031. P rentice H all e s u na m arca registrada d e P earson E ducación de M éxico. S.A . d e C.V. R eservados to d o s los derechos. Ni la to taü d ad ni p a rte d e esta publicación p ueden reproducirse, registrarse o transm itirse, p o r un sistem a de recuperación d e in fo rm ació n .en ninguna form a n i p o r ningún m edio, sea electrónico, m ecánico, fotoquím ico. m agnético o electroóptico. por fotocopia, g rabación o cu alq u ier otro, sin perm iso previo p o r escrito d el editor. E l préstam o, alquiler o cu alq u ier o tra form a d e cesión de uso d e este ejem p lar re q u erirá tam bién la autorizació n d el ed ito r o d e sus representantes. P R IM E R A IM P R E S IÓ N Im preso e n México. P rin te d in M exico. 12 3 4 5 6 7 8 9 0 - 13 12 11 10

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PEA R S O N w w w .p e a r s o n e d u c a c io n .n e t

IS B N V E R S IÓ N IM P R E S A IS B N E -B O O K

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978 -607 - 442 - 2 2 3 -8

Contenido

1 • LA FUNCIÓN D EL A N Á LIS IS EN IN G E N IE R IA 1.1 Introducción

1

1.2 A n á lisis y diseño en ingeniería

3

1.3 El a n á lisis y la fa lla en ingeniería Térm inos cla v e Referen cias Problem as

2

•

12

12 13

2.1 Introducción

15

2 .2 D im ensiones

16

2 .3 U nidades

24

2 .5 U nidades inglesas 2 .6 M asa y peso

31

34

2.7 Conversión de unidades Térm inos cla v e Problem as

•

15

20

2 .4 U nid ades si

3

8

D IM E N S IO N E S Y UNIDADES

Referen cias

1

40

45

45 45

50

M ETO D O LO G IA DE A N Á LIS IS 3.1 Introducción

50

3 .2 C álculos num éricos

51

3 .3 Procedim iento general de a n á lisis

59

3 .4 La com putadora como herram ienta de a n á lisis

76

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vi

Contenido

Térm inos clave R eferencias Problem as

85

85 85

4 • M EC Á N IC A

89

4.1 Introducción

89

4 .2 Escalares y vecto res 4 .3 Fuerzas

91

101

4 .4 D iagram as de cuerpo libre 4 .5 Equilibrio

114

4 .6 Esfuerzo y deform ación 4 .7 Esfuerzo de diseño Térm inos clave Referencias Problem as

108

121

129

133

133 133

5 • CIRCU ITO S ELÉC TR IC O S 5.1 Introducción

142

142

5.2 C arga y corriente eléctrica 5.3 Voltaje

151

5 .4 R esisten cia

154

5.5 L e y d e O h m

159

5 .6 C ircuitos de CD sim p les 5 .7 Leyes de K irch hoff Térm inos clave Referencias Problem as

146

162

168

174

174 174

6 • TER M O D IN Á M IC A 6.1 Introducción

181

181

6 .2 Presión y tem peratura 6 .3 Form as de en erg ía 6 .4 Trabajo y calo r

182

189

194

6 .5 Prim era le y de la term odinám ica

6.6 M áqu inas térm icas

209

6 .7 Segunda ley de la term odinám ica Térm inos clave Referencias Problem as

203 212

217

217 217

7 • M EC Á N IC A DE FLUIDO S 7.1 Introducción

223

223

7.2 Propiedades de los fluidos

226

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Contenido

7.3 E stá tica de los fluidos 7.4 Flujo s

235

239

7.5 Conservación de la m asa Térm inos cla v e Referen cias Problem as

8

•

242

249

249 249

A N Á L IS IS DE DATOS: G RAFICACIÓ N 8.1 Introducción

253

8 .2 Recolección y registro de datos

255

8 .3 Procedim iento general de graficación 8 .4 A ju ste de curvas Térm inos cla v e Problem as

9

•

263

279

8 .5 Interpolación y extrapo lación Referen cias

253

292

296

296 296

A N Á L IS IS DE DATOS: ESTA D ISTIC A 9.1 Introducción

305

305

9 .2 C lasifica ció n de datos y distribución de frecuencias 9 .3 M edidas de tendencia central 9 .4 M ed idas de variació n 9 .5 Distribución norm al Térm inos cla v e R eferen cias Problem as

A P É N D IC E A

307

310

315 317

325

325 325

•

FÓ RM U LA S M A TEM Á TIC A S

A.1 Álgebra

331

A .2 G eom etría

332

A .3 Trigonom etría A .4 Cálculo

331

334

335

A P É N D IC E B • CO N VERSIÓ N DE U N ID AD ES

337

A P É N D IC E C • PR O PIED A D ES FIS IC A S DE LOS M A TER IA LES

340

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v ¡¡

v iii

Contenido

a p é n d ic e D • A r e a s b a jo l a c u r v a n o r m a l , d e o a

z

343

A P É N D IC E E • A LFA BETO G RIEG O

345

A P É N D IC E F • R ESPU ESTA S A PR O B LEM A S SELEC CIO N A D O S

346

In d i c e

353

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Introducción a la ingeniería enfoque de resolución de problemas

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La función del análisis en ingeniería O bjetivos D esp ués d e le e r este c a p ítu lo usted a p re n d e rá : •

Q u é e s el a n á lis is en

1.1 INTRODUCCIÓN ¿ Q u é es el análisis? U n a d e fin ic ió n d e d ic c io n a rio in d ic a ría lo sig uiente: S e p a r a c ió n d e lo s c o m p o n e n t e s d e un to d o , o e x a m e n d e los e l e ­ m e n to s d e u n s iste m a c o m p le jo y s u s relaciones.

in g e n ie ría . •

Q u e el a n á lis is es un co m p o n en te im p o rta n te de los estudios en la m ate ria .

•

C ó m o se u tiliz a el a n á lis is en el d ise ñ o en in g e n ie ría .

•

C o n b a se e n e s ta d e fin ic ió n g e n e r a l,e l análisis p u e d e referirse a c u a lq u ie r c o sa , d e s d e al e s tu d io d e l e s ta d o m e n ta l d e u n a p e r s o n a (p sic o an á lisis), h a s ta a la d e te r m in a c ió n d e la c a n ti d a d d e e l e m e n t o s e n u n a a le a c ió n m etá lica d e s c o n o c id a (a n á lisis e le m e n ta l) . Sin e m b a r g o , el análisis e n in g en iería tie n e un significado específico. U n a definición concisa d e trab ajo indica q u e es:

C ó m o el a n á lis is a y u d a a los in g e n ie ro s a p re v e n ir y d ia g n o s tic a r fa lla s .

L a s o lu c ió n a n alítica d e u n p r o b le m a d e in g e n ie ría u tiliz a n d o las m a te m á tic a s y los p rin c ip io s científicos. A sí, e l análisis e n in g e n ie ría s e b a sa f u n d a m e n ta l m e n te e n las m a te m á ti­ c as básicas, c o m o á lg e b r a , tr ig o n o m e tr ía , c á lc u lo y e s ta d ís tic a .T a m b ié n p u e d e r e c u r r ir a la s m a te m á ti c a s a v a n z a d a s , c o m o á l g e b r a lin e a l, e c u a c io n e s d ife re n ­ ciales y v a r ia b le s c o m p le ja s. L o s p rin c ip io s y le y e s d e las c iencias tísicas, e n p a r tic u la r la física y la q u ím ic a , ta m b ié n so n in g r e d ie n te s clav e d el análisis. E n e s te s e n tid o , m á s q u e b u s c a r u n a e c u a c ió n q u e se a d a p t e a u n p r o ­ b le m a , e l a n álisis e n in g e n ie ría im p lic a c o n e c ta r lo s n ú m e r o s e n u n a e c u a c ió n y “ d a r le v u e lta a la p a la n c a " p a r a g e n e r a r u n a re s p u e s ta . E s de cir, n o e s u n sim p le p r o c e d im ie n to d e “p lu g a n d c h u g " (s u m e rg irs e e n la m a n ip u la c ió n d e fó r m u la s sin t r a t a r d e c o m p r e n d e r e l p r o b le m a ) , sin o q u e e l a n álisis r e q u ie re u n p e n s a m ie n to lógico y s is te m á tic o a c e r c a d e l p r o b le m a . E l in g e n ie ro p r im e r o tie n e q u e d e fin ir é s te d e m a n e r a c lara, lógica y c o n cisa . A sí q u e d e b e e n t e n d e r el c o m p o r ta m ie n to físico d e l s iste m a q u e e s tá a n a li z a n d o e id e n ti­ ficar q u é p rin c ip io s científicos a p lic a r, re c o n o c ie n d o c u á le s h e rra m ie n ta s m a te m á tic a s d e b e u tiliz a r y c ó m o a p lic arlas, a m a n o o e n c o m p u ta d o r a . E n

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2

Capítu lo 1

La función d el a n álisis en ingeniería

c o n s e c u e n c ia , d e b e s e r c a p a z d e g e n e r a r u n a s o lu c ió n c o n sis te n te c o n el p r o b le m a d e fin id o y c u a lq u i e r s u p u e s to q u e lo sim p lifiq u e , y d e s p u é s c o n f ir m a r q u e la s o lu c ió n es r a z o n a b le y n o c o n tie n e erro res. S e p u e d e c o n s id e r a r e l a n álisis e n in g e n ie ría c o m o u n t i p o d e m o d e la d o o s im u ­ la ció n . P o r e je m p lo , s u p o n g a q u e u n in g e n ie ro civil d e s e a c o n o c e r el e s f u e rz o d e te n sió n q u e d e b e s o p o r t a r el c a b le d e u n p u e n t e s u s p e n d id o q u e s e está d is e ñ a n d o . E l p u e n t e sólo e x iste e n el p a p el, p o r lo q u e e l e s f u e r z o n o se p u e d e m e d ir e n fo r m a d ire c ta . E n c o n s e ­ c u e n c ia , p o d r ía c o n s tr u ir u n m o d e lo a e sc a la d el p u e n te y t o m a r la m e d id a d e l e s f u e r z o a tr a v é s d e l m o d e lo , p e r o é s te e s c o sto s o y to m a m u c h o tie m p o c o n stru irlo . U n a m e jo r a p r o x im a c i ó n e s c r e a r u n m o d e lo a n a lític o d e l p u e n te , o d e u n a p o r c ió n d e é s te q u e inc lu y a e l c ab le . A p a rtir d e e s te m o d e lo se p u e d e c a lc u la r el e s f u e rz o d e te n sió n . Los cursos d e ingeniería q u e se co n ce n tra n e n el análisis, co m o la estática, dinámica, m ecánica de materiales, term od inám ica y circuitos eléctricos se con sid eran fu n d a m en ta les en e l plan de estudios d e la m ateria. Y a q u e usted to m a rá m uchos de estos cursos, es vital que a d q u ie ra un conocim iento básico de q u é es el análisis y, lo más im p ortante, cóm o realizarlo c o n p rop iedad. C o m o se ilustra e n el ejem plo d el pu ente, el análisis es p a rte integral del diseño e n ingeniería y c o m p o n e n te clave d el estudio d e las fallas. A q u ie n e s re a liz a n a n álisis d e in g e n ie ría d e m a n e r a re g u la r se les c o n o c e c o m o ana lista s d e in g en iería , o in g e n ie ro s d e aná lisis. E s to s títu lo s se u tiliz a n p a r a d if e r e n c ia r el a n á lis is d e o tr a s fu n c io n e s d e la in g e n ie ría , c o m o la in v estig ació n y e l d e s a r r o l lo (R & D . p o r su s siglas e n ing lés), el d is e ñ o , p r u e b a , p ro d u c c ió n , v e n ta s y m e rc a d e o . E n a lg u n as c o m p a ñ í a s d el r a m o se e s ta b le c e n c la r a s d is tin c io n e s e n t r e las d iv e rs a s fu n c io n e s d e la in g e n ie ría y la g e n te q u e tr a b a ja e n ellas. D e p e n d i e n d o d e la e s tr u c tu r a o rg a n iz a c io n a l y e l tip o d e p r o d u c to s q u e m a n e j e n , las g r a n d e s e m p r e s a s p u e d e n c r e a r u n d e p a r t a m e n t o in d e p e n d ie n te , o a sig n a r la fu n c ió n d e a n a lis ta s a u n g r u p o d e in g en iero s. A los in g en iero s d e d ic a d o s al a n álisis se les c o n s id e ra especialistas. C o n e s t a c a p a c id a d , p o r lo g e n e r a l s u e ­ le n t r a b a j a r c o m o a p o y o p a ra el d is e ñ o e n in g en iería. A sí, n o e s p o c o c o m ú n q u e se c o m ­ b in e n las fu n c io n e s d e d iseñ o y análisis e n u n so lo d e p a r ta m e n to , y a q u e e s tá n rela cio n a d a s e s tr e c h a m e n te . E n las p e q u e ñ a s firm as q u e e m p le a n a u n o s c u a n to s in g e n ie ro s, c o n fr e ­ c u e n c ia é s to s a s u m e n la re s p o n s a b ilid a d d e m u c h a s fu n c io n e s técnicas, in c lu y e n d o el análisis.

Éxito

profesional

E lección d e u n a especialidad en ingeniería Q u iz á la p r e g u n ta m á s im p o r t a n t e q u e e n f r e n t a el n u e v o e s tu d i a n te d e in g en iería ( a d e m á s d e la clásica d e “ ¿ c u á n to d in e r o g a n a r é d e s p u é s d e g r a d u a r m e ? " ) es: “ ¿ e n q u é c a m p o d e la in g e n ie ría d e b o e s p e c ia liz a rm e ? ” E s t a d iscip lin a p ro fe ­ s io n a l a b a r c a u n á r e a m u y a m p lia , p o r lo q u e el e s tu d i a n te q u e inicia tie n e n u m e ro s a s o p c io n e s y d e b e e s t a r c o n sc ie n te d e a lg u n o s d e lo s s ig u ie n te s hechos. P r im e ro , to d a s las e s p e c ia lid a d e s d e la m a te r ia tie n e n e l p o te n c ia l d e p r e p a r a r lo p a ra u n a s a tisfa c to ria y g ra tific a n te c a r re r a . C o m o p ro f e s ió n , la in g e n ie ría ha g o z a d o h is tó ric a m e n te d e u n m e r c a d o m u y e s ta b le y b ie n p a g a d o . E n las d é c a d a s re c ie n te s h a h a b id o flu c tu a c io n e s e n e l m e rc a d o , p e ro la d e m a n d a d e in g e n ie ro s e n to d a s las d iscip lin as im p o r ta n te s e s e le v a d a y el fu tu ro lu ce b rilla n te p a ra ellos. S e g u n d o , to d a s las e s p e c ia lid a d e s d e in g e n ie ría s o n a c a d é m ic a m e n te d e s a ­ fiantes, p e ro a lg u n a s p u e d e n s e rlo m á s q u e o tras. A n a lic e las d ife re n c ia s e n tr e los d iv e rs o s p r o g r a m a s d e in g en iería. C o m p a r e los re q u is ito s q u e e x ig e c a d a uno d e e llo s e x a m i n a n d o la lista d e c u rs o s e n su e sc u e la o e n el c a tá lo g o d e la u n iv e r­ sid ad . P r e g u n te a los e n c a r g a d o s d e los d e p a r ta m e n to s cu ále s so n las sim ilitudes y

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Sección 1 .2

A n á lisis y diseño en ing en iería

d ife re n c ias e n tr e su s p ro g ra m a s d e in geniería y lo s d e o tr o s d e p a r ta m e n to s . (Tenga e n c u e n ta q u e es p o sib le q u e los p ro fe s o re s e s té n d e se o s o s d e d e c irle q u e su disci­ p lina es la m e jo r.) H a b le c o n los p ro fe s io n a le s q u e la p ra c tic a n e n su s d iv ersas e s p e c ia lid a d e s y p re g ú n te le s a c e rc a d e su s e x p e rie n c ia s ed ucativ as. A p r e n d a to d o lo q u e p u e d a , d e to d a s las fu e n te s q u e p u e d a , s o b r e las d ife re n te s r a m a s d e la p r o ­ fesión. T e rc e ro , y éste e s e l p u n to m á s im p o r ta n te , t r a t e d e r e s p o n d e r la sig uiente p re g u n ta : “ ¿ Q u é tip o d e in g en iería s e r á la m ás gra tifica n te p a ra m í? ” N o tiene s e n tid o d e d ic a r c u a tr o o m á s a ñ o s d e in te n s o e s tu d io a la e sp e c ia lid a d X sólo p o r q u e es la m e jo r p a g a d a , p o r q u e s u tío V in n y es u n in g e n ie ro X , p o r q u e la in g e ­ n ie ría X es el p r o g r a m a m á s fácil d e s u e s c u e la , o p o r q u e alg u ie n le d ijo q u e e s u n in g e n ie ro X . y u s te d ta m b ié n d e b e r ía serlo. E n g e n e r a l, las in g e n ie ría s se p u e d e n clasificar e n g e n é ric a s o e sp e c ia li­ zadas. L a s g e n é ric a s s o n m u y a m p lia s y c o n s titu y e n c a r r e r a s tra d ic io n a le s q u e h a n e x is tid o p o r d é c a d a s ( o in clu so p o r siglos) y q u e se o f r e c e n e n la m a y o ría d e las g r a n d e s esc u e las y un iversid ades. M u c h a s in stitu c io n e s n o o f r e c e n títu lo s d e in g e n ie ría e n a lg u n as e sp e c ia lid a d e s. S e c o n s id e ra q u e la in g e n ie ría q u ím ic a , civil, d e c o m p u ta c ió n , e lé c tric a y m e c á n ic a s o n las r a m a s g e n é r ic a s fu n d a m e n ta le s . É s ta s i n c o r p o r a n a m p lio s c o n te n id o s te m á tic o s y r e p r e s e n t a n a la m a y o ría d e los in g e n ie ro s p ra c tic a n te s. L a s d iscip lin as esp e c ializa d a s, p o r su p a r te .s e c o n c e n tr a n e n u n t e m a p a rtic u la r d e la in g e n ie ría , c o m b in a n d o c o m p o n e n t e s e sp e c ífic o s de las c a r r e r a s g e n érica s. P o r e je m p lo , la in g e n ie ría b io m é d ic a p u e d e fu s io n a r a s p e c ­ to s d e la in g e n ie ría e léc trica y m e c á n ic a c o n e le m e n to s d e la b io lo g ía . L o s in g e ­ n ie r o s e n c o n s tru c c ió n p u e d e n c o m b in a r e l e m e n t o s d e la in g e n ie ría civil y de n eg ocio s, o c o n v e n io s d e c o n stru c c ió n . O tr a s e s p e c ia lid a d e s in c lu y e n in g en iería d e m a te ria le s , a e r o n á u tic a y e sp a c ia l, a m b ie n ta l, n u c lea r, e n c e rá m ic a , g e o ló g i­ c a , d e m a n u f a c t u r a , a u t o m o t r i z , m e ta lú rg ic a , d e la c o rro s ió n , o c e á n ic a y d e co sto s y s e g u rid a d . ¿ S e g r a d u a r á e n u n á r e a g e n é ric a o e n u n a e sp e c ia lid a d ? L o m ás seg u ro , e n p a r tic u la r si e s tá in d e ciso a c e rc a d e q u é discip lina e s t u d i a r e s g r a d u a r s e e n una g e n érica . A l h a ce rlo , recibirá u n a e d u c a c ió n g e n e ra l d e in g e n ie ría q u e le p e rm itirá in g re s a r al m e r c a d o d e u n a a m p lia ind ustria. P o r o t r o lado, g ra d u a rs e e n u n a e s p e ­ c ia lid a d p u e d e llevarlo a u n a c a r r e r a e x tr e m a d a m e n te satisfa c to ria , e n p a rtic u la r si su á r e a d e c o n o cim ien to s, ta n específica c o m o p u e d a serlo , tie n e g r a n d e m a n d a . Q u iz á s u de cisió n la d e te r m in e e n g ra n m e d id a p o r c u e s tio n e s geográficas. E s p o sib le q u e las c a r r e r a s e sp e c ializa d a s n o se o fr e z c a n e n la e sc u e la a la q u e d e se a asistir. É s ta s s o n c u e s tio n e s im p o r ta n te s a c o n s id e r a r c u a n d o se se le c c io n a un ra m o d e la ingeniería.

1.2 A N Á LISIS Y D ISEÑ O EN IN G EN IER IA E l d is e ñ o e s el c o ra z ó n d e la in g e n ie ría . D e s d e la a n tig ü e d a d , el h o m b r e h a r e c o n o c id o la n e c e s id a d d e p r o te g e rs e d e los e le m e n to s n a tu ra le s , d e r e c o le c ta r y u tiliz a r el ag u a, e n c o n t r a r y c u ltiv a r a lim e n to s, tr a n s p o r ta r s e y d e f e n d e r s e d e la h o s tilid a d d e alg u n o s s e m e ja n te s. H oy, a u n q u e el m u n d o e s m u c h o m á s a v a n z a d o y c o m p le jo q u e e l d e n u e s tr o s a n c e s tro s , n u e s tr a s n e c e s id a d e s b ásicas s o n f u n d a m e n ta l m e n te las m ism as. A tr a v é s d e la h isto ria , los in g e n ie ro s h a n d is e ñ a d o d iv e rs o s d isp o sitiv o s y siste m a s p a ra s a tisfa c e r las

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4

Capítu lo 1

La función d el a n álisis en ingeniería

c a m b i a n te s n e c e s id a d e s d e la s o cie d a d . L a s ig u ie n te e s u n a d e fin ic ió n co n cisa d el d iseñ o e n ingeniería: P ro c eso d e p r o d u c c ió n d e u n c o m p o n e n te , siste m a u o p e ra c ió n q u e satisface u n a n e ce sid a d específica. L a p a la b ra clave e n e s ta d e fin ició n es p ro ceso . E l p ro c e s o d e d is e ñ o es c o m o u n m a p a d e c a r r e t e r a q u e g u ía al d is e ñ a d o r d e s d e el re c o n o c im ie n to d e u n a n e ce sid ad h asta la solución d e l p ro b le m a . L o s in g e n ie ro s d e d iseñ o to m a n d ecisio n es c o n b a se e n u n c o n o c im ie n to p r o ­ fu n d o d e los f u n d a m e n to s d e la ingeniería, lim itacio nes d e l d iseñ o , costos, confiabilidad, m a n u fa c tu r a y fa c to re s h u m a n o s. E l c o n o c im ie n to d e los p rin cip io s d e l d iseñ o se p u e d e a d q u ir ir e n la esc u e la o a b re v a rs e d e p ro fe s o re s y libros, p e ro p a r a c o n v ertirse e n u n buen in g e n ie ro d e d iseño, u s te d d e b e practicarlo. L o s e x p e r to s e n e se c a m p o s o n c o m o lo s a rtis­ ta s y a r q u ite c to s q u e se a r m a n c o n sus p o te n c ia s c re a d o ra s y sus h a b ilid a d e s p a ra crear e s c u ltu ra s y edificios. L o s p ro d u c to s fin ales d e los in g en iero s d e d is e ñ o p u e d e n s e r m á s fu n ­ c io n a le s q u e artísticos, p e ro su p ro d u c c ió n ta m b ié n r e q u ie re co n o cim ien to , im agin ació n y cre ativ id ad . E l d is e ñ o e n in g e n ie ría es u n p ro c e s o p o r m e d io d e l cu al los in g e n ie ro s sa tisfa c e n las n e c e s id a d e s d e la s o c ie d a d . Se p u e d e d e s c rib ir d e d iv e rs a s fo rm as, p e ro p o r lo c o m ú n c o n sis te e n la s e c u e n c ia s iste m á tic a d e p a s o s m o s tra d a e n la figu ra 1.1. E l d i s e ñ o s i e m p r e h a f o r m a d o p a r t e d e lo s p r o g r a m a s d e in g e n ie r ía e n e s c u e la s y u n iv e rsid ad e s. H is tó r ic a m e n te la m a te r ia se h a im p a r tid o e n lo s c u rs o s d e a p e r t u r a y finales. E n a lg u n o s c o le g io s se p o s p o n e n h asta lo s ú ltim o s a ñ o s, c u a n d o los e s tu d ia n te s d e s a r r o l la n u n “ p ro y e c to a v a n z a d o d e d is e ñ o '’, o u n “ p r o y e c to final d e d is e ñ o " . E n a ñ o s r e c ie n te s la p ráctica tra d ic io n a l d e incluir e s to s c u r s o s e n la ú ltim a m ita d d e l p la n d e e s t u ­ d i o s h a sid o s o m e tid a a rev isió n . E l r e c o n o c im ie n to d e q u e e l d is e ñ o e s d e h e c h o el c o r a z ó n d e la in g e n ie ría y d e q u e lo s e s tu d ia n te s n e c e s ita n u n a in tr o d u c c ió n t e m p r a n a al te m a , h a o b lig a d o a e sc u e la s y u n iv e rs id a d e s h a m o d if ic a d o r su s p r o g r a m a s c u rric u la re s p a r a in c o r p o r a r e s ta m a te r ia al in icio d e los p la n e s d e e s tu d io , q u iz á t a n p r o n t o c o m o e n e l c u rs o d e in tro d u c c ió n . A l in c o rp o ra rs e la a s ig n a tu ra d e d is e ñ o al n iv el e n q u e se im p a r t e n los c u rs o s iniciales d e m a te m á ti c a s y ciencias, los jó v e n e s se b e n e fic ia n d e u n m é t o d o m á s in te g r a d o c o n s u a p r e n d iz a je d e la in g e n ie ría y lo g ra n u n m e jo r e n t e n ­ d im ie n to d e c ó m o u tiliz a r las m a te m á tic a s y la c iencia e n e l d is e ñ o d e s is te m a s d e in g e ­ n ie ría . E l a n álisis se e s tá in s e r ta n d o e n el d is e ñ o p a ra e n s e ñ a r a los a lu m n o s a p lic a c io n e s m á s p rá c tic a s y r e a le s d e las m a te m á tic a s y la ciencia. ¿ C u á l es la r e la c ió n e n t r e el análisis y e l d is e ñ o e n in g e n ie ría ? C o m o d e fin im o s a n te s , el a n álisis es la so lu ció n analítica d e u n p r o b le m a d e in g en iería e m p le a n d o las m a te m á tica s y lo s p r in c ip io s d e la ciencia. L a n o c ió n falsa d e q u e la in g e n ie ría es s im p le ­ m e n te m a te m á ti c a s y c ie n c ia a p lic a d a e s tá a m p lia m e n t e d ifu n d id a e n m u c h o s e s tu d ia n te s p rin c ip ia n te s. E s t o p u e d e lle v a rlo s a c r e e r q u e e l d is e ñ o e n in g e n ie ría e s el e q u iv a l e n te a la “ h is to ria d e u n p r o b le m a " c o n te n i d o e n lo s lib ro s d e m a te m á tic a s d e p r e p a r a t o r ia . Sin e m b a r g o , a d ife re n c ia d e los d e m a te m á tic a s, lo s p ro b le m a s d e d is e ñ o tie n e n u n “ final a b i e r t o " . E s to significa, e n t r e o tr a s cosas, q u e n o o f r e c e n u n a sola so lu ció n “c o rre c ta " , s in o m u c h a s p o s ib le s s o lu c io n e s , d e p e n d i e n d o d e las d e cisio n e s q u e t o m e el in g e n ie ro d e d iseño. L a m e ta p rin c ip a l d el d is e ñ o e n in g e n ie ría es o b t e n e r la m e jo r s o lu ció n , o la ó p tim a , e n el m a rc o d e la e sp e c ific id a d y lim ita c io n e s d el p ro b le m a . ¿ C ó m o e n c a ja el análisis e n e s to ? U n o d e los p a so s e n e l p ro c e s o d e d is e ñ o es o b t e n e r u n c o n c e p to d e l d iseñ o . ( O b s e r v e q u e e n e s te c aso la p a la b r a d is e ñ o se re fie re a l c o m p o n e n t e , s iste m a u o p e r a c ió n re a l q u e se e s tá c re a n d o .) E n e s te p u n to , el in g e n ie ­ r o c o m ie n z a a in v e stig a r a lte r n a t iv a s d e d iseño. É s ta s so n d if e r e n te s a p ro x im a c io n e s u

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Sección 1 .2

A n á lis is y diseño en ing en iería

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F ig u r a 1.1 Proceso del diseño en in g eniería.

o p c io n e s q u e é s te c o n sid e ra v ia b le s e n la e t a p a c o n c e p tu a l d el d iseñ o . P o r e je m p lo , se p u e d e n u tiliz a r a lg u n o s d e e s to s c o n c e p to s p a ra d i s e ñ a r u n a m e jo r t r a m p a ra to n e ra : • U s a r u n d e t e c t o r m e c á n ic o o elec tró n ico . • In c lu ir q u e s o o m a n te q u illa d e m a n í c o m o ceb o. • C o n s tr u ir u n a ja u la d e m a d e r a , p lá stic o o m etal. • I n s ta la r u n a a l a r m a a u d ib le o visible. • M a ta r, o a t r a p a r y lib e ra r al ra tó n . E l análisis e s u n a h e rra m ie n ta d e to m a d e d e cisio n e s p a ra e v a lu a r u n c o n ju n to d e a lte r n a t iv a s d e d iseñ o . A l realizarlo, el in g e n ie ro se c o n c e n tr a e n a q u e lla s q u e r in d e n u n a s o lu c ió n ó p tim a , m ie n tr a s q u e elim in a las q u e v io la n las lim ita c io n e s d e d is e ñ o o p r o ­ d u c e n s o lu c io n e s inferio res. E n el d iseñ o d e la r a to n e r a , u n análisis d in á m ic o p u e d e m o s tr a r q u e u n d e te c to r m e c á n ic o e n la tr a m p a e s d e m a s ia d o le n to y re tra s a el c ie r re d e la

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Capítu lo 1

La función d el a n álisis en ingeniería

p u e r t a , lo q u e fa v o re c e la lib e ra c ió n d el ra tó n . E n t o n c e s se elige u n d e t e c t o r e le c tró n ic o p o r q u e rin d e u n a s o lu c ió n s u p e rio r. L a s ig u ie n te a p lic a c ió n ilu s tra c ó m o se utiliza el análisis p a ra d i s e ñ a r el c o m p o n e n t e d e u n a m á q u in a .

A P L IC A C IÓ N D iseño d el com p on en te d e u n a m áq u in a U n a d e las ta r e a s m á s im p o r ta n te s d e los in g e n ie ro s m e c á n ic o s e s d is e ñ a r m á q u in a s. É s ta s p u e d e n c o n stitu ir s is te m a s m u y c o m p le jo s y c o n s ta r d e n u m e r o s o s c o m p o n e n te s m óviles. P a ra q u e u n a m á q u i n a tr a b a je a p r o p ia d a m e n te , c a d a u n o d e su s c o m p o n e n t e s se d e b e d i s e ñ a r d e m a n e r a q u e c u m p la u n a fu n c ió n e specífica al u n ís o n o c o n lo s o t r o s c o m ­ p o n e n te s , c o m o s o p o r t a r fu e rz a s específicas, v ib ra c io n e s , te m p e r a tu r a s , c o r r o s ió n y o tro s fa c to re s m e c á n ic o s y a m b ie n ta le s . U n a s p e c to i m p o r ta n te d el d is e ñ o d e m á q u in a s es d e t e r m i n a r las d im e n sio n e s d e su s p a r te s m ecánicas. C o n s id e r e u n c o m p o n e n t e q u e c on sista d e u n a v a rilla c irc u la r d e 2 0 c m d e largo, c o m o se m u e s tr a e n la fig u ra 1.2. A l fu n c io n a r la m á q u in a , la varilla s e s o m e t e a u n a fu e rz a d e te n s ió n d e 100 kN. U n a d e las lim ita c io n e s d el d is e ñ o es q u e la d e f o r m a c ió n a x ia l (c a m b io d e lo n g itu d ) d e la v a rilla n o p u e d e e x c e d e r lo s 0.5 m m p a ra a s e g u r a r q u e se c o n e c te d e fo r m a a d e c u a d a c o n u n c o m p o n e n t e d e e n s a m b le . T o m a n d o la lo n g itu d d e la v a rilla y a p lic a n d o u n a fu e rz a d e te n s ió n c o m o las q u e se m u e s tr a , ¿ c u á l es el d iá m e tr o m ín im o r e q u e r id o p a ra la varilla?

F ig u r a 1 .2 Com ponente de m áquina.

P a ra re s o lv e r e s t e p r o b le m a , u s a m o s u n a e c u a c ió n d e la m e c á n ic a d e m ate ria les, 8 =

PL AE

donde 8 = d e f o r m a c ió n axial (m ) P = fu e rz a d e t e n s i ó n axial (N ) L = lo n g itu d o rig in a l d e la v a rilla (m ) A = ttD 2I4 = á r e a d e la s e c c ió n tra n s v e r s a l d e la v a rilla ( m z) E = m ó d u lo d e e la s tic id a d ( N / n r ) E l u so d e e s t a e c u a c ió n a s u m e q u e e l m a te ria l se c o m p o r t a d e m a n e r a e lástic a ( e s decir, n o s u fre u n a d e f o r m a c ió n p e r m a n e n te c u a n d o se s o m e t e a u n a fu e rz a ). S u s titu y e n d o e n

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Sección 1 .2

A n á lis is y diseño en ing en iería

la e c u a c ió n la f ó r m u la p a r a e l á r e a d e la s e c c ió n tra n s v e r s a l d e la varilla, y re s o lv ie n d o p a ra el d i á m e t r o D d e la varilla, o b te n e m o s : D =

V

í i k 7T8E '

C o n o c e m o s la fu e r z a d e te n s ió n P , la lo n g itu d o rig in a l d e la v a rilla L y la m á x im a d e f o r m a c ió n axial

so n

S u p u e sto s 1. 6 e desprecia la resistencia de los alambres. 2 . El voltaje de la batería e s co n sta n te a 10 V .

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C a p ítu lo 3

M etodología d e an álisis

E c u a c io n e s d e t e r m in a n t e s (le y d e O h m )

V = IR

V = Voltaje ( V ) I = Corriente ( A ) R = R esisten cia ( í l )

Cálculos

V

Reajustando la ley de Ohm: / = — .

R

S e define- /¿, = 5 í l . R2 = 50 í l Ya que la s re siste n cias e s tá n conectadas en paralelo con la batería: v = V i = V2 = 1 0 V.

Verificación de la solución Lo s sup uesto s son razonables y no existen erro res en lo s cálculos.

0 3 EN E . 2 0 0 0

E JE M P L O 3 .5

M ARIE NORTON

2 /2

Com entarios E l flujo de corriente en una resistencia e s inversamente proporcional a la resistencia. L a corriente to ta l se divide de acuerdo con la relación de la s resistencias:

h _R2_ 2A /2

/?!

0.2 A

_5 0 n 5 íl

Corriente to tal:

IT = ¡i + h = 2 A + 0.2 A = 2 .2 A Tambión s e puede determ inar la corriente to ta l encontrando la re siste n cia to ta l y utilizando despuós la ley de Ohm. L a s re siste n c ia s en paralelo son la s siguientes:

1

Rr =

_L

1

_L + R2

I

J_

5 + 50

/?r = 4.5455 í l y

It =

10 V 4.5455 í l

= 2.2 A

E JE M P L O 3 .6 2 4 M AR. 2 0 0 7

E JE M P L O 3 .6

CY BRAYTON

1 /2

Definición d d problema S e e s t á acondicionando el aire en un salón de c la s e s para 5 0 estu d ia n te s con unidades de acondicionamiento em potradas en la s ven tanas, cuya potencia e s de 4 kW. E l salón cuenta con 2 0 lám paras fluorescentes, cad a una de 0 0 W. Sen tad o en s u pupitre, cad a estu d ian te disipa 100 W. S i la tran sferen cia de calor hacia el salón de c la s e s a travó s de techo, paredes y ven tanas e s de 5 kW» ¿ c u á n ta s unidades de acondicionamiento de aire s e requieren para m antener el salón de c la s e s a una tem p eratura co n sta n te de 2 2 * 0 ?

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Sección 3 .3

Procedim iento general d e a n á lisis

Piagrama (s iste m a termodinàmico)

Qi*mpttas

Q.« t u d i a n t e i

50 estudiantes 2 0 lámparas

'Q g a n a n c i a d e c a l o r

‘ Q e n fria m ie n to

5 u p u e sto s 1. El salón de clases e s un sistem a cerrado, e s decir, no existe flujo de masa. 2 . Todos los flujos de calor son estables 3 . No existen otras fuentes de calor en el salón de clases, como com putadoras, televisiones, e tcé te ra

Ecuaciones d e te rm in a n te s (conservación de energía) ¿ e n tra d a ”

¿ s a lid a =

^ ^ íis re m a

Cálculos ¿ e n tr a d a ~

^ e s tu d ia n te

+

^ lá m p a r a s +

^ g a n a n c i a d e c a lo r

= (50)(100 W ) + (20)(60 W ) + 5000 W = 11200 W = 11.2 kW ^¿sistema = ^ 0 a clase se mantiene a tem p eratura co n stan te ) •

•

¿ .s a lid a — ^ e n f r i a m i e n t o

Por tanto , •

•

¿ e n tr a d a — ^ e n f r ia m ie n to

11.2 k W El número de unidades de acondicionamiento de aire requeridas = ^ ” flJ ^ nt°

=

4kW

2.8

E s imposible ten er fraccio nes de unidades de acondicionamiento, por lo que se redondea la resp u esta al siguiente entero.

2 4 M AR. 2 0 0 7

E JEM P LO 3 .6

2/2

CY BRAYTON

Número d e unidades de acondicionamiento de aire requeridas = 3.

Verificación de la solución P a ra m antener una tem peratura constante, la transferencia neta de calor al salón de clase s debe s e r equivalente al calor retirado por el acondicionador de aire. Al revisar los supuestos. ecuaciones y cálculos, no s e encontraron errores.

Comentarios En el cálculo no s e utilizó la te m p e ratu ra del salón de c la s e s de 2 2 *C porque e s ta tem peratura, a s í como la del aire exterior, e stá im plícita en la ganancia dad a de calor an te s del a n álisis de tran sferen cia de calor.

Suponiendo que el salón de c la se s tiene un laboratorio de cómputo con 3 0 com putadoras, cada una disipando 2 5 0 W, eliminamos el supuesto 3 para incluir la entrada de calor de las computadoras. { ^ e n fria m ie n to — d e l u d í a n l e s +

d lá m p a ra s +

d g a n a n c ia d e c a lo r +

d < x > m p u ta d o ra s

= 1 1 2 0 0 W + 30(250 W ) = 18.700 W = 18.7 k W El número de unidades de acondicionamiento de aire requeridas =

=■ ■^

■ ■= 4 .7

Número de unidades de acondicionamiento de aire requeridas = 5^ E s t e ejemplo ilu stra el efecto de la s com putadoras en los requerimientos de acondicionamiento

de aire.

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71

72

C a p ítu lo 3

M etodología d e an álisis

E JEM P L O 3 .7 12 J U L . 2 0 0 7

EJE M P LO 3 .7

MAX POWER

1/2

Definición del problema E n tra agua en una unión de tubería con un flujo másico de 3 .0 kg/s. S i el flujo másico en la derivación pequeña e s de 1.4 kg/s. ¿cuál e s el flujo másico en la derivación grande? S i el diámetro Interior del tubo de la derivación grande e s de 3 c m ,¿ c u il e s la velocidad en e ste tubo? 5cm D I

3.6 kg/s

Diagrama (esqu em a d e flujo)

ni


2

Í2

4 ri *2

4 (2.2 k g /s)

7rp D 22

7r(1000 kg /m 3)( 0 .0 5 m ) 2

= 1 .1 2 m/s

Verificación de la solución El valor calculado para la velocidad en la derivación grande parece razonable para un sistem a de plomería común. No s e encontraron erro res en los cálculos. C o m entarios La velocidad e s un valor promedio porque existe un perfil de velocidades a tra v ó s del tubo. E s t e perfil lo genera la viscosidad. S i la condición del flujo e s laminar, el perfil de velocidades e s parabólico, como s e m uestra en el siguiente croquis.

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Sección 3 .3

Procedim iento general d e a n á lisis

73

E n c o n tra s te c o n lo s e je m p lo s 3.4 a 3.7, q u e ilu s tra b a n c álc u lo s a m a n o , e s te e je m p lo in c o rp o ra la h e rra m ie n ta d e a n álisis p o r c o m p u ta d o ra T K S olver. E s te s o ftw a r e e s u n s o lu c io n a d o r d e e c u a c io n e s (v é a se la sec c ió n 3.4.2), ú til p a ra e je c u ta r la fa se d e lo s c álc u lo s e n e l p ro c e d im ie n to g e n e ra l d e a n álisis. L o s o tr o s p a so s d e l p ro c e d i­ m ie n to se re a liz a n d e la fo rm a usual.

E JE M P L O

2 EN E . 2 0 0 7

EJEM P LO 3 .0

FR A N K G R IM ES

1/3

Definición del problema Un bloque de G kg cae 2 0 cm sobre un reso rte cuya co n stan te e s de 1 7 5 0 N/m. Cuando el bloque e n tra en co n tacto con el reso rte, se pega a ¿\. S i el bloque cae desde la posición de reposo, ¿cuál e s la deformación del re so rte cuando el bloque queda en reposo momentáneamente?

20 cm

Diagrama

inicial (1)

final (2)

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3 .8

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C a p ítu lo 3

M etodología d e an álisis

Su p u e sto s 1. El reso rte e s lineal, e s decir, sigue la ley d e Hooke F = íes 2 . El bloque se pega al re so rte (colisión inelástica) 3 . El re so rte se deforma a lo largo de su eje, e s decir, no s e dobla

E c u a c io n e s d e t e r m in a n t e s

C o n se rv a c ió n d e la e n e rg ía : V\ + T \ = V2 + T¿ E n e rg ía p o te n c ia l g ra v ita c io n a l: V = m g h E n e rg ía p o te n c ia l d e l re s o rte : V = x¡ 'ik s L C á lc u lo s

L a h o ja d e reglas m u e s tra la s e c u a c io n e s d e te r m in a n te s y la h o ja d e variables m u e s­ tra la s e n tr a d a s y s a lid a s d e to d a s las c a n tid a d e s físicas. E l T K S o lv e r n o re q u ie re q u e e l u su a rio re a lic e a lg u n a m a n ip u la c ió n a lg e b ra ic a ; e l s o ftw a re e s c a p a z d e re so l­ v e r la s e c u a c io n e s d e te r m in a n te s e n su fo rm a o rig in a l. D e b id o a l té rm in o d e la e n e r g ía p o te n c ia l d e l re s o rte , la e c u a c ió n d e c o n s e rv a c ió n d e la e n e r g ía se c o n v ie rte e n u n a e c u a c ió n c u a d rá tic a c o n d o s raíces. C o n e l fin d e g e n e r a r e s ta s raíces, se in ­ tro d u c e u n v a lo r “ e s tim a d o " p a ra la d e fo rm a c ió n d e l re s o rte s e n la c o lu m n a d e e n ­ tr a d a s d e la h o ja d e v a ria b le s. D e s p u é s se in tr o d u c e u n a G (p a ra la e stim a c ió n ) e n la c o lu m n a situ a c ió n ( o e sta d o ) ju n to a la v a ria b le d e s a lid a . S e in icia e l s o lu c io n a d o r ite ra tiv o g e n e r a n d o u n a d e la s d o s raíces. L a ra íz c a lc u la d a d e p e n d e d e q u é ta n c e r­ c a se e n c u e n tre el v a lo r e s tim a d o d e e s a raíz. H o ja d e r e g la s S itu a c ió n

R e g la

S a tis fe c h a

V I + T I = V2 + T2

S a tis fe c h a

V I = m *g*h

S a tis fe c h a

V 2 = - m * g * s + 0 .5 * k * s 2

Situación

Entrada

0

Nombre

Salida

Unidad

Comentario

VI

11 .772

J

e n e r g ía p o te n c ia l inicial

J

e n e r g ía c in é tic a in icial

J

e n e r g ía p o te n c ia l fin al

TI V2

1 1 .772

0

T2

J

e n e r g ía c in é tic a fin a l

6

m

kg

m a s a d el b lo q u e

9.81

g

m /s 2

a c e le r a c ió n g ra v ita c io n a l

.2

h

m

a l t u r a in ic ia l d e l b lo q u e

1750

k

N /m

c o n s ta n te d e l r e s o r te

m

d e f o r m a c ió n d e l r e s o r te

.15440257

s

C o m o se m u e s tra e n la h o ja d e v a ria b le s, la d e fo rm a c ió n d e l re s o rte es: s = 0.1544 m ^ 15.4 cm V e r if ic a c ió n d e la s o lu c ió n

L a so lu ció n se p u e d e v e rific a r s u s titu y e n d o v a lo re s e n la e c u a c ió n d e c o n se rv a c ió n d e e n e rg ía . R e a ju s ta n d o la e c u a c ió n te n e m o s: V\ + T \ - (V2 + T2) = 0

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Sección 3 .3

Procedim iento general d e a n á lisis

m g k + 0 - ( - m g s + l/ 2 k s ¿ + 0 ) = 0 (6 )(9 .8 1 )(0 .2 0 ) + 0 - [ - ( 6 ) ( 9 .8 1 ) ( 0 .1 5 4 4 ) + l/ 2 (1 7 5 0 )(0 .1 5 4 4 )2 + 0] = 0 11.7720 - [ - 9 .0 8 8 0 + 20.8594] = 0 11.7720 - 11.7714 = 5.84 x 1 0 '4 « 0 L a p e q u e ñ a re s p u e s ta d ife re n te d e c e r o se d e b e al re d o n d e o , p o r lo q u e se c o m p ru e ­ b a la re s p u e s ta . C o m e n t a r io s

L a s e g u n d a ra íz e s s = -0 .0 8 7 1 , q u e se o b tie n e u tiliz a n d o u n v a lo r e s tim a d o d e c e ­ ro o m en o s. Ya q u e la d e fo rm a c ió n d e l re s o rte s s e d e fin e c o m o u n a c a n tid a d p o siti­ v a e n la e c u a c ió n d e la e n e r g ía p o te n c ia l d e l re s o rte , la s e g u n d a ra íz n o e s física, e s d e c ir, n o tie n e sig n ific a d o físico. Se p u e d e d e m o s tra r fá c ilm e n te q u e la u b ic ac ió n d e l o rig e n e s a rb itra ria .

Éxito

p r o f e s io n a l

E v ita r e l e n fo q u e d e a p r e n d iz a je d e “lib ro d e recetas " e n e l análisis d e ingeniería U n b u e n in g e n ie ro re su e lv e u n p ro b le m a d e a n álisis d e in g e n ie ría ra z o n á n d o lo , m á s q u e s im p le m e n te sig u ie n d o u n a " re c e ta " p re p a ra d a , c o n s is te n te e n in s tru c ­ c io n e s p a s o p o r p a s o e s c rita s p o r a lg u ie n m ás. D e m a n e ra sim ila r, u n b u e n e s ­ tu d ia n te d e in g e n ie ría e s a q u e l q u e a p r e n d e e l a n álisis p e n s a n d o d e m a n e ra c o n c e p tu a l c a d a p ro b le m a , e n lu g a r d e s im p le m e n te m e m o riz a r u n a co lecció n d e s e c u e n c ia s s u e lta s d e s o lu c ió n y fó rm u la s m a te m á tic a s. E s te a p re n d iz a je p o r “ lib ro d e re c e ta s " e s u n a d e sv ia c ió n e n e l c a m in o d e la e d u c a c ió n e n in g en iería. A d e m á s , e l e stilo d e a p re n d iz a je d e lib ro d e re c e ta s p ro m u e v e u n c o n o c im ie n to fra g m e n ta d o m á s q u e in te g ra l. U n e s tu d ia n te q u e a d o p ta e s te m é to d o d e a p r e n ­ d iz a je p ro n to d e s c u b re q u e e s difícil y r e q u ie r e m u c h o tie m p o p a ra re s o lv e r n u e v o s p ro b le m a s d e in g e n ie ría , a m e n o s q u e a n te s h a y a re s u e lto p ro b le m a s id é n tic o s o m u y sim ila re s u tiliz a n d o u n a re c e ta d e te r m in a d a . S e p u e d e e s ta b le c e r u n a a n a lo g ía c o n la c o n o c id a m áx im a: “ D a le u n p e s c a d o a u n h o m b re y lo a li­ m e n ta rá s u n d ía . E n s é ñ a lo a p e s c a r y c o m e rá to d a la v id a ." L ina r e c e ta c a p a c ita a u n e s tu d ia n te p a ra re s o lv e r u n solo tip o e sp e c ífic o d e p ro b le m a , m ie n tra s q u e u n m é to d o d e a p re n d iz a je c o n b a se e n c o n c e p to s m á s g e n e r a le s lo c a p a c ita p a ra r e ­ so lv e r m u c h o s p ro b le m a s d e in g e n ie ría .

¡P ractiq u e! U tilic e e l procedim iento general d e análisis para resolver los siguientes problemas (expon ga el análisis utilizando lo s lineam ientos para la presentación planteados en esta sección): 1. S e p re te n d e e n c la u s tra r p e rm a n e n te m e n te d e s p e rd ic io ra d ia c tiv o e n c o n ­ c re to y e n te r r a r lo e n e l su e lo . E l re c ip ie n te q u e c o n tie n e e l d e sp e rd ic io m i­ d e 30 c m X 30 c m X 8 0 cm . L o s re g la m e n to s fe d e ra le s d ic ta n q u e d e b e e x istir u n e s p e s o r m ín im o d e c o n c re to d e 50 c m a lr e d e d o r d e to d o s los c o s ­ ta d o s d e l re c ip ie n te . ¿ C u á l e s e l v o lu m e n m ín im o d e c o n c re to re q u e rid o p a ­ r a e n c la u s tra r c o n s e g u rid a d e l d e s p e rd ic io ra d ia c tiv o ? R esp u esta : 2.97 n r .

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76

C a p ítu lo 3

M etodología d e an álisis

2. E l e le v a d o r d e u n e d ific io d e o fic in a s tie n e u n a c a p a c id a d d e o p e ra c ió n d e 15 p a sa je ro s, c o n u n p e so m á x im o d e 180 lb fc a d a uno. E l e le v a d o r se su s­ p e n d e m e d ia n te u n siste m a d e p o le a s e sp e c ia le s c o n c u a tro cab les, d o s d e lo s c u a le s s o p o rta n 20 p o r c ie n to d e la c arg a to ta l y los o tro s d o s, e l 80 p o r c ie n to re s ta n te . E n c u e n tre la m á x im a te n s ió n e n c a d a c a b le d e l e le v a d o r. R esp u esta : 270 lb f, 1080 lbf. 3. U n té cn ico m id e u n a c a íd a d e v o lta je d e 25 V a tra v é s d e u n a re siste n c ia d e 1 0 0 - 0 u tiliz a n d o u n v o ltím e tro d ig ital. L a le y d e O h m e s ta b le c e q u e V = I R . ¿ C u á l e s e l flu jo d e c o rrie n te a tra v é s d e la re s iste n c ia ? ¿ C u á n ta p o te n c ia c o n su m e la re s is te n c ia ? (Sugerencia: P = I R .) R esp u esta : 250 m A , 6.25 W . 4. E l a ire fluye a tra v é s d e u n d u c to p rin c ip a l c o n u n flujo m á sico d e 4 kg/s. El d u c to p rin cip al e n tra e n u n a u n ió n q u e se d iv id e e n d o s d u c to s d e riv a d o s, u n o c o n u n a secció n tra n sv e rsa l d e 20 c m X 30 c m y e l o tr o c o n u n a sección tra n sv e rsa l d e 40 cm X 60 cm . Si e l flujo m ásico e n la d e riv a c ió n g ra n d e e s de 2.8 kg/s, ¿cu ál e s e l flujo m á sico e n la d e riv a c ió n p e q u e ñ a ? Si la d e n sid a d d e l a ire e s p = 1.16 k g / n r \ ¿ cu á l e s la v e lo cid ad e n c ad a d eriv ació n ? R espu esta : 1.2 kg/s, 10.1 m /s, 17.2 m/s.

3 .4 LA CO M PUTADO RA COM O H ERRA M IEN TA DE A N Á LISIS L a s c o m p u ta d o ra s s o n p a rte in te g ra l d e l m u n d o civilizado. A fe c ta n v irtu a lm e n te c a d a a s ­ p e c to d e n u e s tra v id a d ia ria , in c lu y e n d o c o m u n ic a c io n e s, tra n s p o rte , tra n s a c c io n e s fin a n ­ c ie ra s, p ro c e so d e in fo rm a c ió n , p ro d u c c ió n d e a lim e n to s y c u id a d o d e la sa lu d . H o y el m u n d o e s m u y d ife re n te d e l q u e e ra a n te s d e l a d v e n im ie n to d e e sta s m áq u in as. L a g e n te la s utiliza p a ra o b te n e r y p ro c e s a r in fo rm a c ió n , p ro c e sa m ie n to d e p a la b r a s ,c o rre o e le c tró ­ n ico , e n tre te n im ie n to y c o m p ra s e n lín ea. A l ig u a l q u e to d o s , los in g e n ie ro s u tiliz a n c o m p u ­ ta d o ra s e n su v id a p e rs o n a l d e la m ism a m a n e r a q u e se ñ a la m o s, p e ro ta m b ié n d e p e n d e n m u c h o d e e lla s e n su tra b a jo p ro fe sio n a l. P a ra e l in g e n ie ro e s u n a h e rra m ie n ta in d isp e n sa ­ ble. Sin e lla n o p o d ría h a c e r su tra b a jo c o n ta n ta e x a c titu d o eficien cia. P a ra lo s in g en iero s, la v e n ta ja fu n d a m e n ta l d e la c o m p u ta d o ra e s su c a p a c id a d p a ra re a liz a r d ife re n te s fu n c io ­ n e s c o n e x tre m a rap id ez. P o r e je m p lo , u n a se c u e n c ia c o m p le ja d e c álc u lo s q u e re q u e riría d ía s c o n u n a re g la d e c álcu lo , se p u e d e re a liz a r e n u n o s c u a n to s se g u n d o s c o n u n a c o m p u ­ ta d o ra . A d e m á s, su p re c isió n n u m é ric a p e rm ite o b te n e r c álc u lo s m u c h o m á s ex acto s. Los in g e n ie ro s u tiliz a n e sto s e q u ip o s p a ra d is e ñ o a sis tid o p o r c o m p u ta d o ra ( c a d , p o r su s siglas e n in g lés), p ro c e sa m ie n to d e p a la b ra s , co m u n ic ac io n e s, a c c e so a in fo rm a c ió n , g ra fic a ció n , c o n tro l d e p ro c e so s, sim u la c ió n , a d q u isic ió n d e d a to s y, d e sd e luego, análisis. La c o m p u ta d o ra e s u n a d e las m ás p o d e ro sa s h e rra m ie n ta s d e an álisis c o n q u e c u en ta e l ingeniero, p e ro n o re e m p la z a su m en te. C u a n d o se e n fre n ta c o n u n n u e v o análisis, e ste p ro fesio n a l d e b e ra z o n a r e l p ro b le m a u tilizan d o p rin cip io s científicos sólidos, m atem áticas a p lic ad a s y juicio s d e in g en iería. U n a c o m p u ta d o ra e s só lo u n a m á q u in a , y h a sta e l m o m e n to n o se ha d e sa rro lla d o alg u n a q u e p u e d a s u p e ra r el ra z o n a m ie n to h u m a n o (e x c e p to tal v e z al ju g a r a je d re z ). Lina c o m p u ta d o ra só lo p u e d e e je c u ta r las in stru ccio n es q u e se le d a n , y lo h a ­ c e c o n n o ta b le ra p id e z y eficiencia. Y ta m b ié n g e n e ra re sp u e sta s e rró n e a s c o n la m ism a ra p i­ d e z c o n q u e p ro d u c e re sp u e sta s c o rrectas. E l in g e n ie ro e stá o b lig a d o a a lim e n ta rla c o n la e n tra d a c o rrecta. U n a c ró n im o q u e se usa c o n frecu en cia e n in g en iería e s GIGO(si e n tra basu­ ra , sale b a su ra ;g a rb a g e in, g a rb a g e o u t, p o r su s siglas e n inglés), q u e se re fie re a u n a situ ació n e n cual se a lim e n ta n d a to s e rró n e o s d e e n tra d a a u n a c o m p u ta d o ra , p ro d u c ie n d o en to n ces u n a salida e rró n e a . C u a n d o se ap lica g i g o , los cálcu lo s so n n u m é ric a m e n te co rre cto s, p e ro lo s re su lta d o s n o tie n e n se n tid o , p o rq u e e l in g en iero a lim e n tó la c o m p u ta d o ra c o n una e n tra ­ d a e rró n e a , o e l p ro g ra m a q u e escrib ió p a ra la c o m p u ta d o ra e s d eficien te. L a c o m p u ta d o ra

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Sección 3 .4

La com putadora com o herram ienta d e a n á lisis

e s c ap a z d e re a liz a r c o n e x a c titu d c a n tid a d e s e n o rm e s d e c ó m p u to s e n u n tie m p o m uy corto, p e ro e s in cap az d e c o m p o n e r la d efin ició n d e un p ro b le m a , c o n stru ir e l d ia g ra m a d e un siste ­ m a d e in g en iería, fo rm u la r su p u esto s, sele c cio n a r la s e cu a c io n es d e te rm in a n te s a p ro p ia d as, v erificar la ra c io n alid ad d e la so lu ció n , o c o m e n ta r y e v a lu a r lo s re su lta d o s d e l análisis. Por ta n to , el ú n ic o paso d e l p ro c e d im ie n to d e an álisis p a ra e l c u al la c o m p u ta d o ra e s tá p e rfe c ta ­ m e n te a d a p ta d a e s e l paso 5: cálculos. E s to n o significa q u e n o se p u e d a u tilizar u n a c o m p u ­ ta d o ra p a ra e sc rib ir d efin icio n es d e p ro b le m a s,su p u e sto s y ecu acio n es, a s í c o m o p a ra d ib u ja r d iagram as. E sto s p a so s ta m b ié n se p u e d e n e fe c tu a r u tiliz a n d o la c o m p u ta d o ra , p e ro d irigi­ d o s p o r el in g en iero , m ie n tra s q u e los cálcu lo s se re a liza n d e fo rm a a u to m á tic a u n a v e z q u e se a lim e n ta n las e c u a c io n e s y la s e n tra d a s n u m é ric as ap ro p iad as. L os ingenieros utilizan e l an álisis fu n d a m e n ta lm e n te c o m o una h e rra m ie n ta d e d iseñ o y c o m o u n m e d io p a ra p re d e cir o investigar fallas. E sp ecíficam en te, ¿ có m o utiliza u n ingeniero la c o m p u ta d o ra p a ra e l análisis? L o s p a so s 1 a l 4, y 6 y 7 d e l p ro c e d im ie n to d e análisis p e rm a ­ n e ce n p rá c tica m e n te sin cam b io s se re c u rra a u n a c o m p u ta d o ra o no. P o r lo q u e, ¿ex actam en ­ te c ó m o se e fe ctú a n los cálculos d e l paso 5 e n u n a c o m p u ta d o ra ? E x iste n b ásicam en te cinco c ate g o ría s d e h e rra m ie n ta s c o m p u ta riz a d a s p a ra realizar e l tra b a jo d e l análisis d e ingeniería: 1. 2. 3. 4. 5.

H o ja s d e cálculo. S o lu c io n a d o re s d e e c u a c io n e s y s o ftw a r e d e m ate m ática s. L e n g u a je s d e p ro g ra m a c ió n . S o ftw a r e e sp ecial. S o ftw a r e d e e le m e n to finito.

3.4.1 Hojas d e cálculo E l té rm in o hoja de cálcu lo o rig in a lm e n te se r e fe ría a u n a ta b u la c ió n e sp e c ia l d e filas y c o ­ lu m n a s p a ra e f e c tu a r c álc u lo s fin a n c ie ro s. L a h o ja d e c álc u lo c o m p u ta riz a d a e s u n a v e r ­ s ió n e le c tró n ic a m o d e rn a d e la h o ja d e c á lc u lo d e p a p e l q u e se u tiliz ó in ic ia lm e n te e n a p lic a c io n e s d e n e g o c io s y c o n ta b ilid a d . E n v irtu d d e su e s tr u c tu r a g e n e ra l, las h o ja s d e c á lc u lo n o só lo s o n ú tile s p a ra re a liz a r c álc u lo s fin a n c ie ro s, s in o q u e ta m b ié n se p u e d e n u tiliz a r p a ra re a liz a r u n a v a rie d a d d e c á lc u lo s c ie n tífic o s y d e in g e n ie ría . A l igual q u e la v e rs ió n o rig in a l e n p a p e l, la h o ja d e c á lc u lo c o m p u ta riz a d a c o n sta d e filas y c o lu m n as. A la in te rse c c ió n d e u n a fila c o n u n a c o lu m n a se le lla m a celda. L a s c e ld a s sirv e n c o m o u b i­ c a c ió n p a ra d a to s d e e n tr a d a y s a lid a , c o m o te x to , n ú m e ro s o fó rm u las. P o r e je m p lo , u n a c e ld a p u e d e c o n te n e r u n a e c u a c ió n q u e re p re s e n te la s e g u n d a ley d e l m o v im ie n to d e N e w t o n .F = m a . U n a c e ld a c e rc a n a c o n te n d r ía u n n ú m e ro p a ra la m a sa m , m ie n tra s q u e o tr a c o n te n d r ía u n n ú m e ro p a ra la a c e le ra c ió n a. In m e d ia ta m e n te d e s p u é s d e in tro d u c ir e s to s d o s v a lo re s d e e n tr a d a e n s u s re s p e c tiv a c e ld a , la h o ja d e c á lc u lo a u to m á tic a m e n te e v a lú a la fó rm u la , in s e rta n d o e l v a lo r n u m é ric o d e la fu e rz a F e n la c e ld a q u e c o n tie n e la fó rm u la p a ra la s e g u n d a ley d e N e w to n . Si se c a m b ia n lo s v a lo re s d e la m a sa y la a c e le ra ­ c ió n , la h o ja d e c álc u lo a c tu a liz a a u to m á tic a m e n te e l v a lo r d e la fu e rz a . E s te e je m p lo es m u y sim p le, p e ro las h o ja s d e c álc u lo so n c a p a c e s d e h a c e r c á lc u lo s q u e c o m p re n d e n c ien ­ to s o in c lu so m ile s d e v a ria b le s . S u p o n g a q u e n u e s tro a n álisis c o m p re n d e 100 v a ria b le s y q u e d e se a m o s s a b e r c ó m o e l c a m b io d e u n a s o la d e d ic h a s v a ria b le s a fe c ta la so lu c ió n . S im p le m e n te c a m b ia m o s la v a ria b le q u e n o s in te re s a y la h o ja d e c álc u lo a c tu a liz a a u to ­ m á tic a m e n te to d o s lo s d a to s p a ra re fle ja r la m o d ific a c ió n . É s ta e s u n a e x c e le n te h e rra ­ m ie n ta d e a n á lisis p a ra re s p o n d e r c o n ra p id e z p re g u n ta s d e “ q u é ta l s i..." . S e p u e d e n in v e stig a r d e m a n e r a e fic ie n te n u m e ro s o s d is e ñ o s a lte rn a tiv o s re a liz a n d o e l a n álisis e n u n a h o ja d e cálculo. A d e m á s d e la s fu n c io n e s n u m é ric a s, e s ta s h o ja s ta m b ié n tie n e n c a p a ­ c id a d e s g ráficas. E x c e l1. Q u a ttr o P ro y L o tu s 1 -2 -3 ' s o n p ro d u c to s p o p u la re s d e h o ja s d e ¿Excel e s u n a m arca registrada d e Microsoft® C orporation. 2Q u a ttro 1' P ro e s im a m arc a registrada d e Corel® C orporation. 'L o tu s 1-2-3 e s im a m arca registrada d e L o tu s' D evelopm ent C o rp o ratio n , p arte de IBM®.

