Introduccion A La Astrofisica Relativista

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´ n a la Astrof´ısica Introduccio Relativista Prof. Gustavo E. Romero

Universidad Nacional de La Plata Facultad de Ciencias Astron´omicas y Geof´ısicas

´Indice general 1. El espacio-tiempo y la relatividad especial

3

1.1. Espacio-tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Objetos y estructura sobre la variedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. El grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4. Mec´anica relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5. Elementos de relatividad general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.5.1. Agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2. Part´ıculas elementales

21

2.1. Leptones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1.1. Antipart´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.1.2. Interacciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2. Hadrones

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3. Interacciones entre part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.4. Decaimiento de part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.4.1. Decaimiento electromagn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.4.2. Decaimientos fuertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.4.3. Decaimientos d´ebiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.4.4. Decaimiento del neutr´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.4.5. Decaimiento de mesones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.4.6. Decaimiento de leptones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.5. Propiedades intr´ınsecas de las part´ıculas: el spin . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.6. Colores y QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

II

´INDICE GENERAL

3. Aceleraci´ on de part´ıculas

41

3.1. Aceleradores artificiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.2. Rayos c´osmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.2.1. Pulsares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.2.2. Remanentes de supernova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

3.3. Mecanismo de aceleraci´on difusivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

4. Difusi´ on

63

4.1. Soluci´on de la ecuaci´on de difusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

4.2. Ecuaci´on de difusi´on en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

4.2.1. Caso estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

4.2.2. Casos no estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

5. Procesos radiativos I

69

5.1. Conceptos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

5.2. Radiaci´on t´ermica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

5.3. Radiaci´on sincrotr´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

5.3.1. Radiaci´on sincrotr´on de una part´ıcula . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

5.3.2. Una aproximaci´on u ´til . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

5.3.3. Radiaci´on sincrotr´on de una distribuci´on de part´ıculas . . . . . . .

78

5.3.4. Absorci´on de la radiaci´on sincrotr´on . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

5.3.5. L´ımite cu´antico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

5.3.6. Efecto sobre el espectro de electrones . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

5.4. Radiaci´on de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

5.5. Radiaci´on Cherenkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

5.6. Radiaci´on Compton inversa (Inverse Compton Scattering, IC) . . . . . . .

85

5.6.1. La secci´on eficaz IC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

5.6.2. Tasa de enfriamiento y espectro de emisi´on . . . . . . . . . . . . . .

89

5.7. Radiaci´on por producci´on de foto-mesones . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

5.8. Formaci´on de pares por interacciones foto-hadr´onicas . . . . . . . . . . . .

97

5.9. Producci´on de pares “triple” (triplet pair production, TPP) . . . . . . . . .

99

´INDICE GENERAL

III

6. Procesos radiativos II

101

6.1. Interacciones de electrones relativistas con materia

. . . . . . . . . . . . . 101

6.1.1. Bremsstrahlung relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.2. Interacciones de protones relativistas con materia . . . . . . . . . . . . . . 103 6.2.1. Radiaci´on por decaimiento de piones . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.2.2. Radiaci´on por aniquilaci´on prot´on-antiprot´on . . . . . . . . . . . . 111 6.2.3. P´erdidas por ionizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.2.4. Interacciones pi´on-n´ ucleo y pi´on-pi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.2.5. Interacci´on neutr´on-prot´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.2.6. Aniquilaci´on de electrones y positrones . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7. Absorci´ on 7.1. Procesos de absorci´on de energ´ıa

119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.1.1. Creaci´on de pares en un campo Coulombiano . . . . . . . . . . . . 120 7.1.2. Absorci´on por creaci´on de pares en un campo de radiaci´on . . . . . 120 7.1.3. Absorci´on en campos magn´eticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 7.1.4. Interacci´on Compton directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 7.1.5. Debilitamiento de rayos γ por efectos Doppler y gravitacional . . . 123 7.2. Cascadas electromagn´eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 7.2.1. Cascadas electromagn´eticas en la materia . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.3. Cascadas hadr´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 8. Detectores

131

8.1. Astronom´ıa γ desde tierra: Telescopios Cherenkov . . . . . . . . . . . . . . 132 8.2. Astronom´ıa γ espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 8.2.1. 30 MeV ≤ E ≤ 300 GeV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 8.2.2. 1 MeV ≤ E ≤ 30 MeV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 8.2.3. Eγ ≤ 1 MeV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 8.3. Emisi´on difusa y detecci´on de fuentes puntuales . . . . . . . . . . . . . . . 141

IV

9. Fuentes de rayos γ

´INDICE GENERAL 145

9.1. Fuentes pasivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 9.2. Fuentes activas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 9.2.1. P´ ulsares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 9.2.2. Remanentes de supernovas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 9.2.3. Binarias de estrellas tempranas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 9.2.4. N´ ucleos gal´acticos activos (AGNs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 9.2.5. Microcuasares (Mqs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 9.3. Fuentes transitorias de rayos γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 9.3.1. Erupciones de rayos gamma (Gamma-Ray Bursts, GRBs) . . . . . . 167 9.4. Fuentes no identificadas de rayos γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 10.Aspectos cosmol´ ogicos

175

A. Deducci´ on de la intensidad de fotones IC en un campo monocrom´ atico 181 B. Discusi´ on sobre las funciones de Green

183

´INDICE GENERAL

1

Introducci´ on La astronom´ıa es el estudio de los objetos que forman el Universo a trav´es de la detecci´on y medici´on de las part´ıculas que estos objetos emiten. Durante la mayor parte de su historia, la Astronom´ıa se ha limitado a un tipo muy espec´ıfico de origen c´osmico: fotones con una longitud de onda en el rango 300 nm ≤ λ ≤ 1 µm,

lo que corresponde a frecuencias entre 3 × 1014 y 1015 Hz. La radiaci´on formada por estos fotones es conocida como “luz visible”. Reci´en en la d´ecada de 1930, con la detecci´on de ondas de radio de origen c´osmico, la ventana electromagn´etica de observaci´on astron´omica se abri´o m´as all´a de lo que el ojo humano es capaz de detectar. El uso de radiotelescopios como instrumentos astron´omicos no se generaliz´o y fue funcional hasta la d´ecada de 1950. La detecci´on de fotones de energ´ıa mayor que los del rango visible debi´o esperar a´ un m´as, 15 ya que la atm´osfera terrestre es opaca a la radiaci´on de frecuencias mayores que 10 Hz. La utilizaci´on sucesiva de globos estratosf´ericos, cohetes de gran altitud y, finalmente, sat´elites artificiales, provey´o de plataformas sustentables para albergar detectores de fotones muy energ´eticos. La astronom´ıa de rayos X (0.1 keV ≤ Eph ≤ 500 keV) experiment´o un r´apido desarrollo durante los a˜ nos 1960 debido a que las facilidades instrumentales estuvieron r´apidamente a la altura de los requisitos observacionales primarios. Por el contrario, el desarrollo de la astronom´ıa de rayos γ (Eph ≥ 500 KeV) fue un proceso lento que tard´o d´ecadas en arrojar resultados significativos. Esto se debi´o, en parte, a dificultades t´ecnicas espec´ıficas y al formidable problema de separar las contribuciones producidas en el detector por fuentes leg´ıtimas de rayos γ de aquellas que tienen un origen puramente local y son debidas a la radiaci´on c´osmica universal (formada por part´ıculas cargadas y neutrones relativistas). A pesar de las dificultades, durante la d´ecada de 1990, la astronom´ıa de rayos γ se ha consolidado como una herramienta fundamental para el estudio de los procesos no-t´ermicos en el Universo. En efecto, este es el u ´nico rango del espectro electromagn´etico libre de contribuciones producidas por plasmas calientes, por lo que la radiaci´on por encima de 1 MeV es debida, casi enteramente, a interacciones de part´ıculas relativistas. En este curso estudiaremos c´omo part´ıculas materiales pueden ser aceleradas hasta velocidades relativistas (∼ c) en ´ambitos astrof´ısicos, qu´e interacciones pueden sufrir esas part´ıculas, qu´e flujo de radiaci´on γ resulta de esas interacciones, y c´omo es posible detectar y medir esa emisi´on γ una vez que llega a la vecindad del planeta Tierra. Nuestro objetivo ser´a poner las herramientas que nos permitan estudiar y comprender las fuentes c´ osmicas de rayos γ. Como la radiaci´on γ es el resultado de la interacci´on de part´ıculas relativistas, comenzaremos repasando las propiedades de sistemas que se mueven a velocidades cercanas a la

2

´INDICE GENERAL

de la luz. Esto es, comenzaremos con un repaso de la Teor´ıa Especial de la Relatividad y de su concepto central: el espacio-tiempo.

Cap´ıtulo 1 El espacio-tiempo y la relatividad especial 1.1.

Espacio-tiempo

Cuando se observa el mundo, por poca atenci´on que se preste, resulta obvio que en ´el hay cosas y que ´estas tienen propiedades. La caracter´ıstica definitoria de las cosas es que se asocian para formar nuevas cosas. As´ı, las mol´eculas forman c´elulas, las c´elulas organismos, los organismos pueden formar sociedades, etc. Las propiedades de las cosas son de dos tipos: intr´ınsecas y relacionales. Las primeras s´olo dependen de la cosa en cuesti´on (por ejemplo, la carga de la part´ıcula) mientras que las segundas dependen tambi´en de otras cosas (por ejemplo, la velocidad de la part´ıcula). Cuando las cosas se combinan para formar nuevas cosas, las cosas resultantes pueden tener propiedades emergentes, que las cosas constituyentes no tienen. A su vez, las propiedades emergentes pueden ser intr´ınsecas o relacionales. As´ı, por ejemplo un gas puede tener temperatura y presi´on, propiedades de las que carecen las mol´eculas constitutivas. Dada una cosa x llamaremos P al conjunto de todas sus propiedades: P = {p/ px }.

(1.1)

Los elementos de P pueden ser representados por funciones matem´aticas (supuesto metodol´ogico de la Ciencia). Llamamos espacio de estados de una cosa x (S(x)) al conjunto de funciones (de dominio M) que representan a los elementos de P. Una ley es una restricci´on sobre S(x). Nos dice que las propiedades de una cosa no pueden tomar cualquier valor. Llamaremos SL (x) al conjunto de estados legales de x. Estos son los estados accesibles en principio a la cosa x de acuerdo con las restricciones legales que imperan sobre ella. El estado real de una cosa concreta x es un punto de SL (x). Un cambio es un par ordenado de estados de la cosa que cambia: (s1 , s2 ) ∈ EL (x) = SL (x) × SL (x).

(1.2)

4

El espacio-tiempo y la relatividad especial

El conjunto de todos los cambios de una cosa es el espacio de eventos (EL (x)) de esa cosa. Definimos ahora el espacio-tiempo de la siguiente manera: El espacio-tiempo es el conjunto de todos los eventos de todas las cosas. Todo lo que ha ocurrido, ocurre o ocurrir´a a alguna cosa es un punto (elemento) del espacio-tiempo. Un proceso (sucesi´on de cambios) es una l´ınea (o subconjunto) del espaciotiempo. Debemos ahora caracterizar matem´aticamente al espacio-tiempo si queremos hacer predicciones precisas sobre ciertos eventos. Postulado: El espacio-tiempo se representa por una variedad real cuadridimensional diferenciable. Una variedad real es un concepto que puede ser completamente cubierto por subconjuntos cuyos elementos pueden ser puestos en correspondencia 1 a 1 con subconjuntos de R4 (si la variedad es cuadri-dimensional; Rn si es n-dimensional). En forma estricta: M es una variedad real n-dimensional diferenciable si y solo si: 1. M es un conjunto 2. ∃O/O = {Oα ⊂ M}. 3. Todo elemento p ∈ M es tal que ∃Oα ∈ O/p ∈ Oα . 4. ∀α ∃Φα : Oα → Uα , con Uα subconjunto abierto de Rn . 5. Si existen dos conjuntos O1 y O2 /O1 ∩ O2 6= ∅ (∅ = vac´ıo) ⇒ ∃Φ2 .Φ−1 1 que pone en n n correspondencia 1 a 1 los puntos de U1 ⊂ R con los de U2 ⊂ R . Vemos de esta definici´on por qu´e postulamos una variedad para representar el espaciotiempo: independientemente de la estructura geom´etrica de ´este, podemos adoptar coordenadas (n´ umeros reales) para describir procesos que ocurren en ´el. Dado un elemento p ∈ M podemos designar distintos sistemas de coordenadas. Por ejemplo, p ←→ {xµ } p ←→ {x′µ } ∃

x′µ = x′µ ({xµ })

(1.3)

1.2 Objetos y estructura sobre la variedad

5

M x’

O2

R4

µ

O1

U2

xµ

x ’µ =x ’ µ (x) x µ = x µ (x’)

R4

U1

Figura 1.1: Esquema para una variedad cuadri-dimensional.

donde µ = 0, 1, 2, 3. Adoptamos 4 coordenadas porque el mundo parece ser 4-dimensional, pero en principio no hay limitaciones en ese sentido (ver la Figura 1.1). Para poder hacer f´ısica sobre nuestra variedad (esto es, para poder describir procesos reales) necesitamos definir sobre ella objetos matem´aticos que puedan ser utilizados luego para representar objetos f´ısicos y sus propiedades.

1.2.

Objetos y estructura sobre la variedad

Los objetos sobre la variedad se definen por sus propiedades de transformaci´on frente a cambios de coordenadas {xµ } ←→ {x′µ }. El objeto m´as simple es un escalar: φ(xµ ) = φ′ (x′µ ).

(1.4)

El valor del escalar no cambia cuando el sistema coordenado cambia de {xµ } a {x′µ }. Notar que la forma φ s´ı puede cambiar. Introduzcamos ahora un objeto de cuatro componentes Aµ . Si realizamos un cambio de coordenadas {xµ } → {x′µ } ⇒ ′µ

A =

4 X ν=1

Aν

∂x′µ . ∂xν

(1.5)

6

El espacio-tiempo y la relatividad especial

De aqu´ı en m´as adoptaremos la convenci´ on de la suma de Einstein: se suma sobre ´ındices repetidos (de 0 a 4, ´o a n, dependiendo de la dimensi´on de la variedad). Luego la ecuaci´on 1.5 se escribe ∂x′µ A′µ = Aν ν . (1.6) ∂x Un objeto que se transforma de esta manera es un vector contravariante. Un ejemplo de este tipo de objetos es la l´ınea que une dos puntos arbitrariamente pr´oximos de la variedad: ∂x′µ ν dx′µ = dx . (1.7) ∂xν Los vectores covariantes se definen por medio de: Bµ′ =

∂xν Bν . ∂x′µ

(1.8)

Un ejemplo es el gradiente de un campo escalar: ∂xµ ∂φ ∂φ = . ∂x′ν ∂x′ν ∂xµ

(1.9)

En general, a los vectores sobre la variedad se los llama tensores de rango 1. Podemos definir tensores contravariantes (o covariantes) de rango arbitrario: n

z }| { ∂x′µ ∂xσ ′. . .µ . . . ...ρ... T. . . ν . . . = . . . ρ . . . ′ν . . . T...σ... | {z } ∂x ∂x

(1.10)

m

El tensor es n veces contravariante y m veces covariante. Ejemplos de tensor de rango 2: T ′µν =

∂x′µ ∂x′ν αβ T 2 veces contravariante, ∂xα ∂xβ

(1.11)

∂xα ∂xβ Tαβ 2 veces covariante, ∂x′µ ∂x′ν

(1.12)

′ Tµν =

∂x′µ ∂xβ α T 1 vez contravariante, 1 vez covariante. (1.13) = ∂xα ∂x′ν β Un ejemplo de tensor de rango 2 es el tensor de energ´ıa-impulso que caracteriza a cualquier sistema f´ısico (ver Secci´on 1.5). Tν′µ

Un campo tensorial definido sobre alguna regi´on de la variedad es una asociaci´on de un tensor de la misma variedad a cada punto de la regi´on: ...µ... p −→ T...ν... (p),

(1.14)

...µ... donde T...ν... (p) es el valor del tensor en p. El campo tensorial se llama continuo o diferenciable si las componentes del tensor lo son.

1.2 Objetos y estructura sobre la variedad

7

Debido a sus propiedades de transformaci´on, toda relaci´on entre tensores mantendr´a su relaci´on al cambiar de sistema de coordenadas. Como de las leyes de la f´ısica se espera que tengan la misma forma en todos los sistemas coordenados, deben ser expresadas en forma de ecuaciones tensoriales. En tal caso se dice que son covariantes. La covariancia es invariancia de forma. Aunque hemos definido objetos sobre la variedad que representa al espacio-tiempo, a´ un no sabemos medir distancias entre puntos (eventos) de la variedad. Para poder medir distancias debemos asignar una estructura geom´ etrica a la variedad. Esto se hace introduciendo un tensor de rango 2 llamado tensor m´ etrico. El mismo nos dice c´omo calcular la distancia ds entre dos eventos arbitrariamente pr´oximos ǫ1 y ǫ2 : ds2 = gµν dxµ dxν , donde gµν es el tensor m´etrico. En un espacio-tiempo eucl´ıdeo, por ejemplo,  +1 si µ = ν gµν = δµν = 0 si µ 6= ν

(1.15)

(1.16)

y ds2 = (dx0 )2 + (dx1 )2 + (dx2 )2 + (dx3 )2 .

(1.17)

El tensor m´etrico gµν tiene un contenido emp´ırico: depende de la naturaleza del Mundo. Durante m´as de 2000 a˜ nos se pens´o que la geometr´ıa del espacio-tiempo era eucl´ıdea. Entre 1905 y 1908 Einstein y Minkowski propusieron que el tensor m´etrico del espacio-tiempo es un tensor de rango 2 y traza -2:   1 0 0 0  0 −1 0 0   (1.18) gµν = ηµν =   0 0 −1 0  , 0 0 0 −1 conocido como tensor de Minkowski.

El intervalo entre dos eventos resulta ser: ds2 = ηµν dxµ dxν = (dx0 )2 − (dx1 )2 − (dx2 )2 − (dx3 )2 .

(1.19)

La geometr´ıa resultante es pseudoeucl´ıdea 1 . Un punto importante a notar es que ηµν tiene el mismo valor sobre toda la variedad (esta condici´on se relaja en la Teor´ıa General de la Relatividad, donde gµν es un campo tensorial cuyas componentes son funciones determinadas por el contenido de energ´ıa-impulso de los sistemas f´ısicos en el espacio-tiempo). Es inmediato establecer que: ηµα η αν = δµν . 1

Porque ds2 no es definido positivo.

(1.20)

8

El espacio-tiempo y la relatividad especial

Las tres coordenadas que aparecen con signo negativo en el intervalo se los suele denominar espaciales y se los representa por: x1 = x , x2 = y , x3 = z.

(1.21)

La coordenada que aparece con el signo opuesto es llamada temporal: x0 = c t.

(1.22)

Aqu´ı c es una constante que permite uniformizar las dimensiones, que en principio no tienen porqu´e ser iguales. Como se ver´a en la Pr´actica 1, esta constante coincide con el valor de la velocidad de la luz en el vac´ıo. En coordenadas esf´ericas polares tenemos:

donde

xµ = (ct, r, θ, φ),

(1.23)

x = r sen(θ) cos(φ) y = r sen(θ) sen(φ) z = r cos(θ).

(1.24)

Luego, el intervalo en estas coordenadas resulta: ds2 = c2 dt2 − dr 2 − r 2 dθ2 − r 2 sen2 (θ) dφ2 .

(1.25)

La introducci´on del intervalo nos permite dividir la variedad, en cada punto (evento), en tres regiones bien definidas: ds2 < 0 : regi´on tipo espacio, ds2 = 0 : regi´on tipo luz, ds2 > 0 : regi´on tipo tiempo.

(1.26)

S´olo las dos u ´ltimas regiones son accesibles a sistemas f´ısicos. La regi´on tipo luz, en particular, s´olo a sistemas que se muevan a la velocidad de la luz. Si reescribimos   dx2 + dy 2 + dz 2 2 2 2 = dt2 [c2 − v 2 ], (1.27) ds = dt c − dt2 donde v es la velocidad del sistema, obtenemos las siguientes equivalencias: ds2 < 0 ⇐⇒ v > c. ds2 = 0 ⇐⇒ v = c. ds2 > 0 ⇐⇒ v < c.

(1.28)

Como nunca ocurre que v > c (esto lo sabemos de electromagnetismo), los eventos en la regi´on tipo espacio no pueden estar causalmente ligados a eventos de las otras regiones.

1.2 Objetos y estructura sobre la variedad

9

Figura 1.2: Diagrama de un cono de luz.

Esta situaci´on puede representarse gr´aficamente a trav´es del llamado cono de luz, que se muestra en la Figura 1.2. Al graficar el cono de luz hemos removido la dimensi´on z y hemos fijado unidades tales que c = 1. Las part´ıculas materiales que tienen un estado ǫ0 coincidente con el origen s´olo pueden sufrir cambios o procesos que los lleven a estados que est´en dentro del cono. Para ir fuera del cono los procesos deber´ıan ocurrir a una velocidad mayor que c. Podemos diferenciar ahora pasado y futuro de un dado evento. Un vector xµ dentro del cono se˜ nala hacia el futuro si ηµν xµ T ν > 0, (1.29) con T ν = (1, 0, 0, 0). En forma similar, xµ se˜ nala hacia el pasado si: ηµν xµ T ν < 0.

(1.30)

Es posible definir el tiempo propio de un sistema f´ısico que se mueve con velocidad v respecto de un cierto sistema coordenado como dτ 2 =

1 2 ds . c2

(1.31)

Este es el tiempo que mide un reloj fijo al sistema f´ısico. Notar que: dτ 2 =

1 (c2 dt2 c2 n 2

2 2 2 − dx ) h −
dy − dz
dy 2 dx 2 1 = dt 1 − c2 dt + dt +   2 = dt2 1 − vc2


dz 2 dt

io

(1.32)

y si introducimos el factor de Lorentz

1 , γ=p 1 − β2

v con β = , c

(1.33)

10

El espacio-tiempo y la relatividad especial

obtenemos: dτ =

dt γ

(1.34)

Debido a que γ ≥ 1, el tiempo respecto al sistema propio se dilata. Para un sistema con β = β(t), obtenemos: Z t2 dt . (1.35) τ= t1 γ(t)

1.3.

El grupo de Lorentz

El grupo m´as general de transformaciones lineales y homog´eneas entre dos sistemas de referencia inerciales es el de Lorentz: L = {xµ −→ x′µ = Lµν xν } , donde Lµν =

∂x′µ . ∂xν

(1.36)

(1.37)

Recordemos la definici´on general de grupo: Sea L un conjunto no vac´ıo y sea ∗ una funci´on sobre L. El par ordenado (L, ∗) es un grupo si y solo si ∗ es una ley interna en L, asociativa, con elemento neutro y tal que todo elemento de L admite inverso respecto de ∗. En forma simb´olica:

(L, ∗) es grupo si y solo si ∗ : L2 −→ L (∀a, b, c)L (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) (∃e)L /(∀a)L (a ∗ e = e ∗ a = a) (∀a)L (∃a−1 )L (a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e) Si adem´as se cumple (∀a, b)L (a ∗ b = b ∗ a) se dice que el grupo es conmutativo o abeliano. Debido a que la invariancia del intervalo exige la invarianza del tensor m´etrico, se cumple que:

1.3 El grupo de Lorentz

11

ds2 = ηµν dx′µ dx′ν = ηµν Lµα dxα Lνβ dxβ = ηµν Lµα Lνβ dxα dxβ = ηαβ dxα dxβ

(1.38)

donde en la u ´ltima igualdad hemos usado la invarianza del intervalo. Luego, ηαβ = ηµν Lµα Lνβ .

(1.39)

El elemento neutro del grupo de Lorentz es δνµ : δνµ =

∂xµ = η µα ηαν . ∂xν

(1.40)

El elemento inverso es la inversa de la matriz Lµν . Esta siempre tiene inversa, ya que det[Lµα Lνβ ηµν ] = det[ηαβ ]

(1.41)

[det Lµν ]2 = 1 =⇒ det Lµν = ±1.

(1.42)

O sea que Lµν es no-singular, es decir, invertible. Se puede demostrar, derivando Lµα Lνβ ηµν = ηαβ respecto de xǫ que las tranformaciones son u ´nicas (ver trabajos pr´acticos y el libro de Weinberg, p´agina 27). Usando las propiedades del grupo de Lorentz, el producto escalar Uα V α = U0 V 0 + U1 V 1 + U2 V 2 + U3 V 3

(1.43)

Uα′ V ′α = Lβα Uβ Lαµ V µ = Lβα Lαµ Uβ V µ = δµβ Uβ V µ = Uµ V µ .

(1.44)

ηαβ = ηµν Lµα Lνβ

(1.45)

es un invariante:

Notar que: con lo cual resulta que la componente η00 = 1 = ηµν Lµ0 Lν0 = η00 (L00 )2 + η11 (L10 )2 + η22 (L20 )2 + η33 (L30 )2 = (L00 )2 − (L10 )2 − (L20 )2 − (L30 )2 .

(1.46)

Por lo tanto: (L00 )2 = 1 + [(L10 )2 + (L20 )2 + (L30 )2 ] ≥ 1

(L00 )2 − [(L10 )2 + (L20 )2 + (L30 )2 ] = 1 =⇒ L00 ≥ 1 ∨ L00 ≤ −1.

Esto significa que existe un conjunto de transformaciones de Lorentz prohibidas. Hay 4 casos posibles:

(1.47) (1.48)

12

El espacio-tiempo y la relatividad especial

1. det(L) = 1 ∧ L00 ≥ 1 −→ grupo propio de Lorentz 2. det(L) = 1 ∧ L00 ≤ 1 −→ inversiones espacio-temporales  −1 0 0 0  0 −1 0 0   L=  0 0 −1 0  0 0 0 −1

(1.49)

 1 0 0 0  0 −1 0 0   L=  0 0 −1 0  0 0 0 −1

(1.50)



3. det(L) = −1 ∧ L00 ≥ 1 −→ inversiones espaciales 

4. det(L) = −1 ∧ L00 ≤ 1 −→ inversiones temporales 

−1  0 L=  0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

 0 0   0  1

(1.51)

Los casos 2, 3 y 4 no son grupos porque no contienen la identidad. El grupo de Lorentz es un subgrupo propio del m´as general grupo de Poincar´ e. Este consiste en las transformaciones lineales inhomog´ eneas que dejan la m´etrica ηµν invariante. Se trata de transformaciones de Lorentz m´as una traslaci´on arbitraria en el espacio-tiempo: P = {xµ −→ x′µ = Lµν xν + tµ } . (1.52) Consideremos, como ejemplo, el caso simple de una tranformaci´on con tµ = 0 y que consista en un cambio entre sistemas que se mueven sobre el eje x con velocidad v:  γ −βγ 0 0  −βγ γ 0 0   Lµν =   0 0 1 0  0 0 0 1 

  γ −βγ 0 0 ct′  −βγ  x′  γ 0 0  ′ =   0  y  0 1 0 ′ 0 0 0 1 z 

 ct   x       y  z  

(1.53)

(1.54)

1.4 Mec´ anica relativista

13

p donde β = v/c y γ = 1/ 1 − β 2 .

De la ecuaci´on matricial (1.54) se deducen la f´ormulas usuales para las transformaciones de Lorentz debidas a un desplazamiento sobre el eje x: t′ x′ y′ z′

1.4.

= = = =

γ(t − vx/c2 ) γ(x − vt) y z

(1.55)

Mec´ anica relativista

Consideremos una part´ıcula movi´endose en el espacio-tiempo. Su trayectoria es: xµ = xµ (τ ),

(1.56)

siendo τ el tiempo propio. Recordemos que la acci´on de una part´ıcula es: Z 2 S= L dt

(1.57)

1

donde L = T − U es el Lagrangiano de la part´ıcula, siendo T y U la energ´ıa cin´etica y potencial, respectivamente, y los n´ umeros 1 y 2 representan los puntos inicial y final de la trayectoria. Sobre trayectorias reales δS = 0. Como la part´ıcula se mueve libremente, lo hace sobre una geod´esica y su acci´on es: Z τ2 ds (1.58) S = −α τ1

donde α es constante y ds2 = ηµν dxµ dxν = c2 dt2 /γ 2 . De esta manera, Z τ2 p Z τ2 √ c 1 − β 2 dt = −α S = −α c2 − v 2 dt. τ1

(1.59)

τ1

√ Luego, el Lagrangiano es: L = −α c2 − v 2 . Cuando v → 0, L ≈ −α c +(1/2) (α/c) v 2 + . . . Comparando con la expresi´on newtoniana, L = (1/2) m0 v 2 , obtenemos que α = m0 c (masa en reposo) y por lo tanto √ L = −m0 c c2 − v 2 . (1.60) Definimos el cuadrivector velocidad como: vµ ≡

dxµ dxµ = = (γc, γ~v) = x˙ µ , dτ dt/γ

(1.61)

14

El espacio-tiempo y la relatividad especial

y la cuadri-aceleraci´on como: aµ ≡

d2 xµ = x¨µ . dτ 2

El cuadri-impulso es: pµ = − con lo cual

(1.62)

∂L , ∂ x˙ µ

m0 c ~v = γm0~v P~ = √ c2 − v 2

(1.63)

y

p0 = γm0 c.

(1.64)

Usando el Hamiltoniano H definimos la energ´ıa como: E = H = P~ · ~v − L = γm0 c2 . Luego: µ

P ≡ (γ m0 c, γ m0 ~v ) = y la forma contravariante es



E ~ ,P c

(1.65) 

P µ = η µν Pν = m0 v µ .

(1.66)

(1.67)

Notar que la norma de P µ est´a dada por dxµ dxµ dxµ dxµ m0 = m20 dτ dτ dτ 2 µ µ ηµν dx dxν 2 ηµν dx dxν = m20 = (m c) 0 1/c2 ds2 ηµν dxµ dxν = (m0 c)2 ,

P µ Pµ = m0

(1.68)

donde hemos usado que ηµν dxν = dxµ . Luego, E 2 /c2 − p2 = m20 c2 y E 2 = m20 c4 + c2 p2 . Hallemos ahora la ecuaci´on del movimiento. Para ello variamos la acci´on Z tb r v2 S = −m0 c2 1 − 2 dt c ta Z b = −m0 c2 dτ

(1.69)

(1.70)

a

de la siguiente manera: δS = −m0 c

2

Z

b

δdτ

(1.71)

a

δ(ds2 ) = δ(c2 dτ 2 )

(1.72)

1.4 Mec´ anica relativista

15 2ηαβ dxα δdxβ = c2 2dτ δdτ

=⇒

(1.73)

1 dxα 1 η δdxβ = 2 ηαβ v α dδxβ αβ 2 c dτ c 1 1 = 2 ηαβ d(v α δxβ ) − 2 ηαβ δxβ dv α c c 1 dv α 1 dτ = 2 d(v α δxα ) − 2 ηαβ δxβ c c dτ

δdτ =

δS = −m0 v

α

δxα |ba

+ m0

Z

b

δxα a

dv α dτ dτ

(1.74)

(1.75)

En los l´ımites (δxα )a = (δxµ )b = 0 la trayectoria real satisface δS = 0, entonces dv α 0 = m0 |ba δxα dτ. (1.76) dτ Como la variaci´on δx es arbitraria: dv α = 0. (1.77) dτ Esta es la ecuaci´on del movimiento de una part´ıcula libre. Podemos escribir: dP µ = 0. (1.78) dτ En caso de que haya una fuerza externa f µ : dP µ fµ = . (1.79) dτ Cuando no hay fuerza, P µ = lµ con lµ un cuadri-vector constante. Esto expresa la conservaci´on del momento lineal. Podemos resumir los principales resultados obtenidos para la din´amica relativista de la siguiente forma: E = γ m0 c2 . (1.80) Cuando β −→ 0, E −→ m0 c2 .

E 2 = c2 p2 + m20 c4   E µ P = , γ m0 ~v c   1 dE d~p dP µ µ . =γ , f = dτ c dt dt

(1.81) (1.82) (1.83)

De las transfomaciones de Lorentz podemos obtener reglas de transformaci´on para velocidades, aceleraci´on, fuerza y energ´ıa, en condiciones arbitrarias, siempre que el espaciotiempo tenga m´etrica Minkowskiana. Sin embargo, la geometr´ıa del espacio-tiempo real no parece ser plana, sino pseudo-Riemanniana (esto es, s´olo el espacio tangente en cada punto es Minkowskiano y la curvatura global es no nula, dependiendo ´esta del contenido de energ´ıa e impulso de la materia).

16

1.5.

El espacio-tiempo y la relatividad especial

Elementos de relatividad general

La distribuci´on de materia existente en el Universo determina la geometr´ıa del mismo, a trav´es del campo tensorial m´etrico gµν (x). El potencial gravitacional se representa a trav´es de gµν (x), que se obtiene resolviendo las ecuaciones de Einstein-Maxwell:
8πG mat 1 EM + Tµν , Rµν − R gµν + Λ gµν = 4 Tµν 2 c

(1.84)

donde Λ es la constante cosmol´ogica, Rµν = g λσ Rλσµν y R = g µν Rµν son el tensor y el escalar de Ricci, respectivamente, y Rλσµν es el tensor de Riemann (o de curvatura). Este tensor de curvatura se anula si el espacio-tiempo es plano. Las fuentes de la curvatura del espacio-tiempo son la materia y los campos electromagn´eticos que ´esta produce si est´a cargada. As´ı, las fuentes de las ecuaciones (1.84) son el tensor de energ´ıa-impulso de la materia, que en el caso de un flu´ıdo ideal tiene la forma: mat Tµν = (ρ + p) uµuν + p gµν ,

(1.85)

donde ρ, p y uµ son la densidad, la presi´on y la tetra-velocidad, respectivamente, y el tensor de los campos electromagn´eticos,   1 1 EM α αβ Tµν = Fµα Fν − Fαβ F gµν . (1.86) 4π 4 En la ecuaci´on anterior, Fµν = Aµ;ν − Aν;µ donde Aµ es el tetra-potencial. Si llamamos mat EM Tµν = Tµν + Tµν , las ecuaciones de consevaci´on de la energ´ıa y del momento angular pueden derivarse de la relaci´on2 T;νµν = 0. (1.87) Si se conoce la distribuci´on de la energ´ıa y el impulso de la materia que forma en Universo entonces es posible determinar gµν y por tanto medir distancias a trav´es de la relaci´on (1.15).

1.5.1.

Agujeros negros

Las soluciones de las ecuaciones de Einstein-Maxwell para diferentes distribuciones de materia y de cargas el´ectricas corresponden a espacios-tiempo con diferentes propiedades. Debido a la complejidad de la ecuaci´on (1.84), las soluciones halladas anal´ıticamente corresponden a distribuciones de masa localizadas en una regi´on muy peque˜ na del espacio-tiempo y todo el resto se considera vac´ıo. Cuando la densidad de materia es muy alta, se forma un agujero negro. Los agujeros negros son regiones del espacio-tiempo limitadas por un 2

Notar que las ecuaciones de Einstein-Maxwell implican las ecuaciones de movimiento de los sistemas materiales.

1.5 Elementos de relatividad general

17

horizonte de eventos y todas las cosas que crucen el horizonte no podr´an volver a cruzarlo en el sentido opuesto (ver las Figuras 1.3 y 1.4). Ni siquiera la luz puede salir de un agujero negro, y de ah´ı su nombre. Las principales soluciones anal´ıticas conocidas de las ecuaciones (1.84) que describen agujeros negros son: M´etrica de Schwarzschild: corresponde a un espacio tiempo determinado por una masa M que no rota y con carga neta nula. M´etrica de Kerr: corresponde a un espacio tiempo determinado por una masa M en rotaci´on y con carga neta nula. M´etrica de Reissner-Nordstrom: corresponde a un espacio tiempo determinado por una masa M cargada pero con momento angular nulo. M´etrica de Kerr-Newman: corresponde a un espacio tiempo determinado por una masa M en rotaci´on y cargada.

18

El espacio-tiempo y la relatividad especial

Figura 1.3: Diagrama del espacio-tiempo mostrando la formaci´on de un agujero negro por colapso gravitacional.

1.5 Elementos de relatividad general

19

Figura 1.4: Diagrama del espacio-tiempo de Schwarzschild en coordenadas (t, r, θ, φ). En unidades naturales (c = 1), r = 2M corresponde al horizonte de eventos y la regi´on comprendida entre r = 0 y r = 2M es el agujero negro. En la figura se muestra como los conos de luz se inclinan hacia r = 0 a medida que se acercan al horizonte, y una vez dentro de el, el futuro de todos los posibles eventos es la singularidad (r = 0).

20

El espacio-tiempo y la relatividad especial

Cap´ıtulo 2 Part´ıculas elementales Hemos constru´ıdo un modelo de espacio-tiempo a partir de conceptos generales como los de cosa, propiedad y cambio. Si las cosas se asocian para formar cosas nuevas, es razonable preguntar si existen cosas b´ asicas a partir de las cuales todas las dem´as pueden ser constru´ıdas. El concepto de cosa b´asica fue introducido por Leucipo y Dem´ocrito (ambos de Abdera) hacia el a˜ no 460 antes de Cristo. La idea de que hay elementos constitutivos b´asicos en la naturaleza ha perdurado hasta la actualidad siendo, quiz´as, la m´as fecunda y duradera de la historia del pensamiento humano. Nuestras ideas actuales acerca de los elementos b´asicos que forman todas las cosas que hay en el Universo est´an expresadas en el llamado modelo est´ andar de las part´ıculas elementales.1 Seg´ un el modelo est´andar hay 12 tipos diferentes de part´ıculas que forman todas las cosas. Estas part´ıculas se dividen en dos grupos llamados quarks y leptones. Hay 6 quarks y 6 leptones. Los 6 tipos de quarks se denominan, en orden de masa creciente, up (u), down (d), strange (s), charm (c), bottom (b) y top (t). Los 6 tipos de leptones son el electr´ on (e− ), el neutrino electr´ onico (νe ), el mu´ on (µ− ), el neutrino mu´ onico (νµ ), el tau (τ ) y el neutrino tau (ντ ).

