Introduccion Al Calculo

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Datos de catalogación bibliográfica

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO José Ramón Franco Brañas PEARSON EDUCACIÓN, S. A., Madrid, 2003 ISBN 10: 84-205-3676-8 ISBN 13: 978-84-205-3676-7 Materia: Cálculo 372 Formato 195 x 270 mm

Páginas: 320

Todos los derechos reservados. Queda prohibida, salvo excepción prevista en la Ley, cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública y transformación de esta obra sin contar con autorización de los titulares de propiedad intelectual. La infracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (arts. 270

y sgts. Código Penal).

DERECHOS RESERVADOS © 2003 por PEARSON EDUCACIÓN, S.A. Ribera del Loira, 28 28042 MADRID INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO José Ramón Franco Brañas ISBN 10: 84-205-3676-8 ISBN 13: 978-84-205-3676-7 Depósito legal: M. 13.985-2006 PRENTICE HALL es un sello editorial autorizado de PEARSON EDUCACIÓN, S.A. Última reimpresión, 2006 Equipo editorial: Editora: Isabel Capella Técnico editorial: Marta Caicoya Equipo de producción: Director: José A. Clares Técnico: Isabel Muñoz Diseño de cubierta: Equipo de diseño de Pearson Educación S.A. Impreso por: Gráficas Rogar, S.A. IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN Este libro ha sido impreso con papel y tintas ecológicos

ÍNDICE GENERAL

P R Ó L O G O ...................................................................................................................................................................

XI

SÍMBOLOS Y E X P R E S IO N E S ......................................................................... . ...................................................... x m CAPÍTULO 1.

EL NÚMERO R E A L .......................................................................................................................

1

1.1.

In tro d u cció n ........................................................................................................................................

1

1.2.

El conjunto de los números racionales...............................................................................................

2

1.3. Forma decimal de un número racional...............................................................................................

3

1.4. Segmentos conm ensurables...............................................................................................................

4

1.5. El método de in d u c c ió n .....................................................................................................................

5

1.6. N um erabilidad.....................................................................................................................................

6

1.7. Propiedades algebraicas de K ............................................................................................................

7

1.8. El orden en E ........................................................................................................................................

8

1.9. Densidad de los números racionales en K .........................................................................................

10

1.10.

Valor absoluto de un número re a l.....................................................................................................

10

1.11.

Intervalos de E .................................................................................................................................

11

1.12.

Postulado de C antor...........................................................................................................................

12

1.13.

C o t a s .................................................................................................................................................

12

1.14.

Completitud de E ..............................................................................................................................

12

1.15.

Propiedad arquimediana de E

........................................................................................................

12

1.16.

Entorno de un punto

........................................................................................................................

13

1.17.

Puntos interiores, de acumulación, aislados, adherentes y f r o n te r a ...........................................

13

1.18.

Conjuntos abiertos y cerrados

14

........................................................................................................

Problemas r e s u e lto s .........................................................................................................................................

14

Problemas p ro p u e s to s ......................................................................................................................................

19

VI

índice general

CAPÍTULO 2.

EL NÚMERO C O M P L E J O ......................................................................................................

23

2.1. La unidad im aginaria........................................................................................................................... 2.2. El número c o m p le jo ........................................................................................................................... 2.3. Operaciones con números c o m p le jo s ............................................................................................... 2.4. Representación gráfica de un c o m p le jo ............................................................................................ 2.5. Módulo y argumento de un c o m p le jo ............................................................................................... 2.6. Propiedades del m ó d u lo ..................................................................................................................... 2.7. Forma polar y trigonométrica de un com plejo.................................................................................. 2.8. Producto y cociente de complejos en forma p o la r ............................................................................ 2.9. Potencia de un número complejo en forma p o l a r ............................................................................ 2.10. Raíces n-ésimas de un número com plejo......................................................................................... 2.11. Fórmula de E u l e r ............................................................................................................................... 2.12. Logaritmo de un número com plejo................................................................................................... 2.13. Las funciones h ip erb ó licas................................................................................................................ 2.14. Relación entre las funciones circulares y las h ip erb ó licas............................................................. Problemas r e s u e lto s ...................................................................................................................................... Problemas p ro p u e s to s ...................................................................................................................................

23 24 24 25 25 26 26 26 27 27 27 28 29 30 30 35

CAPÍTULO 3.

S U C E S IO N E S ................................................................................................................................

37

3.1. D e fin ic io n es........................................................................................................................................ 3.2. Límite de una sucesión........................................................................................................................ 3.3. Sucesiones divergentes........................................................................................................................ 3.4. Clasificación de las sucesiones............................................................................................................ 3.5. Operaciones con su cesio n es............................................................................................................... 3.6. Propiedades de los lím ite s .................................................................................................................. 3.7. Operaciones con sucesiones divergentes............................................................................................ 3.8. Cálculo de l í m i t e s ............................................................................................................................... 3.9. Ordenes de infinitud para n -> o o .............................................................. 3.10. El número e ......................................................................................................................................... 3.11. Aplicaciones del número e ................................................................................................................ 3.12. Sucesiones de Cauchy ...................................................................................................................... Problemas r e s u e lto s ...................................................................................................................................... Problemas p ro p u e s to s ...................................................................................................................................

37 38 39 39 39 40 40 41 42 42 43 44 44 51

CAPÍTULO 4.

SERIES N U M É R IC A S ................................................................................................................

53

4.1. Concepto de serie ............................................................................................................................... 4.2. Series convergentes ........................................................................................ 4.3. Series d iv e rg e n te s............................................................................................................................... 4.4. Criterio general de convergencia........................................................................................................ 4.5. Serie arm ó n ic a..................................................................................................................................... 4.6. Serie g eo m étrica.................................................................................................................................. 4.7. Series de términos p o s itiv o s ............................................................................................................... 4.8. Suma de una s e r i e ............................................................................................................................... 4.9. Convergencia de series altern ad as..................................................................................................... 4.10. Suma de dos s e r i e s ............................................................................................................................ Problemas r e s u e lto s ...................................................................................................................................... Problemas p ro p u e s to s .........................................................................................................

53 54 54 54 55 55 55 58 59 60 61 71

índice general

VII

LÍM ITE Y CONTINUIDAD DE UNA F U N C IÓ N ...............................................................

73

5.1. In tro d u cció n ........................................................................................................................................ 5.2. Tipos de fu n cio n es.............................................................................................................................. 5.3. Suma, producto y cociente de dos funciones .................................................................................. 5.4. Composición de funciones.................................................................................................................. 5.5. Función inversa..................................................................................................................................... 5.6. l im ite de una f u n c ió n ........................................................................................................................ 5.7. Propiedades de los lím ite s .................................................................................................................. 5.8. Función continua.................................................................................................................................. 5.9. Tipos de d isco n tin u id ad ..................................................................................................................... 5.10. Crecimiento y decrecim iento........................................................................................................... 5.11. Máximo y mínimo de una función. A co tació n............................................................................... 5.12. Continuidad uniform e........................................................................................................................ 5.13. Infinitésimos .............................................................................................................................. Problemas r e s u e lto s ...................................................................................................................................... Problemas p ro p u e s to s ...................................................................................................................................

73 74 74 74 75 75 76 76 77 78 79 81 81 82 91

............................................................................................

95

6.1. Concepto de d e r iv a d a ......................................................................................................................... 6.2. Derivada de una función constante..................................................................................................... 6.3. Derivada de la función f (x ) —xn ..................................................................................................... 6.4. Derivada de la suma de dos fu n cio n es............................................................................................... 6.5. Derivada del producto de dos fu n cio n es.................................. 6.6. Derivada de fe • / ( x ) ............................................................................................................................ 6.7. Derivada de .................................................................................................................................. 6.8. Derivada del cociente de dos fu n c io n e s............................................................................................ 6.9. Derivada de / " ..................................................................................................................................... 6.10. Derivada de las funciones hiperbólicas............................................................................................ 6.11. Regla de la c a d e n a ............................................................................................................................ 6.12. Derivación im p líc ita .' ....................... 6.13. Derivadas la te r a le s ............................................................................................................................ 6.14. Relación entre derivabilidad y continuidad...................................................................................... 6.15. Diferencial de una fu n c ió n ............................................................................................................... 6.16. Teoremas sobre derivabilidad............................................................................................................ 6.17. Crecimiento y decrecim iento............................................................................................................ 6.18. Máximos y m ín im o s ......................................................................................................................... 6.19. Concavidad y convexidad.................................................................................................................. 6.20. Puntos de in fle x ió n ............................... 6.21. Representación gráfica de y = / ( x ) ............................................................................................... Problemas r e s u e lto s ...................................................................................................................................... Problemas p ro p u e s to s ...................................................................................................................................

95 96 97 97 97 97 97 98 98 98 98 99 99 100 101 102 104 104 105 105 106 107 124

CAPÍTULO 5.

CAPÍTULO 6.

CAPÍTULO 7.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

APROXIMACIÓN LOCAL DE UNA FUNCIÓN

................................................................

131

7.1. Desarrollo de un polinomio en potencias de x —a ......................................................................... 7.2. Fórmulas de Taylor y M ac-L aurin...................................................................................................... Problemas r e s u e lto s ...................................................................................................................................... Problemas p ro p u e s to s ...................................................................................................................................

131 132 133 139

V III

índice general

CAPÍTULO 8.

LA INTEGRAL IN D E FIN ID A ...................................................................................................

141

8.1. In tro d u cció n ........................................................................................................................................ 8.2. Propiedades elem entales..................................................................................................................... 8.3. Tabla de in teg ra le s.............................................................................................................................. 8.4. Integración por sustitución.................................................................................................................. 8.5. Integración por p a r t e s ........................................................................................................................ 8.6. Integración de funciones ra c io n a le s.................................................................................................. 8.7. Método de H erm ite.............................................................................................................................. 8.8. Integración de funciones racionales trigonométricas ..................................................................... 8.9. Integrales irra cio n ales........................................................................................................................ 8.10. Integrales b in o m ia s........................................................................................................................... Problemas r e s u e lto s ...................................................................................................................................... Problemas p ro p u e s to s ...................................................................................................................................

141 142 142 143 143 143 144 145 145 145 146 151

CAPÍTULO 9.

LA INTEGRAL D E F IN ID A ......................................................................................................

155

9.1. El área bajo una función f { x ) ........................................................................................................... 9.2. El área y la integral.............................................................................................................................. 9.3. Propiedades de la integral definida..................................................................................................... 9.4. Teorema del valor m e d io ..................................................................................................................... 9.5. Cambio de variable en una integral definida..................................................................................... 9.6. Volumen de revolución........................................................................................................................ 9.7. Longitud de un a r c o .................................................................................... 9.8. Area de la superficie de re v o lu c ió n .................................................................................................. 9.9. Volumen de un sólido de sección c o n o c id a ........................................................................ Problemas r e s u e lto s ...................................................................................................................................... Problemas p ro p u e s to s ...................................................................................................................................

155 156 158 158 158 159 159 160 161 161 171

CAPÍTULO 10.

INTEGRALES IM P R O P IA S ...................................................................................................

173

10.1. Cálculo de integrales impropias ..................................................................................................... 10.2. La función gamma T ( p ) .................................................................................................................. 10.3. Propiedades de la función T(p) ..................................................................................................... 10.4. Gráfica de la función T ( p ) ............................................................................................................... 10.5. La función beta B(p, q) .................................................................................................................. 10.6. Propiedades de la función B { p ,q ) .................................................................................................. Problemas r e s u e lto s ...................................................................................................................................... Problemas p ro p u e s to s ...................................................................................................................................

173 175 175 177 178 178 179 183

CAPÍTULO 11.

FUNCIONES DE DOS VARIA BLES......................................................................................

185

11.1. Función de dos v a ria b le s .................................................................................................................. 11.2. Gráfica de una función de dos v a r ia b le s ........................................................................................ 11.3. Funciones n o ta b le s ........................................................................................................................... 11.4. Entorno de un punto ........................................................................................................................ 11.5. Límite de una función........................................................................................................................ 11.6. Propiedades de los Emites ................................................................................................................ 11.7. Continuidad de una función ............................................................................................................ 11.8. Propiedades de las funciones continuas ......................................................................................... 11.9. Derivadas p arciales........................................................................................................................... 11.10. Diferencial t o t a l ................................................................................................................................ 11.11. Máximos y m ínim os.........................................................................................................................

185 186 187 189 189 192 192 193 193 195 196

índice general

IX

11.12. Método de los multiplicadores de Lagrange ............................................................................... 197 Problemas r e s u e lto s ...................................................................................................................................... 197 Problemas propuestos ................................................................................................................................... 206 CAPÍTULO 12.

INTEGRACIÓN M Ú L T IP L E ..................................................................................................... 209

12.1. La integral d o b l e ...................................................................................................................................209 12.2. Cálculo de la integral d o b le ...............................................................................................................211 12.3. Cambios de variable ............................................................................................................................ 212 12.4. La integral triple .................................................................................................................................. 212 12.5. Cálculo de la integral trip le ...................................................................................................................213 12.6. Coordenadas cilindricas y esféricas ...................................................................................................213 12.7. Cambios de variable................................................................................................................................ 215 Problemas r e s u e lto s ..........................................................................................................................................216 Problemas p ro p u e s to s .......................................................................................................................................227 CAPÍTULO 13.

ECUACIONES D IFE R EN C IA L E S ............................................................................................229

13.1. Introducción........................................................................................................................................... 229 13.2. Teorema de existencia y unicidad......................................................................................................... 230 13.3. Ecuación diferencial de variables se p a ra d a s..................................................................................... 230 13.4. Ecuación diferencial de variables separables..................................................................................... 231 13.5. Ecuaciones diferenciales h o m o g én eas................................................................................................231 13.6. Ecuaciones diferenciales e x a c ta s ......................................................................................................... 232 13.7. Ecuaciones diferenciales de factor integrante ................................................................................... 233 13.8. Ecuación l i n e a l ......................................................................................................................................233 13.9. Ecuación de B e m o u illi......................................................................................................................... 233 13.10. Trayectorias ortogonales ................................................................................................................... 234 13.11. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes ............................................................................. 234 Problemas r e s u e lto s ..........................................................................................................................................236 Problemas p ro p u e s to s .......................................................................................................................................242 CAPÍTULO 14.

MÉTODOS N U M É R IC O S ......................................................................................................... 243

14.1. Error absoluto y r e la t iv o ..................................................................................................................... 243 14.2. Aritméticas de punto fijo y punto f lo ta n te .........................................................................................243 14.3. In terp o la ció n ........................................................................................................................................ 245 14.4. Resolución de ecuaciones..................................................................................................................... 246 14.5. Resolución de sistemas de ec u acio n es............................................................................................... 248 14.6. Integración n u m é ric a ............................................................................................................................254 14.7. Resolución numérica de la e. d. y' — f (x , y ) .................................................................................. 255 Problemas r e s u e lto s ..........................................................................................................................................256 Problemas p ro p u e s to s .......................................................................................................................................268 APÉNDICE: F O R M U L A R IO .......................................................................................................................................271 A .l. A.2. A. 3. A.4. A.5. A.6. A.7. A. 8.

Áreas y volúmenes.................................................................................................................................. 271 Logaritm os...............................................................................................................................................271 Progresiones............................................................................................................................................272 T rigonom etría........................................................................................................................................ 274 Funciones h ip e rb ó lic a s ........................................................................................................................ 278 C o m b in a to ria.................................................................................................................................... 278 Geometría analítica p l a n a ..................................................................................................................... 279 Vectores en R3 ............................................................................................................................280

X

índice general

A.9. Geometría analítica en R3 .......................................................................................................................281 A. 10. C ó n icas................................................................................................................................................... 282 SOLUCIONES DE LOS EJERCICIO S PROPUESTOS

.......................................................................................285

B IB L IO G R A F ÍA .............................................................................................................................................................299

PROLOGO

Este texto trata de ser un puente entre la enseñanza media y la enseñanza universitaria. Nuestra inten­ ción al escribir estas páginas fue la de proporcionar al alumno los conocimientos básicos para seguir con aprovechamiento un primer curso de Cálculo en una carrera técnica. Así, este libro va primordialmente dirigido a aquellos alumnos que inician sus estudios universitarios. También puede ser utilizado como libro de texto en un curso elemental de Cálculo en las distintas Escuelas Universitarias de Ingeniería. Por otra parte, en el texto se presupone el conocimiento de la Geometría analítica y la Trigonometría. En cada capítulo, las explicaciones teóricas van acompañadas de ejemplos aclaratorios. Además, se proponen 700 ejercicios, la mitad totalmente resueltos y el resto con sus soluciones, que tratan de aclarar los conceptos teóricos, sin detenerse en posibles casos particulares. Por último, queremos expresar nuestro agradecimiento a todos los profesores y a todos los estudiantes que nos ayudaron con sus sugerencias y críticas. José Ramón Franco Brañas Ponte Aranga, agosto de 2002

SIMBOLOS Y EXPRESIONES

a

r,

p y

A ,8

€

£

®,e

N Z Q Q+ E E+ C

==¥ A V

xeA

alfa beta gamma delta epsilon dseta eta theta

i

iota K kappa A, A. lambda mu V nu xi S, | 0 , o omicron n, ir Pi

conjunto de los números naturales conjunto de los números enteros conjunto de los números racionales conjunto de los números racionales positivos conjunto de los números reales conjunto de los números reales positivos conjunto de los números complejos implicación doble implicación y (conjunción lógica) o (disyunción lógica) x pertenece al conjunto A

ro sigma X tau T ,v ípsilon

P

S, a

'p,

AUB ADB /

3 V

Ax B

A -B

RS

ACB Ac B x fi A

fi X ji

ú)

psi omega

unión de los conjuntos A y B intersección de los conjuntos Ay B tal que existe para todo producto cartesiano de A por B diferencia de los conjuntos A y 5 aproximadamente A es subconjunto de B A es subconjunto o es igual a B x no pertenece al conjunto A

CAPITULO

EL NUMERO REAL

1

Un estudio riguroso del número real haría necesaria su construcción formal. Pero, mas que su cons­ trucción, lo que interesa son sus propiedades para el posterior desarrollo del Cálculo. A lo largo del siglo XIX se perfilaron tres teorías distintas: 1) la axiomática (Weierstrass); 2) la que emplea sucesiones de Cauchy; 3) la que procede mediante cortaduras (DedeMnd). Se ha preferido, en cambio, comenzar con una visión intuitiva de R y presentar una lista de propiedades algebraicas (R es un cuerpo conmutativo), a partir de las que se puedan deducir otras propiedades. A continuación, se presentarán las propiedades de “orden” (R es un cuerpo ordenado) y, por último, se presentará la propiedad de “completitud” (R es un cuerpo ordenado completo). La exposición será más asequible si se hace de este modo.

8 5 El conjunto de los números naturales N = {1, 2, 3 ,...} resulta insuficiente, por ejemplo, para encon­ trar solución a la ecuación x + 1 = 0, ya que —1 no es un número natural. Es necesario, por tanto, ampliar el conjunto N de los números naturales e introducir los conjuntos Z y Q (que permite resolver ecuaciones de la forma 2x —3 = 0). ■ PROPOSICIÓN 1.1

El par (N , + ) es un semigrupo abeliano*.

DEMOSTRACIÓN. En efecto, el par (N , + ) es un semigrupo, ya que la operación + es interna y asociativa en N. Además, por ser conmutativa, (N, + ) es semigrupo abeliano. H

■ PROPOSICIÓN 1 .2

El par (Z, •) es semigrupo abeliano con elemento neutro.

■ P r o p o s ic ió n 1.3

El par (Z, + ) es grupo abeliano2.

1 Se dice que el par (A, *) es un semigrupo si se verifica que: 1) La operación * es interna en A: x * y e A, Vx, y e A. 2) La operación * es asociativa en A: x * (y * z) = (x * y) * z, Vx, y, z e A. Si la operación * es conmutativa, el semigrupo se llama abeliano o conmutativo. 2 Se dice que el par (A, *) es un grupo si se verifica que: 1) La operación * es interna en A: x * y s A, Vx, y e A. 2) La operación ♦ es asociativa en A: x * (y * z ) = (x * y )* z, Vx, y , z e A. 3) Existe un elemento neutro e en A: x * e = e*x = x, Vxe A. 4) Existe elemento simétrico x' e A, V x 6 A : x « ' = r ' « = c. Si la operación * es conmutativa, el grupo se llama abeliano o conmutativo.

2

Introducción al Cálculo

D e m o s t r a c ió n . L a operación + es interna y asociativa en Z y 0 e Z es el elem ento neutro. A dem ás, Vx e Z , 3 ( —x ) e Z , tal que x + (—x) = (—x) + x = 0. P or ser conm utativa la operación + en Z , el par (Z , + ) es grupo abeliano. ■

■ PROPOSICIÓN 1.4

La tema (Z,+, •) es un am'ZZo conmutativo3.

DEMOSTRACIÓN. En efecto, ya que (Z , + ) es grupo abeliano y la operación • es interna, asociativa y distributiva respecto de la operación + . Como existe elemento neutro en Z para el producto (1 e Z ), se dice que (Z , + , •) es un anillo con elemento unidad. Por ser la operación • conmutativa, el anillo es conmutativo o abeliano. ■

ÉlSiCONílUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES

2

Sea el conjunto de los números racionales. Si se considera una recta y se elige en ella un origen O y una determinada unidad de medida para la medición de segmentos, se puede tomar para cada número racional x un segmento de igual longitud que, llevado sobre la recta a partir del origen O hacia la derecha o hacia la izquierda, según que x sea positivo o negativo, alcanza un punto final p que puede considerarse como el punto de la recta correspondiente al número racional x. El número racional cero corresponde al origen O. De este modo, a cada número racional x le corresponde un único p de la recta. Es de la mayor importancia el hecho de que en la recta haya infinitos puntos que no corresponden a ningún número racional. La recta es infinitamente más rica en puntos que Q en números. En efecto, si se consideran dos elementos de Q, por ejemplo, 1/3 y 1/2, al sumarlos y dividirlos por 2 se obtiene el número racional correspondiente, en la recta, al punto medio de ambos: (1/2 + l / 3 ) / 2 = 5/12 El número racional (1/3 + 5/12)/2 = 9/24 corresponde a su vez al punto medio de 1/3 y 5/12. Si se repite el proceso indefinidamente, se encontrarán infinitos números racionales entre 1/3 y 1/2. Se puede concluir que, dados dos números racionales, por próximos que estén, existen infinitos números racionales entre ellos. Se podría pensar, a la vista de lo anterior, que los números racionales recubren completamente la recta numérica. Esto no es cierto, ya que: ■

TEOREM A

1.1

-J2 no es un número racional.

D e m o s t r a c i ó n . Para demostrarlo, se supone que V2 es racional: 3

a/b e Q / -J2 = a/b, siendo a/b una fracción irreducible, esto es, a y b son primos entre sí. Elevando al cuadrado: 2 = a2/b2 = V a2 — 2 ■b2. Por tanto, a2 es par. En consecuencia, también lo es a (ver problema resuelto 1.4). Si a es par, existe un número natural m tal que: a = 2m = > a2 = (2 m)2 = 2b2 — V 2m2 —b2 = £• b2 par ==>■ b par. Entonces, a y b son pares, en contra de la hipótesis de que a/b era irreducible. ■ Por tanto, entre los números racionales existe otro tipo de números, a los que se llama irracionales, cuyo conjunto se simboliza con la letra I. Por otra parte, es sencillo representar un número racional en la recta numérica. Por ejemplo, el nú­ mero 2/3 (ver Figura 1.1) es fácil situarlo mediante un procedimiento geométrico simple: se traza una semirrecta cualquiera con origen en O y se toma sobre ella un segmento de longitud arbitraria OC; se divide OC en tres partes iguales: OA, AB y BC\ se une el punto C con el punto correspondiente al 1 en la recta y se traza una paralela por B, siendo su intersección con la recta numérica el lugar de 2/3. 3 Se dice que la tema (A, + , •) es un anillo si se verifica que: 1) El par (A, + ) es grupo abeliano. 2) La operación • es interna en A: x -y e A, Vx, y e A. 3) La operación • es asociativa en A: x ■(y • z) = (x ■y) ■z, Vx, y, z e A. 4) La operación • es distributiva respecto a + : x • (y + z) = x ■y + x • z, Vx, y, z e A. Si la operación • es conmutativa, el anillo se llama abeliano o conmutativo.

Capítulo 1 / El núm ero real

3

Figura 1.1

Para situar -Jí, se observa que V2 es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos iguales a la unidad (ver Figura 1.2):

Figura 1 .2 ■ P r o p o s ic ió n

1.5

(, + , •) es un cuerpo conmutativo4.

D e m o s t r a c i ó n . En efecto, ya que los pares (, + ) y (Q —{0}, •) son grupos abelianos y la operación • es distributiva respecto a la operación + , como es fácil de comprobar. ■

FORM mbEGiM ftllP E iU N NUMERO RACIONAL

Al transformar en decimal un número racional (simplemente efectuando la división entre numerador y denominador), se pueden presentar tres casos: a) Resulta un número entero: 6/2 = 3. b) Resulta un decimal finito. Esto ocurre cuando el número racional (¡irreducible!) no tiene en el denominador otros divisores más que 2 y 5. Por ejemplo: 22 • 54 7 23 • 52

3 •2 24 • 54 7 -5 23 - 53

3 • 22 12 _ 0,0012 104 “ w ~ 35 _ 0,035 103 "

c) Resulta un decimal periódico. Por ejemplo: 9/7 = 1,285714, ya que, si se hace la división, lle­ gará un momento en que las distintas cifras del resto se agotarán y, al repetirse, darán lugar a un decimal periódico en el cociente. Se puede entonces decir que a un número racional le corresponde un decimal periódico, considerando los números decimales exactos como números con período igual a cero: 2,837 = 2,8370000000.

2 = 2,0000000.

A la inversa, si_se tiene un número decimal periódico y se quiere escribir en forma de fracción, por ejemplo, x = 2,376, se multiplica x por 1000 y por 10: lOOOx

2376,767676.

lOx ;2 3,767676... 4 Se dice que la tema (A, + , •) es un cuerpo si se verifica que: 1) El par (A, + ) es grupo abeliano, con elemento neutro e. 2) El par (A — {e), •) es grupo. 3) La operación • es distributiva respecto a + : x • (y + z) = x • y + x • z, Vx, y, z 6 A. Si la operación • es conmutativa, el cuerpo se llama abeliano o conmutativo.

4

Introducción al Cálculo

y se restan ambas igualdades:

990x = 2353 obteniendo:

2353 990

x = ------

• N o ta Un número de Informa n.9 es igual al número entero n + l, resultado que se aprecia al hallar su fracción generatriz. EJEMPLO 1.1

Sea x —2.9. Entonces, se multiplica x por 10 y se resta x: 10x = 2 9 ,9 9 9 ... x = 2 ,9 9 9 ...

9x = 27

¿Ocurre lo mismo con 2.8? Evidentemente, no: 2.8 = 26/9. Los números decimales no periódicos son los irracionales. Dentro de ellos se distinguen dos cate­ gorías: irracionales algebraicos e irracionales trascendentes. Números irracionales algebraicos son aquéllos que son solución de una ecuación algebraica, es decir, una ecuación cuyo primer miembro es un polinomio con coeficientes enteros y cuyo segundo miembro es igual a cero. De no existir dicha ecuación, el número irracional recibe el nombre de transcendente. EJEMPLO 1.2

V2 es irracional algebraico, ya que x2 —2 —0, x —\Í2.

Por último, la unión de los números racionales e irracionales constituye el llamado conjunto R de los números reales, que recubre completamente la recta numérica: R = Q UI

1 .4 .

SEGM EM iOS CONMENSURABLES

Se consideran dos segmentos a y b, tales que a > b. Si se comparan, puede ocurrir tres cosas: 1. El segmento a contiene un número entero de veces el segmento b. 2. El segmento a contiene un número entero de veces un divisor de b. En ambos casos, la relación entre a y b se puede expresar mediante un número racional. Se dice entonces que a y b son conmensurables. 3. No existe ningún divisor de b contenido un número entero de veces en a. Se dice entonces que a y b son inconmensurables. EJEMPLO 1.3 no es racional.

La diagonal de un cuadrado y su lado son inconmensurables, ya que d — \/2 ■l, y ~/2

EJEMPLO 1.4 La longitud de una circunferencia y su radio son inconmensurables, ya que L —2rcr, y

rt no es racional.

Capítulo 1 / El núm ero real

1 .5

5

EL IVIklUUU Ub IIMUUUUIUIV

Se considera el polinomio P (n) = n2 + n + 41, debido a Euler, y sus valores numéricos para n = 0, 1 , 2 , . . . son: P (0) = 4 1 P ( l) = 43

P ( 2) = 47 P ( 3) = 53 P{4) = 61 Se ha obtenido números primos. Sustituyendo para n —5 ,6,7, 8,9 y 10, se obtienen números primos: 71, 83,97,113,131 y 151, respectivamente. ¿Se puede afirmar que el valor numérico de P{ri) es un número primo para todo valor natural de ni No. Para n = 40: P(40) = 402 + 40 4- 41 = 40(40 + 1) + 41 = 40 • 41 + 41 = (40 + 1) ■41 = 412 que no es un número primo. El polinomio anterior produce números primos para n — 0,1, 2 , . . . , 39, pero falla para n = 40. Por tanto, es inadmisible y peligroso establecer una proposición general para todo valor natural de n, basándose en proposiciones que se han encontrado verdaderas para valores particulares de n.

EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA La cuestión es la siguiente: si una proposición se cumple para determinados valores naturales, ¿cómo se podrá determinar si es cierta para todo valor natural? Para contestar a esta pregunta se emplea la llamada inducción completa o método de inducción: ■

TEOREMA

1.2

Una proposición se cumple para todo número natural si se verifica que:

a) Dicha proposición es cierta para n — 1. b) Si se supone que la proposición es cierta para un valor natural cualquiera n —k, ello implica que es cierta para n —k + l (efecto dominó). ® NOTA Se ha visto, en elejemplo anterior del polinomio de Euler, elerror que se puede cometer al pasar por alto la condición b). El siguiente ejemplo muestraque tampoco se puede obviar a). ■ T e o r e m a “F a l a z ”

“D e m o s t r a c i ó n ” .

Todo número natural es igual al número natural que le sigue.

Se supone cierto para n = k:

k= k+ 1

(1 .1 )

k + l= k + 2

(1 .2)

y se quiere probar que:

En efecto, sumando 1 a ambos miembros de (1.1), se obtiene (1.2). Por tanto, si la proposición es cierta para k, también lo es para n = k + 1 . ■ El error estuvo en considerar únicamente la condición b) del principio de inducción.

6

Introducción al Cálculo

• DEFINICIÓN 1.1 Se dice que dos conjuntos Ay B son coordinables cuando se puede establecer una aplicación biyectiva entre ellos5.

Se dice también que dos conjuntos coordinables tienen la misma potencia. • D e f in i c i ó n 1 .2 Un conjunto A es finito si es coordinable con { 1 ,2 , 3 , . . . , « } e N de extremo n, y se dice que n es el número de elementos de A o cardinal de A: card(A) = n. • DEFINICIÓN 1 .3

Un conjunto no finito se denomina infinito.

Según las definiciones anteriores, dos conjuntos finitos son coordinables si tienen el mismo número de elementos. En conjuntos infinitos, las cosas son distintas, como se ve a continuación. • D e f in i c i ó n 1 .4

deE.

Se dice que un conjunto es numerable si es coordinable con N o con un subconjunto

Por ejemplo, el conjunto P de los números naturales pares es infinito y, además, numerable. En efecto, se puede establecer una aplicación biyectiva entre Kf y P haciendo corresponder a cada elemento n e N una imagen 2n e P. El conjunto Z de los números enteros es un superconjunto de N y, sin embargo, es numerable. Se puede ver mediante la correspondencia de Z en N, tal que Vx e Z:

2x -2x — 1

/(* ) 11 TEOREMA 1.3

merable.

D e m o s tr a c ió n .

si x > 0 si x < 0

La unión de una colección numerable de conjuntos numerables es un conjunto nu­ En efecto, sean los conjuntos numerables: ^ 1 = {*11. * 1 2 . . . . , X \ n , . . .} ^ 2 = {*21, *22, • • . ,* 2 n , • • •}

= {*31, *32, • • • , *3n,

n La unión de todos ellos |^J X¡ se puede numerar siguiendo el esquema: /=l * 1 1 ----- *12

* 1 3 ------*14

*21

*22

*23

*24

*31

*32

*33

*34

*41

*42

*43

*44

*51

*52

*53

*54

5 Una aplicación entre dos conjuntos A y Be s una correspondencia que asigna a todo elemento del conjunto A un solo elemento del conjunto B. Si en el conjunto A no hay dos elementos que tengan la misma imagen, la aplicación recibe el nombre de inyectiva. Si todo elemento de B tiene un original en A, la aplicación se llama sobreyectiva. Una aplicación inyectiva y sobreyectiva recibe el nombre de biyectiva.

Capítulo 1 / El núm ero real

7

Esto es: X l 1 , X 1 2 j X 2 1 , X 3 1 , X 2 2 , X 1 3 , X j4 j X 2 3 , X 32j X 4 1 , X 5 1 , X 42 j • • • ®

Como consecuencia de este teorema se puede ver que el conjunto Q es numerable. Para ello, se forman los conjuntos: Yi = {1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 ... } Yz = {2/ 1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5 ... } Cada uno de los conjuntos Y¡ es numerable y su unión es 1 PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE

Dados dos números reales x e y, su suma es un número real, que se designa x + y, y su producto es otro número real, que se designa x ■y, cumpliéndose las propiedades siguientes: Axioma 1 Existe elemento neutro O e K para la suma: x + 0 = 0 + x = x , Vr e 8 Axioma 2 Existe un elemento opuesto - r e í para todo x e R:

x + (—x) = (—x) + x = 0 Axioma 3 Propiedad asociativa para la suma:

x + {y + z) = {x + y) + z, Vx, y ,z e R Axioma 4 Propiedad conmutativa para la suma:

x + y = y + x, Vx, y e 1 Axioma 5 Existe elemento neutro l e í . para el producto: x • 1 = 1 • x = x, Vx e l Axioma 6 Existe un elemento simétrico 1/x e 1 para todo x e l , x / 0 : X

• (1 /x ) = (1 /x ) • X = 1

Axioma 7 Se verifica la propiedad asociativa para el producto:

x ■(y ■z) —(x ■y) ■z, Vx, y ,z e 1 Axioma 8 Se verifica la propiedad conmutativa para el producto:

x • y = y ■x, Vx, y e 1 Axioma 9 Se verifica la propiedad distributiva del producto respecto a la suma:

x ■(y + z) —x ■y + x ■z, Vx, y, z e 1 Entonces, la tema (1 , + , ■) constituye un cuerpo conmutativo. A partir de los axiomas anteriores se deducen todas las leyes usuales del álgebra elemental de 1 . A continuación, se van a ver algunas: ■

PROPOSICIÓN

1.6

Probar que si dos elementos x, y e l cumplen que x + y = y, entonces x = 0.

8

Introducción al Cálculo DEM OSTRACIÓN. Se suma —y igualdad x + y = y:

e R

(cuya existencia está garantizada por Ax2) a ambos miembros de la

(x + y) + ( - y ) = y + ( - y ) = 0 Por otra parte, en virtud de Ax2, Ax3 y A xl:

(x + y) + (- y ) = x + (y + ( - y ) ) = x + 0 = x Por tanto, x = 0. H ■

PROPOSICIÓN

1.7

Probar que si x ■y 56 0, con r . y e l , entonces x ■y = y

x — 1.

D e m o s t r a c ió n . Análoga a la demostración anterior. ■

■

PROPOSICIÓN

1.8

Demostrar que six + y —0, con x, y e R, entonces y = —x.

D e m o s t r a c ió n . Sum ando - r e í (c u y a existencia e stá garantizada p o r A x 2 ) a am bos m iem bros de la igualdad x + y = 0:

( - x ) + (x + y) = (- x ) + 0

Aplicando Ax3 al primer miembro y A xl al segundo miembro, se obtiene: ((—x) + x) + y = - x Aplicando ahora Ax2 y Ax 1 al primer miembro, se obtiene que y = —x. ■ ■

PROPOSICIÓN

x = (—a) + b.

DEM OSTRACIÓN.

1.9

Sean a ,b e M. Demostrar que la ecuación a + x — b tiene la solución única

Sustituyendo X — (—a) + b en la ecuación y aplicando Ax3, Ax2 y A xl:

a + ( ( —a) + b) — (a + (—a )) + b = 0 + b = b Por tanto, x = ( —a) + b es solución de la ecuación. Para demostrar que es única, se considera otra solución x':

a + x' —b Sumando —a a ambos miembros y aplicando Ax3 y A xl:

( - a ) + (a + x') = (—a) + b x' = (—a) + b Por tanto, x' = x, y la solución es única. ■

Se dice que una relación R, entre los elementos de un conjunto A, es de orden si verifica los tres axiomas siguientes: 1) Es reflexiva: Va e A, aRa. 2) Es antisimétrica: Va, b e A : aRb A bRa = y a —b. 3) Es transitiva: V a, b,c e A : aRb A bRc =£> aRc. Además, si para todo par de elementos a ,b e A se verifica aRb o bRa, se dice que la relación es de orden total. En caso contrario, la relación es de orden parcial.