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7 8 Copljb 3 Afeto&Jcg n ¿ t ancl b e

F ig u r a 3 . 5

G ílc u lo d e la seg.nd]leydebteN vfcfi u Hizando B c e l. Observe la formula parala b e rz a +A4*E4 ntaodrida e n la osJcb C4.

cá lcu b .E n la figura 3 5 se m uestra un sen cilb ejem plo p ira calcular la fuerza utilizando la segunda ley de N ew ton m ediante E x cel 3 4 .2 Soluc¡oradores de ecLociones y so ftm m de rroterroticas

L os so lu cio n ad o ces d e e cu a cio n e s y lo s paquetes de so ftw are d e m afem áficas son herra­ m ientas científicas y de ingeniería d e propósito gene n i para resolver ecuaciones y efectuar operaciones m atem áticas sim bólicas L os soludonadores de ecuaciones están diseñados fondamentalmente para resolver problemas que comprenden entradas y salidas num érica^ m ien­ tras que lo s paquetes de matemáticas son adecuados para realizar operaciones matemáticas simbóÍLcas de manera muy similar a las «que usted haría e n un curso de esta materia. Los so ­ lucionado res de ecuaciones aceptan un conjunto d e ecuaciones que representan e l m odelo m atem ático d e l problema analítico. Las ecuaciones pueden ser lineales o no lin eales y se púa«den escribir e n su forma usual sin m anipulación matemática pie ría para aislar las canti­ dades desconocidas en un lado del signo de igualdad. Fbrejemplo, la segunda ley d e N ew ton se escribiría e n su forma usual com o F = m a aunque la cantidad desconocida fuera la acele ración a . Paia resiolver a m aro este problema* tendríamos que escribir la ecuación como a = Fím porque la e sta ñ o s «determinando para la aceleración. E sto n o es necesario cuando u tilízan os lo s solucionadoresde ecuaciones U n a vez que introducirnos lo s valores roimcfi­ c es d e la s caritidades co roe iias,lo> so lucio nadores las resuelven para b s v a b ies descomocdd os restantes, pues c a n ta n co n una gran biblioteca integrada de funciones para su uso en trigonometría* álgebra lineal* estadística y cálculo. L os solucionado res de ecuaciones pueden realizar una variedad de operaciones matemáticas, incluyendo diferenciación* integración y operaciones m atriciales Adem ás de estas características matemática^ también efectúan con­ versó r es de unidades y tienen capacidad para mostrar resultados de forma gráfica. L a pro­ gramación tam bicn se puede hacer con b s sobicionadores d e ecuaciones Aunque todcs cuentan con capacidadessim tóIfoas algurostienen capacidad parala adquisición de «datos, e l anáfisis «de im agen y elprocesamáento d e señ ales A lgunos solucionado íe s populares de ecua­ ciones sonTK Solver4*M athcad5y Matlab*. *T)C Solvexes «í v a jia r a

xígiítRidk d i

Systeyris* IrcoxyoxaLted.

i - i i d i Mit/tfoít™* Ijio o n o x it-3 .

■es v a T'iajoi K g istn d i d i TJe MktJiYibxJí’-j. ípeo rp on ted

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Sección 3 .4

La com putadora com o herram ienta d e a n á lisis

L a fo rta le z a d e lo s p a q u e te s d e m a te m á tic a s e s trib a e n s u p o te n c ia l p a ra re a liz a r o p e ra c io n e s m a te m á tic a s sim b ó licas. É s ta s c o m p re n d e n la m a n ip u la c ió n d e sím b o lo s (v a ­ ria b le s) u tiliz a n d o o p e ra d o re s m a te m á tic o s c o m o p ro d u c to d e v e c to re s , d ife re n c ia c ió n , in te g ra c ió n y tra n s fo rm a d a s. E s to s p a q u e te s s o n c a p a c e s d e re a liz a r p ro c e d im ie n to s m a ­ te m á tic o s c o m p le jo s y s o fistic a d o s.T a m b ié n p o s e e n a m p lia s c a p a c id a d e s g ráficas. A u n q u e lo s p a q u e te s d e m a te m á tic a s e s tá n fu n d a m e n ta lm e n te d is e ñ a d o s p a ra o p e ra c io n e s sim ­ b ó licas, ta m b ié n p u e d e n re a liz a r c ó m p u to s n u m é ric o s. M a th e m a tic a y M a p le 8 s o n p r o ­ d u c to s p o p u la re s d e so ftw a re e n e s ta m a te ria . 3 .4 .3

L e n g u a je s d e p ro g ra m a c ió n

L a s h o ja s d e cálculo, lo s s o lu c io n a d o re s d e e c u a c io n e s y lo s p a q u e te s d e so ftw a re d e m a te ­ m á tic as n o s ie m p re p u e d e n s a tisfa c e r la s d e m a n d a s d e c ó m p u to d e to d o s lo s a n álisis d e in ­ g e n ie ría . E n ta le s casos, los in g e n ie ro s p u e d e n e le g ir e sc rib ir su s p ro p io s p ro g ra m a s d e c ó m p u to c o n e l uso d e u n le n g u a je d e p ro g ra m a c ió n . L o s lenguajes d e programación se r e ­ fie re n a in stru c c io n e s su ce siv as s u m in is tra d a s a u n a c o m p u ta d o ra p a ra q u e e fe c tú e c álc u ­ lo s específicos. P o r lo g e n e ra l, lo s le n g u a je s d e c o m p u ta d o ra se c lasifica n d e a c u e rd o c o n su nivel. E l len g u a je d e m á q u in a e s d e b a jo nivel, b a sa d o e n u n siste m a b in a rio d e “ c e ro s " y “ u n o s " , y e s e l le n g u aje m á s p rim itiv o , p o rq u e las c o m p u ta d o ra s s o n d isp o sitiv o s d ig itales c u y as fu n c io n e s lógicas ru d im e n ta ria s se lle v a n a c ab o u s a n d o in te rru p to re s d e e s ta d o só ­ lid o e n las p o sicio n es d e “ e n c e n d id o " y “ a p a g a d o " . E l len g u a je e n sa m b la d o r ta m b ié n e s d e b a jo nivel, p e ro su s in stru c c io n e s e s tá n e sc rita s e n d e c la ra c io n e s s e m e ja n te s a l in g lés e n lu ­ g a r d e e n le n g u a je b in ario . E l le n g u a je e n s a m b la d o r n o tie n e m u c h o s c o m a n d o s y d e b e e s ­ c rib irs e p a ra e l e q u ip o esp ecífico (h a rd w a re ) d e la c o m p u ta d o ra . L o s p ro g ra m a s d e c ó m p u to e sc rito s e n le n g u aje d e b a jo nivel fu n c io n a n m uy rá p id a m e n te d e b id o a q u e e stá n e s tre c h a m e n te v in c u la d o s c o n e l ha rd w a re, p e ro e sc rib irlo s e s m u y ted io so . D e b id o a la s itu a c ió n a n te rio r, e s c o m ú n q u e los in g e n ie ro s e sc rib a n p ro g ra m a s e n le n g u ajes d e a lto nivel, q u e c o n siste n e n c o m a n d o s d ire c to s e x p re sa d o s e n u n c ó d ig o s e m e ­ ja n te a l inglés. L o s m á s c o m u n e s s o n F o rtra n , C , C + + , P ascal. A d a y BASIC. F o rtra n e s e l p a ­ triarc a d e to d o s lo s le n g u ajes d e p ro g ra m a c ió n cien tífica. L a p rim e ra v e rs ió n (T rad u cció n d e F ó rm u la s ;F O R m u la T R A N s la tio n e n inglés) la d e sa rro lló IB M e n tre 1954 y 1957. D e sd e s u c o n ce p c ió n , F o rtra n ha sid o el caballo d e batalla d e los le n g u ajes d e p ro g ram a c ió n cien tífica y d e in g en iería. H a e x p e rim e n ta d o a ctu a liz a cio n e s y m ejo ras, y a u n se utiliza a m ­ p lia m e n te h o y e n d ía . E l le n g u aje C e v o lu cio n ó d e d o s len g u ajes, BCPL y B, q u e se d e s a rro ­ lla ro n a fin a le s d e la d é c a d a d e 1960. E n 1972 se c o m p iló e l p rim e r p ro g ra m a C. E l len g u aje C ++ n a ció d e l C y se im p u lsó a p rin cip io s d e la d é c a d a d e 1980.T a n to C c o m o C ++ so n le n ­ g u a je s p o p u la re s d e p ro g ra m a c ió n p a ra a p lic ac io n e s d e in g e n ie ría , p o rq u e u tilizan p o d e ro ­ so s c o m a n d o s y e stru c tu ra s d e d ato s. P ascal se d e sa rro lló d u ra n te los inicios d e la d é c a d a d e 1970 y e s u n le n g u aje d e p ro g ra m a c ió n p o p u la r p a ra lo s e stu d ia n te s p rin c ip ia n te s d e c ie n ­ c ias c o m p u ta c io n a le s q u e a p re n d e n p ro g ra m a c ió n p o r p rim e ra vez. E l D e p a rta m e n to d e D e fe n sa d e E s ta d o s F inidos im p u lsó A d a d u ra n te la d é c a d a d e 1970 p a ra c o n ta r c o n u n le n ­ g u a je d e a lto nivel a d e c u a d o a su s siste m a s c o m p u ta riz a d o s. B a s ic (c ó d ig o d e in stru c cio n es sim b ó lic as d e p ro p ó s ito g e n e ra l p a ra p rin c ip ia n te s; B eg in n er's A ll-p u r p o se S y m b o lic Instm c tio n C o d e e n inglés) se d e sa rro lló a m e d ia d o s d e la d é c a d a d e 1960 c o m o u n a sim p le h e ­ rra m ie n ta d e a p re n d iz a je p a ra e stu d ia n te s d e se c u n d a ria y p re p a ra to ria . C o n frecu en cia, BASIC se in cluye c o m o p a rte d e l so ftw a re d e o p e ra c ió n d e las c o m p u ta d o ra s p erso n ales. E s c rib ir p ro g ra m a s e n le n g u a je s d e a lto nivel e s m á s fácil q u e e n le n g u a je s d e b a jo n iv el, p e ro lo s d e a lto nivel u tiliz a n u n n ú m e ro m a y o r d e c o m a n d o s. A d e m á s , d e b e n e sc ri­ b irse c o n re g la s g ra m a tic a le s esp ecíficas, a las q u e s e c o n o c e c o m o sin ta xis. L a s re g la s d e

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C a p ítu lo 3

M etodología d e an álisis

la sin ta x is d e te r m in a n c ó m o s e u tiliz a n p u n tu a c ió n , o p e r a d o r e s a ritm é tic o s, p a ré n te s is y o tr o s c a ra c te re s p a ra e s c rib ir p ro g ra m a s . P a ra ilu s tra r la s d ife re n c ia s sin tá c tic a s e n tr e los le n g u a je s d e p ro g ra m a c ió n , s o lu c io n a d o re s d e e c u a c io n e s y p a q u e te s d e m a te m á tic a s, e n la ta b la 3.1 se m u e s tra c ó m o se e s c rib e u n a sim p le e c u a c ió n . O b s e rv e la s sim ilitu d e s y d i­ fe re n c ia s e n e l sig n o ig u al, la c o n s ta n te Try e l o p e r a d o r p a ra e x p o n e n c ia c ió n . Tabla 3.1 C o m p aració n d e la s in stru cc io n e s de có m puto p ara la e cu a ció n V = 4 3 tt R3, el v o lu m e n de una e sfe ra H e r r a m ie n t a d e c ó m p u to

In stru c c ió n

M athcad

V := 4 / 3 * tt * R 3

TK Solver

V = 4 / 3 * p ¡()* R 3

M

V = 4 / 3 * p i * R 3;

atLa B

M athe ,v ^ jk : a

V = 4 / 3 * P i* R 3

M ap le

V : = 4 / 3 * p i * R 3;

Fortran

V = 4 / 3 * 3 .1 4 1 5 9 3 * R * * 3

C f C ++

V = 4 / 3 * 3 .1 4 1 5 9 3 * p o w (R , 3 ) ;

Pascal

V : = 4 / 3 * 3 .1 4 1 5 9 3 * R * R * R ;

Ada

V : = 4 / 3 * 3 .1 4 1 5 9 3 * R * * 3 ;

Ba sic

V = 4 / 3 * 3 .1 4 1 5 9 3 * R 3

3 .4 .4 Softw are e sp e cia l

C o n s id e ra d a c o m o u n to d o , la in g e n ie ría e s u n c a m p o a m p lio q u e c u b re u n a v a rie d a d d e d isc ip lin a s y c a rre ra s . A lg u n a s d e la s p rim e ra s s o n la in g e n ie ría q u ím ic a , la in g e n ie ría c i­ v il, la in g e n ie ría e lé c tric a y d e c ó m p u to , la in g e n ie ría a m b ie n ta l y la in g e n ie ría m e cá n ic a. L o s c a m p o s fu n d a m e n ta le s d e la c a r re r a in c lu y e n in v e stig a c ió n , d e s a rro llo , d ise ñ o , a n á li­ sis, m a n u fa c tu ra y p ru e b a . D a d a la v a rie d a d d e p ro b le m a s e sp e c ífic o s q u e e n f r e n ta n los in g e n ie ro s q u e tr a b a ja n e n e sto s cam p o s, n o e s d e s o r p r e n d e r q u e e x ista n n u m e ro s o s p a ­ q u e te s d e s o ftw a r e especial p a ra a y u d a r lo s a a n a liz a r p ro b le m a s e sp e c ífic o s re la c io n a d o s c o n u n siste m a d e in g e n ie ría e n p a rtic u la r. P o r e je m p lo , e x is te n p a q u e te s d e s o ftw a re e s ­ p e c ia le s p a ra in g e n ie ro s e lé c tric o s q u e p e rm ite n a n a liz a r y sim u la r c irc u ito s eléctrico s. L o s in g e n ie ro s m e c á n ic o s y q u ím ic o s p u e d e n a p ro v e c h a r los p a q u e te s d e s o ftw a r e d is e ñ a ­ d o s e s p e c ífic a m e n te p a ra c a lc u la r p a rá m e tr o s d e flu jo e n re d e s d e tu b e ría s. E x is te n o tro s p a ra in g e n ie ro s civ iles y e s tr u c tu r a le s q u e a y u d a n a c a lc u la r fu e rz a s y e sfu e rz o s e n s o p o r­ te s y o tra s e stru c tu ra s . A lg u n o s p a q u e te s m á s sirv e n p a ra re a liz a r a n á lis is d e in te rc a m b io s d e c a lo r, m a q u in a ria , re c ip ie n te s a p re s ió n , s iste m a s d e p ro p u ls ió n , tu rb in a s , s iste m a s n e u ­ m á tic o s e h id rá u lic o s, p ro c e so s d e m a n u fa c tu ra y s u je ta d o re s m e cá n ic o s, a s í c o m o m u c h o s o tro s , d e m a s ia d o n u m e ro s o s p a ra listarlo s. U n a v e z q u e s e g ra d ú e y c o m ie n c e a tra b a ja r p a ra u n a c o m p a ñ ía q u e p ro d u c e u n b ie n o u n p ro c e so esp e c ífic o , p ro b a b le m e n te s e fa m i­ lia ric e c o n u n o m á s d e e sto s p a q u e te s d e s o ftw a r e esp ecial. 3 .4 .5 Software d e e le m e n to fin ito

A lg u n o s p ro b le m a s d e a n álisis d e in g e n ie ría s o n d e m a s ia d o c o m p le jo s p a ra s e r re su e lto s u tiliz a n d o a lg u n a d e la s h e rra m ie n ta s d e c ó m p u to se ñ a la d a s. E n c o n tr a p a r tid a , los p a q u e ­ te s d e s o ftw a r e d e e le m e n to fin ito p e rm ite n q u e e l in g e n ie ro a n a lic e s iste m a s q u e tie n e n c o n fig u ra c io n e s irre g u la re s , p ro p ie d a d e s v a ria b le s d e m a te ria le s , c o n d ic io n e s c o m p le jas

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Sección 3 .4

La com putadora com o herram ienta d e a n á lisis

e n la s fro n te ra s y c o m p o rta m ie n to n o lin eal. E l m é to d o d e e le m e n to fin ito se o rig in ó e n la in d u s tria a e ro e s p a c ia l a p rin c ip io s d e la d é c a d a d e 1950, c u a n d o se u só p a r a e l a n álisis d e e sfu e rz o s d e a e ro n a v e s. P o s te rio rm e n te , a l m a d u ra r e l m é to d o , s e le e n c o n tr ó a p lic a ­ c ió n e n o tra s á re a s d e a n álisis, c o m o e l flu jo d e fluidos, tra n s fe re n c ia d e c a lo r, v ib ra c io n es, im p a c to s, a c ú stic a y e le c tro m a g n e tis m o . E l c o n c e p to b ásico d e tr á s d e l m é to d o d e e le m e n ­ to fin ito e s su b d iv id ir u n a re g ió n c o n tin u a (e s d e c ir, e l siste m a a a n a liz a r se d iv id e e n un c o n ju n to d e fo rm a s g e o m é tric a s sim p le s lla m a d a s “ e le m e n to s fin ito s” ). L o s e le m e n to s se in te rc o n e c ta n e n p u n to s c o m u n e s lla m a d o s “ n o d o s ” . S e su m in istra n las p ro p ie d a d e s d e los m a te ria le s, la s c o n d ic io n e s e n la s fro n te ra s y o tra s e n tr a d a s p e rtin e n te s. C o n e l uso d e un p ro c e d im ie n to m a te m á tic o a v a n z a d o ,e l s o ftw a re d e e le m e n to fin ito calcu la el v a lo r d e p a ­ rá m e tro s c o m o e sfu erzo , te m p e ra tu ra , c a u d a l, o fre c u e n c ia d e v ib ra c ió n e n c ad a n o d o e n la reg ió n . D e a h í q u e el in g e n ie ro c u e n te c o n u n c o n ju n to d e p a rá m e tro s d e salid a e n p u n to s d isc re to s, q u e se a p ro x im a a u n a d is trib u c ió n c o n tin u a d e e so s p a rá m e tr o s p a ra to d a la r e ­ g ió n . E l m é to d o d e e le m e n to fin ito e s u n p ro c e d im ie n to d e a n á lisis a v a n z a d o y n o rm a l­ m e n te se p re s e n ta e n e l nivel s u p e rio r d e e s c u e la s y u n iv e rs id a d e s o e n e l p rim e r a ñ o d e l nivel p ro fe sio n a l.

Éxito

profesional

E rro re s en e l u s o d e c o m p u ta d o ra s N o se p u e d e s o b re s tim a r e l p a p el v ita l q u e las c o m p u ta d o ra s ju e g a n e n e l an álisis d e in g e n ie ría . Sin e m b a rg o , d a d a s las tre m e n d a s v e n ta ja s d e s u u so e n e s te a n á li­ sis, p u e d e s e r d ifícil a c e p ta r e l h e ch o q u e ta m b ié n in c u rre n e n e rro re s . U n riesgo c o m ú n q u e c o n fu n d e a a lg u n o s in g e n ie ro s e s la te n d e n c ia a tr a ta r a la c o m p u ta d o ­ ra c o m o u n a “c a ja n e g ra ” , u n d isp o sitiv o e le c tró n ic o m a ra v illo so cuyo fu n c io n a ­ m ie n to in te rn o e s d e sc o n o c id o e n g ra n m e d id a , p e ro q u e d e c u a lq u ie r m a n e ra p ro p o rc io n a u n a salid a p a ra c a d a e n tra d a in tro d u c id a . Q u ie n e s le d a n e s te tra ta ­ m ie n to a la c o m p u ta d o ra n o e m p le a n d e m a n e ra e fe ctiv a el p ro c e d im ie n to g e n e ­ ra l d e análisis, y c o n e llo se a rrie s g a n a p e rd e r su c a p a c id a d d e ra z o n a r d e m a n e ra siste m á tic a e l p ro b le m a . L a c o m p u ta d o ra e s u n a m á q u in a n o ta b le , p e ro n o re e m ­ p la za la m e n te , e l ra z o n a m ie n to n i e l ju ic io d e l in g e n ie ro . L a s c o m p u ta d o ra s , y el so ftw a re q u e c o rre e n e lla s p ro d u c e n salid as q u e re fle ja n p rec isa m en te la e n tra d a c o n la q u e se le s a lim e n ta . Si la e n tra d a e s b u e n a , la salid a s e r á b u e n a . Si la e n tr a ­ d a e s m a la , la salid a s e rá m ala. L a s c o m p u ta d o ra s n o so n lo s u fic ie n te m e n te in te ­ lig e n te s c o m o p a ra c o m p e n s a r la fa lta d e c a p a c id a d d e u n in g e n ie ro p a ra h a ce r b u e n o s s u p u e s to s o e m p le a r la s e c u a c io n e s d e te rm in a n te s c o rre c ta s. L o s in g e n ie ­ ro s d e b e n te n e r u n a c a b a l c o m p re n s ió n d e los a s p e c to s físicos d e l p ro b le m a e n c u e stió n y d e los p rin c ip io s m a te m á tic o s im p lícito s a n te s d e im p la n ta r la so lu ció n e n la m á q u in a . U n b u e n in g e n ie ro e n tie n d e cpié h a ce la c o m p u ta d o ra c u a n d o “ tri­ tu ra lo s n ú m e ro s ” e n e l análisis, y c o n fía e n q u e lo s d a to s d e e n tr a d a p ro d u c irá n u n a salid a ra z o n a b le p o rq u e ha in c o rp o ra d o u n a g ra n c a n tid a d d e p e n s a m ie n to y ra z o n a m ie n to só lid o e n la fo rm u la c ió n d e d ic h a e n tra d a . ¿ P u e d e u tiliz a rse d e m a s ia d o la c o m p u ta d o ra ? E n c ie rto s e n tid o , sí. L a te n ­ d e n c ia d e a lg u n o s in g e n ie ro s e s e m p le a rla p a ra a n a liz a r p ro b le m a s q u e ta l v e z n o la re q u ie ra n . A l c o m e n z a r c o n u n n u e v o p ro b le m a .s u p rim e r im p u lso e s c o n fig u ­ ra rlo e n la c o m p u ta d o ra s in s iq u ie ra v e rific a r si e l p ro b le m a s e p u e d e re s o lv e r a m an o . P o r e je m p lo , u n p ro b le m a e n in g e n ie ría e stá tic a se p u e d e re p re s e n ta r m e ­ d ia n te la e c u a c ió n c u a d rá tic a x 2 + 4 x — 12 = 0.

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C a p ítu lo 3

M etodología d e an álisis

E s te p ro b le m a se p u e d e re s o lv e r d e fo rm a a n a lític a fa c to riz a n d o , ( x + 6 )(.v — 2 ) = 0 ,q u e p ro d u c e la s d o s ra íc es x = - 6 y x = 2. U tiliz a r la c o m p u ­ ta d o r a e n u n a s itu a c ió n c o m o é s ta e s c o n fia r e n e lla c o m o u n a “ m u le ta “ p a ra c o m p e n s a r h a b ilid a d e s a n a lític a s d éb iles. La in c lin a ció n c o n tin ú a a la m á q u in a p a ra re s o lv e r p ro b le m a s q u e n o la r e q u ie r e n n u lific a rá g ra d u a lm e n te la c a p a c i­ d a d d e u s te d p a ra re s o lv e r p ro b le m a s c o n lá p iz y p a p e l. N o p e rm ita q u e e s to pase. E x a m in e c o n c u id a d o la s e c u a c io n e s p a ra v e r si se ju stific a u n a so lu ció n c o m p u ta riz a d a . D e s e r así, u tilice u n a d e las h e rra m ie n ta s d e c ó m p u to c o m e n ta ­ d a s a n te s. D e n o s e r a sí, re su e lv a e l p ro b le m a a m an o . D e sp u é s, si tie n e tie m p o y d e s e a v e rific a r su s o lu c ió n c o n e l u so d e la c o m p u ta d o ra , hágalo.

A P L IC A C IO N C o m p u ta d o ra s p a ra a n á lis is num éricos L a m a y o ría d e la s e c u a c io n e s q u e e n c o n tr a r á e n la e sc u e la se p u e d e n re s o lv e r a n a lític a m e n ­ te ; e s decir, u tiliz a n d o o p e ra c io n e s a lg eb raic a s n o rm a le s p a ra a islar la v a ria b le d e s e a d a a u n la d o d e la e cu ació n . Sin e m b a rg o , a lg u n as e c u a c io n e s n o se p u e d e n re s o lv e r a n a lític a m e n te c o n o p e ra c io n e s a lg eb raic a s e stá n d a r. A e sta s e c u a c io n e s se le s c o n o ce c o m o e cu a c io n es trascendentales, y a q u e c o n tie n e n u n a o m á s fu n c io n e s tra sc e n d e n ta le s, c o m o u n lo g aritm o o u n a fu n c ió n trig o n o m é tric a . L a s e c u a c io n e s tra s c e n d e n ta le s se p re s e n ta n c o n frecu en cia e n e l tra b a jo d e an álisis d e in g en iería, y a las té cn ica s p a ra re so lv e rla s se le s c o n o c e c o m o m é to d o s n u m é ric o s . P o r e je m p lo , c o n sid e re la e c u a c ió n tra sc e n d e n ta l: e* - 3 x = 0 E s ta e c u a c ió n se v e b a s ta n te d ir e c ta , p e ro in te n te re s o lv e rla a m a n o . Si a g re g a m o s 3 x a a m b o s la d o s y to m a m o s e l lo g a ritm o n a tu ra l e n a m b o s la d o s p a ra d e s h a c e r la fu n c ió n e x ­ p o n e n c ia l, o b te n e m o s: x = ln ( 3 x )

(a )

lo q u e , p o r d e sg ra c ia , n o a ísla la v a ria b le x , p o rq u e a ú n te n e m o s e l té rm in o ln(3.v) e n e l la ­ d o d e re c h o d e la e c u a c ió n . Si a g re g a m o s 3 x a a m b o s la d o s y d e s p u é s d iv id im o s a m b o s la d o s e n tr e 3, o b te n e m o s:

f =*

(b)

A ú n n o a isla m o s la v a ria b le x sin d e ja r u n a fu n c ió n tra s c e n d e n ta l e n la e c u a c ió n . C la ra ­ m e n te , e s ta e c u a c ió n n o se p u e d e re s o lv e r d e fo rm a a n a lític a , p o r lo q u e d e b e m o s re s o l­ v e rla n u m é ric a m e n te . P a ra e llo u tiliz a m o s u n m é to d o lla m a d o ite ra ció n , u n p ro c e so m e d ia n te e l cual re p e tim o s e l c álc u lo h a sta q u e se o b tie n e la re s p u e s ta . A n te s d e re s o lv e r e s te p ro b le m a u tiliz a n d o la c o m p u ta d o ra , tra b a ja r e m o s c o n é l m a n u a l­ m e n te p a ra ilu s tra r c ó m o fu n c io n a la ite ra c ió n . P a ra e m p e z a r, re sc rib im o s la e c u a c ió n (a ) e n la fo rm a ite ra tiv a : x¿+1 = \n(3x¿) L o s su b ín d ic es “r e “i + 1" s e re fie re n a los v a lo re s “ a n te rio re s " y “ n u e v o s ” d e x , re s p e c ­ tiv a m e n te . E l p ro c e so d e ite ra ció n re q u ie re q u e c o m e n c e m o s e l c álc u lo su stitu y e n d o in m e ­ d ia ta m e n te p o r u n n ú m e ro d e n tro d e la fó rm u la d e ite ra c ió n . E s te p rim e r n ú m e ro c o n stitu ­ ye u n a e stim a c ió n d e la ra íz (o ra íc es) d e la v a ria b le x q u e satisface la fó rm u la . P a ra d a r

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Sección 3 .4

La com putadora com o herram ienta d e a n á lisis

Tabla 3.2 Iteración para encontrar una raíz de la ecuación ex - 3x = 0 Ite ra c ió n

X i+ 1

x¡

1

1

1 .0 9 8 6 1 2

2

1 .0 9 8 6 1 2

1 .1 9 2 6 6 0

3

1 .1 9 2 6 6 0

1 .2 7 4 7 9 8

4

1 .2 7 4 7 9 8

1.341 4 0 0

5

1 .3 4 1 4 0 0

1 .3 9 2 3 2 6

1 .5 1 2 1 3 4

.

41

1 .5 1 2 1 3 4

1 .5 1 2 1 3 5

seg u im ie n to a las ite ra c io n e s, u sam o s u n a ta b la d e ite ra c ió n , ilu stra d a e n la ta b la 3.2. P a ra iniciar las ite ra c io n e s, e stim a m o s u n v a lo r d e x p e rm itie n d o q u e x = 1. A h o ra su stitu i­ m o s p o r e s te n ú m e ro e n el la d o d e re c h o d e la fó rm u la , p ro d u c ie n d o u n n u e v o v a lo r d e x' 2 = 1.098612. N u e v a m e n te su stitu im o s e n e l la d o d e re c h o d e la fó rm u la p ro d u c ie n d o e l si­ g u ie n te n u e v o v a lo r, X j = 1.192660. E s te p ro c e so se re p ite h a sta q u e e l v a lo r d e x d e ja d e c a m b ia r sig n ificativ am en te. E n e ste m o m e n to d e cim o s q u e e l cálcu lo h a c o n ve rg id o e n una re s p u e s ta . E n la ta b la 3.2 se m u e s tra n las p rim e ra s c in co ite ra c io n e s y se in d ica q u e se re q u ie re n 41 p a ra q u e e l cálcu lo c o n v e rja e n u n a re sp u e sta q u e e s e x ac ta h a sta la sex ta p o ­ sició n d ecim al. A l s u stitu ir .v = 1.512135 e n la e c u a c ió n o rig in a l, v e m o s q u e q u e d a satisfe ­ c h a . C o m o ilustra e s te e je m p lo ,s e p u e d e n re q u e rir n u m e ro s a s ite ra c io n e s p a ra o b te n e r una so lu ció n ex acta. L a e x a c titu d d e la re sp u e sta d e p e n d e d e c u á n ta s ite ra c io n e s se c o n sid e re n . A lg u n a s e c u a c io n e s c o n v e rg e n e n u n a re sp u e sta p recisa e n u n a s c u a n ta s ite ra c io n e s, p e ro o tra s, c o m o é sta , re q u ie re n varias. E s im p o rta n te n o ta r q u e 1.512135 n o e s la ú nica ra íz d e e s ta e cu ació n . L a e c u a c ió n tie n e u n a s e g u n d a ra íz en .v = 0.619061. Si in te n ta m o s e n c o n tr a r­ la u tiliz a n d o la e c u a c ió n (a ), d e sc u b rim o s q u e n u e stro cálcu lo c o n v erg e n u e v a m e n te e n 1.512135,0 n o c o n v erg e, lle v á n d o n o s a u n a o p e ra c ió n i le g a le s d ecir, to m a n d o el lo g aritm o d e un n ú m e ro negativo. P a ra h a lla r la seg u n d a ra íz ite ra m o s c o n la e c u a c ió n (b ) , e sc rib ié n ­ d o la e n la fo rm a iterativ a:

C o n los m é to d o s n u m é ric o s, e s fre c u e n te q u e n o h a y a g a ra n tía s d e q u e c ie rta fó rm u la d e ite ra c ió n c o n v e rja rá p id a m e n te o n o c o n v e rja . E l é x ito d e la fó rm u la d e ite ra c ió n ta m b ié n p u e d e d e p e n d e r d e la e stim a c ió n in icial e le g id a p a ra in ic ia r la s ite ra c io n e s. Si n u e s tra e stim a c ió n inicial p a ra la e c u a c ió n (a ) e s m e n o r a 5 , e l n u e v o v a lo r d e x s e v u e lv e n e g ativ o d e in m e d ia to , lle v á n d o n o s a u n a o p e ra c ió n ilegal. Si n u e s tr a e s tim a c ió n in icial p a ra la e c u a c ió n (b ) e s d e m a s ia d o g ra n d e , e l n u e v o v a lo r d e x c re c e m u y rá p id a m e n te , lle v á n d o ­ n o s a u n a s a tu ra c ió n e x p o n e n c ia l. É s to s y o tro s tip o s d e d ific u lta d e s n u m é ric a s p u e d e n o c u rrir, y a sea q u e la s ite ra c io n e s se re a lic e n a m a n o o u s a n d o u n a c o m p u ta d o ra . C o m o su g ie re la ta b la 3.2, e fe c tu a r las ite ra c io n e s a m a n o p u e d e s e r u n a ta re a larga y te d io s a . L a c o m p u ta d o ra e s tá h e c h a p a ra re a liz a r c álc u lo s re p e titiv o s . L a s ra íc es d e n u e s tr a e c u a c ió n tra s c e n d e n ta l se p u e d e n e n c o n tr a r c o n fa c ilid a d u tiliz a n d o u n a d e las h e rra m ie n ta s d e c ó m p u to c o m e n ta d a s a n te s . E n la fig u ra 3.6 se m u e stra u n p ro g ra m a d e c o m p u ta d o ra e sc rito e n e l le n g u a je BASIC p a ra e n c o n tr a r la p rim e ra r a íz * = 1.512135. E n la p rim e ra lín e a ,e l u s u a rio in tro d u c e u n a e stim a c ió n in ic ia b a la q u e se a sig n a e l n o m b re

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C a p itu lo 3

M etodología d e an álisis

IN P U T " E S T IM A C IÓ N

= ",

XO LD

DO XNEW = LOG ( 3 * X 0 L D )

Figura 3.6

D IF F = ABS

Program a de

(XN EW - X O L D )

X O LD = XNEW

cómputo BASIC p a ra encontrar una ra íz

LOOP W H IL E D I F F > 0 .0 0 0 0 0 0 1 P R IN T XNEW

d e la ecuación

END

ex - 3 x = 0 .

d e variable XOLD. E l p ro g ra m a d e s p u é s e je c u ta lo q u e se c o n o c e c o m o ciclo DO, q u e r e a ­ liza las ite ra c io n e s. C a d a v e z q u e fu n c io n a e l ciclo se c alc u la u n n u e v o v a lo r d e x a p a rtir d e l v a lo r a n te r io r , y u n v a lo r a b s o lu to d e la d ife re n c ia e n tr e e l v a lo r a n te r io r y e l nuevo. A e s te v a lo r se le llam a D/FF. M ie n tra s DIFF s e a m a y o r a u n a to le ra n c ia d e c o n v e rg e n c ia p re s e le c c io n a d a d e 0.0000001, e l n u e v o v a lo r d e x , XNEW, s u stitu y e a l v a lo r a n te r io r XOLD, y e l ciclo c o n tin ú a . C u a n d o DIFF e s m e n o r o ig u a l a la to le ra n c ia d e c o n v e rg e n c ia , se lo g ra la c o n v erg en c ia y se d e tie n e e l ciclo. Se im p rim e e n to n c e s la raíz. E l m ism o p ro g ra m a , c o n la te rc e r a lín e a s u stitu id a p o r X N E W = e x p ( x o ld )/3 , p o d ría u tiliz a rse p a ra e n c o n tr a r la s e ­ g u n d a raíz. E x iste n m é to d o s n u m é ric o s m á s so fistic a d o s p a ra e n c o n tr a r ra íc e s q u e la sim ­ p le té cn ica d e ite ra c ió n ilu s tra d a a q u í, y u s te d lo s e s tu d ia rá e n su s c u rs o s d e in g e n ie ría o d e m ate m ática s.

¡Practique! U tiliz a n d o u n a d e la s h e rra m ie n ta s d e c o m p u ta d o ra c o m e n ta d a s e n e s ta secció n , tra b a je c o n lo s s ig u ie n te s p ro b le m a s: (N o ta : E s to s p ro b le m a s s o n id é n tic o s a lo s d e la sec c ió n 3.3.) 1. S e p re te n d e e n c la u s tra r p e rm a n e n te m e n te d e s p e rd ic io ra d ia c tiv o e n c o n ­ c re to y e n te r r a r lo e n e l su e lo . E l re c ip ie n te q u e c o n tie n e e l d e s p e rd ic io m i­ d e 30 c m X 30 c m X 80 cm . L o s re g la m e n to s fe d e ra le s d ic ta n q u e d e b e e x istir u n e s p e s o r m ín im o d e c o n c re to d e 50 c m a lr e d e d o r d e to d o s los c o s ­ ta d o s d e l re c ip ie n te . ¿ C u á l e s e l v o lu m e n m ín im o d e c o n c re to re q u e rid o p a ra e n c la u s tra r c o n s e g u rid a d e l d e sp e rd ic io ra d ia c tiv o ? R esp u esta : 2.97 n r \ 2. E l e le v a d o r e n u n e d ific io d e o fic in a s tie n e u n a c a p a c id a d d e o p e ra c ió n d e 15 p a sa je ro s, c o n u n p e s o m á x im o d e 180 lty c ad a u n o . E l e le v a d o r se su s­ p e n d e m e d ia n te u n siste m a d e p o le a s e sp e c ia le s d e c u a tr o c a b le s, d o s d e los c u a le s s o p o rta n 20 p o r c ie n to d e la c a rg a to ta l y lo s o tr o s d o s e l 8 0 p o r c ie n ­ to re s ta n te . E n c u e n tre la m á x im a te n s ió n e n c a d a c a b le d e l e le v a d o r. R esp u esta : 270 Ib f, 1080 lb f. 3. LTn té cn ico m id e u n a c a íd a d e v o lta je d e 25 V a tra v é s d e u n a re siste n c ia d e u tiliz a n d o u n v o ltím e tro d ig ital. L a ley d e O h m e s ta b le c e q u e V = IR . ¿ C u á l e s e l flu jo d e c o rrie n te a tra v é s d e la re s iste n c ia ? ¿ C u á n ta p o te n c ia c o n su m e la re s iste n c ia ? (Sugerencia: P = P R . ) R esp u esta : 250 m A , 6.25 W . 4 . E l a ir e flu y e a tra v é s d e u n d u c to p rin c ip a l c o n u n flu jo m á sico d e 4 kg/s. E l

d u c to p rin c ip a l e n tr a e n u n a u n ió n q u e s e d iv id e e n d o s d u c to s d e riv a d o s, u n o c o n u n a sec c ió n tra n s v e rsa l d e 2 0 c m X 30 c m y e l o tr o c o n u n a secció n

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Problemas

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tra n s v e rs a l d e 4 0 c m X 6 0 cm . Si e l flu jo m á sico e n la d e riv a c ió n g ra n d e es d e 2.8 kg/s, ¿ c u á l e s e l flu jo m á sic o e n la d e riv a c ió n p e q u e ñ a ? Si la d e n si­ d a d d e l a ir e e s p = 1.16 k g / m \ ¿ cu á l e s la v e lo c id a d e n c a d a d e riv a c ió n ? R esp u esta : 1.2 kg/s, 10.1 m /s, 17.2 m/s.

c ifra sig n ific a tiv a h o ja d e c álc u lo le n g u a je d e p ro g ra m a c ió n m é to d o d e in g e n ie ría

o r d e n d e m a g n itu d p ro c e d im ie n to g e n e ra l d e an álisis

so ftw a re d e m a te m á tic a s solucionado!* d e e c u a c io n e s

T É R M IN O S CLAVE

REFERENCIAS Bahder,T. B., Mathematica fo r Scientists and Engineers, Addison-W esley, N ueva York, 1995. D ubin, D., N um erical and Analytical M ethods fo r Scientists and Engineers Using Mathematica. John W iley & Sons, Nueva York, 2003. E tter, D. M., Introduction to C++, Prentice Hall, U p p e r Saddle River, N ueva Jersey, 1999. Ferguson, R. J., TK Solver fo r Engineers, Addison-W esley. Nueva York, 1996. Larsen, R. W., Introduction to M athcad 13, Prentice Hall, U p p e r Saddle River, Nueva Jersey, 2007. ------------, Engineering with Excel, 2a. ed., Prentice Hall, U p p er Saddle River, N ueva Jersey, 2005. M oore, H., M a t l a b fo r Engineers, Prentice Hall, U p p e r Saddle River, N ueva Jersey, 2007. Nyhoff, L. y S. Leestm a, Introduction to F o r t r a n 90, 2a. ed., Prentice Hall, U p p er Saddle River, N ueva Jersey, 1999. Schwartz, D. I., Introduction to M aple 8, Prentice Hall, U p p er Saddle River. Nueva Jersey, 2003. 4

PRO BLEM A S A nálisis d e l orden d e m agnitudes 3.1 U tiliz a n d o u n a n á lisis d e l o rd e n d e m a g n itu d e s ,e s tim e e l n ú m e ro d e g a lo n e s d e g a ­ so lin a u sad a p o r to d o s los a u to m ó v ile s e n E s ta d o s U n id o s c a d a añ o . 3.2 C o n b a s e e n e l a n á lisis d e l o r d e n d e m a g n itu d e s, e s tim e e l n ú m e ro d e h o ja s d e 4 ft X 8 f t d e a g lo m e ra d o n e c e s a ria s p a ra p iso , te c h o y c u b ie rta e x te r io r d e u n a casa d e 6000 ft2. 3.3 A p a rtir d e u n a n á lisis d e l o r d e n d e m a g n itu d e s, c alc u le e l n ú m e ro d e b a lo n e s d e b á s q u e tb o l ( to ta lm e n te in fla d o s) q u e c a b e n e n e l G ra n C añ ó n . 3.4 U tiliz a n d o u n a n á lisis d e l o rd e n d e m a g n itu d e s, e stim e e l n ú m e ro d e m e n sa je s b a ­ s u ra ( s p a m ) d e c o rre o e le c tró n ic o re c ib id o s c a d a a ñ o p o r re s id e n te s d e E s ta d o s U n id o s. 3.5 C o n b a se e n e l a n álisis d e l o rd e n d e m a g n itu d e s, c alc u le e l n ú m e ro d e re s p ira c io n e s q u e re a liz a d u ra n te su vid a. 3.6 A p e le a l a n á lis is d e l o r d e n d e m a g n itu d e s p a ra e s tim a r e l n ú m e ro d e to n e la d a s a n u a le s d e d e s p e rd ic io s h u m a n o s p ro d u c id o s e n e l m u n d o . 3 .7 L a T ie rra tie n e u n ra d io m e d io d e a p ro x im a d a m e n te 6.37 X 10 6 m . S u p o n ie n d o q u e la T ie rra e s tu v ie ra h e c h a d e g ra n ito (p = 2 770 k g /n r'), e stim e su m asa u tiliz a n d o u n a n á lisis d e l o r d e n d e m a g n itu d e s. 3.8 E l flu jo d e ra d ia c ió n s o la r fu e ra d e la a tm ó s fe ra te r r e s tr e e s a p ro x im a d a m e n te d e 1350 W /n r . U tiliz a n d o u n a n á lisis d e l o rd e n d e m a g n itu d e s e stim e la c a n tid a d d e e n e rg ía s o la r q u e in te rc e p ta e l o c é a n o P acífico c a d a añ o . 3.9 U tiliz a n d o u n a n á lisis d e l o r d e n d e m a g n itu d e s, e stim e e l g a sto to ta l e n lib ro s d e te x to e n q u e in c u r r e n a l a ñ o to d a s la s e s p e c ia lid a d e s d e in g e n ie ría e n su e sc u e la .

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C a p ítu lo 3

M etodología d e an álisis

Cifras significativas 3.10 S u b ra y e la s c ifra s sig n ific a tiv as e n lo s s ig u ie n te s n ú m e ro s (e l p rim e ro y a e s tá r e ­ su e lto ). (a ) (b ) (c ) (d ) (e ) (f) (g ) (h ) ( i) (j) (k ) 3.11

3450 9.807 0.00216 9000 7000. 12.00 1066 106.07 0.02880 163.07 1.207 x 10"3

R e a lic e los sig u ie n te s c álc u lo s e sc rib ie n d o las re s p u e s ta s c o n e l n ú m e ro c o rre c to d e cifra s sig n ificativ as. ( a ) (8.1 4 )(2 6 0 ) (b ) 456/4.9 (c ) (6.74 )(41.07)/4.13 (d ) (10.78 - 4.5 )/3 0 0 ( e ) (10.78 - 4.50)/300.0 (f)

(6 5 .2 - 13.9)/240.0

(g ) (1 .2 x 106)/(4 .5 2 x 103 + 769) (h ) (1.764 - 0 .0 3 9 1 )/(8 .4 5 5 x 104) (i) 1000/(1.003 x 109) (j)

(8 .4 x 10"3)/5000

(k ) (8 .4 0 x 103)/5000.0 (1) 8 tt ( m ) ( 2 7 r - 5)/10. 3.12 3.13

3.14

3.15

U n a m a sa d e 125.5 k g c u elg a d e u n c a b le d e s d e e l tech o . U tiliz a n d o e l v a lo r n o rm a l d e la a c e le ra c ió n g ra v ita c io n a l g = 9.81 m / s \ ¿ c u á l e s la te n s ió n e n e l c a b le ? U n a m asa d e 9 slugs cu elg a d e l te c h o m e d ia n te u n a c u e rd a . U tiliz a n d o e l v a lo r n o r­ m al d e la a c e le ra ció n g rav itacio n al g = 32.2 ft/s2,¿ c u á l e s la te n sió n e n la c u e rd a ? E x ­ p re se su re sp u e sta c o n el n ú m e ro c o rre c to d e cifras significativas. R e h a g a e l p ro b le m a u tiliz a n d o u n a m a sa d e 9.00 slugs. ¿L a re sp u e sta e s d ife re n te ? ¿ P o r q u é ? U n a c o rrie n te d e 175 m A fluye a tra v é s d e u n a re siste n c ia d e 4 7 -f i. U tiliz a n d o la le y d e O h m V = I R , ¿ c u á l e s e l v o lta je a tra v é s d e la re s iste n c ia ? E x p r e s e su re s ­ p u e s ta c o n e l n ú m e ro c o rre c to d e cifra s sig n ificativ as. S e in fo rm a q u e u n lo te re c ta n g u la r p a ra c o n stru c c ió n tie n e la s d im e n s io n e s d e 200 ft X 300 ft. U tiliz a n d o el n ú m e ro c o rre c to d e cifra s sig n ificativ as, ¿ cu á l e s el á re a d e e s te lo te e n u n id a d e s d e a c re s ?

P roced im ien to gen era l de análisis Para los problem as 16 al 31 utilice el procedim iento general d e análisis de: 1) definición del problema; 2 ) diagram a;3) su p u estos;4 ) ecu a cion es determinantes; 5) cálculos; 6 ) verificación d e la solución, y 7 ) com entarios. 3.16 U n a c u a d rilla d e e x c a v a c ió n p e rfo ra e n el s u e lo u n a g u je ro q u e m id e 6 0 ycl X 5 0 yd X 8 yd p a ra fa c ilita r e l b a s a m e n to q u e s o s te n d rá u n e d ific io d e o ficin as. Se u tiliz a n

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Problemas

3.17

c in co c a m io n e s d e v o lte o , c a d a u n o c o n c a p a c id a d d e 20 y d \ p a ra a c a r r e a r e l m a te ­ rial. ¿ C u á n to s v ia je s d e b e h a c e r c a d a c a m ió n p a ra re tir a r to d o e l m a te ria l? E n c u e n tr e la c o rrie n te e n c a d a re s iste n c ia y la c o rrie n te to ta l p a ra e l c irc u ito m o s ­ tra d o e n la fig u ra P3.17.

50 V

F ig u r a P 3 .1 7 3.18

3.19

P a ra fa c ilita r s u m a n e jo , la s p la c a s la rg a s d e a c e ro p a ra f a b r ic a r c a rro c e ría s d e a u ­ to m ó v ile s se e n ro lla n d e fo rm a a p r e ta d a e n u n p a q u e te c ilin d rico . C o n sid e re u n r o ­ llo d e a c e ro c o n u n d iá m e tro in te rio r y e x te r io r d e 45 c m y 1.6 m , re s p e c tiv a m e n te , q u e se s u sp e n d e d e u n so lo cab le. Si la lo n g itu d d e l ro llo e s d e 2.25 m y la d e n s id a d d e l a c e ro e s p = 7850 k g /n r \ ¿ cu á l e s la te n s ió n e n e l c ab le ? E n u n a p la n ta d e p ro c e s a m ie n to d e p ro d u c to s q u ím ic o s fluye g lic e rin a h a cia la u n ió n d e u n tu b o , c o n u n flujo m á sico d e 30 kg/s, c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra P3.19. Si e l flu jo m á sico e n e l tu b o d e la d e riv a c ió n p e q u e ñ a e s d e 8 kg/s, e n c u e n tre la v e lo c id a d e n la s d o s d e riv a c io n e s. L a d e n s id a d d e la g lic e rin a e s p = 1260 k g /n r'.

F ig u r a P 3 .1 9

3.20

3.21

U n s a ló n d e c lase s p o rtá til se c a lie n ta c o n p e q u e ñ a s u n id a d e s d e c a le n ta m ie n to d e p ro p a n o c o n u n a c a p a c id a d d e 3 kW c a d a u n o . E l saló n d e c lase s lo o c u p a n 45 e s­ tu d ia n te s, c a d a u n o d is ip a n d o 120 W , y e l lo c al e s ilu m in a d o c o n 10 lá m p a ra s q u e d is ip a n 60 W c ad a u n a . Si la p é rd id a d e c a lo r d e l s a ló n d e c la s e s p o rtá til e s d e 15 kW , ¿ c u á n ta s u n id a d e s d e c a le n ta m ie n to se r e q u ie r e n p a ra m a n te n e rlo a u n a te m p e r a tu r a d e 20 °C ? U n h o m b re e m p u ja u n b a rril c o n u n a fu e rz a d e P = 30 N f,c o m o se m u e s tra e n la fi­ g u ra . A s u m ie n d o q u e e l b a rril n o se m u e v e , ¿ c u á l e s la fu e rz a d e fricc ió n e n tr e el b a rril y e l p iso ? (Sugerencia: L a fu e rz a d e fricció n a c tú a d e fo rm a p a ra le la d e l piso h a cia e l h o m b re . V e a la fig u ra P 3 .2 L )

F ig u r a P 3 .2 1

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C a p ítu lo 3

M etodología d e an álisis

3.22

L a re s iste n c ia to ta l d e la s re s iste n c ia s c o n e c ta d a s e n s e rie e s la su m a a ritm é tic a d e la s m ism as. E n c u e n tre la re s iste n c ia to ta l p a ra e l c irc u ito e n s e rie m o s tra d o e n la fi­ g u ra P3.22. Ya q u e la s re s iste n c ia s se c o n e c ta n e n se rie , la c o rrie n te e s la m ism a e n c a d a u n a d e ellas. U tiliz a n d o la le y d e O h m , e n c u e n tre la c o rrie n te , y ta m b ié n la c a íd a d e v o lta je a tra v é s d e c a d a re siste n c ia . 20 k ü

A M ----100 V

S 150 k íl

1 =

— \ / W v----250 a

F ig u r a P 3 .2 2

3.23

L a p re s ió n e je rc id a p o r u n líq u id o e stá tic o s o b re u n a s u p e rfic ie v e rtic a l su m e rg id a se c alc u la a p a rtir d e la relació n : P = pgh donde P = p re sió n p = d e n s id a d d e l líq u id o g = a c e le ra c ió n g ra v ita c io n a l = 9.81 m /s2 h = a ltu ra d e la su p e rfic ie v e rtic a l su m e rg id a C o n s id e re la p re s a m o s tra d a e n la fig u ra P3.23. ¿ C u á l e s la p re s ió n e je rc id a s o b re la su p e rfic ie d e la p re s a a p ro fu n d id a d e s d e 1 m , 5 m y 2 5 m ? U s e p = 1000 k g /m 3 c o ­ m o d e n s id a d d e l ag u a.

F ig u ra P 3 .2 3

3.24 3.25 3.26 3.27 3.28 3.29

3.30 3.31

R e s u e lv a e l p ro b le m a 3 .1 6 c o n s id e ra n d o a lg u n a d e las h e rra m ie n ta s d e c o m p u ­ ta d o r a c o m e n ta d a s e n e s te c ap ítu lo . R e s u e lv a e l p ro b le m a 3.17 u tiliz a n d o a lg u n a d e las h e rra m ie n ta s d e c ó m p u to c ita ­ d a e n e s te c ap ítu lo . T ra b a je e l p ro b le m a 3.18 c o n u n a d e las h e rra m ie n ta s d e c o m p u ta d o ra m a n e ja d a s e n e s te c ap ítu lo . R e s u e lv a e l p ro b le m a 3 .1 9 u tiliz a n d o u n a d e la s h e rra m ie n ta s d e c ó m p u to re fe ri­ d a s e n e s te c ap ítu lo . R e s u e lv a e l p ro b le m a 3 .2 0 a p lic a n d o u n a d e la s h e rra m ie n ta s d e c o m p u ta d o ra c o ­ m e n ta d a s e n e s te c ap ítu lo . R e s u e lv a e l p ro b le m a 3.21 e m p le a n d o u n a d e la s h e rra m ie n ta s d e c ó m p u to re fe ri­ d a s e n e s te c ap ítu lo . T ra b a je e l p ro b le m a 3.22 u tiliz a n d o u n a d e la s h e rra m ie n ta s d e c o m p u ta d o ra s e ñ a ­ la d a s e n e s te c ap ítu lo . R e s u e lv a e l p ro b le m a 3.23 u tiliz a n d o u n a d e la s h e rra m ie n ta s d e c o m p u ta d o ra c o ­ m e n ta d a s e n e s te c ap ítu lo .

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Mecánica O bjetivos D esp ués d e le e r este c a p ítu lo , usted a p re n d e rá : •

La im p o rta n c ia d e la m e c á n ic a en la in g e n ie ría .

•

La d ife re n c ia entre un e s c a la r y un vector.

•

C ó m o re a liz a r o p eracio n es v e c to ria le s b á s ic a s .

•

C ó m o su m ar fu e rz a s v e cto ria l m ente.

•

C ó m o co n struir d ia g ra m a s d e c u e rp o lib re.

•

C ó m o u tiliza r los p rincip io s del eq u ilib rio p a ra encontrar fu erzas d esco n o cid a s en una p artícula.

m C ó m o c a lc u la r el e sfu e rzo n o rm a l, la tensión e sp e c ífic a y la d e fo rm a c ió n . •

C ó m o a p lic a r un fa cto r d e s e g u rid a d a l e sfu e rzo .

4 .1

IN TR O D U C C IÓ N

L a m e c á n ic a e s u n o d e los c a m p o s d e e s tu d io m ás im p o rta n te s e n ingeniería. F u e la p rim e ra cien cia a n a lític a y su s ra íc es h istó ric a s se p u e d e n ra s tre a r h a sta a q u e llo s g ra n d e s m a te m á tic o s y cien tífic o s c o m o A rq u ím e d e s (287-212 a .C ) , G a lile o G a lile i (1564-1642) e Isa ac N e w to n (1642-1727). La m ecánica es e l estu­ d io d el estado d e reposo o m ovim iento de los cuerpos som etidos a fu erza s. C o m o d is c ip lin a r e d iv id e e n tre s á re a s g en erales: m ecánica d e los cuerpos rígidos,m e­ cánica d é lo s cuerpos deform ables y m ecánica d e flu id o s. C o m o im plica e l té rm i­ no , la p rim e ra e stu d ia la s c arac te rístic a s m ecán icas d e los c u e rp o s q u e so n ríg id o s (e s d e c ir, a q u e llo s q u e n o se d e fo rm a n b a jo la in flu en cia d e las fuerzas). L a m e cá n ic a d e los c u e rp o s ríg id o s se su b d iv id e e n d o s á re a s p rin cip ales: estáti­ ca y dinám ica. L a e stá tic a tra ta d e lo s c u e rp o s ríg id o s e n e q u ilib rio . E l e q u ilib rio e s u n e s ta d o e n e l cual u n c u e rp o se e n c u e n tra e n re p o s o re sp ec to d e l m e d io q u e lo c ircu n d a. C u a n d o u n c u e rp o e s tá e n e q u ilib rio , las fu e rz a s q u e a c tú a n s o b re él e stá n b a la n c e a d a s, p o r lo q u e n o p ro d u c e n m o v im ien to . T a m b ié n e x iste u n e s ta ­ d o d e e q u ilib rio c u a n d o u n c u e rp o se m u e v e a v e lo cid ad c o n sta n te , p e ro é s te e s un e q u ilib rio d in ám ico , n o e stático . La d in á m ic a e stu d ia los c u e rp o s ríg id o s q u e se e n c u e n tra n e n m o v im ie n to re sp ec to d e su m e d io c irc u n d a n te o d e o tro s c u er­ pos rígidos. El c u e rp o p u e d e te n e r u n a v e lo cid ad c o n s ta n te ,e n c u y o caso la a ce ­ le ra ció n e s cero , p e ro e n g e n e ra l su fre u n a a c e le ra c ió n p o r la ap licació n d e u n a fu e rz a n o b a la n c e a d a . L a m e cá n ic a d e lo s c u e rp o s d e fo rm a b le s, a la q u e con frec u en c ia se le c o n o ce c o m o m ecánica de los materiales o resistencia d e materia­ les , tra ta d e c u e rp o s só lid o s q u e se d e fo rm a n b a jo la a p lic ac ió n d e fu e rz a s e x te r­ nas. E n e s ta ra m a d e la m ecán ica se e stu d ia n las re la cio n e s e n tre las fu e rz as apli­ c a d a s d e fo rm a e x te rn a y las fu e rz a s in te rn a s y d e fo rm a c io n e s re su lta n te s. C o n frec u en c ia la m e cá n ic a d e los c u e rp o s d e fo rm a b le s se su b d iv id e e n d o s á re a s específicas: elasticidad y plasticidad. L a e lastic id a d a n aliza e l c o m p o rta m ie n to d e lo s m a te ria le s só lid o s q u e re g re s a n a su ta m a ñ o y fo rm a o rig in al d e sp u é s d e q u e se re tira u n a fu e rz a , m ie n tra s q u e la p la sticid a d e s tu d ia e l c o m p o rta m ie n to d e lo s m a te ria le s só lid o s q u e e x p e rim e n ta n u n a d e fo rm a c ió n p e rm a n e n te d e s­ p u é s d e q u e u n a fuerza e s re tira d a . L a m e cá n ic a d e los fluidos, p o r su p a rte , e s­ tu d ia e l c o m p o rta m ie n to d e los líq u id o s y gases e n re p o s o y e n m o v im ie n to . A l

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C a p ítu lo 4

M ecánica

e s tu d io d e los flu id o s e n re p o s o se le llam a estática d e lo s flu id o s , y a l d e los flu id o s e n m ovi­ m ie n to se le d e n o m in a d in á m ic a d e lo s flu id o s . A u n q u e e s tric ta m e n te h a b la n d o lo s fluidos s o n m a te ria le s d e fo rm a b le s, la m e cá n ic a d e los c u e rp o s d e fo rm a b le s se se p a ra d e la m e cá n i­ c a d e los fluidos p o rq u e la p rim e ra tra ta e x clu siv a m e n te d e m a te ria le s só lid o s q u e tie n e n la c a p a c id a d , a d ife re n c ia d e los fluidos, d e s o p o rta r fu e rz as d e c o rte . E n la fig u ra 4.1 se m u e s­ tra d e fo rm a e sq u e m á tic a la e s tru c tu ra te m á tic a d e la m ecán ica.

F ig u r a 4 .1 Estructura temática d e la ingeniería m ecánica.

P o r lo g e n e ra l, e n la m a y o ría d e las e sc u e la s y u n iv e rsid a d e s la s ra m a s d e la m ecán ica q u e s e a c a b a n d e d e sc rib ir se e n s e ñ a n c o m o c u rs o s in d e p e n d ie n te s y d istin to s d e in g en iería. D e a h í q u e u n p ro g ra m a c o m ú n d e e sta disciplina c o n sista d e c u rs o s in d iv id u ales d e e stá ti­ c a , d in á m ic a , m e cá n ic a d e m a te ria le s y m e cá n ic a d e fluidos. T a m b ié n se o fre c e n o tro s cu rso s o rie n ta d o s a l an álisis, c o m o circ u ito s e léc trico s y te rm o d in á m ic a . L a m e cá n ic a e s ta n fu n d a ­ m e n ta l p a ra la e d u c a c ió n e n in g e n ie ría , q u e los e s tu d ia n te s q u e se e sp e c ializa n e n cam p o s " n o m e cá n ic o s” c o m o la s in g e n ie ría s e lé c tric a , a m b ie n ta l y q u ím ica, e n tie n d e n m á s p ro fu n ­ d a m e n te la e n e rg ía , p o te n c ia , p o te n c ia l, e q u ilib rio y e sta b ilid a d e stu d ia n d o p rim e ro estos p rin c ip io s e n sus c o n te x to s m ecánicos. Sin e m b a rg o , d e p e n d ie n d o d e la s p o líticas específicas d e los p la n es d e e stu d io d e la s e sc u e las o d e p a rta m e n to s d e in g e n ie ría , los e stu d ia n te s d e to ­ d a s las e sp e c ia lid a d e s d e la c a r re r a p u e d e n o n o re q u e rir to m a r to d o s lo s c u rso s d e m e cá ­ nica se ñ a la d o s. E n c u a lq u ie r caso, e l p rin c ip a l p ro p ó sito d e e s te c a p ítu lo e s in tro d u c ir a l e s­ tu d ia n te q u e inicia e n el e stu d io d e la in g e n ie ría e n lo s p rin cip io s m á s fu n d a m e n ta le s d e la m e cá n ic a y m o s tra r c ó m o s e a p lic a e l p ro c e d im ie n to g e n e ra l d e an álisis a lo s p ro b le m a s d e e s ta índole. P a ra c o n c e n tra rn o s e n los fu n d a m e n to s y a y u d a r a l e stu d ia n te e n la tra n sic ió n a u n m a te ria l m á s a v an zad o , e ste c ap ítu lo se lim ita a u n o s c u a n to s p rin c ip io s fu n d a m e n ta le s d e e stá tic a y m ecán ica d e m a te ria le s y n o a b o rd a la d in ám ica. L o s in g e n ie ro s u tiliz a n los p rin c ip io s d e la m e cá n ic a p a ra a n a liz a r y d is e ñ a r u n a a m ­ p lia v a rie d a d d e d isp o sitiv o s y sistem as. O b se rv e a su a lre d e d o r: ¿ está le y e n d o e s te libro d e n tr o d e u n e d ific io ? L o s m ie m b ro s e s tru c tu ra le s d e p iso , te c h o y p a re d e s fu e ro n d is e ñ a ­ d o s p o r in g e n ie ro s e s tru c tu ra le s o civiles p a ra s o p o r ta r las fu e rz a s q u e e je rc e n s o b re ellos e l c o n te n id o d e l edificio, lo s v ien to s, sism os, n ie v e y o tro s m ie m b ro s e stru c tu ra le s. L o s p u e n ­ tes. p resas, c an ales, tu b e ría s s u b te rrá n e a s y o tr a s e s tr u c tu r a s g ra n d e s su jetas a la tie rra se d i­ s e ñ a n c o n e l uso d e la m ecán ica. ¿ V e a lg ú n d isp o sitiv o m e c á n ic o c e rc a ? E l a u to m ó v il e s un e x c e le n te e je m p lo d e u n sim p le siste m a d e in g e n ie ría q u e in te g ra v irtu a lm e n te c a d a ra m a

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S e ccfó n 4 2

E sn lo re sy ve-dores 9 l

d s la m scánica, a si com o ds otias disciplinas ds la ingeniería. E l chasis la s defensa^ s i sis­ tem a de suspensión s i tis n d s transmisor^ b s frenos» s i sis?sm i d s dirección, s i rrotoi; las bolsas ds aire, Jas puertas, cajuela s incluso lo s ümpiaparabrisas fu s ron «diseñacbs co n la aplicación ds la m s canica. Incluso s i «diseño «ds sim plss m ecanism os com o q fit a-gr apas perforadoras da papel, e s n ad aras y afiladores para láp b a s im plica pñncdpbs ds ssta ra­ m a lo s cuales ss utilizan para analizar y diseñar virtualm ente cada tipo d s sistem a d s in­ geniería qus ss pusda p reducir. Eri las figuras 4.2, 4.3 y 4.4 ss m us aran algunos sistem as com u nss «ds ingeniería cuyo d issfo im plica la aplicación d s la mscárdca.