1

Quarks

Leptones

UP (u) DOWN (d) STRANGE (s) CHARM (c) BOTTOM (b) TOP (t)

´ (e− ) ELECTRON ´ NEUTRINO ELECTRONICO (νe ) − ´ MUON (µ ) ´ NEUTRINO MUONICO (νµ ) TAU (τ ) NEUTRINO TAU (ντ )

Para m´as detalles sobre los temas de este cap´ıtulo ver los libros de Halzen & Martin (1984) y Griffiths (1987).

22

Part´ıculas elementales

Las part´ıculas elementales tienen, a la vez, propiedades elementales. Estas propiedades consisten en la capacidad de cambiar el estado de otras part´ıculas. Se suele llamar a estas propiedades fuerzas o interacciones elementales. Hay 4 interacciones elementales: Gravedad Electromagnetismo Fuerza fuerte Fuerza d´ebil Todas estas interacciones act´ uan a distancia pero con diferente rango o alcance. La gravedad tiene rango infinito pero es muy d´ebil. Act´ ua sobre todas las part´ıculas y es una fuerza atractiva. Es la interacci´on que determina la estructura a gran escala del Universo. El electromagnetismo tambi´en tiene rango infinito, pero es una interacci´on mucho m´as fuerte. Act´ ua sobre aquellas part´ıculas que tienen carga el´ ectrica. Hay dos tipos de carga: positiva y negativa. El n´ umero total de cargas positivas es igual al n´ umero total de cargas negativas, por lo que sobre distancias grandes la fuerza electromagn´etica se anula. El electromagnetismo es la interacci´on dominante a escala humana, pero no tiene influencia sobre la estructura a gran escala del Universo. La interacci´on fuerte es de corto alcance (∼ 10−15 m ≡ 1 fermi) y s´olo act´ ua entre quarks; los leptones no sienten la interacci´on fuerte. La interacci´on fuerte cohesiona a los quarks para formar part´ıculas m´as complejas llamadas hadrones. La interacci´on d´ebil es de rango a´ un m´as corto que la fuerte (∼ 10−18 m) y act´ ua tanto sobre los quarks como sobre los leptones, aunque con ciertas limitaciones. Respecto a la intensidad relativa de las distintas interacciones, podemos establecer el siguiente cuadro comparativo, donde hemos considerado los efectos sobre dos protones en contacto: Fuerza Fuerza Fuerza Fuerza

fuerte electromagn´etica d´ebil gravitacional

1 10−2 10−7 10−39

Todas las interacciones cambian el estado de las part´ıculas sobre las que act´ uan. Las tres primeras modifican el momento de las part´ıculas sobre las que act´ uan. La interacc‘´on d´ebil, adem´as, modifica la clase a la que pertenece la part´ıcula. Es importante enfatizar entonces que: 1. La interacci´on fuerte act´ ua sobre los quarks, no sobre los leptones.

2.1 Leptones

23

2. La gravitaci´on es la u ´nica interacci´on que act´ ua absolutamente sobre todas las part´ıculas. 3. Como la interacci´on fuerte no act´ ua sobre los leptones, estos no forman part´ıculas estables m´as complejas. Las part´ıculas elementales pueden dividirse, adem´as, en tres generaciones. Esta clasificaci´on se relaciona con el modo de acci´on de la interacci´on d´ebil sobre ellas. Como se esquematiza en la Figura 2.1, la interacci´on d´ebil s´olo puede transformar un lept´on en otro que pertenezca a la misma generaci´on. Ocasionalmente tambi´en puede actuar entre distintas generaciones de quarks.

1ª gen.

2ª gen.

3ª gen.

e

µ

τ

νe

νµ

ντ

u

s

t

d

c

b

Leptones

Quarks Figura 2.1: Acci´on de la fuerza d´ebil. Las l´ıneas punteadas representan transiciones “f´aciles” y las l´ıneas s´olidas transiciones “dif´ıciles”.

2.1.

Leptones

Los leptones son las part´ıculas elementales que no sufren interacciones fuertes. Hay seis leptones, que pueden clasificarse de acuerdo con sus propiedades: la carga el´ectrica Q y el n´ umero lept´onico L. El electr´on, el mu´on y el tau tienen carga el´ectrica Q = −1 y los neutrinos carga nula. Como estos u ´ltimos tampoco tienen masa s´olo interact´ uan d´ebilmente.2 El n´ umero lept´onico es una propiedad intr´ınseca de los leptones. Hay tres tipos de n´ umero lept´onico, Le , Lµ y Lτ ; cada tipo es caracter´ıstico de una generaci´on. Toda interacci´on que involucre leptones debe conservar tanto la carga el´ectrica como el n´ umero lept´onico. Las propiedades de los seis leptones se enumeran en la Tabla 2.1. 2

La masa de los neutrinos no es en realidad nula, pero s´ı muy peque˜ na.

24

Part´ıculas elementales

Part´ıcula Generaci´on 1 e νe Generaci´on 2 µ νµ Generaci´on 3 τ ντ

Q Le -1 -1 0 1 -1 0 0 0 -1 0 0 0

Lµ 1 0 1 1 0 0

Lτ 0 0 0 0 1 1

mc2 0.511 MeV ∼ 2-3 eV 105.7 MeV < 0.19 MeV 1776.84 MeV < 18.2 MeV

Tabla 2.1: Propiedades de los leptones.

2.1.1.

Antipart´ıculas

La teor´ıa especial de la relatividad implica que por cada lept´on ℓ con n´ umero lept´onico ¯ Lℓ = 1 y carga el´ectrica Qℓ = −1 debe existir un antilept´on ℓ con n´ umero lept´onico Lℓ¯ = −1 y carga el´ectrica Qℓ¯ = +1. Si el lept´on es neutro el antilept´on s´olo difiere en el n´ umero lept´onico. Part´ıculas y antipart´ıculas pueden crearse y aniquilarse conservando la carga el´ectrica, la energ´ıa y el n´ umero lept´onico. El concepto de antipart´ıcula surge naturalmente en relatividad especial a partir de la relaci´on entre energ´ıa y momento para una part´ıcula libre: E = ±(m20 c4 + c2 p2 )1/2 ,

(2.1)

donde m0 es la masa en reposo y p es el m´odulo del vector momento. En 1927 Dirac formul´o una ecuaci´on de onda relativista para describir la propagaci´on de electrones libres cuya soluci´on inclu´ıa estos estados de energ´ıa negativa. Dirac sugiri´o que los niveles de energ´ıa negativos no est´an vac´ıos, sino que est´an poblados por un “mar” de electrones y por ello los electrones con E > 0 no pueden ocuparlos. Cuando en una interacci´on un electr´on del mar de Dirac recibe energ´ıa, puede pasar a los niveles de energ´ıa positiva libres. El espacio vac´ıo que deja en el mar de Dirac se manifiesta como un positr´on (antipart´ıcula del electr´on). Las Figuras 2.2 y 2.3 muestran una representaci´on esquem´atica de esta situaci´on. Posteriormente St¨ uckelberg en 1941 y Feynman en 1948 formularon la interpretaci´on moderna de las soluciones de la ecuaci´on de Dirac. Mientras que las soluciones con energ´ıa positiva representan estados de las part´ıculas (por ejemplo electrones), las soluciones con energ´ıa negativa representan estados de energ´ıa positiva de las correspondientes antip´articulas (por ejemplo positrones).

2.1.2.

Interacciones

Consideremos una reacci´on permitida (que conserve todos los n´ umeros cu´anticos necesarios)

2.1 Leptones

25

Figura 2.2: Electrones ocupando el llamado “mar de Dirac”, estados con energ´ıa negativa.

Figura 2.3: a) Si un electr´on que ocupa un estado de energ´ıa negativa recibe suficiente energ´ıa puede pasar a ocupar un estado con energ´ıa positiva. El “agujero” que queda en el mar de Dirac se manifiesta como un positr´on. b) Un electr´on con energ´ıa positiva emite un fot´on y pasa a formar parte del mar de Dirac llenando un agujero.

A + B → C + D.

(2.2)

Entonces cualquier reacci´on donde una de las part´ıculas pase al otro lado como su antipart´ıcula tambi´en est´a permitida, por ejemplo ¯ +C +D A→B ¯ + D. A + C¯ → B La reacci´on inversa tambi´en est´a permitida, C + D → A + B.

(2.3)

26

Part´ıculas elementales

Sin embargo, hay que tener en cuenta que algunas de estas reacciones pueden no ocurrir ya que no se conserva la energ´ıa. Se dice entonces que est´an cinem´aticamente prohibidas. Por ejemplo, si la masa de A es menor que la de la suma de B, C y D la primera de las reacciones de la Ec. 2.3 no es posible. De la misma forma, si A y C son menos pesadas que B y D la segunda de las reacciones no podr´a ocurrir hasta que la energ´ıa cin´etica inicial no supere cierto valor umbral. Consideremos ahora algunos decaimientos t´ıpicos que involucran leptones. Para que sean posibles tanto la carga como el n´ umero lept´onico deben conservarse. El mu´on puede decaer en un electr´on y dos neutrinos, µ−

−→ e−

carga → Qµ = −1 nro. lept´onico → Lµ = 1

+ νµ

Qe = −1 Le = 1

+ ν¯e

Qν = 0 Lµ = 1

Qν = 0 Le = −1.

(2.4)

La siguiente reacci´on, sin embargo, no se observa, ya que aunque se conserva la carga no se conserva el n´ umero lept´onico: µ−

−→ e−

carga → Qµ = −1 nro. lept´onico → Lµ = 1

+ γ

Qe = −1 Le = 1

Qγ = 0 Lγ = 0.

(2.5)

Otras dos reacciones permitidas importantes son el decaimiento β del neutr´on, + e−

−→ p

n carga → Qn = 0 nro. lept´onico → Le = 0

+ ν¯e

Qe = −1 Le = 1

Qp = 1 Le = 0

Qν¯ = 0 Le = −1

(2.6)

y sus versiones “cruzadas”, el decaimiento β inverso, n carga → Qn = 0 nro. lept´onico → Le = 0 p carga → Qp = 1 nro. lept´onico → Le = 0

−→ p

+ νe Qν = 0 Le = 1

+ ν¯e Qν = 0 Le = −1

Qp = 1 Le = 0

−→ n Qn = 0 Le = 0

+ e− Qe = −1 Le = 1

(2.7)

+ e+ Qe = 1 Le = −1.

(2.8)

2.2 Hadrones

27

Otra reacci´on cruzada posible de 2.6 es la conversi´on de un prot´on en un neutr´on: −→ n

p carga → Qp = 1 nro. lept´onico → Le = 0

+ e+

Qn = 0 Le = 0

Qe = 1 Le = −1

+ νe Qν = 0 Le = 1.

(2.9)

Para protones libres esta reacci´on cinem´aticamente prohibida porque la masa del neutr´on es mayor que la del prot´on. Es posible, sin embargo, dentro del n´ ucleo at´omico. De acuerdo con la energ´ıa de un par e± pueden ocurrir las siguientes reacciones:

e− + e+ −→ γ + γ e− + e+ −→ µ+ + µ− e− + e+ −→ τ − + τ + .

(2.10)

El n´ umero lept´onico y la carga se conservan en todas ellas.

2.2.

Hadrones

Los quarks se combinan para formar part´ıculas no elementales llamadas hadrones. Tres quarks forman un bari´ on, tres antiquarks forman un antibari´ on y un quark con un antiquark forman un mes´ on.  (qqq)  Bariones q q¯q¯) Hadrones Antibariones (¯  Mesones (q q¯)

El prot´on y el neutr´on, llamados nucleones, son ejemplos de bariones. El prot´on est´a formado por dos quarks u y un quark d, y el neutr´on por dos quarks d y un quark u:

Prot´on Neutr´on

p ≡ uud n ≡ udd

(2.11)

Todos los bariones, excepto el prot´on, son inestables y decaen. El prot´on es el bari´on m´as ligero y es estable. Como el prot´on tiene carga el´ectrica Qp = +1 y el neutr´on Qn = 0, de lo anterior se deduce que los quarks tienen carga el´ectrica fraccionaria. En particular

28

Part´ıculas elementales

Qu = +

1 Qd = − . 3

2 3

(2.12)

La fuerza d´ebil no puede cambiar un quark en un lept´on. De aqu´ı que los quarks tengan su propio n´ umero llamado n´ umero bari´ onico. Vale 1/3 para los quarks y 0 para los leptones. El n´ umero bari´onico se conserva en todas las interacciones. Los antiquarks tienen carga y n´ umero bari´onico opuesto a los quarks. La propiedad de los quarks que permite diferenciarlos es el sabor. Existen 6 diferentes “cargas” de sabor: U (up), D (down), C (charm), S (strangeness), T (top ´o truth) y B (bottom ´o beauty). Los antiquarks tienen sabor opuesto. As´ı como los leptones, los quarks tambi´en pueden dividirse en tres generaciones. En la Tabla 2.2 se explicitan las tres generaciones y los valores de carga el´ectrica, masa y carga de sabor para todos los quarks. D

U

S

C

B

T

mc2

d

-1/3 -1

0

0

0

0

0

3.5 - 6.0 MeV

u

2/3

0

1

0

0

0

0

1.5 - 3.3 MeV

s

-1/3

0

0

-1

0

0

0

104+26 −34 MeV

c

2/3

0

0

0

1

0

0

1.27+0.07 −0.11 GeV

b

-1/3

0

0

0

0

-1

0

4.20+0.17 −0.07 GeV

t

2/3

0

0

0

0

0

1

171.2 ± 2.1 GeV

quark Generaci´on 1 Generaci´on 2 Generaci´on 3

Q

Tabla 2.2: Propiedades de los quarks. Como es imposible aislar un quark sus masas no pueden determinarse en forma directa, sino que deben deducirse a partir de las masas de las part´ıculas que forman. Combinando los tres quarks m´as ligeros se pueden formar distintos bariones. El llamado octeto bari´ onico est´a formado por las siguientes part´ıculas (se indican la extra˜ neza y entre par´entesis las masas en GeV): Nucleones p ≡ uud n ≡ udd S = 0 (0.938) (0.940)

(2.13)

Sigma Σ+ ≡ uus Σ0 , Λ ≡ uds Σ− ≡ dds S = −1 (1.189) (1.192) (1.197)

(2.14)

Xi Ξ0 ≡ uss Ξ− ≡ dss S = −2 (1.314) (1.321)

(2.15)

A cualquier hadr´on que tenga extra˜ neza no nula se le llama part´ıcula extra˜ na.

2.2 Hadrones

29

Los quarks dentro de los bariones tienen una variedad de niveles energ´eticos, por lo que los estados excitados dan lugar a part´ıculas m´as pesadas llamadas resonancias. Las m´as conocidas son las part´ıculas ∆, de extra˜ neza S = 0:

∆− ≡ ddd ∆0 ≡ uud ∆+ ≡ uud ∆++ ≡ uuu (1.23) (1.23) (1.23) (1.23)

(2.16)

Las part´ıculas Σ∗ son resonancias m´as pesadas: Σ∗+ ≡ dds Σ∗0 ≡ uds Σ∗− ≡ uus (1.383) (1.384) (1.387)

(2.17)

Todas ellas son de extra˜ neza S = −1. Las resonancias con S = −2 son las part´ıculas Ξ∗ : Ξ∗0 ≡ uss Ξ∗− ≡ dss (1.531) (1.535)

(2.18)

Finalmente, es posible formar un bari´on s´olo con quarks extra˜ nos, la part´ıcula Ω− de extra˜ neza S = −3: Ω− ≡ sss (1.67)

(2.19)

Estas diez part´ıculas forman el llamado decuplete bari´ onico. Los mesones son hadrones hechos de un quark y un antiquark. Estos no tienen porque ser del mismo sabor. Los mesones que se pueden formar con los tres quarks m´as ligeros son: Pi´ on π − ≡ d¯ u π 0 ≡ u¯ u π + ≡ ud¯ S = 0 (0.14) (0.135) (0.140)

(2.20)

Eta η ≡ dd¯ η ′ ≡ s¯ s S=0 (0.547) (0.958)

(2.21)

Ka´ on K 0 ≡ d¯ s K + ≡ u¯ s (0.498) (0.494)

S=1

¯ 0 ≡ sd¯ S = −1 K − ≡ s¯ u K (0.494) (0.498) Este es el llamado noneto mes´ onico.

(2.22)

30

2.3.

Part´ıculas elementales

Interacciones entre part´ıculas

Dos part´ıculas interaccionan cuando se acercan lo suficiente como para que las fuerzas fundamentales puedan actuar modificando su estado. La interacci´on puede tener dos resultados: 1. La trayectoria de las part´ıculas en el espacio-tiempo se modifica. 2. Las part´ıculas pueden cambiar o nuevas part´ıculas pueden aparecer. Lo que resulta de la interacci´on queda completamente determinado por las condiciones iniciales, las fuerzas fundamentales y las leyes de conservaci´on. Cuanto m´as energ´eticas sean las part´ıculas, mayor ser´a el rango de posibilidades para la actuaci´on de las diferentes fuerzas. Todas las interacciones deben conservar la energ´ıa, el momento y la carga el´ectrica. Las interacciones que involucran hadrones conservan el n´ umero bari´onico y las que involucran leptones el n´ umero lept´onico. Estrictamente hablando, el sabor no se conserva ya que la fuerza d´ebil puede cambiarlo. Sin embargo, en reacciones puramente hadr´onicas es u ´til asumir conservaci´on de la extra˜ neza S. La reacci´on m´as simple es p + p −→ p + p.

(2.23)

Cuando se incrementa la energ´ıa son posibles nuevos canales:

p + p −→ p + p + π 0 p + p −→ p + p + π + + π − .

(2.24)

Analicemos la primera de estas reacciones en t´erminos de quarks:

p + p −→ p + p + π 0           u u u u  u  +  u  −→  u  +  u  + u . u¯ d d d d

(2.25)

Parte de la energ´ıa fue usada para crear un par quark-antiquark. Observar que tanto la carga como el n´ umero bari´onico se conservan.

2.3 Interacciones entre part´ıculas

31

Al aumentar la energ´ıa de los protones incidentes, puede aumentar la multiplicidad de los piones producidos. En general: p + p −→ p + p + aπ 0 + b (π + + π − )

a, b ∈ N0 .

(2.26)

Si aumenta a´ un m´as la energ´ıa pueden aparecer part´ıculas extra˜ nas:

p + p −→ p + Σ+ + K 0 ¯ 0. p + p −→ p + n + K + + K

(2.27)

La fuerza fuerte entre quarks es tal que a mayor separaci´on se hace m´as fuerte la interacci´on. Esto significa que la densidad de energ´ıa en el campo fuerte aumenta cuando se hace trabajo para separar las cargas. Si se contin´ ua aplicando fuerza para separar las part´ıculas la densidad de energ´ıa del campo puede superar el umbral de creaci´on de un par part´ıcula-antipart´ıcula. El proceso se esquematiza en las Figuras 2.4 y 2.5.

Figura 2.4: Creaci´on de mesones por separaci´on de quarks. As´ı, por ejemplo, en la interacci´on de protones el trabajo realizado durante la colisi´on sobre un quark incrementa la energ´ıa del campo fuerte materializando un mes´on. Esto puede verse gr´aficamente en la Figura 2.6. La fuerza fuerte no puede extenderse sobre grandes distancias precisamente porque su intensidad se incrementa con la distancia. Si se da energ´ıa a los quarks el campo fuerte produce pares de part´ıculas (quarks-antiquarks). Por esta raz´on nunca puede hallarse un quark aislado. Las diferentes cargas que dan lugar a las fuerzas elementales producen campos en el espacio-tiempo. Las perturbaciones de estos campos son discretas y forman las llamadas part´ıculas de interacci´ on o mensajeras.

32

Part´ıculas elementales

Figura 2.5: Creaci´on de mesones por separaci´on de quarks. Cuando el quark c se separa ¯ En lugar de conseguir entonces dos quarks separados se del c¯ se crea un par de quarks dd. crean dos mesones.

El cuanto de interacci´on del campo electromagn´etico es el fot´ on. El fot´on, a diferencia de las part´ıculas cargadas que producen el campo, no tiene carga el´ectrica. El cuanto de interacci´on del campo fuerte es el glu´ on. El glu´on s´ı es portador de carga fuerte, por lo que experimenta la fuerza fuerte. Las perturbaciones del campo d´ebil son los bosones masivos W ± . Estos tienen carga el´ectrica. Adem´as hay un bos´ on neutro, el Z 0 , que se manifiesta en condiciones de unificaci´on con el electromagnetismo. Finalmente, el cuanto de interacci´on del campo gravitatorio es el gravit´ on. El gravit´on siente los efectos del campo gravitatorio. Es una part´ıcula sin carga el´ectrica ni masa en reposo.

2.4.

Decaimiento de part´ıculas

Un decaimiento es el proceso por el cual la energ´ıa de una part´ıcula aislada se transforma en un cierto n´ umero de part´ıculas con menor energ´ıa. Un decaimiento tambi´en puede ocurrir cuando una part´ıcula pasa a un nivel de energ´ıa menor, como cuando un ´atomo se desexcita emitiendo un fot´on al pasar un electr´on a un nivel de menor energ´ıa. Hay varios tipos de decaimiento, que se describen a continuaci´on.

2.4.1.

Decaimiento electromagn´ etico

Dos hadrones pueden estar hechos de los mismos quarks pero en distintos niveles de energ´ıa. El decaimiento se produce por la emisi´on de ese exceso de energ´ıa a trav´es de un fot´on. En estos decaimientos no hay creaci´on de quarks. Un ejemplo es el decaimiento de la part´ıcula Σ0 en una part´ıcula Λ:

2.4 Decaimiento de part´ıculas

33

p

p u u u

u u d p p

u u u d

u u u d p

p v

u u d

u u d

u u

π

Figura 2.6: Interacci´on de protones.

Σ0 −→ Λ + γ. uds uds (1.192) (1.115)

(2.28)

Otros decaimientos de este tipo son: ∆+ −→ p + γ,

(2.29)

∆0 −→ n + γ.

(2.30)

34

Part´ıculas elementales

En algunos casos el decaimiento electromagn´etico opera por aniquilaci´on directa de un par quark-antiquark. Por ejemplo: π 0 −→ γ + γ u¯ u

2.4.2.

(2.31)

Decaimientos fuertes

Se trata de decaimientos en los cuales hay creaci´on de quarks. Veamos un ejemplo: ∆+ −→ p + π 0 uud uud u¯ u

(2.32)

Aqu´ı el par u¯ u es creado no por fotones (perturbaciones del campo electromagn´etico) sino por gluones (perturbaciones del campo fuerte). En la Figura 2.7 se muestra una representaci´on gr´afica de este tipo de decaimiento.

∆

+

p u u d

u u d

u Gluon

u

π

0

Figura 2.7: Diagrama de la interacci´on ∆+ −→ p + π 0 Otros ejemplos son: ∆0 ∆++ ∆− Σ∗+ Σ∗+

−→ n −→ p −→ n −→ Σ+ −→ Λ

+ + + + +

π0 π+ π− π0 π+

(2.33)

Todos estos decaimientos ocurren sobre tiempos extremadamente cortos (∼ 10−25 s) en comparaci´on con los decaimientos electromagn´eticos (∼ 10−10 − 10−16 s).

2.4 Decaimiento de part´ıculas

2.4.3.

35

Decaimientos d´ ebiles

Son decaimientos en los cuales hay creaci´on de quarks por bosones W . Cuando un quark s cambia a uno u la diferencia de masa y carga escapa como un W − , como se esquematiza en la Figura 2.8. Cuando un quark u cambia en un d se emite un W + . La energ´ıa de estos bosones W puede ser usada para crear pares quark-antiquark.

s u

W− Figura 2.8: Conversi´on de un quark strange en un quark up por emisi´on de un bos´on W− . Dos ejemplos son las reacciones Σ+ −→ p + π 0

(2.34)

Λ0 −→ p + π − .

(2.35)

y

En la Figura 2.9 se muestra esquematicamente el decaimiento de la part´ıcula Σ+ . Este proceso involucra la transformaci´on de un quark s en un quark u, por lo que es un ejemplo de interacci´on d´ebil entre quarks que pertenecen a generaciones distintas. Los hadrones extra˜ nos que decaen produciendo un prot´on, como el Λ, se suelen llamar hyperiones.

2.4.4.

Decaimiento del neutr´ on

Un neutr´on aislado tiene una masa mayor que la del prot´on y por tanto decae seg´ un la siguiente reacci´on: n −→ 0 1 0

= = =

p

+

e

+

ν¯e

+1 + −1 + 0 → carga 1 + 0 + 0 → n´ umero bari´onico 0 + 1 + −1 → n´ umero lept´onico

(2.36)

36

Part´ıculas elementales

Σ

+

p u u d

u s u

W−

u π

u

0

Figura 2.9: Diagrama del decaimiento Σ+ −→ p + π 0 En t´erminos de quarks este decaimiento puede interpretarse como se muestra en la Figura 2.10. Este es un tipo de decaimiento d´ebil en el que se producen leptones. La vida media del neutr´on aislado es de τn = (886 ± 1) s en el sistema de referencia propio.

n

p

u d d

u d u W+ e−

νe Figura 2.10: Diagrama del decaimiento n −→ p + e + ν¯e .

2.4.5.

Decaimiento de mesones

Como hemos visto, los π 0 decaen electromagneticamente. En el caso de los piones cargados π ± la conservaci´on de la carga electromagn´etica y el sabor impiden que estas part´ıculas decaigan en forma electromagn´etica o fuerte. El decaimiento de los piones cargados

2.5 Propiedades intr´ınsecas de las part´ıculas: el spin

π − −→ µ− + ν¯µ

37

π + −→ µ+ + νµ ,

(2.37)

procede a trav´es de los bosones W , como se muestra en la Figura 2.11. π u

−

µ

W−

−

νµ

d

Figura 2.11: Diagrama del decaimiento π − −→ µ− + ν¯µ .

2.4.6.

Decaimiento de leptones

El mu´on y el tau decaen en leptones de generaci´on m´as liviana con la emisi´on de un W − (ver Figuras 2.12 y 2.13): µ− −→ e− + νµ + ν¯e ,

(2.38)

τ − −→ µ− + ντ + ν¯µ .

(2.39)

νµ

µ

−

e− W− νe

Figura 2.12: Diagrama del decaimiento µ− −→ e− + νµ + ν¯e .

2.5.

Propiedades intr´ınsecas de las part´ıculas: el spin

El spin es una propiedad cu´antica que poseen todas las part´ıculas. El spin se mide en m´ ultiplos de ~ = h/2π, donde h es la constante de Planck. Las part´ıculas materiales, tanto

38

Part´ıculas elementales ντ

τ

µ

−

−

W− ν

µ

Figura 2.13: Diagrama del decaimiento τ − −→ µ− + ντ + ν¯µ . los quarks como los leptones, tienen spin ~/2. Por otra parte, el spin de todas las part´ıculas que son perturbaciones en los campos creados por las part´ıculas materiales es un m´ ultiplo ± 0 entero de ~: los fotones, gluones y bosones W y Z tienen spin ~, y los gravitones 2~. Las part´ıculas con spin semientero se llaman fermiones y obedecen al principio de exclusi´on de Pauli: dos fermiones no pueden ocupar el mismo estado cu´antico. Las part´ıculas con spin entero se llaman bosones y no obedecen a este principio.

2.6.

Colores y QCD

Como ya hemos mencionado, los quarks sienten la fuerza fuerte mientras que los leptones no. Hay entonces una propiedad de los quarks que los leptones no poseen. El n´ umero bari´onico no es suficiente porque no explica la raz´on de que los quarks s´olo aparezcan en combinaciones de la forma qqq, q¯q¯q¯ y q q¯. Esto se puede explicar introduciendo una carga para la fuerza fuerte: el color. Hay tres tipos de carga de color: rojo (r), verde (g) y azul (b). Para ser estable un hadr´on necesita no tener color neto (ser “blanco”). Esto se logra con cualquier combinaci´on que incluya los tres colores o un color y su anticolor. Por ejemplo, un prot´on puede ser p ≡ ur ub dg o p ≡ ur ug db . Los antiquarks tienen anticolor, por lo que, por ejemplo, π + ≡ ur d¯r¯, π 0 ≡ ubu¯¯b , etc.

Aunque la fuerza fuerte entre quarks no puede describrirse en t´erminos cl´asicos, se la suele representar en t´erminos aproximados a trav´es del siguiente potencial: V (color) = −

4 αs + kr. 3 r

donde r es la separaci´on entre los quarks, αs ∼ 1 J m y k = 1.36 × 105 J m−1 .

(2.40)

A diferencia del fot´on, que no tiene carga y no interacciona electromagn´eticamente, el glu´on tiene color y por tanto siente la fuerza fuerte. Esto hace que los gluones formen tubos de flujo, con los efectos que hemos visto antes (formaci´on de pares quark-antiquark y de aqu´ı mesones).

2.6 Colores y QCD

39

Como se muestra en el ejemplo de la Figura 2.14, en una interacci´on fuerte un quark puede cambiar su color (pero no su sabor). Como el color (al igual que la carga el´ectrica) debe conservarse, la “diferencia” de color debe llev´arsela un glu´on. Los gluones tienen entonces dos colores, un color y un anticolor. ur g(b, r¯)

ub

Figura 2.14: Ejemplo de un proceso q → q + g en el que cambia el color pero no el sabor de un quark.

40

Part´ıculas elementales

Cap´ıtulo 3 Aceleraci´ on de part´ıculas Una part´ıcula cargada que se mueve por una regi´on del espacio donde hay campo electromagn´etico experimenta una fuerza dada por: ~ d~p ~ + ~v × B =e E dt c

!

;

(3.1)

~ y B ~ son los campos el´ectrico y donde ~v es la velocidad de la part´ıcula y e su carga. E magn´etico, respectivamente. El segundo t´ermino de la ecuaci´on (3.1) corresponde a la fuerza de Lorentz. Como esta fuerza es el resultado de un producto vectorial, ser´a perpendicular a la velocidad y al campo magn´etico. Al ser perpendicular a la velocidad de la carga, tambi´en lo es a su trayectoria, por lo cual dicha fuerza no realiza trabajo sobre la carga, lo que supone que no hay cambio de energ´ıa cin´etica, o lo que es lo mismo, no cambia el m´odulo de la velocidad. Por lo tanto, la ganancia de energ´ıa ser´a: dE ~ = e~v · E dt d~r ~ = e · ∇V ; (3.2) dt donde V es el potencial escalar. Tomando el caso unidimensional: ∂V dr = e∆V. (3.3) ∆E = e ∂r As´ı, la forma m´as sencilla de acelerar una carga es someterla a una diferencia de potencial. La fuerza de Lorentz, al ser perpendicular a la velocidad, modifica la direcci´on del movimiento de la part´ıcula, manteni´endose constante el m´odulo de la velocidad. Este cambio de direcci´on es debido a que la fuerza act´ ua como fuerza centr´ıpeta, originando un movimiento de rotaci´on de la part´ıcula en el interior del campo magn´etico. Ambas contribuciones en el segundo miembro de la ecuaci´on (3.1) juegan un papel en la aceleraci´on de part´ıculas en ciclotrones y otros aceleradores artificiales.

42

3.1.

Aceleraci´ on de part´ıculas

Aceleradores artificiales

El primer acelerador moderno fue el ciclotr´on de Lawrence, desarrollado en Berkeley, entre 1928 y 1931. Un diagrama de este instrumento se muestra en la Figura 3.1. El instrumento consta de dos regiones semi-circulares donde un campo magn´etico puede deflectar a las part´ıculas cargadas. El radio de giro de las part´ıculas es: rg =

(E/eV) cm, 300 Z (B/G)

(3.4)

donde Z es el n´ umero at´omico. Separando las dos regiones semi-circulares hay una brecha (gap) donde se aplica una diferencia de potencial. Las part´ıculas se inyectan en el gap (por ejemplo, colocando un material radio-activo) y son aceleradas por la diferencia de potencial. Debido a los efectos del campo, las part´ıculas describ´ıan una semi-circunferencia y volv´ıan a cruzar el gap, donde la diferencia de potencial hab´ıa sido invertida durante el tiempo de vuelo. El proceso se repet´ıa una y otra vez, gener´andose m´as y m´as energ´ıa, hasta que el giroradio de la part´ıcula se hac´ıa igual al m´aximo espacio disponible.

Figura 3.1: Esquema de un acelerador ciclotr´on.

El primer ciclotr´on fue muy peque˜ no, ten´ıa un di´ametro de 13 cm y aceleraba protones hasta 80 keV de energ´ıa cin´etica. En los llamados sincro-ciclotrones, el cambio de potencial en el gap se sincroniza con el paso de las part´ıculas. Con esta t´ecnica, en 1946 se logr´o acelerar n´ ucleos de deuterio hasta 195 MeV. A fin de lograr mayores energ´ıas se desarrollaron los sincrotrones. En ´estos las part´ıculas se mueven a lo largo de una trayectoria circular fija y se utilizan campos magn´eticos variables. Las diferencias de potencial se aplican en diferentes tramos del circuito por el cual se mueve el haz de part´ıculas. Se utilizan magnetos cuadrupolares para mantener el haz de part´ıculas bien colimado y magnetos superconductores para desviar el haz y mantenerlo dentro del anillo de circulaci´on. En la Figura 3.2 se muestra una parte del anillo de un sincrotr´on moderno. Las Figuras 3.3 y 3.4 son fotos del acelerador del CERN.

3.1 Aceleradores artificiales

43

Figura 3.2: Esquema del anillo de una acelerador sincrotr´on.

Figura 3.3: Anillo sincrotr´on.

La energ´ıa m´axima que puede obtener una part´ıcula en un acelerador sincrotr´on est´a determinada por: La intensidad m´axima de los campos magn´eticos. El tama˜ no del anillo1 . Las p´erdidas de las part´ıculas (por radiaci´on sincrotr´on). 1

En un acelerador ciclotr´ on, la energ´ıa m´axima est´ a determinada por el radio del instrumento

44

Aceleraci´ on de part´ıculas

Figura 3.4: Imagen del t´ unel con el anillo de circulaci´on del LEP.

El Large Electron-Positron Collider del CERN (LEP) us´o 1312 magnetos de enfoque, 3304 magnetos de deflexi´on y un anillo de 27 km de circunferencia. Los e− y e+ se aceleraban hasta 50 GeV y colisionaban ”de frente”. Otro tipo de aceleradores son los llamados LINACs (por Linear Accelerator ). Estos no sufren de p´erdidas sincrotr´on, y no necesitan de magnetos de deflexi´on. Se suelen usar como inyectores de part´ıculas pre-aceleradas de los aceleradores sincrotr´on. En el caso del Stanford Linear Accelerator Centre (SLAC), un linac se usa en forma directa como acelerador. Su tubo de aceleraci´on tiene 3 km. Los e− y e+ se aceleran all´ı y son deflectados en los extremos para luego colisionar con energ´ıas ∼ 50 GeV. Los principales aceleradores en el mundo son: CERN - LEP Se us´o durante 11 a˜ nos hasta noviembre de 2000. Colision´o e− y e+ hasta energ´ıas de ∼ 180 GeV.

- LHC (Large Hadron Collider): Usa el t´ unel del LEP. Colisiona p y p¯ a 14 TeV.

3.1 Aceleradores artificiales

45

´ Colisiona p y p¯ a 1.8 TeV. FERMILAB (Chicago): TEVATRON: HERA (Hamburgo): Colisiona p de 820 GeV con e− de 267 GeV. SLAC (Stanford): - SLC: Colisiona e+ con e− a 100 GeV. - PRP: Es un anillo que colisiona e− y e+ a 30 GeV.

Un elemento esencial de todo experimento con aceleradores de part´ıculas, independientemente de la forma del acelerador y del hecho de que se colisionen haces de part´ıculas entre s´ı o con blancos fijos, lo constituyen los DETECTORES. Estos pueden ser de muchos tipos, pero esencialmente todos se basan en el proceso de ionizaci´on. La forma en la cual los iones que se forman son usados para rastrear el movimiento de las part´ıculas viene dado por el tipo espec´ıfico de detector. Los detectores actuales est´an basados en semiconductores de silicio que permiten reconstruir el movimiento de las part´ıculas a trav´es de las corrientes generadas. Estos dispositivos permiten una digitalizaci´on inmediata y una reconstrucci´on tridimensional de la trayectoria de la part´ıcula. Para determinar la energ´ıa de las part´ıculas se utilizan calor´ımetros. Los hay electromagn´eticos y hadr´onicos. B´asicamente, determinan la energ´ıa a trav´es de la profundidad hasta la que se desarrolla la lluvia de part´ıculas desencadenada por la part´ıcula incidente. En la Figura 3.5 se muestra un esquema de un detector.

Figura 3.5: Esquema de un detector DELPHI (LEP).

46

3.2.

Aceleraci´ on de part´ıculas

Rayos c´ osmicos

Los rayos c´osmicos fueron descubiertos por Victor Hess en 1912. Se trata de part´ıculas energ´eticas que llegan a la Tierra desde el espacio exterior (fuera de la atm´osfera). Las part´ıculas primarias que forman los rayos c´osmicos son protones (86 %), part´ıculas α (11 %), electrones (2 %) y n´ ucleos m´as pesados (1 %). Hay, adem´as, peque˜ nas proporciones de positrones y antiprotones, que se creen de origen secundario (esto es, debido a interacciones de los rayos c´osmicos primarios con el medio interestelar). El espectro en energ´ıa de los rayos c´osmicos va desde energ´ıas del orden de 106 eV (rango dominado por contribuciones locales del sistema solar) hasta energ´ıas por encima de 1020 eV. En el rango m´as alto de energ´ıa la composici´on de los rayos c´osmicos es desconocida. A energ´ıas ∼ 1011−12 eV el flujo de rayos c´osmicos en la Tierra es de ∼ 1 part´ıcula por m por segundo. A energ´ıas ∼ 1015−16 eV, donde el espectro cambia de N(E) ∝ E −2.7 a N(E) ∝ E −3 , el flujo es de una part´ıcula por m2 y por a˜ no. A energ´ıas muy altas, arriba 18 de 10 eV, donde el espectro parece volver a endurecerse, el flujo es de ∼ 1 part´ıcula por km2 y por a˜ no. En la Figura 3.6 se muestra el espectro observado de rayos c´osmicos. 2

Figura 3.6: Espectro observado de rayos c´osmicos. Entre unos pocos GeV y la llamada rodilla (knee) del espectro, a unos 1014−15 eV, el

3.2 Rayos c´ osmicos

47

espectro est´a bien descripto por: N(E)dE ∝ E −2.7 dE.