Capítulo 1 / El núm ero real

■ PROPOSICIÓN 1 .1 0

9

La relación de inclusión c entre conjuntos es de orden parcial.

D e m o s t r a c ió n . La demostración es inmediata. ■

Pues bien, si en el conjunto R de los números reales se define la relación menor o igual < en la forma:

3x e R + U {0} / a + x = b

a • a = b. Por último, es transitiva, ya que Va, b, c e R:

1 . 6 ) = 4 * = x ' = 0 (ya qu ex ,

a < b 44 3*i e R + U {0} / a + xi = b b < c 44 3x2 € R + U {0} / b + *2 = c Despejando b en la segunda igualdad y sustituyendo en la primera:

a + x i = —X2 4 - c 4 4 a 4 - x i 4 - X 2 = c 4 4 aRc ya que x\ + X2 € R + U {0}. Por otra parte, Va, b e l , siempre existe un número x e R + U {0} / a + x = i o bien b + x —a. Por lo tanto, R está totalmente ordenado. Así, (M, + , - , < ) es un cuerpo totalmente ordenado. ■ PROPOSICIÓN 1 .1 1 Sean a, b, c e R. Si a < b, entonces a + c < b D e m o s t r a c i ó n . E n efecto, a < b ==$■ 3x e R + U {0}/a + a + c + x = b + c, lo que im plica que a + c < b + c. ■

■ PROPOSICIÓN 1 .1 2

entonces ac > be. D e m o s tr a c ió n .

= b. Sum ando c a am bos miembros:

Sean a ,b ,c e R. Si a < b y c > 0, entonces ac < be. Si a < b y c < 0,

Análoga a la demostración anterior. ■

■ P r o p o s i c i ó n 1.13 D e m o s tra c ió n .

X

+ c.

Sean a, b, c, d e R. Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d. a 0 = + x(x — 1) > 0 :

x > 0 y x —1 > 0

• X € (1, oo)

S i x c O y x — 1 < 0 ==£• x € (—oo, 0). Por tanto, x e (—oo, 0) U (1, oo). Teniendo en cuenta que x < —1, resulta x e (-o o , - 1 ) . Por último, la solución será: x e (—oo, —1) U (0, 1).

1. 15.

I Demostrar que todo intervalo (a, b) de M tiene la potencia del continuo.

Resolución Al intervalo (0,1) c R se le llama el continuo (Sección 1.11). El intervalo (a, b) C M tiene la potencia de (0, 1) C M, ya que es posible establecer una aplicación biyectiva entre ambos (Sección 1.6): / : (0, 1) -► (a, b)

x (-> a + (b —a)x

18

Introducción al Cálculo

La aplicación es inyectiva, dados dos elementos cualesquiera x \ , X2 6 (0,1), si yi = y2 '.

a + (b —á)x\ —a + (b —a)x 2 = 4 x\ = X2 y —a

Es sobreyectiva, ya que para todo y e (a, b) 3 x = - — - e (0,1). Por tanto, (a, b) es coordinable con (0,1) y tiene la misma potencia.

1. 16.

Sea el conjunto A = (1, 1/2, 1/3, 1/4, Encontrar tres cotas superiores y tres cotas inferiores del conjunto A. ¿Tiene supremo?, ¿y máximo?, ¿tiene ínfimo?, ¿y mínimo?

Resolución Cotas inferiores: - 3 , 0 , - 1 ; cotas superiores: 1,2, 2,5. Por lo tanto, está acotado. El supremo es 1, y como 1 e A, recibe el nombre de máximo. El ínfimo es 0 y como 0 no pertenece a A, el conjunto carece de mínimo.

1. 17.

Determinar los puntos de acumulación del conjunto: [ (- 1 )" 4- - , n € N

n

¿Pertenecen al conjunto dado?

Resolución Dando valores a n, se obtiene:

3 - 2 5 - 4 7

’ 2 ’ 3 ’ 4 ’ 5 ’ 6’ Los puntos de acumulación son - 1 y 1, que no pertenecen al conjunto dado.

1. 18.

Hallar interior, conjunto derivado, adherencia, puntos aislados y frontera del conjunto: !

A = (1, 2] U j ^ ,

tí

e

n

J U {3}

Resolución Int(A) = (1,2) A = A U {0}

Fi(A)

1. 19.

-,neN lU {2}ü{3}

n

A' = {0} U [1,2] Iso(A) = l —í-¡-, n e N } U { 3 } In + 1

Fe(A) = {0}

Hallar interior, conjunto derivado, adherencia, puntos aislados y frontera del conjunto .

Resolución

Capítulo 1 / El núm ero real

1.20 .

19

Hallar interior, conjunto derivado, adherencia, puntos aislados y frontera del conjunto: A = [0, 1 ] n Q ¿Tiene máximo y mínimo?, ¿es abierto?, ¿es cerrado?

Resolución Int(A) = 0

Iso(A) = 0

A' = [0,1] F¡(A) = A máximo = 1

A = [0,1] Fe(A) = [0,1] n i mínimo = 0

No es abierto ni cerrado, ya que A ^ Int(A) y A ^ A.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. 21 .

Resolver la ecuación 1.23 * + 5 = 2,1.

1.22 .

Representar +Jl en la recta real.

1. 23 .

Demostrar que el producto r ■i, de un número racional r por un número irracional i, es irracional.

1. 24 .

Dado un número irracional i > 0, encontrar otro número irracional entre O e i .

1.25 .

Demostrar que -s/3 + V5 es irracional.

1.26.

ax + b Si a, b, c, d e Q, * e l , demostrar que, en general, — -j—j e I.

1.27 .

1 Demostrar que si x, y e M, con * =¡¿ 0, son tales que x ■y = 1, entonces y = - .

1.28. Racionalizar —=---------

V x + y/y + Vz

—.

1.29 .

Dos puntos móviles, con igual velocidad constante, parten del vértice A de un triángulo equilátero ABC de altura AH, relativa al lado BC. Uno recorre el contorno del triángulo ABC y el otro recorre el contomo del triángulo ABH, ambos en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. ¿Volverán los móviles a encontrarse?

1.30 .

Demostrar por inducción la fórmula: (a + b)n = ¿

1.31 .

Demostrar por inducción la fórmula:

-b\ n e N

20

Introducción al Cálculo

1. 32 .

Resolver la inecuación 3x3 —21x + 18 > 0.

1. 33 .

Resolver las inecuaciones: a ) | 3 - x --l1 | < 1 ;

1. 34 .

b )|x + 4 |> 7

Resolver las inecuaciones: a)

1 X

1

- + ----- > 0; 1 — X

1. 35 .

Resolver la inecuación x + x + 1 > 0 .

1. 36 .

Determinar si son ciertas o falsas cada una de las igualdades: 100

a) E

í= 0

X — 1

b) — — > 0 X +

1

100

¿2 ^ E z'2-

100

1=1

b) ^ 3 = 300. í=0

100

100

1=1

1=0

c) ¿ (f + 1)2= ¿ / 2. 100

99

d ) E ( ¿- D 2= E 1=1

1=0

z2-

1. 37 .

Dado el conjunto N, hallar: a) interior; b) puntos aislados; c) conjunto derivado; d) adherencia; e) frontera interna y frontera externa.

1. 38 .

Hallar lo mismo para el conjunto I de los números irracionales.

1. 39 .

Hallar lo mismo para el conjunto R de los números reales. En los siguientes problemas, determinar el supremo e ínfimo de los siguientes conjuntos, indicando cuáles de ellos coinciden con el máximo o mínimo:

1.40 .

A = (l,2],

1. 41 .

B = {x e Q / 0 < x < 1}.

1.42 .

C = { — 4 . w e n !. ln +2 J

1. 43 .

D = j l , „ E N ).

1.44 .

E = [x e R /x 2 —5x + 6 < 0}.

1. 45 .

F = (0, oo).

1.46 .

G —{3~a + 5~~b; a,b& N }.

1.47 .

H —{x e R / (x —a)(x —b)(x —c)(x —d) < 0, a < b < c < d}.

Capítulo 1 / El núm ero real

21

1.48 .

Se consideran los conjuntos A = [1, 3) y B = (2,4], Hallar interior, adherencia, frontera y acotación de los conjuntos: a) A U B\ b) A fl B.

1.49 .

Hallar interior, conjunto derivado, adherencia, puntos aislados y frontera del conjunto:

A = (2,3]U

n 6 Nj

CAPITULO

EL NÚMERO COMPLEJO

Una ecuación de la forma x 2 + 4 = 0 no tiene solución en el cuerpo M de los números reales. Para resolver ecuaciones de este tipo se introduce el concepto de unidad imaginaria y se construye, a partir de él, un superconjunto C de R, llamado conjunto de los números complejos, en el que la anterior ecuación sí tendría solución. 2 .1 .

LA UNIDAD IMAGINARIA

•

DEFINICIÓN 2 .1

Se define la unidad imaginaria i como i = -/—l.

Se puede resolver ahora la ecuación x 2 + 4 = 0: X= E j e m p l o 2 .1

= y/ A- ( - 1 ) = V 4 •

= ± 2¿

C alcular V - 1 6 .

P uesto que i = -«/—T> entonces V —16 = V 1 6 ( —1) = V Tó ■ -V---1 = ± 4 i. E je m p lo 2 .2

R esolver la ecuación x 2 + 2x + 2 = 0.

x = —1 ± i. A continuación, se va a hallar las potencias sucesivas de i :

12 = (V=T)2 = - 1 13 = i2 ■i = (—1) • i = —i

14 = i2 ■i2 = ( - 1 ) • ( - 1 ) = 1 P uesto que i 4 = 1, se tiene que i 5 = i 4 ■i = i , i 6 = i4 ■i 2 = i 2 = —1 repitiéndose los valores de las potencias. E j e m p l o 2 .3

C alcular i 274. .274 = ¿4-68+2 = ¿4-68 . ¿2 = (¿4}68 . ( _ 1} = _ L

24

Introducción al Cálculo

____________________________________________________

1

• DEFINICIÓN 2 . 2 Se llama número complejo a la expresión z = a + bi, a, b e M, donde a es la llamada parte real y b la parte imaginaria del número complejo. Es decir, un número complejo no es otra cosa que un par ordenado de números reales (a, b) e l x l . Si b —0, se tiene un número real. Así, se pueden considerar los números reales como un subconjunto de los números complejos. • DEFINICIÓN 2 .3

Si a = 0, el número complejo 0 + bi = bi recibe el nombre de imaginario puro.

• DEFINICIÓN 2 . 4

Se llama conjugado del número complejo z = a + bi al complejo z = a —bi.

• DEFINICIÓN 2 .5

Dos números complejos z\ —a + biy Z2 —c + di son iguales si, y sólo si, a = c

y b = d.

U

§ • DEFINICIÓN 2 .6

Sean los números complejosz \ = a+ b i y z 2 = c+di. Entonces, se definenz \ + Z 2

y z\ ■Zi en la forma: Zl + Z2 = Zi ■Z2 —

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi)(c + di) — ac + adi + bci + bdi2 = (ac —bd) + (ad + bc)i

De esta manera, dados tres complejos cualesquiera zi, números complejos, se puede probar: 1. z i

+Z 2

Z2

y

Z3 > pertenecientes

al conjunto C de los

e C.

2 . zi + (Z2 + Z3) = (z 1 + Z2> + Z33. 3 0 e C / z\ + 0 — 0 + zi = zi4. 3(—zi) e C / zi + (—zi) = (—zi) + zi = 0. 5.

Zl

+ Z 2 = Z2 + z i -

Por cumplir estas cinco propiedades, el par (C , + ) tiene estructura de grupo abeliano (Sección 1.1). Además, se verifican: 6. zi • Z2 e C. 7. Zl • (Z2 - 23) = (zi ■Z2 ) -Z38. 3 1 € C / Z ■1 = 1 • Z = Z, Vz 6 c . 9. Vz e C (z ,4 0), 3 z- 1 e C / z • z_1 = z- 1 ■z = 1. 10. Zl • Z2 = Z2 ' Z l. Y por cumplir las propiedades de 6 a 10, el par (C — {0}, •) tiene estructura de grupo abeliano. Por último, se tiene: 11. z i • (Z2 + Z3) = Z 1 -Z2 + Z1 -Z3-

Por tanto, la tema (C , + , •) tiene estructura de cuerpo conmutativo (Sección 1.2). •

DEFINICIÓN

la forma:

2.7

Se define el producto de un número real r por un número complejo z = a + bi en r ■z = r ■(a + bi) —r - a + r - b i

Se cumplen para cualesquiera r, r' e R y z i , Z2 6 C las propiedades: 12. r ■(zi + Z2) = r ■zi + r ■Z2 13. {r + r') ■zi = r ■zi + r' ■z\.

Capítulo 2 / El núm ero complejo

25

14. r ■(/•' ■zi) — (r • r') • zi15. 1 • zi —z\, con l e í . Las propiedades 1 a 5 determinan que el par (C , + ) tiene estructura de grupo conmutativo para la suma y, conjuntamente con estas cuatro últimas propiedades, determinan que el conjunto C tenga estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo R. EJEMPLO 2.4 a ) z i + z 2;

Dados los números complejos zi = 1 + i y Z2 = 2 + 3¿, hallar: b ) z i - z 2; c ) z i - z 2; d ) z i / z 2. zi + z2 = (1 + 2) + (1 + 3)/ = 3 + 4/ zi —z2 = (1 —2) + (1 — 3)/ = —1 —2/ zi • z2 == (1 + 0 • (2 + 3/) = 2 + 3/ + 2i + 3 i2 — —1 + 5 i

Zl/Z2 = 1 ± L = 0 + 0 ( 2 - 3 / ) = 5/13 - (1/13)/ ' 2 + 3/ (2 + 3/)(2 —3¿) ' '

@B6íHI©£) E8 ÜDKD©SIÍOH1SO®

&&

Dado que un número complejo z —a + b i = (a, b) € I x 1 es un par ordenado de números reales, se puede representar dicho número complejo z mediante el punto (a , b) en el plano XY, llamado plano complejo. El punto (a, b) recibe el nombre de afijo del número complejo z (ver Figura 2.1).

Figura 2 .1

• DEFINICIÓN

2.8

Se define el módulo o valor absoluto de un número complejo z = a + bi como r =

|a + bi | = V a2 + b2. • DEFINICIÓN

2.9

El valor del ángulo a recibe el nombre de argumento (ver Figura 2.1).

Para un número complejo dado, el argumento admite un conjunto infinito de valores, que se diferen­ cian entre sí en 2kir, k e Z . Se llama valor principal del argumento a a aquél que cumple 0 < a < 2n. EJEMPLO 2 .5

Sea z=3+4i. Entonces: 3 + 4 /1= V32 + 42 = 5

a = arctg4/3

26

Introducción al Cálculo

Sean zi, z i , ■■■, zn e C . Se verifica: 1. \zi ■■■ Z2 ■■■Zn\ = |Zl I • • • \Z2¡ ■■■\Zn\2. \ zi / Z2 \ = |zi|/|Z 2|, con )Z21 ¥= 03. |zi + Z21 < Izil + |Z21• 4. |zi + Z2 + • • • +Zn\ < |zil + |Z2l + • • ■+ \zn\-

El punto (a, b) es el afijo del número complejo z = a + b i. En la Figura 2.1:

a —r ■eos a b = r ■sena siendo r el módulo de z y a su argumento. De aquí se deduce que:

z = a + bi = r {eos a + i ■sena) Esta expresión es la llamada forma trigonométrica del número complejo. Algunas veces se emplea la abreviatura cis a en lugar de co sa + i • sena. Otra forma de representar el complejo z, de módulo r y argumento a , sería z = ra, a la que se llama forma polar o módulo-argumental. EJEMPLO 2.6

Dado el número complejo z = 1 + V3 i , escribirlo en forma polar y trigonométrica. 1 + \/3 i —2^/3 = 2(costt/3 + i ■senn/3 )

PRODUCTO Y COCIENTE DE COMPLEJOS EN FORMA POLA

;

„___ ^________i

Sean los complejos zi = ra = r(co sa + i ■sena) y Z2 = sp = s (eos fi + i ■sen/3). Su producto: zi • z.2 —ra ■sp = rs[c o sa • eos /J —sen a • sen/í + ¿(sena • cos^S + co sa • sen/i)] = rs[cos(a + jS) + i ■sen(a + P)] = (rs )a+p Por lo tanto, el producto de dos complejos es otro complejo que tiene por módulo el producto de sus módulos y por argumento la suma de los argumentos. De análoga forma, multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador, se demuestra que el cociente tiene por módulo el cociente de los módulos y por argumento la diferencia de los argumentos: Z1 / Z2

= ra/sp = (r/s)a-p

EJEMPLO 2 .7 Dados los complejos 1 + V3i y V I + i, pasarlos a forma polar y efectuar su producto y cociente en dicha forma. Comparar con los resultados obtenidos en forma binómica. En forma polar:

n 2

n 2

(l + V 3¿)(\/3 + i) —Ijtp ■2jt/6 = (2 • 2) | + | = 4^/2 == 4 (c | eos — + i sen —) - « 1 + -\/3Í

2jr/3

V3 + i

2 jr/6

^ 2N = 3 - i jr __jr 3

ljr/6

6

Jt

; eos — 4- z sen7r 6 = 6

-\/3 1 f -i 2 2

En forma binómica: ^1 4“ V3¿)(V3 -|- z) =

4~ i 4" 3z 4~ -\/3¿^ = 4/

1 + V3Í _ (l + V 3 z ) ( V 3 - ¿ ) _ V3 •n/3 4" i

(s/3 4- ¿) (\/3 —/)

i + 3z - V3z2 3 4- 1

2V3 4-2z _

4

V3

1.

~ 2 + 21

Capítulo 2 / El núm ero complejo

2 .9

27

POTENCIA DE UN NUMERO COMPLEJO EN FORMA POLAR

Es consecuencia de lo anterior: Z" = (r«)n = ra ■ra

•a

(/•")«

E ste resultado se conoce con el nom bre de fórmula de Moivre y viene a d ecir que la potencia n-ésim a de un núm ero com plejo ra es otro com plejo de m ódulo rn y argum ento n veces el argum ento del prim ero. E je m p l o 2 .8

C alcular (1 + i ) 10.

(1 + ¿)10 = ( ^ / 4) 10 = (25)5jr/2 = 32 i

Si se supone que w = sp es una raíz n-ésima del número complejo z

(sp)'1 = (s")np = ra =*> s" —r, nf$ = a + 2kn

w =z con

ra : s = f/r, f = (a + 2kn)/n

k = 0, 1 , 2 , . . . , n — 1, ya que para k = n se obtiene el m ism o valor que para Existen, por tanto, n raíces n-ésim as distintas, si z ^ 0.

EJEM PLO 2 . 9

k — 0.

C alcular las raíces cúbicas de 2.

r = 2,n = 3 y a = 0. Por tanto: \ ^ 2te /3, con k = 0,1, 2.

Anticipando los desarrollos en serie de MacLaurin de las funciones ex, sen* y eos x (Capítulo 7):

ex = 1 + x + x2/2\ + x 3/3! + . .. sen* = x —x 3/3! + jc5/5! —x1/1\ + ... cosx = 1 —x2/2\ + x 4/4! —x 6/ 6! + . .. Entonces:

e,a = 1 + ia —a 2/2! —zo:3/ 3 ! + a 4/4! — . .. = (1 —a 2/2\ + a 4/4! + . . . ) + i ■(a —a 3/3\ + . . . ) = co sa + i ■sen a Así, z = ra = r (cosa + i ■sena) = r ■em. Esta última expresión esla llamada forma canónica o exponencial del número complejo. La expresión e'“ = eos a + i ■sen a es la llamada fórmula de Euler. Dada el0C = eos a + i ■sen a , sumando y restando e~m = eos a —i ■sen a , se deducen las fórmulas: sen a E je m p l o 2 .1 0

cosa

21

em + e 2

Escribir en forma canónica el número complejo z — 1 + i ■ |z| = -s/5,

a =

4

z = 1 + i —V 2 •

28

Introducción al Cálculo

2 . 12 .

LOGARITMO DE UN NUMERO COMPLEJ

Sea el número complejo z = r ■eloí. Suponiendo que su logaritmo es el número complejo x +iy: ln z = ln r + ia = x + iy Igualando:

x —ln r y = a + 2kn _

Por tanto, lnz = ln r + (a + 2kn)i. De lo anterior se desprende que el logaritmo de un complejo z = reia tiene infinitos valores, todos ellos con parte real igual a ln r y partes imaginarias que difieren entre sí en múltiplos de 2 n . De un modo gráfico, los afijos de los logaritmos están situados sobre una recta paralela al eje OY. Para k = 0, se obtiene el llamado valor principal. E je m p l o 2 .1 1

C alcular l n ( l + 2 ¿).

ln (l + 2 ¿ ) = ln V5 + (1,10715 + 2kn)i = 0,80472 + (1,10715 + 2 kn)i Gráficamente: o (ln V 5, 7.39034): k=l

I o (1,2): Afijo de 1 + 2/ o (ln V I, 1,10715): k=0

o (ln VI,-5 ,1 7 6 0 4 ): k=-l

Figura 2 .2

Se tienen ahora los complejos zi y zi, y se desea calcular logz¡ zi- Llamando H —logZj zi, mediante la definición de logaritmo: Z2 —z f • Tomando logaritmos naturales: ln Z2 = H ■ln z i . Por tanto:

u

i

lnZ2

H = log« a = S i l E je m p l o 2 .1 2

Calcular log^ (1 + ¿)1 ~f- 8Ar ln2 lu -f- (7r/4 4" 2'k7t')i iog.(i + i ) = ....... ....... = _ — — — •I

E je m p l o 2 .1 3

C alcular log¿

i.

Capítulo 2 / El núm ero complejo

El

29

LAS FUNCIONES HIPERBOLIC ex + e son frecuentes en problemas de Ingeniería y Matemática aplicada. Las expresiones 2 J 2 Se representan con shx y chx, abreviaturas de seno hiperbóbco y coseno hiperbóbco. La razón de estas 1 de un modo análogo a denominaciones estriba en que están relacionadas con la hipérbola x cómo las funciones seno y coseno están relacionadas con la circunferencia x¿ + y¿ — 1. En efecto, se prueba que: ch2 x — sh2 x = 1

Sustituyendo: ch2 x —sh2 x

ex + e~

que representa una fórmula análoga a sen2 x + eos2 x = 1 para las funciones circulares. La fórmula ch2 x — sh2x = 1 sirve para justificar el adjetivo hiperbólico en las definiciones de shx y chx. Las funciones seno y coseno se llaman circulares porque si B es un punto de la circunferencia x 2 + y2 — 1, y t es la medida en radianes del arco AB, las coordenadas de B son (cosí, senf). Del mismo modo, si t recorre los números reales, el punto B, de coordenadas (ch t , sh t), recorre la hipérbola x2 —y2 = 1 (ver Figura 2.3). Sin embargo, en este caso la variable t no representa un arco sino el doble del área del segmento parabólico AOB (ver demostración en [14], A.I. Markushevich. Números Complejos y Aplicaciones Conformes. Ed. Mir).

Figura 2 . 3

Para hacer las gráficas de y = chx e y = shx, se representan las funciones y = (1/2 )ex s y = (l/2)e~ x. Sumando y restando, se obtienen sus gráficas:

Figura 2 . 4

Por último, las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante hiperbólicas se definen de un modo semejante a las funciones circulares:

30

Introducción al Cálculo

----- RELACION^ ENTRE LAS FUNCIONES CIRCULARES Y LAS HIPERBOLICAS

Dado que: senx

2i

cosx

exl + e xl 2i

se tiene que: c o s x = chz'x

c h x = coszx

se n x = ( I / / ) • shz'x

s h x = (1 / 0 • s e n ix

PROBLEMAS RESUELTOS 2 . 1.

: Resolver la ecuación x2 + 4x + 5 = 0.

Resolución —4 ± V l6 —20

x = ---------

2 .2 .

= —2 ± i

Calcular i 743.

Resolución ¡743 = ¿4485+3 = (¿4)185 . ¿3 = j . ¿3 = _ f

2 .3 .

Dados los números complejos z\ —2 + i y zi = 3 —2 i, hallar:

i

:

a) zi +Z 2 b) zi —Z2 . c) Z1 ■Z2d) Zl / Z2-

Resolución a) zi + z2 = (2 + 0 + (3 - 2 0 = (2 + 3) + (1- 2)i = 5 - i. b) zi - 22 = (2 - 3) + (1 + 2 )i = - í + 3¿. c) zi • Z2 = (2 + 0 (3 —2 0 = 6 —4¿ + 3z —2z2 = 8 —i. 7 . _ (2 + 0 (3 + 2i) _ 4 Zi/Z2 (3 _ 2 .)(3 + 2¿) B ^ i.

2 .4 .

SDado el número complejo z = 1 —r, escribirlo en forma polar, trigonométrica y exponencial.

Resolución

Capítulo 2 / El núm ero complejo

2 .5 .

31

La suma de dos números complejos zi y Z2 es 2 + Ai. La parte real de zi es —1 y el cociente z i /zi es ; imaginario puro. Hallarlos.

Resolución Sean zi —a + bi y Z2 = c + di. Su suma y su cociente: (a + bi) + (—1 + di) = (a —1) + (b + d)i a + bi {a + bi){—l —di) - l+ d i (- 1 + d i ) ( - l - di) Por tanto:

a - 1=2

a + bd —ad —b H— :---------- i 1 + d2 1 + d2

a = 3, b = 1, d —3 a = 3, b = 3, d = 1

b+ d = 4 —a + bd = 0 Dos soluciones: 3 + i, —1 + 3¿ y 3 + 3 i, —1 + i.

2 .6 .

z+ 1

¿Qué relación debe existir entre a y b para que el cociente

z - 1

z —a + bil

sea imaginario puro, siendo

Resolución z+ 1

(a + l) + bi [{a + 1) + bi][(a —1) — bi] z — 1 = (a + 1 ) - bi = [(a - l) + bi][(a - l) - bi] a2 —1 —2 bi + b2 (a —l )2 + b2

- 1 (a —l )2 + b2

2 bi (a — l )2 + b2

Para que sea imaginario puro ha de tener igual a cero su parte real:

a2 + b2 — 1 == 0 :

2 .7 .

a2 + b2 = 1

i Resolver la ecuación z3 — 1 = 0.

Resolución Z3 -

1 =

0 :

z3 = a/T. En forma polar: Z — V 1 + 0 ■Í — y / 1 0»

Las raíces son:

k — 0 : V i o°+36o-o = lo» 3

k=

1 : V i o°+36o-i 3

=

=

1

(cos0° + i ■ sen0°)

1120° = 1 (eos 120° +

=

1

i ■sen 120°)

k = 2: V i o°+360-2 = 1240° = 1 (cos240° + i ■sen240°)

2 . 8.

Dado z G C, siendo x = Re(z), probar que

1_ 1 < - si x > 1 . 2 z 2

1 2 1

V3

~~2 1 V3 .

32

Introducción al Cálculo

Resolución Sea z = x + iy: 1 2 —z < =>• |2 —z| < |z| ^ ( 2 - x ) 2 + y2 < ^ x 2 + y2 2 2z ==>■ (2 —x)2 < x 2 = 4 4 —4x + x 2 < x 2 = 4 - 4 —4x < 0 que se cumple para x > 1.

2 .9 .

i

¿Qué región del plano representa el conjunto:

A = |z e C /z • z > 4}?

Resolución Sea z = x 4- iy. Entonces z • z = (x + iy)(x - iy) = x 2 + y2 > 4, que es el exterior de una circunferencia de centro (0,0) y radio 2.

2 .10 .

Dado z e C, siendo x = Re(z), ¿qué región del plano representa el conjunto |z| + x < 1?

Resolución Sea z = x + iy: Elevando al cuadrado:

y2 = 1 —2x

Entonces, f (x ,y ) = >/ x 2 + y2 + x < 1, es el interior de la anterior parábola, ya que / ( 0 , 0 ) < 1.

2 .11.

Determinar los números complejos z que cumplen:

| siendo a . c e l , Discutir las posibles soluciones según los valores de a y c

Resolución Sea z = x + iy: a+z c+ z

a + x + iy c + x —iy c + x + iy c + x —iy — (a + x)(c + x) + y2 (c + x)2 + y2

(c + x ) y - (a + x )y . (c + x)2 + y2 (c - á)y = y[(c + x )2 + y2]

Si y = 0, la solución es el eje OX. Si c —a = (c + x )2 + y2 = 4 {x + c)2 + y2 = c —a: c —a > 0, circunferencia de centro (—c, 0) y radio «Je —a. c —a < 0, no hay solución.

Capítulo 2 /

2.12.

El núm ero complejo 33

Hallar el módulo y argumento, tomando el argumento principal: z —V.

Resolución lnz = i ■ln/ = i ■l n eí r ' = i ■i ■%■ = 2

- x

-X

En forma exponencial: z = e~z~ =$■ r = e~T, a = 0.

2 . 13.

Hallar el módulo y argumento, tomando el argumento principal: z = i 1+i.

Resolución ln z = (1 + i) ■ln / = (1 + i) ■ln(l ■e%’1) = (1 + / ) • / • ^ —71

7r :

z = e 2 . ¿ 2’'

2 . 14.

^ •i

TC

r = e 2 , a = —

Hallar el módulo y argumento, tomando el argumento principal: z = 2'.

Resolución lnz = / •ln2 =>• z = e ',ln2 =£• r — 1, a = ln2

2 . 15.

Hallar el módulo y argumento, tomando el argumento principal: z = (1+ V3 / ) I+Í.

Resolución lnz = (1 + i) • ln(l + V3i) = (1 + i) ■ln(2 • e ? -') = (1 + /) • ^ ln2 + — •

==(ln2_| ) +(ln2+| ) ' ¿ z = eln2- J ■Vln2+fW

2 . 16.

r = eln2- f , a = ln2 + |

Calcular zlni.

Resolución ¿ln; _ glní-lní _ g (lni)2

Por otra parte: ln¿ = ln 1 + / • ^ (ln/)2 =

2 . 17.

+ 2kn^j = i ■^

+ 2 y b r ) 2 = + i lni = e- ( f + 2^ ) 2

i Calcular' v 2 + ln / (utilizar el argumento principal).

Resolución z = V2 + ln¡ = (2 + lnz)1/'

+ 2/br^, k e Z

34

Introducción al Cálculo

ln(2 + liri) l n ( 2 + | ' ¿) Inz = -------;-------= ---------- r—-----ln

-e(arctg * +2for)''^

a

jr — + 2kjr —l n y/4 + / z r v -z

arctg

4 '

z _ g arc tg | +2k n - ln

2 . 18.

ln ( ^ 4 + ( ^ j ) + ^ are tg ^ + IkyrJ ■i

“ V ' ' \2 ,

V4+(f )2'¡'

C0I1 & = 0

: Resolver la ecuación senx = 3.

Resolución ¿x _

2z

_ L

e‘-

=

6¿

=4 e2íx - 6z'eix - 1 = 0 = 4 eíx = (3 ± 2VI) • i ln[(3 ± 2 VI) • z] = ln(3 ± 2 VI) + ln i = ln(3 ± 2-72) + ( | + 2fczr) •z

ix =

x = ( | + 2zbr) - z•ln(3 ± 2VI) 2 . 19.

| Resolver la ecuación tgx = i ¡2.

Resolución sen* 2i 1 e‘x - e 1 0,-j. tgx = ------- = — — = - ==4 --------- = - - = 4 3eux = 1 elx+ e lx 2 elx+ e IX 2 eos x 2

' _4

2 . 20.

2ix_ 1 2 ix = ln i + 2kni= 4 x = —l- ln - + kn 3 3 2 3

g-ht Resolver la ecuación e * = 1 —i.

Resolución Z

=

ln(l —z) =

z + i —z

ln VI + Í2kn — - ) i \ 4/

lnVI + (ikiz —^ •i j =4 zj^l —lnVI —^2far - ^ •i j ¿

—1 + lnVI —^2fc:zr —^ •i

—1+ lnVI + ^2fczr - ^ •z —1 + lnVI —^2fczr —^ •z 2kn —^ + z'(—1 + lnVI) (—1+ lnVI)2 +

(2kn

7r \ 2

4/

Capítulo 2 / El núm ero complejo

2 .21 .

35

Si z + - = 2 • eos t, hallar z" +■ — .

Resolución Resolviendo z2 - 2z • eos t + 1 = 0, se obtiene z = eos t ± i ■sen t .

zn —(eos t + i ■sen t)n = eos nt + i • sen nt 1 1 eos t —i ■sen t —eos t —i ■sen t eos t + i • sen t eos2 1 + sen2 1 z ( -1\\ H = (eos t —i ■sen t)n = eos nt —i ■sen nt í \ n = 2 • eos nt z Del mismo modo se hace con eos t —i ■sen t. zn +

2 .22.

Demostrar la identidad shx + ch x —ex

Resolución

ex —e~x ex + e~x „ 1------=e . shx + chx = -----

PROBLEMAS PROPUESTOS En los siguientes ejercicios, expresar los números complejos en forma polar, trigonométrica y expo­ nencial:

2 .23 .

2 + 2i.

2 . 24 .

1 + V5 •i.

2 .25 .

i. En los siguientes ejercicios, efectuar el producto y el cociente de los complejos zi y Z i en forma binómica; pasarlos a forma polar, y efectuar su producto y cociente en esta forma, comparando los resul­ tados obtenidos:

2 . 26 .

Zl =

2 . 27 .

zi = V3 + i, Z2 = —1 + V3 i.

1 + í ,

Z2 =

i-

En los siguientes ejercicios, calcular:

2 . 28 .

^T+T.

2 . 29 . 2 .30 .

^=8.

2 . 31 .

Las raíces de una ecuación de segundo grado son 2 + i y 2 — i . Escribir dicha ecuación.

2 . 32 .

1 Resolver la ecuación — b x

2

„ o. ; = 2 + 31 .

1+ 1

36

Introducción al Cálculo

2 . 33 .

Una raíz cúbica de un número complejo es igual a 1 + i. Hallar dicho número complejo y sus otras dos raíces.

2 . 34 .

Hallar dos números complejos tales que el primero sea imaginario puro, el módulo del segundo sea igual V2 a — y que la suma de ambos sea igual a su producto.

2 . 35 . Hallar un número complejo tal que su cuadrado sea igual a su conjugado. 2 . 36 . Demostrar que el cociente de dos números complejostiene por módulo el cociente de los módulos y por argumento la diferencia de los argumentos.

En los siguientes ejercicios, hallar los números complejos que cumplen:

2 . 37 . a + bi = \a + bi\. 2 . 38 . (a + bi)2 = (a —bi)2. 2 . 39 .

\a + bi\ = \a —bi\.

2 . 40 .

Demostrar que si z es una raíz n-ésima de 1 (z ^ 1), se cumple que l + z + z2 + z 3 + . . . + zn~l = 0.

2 .41 .

Hallar el valor de a sabiendo que: (eos a + i ■sen a) ■(eos 2a + i ■sen 2 a ) ... (eos 50cc + i ■sen 50a) = 1

Sugerencia: escribirlos en forma polar. En los siguientes ejercicios, demostrar las identidades:

2 .42 .

chx —shx = e~x.

2 .43 . sh(x + y) = shx ■chy + chx ■shy. 2 .44 . ch 2x = ch2 x + sh2 y. 2 .45 . ch 2x = ch2 x + sh2 x . 2 .46 .

cosz = chz'z.

2 .47 .

chz = coszz.

2 .48 .

senz = - • shz'z. z

2 .49 .

shz = - • senz'z.

2 . 50 .

Escribir en forma binómica e ^ .

2 . 51 .

Calcular sen z.

i

CAPITULO

SUCESIONES

f f /■'¿¡sal!

w /

En este capítulo se introducirá el importante concepto de límite de una sucesión, haciendo hincapié en los diversos tipos de límites indeterminados. Al final, se introducirán las sucesiones de Cauchy.

• DEFINICIÓN

1.

3.1

Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto N en el conjunto

Los términos de la sucesión se numeran mediante subíndices: a\ designa el primer término, ai, el segundo, etc. Así pues:

1e M

ai e S

2 € N —^ a2 £

3 e N -» ¿i3 e R La sucesión se representa por {an} y queda determinada de distintas formas: 1. Mediante una expresión llamada término general en la que aparece la letra n que, al tomar valores naturales, da lugar a los términos de la sucesión. Por ejemplo, si {an} — - :

n

a i = l, 02 =

1

1

a-i = - , •• •

2. Dando algunos de sus términos: 1, —2, 3, —4, etc. Esta forma es la menos conveniente debido a su ambigüedad. 3. De forma recurrente, expresando cada término en función del término o términos que le preceden. Por ejemplo, la llamada sucesión de Fibonacci: a\ = 1, aj = 1, an = a„_i + a„_2, Vn > 3, esto es, 1, 1,2, 3,5, 8,13, . . . • DEFINICIÓN

3.2

sucesión constante.