4 .2 ES C A LA R ES Y V EC T O R ES Cada canüdadfifica qu s ss utiliza s n la m s carde a y s n toda la ingeniaría y la ciare ia ss cla­ sifica com o escalar o vecfoc. U n sscalar s s una c a n t & a d t k n e m agniíud, p e ro no d irec ­ c ió n . A l tsn sr s ó b magnitud, s i sscalar p u sd s ssr positivo o nsgatho, paro n o tisns características dirsccionalas. L as cantidades sscalarss com ures so n bngituc^ masa» tem pe ratura, sn arria volum en y dsresidad. U n vector s s una c an tid ad q u e ti& nt tan to m agnitod c o n o dirección; pusds ssr positivo o negativo y tiane una d ireccb n síp scifica s n s i esp acio. Las cantidades vectoriales com u nss son desplazam iento, fuarza, vabddad,acslaración, e s ­ fuerzo y m om ento. U n a cantidad sscalar ss pusds «definir com pletam ente por u n s o b pa­ rám etro, su magnitud, m ientras qus un vector requiere qus ss especifiquen tanto su m agnitud c o n o su «direccbn For ejem p b , la rapidez s s un escalar, pero la velocidad s s un vector. E l velocím etro caracterism o d s un autom óvil irdica que tan rápido viaja, pero no

F ig u r a 4 . 2

los h'psieros utílizen los pmc'pios «ds la nQEíi e rto nfeom »03 «sn d diserto «ir equipo poro ozcodic¡ai«miento física (Fotografía cortesía «ds FihessSoape h cv Murfresboro, 1N.)

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92

C a p iu b *i

¿tocen»»

F ig u r a 4 . 3

Los p m c p c s de la ingeniería mBoárifca se u llizai para dberlar eqj p o pesad:« de cons huaica.

F ig u r a 4 . 4

Las ingenieros uhl ba­ nal pm cptas de rre031 bD para disertar el Puente Normmdie en LeHcwre, Franca. Temnnado en 1995, esta es huebra tíene uno de los daros rrré la rga (6 5 6 rn) ck aidqjter puente ahrcntado en d rrundo. revela la dirección d e l recorrido. La temperatura d e l agüe que hierve e n un contenedor abierto a l nivel d e l m ar puede definirse com pletam ente por u n solo núm ero, 103 °C Sin embargo» la fuerza ejercida sobre ’ir a viga utilizada com o soporte del piso se debe definir especificando una m agnitud, 2 kN por ejem plo, con dirección hacia abajo. E l efecto de la fuerza sobre la viga (es decir; e l esfuerzo y la deform ación) no se puedende terminar a m e ­ n os que se especifique la dirección de la fuerza. For ejem plo, si arta dirigida a b largo d el eje 'de la viga producirá un esfuerzo y deform ación totalm ente diferentes que si estuviera diligida hacia abajo. L a tabla 4.1 resume algunas cantidades escalares y vectoriales. Para escribir escalares y vectores debe observarse una nom enclatura estándar. Con frecuercia los escalaras se im prim en aniuenta cursiva, c o n o m para m asa, T para tem pe-

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Sección 4 .2

E sca la re s y vectores

93

Tabla 4.1 C a n tid a d e s e s c a la re s y v e c to ria le s E s c a la r

V e c to ria l

Longitud

Fuerza

M asa

Presión

Tiempo

Esfuerzo

Temperatura

M om ento d e fuerza

R ap id ez

Velocidad

D ensidad

A celeración

Volumen

Momento

Energía

Impulso

Trabajo

C am p o eléctrico

Resistencia

C am p o m agnético

r a tu r a y p p a ra la d e n sid a d . P a ra d ife re n c ia rlo s d e lo s e sc a la re s, lo s v e c to re s se e s c rib e n d e m a n e ra p a rtic u la r. E s c o m ú n q u e e n e l tra b a jo m a n u sc rito se e s c rib a n c o m o u n a le tra con b a r r a " , fle c h a : o u n sig n o d e in te rc a la c ió n e n c im a , c o m o A , A y A . P o r lo g e n e ra l, e n lo s lib ro s y o tro s im p re so s los v e c to re s se e s c rib e n e n n eg ritas. P o r e je m p lo , A se u tiliza p a ra d e n o ta r u n v e c to r “A ". C u a n d o s e e sc rib e a m a n o la m a g n itu d d e u n v e c to r, q u e s ie m p re e s u n a c a n tid a d p o s itiv a , n o rm a lm e n te se u tiliz a u n a n o ta c ió n d e “ v a lo r a b s o lu ­ to " ; p o r ta n to , la m a g n itu d d e A se e sc rib e c o m o | A | , y e n te x to s im p re s o s p o r lo g e n e ra l se e sc rib e e n c u rs iv a :/!. C o m o se m u e s tr a e n la fig u ra 4.5, u n v e c to r s e re p re s e n ta g rá fic a m e n te m e d ia n te u n a fle c h a re c ta c o n u n a m a g n itu d y d irecció n esp e c ific ad a s. L a m a g n itu d e s la lo n g itu d d e la flecha y la d ire c c ió n e s tá d e fin id a p o r m e d io d e los á n g u lo s e n tre la flech a y los e je s d e re fe re n c ia . L a lín e a d e a c ció n d e l v e c to r e s c o lin e a l a l v e c to r, y su d ire c c ió n s e u b ic a e n e l e sp a c io ; o b s e rv e q u e é s te e s u n a tr ib u to a d ic io n a l y u n v e c to r n o n e c e sita te n e r u n a u b i­ c a c ió n e sp e c ífic a . E l v e c to r A e n la fig u ra 4.5 tie n e u n a m a g n itu d d e 5 u n id a d e s y u n a d i­ re c c ió n d e 30° re s p e c to d e l e je a:, h a cia a rrib a y a la d e re c h a . A l p u n to O se le lla m a origen d e l v e c to r y a l p u n to P s e le d e n o m in a e x tre m o d e l v e c to r. L a s u n id a d e s d e l v e c to r d e p e n ­ d e n d e q u é c a n tid a d física re p re s e n ta . P o r e je m p lo , si e l v e c to r e s u n a fu e rz a , las u n id a d e s s e ría n N o lb f.

A

F ig u r a 4 .5 Un vector tiene magnitud y dirección.

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C a p ítu lo 4

M ecánica

4 .2 .1

O p e r a c io n e s c o n v e c t o r e s

P a ra u tiliz a r lo s p rin c ip io s d e la m e c á n ic a e n e l a n á lisis, lo s in g e n ie ro s d e b e n s e r c ap a c es d e m a n ip u la r m a te m á tic a m e n te c a n tid a d e s v e c to ria le s. D a d o su c a r á c te r d ire c c io n a l, las re g la s p a ra re a liz a r o p e ra c io n e s a lg e b ra ic a s c o n v e c to re s s o n d ife re n te s a la s d e lo s e s c a ­ la re s. E l p ro d u c to d e u n e s c a la r p o sitiv o k y u n v e c to r A , q u e se d e n o ta c o m o AA. tie n e e l e fe c to d e c a m b ia r la lo n g itu d d e l v e c to r A , p e ro n o a fe c ta su d ire c c ió n . P o r e je m p lo , el p r o d u c to 3 A a u m e n ta la m a g n itu d d e l v e c to r A p o r u n f a c to r d e 3, p e ro su d ire c c ió n es la m ism a. E l p ro d u c to - 2 A a u m e n ta la m a g n itu d d e A p o r u n fa c to r d e 2 , p e ro in v ie rte s u d ire c c ió n p o rq u e e l e s c a la r e s n e g a tiv o . E n la fig u ra 4 .6 se ilu s tra n e je m p lo s g ráfico s d e l p ro d u c to d e e s c a la re s y u n v e c to r. D o s v e c to re s A y 1J s o n ig u a les si tie n e n la m ism a m a g n itu d y d ire c c ió n , in d e p e n d ie n te m e n te d e la u b ic a c ió n d e s u s o ríg e n e s y e x tre m o s. C o m o se m u e s tra e n la fig u ra 4 .6 , A = B.

F ig u r a 4 .6 M ultiplicación e s c a la r e vectores,

L a s u m a d e d o s e s c a la re s g e n e ra u n a s im p le su m a a lg e b ra ic a , c o m o c = a + b. Sin e m b a r g o , la s u m a d e d o s v e c to re s n o se p u e d e o b te n e r s im p le m e n te a d ic io n a n d o la s m a g ­ n itu d e s d e c a d a v e c to r; é s to s d e b e n a d ic io n a rs e c o n s id e ra n d o ta n to su s d ire c c io n e s c o m o s u s m a g n itu d e s. C o n sid e re los v e c to re s A y B d e la fig u ra A l (a), lo s c u a le s se p u e d e n su ­ m a r u tiliz a n d o la le y d e l p a ra lelo g ra m o . P a ra fo rm a r e s ta s u m a , se u n e n lo s o ríg e n e s d e A y B . y se tr a z a n lín e a s p a ra le la s d e sd e e l e x tre m o d e c ad a v e c to r, la s c u a le s se in te rse c a n e n u n p u n to c o m ú n fo rm a n d o los la d o s a d y a c e n te s d e u n p a ra le lo g ra m o . E l v e c to r su m a d e A y B . a l q u e se lla m a v ec to r r e s u lta n te ,o s im p le m e n te r e s u lta n te , e s la d ia g o n a l d e l p a ­ ra le lo g ra m o q u e se e x tie n d e d e sd e lo s o ríg e n e s d e los v e c to re s h a s ta e l p u n to d e in te rs e c ­ c ió n , c o m o se ilu s tra e n la fig u ra 4 .7 (6 ). D e a h í q u e p o d a m o s e s c rib ir el v e c to r s u m a c o m o R = A + B , d o n d e R e s la re s u lta n te . E l v e c to r s u m a ta m b ié n se p u e d e o b te n e r c o n s tr u ­ y e n d o u n triá n g u lo , q u e e n re a lid a d e s la m ita d d e u n p a ra le lo g ra m o . C o n e s ta té c n ic a se c o n e c ta e l o rig e n d e B c o n e l e x tre m o d e A . L a re s u lta n te R = A + B v a d e l o rig e n d e A a l e x tre m o d e B .c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 4.7(c). A lte rn a tiv a m e n te , e l triá n g u lo ta m b ié n se p u e d e c o n s tru ir d e m a n e r a q u e e l o rig e n d e A se c o n e c te c o n e l e x tre m o d e B , e n c u y o c aso te n e m o s R = B + A . c o m o se m u e stra e n la fig u ra A .l (d ). E n a m b o s triá n g u lo s se o b tie n e la m ism a re s u lta n te , p o r lo q u e c o n ­ c lu im o s q u e la s u m a d e v e c to re s e s c o n m u ta tiv a (e s d e c ir, los v e c to re s se p u e d e n s u m a r e n c u a lq u ie r o rd e n ). E n to n c e s , R = A + B = B + A . U n c a s o e sp e c ia l d e la ley d e l p a ra le lo g ra m o e s c u a n d o los d o s v e c to re s s o n p a ra le lo s (c o m o c u a n d o tie n e n la m ism a línea d e a c c ió n ). E n ta l c a s o e l p a ra le lo g ra m o se d e g e n e ra y la s u m a d e v e c to re s se re d u c e a u n a s u m a e s c a la r R = A + B , c o m o se in d ic a e n la fig u ra 4.7(e).

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Sección 4 .2

Escalares y vectores

A+B

(a)

C onstrucción d e un triángulo

C onstrucción d e u n triángulo

(c)

(d)

(b)

R = A +B A

B

V ectores colineales

F ig u r a 4 .7 Sum a d e vectores.

(e)

4 .2 .2 C o m p o nentes de lo s v e c to re s

U n p o d e ro s o m é to d o p a ra e n c o n tr a r la re s u lta n te d e d o s v e c to re s e s d e te r m in a r p rim e ro lo s c o m p o n e n te s rectangulares d e c a d a u n o y d e s p u é s s u m a r lo s c o m p o n e n te s c o rre s p o n ­ d ie n te s p a ra o b te n e r e l v e c to r re s u lta n te . P a ra v e r c ó m o fu n c io n a e ste m é to d o , d ib u ja m o s lo s v e c to re s A y B d e la fig u ra 4.7 e n u n c o n ju n to d e e je s c o o rd e n a d o s (* , y ), c o m o se m u e s tra e n la fig u ra 4.8. P o r c o n v e n ie n c ia , a m b o s v e c to re s s e d ib u ja n c o n su s o ríg e n e s e n e l o rig e n d e los ejes, y la s d ire c c io n e s d e A y B re s p e c to d e l e je x p o sitiv o se d e fin e n m e ­ d ia n te lo s «ángulos a y fi. re s p e c tiv a m e n te . P o r e l m o m e n to ,c o n s id e re m o s c a d a v e c to r p o r s e p a ra d o . U tiliz a n d o u n a fo rm a m o d ific a d a d e la le y d e l p a ra le lo g ra m o , d ib u ja m o s lín eas p a ra le la s a lo s e jes x y y d e m a n e r a q u e e l v e c to r A se c o n v ie rta e n la d ia g o n a l d e u n re c ­ tá n g u lo , q u e e s e n s í u n tip o d e p a ra le lo g ra m o . A los la d o s d e l re c tá n g u lo q u e se e n c u e n ­ tr a n a lo la rg o d e lo s e jes x y y se le s lla m a c o m p o n e n te s recta n g u la res d e l vecto r A , y se d e n o ta n c o m o \ x y A y, re s p e c tiv a m e n te . Ya q u e e l v e c to r A e s la d ia g o n a l d e l re c tá n g u lo , A se c o n v ie rte e n la re s u lta n te d e lo s v e c to re s A x y A y. P o r ta n to , p o d e m o s e sc rib ir el v e c ­ to r c o m o A = A x + A y. D e m a n e r a sim ilar, se d ib u ja n lín e a s p a ra le la s a los e je s.v y y d e m o d o q u e e l v e c to r B se c o n v ie rta e n la d ia g o n a l d e u n re c tá n g u lo . L o s la d o s d e l re c tá n ­ g u lo q u e y a c e n a lo la rg o d e los e jes x y y so n lo s c o m p o n e n te s re c ta n g u la re s d e l v e c to r B y se d e n o ta n c o m o B v y B v, re s p e c tiv a m e n te . D e a h í q u e p o d a m o s e s c rib ir e l v e c to r c o m o B = B , + B v. A h o r a p o d e m o s e s c rib ir la re s u lta n te d e A y B co m o :

A

r r\a y

B

/

i

A, ¡ • ii

B* i i i i

X

F ig u r a 4 .8 Com ponentes de vectores.

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C a p ítu lo 4

M ecánica

R = A + B = (A * + B v) + ( A y + B y).

(4.1)

L a m a g n itu d d e lo s c o m p o n e n te s d e A y B se p u e d e e s c rib ir e n té rm in o s d e lo s á n g u ­ lo s q u e d e fin e n las d ire c c io n e s d e los v e c to re s. A p a r tir d e las d e fin ic io n e s d e la s fu n c io ­ n e s trig o n o m é tric a s p a ra e l c o se n o y e l se n o , lo s c o m p o n e n te s .v y y d e A son: A x = A eos a

(4.2)

A y = A sen a

(4.3)

y

d o n d e A e s la m a g n itu d d e A . D e m a n e ra sim ila r, lo s c o m p o n e n te s x y y d e B son: B x = B e o s /3

(4.4)

B y = B sen /3

(4.5)

y

d o n d e B e s la m a g n itu d d e B. A lte rn a tiv a m e n te , ta m b ié n p o d e m o s v e r a p a r t ir d e la trig o ­ n o m e tría q u e : A y = A x ta n a

(4.6)

B y = B x ta n /3.

(4.7)

y

L a s m a g n itu d e s d e A y B fo rm a n la h ip o te n u s a d e su s re s p e c tiv o s triá n g u lo s re c tá n g u lo s, p o r lo q u e , a p a r tir d e l te o re m a d e P itá g o ra s , p o d e m o s e sc rib ir:

4.2.3

A = V A 2x + A 2y

(4.8)

B = V B 2x + B 2 .

(4.9)

V e c to re s u n ita rio s

L a ju stific a c ió n p a ra a g ru p a r los c o m p o n e n te s x y los c o m p o n e n te s y d e c a d a v e c to r e n la e c u a c ió n (4.1) se b a sa e n e l c o n c e p to d e los vectores unitarios, los c u a le s s o n vecto res adim e n sio n a le s d e lo n g itu d u n ita ria u tiliza d o s p a ra esp ecifica r u n a dirección d a d a . L o s v e c to ­ re s u n ita rio s n o tie n e n a lg ú n o tr o sig n ificad o físico. L o s m á s c o m u n e s so n los rectangulares o v e c to re s u n ita rio s c a rte s ia n o s, in d ic a d o s m e d ia n te i, j y k. E s to s v e c to re s c o in c id e n con lo s e je s x , y y z , re s p e c tiv a m e n te , c o m o se m u e s tra e n la fig u ra 4.9. L o s v e c to re s u n ita rio s re c ta n g u la re s fo rm a n u n c o n ju n to d e v e c to re s m u tu a m e n te p e rp e n d ic u la re s y se u tilizan p a ra e sp e c ific a r la d ire c c ió n d e u n v e c to r e n u n e sp a c io trid im e n sio n a l. Si la c a n tid a d q u e n o s in te re sa s e p u e d e d e sc rib ir c o n un v e c to r b id im e n sio n a l,só lo se re q u ie re n los v e c to re s u n ita rio s i y j. L o s v e c to re s A y B, m o s tra d o s e n la fig u ra 4.8, se e n ­ c u e n tr a n e n e l p la n o x -y , p o r lo q u e se p u e d e n re p re s e n ta r p o r los v e c to re s u n ita rio s i y j.

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Sección 4 .2

E sca la re s y vectores

Figura 4.9 Vectores unitarios rectangulares.

E l c o m p o n e n te x d e A tie n e u n a m a g n itu d d e A x , y e l c o m p o n e n te v d e A tie n e u n a m a g n i­ tu d d e A y. O b s e rv e q u e las c a n tid a d e s A x y A y n o s o n v ecto res, sin o escalares, p o rq u e sólo re p re s e n ta n m ag n itu d es. L o s c o m p o n e n te s v e c to ria le s Av y Avse p u e d e n e s c rib ir c o m o p ro d u c to s d e un e sc a lar y u n v e c to r u n ita rio c o m o Av = A xi y A>( = A j . P o r ta n to , e l v e c to r A se e x p re s a com o:

A = A x\ + A j

(4.10)

B = B x\ + ¿ y .

(4.11)

y e l v e c to r B se e x p re s a com o:

R e s c rib ie n d o la e c u a c ió n (4 .1 ) e n té rm in o s d e los g ru p o s d e c o m p o n e n te s x y y , la re s u l­ ta n te d e A y B es: r = a + B = ( A x + Bx )\ + ( A y + By)j.

(4.12)

L o s c o m p o n e n te s re c ta n g u la re s d e l v e c to r re s u lta n te R e s tá n d a d o s por: B,

(4.13)

R y — A y + By.

(4.14)

R, = Ax

D e a h í q u e la e c u a c ió n (4 .1 2 ) s e p u e d e e sc rib ir com o:

R = R , i + R yj

(4.15)

d o n d e R x y R y s o n los c o m p o n e n te s x y y d e R. c o m o se m u e s tra e n la fig u ra 4.10. P o r tri­ g o n o m e tría p o d e m o s e sc rib ir: R x = R e o s f)

(4.16)

R y = R sen 0

(4.17)

R y = R x ta n 6.

(4.18)

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97

98

C a p ítu lo 4

M ecánica

F ig u r a 4 . 1 0 Vector resultante.

L a m a g n itu d d e R fo rm a la h ip o te n u s a d e u n triá n g u lo re c tá n g u lo . D e a h í q u e , s e g ú n el te o re m a d e P itá g o ra s , te n em o s:

R = V r 2x + R 2y.

(4.19)

E JE M P L O 4 .1 D o s v e c to re s tie n e n m a g n itu d e s d e A 8 y B = 6 , y la s d ire c c io n e s m o s tra d a s e n la figu­ ra 4. 11(í7). E n c u e n tr e e l v e c to r re s u lta n te u tiliz a n d o : a ) la ley d e l p a ra le lo g ra m o , y b ) r e ­ s o lv ie n d o lo s v e c to re s e n su s c o m p o n e n te s x y y. S o lu c ió n

a) L ey del paralelogram o E n la fig u ra 4 .1 1 (6 ) se m u e s tra e l p a ra le lo g ra m o p a ra lo s v e c to re s A y B . P a ra e n c o n tra r la m a g n itu d y d ire c c ió n d e l v e c to r re s u lta n te R d e b e n d e te rm in a rs e a lg u n o s án g u lo s. Por re s ta , e l á n g u lo a g u d o e n tr e los v e c to re s e s d e 45°. L a s u m a d e lo s á n g u lo s in te rio re s d e u n c u a d r ilá te ro e s d e 360°, p o r lo q u e se e n c u e n tr a q u e e l á n g u lo a d y a c e n te m id e 135°. L a m a g n itu d d e R se p u e d e e n c o n tr a r u tiliz a n d o la ley d e lo s co sen o s: R = V ó 2 + 82 - 2 ( 6 ) (8 ) e o s 135° R = V 3 6 + 64 - 9 6 ( -0 .7 0 7 1 ) = 12.96. L a d ire c c ió n d e R se d e te r m in a c a lc u la n d o e l á n g u lo 9. U tiliz a n d o la le y d e lo s s e n o s te ­ n em o s: s e n 9 _ s e n 135°

6

“ 12.96 sen 9 = 0.3274 9 = s e n "1(0 .3 2 7 4 ) = 19.1°. P o r ta n to , e l á n g u lo d e R re s p e c to d e l e je p o sitiv o x es: = 19.1° + 15° = 34.1°.

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Sección 4 .2

E sca la re s y vectores

= 135*

F igura 4 .1 1 Ejem plo 4 .1 .

A h o r a se h a d e fin id o to ta lm e n te e l v e c to r re s u lta n te R ,y a q u e se h a n d e te r m in a d o ta n to s u d ire c c ió n c o m o su m a g n itu d . b) C o m p o n en te s d e lo s vectores E n la fig u ra 4.1 l( c ) se h a n re s u e lto lo s v e c to re s A y B e n s u s c o m p o n e n te s x y y . L a s m a g ­ n itu d e s d e e s to s c o m p o n e n te s son: A x = A e o s 15° = 8 e o s 15° = 7.7274 A v = A s e n 15° = 8 s e n 15° = 2.0706

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C a p í tub 4

M ecán ica

B x = B e o s 60° = 6 e o s 60° = 3 B y = B s e n 60° = 6 sen 60° = 5.1962. A h o r a lo s v e c to re s A y B s e p u e d e n e s c rib ir e n té rm in o s d e lo s v e c to re s u n ita rio s i y j:

A = A xi + A j = 7.7274Í + 2.0706j B = B x\ + B $ = 3¡ + 5.1962j. E l v e c to r re s u lta n te R es:

R = A + B = iy

+ R $ = (7.7274 + 3)¡ + (2.0706 + 5.1962)j = 10.72741 + 7.2668j.

É s ta e s la re s p u e s ta , p e ro p a ra c o m p a ra rla c o n la o b te n id a p o r la ley d e l p a ra le lo g ra m o d e b e m o s e n c o n tr a r la m a g n itu d d e R y su d ire c c ió n re s p e c to d e l e je p o sitiv o x . U s a n d o el te o r e m a d e P itá g o ra s e n c o n tr a m o s q u e la m a g n itu d d e R es:

R = V10.72742 + 7.26682 = 12.96. L a d ire c c ió n e s tá d a d a por:

R y = R x ta n R e s o lv ie n d o p a ra el á n g u lo o b te n e m o s : = ta n -1( - 1 .3 2 7 /1 .8 4 3 ) = - 3 5 .8 ° d o n d e e l sig n o m e n o s e n e l á n g u lo e s c o n s is te n te c o n e l h e c h o q u e F/¿ re s id e e n e l c u a rto c u a d r a n te , c o m o se m u e s tra e n la fig u ra 4.15.

F ig u r a 4 .1 5 Fue iz a resultante p a ra el ejem plo 4 .4 .

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Sección 4 .3

¡Practique! 1. E n c u e n tr e la fu e rz a re s u lta n te d e las fu e rz a s m o s tra d a s : a ) u s a n d o la ley d e l p a ra le lo g ra m o , y b ) re s o lv ie n d o la s fu e rz a s e n s u s c o m p o n e n te s * y y. R espuesta: 178 N , -1 5 .1 ° .

2. E n c u e n tre la fu e rz a re s u lta n te p a ra la s fu e rz a s m o stra d a s: a ) u tiliz a n d o la ley d e l p a ra le lo g ra m o , y b ) re s o lv ie n d o las fu e rz a s e n su s c o m p o n e n te s x y yR espuesta: 166 N , 5.5°.

3. E n c u e n tre la fu e rz a re s u lta n te p a ra las fu e rz a s m o stra d as: a ) u tiliz a n d o la ley d e l p a ra le lo g ra m o , y b ) re s o lv ie n d o las fu e rz a s e n su s c o m p o n e n te s * y y. R espuesta: 2 6 .0 N, 75.0°.

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Fuerzas

105

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C a p í tub 4

M ecán ica

4. C o n sid e re las tre s fu e rz a s F¡ = 5¡ + 2j k N ; F 2 = —2 i - 5j k N , y F 3 = i — j kN . E n c u e n tr e la fu e rz a re s u lta n te , s u m a g n itu d y d ire c c ió n re s p e c to d e l e je x positivo. R e sp u e sta : 4i - 4j kN , 5.66 k N , -4 5 .0 ° . 5. C o n sid e re las tre s fu e rz as F 'j = 2¡ - 7 j lbf; F 2 = 5i + 8j lbf, y F 3 = 3 i + 4 j lbf. E n c u e n tre la fu e rz a re s u lta n te , su m a g n itu d y d ire c c ió n re s p e c to d e l e je x positivo. R e sp u e sta : lOi + 5 j lbf, 11.2 lbf, 26.6°.

6. C o n sid e re las tre s fu e rz a s F j = 3 i + 5j - 2 k N ; F 2 = - i - 4 j + 3 k N ,y F 3 = 2i - 2 j + 6k N. E n c u e n tr e la fu e rz a re s u lta n te y su m a g n itu d . R e sp u e sta : 4i - j + 7 k N, 8.12 N.

A P L IC A C IO N Estab ilizació n d e u n a to rre d e co m u n icacio n es con ca b le s C o n frecuencia la s e stru c tu ra s a lta s y e sb e lta s incluyen cab les q u e las estab ilizan . L o s cables, q u e s e c o n ec ta n e n d iv e rso s p u n to s a lre d e d o r d e la e stru c tu ra y a lo la rg o d e su lo n g itu d , se c o n e c ta n c o n a n cla s d e c o n c re to e n te r ra d a s e n e l suelo. E n la figura 4 .1 6 (a) se m u e stra una típica to rr e d e co m u n icacio n es e sta b iliz a d a c o n v a rio s c a b le s E n e sta to rr e e n p a rtic u la r, ca­ d a ancla e n e l p iso p e rm ite q u e se c o n e c te n d o s c ab le s e n u n p u n to c o m ú n , c o m o s e m u estra e n la figura 4.1 6 (6 ). L o s c ab le s s u p e rio r e in fe rio r e je rc e n fu erzas d e 15 k N y 25 kN, re sp ec ti­ v a m e n te , y su s d ire c cio n e s so n d e 45° y 32°, resp ec tiv a m en te, m e d id o s d e sd e e l piso [figura 4.16(c)]. ¿C uál e s la fu e rz a re s u lta n te q u e e je rc e n los c ab le s s o b re e l a n cla d e l piso? C u a lq u ie r p a r d e fu e rz as e n e l e sp a c io trid im e n sio n a l ra d ic a e n u n so lo p lan o , p o r lo q u e p o d e m o s lo calizar a rb itra ria m e n te n u e stra fu e rz a d e d o s c a b le s e n e l p la n o x -y . P o r ta n ­ to, te n e m o s d o s fu e rz as c o p la n a re s q u e a c tú a n d e fo rm a c o n c u rre n te s o b re e l o rig e n . P e rm i­ tim o s q u e F\ 15 k N y F 2 = 25 kN. R e so lv e m o s las fu e rz as e n s u s c o m p o n e n te s x y y: Fu = F íy = F ix = F 2y =

F \ eos F xsen F2 eos F 2s e n

45° 45° 32° 32°

= = = =

15 e o s 4 5 ° 15 s e n 4 5 ° 25 e o s 32° 25 s e n 3 2 °

= = = =

10.607 10.607 21.201 13.248

kN kN kN kN

A h o r a la s fu e rz a s se p u e d e n e s c rib ir e n té rm in o s d e lo s v e c to re s u n ita rio s i y j: F j = Fix i + Flyj = 10.6071 + 10.607J kN F 2 = F2x\ + F2>j = 21.201 i + 13.248j kN .

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Sección 4 .3

(a )

(b )

(c )

F ig u r a 4 . 1 6 To n e d e com unicaciones esta b iliza d a con cab les.

L a fu e rz a re s u lta n te F * e s la s u m a v e c to ria l d e la s d o s fu erzas. S u m a n d o los c o m p o n e n te s c o rre s p o n d ie n te s o b te n e m o s: F R = (10.607 + 21.201 )i + (10.607 + 13.248)j = 31.808Í + 23.855j k N . L a m a g n itu d d e F * es: Fr =

+

F &

= V 3 1 .8 0 8 2 + 23.8552 = 39.76 k N

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Fuerzas

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C a p í tub 4

M ecán ica

y la d ire c c ió n d e F * re s p e c to d e l s u e lo es: 4> = ta n " 1(2 3 .8 5 5 /3 1 .8 0 8 ) = 36.9°. ¿ Q u é significa n u e s tra re s p u e s ta y c ó m o s e u tiliz a ría ? L a fu e rz a re s u lta n te la u saría u n in g e n ie ro (p ro b a b le m e n te u n in g e n ie ro civil) p a ra d is e ñ a r e l a n c la d e c o n c re to . U n a fu e rz a d e casi 40 k N d irig id a e n u n á n g u lo d e a p ro x im a d a m e n te 37° re s p e c to d e l su elo te n ­ d r ía la te n d e n c ia a tir a r d e l an cla fu e ra d e l piso. Si n o se d is e ñ a a d e c u a d a m e n te , e l a n cla p o d ría lle g a r a d e s p re n d e rs e o a ro m p e rs e b a jo la c a rg a , p ro d u c ie n d o a sí u n a fu e rz a d e s e ­ q u ilib ra d a e n la to rre . O b s e rv e c o n c u id a d o la fig u ra 4 .1 6 (6 ). N o te q u e los d o s c ab le s se c o ­ n e c ta n m e d ia n te te n s o re s a u n a n illo in s e rta d o e n u n a so la v a rilla q u e p e n e tra e n e l a n cla d e c o n c re to , la c u al n o a p a re c e . L a fu e rz a re s u lta n te ta m b ié n se u tiliz a ría p a ra d e te rm in a r la in te g rid a d e s tr u c tu r a l d e l e n sa m b le d e l a n illo y la varilla.

4 .4 D IA G R A M A S D E C U ER P O U B R E U n o d e los p a so s m á s im p o rta n te s e n e l p ro c e d im ie n to g e n e ra l d e a n álisis e s c o n s tru ir un d ia g ra m a d e l siste m a q u e se e s tá a n a liz a n d o . E n m e cá n ic a, a e s te d ia g ra m a se le c o n o c e c o ­ m o d ia g ra m a d e c u erp o libre. U n diagram a d e cuerp o libre m u e stra to d a s las fu e rz a s e xte r­ n a s q u e a ctúan s o b re e l cu erp o . C o m o e l té rm in o lo indica, s ó lo m u e s tra e l c u e rp o e n c u e s tió n , a isla d o o “ lib re ” d e to d o s los d e m á s cu erp o s. E l c u e rp o se re tira c o n c e p tu a lm e n ­ te d e to d o s lo s s o p o rte s, c o n e x io n e s y re g io n e s d e c o n ta c to c o n o tro s c u e rp o s. T o d a s las fu e rz a s p ro d u c id a s p o r e sta s in flu en cias e x te rn a s se re p re s e n ta n d e m a n e ra e sq u e m á tic a e n e l d ia g ra m a d e c u e rp o libre. E n é s te , só lo se c o n s id e ra n e n e l a n álisis la s fu e rz as exte r­ n a s q u e a c tú a n s o b re e l c u e rp o e n c u e stió n . P u e d e n e x istir m u c h as fuerzas internas (e s d e ­ cir, a q u e lla s o rig in a d a s d e n tro d e l c u e rp o q u e a c tú a n s o b re o tra s p a r te s d e l m ism o ), p e ro se p u e d e d e m o s tr a r q u e é s ta s se c a n c e la n u n a a o tr a y p o r ta n to n o c o n trib u y e n a l e sta d o m e cá n ic o g lo b a l d e l c u e rp o . E l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re e s u n a d e las p a rte s m á s críticas d e l a n á lisis m e cán ico . C o n c e n tra la a te n c ió n d e l in g e n ie ro s o b re e l c u e rp o q u e se e s tá a n a ­ liz a n d o y a y u d a a id e n tific a r to d a s las fu e rz a s e x te rn a s q u e a c tú a n s o b re é l.T a m b ié n a y u ­ d a a l in g e n ie ro a e sc rib ir las e c u a c io n e s d e te r m in a n te s c o rrectas. L o s d ia g ra m a s d e c u e rp o lib re se u tiliz a n e n e stá tic a , d in á m ic a y m e cá n ic a d e m a te ­ riales. p e ro e n e ste lib ro se e n fa tiz a rá su a p lic a c ió n e n la e stá tic a y la m ecán ica d e m a te ria ­ les. L a estática e s la ra m a d e la m e cá n ic a q u e tra ta d e lo s c u e rp o s e n e q u ilib rio e stá tic o . Si u n c u e r p o e s tá e n e q u ilib rio e stá tic o , las fu e rz as e x te rn a s h a c e n q u e se e n c u e n tre e n u n e s ­ ta d o d e b alan ce. A u n q u e e l c u e rp o n o se m u e v a , e x p e rim e n ta e sfu e rz o s y d e fo rm a c io n e s q u e d e b e n d e te rm in a rs e si se v a a e v a lu a r su d e s e m p e ñ o c o m o e le m e n to e s tru c tu ra l. P a ra d e te r m in a r las fu e rz as q u e a c tú a n s o b re u n c u e rp o , d e b e c o n s tru irs e u n d ia g ra m a d e c u e r ­ p o libre d e m a n e r a a p ro p ia d a . P ro ced im ien to para construir diagram as d e cuerp o libre D e b e o b se rv a rse e l sig u ie n te p ro c e d im ie n to p a ra c o n s tru ir d ia g ra m a s d e c u e rp o libre: 1. Id e n tifiq u e e l c u e rp o q u e d e se a a isla r y h a g a u n d ib u jo s im p le d e él. 2. T ra c e lo s vecto res d e fu e r z a a p ro p ia d o s d o n d e se lo c aliza n lo s s o p o rte s , c o n e x io n e s y c o n ta c to s c o n o tro s cu erp o s. 3. D ib u je u n v e c to r d e fu e rz a p a ra e l p e s o d e l c u e rp o , a m e n o s q u e e n e l a n álisis se d e s ­ p re c ie la fu e rz a g ra v ita c io n a l. 4. D e sig n e c o n u n v a lo r n u m é ric o to d a s las fu e rz a s q u e se c o n o c e n , y c o n u n a le tra las q u e n o se c o n o c e n . 5. D ib u je u n siste m a d e c o o rd e n a d a s e n , o c erca d e l c u e r p o lib re p a ra e s ta b le c e r las d i­ re c c io n e s d e la s fu erzas.

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Sección 4 .4

D ia g ra m a s d e cuerp o lib re

109

6. A g re g u e ciatos g e o m é tric o s, c o m o lo n g itu d e s y á n g u lo s, s e g ú n se re q u ie ra . E n la fig u ra 4.17 se ilu s tra n d ia g ra m a s d e c u e rp o lib re p a ra a lg u n a s d e la s c o n fig u ra c io n e s d e fu e rz a s m á s c o m u n es. C o n f ig u r a c ió n

D ia g r a m a d e c u e rp o lib re

C o m e n t a r io s

F u e rz a g ra v ita c io n a l L a fu e rz a g ra v ita c io n a l a c tú a a tra v é s d e l c e n tro d e g ra ve d a d

G.

F u e rz a d e cable L a f u e rz a d e te n s ió n

T en

u n c a b le s ie m p r e se d irig e a l o la rg o d e l e je d e l cable.

Peso d e l c a b le d e s p re c ia d o

Peso d e l c a b le i n c lu id o F u e rz a d e c o n ta c to P a ra s u p e rfic ie s lisas, la f u e rz a d e c o n ta c to N se d irig e h a cia e l c u e rp o , n o r m a l a la ta n g e n te d ib u ja d a a tra v é s d e l p u n to d e co n ta c to .

P a ra s u p e rfic ie s ru go sa s e x iste n d o s fu e rza s : u n a f u e rz a n o r m a l N y u n a f u e rz a d e f r ic c ió n

F.

E s ta s d o s fu e rza s so n p e rp e n d ic u la re s e n t r e sí. L a f u e rz a d e f r ic c ió n

F

a c tú a e n la d ire c c ió n que S u p e rfic ie s ru g o sa s

se o p o n e al m o v im ie n t o , o b s ta c u liz á n d o lo .

S o p o r te d e r o d illo U n r o d illo s o p o rta u n a f u e rz a n o r m a l, p e ro n o u n a f u e rz a d e fric c ió n , d e b id o a q u e ésta hace q u e e l r o d illo g ire .

U n a c o n e x ió n d e p e rn o p u e d e s o p o rt a r u n a fu e rza d e re a c c ió n e n c u a lq u ie r d ire c c ió n e n e l p la n o n o r m a l a l e je d e l p e rn o . E s ta fu e rz a se p u e d e re s o lv e r e n sus c o m p o n e n te s

R x y R y.

F ig u r a 4 .1 7 D ia g ra m a s de cuerpo lib re p a ra algunas configuraciones com unes de fuerzas.

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Capítu lo 4

M ecán ica

Éxito

profesional

N o c o m ie n c e a la m ita d d e u n p ro b le m a E s p a rte d e la n a tu ra le z a h u m a n a tr a ta r d e te r m in a r u n tra b a jo e n la m e n o r c a n ti­ d a d d e tie m p o posible. A lg u n a s v e ce s to m a m o s a ta jo s sin te n e r tie m p o su fic ien te p a ra a s e g u ra rn o s d e q u e el tra b a jo se re a liza d e m a n e ra m e tic u lo sa . A l ig u a l q u e to d o s, lo s in g e n ie ro s s o n ta m b ié n h u m a n o s y a lg u n a s v e c e s d e s e a n to m a r a ta jo s p a ra la so lu ció n d e u n p ro b le m a . P u e d e n to m a rlo s d e b id o a u n a v a rie d a d d e ra z o ­ nes. Q u iz á s s im p le m e n te e s té n s o b re c a rg a d o s d e tra b a jo y la ú nica m a n e ra d e c u m p lir c o n las fe c h as d e e n tre g a e s e m p le a r m e n o s tie m p o e n c a d a p ro b le m a . Q u iz á e l g e re n te d e l in g e n ie ro tie n e e x p e c ta tiv a s fa lsas y n o p re s u p u e s ta e l tie m ­ p o su fic ie n te p a ra c ad a p ro y e c to . A u n q u e lo s m o tiv o s re la c io n a d o s c o n e l tie m p o y e l p re s u p u e s to s o n lo s u fic ie n te m e n te serio s c o m o p a ra g a ra n tiz a r u n a acció n c o rre c tiv a , p o r lo g e n e ra l n o s o n la s ra z o n e s p o r las q u e lo s in g e n ie ro s to m a n a ta ­ jo s e n s u tra b a jo a n alítico . E n re a lid a d lo s to m a n p o rq u e se h a n re la ja d o e n sus p rá c tic a s d e re so lu ció n d e p ro b le m a s, o h a n o lv id a d o c ó m o re a liz a r u n análisis m e tic u lo so . Q u iz á h a n o lv id a d o a lg u n o d e lo s p a so s e n e l p ro c e d im ie n to g e n eral d e análisis, o q u iz á p e o r, n u n c a los a p re n d ie ro n . I n d e p e n d ie n te m e n te d e la s ra z o n e s im p lícitas, la p rá c tic a d e to m a r a ta jo s p a ra la re s o lu c ió n d e p ro b le m a s p u e d e p ro v o c a r q u e un in g e n ie ro c o m ie n c e u n a n á lisis “ a la m ita d d e l p ro b le m a ” . ¿ C ó m o s u c e d e e s to ? E n su in te n to p o r re s o l­ v e r e l p ro b le m a d e m a n e r a m á s e fic ie n te , e l in g e n ie ro p u e d e d e s e a r ir d ire c to a las e c u a c io n e s y cálcu lo s. L le n d o d ire c ta m e n te a los p a so s d e la s e cu a c io n e s d e ­ te rm in a n tes y c á lcu lo s d e l p ro c e d im ie n to d e a n álisis se o m ite n tr e s p a so s c ru c ia ­ les: la d e fin ic ió n d e l p ro b le m a , e l d ia g ra m a y lo s su p u e sto s. ¿ C ó m o p u e d e u n in g e n ie ro re s o lv e r u n p ro b le m a si n i s iq u ie ra lo d e fin e ? E l in g e n ie ro , a la d e fe n s i­ v a , p u e d e e x c la m a r: “ P e ro y o sé c u ál e s la d e fin ic ió n d e l p ro b le m a . E s tá e n m i c a ­ b e z a .” jP e ro u n a d e fin ic ió n n o e s c rita d e u n p ro b le m a n o e s u n a d e fin ic ió n d e l p ro b le m a ! Q u ie n e s re v is e n e l a n álisis n o p u e d e n le e r la m e n te . U n b u e n in g e n ie ­ r o d o c u m e n ta to d o p o r e sc rito , in c lu y e n d o las d e fin ic io n e s d e lo s p ro b le m a s. A l­ g u n o p u e d e d e cir: “ T o d o s s a b e n e x a c ta m e n te c ó m o se v e n los c o m p o n e n te s , y las fu e rz a s q u e a c tú a n s o b re e llo s so n d ire c ta s. E s in n e c e s a rio u n d ia g ra m a d e c u e r ­ p o lib re.” T o d o s p u e d e n e s ta r ín tim a m e n te fa m ilia riz a d o s c o n la c o n fig u ra c ió n d e l c o m p o n e n te y la s c arg as d e l d ía d e hoy, p e ro 18 m e se s d e sp u é s, c u a n d o se re v a lú e e l a n álisis p o rq u e e l c o m p o n e n te fa lló e n su p rim e r a ñ o d e serv icio , n a ­ d ie , in c lu y e n d o a l in g e n ie ro q u e re a liz ó e l a n álisis, p u e d e re c o rd a r to d o s lo s d e ta ­ lles. U n a v e z m ás, la d o c u m e n ta c ió n e sc rita e s fu n d a m e n ta l. L a fo rm u la c ió n d e b u e n o s s u p u e s to s e s ta n to u n a r te c o m o u n a c ien cia. U n in g e n ie ro a p re s u ra d o p u e d e d e c la ra r: “ L o s s u p u e s to s s o n obvios. N o so n la g ra n c o sa .” P u e d e s e r q u e s e a n o b v io s o n o , p e ro so n c rític o s p a ra e l re s u lta d o d e l p ro b le m a . L o s s u p u e s to s d e b e n d e fin irse d e fo rm a e x p líc ita , y las e c u a c io n e s d e te rm in a n te s y c álc u lo s d e ­ b e n s e r c o n sis te n te s c o n ellos. Si e l c o m p o n e n te fa lló e n e l p rim e r a ñ o d e serv icio , q u iz á e s p o i q u e e l in g e n ie ro p e n s ó q u e lo s s u p u e s to s e ra n obvios, p e ro re a lm e n te n o lo e ra n , lo q u e p ro d u jo u n a n á lisis d e fe c tu o s o y la falla d e u n c o m p o n e n te . M ie n tra s e s té e n la e sc u e la , d e s a rro lle e l h á b ito d e a p lic a r d e m a n e ra c o n ­ c ie rn e e l p ro c e d im ie n to g e n e r a l d e a n á lisis p a ra to d o s su s tra b a jo s d e re so lu ció n a n a lític a d e p ro b le m a s. D e sp u é s, c u a n d o h a g a la tra n s ic ió n d e e s tu d ia n te a p ro fe ­ s io n a l d e in g e n ie ría , n o e x p e rim e n ta rá los e r r o r e s d e c o m e n z a r “ a la m ita d d e l p ro b le m a ” .

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Sección 4 .4

D ia g ra m a s d e cuerp o lib re

¡Practique! 1. U n a c a ja c u e lg a d e u n a c u e rd a c o m o se m u e stra . C o n stru y a u n d ia g ra m a de c u e r p o lib re p a ra la caja.

R espuesta:

T

I

,

W

2. D o s c aja s c u e lg a n d e c u e rd a s d e l te c h o c o m o se m u e s tra . C o n stru y a u n d ia ­ g ra m a d e c u e rp o lib re d e : a ) la c a ja A , y b ) la c a ja B.

•

•

El —A— •

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R espuesta : Ti

■\ A

wA

T2

t2

JL B

T wB

3. U n b lo q u e d e m a d e ra re p o s a s o b re u n p la n o ru g o s o in clin ad o , c o m o se m u e stra . C o n stru y a u n d ia g ra m a d e c u e r p o lib re d e l bloque.

R espuesta :

W

N

4. U n a v ig a I c a r g a d a d e fo rm a o b lic u a se s o stie n e m e d ia n te u n ro d illo e n A y u n p e rn o e n /? ,c o m o se m u e s tra . C o n s tru y a u n d ia g ra m a d e c u e rp o libre d e la viga. In c lu y a e l p e so d e é sta .

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Sección 4 .4

D ia g ra m a s d e cuerp o lib re

R espuesta: 30 kN

I

W

5. D o s tu b o s re p o s a n s o b re u n c an a l g ra n d e e n fo rm a d e V ,c o m o se m u e stra . C o n s tru y a u n d ia g ra m a d e c u e r p o lib re d e c a d a tu b o .

R espuesta:

6. Lina c a ja se m a n tie n e e n p o sició n s o b re la c a m a d e u n c a m ió n s o ste n id a p o r u n c a b le , c o m o se m u e s tra . L a s u p e rfic ie d e la c a m a d e l c a m ió n e s lisa. C o n s tru y a u n d ia g ra m a d e c u e r p o lib re d e la caja.

R espuesta:

W

N

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1 13

114

Capitu lo 4

M ecán ica

4 .5 EQ U ILIBRIO E l equilibrio e s u n e s ta d o d e b a la n c e e n tr e fu e rz a s o p u e s ta s y e s u n o d e los c o n c e p to s m á s im p o r ta n te s e n la in g e n ie ría m e c á n ic a . E x iste n d o s tip o s d e e q u ilib rio e n e s ta d isci­ p lin a : e stá tic o y d in á m ic o . Si un c u e rp o se e n c u e n tra e n e q u ilib rio e stá tic o , n o se m ueve, m ie n tra s q u e si se e n c u e n tra e n e q u ilib rio d in á m ic o , se m u e v e a v e lo c id a d c o n s ta n te . E n e s te lib ro re s trin g ire m o s n u e s tro s c o m e n ta rio s a l e q u ilib rio e stá tic o , y d e é s te , a lo s s is te ­ m a s d e fu e rz a s c o n cu rren tes. E n u n s is te m a d e e s te tip o las lín e a s d e a c c ió n d e to d a s las fu e rz a s p a sa n p o r u n s o lo p u n to , p o r lo q u e n o tie n e n la te n d e n c ia a h a c e r g ira r e l c u e rp o . P o r ta n to , n o e x is te n m o m e n to s d e fu e r z a c o n lo s c u a le s tr a ta r , s ó lo la s p ro p ia s fu erzas. Ya q u e é sta s a c tú a n d e fo rm a c o n c u rre n te , e l c u e r p o se c o n v ie r te e n re a lid a d e n u n a p a rtíc u ­ la (e s d e c ir, u n p u n to a d im e n s io n a l e n e l e sp a c io s o b re e l c u a l a c tú a n la s fu e rz a s). E l c u e r ­ p o re a l p u e d e s e r o n o u n a p a rtíc u la , p e ro se m o d e la c o m o ta l p a ra e fe c to s d e l análisis. E s te c o n c e p to s e d e m o s tra r á e n a lg u n o s e je m p lo s p o ste rio re s. U n c u e r p o se e n cu e n tra en eq u ilib rio está tico o d in á m ic o si la s u m a vecto ria l d e todas la s fu e r z a s extern a s es cero. C o n s is te n te c o n e s ta d e fin ic ió n , la c o n d ic ió n d e e q u ilib rio se p u e d e e s ta b le c e r m a te m á tic a m e n te c o m o : 2F = 0

(4.20)

d o n d e e l s ím b o lo d e s u m a to ria X d e n o ta la s u m a d e to d a s las fu e rz a s e x te rn a s. O b se rv e q u e e l c e ro se e sc rib e c o m o v e c to r p a ra p re s e rv a r e l c a r á c te r v e c to ria l d e la e c u a c ió n a tra v é s d e l sig n o igual. L a e c u a c ió n (4 .2 0 ) e s u n a c o n d ició n n e c e s a ria y su fic ie n te d e e q u i­ lib rio c o n fo rm e a la s e g u n d a ley d e N e w to n . q u e s e p u e d e e s c rib ir c o m o X F = m a . Si la s u m a d e fu e rz as e s c e ro , e n to n c e s m a = 0. L a c a n tid a d m e s u n e s c a la r q u e se p u e d e s e p a ­ ra r, d e ja n d o a = 0. P o r ta n to , la a c e le ra c ió n e s c e ro , p o r lo q u e e l c u e rp o se m u e v e a v e lo ­ c id a d c o n s ta n te o p e rm a n e c e e n re p o s o . L a e c u a c ió n (4 .2 0 ) e s u n a e c u a c ió n v e c to ria l q u e se p u e d e d e s c o m p o n e r e n su s c o m p o n e n te s e sc a la re s. Si la e sc rib im o s e n té rm in o s d e los v e c to re s u n ita rio s ¡,j y k, o b te n e m o s: 2 F x i + X F j + X F ?k = 0

(4.21)

d o n d e lo s tre s té rm in o s d e l la d o iz q u ie rd o so n la s fu e rz a s escalares to ta le s e n la s d ire c c io ­ n e s .v,}' y z , re s p e c tiv a m e n te . L a e c u a c ió n (4.21) só lo se p u e d e s a tis fa c e r si la s u m a d e las fu e rz a s e sc a la re s e n c a d a d ire c c ió n c o o rd e n a d a e s c e ro . D e a h í q u e te n e m o s tre s e c u a c io ­ n e s e sc a lares: S F X = 0 , X F y = 0 , 1 F Z = 0.

(4.22)

A e sta s re la c io n e s se le s c o n o c e c o m o e cu a c io n e s d e eq u ilib rio d e u n a p a n íc u la . D e b e s a ­ tisfa c e rse c a d a u n a d e e s ta s tre s e c u a c io n e s e s c a la re s p a ra q u e la p a rtíc u la se e n c u e n tre e n e q u ilib rio . Si n o se s a tisfa c e c u a lq u iera d e ellas, la p a rtíc u la n o e s tá e n e q u ilib rio . Por e je m p lo , si XF* = 0 y X F y = 0, p e ro X F Z ^ 0, la p a rtíc u la e s ta rá e n e q u ilib rio e n la s d i­ re c c io n e s x y y , p e ro a c e le ra rá e n la d ire c c ió n z . D e m a n e ra sim ilar, si XF* = 0 , p e ro X F y t* 0 y XF¿> 0, la p a rtíc u la e s ta r á e n e q u ilib rio e n la d ire c c ió n x , p e ro te n d r á c o m ­ p o n e n te s d e a c e le ra c ió n e n la s d ire c c io n e s y y z . L a s fó rm u la s (4 .2 2 ) s o n las e c u a c io n e s d e te r m in a n te s p a ra u n a p a rtíc u la e n e q u ili­ b rio . L a s fu e rz a s e x te rn a s d e s c o n o c id a s se p u e d e n d e te r m in a r u tiliz a n d o e s a s e c u a c io n e s y u n d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e la p a rtíc u la . C o n sid e re la p a rtíc u la e n la fig u ra 4.18(r/). U n a fu e rz a d e 2 k N a c tú a s o b r e e lla e n la d ire c c ió n p o sitiv a d e x . U n a fu e rz a d e sc o n o c id a F , q u e se a s u m e q u e a c tú a e n la d ire c c ió n p o sitiv a d e .v , ta m b ié n a c tú a s o b re la p a rtíc u la . A p lic a n d o la p rim e ra e c u a c ió n d e e q u ilib rio te n e m o s: X F V = 0 = + F + 2.

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Sección 4 .5

Equilib rio

1 15

2kN +x

(a)

F ig u r a 4 .1 8 S e requiere una fu er­ z a F = - 2 k N p ara 2kN

+x •

(b)

m antener el eq u ili­ b rio , independiente­ mente d e la orientación del siste­ ma d e coo rd enad as.

A m b a s fu e rz a s s o n p o sitiv a s p o r q u e a c tú a n e n la d ire c c ió n p o sitiv a d e * . R e s o lv ie n d o p a ­ ra la fu e rz a d e sc o n o c id a F . o b te n e m o s: F = - 2 kN . P o r ta n to , p a ra q u e la p a rtíc u la e s té e n e q u ilib rio d e b e a p lic a rse u n a fu e rz a d e 2 k N q u e ac­ tú e h a cia la izq u ierd a . E l sig n o n e g ativ o d e la re s p u e s ta e s c o n sis te n te c o n la d ire c c ió n d e l e je p o sitiv o *. E n m e cá n ic a, la o rie n ta c ió n d e l siste m a d e c o o rd e n a d a s e s a rb itra ria (e s d e ­ cir, n o a fe c ta la s o lu c ió n ) e n ta n to se u tilic e d e m a n e ra c o n siste n te .T ra b a je m o s n u e v a m e n ­ te c o n e l e je m p lo in v irtie n d o la d ire c ció n d e l e je * , p e ro m a n te n ie n d o i 7 p o sitiv a a p u n ta n d o h a cia la d e re c h a , c o m o an tes. C o m o se m u e s tra e n la fig u ra 4 .1 8 (6 ), e l e je p o sitiv o * a h o ra se d irig e a la izq u ie rd a , p e ro la s fu e rz as p e rm a n e c e n sin cam b io . E s c rib ie n d o la e cu a c ió n d e e q u ilib rio te n em o s: 2FX = 0 = - F R e s o lv ie n d o n o s da: F = - 2 kN y o b te n e m o s la m ism a re s p u e s ta q u e a n te s. L a d ire c c ió n d e l e je * n o in flu y e e n la re s p u e s ­ ta. E n a m b o s c aso s e l sig n o n e g a tiv o in d ic a q u e la d ire c c ió n d e / '’re q u e rid a p a ra m a n te n e r la p a rtíc u la e n e q u ilib rio e s o p u e sta a la d ire c c ió n a su m id a . E n lo s sig u ie n te s e je m p lo s se d e m u e s tra c ó m o e n c o n tr a r las fu e rz a s q u e a c tú a n s o ­ b re u n a p a rtíc u la . C a d a u n o se h a re s u e lto c o n d e ta lle u tiliz a n d o e l p ro c e d im ie n to g e n e ­ ra l d e a n á lisis d e : 1 ) d e fin ic ió n d e l p ro b le m a ; 2) d ia g ra m a ; 3 ) su p u e s to s ; 4 ) e c u a c io n e s d e te r m in a n te s ; 5 ) c álc u lo s; 6 ) v e rific a c ió n d e la so lu c ió n , y 7 ) c o m e n ta rio s. P a ra sim p lifi­ c a r , lo s e je m p lo s se lim ita n a s is te m a s d e fu e rz a s c o p la n a re s.

E JE M P L O 4 .4 D e fin ic ió n d e l p ro b le m a D o s b lo q u e s c u e lg a n d e c u e rd a s c o m o se m u e s tra e n la fig u ra 4.19. E n c u e n tre la te n sió n e n c a d a c u e rd a .

D ia g r a m a P a ra e n c o n tra r la te n sió n e n c ad a c u e rd a se c o n stru y e p o r s e p a ra d o u n d ia g ra m a d e c u e rp o lib re p a ra c ad a b lo q u e. L a p a rte m á s crítica d e l d ia g ra m a e s la in clu sió n d e c ad a fu e rz a e x ­ te rn a q u e a c tú a s o b re e l c u e rp o e n c u estió n . S o b re e l b lo q u e A a c tú a n d o s fuerzas: su peso

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116

Capítu lo 4

M ecán ica

40 kg

F ig u ra 4 . 1 9 Bloques suspendidos p a ra el ejem plo 4 .4 .

25 kg

y la fu e rz a d e te n sió n e n la c u e r d a in fe rio r. S o b re e l b lo q u e B a c tú a n tr e s fu e rz as: su peso, la fu e rz a d e te n s ió n e n la c u e r d a in fe rio r y la fu e rz a d e te n s ió n e n la c u e rd a s u p e rio r. T o ­ d a s la s fu e rz a s so n c o n c u rre n te s , p o r lo q u e tra ta m o s a las c a ja s c o m o p a rtíc u la s. E n la fig u ra 4.20(tf) se m u e s tra n los d ia g ra m a s d e c u e rp o libre p a ra lo s bloques.

72

Q ( A + B)

WA F ig u r a 4 .2 0 D ia g ra m a s de cuer­

WB

po libre p a ra el (b )

ejem plo 4 .4 .

Sup uesto s 1. T o d a s la s fu e rz a s s o n c o n c u rre n te s. 2. L o s p e so s d e la s c u e r d a s s o n d e sp rec ia b les. 3. L a s c u e r d a s s o n lo s u fic ie n te m e n te fle x ib le s c o m o p a ra c o lg a r d ire c ta m e n te h acia o.

Ecu acio n es d eterm inantes Ya q u e la s fu e rz a s a c tú a n e n u n a so la d ire c c ió n , s ó lo e x iste u n a e c u a c ió n d e te rm in a n te : la e c u a c ió n d e e q u ilib rio p a ra la d ire c c ió n v e rtic a l. P o r ta n to , p a ra a m b o s b lo q u e s te n e m o s: = 0.

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Sección 4 .5

Cálculos P a ra re s o lv e r e l p ro b le m a d e b e e sc rib irse la e c u a c ió n d e e q u ilib rio p a ra a m b o s b lo q u es. O b s e rv a n d o la d ire c c ió n p o sitiv a d e l e je y , y u tiliz a n d o lo s d ia g ra m a s d e c u e r p o lib re d e la fig u ra 4.20(¿ 7) te n e m o s: B lo q u e A : = o = r, -

= T i - (25 k g )(9 .8 1 m /s2). B lo q u e B : j jF y = o = t 2 - r , = T2 - T t - (4 0 k g )(9 .8 1 m /s2). R e s o lv ie n d o la p rim e ra e c u a c ió n p a ra 7 1? o b te n e m o s: T i = 245.25 N S u s titu y e n d o e l v a lo r d e T \ e n la s e g u n d a e c u a c ió n y re s o lv ie n d o p a r a T 2, o b te n e m o s: T2 = 637.65 N P o r lo c o m ú n , e x p re s a m o s la s re s p u e s ta s d e in g e n ie ría c o n tr e s c ifra s sig n ificativ as, p o r lo q u e n u e s tro s re s u lta d o s s e e s c rib e n co m o : 7 , = 245 N , T2 = 638 N .

V erificació n d e la solución N o se d e te c ta r o n e rro re s m a te m á tic o s o d e c álcu lo . ¿ L a s re s p u e s ta s p a re c e n ra z o n a b le s ? L a c u e rd a in fe rio r s ó lo s o p o rta e l b lo q u e A ,p o r lo q u e la te n s ió n 7 , e s s im p le m e n te e l p e ­ s o d e l b lo q u e A . Y a q u e la c u e rd a s u p e rio r s o p o r ta a m b o s b lo q u e s, la te n s ió n T 2 d e b e sel­ la s u m a d e lo s pesos:

WA + WB = ( m A + m B) g = (2 5 k g + 4 0 k g )(9 .8 1 m /s 2) = 637.65 N . N u e s tr a s o lu c ió n h a s id o v e rific a d a.

C om en tarios U n m é to d o a lte rn a tiv o p a ra e n c o n tr a r la te n sió n e n la c u e rd a s u p e rio r T2 e s c o n s tru ir un d ia g ra m a d e c u e r p o lib re d e a m b o s b lo q u e s c o m o u n a so la p a rtíc u la . E l a s p e c to in te r e ­ s a n te d e e s te e n fo q u e e s q u e se ig n o ra n la s fu e rz a s d e te n s ió n p ro d u c id a s p o r la c u e rd a in fe rio r e n a m b o s b lo q u e s p o rq u e s o n in te rn a s, n o e x te rn a s . L a s fu e rz a s in te rn a s e je rc id a s p o r la c u e rd a in fe rio r s o b re c a d a b lo q u e s o n ig u a le s e n m a g n itu d , p e ro d e s e n tid o o p u e s ­ to , d e a h í q u e se c a n c e le n y n o te n g a n a lg ú n e fe c to m e c á n ic o s o b re e l siste m a . E x is te n tre s fu e rz a s a c tu a n d o s o b re lo s b lo q u e s c o m b in a d o s: lo s p e so s d e c a d a b lo q u e y la te n s ió n 7 2. U tiliz a n d o e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e la fig u ra 4 .2 0 (b ) te n em o s: 'ZFy = 0 = T2 - W A - W B

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Eq u ilib rio

1 17

118

C a p í lu lo 4

M ecán ica

= T2 - (2 5 k g + 40 k g ) (9.81 m /s 2) q u e re su lta: T2 = 637.65 N.

E JE M P L O 4 .5 Definición d el prob lem a E l m o n o b lo q u e d e 200 k g d e u n m o to r c u elg a d e u n siste m a d e c a b le s c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 4.21. E n c u e n tr e la te n s ió n e n lo s c a b le s A B y A C ;e l c a b le A B e s h o riz o n ta l.

D ia g ra m a c

F ig u r a 4 .2 1 M onobloque d e mo­ tor suspendido p a ra el ejem plo 4 .5 .

T e n e m o s u n sistem a d e fu e rz as c o p la n a re s e n e l q u e la fuerza d e c ad a c ab le a ctú a d e m a n era c o n c u rre n te s o b re A , p o r lo q u e co n stru im o s u n d ia g ra m a d e c u e rp o lib re p a ra la “ p a rtíc u la " e n A (véase la fig u ra 4.22). L a fu e rz a d e te n sió n e n e l c ab le A B a ctú a h a cia la iz q u ie rd a a lo la rg o d e l e je x , y la fu e rz a d e te n sió n e n e l c ab le A C a c tú a a lo largo d e u n a línea a 40° re sp ec ­ to d e l e je x . La fuerza d e te n sió n e n e l c ab le A D , e q u iv alen te a l p e so d e l m o n o b lo q u e , a ctú a d ire c ta m e n te hacia abajo.

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Sección 4 .5

Supuestos 1. T o d a s las fu e rz a s s o n c o n c u rre n te s e n A . 2. L o s p e so s d e los c a b le s so n d e sp re c ia b le s. 3. l o d o s los c a b le s s o n rígidos.

Ecuaciones d eterm in an tes L a s e c u a c io n e s d e te r m in a n te s so n las e c u a c io n e s d e e q u ilib rio e n la s d ire c c io n e s x y y: y,Fx = 0 'IF y = 0.

C álcu los U tiliz a n d o e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e la fig u ra 4.22. la s e c u a c io n e s d e e q u ilib rio son: = 0 = - r AB + r ACc o s 4 0 ° ^ F y = 0 = T AC s e n 4 0 ° - W d o n d e W = m g = (200 kg)(9.81 m /s2) = 1962 N . L a s e g u n d a e c u a c ió n se p u e d e re s o lv e r d e in m e d ia to p a ra T a c T a c = 3 052 N . S u s titu y e n d o e s te v a lo r d e T AC e n la p rim e ra e c u a c ió n y re s o lv ie n d o p a ra T AB .o b te n e m o s : T a b = 2 338 N .

V erificación d e la solución P a ra v e rific a r q u e n u e s tra s re s p u e s ta s s o n c o rre c ta s , las su stitu im o s e n las e c u a c io n e s d e e q u ilib rio . Si sa tisfa c e n la s e c u a c io n e s , lo so n . 2 F X = - 2 3 3 8 N + (3 0 5 2 N ) e o s 40° = - 0 .0 3 2 * 0 1 F y = (3 0 5 2 N ) s e n 4 0 ° - (2 0 0 k g )(9 .8 1 m /s 2) = - 0 .2 1 2 « 0. D e n tr o d e la p re c isió n n u m é ric a d e lo s c álcu lo s, la s u m a d e la s fu e rz a s e n la s d ire c c io n e s x y y e s c e ro . P o r ta n to , n u e s tra s re s p u e s ta s s o n c o rre c ta s.