(3.5)

Arriba de energ´ıas ∼ 30 GeV, donde los efectos de modulaci´on de los campos magn´eticos solar y terrestre dejan de ser importantes, la radiaci´on c´osmica parece ser completamente isotr´ opica. Esto es de esperar ya que, independientemente de la naturaleza de las fuentes, el campo magn´etico gal´actico destruye la anisotrop´ıa de part´ıculas cargadas. S´olo en el caso de las energ´ıas m´as altas, efectos anisotr´opicos pueden permanecer para fuentes cercanas. Las part´ıculas m´as energ´eticas, sin embargo, deben ser extragal´acticas, ya que su giroradio no puede ser contenido en la Galaxia. Los efectos de los campos magn´eticos hacen que una astronom´ıa gal´actica de rayos c´osmicos sea imposible, ya que las part´ıculas detectadas no guardan memoria de las fuentes. S´olo en el caso de fuentes extragal´acticas cercanas y para part´ıculas con energ´ıas por arriba de 1019 eV tal astronom´ıa es factible. La densidad de energ´ıa de rayos c´osmicos lejos de la influencia solar es: ωRC ∼ 1

eV . cm3

(3.6)

Esta densidad es comparable a la de la luz estelar (∼ 0.6 eV/cm3 ), a la del fondo c´osmico de radiaci´on (CMB, ∼ 0.26 eV/cm3 ) y a la del campo magn´etico gal´actico (∼ 0.25 eV/cm3 , para B ∼ 3 µG).

En base a la densidad medida de rayos c´osmicos podemos calcular la potencia inyectada por los mismos en la Galaxia. Consideremos que ´esta es un disco de radio RG = 15 Kpc y espesor hG = 200 pc. Su volumen ser´a: 2 VG = π RG hG ∼ 4 × 1066

cm3 .

(3.7)

El tiempo de residencia de los rayos c´osmicos en el disco vendr´a determinado por la escala temporal de difusi´on de las part´ıculas (ver Cap´ıtulo 7): 3r 2 (3.8) D donde r es la distancia a recorrer por las part´ıculas y D es el coeficiente de difusi´on. Para el caso de la Galaxia, r = hG y resulta D ∼ 1028 cm2 s−1 . Luego: td ∼

VG ωRC 4.1 × 1066 cm3 10−12 erg cm−3 ∼ td 1014 s ∼ ∼ 4.1 × 1040 erg s−1 .

WRC =

(3.9)

Esta es la potencia total de de los rayos c´osmicos en la Galaxia. Cualquier acelerador o conjunto de aceleradores que los produzca debe satisfacer este presupuesto energ´etico. A fin de buscar posibles aceleradores gal´acticos de rayos c´osmicos, podr´ıamos comenzar pregunt´andonos si hay sistemas astrof´ısicos capaces de generar grandes diferencias de potencial que permitan acelerar en forma electrost´atica part´ıculas cargadas.

48

3.2.1.

Aceleraci´ on de part´ıculas

Pulsares

Los pulsares son sistemas que aceleran part´ıculas electrost´aticamente. Se trata de estrellas colapsadas donde la presi´on de la gravedad es sostenida por la presi´on de degeneraci´on de los nucleones. El tama˜ no t´ıpico de estas estrellas es R∗ = 106 cm y su masa M∗ = 1.4M⊙ . Esto hace que su densidad sea: 1.4 × 1.99 × 1033 g M∗ ∼ (4/3)πR∗3 (4/3)π1018 cm3 g ∼ ∼ 6.6 × 1014 . cm3

ρEN ∼

(3.10)

Al colapsar, las estrellas arrastran su campo magn´etico, por lo que las estrellas de neutrones resultantes est´an magnetizadas y en rotaci´on r´apida (debido a la conservaci´on del momento angular). El campo magn´etico resultante es, en primera aproximaci´on, dipolar. ulsar. En la Figura 3.7 se muestra un esquema de un p´ El campo magn´etico superficial t´ıpico es B ≈ 1012 G. A una distancia   c P 9 RL = ∼ 4.8 × 10 cm, Ω 1s

(3.11)

donde P = 2π/Ω es el per´ıodo de rotaci´on y Ω es la velocidad angular, las l´ıneas de campo magn´etico dipolar deber´ıan moverse m´as r´apido que la luz (y con ellas las part´ıculas que por ellas se muevan). De aqu´ı que a partir de RL las l´ıneas se abren cerr´andose ”en el infinito”. En otras palabras, las part´ıculas que se muevan sobre estas l´ıneas pueden escapar del sistema. Si una esfera magnetizada rota, las cargas sobre ella experimentar´an una fuerza de Lorentz:  e ~ ~ Ω × ~r × B. (3.12) F~ = c Esto har´a que las cargas se separen, originando un campo el´ectrico  1 ~ ~ ~ E = − Ω × ~r × B. c

(3.13)

~ La rotaci´on de la esfera separa la carga y ´esta no se modifica a menos que cambie Ω. Por lo tanto, el potencial el´ectrico es est´atico. El potencial electrost´atico generado en la superficie (r = R∗ ) ser´a: ΩBR∗2 (3.14) V ∼ ER∗ = c    −1  R∗ P B 16 V (3.15) V ∼ 6 × 10 12 6 10 G 10 cm 1s

3.2 Rayos c´ osmicos

49

Figura 3.7: Esquema de un p´ ulsar.

Vemos, pues, que part´ıculas arrancadas de la superficie y que se mueven por las l´ıneas de campo pueden ser aceleradas hasta grandes energ´ıas.

Sin embargo, como las part´ıculas que escapan del sistema lo hacen a trav´es de las l´ıneas abiertas, el flujo generado quedara determinado por r = a, donde a es el radio donde se originan las l´ıneas abiertas (ver Figura 3.8). Como las l´ıneas de un dipolo quedan definidas

50

Aceleraci´ on de part´ıculas

B

µ θ

a R

*

RL

Figura 3.8: Esquema de un p´ ulsar donde se muestran el radio a y la localizaci´on del radio de luz RL .

por sen2 (θ)/r = cte tenemos que a ≃ R∗ sen(θ0 ). Luego,

sin2 (θ0 ) Ω ≃ R∗ c 1/2  1/2  R∗ ΩR∗ = , sin(θ0 ) ≃ c RL

(3.16)

Por tanto, 

1/2 R∗3 a ≃ RL r R∗3 Ω . a ≃ c

(3.17)

Finalmente, V V

ΩBa2 Ω2 BR∗3 = c c2  3  −2  R∗ P B 13 ≈ 10 12 6 10 G 10 cm 1s =

V.

(3.18)

3.2 Rayos c´ osmicos

51

Vemos, pues, que los pulsares pueden acelerar part´ıculas hasta energ´ıas ∼ 1013 eV = 10 TeV. Si el p´ ulsar es muy r´apido, Emax ∼ 1015−16 eV. El l´ımite efectivo es seguramente menor que esta cantidad ya que las part´ıculas sufrir´an p´erdidas radiativas durante el proceso de aceleraci´on. ¿Pueden los pulsares contribuir al grueso de los rayos c´osmicos en la Galaxia? Para responder necesitamos saber: 1) Cuantos pulsares con per´ıodos P < 1 s hay en la Galaxia. 2) Cuanta energ´ıa en part´ıculas relativistas deposita un pulsar en el medio interestelar. 1) La tasa de nacimiento de pulsares es de aproximadamente 1 cada 80 a˜ nos. Como el campo magn´etico decae con el tiempo, la vida media de ellos es ∼ 10 Myr. Entonces: N∼

107 ∼ 105 pulsares. 80

(3.19)

2) La radiaci´on emitida por el p´ ulsar es: B 2 Ω4 R∗6 ˙ = IΩΩ, E˙ ∼ c3  2  −4 B P 31 ∼ 6 × 10 erg s−1 . 12 10 G 1s

(3.20) (3.21)

donde I es el momento de inercia2 . Una parte de esta radiaci´on escapa como flujo de Poynting y otra parte como un viento de part´ıculas. Se estima que la raz´on del flujo de Poynting al flujo de energ´ıa en part´ıculas es:   3  −2 B R∗ P σ ∼ 10 . (3.22) 12 6 10 G 10 cm 1s Para P = 0.1 s tenemos σ ∼ 1000 y por lo tanto WRC ∼ Si hay 105 pulsares:

E˙ 10000 ≈ 6 × 1031 erg s−1 × ∼ 6 × 1032 erg s−1 . σ 1000 pulsares WRC ∼ 6 × 1037 erg s−1 .

(3.23)

(3.24)

Esto es mucho menor que el valor necesario para explicar el origen de los rayos c´osmicos gal´acticos. Necesitamos encontrar otra fuente astrof´ısica.

3.2.2.

Remanentes de supernova

Cuando ocurre una explosi´on de supernova (SN) el material que formaba la estrella es eyectado y el medio interestelar es perturbado en la regi´on donde ocurri´o la explosi´on. 2

E = 12 IΩ2 → E˙ = IΩΩ˙

52

Aceleraci´ on de part´ıculas

Una explosi´on de supernova t´ıpica libera una energ´ıa E ∼ 1051 erg. Esto se produce en una escala temporal muy corta, mucho m´as corta que cualquier otra escala temporal involucrada. La velocidad de la materia eyectada por la explosi´on, veyec , se relaciona con la energ´ıa a trav´es de la expresi´on  1/2  −1/2 E M 4 veyec ≈ 10 km s−1 1051 erg M⊙ 1/2  −1/2  M E −2 pc yr−1 (3.25) ≈ 10 1051 erg M⊙ Como la velocidad del material eyectado es mayor que la velocidad del sonido en el medio, se forma una onda de choque, i.e. una discontinuidad en el gas que se mueve hacia afuera del sitio de la explosi´on, viajando delante de la superficie de separaci´on entre el medio interestelar y el material eyectado. Si la velocidad de la onda de choque es Vs y la velocidad del sonido en el medio es Cs , el n´ umero de Mach se define como M ≡ Vs /Cs .

El medio interestelar puede modelarse a trav´es de una ecuaci´on de estado politr´opica tal que P V γ = cte; T V γ−1 = cte; T P (1−γ)/γ = cte, (3.26)

donde γ = CP /CV es el ´ındice adiab´atico del gas. Los calores espec´ıficos a presi´on y volumen constante son           dQ ∂V ∂V dQ ∂V CP = = +P y CV = = , (3.27) dT P ∂T P ∂T P dT V ∂T V respectivamente. Para una gas monoat´omico γ = 5/3. En el caso de una onda de choque fuerte que se propaga por el medio interestelar con un n´ umero de Mach M1 ≫ 1, la relaci´on entre las densidades a ambos lados del frente de choque es: ρ2 γ+1 ξ= = ; (3.28) ρ1 γ −1 donde los sub´ındices 1 y 2 designan a las propiedades del medio no chocado y chocado, respectivamente. Para una gas monoat´omico γ = 5/3 y ρ2 = 4. (3.29) =⇒ ρ1 La raz´on de temperaturas es:

T2 2γ(γ − 1)M12 = . T1 (γ + 1)2

(3.30)

Para γ = 5/3 se tiene 5 T2 = M12 . (3.31) T1 16 Como M1 puede ser muy grande, la regi´on chocada puede estar muy caliente respecto a la no chocada.

3.2 Rayos c´ osmicos

53

Etapas de un remanente de supernova Debido a que la inyecci´on de energ´ıa de una explosi´on de SN es puntual en el tiempo, la onda de choque producida se diluye a medida que se propaga en el medio interestelar. Durante la propagaci´on, las propiedades del choque van cambiado con el tiempo y es posible dividir la vida de aquel en tres etapas principales cuyas caracter´ısticas se describir´an a continuaci´on. Fase inicial o de expansi´ on libre: En una etapa inicial, luego de la explosi´on de SN, el material eyectado se mueve a una velocidad uniforme: r ∝ t;

(3.32)

donde r es el radio de la onda de choque. Esta fase termina cuando la masa del medio barrido por la onda de choque es igual a la masa eyectada en la explosi´on: 4π 3 ρISM rI,f = Meyect 3 −1/3 1/3 rI,f ∝ ρISM Meyect ,

(3.33)

siendo ρISM la densidad del medio interestelar. En unidades convenientes, rI,f queda: 1/3  −1/3  ρISM Meyect pc. (3.34) rI,f ≃ 2 M⊙ 2 × 10−24 g cm−3 Esta distancia corresponde a un tiempo: 5/6  −1/2  −1/3  rI,f E ρISM Meyect tI,f = ≃ 200 veject M⊙ 1051 erg 2 × 10−24 g cm−3

yr. (3.35)

Fase Sedov o adiab´ atica. La siguiente fase de la evoluci´on del remanente de supernova es la fase de Sedov. En ´esta, la energ´ıa es aproximadamente constante ya que las p´erdidas radiativas se pueden despreciar. La evoluci´on es adiab´atica, es decir,   1 4π 2 E≈ ρISM r 3 veyect ∼ ρISM r 3 r˙ 2 . (3.36) 2 3 Luego, dr −1/2 ∼ ρISM E 1/2 dt −1/2 r 3/2 dr = ρISM E 1/2 dt

r 3/2

−1/2

r 5/2 ∝ ρISM E 1/2 t 1/5  E t2/5 . r ∝ ρISM

(3.37)

54

Aceleraci´ on de part´ıculas

Teniendo en cuenta los coeficientes y unidades apropiadas: 1/5 −1/5   ρISM E 1/5 2/5 t ≃ 0.3 E51 t2/5 rII ≃ yr ρISM 2 × 10−22 g cm−3

pc,

(3.38)

km s−1 .

(3.39)

y

vII = r˙ ≃ 5000



r 2 pc

−3/2

1/2 E51



ρISM 2 × 10−22 g cm−3

−1/2

Asumiendo equipartici´on entre la energ´ıa interna y la cin´etica: 1 3 2 , Ntot kT ∼ Meyec veyec 2 2

(3.40)

donde Ntot = ρISM /mp , obtenemos que la temperatura del material eyectado por la SN y calentado por la onda de choque es T ∝ v 2 ∝ r −3 E51 n−1 H .

(3.41)

En unidades convenientes: 

−3 r T ≃ 6 × 10 E51 n−1 K H 2 pc  −6/5 t 6 2/5 −2/5 ≃ 10 E51 nH 3 × 104 yr 8

K.

(3.42)

Cuando las p´erdidas radiativas empiezan a afectar la din´amica del remanente este sale de la fase de Sedov. Invirtiendo la ecuaci´on para la temperatura obtenemos la edad de la fase de Sedov: −5/6

tSedov ≃ 3 × 104 T6

1/3

−1/3

E51 nH

yr;

(3.43)

donde T6 = T /(106 K). Fase Radiativa. Cuando la escala temporal de enfriamiento radiativo del gas, tcool , se hace menor que tSedov , es decir tcool ≤ tSedov ; se entra en la llamada fase radiativa. 3/2

tcool ≃ 4 × 104

T6 nH

yr.

(3.44)

La condici´on 3.44 se cumple cuando r˙ ≤ 200 km s−1 (E51 n2H )1/14 .

(3.45)

Como la dependencia en E y n es d´ebil, esto ocurre para velocidades v ∼ 200 km s−1 .

(3.46)

3.2 Rayos c´ osmicos

55

En la nueva fase, el interior del remanente est´a formado por gas caliente rodeado por una c´ascara de gas fr´ıo. A medida que la c´ascara avanza va barriendo el medio e incrementando su masa. De aqu´ı que a pesar de ir desaceler´andose, su momento radial permanezca aproximadamente constante:    4π d 3 ρr r˙ ≈ 0. (3.47) dt 3 Si la c´ascara se form´o en t0 con radio r = r0 y velocidad v = v0 , entonces, 4π 3 4π 3 ρr r˙ = ρr v0 3 3 0 1/4  v0 r = r0 1 + 4 (t − t0 ) r0  3/4 v0 r˙ = v0 1 + 4 (t − t0 ) . r0

(3.48)

Para t grande r ∝ t1/4 −3/4

r˙ ∝ t

−1

≃ 200 km s



t 3 × 104 yr

−3/4

.

(3.49)

Cuando t ∼ 105 yr, la velocidad cae a un valor ∼ 10 km s−1 y el remanente comienza a disiparse. Las explosiones de supernova inyectan en el medio interestelar cantidades enormes de energ´ıa, ∼ 1051 erg. Es razonable preguntarnos, entonces, si juegan alg´ un papel en la producci´on de rayos c´osmicos. La tasa de explosiones de supernova es de 1 cada 50 a˜ nos en la Galaxia. La potencia total que inyectan en el medio interestelar es: 1051 erg 50 × 3.15 × 107 s ∼ 6.3 × 1041 erg s−1 .

WSN =

(3.50)

Vemos, pues, que si las supernovas pudieran transformar menos del 10 % de su energ´ıa en rayos c´osmicos, ser´ıan capaces de explicar el origen de ´estos. El hecho de que se observe emisi´on de origen no-t´ermico en remanentes de supernovas implica que en ellos hay part´ıculas relativistas. La detecci´on de rayos X de origen sincrotr´onico indica la presencia de electrones con energ´ıas por arriba del TeV y la detecci´on de radiaci´on gamma podr´ıa se˜ nalar la presencia de hadrones con energ´ıas similares. El mecanismo que acelera estas part´ıculas parecer´ıa ser difusivo (lo que lleva facilmente a una ley de potencia).

56

3.3.

Aceleraci´ on de part´ıculas

Mecanismo de aceleraci´ on difusivo

Consideremos la siguiente situaci´on: arrojamos una pelota perfectamente el´astica contra un muro. Si la velocidad de la pelota es −V en el sistema de referencia del laboratorio, rebotar´a con velocidad +V , como se muestra en la Figura 3.9.

−V (1) (2)

+V

muro Figura 3.9: Colisi´on el´astica de una part´ıcula con una pared fija.

Si ahora la pared se mueve con una velocidad ~u, luego del choque la velocidad de la ~ + 2~u (la velocidad no cambia en el sistema de referencia de la pared), como pelota ser´a V puede verse en la Figura 3.10.

−V

V + 2u

(1)

u

muro

(2)

u

muro

Figura 3.10: Colisi´on el´astica de una part´ıcula con una pared en movimiento. Se muestra la velocidad de la part´ıcula antes (izquierda) y despu´es (derecha) de la colisi´on.

Si en vez de una tenemos 2 paredes, cada una movi´endose hacia la otra, la part´ıcula ganar´a velocidad con cada choque hasta que: 1) las paredes se detengan o 2) la pelota se

3.3 Mecanismo de aceleraci´ on difusivo

57

haga tan energ´etica que atraviese una de las paredes. Se dice que la pared se ha hecho “transparente” a la pelota. Reemplacemos ahora las paredes por nubes en movimiento y con turbulencia en sus campos magn´eticos. La turbulencia puede actuar como un “espejo magn´etico” creando regiones con mayor densidad de energ´ıa magn´etica donde las part´ıculas cargadas pueden ser deflectadas (ver la Figura 3.11). Esta situaci´on, considerada originalmente por Fermi (1949), es f´ısicamente improbable y no es posible generar de esta manera los rayos c´osmicos gal´acticos.

−V’

V

Inhomogeneidades ´ magneticas Figura 3.11: Nubes con inhomogeneidades magn´eticas pueden actuar como centros dispersivos. El mismo mecanismo b´asico puede operar, sin embargo, en remanentes de supernova o en otros sistemas astrof´ısicos con choques. Consideremos la onda de choque que genera una supernova. Una onda de choque es una discontinuidad en los par´ametros que caracterizan un medio. El espacio queda dividido por la onda de choque en 2 regiones: la regi´on chocada y la no chocada. En ambas regiones puede establecerse turbulencia magn´etica. En la regi´on chocada por la compresi´on del flu´ıdo y el desarrollo de inestabilidades. En la regi´on no chocada, por los efectos de los propios rayos c´osmicos que atraviesan el frente de choque y perturban el plasma generando inestabilidades. Supongamos que el choque se mueve con velocidad Vs en la direcci´on del eje x, como se muestra en la Figura 3.12. El plasma en la regi´on chocada se mueve con velocidad Vp . La velocidad del choque y la del gas detr´as de ´el se relacionan por el factor de compresi´on ξ, que para un choque fuerte no-relativista vale ξ = 4, a trav´es de ξ Vs = . Vp ξ−1

(3.51)

Usando transformaciones relativistas (ver Gaisser 1990) puede establecerse que la variaci´on neta de energ´ıa de una part´ıcula que completa un ciclo yendo de la regi´on chocada

58

Aceleraci´ on de part´ıculas

E1 E1

θ1

Vp

E1

E1 Vs

E2

θ2 E2

Vp

E2

shock

E2

Figura 3.12: Interacci´on de un rayo c´osmico de energ´ıa E1 con un frente de choque que avanza a velocidad Vs (Phrotheroe 1999).

a la no chocada y de vuelta a la chocada es: 4 < ∆E > ≈ E 3



ξ−1 ξ



Vs . c

(3.52)

Para obtener el espectro de energ´ıa tenemos que hallar la probabilidad de que una dada part´ıcula cruce el choque un n´ umero arbitrario de veces. Para ello consideremos el proceso en el sistema de referencia del choque (ver la Figura 3.13). El flujo neto de part´ıculas que

v θ V s /ξ

Vs

post−shock

pre−shock

shock

Figura 3.13: Un rayo c´osmico cruza un choque. Este esquema muestra la situaci´on en el sistema de referencia con el choque en reposo.

3.3 Mecanismo de aceleraci´ on difusivo

59

se pierden en la regi´on chocada es: rper = nRC

Vs ξ

cm−2 s−1 ;

(3.53)

donde nRC es la densidad de part´ıculas relativistas. En la regi´on no chocada, un rayo c´osmico con velocidad v (en el SR del laboratorio) que forma un ´angulo θ, se acercar´a al choque con velocidad Vs + v cos(θ) en el SR del choque. A fin de que pueda cruzar el choque: cos(θ) > −

Vs . v

(3.54)

Entonces, asumiendo que los rayos c´osmicos en la regi´on no chocada son isotr´opicos, la raz´on a la cual las part´ıculas cruzan desde la regi´on no chocada a la chocada es: Z 1 1 (Vs + v cos(θ)) 2π d(cos(θ)) (3.55) rcruce = nRC 4π − Vvs rcruce ≈ nRC

v 4

cm−2 s−1 .

(3.56)

La posibilidad de cruzar y luego escapar en la regi´on chocada es: Pescape =

rper Vs ≈4 . rcruce ξv

(3.57)

La probabilidad de que la part´ıcula sea deflectada en la regi´on chocada y vuelva al choque es: Pregreso = 1 − Pescape . (3.58) Por lo tanto, la probabilidad de que cruce el choque n o m´as veces es: P(cruce>n) = (1 − Pescape )n .

(3.59)

Como el incremento fraccional de energ´ıa por cruce es ∆E/E, la energ´ıa luego de cruzar n veces es:  n ∆E E = E0 1 + , (3.60) E donde E0 es la energ´ıa inicial. Tomando logaritmos:     ∆E E = n ln 1 + , ln E0 E donde n=

ln(E/E0 )
. ln 1 + ∆E E

(3.61)

(3.62)

60

Aceleraci´ on de part´ıculas

Luego, el espectro de part´ıculas aceleradas y con energ´ıas > E ser´a: J(> E) ∝ (1 − Pescape )n

ln(E/E0 )

k = cte J(> E) = k(1 − Pescape ) ln(1+∆E/E) ; ln(E/E0 ) ln(1 − Pescape ); ln(J(> E)) = k ′ + ln(1 + ∆E/E)

k ′ = ln(k) = cte. (3.63)

Finalmente: donde

ln(J(> E)) = k ′′ − (Γ − 1) ln(E);

(3.64)

ln(1 − 4ξ Vvs ) ln(1 − Pescape ) Γ=1− =1− . Vs ln(1 + ∆E/E) ln(1 + 43 (ξ−1) ) ξ c

(3.65)

Teniendo en cuenta que, si x ∼ 0: ln(1 + x) ≈ x −

x2 + ... 2

ln(1 − x) ≈ −x +

y

x2 − ..., 2

(3.66)

tenemos: Γ ≈ 1− Γ ≈ 1+ β∼1

=⇒

s − 4V ξv

4 (ξ−1) Vs 3 ξ c

3 . β(ξ − 1)

Γ=

Γ=

ξ−1+3 . ξ−1

ξ+2 ξ−1

(3.67) (3.68) (3.69)

Luego, el espectro diferencial de rayos c´osmicos que emerja de la fuente luego de n cruces ser´a: J(E) ∝ E −Γ . (3.70) Para una onda de choque fuerte: ξ=4

=⇒

Γ = 2.

(3.71)

Que el espectro observado de rayos c´osmicos sea J(> E) ∝ E −2.7 se explica a trav´es de los efectos de difusi´on de las part´ıculas en el medio interestelar. ¿Cu´al es la energ´ıa m´axima que pueden alcanzar las part´ıculas ? Para responder a esta pregunta necesitamos calcular la raz´on de ganancia de energ´ıa de las part´ıculas e igualar

3.3 Mecanismo de aceleraci´ on difusivo

61

´esta a la raz´on de p´erdidas radiativas. De all´ı podremos despejar la energ´ıa m´axima siempre que ´esta sea tal que el giroradio de las part´ıculas de esa energ´ıa sea menor que el tama˜ no de la regi´on de aceleraci´on de la fuente. La raz´on de aceleraci´on es:

(< ∆E > /E) 1 dE = E dt tciclo 4 (ξ − 1) Vs −1 t ≈ 3 ξ c ciclo

racel =

(3.72)

Aqu´ı tciclo depende del coeficiente de difusi´on del medio. Este coeficiente se supone que depende de la energ´ıa: D = D(E) ∝ E −δ . (3.73) El coeficiente de difusi´on a lo largo del campo magn´etico es un cierto n´ umero de veces el valor del coeficiente de difusi´on m´ınimo, conocido como coeficiente de difusi´ on de Bohm: 1 DBohm = rg c, (3.74) 3 donde rg es, como antes, el giroradio de las part´ıculas. El coeficiente de difusi´on paralelo a ~ es: B Dk = ζDBohm . (3.75) En el caso de los choques, se llama a un choque paralelo si la normal al frente de ~ Para valores t´ıpicos de Vs = 0.1 c y ζ = 10 se obtiene: choque es paralela a B. dE ≈ 1.5 × 10−4 e c2 B (en SI) (3.76) dt acel Por otro lado, el coeficiente de difusi´on perpendicular, correspondiente al caso en el cual ~s ⊥ B, ~ es: V Dk D⊥ ≈ , (3.77) 1 + ζ2 de donde puede deducirse: dE ≈ 0.04 e c2 B (en SI). dt acel

(3.78)

Las ondas de choque de los remanentes de supernova permanecen fuertes como para acelerar part´ıculas durante ∼ 103 a˜ nos. Las energ´ıas m´aximas que se logran (considerando −5 B ∼ 10 G y p´erdidas sincrotr´on) son SN Emax ∼ 1014 × Z

eV

(3.79)

62

Aceleraci´ on de part´ıculas

para choques paralelos, y SN Emax ∼ 1016 × Z

eV

(3.80)

para choques perpendiculares. Para el caso de que el choque sea obl´ıcuo, con un ´angulo θ entre la normal al choque y el campo magn´etico, el coeficiente de difusi´on es: D = Dk cos2 (θ) + D⊥ sin2 (θ).

(3.81)

Bajo esta situaci´on, el valor de la energ´ıa m´axima estar´a comprendido entre los valores dados m´as arriba.

Efectos adicionales a tener en cuenta en diversas situaciones astrof´ısicas son: 1. La modificaci´on del choque por efecto de la presi´on de los rayos c´osmicos que est´an siendo acelerados, lo que lleva a situaciones no-lineales. 2. Ondas de choque relativistas. En este caso el ´ındice adiab´atico del gas es γ = 4/3 en vez de 5/3, lo que lleva a ξ = 7 y por lo tanto a espectros con Γ ∼ 1.5 si se tienen en cuenta efectos anisotr´opicos. En casos relativistas tenemos: 1.5 ≤ Γ ≤ 2.0.

(3.82)

Hay muchas fuentes astrof´ısicas en las que se forman ondas de choque y las part´ıculas cargadas pueden ser aceleradas hasta velocidades relativistas. Estas fuentes incluyen: Jets en n´ ucleos gal´acticos activos (AGNs) y microcu´asares (MQs). Ondas de choque producidas por eruptores de rayos gamma (GRBs). L´obulos y manchas calientes (hot-spots) de radio galaxias. Asociaciones de estrellas masivas. Estrellas tempranas con vientos poderosos. C´ umulos de galaxias, donde colisiones pueden formar ondas de choque. Sistemas binarios con colisi´on de vientos estelares. Choques de nubes de alta velocidad con el medio interestelar.

Cap´ıtulo 4 Difusi´ on Cuando una distribuci´on de part´ıculas se inyecta en una regi´on del espacio donde hay campos magn´eticos, campos de radiaci´on y campos de materia, las part´ıculas sufrir´an diversos tipos de p´erdidas radiativas modificando su distribuci´on (como se ver´a en los Cap´ıtulos 5 y 6). Las part´ıculas, adem´as, se difundir´an en el medio con una escala temporal t´ıpica dada por: R2 , (4.1) τD ∼ D donde R es la distancia que recorre y D es el coeficiente de difusi´on definido por: 1 D = λv. 3

(4.2)

El camino libre medio de las part´ıculas es λ (que depende de las caracter´ısticas del medio) y v ∼ c es velocidad de las mismas. Notar que [D] = cm2 s−1 . Estudiando la composici´on qu´ımica de los rayos c´osmicos es posible hacer inferencias sobre el valor medio en la Galaxia del coeficiente de difusi´on, obteni´endose (e.g. Ginzburg & Syrovatskii 1964): DG ∼ 0.5 − 1 × 1029

cm2 s−1 .

(4.3)

Estudios m´as recientes (Berlzinskii et al. 1990) indican: DG (109 − 1010 eV) ≈ 1028 − 1029

cm2 s−1 ,

(4.4)

DG (1012 − 1013 eV) ≈ 1029 − 1030

cm2 s−1 .

(4.5)

Si el medio es uniforme, D = D(E). En general se asume que esta relaci´on viene dada por una ley de potencia: D(E) = D0 E µ . (4.6)

64

Difusi´ on

La evoluci´on de una poblaci´on de part´ıculas relativistas n(E, ~r, t) viene determinada por la ecuaci´on de difusi´on. La forma m´as general de esta ecuaci´on es: ∂ n ∂n − D ▽2 n + (b n) + = Q(E, ~r, t), ∂t ∂E T

(4.7)

donde D = D(E) y b = b(E) = dE/dt es la raz´on de p´erdida de energ´ıa de las part´ıculas debido a los distintos procesos radiativos involucrados. T = T (E) es la escala temporal de escape de las part´ıculas, de tal forma que (n/T ) mide la p´erdida de part´ıculas por difusi´on espacial. El t´ ermino fuente Q = Q(E, ~r, t) es la inyecci´on de part´ıculas nuevas con energ´ıa E, en ~r, al instante t. La ecuaci´on (4.7) de evoluci´on es una ecuaci´on diferencial en derivadas parciales de tipo inhomog´eneo. Puede resolverse utilizando el m´etodo de la funci´on de Green (ver Ap´endice A).

4.1.

Soluci´ on de la ecuaci´ on de difusi´ on

La funci´on de Green de la ecuaci´on de difusi´on (4.7) satisface: ∂G ∂ G − D ▽2 G + (bG) + = δ(E − E0 )δ(~r − ~r0 )δ(t − to ), ∂t ∂E T

(4.8)

donde E0 , ~r0 y t0 son los valores iniciales. Syrovatskii (1959) hall´o la funci´on de Green correspondiente:   1 τ (~r − ~r0 )2 G(E, ~r, t) = δ(t − t0 − τ ), (4.9) exp − − | b(E) | (4πλ)3/2 T 4λ donde: τ ≡ τ (E, E0 ) = y λ ≡ λ(E, E0 ) =

Z

Z

E

dE b(E)

(4.10)

E

D(E) dE. b(E)

(4.11)

E0

E0

Luego, la soluci´on general de la ecuaci´on (4.7) es: Z +∞ Z Z t 3 n(E, ~r, t) = d r0 dE0 dt0 Q(E0 , ~r0 , t0 ) G(E, ~r, t; E0 , ~r0 , t0 ). −∞

(4.12)

−∞

Si consideramos una soluci´on estacionaria n = n(E), entonces   Z E0 1 1 dE ′ exp − G(E, E0 ) = ′ )T (E ′ ) | b(E) | b(E E

(4.13)

4.2 Ecuaci´ on de difusi´ on en dos dimensiones y n(E) =

Z

Emax

65

dE ′ Q(E ′ ) G(E, E ′ ).

(4.14)

E

Si el proceso es no-estacionario, pero homog´eneo en el espacio: n τo 1 G(E, t; E0 , t0 ) = δ(t − t0 − τ ). exp − | b(E) | T

(4.15)

La determinaci´on de la evoluci´on de una poblaci´on de part´ıculas relativistas requiere, en general, el conocimiento del coeficiente de difusi´on. Es usual suponer que en el medio interestelar este coeficiente es una ley de potencia en la energ´ıa, pero esto puede variar significativamente en diversos medios. En ausencia de cualquier otra informaci´on se suele adoptar el coeficiente de difusi´on m´ınimo, conocido como coeficiente de difusi´on de Bohm: 1 DB = r g c 3 donde rg es el giroradio de las part´ıculas, definido a trav´es de la ecuaci´on (3.4).

(4.16)

En algunos casos, la difusi´on compite con la convecci´on en el transporte de las part´ıculas (por ejemplo en regiones donde hay vientos fuertes).

4.2.

Ecuaci´ on de difusi´ on en dos dimensiones

Consideremos un espacio de dos dimensiones: la energ´ıa y una dimensi´on espacial. Podemos introducir coordenadas cartesianas de forma tal que el eje de las ordenadas corresponda a la energ´ıa y el eje de las abscisas corresponda a la dimensi´on espacial, como se muestra en la Figura 4.1. Denotaremos por φ al flujo de part´ıculas a trav´es de una superficie en este espacio. Las part´ıculas se mueven en la direcci´on x por difusi´on espacial y en la direcci´on E por ganancia o p´erdida de energ´ıa. El n´ umero de part´ıculas entre x y x + dx con energ´ıas entre E y E + dE en el instante t es dN = n(E, x, t) dE dx.

(4.17)

Por otro lado, la raz´on de cambio en la densidad de part´ıculas en el elemento dE dx es ∂ n(E, x, t) dE dx = [φx (E, x, t) − φx+dx (E, x + dx, t)]dE ∂t + [φE (E, x, t) − φE+dE (E + dE, x, t)]dx + Q(E, x, t)dE dt

(4.18)

donde Q(E, x, t) es la tasa de producci´on de part´ıculas relativistas por unidad de volumen en el espacio E − x. Luego ∂φx ∂φE ∂n =− − + Q(E). ∂t ∂x ∂E

(4.19)

66

Difusi´ on E

φ E + dE

dE

φx

φ x+dx

φE dx

x

Figura 4.1:

La funci´on φx es el flujo de part´ıculas a trav´es del intervalo de energ´ıa dE en el punto x. Si el transporte se realiza por difusi´on φx = −D

∂n , ∂x

(4.20)

donde D es el coeficiente de difusi´on. Por otro lado, si llamamos a la tasa de p´erdida de energ´ıa de las part´ıculas dE , (4.21) b(E) = − dt entonces dE n(E) = φE = −b(E) n(E). (4.22) dt Reemplazando (4.20) y (4.22) en (4.19) hallamos ∂n ∂2n ∂ =D 2 + (b n) + Q(E). ∂t ∂x ∂E

(4.23)

Finalmente, generalizando a tres dimensiones espaciales, la ecuaci´on de difusi´on de las part´ıculas se escribe como ∂ ∂n = D∇2 n + [b(E)n(E)] + Q(E). ∂t ∂E

4.2.1.

(4.24)

Caso estacionario

Consideremos ahora una soluci´on de estado estacionario sin difusi´on, para una distribuci´on uniforme de fuentes que inyectan electrones relativistas con un espectro Q(E) =

4.2 Ecuaci´ on de difusi´ on en dos dimensiones

67

K E −p . La ecuaci´on para n(E) es en este caso ∂ [b(E) n(E)] = −Q(E) Z∂E Z d[b(E) n(E)] = − Q(E) dE Z ∞ Z ∞ d[b(E) n(E)] = − K E −p dE E E ∞ KE −p+1 KE −(p−1) −b(E)n(E) = − = − −p + 1 E (p − 1) n(E) =

4.2.2.

K E −(p−1) . (p − 1)b(E)

(4.25)

Casos no estacionarios

Si queremos estudiar soluciones no estacionarias debemos conocer como var´ıa la inyecci´on de part´ıculas con el tiempo. Supongamos que existe una inyecci´on continua durante un tiempo t0 , con Q(E) = KE −p si t < t0 y Q(E) = 0 para t > t0 . Supongamos adem´as que las p´erdidas de energ´ıa son del tipo b(E) = A E 2 . Resolviendo ∂ ∂n = [b(E) n(E)] + Q(E) ∂t ∂E para t > t0 ,

 KE −(p+1)  p−1    A(p − 1) [1 − (1 − AEt) ] si AEt0 ≤ 1 n(E) =  KE −(p+1)    si AEt0 > 1 A(p − 1)

(4.26)

(4.27)

En forma similar, si tenemos una inyecci´on instant´anea en t = 0 del tipo Q(E) = KE −p δ(t) la distribuci´on de part´ıculas resulta n(E) = KE −p (1 − AEt)p−2 .

(4.28)

Notar que para p = 2 el espectro no se modifica en su forma, solo va cambiando la energ´ıa m´axima de las part´ıculas.

68

Difusi´ on

Cap´ıtulo 5 Procesos radiativos I 5.1.