Si a e R, la sucesión cuyos términos son todos iguales a a, recibe el nombre de

38

Introducción al Cálculo

• DEFINICIÓN 3 .3 Una sucesión es monótona creciente si an < a n+ i, Vn e BJ. Análogamente, se define sucesión monótona decreciente. L a sucesión {an} = — es m onótona decreciente.

E j e m p l o 3 .1

n

• DEFINICIÓN 3 .4 Se dice que la sucesión {an} está acotada superiormente si existe i e l /a n < k, Vn € N. Análogamente se define sucesión acotada inferiormente. Si una sucesión está acotada supe­ rior e inferiormente, se dice que está acotada. L a sucesión del ejem plo anterior, {an} =

EJEM PLO 3 . 2

está acotada entre 0 y 1.

El número a eM.es el límite de la sucesión {an} si todo entorno de a contiene los • DEFINICIÓN 3.5 infinitos términos de dicha sucesión desde uno de ellos en adelante, es decir, en todo entorno de a existen infinitos términos, quedando juera de él un número finito. EJEM PLO 3.3

En la sucesión anterior, de término general {an} = - , el límite es cero, pues si se toma

n

un entorno cualquiera de cero, por ejemplo (—0.1, 0.1), los infinitos términos, a partir de «io, están todos dentro de dicho entorno, quedando fuera de él los diez primeros. • DEFINICIÓN 3.6 Dicho de otra forma, se dice que a es el límite de lasucesión{«„} si Ve > 03 5 (S función de e), tal que sin > -oo

y se lee “el límite cuando n tiende a infinito de [an} es igual a a”. Consecuencia de la definición de límite es la siguiente proposición: ■ PROPOSICIÓN

3.1

Si una sucesión tiene límite, éste es único.

Por reducción al absurdo. Se supone que la sucesión {a n} tiene doslímitesdistintos a y a', a < a'. Si d — a! —a, tomando dos entornos E y E', de radios menores que d/2 y centros respectivos a y a', cada uno de ellos debe contener infinitos términos de la sucesión, salvo un número finito. Esto es absurdo y, por tanto, a = a'.M DEM OSTRACIÓN.

EJEMPLO 3.5

La sucesión {«„} = (—1)"

n+ 1 aparenta poseer dos límites: 1 y —1. Pero tanto 1 n

como —1 no cumplen la definición de límite, ya que tomando un entorno suficientemente pequeño de uno de ellos, a pesar de que contiene infinitos términos de la sucesión, quedan fuera, en las proximidades del otro, infinitos términos. A 1 y —1 se les llama puntos de acumulación, ya que no se les puede llamar límites. • DEFINICIÓN

3.7

A toda sucesión que posee límite se le llama convergente.

Capítulo 3 / Sucesiones

39

Toda sucesión monótona creciente (decreciente) y acotada superiormente (inferiormente) es convergente.

■ PROPOSICIÓN 3 .2

M, tal que an < M, Vn e N. E ntonces, se cum ple que a\ < an < M, Vn e N. [ai, M están todos los términos de la sucesión. Se divide dicho intervalo en dos ¿Zl T M t í a i+ M u- t subintervalos a\, — -— , M , y se toma aquel intervalo que contiene infinitos puntos; se

D e m o s t r a c ió n . S ea E s decir, en el intervalo

repite el proceso infinitas veces y se obtiene una sucesión de intervalos que definen un único punto común (postulado de Cantor, Sección 1.12), que es el límite de an, ya que cualquier intervalo que contenga a dicho punto contendrá infinitos términos de la sucesión. De modo análogo se demostraría para una sucesión decreciente y acotada inferiormente. ■

8¿>.

E X Í » a i I l !n_q::

_

_

j

Se dice que una sucesión {an} es divergente si, jijado un número real K, existe un 9 DEFINICIÓN 3 .8 número natural S (S función de K ) tal que Vn > S se verifica \a„\ > K. EJEMPLO 3 .6

Por ejemplo, la sucesión {a,,} = 2n diverge, ya que si se toma K = 1000, entonces

S = 500, puesto que a partir de ¿Z500 todos los términos son mayores que K . Análogamente, si K —2000, entonces S = 1000.

En la definición se ha tomado an en valor absoluto para incluir entre las divergentes aquellas sucesio­ nes que tienden a —00 y aquellas otras que tienden, simultáneamente, a +00 y a —00, como la sucesión

{¿z;¡}= (-1)" n.

Toda sucesión pertenece a uno de estos tres grupos: 1. Convergentes (que tienen límite). 2. Divergentes (que tienden a infinito). 3. Oscilantes (que no son convergentes ni divergentes). 3 .5 .

OPERACIONES CON SUCESIONES

© DEFINICIÓN 3 .9 Dadas dos sucesiones, {¿z,¡} y {bn}, se llama suma de ellas dos a la sucesión {cn}, cuyos términos se obtienen de la forma c¡ = a¡ + b¡, Vz e N. Análogamente se definen el producto y cociente de sucesiones. Este último siempre y cuando los términos del denominador sean distintos de cero. E je m p l o 3 .7

Sean: {,i n} = ^ - ± 1 = 2, 3 / 2 , 4 / 3 , 5 / 4 , 6 / 5 , . . .

n

{bn} = - = 1 , 1 / 2 , 1 / 3, 1 / 4, 1 / 5, . . . n

Su suma:

n+ 2 {a,¡ + b,,} = -------- = 3 , 4 / 2 , 5 / 3 , 6 / 4 , 7 / 5 , . . . n

Su producto y cociente:

{¿z„ ■ btt) =

nl

= 2, 3 / 4 , 4 / 9 , 5 / 1 6 , 6 / 2 5 , . . .

í ^ i l = n + l = 2, 3 , 4 , 5, 6 , . . .

1bn J

40

Introducción al Cálculo

ROPIEDADES DE LOS LIMITE

Dadas dos sucesiones convergentes, {a,,} y {&„}, con limites respectivos a y b, se verifica: 1. lím (an ± bn) = lím a„ ± lím bn. /z-»oo

n—>00

2. lím k ■an = k ■ lím an. n-+ 00

11-+0 0

11 -y oo

«->■00

n —>00

3. lím (a„ ■bn) — Km an ■ Km bn. íi-^-oo

4. Km (an/bn) — Km « „/ Km bn. n -y 00

n —►oo

n-^-oo

siendo los términos de bn distintos de cero, y presentándose los casos siguientes: ■ Si a yí 0 y b 0, la sucesión cociente es convergente de límite a/b. ■ Si a = 0 y b^ 0, la sucesión cociente esconvergente delímite cero. EJEM PLO 3 . 8

1 n+1 í a¡i~\ Si {an} = - y {bn} = --------= > \ — } = n n l bn i

1

n +1

, convergente de lím ite cero.

Si a ^ 0 y b = 0, la sucesión cociente es divergente. EJEM PLO

3 .9

Tomando {a n} = —— - y {bn}= —, entonces{ — } = n + 1 es divergente. n n l bn I

Si a = 0 y b = 0, el límite del cociente es indeterminado y se simboMza 0/0. Sean {an} — — y [bn] — -i- convergentes a cero. Su cociente es {c„} = { — } — n, n n¿ l bn J 2 1 r an ] 2 divergente. Sin embargo, el cociente de {an} = —=• y {bn} = — es {cn} = 1 — 1 = - , que converge n¿ n l bn J n a cero. Así, elcociente dedos sucesiones convergentes a cero puedeser convergente o divergente y, en principio, indeterminado. EJEM PLO 3 . 1 0

Si {cin} y {bn} convergen a cero, el Kmite de (cin)bn es indeterminado. Se simboliza 0o. 3 7

OPERACIONES CON1SÜGESIONES DJfJRGENTES

1. La suma de dos sucesiones divergentes del mismo signo es otra sucesión divergente del mismo signo que las anteriores. 2. La suma de una sucesión convergente y una sucesión divergente es una sucesión divergente del mismo signo que ésta. 3. El Kmite de la diferencia de dos sucesiones divergentes del mismo signo es indeterminado. Se simbofiza oo — oo. 4. El producto de dos sucesiones divergentes es una sucesión divergente. 5. El producto de una sucesión divergente por una convergente (que no tiende a cero) es una sucesión divergente. 6. El producto de una sucesión convergente a cero por una sucesión divergente es indeterminado. Se simbofiza O.oo. EJEM PLO 3 . 1 1

Sean {an} = -i- y {bn} — n. Su producto es {an ■bn) — —, que converge a cero. Sin

n

embargo, el producto de [cn] = —y [dn] — n2 es {c,¡ • dn] — n, que es divergente. n oo 7. El Kmite del cociente de dos sucesiones divergentes es indeterminado. Se simbofiza — . oo 8. El cociente de una sucesión convergente y una divergente es una sucesión convergente a cero.

Capítulo 3 / Sucesiones

41

9. Por último, si la sucesión {an} diverge y la {bn} converge a cero, el límite de (an)bn es una indeter­ minación que se simboliza oo°. Hay una serie de procedimientos para salvar todas estas indeterminaciones, como se verá a continua­ ción. n a

© te o a i® iiS [k l2 a m ^ Se va a ver ahora un conjunto de procedimientos y técnicas para calcular límites: 1. Límite del cociente de dos polinomios. Sea:

apnp + ap^ \n p~l ------M i n + a o „ hm -f--------- -i-— ——¡----------- ---------— /i— >oo bqiiQ + bq-\ni~l + ----1- b\n + oo oo donde ap ^ O, b„ ^ O, p ,q e N. El límite es indeterminado, de la forma — ; se resuelve la oo indeterminación dividiendo el numerador y el denominador por la mayor potencia de n, existiendo tres posibilidades: a. p = q. Se divide por np: C lp— 1

C lp—2

0-Q

cip H---------- 1------^— h • • • H— ~—r H----np 1 np lím ------ n 0, + ^ n

+ ^ n¿ + -

+nP - ^1 +np -^

El Kmite del numerador es ap y el del denominador es bq. Por tanto, el límite es ap/bq. b. p > q. Dividiendo por np ,se observa que el numerador tiene por Kmite cip, siendo elKmite del denominador igual a cero. Por tanto, el Kmite es oo. c. p < q. Se procede de un modo análogo y el Kmite es igual a cero. 2. Límites en los que aparecen expresiones irracionales. La forma habitual de hacerlos es multiplicar y dividir por el conjugado o por una expresión adecuada. 3. Límites del tipo oo° y 0o. Suelen hacerse tomando logaritmos. 4. Km (a„ —an- \ ) = a =4> Km — —a. /í—>oo /2

n -+ oo

5. Criterio de Stolz-Cesáro. Si existe:

an —a„_ i lim ------

¡i >oo b n — b n -

entonces existe:

Km — n->oo bn O-n

G-n

y se verifica hm — = hm ---n —>oo

bn

n -» o o

O-n—1

bn — b,¡-1

(I)

1

(II)

, cuando: ,

a) bn es estrictamente creciente y divergente, o bien, b) Km an — Km bn —0 y la sucesión de término general bn es monótona. n -> oo

n —>oo

Está claro que aunque no exista el Kmite de la expresión (I) puede existir el de la expresión (II). 6. Criterio de la media aritmética: hm an = a oo

7.

CL\+ 0-2 + • • • + an

hm ------------------------- = a

n-> oo

Criterio de la media geométrica. Si an > O, Vn 6 N:

n

42

Introducción al Cálculo

8. Criterio del cociente-raíz. Si an > 0, Vn e N: W «21+1 __ ------lim ------- = a ==$■ lím tyan = a

an

n->oo

n-*oo

9. Fórmula de Stirling. Esta fórmula es de utilidad en algunos límites: ilím '

n!

n-+oo * j 2 n n ■n" ■e ~ n

= 11

ORDENES DE INFINIIUD PAR

A veces son de gran utilidad las desigualdades:

nn > n\ > an > na > lnn,

con a > 1 y a > 0.

Cuando n -> oo, el límite del cociente de una de ellas entre otra menor es infinito. Análogamente, el límite del cociente de una de ellas entre otra mayor es cero.

Se va ahora a estudiar la sucesión

1\ n

/

[an} = ( l + - ) Dando valores a n:

ai = (1 + l ) 1 1 \2

2,25

(l + ^ ) 3 =2,37... / 1\4 (l + í ) = 2 ,4 4 ,,, La distancia entre los sucesivos términos de la sucesión se va reduciendo, lo que hace sospechar que la sucesión debe converger a un número real comprendido entre 2 y 3. Si se dan valores más altos: «10 = a to o

aio o o :

1

\

10

1+ To)

: 2,5937.. .

1 \io o

1 + ío o )

= 2 '70 48 -

1 X1000 1 + i o oo)

«10000 :

1+

«tooooo =

1+

= 2 ' 71® 10000

10000/ í— ) 100000/

100000

2,71814... 2,7182682...

Observando las cifras que se repiten, se obtiene el límite de esta sucesión, 2,7182818284..., un número irracional trascendente (Sección 1.3) que se designa con la letra e, en recuerdo de Euler. Por tanto: lím ( l + - Y = 2,7182818284...

n-+cQ \

nJ

Capítulo 3 / Sucesiones

43

/ 1\ " Además, se puede demostrar que e no sólo es el límite de la sucesión de término general í 1 H— J , ( 1V sino de ( 1 H— 1 , siendo p cualquier expresión real que tienda a oo. PJ V Por otra parte, es inmediato que: lím (l + x ) 1/x = e x—»0

™

tomando x = 1/n. En general: lím ab nn = lím eb"{a"~l)

n -> oo

si an —>■ 1,b n

n —►■oo

OO.

APLICACIONES DEL NUMERO

Se va a calcular el capital final C en que se convierte un capital inicial c, colocado a interés continuo. Su importancia radica emettiecho de que este razonamiento sirve de modelo para muchas aplicaciones: desintegración radiactiva de una sustancia, demografía, crecimiento de una colonia de bacterias, etc. Si se coloca, a interés simple y al tanto por cien anual r, un capital de c euros, al cabo de un año c se

cr

ha convertido en C — c + y— . Sería mejor calcular los intereses semestralmente, ya que de este modo los intereses de los primeros seis meses producirían nuevos intereses los seis meses siguientes. O mejor sería que el cálculo de intereses se hiciera mensualmente, ya que los intereses del primer mes producirían nuevos intereses el segundo, tercer, cuarto mes, etc., al igual que los intereses de éstos en meses sucesivos. Y aún mejor sería que el cómputo de intereses se hiciera cada dia, cada hora, cada minuto, cada segundo, etc., es decir, en intervalos de tiempo infinitamente pequeños. Este tipo de interés se llama interés continuo cuando los intereses se acumulan al capital de modo instantáneo. Para su cálculo, se va a dividir el año en p partes iguales y se va a utilizar el tanto por uno anual r, en lugar del tanto por ciento del interés simple. Suponiendo que se dispone de un capital c, al finalizar la primera de las p partes un euro se ha transformado en 1 + r/p. Al final de la segunda parte, el euro ha producido unos intereses iguales a r/p, y los intereses han producido a su vez unos intereses iguales a (r/p )2, como se puede ver fácilmente. Por tanto, al final de la segunda de las p partes, el euro se ha transformado en: 1H

r /r\2 / r\2 1----- b ( —) = ( H — ) d d \py \ p/

r

Al final de la tercera parte: ^1 + —^ . Al final del año, esto es, al final de la última de las p partes:

/

r\P -\— J .

Si el capital es c, al cabo del año: c (1 + —')P.

\

p/

( r \P t Si en lugar de un año fuesen t años: c ^1 H— J

P'

Cuando p —> oo, cada una de las partes en que se ha dividido el año tiende a cero y los intereses se acumulan al capital de un modo instantáneo. Entonces, el capital final C producido por un capital inicial c, al tanto por uno anual r durante í años, es: C = lím c (1 + —\ P = c ■ert p -* 00

\

n/

El interés del desarrollo anterior está en que el mismo razonamiento es aplicable a problemas de diversas ciencias.

44

Introducción al Cálculo

E j e m p l o 3.12 Se coloca un capital de 50000 euros al 0,15 por uno anual y a interés continuo, durante cinco años. ¿Cuál es el capital final C?

C = c • ert = 50000 • e°'15x5 = 105850 € EJEMPLO 3 .1 3 Una sustancia radiactiva tiene una vida inedia de 1000 años. Dentro de 3000 años, ¿qué cantidad quedará de 2 gramos de dicha sustancia?

C = 2.e-0 ’001x3000 = 2.e“ 3 = 0,099 gr

Aparte de la sucesiones convergentes, cuyos términos están tan próximos al límite como se desee, se puede definir en un cuerpo ordenado K otro tipo de sucesiones cuyos términos están tan próximos entre sí como se quiera.

Dada la sucesión {an}, con elementos de un cuerpo ordenado K, se dice que es regular, fundamental o de Cauchy si, y sólo si: • DEFINICIÓN 3 . 1 0

Ve e K+, 35 e N / \ap —aq\ < e, Vp, q > 5, p ,q e N En la anterior definición, no aparece el concepto de límite. Sin embargo: ■ PROPOSICIÓN 3 .3

Toda sucesión convergente en un cuerpo ordenado K es de Cauchy en K.

D e m o s t r a c i ó n . Sea:

lím an —a =>■ Ve e K+, 35 e N / \an —a\ < e/2, Vn > 5

11— >CO

Tomando p > 5 y q > 5: | ap - aq\ = | (ap —a) —(aq - a)\ < \ap - a\ + \aq - a\ < |

| = e 1

Si K = E, la proposición recíproca de la anterior también se verifica. Sin embargo, en un cuerpo ordenado cualquiera K, aunque toda sucesión convergente es de Cauchy, pueden existir sucesiones de Cauchy que no sean convergentes. Por ejemplo, en el cuerpo Q , la sucesión 1, 1,4, 1,41, 1 ,4 1 4 ,..., es de Cauchy y no convergente en Q , ya que su límite, V2, no pertenece a oo 4n + 1 n-»-oo 4 + 1/n 4+ 0 4 3 La sucesión es convergente de límite - .

3.3.

45

! -i, l, -i, l, -l, l, ...

3n + 1 -------. 4n + 1

I

Resolución {an} = (—1)". No es convergente, ya que 1 y —1 no son límites sino puntos de acumulación. Si se

toma un entorno conveniente de 1, fuera de dicho entorno quedan infinitos términos iguales a —1. La sucesión es oscilante, ya que no es convergente ni tampoco divergente.

3.4.

: 1, 2, 1, 4, 1, 6, 1, 8, 1,

Resolución Su término general:

1 si n es impar n si n es par

{+z}

Es oscilante, ya que 1 no es límite. Tomando un entorno de 1, los infinitos términos pares quedan fuera de dicho entorno. Tampoco es divergente ya que, fijado k e R, k > 1, los infinitos términos impares son menores que k.

3.5.

Dada la sucesión 3/2, 5 /4 ,7 /6 , 9 /8 ,1 1 /1 0 ,..., hallar: I a. El término que ocupa él lugar 123. ¡ i b. Su límite. i c. El término de la sucesión a partir del cual la diferencia con el límite es, en valor absoluto, menor ! que 1/100. |

Resolución 2ii + 1 ían] 2n _ 247 a. £¡123

b. lím

n->oo

“ 246

2n + 1 2n

c. |an - 1|
OO

100

2

2n + 1 -1 2n


100 =

A partir de as o, la diferencia con el límite es menor que

1 100'

n > 50

46

Introducción al Cálculo

3.6.

. La sucesión a\ = ~/3, cin = *J3 + an- 1, ¿es convergente?. Si la respuesta es afirmativa, hallar su i límite.

Resolución Está definida de forma recurrente (Sección 3.1). La sucesión es monótona creciente y acotada y, por tanto, convergente (Proposición 3.2). Para demostrar que es monótona creciente, se procede por inducción (Sección 1.5). Para n = 1:

a\ = V3 < y 3 + V3 = a2 Se supone que la hipótesis es cierta para n = k: a¡c < a¿+i. Se ha de demostrar para n = k + 1: ak+i < aic+2 - En efecto:

a¡c < a¡c+1 = > 3 + a¡c < 3 + au+i = + ^ 3 + au < -J 3 +

1

1 < %+2

La sucesión está acotada. Por ejemplo, 3 es una cota superior. Procediendo por inducción: a\ —*J3 < 3. Si an < 3 ==> an+ 1 = V3 + an < \/3 + 3 < 3. Por ser monótona creciente y acotada es convergente. Su límite será: t ? y------------------lím a,¡ — 3 + lím a„_i = + a = V3 + a = + a —a —3 —0

n->-oo

3.7.

y

1 “h -x/13

«->■oo

Empleando la definición de límite, demostrar que: rt-»oo

Resolución Recordando la definición de límite (Sección 3.2) y tomando un e > O cualquiera:

n —1

1 —< e
n> €

1 Entonces, se verifica la definición para cualquier número natural S > - . €

Por ejemplo, si e = 0,1, entonces á > - = 10. A partir de ajo, la distancia de los términos a 1 es menor que e = 0,1.

3.8.

Hallar el límite de la sucesión: ía«}

1 + 2 .+ 3-1------- |-n

Resolución El numerador es la suma de una progresión aritmética: 1+ n 1 + 2 + 3 + -- - + « 2 n+n2 „ hm -------------*------------ = lím —£+ = — = lim n—>oo n 2n2

1

Capítulo 3 / Sucesiones 47

3.9.

i Hallar el límite de la sucesión: X 2 ... 2" - 1 3" + 1

í

Resolución

OO

Es una indeterminación de la forma — . Dividiendo numerador y denominador por 3/!:

n-*°° ya que Km

f¿ \n -

n—>-oo \ 3 /

3.10.

j

1_ 3"

1

¿

= 0 , por ser - < 1. 3

¡ Calcular el límite de la sucesión: |

{«„} = -y!n + *fñ - y/n - V«

Resolución Multiplicando y dividiendo por el conjugado:

2*/ñ

Hm Dividiendo numerador y denominador por -y/ñ: 2

lun ;..... ^■oo r

n

3.11.

!

„ = Hm ■ ,

= = = V

n-±oo ^

2

;.... ^

=

2 = 1 i + i

v 1+ Vñ + V 1

n

Calcular el límite de la sucesión:

jj

ln(3n2 + 6n. + 1) {a \ — -------------------------ln(4n + 2)

Resolución

OO Es indeterminado de la forma — . Sacando factor común: oo Km

n-+ oo

lnTn^fsH----- 1— - 'j l n

r /.

2 1 n n + /« f 3 4-------1—

«2/J = lfm ________ V___ n ___«V

, 2 \" |

l n |n ( 4 + - j j

Dividiendo numerador y denominador por ln n:

n-^-oo

/

2\

lnn + ln y H — j

48

Introducción al Cálculo

3.12.

Calcular el límite de la sucesión:

n\

{fl7zj

1! + 2! + 3! -i

1- n!

Resolución Mediante el criterio de Stolz (Sección 3.8): „

!)•

(» ~

n\ — (n — 1 )! = lim------ -—:— n\ — hm , ( A1 km --------fi\ n— >oo 1 n— ±oo \ n— >oo

3.13.

Calcular:

^

^

1\

t 1= 1

ji /

^

1 + 2 + 3 + --- + l i m ----------- ----------------

■ ■

■■ ■. n—>00 .

In 11

Resolución Aplicando el criterio de Stolz (Sección 3.8): 1 ñ 1 ñ— r- = 7lim ----------1 =-- = —1 = 1 lím --------- —----------= lím---------;— n->oo n ^ / ____ \ tz->oo / 1 \ ln e 77 >oo ln n —ln (n — 1 ) \n -\J \ n - 1/

3.14.

Hallar el límite de la sucesión:

{an} = i/ñ

Resolución Mediante el criterio del cociente-raíz (Sección 3.8): lím 77— >00

3.15.

■

n

= 1 =4

lím f/ñ = 1

11

Hallar el límite de la sucesión {«„} = — j=V«!

Resolución n Jn“ lím —= — lrm J — 77“>0O y n \ ti—>00 y fll Aplicando el criterio del cociente-raíz (Sección 3.8):

Capítulo 3 / Sucesiones

3.16.

n

Hallar el límite de la sucesión {a,,} = -------- . í . • • . - ■ ni ■e"

Resolución Aplicando la fórmula de Stirling (Sección 3.8):

n" 1 „ lim —n—- = „lim —= = ------------— ]ím = ...-. =0

n-±oo ti! .

3.17.

en

n -* »

J 2 itn

■n" ■e~n ■en

~j2izn

Hallar el límite de la sucesión:

J ¡n + 2 \n 2+l

Resolución nz + 1 n = 1“ Km ( ’l + l )

«->• oo \ n + 1 /

Es una indeterminación del tipo del número e. Se resuelve mediante la fórmula (Sección 3.10):

i,

lim an " = e

i™ (n„ - 1).b„

n-*- oo

Por tanto: Km ( 1 + 1 _ A . ü ! ± l n , n-*oo \n + 1 /

3.18.

Hallar, el límite de la sucesión: {««)

lnn! ln nn

Resolución Aplicando el criterio de Stolz (Sección 3.8): lnn! —ln(n — 1)! lnn Km —------ — -------— -r = lim -----------n - * oo l n n " — m ( n — l ) " - 1 n -* o o ln (n - l ) " - 1 lnn lnn lnn = lim ------------------- j------= lim ---------------5---------:---------- = Km II—>00 , 17 n \ n ~ l 1 "-*00 , A a-*oo lne + ln n V1-1 1 V I_1 . ,

- ”j

i n( i + ^

)

Otra forma de hacerlo sería utilizando la fórmula de Stirling.

3.19.

I

Calcular lím Í/ 2 ■4 • 6 . . . 2 n. 77->CO

+ in ”

49

50

Introducción al Cálculo

Resolución Mediante el criterio de la media geométrica (Sección 3.8): lím \/2 n = Km 2" • lím f/ñ = 2° ■l =

n-+oo

n—±oo

n—>00

l

=>■ lím V 2 - 4 - 6 . . . 2n = 1 n-> 00

(Ver Problema 3.14: Km Á/ñ = 1.) 11—>-oo

1 /1 + 16H-------|-n Calcular Km — • ( -------------:--------: «-> oo n \ nr

3.20.

Resolución Haciendo Km «->• oo

y apKcando el criterio de Stolz (Sección 3.8):

n?

Km

n->oo

3.21.

' Calcular Km ( !■

H^

^

n5 —(n —l ) 5

5

'l ".

n—>oo \ n + 2 /

Resolución Tomando logaritmos naturales: , „ 2 i ln A = lim - • l n n-5-oo n

1 n + 2

—2 • ln(« + 2) = Km ------- ---------n->oo

n

ApKcando el criterio de Stolz (Sección 3 . 8 ): ^

- 2 . t o Q, + 2 ) + 2 . | n ( , + l ) = l f a 2 . t o ( ! l ± l ) = 0 n — (n — 1 )

n-* oo

Por tanto, A = e° =

3.22.

!

n-*- oo

\n + 2 /

1.

/ I I Calcular Km ( -—- + n >oo \ 1 - 2

2 •3

1 \ + ----- 1— ----- — ) ■ n ( n • ) • 1) /

Resolución 1

1

1

n(n + 1)

n

n 4-1

„

. Por tanto:

Km ( l - I + i - i + i \ 2 2 3 3

n-* oo

3.23.

b - — 1 , ) = Km ( l -------—- ) = 1 n n + 1/ n -* o o \ n + 1/

Hadar el Kmite de la sucesión *J2, V 2V 2 , - J 2 ^ 2 \¡2 , . ..

Capítulo 3 / Sucesiones

51

Resolución El término general es an = «J2 ■an- \, n > 2, siendo ai = -J2. Si n -> oo, se tiene:

a = V2a siendo lím an = a. 11— >00 Elevando al cuadrado, a2 —2a, que tiene soluciones iguales a 0 y 2. Evidentemente, a = 2. Otra forma de hacerlo sena: 1

a = 25+ ?+ s+- = 2 ‘~i = 2 ya que el exponente es la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente:

3.24.

Demostrar que la sucesión 0,9, 0,99, 0 ,9 9 9 ,... es de Cauchy. ¿Cuál es su límite?

Resolución 1 -

{C ln} =

1

. Tomando p = q + n:

10"

| üp

üq | = |üq-\-n

1 10?+"

üq\

10" - 1 10?+" ya que

10"

-

1

10"

J_ + 10?

1 10?

'

1 10?

10?+" 1 10" - 1 < ----- < e 10" 10?

< 1.

—lne = —log e. Por tanto, S = —loge. ln 10 Por ejemplo, si e = 10 5, S = —log 10 5 = 5. A partir de a¡, la distancia entre dos términos cualesquiera es menor que e = 10~5. Despejando, q

PR0SLEM AS PROPUESTOS Hallar el término general, el límite (si lo tienen), y clasificar las siguientes sucesiones:

3.25.

5

12

19

26

7 ’ 10’ 13’ 16’ " ’

3.26.

- 1 1 - 1 1 - j- , g i, — ,

3.27.

9 14 21 30 Dada la sucesión 6, - , — , — ,

,

-1 -g " .---

a) Su término general. b) El término que ocupa el lugar 72.

, „ hallar:

21 c) El lugar que ocupa el termino igual a — ■

d) Su límite, si existe.

52

Introducción al Cálculo

3.28.

Encontrar ejemplos de sucesiones tales que: lím an = lím bn = 0 Íl— ^OO rt-*00 y que cumplan: a) lím ^ —oo; n— >oo bn

b) lím = 0; n >oo bn

c) lím — = 1. «->oo bn

3.29.

(_ l)n + t Demostrar que lím ------------= 0.

3.30.

Hallar el límite de la sucesión definida mediante la fórmula recurrente an —V3 • an- \ .

3.31.

Demostrar que Km — = 0, si r > 1. ¿Es cero el Kmite si r < 1? n-*o o r n

3.32.

Calcular Km * «— >oo n + senn

3.33.

Calcular Hm 5 ^ L ± ¿ > .

3.34.

Calcular Km e~n sean.

3.35.

Calcular Km (1 + 2 n3) i+3inn.

3.36.

Calcular Km n(2n — yfrfi + 2).

3.37.

^ / ln(2w + 1)\ 7¡jr Calcular Km ¡i->oo >oo \ 2n + 3 /

3.38.

Calcular Km -4= • ( -4= + -4= H-------b "4=') • n-+co y/n \ J i V2

3.39.

Calcular Km oo

3.40.

^ „ lnn Calcular lím ---- .

3.41.

Calcular lím n • (-¡t/a — 1). n— >-oo

3.42.

Calcular Km ----------------------------------, con a > 0. n-> oo /j

3.43.

Calcular Hm n->oo \

3.44.

Calcular V3, / T I , y 7 7 3 , • • •

n—>oo

n

In n

n-¥ oo

n—>-oo

n—>-co

r t -» 0 0

Ia + 2a H

n-yoo

Yna

n

i

2

2

1

/

«

54

Introducción al Cálculo

1 1 1 1 b ■• ■, donde an = ----------- . Haciendo una descom1--------- 1 1 -2 2 -3 3 -4 n{n + 1) posición en fracciones simples: 1 1 1 n(ji + 1) n n+ 1 EJEMPLO 4.2

Sea la s e r ie

con lo que: =

1 2

,

1 1 1 2 3 3

1 1 —_ ,= j 1 -------------

n

n+ \

n +1

ii ~b 1

EJEMPLO 4.3 Dada la serie 1 + 2 + 22 + 23 + . . . , es evidente que an = 2"~x, y la suma parcial /i-ésima es la de una progresión geométrica: 2"

—

1

An = --------- = 2" - 1 2 -1

@ DEFINICION 4 . 2

Se dice que la sene / ^ an es convergente si existe el limite finito lim A„ = A. n= 1

Al número A se le llama suma de la serie. EJEM PLO 4.4

En la serie

+ . . . de un ejemplo anterior: lim An = lim

® DEFINICIÓN 4 .3

n

11-+0OJl -f- 1

II-+O0

a„ es divergente si la sucesión Ai, A%

Se dice que la serie

, An es divergente.

n= I

EJEM PLO 4.5

La serie 1 + 2 + 22 + 23 + . .. es divergente, ya que: lím (2" — 1) = oo

n —t-oo

© DEFINICIÓN 4 . 4 EJEM PLO 4.6

A una serie que no es ni convergente ni divergente se le llama oscilante.

La serie a —a + a —a + a —a + ... es oscilante.

■ PROPOSICIÓN 4.1

La condición necesaria para la convergencia de una serie es que lím an = 0.

D e m o s t r a c ió n . Como

/í~»00

an = An —A„_i y lím An = lím A„_i = A, se tiene: n—+oo

/?—>oo

lím an = lím An — lím A„_i = A — A = 0 B

/?—+ 0 0

I1-+-OQ

n -+ o o

CAPITULO

SERIES NUMERICAS

En este capítulo se introducirá el concepto de serie numérica. Dicho concepto surge al estudiar la suma de los términos de una sucesión indefinida. Además de la suma de una serie, es del mayor interés el estudio de su convergencia, como ocurre con las sucesiones.

Dada la sucesión {«„}, cuyos términos pertenecen a K, se forma la sucesión {An}, • DEFINICIÓN 4 .1 cuyos términos son las sumas parciales: Ai = a\ Ai = ai + ai A3 = a\ + 1 y, divergente si a < 1. La serie 00 — /.,

n77

ij

a

22 = 1

© DEFINICIÓN 4.5 OO

geométrica:

Se llama serie geométrica a aquélla cuyos términos son la suma de una progresión

^

2

3

J a r” = a + ar + ar + ar + . .. 22= 0 OO

■

PROPOSICIÓN

4.2

Sea la serie geométrica

en 22= 0

1ue r es un mimew iea^a

■ Si |r| < 1, la serie es convergente y su suma es A — _ ■ Si |r| > 1, la serie es divergente. a Si r = 1, es divergente. B Si r = —1, es oscilante.

OO

® DEFINICIÓN

4.6

Se dice que la serie ] T a„ es de términos positivos, si a„ > 0 para todo n e N. 22 = 1

Estas series pueden ser convergentes o divergentes, pero en ningún caso oscilantes.^ Por otra parte, las series de términos negativos se tratan del mismo modo que estas, sin mas que cambiar de signo.

OO

m PROPOSICIÓN 4.3

La serie de términos positivos

es convergente si y sólo si la sucesión de 22 = 1

sumas parciales An está acotada. DEM OSTRACIÓN. La sucesión An es creciente, ya que a„ > 0 para todo n e N. Por estar acotada supe­ riormente, es convergente, según un teorema anterior (Sección 3.2). Recíprocamente, por ser convergente,

está acotada. ■ CRITERIO DE COMPARACIÓN (I) Sea 0 < «„ < b,„ Vn e N. Si

00 22 = 1

OO Análogamente, si ^ an es divergente, también lo es ^ 22

=

1

00

converge, entonces

” = 1

22= 1

bn.

converge.

56

Introducción al Cálculo

D e m o s t r a c i ó n . Sean A„ = a i +

a2 + ••• + «„ y jj„ = b, + b2 + ■■■ + bn. Se tiene que 0 < A„ < Bn OO

para todo n e N. Por la proposición anterior, Bn está acotada por ser J ^ b n convergente. Por lo tanto, n= 1

también está acotada An y

n= 1

an converge, por la proposición anterior.

oo

Del mismo modo, si J 2 «« diverge, la sucesión An no está acotada. Como O < An < Bn, tampoco lo n= 1

oo

está Bn y

n=l

bn diverge.

°° 3 3 1 00 i - . Como - > - y £ _ es divergente (serie armónica, Sección 4.5), i w rc=l también lo es la serie propuesta. Sea la serie

EJEMPLO 4 .7

CRITERIO DE COMPARACIÓN (II) Si an > O y bn > O para todo n e N, y lím — = r , entoncesoo ■ Si r

O, las series

an y n= 1

OO

n-+oo

oo n=l

tienen el mismo carácter. 00

a Si r = O y ^ 2 an diverge, entonces bn diverge. n=1 n=l Si r = oo y

«=i

bn diverge, entonces

oo

«=1

a„ diverge.

OO

a Si r = oo y ] P a„ converge, entonces ^ bn converge. «=1 n=l

1

OO

E j e m p l o 4 .8

La serie £

—

^

])2 converge, ya que dividiendo por la serie armónica ¿

vergente, Sección 4.5), el límite es igual a l .

n=1

CRITERIO DE LA RAÍZ DE CAUCHY OO

^ ea

n= 1

a'1 una ser*e

términos no negativos, tal que lím í / ¡ p = r.:

a Si r < 1, la serie converge, a Si r > 1, la serie diverge, a Si r = 1, se trata de un caso dudoso. E j e m p l o 4.9

OO ^ La serie ¡^P — es convergente, ya que:

n->oo

- I (con­

C a p ítu lo 4 /S e rie s numéricas

CRITERIO DE D'ALEIVIBERT O DEL COCIENTE oo Si

an > 0 p ara todo n e N, y lím Q”+1 = r, la serie Y ^ an: n-too an J

■ Si r < 1, converge, o Si r > 1, diverge. ■ Si r = 1, es un caso dudoso.