C o m en tario s A h o r a q u e c o n o c e m o s la s fu e rz a s d e te n s ió n e n lo s c a b le s, ¿ q u é h a c e m o s c o n e lla s? C o ­ n o c e r la s fu e rz a s n o n o s d ic e c ó m o tr a b a ja n e s tr u c tu r a lm e n te lo s cab les. E l sig u ie n te p a so e n e l a n á lisis s e ría d e te r m in a r e l e sfu e rz o e n c a d a c a b le . Si los e sfu e rz o s c a lc u la d o s so n m e n o re s q u e los e sfu e rz o s p e rm itid o s o d e d ise ñ o , lo s c a b le s s o p o rta rá n e l m o n o b lo q u e sin fallar. E n e s ta situ a c ió n , la fa lla m á s p ro b a b le sig n ifica r o tu r a d e l c a b le , p e ro ta m b ié n p u e d e sig n ific a r s u d e fo rm a c ió n . S e te n d r ía n q u e c a lc u la r e l e sfu e rz o y la d e fo rm a c ió n p a ­ ra h a c e r u n a e v a lu a c ió n e s tr u c tu r a l c o m p le ta d e lo s cables.

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Eq u ilib rio

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Capítu lo 4

M ecán ica

¡Practique! Para los sig u ien tes problem as d e práctica, utilice e l p roced im ien to gen eral de: 1) defin ición del problem a; 2 ) diagram a; 3) supu estos; 4 ) e cu a cio n es d eterm in an ­ tes; 5 ) cálculos; 6 ) verificación de la so lu ció n , y 7) com entarios. 1. U n a e sfera só lid a d e a c e ro d e 30 c m d e d iá m e tro c u elg a d e cab les c o m o se m u estra. E n c u e n tre la te n sió n e n los c ab le s A B y A C . U tilice p = 7270 k g /m 3 p a ra la d e n sid a d d e l acero. R e sp u esta : T AB = T AC = 7 1 2 .9 N.

2. U n c ilin d ro d e 2 5 0 k g re p o s a s o b re u n c a n a l la rg o c o m o se m u e stra . E n ­ c u e n tr e las fu e rz a s q u e a c tú a n s o b re e l c ilin d ro p o r lo s c o s ta d o s d e l can al. R espuesta: 1999 N , 893 N.

3. Se a p lic a n tre s fu e rz a s c o p la n a re s a u n a c a ja p a ra tr a ta r d e d e sliz a ría s o b re e l p iso , c o m o se m u e stra . Si la c a ja p e rm a n e c e e n re p o so , ¿ c u á l e s la fu e rz a d e fric c ió n e n tr e la c aja y e l piso? R espu esta : 116.5 N.

4. U n a m a c e ta d e 15 k g c u e lg a d e a la m b re s c o m o se m u e s tra . E n c u e n tre la te n s ió n e n lo s a la m b re s A B y A C . R espu esta : T AB = 88.3 N, T AC = 117.7 N.

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Sección 4 .6

E sfu erzo y deform ación

121

3.2 m

4 .6 ESFU ERZO Y D EFO RM ACIÓ N Si la s u m a v e c to ria l d e las fu e rz a s e x te rn a s q u e a c tú a n s o b re un c u e rp o e s c e ro , é ste se e n c u e n tra e n e s ta d o d e e q u ilib rio . T a m b ié n e x isten fu e rz a s in te rn a s q u e a c tú a n s o b re él. L a s f u e r /a s e x te rn a s c a usan la s fu e rz a s in te rn a s, p e ro é sta s n o a fe c ta n e l e q u ilib rio del c u e rp o . Si n o a fe c ta n el e q u ilib rio , ¿ e n to n c e s p o r q u é so n im p o r ta n te s ? P a ra ilu s tra r su im ­ p o rta n c ia , u tilic e m o s u n e je m p lo c o n o cid o : e l d e p o r te d e le v a n ta m ie n to d e p e sa s (v é a se la fig u ra 4.23). C u a n d o u n le v a n ta d o r d e p e sa s s o s tie n e un c o n ju n to p e s a d o d e p esas, su cu erp o y las p e sa s se e n c u e n tra n e n e sta d o d e e q u ilib rio m o m e n tá n eo . La fuerza g rav itacio n al d e las p e s a s e stá e q u ilib ra d a p o r la fu e rz a q u e las m a n o s u h o m b ro s d e l s u je to e je rc e n so ­ b re la b a rra , y las fu e rz a s g ra v ita c io n a le s d e las p e sa s m á s e l d e su c u e rp o e stá n e q u ilib ra ­ d a s p o r la fu e rz a q u e e l p iso e je rc e s o b re s u s pies. ¿ E x iste n fu e rz a s in te rn a s q u e a c tú a n

F ig u r a 4 .2 3 Un levantador de pesas está en eq u ili­ b rio , pero su cuerpo se encuentra en un estado de esfuerzo. (D ibujo por Kathryn H ag en.)

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C a pi tu b 4

M ecán ica

s o b r e e l le v a n ta d o r d e p e sa s ? D e fin itiv a m e n te , sí. Si el p e so q u e e s tá c a rg a n d o e s g ra n d e , é l e s tá d o lo ro s a m e n te c o n c ie n te d e e s a s fu e rz a s in te rn a s. L a s fu e rz a s e x te rn a s d e la s p e ­ s a s y la re a c c ió n e n e l p iso p ro v o c a n fu e rz as in te rn a s e n su s b ra z o s, to rs o y p iern as. P o r lo c o m ú n , la m a g n itu d d e e s ta s fu e rz a s in te rn a s lim ita e l tie m p o q u e e l le v a n ta d o r d e pesas p u e d e s o s te n e rla s a só lo u n o s c u a n to s se g u n d o s. A l igual q u e e l le v a n ta d o r d e p esas, las e s tr u c tu r a s d e in g e n ie ría c o m o ed ificio s, p u e n te s y m á q u in a s e x p e r im e n ta n fu e rz a s in te r­ n a s c u a n d o se le s a p lic a n fu e rz as e x te rn a s . Sin e m b a rg o , p o r lo g e n e ra l, la s e s tr u c tu r a s d e in g e n ie ría d e b e n s o p o r ta r fu e rz a s in te rn a s p o r la rg o s p e rio d o s, q u iz á añ o s. L o s p rin c ip io s d e la e s tá tic a , q u e e s ta b le c e n las fu e rz a s e x te rn a s q u e a c tú a n s o b re u n c u e rp o , p o r s í m is­ m o s s o n in su fic ie n te s p a ra d e fin ir su e sta d o m ecán ico . P a ra q u e u n in g e n ie ro h a g a una e v a lu a c ió n c o m p le ta d e la in te g rid a d e s tru c tu ra l d e c u a lq u ie r c u e rp o , d e b e c o n s id e ra r las fu e rz a s in te rn a s. A p a rtir d e é sta s y la s d e fo rm a c io n e s re s u lta n te s , s e d e te rm in a n e l e s fu e r­ z o y la d e fo rm a c ió n . 4 .6 .1

Esfuerzo

E l c o n c e p to d e e s fu e rz o e s d e im p o rta n c ia p rim o rd ia l e n la m e cá n ic a d e m a te ria le s . E l e s ­ fu erzo e s la c a n tid a d física fu n d a m e n ta l q u e u tiliz a n lo s in g e n ie ro s p a ra d e te r m in a r si u n a e s tr u c tu r a p u e d e s o p o r ta r la s fu e rz a s e x te rn a s q u e se a p lic a n s o b re e lla . A l e n c o n tr a r los e sfu e rz o s , los in g e n ie ro s c u e n ta n c o n u n m é to d o e s tá n d a r p a ra c o m p a r a r las c ap a c id a d e s d e m a te ria le s d a d o s p a ra s o p o r ta r fu e rz a s e x te rn a s . É s to s s o n d e d o s tip o s: e l e sfu e rzo n o r m a l y e l e s fu e r z o a l corte. E n e s te lib ro c o n c e n tra re m o s n u e s tra a te n c ió n e n e l e s fu e r­ z o n o rm a l, q u e se c o n c e p tu a liz a c o m o e l e s fu e r z o q u e a c tú a d e fo r m a n o r m a l (p e r p e n d ic u ­ la r) a u n p la n o seleccio n a d o , o a lo la rg o d e l eje d e u n c u e rp o . C o n fre c u e n c ia se le aso cia c o n e l e s fu e rz o e n la d ire c c ió n a x ial e n m ie m b ro s la rg o s y d e lg a d o s, c o m o v arillas, v ig a s y c o lu m n a s. C o n sid e re la b a r r a d e lg a d a m o s tra d a e n la fig u ra 4.24. U n a fu e rz a a x ia l F a c tú a s o b r e c ad a e x tre m o d e la b a rra m a n te n ié n d o la e n e q u ilib rio , c o m o se in d ic a e n la fig u ra 4.24(Y/). A h o r a s u p o n g a q u e p a s a m o s u n p la n o im a g in a rio a tra v é s d e la b a rra , p e rp e n ­ d ic u la r a su e je ,c o m o se m u e s tra e n la fig u ra 4 .2 4 (6 ). D e sp u é s, c o n c e p tu a lm e n te , re tira m o s la p a rte in fe rio r d e la b a rra q u e “ c o rtó " e l p la n o im a g in a rio . A l re tir a r la p a rte in fe rio r ta m b ié n su p rim im o s la fu e rz a a p lic a d a e n e l e x tre m o in fe rio r d e la b a rra q u e e q u ilib ra b a la fu e rz a a p lic a d a e n e l e x tre m o s u p e rio r. P a ra r e s ta u r a r el e q u ilib rio d e b e m o s a p lic ar u n a fu e rz a e q u iv a le n te P e n e l e x tre m o “ c o rta d o " . E s ta fu e rz a , a d ife re n c ia d e la fu e rz a

r

r F uerza externa

1

1

£

i

:

m

F uerza in tern a |

i

F ig u r a 4 .2 4

I

Esfuerzo norm al en una v a rilla .

(a)

F

(b)

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(c)

Á re a tran sv ersal A

Sección 4 .6

Esfuerzo y deform ación

e x te r n a a p lic a d a s o b re la p a rte s u p e rio r d e la b a rra , e s u n a fu e rz a in te rn a p o rq u e a c tú a d e n tro d e la b a rra . L a fu e rz a in te rn a P a c tú a d e fo rm a p e rp e n d ic u la r a l á re a tra n sv e rsa l c re a d a a l p a sa r e l p la n o im a g in a rio a tra v é s d e la b a rra , c o m o se in d ic a e n la fig u ra 4 .2 4 (c ). E l e s fu e rz o n o rm a l e re n la b a rra se d e fin e c o m o la fu e rz a in te r n a P d iv id id a e n tre e l á re a A d e la se c c ió n tra n s v e rsa l:

E s ta d e fin ic ió n m a te m á tic a d e l e s fu e rz o n o rm a l e s e n re a lid a d u n e s fu e rz o n o rm a l p r o ­ m e d io . p o rq u e p u e d e h a b e r u n a v a ria c ió n d e l e s fu e rz o a lo la rg o d e la sec c ió n tra n sv e rsa l d e la b a rra . Sin e m b a rg o , p o r lo g e n e ra l e sta s v a ria c io n e s se p re s e n ta n só lo c erca d e los p u n ­ to s d o n d e se a p lic an la s fu e rz a s e x te rn a s, p o r lo q u e la e c u a c ió n (4.23) se p u e d e u tilizar e n la m a y o ría d e lo s c álc u lo s d e e sfu e rz o s sin c o n sid e ra r su s v ariacio n es. L a secció n tra n sv ersa l d e la b a rra e n la figura 4.24 e s c ircu lar, p e ro la c a n tid a d A re p re se n ta el á re a tra n sv e rsa l d e u n m ie m b ro d e c u a lq u ie r fo rm a ( p o r e je m p lo , c irc u la r, re c ta n g u la r, tria n g u la r). O b se rv e q u e la d e fin ic ió n d e e sfu e rz o e s m uy s im ila r a la d e la p re sió n . A m b a s c a n tid a d e s se d e fi­ n e n c o m o u n a fu e rz a d iv id id a e n tr e u n á re a . P o r ta n to , e l e s fu e rz o tie n e la s m ism a s u n id a ­ d e s q u e la p re sió n . L a s u n id a d e s c a ra c te rís tic a s d e l e s fu e iz o so n k P a o M P a e n e l siste m a SI, o ksi e n e l siste m a inglés. E n la fig u ra 4.24 los v e c to re s d e fu e rz a se a le ja n u n o d e l o tr o , in d ic a n d o q u e la b a rra s e e s tira . A l e s fu e rz o n o rm a l a so c ia d o c o n e s ta c o n fig u ra c ió n d e fu e rz a s se le c o n o c e c o ­ m o e sfu e rzo a te n s ió n , p o rq u e las fu e rz a s s o m e te n e l c u e rp o a te n sió n . P o r e l c o n tra rio , si lo s v e c to re s d e la s fu e rz a s se d irig e n u n o c o n tra e l o tr o , la b a rra se c o m p rim e . A l e sfu e rz o n o rm a l a so c ia d o c o n e s ta c o n fig u ra c ió n d e fu e rz a s se le c o n o c e c o m o e sfu e rzo a c o m p r e ­ sió n , p o rq u e las fu e rz a s s o m e te n e l c u e r p o a c o m p re sió n . E n la fig u ra 4.25 se ilu s tra n e s­ ta s d o s c o n fig u ra c io n e s d e fu erzas. U n o p u e d e p e n s a r q u e e l tip o d e e s fu e rz o n o rm a l, a te n s ió n o c o m p re sió n , n o im p o rta , ya q u e la e c u a c ió n (4 .2 3 ) n o se ñ a la a lg o a c e rc a d e la d i­ re c c ió n . Sin e m b a rg o , a lg u n o s m a te ria le s p u e d e n s o p o r ta r u n tip o d e e s fu e rz o c o n m a y o r fa c ilid a d q u e o tro s. P o r e je m p lo , e l c o n c re to e s m á s fu e rte a c o m p re s ió n q u e a te n sió n . E n c o n se c u e n c ia , p o r lo c o m ú n s e u tiliz a e n a p lic a c io n e s d o n d e lo s e sfu e rz o s so n a c o m p re ­ sió n , c o m o e n c o lu m n a s q u e s o p o rta n c u b ie rta s d e p u e n te s y p a so s e le v a d o s d e a u to p is ­ tas. C u a n d o se d is e ñ a n m ie m b ro s d e c o n c re to p a ra a p lic a c io n e s q u e in v o lu c ra n e sfu e rz o s d e te n s ió n , se u tiliz a n b a rra s d e refu erzo .

Tensión

Figura 4.25 Compresión

4 .6 .2 D efo rm ació n e sp e cífica

L a s fu e rz as e x te rn a s so n re sp o n sa b le s d e p ro d u c ir esfuerzos, y ta m b ié n d e p ro d u c ir d e fo rm a ­ ción. L o s c am b io s d e te m p e ra tu ra p u e d e n ig u a lm e n te g e n e ra r d e fo rm a c io n es. L a deform a rió n se d e fin e c o m o u n c a m b io d e l ta m a ñ o o fo r m a d e u n cuerpo. N in g ú n m a te ria l e s p e r­ fe c ta m e n te rígido; d e a h í q u e c u a n d o se a p lic an fu erzas e x te rn a s a u n c u e rp o , é s te cam b ia d e ta m a ñ o o d e fo rm a seg ú n la m a g n itu d y d ire c ció n d e e sta s fu e rz as.T o d o s h e m o s e stira d o u n a b a n d a d e h u le y o b se rv a d o q u e su lo n g itu d cam b ia d e m a n e ra a p re cia b le b a jo u n a p e q u e ñ a fu e rz a d e te n sió n .T o d o s los m a te ria les —acero , c o n c re to , m a d e ra y o tro s m a te ria le s e stru c ­ tu ra le s — se d e fo rm a n e n c ierta m ed id a b a jo la aplicación d e fu erzas, p e ro p o r lo g e n eral

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Fu e rzas externas p a ra tensión y com presión.

123

124

Capítu lo 4

M ecán ica

las d e fo rm a c io n e s so n d e m a sia d o p e q u e ñ a s p a ra d e te c ta rla s v isu alm en te , p o r lo q u e p a ra id en tificarlas se e m p le a n in stru m e n to s esp eciales d e m edición. C o n sid e re la b a rra m o stra d a e n la figura 4.26. A n te s d e a p lic ar u n a fuerza e x te rn a , tie n e u n a lo n g itu d L . A h o ra la b a rra se s o m e te a te n sió n a p lic an d o u n a fu e rz a e x te rn a F e n c ad a e x trem o . L a fu e rz a d e te n sió n hace q u e la b a rra a u m e n te d e lo n g itu d u n a c a n tid a d 5. llam ad a d e fo rm a c ió n n o r m a l o d e fo rm a ­ c ió n axial, ya q u e e l cam b io d e lo n g itu d e s n o rm a l a la d ire c ció n d e la fu erza, q u e e s a lo la r­ g o d e l e je d e la varilla. D e p e n d ie n d o d e l m a te ria l d e la b a rra y d e la m a g n itu d d e la fuerza a p lic a d a , la d e fo rm a c ió n n o rm al p u e d e s e r p e q u e ñ a ,q u iz á d e só lo u n a s c u a n ta s m ilésim as d e p u lg ad a. P a ra n o rm a liz a r e l c am b io d e ta m a ñ o o fu e rz a d e u n c u e rp o re sp ec to d e su g e o m e ­ tría o rig in al, los in g e n ie ro s u tilizan u n a c a n tid a d llam ad a deform ación específica. É s ta es d e d o s tipos: defo rm a ció n específica n o rm a l y d efo rm a ció n específica al corle. E n e s te libro c o n c e n tra m o s n u e stra a te n c ió n e n la p rim e ra d e ellas. L a d e fo rm a c ió n específica n o rm a l e se d e fin e c o m o la d efo rm a ció n n o r m a l 8 d ivid id a entre la lo n g itu d original L:

Y a q u e la d e fo rm a c ió n e sp e c ífic a e s u n a re la c ió n d e d o s lo n g itu d e s, e s u n a c a n tid a d adim e n sio n a l. Sin e m b a rg o , e s c o s tu m b re e x p re s a rla c o m o u n a re la c ió n d e d o s u n id a d e s d e lo n g itu d . P o r lo g e n e ra l, e n e l SI, la d e fo rm a c ió n e sp e c ífic a se e x p re s a e n u n id a d e s d e /xm /m p o rq u e , c o m o se d ijo a n te s , la s d e fo rm a c io n e s s o n c a ra c te rís tic a m e n te p e q u e ñ a s. E n e l siste m a in g lé s e s u su al e x p re s a rla e n u n id a d e s d e in/in. A sim ism o , ya q u e e s u n a c a n tid a d a d im e n s io n a l, a lg u n a s v e ce s se d e n o ta c o m o p o rc e n ta je . L a d e fo rm a c ió n e sp e c í­ fica n o rm a l ilu s tra d a e n la fig u ra 4 .2 6 e s p a ra u n c u e rp o a te n s ió n , p e ro la d e fin ic ió n d a d a p o r la e c u a c ió n (4.24) ta m b ié n se a p lic a a c u e r p o s a c o m p re sió n .

F ig u r a 4 . 2 6 Deform ación especí fica norm al en una v a rilla .

4.6.3 L eyd eH o o k e H a c e tre s sig lo s e l m a te m á tic o in g lé s R o b e r t H o o k e (1 6 3 5 -1 7 0 3 ) d e sc u b rió q u e la fu e rz a r e q u e rid a p a ra e s tir a r o c o m p rim ir u n re s o rte e s p ro p o rc io n a l al d e s p la z a m ie n to d e un p u n to e n e l m ism o . L a ley q u e d e s c rib e e s te fe n ó m e n o , c o n o c id a c o m o le y d e H o o k e , se e x p re s a m a te m á tic a m e n te co m o : F = kx

(4.25)

d o n d e F e s la fu e rz a , x e l d e s p la z a m ie n to y k u n a c o n sta n te d e p ro p o rc io n a lid a d lla m a d a c o n sta n te d e l resorte. L a e c u a c ió n (4 .2 5 ) s ó lo se a p lic a si e l re s o rte n o se d e fo rm a m á s allá d e su c a p a c id a d p a ra re g re s a r a su lo n g itu d o rig in a l d e s p u é s d e q u e se re tira la fu erza. U n a m o d a lid a d m á s ú til d e la ley d e H o o k e p a ra lo s m a te ria le s d e in g e n ie ría tie n e la m is­ m a fo rm a m a te m á tic a d e la e c u a c ió n (4 .2 5 ), p e ro se e x p re s a e n té rm in o s d e e sfu e rz o y d e ­ fo rm a c ió n esp ecífica: = ¿ Vt

4 .8 V

= I ó ñ = °-4 8 A = i20i2A 19

?

V

/2= á = 157r = °'384A = ^in2AVx '5 = ¿

19.2 V = M

= 0 '0 9 6 A = ^

V erificación d e la solución D e s p u é s d e u n a c u id a d o s a re v isió n d e n u e s tr a so lu c ió n , n o se e n c o n tr a r o n e rro re s . V em os q u e la s u m a d e lo s v o lta je s e n los e x tre m o s d e la s re s iste n c ia s e s igual a l v o lta je d e la fu e n ­ te c o n s ta n te d e v o ltaje.

C om entarios L a c o rrie n te to ta l I \ q u e fluye a tra v é s d e la fu e n te id e al d e v o lta je y d e la re s iste n c ia R \ se p u e d e e n c o n tr a r c a lc u la n d o p rim e ro la re siste n c ia to ta l y u tiliz a n d o d e s p u é s la ley d e

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Sección 5 .7

O h m . L a s re siste n c ia s R 2 y R$ se s u m a n e n p a ra le lo y e s a re siste n c ia se s u m a e n s e rie a R j. P o r ta n to , la re s iste n c ia to ta l es:

R'

' T ^

T

+

«2 + R i + io n

i so n

+

= so n .

i 200 n

L a c o rrie n te to ta l I x es:

24 V

= 0 .4 8 A

50 n q u e c o in c id e c o n n u e s tr o re s u lta d o a n te rio r.

|Practique! 1. P a ra e l n o d o m o s tra d o e n la sig u ie n te fig u ra , e n c u e n tre la c o rrie n te / 4. ¿ L a c o rrie n te / 4 e n tr a o sale d e l n o d o ? R espuesta: 13 A ,s a le .

L = 10 A /, - 2 A

2. P a ra e l c irc u ito d e C D m o s tra d o e n la sig u ie n te fig u ra, e n c u e n tr e e l v o lta je y la c o rrie n te a tra v é s d e c a d a re siste n c ia. R espuesta: 8.077 V, 1.923 V. 1.923 V; 0.269 A . 0.0769 A , 0.1923 A. 30 n

W 10 V

©

25 n

io n

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Leyes d e Kirch hoff

173

17 4

Capítu lo 5

Circuitos eléctricos

3. P a ra e l c irc u ito d e C D m o s tra d o e n la s ig u ie n te fig u ra , e n c u e n tre e l v o lta je y la c o rrie n te a tra v é s d e c a d a re siste n c ia . R esp u esta : 100 V ,7 .6 9 V. 3.85 V. 11.55 V; 100 m A , 76.9 m A , 23.1 m A . lk íl

T É R M IN O S CLAVE

e n p a ra le lo e n serie fu e n te in d e p e n d ie n te de c o rrie n te fu e n te in d e p e n d ie n te de v o lta je ley d e la c o rrie n te d e K irc h h o ff (K C L )

c a rg a e lé c tric a c irc u ito e lé c tric o c o n d u c to r c o rrie n te a lte rn a (C A ) c o rrie n te d ire c ta (C D ) c o rrie n te e léc trica d ia g ra m a e sq u e m á tic o e le m e n to d e c irc u ito

ley d e O h m ley d e l v o lta je d e K irc h h o ff (K V L ) p o te n c ia re siste n c ia v o lta je

REFERENCIAS B ird, J. O. Electrical Circuit Theory and Technology, 3a. ed.. B utterw orth-H einem ann. Boston. Massachussets, 2007. H ayt.W . H. Kemmerly, J. y S. M . D urbin, Engineering Circuit Analysis, la . ed., M cGraw-Hill, N ueva York, 2007. Nilsson, J. W. y S. A. Riedel, Electric Circuits. 8a. ed., Prentice Hall, U p p e r Saddle River, N ueva Jer­ sey, 2008. R oadstrum , W. H. y D. H. W olaver, Electrical Engineering fo r AH Engineers, 2a. ed., John Wiley & Sons, N ueva York, 1993. Smith, R. J. y R . C. Dorf. Circuits, Devices and System s, 5a. ed., John W iley & Sons, N ueva York, 1992.

PRO BLEM A S Carga y corriente eléctrica 5.1

E l flu jo d e c arg a e n u n c o n d u c to r v a ría c o n e l tie m p o d e a c u e r d o c o n la fu n ció n : q ( t ) = (1 - 3 e -* 0 C .

5.2

Si k = 0.1 s 1, e n c u e n tre la c o rrie n te e n t = 5 s. ¿ C u á l e s la c o rrie n te p a ra v a lo re s m u y g ra n d e s d e tie m p o ? P a ra u n p e rio d o d e 1 s in m e d ia ta m e n te d e s p u é s d e d e s a c tiv a r la p o te n c ia , la c o ­ rr ie n te e n u n d isp o sitiv o e lé c tric o v a ría c o n e l tie m p o d e a c u e rd o c o n la fu n ció n : i(t) =

A.

¿ C u á n to s c o u lo m b s p a sa n p o r e l d isp o sitiv o d u r a n te lo s p rim e ro s 0.25 s? ¿ Y e n 0.75 s? ¿ C u á l e s la c o rrie n te e n e l m o m e n to e n q u e se d e s c o n e c ta la p o te n c ia ?

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Problem as

5.3

D e s p u é s d e d e s a c tiv a r la p o te n c ia , la c o rrie n te e n u n d is p o sitiv o e lé c tric o v a ría con el tie m p o d e a c u e rd o c o n la función: i ( l ) = 4e~ kt A.

5.4

Si k = 0.075 s ~ \ ¿ c u á n to s c o u lo m b s h a b r á n p a s a d o p o r e l d isp o sitiv o d u r a n te los p rim e ro s 2 s? ¿ C u á l e s la c o rrie n te e n e l m o m e n to e n q u e se d e sa c tiv a la p o te n c ia ? ¿ C u á l e s la c o rrie n te m u c h o tie m p o d e s p u é s d e d e sa c tiv a r la p o te n c ia ? L a c o rrie n te e n u n d isp o sitiv o v a ría c o n e l tie m p o d e a c u e r d o c o n la fu n ció n :

¿(t) = 3 e""T A d o n d e r e s la c o n s ta n te d e tie m p o . ¿ C u á n ta s c o n s ta n te s d e tie m p o se r e q u ie r e n p a ­ ra q u e la c o rrie n te c aig a a 250 m A ? ¿Y a 10 m A ? V o lta je 5.5 Se c o n e c ta u n a lá m p a ra in c a n d e s c e n te m in ia tu ra a u n a b a te r ía p a ra lin te rn a d e 12 V. Si la c o rrie n te q u e fluye a tra v é s d e l fila m e n to d e la lá m p a ra e s d e 85 m A , ¿ c u á n ta p o te n c ia a b s o r b e la lá m p a ra ? 5.6 U n v a lo r d e p o te n c ia e s tá n d a r p a ra u n b u lb o d e luz in c a n d e s c e n te d o m é stic o e s d e 60 W . ¿ C u á l e s la c o rrie n te a tra v é s d e l fila m e n to d e d ic h o b u lb o si e l v o lta je es d e 110 V ? ¿ S e c o n v ie rte e n luz v isib le to d a la p o te n c ia e lé c tric a d e 6 0 W ? 5.7 E l v o lta je d o m é stic o e s tá n d a r e n E s ta d o s U n id o s e s d e 110 V. C a d a c irc u ito d o m é s ­ tic o e s tá p ro te g id o p o r u n c o rta c irc u ito s, u n d isp o sitiv o d e s e g u rid a d d is e ñ a d o p a ra c o r ta r e l flu jo d e c o rrie n te e n c aso d e u n a s o b re c a rg a e lé c tric a . U n c irc u ito p a rtic u ­ la r d e b e p ro v e e r p o te n c ia a u n ta b le ro e lé c tric o d e c a le fa c c ió n , lu c es y d o s te le v i­ siones. Si la p o te n c ia to ta l re q u e rid a p a ra e s to s d isp o sitiv o s e s d e 2.5 kW , ¿ c u á l e s el a m p e ra je m ín im o re q u e rid o p a ra e l c o rta c irc u ito s? 5.8 C o n b a se e n u n a n á lisis d e l o r d e n d e m a g n itu d e s, e s tim e la c a n tid a d d e e n e rg ía e lé c tric a ( J ) u tiliz a d a p o r p e rs o n a e n E s ta d o s U n id o s c a d a a ñ o . ¿ C u á l e s la p o te n ­ cia (W ) c o rre s p o n d ie n te ? R e siste n c ia 5.9 U n v a lo r c o m ú n d e la s re s iste n c ia s d e c a rb ó n e s 33 H . ¿ C u á n ta s re s iste n c ia s d e 33 Í1 c o n e c ta d a s e n p a ra le lo se r e q u ie re n p a ra d a r u n a re s iste n c ia to ta l d e 5 .5 H ? 5.10 C o n sid e re d o s re siste n c ia s y R 2. L a re siste n c ia d e R { e s m e n o r a la d e R 2. Si a m ­ b a s re s iste n c ia s se c o n e c ta n e n p a ra le lo , ¿ c u á l d e la s sig u ie n te s a firm a c io n e s a ce rc a d e la re s iste n c ia to ta l e s v e rd a d e ra ?

A . L a re s iste n c ia to ta l e s m a y o r q u e la re s iste n c ia d e R2. B. L a re s iste n c ia to ta l se e n c u e n tra e n tr e la s re siste n c ia s d e R^ y R 2. C . L a re s iste n c ia to ta l e s m e n o r q u e la re siste n c ia d e /?,. 5.11 Sin h a c e r cálculos, ¿ cu á l e s la re siste n c ia to ta l a p ro x im a d a d e u n a re s iste n c ia d e 10 Ü y u n a re siste n c ia d e 10 M O c o n e c ta d a s e n p a ra le lo ? 5.12 E n c u e n tr e la re s iste n c ia to ta l p a ra e l c irc u ito d e re s iste n c ia s m o s tra d o e n la fig u ra P5.12.

600 0

w v

200 kO

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F ig u r a P 5 .1 2

175

17 6

Capítu lo 5

Circuitos eléctricos

5.13 E n c u e n tr e la re s iste n c ia to ta l p a ra e l c irc u ito d e re siste n c ia s m o s tra d o e n la fig u ra

P5.13.

F ig u r a P 5 .1 3 5.14 E n c u e n tr e la re s iste n c ia to ta l p a ra e l c irc u ito d e re siste n c ia s m o s tra d o e n la fig u ra

P5.14.

F ig u r a P 5 .1 4 5.15 E n c u e n tr e la re s iste n c ia to ta l p a ra e l c irc u ito d e re siste n c ia s m o s tra d o e n la fig u ra

P5.15.

90 O

75 o

250 o

30 o 225 n

47 o

200 o F ig u r a P 5 .1 5 5.16 P a ra e l c irc u ito d e re s iste n c ia s m o s tra d o e n la fig u ra P5.16, ¿ q u é v a lo r d e b e te n e r la

re s iste n c ia Æ, p a ra d a r u n a re s iste n c ia to ta l d e 100 í l? 16.0

Ri VW -

v w ----

33.3 o

2O

■WV'F ig u r a P 5 .1 6

180 0

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Problem as

5.17 P a ra e l c irc u ito d e re s iste n c ia s m o s tra d o e n la fig u ra P 5 .1 7 , ¿ q u é v a lo r d e b e te n e r la re s iste n c ia R 3 p a ra d a r u n a re siste n c ia to ta l d e 500 H ? 125 a

60 n

F ig u r a P 5 .1 7

L ey d e O h m 5.18 L a s re siste n c ia s d e p re c isió n s o n a q u e lla s c u y o v a lo r s e c o n o c e c o n u n a to le ra n c ia d e ± 1 p o r c ie n to , o m en o s. P o r lo g e n e r a l,e s ta s re s iste n c ia s se u tiliz a n e n a p lic ac io ­ n e s d e delección d e corriente, d o n d e se c o n e c ta u n a re siste n c ia d e p re c isió n c o n un v a lo r m uy b a jo a u n c irc u ito d o n d e se d e s e a re a liz a r u n a m e d ició n . Ya q u e la re s is ­ te n c ia e s m uy b a ja , é s ta n o a fe c ta d e m a n e r a sig n ific a tiv a los a trib u to s e léc trico s d e l c irc u ito . L a c o rrie n te s e m id e sin u tiliz a r u n a m p e rím e tro , s in o c o lo c a n d o un v o ltím e tr o e n los e x tre m o s d e la re s iste n c ia . A l c o n o c e r e l v a lo r d e la re s iste n c ia , la c o rrie n te se p u e d e c a lc u la r fá c ilm e n te u tiliz a n d o la ley d e O h m . A d e m á s .s i e l v a lo r d e la re s iste n c ia se se le c c io n a d e m a n e ra ju icio sa, se p u e d e h a c e r q u e e l v o ltím e tro le a la c o rrie n te d e m a n e r a d ire c ta . Si e l v o ltím e tro lee la c o rrie n te d ire c ta m e n te , ¿ cu á l d e b e ser e l v a lo r d e la re s iste n c ia d e p re c isió n ? 5.19 U n a re siste n c ia d e p o te n c ia d e 47 f l tra n s p o rta u n a c o rrie n te d e 300 m A . ¿ C u á l es e l v o lta je e n los e x tre m o s d e la re siste n c ia ? ¿ C u á l e s la d isip a c ió n d e p o te n c ia ? Si e x iste n re s iste n c ia s d e p o te n c ia c o n v a lo re s n o m in a le s d e 1 , 2 , 5 y 10 W. ¿ q u é v a lo r n o m in a l d e p o te n c ia p ro b a b le m e n te d e b a s e le c c io n a rse ? 5.20 P id a p re s ta d o u n o h m ím e tro a su in s tru c to r o a l d e p a r ta m e n to d e in g e n ie ría e lé c ­ trica d e su e sc u e la . M id a la re s iste n c ia d e u n b u lb o d e lu z in c a n d e s c e n te d e 4 0 W. ¿ C u á l e s la re s iste n c ia ? Si e s te tip o d e b u lb o fu n c io n a c o n 110 V, ¿ c u á l e s la c o rrie n ­ te a tra v é s d e l fila m e n to ? ¿ L a re s iste n c ia d e l b u lb o e s la m ism a d e l v a lo r q u e m id ió c u a n d o e l fila m e n to e s tá c a lie n te ? 5.21 U n a re siste n c ia d e 22 f ! c o n u n a to le ra n c ia d e ± 5 p o r c ie n to tra n s p o rta u n a c o ­ rr ie n te d e 325 m A . ¿ C u á l e s e l in te rv a lo d e la c a íd a d e v o lta je e n los e x tre m o s d e la re s iste n c ia ? ¿ C u á l e s e l in te rv a lo d e d isip a c ió n d e p o te n c ia d e la re siste n c ia? 5.22 L a re s iste n c ia d e u n a la m b re d e c u a lq u ie r ta m a ñ o se p u e d e c a lc u la r u tiliz a n d o la re la ció n :

d o n d e R = re siste n c ia ( H ) ,p = re sistiv id ad (H - c m ),L = lo n g itu d d e l a la m b re (cm) y A = á re a d e la sec c ió n tra n sv ersa l d e l a la m b re (cm2). E l a la m b re d e n ic h ro m e tie n e u n a re sistiv id ad d e p = 112 /x íl • cm . E n c u e n tre la resisten cia d e u n a la m b re d e n ic h ­ r o m e d e 10 m d e la rg o ,c a lib re 16 (d iá m e tro = 1.291 m m ). Si u n a c o rrie n te d e 4 A flu­ ye e n e l a la m b re , e n c u e n tre la c aíd a d e v o lta je y la d isip ació n d e p o ten cia. Para los problem as 5 .23 a 5.30, utilice e l proced im iento general d e análisis de: 1) definición del problema; 2) diagrama; 3 ) supuestos; 4 ) e c u a cio n es determinantes; 5 ) cálculos; 6 ) verificación d e la solución, y 7) com entarios.

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178

Capítu lo 5

Circuitos eléctricos

Circuitos sim ples d e C l) 5.23 U n c irc u ito sim p le d e C D c o n s ta d e u n a fu e n te in d e p e n d ie n te d e v o lta je d e 12 V y tr e s re siste n c ia s, c o m o se m u e stra e n la fig u ra P5.23. E n c u e n tre : a ) la c o rrie n te ; b ) e l v o lta je d e c a d a re s is te n c ia ,)7 c ) la p o te n c ia d is ip a d a p o r c a d a re siste n c ia. 16H

F ig u r a P 5 .2 3

5.24 C u a tro re siste n c ia s se c o n e c ta n e n p a ra le lo a u n a fu e n te in d e p e n d ie n te d e c o rrie n ­ te d e 200 m A c o m o se m u e s tra e n la fig u ra P5.24. ¿ C u á l e s e l v o lta je d e la s re s is te n ­ cias y la c o rrie n te e n c a d a u n a d e e lla s?

200 mA ( T )

¡

F ig u r a P 5 .2 4

5.25 D o s re siste n c ia s d e p o te n c ia , u n a re siste n c ia c o n s ta n te d e c a r b ó n d e 130 O y u n a re siste n c ia v a ria b le d e a la m b re e n rro lla d o se c o n e c ta n e n s e rie c o n u n a fu e n te in d e ­ p e n d ie n te d e v o lta je d e 100 V, c o m o se m u e s tra e n la fig u ra P5.25. U n a te rm in a l d e la re siste n c ia v a ria b le e s u n a c o rre d e r a q u e p o n e e n c o n ta c to lo s d e v a n a d o s d e a la m b re a l m o v e rs e s o b re la re s iste n c ia . E l v a lo r m á x im o d e la re s iste n c ia v a ria b le e s d e 1.5 k íl . Si 30 p o r c ie n to d e los d e v a n a d o s d e la re siste n c ia tr a n s p o r ta c o rrie n ­ te , e n c u e n tre : a ) la c o rrie n te ; b ) e l v o lta je e n la re siste n c ia v a ria b le , y c ) la p o te n c ia d is ip a d a p o r a m b a s re siste n c ias.

100 V

R esistencia variable

F ig u r a P 5 .2 5

L e y e s d e Kirclihoff 5.26 U n a fu e n te in d e p e n d ie n te d e v o lta je d e 50 V s u m in is tra p o te n c ia a tre s re siste n c ia s e n e l c irc u ito d e C D m o s tra d o e n la fig u ra P5.26. P a ra c ad a re s is te n c ia , e n c u e n tre la c aíd a d e v o lta je y la c o rrie n te .

50 V

F ig u r a P 5 .2 6

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Problem as

5.27 P a ra e l c irc u ito d e C D m o s tra d o e n la fig u ra P5.27, e n c u e n tre e l v o lta je y la c o ­

rr ie n te e n c a d a re siste n c ia . 50

F ig u r a P 5 .2 7

5.28 P a ra e l c irc u ito d e C D m o s tra d o e n la fig u ra P5.28, e n c u e n tre e l v o lta je y la c o ­

rr ie n te e n c a d a re s is te n c ia .T a m b ié n d e te r m in e la p o te n c ia d isip a d a e n las re s is te n ­ c ias d e 2 0 y 100 Í2. 20 0

75 0

F ig u r a P 5 .2 8

5.29 P a ra e l c irc u ito d e C D m o s tra d o e n la fig u ra P5.29, e n c u e n tre e l v o lta je y la c o ­

rr ie n te e n c a d a re siste n c ia .

12 O

30

F ig u r a P 5 .2 9 5.30 P a ra e l c irc u ito d e C D m o s tra d o e n la fig u ra P5.30, e n c u e n tre e l v o lta je y la c o ­

rr ie n te e n c a d a re siste n c ia . 50

vW

25 0

w

10 O

50

>•5A © 50 0

F ig u r a P 5 .3 0

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179

180

Capítu lo 5

Circuitos eléctricos

5.31 P a ra e l c irc u ito d e C D m o s tra d o e n la fig u ra P5.31, e n c u e n tre e l v o lta je y la c o ­ rr ie n te e n c a d a re s iste n c ia . T a m b ié n d e te r m in e la d isip a c ió n d e p o te n c ia e n la s r e ­ siste n c ia s d e 2 ,5 y 22 íi . 47 a

16 n

F ig u r a P 5 .3 1

5.32 P a ra e l c irc u ito d e C D m o s tra d o e n la fig u ra P5.32, e n c u e n tre e l v o lta je y la c o ­ rr ie n te e n c a d a re siste n c ia. 7.0

F ig u r a P 5 .3 2

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Termodinámica Objetivos D esp ués d e le e r este c a p ítu lo , usted a p re n d e rá : •

La im p o rta n c ia d e la te rm o d in á m ica en la in g e n ie ría .

•

Las re la c io n e s entre los d iv e rso s tipos de p resio n es.

•

El s ig n ific a d o te rm o d in á m ico d e la te m p e ratu ra .

•

Las d istintas fo rm as d e e n e rg ía .

m C ó m o d e te rm in a r d iv e rsa s fo rm a s d e tra b a jo . •

La d ife re n c ia e n tre c a lo r y te m p e ratu ra .

m C ó m o u tiliz a r la p rim e ra ley d e la te rm o d in á m ica p a ra a n a liz a r sistem as b á sic o s d e e n e rg ía . •

Q u é e s u n a m á q u in a té rm ica .

•

C ó m o a n a liz a r una m á q u in a té rm ica b á s ic a u tiliz a n d o la p rim e ra y s e g u n d a leyes d e la te rm o d in á m ica .

6.1

INTRODUCCIÓN

U n a d e la s m a te ria s m á s im p o r ta n te s e n e l e s tu d io d e la in g e n ie ría e s la te r ­ m o d in á m ic a . D a d o q u e lo s p rin c ip io s d e la te rm o d in á m ic a s e a p lic a n e n v ir­ tu a lm e n te to d o s lo s s is te m a s d e in g e n ie ría , m u c h a s e sc u e la s y u n iv e rs id a d e s e x ig en q u e e n to d a s la s e sp e c ia lid a d e s d e in g e n ie ría se to m e c u a n d o m e n o s u n c u rs o d e e s ta m a te ria . C o m o d iscip lin a e sp e c ífic a d e la in g e n ie ría , la te rm o d i­ n á m ic a e n tr a e n lo s á m b ito s d e la s in g e n ie ría s m e c á n ic a y q u ím ic a , y a q u e los p ro fe s io n a le s d e e sta s e s p e c ia lid a d e s tie n e n la re s p o n s a b ilid a d fu n d a m e n ta l d e d is e ñ a r y a n a liz a r s iste m a s q u e se b a sa n e n la e n e rg ía . C o n s is te n te c o n e sta o b s e rv a c ió n , se p u e d e d e fin ir la term od in ám ica c o m o la cien cia d e la tra n sfo r­ m a c ió n y u s o d e la energía. É s ta e s u n a d e fin ic ió n m u y a m p lia , p o r lo q u e no e x iste d u d a d e q u e se e x tie n d e a to d a s la s ra m a s d e la in g e n ie ría . L a p a la b ra te rm o d in á m ic a p ro v ie n e d e los v o c ab lo s g rie g o s th e rm ó s (c a ­ lo r) y d y n a m ik é (p o te n c ia ). E s ta s ra íc es so n a p ro p ia d a s , p o rq u e c o n frec u en c ia la te rm o d in á m ic a tra ta d e siste m a s q u e c o n v ie rte n c a lo r e n p o te n c ia . E s ta c ien ­ cia d e sc rib e c ó m o se c o n v ie rte la e n e rg ía d e u n a fo rm a a o tra . U n a d e las leyes físicas m á s im p o rta n te s e s la prim era le y d e la term odinám ica, q u e e sta b le c e q u e la e n erg ía se p u e d e c o n v e rtir d e u n a fo rm a a o tr a , p e ro q u e la e n e rg ía to ta l p e rm a n e c e c o n sta n te . Lina frase p o p u la r s o b re e s ta le y a firm a q u e la e n e rg ía no se p u e d e c re a r ni d e stru ir. P o r e je m p lo , u n a p ie d ra c o lo ca d a e n la o rilla d e u n risco tie n e u n a e n e rg ía p o te n c ia l e n v irtu d d e su a ltu ra s o b re e l su elo , y a l c ae r h a cia é s te a u m e n ta su v e lo c id a d , c o n v irtie n d o a sí su e n e rg ía p o te n cial e n c in éti­ ca, p e ro la e n e rg ía to ta l e s c o n sta n te e n c u a lq u ie r p u n to . L a te rm o d in á m ic a ta m ­ bién e s la cien cia q u e rev ela si u n a c o n v ersió n d a d a d e e n erg ía e s físicam ente p o sib le o no. E ste c o n ce p to se rev ela e n la segunda ley de la term odinám ica, q u e e sta b le c e q u e las c o n v e rsio n e s d e e n e rg ía o c u rre n e n la d ire c c ió n d e d e g ra d a ­ c ió n d e ésta. P o r e je m p lo , u n a b e b id a c alien te s o b re u n a m e sa se e n fría e v e n ­ tu a lm e n te p o r sí m ism a a la te m p e ra tu ra a m b ie n te , d e g ra d a n d o a sí la e n e rg ía d e la b e b id a q u e e stá a a lta te m p e ra tu ra , a u n a fo rm a m e n o s útil. E s in te re s a n te n o ta r q u e las m á q u in a s d e v a p o r se d e s a rro lla r a n a n te s de q u e la te rm o d in á m ic a s u rg ie ra c o m o c ien cia. D o s in g leses, T h o m a s S a v e ry y T ilo m a s N e w c o m e n , c o n s tru y e ro n m á q u in a s ru d im e n ta ria s d e v a p o r e n 1697

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182

Capítu lo ó

Term odinám ica

y 1712, re s p e c tiv a m e n te . L a s m e jo ra s p rá c tic a s d e e sta s p rim e ra s m á q u in a s d e v a p o r se re a liz a ro n e n lo s a ñ o s sig u ien tes, p e ro lo s p rin c ip io s fu n d a m e n ta le s d e la te rm o d in á m ic a s o b r e lo s q u e s e b a s a b a su o p e ra c ió n n o se e n te n d ie r o n to ta lm e n te sin o h a sta m u c h o d e s ­ pu és. La p rim e ra y s e g u n d a le y es d e la te rm o d in á m ic a se fo rm u la ro n h a sta lo s a ñ o s 1850. L a s leyes d e la te rm o d in á m ic a y o tr o s c o n c e p to s d e e s ta c ien c ia fu e ro n e x p u e s to s in ic ia l­ m e n te p o r c ie n tífic o s y m a te m á tic o s c o m o G a b rie l F a h re n h e it (1 6 8 6-1736), Sadi C a rn o t (1796-1832), R u d o lp h C la u siu s (1 8 2 2-1888), W illiam R a n k in e (1820-1872) y L o r d K e lv in (1824-1907). E s to s in v e stig a d o re s, y m u c h o s o tro s , e s ta b le c ie ro n las b a se s te ó ric a s d e la te rm o d in á m ic a m o d e rn a . Ya q u e é s ta e s la c ien c ia d e la e n e rg ía , sería d ifícil e n c o n tr a r u n siste m a d e in g e n ie ría q u e n o in te g ra ra p rin c ip io s te rm o d in á m ic o s d e a lg u n a fo rm a . E s to s p rin c ip io s tra b a ja n a n u e s tro a lre d e d o r. La ilu m in a c ió n c o n la q u e e s tá le y en d o e s ta p á g in a se p ro d u c e c o n v ir­ tie n d o e n e rg ía e lé c tric a e n luz visible. N u e s tro s h o g a re s se m a n tie n e n a te m p e ra tu ra s c o n ­ fo rta b le s p a ra la v id a m e d ia n te h o rn o s, b o m b a s d e c a lo r y a c o n d ic io n a d o re s d e a ire . E sto s d isp o sitiv o s u tiliz a n la e n e rg ía c o n te n id a e n los c o m b u stib le s fó siles o la e n e rg ía e léc trica p a r a c a le n ta r o e n fria r n u e s tro s h o g ares. L o s e le c tro d o m é s tic o s c o m u n e s, c o m o lavavajillas, h o rn o s d e m ic ro o n d a s, re frig e ra d o re s , h u m e c ta n te s, s e c a d o ra s d e ro p a , to s ta d o ra s , c a ­ le n ta d o re s d e a g u a , p la n ch a s y o lla s d e p re s ió n b a s a n su o p e ra c ió n e n los p rin c ip io s d e la te rm o d in á m ic a . L o s siste m a s in d u stria le s q u e ta m b ié n los a p lic a n in clu y en los m o to re s d e c o m b u s tió n in te rn a y d e d iesel, tu rb in a s, b o m b a s y c o m p re so re s, c a m b ia d o re s d e c a lo r, to ­ rr e s d e e n fria m ie n to y ta b le ro s so la re s, p o r n o m b ra r só lo alg u n o s. E n la s fig u ras 6 .1 ,6 .2 y 6.3 se m u e s tra n a lg u n o s siste m a s d e in g e n ie ría q u e u tiliz a n p ro c e so s te rm o d in á m ic o s.

6 .2 PRESIÓ N Y TEM PER A TU R A C ie rta s c arac te rístic a s físicas p u e d e n d e sc rib ir lo s siste m a s q u e u tilizan p ro c e so s te rm o d i­ n á m ic o s e n su o p e ra c ió n . A c u a lq u ie r c a ra c te rís tic a d e e sto s siste m a s se le lla m a p r o p ie ­ d a d . E n u n c o n te x to d e in g e n ie ría m á s a m p lio , u n a p ro p ie d a d se p u e d e re fe rir a c u alq u ier a s p e c to físico d e u n siste m a , c o m o lo n g itu d , d e n s id a d , v e lo c id a d , m ó d u lo d e e la stic id a d y v isco sid a d . E n te rm o d in á m ic a ,p o r lo g e n e ra l, u n a p ro p ie d a d s e re fie re a u n a c arac te rístic a

Figura 6.1 Los refrig erad ores do­ mésticos utilizan p rin ­ cip io s b ásicos de la term odinám ica p a ra retirar la energía térm ica de los alim entos. (Cortesía d e K ifch en -A id , Benton H arbo r, M I.)

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Sección 6 .2

Presión y tem peratura

183

Figura 6.2 Las turbinas d e viento convierten la energía eólica en energía eléctrica. La planta que se muestra aquí es propiedad d e S a ­ cram ento M unicipal Utility District, entidad que la o p e ra . (C o rte­ sía del U .S . D ep art­ ment of En erg y y el N atio nal Renew able E n e ra v Laboratorv.)

Figura 6.3 La planta d e g e n e ra ­ ción d e energía Vogtle, lo c a liz a d a al este de G e o rg ia , con ­ vierte e n erg ía nuclear en en erg ía eléctrica. La planta es c a p a z de p ro d u cir m ás de 2 0 0 0 M W de poten­ cia . (Cortesía de Southern N u clear, Birm ingham , A L .)

q u e s e re la c io n a d ire c ta m e n te c o n la e n e rg ía d e l sistem a. D o s d e las p ro p ie d a d e s m á s im ­ p o rta n te s e n la te rm o d in á m ic a so n la p resió n y la te m p era tu ra . 6 .2 .1

P re sió n

C u a n d o u n flu id o (líq u id o o g a s) se e n c u e n tra c o n fin a d o p o r u n lím ite só lid o , e je rc e u n a fu e rz a s o b re é ste . L a d ire c c ió n d e la fu e rz a e s n o rm a l (p e rp e n d ic u la r ) a l lím ite. D e s d e el p u n to d e vista m ic ro scó p ico , la fu e rz a e s e l re s u lta d o d e l c a m b io d e m o m e n to q u e e x p e ri­ m e n ta n la s m o lé c u las d e l flu id o a l c h o c a r c o n la su p e rfic ie só lid a. L a s m o lé c u la s c h o ca n

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184

Capítu lo ó

Term odinám ica

c o n la su p e rfic ie e n m u c h a s d ire c c io n e s, p e ro e l e fe c to g lo b a l d e las c o lisio n e s e s u n a f u e r ­ z a n e ta q u e e s n o rm a l a la su p erfic ie. L a p re s ió n se d e fin e c o m o la fu e r z a n o r m a l ejercida p o r u n flu id o p o r u n id a d d e área. P o r ta n to , la fó rm u la p a ra la p re s ió n es:

d o n d e P e s la p resió n , F e s la fuerza n o rm a l y A e s e l á re a . P a ra un líq u id o e n re p o so , la p re ­ s ió n a u m e n ta c o n la p ro fu n d id a d a c o n se c u en c ia d e l p e so d e l líquido. P o r e je m p lo , la p re s ió n e jercid a p o r e l a g u a d e l m a r a u n a p ro fu n d id a d d e 200 m e s m a y o r q u e la p re sió n a u n a p ro fu n d id a d d e 10 m . Sin e m b a rg o , la p re s ió n e n u n ta n q u e q u e c o n tie n e g a s e s fu n ­ d a m e n ta lm e n te c o n sta n te , d e b id o a q u e e l p e so d e l g a s p o r lo g e n e ra l e s d e sp re c ia b le si se c o m p a ra c o n la fu e rz a re q u e rid a p a ra c o m p rim irlo . P o r e jem p lo , c o n sid e re u n gas c o n te n i­ d o e n u n d isp o sitiv o d e p istó n y c ilin d ro c o m o se ilu stra e n la fig u ra 6.4. Se a p lic a u n a fu e r­ z a F a l p istó n , q u e c o m p rim e e l g a s e n e l cilin d ro . U n a p re s ió n c o n sta n te , c u y a m a g n itu d e s tá d a d a p o r la e c u a c ió n (6.1), a c tú a s o b re to d a s la s su p erfic ies in te rn a s d e l c o n te n e d o r. Si la fu e rz a F a u m e n ta , la p re sió n P se in c re m e n ta e n c o n se c u en c ia . L a u n id a d d e p re s ió n e n e l s is te m a SI e s N / n r , q u e se d e fin e c o m o p a sc a l (P a); 1 P a = 1 N / n r . E l pascal e s u n a u n id a d m uy p e q u e ñ a d e p re s ió n , p o r lo q u e s e a c o s tu m ­ b ra u tiliz a r lo s m ú ltip lo s n o rm a le s d e l s iste m a , k P a (k ilo p a s c a l) y M P a (m e g a p a s c a l), q u e r e p r e s e n ta n 10* y 106 P a , re s p e c tiv a m e n te . A lg u n a s v e c e s la p re s ió n s e e x p re sa e n té rm i­ n o s d e l b a r (1 b a r = 105 P a ). L a u n id a d d e p re s ió n m á s u tiliz a d a e n e l siste m a in g lé s e s la lib ra fu e rz a p o r p u lg a d a c u a d ra d a (lb j/iir ) ,q u e se a b re v ia psi (p o r su s siglas e n inglés). A l e fe c tu a r c á lc u lo s q u e c o m p re n d e n la p re s ió n , d e b e te n e rs e c u id a d o d e e sp e c ifi­ c a r la re fe re n c ia s o b re la c u al se b asa. A la p re s ió n re fe rid a a l v a cío p e rfe c to se le d e n o ­ m in a p resió n a b so lu ta ( P abs). L a p re s ió n a tm o sfé ric a (F aim) e s a q u e lla e je rc id a p o r la a tm ó s fe r a e n u n lu g a r esp ecífico . A n iv e l d e l m a r, la p re s ió n a tm o s fé ric a n o rm a l se d e fin e c o m o P atm = 101,325 P a = 14.696 p si. A e le v a c io n e s m a y o re s su m a g n itu d e s m e n o r, d e b i­ d o a la d e n s id a d d e c re c ie n te d e l a ire . A la p re s ió n q u e u tiliz a c o m o re fe re n c ia la p re s ió n a tm o s fé ric a se le lla m a p re s ió n m a n o m è tric a ( P man0métrica)> Ia c u a l e s la d ife re n c ia e n tr e la p re s ió n a b s o lu ta y la p re s ió n a tm o s fé ric a lo cal. La m a y o ría d e lo s in s tru m e n to s q u e se u ti­ liz a n p a ra c u a n tific a rla , c o m o e l m e d id o r d e p re s ió n d e l a ire d e u n n e u m á tic o , m id e n p r e ­ s ió n m a n o m è tric a . A la p re s ió n in fe rio r a la p re s ió n a tm o s fé ric a se le llam a p resió n d e v a cío (P vac). É s ta se m id e c o n m e d id o re s d e v a cío q u e in d ic a n la d ife re n c ia e n tr e la p re ­

.4 = á re a u n ita ria

Figura 6.4 Un g as confinado ejerce una presión sobre las p ared es del contenedor.

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Sección 6 .2

Presión y tem peratura

185

s ió n a tm o s fé ric a lo c al y la p re s ió n a b so lu ta . L a s p re s io n e s m a n o m e tric a ,a b s o lu ta y d e v a ­ c ío s o n c a n tid a d e s p o sitiv a s y se v in c u la n u n a c o n o t r a p o r m e d io d e la s re la cio n e s: P manomètrica = ^abs - ^aim (p a ra p re s io n e s s u p e r io r e s a P atm)

(6.2)

^vac = ^atm ~ ^abs la p re s ió n a u m e n ta a lo la rg o d e u n a tra y e c to ria q u e d e p e n d e d e c ie rta s c a ra c te rís tic a s físicas d e l p ro c e s o d e c o m p re sió n . L a p re s ió n se d e fin e c o m o u n a fu e rz a d iv id id a e n tr e un á r e a , p o r lo q u e la fu e rz a q u e c a u s a la c o m p re s ió n e s tá d a d a por: F = PA

(6.21)

d o n d e A e s e l á re a d e la s u p e rfic ie d e la c a r a d e l p is tó n . E l c a m b io d ife re n c ia l d e v o lu ­ m e n , d V , e s e l p ro d u c to d e l d e s p la z a m ie n to d ife re n c ia l d e l p is tó n d s y e l á re a d e la s u p e r ­ ficie d e l p is tó n A . D e a h í q u e d V = A d s, y e l tra b a jo d e lím ite se c o n v ie rte en:

/

2 /*2 A\Z F ds = j[ PA— = I

PdV

(6.22)

Figura 6.13 Un pistón re a liza tra b ajo de límite al com prim ir un g as.

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198

C a p í tub ó

Term odinám ica

Ya q u e e l p ro d u c to P d V a p a r e c e e n la d e fin ic ió n , a lg u n a s v e c e s al tra b a jo d e lím ite se le lla m a tra b a jo *'P d V ”. C o m o se in d ica e n la fig u ra 6.13, la m a g n itu d d e l tra b a jo d e lím ite e s e l á re a b a jo la c u rv a p re s ió n -v o lu m e n . P a ra e v a lu a r la in te g ra l d e la e c u a c ió n (6.22) te n d ría m o s q u e c o n o c e r la re la c ió n fu n c io n a l e n tr e la p re s ió n P y e l v o lu m e n V. E s ta r e ­ la c ió n p u e d e s e r u n a e x p re sió n a n a lític a p a ra P c o m o fu n c ió n d e V , o u n a g rá fic a q u e m u e s tre la v a ria c ió n d e P re s p e c to d e V. T r a b a jo d e e j e

E l tra b a jo d e e je e s u n a tra n sferen cia d e en erg ía m e d ia n te u n eje ro ta to rio . N u m e ro s o s sis­ te m a s d e in g e n ie ría tra n s fie re n e n e rg ía p o r e s te m ed io . E l e je d e tra n s m is ió n d e u n a u ­ to m ó v il, p o r e je m p lo , tra n s fie re e n e rg ía d e la tra n s m is ió n a l eje. L a e n e rg ía se tra n s fie re d e l m o to r d e u n b o te a la h élice m e d ia n te un eje. In c lu s o las cu ch illas d e u n m e z c la d o r d e c o m id a re a liz a n u n tra b a jo d e e je s o b re la co m id a. A l g ira r e l e je , p o r lo c o m ú n se le a p li­ c a u n p a r m o to r c o n s ta n te q u e tie n d e a r e ta r d a r s u ro ta c ió n . C o m o s e ilu s tra e n la fig u ra 6.14, e l p a r m o to r r e s p ro d u c id o p o r u n a fu e rz a F q u e a c tú a a tra v é s d e u n b ra z o d e m o ­ m e n to /■d e a c u e rd o c o n la re la ció n : r

= F r.

(6.23)

L a fu e rz a a c tú a a tra v é s d e u n a d is ta n c ia s ig u a l a la c irc u n fe re n c ia m u ltip lic a d a p o r e l n ú ­ m e ro d e re v o lu c io n e s d e l e je n . P o r ta n to , s = (2vr)n

(6.24)

D e s p u é s d e s u s titu ir la s e c u a c io n e s (6 .2 3 ) y (6 .2 4 ) e n la e c u a c ió n (6 .1 4 ), e l tra b a jo d e l eje se c o n v ie rte en: W cje = 2 i r m

(6.25)

T r a b a jo d e r e s o r te

E l tra b a jo d e resorte e s a q u e l rea liza d o a l d e fo rm a r u n resorte. Se re q u ie re u n a fu e rz a p a ra c o m p rim ir o e s tira r u n re s o rte , p o r lo q u e se re a liza tra b a jo . S e g ú n la física e le m e n ta l,s a b e ­ m o s q u e la fu e rz a re q u e rid a p a ra d e fo rm a r u n re s o rte e lá s tic o lin e a l e s p ro p o rc io n a l a la d e fo rm a c ió n . E ste p rin c ip io se c o n o ce c o m o le y d e H o o k e y se e x p re sa com o: F

= kx

(6.26)

d o n d e F e s la fu e rz a ,.v e s e l d e s p la z a m ie n to (c a m b io d e lo n g itu d d e l re s o rte ) y k e s la c o n s ta n te d e l re s o rte . S u s titu y e n d o la e c u a c ió n (6 .2 6 ) e n la e c u a c ió n (6.15) y o b s e rv a n d o q u e d s = d x . e 1 tra b a jo d e l re s o rte se c o n v ie rte en:

Wsp =

Fds =

( k x ) d x = l¡2 k

Figura 6.14 Trab ajo producido p o r un e je rotatorio.

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(x 2

~ x i)-

(6.27)

Sección ó .4

T ra b ajo y c a lo r

199

Figura 6.15 S e re a liz a tra b ajo al estirar o com prim ir un resorte.

