Introducción a la Geometría Avanzada [1 ed.] 9789703202195

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Ana Irene Ramírez-Galarza José Seade Kuri

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA AVANZADA

FACULTAD DE CIENCIAS, UNAM

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Ramírez Galarza, Ana Irene Introducción a la geometría avanzada / Ana Irene Ramírez Galarza. –DUHLPSUHVLyQ -- México : UNAM, Facultad de Ciencias, iv, 252 p. : ilustraciones ; 22 cm. -- (Temas de matemáticas) Incluye índice Bibliografía: páginas 246-250 ISBN 978-970-32-0219-5 1. Geometría no euclidiana. 2. Geometría proyectiva. 3. Geometría hiperbólica. I. Universidad Nacional Autónoma de México. Facultad de Ciencias. II. Título. III. Serie. 516.9-scdd21

Biblioteca Nacional de México

Introducción a la geometría avanzada 1º edición, 2002 1º reimpresión, 2005 2º reimpresión, 2013 DUHLPSUHVLyQ © D.R. 2013. Universidad Nacional Autónoma de México. Facultad de Ciencias. Ciudad Universitaria. Delegación Coyoacán, C. P. 04510, México, Distrito Federal. [email protected] ISBN: 978-970-32-0219-5 Diseño de portada: Laura Uribe Hernández Prohibida la reproducción parcial o total de la obra por cualquier medio, sin la autorización por escrito del titular de los derechos patrimoniales. Impreso y hecho en México.

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´Indice general 1. Geometr´ıa euclidiana 1.1. Simetr´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Transformaciones r´ıgidas . . . . . . . . . 1.3. Invariantes bajo transformaciones r´ıgidas 1.4. Cilindros y toros . . . . . . . . . . . . . 1.5. Subgrupos finitos de E(2) y E(3) . . . . 1.6. Frisos y mosaicos . . . . . . . . . . . . .

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5 6 22 36 47 57 71

2. Geometr´ıa af´ın 89 2.1. La recta al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.2. Transformaciones afines y sus invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3. Geometr´ıa proyectiva 3.1. El plano proyectivo real . . . . 3.2. El Principio de Dualidad . . . . 3.3. La forma de P 2 ( ) . . . . . . . 3.4. Cartas coordenadas para P 2 ( ) (y para P 1 ( )) . . . . . . . . . 3.5. El grupo proyectivo . . . . . . . 3.6. Invariancia de la raz´on cruzada 3.7. El espacio de las c´onicas . . . . 3.8. Propiedades proyectivas de las c´onicas . . . . . . . . . . 3.9. Polos y polares . . . . . . . . . 3.10. Geometr´ıa el´ıptica . . . . . . .

107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 . . . .

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129 133 143 149

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

III

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IV

4. Geometr´ıa hiperb´ olica 4.1. Los modelos del plano hiperb´olico 4.2. Transformaciones del plano hiperb´olico . . . . . . . 4.3. La red de Steiner . . . . . . . . . 4.4. La m´etrica hiperb´olica . . . . . . 4.5. Primeros resultados en Geometr´ıa hiperb´olica . . . . . 4.6. Superficies con estructura hiperb´olica . . . . . . . 4.7. Mosaicos . . . . . . . . . . . . . . 5. Ap´ endices 5.1. Funciones diferenciables . 5.2. Relaciones de equivalencia 5.3. El grupo sim´etrico en cuatro s´ımbolos: S4 . . 5.4. Postulados euclidianos . . 5.5. Topolog´ıa . . . . . . . . . 5.6. Algunos resultados sobre la circunferencia . .

173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Bibliograf´ıa

243

´Indice anal´ıtico

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Introducción Al escribir este libro hemos tenido el propósito de compartir con el lector el placer que proporciona la Geometría, así como mostrar cuál es su importancia dentro de las matemáticas y los muy variados caminos que puede recorrer quien se adentra en este campo. También queremos hacer una propuesta concreta para introducir al estudiante en los conceptos surgidos en el periodo transcurrido del apogeo de la escuela griega a la fecha. Consideramos, como lo hace Elmer Reesen[Re], que lo más indicado es trabajar con modelos que admiten coordenadas, pues ello propicia el uso de resultados algebraicos y analíticos y muestra además la forma en que se relacionan las tres áreas. Este libro está dirigido a estudiantes del segundo año de la carrera de matemáticas y su contenido esencial puede cubrirse en un curso semestral. Presuponemos que el lector está familiarizado con algunos hechos de la Geometría euclidiana plana (sobre todo los relativos al triángulo y la circunferencia), y también con los elementos de la Geometría analítica (intersección de rectas y planos, las ecuaciones y las principales propiedades de cónicas y cuádricas) y del Álgebra lineal (hasta los conceptos de valor y vector característico de una transformación lineal del plano o del espacio cartesiano). Asimismo, supondremos el conocimiento de los conceptos y resultados del Cálculo diferencial e integral para funciones de R en R, y esperamos que el estudiante esté siguiendo al menos el primer curso de Cálculo de varias variables. A lo largo del texto mencionamos la bibliografía relacionada con cada tema particular. Con ese bagaje es posible presentar de manera formal, usando el método analítico en modelos que admiten coordenadas, las geometrías que “siguen” de la euclidiana: la Geometría afín, la Geometría proyectiva, la Geometría elíptica y la Geometría hiperbólica. En este último caso haremos uso de coordenadas complejas, pero lo haremos de forma tal que quede claro cuáles aspectos de los números complejos están involucrados en el problema concreto. 1

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La presentación de esas geometrías permite comprender el papel fundamental desempeñado en cada una por el grupo de transformaciones permitidas y muestra de manera concreta cómo se conjugan el Álgebra, el Análisis y la Geometría, para obtener una mejor comprensión de un resultado o la resolución de un problema. El paso de estas geometrías planas a sus extensiones tridimensionales o n-dimensionales, es sencillo en algunos casos y los incluiremos. Para los incisos y ejercicios cuyo nivel esté por encima del promedio, daremos siempre una referencia como apoyo. La mejor medida del grado de comprensión de los conceptos y resultados será la proporción de ejercicios resueltos; hay que intentarlos todos. Para las preguntas que no encuentren respuesta en este libro, incluimos bibliografía existente en las librerías o que puede consultarse en las bibliotecas de nuestras universidades. Los comentarios y observaciones pueden dirigirse a:

Ana Irene Ramírez Galarza [email protected]

José Seade Kuri [email protected]

Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, UNAM. Ciudad Universitaria, México D. F.

Unidad Morelos del Instituto de Matemáticas de la UNAM. Cuernavaca, Morelos, México.

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DEDICATORIA

A los integrantes de una generaci´on fundamental para la Geometr´ıa en M´exico:

Francisco Gonz´alez Acu˜ na, Santiago L´opez de Medrano S´anchez, Sev´ın Recillas Pishmish, Alberto Verjovsky Sol´a.

Agradecimientos A los compa˜ neros que, en diversas formas, cooperaron a mejorar este libro: Ricardo Berlanga Zubiaga, Le´on Kushner Schnur, Laura Ortiz Bobadilla, Oscar Palmas Velasco, Ernesto Rosales Gonz´alez, Alberto Verjovsky Sol´a. Al Comit´e Editorial de Aportaciones Matem´aticas de la Sociedad Matem´atica Mexicana por hacerse cargo del arbitraje de esta obra. A los alumnos cuya lectura cuidadosa de las versiones preliminares permiti´o eliminar varias erratas: Juan Jos´e Alba Fern´andez, Rolando G´omez, Ernesto Mayorga, David Mireles, Christian Rubio Montiel, Jes´ us N´ un ˜ez Zimbr´on . A Juan Pablo Romero por su excelente labor en los dibujos. A Guilmer Gonz´alez Fern´andez por su dise˜ no tipogr´afico. Este libro es el tercero del proyecto PAPIME “Textos de Geometr´ıa para el Mejoramiento del Aprendizaje en Matem´aticas” a cargo de la primera de los autores.

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4 GLOSARIO DE SIMBOLOG´IA n´ umeros naturales n´ umeros enteros n´ umeros racionales n´ umeros reales n´ umeros complejos n espacio cartesiano n-dimensional Sn n-esfera: vectores de norma 1 en n+1 Sn grupo sim´etrico en n s´ımbolos Roθ rotaci´on por un a´ngulo θ en 2 en torno al origen Reφ reflexi´on en la recta por el origen de pendiente tanφ en 2 E(n) grupo de transformaciones r´ıgidas en n GL(n, ) grupo lineal de orden n SL(n, ) grupo lineal especial de orden n grupo ortogonal en n O(n, ) SO(n, ) grupo de rotaciones en torno al origen en n 2 A plano af´ın A(2) grupo af´ın P n( ) espacio proyectivo n-dimensional sobre P 1( ) espacio proyectivo 1-dimensional sobre Dn vectores de norma menor que 1 en n ∇F (P0 ) gradiente de F en P0 P GL(n, ) proyectivizado del grupo lineal de orden n P SL(2, ) grupo de transformaciones de M¨obius Δ modelo del disco para la Geometr´ıa Hiperb´olica H+ modelo del semiplano superior para la Geometr´ıa Hiperb´olica GC subgrupo de P GL(3, ) que fija una c´onica subgrupo de P SL(2, ) que fija Δ G+ Δ G+ P SL(2, ), subgrupo de P SL(2, ) que fija H + + H GΔ isometr´ıas de Δ GH + isometr´ıas de H +

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Geometr´ıa euclidiana

La rama de las Matem´aticas que llamamos Geometr´ıa nace formalmente en Grecia hacia el a˜ no 300 a.C., aunque, para nuestra cultura occidental, sus or´ıgenes se remontan a Mesopotamia y Egipto, alrededor del 3000 a.C. El tratado cl´asico de Euclides, Elementos [Eu], reviste una importancia capital para toda la ciencia, pues no s´olo recopila y ordena los conocimientos geom´etricos y f´ısicos generados hasta ese momento, sino que propone un modo de validar los conocimientos te´oricos que los vuelve imperecederos; a eso se debe que siga edit´andose. El texto tuvo peque˜ nas fallas que llev´o mucho tiempo enmendar (v´ease [H]), pero sorprende constatar que la mayor´ıa de ellas fueron causa de inquietud para Euclides, quien en cada ocasi´on manej´o el problema con todo el cuidado que le permiti´o la cultura de su tiempo, donde todav´ıa no surg´ıan conceptos fundamentales como el de n´ umero real, el de l´ımite y el de grupo de transformaciones, que hoy podemos utilizar merced al lenguaje algebraico de que disponemos. No entraremos a la discusi´on de los postulados euclidianos, pues el tratamiento anal´ıtico de la Geometr´ıa asigna coordenadas a los puntos, ecuaciones a los lugares geom´etricos y concibe como funciones a las transformaciones permitidas. Eso significa que nos basaremos en las propiedades del sistema de los n´ umeros reales que se estudian en el primer curso de C´alculo (v´ease [Cou]), y con ellos es posible demostrar que el plano cartesiano cumple con los postulados euclidianos. Seg´ un varios autores (v´ease [Ki]), Euclides se mostraba insatisfecho con el m´etodo de superposici´on utilizado en sus demostraciones de congruencia de tri´angulos, pero el m´etodo anal´ıtico clarifica dicho m´etodo hasta volverlo la esencia misma de la Geometr´ıa Euclidiana: el estudio de invariantes bajo transformaciones r´ıgidas. Este cap´ıtulo est´a dedicado al estudio del grupo de transformaciones r´ıgidas en 2 y en 3 , y a dar un panorama de los resultados que este enfoque permite obtener. Las referencias son [Cox 1,2,5], [Eu], [Ev], [H], [Mar], [Ra] y [Re]. 5

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1.1.

Simetr´ıas

El concepto de simetr´ıa es fundamental en Geometr´ıa y en la naturaleza misma: el cuerpo humano es exteriormente sim´etrico con respecto a un plano, y esa simetr´ıa determin´o la construcci´on de objetos que tambi´en lo son, como los jarrones con dos asas o los pares de calzado; la simetr´ıa de un disco respecto a su centro da lugar a m´ ultiples aplicaciones; y un cilindro circular infinito es sim´etrico no s´olo respecto a muchos planos y muchos puntos, sino tambi´en respecto a muchas rectas, en particular su eje; en este inciso mostraremos c´omo justificar estas u ´ltimas afirmaciones a partir de la ecuaci´on del cilindro. Para precisar qu´e entendemos por cada tipo de simetr´ıa, empezaremos por recordar c´omo determinamos algunas distancias en el espacio tridimensional. Las f´ormulas las recordamos un poco m´as adelante. Q(x2 , y2 , z2 )

P

H

H P (x1 , y1 , z1 )

(a)

P

Π

Q Q

L

(b)

(c)

Figura 1.1: Distancias: de un punto P a otro Q; de un punto P a una recta L; de un punto P a un plano Π.

Definici´ on. La distancia de un punto P a otro punto Q es la longitud del segmento de recta entre los puntos. Definici´ on. La distancia de un punto P a una recta L es la longitud del segmento perpendicular del punto a la recta. N´ote que, de todos los puntos de la recta, el pie H de la perpendicular del punto P a la recta L es el que determina un segmento de longitud m´ınima (es cateto de cualquier tri´angulo P HQ en la Figura 1.1(b)).

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7 Definici´ on. La distancia de un punto P a un plano Π es la longitud del segmento perpendicular del punto al plano.

Tambi´en en este caso ocurre que el pie H de la perpendicular de P al plano Π, es el punto del plano que minimiza la longitud de los posibles segmentos de P a un punto Q del plano Π, pues P H es cateto de cualquiera de los tri´angulos rect´angulos P HQ (vea la Figura 1.1(c)). Los distintos tipos de simetr´ıa que puede tener un objeto son: Definici´ on. Un objeto F es sim´ etrico respecto a un punto O si para cada punto P en F , tambi´en P  pertenece a F , donde O es el punto medio del segmento P P  (vea la Figura 1.2). El punto O es un centro de simetr´ıa.

sen X 1

P

O P

X

−1

(a)

P

P

O

P

(b)

O

P

(c)

Figura 1.2: Figuras sim´etricas respecto a un punto.

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8 La gr´afica de la funci´on seno es sim´etrica respecto al origen (Figura 1.2(a)); un cono de revoluci´on es sim´etrico respecto a su v´ertice (Figura 1.2(b)); un cubo es sim´etrico respecto a su centro (Figura 1.2(c)). La comprobaci´on anal´ıtica de las dos primeras afirmaciones es muy sencilla, como veremos. Definici´ on. Un objeto F es sim´ etrico respecto a una recta L, si para  cada punto P en F , tambi´en P pertenece a F , donde L corta perpendicularmente al segmento P P  en su punto medio (vea la Figura 1.3). La recta L es un eje de simetr´ıa. La gr´afica de la funci´on coseno es sim´etrica respecto al eje Y (Figura 1.3(a)), pero no respecto al eje X; un pent´agono regular es sim´etrico respecto a cualquier recta que pase por un v´ertice y el punto medio del lado opuesto (Figura 1.3(b)); un cubo es sim´etrico respecto a cada una de las rectas que unen los centros de caras opuestas, y a las que unen puntos medios de aristas opuestas, pero no respecto a rectas que unen v´ertices opuestos (Figura 1.3(c)). Al final del inciso verificaremos estas afirmaciones muy f´acilmente. cos X P

P

X

(a) P

P

P

P

(b)

(c)

Figura 1.3: Figuras sim´etricas respecto a una recta.

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9 Definici´ on. Un objeto F es sim´ etrico respecto a un plano Π si para cada punto P en F , tambi´en P  pertenece a F , donde Π es el plano perpendicular a P P  por el punto medio. El plano Π es un plano de simetr´ıa.

El cuerpo humano es sim´etrico, exteriormente, respecto al plano que pasa por la columna vertebral y la punta de la nariz; un cubo es sim´etrico respecto a un plano que contenga diagonales paralelas de caras opuestas, y tambi´en respecto a un plano paralelo a dos caras opuestas y que pase por el centro; un cilindro circular infinito es sim´etrico respecto a cualquier plano perpendicular a su eje, y tambi´en respecto a cualquier plano que pase por su eje. Verificaremos las dos u ´ltimas afirmaciones al final del inciso.

P

P

P

P

(a)

(b)

(c)

Figura 1.4: Figuras sim´etricas respecto a un plano.

Hay f´ormulas para calcular las distancias involucradas en las definiciones de simetr´ıa. Pero antes de revisarlas, veamos c´omo bastan unas consideraciones algebraicas sencillas para obtener el punto sim´etrico de un punto P (x, y, z) con respecto a un plano coordenado, un eje coordenado y al origen.

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10 Esto es u ´til porque, salvo los casos en que el sistema coordenado est´a dado de antemano, podremos tomar el sistema de forma que el plano, la recta o el punto respecto al cual nos interesa examinar la simetr´ıa, sea uno de esos elementos coordenados. Y, adem´as, la inclusi´on can´onica de 2 en 3 nos permite utilizar esos criterios en el caso del plano. La Figura 1.5 ilustra las definiciones siguientes. Z

PZ PY Z PXZ

P (x, y, z)

O

Y

X PO PY

PX PXY

Figura 1.5: Los sim´etricos de un punto respecto a los planos y ejes coordenados, y al origen.

El punto sim´ etrico de P (x, y, z) respecto al origen de coordenadas O, es el punto PO (−x, −y, −z), pues P, PO y O son colineales, −P = PO y ||OP || = ||OPO ||. El punto sim´ etrico del punto P (x, y, z) respecto al eje X es el punto PX (x, −y, −z), pues el vector P − PX = (0, 2y, 2z) es perpendicular a (1, 0, 0) y el punto medio del segmento P PX es (x, 0, 0) ∈ X.

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11 An´alogamente se demuestra que el sim´ etrico del punto P (x, y, z) respecto al eje Y es el punto PY (−x, y, −z), y que el sim´ etrico del punto P (x, y, z) respecto al eje Z es el punto PZ (−x, −y, z). Y tambi´en es f´acil demostrar que los sim´ etricos respecto a los diversos planos coordenados de un punto P (x, y, z) son: PXY (x, y, −z) es sim´etrico de P (x, y, z) respecto al plano XY ; PY Z (−x, y, z) es sim´etrico de P (x, y, z) respecto al plano Y Z; PZX (x, −y, z) es sim´etrico de P (x, y, z) respecto al plano ZX. Con todo lo anterior, el lector no tendr´a problema en demostrar la observaci´on siguiente: Si una figura es sim´etrica respecto a los tres planos coordenados, tambi´en lo es respecto a los ejes coordenados y al origen. Vayamos ahora a las f´ormulas y el a´lgebra necesarias para determinar las simetr´ıas que hemos mencionado. Para cualesquiera dos vectores de

3

definimos su producto escalar,

(x1 , y1, z1 ) · (x2 , y2, z2 ) = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 . y mediante ´el obtenemos la norma de un vector (x, y, z) ∈ ||(x, y, z)|| =



(x, y, z) · (x, y, z) =

3

:



x2 + y 2 + z 2 ,

que puede interpretarse como la longitud de la diagonal del paralelep´ıpedo determinado por (0, 0, 0), (x, y, z) y las proyecciones de (x, y, z) en cada uno de los planos coordenados y cada uno de los ejes coordenados (haga un dibujo). La norma permite definir la distancia entre dos puntos P (x1 , y1 , z1 ) y Q(x2 , y2 , z2 ) como: d(P, Q) = ||P − Q|| =



(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2 ,

y entonces el ´ angulo entre dos vectores u¯ = (u1 , u2 , u3 ) y v¯ = (v1 , v2 , v3 ) puede definirse as´ı:   u¯ · v¯  (¯  u, v¯) = cos , ||¯ u|| ||¯ v||

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12 pues la desigualdad de Schwarz asegura (vea el Ejercicio 7) |¯ u · v¯| ≤ ||¯ u|| ||¯ v||. Observaci´ on 1. A lo largo de todo el libro, identificamos a 2 con la imagen de la inclusi´ on can´ onica de 2 en 3 dada por (x, y) → (x, y, 0). Desde luego, no es la u ´nica forma de ver a 2 como subespacio vectorial de 3 , pero s´ı es la m´as usada. Adem´as del producto escalar de dos vectores u¯, v¯ ∈ con su producto vectorial:

3

, contamos tambi´en

    ı  u¯ × v¯ = (u2 v3 − u3 v2 , u3 v1 − u1 v3 , u1 v2 − u2 v1 ) =  u1   v1

j u2 v2



k   u3   v3 

donde ı, j y k son los vectores de la base can´ onica de 3 : (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), respectivamente. Con la norma del producto vectorial podemos calcular el ´ area de un paralelogramo, pues si θ =  (¯ u, v¯), es f´acil demostrar que ||¯ u × v¯|| = ||¯ u|| ||¯ v|| |sen θ|. Y, finalmente, el triple producto escalar de tres vectores u¯, v¯, w, ¯ [¯ u, v¯, w], ¯ sirve para calcular el volumen orientado del paralelep´ıpedo determinado por ¯0, u¯, v¯, w, ¯ u¯ + v¯, u¯ + w, ¯ v¯ + w¯ y u¯ + v¯ + w¯ (vea la Figura 1.6). v×w φ u

w v Figura 1.6: Interpretaci´on geom´etrica del triple producto escalar.

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13 [¯ u, v¯, w] ¯ = u¯ · v¯ × w¯ = ||¯ u|| ||¯ v × w|| ¯ cos φ, u, v¯ × w), ¯ y como v¯ × w¯ es perpendicular a v¯ y w, ¯ el n´ umero donde φ =  (¯ ||¯ u|| cos φ es la altura orientada de P(¯ u, v¯, w) ¯ respecto a la base formada por el paralelogramo determinado por v¯ y w¯ (vea la Figura 1.6), cuya ´area es precisamente ||¯ v × w||. ¯ Ahora es f´acil dar una f´ormula para la distancia de un punto Q(a, b, c) a una recta L ⊂ 3 que pasa por P0 en la direcci´on de un vector unitario u: d(Q, L) = ||(Q − P0 ) × u|| = ||Q − P0 || |sen θ|

(1.1)

pues como ||u|| = 1, la norma de (Q − P0 ) × u se reduce a ||Q − P0 |||sen θ| que es precisamente la altura del paralelogramo mostrado en la Figura 1.7, y que est´a contenido en el plano definido por L y Q, donde θ =  (¯ u, Q − P0 ) . Z

Q Q − P0 L P0

u ˆ

X Y Figura 1.7: C´ omo calcular la distancia de un punto a una recta en

3.

Si la recta y el punto se ubican en 2 , la f´ormula de la distancia del punto Q(x0 , y0 ) a la recta L ⊂ 2 de ecuaci´on Ax + By + C = 0 es d(Q, L) =

|Ax0 + By0 + C| √ . A2 + B 2

(1.2)

El lector deber´a justificar esta f´ormula en t´erminos del producto escalar, y con el mismo razonamiento demostrar´a que la f´ormula de la distancia de un punto Q(x0 , y0 , z0 ) a un plano Π de ecuaci´on Ax + By + Cz + D = 0 es: d(Q, Π) =

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|Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ . A2 + B 2 + C 2

(1.3)

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14 Como tenemos ya una manera de medir distancias entre puntos, ´angulos entre rectas, ´areas y vol´ umenes, estamos listos para abordar el estudio anal´ıtico de la Geometr´ıa Euclidiana en el plano y en el espacio. Para empezar, comprobaremos todas las simetr´ıas prometidas en los ejemplos, eligiendo en cada caso un sistema coordenado conveniente, para aplicar los criterios que acabamos de recordar. No hay una receta general para determinar c´omo hacer esa elecci´on; en este caso, como en muchos otros, el verdadero maestro es la pr´actica. Lo que s´ı es general es la necesidad de definir, mediante ecuaciones o desigualdades, la figura a tratar. 1. La gr´afica del seno es sim´etrica respecto al origen. En este caso, el sistema coordenado ya est´a preestablecido, pues la gr´afica de una funci´on y = f (x) hace referencia a las coordenadas (x, y) de un plano coordenado. La gr´afica del seno consta de los puntos (x, sen x), y como sen x = −sen (−x), podemos escribir −sen x = sen (−x). Entonces, un punto P (x, sen x) pertenece a la gr´afica de la funci´on seno si y s´olo si el punto P  (−x, −sen x) tambi´en pertenece a la gr´afica (vea la Figura 1.8). sen x 1 P −x O P

x

−1

Figura 1.8: La gr´ afica de la funci´ on seno es sim´etrica respecto al origen.

Esta propiedad de la funci´on seno recuerda la propiedad de las funciones y = xn , donde n es impar, y por eso se dice que la funci´on seno es una funci´on impar. 2. La gr´afica de la funci´on coseno es sim´etrica respecto al eje Y . Tambi´en en este caso el sistema coordenado ya est´a dado; invitamos al

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15 lector a trazar la gr´afica y recordar la identidad trigonom´etrica que implica que P (x, cos x) pertenece a la gr´afica si y s´olo si P  (−x, cos(−x)) tambi´en pertenece a la gr´afica. 3. Una circunferencia es sim´etrica respecto a su centro y a cualquiera de sus di´ametros. En este caso conviene tomar un sistema coordenado cuyo origen sea el centro de la circunferencia y cuyo eje X coincida con el di´ ametro respecto al cual queremos mostrar la simetr´ıa. Entonces, la ecuaci´on de la circunferencia es x2 + y 2 = r 2 y como x2 = (−x)2 y y 2 = (−y)2 , es claro que P (x, y) satisface la ecuaci´on de la circunferencia si y s´olo si P  (−x, −y) tambi´en la satisface, es decir, la circunferencia es sim´etrica respecto a su centro. Por la misma raz´on, PX (x, −y) pertenece a la circunferencia si y s´olo si P (x, y) lo hace, lo cual demuestra la simetr´ıa de la circunferencia respecto a cualquiera de sus di´ametros (vea la Figura 1.9). Y PY (−x, y)

P (x, y) X

P  (−x, −y)

PX (x, −y)

Figura 1.9: Las simetr´ıas de la circunferencia.

4. Un pent´agono regular es sim´etrico respecto a las rectas que pasan por un v´ertice y el punto medio del lado opuesto. Un pent´agono es regular si todos sus lados son congruentes y todos sus ´angulos interiores son congruentes. En primer lugar, podemos tomar un sistema coordenado de suerte que si A, B, C, D y E son los v´ertices del pent´agono, A se ubique en el eje Y y los v´ertices C y D sean sim´etricos respecto al eje Y . Entonces el eje es una de las

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16 l´ıneas que nos interesan (vea la Figura 1.10). Los lados BC y ED forman a´ngulos α y π − α, respectivamente, con la parte positiva del eje X, por la igualdad de los a´ngulos interiores en C y en D. Por tanto, si la pendiente de DE es m, la de BC es −m, y como pasan por los puntos C y D, respectivamente, las ecuaciones de los lados BC y DE son: BC : y = −mx − md, DE : y = mx − md Y A B

E

α C(−d, 0)

π−α D(d, 0)

X

Figura 1.10: Simetr´ıas del pent´agono.

Con esas ecuaciones es inmediato comprobar que los puntos del lado CB tienen sus sim´etricos respecto al eje Y en el lado DE, lo cual dejamos al lector. Y tambi´en corresponde al lector demostrar que los sim´etricos de los puntos en el lado BA se encuentran en el lado EA. 5. Un cilindro circular es sim´etrico respecto a su eje, a cualquier plano que pase por su eje, a cualquier recta y plano que corten perpendicularmente al eje y tambi´en es sim´etrico respecto a cualquier punto en el eje. Un cilindro circular puede pensarse como la superficie de revoluci´on generada por una recta que rota en torno a una paralela fija, el eje de revoluci´on. Esta vez ubicamos al cilindro de forma que su eje sea el eje Z, que el plano por el eje Z respecto al cual queremos probar la simetr´ıa sea el plano Y Z, y que el plano ortogonal al eje del cilindro, y respecto al cual queremos examinar la simetr´ıa, sea el plano XY , y el pretendido centro de simetr´ıa ser´a el origen. Con todas estas especificaciones, la ecuaci´on del cilindro es x2 + y 2 = r 2 , y como x y y aparecen con exponente par y z es libre, es claro que hay simetr´ıa

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17 respecto al origen, a cada uno de los ejes coordenados y a cada uno de los planos coordenados, en particular respecto al eje Z, al plano Y Z y al plano XY . Z

PZ

X

P

PO

PY Z

Y PXY

Figura 1.11: Simetr´ıas de un cilindro de revoluci´on.

Tal vez en un principio el lector no creyera que hubiera otros ejes de simetr´ıa distintos del eje de revoluci´on, pero la sencillez del criterio para demostrar la simetr´ıa de una figura respecto a un eje coordenado, nos permiti´o descubrir que el cilindro tiene infinitos ejes de simetr´ıa: cada una de las rectas que cortan perpendicularmente al eje de revoluci´on. ´ es una de las ventajas del estudio de la Geometr´ıa utilizando ´algebra: Esa permite descubrir hechos geom´etricos que uno no se hab´ıa planteado. 6. Un cono de revoluci´on (recu´erdese que las generatrices son rectas completas) es sim´etrico respecto a su v´ertice, su eje, cada recta perpendicular al eje por el v´ertice, el plano perpendicular al eje por el v´ertice y cada plano que contiene al eje. Esta vez encargamos el dibujo correspondiente al lector. Tambi´en en este caso conviene tomar como eje de revoluci´on al eje Z, el v´ertice como el origen, el plano perpendicular al eje respecto al cual interesa analizar la simetr´ıa como el plano XY , y el plano por el eje de revoluci´on como el plano Y Z. El lector deber´a hacer el dibujo, establecer la ecuaci´on del cono, y comprobar que, al resultar sim´etrico respecto a todos los elementos coordenados, se cumplen todas las afirmaciones del enunciado. 7. Un cubo es sim´etrico respecto a los planos equidistantes de dos caras paralelas, a los planos que contienen diagonales paralelas de caras paralelas, a

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18 las rectas por los centros de caras opuestas y a las rectas por los puntos medios de aristas opuestas (obtenidas como intersecci´on de caras distintas), y al punto en que se cortan todos los planos y ejes de simetr´ıa. Consideremos un cubo cuyas aristas midan 2a, y ubiqu´emoslo de forma que el origen sea el punto en que se cortan los planos equidistantes de caras opuestas (vea la Figura 1.12), y elijamos como planos coordenados sean precisamente esos planos equidistantes. Z D (−a, −a, a) A (a, −a, a)

C(−a, a, a) B(a, a, a) Y

X

R (a, −a, −a)

U (−a, −a, −a)

T (−a, a, −a)

S(a, a, −a)

Figura 1.12: Simetr´ıas del cubo.

Las ecuaciones de los planos a que pertenecen las caras son x = a y x = −a; y = a y y = −a; z = a y z = −a, y si los v´ertices de la tapa son A, B, C y D y los de la base son R, S, T y U, las caras quedan definidas as´ı: ABCD = {(x, y, z)| z = a, |x| ≤ a, |y| ≤ a}; RST U = {(x, y, z)| z = −a, |x| ≤ a, |y| ≤ a}; BST C = {(x, y, z)| y = a, |x| ≤ a, |z| ≤ a}; ARUD = {(x, y, z)| y = −a, |x| ≤ a, |z| ≤ a}; ARSB = {(x, y, z)| x = a, |y| ≤ a, |z| ≤ a}; DUT C = {(x, y, z)| x = −a, |y| ≤ a, |z| ≤ a}.

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19 Las coordenadas de un punto P en la cara ABCD, son (x, y, a), donde |x| ≤ a y |y| ≤ a, as´ı que su sim´etrico respecto al plano XY es PXY (x, y, −a), que pertenece a la cara RST U. An´alogamente se comprueba la simetr´ıa respecto a los planos Y Z y ZX, que son los equidistantes de las caras delantera y posterior, y derecha e izquierda, respectivamente. Entonces, de acuerdo a la observaci´on que sigui´o a la lista de los criterios de simetr´ıas respecto a los elementos coordenados, hemos demostrado tambi´en las simetr´ıas respecto a los ejes coordenados y al origen, que en este caso son, respectivamente, las rectas que unen los centros de caras opuestas y el punto en que se cortan esas tres rectas (y los tres planos equidistantes), y que se llama centro del cubo por ser un centro de simetr´ıa. Para demostrar que el cubo es sim´etrico respecto a los planos determinados por diagonales paralelas de caras paralelas, bastar´a caracterizar los puntos pertenecientes a las caras que est´an en ambos lados de uno de esos planos de manera adecuada; entonces el comportamiento de los par´ametros facilitar´a la comprobaci´on de la simetr´ıa. Tomemos como ejemplo el plano ART C (v´ease la Figura 1.12), que claramente tiene a (1, 1, 0) como vector normal y, por pasar por el origen, satisface la ecuaci´on x + y = 0. La figura indica que la cara ARUD es sim´etrica de la cara ARSB respecto al plano ART C. Los puntos del plano ARUD son de la forma P = A + su + tv, donde u es un vector unitario en la direcci´on de A − D = (2a, 0, 0) y v es un vector unitario en la direcci´on de A − R = (0, 0, 2a), es decir, (x, y, z) = (a, −a, a) + s(1, 0, 0) + t(0, 0, 1) = (a + s, −a, a + t); los puntos quedan confinados a la cara ARUD cuando −2a ≤ s ≤ 0 y −2a ≤ t ≤ 0. Un argumento similar muestra que los puntos P  en la cara ARSB son de la forma (x, y, z) = (a, −a, a) + σ(0, 1, 0) + τ (0, 0, 1) = (a, −a + σ, a + τ ), donde 0 ≤ σ ≤ 2a y −2a ≤ τ ≤ 0. Cuando s = −σ y t = τ, el segmento P P  es perpendicular al plano ART C, pues P − P  = (s, s, 0) es paralelo a (1, 1, 0), y las distancias de P a ART C y

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20 un la f´ormula (1.3), de P  a ese mismo plano son, respectivamente, y seg´ |s| |a − a + s| |s| |a − s − a| √ √ =√ ; =√ , 2 2 2 2 lo cual demuestra la simetr´ıa que nos interesaba. Para el resto de los planos que contienen diagonales paralelas de caras opuestas, el c´alculo es similar. En la Secci´on 5 analizaremos las simetr´ıas de cada uno de los s´olidos plat´onicos, el cubo en particular, desde el punto de vista de las transformaciones r´ıgidas. Ese m´etodo, mucho m´as poderoso que el usado aqu´ı, permite hacer un an´alisis m´as completo en forma sencilla.

EJERCICIOS 1. D´e ejemplos de figuras con un n´ umero infinito de: centros de simetr´ıa; ejes de simetr´ıa; planos de simetr´ıa. 2. Demuestre que si una figura en el plano cartesiano es sim´etrica respecto a ambos ejes, necesariamente tiene un centro de simetr´ıa. 3. Dibuje una curva C en el plano y fije un punto O ∈ / C. Complete el dibujo de suerte que la figura resultante sea sim´etrica respecto a O. Repita el ejercicio fijando una recta L. 4. Analice las simetr´ıas de todas las c´onicas, incluidos los casos singulares (esto es, cuando el plano de corte pasa por el v´ertice del cono). Analice tambi´en las simetr´ıas de las cu´adricas. 5. ¿Qu´e caracter´ıstica tiene la ecuaci´ on can´ onica de una cu´adrica que es sim´etrica respecto a un plano coordenado? ¿Y para que sea sim´etrica respecto a un eje coordenado? ¿Y respecto al origen? 6. Demuestre que si una figura en el espacio cartesiano es sim´etrica respecto a cada uno de los planos coordenados, tambi´en lo es respecto a los ejes coordenados y el origen. 7. ¿Cu´ antos ejes de simetr´ıa tiene un tri´angulo is´osceles? ¿Y uno equil´atero? 8. Determine en un dibujo las proyecciones de P (x, y, z) en cada eje y plano coordenados, y dibuje el paralelep´ıpedo que determinan. 9. Demuestre la desigualdad de Schwarz a partir de la desigualdad ||¯ u + t¯ v ||2 ≥ 0.

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21 10. Justifique la f´ormula (1.2) para calcular la distancia de un punto a una recta en 2 , y la f´ ormula (1.3) para obtener la distancia de un punto a un plano en 3 . 11. Demuestre que el producto vectorial de dos vectores u ¯, v¯, es un vector ortogonal a ambos. 12. Demuestre que tres vectores son coplanares si y s´ olo si su triple producto escalar se anula. 13. Demuestre las identidades siguientes (¯ u × v¯) × w ¯ (¯ u × v¯) × w ¯

= +

(¯ u · w)¯ ¯ v − (¯ v · w)¯ ¯ u, (¯ v × w) ¯ × u¯ + (w¯ × u ¯) × v¯ = ¯0.

que implican la no asociatividad del producto vectorial. 14. D´e una f´ormula (y justif´ıquela) para encontrar la distancia entre dos rectas que se cruzan en el espacio (dos rectas se cruzan si no se cortan ni son paralelas). 15. Demuestre que la gr´ afica de la funci´ on seno no es sim´etrica respecto a ninguno de los ejes coordenados. 16. Complete la demostraci´ on de las simetr´ıas de un cono de revoluci´on y haga un dibujo donde las exhiba todas. 17. Demuestre que 2 es un modelo del plano euclidiano, i.e.: I. (Es posible) trazar una recta por cualesquiera dos puntos. II. (Es posible) prolongar indefinidamente una recta finita a una recta. III. (Es posible) trazar una circunferencia dados un centro y un radio. IV. Todos los a´ngulos rectos son iguales entre s´ı. V. Si una recta que corta a otras dos forma, del mismo lado, a´ngulos interiores que suman menos de dos a´ngulos rectos, al prolongar indefinidamente las dos rectas, ´estas se cortan del lado en que los a´ngulos interiores suman menos de dos a´ngulos rectos. 18. Demuestre que el cubo es sim´etrico respecto a cada una de las rectas que unen puntos medios de caras opuestas. 19. Note que en cada v´ertice del cubo concurren tres aristas; use eso para convencerse de que las diagonales mayores del cubo no son ejes de simetr´ıa. 20. Demuestre que las diagonales de un rect´ angulo no cuadrado no son ejes de simetr´ıa. ¿Hay alguna(s) rectas que sea(n) eje(s) de simetr´ıa del rect´ angulo? ¿Hay alg´ un centro de simetr´ıa? 21. ¿Cu´ antos planos de simetr´ıa tiene el cubo? ¿Y cu´ antos ejes de simetr´ıa? ¿Y cu´antos centros? Justifique su respuesta. 22. Responda las preguntas anteriores en el caso de una esfera, y justifique sus respuestas.

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22

1.2.

Transformaciones r´ıgidas

Dijimos al principio de este cap´ıtulo que el concepto matem´atico que permite validar la superposici´on utilizada por Euclides para comprobar la congruencia de dos tri´angulos, es el concepto de grupo de transformaciones. El concepto de grupo, poderoso y fundamental para muchas ramas de las matem´aticas, fue comprendido y utilizado por primera vez por Evariste Galois hacia 1830 para decidir sobre la solubilidad por radicales de ecuaciones de grado arbitrario, y en 1872 F´elix Klein di´o una pl´atica, conocida como el Programa de Erlangen (Erlangen es una ciudad b´avara, sede de la universidad a la que se incorporaba Klein), donde planteaba tomar el concepto de grupo como eje del estudio de la geometr´ıa [Ke]: Geometr´ıa es el estudio de los invariantes bajo un grupo de transformaciones. Por ejemplo, la simetr´ıa de una figura respecto a un plano puede expresarse diciendo que la figura permanece invariante bajo una reflexi´on en ese plano. Otras figuras permanecen invariantes cuando las rotamos en torno a un punto, como una circunferencia que gira en torno a su centro, o cuando las trasladamos una distancia fija, como un cilindro infinito. El lector juzgar´a por s´ı mismo, a lo largo de este libro, sobre el alcance de la propuesta de Klein y del desarrollo posterior debido a Sophus Lie. A quien desee conocer la historia de la evoluci´on del concepto de simetr´ıa hasta llegar a la propuesta de Klein y los trabajos de Lie, le recomendamos el muy ameno libro de Yaglom, [Y]. Las transformaciones permitidas por Euclides son las que preservan la distancia euclidiana, y por ellas empezaremos. Veremos primero el grupo correspondiente a 2 y luego el de 3 . Definici´ on. Una transformaci´ on r´ıgida del plano en el plano es una 1 2 2 → que respeta las distancias entre puntos, es funci´on suprayectiva T : decir, d(P, Q) = d(T (P ), T (Q)). A las transformaciones r´ıgidas tambi´en se les conoce como isometr´ıas por respetar las medidas. 1

No es necesario pedir la suprayectividad, lo hacemos por comodidad

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23 Los mejores ejemplos de transformaciones r´ıgidas en el plano son traslaciones, rotaciones y reflexiones, que se definen a partir de la situaci´on intuitiva. Definici´ on. Una traslaci´ on en el plano por un vector fijo a ¯ ∈ 2 es la transformaci´on Ta¯ : 2 → 2 que desplaza cada punto una distancia igual a ||¯a||, en la direcci´on y con el sentido de a ¯ (vea la Figura 1.13): Ta¯ (P ) = P + a ¯. Note que no fue necesario utilizar las coordenadas de P ni las de a¯, por lo que la forma de definir traslaci´on en 3 ser´a la misma. Note tambi´en la diferencia en la notaci´on para P y a¯; se debe a la diferencia en los papeles de uno y otro, pues a ¯ es un vector fijo que desplaza a cada P ∈ 2 . Y Q+a ¯ P +a ¯ a ¯

Q X

P Figura 1.13: Traslaci´ on en

2

por un vector fijo a ¯.

Una traslaci´on es una transformaci´on r´ıgida, pues d(Ta¯ (P ), Ta¯ (Q)) = ||P + a ¯ − (Q + a¯)|| = ||P − Q|| = d(P, Q). ¿Qu´e podemos decir del conjunto de traslaciones? Para empezar, la composici´on de dos traslaciones, T¯b ◦Ta¯ , es otra traslaci´on, a saber, Ta¯+¯b , como es inmediato comprobar si aplicamos la composici´on a un punto P arbitrario: (T¯b ◦ Ta¯ ) (P ) = T¯b (Ta¯ (P )) = T¯b (P + a ¯) = P + a ¯ + ¯b = Ta¯+¯b (P ) Y como la traslaci´on por el vector ¯0 deja a cada punto en su lugar (es decir, T¯0 es la transformaci´ on identidad), al componer T¯0 con cualquier otra traslaci´on Ta¯ por cualquiera de los lados, obtenemos nuevamente Ta¯ : Ta¯ ◦ T¯0 = Ta¯+¯0 = Ta¯

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24 Por respetar distancias, cualquier transformaci´on r´ıgida es continua y, adem´as, inyectiva, es decir, lleva puntos distintos en puntos distintos. Eso asegura la existencia de (Ta¯ )−1 , pero intuitivamente es claro que para “regresar” cada punto a su lugar despu´es de desplazarlos por a ¯, basta desplazarlos por −¯a. En consecuencia, (Ta¯ )−1 = T−¯a . Y como la composici´on de funciones cualesquiera es asociativa, tenemos Tc¯ ◦ (T¯b ◦ Ta¯ ) = (Tc¯ ◦ T¯b ) ◦ Ta¯ . Todas esas propiedades significan que Las traslaciones del plano en el plano forman un grupo bajo la composici´on. Antes de sacar en limpio la definici´on de grupo, que ser´a fundamental a lo largo de todo el libro, nos interesa resaltar el hecho siguiente. Observaci´ on 2. Cada vector de

2

determina una traslaci´on y, adem´as,

La suma de vectores determina la traslaci´ on asociada a la composici´ on de las traslaciones definidas por esos vectores. Ahora bien, 2 es un objeto geom´etrico, donde sabemos medir y, en consecuencia, precisar los conceptos de cercan´ıa mediante vecindades de radio . En cambio, de las traslaciones hemos demostrado que son un grupo. ´esa es una caracter´ıstica muy importante de 2 (y de cualquier n ), tener tanto una estructura geom´etrica como una algebraica. Veremos, a lo largo del libro, que lo mismo les ocurre a otros objetos geom´etricos que conocemos bien. Demos ahora la definici´on de grupo. Definici´ on. Un grupo es un conjunto G en el que est´a definida una operaci´on, es decir, una funci´on : G × G → G con las propiedades siguientes 1a. Cerradura: El resultado de operar dos elementos de G es un elemento de G; en s´ımbolos: g h ∈ G para cualesquiera g, h ∈ G.

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25 Note que la propiedad de cerradura es consecuencia de que el contradominio de la funci´on sea G, pero el hecho es tan importante que conviene resaltarlo. 2a. Asociatividad: Para cualesquiera tres elementos de G, da lo mismo operar los dos primeros y al resultado operarlo con el tercero, que operar el primero con el resultado de operar los dos u ´ltimos. Esto es, (g h) k = g (h k) . 3a. Existencia de neutro: Existe un elemento e ∈ G tal que al operarlo con cualquier otro no afecta a este u ´ltimo. En s´ımbolos, e g = g e = g. 4a. Existencia de inverso de cada elemento dado: Para cada g ∈ G, existe otro elemento de G, g −1, tal que al operarlo con g da como resultado el elemento neutro e. En s´ımbolos, g −1 g = g g −1 = e. Cuando a estas cuatro propiedades se a˜ nade la conmutatividad: g1 g2 = g2 g1 , el grupo se llama grupo conmutativo o abeliano, esto u ´ltimo en honor de Niels Henrik Abel (1802-29). Varios de los sistemas num´ericos familiares para el lector, como los n´ umeros enteros, los racionales y los reales, son grupos: los n´ umeros enteros forman un grupo, abeliano inclusive, con la operaci´on de suma; los n´ umeros racionales (y los reales) son un grupo para la operaci´on de suma, y si omitimos el cero (en ambos casos), el resto de los n´ umeros forman tambi´en un grupo conmutativo bajo la operaci´on producto. Es evidente que las traslaciones del plano en el plano forman un grupo conmutativo bajo la composici´on y sabemos que los vectores de 2 forman un grupo conmutativo bajo la suma. La correspondencia es biyectiva y respeta (o traduce) las operaciones seg´ un la Observaci´on 2; esta propiedad es muy importante y tambi´en vale la pena destacarla.

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26 Definici´ on. Un isomorfismo de grupos es una correspondencia biun´ıvoca entre dos grupos, φ : G → G , donde si es la operaci´on en G1 y · es la operaci´on en G , se cumple φ(g1 ) · φ(g2) = φ(g1 g2 ). Otro ejemplo de grupo, indispensable en geometr´ıa, es el de las matrices cuadradas de n × n con entradas reales y con determinante distinto de cero, GL(n, ), cuando la operaci´on considerada es la multiplicaci´on matricial. Dejaremos como ejercicio comprobar esta afirmaci´on tanto para las matrices de 2 × 2 como para las matrices de 3 × 3, que son las que usaremos. Salvo el caso n = 1, estos grupos no son conmutativos, como es muy f´acil comprobar. En el plano cartesiano, las definiciones de una rotaci´on en torno al origen, y de una reflexi´on respecto a una recta por el origen, puden darse en t´erminos de matrices de 2 × 2 con entradas reales, pues la rotaci´on de un punto P del plano en torno al origen por un ´angulo θ, puede reducirse a la rotaci´on de los vectores de una base de 2 . Y lo an´alogo puede decirse de una reflexi´on respecto a una recta por el origen. Veamos por qu´e. Si rotamos el tri´angulo rect´angulo correspondiente a P = x(1, 0) + y(0, 1), obtenemos (vea la Figura 1.14) Roθ (P ) = x Roθ (1, 0) + y Roθ (0, 1). Y y(0, 1) P (x, y)

(cos θ, sen θ) θ Roθ (P )

x(1, 0)

X

(−sen θ, cos θ) Figura 1.14: Rotaci´ on por un a´ngulo θ en torno al origen en

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2.

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27 Pero la rotaci´on de (1, 0) por un ´angulo θ en torno al origen, lo transforma en (cos θ, sen θ), y a (0, 1) lo lleva en (−sen θ, cos θ). En consecuencia, Roθ (x, y) = x(cos θ, sen θ)+y(−sen θ, cos θ) = (x cos θ−y sen θ, x sen θ+y cos θ), lo cual justifica la afirmaci´on siguiente. Afirmaci´ on. La rotaci´ on por el ´ angulo θ en torno al origen en 2 2 es la funci´on Roθ : → cuyo efecto sobre un punto P (x, y) es 

Roθ (x, y) =

cos θ −sen θ sen θ cos θ



x y





=

2

,



x cos θ − y sen θ . x sen θ + y cos θ

Una rotaci´on en torno al origen es una transformaci´on r´ıgida, pues los tri´angulos rect´angulos de la Figura 1.14 son congruentes y, en consecuencia, para cualquier P ∈ 2 , ||Roθ (P )|| = ||P ||. Entonces, tomando en cuenta la linealidad de la transformaci´on inducida por una matriz: d(Roθ (P ), Roθ (Q)) = ||Roθ (P )−Roθ (Q)|| = ||Roθ (P −Q)|| = ||P −Q|| = d(P, Q). Note que la matriz de una rotaci´on tiene la forma 



a −b , donde a2 + b2 = 1. b a

(1.4)

Con esta observaci´on es muy sencillo comprobar que, como lo sugiere la intuici´on, al aplicarle a un punto P (x, y) primero la rotaci´on por el a´ngulo θ y despu´es la rotaci´on por el a´ngulo φ, el efecto es el mismo que si rotamos P (x, y) por el ´angulo θ + φ. Utilizaremos la sustituci´on a = cos θ, b = sen θ, c = cos φ, d = sen φ: 

c −d d c



a −b b a





=



ca − db −cb − ad , da + cb −db + ca

y las identidades trigonom´etricas para el coseno y el seno de la suma de dos ´angulos, implican que ca − db = cos(θ + φ) y da + cb = sen (θ + φ), lo cual asegura que la composici´on de dos rotaciones Roφ ◦ Roθ est´a definida por la matriz correspondiente a la rotaci´on por el ´angulo θ + φ. Es decir, hay una correspondencia biun´ıvoca entre las rotaciones en torno al origen por un a´ngulo θ ∈ [0, 2π), y las matrices de la forma (1.4), y esa

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28 correspondencia, adem´as, respeta las operaciones, es decir, la composici´on de rotaciones se traduce en el producto de matrices. Tomando en cuenta esa correspondencia, es f´acil demostrar que Teorema. Las rotaciones en torno al origen forman un grupo conmutativo. Demostraci´on. Comprobaremos cada una de las condiciones: Cerradura: La composici´on de dos rotaciones es otra rotaci´on, como acabamos de comprobar. Asociatividad: La composici´on de rotaciones es asociativa, pues eso es cierto para funciones cualesquiera. Pero adem´as, en este caso, tambi´en es consecuencia de que el producto de matrices es asociativo, como lo comprobar´a el lector en el Ejercicio 1. Existencia de neutro: La rotaci´on por el a´ngulo 0 corresponde a la matriz 



1 0 , 0 1

que es el neutro para el producto de matrices. Cada rotaci´ on tiene una rotaci´ on inversa: Al componer la rotaci´on por el ´angulo −θ con la rotaci´on por el ´angulo θ, resulta la rotaci´on por el ´angulo 0, que es el neutro para la composici´on de rotaciones, pues si a = cos θ y b = sen θ, 

a b −b a



a −b b a





=

a2 + b2 −ab + ab −ba + ab b2 + a2





=



1 0 , 0 1

Conmutatividad: La composici´on de dos rotaciones puede efectuarse en cualquier orden sin afectar el resultado. La comprobaci´on de esta propiedad queda a cargo del lector.2 Nuestro u ´ltimo ejemplo de transformaci´on r´ıgida en el plano lo constituyen las reflexiones respecto a una recta que pasa por el origen. Tambi´en esta vez daremos una definici´on acorde a la intuici´on, y eso implicar´a que estas reflexiones son lineales.