E je m p l o

“

?J3

-------- — converge, ya que Km ------ —-----7 = 0 < 1. n-*oo (n + 2) • n “ J(n + 1)!

4 . 1 0 L a serie >

CRITERIO DE RAABE-DU HAIVIEL a'l+1 \ = r, la serie Y ^ a,¡: a» 1 t

Si an > 0, Víi e N, y Km n .(l

n~>oo \

■ Si r > 1, converge. a Si r < 1, diverge. ■ Si r = 1, es un caso dudoso. OO

E je m p l o 4 .1 1

La serie Y ^ —----- — ------— converge, ya que: ' n(n + l)(;i + 2) n—1 lím

n->-oo

n

(1 \

an

/

= Km

n -* o o n + 3

=

3

> 1

CRITERIO DEL LOGARITMO DE CAUCHY ln ^ ^ Si an > 0, para todo n e N, y Km —n — * oo ln n

oo

= r, la serie Y"' an: n — 1

■ Si r > 1, converge. ■ Si r < 1, diverge. ■ Si r = 1, es un caso dudoso. 00

E j e m p l o 4.12

J

La serie 'Y ' y ió . s i n i n3 ■5 ln n—1 j

lím

n

n - * oo

converge, ya que:

ln (n 3 • 5 ln ) -------------------= 3 + ln 5 > 1

ln n

CRITERIO DE PRINGSHEIM Si an > 0, para todo n e N, y Km naan oo

■ Si r es finito y a > 1, converge. ■ Si r 0 y a < 1, diverge.

r, con a, r e l , la serie Y~',ann=l

57

58

Introducción al Cálculo

r.

. ._ t . ^ 3/72 + 277 + 1 La se n e 2_^ -----3— ^------diverge, ya que:

EJEM PLO 4 .1 3

71=1

lím n

n-> 00

3«2 + 2/1+ 1 5 = 3 + 0, con a — 1 + 5 7j

CRITERIO DE LA INTEGRAL Sea f ( x ) una función positiva decreciente, definida para todo x > 1, y tal que f (n ) = an para todo OO

e N. Entonces, ^ a„ converge si y sólo si existe: n=l r"oO oO

I J1

x > 1 , y existe el límite:

pn

f(x )d x = lím I f(x )d x "-+00 J 1

OO E 7ie~"„22 converge, ya que / ( x ) = xe"-v2 es positiva y decreciente para H=1

fn .2 r —e~*2 ~¡n / —1 1\ 1 lím / xe x dx = Km = lím ( — 5- H )= —

n -+ o o jl

■

-A-1

n yoo L

2

Ji

/i-»- \2én~

2e1

2e

DA- -:i =|:1\'= Dada la sucesión de sumas parciales Ai = ai, A2 —ci\ + a2, ■■■, A„ = a\ + a2 -i un número real A, tal que: Km A„ = A

h an, si existe

n -± o o

se dice que la serie es convergente de suma igual a A. A continuación, se van a sumar algunas series notables.

SERIE GEOMÉTRICA OO Es de la forma ) a rn, con ¡7-| < 1, y su suma es A = ------- . , 1 —7' 72=1 E j e m p l o 4 .1 5

OO / 1 V2 L a sum a de la serie 2_^ 3r (yi-Y j „e s y—\

n=0

3

,

1

i

= 6.

2

SERIE COCIENTE DE DOS POLINOMIOS Para hallar su suma, la serie se descompone en fracciones simples y se eliminan términos. EJEM PLO 4.16

HaKar la suma de la serie —-— |— -— ¡— -— b ■■• 1 -2

Se descompone en fracciones simples an = -----

1

2 - 3 3 - 4 1

77(77 + 1)

1

= --------------- , con lo que: 77

77 + 1

C a p ítu lo 4 /S e rie s numéricas

n

La suma A = lím A„ = lím -----

n —>oo 77 -{- 1

n —>00

=

59

1.

SERIE HIPERGEOMETRICA Es aquélla que verifica:

a,¡+ 1 _ a n + p an un + y

con a, {5, y € R- Su suma es:

A= E je m p l o 4.17

y ai y —a —p

2 -3 2-3-4 2 - 3 - 4 . . . (n + 1) 2 Sea -—- + -——— + -— - - 4-------1- -—z-—------ -— — - + . 4 -5 4-5-6 4 • 5 • 6 •7 4 - 5 - 6 . . . (n + 4)

Abreviadamente, V a ^ . (n + 4 )! n= 1 ---------3! Es hipergeometnca, ya q u e Su suma: A —

(— )

^ ^ 5 -1 -2

Un4-l n+ 2 i n n c = - , con a = l, p = 2 y y = 5. an n+5

—

1 4

SERIE ARITMÉTICO-GEOMÉTRICA Es de la forma

oo ; ¡ = i1

— , donde an es una progresión aritmética de diferencia d, y bn, una progresión

geométrica de razón r. Su suma es igual a:

r

A

í

d

bi(r - 1) oo

EJEMPLO 4.18

v —i 4n — 1 2 / 4 \ La suma de la serie ~ — es A = — — — (3 + - — - 1 Z ~~~1^ ' """ni ' n= 1

SERIE DEL TIPO DEL NUMERO e 00 a , a € E. Su suma es A = e‘a Es de la forma ^ n „ n=o CONVERGENCIA DE SERIES ALTERNADAS

Una serie es alternada si sus términos son alternativamente positivos y negativos.

CRITERIO DE LEIBNITZ Si a\ > a 2 > ai > ■■• > O y Km cin = O, entonces la serie } (—1)n+1 an = a\ —ü2 + ai —a$ + n—>oo

«5

b ( - l ) '1+1a,¡ + . . . converge.

¿~—J 71= 1

60

Introducción al Cálculo

Además, en las anteriores condiciones, las sumas parciales An de orden impar son valores aproxi­ mados por exceso de la suma A de la serie, y las sumas pares son aproximaciones de A por defecto. Por otra parte, el error cometido no supera el primer término omitido en dicha suma. Esto es: o < (-1 )" • (A - An) < a n+1 para todo n > 1 . °°

j

í

(—1)'!+1 —es convergente, ya que a\ > a% > . . . y lím — = 0. n n-+oo n

E je m p lo 4.19

La serie

EJEMPLO 4.20

00 ln n ln x La serie 7 (—1)'!+1 ---- es convergente, ya que f (x ) = ----- es decreciente. En n x n“= 1

efecto:

n= 1

r! , , 1 —ln X f (x) = -z— < 0, para x > e

lnn Además, lím •— - = 0. n->oo n

E

(—l) n"ri —-------— x------r es convergente, pues: n = i (3n + l)(2n + 3) B F lím n->oo (3n + l)(2n + 3) y es decreciente: 1

1

a'l+l ~ [3(n + l) + l][2(n + l ) + 3 ] < (3n + l)(2n + 3) ~ a" Como C14 = - - - ------ < 10“ 2, se tiene que ( - 1 ) 4(A - A3) < 04 < 10- 2

A « A3, con un error

menor que 10 2 . El valor de A3:

A3-¿_¿+¿=0’04 Por tanto, A = 0,04, con un error menor que 10

4 .1 0 .

¡SUM A DE DOSiSERIES

1

D e fin ic ió n

4.7

Se define el producto de un número real k por la serie

■ PROPOSICIÓN 4.4

an como la serie kan. n=V n= 1

Si la serie ^ an converge a A, la serie ^ kan converge a kA. n=l n= 1 00

D e m o s tr a c ió n .

Inmediata, ya que las sumas parciales de

n=l

kan son kAn, de límite kA. ■

61

Capítulo 4 / Series numéricas

i DEFINICIÓN

oo oo Se define la suma de las series ^ an y bn como la serie

4.8

n= 1

oo

■ PROPOSICIÓN 4 .5

+ bn). n— 1

7 i= l

oo

Si las series y ^ « n y 71=1

convergen a A y a B, respectivamente,

suma

71=1

OO

y ^ (fln + &n) converge a A + B. n= 1 00 D e m o s tr a c ió n .

Inmediata. Las sumas parciales de

+

W

son

+

B„, de límite A + B.

22 =1

PROBLEMAS RESUELTOS En los siguientes ejercicios, estudiar la convergencia de las series.

n + i > , a > 0. nan o o

o

i

i

n= 1

Resolución Aplicando el criterio de D’Alembert (Sección 4.7):

(n + l ) 2 + 1 (n + 1)a n+1

,, a,i+i „ 1 lim ------= lim - — 25— ------- = n-+oo q. 1 a n->-00 an

nan b

Sia > 1, converge.

n Sia < 1, diverge. ■ Sia = 1, diverge,ya que el límite del término general es distinto de cero (Sección 4.4): 1, n2 + l km = 00 jí O 71-a-00 n

00

«2

£ ,- (n + .l)l 77=1 Resolución Aplicando el criterio de D ’Alembert (Sección 4.7): lím — - = hm

2 2 -+ 0 0

an

/¡-¡-oo

^ +-

_j_ 2 )

= O < 1. Convergente.

62

Introducción al Cálculo

Resolución Comparando con la serie armónica (Sección 4.5):

n n 1 > r- = . Divergente. n¿ —1 n¿ n

4.4.

V

j“

-----.

(n + 1)(« + 2)

Resolución Aplicando el criterio de Pringsheim (a = 1) (Sección 4.7):

in Inn n -— — —----- — = 1. Divergente. ti ^oo (n + l)(ra + 2) 5

n(n + 1)

n=4

{n —2){n —3)

Resolución No converge, ya que Km a„

0 (criterio general de convergencia, Sección 4.4).

4-6- nE(sb)’=1

Resolución ApKcando el criterio de la raíz de Cauchy (Sección 4.7): iKm

n 1 ------ = - < 1. Convergente.

n-*oo 3 /j — 5

3

4.7.

■

Resolución ApKcando el criterio de Pringsheim (Sección 4.7); Km n->oo

Yt n4 —3

Como a = 3, la serie converge. También se podría hacer mediante el criterio de Raabe (Sección 4.7).

4.8.

n+ 1•

E + ni n=l 33 +

Capítulo 4 / Series numéricas

63

Resolución Mediante el criterio de Pringsheim (Sección 4.7): lím „ ¿ . - ü ± ^ = i / 0

3 + 112

Como a = 1 , la serie diverge.

OO

y^(V2n —1—- J r i i .

4.9.

; 77=1

Resolución El límite de an es igual a; lím (V 2 n —1 — «Jn) — lím

— = oo / 0

n-+oo ^J2 n - l + «fñ

Por tanto, la serie diverge (Sección 4.4).

4.10.

Analizar si son falsas o ciertas las afirmaciones siguientes: OO

CO

a) 7 an no convergente

t—1

n= 1

j

í

!

— convergente.

n= 1

00

i!

J

/

an

00

I

^

TmmmJci,¡ convergente, an + 0 = + Áy Ji 1 _L /I convergente. b) Á ' , * \ an ■ 7i = l •

' n=l

c)

OO

• 00

a„ convergente, a„ + 0 ==+

;¡ = 1

77=1

Resolución

OO

! i

’ a„ convergente.

j

j

n

1

OO

a) Falsa, ya que ' y ~ es divergente (serie armónica, Sección 4.5) y la serie ^ P n también lo es. °°

b) Falsa, y

77=1

°° —z es convergente (serie armónica, Sección 4.5) y > 1

*—> n 2

']

77= 1

convergente, ya que su límite es 1 ^ 0 (Sección 4.4).

an

c) Cierta, ya que el límite del cociente de ambas es: lím — —r J

^

77—>0O 11 + 1

mismo carácter [criterio de comparación (II), Sección 4.7].

E00

4.11.

77=2

77= 1

n

. an

77= 1

1 i + a

°° 7I2 = > -=----- no es n2 + i

77= 1

= 1 y ambas han de tener el

nk T~ 7TT'((nn — - 1 IV )!

Resolución Mediante el criterio de D ’Alembert (Sección 4.7):

(n + í )k ihm ' —— = vlím ------«• (n + ) k = O < 1. Convergente. _nl = i' hm — ^ l— n—*-oo an /i-*oo n (n - 1)!

64

Introducción al Cálculo

■

4.12.

...

,

.

. .

;

\

a

Estudiar el carácter de la sene 2_^

r /n

+

2n n -n

l\n

-j + -------~J

■n = 2

Resolución Aplicando el criterio de la raíz de Cauchy (Sección 4.7): lím

n—>oo

4.13.

lím

/■n + l\n

n -y oo

oo

oo

(re + 1) • /I!

n-^-oo

4

4"

4.14.

re

. Estudiar el carácter de la serie ? 7. • ¿ Í ( « + Dn'

Resolución Mediante el criterio de la raíz de Cauchy (Sección 4.7):

(

1 \n ) = e~ < 1. Convergente. n + 1/

4.15.

|

■

■■

uu

i Estudiar el carácter de la serie £ ( 1 +' ' ' 7Z=1

n

1 ■

Resolución lím ( l + i ) n/

n-+00 \

4.16.

= e A 0. Divergente (crit. gen. conv.).

i Estudiar el carácter de la serie

n= 2

Resolución n+ 3 lím

n- * - 0 0 n — 1

= 1 A 0. Divergente (crit. gen. conv.).

Capítulo 4 / Series numéricas

^

OO Estudiar el carácter de la serie >

¿í

4.17.

.

(ln2)"

Resolución Mediante el criterio de la raíz de Cauchy (Sección 4.7): lím

= lím ---- > 1. Divergente. «-+ oo l n 2

« -+ 0 0

' Estudiar el carácter de la serie '

n\ ■2” ¿ - 1 n"

4.18.

Resolución Utilizando el criterio de D’Alembert (Sección 4.7): (w + 1)! • 2”+1 lim

«-+oo

4.19.

(n + 1 ),!+1

a n+1

----- = lim —-— an

«-+00

„

--------- = hm

ni ■2

«-+ oo

2n"

2

— = - < 1. Converge.

(n + 1 ) "

e

4 • 7 • 1 0 ... (3n + 1)

Estudiar el carácter de la serie n= 1

2 • 6 • 1 0 ... (4;i - 2 )'

Resolución Mediante el criterio de D ’Alembert (Sección 4.7): 4 „ 2 lim . «-+oo 4 2

4.20.

í t

• 7 •1 0 ... • 6 •1 0 ... „ • 7 •1 0 ... • 6 •1 0 ...

(3n + 4) (4n + 2) „ 3n+ 4 3 — —r f = lim = - < 1. Convergente. (3n + 1) «-+00 4 n + 2 4 (4n - 2)

00 E •

•. n —

ti

- +-=-.■ .

{n + l ) 3 L ■

Resolución

00 Comparando con la serie armónica ^ «=l

j

(Sección 4.5):

—r- = — (n + l ) 3 < «3 n2 [Crit. de comp. (I)] oo ^ Es convergente, puesto que ^ ~ converge.

/=i n

n

n

1

65

66

Introducción al Cálculo

4.21.

i-

•

oo

2

Estudiar el carácter de la serie > -----------. ¿ (« + !)!

Resolución Utilizando el criterio de D ’Alembert (Sección 4.7): (n + l) 2 „ (n + 2)! „ lím ------=----- = lim

(n + l ) 2

n—*oo (n + 2 ) • n ¿

n-*oo

_ , _ = O < 1. Convergente.

(n + 1)!

4.22.

00

9

cos¿ n ; Estudiar el carácter de la serie ^ 3" n=.l •

Resolución Comparando con la serie geométrica (Sección 4.6): eos2 n 1 3" - 3" puesto que eos2 n < 1. 00 1 n 1 Es convergente, por serlo 'Y', ( ^ ) , ya que - < 1. n=l

4.23.

| : Estudiar el carácter de la serie > ¡

'

^

n=l

nn . 3" -ni

Resolución Mediante el criterio de D ’Alembert (Sección 4.7):

(n + 1)"+1 an+\ 3"+1 •(« + !)! (ra+ 1 )" e lím ------- = lím --------- \ ------— = lím = - c 1. Convergente. «->■oo an n-* oo n n->oo 3nn 3 3» ■ni

4.24.

■V- A■fl ■■ Estudiar- el carácter de la serie > — . ^ n! n=1

Resolución Utilizando el criterio de D ’Alembert (Sección 4.7):

(n + l) n+1 i' a«+l i(n + 1 )! „ /« + l \ n , r.. = lim ( = e > 1. Divergente. lim ------- = lnn — — s n-+oo \ n /

C a p ítu lo 4 /S e rie s numéricas

4.25.

Estudiar el carácter de la serie ^

67

V n3 + 2 n

Resolución Comparando con la serie armónica (Sección 4.5): 1 V «3 + 2n


(

^

n

) . *-• \ 2 n + 1 /

n= 1

Resolución Mediante el criterio de la raíz de Cauchy (Sección 4.7):

n 1 „ _ lím Nñn = lim -------- = - < 1. Convergente. /i— >oo «->oo 2n + 1 2

4.27.

00 1000" Estudiar el carácter de la serie ^ n! K=1

•

■•

Resolución Utilizando el criterio de D ’Alembert (Sección 4.7): 1000"+1 ctn4-i (n + IV , 1000 lím —— = Km innn„ = Km — — = 0 < 1. Convergente. n-j-oo an n->oo lUUU n-yoo n + 1 n\

4.28.

v -v (/)!) Estudiar el carácter de la serie > (2n)l 71=1......

Resolución Mediante el criterio de D ’Alembert (Sección 4.7):

((» + DO2 ^«-fl

w

(2(n + l) ) í

^

1

f

Km —1— = Km — ------------= - < 1. Convergente. «->oo (n!) 4

ii—>oo an

(2n)T

4.29.

CC Sumar la serie ^ 71=1

1 11

^ .

68

Introducción al Cálculo

Resolución 1

/1 \2

A „ - - + (-)

,K 3

+ (-)

+...

Se trata de una serie geométrica (Sección 4.6). Su suma: 1

4.30.

00

2

Sumar la serie ^ n(n + 2) n=l

Resolución Haciendo una descomposición en fracciones simples: 2

1

1

n (n + 2)

n

n+2

La suma parcial An: A n

—«1 + «2 + ••■+ c in = (1 ——1 + ( ———1 + •••+ ( ------- —1 V

1 = 1+ . 2

3/

?i (3íi + 5) La suma A = lím An = lím ti 5-oo «->oo 2(7í + 1)(tí + 2)

\2 1 71 + 1

4/ 1 tí + 2

n + 2/ Vtí ti (3 tí + 5) 2( tí + 1)(tí + 2)

3 2

3 Es una serie convergente de suma igual a - .

4.31.

' Sumar la serie

n=1 (rt + 2)(n + 3)

Resolución Procediendo como en el ejercicio anterior:

An ~ \3

7K3

ti +

A = ííI™ -^-oo An = \3

Otra forma de hacerlo sería considerando que es una serie hipergeométrica (Sección 4.8).

4.32.

. sene x>- ' "■■ 11 12 , . Sumar la -=------71= 1

tí3 +

5n2 +

6n

Resolución Descomponiendo en fracciones simples:

Capítulo 4 / Series numéricas

1 1 1 Llamando Hn = 1 + - + - + - +

69

se tiene:

A n = 2 f l B - 5 f f n + 3 f l ’„ + 5 - l + 5 - ^ - 3 - l - 3 . i - 3 . ^

4.33.

Estudiar el carácter de la serie ^

í

Resolución OO / n= 1

, „\ —1

n + 3\ 3 )

00 n= 1

s-

_________ 2________ (n + 3 )(n + 2 )(n + l)

Descomponiendo en fracciones simples: 3

6

3

f ] ( — ---------- — + — ) ' I\nñ + 1 n + 2 n + 3/

71= 1

Procediendo como en el problema anterior:

An = 3Hn - 6 H„ + 3Hn - 3 + 6 + 6 ■i - 3 - 3 ■i - 3 • ^

^

~ 2» + l Id em )^ — •

4.34.

n= 1

‘

|

Resolución Se trata de una serie aritmético-geométrica (Sección 4.8), ya que el numerador es una progresión aritmética de diferencia 2, y el denominador es una progresión geométrica de razón 7. Su suma será: 1\

5

7(7 - 1)

00 n +i 11 Hallar la suma parcial A,2 de la serie ^ ln ------- , y demostrar que es divergente.

4.35.

n=1

i

'

Resolución An = a\ + a 2 + ■■■ + an = (ln 2 —ln 1) + • • • + [ln(n + 1) —ln n)] = ln (n + 1) - ln 1 = ln(n + 1) Por tanto:

4.36.

i •

lím An = lím ln(n + 1) = oo. Divergente.

11-+00

•-

- - o o . - rj ■ ’

■Sumar la serie :

n~±oo

n= 1

-— — —— (n + 4)(n + 5)

70

Introducción al Cálculo

Resolución Descomponiendo en fracciones simples: 7

(_ J \ n -f" 4

(n + 4) (n + 5)

L \

n ~f“ 5 /

La suma parcial An:

An —ai +ci2 ~\--------b a,, =

\5

6/

5

n+ 5

\6

7/

+ -----b ( —— --------\; í + 4 n + 5/

lím A„ — Km ( - —■—- — ) = -

n->oo

>oo \ 5

n + 5/

5

La suma de la serie es igual a

4.37.

Sumar la serie

5

8

11

14

Resolución Es una serie aritmético-geométrica (Sección 4.8), con d = 3, r = 2, ai = 5 y b\ —2. Su suma: A

4.38.

r ¿ l(r-l)

t d \ 2 /. 3 (a i + ----- - ) = --------------(5 + ------- ) V

r - l J

2(2 - 1)

\

2 -1 /

_ ■, : 2 2 -3 2-3-4 2 •3 •4 •5 Sumar la sene - + —— H — H— : + .,. 4 4 -5 4-5-6 4-5-6-7

Resolución Es una serie hipergeométrica (Sección 4.8), ya que: fl/i+l

n+ 2 11+ 4

an

siendo a = 1, ¡3 —2 y y = 4. Su suma: A = ---- — ---- =

y -a -p

4.39.

00

Sumar la serie

4 - 2-

— = 2. 4 -1 -2

j

In ( l ----11=2 :;V

Resolución

Por tanto: ,3-1

4-2

,5-3

, (n + l)(re — 1) --------

An _ l n - ^ - + ] n - p - + ] n - ^ - + --. + l n

= ln3 + In 1 - 2 • ln2 + ln4 + ln2 - 2 • ln3 + ln5 + ln3 - 2 ■ln4 + • • • + ln(« + 1) + ln(n — 1) —2 • lnn

fn + 1' - In 2 + ln(n + 1 ) —lnn = —ln2 + ln ( - ------^

-

Capítulo 4 /S e rie s numéricas

= —ln2.

Su suma es A — lím

n— >oo

4.40.

71

Demostrar que la serie alternada: +

3

5

h( - D n+1•

¡

2n — 1

7

es convergente y averiguar el número de términos preciso para calcular su suma con un error menor que 0,001.

Resolución Se utiliza el criterio de Leibnitz (Sección 4.9). Para ello, es preciso verificar que la sucesión de término es decreciente. general a„ = — 2 n —1 En efecto:

1 2 (n + 1) — 1

a,1+l

1 2n + 1

1 2n

—1

"

Por otra parte: lím an = lím

n—>oo

-------

n-*oo 2 ll —1

=0

Por tanto, la serie converge. Además: ««+i = "z : 7~¡~r— 7 < 0.001 = b n = 499,5 2 {n + 1 ) — 1 Habrá que tomar 500 términos para obtener la suma de la serie con un error menor que 0,001.

4.41.

1 1 1 — Ib (—1)" 2! 3! con un error menor que 0,01 .

Dada la serie —1 H

Resolución

1 lím an = lím — = 0; n-*oo « i

ii->-oo

b .. ■, demostrar que es convergente y hallar su suma

ni

1

1

(re + 1 ) !

re!

an+1 = -— — — < — = a„

Es convergente. Por otra parte:

ai = 1, «2 = 0,5, as = 0,16, 04 = 0 ,0 4 ..., a¡ = 0,008 . .. < 0,01 Será preciso tomar cuatro términos, ya que el error cometido al hallar la suma es menor que el primer 1 1 1 5 término omitido «5 = 0,008 — Por tanto, la suma A, por defecto, será A = = —1 + - — - + — = — 2 6 24 8

PROBLEMAS PROPUESTOS Estudiar la convergencia de las series siguientes:

4.42. 4.43.

y , 2re + 1 Z—1 re + 1 H= 1

re2 + 2

n=1

2 re

72

Introducción al Cálculo

4.44.

OO

Y

-

— .

n=l v

4.45. 4.46. 4.47. 4.48.

E

n

n= l

+

00

nn

'

- j ■^

Jmmmmmá 71=1

00 . E n!

n= 1

O 71 ‘

E:, n J n

71=1

4.49.

OO

£ ■„ (n2 — 1) • lnn

n=2 v

4.50.

'

Dadas las series siguientes, se pide a) su término general; b) demostrar que son convergentes; y c) su suma: 1 1 1 1 T i l + 3^5 + Y l + Y 9 + ' ' '

4.51.

1 1 1 ----------- 1----------- H------------- 1-. . . 1-2-3 2-3-4 3-4-5

4.52.

Sumar la serie 0,045 + 0,015 + 0,005 + . ..

4.53.

Sumar la serie ^

OO

2

n

„

.

n= 1

4.54.

Hallar, con un error menor que 0,001, la suma de la serie alternada

(-D 77=1

n • 10”

G A r fffU U )

LIMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

E l estudio de las funciones es uno de los objetivos fundam entales del C álculo. E n este capítulo se h ará u na introducción a las funciones reales de una v ariable real, y a los conceptos de lím ite y continuidad en un punto.

¡Mío

_______________________

___ _

................................

• DEFINICIÓN 5.1 Dados dos subconjuntos A, B c R, se llama función a toda aplicación (ver nota Sección 1.6) de A en B, f : A -» B, es decir, a toda correspondencia entre Ay B que asigna a cada valor de x e A un único valor y = f (x ) e B.

A la variable y, cuyo valor depende del valor dado a x, se le llama variable dependiente. A x se le llama variable independiente. Se representa la función por y = f(x ). E j e m p l o 5 .1

y —3x + 1;

y - senx;

X + 1

y = ——-

• DEFINICIÓN 5.2 Se dice que la función y = f (x ) está definida en un punto x = c, si existe f(c ). Análogamente, se dice que f (x ) está definida en un intervalo (a, b) si está definida para todo valor x e (a, b). • DEFINICIÓN 5.3 Se llama dominio de definición o campo de existencia de una función y — f (x ) al conjunto de valores de x para los que f (x ) está definida. Se representa por D o m / . • DEFINICIÓN 5.4 Se llama imagen o recorrido de la función y = f (x ) al conjunto de valores de y para los que existe r s l , tal que y —f(x ). Se representa por Im / . E j e m p l o 5 .2

= R;

Im / = R

f (x ) = 3jc + 2; f (x ) = senx;

Dom /

D o m / = R;

Im / = [—1,1]

f (x ) = — 1 ; x —1

D o m / = K —{1};

Im / = R — {0}

74

Introducción al Cálculo

^ ^ ^ t e ^ i la W ^ i q ^ aHJ >?M M r I4'-: • DEFINICIÓN 5 .5 Función algebraica es aquélla en que las operaciones que se realizan con la va­ riable independiente son suma, resta, multiplicación, división, potenciación o radicación.

E je m p l o 5 .3

L a función

• DEFINICIÓN 5 .6

y=

3x + 1

es algebraica.

Funciones trascendentes son las trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.

• DEFINICIÓN 5 .7 Función explícita es aquélla en la que la variable dependiente está despejada. Si la variable no está despejada, la junción recibe el nombre de implícita. En funciones implícitas sencillas, es posible despejar la variable y escribir la función en su forma explícita. • DEFINICIÓN 5 .8 Funciones irracionales son aquéllas en las que la variable aparece bajo el signo radical o con exponente fraccionario. En caso contrario se llaman racionales. • DEFINICIÓN 5 .9 Función fraccionaria es aquélla en la que la variable independiente aparece en el denominador o con exponente negativo. En caso contrario, la función se llama entera.

SUM A, PRODUCTO Y COCIENTE DE DOS FUNCIONE • DEFINICIÓN 5 .1 0 Si f{x) y g{x) son dos funciones, y D *+ Análogamente se define límite por la izquierda. Se representa en la forma lím f (x ) = l.

x~*xo Para que exista el límite de f(x ), cuando x tiende a xo, es necesario y suficiente que se verifique: lím / ( x ) = lím / ( x ) , y se escribe lím f (x ) —l. x-+xo x~*xo x~*x° $.13 9 DEFINICIÓN 5.14 También se puede decir que l es el límite de f (x ), cuando x tiende a xo si Ve > 0, 35 (func. de e) > 0 / |x —xo| < 5 =>■ | f (x ) —l | < e. E je m p lo 5 .7

S ea la función / ( x ) =

I

X + 1 S! X “ ¡

X “t- Z SI X 1+ Por la izquierda: x : 0 ,9 , 0 ,9 9 , 0 ,9 9 9 , . . . / ( x ) : 2 ,9 , 2 ,9 9 , 2 ,9 9 9 , . . .

Por tanto, lím / ( x ) = 3. .y-» i -

76

Introducción al Cálculo

Figura 5 .1

Como los límites a derecha e izquierda no coinciden, la función no posee límite en x = 1 (ver Figu­ ra 5.1). En la práctica, los cálculos se disponen de la siguiente forma: lím f (x ) = lím / ( I + h)

x—^1"^

h—>-0

lím / ( * ) = lún / ( I —h)

x -* l“

/i-*0

h—^0 /i-> 0

=

lím (1 + h) + 1—2

—

lím (1 — h) + 2 = 3

puesto que si los valores de h son positivos y tienden a cero, i.e.: 0 ,1 ,0 ,0 1 ,0 ,0 0 1 ,..., es evidente que los valores de 1 + h tienden a 1 por la derecha y, análogamente, los de 1 —h tienden a 1 por la izquierda.

PROPIEDADES DE LOS LIMITES

1. El límite de una función f (x ) en un punto x = xq, si existe, es único. 2. El límite del producto de un número real k por una función, en un punto x = xo, es igual al producto de k por el límite de la función: lím k ■f (x ) = k ■ Km f (x ) X-»-X0 X—^XQ 3. El límite de la suma de dos funciones f (x ) y g(x), en un punto x = xo, es igual a la suma de los límites respectivos: Km [/( x ) + g(x)] = Km f (x ) + Km g(x) X—>XQ

X—>X0

X—*-Xo

4. El Kmite del producto de dos funciones / ( x ) y g(x), en un punto x = xo, es igual al producto de los límites respectivos: Km [ /( x ) • g(x)] = Km / ( x ) ■ Km g(x) X— ^X0 X-*X0

X—^X0 5.

El Kmite del cociente de dos funciones / ( x ) y g(x), en un punto x = xo, es igual al cociente de los límites respectivos: lím f (x ) f (x ) Km , , , / \ T ------T T >slendo llm 8 (x) ^ 0 I i g to i™ g(x) x->x0 v / í /
f (x 2).

© DEFINICIÓN 5 . 2 0

s,fiTio

su l a t o s ® m ( » © DEFINICIÓN 5 .2 1

iMwajtKOb a s i J i M í t c í i

Se dice que la función f(x ), de dominio D C E, está acotada superiormente, si

3/c e R / Vx € D, / ( x ) < k.

Análogamente se define función acotada inferiormente. © D e f in ic ió n 5 . 2 2 Se dice 3/c e R / Vx 6 D, f (x ) > k. 9 DEFINICIÓN 5 .2 3

tada.

que la función / ( x ) , de dominio D c R, está acotada inferiormente, si

Si una función f (x ) está acotada superior e inferiormente, se dice que está aco­

© D e f in ic ió n 5 . 2 4 Se dice que la función /( x ) , de dominio D c M, presenta un máximo absoluto en un punto xq e D, si Vx e D, / ( x ) < /(x o ). Análogamente se define mínimo absoluto. © DEFINICIÓN 5 .2 5 Si existe un intervalo ( a ,b ) C D / Vx 6 (a ,b ), f (x ) < f (x o), se k, siendo k un núm ero real cualquiera. Si se divide [a, b] en dos partes iguales, al m enos en u n a de ellas habrá valores p ara los que / ( x ) > k. D ividiendo dicha p aite en dos partes iguales, hab rá valores para los que f (x ) > k en una d e las dos. R eiterando el proceso se obtiene u n a sucesión de intervalos encajados, cuya am plitud tiende a cero, en los que existen valores para los que / ( x ) > k.

Según el postulado de Cantor, existe un valor a, común a todos los intervalos, para el que es posible encontrar un entorno en el que |/ ( x ) — /( a 0 | < e, por ser la función continua en a e [a, b\. Pero en este entorno hay valores para los que / ( x ) > k, lo que contradice que |/ ( x ) — f{a)\ < e. Por tanto, la función ha de estar acotada, en contra de lo supuesto al comienzo. ■ EJEM PLO 5 . 9

L a función

f (x ) = —-----, continua en (3 , 7 ], no está acotada en dicho intervalo, ya que

para valores de x mayores que 3 y arbitrariamente próximos a él, toma valores mayores que cualquier número positivo. Ello es debido a que no es continua en x = 3 (ver Figura 5 .6 ).

Figura 5.6 EJEM PLO 5 . 1 0 La proposición recíproca de la anterior no es cierta. Por ejemplo, la función / ( x ) = x — E (x), donde E(x) es la "parte entera de x ”, está acotada en el intervalo [0,2] y, sin embargo, es discontinua en 1 e [0, 2] (ver Figura 5.7).

80

Introducción al Cálculo

Figura 5.7 ■ TEOREMA 5 .1 ( W e i e r s t r a s s )

Todafunción f(x ), continua en un intervalo cerrado [a, tí], admite

un máximo y un mínimo en [a, tí\. DEMOSTRACIÓN. Para el máximo. Según la proposición anterior, f (x ) está acotada en [a, b], por ser continua en un intervalo cerrado. Sea k la menor de las cotas superiores. Si existe xo e [a, b] / f ( xq) = k, ya está demostrado; de no ser así, ha de cumplirse que k — f (x ) > 0, Vx e [a, b]. Entonces, por la proposición anterior:

3k' € 1 / — !— < k' k - f (x ) por ser: 8(x)

k - 1f (x )

continua en [a ,b ]. Por tanto:

k - f (x )

0 y tomando e = l > 0, existe un entorno de xo para el que |/ ( x ) — /(x o )| < Z. De aquí se deduce que / ( x ) — /(x o ) > —Z= > f (x ) > 0, pues /(x o ) = Z. ■ ■ T e o r e m a 5.2 ( B o l z a n o ) Si una junción / ( x ) es continua en un intervalo cerrado [a, b], y toma valores de signo opuesto en a y en b, la junción se anula al menos en un punto interior de [a, b]. Se supone que f ( a ) > 0 y f (b ) < 0, sin perder generalidad. Se considera el punto medio del intervalo [a, b]: (a + tí)/ 2. Si / ( ^ ^ ) = 0, el teorema está demos­ trado; de no ser así, por ejemplo, si < 0, se considera el intervalo [a, en los extremos del cual la función toma valores de signo opuesto. Se repite el proceso, considerando el punto medio de este intervalo: DEM OSTRACIÓN.

2

Si la función se anula en este punto, ya está demostrado; de no ser así, se sigue adelante. Según el postulado de Cantor, existe un punto a, perteneciente a todos los intervalos, en el que la función se anula ya que, de no ser así, / ( x ) ha de ser positiva en un entorno de a, si f ( a ) > 0, o negativa si f ( a ) < 0, según la proposición anterior. Esto contradice el hecho de que / ( x ) tome valores de signo opuesto en los extremos de cada intervalo. 9

81

Capítulo 5 / Límite y continuidad de una función

EJEM PLO 5 . 1 1

La ecuación eos x - 2x + 1 = 0 tiene, al menos, una solución en el intervalo [0 , r r/2 ].

La función / (x) = eos x —2x + 1 es continua en [0, rr/2], por ser suma de funciones continuas en dicho intervalo. Además: /(O ) = 2 > 0 - 7T + 1 < 0

Según el teorema de Bolzano, existe a e [0, tt/2 ] / / (a) = 0.

Recordando la Sección 5.8, dada una función f (x ), de dominio de definición D, se dice que es conti­ nua enxo € D +?■ Ve > 0, 35(e, xq) > 0 / \x —xq\ < 5 = + | f (x ) —f (x o)| < e. En la anterior definición se observa que el valor de 5 no depende solamente del valor tomado para e, sino que depende también del punto en cuestión xq. En general, no será posible encontrar un único S para un valor dado de e, ya que 5 variará al variar xq. Si se impone la condición de que 5 dependa únicamente de e en el intervalo (a, b), se está estableciendo una condición más fuerte que la de simple continuidad en (a, b) y se introduce el concepto de continuidad uniforme en dicho intervalo. • DEFINICIÓN 5.26

Una función f{x), de dominio D, se dice que es uniformemente continua en {a, b) c D -£> Ve > 0, 35(e) / Vx\,x j e {a, b), \xi —X2 ¡ < 5 = + \f{x\) —f(x f)\ < e.