C o m o s e in d ic a e n la fig u ra 6.15, lo s d e s p la z a m ie n to s in icial y final so n .vq y a:2, re s p e c tiv a ­ m e n te , m e d id o s d e sd e la p o sic ió n d e r e p o s o (sin d e fo rm a c ió n ) d e l re so rte . 6 .4 .2 C alor

C o m o d e fin im o s a n te s e n e s te c a p ítu lo , a h o ra s a b e m o s q u e e l c a lo r e s la tra n s fe re n c ia d e e n e r g ía a tra v é s d e l lím ite d e u n siste m a e n v irtu d d e u n a d ife re n c ia d e te m p e ra tu ra s . P a ­ ra q u e la tra n s fe re n c ia d e c a lo r o c u rra , d e b e h a b e r u n a d ife re n c ia d e te m p e ra tu ra e n tr e el s is te m a y su e n to rn o . L a tra n s fe re n c ia o flu jo d e c a lo r n o e s e l flu jo d e u n a su sta n c ia m a te ria l, c o m o e n e l c aso d e l flujo d e u n flu id o c o m o e l a ir e o e l a g u a . M ás b ie n e x iste un in te rc a m b io d e e n e rg ía in te rn a a tra v é s d e l lím ite d e l siste m a m e d ia n te u n m o v im ie n to a tó m ic o o m o le c u la r, o p o r o n d a s e le c tro m a g n é tic a s . L a tra n s fe re n c ia d e c a lo r p u e d e o c u ­ rrir p o r tre s d is tin to s m e ca n ism o s: c o n d u c c ió n , c o n v e c c ió n y ra d ia ció n . L a c o n d u c c ió n es la tra n s fe re n c ia d e e n e rg ía in te r n a e n lo s só lid o s y los flu id o s e n re p o so . E l m e ca n ism o re a l d e la c o n d u c c ió n c o m p re n d e e l in te rc a m b io d e e n e rg ía c in é tic a e n tr e m o lé c u la s e n c o n ta c to , o e n e l c aso d e lo s m e ta le s, e l m o v im ie n to d e e le c tro n e s lib res. L a c o n v e c c ió n es e l m e c a n ism o p o r e l c u a l se tra n s fie re e n e rg ía in te rn a a , o d e s d e , u n flu id o c e r c a n o a u n a su p e rfic ie só lid a . L a c o n v e c c ió n e s b á sic a m e n te c o n d u c c ió n e n la su p e rfic ie só lid a , c o n la c o m p le jid a d a g re g a d a d e la tra n s fe re n c ia d e e n e r g ía m e d ia n te e l m o v im ie n to d e las m o ­ lé cu las d e u n flu id o . L a ra d ia c ió n e s e l m e c a n ism o p o r m e d io d e l c u al se tra n s fie re e n e r ­ g ía a tra v é s d e o n d a s e le c tro m a g n é tic a s . A d ife re n c ia d e la c o n d u c c ió n y la c o n v e c c ió n , la ra d ia c ió n n o r e q u ie r e u n m ed io . U n e je m p lo fa m ilia r d e ra d ia c ió n e s la e n e rg ía té rm ic a q u e re c ib im o s d e l Sol a tra v é s d e l v a cío d e l e sp acio . I n d e p e n d ie n te m e n te d e l m e ca n ism o d e tra n s fe re n c ia d e c a lo r in v o lu c ra d o , la d irecció n d e la tra n s fe re n c ia d e c a lo r s ie m p re e s d e la re g ió n d e a lta te m p e ra tu ra a la re g ió n d e b a ja te m p e ra tu ra . La tra n s fe re n c ia d e c a lo r o c u rre a n u e s tro a lre d e d o r. C o m o e je m p lo fa m ilia r, c o n si­ d e re la b e b id a c a lie n te m o s tra d a e n la fig u ra 6.16. E l c a lo r se tr a n s m ite d e la b e b id a a los a lre d e d o r e s m e d ia n te los tre s m e c a n ism o s d e tra n s fe re n c ia d e c a lo r. U n a p a rte d e la e n e r g ía se tra n s m ite m e d ia n te c o n v e c c ió n , d e l líq u id o a la ta za só lid a , d o n d e e l c a lo r se tra n s fie re p o s te rio rm e n te a tra v é s d e la p a re d d e l re c ip ie n te . E s a e n e rg ía se tra n s fie re d e s p u é s a los a lre d e d o r e s p o r c o n v e c c ió n y ra d ia c ió n . La p a rte d e la e n e rg ía c o n d u c id a a la p a rte d e l fo n d o d e la ta za se tra n s fie re d ire c ta m e n te a la c u b ie r ta d e la m e sa p o r c o n ­ d u c c ió n . La e n e rg ía r e s ta n te p a sa d e la s u p e rfic ie d e l líq u id o d ire c ta m e n te a lo s a lre d e d o ­ re s m e d ia n te c o n v e c c ió n y ra d ia c ió n . E n e l sig u ie n te e je m p lo u tiliz a m o s e l p ro c e d im ie n to g e n e r a l d e a n álisis d e : 1) d e fi­ n ic ió n d e l p ro b le m a ; 2 ) d ia g ra m a ; 3 ) su p u e sto s; 4 ) e c u a c io n e s d e te rm in a n te s ; 5 ) cálcu lo s; 6 ) v e rific a c ió n d e la so lu c ió n , y 7 ) c o m e n ta rio s.

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200

Capítu lo ó

Term odinám ica

R a d ia c ió n

Convección

P ared d e la taza C onvección

Figura 6.16 R adiación

U na b eb id a caliente que descansa sobre una mesa transfiere en erg ía térm ica a los alred ed o res m ediante conducción, convec­

Conducción T D etalle

ción y ra d iació n .

Conducción

E JE M P L O 6 .3 Definición d el prob lem a U n a u to m ó v il d e 1200 kg a c e le ra h acia a rrib a d e u n a c o lin a , a u m e n ta n d o su v e lo c id a d d e 5 a 45 m i/h , a lo la rg o d e u n tra m o d e 100 m d e u n cam in o . Si la c o lin a fo rm a u n án g u lo d e 6o c o n re sp e c to a la h o riz o n ta l, e n c u e n tre e l tra b a jo to ta l re a liz a d o p o r e l au to m ó v il.

D ia g ra m a E l d ia g ra m a p a ra e s te p ro b le m a s e m u e s tra e n la fig u ra 6.17.

Sup uesto s 1. D e sp re c ie la re s iste n c ia d e l cam in o . 2. D e sp re c ie la fric c ió n a e ro d in á m ic a . 3. L a m a sa d e l a u to m ó v il e s c o n sta n te .

E cu acio n es d eterm inantes C u a n d o e l a u to m ó v il a sc ie n d e p o r la c o lin a se re a liz a n d o s fo rm a s d e tra b a jo , e l g ra v ita c io n a l y e l d e a c e le ra c ió n , p o r lo q u e te n e m o s d o s e c u a c io n e s d e te rm in a n te s : w g = m g ( z 2 ~ Zj) K

= % ™ { v i ~ Vi1)

C álcu los L a s c a n tid a d e s e n la d e fin ic ió n d e l p ro b le m a e s tá n d a d a s c o m o u n c o n ju n to c o m b in a d o d e u n id a d e s, p o r lo q u e p rim e ro c o n v e rtim o s a l siste m a SI la s u n id a d e s d e to d a s la s c a n ti­ d a d e s. C o n v irtie n d o la s v e lo c id a d e s o b te n e m o s : _ « rí

5280#

~ K X

1 «Tf

lm

IX

rt/v ,r

X 3.2808 f t X 3600 s “ 45 tm fa

Figura 6.17 Ejem plo 6 .3 .

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,

Sección 6 .4

5280 í f K X

ltrtf

lm

1K

^

T ra b ajo y c a lo r

201

^

X 3.2808 f f X 3 600 s ~

L a p o sició n v e rtic a l 22 d e l a u to m ó v il c u a n d o a lc a n z a u n a v e lo c id a d d e 45 m i/h es: z 2 = (1 0 0 m ) s e n 6 o = 10.45 m D e fin ie n d o la p o sició n d e l s u e lo c o m o Z\ = 0 m , e l tra b a jo g ra v ita c io n a l es: Wg = m g ( z 2 ~ Zi) = (1 2 0 0 k g )(9 .8 1 m /s2) ( 10.45 m - 0 m ) = 1.231 X 105 J. E l tra b a jo d e a c e le ra c ió n es: w¡> = % m { v 2 2 - v i2)

= y2(1 2 0 0 k g)[(20.12m /s)2 - (2.235 m/s)2] = 2.399 X 105 J E l tra b a jo to ta l e s la s u m a d e l tra b a jo g ra v ita c io n a l y d e a c e le ra c ió n , w = Wg + Wa = 1.231 x 105 J + 2.399 x 105 J = 3.630 x 105 J = 363 kJ

V erificación d e la solución N o s e e n c o n tr a r o n e rro re s.

C o m en tario s Si e l a u to m ó v il e s tu v ie ra a c e le ra n d o c o lin a a b a jo , e l tra b a jo g ra v ita c io n a l s e ría n eg ativ o , y e l tra b a jo re a liz a d o p o r e l m o to r sería m e n o r ,o in c lu so n eg ativ o . E n e s te e je m p lo , e l tra ­ b a jo g ra v ita c io n a l e s e l re a liz a d o p o r e l c u e r p o a l v e n c e r la g ra v e d a d .

A P L IC A C IO N El t r a b a j o constante

de

límite d uran te

un p r o c e s o

de

presión

E n a lg u n o s s iste m a s te rm o d in á m ic o s e l tra b a jo d e lím ite se re a liz a m ie n tra s la p re s ió n p e r ­ m a n e c e c o n s ta n te . U n e je m p lo c o m ú n e s e l c a le n ta m ie n to d e u n g a s c o n te n id o e n u n d is­ p o sitiv o p istó n -c ilin d ro , c o m o s e ilu stra e n la fig u ra 6.18(tf). A l tra n s fe rir c a lo r a l g a s d e n tro d e l c ilin d ro , la e n e rg ía in te rn a d e l g a s a u m e n ta , c o m o lo d e m u e s tra e l in c re m e n to e n su te m p e ra tu ra , y e l p istó n se m u e v e h a cia a rrib a . Si a su m im o s q u e e l d isp o sitiv o p istó n -c ilin ­ d r o n o tie n e fricción, la p re s ió n d e l g a s p e rm a n e c e c o n s ta n te , p e ro y a q u e e l p is tó n s e m u e ­ v e , s e sig u e h a c ie n d o tra b a jo d e lím ite. S u p o n g a q u e e l d isp o sitiv o p istó n -c ilin d ro sin fricció n m o s tra d o e n la fig u ra 6 .1 8 (a ) c o n tie n e 2 .5 L d e n itró g e n o a 120 k P a. E l c a lo r se tra n s fie re e n to n c e s a l n itró g e n o h a sta q u e e l v o lu m e n e s d e 4 L. E n c u e n tre e l tra b a jo d e lí­ m ite re a liz a d o p o r e l n itró g e n o d u r a n te e s te p ro ceso .

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202

C a p ítu b ó

Term odinám ica

Trayectoria del proceso

« o-

I £

C alo r

0.0025

Figura 6.18 Proceso a presión constante.

0.004

V olum en (m3)

(a)

(b)

E l tra b a jo d e lím ite W b e s tá d a d o p o r la re la ció n : '2 Wh = -

I PdV i

d o n d e P e s la p re s ió n y V e l v o lu m e n . Ya q u e e l p ro c e so o c u rre a p re s ió n c o n s ta n te , se p u e d e s a c a r a P d e la in te g ra l, lo q u e d a la re la ció n : '2 Wb = P I d V = p l

L o s v o lú m e n e s in icial y final d e l n itró g e n o son: V ¡ = 2.5 L = 0.025 m 3

V 2 = 4 L = 0.004 n r

P o r ta n to , e l tra b a jo d e lím ite es: W„

d V = P ( V 2 - Vi)

" í = (1 2 0 x 1 0 3 P a )(0 .0 0 4 m 3 - 0.025 m 3 ; = 180 J E l tra b a jo d e lím ite c a lc u la d o a q u í e s e l tra b a jo re a liz a d o p o r e l n itró g e n o s o b re e l p istó n , n o e l re a liz a d o p o r e l p is tó n s o b re e l n itró g e n o . E n la fig u ra 6 .1 8 (b ) se m u e s tra la tra yec­ to ria p a ra e l p ro c e so a p re s ió n c o n s ta n te q u e o c u rre d e n tro d e l d isp o sitiv o p istó n -c ilin ­ d ro . E l tra b a jo d e lím ite d e 180 J e s e l á re a s o m b re a d a b a jo la tra y e c to ria d e l p ro ceso .

1. A l s u b ir u n a c o lin a u n c a m ió n d e 2 500 k g , c a m b ia su v e lo c id a d d e 20 a 50 m i/h a lo la rg o d e u n tra m o re c to d e l c a m in o d e 1600 ft. Si la c o lin a tie n e u n a in c lin a ció n d e 8 o re s p e c to d e la h o riz o n ta l, e n c u e n tr e el tra b a jo to tal. R espu esta : 2 .1 9 M J. 2. U n a u to m ó v il d e 95 slu g s c a m b ia s u v e lo c id a d d e 55 a 30 m i/h a l s u b ir una c o lin a d e 3 o. Si e l c a m b io d e v e lo c id a d o c u rre e n u n tra m o re c to d e l c am in o d e 1355 ft, e n c u e n tr e e l tra b a jo to ta l. R espu esta : - 1 9 8 ft • lb f.

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Sección 6 .5

Prim era le y d e la term odinám ica

3. U n e je q u e g ira a 1200 rp m (re v o lu c io n e s p o r m in u to ) e x p e r im e n ta u n p a r m o to r c o n s ta n te d e 6 0 N • m . ¿ C u á n to tra b a jo re a liza e l e je e n u n a h o ra ? R esp u esta : 27.1 M J. 4. L a p re s ió n d e n tr o d e un d isp o sitiv o p is tó n -c ilin d ro s in fricc ió n v a ría d e a c u e rd o c o n la fu n c ió n P = a - b V , d o n d e a y b s o n c o n s ta n te s y V e s e l v o ­ lu m e n . L o s v o lú m e n e s in icial y fin a l p a ra e l p ro c e so so n d e 1 m ' y 0.1 m 3, re s p e c tiv a m e n te . S i a = 500 P a , y b = 2 000 P a /m 3, e n c u e n tre e l tra b a jo d e lím ite. R esp u esta : 540 J. 5. U n re s o rte lin e a l e lástic o s e c o m p rim e 3.5 c m d e sd e su p o sició n d e rep o so . D e s p u é s el re s o rte se c o m p rim e 7 .5 c m a d ic io n a le s. Si la c o n sta n te d e l re s o r­ te e s d e 2600 N /cm , e n c u e n tre e l tra b a jo re a liz a d o a l c o m p rim ir e l reso rte. R esp u esta : 1.57 kJ. 6. U n d is p o sitiv o p is tó n -c ilin d ro sin fricc ió n tie n e u n d iá m e tr o d e 10 cm . A l c a le n ta rs e e l g a s d e n tr o d e l c ilin d ro , e l p is tó n s e m u e v e u n a d ista n c ia d e 16 cm . Si la p re s ió n d e l g a s se m a n tie n e a 120 k P a , ¿ c u á n to tra b a jo se re a liz a ? R esp u esta : 151 J.

6 .5 P R IM E R A L E Y DE LA TER M O D IN Á M IC A L a p rim e ra ley d e la te rm o d in á m ic a e s u n a d e las le y es m á s im p o rta n te s e n c ie n c ia s e in ­ g e n ie ría . C o n fre c u e n c ia se le d e n o m in a le y d e c o n se rv a c ió n d e la energía, y p e rm ite a los in g e n ie ro s a n a liz a r las tra n s fo rm a c io n e s q u e o c u rre n e n tre las d iv e rsa s fo rm a s d e e n e r ­ g ía. D ic h o d e o tr a m a n e ra , la p rim e ra le y d e la te rm o d in á m ic a p e rm ite a los in g e n ie ro s e s tu d ia r c ó m o se c o n v ie rte u n a fo rm a d e e n e rg ía e n o tr a s fo rm as. U n a d e fin ic ió n m ás c o n cisa in d ic a q u e la energ ía se c o n serva . O tra fo rm a d e e s ta b le c e r e s ta ley es: la energía n o s e crea n i s e destruye, s ó lo c a m b ia d e fo r m a . L a p rim e ra ley d e la te rm o d in á m ic a , a la q u e e n a d e la n te n o s re fe rire m o s s im p le m e n te c o m o “ la p rim e ra le y ” , n o s e p u e d e d e m o s ­ tr a r m a te m á tic a m e n te . A l ig u a l q u e la s le y es d e N e w to n d e l m o v im ie n to , la p rim e ra le y se to m a c o m o u n a x io m a , u n p rin c ip io físico só lid o b a s a d o e n in n u m e ra b le s m e d ic io n es. N o s e s a b e d e a lg u n a tra n s fo rm a c ió n d e e n e rg ía , n a tu ra l o p ro d u c id a p o r e l h o m b re , q u e h a ­ ya v io la d o la p rim e ra ley. Se tra ta e n re a lid a d d e u n c o n c e p to m u y in tu itiv o . C o n sid e re e l siste m a m o s tra d o e n la figura 6.19. É s te p u e d e r e p r e s e n ta r c u a lq u ie r su sta n c ia o re g ió n e n e l e sp a c io e le g id a p a ra e l a n á lisis te rm o d in á m ic o . E l lím ite d e l siste m a e s la s u p e rfic ie q u e lo s e p a ra d e los a lre d e d o re s . P o d e m o s c o n s tru ir u n a re p re s e n ta c ió n m a te m á tic a d e la p rim e ra le y a p lic a n ­ d o u n a rg u m e n to físico sim p le. Si se s u m in is tra u n a c a n tid a d d e e n e r g ía E en{ a l siste m a ,

Figura 6.19 Prim era le y de la term odinám ica.

Em - E3il =

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203

204

C a p ílu lo 6

Term odinám ica

e s a e n e rg ía p u e d e s a lir d e l s iste m a , c a m b ia r la e n e rg ía d e l m ism o , o a m b o s. L a e n e rg ía q u e a b a n d o n a e l s is te m a e s £ » i. y e l c a m b io d e e n e rg ía e s A E . P o r ta n to , la q u e e n tr a al s is te m a e s ig u a l a la e n e rg ía q u e lo a b a n d o n a , m á s e l c a m b io d e e n e rg ía d e l sistem a. D e e s te m o d o , la p rim e ra le y se p u e d e e x p r e s a r m a te m á tic a m e n te c o m o : E enl = E sal + AE .

(6.28)

V e m o s q u e la p rim e ra le y n o e s o tr a c o sa q u e u n sim p le p rin c ip io d e c o n ta b ilid a d q u e m a n tie n e b a la n c e a d o e l “ lib ro m a y o r d e la e n e r g ía ” d e l siste m a . D e h e c h o , c o n frec u en c ia a la p rim e ra ley se le c o n o c e c o m o u n b a la n c e d e energía, p o rq u e e s o e s p re c is a m e n te lo q u e es. P o r lo c o m ú n , e n la m a y o ría d e lo s te x to s d e in g e n ie ría te rm o d in á m ic a la e cu a c ió n (6 .2 8 ) se e sc rib e e n la form a: £ enl - £ sal = AE .

(6.29)

C o m o se m u e s tra e n la fig u ra 6.19, E e y £ sai s o n c a n tid a d e s d e e n e rg ía q u e se tra n sm iten a tra v é s d e l lím ite d e l siste m a , m ie n tra s q u e AE e s e l c am b io d e e n e rg ía e n e l p ro p io sistem a. Ya q u e £ em y £^a| s o n fo rm as d e e n e rg ía tra n s fe rid a , e s to s té rm in o s sólo p u e d e n re p re se n ta r e n e rg ía e n las fo rm as d e calor, trabajo y flu jo m ú sico . E l c a lo r e s e l tra n s p o rte d e e n erg ía a tra v é s d e l lím ite d e u n siste m a e n v irtu d d e u n a d ife re n c ia d e te m p e ra tu ra . P a ra q u e la tra n s fe re n c ia d e c a lo r o c u rra , d e b e e x istir u n a d ife re n c ia d e te m p e ra tu ra e n tre e l siste m a y su s a lre d e d o re s. E l tra b a jo p u e d e ser d e n a tu ra le z a m e cá n ic a, c o m o e l m o v im ie n to d e l lím i­ te d e l siste m a o la ro ta c ió n d e u n e je d e n tro d e l m ism o ; o d e n a tu ra le z a e lé c tric a , c o m o la tra n s fe re n c ia d e e n e rg ía e lé c tric a p o r u n a la m b re q u e p e n e tr a a tra v é s d e l lím ite d e l siste ­ m a. C u a n d o la m asa c ru z a e l lím ite d e u n sistem a, la e n e rg ía ta m b ié n lo cru za, p o rq u e la m a ­ sa p o rta e n e rg ía consigo. P o r ta n to , e l la d o iz q u ie rd o d e la e cu a c ió n (6.29) se c o n v ierte en: £ e n t

- £ Sal = (Qent

“

G s a l)

+

(^ent

“

^ s a l)

+

( ^ m a s a .e n t

“

^ m a s a .s a l)

(6-30)

d o n d e Q d e n o ta c a lo r, W sig n ifica tra b a jo y £ ma?a re p re s e n ta tra n s fe re n c ia d e e n e r g ía m e ­ d ia n te flu jo m ásico. L o s su b ín d ic e s en t y s a l se re fie re n a la e n e r g ía tra n s fe rid a d e e n tra d a y d e sa lid a d e l s iste m a , re s p e c tiv a m e n te . E s ta s c a n tid a d e s d e e n e r g ía s ie m p re d e b e n in d i­ c a r s e c la ra m e n te e n u n d ia g ra m a c o m o fle c h as a p u n ta n d o h a cia d e n tr o o fu e ra d e l s is te ­ m a. E l c a m b io d e e n e rg ía d e l siste m a A £ e s la s u m a d e lo s c a m b io s d e e n e r g ía p o te n c ia l, c in é tic a e in te rn a . D e a h í q u e e l la d o d e re c h o d e la e c u a c ió n (6 .2 9 ) sea: A £ = A P E + A K E + AU

(6.31)

d o n d e P E , K E y U re p re s e n ta n la e n e rg ía p o te n c ia l, c in ética e in te rn a , re s p e c tiv a m e n te . L a m a y o ría d e lo s s is te m a s te rm o d in á m ic o s d e in te ré s p rá c tic o s o n e s ta c io n a rio s c o n re s ­ p e c to a m a rc o s e x te rn o s d e re fe re n c ia , p o r lo q u e A P E = A K E = 0, q u e d a n d o A £ = A U. A d e m á s, m u c h o s s iste m a s te rm o d in á m ic o s so n cerra d o s, lo q u e sig n ifica q u e la m a sa no p u e d e e n t r a r al, o a b a n d o n a r e l s iste m a . P a ra s iste m a s c e rra d o s , la s ú n ic a s fo rm a s p o sib les d e tra n s fe re n c ia d e e n e rg ía s o n tra b a jo y calo r. E l a n á lisis d e e s te tip o d e s is te m a s e s c o n ­ s id e ra b le m e n te m á s sen c illo q u e e l d e a q u e llo s q u e p e rm ite n la tra n s fe re n c ia d e m a sa . E n e s te lib ro só lo c o n sid e ra m o s s iste m a s c e rra d o s . P o r ta n to , la p rim e ra le y d e la te rm o d in á ­ m ica p a ra e s to s s iste m a s es: (G e,,, - Gsal) + (W „ „ - WM|) = A U

(6.32)

E l c a lo r y tra b a jo tra n s fe rid o s a tra v é s d e l lím ite d e l siste m a p ro d u c e n u n c a m b io e n la e n e rg ía to ta l d e l siste m a . E s te c a m b io a lte ra su e s ta d o te rm o d in á m ic o o c o n d ició n .

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Sección 6 .5

Prim era le y d e la term odinám ica

205

A l c a m b io d e l e s ta d o te rm o d in à m ic o d e u n s is te m a se le llam a p ro c e so . E l c a m b io d e e n e r g ía in te rn a A U e s s im p le m e n te la d ife re n c ia e n tr e la s e n e rg ía s in te rn a s a l fin a l y al inicio d e l p ro ceso . P o r ta n to , A U = í/ 2 — U \, d o n d e lo s su b ín d ic e s 1 y 2 d e n o ta n e l p rin c i­ p io y fin a l d e l p ro c e so , re s p e c tiv a m e n te . L a p rim e ra ley se p u e d e e x p r e s a r e n fo r m a d e r a z o n e s , d iv id ie n d o c a d a té rm in o d e la e c u a c ió n (6 .2 9 ) e n tr e e l in te rv a lo d e tie m p o At e n e l c u al o c u rre e l p ro c e so . A l d iv id ir lo s té rm in o s d e e n e rg ía e n tr e e l tie m p o , la s c a n tid a d e s d e l la d o iz q u ie rd o d e la e c u a c ió n s e c o n v ie rte n e n c a n tid a d e s d e p o te n c ia , y la c a n tid a d AE se tra n s fo rm a e n u n c a m b io d e e n e r g ía q u e o c u rre d u r a n te e l in te rv a lo d e tie m p o esp e c ific ad o . D e sp u é s, la e c u a c ió n (6 .2 9 ) se re s c rib e com o: ¿ e n ,

-

¿ s a i

=

A

£ / A

r

(6 -3 3 )

d o n d e ¿ enl y ¿ sal d e n o ta n la r a zó n a la c u a l la e n e rg ía e n tr a y sale d e l s iste m a , re s p e c tiv a ­ m e n te . L a s u n id a d e s p a ra ¿ en, y ¿ sa| s o n J/s, q u e se d e fin e c o m o w a tt (W ). Si se e s ta b le c e el p ro b le m a e n té rm in o s d e ra z o n e s d e e n e rg ía e n lu g a r d e c a n tid a d e s a b so lu ta s d e e n e rg ía , s e p re fie re e l u so d e la e c u a c ió n (6 .3 3 ) p a ra la p rim e ra ley e n lu g a r d e la e c u a c ió n (6.29). E n lo s s ig u ie n te s e je m p lo s se u tiliz a la p rim e ra le y p a ra a n a liz a r a lg u n o s siste m a s te rm o d in á m ic o s c e rra d o s básicos. U tiliz a m o s e l p ro c e d im ie n to g e n e ra l d e a n á lisis de: 1) d e fin ic ió n d e l p ro b le m a ; 2 ) d ia g ra m a ; 3 ) su p u e s to s ; 4 ) e c u a c io n e s d e te rm in a n te s ; 5 ) cálcu lo s; 6 ) v e rific a c ió n d e la so lu c ió n , y 7 ) c o m e n ta rio s.

E JE M P L O 6 .4 Definición d el prob lem a U n ta n q u e c e r r a d o c o n tie n e u n líq u id o c a lie n te c u y a e n e rg ía in te rn a in icial e s d e 1500 kJ. U n a ru e d a c o n h é lic e s o r o to r c o n e c ta d a a u n e je ro ta to rio im p a rte 250 k J d e tra b a jo al líq u id o , m ie n tra s q u e se p ie rd e n 700 k J d e c a lo r d e l líq u id o a lo s a lre d e d o re s . ¿ C u á l e s la e n e r g ía in te rn a final d e l líq u id o ?

D ia g ra m a E n la fig u ra 6.20 se ilu s tra u n d ia g ra m a q u e re p re s e n ta e l siste m a . E s te siste m a e s e l líq u i­ d o e n e l ta n q u e . S e m u e s tra la e n e rg ía tra n s fe rid a a tra v é s d e l lím ite d e l s is te m a c o m o t r a ­ b a jo y c o m o calor.

Sup u esto s 1. E l siste m a e s c e rra d o . 2. E l ta n q u e e s e s ta c io n a rio , p o r lo q u e A P E = A K E = 0. 3. E l c a m b io d e e n e rg ía e n e l ro to r e s d e sp re c ia b le .

F ig u r a 6 .2 0 Sistem a p a ra el ejem plo 6 .4 .

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206

Capítu lo 6

Term odinám ica

Ecu acio n es d eterm inantes L a e c u a c ió n d e te r m in a n te p a ra e s te p ro b le m a e s la p rim e ra ley d e la te rm o d in á m ic a p a ra u n siste m a c e rra d o : (G en, - (2 .al) + ( W « t ~ W »l) = L U = U2 ~ Uv

C álcu los A p a r tir d e l d ia g ra m a v e m o s que: -

L a e fic ien c ia té rm ic a re a l d e la m á q u in a té rm ic a e s m a y o r q u e la e fic ien c ia d e C a rn o t (0.556 > 0 .522). p o r lo q u e la a firm a c ió n d e l in v e n to r e s in v álid a. E s fís ic a m e n te im p o si­ b le q u e e s ta m á q u in a té rm ic a p ro d u z c a 1 k.T d e tra b a jo p o r c a d a 1.8 kJ d e c a lo r q u e se le s u m in is tre n , d a d a s la s te m p e ra tu ra s d e la fu e n te y d e l s u m id e ro e sp e c ific a d a s e n la so lic i­ tu d d e p a te n te .

1. U n a fu e n te d e a lta te m p e r a tu r a a lim e n ta una m á q u in a té rm ic a c o n 25 k J d e e n e rg ía . L a m á q u in a re c h a z a 15 k J d e e n e rg ía a u n s u m id e ro d e b a ja te m ­ p e ra tu ra . ¿ C u á n to tra b a jo p ro d u c e la m á q u in a ? R espu esta : 10 kJ. 2. U n a m á q u in a té rm ic a p ro d u c e 5 M W d e p o te n c ia m ie n tra s a b s o r b e 8 M W d e u n a fu e n te d e a lta te m p e ra tu ra . ¿ C u á l e s la e fic ien c ia té rm ic a d e e s ta m á q u in a ? ¿ C u á l e s la ra z ó n d e tra n s fe re n c ia d e c a lo r a l s u m id e ro d e baja te m p e ra tu ra ? R espu esta : 0 .6 2 5 ,3 M W . 3. U n a m á q u in a té rm ic a a b s o r b e 20 M W d e u n h o rn o a 400 °C y re c h a z a 12 M W a la a tm ó s fe ra a 25 °C. E n c u e n tr e las e fic ie n c ia s re a l y d e C a rn o t d e e s ta m á q u in a té rm ic a . ¿ C u á n ta p o te n c ia p ro d u c e la m á q u in a ? R espu esta : 0 .4 0 0 ,0 .5 5 7 ,8 M W . 4. Jo e, u n r e p a r a d o r c a s e ro q u e se c o n sid e ra in g e n ie ro , le d ic e a su v e c in a , la in g e n ie ra J a n e ,q u e h a d e s a rro lla d o u n a m á q u in a té rm ic a q u e re c ib e c alo r

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Problem as

217

d e a g u a h irv ie n d o a u n a p re s ió n d e 1 a tm .y re c h a z a c a lo r a u n c o n g e la d o r a - 5 °C. Jo e a firm a q u e su m á q u in a p ro d u c e 1 B tu d e tra b a jo p o r c a d a 2.5 B tu d e c a lo r q u e re c ib e d e l a g u a h irv ie n d o . D e s p u é s d e u n c á lc u lo rá p id o , Jane le in fo rm a a J o e q u e si p re te n d e d is e ñ a r m á q u in a s té rm ic a s, p rim e ro n e c e s i­ ta e s tu d ia r in g e n ie ría . ¿ E s a c e r ta d o e l c o m e n ta rio d e J a n e ? Ju stifiq u e su r e s p u e s ta c o n u n análisis. R e sp u esta : Sí, p o rq u e 77^1 = 0 .4 0 0 y 77Cainot = 0.282,1o c u al e s im p o sib le.

c a lo r e fic ien c ia d e C a rn o t e fic ien c ia té rm ic a e n e rg ía e n e rg ía c in ética e n e rg ía in te rn a e n e r g ía p o te n cial e n e r g ía p o te n c ia l e lástic a

e n e rg ía p o te n c ia l g ra v ita c io n a l ley c e r o d e la te rm o d in á m ic a m á q u in a té rm ic a p re s ió n p rim e ra le y d e la te rm o d in á m ic a

s e g u n d a ley d e la te rm o d in á m ic a te m p e ra tu ra te rm o d in á m ic a tra b a jo

T E R M IN O S CLAVE

R E F E R E N C IA S C e n g e l, Y. A . y M . A . B o le s, T h e r m o d y n a m ic s : A n E n g in e e rin g A p p r o a c h , 6 a . e d .. M c G ra w -H ill, N u e v a Y o rk . 2008. S o n n ta g , R . E ., C . B o r g n a k k e y G . J. V a n W y le n , F u n d a m e n ta ls o f T h e r m o d y n a m ic s , 6 a . e d . J o h n W ile y & S o n s, N u e v a Y o rk . 2003. M o r a n . M . J. y H . N . S h a p iro . F u n d a m e n ta ls o f E n g in e e r in g T h e r m o d y n a m ic s , 6 a . e d ., J o h n W ile y & S o n s , N u e v a Y o rk , 2008. L e v e n s p ie l, O ., U n d e rs ta n d in g E n g in e e r in g T h e r m o . P re n tic e H a ll, U p p e r S a d d le R iv e r , N u e v a J e r s e y , 1996. H a g e n , K . D ., H e a t T r a n sfe r w ith A p p lic a tio n s , P r e n tic e H a ll, U p p e r S a d d le R iv e r, N u e v a Je rse y , 1999. I n c r o p e r a , F. P., D . P. D e W itt,T . L . B e r g m a n y A . S. L e v in e , F u n d a m e n ta ls o f H e a t a n d M a s s T ra n sfer. 6 a . e d ., J o h n W ile y & S o n s , N u e v a Y o rk , 2007.

PRO BLEM A S P resión y tem p erai lira ¿ Q u é p re s ió n m a n o m è tric a se n e c e s ita ría p a ra in flar e l n e u m á tic o d e u n a u to m ó v il 6.1 e n S a n D ie g o , C a lifo rn ia , p a ra a lc a n z a r u n a p re s ió n a b s o lu ta d e 325 k P a ? 6.2 U n m a n ó m e tro c o n e c ta d o a u n ta n q u e in d ic a 375 k P a e n u n lu g a r d o n d e la p re s ió n a tm o s fé ric a e s d e 9 2 k P a. E n c u e n tr e la p re s ió n a b s o lu ta e n e l ta n q u e . 6.3 U n d isp o sitiv o p is tó n -c ilin d ro v e rtic a l sin fricc ió n c o n tie n e u n gas. E l p is tó n tie n e u n a m a sa d e 3 kg y u n ra d io d e 5 cm , y s e le a p lic a u n a fu e rz a h a c ia a b a jo d e 7 5 N. Si la p re s ió n a tm o s fé ric a e s 100 k P a ,e n c u e n tr e la p re s ió n d e n tro d e l c ilin d ro . (V é a ­ se la fig u ra P 6.3.) 6.4 U n m e d id o r d e v a cío c o n e c ta d o a u n ta n q u e in d ic a 5.3 psi e n u n lu g a r d o n d e la p r e ­ sió n a tm o s fé ric a e s d e 13.8 psi. E n c u e n tre la p re s ió n a b s o lu ta e n e l ta n q u e . 6.5 U n a te m p e r a tu r a in te rio r c o n fo rta b le e s d e 7 0 °F, ¿ cu á l e s la te m p e r a tu r a e n u n id a ­ d e s d e ° R .° C y K ?

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218

C a p i tub 6

Term odinám ica

P alm= 100 k P a 75 N

\

Figura P6.3 6.6 6.7 6.8

L a te m p e r a tu r a c o rp o ra l p ro m e d io d e u n a d u lto s a n o e s d e a p ro x im a d a m e n te 98.6 °F, ¿ cu á l e s la te m p e ra tu ra e n u n id a d e s d e ° R , °C y K? E n c u e n tr e la te m p e r a tu r a a la c u a l c o in c id e n la s e sc a las F a h re n h e it y C elsius. L o s c a m b ia d o re s d e c a lo r s o n d is p o sitiv o s q u e fa c ilita n la tra n s fe re n c ia d e e n e rg ía té rm ic a d e u n flu id o a o tr o a tra v é s d e u n a p a re d só lid a . E n u n c a m b ia d o r d e c alo r p a rtic u la r, e n tr a g lic e rin a a la u n id a d a u n a te m p e ra tu ra d e 3 0 °C y s a le d e e lla a u n a te m p e r a tu r a d e 47 °C , ¿cu ál e s e l c a m b io d e te m p e r a tu r a d e la g lic e rin a e n u n i­ d a d e s d e °F, ° R y K?

T r a b a jo y c alo r 6.9 A l re c o r r e r u n tra m o d e u n c a m in o h o riz o n ta l d e 1250 pies, u n a u to m ó v il d e 7 5 slu g s c a m b ia su v e lo c id a d d e 5 m i/h a 60 m i/h. Si la fu e rz a d e fricció n q u e a c tú a s o b re e l a u to m ó v il e s d e 25 lbf, ¿ cu á l e s e l tra b a jo to ta l? 6.10 L a p re s ió n e n u n d isp o sitiv o p is tó n -c ilin d ro sin fricció n v a ría c o n fo rm e a la fu n c ió n P = C F ~ n, d o n d e C y n s o n c o n s ta n te s y V e s e l v o lu m e n . D e riv e u n a re la c ió n p a ra el tra b a jo d e lím ite e n té rm in o s d e lo s v o lú m e n e s in icial y fin a l V \ y V2, y la s c o n s ­ ta n te s C y n . ¿ C u á l e s la re s tric c ió n e n la c o n s ta n te n i 6.11 U n a p e rs o n a d e 180 lb m a sc ie n d e u n a e sc a le ra q u e c o n sta d e 150 e sc a lo n e s .c a d a uno c o n u n a e le v a c ió n v e rtic a l d e 8 in. ¿ C u á n to tra b a jo c o n tra la g ra v e d a d re a liz a e sta p e rs o n a ? 6.12 U n e je c o n e c ta d o a u n m o to r re a liza u n tr a b a jo d e 600 k J e n 5 m in u to s. Si e l e je g i­ r a a 1750 rp m , ¿ cu á l e s e l p a r m o to r e n e l e je? 6.13 U n a c aja e s a rr a s tr a d a s o b re u n p iso ru g o s o m e d ia n te u n a fu e rz a F = 120 N, c o m o se m u e s tra e n la fig u ra P6.13. U n a fu e rz a d e fricc ió n d e 4 0 N a c tú a r e ta r d a n d o el m o v im ie n to d e la c a ja . Si é s ta e s a rr a s tr a d a 25 m s o b re e l p iso , ¿ c u á l e s e l tra b a jo re a liz a d o p o r la fu e rz a d e 120 N ? ¿ Y p o r la fu e rz a d e fricc ió n ? ¿ C u á l e s e l tr a b a ­ jo n e to e fe c tu a d o ?

F ig u r a P 6 .1 3

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Problem as

6.14

L a tra n s fe re n c ia d e c a lo r p o r c o n d u c c ió n a tra v é s d e u n a p a re d p la n a d e e s p e s o r L y á re a su p e rfic ia l A se p u e d e c a lc u la r u tiliz a n d o la re la ció n : Q = k A

6.15

AT -

d o n d e k = c o n d u c tiv id a d té rm ic a d e la p a re d (W /m • °C ) y A 7 ' = d ife re n c ia d e te m ­ p e ra tu ra s a tra v é s d e la p a re d (°C ). P a ra u n ta b le ro d e m a d e r a la m in a d a d e 1.74 cm d e e s p e s o r (k = 0.12 W /m • °C ) y u n a d ife re n c ia d e te m p e r a tu r a d e 30 ° C ,¿ c u á l es la tra n s fe re n c ia d e c a lo r p o r u n id a d d e á re a su p e rfic ia l? L a tra n s fe re n c ia d e c a lo r p o r c o n v e c c ió n d e u n a su p e rfic ie d e á re a A a u n flu id o c irc u n d a n te se p u e d e c a lc u la r u tiliz a n d o la relació n : Q = h A ( T s - Too)

6.16

d o n d e h = c o e fic ie n te d e tra n s fe re n c ia d e c a lo r, 7 $ = te m p e ra tu ra su p e rfic ia l (°C ) y T „ = te m p e r a tu r a a c o rrie n te libre d e l flu id o (°C ). Si fluye a ire a 25 ° C s o b re u n a su p e rfic ie d e 2.8 m 2 q u e se m a n tie n e a u n a te m p e r a tu r a d e 8 0 °C, e n c u e n tre la tra n s fe re n c ia d e c a lo r p a ra u n c o e fic ie n te d e tra n s m is ió n d e c a lo r d e 40 W /m 2 • °C. L a tra n s fe re n c ia d e c a lo r p o r ra d ia c ió n e n tre un o b je to c o n u n á re a su p erfic ial A y una e m isiv id a d e y e l c o n te n e d o r d e l o b je to s e p u e d e c a lc u la r u tiliz a n d o la relació n :

¿ = A€

p H 20 . 4 °C 800 k g /m 3 1000 k g /m 3 = 0.800.

E JE M P L O 7 .2 E n c u e n tr e e l c a m b io d e p re s ió n re q u e rid o p a ra d is m in u ir e l v o lu m e n d e a g u a a 2 0 ° C e n 1 p o r cien to .

Solución D e la ta b la 7.2, e l m ó d u lo v o lu m é tric o d e l a g u a a 2 0 °C e s K = 2.24 G P a . U n a d ism in u c ió n d e l 1 p o r c ie n to e n e l v o lu m e n d e n o ta q u e W ¡ V = - 0 .0 1 . A l r e o r d e n a r la e c u a c ió n (7 .6 ) y re s o lv e r p a ra A P , o b te n e m o s : A P = - K ( & V /V ) = - ( 2 . 2 4 x 109 P a ) ( - 0 .0 1 ) = 22.4 X 106 P a = 22.4 M P a.

E JE M P L O 7 .3 D o s p la ca s p a ra le la s e s p a c ia d a s 3 m m ro d e a n u n flu id o . U n a p la ca e s e s ta c io n a ria , m ie n ­ tra s q u e la o tr a se m u e v e d e fo rm a p a ra le la a la e sta c io n a ria , c o n u n a v e lo c id a d c o n sta n te d e 10 m/s. A m b a s p la c a s m id e n 60 c m X 80 cm . Si s e re q u ie re u n a fu e rz a d e 12 N p a ra m a n te n e r la v e lo c id a d d e la placa m ó v il, ¿ c u á l e s la v isco sid a d d in á m ic a d e l flu id o ?

Solución L a v e lo c id a d v a ría d e c e ro e n la p la c a e s ta c io n a ria a 10 m /s e n la p la c a m ó v il, y e l e sp a c iam ie n to e n tr e la s p la ca s e s 0.003 m. E l g r a d ie n te d e v e lo c id a d d e la ley d e N e w to n d e la v isc o sid a d se p u e d e e x p re s a r e n té rm in o s d e c a n tid a d e s d ife re n c ia le s co m o : ± u / \ y = (1 0 m / s ) / ( 0.003 m ) = 3333 s"1. E l e sfu erz o d e c o rte se e n c u e n tra d iv id ie n d o la fu e rz a e n tre e l á re a d e la s placas. P o r tan to , F

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234

Capítu lo 7

M e cá n ica d e fluidos

12 N “ (0 .6 m ) (0 .8 m ) = 2 5 N /m 2 = 25 P a. A l r e o r d e n a r la e c u a c ió n (7 .8 ) y re s o lv e r la v isc o sid a d d in á m ic a ¡x o b te n e m o s: r M ”

Azi/A y

25 P a ~ 3333 s“ 1 = 7.50 X 10-3 P a • s.

¡Practique! 1. U n c o n te n e d o r c ilin d ric o c o n u n a a ltu r a y d iá m e tro d e 16 c m y 10 cm . re s ­ p e c tiv a m e n te , c o n tie n e 1.1 kg d e líquido. Si e l líq u id o lle n a e l c o n te n e d o r, e n c u e n tre la d e n s id a d , p e so e sp e c ífic o y g ra v e d a d e sp e c ífic a d e l líquido. R espu esta : 875 k g/m 3.8 5 8 5 N /m 3, 0.875. 2. Se v a a lle n a r u n a p iscin a q u e m id e 3 0 ft X 18 ft X 8 ft u tiliz a n d o u n c am ió n c is te rn a d e a g u a c o n u n a c a p a c id a d d e 5500 g a lo n e s. ¿ C u á n to s v ia je s tie n e q u e h a c e r e l c a m ió n c is te rn a p a ra lle n a r la p iscin a? Si la d e n s id a d d e l agua e s d e 1.93 slu g /ft3, ¿ c u á l e s la m a sa y p e s o d e l a g u a e n la p iscin a d e s p u é s de lle n a rla ? R espu esta : 6 ,8 3 8 1 s lu g ,2 .7 0 X 10^ lbf. 3. U n c ilin d ro q u e c o n tie n e b e n c e n o a 20 °C tie n e u n p is tó n q u e c o m p rim e e l flu id o d e 0 a 37 M P a . E n c u e n tre e l p o rc e n ta je d e c a m b io d e v o lu m e n d e l b en cen o . R esp u esta : -2 .5 0 % . 4. U n p is tó n c o m p rim e flu id o h id rá u lic o d e n tro d e u n c ilin d ro , p ro d u c ie n d o u n c a m b io d e p re s ió n d e 4 0 M P a . A n te s d e a c tiv a r e l p istó n , e l flu id o h i­ d rá u lic o lle n a 20 c m d e lo n g itu d d e l c ilin d ro . Si e l d e s p la z a m ie n to a x ial d e l p is tó n e s d e 6.5 m m , ¿ cu á l e s e l m ó d u lo v o lu m é tric o d e l flu id o h id rá u lic o ? R espu esta : 1.231 G P a . 5. G lic e rin a a 20 °C ( p = 1260 k g/m 3, p = 1.48 P a • s) o c u p a u n e s p a c io d e 1.6 m m e n tre d o s p la ca s c u a d r a d a s p a ra le la s. U n a p la ca p e rm a n e c e e s ta c io ­ n a ria m ie n tra s q u e la o tr a se m u e v e a u n a v e lo c id a d c o n s ta n te d e 8 m/s. Si a m b a s p la ca s m id e n 1 m d e lad o , ¿ q u é fu e rz a d e b e e je rc e rs e s o b re la p laca m óvil p a ra m a n te n e r su m o v im ie n to ? ¿ C u á l e s la v isco sid a d c in e m á tic a d e la g lic e rin a ? R espu esta : 1 4 0 0 N, 1.175 X 1 0 '3 m 2/s.

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Sección 7 .3

Estática d e b s fluidos

235

d o s y la d in á m ic a d e lo s fluidos. L a e stá tic a d e lo s flu id o s a n aliza su c o m p o rta m ie n to e n r e ­ poso. E l fluido se e n c u e n tra e n re p o s o c o n re sp e c to a u n m a rc o d e re fe re n cia . E s to significa q u e n o se m u e v e c o n re sp ec to a u n c u e rp o o su p erficie c o n e l q u e se e n c u e n tra e n c o n ta c to físico. D e b id o a q u e e s tá e n re p o so , se e n c u e n tra e n u n e s ta d o d e e q u ilib rio , d o n d e la su m a v e c to ria l d e las fu e rz as e x te rn a s q u e a c tú a n s o b re e l flu id o e s cero . C o m o m a te ria , la e s tá ti­ c a d e lo s fluidos c o m p re n d e v a ria s á re a s d e e stu d io e n tre las q u e incluye las fu e rz as s o b re su p erfic ies su m erg id as, la m e d ic ió n d e p re sió n y m a n o m e tría , flo tació n , e sta b ilid a d y m asas d e fluidos su jetas a a c e le ra c ió n . N u e s tro tra ta m ie n to d e la e stá tic a d e lo s flu id o s s e c o n c e n ­ tra rá e n las m a te ria s m á s fu n d a m e n ta le s: las fu e rz a s s o b re las su p erfic ies sum ergidas. 7 .3 .1

R elació n de e le v a c ió n d e la presión

L a ex p erien cia c o m ú n nos dice q u e la p re sió n a u m e n ta c o n la p ro fu n d id a d d e n tro d e u n flui­ do. Por e je m p lo , u n b u z o e x p e rim e n ta p re sio n es m á s e le v a d a s c o n fo rm e d e sc ie n d e d e n tro d e l agua. Si e s q u e v a m o s a a p re n d e r c ó m o a n a liz a r e l e fe c to d e las fu erzas e je rc id a s so b re su p erficies su m erg id as, p rim e ro d e b e m o s e n te n d e r có m o c a m b ia la p re sió n c o n la elevación (d istan cia v e rtic al) e n u n fluido e stático . P a ra o b te n e r la re la ció n e n tre la p resió n y la e lev a ­ c ió n d e n tro d e u n flu id o e stático , a cu d a a la co n fig u ració n m o stra d a e n la fig u ra 7.6. E n ella c o n sid e ra m o s u n c u e rp o e stá tic o d e flu id o c o n u n a d e n sid a d p. Ya q u e to d o el c u e rp o del fluido se e n c u e n tra e n e q u ilib rio ,ta m b ié n c ad a u n a d e su s p a rtíc u la s d e b e e s ta r e n equilibrio. P o r ta n to , p o d e m o s a islar u n e le m e n to in fin itesim alm en te p e q u e ñ o d e l flu id o p a ra e l a n á li­ sis. E leg im o s com o n u e s tro e le m e n to d e flu id o u n c ilin d ro d e a ltu ra d z , c u y a á re a d e su p erfi­ c ie s u p e rio r e in fe rio r e s A . Si tra ta m o s e l e le m e n to d e flu id o c o m o u n c u erp o libre e n e q u ilib rio , o b se rv a m o s q u e e x isten tre s fu e rz as e x te rn a s a c tu a n d o s o b re e l e le m e n to e n la d i­ recció n z . D o s d e las fu e rz as so n fu e rz as d e p re sió n q u e a c tú a n s o b re las su p erfic ies su p erio r e in fe rio r d e l e le m e n to . L a fu e rz a d e p resió n q u e a c tú a s o b re la su p erficie s u p e rio r e s P A , g 1 p ro d u c to d e la p re s ió n a u n a c o o rd e n a d a z d a d a p o r e l á re a d e la superficie. La fu e rz a d e p re ­ sió n q u e a c tú a s o b re la su p erfic ie in fe rio r e s (P + d P ) A ,e \ p ro d u c to d e la p re sió n a z + d z p o r e l á re a d e la superficie. L a p re sió n q u e a ctú a s o b re la su p erficie in fe rio r e s (P + d P ), p o rq u e la p re sió n h a a u m e n ta d o u n a c a n tid a d d ife re n c ial c o rre sp o n d ie n te a u n cam b io d e elevación d e d z . O b se rv e q u e a m b a s fu erzas d e p re s ió n so n fu erzas d e c o m p re sió n . (T am b ién ex isten fu e rz as d e p re sió n q u e a c tú a n a lre d e d o r d e l p e rím e tro d e l cilin d ro s o b re s u su p erfic ie curva, p e ro e sta s fu e rz as se c a n c e lan e n tre sí.) La te rc era fu e rz a q u e a c tú a s o b re e l e le m e n to d e flui­ d o e s su p eso , W . Si e sc rib im o s u n e q u ilib rio d e fu e rz a s s o b re e l e le m e n to d e flu id o e n la d ire c c ió n z , o b te n e m o s: 1 F Z = 0 = P A - (P + d P ) A - W

(7.10)

E l p e so d e l e le m e n to d e flu id o es: W = m g = p V g = p g A dz

(7.11)

PA

A

Figura 7.6 Elemento d iferencial

dz

de fluido utilizado p a ra d eriva r la rela­ ción d e la elevación a (P + d P )A

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presión A P = y h .

236

Capítu lo 7

M e cá n ica d e Huidos

d o n d e e l v o lu m e n d e l e le m e n to e s V = A d z . A l s u s titu ir la e c u a c ió n (7 .1 1 ) e n la e cu a c ió n (7 .1 0 ) y sim p lific a n d o , o b te n e m o s: dP = pgdz.

(7.12)

A h o r a se p u e d e in te g ra r la e c u a c ió n (7.12). L a p re s ió n se in te g ra d e P \ a P2, y la e lev a c ió n se in te g ra d e Z\ a P o r ta n to ,

j

d P = p g j^ d z

(7.13)

q u e p ro d u c e : P 2 - p 1 = Pg(z2 - Z\).

(7.14)

E n m u c h as in sta n c ia s, s e c o n sid e ra P \ c o m o la p re s ió n e n e l o rig e n , z = Z \ = 0. E n to n c e s la p re s ió n P2 se c o n v ie rte e n la p re s ió n a la p ro f u n d id a d z 2 b a jo la su p e rfic ie lib re d e l flui­ d o . P o r lo g e n e ra l, n o n o s in te re s a la fu e rz a e je rc id a p o r la p re s ió n a tm o s fé ric a , p o r lo q u e la p re s ió n P\ e n la su p e rfic ie lib re d e l flu id o e s c e ro (e s d e c ir, la p re s ió n m a n o m ètric a e n la su p e rfic ie lib re e s c e ro , y P2 e s la p re s ió n m a n o m è tric a e n z 2)• La e c u a c ió n (7.14) s e p u e d e e x p re s a r e n fo rm a sim p lific a d a , p e rm itie n d o q u e A P = P 2 - P , y h = z 2 - Z\A l o b s e r v a r q u e y = p g , la e c u a c ió n (7 .1 4 ) se re d u c e a: A P = yh

(7.15)

d o n d e y e s e l p e so e sp e c ífic o d e l flu id o y h e s e l c a m b io d e e le v a c ió n c o n re fe re n c ia a la s u p e rfic ie lib re. D e a c u e rd o c o n n u e s tra e x p e rie n c ia , al a u m e n ta r h , la p re s ió n a u m e n ta . P o d e m o s o b te n e r a lg u n a s c o n c lu s io n e s g e n e ra le s d e la re la c ió n e n tr e la p re s ió n y la e le ­ v a c ió n d a d a p o r la e c u a c ió n (7.15): 1. E s ta e c u a c ió n s ó lo e s v á lid a p a ra u n líq u id o e stá tic o h o m o g é n e o . N o se a p lic a a los g ases, p o rq u e y n o e s c o n s ta n te p a ra los flu id o s c o m p re sib les. 2. E l c a m b io d e p re s ió n e s d ire c ta m e n te p ro p o rc io n a l a l p e so e sp e c ífic o d e l líquido. 3. L a p re s ió n v a ría d e m a n e ra lin e a l c o n la p ro fu n d id a d y e l p e s o e sp e c ífic o d e l líq u i­ d o e s la p e n d ie n te d e la fu n c ió n lin eal. 4. L a p re s ió n a u m e n ta a l a u m e n ta r la p ro fu n d id a d , y v icev ersa. 5. L o s p u n to s s o b re e l m ism o p la n o h o riz o n ta l tie n e n la m ism a p resió n . O tra c o n c lu s ió n im p o r ta n te q u e se p u e d e d e riv a r d e la e c u a c ió n (7.15) e s q u e , p a ra u n líq u id o d a d o , e l c a m b io d e p re s ió n s ó lo e s u n a fu n c ió n d e l c a m b io d e e le v a c ió n h . La p re s ió n e s in d e p e n d ie n te d e c u a lq u ie r o t r o p a rá m e tr o g e o m é tric o . L o s c o n te n e d o re s ilu s­ tr a d o s e n la fig u ra 7 .7 se lle n a n h a sta u n a m ism a p ro fu n d id a d /i,c o n e l m ism o líq u id o ,p o l­ lo q u e la p re s ió n e n e l fo n d o d e los c o n te n e d o re s e s la m ism a. C a d a c o n te n e d o r tie n e d i­ fe re n te ta m a ñ o y fo rm a , p o r lo ta n to , c o n tie n e n d ife re n te s c a n tid a d e s d e líq u id o s, p e ro la p re s ió n s ó lo e s u n a fu n c ió n d e la p ro fu n d id a d .

Figura 7.7 P ara el mismo líq ui­ d o , las presiones en estos contenedores a una profundidad d ad a h son iguales e independientes d e la form a o tam año del contenedor.

77 h JL

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Sección 7 .3

Estática d e los fluidos

237

7 .3 .2 F u e rza s so b re s u p e rfic ie s su m e rg id a s

A h o ra q u e se h a e sta b le c id o la re la c ió n e n tr e la p re s ió n y la e lev a c ió n e n los líq u id o s e stá ti­ cos, a p liq u é m o sla a l a n álisis d e las fu e rz as s o b re la s su p erficies su m erg id as. E x a m in a re m o s d o s c aso s fu n d a m e n ta le s. E l p rim e ro c o m p re n d e las fu erzas e je rc id a s p o r los líq u id o s e s tá ­ tic o s s o b re la s su p erfic ies h o riz o n ta le s su m erg id as. E l se g u n d o , las fu e rz as e je rc id a s p o r los líq u id o s e stá tic o s s o b re su p erficies v e rtic ales p a rc ia lm e n te sum ergidas. E n a m b o s re strin g i­ re m o s n u e stro an álisis a su p erfic ies planas. E n e l p rim e r c a s o e n c o n tr a m o s q u e la fu e rz a e je rc id a p o r u n líq u id o e stá tic o s o b re u n a su p e rfic ie h o riz o n ta l s u m e rg id a se d e te rm in a m e d ia n te la a p lic a c ió n d ire c ta d e la e c u a c ió n (7.15). C o n sid e re u n c o n te n e d o r c o n u n a su p e rfic ie p la n a h o riz o n ta l lle n a con u n líq u id o a u n a p ro fu n d id a d h , c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 7.8. L a p re s ió n e n e l fo n d o d e l c o n te n e d o r e s tá d a d a p o r P = y h . Y a q u e la su p e rfic ie in fe rio r e s h o riz o n ta l, la p re s ió n s o b re la su p e rfic ie e s u n ifo rm e . L a fu e rz a e je rc id a s o b re la su p e rfic ie in fe rio r e s s im p le ­ m e n te e l p ro d u c to d e la p r e s ió n y e l á re a d e la su p erfic ie. P o r ta n to , la fu e rz a e je rc id a so ­ b re la su p e rfic ie h o riz o n ta l s u m e rg id a es: F = PA

(7.16)

d o n d e P = y h y A e s e l á r e a d e la su p erfic ie. L a e c u a c ió n (7 .1 6 ) e s v á lid a in d e p e n d ie n te ­ m e n te d e la fo rm a d e la s u p e rfic ie h o riz o n ta l. L a fu e rz a e je rc id a s o b re u n a s u p e rfic ie h o ­ riz o n ta l s u m e rg id a e s e q u iv a le n te a l p e so VV’d e l líq u id o s o b re la su p e rfic ie . E s te h e c h o se h a c e e v id e n te a l e sc rib ir la e c u a c ió n (7.16) c o m o F = y ( h A ) = y V = W.

Figura 7.8 La presión es uniforme sobre una superficie

Presión

Im

T íf

horizontal sum ergida.

E n e l s e g u n d o c aso e x a m in a m o s la s fu e rz a s e je rc id a s s o b re su p e rfic ie s v e rtic ales p a rc ia lm e n te su m e rg id a s. U n a d e la s c o n c lu s io n e s q u e o b te n e m o s d e la e c u a c ió n (7.15) e s q u e la p re s ió n v a ría d e m a n e ra lin e a l c o n la p ro fu n d id a d e n u n líq u id o e stático . C o n sid e ­ re la su p e rfic ie p la n a v e rtic a l p a rc ia lm e n te s u m e rg id a e n la fig u ra 7.9. L a p re s ió n (p re s ió n m a n o m è tric a ) e s c e r o e n la su p e rfic ie lib re d e l líq u id o , y a u m e n ta d e fo rm a lin e a l c o n la p ro fu n d id a d . A u n a p ro fu n d id a d /¡.d e b a jo d e la su p e rfic ie lib re d e l líq u id o ,la p re s ió n m a ­ n o m è tric a e s P = y h . Ya q u e la p re s ió n v a ría d e fo rm a lin e a l d e 0 a P p a ra e l in te rv a lo d e 0 a h , la p re s ió n p ro m e d io Pprom e $ s im p le m e n te Pl2. P o r ta n to , (7 .17 )

p„o m = f = y -

L a p re sió n p ro m e d io e s u n a p resión c o n sta n te q u e ,c u a n d o se ap lica s o b re to d a la superficie, e q u iv ale a la p re sió n re a l q u e v a ría d e m a n e ra lineal. A l igual q u e la p re sió n , la fu e rz a ejerci­ d a p o r u n líquido e stá tic o s o b re u n a su p erficie v e rtic al a u m e n ta d e fo rm a lin eal c o n la p ro ­ fu n d id ad . E n el d iseñ o e stru c tu ra l y análisis, p o r lo g e n e ra l e sta m o s in te re sa d o s e n la fu e r z a to ta l o fu e r z a residíanle, q u e a c tú a n s o b re la superficie v ertical. L a fuerza re su lta n te FR e s el p ro d u c to d e la p re s ió n p ro m e d io P prom p o r el á re a A d e la superficie su m e rg id a . D e a h í q u e, F r = P P,omA = ^

.

(7 .18 )

L a fu e rz a re s u lta n te e s u n a fu e rz a c o n c e n tra d a (u n a fuerza a p lic ad a e n u n p u n to ) q u e e q u i­ v a le a la d istrib u c ió n lineal d e fu e rz a s s o b re la su p erfic ie v ertical. P a ra u tiliz a r la fuerza

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238

Capítu lo 7

M e cá n ica d e fluidos

Figura 7.9 V a riació n de la presión y fuerza resultante so b re una superficie vertical p arcialm ente sum ergida.

re s u lta n te , d e b e c o n o c e rse e l p u n to d e a p lic ac ió n d e F R. C o n b a se e n los p rin cip io s d e la e s­ tá tic a , se p u e d e d e m o s tra r q u e p a ra u n a d is trib u c ió n d e fu e rz as q u e v a ría n d e fo rm a lineal, e l p u n to d e a p lic ac ió n d e la fuerza re s u lta n te e q u iv a le n te s e e n c u e n tra a d o s te rc io s d e la d ista n c ia d e l e x tre m o c o n la fuerza c e ro . E n c o n s e c u e n c ia ,c o m o se m u e s tra e n la fig u ra 7.9, la fuerza re s u lta n te a c tú a e n u n p u n to a 2Ji/3 d e la su p erfic ie libre d e l líq u id o , o a h l3 d e l fo n ­ d o d e la su p e rfic ie v ertical. A l p u n to d o n d e se a p lic a la fu e rz a re s u lta n te se le lla m a c e n tro d e p re sió n . L a fu e rz a re s u lta n te a p lic ad a a l c e n tro d e p re sió n , tie n e e l m ism o e fe cto e s­ tru c tu ra l s o b re la su p erficie q u e la d istrib u c ió n re a l d e fu e rz as lineal. L a re d u c ció n d e una fu e rz a d istrib u id a a u n a fu e rz a c o n c e n tra d a sim plifica e l d is e ñ o y an álisis d e su p erfic ies su ­ m ergidas, c o m o p resas, casco s d e e m b a rc a c io n e s y ta n q u e s d e a lm a c e n a m ie n to .

E JE M P L O 7 .4 U n a p e q u e ñ a p re s a c o n sta d e u n a p a r e d v e rtic a l p la n a c o n u n a a ltu r a y a n c h o d e 5 m y 3 0 m , re s p e c tiv a m e n te . L a p ro f u n d id a d d e l a g u a ( y = 9.81 k N /n r') e s d e 4 m . E n c u e n tre la fu e rz a re s u lta n te s o b r e la p a re d y e l c e n tr o d e p re sió n .

Solución Si u tiliz a m o s la e c u a c ió n (7.18) y o b s e rv a m o s q u e só lo 4 m d e la p a re d d e la p re s a e stá n s u m e rg id o s, e n c o n tra m o s q u e la fu e rz a re s u lta n te es: yhA

(9 8 1 0 N /m 3) ( 4 m )( 4 X 3 0 ) m 2 “

2

= 2.35 x 106 N = 2.35 M N . E l c e n tr o d e p re s ió n s e lo caliza a d o s te rc io s d e la s u p e rfic ie lib re d e l a g u a . P o r ta n to , e l c e n tr o d e p re s ió n , q u e d e n o m in a m o s c o m o z cp,e s: Zcp -- b^b 2 (4 m ) = — - — = 2.67 m ( d e s d e la s u p e rfic ie lib re)

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Sección 7 .4

¡ P r a c t i q ue! 1. Se lle n a u n b a rril d e a c e ite p a ra m o to r ( y = 8.61 k N /n T ) a u n a p ro fu n d id a d d e 1.15 m. D e s c o n ta n d o la p re s ió n a tm o s fé ric a , ¿ cu á l e s la p re s ió n e n el fo n d o d e l b a rril? Si e l ra d io d e l fo n d o d e l b a rril e s d e 2 0 cm , ¿ cu á l e s la fu e rz a e je rc id a p o r e l a c e ite s o b re e l fo n d o ? R espuesta: 9.902 k P a ,7 8 .8 kN. 2. L a p a r te in fe rio r d e l c asc o d e u n a b a rc a z a se s u m e rg e 12 ft e n a g u a d e m a r ( y = 64.2 lbj/ft3). E l c asc o e s h o riz o n ta l y m id e 3 0 ft X 7 0 ft. E n c u e n tre la fu e rz a to ta l e je rc id a p o r e l a g u a d e m a r s o b re e l casco. R esp u esta : 1.618 X 106 lb f. 3. L a p re s ió n m a n o m è tric a e n e l fo n d o d e u n ta n q u e q u e c o n tie n e a lc o h o l e tí­ lico ( y = 7.87 k N /m 3) e s d e 11 k P a . ¿ C u á l e s la p ro fu n d id a d d e l a lc o h o l? R espuesta: 1.398 m. 4. U n a c o m p u e r ta v e rtic a l e n u n c a n a l d e irrig ac ió n re tie n e 2 .2 m d e a g u a . E n ­ c u e n tr e la fu e rz a to ta l s o b re la c o m p u e r ta si tie n e u n a c h o d e 3.6 m. R espuesta: 85.5 kN. 5. U n a p re s a s im p le se c o n stru y e e rig ie n d o u n a p a re d v e rtic a l d e c o n c re to , c u ­ ya b a se se a s e g u ra c o n firm e z a a la tie rra . E l a n c h o d e la p a re d e s d e 16 m , y 5 m d e e lla e s tá n s u m e rg id o s e n e l a g u a . E n c u e n tr e e l m o m e n to d e fu e rz a c o n re s p e c to a la b a se d e la p a re d . (S u g eren cia : E l m o m e n to d e fu e rz a e s e l p r o d u c to d e la fu e rz a r e s u lta n te p o r la d ista n c ia p e rp e n d ic u la r d e s d e e l c e n tr o d e p re s ió n h a sta la b a s e d e la p a re d .) R esp u esta : 3.27 M N • m.