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29 En la Figura 1.15, hemos vuelto a asociar al punto P el tri´angulo rect´angulo correspondiente a P = x(1, 0) + y(0, 1), y hemos reflejado todo ese tri´angulo en la recta Lφ (pi´ensela como un espejo), que forma un a´ngulo φ con la parte positiva del eje X, que denotaremos con X + . El tri´angulo reflejado es nuevamente rect´angulo, y el vector correspondiente a Reφ (P ) puede formarse as´ı: Reφ (P ) = x Reφ (1, 0) + y Reφ (0, 1). Como la recta forma el ´angulo φ con X + , el reflejado de (1, 0) en la recta Lφ forma el ´angulo 2φ con X + y, en consecuencia, sus coordenadas son (cos 2φ, sen 2φ). El reflejado de (0, 1) no forma un ´angulo de π/2 con (cos 2φ, sen 2φ), sino un ´angulo de −π/2, porque una reflexi´on invierte el sentido de los a´ngulos. Entonces, el reflejado de (0, 1) es (sen 2φ, − cos 2φ), y ya podemos construir la matriz que da la reflexi´on. Y (cos 2φ, sen 2φ)

2φ

P

Lφ

P

y(0, 1)

φ

x(1, 0)

X

(sen 2φ, − cos 2φ) Figura 1.15: Reflexi´ on respecto a una recta por el origen.

Afirmaci´ on. La reflexi´ on en el plano respecto a la recta Lφ que pasa por el origen y forma un ´angulo φ con la parte positiva del eje X, es la transformaci´on Reφ : 2 → 2 cuyo efecto sobre un punto P (x, y) es 

Reφ (x, y) =

cos 2φ sen 2φ sen 2φ − cos 2φ



x y





=



x cos 2φ + y sen 2φ . x sen 2φ − y cos 2φ

La demostraci´on de que una reflexi´on de este tipo es una transformaci´on r´ıgida queda a cargo del lector.

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30 Esta vez la matriz tiene la forma 



a b , donde a2 + b2 = 1. b −a

(1.5)

Observe que la matriz de una rotaci´on tiene determinante 1, mientras que el determinante de la matriz de una reflexi´on es −1. Lo anterior implica que la composici´on de dos reflexiones no puede ser una reflexi´on, pues las matrices correspondientes se multiplican y el determinante de la matriz producto es el producto de los determinantes: 1. Por tanto, no podemos pensar en demostrar que las reflexiones forman un grupo, pues no tenemos propiedad de cerradura, ni el neutro de la multiplicaci´on de matrices puede ser una reflexi´on pues tiene determinante 1. Pero s´ı es cierto que la inversa de una reflexi´on es una reflexi´on, ella misma, como lo sugiere la intuici´on: si P  es el reflejado de un punto P respecto a una recta, y luego reflejamos P  respecto a esa misma recta, obtenemos nuevamente P . Invitamos al lector a demostrarlo formalmente multiplicando por s´ı misma la matriz de una reflexi´on. Ahora bien, si escribimos la matriz de una rotaci´on en la forma (1.4), y la de una reflexi´on en la forma (1.5), podremos demostrar f´acilmente que el producto es una reflexi´on, aunque la recta en que se refleja depende del orden de la multiplicaci´on (v´ease el Ejercicio 5). Eso sugiere que Teorema. El conjunto de rotaciones en 2 en torno a (0, 0) y reflexiones respecto a una recta por (0, 0), forman un grupo bajo la composici´on. El lector queda encargado de hacer la demostraci´on, s´olo deber´a recordar que el inverso de un producto de matrices (o de la composici´on de transformaciones) es el producto de los inversos tomados en el orden inverso. Este grupo se llama el grupo ortogonal de orden 2, O(2, ), porque las matrices asociadas tienen como vectores columna los elementos de una base ortonormal: derecha, para las rotaciones, izquierda para las reflexiones. Para las matrices cuyos vectores columna constituyen una base ortonormal de 2 (o de n ), es inmediato verificar que su inversa M −1 , es igual a su traspuesta M t , la matriz que tiene como columnas los renglones de la original (respetando el orden), y se les llama matrices ortogonales. Las matrices ortogonales cuyo determinante es +1, que es simplemente nuestro grupo de rotaciones, forman el llamado grupo ortogonal especial,

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31 y se le denota por SO(2, ) Antes de entrar a las transformaciones r´ıgidas de 3 , recordemos que, como en 2 tenemos una forma de medir la distancia entre a¯ y ¯b, el isomorfismo entre el grupo aditivo 2 y el grupo (bajo la composici´on) de las traslaciones nos permite hablar de traslaciones cercanas, o de la vecindad de radio de una traslaci´on Ta¯ : est´a formada por todas las traslaciones T¯b tales que ||¯a − ¯b|| < . Algo semejante ocurre con el grupo de las rotaciones en torno al origen: podemos identificar la rotaci´on por el ´angulo θ con el punto de la circunferencia de radio 1 y centro en el origen, S 1 = {(x, y) ∈

2

| x2 + y 2 = 1},

que determina el radio que forma el ´angulo θ con la parte positiva del eje X. De los puntos de la circunferencia podemos decir qu´e tan cercanos est´an, porque sabemos medir distancias en S 1 . Entonces, en este grupo tambi´en tenemos una estructura geom´etrica. M´as a´ un, S 1 puede verse como el grupo multiplicativo de los n´ umeros complejos de norma 1, y la correspondencia con SO(2, ) es un isomorfismo. El primero en estudiar este tipo de grupos fue Sophus Lie (1842-99), contempor´aneo y amigo de Klein, y en su honor se les llama grupos de Lie. Volveremos a ellos m´as tarde, y en el caso de las rotaciones mostraremos la conveniencia de utilizar coordenadas complejas. Para las transformaciones r´ıgidas del espacio euclidiano tridimensional en s´ı mismo, el espacio en que vivimos, tambi´en podemos dar como ejemplos traslaciones, rotaciones y reflexiones. Las primeras se definen exactamente como en el caso del plano, pues la traslaci´ on en 3 por el vector fijo a¯ ∈ 3 , est´a dada por Ta¯ :

3

→

3

tal que Ta¯ (P ) = P + a ¯.

Como la demostraci´on de que las traslaciones en 2 constituyen un grupo no utiliz´o el hecho de que a ¯ y P fueran elementos de 2 , ya sabemos que las 3 traslaciones en forman un grupo conmutativo. Y otro tanto ocurre con el hecho de que estas traslaciones sean tambi´en transformaciones r´ıgidas. M´as a´ un, todo el tratamiento de traslaciones puede generalizarse a n , y entonces cualquier elemento a ¯ ∈ n puede verse como una transformaci´on n r´ıgida en .

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32 Para definir una rotaci´on y una reflexi´on en 3 , plantearemos extender las definiciones correspondientes en 2 . Recordemos que la base can´onica de 3 est´a formada por los vectores e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), y e3 = (0, 0, 1), todos con norma 1, ortogonales dos a dos, y que forman una base derecha. Como ocurri´o para una rotaci´on en 2 , pediremos que esa base derecha se transforme en otra base derecha; piense el lector en tres varillas soldadas por uno de sus extremos de forma que permanezcan perpendiculares 2 a 2, y que pueden moverse con la u ´nica restricci´on de que ese extremo com´ un permanezca fijo; entonces es posible definir una rotaci´on en 3 mediante una matriz ortogonal de 3 × 3 con determinante 1. Definici´ on. Una rotaci´ on en torno al origen en Ro : 3 → 3 cuyo efecto sobre un punto P (x, y, z) es ⎛

u1 ⎜ Ro(x, y, z) = ⎝ u2 u3

v1 v2 v3

⎞⎛

⎞

⎛

3

es una funci´on ⎞

w1 x xu1 + yv1 + zw1 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ w2 ⎠ ⎝ y ⎠ = ⎝ xu2 + yv2 + zw2 ⎠ , z w3 xu3 + yv3 + zw3

donde u = (u1 , u2 , u3), v = (v1 , v2 , v3 ), w = (w1 , w2 , w3) forman una base ortonormal derecha. Es claro que bajo una rotaci´on en torno a ¯0 en 3 , cualquier esfera con ese centro va en s´ı misma, en particular la esfera de radio 1, S 2 = {(x, y, z) ∈

3

| x2 + y 2 + z 2 = 1}.

Nuestra experiencia al jugar con una pelota nos muestra que si queremos hacer girar una pelota entre las manos, debemos poner una mano frente a la otra. Eso corresponde al hecho algebraico de que una rotaci´on en torno al origen en 3 deja fija punto a punto alguna recta por el origen, el eje de la rotaci´ on. Eso se debe a que el polinomio caracter´ıstico es de tercer grado y debe tener una ra´ız real; con ese valor caracter´ıstico (o valor propio o eigen-valor) determinamos un subespacio invariante de la rotaci´on. En consecuencia, cualquier rotaci´on en 3 en torno al origen se reduce a una rotaci´on en el plano perpendicular al eje de la rotaci´on (v´ease [Ra]). Para una reflexi´on, pedimos que la base can´onica se transforme en una base ortonormal izquierda:

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33 Definici´ on. Una reflexi´ on en efecto sobre un punto P (x, y, z) es ⎛

u1 ⎜ Re(x, y, z) = ⎝ u2 u3

v1 v2 v3

3

⎞⎛

es una funci´on Re : ⎞

⎛

3

→

3

cuyo

⎞

w1 x xu1 + yv1 + zw1 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ w2 ⎠ ⎝ y ⎠ = ⎝ xu2 + yv2 + zw2 ⎠ , z w3 xu3 + yv3 + zw3

donde u = (u1, u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ), w = (w1 , w2 , w3 ) forman una base ortonormal izquierda. 3

Ejemplos de matrices de reflexi´on en ⎛

⎞

−1 0 0 ⎜ a −b ⎟ ⎝ 0 ⎠, 0 b a

⎛

son

⎞

1 0 0 ⎜ b ⎟ ⎝0 a ⎠ 0 b −a

⎛

y

⎞

−1 0 0 ⎜ −1 0 ⎟ ⎝ 0 ⎠. 0 0 −1

La primera deja invariante al eje X aunque intercambia los semiejes (en el plano Y Z se tiene una rotaci´on), y la segunda fija puntualmente el eje X y efect´ ua una reflexi´on en el plano Y Z. La tercera corresponde a un caso muy interesante, la aplicaci´on ant´ıpoda , que deja invariantes todas las rectas por el origen, aunque cada punto se transforma en su sim´etrico respecto al origen. Las esferas con centro en el origen se aplican en s´ı mismas bajo una reflexi´on, y si nos preguntamos por los subespacios invariantes bajo una reflexi´on, nuevamente tenemos una recta por el origen invariante bajo una reflexi´on, pues el polinomio caracter´ıstico tiene grado 3, aunque esta vez los puntos pueden no quedar fijos, sino intercambiarse con los de la semirrecta complementaria. La demostraci´on de que las rotaciones y reflexiones en 3 son transformaciones r´ıgidas se basa nuevamente en el hecho de que son transformaciones lineales, y como en el caso del plano no utilizamos coordenadas, la demostraci´on es v´alida en este caso. Nuevamente ocurre que rotaciones y reflexiones de 3 constituyen un grupo bajo la composici´on (la composici´on corresponde a la multiplicaci´on de las matrices). Esta vez el grupo se denota O(3, ) y se llama grupo ortogonal de orden 3. Al definir rotaciones y reflexiones en 3 como transformaciones lineales, estamos obligando a que el origen se quede fijo. Pero es claro que podemos efectuar rotaciones y reflexiones respecto a cualquier punto de 3 y por ello

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34 el tratamiento que hemos hecho puede parecer restrictivo; las consideraciones siguientes mostrar´an que no es as´ı. Proposici´ on. Cualquier transformaci´on r´ıgida es composici´on de una traslaci´on con una transformaci´on ortogonal. Demostraci´on. Denotamos por T una transformaci´on r´ıgida de 3 . Si T (¯0) = a¯, la composici´on de T−¯a con T , U = T−¯a ◦ T fija a ¯0. Ahora bastar´a demostrar que cualquier transformaci´on U r´ıgida y que fija a ¯0, es ortogonal. Los detalles queda a cargo del lector. Un camino posible es comprobar, sucesivamente, lo siguiente: i) U respeta normas, es decir, ||¯a|| = ||U(¯a)||. ii) U respeta el producto escalar. Para ello bastar´a desarrollar los dos miembros de la igualdad, garantizada porque U es r´ıgida, ||¯a − ¯b||2 = ||U(¯a) − U(¯b)||2, y tomar en cuenta i). iii) U es lineal; para ello, compruebe que ||U(λ¯a) − λU(¯a)||2 = 0, y tambi´en que ||U(¯a + ¯b) − U(¯a) − U(¯b)||2 = 0. Como ¯0 es el u ´nico vector caracterizado por su norma, eso asegura que U “saca escalares” y se distribuye sobre la suma. Entonces, la matriz correspondiente a U en una base ortonormal, es ortogonal.2 Es sencillo convencerse de que cualquier transformaci´on r´ıgida en el plano est´a determinada por 3 puntos no colineales y sus im´agenes, y de que cualquier transformaci´on r´ıgida en el espacio est´a determinada por 4 puntos no coplanares y sus im´agenes (y as´ı sucesivamente). Tomando en cuenta eso, uno puede demostrar que cualquier transformaci´on r´ıgida en el plano es producto de a lo m´as 3 reflexiones (v´eanse los ejercicios 7 y 8 siguientes). El grupo de las transformaciones r´ıgidas del plano en el plano es el grupo euclidiano de orden 2, E(2), y el correspondiente a 3 es el grupo euclidiano de orden 3, E(3). En el inciso siguiente mostraremos que conocemos bastantes ejemplos de

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35 invariantes bajo transformaciones r´ıgidas, y adem´as presentaremos un concepto fundamental en Geometr´ıa diferencial: la curvatura.

EJERCICIOS 1. ¿Es

− {0} grupo respecto al producto?

2. Demuestre que GL(2, ), el conjunto de las matrices de 2 × 2 con entradas reales y determinante distinto de cero, forman un grupo bajo la multiplicaci´ on llamado grupo general lineal de orden 2. ¿Es conmutativo? 3. Demuestre que el producto de matrices del tipo (1.4) es conmutativo. 4. Demuestre que una reflexi´on en el plano respecto a una recta por el origen, es una transformaci´ on r´ıgida. 5. Demuestre que la transformaci´ on inversa de una reflexi´on en el plano respecto a Lφ , es la misma reflexi´on. 6. Determine la recta de reflexi´on para la composici´ on de una rotaci´ on y una reflexi´on, y verifique que la recta depende del orden de la composici´on. 7. Demuestre que, en el plano, toda rotaci´ on en torno al origen es composici´ on de dos reflexiones en rectas que pasan por el origen. 8. Demuestre que, en el plano, cualquier traslaci´ on es composici´on de dos reflexiones en rectas paralelas y perpendiculares a la direcci´ on de la traslaci´on. 9. Demuestre que las afirmaciones de los dos ejercicios anteriores pueden generalizarse as´ı: “La composici´on de dos reflexiones en rectas arbitrarias es una rotaci´ on, salvo el caso en que las rectas sean paralelas, donde se obtiene una traslaci´on,” y entonces tiene sentido afirmar que una traslaci´ on es l´ımite de rotaciones. ¿Puede justificar esto u ´ltimo? 10. Demuestre que, en el plano, una transformaci´ on r´ıgida queda determinada cuando se conocen las im´agenes A , B  , C  de tres puntos no colineales A, B, C. 11. Demuestre que cualquier transformaci´ on r´ıgida en el plano es composici´ on de a lo m´as 3 reflexiones. Para ello, tome 3 puntos A, B y C y sus im´agenes, A , B  y C  , y compruebe que eso ocurre en cada uno de los casos siguientes, que agotan todos los posibles: i) A = A , B = B  y C = C  ; ii) A = A , B = B  y C = C  ; iii) A = A , B = B  y C = C  ; iv) A = A , B = B  y C = C  .

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36 12. Para 3 establezca la afirmaci´on an´aloga a la hecha en el ejercicio 6, y demu´estrela. aloga a la hecha en el ejercicio 7, y 13. Para 3 , establezca la afirmaci´on an´ demu´estrela. aloga a la hecha en el ejercicio 10, 14. Para 3 , establezca la afirmaci´on an´ y demu´estrela. 15. A cada matriz M de 3 × 3 con entradas reales, as´ ociele un elemento de 9 escribiendo los renglones uno a continuaci´ on del otro, y rec´ıprocamente. En 9 defina una distancia mediante el producto escalar, y u ´ sela para definir una distancia entre las matrices de 3 × 3. Demuestre que si restringe la distancia entre matrices a los elementos de O(3, ), para cualquier M ∈ SO(3, ) existe  > 0 tal que si d(M, M  ) < , M  no puede ser reflexi´on. de los n´ umeros 16. Demuestre que hay un isomorfismo entre el campo complejos x + iy y el conjunto de las matrices con entradas reales de la forma   x −y , y x provisto de la suma y el producto usuales para matrices. Demuestre tambi´en que esas matrices son composici´ on de una rotaci´ on con una homotecia Hρ : 2 → 2 que lleva (x, y) en (ρx, ρy) con ρ = ||(x, y)||.

1.3.

Invariantes bajo transformaciones r´ıgidas

Analizaremos ahora cu´ales propiedades de los objetos geom´etricos se conservan (es decir, son invariantes) bajo transformaciones r´ıgidas. Los tipos de tri´angulos: equil´ateros, is´osceles y escalenos, son desde luego caracterizaciones invariantes bajo transformaciones r´ıgidas, pues se definen en t´erminos de distancias: si un tri´angulo ABC tiene todos sus lados iguales (en longitud), lo mismo es cierto para el tri´angulo A B  C  obtenido al aplicarle al primero una transformaci´on r´ıgida; m´as a´ un, las medidas de los lados se conservan y eso obliga a los ´angulos a tener tambi´en las mismas medidas (¿puede dar una justificaci´on?). Lo an´alogo ocurre en los otros dos tipos de tri´angulo. Rectas paralelas van en rectas paralelas, puesto que las paralelas son equidistantes, y rectas que se cortan en un cierto a´ngulo se transforman en otras

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37 rectas que se cortan en ese mismo ´angulo (considere el tri´angulo formado por un punto en cada recta y el punto de intersecci´on). Por todo ello, bajo una transformaci´on r´ıgida, un cuadrado se transforma en otro cuadrado, etc. Tambi´en el tipo de c´onica es invariante bajo una transformaci´on r´ıgida; por ejemplo, una elipse es el lugar geom´etrico de los puntos P del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, F1 y F2 , es una constante (que solemos denotar por 2a). Entonces, si las im´agenes de los focos bajo una transformaci´on r´ıgida T son F1 y F2 , el punto P  = T (P ) cumple la condici´on definitoria de elipse respecto a F1 y F2 . Y, desde luego, los semiejes medir´an lo mismo que en la elipse original. El mismo razonamiento se aplica en los otros dos tipos de c´onica. Para las superficies cu´adricas, empecemos por precisar qu´e entendemos por una superficie cu´adrica y c´omo las hemos clasificado. Una superficie cu´ adrica es el lugar geom´etrico de los puntos (x, y, z) que satisfacen una ecuaci´on de segundo grado en 3 variables: Ax2 + By 2 + Cz 2 + 2Dxy + 2Exz + 2F yz + Gx + Hy + Iz + J = 0, y los distintos tipos de superficies cu´adricas, 15 en total (algunas degeneradas), se obtienen al variar los coeficientes. La clasificaci´on de los distintos tipos se realiza, primero, con base en la matriz de la forma cuadr´ atica, que es la matriz sim´etrica ⎛

A ⎜ ⎝D E

D B F

⎞

E ⎟ F ⎠. C

El lector recordar´a que una matriz como ´esta es siempre diagonalizable, y las entradas de esa diagonal, los valores caracter´ısticos de la transformaci´on correspondiente a la matriz, indican cu´anto se alargan (o encogen) los vectores caracter´ısticos, y si conservan su sentido o lo invierten (vea [B-ML] o [Ra]). El rango de una matriz es la dimensi´on de su imagen, que en este caso coincide con el n´ umero de su valores caracter´ısticos no cero, y su signatura es la diferencia entre el n´ umero de sus valores propios positivos menos el n´ umero de los valores propios negativos. El rango y la signatura son invariantes bajo transformaciones ortogonales porque el polinomio caracter´ıstico lo es. La demostraci´on de la invariancia de una cu´adrica (en tipo y medida) bajo una transformaci´on r´ıgida, quedar´a demostrada debido a los hechos siguientes:

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38 1o. El grado de un polinomio es invariante bajo transformaciones r´ıgidas, pues lo es tanto bajo una traslaci´on como bajo una transformaci´on ortogonal. En consecuencia, un polinomio cuadr´atico se transforma en otro polinomio cuadr´atico, es decir, toda superficie cu´adrica se transforma en otra superficie cu´adrica. 2o. Las u ´nicas formas can´onicas de las superficies cu´adricas son las siguientes, porque agotan todos los casos posibles (damos un ejemplo de cada tipo, y, salvo 1), 3), 7) y 13), los ilustramos en la Figura 1.16): - Rango 3: 1) el conjunto vac´ıo, correspondiente a la ecuaci´on x2 + y 2 + z 2 = −1; 2) un elipsoide, correspondiente a la ecuaci´on x2 + 2y 2 + 3z 2 = 1; 3) un punto, dado por la ecuaci´on x2 + 2y 2 + 3z 2 = 0; 4) un hiperboloide de 2 hojas, dado por la ecuaci´on x2 − 2y 2 − 3z 2 = 1; 5) un hiperboloide de 1 hoja, cuya ecuaci´on t´ıpica es x2 + 2y 2 − 3z 2 = 1; 6) un cono, cuya ecuaci´on t´ıpica es x2 + 2y 2 − 3z 2 = 0. - Rango 2: *) el conjunto vac´ıo, dado por x2 + y 2 = −1; 7) una recta, dada por la ecuaci´on x2 + 2y 2 = 0; 8) dos planos que se cortan, cuya ecuaci´on es x2 − 2y 2 = 0; 9) un cilindro el´ıptico, cuya ecuaci´on t´ıpica es x2 + 2y 2 = 1; 10) un cilindro hiperb´olico, dado por la ecuaci´on x2 − 2y 2 = 1; 11) un paraboloide hiperb´olico, de ecuaci´on x2 − 2y 2 = z; 12) un paraboloide el´ıptico, con ecuaci´on x2 + 2y 2 = z; - Rango 1: *) el conjunto vac´ıo, dado por x2 = −1; 13) un plano doble, cuya ecuaci´on t´ıpica es x2 = 0; 14) 2 planos paralelos, correspondientes a x2 = 1; 15) un cilindro parab´olico, cuya ecuaci´on t´ıpica es x2 = y.

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cilindro el´ıptico y2 x2 a2 + b2 = 1

cilindro parab´ olico y 2 = 4px

2 planos que se cortan y 2 = kx2

2 planos paralelos x2 = k 2

paraboloide el´ıptico y2 x2 a2 + b2 = z

hiperboloide de 1 manto y2 x2 z2 a2 − b2 + c2 = 1

paraboloide hiperb´ olico 2 2 − ax2 + yb2 = z

cono x2 + y 2 = z 2

x2 a2

elipsoide 2 2 + yb2 + zc2 = 1

cilindro hiperb´olico y2 x2 a2 − b2 = 1

hiperboloide de 2 mantos 2 2 2 − xa2 + yb2 − zc2 = 1

Figura 1.16: Superficies cu´ adricas no degeneradas en

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3.

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40 3o. Hay superficies distintas con id´entico rango y signatura; la diferencia se debe a la parte no cuadr´atica que les asigna caracter´ısticas m´etricas distintas, como lo es su dimensi´on, su extensi´ on: si es acotada (cuando la superficie est´a contenida en alguna bola con centro en el origen) o no, o si est´a limitada por alg´ un plano (como ocurre con un paraboloide); si es reglada, es decir, por cada uno de sus puntos pasa una recta totalmente contenida en la superficie; si consta de una sola pieza, etc. Esta u ´ltima parte la dejaremos como ejercicio para el lector, siguiendo el tipo de razonamientos que damos en el caso de las cu´adricas de rango 3: - Signatura 3: Las dos superficies de rango 3 con signatura 3 son un elipsoide y un punto, pero el t´ermino independiente da dos grados de libertad a los puntos que satisfacen (2) y ning´ un grado de libertad al u ´nico punto que satisface(3), pues una suma de cuadrados nula obliga a la nulidad de cada sumando. - Signatura 1: Las dos superficies de rango 3 con signatura 1 son un hiperboloide de 1 hoja y un cono, pero el t´ermino independiente los distingue: si en la ecuaci´on (5) dejamos del lado izquierdo una diferencia de cuadrados, el nuevo lado derecho es tambi´en una diferencia de cuadrados y eso muestra que tenemos una superficie doblemente reglada (por cada punto pasan dos rectas complemente contenidas en el hiperboloide), mientras que un cono es una superficie simplemente reglada (por cada punto distinto del v´ertice, pasa s´olo una recta completamente contenida en el cono: la generatriz a la que pertenece). - Signatura -1: S´olo tenemos una superfice de rango 3 y signatura −1, el hiperboloide de 2 hojas. Es claro que no todos los lugares geom´etricos listados tienen derecho a llamarse superficies, como ocurre con el vac´ıo (ecuaciones 1), *) y **)), un punto (3), o una recta (7), que son casos l´ımite de un elipsoide y un cilindro el´ıptico, respectivamente, y por eso se llaman cu´ adricas degeneradas. Sin embargo, todos son lugares geom´etricos correspondientes a ecuaciones polinomiales cuadr´aticas en 3 variables. La demostraci´on de la invariancia del rango y la signatura de una matriz

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41 bajo una transformaci´on no singular, puede consultarse en [B-ML], y tiene como consecuencia la invariancia del grado. Daremos ahora una primera versi´on del invariante bajo isometr´ıas m´as importante en Geometr´ıa Diferencial, la curvatura de una superficie en cada uno de sus puntos (como veremos, el valor de la curvatura puede cambiar de punto a punto). Una referencia para quien desee profundizar en este tema es [DoC]. Las figuras estudiadas en esa rama de la Geometr´ıa deben ser suaves, es decir, si se trata de curvas requerimos que en cada uno de sus puntos est´e bien definida la recta tangente, y si se trata de superficies, la condici´on es que en cada uno de sus puntos tenga bien definido su plano tangente. El lector recordar´a que la utilidad de que una curva tenga bien definida la recta tangente en cada uno de sus puntos, es la posibilidad de aproximar a la curva por su tangente en una vecindad suficientemente peque˜ na del punto. Lo an´alogo ocurre con una superficie, si en cada punto est´a bien definido el plano tangente, habr´a muchas situaciones donde pueda sustituirse, localmente, la superficie por su plano tangente (v´ease la Figura 1.17). Eso no siempre ocurre, pues en una superficie tan sencilla como un cono de revoluci´on, no puede definirse el plano tangente en el v´ertice. Para convencernos, basta considerar que cada una de las generatrices es una recta no s´olo tangente al cono, sino contenida en ´el, y si existiera un plano tangente al cono en el v´ertice, cada generatriz deber´ıa estar contenida en ese plano, lo cual evidentemente es imposible. El C´alculo nos da una t´ecnica sencilla para detectar cu´ales superficies son suaves, al menos si se trata de superficies definidas por una funci´on diferenciable F : 3 → , como lo son E(x, y, z) = x2 +4y 2 +9z 2 , P (x, y, z) = x2 +y 2 −z, Π(x, y, z) = x + 2y + 3z (para aclarar algunos de los conceptos mencionados en el resto de esta secci´on, puede recurrirse al Ap´endice 5.1, o a [Cou]). Un hiperboloide de dos mantos (4), y un cono (6) son superficies de nivel de la funci´on F (x, y, z) = x2 − y 2 − z 2 , cuyo gradiente ∇F es ∇F (x, y, z) = (2x, −2y, −2z), que s´olo se anula en (0, 0, 0).

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42 El origen no pertenece al hiperboloide de 2 mantos x2 − y 2 − z 2 = 1, y as´ı ∇F (P ) = (0, 0, 0) en cualquier punto P del hiperboloide. Decimos por eso que 1 es un valor regular de F. En cambio, el origen s´ı pertenece al cono x2 − y 2 − z 2 = 0, es su v´ertice, y como ∇F (0, 0, 0) = (0, 0, 0), decimos que 0 es un valor cr´ıtico de F .

P1

ˆ N H1

T1 T2

H3

P2

ˆ N

H2

P3

T3

Figura 1.17: Planos tangentes a distintas superficies en algunos de sus puntos.

Si una superficie S es imagen inversa de un valor regular r (vea el Ap´endice 5.1) de una funci´on diferenciable F : 3 → , es decir, si S = {(x, y, z) ∈

3

| F (x, y, z) = r y ∇F (x, y, z) = (0, 0, 0)},

es f´acil demostrar, usando la Regla de la Cadena, que para cualquier P0 ∈ S, el gradiente de F en el punto, ∇F (P0 ), es un vector perpendicular al vector velocidad α (t0 ) de cualquier curva suave α(t) = (x(t), y(t), z(t)) contenida en S que pase por P0 en el tiempo t0 . Veamos, como la curva est´a contenida en S, F (x(t), y(t), z(t)) = r para todo t ∈ Dom(α). Al derivar respecto a t y valuar en t0 , obtenemos, por la Regla de la Cadena, dF (t0 ) = ∇F (P0 ) · α (t0 ) = 0. dt Entonces, el plano que pasa por P0 y perpendicular a ∇F (P0 ) contiene al vector tangente de cualquier curva suave contenida en S que pase por P0 ; por

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43 eso se le llama el plano tangente a S por P0 . Su ecuaci´on es (P − P0 ) · ∇F (P0 ) = 0.

(1.6)

La Figura 1.17 ilustra varios planos tangentes a un elipsoide, un paraboloide hiperb´olico y a un toro de revoluci´ on. Para el elipsoide, el plano tangente al elipsoide en un punto corta a la superficie s´olo en ese punto, y deja a la superficie en un solo lado del plano tangente. Ese tipo de puntos se llaman puntos el´ıpticos. Para el paraboloide hiperb´olico, el plano tangente en un punto corta a la superficie en 2 rectas, puesto que es una superficie doblemente reglada; hay puntos de la superficie en ambos lados del plano tangente. ´esta es una condici´on necesaria para que un punto sea un punto hiperb´ olico. Para el toro de revoluci´on, la intersecci´on con el plano tangente depende de la ubicaci´on del punto. En el toro hay puntos el´ıpticos, puntos hiperb´olicos y puntos parab´ olicos, para los cuales hay una curva tal que en todos sus puntos el vector normal es fijo y el plano tangente deja a la superficie en uno de los dos semiespacios que define. El lector puede comprobar nuestras afirmaciones si determina la ecuaci´on del plano tangente con la f´ormula (1.6), pues todas las superficies mencionadas son im´agenes inversas de valores regulares de funciones diferenciables de 3 en (vea el Ejercicio 6 c)). Los planos que contienen a la recta determinada por P0 y ∇F (P0 ), cortan a la superficie en curvas llamadas secciones normales. La Figura 1.18 muestra secciones normales C1 , C2 y C3 en el punto P0 , de un cilindro, un elipsoide y un paraboloide hiperb´olico. Si una curva suave α(s) = (x(s), y(s), z(s)) est´a parametrizada de forma que su vector tangente α (s) tenga siempre norma 1, podemos definir su curvatura k(s0 ) en el punto α(s0 ), como la norma del vector α (s0 ) = (x (s0 ), y (s0 ), z  (s0 )). Eso se debe a que ||α(s)|| es constante, y entonces al derivar este vector s´olo medimos la variaci´on respecto a su posici´ on, la rapidez con que la curva se aleja de la recta tangente en el punto. El par´ametro s que logra ||α (s)|| = 1 se llama longitud de arco, pues permite recorrer arcos iguales en tiempos iguales. Cualquier curva suave admite una parametrizaci´on as´ı (v´ease [DoC]). Para una recta, la curvatura en cualquier punto es cero, pues como la parametrizaci´on de una recta por longitud de arco es α(s) = P0 + su, con P0

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44 y u constantes y ||u|| = 1, resulta α (s) = ¯0 para todo s. Para una circunferencia, la curvatura es el inverso del radio, pues si la parametrizaci´on es α(s) = (r cos(s/r), r sen (s/r)), entonces el vector velocidad es α (s) = (− sen (s/r), cos(s/r)), que tiene norma 1, y el vector aceleraci´on es α (s) = (−(1/r) cos(s/r), −(1/r) sen (s/r)), que tiene norma 1/r y, adem´as, apunta en todos los casos hacia la parte c´oncava de la circunferencia.

Π2

Π3

Π1

Π3

Π1

Π2 C1 C2

C2 C3

C1 C3

Π3

C2

Π2 Π1

C3

C1

Figura 1.18: Secciones normales de un cilindro, un elipsoide y un paraboloide hiperb´ olico.

La definici´on de curvatura de una superficie S ⊂ 3 en uno de sus puntos, P0 , requiere de dar un signo a las curvaturas de las secciones normales. Para ello, fijamos uno de los dos posibles vectores normales unitarios en el (P ), y proyectamos en ´ el al vector α (s0 ); si la proyecci´on tiene el punto, N 0  on tendr´a curvatura positiva, y ser´a negativa mismo sentido que N(P 0 ), la secci´ en el caso contrario. En el caso de un elipsoide, los vectores de aceleraci´on de todas las secciones normales quedan de un mismo lado del plano tangente, mientras que en el caso

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45 de un paraboloide hiperb´olico, en cada punto hay secciones normales en ambos lados del plano tangente, como ocurre con las curvas C1 y C3 del paraboloide hiperb´olico de la Figura 1.18. Hay tantas secciones normales como di´ametros en una peque˜ na circunferencia centrada en P0 en el plano tangente, es decir, una para cada θ ∈ [0, π]. Por tanto, la curvatura de una secci´on normal, llamada curvatura seccional, puede verse como una funci´on del a´ngulo θ, k(θ). Un resultado muy importante en C´alculo asegura que una funci´on continua definida en un intervalo cerrado toma en ´el su m´aximo y su m´ınimo; por tanto, para algunos θ1 , θ2 ∈ [0, π], tendremos k1 = k(θ1 ) la curvatura m´ axima y k2 = k(θ2 ) la curvatura m´ınima de las secciones normales. La curvatura de una superficie en uno de sus puntos, K(P ), fue definida por Leonhard Euler (1707-83) como el producto de las curvaturas m´axima y m´ınima de las secciones normales: K(P ) = k1 (P )k2(P ). Note que el valor de K(P ) no cambia aunque elijamos como vector normal (P ). a −N 0 Actualmente, K(P ) se denomina la curvatura gaussiana de la superficie en un punto P en honor a Karl Friedrich Gauss (1777-1865) quien ubic´o a este concepto como uno de los m´as importantes de la Geometr´ıa diferencial (vea [DoC]). Cuando K(P ) es constante, la superfice se llama superficie de curvatura constante. Una esfera tiene curvatura constante K = 1/r 2 , donde r es su radio, y un plano tiene curvatura constante 0. Como la norma de α (s) es invariante bajo transformaciones r´ıgidas, al aplicar una transformaci´on r´ıgida a una superficie, las curvaturas de las secciones normales tambi´en son invariantes. En el Ejercicio 5 dejamos al lector la tarea de completar la demostraci´on de la invariancia de la curvatura K(P ) bajo transformaciones r´ıgidas, y calcular la curvatura de las superficies propuestas en los ejercicios en los puntos indicados. Le ser´a u ´til la f´ormula siguiente, que expresa la curvatura k(t) de una curva α(t) con par´ametro arbitrario (vea el Ejercicio 5) ||α × α || . (1.7) ||α ||3 Esperamos que recurra a la imagen de la superficie para decidir cu´ales son las secciones de curvatura m´axima y m´ınima. k(t) =

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46 Antes de finalizar esta secci´on, definiremos otros dos conceptos que pueden ser f´acilmente entendidos si los analizamos en los ejemplos de superficies que hemos trabajado. El primero es el de superficie homog´ enea. De forma intuitiva, decimos que una superficie es homog´enea si un trozo de superficie que rodee un punto puede superponerse a la superficie en torno a cualquier otro punto; eso ocurre con el plano, con la esfera y tambi´en con el cilindro, pero no con el toro de revoluci´on ni con un elipsoide. De manera formal, podemos decir que una superficie S es homog´enea si para cualesquiera dos puntos P y Q en la superficie, existe una transformaci´on r´ıgida que lleva una porci´on de la superficie en torno a P en una porci´on de la superficie en torno a Q. Al segundo concepto lo llamaremos isotrop´ıa, y se refiere al hecho de que en un punto, la superficie muestre el mismo aspecto al mirar en cualquier direcci´on. El plano y la esfera son isotr´opicos, pero el cilindro no lo es. Decimos que un punto de una superficie es un punto umb´ılico si todas las curvaturas seccionales en el punto son iguales. Los puntos de un cilindro no son umb´ılicos, pero s´ı lo son los de una esfera y los de un plano.

EJERCICIOS 1. Demuestre que el polinomio caracter´ıstico de una matriz, es invariante bajo transformaciones r´ıgidas. 2. Para cada una de las cu´ adricas con un mismo rango y signatura, d´e caracter´ısticas m´etricas, como las simetr´ıas y la extensi´on, que muestren la diferencia entre los distintos tipos. 3. Dibuje la superficie definida por la ecuaci´on 3x2 − y 2 + 4xz − 10x + 2y − 4z + 3 = 0. 4. Sin hacer ning´ un c´ alculo, demuestre cada una de las afirmaciones siguientes. (a) la curvatura de un plano en cualquiera de sus puntos es 0; (b) la curvatura de una esfera toma el mismo valor en cada uno sus puntos (encu´entrela); (c) la curvatura de un cilindro tiene el mismo valor en cada uno de sus puntos (encu´entrela);

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47 (d) la curvatura de un paraboloide hiperb´ olico en cualquiera de sus puntos, es negativa. 5. Demuestre la f´ ormula (1.7). (Sugerencia: vea [DoC].) 6. Calcule la curvatura de cada una de las superficies propuestas en los puntos indicados. (a) Paraboloide hiperb´ olico: x2 − y 2 = z, en (0, 0, 0). ¿Cu´al es el plano tangente en el origen? al es el (b) Cu´artica de revoluci´on: z = x4 + 2x2 y 2 + y 4 , en (0, 0, 0). ¿Cu´ plano tangente en el origen? (c) Toro de revoluci´on: x4 + y 4 + z 4 + 2x2 y 2 + 2x2 z 2 + 2y 2 z 2 − 10x2 − 10y 2 + 6z 2 + 9 = 0, en los puntos (0, 1, 0), (0, 2, 1) y (0, 3, 0).

1.4.

Cilindros y toros

En esta secci´on utilizaremos un concepto fundamental en todas las a´reas de las matem´aticas, el de clase de equivalencia, e introduciremos el concepto de geod´ esica, o trayectoria en una superficie que minimiza la distancia entre dos puntos de la superficie, al menos localmente. Usaremos relaciones de equivalencia (vea el ap´endice 5.2) para construir nuevos objetos geom´etricos a partir de otros conocidos, de suerte que los nuevos objetos conserven propiedades importantes de los originales. Por ejemplo, construiremos un cilindro y un toro planos que heredar´an la forma de medir en el plano, y, por ello, ser´an superficies de curvatura gaussiana constante 0. Ese cilindro y ese toro son geom´etricamente distintos del cilindro y el toro de revoluci´on contenidos en 3 , del cual heredan una manera de medir; los nuevos objetos, a los que podemos llamar intr´ınsecos, son creaci´on matem´atica en el sentido m´as propio de la expresi´on, no requieren de un entorno. Las geod´esicas del cilindro y el toro plano estar´an determinadas por las geod´esicas del plano que, como el lector espera, son rectas. Para construir un cilindro (m´as bien, una porci´on de cilindro), de ni˜ nos sol´ıamos tomar un rect´angulo de cartulina y peg´abamos dos lados paralelos. Tomemos ahora bandas verticales de ancho 1 en 2 , como se muestra en la Figura 1.19. Decimos que dos puntos pertenecen a la misma clase de

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48 equivalencia (vea la secci´on 5.2) si sus coordenadas tienen la misma ordenada y sus abscisas difieren por un entero, es decir, (x, y) ∼1 (x , y ) si y = y , x − x ∈ . Entonces, en la banda vertical ¯ = {(x, y)| 0 ≤ x ≤ 1} B hay uno y s´olo un representante de cada clase de equivalencia, excepto por los puntos de los bordes con la misma ordenada, pues son representantes de la misma clase de equivalencia. Identificar esos puntos equivale al pegado de dos lados paralelos de la cartulina; resulta entonces un objeto que puede pensarse como un cilindro (infinito), y que escribimos as´ı Cil =

2

/ ∼1 ,

donde

(x, y) ∼1 (x , y  )

si

y = y  , x − x ∈ .

El mismo cilindro puede obtenerse de cualquier banda vertical de ancho 1 cuando pegamos los bordes, pues una tal banda contiene un representante de cada clase de equivalencia, salvo por los puntos de los bordes. Y (x,y)

(x+1,y)

2/

(x+2,y)

∼

X Figura 1.19: Al identificar los puntos de obtenemos un cilindro.

2

con la misma ordenada y x − x ∈

,

De hecho, llamamos regi´ on fundamental a un conjunto R que satisface dos condiciones (i) Cualquier punto P del plano tiene al menos un representante P  ∈ R; (ii) Si P  es un punto interior de R, entonces P  no es equivalente a ning´ un otro P  ∈ R. El interior de un conjunto es el mayor abierto contenido en el conjunto, por lo que un punto interior pertenece a un disco sin frontera totalmente contenido en el conjunto.

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49 Una forma de construir una regi´on fundamental es tomar un punto P y buscar sus equivalentes m´as cercanos, P  y P  ; los bordes de la regi´on son las mediatrices de los segmentos P  P y P P . Este cilindro comparte muchas cualidades con el plano, pero presenta tambi´en diferencias esenciales, como veremos. Entre estas u ´ltimas se cuenta el hecho de que al hacer el pegado convertimos cualquier recta paralela al eje X en una curva cerrada, resultado de identificar los extremos de cualquier tramo de longitud 1. Una de estas curvas cerradas se distingue de una circunferencia en el plano en que mientras la u ´ltima puede deformarse continuamente a un punto sin salir del plano, para una “circunferencia” en el cilindro que resulte de la identificaci´on anterior, la deformaci´on es imposible sin salirse del cilindro (v´ease la Figura 1.20). Otra forma de establecer esta diferencia surge al observar que, en el plano, toda circunferencia es la frontera de una regi´on acotada del plano: el interior del disco. En el cilindro, en cambio, una “circunferencia” proveniente de la identificaci´on no determina una regi´on acotada. Y

X Figura 1.20: En un cilindro hay curvas cerradas que no se pueden deformar a un punto del cilindro sin salirse del mismo.

El estudio de las curvas cerradas de una superficie conduce a un concepto muy importante en Geometr´ıa, llamado grupo fundamental, que escapa a nuestros prop´ositos y que el lector interesado puede consultar en [F]. En cambio, el cilindro y el plano comparten las geod´ esicas, curvas que minimizan la distancia entre dos puntos suficientemente cercanos, en el sentido siguiente. Teorema. En el plano, la trayectoria m´as corta entre dos puntos P y Q es

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50 el segmento de recta entre P y Q. Demostraci´on. Recordemos que la longitud de una curva parametrizada diferenciable α : (c, d) → 2 de α(a) = P a α(b) = Q (donde [a, b] ⊂ (c, d)), es 

l(α) =

b a

||α (t)||dt.

Si v es un vector fijo de norma 1, la derivada de α(t) · v es α (t) · v y por eso al integrar esta u ´ltima funci´on obtenemos (Q − P ) · v =



b a

α (t) · v dt ≤



b

a

||α(t)||dt = l(α),

donde la desigualdad entre las dos integrales es consecuencia de la desigualdad (punto a punto) entre las funciones de los integrandos. Q−P Ahora basta tomar v = ||Q−P para tener en el miembro izquierdo de la || expresi´on anterior ||α(b)−α(a)||, lo cual demuestra que la longitud el segmento es menor o igual que la longitud de cualquier otra curva que una a P y Q.2 Pues bien, dados dos puntos cualesquiera P y Q del cilindro, si P  es un punto de 2 que se aplica en P , de todos los puntos de 2 que se aplican en Q hay alguno que es el m´as cercano a P , denot´emoslo por Q ; el segmento de recta entre P  y Q da una curva en el cilindro, y si hubiera en el cilindro una curva m´as corta de P a Q que la correspondiente al segmento, esa curva dar´ıa lugar a una curva en 2 que no puede tener longitud menor que la del segmento. El toro plano, m´etricamente distinto del toro de revoluci´on del Ejercicio 6(c) §1.3 como se ver´a enseguida, tambi´en presenta diferencias y coincidencias con el plano. El toro plano est´a formado por las clases de equivalencia de puntos de 2 bajo la relaci´on (x, y) ∼2 (x , y )

si

x − x ∈ , y − y  ∈ ,

es decir, ahora dos puntos del plano est´an relacionados si tanto la diferencia entre sus abscisas como la diferencia entre sus ordenadas, son enteros. As´ı como la primera condici´on nos oblig´o a restringirnos a una banda vertical, la segunda nos obliga a restringirnos a una banda horizontal, y como estamos pidiendo ambas condiciones, una regi´on fundamental en este caso es

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51 un cuadrado de lado 1 cuyos bordes paralelos deben identificarse (vea la Figura 1.21). Al lector enseguida se le ocurrir´a pensar el objeto resultante como un toro, aunque si intenta construirlo con un cuadrado de papel, se enfrentar´a con el problema de que al pegar los dos u ´ltimos bordes, el papel se arruga. El toro plano no puede construirse sin arrugas o dobleces en nuestro espacio euclidiano tridimensional, pues as´ı como en el cilindro todas las circunferencias creadas por la identificaci´on tienen longitud 1, la longitud de un lado del cuadrado, en el toro plano todas las circunferencias creadas por cada una de las dos identificaciones tienen esa misma longitud, por eso se arruga el papel al intentar pegar los bordes del cilindro. M´as a´ un, en el toro plano K(P ) = 0 en cualquier punto, en contraste con el toro de revoluci´on donde hay puntos el´ıpticos, parab´olicos e hiperb´olicos (Ejercicio 6 c) de la secci´on 1.3) Y (x,y+1)

(x,y)

(x+1,y+1)

!

(x+1,y)

X

Figura 1.21: Al identificar los puntos de un toro plano (que no cabe bien en 3 ).

2

con x − x ∈

y y − y  ∈ , obtenemos

Esta vez hay dos clases de curvas cerradas que no pueden deformarse en un punto, una clase por cada par de lados paralelos del cuadrado. Pero si bien lo anterior establece una diferencia esencial entre el plano y el toro plano, al plantearnos cu´ales son las geod´esicas del toro basta considerar que para cualesquiera dos puntos distintos P y Q en el toro, si P  ∈ 2 se aplica en P , hay un punto Q∗ ∈ 2 que se aplica en Q y que es el m´as cercano a P  de entre los 9 posibles (vea la Figura 1.22). El segmento de recta de P  a Q∗ se aplica en una curva del toro que nece-

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52 sariamente minimiza la longitud del recorrido de P a Q en el toro plano, pues si hubiera una curva en el toro plano de P a Q de longitud menor a la de ese segmento, esa curva dar´ıa lugar a una curva entre P  y Q de longitud menor a la del segmento, lo cual es imposible. Q∗

Q

Q

P

P

Figura 1.22: El segmento de P  a Q∗ da lugar a una curva en el toro que minimiza el recorrido de P a Q.

Otra forma de escribir todo lo anterior es considerar la llamada proyecci´ on can´ onica de un espacio en el conjunto de sus clases de equivalencia, en este caso: Π:

2

→ Toro,

que aplica cada punto (x, y) en su clase [(x, y)] seg´ un la relaci´on de equivalencia ∼2 . Entonces, las geod´esicas del toro plano son las im´agenes bajo Π de las geod´esicas de 2 , pues la forma de medir en el toro plano se hereda de 2 Tambi´en conviene hacer notar que el cilindro y el toro plano tienen bien definido el plano tangente en cada uno de sus puntos. Eso se debe a que al pegar los bordes de una banda que sea regi´on fundamental del cilindro, los puntos donde hicimos el pegado tienen la misma calidad que todos los dem´as; en particular, por ellos pasan curvas en todas direcciones, como lo muestra la Figura 1.23. El plano tangente en un punto P se considera formado por los vectores velocidad de curvas que pasan por P (pueden ser segmentos de recta centrados en P ). Las curvas pueden recorrerse en un sentido o en otro, y con la rapidez que queramos; por eso los vectores tangentes realmente forman todo un plano (vea la Figura 1.23).

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53

Figura 1.23: Los vectores tangentes en un punto cualquiera de un cilindro o un toro plano, forman el plano tangente en P .

Un ejercicio interesante, sobre todo por las aplicaciones que tiene m´as adelante, es pensar en una recta dibujada en 2 cuya traza quisi´eramos conservar al obtener las identificaciones que hemos planteado. En el cilindro, obtendr´ıamos una “h´elice”, y como casos l´ımite tendr´ıamos una recta y una circunferencia (v´ease la Figura 1.24). En el toro, podemos obtener muchos tipos de curvas cerradas, como ocurre con la recta por el origen y de pendiente 1, puesto que los cuatro v´ertices del cuadrado acaban identific´andose en uno solo, o con cualquier otra recta que una dos puntos de coordenadas enteras, por la misma raz´on del caso anterior (vea la Figura 1.24). Pero cuando en el plano tomamos una recta por el origen de pendiente irracional, la curva que se origina en el toro no se cierra y, adem´as, se enrolla en ´el de forma tal que para cualquier punto del toro hay puntos de la curva tan cercanos como se quiera, esto es, la curva es un conjunto denso en el toro. Para demostrar esto u ´ltimo, consideramos la recta y = mx con m ∈ . Entonces, los puntos en el lado izquierdo del cuadrado que son equivalentes a puntos de la recta de la forma (n, mn) con n entero, son de la forma (0, mn − [mn]), donde [mn] es la parte entera de mn; escribiremos yn = mn − [mn]. Si dividimos el lado izquierdo del cuadrado en k partes, con k ∈ , de los puntos (0, yj ) provenientes de los k + 1 puntos (1, m), (2, 2m),..., (k + 1, (k + 1)m), por el “principio de las casillas” hay dos en el mismo segmento de longitud 1/k, es decir, para algunos r, s ∈ {1, 2, ..., k + 1}, tenemos ys − yr
. 2o. Tambi´en podemos utilizar el patr´on en ambos lados, gir´andolo en cada caso 180◦ en torno al punto (1/2)A de L, y despu´es desplazamos la figura que hemos obtenido por Ta¯ ; el friso F2 que resulta al pintar en ambas posiciones el hueco del patr´on en cada tramo, es el segundo de la Figura 1.34. El grupo G2 de isometr´ıas que dejan invariante este friso, puede generarse con σ1/2 , la rotaci´on de 180◦ en torno al punto (1/2)A, y Ta¯ . Sabemos que 2 σ1/2 = Id, y en la figura es f´acil comprobar que σ1/2 ◦ Ta¯ ◦ σ1/2 = (Ta¯ )−1 ; entonces, para presentar G2 escribimos tambi´en estas relaciones: 2 G2 =< σ1/2 , Ta¯ | σ1/2 = Id, σ1/2 ◦ Ta¯ ◦ σ1/2 = (Ta¯ )−1 > .

