Grundkurs Mathematik: Vom Rechnen zu Algebra und Trigonometrie [Unveränderter Nachdruck der Nachauflage von 2012] 9783534272921, 9783534272938, 9783534272945

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Telekolleg

Grundkurs Mathematik Vom Rechnen zu Algebra und Trigonometrie

Ferdinand Weber

Telekolleg Telekolleg wird veranstaltet von den Bildungs- und Kultusministerien von Bayern und Brandenburg sowie vom Bayerischen Rundfunk (BR). Nähere Informationen zu Telekolleg: www.telekolleg-info.de Dieser Band enthält das Arbeitsmaterial zu den vom Bayerischen Rundfunk produzierten Lehrsendungen.

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Inhaltsverzeichnis 1.

Mengen (N; Z; Q); Schnittmengen; Zahlengerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1 Die Menge der rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Addition und Subtraktion rationaler Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Multiplikation und Division rationaler Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Schnittmenge und Vereinigungsmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.

Terme und Termumformungen in Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Terme mit und ohne Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Umformen von Termen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Bruchterme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Aufstellen von Termen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20 21 23 25 28

3.

Multiplikation von Summen; Binome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Auflösen einer Klammer in einem Produkt (Distributivgesetz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Auflösen von zwei Klammern in einem Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Die binomischen Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32 33 35 37

4.

Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Die Lösungsmenge einer Gleichung bzw. Ungleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Umformungsregeln für lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Umformungsregeln für lineare Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Aufstellen einer Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 42 46 49 50

5.

Lineare Gleichungssysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Gleichungen mit zwei Variablen – lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Gleichsetzungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Einsetzungsverfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Additionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Lösungsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 54 56 58 59 62

6.

Proportionalitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Der Zuordnungsbegriff – Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Direkte Proportionalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Indirekte Proportionalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Prozentrechnung und direkte Proportionalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65 66 66 70 73

7.

Relationen – lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Der Funktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Einzeichnen von Geraden – Aufstellen der Funktionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . .

76 77 82 84

8.

Die reellen Zahlen ℝ; quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Quadratwurzeln und reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Rechnen mit Quadratwurzeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Quadratische Gleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87 88 91 94

9.

Quadratische Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Einführung der quadratischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Die Normalparabel und ihre Verschiebungen in x- und y-Richtung. . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Vergleich von y = (x – d)2 + e und y = x2 + bx + c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Die allgemeine quadratische Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101 102 104 107 108

10. Schnittmengen von linearen und quadratischen Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 Schnittpunkt zweier Geraden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Schnittpunkte einer Geraden mit einer Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Schnittpunkte zweier Parabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Schnittpunkte von Parabeln mit den Koordinatenachsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Graphische Lösung von quadratischen Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112 113 116 119 121 123

11. Sätze am rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Der Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Anwendungen des Satzes von Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Höhensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Kathetensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125 126 128 131 133

12. Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1 Definition der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Die Graphen der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Bestimmen von Winkeln zu vorgegebenen Sinus- und Kosinuswerten. . . . . . . . . . . . 12.4 Bogenmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Die Tangensfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137 138 141 143 145 147

13. Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1 Übertragung von Sinus, Kosinus, Tangens auf rechtwinklige Dreiecke. . . . . . . . . . . . 13.2 Anwendungen in verschiedenen Gebieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Sinus, Kosinus, Tangens für spezielle Winkelgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150 151 155 159

14. Der Sinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1 Herleitung des Sinussatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Berechnungen im Dreieck mit dem Sinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Anwendungen des Sinussatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

162 163 165 170

15. Der Kosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1 Herleitung des Kosinussatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Berechnungen im Dreieck mit dem Kosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3 Anwendungen des Kosinussatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