Obviamente, si f{x) es uniformemente continua en (a, b), es continua en (a, b). La afirmación recíproca, en general, no es cierta. Sin embargo, si f (x ) es continua en un intervalo cerrado [a, b], es uniformemente continua en dicho intervalo (Cantor-Heine). EJEM PLO 5 . 1 2

5 = e.

La función f (x ) =

X

es uniformemente continua, Vx € R. Se comprueba tomando

EJEM PLO 5 . 1 3 La función / (x) = l/( x —1 ) es continua en ( 0 , 1), pero no es uniformemente continua en dicho intervalo. Se comprueba tomando valores cada vez más próximos a 1.

• DEFINICIÓN 5 .2 7 Se dice X q , s i lím / ( x ) = 0.

X

que la función f (x ) es un infinitésimo o infinitamente pequeña, cuando

X-+XQ

DEFINICIÓN 5 . 2 8

Dos infinitésimos f{x) y g (x) en

xq

son del mismo orden, si lím

l e R - {0}. • DEFINICIÓN 5 . 2 9

Sean / ( x ) y g(x) infinitésimos en xo- Se dice que / ( x ) es un infinitésimo de

mayor orden que g{x), si lím

*-^*0 g(x)

>

• DEFINICION 5 . 3 0

f(x ) g(x)

= 0.

Dos infinitésimos f{x) y g(x), con x

Se representa como: f (x ) ~ g(x).

xq,

son equivalentes si lím

f (x) g(x)

= 1.

^l^xyiys~£a-impartgncia de la < y g(x) son equivalentes^dfiTmiJe~de=ümi~expjvsión en la que figura f{x) como factor o divisor no se alterajifsustittíi+f (x) por g(x).

J

S/

i

/fs )

C

X

C

>

i''T jr h 'J s $ V ) ^

tj

f e . < /% ) H

^

,^,j ..(-^

£ C ! / ( r r ;}■! C ~\ ',

* Í::.

, 'ñ * . - /& . h i l Introducción al Cálculo í ) f ^ )

82

ll-i/ff i ’XjC /-“

fu a n d o x —> 0, son equivalentes los infinitésimos siguientes:

¿CL/Cir>¿Sv /*' ^ % t-"’#

senx «í x are sen x '« x ln(l ± x) « ±x ax — 1 «tí x ■ln a, a > 0 £>^(1 + x )p «« 1 + px

tgx «tí x are tg x «=¡ x ex — 1 «« x 1 —cosx «a (x 2) / 2 J¡/x — 1 «a ln J¡/x

PROBLEMAS RESUELTOS Hallar el dominio de las siguientes funciones:

5.1. ¡ / ( x ) = %2 x + 1. Resolución Dom f{x) = R. La raíz existe para todo valor de x e R, por ser una raíz cúbica.

5.2.

i f (x )

9 —x,2'

Resolución La función no existe para los valores de x que anulan el denominador: 9 —x 2 —0 =4> x = ±3 = > Dom / ( x ) = R — {—3, 3}

5.3.

i / ( x ) = V x2 —4.

Resolución El radicando ha de ser mayor o igual que cero para que exista la raíz cuadrada:

x 2 —4 > 0 =$■ x 2 > 4 =>• x 6 (—oo, - 2 ] U [2, oo) =>■ D o m /(x ) = (-o o , —2] U [2, oo)

5.4. ¡ / ( x )

= V2 + x —x 2.

Resolución Del mismo modo: 2 + x —x 2 > 0 =>• (2 —x )(l + x ) > 0 =>• x e [—1, 2] ==>• D o m /(x ) = [—1,2]

5.5.

i / ( x ) = V —x +

■\/l H- x

Resolución El radicando de la primera raíz ha de ser mayor o igual que cero y el de la segunda mayor estrictamente que cero, por estar en el denominador. Por tanto: x < 0 y l + x > 0 =ri> x < Oy x > - 1 =¥■ x e ( - 1 , 0] =*> D o m /(x ) = (-1 ,® ]

Capítulo 5 / Límite

y continuidad de una función 83

Resolución Puesto que los números negativos carecen de logaritmo, ------- > 0. Caben dos posibilidades: 1 —x 1 +x > 0 1 —x > 0

x > -

1+ x < 0 1 —x < 0

x < —

X


1

= >

X 6

(— 1, 1)

1

Por tanto, D o m /(x ) = (—1, 1).

5.7.

| / ( x ) = ln(x2 - 9).

I

Resolución x2 - 9 > 0

5.8. 1/ ( x )

x 2 > 9 =>• x € (—oo, —3) U (3, oo). Por tanto, Dom / ( x ) = (-o o , —3) U (3, oo).

= s/ 2 —|x|.

Resolución 2 — |x| > 0 = £• |x| < 2 = » —2 < x < 2 =$■ D o m /(x ) = [—2,2]

5.9.

Dada la función / ( x + 1) = x 2 —3x + 1, hallar / ( x — 1).

Resolución Haciendo x + 1 = y, resulta: /O O = (y - l) 2 - 3(y - 1) + 1 = y2 - 5y + 5 Por tanto, / ( x — 1) — (x — l) 2 —5(x — 1) + 5 = x 2 —7x + 11.

5.10.

Hallar las funciones inversas de: a) / ( x ) = --^b)

/O O = 4 + ln(x — 3).

Resolución

3

84

Introducción al Cálculo

5 . 11.

Expresar y como función de x, siendo: a) y = -z 2 + 1, Z = x + 2. b) y — Vz + 1 , z —sen2 x. .

Resolución a) y —z2 + 1 = (x + 2)2 + 1 = x 2 + 4x + 5. b) y = Vz + 1 —Vsen2 x + 1.

'

5.12.

Calcular lím - — -■* ~i~ ^ : . *-»0 1 —y í + T

Resolución Es indeterminado, de la forma 0/0. Se hace el cambio x + 1 = í 10, donde 10 es el m.c.m. de los índices de las raíces, resultando: 1-í2 ,, (i+ 0(1-0 hm ----- ? = hm -----------5— 5-----------í— >l 1 — t í— yt (1 —í)(^ "i" t ~i“ t ^ -f- t *-f- 1) 1+ 1 2 = hm — —z------=---------- — = í->1 í4 + í 3 + f 2 + í + l 5 ya que si x -> 0, entonces t -* 1 , puesto que x + 1 = í 10.

5 .1 3 .

i

^foc 1 Calcular lím -¡-=------ , a, b e N. x -*íty x -l

■

’

Resolución Haciendo el cambio x = zab, z -»• 1, ya que x —> 1:

zb - l ( z - l ) ( z é- 1 + z 6- 2 + --- + z + l) b hm = lím --------------- ;--------•= z_*i za —l z->i(z — l)(za l + z a~2 -\ b z + 1) a

5.14.

Calcular lím —— A--+0 are sen 3x¿

Resolución Es indeterminado, de la forma 0/0. Sustituyendo infinitésimos equivalentes: 1 -c o sx x 2/2 1 - lim —7 = hm J-+0 are sen 3xz x^-o 3xz 6

5.15.

i Calcular lím

^ ' senjc

x-A) (1 — C O S X ) 2

’

Capítulo 5 / Límite y continuidad de una función

Resolución Es de la forma 0/0. Sustituyendo infinitésimos equivalentes: lfm

x 3 • senx ----------

x -y O (1 — C O S X )z

5.16.

,, x 3 •x = hm x-yQ ^

j

. sen(l —eos 3x) j.---------- Calcular lim A_>0 x ■tg - • eos x

Resolución Es de la forma 0/0. Sustituyendo infinitésimos equivalentes: , 3x

s y teniendo en cuenta que:

Y

/3x\2

w (y )

o y 1 —eos x = 2 sen -

se tiene: / , 3x\ r /3 x \2 -i 9x2 9x2 sen (2 • sen2 — ) sen 2 — sen — — lln L-= í l = lím = hm-j— 2 - = U n = 1» X X— >0X x-yO X„ ■tg — X • eos X ^ v . ± .m e r 4 — -X 4 cosx — -cosx yaque lím cosx = 1.

x-yQ

X

5.17.

ln (l + x ) ■a r c tg Calcular lím ------- --------— -— . x-yQ x - ( l + tgAx)

Resolución Es de la forma 0/0. Teniendo en cuenta que 1 + tg2 x = sec2 x y que ln(l + x ) ~ x, se tiene: X

X’ o x ■eos2 X L— = K m = 0

lfm x-s-o x • secz x

x->0

2

ya que lím cos2 x = 1. jc- í-0

5.18.

• (sen 3x —senx)3 x-A) (1 —cos3x) l n ( l + x )

Calcular lím

Resolución Usando las fórmulas de transformación de suma de ángulos en producto y las del ángulo mitad: sen3x —senx = 2 senx cos2x 9 3x 1 —eos 3x = 2 sen —

85

86

Introducción al Cálculo

se tiene:

(2 senx cos2x)3 8x3 -cos3 2x 8x3 16 h m -----------. = ii m -------— — _ ifm — _ _ 2 sen2 — x

x

5.19.

2

2

. Estudiar la continuidad de la función / ( x ) =

(—) x )

\ 2

x~*°

~Y

^

+ 1 s ix < 1 si x = 1 en el punto x — 1. + 1 si X > 1

X2

3 X

Resolución 1) /( 1 ) = 3. 2) lím / ( x ) x —y 1

lím / ( x )

a*—> 1

= lím / ( I + h)= Km (1+ h) + 1 = 2.

h —y 0 h —y 0

h —y 0

= Km / ( I - h)= Km (1- h2) + 1 = 2 . h —y 0

Figura 5 . 8

3)

Km / ( x ) = 2, ya que Km / ( x ) = x - » l+

Km /( x ) . Dicho límite no coincide con f( l ) = 3 y la

x —> i —

función presenta una discontinuidad evitable en x = 1 (ver Figura 5.8).

5.20.

J

Estudiar la continuidad de la función / ( x ) = E(x) (parte entera de x), para los valores enteros de x.

Resolución 1) / ( a ) = a, ci e Z.

2)

Km / ( x ) A*-->a+ lím / ( x )

= Km

h^yQ

f (a

+ h) = Km E(a + h) = a. h-+0 f (a - h) = Km E(a - h) a - 1.

= Km /i— 3-0 /¡— >0 En los valores enteros presenta una discontinuidad de salto igual a 1 (ver Figura 5.9). e----- o

-2

-1 ‘O 0---------- (

1

2

s----- o

Figura 5 .9

Estudiar la continuidad de la función / ( x ) = x - E(x), para los valores enteros de x.

Resolución (Ver Figura 5.7)

Capítulo 5 / Límite

y continuidad de una función 87

1)/ ( a ) = a —E (a) = a —a —0, a e Z. 2) lím f ( x ) = lím f(ci + h) — lím a + h —E(a + h) —a —a = 0. .v—>a+

h-+ 0

.v—

/i—>0

lím f ( x ) =

/i—5-0

lím f{a —li)= lím a —h —E(a —h) = a —(a —1) = 1. /z—>0

En los valores enteros presenta una discontinuidad de salto igual a —1.

5.22.

Estudiar la continuidad en x = 2 de la función:

x 2 —4 /(x)=

x —2

si X

2

si x = 2

a

Resolución La función es continua en x = 2, si a = 4. Si a 5.10).

4, presenta una discontinuidad evitable (ver Figura

F ig u r a 5 . 1 0

5.23.

Estudiar la continuidad de la función f{x) —

Resolución 1) /( 0 ) = 0. 2)

Km f ( x ) = Km / ( 0 + h) X-Í-0+ ft-v0 Km / ( x ) = Km / ( 0 - A)

& 1-21-1

0 -ó

12

Figura 5 .1 1

No tiene límite en x = 0. La función no es continua en dicho punto (ver Figura 5.11).

88

Introducción al Cálculo

5.24.

La función f (x )' =

x¿ — 1

continua en ese punto?

no está definida en x = —1. ¿Cuál debe ser el valor d e '/ (—1) para que sea '

Resolución „ x +1 1 —1 . —1 lim —z = lím ------- = — ;Por tanto, / ( —1)na de ser igual a — . x—>■—l x — 1 x—>■—i x — 1 2 2

5.25.

1

7, en x = 0. Estudiar su comportamiento en el 1 + 31/*

Estudiar la continuidad de la Punción f (x ) = infinito!

Resolución No está definida en x = 0. lím f (x ) = llm /(O + h) = lím — -—r = — X-5-0+ A— >-0 h-¥o j q_ 3^ oo Km f (x ) = Km /(O —h) = K m

x —> 0~

h -+ 0

/z-» G

—=

^ ^

z1

OO Presenta una discontinuidad de salto —1 en x = 0 (ver Figura 5.12). En el infinito: Km f (x ) Km f (x )

5.26.

Estudiar la continuidad de la función /( x )

1+1 1

1 y construir su gráfica. x —E(x)

Resolución Dom f{x) = R — {x / x e

X + 1

f(x)

1 X

1

x —1

si — 1 < x < 0 si 0 < x < 1 si 1 < x < 2

Capítulo 5 / Límite y continuidad de una función

89

Es discontinua para los valores enteros de x: 00 — -r Km / ( x ) = Km f (a + h) = Km — — h-+o /i->0 a + h - E(a + h) ü 1 1 Km / ( x ) = Km f (a —h) — Km /i->o a —h —E{a — h) a —{a —Y) /i-+ 0

x^ a + J

5.27.

,1/x

Estudiar la continuidad, en x = 0, de / ( x )

si x 0 si x = 0.

Resolución 1) /(O ) = 0. 2) Km / ( x ) = Km /(O + ft) = linote" = oo. x —> 0 'i"

A—>0

/z--*0

= Km — = 0. Km / ( x ) = Km /(O - h) = lím /i— s-0 h-+ 0 h-*0 ej¡ Presenta una discontinuidad esencial en x = 0 (ver Figura 5.14).

x^>-0-

5.28.

Sea / :

->■ E la función: /w

Jy'

que verifica

= 1 > Oy

Sin embargo, se cumple que / ( x ) Bolzano?

= j« * [ 1

'1 ^ 1 si x =■j

.

= —1 < 0. 0, Vx e .-

, ~^-J. ¿Contradice este hecho el teoremá de ......... ......

90

Introducción al Cálculo

Resolución Tt

No, ya que / (x) no es continua en el punto — e

5.29.

'Tt

3jt-

.4 ’T -

Verificai que la ecuación x ■3A — 1 = 0 tiene almenos una raíz en el intervalo [0,1],

Resolución La función / (x) = x • 3A — 1 es continua en el intervalo [0,1] por ser combinación de funciones elementales continuas. Además:

/ ( 0) = - 1 < 0 ;

/ ( 1) = 2 > 0

Por tanto, según el teorema de Bolzano, existe a e (0, 1) tal que / ( a ) = 0.

5.30.

Demostrar que la ecuación x — a ■senx i ñor o igual que a + b.

b, 0 < a < l , b > 0 tiene, al menos, una raíz positiva me-

Resolución La función f (x) = x —a ■senx — b es continua por ser continuas las funciones que la componen. Además, / (0) = —b < 0, ya que b > 0. Por otra parte, f {a + b) = (a + b )- a - s tm (a + b )- b = a - a - s e n (a + b ) = a ■[1 -sen(a+Z ?)] > 0, ya que - 1 < sen(rz + b) < 1 y a > 0. Por lo tanto, ha de existir una raíz real positiva menor que a + b. Si sen (a + b) = 1, f (a + b) = 0.

5.31.

Demostrar que la ecuación x 1-3 + ——-—- — —-—- = 300 tiene, al menos, una raíz real positiva. ¿5+cosx+xz 1

Resolución La función:

x/ \ 123 250 /(x ) = x + — ------------- 7 - 300 25 + cosx + x¿

es continua en todo R por ser suma de funciones continuas y, además, 25 + eos x + x 2 ^ 0, Vx 6 R. Por otra parte: / ( l) = ,i +

250 -----_ 300 < o 25 + eos 1 + 1

yaque - 1 < cosx < 1. Para x = 2: / (2) = 2123 +

25° . - 300 > 0 25 -f- eos 2 + 4 Según el teorema de Bolzano, ha de existir una raíz en el intervalo (1,2).

5.32.

i Compiobai que la ecuación x 3 2x —5 — 0 tiene una raíz en el intervalo (2, 3) y aproximar dicha i raíz con un error menor que 10~2.

Resolución La función / ( x ) = x 3 - 2x - 5 es continua en todo R y /( 2 ) = - 1 < 0 , /( 3 ) = 16 > 0. Según el teorema de Bolzano, ha de tener una raíz en el intervalo (2, 3).

Capítulo 5 / Límite

y continuidad de una función 91

Para hallar dicha raíz, se considera el punto medio del intervalo (2, 3) y se observa el signo de / ( x ) en ese punto: /(2 ,5 ) = 2,53 - 5 - 5 = 5,625 > 0 Como / ( 2 ) < 0 y /(2 ,5 ) > 0, en el intervalo (2, 2.5) ha de existir una raíz de /( x ) , según el teorema de Bolzano. Reiterando este procedimiento y tomando siempre intervalos en los que / ( x ) tiene signos opuestos en los extremos, se acorta la longitud de los intervalos y se obtiene una mayor aproximación de la raíz de f (x ). Así se llega a obtener el intervalo (2.09375, 2.109), y el punto medio a = 2,101375 será la raíz buscada, con un error menor que 10~2, puesto que la distancia de a a los extremos del intervalo es menor que 10~2.

PROBLEMAS PROPUESTOS En los siguientes ejercicios hallar el dominio de definición de las funciones:

5.33.

f ( X) =

5.34.

f (x ) =

5.35.

f (x ) —V x 2 —2.

5.36.

f (x ) = V i ~ x 2.

5.37.

f (x ) - V - x +

5.38.

/ ( x ) = log

5.39.

f (x) = log(x2 —4).

4 —x2 '

1 V2 ~{~x

2 -j" x 2

-x

X

5.40.

f(x ) = are sen log6 — 10 .

5.41.

Vx senrrx

5.42.

/ ( x ) = yio g (tg x ).

5.43.

/ ( x ) = VVI - x .

5.44.

f (x ) = V senx — 1.

5.45.

/ ( x ) = V T H ^ Í-

5.46.

/W =

5.47.

/ ( x ) = are sen V2x.

5.48.

Construir las gráficas de las funciones siguientes:

1

,------r-ry x — |x|

92

Introducción al Cálculo

■ / ( x ) = l o g 2 x. ■ / ( x ) = logl X . - f (x ) = 2 X. 2

5.49.

Construir la gráfica de las funciones: a / ( x ) = ~Jx —E(x). a f (x ) — E(x) + ^s/x —E(x). a f{x) = {x}, siendo {x} = distancia al entero más próximo.

5.50.

Hallar f (x + 1), dada la función f ( ^ j = 3x2 —2x + 5.

5.51.

Hallar las funciones inversas de: a f (x ) = 3 • arccosx2. a f (x ) —4 • sen5x. Expresar y como función de z, en los siguientesejercicios:

5.52. y = 2x2, x = 3z + 2. 5.53. y =

V4x —2, x = é , t = lnz.

5.54.

Siendo / ( x ) =

5.55.

Expresar el área de un trapecio isósceles, de bases a y ó, en función del ángulo x de la base a. Construir la gráfica de la función para a = 2 y b = 1.

x+ 1

y g(x) = x 2 —5, hallar f o g y g o f .

5.56. 5.57.

Hallar n para que lím í x ^~

5.58.

Estudiar la continuidad, para los valores enteros de x , de la función / (x) = E (x) + *Jx —E(x).

5.59.

Estudiar la continuidad de la función f (x ) —

5.60.

Estudiar la continuidad y representar gráficamente la función:

x-í-oo \

X

X1 = 6 . /

Estudiar su comportamiento en el infinito.

5.61.

Estudiar la continuidad de la función: f(x) =

Estudiar su comportamiento en el infinito.

2^=5 _ i 2^3 + 1

Capítulo 5 / Límite y continuidad de una función

5.62.

93

Estudiar la continuidad de la función:

/(*) = z------1 —el x

5.63.

Estudiar la continuidad de la función:

f (x ) = ----- —j 1 + e i-*

5.64.

Estudiar la continuidad de la función:

f (x ) = x ■sen —

5.65.

Encontrar una función f (x ) discontinua en todos los puntos de su dominio siendo |/ ( x ) |, sin embargo, continua en todos ellos.

5.66.

Hallar n para que sea continua la función:

ex —1 n+x

5.67.

si x < 0 si x > 0

Estudiar la continuidad de la función: ... f x2 f(x ) = l 1 „

s ix e I

s ix e Q

54 =-------------- - = 50 tiene, al menos, una raíz real. x¿ —senx + 2

5.68.

Demostrar que la ecuación x

5.69.

Hallar una raíz real de la ecuación x 3 —3x + 3 = 0, con un error menor que 10- 1 .

dM im © /■

/

DEfflVADA DE UNA FUNCIÓN

El concepto de derivada surgió en el siglo XVII con el problema de hallar la tangente a una función en uno de sus puntos, y fue desarrollado por Newton y Leibnitz a partir de las ideas de Fermat.

Sea la función f(x ), definida en D C M. Sea el punto x e D, en el que se desea hallar la ecuación de la recta tangente a la función f(x ). Para ello, será preciso hallar la pendiente de dicha recta tangente. Sea A(x, f (x)) el punto en cuestión. Considerando un punto B, próximo a A, B(x + h, f (x + /?.)), la pendiente de la cuerda AB será (ver Figura 6.1): nicuerda — tg 01

f (x + h) - f (x ) h B{x + h, f ( x + Ir))

Pero lo que se desea hallar es la pendiente de la recta tangente en el punto A. Si h -> 0, el punto B tiende a confundirse con el punto A, y la cuerda AB tiende a confundirse con la tangente en A. Por tanto: m tangente — Km

h-*0

f(x+h)-f(x)

-

96

Introducción al Cálculo

Si existe, el límite anterior recibe el nombre de derivada de f (x ) en el punto x e D, y se representa

f'(x ) o, también, E je m p lo 6.1

dx

Sea la función f (x ) = x2. Se desea hallar la ecuación de la recta tangente en x = 1.

La derivada de f(x): ,, f ( x + h ) - f ( x ) s,, , f (x) = lím — ------------/z— >0 h

(x + h)2 - x 2

2xh + h2

= l í m ---——— = l i m ----- - = lim (2x + h) = 2x h—^0 h h—>-0 h h—>*0

Parax = 1: ^tangente —

f

(1 ) = 2 - 1 = 2

Por tanto, la ecuación de la recta tangente será: y —1 = 2{x — 1) (ver Figura 6.2).

F ig u r a 6 . 2

EJEMPLO 6.2

Hallar la ecuación de la recta tangente a la función f (x ) = - en el punto de abscisa

x

x = —1 . 1

-h

1

f ( x ) = Um / ( * + /0 ~ / a - ) = Hm ^ ± A _ £ . = = lím

h-t-0

h

A—s-O

h

h-y0

h

= jfm

"

=

h-±0 X1 + xh

- 1

X1

La derivada en x = —1 es / ' ( —1) = —1. La ecuación de la recta tangente en ( - 1 , —1) es y + 1 - ( x + 1).

El cálculo de la derivada de una función mediante la definición (como se hizo en los dos ejemplos anteriores) es largo y dificultoso. Por ello, a continuación se va a construir una tabla de derivadas que permita hacer dicha operación de un modo sencillo y rápido.

DERIVADA DE U N S i m p J O N CONSTANT

Sea f{x) = k, con k e „ k —k , f (x + h) —f (x ) z — J-± -t = lím —— = 0 f'{x) = lím h^r 0 h A— >0 h

Capítulo 6 / Derivada de una función

97

DERIVADA DE LA FUNCION

n x ) = Um J h-+ 0

= ^

/!-> 0

h

(i

/i-»0

h +

■>' + ■■■ + O » ' - * " h

■lím ,

,x" 1 + ( “ )x '! 2 ■h-i \2 J /i->o -V I/

1-

:> -i - n • x

n- 1

\n

Sean las funciones f (x ) y g(x): s

„

( / + « ) ( * + * ) - ( / + £ )(* )

( / + g) M = h m ------------------------------------/i->o n f (x + h) - / ( x ) + g(x + h) - g(x) Km h /í->0

f (x + h ) - f (x )

g(x + h )- g { x )

hm •---------- --------------h Km ——---- ----------/!->0 A /!-> o h

= / '( * ) + g 'M La derivada de la suma de dos funciones / ( x ) y g(x) es igual a la suma de las derivadas respectivas f '(x ) y g'Cx) . © a

DERIVADA DEL PRODUCTO

Sean las funciones f (x ) y g(x):

I r xl, s i- ( f ■g)(x + h) - ( f ■g)(x) ( / • g) (*) = i ™ --------h ft— s-O

lím

/ ( x +. h) ■g(x + h) - f (x ) ■g(x)

h-+o

h

Sumando y restando la expresión / ( x + h) ■g(x): lím fi-s-0

f (x + h) ■g(x + h) - f (x + h) ■g(x) + f (x + h) • g(x) - / ( x ) • g(x) h „ s , , M g(x + A ) - g ( x ) f (x + h ) - f ( x ) = lím / ( x + h ) ----------- ;------------ f l i m ---------h-* o h /¡-> o /r = / ( x ) - g'Cx) + / '( x ) -g(x)

Es igual a k ■/ '( x ) , consecuencia inmediata de la derivada de un producto.

6 .7

DERIVADA DE

Representando la función g(x) por g:

g(x)

Introducción al Cálculo

1

J

98

Utilizando el resultado anterior:

'f

U f . l

8

8

G9

f

+ /'

f-8 '

fs-fs'

DERIVADA DE

(n

cf y

= (/■ /)' = / •f + f - f = 2f f

= (f

•/ y = cf y

■f + f

= 3f f

■f = i f f + f f

En general, la derivada de / " será n ■f n~l f . Se demuestra por inducción. Suponiendo que es cierto para n — k: ( f y = k ■f ~ l ■f , habrá que demostrarla para n —k + 1 :

(.f k+lY = ( f

■f í = ( f y

•/+/*•/ =(k ■f ~ l ■f )

■y + f - f = ( k + D - f . f

DERIVADA DE LAS FUINlMONES HIPERBÓLICAS

ex + e 2

)

ex + e~ x\ l 2

/

2

ex —e~x 2

¿hx shx

Del mismo modo se procedería con distintas funciones hasta completar la tabla de derivadas: (sen / ) ' = f • eos / (eos / ) ' = - f • sen / (tg / ) ' = —4 ~ 7 CO Sz J

(e fy = f - e f

(are eos / ) ' (thx)'

(ln / ) ' (l0ga / ) ' =

f

f

/ •lna

(a f y = f - a * - \ n a (are s e n / ) ' = (arctg / ) ' =

ch x

L

(cth x)' =

f i+ f shx

(x

0)

REGLA DE LA CADEIM

Si y = f (u), siendo u = g(x), es decir, y = /[g (x )], la derivada de y con respecto a x, — , es:

dx

Capítulo 6 / Derivada de una fu n dó n

E je m p l o 6 .3

Sean

99

y —2ul - 2 y u = 3x + 1. A plicando la regla anterior: ^ L = ^ . . — = 4 u - 3 = 1 2 (3 x + 1) = 3 6 x + 12

dx

du dx

Se puede hacer una com probación escribiendo

y en función de x, y derivando a continuación:

y = 2(3x + l ) 2 - 2 =+> ^ = 3 6 x + 12 dx

©m

______________________ Si la relación entre x e y viene dada por una función no despejada para y, se dice que y es función implícita de x. Por ejemplo, 3x2y —6xy3 + 7 = 0. Suele ocurrir que no interesa, o no es posible, despejar y para obtenerla como función explícita de x. En este caso, se deriva término a término, considerando y como función de x. E j e m p l o 6 . 4 Para la función anterior, 3x2y - 6xy3 + 7 = 0, derivando implícitamente: 6xy + 3x2/ 6y3 — 18xy2/ = 0.

6 .1 3

DERIVADAS LATERAL

Se definen las derivadas de f (x ), a la derecha y a la izquierda del punto x — a, • DEFINICIÓN 6 .1 como los límites respectivos: f ( a + h) ~ / ( « ) /„4 (, f sl ) = „h m ---------^ /i— >0 h

y

f ( a - /?) - / ( fl) /_ (,a )\ = l i m ----------------------h-+o —h

donde h > 0. La condición necesaria y suficiente para la existencia de la derivada f '(a ) es que f'+(a) — fL (a), y se dice que la función f (x ) es derivable en x —a. EJEM PLO 6 .5

Derivadas laterales en x = 0 de la función:

f (x ) ■

x2 x

si x > 0 si x < 0

f (0 + h ) - f ( 0 ) : l í m (Q+ ^ = l í m f i = 0 h-* 0 h h-* 0 h „ ( O h ) O , / ( 0 ~ h) - / ( 0) ; Ijm -----------— 1 fL ( 0) = lím h-+0 —h -h /i-í-0

/ ; ( 0) = l í m

Figura 6 .3

100

Introducción al Cálculo

En la Figura 6.3, se puede observar que, a la derecha de x = 0, la semirrecta tangente es horizontal y la derivada (pendiente) es igual a cero. A la izquierda, el ángulo de la semirrecta tangente con el eje OX es de 45° y, por tanto, la derivada es igual a 1. La función no es derivable en x —0, ya que no coinciden las derivadas a derecha e izquierda en dicho punto. E j e m p l o 6 .6

D erivadas laterales en x — 0 de la función / ( x) = \x\.

/ , ( 0) = h m

/i-> 0

/(O + / » ) - / « ) ) „ —--------- = hm h h-*-

A—> 0

—h

\0 + h \ - 0

——

h-y0

0h

, = 1

—h

Por tanto, en un punto “anguloso” falla la derivabilidad de una función, al no coincidir las rectas tangentes a derecha e izquierda (ver Figura 6.4).

6 .1 4 .

RELACION ENTRE DERIVABILIDAD Y CONTINUIDA

S! PROPOSICIÓN 6.1 punto. D e m o s tr a c ió n .

Si la junción f : D — >■ E es derivable en el punto a e D, es continua en dicho

Considerando el siguiente límite:

lím f ( a + h ) - f ( a ) /!-►0

■f(a + h ) - f ( a ) ) ] = f ' ( a ) lím h h-y 0 h h-+0 f '( a ) -0 = 0 = ^ - hm f (a + h) = f (a ) A— j-0

■lím

que es la condición para que f (x ) sea continua en x = a. ü En general, la proposición recíproca no es cierta, como se puede apreciar en la función f ( x ) = 1*1, continua y no derivable en * = 0. La proposición anterior y su contrarrecíproca [si f (x ) no es continua en x — a = > f (x ) no es derivable en x = a] van a resultar de gran utilidad en la práctica, a la hora de estudiar la derivabilidad y continuidad de una función en un punto. EJEM PLO 6 .7

Estudiar, en el punto x = 0, la derivabilidad y continuidad de la función: f(x)

x2 + 1 1

si * > 0 si * < 0

Capítulo

6/

Derivada de una función

101

Las derivadas laterales:

f +W - üm

u_>0

h

/ i ( 0) = lím / ( ° ~ ft> ~ / W _ K —h h /j_>o

;¡^ 0

A i_ J . = o

h

La función es derivable en x = 0. Por tanto, la función es continua en dicho punto.

DIFERENCIAL DE UNA FUNCION

@ D e f i n i c i ó n 6.2 Sea y = / ( x ) una función derivable en un punto x = a. Se llama diferencial dy de la función en dicho punto al producto f (a ) • dx, siendo dx el incremento de la variable x.

dy = f '( a ) • dx En la Figura 6.5, la pendiente de la recta tangente a la función en el punto x — a es:

f'{a) = tg a

CD AC

CD dx

CD = f '(a ) ■dx

Figura 6 . 5

Cuando dx tiende a cero, CD « CB = dy = f ( a ) ■dx, pues la recta tangente tiende a confun­ dirse con la función, siendo dy el incremento que experimenta la variable dependiente para un pequeño incremento dx de la variable independiente x . Al introducir el concepto de diferencial, la notación

no es ya simplemente simbólica, es una

fracción real. El radio de un círculo es igual a 10 cm, ¿qué variación experimenta su superficie cuando dicho radio aumenta en 2 mm? La superficie S es función del radio r: S —tt ■r 2. La diferencial.

EJEM PLO 6 .8

d S = 2n r ■dr Si r = 10 cm y dr —2 mm = 0,2 cm:

dS = 2n . 10 . 0,2 = An = 12,56 cm2 Es fácil de comprobar restando las superficies: ti

■ ( 1 0 ,2 ) 2 - n ■ 1 0 2 = 1 2 , 6 8 c m 2

Este último es el valor exacto, 12,68 cm2, mientras que el anteriormente obtenido, 12,56 cm2, es el valor aproximado utilizando la diferencial, esto es, la recta tangente en lugar de la función.

102

Introducción al Cálculo

| GUI© ~■1=t'-1MMMSQSQIB 5XiEI^?riifr5YI-. s. Sea / : / - - » E una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y denvable en {a, b). Si f (a) = f (b), existe al menos un punto a e (a, b), tal que f '( a ) = 0. ■ T eorem a

6.1

(R o lle )

D e m o s tra c ió n . Si f{x) es constante, su derivada es cero, y el teorema es evidente. Si / ( x ) no es constante, tomará valores mayores que / ( a ) , menores que f (a ), o ambas cosas. Si toma valores mayores clue f (a )’ alcanzará su máximo k al menos una vez en el intervalo (a, b) (Weierstrass). Sea a 6 (a, b), tal que / (a) = k. Las derivadas a derecha e izquierda en a:

f ( a + h ) - f (a) , > h

f ( a - h) - f{ á) h -* 0 —h Puesto que en x = a la función alcanza un máximo, si h tiende a cero, f(a + h) — f (a) < 0 = s /!(« )

: Km

/!(« ) < o . Razonando de igual modo, fL (a) f'{ a) = 0. ■

/ '( « ) - lím h-+0

> 0. Al ser la función derivable en el punto a e (a, b), f U a ) =

E je m p lo 6.9 La función / ( x ) = $"(x - l )2 toma en los extremos del intervalo [0, 2] el mismo valor, / ( 0 ) = /( 2 ) = 1. Sin embargo, no es aplicable el teorema de Rolle, ya que: 2

1 no existe en 1 e [0, 2], La función / (x) = |x| no verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [ - 1 , 1 ] ya que, a pesar de ser continua en dicho intervalo y / ( - 1) = / ( 1 ), no es derivable en x = 0, como se vio con anterioridad. E j e m p l o 6 .1 0

La razón por la que en el teorema de Rolle se impone que / ( x ) ha de ser continua en [a, b\, en lugar de en (a, b), se puede ver en el siguiente ejemplo. E j e m p l o 6 .1 1

Sea la función: 1 /(x )

tgx 1

SI X

IX

_ __

si SI X

7t

—

2

< X
0, la función es creciente en xo, puesto que /'(x o ) es la pendiente m de la tangente a la función en dicho punto (m = tg a). Como la pendiente es positiva, el ángulo a , que forma la recta tangente con el eje OX, es 0 < a < 7r/2 y, por tanto, / ( x ) es creciente en xo (ver Figura 6.8). Análogamente, si / ' ( x q ) < 0 , la función es decreciente en x q .

■ TEOREMA 6 .5 Sea / ( x ) derivable en (a, b). La función f (x ) es creciente en (a, b) & / '( x ) > / '( x ) < 0 Vx e (a, b). 0 Vx e (a, tí). De modo análogo, la función / ( x ) es decreciente en (a , b) ■ T e o r e m a 6 .6 Sea f (x ) derivable en (a, b). Si / '( x ) > 0 Vx e (a, b) / ( x ) es estrictamente creciente en (a, b). De modo análogo, / '( x ) < 0 V x e (a, b) = 4 / ( x ) es estrictamente decreciente en ( a , tí ) .

En general, el recíproco no es cierto.

MAXIMOS Y MINIMO

Al igual que el estudio del crecimiento y decrecimiento, la búsqueda de máximos y mínimos (Capítu­ lo 5) de una función derivable se puede realizar de un modo adecuado al cálculo mediante la derivada. Si en un punto xo se verifica que /'(x o ) = 0, la tangente a / ( x ) es horizontal en dicho punto. Para averiguar si en xo la función presenta un máximo o un mínimo, se calcula /"(x o ): si /"(x o ) < 0, en xo hay un máximo. Si /"(x o ) > 0, en xo hay un mínimo. Pero el problema se plantea cuando en xo se anulan la primera y segunda derivadas simultáneamente. En general:

Capítulo 6 / Derivada de una función ■ TEOREM A 6 .7

Sea f (x ) derivable n veces en x q

105

y:

f \ x o) = / " ( x o) = ■• • = f {n~l f e ) = 0;

/ (" f e ) + O

Entonces, si n es par y / (" f e ) < O, la función presenta un máximo en x 0. Si n es par y / (" f e ) > O, la función presenta un mínimo en x q .

6 .1 9 .

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD • DEFINICIÓN 6 .3 Se dice que la función f (x ) es convexa en el intervalo (a, b )si V xi, x 2 e (a, b), el segmento rectilíneo que une los puntos (x i , f ( x i ) ) y f e , / f e ) ) , queda por encuna de la gráfica de / (x ), (ver Figura 6.9).