Conceptos b´ asicos

El concepto b´asico en el estudio de los procesos radiativos es el de intensidad. Se define de la siguiente manera: Intensidad: n´ umero de part´ıculas incidentes por unidad de ´area por unidad de ´angulo s´olido y por unidad de tiempo sobre un cierto detector no especificado. Designaremos a la intensidad de part´ıculas de tipo i por Ii . As´ı la intensidad de rayos gamma ser´a Iγ , la de protones Ip , etc. A partir de la intensidad se define el flujo de part´ıculas como F =

Z

I cos(θ)dΩ,

(5.1)

Ω

donde θ es el ´angulo entre la direcci´on de movimiento de las part´ıculas y la normal al ´area sobre la que inciden. La integraci´on se hace sobre todo el ´angulo s´olido subtendido por las part´ıculas. En particular, para un flujo isotr´opico de radiaci´on F = πI,

(5.2)

y el n´ umero de part´ıculas por unidad de volumen es 4π I, (5.3) v donde v es la velocidad de las part´ıculas. Como nos interesar´an part´ıculas relativistas, v ≈ c en la mayor´ıa de los casos. n=

70

Procesos radiativos I

Por lo general las part´ıculas que se detectan no tienen una u ´nica energ´ıa, as´ı que es conveniente introducir una funci´on distribuci´ on en energ´ıas n(E):

n(E) =

# de part´ıculas unidad de volumen × unidad de energ´ıa

[n(E)] = cm−3 erg−1 .

(5.4)

El n´ umero de part´ıculas por unidad de volumen con energ´ıas entre E y E + dE es entonces n(E)dE, por lo que el n´ umero total de part´ıculas por unidad de volumen puede calcularse como n=

Z

∞

[n] = cm−3 .

n(E)dE

(5.5)

0

El n´ umero de part´ıculas por unidad de volumen con energ´ıas mayores de E es n(> E) =

Z

∞

Z

∞

n(E ′ ) dE ′ ,

(5.6)

F (E ′ ) dE ′.

(5.7)

E

y el correspondiente flujo integrado resulta F (> E) =

E

La densidad de energ´ıa de las part´ıculas se puede calcular como w=

Z

∞

E n(E) dE

[w] = erg cm−3 ,

(5.8)

0

por lo que el flujo de energ´ıa ser´a S=

c w 4π

[S] = erg cm−2 s−1 .

(5.9)

Finalmente, consideremos una fuente localizada a una distancia d y que rad´ıa isotropicamente. En ese caso, su luminosidad puede definirse como L(> E) = 4πd

2

Z

∞

F (E ′ ) dE ′

[L] = erg s−1 .

(5.10)

E

Notar entonces que para una fuente isotr´opica de radio R L = 4πR2 S.

(5.11)

5.1 Conceptos b´ asicos

71

Introduciremos ahora un concepto de gran importancia, el de secci´ on eficaz para una interacci´on. Consideremos un flujo de part´ıculas de clase a con velocidad va , que interaccionan con un blanco de volumen dV = dA dx formado por part´ıculas de tipo b. El n´ umero dni de interacciones de tipo i que ocurren en el intervalo de tiempo dt en el volumen dV ser´a proporcional a: 1. el n´ umero de part´ıculas de tipo b que haya en dV , 2. el n´ umero de part´ıculas incidentes de tipo a que atraviesan dA en dt. Si n0b es la densidad inicial de part´ıculas de tipo b en el blanco, y na es la densidad de part´ıculas incidentes de tipo a en el sistema de referencia del blanco, entonces dni = dσi (n0b dV )(na va dt).

(5.12)

La constante de proporcionalidad dσi es la secci´ on eficaz diferencial, que caracteriza el n´ umero de reacciones de tipo i que ocurren por unidad de tiempo por unidad de volumen por unidad de flujo incidente por unidad de densidad en el blanco. La secci´ on eficaz total (no diferencial) σi para la interacci´on i es la suma sobre todos los posibles momentos de las part´ıculas despu´es de la interacci´on. Tiene unidades de ´area, [σi ] = cm2 . Tanto dσi como σi son invariantes relativistas. La unidad de medida t´ıpica para la secci´on eficaz de interacci´on entre part´ıculas es el barn (b): 1b = 10−24 cm2 1 mb = 10−27 cm2 . La secci´on eficaz total para la interacci´on entre dos tipos de part´ıculas se obtiene sumando las secciones eficaces de todos los posibles procesos que pueden ocurrir durante la interacci´on entre las part´ıculas, σtot =

X

σi .

(5.13)

i

La probabilidad relativa de que ocurra un cierto canal de reacci´on i es entonces Pi =

σi . σtot

(5.14)

72

Procesos radiativos I

La radiaci´on gamma se produce por la interacci´on de part´ıculas de alg´ un tipo i e intensidad Ii (Ei , ~r), con un blanco de densidad n(~r). El blanco puede estar formado por part´ıculas materiales o por fotones. La intensidad de la radiaci´on gamma resultante ser´a: Iγ (Eγ ) =

Z Z ℓ

∞

n(~r) σ(Ei , Eγ ) Ii (Ei , ~r) dEi dℓ

(5.15)

Eγ

donde dℓ indica integraci´on a lo largo de la l´ınea de la visual. La emisividad de la fuente de rayos gamma se define como: qγ (Eγ ) =

Z

∞

n(~r) σ(Ei , Eγ ) Ii (Ei , ~r) dEi

(5.16)

Eγ

de tal forma que Iγ (Eγ ) =

Z

qγ (Eγ , ~r) dℓ.

(5.17)

ℓ

El problema fundamental de la astrof´ısica de rayos gamma consiste en la determinaci´on de qγ para distintos escenarios astrof´ısicos.

5.2.

Radiaci´ on t´ ermica

La forma m´as sencilla de producir radiaci´on electromagn´etica es calentando un gas. Un cuerpo negro es un absorbente radiativo perfecto en equilibrio termodin´amico a una temperatura T . El espectro de emisi´on de un cuerpo negro en funci´on de la energ´ıa est´a dado por la distribuci´on de Planck:   2 Eph 2 IBB (Eph ) = 3 2 h c exp(Eph /kT ) − 1

[IBB ] = erg−1 s−1 cm−2 sr−1 .

(5.18)

Aqu´ı Eph = hν es la energ´ıa de los fotones de frecuencia ν, h es la constante de Planck y k es la constante de Boltzmann. La correspondiente densidad de fotones por unidad de energ´ıa es 4π IBB (Eph ) c   2  1 Eph 1 , = π 2 λ3C me c2 me c2 exp(Eph /kT ) − 1

nBB (Eph ) =

(5.19)

5.2 Radiaci´ on t´ ermica

73

donde λC = h/(2πme c) es la longitud de onda Compton del electr´on. El m´aximo de la distribuci´on de Planck ocurre para Eph, max ≈ 1.59 kT ≈ 1.37 × 10

−10

  T MeV. K

(5.20)

Esta es la llamada Ley de desplazamiento de Wien, Eph, max ∝ T (ver Figura 5.1).

3000 K

2. ´ 1033

4000 K

5000 K

Nbb @cm-3 D

1.5 ´ 1033

1. ´ 1033

5. ´ 1032

0 0

1

2

3

4

5

E @eVD

Figura 5.1: Densidad de fotones emitidos por un cuerpo negro en funci´on de la energ´ıa para distintas temperaturas. La energ´ıa a la que se alcanza el m´aximo aumenta al aumentar T .

La energ´ıa media < Eph > de los fotones emitidos por un cuerpo negro puede obtenerse dividiendo la densidad de energ´ıa UBB =

Z

∞

Eph nBB (Eph ) dEph ,

(5.21)

0

por el n´ umero total de fotones por unidad de volumen NBB =

Z

∞

nBB (Eph ) dEph .

(5.22)

0

De aqu´ı resulta que < Eph >= 2.7 kT ≈ 2.3 × 10

−10

  T MeV. K

(5.23)

74

Procesos radiativos I

Vemos, pues, que si queremos fotones con energ´ıas medias de 1 GeV debemos tener temperaturas T ∼ 1013 K. Estas temperaturas no pueden hallarse en objetos astrof´ısicos usuales. S´olo son posibles durante breves lapsos en eventos explosivos, como los llamados gamma-ray bursts (GRBs) o el Big-Bang. La temperatura t´ıpica en un GRB es del orden de 1015 K . La densidad de fotones de una fuente tipo cuerpo negro con esa temperatura es extremadamente alta: NBB ∼ 4.6 × 1046 cm−3 . El camino libre medio de un fot´on en un medio de densidad nγ es λγ ∼ (nγ σγγ )−1 ,

(5.24)

donde σγγ es la secci´on eficaz para la interacci´on γ + γ → e+ + e− . Entonces, para cualquier valor razonable de la secci´on eficaz (σγγ ∼ σT ∼ 10−24 cm2 ), λγ ≪ 1 cm.

(5.25)

Luego, la fuente ser´a auto-absorbida y los fotones no podr´an escapar de ella. De todo esto conclu´ımos que las fuentes de radiaci´on γ que se observan en el continuo son de origen no t´ ermico. Describiremos a continuaci´on varios mecanismos no t´ermicos de producci´on de rayos γ, empezando por aquellos que implican interacci´on de part´ıculas cargadas con campos electromagn´eticos.

5.3. 5.3.1.

Radiaci´ on sincrotr´ on Radiaci´ on sincrotr´ on de una part´ıcula

~ queda determinado El movimiento de una part´ıcula de carga e en un campo magn´etico B por la fuerza de Lorentz, e d(γm~v ) ~ = (~v ∧ B). dt c

(5.26)

~ la componente de la velocidad paralela al campo Como la fuerza es perpendicular a B q 2 + vk2 = cte y entonces v⊥ = v⊥ permanecer´a constante, vk = cte. A su vez | ~v |= q v 2 − vk2 = cte. De aqu´ı que la part´ıcula se mueva describiendo una h´elice con su eje ~ como puede verse en la Figura 5.3. paralelo a B, ~ es La frecuencia de giro en el plano normal a B ωB =

eB mc2 . mc E

(5.27)

5.3 Radiaci´ on sincrotr´ on

75

u N H AC` Jy p “ › V(F ;=e FMLO` € ? J’h F\D J ` J_h N J BEN =?; >< N > BE` ; LO` =?; >

Figura 5.2: Diagrama del movimiento de una part´ıcula alrededor de una l´ınea de campo magn´etico. La mayor parte de los fotones radiados son emitidos en un cono de semi apertura ∼ 1/γ en la direcci´on de movimiento de la part´ıcula. Introduciendo el factor de Lorentz γ tal que E = γmc2 , se tiene que ωB =

eB . γmc

(5.28)

La expresi´on relativista para potencia total radiada por una carga acelerada est´a dada por P =

2e4 2 2 2 γ v⊥ B . 3m2 c5

(5.29)

Introduciendo el radio cl´asico del electr´on re = e2 /me c2 , y usando que β = v/c = v⊥ /c sin α (ver Figura 5.3.1) la potencia total puede escribirse como P =

2  me 2 2 2 2 2 2 c re β γ B sin α. 3 m

(5.30)

Al ´angulo α que forman la velocidad de la part´ıcula y el campo magn´etico se lo conoce como pitch angle. Si adem´as la part´ıcula es ultra relativista, β ∼ 1 y la potencia total radiada resulta 2  me 2 2 2 2 P = c re γ B sin2 α. 3 m

(5.31)

76

Procesos radiativos I

Gran parte de la radiaci´on es emitida en un cono de ´angulo de apertura θ ∼ 1/γ en la direcci´on del momento de la part´ıcula, por lo que la emisi´on ser´a tanto m´as colimada cuanto m´as enrg´etica sea la pert´ıcula. La p´erdida de energ´ıa por unidad de tiempo se obtiene directamente a partir de la expresi´on para la potencia: Psincr = −



dE dt



sincr

2  me 2 2 2 2 =− c re γ B sin2 α. 3 m

(5.32)

Notar que, para un valor dado del factor de Lorentz, las p´erdidas dependen de la masa de la part´ıcula como m−2 , por lo que son ∼ 106 veces m´as importantes para electrones que para protones. Si ahora definimos la secci´on eficaz de Thompson como 8π σT = 3



e2 me c2

2

=

8π 2 r ∼ 6.65 × 10−25 cm2 , 3 e

(5.33)

y promediamos sobre el ´angulo α suponiendo una distribuci´on isotr´opica (P (α)dα = 1/2 sin α dα, α ǫ [0, π]), se obtiene que 



dE dt dE dt



sinc



sinc

4  me 2 c σT ωmag γ 2 3 m  2  B 2 −4 me ≈ −6.6 × 10 γ 2 eV s−1 m G = −

(5.34)

donde ωmag = B 2 /8π es la densidad de energ´ıa magn´etica. La ecuaci´on 5.32 da la p´erdida total de energ´ıa por radiaci´on sincrotr´on de una part´ıcula con factor de Lorentz γ. La emisi´on no es monoenerg´etica, su distribuci´on en energ´ıa est´a dada por P (γ, Eph , α) =

√

3e3 B sin α Eph hmc2 Ec

Z

∞

K5/3 (ζ) dζ,

(5.35)

Eph /Ec

donde Eph = hν y K5/3 es la funci´on de Bessel modificada de segunda especie y orden 5/3. La energ´ıa cr´ıtica Ec se define como Ec =

3 ehB sin α 2 γ . 4π mc

(5.36)

La funci´on 5.35 alcanza su valor m´aximo para Eph,max ≈ 0.29Ec . En unidades convenientes, el valor de la energ´ıa donde se alcanza el m´aximo es, aproximadamente,

5.3 Radiaci´ on sincrotr´ on

77

Eph,max ≈ 5.1 × 10

−15

m  B  e γ 2 sin α MeV. m G

Figura 5.3: Gr´afica de la funci´on F (x) = x

R∞ x

(5.37)

K5/3 (ζ)dζ.

Entonces para que un electr´on con γ ∼ 103 emita rayos gamma de energ´ıa de 5 GeV hace falta un campo B ∼ 1012 G.

5.3.2.

Una aproximaci´ on u ´ til

Como hemos visto, la expresi´on para la potencia sincrotr´on emitida por una part´ıcula relativista es √

3 e3 B sin α x P (γ, Eph , α) = h me c2

Z

∞

K5/3 (ζ) dζ,

(5.38)

x

donde x = Eph /Ec y la energ´ıa Ec est´a dada por la ec. 5.36. La funci´on F (x) = x

Z

∞

K5/3 (ζ) dζ

(5.39)

x

puede aproximarse dentro del rango din´amico 0.1 ≤ x ≤ 10 por una expresi´on mucho m´as simple: F (x) = Cx1/3 e−x

(5.40)

78

Procesos radiativos I

con C ≈ 1.85. Cerca del m´aximo en x ≈ 0.3 esta expresi´on tiene una exactitud del 1 %, y es as´ı mismo una muy buena aproximaci´on para todo x ∈ [0.1, 10], como se puede ver en la Figura 5.4.

Psincr

(unidades arbitrarias)

1.0

exacto 0.8

aproximación

0.6

0.4

0.2

0.0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Eph / Ec

Figura 5.4: Comparaci´on entre la funci´on F (x) de la ec. 5.39 y la aproximaci´on simple de la ec. 5.40.

5.3.3.

Radiaci´ on sincrotr´ on de una distribuci´ on de part´ıculas

Supongamos ahora que tenemos no una, sino toda una distribuci´on espectral de part´ıculas n(E, α) en alg´ un intervalo de energ´ıa E min ≤ E ≤ E max . En ese caso, el espectro sincrotr´on puede calcularse integrando la ec. 5.35 en la energ´ıa de la part´ıculas y en el pitch angle, P (Eph ) =

Z

Ωα

Z

E max

P (E, Eph , α) n(E, α) dE dΩα .

(5.41)

E min

Supongamos que la distribuci´on de part´ıculas es istr´opica y su forma funcional es la de una ley de potencias en la energ´ıa, n(E) dE = K0 E −p dE

[n] = erg−1 cm−3 ,

(5.42)

donde K
es una constante y p es el ´ındice espectral. Para valores de Eph tales que Ec E min ≪ Eph y Ec (E max ) ≫ Eph , los l´ımites de la integral en la ec. 5.41 pueden reemplazarse por cero e infinito, respectivamente. En ese caso la ec. 5.41 puede integrarse para dar

5.3 Radiaci´ on sincrotr´ on

79

(4π)2 K0 e3 B P (Eph ) = a(p) hmc2

p+1 2



3he 4πm3 c5

 p−1 2

− p−1 2

Eph

,

(5.43)

donde a(p) es una funci´on del ´ındice espectral, √
Γ 2(p−1)/2 3Γ 3p−1 a(p) = √ 12 8 π(p + 1)Γ




3p+19 12
p+7 4

Γ

p+5 4




.

(5.44)

El valor de a(p) para algunos valores de p se indica en la Tabla 5.1. p 1 1.5 2.0 2.5 3.0 a(p) 0.283 0.147 0.103 0.085 0.074 Tabla 5.1: Algunos valores de la funci´on a(p). El punto importante es que el espectro sincrotr´on de una distribuci´on de part´ıculas tipo −δ ley de potencias es otra ley de potencias en la energ´ıa de los fotones, P (Eph ) ∝ Eph con δ=

p−1 . 2

(5.45)

La emisi´on sincrotr´on es polarizada. En el caso de un campo magn´etico homog´eneo el grado de polarizaci´on lineal es Π0 (p) =

p+1 . p + 7/3

(5.46)

Esto da valores de 69 − 75 % para p = 2 − 3. Si el campo magn´etico tiene una componente aleatoria o rand´omica el nivel de polarizaci´on ser´a menor, Π(p) = Π0 (p)

B02 B02 + Br2

(5.47)

donde Br es la componente rand´omica del campo.

5.3.4.

Absorci´ on de la radiaci´ on sincrotr´ on

Los fotones sincrotr´onicos pueden ser absorbidos por los propios electrones en presencia de un campo magn´etico. Esto lleva a una modificaci´on del espectro sincrotr´on a bajas frecuencias. Puede mostrarse que el coeficiente de absorci´on de la radiaci´on es

80

Procesos radiativos I

αν = A ν −(p+4)/2 ,

(5.48)

donde ν es la frecuencia y A es una funci´on complicada de p: √

3e3 A= 8πm



3e 4πm3 c5

p/2

2

1/2

√

Γ π c Ke B (p+2)/2 2

3p+2 12

Luego, la intensidad de la radiaci´on resultante ser´a I(ν) =




Γ Γ

3p+22 12
p+8 4




Γ

jν (1 − e−αν l ), αν

p+6 4




(5.49)

(5.50)

donde jν es la emisividad de la fuente (cantidad de energ´ıa emitida por unidad de tiempo, de frecuencia, de ´angulo s´olido y de volumen) y l es su dimensi´on lineal. Cuando τν ≡ αν l ≪ 1 la fuente es transparente a su propia radiaci´on y decimos que es ´ opticamente delgada. En ese caso jν (1 − e−αν l ) ≈ jν l ∝ ν −δ . αν →0 αν

I(ν) = l´ım

(5.51)

Si en cambio τν ≫ 1, la fuente es opaca u ´ opticamente gruesa y −p+1 p+4 ν −(p−1)/2 jν ∝ −(p+4)/2 = ν 2 + 2 = ν 5/2 . I(ν) ∼ αν ν

(5.52)

Por lo tanto tenemos que la condici´on τν ≈ 1 divide el espectro de la fuente en dos regiones. Si llamamos νa a la frecuencia cr´ıtica tal que τ (νa ) = 1, entonces ν < νa =⇒ τν > 1: la fuente es ´opticamente gruesa y I(ν) ∝ ν 5/2 , ν > νa =⇒ τν < 1: la fuente es ´opticamente delgada y I(ν) ∝ ν −δ . Como τν = αν l la frecuencia cr´ıtica depende del tama˜ no de la fuente. Una fuente en expansi´on, como un jet, presenta regiones de diferentes tama˜ nos que se hacen ´opticamente delgadas a diferentes frecuencias. El resultado es un espectro chato, combinaci´on de los distintos espectros emitidos en distintas zonas. En la Figura 5.5 se muestra c´omo diferentes regiones del jet emiten a distintas frecuencias. La presencia de un plasma t´ermico tambien puede modificar el espectro sincrotr´onico, ya que el plasma puede absorber la radiaci´on. El coeficiente de absorci´on en este caso es αν ∝ ν −2 por lo que

5.3 Radiaci´ on sincrotr´ on

81

Enfriamiento del jet

r0

I

r

Rayos X Óptico

R adi o

Figura 5.5: Emisi´on a distintas frecuencias de las diferentes regiones de un jet. A medida que el plasma se expande el valor de la frecuencia cr´ıtica νa se va corriendo hacia frecuencias m´as bajas.

I(ν) ∼

jν ν −α ∝ −2 ∝ ν −(α−2) . αν ν

(5.53)

En el rango 100 MHz ≤ ν ≤ 10 GHz y para una temperatura del plasma absorbente T ∼ 104 K, tenemos que αν = 5.5 × 10

−2

−2  n   T −3/2  ν e Kpc−1 cm−3 104 K 100 MHz

 n   T −3/2  l −1/2 e MHz. νa = 23.4 cm−3 104 K Kpc

(5.54)

(5.55)

Aqu´ı ne es la densidad del plasma y l la dimensi´on lineal de la fuente.

5.3.5.

L´ımite cu´ antico

Si el campo magn´etico donde son inyectados electrones ultra relativistas es muy intenso, la aproximaci´on cl´asica a la radiaci´on sincrotr´on puede dejar de ser v´alida, y pueden comenzar a crearse pares electr´on-positr´on. El umbral para que la probabilidad de que sucedan estos fen´omenos cu´anticos sea distinto de cero es Ee > Ecrit , con

82

Procesos radiativos I

Bc . B Aqu´ı Ee es la energ´ıa del electr´on, B es el campo magn´etico y Bc =

Ecrit = me c2

(5.56)

m2e c3 ≈ 4.4 × 1013 G. e~

(5.57)

As´ı por ejemplo en un campo de 107 G, electrones con energ´ıa Ee > 0.511 MeV(4.4 × 1013 /107 ) ∼ 2.2×1012 eV ser´an capaces de crear pares iniciando cascadas electromagn´eticas.

5.3.6.

Efecto sobre el espectro de electrones

Las p´erdidas radiativas sufridas por las part´ıculas relativistas modifican su distribuci´on en energ´ıa. Para determinar c´omo consideremos la soluci´on 4.25 hallada en el Cap´ıtulo 4. Para p´erdidas por radiaci´on sincrotr´on b(E) ∝ E 2 , luego n(E) ∝ E −(p+1) . O sea que el espectro de los electrones se hace m´as “blando” respecto de la inyecci´on, increment´andose en uno la potencia de E (ver Figura 5.6).

Log n(E)

n(E) ∝ E− p

n(E) ∝ E− (p+1)

Log E

Figura 5.6: Espectro de part´ıculas relativistas en estado estacionario con p´erdidas b(E) = AE 2 . A energ´ıas altas la distribuci´on se quiebra haci´endose m´as “blanda”.

5.4.

Radiaci´ on de curvatura

El giroradio de una part´ıcula relativista de carga q = Ze y energ´ıa E en un campo B es

5.4 Radiaci´ on de curvatura

rg =

83

(E/eV) E ≈ qB sin α 300Z(B/G)

cm.

(5.58)

Cuando B → ∞, rg → 0 y la part´ıcula comienza a moverse sobre la l´ınea de campo. En esta configuraci´on la fuerza de Lorentz se hace cero. Sin embargo, si la l´ınea de campo tiene un cierto radio de curvatura la part´ıcula radiar´a ya que estar´a acelerada. La energ´ıa perdida por la part´ıcula es radiada en la direcci´on del movimiento dentro de un cono de ´angulo 1/γ. El espectro de emisi´on de un electr´on con energ´ıa Ee = γe me c2 es el mismo que en el caso de la radiaci´on sincrotr´on, excepto que el giroradio se reemplaza por el radio de curvatura Rc de la l´ınea de campo: √

3e2 Ee Eph P (Ee , Eph ) = h Rc mc2 Ec con

Z

∞

K5/3 (ζ)dζ,

(5.59)

Eph /Ec

3 hc 3 2.96 × 10−5 3 γ γ ≈ Ec = 4π Rc e (Rc /cm) e

eV.

(5.60)

La tasa total de p´erdida de energ´ıa se calcula integrando el espectro de emisi´on sobre la energ´ıa de los fotones, 

dEe dt



curv

=−

Z

P (E, Eph ) dEph = −

2 e2 c 4 γ . 3 Rc2 e

(5.61)

Notar que esta expresi´on no depende de la intensidad del campo magn´etico sino s´olo de su radio de curvatura. Tampoco depende (a factor de Lorentz fijo) de la masa de la part´ıcula como m−2 como en el caso de la radiaci´on sincrotr´on. Si se tiene una distribuci´on de electrones N(Ee )dEe en un campo con curvatura Rc , el espectro total emitido por radiaci´on de curvatura se obtiene integrando 5.59 en la energ´ıa de los electrones, P (Eph ) =

Z

Eemax

P (Eph , Ee ) N(Ee ) dEe .

(5.62)

Eemin

~ | sino de Rc . Cuanto menor sea Rc mayor Nuevamente, el resultado no depender´a de | B ser´a la potencia radiada. Si una part´ıcula se mueve alrededor de una l´ınea de campo con curvatura finita, en general emitir´a tanto radiaci´on de curvatura como sincrotr´on. Se pueden igualar las p´erdidas sincrotr´on con las de curvatura para definir un ´angulo cr´ıtico αcrit , de tal forma que la radiaci´on de curvatura domina para valores del pitch angle α < αcrit :

84

Procesos radiativos I

sin(αcrit ) =

rg γme c2 = . eBRc Rc

(5.63)

Cuando α ∼ αcrit ambos procesos deben tenerse en cuenta. Si el campo magn´etico es regular, la radiaci´on de curvatura estar´a polarizada como la sincrotr´on. La radiaci´on de curvarura es un proceso importante en la regi´on polar de los p´ ulsares. All´ı el radio de curvatura de las l´ıneas de campo magn´etico vale Rc ∼



cR∗ Ω

1/2

,

(5.64)

donde R∗ es el radio de la estrella de neutrones y Ω su velocidad de rotaci´on.

Nota sobre el c´ alculo del radio de curvatura Sea C una curva en el plano (x, y) con una parametrizaci´on C(t) = (x(t), y(t)). Su curvatura κ = 1/Rc se puede calcular como κ=

5.5.

x¨ ˙ y − y¨ ˙x . (x˙ 2 + y˙ 2)3/2

(5.65)

Radiaci´ on Cherenkov

La radiaci´on Cherenkov ocurre cuando una part´ıcula cargada viaja a trav´es de un medio diel´ectrico con una velocidad que localmente excede la velocidad de la luz en ese medio. Cuando la part´ıcula pasa por el medio diel´ectrico interacciona con las mol´eculas locales induci´endoles una polarizaci´on que desaparece cuando la part´ıcula se aleja. En el proceso se emite un pulso electromagn´etico en forma de luz visible. La radiaci´on se emite en un cono cuyo eje es paralelo a la velocidad v de la part´ıcula y que tiene un ´angulo de semiapertura θ que depende del ´ındice de refracci´on n(ω) del medio, cos θ =

c . vn(ω)

(5.66)

Aqu´ı ω es la frecuencia de la radiaci´on emitida y c/n es la velocidad de la luz en el medio. La energ´ıa radiada por unidad de frecuencia dω por unidad de longitud dx recorrida por la part´ıcula en el material est´a dada por 

dE dωdx



Cher

  2πe2 c2 = 2 ω 1− . c n(ω)2 v 2

(5.67)

5.6 Radiaci´ on Compton inversa (Inverse Compton Scattering, IC) 85

Figura 5.7: Cono de radiaci´on Cherenkov emitido por un medio diel´ectrico cuando es atravesado por una part´ıcula cargada.

Usando que dx = v dt, la tasa de p´erdida de energ´ıa por unidad de frecuencia resulta 

dE dωdt



Cher

  2πe2 v c2 = . ω 1− c2 n(ω)2 v 2

(5.68)

Una aplicaci´on importante de la radiaci´on Cherenkov es en la detecci´on de rayos gamma de muy alta energ´ıa. Cuando estos entran en la atm´osfera terrestre disparan una cascada electromagn´etica. Los electrones y positrones que se crean pueden tener energ´ıas tan altas que su velocidad excede la de la luz en la atm´osfera. La radiaci´on Cherenkov que se emite puede detectarse al nivel de suelo, proveyendo informaci´on sobre los rayos gamma primarios. Es importante enfatizar que la radiaci´on Cherenkov es un proceso macrosc´opico, ya que involucra caracter´ısticas globales del medio como el ´ındice de refracci´on, y que la radiaci´on no es emitida por la part´ıcula sino por el medio.

5.6.

Radiaci´ on Compton inversa (Inverse Compton Scattering, IC)

Cuando un fot´on de energ´ıa Eph es dispersado por un electr´on de energ´ıa Ee , e− + γ → e− + γ.

(5.69)

el electr´on puede ceder energ´ıa al fot´on y producir rayos gamma. Este proceso se denomina efecto Compton inverso.

86

Procesos radiativos I

Eγ′

Eph θ

θ2′

−

e

′ Eph

θ2 Eγ

e−

Figura 5.8: Diagrama de la interacci´on Compton inversa vista en el sistema del laboratorio (izquierda) y el sistema en reposo del electr´on (derecha).

En la Figura 5.8 se muestra un esquema de la interacci´on en el sistema propio del electr´on y en el sistema del laboratorio, donde el electr´on est´a en movimiento antes de la colisi´on. Notaremos a las cantidades medidas en estos dos sistemas de referencia con s´ımbolos primados y no primados, respectivamente. A partir de la conservaci´on de la energ´ıa y del momento puede hallarse la energ´ıa del fot´on luego de la colisi´on, Eγ′ =

′ Eph , ′ 1 + (Eph /me c2 )(1 − cos θ2′ )

(5.70)

donde θ2′ es el ´angulo de dispersi´on. La energ´ıa final del fot´on en el sistema de referencia del laboratorio es entonces Eγ = γEγ′ (1 − β cos θ2′ ) , donde γ es el factor de Lorentz del electr´on y β =

(5.71)

p 1 − γ −2 .

′ Si Eph ≪ me c2 la interacci´on ocurre en el llamado l´ımite de Thomson.1 En este ′ regimen la colisi´on es casi el´astica en el sistema en reposo del electr´on y Eγ′ ≈ Eph . La m´axima energ´ıa que puede alcanzar el electr´on dispersado ser´a entonces

Eγ,max ≈ 4γe2 Eph ,

(5.72)

que corresponde al caso de una colisi´on frontal. Aunque la energ´ıa caracter´ıstica de los fotones dispersados es grande a´ un es mucho menor que la del electr´on, que en este l´ımite s´olo pierde una peque˜ na fracci´on de su energ´ıa en cada interacci´on. Consideremos un fot´on de energ´ıa Eph que se mueve formando un ´angulo θ respecto de la direcci´on de la velocidad del electr´on. En el sistema en reposo del electr´on este ´angulo vale 1

La condici´on equivalente en el sistema del laboratorio es Ee Eph ≪ m2e c4 .

5.6 Radiaci´ on Compton inversa (Inverse Compton Scattering, IC) 87

tan θ′ =

sin θ . γe (cos θ − β)

(5.73)

  θ . 2

(5.74)

Si el electr´on es muy energ´etico β ≈ 1 y 1 tan θ ≈ − cot γe ′

Entonces, en su sistema en reposo, el electr´on “ve” a los fotones incidir sobre ´el en direcci´on contraria a la de su movimiento y formando un cono de semi apertura ∼ 1/γ.

Algo parecido ocurre con el ´angulo de dispersi´on de los fotones en el sistema del laboratorio. Su valor es cos θ2′ + β cos θ2 = , 1 + β cos θ2′

(5.75)

donde θ2′ es el ´angulo de dispersi´on en el sistema en reposo del electr´on. Cuando β ∼ 1, cos θ2 ∼ 1, por lo que los fotones son dispersados en la direcci´on en la direcci´on del movimiento del electr´on antes de la colisi´on, dentro de un cono de semi apertura peque˜ na ∼ 1/γ.

5.6.1.

La secci´ on eficaz IC

La secci´on eficaz diferencial exacta para la interacci´on Compton est´a dada por la f´ormula de Klein-Nishina,

dσKN re2 = dΩ′2 dEγ′ 2

Eγ′ ′ Eph

!2

′ Eph Eγ′ + − sin2 θ2′ ′ Eγ′ Eph

!



 ′ δ Eγ −

′ Eph

1+

′ Eph me c2

(1 − cos θ2′ )



  , (5.76) 

′ donde re es el radio cl´asico del electr´on. En el l´ımite de Thomson, Eγ′ ≈ Eph y la secci´on eficaz se reduce a



re2 dσTh ′ 1 + cos2 θ2′ δ Eγ′ − Eph . ≈ ′ ′ dΩ2 dEγ 2

(5.77)

La secci´on eficaz total σIC es un invariante as´ı que puede hallarse, por ejemplo, integrando 5.76. Definiendo x = Ee Eph /m2e c4 , la secci´on eficaz total (promediada en ´angulo) en el sistema del laboratorio resulta

88

Procesos radiativos I

0.5

H =1 eV Thomson

0

0 Log ( VIC /VT )

Ŧ0.5

Log HΣIC  ΣT L

-1

KN Ŧ1

-2

Ŧ1.5

-3

Ŧ2 VT = 6.65 10 Ŧ2.5

-4 -2

0

-1

1

2

3

4

5

7

8

Ŧ25

9

2

cm

10

11

12

13

14

Log E [eV]

Log x

Figura 5.9: Secci´on eficaz de la interacci´on Compton inversa en funci´on de la variable x = Ee Eph /m2e c4 (izquierda) y de la energ´ıa del electr´on Ee para una energ´ıa inicial del fot´on fija ε = Eph = 1 eV.

σIC

3σT = 8x

   2 2 1 4 1 1 − − 2 ln (1 + 2x) + + − , x x 2 x 2 (1 + 2x)2

(5.78)

donde σT = (8/3)πre2 ≈ 0.66 × 10−24 cm2 es la secci´on eficaz de Thomson. En la Figura 5.9 se grafica la secci´on eficaz total. Se observa claramente que existen dos regimenes distintos de interacci´on. En el regimen de Thomson, para x 1, sin embargo, la secci´on eficaz total decrece abruptamente, 3 σIC ≈ σT x−1 ln (4x) 8

x >> 1.

(5.80)

5.6 Radiaci´ on Compton inversa (Inverse Compton Scattering, IC) 89 Este l´ımite se conoce como regimen de Klein-Nishina.

5.6.2.

Tasa de enfriamiento y espectro de emisi´ on

Consideremos la interacci´on de una disribuci´on de electr´on con un campo de fotones. Si la intensidad de electrones es Ie (Ee , ~r) y el campo de fotones viene dado por nph (Eph , ~r), la intensidad resultado de la interacci´on ser´a

Iγph (Eγ )

=

Z Z ~l

Emax

Emin

Z

∞

Ie (Ee , ~r)σ IC (Ee , Eγ , Eph )nph (Eph , ~r)dEph dEe d~r.

(5.81)

0

Podemos introducir un par´ametro ξ tal que ξ=

Ee Eph . (me c2 )2

(5.82)

Si ξ ≪ 1 la interacci´on es cl´asica y la secci´on eficaz puede ser aproximada por la de Thomson 8πe4 8 = πre2 2 4 3me c 3 −24 ∼ 0.66 × 10 cm2 .

σT =

(5.83)

A fin de poder resolver la ec. 5.81 debemos antes conocer la potencia radiada por un u ´nico electr´on que se mueve a trav´es de un campo de fotones con dstribuci´on en energ´ıa nph (Eph ). En el l´ımite de Thomson, el n´ umero de fotones que son dispersados por unidad de tiempo en el sistema propio del electr´on es ′ ′ c σT n′ph (Eph ) dEph .

(5.84)

La potencia total que se llevan estos fotones es ′ PIC

= cσT

Z


′ ′ ′ Eγ′ − Eph nph dEph .

(5.85)

′ Como Eγ′ >> Eph , la energ´ıa inicial del fot´on puede despreciarse en la diferencia que ′ ′ aparece en el integrando. Ahora bien, la cantidad (n′ph /Eph )dEph es un invariante relativista. Convirtiendo al sistema del laboratorio usando que

90

Procesos radiativos I

′ = γEph (1 − β cos(θ)), Eph

(5.86)

donde θ es el ´angulo entre las direcciones de movimiento del electr´on y el fot´on en el sistema del laboratorio, obtenemos

PIC (Eγ ) = c σT γ

2

Z

(1 − β cos(θ))2 Eph nph (Eph ) dEph

PIC (Eγ ) = c σT γ 2 (1 + 1/3β 2 )ωph ,

(5.87)

donde ωph =

Z

Eph nph (Eph )dEph

(5.88)

es la densidad de energ´ıa del campo de fotones, y hemos sumado sobre todos los ´angulos, 1 2

Z

1 −1

(1 − β cos(θ))2 d(cos(θ)).

(5.89)

Luego, la energ´ıa perdida por unidad de tiempo por el electr´on es la energ´ıa que recibi´o menos la que radi´o, 

dEe dt



IC

= c σT ωph − c σT γ 2 (1 + 1/3β 2)ωph = c σT ωph (1 − γ 2 − 1/3β 2γ 2 ) ≈ −c σT ωph (γ 2 + 1/3γ 2 ) ≈ −4/3 c σT γ 2 ωph ,

(5.90)

de donde

−



dEe dt



IC

≈ 4/3 c σT γ 2 ωph ≈ 2 × 10−14 ωph γ 2 eV s−1 .

Recordemos que esta expresi´on es v´alida en el r´egimen de Thomson.2 Si definimos la escala temporal de las p´erdidas como 2

Las unidades de las p´erdidas por IC son eV/s si [ωph ] = eV/cm3 .