174 175 177 181

Lösungsteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

4

Liebe Teilnehmerinnen und Teilnehmer am Telekolleg,

der Vorkurs Mathematik des Telekollegs soll dazu dienen, mathematische Kenntnisse und Fertigkeiten, die im Telekolleg als Voraussetzung benötigt werden, zu erwerben, aufzufrischen oder zu vertiefen. In der Regel werden die Inhalte, die im Vorkurs behandelt werden, in der Schule vermittelt. Einiges davon ist Ihnen aber möglicherweise nicht mehr präsent oder es fehlt an Übung. Die Sendungen und dieses Lehrbuch, die aufeinander abgestimmt sind, sollen Sie bei der Wiederholung unterstützen. Das Lehrbuch ist so aufgebaut und methodisch gestaltet, dass es nicht nur parallel zur Ausstrahlung der Sendungen genutzt werden kann, sondern auch später während des laufenden Telekollegkurses gezielt eingesetzt werden kann, wenn bestimmte mathematische Kennt¬nisse oder Fertigkeiten gefordert sind, aber zu diesem Zeitpunkt nicht mehr sicher zur Verfügung stehen; zum Beispiel das Lösen einer quadratischen Gleichung im Rahmen der Differentialrechnung oder die Berechnung eines Winkels in der Vektorrechnung. Alle Lektionen dieses Buchs sind nach dem gleichen Schema aufgebaut. – Ein kurzer Abschnitt „Vor der Sendung“ am Anfang jeder Lektion stimmt Sie auf das Thema ein und zeigt Ihnen, welche speziellen Vorkenntnisse Sie aus den vorangegangenen Lektionen benötigen, um die nachfolgende Lektion erfolgreich bearbeiten zu können. – In der anschließenden „Übersicht“ werden die Inhalte der Lektion in knapper Form dargestellt, und man erfährt, in welche Abschnitte die Lektion gegliedert ist. – Am Ende jeden Abschnitts sind „Aufgaben“ aufgeführt, mit denen Sie Ihr Wissen testen und Sicherheit durch Übung gewinnen können. Sie müssen auf keinen Fall alle angebotenen Aufgaben lösen. Entscheiden Sie von Fall zu Fall, wie viel Übung erforderlich ist. – Am Ende des Buchs finden Sie die „Lösungen“ zu diesen Aufgaben. Sie dienen Ihnen zur Kontrolle, ob Sie richtig gerechnet haben. Bei der Erstellung des Lehrbuchs sind praktische Erfahrungen mit Schwierigkeiten und Problemen, die Lernende in Mathematik haben, eingegangen. An zahlreichen Stellen wird in dem Buch auf mögliche Fehlerquellen und „Stolperstellen“ hingewiesen und es werden „Rezepte“ für sichere Lösungswege empfohlen. Ich habe mich bemüht, Ihnen den Weg zur Mathematik zu ebnen. Barbara Mathea hat mich dabei fachlich und methodisch hilfreich unterstützt. Sie hat insbesondere dazu beigetragen, die Lösungen fehlerfrei zu machen. Vielen Dank. Nun wünschen wir Ihnen einen guten Erfolg beim Telekolleg. Ferdinand Weber

5

1.

Mengen (N, Z, Q); Schnittmengen; Zahlengerade

Vor der Sendung In dieser Lektion werden Grundkenntnisse zusammengestellt, die Sie in Ihrem Mathematikunterricht in der Schule sicher erworben haben und nun wiederholen sollen. Es geht vor allem um Zahlen und Zahlenmengen. Vorausgesetzt wird, dass Sie mit positiven Zahlen rechnen können. Dazu gehört auch die Bruchrechnung. Sollten Sie dort Lücken vermuten, besorgen Sie sich ein Schulbuch und rufen Sie sich die Rechenregeln wieder in Erinnerung. Anders ist es mit den negativen Zahlen. Die Grundrechenarten für negative Zahlen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) werden in dieser Lektion erklärt und geübt. Im Weiteren geht es um Zahlenmengen. Dabei werden Begriffe geklärt, die Sie im Laufe des Telekollegs immer wieder benötigen, wie natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen. Von den Mengen werden nur diejenigen Begriffe behandelt, mit denen in den folgenden Lektionen und Trimestern gearbeitet wird: Schnittmenge, Vereinigungsmenge und leere Menge.

Übersicht 1.

Es wird erklärt, was unter der Menge der rationalen Zahlen zu verstehen ist und welche markanten Teilmengen davon einen eigenen Namen haben: Menge der natürlichen Zahlen und Menge der ganzen Zahlen.

2.

An der Zahlengeraden wird erklärt, wie man rationale Zahlen addiert und subtrahiert. Dabei wird vor allem auf die Rechenregeln für negative Zahlen eingegangen.

3.

Wie man rationale Zahlen multipliziert und dividiert, wird anschließend, ebenfalls an der Zahlengeraden, gezeigt. Dabei stehen auch hier die negativen Zahlen im Vordergrund.

4.