De modo análogo se define función cóncava (ver Figura 6.10).

Si f (x ) es convexa en un intervalo (a, b) y si xi, X2 6 (a, b) / x\ < X2 = > f f e ) < / f e ) , suponiendo que / ( x ) es derivable en (a, b). Esto es, el ángulo que forma la recta tangente en xi es menor que en xz, debido a la convexidad de /( x ) . Si f" (x ) > 0 en (a, b), f '(x ) es estrictamente creciente en (a, b) y / (x) es convexa. Del mismo modo, si f" (x ) < 0 en (a, b), f '(x ) es estrictamente decreciente en (a, b) y / ( x ) es cóncava.

©bSDb

NFLEXIO KQ

SKIlSlllil

Se dice que la función / ( x ) presenta un punto de inflexión en xo si en dicho punto la función cambia de convexa a cóncava, o viceversa. La condición necesaria para la existencia de inflexión en un punto xo es que sea / (xo) = 0. Sm embargo, no es condición suficiente. Por ejemplo, la función f (x ) = x4 verifica /"(O ) = 0 y no presenta inflexión en x = 0. La condición suficiente la da el siguiente teorema:

106

Introducción al Cálculo

■

te o re m a 6 .8

Sea f (x ) derivable n veces en xo y: / '( * o) = /"(x o ) = •.. = / ( » - ! (xo) = 0;

/ 0. La función presenta un mínimo en x = 0.

PRESENTACION GRAFICA DE v

jfííxf)

El estudio y representación gráfica de una función explícita y = / ( x ) se suele realizar siguiendo el siguiente orden para determinar: 1. Dominio de definición o campo de existencia. 2 . Puntos de corte con los ejes de coordenadas. 3. Simetrías. Si la función es simétrica respecto al eje OY, entonces se verifica que f (x ) = / ( - x ) , como se aprecia en la Figura 6.1 1 . Entonces, / (x) recibe el nombre de función par.

Si la función presenta simetría respecto al origen de coordenadas, entonces / ( x ) = —/ ( —x) y recibe el nombre de función impar (ver Figura 6.12).

Figura 6 .1 2

Capítulo 6 / Derivada de una función

107

4. 5. 6. 7. 8.

Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. Asíntotas, que se definen como las tangentes a la curva en el infinito. Pueden ser horizontales, verticales y oblicuas. Las asíntotas horizontales tienen por ecuación y = n, siendo:

n = lím / ( x ) Las verticales son de la forma x —n, siendo: Km / ( x ) = ±oo Si la función f (x ) es un cociente irreducible de dos polinomios, las asíntotas verticales están situadas en los ceros del denominador. Las asíntotas oblicuas tienen por ecuación y = mx + n, siendo:

m = lím

X-+OO

X

y

n = lím [f (x ) - mx] x -+ o o

ya que dividiendo por x los dos miembros de y = mx + n resulta:

y cuando x -*■ oo: Despejando n —y —mx:

n = lím (y —mx)

PROBLEMAS RESUELTOS 6.1.

; Hallar y' en: a) x2y + xy2 —y = 7.

b) 3xy3 — y ■senx = 0.

Resolución a)

Derivando implícitamente: 2xy + x2y! + y2 + 2 xyy' —y' = 0 =4- y' =

b) 3y3 + 9x y2y' —y' ■senx —y • cosx = 0

6.2.

t

—2 xy —y2

x2 + 2 x y - l

y ■cosx —3y3 9xy2 —senx

Comprobar que y = x ■ex satisface la ecuación diferencial y" —y' —ex = 0.

Resolución Se calcula la primera y segunda derivada de y:

y' = ex + x • e'v;

y" = 2 ■e'v + x • e*

108

Introducción al Cálculo

y se sustituye en la ecuación diferencial:

2ex + x ■ex - (ex + x ■ex) —ex —0

6.3.

Derivar xy == y seilx.

Resolución Tomando logaritmos:

y • lnx = senx • lny Derivando:

6.4.

y' y/ ■lnx H—y = cosx • lny + senx • — x y , xy ■cosx • ln y —y 2 ^ xy ■lnx —x ■senx

Dada la función f (x ) = ex+3, comprobar que — • — = 1.

ax

dy ■■

Resolución dy = ex+3 dx Despejando x en la función: y derivando x con respecto a y:

Por tanto:

6.5.

x = lny — 3 dx dy

1

1

y

ex+3

dy dx dx dy

ex+3 ex+3

: Dada f (x ) — — , verificar que — ■— = 1. ; x —1 dx dy

Resolución Derivando y con respecto a x :

dy dx Derivando x con respecto ay :

—x2 —4x —1 (x2 —l ) 2

x'{x2 — 1 ) —2xx'{x + 2) (x2 —1 )2

Despejando x':

, _ dx_ _ (x2 - l )2 dy —x2 —4x —1

Capítulo

Por tanto:

6.6.

6/ Derivada

de una función

ay dx dx dy

Hallar la derivada n-ésima de las funciones: a) y = cosx. b) y

1 x:— 5

Resolución a)

Derivando sucesivamente:

y' = —senx y" = —cosx yy " '1

= sen* eos* • senx

IV _

En general:

b)

n+l („ _ I (—1 ) 2 -senx ^ I (—1 ) 2 -cosx

sin es impar s in es par

Derivando sucesivamente: (x - 5)2

2 (x - 5)3 m _ -2 -3 y (x —5)4 2-3-4 ,,/v (x - 5)5

En general, y('1 = (-1 )"

6.7.

(x - 5)'I+1 ‘

‘Hallar la derivada n-ésima de la función y =

1 2 — 8x + 1 2 ’ .

Resolución Antes de derivar, es conveniente hacer una descomposición en fracciones simples: 1

1

y ~ x2 - 8x + 12 _ (x- 2)(x - 6) Entonces, 1 = (A + B)x —6A —2B =£■ -1 1 Resolviendo el sistema: A = ——; B = 4 4 -1 1 Por tanto, y = —— ——+ —--- —. 4(x —2) 4(x - 6)

A

,

B

x -2 + x -6

A+ B = 0 —2B — l

_ (A + B ) x_ - 6 A - 2 B

( x - 2) ( x - 6)

109

110

Introducción al Cálculo

Derivando sucesivamente: yV — —

i

4(x - 2 )

yv" — —

-2

4(x - 2): 2 -3 _ yvt" — 4(x - 2)‘

+ 2 -3

En general:

y(n = ( - 1 ) 'I+1 • ” ! r

1 L(X —2)»+i

6 .8 .

1 (.x - 6 ) n+l

Usando derivación implícita, hallar la pendiente de la recta tangente a la circunferencia: t

:

x2 + y 2 —4x + 2y —11 = 0

en el punto de abscisa x = 2 y la ordenada positiva.

Resolución La ordenada para x = 2: 22 + y2 —4 - 2 + 2- y — 1 1 = 0 = > yi = 3, y2 = - 5 El punto en cuestión es el (2, 3). Derivando implícitamente:

2x + 2yy —■4 + 2yf = 0 Sustimyendo el punto (2, 3) en la derivada: 2 - 2 + 2- 3 - y ' - 4 + 2y' = 0 = + y / = 0 La ecuación de la recta tangente será: y - 3 = 0(x - 2) = » y = 3 que es una recta paralela al eje de abscisas.

6.9. j

Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva x • sen(vy) + 4y 2 = 16 + x, en el punto de abscisa x = 0 y ordenada positiva.

Resolución Para x = 0: 0 • sen(0 • y) + 4y2 = 16 + 0 = + y = ± 2 Derivando: sen(*y) + x(y + xy') ■cos(xy) + 8yy' = 1 Sustimyendo el punto (0, 2): 16y' = 1 =+> y' = — 7 16 La ecuación de la recta tangente es: y —2 = — ■{x —0). 16 La ecuación de la recta normal es: y —2 = —16(x —0).

Capítulo 6 / Derivada de una función

6 . 10.

111

Hallar la ecuación de una parábola de la forma: |

y = x 2 + bx + c que sea tangente a la curva y = (x — l )3 en el punto de abscisa x = 1 .

Resolución Para x = 1, la función y = (x — l )3 toma el valor cero. Por tanto, el punto de tangencia de ambas curvas es el (1 , 0). Las derivadas de ambas funciones en x = 1:

y' = 2x + b =4> y '(l) = 2 + b y' = 3(x — l )2 =>• y '( l) = 0 Igualando: 2 + b = 0 =>■ b = —2. Y como la función y = x 2 + bx + c pasa por el punto (1, 0), se ha de verificar que 0 = 1 + b + c, con lo que c = 1 .

6 . 11.

Determinar los puntos en los que la curva y —x J + x2 — 6x + 1 tiene tangente paralela a la recta

y = 2 x + 1.

\

Resolución La pendiente de la recta y —2x —1 es m = 2. Derivando la función:

y' = 3.x2 + 2x —6 Dicha derivada ha de ser igual a m = 2: 9 3x + 2x —6 = 2

4 xq = —2, X2 = —

Los puntos son (—2, 9) y

6 . 12.

; Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la función:

y = 'n ' f ^ T ¡ paralelas a la recta x —4y + 1 = 0.

Resolución La derivada primera de la función: y = i-----7 2x(x + 1 ) X

1

ha de ser igual a la pendiente de la recta x - 4y + 1 = 0. En forma explícita: y = — |— . 4 4 La pendiente es m = i . Por tanto:

112

Introducción al Cálculo

l / l l - = — ln 2. Para x = —2, y = ln \/2 = - ln 2. 2 2 2 Las rectas tangentes: y + \

ln 2 = i

~ ^

y - i ln 2 = i (x + 2)

6.13.

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = xx en el punto de abscisa x = 1.

Resolución y' = ln x + x — i y = xx = > ln y = x ln x =$■ — ==¿- y = xx(\ax + 1) y x La pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa x = 1 es:

m = 1 (ln 1 + 1 ) = 1 La recta tangente:

y —1 = 1 (x — 1) = £ • y = x

4

6.14.

¿Bajo qué ángulo se cortan las curvas de ecuaciones y —senx e.y = cosx?

Resolución Los puntos de corte de ambas funciones se obtienen resolviendo la ecuación:

U

senx = cosx ==?■ tgx = 1

x = — + kir, k e Z

n

El ángulo de corte de las dos curvas en x = — es el de las rectas tangentes respectivas en dicho punto. Las pendientes en x =

,

y = cosx

ir

mi = eos 4

V2 2

. 7T y = —senx =$> m% = —sen — = — — Por último:

V2 1 + m\.m2

a

6.15.

,

x

“ 4 arctg 2V2 = 70o3l'43"6

t 2

El lado de un triángulo equilátero crece a razón de 5 cm por minuto. ¿Con qué velocidad crece su área cuando el lado mide 26 cm?

Capítulo 6 / Derivada de una función

113

Resolución El área A de un triángulo equilátero en función de su lado l es: Z2 V 3 4

A

dA

Se desea saber con qué velocidad v — — crece A en el instante en que l = 26 cm. Mediante la regla de la cadena:

_dA_dA dt di

d ¿ _ 2l dt

4

dt

Si — = 5 : v = 2 - 2 6 - ~ -5 —65-V3 cm2/min. dt 4

6.16.

i Las dimensiones de un depósito en forma de paralelepípedo son 8 m de largo, 2 m de ancho y 4 m de ¡ profundidad; se está llenando de agua a razón de 2 meteos cúbicos por minuto. Hallar la variación de la altura del nivel del agua respecto al tiempo, en el instante en que la profundidad del líquido es de l m. |

Resolución Si la profundidad del agua es igual a x, el volumen de agua contenido en el depósito es:

V dx 1 V = 2 • 8 • x = 16x = 4 x = — = 4 — = — dv 16 16 Según la regla de la cadena:

dx dx dV _ 1 _ 1 d i = dV " d i ~ 16 ’ ~~ 8 m/mm El nivel del agua aumenta de un modo constante, debido a la forma del depósito. Por otea parte, la profundidad del agua (4 m) es un dato innecesario.

6.17.

¿Con qué velocidad aumenta el áréa de un círculo en el instante en que su radio vale 10 cm, sabiendo que dicho radio crece uniformemente con velocidad igual a 2 cm por segundo?

Resolución ?

0 1 —cosx

Resolución Sustituyendo infinitésimos equivalentes y aplicando L’Hopital: + sen2 x lim x -------------_ ¡un x + sen2x _ ^ l + 2 se n x -c o s_x _ _1 _ x^0 1 —COSX x-s-0 x2 x-*0 X 0

6 .20 .

¡ Calcular lím f ——c tg x Y i

■

x-»0 \ x

/

Resolución Es una indeterminación de la forma oo — oo. Pasando a la forma jj, sustituyendo infinitésimos equi­ valentes y aplicando L’Hopital: 11 \ \ t g *x - *x 1- ( l 1 = l i m -------------= lím t g x - x lim ( ------------) jt-9-0 Vx tg x / x-*o x • tgx x— x - x 1 2 • senx • cosx cos2x = Km ----- • = K m ------- £cos4 2 ^x ------- = lím sen* x->ó 2x ,v->o 2 x-+o eos2 x

6 .21 .

: Calcular Km xA. | ' -x-tO

Resolución A — Km x A'. Tomando logaritmos: A--Í-0

ln A = Km x • lnx = 0 • (—oo) x -*0

OO

Se transforma en una indeterminación de la forma — y se aplica L’Hopital: oo 1

, , ln* = Km ln A — Km A"—>0

1

x • N ota

x _ ^0

r 1

= Km ( - x ) = 0 A'—>0

A

A —e° — 1

x2

Comprobarlo con la calculadora, dando a x valores próximos a cero: x=0,01, x=0,001, etc.

Capítulo 6 / Derivada de una función

6 .22 .

115

Calcular lím (1 —x )ctgA. x -* 0

Resolución Es una indeterminación de la forma 1°°. Tomando logaritmos naturales: ln(l —x) 0 A = lím (1 - x )ctgx =>• ln A = lím ctgx • ln (l - x) - Km — — — = x -» 0

-v—>0

x-*U

tg X

U

Aplicando L’Hopital: -1 ln A = lím 1 ~ - = -4- = - 1 = » A = e- 1 = 7 >0 1 1 Xc—

6.23.

l+ ln ( c o s x ) i Calcular lím — -------------. ,y-+§ l.+ tg x

Resolución l+ ln (c o s x ) 1 + ln O 00 — —= — lím — ------l+tgx l+ tg | OO Aplicando L’Hopital: —senx ln A = Km X—

6.24.

CQf — = Km - senx eos x = —1 • 0 = 0 1

cosx + e* x-*oo senx + ex

Calcular lím

:

•_..........

'

Resolución

OO Es una indeterminación de la forma — . Aplicando L’Hopital: 00 —senx + e* 00 Km ---------— — = — x- >00 c o s x + e A 00

ApKcando L’Hopital reiteradamente, permanece la indeterminación. L’Hopital no es aplicable en este caso. Dividiendo por ex: eos X —

+

1

------- = 1 Km x— >-00 hC11A

ex ya que senx y cosx son funciones acotadas, y ex — > 00 cuando x —> 00.

6.25.

Representen la función: /( * ) =

senx X — 71

Estudiar su continuidad y derivabilidad en x —n .

si - y - < x < n S Í 7T
0 h sen(7r —h) —0 sen h = lím Km —— = Km o h-+5 -h h -> 0 —h h~* 0

: 7r. Las derivadas laterales no coinciden (ver Figura 6.13)

Continuidad en x = n\ 1) / ( t t ) = sen?r = 0. 2)

Km / ( x ) = Km / ( j t + h ) : Km (n + h —n ) A— ^0 h->0 lím / (x) = Km f ( n —h ) = Km sen(7r —h) = 0. jc— >1x h—>-0 h—>-0

x—

Por tanto, Jim / ( x ) = 0 = / (jr), lo que impKca que / ( x ) es continua en x = n.

6 .26 .

■Estudiar la derivabilidad de la función:

|

■ ’•

■

.

m

=íl Inx. *

si x < 0 s ix > 0

j en el punto de abscisa x = 0.

Resolución Continuidad de la función en x = 0 : 1 ) / ( 0) = 0. 2) Km / ( x ) = Km / ( 0 + h) = Km ln(0 + h) *-+o+ h-+0 h->-0 Km / ( x ) = Km f ( 0 - h ) = Km (0 - h) = 0. x-+0~ h->-0 h~+0

-OO.

La función presenta una discontinuidad esencial en x (ver Figura 6.14).

Figura 6 .1 4

: 0, por tanto, no es derivable en dicho punto

Capítulo 6 / Derivada de una función

6.27.

! Escribir sin valores absolutos la función / ( x ) = |3A — 3|, representarla gráficamente, y estudiar su I derivabilidad y continuidad en x = 1 . .

Resolución 3* —3 > 0 =>• 3X > 3 = $ x > 1 Por tanto, x > 1 = > |3* - 3| = 3* - 3. Si x < 1, |3* - 3| = -(3 * - 3) = -3 * + 3. La función puede reescribirse así: f(x) =

3* —3

-3* + 3

si x > 1 si x < 1

Derivabilidad en x = 1:

f í + h ) - f ( 1) 31+ —3 „ 3 (3 * -1 ) -— = lím ;------- = b m ------ ------™o h /!->o h h-+o h

f, (1 ) = lím

J+l ;

= lim h-yo

h

—— = 3 • ln3. yaque 3,! - 1 « h ■ln3

/ ' (1) = lím — --------, J K h-+0 —h

= bm h-y0

- 3 1-* + 3 ------ = - 3 -ln3 —h

No es derivable en x = 1, ya que / '( 1 ) + / I ( l ) (ver Figura 6.15).

Figura 6 . 1 5

Continuidad en x = 1: 1 ) / ( 1 ) = 0. 2) lím f (x ) =

' X->1+

lím f (x ) =

x-¥ \~

lím / ( I + h ) =

h-y

0

lím (31+/! - 3)= 0.

h-y

0

lím / ( I - h ) = fina ( - 3 1_/l + 3) = 0.

h

— >0

/i— >U

La función posee límite en x = 1.

3) lím / ( x ) = / ( 1) = 0 = » f (x ) es continua en x = 1 .

X-+1

6.28.

117

! E studiar la derivabilidad y continuidad d e / ( x ) —x —E (x) p ara los valores enteros de x.

Resolución Sea a e Z: 1) / ( « ) = a —E (a ) = a —a = 0.

118

Introducción al Cálculo

2)

lím / ( x ) = lím f ( a + h) = Km (a + h) - E(a + h) = a - a = 0.

x-+ a +

/i-í - 0

/j—> 0

lím_ f (x ) = lím f ( a - h) = Km (a - h) - E(a - h) = a - (a - 1) = 1 .

X~±G

/ z —> 0

/z —> 0

Es discontinua de una unidad de salto para a e Z. Como no es continua, tampoco es derivable en a e Z (ver Figura 6.16).

/

’- l

l

’

/

V

o

/ -2

1

Figura 6 . 1 6

6.29.

Estudiar la continuidad y derivabilidad, en * = 0 y x = - 1 , de la función:

f í x) — \

sen x si 0 < x < n —x3 si 0 > jc > —1 —3x - 2 si — 1 > x

Resolución Derivabilidad en x = 0: / j ( 0) = lím /< ° + * W ( ° ) = 1Im ^ ( O + ZD - O = » = , h /i->o h *— >o h /l->0

f U o, = íim M r W - / W ) = , m /i->o

—/i

/í— >0

—/j

No es derivable en x = 0. Continuidad en x = 0: 1 ) / ( 0) = 0. 2) lím f (x ) = lím / ( 0 + h) = lím sen(0 + h) = 0. Í-9-0+ /!->-0 /i— >-0 lím / ( * ) = lím / ( 0 - /i) = lím - ( 0 - h)3 = 0. x— >0 /z— >0 /z— >0 La función posee límite en x = 0. 3) I™ f (x ) = f (0) — 0 =$■ f (x ) es continua en x = 0.

Figura 6 .1 7

_ lfra * 1 = 0 /i~»o —A

Capítulo

6 / Derivada de una función 119

Derivabilidad en x = —1: r/,

^

^ /(-!+ * )-/(-!) „ - ( - l + /i)3 - l -3 h + 3h2 - h 3 ---= l i m ----------- -------------= l i m ----------- -------------= - 3 /j— >0 ll h-*0 h h-y 0 h /(-l-A )-/(-l) —3(—1 — h) —2 —l „ 3h i= lím — = - 3 f ( - 1) = lfm — --------- -— —— - = lím — -h li-*0 -h h-yo —h _ /i->0

f í (- í ) = lim

Es derivable en x — —1. Es continua por ser derivable en x = —1 (ver Figura 6.17).

6.30.

Sabiendo que ln 13 = 2,565, calcular el valor aproximado de ln 13,1.

Resolución Sea y = lnx =>■ dy = - ■dx.

x

En x = 13: dy = — 0,1 = 0,0077. 13 ln 13,1 —ln 13 + 0,0077 = 2,565 + 0,0077 = 2,5727.

6.31.

i Sabiendo queare sen0,7 = 0,7754, calcular are senO,72.

Resolución Se considera la función y —are sen x. Su diferencial: dy — En x = 0,7: dy =

;

1

y/l ~ (0,7)2

.1 : • dx. V I —x 2

0,02 = 0,028.

are sen 0,72 = are sen0,7 + 0,028 = 0,7754 + 0,028 = 0,8034.

6.32.

El radio de una esfera mide 10 cm. Si dicho radio aumenta 1 nrni, ¿cuánto aumenta su volumen?

Resolución y = / ( r ) = J jtr 3 = > d V = 4 itr 2dr;

6.33.

dV = 4n ■102 • 0,1 = 125,66 cm3

nx — 1 . Hallar el valor de n para que la función y = —— — sea creciente.

Resolución Para que la función sea creciente, la derivada primera ha de ser positiva: ,

;i(x - 2) - (nx - 1 ) -2 n + 1 = --------------(x —2)2 (x —2)2

y = -------------------

y

1 2

> 0 = + —2 n > —1 = £ • 2 n < 1 = + n < -

12 > 0 para todo valor de x, x ^ 2. ya que (x —2)2

6.34.

Estudiar y representar gráficamente la función / ( x )

x2 X -

1'

Resolución 1. Dominio. No está definida en x = 1, ya que se anula el denominador. El dominio es E — {1}.

120

Introducción al Cálculo

2.

Puntos de corte con los ejes. Si x = 0, / ( x ) = 0. Si f (x ) = 0, se tiene x2 = 0, siendo x = 0 una

raíz doble.

3. Simetrías: / ( —x) = —-

f ( —x) y f (x ) i=- —/ ( —x), no es ni par ni impar. -. Ya que f (x ) —x — 1 4. Crecimiento y decrecimiento. Si la primera derivada es positiva, la función es estrictamente cre­ ciente:

/ '( * )

2x(x — 1 ) —xl (.x — l )2

■2x > 0 = 4 x —2x > 0 (x —l )2

ya que el denominador es siempre positivo. Resolviendo la anterior inecuación, resulta que /( x ) es estrictamente creciente parar: 6 (—oo, 0) U (2, oo); decrece en el intervalo (0,2) — {1}. 5. Máximos y mínimos. La primera derivada es: / '( * ) =

x1 —2x (x - l )2

: 0 = 4 x —2x = 0

■0, x

La segunda derivada es: /" ( * )

(2x - 2)(x - l )2 - 2 (x - l)(x - 2x) (x - l )4

(x - l )3

Se tiene que /" ( 0 ) < 0, /" ( 2 ) > 0. La función presenta un máximo en x = 0 y un mínimo en x = 2. Sustituyendo estos valores en f(x): el máximo se encuentra en (0, 0) y el mínimo, en (2,4). 6. Concavidad y convexidad. Si la segunda derivada es mayor que cero, la función es convexa:

f" (x ) = - — ^ —3 > 0 4 x > 1

(x - 1)J

Es convexa para x e (1, 00) y cóncava para x e (—00,1). 7. Puntos de inflexión. Carece de ellos, puesto que: 2

/"(x) = (x -

l )3

8. Asíntotas. En x = 1 la función presenta una asíntota vertical, ya que lím / ( x ) = 00. X -+ 1

Por otra parte: /(x )

„

x -1

m — lim ------- = lim -------x—ycc¡ x X -+ C G x

= 1

■ lím -= x - í -0 0 x

n = Km [ /(x ) —mx ] = Km ( — ------- x') = K Km ------x-*oa

x - í -00 \ X

— 1

~ La función presenta una asíntota obKcua en y = x + 1. Por último, su representación gráfica:

/

x— ->5-0 0 X — 1

Capítulo

6.35.

6/

Derivada de una función

121

Estudiar y representar la función f (x )

Resolución 1. Dominio de definición. La función no existe si ex — 1 = 0 ==>• ex — 1

0, por tanto, el

dominio es R — {0}. 2. Puntos de corte con los ejes. No hay puntos de corte.

3. Simetrías. f ( - x ) = ---- -— - = 4 f (x ) ^ f (x ), f ( - x ) e~x —1

- f (x ); no es par ni impar. 0X 4. Crecimiento y decrecimiento. La primera derivada de la función es: f'{x) zn < 0. El — (ex — 1 )

denominador está elevado al cuadrado y es siempre positivo, el numerador es negativo para todo valor de x, por tanto, es decreciente Vx e R — {0}. 5. Máximos y mínimos. No hay máximos ni mínimos, ya que la primera derivada no se anula para ningún valor de x. 6. Concavidad y convexidad. La segunda derivada es: —ex{ex —l )2 + 2e2x(ex —1 ) f (x) = — — (ex - l )4 El numerador es positivo y el denominador lo es si ex —1 > 0

e2x + ex (iex - l )3

x > 0. Por tanto, =4 e; > 1 es convexa en el intervalo (0, oo) y cóncava en (—oo, 0). 0 para todo valor de x. 7. No hay puntos de inflexión, ya que f"{x) 8. Presenta asíntota vertical en x = 0, ya que para x —0 se anula el denominador. Presenta asíntota horizontal en y = 0 e y = —1, ya que: lím f (x ) — lím

.. *

x->oq ex - 1

lím f (x ) y—OO X—

; Km — jc->—oo ex

= 0

1

Su gráfica:

Figura 6 .19

6.36.

i Hallar los catetos del triángulo rectángulo de área máxima, entre todos aquéllos que tienen hipotenusa ■igual a 20 cm. .

Resolución El área de un triángulo rectángulo de catetos a y b es igual a:

122

Introducción al Cálculo

y como a2 + b2 = 2Q2

S

iJ W -

z Se ha obtenido S en función de a. Se ha de hallar el valor de a para el que S alcanza su valor máximo. Para ello, se halla S' y se iguala a cero:

-2a 2 - V 202 - a 2' a = V 200 cm

S' = - ■(y/ 202 —a2 + a ■ 202 - a2 - a2 = 0 :

:0

b = V 202 - 200 = V 200 cm Para comprobar que se trata de un máximo, se puede acudir a la segunda derivada y ver que, efectiva­ mente, S'(V200) < 0.

6.37.

La base menor de un trapecio rectángulo mide 3 cm y el lado oblicuo 6 cm. Hallar el ángulo que debe i formar dicho lado con la base mayor para que el área sea máxima.

Resolución El área del trapecio es:

l - 33 4-|- 33 , xx --fxr - 4+- f6i • li = ------- ■h 2 2

3

a

3

X

Figura 6 . 2 0

Escribiendo x y h en función del ángulo a (ver Figura 6.20): 6 eos a + 6

S = ------

6 sen a

ya que h = 6 sen a y x = 6 eos a. Derivando e igualando a cero:

S' = 18 [—sen2 a + c o s 2 a -fe o s a ] = 18(2 cos2 a + co sa — 1) = 0 :

a = 60°

Para verificar el resultado se acude a la segunda derivada:

S" — 18(—4 • co sa • sen a —sena);

6.38.

S"(60°) < 0

Una estatua de 4 m de alto está situada sobre una base de 3 m de altura. ¿A qué distancia, desde el suelo horizontal, se verá dicha estatua bajo un ángulo máximo?

Resolución En la Figura 6.21:

1 —tg a • tg/3 ’

x

,

X

3 tg a X

Capítulo

6/

Derivada de una función

123

Figura 6 .2 1

Despejando a, derivando e igualando a cero: 4(21 + x 2) - 8x2

4x a —are tg 21 + x 2

(21 + x 2)2 4x

'2

"+3 4(21 + x 2) —8x 2 = 0 :

6.39.

x = V21 m

Un canal de agua tiene una desviación en ángulo recto. El ancho del canal es de 5 metros y el de la desviación es de 3 metros. Hallar la longitud máxima de un tronco que, flotando en el canal, pueda i tomar la desviación.

Resolución Sea l = a + b la longitud total del tronco. Por semejanza de triángulos (ver Figura 6.22): a 3

l=a+b

3b

■ s /W ^ 2

3 • V ¿>2 - 52 - 3b

l'

~ 52

+b V^ 5 2

| t

b2 - 5 2 = » - 7 5 + (b2 - 52) • Vb2 - 52 = 0 =

a = 4,65 m

b

3 ■(b2 —52) —3b2 | 1

0

(b2 - 52) ■-Jb2 - 52 Cb2 - 52)3 : 75

7 2 5 + V ^ i 2 = 6.54 m

124

Introducción al Cálculo

6.40.

Dos ciudades A y B distan 4 y 7 km, respectivamente, de una línea de ferrocarril rectilínea. Sabiendo que la distancia entre ambas es de 5 km, hallar el lugar de la línea donde debe simarse una estación para que la longitud de las carreteras a construir sea mínima. ' {

Resolución El lugar estará simado a x km del pie de la perpendicular trazada desde la ciudad A a la línea férrea. La longimd de la proyección del segmento AB sobre la línea férrea es igual a 4 km (ver Figura 6.23):

Figura 6.23 La longimd total de las dos carreteras:

l = ,A 2 + x 2 +

72 + (4 —x )2

Derivando e igualando a cero: 2x

2(4 —x)

2 - V l 6 + x2

2 ■/ 7 2 + (4 - x )2

Despejando x: x = 1,45 km

PROBLEMAS PROPUESTOS 6.41.

Hallar, mediante límite de cociente de incrementos, la derivada de las funciones: a) / ( x ) = V 2^ 1. b) / ( * ) =

6.42.

a " ::!x2 + 3

Hallar la derivada de: a) y = senx2. b) y = sen2 x. c) y = sen2 x 2.

Capítulo

6 / Derivada de una función 125

Hallar la derivada de y = (senx)tg;c.

6.44.

Hallar la derivada de xy —yx = 0.

6.45.

Hallar la derivada n-ésima de y =

16 .4 &

W ■ 'i

Hallar la derivada n-ésima de y

x 2 —5x + 6 2x + 1 x 2 - 3x + 2

6.47/

Hallar la derivada n-ésima de y =

6.48.

Hallar la derivada n-ésima de y = sen 4x.

6.49.

Derivar implícitamente y2 ■x = x 2 • y.

6.50.

Derivar implícitamente xy2 = x • are sen y.

CM^f.

Derivar implícitamente (xy)senj: = yx.

6.52.

Comprobar si la función y = eax satisface la ecuación diferencial y" —2 ay' + a2y = 0.

6.53.

Comprobar si y = -J(l + x 2)" satisface la ecuación diferencial (1 + x2)y" + xy' —n2y

6.54.

Comprobar si y = sen(lnx) satisface la ecuación diferencial x2y" + xy' + y = 0.

6.55.

Hallar a y b en la ecuación diferencial y" + ay' + by —0, sabiendo que y = e x + 2e 2x verifica dicha ecuación.

y

6.56. _ __

= 0.

x2 —1 Hallar la derivada de y = -------- conrespecto a la variable u —etgx. 2x + 1

= are e o s

b + a ■eos t ey a + b ■eos t

-Ja2 —b2 ■sen t , dy , hallar — . b + a ■eo s t dx

6.57.

Dadas x

= are tg —---------

6.58.

Dada la función y = 4. ln(x2 + 1), comprobar que — • — = 1.

dy dx dx dy

' ''x

6.59^/

Hallar el ángulo que forman las curvas de ecuación y2 —4x = 0 y 2x2 + 5y = 12, en el punto (1, 2).

6.60.

Demostrar que la parábola: y = a(x —xi)(x —X2), a > 0, x\ < X2 tu

corta el eje OX bajo ángulos a y fi y— < a < n, 0
0, corte el eje OX bajo un ángulo mayor que 89o?

6.62.

Hallar el límite, cuando n 0 0 , de la ordenada de la función y = x’\ correspondiente al punto de inter­ sección de la tangente en A(l, 1 ) con el eje de abscisas.

6.63.

Hallar los puntos en los que las tangentes a las funciones y = 2x2 e y = x 4 son paralelas.

126

Introducción al Cálculo

6.64.

Hallar las longitudes de la subtangente y subnormal a la función / ( x ) = 2x2, en x — 1.

6.65.

Hallar la ecuación de la recta tangente a y = x2 + 4x + 5, que pasa por el origen de coordenadas.

6 .6 6 .

Demostrar que la ecuación de la recta tangente a la hipérbola -=• — -=■ = 1, en el punto xxq yyo _ .

x2

a2

y2

O o , y o ),

es

b2

6.67.

Demostrar que la función / ( x ) — m ■enx tiene subtangente constante.

6 .6 8 .

En un triángulo rectángulo, el cateto b mide 50 cm; el cateto c disminuye con una velocidad de 2 cm/s. ¿Con qué velocidad decrece la hipotenusa en el instante en que c = 24 cm?

6.69.

De un globo esférico escapa el aire con una velocidad de 10 cm3/s. Cuando el radio del globo es de 50 cm: a) ¿Con qué rapidez está disminuyendo dicho radio? b) ¿Con qué rapidez está disminuyendo la superficie del globo?

6.70.

Una escalera de mano de 4 m de largo está apoyada en el suelo horizontal y en un muro vertical. Supo­ niendo que el pie de la escalera se separa del muro vertical a razón de 20 m por minuto: a) ¿Con qué velocidad desciende el extremo superior cuando el pie está a 3 m del muro vertical? b) ¿En qué instante el pie y el extremo superior se están desplazando con la misma velocidad? c) ¿En qué instante el extremo superior desciende con una velocidad de 40 m por minuto?

6.71.

Un punto se mueve con velocidad constante sobre la curva y = 3x2 —2x + 1. Cuando x — 1, la abscisa del punto está variando a razón de 0,6 unidades por segundo. ¿Con qué velocidad varía la ordenada en ese instante?

6.72.

Un punto se mueve con velocidad constante sobre la curva y = 6x 2 — 3x + 2. ¿En qué punto de la curva la abscisa y la ordenada del punto están variando con la misma rapidez?

6y73. 6.74.

3 Un punto se mueve sobre la curva y = ------- , desplazándose su abscisa con una velocidad constante de x+ 1 2 unidades por segundo. ¿Con qué velocidad se está moviendo su ordenada al pasar por el punto (2,1)? Un punto se mueve sobre la curva y = x2, con velocidad constante. ¿En qué lugar de la curva están aumentando con igual velocidad la abscisa y la ordenada de dicho punto? .

(XX *7“ u

sx x ^ j . ~~ SI X > i

sea derivable.

ex —1

si x > 0 s ix < 0.

6.76.

Estudiar la derivabilidad y continuidad, en x = 0, de la función f (x ) -

6.77.

Estudiar la derivabilidad y continuidad, en x = 0, para / ( x )

6.78.

Utilizando el concepto de diferencial, hallar, aproximadamente, VTÜ.

6.79.

Hallar, aproximadamente, utilizando el concepto de diferencial, el incremento del volumen de una esfera de 10 dm de radio, cuando dicho radio aumenta 3 mm.

senx 2x

x3

s ix > 0 si x < 0.

Capítulo

6/

Derivada

de una función 127

6.80.

Dada la función f (x ) = V4x —x2, ¿es aplicable el teorema de Rolle en el intervalo [0,4]? En caso afirmativo, hallar el valor de a.

6.81.

Comprobar el teorema del valor medio para f (x ) = x 2 —3x + 2, en el intervalo [2, 3].

6.82.

Calcular los siguientes límites: x ■senx hm x -* 0 1 —eos X X3

6.83.

lím x-»0 x —senx

6.84.

hm a

- s- 0

e2x - 1 =----------x • elx —eix —x + 1 r

senx

6.85.

hm *-»0 eX

6. 86.

lím a— ^0 x —ln(l + x)

6.87.

lím

a-»-o

x —sen x

6.88.

ln(l + x + x 2) + ln(l - x + x 2) hm ----------------—--------------- . a -> o x(ex —1)

6.89.

hm A->0

6.90.

lím

6.91. 6.92. 6.93. 6.94. 6^5Í

6.96. 6.97.

sen2x 1 1 —cosx x 3 —3x2 + 3x — 1

hm (secx —tgx).

a-* I

V x2 + 7 - 4 . X —3

hm ----------

x —>-3

hm (1 —2x —x 3) * .

x— >0

lím (1 + s e n x ) c x 2j f 1 \ hm ("— r )

x —>1 V X "i" + 1/

2

Hm ( --------------^ ------ ’) •

A - i- l

Vx

—

Vi

1

+ X

X2 —

—

lím ---------x—>-0 3x

1/

vl —x .