3o. Si usamos el patr´on de ambos lados de la recta reflejando el patr´on en L y luego trasladando por Ta¯ , el friso obtenido es F3 , el tercero de la Figura 1.34. El grupo G3 de isometr´ıas que dejan invariante a F3 , est´a generado por la reflexi´on en L, que denotaremos RL , y por Ta¯ . La composici´on de estas isometr´ıas es conmutativa, as´ı que esta vez la u ´nica relaci´on es RL2 = Id, y escribimos G3 =< RL , Ta¯ | RL2 = Id > . 4o. El cuarto friso de la Figura 1.34, F4 , resulta de reflejar el mosaico en cada caso respecto a su borde vertical derecho. El grupo G4 de isometr´ıas que dejan invariante a F4 , puede generarse con la reflexi´on en la recta V perpendicular a L por el punto A, que denotaremos RV , y con la traslaci´on T2¯a , puesto que hemos formado una figura del doble de largo del patr´on original. Sabemos que RV2 = Id, y es f´acil comprobar que −1 RV ◦ T2¯a ◦ RV = T2¯ a , por lo que esta vez escribimos −1 G4 =< RV , T2¯a | RV2 = Id, RV ◦ T2¯a ◦ RV = T2¯ a >

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74 5o. Tambi´en podemos formar un friso F5 , que recuerda nuestras pisadas en la arena, utilizando la isometr´ıa llamada precisamente paso y que denotaremos γ; un paso resulta al componer la traslaci´on por a¯ con la reflexi´on en L: γ = Ta¯ ◦ RL . Esta vez no hace falta incluir una traslaci´on entre los generadores, pues γ 2 = T2¯a , as´ı que el grupo G5 es G5 =< γ > . Note que si bien los grupos G1 y G5 son ambos c´ıclicos infinitos, los elementos de E(2) que generan cada uno son isometr´ıas distintas, por eso el friso F1 no queda invariante bajo un paso. 6o. Un sexto friso resulta si utilizamos las dos reflexiones RL y RV y, necesariamente, la traslaci´on T2¯a . El friso F6 (vea la Figura 1.34), permanece invariante bajo el grupo G6 generado por estas tres isometr´ıas. Como en G6 tenemos los dos generadores de G4 , se dan las relaciones que anotamos en ese caso, m´as la debida a RL2 = Id, y la del cuadrado del producto de ambas, (RL ◦ RV )2 = σA2 = Id, por lo que esta vez escribimos: G6 =< RV , RL , T2¯a | RV2 = Id, RL2 = Id, (RL ◦RV )2 = Id, RV ◦T2¯a ◦RV = T−2¯a > . 7o. Finalmente (y en un momento justificaremos que hemos terminado), el friso F7 se construye reflejando primero el patr´on en la vertical derecha, y despu´es rot´andolo 180◦ en el punto de L denotado por 2A. El grupo de isometr´ıas G7 que dejan invariante F7 tiene la presentaci´on siguiente: 2 = Id, (RV ◦ σ2A )2 = T4¯a > . G7 =< RV , σ2A | RV2 = Id, σ2A

N´otese que tambi´en esta vez no hace falta incluir una traslaci´on entre los generadores, porque (RV ◦ σ2A )2 = T4¯a .

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75 F1 queda invariante bajo G1 = Ta¯ 

...

...

A

2A

L

3A

F2 queda invariante bajo   G2 = σ1/2 , Ta¯ , donde 2 = Id, σ1/2 ◦ Ta¯ ◦ σ1/2 = (Ta¯ )−1 σ1/2

...

...

...

F3 queda invariante bajo G3 = Ta¯ , RL , donde RL2 = Id

...

...

...

...

F4 queda invariante bajo G4 = T2¯a , RV , donde RV2 = Id, RV ◦ T2¯a ◦ RV = T−2¯a F5 queda invariante bajo G5 = γ

...

L

L

...

...

L

...

...

...

...

...

...

...

...

L

F6 queda invariante bajo G6 = T2¯a , RV , RL , donde RV2 = Id, RL2 = Id, (RL ◦ RV )2 = Id, RV ◦ T2¯a ◦ RV = T−2¯a F7 queda invariante bajo G7 = RV , σ2a , donde 2 RV2 = Id, σ2A = Id 2 y (RV ◦ σ2a ) = T4¯a

L

...

...

...

...

L

Figura 1.34: Los distintos tipos de frisos y sus grupos.

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76 Dejaremos al lector el an´alisis de cu´ales son los ejes y centros de simetr´ıa de los frisos que hemos construido (cuando los hay), as´ı como la determinaci´on de los llamados dominios fundamentales, esto es, los trozos de friso que, al trasladarse por los elementos del subgrupo de traslaciones incluido en el grupo que lo fija, permiten obtener el friso completo. Pero s´ı nos interesa demostrar que no puede haber m´as tipos de frisos que los correspondientes a la Figura 1.34, en el sentido de que los subgrupos obtenidos son todos los subgrupos de isometr´ıas que fijan una recta y que cumplen las condiciones 1 y 2. Proposici´ on. Los subgrupos de isometr´ıas de E(2) que fijan una recta L y que cumplen las condiciones 1 y 2, son u ´nicamente G1 a G7 . Demostraci´on. Las isometr´ıas que dejan invariante una recta L del plano y que permiten observar la regla de utilizar una vez el patr´on en cada tramo de longitud a son: (i) cualquier traslaci´on por n¯a, donde a¯ es un vector paralelo a L y n es un ultiplo sea entero se debe entero, denotada por Tn¯a ; la restricci´on de que el m´ a que el patr´on no puede superponerse, pues entonces la figura obtenida en un tramo no corresponder´ıa a la figura del patr´on; (ii) cualquier rotaci´on por 180◦ en torno a un punto rA ∈ L con r = n/2, n entero, denotada σrA ; (iii) la reflexi´on en L, denotada por RL ; (iv) la reflexi´on en una recta V perpendicular a L en un punto del tipo nA (recuerde que el patr´on no puede superponerse ni en parte); n´otese que la utilizaci´on de una tal reflexi´on, obliga a que la traslaci´on que deja invariante el dise˜ no corresponda a un vector 2n¯a; (v) un “paso”, γ = Ta¯ ◦ RL , la isometr´ıa que genera el friso F5 . Veamos ahora cu´ales grupos pueden generarse con estas isometr´ıas: 1. Si un subgrupo contiene u ´nicamente traslaciones, debe ser precisamente G1 , puesto que el patr´on debe utilizarse una vez en cada tramo de longitud a y siempre del mismo lado.

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77 2. Si un grupo contiene una isometr´ıa del tipo (ii), con r = 1/2, el patr´on se utiliza en ambos lados en cada tramo y la traslaci´on necesariamente es Ta¯ , as´ı que el subgrupo que generan es G2 . 3. Si el subgrupo contiene una isometr´ıa del tipo (iii), el patr´on se ha utilizado en ambos lados y la traslaci´on debe ser Ta¯ ; el grupo generado es G3 ; 4. Si el subgrupo contiene una isometr´ıa del tipo (iv), podemos agregar otra del tipo (i), con n = 2; el subgrupo que generan es precisamente G4 . 5. Si el subgrupo contiene la isometr´ıa (v), autom´aticamente contiene la traslaci´on por T2¯a y ninguna correspondiente a un vector de longitud menor, as´ı que el grupo que genera es G5 . 6. Si en el subgrupo figuran una isometr´ıa del tipo (ii) y la del tipo (iii), autom´aticamente aparece una del tipo (iv), y como todas ellas son involuciones (su cuadrado es la identidad), es necesario a˜ nadir una traslaci´on que necesariamente corresponde a 2¯a, as´ı que el grupo es G6 . 7. Si ahora permitimos una isometr´ıa del tipo (ii) y otra del tipo (iv), el grupo que generan es G7 . 8. Una isometr´ıa del tipo (ii) y otra del tipo (v) que no den lugar a una superposici´on del patr´on, son σ1/2 y γ, pero entonces necesariamente la recta V es un eje de simetr´ıa (demu´estrelo), y el grupo es isomorfo a G7 . 9. Las isometr´ıas (iii) y (iv), cuando se componen, dan lugar a una del tipo (ii), todas son involuciones, y entonces en el grupo debe introducirse la traslaci´on por T2¯a , por lo que el grupo es G6 . 10. Si al patr´on le podemos aplicar las isometr´ıas (iii) y (v), obtenemos el friso F3 , lo cual se debe a que G3 contiene un subgrupo isomorfo a G5 . 11. Las isometr´ıas (iv) y (v) originan, al componerse, centros de simetr´ıa (encu´entrelos), es decir, aparece una isometr´ıa del tipo (ii) y el subgrupo nuevamente es isomorfo a G7 . El lector queda encargado de comprobar que no hace falta considerar grupos con m´as de 3 generadores; por ejemplo, la inspecci´on de los frisos ilustrados

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78 permite descubrir que varios de ellos quedan invariantes bajo pasos de largo distinto al de γ. Si adem´as resuelve el Ejercicio 6, podemos dar por concluida la demostraci´on de la proposici´on. Vayamos ahora a los mosaicos. En este punto nuestra exposici´on no ser´a exahustiva, pues la demostraci´on de que hay s´olo 17 tipos distintos de mosaicos para el plano es bastante extensa y queda fuera de las metas del libro. Nosotros u ´nicamente generaremos un ejemplo de cada uno de los tipos posibles, y de la forma en que los construiremos ser´a claro que son distintos. Para el lector interesado, mencionamos varios t´ıtulos sobre el tema, con diversos grados de profundidad; entre ellos, [Mar], [G-S], [Sp] y [C-G]. El primero incluye la demostraci´on, y el u ´ltimo es un video muy atractivo. Esta vez, el problema matem´atico es determinar los distintos subgrupos de E(2) (subgrupos no isomorfos, o subgrupos isomorfos cuyos elementos generadores son elementos distintos de E(2)) que dejan invariante un mosaico. Desde luego, si el mosaico no tiene regularidad alguna, la u ´ nica isometr´ıa que lo deja invariante es la identidad. Los mosaicos invariantes bajo un subgrupo no trivial de E(2) se construyen a partir de una regi´on que se repite, es decir, una regi´on que al trasladarse por los elementos de un grupo de traslaciones con dos generadores Ta¯ y T¯b , cubra todo un plano. Naturalmente, lo primero que se ocurre es tomar cualquiera de los siete ¯⊥ es frisos y trasladarlo por los elementos del grupo generado por Ta¯⊥ , donde a perpendicular a a ¯ y tiene la misma longitud. ´ es el ejercicio que realizamos en la Figura 1.35, donde es inmediato Ese observar que no resultan siete grupos distintos para esos mosaicos, sino s´olo cinco, pues el mosaico M4 se obtiene del mosaico M3 mediante una rotaci´on por π/2; en consecuencia, el grupo que deja invariante a uno es conjugado del que deja invariante al otro; en el grupo hay reflexiones y pasos. En ´algebra se dice que un subgrupo H  de un grupo G es conjugado de otro subgrupo H, si existe un elemento g ∈ G tal que cualquier h ∈ H  puede obtenerse as´ı: h = ghg −1, para alg´ un h ∈ H. Entonces, las isometr´ıas g  que dejan invariante a M4 pueden obtenerse on por la rotaci´on por π/2: de los elementos g ∈ M3 mediante la conjugaci´ −1  g = Roπ/2 ◦ g ◦ Roπ/2 . El mosaico M1 tambi´en queda invariante bajo el mismo grupo que M3 , s´olo que esta vez la biyecci´on que lleva un mosaico en el otro se establece as´ı:

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M1 pm M3 pm

M2 p2

M4 pm

M6 p4m

M5 pg

M7 pmg Figura 1.35: Cinco de los 17 tipos de mosaicos.

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80 Primero, se efect´ ua una rotaci´on por π/4 (con centro en el centro de cualquiera de los cuadrados), luego se reduce la distancia entre los ejes de los pasos (en ¯ donde d¯ es el vector diagonal contenido en un lugar de ser 2||¯a|| ser´a ||(1/2)d||, eje de simetr´ıa) y, finalmente, la traslaci´on en los pasos es Td¯. La composici´on de estas tres transformaciones no es una isometr´ıa, pero es s´olo un cambio de escala, y entonces ser´a claro que a cada isometr´ıa que deje invariante M3 , le corresponde una isometr´ıa del mismo tipo que deja invariante M1 . La notaci´on debajo de Mi es la utilizada en cristalograf´ıa, donde estos grupos aparecen de manera natural. Esta vez no podremos utilizar un mismo patr´on para generar mosaicos correspondientes a todos los tipos posibles, as´ı que nos conviene hacer algunas observaciones sencillas y demostrar un u ´nico teorema, el de la restricci´on cristalogr´afica, que clasifica naturalmente los 17 tipos de mosaicos. Primero, una definici´on: Llamamos n-centro de un mosaico a un punto O del plano que es centro de una rotaci´on por un ´angulo 2π/n, con n ∈ , que deja invariante al mosaico. Y ahora, las observaciones. I. Los grupos de rotaciones que permiten la invariancia de una regi´on son los grupos c´ıclicos generados por un a´ngulo de la forma 2π/n con n ∈ ; de lo contrario, las im´agenes de la regi´on se traslapar´ıan. II. Si O es un n-centro de un mosaico y O  = T (O), donde T ∈ G, con G el grupo de isometr´ıas que dejan invariante al mosaico, entonces tambi´en O  es un n-centro del mosaico. An´alogamente, si L es el eje de una reflexi´on que deja invariante al mosaico, L = T (L) es tambi´en un eje de simetr´ıa del mosaico. III. Si O1 y O2 son n-centros de un mosaico, la distancia entre los dos no puede ser menor que la mitad de la norma m´ınima de las traslaciones que dejan invariantes al mosaico. Eso se debe a que la composici´on de la rotaci´on R2−1 , con centro en O2 por el a´ngulo −2π/n, con R1 , con centro en O1 por el ´angulo 2π/n, es una traslaci´on T (demu´estrelo) que debe pertenecer al grupo de invariancia del mosaico, G, y por tanto es de la forma T = T¯bj ◦ Ta¯i ; en consecuencia, R1 = R2 ◦ T.

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81 Al aplicar ambos miembros a O2 , obtenemos un tri´angulo is´osceles de v´ertices O1 , O2 y T (O2 ). Entonces, por la desigualdad del tri´angulo, ||T || ≤ 2d(O1, O2 ), como afirmamos. Ahora podemos enunciar y demostrar el Teorema de la Restricci´ on Cristalogr´ afica. Teorema. Si O es un n-centro de un mosaico, entonces n s´olo puede tomar los valores 2, 3, 4 o´ 6. Demostraci´on. Sea Q = O otro n-centro del mosaico cuya distancia a O sea m´ınima. Si R se obtiene rotando O en torno a Q por +2π/n, y S se obtiene rotando Q en torno a R por ese mismo ´angulo (haga un dibujo), R y S son tambi´en n-centros del mosaico y tenemos las igualdades d(O, Q) = d(R, Q) = d(R, S) y  OQR =  QRS. Si S = O, los puntos O, Q, R forman un tri´angulo equil´atero y n = 6, pero si S = O, tenemos tambi´en la desigualdad d(O, Q) ≤ d(O, S), debida a la elecci´on de Q. Si se da la igualdad, tenemos un rombo con ´angulos contiguos iguales, es decir, un cuadrado, lo cual da n = 4; y si d(O, Q) < d(O, S), el ´angulo debe ser mayor que 2π/4 y las u ´nicas posibilidades para n son 3 o´ 2, como hab´ıamos afirmado.2 Entonces, una clasificaci´on natural de los mosaicos se refiere al tipo de ncentros que admite: un 6-centro tambi´en es un 3-centro y un 2-centro, pero en cambio hay 3-centros y 2 centros que no son 6-centros. Algo similar ocurre para los 4-centros y los 2-centros, y puede demostrarse que no son compatibles los 4-centros con los 6-centros o los 3 centros (vea [Mar]). Empezaremos con los mosaicos que admiten 6-centros. Desde luego, para que haya 6-centros podemos tomar como pieza b´asica del mosaico un hex´agono regular. Si el hex´agono no tiene marcas, el centro de cualquiera de los mosaicos es un 6-centro, y cualquier v´ertice de uno de los hex´agonos es un 3-centro. Adem´as, las rectas que contienen a las diagonales del hex´agono son ejes de simetr´ıa, lo mismo que las rectas que contienen a los lados del hex´agono (Figura 1.36(b)). En cristalograf´ıa, el tipo de ese mosaico

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82 se denota p6m 2 .

(a)

(b)

Figura 1.36: Dos mosaicos con 6-centros.

Tomemos ahora un hex´agono b´asico con marcas como las ilustradas; entonces, la reflexi´on en una diagonal no deja invariante a la pieza b´asica, pero el centro de cualquier hex´agono s´ı es un 6-centro del mosaico. Por tanto, el mosaico (b) de la Figura 1.36 queda invariante bajo un grupo distinto del correspondiente al mosaico (a), pues el primero no contiene reflexiones y el segundo s´ı. El tipo del mosaico (a) se denota p6. Si las marcas del hex´agono b´asico son s´olo tres, como las ilustradas en la Figura 1.37(a), nuevamente las diagonales del hex´agono no son ejes de simetr´ıa, y esta vez el centro de cualquier hex´agono es un 3-centro del mosaico, como tambi´en lo son los v´ertices. No hay 6-centros. Las siglas para su tipo son p3. En cambio, si las tres marcas son apotemas del hex´agono, como en la Figura 1.37(b), y reflejamos el hex´agono central sobre sus lados para generar los hex´agonos contiguos, y despu´es trasladamos en las direcciones de las apotemas por m´ ultiplos de 4 veces el apotema, ocurre que el centro de cualquier hex´agono es un 3-centro, pero no lo son los v´ertices. No hay 6-centros, pero esta vez, s´ı hay ejes de simetr´ıa: las rectas que contienen a las apotemas. Los lados de los hex´agonos no son ejes de simetr´ıa, y las siglas correspondientes a este tipo de 2 Las siglas que acompa˜ nan a cada mosaico corresponden a: p, primitive cell; m; mirror reflection; c, centred face; g, glide reflection; n, orden de los centros de simetr´ıa.

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83 mosaico son p3m1. Finalmente, otro mosaico con s´olo 3-centros resulta al tomar como pieza b´asica un tri´angulo equil´atero con tres marcas, como en la Figura 1.37(c), y lo reflejamos sobre sus lados para obtener los tri´angulos contiguos. El centro de cualquier tri´angulo es un 3-centro, pero no est´an contenidos en ejes de simetr´ıa; en cambio, los v´ertices son 3-centros contenidos en ejes de simetr´ıa. Su tipo se denota con p31m.

(a)

(b)

(c)

Figura 1.37: Tres mosaicos con s´olo 3-centros.

Vayamos ahora a los mosaicos con 4-centros. La pieza b´asica ser´a un cuadrado, con o sin marcas. Para eliminar reflexiones, marcamos el cuadrado como en la Figura 1.38(a), y para generar los mosaicos contiguos s´olo trasladamos. El centro de cualquier mosaico ser´a un 4-centro del mosaico, lo mismo que los v´ertices, pero no hay ejes de simetr´ıa. El tipo de este mosaico se denota por p4. Si no marcamos el cuadrado y lo trasladamos por a ¯ya ¯⊥ , los centros y los v´ertices de los cuadrados son 4-centros, y tanto los lados como las diagonales de los cuadrados son ejes de simetr´ıa del mosaico (Figura 1.38(b)). Todos los 4-centros pertenecen a ejes de simetr´ıa, y las siglas de este mosaico son p4m. Finalmente, volvemos a marcar el cuadrado como en el primer caso, s´olo que ahora lo reflejamos sobre sus lados para generar los cuadrados contiguos. La Figura 1.38(c) muestra el mosaico resultante. Los centros de los cuadrados son 4-centros del mosaico, pero esta vez los v´ertices no son 4-centros; en cambio, s´ı hay ejes de simetr´ıa: los lados de los cuadrados. La diferencia con el mosaico

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84 (a) es que los 4-centros no pertenecen a ejes de simetr´ıa. Las siglas para este mosaico son p4g.

(a)

(b)

(c)

Figura 1.38: Tres mosaicos con 4-centros.

Los mosaicos que s´olo aceptan 2-centros son cinco. El primero se logra marcando un cuadrado como lo ilustra la Figura 1.39(a), para romper la simetr´ıa respecto a las diagonales; los cuadrados contiguos se obtienen trasladando vertical y horizontalmente por los m´ ultiplos enteros de a. El centro y los v´ertices de cada cuadrado son 2-centros, y no hay ejes de simetr´ıa. Las siglas cristalogr´aficas son p2. El segundo mosaico resulta si reflejamos el cuadrado marcado en sus lados; la figura resultante es 1.39(b). Los centros de los cuadrados son 2-centros que no pertenecen a ejes de simetr´ıa, mientras que los v´ertices son 2-centros que s´ı pertenecen a ejes de simetr´ıa. Las siglas para este mosaico son cmm. El tercer mosaico de este tipo resulta de reflejar el cuadrado marcado en los lados verticales, creando as´ı un friso que luego trasladamos por los elementos del grupo generado por a¯⊥ . El mosaico resultante se ilustra en la Figura 1.39(d); los centros de los cuadrados son 2-centros que no pertenecen a ejes de simetr´ıa, y ´estos son todos paralelos. Las siglas cristalogr´aficas son pmg. Un cuarto mosaico utiliza el cuadrado marcado para crear pasos cuya traslaci´on es T(1/2)¯a ; la longitud de la traslaci´on impide la existencia de ejes de simetr´ıa, y los centros de los cuadrados son 2-centros. El mosaico resultante corresponde a la Figura 1.39(e), cuyas siglas cristalogr´aficas son pgg. Finalmente, si usamos como pieza b´asica un rect´angulo sin marcas, y trasladamos horizontal y verticalmente por los m´ ultiplos enteros de a, el centro,

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85 los v´ertices y los puntos medios de los lados del rect´angulo son 2-centros, y todos pertenecen a ejes de simetr´ıa: los lados y las rectas paralelas a los lados por el centro de cada rect´angulo. Las siglas son pmm, Figura 1.39(c).

(a)

(b)

(d)

(c)

(e)

Figura 1.39: Los cinco mosaicos con s´olo 2-centros.

S´olo faltan cuatro mosaicos para completar los 17 prometidos; estos mosaicos comparten la caracter´ıstica de carecer de centros de simetr´ıa. Ya conocemos dos de ellos, son M1 y M5 de la Figura 1.35, ilustrados nuevamente en la Figura 40, como (d) y (b), respectivamente. El primero admite ejes de simetr´ıa, las diagonales perpendiculares a las que dividen los dos colores, y pasos; sus siglas cristalogr´aficas son pm. El segundo s´olo admite pasos, y sus siglas cristalogr´aficas son pg. Otro mosaico resulta del friso F3 , cuando la traslaci´on adicional no es vertical, sino por m´ ultiplos enteros de ¯l = 2¯a⊥ + (1/2)¯a. Eso da lugar a ejes de pasos que no son ejes de simetr´ıa, como ocurre para el mosaico de la Figura 1.40(c), cuyas siglas cristalogr´aficas son cm. Para generar el u ´ltimo mosaico, tomamos como pieza b´asica un rect´angulo bicolor, como el de la Figura 1.40(a). Si trasladamos horizontal y verticalmente

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86 al rect´angulo por m´ ultiplos enteros de su base y de su altura, no hay ejes de simetr´ıa, y las siglas cristalogr´aficas son p1. Reiteramos al lector que la demostraci´ on de que no hay m´as tipos de mosaicos que permanezcan invariantes bajo un grupo de isometr´ıas del plano, puede encontrase en [Mar] y en [Sp].

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 1.40: Cuatro mosaicos sin centros de simetr´ıa.

Y tambi´en vale la pena mencionar que en la Alhambra, un palacio morisco de Granada, Espa˜ na, hay mosaicos de los 17 tipos exhibidos en este inciso; la demostraci´on puede encontrarse en [Mo] (vea tambi´en el video [C-G]).

EJERCICIOS 1. Busque ilustraciones de frisos de culturas antiguas (griega, celta, maya,etc.) e identifique el grupo que los preserva. 2. D´e un ejemplo de cada uno de los tipos de frisos, construidos usando un mismo patr´on b´ asico (distinto del usado en el texto). 3. Determine regiones fundamentales para cada uno de los frisos de la Figura 31, y tambi´en para los del Ejercicio 1.

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87 4. Determine los centros y ejes de simetr´ıa de cada uno de los frisos de la Figura 31. 5. Demuestre que el grupo que deja invariante a los frisos siguientes, es G7 .

...

...

...

...

...

...

L ...

...

L

6. Identifique el grupo que deja invariantes los mosaicos siguientes, provenientes de la Alhambra:

7. Dise˜ ne un mosaico para cada uno de los 17 grupos de isometr´ıas del plano dados en la Tabla 1. 8. Para al menos tres de los grabados de Escher que tapizan el plano euclidiano, identifique el grupo utilizado para construirlo (Sugerencia: consulte [Co1]). 9. Averig¨ ue qu´e es una teselaci´on no peri´odica. (Sugerencia: consulte [G-S].)

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Geometr´ıa af´ın

La presentaci´on que haremos de la Geometr´ıa af´ın es bastante distinta de las que suelen aparecer en la literatura, pero la hemos elegido porque es un puente natural, tanto desde el punto de vista hist´orico como desde el punto de vista formal, entre la Geometr´ıa euclidiana y la Geometr´ıa proyectiva. Esto u ´ltimo se justifica porque el grupo de las transformaciones afines es m´as amplio que el grupo euclidiano, y est´a contenido a su vez en el grupo de las transformaciones proyectivas. Mostraremos la relaci´on entre la Geometr´ıa af´ın y la Perspectiva, entendida esta u ´ltima como la teor´ıa desarrollada por los artistas del Renacimiento que, abandonando su tarea pl´astica, decidieron crear un m´etodo, plasmado en textos de diversos autores (v´eanse [Ki] o [R-S]), para llevar a un lienzo las escenas tridimensionales de nuestro entorno. Nosotros vemos que los lados de un camino, paralelos en la realidad, se juntan a lo lejos, y eso ocurre para caminos con cualquier direcci´on. Los pintores deb´ıan dibujar en el plano del papel cada uno de los puntos en que se juntan los lados de caminos con direcciones distintas; los llamaron puntos de fuga, y al decidir ubicarlos todos en una misma recta del dibujo, la l´ınea del horizonte, abrieron el camino para que los matem´aticos analizaran el comportamiento “al infinito” de multitud de objetos y conceptos geom´etricos. Por ejemplo, cuando en alguna configuraci´on euclidiana existe la posibilidad de que haya rectas paralelas, algunas propiedades deben enunciarse en varias versiones, como ocurre con la siguiente afirmaci´on (v´ease la Figura 2.1): Afirmaci´ on. Un cuadril´atero tiene 6 v´ertices, excepto en el caso de que haya lados paralelos: si s´olo un par de lados son paralelos, el cuadril´atero tiene 5 v´ertices, y si hay dos pares de lados paralelos, el cuadril´atero s´olo tiene 4 v´ertices. Recordemos que un cuadril´ atero es la figura determinada por cuatro rectas no concurrentes por tercias, y donde no hay una terna de paralelas, y un v´ ertice del cuadril´ atero es la intersecci´on de dos lados (vea la Figura 2.1). 89

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90 En la Geometr´ıa Af´ın, para la cual las paralelas se cortan en un “punto al infinito”, cualquier cuadril´atero tiene seis v´ertices, pero algunos de ellos son especiales. 5

6 5 4

3

2

2

4

3

3

4

2

1 1

1

Figura 2.1: En un cuadril´ atero, el n´ umero de v´ertices depende del n´ umero de pares de lados paralelos.

De hecho, el concepto de paralelismo dio lugar a muchas discusiones desde su formulaci´on; cuando uno compara el enunciado del Postulado V, el de las paralelas, con los cuatro primeros (v´ease el ap´endice 5.4), que son muy breves, comprende que hubiera quien tratara de demostrarlo a partir de los anteriores, pues Euclides cuid´o de enunciarlo en la forma u ´til para su uso en las demostraciones, y eso lo hizo bastante m´as complicado que los anteriores. Para llegar a una geometr´ıa, la Geometr´ıa proyectiva, donde cualesquiera dos rectas se corten, fue necesario entender el comportamiento “al infinito” de las paralelas, y para ello debi´o transcurrir mucho tiempo, pues si bien los or´ıgenes de la Geometr´ıa proyectiva se remontan al siglo XVI, con Desargues y Pascal, hubo que esperar hasta el siglo XIX para su correcta formalizaci´on. En la Geometr´ıa proyectiva no habr´a casos especiales, y por eso podremos enunciar y demostrar resultados de una manera uniforme; la Geometr´ıa af´ın es el pelda˜ no intermedio entre la Geometr´ıa euclidiana y la Geometr´ıa proyectiva. Las reglas establecidas por los pintores lograron dar un tratamiento consistente al comportamiento “en el infinito” de las rectas paralelas, y tiempo despu´es Leonhard Euler llam´o Geometr´ıa af´ın a una geometr´ıa m´as general que la euclidiana que, en particular, permite dar un car´acter matem´atico a los puntos de fuga y a la l´ınea del horizonte, as´ı como relacionar matem´aticamen-

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91 te dos pinturas o dos fotograf´ıas de un mismo paisaje hechas desde posiciones distintas. El lector estar´a de acuerdo en que somos capaces de reconocer el lugar representado en ambas pinturas o fotograf´ıas; en consecuencia, debe haber relaciones presentes en ambas ilustraciones que nuestro cerebro reconoce. Esas relaciones son los invariantes de la Geometr´ıa af´ın. Entonces, formalmente, este cap´ıtulo est´a dedicado al estudio de las transformaciones afines y sus invariantes, entre otros el tipo de c´onica, pero nuestro discurso tendr´a como referente la Perspectiva. La parte algebraica se basa en [B-ML], y en [Va] se describe el descubrimiento de la Perspectiva.

2.1.

La recta al infinito

El problema al que se enfrenta un dibujante (que no un fot´ografo), es representar en una hoja o lienzo bidimensional, objetos del espacio tridimensional. La parte esencial de la soluci´on que ofrece la Teor´ıa de la Perspectiva es privilegiar el plano cartesiano del piso y dar las reglas para dibujar en el plano del dibujo las rectas del plano del piso que son paralelas. En lo sucesivo, esos dos planos juegan papeles distintos y nos dedicaremos a explicar c´omo est´an relacionados. Llamamos punto de fuga a un punto del plano del dibujo en que concurren los trazos de todas las l´ıneas del piso paralelas a una misma direcci´on; los puntos de fuga de cada familia de paralelas del piso, conforman en el plano del dibujo una recta (un segmento m´as bien), llamada l´ınea del horizonte. La Figura 2.2 esquematiza el dibujo de un edificio ubicado en una esquina. Los bordes de la banqueta definen dos puntos de fuga, y ´estos determinan la l´ınea del horizonte. Note que los bordes del u ´ltimo piso del edificio tambi´en concurren en los puntos de fuga, pues son paralelos a los bordes de la banqueta aunque no pertenezcan al piso, es decir, los planos cartesianos paralelos al plano del piso se cortan en la l´ınea del horizonte. La gran diferencia entre el plano cartesiano del piso y el plano del dibujo, es que en el plano del dibujo marcamos puntos que no existen en el plano cartesiano del piso. Lo anterior da lugar a dos reglas b´asicas para dibujar con perspectiva:

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92 1. Todas las rectas que en el espacio tridimensional son paralelas a una misma direcci´on, se dibujan concurrentes en un mismo punto de fuga. 2. Los puntos de fuga de las rectas en el plano del piso, se dibujan como pertenecientes a una misma recta, la l´ınea del horizonte.

café

París

Figura 2.2: Croquis de un edificio.

Estas dos reglas bastan para dibujar correctamente en el plano de una hoja o en un lienzo, un piso de mosaicos cuadrados en que estemos parados: una vez que dibujemos uno de ellos (el cuadril´atero sombreado en la Figura 2.3, cuya forma depende de la posici´on de quien dibuja), el punto de fuga de los lados “horizontales”, F1 , y el punto de fuga de los lados “verticales”, F2 , determinan la l´ınea del horizonte, que puede no ser horizontal en el papel. Al cortar con ella la recta a la que pertenece la diagonal ilustrada del cuadril´atero sombreado, determinamos un tercer punto de fuga, F3 , en el que deben concurrir los trazos de todas las diagonales de los cuadril´ateros que representen a los dem´as mosaicos pues, en el plano del piso, son paralelas a la diagonal ilustrada. Para comprobar que el dibujo de los dem´as mosaicos ya est´a determinado, basta trazar las rectas que pasan por F3 y cada una de las esquinas marcadas con H1 y V1 . Esas rectas incluyen a las diagonales de los mosaicos derecho y superior, respectivamente, del mosaico sombreado. La intersecci´on de F3 H1 con V1 F1 , y la de F3 V1 con F2 H1 determinan los puntos M2 y N2 , respectivamente. El punto M2 es la esquina superior derecha del mosaico derecho del sombreado, y el punto N2 es la esquina superior derecha del mosaico superior del sombreado. Si ahora trazamos la recta F2 M2 , su intersecci´on con la recta F1 H1 da

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93 el punto H2 que es la esquina de la base del segundo mosaico horizontal, y al trazar la recta F1 N2 , cortaremos a la recta F2 V1 en el punto V2 que es la esquina del lado izquierdo del segundo mosaico vertical. Hemos completado as´ı tres mosaicos adjuntos al sombreado, pues tambi´en queda determinado el mosaico siguiente sobre la diagonal. Es claro que el proceso puede (y debe) continuar para que el dibujo de todos los mosaicos corresponda realmente a lo que nuestro ojo ve. Entonces, pese a que los puntos correspondientes a las orillas de los mosaicos no est´an a distancias iguales en el papel, s´ı est´an completamente determinados por la forma en que dibujamos el primer mosaico (puede ser cualquier cuadril´atero, eso depende de la ubicaci´on de quien dibuja), es decir, no son arbitrarios. Por ejemplo, el centro de un mosaico es el punto de intersecci´on de las diagonales; entonces, el punto del dibujo que corresponde al centro de un mosaico es el punto en que se cortan las diagonales del cuadril´atero que representa a ese mosaico. F2

F3

F1

N2 V2

M2

V1 H2 H1 Figura 2.3: El dibujo correcto de un piso de mosaicos.

Para formalizar estas ideas, los cient´ıficos necesitaron resolver una cuesti´on que nunca surge al dibujar: ¿Debe a˜ nadirse uno o dos puntos “al infinito” a una recta, puesto que al girar 180◦ , los bordes de un camino parecen juntarse tambi´en en el otro sentido ?

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94 Gerard Desargues (1591-1661) y Johannes Kepler (1571-1630) resolvieron que para cada recta deb´ıa existir s´olo un punto al infinito, lo cual significa que el aspecto topol´ogico de una recta af´ın es el de una curva cerrada, como la circunferencia, aunque el punto que cierra a la curva es de una calidad distinta de los dem´as, pues es el“punto al infinito”. La proyecci´on de una circunferencia en una recta ilustrada en la Figura 2.4, justifica intuitivamente esta decisi´on. En la Geometr´ıa Proyectiva esta diferencia entre los tipos de puntos desaparecer´a, como veremos en el cap´ıtulo siguiente, y por eso el plano proyectivo es homog´eneo. Llamaremos punto al infinito a un punto de fuga, es decir, ser´a un “punto” en que concurren cualesquiera dos rectas de una misma familia de paralelas (hay uno por cada direcci´on euclidiana), y con todos los puntos al infinito de un plano conformaremos la recta al infinito, que viene a sustituir a la l´ınea del horizonte. Note que la recta al infinito tambi´en tiene el aspecto topol´ogico de una circunferencia, puesto que las pendientes de las rectas cartesianas pasan de +∞ a −∞ seg´ un que el a´ngulo entre la recta y la parte positiva del eje X tienda a 90◦ por la derecha o por la izquierda, respectivamente. Eso significa que la l´ınea del horizonte deber´ıa dibujarse ligeramente curva, pero para todo prop´osito pr´actico, dibujarla como (parte de) una recta, es correcto.

P∞

O

P∞ F

A E B

A

B

D C

C

D

E

F

Figura 2.4: A cada recta se le a˜ nade s´ olo un punto al infinito.

El plano af´ın, A2 , se obtiene al a˜ nadir a los puntos del plano euclidiano, los puntos al infinito, que como conjunto quedar´an invariantes bajo las transformaciones que llamaremos afinidades (vea la Figura 2.5). Entonces, a diferencia del plano euclidiano, en el plano af´ın cualesquiera

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95 dos rectas se cortan: dos rectas ordinarias se cortar´an en un punto ordinario si tienen pendientes distintas, y en un punto al infinito si la pendiente es com´ un. Adem´as, una recta ordinaria y la recta al infinito se cortan en el punto al infinito determinado por la pendiente de la recta. Como estamos interesados en el uso de coordenadas, debemos poder asignarlas a los puntos al infinito, sin perder la ventaja de tener coordenadas para los puntos ordinarios. Sabemos que los pares ordenados de n´ umeros reales agotan a los puntos ordinarios; en consecuencia, necesitamos otro n´ umero, que puede ser una tercera coordenada, para distinguir los puntos ordinarios de los puntos al infinito. Convenimos en que la tercera coordenada sea 1 en el caso de los puntos ordinarios y 0 en el caso de los puntos al infinito; el cap´ıtulo siguiente mostrar´a la raz´on de elegir de esta manera la tercera coordenada para cada tipo de punto. Los puntos ordinarios tendr´an como primeras coordenadas las usuales, y entonces (x, y, 1) ser´an las coordenadas de un punto ordinario. Los puntos al infinito, que son comunes a todas las rectas paralelas a una cierta direcci´on, tendr´an como primeras coordenadas un par de n´ umeros λ y μ cuyo cociente μλ determina la pendiente de su direcci´on. Entonces, λ y μ no pueden ser simult´aneamente cero, y el cociente puede ser infinito. Eso significa que estamos hablando de una clase de pares, todos los que dan el mismo cociente. La notaci´on (λ : μ : 0) para las coordenadas de un punto al infinito nos recordar´a que debemos considerar iguales dos ternas que definen la misma pendiente, como (2 : 3 : 0) y (−4 : −6 : 0). Esta forma de tomar las coordenadas de un punto al infinito concuerda con varios hechos: cada punto al infinito define una clase de rectas, las que son paralelas a la misma direcci´on, y adem´as hay tantos puntos al infinito como pendientes de rectas en el plano. Podemos crear un modelo del plano af´ın usando tres ejes coordenados, como lo muestra la Figura 2.5: la recta al infinito, caracterizada porque la tercera coordenada es nula: z = 0, y los dos ejes ordinarios (que no necesitan ser perpendiculares, s´olo transversales), caracterizados por y = 0 y x = 0. En estos u ´ltimos, la tercera coordenada de los puntos deber´a ser 1. Para poder localizar puntos en el plano af´ın, necesitamos fijar el punto correspondiente a (1, 1, 1) porque entonces el punto correspondiente a 1 en los ejes y = 0 y x = 0 resulta de cortarlos, respectivamente, con las l´ıneas determinadas por (0 : 1 : 0) y (1, 1, 1), y por (1 : 0 : 0) y por (1, 1, 1). Fijar el

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96 punto (1, 1, 1) equivale a dibujar el primer mosaico en la Figura 2.3. Una vez hecho eso, los puntos en cada eje correspondientes a 2, 3, etc. quedan determinados por la construcci´on ilustrada en la Figura 2.3, y lo mismo puede decirse de los puntos asignados a n´ umeros racionales p/q en cada eje. Esto u ´ltimo es consecuencia de que si atendemos al denominador q, para obtener el punto de coordenadas (1/q, 0, 1) basta trazar la recta por (0, 0, 1) y (1, q, 1) para obtener un punto en el lado superior del primer mosaico correspondiente a (1/q, 1, 1); la recta por (1/q, 1, 1) y (0 : 1 : 0) corta al lado inferior del primer mosaico en el punto (1/q, 0, 1). En la Figura 2.5 aparecen los puntos con coordenadas (1/2, 3, 1) y (1/3, 0, 1). (0:1:0) (1:1:0)

( 21 ,3,1)

z=0

(0,3,1) (1:0:0)

(0,2,1)

(1,1,1)

(0,1,1)

y=0 x=0

(2,0,1) (1,0,1)

(0,0,1)

( 13 ,0,1)

( 12 ,0,1)

Figura 2.5: Sistema coordenado para al plano af´ın.

Los puntos correspondientes a n´ umeros negativos resultan al aplicar la construcci´on para dibujar mosaicos ubicados a la izquierda o debajo del mosaico con v´ertices (0, 0, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 1) y (1, 1, 1) (vea la Figura 2.6). Para obtener el resto de los puntos correspondientes a n´ umeros reales en los ejes y = 0 y x = 0, basta considerar que un real es el l´ımite de una sucesi´on de racionales, como en el caso de la recta real. En cuanto a la recta al infinito, sus puntos tambi´en tienen determinadas coordenadas una vez que hemos fijado el punto ordinario (1, 1, 1).

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97 Por ejemplo, el punto al infinito de las diagonales es (1 : 1 : 0), pues la pendiente de las diagonales es 1; para las rectas de pendiente 12 el punto al infinito es (2 : 1 : 0), etc. Para dibujar una recta en el plano af´ın, cuya ecuaci´on es la misma que en el caso euclidiano, Ax + By + C = 0,

ahora basta ubicar en la recta al infinito el punto (al infinito) que le corresponde: (B : −A : 0), y tomar alguno de los puntos ordinarios, por ejemplo una de las intersecciones con los ejes, y = 0 o x = 0. En la Figura 2.6 ilustramos las rectas cuyas ecuaciones son 3x − y + 2 = 0 y −x + 2y + 4 = 0. (0:1:0)

(1:3:0)

(1:1:0)

(2:1:0)

(1:0:0)

3x−y+2=0

(0,3,1) (0,2,1) (0,1,1) (0,0,1) −x+2y+4=0 (0,−1,1)

(0,−2,1)

Figura 2.6: Rectas en el plano af´ın.

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EJERCICIOS 1. Encuentre las coordenadas del punto al infinito de la recta −3x + 4y − 5 = 0. 2. D´e la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto ordinario (4, 1, 1) y por el punto al infinito (3 : 2 : 0), y tambi´en d´e la ecuaci´on de la recta por (0, 0, 1) por el mismo punto al infinito. 3. D´e un algoritmo geom´etrico para determinar, en el plano del dibujo, los puntos correspondientes a mosaicos que tengan como lado la cuarta parte del lado de los mosaicos del dibujo anterior, y justif´ıquelo. 4. Copie la Figura 2.3 y dibuje los dem´ as mosaicos que tienen alg´ un lado com´ un con el sombreado. 5. Dibuje las rectas correspondientes a las ecuaciones de los ejercicios 1 y 2, en un sistema coordenado af´ın dado de antemano en la hoja del dibujo. 6. Haga una construcci´on para localizar el punto correspondiente al tercer mosaico horizontal en la misma hilera del mosaico dibujado en la figura siguiente.

7. En el plano af´ın, dibuje la representaci´on de un segmento, y d´e un algoritmo geom´etrico (y justif´ıquelo) para obtener el punto del segmento dibujado que representa al punto medio del segmento original.

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2.2.

Transformaciones afines y sus invariantes

Ahora bien, si dos personas con ubicaciones diferentes sobre un mismo piso de mosaicos lo dibujan en hojas trasl´ ucidas, al superponer las hojas podemos observar que la ilustraci´on de un mismo mosaico marcado ocupa posiciones diferentes en cada hoja (la parte derecha de la Figura 2.7 ilustra las hojas superpuestas), pero se puede pasar de un dibujo a otro aplicando a los lados OH1 y OV1 una transformaci´on que es composici´on de una traslaci´on Ta¯ con una transformaci´on lineal no singular L, como explicamos a continuaci´on. La transformaci´on lineal L es la que lleva los vectores OH1 y OV1 del dibujo ˜H ˜1 y O ˜ V˜1 del dibujo D2 ; como desde ninguna ubicaci´on D1 , en los vectores O sobre el piso vemos superponerse dos aristas contiguas, los vectores OH1 y OV1 ˜H ˜1 y O ˜ V˜1 , por eso son linealmente independientes, lo mismo que los vectores O L resulta no singular. La traslaci´on ser´a la que aplique el punto O del dibujo ˜ del dibujo D2 . D1 en el punto O Luego completamos cada dibujo siguiendo las reglas 1 y 2.

F2

V1

F1

F2

V1 H1

O

˜1 H

H1

D2

D1 O

F˜1

F1

F˜2

Ta¯

V˜1

˜ O

Figura 2.7: Para llevar D1 en D2 , componemos una traslaci´on con una transformaci´on lineal no singular.

Lo anterior muestra que las transformaciones de ese tipo pueden sernos

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100 u ´tiles; empezamos por definirlas formalmente. Una transformaci´ on af´ın es la composici´on de una traslaci´on Ta¯ con una transformaci´on lineal no singular L: ¯. A(P ) = Ta¯ ◦ L(P ) = L(P ) + a Las transformaciones afines forman un grupo, el grupo af´ın que denotaremos por A(2), como demostramos a continuaci´on. i) La composici´on de dos transformaciones afines es una transformaci´on af´ın: A2 ◦ A1 (P ) = (Ta¯2 ◦ L2 ) ◦ (Ta¯1 ◦ L1 )(P ) ¯1 ) + a ¯2 = L2 (L1 (P ) + a = L2 ◦ L1 (P ) + (L2 (¯a1 ) + a¯2 ),

(2.1)

cuya parte lineal es la composici´on de las partes lineales (lo cual implica que es no singular), y cuyo vector de traslaci´on resulta de sumar a ¯2 al vector obtenido ¯1 . al aplicar la transformaci´on L2 al primer vector de traslaci´on, a ii) La asociatividad es v´alida para transformaciones cualesquiera. iii) La identidad puede escribirse como una transformaci´on af´ın, si componemos a la traslaci´on por ¯0 con la identidad. iv) La inversa A−1 de una transformaci´on af´ın A es una transformaci´on af´ın, A−1 , que se obtiene as´ı: ¯ ⇒ P = L−1 (P  − a ¯) P  = L(P ) + a   = L−1 (P ) + L−1 (−¯a) = TL−1 (−¯a) ◦ L−1 (P ). N´otese que la parte lineal de la transformaci´on inversa es la inversa L−1 de la parte lineal L, mientras que la traslaci´on en la transformaci´on A−1 corresponde al vector L−1 (−¯a). Las transformaciones afines pueden representarse por matrices de 3 × 3 como la siguiente: ⎛

⎞

a b r ⎜ ⎟ ⎝ c d s⎠, 0 0 1

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con ad − bc = 0,

(2.2)

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101 donde la parte lineal est´a dada por la submatriz de entradas a, b, c, d, y la traslaci´on est´a dada por el vector columna (r, s)t . Veamos si al aplicar el grupo A(2), construido formalmente, a los puntos del plano af´ın A2 , construido con base en las reglas de la perspectiva, obtenemos los resultados que esperamos. El tipo de punto es invariante bajo el grupo af´ın, pues cuando una matriz de la forma (2.2) multiplica al vector columna correspondiente a un punto ordinario (x, y, 1), el resultado es un punto ordinario, es decir, tiene tercera coordenada 1, y cuando transforma a un punto al infinito, el resultado es un punto al infinito, pues la tercera coordenada es nula: ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a b r x ax + by + r a b r x ax + by ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ c d s ⎠ ⎝ y ⎠ = ⎝ cx + dy + s ⎠ ; ⎝ c d s ⎠ ⎝ y ⎠ = ⎝ cx + dy ⎠ . 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 Eso significa que rectas paralelas van en rectas paralelas, aunque la direcci´on puede cambiar. Note que si esto no fuera cierto, la parte lineal de la transformaci´on af´ın no ser´ıa inyectiva (¿por qu´e?), pero ya hemos visto que tiene inversa. La incidencia, esto es, el hecho de que una recta pase por un punto, o el de que un punto incida (est´e ubicado) en una recta, o el de que dos rectas se corten, es un invariante af´ın, es decir, los transformados tambi´en deben incidir. Esta propiedad es formalmente trivial, pero no lo es al dibujar manualmente. Otro invariante af´ın es el grado de la ecuaci´on polinomial que define un lugar geom´etrico; una traslaci´on deja invariante el coeficiente del t´ermino de grado mayor, como deber´a comprobarlo el lector. En el caso de una transformaci´on lineal no singular, demostraremos este hecho en el cap´ıtulo siguiente para un grupo m´as grande, GL(3, ). Para obtener la ecuaci´on del lugar geom´etrico F  en que se transforma el lugar geom´etrico dado por una ecuaci´on polinomial F (x, y) = 0, procedemos como siempre: Si P  = A(P ), entonces P = A−1 (P  ), y al sustituir (x, y) en t´erminos de (x , y ) en la ecuaci´on del lugar geom´etrico original, resulta la ecuaci´on del lugar geom´etrico transformado. Como ejemplo, tomemos una recta y una c´onica espec´ıficas −x + 2y − 3 = 0;

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y 2 = 4x,

(2.3)

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102 y obtengamos las ecuaciones de la recta y la c´onica resultantes bajo la transformaci´on af´ın ⎛ ⎞ −1 1 2 ⎜ ⎟ A = ⎝ 2 −3 −2 ⎠ . 0 0 1 La matriz inversa de A es (el lector deber´a comprobarlo) ⎛

A−1

⎞

−3 −1 4 ⎜ ⎟ = ⎝ −2 −1 2 ⎠ , 0 0 1

y al aplicarla a (x , y , 1) para obtener (x, y, 1) tenemos ⎛

⎞⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

−3 −1 4 x −3x − y  + 4 x ⎜ ⎟⎜  ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟   ⎝ −2 −1 2 ⎠ ⎝ y ⎠ = ⎝ −2x − y + 2 ⎠ = ⎝ y ⎠ . 1 1 0 0 1 1 Es decir, las expresiones de x y y que debemos sustituir en (2.4) son: x = −3x − y  + 4;

y = −2x − y  + 2.

Las ecuaciones de la recta y la c´onica transformadas son, respectivamente: −x + 2y − 3 = = y 2 − 4x = =

−(−3x − y  + 4) + 2(−2x − y  + 2) − 3 −x − y  − 3 = 0 (−2x − y  + 2)2 − 4(−3x − y  + 4) 4x2 + y 2 + 4x y  + 4x − 12 = 0.

Note que nuestros c´alculos demostraron que, bajo una transformaci´on af´ın, una ecuaci´on de primer grado se transforma en otra del mismo grado, y lo an´alogo sucede con las ecuaciones de segundo grado. Uno puede preguntarse si, bajo una transformaci´on af´ın, una elipse puede transformarse en un par´abola o una hip´erbola. Pero eso no ocurre, pues el tipo de c´onica es un invariante af´ın, como veremos a continuaci´on. Como una traslaci´on no cambia el tipo de c´onica (pues es una transformaci´on r´ıgida), basta comprobar la afirmaci´on para una transformaci´on lineal no singular L, procediendo de forma an´aloga a la que demuestra la invariancia del discriminante de una c´onica bajo transformaciones ortogonales.

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103 Si la c´onica est´a dada por Ax2 + 2Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, su discriminante es B 2 − AC, el negativo del determinante de la matriz M de la parte cuadr´atica. Para la c´onica transformada bajo L, el discriminante es el negativo del determinante de la matriz de la parte cuadr´atica: (L−1 )t ML−1 (hemos denotado por L−1 a la matriz de la transformaci´on inversa de L). Como el determinante de un producto es el producto de los determinantes y el determinante de una matriz y el de su transpuesta coinciden, el signo del discriminante de la c´onica original y el del discriminante de la c´onica transformada coinciden y el tipo de c´onica se preserva. Esta propiedad concuerda con el hecho de que una elipse no tiene puntos al infinito, pues la elipse es una c´onica acotada; una par´abola tiene un punto al infinito (P en la Figura 2.8), en el sentido de que la recta tangente a la par´abola en uno de sus puntos tiende a volverse paralela al eje focal cuando el punto se aleja indefinidamente del v´ertice (ya sea por uno u otro lado del eje focal); entonces, el punto al infinito del eje de la par´abola es el l´ımite de los puntos al infinito de las tangentes a la par´abola cuando el punto de tangencia se aleja del v´ertice por uno u otro lado del eje focal. P

(0:1:0)

A1

A2

z=0 (1:0:0)

x=0 y=0

(0,0,1)

Figura 2.8: Los puntos al infinito de cada tipo de c´onica.