Schließlich wird an verschiedenen Zahlenmengen gezeigt, was unter Schnittmenge und Vereinigungsmenge verstanden wird und warum man auf die leere Menge nicht verzichten kann.

6

1.1

1

Die Menge der rationalen Zahlen Die natürlichen Zahlen Zahlen dienen den Menschen seit jeher zum Beschreiben von Quantitäten (5 Äpfel) und Größen (7 Meter) und zur Angabe, an der wievielten Stelle in einer Abfolge sich ein Objekt befindet (erstes, zweites, drittes Stockwerk). Dabei haben die Menschen durch Erfahrungen in ihrem Leben zu den Zahlen 0, 1, 2, 3, …, einen natürlichen Zugang – mehr als zu Bruchzahlen und negativen Zahlen. Die Mathematiker sagen deshalb: Die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, … sind natürliche Zahlen1. Es gibt keine größte natürliche Zahl. Wenn jemand glaubt, er habe eine größte natürliche Zahl gefunden, muss man nur 1 addieren, um ihn zu widerlegen. Es gibt also unendlich viele natürliche Zahlen. Die Menge der natürlichen Zahlen wird in der Mathematik mit N bezeichnet: N = {0, 1, 2, 3, 4, …}. Die Punkte deuten an, dass es keine größte natürliche Zahl gibt. Häufig werden natürliche Zahlen am Zahlenstrahl veranschaulicht. Sie wissen ja, eine gerade Linie, die einen Anfang und kein Ende hat, nennt man in der Geometrie: Strahl – im Gegensatz zu einer Geraden, die keinen Anfang und kein Ende hat. 0

1

2

3

4

5

6

Der Pfeil deutet darauf hin, dass die Zahlen am Zahlstrahl der Größe nach von links nach rechts geordnet sind und dass es unendlich viele natürliche Zahlen gibt.

Die ganzen Zahlen Die Tatsache, dass man mit den natürlichen Zahlen nicht auskommt, merkt man schon in vielen Situationen des täglichen Lebens. Wenn jemand mehr Geld ausgibt, als er hat, macht er Schulden. Wenn die Temperatur unter den Gefrierpunkt fällt, beschreibt man dies oft mit „soundso viel“ Grad unter Null. Es gibt viele weitere Beispiele und Situationen, zu deren Beschreibung die natürlichen Zahlen nicht ausreichen. Man führt deshalb neue Zahlen ein, sogenannte negative Zahlen und bezeichnet sie mit –1, –2 , –3, … (gelesen: minus eins, minus zwei, minus drei und so weiter). Die Mathematiker begründen die Einführung der negativen Zahlen auf einem höheren Niveau. Sie stellen fest, dass allen Beispielen etwas gemeinsam ist: Immer soll eine Subtraktionsaufgabe gelöst werden, deren Ergebnis keine natürliche Zahl ist, z. B.: 50 € – 70 €, 3° C – 4° C. Man sagt: Die Subtraktion ist in der Menge der natürlichen Zahlen nicht uneingeschränkt ausführbar.

1 In manchen Veröffentlichungen wählt man die 1 als kleinste natürliche Zahl. Die Zahl 0 gehört dann nicht zu den natürlichen Zahlen.

7

Nimmt man die negativen Zahlen –1, –2, –3, … zu den natürlichen Zahlen dazu, so entsteht die Menge der ganzen Zahlen. Man bezeichnet die Menge der ganzen Zahlen mit Z: Z = { … –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …}. Die Punkte deuten an, dass es keine kleinste und keine größte ganze Zahl gibt. Zur Veranschaulichung der ganzen Zahlen muss man jetzt den Zahlenstrahl zur Zahlengeraden erweitern. –4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

Der Pfeil deutet auch hier darauf hin, dass die Zahlen an der Zahlgeraden der Größe nach von links nach rechts geordnet sind. Eine Zahl, die weiter links liegt, ist kleiner als eine Zahl, die weiter rechts liegt, z. B.: 2 < 4, aber –2 > –4; –3 < 4, aber –3 > –4. Das Zeichen < liest man „ist kleiner als“, das Zeichen > liest man „ist größer als“. Im Gegensatz zu den negativen ganzen Zahlen, die links von Null liegen, bezeichnet man die natürlichen Zahlen, die rechts von Null liegen, als positive ganze Zahlen. 0 gehört demnach nicht zu den positiven ganzen Zahlen. Wie man mit ganzen Zahlen rechnet, erfahren Sie im Abschnitt 1.2.