7 .4 FLUJOS E l c o n c e p to d e flu jo e s fu n d a m e n ta l p a ra e n te n d e r la d in á m ic a e le m e n ta l d e lo s fluidos. E n té rm in o s g e n e ra le s , e l flujo se re fie re a l tie m p o q u e s e r e q u ie r e p a ra q u e u n a c a n tid a d d e flu id o p a s e p o r u n a u b ic a c ió n e sp e c ífic a. V irtu a lm e n te to d o s lo s s is te m a s d e in g e n ie ría q u e in c o rp o ra n flu id o s e n m o v im ie n to p a ra su o p e ra c ió n c o m p re n d e n e l p rin c ip io d e l flu ­ jo . P o r e je m p lo , los tu b o s d e su c asa c o n d u c e n a g u a c o n c ie rto flu jo a d ife re n te s a cc e so rio s y e le c tro d o m é s tic o s, c o m o lav ab o s, tin a s d e b a ñ o y la v a d o ra s d e ro p a . L.os s is te m a s d e c a ­ le n ta m ie n to y a c o n d ic io n a m ie n to d e a ire a lim e n ta n a ire c o n flu jo s e sp e c ífic o s a lo s c u a r ­ to s d e u n e d ific io p a ra lo g ra r los e fe c to s d e s e a d o s d e c a le n ta m ie n to o e n fria m ie n to . Se re q u ie re n flu jo s m ín im o s p a ra p ro d u c ir la s fu e rz a s d e e le v a c ió n q u e s o s tie n e n e l v u e lo d e u n a a e ro n a v e . E l d is e ñ o d e tu rb in a s , b o m b a s, c o m p re so re s , c a m b ia d o re s d e c a lo r y o tro s d is p o sitiv o s b a sa d o s e n flu id o s, c o n sid e ra e l u so d e lo s flujos. E n la d in á m ic a d e fluidos, e x is te n fu n d a m e n ta lm e n te d o s tip o s d e flujos: e l v o lu m é ­ tric o y e l m ásico . E l flu jo v o lu m é tric o e s la r a zó n a la q u e u n v o lu m e n d e u n flu id o pasa p o r u n lu g a r p o r u n id a d d e tie m p o . E l flu jo m á sico e s la r a z ó n a la q u e u n a m a sa d e u n flu id o p a s a p o r u n lu g a r p o r u n id a d d e tie m p o . É s ta s s o n d e fin ic io n e s g e n e ra le s q u e se a p lic a n a to d a s la s s itu a c io n e s e n la d in á m ic a d e los flu id o s, p e ro n u e s tr a a p lic a c ió n d e e s ta s d e fin ic io n e s s e lim ita rá a l flujo d e n tr o d e c o n d u c to re s c o m o tu b o s , d u c to s y c an ales. E l flujo v o lu m é tric o se c alc u la u tiliz a n d o la relació n : V = Av

(7.19)

d o n d e A e s e l á re a d e la sec c ió n tra n s v e rsa l in te rn a d e l c o n d u c to r y v e s la v e lo c id a d p r o ­ m e d io d e l fluido. Se e n fa tiz a la p a la b ra “ p ro m e d io ” , p o rq u e la v e lo c id a d d e l flu id o e n el c o n d u c to n o e s c o n sta n te . L o s e fe c to s d e la v isco sid a d p ro d u c e n u n g ra d ie n te d e v e lo cid ad o p e rfil e n el fluido a tra v é s d e la a b e rtu ra d e l c o n d u c to r. (T en g a c u id a d o d e n o c o n fu n d ir

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Flujos

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Capítu lo 7

M e cá n ica d e fluidos

la v e lo c id a d d e l flu id o v c o n e l v o lu m e n V.) L a s u n id a d e s c o m u n e s p a ra el flu jo v o lu m é tri­ c o s o n m 3/s e n e l (sistem a) SI y ft Vs e n e l siste m a inglés. O tra s u n id a d es q u e se u tiliz a n c o n frec u en c ia p a ra e l flujo v o lu m é tric o so n L /m in y g al/m in o L /h y gal/h. L a e c u a c ió n (7.19) se a p lic a a c u a lq u ie r c o n d u c to ,in d e p e n d ie n te m e n te d e la fo rm a d e s u secció n tra n sv ersa l. Por e je m p lo , si e l c o n d u c to r e s u n tu b o c irc u la r, e n to n c e s A = ttR 2. d o n d e R e s e l ra d io in tern o , m ie n tra s q u e si e l c o n d u c to r e s u n d u c to c o n u n a sec c ió n tra n sv e rsa l c u a d ra d a , e n to n ce s A = 1?, d o n d e L e s la d im e n s ió n in te rio r d e l d u cto . E l flujo m á sico m se calcu la u tilizan d o la relació n : m

=

p V

(7.20)

d o n d e p e s la d e n s id a d d e l flu id o y V e s e l flujo v o lu m é tric o d a d o p o r la e c u a c ió n (7.19). E l “ p u n to ” s o b re la m d e n o ta u n a d e riv a d a d e tie m p o d e u n a c a n tid a d c o m o ra z ó n . L as u n id a d e s c o m u n e s p a ra e l flu jo m á sico s o n kg/s e n e l (siste m a ) SI y slu g /s o lb m/s e n e l sis­ te m a inglés. L a s e c u a c io n e s (7.19) y (7 .2 0 ) se a p lic a n a to d o s lo s líq u id o s y gases.

E JE M P L O 7 .5 U n tu b o c o n u n d iá m e tro in te rn o d e 5 c m lleva a g u a a u n a v e lo c id a d p ro m e d io d e 3 m/s. E n c u e n tr e e l flu jo v o lu m é tric o y e l flu jo m ásico.

Solución E l á re a d e la sec c ió n tra n s v e rs a l d e l tu b o es: A =

ttD 2

4 7t (0.05 m )2 4

= 1.963 x 10~3 m 2.

E l flujo v o lu m é tric o es: V = Av = (1 .9 3 6 X 10-3 m 2)(3 m /s ) = 5.89 X 10“3 m 3/s . Si c o n sid e ra m o s la d e n s id a d d e l a g u a c o m o p = 1000 k g/m 3, e l flu jo m á sico es: th = p V = (1 0 0 0 k g /m 3)(5 .8 9 x 10_ 3 m 3/s ) = 5.89 k g /s.

Éxito

profesional

C o n sid era cio n es en e l m o m e n to d e la “jo r o b a " E n E s ta d o s U n id o s se re q u ie re n c u a tr o a ñ o s p a ra te r m in a r u n a c a r r e r a tra d ic io ­ n a l d e lic e n c ia tu ra e n in g e n ie ría . A lg u n a s v eces, a la s e ta p a s q u e in d ic a n la c o n ­ clu sió n d e c a d a u n o d e los c u a tro a ñ o s d e la c a r re r a e n la e sc u e la se le s llam a d e fo rm a b u rlo n a e l c h o q u e , la jo r o b a , la c aíd a y la d e p re s ió n , re s p e c tiv a m e n te . (E l h e c h o q u e e s té le y e n d o e s te lib ro su g ie re q u e a ú n n o c h o c a .) E n la e ta p a d e la jo-

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Sección 7 .4

ro b a d e b e r ía e m p e z a r a p e n s a r lo q u e d e s e a h a c e r d e s p u é s d e la g ra d u a c ió n . ¿ D e b e ría a c e p ta r u n p u e sto in m e d ia ta m e n te d e s p u é s d e la g ra d u a c ió n o c u rs a r u n p o s g ra d o ? ¿ Q u é ta l tr a b a ja r c o m o in g e n ie ro a l tie m p o q u e c o n tin ú a u n p o sg ra d o d e tie m p o p a rc ia l? ¿ D e b e ría tr a b a ja r u n o s c u a n to s a ñ o s y d e sp u é s e s tu d ia r u n p o s g ra d o ? ¿ D e b e ría o b te n e r s u licen cia p ro fe s io n a l e n in g e n ie ría ? ¿ In te n ta r ía u n g ra d o n o té cn ico p a ra c o m p le m e n ta r su s a n te c e d e n te s d e in g e n ie ­ ría ? É s ta s s o n a lg u n a s d e las p re g u n ta s q u e d e b e r ía h a c e rs e a la m ita d d e la lic e n ­ c ia tu ra e n in g e n ie ría . L a lic e n c ia tu ra a lla n a e l c a m in o p a ra u n a g ra tific a n te c a r re r a c o n u n sa la rio m uy re s p e ta b le , p o r lo q u e m u c h o s g ra d u a d o s n o in te n ta n c o n tin u a r u n p o s g ra ­ d o. S in e m b a rg o , m u c h a s c o m p a ñ ía s n e c e s ita n in g e n ie ro s c o n e x p e rie n c ia e n d is­ cip lin a s té c n ic a s e sp e c ífic as, p o r lo q u e lo s p ro fe s io n a le s c o n p o s g ra d o s tie n e n g ra n d e m a n d a . E n g e n e ra l, o b tie n e n m a y o re s sa la rio s q u e s u s c o le g a s q u e sólo c u e n ta n c o n la lic e n c ia tu ra y, c o n fre c u e n c ia , o c u p a n b u e n a s p o s ic io n e s e n fu n ­ c io n e s d e s u p e rv is ió n y g e re n cia le s. Si su fu tu ro e s u n p o s g ra d o , e s m e jo r e n tr a r a e s tu d ia rlo in m e d ia ta m e n te d e s p u é s d e q u e se g ra d ú e ¿ o d e b e r ía a d q u irir a lg u n a e x p e rie n c ia e n in g e n ie ría p rim e ro y d e s p u é s b u s c a r u n p o s g ra d o m ie n tra s tr a b a ­ ja ? E s o d e p e n d e d e su s c irc u n sta n c ia s p e rs o n a le s , la n a tu ra le z a d e la e sc u e la d e p o sg ra d o a la q u e d e s e a a sis tir y las p o lític a s d e su p a tró n . M u c h a s p e rs o n a s s ie n ­ te n q u e su v id a ya e s tá lo s u fic ie n te m e n te o c u p a d a c o n u n tra b a jo d e tie m p o c o m p le to , fa m ilia y o tr a s re s p o n sa b ilid a d e s , c o m o p a ra a g re g a r el p o s g ra d o a la lista. A lg u n o s p ro g ra m a s p u e d e n n o lu c ir fa v o ra b le s p a ra los e s tu d ia n te s d e p o s­ g ra d o d e tie m p o p a rc ia l, q u ie n e s a c au sa d e lo s c o m p ro m is o s d e tra b a jo n o p u e ­ d e n c o n c e n tra rs e e x c lu siv a m e n te e n su s e stu d io s. S in e m b a rg o , m u c h a s e sc u e la s e s tá n d e s e o s a s d e tr a b a ja r c o n ( e in clu so p ro m u e v e n la e n tr a d a d e ) e s tu d ia n te s d e p o s g ra d o d e tie m p o p a rc ia l e n su s p ro g ra m a s d e in g e n ie ría . L a m a y o ría d e las c o m p a ñ ía s o fre c e n a y u d a a su s in g e n ie ro s, q u e c o n m u c h a fre c u e n c ia tie n e la fo r­ m a d e re e m b o ls o p o r la e n s e ñ a n z a y p ro g ra m a s flex ib les d e tra b a jo , p a ra q u e p u e d a n to m a r c u rs o s d e p o s g ra d o e n a lg u n a u n iv e rs id a d c e rc a n a . P a ra in te n ta r o b te n e r u n p o sg ra d o e n in g e n ie ría o e n u n c a m p o n o técn ico , c o m o n e g o c io s y a d m in is tra c ió n , d e b e a n a liz a r su e d u c a c ió n p e rs o n a l y las m e ta s d e s u c a rre ra . ¿ Q u ie r e a v a n z a r té c n ic a m e n te e n u n a d iscip lin a e sp e c ífic a o d e s e a a s c e n d e r p o l­ la e s c a le ra d e la a d m in is tra c ió n ? ¿ O b te n d r á u n a licen cia p ro fe s io n a l? I n d e p e n d ie n te m e n te d e su re s p u e s ta , e n E s ta d o s U n id o s d e b e c o n s id e ra r s e ria m e n te e fe c tu a r e l e x a m e n d e F u n d a ­ m e n to s d e In g e n ie ría (F E ) e n e l te rc e r o o c u a r to a ñ o d e su p ro g ra m a . E s te e x a ­ m e n lo p a tro c in a e l E s ta d o .s e o fre c e d o s v e ce s a l a ñ o y se a d m in is tra e n su p ro p ia á re a . E l e x a m e n F E , o e x a m e n E I T (In g e n ie ría e n C a p a c ita c ió n , p o r sus siglas e n in g lés), c o m o a v e c e s se le lla m a , e s u n e x a m e n d e 8 h o ra s q u e c u b re los p rin c ip io s fu n d a m e n ta le s d e la in g e n ie ría , los q u e se c u m p le n e n u n p ro g ra m a d e e s tu d io s d e lic e n c ia tu ra e n in g e n ie ría . A lg u n a s e sc u e la s d e m a n d a n q u e su s e s tu ­ d ia n te s a p r u e b e n e l e x a m e n F E p a ra g ra d u a rse . D e s p u é s d e h a b e rlo a p r o b a d o y tra b a ja d o u n o s c u a n to s a ñ o s c o m o in g e n ie ro p ra c tic a n te , p u e d e re a liz a r e l e x a ­ m e n P E (In g e n ie ría P ro fe sio n a l, p o r su s siglas e n in g lés) e sp e c ífic o d e su d isci­ p lin a . Si u s te d lo a c r e d ita y c u m p le c o n lo s o tr o s re q u is ito s p a ra la lic e n c ia tu ra e sp e c ific a d o s p o r s u e sta d o , p u e d e e s c rib ir la s siglas P E d e s p u é s d e s u n o m b re e n d o c u m e n to s o ficiales, p la n o s y o tr o s d o c u m e n to s. U n in g e n ie ro e s u n p ro fe sio n a l re c o n o c id o o fic ia lm e n te p o r e l E s ta d o c o n c u a lid a d e s d e m o s tra d a s e n u n a d isci­ p lin a e sp e c ífic a d e in g e n ie ría . L a m a y o ría d e la s c o m p a ñ ía s n o r e q u ie re n q u e sus in g e n ie ro s te n g a n u n a licen cia p ro fe s io n a l, p e ro a lg u n a s firm as, e n p a rtic u la r los

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Flujos

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Capítu lo 7

M e cá n ica d e fluidos

g o b ie rn o s e s ta ta le s y m u n ic ip a les, tie n e n re g la s e s tric ta s a c e rc a d e l e m p le o d e in g e n ie ro s c o n lic e n cia s p ro fe sio n a le s. P o r ta n to , s u d e c isió n d e o b te n e r una licen cia p ro fe s io n a l o n o p u e d e b a s a rs e e n g ra n m e d id a e n lo s re q u is ito s o re c o ­ m e n d a c io n e s d e s u p a tró n .

¡P ra c tiq u e ! 1. U n tu b o d e a c e ro c o n d u c e g a so lin a ( p = 751 k g / n r ) a u n a v e lo c id a d p r o ­ m e d io d e 0.85 m/s. Si e l d iá m e tro in te rio r d e l tu b o e s d e 7 m m , e n c u e n tre el flu jo v o lu m é tric o y e l flujo m ásico. R espu esta : 3.271 X 10" 5 m 3/ s , 0.0246 k g /s. 2. A tra v é s d e u n tu b o p lá stic o fluye a g u a c o n u n flujo v o lu m é tric o d e 160 g a l/m in . ¿ C u á l e s e l ra d io in te r io r d e l tu b o si la v e lo c id a d p ro m e d io d e l a g u a e s d e 8 ft/s? E x p r e s e su re s p u e s ta e n p u lg a d a s y c e n tím e tro s. R espu esta : 1.43 in ,3 .6 3 cm . 3. U n s o p la d o r c o n d u c e a ir e ( y = 11.7 N / n r ) a tra v é s d e u n d u c to re c ta n g u la r c o n u n a sec c ió n tra n s v e rs a l in te rio r d e 50 c m X 80 cm . Si la v e lo c id a d p ro ­ m e d io d e l a ir e e s d e 7 m/s, e n c u e n tre e l flu jo v o lu m é tric o y e l flu jo m ásico. E x p re s e e l flu jo v o lu m é tric o e n nrVs y e n fU /m in (C F M , p o r s u s sig la s e n in g lé s) y e l flu jo m á sico e n kg/s y slug/h. R espu esta : 2.80 m 3/s, 5933 ft3/m in , 3.339 kg/s, 824 slug/h. 4. U n a b o m b a r e tir a a g u a d e u n ta n q u e d e a lm a c e n a m ie n to d e 1200 g a lo n e s a ra z ó n d e 0.05 m 3/s. ¿ C u á n to ta rd a la b o m b a e n v a c ia r e l ta n q u e ? Si u n tu b o c o n u n d iá m e tro in te rn o d e 6 c m c o n e c ta la b o m b a a l ta n q u e , ¿ c u á l e s la v e ­ lo c id a d p ro m e d io d e l a g u a e n e l tu b o ? R espu esta : 9 0 .9 s, 17.7 m/s. 5. A tra v é s d e u n d u c to c o n u n a se c c ió n tra n s v e rs a l re c ta n g u la r fluye a ire a u n a v e lo c id a d p ro m e d io d e 20 ft/s y u n flu jo v o lu m é tric o d e 3000 ft3/m (C F M ). Si la d im e n s ió n in te rio r d e u n la d o d e l d u c to m id e 18 in, ¿ c u á l e s la d im e n sió n d e l o tr o la d o ? R espu esta : 1.667 ft.

7 .5 CON SERVACIÓ N DE LA M ASA A lg u n o s d e los p rin c ip io s fu n d a m e n ta le s m á s im p o rta n te s u tiliz a d o s p a ra a n a liz a r siste ­ m a s d e in g e n ie ría so n la s le y es d e c o n se rv a c ió n . U n a ley d e c o n se rv a c ió n e s u n a ley in m u ­ ta b le d e la n a tu ra le z a q u e e sta b le c e q u e c ie rta s c a n tid a d e s físicas se c o n se rv a n . D e fin id a d e o tr a m a n e ra , u n a le y d e c o n se rv a c ió n e s ta b le c e q u e la c a n tid a d to ta l d e u n a c a n tid a d fí­ sica p a rtic u la r e s c o n s ta n te d u ra n te u n p ro ceso . U n a ley c o m ú n d e c o n se rv a c ió n e s la P ri­ m e ra L e y d e la T e rm o d in á m ic a , q u e e s ta b le c e q u e la e n e rg ía se c o n se rv a . S eg ú n e lla , la e n e rg ía se p u e d e c o n v e rtir d e u n a fo rm a a o tr a , p e ro la e n e rg ía to ta l e s c o n sta n te . O tra ley d e c o n se rv a c ió n e s la ley d e K irc h h o ff d e la c o rrie n te , q u e e s ta b le c e q u e la s u m a a lg e b ra i­ c a d e las c o rrie n te s q u e e n tr a n a u n n o d o d e u n c irc u ito e s cero . E s ta ley e s u n a d e cla ra c ió n d e la ley d e c o n se rv a c ió n d e la c arg a e léctrica. O tr a s c a n tid a d e s q u e se c o n se rv a n s o n el m o m e n to lin e a l y e l an g u lar.

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Sección 7 .5

C o nservació n d e la m asa

243

A lre d e d o re s

Figura 7.10 Ley d e conservación

;wenl - mS31+ Am

de la m asa.

E n e s ta sec c ió n e x a m in a m o s la p rin c ip a l ley d e c o n s e rv a c ió n u tiliz a d a e n la m e c á n i­ c a d e lo s flu id o s, la le y d e c o n se rv a c ió n d e la m a sa y, a l ig u a l q u e la p rim e ra ley d e la te r­ m o d in á m ic a , e s u n c o n c e p to in tu itiv o . P a ra p re s e n ta r e l p rin c ip io d e c o n s e rv a c ió n d e la m a sa , c o n s id e re e l s is te m a m o s tra d o e n la fig u ra 7.10. E l s is te m a p u e d e r e p r e s e n ta r c u a l­ q u ie r re g ió n e n e l e s p a c io e le g id a p a ra e l an álisis. E l lím ite d e l s is te m a e s la su p e rfic ie q u e lo s e p a ra d e los a lre d e d o re s . P o d e m o s c o n s tru ir u n a re p re s e n ta c ió n m a te m á tic a d e l p r in ­ c ip io d e c o n se rv a c ió n d e la m a sa a p lic a n d o u n a rg u m e n to físico sim ple. Si se a lim e n ta u n a c a n tid a d d e m a sa m en a l siste m a , d ic h a m a sa p u e d e a b a n d o n a r e l siste m a o a cu m u la rse d e n tr o d e é l, o am b o s. La m a s a q u e a b a n d o n a e l siste m a e s m sa|, y e l c a m b io d e m a sa d e n ­ tro d e l siste m a e s A ra. P o r ta n to , la m a sa q u e e n tr a a l siste m a e s igual a la m a sa q u e sale d e él, m á s e l c a m b io d e m a sa d e n tr o d e l sistem a. P o r lo ta n to , e l p rin c ip io d e c o n se rv a c ió n d e la m a sa se p u e d e e x p r e s a r d e fo rm a m a te m á tic a com o:

"'en. = "ísal + Am.

(7-21)

V e m o s q u e la c o n se rv a c ió n d e la m a sa n o e s o tr a c o sa q u e u n sim p le p rin c ip io d e c o n ta b i­ lid a d q u e m a n tie n e b a la n c e a d o e l “ lib ro m a y o r d e la m a s a ” d e l s iste m a . D e h e c h o , con fre c u e n c ia a e s ta ley se le lla m a b a la n c e d e m a sa , p o rq u e e s o e s p re c is a m e n te lo q u e es. L a e c u a c ió n (7.21) e s m á s ú til c u a n d o se e x p re s a c o m o u n a e c u a c ió n d e ra z o n e s. Si d iv id im o s c a d a té rm in o e n tr e u n in te rv a lo d e tie m p o Af. o b te n e m o s: "W

= '«sal + A m /A r

(7.22)

d o n d e rá en y rá M| so n lo s flu jo s m á sico s d e e n tr a d a y s a lid a , re s p e c tiv a m e n te , y A r a / A i e s la ra z ó n d e c a m b io d e m a sa d e n tr o d e l siste m a . A la le y d e c o n se rv a c ió n d e la m a sa se le c o n o c e c o m o e l principio d e continuidad, y a la e c u a c ió n (7 .2 2 ), o a u n a re la c ió n sim i­ la r, c o m o ecu a ció n d e la c o n tin u id a d . A h o ra e x a m in e m o s u n c aso p a rtic u la r d e la c o n fig u ra c ió n d a d a e n la fig u ra 7.10. C o n s id e re e l tu b o c o n v e rg e n te m o s tra d o e n la fig u ra 7 .1 1 . L a línea d is c o n tin u a d e sc rib e e l lím ite d e l siste m a d e flu jo , d e fin id o p o r la re g ió n d e n tro d e la p a re d d e l tu b o y e n tr e las se c c io n e s 1 y 2. U n flu id o c o r r e a ra z ó n c o n s ta n te d e la sec c ió n 1 a la se c c ió n 2. Y a q u e el flu id o n o se a c u m u la e n tr e las se c c io n e s 1 y 2 , Ara/Ai = 0, y la e c u a c ió n (7.22) se c o n v ie r­ te en:

m , = m2

(7.23)

d o n d e lo s su b ín d ic e s 1 y 2 d e n o ta n la e n tr a d a y la sa lid a , re s p e c tiv a m e n te . P o r ta n to , la m a sa d e flu id o q u e p a sa p o r la sec c ió n 1 p o r u n id a d d e tie m p o e s la m ism a q u e la m a sa

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244

Capítu lo 7

M e cá n ica d e Huidos

Figura 7 .1 1 El p rin cip io de conti­ nuidad p a ra un tubo convergente.

d e l flu id o q u e p a sa p o r la sec c ió n 2 p o r u n id a d d e tie m p o . Ya q u e m = p V , la e c u a c ió n (7 .2 3 ) ta m b ié n se p u e d e e x p r e s a r c o m o : P i V , = P2 V 2

(7.24)

d o n d e p y V d e n o ta n d e n s id a d y flu jo v o lu m é tric o , re s p e c tiv a m e n te . L a e c u a c ió n (7.23) y s u fo rm a a lte rn a tiv a , la e c u a c ió n (7 .2 4 ), s o n v á lid a s p a ra líq u id o s y gases. D e a h í q u e e sta s re la c io n e s se a p liq u e n a lo s flu id o s c o m p re sib le s e in c o m p re sib le s. Si e l flu id o e s in c o m ­ p re s ib le , su d e n s id a d e s c o n s ta n te , p o r lo q u e p¡ = p¿ = p. A l d iv id ir la e c u a c ió n (7.24) e n ­ tre la d e n s id a d p, p ro d u c e : = V2

(7.25)

q u e se p u e d e e s c rib ir co m o : A , v , = A 2v 2

(7.26)

d o n d e A y v s e re fie re n a l á re a d e la sec c ió n tra n s v e rs a l y la v e lo c id a d p ro m e d io , re s ­ p e c tiv a m e n te . L a s e c u a c io n e s (7.25) y (7 .2 6 ) se a p lic a n e s tr ic ta m e n te a lo s líq u id o s, p e ro e s ta s re la c io n e s ta m b ié n se p u e d e n u tiliz a r p a ra lo s g a se s c o n u n p e q u e ñ o e r r o r si la v e lo ­ c id a d se e n c u e n tra a p ro x im a d a m e n te d e b a jo d e 100 m/s. E l p rin c ip io d e la c o n tin u id a d ta m b ié n se p u e d e u tiliz a r p a ra a n a liz a r c o n fig u ra c io ­ n e s d e flu jo m á s c o m p le ja s, c o m o e l d e u n a ra m a d e flu jo . U n a ra m a d e flujo e s u n a u n ió n d o n d e se c o n e c ta n tre s o m á s c o n d u c to re s . C o n s id e re la s ra m a s d e tu b o s m o s tra d a s e n la fig u ra 7.12. U n flu id o e n tr a a la u n ió n d e s d e u n tu b o d e a lim e n ta c ió n , d o n d e s e d iv id e e n d o s ra m a s d e tu b o s. L o s flu jo s e n los tu b o s ra m a le s d e p e n d e n d e su ta m a ñ o y d e o tr a s c a ­ ra c te rís tic a s d e l s iste m a , p e ro a p a r tir d e l p rin c ip io d e la c o n t i n u i d a d e s c la ro q u e e l flujo m á sico e n e l tu b o d e a lim e n ta c ió n d e b e s e r ig u a l a la su m a d e flu jo m á sico d e la s d o s r a ­ m as. P o r ta n to , te n e m o s: ih \ = f'r¡2 + '«3-

(7.27)

L a s u n io n e s e n la s ra m a s d e flu jo s o n a n á lo g a s a lo s n o d o s d e los c irc u ito s eléctrico s. L a ley d e k irc h h o ff d e la c o rrie n te , q u e e s u n a d e c la ra c ió n d e la ley d e c o n se rv a c ió n d e la c a rg a e lé c tric a , e s ta b le c e q u e la s u m a a lg e b ra ic a d e la s c o rrie n te s q u e e n tr a n a u n n o d o e s c e ro . P a ra u n a ra m a d e flujo, e l p rin c ip io d e la c o n tin u id a d e s ta b le c e q u e la su m a

m2

Figura 7 .1 2 Ram as de tubos.

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Sección 7 .5

C o nservació n d e la m asa

245

algebraica d e l flu jo m á sic o q u e entra a u n a u n ió n es cero. L a e x p re sió n m a te m á tic a p a ra e s te p rin c ip io e s sim ila r a la ley d e k irc h h o ff d e la c o rrie n te y se e sc rib e co m o : l m en = 0.

(7.28)

L a re la ció n d e c o n tin u id a d d a d a p o r la e cu a c ió n (7.27) p a ra e l c aso esp ecífico ilu stra d o e n la figura 7.12 e q u iv ale a la fo rm a g e n eral d e la re la ció n d a d a p o r la e cu a c ió n (7 .2 8 ).T enem os: 2 m en = 0 = m \ - rri2 - fn$

(7.29)

d o n d e se u tiliz a n sig n o s m e n o s p a ra lo s flujos m ásico s m 2 y m 3, p o rq u e e l flu id o e n c ad a ra m a d e tu b o sale d e la u n ió n . E l flu jo m ásico e s p o sitiv o p o rq u e e l flu id o d e l tu b o d e a lim e n ta c ió n e n tr a a la u n ió n . E n el sig u ie n te e je m p lo , a nal izam o s u n siste m a d e flu jo b ásico u tiliz a n d o e l p ro c e d i­ m ie n to g e n e ra l d e a n á lisis d e (1 ) d e fin ic ió n d e l p ro b le m a , (2 ) d ia g ra m a , (3 ) su p u e sto s, (4 ) e c u a c io n e s d e te rm in a n te s , (5 ) c álcu lo s, ( 6 ) v e rific a c ió n d e la s o lu c ió n y (7 ) c o m e n ­ tarios.

E JEM P L O 7 . 6 Definición d el prob lem a Lhi d u c to c o n v e rg e n te c o n d u c e o x íg e n o (p = 1.320 k g /n r') c o n u n flu jo m á sico d e 110 kg/s. E l d u c to c o n v e rg e d e u n á re a d e sec c ió n tra n s v e rsa l d e 2 n r a u n á re a d e sec c ió n tra n s v e r­ sal d e 1.25 m 2. E n c u e n tre e l flu jo v o lu m é tric o y la s v e lo c id a d e s p ro m e d io e n a m b a s seccio ­ n e s d e l d u cto .

D ia g ra m a E l d ia g ra m a p a ra e s te p ro b le m a se m u e s tra e n la fig u ra 7.13.

Supuestos 1. E l flu jo e s e sta b le . 2. E l flu id o e s in c o m p re sib le . 3. N o e x iste n fu g a s e n e l d u cto .

O xígeno

m = 110 kg/s

A 2 = 1.25 nr

Figura 7.13 Ducto convergente

Ai = 2 nr

p a ra el ejem plo 7 .6 .

Ecu acio n es d eterm inantes S e n e c e s ita n d o s e c u a c io n e s p a ra re s o lv e r e s te p ro b le m a : la re la c ió n p a ra e l flujo m á sico y la re la c ió n d e c o n tin u id a d :

m = pV V = A \V \ = A 2V2.

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246

Capítu lo 7

M e cá n ica d e fluidos

C álcu los P o r c o n tin u id a d , e l flu jo v o lu m é tric o y e l flu jo m á sic o so n ig u a le s e n la s se c c io n e s 1 y 2. E l flujo v o lu m é tric o es:

P 110 k g /s ” 1.320 k g /m 3 = 83.33 m 3/ s . L a v e lo c id a d p ro m e d io e n la sec c ió n g ra n d e es: V Vl ~ A x 83.33

m 3/ s

2 ir r = 41.7 m /s y la v e lo c id a d p ro m e d io e n la sec c ió n p e q u e ñ a es: V

83.33 ~

m 3/ s

1.25 m 2

= 6 6 .7 m /s .

V erificació n d e la solución D e s p u é s d e u n a c u id a d o s a re v isió n d e n u e s tra so lu c ió n , n o se e n c o n tr a r o n e rro re s .

C om entarios O b s e rv e q u e la v e lo c id a d y e l á re a d e la sec c ió n tra n s v e rsa l se re la c io n a n d e m a n e ra in ­ v e rs a . L a v e lo c id a d e s b a ja e n la p a rte g ra n d e d e l d u c to y e le v a d a e n la p a r te p e q u e ñ a d e l m ism o . La v e lo c id a d m á x im a e n e l d u c to se e n c u e n tra p o r d e b a jo d e 100 m/s, p o r lo q u e e l o x íg e n o se p u e d e c o n s id e ra r c o m o un flu id o in c o m p re sib le c o n u n p e q u e ñ o e rro r. Pol­ lo ta n to , n u e s tr o s u p u e s to d e q u e e l flu id o e s in c o m p re sib le e s válido.

A P L IC A C IO N Análisis

de

una

rama

de tubos

C o n fre c u e n c ia , la s ra m a s d e tu b o s se u tiliz a n e n los s iste m a s d e tu b e ría s p a ra d iv id ir u n a c o rrie n te e n d o s o m á s flujos. C o n s id e re u n a ra m a d e u n tu b o sim ila r a la m o s tra d a e n la fig u ra 7.12. E l a g u a e n tr a a la u n ió n c o n u n flu jo v o lu m é tric o d e 350 g a l/m in , y se d iv id e e n d o s ra m a s. U n a ra m a tie n e un d iá m e tro in te r io r d e 7 c m y la o tr a u n d iá m e tro in te rio r d e 4 cm . Si la v e lo c id a d p ro m e d io d e l a g u a e n la ra m a d e 7 c m e s d e 3 m /s, e n c u e n tre e l flu jo m á sico y e l flu jo v o lu m é tric o e n c a d a ra m a y la v e lo c id a d p ro m e d io e n la ra m a d e 4 cm . E n la fig u ra 7 .1 4 s e m u e s tra u n e s q u e m a d e l flu jo c o n la in fo rm a c ió n p e rtin e n te .

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Sección 7 .5

C o nservació n d e la m asa

247

P rim e ro , c o n v e rtim o s e l flujo v o lu m é tric o e n e l tu b o d e a lim e n ta c ió n a m /s.

- 350S f x mnT

^6 0

264.17 g a í

s

“ ‘A

Z)2 = 7 cm

Figura 7.14 Esquem a del flujo p a ra una ra m a de tubos.

L a s á r e a s d e la sec c ió n tra n s v e rs a l d e la s ra m a s d e tu b o s son: A2

ir D>2'2 ' -

4 ir (0 .0 7 m )2 2 0 — ---------------= 3.848 X 10“3 n r 4

A\ =

ttD 32'

7 r(0 .0 4 m )2 9 - = 1.257 X 10~3 m 2. 4 E l flujo v o lu m é tric o e n la ra m a d e l tu b o d e 7 c m es: V¿ — A 2V2 = (3 .8 4 8 x 1 0 '3 m 2) ( 3 m / s ) = 0.01154 m 3/ s y e l flu jo m á sico es: m

2 =

p V

2

= (1 0 0 0 k g /m 3)(0 .0 1 1 5 4 m 3/s ) = 11.54 k g /s. P a ra e n c o n tr a r los flujos e n la o tr a ra m a d e tu b e ría , u tiliz a m o s la re la ció n :

V i = v2 + Vy R e s o lv ie n d o p a ra V3 , o b te n e m o s : v3 = ñ

- v2

= (0 .0 2 2 0 8 - 0.0 1 1 5 4 ) m 3/ s = 0.01 0 5 4 m 3/ s y e l flu jo m á sico c o rre s p o n d ie n te es: m3 = pV 3

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Capítu lo 7

M e cá n ica d e fluidos

= (1 0 0 0 k g /m 3) ( 0.01054 m 3/s ) = 10.54 k g /s. F in a lm e n te , la v e lo c id a d p ro m e d io e n la ra m a d e 4 c m es: •

V3

0.01054 m 3/ s " 1.257 x 10“3 m 2 = 8 .3 8 m /s. E l flu jo v o lu m é tric o q u e e n tr a a la u n ió n d e b e s e r ig u a l a la s u m a d e lo s flujos v o lu ­ m é tric o s q u e s a le n d e la m ism a. P o r ta n to , V, = v 2 + v 3 0 .02 2 0 8 m 3/ s = 0.01154 m 3/ s + 0.01 0 5 4 m 3/s . L o s flu jo s s e e n c u e n tra n b a la n c e a d o s , p o r lo q u e n u e s tra s re s p u e s ta s s o n c o rre c ta s . O b ­ s e rv e q u e lo s flu jo s e n las ra m a s d e la tu b e ría s o n c asi ig u a le s (11.54 k g /s y 10.54 k g /s), p e ­ r o la s v e lo c id a d e s so n m uy d ife re n te s (3 m /s y 8.38 m /s). E s to se d e b e a la d ife re n c ia d e d iá m e tro s d e lo s tu b o s. L a v e lo c id a d e s casi tr e s v e c e s m a y o r e n e l tu b o d e 4 c m q u e e n el tu b o d e 7 cm .

¡Practique! 1. A tra v é s d e u n tu b o c o n v e rg e n te fluye a g u a c o n u n flujo m á sico d e 25 kg/s. Si los d iá m e tro s in te rio re s d e las seccio n es d e l tu b o s o n 7 c m y 5 cm . e n c u e n ­ tre e l flujo v o lu m é tric o y la v e lo c id a d p ro m e d io e n c ad a sec c ió n d e l tu b o . R esp u esta : 0.025 n r'/s, 6.50 m /s, 12.7 m/s. 2. U n flu id o se m u e v e a tra v é s d e u n tu b o c u y o d iá m e tro d ism in u y e e n u n fac­ to r d e tre s d e la sec c ió n 1 a la sec c ió n 2 e n la d ire c c ió n d e l flujo. Si la v e lo ci­ d a d p ro m e d io e n la sec c ió n 1 e s d e 10 ft/s, ¿ c u á l e s la v e lo c id a d p ro m e d io e n la sec c ió n 2? R esp u esta : 9 0 ft/s. 3. E n tra a ir e a u n a u n ió n d e u n d u c to c o n u n flu jo v o lu m é tric o d e 2 000 C F M . D o s ra m a s c u a d r a d a s d e d u c to , u n a m id ie n d o 12 in X 12 in y la o tr a m id ie n ­ d o 16 in X 16 in, e x tra e n a ire d e la u n ió n . Si la v e lo c id a d p ro m e d io e n la r a ­ m a p e q u e ñ a e s d e 2 0 ft/s, e n c u e n tre los flu jo s v o lu m é tric o s e n c a d a ra m a y la v e lo c id a d p ro m e d io e n la ra m a g ra n d e . R esp u esta : 20 ft3/s, 13.3 ft3/s, 9.98 ft/s. 4. D o s c o rrie n te s d e a g u a , u n a fría y o tr a c a lie n te , e n tr a n a u n a c á m a ra d e m e z c la d o d o n d e a m b a s se c o m b in a n y s a le n a tra v é s d e u n so lo tu b o . E l flu­ jo m á sico d e la c o rrie n te c a lie n te e s d e 5 kg/s y e l d iá m e tro in te rio r d e l tu b o q u e lle v a la c o rrie n te fría e s d e 3 cm . E n c u e n tr e e l flujo m á sico d e la c o ­ rrie n te fría r e q u e r id o p a ra p ro d u c ir u n a v e lo c id a d d e salid a d e 8 m /s e n u n tu b o c o n u n d iá m e tro in te rio r d e 4.5 cm . R espu esta: 7.7 2 kg/s.

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Problem as

c e n tr o d e p re s ió n c o m p re sib ilid a d d e n s id a d d in á m ic a d e lo s fluidos e s fu e rz o d e c o rte e stá tic a d e los fluidos flu id o

flu id o n e w to n ia n o flujo m ásico flujo v o lu m é tric o g ra d ie n te d e v e lo c id a d g ra v e d a d esp ecífica m e c á n ic a d e lo s flu id o s m ó d u lo v o lu m é tric o

p e s o esp ecífico p rin c ip io d e c o n tin u id a d v isco sid a d v isc o sid a d c in e m á tic a v isco sid a d d in á m ic a

249

TÉRMINOS

C LA V E

R EFER EN C IA S Fox, R.W., A.T. M cDonald y PJ. Pritchard, Introduction to Fluid Mechanics, 6a. ed., N ueva York, John W iley & Sons, 2004. M unson, B.R., D.F. Young y T .II. Okiishi, Fundamentals o f Fluid Mechanics, 5a. ed., N ueva York, John Wiley & Sons, 2006. Douglas, D.F., J.M. G asoriek y J.A. Swaffield, Fluid Mechanics, 4a. ed., U p p er Saddle River, Nueva Jersey, Prentice Hall, 2001. M ott, R.L.. A pplied Fluid Mechanics, 6a. ed., U p p er Saddle River, N ueva Jersey, Prentice Hall, 2006. W hite, W.M., Fluid Mechanics, 6a. ed., N u ev a York, M cGraw-Hill, 2008.

PRO BLEM A S P rop ied ad es d e los fluidos 7.1 L a g ra v e d a d e sp e c ífic a d e u n líq u id o e s d e 0.920. E n c u e n tre su d e n s id a d y p e so e s­ p e cífico e n u n id a d e s SI e inglesas. 7.2 Se llena u n a la ta cilindrica d e 12 c m d e d iá m e tro a u n a p ro fu n d id a d d e 10 c m c o n acei­ te p a ra m o to r (p = 878 k g /n r'). E n c u e n tre la m a sa y e l p e s o d e l a ce ite p a ra m otor. 7.3 E l ta n q u e d e c o m b u s tib le d e u n c a m ió n tie n e u n a c a p a c id a d d e 35 g alo n es. Si se lle ­ n a e l ta n q u e c o n g a so lin a (sg = 0.751), ¿ c u á l e s la m a sa y p e s o d e la g a so lin a e n u n i­ d a d e s d e l S I? 7.4 U n g lo b o e sfé ric o d e 5 m d e d iá m e tro c o n tie n e h id ró g e n o . Si la d e n s id a d d e l h id ró ­ g e n o e s p = 0.0830 k g /n r', ¿ cu á l e s la m a sa y p e s o d e l h id ró g e n o d e n tro d e l g lo b o ? 7.5 E n c u e n tr e e l v o lu m e n d e m e rc u rio (sg = 13.55) q u e p e s a lo m ism o q u e 0.04 m ' d e a lc o h o l e tílic o (sg = 0.802). 7.6 E n c u e n tr e e l c a m b io d e p re s ió n re q u e rid o p a ra p ro d u c ir u n a d is m in u c ió n d e 1.5 p o r c ie n to e n e l v o lu m e n d e b e n c e n o a 20 °C. 7.7 U n p is tó n c o m p rim e flu id o h id rá u lic o d e n tro d e u n c ilin d ro , p ro d u c ie n d o u n c a m ­ b io d e p re s ió n d e 120 M P a . A n te s d e a c tiv a r e l p istó n , e l flu id o h id rá u lic o lle n a u n a lo n g itu d d e 16 c m d e l c ilin d ro . Si e l d e s p la z a m ie n to a x ial d e l p is tó n e s d e 8 m m , ¿ cu á l e s e l m ó d u lo v o lu m é tric o d e l flu id o ? 7.8 E l c a m b io d e p re s ió n e n u n c ilin d ro h id rá u lic o e s d e 180 M P a p a ra un d e s p la z a ­ m ie n to a x ial d e 15 m m d e l p istó n . Si e l m ó d u lo v o lu m é tric o d e l flu id o h id rá u lic o es d e 1.3 G p a , ¿ cu á l e s la lo n g itu d m ín im a r e q u e rid a d e l c ilin d ro ? 7.9 ¿ C u á l e s e l p o rc e n ta je d e c a m b io d e v o lu m e n d e u n líq u id o c u y o v a lo r d e m ó d u lo v o lu m é tric o e s 100 v e ce s e l c a m b io d e p re sió n ? 7.10 E l g ra d ie n te d e v e lo c id a d u ( y ) c erca d e la s u p e rfic ie d e u n a so la p la ca s o b re la q u e p a s a flu id o e s tá d a d o p o r la fu n ció n : u ( y ) = a y + b y 1 + cy3 d o n d e y e s la d is ta n c ia d e sd e la su p e rfic ie d e la p laca y a, b y c so n c o n s ta n te s c o n lo s v a lo re s d e a = 10.0 s ~ \ b = 0.02 n r V 1 y c = 0.005 n v V 1. Si e l flu id o e s a g u a a 2 0 °C (¡x = 1.0 X 10~3 P a • s), e n c u e n tre e l e s fu e rz o d e c o rte e n la su p e rfic ie d e la p la ca ( e n y = 0).

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250

C a p ítu lo 7

M e cá n ica d e fluidos

Para los problemas 11 a 31, utilice el procedimiento general de análisis de: (1) definición del problema, (2) diagrama, (3) supuestos, (4) ecuaciones determinantes, (5) cálculos, (6) verificación de la solución y (7) comentarios. 7.11

D o s p la c a s c u a d ra d a s p a ra le la s c o n tie n e n g lic e rin a a 2 0 °C (/x = 1.48 se ilu stra e n la fig u ra P 7 . l l . L a p la c a in fe rio r e s fija y la s u p e r io r e s tá m a sa c o lg a n te p o r m e d io d e u n a c u e rd a q u e p a sa s o b r e u n a p o le a ¿ Q u é m a sa m se re q u ie re p a ra m a n te n e r u n a v e lo c id a d c o n s ta n te d e p la c a s u p e rio r?

P a • s) c o m o su je ta a u n a sin fricció n . 2.5 m /s e n la

50 cm

Figura P 7 .1 1 E s tá tic a d e lo s flu id o s 7.12 E l p u n to m á s p ro fu n d o c o n o c id o e n lo s o c é a n o s d e la T ie rra e s la F o sa d e las M a ­ ria n a s, a l e s te d e la s F ilip in as, c o n u n a p ro f u n d id a d a p ro x im a d a d e 10.9 k m . C o n si­ d e r a n d o la g ra v e d a d e sp e c ífic a d e l a g u a d e m a r a sg = 1.030, ¿ c u á l e s la p re s ió n e n e l fo n d o d e la F osa d e la s M a r ia n a s ? E x p re s e su re s p u e s ta e n k P a , psi y a tm ó sfe ra s. 7.13 L a p ro fu n d id a d p ro m e d io d e lo s o c é a n o s d e l m u n d o e s d e 5000 m , y lo s o c é a n o s c u b re n 71 p o r c ie n to d e la s u p e rfic ie d e la T ie rr a . ¿ C u á l e s la fu e rz a to ta l a p ro x im a ­ d a e je rc id a p o r lo s o c é a n o s s o b re la su p e rfic ie te r r e s tr e ? L a T ie r r a e s casi esférica, c o n u n d iá m e tro p ro m e d io d e a p ro x im a d a m e n te 12.7 X 10° m y e l p e s o esp ecífico d e l a g u a d e m a r e s y = 10.1 k N /m 3. 7.14

7.15

U n ta n q u e d e a lm a c e n a m ie n to q u e c o n tie n e a ce ite c o m b u stib le p e sa d o (p = 906 kg / m 3) s e lle n a a u n a p ro fu n d id a d d e 8 m . E n c u e n tre la p re s ió n m a n o m è tric a e n el fo n d o d e l ta n q u e . U n c o n te n e d o r tie n e tre s líq u id o s in m isc ib le s, c o m o se m u e s tra e n la fig u ra P7.15. E n c u e n tr e la p re s ió n m a n o m è tric a e n e l fo n d o d e l c o n te n e d o r. i 12 cm sg = 0.650

20 cm sg = 0.985 15 cm sg = 1.5901| Figura P 7 .1 5 7.16

7.17

E l c o s ta d o d e u n a b a rc a z a se s u m e rg e 6 m d e b a jo d e la su p e rfic ie d e l o c é a n o ( y = 10.1 k N /m 3). L a lo n g itu d d e la b a rc a z a e s d e 40 m . Si c o n s id e ra m o s e l c o sta d o d e la b a rc a z a c o m o u n a su p e rfic ie v e rtic al p la n a , ¿ cu á l e s la fu e rz a to ta l e je rc id a p o r e l o c é a n o s o b re d ic h o c o sta d o ? ¿ A q u é p ro f u n d id a d te n d ría q u e lle n a rs e u n c o n te n e d o r d e g a so lin a (sg = 0.751) p a ra p ro d u c ir la m ism a p re s ió n e n e l fo n d o d e l c o n te n e d o r c o n 4.5 in d e m e rc u rio (sg = 13.55)?

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Problem as

7.18

7.1.9

C a lc u le la p re s ió n m a n o m e tric a e n e l fo n d o d e u n c o n te n e d o r a b ie r to d e 2 litros lle n o c o n b e b id a ligera. C alcu le la fu e rz a re q u e rid a p a ra re tir a r u n ta p ó n d e 5 c m d e d iá m e tro d e l d re n a je d e u n a b a ñ e ra , si e s tá lle n a c o n a g u a a u n a p ro fu n d id a d d e 6 0 cm . N o c o n s id e re la fricción.

F lu jo s 7.20 U n tu b o d e v id rio c o n d u ce m e rc u rio a u n a v e lo cid ad p ro m e d io d e 45 cm /s. Si e l d iá ­ m e tro in te rio r d e l tu b o e s d e 4.0 m m , e n c u e n tre e l flujo v o lu m é tric o y e l flujo m ásico. 7.21 U n c an a l a b ie r to c o n u n a sec c ió n tra n s v e rs a l c o m o la q u e se m u e s tra e n la fig u ra P7.21 c o n d u c e a g u a p a ra irrig a c ió n a u n a v e lo c id a d p ro m e d io d e 2 m/s. E n c u e n tre e l flu jo v o lu m é tric o y e l flujo m ásico.

Figura P7.21 7.22

7.23 7.24

U n d is p o sitiv o in tra v e n o s o p a ra a d m in is tra r u n a s o lu c ió n d e s a c a ro s a a u n p a c ie n ­ te e n u n h o sp ita l d e p o s ita u n a g o ta d e s o lu c ió n e n la b o c a d e u n tu b o d e e n tre g a c a ­ d a d o s seg u n d o s. L a s g o ta s tie n e n fo rm a e sfé ric a c o n u n d iá m e tro d e 3.5 m m . Si el d iá m e tro in te rio r d e l tu b o d e e n tre g a e s d e 2 .0 m m , ¿ cu á l e s e l flujo m á sico y la v e ­ lo c id a d p ro m e d io d e la s o lu c ió n d e s a c a ro s a e n e l tu b o ? Si e l re c ip ie n te p lá stico q u e c o n tie n e la s o lu c ió n d e s a c a ro s a c o n tie n e 500 m L , ¿ c u á n to tie m p o se re q u ie re p a ra v a c ia rse ? L a s o lu c ió n d e s a c a ro s a tie n e u n p e so e sp e c ífic o d e y = 10.8 k N / n r . U n h o rn o r e q u ie r e 1250 lb m/h d e a ir e frío p a ra u n a c o m b u stió n e fic ie n te . Si e l a ire tie n e u n p e s o e sp e c ífic o d e 0.064 lbf/ft3, e n c u e n tre e l flu jo v o lu m é tric o re q u e rid o . U n d u c to d e v e n tila c ió n a lim e n ta a ire fresco filtra d o a u n c u a rto lim p io d o n d e se fa ­ b ric a n d isp o sitiv o s se m ic o n d u c to re s. L a sec c ió n tra n sv e rsa l d e l m e d io filtra n te e s d e 90 c m X 1.1 m . Si e l flu jo v o lu m é tric o d e l a ire al c u a rto lim p io e s d e 3 nrVs, e n c u e n ­ tre la v e lo c id a d p ro m e d io d e l a ire a l p a sa r a tra v é s d e l filtro. Si p = 1.194 k g /n r p a ­ r a e l a ire , e n c u e n tre e l flu jo m ásico.

C o n se rv a c ió n d e la m asa 7.25 U n d u c to c o n v e rg e n te re c ta n g u la r c o n d u c e n itró g e n o (p = 1.155 k g/m 3) c o n u n flu ­ jo m á sico d e 4 kg/s. L a sec c ió n p e q u e ñ a d e l d u c to m id e 3 0 c m X 4 0 c m y la secció n g ra n d e 50 c m X 60 cm . E n c u e n tre e l flu jo v o lu m é tric o y la v e lo c id a d p ro m e d io e n c a d a sección. 7.26 U n a b o q u illa e s u n d isp o sitiv o q u e a c e le ra e l flujo d e un fluido. U n a b o q u illa circu lar q u e c o n v erg e d e u n d iá m e tro in te rio r d e 16 c m a 4 c m c o n d u ce u n gas c o n u n gasto v o lu m é tric o d e 0.25 m '/s. E n c u e n tre e l c a m b io e n la v e lo c id a d p ro m e d io d e l gas. 7.27 U n d ifu s o r e s u n d isp o sitiv o q u e d e s a c e le ra e l flu jo d e a ir e p a ra re c u p e ra r u n a p re ­ sió n p e rd id a . P a ra e l d ifu s o r m o s tra d o e n la fig u ra P7.27, e n c u e n tre e l flu jo m ásico y la v e lo c id a d p ro m e d io d e l a ir e a la sa lid a d e l d ifu s o r. P a ra e l a ire , c o n sid e re p = 1.194 kg/m 3. 7.28 E n la fig u ra P 7 .2 8 se m u e s tra u n a ra m a d e tu b e r ía d e fo rm a e sq u e m á tic a . E n c u e n ­ tre e l flujo m á sic o 4. ¿ E l flu id o d e la ra m a 4 e n tr a o sale d e la u n ió n ? 7.29 L a v e lo c id a d p ro m e d io d e l a g u a e n u n tu b o d e 0.75 in d e d iá m e tro c o n e c ta d o a u n a re g a d e ra e s d e 12 f t/s E l d re n a je d e la re g a d e ra , q u e s e e n c u e n tra p a rc ia lm e n te

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251

252

Capítulo 7

M ecánica de fluidos

F ig u r a P 7 .2 7

F ig u r a P 7 .2 8

7.30

7.31

ta p a d o c o n c a b e llo , p e rm ite q u e flu y a n 0.03 slu g s/s a l d re n a je . S i e l p iso d e la re g a ­ d e ra m id e 2 .5 ft c u a d r a d o s y 4 in d e p ro fu n d id a d , ¿ c u á n to tie m p o se re q u ie re p a ra q u e se d e rra m e e l p iso d e la re g a d e ra ? U n d u c to q u e c o n d u c e a ire a c o n d ic io n a d o d e u n a u n id a d d e re frig era c ió n se divide e n d o s d u c to s in d e p e n d ie n te s q u e a lim e n ta n a ire frío a d ife re n te s p a rte s d e u n e d ifi­ cio. E l d u c to d e a lim e n ta c ió n tie n e u n a secció n tra n sv e rsa l in te rn a d e 1.8 m X 2.2 m , y la s d o s ra m a s tie n e n seccio n es tra n s v e rsa le s d e 0 .9 m X 1.2 m y 0.65 m X 0 .8 m . La v e lo cid ad p ro m e d io d e l a ire e n e l d u c to d e a lim e n ta c ió n e s d e 17 m /s y la v elo cid ad p ro m e d io d e n tro d e la ra m a p e q u e ñ a d e l d u c to e s d e 18 m /s. E n c u e n tre los flujos v o ­ lu m é tric o s y los flujos m ásico s e n c ad a ra m a . P a ra e l a ire u tilice p = 1.20 k g /n r\ L a c á m a ra d e m e zc la d o m o s tra d a e n la fig u ra P7.31 fa c ilita la m e zc la d e tre s líq u i­ dos. E n c u e n tr e el flu jo v o lu m é tric o y e l flu jo m á sico d e la m e zc la a la salid a d e la c á m a ra .

= 40 kg/s

v2 = 7 ni/s D2 = 6 cm sg2 = 0.85

p4 = 925 kg/m3

7«3 = 25 kg/s

F ig u r a P 7 .3 1

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Análisis de datos: Graficación O bjetivos D esp ués d e le e r este c a p ítu lo , usted a p re n d e rá : •

C ó m o re c o le c ta r y re g is tra r datos e x p e rim e n ta le s.

•

C ó m o c o n stru ir g rá fic a s d e m a n e ra a p ro p ia d a .

•

C ó m o a ju s ta r d a to s a fu n cio n e s m atem áticas co m u n es.

•

C ó m o r e a liz a r la in te rp o la c ió n y la e x tra p o la c ió n .

8.1

INTRODUCCIÓN

La in g e n ie ría e s u n a d iscip lin a q u e se c o m p a rte y e s im p o rta n te p re s e n ta r los re ­ s u lta d o s d e l tra b a jo p ro p io a o tro s d e m a n e ra e fectiv a. L a vieja m á x im a “ una im a g e n d ic e m á s q u e mil p a la b ra s ” se m a n tie n e v ig en te. U n e n sa y o d e m il p a la ­ b ra s n o p u e d e c a p tu r a r to ta lm e n te la e se n c ia d e l lu g a r m o s tra d o e n la fig u ra 8.1. D e s c rib ir d a to s té c n ic o s sin g rá fic a s es, d e a lg u n a m a n e ra , c o m o d e sc rib ir p a rq u e s n a c io n a le s sin fo to g rafías. E n fo rm a v e rb a l o e sc rita , só lo se p u e d e tra s m itir u n a c ie rta c a n tid a d d e in fo rm a c ió n ; p a ra c o m u n ic a r to d o e l m e n sa je d e b e n u tiliz a rse im ág en es. U n a g rá fic a e s u n a representación visu a l p a rticu la r d e la relación entre d o s o m á s ca n tid a d es físicas. P o r e je m p lo , la fig u ra 8.2 e s u n a gráfica d e la s calificacio n es n a c io n a le s d e l S A T (e x a m e n d e a p titu d a c a d é m ic a , p o r su s siglas e n in g lé s) e n E s ta d o s U n id o s d e 1967 a 2005. Se g ra fic a n d o s c an ­ tid a d e s (calificacio n es o ra le s y c alific ac io n e s m a te m á tic a s ) c o m o fu n c ió n d e la c a n tid a d tie m p o m e d id a e n años. L a g ráfica m u e s tra c o n c la rid a d u n a c a íd a e n la s calificacio n es, ta n to o ra le s c o m o m a te m á tic a s, d e 1967 a 1981, se g u id a d e un a u m e n to e n a m b a s c alific ac io n e s y u n a e n c ru c ija d a e n 1991,c u a n d o la s califica­ c io n es d e m a te m á tic a s s u p e r a ro n a la s o ra le s. L a s p rim e ra s a u m e n ta ro n d e 492 e n 1981 a 520 e n 2005 (u n in c re m e n to d e 5.7 p o r c ie n to ), lo q u e p u e d e a trib u ir­ se al é n fa sis e n la e d u c a c ió n m a te m á tic a y c ien tífic a e n E s ta d o s U n id o s d u ra n ­ te e s te p erio d o . E n la fig u ra 8.3 se m u e stra o tr o e je m p lo d e u n a gráfica. E n é sta , e l e sfu er­ z o axial e n un e sp é c im e n d e a c e ro d u lc e se g ráfica e n fu n c ió n d e la d e fo rm a c ió n específica axial. O b se rv e q u e los p u n to s d e los d a to s s e a c e rc a n a u n a lín e a re c ­ ta , p o r lo q u e se h a n a ju s ta d o c o n u n a lín e a re c ta d e “ a ju ste ó p tim o ” p a ra d e ­ m o s tra r la re la ció n lin eal e n tre la s d o s c an tid ad e s, e sfu e rz o y d e fo rm a c ió n . E s ta re la c ió n in d ica q u e , p a ra u n in te rv a lo lim itad o d e e sfu erzo s, e l a c e ro se c o m p o r­ ta d e fo rm a e lá stic a , lo q u e significa q u e e l e sp é c im e n re c u p e ra su lo n g itu d o ri­ ginal d e s p u é s d e q u e s e re tira la fu e rz a q u e c au sa e l e sfu erz o axial. E s te tip o de gráfica e s ú til p a ra in v estig ar c iertas p ro p ie d a d e s e s tru c tu ra le s d e los m ateriales. L o s in g e n ie ro s so n d is e ñ a d o re s , a n a lista s, in v e stig a d o re s, c o n s u lto re s y g e re n te s. I n d e p e n d ie n te m e n te d e la fu n c ió n d e in g e n ie ría q u e a s u m a n , so n

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2S4

C apM o3

¿n c lc s c :o:Kt e iap z ratura* velocidad» flujo» viscosicfed» frecuencia y m uchas otras. E xisten cinc:« funciones principales para las que se realizan reediciones e n ingeniería: 1. L a evaluación del desempeño com prende la realización d e reediciones para d eter­ m inar si un sistem a está funcionando de m anera apropiada. Por ejemplo»» un d etec­ tor efe presión puede indicar si la p reáón e n una caldera e s suficiente para entregar suficiente vapor a l sistem a d e calefacción efe un edificio.

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Sección 8 .2

Recolección y registro d e datos

255

D ia g r a m a e s f u e r z o - d e f o r m a c ió n p a r a a c e r o s u a v e

Figura 8.3 G rá fic a que represen­ ta el d ia g ram a esfuerzo-deform ación en la región elástica D eform ación norm al e (m m /m m )

2. E l control d e p rocesos c o m p re n d e u n a o p e ra c ió n d e re tro a lim e n ta c ió n e n la q u e las m e d ic io n es se u tiliz a n p a ra m a n te n e r los p ro c e so s d e n tro d e las c o n d ic io n e s d e o p e r a ­ ción especificadas. A l su p e rv isa r d e fo rm a c o n tin u a la te m p e ra tu ra d e l a ire in te rio r, p o r e je m p lo , los te rm o s ta to s e n n u e s tro s h o g a re s in d ic a n a los e q u ip o s d e calefacció n y e n fria m ie n to c u á n d o e n c e n d e r y a p a g a r, m a n te n ie n d o d e e s ta m a n e ra la s co n d icio ­ n e s d e co n fo rt. 3. L a contab ilidad c o n siste e n e l re g is tro d e l u so o flu jo d e u n a c a n tid a d e sp e c ífic a, c o ­ m o e l c a u d a l d e a g u a d e u n d e p ó sito . 4. L a investigación e s e l a n álisis d e fe n ó m e n o s c ie n tífic o s fu n d a m e n ta le s . E n la in v e s­ tig a c ió n e n in g e n ie ría se d e s a rro lla n e x p e rim e n to s y se e fe c tú a n m e d ic io n e s p a ra d a r s o p o rte a , o c o n firm a r n o c io n e s te ó ric a s. P o r e je m p lo , s e p u e d e n u tiliz a r d e te c ­ to re s m in ia tu ra p a ra m e d ir e l flu jo d e sa n g re e n la s a rte ria s , q u e p e rm ite a lo s in g e ­ n ie ro s b io m é d ic o s d e s a r r o lla r m o d e lo s d e flu jo p a ra e l c o ra z ó n h u m a n o . 5. E l d ise ñ o c o m p re n d e la p ru e b a d e n u e v o s p ro d u c to s y p ro c e s o s p a ra v e rific a r su fu n c io n a lid a d . P o r e je m p lo , si u n in g e n ie ro d e m a te ria le s d is e ñ a u n n u e v o tip o d e a isla m ie n to p a ra c o n tro la r e l ru id o e n u n a a e r o n a v e c o m e rc ia l, d e b e re a liz a r a lg u ­ n a s p ru e b a s a c ú stic a s p a ra d e te r m in a r si e l n u e v o m a te ria l fu n c io n a d e m a n e ra a p ro p ia d a p a ra la a p lic a c ió n q u e se p re te n d e . L a p ru e b a e s casi s ie m p re la “ ú ltim a p a la b r a " e n e l m u n d o d e l d is e ñ o e n in g e n ie ría . E s r a r o q u e lo s in g e n ie ro s d is e ñ e n u n p ro d u c to o u n p ro c e so sin p ro b a rlo a n te s d e fa b ri­ c a r lo y v e n d e rlo . L a s c o n s id e ra c io n e s a n a lític a s y te ó ric a s so las, casi n u n c a so n su fic ien tes p a ra e s ta b le c e r la v ia b ilid a d d e u n n u e v o d ise ñ o . L a s p ru e b a s m in u c io s a m e n te re a liz a d a s v a lid a n los a n á lisis y la s te o ría s, p e ro u n a s p ru e b a s re a liz a d a s d e fo rm a d e fic ie n te n o v a li­ d a n n a d a . E n e s te c a p ítu lo p re s e n ta m o s lo s fu n d a m e n to s d e l a n álisis d e d a to s , q u e in c lu ­ ye la r e u n ió n y g ra fic a c ió n d e e llo s a p a r tir d e m ed icio n es.