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104 En el mismo sentido, una hip´erbola tiene dos puntos al infinito, dados por las pendientes de sus as´ıntotas (A1 y A2 en la Figura 48), pues la tangente en uno de sus puntos tiende a una de las as´ıntotas cuando el punto se aleja indefinidamente del v´ertice de la rama a la que pertenece; cada rama de la hip´erbola queda de lados distintos de la recta al infinito, y el lector no debe extra˜ narse de la forma en que se pegan las dos ramas de la hip´erbola, pues hay de por medio una Banda de M¨obius (vea la secci´on 3.2). De hecho, el concepto de as´ıntota puede definirse as´ı: una recta es as´ıntota de una curva si el punto al infinito de la tangente a la curva tiende al punto al infinito de la recta cuando la distancia entre ambas tiende a cero. Es decir, el concepto de as´ıntota es un concepto de la Geometr´ıa Af´ın. A estas alturas, esperamos que el lector admita un hecho que puede parecer sorprendente: el dibujo de cada una de las c´onicas afines es una curva cerrada, pues el punto al infinito del eje focal “cierra” a la par´abola, y los puntos al infinito de la hip´erbola “pegan” una rama con otra. El lector queda encargado de demostrar que el grupo af´ın A(2) tiene como subgrupo al grupo de las transformaciones r´ıgidas, E(2), y en consecuencia al de las transformaciones ortogonales, O(2), al de las rotaciones, SO(2), y al de las translaciones. El grupo de transformaciones proyectivas, que estudiaremos en el cap´ıtulo siguiente, tendr´a al grupo af´ın como subgrupo, pues estar´an dadas por matrices de 3 × 3 con determinante distinto de cero. Hay m´as invariantes afines, en particular todos aqu´ellos que sean invariantes bajo el grupo de transformaciones proyectivas, pues las transformaciones afines constituyen un subgrupo del grupo proyectivo, como lo vemos en el cap´ıtulo siguiente. Pero hay un invariante af´ın que nos interesa destacar y que no es un invariante proyectivo: la raz´ on en que un punto P divide a un segmento AB. Sabemos que las traslaciones preservan esa raz´on por ser transformaciones r´ıgidas, y es f´acil comprobarlo para transformaciones lineales L. Supongamos que la raz´on en que el punto P divide al segmento AB es λ, es decir, P − A = λ(B − P ). Entonces L(P ) tambi´en divide al segmento L(A)L(B) en la misma raz´on,

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105 como lo demuestra el c´alculo siguiente: L(P ) − L(A) = L(P − A) = L(λ(B − P )) = λ(L(B) − L(P )). Este invariante se traduce, en el plano de la perspectiva como modelo local del plano af´ın, en el hecho de que las esquinas de los mosaicos quedaron determinadas al fijar en los ejes x = 0, y = 0, el segmento correspondiente a la unidad. La raz´on de llamar modelo local del plano af´ın al plano de la perspectiva, quedar´a claro cuando construyamos el plano proyectivo en el inciso siguiente.

EJERCICIOS 1. Encuentre la transformaci´ on inversa de ⎛ ⎞ 3 1 −2 T = ⎝2 2 4 ⎠ 0 0 1 2. Encuentre el transformado del punto al infinito (3 : 2 : 0) bajo la transformaci´ on T del ejercicio 1. 3. Aplique la transformaci´ on anterior a los puntos A(2, 4, 1) y B(2, 8, 1), y compruebe que el punto medio del segmento AB se transforma en el punto medio del segmento T (A)T (B) donde T es la transformaci´ on del ejercicio 1. 4. Demuestre que los coeficientes de los t´erminos de mayor grado de una ecuaci´on polinomial en dos variables, P (x, y), no var´ıan cuando se aplica una traslaci´on. 5. Aplique la transformaci´ on del ejercicio 1 a las c´onicas siguientes, y verifique que, en cada caso, son del mismo tipo que la c´onica original. y2 x2 + = 1; 4 16

x2 y2 − = 1. 4 4

6. En una tira larga de papel, dibuje una buena porci´ on de la hip´erbola x2 − y 2 = 1, 100 y, dando media vuelta a la tira, una los dos extremos (en el papel) de cada una de las as´ıntotas. La parte “torcida” del papel no est´ a ilustrada en la Figura 2.8.

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106 7. Determine el subgrupo de A(2) correspondiente a E(2), y los subgrupos correspondientes a O(2), SO(2) y a las traslaciones. 8. Defina el espacio euclidiano n-dimensional n , el producto punto en n , su grupo de isometr´ıas E(n), y sus subgrupos: O(n), SO(n) y el grupo de las traslaciones en n . 9. ¿Cu´antas direcciones hay en a˜ nadir? ¿Y en n ?

3

? ¿Cu´antos puntos al infinito hace falta

10. Generalice A(n) cuidando de que tenga E(n) como subgrupo.

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3

Geometr´ıa proyectiva

´ Esta es la geometr´ıa m´as amplia de todas las que estudiamos en este libro, en el sentido de que su grupo de transformaciones admite como subgrupos a los que ya hemos estudiado y a los que a´ un nos faltan. Adem´as del grupo euclidiano y el grupo af´ın, hay otros subgrupos del grupo proyectivo que juegan un papel importante en Geometr´ıa; nos interesar´an, en particular, los que dan lugar a geometr´ıas no euclidianas. La llamada Geometr´ıa el´ıptica ser´a la parte final de este cap´ıtulo, mientras que la Geometr´ıa hiperb´olica ser´a el tema del pr´oximo. Como en el cap´ıtulo anterior, trabajaremos fundamentalmente en el caso bidimensional, pero en algunos temas extenderemos sin dificultad nuestras consideraciones a dimensi´on mayor. Desde luego, la Geometr´ıa proyectiva debe su nombre a que en ella estar´an permitidas las proyecciones. Entonces, en esta geometr´ıa el tipo de c´onica no es un invariante, pues cualquier c´onica puede obtenerse de otra mediante una proyecci´on adecuada, como lo muestra la Figura 3.1.

Figura 3.1: Al proyectar una circunferencia en planos con diversos a´ngulos de inclinaci´ on respecto al eje del cono de luz, resulta otra c´onica no singular

107

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108 El borde circular de la pantalla de una l´ampara se proyecta en la pared en una rama de hip´erbola, pero si interponemos una cartulina inclinada, el borde de la regi´on iluminada puede ser una circunferencia, una elipse, una par´abola o una hip´erbola; los casos singulares: un punto, una recta doble y dos rectas que se cortan, resultan cuando el plano pasa por el centro de proyecci´on, que es el v´ertice del cono de luz. Al agrandar el grupo perderemos algunos invariantes, pero surgir´an nociones nuevas, como la dualidad, cuya belleza y potencia est´a presente en muchas ramas de la matem´atica.

3.1.

El plano proyectivo real

Para reproducir fielmente en un plano un objeto tridimensional, los artistas italianos idearon la t´ecnica siguiente, ilustrada por Alberto Durero (1471-1528) en [Du] (vea la Figura 3.2).

Figura 3.2: T´ecnica renacentista para dibujar objetos en un lienzo.

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109 Se fijaba en la pared un arillo a la altura de los ojos de una persona, y por el arillo se hac´ıa pasar el extremo libre de una cuerda unida a una pesa; ese extremo libre atravesaba un marco, y se tensaba la cuerda hasta tocar un punto del objeto que resultara visible desde el arillo; finalmente, se fijaba al marco una cuerda horizontal y otra vertical que se cruzaran tocando a la cuerda que atravesaba el marco; el cruce de la horizontal y la vertical permit´ıa marcar en una cartulina (pegada en otro marco), el punto correspondiente al punto del objeto El marco pod´ıa estar m´as o menos lejos del objeto, y seguramente estaba un poco inclinado, pero en cualquier caso cada punto de la cuerda tensa representa al punto elegido del objeto. La forma en que definiremos punto proyectivo atender´a precisamente a esa propiedad de la cuerda. Note adem´as que, si nuestro ojo fuera realmente un punto y pudi´eramos mirar en todas direcciones, cada una de ellas, tantas como di´ametros en una esfera, incidir´ıa en un u ´nico punto de los objetos a nuestro alrededor; por eso, al cortar con el plano del dibujo, obtenemos una representaci´on a partir de la cual reconocemos los objetos de nuestro entorno. En el cap´ıtulo de Geometr´ıa Euclidiana aprendimos a construir espacios nuevos a partir de los ya conocidos mediante el recurso de formar clases de equivalencia que eran consideradas como los puntos del espacio nuevo. En este caso, para construir el plano proyectivo, definimos en 3 −{(0, 0, 0)} la relaci´on de equivalencia sugerida por la discusi´on anterior y que denotaremos “∼”: (x1 , x2 , x3 ) ∼ (x1 , x2 , x3 )

si existe λ ∈

− {0} tal que

xi = λxi . (3.1)

La lectura geom´etrica de esta relaci´on de equivalencia entre los puntos de − {(0, 0, 0)} es que todos los puntos de una recta por el origen, excepto el origen mismo, pertenecen a la misma clase, y adem´as el conjunto de las clases de equivalencia tiene dimensi´on 2, puesto que al identificar todos los puntos de un subespacio unidimensional de 3 , estamos perdiendo una dimensi´on. 3

Un punto proyectivo es la clase de puntos en 3 que definen una misma direcci´on, y el plano proyectivo real, P 2 ( ) consta de todos los puntos proyectivos, es decir, de las clases definidas en 3 − {(0, 0, 0)} por (3.1). La clase definida por una terna no nula (a, b, c) se denota por (a : b : c);

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110 los dos puntos entre las coordenadas tienen la finalidad de recordarnos que estamos considerando clases de tercias, no las tercias mismas, y que al menos una de las coordenadas es no cero. N´otese que esta relaci´on de equivalencia puede definirse entre los vectores no cero de cualquier espacio vectorial V sobre un campo k (nosotros s´olo usaremos k = ´o ): dos vectores no nulos v¯, w¯ est´an relacionados si y s´olo si uno se obtiene del otro multiplicando por un escalar no cero: v¯ ∼ w¯ si y s´olo si v¯ = λw¯ para alg´ un λ ∈ k − {0}, es decir, si pertenecen al mismo subespacio unidimensional. El conjunto as´ı obtenido se llama el proyectivizado del espacio vectorial V , y se escribe P (V ); entonces, para V = 3 escribimos P 2( ) = P (

3

),

y el lector no debe extra˜ n narse de que los n´ umeros difieran: el exponente en el lado izquierdo denota la dimensi´on, 2, del plano proyectivo real, y el exponente en el lado derecho, 3, denota la dimensi´on de 3 , que se ve disminuida en 1 por ser equivalentes los puntos en el mismo subespacio unidimensional. Hay dos ejemplos que nos interesa analizar: P 1 ( ) y P 1 ( ). Ambos casos son interesantes por derecho propio, el primero porque P 1( ) es la recta proyectiva real, y el segundo porque ser´a el medio en el que desarrollaremos los modelos de la Geometr´ıa hiperb´olica. Los puntos proyectivos de P 1 ( ) = P ( 2 ), corresponden a rectas por el origen de 2 , o a un par puntos ant´ıpodas, (x, y) y (−x, −y), de S 1 = {(x, y) ∈ 2 | x2 + y 2 = 1}, pues podemos restringirnos a vectores de norma 1. Eso significa que para tener un conjunto de representantes basta tomar una semicircunferencia e identificar sus extremos; la figura que resulta es una curva cerrada, como la circunferencia, y todos los puntos tienen la misma calidad (porque la semicircunferencia pudo ser cualquier mitad de S 1 ) a diferencia de una recta af´ın donde el punto al infinito es distinto de los dem´as. En Topolog´ıa se dice que P 1( ) es homeomorfo a una circunferencia, porque la proyecci´on mostrada en la Figura 3.3 exhibe una correspondencia biyectiva, continua y con inversa continua, entre P 1 ( ) y S 1 . En el ap´endice 5.5 precisamos qu´e se entiende por una topolog´ıa y por una topolog´ıa relativa, y demostramos que esta proyecci´on es un homeomorfismo.

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111 O

P

S Q P





Q

R

S

R Figura 3.3: Una recta proyectiva real es homeomeorfa a una circunferencia.

En el caso de P 1 ( ), que es el proyectivizado de 2 , P ( 2 ), debemos formar clases de pares ordenados de n´ umeros complejos no ambos cero, (z : w), y la un n´ umero equivalencia as´ı obtenida, (z : w) ∼ (z  : w  ) ocurre cuando existe alg´ complejo λ ∈ − {0} tal que (z, w) = (λz  , λw  ). umePara poder imaginar la forma de P 1 ( ), tomamos primero pares de n´ ros complejos (z, w) donde w = 0. La divisi´on entre w nos da representantes del tipo (z : 1), y eso evidencia que hay tantas clases con segunda coordenada no cero como elementos de . En cambio, los pares con w = 0 forman una sola clase, (1 : 0), correspondiente a la u ´nica direcci´on compleja que hay en : cualquier complejo no cero z se obtiene de otro no cero z ∗ multiplicando por el complejo no cero z/z ∗ , y entonces (z : 0) = (z ∗ : 0). El punto (1 : 0) ∈ P 1 ( ) se denota a menudo por ∞ y eso justifica escribir 1 P ( ) = ∪ {∞}; sin embargo, ´esta es una mera notaci´on, pues los elementos de P 1 ( ) tienen todos la misma calidad. Otra notaci´on es ∪ {∞} =  , llamado el plano complejo extendido. Hay otra forma de interpretar P 1 ( ); para ello, notemos que 2 tiene dimensi´on real 4 y, como en el caso real, podemos restringirnos a vectores (z, w) ∈ 2 de norma 1, es decir, si z = x + iy, w = u + iv, pediremos que las partes real e imaginaria satisfagan x2 + y 2 + u2 + v 2 = 1, que es la ecuaci´on de S 3 , la esfera de radio 1 con centro en el origen: S 3 = {(x, y, u, v) ∈

4

| x2 + y 2 + u2 + v 2 = 1}.

Los puntos (proyectivos) de P 1 ( ) son subespacios unidimensionales com-

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112 plejos de

2

por el origen (menos el origen), {(z, w) ∈

2

− (0, 0)| w = kz, k ∈

fijo },

que puede leerse como un plano por el origen de 4 ; ´este corta a S 3 en una circunferencia cuyos puntos son representantes de una misma clase (en el caso real, los puntos ant´ıpodas de S 1 resultan de cortar S 1 con la recta por el origen de los puntos en la misma clase). Por eso podemos escribir: P 1( ) = P (

2

) = S 3 /S 1 .

En cuanto a su forma, P 1( ) es homeomorfo a la esfera bidimensional S 2 : S 2 = {(x, y, z) ∈

3

| x2 + y 2 + z 2 = 1},

que, en este contexto, se llama la esfera de Riemann; la correspondencia biyectiva, continua y con inversa continua que justifica ese t´ermino es la proyecci´ on estereogr´ afica ilustrada en la Figura 3.4 y definida as´ı: cualquier punto P de S 2 , excepto el polo norte N, determina con N una recta que corta al plano del ecuador, que identificamos con , en un u ´nico punto z ∈ que asociamos con (z : 1). Entonces, si convenimos en asignar a N el punto (1 : 0), la proyecci´on estereogr´afica ΠN : S 2 → P 1 ( ) establece el homeomorfismo prometido entre S 2 y P 1 ( ) (vea el Ap´endice 5.5). N T P

T R S

Q = Q

P

R Figura 3.4: P 1 ( ) es homeomorfo a S 2 .

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113 La proyecci´on estereogr´afica tiene adem´as la propiedad de ser conforme, es decir, dos curvas en la esfera que se corten formando un cierto ´angulo, se proyectan en curvas del plano que se cortan formando ese mismo a´ngulo en valor absoluto (vea el Ejercicio 9 al final de la secci´on). El primero de nuestros ejemplos se generaliza al caso de P 2 ( ) (y de hecho, a P n ( )), para proporcionarnos un conjunto de representantes de puntos de P 2 ( ) formando clases de puntos de la esfera unitaria en 3 , x∈ S 2 = {¯

3

| ||¯ x|| = 1}.

Hay tantas direcciones en 3 como pares de puntos ant´ıpodas en S 2 ; por eso podemos interpretar P 2 ( ) como las clases de puntos x¯ ∈ S 2 definidas por la relaci´ on ant´ıpoda x¯ ≡ −¯ x. El hecho de que la aplicaci´on de S 2 a P 2 ( ) que permite construir este u ´ltimo sea 2 a 1, justifica decir que la esfera S 2 es un recubrimiento doble del plano proyectivo P 2 ( ). Entonces podemos escribir (y convendr´a tener presentes todas esas interpretaciones del plano proyectivo real): P 2( ) = P (

3

)=(

3

− {¯0})/ ∼ = S 2 /(¯ x ≡ −¯ x).

En otro inciso nos ocuparemos del aspecto topol´ogico de P 2 ( ), pues involucra la noci´on de orientabilidad que vale la pena discutir con cuidado. Pero antes de concluir este inciso, nos interesa mostrar c´omo se establecen las ecuaciones de los lugares geom´etricos, pues para eso nos sirven las coordenadas. En P 2 ( ), las rectas proyectivas estar´an definidas por dos puntos proyectivos, es decir, por dos direcciones linealmente independientes de 3 ; si por cada direcci´on tomamos un vector, los dos vectores generan un plano por el origen en 3 , es decir, un subespacio de dimensi´on 2, y una recta proyectiva puede definirse as´ı: Una recta proyectiva en P 2 ( ), consta de los puntos proyectivos definidos por direcciones coplanares en 3 . Entonces, as´ı como los puntos proyectivos est´an definidos por subespacios unidimensionales de 3 , las rectas proyectivas corresponden a subespacios bidimensionales de 3 .

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114 Si cortamos la esfera S 2 con un plano por el origen, resulta un c´ırculo m´aximo cuyos puntos ant´ıpodas deben identificarse para obtener representantes de todos los puntos que conforman una recta proyectiva, lo cual concuerda con la Figura 3.3. La ecuaci´on de una recta proyectiva es la ecuaci´on del plano por el origen de 3 determinado por dos direcciones distintas (cada una de los cuales define un punto proyectivo), (a : b : c) y (d : e : f ). En el espacio cartesiano tridimensional, un vector normal al plano determinado por esas dos direcciones, se obtiene como el producto cruz (a, b, c) × (d, e, f ), y si lo denotamos por (A, B, C), la ecuaci´on del plano por el origen de 3 es Ax + By + Cz = 0. La recta proyectiva definida por esta ecuaci´on, consta de los puntos proyectivos (x : y : z) ∈ P 2 ( ) tales que Ax + By + Cz = 0. Esta ecuaci´on es lineal y homog´enea, y justamente por esto u ´ltimo si una terna (x0 , y0 , z0 ) satisface la ecuaci´on, tambi´en (kx0 , ky0 , kz0 ) la satisface para cualquier k = 0 : A(kx0 )+B(ky0 )+C(kz0 ) = k(Ax0 +By0 +Cz0 ) = 0 ⇐⇒ Ax0 +By0 +Cz0 = 0. ´este es un hecho que conviene resaltar: Si un lugar geom´etrico proyectivo est´ a dado por una ecuaci´ on polinomial, la ecuaci´ on debe ser homog´enea, pues s´ olo podremos decir que un punto proyectivo satisface la ecuaci´on si eso es v´ alido para cualquier terna representante del punto. Note que estamos pidiendo que una funci´on, la correspondiente al lado izquierdo de la igualdad, tome el mismo valor (0 en este caso) en puntos equivalentes. Esta observaci´on es la base del procedimiento que permite encajar P 2 ( ) en 4 (vea la secci´on 3.3). Y ahora estamos listos para demostrar el primer hecho geom´etrico que contrasta con la Geometr´ıa euclidiana, pues implica que no hay rectas proyectivas paralelas: Teorema. Cualesquiera dos rectas del plano proyectivo tienen un u ´nico punto en com´ un.

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115 Demostraci´on. Dos rectas proyectivas distintas tienen ecuaciones Ax + By + Cz = 0, A x + B  y + C  z = 0, donde (A, B, C) y (A , B  , C  ) son vectores no paralelos en 3 . Cada ecuaci´on da lugar en 3 a un plano por el origen, y como los planos son distintos, se cortan en una recta por el origen con vector de direcci´on (L, M, N) = (A, B, C) × (A , B  , C  ). Esa recta por el origen corresponde a un punto proyectivo, como afirmamos.2

EJERCICIOS 1. Encuentre el punto en que se cortan las rectas proyectivas siguientes: L1 : 3x − y + z = 0 y L1 : −x − 2y + 2z = 0. 2. Diga cu´ ales de las ecuaciones siguientes definen un lugar geom´etrico en P 2 ( ), y justifique su afirmaci´on: (a) 3x2 + xy − z 2 = 0; (b) −x3 − y 2 + x + z = 0; (c) x4 + y 4 − z 4 = 0; (d) x2 + y 2 + z 2 = 0. 3. Encuentre los representantes de (−2 : 6 : −4) con la caracter´ıstica que se indica: (a) x = 1; (b) z = 1; (c) (x, y, z) ∈ S 2 . 4. Demuestre que tres puntos proyectivos pertenecen a la misma recta proyectiva, si y s´ olo si el determinante de las coordenadas de sus representantes se anula. 5. Demuestre que si a cuatro puntos OHV U en posici´ on general, es decir, tales que ninguna terna sea colineal, se les asigna las coordenadas O(0 : 0 : 1), H(1 : 0 : 1), V (0 : 1 : 1), U (1 : 1 : 1), eso determina coordenadas para todos los dem´as puntos de P 2 ( ). 6. Dado un punto (x1 , x2 , x3 ) ∈ S 2 , determine el n´ umero complejo z = x+iy asociado bajo la proyecci´on estereogr´ afica desde el polo norte. 7. Defina P 3 ( ) y diga c´omo caracterizar las rectas proyectivas y los planos proyectivos en este espacio proyectivo. 8. Defina P n ( ) = P (

n+1

), y considere

||(z0 , z1 , ..., zn )|| = ||(x0 , y0 , x1 , y1 , ..., xn , yn )||,

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116 donde zk = xk + iyk y ||(x0 , x1 , ..., xn , yn )|| es la norma definida por el producto escalar en 2n+2 . Demuestre que P n ( ) = S 2n+1 /S 1 . (La on proyecci´on can´ onica Π : S 2n+1 → P n ( ), se conoce como la fibraci´ de Hopf, vea [Do].) 9. Demuestre que la proyecci´on estereogr´ afica es conforme, es decir, dos curvas en la esfera que se cortan en un punto P formando un a´ngulo α, se aplican bajo la proyecci´ on estereogr´ afica en curvas que forman ese mismo ´angulo (en valor absoluto). (Sugerencia: considere la figura siguiente, donde τ es el plano tangente a la esfera en el punto P , v¯ y w ¯ son los vectores tangentes a las curvas en la esfera; H y H  pertenecen a la proyecci´on ortogonal de la recta N P en el plano τ : H es la intersecci´on de esa proyecci´ on con el plano tangente a la esfera en N y H  pertenece al plano del ecuador, que es paralelo al anterior.)

N

H P

v

w

v

XY

H P

w

τ

3.2.

El Principio de Dualidad

Como consecuencia del teorema del inciso anterior, en el plano proyectivo no hay casos excepcionales para la intersecci´on de rectas, y por eso a la afirmaci´on v´alida Dos puntos determinan una recta,

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117 le corresponde otra afirmaci´on tambi´en v´alida: Dos rectas determinan un punto. Este hecho es la clave de una de las propiedades m´as bellas del plano proyectivo real: la dualidad, la correspondencia biyectiva entre puntos y rectas del plano proyectivo real que respeta la incidencia: un punto incide en una recta si el punto pertenece a la recta, y una recta incide en el punto si la recta pasa por el punto. El Principio de Dualidad de la Geometr´ıa proyectiva, afirma que Si en una proposici´on v´alida aparecen u ´nicamente los t´erminos punto y recta y la relaci´on de incidencia, entonces la proposici´ on dual, obtenida de la original intercambiando las palabras punto y recta, tambi´en es cierta. Por ejemplo, si pensamos a un tri´angulo como la figura determinada por tres puntos no colineales, los v´ertices del tri´angulo, las rectas determinadas por (que inciden en) dos de esos puntos son los lados del tri´angulo; un tri´angulo tiene tres v´ertices y tres lados. La noci´on dual es la de tril´ atero: la figura determinada por tres rectas no concurrentes, los lados del tril´atero; los puntos en que se cortan (en que inciden) dos lados son los v´ertices del tril´atero. Como vemos, tambi´en un tril´atero tiene tres v´ertices y tres lados, y eso justifica decir que un tri´angulo es autodual. Pero eso ya no ocurre con un cuadr´angulo (vea el Ejercicio 1). El producto escalar de 3 permite expresar de manera sencilla la incidencia de un punto y una recta, pues si la ecuaci´on de la recta proyectiva es Ax + By + Cz = 0, determinada por la terna no nula (A, B, C), (por su clase m´as bien), usando el producto punto de 3 podemos escribir (A, B, C) · (x, y, z) = 0,

(3.2)

y el punto (x0 : y0 : z0 ) incide en la recta definida por (A : B : C) si y s´olo si (A, B, C) · (x0 , y0 , z0 ) = 0, pero esta ecuaci´on puede tambi´en leerse como que la recta proyectiva (definida por) (A : B : C) incide en el punto (x0 : y0 : z0 ).

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118 La dualidad geom´etrica justifica el nombre de espacio dual V ∗ de un espacio vectorial V dado al conjunto de las transformaciones lineales T : V → k donde k es el campo de escalares (vea [B-ML] o [Ri]). Para el caso que nos ocupa, V = 3 , (A, B, C) puede verse como una transformaci´on lineal de 3 a , y la ecuaci´on (3.2) caracteriza al n´ ucleo de esa transformaci´on, es decir, el lugar geom´etrico de las ternas (x, y, z) que bajo la transformaci´on definida por T (x, y, z) = (A, B, C) · (x, y, z) se aplican en 0 ∈ . Ese lugar geom´etrico es un plano por el origen de 3 , que define una recta proyectiva, y la correspondencia queda establecida por la clase (A : B : C), pues (A, B, C) y (λA, λB, λC) tienen mismo n´ ucleo. 2 Entonces, en P ( ) hay una biyecci´on entre puntos como rectas, y cualquier afirmaci´on de incidencia entre puntos y rectas puede dualizarse, y siendo v´alida la primera tambi´en lo es la segunda. Por ejemplo, ya hab´ıamos pedido al lector demostrar la afirmaci´on siguiente (vea el Ejercicio 4): Afirmaci´ on. Tres puntos P , Q y R inciden en la misma recta si y s´olo si el determinante de sus coordenadas se anula. Al intercambiar las palabras “punto(s)” por “recta(s)”, tenemos la afirmaci´on dual: Afirmaci´ on. Tres rectas P, Q y R inciden en el mismo punto si y s´olo si el determinante de sus coordenadas se anula. En ambos casos, estamos diciendo que hay una dependencia lineal entre los tres objetos, puntos en un caso, rectas en el otro, y si dos de ellos satisfacen (3.2), una combinaci´on lineal de ellos tambi´en lo hace. Una recta puede verse como un haz de puntos, todos los que inciden en ella, y un punto puede verse como un haz de rectas, todas las rectas que inciden en el punto (vea la Figura 3.5). Vale la pena mencionar que, en un lenguaje m´as coloquial, a las rectas que inciden en el mismo punto se les llama concurrentes, y a los puntos que inciden en la misma recta les llamamos colineales.

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119 En ambos casos, el haz est´a determinado por dos de sus elementos, y los restantes son combinaci´on de esos dos; lo escribiremos en forma de observaci´on. Observaci´ on. Si en un haz marcamos dos elementos A y B, cualquier otro elemento P es combinaci´on lineal de A y B: λA+μB, y tiene sentido representar a P por (λ : μ),

Figura 3.5: Una recta es un haz de puntos, y un punto es un haz de rectas.

El mejor ejemplo de aplicaci´on del Principio de Dualidad, lo constituyen el llamado Teorema de Desargues y su dual, que en este caso coincide con el rec´ıproco. Teorema (de Desargues). Si los tri´angulos A, B, C y A , B  y C  son tales que las rectas definidas por v´ertices correspondientes son concurrentes, entonces tambi´en sucede que las intersecciones de lados correspondientes son colineales. En la Figura 3.6, las rectas gruesas AA , BB  y CC  inciden en un punto O, y los puntos R = AB ∩ A B  , S = BC ∩ B  C  y T = CA ∩ C  A parecen ser colineales; demostraremos que eso ocurre utilizando la t´ecnica de Desargues de proyecci´on y secci´on, con la cual obtuvo un gran n´ umero de resultados. Antes de dar la demostraci´on, escribiremos la proposici´on dual seg´ un la regla de intercambiar los t´erminos punto y recta (el lector deber´a convencerse de que hemos procedido correctamente). Proposici´ on dual del Teorema de Desargues. Si los tril´ateros abc y a b c son tales que los puntos definidos por lados correspondientes aa , bb y cc

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120 inciden en una recta L, entonces tambi´en sucede que las rectas definidas por v´ertices correspondientes: a ∩ b y a ∩ b ; b ∩ c y b ∩ c ; c ∩ a y c ∩ a , inciden en un punto O. Las dos afirmaciones pueden resumirse as´ı: Dos tri´angulos est´an en perspectiva desde un punto si y s´olo si est´an en perspectiva desde una recta. X O L M

Y

Z

S

B

A C

R B

A

C

T

Figura 3.6: Dos tri´ angulos en perspectiva desde un punto, tambi´en lo est´an desde una recta.

Demostraci´on del Teorema. Los puntos O, A, B, C, A , B  , C  , R, S y T pertenecen a un mismo plano, en tanto que X es un punto fuera de ese plano; en la recta XB elegimos un punto Y , y llamamos Z a la intersecci´on de XB  con la recta OY (las rectas se cortan porque los puntos X, B, O, Y y B  son coplanares). Las rectas OA, OC y OY son las aristas de una pir´amide triangular, y los

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121 tri´angulos AY C y A ZC  pertenecen a dos secciones planas de la pir´amide. Los planos de esas secciones se cortan en una recta a la que pertenecen T = AC ∩ A C  , CY ∩ C  Z = L, y Y A ∩ ZA = M, y cuando proyectamos desde X los tri´angulos ACY y A C  Z en el plano original, recuperamos los tri´angulos ABC y A B  C  . La proyecci´on de los puntos colineales T , L y M al plano original, da lugar a los puntos, necesariamente colineales, T , S y R.2 La relaci´on entre el plano proyectivo y el plano af´ın quedar´a clara m´as adelante, pero por lo pronto queremos hacer notar que cada punto proyectivo (x : y : z) admite un representante donde al menos una de las coordenadas es 1, pues - si x = 0, (x : y : z) = (1 : y/x : z/x); - si y = 0, (x : y : z) = (x/y : 1 : z/y); - si z =  0, (x : y : z) = (x/z : y/z : 1), y en la tercera forma reconocemos ya las coordenadas de los puntos ordinarios del plano af´ın.

EJERCICIOS 1. Dualice el concepto de cuadril´ atero, dado al principio del cap´ıtulo 2. 2. Justifique la afirmaci´ on siguiente: En P 3 ( ), un tetraedro es autodual. 3. Demuestre el Teorema de Desargues usando el ejercicio 5 de la secci´on 3.1. 4. Defina P n ( ) y generalice la noci´on de dualidad, es decir, establezca una biyecci´on entre el conjunto de puntos (x0 : x1 : ... : xn ) y el de los hiperplanos proyectivos que respete la incidencia, entendiendo por hiperplano proyectivo el suconjunto definido por una (n + 1)-ada, (A0 : A1 : ... : An ) mediante la ecuaci´on (A0 : A1 : ... : An ) · (x0 : x1 : ... : xn ) = 0. 5. Utilice el producto escalar de n+1 para demostrar que en n+1 , hay una dualidad entre el conjunto Gk,n de los k-subespacios, y el conjunto G(n−k),n de los (n − k)-subespacios para todo k ∈ 1, 2, ..., n. Esos conjuntos se denominan variedades grassmannianas (vea [Mat]), y con ellos

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122 se establece una dualidad en P n ( ) entre los (k − 1)-planos proyectivos y los (n − k − 1)-planos proyectivos.

3.3.

La forma de P 2( )

Despu´es de definir el plano proyectivo real, escribimos P 2( ) = P (

3

)=(

3

− {¯0})/ ∼ = S 2 /(¯ x ≡ −¯ x),

y la u ´ltima expresi´on indica que cuando nos restringimos a vectores unitarios en 3 , es decir, a los puntos de la esfera, todav´ıa tenemos que identificar los puntos ant´ıpodas, puesto que pertenecen a la misma recta por el origen. Entonces, podemos quedarnos con los puntos de un hemisferio siempre que en el borde identifiquemos los puntos ant´ıpodas. La Figura 3.7 sugiere que el pegado no puede realizarse en 3 sin que el objeto creado se corte a s´ı mismo; los puntos de corte no debieran existir pues si bien cada punto del arco AB se identifica con un punto del arco A B  , y cada punto del arco BA se identifica con un punto del arco B  A, no hay puntos de arcos contiguos que deban identificarse, pues no son ant´ıpodas. Sin embargo, esos puntos surgen necesariamente si queremos construir P 2 ( ) en 3 . A

B

B

A

B

B

A A

A

B

B

A A

B

B

A

Figura 3.7: P 2 ( ) no puede construirse en

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3

sin autointersecciones.

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123 En cambio, P 2 ( ) s´ı cabe en definimos f : S 2 → 4 dada por

4

sin autointersecciones. Para demostrarlo,

(x, y, z) → (x2 − y 2, xy, xz, yz).

de

Cualesquiera dos puntos ant´ıpodas de la esfera se aplican en el mismo punto 4 , y eso permite definir una funci´on en P 2 ( ), F : P 2 ( ) → 4 , dada por (x : y : z) → (x2 − y 2 , xy, xz, yz),

cuya inyectividad, que deber´a comprobar el lector, asegura que P 2 ( ) cabe en 4 sin autointersecciones. El plano proyectivo es una superficie con un solo lado; para entender lo que esto significa, tomamos nuevamente la esfera y marcamos en ella un cintur´on sim´etrico alrededor de un c´ırculo m´aximo (vea la Figura 3.8).

Figura 3.8: P 2 ( ) contiene una Banda de M¨obius.

Es claro que de los dos casquetes podemos eliminar uno, pues los puntos de un casquete tienen sus ant´ıpodas en el otro casquete, y tambi´en es cierto que podemos eliminar la mitad del cintur´on, por ejemplo la que est´a detr´as, pues los ant´ıpodas de esos puntos est´an en la mitad delantera del cintur´on. Los bordes izquierdo y derecho de la mitad delantera del cintur´on, est´an formados por puntos ant´ıpodas y, por tanto, deben identificarse en la forma indicada por las flechas; eso s´olo puede lograrse despu´es de voltear un extremo, originando una Banda de M¨ obius, llamada as´ı en honor a su creador, F. A. M¨obius (1790-1868).

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124 Para terminar de construir el plano proyectivo, el borde de la Banda de M¨obius debe pegarse con el borde del disco, pero nuevamente tendremos problemas para realizar el pegado en nuestro espacio tridimensional. El grabador holand´es Maurits Cornelis Escher (1898-1972) [Es], hizo varios grabados que ilustran la propiedad esencial de una Banda de M¨obius: uno puede caminar sobre la Banda de forma tal que, al regresar al punto en que inici´o el recorrido, tenga la cabeza apuntando en direcci´on opuesta, lo cual est´a representado por el alfiler de la Figura 3.9.

Figura 3.9: Un cilindro tiene dos lados, una Banda s´olo tiene un lado.

Para establecer qu´e entendemos por orientabilidad de una superficie, debemos empezar por definir lo que significa triangularla. La esfera de la Figura 3.10 est´a dividida en ocho “tri´angulos”, de forma que se cumplen las condiciones siguientes: i) la uni´on de todos los tri´angulos es la esfera; ii) la intersecci´on de dos tri´angulos que no son ajenos, s´olo puede ser un v´ertice com´ un o todo un lado com´ un. La triangulaci´on de una superficie ser´a necesaria para definir la caracter´ıstica de Euler de una superficie; recuerde que en el cap´ıtulo 1 aprendimos a calcularla para los s´olidos plat´onicos y tambi´en para el toro y para el toro doble.

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Figura 3.10: Triangulaci´on de una esfera, con tri´angulos orientados.

Decimos que una superficie es orientable si, despu´es de triangularla y dibujar en uno de los tri´angulos una flecha curvada que indique el sentido de recorrido de su frontera, al trasladar la flecha curvada a los dem´as tri´angulos, ocurre siempre que un lado com´ un a dos tri´angulos queda recorrido en sentidos opuestos, como en la esfera de la Figura 3.10. Intente el lector hacer eso en la Banda de M¨obius; la Figura 3.11, que toma una tira antes de pegar los bordes, muestra por qu´e es imposible.

Figura 3.11: La Banda de M¨obius no es orientable.

La flecha del primer tri´angulo se ha trasladado y marcado en cada tri´angulo, pero despu´es de identificar los bordes para formar la Banda de M¨obius, obtenemos un lado que est´a recorrido en el mismo sentido para los dos tri´angulos

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126 a los que pertenece. Si en la Figura 3.9 en lugar del alfiler hubi´eramos tomado un tornillo de cuerda derecha para completar un sistema coordenado derecho en cada punto de la Banda, nos encontrar´ıamos con una incompatibilidad al cruzar el lado en que hicimos el pegado; por eso decimos que la Banda de M¨obius no es orientable. Este tema amerita varios comentarios adicionales; por ejemplo, los top´ologos construyen el plano proyectivo real a partir de un cuadrado cuyos bordes deben identificarse como lo indican las flechas de la Figura 3.12 (como un cuadrado y un hemisferio son homeomorfos, la Figura 3.12 realmente repite la primera parte de la Figura 3.7). Es claro que al pegar los bordes con una sola flecha, ya tenemos una Banda de M¨obius, por eso el pegado de las flechas dobles resulta imposible sin autointersecciones del objeto. La noci´on de orientabilidad se puede definir para objetos con dimensiones distintas de 2, y es posible demostrar que P n ( ) s´olo es orientable si n es impar (vea [Hr]). A

B

A A

B

B

B

A

Figura 3.12: Construcci´on del plano proyectivo real a partir de un cuadrado.

Finalmente, vale la pena demostrar que SO(3) es homeomorfo a P 3 ( ). Para que esta afirmaci´on tenga sentido, debemos definir una topolog´ıa en cada objeto, lo cual dejamos como ejercicio para el lector. Una vez hecho eso, recordemos que P 3 ( ) es el resultado de identificar los puntos ant´ıpodas de S 3 , la bola con centro en el origen de 4 y de radio 1; entonces, basta tomar un “hemisferio” de S 3 e identificar los puntos de la

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127 frontera de ese “hemisferio” que son ant´ıpodas. Es f´acil ver que un hemisferio de S 2 es homeomorfo a D 2 , el conjunto de los puntos de 2 con norma estrictamente menor que 1; basta pensar en la proyecci´on ortogonal del hemisferio norte en el plano XY (vea la Figura 3.13). An´alogamente, un “hemisferio” de S 3 es homeomorfo a D 3 , los puntos de 3 con norma menor que 1 (esta vez proyectamos ortogonalmente el “hemisferio” norte de S 3 sobre el espacio XY Z), y es inmediato comprobar que la frontera de D 3 es S 2 . Eso significa que podemos pensar a P 3 ( ) como el espacio obtenido de la bola tridimensional D 3 cuando identificamos los puntos ant´ıpodas de su frontera (c.f. Ejercicio 8). Por otro lado, sabemos que una rotaci´on en torno al origen de 3 (un elemento de SO(3)), deja fija (punto a punto) una recta: el eje de la rotaci´on, y deja invariantes (esta vez como conjunto) a los planos ortogonales al eje; todos los puntos de esos planos giran por un mismo a´ngulo, el de la rotaci´on.

Y

D1

Z

X D2

Y

X

Figura 3.13: Un hemisferio de S n es homeomorfo a D n .

Hay tantos ejes de rotaci´on posibles como di´ametros en una esfera, y tantos posibles ´angulos de rotaci´on como puntos en el intervalo [−π, π], salvo que, una vez elegido el eje, rotar por π tiene el mismo efecto que rotar por −π. Entonces, en la esfera de 3 con centro en el origen y radio π, los di´ametros corresponden a los posibles ejes de rotaci´on, y los puntos del interior de esa esfera, que necesariamente pertenecen a alg´ un di´ametro, determinan un ´angulo de rotaci´on, definido por el punto del intervalo (−π, π) que corresponde al

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128 di´ametro. Todo lo anterior significa que podemos identificar cada punto del interior de la esfera de radio π, i.e., un punto de Dπ3 , con una rotaci´on cuyo eje contiene al di´ametro definido por el punto, y cuyo a´ngulo est´a definido por la distancia orientada θ ∈ (−π, π) del punto al centro de la esfera. En cambio, los puntos de la frontera, que es la esfera de centro en el origen y de radio π, deber´an identificarse si son ant´ıpodas, como ocurre en la construcci´on de P 3( ). Entonces SO(3) es el espacio resultante de Dπ3 cuando identificamos los puntos ant´ıpodas de su frontera, y como Dπ3 y D 3 son homeomorfos, tambi´en lo son SO(3) y P 3 ( ).

EJERCICIOS 1. Construya tres Bandas de M¨ obius utilizando tres tiras de papel. Pinte la primera de alg´ un color, y corte las otra dos as´ı: la primera a lo largo de la l´ınea central, la segunda a lo largo de una curva que equidiste del borde y de la l´ınea central. En cada uno de los casos, explique lo que ocurre. 2. Dibuje un intervalo, div´ıdalo en varios subintervalos y, despu´es de asignar un sentido de recorrido en el primero (ponga una flecha), c´opielo para los restantes trasladando la flecha. Compruebe que es posible completar el vector asociado a cada flecha, con otro vector que forme una base derecha para el plano en el punto, de forma que esa elecci´on sea compatible despu´es de identificar los bordes del segmento original. 3. Compruebe que S 2 es orientable, por alguno de los m´etodos siguientes: a) “Triangule”la esfera, y compruebe que es posible orientar los tri´ angulos de forma que los lados comunes queden recorridos en sentidos opuestos. b) Calcule el gradiente de la funci´on F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 (vea el Ap´endice 5.1) y compruebe que en cualquier punto (x0 , y0 , z0 ) ∈ S 2 , ∇F (x0 , y0 , z0 ) = (0, 0, 0). El hecho de que ∇F (x, y, z) var´ıe continuamente con el punto (x, y, z) ∈ S 2 implica que puede definirse orientaciones compatibles para curvas que rodean puntos cercanos (vea [DoC] para otra definici´on de orientabilidad). 4. Marque los lados horizontales de un cuadrado con flechas que apunten a la derecha, y los lados verticales con flechas que apunten una hacia abajo y otra hacia arriba. Pegue primero los lados horizontales haciendo coincidir las flechas (¿qu´e obtiene?), y explique por qu´e no puede realizar en 3 el pegado que falta haciendo coincidir las flechas verticales. El

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129 objeto resultante de esa identificaci´ on en los lados de un cuadrado se llama Botella de Klein, que es una superficie no orientable. 5. Rote la circunferencia del plano Y Z ⊂ 3 con centro en (0, 2, 0) y radio 1 en torno al eje Z. Demuestre que el toro de revoluci´ on T as´ı obtenido es invariante bajo la aplicaci´ on ant´ıpoda, y que al identificar los puntos ant´ıpodas de T , resulta tambi´en una Botella de Klein. 6. Demuestre la inyectividad de la funci´on F : P 2 ( ) → (x : y : z) → (x2 − y 2 , xy, xz, yz).

4

dada por

7. D´e una funci´ on inyectiva, continua y con inversa continua, entre las regiones del plano acotadas por un cuadrado y por una circunferencia. 8. Defina una topolog´ıa para SO(3) y otra para P 3 ( ) (vea el ap´endice 5.5). 9. El borde de un casquete de la Figura 3.8 puede deformarse a un punto del casquete sin salir del casquete. ¿Es posible deformar la l´ınea central de la Banda (que es una recta proyectiva) en el borde de la Banda?, es decir, ¿es posible deformar una recta proyectiva a un punto sin salir de P 2 ( )? 10. Defina P n ( ) y d´ele una topolog´ıa.

3.4.

Cartas coordenadas para P 2( ) (y para P 1( ))

Al final de la secci´on 3.2, vimos que cualquier punto del plano proyectivo admite representantes de al menos una de las formas siguientes: - si x = 0, (x : y : z) = (1 : y/x : z/x); - si y = 0, (x : y : z) = (x/y : 1 : z/y); - si z =  0, (x : y : z) = (x/z : y/z : 1); por eso en Geometr´ıa Diferencial se dice que las aplicaciones de x¯1 (u, v) = (1 : u : v), x¯2 (u, v) = (u : 1 : v), x¯3 (u, v) = (u : v : 1),

2

en P 2 ( )

(3.3)

forman un atlas para P 2( ) (vea [DoC]).

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130 on de Cada una de las aplicaciones x¯ : 2 → P 2 ( ) en una parametrizaci´ una regi´on U ⊂ P 2( ), y como la aplicaci´on inversa, x¯−1 : U → 2 , permite asignar coordenadas (u, v) a un punto P del plano proyectivo, se llama carta coordenada. Si un punto admite m´as de una de esas representaciones, como ocurre para (2 : 3 : 4), el cambio de coordenadas es diferenciable, porque (2 : 3 : 4) = x¯1 (u1 , v1 ) = x¯2 (u2 , v2 ) = x¯3 (u3, v3 ) implica (2 : 3 : 4) = (1 : u1 : v1 ) = (u2 : 1 : v2 ) = (u3 : v3 : 1).

(3.4)

De la primera igualdad de (3.4) resulta (u2, 1, v2 ) = u2 (1, u1, v1 ), y, por tanto, u2 u1 = 1 y u2 v1 = v2 . El cambio de coordenadas est´a dado por −1 u2 = u−1 1 , v2 = v1 u1 ,

que son funciones diferenciables de u1 y v1 en (u1 , v1 ) = (3/2, 4/2). La segunda igualdad de (3.4) implica (u3 , v3 , 1) = v3 (u2 , 1, v2 ); en consecuencia, v3 v2 = 1 y v3 u2 = u3 . El cambio de coordenadas est´a dado por u3 = u2 v2−1 , v3 = v2−1 , que son funciones diferenciables de u2 y v2 en (u2 , v2 ) = (2/3, 4/3). El lector no tendr´a dificultad en comprobar que u3 y v3 tambi´en son funciones diferenciables de u1 y v1 en (u1 , v1 ) = (3/2, 4/2). ∂(ui ,vi ) Y como los jacobianos ∂(u son distintos de cero para todos los puntos j ,vj ) 2 2 en la intersecci´on x¯i ( ) ∩ x¯j ( ), el Teorema de la Funci´on Inversa asegura que tambi´en (uj , vj ) son funciones diferenciables de (ui , vi ). El hecho de que cualquier punto del plano proyectivo real pertenezca a al menos una vecindad parametrizada: x¯1 ( 2 ), x¯2 ( 2 ) o x¯3 ( 2 ), y de que los cambios de coordenadas (ui (uj , vj ), vi (uj , vj )) sean difeomorfismos, es decir, funciones diferenciables con inversa diferenciable, lo cual acabamos de demostrar, se expresa diciendo que P 2 ( ) es una variedad diferenciable de dimensi´on dos. Note que cada parametrizaci´on cubre al plano proyectivo salvo una recta proyectiva, caracterizada por x = 0 en el caso de x¯1 , y = 0 en el caso de x¯2 , y z = 0 en el caso de x¯3 ; dos de las parametrizaciones no bastan porque el punto

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131 de intersecci´on de las dos rectas faltantes, una en cada vecindad parametrizada, falta en ambas. La u ´ltima parametrizaci´on en (3.3) fue la que utilizamos para los puntos ordinarios del plano af´ın; si hubi´eramos elegido alguna de las otras dos, la recta al infinito tendr´ıa como ecuaci´on x = 0 en el primer caso, o y = 0 en el segundo. De hecho, tiene sentido decir que el plano af´ın resulta de elegir una recta del plano proyectivo, que debe permanecer invariante bajo las transformaciones permitidas en la Geometr´ıa af´ın. Esto u ´ltimo justifica la t´ecnica de homogeneizar una ecuaci´on polinomial con coeficientes reales en dos variables, F (x, y) = 0. Tomemos como ejemplo la ecuaci´on cartesiana de una c´onica: Ax2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

(3.5)

Si z = 0, la sustituci´on x → x/z, y → y/z en (3.5), da lugar a la ecuaci´on A(x/z)2 + 2B(x/z)(y/z) + C(y/z)2 + 2D(x/z) + 2E(y/z) + F = 0,

(3.6)

que se transforma en una ecuaci´on polinomial homog´enea en las tres variables x, y y z cuando multiplicamos por z 2 : Ax2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dxz + 2Eyz + F z 2 = 0.

(3.7)

´ Esta es la ecuaci´on proyectiva de una c´onica, y con ella ser´a sencillo demostrar, una vez que hayamos introducido el grupo de transformaciones cuyos invariantes nos interesan, la afirmaci´on hecha en la introducci´on a este cap´ıtulo: que todas las c´onicas no singulares son proyectivamente equivalentes. Por lo pronto, note que cualquier lugar geom´etrico proyectivo dado por una ecuaci´on polinomial homog´enea, puede estudiarse usando tres ecuaciones afines, porque hay tres formas can´onicas de “deshomogeneizar”. En nuestro ejemplo, si z = 0, podemos dividir entre z 2 y recuperamos la ecuaci´on original (3.5), pero tambi´en podemos dividir entre y 2 para los puntos (x : y : z) con y = 0, y obtenemos la ecuaci´on (estamos escribiendo x en vez de x/y y z en vez de z/y) Ax2 + 2Bx + C + 2Dxz + 2Ez + F z 2 = 0.

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(3.8)

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132 Desde luego, podemos hacer lo an´alogo para x: dividir entre x2 , lo cual tiene sentido para todos los puntos (x : y : z) ∈ P 2 ( ) tales que x = 0; esta vez obtenemos una ecuaci´on de segundo grado en y y z que no escribiremos. Como lo dijimos ya, la homogeneizaci´on es una t´ecnica, una t´ecnica que aplicamos cuando queremos estudiar propiedades proyectivas de un objeto geom´etrico. En el caso de P 1 ( ) tambi´en podemos hablar de cartas coordenadas, s´olo que ahora las coordenadas son complejas. Sabemos que cualquier punto (z : w) ∈ P 1 ( ) admite un representante de al menos una de las dos formas siguientes: - si z = 0, (z : w) = (1 : w/z); - si w = 0, (z : w) = (z/w : 1), as´ı que esta vez basta con dos parametrizaciones que aplican tener parametrizados todos los puntos de P 1 ( ): x¯1 (z1 ) = (1 : z1 ), z1 ∈ x¯2 (z2 ) = (z2 : 1), z2 ∈

.

en P 1 ( ), para

(3.9)

En cada vecindad parametrizada s´olo falta un punto: (0 : w) para la primera, (z : 0) para la segunda, pero ese punto est´a incluido en la otra vecindad parametrizada. Y para los puntos (z : w) que figuran en ambas cartas, el cambio de coordenadas est´a dado por z1 = z2−1 . Tambi´en en este caso el cambio de coordenadas es diferenciable, pues la derivada de una funci´on f : → , se define exactamente igual que en el caso de : es el l´ımite (si existe) del cociente del incremento del valor de la funci´on entre el incremento de la variable, cuando ´este u ´ltimo tiende a cero (vea [A] o [Ma]). Entonces el cambio de coordenadas z1 = z2−1 , es diferenciable en todos los puntos de su dominio (definido precisamente por z1 , z2 = 0), lo mismo que su inversa; en Variable compleja, una funci´on diferenciable se llama holomorfa o anal´ıtica, y cuando la inversa tambi´en es diferenciable, a la funci´on original se le llama biholomorfismo. Debido a esta propiedad del cambio de coordenadas, se dice que P 1 ( ) es una superficie de Riemann. El lector interesado en este tema, del que veremos un poco m´as en el cap´ıtulo 4, puede consultar [F] o [Spr].