Die rationalen Zahlen Sie haben schon in der Sendung gesehen, dass man beim Rechnen mit ganzen Zahlen an Grenzen stößt. Fragen wie „Was ist die Hälfte von einem Ganzen?“ oder „Wie kann man 6 Äpfel gerecht unter 4 Kinder aufteilen?“ zwingen zur Einführung weiterer Zahlen. Diesen und vergleichbaren Fragen liegt zu Grunde, dass es zu bestimmten Divisionsaufgaben in der Menge der ganzen Zahlen keine Lösung gibt, z. B. 1 : 2, 6 : 4. Mit den Zahlen, die jetzt zu den ganzen Zahlen hinzukommen, sind Sie von der Schule her 6 , __ 3. 1 , __ vertraut: Es sind Zahlen, die durch Brüche dargestellt werden, z. B. __ 2 4 8 Nimmt man alle diese Zahlen, die positiven und die negativen, zu den ganzen Zahlen dazu, so erhält man die Menge der rationalen Zahlen. Man bezeichnet die Menge der rationalen Zahlen mit Q. Veranschaulichen kann man die Menge der rationalen Zahlen gut an der Zahlengeraden. Jede rationale Zahl hat einen „Platz“ auf der Zahlengeraden; präziser gesagt: Jeder rationalen Zahl lässt sich ein Punkt der Zahlengeraden zuordnen. Im folgenden Bild sind einige rationale Zahlen eingetragen. –2

3 – __ 2

–1

0

1 __ 2

1

5 __ 4

2

Die Menge der rationalen Zahlen ist zunächst die umfassendste Menge von Zahlen, die uns zur Verfügung steht. Wenn wir also in dieser und den nächsten Lektionen von Zahlen reden, meinen wir immer die rationalen Zahlen. In Lektion 8 wird sich das noch einmal

8

ändern. Dann kommen die irrationalen Zahlen dazu und es entsteht die Menge der reellen Zahlen. Ein und dieselbe rationale Zahl kann ganz unterschiedlich geschrieben werden. Verglei1 und 0,5. Beide bezeichnen dieselbe Zahl. Im Bild chen Sie einmal die beiden Ausdrücke __ 2 1 und 0,5 kennzeichnen beide die Zahl, die auf der Zahlengeraden genau gesprochen: __ 2 zwischen 0 und 1 liegt. Sie sind nur verschiedene Zeichen für dieselbe Zahl. Das ist vergleichbar mit einer Person, die in verschiedenen Kleidern daherkommt, einmal mit Jeans und Pullover und einmal mit Anzug bzw. Rock und Bluse. Es ist jedes Mal dieselbe Person. Nur das Äußere hat sich geändert. So ist es auch bei Zahlen. Dem Punkt auf der Zahlengeraden, der genau zwischen 0 und 1 liegt, entspricht genau eine Zahl. Von dieser Zahl haben wir zwei verschiedene Darstellungen betrachtet. Dieselbe Zahl zeigt sich aber gelegentlich noch in ganz anderen „Gewän3 , __ 4 und auch 50%. Auch 50% ist ein Zeichen für diese Zahl. 2 , __ dern“: __ 4 6 8 Die Zahlenmengen im Überblick: Die natürlichen Zahlen bilden eine Teilmenge der Menge Z der ganzen Zahlen, und die ganzen Zahlen bilden eine Teilmenge der Menge Q der rationalen Zahlen. N,Z,Q

natürliche Zahlen ganze hlen Za rationale Zahlen

Aufgaben zu 1.1 1. Ordnen Sie folgende Zahlen der Größe nach. 5 ; – __ 7 ; __ 7 ; – ___ 12 1 ; __ –3; 2,9; –5; 2,09; –4,9; –4,09; 2; –1,5; 0,5; – __ 2 2 2 4 3 2. Setzen Sie eines der Zeichen , = jeweils in das leere Kästchen. 3 3 3 4 2 __ a) –3,5 3,4 b) – __ –2 c) – __ – __ d) __ 2 2 4 4 3

7 e) – __ 2

–3

9

1

1.2

Addition und Subtraktion rationaler Zahlen Wir gehen davon aus, dass Sie das Addieren und Subtrahieren positiver rationaler Zahlen, also insbesondere die entsprechenden Bruchrechenregeln, beherrschen. Dies wird ja in der Schule intensiv geübt und im täglichen Leben immer wieder angewendet. Anders ist es mit den negativen rationalen Zahlen. Im Folgenden soll gezeigt werden, wie man in der Menge der rationalen Zahlen addiert und subtrahiert.