(5.91)

5.6 Radiaci´ on Compton inversa (Inverse Compton Scattering, IC) 91

tperd ∼ E



dE dt

−1

,

(5.92)

entonces tIC ωmag T ≈ . tsinc ωph

(5.93)

O sea que, en el r´egimen de Thomson, la importancia relativa de las p´erdidas sincrotr´on e inverse Compton depende u ´nicamente del cociente entre las densidades de energ´ıa del campo magn´etico y el campo de radicai´on. Podemos definir el n´ umero total de fotones por unidad de volumen como ntot =

ωph , < Eph >

(5.94)

donde < Eph > es la energ´ıa media de los fotones antes de la colisi´on. De ellos, cσT ntot fotones inciden sobre el electr´on por unidad de tiempo. Por tanto, el n´ umero de interacciones por unidad de volumen por unidad de tiempo es cσT ωph / < Eph >. Si despu´es de la interacci´on la energ´ıa media de los fotones es < Eγ >, la p´erdida de energ´ıa es < Eγ > c σT

ωph 4 = c σT γ 2 ωph < Eph > 3

4 < Eγ >= γ 2 < Eph > . 3

(5.95)

(5.96)

La energ´ıa m´axima de los fotones dispersados se obtiene cuando ocurre un choque de frente y cos(θ) = −1. En ese caso, Eγmax = 4γ 2 Eph .

(5.97)

La forma del espectro resultante por interacciones Compton inversas depender´a de la distribuci´on incidente de electrones relativistas y de la distribuci´on del campo de fotones. Para una distribuci´on de electrones tipo ley de potencias, Ie (Ee ) = Ke Ee−p , y una distribuci´on de fotones nph monoenerg´etica, la integral de la ec. 5.81 nos da IγIC (Eγ )

1 = nph L σT (me c2 )(1−p)/2 2



4 < Eph > 3

(p−1)/2

Ke Eγ−(p+1)/2 .

(5.98)

92

Procesos radiativos I

Aqu´ı L es la dimensi´on t´ıpica de la fuente, < Eph > la energ´ıa de los fotones originales y nph su densidad. En el Ap´endice A se muestra la deducci´on de esta ecuaci´on, v´alida en el r´egimen de Thomson. Si en cambio la distribuci´on de fotones es t´ermica con una temperatura caracter´ıstica T, IγIC (Eγ ) =

(me c2 )(1−p)/2 re2 L Ke (κT )(p+5)/2 F (p) Eγ−(p+1)/2 , 4π 2 ~3 c3

(5.99)

donde     2p+3 (p2 + 4p + 11)Γ 12 (p + 5) ζ 12 (p + 5) F (p) = (p + 3)2 (p + 1)(p + 5)

(5.100)

P x on de Riemann. Algunos valores de F (p) para distintos y ζ(x) = ∞ n=1 1/n es una funci´ valores del ´ındice espectral de la distribuci´on de electrones son: 1.5 2.0 2.5 p F (p) 3.91 5.25 7.57

Cuando ξ ≫ 1, los efectos cu´anticos se hacen importantes y cambia el r´egimen de interacci´on. En este r´egimen, llamado de Klein-Nishina, el electr´on pasa casi toda su energ´ıa al fot´on: Eγ ∼ Ee .

(5.101)

Como ya hemos visto, en este r´egimen la secci´on eficaz decrece dramaticamente (ver Figura 5.9). A altas energ´ıas la secci´on eficaz se hace mucho m´as peque˜ na que la de Thomson y el flujo gamma (proporcional al n´ umero de interacciones) se reduce en forma importante. La tasa de p´erdida de energ´ıa del electr´on en este r´egimen pueden escribirse como

−



dEe dt

KN IC

2    3 2γ < Eph > 1 me c2 = ln c σT ωph + 8 < Eph > me c2 2  2   2 me c 2γ < Eph > ≈ 10−14 ωph ln eV s−1 . (5.102) 2 < Eph > me c

Existen parametrizaciones para la secci´on eficaz de la interacci´on Compton inversa que se comportan adecuadamente en los l´ımites de bajas y altas energ´ıas. Un ejemplo es la dada por Blumenthal & Gould (1970):

5.6 Radiaci´ on Compton inversa (Inverse Compton Scattering, IC) 93

σIC (x, Eph , γ) =

3σT f (x). 4ǫph γ 2

(5.103)

Aqu´ı    (4ǫph γx)2 (1 − x) 1 P f (x) = 2x ln x + x + 1 − 2x + , 1, x , 2(1 + 4ǫph γx) 4γ 2 

2

(5.104)

donde ǫph =

Eph , me c2

x=

4ǫph

ǫγ =

ǫγ 2 γ (1 −

Eγ , me c2

(5.105)

,

(5.106)

ǫγ /γ)

y P =



1 si 0 si

1 4γ 2 1 4γ 2

≤x≤1 > x > 1.

La energ´ıa m´axima de los fotones dispersados es: ∼ ǫmax γ

2 4ǫph γmax 1 + 4ǫph γmax

(5.107)

Eemax . me c2

(5.108)

con γmax =

Se han derivado tambi´en expresiones u ´tiles para las p´erdidas que se reducen a los casos l´ımites de Thomson y Klein-Nishina. La m´as exacta es la de Aharonian y Atoyan (1981):

−



dEe dt

IC

  b 6 3σT c me c2 nph 6+ + ln(1 + b) − ln2 (1 + b) − = 4ǫph b 2 b    1 (11/12)b3 + 8b2 + 13b + 6 2Li − . (5.109) 1+b (1 + b)2

donde b = 4ǫph ǫe y Li(x) = −

Z

1 x

(1 − y)−1 ln(y)dy.

(5.110)

94

5.7.

Procesos radiativos I

Radiaci´ on por producci´ on de foto-mesones

La interacci´on de protones energ´eticos con fotones puede resultar en la creaci´on de piones a trav´es de las reacciones p + γ −→ ∆+ −→ p + π 0 p + γ −→ ∆+ −→ n + π + .

(5.111)

Para que esto ocurra la energ´ıa del fot´on en el sistema en reposo del prot´on debe superar el valor umbral ǫ′th

= mπ



mπ 1+ 2mp



= 144.7 MeV.

(5.112)

Para energ´ıas mayores tambi´en es posible la creaci´on de m´ ultiples piones, p + γ −→ p + π + + π −

p + γ −→ p + n π 0 + m (π + + π − )

n, m = 0, 1, 2 . . .

(5.113)

La vida media de los piones cargados es de ∼ 2.6 × 10−8 s. Decaen produciendo, con una probabilidad del 99.98770 %, un neutrino y un mu´on, que a su vez decae en un electr´on/positr´on y otro neutrino,

π + → µ+ + νµ

µ+ → e+ + νe ,

π − → µ− + ν µ

µ− → e− + ν e .

(5.114)

Los piones neutros tienen una vida media mucho m´as corta, ∼ 8.4 × 10−17 s. Decaen el 98.798 % de las veces en dos fotones, π o → 2γ.

(5.115)

En la Figura 5.10 se muestra un gr´afico de la secci´on eficaz. La secci´on eficaz para el proceso p + γ −→ p + π 0 tiene un pico de ∼ 0.25 mb para ǫ′ ∼ 300 MeV, y luego decrece a menos de 30 µb cerca de ǫ′ ∼ 1 GeV. Algo similar ocurre para la secci´on eficaz del proceso p + γ −→ n + π + , pero con un segundo pico de ∼ 0.1 mb para ǫ ∼ 700 MeV. El valor medio de la secci´on eficaz total, para todos los canales de interacci´on, es del orden de < σpγ >∼ 0.1 mb.

(5.116)

5.7 Radiaci´ on por producci´ on de foto-mesones 300

95

350 SOPHIA 1.4 + γp → n π

SOPHIA 1.4 0 γp → p π

300

250

100

(µbarn)

(µbarn) σ

250 200

150

200

σ

150 100 50

50

0 0.1

1

10

ε’

0 0.1

100

1

10

ε’

(GeV)

100

(GeV)

Figura 5.10: Secci´on eficaz para la creaci´on de piones por interacciones prot´on-fot´on. Los puntos son datos experimentales y la curva s´olida la secci´on eficaz calculada usando el c´odigo Monte Carlo SOPHIA para interacciones fotohadr´onicas (M¨ ucke et al. 2000).

Dermer & Atoyan (2003) han propuesto la siguiente parametrizaci´on sencilla:

′

σpγ (ǫ ) ≈

(

340 µb

200 MeV ≤ ǫ′ ≤ 500 MeV

120 µb

ǫ′ > 500 MeV.

El primer rango de energ´ıa corresponde, aproximadamente, a aquel donde se produce un s´olo pi´on por interacci´on, mientras que en el segundo es posible que se creen m´ utiples piones por colisi´on. Las tasa de p´erdida de energ´ıa para un prot´on que interacciona con un campo de fotones con una distribuci´on en energ´ıa n(ǫ) se calculan como (Stecker 1968)

−



dEp dt

pγ π

mp c3 = 2γp2

Z

∞

nph (ǫ) dǫ ǫ2 ǫth /2γp

Z

2ǫγp

dǫ′ σpγ (ǫ′ ) κpγ (ǫ′ ) ǫ′ .

(5.117)

ǫth

Aqu´ı κpγ (ǫ′ ) es la inelasticidad, que se define como la fracci´on de su energi´a inicial que pierde el prot´on en la interacci´on. De acuerdo con Atoyan & Dermer (2003), κpγ tambi´en puede aproximarse en forma sencilla por una funci´on de tipo escal´on,

′

κpγ (ǫ ) ≈

(

0.2

200 MeV ≤ ǫ′ ≤ 500 MeV

0.6

ǫ′ > 500 MeV.

En el caso de un campo de radiaci´on t´ermico de densidad de energ´ıa ωph con una energ´ıa media por fot´on < kT >, se obtiene (Mannheim & Schlickeiser 1994)

96

−



Procesos radiativos I

dEp dt

pγ π

= 1.8 × 10

10



ωph erg cm−3



< kT > eV

−2

eV s−1 .

(5.118)

Para un campo de radiaci´on con una distribuci´on en energ´ıas del tipo ley de potencias nph ∝ ǫ−2 , en cambio, −



dEp dt

pγ π

= 4.3 × 10

−7



ωph erg cm−3



Ep GeV

2

eV s−1 .

(5.119)

La intensidad de los piones resultantes puede obtenerse en forma similar a lo visto para la producci´on de fotones a trav´es de la interacci´on Compton inversa, utilizando las secciones eficaces adecuadas al caso,

Iπpγ (Eπ )

=

Z Z ~l

∞ Eπ

Z

∞

Ip (Ep , ~r) σpγ (Ep , Eπ , Eph ) nph (Eph , ~r) dEph dEp d~r.

(5.120)

0

Aproximadamente 1/3 de los piones creados ser´an π 0 , que decaer´an en rayos γ. De acuerdo con Kelner & Aharonian (2008), la emisividad de rayos gamma (en unidades de erg−1 cm−3 s−1 ) producto del decaimiento de piones neutros creados en interacciones fotohadr´onicas puede calcularse como qγ (Eγ ) =

Z

Np (Ep ) nph (ǫ) Φ (η, x)

dEp dǫ. Ep

(5.121)

En esta expresi´on Np (Ep ) y nph (ǫ) son las distribuciones en energ´ıa de los protones y fotones, respectivamente, η = 4ǫEp /m2p c4 y x = Eγ /Ep . La funci´on Φ (η, x) vale  Bγ [ln 2]2.5+0.4 ln(η/η0 )       (    δγ )   2.5+0.4 ln(η/η0 ) x 2 Φ= Bγ exp −sγ ln ln   x− 1 + y2      0

x < x− x− < x < x+ x > x+

donde, si r = mπ /mp , x± =

h i p 1 η + r 2 ± (η − r 2 − 2r) (η − r 2 + 2r) , 2(1 + η)

(5.122)

5.8 Formaci´ on de pares por interacciones foto-hadr´ onicas

y=

x − x− , x+ − x−

97

(5.123)

y el valor de η0 est´a relacionado con la energ´ıa umbral, η0 = 2

mπ m2π + 2. mp mp

(5.124)

Finalmente, los valores de Bγ , δγ y sγ (en unidades de cm3 s−1 ) en funci´on de η est´an tabulados en Kelner & Aharonian (2008). Un tratamiento alternativo m´as sencillo para calcular la emisividad de rayos gamma es el de Atoyan & Dermer (2003), que hace uso de la llamada aproximaci´on de la funcional δ. En este formalismo se supone que la energ´ıa de cada tipo de part´ıcula que se crea producto de la interacci´on puede tener un u ´nico valor. En el canal de producc´ıon de un u ´nico pi´on por colisi´on la inelasticidad vale κ1 ∼ 0.2. Entonces, si la energ´ıa del prot´on es Ep , la energ´ıa de cada π 0 ser´a Eπ0 ≈ 0.2Ep y la de cada fot´on Eγ ≈ 0.5Eπ0 = 0.1Ep . En el regimen de produccci´on de m´ ultiples piones la inelasticidad vale κ2 ∼ 0.6. La energ´ıa perdida por el prot´on se divide casi completamente entre tres piones (π 0 , π − y π + ) llamados “leading pions”; cada uno tendr´a una energ´ıa Eπ ≈ 0.2Ep . La energ´ıa de cada rayo gamma ser´a entonces nuevamente Eγ ≈ 0.1Ep . Teniendo adem´as en cuenta que en cada colisi´on pγ existe una probabilidad ξ ≈ 0.5 de que el prot´on se convierta en un neutr´on con la emisi´on de un π + , la emisividad de rayos gamma resulta qγ (Eγ ) ≈ 20 (1 − ξP1) νpγ (10Eγ ) Np (10Eγ ) .

(5.125)

Aqu´ı νpγ es la tasa de colisiones, νpγ

mp c3 = 2γp2

Z

∞

nph (ǫ) dǫ ǫ2 ǫth /2γp

Z

2ǫγp

dǫ′ σpγ (ǫ′ ) (ǫ′ ) ǫ′ ,

(5.126)

ǫth

y P1 = (κ1 − κ ¯ pγ ) / (κ2 − κ1 ) es la probabilidad de que la interacci´on proceda a trav´es del canal de creaci´on de un u ´nico pi´on. La inelasticidad media es κ ¯ pγ = t−1 pγ /νpγ .

5.8.

Formaci´ on de pares por interacciones foto-hadr´ onicas

Para energ´ıas del fot´on en el sistema de referencia del prot´on mayores que ǫ′th = 2me c2 = 1.022 MeV, de la interacci´on entre un prot´on relativista y un fot´on pueden crearse pares:

98

Procesos radiativos I

p + γ −→ p + e+ + e− .

(5.127)

La secci´on eficaz diferencial es la de Bethe-Heitler:

′

σ(Ee− , ǫ ) dEe−

4αr 2 = ′3 e ǫ

     2Ee− Ee+ 2 1 2 2 ln dEe− , Ee− + Ee+ + Ee− Ee+ − 3 ǫ′ me c2 2

(5.128)

donde α = 1/137 es la constante de estructura fina y Eph es la energ´ıa del fot´on en el sistema del prot´on. La secci´on eficaz total σ(Eph ) se obtiene integrando desde Ee− = me c2 hasta Ee− = Eph − me c2 , 4αre2



σe± (Eph ) = 4αre2



σe± (Eph ) =

7 ln 9



2Eph me c2



109 − 54

1 7 ln(183) − 9 54



si

2Ee− Ee+ me c2 ≪ Eph α (5.129)



2

si

2Ee− Ee+ me c . ≫ Eph α

Notar que 4αre2 ≈ 2.3 × 10−27 cm2 .

Una parametrizaci´on u ´til para la inelasticidad κe± puede encontrarse en Begelman, Rudak & Sikora (1990). Con un error menor al 1 %, para x′ = ǫ′ /me c2 < 1000 puede aproximarse como

κe± ≈ 4

 me 1  1 + 0.3957 ln (x′ − 1) + 0.1 ln2 (x′ − 1) + 0.0078 ln3 (x′ − 1) . ′ mp x

(5.130)

Es interesante notar que la secci´on eficaz para la producci´on de pares es ∼ 100 veces m´as grande que la de la creaci´on de fotomesones. Sin embargo, la inelasticidad del proceso de creaci´on de pares es muy peque˜ na, κe± ≤ 2me /mp . Esto significa que, apenas se supera el umbral para la creaci´on de piones, este proceso pasa a dominar las p´erdidas radiativas de los protones. La tasa de p´erdida para un prot´on que interacciona con una distribuci´on de fotones se calcula de forma an´aloga al caso de producci´on de fotomesones, −



dEp dt

pγ

e±

mp c3 = 2γp2

Z

∞

nph (ǫ) dǫ ǫ2 ǫth /2γp

Z

2ǫγp

dǫ′ σe± (ǫ′ ) κe± (ǫ′ ) ǫ′ .

(5.131)

ǫth

La Figura 5.11 muestra un gr´afico de la tasa de p´erdida de energ´ıa de un prot´on en funci´on de su energ´ıa debido a la interacci´on con fotones del fondo c´osmico de radiaci´on,

5.9 Producci´ on de pares “triple” (triplet pair production, TPP) 99 de acuerdo con los c´alculos de Kelner & Aharonian (2008). Para energ´ıas mayores a Ep ∼ 6 × 1019 eV las p´erdidas por creaci´on de mesones dominan completamente el enfriamiento. Debido entonces a la interacci´on con los fotones del fondo c´osmico, no se espera que lleguen a la Tierra protones con energ´ıas mayores a ∼ 1020 eV provenientes de fuentes a distancias mayores a unos 50 Mpc. Deber´ıa aparecer por lo tanto un quiebre en el espectro de rayos c´osmicos a muy altas energ´ıas, efecto conocido como de Greisen-Zatsepin-Kuzmin (efecto GZK).

Figura 5.11: Tasa de p´erdida de energ´ıa por interacciones fotohadr´onicas con el fondo c´osmico de radiaci´on. La producci´on de pares es importante a energ´ıas por debajo del umbral de creaci´on de piones, que luego domina completamente el enfriamiento de los protones. De Kelner & Aharonian (2008).

5.9.

Producci´ on de pares “triple” (triplet pair production, TPP)

Un electr´on o un positr´on pueden producir un par electr´on-positr´on al interaccionar con un fot´on a trav´es de la reacciones e− + γ −→ e− + e− + e+ e+ + γ −→ e+ + e− + e+ .

(5.132)

Para que el proceso sea posible la energ´ıa de las part´ıculas debe superar cierto valor umbral. Medida en el sistema en reposo del electr´on (positr´on), la energ´ıa del fot´on debe ser

100

Procesos radiativos I

> 4me c2 . La secci´on eficaz para esta interacci´on se puede aproximar como: σTPP (k ′ ) = α σT f (ǫ′ )

(5.133)

donde α = 1/137 es la constante de estructura fina, σT es la secci´on eficaz de Thomson, ǫ′ = Eγ′ /me c2 es la energ´ıa del fot´on en el sistema de referencia en reposo del electr´on y f es una funci´on que vale ∼ 1 para energ´ıas cerca del umbral. Algunos valores de f para distintos valores de ǫ son: f (100) f (300) f (103 ) f (104 )

= = = =

0.86 1.32 1.81 2.70.

As´ı para un electr´on de 10 GeV que interacciona con un fot´on de 100 keV, σTPP ≃ 10 mb.

La tasa de p´erdida de energ´ıa para un electr´on de energ´ıa Ee que interacciona con una distribuci´on de fotones n(ǫ) es −



dEe dt



TPP

≈

√

2αcσT Ee

Z

ǫmax ǫmin

n(ǫ) dǫ 2 ǫ

Z

2ǫEe

dǫ′ ǫ′1/2 f (ǫ′ ).

(5.134)

4

En el caso particular de una distribuci´on monoenerg´etica de fotones de energ´ıa ǫ y densidad nph , y aproximando adem´as f (ǫ′ ) ∼ 1, −



dEe dt



TPP

 γ 1/2 8 e ≈ αc σT nph , 3 ǫ

(5.135)

donde γe = Ee /(me c2 ). Para m´as detalles sobre este proceso, ver Mastichiadis (1991) y Dermer & Schlickeiser (1991).

Cap´ıtulo 6 Procesos radiativos II Estudiaremos ahora los procesos producidos por la interacci´on de part´ıculas relativistas con la materia.

6.1. 6.1.1.

Interacciones de electrones relativistas con materia Bremsstrahlung relativista

Es la radiaci´on producida cuando un electr´on relativista es acelerado en el campo electroest´atico de un n´ ucleo u otra part´ıcula cargada. Si consideramos un electr´on con energ´ıa Ee ≫ me c2 que es dispersado por un n´ ucleo de carga Ze, un fot´on de energ´ıa Eγ es producido. La secci´on eficaz para la interacci´on es: σB (Ee , Eγ )dEγ =

4αre2 Z 2 φ(Ee , Eγ )dEγ , Eγ

[σB ] = f raccm2 erg,

(6.1)

donde, como antes, re = e2 /(me c2 ) es el radio cl´asico del electr´on y α ≈ 1/137 es la constante de estructura fina. La funci´on φ viene dada por:   2 #     Eγ 1 2Ee (Ee − Eγ ) Eγ 2 1− × ln − φ(Ee , Eγ ) = 1 + 1 − − Ee 3 Ee me c2 Eγ 2 "

(6.2)

para un n´ ucleo desnudo. Para el caso en que el n´ ucleo est´a completamente apantallado por todos los electrones: 2  #      Eγ 191 Eγ 1 2 Eγ 1− ln 1− . + − φ(Ee , Eγ ) = 1 + 1 − Ee 3 Ee Z 1/3 9 Ee "

(6.3)

102

Procesos radiativos II

Una vez que se conoce la expresi´on para la secci´on eficaz, la intensidad de la radiaci´on producida se obtiene de inmediato: IγB (Eγ )

=

Z Z ~l

∞

na (~r)σB (Ee , Eγ )Ie (Ee , ~r)dEe d~r

(6.4)

Eγ

donde na es la densidad de ´atomos e Ie es el espectro de los electrones relativistas. Si consideramos: Ie (Ee ) = Ke Ee−p

(6.5)

en el caso Ee ≫ me c2 y para ´atomos con apantallamiento completo (como el caso del hidr´ogeno neutro del medio interestelar) se obtiene: IγB (Eγ )dEγ

mp N(L) = χ0

donde N(L) =

Z



 Ke Eγ−p dEγ p−1

(6.6)

L

na dl,

(6.7)

0

y

A g cm−2 4αN0 ln(191 Z −1/3 ) donde N0 es el n´ umero de Avogadro y A es el peso at´omico. χ0 =

Z2

re2

(6.8)

Es importante destacar que el espectro de rayos γ resultante tiene la misma forma que el espectro original de electrones relativistas. Las p´erdidas por Bremsstrahlung son muy grandes para los electrones, siendo Eγ ∼ Ee .

Las p´erdidas para un electr´on individual vienen dadas por: −



dEe dt



= cna

Z

Ee −me c2

Eγ σB (Ee , Eγ )dEγ .

(6.9)

0

B

En el caso de un plasma ionizado (sin apantallamiento) ´estas resultan ser: −



dEe dt



= 4na Z 2 re2 αc[ln(γe ) + 0.36]Ee .

(6.10)

B

En el caso de apantallamiento total, tenemos: −



dEe dt



= B

4na Z 2 re2 αc

  1 −1/3 ln(183 Z )− Ee . 18

(6.11)

6.2 Interacciones de protones relativistas con materia

6.2. 6.2.1.

103

Interacciones de protones relativistas con materia Radiaci´ on por decaimiento de piones

Los principales canales para la producci´on de piones en interacciones hadr´onicas p − p son: p + p −→ p + p + aπ 0 + b(π + + π − ) p + p −→ p + n + π + + aπ 0 + b(π + + π − ) p + p −→ n + n + 2π + + aπ 0 + b(π + + π − )

(6.12)

donde a y b son enteros positivos cualesquiera.

El umbral de energ´ıa cin´etica de los protones para que se produzcan las reacciones es: Eth ∼ 2mπ c donde mπ c2 ∼ 135 MeV.

2



mπ 1+ 4mp



≈ 280 MeV

(6.13)

La vida media de los π 0 es τ¯ ∼ (8.4 ± 0.6) × 10−17 s. Luego decaen como π 0 −→ γ + γ

(98.8 %).

(6.14)

Los piones cargados viven τ¯ ∼ 2.6 × 10−8 s y decaen como π ± −→ µ± + ν¯µ (νµ )

(99.99 %).

(6.15)

Consideremos, a continuaci´on, el decaimiento de los π 0 . Si el π 0 est´a en reposo cada uno de los rayos γ tendr´a una energ´ıa 1 Eγ = mπ c2 ∼ 67.5 2

MeV.

(6.16)

Sin embargo, los piones neutros rara vez son creados en reposo y por tanto decaen en vuelo. Consideremos el decaimiento para un pi´on que en el sistema del laboratorio tiene una velocidad βπ c. En el sistema de referencia del pi´on los dos rayos γ salen formando ´angulos α y (π + α) con la direcci´on de la velocidad del pi´on, a fin de que se conserve el momento. En la Figura 6.1 se muestra un diagrama de esta situaci´on. La distribuci´on de los γ ser´a isotr´opica en el sistema de los piones (o sea que α cambia aleatoriamente de un pi´on a otro). El n´ umero de rayos γ emitidos entre α y α + dα es: N(α)dα = sin(α)dα.

(6.17)

104

Procesos radiativos II

γ1 α π0

π +α

γ2 ´ Figura 6.1: Angulos en el decaimiento de un pi´on neutro, medidos en el sistema co-movil. La flecha punteada indica la direcci´on de movimiento en el sistema de laboratorio.

Si el γ tiene una energ´ıa en el centro de masas de Eγcm , entonces, en el sistema del laboratorio:

Eγ = Luego:

Eγcm (1 − βπ cos(α)) p 1 − βπ2

Eγcm βπ sin(α)dα p dEγ = 1 − βπ2 Eγcm βπ N(α)dα p dEγ = 1 − βπ2 p 1 − βπ2 1 dEγ . N(α)dα = Eγcm βπ

(6.18)

(6.19)

Como N(Eγ )dEγ = N(α)dα entonces

(6.20)

6.2 Interacciones de protones relativistas con materia

N(Eγ )dEγ

1 = Eγcm

1 N(Eγ ) = Eγcm

p p

105

1 − βπ2 dEγ βπ 1 − βπ2 βπ

1 γπ Eγcm βπ 2 N(Eγ ) = γπ mπ c2 vπ /c 2 N(Eγ ) = γπ mπ c vπ 2 N(Eγ ) = cpπ

N(Eγ ) =

(6.21)

Como Eπ2 = c2 p2π + m2π c4 , entonces 2 N(Eγ ) = p 2 Eπ − m2π c4 2 dEγ N(Eγ )dEγ = p Eπ2 − m2π c4

(6.22)

Notar que la distribuci´on de los rayos γ del decaimiento de piones con energ´ıa γπ mπ c2 es un rect´angulo de altura 2/(cpπ ) que se extiende desde ((1 − βπ )/(1 + βπ ))1/2 Eγcm hasta ((1 + βπ )/(1 − βπ ))1/2 Eγcm .

Cuanto mayor sea la energ´ıa del pi´on, m´as achatado ser´a el rect´angulo, pero tambi´en m´as alargado. En escala logar´ıtmica, el centro de cada rect´angulo cae en Eγcm = 67.5 MeV. Si tenemos piones de diferentes energ´ıas, se produce un pico a esta energ´ıa (ver la Figura 6.2). Cuando los protones tienen energ´ıa que superan largamente la del umbral, se pueden crear muchos piones. La fracci´on de energ´ıa del prot´on incidente que pasa a los piones es llamada la inelasticidad η y el n´ umero de piones creados es la multiplicidad ξ. En general:

η(Ep ) ∝ Epδ ξ(Ep ) ∝ Epǫ . Si los protones incidentes tienen una distribuci´on tipo ley de potencia:

(6.23)

106

Procesos radiativos II

Figura 6.2: Esquema de la distribuci´on espectral de rayos γ resultantes de una poblaci´on de piones neutros.

Np (Ep ) dEp = Kp Ep−Γ dEp

(6.24)

Nπ (Eπ ) dEπ ∝ Np (Ep )ξ(Ep ) dEp

(6.25)

entonces,

donde, en promedio Eπ ∝ Ep

η(Ep ) ξ(Ep )

=⇒

Ep ∝ Eπ1/(1+δ−ǫ) .

(6.26)

Luego, Nπ (Eπ ) dEπ ∝ Eπ−p dEπ con p=

Γ + δ − 2ǫ 1+δ−ǫ

(6.27)

6.2 Interacciones de protones relativistas con materia

107

Como experimentalmente δ = 0 y ǫ = 1/4 p=

4 1 Γ − 1/2 ∼ (Γ − ). 1 − 1/4 3 2

(6.28)

Para Γ = 2 −→ p = 2 y se respeta el espectro.

La emisividad γ producida por piones neutros con una emisividad qπ (Eπ ) es: qγ (Eγ ) = 2

Z

∞

Eπmin

con

Eπmin (Eγ )

p

qπ (Eπ ) dEπ Eπ2 − m2π c4

m2π c4 . = Eγ + 4Eγ

(6.29)

(6.30)

La emisividad qπ (Eπ ), a su vez, es: qπ (Eπ , ~r) = 4π

Z

Epmax

n(~r) Ip (Ep )

Epmin

dσπ (Ep , Eπ ) dEp . dEπ

(6.31)

Aqu´ı dσπ (Ep , Eπ )/dEπ es la secci´on eficaz diferencial para la producci´on de π 0 de energ´ıa Eπ por un prot´on de energ´ıa Ep en una interacci´on p − p. n(~r) es la densidad de part´ıculas que act´ uan como ”blanco”para los protones relativistas. En general: dσπ (Ep , Eπ ) dNπ (Ep , Eπ ) =< ξσπ (Ep ) > dEπ dEπ

(6.32)

donde ξ es la multiplicidad y < ξσπ (Ep ) > es la secci´on eficaz inclusiva, mientras que dNπ (Ep , Eπ )/dEπ es la funci´on de distribuci´on normalizada. En las Figuras 6.3 y 6.4 se muestran las diferentes curvas para las secciones eficaces y el producto de la secci´on eficaz por la multiplicidad, respectivamente. En la pr´actica se utilizan diferentes aproximaciones con parametrizaciones adecuadas de la secci´on eficaz. En la aproximaci´on de la funci´on delta, tenemos:

Qπ0 (Eπ0 ) = 4πn Qπ0 (Eπ0 ) =

Z

dEp Ip (Ep ) δ(Eπ0 − κEkin ) σpp (Ep )

Eπ0 Eπ0 4πn Ip (mp c2 + )σpp (mp c2 + ) κ κ κ

(6.33)

108

Procesos radiativos II

Figura 6.3: Secci´on eficaz p−p y p− p¯ en funci´on de la energ´ıa cin´etica medida en el sistema de laboratorio.

Figura 6.4: Secci´on eficaz inclusiva p − p para la creaci´on de piones. Los puntos son datos de aceleradores de part´ıculas.

6.2 Interacciones de protones relativistas con materia

109

donde Ekin = Ep − mp c2 es la energ´ıa cin´etica del prot´on, κ es la fracci´on de esta energ´ıa cin´etica que es transferida a piones neutros y σpp es la secci´on eficaz total para interacciones p − p.

Experimentalmente, sobre un amplio rango de energ´ıas (GeV a TeV) κ ∼ 0.17. Para σpp se usa la siguiente parametrizaci´on: σpp (Ep ) =



 30 × 0.95 + 0.06 log 0

Ekin GeV




mb Ep ≥ 1 GeV Ep ≤ 1 GeV

(6.34)

Un m´etodo alternativo, semi-emp´ırico, es el de los momentos espectrales pesados. En este, directamente escribimos qγ (Eγ , ~r) ≈ 4π σpp n(~r) 2

Γ Zp→π 0

Ip (Ep )ηA Γ donde hemos evaluado en Eγ al espectro de protones que se asume: Ip (Ep ) = Kp Ep−Γ .

(6.35)

(6.36)

Γ Zp→π 0 son los momentos espectrales pesados, cuyo valor cambia con Γ:

2 Zp→π 0 = 0.17

2.2 Zp→π 0 = 0.092

2.6 Zp→π 0 = 0.048

2.8 Zp→π 0 = 0.036

2.4 Zp→π 0 = 0.066

(6.37)

Estos n´ umeros representan la fracci´on aproximada de la energ´ıa del prot´on que va a los 0

π . La secci´on eficaz, como antes, se puede parametrizar por: 



Ekin σpp (Ep ) ≈ 30 × 0.95 + 0.06 log GeV



mb

(6.38)

con Ep ≈ 2ξEγ /η y Ep > 1 GeV.

Notar que a 1 TeV σpp ∼ 34 mb.

El par´ametro ηA tiene en cuenta la contribuci´on de n´ ucleos m´as pesados que el H. Para la composici´on t´ıpica del medio interestelar ηA ∼ 1.4 − 1.5.

Un m´etodo alternativo consiste en dar una parametrizaci´on de la secci´on eficaz diferencial para la producci´on de piones neutros. Blattnig et al. (2000) han propuesto: dσπ (Eπ , Ep ) = eA dEπ0

mb GeV−1

(6.39)

110

Procesos radiativos II

con  A = −5.8 −

4.5 13.5 1.82 − + 2 0.2 2 0.4 (Ep − mp c ) (Eπ0 − mπ0 c ) (Eπ0 − mπ0 c2 )0.4



,

(6.40)

donde las energ´ıas van en GeV. Esta parametrizaci´on da resultados m´as exactos a bajas energ´ıas que el m´etodo de la funci´on δ, el cu´al, a su vez, es m´as preciso a altas energ´ıas. La m´as reciente parametrizaci´on para la secci´on eficaz de la interacci´on pp es la dada por Kelner, Aharonian & Bugayov (2006): σpp (Ep ) = 34.3 + 1.88 L + 0.25 L2

mb,

(6.41)

donde L = log(Ep /1 TeV). Las p´erdidas por emisi´on de piones para un prot´on que se mueve a velocidad relativista en un medio de hidr´ogeno de densidad nH son: −



dEp dt



π

= 0.65 c nH σpp (Ep − mp c2 )Θ(Ep − 1.22GeV)

(6.42)

donde Θ es una funci´on de Heaviside (Θ(x) = 1 para x ≥ 0 y Θ(x) = 0 para x < 0) y 1.22 GeV es el umbral de energ´ıa para la producci´on de piones. La multiplicidad de los piones es: ξπ (Ep ) = N0 Epǫ ,

con N0 = 0.33 y ǫ = 1/4.

(6.43)

Estos piones producidos por la interacci´on p − p son 1/3 de π + , 1/3 de π − , y 1/3 de π 0 .

La energ´ıa total del prot´on que va a los piones es: η(Ep ) = κ0 Epδ .

(6.44)

Experimentalmente δ = 0 y κ0 = 1/3 por lo que aproximadamente 30 % de la energ´ıa del prot´on va a los piones. La energ´ıa media de estos es: κ0 Epδ Ep κ0 δ−ǫ+1 = E < Eπ > = ǫ N0 Ep N0 p 1 < Eπ > = E 0−1/4+1 3 × 3.3 p < Eπ > ≈ 0.1 Ep3/4 donde [EP ]= GeV.

(6.45)

6.2 Interacciones de protones relativistas con materia

111

La intensidad espectral en una fuente es: Iγ (Eγ ) =

6.2.2.

Z

¯ l

qγ (Eγ , ~r)dr.

(6.46)

Radiaci´ on por aniquilaci´ on prot´ on-antiprot´ on

La reacci´on b´asica es: p + p¯ −→ ξπ.

(6.47)

p + p¯ → π 0 est´a prohibida por conservaci´on del momento, mientras que p + p¯ → π 0 + π 0 y p + p¯ → π + + π − estan prohibidas por conservaci´on de la paridad. La primera reacci´on que no est´a prohibida es:

p + p¯ −→ π + + π − + π 0 ց 2γ

(6.48)

La secci´on eficaz para esta reacci´on es: σp¯p ∼ 2.4 × 10−26 cm2 . En general, la multiplicidad ξ > 3.

El proceso p + p¯ → γ + γ puede ocurrir pero la secci´on eficaz es muy chica. σp¯p→γγ ∼ 3 × 10−30

6.2.3.

cm2 .

(6.49)

P´ erdidas por ionizaci´ on

Cuando un prot´on o un n´ ucleo (de carga eZ y masa M) se mueve por un medio lo ioniza y por tanto pierde energ´ıa. Las p´erdidas de ionizaci´on vienen dadas por:

−



dE dt



−9

i

2

= 7.62 × 10 Z nβ

−1



22.2 + 4 ln



E me c2



2



(6.50)

eV s−1

(6.51)

+ 2 ln β − 2β

donde E ≪ (M/me )Mc2 y n es la densidad del medio (H).

2

En el extremo no-relativista:

−



dE dt



i

−9

2

s

= 7.62 × 10 Z n

   Ekin 2Mc2 11.8 + ln Ekin Mc2

con Ekin = E − Mc2 ≃ Mv 2 /2 ≪ Mc2 .

112

Procesos radiativos II

Cuando E ≫ Mc2 : −



dE dt



i

−9

2



= 7.62 × 10 Z n 20.2 + 4 ln



Ekin Mc2



eV s−1

(6.52)

Si consideramos un medio ya ionizado, con una concentraci´on n de electrones, en el caso no-relativista, tenemos:

−



dE dt



i

−9

2

s

= 7.62 × 10 Z n

    1 Ekin 2Mc2 ln − ln(n) + 38.7 Ekin Mc2 2

eV s−1

(6.53)

y si E ≫ Mc2 −



dE dt



i

    W = 7.62 × 10 Z n ln − ln(n) + 74.1 me c2 −9

2

eV s−1

(6.54)

con

para E ≫  2 M 2 W = 2me c me

W = E



M me



Mc2 2

para Mc ≪ E ≪



M me



Mc2

(6.55)

Aunque ´estas p´erdidas no llevan a radiaci´on significativa por parte del n´ ucleo, su c´alculo puede ser valioso cuando se desean considerar interacciones de un n´ ucleo que primero debe atravesar un medio. A altas energ´ıas las p´erdidas por creaci´on de piones son dominantes.

6.2.4.

Interacciones pi´ on-n´ ucleo y pi´ on-pi´ on

Si la densidad de hadrones es importante pueden ocurrir interacciones de piones con n´ ucleos o entre piones. En el primer caso la secci´on eficaz presenta un pico para energ´ıas del pi´on de ∼ 190 MeV con valores σπp ∼ 200 mb. Luego la secci´on eficaz cae rapidamente hasta unos 40 mb a 1 GeV. A altas energ´ıas la secci´on se vuelve suave y se puede parametrizar como: σπp = a +

b p

donde p es el momento en GeV/c del pi´on. Los valores de a y b para π + y π − son:

(6.56)

6.2 Interacciones de protones relativistas con materia

a+ = 22.26 ± 0.33 mb a− = 24.37 ± 0.29 mb

113

b+ = 25.10 ± 2.83 mb GeV/c b− = 24.94 ± 2.65 mb GeV/c

Los π 0 decaen demasiado rapidamente como para interaccionar. La secci´on eficaz para la interacci´on π − π es, a bajas energ´ıas: σπ−π ∼ 35

mb.