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133

EJERCICIOS 1. Demuestre que la esfera S 2 = {(x, y, z) ∈ 3 | x2 + y 2 + z 2 = 1} es una variedad diferenciable de dimensi´on dos usando dos parametrizaciones: la proyecci´on estereogr´ afica desde el polo norte, y la proyecci´ on estereogr´ afica desde el polo sur. Determine la intersecci´on de las regiones de la esfera parametrizadas por cada una, y encuentre expl´ıcitamente los cambios de coordenadas para demostrar que son difeomorfismos. 2. Defina dos proyecciones estereogr´ aficas para la esfera de dimensi´ on n, S n = {(x1 , ..., xn+1 ) ∈ n+1 | x21 + ... + x2n+1 = 1}, a fin de demostrar que es una variedad n-dimensional. 3. Demuestre que la Botella de Klein es una variedad diferenciable de dimensi´on 2. 4. Demuestre que P n ( ) es una variedad diferenciable de dimensi´on n. ¿Qu´e puede decir al respecto de P n ( )?

3.5.

El grupo proyectivo

Hemos prometido dos cosas respecto al grupo de transformaciones cuyos invariantes estudiaremos en este cap´ıtulo: que contendr´an al grupo af´ın como subgrupo, y que, haciendo honor a su nombre, incluir´an las proyecciones de una recta proyectiva en otra desde un punto exterior a ambas rectas. En cuanto a lo segundo, las proyecciones de una recta en otra desde un punto exterior a ambas se llaman perspectividades, y como la composici´on de dos perspectividades no necesariamente es una perspectividad (vea la Figura 3.16) pero s´ı debe ser elemento del grupo proyectivo, un elemento cualquiera del grupo proyectivo se llamar´a una proyectividad. Y en cuanto a extender el grupo de las afinidades, que est´an dadas por matrices invertibles de 3 × 3 de un cierto tipo, es natural considerar el grupo lineal de orden 3, GL(3, ). Veamos si es el grupo adecuado a nuestros prop´ositos. Las proyectividades deben llevar puntos proyectivos en puntos proyectivos y rectas proyectivas en rectas proyectivas, para empezar. Eso parece posible

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134 porque cualquier T ∈ GL(3, ) es una transformaci´on lineal no singular y eso implica que lleva subespacios unidimensionales y bidimensionales de 3 (rectas por el origen y planos por el origen), en subespacios de la misma dimensi´on. Pero necesitamos m´as: el subespacio resultante debe ser independiente del vector particular que define al subespacio original. Y eso ocurre, pues s´olo depende de su direcci´on: ⎛

⎞⎛

⎞

⎛

⎞

a b c λx λ(ax + by + cz) ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ d e f ⎠ ⎝ λy ⎠ = ⎝ λ(dx + ey + f z) ⎠ . g h i λz λ(gx + hy + iz) En consecuencia, cualquier elemento de GL(3, ) lleva puntos proyectivos en puntos proyectivos, y tambi´en las rectas proyectivas se transforman en rectas proyectivas, por la dualidad (piense en el vector normal en 3 al subespacio bidimensional correspondiente a la recta proyectiva que se debe transformar). Finalmente, note que cualquier m´ ultiplo no cero de una matriz dada M ∈ GL(3, ), define la misma proyectividad, pues las ternas resultantes s´olo difieren por ese m´ ultiplo; por tanto, el punto proyectivo obtenido es el mismo y, por la dualidad, lo mismo puede decirse para una recta proyectiva. Por eso el grupo proyectivo ser´a P GL(3, ), el conjunto de las clases de matrices en GL(3, ) definidas por la relaci´on de equivalencia ⎛

⎞

⎛

a b c a ⎜ ⎟ ⎜  ⎝d e f ⎠ ∼ ⎝d g h i g si existe λ ∈

b e h

⎞

c ⎟ f ⎠ i

− {0} tal que ⎛

a ⎜  ⎝d g

b e h

⎞

⎛

⎞

c λa λb λc ⎜ ⎟ ⎟ f ⎠ = ⎝ λd λe λf ⎠ . i λg λh λi

Es interesante ver c´omo se relacionan el transformado de un punto y la transformada de una recta bajo una misma proyectividad. Tomemos como ecuaci´on de una recta Ax + By + Cz = 0, y escrib´amosla como el producto de matrices ⎛

(A B

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⎞

x ⎜ ⎟ C ) ⎝ y ⎠ = 0. z

(3.10)

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135 Como la matriz M que define una proyectividad es invertible, la relaci´on P  = MP , implica P = M −1 P  , y al sustituir ⎛

⎞

⎛

⎞−1 ⎛

x a b c ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝y ⎠ = ⎝d e f ⎠ z g h i

⎞

x ⎜ ⎟ ⎝y ⎠, z

en (3.10), obtenemos la ecuaci´on de la recta transformada bajo la proyectividad correspondiente a M: ⎛

(A B

a

⎜ C )⎝d

g

⎞−1 ⎛

b c ⎟ e f⎠ h i

x

⎞

⎜ ⎟ ⎝ y ⎠ = 0.

(3.11)

z

De esta ecuaci´on es claro que la terna que define a la recta transformada est´a dada as´ı ⎛

( A

B

C ) = ( A B

a

⎜ C )⎝d

g

⎞−1

b c ⎟ e f⎠ h i

,

y (A B  C  ) = (0 0 0) porque M es no singular y (A B C) = (0 0 0). Como en el plano proyectivo no hay puntos distinguidos, uno espera que cualquier punto pueda P transformarse en otro P  por una proyectividad: si eso ocurre, otro tanto puede decirse para las rectas, por la dualidad. En el Ejercicio 4 el lector deber´a demostrar que lo anterior es cierto y por eso decimos que el grupo proyectivo es transitivo en puntos y rectas. Comprobemos ahora que el grupo proyectivo es m´as amplio que el grupo af´ın; bastar´a demostrar que una perspectividad puede darse como un elemento de P GL(3, ), pero que no es una transformaci´on af´ın. Empecemos por esto u ´ltimo. Proposici´ on. Una perspectividad no es transformaci´on af´ın. Demostraci´on. Consideremos la Figura 3.14, que ilustra el plano af´ın, donde las rectas L y M corresponden a los ejes y = 0 y x = 0, y el punto O desde el cual proyectaremos L en M tiene las coordenadas (1, 1, 1). El sistema coordenado se completa con el eje z = 0, que en el plano af´ın corresponde a la recta al infinito.

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136 El dibujo muestra que bajo la proyecci´on de L en M desde (1, 1, 1), el punto al infinito (0 : 1 : 0) del plano af´ın es la imagen de un punto finito (x, 0, 1) (de hecho, sabemos que es el punto (1, 0, 1)), y en cambio el punto al infinito de la recta L (el eje y = 0), (1 : 0 : 0), se proyecta en un punto finito (0, y, 1) (tambi´en en este caso sabemos cu´al es el punto: (0, 1, 1)). Como el tipo de punto es invariante bajo transformaciones afines, hemos demostrado que una perspectividad no puede ser una transformaci´on af´ın.2 y=0

(0 : 1 : 0)

(1 : 0 : 0)

M

y=0 (1, 1, 1)

x=0

L

(0, 1, 1)

2

(1, 0, 1) (0, 0, 1) Figura 3.14: Una perspectividad no es una transformaci´on af´ın.

Pero una perspectividad s´ı esta dada por un elemento del grupo proyectivo: Proposici´ on. Una perspectividad es una proyectividad. Demostraci´on. Debemos demostrar que dadas dos rectas L y M, y un punto fuera de ambas, O, existe un elemento de P GL(3, ) que lleva los puntos P de L en los puntos P  de M de forma que P OP  sean colineales. El sistema coordenado adecuado es aqu´el donde L corresponde a y = 0 y M corresponde a x = 0 (vea la Figura 3.15); el centro de proyecci´on ser´a el punto O(1 : 1 : 1) y el tercer eje es una recta distinta de las anteriores que no pasa por O. Note que (0 : y : 1) es colineal con (x : 0 : 1) y (1 : 1 : 1) si y s´olo si (x : 0 : 1) es colineal con (0 : y : 1) y (1 : 1 : 1), por lo que una perspectividad es su propia inversa (Ejercicio 2); la colinealidad equivale a la nulidad del determinante formado con sus coordenadas:

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137  x   0  1



0 1   y 1  = 0,  1 1

y despu´es de desarrollar el determinante, resulta y = x/(x − 1). Por tanto, nuestra tarea se reduce a encontrar una matriz que lleve el punto (x : 0 : 1), en el punto (0 : x : x − 1) (¿por qu´e?). Es claro que el punto com´ un a L y M, (0 : 0 : 1) permanece fijo, lo cual significa que (note que en el lado derecho s´olo pedimos λ = 0): ⎛

⎞⎛ ⎞

⎛

⎞

a b c 0 0 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ d e f ⎠ ⎝ 0 ⎠ = ⎝ 0 ⎠ , λ = 0. λ g h i 1 Al efectuar la multiplicaci´on del lado izquierdo obtenemos c = 0, f = 0, i = 0, y en consecuencia la matriz tiene la forma ⎛

⎞

a b 0 ⎜ ⎟ ⎝ d e 0 ⎠ , i = 0. g h i

(0 : 1 : 0)

(0 : y : 1) M (1 : 1 : 1)

(0 : 0 : 1)

(x : 0 : 1)

(1 : 0 : 0) L

Figura 3.15: Sistema coordenado conveniente para la demostraci´ on

Al establecer la condici´on de que los puntos de la recta L, (x : 0 : z), se apliquen en puntos de la recta M, (0 : y  : z  ), obtenemos a = 0 (verif´ıquelo),

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138 y eso restringe a´ un m´as a la matriz: ⎛

0

⎜ ⎝d

g

⎞

b 0 ⎟ e 0 ⎠ , i = 0. h i

Tambi´en podemos utilizar las observaciones hechas respecto a la Figura 3.14: el punto (1 : 0 : 1) se proyecta en el punto (0 : j : 0), con j = 0, y el punto (1 : 0 : 0) se proyecta en el punto (0 : h : h), con h = 0; despu´es de efectuar las multiplicaciones resulta: d = 0, g + i = 0, y d = −i, y la matriz es ⎛

⎞

0 b 0 ⎜ ⎟ ⎝ −i e 0 ⎠ . −i h i La condici´on que define a la perspectividad implica que cualquier recta por (1 : 1 : 1) se transforma en s´ı misma, as´ı que el punto (1 : 1 : 1) queda invariante: ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 b 0 1 k ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −i e 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ = ⎝ k ⎠ , k = 0. −i h i 1 k Al efectuar la multiplicaci´on del lado izquierdo, obtenemos: ⎛

⎞

b ⎜ ⎟ ⎝ −i + e ⎠ , −i + h + i y como las tres entradas deben ser iguales y no cero b = −i + e = h. Usamos ahora el resultado del Ejercicio 2: una perspectividad es un involuci´on; entonces, al multiplicar la matriz por s´ı misma obtenemos la identidad (haga la multiplicaci´on); eso da b = −i y si b = 1, la matriz representante es ⎛

⎞

0 1 0 ⎜ 0 ⎟ ⎝1 0 ⎠, 1 1 −1 por eso hay una sola T ∈ P GL(3, ) que da la perspectividad buscada.2 Supongamos ahora que tenemos una perspectividad de L en M desde O (vea la Figura 3.16), y otra de M en N desde O  ; la composici´on es una

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139 C  D

O

D

B A

O

C

L

M B A

D



C



N B 

A

Figura 3.16: La proyectividad que resulta de componer dos perspectividades no necesariamente es una perspectividad.

proyectividad, pero no necesariamente es una perspectividad de L en N , pues las rectas AA , BB  y CC  no son concurrentes. Pero s´ı ser´a cierto que cualquier proyectividad entre dos rectas, esto es, una correspondencia entre sus puntos establecida por un elemento de P GL(3, ), puede expresarse como el producto de a lo m´as tres perspectividades. Eso ser´a consecuencia del llamado Teorema Fundamental de la Geometr´ıa Proyectiva, que enunciamos y demostramos a continuaci´on. Teorema. Dadas dos cuartetas A, B, C, D y A , B  , C  , D de puntos de P 2 ( ), cada una en posici´on general, existe una u ´nica proyectividad T ∈ P GL(3, ) tal que A = T (A), B  = T (B), C  = T (C) y D  = T (D). La demostraci´on es consecuencia del Lema siguiente. Lema. Dados cuatro puntos A, B, C, D ∈ P 2 ( ) en posici´on general, es posible encontrar representantes para ellos que cumplan (a1 , a2 , a3 ) = (b1 , b2 , b3 )+ (c1 , c2 , c3 ) + (d1 , d2 , d3 ). Demostraci´on. Cuatro puntos proyectivos en posici´on general, equivalen a cuatro direcciones no coplanares de 3 , y en consecuencia, vectores en la direcci´on de cualesquiera tres de ellas generan un vector en la direcci´on de la

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140 cuarta:

(a1 , a2 , a3 ) = β(b1 , b2 , b3 ) + γ(c1 , c2 , c3 ) + δ(d1 , d2 , d3 ).

Basta entonces tomar (b1 , b2 , b3 ) = (βb1 , βb2 , βb3 ), (c1 , c2 , c3 ) = (γc1 , γc2 , γc3 ), y (d1 , d2 , d3) = (δd1 , δd2 , δd3 ), para obtener los representantes buscados.2 Demostraci´on del Teorema. Aplicamos el lema a cada cuarteta para obtener representantes tales que ¯  + C¯  + D ¯ . ¯ + C¯ + D, ¯ A¯ = B A¯ = B 3

¯ C, ¯ D ¯ de ´nica matriz que lleva la base B, Entonces, si M ∈ GL(3, ) es la u    t t ¯ , C¯ , D ¯ , la linealidad implica que A¯ = M A¯ .2 en la base B Un corolario inmediato es el siguiente.

Corolario 1. Si T ∈ P GL(3, ) fija cuatro puntos en posici´on general, entonces T = Id ∈ P GL(3, ). Cuando el lema y el teorema se enuncian para el caso de P 1 ( ), es f´acil demostrar el resultado siguiente, que se refiere a cualquiera de los dos tipos de haces ilustrados en la Figura 3.5. Corolario 2. Una correspondencia proyectiva entre dos haces, est´a determinada por dos ternas de puntos correspondientes. Como consecuencia tenemos otro corolario. Corolario 3. Una proyectividad entre dos haces es producto de, a lo m´as, tres perspectividades. Demostraci´on. Note que si el punto de intersecci´on de dos rectas se aplica en s´ı mismo, una proyectividad entre ellas debe ser una perspectividad (¿por qu´e?). Entonces, dados A, B, C ∈ L y A , B  , C  ∈ L , la proyectividad T entre las rectas L y L que lleva una terna en otra, puede exhibirse introduciendo una recta auxiliar M por A (vea la Figura 3.17). Ahora proyectamos los puntos de L en M desde O = AA ∩ BB  ; las im´agenes de A, B y C son A , B  y C  y si proyectamos los puntos de M en L desde O  = B  B  ∩ C  C  : A va en s´ı mismo, B  va en B  , y C  va en C  . Al componer ambas perspectividades resulta la proyectividad T .

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141 L

O

M

C A

C 

B B 

L

C

B

A

O Figura 3.17: Una proyectividad entre dos rectas distintas es composici´on de dos perspectividades.

Cuando L = L , la introducci´on de una recta auxiliar L en la que proyectemos los puntos de L desde O  exterior a ambas rectas, nos lleva a la situaci´on anterior (vea el Ejercicio 8).2 Antes de concluir este inciso, volvamos la mirada a P 1 ( ), para determinar algunas propiedades de las transformaciones que act´ uan en ´el. Por analog´ıa con el caso de P 2 ( ), el grupo cuyos invariantes interesa estudiar debe ser P GL(2, ), esto es, clases de matrices de 2 × 2 invertibles, cuyas entradas a, b, c, d, son n´ umeros complejos, y que act´ uan sobre un elemento de (z : w) ∈ P 1 ( ) por multiplicaci´on: 

a b c d



z w





=



az + bw . cz + dw

Entonces, excepto para el punto de P 1 ( ) con w = 0, tiene sentido escribir (porque (z : 1) es un representante de un punto con w = 0) f (z) =

az + b , cz + d

(3.12)

y la acci´on de f puede extenderse a  con las reglas usuales del C´alculo cuando la variable z tiende a infinito: f (∞) = a/c, f (−d/c) = ∞.

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142 Note que, en el primer caso, el procedimiento equivale a utilizar la carta correspondiente a z = 0, es decir, si el representante es (1 : w), para w = 0 obtenemos el valor a/c. La expresi´on (3.12) muestra que podemos restringirnos a matrices con determinante 1 (basta dividir los coeficientes entre la ra´ız cuadrada del determinante de la matriz). Por tanto, el grupo que act´ ua en P 1( ) es P SL(2, ), donde la S indica que el determinante es 1. Este grupo es mejor conocido como el grupo de transformaciones de M¨ obius, y nos interesa porque juega un papel relevante en Geometr´ıa Hiperb´olica, como veremos en el cap´ıtulo 4. Por ahora s´olo demostraremos que las transformaciones de M¨obius son directamente conformes porque respetan a´ngulos con todo y sentido. Proposici´ on. Las transformaciones de M¨obius, P SL(2, ), son directamente conformes. Demostraci´on. Basta efectuar la divisi´on indicada en (3.12): a b − (ad/c) az + b = + , cz + d c cz + d pues el lado derecho expresa a f como composici´on de transformaciones directamente conformes (vea el Ejercicio 10): f (z) =

z → cz → cz + d →

b − (ad/c) b − (ad/c) 1 → → + (a/c).2 cz + d cz + d cz + d

EJERCICIOS 1. Haga los c´ alculos omitidos en la demostraci´ on de que una perspectividad es elemento de P GL(3, ). 2. Demuestre que una perspectividad es una involuci´ on (i.e., es su propia inversa). 3. Encuentre la recta transformada de 2x − y + 4z = 0 bajo la proyectividad dada por la matriz ⎛ ⎞ 0 1 0 ⎝ −1 −1 −1 ⎠ . 1 1 −1

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143 4. ¿Es siempre posible encontrar una proyectividad que lleve un punto dado en otro? ¿Y si se trata de dos rectas cualesquiera? ¿Y si adem´ as fijamos un punto en cada recta? Justifique sus respuestas. 5. Demuestre que la transformada de una c´ onica no singular bajo una proyectividad, es otra c´onica no singular. 6. Encuentre una proyecci´ on en hip´erbola.

3

que lleve una circunferencia en una

7. Demuestre el corolario 2. 8. Demuestre el corolario 3 cuando las dos ternas de puntos pertenecen a la misma recta. 9. Enuncie y demuestre el Teorema Fundamental de la Geometr´ıa proyectiva para P n ( ). 10. Compare el Teorema Fundamental de la Geometr´ıa proyectiva con la afirmaci´ on de que el dibujo de un mosaico determina los restantes. 11. Compruebe que cada uno de los tipos de transformaciones en que se descompone una transformaci´ on de M¨obius, es conforme.

3.6.

Invariancia de la raz´ on cruzada

Una vez establecidas las transformaciones permitidas, nuestra tarea es encontrar los invariantes asociados. Uno de ellos, fundamental para gran parte de la teor´ıa, es num´erico y se refiere a la raz´on doble de cuatro elementos de un haz, pensado ´este como P 1 ( ), invariante descubierto por Pappus de Alejandr´ıa hacia 300 d.C. Empecemos por observar que una perspectividad no respeta la raz´on en que un punto divide a un segmento; la Figura 3.18 ilustra un tri´angulo is´osceles, y cuando la base AB se proyecta desde C en una recta que pasa por B distinta de la base, el punto medio M se aplica en un punto M  que no divide al segmento A B en partes iguales. En consecuencia, la raz´on en que un punto divide a un segmento no es un invariante proyectivo, por eso puede parecer sorprendente que s´ı lo sea la raz´ on doble o cruzada (A, B; C, D) entre cuatro puntos colineales A, B, C, y D, que para puntos de la recta real tiene la forma: (A, B; C, D) =

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C−A B−C D−A B−D

=

(A − C)(D − B) , (C − B)(A − D)

(3.13)

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144 C A M

A

M

B

Figura 3.18: La raz´on en que un punto divide a un segmento, no es un invariante proyectivo.

El cociente doble (3.13) se forma, como lo exhibe el miembro intermedio, como el cociente de dos razones: la raz´on en que C divide al segmento AB entre la raz´on en que D divide a ese mismo segmento. Note que el orden en que se escriben los puntos es muy importante, y para convencerse de ello, nada mejor que efectuar el ejercicio cl´asico (Ejercicio 4), consistente en demostrar que, fijos cuatro puntos colineales, hay s´olo seis valores posibles de la raz´on doble, dependiendo del orden en que se escriben los puntos; por ejemplo, es muy f´acil comprobar que si intercambiamos las parejas conservando el orden en ellas, la raz´on doble se conserva: (A, B; C, D) = (C, D; A, B). En la Figura 3.19 hemos marcado los ´angulos α, β, γ y δ; el lector queda encargado de demostrar (Ejercicio 3), usando la Ley de los Senos, que (A, B; C, D) y (A , B  ; C  , D ) tienen la misma expresi´on en t´erminos de los senos de esos a´ngulos : senα senδ senβ senγ Un caso particularmente interesante ocurre cuando el valor de la raz´on cruzada (A, B; C, D) es −1; se dice entonces que A, B, C, D forman un conjunto arm´ onico de puntos (como el lector sospechar´a, el t´ermino proviene de la m´ usica), y que C y D son conjugados arm´ onicos uno de otro respecto a A, B 1 . 1 Si una cuerda oprimida en los puntos A y B produce una cierta nota, al oprimirla en los puntos C y D se obtienen las otras notas de la triada mayor.

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145 En el estudio de los invariantes proyectivos, hay varios conjuntos de puntos arm´onicos que surgen de manera natural, como veremos m´as adelante. O D α

A

β

C B δ γ

A

B

D

C

Figura 3.19: La raz´on doble (A, B; C, D) es igual a la raz´on doble (A , B  ; C  , D  ).

La manera de extender la definici´on de raz´ on doble de cuatro puntos de una recta proyectiva, con coordenadas (a1 : a2 ), (b1 : b2 ), (c1 : c2 ), (d1 : d2 ), es   a1  a (A, B; C, D) =  2  c1 c 2





c1   d1 b1  c2   d2 b2   . b1   a1 d1  b2   a2 d2 

(3.14)

Es inmediato comprobar que la definici´on no depende de los representantes escogidos para los puntos, debido a las propiedades de los determinantes y a que cada uno figura tanto en el numerador como en el denominador. Y para demostrar que esta definici´on extiende la del caso euclidiano, calcule el valor de la raz´on cruzada cuando la segunda coordenada de cada punto es 1. En los ejercicios hay varias expresiones para la raz´on cruzada que vale la pena tener presentes para utilizar la m´as adecuada a una cierta situaci´on. Para demostrar la invariancia bajo proyectividades de la raz´on cruzada entre cuatro elementos de un haz, usamos primero que al suprimir en la f´ormula (1.2) el valor absoluto en el numerador, obtenemos la distancia orientada

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146 de un punto P0 (x0 , y0 ) ∈

2

a la recta L de ecuaci´on Ax + By + C = 0:

d(P0 , L) =

Ax0 + By0 + C √ . A2 + B 2

(3.15)

Consideremos ahora dos rectas A y B, con ecuaciones α(x, y) = A1 x + B1 y + C1 = 0

y

β(x, y) = A2 x + B2 y + C2 = 0,

que abreviaremos como α = (A1 , B1 , C1 ) y β = (A2 , B2 , C2 ). Con esa notaci´on, el conjunto de puntos P (x, y) ∈ 2 cuyas distancias a A y B est´an en la raz´on constante k, es la recta C correspondiente a γ(x, y) = 0, si los coeficientes de γ est´an dados por 

A21 + B12 β, γ = α − k A22 + B22

(3.16)

como es inmediato verificar si se escriben las dos distancias en la forma (3.15) y se pide que el cociente entre ellas sea k. La lectura interesante de lo anterior es que la recta C representada por (3.16) divide al par (A, B) en la raz´on k, y si tenemos otra recta D con ecuaci´on δ(x, y) = 0 dada por 

A21 + B12 β, δ(x, y) = α − h  A22 + B22

(3.17)

la raz´on cruzada de las rectas (A, B; C, D) es, simplemente, k/h. Escribamos este resultado como un lema, con la notaci´on simplificada que toma en cuenta que, para las rectas proyectivas obtenidas al homogeneizar las ecuaciones, los coeficientes de la combinaci´on proporcionan coordenadas para las rectas del haz definido por (A, B): Lema 1. Si las rectas concurrentes A, B, C y D tienen coordenadas α, β, α + λβ y α + μβ, entonces el valor de la raz´on cruzada (A, B; C, D) es (A, B; C, D) =

λ . μ

√ 2 2 A1 +B1 √ Note que no es necesario normalizar las ecuaciones, pues el factor 2 2 aparecer´ıa tanto en el numerador como en el denominador.

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A2 +B2

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147 Para demostrar la invariancia bajo T ∈ P GL(3. ) de la raz´on cruzada de cuatro puntos colineales A, B, C y D, ya s´olo necesitamos establecer un segundo lema. Lema 2. Si A, B, C y D son cuatro puntos colineales con coordenadas (a1 : a2 : a3 ); (b1 : b2 : b3 ) ; (a1 : a2 : a3 ) + λ(b1 : b2 : b3 ) ; (a1 : a2 : a3 ) + μ(b1 : b2 : b3 ), respectivamente, al unirlos con un punto (r1 : r2 : r3 ) externo a su recta, obtenemos rectas A, B, C y D cuya raz´on doble es λ (A, B; C, D) = . μ Demostraci´on. Basta escribir las ecuaciones de las rectas mediante la nulidad del determinante cuyas columnas son (x, y, z)t , (a1 , a2 , a3 )t , y (r1 , r2 , r3 )t , para α(x, y, z) = 0, y an´alogamente para las otras tres. En el caso de C y D, la columna intermedia es combinaci´on de dos columnas y, por las propiedades de los determinantes, las ecuaciones de las cuatro rectas tienen precisamente la forma dada en el lema 1, lo cual concluye este segundo lema.2 Con estos resultados, la invariancia de la raz´on cruzada bajo proyectividades es inmediata. Teorema. La raz´on cruzada (A, B; C, D) de cuatro puntos colineales distintos A, B, C, D es invariante bajo cualquier T ∈ P GL(3, ). Demostraci´on. Los puntos colineales A, B, C, D, se aplican, bajo T , en puntos colineales A , B  , C  , D . El argumento usado en la demostraci´on del lema del inciso 3.5, asegura que es posible encontrar representantes de los primeros tres tales que sus coordenadas sean (a1 : a2 : a3 ), (b1 : b2 : b3 ), (a1 : a2 : a3 ) + (b1 : b2 : b3 ), y entonces la combinaci´on lineal de (a1 : a2 : a3 ) y (b1 : b2 : b3 ) que da las coordenadas de D, est´a determinada por el valor λ de la raz´on cruzada (A, B; C, D) : (a1 : a2 : a3 ) + λ−1 (b1 : b2 : b3 ). Al aplicar T a cada uno de esos puntos, las combinaciones de las coordenadas de A y B  correspondientes a C  y D  coinciden con las de C y D; en consecuencia, (A, B; C, D) = (A , B  ; C  , D). 2

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148

EJERCICIOS 1. Considere los puntos −2, 0, 3 y 5 de la recta real, y establezca todas las posibles razones dobles entre ellos. 2. Demuestre que, para puntos en 2 , las f´ormulas para las coordenadas del punto P (x, y) que divide al segmento P1 P2 en la raz´on μ = 1, son x=

x1 − μx2 y1 − μy2 , y= . 1−μ 1−μ

(Sugerencia: considere los tri´ angulos semejantes que se forman al trazar una paralela al eje X por P1 , y las paralelas al eje Y por P y P2 .) 3. En la Figura 3.19, demuestre (A, B; C, D) = (A , B  ; C  , D ) expresando ambas razones dobles en t´erminos de los senos de los ´angulos α, β, γ y δ. 4. Demuestre que, fijos cuatro puntos colineales, los u ´ nicos valores posibles para las razones dobles que pueden establecerse entre ellos son λ, 1 − λ, λ/(1 − λ) y sus rec´ıprocos. 5. Demuestre que cuatro puntos de un haz forman un conjunto arm´ onico si y s´ olo si (A, B; C, D) = (A, B; D, C). 6. Para rectas de un haz, enuncie y demuestre resultados an´ alogos a los propuestos en los ejercicios anteriores. 7. En cada caso, demuestre que la raz´ on cruzada tiene el valor propuesto cuando los elementos del haz (que pueden ser puntos colineales o rectas concurrentes), tienen las expresiones dadas (escribimos a ¯ para (a1 : a2 )): (¯ a, ¯b; k1 a ¯ + h1¯b, k2 a ¯ + h2¯b) =

h1 k2 ; h2 k1

(k3 − k1 )(k4 − k2 ) (¯ a + k1¯b, a ¯ + k2¯b; a ¯ + k3¯b, a ¯ + k4¯b) = ; (k3 − k2 )(k4 − k1 )   k3   k1 ¯ + h1¯b, k2 a ¯ + h2¯b; k3 a ¯ + h3¯b, k4 a ¯ + h4¯b) =  (k1 a  k3  k2

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 h3   k4 h1   k2  h3   k4 h2   k1

 h4  h2  . h4  h1 

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149

3.7.

El espacio de las c´ onicas

Al principio del cap´ıtulo hicimos un dibujo que justifica intuitivamente el hecho de que Todas las c´ onicas no singulares son proyectivamente equivalentes. Ahora ya podemos justificar esa afirmaci´on formalmente de manera sencilla con s´olo observar que a cada c´onica no singular le corresponde una matriz sim´etrica no singular M (su clase m´as bien), es decir, un elemento de P GL(3, ), y como P GL(3, ) es un grupo, para cualesquiera dos elementos M y M  existe otro elemento, T , ´este pensado como transformaci´on proyectiva, tal que M  = T M. La forma de asignar una matriz sim´etrica (de hecho, una clase) a una c´onica proyectiva, resulta de escribir como un producto de matrices la ecuaci´on: Ax2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dxz + 2Eyz + F z 2 = 0, obtenida al homogeneizar la ecuaci´on cartesiana de una c´onica, Ax2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. El lector puede comprobar que el miembro izquierdo de la ecuaci´on anterior es ⎛ ⎞⎛ ⎞ A B D x ⎟⎜ ⎟ (x y z )⎜ (3.18) ⎝B C E ⎠⎝y ⎠, D E F z y tambi´en es sencillo demostrar la unicidad de la clase de la matriz sim´etrica, que en adelante se llamar´a la matriz de la c´ onica. Utilizando esas matrices, la clasificaci´on de las c´onicas proyectivas es muy sencilla, pues podemos diagonalizar la matriz por ser sim´etrica, y utilizando una proyectividad adecuada, las entradas de la diagonal son 1 o´ −1; entonces, si la c´onica es no singular su rango es 3 y, para que sea no vac´ıa, su signatura debe ser 1; en consecuencia, su forma can´onica es x2 + y 2 − z 2 = 0. En cambio, las c´onicas singulares no tienen una u ´nica forma can´onica. Como su matriz debe ser singular, el rango es 2 ´o 1.

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150 Cuando el rango es 2, la signatura puede ser 2 o´ 0, y las formas can´onicas son las siguientes: x2 + y 2 = 0, que corresponde al punto proyectivo (0 : 0 : z); x2 − y 2 = 0, que corresponde a dos rectas proyectivas, (x : x : z) y (x : −x : z). Finalmente, cuando el rango es 1 la forma can´onica es x2 = 0, cuyo lugar geom´etrico es la recta doble (0 : y : z). Analicemos ahora las c´onicas desde otro punto de vista. Como a cada c´onica proyectiva le corresponde una matriz sim´etrica de 3×3, podemos parametrizar al espacio de las c´onicas con las entradas de este tipo de matrices: 3 par´ametros en la diagonal y 3 arriba de la diagonal, 6 en total. Pero al formar clases perdemos una dimensi´on, y por eso esencialmente tenemos 5 par´ametros, lo cual corresponde al hecho geom´etrico de que 5 puntos, y no menos, determinan una c´onica. Es decir, cada c´onica proyectiva determina un elemento de P 5 ( ). Y viceversa, aunque la aplicaci´on no es biyectiva, pues cualquier punto en P 5 ( ) cuyas coordenadas tengan todas el mismo signo, corresponde al conjunto vac´ıo. No ocurrir´ıa eso si nuestras coordenadas fueran n´ umeros complejos, pues entonces el lugar geom´etrico de una ecuaci´on como x2 + y 2 + z 2 = 0 no ser´ıa vac´ıo. Para evitar el problema de que una ecuaci´on pueda carecer de ra´ıces, en Geometr´ıa Algebraica las variables toman valores en campos algebraicamente cerrados, donde cualquier polinomio con coeficientes en ´el, tiene una ´ ra´ız, y en consecuencia todas, en el campo. El Teorema Fundamental del Algebra, debido a Karl Friedrich Gauss (1777-1855), establece que tiene esa propiedad (vea [B-ML] o [A]). S´olo para el resto de este inciso, supondremos que las variables toman valores en ; entonces, la clasificaci´on de las c´onicas se simplifica porque el u ´nico invariante es el rango y la dejamos como ejercicio para el lector. Al tomar al azar un elemento (A : B : C : D : E : F ) de P 5( ), lo m´as probable es que determine una c´onica no singular, puesto que eso equivale a que el determinante de la matriz sim´etrica no se anule. En cambio, cuando el determinante se anula, las coordenadas del punto

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151 (A : B : C : D : E : F ) ∈ P 5 ( ) deben satisfacer la ecuaci´on de tercer grado: ACF + 2BED − CD 2 − AE 2 − F B 2 = 0.

(3.19)

5

Esta ecuaci´on define una hipersuperficie en P ( ), cuyo complemento es un conjunto abierto formado por puntos que representan c´onicas no singulares. El t´ermino hipersuperficie indica u ´nicamente que se ha perdido un grado de libertad, lo cual se debe a la restricci´on impuesta por la ecuaci´on; en este caso, a la dimensi´on 5 le restamos 1 y por ello decimos que las c´onicas de rango 2 determinan en P 5 ( ) un subconjunto de dimensi´on 4. Tambi´en podemos obtener la conclusi´on sobre la dimensi´on observando que una c´onica de rango 2 representa dos rectas distintas (rectas complejas), y como en P 2 ( ) tambi´en es v´alida la dualidad, el espacio de rectas tiene dimensi´on 2; en consecuencia, la dimensi´on del espacio de pares de rectas es 4. Cuando el rango es 1, en la matriz de la c´onica todos los subdeterminantes de orden 2 se anulan (lo cual implica que se satisface la ecuaci´on (3.19). Eso parecer´ıa establecer demasiadas ecuaciones, cada una de las cuales nos har´ıa perder un grado de libertad, pero si el lector escribe los determinantes encontrar´a que s´olo 3 de las ecuaciones que determinan son linealmente independientes, por eso la dimensi´on del espacio de c´onicas de rango 1 es 2. Desde luego, la conclusi´on sobre la dimensi´on es inmediata si tomamos en cuenta que cada c´onica de rango 1 determina una recta (doble) proyectiva, y que la dimensi´on del espacio de las rectas en P 2 ( ) es 2. Antes de concluir este inciso, mencionaremos la aplicaci´ on de Veronese (Veronese, G. 1854-1917), que puede definirse tanto para como para : v : P 2 ( ) → P 5 ( ), dada por (x : y : z) → (x2 : y 2 : z 2 : 2xy : 2xz : 2yz). Esta aplicaci´on es claramente diferenciable e inyectiva (compru´ebelo), y por eso la imagen tiene dimensi´on 2, es decir, es una superficie llamada la superficie de Veronese (1854-1917). Bajo esta aplicaci´on, cada c´onica C ⊂ P 2( ) pertenece a un hiperplano de P 5( ), aqu´el cuya ecuaci´on tiene como coeficientes las entradas de la matriz de la c´onica: Ax1 + Bx2 + Cx3 + Dx4 + Ex5 + F x6 = 0. El espacio dual de P 5 ( ) consta precisamente de los hiperplanos, y la correspondencia entre c´onicas de P 2 ( ) e hiperplanos de P 5 ( ), puede interpre-

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152 tarse como una correspondencia entre las c´onicas de P 2 ( ) y el dual (P 5( ))∗ de P 5 ( ).

EJERCICIOS 1. Compruebe que al homogeneizar la ecuaci´ on de una c´ onica no singular, la matriz asociada es no singular. onicas que pasen por los mismos 4 2. En 2 , d´e las ecuaciones de dos c´ puntos. Utilice esas ecuaciones para dar dos c´ onicas distintas en P 2 ( ) que se corten en 4 puntos. 3. Clasifique las c´ onicas en P 2 ( ). (Sugerencia: recuerde que en este caso el u ´ nico invariante es el rango.) 4. Demuestre que la aplicaci´on de Veronese es inyectiva.

3.8.

Propiedades proyectivas de las c´ onicas

En la Figura 3.20 hemos dibujado una elipse en la que fijamos seis puntos cualesquiera numerados del 1 al 6; la recta 12 corta a la recta 45 en un punto P , la recta 23 corta a la recta 56 en un punto Q, y la recta 34 corta a la recta 61 en un punto R. Trace ahora la recta P Q; comprobar´a que parece pasar por el punto R. Esta secci´on tiene como uno de sus prop´ositos la demostraci´on de este hecho, descubierto por Blaise Pascal (1623-62), quien, maravillado, acab´o por llamar m´ıstico a un hex´agono inscrito en una c´onica. Note que un caso particular del Teorema de Pascal es el Teorema de Pappus (cuya demostraci´on queda a cargo del lector): Teorema (Pappus). Si 1, 3 y 5 son tres puntos de una recta, y 2, 4 y 6 son tres puntos de otra recta, entonces las intersecciones de 12 con 45, de 23 con 56, y de 34 con 61, son colineales. Pero no es el de Pascal el resultado m´as sorprendente en las c´onicas; por

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153 ejemplo, podemos tomar cuatro puntos A, B, C, D de una c´onica (vea la Figura 3.21) y considerar las rectas que forman con dos puntos fijos, tambi´en en la c´onica, O y O  ; siempre existe una proyectividad entre los haces definidos por O y O  que lleva OA, OB, OC y OD en O  A, O  B, O C y O D. 1

3 5

2

Q

6

P

4

R

Figura 3.20: Las intersecciones de lados opuestos de un hex´ agono inscrito en una c´onica, son colineales.

El rec´ıproco tambi´en es cierto, y ambos resultados se resumen as´ı: Teorema (Caracterizaci´ on proyectiva de las c´ onicas). Toda c´onica es el lugar geom´etrico de las intersecciones de rectas correspondientes de dos haces con v´ertices O y O , donde la correspondencia est´a dada por una proyectividad. Este resultado es corolario del teorema siguiente, debido a Jacob Steiner (1796-1863) usando el concepto de haz de c´ onicas . Teorema (Steiner). Dados 4 puntos A, B, C, D, en una c´onica no singular, la raz´on cruzada de las rectas que determinan con un quinto punto O en la c´onica, no depende del punto O. Demostraci´on. La demostraci´on se reduce a comprobar que, si O  es otro punto en la c´onica, entonces (OA, OB; OC, OD) = (O  A, O B; O C, O D),

(3.20)

donde OA denota la recta del haz definido por O que contiene a A, O  A denota la recta del haz definido por O  que contiene a A, y an´alogamente para B, C, D.

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154 O

O

D

A C

B

Figura 3.21: Fijos A, B, C, D ∈ C, para cualesquiera O, O  ∈ C, ocurre que (OA, OB; OC, OD) = (O  A, O  B; O  C, O  D).

Sabemos que podemos encontrar coordenadas α y β para OA y OB de forma que α + β sean las coordenadas de OC; entonces, por (3.16), la raz´on cruzada de las rectas por O se reduce al cociente −β(D)/α(D). Para las rectas por O  tambi´en podemos encontrar representantes tales que, si α y β  son las coordenadas de O A y O B, entonces α + β  sean las coordenadas de O C, y por la misma raz´on de antes, la raz´on cruzada de las rectas por O  es −β  (D)/α (D). En consecuencia, la comprobaci´on de (3.20) se reduce a verificar la igualdad β  (D)/α(D) = β(D)/α(D).

(3.21)

Para ello, escribimos las ecuaciones de los pares de rectas OA, O B y O  A, OB, que son dos c´onicas singulares dadas, respectivamente, por (α¯ xt )(β  x¯t ) = 0

y

(α x¯t )(β x¯t ) = 0.

Como los cuatro puntos O, A, O , B pertenecen tambi´en a la c´onica C, su ecuaci´on debe ser combinaci´on lineal de las dos anteriores: r(α¯ xt )(β  x¯t ) + s(α x¯t )(β x¯t ) = 0. Lo mismo puede decirse respecto a los pares de rectas OA, O C y O A, OC, as´ı que la ecuaci´on de C tambi´en es combinaci´on lineal de las dos ecuaciones (α¯ xt )(α x¯t + β  x¯t ) = 0

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y

(α x¯t )(α¯ xt + β x¯t ) = 0.

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155 Si los coeficientes de esta otra combinaci´on lineal son ρ y σ, tenemos ραα + ραβ  + σαα + σα β = 0, y como B anula el segundo y el cuarto sumando pero no satisface αα = 0, el coeficiente ρ + σ del t´ermino en αα debe ser cero; eso implica que r = −s = 1. Por tanto, la ecuaci´on de C es (α¯ xt )(β  x¯t ) − (α x¯t )(β x¯t ) = 0, de la cual resulta la igualdad (3.21).2 La ecuaci´on (3.20) implica que tiene sentido definir la raz´ on cruzada de cuatro puntos en una c´ onica, precisamente como la raz´on cruzada de las rectas del haz con v´ertice O ∈ C que contienen esos cuatro puntos, pues ese n´ umero no depende de la elecci´on de O ∈ C. La demostraci´on del Teorema que caracteriza proyectivamente a las c´onicas, queda ahora a cargo del lector (Ejercicio 1). El Teorema de Pascal es una consecuencia sencilla del Teorema de Steiner, como veremos a continuaci´on. Teorema (del hex´ agono m´ıstico). Para cualquier hex´agono inscrito en una c´onica, las intersecciones de lados opuestos son colineales. Demostraci´on. Elegimos denotar a los puntos por n´ umeros porque entonces los lados opuestos (obtenidos al “brincar” dos lados consecutivos), se obtienen sumando 3 m´odulo 6 a los v´ertices del lado elegido: 12 y 45 con intersecci´on P ; 23 y 56 con intersecci´on Q, y 34 y 61 con intersecci´on R. La Figura 3.22, que reproduce la Figura 3.20, no s´olo marca las intersecciones P , Q y R de los lados opuestos, sino tambi´en S = 12∩56 y T = 16∩45, que nos servir´an para establecer razones cruzadas en las rectas 56 y 16, cuya igualdad estableceremos mediante proyecciones en la c´onica y el uso del Teorema de Steiner. El objetivo, la colinealidad de P, Q y R, se deber´a a que la igualdad entre las razones cruzadas de rectas en dos haces, obligar´a a P Q = P R. Escribimos (Q, S; 6, 5) para la raz´on doble entre los cuatro puntos en el lado 56 del hex´agono. Si proyectamos estos puntos en la c´onica desde el v´ertice 2, obtenemos, respectivamente, 3, 1, 6 y 5; por tanto, (Q, S; 6, 5) = (3, 1; 6, 5).

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156 1

3 5

2 S Q

4

6 T P

R

Figura 3.22: P , Q y R son colineales.

Si ahora proyectamos estos puntos de la c´onica en la recta 16 desde 4, obtenemos, respectivamente, R, 1, 6 y T ; en consecuencia, (Q, S; 6, 5) = (3, 1; 6, 5) = (R, 1; 6, T ). Entonces, hay una proyectividad del haz con v´ertice en P en s´ı mismo tal que (P Q, P S; P 6, P 5) = (P R, P 1; P 6, P T ). Las rectas P S y P 1 son la misma; otro tanto ocurre con las rectas P 5 y P T . Entonces las rectas P Q y P R tambi´en son la misma, como afirmamos.2 Antes de terminar este inciso, estableceremos una propiedad muy importante de un cuadril´atero, que generaliza el hecho siguiente, observado en cualquier paralelogramo euclidiano (vea la Figura 3.23): A

D

∞ B

M

C

Figura 3.23: M es el punto medio de BC.

La paralela a dos lados de un paralelogramo por el punto de intersecci´on de las diagonales, corta a cualquiera de los otros lados en su punto medio.

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157 Note que eso equivale a decir que (B, C; M, ∞) forman un conjunto arm´onico de puntos, donde ∞ es el punto al infinito de la recta BC. Como en la Geometr´ıa Proyectiva no hay paralelas, el enunciado toma la forma siguiente. Lema. En un cuadril´atero, los tres v´ertices en uno de sus lados (B, C y F ), y la intersecci´on M de ese lado con la recta del haz determinado por los otros lados que contienen a dos de esos v´ertices (BA y CD), y que pasa por la intersecci´on L de las diagonales AC y BD, forman un conjunto arm´onico de puntos, es decir, (B,C;M,F)=-1 (vea la Figura 3.24). Demostraci´on. El lector qued´o encargado de demostrar que (B, C; M, F ) = (C, B; M, F )−1; en consecuencia, B, C, M y F forman un conjunto arm´onico de puntos si y s´olo si (B, C; M, F ) = (C, B; M, F ). Nuevamente, bastar´a proyectar convenientemente para obtener la igualdad deseada: primero proyectamos el lado BC sobre el lado AD desde L, y luego proyectamos el lado AD en el lado BC desde G:

(B, C; M, F ) = (D, A; N, F ) = (C, B; M, F ).

La igualdad del primer y el u ´ltimo miembros es lo que busc´abamos.2 G A N

D

L

B

M

C

F

Figura 3.24: B, C, F y M forman un conjunto arm´ onico de puntos.

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158

EJERCICIOS 1. Demuestre que una c´onica es el lugar geom´etrico de las intersecciones de rectas correspondientes de dos haces ligados por una proyectividad. 2. Demuestre el Teorema de Pascal en el caso del hex´ agono ilustrado.

1

5 3

6 4

2

3. Dualice el concepto de c´onica utilizando la caracterizaci´on proyectiva de c´ onica. 4. Dualice el Teorema de Pascal; esta proposici´ on se llama Teorema de Brianchon. 5. Demuestre el Teorema de Pappus. 6. Analice qu´e ocurre con el Teorema de Pascal cuando dos de los v´ertices se confunden, i.e., cuando un “lado” se vuelve tangente a la c´ onica.

3.9.

Polos y polares

Al tratar el tema de la dualidad, utilizamos varias veces el concepto de ortogonalidad en 3 , donde el producto escalar es el producto punto usual. Cualquier producto escalar en 3 da lugar a una matriz sim´etrica (se llama la matriz de la m´ etrica) (vea [B-ML] o [Ri]), que en el caso del producto punto usual es la matriz neutra para el producto de matrices, y por eso la omitimos al escribir (a, b, c)·(r, s, t); en el caso general, para obtener el producto

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159 escalar de dos vectores cualesquiera, escribir´ıamos ⎛

A ⎜ (a b c)⎝B D

B C E

⎞⎛ ⎞

D r ⎟⎜ ⎟ E ⎠⎝s⎠. F t

La matriz sim´etrica puede pensarse como la matriz de una c´onica ⎛

(x y

A z )⎜ ⎝B D

B C E

⎞⎛

⎞

D x ⎜ ⎟ E⎟ ⎠ ⎝ y ⎠ = 0, F z

(3.22)

y cuando P0 (x0 : y0 : z0 ) no pertenece a la c´onica, el ´algebra muestra que el lugar geom´etrico de los puntos P (x : y : z) que satisfacen la ecuaci´on ⎛

( x0

y0

A ⎜ z0 ) ⎝ B D

B C E

⎞⎛

⎞

D x ⎟⎜ ⎟ E ⎠ ⎝ y ⎠ = 0, F z

(3.23)

es una recta, llamada la recta polar de P0 respecto a C, y cualquier punto en esa recta es un punto polar de P0 (vea la Figura 3.25). Note que la simetr´ıa de la matriz implica que la relaci´on A es polar de B respecto de C, es una relaci´on sim´etrica. Note tambi´en que los puntos en la c´onica son polares de s´ı mismos, y que las polares de puntos colineales, son rectas concurrentes (demu´estrelo). De nuestra discusi´on sobre la forma de P 2 ( ), el lector aceptar´a que hay una diferencia esencial entre una recta proyectiva y una c´onica, a pesar de que ambas son c´ırculos topol´ogicos: la primera no separa en dos regiones ajenas a P 2 ( ) (la l´ınea central de la Banda es una recta proyectiva, pues proviene de un c´ırculo m´aximo), mientras que una c´onica s´ı lo hace (el borde de la Banda es una c´onica, pues al provenir de dos paralelos ant´ıpodas satisface una ecuaci´on de segundo grado); de estas dos regiones, una es homeomorfa a un disco, y la otra a una Banda de M¨obius (vea la Figura 3.25). Entonces, un punto P0 que no pertenece a la c´onica puede pertenecer al interior de la c´onica, y en tal caso no existen tangentes a la c´onica por P0 (demu´estrelo algebraicamente); pero si el punto pertenece al exterior de la c´onica, la regi´on homeomorfa a la Banda, hay dos tangentes a la c´onica por P0 , y los puntos de tangencia determinan la polar.

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160 (0 : 1 : 0)

(0 : 0 : 1)

(1 : 0 : 0)

Figura 3.25: Una c´ onica separa en dos partes no homeomorfas a P 2 ( )

Entendemos por recta tangente a C precisamente a una recta que corta a C en un punto doble, es decir, si la recta est´a determinada por dos puntos R y S, cualquier punto de la recta distinto de S es de la forma R + λS, y al sustituir este punto en la ecuaci´on (3.23), resulta una ecuaci´on de segundo grado en λ: (R + λS)M(R + λS)t = 0, donde M denota la matriz de la c´onica. Si desarrollamos esta ecuaci´on, obtenemos λ2 (SMS t ) + 2λ(SMRt ) + RMRt = 0, y la ra´ız es doble cuando el discriminante se anula: (SMRt )2 − (SMS t )(RMRt ) = 0.

(3.24)

Ahora es f´acil determinar la polar de un punto R fuera de la c´onica (vea la Figura 3.26). Proposici´ on. Si desde R es posible trazar dos tangentes a una c´onica, y los puntos de tangencia son S1 y S2 , entonces la polar de R es la recta S1 S2 . Demostraci´on. Bastar´a demostrar que S1 y S2 pertenecen a la polar de R. Como S1 pertenece a la c´onica, la ecuaci´on (3.24) se reduce a S1 MRt = 0, lo cual muestra que S1 pertenece a la polar de R. Lo an´alogo es cierto para S2 , y en consecuencia cualquier combinaci´on lineal de ambos tambi´en pertenece a la polar.2

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161 S1

R

S2

Figura 3.26: Los puntos de tangencia determinan la polar.