1. Addieren und Subtrahieren an der Zahlengeraden Wir beginnen mit einem einfachen Verfahren für das Rechnen mit negativen Zahlen. Mit diesem Verfahren können Sie Alltagsprobleme, in denen negative Zahlen eine Rolle spielen, lösen und in der Algebra Rechenausdrücke vereinfachen und Gleichungen umformen. Häufig trifft man beim Addieren und Subtrahieren von rationalen Zahlen auf Rechenausdrücke wie 5 – 7; –3 + 8; –2 – 4. Solche Aufgaben lassen sich an der Zahlengeraden wie folgt lösen. Man stellt sich vor, man steht auf der Zahlengeraden an dem Punkt der ersten Zahl einer solchen Aufgabe. Das folgende Zeichen + oder – in der Aufgabe gibt an, in welche Richtung man laufen soll: + bedeutet: Laufen nach rechts. – bedeutet: Laufen nach links. Die zweite Zahl in der Aufgabe gibt an, um welche Strecke man laufen soll. So landet man beim Ergebnis. 2+3=5 –6

–5

+3 –4

–3

–2

–1

0

2 – 3 = –1 –6

–5

–5

–4

–3

10

–5

3

4

5

6

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

+6 –4

–3

–1 – 3 = –4 –6

2

–3

–3 + 6 = 3 –6

1

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

–1

0

1

2

3

4

5

6

–3 –4

–3

–2

2. Unterscheidung zwischen Vorzeichen und Rechenzeichen Bei der Addition und Subtraktion rationaler Zahlen muss man, will man exakt sein, zwischen Vorzeichen und Rechenzeichen unterscheiden. Zum Beispiel sind in der Aufgabe (–3) + (–4) die beiden Minuszeichen, die vor den Ziffern 3 und 4 stehen, Vorzeichen, das Pluszeichen ist das Rechenzeichen. Die Rechenvorschriften für solche Aufgaben werden im Folgenden anhand von Pfeilen an der Zahlengeraden hergeleitet. Da sich diese Aufgaben aber, wie im Abschnitt 3 gezeigt wird, auch mit den vereinfachten Regeln in Abschnitt 1 lösen lassen, können Sie das Folgende auch überspringen und gleich zu Abschnitt 3 übergehen. Wir folgen jetzt im Wesentlichen dem Vorgehen in der Sendung. Die rationalen Zahlen werden als Pfeile an der Zahlengeraden dargestellt. Die Pfeile der positiven Zahlen weisen nach rechts, die der negativen Zahlen nach links. –6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

+2

–3

Addition Veranschaulicht man die Addition positiver Zahlen, so ergibt sich folgende Regel: Man muss an die Spitze des ersten Summanden den Fuß des zweiten Summanden setzen. In der Sendung wurde dies „Spitze-Fuß-Kopplung“ genannt. Der Ergebnispfeil weist dann von dem Fuß des ersten Summanden zur Spitze des zweiten. (+2) + (+3) = (+5) –6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1 +2

2

3

4

5

6

+3 +5

Die Regel „Spitze-Fuß-Kopplung“ übertragen wir auf die Addition mit negativen Zahlen. (–4) + (–2) = (–6) –6

–5 –2

–4

–3

–2 –4

–1

0

1

2

3

4

5

6

–6

Im Alltag: Man hat 4 € Schulden und es kommen noch 2 € Schulden dazu. Dann hat man 6 € Schulden. (–4) + (+7) = (+3) –6

–5

–4

–3

–2 –4

–1

0

1

2

3

4

5

6

+7 +3

Im Alltag: Man hat 4 € Schulden und nimmt 7 € ein. Nach Rückzahlung der Schulden hat man 3 € Guthaben.