128

Introducción al Cálculo

6.98.

/x2 - 3 x - 5

^

x->oo \ x 2 — 4 ^ + 2 /

Estudiar y representar las funciones: x2

6.99.

f(x) =

6.100.

/(* ) =

6.101.

f ( x ) = x + senx.

6.102.

f(x) = ln ^ - Í i. x —1

6.103.

/ ( x) = x + ex .

6.104.

f ( x ) = ln (se n x ).

6.105.

f ( x ) = 2x2 + \x\ + l.

6.106.

f(x)

6.107.

Determinar los valores de a para los que f ( x ) — —

6.108.

¿Es cóncava o convexa la función f ( x ) —

6.109.

Determinar el punto más próximo al punto (0 ,6) de la función f ( x ) = 2x2.

6 . 110.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 2) y determina con los ejes de coordenadas un triángulo de area mínima en el primer cuadrante.

6 . 111.

Dado un semicírculo de 6 cm de radio, hallar las dimensiones del mayor rectángulo que se puede inscribir en él.

=

(x + l ) 2 ' X

x2+ 4

\x 2 - 9 \

+

|j c | .

1 — ax

es decreciente.

x + a en x = 2a l x —a

6.112. Hallar las dimensiones del cilindro de mayor volumen que se puede inscribir en un cono de 3 m de radio y 7 m de altura.

6.113.

Hallar las dimensiones del cilindro de mayor superficie lateral que se puede inscribir en una esfera de 10 cm de radio.

6.114.

En un triángulo se conoce el ángulo a y se sabe que los lados contiguos a dicho ángulo suman 20 cm. Hallar la longitud de estos lados de forma que el área del triángulo sea máxima.

6.115.

Determinar un punto de la recta y = 2x, tal que la suma de los cuadrados de las distancias de dicho punto a los puntos A (—5 ,0 ), 5 (5 ,0 ) y C(0, c) sea mínima.

6.116.

Determinar un punto de la recta y = 2x + 1, tal que la suma de los cuadrados de las distancias de dicho punto a las rectas y — x + 3 e y = 3x —5 sea mínima.

6.117.

Se tiene un rectángulo de 12 cm de perímetro. Sobre sus lados se trazan cuatro semicircunferencias exteriores a él. Hallar la superficie total mínima de la figura obtenida.

Capítulo 6 / Derivada de una función

6.118.

129

Hallar los máximos y mínimos de la función:

(x-m )(x-n) f (x ) = ----------- --------

6.119.

Hallar las dimensiones del cilindro circular recto de mayor volumen que se puede inscribir en una esfera de 10 cm de radio.

6.120.

Hallar las dimensiones del triángulo isósceles de mayor área entre todos los de perímetro igual a L.

6.121. Un espejo plano, de dimensiones 80 x 90 cm, se rompe por una esquina. De los dos trozos resultantes,

el menor tiene forma de triángulo rectángulo, de catetos 10 y 12 cm, correspondientes a las dimensiones menor y mayor del espejo. Hallar el área máxima del espejo rectangular que se puede construir con el trozo mayor.

6.122.

Una esfera de radio R está inscrita en un cono de revolución. ¿Cuál ha de ser el ángulo del vértice del cono para que su superficie total sea mínima?

6.123.

Un barco está situado a 9 km de la orilla rectilínea. Se quiere enviar un mensajero a un campamento situado en la orilla a 18 km del barco. Teniendo en cuenta que el mensajero recorre 4 km por hora remando y 5 km por hora andando, hallar a qué punto de la orilla debe dirigirse para llegar al campamento lo antes posible.

6.124.

Una ventana tiene forma de rectángulo, con un semicírculo en la parte superior. Sabiendo que el perímetro de la ventana es de 4 m, hallar las dimensiones de la ventana de mayor superficie.

6.125.

Una empresa fabrica un artículo que vende a 400 euros la unidad. El coste total para colocar en el mercado x unidades de dicho artículo viene dado por la función / ( x ) = 0,02x2 — 160x + 400.000. ¿Cuántos artículos será preciso vender para obtener un beneficio máximo?

G É & s m ja

' s^ lf® '

APROXIMACIÓN LOCAL DE UNA FUNCIÓN

En algunas ocasiones se trabaja con funciones que sería conveniente sustituir por otras funciones más sencillas (por ejemplo, un polinomio), y tales que su diferencia con las anteriores en un entorno de un punto sea evaluable y lo más pequeña posible. Es decir, dada una función f (x ), se buscará un polinomio P (x ) tal que, en un entorno de un punto dado a, se pueda sustituir f (x ) por P{x), cometiendo un pequeño error medible.

%i

■

>

:

>

e @ o n a m w n o s i ? © ü i í s m ■■ *

Sea el polinomio Pn(x) de grado n. Desarrollado en potencias d ex - a tiene la forma:

Pn(x) = ao + a\{x —a) + ci2 (x —a )2 + a3(x —a )3 + ■• • + an{x —d)n (/) Derivando sucesivamente Pn{x):

P'n{x) = ai + 2 ü2(x - a ) + 3a3(x —a )2 H P¡'(x) = 2a2 + 3 • 2a3(x - a) H

b n(n —1)an(x - a )"-2

Pf¡n(x) = n\an Parax = a:

Pn(a) = a0 P'n{ a )= a \ P¡l(a) = 2 a2 P'ñ'ia) = 3 - 2 a3 P ^ (x ) = n\a,

Despejando ao, a\, a2, ..., an y sustituyendo en Pn(x):

b nan(x - a )"- 1

132

Introducción al Cálculo

que es la llamada fórmula de Taylor para polinomios. E je m p lo 7.1

Desarrollar en potencias de x - 2 el polinomio P (x) = x 3 + 3x2 —3. P ( 2 ) = 23 + 3,22 - 3 = 17

P '(x) = 3x2 + 6x = + P '( 2) = 3 • 22 + 6 ■2 = 24 P ”(x) = 6x + 6 = + P "( 2) = 6 - 2 + 6 = 18 P"(x) = 6 =+> P "( 2) = 6

y

94

1R

6

P (x) = 17 + — (X - 2) + — (X - 2)2 + ^ ( x - 2)3 = 17 + 24(x - 2) + 9(x - 2)2 + (x - 2)3

FORMULAS DE TAYLOR Y MAC-LAUR

La función / ( x ) admite derivadas hasta el orden n + 1 en el punto x = a y se desea hallar un polinomio Pn(x), con el mayor “parecido” posible a / ( x ) en un entorno de dicho punto, para así poder sustituir / ( x ) por Pn(x). Se supone que Pn(x), desarrollado en potencias de x - a, es de la forma vista anteriormente (I):

P,t(x) = ao + ni(x - a) + ü2 (x - a )2 + a^ix - a )3 H

f an(x - a )n

Para lograr el mayor “parecido” posible entre Pn(x) y /( x ) , en x = a, la primera condición es que Pnifl) — f (o), lógicamente. Además, se hará coincidir las derivadas primeras, segundas, terceras, etc., con este fin. Procediendo del mismo modo que en la sección anterior:

Pn(a) = a0 = f (a ) P'n(a) = a\ = f '(a ) P'ñ(a) = 2a2 = / » P;i'(a) = 3 • 2a3 = / ' » Pnl(x) = n \an = f {n(a) Despejando ao. «i, «2, • • •, an, y sustituyendo en Pn(x):

Pn(x) = f (a ) + ^

1'

(X

-a ) + ^ -

2!

(X

- a ) 2 + ■■■ + ^ 1 n\

(X

- a )n

que es el polinomio de Taylor de orden n de la función / ( x ) en el punto x = a. Se define el resto o término complementario de orden n de la función / ( x ) en el punto x = a como: D , , f {n+l(a) , ^n+1 , n P-n+i (x) = - — —— (x - a) ^ , con a e (a, x) {n + 1 )!

Rn+i(x) expresa el error cometido, en un punto x, al sustituir la función / ( x ) por Pn(x). Se puede

escribir:

/(x ) = f (a ) + 2 M 1!

(x _ ay+ ¿ J E ! (x _ fl)2 + . . . + / i M 2! n\

(jc _ a )n + R

(x)

Capítulo 7 / Aproxim ación local de una función

Si a = 0, el desarrollo anterior recibe el nombre de fórmula de McLaurin: ^

,

/'(O )

, /"(O )

2 ,

, / (n(0) „ , D n+1 ( '

f (x ) = f (0) H------1 !77“ x H----2ttx H------- 1-----ni T” ! siendo:

Rn+i(x) = f

^ xn+1, con 0 < 0 < 1 (n + 1)!

de modo que 9x está comprendido entre 0 y x. E je m p lo 7.2

Desarrollar f (x ) —ex mediante la fórmula de McLaurin, para n = 2 y n = 3.

f (x ) = ex

/(O ) = e ° = l

f ( x ) = ex

/'(O) = e° = 1

Sustituyendo en la fórmula de McLaurin:

P\{x) = 1 + —x = l + x P2(x) =

1

1

+ —x

1 +

—

x 2 ^ 1 + x

+

X2 y

Representando gráficamente /( x ) , P\{x) y Pi(x), se aprecíala aproximación:

f(x)

En general:

/(x) = 1 + X+ — +— + ••• H ni + Rn+1(x) 2! 3! siendo Rn+ i(x)

x n+l

(n + 1 )!

e8x, con 0 < 0 < 1 .

PROBLEMAS RESUELTOS 7.1.

| Desarrollar f (x ) = senx mediante la fórmula de McLaurin, para n == 5.

133

134

Introducción al Cálculo

Resolución f (x )

: senx

/(O)

sen 0 = 0

/ '( * )

: cosx

/'(O )

eos 0 = 1

/" ( * )

: —senx

/"(O )

—sen 0 = 0

/" '(* )

—eos X

/'"(O )

—eos 0 = —1

/ /VM

senx

/(O )

sen 0 = 0

cosx

/(O )

eos 0 = 1

—sen x A continuación, se hallan P i(x), P$(x) y Ps(x), ya que Pi(x) y P${x) coinciden con P\ (x) y P3(x) por ser nulas las derivadas respectivas (ver Figura 7.2): Pi(x) = 0 +

P3(x) = 0 +

'x +

P5(x) = 0 +

0

- ^7JC 3! = X ~ ~ oZ

■X + 0 -

i-x 3 + 0 +

^ |X 5

3 XD

5 XJ

x ~ ~ 6 + m>

El desarrollo de McLaurin para n = 5 es: , f(x)

x3 3!

x5 5!

sen0x 6!

— X ------------ 1---------------------------X

con 6 e (0, 1 ).

7.2.

Hallar el desarrollo de McLaurin de orden n para la función / ( x ) = (1 + x )m.

Resolución / ( 0) = 1

f'{x) = m (l + x ) m—1

/ ' ( 0) = m

f" (x ) = m(m - 1)(1 + x ) m~~2

/ " ( 0) = m(m - 1 )

f " (x ) = m(m - 1 ){m - 2)(1 + x ) m—3

/ '" ( 0) = m(m - \){m - 2)

/^*(x) = m(m — 1) . . . (m —n + 1)(1 + x)m n

=$■

/ ^ n(0) = m(m — 1 ) . . . (m —n + 1)

Capítulo 7 / Aproxim ación local de una función

El desarrollo de McLaurin:

m m(m — 1 ) 9 m(m — 1 ) . . . (m —n + 1) ,, f (x ) = 1 + — x + xz + • ■• + - i ------------- ^------------- ó xn + Rn+l(x) 1! 2! n\

0 +(T)X+( ) *2+''' +(n^ +Rn+1 2

siendo:

X "

Rn+ 1 to

7.3.

( x )

m ) ( l + 0x )m- ,I“ V I+1 n + l)

Hall 1 el desarrollo de McLaurin para f (x ) = ln(l + x).

Resolución / (0) — ln 1 = 0

f'(x )

/"OO = f " (x ) = f ,v (x )

1+ x

/'(O ) = 1 1

/"(O ) = - 1

(1 + x )2

2 (1 + x )3

/ '" ( 0 ) = 2

3!

f IV( 0) = -3 !

(1 + * ) 4

n+1 ,

f in(x) = ( - l">n + i C n - Ü ! (1 + x )n Entonces: ln X = 0 + X - y + y - -- - + ( - 1 )',+1siendo:

Rn+i(x)

/Zl (1 + 6x)'l+l

(-D n

+ /?„+! W

rn+l

( _ 1 )»X«+1

(n+l)!

( n + l ) ( l + 0x )'!+1

y 9 € (0, 1).

7.4.

JT Hallar el desarrollo de orden dos en un enlomo de —, para / ( x ) = tg x.

Resolución / ( x ) ” tgx / '( * )

/"OO Aplicando la fórmula de Taylor:

cos2 x 2 • senx cos3 x

'(í) ^1 /'(!)/"SH

n7 T\\2¿ 2- eos2 a + 6 • sen2 a , 22 // 7nr \\ 44 // ■s* = 1 + t t ( x - 4 ) + v x ~ ? ) + 3! • eos4 a con 7t/4 < a < x.

Tt \ 3

4/

135

136

Introducción al Cálculo

7.5.

i En el desarrollo de McLaurin de / ( x ) — eax aparece un término igual a 36x3. Calcular a.

Resolución

Por tanto:

f (x ) = eax f ( x ) = a - e ax

=+

/(O ) = 1

=>

/'(O ) = a

/ " ( x ) = a 2 ■eax

=►

/"(O ) = a 2

f'" (x ) = a 3 • eax

=+

/"'(O ) = a 3

a z2 0 a33 ? + V.X + 2 \ X + 3 \ X + ‘ " a

a3 3,

7.6.

36 =$■ a = 6

Hallar eos tt/ 12, con un error menor que 10 3, utilizando la fórmula de McLaurin.

Resolución / ( x ) = cosx

=>

/(O ) = 1

f '(x ) = - senx

=+

/'(O ) = 0

/" (* ) = - c o s x f" '(x ) = senx

=* =+

/ " ( 0) = - l / " '( 0) = 0

f IV(x) —cosx

=+

f IV (0) = 1

El desarrollo de McLaurin: ,

X2

COSX — i — “

X4

+ “

X6

— “

+

El error ha de ser menor que una milésima: 10“3 = 0,001. Tomando una cifra decimal más, es decir, cuatro cifras decimales, y tomando términos del desarrollo hasta que se anulen dichas cuatro cifras: eos ^

= 1 - 0,0342 + 0,0002 - 0,0000 +._•• = 0,9659

Directamente, con la calculadora, resulta 0,9659258.

7.7.

Hallar ln l , 3, con un error, menor qué 10"2, utilizando la fórmula de McLaurin, para / ( x ) = ln (l + x).

Resolución Como se ha visto en un ejercicio anterior: X2

X3

X4

l n ( l + * ) = X - y + y - — + ... Tomando x = 0,3 y tres cifras decimales, ya que el error ha de ser menor que 10- 2 = 0,01: ln (l + 0,3) = 0,3 - 0,045 + 0,009 - 0,002 + 0 ,0 0 0 ----- = 0,262

Capítulo 7 / Aproxim ación local de una función

7.8.

137

Dada la función / (x) = 10x40 — 3x30 + x 10, hacer un desarrollo en serie de potencias de x — 1 y h a l l a r / ( l , 001) con un error menor que 10~2.

Resolución / ( x ) = 10x40 - 3x30 + x 10

=4

/( 1 ) = 8

/ '( * ) = 400x39 - 90x29 + 10x9

=»

/'( 1 ) = 320

/" ( x ) = 15600x38 - 2610x28 + 90x8

=►

/" ( 1 ) = 13080

f " (x ) = 592800x37 - 73080x27 + 720x7

=►

/" '(1 ) = 520440

El desarrollo de McLaurin: ,

„

320,

13080,

~

520440,

,

f ( x ) = 8 + "Y¡-(x ~~ l) + —2 ¡— ix ~ ^ ) 3--------------- ~ ^

•

Se toman tres cifras decimales, como se hizo en el ejercicio anterior, puesto que el error ha de ser menor que ÍO-2 = 0,01: /(1 ,0 0 1 ) = 8 + 0,320 + 0,007 + 0,000 + • • • = 8,327

7.9.

Calcular sen 0,3 mediante la fórmula de McLaurin. Acotar el error cometido al lomar los siete primeros términos del desarrollo.

Resolución x3

se„ con 0 < 8 < 1 . sen0,3 = ° ’3 “ El error cometido:

x5

0 33

,

x7

|sen(0x)| R ,

0 35 0 37 ^ ]------- = 0,295520206

0 38 e = -^ -|se n (O ,3 0 )|

y como | sen(0,3 9)\ < 1:

0,3 8!

€ < —-— = 0,0000000016

7.10.

Utilizando un desarrollo en serie, calcular el valor de e0,2 para n — 3 y acotar el error cometido.

Resolución / ( * ) = «* / '( * ) = ex

=> =>

/ ( 0) = 1 / ' ( 0) - 1

f"(x)=ex /" '( * ) = ex

=¥

/ " ( 0) = 1 / " '( 0) = 1

Por tanto: e'c =

l +

=»

x2 x3 x+ — + — +

5 4 (x)

138

Introducción al Cálculo

con:

R$(x) =

00

J1

j\X

fi

: Calcular, mediante un desarrollo en serie, la integral:

'

p0,5 senx • dx

i0

X

Resolución Desarrollando en serie senx: 3 Xo

5 XJ

7 X 1

i 0'5 X _ 3T+ 5 T_ 7Í + -' í 0’5 A * 2 * 4 x6 \ J L x ÍX = J0 ( 1 - 3 í + 5 i - l í + - ) d’‘ r x3 x5 x7 i °>5 = p - 3 ^ + 5 ^ i + 7 7 T + " - ] „ ~ 0,4993553.

7.13.

Resolver la ecuación eos x — x.

Capítulo 7 / Aproxim ación local de una función

139

Resolución Desarrollando eos x en serie de McLaurin: x2 1 — — —x =$■ x2 + 2x —2 —0 =$■ x = —1 + s/3 Se ha tomado: cosx sa 1 -----2 por motivos de sencillez en los cálculos. La solución obtenida ha sido x = —1 + V3 = 0,7 3 2 0 5 0 ... La solución verdadera es x = 0,739085 . .. 7 .1 4 .

| Hallar una función /( x ) , tal que /( 0 ) = 1 y f '(x ) = / ( x ) + x.

Resolución / ' ( 0) = / ( 0) + 0 = l + 0 = l /" ( x ) = f ( x ) + 1 = * / " ( 0) = / ' ( 0) + 1 = 1 + 1 = 2 /'" ( * ) = f" (x ) = > / " '( 0) = / ' ( 0) = 2

f {n( 0) = 2

Vn > 2

Desarrollando por McLaurin: f (pe) — 1

J

x

2x 2 2!

-b

b

2x 3 2x 4 ~i 3! 4! 2

b••• 3

= —1 — x + 2 ^ 1 + x + — + — +

ya que: X

X

2

+ 2ex

3

XJ

6 ^ 1 + l ! + l ! + 3! + ' “

PROBLEMAS PROPUESTOS 7.15.

Desarrollar, en potencias de x — 1, el polinomio P (x) = x 4 — 1. Desarrollar en serie de McLaurin las funciones siguientes:

7.16.

/ ( x ) = ax.

7.17.

f ( x ) — are sen x .

7.18.

/ ( x ) = are cosx.

7.19.

/(x)

7.20.

f ( x ) —secx.

7.21.

/ ( x ) = In(cosx).

7.22.

/ ( x ) = ln(x + V i + x 2).

= arctgx.

140

Introducción al Cálculo

7.23.

Obtener los cuatro primeros términos del desarrollo de lnx, en potencias de x —2.

7.24.

Obtener los ocho primeros términos del desarrollo de ex, en potencias de x — 1.

7.25.

Desarrollar en serie, mediante la fórmula de McLaurin, la función f ( x ) = (x + 3)e2x, hasta el orden 3.

7.26.

Hacer un desarrollo de f ( x ) = ^/x, en potencias de x —1.

7.27.

Hallar una cota del error cometido al calcular eos 0,1, a partir del desarrollo de McLaurin para n = 1.

7.28.

Hallar el valor de a para que en el desarrollo de la función y 3 —axy —8 = 0, en un entorno de cero, aparezca un término igual a: 1 x3 _ 2 ' 3l

7.29.

Verificar la fórmula aproximada: ln(10 + x) = 2,3 + ^ Comparar los resultados obtenidos con la fórmula anterior para x = —0,3, utilizando la calculadora.

7.30.

Calcular, mediante desarrollos en serie, el limite: lím jc-5-0 cosx —ex

7.31.

Calcular, mediante un desarrollo en serie, el límite: X + eos X — 1 h m ------------------

x —^0

7.32.

X

Calcular, mediante un desarrollo en serie, la integral:

/ f0,5

/" Jo0

e x2dx

CAPiroo LA INTEGRAL INDEFINIDA

La integración es uno de los conceptos más importantes del Cálculo. Es la operación inversa de la diferenciación y surge de la necesidad de hallar el área limitada por una curva. En este capítulo, dada la diferencial de una función, se estudiarán diversos métodos para hallar dicha función.

Sea la expresión:

dF (x) = 4x —12 o bien: dx

d F (x ) = (Ax —12) dx

Si se desea hallar la función F (x), se encuentran infinitas soluciones:

F (x) = 2x2 —I2x F (x ) = 2x2 - 1 2 x + 5 F (x) = 2x2 - \ 2 x - l Se deduce de lo anterior que F (x) ha de ser F (x) = 2x2 — Í2x + C, siendo C una constante. En general, si f ( x ) está definida en un intervalo (a, b) y:

d F (x ) = f(x) dx en (a, b), se dice que F (x) es una primitiva de f ( x ) y se escribe en la forma:

F (x) = J f ( x ) d x En la función del ejemplo anterior:

j (Ax - 12) dx = 2x2 - 1 2 x + C en donde C recibe el nombre de constante de integración.

142

Introducción al Cálculo

■ PROPOSICIÓN 8.1

Si F \(x) y F2(x) son primitivas de f(x ), entonces Fi(x) y F2{x) se diferencian

en una constante. D e m o str a c ió n . En efecto: ,

dFi(x) — =

dF2(x) rr N , dF i(x) dF2(x) ~ ir = m = *—x d ^ =° q d[F i(x) - F2(x)] dx =► Fi(x) - F2{x) = C =*• F\(x) = F2(x) + Cm

Por lo tanto, si F (x ) es una primitiva de f(x ), todas las primitivas de f ( x ) son de la forma:

j f{x) dx = F (x) + C El conjunto de las funciones de la forma F (x) + C recibe el nombre de integral indefinida de f (x ).

PROPIEDADES ELEMENTALES

1.

La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales respectivas:

J [ f ( x ) + g(x)]dx = 2.

j f{x)dx + j g(x) dx

La integral del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la integral de la función:

j k - f ( x ) d x —k J f ( x ) d x

Mediante la regla de la cadena y las fórmulas de derivación, se obtiene la tabla siguiente: y'1+1

/

Xn dx = ■ n

+1

+ C,

(n ¿ - 1 )

j f '(x ) sen[/(jc)] dx = —eos [ / (x)] + C f 1 1 ^1 dx = in |/(JC)| + C f(x)

J

/

afW

f ( x ) a f(-x) dx = ------ + C (a > 0, a / 1) J ln a í dx = are eos f ( x ) + C J V i - [/ O O ] 2

f

/ f { x )[f { x )f dx = J

1 f(x) 1"+1

“

+ C

n+L

J f /(x )co s[f(x )]d x = scn[f(x)] + C [ f \x )e fW dx = e ™ + C

J

r

f'(x)

/ - = = = = = = dx = are sen f ( x ) + C y /í-U W ? J J 1 _ r/(* )]2 dx = arctg f ( x ) + C í

J ! + [/(*)]

t i

Capítulo 8 / La integral indefinida

143

Si se desea calcular una integral f f ( x ) dx, puede ocurrir que la sustitución x = u(t) transforme dx —u'(t) dt, y entonces: dicha integral en otra más sencilla de calcular. En efecto, si x = u(t )

j f ( x ) dx —j f[u{t)] u'{t) dt Integral que, una vez hallada la primitiva en función de la variable t, puede escribirse en función de x hallando la función inversa de x —u(t). EJEMPLO 8.1

Sea / \ / l —x2 dx. Mediante el cambio x = sen t ■ — > dx —eos t d t :

/y 1 3 7 ^

Sean las funciones u(x) y v(x), derivables en el intervalo (a, b). La función u(x) ■v(x) será derivable en (a, b):

d(uv) = u dv + v du Integrando los dos miembros:

que es la fórmula de la integración por partes. E je m p l o 8 .2

Calcular / x • ln xdx.

Se eligen convenientemente u y dv:

du — dv = x dx

v=

dx X

xv. 2 2

Por tanto:

/ x ■lnxrfx = — lnx — 2

X2 1 d _ X2 lnx —

Para obtener la primitiva de una función racional P(x)/Q {x), donde P(x) y Q(x) son polinomios de grados m y n respectivamente, se procede del modo siguiente:

144

Introducción al Cálculo

1.

Si m > n, se efectúa la división entre P (x) y 0: pb

pb

I f (x ) d x = Km I

Ja

e^® J a + e

f(x )d x

si existe dicho límite. E j e m p l o 1 0 .2

rd x

Calcular /

— .

Jo

La función f (x ) =

~Jx

~Jx

no está acotada en x = 0. Por tanto: r

r'J- / / x

—= = Km 2*Jx Je «Jx e- » 0 L /

i2 Je

= lím (2 ^ 2 - 2 Ve) = 2-V2 e-s - 0

CASO 3 Si la función f{x) no está acotada únicamente en x = b [extremo derecho del intervalo (a, b)], tomando e > 0: pb

p b —e

I f(x )d x — lím / Ja Ja

f (x )d x

si existe dicho límite. E j e m p l o 1 0 .3

V dx Calcular / -------. Jo x

- 1

La función f (x ) = —í— no está acotada en x = 1. Por tanto: x —1 1—e dx X —1

í

= lím ln \x — 1 | e—*"0

1—e JO

_ _ OQ

CASO 4 Si / ( x ) es continua Vx > a: peo

I

Ja

pll

f ( x ) d x — lím I f{x)dx Ja

si existe dicho límite. E j e m p l o 1 0 .4

ro o

fh

„ — .....

1 + X¿

.

h - y oo Jq

(¡x

1 + x

. — lím

l i —>-oo

arctgx

h

n

o

2

Capítulo 10 / Integrales im propias

175

CASO 5 Si f (x ) es continua Vx < b:

/

b

pb f(x )d x = lím / f (x )d x oo0 J_/¡ J_) -OO /íh-+>-0

si existe dicho límite. E j e m p l o 1 0 .5

/

O

-o o

ex dx — lím I ex dx = lím h-+oo /, h-+OO

o

lím (e - e~h) = 1 /;->■oo

-h

CASO 6 Si / ( x ) es continua Vx e i y c e i e s u n punto cualquiera:

/ OO

/»C

/*f

f ( x ) d x — lím I f (x ) dx + lím I f (x )d x -oo J-h ,"*°° Je

si existen dichos límites. E j e m p l o 1 0 .6 rO

dx

^ dx

/ ~ = lim / ------- =■+ J _ 0O 1 + x z h ^oo J_/, 1 + x¿ o : h'm are tgx + /l-S-OO

poo

Es de la forma V(p) = I

Jo

[rt’ dx

lím / t-+oo J 0 1 + x z

71

lím [ arctgx = —( — —^ + — r->oo L Jo \ 2/ 2

=

7T

tp~le~' dt, (p > 0).

Esta integral impropia fue introducida por Euler en 1729 y tiene la importante propiedad de que r (p) = (p —1)!, para p entero mayor o igual que 1. Así, la función gamma puede ser interpretada como una generalización del concepto de factorial.

i. r(i)

POO

7

dt = lím 1. h— >OO 2. Haciendo el cambio t = x = 4>dt = 2x dx en T(p): Jo

r (p) Tomando p

ro o

= /

Jo

,

ro o

e~"'v~ (x2) p~l 2x dx —2 /

Jo

I. 2’

F&

= 2 l

como se verá más adelante (Sección 10.6).

£^

dX = ^

x 2p_1 e~x dx

176

Introducción al Cálculo

3.

Haciendo el cambio

= x =$■ t = —ln;t

T (p) = 4.

j

—dx

dt =

(—ln x )p -1 x ~ ~ ~ —

, la función adopta la forma:

j

1

dx

Se va a calcular F (p), para p > 1. Por partes:

u = tp -1 dv —e 1 dt

_ 11 du = (p — 1) ííP-2 p_

i.

=£

_ _ g -w — " r

luego:

poo

r(p) = /

Jo

lím

fp_1 e-r dt r

h— >co L

- tp- 1 e~c

“ih C + / (p - 1 ) fp_2 e_í di

JO Jo peo (p — 1 ) I tp~2e~~‘dt

Jo

(P - 1 ) r ( p - 1 ) ya que: lím

h - * oo

5.

tp~li e

0

-i = Km -----— = 0 /i-í-oo

e

Si p es un número entero positivo, como F (l) = 1, aplicando el resultado anterior se tiene: F (p) — (p —l)(p — 2) • • -2 F (1 ) = (p -l)!

De este modo, la función gamma puede ser interpretada como una generalización del concepto de factorial. Como F (p) = r(/p+ i), es posible ampliar F (p) para los valores negativos (no enteros) de p. 6. La función F (p) no está definida para p = 0 y, por tanto, para ningún valor entero negativo. En efecto:

„ _ , „ F (p + 1 ) , lím F (p) = lím — —------= +oo

p-s-0+

o+

p

„lím T_(p)N= Km „ r-------------= ( P + i)

p-±o7.

p-»-o-

p

Fórmula de los complementos. Si 0 < p < 1, entonces: r o o r ( i - P) =

sen n p

Esta fórmula es útil para calcular determinadas integrales.

—oo

Capítulo 10 / Integrales im propias

GRAFICA DE LA FUNCION

177

WB

A continuación, se presenta una tabla de valores para la función T (p ), para p e [1,2]:

p

P

reP )

P

i »

P

r íp )

1,00 1,01 1,02 1,03 1,04

1,00000 0,99433 0,98884 0,98355 0,97844

1,25 1,26 1,27 1,28 1,29

0,90640 0,90440 0,90250 0,90072 0,89904

1,50 1,51 1,52 1,53 1,54

0,88623 0,88659 0,88704 0,88757 0,88818

1,75 1,76 1,77 1,78 1,79

0,91906 0,92137 0,92376 0,95623 0,92877

1,05 1,06 1,07 1,08 1,09

0,97350 0,96874 0,96415 0,95973 0,95546

1,30 1,31 1,32 1,33 1,34

0,89747 0,89600 0,89464 0,89338 0,89222

1,55 1,56 1,57 1,58 1,59

0,88887 0,88964 0,89049 0,89142 0,89243

1,80 1,81 1,82 1,83 1,84

0,93138 0,93408 0,93685 0,93969 0,94261

1,10 1 ,1 1 1,1 2 1,13 1,14

0,95135 0,94740 0,94359 0,93993 0,93642

1,35 1,36 1,37 1,38 1,39

0,89115 0,89018 0,88931 0,88854 0,88785

1,60 1,61 1,62 1,63 1,64

0,89352 0,89468 0,89592 0,89724 0,89864

1,85 1,86 1,87 1,88 1,89

0,94561 0,94869 0,95184 0,95507 0,95838

1,15 1,16

1,40

1,19

0,93304 0,92980 0,92670 0,92373 0,92089

1,42 1,43 1,44

0,88726 0,88676 0,88636 0,88604 0,88581

1,65 1,66 1,67 1,68 1,69

0,90012 0,90167 0,90330 0,90500 0,90678

1,90 1.91 1,92 1,93 1,94

0,96177 0,96523 0,96877 0,97240 0,97610

1,20 1,2 1 1,22 1,23 1,24

0,91817 0,91558 0,91311 0,91075 0,90852

1,45 1,46 1,47 1,48 1,49

0,88566 0,88560 0,88563 0,88575 0,88595

1,70

0,90864 0,91057 0,91258 0,91467 0,91683

1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2,00

0,97988 0,98374 0,98768 0,99171 0,99581 1,00000

1,17

1,18

• NOTA

T(P)

1,41

1,71

1,72 1,73 1,74

La tabla anterior es para p e [1, 2], Para p £ [1, 2] se utilizan las fórnalas: r »

= r(/? + 1) y

r e 1-3)

0,89747

„

„

1)

r(p s

r(p +

l)

F(0,3) =

E j e m p l o 1 0 .8

F(3,5) = (2,5)r(2,5) = (2,5)(1,5)F(1,5) = 3,32336, dado que T(p)

E j e m p l o 1 0 .9

Calcular ^ ^

0,3

= — — — = 2,9916, ya que F (p)

1)

EJEM PLO 1 0 .7

r(p -i).

- o

T{p) = (p -

0,3

r (p ) = (p -

1)

.

753

7' 2/ 7 5 3 1

2 2 2 2

'(i)

105

16

2 2 2 ©ir

■(i)

La función T(p) se ha definido para p > 0. Pero como T(p + 1) = p T(p), se puede extender su dominio al intervalo ( —1, 0). De igual modo, se puede extender a (—2, —1), etc (ver Figura 10.1).

178

Introducción al Cálculo

■ o o a- Q á w p M i f t i í H p i a a ^ D ^ Es de la form a

B(p, q) = í tp 1 (1 —t)q l d t,W p ,q > 0. Jo

íl®y& 1.

l _ 1

B(p, 1) = f tp~l dt

o _ p'

Jo

2. H aciendo 1 — t = x: B (p,q) = 3.

R esolviendo

rO i-l xq~l (l —x )p~l dx = J xq~l {\ —x )p~l dx = B{q, p)

—J

B (p , q ) por p arte s: M = ( l _ f)? -1

dv = tp~l dt

=>>

du = - ( q - 1)(1 - f f - 1 dt tp

=>■

se tiene:

B (p,q) 4.

r tp(l —t)q' -i . Jo

i - i

p

f 1 tp(l - t ) q ~2 dt = ---- B ( p + l , q - 1)

Jo

ya que el prim er sum ando es igual a cero. L as funciones B (p,q) y F (p ) están relacionadas m ediante la fórm ula: B(p,q)

5.

Si en la función

F (p) r ( 9 )

r{p

+ q)

B(p, q) se hace el cam bio t — sen2 x = > • dt — 2 • s e n x • c o s x dx: _ r| B (p ,q ) = 2 / sen2p 2 x cos2q 2 x s e n x e o s x dx L

= 2 Í

se n2p-

l x eos 2q- l xdx

Capítulo 1 0 / Integrales impropias

Y tomando p = q =

179

resulta:

B

/I

1\

?

\ 2 ’ 2 / = 2 Jo

dX== 2

= n

Por la fórmula del apartado anterior: '1\ _ /l

T(l )

■ — '

L" V2/J

' ~■( V25 ) =

Por tanto:

í

Jo

e” í_ dt = ~ ~

2

(Ver Sección 10.3.)

PTOBLEMAS RESUELTOS 10. 1.

dx

Calcular /

Jo

Resolución La función del integrando / ( x ) — tanto:

f

I

Jo

dx

- ........~Jx —

1 ^ /F ^ 2

f 2-e

= lim 1 Jo o

2 e->0

presenta una discontinuidad infinita en 2 e (0, 3). Por

dx

f3

...... = + lim ~Jx \/x —2 s-^-b J 22+S

—2 í->0

dx Vx —2

r 3 ^ (x 3 ^ - 2 ) 2 - |2 - * , ------+ lim 2 -o 5->o €— ^0

= lím

2

21

2

lím (€3 - 2 3 ) + lím (l - 53) -6->0 i -»0

10. 2 .

; Calcular I

- Jo í

- 2 ) 2 ]3

J2+5 3 ( l- ^ ¡ )

dx , con a > 0. x2 + a2

Resolución dx

/ — lím ím f 00 Jo x2 + a2 h-+ -xwJo

10.3.

Calcular 1 = 1f

Jo

1 x Hm - are tg — h-*00 Cl Cl

lnx dx.

Resolución La función del integrando, / ( x ) = lnx, presenta una asíntota vertical en x = 0. Por tanto:

I = lím f

€—m J o+e

ya que Hm e ln e = 0. €->0

lnx dx = Hm x lnx —x l = lím (—1 — e ln c + e) = —1 L

Je

e—^-0

180

Introducción al Cálculo

10.4.

¡ Calcular T(3,4).

Resolución r(3,4) = (2,4) r(2,4) = (2,4)(1,4) F (l,4 ) = (2,4)(1,4)(0,88726) = 2,98119

10.5.

Calcular r

Resolución

2

De otra forma, mediante la tabla:

10.6.

| Calcular: a) 7r!; b) el.