Si el punto R se ubica en el interior de la c´onica, su polar puede trazarse aplicando la proposici´on que acabamos de demostrar, as´ı: Tomamos dos rectas L y L por R; cada una corta a la c´onica en dos puntos (demu´estrelo): A y A para la primera, B y B  para la segunda (Figura 3.27). Las tangentes a C en A y A se cortan en un punto X, y por la construcci´on dada en la u ´ltima proposici´on, la polar de X es la recta por A y A . Lo an´alogo ocurre con B y B  : las tangentes a C por B y B  se cortan en un punto Y cuya polar es precisamente la recta por B y B  . En consecuencia, X y Y son polares respecto a R, lo cual implica que la recta por X y Y es la polar de R.

R B

X

B

L

L

A

A

Y

Figura 3.27: Construcci´on de la polar para un punto R en el interior de C

El concepto de polaridad puede utilizarse para resolver un problema importante de ´algebra lineal, que es la diagonalizaci´on simult´anea de dos formas cuadr´aticas. En este punto seguimos una de nuestras principales fuentes, [Re].

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162 Definici´ on. Un tri´angulo ABC se llama tri´ angulo autopolar respecto a una c´ onica C, si cada lado es la polar del v´ertice opuesto. La condici´on podr´ıa parecer muy restrictiva, y es razonable preguntarse si para cualquier c´onica existen tri´angulos autopolares. La respuesta es afirmativa, como es sencillo comprobar (haga un dibujo): si fijamos un punto A fuera de C, y pretendemos que BC sea su polar respecto a C, podemos elegir B arbitrariamente en la polar de A, y entonces C, por definici´on de tri´angulo autopolar, est´a obligado a ser la intersecci´on de la polar de A con la polar de B. Veamos ahora cu´al es la ecuaci´on de la c´onica C cuando el tri´angulo de referencia es un tri´angulo autopolar respecto a la c´onica; los lados del tri´angulo tienen ecuaciones x = 0, y = 0 y z = 0, y los puntos de intersecci´on de los ejes son, cada uno, polar de los otros dos. Las coordenadas de esos puntos son (0 : 0 : 1), (0 : 1 : 0) y (1 : 0 : 0), y la condici´on de polaridad implica que la matriz de la c´onica sea diagonal. Ya desde los cursos b´asicos de Geometr´ıa Anal´ıtica, uno aprende las ventajas de que la matriz de una c´onica o cu´adrica pueda diagonalizarse: en esa forma (la forma can´onica) es muy f´acil reconocer a la c´onica. Posteriormente, surge la necesidad de diagonalizar simult´aneamente dos formas cuadr´aticas. Por eso ser´ıa muy u ´til que hubiera tri´angulos autopolares respecto a dos c´onicas, pues al tomarlo como tri´angulo de referencia, las matrices de ambas c´onicas tendr´ıan forma diagonal. La pregunta ahora es: Dadas dos c´onicas ¿hay un tri´angulo que sea autopolar respecto a ambas? Una pregunta como ´esta debe analizarse siempre desde el punto de vista de los grados de libertad, esto es, de las dimensiones de los objetos involucrados. El espacio de los tri´angulos en P 2 ( ) tiene dimensi´on 6 (porque cada v´ertice puede tomarse arbitrariamente en el plano proyectivo), y la dimensi´on del espacio de los tri´angulos autopolares respecto a una c´onica tiene dimensi´on 3, puesto que el primer v´ertice puede tomarse arbitrariamente en un espacio de dimensi´on 2, P 2 ( ), el segundo v´ertice puede tomarse arbitrariamente en un espacio de dimensi´on 1, la polar del primer v´ertice, y el u ´ltimo v´ertice ya no tiene libertad alguna. Si ahora tenemos dos c´onicas, pretender que haya tri´angulos autopolares

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163 respecto a ambas es pedir que dos espacios tridimensionales de un espacio de dimensi´on 6, el espacio de los tri´angulos, se corten. A grosso modo, una forma de determinar un espacio tridimensional en un espacio de dimensi´on 6, es establecer tres ecuaciones polinomiales linealmente independientes, pues as´ı cada ecuaci´on elimina un grado de libertad. Y para que dos espacios tridimensionales tengan puntos en com´ un, necesitamos que haya soluci´on de un sistema de seis ecuaciones con seis inc´ognitas. Puesto en estos t´erminos, el problema tiene visos de soluci´on, aunque debemos recordar que no cualquier ecuaci´on polinomial de grado mayor que 1 con coeficientes reales tiene soluci´on real. Por ello ser´a necesario poner una condici´on que, ciertamente, no es demasiado restrictiva (vea la Figura 3.29). Teorema. Dadas dos c´onicas que se cortan en cuatro puntos, existe siempre un tri´angulo autopolar respecto a ambas. Antes de hacer la demostraci´on del teorema, demostraremos una propiedad muy interesante de los puntos de intersecci´on de una c´onica con una recta. Lema. Si C es una c´onica no singular y P es un punto que no pertenece a ella, una recta L por P corta a C en C y D. Si M es la intersecci´on de la polar P de P con L, ocurre que (P, M; C, D) = −1. Y rec´ıprocamente, si M es tal que (P, M; C, D) = −1, M pertenece a la polar de P . Demostraci´on del Lema. En la Figura 3.28, las coordenadas de C y D son (1 : 0 : 0) para C y (0 : 1 : 0) para D, la ecuaci´on de la c´onica es de la forma xy + z(kx + ly + mz) = 0 (porque la c´onica no es singular), con k, l, m constantes, y las coordenadas de P y M son de la forma (1 : r : 0) y (1 : s : 0), respectivamente. Al establecer la condici´on de que P y M sean polares, resulta r + s = 0 y con ello, la condici´on de armonicidad. El rec´ıproco es obvio.2 El teorema es consecuencia de este lema y el de la secci´on anterior: Demostraci´on del Teorema. En la Figura 3.29 denotamos a los cuatro puntos por A, B, C y D, y consideramos las rectas AB, CD, AC y BD. Sean P = AD ∩ BC, Q = AC ∩ BD, y R = AB ∩ CD. Demostraremos que P QR es autopolar respecto ambas c´onicas. Por el lema del final del inciso anterior, (P, M; B, C) = −1, donde M = QR ∩ BC, y por el Lema que acabamos de probar, M pertenece a la polar de P . An´alogamente se demuestra que (R, P ; M, N) = −1, donde N = QR ∩ AD.

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164 P

C

M

L

D

P

Figura 3.28: P, C, M y D forman un conjunto arm´ onico.

En consecuencia, N pertenece a la polar de P , lo cual implica MN = QR, que es la polar de P . De la misma forma se demuestra que P Q es la polar de R, y entonces tambi´en P R es la polar de Q. En resumen, el tri´angulo P QR de los puntos diagonales del cuadr´angulo ABCD, es un tri´angulo autopolar respecto a una c´onica que contenga a los cuatro puntos.2 A N D Q B

M C

P

R Figura 3.29: El tri´angulo diagonal P, Q, R del cuadr´ angulo ABCD, es autopolar respecto a ambas c´onicas.

Para terminar esta secci´on, vale la pena mencionar que la condici´on impuesta en el enunciado del teorema se da naturalmente cuando el campo de coeficientes es , seg´ un lo establece un resultado muy importante sobre curvas

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165 ´ algebraicas que no demostraremos debido a Etienne Bezout (1730-1783, vea [Fu]), pero que s´ı explicamos, pues nos permitir´a demostrar que el grado de una ecuaci´on polinomial es un invariante proyectivo. Teorema de Bezout. Dos curvas proyectivas en P 2 ( ) sin componentes comunes y con ecuaciones F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0, de grados m y n, se cortan en mn puntos. Sabemos que si F y G definen un lugar geom´etrico proyectivo, deben ser homog´eneos, y tambi´en sabemos que los polinomios pueden factorizarse; entonces, la hip´otesis “sin componentes comunes” significa que F y G no tienen factores comunes. Bajo esa condici´on, el teorema asegura que el n´ umero de puntos comunes de las curvas definidas por las ecuaciones F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0, es mn. Corolario. El grado de un polinomio homog´eneo con coeficientes reales F (x, y, z) es un invariante proyectivo. Demostraci´on. Aplicaremos el Teorema de Bezout, tomando n = 1, es decir, cuando G representa una recta. Entonces, el n´ umero de puntos en que la curva definida por F corta a esa recta es el grado de F . Pero entonces cualquier umero de intersecciones: proyectividad T ∈ P GL(3, ) respeta ese n´ #{T (F ) ∩ T (G)} = m, pues los puntos comunes van en puntos comunes y no puede haber nuevos puntos comunes para las im´agenes, por la inyectividad de T . Como P GL(3, ) es un subgrupo de P GL(3, ), el resultado sigue siendo v´alido cuando los polinomios F y G tienen coeficientes reales y T ∈ P GL(3, ). Como la transformada de una recta es una recta, al conservarse el n´ umero de intersecciones, se conserva el grado de F .2

EJERCICIOS 1. Demuestre que las polares de puntos colineales son concurrentes. 2. Demuestre que una recta por un punto del interior a una c´onica (caracter´ıcelos), no puede ser tangente a la c´onica.

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166 3. Demuestre que en el plano euclidiano 2 , ninguna recta por el centro de una hip´erbola es tangente a la hip´erbola, pese a que el centro es exterior a la c´ onica.

3.10.

Geometr´ıa el´ıptica

Para terminar este cap´ıtulo, estudiaremos el plano el´ıptico, que no es otra cosa que P 2 ( ) provisto de una forma de medir longitudes de curvas y a´reas de regiones. Para introducir en P 2 ( ) una forma de medir, tomamos en cuenta que en S 2 tenemos ya una forma de medir longitudes y ´areas heredada de 3 . Entonces podemos definir la longitud de una curva C del plano el´ıptico como la longitud de cualquiera de las dos curvas en S 2 que se aplican en C bajo la aplicaci´on can´onica Π : S 2 → P 2 ( ). Como en el cap´ıtulo 1, las curvas deber´an ser parametrizadas y suaves, para que podamos utilizar la f´ormula usual del C´alculo: 

l(α) =

b a

||α (t)||dt.

El problema de determinar las curvas en la esfera que minimizan el recorrido entre dos de sus puntos, las geod´ esicas de la esfera, fue planteado por la navegaci´on (olvid´emonos de mares dif´ıciles e islas que rodear) desde ´epocas remotas: ¿Cu´al es la ruta de un punto a otro en el globo terr´aqueo, que minimiza la distancia recorrida? Para responder a esa pregunta, recurrimos a un experimento sencillo, consistente en fijar una liga estirada de A a B (vea la Figura 3.30). Si, conservando fijos los extremos, jalamos de la liga y luego la soltamos, la liga toma siempre la forma de un arco de c´ırculo m´ aximo, esto es, una de las circunferencias que resultan al cortar la esfera con un plano que pasa por el centro.

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167 A

B

Figura 3.30: Las geod´esicas de la esfera son c´ırculos m´ aximos.

El Principio del m´ınimo esfuerzo asegura que ´esa es la curva que minimiza la tensi´on en la liga porque la longitud tambi´en lo hace. (Por una deformaci´on del lenguaje, no se le llama circunferencia m´axima, sino c´ırculo m´aximo, tal vez porque de las secciones planas de una esfera s´olida, la de mayor ´area se obtiene cuando el plano pasa por el centro.) En Geometr´ıa diferencial [vea DoC], se dice que una curva de una superficie contenida en 3 es una geod´ esica de esa superficie en uno de sus puntos, si su vector de aceleraci´on es ortogonal al plano tangente a la superficie en el punto. Eso da lugar a un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden que determinan las geod´esicas cuando se fijan las condiciones iniciales: un punto por el que pase la geod´esica y la velocidad con que lo hace. (La soluci´on de ese sistema de ecuaciones existe y es u ´nica por el Teorema de existencia y unicidad de soluci´on de ecuaciones diferenciales, vea [L]) El motivo de pedir que se anule la componente tangencial de la aceleraci´on, es que las rectas del plano euclidiano tienen aceleraci´on cero, y es f´acil demostrar que las curvas de una superficie en 3 con esa propiedad, minimizan la distancia entre puntos suficientmente cercanos. La u ´ltima puntualizaci´on, “suficientemente cercanos”, se justifica si notamos que dos puntos de un c´ırculo m´aximo que no sean ant´ıpodas determinan dos arcos, y s´olo uno de ellos da la ruta de longitud m´ınima. En el plano, las rectas nos sirven para formar tri´angulos y pol´ıgonos, y de ellos establecimos algunas propiedades en el cap´ıtulo 1; ahora podemos plantearnos qu´e resultados obtenemos cuando las geod´esicas de la esfera juegan el papel de rectas.

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168 A diferencia de lo que ocurre en el plano euclidiano, dos puntos no siempre determinan una u ´nica geod´esica, pues por los polos del globo terr´aqueo (o por cualesquiera dos puntos ant´ıpodas de una esfera), pasa no uno sino un n´ umero infinito de c´ırculos m´aximos: los meridianos. Pero eso ya no ocurre si en vez de la esfera consideramos el plano el´ıptico, pues dos rectas proyectivas se cortan en un u ´nico punto. Entonces, una recta el´ıptica est´a formada por los representantes de norma 1 de puntos de una recta proyectiva. Y como dos rectas proyectivas cualesquiera siempre se cortan, podemos establecer un primer resultado: 1. En el plano el´ıptico no hay rectas paralelas. Este hecho es una de las negaciones posibles del Axioma de Playfair, mismo que equivale al Postulado V; entonces, la Geometr´ıa el´ıptica es una geometr´ıa no-euclidiana. Otro resultado contrastante con el caso euclidiano es: 2. Las rectas el´ıpticas tiene longitud finita (de hecho, π), y el plano el´ıptico mismo tiene ´area finita, 2π (la mitad del a´rea de S 2 ). Los primeros estudiosos de las Geometr´ıas no euclidianas (vea [Bo], [W] o [R-S]), llegaron a la conclusi´on de que al sustituir el Postulado V por su negaci´on N1 (vea el Ap´endice 5.3): una recta no admite paralelas, las rectas deb´ıan tener longitud finita y eso bast´o para que consideraran haber llegado a un absurdo. Nosotros dejaremos al lector la tarea de demostrar que en el plano el´ıptico se cumplen los postulados I a IV, aunque deber´a interpretar el Postulado II en el sentido sugerido por Bernhard Riemann (1826-66): siempre es posible avanzar sobre una geod´esica tanto como se quiera. Otro resultado muy interesante es el que se refiere a la suma de los a´ngulos de un tri´angulo el´ıptico, es decir, un tri´angulo cuyos lados son arcos de c´ırculo m´aximo. Una simple regla de tres permite establecer que el a´rea de un huso de ´angulo α de S 2 , es decir, la parte de S 2 comprendida entre dos meridianos que forman entre s´ı un ´angulo α, es 2α. Con esta observaci´on, podemos demostrar un resultado muy importante:

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169 3. La suma de los a´ngulos de un tri´angulo el´ıptico es mayor que 180◦ . El lado izquierdo de la Figura 3.31 muestra un tri´angulo esf´erico (y, necesariamente, el tri´angulo ant´ıpoda que es congruente); el lado derecho muestra los c´ırculos m´aximos que dan lugar a las rectas el´ıpticas. T1 α T3 T β

α β

γ

T2

T2

T γ T1

T3

Figura 3.31: En un tri´ angulo el´ıptico, los ´angulos suman m´as de 180◦ .

En ambas figuras denotamos por T al tri´angulo el´ıptico, y por α, β y γ a sus ´angulos internos (recuerde que el ´angulo entre dos curvas que se cortan, es el ´angulo entre las tangentes a las curvas en el punto de corte). El tri´angulo T est´a contenido en los tres husos: uno con a´ngulo α y a´rea 2α; otro con a´ngulo β y ´area 2β; el tercero con ´angulo γ y a´rea 2γ. En el huso de ´angulo α, el complemento de T se denota por T1 ; en el de ´angulo β, el complemento se denota por T2 , y en el de a´ngulo γ el complemento es T3 . Por tanto. si usamos la misma letra para las a´reas y para los tri´angulos, tenemos: (3.25) T + T1 = 2α; T + T2 = 2β; T + T3 = 2γ. La suma de estas tres ecuaciones es 3T + T1 + T2 + T3 = 2(α + β + γ)

(3.26)

Observe ahora que los tri´angulos que en el lado derecho hemos denotado por T1 , T2 y T3 son congruentes con T1 , T2 y T3 , respectivamente, porque son sus ant´ıpodas (vea la figura del lado izquierdo). Por eso es v´alida la igualdad siguiente, que expresa el ´area del hemisferio ilustrado por el disco inferior izquierdo: 2π = T + T1 + T2 + T3 = T + T1 + T2 + T3 . (3.27)

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170 Al sustituir en (3.26) el valor que acabamos de obtener para T +T1 +T2 +T3 , resulta 2T + 2π = 2(α + β + γ), (3.28) y como T > 0 porque es el a´rea de un tri´angulo el´ıptico, hemos demostrado que la suma de los a´ngulos de un tri´angulo el´ıptico es mayor que π. 2 Por u ´ltimo, notemos que la ecuaci´on (3.28) nos dice que 4. La suma de los a´ngulos de un tri´angulo el´ıptico determina su ´area. Eso no es cierto en el plano euclidiano: por un lado, la suma de los a´ngulos de un tri´angulo euclidiano es constante, 180◦ , y por otro tenemos tri´angulos semejantes (con los mismos a´ngulos) cuyas ´areas son tan peque˜ nas o grandes como queramos. De hecho, podemos decir algo m´as: 5. En el plano el´ıptico, no hay tri´angulos semejantes y no congruentes. Para demostrarlo, utilizamos la Figura 3.32, que en el lado izquierdo ilustra el tri´angulo el´ıptico de ´angulos por α, β y γ. Los planos Π1 y Π2 por el origen que determinan los meridianos que forman el a´ngulo α, tienen vectores normales correspondientes a dos radios, r1 y r2 que forman entre s´ı ese mismo ´angulo α, pues las rectas tangentes con a´ngulo α y los radios r1 y r2 son perpendiculares a la recta Π1 ∩ Π2 Mostraremos c´omo determinar un radio r3 que forme con el radio r1 un ´angulo γ, y con el radio r2 un ´angulo β. En el lado derecho ilustramos el cono de revoluci´on en torno a r2 cuyas generatrices forman un ´angulo β con r2 , y el cono de revoluci´on en torno a r1 cuyas generatrices forman un a´ngulo γ con r1 ; recuerde que el ´angulo entre r1 y r2 es α. Los dos conos se cortan en dos generatrices comunes, r3 y r3 , sim´etricas respecto al plano que contiene a r1 y r2 . Esas generatrices determinan planos Π3 y Π3 , que dan lugar a c´ırculos m´aximos que forman, con los provenientes de Π1 y Π2 , dos tri´angulos congruentes y con orientaciones opuestas, con a´ngulos α, β y γ, lo cual concluye la demostraci´on.

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171 r1

r2 α

γ

β

r1 β

r2 T

β

γ

γ Π1

Π2

Figura 3.32: Los a´ngulos de un tri´angulo el´ıptico determinan el tri´angulo (salvo orientaci´ on).

Los resultados que hemos obtenido son s´olo una parte de la Geometr´ıa El´ıptica, y la esfera misma tiene propiedades muy importantes que no hemos mencionado; para conocer varias de ellas, el lector puede consultar [H-C]. ´ Unicamente mencionaremos el tema de los mosaicos esf´ericos, esto es, determinar todas las formas posibles de tapizar la esfera con pol´ıgonos esf´ericos regulares y congruentes entre s´ı. El total de las posibilidades resulta al proyectar los s´olidos plat´onicos en la esfera desde el centro de ´esta, y s´olo hay que a˜ nadir el caso degenerado de dos hemisferios, cada uno de los cuales puede considerse un pol´ıgono de dos lados (meridianos) que forman un a´ngulo de 180◦ (por eso le llamamos caso degenerado). La justificaci´on de que no hay m´as posibilidades se la dejamos al lector (vea el Ejercicio 4).

EJERCICIOS 1. Verifique la validez de los cuatro primeros postulados euclidianos en el plano el´ıptico. 2. Determine la m´ınima cota superior para la suma de los ´angulos de un

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172 tri´ angulo el´ıptico. 3. Determine la m´ınima cota superior para la longitud de una circunferencia el´ıptica. 4. Demuestre que hay u ´ nicamente cinco mosaicos regulares esf´ericos no degenerados con los cuales puede tapizarse la esfera. 5. Un s´ olido plat´onico est´a inscrito en una esfera S, pero si tomamos una esfera con el mismo centro y de radio menor que el de S que corte a cada arista del s´olido plat´onico en dos puntos, es posible utilizar esos puntos para obtener otros enmosaicados de la esfera menor, que aunque no est´an formados u ´ nicamente por pol´ıgonos esf´ericos congruentes, s´ı presentan ciertas simetr´ıas. ¿Puede determinar el subgrupo de O(3) que deja invariante a cada uno?

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4

Geometr´ıa hiperb´ olica

En el cap´ıtulo anterior vimos que la geometr´ıa del plano el´ıptico es una geometr´ıa no-euclidiana, puesto que cualquier par de rectas el´ıpticas se cortan, es decir, en ella no existen rectas paralelas (negaci´on N1 del Postulado V). En este cap´ıtulo intentaremos familiarizar al lector con la Geometr´ıa hiperb´olica, donde se verifica la negaci´on N2 del Postulado V de Euclides: existe m´as de una paralela a una recta por un punto exterior a ella. Nuevamente lo haremos utilizando modelos, como en los casos de la Geometr´ıa euclidiana y de la Geometr´ıa el´ıptica. La historia misma del descubrimiento de la existencia de esta geometr´ıa y de la obtenci´on de un buen modelo es muy interesante (vea [Ki], [R-S], [Y] o [W]), y nuestro primer inciso estar´a dedicado a presentar los modelos usuales del plano hiperb´olico. Sorprendentemente, los modelos se relacionan unos con otros mediante proyecciones biyectivas y, para dos de ellos, hay una funci´on que permite utilizarlos indistintamente. Es muy importante, para lograr desarrollar la intuici´on hiperb´olica, familiarizarse con los modelos llamados conformes (concepto que explicamos m´as adelante), realizando uno mismo los dibujos, aunque tambi´en hay programas computacionales que lo hacen. Otro recurso es analizar los grabados de M.C. Escher referentes a este tema incluidos en [Cox1], donde adem´as hay un an´alisis, o bien [Er] o [Es]. Y desde ahora invitamos al lector a observar c´omo el uso de coordenadas complejas da lugar a una muy fecunda interrelaci´on de argumentos algebraicos, topol´ogicos, m´etricos y anal´ıticos, as´ı como a consultar, si desea ahondar m´as en este fascinante tema de las matem´aticas, el libro [T] de uno de los mejores ge´ometras contempor´aneos, William Thurston (1947-2012), cuyos trabajos dieron un gran impulso a la Geometr´ıa hiperb´olica en la d´ecada de 1980-89.

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4.1.

Los modelos del plano hiperb´ olico

Una vez demostrada por Janos Bolyai (1802-60) y Nikolai Lobachevski (1793-1856) la consistencia del sistema de axiomas que resultan de sustituir en el sistema euclidiano el Postulado V por su negaci´on N2: existe m´as de una recta paralela a otra dada por un punto exterior a ´esta, matem´aticos distinguidos se dieron a la tarea de buscar un modelo de la Geometr´ıa Hiperb´olica plana entre las superficies contenidas en 3 . Eso significaba, en particular, que la longitud de las curvas en la superficie elegidas como rectas hiperb´olicas, las geod´esicas, deb´ıa ser infinita, cuando su longitud se mide como lo hacemos en los cursos de C´alculo. La b´ usqueda fue infructuosa porque, como lo demostrar´ıa m´as tarde David Hilbert (18621943), es imposible que exista una superficie de 3 con las caracter´ısticas que se pretend´ıa: que la manera de medir sea la inducida por la m´etrica usual de 3 , y que la curvatura gaussiana, definida en el cap´ıtulo 1, sea constante y negativa (vea [DoC], Cap. 5). Una superficie de 3 que tiene curvatura gaussiana constante −1 es la seudoesfera, superficie de revoluci´on generada por una tractriz (vea la Figura 4.1).

P

Figura 4.1: Geod´esicas de la seudoesfera.

La tractriz es la curva que dibuja en la arena el carrito arrastrado por un ni˜ no, despu´es de que ha girado 90◦ con respecto a su direcci´on inicial (que hemos se˜ nalado con una flecha horizontal); la proyecci´on del cordel en el piso

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175 da el segmento de tangente entre el objeto y la trayectoria perpendicular, que se convierte en una as´ıntota de la tractriz; como el cordel est´a tirante, el segmento mide siempre lo mismo. La parametrizaci´on de la tractriz se propone en el Ejercicio 1, y el lector deber´a verificar que satisface esta u ´ ltima condici´on, que la caracteriza. En la Figura 4.1 hemos ilustrado algunas geod´esicas de la seudoesfera; para obtenerlas, podemos emplear nuevamente una liga tirante, s´olo que esta vez habr´a casos en que la liga deba colocarse por dentro. El gran defecto de este modelo, descubierto por Eugenio Beltrami (18351900), es que no es completo, es decir, uno no puede caminar tanto como quiera sobre una de las generatrices cuando se dirige a la boca de la trompeta; eso viola el Postulado II. Beltrami mismo dio otros dos modelos que s´ı son completos, pues con la manera de medir que introduciremos las rectas tendr´an longitud infinita. Sin embargo, ambos tienen la desventaja de no ser conformes, es decir, dadas dos geod´esicas que se cortan en un punto, el a´ngulo que vemos, el a´ngulo formado por las tangentes, no es el ´angulo correspondiente a la manera de medir. Sin embargo, ambos son u ´tiles para estudiar diversos problemas (vea [Ve]) y por eso los presentaremos. El modelo proyectivo del plano hiperb´olico, tambi´en debido a Beltrami, consiste en un disco sin la frontera. Los puntos del interior del disco ser´an los puntos del plano hiperb´ olico, y los puntos de la frontera del disco se denominan puntos al infinito, pues jugar´an un papel similar a los puntos al infinito del plano af´ın.

L P

Figura 4.2: El modelo proyectivo del plano hiperb´olico.

En la Figura 4.2 hemos trazado algunas cuerdas; Beltrami llam´o a estas

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176 cuerdas rectas hiperb´ olicas, y es claro que hay muchas de ellas que contienen al punto P y que no cortan a la recta L: todas las cuerdas del sector en gris. Se cumple as´ı la negaci´on N2 del Postulado V (vea el ap´endice 5.3). Como las rectas hiperb´olicas de este modelo son segmentos de rectas euclidianas, podr´ıa pensarse que no hemos hecho nada realmente nuevo. La diferencia est´a en la m´etrica que se da para este modelo (vea [Ve]), que no est´a inducida por el producto punto usual, y que tiene como consecuencia, por ejemplo, que las rectas hiperb´olicas tengan longitud infinita, es decir, un punto que se desplace hacia la frontera con velocidad constante jam´as la alcanzar´a. La construcci´on de la m´etrica hiperb´olica la haremos con cuidado m´as adelante, usando otro de los modelos. La validez del Postulado I es inmediata (vea el ap´endice 5.4), pues por dos puntos del plano hiperb´olico siempre es posible trazar el segmento correspondiente, y tambi´en es cierto que podemos extender esa segmento para obtener una recta hiperb´olica completa, esto es, una cuerda que, como veremos, resultar´a tener longitud infinita. Por tanto, tambi´en ser´a v´alido el Postulado II. Cuando presentemos el modelo en el que definiremos la forma de medir longitudes y ´angulos, el lector podr´a comprobar que las rectas con un mismo punto al infinito son tangentes en ´el (note que cada recta tiene dos, no uno, puntos al infinito). Eso no es lo que vemos en el modelo proyectivo, pues las cuerdas que tienen un punto de la frontera en com´ un forman ´angulos distintos de cero; entonces, en este modelo, un ´angulo es el que “leemos” al verlo (puesto que la u ´nica intuici´on que hemos desarrollado es la euclidiana), y otro el que nos dar´a la f´ormula. La raz´on de llamar proyectivo a este modelo es que el grupo de transformaciones permitidas en ´el, es el subgrupo de P GL(3, ) obtenido al fijar la c´onica x2 + y 2 − z 2 = 0. Para evitar confusiones debidas al t´ermino “proyectivo”, a este modelo lo llamaremos modelo de Beltrami. El segundo modelo se llama modelo del hiperboloide, y se obtiene del anterior cuando ubicamos al disco en el plano z = 1 (llamaremos a este disco D1 ), y proyectamos, desde el origen, los puntos P ∈ D1 en puntos P  de la hoja superior del hiperboloide de dos mantos (vea la Figura 4.3) −x2 − y 2 + z 2 = 1. Cuando cortamos el manto superior del hiperboloide con un plano por el

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177 origen, resulta una rama de hip´erbola que es una recta hiperb´olica de este modelo. El lector estar´a de acuerdo en que estamos proyectando (desde el origen) las rectas del primer modelo en el hiperboloide; esta proyecci´on es biyectiva y, en consecuencia, en el modelo del hiperboloide es posible encontrar muchas rectas M que pasan por un punto Q exterior a una recta L , sin cortarla. Z M

L

Q

M

Q

L

z=1

X Y Figura 4.3: El modelo del hiperboloide del plano hiperb´ olico.

Los otros dos modelos del plano hiperb´olico se deben a Henri Poincar´e (1854-1912), y son los m´as adecuados para desarrollar la intuici´on hiperb´olica porque s´ı son conformes. El modelo del disco de Poincar´ e, Δ, consta tambi´en de un disco sin la frontera, pero esta vez las curvas elegidas como rectas hiperb´olicas son los arcos de circunferencia que cortan ortogonalmente a la frontera. En la Figura 4.4 hemos trazado varias rectas hiperb´olicas con un mismo punto al infinito; esas rectas se llaman paralelas hiperb´ olicas, a diferencia de las ultraparalelas, como L y M, que son rectas que no se cortan ni en puntos del disco hiperb´olico ni en puntos al infinito. Dos rectas hiperb´olicas paralelas son tangentes en un punto al infinito, puesto que todas forman un a´ngulo de 90◦ con la frontera. Note c´omo var´ıa el haz de paralelas: a la derecha del di´ametro que pasa por el punto al infinito P∞ , las circunferencias son c´oncavas a la derecha, y las de la izquierda son

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178 c´oncavas a la izquierda. El modelo del semiplano superior, H + , tiene como puntos a los del semiplano superior del plano cartesiano: P (x, y) con y > 0, y los puntos del eje X juegan el papel de puntos al infinito. En este modelo, las rectas hiperb´olicas son las semicircunferencias perpendiculares al eje X, y entre ellas admitiremos a las de radio infinito: las rectas perpendiculares al eje X. La Figura 4.5 es an´aloga a la Figura 4.4.

M L

P∞ Figura 4.4: Modelo del disco de Poincar´e, Δ. Y

X P∞ Figura 4.5: El modelo del semiplano superior de Poincar´e, H + .

El modelo del semiplano superior tiene un origen f´ısico, que se explica as´ı. Cuando una cuchara est´a sumergida en el agua de un vaso, al mirar a trav´es del vaso parece que la cuchara est´a doblada; eso se debe a que la luz no contin´ ua viajando en l´ınea recta cuando pasa de un medio (el aire) a otro (el

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179 agua), sino que modifica su trayectoria de acuerdo a la ley siguiente. Ley de Refracci´ on (W. Snell, 1621). El producto del seno del ´angulo de incidencia por el coeficiente de densidad del medio del que procede la luz, es igual al producto del seno del a´ngulo de refracci´on por el coeficiente de densidad del medio al que se introduce (vea la Figura 4.6, donde los a´ngulos se miden con respecto a la perpendicular). d1 senα = d2 senβ. α1

d1 α d1 α2

α2

d2

β d2

α3

d3

Figura 4.6: En un medio no homog´eneo, la trayectoria de la luz no es recta.

A la derecha hemos ilustrado la trayectoria de la luz cuando atraviesa sucesivamente medios cuya densidad crece cada vez m´as. La trayectoria no es una recta pues una propiedad esencial de la luz es viajar de forma que minimiza el tiempo de recorrido, no la distancia. Note que si la forma en que crece la densidad es de tipo exponencial: 1 a altura 1; 2 a altura 1/2; 22 a altura 1/4; etc., la luz jam´as alcanza el borde, por eso llamamos a esos puntos puntos al infinito o puntos ideales. Concluimos este inciso exhibiendo las biyecciones entre los distintos modelos; como ya tenemos una entre el modelo de Beltrami y el modelo del hiperboloide, basta dar una biyecci´on entre el modelo de Beltrami y los de Poincar´e. Para ello, consideramos la esfera S 2 de 3 y ubicamos el modelo proyectivo en el disco del ecuador (vea la Figura 4.7 (a)).

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180 Proyectemos perpendicularmente en el hemisferio inferior las rectas hiperb´olicas del modelo de Beltrami; cada una de las rectas determina un plano perpendicular al plano del ecuador y, en consecuencia, corta a la esfera en una circunferencia perpendicular a la circunferencia del ecuador. A continuaci´on, utilizamos la proyecci´on estereogr´afica de la esfera en el plano del ecuador desde el punto (0, 0, 1); las circunferencias en la esfera perpendiculares al ecuador se transforman en circunferencias del plano XY que siguen siendo perpendiculares al ecuador, puesto que la proyecci´on estereogr´afica es conforme seg´ un debi´o probarlo el lector en el Ejercicio 9, secci´on 3.1. La composici´on de las dos proyecciones, primero de XY en S 2 y luego la estereogr´afica de S 2 en XY , transforma las rectas del modelo proyectivo en rectas del modelo del disco de Poincar´e Δ. Z

Z

(0, 0, 1) L

(0, 0, 1) L

L L

Y

Y

X

X (a)

(b)

Figura 4.7: Relaci´ on entre los distintos modelos del plano hiperb´ olico.

El modelo del semiplano H + resulta cuando proyectamos perpendicularmente el modelo de Beltrami en el hemisferio superior, y luego proyectamos estereogr´aficamente S 2 en el plano XZ desde el punto (0, 1, 0) (vea la Figura 4.7(b)). El ecuador da lugar al eje X, y el hemisferio superior se aplica en el semiplano superior del plano XZ. Por la conformalidad de la proyecci´on estereogr´afica,

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181 las semicircunferencias ortogonales al ecuador se proyectan en semicircunferencias perpendiculares al eje X, dando lugar al modelo del semiplano superior de Poincar´e. Note que hemos establecido una biyecci´on entre el modelo del disco, Δ, y el del semiplano, H + ; el lector deber´a demostrar que es conforme. Sugerimos al lector que realice todos los ejercicios siguientes, y que invente algunos m´as; es la u ´nica manera de desarrollar la intuici´on hiperb´olica. A ese respecto, vale la pena hacer notar que el modelo del disco de Poincar´e tiene una ventaja muy importante sobre el modelo del semiplano: muestra que todos los puntos de la frontera tienen la misma calidad. En cambio, en el modelo del semiplano, el punto que falta en el eje X para volverlo una circunferencia topol´ogica parece jugar un papel especial, lo cual es falso. Sin embargo, seguiremos la notaci´on tradicional de denotarlo con el s´ımbolo ∞.

EJERCICIOS 1. Verifique que una parametrizaci´ on de la tractriz es   t α(t) = sent, cos t + log tan( ) , 2 donde t mide el a´ngulo que el vector de posici´ on de α(t) forma con el eje vertical (vea la Figura 4.1). 2. En el modelo proyectivo, encuentre dos rectas hiperb´ olicas que contengan al punto (0 : 0 : 1) y que no corten a la recta 2x − z = 0. 3. Determine la recta hiperb´olica del modelo del hiperboloide, en que se proyecta la recta del modelo proyectivo que pasa por los puntos (1 : 0 : 1) y (0 : 1 : 1) de D1 . 4. Demuestre que la biyecci´ on establecida entre los dos modelos de Poincar´e, es conforme. 5. En el modelo del disco de Poincar´e, Δ, marque cuatro puntos de la frontera que la dividan en arcos congruentes (euclidianamente), y trace las rectas hiperb´ olicas que unen dos puntos consecutivos. Divida ahora cada arco en dos partes iguales, y trace las rectas hiperb´ olicas que unen los nuevos puntos con sus adyacentes. Itere el proceso mientras pueda. Esos pol´ıgonos se llaman ideales, porque sus v´ertices son puntos al infinito.

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182 6. En el modelo del disco de Poincar´e, Δ, marque en la frontera ocho puntos 1, 2,..., 8, que la dividan en arcos congruentes, y trace las rectas del modelo que unen 1 con 3, 2 con 4, etc. Observe que estas rectas hiperb´ olicas determinan un oct´ agono regular. Tomando en cuenta que los modelos de Poincar´e s´ı son conformes, diga cu´ anto miden los ´angulos en que se cortan dos cualesquiera de las rectas, y cu´ anto mide la suma de los ´angulos interiores de este oct´ agono regular hiperb´ olico. 7. Generalice el m´etodo utilizado en el ejercicio anterior, para construir pol´ıgonos hiperb´olicos regulares con n > 4 lados. 8. Proponga un proceso similar al anterior para construir un tri´ angulo regular hiperb´ olico sin v´ertices al infinito. 9. Observe que en el segundo paso del ejercicio 5 obtuvo un oct´agono ideal agono cuya suma de ´angulos interiores es 0◦ , mientras que para el oct´ ordinario del Ejercicio 6 la suma de los ´angulos interiores fue mayor que 2π. ¿Puede dar un argumento que justifique la existencia de oct´agonos hiperb´ olicos regulares cuya suma de a´ngulos interiores sea exactamente 2π? angulos y en 10. En el modelo del semiplano superior, H + , trace varios tri´ uno de ellos verifique que la suma de los ´angulos interiores es menor que 180◦ (recuerde que los a´ngulos se miden de la manera usual). 11. En cada uno de los modelos de Poincar´e, trace una recta hiperb´olica L y, para cada uno de sus dos puntos al infinito, trace varios elementos del haz de paralelas a L.

4.2.

Transformaciones del plano hiperb´ olico

Como tenemos varios modelos del plano hiperb´olico. en cada uno de ellos debemos dar transformaciones que no s´olo sean biyecciones entre los puntos, sino tambi´en biyecciones entre las rectas. Empezamos con el modelo de Beltrami, y el del hiperboloide lo dejaremos como ejercicio para el lector. El modelo de Beltrami se llama proyectivo precisamente porque su grupo de transformaciones es un subgrupo de P GL(3, ). Si homogeneizamos la ecuaci´on de la circunferencia que es la frontera del

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183 disco, obtenemos una c´onica proyectiva C x2 + y 2 − z 2 = 0.

(4.1)

Las transformaciones proyectivas T ∈ P GL(3, ) que dejan invariante a la c´onica C (como conjunto) forman un subgrupo GC (compru´ebelo) y llevan el interior de la c´onica en s´ı mismo por lo siguiente. En la secci´on 3.9, vimos que una c´onica separa a P 2 ( ) en dos partes ajenas: una Banda de M¨obius y un disco. La Banda y el disco no son homeomorfos porque en el disco toda curva cerrada puede deformarse a un punto sin salir del disco, y en la Banda hay curvas, como la l´ınea central, que no tienen esa propiedad. Entonces, como cualquier T ∈ GC es la proyectivizaci´on de una transformaci´on lineal no singular, eso la hace un homeomorfismo; en consecuencia, T no puede intercambiar el interior y el exterior de la c´onica. Es decir, una transformaci´on proyectiva T que deje invariante a la c´onica necesariamente deja invariante a su interior; en consecuencia, T lleva puntos del modelo de Beltrami en puntos de ese mismo conjunto. Tambi´en es cierto que las rectas hiperb´olicas se transforman en rectas hiperb´olicas, puesto que un plano por el origen de 3 se transforma por T en otro plano por el origen, y si el plano corta al interior de la c´onica, el transformado, por lo anterior, tambi´en lo corta. Si tomamos representantes (x : y : 1) obtenemos el disco D1 de la Figura 4.3, y las rectas hiperb´olicas resultan de cortar D1 con planos de 3 por el origen. El lector queda encargado de comprobar que siempre existe un elemento T ∈ GC que transforma cualquier punto P del plano hiperb´olico en otro Q, ambos elegidos arbitrariamente, y lo mismo ocurre con dos rectas hiperb´olicas. M´as a´ un, podemos fijar una recta hiperb´olica L y un punto L en ella, y otra recta hiperb´olica M y un punto M en ella, y siempre ser´a posible encontrar una transformaci´on T ∈ GC que lleve L en M y L en M. Se dice por ello que el grupo GC es transitivo en puntos y rectas (vea el Ejercicio 3). Para el modelo del hiperboloide, el grupo de transformaciones permitidas es el subgrupo de GL(3, ) que fija la hoja del hiperboloide con z > 0, el lector queda encargado de caracterizarlo. Vayamos ahora a los modelos de Poincar´e, donde haremos un estudio m´as completo del grupo de transformaciones permitidas y los invariantes asociados.

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184 Advertimos al lector que usaremos uno u otro modelo, seg´ un convenga. Como de costumbre, nos interesa que las transformaciones permitidas no s´olo dejen invariante al conjunto de que se trate, sino que tambi´en lleven rectas hiperb´olicas en rectas hiperb´olicas, es decir, circunferencias euclidianas (rectas incluidas) ortogonales a la frontera en otras con la misma propiedad. Para empezar, note que H + y Δ pueden verse como subconjuntos de , es decir: H + = {z = x + iy ∈

| y > 0},

Δ = {z ∈

| |z| < 1}.

Observe adem´as que la transformaci´on Q ∈ P SL(2, ) (el grupo de las transformaciones de M¨obius introducido al final de la secci´on 3.5), Q(z) =

z−i , −iz + 1

(4.2)

lleva el semiplano superior H + en el disco Δ. Gracias a Q y a su inversa, podremos trabajar indistintamente con uno u otro modelo. En la secci´on 3.5 demostramos que las transformaciones de M¨obius son composici´on de transformaciones que respetan no s´olo los a´ngulos, sino tambi´en su sentido: - homotecias compuestas con rotaci´on: T (z) = cz, con c ∈ ; - traslaciones: T (z) = z + b; - composici´on de la reflexi´on en el eje real con la inversi´on en la circunferencia unitaria (vea el Ap´endice 5.6): T (z) = 1/z. Aunque eso basta para asegurar que una transformaci´on de M¨obius necesariamente lleva una circunferencia en otra (admitiendo las de radio infinito, las rectas euclidianas), comprobaremos esto u ´ltimo directamente en un momento con un c´alculo sencillo. Entonces, el subgrupo de P SL(2, ) que lleve los puntos de cada modelo en puntos de ese mismo modelo, tambi´en llevar´a rectas del modelo en otras rectas del modelo, pues en ambos casos se trata de circunferencias ortogonales a la frontera. ´ Esas ser´an las isometr´ıas que preservan el sentido de los ´angulos, que hemos llamado directas. Las transformaciones de cada modelo que jugar´an el papel de las reflexiones euclidianas, se obtendr´an componiendo las isometr´ıas directas con una trans-

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185 formaci´on que invierta el sentido de los a´ngulos y que deje invariante al modelo en cada caso. En el caso de Δ, la transformaci´on buscada es la conjugaci´ on, que aplica cada n´ umero complejo en su conjugado: J:

→

tal que

x + iy → x − iy.

El conjugado z¯ de z resulta al reflejar z respecto al eje real, por eso la conjugaci´on invierte el sentido de los a´ngulos. La conjugaci´on tiene tambi´en una interpretaci´on algebraica: es un autoen s´ı mismo que fija morfismo de , es decir, un isomorfismo del campo cada n´ umero real (vea [B-ML]). En el caso de H + , la transformaci´on que invierte el sentido de los a´ngulos que a˜ nadiremos para obtener las isometr´ıas inversas, ser´a la reflexi´on en el eje imaginario: z → −¯ z (compruebe que z y −¯ z son reflejados uno de otro con respecto al eje imaginario). La conjugaci´on tambi´en aparece en la demostraci´on de que los elementos de P SL(2, ) preservan “circunferencias”; el lector deber´a interpretar la importancia de este lema en t´erminos de las rectas hiperb´olicas de los modelos. Lema. Cualquier transformaci´on de M¨obius f (z) =

az + b , cz + d

donde a, b, c, d ∈ y ad − bc = 1, lleva circunferencias en circunferencias, entendiendo por circunferencia tambi´en a las de radio infinito, las rectas euclidianas. Demostraci´on. La ecuaci´on de una tal circunferencia C en el plano cartesiano es Ax2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0, (4.3) (desde luego, los coeficientes son reales), y es claro que cuando A = 0 se trata de una recta euclidiana. Al sustituir en la ecuaci´on (4.3) las expresiones de x y y como la parte real x y la parte imaginaria y de z: x=

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z + z¯ , 2

y=

z − z¯ , 2i

(4.4)

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186 obtenemos la ecuaci´on de C en t´erminos de z y z¯ (haga los c´alculos): Az¯ z+

D + iE D − iE z+ z¯ + F = 0. 2 2

Las caracter´ısticas de esta ecuaci´on son: el coeficiente de z¯ z es un n´ umero real; el coeficiente de z y el de z¯ son conjugados; el t´ermino independiente es real. Como los coeficientes son elementos de , escribiremos la ecuaci´on de una circunferencia C como ¯ z¯ + C = 0, donde A, C ∈ Az¯ z + Bz + B

.

(4.5)

Ahora, para obtener la ecuaci´on de f (C), procedemos como lo hemos hecho siempre: como f tiene inversa f −1 ∈ P SL(2, ), si f (z) = w, entonces z = f −1 (w), y podremos sustituir z y z¯ en (4.2) por las expresiones que obtengamos de f −1 . Recordemos ahora que las transformaciones de M¨obius pueden manejarse en t´erminos de matrices (los elementos de P SL(2, )): 

a b c d

 

z 1



=



az + b ; cz + d

entonces, como el determinante de la matriz es 1, su inversa (que corresponde a f −1 ) es:   d −b , −c a y en consecuencia, dw − b . z = f −1 (w) = −cw + a El conjugado de una suma de n´ umeros complejos es la suma de los conjugados, y lo an´alogo ocurre con los productos; por eso, para obtener z¯ basta conjugar todos los t´erminos de la derecha, es decir, z¯ =

d¯w¯ − ¯b . −¯ cw¯ + a ¯

El lector queda encargado de comprobar que la expresi´on resultante de sustituir z y z¯ en (4.5), 

dw − b A −cw + a

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¯ ¯ d¯w¯ − ¯b dw − b ¯ dw¯ − b + C = 0, +B +B −¯ cw¯ + a ¯ −cw + a −¯ cw¯ + a ¯

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187 tiene las caracter´ısticas de la ecuaci´on de una circunferencia cuando se escribe en t´erminos de w y w.2 ¯ Corolario. Cuatro puntos z1 , z2 , z3 , z4 ∈  pertenecen a una circunferencia si y s´olo si su raz´on doble es real. Demostraci´on. El Teorema Fundamental de la Geometr´ıa Proyectiva es v´alido cuando las coordenadas son n´ umeros complejos (revise los argumentos); por tanto, existe siempre una transformaci´on T ∈ P GL(2, ) que lleva tres puntos cualesquiera de P 1( ) =  , z1 , z2 , z3 en otros tres puntos arbitrarios w1 , w2 , w3 . Si estos u ´ltimos se ubican en el eje real, la circunferencia C por z1 , z2 y z3 se aplica en la recta real y para cualquier otro punto z ∈ C, la raz´on doble (z1 , z2 ; z3 , z) es real porque (w1 , w2 ; w3 , T (z)) lo es.2 Para caracterizar el subgrupo de P SL(2, ) que deja invariante cada modelo, basta pedir que la frontera orientada del conjunto considerado quede invariante bajo las transformaciones permitidas, puesto que al conservarse el sentido de los a´ngulos, la regi´on que se ubica a la izquierda cuando recorremos la frontera como lo indica la Figura 4.8, se aplica nuevamente en la regi´on situada a la izquierda. Es claro que las transformaciones con esa propiedad forman, en cada caso, un subgrupo de P SL(2, ). Im

+90o +90o

Y

+90o X

Figura 4.8: Al respetar la frontera, una transformaci´on de M¨obius manda la regi´ on a la izquierda en s´ı misma.

Al subgrupo de P SL(2, ) que fija al semiplano superior lo denotamos por + G+ H + , y al que fija al disco lo denotaremos GΔ . Tomemos primero el caso del semiplano superior H + . Si f ∈ P SL(2, ) es tal f (z) ∈ H + para todo z ∈ H + , tambi´en ocurre que

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188 f aplica la frontera, , en la frontera, por continuidad. Es inmediato comprobar que cuando todos los coeficientes de f son n´ umeros reales, se tiene f ( ) ⊂ , y como f preserva la orientaci´on de , el semiplano superior va en el semiplano superior. Demostraremos que la condici´on de que los coeficientes sean reales tambi´en es necesaria. Busquemos entonces el subgrupo de las transformaciones f ∈ P SL(2, ) que llevan cualquier n´ umero real en otro n´ umero real. Cuando evaluamos f (z) en z = 0 obtenemos f (0) =

b ∈ d

;

y podemos escribir b = λd, con λ ∈ . Como ∞ pertenece a cualquier recta por el origen en  , tambi´en debe ocurrir que al evaluar f (z) en ∞ obtengamos un n´ umero real, esto es 

f (∞) = l´ım

z→∞

az + b cz + d



=

a ∈ c

,

si c = 0 (¿qu´e pasa si c = 0?); en consecuencia, a = μc, con μ ∈ . Al evaluar f (z) primero en z = 1 y luego en z = −1, los resultados respectivos son −a + b a+b ∈ , f (−1) = ∈ . f (1) = c+d −c + d Proponemos al lector que, usando todas las relaciones ya obtenidas, compruebe que todos los coeficientes a, b, c y d son m´ ultiplos reales de uno solo de ellos, por ejemplo d; entonces es posible dividir el numerador y el denominador de f (z) entre dicho coeficiente para obtener una expresi´on donde todos los coeficientes son n´ umeros reales, y si adem´as dividimos cada coeficiente entre la ra´ız cuadrada del determinante, podemos lograr a d − b c = 1, a z + b . c z + d  Lo anterior se resume en el teorema siguiente. f (z) =

Teorema. Una transformaci´on de M¨obius f (z) deja invariante al semiplano superior H + si y s´olo si tiene la forma f (z) =

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az + b , cz + d

donde a, b, c, d ∈

, ad − bc = 1.

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189 El grupo formado por estas transformaciones se denota por P SL(2, ). Cuando a˜ nadimos la reflexi´on en el eje imaginario, obtenemos el grupo completo de transformaciones del semiplano superior, GH + , cuya geometr´ıa asociada estudiaremos. Se puede demostrar que GH + contiene a cualquier transformaci´on que respete ´angulos (no necesariamente su orientaci´on) y fije el semiplano superior, aunque no lo haremos aqu´ı (vea [Be]). Entonces, el grupo de las transformaciones que respetan ´ angulos y fijan el semiplano superior, GH + , consta de las transformaciones f : → de alguna de las dos formas siguientes: f (z) = donde a, b, c, d ∈

az + b cz + d

´o

f (z) =

a(−¯ z) + b , c(−¯ z) + d

y ad − bc = 1.

Podemos hacer algo semejante para determinar el subgrupo GΔ que deja invariante al disco Δ: caracterizar los elementos del subgrupo de P GL(2, ) que fija a S 1 , la frontera del disco unitario, y a˜ nadir la reflexi´on en el eje real. Pero es m´as f´acil observar que basta utilizar la transformaci´on Q (4.2) y su inversa Q−1 para obtener, de los elementos f ∈ GH + , los elementos h ∈ GΔ as´ı: (4.6) h = Qf Q−1 : Δ → Δ. El lector queda encargado de comprobar que Qf Q−1 realmente tiene como dominio y contradominio a Δ, y tambi´en deber´a convencerse de que cada elemento h ∈ GΔ puede expresarse de esta manera en forma u ´nica. Entonces es muy sencillo caracterizar a los elementos de GΔ , pues al multiplicar la matriz de un elemento f ∈ GH + por la matriz de Q y la de Q−1 en el orden indicado por (4.6), resulta una matriz de entradas complejas donde los elementos de las diagonales son conjugado uno del otro. Tenemos entonces un teorema an´alogo al anterior. Teorema. Una transformaci´on de M¨obius f (z) deja invariante al disco unitario Δ si y s´olo si tiene la forma az + b , f (z) = ¯ b+a ¯

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donde |a|2 − |b|2 = 1.