11

1

Subtraktion Für die Subtraktion mit Pfeilen kann man eine entsprechende Regel aufstellen: Man muss an die Spitze des Minuenden (1. Zahl) die Spitze des Subtrahenden (2. Zahl) setzen. In der Sendung wurde dies „Spitze-Spitze-Kopplung“ genannt. Der Ergebnispfeil weist dann vom Fuß des Minuenden zum Fuß des Subtrahenden. (+5) – (+2) = (+3) –6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

5

6

+5 +2 +3

Im Alltag: Man hat 5 € und gibt 2 € aus. Dann hat man noch 3 €. (–2) – (+3) = (–5) –6

–5

–4

–3

–2

–1 –2

0

1

2

3

4

+3 –5

Im Alltag: Man hat bereits 2 € Schulden und gibt noch 3 € aus. Dann hat man 5 € Schulden. (–5) – (–3) = (–2) –6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

–5 –3 –2

Obwohl das Rechenzeichen „minus“ auf das Vorzeichen „minus“ trifft, kommt am Schluss „mehr“ heraus: (–2) ist größer als (–5). Kann man das auch mit Schulden erklären? Es geht, wenn auch etwas umständlich. Man hat 5 € Schulden. Der Gläubiger erlässt dem Schuldner nun 3 € von den Schulden (minus 3 € Schulden), dann hat der Schuldner nur noch 2 € Schulden. Sie werden vielleicht fragen, ob man jedes Mal die Zahlengerade zeichnen oder sich vorstellen muss, wenn Additions- und Subtraktionsaufgaben mit rationalen Zahlen zu lösen sind. Sicher ist dies stets ein gutes Hilfsmittel. In der Regel treten aber im Alltag und auch in der Mathematik Rechenausdrücke, in denen Vorzeichen und Rechenzeichen streng unterschieden werden müssen, nur selten auf. Deshalb werden im Folgenden die Regeln für das Addieren und Subtrahieren auf das vereinfachte Verfahren, wie es im Abschnitt 1 dargestellt ist, zurückgeführt.

12

3. Vereinfachung von Rechenausdrücken, in denen Vorzeichen und Rechenzeichen auftreten Gelegentlich trifft man im Alltag oder in der Mathematik auf eine Aufgabe oder einen Rechenausdruck, in dem zwischen Vorzeichen und Rechenzeichen unterschieden wird oder werden muss. Zum Beispiel sind in der Aufgabe (–3) + (–4) die beiden Minuszeichen, die vor den Ziffern 3 und 4 stehen, Vorzeichen, das Pluszeichen ist das Rechenzeichen. Im Folgenden wird gezeigt, wie sich Aufgaben dieser Art auf die in Abschnitt 1 dargestellte vereinfachte Form zurückführen lassen. Man hat verabredet, dass man bei Aufgaben zum Addieren und Subtrahieren einer positiven Zahl das Vorzeichen + weglässt. (+5) – (+7) heißt vereinfacht: 5 – 7 (–3) + (+8) heißt vereinfacht: –3 + 8 Auch Aufgaben, in denen eine negative Zahl addiert oder subtrahiert wird, lassen sich vereinfachen. In der Sendung wurde für die Vereinfachung von Rechenausdrücken folgende Tabelle gezeigt, in der alle möglichen Fälle aufgeführt sind. Rechenzeichen +

Vorzeichen der zweiten Zahl +

wird zu

Beispiel

+

(+5) + (+3) = 5 + 3

+

–

–

(+5) + (–3) = 5 – 3

–

+

–

(+5) – (+3) = 5 – 3

–

–

+

(+5) – (–3) = 5 + 3

Aufgaben zu 1.2 1. Berechnen Sie ohne Taschenrechner: a) (–5) + (–4) b) (+8) – (+12) c) (–6) – (–15) d) (–22) + (+13) e) (+34) – (–44) f) (+2,7) – (+4,5) g) (–1,2) + (–3,6) h) (–2,4) – (–2,4) i) (–2,4) + (–2,4) 2. Berechnen Sie ohne Taschenrechner: a) 8 – 14 b) –12 – 39 e) 34 – 47 f) –26 + 12 – 8 i) 6,4 – 7,9 k) –9,1 – 3,7

c) –24 + 17 g) 13 – 47 + 22 l) –4,4 + 6,2

d) –46 + 59 h) –7 + 19 – 23 + 32

3. Nehmen Sie zu folgender Erklärung eines Verkäufers Stellung: „… Im Tiefkühlschrank sind alle Temperaturen immer unter Null. Wenn jetzt die Temperatur z. B. 18° beträgt, schaltet er ein. Dann steigt die Temperatur bis z. B. 26°. Wenn diese Temperatur erreicht ist, schaltet er ab. Dann fällt die Temperatur wieder bis auf 18°.“