Resolución jr! = r (1 + n ) —n F(jr) = it{n —1) F(;r — 1 )

a)

= 7v(n - 1){n - 2) T( jt - 2) = (3,14159)(2,14159)(1,14159)(0,93642) = 7 ,1 9 2 2 ... b)

10.7.

e! = T(1 + e ) = eF(e) = e(e - l)F (e - 1) = (2,71828)(1,71828)(0,91258) = 4 ,2 6 2 4 ...

i Calcular:

Resolución (7/2)! T ( 7 / 2 + 1) (7 /2 )(5/2)F (5/2) /o ^77)— 777 = 777V7777TT77 = ----77777777----= 35/ 8 2 ! ( 7 / 2 - 2)! r(3 )F (3 /2 + l) 2 ! T(5/2)

10.8.

Calcular 1 =

Resolución Se trata de una función gamma, con p — 1 =

p—

2

Por tanto:

Capítulo 10 / Integrales im propias

De otro modo: / =

10.9.

Calcular I — /

00

=

V2 /

\2 J

2

=

2

3

x e x dx.

Resolución Mediante el cambio x 3 = y = 4 3x2 dx = dy:

r ¿ e - y ^ = = 1- [ 3^2

Jo

10.10.

3 Jo

,-1

dy = i r ( ? ) = y 3 \3 J 3

r

(i->) 2

- = 0,45083

i Calcular I = f «Jt V(1 —f)3 dt.

j

0

Jo

Resolución

1

3

Se trata de una función beta, con p —l = - y # — 1 = - . Por tanto: rV 3 \

(y)

I —B '3 5^

10. 11.

tV

5 \

^

1 1. 2 / V20 = T ~ ~ T ~ T(4) 3!

"• 16

Calcular I = I x2 y/a2 —x2 dx, mediante el cambio x = a-fitJo

Resolución x = a-y/t =4> dx = —^ 7= dt 24 t luego:

, i ( i - 0, 35 (e) > 0, tal que si 0 < V(x —a )2 + (y —b)2 < 8, se cumple que \f(x ) —L\ < e y se representa:

190

Introducción al Cálculo

De un modo gráfico:

Figura 1 1 . 1 3 Una función de una variable, y — f(x ), posee límite L en un punto x = a si para toda sucesión de valores de x que tiende a dicho punto, tanto por la derecha como por la izquierda, le corresponde una sucesión de valores de f (x ) que tiene por límite L. Para funciones de dos variables la situación es más compleja, ya que la sucesión (x, y) puede tender al punto (a, b) a lo largo de las infinitas curvas que pasan por (a, b), contenidas en el plano XY. Para que el Kmite exista, ha de ser siempre el mismo con independencia de la trayectoria seguida. E j e m p l o 1 1 .3

S ea la función:

x2 —y2 x2 + 3y2

f ( x , y)

de dominio R 2 —(0, 0). Se quiere hallar su límite en (0,0). Si existe, dicho Kmite ha de ser el mismo para cualquier sucesión (x , y) que tienda a (0, 0), a lo largo de una curva y = 0 (x) que pase por el origen de coordenadas. El Kmite en la dirección del eje OX, tomando y = 0, es: lím

(x,;y)->-(0,0)

x2 —O2 f (x , y) = Km f (x , 0) = Km -=— = 1 x-±0

x-^-0 X

+

3 •0

El Kmite en la dirección del eje OY, tomando x = 0, es:

O2 —y2

lím f (x , y) = Km / ( 0 , y) = Km -=— (jc.y)—(0,0) y->-0 y-^-0 0 + 3y

1 = —3

Los límites no coinciden. Por tanto, la función carece de Kmite en (0,0). E j e m p l o 1 1 .4

Sea la función:

/(*, y )

=

xy

x2 + y2

de dominio R2 — (0, 0). Se quiere hallar su Kmite en (0, 0). El Kmite en la dirección del eje OX, tomando y = 0, es: lím

(jc,;y)->(0,0)

f (x , y) = Km f (x , 0) = Km x-*-0

’

El Kmite en la dirección del eje OY, tomando x = 0, es:

x ■0

x-í-0 X 2

+ O2

Capítulo 11 / Funciones de dos variables

191

Los límites anteriores coinciden, pero considerando la dirección de la recta y —x: X '2

1

f(x , y) = lím f (x , x) = lím —-=• = x ^0 2x2 2 (í,y)->(0,0) *->-0 lím

L a función no posee lím ite, ya que p ara distintas direcciones los lím ites son distintos. EJEM PLO 1 1 .5

S ea la función:

2

x y x4 + y2

de dominio R2 — (0,0). Se quiere hallar su límite en (0,0). El límite en la dirección de toda recta que pase por (0,0), y = mx y es:

x2y

lím uní (x,>>)->(0,0) x 4 +

mx~

mx 7T :0 ml

X == lím 11111 —j------- z—r- = 11111 lím —ry¿ x->0 x 4 + mzx¿ x->0 xl + ¿2 .

Pero, en la dirección de la curva y

1

llm

*-»o x 4 + x4

2

La función no posee límite, ya que para distintas direcciones los límites son distintos. La condición necesaria (pero no suficiente) para que: lím

(x,y)-*(a,b)

es que:

/ ( x , y) = L

lím / ( x , 4Kx))

siendo 4>(x) una curva contenida en XY, que pase por (a, b). Es decir, el procedimiento anterior permite resolver los casos en los que el límite no existe, pero no permite resolver los casos afirmativos. E j e m p l o 1 1 .6

S ea la función:

/(x ,y )

x 2 + y2

Se quiere hallar su límite en (0, 0). Tomando una recta que pase por el origen de coordenadas, y = mx, se tiene: hm

„3

------ * = h m / ( x ,

( jr .y ) —>-(0,0) X ¿ +

y

x -> 0

mx) = h m — ——^ = 0

Si dicho límite existe ha de ser igual a cero, pero su existencia no está probada, ya que lo anterior no es condición suficiente. Para probarla, se toma la definición de límite: hm

En efecto,

------=• < x + y ~ Tomando S = e, queda:

■0 ■ Ve, 35 > 0 / 0
•

< |x| < ^ x 2 + y2 < S.

0 < yjx2 + y2 < S =

x2 + y2

-0

< e

x2 + y2

y)— >-(0,0) x 2 + y 2 Podría haberse utilizado coordenadas polares1: x = p eos 8, y = p sen 0. Si p —> 0, entonces (jc, y) -► (0, 0): x3 eos3 0 a lím -=-------- = Km p ■— 7f--------- x— — lím p eos 0 = 0 >(0,0) x z + yz /)-»■o cosz 0 + senz 0 p-* o

ya que —l < eos3 0 < 1 es una función acotada, y p —> 0.

1. Si existe el Kmite de una función z = f (x , y), en un punto (a, b), dicho límite es único. 2. El Kmite de la suma de dos funciones en un punto (a , b) es igual a la suma de los límites respectivos. 3. El Kmite del producto de dos funciones en un punto (a , b) es igual al producto de los límites respectivos. 4. El Kmite del cociente de dos funciones en un punto (a, b) es igual al cociente de los límites respec­ tivos, siendo el Kmite de la función del denominador distinto de cero.

•

11.6

Se dice que la función z —f (x , y) es continua en un punto (a, b) si: 1. La función está definida en (a, b). 2. Existe Km f(x , y). DEFINICIÓN

{x,y)-*(a,b)

3- ,(x,y)-+(a,b) !ím, O en términos de e y 8: la función z = f(x , y) es continua en el punto (a, b) si, y sólo si, Ve > 0, 3 0, tal que 0 < y¡(x —a )2 + (y —b)2 < S imphea que |/ ( x , y) — f (a , b)\ < e. EJEM PLO 1 1 .7

L a función del ejem plo anterior / : K 2 —»• E, definida com o:

f (x ,y )

x3 x 2 + y2 0

si (x, y) / (0, 0) si (x, y) = (0, 0)

1 Un punto P puede representarse utilizando coordenadas cartesianas (x, y) o coordenadas polares (p, 8), siendo p el módulo del vector O P y 9, el ángulo de dicho vector con el eje OX.

La relación entre las coordenadas cartesianas y polares viene dada por: x = p • eos 81 y = p ■sen 8 I

Capítulo 11 / Funciones de dos variables

193

es continua en todo M2, ya que si (x, y) ^ (0, 0): lím

(x,y)-*{a,b)

f (x , y) =

lím

3 xD

(x,y)-+(a,b)

3 aD

-=------ =• = -=-------- = f (a , b) X~ + y2 a2 + b2

En (0, 0), ^ lím^ ^ f (x , y) = 0 —/(O , 0), como se vio anteriormente (Ejemplo 11.6).

:.i

:i . 1 '.j[c1.'I'-.:1. 2.

01 k’ | ,M:¡ -,

|

La suma de dos funciones continuas en un punto (a, b) es una función continua en dicho punto

(a, b).

El producto de dos funciones continuas en un punto {a, b) es una función continua en dicho punto (a, b). 3. El cociente de dos funciones continuas en un punto (a, b) es una función continua en dicho punto (a, b), siendo la función del denominador distinta de cero en (a, b). 4. La función compuesta de dos funciones continuas en un punto (a, b) es una función continua en dicho punto (a ,b ). 5. Las funciones polinómicas de dos variables son aquéllas que están formadas por sumas de potencias x’”yn, m, n 6 N. Dichas funciones son continuas en todo R2. Asimismo, las funciones racionales son continuas excepto en los puntos en donde se anule el denominador.

Si se corta una superficie de ecuación z = f (x , y) con un plano y = b, paralelo al plano XZ, se obtiene una curva plana z = f (x , b), en la que z es únicamente función de la variable x. Al límite:

f (a + h ,b )~ f (a, b) h se le llama derivada parcial de f con respecto a x, en el punto (a, b), y se representa en la forma: lím /i->o

df ( a, b)

dx Geométricamente, ■es la pendiente de la recta tangente a la curva anterior z — / ( x , £>), en el punto (a, b, c) [siendo c = f (a , ¿>)], contenida en el plano y = b (ver Figura 11.14). Por tanto, la ecuación de dicha recta será: 3f ( a , b ) r z - c ^ — ------ ( x - a )

dx

Figura 1 1 .1 4

194

Introducción al Cálculo

De forma análoga, tomando un plano x = a, paralelo al plano YZ, se obtiene una curva plana z = f (a , y), en la que la variable z es únicamente función de la variable >■. Al límite: lím se le llam a

f ia , b + k ) - f ia , b)

derivada parcial de f con respecto a y en el punto (a,b), y se representa: 3f ia , b)

dy 3f(a,b) Geométricamente, 3y es la pendiente de la recta tangente a la curva anterior z = f ia , y), en el punto (a, b, c), contenida enl el plano x = = a (ver Figura 11.15). 1 Por tanto, la ecuación de dicha recta será:

3f{ f iaa,b ,b ) z - c —— (y - b) dy

Figura 1 1 . 1 5

Por último, la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto ia ,b ,c ) será el determinado por las dos rectas tangentes anteriores:

x —a

y —b

1

0

0 Es decir:

EJEM PLO 1 1 .8

1

z —c 3f ia .b )

dx

3f i a , b)

dy

d f{ a ,b )r ^ , 3f { a ,b )r „ z —c = — ix - a ) - \ ------ —— {y —b) dx dy S ea la función z =

f{x, y) —2xy2 —3xy. L a derivada parcial co n respecto a x es:

3/ 2(x + h)y2 —3{x + h)y —ilxy2 —3xy) — = l i m ------------------------- --------------------------dx A— s-0 n 2xy2 + 2 hy2 —3xy —3hy —2xy2 + 3xy Km h-+0 h „ 2hy2 - 3 h y „ h{2y2 - 3y) „ 2 o = lím -= Km •-------------= 2 y —3 y h-t o h fc-m h

Capítulo 11 / Fundones de dos variables

195

La derivada parcial con respecto a y es: 9/

2x(y + k)2 - 3 x (y + k) - (2xy2 - 3 x y ) dy ¿->-0 k 2x{y2 + k2 + 2 yk) —3xy —3xk —2xy2 + 3xy — ]jm ------------------------------------------------------------h-yO k — k(2xk + 4xy —3x) 2xk2 + Axyk —3xk = lim = 4 xy —3x = lim -----------k k— >0 k h—>-0 La derivada parcial de z con respecto a x puede hallarse de un modo directo considerando la variable y como constante. De este modo, z es función de una sola variable x. Del mismo modo, se puede hallar la derivada parcial de z con respecto a la variable y. — ■= l í m --------------------------- -----------------------------

Como y son, a su vez, funciones de las variables x e y, se puede reiterar el proceso, obteniéndose cuatro derivadas parciales de segundo orden:

L (* L \ = tL . dx\dx/

dx2 ’

L (* L \ = Í J 9 y \9 x /

L ( * L \ = í!lL -

dx\dy/

En la función del ejemplo anterior, z — f ( x , y)

EJEM PLO 1 1 .9

d2 f

d2 f ¿ - = 43, - 3;

J = 0; dx2

■

d yd x ’

TEOREM A 1 1 . 1

dydx

(SCHW ARZ)

el punto (a, b), siendo

dxdy’

= 2 xy2

d2 f ----¿ _ = 4 y _ 3 ;

dxdy

L (* L \ = t L dy\dy/

dy2

—3xy: d2f —L = 4X dy2

Si la función z = / ( x , y) admite derivadas parciales

continua en dicho punto, entonces existe 9

en

y se verifica que:

d2f (a , b) = d2f{ a,b ) dydx dxdy

La diferencial dy de una función de una variable y = f (x ), se definía (Capítulo 6) como dy = f'{x) dx, donde dy representaba el incremento que experimentaba la variable dependiente y para un incremento dx de la variable independiente x. • DEFINICIÓN

11.7

• DEFINICIÓN

11.8

Sea la junción de dos variables z = f (x , y). Si la variable y permanece cons­ tante, z es función únicamente de la variable x, y la diferencial parcial de z con respecto a x se puede definir como | | dx, que representa el incremento de z. para un incremento dx de la variable x, cuando y permanece constante. Del mismo modo, si x permanece constante, z es función sólo de y, y la diferencial parcial de z dy, que representa el incremento de z para un incremento dy de la variable y, con respecto a y es permaneciendo constante la variable x. Se llama diferencial total de z a la suma de las anteriores diferenciales parciales: 3z , , dz , dz = — dx + — dy dx dy

que representa el incremento de z para sendos incrementos de las variables x e y. Por otra parte, si x e y son, a su vez, funciones de otra variable t, entonces la derivada de z con respecto a t será:

dz dt

dz dx dx dt

dz dy dy dt

que es la regla de la cadena para una función de dos variables.

196 ■;

Introducción al Cálculo

A ^y ró 'fc'íiv , ó iivn.'.f-K • DEFINICIÓN 11.9 La junción z = f (x ,y ) presenta un máximo local o relativo (mínimo local o relativo) en el punto (a, b) si existe un entorno E de dicho punto, tal que f (a , b) > f (x , y) [f (a , b) < / ( j c , y ) ] para todo (x, y) e E.

Sea (a, b, c) un punto de la superficie z — f ( x , y). La condición necesaria para la existencia de un máximo o un mínimo relativos es que las rectas tangentes paralelas a los planos coordenados (Sec­ ción 11.9) sean horizontales (ver Figura 11.16), es decir, que se verifiquen las dos condiciones: df(a,b) _ dx

^

d f (a, fr) dy

Figura 1 1 , 1 6

Las condiciones anteriores no son suficientes, pues la función podría presentar un punto de silla o puerto (ver Figura 11.17). En el punto {a, b, c) de la Figura 11.17, las dos rectas tangentes, paralelas a los planos XZ e YZ, son horizontales y, sin embargo, dicho punto no es un máximo ni un mínimo:

Figura 1 1 . 1 7

Por último, para saber si en el punto (a, b) la función presenta un máximo o un mínimo, se estudia el

Capítulo 11 / Funciones de dos variables

197

determinante llamado hessiano:

d2f (a ,b ) dx2 d2f{a, b) dxdy d2f ( a , b ) Si H > 0:

d2f (a , b) dydx d2f (a , b ) dy2

n 4 > 0 =4> mínimo en (a, b)

dx2

Si H < 0 = > punto de silla en (a, b).

Si H = 0, se trata de un caso dudoso.

í)fJotlSo [¡ato®®®ES QBSIMDQHFtyjS^^

ES Qii^íMi3Si

Si se desea hallar los máximos y mínimos de una función z = f (x , y), en la que las variables vienen ligadas por la condición F(x, y) = 0, se puede eliminar una de las variables utilizando dicha condición F{x, y) = 0 y aplicar, a continuación, el procedimiento expuesto en la sección anterior. Otra forma de proceder es la conocida con el nombre de método de los multiplicadores de Lagrange: para hallar los máximos y mínimos de la función z — f (x , y) con la condición F(x, y) = 0, se construye la llamada función de Lagrange, esto es, W(x, y, X) = f (x , y) + XF(x, y); a continuación, se resuelve el sistema de ecuaciones:

F(x, y) = 0 Los puntos en los que f (x , y) tiene un máximo o un mínimo estarán entre las soluciones del sistema anterior. A la variable adicional X se le llama multiplicador de Lagrange.

PROBLEMAS RESUELTOS En los problemas 11.1 a 11.7, hallar el dominio de las funciones: 1 1 .1 .

i z —-*Jl—x2 —y2.

Resolución Ha de ser 1 —x2 —y2 > 0 = > x2 + y2 < 1, que es un círculo (incluida la circunferencia) de centro el origen y radio igual a 1 .

11.2.

? = ln(y2 - 2 x + 3).

Resolución Ha de cumplirse y2 —2x + 3 > 0. Por tanto, el dominio corresponde al exterior de la parábola y2 = 2x —3.

198

Introducción al Cálculo

11.3.

z —y + are senx.

Resolución El seno de un ángulo está acotado entre -1 y 1. El dominio será la zona [—1,1] x i .

X4

11.4.

r 9

T

Resolución xz2

2 yz

x2

y2

1 — ------- — > 0 =>■ — + — < 1, que corresponde a una elipse de semiejes iguales a 2 y 3, con

centro el origen.

11.5.

hz~= ln(xriry);

'

Resolución Semiplano x + y > 0.

11. 6 .

l^íV: ■-í: ; 1: ; ' ii'- ■' C : , V ■í :.í■ÍL:; ^ ^ ! t z — ------- H— . x —1 y

^:- :: - :i

:í■

■

Resolución {R — {1}} x {M — {0}}. Todo M2, salvo las rectas x = 1 e y = 0.

11.7.

,

:

_

1 a/ 1 - x 2 — y2

Resolución x 2 + y2 < 1. El círculo x 2 + y2 — 1, sin la circunferencia.

11. 8 .

Calcular el límite:

x 2~ - y ¿2 lim (*,y)-KU) x 2 —2xy + y2,

Resolución lím

( x , y ) —>-(1 , 1 )

Simplificando:

—=

x —y

x 2 — 2xy

+

y2

0 = -. 0

Indeterminado.

,, (x + y)(x —y) x+y 2 lím ——------- =— = lím -------- = - = oo (x - y)2 (x,y)->(l,i) x —y 0 (x.jO-KU)

Capítulo 1 1 / Fundones de dos variables

199

11.9.

Resolución En la dirección de la recta y = mx:

J x 2 + m 2x2

lím —----------------= lím

x jl+ m 2

x-*o

mx

1 + m2

El límite en (0,0) no existe, ya que depende de m y

1 1 .1 0 .

V

-

J l+ m 2 V

m

será distinto para cada valor de m.

Estudiar la continuidad de la función:

f ( x , y)

=

^ si (x, y)

x2 + y2

(0, 0)

si (x, y) = (0, 0)

0 i en el punto (0, 0).

Resolución En coordenadas polares: x —p eos 9, y = p sen 6:

eos ti sen xyJ lím = lím p p-5-0 eos2 0 + sen2 0 (x,y)->(0,0) x2 + y2

lím p2 eos 9 sen3 9 —0

p-*o

ya que eos 9 y sen 9 son funciones acotadas y p -» 0. La función es continua en (0,0), ya que: lím

1 1 .1 1 .

= 0 = / ( 0, 0)

i Estudiar la continuidad de la función:

x sen y ,

f { x , y)

0

,

i

s i (jc , y )

(0 , 0 )

si (x, y) = (0, 0)

Resolución La función es continua en R2 — (0, 0), por ser f (x , y) una combinación de funciones continuas y el denominador x 2 + y2 j=. 0, para todo (x, y) / (0, 0). El límite en (0, 0):

200

Introducción al Cálculo

En coordenadas polares: lím

xy cos0 sen 0 —x r- = lím p — x x— = lim p eos 0 sen 0

(x,y)->(0,0) x z + y

p-+o

cosz 0 + senz 0

p-»o

ya que eos 0 y sen 0 son funciones acotadas y p —»■0. La función es continua en (0,0), ya que lím / ( x , y) = 0 = / ( 0 , 0). (x,y)->(0,0)

11. 12.

Estudiar la continuidad de la función:

i

i

senx —sen y

[

. : x —y

''

,

Resolución Es continua en R2 — {(a, a), a 6 M}, ya que no está definida en los puntos (a, a). Sin embargo: x+y x -y sen x -se n y 2 cos 2 SSn 2 --------------- - = lím ------------ -------------- — lím (x,y)->(a,a) X —y (x,y)-*(a,a) X —y x + yx - y 2 c o s----------- -— = lím 2 2 (x,y)^(.a,a) x —y *+ y lim cos —-— = cos a lím (x,y)->(o,a) ya que sen

cuando

0.

La función posee Kmite en {a, a), pero no está definida.

11.13.

Hallar las derivadas parciales primeras y segundas de la función z = 4x3 —6xy + 2y3

Resolución Considerando constante la variable y: 3x

= 12x 2 —6y

Considerando constante la variable x:

dz 3y

-6x + 6y

2

Las derivadas parciales segundas son: d i

— r- = 24x; 3x2

11.14.

B z

— r- = 12y; 3 y2

3 z

3y3x

3 z

,

= --------- = —6 3x3y

Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la superficie z = x 2 + y2 + 1, en el punto (1,2,6), pa­ ralelas a los planos YZ y XZ. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie en dicho punto.

Capítulo 11 / Fundones de dos variables

201

Resolución = 2x. En el punto (1, 2, 6), ~ = 2. La recta tangente a la superficie en (1,2, 6), paralela al ax dx plano XZ es: z - 6 = 2 (x - 1 )

dz

dz

— = 2y. En el punto (1, 2, 6), — = 4. La recta tangente a la superficie en (1, 2, 6), paralela al plano

YZ es:

z —6 —4 (y —2)

El plano tangente en el punto (1,2, 6) contiene las dos rectas anteriores: x — 1 y —2 1 0 0 1

z —6 2 4

:0

Desarrollando el determinante: 2x + 4y —z —4 = 0.

11.15.

Hallar la diferencial total de la función z = x ■sen y + y • senx.

Resolución Las derivadas parciales son:

dz ax dz

— = sen y + y • eos x — = x • eos y + senx dy La diferencial total es:

dz = (sen y + y • cosx)rix + (x • eos y + senx)riy

11.16.

Hallar el valor aproximado de 1 ,0 1 ’ .

Resolución Se considera la función z —xy. La diferencial total: dz = y ■xy~] dx + xy ■lnx dy. Para x = 1 e y = 4, con dx —0,01 y dy —0,03:

dz = 4 • l 4-1 • 0,01 4 - 14 • ln 1 ■0,03 = 0,04 Por tanto: 1,014’03 « l 4 4- 0 ,0 4 = 1,04.

11.17.

Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 y 4 cm. ¿Cuál será la variación de la hipotenusa cuando dichos catetos aumenten 3 y 2 mm, respectivamente?

Resolución Llamando x e y a los catetos, la hipotenusa es z =

dz —

x

y

y/x2

4- y2.

3

4

dx 4— === dy = ■■■ 0,3 4— -............ 0,2 = 0,34 cm y/x2 4- y2 y/x2 4- y2 V32 4- 42 V32 4- 42

La hipotenusa aumenta 0,34 cm. Por tanto: 5 4- 0,34 = 5,34 cm.

202

Introducción al Cálculo

Directamente, con la calculadora: a/3,32 + 4,22 — 5,3413481...

11.18.

i El radio de un cilindro aumenta a razón de 0,1 cm/seg y su altura a razón de 0,2 cm/seg. Hallar la ¡ velocidad de crecimiento del volumen y de la superficie en el instante en que el radio y la altura son | iguales a 4 y 10 cm, respectivamente.

Resolución El volumen es V = n r 2h. Por tanto (Sección 11.10):

dV n , dr 2 dh —— —2nrh — + n r — dt dt dt S dV 2 = 27t • 4 • 10 • 0 ,1 + rr • 4 • 0,2 = 1 l,2rr cm /seg dt La superficie S = 2nrh + 2n r2: , . . dr dS ——= (2nh + 4 n r) — + 2nr dt dt dS — — (2n ■10 + 4rr • 4 ) 0 ,1 + dt

11.19.

dh — dt

2

2n ■4 ■0 ,2 = 5 ,2 jr cm /seg

Hallar los máximos y mínimos de la función:

x2y2 + x + y xy

Resolución dz dx dz dy

x 7y

= 0

xy¿ —1

Resolviendo el sistema: x = 1, y = 1. Las derivadas parciales segundas son:

d2Z dx2

3 z

2 ' x3 ’

dydx

El hessiano para x — 1, y — 1:

H Y, puesto que

1 1 .2 0 .

d2z dx2

dz = i; dxdy 2 1

1 2

= 3 >0

2 > 0, existe un mínimo en ( 1 , 1 ).

, Hallar los máximos y mínimos de la función:

3^£ 3y2

Capítulo 11 / Funciones de dos variables

203

Resolución dz dx dz dy

3x - 9 y = 0 3 y2 —9 x = 0

Resolviendo el sistema: x = 0, y = 0; x = 3, y = 3. Las derivadas parciales segundas:

d2z dx2

d2z dydx

6x;

~

d2z dxdy

-9 ;

dz j ? = 6y

Particularizando las anteriores derivadas para x = 0 e y = 0, se obtiene el hessiano: 0 -9

H =

-9 0

-81 < 0

Como H < 0, en (0,0) hay un punto de silla. Procediendo del mismo modo para x = 3 e y = 3: 18 -9

H= Y como

-9 18

: 243 > 0

dz Sj = 18 > 0, en (3, 3) la función presenta un mínimo. dx¿

Encontrar el punto de la superficie: = yjx2 + y2 - x_y + 1 más próximo al origen de coordenadas.

Resolución Un punto cualquiera de la superficie será (a, b, V a2 + b2 —ab + 1), de distancia d al origen:

d —yj (a —0)z + (b —O)2 + ( t/ ci2 + b2 —cib+ 1 —O)2 = V 2a2 + 2b2 —ab + 1 En lugar de d, se considera la función D = d2, por comodidad en los cálculos, ya que si d2 es mínima en un punto, también lo será d. Igualando a cero las derivadas parciales de D = d2:

dD = 4a —b = 0 da dD = 4b - a = 0 ~db

a —b —0

Las derivadas parciales segundas:

d¿D da2

■4;

d2D dbda

El hessiano:

H= Existe mínimo en (0 ,0 ,1 ).

4 -1

d2D dadb -1 4

-1;

"

= 15 > 0

d2D db2

204

Introducción al Cálculo

1 1 .2 2 .

Dividir un segmento de longitud m en tres partes, de modo que su producto sea máximo.

Resolución Llamando x, y, m —x —y, a cada una de las partes:

P = xy(m —x —y) —mxy —x2y —xy2 se tiene:

dP ■my —2xy —y = 0 dx $ P = mx —2xy —x 2 —0o -— dy

■x = y —m /3

Las derivadas parciales segundas:

d2P = -2y , dx2

d2P d2P ——- = - - = m —2 x —2y; dydx dxdy

d2P dy2

——

-2x

El hessiano para x —y = mj 3:

-2m/3 —m/3

—m/3 —2m/3

m /3 > 0

d¿ P dx¿

Como — 7T = —2m/3 < 0, existe máximo para x —y = m/3.

11.23.

Hallar la distancia mínima entre las rectas:

x = -y = -z ;

x = y = z - 2n

Resolución Las rectas en paramétricas son:

x=a y —3a z = 2a

x —b y=b z= 2+b

El problema se reduce a hallar el mínimo de la función d:

d = J { a - b)2 + (3a - b)2 + ( 2 a - 2 - b)2 En lugar de la función d se toma la función d2, para simplificar los cálculos. Se igualan a cero las derivadas parciales de d2:

2 (a - b ) + 6(3a - b) + 4(2a - 2 - b) = 0 - 2 (a - b ) - 2(3 a - b) - 2(2 a - 2 - b) = 0

a = 0, b ■ -2/3

Por las condiciones del problema, la función debe presentar un mínimo para a = 0, b — —2/3. Los puntos de distancia mínima son (0,0, 0) y (—2/3, —2 /3 ,4 /3 ), y dicha distancia mínima es: -y/4 /9 + 4 /9 + 16/9 = -n/24/3

Capítulo 1 1 / Funciones de dos variables

11.24.

205

Se quiere convertir una plancha de zinc de 60 cm de ancho en un canalón, como muestra la Figu­ ra 11.18. Hallar el valor de x y de a para que el caudal sea máximo. x

x

60 —2x

X ce

Figura 1 1 . 1 8

Resolución Para que el caudal sea máximo, el área de la sección ha de ser máxima. El área de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases multiplicada por su altura:

S=

60 —2x + 60 —2x + 2x ■eos a _

x ■sen a = (60 - 2 x + x - eos a ) ■x ■sen a

Igualando a cero las derivadas parciales de S\ 3S

dx 3S 3a

= 60 • sen a —4x ■sena + 2x • sen a • co sa = 0 60 x ■eos a —2x2 ■eos a + x 2(cos2 a — sen2 a ) = 0

Resolviendo el sistema, se obtiene: x = 20 cm, a = 60°.

11.25.

El volumen de un paralelepípedo es igual a 8 cm3. Hallar las dimensiones del de superficie total mínima, empleando el método de los multiplicadores de Lagrange.

Resolución La superficie total 5 del paralelepípedo de dimensiones a, b y c es:

S = 2 (ab + ac + be) Se halla el mínimo de la función (Sección 11.12):

W = 2 (ab + ac + be) + X(abc —8) puesto que el volumen V = abe = 8. Igualando a cero las derivadas parciales de W: 3W : 2 (b + c) + Xbc = 0 3a 3W =2 (a + c) + Xac —0 ~db : 3W 2 (a + b) + Xab —0

de

De estas ecuaciones y de la condición abe - 8 = 0, se obtiene la solución a = b = c —2. Se trata de un cubo.

206

Introducción al Cálculo

PROBLEMAS PROPUESTOS Hallar el dominio de las funciones:

11.26.

Z= 1+

y /-(x - y)2.

11.27.

•r

11.28.

z = A

11.29.

z = ln(x2 + y).

11.30.

z = «Jx • sen}».

11.31.

z —x + J y .

11.32.

_ A -

I x 2 + y2

11.33.

Representar gráficamente la función z = x2 + y2, hallando sus intersecciones con planos paralelos a los planos coordenados.

11.34.

Realizar lo mismo para la función z —xy.

11.35.

Realizar lo mismo para z = A 6 —4x2 —y2.

11.36.

Identificar y dibujar las superficies: a) y2 + z2 —9; y b) x2 + 2y2 + z2 —4x + 4y —2z + 3 = 0.

11.37.

Estudiar la continuidad de la función: x 3 + y3

f (x ,y )

x2 + y2 0

si (*, y) # (0, 0) si (x, y) = (0, 0)

en el punto (0, 0).

11.38.

Hallar las derivadas parciales primeras y segundas de la función z = e-T+sen>’.

11.39.

Hallar lo mismo para la función z = A 2 + y2-

11.40.

Hallar el plano tangente a la superficie z2 —2x2 —2y2 —12 = 0, en el punto (1, —1 , 4).

11.41.

Hallar la diferencial total de la función z = x 2 + y 3 — 2xy.

11.42.

Hallar lo mismo para la función z —xy.

11.43.

El área lateral de un cono sufre un cierto incremento debido a pequeños incrementos de ^ cm en los valores de r y h, que eran de 4 y 5 cm, respectivamente. Hallar el incremento de dicha área.

11.44.

Estimar el valor de A(3,01)2 + (3,99)2.

11.45.

Comprobar que la función:

2x + y

Capítulo 1 1 / Funciones de dos variables

207

■fí que x dz h y — dz = 0. verifica dx dy

11.46.

Comprobar que la función: z = ln y x 2y + are tg (x 2y) 9z 2y o— 9z = 0. n ■fí que x -----verifica dx dy

11.47.

Dada la función: z2 + - - J y 2 - z2 = 0 x v 2 3z 1 dz 1 demostrar que x -----1--------- = - . dx y dy z

11.48.

Dada la función z3 —xz —y —0, demostrar que: d2Z dxdy

3z2 + X (3z2 —x )3

11.49.

Hallar los máximos y mínimos de z = x 3 + x2y + y2 + 2y + p. Hallar p para que z tenga un mínimo igual a cero.

11.50.

Hallar el paralelepípedo de mayor volumen entre todos los de superficie total igual a 24 cm2, utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange.

11.51.

Descomponer el número 9 en tres sumandos, de modo que la suma de sus cubos sea mínima.

11.52.

Dados tres puntos del plano no alineados, hallar otro punto tal que la suma de los cuadrados de sus distancias a ellos sea mínima.

11.53.

Inscribir en un círculo de 1 cm de radio un triángulo de área máxima.

11.54.

Hallar la distancia mínima del punto (2 ,1 ,1 ) al plano de ecuación x + y + z = 1.

11.55.

Sobre los lados de un rectángulo de 8 cm de perímetro se trazan cuatro semicircunferencias exteriores a él. Hallar la superficie total mínima de la figura obtenida, utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange.

11.56.

Una caja rectangular descansa sobre el plano XY con un vértice en el origen, con sus aristas adyacentes coincidiendo con los ejes de coordenadas. Hallar el volumen máximo de la caja si el vértice opuesto al origen está sobre el plano 6x + 4y + 3z —24 = 0.

11.57.

Hallar los máximos y mínimos de la función: z = x lnx + y Iny estando ligadas las variables x e y por la relación x + y = 2 .

O

J Ü

: en iNTEGFtA«0 ¡\S MULTIPLE

l f f M

C j

■

En el Capítulo 9 se estudió la integral definida, /* f (x )d x , que permitía hallar el área bajo la función f (x ) entre las abscisas a y b. Se va a calcular ahora dicha área de un modo más general, mediante una integral doble. Asimismo, dicha integral doble, f Js f (x , y) dxdy, tiene una interpretación semejante a aquélla como el volumen bajo la superficie f(x , y) en el dominio S. El desarrollo expuesto para las inte­ grales dobles se aplica a las llamadas integrales triples, que no presentan ninguna característica específica distinta a la de aquéllas.

Si se quiere hallar el área de un recinto S de E 2 (ver Figura 12.1), limitado por las abscisas x = a y x — b (a < b), y las funciones y = p(x), y — q(x) continuas \p(x) < q(x)], tomando una partición P = [xa, x i ,.. ., x,,} de [a, b], con x¡ < x¡+\ (0 < i < n —1), xq = a, x„ —b, siendo S la norma de la partición P y t¡ e [x¡ - \ , x¡], el área A del recinto S viene dada por (Sección 9.1): A=

"

¡=1

rb Ip Ví) - q(t¡)](xi - x ¡-i) =

Figura 12.1

a

lp(x) —q(x)) dx

210

Introducción al Cálculo

Pero se puede expresar A de otra forma; tomando una franja cualquiera [x ,_ i, x¡], puede subdividirse en franjas horizontales [yj_i, yj], dando lugar a rectángulos cuya suma es el área de la franja considerada en la Figura:

yj

yj-1

Figura 12 .2 Entonces, el área total A será la suma de las áreas de todos los rectángulos: /i

A= %

m

£

( X¡ -X {- 1)

[£ o v -w -i> _/=!

i= 1

siendo y la longitud de la diagonal más larga de dichos rectángulos. El área A se puede expresar como: pb f

/

Ja

pq\¿ i-q(x)

/

L J p(x)

^

dx

Si se tiene una función de dos variables z = f (x , y), definida en un recinto S, a la expresión:

j

f (x , y) dxdy

se le llama integral doble sobre el recinto S, y representa el volumen del cilindro de generatrices paralelas al eje OZ, limitado por la superficie z = f (x , y) y el plano XY en la Figura:

Figura 12 .3 La interpretación de la integral doble,

J J f (x , y) dxdy, como un volumen se basa en el hecho

de que si f (x , y) > 0 en S y se hace una partición de S en subrectángulos, entonces el producto f (x ,y ) dxdy es el volumen del prisma de base dxdy y altura f (x ,y ).

Capítulo 1 2 / Integración m últiple

211

La forma de calcular la integral doble depende de como esté definido el recinto S\ a) Si el recinto S está limitado por las rectas x = a, x = b (a < b) y las funciones y = p(x), y —q(x) continuas [pix) < q(x')] (ver Figura 12.4), entonces: - b n pq{x)

í l f i x -y ),, yjx=L

U pPM

f (x , y ) dy dx

Se resuelve, en primer lugar, la integral del corchete y, a continuación, la integral exterior.

Figura 12 .4 b)

Si el recinto S está limitado por las rectas y — a, y = b (a < b) y las funciones x x = q{y) continuas [p(y)