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190 Dichas transformaciones forman un grupo. Por tanto, en el caso del disco hiperb´olico, el grupo cuya geometr´ıa estudiaremos, GΔ , tiene elementos de la forma: az + b h(z) = ¯ bz + a ¯

´o

a¯ z+b h(z) = ¯ , b¯ z+a ¯

con |a|2 − |b|2 = 1.

EJERCICIOS 1. Demuestre que el conjunto de transformaciones T ∈ P GL(3, la c´ onica (4.1), es un grupo GC .

) que fijan

2. Encuentre una transformaci´ on T ∈ GC que lleve la recta y = 0 y el punto (5 : 0 : 1), en la recta x − y = 0 y el punto (0 : 0 : 1). Haga tambi´en el ejercicio en general. 3. Demuestre que si elegimos arbitrariamente un par de rectas L y M del modelo proyectivo, y fijamos en cada una un punto, L y M , respectivamente, es posible encontrar T ∈ GC que lleve L y L en M y M . ¿Cu´antas posibles T hay? 4. Determine el subgrupo de GL(3, hiperboloide.

) que deja invariante al modelo del

5. Demuestre que la aplicaci´on z → z¯ de en , es un isomorfismo del campo en s´ı mismo que fija puntualmente . 6. Encuentre el elemento de P SL(2, ) que corresponde a cada una de las transformaciones siguientes: f1 (z) = z + 1; f2 (z) = 2z; f3 (z) = (cos θ + isenθ)z; f4 (z) = 1/z. 7. Demuestre que el subgrupo GΔ que deja invariante al disco de Poincar´e, puede obtenerse del subgrupo GH + utilizando la relaci´on dada por la ecuaci´on (4.6).

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191

4.3.

La red de Steiner

En este inciso estudiamos propiedades esenciales de las transformaciones de M¨obius que nos ser´an de gran utilidad cuando las restrinjamos a GH + y a GΔ . Para empezar, observemos que cualquier transformaci´on de M¨obius tiene dos puntos fijos α y β, que pueden ser coincidentes. Eso es consecuencia de que al plantear az + b = z, cz + d determinamos una ecuaci´on de segundo grado: cz 2 + (d − a)z − b = 0. a

(4.7)

´ El Teorema Fundamental del Algebra asegura que las dos ra´ıces pertenecen , y para obtenerlas usamos la f´ormula de costumbre. Las consecuencias geom´etricas de este hecho algebraico son muy interesan-

tes. Examinemos primero el caso en que α = β; del lema en 4.2 es inmediato que cualquier circunferencia en el plano complejo extendido  que pase por α y β, se transforma bajo f en otra circunferencia por esos puntos. Llamamos F1 a la familia de todas las circunferencias que pasan por α y β; por lo anterior, F1 es invariante bajo f , es decir, f (F1 ) = F1 . Lo notable es que hay otra familia F2 invariante bajo f y cuyos elementos cortan ortogonalmente a los de F1 . Para visualizar esta segunda familia, suponemos α = 0 y β = ∞ (la transformaci´on h(z) = z−α muestra que no hay p´erdida de generalidad), e identifiz−β camos a estos puntos con los polos norte y sur de la esfera de Riemann (vea la Figura 4.9). En la esfera, cada elemento de la familia F1 est´a formado por dos meridianos que forman un a´ngulo π; los elementos de la familia F2 son los paralelos. Es claro que por cada punto P de la esfera distinto de 0 e ∞ pasa uno y s´olo un elemento de cada familia, y que el ´angulo que forman en P esas dos circunferencias es recto. A la derecha aparece el resultado de proyectar estereogr´aficamente ambas familias desde (0, −1, 0) en un plano que pasa por los polos norte y sur, denotados por N y S tanto en la esfera como en el plano.

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192 N

c1

c2

c1 N c2

c1 c2 S





c1 S c2

Figura 4.9: Cualquier f ∈ P SL(2, ) determina dos familias invariantes de circunferencias cuyos elementos se cortan ortogonalmente.

Como la proyecci´on estereogr´afica es conforme, los elementos de cada familia que se cortan en un cierto punto del plano distinto de N y S, lo hacen ortogonalmente. El lector familiarizado con el concepto sospechar´a que la familia F2 corresponde a C´ırculos de Apolonio con puntos l´ımite α = N y β = S, lo cual comprobamos en el ap´endice 5.6. El conjunto de las dos familias forma en el plano una red circular denominada red de Steiner. En el ap´endice 5.6 demostramos otras propiedades de la red de Steiner relacionadas con la inversi´on. Cuando α = β resulta una red de Steiner degenerada; invitamos al lector a dibujarla como un caso l´ımite del anterior. Queremos estudiar ahora el efecto de f en las familias F1 y F2 . Esto es sencillo cuando tomamos el modelo del semiplano superior; por simplicidad nos restringiremos a las transformaciones que preservan orientaci´on, f ∈ P SL(2, ). Entonces la ecuaci´on (4.7) tiene coeficientes reales y el estudio puede realizarse utilizando los puntos fijos de f , α y β, que son las ra´ıces de (4.7): (a) α y β son n´ umeros reales distintos; a la transformaci´on se le llama hique perb´ olica por fijar dos puntos al infinito; la transformaci´on h(z) = z−α z−β lleva α, β ∈ en 0 e ∞, respectivamente, nos permite tomar como forma can´ onica de f ∈ GH + hiperb´olica el caso en que los puntos fijos son 0 e ∞.

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193 Pero entonces la forma de f es f (z) = kz, con k > 0

(4.8)

por lo siguiente: como 0 es punto fijo de f ∈ P SL(2, ), necesariamente b = 0, y como ∞ es punto fijo, necesariamente c = 0; eso reduce f a la forma f (z) = (a/d)z = kz. Dejamos al lector la comprobaci´on de que para cada k > 0 existe una matriz en P SL(2, ) con ese efecto. (b) α y β son n´ umeros reales y coincidentes; a la transformaci´on se le llama parab´ olica por fijar s´olo un punto al infinito; la forma can´ onica de f ∈ GH + parab´olica se obtiene cuando el u ´nico punto fijo es ∞. En ese caso, la forma de f es f (z) = z + 1 (4.9) porque, como antes, ∞ punto fijo implica c = 0, y el hecho de que sea el u ´nico punto fijo implica que el discriminante de la ecuaci´on (4.7) se anula, es decir, (a + d)2 = 4. Como adem´as ad = 1, la ecuaci´on anterior se convierte en (1/d) + d = ±2, lo cual implica d = ±1, y al proyectivizar la matriz resultante obtenemos f (z) = z + k, con k ∈ ; para hacer el estudio, tomamos k = 1. (c) α y β son n´ umeros complejos conjugados; la transformaci´on se llama el´ıptica porque no fija puntos al infinito; en este caso llamaremos forma can´ onica de f ∈ GH + el´ıptica cuando los puntos fijos sean i y −i: f (z) =

az + b . −bz + a

(4.10)

De (a) y (b), concluimos que, para el modelo del semiplano superior, los puntos fijos son elementos de la frontera (casos (a) y (b)), o un punto interior y otro exterior (caso (c)), y podemos sacar varias conclusiones sobre el efecto de f en las curvas correspondientes a los c´ırculos de Steiner (note que no todas son rectas hiperb´olicas). En el caso (a), la transformaci´on f ∈ GH + fija dos puntos de la frontera y, en consecuencia, la recta hiperb´olica L por ellos tambi´en queda fija (como conjunto); el resto de los elementos de la familia F1 tambi´en quedan fijos como conjunto y ya no son rectas hiperb´olicas. Los elementos de la familia F2 , que son todas rectas hiperb´olicas, se transforman unos en otros; por continuidad, si una de estas perpendiculares se desplaza en un sentido (hacia la derecha o

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194 hacia la izquierda), todas las dem´as lo hacen en el mismo sentido (vea la Figura 4.10 (a)). Cuando hayamos introducido la m´etrica, ser´a f´acil verificar tambi´en que uno de los puntos fijos es atractor, en el sentido de que f (P ) est´a m´as pr´oximo del punto fijo atractor que P , mientras que el otro punto fijo es repulsor, pues los puntos se alejan de ´el al aplicarles la transformaci´on f (vea el Ap´endice 5.6). f (c2 ) c2

L

α = f (α)

β = f (β)

(a) f (c2 )

c1 c2 α = f (α)

(b) c1

α c2

f (c2 )

α ¯

(c) Figura 4.10: Cada f ∈ GH + define una red de Steiner.

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195 En el caso (b), f ∈ GH + fija s´olo un punto de la frontera (α = β). La familia F1 consta de circunferencias euclidianas tangentes entre s´ı (y tangentes al eje real) en el punto fijo; no son rectas hiperb´olicas y en Geometr´ıa Hiperb´olica, se les denomina horociclos. Resultar´an ser curvas equidistantes unas de otras bajo la m´etrica que definiremos, y cada una es invariante (como conjunto) bajo f . Esto u ´ltimo es obvio si se considera la forma can´onica: f (z) = z + 1, cuyo punto fijo es ∞ y donde los horociclos son rectas euclidianas paralelas al eje real. La familia F2 s´ı consta de rectas hiperb´olicas, todas tangentes en α, y por ello forman un haz de paralelas. Como en el caso anterior, si bajo f una de ellas se desplaza en un sentido, por ejemplo a la izquierda, las dem´as tambi´en lo hacen (vea la Figura 4.10 (b)). Finalmente, en el caso (c), como va en s´ı mismo, los dem´as elementos de la familia F2 (que no son rectas hiperb´olicas), tambi´en quedan invariantes (como conjunto), mientras que los de la familia F1 (que s´ı son rectas hiperb´olicas), se transforman unos en otros, dando la impresi´on de girar en torno al punto fijo (vea la Figura 4.10 (c)). Observe que la matriz de la forma can´onica es precisamente una matriz de rotaci´on. Aqu´ı se impone resaltar un hecho algebraico. Observaci´ on Las transformaciones f ∈ GH + pueden clasificarse de acuerdo al cuadrado de su traza, a + d, pues el signo del discriminante de (4.7) determina el n´ umero de ra´ıces reales. Pero si calculamos el discriminante y recordamos que ad − bc = 1, es f´acil demostrar lo siguiente (vea el Ejercicio 2) - f ∈ GH + es hiperb´olica si y s´olo si (a + d)2 > 4; - f ∈ GH + es parab´olica si y s´olo si (a + d)2 = 4: - f ∈ GH + es el´ıptica si y s´olo si (a + d)2 < 4. Los dibujos an´alogos a los de la Figura 4.10 para el modelo Δ deber´a realizarlos el lector. Para este tema, la referencia cl´asica es [Be], y tambi´en puede consultarse [La].

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196

EJERCICIOS 1. Analice c´ omo se transforma la red de Steiner bajo Q−1 , y haga los dibujos correspondientes a la Figura 4.10 en el caso de Δ. 2. Demuestre la afirmaci´ on hecha en la observaci´ on final.

4.4.

La m´ etrica hiperb´ olica

Mencionamos ya que ser´a necesario modificar la forma en que medimos las longitudes para lograr encontrar, en nuestro espacio tridimensional, una superficie que modele la Geometr´ıa hiperb´olica. Los modelos que hemos propuesto son subconjuntos del plano, pero no ser´ıa correcto decir que son subconjuntos del plano euclidiano precisamente porque mediremos de una forma distinta, para la cual las rectas propuestas son geod´esicas, es decir, curvas que minimizan esa nueva distancia entre dos de sus puntos. Una consecuencia del resultado de Hilbert que mencionamos en la secci´on 4.1, es que para poder ver al plano hiperb´olico como subconjunto de un n con la m´etrica inducida por el producto escalar usual, es necesario que n ≥ 4. El Ejercicio 6 de esta secci´on ayudar´a a convencer al lector de que el plano hiperb´olico no “cabe” en 3 . La motivaci´on f´ısica del modelo del semiplano superior plante´o que cuando el medio se vuelve m´as denso a medida que nos aproximamos al borde, la luz, cuya velocidad es constante, debe modificar su trayectoria a fin de seguir avanzando con la misma velocidad. Si la densidad en el borde es infinita, la luz no puede alcanzar el borde y por eso la longitud de una geod´esica ser´a infinita. Una forma muy sencilla de lograr eso es modificar el producto punto euclidiano (que es b´asico para medir distancias y a´ngulos) de forma que las normas se incrementen al acercarnos a la frontera. Definici´ on. El producto escalar hiperb´ olico de dos vectores en el semi-

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197 plano superior, u¯ y v¯, anclados en el punto z = x + iy, est´a dado por u¯ ·E v¯ , u¯ ·H v¯ = y2 donde ·E denota el producto punto usual del plano euclidiano (vea la Figura 4.11). Note que este producto escalar hiperb´olico hereda del producto escalar usual, las propiedades necesarias para un producto escalar: - su valor es un n´ umero real para cualesquiera u¯ y v¯ anclados en un mismo punto; es no negativo cuando u ¯ = v¯ y, en este caso, se anula s´olo si u¯ = ¯0; - abre sumas y saca escalares de cada factor, es decir, es bilineal; - su valor no depende del orden de los factores: es sim´etrico.

v¯ 1

u ¯ (x, 1)

1 2

¯ v H v¯ (x , 12 )

u ¯ ¯ uH

Figura 4.11: El producto escalar hiperb´olico depende de la altura del punto de apoyo de los vectores.

Una vez definido el producto escalar ·H , podemos definir la norma hiperb´ olica de un vector v¯ anclado en un punto P0 (x0 , y0 ) del semiplano superior: ||¯ v||H = (¯ v ·H v¯)1/2 . Con eso es posible medir la longitud hiperb´olica de una curva en H + en forma an´aloga a la usual: si α : [a, b] → H + es una curva diferenciable, su longitud hiperb´ olica es 

lH (α) =

b

a

||α(t)||H dt.

Ciertamente, la forma de calcular la norma var´ıa con el punto α(t) en que est´a anclado el vector tangente, pero si la curva es suave la variaci´on es continua y eso da sentido a la integral.

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198 olica de P1 a P2 Y dados dos puntos P1 y P2 de H + , la distancia hiperb´ es el ´ınfimo de las longitudes de las curvas en H + que unen esos dos puntos. Tenemos as´ı una nueva manera de medir en el semiplano superior, llamada m´ etrica hiperb´ olica. Las m´etricas obtenidas a partir de productos escalares que var´ıan suavemente con el punto de apoyo de los vectores, se denominan m´ etricas riemannianas, y juegan un papel central en Geometr´ıa Diferencial. Nuestro principal prop´osito al dar esta definici´on de producto escalar, fue lograr que las rectas hiperb´olicas minimicen la distancia entre dos de sus puntos, y que tengan longitud infinita. A continuaci´on comprobamos esto u ´ltimo en el caso especial del semieje positivo Y , y luego demostramos que al transformar esa recta especial en cualquier recta hiperb´olica utilizando f ∈ GH + , la norma hiperb´olica de los vectores tangentes no se altera. Eso significar´a que f es una isometr´ıa, y, en particular, que cualquier recta tiene longitud infinita. La recta hiperb´olica correspondiente al semieje positivo Y tiene una parametrizaci´on muy sencilla: (x(t), y(t)) = (0, t), donde t ∈ (0, ∞). Bastar´a demostrar que la longitud de la semirrecta correspondiente a (0, 1] es infinita; recuerde que la forma de calcular la longitud de una curva es an´aloga a la usual, s´olo que la norma del vector tangente es la norma hiperb´olica:  0

1





||(x (t), y (t))||H dt = l´ım



1

||(0, 1)||H dt 1 dt = l´ım a→0 a t = l´ım ln t|1a = l´ım (0 − ln (a)) = +∞. a→0 a  1

a→0

a→0

(4.11)

En consecuencia, la longitud de la semirrecta hiperb´olica (que es un segmento de longitud euclidiana 1), es infinita. Llevemos ahora la parte positiva del eje Y en una recta hiperb´olica cualquiera; bastar´a tomar el caso de la semicircunferencia con centro en el origen y de radio 1, pidiendo adem´as que i se transforme en s´ı mismo y la orientaci´on se conserve. Entonces, f ∈ GH + debe cumplir: f (0) = −1; f (∞) = 1; f (i) = i.

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(4.12)

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199 Los elementos de GH + que conservan la orientaci´on tienen la forma f (z) = con a, b, c, d ∈

az + b , cz + d

, y por (4.9) tenemos: a ai + b b = −1; = 1; = i. d c ci + d

Entonces, b = −d; a = c; ai + b = di − c, que implica a = d, b = −c. Por tanto, la expresi´on para f (z) es: f (z) =

dz − d z−1 = . dz + d z+1

Los puntos de la parte positiva del eje Y tienen la forma z = it, por lo que al aplicarles f obtenemos: f (it) =

(it − 1)(−it + 1) −1 + t2 + 2ti it − 1 = = . it + 1 (it + 1)(−it + 1) 1 + t2

Es decir, los puntos f (it) en la semicircunferencia tienen la parametrizaci´on 

(x(t), y(t)) =



−1 + t2 2t , , 1 + t2 1 + t2

y el vector tangente es, despu´es de simplificar,  



(x (t), y (t)) =



4t 2(1 − t2 ) , . 2 2 (1 + t ) (1 + t2 )2

Si el lector calcula la norma hiperb´olica de (x (t), y  (t)), encontrar´a que es 1/t, la misma que para el vector tangente al semieje Y positivo en el punto it. Y tambi´en le dejamos como tarea dar argumentos que demuestren la validez del resultado para cualquier otra recta hiperb´olica, es decir, cuando la circunferencia tiene su centro en cualquier punto del eje X y el radio es arbitrario.

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200 Con ello habr´a demostrado que la longitud de cualquier segmento permanece invariante bajo cualquier f ∈ GH + , y podemos enunciar ese resultado en la forma siguiente. Teorema 1. Los elementos de GH + , son isometr´ıas de H + respecto a la m´etrica hiperb´olica. Y del primer c´alculo es inmediato tambi´en otro resultado fundamental: Teorema 2. Las rectas hiperb´olicas son curvas que minimizan la distancia hiperb´olica entre dos sus puntos, es decir, geod´esicas. Demostraci´on. Por el Teorema 1, basta considerar el caso de la recta hiperb´olica dada por el semieje imaginario; cualquier curva (x(t), y(t)) que una los puntos Ai y Bi del eje imaginario, tiene longitud hiperb´olica mayor o igual que la correspondiente al segmento de Ai a Bi, que es ln(B/A). Para comprobarlo, tomamos el caso de una curva sin autointersecciones con t ∈ [a, b], y recordamos que y(t) > 0: 

b

a

||(x (t), y (t))||H dt ≥ =



b

ab a

||(0, y (t))||H dt    y  (t)      dt  y(t) 

= ln (y(t))|ba = ln (B) − ln (A) = ln (B/A).2 Ahora los resultados se suceden en cascada, como los siguientes. Proposici´ on 1. Dos horociclos con el mismo punto al infinito, son curvas equidistantes. Es decir, si desde un punto de uno de ellos se traza una perpendicular al otro, la longitud del segmento de perpendicular es independiente del punto. Demostraci´on. Una transformaci´on f ∈ GH + que lleve el punto fijo a ∞, convierte a cualquiera de los horociclos en una circunferencia de radio infinito, es decir, una recta euclidiana, y como todos los horociclos cortan ortogonalmente a la recta hiperb´olica perpendicular al eje X por el punto de tangencia, al transformarlos en rectas euclidianas son horizontales (vea la Figura 4.12). Entonces, la distancia hiperb´olica entre dos de ellas es constante, como hab´ıamos afirmado. 2

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201 c3

f (c1 )

c2

f

f (c2 )

c1

f (c3 )

Figura 4.12: Los horociclos con el punto al infinito en com´ un son curvas equidistantes. M E Q5

Q4

P2

Q3 Q2

P1

Q1

P3

P4

L

H Figura 4.13: L y M no son curvas equidistantes, pero M y E s´ı lo son.

Note que dos rectas hiperb´olicas paralelas, es decir, con un punto al infinito en com´ un, no son curvas equidistantes, pues la distancia hiperb´olica entre ellas (la longitud del segmento de perpendicular de P ∈ L a M) crece a medida que el punto P se aleja del punto al infinito. En la Figura 4.13 ilustramos el caso en que una de las rectas hiperb´olicas es una paralela M al eje imaginario: la distancia de L a la recta M crece tanto como se quiera cuando P tiende al otro punto al infinito de L; en cambio, cualquier semirrecta euclidiana E por H s´ı es una curva equidistante de M. El lector puede hacer la demostraci´on si nota que todos los arcos de Qi a M son homot´eticos. No hemos analizado a´ un c´omo se ve una circunferencia hiperb´olica; el concepto tiene sentido puesto que, fijo un punto C, en cualquier direcci´on a partir de ´el podemos trazar una recta hiperb´olica y medir sobre ella una distancia fija de antemano r (vea la Figura 4.14).

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202 Dejamos al lector la demostraci´on de la proposici´on siguiente; la Figura 4.14. sugiere c´omo hacerla. Proposici´ on 2. Las circunferencias hiperb´olicas son circunferencias euclidianas, aunque el centro hiperb´olico est´a desplazado hacia la frontera. Im 2i

i 1 2i

Figura 4.14: Las circunferencias hiperb´olicas son circunferencias euclidianas, pero los centros difieren.

Ahora podemos probar un teorema que tal vez el lector ya esperaba. Teorema 3. Las u ´nicas isometr´ıas de H + en s´ı mismo que preservan orientaci´on, son los elementos de P SL(2, ). Demostraci´on. El Teorema 1, demostrado en esta misma secci´on, implica que los elementos de P SL(2, ) son isometr´ıas de H + . Por tanto, para demostrar el Teorema 3 s´olo falta probar la implicaci´on en el otro sentido, es decir, que ´estas son todas las isometr´ıas que preservan la orientaci´on. Como en el caso euclidiano y el el´ıptico, una isometr´ıa es una biyecci´on T : H + → H + que preserva la distancia entre puntos. Por tanto, si una curva C es una geod´esica, T (C) tambi´en es una geod´esica. El argumento utilizado en el caso euclidiano para comprobar que dos tri´angulos congruentes determinan una u ´nica isometr´ıa T , es v´alido en este caso, pues si P, Q, R y P , Q , R son los v´ertices de los dos tri´angulos congruentes, cualquier S ∈ H + determina con P y Q un tri´angulo. Una isometr´ıa T que lleve ΔP QR en ΔP  Q R , lleva tambi´en ΔP QS en ΔP  Q S  , y para S  hay s´olo dos posibilidades, que son los puntos de intersecci´on de las circunferencias hiperb´olicas con centro en cada uno de los v´ertices P  y Q y radios dH (P, S) y dH (Q, S), respectivamente. La elecci´on depender´a

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203 de que ΔP QR en ΔP  Q R est´en igualmente orientados o no. Si T respeta la orientaci´on, necesariamente coincide con el u ´nico elemento f ∈ P SL(2, ) tal    que (P, Q; R, S) = (P , Q ; R , f (S)). En caso contrario, deberemos componer f con la reflexi´on en el eje imaginario para obtener T .2 Para terminar este inciso, conviene decir cu´al es la m´etrica en el caso del disco, y expresar la distancia hiperb´olica en t´erminos de la raz´on cruzada. Hab´ıamos planteado que, al dar una m´etrica para uno de los modelos, podr´ıamos definir la m´etrica en otro de los modelos utilizando una biyecci´on entre ambos. Utilizando la biyecci´on establecida por (4.2): Q(z) =

z−i ; −iz + 1

es posible demostrar que el producto escalar para el modelo del disco est´a dado por la f´ormula 4¯ u ·E v¯ u¯ ·Δ v¯ = , (4.13) (1 − r 2 )2 donde r es la distancia del punto de apoyo de los vectores al centro del disco (vea la Figura 4.15).

v¯ p

u ¯

r

Figura 4.15: C´omo medir en el modelo del disco de Poincar´e.

La distancia hiperb´olica del centro de Δ a cualquier punto de la frontera, es infinita, pues ya demostramos que la distancia de i (que se aplica en 0 por Q) a cualquier punto del borde del semiplano, es infinita. Adem´as, como 1 y −1 quedan fijos, la recta hiperb´olica de H + que contiene i, 1 y −1, se transforma en la recta hiperb´olica de Δ por 0, 1 y −1: el di´ametro

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204 horizontal. El resto de las rectas hiperb´olicas por i en H + , da lugar al resto de los di´ametros, todos ellos rectas hiperb´olicas de Δ. Expresemos ahora la distancia entre dos puntos z y w en t´erminos de la ´nica raz´on cruzada (z, w; w ∗ , z ∗ ), donde z ∗ y w ∗ son los puntos al infinito de la u recta hiperb´olica L determinada por z y w (vea la Figura 4.16).

w

z

z∗

w∗

Figura 4.16: La distancia de z a w est´ a dada por (z, w; w∗ , z ∗ ).

Consideremos la transformaci´on T ∈ P SL(2, ) que lleva L en el eje imaginario de forma que z ∗ se transforma en 0; el otro punto al infinito se transforma en ∞ y los puntos z y w tienen im´agenes de la forma iy1 e iy2 . El lector no tendr´a problema para justificar las igualdades siguientes: 



T (w) T (z) = ln (iy1 , iy2 ; ) = ln (z, w; w ∗, z ∗ ).

dH (T (z), T (w)) = ln

(4.14)

Como la transformaci´on Q : H + → Δ es una proyectividad y, por tanto, deja invariante la raz´on doble, la f´ormula anterior tambi´en es v´alida para puntos en Δ.

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205

EJERCICIOS 1. Demuestre que la semirrecta euclidiana E de la Figura 4.13, es una curva equidistante de la recta hiperb´olica M. 2. Demuestre que dos rayos euclidianos que parten de un mismo punto al olica. infinito de H + , son curvas equidistantes con la m´etrica hiperb´ 3. ¿Es la translaci´ on euclidiana z → z + b, con b ∈ plano hiperb´ olico? Justifique su respuesta.

una traslaci´ on en el

4. Demuestre la Proposici´ on 2. (Sugerencia: localice dos puntos A y B del eje imaginario a la misma distancia hiperb´olica r de i, y determine la circunferencia euclidiana C de di´ametro AB. Para cualquier recta hiperb´ olica L por i, calcule la longitud hiperb´ olica del segmento de i a L.) 5. Justifique la f´ ormula (4.13). 6. Demuestre que hay pol´ıgonos hiperb´olicos regulares de n lados con todos sus ´angulos rectos si n > 4. 7. Construya varios hex´ agonos euclidianos regulares, todos congruentes, y cortando a lo largo de un radio, a˜ nada a cada uno un tri´angulo congruente con los seis que forman el hex´ agono. Ahora pegue los hex´agonos unos con otros a lo largo de uno de sus lados; si el n´ umero de hex´agonos modificados es grande, el objeto no es c´omodo de manipular, pese a que s´ olo en los centros de los “hex´ agonos” se tiene curvatura negativa. Esto ilustra la imposibilidad de que el plano hiperb´ olico quepa en 3 con la m´etrica inducida. an8. Demuestre, a partir de (4.14), que dH satisface la desigualdad del tri´ gulo.

4.5.

Primeros resultados en Geometr´ıa hiperb´ olica

En este inciso estudiaremos varios de los resultados obtenidos por los primeros estudiosos de la Geometr´ıa Hiperb´olica; algunos contrastan con lo que ocurre en las otras geometr´ıas que hemos estudiado, otros m´as son simplemente

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206 parte de la riqueza de este tema que, principalmente en el caso bidimensional, puede ser estudiado con multitud de t´ecnicas. No daremos las demostraciones originales; utilizaremos siempre alguno de los modelos de Poincar´e. Las demostraciones originales pueden encontrarse en [Bo], [Ce] y [W]; una breve narraci´on de la parte hist´orica puede encontrarse en [R-S]. [1] (Girolamo Saccheri,(1667-1733)) La suma de los ´angulos de un tri´angulo hiperb´olico es menor que 180◦ .

A α

C

γ γ

β

B

β

Figura 4.17: En un tri´ angulo hiperb´olico, α + β + γ < 180o .

Demostraci´on. Usamos una isometr´ıa para llevar el v´ertice A al centro del disco, y as´ı dos lados son radios, mientras que los otros dos v´ertices determinan el lado BC, perteneciente a un arco perpendicular al borde del disco (vea la Figura 4.17). Los a´ngulos hiperb´olicos β y γ, son menores que los respectivos ´angulos euclidianos β  y γ  ; entonces, 180◦ = α + β  + γ  > α + β + γ.2 [2] (Johann Heinrich Lambert, (1723-1812)) El ´area de un tri´angulo hiperb´olico, es igual a π menos la suma de los a´ngulos interiores del tri´angulo. De hecho, el enunciado original de Lambert se refiere a un pol´ıgono hiperb´olico y dice que: “la diferencia de la suma de los ´angulos interiores de un pol´ıgono euclidiano, menos la suma de los ´angulos interiores de un pol´ıgono

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207 hiperb´olico con los mismos v´ertices, es proporcional al ´area (hiperb´olica) del pol´ıgono”. Demostraci´on. En el caso de un tri´angulo el´ıptico, el c´alculo de su ´area dio como resultado ´area del tri´angulo = α + β + γ − π; en este caso, el c´alculo del ´area de un tri´angulo nos da ese mismo tipo de informaci´on, aunque los resultados difieren esencialmente. Empecemos por aclarar c´omo medir a´reas hiperb´olicas; basta considerar que si la forma de medir la longitud hiperb´olica de un vector tangente en el punto z = x + iy ∈ H + var´ıa, respecto de la euclidiana, en forma inversa a la parte imaginaria y, entonces el elemento de ´area hiperb´olico var´ıa, respecto del euclidiano, en forma inversa a y 2. Como cualquier f ∈ GH + es una isometr´ıa hiperb´olica, el ´area no var´ıa si llevamos el lado AB del tri´angulo a coincidir con la recta correspondiente a la semicircunferencia |z| = 1 (vea la Figura 4.18). Haremos el c´alculo en el caso del tri´angulo ideal AB∞ (note que la altura es infinita), pues cualquier tri´angulo puede obtenerse como diferencia de dos tri´angulos con un mismo v´ertice ideal (Ejercicio 1). Im α

α

γ β

C B

A β α ´ Figura 4.18: Area(ΔABC) = 180o − (α + β + γ).

Es claroque x var´ıa de cos(π −α) a cos β, y que dado x, la parte imaginaria y var´ıa de (1 − x2 ) a ∞. Por tanto, el a´rea del tri´angulo hiperb´olico ΔAB∞ es    cos β ∞ dy dx = π − (α + β). ´area ΔAB∞ = √ (1−x2 ) y 2 cos(π−α) El lector puede aplicar este resultado a los tri´angulos ΔBC∞ y ΔCA∞

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208 para obtener la afirmaci´on del enunciado, ´area (ΔABC) = 180◦ − (α + β + γ).2 Note que, en vista del c´alculo anterior, en la Geometr´ıa hiperb´olica es posible tener un tri´angulo de altura infinita y ´area finita. En el caso de un cuadril´atero hiperb´olico P con a´ngulos α, β, γ, δ, el resultado de Lambert dice que ´area de P = 2π − (α + β + γ + δ). El resultado siguiente, debido a Gauss, caracteriza a las circunferencias en una forma que es v´alida para las circunferencias hiperb´olicas y tambi´en para las ecuclidianas. Para ello define cu´ando un punto A del plano hiperb´olico es un punto correspondiente a un punto fijo D respecto a un haz de v´ ertice O: la condici´on es que el tri´angulo OAD sea is´osceles, lo cual Gauss expresa diciendo que OA y OD deben formar ´angulos iguales de un mismo lado de AD (vea la Figura 4.19). [3] (Karl Friedrich Gauss (1777-1855)). Una circunferencia es el lugar geom´etrico de los puntos en las rectas de un haz, correspondientes a un punto fijo D (dado un haz con v´ertice O, decimos que un punto A en una de las rectas del haz es un punto correspondiente al punto D, si A es tal que OA y OD forman a´ngulos iguales en un mismo lado de AD.)

A

D A

O

A

Figura 4.19: Puntos correspondientes a D en rectas por O.

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209 Demostraci´on. En este caso, tomamos el modelo del disco y, mediante una isometr´ıa, ubicamos el v´ertice del haz en el centro O del disco. Para un punto fijo arbitrario D ∈ Δ, el punto correspondiente a D en una de las rectas del haz, es el punto A tal que OAD es un tri´angulo is´osceles, por eso no s´olo los ´angulos miden lo mismo, sino que todos los segmentos OA miden lo mismo, dH (O, D) (vea la Figura 4.19). El resultado siguiente no debe sorprendernos, despu´es de la observaci´on hecha en la demostraci´on de [1], pero tiene el m´erito de definir un n´ umero asociado a la Geometr´ıa Hiperb´olica. [4] (Ferdinand Karl Schweikart, (1780-1859)) La altura de un tri´angulo rect´angulo e is´osceles crece al crecer los lados, pero sin llegar a rebasar una cierta longitud llamada la constante.

V A1

B1 B2

A2 L P1

P2

Figura 4.20: La altura de Ai V Bi no puede exceder de dH (V, L).

Demostraci´on. En el modelo del disco, ubicamos el ´angulo recto en el centro del disco mediante una isometr´ıa; la Figura 4.20 muestra que la altura no puede exceder de la distancia del centro del disco a la recta L por P1 y P2 , donde ´estos son los puntos al infinito de los rayos a los que pertenecen los lados congruentes. El lector deber´a realizar el c´alculo de dicha constante. La caracter´ıstica fundamental de la Geometr´ıa Hiperb´olica es el hecho de que, por un punto P exterior a una recta L, existe m´as de una recta que no corta a L, y definimos como paralelas u ´nicamente a las dos rectas que

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210 comparte con L un punto al infinito; las dem´as fueron llamadas ultraparalelas. El resultado siguiente dice c´omo depende el ´angulo formado por las paralelas, de la distancia de P a L. [5] (Janos Bolyai, (1802-1860)) El ´angulo 2α formado por las dos paralelas a una recta L por un punto P exterior a ella, depende u ´nicamente de la distancia del punto a la recta (y se llama ´ angulo de paralelismo). Demostraci´on. Si usamos el modelo del disco, al aplicar una isometr´ıa al punto P y la recta L que lleve el punto P al centro del disco, resulta que el ´angulo 2α entre las paralelas a L es el ´angulo entre los radios determinados por los puntos al infinito P1 y P2 de L (vea la Figura 4.21). P1 a L

P1 2α

P2

P2

P

Figura 4.21: El a´ngulo de paralelismo depende de a.

Es f´acil observar que la distancia a de P a L crece cuando el arco P1 P2 se cierra; de hecho la relaci´on entre 2α y a es cosh a senα = 1.

(4.15)

La demostraci´on de esta f´ormula puede encontrarse en [Be], lo mismo que varios resultados m´as referentes a la trigonometr´ıa hiperb´olica. El u ´ltimo resultado que mencionaremos, muestra c´omo puede extenderse el modelo del semiplano superior a dimensiones mayores, y tiene la particularidad de hacer ´enfasis en el hecho de que en el espacio hiperb´olico hay subconjuntos (de dimensi´on menor), para los cuales es v´alida la Geometr´ıa euclidiana.

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211 [6] (Nikolai Lobachevski, (1793-1856)) En una esfera de radio infinito, (horoesfera), es v´alida la Geometr´ıa euclidiana. (A semejanza de un horociclo, una horoesfera es una esfera euclidiana contenida en el semiespacio superior y tangente al plano de los puntos al infinito.) Z z = cte.

horoesfera

Y X

Figura 4.22: Modelo del semiespacio superior para el espacio hiperb´ olico 3dimensional.

Demostraci´on. Para entender este resultado, basta considerar el semiespacio superior, {(x, y, z)| z > 0}, provisto de un producto escalar que modifique al usual dividiendo entre z 2 , el cuadrado de la altura sobre el plano XY del punto en que se anclan los vectores (vea la Figura 4.22). Con ese producto escalar, cada semiplano perpendicular al plano XY contenido en el semiespacio superior, como por ejemplo el semiplano XZ con z > 0, tiene la estructura hiperb´olica del semiplano superior. Los puntos del plano XY son puntos al infinito y las geod´esicas son semicircunferencias perpendiculares al plano XY y con centro en ´el, m´as las semirrectas perpendiculares al plano XY , todas las cuales tienen un punto al infinito com´ un que debe a˜ nadirse a los del plano XY . Como lo afirma el resultado de Lobachevski, en los planos paralelos al plano XY (horoesferas que tienen este u ´ltimo punto al infinito en com´ un), donde z es constante, el producto escalar de vectores tangentes a ese plano, difiere del euclidiano s´olo en una constante: 1/z 2 . Por eso en una horoesfera es v´alida la Geometr´ıa euclidiana. En ninguno de los resultados presentados utilizamos el modelo de Beltrami, en particular porque no introdujimos una m´etrica en ´el. Pero eso es algo que s´ı puede hacerse y vale la pena mencionar que ese modelo, al igual que el del semiplano superior, tiene la ventaja de poderse generalizar a dimensiones

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212 superiores (vea [Ve]). Tampoco usamos el modelo del hiperboloide, que tambi´en se generaliza a dimensiones mayores que 2 y es el modelo m´as adecuado para construir subgrupos de isometr´ıas del espacio hiperb´olico H n , con propiedades semejantes a las que describiremos en las secciones siguientes para el caso n = 2. Para concluir este primer acercamiento a la Geometr´ıa hiperb´olica, en el inciso siguiente mostraremos c´omo construir nuevos objetos cuya geometr´ıa sea hiperb´olica, y en el u ´ltimo abordaremos el problema de cubrir el plano hiperb´olico con mosaicos congruentes.

EJERCICIOS 1. Demuestre que cualquier tri´ angulo en H + cuyos v´ertices sean puntos hiperb´ olicos, puede obtenerse a partir de tri´ angulos con un v´ertice ideal. 2. Calcule la constante definida en [4]. 3. Demuestre que dos rectas son ultraparalelas si y s´ olo si tienen una perpendicular com´ un. 4. Obtenga y justifique una f´ormula para el ´area de un pol´ıgono hiperb´ olico de n lados. 5. Demuestre que si n ≥ 3, existen pol´ıgonos regulares donde al a´ngulo satisface 0 < α < (n − 2)π/n. 6. Justifique llamar rotaci´ on a una transformaci´ on el´ıptica. 7. En [4], demuestre que la recta hiperb´olica AD forma ´angulos iguales con OA y OD si y s´ olo si el centro de la circunferencia euclidiana que la contiene, pertenece a la bisectriz del a´ngulo AOD. 8. Calcule el cociente del a´rea hiperb´olica de un disco entre la longitud hiperb´ olica de su frontera, y determine el l´ımite de ese cociente cuando la longitud hiperb´ olica del radio tiende a ∞. Compare su respuesta con la que obtiene en el caso euclidiano. 9. Considere el modelo del semiespacio superior mencionado en el resultado [6]; ¿qu´e puede decir de una semiesfera con centro en el plano XY ?

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4.6.

Superficies con estructura hiperb´ olica

En los cap´ıtulos 1 y 3, creamos nuevos objetos geom´etricos a partir de otros que conoc´ıamos bien mediante la t´ecnica de formar el cociente m´ odulo un subgrupo del grupo de isometr´ıas considerado, esto es, el nuevo objeto consta de las clases de equivalencia definidas por el subgrupo del grupo de isometr´ıas considerado. As´ı, al considerar subgrupos de traslaciones de 2 , primero con s´olo un generador, T(1,0) y luego con dos generadores, T(1,0) y T(0,1) , obtuvimos un cilindro y un toro, respectivamente, que heredaron la forma de medir en 2 . Y en el Cap´ıtulo 3 obtuvimos el plano el´ıptico al formar las clases definidas en la esfera S 2 por el subgrupo de isometr´ıas de la esfera que tiene s´olo dos elementos: la identidad y la ant´ıpoda. Ahora daremos una introducci´on a la teor´ıa equivalente a ´estas en el caso hiperb´olico. Cabe mencionar que ´esta es un a´rea de las matem´aticas sumamente rica y ampliamente estudiada, donde convergen la Geometr´ıa hiperb´olica (ver, por ejemplo, [Ve]) y la Variable compleja, m´as espec´ıficamente la Teor´ıa de Superficies de Riemann (ve´ase [Spr] o [F]). Toda esta teor´ıa puede desarrollarse tambi´en desde el punto de vista del ´algebra y la Geometr´ıa algebraica, obteni´endose entonces las Curvas algebraicas. La matem´atica requerida para esos estudios rebasa el prop´osito de este libro, por lo que nos conformaremos con dar una introducci´on intuitiva a esta fascinante a´rea de la Geometr´ıa. Comencemos por observar que tanto para las traslaciones de 2 como para la aplicaci´on ant´ıpoda en S 2 , cada punto tiene una vecindad en la hay s´olo un representante de las clases de equivalencia de cada uno de sus puntos (vea la Figura 4.23), y por eso, en regiones suficientemente peque˜ nas, el objeto nuevo se comporta como el original en cuanto a la manera de medir. Un subgrupo de un grupo de isometr´ıas con la propiedad anterior, se llama subgrupo discontinuo. No ocurre eso con un subgrupo generado por una rotaci´on o por una reflexi´on. Si consideramos una rotaci´on por 2π/n en 2 , cualquier vecindad del pun-

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214 to en torno al cual se rota contiene varios representantes de los puntos que aparecen en ella, y en el caso de la esfera S 2 sucede lo mismo cuando consideramos una rotaci´on de 3 : la rotaci´on fija a su eje, y para los puntos en que dicho eje corta a la esfera, no es posible encontrar una vecindad que contenga s´olo un representante de los puntos que aparecen en ella. Algo similar ocurre si consideramos el subgrupo que genera una reflexi´on, {I, Re}

(0, 0)

(1, 0)

(2, 0)

(0, −1)

(1, −1)

(2, −1)

Figura 4.23: Cada representante tiene una vecindad donde hay un s´olo representante de las clases que aparecen en ella.

En el caso del subgrupo generado por una rotaci´on, tendr´ıamos una situaci´on peculiar al formar el objeto cociente: una vecindad del punto fijo semeja m´as a un cono que a un plano, pues los vectores tangentes de curvas diferenciables que pasan por ese punto no forman un plano. En el caso de una reflexi´on, los puntos de la recta en la cual se refleja no tienen vecindades homeomorfas a un disco, sino a medio disco con el di´ametro incluido; ese tipo de situaciones exigen un tratamiento especial, pues se trata de “variedades con frontera” (vea [G-R]). En el caso del plano hiperb´olico (piense en H + ), tambi´en hay transformaciones que fijan puntos hiperb´olicos, y como eso crea problemas cuyo tratamiento escapa al nivel de este libro, nos restringiremos al caso de transformaciones sin puntos fijos ordinarios Un primer ejemplo de un subgrupo discontinuo lo constituye el subgrupo generado por una transformaci´on hiperb´olica T . Recordemos que una transformaci´on hiperb´olica T tiene sus dos puntos fijos en el infinito, z ∗ y w ∗ , y por tanto la recta L que determinan es invariante;

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215 entonces, cualquier punto P ∈ L se transforma en otro punto T (P ) ∈ L, y la distancia orientada entre P y T (P ) no depende de P , como deber´a demostrarlo el lector recurriendo a la forma can´onica de f para el caso de H + : f (z) = kz (k>0), cuyos puntos fijos son 0 e ∞ y, en consecuencia, L es el eje imaginario. De hecho, el efecto de T sobre cualquier punto R ∈ H + puede obtenerse as´ı (cambiaremos de modelo para mostrar f´acilmente un hecho importante): bajamos la perpendicular de R a L, que hemos tomado como un di´ametro, y llamamos H al pie de la perpendicular; aplicamos T a H y T (R) resulta al localizar el punto R de la perpendicular a L por T (H) tal que d(T (H), R) = d(H, R) (vea la Figura 4.24); note que esta distancia es una distancia orientada debido a que T respeta la orientaci´on de los ´angulos.

R

T (R)

H

T (H) L

|a|

|a|

Figura 4.24: C´omo localizar T (R) para una transformaci´on hiperb´olica.

En vista del papel especial que juega la recta L para determinar el transformado bajo T de cualquier punto R del plano hiperb´olico, se dice que L es el eje de T , y la distancia entre P ∈ L y T (P ) ∈ L se denomina distancia de traslaci´ on. El hecho que dese´abamos demostrar, es que la distancia entre un punto y su transformado es mayor para puntos fuera del eje de traslaci´on que en el caso de puntos en L, pues el arco de la geod´esica determinada por R y T (R), que ya euclidianamente tiene una longitud mayor que el arco de L, tiene una longitud a´ un mayor en la m´etrica hiperb´olica. Por tanto, la distancia entre un punto R y su transformado T (R) bajo una transformaci´on hiperb´olica, toma su m´ınimo en los puntos del eje L.

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216 El subgrupo de GΔ generado por una sola transformaci´on hiperb´olica T , tiene como regi´on fundamental cualquier banda limitada por dos perpendiculares al eje L cuyos pies disten |a|, y el cociente de Δ por el subgrupo generado por T tiene el aspecto de un cilindro, puesto que los puntos en los bordes de la banda est´an relacionados por T en la forma descrita anteriormente, y por tanto deben identificarse (vea la Figura 4.25). Note que en este cilindro hiperb´olico, hay una curva cerrada de longitud m´ınima.

Figura 4.25: El cociente de Δ por el subgrupo generado por una transformaci´ on hiperb´ olica, es un cilindro topol´ogico.

En el caso de la Geometr´ıa euclidiana, despu´es de construir un cilindro como el conjunto de clases de equivalencia definidas por el subgrupo generado por una sola traslaci´on, hicimos lo propio con el subgrupo generado por dos traslaciones y obtuvimos un toro. Por eso se antojar´ıa ahora formar el cociente de Δ por el subgrupo generado por dos transformaciones hiperb´olicas T1 y T2 con ejes distintos, como las rectas L y M de la Figura 4.26. Para obtener un dominio fundamental de T1 , podemos aplicar T1 a M, y para obtener un dominio fundamental de T2 , podemos aplicar T2 a L. La intersecci´on de las dos bandas, es decir, el cuadril´atero que es intersecci´on de los dominios fundamentales de T1 y T2 , en general no tiene las caracter´ısticas deseadas, pues los lados opuestos no miden lo mismo (vea la Figura 4.26): |BC|Δ < |AD|Δ , y |AB|Δ < |DC|Δ . El u ´nico caso en que los lados opuestos son congruentes, es cuando tienen longitud infinita, como ocurre en la Figura 4.27. Es posible tapizar el disco con cuadril´ateros obtenidos del sombreado αβγδ bajo las transformaciones hiperb´olicas generadas por T1 con eje L y distancia

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217 de translaci´on |a|, y T2 con eje M y distancia de translaci´on |b|.

T2 (L)

D

A |b|

L

B

|a|

C T1 (M)

M

Figura 4.26: Los lados opuestos del cuadril´atero ABCD s´ olo son congruentes si el cuadril´atero es ideal.

α

δ

M

|b| L |a|

β

γ

Figura 4.27: Las im´agenes del cuadril´ atero αβγδ bajo el subgrupo generado por T1 y T2 , cubren a Δ.

Para convencer al lector, le sugerimos considerar primero el cuadril´atero sombreado y sus infinitas im´agenes bajo la transformaci´on hiperb´olica que

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218 fija al di´ametro vertical; el lector estar´a de acuerdo que cuando se aplica la transformaci´on hiperb´olica que fija al di´ametro horizontal, no s´olo obtenemos la imagen del cuadril´atero sombreado αβγδ, sino tambi´en las de sus im´agenes bajo la primera transformaci´on. Pero el objeto obtenido al formar las clases de equivalencia de Δ m´odulo el subgrupo generado por T1 y T2 no es un toro topol´ogico porque le falta un punto, puesto que todos los v´ertices, que se identifican en un solo punto bajo la acci´on del grupo, son puntos al infinito. En Geometr´ıa Compleja, ese punto se llama una ponchadura de la superficie cociente. Nosotros trataremos u ´nicamente con superficies compactas, a las que no les falta ning´ un punto y que no tienen frontera. Las transformaciones que estamos considerando, f ∈ P SL(2, ), son funciones -diferenciables en cualquier punto z0 de su dominio, es decir, para las cuales existe el l´ımite f (z0 + h) − f (z0 ) . l´ım h→0 h Ese l´ımite se denota por f  (z0 ), se denomina derivada de f en z0 y es un n´ umero complejo; las transformaciones -diferenciables tambi´en se denominan holomorfas o anal´ıticas (vea [A]). Entonces, dos representantes de un mismo punto tendr´an coordenadas z1 y z2 relacionadas por una transformaci´on -diferenciable con inversa diferenciable (llamada biholomorfismo). Al final de la secci´on 3.4 dijimos que las superficies con esa propiedad se llaman superficies de Riemann, y es f´acil demostrar que resultan orientables. En consecuencia, los objetos con los que trataremos ser´an superficies compactas y orientables. Ahora bien, las superficies con esas caracter´ısticas han sido ampliamente estudiadas, y sabemos c´omo son gracias a dos teoremas muy importantes. No damos aqu´ı su demostraci´on, pero s´ı proporcionamos al lector referencias donde puede encontrarlas. El primer teorema que mencionaremos pertenece a la rama de las matem´aticas denominada Topolog´ıa, y a su demostraci´on est´a dedicado [I], que es un libro muy accesible, aunque aparece tambi´en en las referencias sobre superficies de Riemann, como por ejemplo [Spr]. Teorema de Clasificaci´ on de Superficies. Las u ´nicas superficies compactas y orientables son la esfera y toros con un n´ umero finito de asas (vea la Figura

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219 4.28). α1

α β1

β

α2

... β2

Figura 4.28: Las superficies compactas y orientables son: la esfera y toros con un cierto n´ umero de asas.

Note que cada asa da lugar a dos curvas cerradas αi , βi que no pueden deformarse a un punto sin salir de la superficie, y se puede demostrar que tampoco es posible deformar alguna de esas curvas correspondientes a un asa, en otra de ellas correspondiente a otra asa. Los top´ologos construyen toros con g asas a partir de un pol´ıgono con 4g lados, cuyos lados identifican como lo muestran las flechas de la Figura 4.29 para el caso del toro de g´enero 2.

Figura 4.29: Construcci´on topol´ ogica de un toro con 2 asas.