A energ´ıas altas la secci´on eficaz es incierta (ver la Figura 6.5).

Figura 6.5: Secci´on eficaz de la interacci´on π − π.

(6.57)

114

6.2.5.

Procesos radiativos II

Interacci´ on neutr´ on-prot´ on

Las interacciones

p + γ −→ n + π p + p −→ p + n + π + + aπ 0 + b(π + + π − ) p + p −→ n + n + 2π + + aπ 0 + b(π + + π − )

(6.58)

producen neutrones. Estos pueden a su vez interaccionar antes de decaer. La secci´on eficaz para interacciones n − n es igual a la de p − p. Las secciones eficaces para p − n y n − p tambi´en son iguales. Para energ´ıas incidentes del neutr´on mayores que 290 MeV la secci´on eficaz permanece constante en σn−p ≃ 39.5 ± 1.0

mb

(6.59)

A energ´ıas menores la secci´on eficaz se incrementa hasta llegar a 1 b a energ´ıas del MeV. Por debajo de 100 MeV la secci´on eficaz se comporta como E −1 . La interacci´on b´asica es: p + n −→ p + p + π − + aπ 0 + b(π + + π − )

6.2.6.

(6.60)

Aniquilaci´ on de electrones y positrones

La aniquilaci´on de electrones con positrones puede ser una fuente importante de rayos γ a trav´es de la reacci´on (ver la Figura 6.6): e+ + e− −→ γ + γ

(6.61)

e+

γ

e−

γ

Figura 6.6: Diagrama de la aniquilaci´on de un electr´on con un positr´on. Cuando las dos part´ıculas est´an en reposo, la energ´ıa de los fotones resultantes es simplemente: Eγ = me c2 = 0.511

MeV

(6.62)

6.2 Interacciones de protones relativistas con materia

115

La radiaci´on de l´ınea de esta energ´ıa se suele referir como radiaci´ on de aniquilaci´ on. Si uno de los leptones se mueve a gran velocidad, uno de los fotones emergentes tendr´a gran energ´ıa, mientras que el otro tendr´a una energ´ıa de ∼ 511 KeV.

La secci´on eficaz para la aniquilaci´on de un positr´on de energ´ıa Ee = γme c2 con un electr´on en reposo es: σe± Cuando γ ≫ 1

" # p γ + 3 πre2 γ 2 + 4γ + 1 ln(γ + γ 2 − 1) − p = γ+1 γ2 − 1 γ2 − 1 σe± ≈

(6.63)

πre2 [ln(2γ) − 1] γ

(6.64)

πre2 β

(6.65)

y cuando β ≪ 1 (β = v/c) σe± ≈

Expresada en t´erminos del sistema del centro de masas, la secci´on eficaz se puede escribir como: σecm ±

      πre2 1 2 1 1 + βcm 2 = 2+ 2 − 4 ln −2− 2 2 4βcm γcm βcm γcm γcm 1 − βcm γcm

(6.66)

donde βcm = vcm /c es la velocidad del centro de masas en unidades de c y 1 γcm = p 2 1 − βcm

(6.67)

Si tenemos un plasma formado por e+ y e− , la raz´on de aniquilaci´on de las part´ıculas es: cm3 3 σT c [ln(x) + x−1/2 ] [R] = 8 x s y la exactitud est´a dentro del 14 %. Re± =

donde x = γe+ γe−

(6.68)

Si tenemos una distribuci´on no-t´ermica: ne± (Ee± )dEe±

(6.69)

en el plasma, el n´ umero de aniquilaciones por unidad de tiempo es: N˙ = ne+ ne− Re± dEe+ dEe− dV

(6.70)

116

Procesos radiativos II

donde dV es el elemento de volumen del plasma. La luminosidad de aniquilaci´on de pares, por consiguiente, ser´a: ± Leγ

=

Z

(Ee+ + Ee− )Re± ne+ (Ee+ )ne− (Ee− )dEe+ dEe− dV

(6.71)

La aniquilaci´on de pares e± puede ocurrir tambi´en con la emisi´on de un u ´nico fot´on. Pero en este caso el electr´on debe estar ligado a un ´atomo. El ´atomo asegura la conservaci´on del momento. La secci´on eficaz del proceso es:

σe1±ph

  2γ 4 γ + 2 4πZ 5 α4 re2 2 γ + + − ln[(1 + β)γ] = βγ(γ + 1)2 3 3 βγ 4πZ 5 α4 re2 para γ ≫ 1 ≈ γ 4πZ 5 α4 re2 β ≈ para β ≪ 1 3

(6.72)

donde la energ´ıa del positr´on es γme c2 y el n´ ucleo at´omico tiene carga eZ. Las reacciones e+ + e− → iγ tambi´en son posibles pero la secci´on eficaz cae con un factor q

i−2

∼



1 137

i−2

(6.73)

Para 3 fotones, entonces, la reacci´on es 137 veces menos probable que la m´as usual e+ +e− → 2γ. La reacci´on e+ +e− → 4γ es 18769 veces menos probable que e+ +e− → γ +γ. Otras formas de aniquilaci´on de pares e± son posibles: e+ + e− → µ+ + µ− e+

µ

γ

+

µ

−

e−

Figura 6.7: Diagrama de la aniquilaci´on e+ + e− → µ+ + µ− . Esta es una reacci´on electromagn´etica, no d´ebil. La secci´on eficaz es: σe± →µ± ≃

87 s

mb,

(6.74)

6.2 Interacciones de protones relativistas con materia

117

pe− )2 y se mide en GeV2 . Es el cuadrado de la pe+ + c¯ donde s = (Ee+ + Ee− )2 − (c¯ energ´ıa en el centro de masas. e+ + e− → ν¯ + ν e+

ν

Z0

ν e−

Figura 6.8: Diagrama de la aniquilaci´on e+ + e− → ν¯ + ν.

σe± →ν ν¯ ≃

10−10 s 6π

b

(6.75)

Finalmente, se pueden producir hadrones por aniquilaci´on de pares e+ +e− → q+ q¯ → hadrones. Esta es una interacci´on electromagn´etica, como se muestra en la Figura ??. e+

q γ

e−

q

Figura 6.9: Diagrama de la aniquilaci´on e+ + e− → q + q¯ → hadrones. La secci´on eficaz depende del tipo de quark. Para la creaci´on de u¯ u, dd¯ y s¯ s la secci´on + − + − eficaz es el doble de la de e + e → µ + µ .

118

Procesos radiativos II

Cap´ıtulo 7 Absorci´ on Los rayos γ, una vez que son creados en una fuente astrof´ısica por part´ıculas relativistas, pueden ser absorbidos por campos de radiaci´on o materia en la fuente misma o en su trayecto al observador. Los principales mecanismos de absorci´on son la creaci´on de pares en el campo Coulombiano de un n´ ucleo, y la creaci´on de pares por aniquilaci´on de fotones: γ + γ −→ e+ + e− .

(7.1)

A bajas energ´ıas, el efecto Compton directo puede ser relevante y a energ´ıas muy altas y en presencia de campos magn´eticos intensos los fotones γ pueden ser absorbidos por γ + B −→ e+ + e− .

(7.2)

Supongamos que la intensidad original de los rayos γ es: Iγ0 (Eγ )

(7.3)

y que se los inyecta en un medio de densidad n. Luego de atravesar una distancia x, la intensidad ser´a Iγ (Eγ ) = Iγ0 (Eγ )e−τ , (7.4) donde la cantidad τ = σnx

(7.5)

se llama profundidad ´ optica del medio y σ es la secci´on eficaz del proceso. En general, la profundidad ´optica es una integral de l´ınea que tiene en cuenta el efecto acumulado de la absorci´on a lo largo de la visual. El camino libre medio del fot´on en un medio de densidad n uniforme es: λγ =

1 . σn

(7.6)

120

Absorci´ on

La probabilidad de que el fot´on sea absorbido luego de haber atravesado una distancia L es: PL = 1 − e−L/λγ .

7.1.

(7.7)

Procesos de absorci´ on de energ´ıa

7.1.1.

Creaci´ on de pares en un campo Coulombiano

El umbral de energ´ıa para que un rayo γ cree un par e± en el campo electrost´atico de un n´ ucleo de carga eZ es 2me c2 ∼ 1.022 MeV. La secci´on eficaz para el proceso es:     2Eγ 109 7 2 2 ln − σγp→e± = 4αZ re 9 me c2 54

y σ

γp→e±

=

4αZ 2re2



7 ln 9



183 Z 1/3



1 − 54



para

para

2Ee+ Ee− me c2 ≪ Eγ αZ 2

(7.8)

2Ee+ Ee− me c2 ≫ . Eγ αZ 2

(7.9)

En estas f´omulas, Ee± es la energ´ıa de los leptones producidos. La primera ecuaci´on se usa para casos sin apantallamiento del n´ ucleo (gases completamente ionizados), mientras que la segunda para casos con apantallamiento. Notar que como re = 2.8 × 10−13 cm, la secci´on eficaz es peque˜ na y el camino libre −3 medio en el medio interestelar donde t´ıpicamente nISM ∼ 0.01 − 1 cm es extremadamente largo. Esto significa que la Galaxia es esencialmente transparente a los rayos γ.

7.1.2.

Absorci´ on por creaci´ on de pares en un campo de radiaci´ on

Un fot´on de energ´ıa Eγ1 puede producir un par e± en una interacci´on con un fot´on de energ´ıa Eγ2 si Eγ1 Eγ2 > (me c2 )2 . (7.10) La secci´on eficaz del proceso γ + γ → e+ + e− depende del angulo de interacci´on entre lo fotones.    πre2 1+β 1 2 2 2 4 σγγ (Eγ , Eγ ) = (7.11) (1 − β ) 2β(β − 2) + (3 − β ) ln 2 1−β donde, asumiendo isotrop´ıa en la distribuci´on de los fotones interactuantes, se tiene: 1/2  (me c2 )2 . (7.12) β = 1− Eγ1 Eγ2

7.1 Procesos de absorci´ on de energ´ıa

121

p Los leptones resultantes tendr´an una energ´ıa Ee± = me c2 / 1 − β 2 en el sistema de referencia del centro de masas. Si un fot´on de energ´ıa Eγ debe atravesar una regi´on de tama˜ no R con un campo de fotones de densidad nph , la profundidad ´optica ser´a: τγ (Eγ ) =

Z

∞

Emin(Eγ )

Z

R

nph (Eph , r) σγγ (Eγ , Eph ) dEph dr.

(7.13)

0

En medios astrof´ısicos, nph puede ser muy alta en cercan´ıa de fuentes, por lo que la absorci´on en campos de radiaci´on es un fen´omeno com´ un. Por otro lado, la densidad de fotones media interestelar de nuestra Galaxia es demasiado baja como para que la opacidad sea significativa. En cambio, sobre escalas cosmol´ogicas la opacidad del fondo c´osmico de radiaci´on puede ser importante. En el caso de tener una fuente de rayos γ con una luminosidad intr´ınseca Lγ , la atenuaci´on por γ + γ → e+ + e− intr´ınseca ser´a determinada por la cantidad de fotones absorbentes. La mayor eficiencia de absorci´on γγ se d´a con fotones cuya energ´ıa es cercana al umbral de la interacci´on, y por lo tanto inversamente proporcional a la de los rayos γ: Esoft ∼

(me c2 )2 . Eγ

(7.14)

El par´ ametro de compacticidad l para fotones de energ´ıa Eγ , se define entonces como: Lsoft l≡ , [l] = erg s−1 cm−1 (7.15) R donde R es el radio de la fuente. Considerando que Lsoft ≈ 4 π c nsoft R2 Esoft , es posible estimar la opacidad τγγ de la siguiente manera: τγ (Eγ ) ≈ σγγ nsoft R   Lsoft R ≈ σγγ 4πcR2 Esoft    Lsoft 1 ≈ σγγ R R 4πcREsoft 1 ≈ σγγ l R 4πcREsoft σγγ τγγ (Eγ ) ≈ l. 4πcEsoft

(7.16)

Donde adem´as es u ´til notar que, cerca del valor umbral σγγ ≃ σT /2. En el caso particular en que Eγ = 1 MeV ∼ Esoft , se tiene τγγ ∼ 1.7 × 10−31 l . La regi´on central de un AGN puede tener luminosidades isotr´opicas de Lγ ∼ 1048 erg s−1 y dimensiones R ∼ 1015 cm.

122

Absorci´ on

Luego l ∼ 1033 erg s−1 cm−1 , y por tanto τγγ ∼ 102 . Por consiguiente, las fuentes pueden estar fuertemente auto-absorbidas a menos que la emisi´on no sea isotr´opica. De hecho, el que se observe emisi´on γ indica que debe existir una importante anisotrop´ıa o beaming el cual es consistente con la idea de que la radiaci´on γ se origina en jets o chorros de part´ıculas eyectadas por la fuente central.

7.1.3.

Absorci´ on en campos magn´ eticos

Un fot´on γ puede ser convertido en un par e± en presencia de un campo magn´etico: γ + B −→ e+ + e− .

(7.17)

La raz´on a la que se produce esta transformaci´on es muy peque˜ na a menos que    B Eγ ∼ 0.1, (7.18) ξ= 2me c2 Bcr donde

m2e c3 ∼ 4.4 × 1013 G. (7.19) e~ Se necesitan, pues, campos magn´eticos muy fuertes para que este fen´omeno domine la atenuaci´on de los rayos γ. Estos campos se dan en los p´ ulsares. Bcr =

El camino libre medio de un fot´on con energ´ıa Eγ > me c2 en un campo B es:   44 ~ Bcr 4 λγ = , exp 10(e2 ~) me c B sen(θ) 3ξ

(7.20)

~ Para θ = 0 no hay donde θ es el ´angulo entre la direcci´on de propagaci´on del fot´on y B. producci´on de pares. Como la creaci´on magn´etica de pares es muy sensible a la intensidad del campo magn´etico, el criterio para que ocurra es (Erber 1966):   Eγ 1 B sen(θ) ≥ . (7.21) 2 2me c Bcr 15

7.1.4.

Interacci´ on Compton directa

La interacci´on Compton directa puede ser una causa importante de absorci´on para fotones de energ´ıas ∼ 1 MeV. Cuando el electr´on est´a en reposo, la energ´ıa Eγ1 del fot´on dispersado es: Eγ0 1 , (7.22) Eγ = 1 + (Eγ0 /me c2 )(1 − cos(θ))

7.1 Procesos de absorci´ on de energ´ıa

123

donde θ es el ´angulo de dispersi´on y Eγ0 la energ´ıa original del fot´on. La energ´ıa cin´etica que gana el electr´on es: ∆Ee =

Eekin

Eγ0 (1 − cos(θ)) = . me c2 [1 + (Eγ0 /me c2 )(1 − cos(θ))]

(7.23)

La secci´on eficaz para la interacci´on Compton directa depende de la polarizaci´on de los fotones. Si el vector el´ectrico de los fotones incidentes forma un ´angulo Θ con el de los fotones emergentes, la secci´on eficaz puede expresarse como (en unidades de cm2 electr´on−1 ):   2  0 Eγ Eγ1 re2 Eγ1 2 1 0 + − 2 + 4 cos (Θ) dΩ. (7.24) dσC (Eγ , Eγ , Θ) = 4 Eγ0 Eγ1 Eγ0 Si el fot´on incidente no est´a polarizado:   2  0 Eγ Eγ1 re2 Eγ1 2 1 0 + − sin (Θ) dΩ. dσC (Eγ , Eγ , Θ) = 4 Eγ0 Eγ1 Eγ0

(7.25)

A bajas energ´ıas, e integrando sobre dΩ, esta u ´ltima expresi´on se transforma en la secci´on eficaz Thomson: 8π 2 σT = r . (7.26) 3 e

7.1.5.

Debilitamiento de rayos γ por efectos Doppler y gravitacional

Los rayos γ pueden ser afectados por el estado de movimiento de la fuente o por la presencia de campos gravitacionales intensos en la fuente. Si la fuente se mueve hacia el detector a una velocidad cβ formando un ´angulo θ con la visual, como se muestra en la Figura 7.1, entonces la frecuencia de la radiaci´on electromagn´etica, ν, y por tanto la energ´ıa del fot´on, Eγ = hν, se ven modificadas por efecto Doppler: Eγobs = δEγ0 , (7.27) donde δ = [γ(1 − β cos(θ))]−1 es el factor Doppler, Eγ0 es la energ´ıa del fot´on en el sistema de referencia de la fuente y Eγobs es la energ´ıa en el sistema de referencia del observador. Cuando la fuente se aleja del observador: δ = [γ(1 + β cos(θ))]−1 ,

(7.28)

y la energ´ıa observada resulta menor que la emitida por un dado fot´on. La expansi´on cosmol´ogica del Universo tambi´en modifica la energ´ıa de los fotones. El corrimiento cosmol´ ogico al rojo se define como: z≡

∆Eγ ∆λ , = λ0 Eγ0

(7.29)

124

Absorci´ on cβ θ F

Figura 7.1: La fuente F se mueve con una velocidad cβ~ en una direcci´on que forma un ´angulo θ con la direcci´on de la visual.

donde λ es la longitud de onda de los fotones γ. De aqu´ı que la variaci´on de energ´ıa del fot´on debida a la expansi´on es: ∆Eγ = z Eγ0 (7.30) y Eγobs = Eγ0 − ∆Eγ .

(7.31)

El corrimiento al rojo puede expresarse en funci´on del factor escala del Universo al tiempo actual tactual y el factor de escala cuando el fot´on fue emitido temitido : (1 + z) =

R(tactual ) . R(temitido )

(7.32)

La diferencia tactual − temitido es el tiempo en que la radiaci´on viaj´o hasta el observador. El factor de escala se determina a trav´es de un modelo cosmol´ogico relativista. Si la fuente de los fotones est´a sometida a un campo gravitacional fuerte, la energ´ıa del fot´on emitida sufrir´a un corrimiento al rojo de origen gravitacional, de acuerdo con la teor´ıa general de la relatividad. Si la fuente tiene una masa M y un radio R, la variaci´on de la energ´ıa de un fot´on emitido con energ´ıa Eγ0 ser´a: ∆Eγ =

GM 0 E , c2 R γ

(7.33)

de tal forma que: Eγobs = Eγ0 − ∆Eγ .

7.2.

(7.34)

Cascadas electromagn´ eticas

La inyecci´on de rayos γ de alta energ´ıa en medios formados por materia (plasma, gas, s´olidos), radiaci´on o campos magn´eticos resulta en la formaci´on de pares e± si la opacidad a la propagaci´on de los γ es mayor que 1. Si estos pares tienen suficiente energ´ıa, pueden producir, a su vez, m´as radiaci´on por Bremsstrahlung relativista, efecto Compton inverso y/o radiaci´on sincrotr´on. Entonces bajo condiciones adecuadas, una cascada electromagn´etica se desarrollar´a en el medio. El resultado de esta cascada ser´a degradar la energ´ıa de

7.2 Cascadas electromagn´ eticas

125

Figura 7.2: Modelo simplicado de una lluvia electromagn´etica.

los fotones originales y multiplicar el n´ umero de leptones. El espectro emergente depender´a del espectro original de inyecci´on y de las caracter´ısticas del medio. Una vez iniciada la cascada se desarrollar´a hasta que las escalas temporales de los diferentes procesos radiativos en competici´on que producen fotones fuera del rango γ sea menor que la de los procesos que resultan en rayos γ. La cascada tambi´en se detendr´a si el tiempo de enfriamiento radiativo de las part´ıculas excede el tiempo de las p´erdidas no-radiativas o si la opacidad a la propagaci´on de los γ cae por debajo de 1. Cascadas electromagn´eticas se desarrollan en numerosas situaciones astrof´ısicas. Por ejemplo, la inyecci´on de rayos γ en binarias de rayos X o n´ ucleos extragal´acticos activos, puede iniciar cascadas. En la magnet´osfera de los pulsares, se espera el desarrollo de cascadas en los gaps electrost´aticos donde los electrones son acelerados. Los rayos γ originados en fuentes extragal´acticas distantes pueden iniciar cascadas electromagn´eticas en el fondo c´osmico de radiaci´on, etc. A energ´ıas donde τ > 1 efecto sobre el espectro inyectado es un factor e−τeff , donde la opacidad efectiva es menor que la original. Dependiendo de la dureza (pendiente) del espectro inyectado, puede ser m´as o menos notable la acumulaci´on de fotones con energ´ıas por debajo de la condici´on τ = 1. En la Figura se muestra un ejemplo considerando una cascada que se desarrolla en forma unidimensional por interacci´on de fotones γ con la radiaci´on de una estrella gran masa. En un caso general, la presencia de campos magn´eticos obliga a realizar un tratamiento 3D.

126

Absorci´ on

Figura 7.3: Comparaci´on del efecto de absorci´on pura con un caso donde se desarrollan cascadas electromagn´eticas en un campo radiativo con T = 104 K. La E0 se refiere a energ´ıa m´axima donde el espectro caer´ıa en forma exponencial. Ref: Aharonian et al. (2008).

7.2 Cascadas electromagn´ eticas

7.2.1.

127

Cascadas electromagn´ eticas en la materia

Consideremos una cascada electromagn´etica en un medio donde el Bremsstrahlung relativista es el principal mecanismo de enfriamiento. Supongamos que un fot´on de energ´ıa Eγ ≫ me c2 incide en tal medio. Su camino libre medio ser´a: λγ ∼ (σγp n)−1 ,

(7.35)

donde σγp es la secci´on eficaz para la creaci´on de un par e± en el medio y n es su densidad. El par creado a una profundidad λγ = R dentro del medio tendr´a, a su vez, un camino libre medio de: 1 , (7.36) λe ± ∼ σB n donde σB es la secci´on eficaz para Bremsstrahlung relativista. La energ´ıa de cada elemento del par e± es E0 (1) Ee± ∼ , (7.37) 2 donde E0 = Eγ . Despu´es de una distancia λB (que es ∼ λγ = R) cada part´ıcula rad´ıa un nuevo fot´on con energ´ıa E0 . (7.38) Eγ(1) = 4 Estos fotones, al cabo de una distancia R, crear´an nuevos pares. A medida que la cascada se desarrolla el n´ umero total de fotones y leptones aumenta pero la energ´ıa media disminuye. A una profundidad L = Z/R el n´ umero de part´ıculas ser´a: N(L) ∼ eL .

(7.39)

La energ´ıa por part´ıcula a la profundidad L es: Eγ ∼ E0 e−L .

(7.40)

O sea que la energ´ıa va decayendo aproximadamente en forma exponencial con la profundidad. La cascada cesa cuando se alcanza una energ´ıa: Ec ∼ E0 e−Lmax o Lmax ∼ ln



E0 Ec



(7.41)

,

(7.42)

donde Lmax es la distancia a la cual el Bremsstrahlung deja de dominar las p´erdidas. El n´ umero de fotones a esta profundidad es 1/3 del n´ umero total de part´ıculas.

128

Absorci´ on

Figura 7.4: N´ umero de fotones con energ´ıa > E que una cascada genera a una dada profundidad dentro del material. Cuanto mayor es la energ´ıa E0 del fot´on inicial, m´as fotones se generan en total.

E0 2 Ne± (Lmax ) ∼ eln( Ec ) 3  2 E0 Ne± (Lmax ) ∼ 3 Ec Ntotal ∼ e−Lmax

(7.43)

El tratamiento general de una cascada electromagn´etica implica resolver las ecuaciones cin´eticas acopladas que describen la cascada (se trata de ecuaciones integrodiferenciales). Es posible realizar ciertas aproximaciones que arrojan resultados semi-anal´ıticos, como los que se muestran en la Figura 7.4. Para mayores detalles ver Rossi & Greissen (1941).

7.3.

Cascadas hadr´ onicas

Cuando un prot´on de muy alta energ´ıa impacta en un n´ ucleo, interacciona con alg´ un nucle´on produciendo piones. Part´ıculas extra˜ nas y antinucleones tambi´en pueden ser producidos. Si hay suficiente energ´ıa, cada nuevo hadr´on puede tambi´en interaccionar dentro del n´ ucleo dando lugar a una ”mini-cascada”hadr´onica. Los nucleones que interaccionan con el prot´on primario por lo general son removidos del n´ ucleo, dej´andolo a este en un estado que puede ser inestable, llevando a la fragmentaci´on del n´ ucleo y a la emisi´on de n´ ucleos m´as livianos. Los n´ ucleos ligeros eyectados se suelen llamar astillas o fragmentos de astillado (spallation). Estos fragmentos son emitidos m´as o menos isotr´opicamente en el sistema del laboratorio. En cambio, los resultados de la cascada hadr´onica, salen con un gran momento en la direcci´on del prot´on original. Normalmente, neutrones son eyectados tanto por el n´ ucleo original como por los fragmentos.

7.3 Cascadas hadr´ onicas

129

En la cascada nucle´onica, los siguientes decaimientos ocurren:

π 0 −→ 2γ π + −→ µ+ + νµ π − −→ µ− + ν¯µ

(7.44)

Los muones, a su vez, decaen como:

µ+ −→ e+ + νe + ν¯µ µ− −→ e− + ν¯e + νµ

(7.45)

Los muones tienen vidas medias relativamente largas por lo que pueden desacelerarse por los mismos mecanismos radiativos que afectan a los electrones y positrones. Si son el resultado de una cascada iniciada por un rayo c´osmico en la atm´osfera, pueden alcanzar la superficie terrestre. Los detectores de rayos c´osmicos, precisamente, operan detectando luz Cherenkov que producen estos muones. Puede detectarse la luz que producen en la atm´osfera o la que generan en tanques cerrados, llenos de agua. Tanto los rayos γ como los e± producidos en los decaimientos dan lugar a cascadas electromagn´eticas.

130

Absorci´ on

Cap´ıtulo 8 Detectores Los problemas y desaf´ıos que plantea la detecci´on y medici´on de rayos γ de origen c´osmico son formidables. De hecho, la situaci´on de la astronom´ıa a estas energ´ıas es u ´nica, en el sentido de que s´olo en esta banda el RUIDO DE FONDO es mucho mayor que las se˜ nales a detectar. Para cuantificar este problema, consideremos el flujo medio de rayos X de 1 keV ´orbita es de 15 cm−2 , lo que es unas 100 veces m´as que el flujo de rayos c´osmicos las mismas condiciones. En cambio, el flujo medio de rayos γ con Eγ > 100 MeV es ∼ 2 × 10−4 cm−2 s−1 sr−1 , esto es, unas mil veces menor que el correspondiente flujo rayos c´osmicos.

en en de de

Los rayos c´osmicos, al interaccionar con un detector, producen part´ıculas secundarias que a su vez producen rayos γ localmente. La eliminaci´on de estas contribuciones locales al “fondo” de radiaci´on ha sido y es el principal problema t´ecnico en la astronom´ıa γ. Dado que los rayos γ interaccionan en diferentes formas a diferentes energ´ıas, las t´ecnicas de detecci´on var´ıan con la frecuencia de los fotones a detectar. La relativa importancia de las distintas formas de interacci´on para los rayos γ de distintas energ´ıas en distintos materiales se muestra en la Figura 8.1. Los distintos instrumentos har´an uso de estos efectos a las distintas energ´ıas. A energ´ıas muy altas (E ≥ 100 MeV) los rayos γ producen cascadas en la atm´osfera y sus caracter´ısticas pueden ser inferidas a partir de la reconstrucci´on de las cascadas. Comenzaremos describiendo estos instrumentos y luego iremos hacia energ´ıas decrecientes, revisando los principales detectores espaciales.

132

Detectores

Figura 8.1: Importancia relativa de los diferentes mecanismos de p´erdida de energ´ıa de un rayo γ en funci´on de la energ´ıa del fot´on y del n´ umero at´omico del material.

8.1.

Astronom´ıa γ desde tierra: Telescopios Cherenkov

Cuando un rayo γ llega a la atm´osfera inicia una cascada electromagn´etica. Si Eγ > 100 GeV la cascada se desarrolla hasta una altitud de unos pocos km sobre el nivel del mar y la luz Cherenkov producida por los leptones relativistas en la atm´osfera puede detectarse en la forma de una columna de luz. El eje de la columna coincide con la proyecci´on del eje de la cascada y su punto inicial indica el punto del cielo donde el rayo γ interaccion´o (ver Figura 8.2). La luz Cherenkov, tal como la ve el detector, proviene de 3 regiones. El 25 % viene de la regi´on entre la interacci´on original y una altitud de unos 10 km. El grueso de la luz (50 %) viene de un cilindro de unos 4 km de longitud y un radio de ∼ 21 cm centrado en el eje de la lluvia de part´ıculas. La luz de esta regi´on es una buena medida de la energ´ıa total. El u ´ltimo 25 % de la luz viene de la componente local de la cascada, a altitudes por debajo de los 6 km. Esta luz cae cerca la intersecci´on del eje de la cascada con la tierra y est´a sujeta a grandes fluctuaciones debido a las part´ıculas sobrevivientes. La duraci´on del pulso Cherenkov es muy corta: 35 ns. El detector consiste en un espejo que colecta y refleja la luz sobre un foco donde hay un tubo fotomultiplicador. Si el tiempo de integraci´on del tubo fotomultiplicador (PMT) es mayor que la duraci´on del destello Cherenkov, la se˜ nal detectada es:

8.1 Astronom´ıa γ desde tierra: Telescopios Cherenkov

133

Figura 8.2: Detecci´on de la luz Cherenkov.

C=

Z

E2

C(E)ζ(E)AdE

(8.1)

E1

donde C(E) es el flujo Cherenkov dentro de los l´ımites de sensibilidad en energ´ıa E1 y E2 del PMT y ζ(E) es la curva respuesta del PMT. A es el ´area colectora. A su vez C(E) depende de la transmisi´on atmosf´erica T (E) y del espectro de emisividad de la cascada ǫ(E): C(E) = κ ǫ(E) T (E); κ = cte.

(8.2)

La se˜ nal Cherenkov se detecta sobre un ruido producido por el cielo nocturno. El brillo del cielo es:

B=

Z

E2

E1

¯ ζ(E) τ A Ω dE B(E)

(8.3)

134

Detectores

donde τ es el intervalo de integraci´on y B(E) la dependencia del brillo con la energ´ıa de los fotones. Ω es el ´angulo s´olido cubierto por el telescopio. La relaci´on se˜ nal-ruido es: S S =√ = N B sea

Z

E2

C(E) E1



ζ(E)A B(E)τ Ω

1/2

dE.

(8.4)

La m´ınima se˜ nal detectable es ∝ [S/N]−1 . De aqu´ı que la energ´ıa m´ınima detectable

Eγmin

∝



B(E)τ Ω ζ(E)A

1/2

1 . C(E)

(8.5)

El brillo del cielo est´a constitu´ıdo por la luz de las estrellas, el sol, la luna, el brillo nocturno, meteoros, rayos, nubes y fuentes de origen artificial. Para minimizar estos efectos, se observa en sitios aislados, durante noches sin luna. El principal problema para las observaciones Cherenkov, sin embargo, es el ruido de fondo producido por los rayos c´osmicos. Las cascadas hadr´onicas iniciadas por los rayos c´osmicos tienen componentes electromagn´eticas que emiten luz Cherenkov. Hay diferencias, no obstante, entre las cascadas iniciadas por rayos γ y aquellas iniciadas por rayos c´osmicos que permiten diferenciarlas. La tarea no es f´acil: las cascadas iniciadas por rayos c´osmicos, a una energ´ıa dada, son 103 veces m´as numerosas que las iniciadas por rayos γ. La diferenciaci´on efectiva de ambos tipos de eventos se hace sobre la base de una t´ecnica conocida como Cherenkov imaging o “mapeo Cherenkov”. La t´ecnica consiste en “pixelar” la imagen de la lluvia Cherenkov utilizando un arreglo de muchos PMT que forman una c´amara colocada en el foco del telescopio. Al obtenerse una imagen de la lluvia Cherenkov es posible descartar eventos de fondo en base a dos criterios: 1 Geometr´ıa: las lluvias de los reyos γ tienen una forma aproximadamente el´ıptica alrededor del eje ´optico. 2 F´ısico: las lluvias debidas a rayos γ son m´as angostas. Las im´agenes obtenidas de cascadas hadr´onicas son m´as anchas e irregulares. La nueva generaci´on de telescopios Cherenkov incluye a los siguientes instrumentos: HESS

(HIGH ENERGY STEREOSCOPIC SYSTEM) Una colaboraci´on entre Alemania y Francia. Est´a ubicado en Namibia y consta de 4 telescopios. Hay uno m´as, de 28 m de di´ametro, en construcci´on.

8.1 Astronom´ıa γ desde tierra: Telescopios Cherenkov

135

Figura 8.3: Geometr´ıa de una cascada producida por un rayo γ y de una producida por un rayo c´osmico.

CANGAROO III Se trata de una colaboraci´on entre Jap´on y Australia. Se encuentra en Australia y actualmente consta de 4 telescopios. VERITAS

MAGIC

(VERY ENERGETIC RADIATION IMAGING TELESCOPE ARRAY SYSTEM). Es un instrumento estadounidense en Arizona. Consta de 4 telescopios. MAJOR ATMOSPHERIC GAMMA-RAY IMAGING CHERENKOV Es una colaboraci´on entre Alemania y Espa˜ na. Se trata de un u ´nico telescopio de 17 m de di´ametro ubicado en La Palma. Hay un segundo telescopio en construcci´on (MAGIC II).

Con la excepci´on de MAGIC, todos estos instrumentos utilizan tecnolog´ıa estereosc´opica: varios telescopios que detectan la lluvia desde localizaciones diferentes, facilitando la reconstrucci´on de la misma y por lo tanto permitiendo descartar lluvias iniciadas por rayos c´osmicos. Todos estos telescopios se caracterizan por tener una gran a´rea efectiva (> 0.1 km2 ), lo que da sensibilidad para medidas de variabilidad sobre escalas de tiempo cortas. Tienen adem´as buena sensibilidad de flujo (∼ 0.5 % de CRAB a 200 GeV en 50 horas), una

136

Detectores

Figura 8.4: Im´agenes de lluvia Cherenkov en la c´amara de Whipple

energ´ıa de umbral baja (< 100 GeV, o en el caso de MAGIC llega a 30-50 GeV), buena resoluci´on espectral (∆E/E < 0.15), una muy buena resoluci´on angular (< 0.05◦ para fotones individuales y menor de 0.005◦ para localizar una fuente) y finalmente tienen un gran campo visual (∼ 3◦ ). El primer telescopio de este tipo, que detect´o la primera fuente de rayos con una significancia de m´as de 5σ en 1989, fue el telescopio Whipple, en Arizona, ahora reemplazado por VERITAS. La fuente detectada fue la nebulosa de CRAB. Complementariamente a los telescopios Cherenkov basados en c´amaras, se han utilizado detectores de part´ıculas. Estos detectores consisten de grandes tanques donde las part´ıculas cargadas de las cascadas emiten luz Cherenkov. La resoluci´on angular es ∼ 1◦ , la espectral ∼ 30 % y la superficie colectora es inmensa (∼ 10000 m2 ). Se ubican a gran altitud. El descarte de las lluvias hadr´onicas es complejo y se suele hacer sobre la base de las razones de muones a electrones medidos. Estos instrumentos operan a energ´ıas altas (1014 − 1016 eV). Su inter´es radica en que operan en forma continua, d´ıa y noche. Los dos instrumentos de esa clase que han detectado fuentes (ya detectadas por los instrumentos atmosf´ericos) son MILAGRO (cerca de Los Alamos, USA) y el detector de Tibet, en los Himalayos (a 4.3 km de altura).

8.2 Astronom´ıa γ espacial

137

Figura 8.5: Telescopio Whipple. Construido en 1968 y a´ un en funcionamiento.

8.2.

Astronom´ıa γ espacial

8.2.1.

30 MeV ≤ E ≤ 300 GeV

En este rango de energ´ıa se utilizan instrumentos basados en la creaci´on de pares. A estas energ´ıas, con instrumentos orbitales, el detector es el telescopio mismo y la superficie del detector el ´area colectora. Historicamente, el principal tipo de telescopio por producci´on de pares ha sido “la c´amara de chispas” (spark chamber ). Los principales instrumentos que utilizaron esta tecnolog´ıa fueron SAS-II (1973), COS-B (1975-1982) y EGRET (1991-2000).

138

Detectores

Los elementos b´asicos en una c´amara de chispas son: El rastreador (tracker ). Su funci´on es determinar la direcci´on de llegada del rayo a trav´es de las trayectorias de un par creado por ´el. En general consiste en una serie de placas met´alicas colocadas en paralelo en una c´amara sellada y llena con gas a una presi´on que el paso de un e+ o de un e− deja una estela de ionizaci´on. Las placas est´an conectadas de forma tal que cuando una part´ıcula cargada se mueve en la c´amara hay una diferencia de potencial entre placas sucesivas. Al pasar la part´ıcula cargada e ionizar el gas, se produce una chispa el´ectrica entre placas. Las posiciones en las que se producen las chispas permiten determinar el movimiento de la part´ıcula. El gas que llena la c´amara suele ser una mezcla de ne´on y etano. Las placas pueden estar hechas de tungsteno. Las placas deben ser suficientemente gruesas como para que un rayo γ en el rango de energ´ıa del instrumento sea absorbido y cree un par e± , pero no tan gruesas como para que afecten en forma significativa la trayectoria del par e± una vez creado. El ´area efectiva y la resoluci´on angular del instrumento quedan determinadas por la geometr´ıa de la c´amara de chispas. El disparador (trigger ). El disparador activa la diferencia de potencial entre las placas cuando la c´amara es atravesada por una part´ıcula cargada. En general se utilizan centelleadores pl´asticos. La eficacia de los disparadores es la que basicamente determina el campo visual del instrumento. El calor´ımetro. Su funci´on es absorber los e± para as´ı medir su energ´ıa y por tanto la del rayo γ original. Su espesor debe ser de varios caminos libres medios del electr´on en el material usado. EGRET usaba un cristal de NaI (T1). El escudo de anti-coincidencias (anticoincidence shield ). Rodea al receptor e indica el paso de part´ıculas cargadas. Tiene, por el contrario, una secci´on eficaz muy baja para interacci´on con rayos γ. Generalmente es un centellador pl´astico monitoreado por fotomultiplicadores. Cuando los fotomultiplicadores se disparan (indicando el paso de un rayo c´osmico) no se aplica una diferencia de potencial a las placas y el evento no se registra. Esto permite eliminar el ruido de fondo producido por rayos c´osmicos cargados (aunque no por neutrones). El mayor telescopio que utiliz´o una c´amara de destellos fue EGRET, uno de los 4 telescopios del sat´elite COMPTON. Su peso total era de 1.9 toneladas y su ´area efectiva de 1600 cm2 . El rango de energ´ıa en que operaba era 20 MeV - 30 GeV. Su campo visual cubr´ıa ∼ 0.6 sr, con una resoluci´on en energ´ıa ∆E/E ∼ 0.2. La sensibilidad en el cont´ınuo era ∼ 5 × 10−8 ph s−1 cm−2 a energ´ıas Eγ > 100 MeV. Una caja de error t´ıpica en la localizaci´on de una fuente ten´ıa un radio ∼ 0.5◦ .