8 .2 RECO LECCIÓ N Y R EG IS T R O DE DATOS L a s m e d ic io n e s fo r m a n la c o lu m n a v e rte b ra l d e la c ien c ia y d e la in g e n ie ría , p o rq u e las d e sc rip c io n e s d e l m u n d o físico so n im p o s ib le s sin ellas. Im a g in e e l in te n to d e c a ra c te riz a r la o p e ra c ió n d e u n d isco d u r o d e u n a c o m p u ta d o ra sin m e d ir la ra z ó n d e re p ro d u c c ió n d e d a to s, v o lta je , c o r r ie n te y v e lo c id a d d e ro ta c ió n . A n te s d e q u e p o d a m o s e la b o r a r u n a

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p a ra a ce ro suave.

256

C a p ítu lo 8

A n á lisis d e datos: G rafica ció n

g rá fic a d e d a to s, d e b e m o s m e d ir las c a n tid a d e s q u e d e se a m o s in v e stig a r. L a m ed ición e n in g e n ie ría e s e l a c to d e u tiliz a r in stru m e n to s p a ra d e te rm in a r e l v a lo r n u m é ric o d e u n a c a n ­ tid a d físic a . P o r e je m p lo , u tiliz a m o s u n a b a la n z a (e l in s tru m e n to ) p a ra d e te r m in a r e l peso (la c a n tid a d ) d e u n a p e rs o n a , q u e p u e d e s e r d e 160 lbf (e l v a lo r n u m é ric o ). S e u tiliz a u n te rm ó m e tro (e l in s tru m e n to ) p a ra d e te r m in a r la te m p e r a tu r a (la c a n tid a d ) d e a ir e d e n tro d e u n edificio, q u e p u e d e s e r d e 7 0 F (e l v a lo r n u m é ric o ). S e u tiliza u n o h m ím e tro (e l in s­ tr u m e n to ) p a ra d e te r m in a r la re siste n c ia e lé c tric a (la c a n tid a d ) d e u n a re s iste n c ia , q u e p u e d e s e r d e 10 k f l (e l v a lo r n u m é ric o ). P o d ría n c ita rse m u c h o s o tr o s e jem p lo s. L a d iscu sió n a m p lia d e la m e d ic ió n e n in g e n ie ría re b a s a e l a lc a n c e d e e s te lib ro , p e ro re s u lta p ro v e c h o so c u b rir a lg u n o s c o n c e p to s fu n d a m e n ta le s. U n in g e n ie ro d e b e s e r cap az d e id e n tific a r los tip o s d e d a to s d e se a d o s y c ó m o a so c ia r d iv e rsa s c a n tid a d e s. É l o e lla , ta m ­ b ié n d e b e n e n te n d e r q u e n in g u n a m e d ic ió n se p u e d e re a liz a r c o n u n a e x a c titu d o p recisió n d e fin itiv a , y q u e tr a ta r c o n e l e r r o r e s u n a p a rte in te g ra l d e la m e d ic ió n e n in g en iería. 8.2.1 Identificación y aso ciació n d e d a to s P a ra a y u d a r n o s a e n te n d e r c ó m o id e n tific a r y a s o c ia r d a to s d e m a n e ra a p ro p ia d a , u tilic e ­ m o s u n e je m p lo s im p le y fa m iliar. S u p o n g a q u e d e s e a m o s m e d ir e l d e s e m p e ñ o d e u n c o ­ r r e d o r d e la rg a d ista n c ia . P rim e ro , te n e m o s q u e d e c id ir q u é tip o d e d a to s se re q u ie re n . P a ra c a ra c te riz a r su d e se m p e ñ o , e s o b v io q u e d e s e a m o s s a b e r q u é ta n rá p id o c o rre . N o e s ta m o s d ire c ta m e n te in te re s a d o s e n s u te m p e r a tu r a c o rp o ra l, la re s iste n c ia e lé c tric a d e s u s m ie m b ro s , la v isc o sid a d d e s u s u d o r o su p re s ió n sa n g u ín e a . D e s e a m o s c o n o c e r su v e ­ lo c id a d , d e fin id a c o m o d is ta n c ia d iv id id a e n t r e tiem p o . P o r ta n to , h e m o s id e n tific a d o los d a to s a m e d ir (d is ta n c ia y tie m p o ) y a so cia d o e sta s d o s c a n tid a d e s m e d ia n te la c a n tid a d (v e lo c id a d ). L a d is ta n c ia se p u e d e d e te r m in a r c o n u n a c in ta m é tric a o c o n a lg ú n o t r o in s­ t r u m e n t o ^ e l tie m p o se p u e d e m e d ir u tiliz a n d o u n c ro n ó m e tro u o t r o d isp o sitiv o d e c ro ­ n o m e tra je a d e c u a d o . Lina g rá fic a d e la d is ta n c ia e n fu n c ió n d e l tie m p o , q u e se m u e s tra e n la fig u ra 8.4, re v e la u n a re la c ió n sig n ifica tiva e n tre e sta s d o s c a n tid a d e s y e l c o c ie n te d e la d is ta n c ia y e l tie m p o d a la v e lo c id a d p ro m e d io d e l c o r r e d o r a d ife re n te s tie m p o s d u ra n te la c a rre ra . A d e m á s , la g rá fic a m u e s tra q u e la v e lo c id a d d e l c o r r e d o r d e c re c e c o n e l tie m ­ p o, lo q u e in d ic a q u e p u e d e h a c e rle fa lta e l a c o n d ic io n a m ie n to físico p a ra u n a c a r r e r a d e la rg a d is ta n c ia o q u e n o e s ta b le c e u n ritm o a p ro p ia d o .

P ru eb a de un co rred o r de larga distancia 20

= 270 m /m in ------------- • • i”' = -'.92 m /m in *

Velocidad p ro m ed io 15

Velpcidad prom edio

•

• •

* •SS 10

«*------ V elocidad prom ed io = 3.17 m /m in •

.52

o

•

Figura 8 .4 La g rá fica d e las cantidades distancia y tiempo revela una relación significativa p a ra un corredo r de larg a d istancia.

m • ------------ i V elocidad prom edio

• i

= 350 m /m in

— ----- Velocidad p ro m ed io = 354 m /min o*

10

20

30

40 Tiem po ! (m in)

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50

60

70

Sección 8 .2

Recolección y registro d e datos

257

R e s is te n c ia d e l a la m b r e y p u n to d e fu s ió n 1000

N ichrom e # •Invar 100

3 •c t*

Figura 8.5

C onstantan •

H ierro • 10 tí.

•T an talio

Esta g rá fica muestra que no existe relación

T ungsteno m \

entre la resistencia eléctrica y el punto de

• Plomo • Platino

fusión de alam bres

A lum inio •

geométricam ente I • C obre

500

J _______ 1_______ i_______ 1_______ 1_______ 1_______ 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 P unto d e fusión Tmp (°C )

E n e l e je m p lo re c ié n d a d o , lo s d a to s se id e n tific a ro n y a s o c ia ro n d e m a n e r a a p r o ­ p ia d a , lo q u e p ro d u jo u n a g rá fic a sig n ific a tiv a . A h o r a c o n s id e re u n a s itu a c ió n e n la q u e lo s d a to s n o e s tá n id e n tific a d o s n i a s o c ia d o s d e m a n e r a a p ro p ia d a . E n la fig u ra 8.5, la re ­ s is te n c ia e lé c tric a d e e s p e c ím e n e s d e a la m b re g e o m é tric a m e n te id é n tic o s, fa b ric a d o s c o n d if e r e n te s a le a c io n e s m e tá lic a s, se g ra fic a n c o m o u n a fu n c ió n d e l p u n to d e fu s ió n d e la s a le a c io n e s . Ya q u e lo s d a to s se e n c u e n tr a n d is p e rso s a l a z a r e n la g rá fic a , n o p a re c e e x is tir a lg u n a re la c ió n sig n ific a tiv a e n tr e la re s is te n c ia e lé c tric a y e l p u n to d e fu sió n d e lo s a la m b re s . E s c la r o q u e la re s iste n c ia e lé c tric a n o d e p e n d e d e l p u n to d e fu sió n . D ic h o d e o tr a fo r m a , e l p u n to d e fu s ió n n o a fecta la re s iste n c ia e lé c tric a , p o r lo q u e n o e s ú til u n a g rá fic a d e e s ta s d o s c a n tid a d e s . Sin e m b a rg o , e s to n o sig n ifica q u e n u n c a d e b a c o n s­ tru irs e u n a g rá fic a d e d a to s a p a r e n te m e n te n o re la c io n a d o s . E n a lg u n o s tra b a jo s d e in ­ g e n ie ría , e n p a rtic u la r e n la in v e stig a c ió n , p o d e m o s n o s a b e r p o r a n tic ip a d o si c ie rto s d a to s e s tá n r e la c io n a d o s o no. A l g ra fic a rlo s se p u e d e n m a n ife s ta r la s re la c io n e s físicas e n tr e la s c a n tid a d e s , lo q u e d e o tr a m a n e ra h u b ie ra p a s a d o in a d v e rtid o si n o se h u b ie ra re a liz a d o la gráfica. 8 .2 .2 E x a c titu d , p re cisió n y e rro r

E n u n m o m e n to u o tr o , v irtu a lm e n te to d o s los in g e n ie ro s re a liz a n m ediciones. L a n a tu ra ­ le za d e la s m e d ic io n e s d e in g e n ie ría c o n la s q u e se e n c u e n tra n d e p e n d e e n g ra n m e d id a d e l tip o d e p ro d u c to o d e p ro c e so q u e se e s té d e s a rro lla n d o o in v e stig an d o . P o r e je m p lo , u n in­ g e n ie ro m e cá n ic o q u e tra ta c o n e l m a n e jo té rm ic o d e a rtíc u lo s e le c tró n ic o s, p o d ría d e se a r d e te r m in a r si e l m ic ro p ro c e sa d o r e n u n a c o m p u ta d o ra n o v a a fa lla r té rm ic a m e n te d u ra n te s u o p e ra c ió n . ¿ Q u é sig n ifica “ fa lla r té rm ic a m e n te " ? Q u e e l m ic ro p ro c e sa d o r n o fu n c io n a ­ rá d e m a n e ra a p ro p ia d a p o rq u e su te m p e ra tu ra c ae fu e ra d e lo s lím ites d e te m p e ra tu ra e s ­ p e cifica d o s p o r e l fa b ric a n te p a ra d ic h o d isp o sitiv o . P o r ta n to , el in g e n ie ro id e n tific a la te m p e ra tu ra c o m o la c a n tid a d a m e d ir. P a ra m e d ir la d e l m ic ro p ro c e sa d o r, d e b e d e cid ir q u é tip o d e in s tru m e n to utilizar. O b v ia m e n te , u n in s tru m e n to p a ra m e d ir te m p e ra tu ra , p e ­ ro e x iste n d is p o n ib le s n u m e ro s o s tip o s d e te rm ó m e tro s , c o m o líq u id o e n v id rio , b im e tá li­ co s, te rm o p a re s y te rm is to re s .T a m b ié n d e b e d e c id ir d ó n d e y c ó m o s u je ta r e l te rm ó m e tro a l m ic ro p ro c e sa d o r, a s í c o m o c u á n to s te rm ó m e tro s u tiliz a r e n u n m o m e n to d a d o . ¿ E s su fi­ c ie n te u n te rm ó m e tro o se n e c e s ita n cin co p a ra m e d ir d e m a n e ra s im u ltá n e a la te m p e r a tu ­ ra e n d ife re n te s lu g a re s d e l m ic ro p ro c e s a d o r? P a ra o b te n e r m e d ic io n e s significativas, el

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idénticos. La resisten­ cia de todos los a lam b res se b a sa en una temperatura de 2 0 °C.

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C a p ítu lo 8

A n á lisis d e datos: G rafica ció n

in g e n ie ro d e b e a b o rd a r e s te tip o d e p re g u n ta s y m u c h a s o tra s. E s to e s p a rte d e lo q u e h a ­ c e ta n d e sa fia n te e fe c tu a r m ed icio n es. L o s te m a s c o m u n e s e n to d o s lo s tip o s d e m e d ic io n e s so n la e x a c titu d , la p re c isió n y e l e rro r. La exactitud se re fie re a c u á n to s e acerca u n v a lo r m e d id o a l v a lo r v erd a d e ro o c o rrecto . L a precisión a la rep e titiv id a d d e u n a m e d ic ió n (e s d e c ir, c u á n to se a c e rc a u n a m e d ic ió n su ce siv a a la o tr a ) . E l error e s la d e sv ia c ió n d e l v a lo r m e d id o con respecto al v a ­ lo r v erd a d e ro o co rrecto . A p a rtir d e e s ta s d e fin ic io n e s, e s c la ro q u e la e x a c titu d y e l e rro r s e e n c u e n tra n e s tre c h a m e n te re la c io n a d o s. E l e r r o r e s la d e sv ia c ió n d e u n v a lo r m e d id o d e l v a lo r v e r d a d e r o o c o rre c to , la m a g n itu d d e d ic h a d e sv ia c ió n e s in d ic a tiv a d e la e x a c ti­ tu d d e la m e d ic ió n . E n la fig u ra 8 .6 se ilu s tra la d ife re n c ia e n tre e x a c titu d y p re c isió n . S u ­ p o n g a q u e c u a tro tir a d o r e s d is p a ra n a o b je tiv o s d ife re n te s , p e ro id én tico s. E l tir a d o r A es e x a c to , p o rq u e to d o s su s d is p a ro s se e n c u e n tra n c erca d e l b la n c o , y e s p re c iso p o rq u e sus d is p a ro s se a g ru p a n e s tre c h a m e n te . E l tir a d o r B e s e x a c to , p o rq u e su s d is p a ro s se e n c u e n ­ tr a n d is trib u id o s d e m a n e ra h o m o g é n e a a lre d e d o r d e l b la n c o , p e ro n o e s p re c iso p o rq u e se u b ic a n a m p lia m e n te e sp a rc id o s. E l tira d o r C e s p re c iso , p o rq u e su s d is p a ro s se a g ru p a n e s tr e c h a m e n te , p e ro n o e s e x a c to p o rq u e e l g ru p o se e n c u e n tra le jo s d e l blanco. E l tira d o r D n o e s e x a c to , p o rq u e la d is p e rsió n d e s u s d is p a ro s n o se d is trib u y e d e fo rm a h o m o g é ­ n e a a lr e d e d o r d e l b la n c o , y n o e s p re c iso p o rq u e n o s e o b s e rv a n a g ru p a d o s d e m a n e ra e s tr e c h a . L a s ra z o n e s e sp e c ífic as p a ra la e x a c titu d y p re c isió n d e fic ie n te p u e d e n s e r la re s p ira c ió n d e l tira d o r, s u p o sició n c o rp o ra l, v is ió n y o tro s fa c to re s. A d e m á s , e s p o sib le q u e la s m ira s d e la s a rm a s n e c e s ite n u n a ju ste , e l in te rio r d e l b a rril p u e d e e s ta r su cio o el v ie n to p u e d e e s ta r s o p la n d o d e fo rm a e s ta b le o c o n ra c h a s a le a to ria s . L a lista d e p o sib les c a u s a s p a ra la d is trib u c ió n d e los d is p a ro s d e lo s tir a d o re s B . C y D p u e d e ser la rg a , lo q u e n o s lle v a a u n a d isc u sió n d e l e rro r. N in g u n a m e d ic ió n e s tá e x e n ta d e e rro r, p o r lo q u e e s im p o rta n te q u e los in g e n ie ro s re c o n o z c a n su s fu e n te s p o te n c ia le s y c ó m o m in im izarlas. P o r lo g e n e ra l, los e rro re s p u e d e n clasifica rse c o m o craso s, siste m á tic o s y a le a to rio s. L o s errores crasos v irtu a lm e n te in v a li­ d a n la m e d ic ió n y so n p ro v o c a d o s p o r e l uso in d e b id o d e in stru m e n to s, d e in stru m e n to s in a p ro p ia d o s o in a d e c u a d o s, re g is tro in c o rre c to d e d a to s y n o seg u ir p ro c e d im ie n to s a p ro -

No

E x a c to

Sí

o Z f

Figura 8.6 Ilustración d e exacti­ tud y precisión.

C

i

^

l

i

---------P reciso

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Sección 8 .2

Recolección y registro d e datos

p ia d o s d e m e d ició n . P o r e je m p lo , e n la sec c ió n 8.2.2, c o m e n ta m o s a c e rc a d e u n in g e n ie ro m e cá n ic o q u e d e se a b a d e te r m in a r q u e e l m ic ro p ro c e sa d o r d e u n a c o m p u ta d o ra n o fallaría té rm ic a m e n te d u r a n te la o p e ra c ió n . U n e r r o r c ra so d e su p a rte s e r ía q u e n o e s p e ra ra a q u e e l m ic ro p ro c e sa d o r a lc a n z a ra u n a c o n d ic ió n té rm ic a e s ta b le a n te s d e re g istra r los d ato s. L o s d isp o sitiv o s e le c tró n ic o s r e q u ie re n tie m p o p a ra c a le n ta rse h a sta su s te m p e ra tu ra s d e o p e ra c ió n , p o r lo q u e si las m e d ic io n e s d e te m p e ra tu ra se re g istra n p o c o tie m p o d e sp u é s d e e n c e n d e r e l d isp o sitiv o , lo s d a to s s e r á n inútiles. L o s e r r o r e s c ra so s d e b e n e lim in a rs e d e la in g en iería. L o s erro re s siste m á tic o s m u e s tra n u n c o m p o rta m ie n to r e g u la r u o r d e n a d o y p u e d e n s e r p ro v o c a d o s p o r e l in s tru m e n to d e m e d ic ió n , e l a m b ie n te o e l o b s e r v a d o r q u e c o n d u c e la m e d ic ió n . P o r e je m p lo , c o n s id e re la s m e d ic io n e s d e v isc o sid a d d e l a c e ite lu b ric a n te con e l u so d e u n in s tru m e n to v isc o sím e tro d e u n a s im p le e s fe ra q u e cae. D u ra n te e l c u rs o d e la s m e d ic io n e s o b s e rv a m o s q u e e l tie m p o p a ra q u e las e sfe ra s c a ig a n u n a d ista n c ia d a d a d e n tr o d e l a c e ite d e c re c e d e fo rm a g ra d u a l. L a s p ru e b a s se in ic ia ro n te m p ra n o e n la m a ­ ñ a n a y c o n c lu y e ro n a lr e d e d o r d e l m e d io d ía . D e s c u b rim o s q u e n u e s tra s m e d ic io n e s d e tie m p o re fle ja n u n e r r o r s iste m á tic o c a u s a d o p o r u n a u m e n to g ra d u a l e n la te m p e ra tu ra d e la m u e s tra d e a c e ite d e b id o a u n c a le n ta m ie n to d e s e q u ilib ra d o d e l e d ific io y a l S o l m a ­ tu tin o q u e b rilla b a a tra v é s d e la v e n ta n a d e l la b o ra to rio c e rc a n o . E s te e r r o r siste m á tic o p a rtic u la r, a l ig u a l q u e to d o s lo s e r r o r e s siste m á tic o s, se p u e d e c o rre g ir. E n e s te c a so , p o ­ d r ía id e n tific a rse s u p e rv is a n d o d e m a n e ra s im u ltá n e a la te m p e r a tu r a d e la m u e s tra d e a c e ite p a ra q u e lo s d a to s d e tie m p o d e c a íd a re fle ja ra n la te m p e r a tu r a d e la m u e s tra y, pol­ lo ta n to , su v isc o sid a d . U n a fo rm a d ife re n te d e c o rre g ir e l e r r o r s e r ía re g u la r la te m p e r a ­ tu r a d e la m u e stra . O tro e je m p lo d e e r r o r s iste m á tic o e s e l p a ra la je . E l p a ra la je e s u n e rro r d e o b s e r v a ­ c ió n q u e p u e d e o c u rrir al le e r la c a r á tu la d e u n m e d id o r. P a ra d e m o s tr a r c ó m o fu n c io n a e l p a ra la je , s o s te n g a la p u n ta d e s u lápiz a p ro x im a d a m e n te 1 c m a r r ib a d e la s e g u n d a a d e la p a la b ra p a ra la je e n e s ta o ra c ió n . M a n te n ie n d o firm e e l láp iz, m u e v a su c a b e z a d e la d o a la d o o b s e rv a n d o la le tra d ire c ta m e n te d e tr á s d e la p u n ta d e l lápiz c o n u n o jo . Si m u e v e s u c a b e z a lo su fic ie n te a la d e re c h a , la le tra r se a lin e a c o n la p u n ta d e l lápiz, p e ro si la m u e v e lo su fic ie n te a la iz q u ie rd a , la le tra / e s la q u e se a lin e a c o n la p u n ta d e l láp iz. E n e s ta sen c illa d e m o s tra c ió n , la p u n ta d e l lá p iz re p re s e n ta la a g u ja o la c a r á tu la y la s le tra s s o b r e el p a p e l re p re s e n ta n u n a e sc a la n u m é ric a . U n o b s e r v a d o r q u e lee la c a rá tu la d e un m e d id o r d e u n la d o o d e l o tr o in tro d u c e u n e r r o r s iste m á tic o e n lo s d ato s. U n tip o d e e r r o r s iste m á tic o p ro v o c a d o p o r e l in s tru m e n to se llam a histéresis. U n in s tru m e n to m u e s tra h is té re s is c u a n d o e x iste u n a d ife re n c ia d e le c tu ra s d e p e n d ie n d o si el v a lo r d e la c a n tid a d m e d id a se a c e rc a d e s d e a rrib a o d e s d e ab ajo . L a h isté re sis p u e d e a p a ­ re c e r d e b id o a la fricc ió n m e c á n ic a , lo s c a m p o s m a g n é tic o s, la d e fo rm a c ió n e lá s tic a o los e fe c to s té rm ic o s d e n tr o d e l in stru m e n to . L os errores aleatorios so n p ro v o c a d o s p o r u n fe n ó m e n o re la c io n a d o c o n la o p o rtu n i­ d a d . C o n sid e re m o s e l e sc e n a rio d e lo s c u a tr o tira d o re s , d o n d e u n a rá fa g a d e v ie n to e s u n e je m p lo d e u n e r r o r a le a to rio . L a s rá fa g a s d e v ie n to o c u rre n e n m o m e n to s im p re d e c ib le s y tie n e n v e lo c id a d e s im p re d e c ib le s, q u e p u e d e n d e s v ia r d e m a n e ra a le a to ria la tra y e c to ria d e u n a bala. O tr o e je m p lo d e u n e r r o r a le a to rio e s q u e e l b a rril d e l a rm a e s té su cio o te n ­ g a u n a m a te ria e x tra ñ a . A lg u n o s b a rrile s p u e d e n e s ta r m á s lim p io s q u e o tro s , la c a n tid a d d e c o n ta m in a n te s e n e l c a ñ ó n d e u n a rm a e s fu n d a m e n ta lm e n te u n a v a ria b le a le a to ria . T o d o s los d ife re n te s tip o s d e e r r o r e s siste m á tic o s y a le a to rio s s o n ta n n u m e ro so s q u e n o se c u b re n e n e s te libro. E n la fig u ra 8.7 se m u e s tra n las fu e n te s fu n d a m e n ta le s d e e r r o r e s c ra so s, siste m á tic o s y a le a to rio s , c la sific a d o s d e m a n e ra o rg a n iz a d a . O b s e rv e q u e a lg u n a s c a u s a s d e e r r o r , c o m o la fricc ió n y la v ib ra c ió n , p u e d e n s e r siste m á tic a s o a le a to ­ rias. P a ra a n a liz a r c o n m a y o r p ro fu n d id a d las fu e n te s d e e r r o r , d e b e n c o n s u lta rs e las re fe ­ re n c ia s a l fin a l d e e s te c ap ítu lo .

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259

Figura

8.7 Clasificación

E rro re s

0

.r

50)

§ £ .0

260

www.FreeLibros.me -§ '8 £ >

I

de los errores crasos, sistemáticos y aleatorios.

s-a

73 3

Is.

Sección 8 .2

Recolección y registro d e datos

L a b o r a t o r io d e in g e n ie ría . C o r p o r a c ió n G e n e r a l d e In g e n ie ría

T í t u l o d e la p r u e b a

P á g in a

P ru e b a re a liz a d a p o r Fe c h a

H lora

Lug ar

L is t a d e e q u ip o s

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

F ig u r a 8 .8 H o ja d e datos de cuad ern o de laboratorio.

8 .2 .3 R eg istro d e d atos

A l e fe c tu a r m e d ic io n e s, e s im p o r ta n te re g is tr a r lo s d a to s d e m a n e ra s iste m á tic a y o rg a n i­ z a d a c u a n d o se p re p a ra n p a ra g ra fic a c ió n . C o n e l fin d e q u e lo s d a to s s e a n sig n ificativ o s, d e b e n s e g u irse p ro c e d im ie n to s m e tic u lo so s d e re g istro . L a p rá c tic a n o rm a l d e in g e n ie ría d ic ta e l u so d e c u a d e rn o s d e la b o ra to rio c o n h o ja s d e d a to s sim ila re s a la m o s tra d a e n la fig u ra 8.8, p a ra re g is tra r y d o c u m e n ta r to d o s lo s a s p e c to s d e las m e d ic io n es. N o s e re c o ­ m ie n d a re g is tra r d a to s e n p a p e le s su e lto s, y a q u e la s p á g in as s u e lta s se p u e d e n p e rd e r, d a ­ ñ a r o m e z c la r d e fo rm a in a p ro p ia d a c o n o tra s p á g in a s c o n facilid ad .

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261

262

Capítu lo 8

A n á lisis d e datos: G rafica ció n

L a s ig u ie n te in fo rm a c ió n d e b e re g is tra rs e e n u n c u a d e rn o d e h o ja s sujetas: • T ítu lo d e la p ru e b a . • N o m b re d e la (s) p e rs o n a (s ) q u e re a liz a (n ) la p ru e b a . • F e c h a , h o ra y lu g a r d e p ru e b a . • N ú m e ro s d e páginas. • L ista d e in s tru m e n to s y e q u ip o s u tilizados. • D ia g ra m a s d e c o n fig u ra c ió n d e la p ru e b a . • D a to s: ♦ ♦ ♦ ♦

C la ra m e n te escrito s. A rre g la d o s e n fo r m a to ta b u la r. C la ra m e n te id e n tific a d o s y m a rc a d o s c o n u n id ad es. R e g is tra d o s c o n e l n ú m e ro c o rre c to d e c ifra s sig n ificativ as.

• N o ta s e x p lic a tiv a s b re v e s d e lo s d a to s , s e g ú n se re q u ie ra . L a in fo rm a c ió n c o n te n id a e n u n c u a d e rn o d e la b o ra to rio se c o n sid e ra c o m o lo s “ d a ­ to s p rim a rio s " d e u n a p ru e b a y c o n stitu y e n e l fu n d a m e n to d e to d a s la s g ráficas, a n álisis y e v a lu a c io n e s p o s te rio re s d e la m ism a. P o r e s ta ra z ó n , d e n in g u n a m a n e ra d e b e m a n ip u la r­ se la in fo rm a c ió n re g is tra d a e n e l c u a d e rn o d e la b o ra to rio . B ajo n in g u n a c irc u n sta n c ia d e b e n d e se c h a rs e , b o rra rs e o a lte ra rs e lo s d a to s, h a c e rlo c o n stitu y e u n a fa lta d e é tic a p ro ­ fe sio n a l. Si to d o s o p a rte d e e llo s re s u lta n in c o rre c to s p o r a lg u n a ra z ó n , d e b e n to m a rse lo s p a so s c o rre c tiv o s p a ra e lim in a r lo s p ro b le m a s q u e p u d ie ra n e x istir c o n lo s in s tru m e n ­ to s o c o n e l p ro c e d im ie n to e x p e rim e n ta l, y la p ru e b a d e b e re a liz a rs e o tr a vez. G e n e ra r d a to s e x p e rim e n ta le s sig n ificativ o s p u e d e s e r m u y la b o rio so , p e ro e l v a lo r d e lo s m ism os h a ce q u e e l e s fu e rz o v a lg a la p en a. M ie n tra s q u e lo s c u a d e rn o s d e la b o ra to rio se u tiliz a n p a ra re g istra r d a to s d e fo rm a m a n u a l, ta m b ié n se p u e d e n re c o le c ta r d e fo rm a e le c tró n ic a y a lm a c e n a rlo s u tiliz a n d o r e ­ g is tra d o re s d e ta b la s y re g is tra d o re s d e d a to s (q u e c o n stitu y e n u n a in te rfa s e c o n los m e d i­ d o re s o d e te c to re s q u e m id e n las c a n tid a d e s físicas d e se a d a s ). L o s re g is tra d o re s d e ta b la s u tiliz a n u n m a rc a d o r m e cá n ic o a u to m a tiz a d o q u e p ro d u c e u n re g is tro g rá fic o d e las m e ­ d icio n es. L o s re g is tra d o re s d e d a to s c o n v ie rte n se ñ a le s e lé c tric a s a n aló g ica s d e lo s d e te c to ­ re s e n u n a fo rm a d ig ital q u e se p u e d e g u a rd a r e n u n a c o m p u ta d o ra p a ra su p ro c e so p o s te rio r. E n o c asio n e s, a los s iste m a s e le c tró n ic o s u tiliz a d o s p a ra re c o le c ta r y g u a rd a r esa in fo rm a c ió n s e les d e n o m in a s iste m a s d e a d q u isic ió n d e datos.

¡ P r a cti q ue J 1. U n in g e n ie ro a m b ie n ta l d e s e a e v a lu a r e l su m in is tro d e a g u a p a ra u n p u e b lo lo c aliza d o e n la b a s e d e u n a c a d e n a m o n ta ñ o s a . L a fu e n te d e a g u a só lo se b a sa e n e l e s c u rrim ie n to d e la n ie v e q u e se a c u m u la e n las m o n ta ñ a s c e r c a ­ n a s d u r a n te e l in v ie rn o . D e s c rib a lo s d a to s q u e d e b e re c o le c ta r y c ó m o se p o d ría n u tiliz a r las g rá fic a s p a ra e v a lu a r e l su m in is tro d e a g u a d e l p u eb lo . 2. E n u n a p la n ta q u e m a n u fa c tu r a ta b le ro s d e y eso , u n in g e n ie ro in d u s tria l d e s e a o p tim iz a r la p ro d u c c ió n d e h o ja s d e ta b le r o s in v e s tig a n d o los e fe c ­ to s d e la ra p id e z d e l c a le n ta m ie n to p a ra c u r a r e l y e so m ie n tra s lo s ta b le ro s v ia ja n a lo la rg o d e u n tra n s p o rta d o r. D e s c rib a lo s d a to s q u e d e b e re c o le c ­ ta r y c ó m o p o d ría n u tiliz a rs e la s g rá fic a s p a ra o p tim iz a r la p ro d u c c ió n d e ta b le ro s. 3. U n in g e n ie ro d e se a d e te r m in a r , c o n b a se e n la p ro d u c c ió n a d ife re n te s p ro ­ fu n d id a d e s, c u á n d o d e b e te rm in a rs e la p e rfo ra c ió n e n u n lu g a r p a rtic u la r.

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Sección 8 .3

Procedimiento general d e g raficació n

D e s c r ib a lo s d a t o s q u e d e b e r e c o l e c t a r y c ó m o s e p o d r í a n u t i li z a r la s g r á f i ­ c a s p a r a t o m a r la d e c i s i ó n .

4. C la sifiq u e lo s s ig u ie n te s e rro re s c o m o c ra so (G ), s iste m á tic o (S ) o a le a to rio (R ) ( e n a lg u n o s c a s o s ,s e p u e d e a p lic a r m á s d e u n a clasificació n ):

Error

Clasificación (G, S o R)

a . N o u s a r u n m ic r ò m e tr o d e fo r m a a p r o p ia d a

______

b. P o lv o y g ra s a e n u n a a r tic u la c ió n d e e q u ilib r io d e m a s a c . L e e r u n a c a r á tu la d e m e d i d o r d e p r e s ió n a u n á n g u lo d e 6 0 ° ______ d . V o ltím e tr o a ju s ta d o a c e r o d e f o r m a in c o r r e c ta

______

e . C o r r ie n te s d e v e n tila c ió n e n u n l a b o r a t o r i o

______

R e s p u e s ta : a . G , b. R , c . S, d . S. e . R .

8 .3 PR O CED IM IEN TO G E N E R A L DE GRAFICACIÓ N E n e s ta sec c ió n se p r e s e n ta u n p ro c e d im ie n to g e n e ra l p a ra g ra fic a r d a to s. E l p ro c e d i­ m ie n to se a p lic a a to d a s la s d isc ip lin a s y fu n c io n e s d e la in g e n ie ría d e m a n e ra c o n sis te n te y c o rre c ta ; lleva a g rá fic a s sig n ificativ as q u e p e rm ite n q u e lo s in g e n ie ro s e v a lú e n e l d e ­ s e m p e ñ o d e siste m a s, p ro c e s o s d e c o n tro l, m a n te n g a n u n re g is tro d e c a n tid a d e s físicas, lle v e n a c a b o in v e stig a c ió n y d is e ñ e n p ro d u c to s y p ro ceso s. L o s in g e n ie ro s h a n u tiliz a d o e ste p ro c e d im ie n to g e n e ra l d e g ra fic a c ió n d e una u o tr a fo rm a p o r la rg o tie m p o c o n g ra n é x ito e n to d a s la s d iscip lin as. E s d e v ita l im p o rta n c ia q u e los e s tu d ia n te s a p r e n d a n p ro c e ­ d im ie n to s a p ro p ia d o s d e g ra fic a c ió n y lo s a p liq u e n e n e l c u rs o d e su tra b a jo . L a a d q u is i­ c ió n d e b u e n o s h á b ito s d e g ra fic a c ió n c u a n d o a ú n se e n c u e n tra n e n la e sc u e la h a rá q u e les sea m á s fácil u n a tra n s ic ió n e x ito s a e n su p rá c tic a p ro fe sio n a l. U n a v e z re c o le c ta d o s y re g is tra d o s los d a to s .s e p u e d e n e la b o r a r la s g rá fic a s c o rre s ­ p o n d ie n te s. C o m o se m u e s tra e n la fig u ra 8.9, e x iste n n u m e ro s o s tip o s d e g rá fic a s q u e se p u e d e n u tiliz a r p a ra m o s tr a r la s re la c io n e s e n tr e lo s d iv e rso s tip o s d e d a to s. L a s g ráficas m á s u tiliz a d a s p a ra las a p lic a c io n e s d e in g e n ie ría so n la s d e d is p e rsió n y d e líneas. U n a g ráfica d e d isp ersió n s ó lo se in te g ra d e p u n to s d e d a to s, sin lín e a s d ib u ja d a s e n tr e ellos. (V é an se la s figuras 8.4 y 8.5.) U n a gráfica d e líneas co n sta d e u n a o m á s líneas sin p u n to s de d ato s. P o r lo c o m ú n , la s g rá fic a s d e lín e a s se u tiliz a n p a ra m o s tra r la s re la c io n e s e n tre c a n ­ tid a d e s c o n tin u a s g e n e r a d a s p o r e c u a c io n e s m a te m á tic a s.'T a m b ié n se u tiliz a n la s g ráficas c o n lín e a s d ib u ja d a s e n tre lo s p u n to s d e d ato s. L o s o tr o s tip o s d e g rá fic a s m o s tra d o s e n la fig u ra 8.9 se u san c o n m e n o s fre c u e n c ia e n lo s tra b a jo s d e in g e n ie ría . P o r lo g e n e ra l, una g ráfica d e b arras m u e s tra d is trib u c io n e s d e c a n tid a d e s p a ra p ro p ó s ito s d e a n álisis e sta d ís ­ tico. U n a g ráfica circu la r e x p o n e p o rc e n ta je s o fra c c io n e s d e u n to d o e n a p lic a c io n e s fi­ n a n c ie ra s y d e n egocios. U n a g ráfica p o la r m u e s tra c ó m o v a ría n la s c a n tid a d e s c o n los án g u lo s. L!n a gráfica d e reliev e la v a ria c ió n d e u n a c a n tid a d s o b re u n a s u p e rfic ie b id im e n sio n a l. U n a g rá fic a d e s u p e r fic ie 3 D c ó m o v a ría u n a c a n tid a d e n e l e s p a c io trid im e n sio n a l. Y a q u e e n lo s tra b a jo s d e in g e n ie ría p re d o m in a la g rá fic a d e d is p e rs ió n , d e d ic a re m o s to ­ d a n u e s tr a a te n c ió n a ella. E l p ro c e d im ie n to g e n e ra l p a ra la e la b o ra c ió n d e u n a g rá fic a d e d a to s e x p e rim e n ta le s se p u e d e d e s c rib ir p a s o p o r p aso . E n la s s ig u ie n te s sec c io n es se e x p lic a rá e ilu s tra rá cada e ta p a d e l p ro c e d im ie n to ,e l c u al se a p lic a ta n to e n la e la b o ra c ió n m a n u a l d e g ráficas, c o m o c o n e l uso d e u n p a q u e te d e s o ftw a re p a ra c o m p u ta d o ra . S e re c o m ie n d a q u e e l e stu d ia n te a p r e n d a e l p ro c e d im ie n to d e g ra fic a ció n a p lic á n d o lo d e fo rm a m a n u a l a n te s d e in te n ta r c o n e l so ftw a re . Lina v e z q u e h a y a d o m in a d o la s té cn ica s d e g ra fic a ció n c o n lápiz y p ap el,

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figura 8 .9

Tpcs efe g ro fin .

m

2Ó d

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Sección 8 .3

Procedimiento general d e g raficació n

e n c o n tra rá q u e , d e sp u é s d e a p re n d e r a u tilizar e l so ftw are, la g raficació n a sistid a p o r c o m p u ­ ta d o ra e s sencilla. P ro ced im ien to general de graficación E l p ro c e d im ie n to g e n e ra l d e g ra fic a c ió n e s e l sig u ie n te: 1. D e te r m in e q u é d a to s se v a n a g ra fic a r (e s d e c ir, la v a ria b le d e p e n d ie n te y la v a ria b le in d e p e n d ie n te ). E s to s d a to s se o b tie n e n d e l c u a d e rn o d e la b o ra to rio . 2. D e te r m in e e l in te rv a lo d e la s v a ria b le s d e p e n d ie n te e in d e p e n d ie n te . 3. S e le c c io n e e l p a p e l p a ra gráfica s c o n b a se e n e l tip o d e e sc a la d e s e a d a : lin eal, sem ilo g a rítm ic a o lo g a rítm ic a . Si elige s e m ilo g a rítm ic a o lo g a rítm ic a , d e te r m in e c u á n to s ciclos (p o te n c ia s d e 10) se re q u ie re n . 4. C o n b a s e e n lo s in te rv a lo s d e la s v a ria b le s , e lija la u b ic a c ió n d e los ejes h o riz o n ta l y v e rtic a l e n e l p a p e l p a ra gráficas. 5. C alibre y g ra d ú e los ejes. 6. N o m b r e lo s ejes. 7 . Trace los p u n to s d e d a to s u tiliz a n d o sím b o lo s a p ro p ia d o s. 8. Si s e d e se a a ju sta r a u n a cu rv a, d ib u je u n a curva o c u n as a tra v é s d e los p u n to s d e datos. 9. Id e n tifiq u e m ú ltip le s c u rv a s c o n u n a le ye n d a y a g re g u e u n títu lo a la g ráfica. E n las s ig u ie n te s se c c io n e s se c o m e n ta e n d e ta lle c a d a u n o d e e sto s pasos. 8 .3 .1 V a ria b le s d e p e n d ie n te s e in d e p en d ien te s

Q u iz á e l p a s o m á s c ru c ial e n la g ra fic a c ió n , e s id e n tific a r d e fo rm a a p ro p ia d a la s v a ria b le s d e p e n d ie n te s e in d e p e n d ie n te s . E s ta s v a ria b le s se id e n tific a ro n y a so c ia ro n c u a n d o se m i­ d ie ro n e n e l la b o ra to rio , p o r lo q u e d e b e n re g is tra rs e e n e l c u a d e rn o d e la b o r a to r io ,o si se u tiliz a u n s is te m a d e a d q u isic ió n d e d a to s , d e b e n a lm a c e n a rs e d e fo rm a e le c tró n ic a . U n a variable d e p e n d ien te e s u n a c a n tid a d q u e d e p e n d e d e o tra c a n tid a d . D ic h o d e o tra m a n e ­ ra , u n a v a ria b le d e p e n d ie n te e s u n a c a n tid a d q u e c a m b ia c o m o re s p u e s ta a lo s c a m b io s d e o tr a v a ria b le . L a v a ria b le d e p e n d ie n te e s tá s u je ta a la v a ria b le in d e p e n d ie n te , q u e e s a u ­ tó n o m a p o r lo q u e se re fie re a las m e d ic io n e s. L a variable in d ep en d ien te es la variable q u e e l e x p e r im e n ta d o r p u e d e contro la r. E x iste u n a re la c ió n c a u s a -e fe c to e n tr e la s v a ria ­ b le s d e p e n d ie n te e in d e p e n d ie n te . L a v a ria b le in d e p e n d ie n te (la c a u s a ) in flu y e d e a lg u n a m a n e r a e n la v a ria b le d e p e n d ie n te (e l e fe c to ). E n té rm in o s m a te m á tic o s , d e c im o s q u e la v a ria b le d e p e n d ie n te e s u n a fu n c ió n d e la v a ria b le in d e p e n d ie n te . P o r e je m p lo , u n in g e ­ n ie ro b io m é d ic o p u e d e d e s e a r in v e stig a r lo s fa c to re s q u e in flu y en e n la lo n g itu d d e l p a so d e u n a p e rs o n a p a ra p o d e r d is e ñ a r u n a p ró te sis. L a lo n g itu d d e l p a so d e p e n d e d e v a ria ­ b le s c o m o la lo n g itu d d e las p ie rn a s, la re s iste n c ia d e la c a d e ra y la fle x ib ilid ad d e la r o d i­ lla. D e a h í q u e la lo n g itu d d e p a s o e s la v a ria b le d e p e n d ie n te , y la lo n g itu d d e la s p iern as, la re s iste n c ia d e la c a d e ra y la fle x ib ilid ad d e la ro d illa s o n v a ria b le s in d e p e n d ie n te s (es d e c ir, la lo n g itu d d e l p a so e s u n a fu n c ió n d e e s ta s tre s v a ria b le s ). U n e rro r c o m ú n q u e c o m e te n los e stu d ia n te s a l inicio d e sus e stu d io s e s c o n fu n d ir las v a ria b les d e p e n d ie n te s e in d e p en d ien te s. P o r lo g e n e ra l, se p u e d e n d istin g u ir p re g u n ta n d o q u é variab le d e p e n d e d e la o tra . S u p o n g a m o s q u e d e se a m o s e s tu d ia r la re la ció n e n tre la a l­ titu d y la d e n sid a d d e l a ire m e d ia n te la co n stru cció n d e u n a gráfica. ¿ C u á l d e e sta s c a n tid a ­ d e s e s la v a ria b le d e p e n d ie n te y c u ál e s la v a ria b le in d e p e n d ie n te ? ¿ L a d e n sid a d d e p e n d e d e la a ltitu d o la a ltitu d d e p e n d e d e la d e n sid a d ? P o r e jem p lo , s a b e m o s q u e c o n fo rm e a sc e n ­ d e m o s u n a m o n ta ñ a ,e l a ire se vuelve ‘'m á s d e lg a d o " , lo q u e significa q u e la d e n sid a d d e l a ire d e crec e a l a u m e n ta r la a ltitu d . E s to su g eriría q u e la d e n sid a d d e p e n d e d e la a ltitu d , p e ro ¿ p o d e m o s decir q u e la a ltitu d d e p e n d e d e la d e n sid a d ? La d e n sid a d d e l a ire se p u e d e c a m ­ b ia r e n u n a v a rie d a d d e fo rm a s,c o m o lle n a n d o c o n a ire u n n e u m ático d esin flad o . La p resió n y, p o r lo ta n to , la d e n sid a d d e l a ire d e n tro d e l n e u m á tic o a u m e n ta a l in tro d u c ir m á s a ire d e n ­ tro d e él. P e ro ,o b v ia m e n te , la a ltitu d d e l a ire d e n tro d e l n e u m á tic o n o c am b ia. E l e x p e rim e n ­ ta d o r p u e d e c o n tro la r la a ltitu d , p e ro é s ta n o d e p e n d e d e la d e n sid a d . P o r ta n to , la d e n sid a d d e l a ire e s la v a ria b le d e p e n d ie n te y la a ltitu d e s la v a ria b le in d e p e n d ie n te .

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Capítu lo 8

A n á lisis d e datos: G rafica ció n

8 .3 .2 In te rv a lo s de la s v a ria b le s

D e s p u é s d e id e n tific a r la s v a ria b le s d e p e n d ie n te s e in d e p e n d ie n te s , d e b e d e te r m in a rs e el in te rv a lo d e am b as. E l in te rva lo se re fie re a la e x te n s ió n d e v a lo re s n u m é ric o s s o b re los q u e la v a ria b le se v a a g ra fic a r. P o r e je m p lo , u n a in g e n ie ra civil p u e d e d e s e a r g ra fic a r el flu jo d e a g u a e n u n siste m a d e irrig a c ió n n a tu ra l c o m o u n a fu n c ió n d e l tie m p o d e l añ o . P u e d e h a b e r re g is tra d o g a sto s d e a g u a d e 2 a 3 0 ir r /s e n u n c u a d e rn o , p e ro s ó lo le in te re ­ sa g ra fic a r lo s g a s to s d e 5 a 20 m 3/s. P o r ta n to , e l in te rv a lo d e los g a s to s e s d e 5 a 2 0 nr'/s. P a ra g ra fic a r d e fo rm a a p ro p ia d a lo s d a to s, d e b e n e x is tir a lg u n o s d a to s d e g a sto e n tr e el v a lo r in fe rio r d e 5 nrVs y e l v a lo r m a y o r d e 20 n r'/s. D e s d e lu eg o , e n e s te in te rv a lo , p a ra c a d a g a s to e x iste u n v a lo r c o rre s p o n d ie n te d e tiem p o . 8 .3 .3 Papel p ara g rá fica s

E l p a p e l p a ra g rá fic a s se e n c u e n tr a c o m e rc ia lm e n te d isp o n ib le e n la m a y o ría d e la s lib re ­ ría s y p a p e le ría s e sc o la re s, y se p u e d e d e s c a rg a r e im p rim ir d e s d e v a rio s s itio s d e I n te rn e t. E l papel para gráficas tie n e u n a c u a d ríc u la im p re sa d e lín e a s h o riz o n ta le s y v e rtic a le s c o n u n e s p a c ia m ie n to p a rtic u la r. E l tip o d e p a p e l p a ra u n a g rá fic a p a rtic u la r d e p e n d e d e la n a tu ra le z a d e lo s d a to s q u e se e s tá n g ra fic a n d o y la re la c ió n e n tr e la s v a ria b le s d e p e n ­ d ie n te s e in d e p e n d ie n te s . E n g e n e r a l.e s d e tr e s tip o s ,c a d a u n o se d is tin g u e p o r e l e s p a c ia ­ m ie n to o escala d e la c u a d ríc u la : lin eal, s e m ilo g a rítm ic a y lo g a rítm ic a . E l ta m a ñ o m á s c o m ú n e s e l ta m a ñ o c a r ta n o rm a l ( 8 V2 x 11 p u lg a d a s ), p e ro ta m b ié n e x iste n o tro s ta m a ­ ñ o s c o m o 8^/2 X 14 p u lg a d a s y 11 X 17 p u lg ad as. E n el p a p el se m ilo g a rítm ic o , la s lín e a s d e la c u a d ríc u la e n u n a d ire c c ió n se e n c u e n ­ tr a n ig u a lm e n te e sp a c ia d a s ,c o m o se m u e stra e n la fig u ra 8 .1 0 (a). P o r lo g e n e ra l, e l e sp a c ia ­ m ie n to e s d e 5 ,1 0 o 2 0 d iv isio n e s p o r p u lg a d a , p e ro las lín e a s d e la o tr a d ire c c ió n sig u en u n a re la c ió n lo g a rítm ica . P o r lo c o m ú n , c o m o se m u e s tra e n la fig u ra 8 .1 0 ( b ) ,e l e sp a c ia ­ m ie n to e n la d ire c c ió n v e rtic a l e s lo g a rítm ico y e n la d ire c c ió n h o riz o n ta l e s lin eal. L a e sc a ­ la v e rtic a l m o s tra d a e n la fig u ra 8. 10(b ) tie n e u n ciclo , lo q u e significa q u e e l in te rv a lo m á x im o d e los d a to s e s u n a p o te n c ia d e 10. D ic h o in te rv a lo p u e d e s e r d e 1 a 10, d e 10 a 100,d e 100 a 1000, d e 0.01 a 0 .1, d e 0.1 a l , o c u a lq u ie r o tr o in te rv a lo sim ilar, s ie m p re q u e c u b ra u n a p o te n c ia d e 10. La c u a d ríc u la d e u n p a p e l p a ra g rá fic a s s e m ilo g a rítm ic a s c o n dos ciclos c u b re u n in te rv a lo m á x im o d e d o s p o te n c ia s d e 10, c o m o d e 0.1 a 10, d e 10 a 1000 o d e 105 a 107. E n e l p a p el lo g a rítm ic o , las lín e a s d e la c u a d ríc u la e n a m b a s d ire c c io n e s sig u e n una re la c ió n lo g a rítm ica , c o m o se ilu s tra e n las fig u ra 8 .1 0 (c) y 8 .1 0 (d ). E l p a p el m o s tra d o e n la fig u ra 8.10(c) se d e n o m in a c o m o d e 1 X 1 ciclos, p o rq u e e l in te rv a lo m á x im o d e d a to s e n a m b a s d ire c c io n e s e s u n a p o te n c ia d e 10. Sin e m b a rg o , los in te rv a lo s m á x im o s d e d a to s no tie n e n q u e s e r id én tico s. P o r e je m p lo , lo s in te rv a lo s e n u n a d ire c c ió n p o d ría n s e r d e 10 a 100. m ie n tra s q u e e l in te rv a lo e n la o tr a d ire c c ió n p o d ría s e r 0.1 a 1. E l p a p e l p a ra g rá fic a s d e la fig u ra 8 .1 0 (d ) se d e n o m in a c o m o d e 2 X 2 ciclos, p o rq u e e l in te rv a lo m á x im o d e d a ­ to s e n a m b a s d ire c c io n e s e s d o s p o te n c ia s d e 10. U n a v e z m ás, lo s in te rv a lo s m á x im o s d e d a to s n o tie n e n q u e s e r idénticos. 8 .3 .4 U b icació n d e lo s ejes

L o s ejes d e u n a g rá fic a c o n sis te n e n d o s lín e a s re c ta s q u e se u n e n e n u n a in te rse c c ió n , p o r lo g e n e ra l e n o c e rc a d e la e s q u in a in fe rio r iz q u ie rd a d e l p a p e l p a ra g ráficas. E l e je h o ri­ z o n ta l e s la abscisa (e l e je x ) y e l e je v e rtic a l e s la o rd e n a d a (e je y ). E l p u n to d e in te rs e c ­ c ió n d e los d o s e je s e s e l o rig en d e la g ráfica. O b se rv e q u e : E s u n a p rá ctica n o r m a l d e g ra fic a ció n a so cia r la va ria b le in d e p e n d ie n te c o n la abscisa y la va ria b le d e p e n d ie n te c o n la ordenada.

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Sección 8 .3

Procedimiento general d e g raficació n

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10

9

5 7 6

5 4 3

2

(a) Lineal

(b)

10

Semi logarítmico

100

9

5 7 6

5

10

Figura 8.10 1

2 (c)

3

4

Logarítmico (1

5 X

6 7

10

910

1 ciclos)

(d )

100

Logarítmico (2 X 2 ciclos)

E s ta n o rm a se ilu s tra e n la fig u ra 8.11. A u n q u e la m a y o ría d e la s g rá fic a s d e d a to s d e in g e n ie ría sig u e n la n o rm a , p u e d e n e x istir a lg u n a s ex cep cio n es. E n la m a y o ría d e la s a p lic a c io n e s d e la in g e n ie ría , la s v a ria b le s d e p e n d ie n te s e in d e ­ p e n d ie n te s se lim ita n a v a lo re s p ositiv o s, p o r lo q u e e l o rig e n d e la g rá fic a se lo c aliza c e r­ c a d e la e s q u in a in fe rio r iz q u ie rd a d e l p a p e l p a r a g ráficas. Si la s v a ria b le s c o n tie n e n ta n to v a lo re s p o sitiv o s c o m o n e g a tiv o s, los e je s (y p o r lo ta n to e l o rig e n ) d e la g rá fic a d e b e n c a m b ia rs e p a ra d a r c a b id a a lo s v a lo re s n e g a tiv o s, lo q u e p ro d u c e u n a g rá fic a q u e c o n sta d e c u a tro c u a d ra n te s , c o m o se m u e s tra e n la fig u ra 8.12. N o im p o rta d ó n d e se lo c alice n lo s e jes d e u n a g rá fic a , d e b e te n e r s e c u id a d o d e u tili­ z a r la m a y o r p a rte d e l p a p e l p a ra g rá fic a s p a ra h a c e rla m á s legible. E s to e s p o s ib le si se m a rc a n d e fo rm a a p ro p ia d a la s c a lib ra c io n e s, q u e s e e x p lic a n e n la sig u ie n te secció n . 8 .3 .5 G rad u ació n y c a lib ra c ió n d e los e je s

A n te s d e tr a z a r c u a lq u ie r p u n to d e d a to s, se d e b e n g ra d u a r y c a lib ra r lo s ejes. L a s g ra d u a ­ c io n e s s o n u n a s e r ie d e m a rc a s s o b r e e l e je q u e d e fin e n e l tip o d e e sc a la u tiliz a d a . C o m o se c o m e n tó e n la sec c ió n 8.3.3, lo s tr e s tip o s c o m u n e s d e e sc a la s e n e l p a p e l p a ra g ráficas s o n lin e a l, s e m ilo g a rítm ic a y lo g a rítm ic a . E n u n a e sc a la lin e a l, la s m a rc a s se e n c u e n tra n ig u a lm e n te e sp a c ia d a s , m ie n tra s q u e e n u n a e sc a la lo g a rítm ic a , la s m a rc a s n o s e e n c u e n ­ tr a n ig u a lm e n te e s p a c ia d a s , sin o q u e sig u en u n a fu n c ió n lo g a rítm ic a . L a s calibraciones s o n lo s v a lo re s n u m é ric o s a sig n a d o s a las g ra d u a c io n e s. D e s p u é s d e d e fin ir la u b ic ac ió n

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Tipos d e p ap el p ara g ráficas.

268

Capítu lo 8

A n á lisis d e datos: G rafica ció n

O rd e n ad a (variable dependiente)

C uadrícula

A bscisa (variab le iu d ep eu d ien te)

Figura 8 .1 1 Partes d e una g rá fic a , incluyendo la a b scisa (eje x) y la o rd enad a (eje y ).

O rigen

d e los ejes, e l sig u ie n te p a s o e s c a lib ra r a m b o s e je s c o n b a se e n lo s in te rv a lo s d e la s v a ria ­ b le s d e s c rito s e n e l p a so 2 d e l p ro c e d im ie n to d e g ra fic a c ió n . L o s e je s d e b e n c a lib ra rse u ti­ liz a n d o la m a y o r c a n tid a d p o sib le d e l p a p e l p a ra g ráficas. C o m o e je m p lo , s u p o n g a q u e n u e s tro s in te rv a lo s d e la s v a ria b le s son: v a ria b le in d e p e n d ie n te : 0 a 300 v a ria b le d e p e n d ie n te : 0 a 40. E n c a s o d e q u e e s te m o s u tiliz a n d o p a p e l p a ra g rá fic a s c o n u n a e sc a la lin e a l, e s p re ­ fe rib le c a lib ra r lo s e jes c o m o se ilu s tra e n la fig u ra 8 .1 3 (a ), c o n lo q u e se a p ro v e c h a la m a -

II

III

IV

Figura 8 .1 2 U bicación de los ejes p a ra v a ria b le s positi­ v a s y negativas.

-Y

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Sección 8 .3

Procedimiento general d e g raficació n

269

y o r p a rte d e l e s p a c io d is p o n ib le d e l p a p e l p a ra g ráficas. N o s e re c o m ie n d a c a lib ra r los e je s e n la m a n e ra m o s tra d a e n la fig u ra 8 .1 3 (b ) p o rq u e e l á r e a re a l p a ra la g rá fic a e s m uy p e q u e ñ a , lo q u e d ific u lta la le c tu ra d e la s c a ra c te rís tic a s d e ta lla d a s . Si la g rá fic a se e la b o ­ ra c o n e l u so d e s o ftw a re p a ra c o m p u ta d o ra , p ro b a b le m e n te e l s o ftw a re re a lic e la c a lib ra ­ c ió n d e fo rm a a u to m á tic a c o n b a s e e n los in te rv a lo s d e las v a ria b le s p ro p o rc io n a d o s p o r e l u su a rio . L a c a lib ra c ió n ta m b ié n se p u e d e e f e c tu a r d e fo rm a m a n u a l. Ya s e a q u e la g rá ­ fica se e la b o r e d e u n a u o tr a fo rm a , d e b e c u b rir la m a y o r c a n tid a d p o sib le d e la p á g in a p a ­ ra m e jo ra r la le g ib ilid a d . C o m o se m u e s tra e n la fig u ra 8.13, si n o h a y m u c h o e sp a c io e n tr e lo s b o rd e s d e la g rá fic a y la o rilla d e l p a p e l, lo s e je s d e b e n d ib u ja rs e lig e ra m e n te

Ax

yi

3

2

2

.

.

1

-0 -

-

(a)

Figura 8.13 C a lib ra ció n d e los ejes: (a ) correcta y (b) incorrecta.

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270

Capítu lo 8

A n á lisis d e datos: g raficación

d e n tr o d e lo s b o rd e s d e la g ráfica, p ro p o r c io n a n d o a s í e sp a c io p a ra la c a lib ra c ió n y le y e n ­ d a s d e lo s ejes, q u e se c o m e n ta n e n la s ig u ie n te secció n . A la s g ra d u a cio n e s, a las q u e a lg u n a s v e ce s se les llam a d ivisio n es o m a rca s d e divisió n , se le s d e n o m in a m a y o re s o m e n o re s . C o m o se m u e stra e n la fig u ra 8.14, p o r lo g e n e ra l las g ra d u a c io n e s m a y o re s se c a lib ra n y d ib u ja n lig e ra m e n te m ás larg as q u e las g ra d u a c io n e s m e n o re s. Ya q u e d e fo rm a c a ra c te rís tic a e l p a p e l p a ra g rá fic a s c o n s ta d e lín e a s v e rtic a ­ le s y h o riz o n ta le s d e c u a d ríc u la q u e se e x tie n d e n a to d o lo a n c h o y a lto d e la g ráfica, las g ra d u a c io n e s m a y o re s d e b e n e le g irs e p re v ia m e n te p a ra q u e c o in c id a n c o n las d iv isio n es m a y o re s d e l p a p e l p a ra g ráficas. L a s g ra d u a c io n e s m a y o re s se p u e d e n e n fa tiz a r d ib u ja n ­ d o m a rc a s d e d iv isió n . [V é ase la fig u ra 8 .1 3 (a ).] C o m o s e ilu s tra e n la fig u ra 8.15, la s m a r­ c a s d e d iv isió n se p u e d e n d ib u ja r h acia d e n tr o (d e l o tr o la d o d e las c a lib ra c io n e s), h acia fu e ra (d e l m ism o la d o d e las c a lib ra c io n e s) o a m b a s form as.

G raduaciones m enores

G rad u acio n es m ayores

10

Lineal

Logarítm ica

Figura 8.14 G ra d u a cio n es C alibraciones

m ayores y menores.

L a s g ra d u a c io n e s m e n o re s se lo c aliza n e n tr e la s g ra d u a c io n e s m a y o re s y d e b e n s e ­ g u ir la re g la 1. 2. 5. c o m o se ilu stra e n la fig u ra 8.16. E s ta re g la e s ta b le c e q u e la m e n o r d i­ visió n p a r a las g r a d u a c io n e s m e n o r e s e s 1 ,2 o 5. L a re g la 1, 2, 5 p e rm ite in te rp o la r d a to s

0

2

1

3

4

5

3

4

5

(a)

Figura 8.15

1 0

1

'

!

1

|

1

'

1

1 2

J

Las g radu acio nes

(b)

pueden d ib ujarse: (a ) h a cia dentro, (b) h a cia fuera o (c) am b as.

(c)

10

0

10

(a)

Figura 8.16 (a ) Las calib racio n es a p ro p ia d a s siguen la regla 1, 2 , 5 . (b) Las ca lib ra cio n e s inco­ rrectas no.

10

0

2.5

3.33 J 10

1.67

L 0

10

(b)

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0

J 10

Sección 8 .3

Procedimiento general d e g raficació n

271

s u b d iv id ie n d o e l in te rv a lo e n tr e g ra d u a c io n e s m a y o re s c o n e n te r o s c o m ú n m e n te u tiliz a ­ do s. L a s g ra d u a c io n e s q u e n o sig u en la re g la 1 ,2 ,5 s o n in d e se a b le s y p ro d u c e n su b d iv isio ­ n e s fra c c io n a ria s q u e h a c e n q u e sea e n g o rro s o e l tra z o d e los p u n to s. A u n q u e e l n ú m e ro d e g ra d u a c io n e s a u tiliz a r d e b e seg u ir la re g la 1 ,2 ,5 , d ic h o n ú m e ­ r o e s d iscrec io n a l. E l e r r o r m á s c o m ú n e s e l u so d e c a lib ra c io n e s excesivas, e llo p ro v o c a q u e e l e je lu zca s a tu ra d o , p o r lo q u e só lo d e b e in c lu irse el n ú m e ro m ín im o d e c alib rac io n e s re q u e rid a s p a ra le e r la g ráfica. E l e je m o s tra d o e n la fig u ra 8 .1 7 (a) se p u e d e le e r c o n faci­ lid a d , p e ro e l e je m o s tra d o e n la fig u ra 8 .1 7 (b ), a u n q u e sig u e la re g la 1 ,2 ,5 , tie n e d e m a s ia ­ d a s calib racio n es.