El n´ umero g de asas se denomina el g´ enero de la superficie S, y entre el g´enero y la caracter´ıstica de Euler de la superficie, X (S), existe la relaci´on (vea [I] o [Spr]): X (S) = 2 − 2g, El lector qued´o encargado de demostrar que en el plano hiperb´olico hay pol´ıgonos regulares si el n´ umero de lados es mayor que 4, y cuyos a´ngulos sumen 2π. Lo anterior asegura la existencia de elementos en GΔ que identifican dos

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220 lados con el mismo s´ımbolo y orientaciones opuestas (como ocurri´o con las translaciones en el caso de un cuadrado euclidiano). El otro teorema que nos interesa enunciar, afirma eso (y m´as), y es conocido como Teorema de Uniformizaci´ on. Este Teorema pertenece a la rama de las matem´aticas denominada Geometr´ıa compleja, y a su estudio estuvieron dedicados muchos matem´aticos de primera l´ınea, que inclusive debieron crear teor´ıas nuevas para comprenderlo cabalmente. La demostraci´on del Teorema de Uniformizaci´on, que es bastante complicada, fue realizada simult´anea e independientemente en 1907 por Paul Koebe (1882-1945) y por Henri Poincar´e, pero su germen se encuentra en un teorema c´elebre debido a Riemann: Teorema (de la Aplicaci´ on de Riemann) Para cualquier subconjunto propio y simplemente conexo (i.e., sin hoyos) R de , existe una aplicaci´on f : R → Δ que es un biholomorfismo, es decir, -diferenciable con inversa -diferenciable. Note que un biholomorfismo respeta los a´ngulos, con todo y su sentido (¿por qu´e?), y eso justifica decir que si entre dos superficies hay un biholomorfismo, las superficies son conformemente equivalentes. Nosotros ya hemos exhibido un tal biholomorfismo en el caso de que R sea un semiplano: la transformaci´on Q : H + → Δ dada por (4.2). Las referencias para el Teorema de uniformizaci´on son [Spr] y [F], y para el Teorema de la aplicaci´on de Riemann, [A]. Para las superficies que nos ocupan, las superfices de Riemann compactas, la versi´on coloquial del Teorema de uniformizaci´on afirma que  tiene una geometr´ıa (doblemente) el´ıptica, que los toros con un asa tienen una geometr´ıa parab´olica (plana), y que los toros con g ≥ 2, tienen una geometr´ıa hiperb´olica. Eso como consecuencia de que entre las superficies de Riemann m´as sencillas desde el punto de vista topol´ogico,  , y Δ, no es posible establecer una funci´on biyectiva f que sea un biholomorfismo (note que biholomorfismo implica homeomorfismo): - Una esfera y un plano no son homeomorfos, pues la esfera es compacta no lo es (vea [DoC] para caracterizaciones de conjuntos compactos). Por y eso se dice que  y no son conformemente equivalentes. - Y aunque y Δ s´ı son homeomorfos, no es posible establecer entre ellos un

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221 biholomorfismo, pues una funci´on -diferenciable cuyo dominio sea y cuya imagen est´e contenida en el disco Δ, es una funci´on acotada; para ese tipo de funciones, hay un teorema de Variable Compleja, el Teorema de Liouville (vea [A]), que asegura que la funci´on debe ser constante. Pero entonces la imagen de la funci´on no puede cubrir a Δ, y por eso y Δ tampoco son conformemente equivalentes. El enunciado formal del Teorema de Uniformizaci´on, es el siguiente. Teorema de Uniformizaci´ on. Cualquier superficie de Riemann, puede dotarse de una geometr´ıa (doblemente) el´ıptica, o de una geometr´ıa parab´olica (euclidiana), o de una geometr´ıa hiperb´olica, seg´ un sea conformemente equivalente al conjunto de clases de equivalencia de  , de o de Δ, determinadas por un subgrupo discontinuo de P SL(2, ). Note que la u ´nica superficie de Riemann compacta (doblemente) el´ıptica ´nicas superficies parab´olicas compactas son los toros es la esfera  , y las u con 1 asa (no cualesquiera dos de tales toros son conformemente equivalentes, vea [A]), mientras que las superficies hiperb´olicas compactas son los toros con cualquier n´ umero de asas. Por eso dijimos que la mayor´ıa de las superficies compactas y orientables admiten una estructura hiperb´olica. Veamos ahora c´omo construir un toro con 2 asas a partir de un oct´agono regular hiperb´olico cuyos a´ngulos midan 2π/8, cuando los lados se identifican como lo muestra la Figura 4.30. Es necesario cuidar la medida de los a´ngulos para que al identificar todos los v´ertices en un punto, el plano tangente a la superficie cociente en ese punto est´e bien definido. Con eso garantizamos que puede medirse en el objeto nuevo usando la m´etrica en Δ. En el caso del cuadrado euclidiano, la identificaci´on de los lados opuestos se hizo con traslaciones por T (1, 0) y T (0, 1); en el caso del oct´agono hiperb´olico, identificamos los lados con el mismo s´ımbolo y orientaci´on opuesta, usando las transformaciones hiperb´olicas hi cuyo eje es la perpendicular com´ un Hi a los lados marcados con el mismo s´ımbolo y cuya distancia de traslaci´on es la del segmento de perpendicular entre los lados; como debi´o comprobarlo el lector, esa perpendicular com´ un existe si y s´olo si las rectas son ultraparalelas, como es el caso.

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222 El oct´agono es el dominio fundamental del subgrupo G2 cuyas isometr´ıas directas est´an generadas por las cuatro transformaciones h1 , h2 , h3 y h4 , y es claro que Δ puede cubrirse con las im´agenes del oct´agono ilustrado en la Figura 4.30 debidas a los elementos de G2 .

b−1 1

a−1 1

a2

b1 H1 H3

b2

a1

a−1 2

b−1 2

Figura 4.30: Construcci´on geom´etrica de un toro con 2 asas.

EJERCICIOS 1. Demuestre que si T es una transformaci´ on hiperb´ olica con eje L, d(P, T (P )) no depende de P ∈ L. 2. Utilice el homeomorfismo establecido por la funci´ on tangente entre el intervalo (−π/2, π/2) y , para dar un homeomorfismo entre y Δ. 3. Demuestre que cualquier toro con g asas puede obtenerse a partir de un 4g-´ agono regular hiperb´ olico usando transformaciones hiperb´ olicas, si se cuida de que los ´angulos tengan el tama˜ no adecuado. 4. ¿Qu´e condici´ on debe satisfacer una funci´ on f : 2 → para que tenga sentido decir que tambi´en define una funci´ on en el cilindro euclidiano

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223 creado como cociente de T(1,0) ?

2

por el subgrupo generado por la traslaci´ on

5. Establezca las condiciones que debe cumplir una funci´ on f : 2 → para que tenga sentido que tambi´en define una funci´ on cuyo dominio sea el toro plano del Cap´ıtulo 1. 6. ¿Tiene sentido plantearse un problema an´ alogo en el caso de f : Δ → y un toro con m´ as de un asa? 7. Agrande la Figura 4.30 y a˜ na´dale al menos los oct´ agonos resultado de con i = 1, 2, 3, 4. aplicar hi y h−1 i

4.7.

Mosaicos

Abordaremos ahora el problema de tapizar el plano hiperb´olico con mosaicos congruentes, y encontrar el grupo de isometr´ıas que dejen invariante a dicho enmosaicado. A diferencia de los casos euclidiano y el´ıptico, hay un n´ umero infinito de maneras de tapizar el plano hiperb´olico con mosaicos regulares y congruentes; como veremos, eso es consecuencia de la forma en que se construye un enmosaicado hiperb´olico, y del hecho de que haya tri´angulos cuya suma de ´angulos es tan peque˜ na como se quiera. Nuestro u ´nico prop´osito formal en este inciso ser´a mostrar c´omo construir enmosaicados hiperb´olicos utilizando pol´ıgonos hiperb´olicos de cualquier n´ umero de lados. Construiremos nuestros ejemplos en el disco Δ, y pediremos al lector convertirlos en enmosaicados de H + . En cuanto al lado l´ udico de este problema, quien lo utiliz´o en forma magistral fue el ya mencionado grabador holand´es M. C. Escher pese a que, al menos al principio, no sab´ıa que estaba utilizando transformaciones hiperb´olicas1 . Escher decor´o los pol´ıgonos hiperb´olicos con im´agenes diversas para crear varios de sus m´as c´elebres grabados; si el lector los analiza desde el punto de vista de este inciso (vea [Er] y [Es]), ganar´a en intuici´on hiperb´olica, pues en 1

“En matem´aticas nunca obtuve ni siquiera un ‘suficiente’. Lo curioso es que, a lo que parece, me vengo ocupando de matem´aticas sin darme cuenta bien de ello. ¡Qui´en se iba a imaginar que los matem´ aticos ilustrar´ıan sus libros con mis dibujos, que me codear´ıa con hombres tan eruditos como si fueran mis colegas y hermanos!” Escher, en [Er]

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224 ellos se ilustra c´omo cambia el decorado al rotarlo en torno a un punto, al reflejarlo en una recta hiperb´olica y al trasladarlo sobre una recta. Al final, el mejor ejercicio ser´a crear alg´ un enmosaicado con el m´etodo aqu´ı expuesto. Dos de las figuras de la secci´on anterior, 4.27 y 4.30, muestran c´omo cubrir el disco de Poincar´e con mosaicos hiperb´olicos: los primeros son cuadril´ateros ideales, con sus v´ertices en el infinito, los segundos ser´ıan oct´agonos regulares (no est´an dibujados, pero le pedimos al lector que lo hiciera en el Ejercicio 7, secci´on 4.5) cuyos v´ertices son puntos ordinarios y cuyos ´angulos interiores miden 2π/8. Los oct´agonos que no est´an dibujados se obtienen mediante las transformaciones hiperb´olicas utilizadas para “pegar” los lados con el mismo s´ımbolo y orientaciones opuestas, pues cada una de ellas translada el oct´agono a lo largo de la perpendicular com´ un a esos lados; al utilizar todas las transformaciones hiperb´olicas generadas por esas transformaciones, podemos cubrir Δ con oct´agonos regulares. En ambos casos, las transformaciones usadas para tapizar el disco fueron u ´nicamente transformaciones de tipo hiperb´olico, que en un cierto sentido se parecen a las traslaciones euclidianas. En el caso del cuadril´atero ideal, bastaron dos transformaciones hiperb´olicas para generar el subgrupo que tapiza Δ, pero en el caso del oct´agono con v´ertices ordinarios, fue necesario utilizar cuatro transformaciones hiperb´olicas para generar el grupo que tapiza Δ. Entonces, tenemos ya un n´ umero infinito de maneras de tapizar Δ con mosaicos regulares y distintos: - Con pol´ıgonos ideales de 2k lados, con k ≥ 2; el lector queda encargado de describir el grupo de isometr´ıas. - Con 4n-´agonos regulares cuya suma de ´angulos sea 2π; el grupo de isometr´ıas de ese enmosaicado est´a generado por las 2n transformaciones hiperb´olicas cuyos ejes son las perpendiculares comunes a los lados que deben identificarse, y donde las distancias de traslaci´on de cada una es la distancia entre esos lados (vea la Figura 4.27). Pero cuando admitimos como isometr´ıas a las transformaciones del plano hiperb´olico que fijan puntos ordinarios (transformaciones el´ıpticas), o rectas (reflexiones), no es necesario que los pol´ıgonos sean regulares, ni que el n´ umero de lados sea m´ ultiplo de cuatro.

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225 Como hasta este punto no hemos utilizado las reflexiones hiperb´olicas, vale la pena ilustrar c´omo trabajan en el caso del disco. En la literatura, las reflexiones hiperb´olicas que describiremos se conocen como inversiones (vea el Ap´endice 5.6). Si la recta en que deseamos reflejar pasa por el centro del disco, la reflexi´on hiperb´olica coincide con la reflexi´on euclidiana, pero si la reflexi´on se lleva a cabo en otra recta, lo que define al reflejado P  de un punto P respecto a una recta L, es el hecho de que P  debe pertenecer a la recta perpendicular a L por P , debe pertenecer al otro semiplano definido por L, y las distancias de ambos puntos a L deben ser la misma, todo lo cual ocurre en el caso euclidiano (vea la Figura 4.31): dΔ (P, L) = dΔ (P  , L). Tambi´en en analog´ıa con el caso euclidiano, la reflexi´on de un punto P en una recta cualquiera L de Δ, puede obtenerse llevando la recta al origen, por ejemplo mediante una transformaci´on hiperb´olica T , reflejando T (P ) en esa situaci´on, y aplicando T −1 al reflejado de T (P ).

L P P

Figura 4.31: C´omo reflejar en una recta hiperb´ olica para el modelo del disco.

Pero tambi´en puede recurrirse al m´etodo que abordamos en el Ap´endice 5.5: la inversi´on euclidiana respecto a una circunferencia, que abarca el proceso que describimos en primer lugar y que permite localizar de manera anal´ıtica el reflejado de un punto respecto a una recta en el plano hiperb´olico, tanto en un modelo como en el otro.

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226 Hecha esta aclaraci´on, empecemos tomando como pieza b´asica el pol´ıgono m´as sencillo: un tri´angulo. Dejamos como ejercicio para el lector ilustrar la forma en que cualquier tri´angulo ideal y sus reflejados (y los reflejados de los reflejados, etc.), en cada uno de sus lados, tapizan Δ En el caso de un tri´angulo T cuyos v´ertices sean todos puntos ordinarios, para que los reflejados de T en sus lados den lugar a un enmosaicado de Δ, debemos empezar por asegurarnos de que, en torno de cada v´ertice Vi , un n´ umero finito 2ki de im´agenes de T cubran una vecindad en torno a ese v´ertice sin traslaparse. Eso implica que, si el a´ngulo en Vi es αi , π (4.16) 2ki αi = 2π, es decir, αi = . ki El 2 se explica porque vamos a aplicar una reflexi´on en cada uno de los lados del tri´angulo, y deseamos que el enmosaicado resultante quede invariante bajo rotaciones en torno a cada v´ertice, como ocurr´ıa en el caso euclidiano, donde el tipo de rotaci´on nos sirvi´o para clasificar los mosaicos. Un ejemplo permitir´a que el lector se haga cargo del problema que surge cuando el a´ngulo no permite un n´ umero par de reflexiones. Tomemos un tri´angulo con un v´ertice en el centro del disco, y cuyo ´angulo en ese v´ertice sea α = 2π/5. Despu´es de hacer una marca en uno de los dos lados contenidos en radios, si procedemos a reflejar el tri´angulo en esos lados para cubrir el pent´agono, no podremos obtener un pent´agono invariante bajo rotaciones en torno al centro (Ejercicio 3). En consecuencia, cada uno de los ´angulos de un tri´angulo hiperb´olico que sea la pieza b´asica para construir un enmosaicado hiperb´olico, debe ser de la forma π/n, con n ∈ . Por otro lado, sabemos que la suma de los tres a´ngulos debe ser menor que π; entonces, si α1 = π/p, α2 = π/q y α3 = π/r, obtenemos una restricci´on sobre los n´ umeros p, q, r ∈ : 1 1 1 + + < 1. p q r

(4.17)

Una terna (p, q, r) que satisface la restricci´on es (7, 2, 3); consideraremos tri´angulos con uno de sus v´ertices en el centro del disco y donde el ´angulo en

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227 ese v´ertice corresponde al primer n´ umero: π/7, respectivamente; entonces el tri´angulo b´asico y sus sucesivas reflexiones en los lados pertenecientes a dos radios forman un hept´agono (vea la Figura 4.32). Las reflexiones en los lados de los tri´angulos pertenecientes a radios, dejan invariante al hept´agono. Pero las reflexiones en los lados opuestos al v´ertice en el centro, generan otros pol´ıgonos congruentes con el original, que tambi´en deben reflejarse en sus lados. Las reflexiones debidas a pol´ıgonos distintos empatan bien porque en los v´ertices del hept´agono los a´ngulos son de 120◦ .

Figura 4.32: Mosaico cuyo tri´angulo b´ asico corresponde a (7, 2, 3).

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228 El grupo que deja invariante a este mosaico tiene como generadores a la rotaci´on por 2π/7 en torno al centro del hept´agono central, a la rotaci´on por 2π/3 en torno a uno de los v´ertices del hept´agono, y a la rotaci´on en torno al pie de una apotema del hept´agono (la perpendicular del centro a un lado). Para los lectores interesados en este tema, la mejor referencia es [Be].

EJERCICIOS 1. Marque al azar cuatro puntos en la frontera de Δ y dibuje el cuadr´ angulo hiperb´ olico con esos v´ertices; d´e y justifique un algoritmo geom´etrico para obtener las im´agenes de ese cuadr´ angulo bajo las reflexiones en sus lados. 2. En el modelo del disco, dibuje un pent´ agono regular con centro en (0, 0) y div´ıdalo en tri´ angulos como se indic´ o en el texto. Determine si es posible generar con el tri´ angulo marcado, un enmosaicado cuyo grupo de isometr´ıas sea no trivial. 3. Considere el caso de un tri´ angulo T cuyos v´ertices no sean todos idelales ni todos ordinarios. ¿Podemos tapizar Δ con ´el? Justifique sus afirmaciones. 4. Para al menos tres de los grabados de Escher que tapizan el plano hiperb´ olico, determine los valores p, q, r del tri´angulo b´asico, y el subgrupo de GΔ que deja invariante al enmosaicado. (Sugerencia: consulte [Es].) 5. Dise˜ ne al menos dos mosaicos hiperb´ olicos.

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5

Ap´ endices

5.1.

Funciones diferenciables

La manera de extender el concepto de diferenciabilidad para una funci´on de varias variables, F : n → en un punto P0 de su dominio, es recordar que ¯ puede el valor de una funci´on diferenciable en un punto cercano a P0 , P0 + h aproximarse por el valor de la funci´on en el punto, F (P0 ), m´as el valor de una transformaci´on lineal, llamada precisamente la derivada en P0 , aplicada al ¯ donde ||h|| ¯ es suficientemente peque˜ incremento h, no. 3 → , la transformaci´on lineal que da En el caso de una funci´on F : lugar a la aproximaci´on se puede pensar como un vector llamado el gradiente de F en P0 , ∇F (P0 ), que se forma con las llamadas derivadas parciales de F en P0 (x0 , y0 , z0 ), que pueden obtenerse as´ı (ejemplificamos s´olo una): ∂F 1 (x0 , y0, z0 ) = limh→0 (F (x0 + h, y0 , z0 ) − F (x0 +, y0 , z0 )) . ∂x h Es claro que la derivada parcial respecto a una variable considera s´olo la variaci´on respecto a esa variable, las dem´as permanecen constantes. Entonces ∇F (P0 ) se forma as´ı: 

∇F (P0 ) =



∂F ∂F ∂F (x0 , y0 , z0 ), (x0 , y0 , z0 ), (x0 , y0 , z0 ) , ∂x ∂y ∂z

y se aplica a un vector u¯ = (h, k, l) mediante el producto punto: 

∇F (P0 )(¯ u) =



∂F ∂F ∂F (x0 , y0 , z0 ), (x0 , y0 , z0 ), (x0 , y0 , z0 ) · (h, k, l) ∂x ∂y ∂z

Se puede demostrar que, si cada una de las parciales es continua y ||(h, k, l)|| es suficientemente peque˜ na, es v´alida la aproximaci´on F (x0 + h, y0 + k, z0 + l) ∼ F (x0 , y0, z0 ) + ∇F (P0 ) · (h, k, l), 229

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230 en el sentido de que la diferencia entre ambos miembros tiende a cero m´as r´apidamente que ||(h, k, l)||. Por ejemplo, para F (x, y, z) = x2 + 4y 2 + 9z 2 , la parcial de F respecto a x en P0 , la parcial de F respecto a y en P0 y la parcial de F respecto a z en P0 son, respectivamente, ∂F (x0 , y0 , z0 ) = 2x0 ; ∂x ∂F (x0 , y0 , z0 ) = 8y0 ; ∂y ∂F (x0 , y0 , z0 ) = 18z0 , ∂z y el gradiente de F en (−1, 1, −1) es ∇F (−1, 1, −1) = (−2, 8, −18). Un valor r ∈ de F es un valor regular si para todo (x0 , y0 , z0 ) ∈ 3 tal que F (x0 , y0, z0 ) = r, el gradiente de F en (x0 , y0 , z0 ) es no nulo. El conjunto de los puntos que se aplican en un mismo valor r se llama la imagen inversa de r (o superficie de nivel r), y se denota F −1 (r). Por ejemplo, la circunferencia de radio 1 y centro en el origen, es la imagen inversa de 1 bajo la funci´on F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , y lo an´alogo para cada una de las superficies cu´adricas. Un punto (x0 , y0 , z0 ) ∈ 3 donde el gradiente ∇F (x0 , y0 , z0 ) se anula, se es un valor cr´ıtico de F si conoce como un punto cr´ıtico de F , y r ∈ existe un punto cr´ıtico en la imagen inversa de r. En el caso del cono, que es imagen inversa de 0 bajo la funci´on F (x, y, z) = 2 x + y 2 − z 2 , cada una de las generatrices es una curva en el cono que pasa por el v´ertice, y eso muestra que los vectores tangentes a curvas por el v´ertice no forman un plano, por eso no se puede definir el plano tangente al cono en el v´ertice. Esto se debe a que ¯0 ∈ 3 es punto cr´ıtico (el u ´nico) de la funci´on 2 2 2 F (x, y, z) = x + y − z . Cada punto de 3 est´a contenido en una superficie de nivel de esta funci´on, y por eso se dice que las superficies de nivel de esta funci´on fol´ıan al espacio, lo llenan con sus hojas. Si r < 0 o si r > 0, las superficies son regulares, y el cambio de un tipo de hiperboloide al otro pasa por el cono, que es la superficie de nivel 0; el cono divide a los dos tipos de hiperboloides, y por eso se le llama separatriz de la foliaci´on. Para profundizar en estos temas, consulte [Hi].

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5.2.

Relaciones de equivalencia

En un conjunto A tenemos una relaci´ on de equivalencia si hemos determinado una relaci´on R entre sus elementos que satisface las tres condiciones siguientes: i Reflexividad: Cualquier a ∈ A est´a relacionado consigo mismo: aRa. ii Simetr´ıa: Si a ∈ A est´a relacionado con b ∈ A, entonces b est´a relacionado con a: aRb ⇒ bRa. iii Transitividad: Si a ∈ A est´a relacionado con b ∈ A y b est´a relacionado con c ∈ A, entonces a est´a relacionado con c: aRb y bRc ⇒ aRc. Los elementos relacionados unos con otros forman una clase de equivalencia y dos clases distintas no pueden tener elementos en com´ un, por la transitividad. Se dice por ello que Una relaci´ on de equivalencia en un conjunto A induce una partici´ on de A en clases ajenas. El conjunto de las clases de equivalencia se llama el conjunto cociente de A m´ odulo la relaci´ on de equivalencia. Hay ejemplos cotidianos de relaciones de equivalencia: entre los d´ıas de un mes, el nombre de un d´ıa es el mismo que el de otro si sus n´ umeros difieren en un m´ ultiplo de 7: si el d´ıa 3 es domingo, los dem´as domingos son los d´ıas 10. 17 y 24. Entre los n´ umeros enteros, una relaci´on empleada con mucha frecuencia proviene del residuo que dejan los n´ umeros al dividirlos entre un n´ umero fijo, 5 por ejemplo: la clase del 0 est´a formada por los n´ umeros divisibles entre 5, la clase del 1 est´a formada por los n´ umeros de la forma 1 + 5k para cualquier k  in , la clase del 2 est´a formada por los n´ umeros de la forma 2 + 5k, etc. Cada n´ umero tiene bien definida su clase residual m´odulo 5. Una funci´on f entre dos conjuntos: f : A → B cuyo dominio sea A, induce una relaci´on de equivalencia en A cuando se considera que dos elementos a, a ∈ A est´an relacionados si f (a) = f (a ). Las clases de equivalencia son los subconjuntos de A que son imagen inversa de un elemento fijo b ∈ B.

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232 En el caso particular de una funci´on f : n → , la imagen inversa de un valor r ∈ se llama el conjunto de nivel r de la funci´on. Si n = 2 se trata de curvas de nivel, si n = 3, son superficies de nivel, etc.

5.3.

El grupo sim´ etrico en cuatro s´ımbolos: S4

Las biyecciones de un conjunto en s´ı mismo pueden verse como un rearreglo de los elementos del conjunto, y por eso, cuando el conjunto tiene un n´ umero finito de elementos, llamamos a una biyecci´on una permutaci´ on. Los s´ımbolos 1, 2, 3, 4, pueden ordenarse de 4! maneras distintas, porque el primer s´ımbolo puede escogerse de entre 4 elementos, para el segundo ya s´olo hay 3 opciones, para el tercero hay 2, y para el u ´ltimo hay s´olo una opci´on. Como 4! = 24, vale la pena escribir todas las ordenaciones; escribiremos primero las que empiezan con 1, luego las que empiezan con 2, etc. Son 1234 2134 3124 4123

1243 2143 3142 4132

1324 2314 3214 4213

1342 2341 3241 4231

1423 2413 3412 4312

1432 2431 . 3421 4321

Cualquier ordenaci´on puede obtenerse de otra efectuando una permutaci´on, y para determinarla, escribimos una ordenaci´on debajo de la otra y decimos que el primer s´ımbolo de la segunda ordenaci´on ha sustituido al que aparece en primer lugar en la primera ordenaci´on; luego buscamos en la primera ordenaci´on el s´ımbolo que sustituy´o al primero, y vemos cu´al s´ımbolo de la segunda ocupa el mismo lugar, y as´ı sucesivamente. Por ejemplo, si tomamos 1234 y 3124, escribimos 



1 2 3 4 , 3 1 2 4

y leemos: “1 se ha reemplazado por 3; 3 se ha reemplazado por 2 y 2 se ha reemplazado por 1”, lo cual escribimos abreviadamente en forma de ciclo: (132),

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233 que debe interpretarse as´ı: 1 se reemplaza por 3; 3 se reemplaza por 2, y 2 se reemplaza por 1. N´otese que 4 permaneci´o en su lugar original, y por eso no es necesario escribirlo. Cuando la permutaci´on se reduce a intercambiar dos s´ımbolos, como ocurre con las ordenaciones 4132 y 4231, el ciclo consta u ´nicamente de esos dos s´ımbolos, (12) y se llama una trasposici´ on. Las permutaciones pueden componerse, pues son funciones, y el resultado de aplicar primero una permutaci´on y luego otra, es tambi´en una permutaci´on de los s´ımbolos, pues la composici´on de dos biyecciones es una biyecci´on. Como la composici´on de funciones es asociativa, y la inversa de una biyecci´on es otra biyecci´on, resulta que las permutaciones de cuatro s´ımbolos forman un grupo, llamado el grupo sim´ etrico en cuatro s´ımbolos que se denota S4 . El neutro de este grupo es la permutaci´on donde todos los s´ımbolos permanecen en su lugar, y la escribimos como producto de ciclos de longitud 1: (4)(3)(2)(1). Para determinar la permutaci´on que resulta de aplicar primero la permutaci´on (234) y luego la permutaci´on (13), escribimos la ordenaci´on 1234 y aplicamos las dos permutaciones en el orden propuesto, a la derecha (234) y a la izquierda (13), como es costumbre en la composici´on de funciones, (13)(234)); en los renglones siguientes se ve el efecto de aplicar a los elementos del primer rengl´on la permutaci´on (234), y despu´es la permutaci´on (13) a los elementos del segundo rengl´on: ⎛ ⎞ 1 2 3 4 ⎜ ⎟ ⎝1 3 4 2⎠. 3 1 4 2 La comparaci´on del u ´ltimo rengl´on con el primero nos hace ver que: 1 se reemplaza por 3; 3 se reemplaza por 4; 4 se reemplaza por 2 y 2 se reemplaza por 1; esa permutaci´on se escribe con el ciclo (1342), y entonces el producto de la permutaci´ on (234) con la permutaci´ on (13) es (recuerde que el orden en el lado izquierdo es el de la composici´on de funciones): (13)(234) = (1342). Es claro que (1342) = (3421) = (4213) = (2134), pues todas esas permutaciones tienen el mismo efecto sobre cualquier ordenaci´on.

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234 Los ciclos se denominan 2-ciclos, 3-ciclos o 4-ciclos, seg´ un el n´ umero de s´ımbolos que figuren en ´el. Note que el producto de dos trasposiciones ajenas no puede escribirse como un 3-ciclo ni como un 4-ciclo; ´ese es el caso de (23)(14). El n´ umero de permutaciones de 4 s´ımbolos es 4! = 24, pues cada ordenaci´on resulta de efectuar una permutaci´on a la ordenaci´on “natural”1234, y el n´ umero de ordenaciones es 24. Pero tambi´en podemos contar as´ı: como cada permutaci´on tiene una expresi´on en ciclos, podemos contar el n´ umero de 2-ciclos, el de 3-ciclos, el de 4-ciclos y el de productos de 2-ciclos ajenos, sumarlos y a˜ nadir la permutaci´on identidad (que puede verse como producto de 1-ciclos): El n´ umero de 2-ciclos es 4·3 = 6. 2 4·3·2 El n´ umero de 3-ciclos es 3 = 8. = 6. El n´ umero de 4-ciclos es 4·3·2·1 4 El n´ umero de productos de dos 2-ciclos ajenos es 6/2 = 3, pues debido a que son ajenos, el orden de los factores no afecta el producto. Si a estas 6 + 8 + 6 + 3 = 23 permutaciones les a˜ nadimos la permutaci´on identidad, tenemos 24 permutaciones en total. El tema dista mucho de estar agotado con esta presentaci´on (sugerimos al lector que consulte [Bi]), pero seguramente convenceremos al lector de la importancia del tema obteniendo todas las isometr´ıas del tetraedro utilizando los elementos de S4 . Lo u ´nico que necesitamos es un hecho fundamental que no es dif´ıcil demostrar: Observaci´ on. Cualquier permutaci´on de n s´ımbolos puede obtenerse como producto de un n´ umero finito de trasposiciones (no necesariamente ajenas). Por ejemplo, la permutaci´on (243) puede obtenerse as´ı (verif´ıquelo): (243) = (24)(23). Es f´acil demostrar que cualquier 4-ciclo es producto de 3 trasposiciones, y que cualquier 3-ciclo es producto de 2 trasposiciones. Como consecuencia de la observaci´on, resulta que 1. Las trasposiciones generan al grupo sim´etrico, y las permutaciones pueden clasificarse como pares e impares dependiendo del n´ umero de trasposiciones

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235 necesarias para obtenerlas. El subgrupo de las permutaciones pares se llama el grupo alternante, que en el caso de cuatro s´ımbolos se denota A4 . Con respecto a las isometr´ıas del tetraedro, notemos dos hechos: 2. Cualquier isometr´ıa del tetraedro da lugar a una permutaci´on de sus v´ertices, es decir, corresponde a un elemento de S4 . 3. En el tetraedro, cualesquiera dos v´ertices distan lo mismo: la longitud de una arista (eso no ocurre en el cubo). Ahora podemos ya empezar el an´alisis de las isometr´ıas del tetraedro. - Para cualquier trasposici´on, por ejemplo (23), hay una isometr´ıa que intercambia esos v´ertices dejando fijos los otros dos, 1 y 4: la reflexi´on en el plano que contiene a los v´ertices fijos (1 y 4) y al punto medio M23 de la arista de los otros dos. Para 4 s´ımbolos hay 6 trasposiciones, lo cual casa con el hecho de que hay 6 puntos medios de aristas. El producto de dos trasposiciones corresponde a la composici´on de dos reflexiones: - Si las trasposiciones son ajenas, como (23) y (14), las dos reflexiones asociadas fijan los puntos medios M23 y M14 ; entonces la recta que determinan queda fija y la isometr´ıa es una rotaci´on por 180◦ en torno a ese eje. Sabemos que hay 3 permutaciones producto de ciclos ajenos, lo cual corresponde al hecho de hay 3 pares de aristas opuestas. - Si las trasposiciones no son ajenas, como (12) y (13), el producto es un 3 ciclo, (13)(12) = (123) que deja fijo a 4. La isometr´ıa correspondiente es una rotaci´on por 120◦ en torno a la recta por el v´ertice 4 y por el baricentro de la cara 123, B123 . El producto en el otro orden, (12)(13) = (132), est´a asociado a la rotaci´on en torno al mismo eje por 240◦ . Hay 8 de estos 3-ciclos, correspondiendo al hecho de hay 4 caras y dos rotaciones para cada una que no son la identidad. S´olo nos falta encontrar las isometr´ıas asociadas a 4-ciclos, como (1324). Estos ciclos son producto de 3 trasposiciones, en nuestro caso, (1324) = (14)(23)(12). Por la asociatividad de la composici´on de funciones, podemos multiplicar primero los dos u ´ltimos, (23)(12) = (132), lo cual da la rotaci´on mencionada al final del p´arrafo anterior; esa rotaci´on se sigue de la reflexi´on asociada a la trasposici´on (14). Ning´ un v´ertice queda fijo y, desde luego, la orientaci´on cambia: compare c´omo ir de 1 a 2 y luego a 3 en la cara original y en la cara final que contienen a esos v´ertices. Sabemos que el n´ umero de 4-ciclos es 6.

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236 Esta vez la justificaci´on geom´etrica del n´ umero de esas isometr´ıas viene directamente del intercambio entre los v´ertices, ninguno de los cuales queda fijo bajo un 4-ciclo. Una vez escogido el v´ertice i en que aplicaremos al v´ertice 1 (hay s´olo 3 posibilidades), el v´ertice i puede aplicarse u ´nicamente en 2 v´ertices, pues no puede aplicarse en 1 porque tendr´ıamos un 2-ciclo y, necesariamente, otro (y s´olo otro) para que todos los v´ertices se intercambien, lo cual no es el caso. A estas 23 isometr´ıas s´olo falta a˜ nadir la identidad, que se escribe como producto de 1-ciclos: (1)(2)(3)(4); eso da las 24 isometr´ıas posibles del tetraedro.

5.4.

Postulados euclidianos

La forma original de los postulados euclidianos es la siguiente, tomada de [E]. I. (Es posible) trazar una recta de un punto a otro punto. II. (Es posible) prolongar sin cesar una recta finita a una recta. III. (Es posible) trazar una circunferencia dados un centro y un radio. IV. Todos los a´ngulos rectos son iguales entre s´ı. V. Si una recta que corta a otras dos forma, del mismo lado, a´ngulos interiores que suman menos de dos a´ngulos rectos, al prolongar indefinidamente las dos rectas, ´estas se cortan del lado en que los ´angulos interiores suman menos de dos a´ngulos rectos. El Postulado V se enuncia actualmente en las escuelas en la forma conocida como Axioma de Playfair, debido a que John Playfair utiliz´o esta equivalencia del Postulado V en su intento de demostrarlo a partir de los postulados I a IV. El Axioma de Playfair se utiliza en el texto para establecer las dos posibles negaciones del Postulado V: Axioma de Playfair. Por un punto P exterior a una recta L, es posible trazar una y s´olo una recta M que no corta a L (vea la Figura 5.2).

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237 M L1 α L2

β

Figura 5.1: Si α + β < 180o , L1 y L2 se cortan de ese lado de M. P

M

H L Figura 5.2: M es la u ´ nica paralela por P a L.

Como el Axioma de Playfair establece tanto la existencia como la unicidad de una paralela a una recta L por un punto P exterior a L, hay dos formas de negar el Postulado V: N1 Por un punto P exterior a una recta L no es posible trazar alguna paralela a L. N2 Por un punto P exterior a una recta L es posible trazar m´as de una paralela a L.

5.5.

Topolog´ıa

En los cursos de C´alculo se define la noci´on de conjunto abierto de n : es un conjunto A tal que cualquiera de sus puntos es centro de una bola de radio positivo completamente contenida en A. Es f´acil verificar que los conjuntos abiertos de n poseen las propiedades siguientes:

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238 1. El vac´ıo y el total (

n

) son conjuntos abiertos.

2. La intersecci´on de dos conjuntos abiertos es un conjunto abierto. 3. La uni´on arbitraria de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. La definici´on de espacio topol´ ogico establece precisamente estas condiciones. Se dice que un conjunto E es un espacio topol´ogico si entre los subconjuntos de E hay una familia F , la familia de los abiertos de E, que satisface las tres condiciones anteriores. La familia F es una topolog´ıa para E, y cada abierto es una vecindad de cada uno de sus puntos. Note que la definici´on de funci´on continua de en puede leerse as´ı: → es continua en un punto x0 de su dominio, si dado un f : abierto B que contenga a f (x0 ) existe un abierto A que contiene a x0 y tal que f (A) ⊂ B. Por eso es posible definir funciones continuas entre dos espacios topol´ogicos cualesquiera E1 y E2 : basta pedir que la imagen inversa bajo f de cualquier abierto de E2 sea un abierto de E1 . Si la funci´on f es continua y biyectiva, existe la funci´on inversa, f −1 , y si ´esta es tambi´en continua se dice que E1 y f (E1 ) ⊂ E2 son homeomorfos (no confundir con homomorfo, noci´on perteneciente al a´lgebra), y que f es un homeomorfismo. Es muy importante que el lector se pregunte cu´ales de las funciones que conoce son continuas, y de ´estas cu´ales son homeomorfismos. Por ejemplo, la proyecci´on Π : 2 → tal que Π(x, y) = x, es una funci´on continua cuando 2 en y en consideramos los abiertos usuales, pero no es un homeomorfismo porque no es inyectiva. Cuando en un conjunto E tenemos definida una topolog´ıa, es posible convertir cualquiera de sus subconjuntos, E  , en un espacio topol´ogico relativizando los abiertos, es decir, A ⊂ E  es un abierto relativo de E  , si existe un abierto A de E cuya intersecci´on con E  es A , es decir, A = A ∩ E. El lector no tendr´a dificultad en comprobar que los abiertos relativos satisfacen las tres condiciones de una familia de abiertos. Ahora ya es sencillo demostrar que la proyecci´on estereogr´afica de una circunferencia en la recta real a la que a˜ nadimos un punto (vea la Figura 3.3), es un homeomorfismo.

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239 Los abiertos de S 1 ser´an los abiertos relativos de S 1 como subconjuntos de , y los abiertos de ∪ P∞ son las vecindades usuales de puntos de la recta y las vecindades de P∞ que definimos como los complementos de conjuntos acotados, esto es, conjuntos que pueden encerrarse en un intervalo (−R, R) con 0 < R < ∞. Nuevamente, lo mejor que puede hacer el lector es verificar que al a˜ nadir estos abiertos a los abiertos usuales de , se obtiene una topolog´ıa para P 1 (R), y entonces tampoco tendr´a dificultad en demostrar por s´ı mismo que la proyecci´on estereogr´afica ilustrada en la Figura 3.3 es un homeomorfismo. 2

5.6.

Algunos resultados sobre la circunferencia

En este ap´endice, el lector tendr´a oportunidad de constatar la enorme ventaja de trabajar con coordenadas complejas. Inversi´ on respecto a una circunferencia euclidiana. El conjugado de un n´ umero complejo z = x + iy es el n´ umero complejo que conserva la parte real y cambia de signo a la parte imaginaria: z¯ = x − iy; la interpretaci´on geom´etrica es la de una reflexi´on con respecto al eje real. Si z ∈ − y aplicamos a ∪ {∞}, z y z¯ una transformaci´on de M¨obius que lleve en S 1 , como z+i T (z) = , iz + 1 es claro que T (z) y T (¯ z ) quedan uno dentro y otro fuera de S 1 . Pero comprobaremos que, adem´as, el producto de los m´odulos es 1:   z+i  

   z¯ + i  

iz + 1 i¯ z+1

   



= =

z+i iz + 1



z¯ − i −i¯ z+1



z¯ + i i¯ z+1

    2  z¯ + 1 z2 + 1  = 1, 2 2

z +1

z¯ + 1



z−i −iz + 1



(5.1)

pues en el primer radical los productos, tomando los pares adecuados, son suma por diferencia tanto en el numerador como en el denominador.

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240 En la Geometr´ıa Euclidiana plana, dada una circunferencia C con centro O y radio R, a dos puntos P y P  tales que d(O, P )d(O, P ) = R2 , les llamamos puntos inversos respecto a C. La ecuaci´on (5.1) muestra que T (z) y T (¯ z ) son inversos respecto a S 1 , y nuestra experiencia con las transformaciones de M¨obius nos muestra que si despu´es de aplicar la inversi´on respecto a S 1 aplicamos una homotecia H de raz´on λ, el producto de los m´odulos de H ◦ T (z) y H ◦ T (¯ z ) hubiera sido λ2 . Por eso tiene sentido llamar a la inversi´on respecto a una circunferencia euclidiana, reflexi´ on en una recta hiperb´ olica. Es interesante hacer notar que los puntos P  y P  correspondientes a las proyecciones estereogr´aficas de un punto P ∈ S 2 desde los polos N, norte, y S, sur, respectivamente, son puntos inversos respecto a la circunferencia de radio 1 del ecuador, como es f´acil demostrar si se consideran los tri´angulos rect´angulos que aparecen en la figura que se crea en el plano que contiene a todos los puntos en cuesti´on: el centro O de S 2 , N, S, P , P  y P  . El lector est´a invitado a hacer el dibujo y la demostraci´on, y a considerar que el ser P  y P  puntos inversos respecto a S 1 , demuestra que S 2 es una variedad diferenciable, pues el cambio de coordenadas de P  a P  es z → 1/z: un difeomorfismo si z = 0. Circunferencias de Apolonio y redes de Steiner Una circunferencia de Apolonio es el lugar geom´etrico de los puntos P de un plano cuyas distancias a dos puntos fijos α y β, es una constante k. En coordenadas complejas escribimos |z − α| = k, |z − β| ecuaci´on que tiene sentido para todo k ∈ coordenadas cartesianas toma la forma

(5.2) +

∪ {0}, y que al ser escrita en

(1 − k 2 )x2 + (1 − k 2 )y 2 − 2(α + βk 2 )x + α2 − k 2 β 2 = 0,

(5.3)

que es la ecuaci´on de una circunferencia porque no hay t´ermino mixto y los coeficientes de x2 y y 2 son iguales.

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241 Cuando k var´ıa en + ∪ {0}, se obtiene la familia de circunferencias de Apolonio determinadas por los puntos α y β (es la familia F2 de las figuras 4.9 y 4.10 (a)). De la ecuaci´on (5.2) es inmediato que cuando k → 0, la circunferencia tiende al punto α, y que cuando k → ∞ la circunferencia tiende al punto β. Estos puntos se llaman los puntos l´ımite de la familia de circunferencias de Apolonio. Asimismo, cuando k > 1, la circunferencia tiene a β en su interior, aunque no como centro, y cuando k < 1, la circunferencia tiene a α en su interior, nuevamente no como centro. La ecuaci´on (5.3) muestra que cuando k = 1, la circunferencia es una recta, la mediatriz del segmento definido por α y β. La transformaci´on T ∈ P SL(2, ) T (z) =

z−α , z−β

lleva a α en 0 y a β en ∞, y en consecuencia transforma a las circunferencias por esos puntos (la familia F1 de las figuras 4.9 y 4.10), en rectas euclidianas por el origen, mientras que las circunferencias de Apolonio (los elementos de la familia F2 ), se transforman en c´ırculos conc´entricos con centro en el origen, pues si w = T (z) es tal que |w| = ρ, eso equivale a |z − α| = ρ, |z − β| es decir, z pertenece a la circunferencia de Apolonio correspondiente a la constante ρ. Las familias F1 y F2 forman una red de Steiner y sus elementos se llaman c´ırculos de Steiner. Las propiedades listadas en [A] para ellos (y que se siguen de lo que hemos discutido) son: 1. Para cada punto en  − {α, β}, hay uno y s´olo un elemento C1 ∈ F1 y C2 ∈ F2 que lo contienen. 2. Cualesquiera C1 ∈ F1 y C2 ∈ F2 se cortan en ´angulos rectos.

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242 3. La inversi´on euclidiana (reflexi´on hiperb´olica) en C1 ∈ F1 lleva a cualquier C2 ∈ F2 en s´ı mismo, y a cada C1 ∈ F1 en otro elemento de la misma familia. 4. Los puntos l´ımite son sim´etricos (inversos uno respecto al otro), respecto a cada elemento C2 ∈ F2 , y s´olo con respecto a ellos.

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´Indice anal´ıtico abierto, 237 relativo, 238 acci´on de un grupo, 56 ´angulo de paralelismo, 210 entre dos vectores, 11 ant´ıpoda, 33, 113 aplicaci´on de Veronese, 151 ´area de un paralelogramo, 12 arista, 60 as´ıntota, 104 automorfismo, 185 Axioma de Playfair, 236

puntos l´ımite de, 241 cambio de coordenadas, 130 campos algebraicamente cerrados, 150 cara, 61 caracter´ıstica de Euler, 63 carta coordenada, 130 centro n-, 80 de simetr´ıa, 7 de un cubo, 19 ciclo, 232 clase de equivalencia, 47 de pares, 95 de rectas, 95 residual, 231 cm, 85 cmm, 84 completo, modelo, 175 conforme, 113, 116 conformemente equivalente, 220 conjugaci´on, 78, 185 conjugado arm´onico, 144 de un n´ umero complejo, 185 subgrupo, 78 conjunto

Banda de M¨obius, 123 base can´onica, 12 izquierda, 32 Beltrami, E., 175 Bezout, E., 165 biholomorfismo, 132, 220 Bolyai, J., 174, 210 Botella de Klein, 129 c´ırculo(s) de Apolonio, 192, 240 de Steiner, 241 m´aximo, 166 247

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248 abierto, 237 acotado, 239 arm´onico, 144 cociente, 231 de nivel, 232 denso, 53 frontera de un, 49 constante hiperb´olica, 209 cuadril´atero, 89 v´ertice de un, 89 curvatura constante, 45 de una curva, 43 de una superficie, 45 m´axima, 45 m´ınima, 45 seccional, 45 derivada en n , 229 parcial, 229 Desargues, G., 94 desigualdad de Schwarz, 12 difeomorfismo, 130 distancia de traslaci´on hiperb´olica, 215 de un punto a otro, 6, 11 de un punto a un plano, 6 de un punto a una recta, 6, 13 hiperb´olica, 197 orientada, 145 dominio fundamental, 76 dual de un espacio vectorial, 118 de un s´olido plat´onico, 63 dualidad principio, 117

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Durero, A., 108 eje de simetr´ıa, 8 de una rotaci´on, 32 epicicloide, 55 equivalencia conformemente, 220 Escher, M.C., 124 esfera de Riemann, 112 espacio de identificaci´on, 56 proyectivizado, 110 topol´ogico, 238 estabilizador, 70 Euclides, 5 Euler, L., 63 fibraci´on de Hopf, 116 foliaci´on, 230 hojas de una, 230 forma can´onica, 192, 193 friso, 71 frontera de un conjunto, 49 funci´on anal´ıtica, 132, 218 -diferenciable, 218 cont´ınua, 238 holomorfa, 132, 218 Galois, E., 22 Gauss, K.F., 150 generadores de un grupo, 58 g´enero, 219 geod´esica, 49, 166 gradiente, 229 grupo, 24 abeliano, 25 acci´on de un, 56

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249 af´ın, 100 alternante, 68, 235 c´ıclico, 59 conmutativo, 25 de Lie, 31 de simetr´ıas, 58 directas, 184 euclidiano, 34 lineal, 133 ortogonal, 30, 33 especial, 30 proyectivo, 134 relaciones en un, 58 sim´etrico, 64, 233 transitivo, 183 haz de c´onicas, 153 de puntos, 118 de rectas, 118 Hilbert, D., 174 hiperb´olica, transformaci´on, 192 hipersuperficie, 151 hipocicloide, 55 holomorfa, funci´on, 132 homeomorfismo, 110, 238 homogeneizar, 131 homotecia, 36 horociclo, 195 horoesfera, 211 huso, 168 ideales, pol´ıgonos, 181 imagen inversa, 42, 230 incidencia, 101, 117 inclusi´on can´onica, 12 interior de un conjunto, 48 inversiones, 240

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involuci´on, 77 isometr´ıa, 22 directa, 184 isotrop´ıa, 46 iteraci´on, 57 Kepler, J., 94 Klein, F., 22 Ley de Refracci´on, 179 Lie, S., 31 l´ınea del horizonte, 89, 91 Lobachevski, N., 174 longitud de arco, 43 de una curva, 166 hiperb´olica, 197 M¨obius, F. A., 123 matriz de la m´etrica, 158 de una c´onica, 149 de una forma cuadr´atica, 37 ortogonal, 30 rango de una, 37 signatura de una, 37 transpuesta, 30 m´etrica, 158 hiperb´olica, 198 riemanniana, 198 M¨obius, F. A. Banda de, 123 modelo completo, 175 de Beltrami, 176 del disco de Poincar´e, 177 del hiperboloide, 176 del semiplano superior, 178

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250 proyectivo, 175 mosaico, 71 n-centro, 80 n-ciclo, 233 norma de un vector, 11 hiperb´olica, 197 ´orbita, 55 p1, 86 p2, 84 p3, 82 p31m, 83 p3m1, 83 p4, 83 p4g, 84 p4m, 83 p6, 82 p6m, 82 paralelas hiperb´olicas, 177 parametrizaci´on, 130 Pascal, B., 152 paso, 74 permutaci´on, 232 perspectividad, 133 pg, 85 pgg, 84 plano af´ın, 94 cartesiano, 91 complejo extendido, 111 de simetr´ıa, 9 del dibujo, 91 el´ıptico, 166 proyectivo real, 109 tangente, 43

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pm, 85 pmg, 84 pmm, 85 Poincar´e, H., 177 poliedro regular, 61 pol´ıgonos ideales, 181 posici´on general, 115 Principio de Dualidad, 117 producto escalar, 11 hiperb´olico, 196 triple escalar, 12 vectorial, 12 proposici´on dual, 117 proyecci´on can´onica, 52 estereogr´afica, 112 proyectividad, 133 punto(s) al infinito, 94, 175, 179 atractor, 194 correspondiente, 208 cr´ıtico, 230 de fuga, 89, 91 el´ıptico, 43 hiperb´olico, 43 interior, 48 inversos resp. a una c´onica, 240 l´ımite, 241 parab´olico, 43 polar, 159 proyectivo, 109, 110 repulsor, 194 umb´ılico, 46 rango, 37 raz´on doble o cruzada, 143, 145

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251 de puntos en una c´onica, 155 recta(s) al infinito, 94 el´ıptica, 168 hiperb´olica, 176 polar, 159 proyectiva, 110, 113 que se cruzan, 21 tangente, 159 recubrimiento doble, 113 red de Steiner, 192 degenerada, 192 reflexi´on en 3 , 32 en una recta hiperb´olica, 240 respecto a una recta, 29 regi´on fundamental, 48 relaci´on de equivalencia, 231 Riemann, B., 168 rotaci´on, 27, 32 eje de una, 32 secci´on normal, 43 seudoesfera, 174 signatura, 37 simetr´ıa respecto a el or´ıgen, 10 un eje coordenado, 10, 11 un eje plano coordenado, 11 un plano, 9 un punto, 7 una recta, 8 s´olido plat´onico, 61 Steiner red de, 192 teorema de, 153 Steiner, J., 153

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subgrupo, 55 alternante, 68 discontinuo, 213 estabilizador, 70 normal, 57 superficie cu´adrica, 37 curvatura de una, 41 de curvatura constante, 45 de nivel de una funci´on, 41 de Riemann, 132 de Veronese, 151 degenerada, 40 extensi´on de una, 40 homog´enea, 46 orientable, 124 reglada, 40 Teorema (de (la)) Aplicaci´on de Riemann, 220 Bezout, 165 Brianchon, 158 Clasificaci´on de Superficies, 218 Desargues, 119 Fundamental de la Geometr´ıa Proyectiva, 139 hex´agono m´ıstico(Pascal), 155 Pappus, 152 Restricci´on Cristalogr´afica, 81 Steiner, 153 Uniformizaci´on, 220 Thurston, W., 173 topolog´ıa, 238 toro de revoluci´on, 43 plano, 50 tractriz, 174

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252 transformaci´on af´ın, 100 de M¨obius, 142 el´ıptica, 193 hiperb´olica, 192 identidad, 23 inyectiva, 24 parab´olica, 193 r´ıgida, 22 transitividad, 135 traslaci´on, 23, 31 trasposici´on, 233 tri´angulo, 117 autopolar, 162

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tril´atero, 117 triple producto escalar, 12 ultraparalelas, 177 valor cr´ıtico, 42, 230 valor regular, 42, 230 imagen inversa de un, 42 variedad diferenciable, 130 grassmaniana, 121 vecindad, 238 Veronese, G., 151 v´ertice, 60 volumen de un paralelep´ıpedo, 12

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Introducción a la geometría avanzada editado por la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México se terminó de imprimir el 5 de febrero de 2016 en los talleres de Gráfica premier, S. A. de C. V. ubicados en 5 de febrero 2309, San Jerónimo Chicahualco. Metepec. Estado de México. C. P. 52170. El tiraje fue de 500 ejemplares en papel cultural de 90 gr. En su composición se utilizó tipografía Computer modern de 11 y 14.5 puntos de pica. Tipo de impresión: offset. El cuidado de la edición estuvo a cargo de Patricia Magaña Rueda

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