La principal limitaci´on de las c´amaras de chispas es que el contenido de gas se agota y a medida que eso sucede el rendimiento del instrumento se va deteriorando.

8.2 Astronom´ıa γ espacial

139

Figura 8.6: Diagrama del instrumento EGRET del sat´elite CGRO

Los telescopios actuales que operan por creaci´on de pares utilizan los mismos principios f´ısicos pero no usan c´amaras con gas. Esta tecnolog´ıa ha sido remplazada por la de detectores de silicio. Estos son semiconductores que permiten medir el punto de interacci´on de una part´ıcula cargada con gran precisi´on. La interacci´on con la part´ıcula cargada genera corrientes en el semiconductor. Esto permite una inmediata digitalizaci´on de la lectura del instrumento. Al no depender de chispas, el gas no es necesario para rastrear el camino de las part´ıculas. Los sat´elites GLAST y AGILE incorporan esta tecnolog´ıa. LAT, el “LARGE AREA TELESCOPE” de GLAST, es un telescopio de producci´on de pares con tecnolog´ıa de silicio. El instrumento tiene 16 m´odulos de conversi´on/rastreo de pares en una disposici´on de 4 × 4 torres independientes, cada una con su calor´ımetro. Las placas (18) de cada torre utilizan tungsteno como elemento de conversi´on γ −→ e± y luego tiras de semiconductores de silicio como trazadores. Cada torre mide 87.5 cm. Los calor´ımetros est´an hechos de CsI(Tl) (ioduro de Cesio). Todos los sistemas est´an rodeados por un escudo de anticoincidencia construido con un centellador pl´astico y fototubos en miniatura para las lecturas. No hay elementos consumibles (gas) en el instrumento. El peso total es de 3 toneladas y sus caracter´ısticas implican una mejora notable respecto de EGRET. GLAST fu´e lanzado el 11 de junio de 2008 y opera en el rango de energ´ıa entre 20 MeV y 300 GeV. El ´area efectiva supera los 8000 cm2 con un campo visual de m´as de 2 sr. La sensibilidad es 2 ´ordenes de magnitud mayor que la de EGRET.

140

Detectores

Figura 8.7: Simulaciones de la resoluci´on de EGRET y GLAST (de la regi´on de Cygnus)

8.2.2.

1 MeV ≤ E ≤ 30 MeV

El coeficiente de absorci´on de un rayo γ en un medio material alcanza un m´aximo en el rango de 1 a 10 MeV. El mecanismo de interacci´on dominante es el de la interacci´on Compton directa: un rayo γ es dispersado por un electr´on, transfiriendo parte de su energ´ıa a ´este. El rayo γ original pierde energ´ıa y altera su direcci´on de propagaci´on. La energ´ıa transmitida al electr´on E1e y la energ´ıa del fot´on original se relacionan con el ´angulo de dispersi´on por: E1e =

Eγ2 (1 − cos ϕ) . Eγ (1 − cos ϕ) + me c2

(8.6)

Un telescopio Compton consiste de dos planos de detecci´on P1 y P2 . En el primer plano hay un detector-dispersor y en el segundo un detector-absorbente. Ambos detectores se separan por una distancia d ∼ 2 m. El detector P1 est´a hecho de un material de bajo z (ej. un centelleador org´anico) mientras que P2 est´a hecho con materiales de alto z a fin de facilitar la absorci´on (ej. CsI o NaI). La determinaci´on de E1e y E2e permiten obtener Eγ y ϕ: Eγ = E1e + E2e    1 1 2 − . ϕ = arc cos 1 − me c E2e E1e + E2e

(8.7) (8.8)

8.3 Emisi´ on difusa y detecci´ on de fuentes puntuales

141

Sin embargo, esto no es suficiente para determinar la direcci´on de llegada del rayo γ original en forma un´ıvoca. Hay todo un cono de posibilidades. Esto hace que la resoluci´on angular del instrumento no sea muy buena. El primer telescopio Compton que se construy´o ten´ıa una resoluci´on angular de solo 30◦ (FWHM). Esto fue en 1973. COMPTEL, el telescopio Compton del Compton Gamma Ray Observatory logr´o mejorar sustancialmente la resoluci´on angular hasta ∼ 1.25◦ a 10 MeV (3.5◦ a 0.5 MeV). En COMPTEL los planos de detecci´on, compuestos de varios m´odulos, son monitoreados por el PMT lo que permite fijar los puntos de interacci´on dentro de un c´ırculo de s´olo 2 cm y de all´ı se obtiene una mejor caracterizaci´on del ´angulo de dispersi´on. La determinaci´on un´ıvoca de la direcci´on de llegada del rayo γ puede lograrse midiendo la direcci´on de movimiento del electr´on que absorbe E1e . Ciertos materiales org´anicos permiten estas determinaciones.

8.2.3.

Eγ ≤ 1 MeV

A bajas energ´ıas el efecto fotoel´ectrico es dominante y se utilizan distintos tipos de centelleadores en los telescopios. Un centelleador consiste de un material que convierte parte de la energ´ıa perdida por una part´ıcula cargada por ionizaci´on en luz. Se suele acoplar con un instrumento fotoel´ectrico que convierte la luz en una se˜ nal el´ectrica. Los materiales para el centellador pueden ser org´anicos (incorporados a pl´asticos) o cristales inorg´anicos como NaI o CsI. El principal problema de estos detectores es la contaminaci´on de la se˜ nal por eventos disparados por rayos c´osmicos. Una forma de disminuir el problema es utilizar un escudo activo, formado por centelleadores, que indican cuando pasa a trav´es de ellos una part´ıcula cargada. Los eventos disparados en el detector principal se descartan. El problema con este tipo de protecci´on es el costo. La direcci´on de los rayos γ suele determinarse a trav´es del uso de colimadores. Estos son opacos a los rayos γ y su geometr´ıa permite determinar un rango de ´angulos de llegada para los rayos γ.

8.3.

Emisi´ on difusa y detecci´ on de fuentes puntuales

La interacci´on de los rayos c´osmicos con el medio interestelar de la Galaxia produce emisi´on γ difusa. Toda fuente discreta debe ser detectada contra este fondo. Hay dos t´ecnicas b´asicas para remover la contaminaci´on del fondo difuso. Una es la llamada t´ecnica on/off. Consiste en observar alternativamente en direcci´on a la supuesta fuente y luego a una regi´on cercana libre de fuentes. El resultado de esta u ´ltima observaci´on se sustrae de la primera a fin de determinar el flujo real de la fuente. El problema de esta t´ecnica es que la radiaci´on de fondo dista de ser uniforme y una mala elecci´on de la regi´on off puede introducir errores considerables.

142

Detectores

La otra t´ecnica consiste en hacer un modelo te´orico del fondo que se sustrae a las observaciones. El modelo tiene como entradas las distribuciones de gas y polvo en la Galaxia, as´ı como campos de radiaci´on. Se calcula entonces, utilizando todos los procesos radiativos relevantes, la distribuci´on de emisi´on γ resultante, que ser´a una funci´on de Eγ , l y b (energ´ıa de los fotones, longitud y latitud gal´actica, respectivamente). El modelo de emisi´on difusa se sustrae sistematicamente de todas las observaciones realizadas con el instrumento a fin de identificar fuentes discretas. El problema de esta t´ecnica es que si el modelo es incompleto (por ejemplo si no incluye alguna clase de material que no es facilmente trazable por las observaciones disponibles a otras longitudes de onda) entonces se pueden generar fuentes espurias. Una t´ecnica alternativa, similar a la on/off es la llamada de ocultaci´ on. En esta t´ecnica se utiliza un ocultador hecho de alg´ un material pesado como ser Pb para “tapar” la fuente del campo visual. Se miden entonces los fotones que llegan del fondo. Luego, la fuente se descubre y se vuelve a medir. El espectro de la fuente se obtiene sustrayendo ambos espectros. En algunos casos, el ocultador se mueve hacia delante y hacia atr´as produciendo una modulaci´on de la se˜ nal. De los cambios en la modulaci´on pueden inferirse cambios en el fondo, especialmente si el instrumento se est´a moviendo. Esta t´ecnica de la modulaci´on se llama “chopper technique”.

8.3 Emisi´ on difusa y detecci´ on de fuentes puntuales

Figura 8.8: Diagrama de GLAST

143

144

Detectores

Figura 8.9: Sensibilidad de diferentes instrumentos.

Cap´ıtulo 9 Fuentes de rayos γ Llamamos fuente de rayos γ a un sistema astrof´ısico que emite una fracci´on significativa de su luminosidad electromagn´etica a energ´ıas mayores que 0.5 MeV. Las fuentes de rayos γ pueden clasificarse en 2 grandes grupos: Fuentes γ



Pasivas Activas

Las fuentes pasivas son simplemente ”blancos”para flujos de part´ıculas relativistas originadas en una regi´on diferente. Las fuentes activas, por el contrario, aceleran part´ıculas hasta velocidades relativistas y la interacci´on de estas part´ıculas con los diferentes campos (materiales o electromagn´eticos) locales da lugar a la radiaci´on γ.

9.1.

Fuentes pasivas

Las fuentes pasivas pueden ser, a su vez, de dos tipos: difusas o discretas. Fuentes γ pasivas



Difusas Discretas

Las fuentes difusas est´an formadas por un medio extendido y de baja densidad que es atravesado por rayos c´osmicos. Observacionalmente, la fuente difusa m´as importante es el medio interestelar acumulado sobre el plano de la Galaxia. La irradiaci´on de este material (b´asicamente H, m´as trazos de elementos m´as pesados como He, y material molecular como CO y polvo) produce emisi´on γ hadr´onica a trav´es de interacciones p − p. La existencia de esta emisi´on fue predicha por Hayakawa a principios de los a˜ nos 1950, poco tiempo despu´es del descubrimiento del pi´on. La intensidad de esta emisi´on depender´a de la densidad del medio y de la densidad local de los rayos c´osmicos. La emisi´on muestra un fuerte gradiente de intensidad hacia bajas latitudes gal´acticas, donde se concentra la mayor´ıa

146

Fuentes de rayos γ

del gas. Esta emisi´on es la contribuci´on m´as importante al fondo difuso detectado por varios instrumentos, incluido EGRET, y que debe sustraerse a fin de detectar las fuentes gal´acticas discretas. Si escribimos ǫγ (~r) =

qγ (~r) , n(~r)

(9.1)

donde n es la densidad del medio, y qγ (~r) la emisividad por decaimientos de π 0 en la direcci´on ~r, el flujo total recibido a una distancia d ser´a: Z 1 n(~r)ǫγ (~r)d3 r, (9.2) Fγ = 4πd2 donde la integral se extiende sobre toda la regi´on donde se distribuye el gas. Si llamamos ǫγ,0 a la emisividad local (en la vecindad del Sol), podemos escribir: ωcr ǫγ ∼ = κS ǫγ,0 ωcr,0 donde ωcr es la densidad de energ´ıa de los rayos c´osmicos que localmente vale ωcr,0 ∼ 1

(9.3)

eV cm−3 .

(9.4)

κS ǫγ,0 n(~r)d3 r.

(9.5)

Luego 1 Fγ ∼ 4πd2

Z

De aqu´ı que, si se conoce la distribuci´on de densidad del medio y su distancia (por ejemplo a trav´es de observaciones radioastron´omicas) puedan hacerse inferencias sobre la distribuci´on de los rayos c´osmicos en la Galaxia. Sin embargo, la contribuci´on del decaimiento de π 0 s no es la u ´nica a la emisi´on difusa total. La interacci´on de la componente lept´onica de los rayos c´osmicos con el gas interestelar tambi´en puede producir radiaci´on por Bremsstrahlung relativista. Adem´as, la interacci´on de ´estas mismas part´ıculas con la radiaci´on de fondo de 2.73 K puede resultar en la producci´on de rayos γ. De aqu´ı que modelos muy detallados deban ser desarrollados para hacer una reproducci´on confiable de la emisi´on difusa de la Galaxia. Estos modelos deben contar con una descripci´on cuantitativa detallada de la distribuci´on de materia en la Galaxia y con modelos adecuados de los diferentes campos radiativos (que adem´as de la radiaci´on de fondo c´osmica incluyan campos infrarrojos y de luz estelar). Las fuentes pasivas discretas est´an formadas b´asicamente por medio interestelar altamente estructurado. En particular, pueden ser fuentes discretas nubes moleculares masivas, nubes de polvo, o incluso nubes m´as peque˜ nas ubicadas localmente o pr´oximas a aceleradores de rayos c´osmicos.

9.2 Fuentes activas

147

Si la densidad de la nube es aproximadamente constante: Mcl ǫγ , (9.6) mp 4πd2 donde hemos asumido que la nube esta formada principalmente por H y Mcl es la masa total que es irradiada por los rayos c´osmicos. Si ǫγ ∼ κS ǫγ,0 , Fγ ∼

Fγ ∼

1 Mcl κS ǫγ,0 . 2 4πd mp

(9.7)

Luego, podemos escribir:  −2   Fγ d Mcl ωcr,0  −9 κS ∼ 10 ηA , (9.8) ph cm−2 s−1 1000 M⊙ Kpc eV cm−3 donde ηA es un factor que tiene en cuenta la presencia en el medio de elementos m´as pesados que el H. De la ecuaci´on 9.8 vemos que si κS ∼ 1 la mayor´ıa de las nubes moleculares no ser´ıan detectables para instrumentos como EGRET (sensibilidad ∼ 10−8 ph cm−2 s−1 ) a menos que: 1) est´en muy cerca ´o 2) haya un acelerador cerca de tal forma que κS > 1. Este u ´ltimo caso se puede dar si la nube est´a cerca de una fuente activa como ser un remanente de supernova o un microcuasar, objetos capaces de producir rayos c´osmicos que se difunden por el medio. Es interesante notar que hay una acumulaci´on de fuentes de rayos γ en regiones de formaci´on estelar conocidas como asociaciones OB. En estas asociaciones hay objetos j´ovenes que pueden acelerar part´ıculas (pulsares, microcuasares, remanentes de supernova) y nubes que pueden ofrecer blancos pasivos a las part´ıculas relativistas que en estas regiones tienen una densidad de energ´ıa mayor que la usual (κS ≫ 1).

Como los campos magn´eticos en las nubes moleculares son mayores que en el medio interestelar, una vez que los rayos c´osmicos penetran en ellos pueden quedar atrapados all´ı, con tiempos de difusi´on muy largos, lo que aumenta la densidad de part´ıculas relativistas en su interior.

9.2.

Fuentes activas

Las fuentes activas de rayos γ son aquellas que son aceleradores eficientes de part´ıculas relativistas y, al mismo tiempo, ofrecen campos adecuados para que estas part´ıculas interaccionen y emitan radiaci´on γ. Podemos dividir a las fuentes activas en dos grandes clases: acretantes y no-acretantes. Fuentes activas



Acretantes No − acretantes

148

Fuentes de rayos γ

Entre las no-acretantes podemos incluir a los p´ ulsares aislados, los remanentes de supernova y los sistemas binarios de estrellas tempranas con vientos en colisi´on.   Pulsares Fuentes activas no acretantes gal´acticas Remanentes de supernovas  Binarias con colisi´on de vientos

Todas estas fuentes son gal´acticas. Entre las extragal´acticas podemos mencionar a los starbursts, a los cumulos de galaxias y a las galaxias normales.   Galaxias eruptivas (starbursts) umulos de galaxias Fuentes activas no acretantes extragal´acticas C´  Galaxias normales

Las galaxias normales son, por supuesto, fuentes d´ebiles. Emiten, como nuestra Galaxia, radiaci´on difusa que debido a su distancia puede aparecer como emisi´on discreta en el campo visual de un instrumento. Tal es el caso de la Gran Nube de Magallanes, detectada por EGRET. Como las galaxias normales son fuentes d´ebiles, s´olo las m´as cercanas pueden ser detectadas con la tecnolog´ıa actual. Los starbursts o galaxias eruptivas, son galaxias con episodios de formaci´on estelar masiva. Est´an llenos de gas y se espera que en ellos la densidad de rayos c´osmicos sea alta. De aqu´ı que puedan ser fuentes de rayos γ significativas. Entre las m´as cercanas, NGC 253 ha sido detectada por CANGAROO II y M83 y Arp21 probablemente lo sean por GLAST. Concentr´emonos ahora en las fuentes gal´acticas no-acretantes. Discutiremos brevemente los casos de los p´ ulsares, los remanentes de supernova y las binarias tempranas.

9.2.1.

P´ ulsares

Hemos visto ya que los p´ ulsares generan diferencias de potencial que permiten acelerar ~ ·B ~ < 0 el campo el´ectrico sobre el polar cap del part´ıculas hasta altas energ´ıas. Si Ω pulsar se dirige siempre hacia afuera de la estrella. A diferencia de los leptones, los iones pueden estar firmemente aferrados a la superficie formando una red cristalina. En cambio, los positrones pueden ser libremente acelerados. Estos se mueven a lo largo de las l´ıneas de campo sufriendo p´erdidas por radiaci´on de curvatura. Si el factor de Lorentz de los positrones es γ, entonces 2 e2 dγ = dt 3 me c2



c Rc

2

γ 4,

(9.9)

9.2 Fuentes activas

149

donde Rc ∼ 10

4.9



R∗ 1 cm

1/2 

P 1s

1/2

,

(9.10)

es el radio de curvatura. Esta energ´ıa se emite en fotones γ que inician una cascada electromagn´etica a trav´es de la reacci´on: γ + B −→ e+ + e−

(9.11)

Los e+ son acelerados a su vez hacia fuera del pulsar, produciendo nuevos fotones γ y m´as pares e± . Los electrones son acelerados hacia la superficie donde impactan produciendo un calentamiento que resulta en la emisi´on de rayos X t´ermicos. La interacci´on de estos rayos X con los fotones γ producidos por los electrones al moverse hacia el pulsar sobre las l´ıneas de campo da lugar a pares sobre la superficie, de donde salen los positrones originalmente acelerados. La situaci´on puede esquematizarse como se muestra en la Figura 9.1:

Figura 9.1:

Los rayos γ finalmente se escapan formando un cono con centro en el momento dipolar magn´etico. Adem´as de esta emisi´on no isotr´opica, puede haber emisi´on de rayos γ en el viento del pulsar y en la llamada nebulosa sincrotr´on, como se muestra en la Figura 9.2 .

150

Fuentes de rayos γ

Radiation from a

Pulsar-wind-nebula complex

B

Pulsar R,O,X

γ: MeV/GeV; TeV (?) IC e

CR

Unshocked wind

e

Only γ: GeV or TeV

e e

e IC e

Sy

e

Shock front

Synchrotron nebula

IC

R,O,X

IC

Sy

γ : MeV/GeV/TeV

Interstellar medium

Figura 9.2: Existen tres regiones de radiaci´on no-t´ermica asociadas con la emisi´on por p´erdida de energ´ıa rotacional en una estrella de neutrones. La primera regi´on corresponde al pulsar y su magnet´osfera, hasta el cilindro de luz. Esta emisi´on es peri´odica (pulsada). La segunda regi´on corresponde al viento del pulsar, cuya emisi´on es debida principalmente a dispersiones Compton inverso de los e− relativistas. Por u ´ltimo la nebulosa sincrotr´on, donde las part´ıculas son re-aceleradas en el choque entre el viento y el medio interestelar. (Aharonian & Bogovalov, 2003)

Como el pulsar esta en rotaci´on, si Ω no es paralelo a ~µ en el sistema del observador, la emisi´on aparece pulsada. El per´ıodo de pulsaci´on es igual al per´ıodo de rotaci´on P . La avalancha electromagn´etica produce un aumento del n´ umero de pares, que son eyectados a lo largo de las l´ıneas de campo abierto formando el viento del pulsar. Una parte

9.2 Fuentes activas

151

significativa de la energ´ıa, sin embargo, escapa en forma de rayos γ. El n´ umero de pares creados depende de las caracter´ısticas del sistema y los par´ametros particulares asumidos, pero t´ıpicamente la multiplicidad (n´ umero de secundarios producidos por cada lept´on primario inyectado) es κ ∼ 102 − 103 .

(9.12)

El n´ umero de pares eyectados es:

 κ  κΩ2 BS R∗3 κV = ∼ 2.7 × 1033 N˙ = e eC 103



BS 1012 G



P 1s

−2

s−1 ,

(9.13)

y por tanto la luminosidad total es: 33

Ltotal ∼ 2.7 × 10 γ



me c2 erg



κ  103



BS 1012 G



P 1s

−2

erg s−1 .

(9.14)

Para γ ∼ 1000, κ ∼ 103 , BS ∼ 1012 G y P ∼ 0.1 s tenemos Ltotal ∼ 1032

erg s−1 .

(9.15)

Para hallar la fracci´on de esta luminosidad que se va en rayos γ, consideramos: γ0 =

e ∆V . me c2

(9.16)

Luego, la dependencia de γ con la distancia al centro de la estrella ser´a (integrando la ecuaci´on diferencial para γ): ˙  −1/3  r 9 e2 Ω γ03 . ln γ(r) = γ0 1 + 3 8 me c R∗

(9.17)

Como las part´ıculas escapan m´as all´a del cilindro de luz: γfinal = γ(Rcl ),

con Rcl =

c . Ω

(9.18)

Luego, la luminosidad en rayos γ ser´a: Lγ ∼

γ0 − γfinal Ltotal . γ0

(9.19)

152

Nombre

P τ (s) (Ky) Crab 0.033 1.3 B1509−58 0.150 1.5 Vela 0.089 11 B1706−44 0.102 17 B1951+32 0.040 110 Geminga 0.237 340 B1055−52 0.197 530 B1046−58 0.124 20 B0656+14 0.385 100 J0218+4232 0.002 460,000

Fuentes de rayos γ E˙ (erg/s) 4.5 × 1038 1.8 × 1037 7.0 × 1036 3.4 × 1036 3.7 × 1036 3.3 × 1034 3.0 × 1034 2.0 × 1036 4.0 × 1034 2.5 × 1035

FE (erg/cm2 s) 1.3 × 10−8 8.8 × 10−10 9.9 × 10−9 1.3 × 10−9 4.3 × 10−10 3.9 × 10−9 2.9 × 10−10 3.7 × 10−10 1.6 × 10−10 9.1 × 10−11

d (kpc) 2.0 4.4 0.3 2.3 2.5 0.16 0.72 2.7 0.3 2.7

LHE (erg/s) 5.0 × 1035 1.6 × 1035 8.6 × 1033 6.6 × 1034 2.5 × 1034 9.6 × 1032 1.4 × 1033 2.6 × 1034 1.3 × 1032 6.4 × 1033

η (E>1 eV) 0.001 0.009 0.001 0.019 0.007 0.029 0.048 0.013 0.003 0.026

Tabla 9.1: Resumen de las propiedades de algunos candidatos a p´ ulsares de rayos γ.

Esto da del orden de 1031 erg s−1 para p´ ulsares con P ∼ 0.1 s. Debido a la dependencia con P −2, p´ ulsares m´as r´apidos pueden ser significativamente m´as luminosos. Modelos m´as complejos implican gaps electrost´aticos en regiones cercanas al cilindro de luz. Son los modelos de outer gap. Los diferentes telescopios del sat´elite Compton han identificado 7 p´ ulsares que emiten en rayos γ, y hay varios candidatos m´as. En la Tabla 9.1 se dan las principales caracter´ısticas de estos objetos. En dicha tabla, η es la eficiencia en la producci´on de rayos γ (Lγ /~r˙ ), τ la edad del pulsar, d su distancia, FE el flujo de energ´ıa medido en la Tierra y LHE la luminosidad a altas energ´ıas. En la Tabla 9.1 vemos que los per´ıodos esta˜ n comprendidos entre 0.033 segundos (Crab) y 0.237 segundos (Geminga). Las luminosidades en rayos γ pueden llegar, como en el caso de Crab, a 5 × 1035 erg s−1 . En la Figura 9.3 mostramos los pulsos de la emisi´on, a diferentes longitudes de onda. Como puede verse, en rayos γ es com´ un una estructura doble del pulso que puede deberse a un efecto de apantallamiento de la radiaci´on dentro del cono de emisi´on en el polar cap o a efectos asociados a la presencia de un gap exterior. El pulsar Geminga fue descubierto primero como una fuente de rayos γ no identificada y muy luego se hallaron pulsos en su emisi´on. La existencia de estas pulsaciones indica que la fuente es un objeto compacto en rotaci´on. Sobre escalas de tiempo largas, sin embargo, los p´ ulsares no parecen ser variables. Por ello se los suele usar como poblaci´on de comparaci´on para estudiar la variabilidad de otras fuentes de rayos γ. Los espectros de los p´ ulsares de rayos γ muestran diferentes contribuciones: emisi´on no-t´ermica de origen coherente en radio, emisi´on de rayos X t´ermica, proveniente de la

9.2 Fuentes activas

B1509-58

Vela

B1706-44 B1951+32 Geminga B1055-52

Intensity variation during one rotation of the neutron star

Crab

153

?

Radio

Optical

Soft X-Ray

X-ray/ Gamma Ray

Hard Gamma Ray

P ~ 33 ms

P ~ 150 ms

P ~ 89 ms P ~ 102 ms

P ~ 39 ms

P ~ 237 ms P ~ 197 ms

djt 3/03

Figura 9.3: Curvas de luz de p´ ulsares en distintas bandas de observaci´on.

superficie, y emisi´on no-t´ermica incoherente en rayos γ. La mayor parte de la luminosidad es producida en rayos γ.

9.2.2.

Remanentes de supernovas

Como hemos visto, los remanentes de supernova pueden acelerar part´ıculas cargadas hasta velocidades relativistas por medio del mecanismo de Fermi. Se trata de un proceso de aceleraci´on difusivo que lleva a una ley de potencia en la distribuci´on de las part´ıculas:

154

Fuentes de rayos γ

Optical

Radio

X-Ray

Gamma Ray

log Observing Frequency (Hz) 9

14 12 10 8 6

log νFν (JyHz)

14 12 10 8 6

14 12 10 8 6 14 12 10 8 6 14 12 10 8 6 -12

15

18

21

24

27 -9 -11 -13 -15 -17

Crab

-9 -11 -13 -15 -17

PSR B1509-58

14 12 10 8 6 14 12 10 8 6

12

-9 -11 -13 -15 -17

Vela

-9 -11 -13 -15 -17

PSR B1706-44

-9 -11 -13 -15 -17

PSR B1951+32

-9 -11 -13 -15 -17

Geminga

-9 -11 -13 -15 -17

PSR B1055-52

-9

-6

log [E2 * Flux] (erg cm-2 s-1)

6

-3

0

3

6

9

log Energy (keV)

12 djt 07/03

Figura 9.4: Distribuci´on espectral de la emisi´on de algunos p´ ulsares

n(E)dE = KE −Γ dE El flujo isotr´opico de estas part´ıculas es:

[cm−3 ].

(9.20)

9.2 Fuentes activas

155

I(E) =

c n(E) 4π

[cm−2 erg−1 s−1 sr−1 ].

(9.21)

Estas part´ıculas, ya sean electrones o protones, pueden interaccionar con el material barrido por la explosi´on de supernova produciendo rayos γ. Consideremos un remanente de unos 10 pc de radio que se expande en un medio que originalmente ten´ıa una densidad n = 0.1 cm−3 El material desplazado por la onda de choque ser´a: 4 4 N = πR3 n ∼ π(3 × 1019 )3 cm3 0.1 cm−3 3 3 ∼ 1059 part´iculas.

(9.22)

Si se trata de un medio formado por H:

M ∼ mp N ∼ 1.67 × 10−24 g 1059 ∼ 2 × 1035 g ∼ 100 M⊙ .

(9.23)

Si el remanente est´a a una distancia d:

Fπ0 →2γ (E > 100 MeV) ∼ 10

−10



M 100 M⊙



d Kpc



κS

ph cm−2 s−1

(9.24)

Vemos que para un remanente a 2 Kpc necesitamos κS > 200 a fin de que sea detectable por un instrumento como EGRET. Si el remanente, por el contrario, se encuentra en un medio denso (n > 1 cm−3 ), est´a en interacci´on con alguna nube molecular o es muy cercano, puede ser detectable. Un ejemplo de remanente con emisi´on γ de posible origen hadr´onico es RX J1713-39, detectado por EGRET, CANGAROO III y HESS. En remanentes no muy fuertes en radio (emisi´on producida por la radiaci´on sincrotr´on de leptones relativistas), se espera en general que la emisi´on de origen hadr´onico domine sobre el Bremsstrahlung relativista. Por otro lado, en remanentes j´ovenes, con alta densidad de rayos c´osmicos que se expanden en un medio no muy denso la interacci´on Compton inversa con fotones de 2.7 K puede ser dominante. Este parece ser el caso de SN 1006. En el siguiente esquema ilustramos los diferentes mecanismos y regiones de emisi´on de un remanente que se encuentra interaccionando con una nube molecular. Hay 22 fuentes γ en el tercer cat´alogo EGRET que coinciden posicionalmente con remanentes de supernovas conocidos. La significancia estad´ıstica de este resultado es de 5.7σ, lo que sugiere que no todas esas coincidencias son fruto del azar.

156

Fuentes de rayos γ

Figura 9.5: El remanente de supernova puede alcanzar una nube molecular cercana y fotones γ pueden producirse via interacciones pp entre los p acelerados en el remanente y el material de la nube.

9.2.3.

Binarias de estrellas tempranas

Estos sistemas est´an formados por estrellas tempranas como ser Wolf-Rayet o estrellas O, las cuales tienen fuertes vientos. Los vientos colisionan formando una onda de choque que puede acelerar part´ıculas hasta velocidades relativistas. Los electrones se enfr´ıan entonces a trav´es de radiaci´on sincrotr´on en radio (puede llegar hasta el IR o el ´optico), que es detectada en muchos casos. Como las estrellas emiten mucha radiaci´on electromagn´etica (con un pico en el UV) los electrones se enfr´ıan tambi´en por interacciones Compton inverso. Estos u ´ltimos fotones caen en el rango X-γ. Los protones acelerados en la onda de choque tambi´en pueden producir rayos γ por decaimiento de π 0 si logran difundirse hasta la base del viento. La situaci´on general es ilustrada a continuaci´on para un sistema WR + O. Viento

Frente de choque

Viento WR Estrella O

Region de aceleracion

Figura 9.6: Sistema binario de dos estrellas de gran masa. En el frente de choque se reaceleran part´ıculas y se produce la colisi´on de los vientos estelares. Un ejemplo de binaria con colisi´on de vientos, emisi´on no-t´ermica en radio y posible

9.2 Fuentes activas

157

emision γ es CygnOB2 5.

Trataremos ahora de fuentes activas acretantes. Veremos primero el caso de los n´ ucleos gal´acticos activos, que fueron las primeras fuentes extragal´acticas de rayos γ en ser identificadas. La primera fuente de esta clase fue el quasar 3C273, detectado por el sat´elite Cos B en los a˜ nos 1970.

9.2.4.

N´ ucleos gal´ acticos activos (AGNs)

Los n´ ucleos gal´acticos activos presentan emisi´on electromagn´etica a lo largo de todo el espectro, desde radio hasta, en muchos casos, rayos γ. Las distancias determinadas a trav´es del corrimiento cosmol´ogico al rojo de sus l´ıneas espectrales y los flujos observados permiten inferir luminosidades gigantescas (≥ 1044 erg s−1 ). Al mismo tiempo suelen presentar variabilidad muy r´apida lo cual implica que la regi´on de emisi´on es extremadamente compacta. Resulta natural entonces suponer que la acreci´on de materia sobre un objeto compacto (por ejemplo, un agujero negro supermasivo con M ∼ 107−10 M⊙ ) es responsable de la emisi´on. Para que la acreci´on esf´erica de un gas sobre un objeto se mantenga, la fuerza de la gravedad debe sobrepasar a la fuerza ejercida por la presi´on de radiaci´on. Consideremos un gas de protones: |F~rad | ≤ |F~grav |

(9.25)

GMmp σT L ≤ , 2 4πcr r2 donde M es la masa del objeto compacto y L su luminosidad.

(9.26)

Luego, L≤

4πG c mp M. σT

(9.27)

La luminosidad a la cual la acreaci´on se detiene se denomina luminosidad de Eddington: 4πG c mp M σT   M 46 ≃ 1.3 × 10 108 M⊙

LE = LE

erg s−1 .

(9.28)

158

Fuentes de rayos γ

Asociada a esta luminosidad hay una tasa de acreci´on de Eddington: LE M˙ = 2 ∼ 0.23 c



M 108 M⊙



M⊙ yr−1 .

(9.29)

Ahora bien, algunos AGNs parecen presentar luminosidades mayores que la de Eddington. Esto se interpreta como un indicio de la anisotrop´ıa de la emisi´on. De hecho, observaciones con interfer´ometros de radio muestran que la emisi´on no-t´ermica forma jets o “chorros” que emanan de la fuente central. La energ´ıa potencial de una masa m a una distancia r de la masa central M es: U=

GMm . r

(9.30)

La tasa a la cual la energ´ıa potencial de la materia acretante es convertida en radiaci´on es: L≈

dU GM dm GM M˙ = = , dt r dt r

(9.31)

donde M˙ es la tasa de acreci´on sobre el objeto compacto. El radio de Schwarzschild de un agujero negro de masa M es: 2GM RS = ∼ 3 × 1013 2 c



M 8 10 M⊙



cm.

(9.32)

El radio de Schwarzschild indica la posici´on de la superficie que separa el interior del agujero negro del resto del Universo. La u ´ltima ´orbita estable alrededor del agujero est´a a 3RS , por tanto la energ´ıa liberada por la materia acretante es: L=

GM M˙ 1 GM M˙ = ∼ M˙ c2 . 2 3RS 6GM/c 6

(9.33)

La eficiencia del proceso, por tanto, es mucho mayor que la de procesos termonucleares. De hecho, la eficiencia radiativa real es un poco menor ya que por el teorema virial, la mitad de la energ´ıa va a calentar el gas, y la otra mitad es radiada. Luego ˙ 2. L ∼ 0.1 Mc

(9.34)

La energ´ıa radiada se emite seg´ un la ley de Wien: L=

GM M˙ = 2πr 2 σT 4 , 2r

(9.35)

9.2 Fuentes activas

159

donde σ es la constante de Stefan-Boltzmann. Luego,

T (r) =

GM M˙ 4πσr 3

!1/4

(9.36)

Si la materia tiene momento angular formar´a un disco alrededor del objeto compacto. En este caso es posible demostrar que:

T (r) =

(

" 1/2 #)1/4  3GM M˙ Rin 1− 8πσr 3 r

(9.37)

donde Rin es el borde interno del disco de acreci´on. A cada r el disco rad´ıa como un cuerpo negro: Bν (T ) ∝

ν3 . exp(hν/κT ) − 1

(9.38)

Figura 9.7: Espectro t´ıpico del disco de acreci´on delgado, en funci´on de la frecuencia. El espectro total se obtiene integrando sobre todo el disco: I(ν) ∝

Z

Rout

Bν (T (r)) r dr.

(9.39)

Rin

No podemos entrar ahora en detalles de la emisi´on de los discos de acreci´on y los diferentes modelos existentes. Basta decir que estos modelos permiten reproducir de forma razonable la emisi´on t´ermica (desde el ´optico a los rayos X suaves) que presentan los AGNs.

160

Fuentes de rayos γ

A energ´ıas m´as altas la emisi´on puede tener una componente debida a Comptonizaci´on t´ermica pasando luego a ser no-t´ermica y dominada por los jets. El mecanismo de producci´on de los jets no est´a claramente establecido. Es muy probable que los campos magn´eticos asociados al disco de acreci´on jueguen un papel importante en el lanzamiento y la colimaci´on del plasma relativista. El flu´ıdo puede comenzar como un plasma t´ermico que se mueve a velocidades relativistas macrosc´opicas. Ondas de choque pueden entonces transformar la energ´ıa cin´etica macrosc´opica en energ´ıa de las part´ıculas, que al volverse relativistas se enfr´ıan por radiaci´on sincrotr´on e interacciones Compton inverso. Los fotones ”semilla”para estas u ´ltimas interacciones pueden ser los propios fotones sincrotr´onicos, o fotones de fuentes externas como pueden ser el disco o radiaci´on reprocesada en nubes que orbitan cerca del objeto compacto. Las nubes mas cercanas se encuentran en la llamada regi´ on de l´ıneas anchas (BLR: BROAD LINE REGION). Se trata de nubes que se mueven a velocidades ∼ 5000 km s−1 en el campo gravitacional del objeto compacto. Mas lejos hay una regi´ on de l´ıneas angostas (NLR: NARROW LINE REGION), mas lentas. Si el jet tiene contenido hadr´onico, rayos γ se pueden producir por reacciones del tipo γ+γ ր p + γ −→ p + π 0 p + γ −→ n + π + ց µ+ + νµ

(9.40)

p + γ −→ p + π + + π − donde los fotones para la reacci´on original pueden venir de una corona formada por un plasma muy caliente (T ∼ 109 K) alrededor de la fuente central. Este plasma, que probablemente es calentado por procesos de reconecci´on magn´etica, se enfr´ıa por Comptonizaci´on de los fotones m´as fr´ıos del disco produciendo rayos X que pueden interaccionar con protones relativistas para producir piones. El decaimiento de estos piones lleva a rayos γ y a cascadas electromagn´eticas. Tambi´en es posible que un haz de protones interaccione con una nube molecular y se produzcan rayos γ a trav´es de reacciones : p + p −→ p + p + π 0 ց γ+γ

(9.41)

El contenido de materia de los jets de los AGNs, sin embargo, no est´a claramente establecido. Podr´ıa tratarse de un flu´ıdo formado por e− y e+ relativistas, por e± relativistas y e− y p fr´ıos, o por una mezcla de estas posibilidades. En la Figura 9.8 mostramos los elementos b´asicos de un AGN.