0

5

10

15

20

25

30

(a) 1 1--------1— 1 1— 1— 1— 1— I — 1— 1— 1— 1— I— 1— 1— 1— ‘-------- 1— ‘------- 1— I------- 1— 1------- — 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

(b)

8 .3 .6 N o m b re s d e lo s e je s

L a s g ra d u a c io n e s y la s c a lib ra c io n e s n o tie n e n im p o rta n c ia a m e n o s q u e se n o m b re n los ejes. E l n o m b r e d e u n e je e s e l n o m b re d e la v a ria b le y su u n id a d c o rre s p o n d ie n te . Si nos re m itim o s n u e v a m e n te a la fig u ra 8.3, v e m o s q u e e l n o m b re d e la v a ria b le in d e p e n d ie n te e s “ D e fo rm a c ió n n o rm a l, e” y la u n id a d c o rre s p o n d ie n te ( e n c e r r a d a e n tr e p a ré n te s is ) es “m m /m m ". E l n o m b re d e sig n a d o p a ra la v a ria b le d e p e n d ie n te e s “ E s fu e rz o n o rm a l, o*’ y la u n id a d c o rre s p o n d ie n te e s “ M P a ” , e n c e r r a d a e n tr e p a ré n te s is . O b s e rv e q u e e l n o m b re a s ig n a d o a a m b a s v a ria b le s e n la fig u ra 8 .3 c o n siste e n u n a d e sc rip c ió n m á s u n s ím b o lo se ­ p a ra d o p o r u n a c o m a . U n n o m b re a lte rn a tiv o p o d ría s e r la d e sc rip c ió n sin e l s ím b o lo a l­ g e b ra ic o , p o r lo q u e e l n o m b re p a ra la v a ria b le in d e p e n d ie n te s e ría “ D e fo rm a c ió n n o rm a l (m m /m m )” ; e l n o m b re p a ra la v a ria b le d e p e n d ie n te s e ría “ E s fu e rz o n o rm a l ( M P a )” . N o m b re s in a d e c u a d o s p a ra la s v a ria b le s in d e p e n d ie n te y d e p e n d ie n te , re s p e c tiv a m e n te , s o n “ e (m m /m m )” y u ’2 so n las c o o rd e n a d a s d e l p u n to d e d a to s c o n o c id o a la d e re c h a d e l p u n to in te rp o la d o . L a s c o o r­ d e n a d a s d e l p u n to in te rp o la d o s o n x y y . U n a fo rm a d ire c ta d e d e riv a r u n a fó rm u la p a ra el v a lo r d e y d e l p u n to d e d a to s d e sc o n o c id o e s u tiliz a r u n c o n c e p to c o n o c id o d e la g e o m e ­ tría: los triá n g u lo s se m e ja n te s. 'P en em o s d o s triá n g u lo s s e m e ja n te s q u e tie n e n u n á n g u lo

Figura 8.34 Interpolación linea

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294

Capítu lo 8

A n á lisis d e datos: G rafica ció n

c o m ú n 0 ,c o n la lín e a re c ta d e a p ro x im a c ió n c o m o h ip o te n u s a . P a ra lo s triá n g u lo s s e m e ja n ­ tes, la re la c ió n d e los c a te to s o p u e s to s e n tre los a d y a c e n te s e s la m ism a. C o n b a se e n las c o o rd e n a d a s d e lo s v é rtic e s d e lo s triá n g u lo s, la ig u a ld a d s e e sc rib e co m o : = i— A x 2

~

x l

x

~

(8.10)

x \

A l re s o lv e r p a ra la y d e sc o n o c id a , o b te n e m o s: y = »

+ ~ ~ ~ i x ~ * i) x2

~

( 8 - ii)

x \

A l u tiliz a r la in te rp o la c ió n lin eal, la e c u a c ió n (8 .1 1 ) e s u n a fó rm u la g e n e ra l p a ra e l v a lo r d e y d e u n p u n to d e datos. Si a p lic a m o s la e c u a c ió n (8.11) a lo s d a to s d a d o s , o b te n e m o s: y = y. +

x2 ~ x \

( x - * ,) = 0 + L 0 " ~ ° ( 2 - 1) = 0.550. 3 —1

D e a h í q u e , a l u tiliz a r la in te rp o la c ió n lin e a l, la s c o o rd e n a d a s d e l p u n to d e d a to s in te rp o ­ la d o so n .v = 2 ,y = 0.550. L o s p u n to s d e d a to s e n la fig u ra 8.33 se s e le c c io n a ro n d e fo rm a d e lib e r a d a p a ra a ju s ta rs e a la fu n c ió n y = ln x . E l v a lo r re a l d e y p a ra x = 2 e s y = ln (2 ) = 0.693. P a ra los p rim e ro s d o s p u n to s d e d a to s , la in te rp o la c ió n lin eal re a liz a u n tra b a jo m á s b ie n d e fic ien te a l a p ro x im a r e l v a lo r d e y p a ra x = 2. Sin e m b a rg o , c o m o se m u e stra e n la figura 8.33, la fu n c ió n y = ln x c o m ie n za a p a re c e rs e a u n a lín e a re c ta c o n v a lo re s c re ­ c ie n te s d e x , p o r lo q u e la in te rp o la c ió n lin eal d e b e s e r m á s e x a c ta p a ra los o tr o s p u n to s d e d a to s. U tilic e m o s la in te rp o la c ió n lin eal c o n e l fin d e c a lc u la r e l v a lo r d e y p a ra .y = 4.5: y = yj + y ¿ ~ x2 ~ x \

- x x) = 1.386 + L 6 0 9 ~ * '3 8 6 (4.S - 4 ) = 1.498. 5 -4

E l v a lo r re a l d e y p a ra x = 4.5 e s y = ln(4.5) = 1.504, u n a m e jo ra n o ta b le c o m p a ra d a c o n la in te rp o la c ió n a n te rio r. O b v ia m e n te , la in te rp o la c ió n lin e a l e s m á s e x a c ta si los p u n to s d e d a to s d e sc rib e n u n a re la c ió n lin eal. Si lo s p u n to s d e d a to s d e sc rib e n u n a re la c ió n n o lineal, co m o se ilu stra e n la fig u ra 8.34, la in te rp o la c ió n lin e a l p ro d u c e u n v a lo r a p ro x im a d o , cuya e x a c titu d d e p e n d e d e l tip o d e fu n c ió n d e s c rita p o r los p u n to s d e d a to s, la re g ió n d e los d a ­ to s d o n d e se re a liz a la in te rp o la c ió n y q u é ta n c erca se e n c u e n tra n e n tre sí lo s d o s p u n to s d e d a to s conocidos. L a in te rp o la c ió n lin e a l se p u e d e re a liz a r e n d a to s ta b u la d o s sin a c u d ir a u n a g ráfica. C o n sid e re los v a lo re s d e la s te m p e ra tu ra s y p re s io n e s d e s a tu ra c ió n d e l a g u a e n la ta b la 8.5. U n c o n c e p to fu n d a m e n ta l d e la te rm o d in á m ic a e s q u e la te m p e r a tu r a y p re s ió n d e s a ­ tu ra c ió n so n p ro p ie d a d e s d e p e n d ie n te s (e s d e c ir, p a ra c ad a v a lo r d e te m p e ra tu ra d e satu Tabla 8 .5 Tem p eratu ra y p re sió n de sa tu ra ció n d el ag ua

Temperatura/ T (°C)

Presión, P (kPa)

6 5 .0

25.03

70.0

31.19

75.0

38.58

8 0 .0 8 5 .0

47.39 57.83

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Sección 8 .5

Interpolación y extrap o lació n

T a b la 8 .6 T ab la d e in te rp o la c ió n p a ra lo s d a to s d e la ta b la 8 .5

Temperatura/ T (°C)

Presión/ P (kPa)

Xl \

X

7 5 .0

3 8 .5 8

7 7 .0

X

_ _ _ ^ - 8 0 .0 X 2 ^

4 7 .3 S U ^ X 2

ra c ió n e x iste u n v a lo r ú n ic o d e p re s ió n d e s a tu ra c ió n ). S u p o n g a q u e d e s e a m o s d e te r m in a r la p re s ió n d e s a tu ra c ió n d e l a g u a a u n a te m p e ra tu ra d e s a tu ra c ió n d e 7 7 .0 °C. E s ta te m p e ­ r a tu r a n o e s tá re la c io n a d a e n la ta b la 8.5, p o r lo q u e n o p o d e m o s s im p le m e n te le e r e n la ta b la u n v a lo r c o rre s p o n d ie n te d e p re s ió n . Sin e m b a rg o , p o d e m o s e s tim a r u n a p re s ió n d e s a tu r a c ió n u tiliz a n d o la in te rp o la c ió n lin e a l. U n a te m p e r a tu r a d e s a tu ra c ió n d e 7 7 .0 C se e n c u e n tr a e n tr e d o s te m p e ra tu ra s c o n o c id a s, 7 5 .0 °C y 80.0 C. L a s p re s io n e s d e s a tu r a ­ c ió n c o rre s p o n d ie n te s p a ra 7 5 .0 ° C y 8 0 .0 ° C s o n 38.58 k P a y 47.39 k P a , re s p e c tiv a m e n te . A l c o n c e n tra rn o s e n la p a rte q u e n o s in te re s a d e la ta b la 8.5, e la b o ra m o s u n a ta b la d e in te rp o la c ió n . (V é a s e la ta b la 8 .6 .) Si d e n o m in a m o s la s te m p e r a tu r a s d e s a tu r a c ió n c o ­ m o los v a lo re s x y la s p re s io n e s d e s a tu r a c ió n c o m o lo s v a lo re s y , b u sc a m o s c a lc u la r e l v a ­ lo r y c o rre s p o n d ie n te a x = 77.0. A l u tiliz a r la in te rp o la c ió n lin e a l, la e c u a c ió n (8 .1 1 ) e s la fó rm u la g e n e ra l p a ra e l v a lo r y d e p u n to d e d ato s. D e a h í q u e te n em o s: y¿ - y\ , y = y' +

s co . 47.39 - 38.58 - X l) = 38 58 + 80.0 - 75.0 (7 7 -° " 7 5 '0)

= 42.10. P o r ta n to , la p re s ió n d e s a tu ra c ió n c o rre s p o n d ie n te a u n a te m p e r a tu r a d e s a tu ra c ió n d e 7 7 .0 °C e s d e 42.10 kPa. E s m uy c la ro q u e se p u e d e e fe c tu a r la in te rp o la c ió n lin eal al re c o n o c e r q u e y d e b e e n ­ c o n tra rs e e n la m ism a fracció n d e l in te rv a lo ( y i , y 2 )>ya clu e x re s id e e n e l in te rv a lo ( A 'j,^ ) . C o n la ta b la 8.6 c o m o e jem p lo , e n c o n tra m o s q u e la te m p e ra tu ra d e 7 7 .0 ° C se e n c u e n tra a 0.4 d e 7 5 y 80 °C , p o r lo q u e y se e n c u e n tra a 0.4 d e 3 8 y 58 k P a. La v e rsió n m a te m á tic a d e e s te e n u n c ia d o e s la e c u a c ió n (8.10), q u e se d e riv ó d e c o n sid e ra c io n e s geom étricas. C o n fo rm e a v a n c e e n lo s tra b a jo s d e su s c u rs o s d e in g e n ie ría , s in d u d a e n c o n tr a r á n u m e ro s a s s itu a c io n e s e n la s q u e se r e q u ie r e la in te rp o la c ió n lin e a l d e d a to s ta b u la d o s. L a e c u a c ió n (8 .1 1 ) s e p u e d e u tiliz a r p a ra c u a lq u ie r c lase d e d a to s ta b u la d o s , in d e p e n d ie n ­ te m e n te d e si x y y tie n e n v a lo re s n u m é ric o s a s c e n d e n te s o d e sc e n d e n te s . A d e m á s, c o m o u n a p o y o e n s u s c álcu lo s, e s p o sib le q u e d e s e e e sc rib ir u n p ro g ra m a s im p le d e in te rp o la ­ c ió n lin e a l e n su c a lc u la d o ra c ie n tífic a . Sin e m b a rg o , d e s p u é s d e u n tie m p o , e s p ro b a b le q u e se v u e lv a e x p e r to e n e l u s o d e la in te rp o la c ió n lin e a l y sea c ap a z d e h a c e r los cálcu lo s s in c o n s u lta r la e c u a c ió n (8.11).

¡Practique! 1. P a ra lo s d a to s e n la ta b la 8.5 to m e c o m o b a se la in te rp o la c ió n lin e a l a fin d e e n c o n tr a r la p re s ió n p a ra u n a te m p e r a tu r a d e 66.5 C. R espuesta: 26.88 k P a. 2. P a ra lo s d a to s e n la ta b la 8.5 u tilic e la in te rp o la c ió n lin e a l c o n e l o b je tiv o d e e n c o n tr a r la te m p e r a tu r a p a ra u n a p re s ió n d e 50.0 kPa. R esp u esta : 81.3 °C.

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296

Capítu lo 8

A n á lisis d e datos: G rafica ció n

3. E n lo s d a to s d e la ta b la 8.5 u tilic e la e x tra p o la c ió n c o n e l o b je tiv o d e e s ti­ m a r la p re s ió n p a ra u n a te m p e ra tu ra d e 9 0 .0 °C. R espu esta : 6 9 k P a.

T É R M IN O S CLAVE

a ju s te d e c u rv a s c o e fic ie n te d e d e te rm in a c ió n e rro r e x a c titu d e x tra p o la c ió n fu n c ió n d e p o te n c ia s

fu n c ió n e x p o n e n c ia l fu n c ió n lin eal g rá fic a in te rp o la c ió n m e d ic ió n m é to d o d e lo s p u n to s se le c c io n a d o s

p a p e l p a ra g rá fic a s p re c isió n re g la 1 ,2 ,5 re g re sió n lin e a l d e m ín im o s c u a d ra d o s v a ria b le d e p e n d ie n te v a ria b le in d e p e n d ie n te

R E FE R E N C IA S Tufte E.R., The Visual Display o f Quantitative Inform ation, 2a. ed. Cheshire, G raphics Press. Con­ necticut, 2001. Tufte, E .R ., Visual Explanations: Images and Quantities, Evidence and Narrative, C heshire, Graphics Press, C onnecticut, 1997. Taylor, J.R., A n Introduction to Error Analysis, 2a. ed., H erndon, U niversity Science Books, Virginia, 1997. Henry, G.T., Graphing Data: Techniques fo r D isplay and Analysis, Thousand O aks, SA G E Publica­ tions, California, 1995. H arris, R.L., Inform ation Graphics:A Comprehensive Illustrated Reference, O xford, Oxford U niver­ sity Press. N ueva York, 1999. H olm an, J.P., Experim ental M ethods fo r Engineers, 7a. ed., M cGraw-Hill, N ueva York, 2000.

PRO BLEM A S ¥ R ec o le c c ió n y re g is tro d e d a to s 8.1 U n in g e n ie ro q u ím ic o d e s e a a n a liz a r los e fe c to s d e l c lo ru ro d e s o d io e n u n a n u ev a m e d ic in a q u e se e s tá d e s a rro lla n d o . C o n base e n la m a sa , la m e d ic in a c o n siste e n 85 p o r c ie n to d e a g u a , u n m á x im o d e 10 p o r c ie n to d e o tro s p ro d u c to s q u ím ic o s y un m á x im o d e 5 p o r c ie n to d e c lo ru ro d e so d io . D e s c rib a los tip o s d e d a to s q u e d e b e r e c o le c ta r e l in g e n ie ro y c ó m o p o d ría n u tiliz a rse la s g rá fic a s d e los m ism o s p a ra e v a lu a r la n u e v a m e d ic in a. 8.2 E n u n a s in s ta la c io n e s p a ra p ro d u c c ió n d o n d e s e m a q u in a n p isto n e s e n to rn o s d e c o n tro l n u m é ric o , u n in g e n ie ro e n m a n u fa c tu ra d e s e a e s tu d ia r e l e fe c to d e la v e lo ci­ d a d d e a lim e n ta c ió n d e la p ro d u c c ió n y e l a c a b a d o su p erfic ial d e las piezas. P a ra m a x im iz a r la v e lo c id a d d e p ro d u c c ió n se b u sca a lc a n z a r u n a a lta v e lo c id a d d e a li­ m e n ta c ió n , p e ro si e s d e m a s ia d o e le v a d a p ro d u c e u n a c a b a d o su p erfic ial d e fic ien te. D e sc rib a los tip o s d e d a to s q u e e l in g e n ie ro d e b e re c o le c ta r y c ó m o p o d ría e m p le a r la s g rá fic a s d e lo s d a to s p a ra d e te r m in a r la v e lo c id a d a p ro p ia d a d e alim e n tac ió n . 8.3 U n in g e n ie ro e lé c tric o d e se a e v a lu a r los e fe c to s d e la te m p e r a tu r a , la h u m e d a d y la p re s ió n b a ro m é tric a e n la re s iste n c ia e lé c tric a d e u n a re s iste n c ia c e rá m ic a g ra n d e d e a la m b re e n ro lla d o . L o s in te rv a lo s e s p e ra d o s d e e sta s v a ria b le s a m b ie n ta le s son: te m p e ra tu ra : 10 °C a 8 0 °C h u m e d a d : 20 p o r c ie n to a 9 0 p o r c ie n to d e h u m e d a d re la tiv a p re s ió n b a ro m é tric a : 0.8 a tm a 1.1 a tm

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Problem as

8.4

E s tim e c u á n ta s m e d ic io n e s ú n ic as d e b e n e fe c tu a rs e p a ra c a ra c te riz a r la re siste n c ia d e fo rm a a d e c u a d a . ¿ C u á l d e e sta s v a ria b le s p ie n sa q u e d e b e n te n e r un m a y o r e fe c to e n la re s iste n c ia ? ¿ C ó m o p o d ría u s a r e l in g e n ie ro las g rá fic a s d e lo s d a to s p a ra e v a lu a r lo s e fe c to s d e e s ta s v a ria b le s s o b re la re siste n c ia? C la sifiq u e lo s sig u ie n te s e rro re s c o m o c ra so s (G ), siste m á tic o s (S ) o a le a to rio s (R ) ( e n a lg u n o s c a s o s p u e d e a p lic a r m á s d e u n a clasificació n ): Error

Clasificación (G ,S o R)

a . D e ja r c a e r u n m i c r ò m e t r o s o b r e e l p iso

b. El aire acondicionado funcionando de 3 p.m. a 7 p.m. en el laboratorio c. No ajustar a cero el balance d e masa d. No nivelar la placa superficial e. A justar el ohm ím etro a una escala incorrecta f. Flujóm etro calibrado hace cinco años g. Pruebas electrom agnéticas sensibles efectuadas cerca d e un radiotransm isor h. U sar una cinta m étrica para m ed ir distancias con una exactitud de ±0.02 pulgadas P ro ced im ien to g en era l de graficación 8.5 L a g rá fic a m o s tra d a e n la fig u ra P8.5 se d ib u jó d e fo rm a in c o rre c ta . C o n su lte el p ro c e d im ie n to g e n e ra l d e g ra fic a c ió n e id e n tifiq u e los p ro b le m a s.

70

60

50

■o cz

40

£

30

X?

20

10 0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

Posición

8.6 8.7

8.8

297

L a g rá fic a m o s tra d a e n la fig u ra P 8 .6 se d ib u jó d e fo rm a in c o rre c ta . C o n b a se e n el p ro c e d im ie n to g e n e ra l d e g ra fic a c ió n id e n tifiq u e los p ro b le m a s. L a g rá fic a m o s tra d a e n la fig u ra P8.7 se d ib u jó d e fo rm a in c o rre c ta y se u tiliz ó el m é to d o d e los p u n to s s e le c c io n a d o s p a ra a ju s ta r lo s d a to s a u n a lín e a re c ta . I d e n ti­ fiq u e los p ro b le m a s. E n la ta b la P 8 .8 se in d ic a e l sa la rio a n u a l d e u n in g e n ie ro d e 1976 a 2007. C o n el p ro c e d im ie n to g e n e ra l d e g ra fic a c ió n c o n s tru y a u n a g rá fic a d e los d ato s.

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Figura P8.5

298

Capítu lo 8

A n á lisis d e datos: G rafica ció n

Figura P8.6

Figura P8.7

C onductividad térm ica

T a b la P8 .8

Año

Salario, $

Año

Salario, $

1976

15,450

1994

47,540

1977

16,120

1995

50,125

1978

17,840

1996

52,980

1979

18,900

1997

55,050

1980

20,680

1998

57,160

1981

21,975

1999

59,850

1982

23,050

2000

62,100

1983

24,800

2001

64,740

1984

26,100

2002

67,250

1985

27,960

2003

70,865

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Problem as

8.9

1986

2 9 ,2 0 0

2004

7 3 ,9 8 1

1987

3 2 ,4 5 0

2005

7 7 ,0 4 2

1988

3 4 ,2 5 0

2006

8 0 ,1 2 5

1989

3 6 ,3 0 0

2007

8 4 ,3 3 9

1990

3 8 ,1 0 0

1991

4 0 ,5 6 0

1992

4 2 ,8 5 0

1993

4 4 ,9 9 5

L a in te n s id a d s o la r m e d id a e n W /rn p a ra u n a s u p e rfic ie h o riz o n ta l, c o m o se m u e s ­ tra e n la ta b la P 8.9, se m id e a in te rv a lo s d e u n a h o ra d u r a n te u n d ía p a rc ia lm e n te n u b la d o . P o r m e d io d e l p ro c e d im ie n to g e n e ra l d e g ra fic a c ió n c o n stru y a u n a g rá fi­ ca d e los d ato s.

Tabla P8.9

Tiempo, t (h)

Intensidad solar, l(W/m2)

0500

9 .7

0600

3 5 .9

0700

4 3 .0

0800

228

0900

357

1000

518

1100

624

1200

739

1300

701

1400

612

1500

456

1600

178

1700

4 1 .5

1800

1 3 .2

1900

3 .5

A ju s te d e curvas 8.10 E n la ta b la P 8.10 se re la c io n a n la s v e lo c id a d e s r o ta to r ia s m e d id a s e n r p m d e u n a b o m b a y la d e s c a rg a c o rre s p o n d ie n te d e la b o m b a e n g a lo n e s p o r m in u to . (a ) Id e n tifiq u e la s v a ria b le s in d e p e n d ie n te y d e p e n d ie n te . (b ) U tilic e e l m é to d o d e los p u n to s s e le c c io n a d o s a fin d e o b te n e r u n a e cu a c ió n p a ra la cu rv a. (c ) P o r m e d io d e la e c u a c ió n e n c o n tra d a e n la p a rte (b ) , id e n tifiq u e la d e sc a rg a d e la b o m b a p a ra la s v e lo c id a d e s d e 1 5 0 ,3 0 0 y 475 rp m . 8.11

C o n la re g re sió n lin e a l d e m ín im o s c u a d r a d o s re s u e lv a e l p ro b le m a 10 y e n c u e n tre e l c o e fic ie n te d e d e te rm in a c ió n .

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299

300

Capítu lo 8

A n á lisis d e datos: G rafica ció n

T a b la P 8 .1 0

Velocidad rotacional de la bomba, S (rpm)

Descarga de la bomba, V (gal/min)

0

8.12

0

100

0.52

230

1.45

325

2.80

400

4.30

500

6.10

S e c o n e c ta u n a fu e n te d e v o lta je in d e p e n d ie n te d e 10 V e n la s te rm in a le s d e u n a re s iste n c ia v a ria b le c u y a re s iste n c ia v a ría d e 2 kíT a 10 k Cl. Se u tiliz a u n a m p e r ím e ­ tro p a ra m e d ir la c o rrie n te . E n la ta b la P 8.12 se re la c io n a n lo s v a lo re s d e la re sis­ te n c ia y la c o rrie n te . ( a ) Id e n tifiq u e la s v a ria b le s in d e p e n d ie n te y d e p e n d ie n te . (b ) U tilic e e l m é to d o d e los p u n to s s e le c c io n a d o s p a ra o b te n e r u n a e c u a c ió n p a ra la c u iva. (c ) C o n la e c u a c ió n e n c o n tr a d a e n la p a rte (b ) , id e n tifiq u e la c o rrie n te p a ra los v a lo re s d e re siste n c ia d e 2 .8 ,5 .2 y 8.9 k Cl. Tabla P8.12

Resistencia, R (kíi)

8.13 8.14

Corriente, / |mA)

2.0

5.66

3.0

3 .3 7

4.0

2.42

5 .0

2.01

6 .0

1.62

8 .0

1.18

10.0

0.995

P o r m e d io d e la re g re sió n lin e a l d e m ín im o s c u a d r a d o s re su e lv a e l p ro b le m a 12 y e n c u e n tre el c o e fic ie n te d e d e te rm in a c ió n . E n la ta b la P8.14 se d a la v e lo c id a d d e l a ire y la fu e rz a d e re siste n c ia e n u n a p ru e ­ b a d e tú n e l d e v ie n to p a ra u n n u e v o p la n o a e ro d in á m ic o . ( a ) Id e n tifiq u e la s v a ria b le s in d e p e n d ie n te y d e p e n d ie n te . (b ) U tilic e e l m é to d o d e los p u n to s s e le c c io n a d o s c o n e l fin d e o b te n e r u n a e c u a ­ c ió n p a ra la cu rv a. (c ) C o n b a s e e n la e c u a c ió n e n c o n tr a d a e n la p a rte (b ) , id e n tifiq u e la fu e rz a d e re s iste n c ia p a ra las v e lo c id a d e s d e 8 ,3 2 y 7 0 m/s. Tabla P8.14

Velocidad, v (m/s)

Fuerza de resistencia, F ( N)

2

3.5

5

22

15

176

20

330

30

728

50

1970

75

4 560

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Problem as

8.15 8.16

C o n la re g re sió n lin e a l d e m ín im o s c u a d r a d o s re s u e lv a e l p ro b le m a 14 y e n c u e n tre el c o e fic ie n te d e d e te rm in a c ió n . E n la ta b la P8.16 se m u e s tra e l h isto ria l d e la te m p e ra tu ra m e d id a d e u n a p e q u e ñ a fo rja m e tá lic a d e s p u é s d e re tira rla d e l h o rn o d e tra ta m ie n to térm ico . (a ) Id e n tifiq u e la s v a ria b le s in d e p e n d ie n te y d e p e n d ie n te . (b ) U tilic e el m é to d o d e los p u n to s s e le c c io n a d o s y o b te n g a u n a e c u a c ió n p a ra la c u rv a. (c ) C o n b a s e e n la e c u a c ió n e n c o n tr a d a e n la p a rte (b ), id e n tifiq u e la te m p e r a tu ­ r a p a ra lo s tie m p o s d e 3 .5 ,1 2 y 17 s. Tabla P8 .1 6

Tiempo, t (s)

8.17 8.18

Temperatura, T (°C)

0

200

1

180

2

166

3

151

4

132

5

125

10

72

15

46

20

28

C o n la re g re sió n lin e a l d e m ín im o s c u a d r a d o s re s u e lv a e l p ro b le m a 16 y e n c u e n tre el c o e fic ie n te d e d e te rm in a c ió n . E n la ta b la P 8.18 se m u e s tra e l v o lta je , m e d id o e n m V , p ro d u c id o p o r u n te rm o p a r tip o K p a ra d iv e rsa s te m p e ra tu ra s d e la unión. (a ) Id e n tifiq u e la s v a ria b le s in d e p e n d ie n te y d e p e n d ie n te . (b ) U tilic e e l m é to d o d e los p u n to s s e le c c io n a d o s p a ra o b te n e r u n a e c u a c ió n p a ra la cu rv a. (c ) C o n la e c u a c ió n e n c o n tr a d a e n la p a rte (b ) , id e n tifiq u e e l v o lta je p a ra la s te m ­ p e ra tu ra s d e 1 5 0 ,5 7 5 y 850 °C.

T a b la P8 .1 8

Temperatura, T ( C)

8.19

Voltaje, V (m V)

50

1.98

100

4.35

200

7.76

300

12.51

400

16.70

500

19.62

700

29.43

1000

42.02

p o r m e d io d e la re g re sió n lin eal d e m ín im o s c u a d ra d o s re su e lv a e l p ro b le m a 18 y e n c u e n tre e l c o e fic ie n te d e d e te rm in a c ió n .

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301

302

Capítu lo 8

A n á lisis d e datos: G rafica ció n

8.20

E n la ta b la P8.20 se m u e s tra la v a ria c ió n d e la s o lu b ilid a d , m e d id a e n kg d e b ic a r­ b o n a to d e c alc io C 'a f H C O ^ e n 100 k g d e a g u a c o n re s p e c to d e l tiem p o . ( a ) Id e n tifiq u e la s v a ria b le s in d e p e n d ie n te y d e p e n d ie n te . (b ) U tilic e e l m é to d o d e los p u n to s s e le c c io n a d o s c o n e l fin d e o b te n e r u n a e c u a ­ c ió n p a ra la cu rv a. (c ) C o n la e c u a c ió n e n c o n tr a d a e n la p a rte (b ) , id e n tifiq u e la s o lu b ilid a d p a r a las te m p e ra tu ra s d e 2 7 7 ,3 0 9 y 330 K. Tabla P8 .2 0 T e m p e r a t u r a , T (K )

8.21 8.22

S o lu b ilid a d , S (k g )

273

16.15

280

16.30

290

16.53

300

16.75

310

16.98

320

17.20

350

17.88

373

18.40

U s e la re g re s ió n lin e a l d e m ín im o s c u a d ra d o s p a ra re s o lv e r e l p ro b le m a 20 y e n ­ c o n tra r e l c o e fic ie n te d e d e te rm in a c ió n . E n u n a o p e ra c ió n d e ta la d ra d o se m id e la ra z ó n d e re m o c ió n d e m a te r ia l ( M R R . p o r su s siglas e n in g lés) p a ra u n in te rv a lo d e d iá m e tro s d e b ro c a s, c o m o se m u e stra e n la ta b la P8.22. ( a ) Id e n tifiq u e la s v a ria b le s in d e p e n d ie n te y d e p e n d ie n te . (b ) U tilic e e l m é to d o d e los p u n to s s e le c c io n a d o s y o b te n g a u n a e c u a c ió n p a ra la cu rv a. (c ) U s e la e c u a c ió n e n c o n tr a d a e n la p a r te (b ) e id e n tifiq u e la ra z ó n d e re m o c ió n d e m a te ria l p a ra lo s d iá m e tro s d e b ro c a d e 0.875 y 1.25 in. Tabla P8.22__________________________________________ D iá m e tr o , d (in)

8.23 8.24

M R R , M (in 3/m in )

0.375

1.41

0 .5 0 0

2.36

0.625

4.06

0 .7 5 0

5.43

1.000

10.8

1.500

21.3

C o n la re g re sió n lin e a l d e m ín im o s c u a d r a d o s re s u e lv a el p ro b le m a 22 y e n c u e n tre el c o e fic ie n te d e d e te rm in a c ió n . E n la ta b la P 8.24 se m u e s tra la p o te n c ia re q u e rid a p o r u n a u to m ó v il p a ra s u p e ra r la re siste n c ia a e ro d in á m ic a a d iv e rsa s v e lo cid ad e s. ( a ) Id e n tifiq u e la s v a ria b le s in d e p e n d ie n te y d e p e n d ie n te . (b ) U tilic e e l m é to d o d e lo s p u n to s s e le c c io n a d o s y o b te n g a u n a e c u a c ió n p a ra la cu rv a. (c ) P o r m e d io d e la e c u a c ió n e n c o n tr a d a e n la p a r te (b ) id e n tifiq u e la p o te n c ia p a ra la s v e lo c id a d e s d e 35 y 55 m i/h.

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Problem as

T a b la P 8 .2 4

V e lo c id a d , s (m i/h ) 10

0 .0 6 0

20

0 .4 7 8

30

1.61

40

3 .8 3

50

7 .4 7

60

8.25

P o t e n c ia , P (h p )

1 2 .9

U s e la re g re sió n lin e a l d e m ín im o s c u a d ra d o s y re s u e lv a e l p ro b le m a 24 y e n ­ c u e n tre e l c o e fic ie n te d e d e te rm in a c ió n .

In t e r p o la c ió n y e x t r a p o la c ió n 8.26

L a ta b la P8.26 m u e s tra la v a ria c ió n d e l c a lo r e sp e c ífic o d e l a g u a líq u id a c o n la te m p e ra tu ra . C o n la in te rp o la c ió n lin e a l c a lc u le el c a lo r e sp e c ífic o p a ra las te m p e r a tu r a s d e 2 7 .1 2 5 y 192 °C. T a b la P 8 .2 6

T e m p e r a t u r a , T (°C)

8 .2 7

C a lo r e s p e c íf ic o , c ( k J / k g • ' C)

0

4 .2 1 7

10

4 .1 9 3

20

4 .1 8 2

30

4 .1 7 9

50

4.181

100

4 .2 1 6

150 200

4 .3 1 0 4 .4 9 7

L a ta b la P 8.27 m u e s tra la v a ria c ió n d e la v isco sid a d d e l a g u a c o n la te m p e ra ­ tu ra . T o m e c o m o b a se la in te rp o la c ió n lin e a l y c alc u le la v isc o sid a d p a ra las te m p e ra tu ra s d e 2 1 ,6 2 y 8 8 °C. T a b la P 8 .2 7

T e m p e r a t u r a , T ( C)

8.28

V is c o s id a d , ¿ 2.98 + 3.50 + 3.25 + 3.74 + 3.18 = 3.¿3. m e d ia = ------------------------------------- = -------------------------5 n

U n a n o ta c ió n m a te m á tic a a b re v ia d a m á s c o n v e n ie n te p a ra la s u m a d e lo s n ú m e ro s es: n 2

X¿ =

X X + X 2 + *3 + ••• +

i=l

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Xn

Sección 9 .3

M edidas d e tendencia central

311

d o n d e e l s ím b o lo 2 d e n o ta u n a su m a ,/? e s e l n ú m e ro d e p u n to s d e d a to s e i e s u n ín d ic e d e s u m a to ria q u e se r e fie re a l n ú m e ro d e l p u n to d e d a to s 1 , 2 , 3 , . . . n. L a s u m a s e d e fin e p a ra to d o s los n ú m e ro s d e l c o n ju n to d e d a to s , p o r lo q u e e l ín d ice d e s u m a to ria i c o m ie n ­ z a e n 1 y te rm in a e n /:,e l n ú m e ro d e p u n to s d e d ato s. La n o ta c ió n m a te m á tic a u tiliz a d a p a ra la m e d ia d e p e n d e d e si e l c o n ju n to d e d a to s r e p re s e n ta la p o b la c ió n o u n a m u e s tra d e e lla . P a ra u n a p o b la c ió n , la n o ta c ió n u tiliz a d a p a ra la m e d ia e s la le tra g rie g a p. (q u e se p ro n u n c ia m u ) . P o r ta n to : N

/x = ‘

-

N = ta m a ñ o d e la p o b la c ió n .

(9 .3 )

P a ra u n a m u e str a , la n o ta c ió n u tiliz a d a p a ra la m e d ia e s.v c o n u n a b a r r a e n c im a ( x ) . Pol­ lo ta n to : n x =

—

n = ta m a ñ o d e la m u e s tra .

(9 .4 )

E n la e c u a c ió n (9 .3 ) la s u m a to ria e s p a ra to d o s lo s n ú m e ro s d e la p o b la c ió n , m ie n tra s q u e e n la e c u a c ió n (9 .4 ) la s u m a to ria e s só lo p a ra lo s n ú m e ro s d e la m u e stra . Se p u e d e u tiliz a r u n a a n a lo g ía m e c á n ic a p a ra r e p r e s e n ta r la m e d ia . Im a g in e q u e lo s n ú m e ro s d e l c o n ju n to d e d a to s e s tá n a rre g la d o s e n o r d e n y e s p a c ia d o s d e fo rm a a p r o p ia d a a lo la rg o d e u n a v ig a sin m a sa s o p o r ta d a p o r u n p u n to d e a p o y o . E s te siste m a se r e p r e s e n ta e n la fig u ra 9 .3 , d o n d e d ib u ja m o s lo s d a to s d e los G P A c o m e n ta d o s a n te s e n la se c c ió n 9.3. A h o r a a su m im o s q u e lo s n ú m e ro s r e p r e s e n ta n “ m a sa s" iguales. P a ra q u e la v ig a se e n c u e n tr e e n u n e s ta d o d e e q u ilib rio , e l p u n to d e a p o y o d e b e c o lo c a rse p re c is a m e n te e n la m e d ia d e l c o n ju n to d e d a to s . P o r lo ta n to , p u e d e c o n s id e ra rs e q u e la m e d ia e s e l “ c e n tr o d e g ra v e d a d " d e los d ato s. L a m e d ia e s u n a m e d id a d e te n d e n c ia c e n tra l ú til y p o p u la r, p o rq u e e s fácil c a lc u la r­ la, c o n sid e ra to d o s los n ú m e ro s d e l c o n ju n to d e d a to s y se p u e d e u tiliz a r e n o tro s cálcu lo s e sta d ístic o s. A p e s a r d e ello , la m e d ia tie n e la d e s v e n ta ja d e s e r s u sc e p tib le a e rro re s c r a ­ so s e n e l c o n ju n to d e d a to s. P o r e je m p lo , s u p o n g a q u e e l q u in to G P A d e l e je m p lo a n te r io r se re g is tró d e fo rm a e r r ó n e a c o m o 3.81 e n lu g a r d e 3.18. L a m e d ia sería:

_ ^ X‘ 2.98 + 3 .5 0 + 3.25 + 3.74 + 3.81 „ „ x = --------= --------------------------- 1------------------------- = Ó.46 n :> e n lu g a r d e l v a lo r c o rre c to d e 3.33. E s to s e r r o r e s se p u e d e n m in im iz a r u tiliz a n d o u n a m e ­ d id a d e te n d e n c ia c e n tr a l d ife re n te , la m e d ian a. í = 3.33

Figura 9.3 j _________________________ |_________________________ :_________________________ |_________________________ ¡ _

La m edia es el "centro de g ra v e d a d " d e los

3.0

d a to s .

3.2

3.4

3.6

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3.8

312

Capítu lo 9

A n á lisis d e datos: Estadística

9 . 3 . 2 M e d ia n a

L a m e d ia n a e s e l v a lo r d e l n ú m e r o en e l c en tro d e u n o s d a to s arreg la d o s en o rd en a scen d en ­ te o d escen d en te. A l e n lis ta r lo s n ú m e ro s e n n u e s tro e je m p lo d e lo s G P A e n o rd e n a sc e n ­ d e n te , te n e m o s 2 .9 8 .3 .1 8 ,3 .2 5 ,3 .5 0 y 3.74. E n to n c e s, la m e d ia n a p a ra e s te g ru p o d e d a to s e s 3.25, p o rq u e se e n c u e n tra e n e l c e n tro d e l c o n ju n to d e d a to s. E n e l c aso d e lo s g ru p o s d e d a to s c o n u n n ú m e ro n o n d e e le m e n to s , c o m o n u e s tro c o n ju n to d e G P A , la m e d ia n a siem ­ p re e s el n ú m e ro c e n tra l. P a ra lo s c o n ju n to s d e d a to s c o n u n n ú m e ro p a r d e e le m e n to s , la m e d ia n a se d e fin e c o m o la m e d ia d e los d o s n ú m e ro s c e n tra le s. P o r e je m p lo , la m e d ia n a p a ra e l c o n ju n to d e d a to s 2 ,3 ,6 ,7 ,1 2 ,1 5 e s (6 + 1)12 = 6.5. O b s e rv e q u e a u n q u e to d o s los n ú m e ro s e n e l c o n ju n to d e d a to s s o n e n te ro s, la m e d ia n a e s u n n ú m e ro d ecim al. T a n to la m e d ia c o m o la m e d ia n a d e s c rib e n e l c e n tro d e l c o n ju n to d e d a to s , p e ro lo h a c e n d e fo rm a d ife re n te . L a m e d ia e s e l c e n tr o d e g ra v e d a d d e los d a to s y la m e d ia n a los d iv id e e n d o s m itad es. P a ra u n c o n ju n to d a d o d e d a to s , la m e d ia y la m e d ia n a p u e d e n o no te n e r v a lo re s c e rc a n o s e n tr e s í y r a r a m e n te c o in c id e n . 9 .3 .3 M oda

L a m o d a e s u n o o m á s g r u p o s d e n ú m e r o s q u e o cu rren c o n la m a y o r frecu en cia e n u n c o n ­ ju n to d e d a to s. A d ife re n c ia d e la m e d ia y la m e d ia n a , q u e s ie m p re e x iste n , la m o d a p u e d e n o e x istir, ya q u e a lg u n o s c o n ju n to s d e d a to s n o tie n e n a lg ú n g ru p o d e n ú m e ro q u e o c u ­ r r a n c o n m á s fre c u e n c ia q u e o tro s e n e l c o n ju n to d e d a to s. P a ra ilu s tra r c ó m o e n c o n tr a r la m o d a , c o n s id e re lo s s ig u ie n te s tre s c o n ju n to s d e d a to s: C o n ju n to 1 d e d a to s

2 ,2 ,5 ,7 ,9 ,9 ,9 ,1 0 ,1 0 ,1 1 ,1 2 ,1 8

C o n ju n to 2 d e d a to s

2 ,3 ,4 ,4 ,4 ,5 ,5 ,7 ,7 ,7 ,9

C o n ju n to 3 d e d a to s

3 ,5 ,8 ,1 0 ,1 2 ,1 4 ,1 7 ,1 9 ,2 2 ,2 6 .

E l c o n ju n to 1 tie n e u n a m o d a d e 9, p o rq u e e l n ú m e ro 9 o c u rre c o n la m a y o r fre c u e n c ia . A u n c o n ju n to d e d a to s c o n u n a m o d a se le lla m a u n im o d a l. E l c o n ju n to 2 tie n e d o s m o ­ d a s, 4 y 7, p o rq u e a m b o s n ú m e ro s o c u rre n c o n la m a y o r fre c u e n c ia . C u a n d o o c u rre n d o s m o d a s e n u n c o n ju n to d e d a to s .s e le llam a b im o d a l. E l c o n ju n to 3 n o tie n e m o d a , p o rq u e n in g ú n n ú m e ro d e l c o n ju n to o c u rre c o n m a y o r fre c u e n c ia q u e o tro . L a s m o d a s se m u e s tra n d e fo rm a g rá fic a e n la s d is trib u c io n e s d e fre c u e n c ia s e n los h isto g ra m a s. L o s h is to g ra m a s d e la fig u ra 9 .2 (a ), (b ) y (c ) m u e s tra n d is trib u c io n e s u n im o d a le s y e l h is to g ra m a e n la fig u ra 9 .2 (e ) u n a d is trib u c ió n b im o d a l. L o s h is to g ra m a s e n la fig u ra 9 .2 (d ) y (f) n o tie n e n m odas.

E JE M P L O 9 .1 E l p ro fe so r G a u ss tie n e 125 e s tu d ia n te s e n su clase d e in g e n ie ría e léctrica. D e sp u é s d e c ali­ fic a r e l e x a m e n final d e su clase, sele c cio n a d e fo rm a a le a to ria la s sig u ie n te s 30 calificacio­ n e s p a ra h a c e r u n a n álisis estad ístico : 84

92

76

84

86

65

44

59

68

95

72

80

78

49

67

79

63

54

97

61

79

53

87

84

77

66

48

60

76

73

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Sección 9 .3

M edidas d e tendencia central

313

C o n lo s d a to s d e l p ro fe s o r G au ss, c o n stru y a u n h is to g ra m a y e n c u e n tre la m e d ia , la m e ­ d ia n a y la m o d a.

Solución P rim e ro , o rd e n a m o s los d a to s e n clases. U tiliz a m o s e l n ú m e ro m ín im o re c o m e n d a d o d e c la s e s (se is) y c o n s tru im o s u n a ta b la d e la s fre c u e n c ia s a p a rtir d e la c u al se p u e d e c o n s ­ tru ir u n h is to g ra m a . (V é a s e la ta b la 9.3.) E l h is to g ra m a se m u e s tra e n la fig u ra 9.4. L a s c a ­ lib ra c io n e s d e b a jo d e c a d a b a r r a d e n o ta n e l lím ite s u p e r io r p a ra c a d a clase. E l c o n ju n to d e d a to s d e 3 0 c a lific a c io n e s e s u n a m u e s tra to m a d a d e la p o b la ció n d e 125 e stu d ia n te s , p o r lo q u e la m e d ia se o b tie n e d e la e c u a c ió n (9.4):

1 ■ ~ n

■ i 30 r

= ? i.9 .

P a ra e n c o n tra r la m e d ia n a , a rre g la m o s las calificacio n es d e l e x a m e n e n o rd e n a sc e n d e n te : 4 4 ,4 8 ,4 9 ,5 3 ,5 4 ,5 9 ,6 0 ,6 1 ,6 3 ,6 5 ,6 6 ,6 7 ,6 8 ,7 2 ,7 3 , 7 6 ,7 6 ,7 7 ,7 8 ,7 9 ,7 9 ,8 0 ,8 4 ,8 4 ,8 4 ,8 6 ,8 7 ,9 2 ,9 5 ,9 7

Tabla 9 .3 C la s ific a c ió n d e c a lific a c io n e s d e e xa m e n p ara el ejem p lo 9.1

Clase

Intervalo de calificaciones

Frecuencia

1

4 1 -50

3

2

5 1 -6 0

4

3

6 1 -7 0

6

4

7 1 -8 0

9

5

8 1 -9 0

5

6

9 1 -1 0 0

3

10

8

6

2

Figura 9.4 50

60

70

80

90

100

C a lif ic a c ió n d e l e x a m e n fin a l

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Histogram a p a ra el ejem plo 9 .1 .

314

Capítu lo 9

A n á lisis d e datos: Estadística

O b s e rv e q u e te n e m o s u n n ú m e ro p a r d e calificacio n es. L a s d o s c a lific a c io n e s e n e l c en ­ tro d e lo s d a to s s o n 7 3 y 7 6 , la 15a y 16a calific ac io n e s. P o r ta n to , la m e d ia n a es: (73 + 7 6 ) m e d ia n a =

= 74.5.

L a m o d a e s e l n ú m e ro c o n la m a y o r fre c u e n c ia e n e l c o n ju n to d e d a to s. L a calificació n 8 4 o c u rre tr e s v eces, m á s q u e n in g u n a o tr a c alific ac ió n , p o r lo ta n to , e s la m o d a . L a d is­ trib u c ió n e s u n im o d a l y d e a lg u n a m a n e ra se p a re c e a u n a d is trib u c ió n n o rm a l, s im ila r a la m o s tra d a e n la fig u ra 9 .2 (a ). O tr o n o m b re p a ra la d is trib u c ió n n o rm a l e s d is trib u c ió n gaussiana.

Éxito

profesional

T o m a d e d ecisio n es P o r lo g e n e ra l, e s fácil id e n tific a r a los in g e n ie ro s ex ito so s. S o n b u e n o s c o m u n ic ad o re s , b u e n o s a n a lista s, b u e n o s d is e ñ a d o re s y b u e n o s e x p e rim e n ta d o re s . O tra c a ra c te rís tic a q u e h a c e b u e n o a u n in g e n ie ro e s la c a p a c id a d p a ra to m a r d e c is io ­ n e s im p o rta n te s . La to m a d e d e c is io n e s e s u n a h a b ilid a d c rític a , e n p a rtic u la r p a ­ ra lo s g e re n te s d e in g e n ie ría . N o to d o s los in g e n ie ro s s o n g e re n te s , p e ro to d o s los in g e n ie ro s d e b e n s e r c a p a c e s d e to m a r d e cisio n e s. Lina d e c isió n e s u n a e lec c ió n e n tr e a lte rn a tiv a s y se p u e d e e f e c tu a r u tiliz a n d o té c n ic a s a n a lític a s o n o a n a líti­ cas. L a s té cn ica s a n a lític a s c o n s titu y e n e l p rin c ip a l s e g m e n to d e la s m a te ria s a c a ­ d é m ic a s d e in g e n ie ría , e n d o n d e se e n fa tiz a n te m a s c o m o el a n á lisis d e c ircu ito s, e l a n álisis e s tr u c tu r a l, e l a n á lisis e n e rg é tic o y e l a n á lisis e sta d ís tic o . L a s té cn ica s n o a n a lític a s se u tiliz a n p a ra e le g ir u n a e sp e c ia lid a d a c a d é m ic a , u n a c a r r e r a , e l lu g a r d e re s id e n c ia , e sp o s a y o tra s m a terias. M ie n tra s q u e e s c o m ú n q u e la s té c n ic a s n o a n a lític a s se b a se n e n e l ju ic io o la in tu ic ió n , la s té c n ic a s a n a lític a s c o n s id e ra n un m é to d o m á s s iste m á tic o , q u e se p u e d e d e sg lo sa r e n los sig u ie n te s pasos: • R e c o n o c e r y d e fin ir e l a s p e c to a d ecid ir. • Id e n tific a r a lte rn a tiv a s. • E v a lu a r y s e le c c io n a r la (s) a lte rn a tiv a (s ). • Im p la n ta r la (s) a lte rn a tiv a ( s ) se le c c io n a d a (s ). • E v a lu a r los re s u lta d o s d e la d ecisió n . • C o n tin u a r m e jo ra n d o . E s to s p a so s d e a lg u n a m a n e ra n o s re c u e rd a n e l p ro c e d im ie n to g e n e ra l d e a n álisis d e d e fin ic ió n d e l p ro b le m a , d ia g ra m a , su p u e sto s, e c u a c io n e s d e te rm in a n te s , c álc u ­ los, v e rific a ció n d e la so lu ció n y c o m e n ta rio s. E n e l s e n tid o m á s a m p lio , la in g e n ie ­ ría se p u e d e c o n s id e ra r c o m o u n p ro c e so d e to m a d e d ecisio n es. L a s c ien c ia s de in g e n ie ría , las c ien c ia s físicas y la s m a te m á tic a s a p lic ad a s, in c lu id a la e sta d ístic a , a y u d a n a lo s in g e n ie ro s a to m a r la m e jo r d e c isió n posible.

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Sección 9 .4

M e d id as d e va ria ció n

9 .4 M ED ID A S DE VARIACIÓN E n la ú ltim a sec c ió n c o n sid e ra m o s la s m e d id a s d e te n d e n c ia c e n tra l. O tro tip o d e m e d id a d e sc rip tiv a q u e se utiliza p a ra c u a n tific a r u n c o n ju n to d e d a to s e s lo q u e se llam a u n a m e ­ d id a d e v a ria c ió n o m e d id a d e d isp e rsió n . C o m o s u n o m b re lo in d ica, u n a m edida d e varia­ ción e s u n n ú m e ro q u e in d ic a la m e d id a e n la c u a l lo s d a to s está n d isp erso s o co n cen tra d o s a lred e d o r d e la m e d ia . P a ra a y u d a rn o s a e n te n d e r la m e d id a d e v a ria c ió n , c o n sid e re los si­ g u ie n te s d o s c o n ju n to s d e d a to s d e p ro m e d io s d e calificaciones: C o n ju n to 1 d e d a to s

2.99 3.21 3.33 3.31 3.38 3.29 3.25 3.08

C o n ju n to 2 d e d a to s

3.01 2.89 3.45 3.89 2 .7 6 3.34 3.01 3.49.

L a m e d ia d e a m b o s c o n ju n to s d e d a to s e s 3.23, p e ro re s u lta c laro q u e la d isp e rsió n e n a m ­ b o s n o e s la m ism a. E n e l p rim e r c o n ju n to d e d a to s, lo s G P A se e n c u e n tra n c o n c e n tra d o s m á s e s tre c h a m e n te a lre d e d o r d e la m e d ia q u e e n e l seg u n d o c o n ju n to . E s to p u e d e m o s tra r­ se d e fo rm a sen cilla re s ta n d o la m e d ia d e l n ú m e ro m á s g ra n d e d e l c o n ju n to d e d ato s: — x = 3 .3 8 — 3 .2 3 = 0 .15

C o n ju n to 1 d e d a to s C o n ju n to 2 d e d a to s

* máX - x = 3 .8 9 -

3 .2 3 = 0.66.

L le g a m o s a la m ism a c o n c lu s ió n r e s ta n d o la m e d ia d e l n ú m e ro m e n o r d e l c o n ju n to d e d a to s. P a ra c a ra c te riz a r la v a ria c ió n d e to d o e l c o n ju n to d e d a to s , u n a d e fin ic ió n m a te m á ­ tica fo rm a l d e b e to m a r e n c u e n ta to d o s lo s d a to s. P o d e m o s a m p lia r n u e s tr a se n c illa d e ­ m o s tra c ió n re s ta n d o la m e d ia d e c a d a n ú m e ro d e l c o n ju n to d e d a to s, s u m a r lo s re s u lta d o s y d iv id irlo s e n tr e e l n ú m e ro d e p u n to s d e d a to s n. P a ra e l c o n ju n to 1 d e d a to s e s te m é to ­ d o da: (2 .9 9 - 3 .2 3 ) + (3.21 - 3.23) + (3.33 - 3 .2 3 ) + (3.31 - 3.23) 2 0

- * ) _ + (3 .3 8 - 3 .2 3 ) + (3 .2 9 - 3 .2 3 ) + (3.25 - 3 .2 3 ) + (3 .0 8 - 3.23)

8

n

= 0 q u e n o e s u n re s u lta d o ú til.T a m b ié n o b te n d ría m o s u n v a lo r d e c e r o p a ra e l c o n ju n to 2 d e d a to s. La su m a d e la s d esvia cio n es d e la m e d ia s ie m p re e s cero . P a ra e v ita r q u e se c an c e len , e le v a m o s a l c u a d ra d o c a d a d e sv ia c ió n , s u m a m o s los c u a d ra d o s, d iv id im o s la su m a e n tr e el n ú m e ro d e p u n to s d e d a to s y o b te n e m o s la ra íz c u a d ra d a . A l re s u lta d o se le lla m a d esvia­ ción estándar. P a ra u n a p o b la c ió n , la d e sv ia c ió n e s tá n d a r c re stá d a d a p o r la fó rm u la: 1/2

o- =

" Í U - / 0 2 í =i___________

(9.5)

N

d o n d e la le tra g rie g a < r(sig m a) d e n o ta la d e sv ia c ió n e s tá n d a r d e u n a p o b la c ió n . O b se rv e q u e e n la e c u a c ió n (9 .5 ) se utiliza la m e d ia d e u n a p o b la c ió n (/x) y q u e é s ta n o se c o n o ce s in m e d ir to d a la p o b la c ió n . P a ra c a lc u la r la d e sv ia c ió n e s tá n d a r d e u n a m u e s tra , u tiliz a ­ m o s la m e d ia d e la m u e s tra x e n lu g a r d e /x. Sin e m b a rg o , lo s a n a lis ta s e sta d ís tic o s h a n d e s c u b ie rto q u e e s to s u b e s tim a la d e sv ia c ió n e s tá n d a r y q u e si n se su stitu y e c o n n - 1 ,e l re s u lta d o e s m á s e x a c to . P o r ta n to , la d e sv ia c ió n e s tá n d a r d e la m u e s tra se d e fin e c o m o : r s t * , - * )2T '2

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(9.6)

315

316

Capítu lo 9

A n á lisis d e datos: Estadística

U n a s e g u n d a m e d id a d e v a ria c ió n se llam a v a ria n z a . L a varianza e s s im p le m e n te el c u a d ra d o d e la s e xp re sio n e s e n la s e c u a c io n e s (9.5) y (9.7). P o r ta n to , la v a ria n z a d e u n a p o b la c ió n , u n a m u e s tra g ra n d e y u n a m u e s tra p e q u e ñ a so n . re s p e c tiv a m e n te : N

S u - ¿ o 2 o2 = — — —--------

(p o b la c ió n )

(9.7)

( m u e s tr a ) .

(9.8)

"x)1 s2 = — —-------

EJEM P LO 9 . L o s c o n ju n to s d e d a to s c o m e n ta d o s e n la sec c ió n 9.4 re p re s e n ta n m u e s tra s d e G P A d e d o s d ife re n te s c la s e s d e in g e n ie ría . E n c u e n tre la d e sv ia c ió n e s tá n d a r y la v a ria n z a p a ra c a d a clase. A c o n tin u a c ió n se re p ite n lo s G P A : C la se 1

2 .9 9

3.21

3.33

3.31

3.38

3 .2 9

3.25

3.08

C la se 2

3.01

2.89

3.45

3.89

2 .7 6

3 .3 4

3.01

3.49.

Solución Si re c o rd a m o s q u e x = 3.23 p a ra a m b a s clases, la s d e sv ia c io n e s e s tá n d a r son:

C la se 1

i

C la se 2

0.1234

r _

5- =

■

- -*\2) ~ 1/2 n - 1

1/2

= 0.133

1.8 - 1

0.9970 .8 - 1

1/2

= 0.377.

C o n b a s e e n n u e s tra s o b s e rv a c io n e s a n te rio re s , e s to s re s u lta d o s y a s e e s p e ra b a n . E n la p rim e ra c la se , los G P A e s tá n e s tre c h a m e n te a g ru p a d o s a lr e d e d o r d e la m e d ia , m ie n tra s q u e los G P A d e la s e g u n d a c lase tie n e n u n a d is p e rsió n a m p lia . E n c o n se c u e n c ia , te n e ­ m o s u n a d e sv ia c ió n e s tá n d a r m á s p e q u e ñ a e n la c lase 1 q u e e n la c lase 2. L a v a ria n z a e s e l c u a d r a d o d e la d e sv ia c ió n e s tá n d a r:

C la se 1

s2

C la se 2

s2

0.1234

8

- 1 = 0.0176

0.9970

8

- 1 = 0.142.

L a s m e d id a s d e te n d e n c ia c e n tra l y m e d id a s d e v a ria c ió n a m p lia m e n te u tiliz a d a s s o n fu n c io n e s e s tá n d a r e n la s c a lc u la d o ra s c ien tífic as, la s h o ja s d e c á lc u lo y o tra s h e rra ­ m ie n ta s c o m p u ta riz a d a s. Se le a n im a p a ra q u e se fa m ilia ric e c o n e s ta s h e rra m ie n ta s y a p re n d a c ó m o u tiliz a rla s e n su s cursos.

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Sección 9 .5

Distribución norm al

317

9 .5 D IS T R IB U C IÓ N N O R M A L A n te rio rm e n te e x a m in a m o s la d is trib u c ió n d e e s ta tu ra s p a ra u n a m u e s tra d e re s id e n te s e n u n p u e b lo h ip o té tic o . C o m e n z a m o s e l e s tu d io o rd e n a n d o lo s d a to s d e e s ta tu ra e n clases. A p a r tir d e los d a to s o rd e n a d o s , c o n stru im o s u n h isto g ra m a , u n tip o e sp e c ia l d e g rá fic a q u e m u e s tra la d is trib u c ió n d e fre c u e n c ia s d e u n a c a n tid a d m e d id a . P a ra ilu s tra r n u e s tr o te m a , c o n sid e re m o s la d is trib u c ió n d e e s ta tu ra s p a ra u n a m u e s tra d e re s id e n te s e n u n p u e b lo u n p o c o m á s g ra n d e lla m a d o A n y v ille , E s ta d o s U n id o s . D e s p u é s d e o rd e n a r los d a to s d e e s ta tu ra s e n clases, c o n s tru im o s e l h is to g ra m a m o s tra d o e n la fig u ra 9.5. L as c a lib ra c io n e s e n e l e je h o riz o n ta l re p re s e n ta n los lím ite s p a ra c a d a c lase d e d a to s. E l h is­ to g ra m a s e c o n stru y ó d iv id ie n d o lo s d a to s e n 13 c lase s d e 0 .2 ft c a d a u n a , d e u n a m u e stra c o n u n ta m a ñ o d e 102. A l igual q u e to d o s los h is to g ra m a s,e l d e la fig u ra 9.5 e s u n a g rá fic a d e c a n tid a d e s d is­ cretas, c ad a b a rra re p re s e n ta la fre c u e n c ia p a ra u n in te rv a lo d e e s ta tu ra s in d iv id u a le s dis­ tin tas. E l á re a d e c a d a b a r r a re p re s e n ta la p ro b a b ilid a d d e q u e la e s ta tu ra d e u n a p e rso n a e n A n y v ille q u e d e d e n tr o d e u n in te rv a lo esp ecífico . (Y a q u e e l a n c h o d e to d a s las b a rra s e s igual, p o d e m o s d e c ir q u e la lo n g itu d v e rtic a l d e c ad a b a rra re p re s e n ta ig u a lm e n te e sta s p ro b a b ilid a d e s.) Por e je m p lo , la p ro b a b ilid a d d e q u e u n a p e rs o n a te n g a una e s ta tu r a e n tre 5.0 ft y 5.2 ft e s d e 16 e n 102 o 0.157. La p ro b a b ilid a d d e q u e u n a p e rs o n a te n g a u n a e s ta tu ­ ra d e e n tr e 5.8 ft y 6.0 ft e s d e 8 d e 102 o 0.0784, y a s í e n a d e la n te . L o s h isto g ra m a s n o so n c o m o las gráficas d e c a n tid a d e s co n tin u a s, c o m o lo n g itu d , flu jo , e sfu e rz o o v o ltaje. S in e m ­ b a rg o , los v a lo re s d isc re to s d e u n h is to g ra m a se p u e d e n a p ro x im a r a u n a c a n tid a d c o n tin u a d ib u ja n d o u n a c u rv a d e a ju ste ó p tim o a tra v é s d e la p a rte s u p e rio r d e la s b a rra s , c o m o se ilu stra e n la fig u ra 9.6. D e e s ta m a n e r a .s e d e riv a u n a d istrib u c ió n c o n tin u a d e frec u en c ia s a p a rtir d e u n a d is trib u c ió n d is c re ta d e frecu en cias. T a m b ié n se p u e d e e x p lic a r u n a d istri­ b u c ió n c o n tin u a d e fre c u e n c ia s v isu a liz a n d o u n a s itu a c ió n id e a liz a d a e n la q u e el n ú m e ro d e re s id e n te s d e n u e s tra m u e stra d e A n y v ille se a p ro x im a a l infinito, p ro d u c ie n d o a s í b a ­ rra s in fin ite sim a lm e n te e s tre c h a s e n e s te h isto g ra m a . Ya q u e c a d a b a rra se re d u c iría d e m o d o fu n d a m e n ta l a u n a lín e a v e rtic a l, u n a c u rv a s u a v e d ib u ja d a a tra v é s d e los p u n to s e n la p a rte s u p e rio r d e c a d a lín e a p ro d u c iría la d is trib u c ió n c o n tin u a d e se a d a . Si u tiliz a m o s la d is trib u c ió n c o n tin u a , e n c o n tra m o s q u e la p ro b a b ilid a d d e q u e u n re s id e n te d e A n y v ille te n g a u n a e s ta tu ra e n u n v a lo r d a d o e s e l á re a b a jo la p o rc ió n d e la c u rv a c o rre s p o n d ie n te a e se v a lo r,c o m o se ilu s tra e n la fig u ra 9.7. L a p ro b a b ilid a d d e q u e u n a p e rs o n a te n g a c u a l­ q u ie r e s ta tu ra e s e l á re a b a jo to d a la c u rv a y tie n e u n v a lo r d e la u n id ad .

25

20

« •c S

15

10

F ig u r a 9 .5

o

4 .0

H istogram a d e esta­ 42

4 .4

4 .6

4 .8

5.0

5.2

5.4

5 .6

5.8

6 .0

6.2

6.4

Estatura,* (ft)

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6 .6

6 .8

turas p a ra A n y v ille , Estados Unidos.

318

Capítu lo 9

A n á lisis d e datos: Estadística

c¡ •G 3 8 £

F ig u r a 9 .6 U na distribución con ­ tinua se a p ro xim a a un conjunto de v a lo ­ res discretos.

E sta tu ra ,// (ft)

3'J £

F ig u r a 9 .7 El á re a b ajo una p a r ­ te d e una distribución continua d e frecuen­ cia s representa una p ro b ab ilid ad .

E sta tu ra ,// (ft)

C o m o p u e d e u n o v e r a p a r tir d e l h is to g ra m a e n la fig u ra 9 .5 y la d is trib u c ió n c o n ti­ n u a c o rre s p o n d ie n te e n la fig u ra 9.7, la d is trib u c ió n d e e s ta tu ra s p a ra los re s id e n te s d e A n y v ille e s casi sim é tric a a lr e d e d o r d e la c re s ta c e n tra l. P a ra e fe c tu a r u n a n á lisis e s ta d ís ­ tic o d e d a to s q u e se a p ro x im e a u n a d is trib u c ió n sim é tric a , u tiliz a m o s u n a d is trib u c ió n te ó ric a p a rtic u la r lla m a d a d istrib u c ió n n o r m a l o d istrib u c ió n g a u ssia n a , n o m b ra d a a sí e n h o n o r d e l m a te m á tic o a le m á n C a ri G a u s s (1777-1855). U n a d is trib u c ió n n o rm a l e s u n a c u rv a c o n u n a fo r m a característica d e ca m p a n a , q u e e s sim étrica c o n resp ecto a la m e d ia y se e xtien d e in d e fin id a m e n te e n a m b a s d irec c io n es, c o m o se ilu s tra e n la fig u ra 9.8. L a c u r­ v a c o n fo rm a d e c a m p a n a se a c e rc a a s in tó tic a m e n te a l e je h o riz o n ta l e n a m b o s la d o s y es s im é tric a c o n re s p e c to a la m e d ia . La u b ic a c ió n y fo rm a d e la d is trib u c ió n n o rm a l e s tá e s ­ p e cifica d a p o r d o s c a n tid a d e s , la m e d ia p , q u e lo caliza e l c e n tr o d e la d is trib u c ió n , y la d e sv ia c ió n e s tá n d a r