9.2 Fuentes activas

161 FR II

I FR

SSRQ FSRQ

BL Lac

FR II (NLRG)

FR I (NLRG) Seyfert 2

d

lou

io-

rad

t

uie

io-q

rad

Seyfert 1 QSO

Figura 9.8: Modelo est´andard de AGNs. En la figura se se˜ nalan las distintas fenomenolog´ıas (distintos ´angulos) que se observan, de acuerdo al modelo de Unificaci´on

9.2.5.

Microcuasares (Mqs)

Los llamados microcuasares fueron descubiertos en la d´ecada de 1990. Se trata de sistemas binarios formados por una estrella y un objeto compacto (agujero negro o estrella de neutrones). Si la estrella es de la secuencia principal de baja masa, hablamos de Mqs de baja masa. Si la compa˜ nera es una estrella temprana de gran masa, se habla de Mq de alta masa. Las caracter´ısticas definitorias de estos sistemas son que la materia de la estrella se acreta sobre el objeto compacto formando un disco de acreci´on que emite en rayos X y que sobre el eje de rotaci´on del sistema se forman y coliman jets relativistas que pueden ser detectados en radio debido a su emisi´on sincrotr´onica. Vemos entonces, que en su morfolog´ıa general los Mqs parecen ser versiones a escala reducida de los quasares extragal´acticos.

162

Fuentes de rayos γ

Figura 9.9: Diagrama (fuera de escala) de la regi´on central de una AGN

P5b

14

10

13

νFν [Jy Hz]

10

12

10

11

10 (ISO)

HST IUE

RXTE ROSAT ASCA

CGROOSSE

CGROCGRO10 COMPTEL EGRET

10

9

10

11

10

13

10

15

10

17

19

10 10 ν [Hz]

21

10

23

10

25

10

Figura 9.10: Espectro, observado y te´orico, del blazar 3C 279

Los Mqs presentan distintos estados espectrales. Los dos estados m´as caracter´ısticos que pueden observarse en la mayor´ıa de las fuentes son: 1. El estado dominado ”termicamente”, conocido como estado soft-high Se caracteriza porque la distribuci´on espectral de energ´ıa tiene un claro pico a energ´ıas de ∼ 1 KeV. Esta emisi´on se interpreta como originada en el disco de acreci´on y puede aproximarse por un cuerpo negro con temperaturas tales que κT ∼ 1 KeV. En este estado, adem´as, se observa una contribuci´on d´ebil en forma de ley de potencia con un espectro muy blando (´ındice espectral nph ∝ E Γ con Γ < 2). Esta componente se

9.2 Fuentes activas

163

cree originada en una corona de plasma caliente alrededor del objeto compacto (ver la Figura 9.11). En este estado NO se observan jets. La situaci´on parece dominada por el disco de acreci´on, que se extiende hasta la u ´ltima ´orbita estable. 2. El estado dominado por la emisi´on no-t´ermica, conocido como estado low-hard . Se caracteriza por una distribuci´on espectral de energ´ıas en la cual la componente t´ermica est´a disminuida y corrida hacia energ´ıas m´as bajas. Hay ahora una fuerte contribuci´on en forma de ley de potencia con un espectro mucho m´as duro (Γ < 1.6), como se muestra en la Figura 9.11. En este estado se observa un jet, que emite radiaci´on sincrotr´on. Esta emisi´on quiz´as contribuya a la emisi´on observada en rayos X duros. Tambi´en es posible que a estas energ´ıas haya una contribuci´on Compton inverso (E ∼ 100 KeV). El disco de acreci´on, en esta configuraci´on, parece estar truncado a una cierta distancia del objeto compacto y el papel de la corona ahora es m´as importante.

Figura 9.11: Espectros representativos de los estados soft-high y low-hard

Los Mqs permanecen la mayor parte del tiempo en el estado low-hard. El cambio al estado high-soft suele ser r´apido y va acompa˜ nado de la eyecci´on de componentes o plasmones relativistas cuyas velocidades inferidas son mayores de lo que se espera sea la velocidad macrosc´opica del jet en el estado low-hard. El movimiento de estas componentes, cuando es proyectado en el plano del ciclo, puede aparecer como supralum´ınico, debido al efecto de aberraci´on relativista.

164

Fuentes de rayos γ

Figura 9.12: Similitudes, a diferentes escalas, entre un quasar y un microcuasar (Mirabel & Rodr´ıguez 1998)

Consideremos un poco mas en detalle como es posible el movimiento aparente mayor que la velocidad de la luz. Consideremos una fuente que en t1 esta en B. Su emisi´on es detectada por un observador en A en un instante posterior t′1 . La fuente se mueve de B a B´en un tiempo δt. La distancia entre B y B´es vδt y la direcci´on del movimiento forma un ´angulo θ con la visual (ver Figura 9.14). ¯ es d + vδt cos(θ). Si θ es peque˜ ¯ ′ ≃ d. La separaci´on La distancia AB no, entonces AB angular entre B y B ′ es:

∆ϕ ∼

vδt sin θ , d

(9.42)

9.2 Fuentes activas

165

radio infrared optical soft-X hard-X gamma-ray COMPANION ACCRETION DISC CORONA JET ?

Γ >1 Jet (radio - ?)

Mass-flow Accretion disc (optical soft X-rays)

Massdonating companion star (IR-optical) Accreting neutron star or black hole

‘Corona’ (hard X-rays)

Figura 9.13: Diagrama de las distintas componentes de un microcuasar. El sistema binario esta formado por un objeto compacto (agujero negro o estrella de neutrones) que acreta material a trav´es de la estrella compa˜ nera, formando un disco de acreci´on y una corona. La energ´ıa potencial de acreci´on es convertida en energ´ıa radiativa y mec´anica del jet, el cual emite radiaci´on desde las frecuencias de radio hasta los rayos gamma (Fender & Maccarone 2004).

y los instantes t′1 y t′2 son

d + vδt cos θ c d = t2 + . c

t′1 = t1 + t′2

El intervalo entre las observaciones es:

(9.43)

166

Fuentes de rayos γ

’

A

vdtsinq

B

Df d

vdt q vdtcosq

B

Figura 9.14: Movimiento supralum´ınico.

∆t = t′2 − t′1 = t2 − t1 −

vδt cos(θ) c

= δt(1 − β cos θ),

(9.44)

donde β = v/c. Luego, la velocidad transversal inferida por el observador es: βT =

vT d ∆ϕ v sin(θ) β sin(θ) = = = . c c ∆t c(1 − β cos(θ)) 1 − β cos(θ)

(9.45)

Notar que βT → ∞ si theta es peque˜ no y v → c.

El resultado es que en el sistema del observador la fuente parece moverse a velocidades superiores a la de la luz. Es un efecto aparente de aberraci´on relativista producido por el hecho de que la fuente se mueve hacia el observador a una velocidad comparable a la de la luz. En el estado low-hard la potencia total del jet, Lj , esta relacionada con la tasa de acreci´on sobre el objeto compacto: Lj = qj M˙ c2 ,

(9.46)

donde qj ∼ 0.1−0.01. Una parte de esta potencia se halla en forma de part´ıculas relativistas, por lo que el jet puede generar rayos γ por medio de interacciones Compton inverso. Los campos de fotones ”semilla”para los leptones pueden ser el propio campo sincrotr´on, el campo del disco, la corona o la estrella compa˜ nera (esta u ´ltima, un ingrediente importante que no est´a presente en el caso de los AGNs).

9.3 Fuentes transitorias de rayos γ

167

Si el jet posee hadrones relativistas, entonces interacciones con protones del viento de la estrella compa˜ nera pueden dar lugar a rayos γ en el caso de Mqs de alta masa. Debido a que presentan ´orbitas exc´entricas y cambios de estado, los Mqs deber´ıan ser fuentes de rayos γ variables. La precesi´on del jet tambi´en puede jugar un papel importante en la generaci´on de la variabilidad, cambiando el ´angulo de la emisi´on con la l´ınea de la visual. Al presente, hay 2 Mqs que son emisores de rayos γ en el rango E ∼ 100 MeV−10 GeV: LS 5039 y LSI+61303. El primero ha sido detectado a energ´ıas de TeV por HESS. El Mq Cygnus X-1 ha sido detectado por otro lado, por COMPTEL en el rango 1-10 MeV. Otros Mqs a´ un no descubiertos pueden ser las contrapartidas de varias de las fuentes variables de rayos γ detectadas por el instrumento EGRET sobre el plano gal´actico y que a´ un no han sido identificadas.

9.3. 9.3.1.

Fuentes transitorias de rayos γ Erupciones de rayos gamma (Gamma-Ray Bursts, GRBs)

Las erupciones de rayos γ son un fen´omeno astron´omico caracterizado por un r´apido incremento de la radiaci´on γ que llega a la Tierra desde el espacio. Este incremento puede ser tal que llegue a superar a toda otra fuente γ del Universo. La duraci´on de este fen´omeno es muy corta, usualmente yendo de unos pocos segundos a algunas decenas de ellos. Se han observado GRBs con duraciones extremas del orden del ms y de decenas de minutos. En promedio ocurren entre 1 y 2 GRBs por d´ıa. Los GRBs fueron descubiertos por los sat´elites militares Vela en 1967 y la informaci´on sobre su existencia reci´en se desclasific´o en 1973, cuando estuvo claro que se trataba de un fen´omeno natural y no del efecto de pruebas nucleares ilegales en el espacio. Desde entonces se han detectado m´as de 3000 de estos eventos. Diversas misiones espaciales han llevado a bordo instrumentos dedicados a detectar GRBs. Entre los u ´ltimos y m´as exitosos podemos mencionar a BATSE (en el CGRO) y SWIFT. A continuaci´on describimos algunas caracter´ısticas fenomenol´ogicas de los GRBs.

Caracter´ısticas fenomenol´ ogicas Perfiles temporales: La morfolog´ıa de los perfiles temporales de los GRBs es extremadamente variada. Algunos tienen una estructura sencilla caracterizada por un solo pico, mientras que otros presentan picos m´ ultiples y subestructura al nivel de milisegundo. Algunos ejemplos se muestran en la Figura 9.15.

168

Fuentes de rayos γ

Figura 9.15: Diferentes perfiles temporales de GRBs

La distribuci´on temporal de los GRBs parece ser bimodal, existiendo dos clases bien definidas: GRBs cortos con duraci´on T < 2 s y GRBs largos con T ≥ 2 s. Esta distribuci´on se muestra en la siguiente figura. Se supone que esta dicotom´ıa refleja una diferencia intr´ınseca en el mecanismo que genera ambas clases de eventos.

Propiedades espectrales La energ´ıa de los fotones que caracterizan a los GRBs est´a tipicamente en el rango que va de algunas decenas de KeV a unos pocos MeV. En algunos casos excepcionales se han observado fotones de hasta 10 GeV. El espectro es claramente no-t´ermico y puede representarse por:

9.3 Fuentes transitorias de rayos γ

n(E)dE = n0



169

AE −α e−(E/E0 ) E < E0 BE β E > E0

(9.47)

con α ∈ (∼ 0.1, ∼ 1), β ∈ (∼ −2, −3) y E0 ∈ (∼ 0.1, ∼ 1) MeV. La intensidad itegrada en el tiempo T esta en el rango: F ∼ (0.1 − 10) × 10−6 erg cm−2

(9.48)

Distribuci´ on espacial: El instrumento BATSE mostr´o claramente que la distribuci´on de los GRBs es altamente isotr´ opica, lo cual sugiere un origen extragal´actico (ver figura). La distribuci´on de intensidades, sin embargo, muestra una falta de eventos d´ebiles respecto a lo que se espera de una poblaci´on homogeneamente distribu´ıda en el espacio. Esto sugiere que hay un limite espacial m´aximo hasta el cual se producen los GRBs y que estamos observando algunos de esos eventos extremadamente lejanos (ver la Figura 9.16).

Figura 9.16: Distribuci´on espacial de los GRBs. Contrapartidas a bajas energ´ıas Sat´elites de rayos X como Beppo SaX han detectado contrapartidas a energ´ıas m´as bajas de ciertos GRBs. Estas tambi´en han sido halladas con telescopios ´opticos y de radio. Las duraciones de los eventos son mayores a energ´ıas m´as bajas, llegando a unas cuantas semanas y meses en radio. Las contrapartidas son variables y su intensidad decae como leyes de potencia: Fν ∝ t−α (ν = x, α = 1.1 − 1.6; ν =?, α = 1.1 − 2.1)

170

Fuentes de rayos γ

Los espectros de las contrapartidas tambi´en son leyes de potencia o en algunos casos leyes de potencia quebradas. En las Figuras 9.17 y 9.18 mostramos los espectros de algunas contrapartes.

Figura 9.17: Curva de luz de la post-luminiscencia de GRB 970228. Galaxias anfitrionas Debido a las localizaciones precisas obtenidas primero por Beppo SaX y ahora por SWIFT, ha sido posible determinar el corrimiento al rojo e incluso el tipo de galaxia en las que ocurren los GRBs. Parece existir una tendencia a que los GRBs de larga duraci´on ocurran en galaxias ricas en formaci´on estelar. Modelos Modelo fenomenol´ ogico b´ asico: la “bola de fuego”. La escala temporal de variabilidad de los GRBs es en general muy corta: δT ∼ 1 ms =⇒

R < δT ∼ 3 × 102

km

(9.49)

o sea que la fuente inicial debe ser muy compacta. El objeto m´as compacto que existe es un agujero negro, para el cual R=

2GM c2

(9.50)

9.3 Fuentes transitorias de rayos γ

171

20 GRB 970508 α = −1.141 ± 0.014

R

22

GRB 971214 α = −1.380 ± 0.013

24

26 GRB 970228 α = −1.10 ± 0.04

28 −0.5

0.0

0.5 1.0 1.5 log10 time after burst (days)

2.0

Figura 9.18: Curvas de luz de la post-luminiscencia de los GRBs 970228, 971214 y 970228.

M≥

=⇒

c3 δT ∼ 102 M⊙ 2G

(9.51)

Si el objeto no es un agujero negro, su masa debe ser a´ un menor. De aqu´ı vemos que, sea lo que sea, un GRB debe ser un fen´omeno de naturaleza estelar. La energ´ıa liberada en un GRB es enorme:  2  F d 2 51 E0 = F (4πd ) ≡ 10 10−6 erg cm−2 3 Gpc

erg

(9.52)

Si esta cantidad enorme de energ´ıa es liberada en una regi´on muy peque˜ na de volumen 4 V = πR3 ∼ 1023 cm3 3 la fuente ser´a opaca a su propia emisi´on γ ya que debido a interacciones γ + γ −→ e− + e+

(9.53)

(9.54)

resulta τγγ ≫ 1. Especificamente, τγγ

fp σT F D2 = ≡ 1014 fp R2 me c2



10−7

F erg cm−2



d 3 Gpc

2 

δT 10 ms

−2

(9.55)

172

Fuentes de rayos γ

donde fp es la fracci´on de fotones con energ´ıas por arriba del umbral de creaci´on de fotones. Para valores t´ıpicos τγγ ∼ 1014 la fuente es opaca. Esto presenta dos grandes problemas: 1. La radiaci´on deberia ser t´ermica, mientras que la que se observa es no-t´ermica. 2. Con semejante opacidad no deber´ıan observarse fotones de m´as de 0.511 MeV, mientras que claramente se observan muchos fotones con Eph > 1 MeV

La soluci´on a este problema consiste en introducir una : expansi´ on relativista del plasma emisor. La enorme presi´on de la radiaci´on dentro de la fuente hace que esta se expanda relativisticamente con un factor de Lorentz γ. Los fotones observados, pues, est´an corridos hacia el azul (blueshifted ) por lo que el factor fp debe sufrir una expansi´on relativista (Piran T., 1999). La opacidad corregida es:

τγγ

1014 ≡ 2+2α fp γ



10−7

F erg cm−2



d 3 Gpc

2 

δT 10 ms

−2

(9.56)

Como α ∼ 2, para tener τγγ < 1 se debe cumplir que γ ≥ 102 . Cuando la fuente llega a expandirse a esta velocidad se hace transparente permitiendo que se observe la emisi´on no-t´ermica de su interior. Esta expansi´on ultrarelativista, a su vez, limita el contenido de materia de la bola de fuego. En efecto si γ > 100 =⇒ M < 10−5 M⊙ . Este es el famoso problema de la contaminaci´ on bari´ onica que deben evitar los modelos de GRBs. En el modelo de “bola de fuego” la energ´ıa interna del sistema se transforma en energ´ıa cin´etica de expansi´on macrosc´opica. Cuando la c´ascara en expansi´on de la bola de fuego colisiona con el medio interestelar produce una onda de choque. Esta transforma parte de la energ´ıa cin´etica de expansi´on en energ´ıa cin´etica de las part´ıculas microsc´opicas, que entonces es radiada por mecanismo sincrotr´on o Compton inverso. Ondas de choque pueden ser tambi´en producidas por colisiones entre c´ascaras eyectadas con diferentes velocidades. Estos shocks son llamados internos y dan lugar a la variada morfolog´ıa temporal de los GRBs. Los shocks externos, producen las contrapartidas en rayos X y frecuencias m´as bajas.

9.4 Fuentes no identificadas de rayos γ

173

Colimaci´ on En algunos GRBs para los que se ha medido el corrimiento al rojo, las energ´ıas internas inferidas bajo la suposici´on de emisi´on isotr´opica son tan grandes como 1054 erg. Esto es m´as de M⊙ c2 por lo que se supone que la emisi´on no debe ser isotr´opica. Los requerimientos energ´eticos disminuyen considerablemente si se asume que la emisi´on est´a colimada en forma de jets. La colimaci´on, adem´as, ayuda a explicar ciertas peculiaridades de la emisi´on temporal de las contrapartidas a bajas energ´ıas. Mecanismo central El mecanismo que produce la liberaci´on de la energ´ıa en forma de radiaci´on est´a oculto por la “bola de fuego”, que es opaca en su estad´ıo inicial. Se suele suponer que los GRBs cortos son el resultado de fusiones de estrellas de neutrones con agujeros negros en sistemas binarios de per´ıodo ultracorto, mientras que los GRBs largos podr´ıan ser el resultado de la implosi´on de estrellas muy masivas. Este u ´ltimo modelo, llamado collapsar, consiste en la formaci´on de un agujero negro en el centro de una estrella masiva. El agujero es rodeado por un disco de acreci´on ultradenso, produciendose jets relativistas en el proceso. Las capas exteriores de la estrella podr´ıan ser eyectadas en un evento explosivo. Parece haber abundante evidencia que asocia GRBs copn explosiones de supernova. Implicaciones cosmol´ ogicas A diferencia de lo que sucede con los blazares, el Universo es transparente a los GRBs (debido a que su emisi´on γ es de baja energ´ıa). Los GRBs pueden dar informaci´on importante sobre la formaci´on de las primeras estrellas y (a trav´es de las contrapartes de baja energ´ıa) del medio que las rodeaba. En principio, debido a las restricciones existentes sobre la energ´ıa liberada, los GRBs pueden dar informaci´on sobre la energ´ıa oscura y los par´ametros cosmol´ogicos, en un dominio de z donde las supernovas ya no son identificadas.

9.4.

Fuentes no identificadas de rayos γ

Al presente, la mayor´ıa de las fuentes de rayos γ con Eγ > 100 MeV detectadas por EGRET no han sido identificadas. Entre las identificaciones hay unos 70 AGNs, 6 p´ ulsares, 1 explosi´on solar, la Gran Nube de Magallanes y una radio-galaxia. El resto de las fuentes es de origen desconocido (hay 271 fuentes en el u ´ltimo cat´alogo EGRET). Estas fuentes no identificadas pueden dividirse en 3 grandes grupos:

174

Fuentes de rayos γ

1. Fuentes distribuidas isotr´opicamente, de un claro origen extragal´actico. 2. Fuentes a latitudes gal´acticas medias que parecen formar un halo alrededor del centro gal´actico. Estas fuentes deben ser de origen gal´actico, pero viejas (edades ∼ 108−9 a˜ nos). 3. Fuentes sobre el plano gal´actico. Estas est´an muy bien correlacionadas con trazadores de objetos de Poblaci´on I, por lo que deben ser j´ovenes (edades ∼ 106−7 a˜ nos) y se acumulan en las regiones de formaci´on estelar y en los brazos espirales de la Galaxia. Estas fuentes a su vez se pueden dividir en variables y no variables. Las variables pueden ser objetos compactos como los Mqs, mientras que las otras pueden incluir p´ ulsares, nubes moleculares, remanentes de supernova, etc.

  Isotr´opicas : Extragal´acticas, variablesensumayoria Fuentes no identificadas Halo : gal´acticas, fuentes viejas, muy variables  Plano gal´actico : gal´acticas, jovenes (varibles y no variables)

Cap´ıtulo 10 Aspectos cosmol´ ogicos El Universo esta lleno de radiaci´on difusa conocida como radiaci´on extragal´actica difusa (RED). La distribuci´on de esta RED es isotr´opica, pero en sus inhomogeneidades y en su espectro guarda informaci´on sobre la composici´on y evoluci´on del Universo. Hay tres posibilidades sobre el origen de la RED: 1) se deba a la superposici´on de fuentes discretas no resueltas por los instrumentos, 2) es originada por mecanismos difusos que operan a gran escala en el Universo o 3) se debe a una mezcla de ambos casos anteriores. La multitud de objetos y procesos que pueden manifestarse en la RED s´olo puede desentra˜ narse si se poseen determinaciones precisas de c´omo se distribuye la radiaci´on a lo largo del espectro electromagn´etico. La emisi´on difusa en microondas, infrarrojo, ´optico y ultravioleta esta casi con seguridad dominada por procesos t´ermicos. La radiaci´on de fondo de microondas es u ´nica en el sentido de que tiene un origen cosmol´ogico claro: es la radiaci´on que escap´o durante el per´ıodo de recombinaci´on del Universo, cuando la temperatura cay´o, debido a la expansi´on, a niveles tales que los electrones pudieron ser capturados por los n´ ucleos, cambiando entonces s´ ubitamente la opacidad y haci´endose el Universo transparente a los fotones. Esta radiaci´on, conocida como CMB (por Cosmic Microwave Background) es el m´as perfecto ejemplo de espectro de cuerpo negro conocido. Corresponde a un cuerpo negro con una temperatura T = 2.73 K. La anisotrop´ıa que pudiese haber en la emisi´on de CMB sirve para establecer las fluctuaciones originales de densidad a partir de las cuales se formaron las galaxias. En los rangos infrarrojo, ´optico y ultravioleta la emision difusa esta dominada por radiaci´on t´ermica debida a galaxias, estrellas individuales y polvo. Las relaciones entre las intensidades de la RED en las distintas bandas guarda relaci´on con los contenidos y la evoluci´on del Universo. Sin embargo, estas componentes son influenciadas mas por la evoluci´on de las galaxias que por el modelo cosmologico subyacente, al contrario de lo que pasa con el CMB. Las longitudes de onda a las cuales la RED tiene contribuciones dominantes no-t´ermicas son radio, rayos X y rayos γ. Lo que parece dominar la emisi´on aqu´ı es la contribuci´on de

176 Longitud de onda Radio Microondas Infra-rojo ´ Optico Ultravioleta Rayos X Rayos γ

Aspectos cosmol´ ogicos Densidad de energ´ıa de la radiaci´on Densidad de fotones (eV m−3 ) (m−3 ) ∼ 5 × 10−2 ∼ 106 3 × 105 5 × 108 3 ∼ 2 × 10 ∼ 103 75 3 × 10−3 8.2 1.3 × 10−6

Tabla 10.1: Caracter´ısticas de los distintos campos radiativos cosmol´ogicos.

diversos tipos de AGNs. La densidad de energ´ıa y de fotones de la RED est´an dominadas por la contribuci´on del CMB. La Tabla 10.1 muestra nuestro conocimiento actual de estas cantidades para los distintos rangos de longitudes de onda: En la actualidad nuestro conocimiento de la radiaci´on de fondo infrarroja y ultravioleta es demasiado pobre como para arrojar valores confiables de densidad. En lo que concierne al fondo difuso gamma, reci´en con la llegada del sat´elite Compton y sus instrumentos COMPTEL y EGRET, ha podido ser medido con razonable exactitud. En la Figura 10.1 mostramos este espectro. El espectro est´a determinado s´olo por debajo de 100 GeV. Su forma puede ser ajustada por: I(E) ∝ E −2.1±0.03

(10.1)

A energ´ıas mayores de 100 GeV los rayos son absorbidos por el fondo infrarrojo. La detecci´on de fuentes discretas de rayos gamma de energ´ıas de TeV es siempre de objetos cercanos. De hecho, los cambios de su distribuci´on espectral con el corrimiento al rojo de las detecciones puede utilizarse para imponer restricciones al fondo infrarrojo. Volviendo a los rayos γ, los objetos discretos que contribuyen a la RED son: Galaxias normales. Esta contribuci´on es dif´ıcil de establecer ya que no se conoce la funci´on de luminosidad de las galaxias normales. Su emisividad a estas energ´ıas depende de su contenido de polvo y gas, as´ı como de la poblaci´on de rayos c´osmicos que haya en ellas. AGNs. Estos son probablemente la contribuci´on dominante. Como los principales AGNs que emiten en γ son fuentes intensas en radio, deber´ıa de haber correlaci´on entre los fondos difusos a ambas bandas. Sin embargo, a´ un no es posible cuantificar

177

100.0 ASCA (Gendreau 1995) HEAO (LED) (Gruber 1992) HEAO (MED) (Kinzer et al. 1996) + SMM (Watanabe et al.1997) APOLLO upp. lim (Trombka 1997) COMPTEL (Kappadath et.al.1996) SAS-2 (Thompson & Fichtel 1982) EGRET (Sreekumar et al 1998)

HEAO A2,A4(LED)

ASCA

HEAO-A4 (MED)

E2 dJ/dE (keV2/(cm2-s-keV-sr)

APOLLO

10.0 SAS-2 COMPTEL

EGRET

1.0

0.1 10-1

100

101

102

103 104 105 Photon Energy (keV)

106

107

108

109

Figura 10.1: Espectro multifrecuencia (desde rayos X hasta rayos γ) de la emisi´on difusa extragal´actica (Sreekumar et al. 1997).

la contribuci´on de AGNs radio-silenciosos y d´ebiles. El espectro promedio en rayos γ de los AGNs detectados es: I(E) ∝ E −2.13±0.31

(10.2)

lo que los hace candidatos firmes para explicar el fondo. Galaxias ultra-luminosas: Son galaxias con mucho gas y formaci´on estelar, por lo que se espera tambi´en que sean ricas en explosiones de supernovas y de aqu´ı, en rayos c´osmicos. Esto las hace candidatas atractivas para la producci´on de rayos y podr´ıan contribuir al fondo difuso. Es posible que GLAST detecte varias de estas galaxias dando asi apoyo adicional a la hip´otesis. Aun no hay informaci´on observacional sobre su espectro . Supernovas: Supernovas extragal´acticas pueden contribuir a la RED en energ´ıas bajas debido a las desexcitaciones nucleares a las que dan lugar, como ser: 56

Ci → 56 Co → 56 Fe

(10.3)

178

Aspectos cosmol´ ogicos

Esta cadena produce l´ıneas de emisi´on entre 0.85 MeV y 3.25 MeV. P´erdidas por dispersi´on Compton de estos fotones pueden resultar en una distribuci´on continua. Agujeros negros primordiales Se ha sugerido que agujeros negros de baja masa (< 1015 g) podr´ıan haberse formado en el Big Bang. Estos agujeros se enfr´ıan por radiaci´on Hawking y se desintegran liberando rayos γ. Se ha mostrado, sin embargo, que el espectro esperado de la desintegraci´on de una poblaci´on primordial de agujeros negros es una ley de potencia quebrada: I(E) ∝



E −1 E < 100 MeV E −3 E ≥ 100 MeV

(10.4)

lo cual entra en conflicto con las determinaciones de la RED realizadas por EGRET. Por tanto, queda descartado que haya habido una formaci´on masiva de agujeros negros primordiales de baja masa en el Big Bang. Adem´as de estas contribuciones de fuentes discretas no resueltas a la RED, se han sugerido tambi´en fuentes intrinsecamente difusas. Entre ellas mencionamos: Aniquilaci´ on materia-antimateria. Si el Universo est´a lleno de antimateria uniformemente distribu´ıda, entonces las aniquilaciones: p + p¯ −→ π + + π − + π 0

(10.5)

I(E) ∝ E −2.8

(10.6)

producen emisi´on γ difusa. Esta deber´ıa producir un espectro que promediado sobre todos los corrimientos al rojo ser´ıa:

lo que est´a en conflicto con las observaciones. En consecuencia, el Universo parece estar formado, en su mayor parte al menos, por materia. Part´ıculas ex´ oticas. Observaciones astrof´ısicas de diversos tipos indican que debe existir materia oscura en el Universo. Una porci´on considerable de esta materia parece ser no-bari´onica y podr´ıa estar formada por neutrinos u otras part´ıculas m´as ex´oticas que no aparecen en el modelo est´andar. Part´ıculas ex´oticas conocidas como WIMPS (de weakly interacting massive particles) aparecen en extensiones supersim´etricas del modelo est´andar. Estas part´ıculas pueden aniquilarse produciendo rayos γ y contribuyendo a la RED. Hasta la fecha, ning´ un rasgo particular de la RED ha podido ser asociado a estas supuestas part´ıculas. Halo gal´ actico extendido. Es posible que adem´as de la emisi´on difusa del plano de nuestra Galaxia exista una emisi´on difusa asociada a un halo gal´actico. Part´ıculas relativistas en este halo podr´ıan contribuir al fondo difuso de rayos γ a altas latitudes gal´acticas. Sin embargo, no es claro como las part´ıculas se difundir´ıan y acelerar´ıan en el halo, en caso de existir.

179 Al presente, la opini´on dominante es que la contribuci´on dominante a la RED en rayos γ proviene de AGNs no resueltos. Es muy posible, sin embargo, que haya otras contribuciones significativas. Nuevos instrumentos como GLAST podr´an dar m´as informaci´on sobre las fuentes discretas de rayos γ, ayudando as´ı a construir funciones de luminosidad y modelos m´as detallados que permitan explicar la emisi´on difusa extendida de origen extragal´actico.

180

Aspectos cosmol´ ogicos

Referencias Aharonian F.A. & Atoyan A.M. 1981, ApSS, 79, 321 Aharonian F.A. 2004, Very High Energy Cosmic Gamma-Ray Radiation, World Scientific Publishing Blumenthal G.R. & Gould R.J. 1970, Rev. Mod. Phys. 42, 237 Dermer C. & Schlickeiser 1991, A&A 252, 414 Dermer C. & Atoyan A.M. 2003, ApJ, 586, 79 Erber 1966, Rev. Mod. Phys. 38, 626 Fermi E., 1949, Physics Review 75, 1169 Gaisser T.K. 1990, Cosmic Rays and Particle Physics, Cambridge University Press, Cambridge Ginzburg V.L. & Syrovatskii S.I. 1964, The Origin of Cosmics Rays, Pergamon Press, New York Griffiths D. 1987, Introduction to Elementary Particles, Wiley, New York Halzen F. & Martin A.D. 1984, Quarks and leptons: an introductory course in modern particle physics, John Wiley & Sons, New York Kelner S.R. & Aharonian F.A. 2008, PRD, 78, 034013 Mannheim, K. & Schlickeiser R. 1994, A&A 286, 983 Mastichiadis A. 1991, MNRAS 253, 235 M¨ ucke A. et al. 2000, CoPhC, 124, 290 Piran T. 1999, Phys. Rep. 314, 575 Rossi B. & Greissen K. 1941, Rev. Mod. Phys. 13, 240 Steker F.W. 1968, Physical Review Letter, 21, 14 Weinberg S. 1972, Gravitation and cosmology, John Wiley & Sons

Ap´ endice A Deducci´ on de la intensidad de fotones IC en un campo monocrom´ atico

Iγ (Eγ ) =

Z

~l

d~r

Z

∞

Ie (Ee , ~r)dEe Eγ

Z

∞

σ(Ee , Eγ , Eph )nph (Eph , ~r)dEph

(A.1)

0

En el l´ımite de Thomson se obtienen muy buenos resultados utilizando una aproximaci´on tipo δ para la secci´on eficaz:

4 σ(Ee , Eγ , Eph ) = σT δ(Eγ − hEph iγ 2 ). 3

(A.2)

Si Ie (Ee , ~r) = KEe−p y para el campo monocrom´atico nph (Eph ) = nph δ(Eph − hEph i), luego de integrar en Eph se tiene

Deducci´ on de la intensidad de fotones IC en un campo monocrom´ atico

182

Iγ (Eγ ) = = = = = = =

2  Ee 4 )dEe − hEph i d~r 3 me c2 ~l Eγ  2 Z ∞ 4 Ee −p Ee δ(Eγ − hEph i Knph σT L )dEe 3 me c2 Eγ  −1/2 −1   Z ∞ 4 Ee2 d 4 −p 1/2 2 Eγ − hEph i hEph i dEe − Ee ) Ee δ(Eγ (me c ) Knph σT L 3 dE 3 (me c2 )2 Eγ  −1 −1/2  Z ∞ 4 8 hEph i −p 1/2 2 Ee δ(Eγ (me c ) hEph i Ee Knph σT L dEe − Ee ) 3 3 (me c2 )2 Eγ  −1 −1/2 !−(p+1)  4 8 hEph i Ee1/2 (me c2 ) hEph i Knph σT L 2 2 3 (me c ) 3 p/2 −1/2   1 −1/2 4 4 2 −p 2 −p/2 hEph i hEph i E Knph σT L(me c ) (me c ) Eγ 3 3 2 γ  (p−1)/2 1 4 2 1−p Knph σT L(me c ) hEph i Eγ−(p+1)/2 (A.3) 2 3 Z

Z

∞

KEe−p nph σT δ(Eγ

Ap´ endice B Discusi´ on sobre las funciones de Green Consideremos un operador diferencial L tal que: L u(~x) = λu(~x).

(B.1)

Supongamos que se ha fijado una regi´on Ω y se han impuesto condiciones de contorno adecuadas. L se dice “Herm´ıtico” sii: Z

∗

3

u (~x) L v(~x)d x = Ω

Z

v ∗ (~x)L u(~x)d3 x

(B.2)

Ω

donde ∗ representa conjugaci´on y u y v son funciones arbitrarias que satisfacen las condiciones de contorno. Supongamos que L es herm´ıtico y consideremos dos autofunciones diferentes con sus autovalores: Lui (~x) = λi ui (~x)

(B.3)

Luj (~x) = λj uj (~x) Z ∗ 3 =⇒ uj (~x) L ui (~x) d x = λi u∗j (~x) ui (~x) d3 x Z Ω Z Ω u∗i (~x) L uj (~x) d3 x = λj u∗i (~x) uj (~x) d3 x.

(B.4)

Z

Ω

(B.5) (B.6)

Ω

Conjugando la segunda ecuaci´on y restando: (λi −

λ∗j )

Z

Ω

u∗j (~x) uj (~x) d3 x = 0.

Considerando los casos i = j y i 6= j vemos que:

(B.7)

184

Discusi´ on sobre las funciones de Green

Los autovalores de un operador herm´ıtico diferencial son reales. Las autofunciones de un operador herm´ıtico diferencial, correspondientes a autovalores distintos, son ortogonales, esto es: Z

Ω

u∗i (~x) uj (~x) d3 x = 0.

(B.8)

Consideremos ahora la ecuaci´on no-homog´enea: L u(~x) − λu(~x) = f (~x).

(B.9)

Desarrollemos u(~x) y f (~x) en serie de autofunciones de L: u(~x) =

X

cn un (~x) f (~x) =

n

X

dn un (~x).

(B.10)

n

Luego X n

cn (λn − λ)un (~x) =

X

dn un (~x).

(B.11)

n

Como un · f = dn , entonces X n

{cn (λn − λ)un (~x) − dn un (~x)} = 0 cn =

y u(~x) =

un · f λn − λ

(B.13)

X un un · f n

(B.12)

(B.14)

λn − λ

X un (~x) Z u∗n (~x′ )f (~x′ )d3 x′ . = λn − λ Ω n

(B.15)

Podemos escribir: u(~x) =

Z

G(~x, ~x′ )f (~x′ )d3 x′

(B.16)

X un (~x)u∗ (~x′ )

(B.17)

Ω

donde

G(~x, ~x′ ) =

n

n

λn − λ

185 es la funci´ on de Green. Est´a determinada por un operador diferencial herm´ıtico, una regi´on Ω, y condiciones de contorno adecuadas. Busquemos ahora la ecuaci´on diferencial que se satisfaga con G(~x, ~x′ ). Si f (~x) = δ(~x − ~x0 ), entonces: u(~x) =

Z

Ω

G(~x, ~x′ )δ(~x′ − ~x0 )d3 x = G(~x, ~x0 ).

(B.18)

Por lo tanto, G(~x, ~x′ ) es la soluci´on de: L G(~x, ~x′ ) − λG(~x, ~x′ ) = δ(~x − ~x′ ).

(B.19)

El significado de la funci´on de Green es sencillo: es la soluci´on del problema para una “fuente” puntual unidad f (~x) = δ(~x − ~x′ ). Se cumple que G(~x′ , ~x) = {G(~x, ~x′ )}∗ .

Esto significa que la respuesta en ~x a una perturbaci´on puntual unidad en ~x′ es la misma que la respuesta en ~x′ a una perturbaci´on puntual unidad en ~x.