13

1

1.3

Multiplikation und Division rationaler Zahlen Rechenregeln für Multiplikation und Division Auch in diesem Abschnitt steht das Rechen mit negativen Zahlen im Vordergrund, da die Regeln für das Multiplizieren und Dividieren von positiven rationalen Zahlen in der Schule im Rahmen der Bruchrechnung ausführlich behandelt und geübt werden. Die Regeln für das Multiplizieren und Dividieren mit negativen Zahlen lassen sich auf 4 Fälle reduzieren, die in den folgenden Tabellen aufgeführt sind. Begründungen und Plausibilitätsbetrachtungen für die Regeln folgen auf der nächsten Seite. 1. Faktor

2. Faktor

Produkt

Beispiel

+

+

+

(+5) · (+3) = (+15)

–

+

–

(–5) · (+3) = (–15)

+

–

–

(+5) · (–3) = (–15)

–

–

+

(–5) · (–3) = (+15)

Für die Division zweier Zahlen gelten dieselben Regeln wie für die Multiplikation. Dividend

Divisor

Quotient

Beispiel

+

+

+

(+6) : (+3) = (+2)

–

+

–

(–6) : (+3) = (–2)

+

–

–

(+6) : (–3) = (–2)

–

–

+

(–6) : (–3) = (+2)

Die Regeln für Multiplikation und Division entsprechen sich. Die Begründung für diese Entsprechung ist einfach: Man kann jede Division als Multiplikation mit dem Kehrwert des Divisors auffassen. Also gelten für die Vorzeichen dieselben Regeln. 1 = (+2) 1 = (–2) (+6) : (–3) = (+6) · – __ Beispiele: (+6) : (+3) = (+6) · + __ 3 3

( )

( )

Division durch 0 Zur Erinnerung: Durch 0 kann man nicht dividieren. 3 ; __ 0 Alle diese Rechenausdrücke sind nicht definiert. Beispiele: 7 : 0; 0 : 0; __ 0 0. Warum dies so ist, wird mit Hilfe der jeweiligen Umkehraufgabe an Beispielen erklärt. Zu 6 : 2 = 3 heißt die UmZu 6 : 0 = x heißt die UmZu 0 : 0 = y heißt die Umkehraufgabe: 6 = 3 · 2. kehraufgabe: 6 = x · 0. kehraufgabe: 0 = y · 0. Es gibt keine rationale Zahl y könnte jede rationale Zahl x, die, wenn man sie mit 0 sein. y ist nicht eindeutig. multipliziert, 6 ergibt. DesDeshalb ist die Division halb ist die Division 0 : 0 nicht zugelassen. 6 : 0 nicht möglich.

14

Begründungen für die Regeln zur Multiplikation negativer Zahlen Wenn Sie wissen wollen, wie man auf die oben angegebenen Multiplikationsregeln für negative Zahlen kommt, finden Sie im Folgenden eine Begründung und eine Plausibilitätsbetrachtung. Wenn Sie sich aber vor allem für das Anwenden und Üben der Regeln, die in den Tabellen angegeben sind, interessieren, können Sie sich jetzt die Übungen am Ende dieses Abschnitts vornehmen und diesen Abschnitt übergehen. Wie kommt man bei der Multiplikation mit negativen Zahlen zu dem Vorzeichen des Ergebnisses? Zur Erklärung der Vorzeichenregeln bedienen wir uns wieder der Zahlengeraden. (+2) · (+3) = (+6) Man fasst den ersten Faktor als Pfeil auf und den zweiten als Streckfaktor. Das heißt, der Pfeil (+2) wird auf das Dreifache gestreckt. –6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1 +2

2

3

4

5

6

+6

Diese Regel wird auf negative Zahlen übertragen. Der Pfeil (–2) wird auch auf das Dreifache gestreckt. (–2) · (+3) = (–6) –6

–5

–4

–3

–2

–1 –2

0

1

2

3

4

5

6

–6

(+2) · (–3) = (–6) In der Geometrie wird ein negativer Streckfaktor so interpretiert: Der Pfeil wird zuerst gestreckt und dann am Streckzentrum (das ist hier der Nullpunkt) gespiegelt. –6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1 +2

2

3

4

5

6

–6

Das Ergebnis (–6) passt auch gut zu folgender Überlegung: Man kann doch in einem Produkt die beiden Faktoren vertauschen, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Das nennt man das Kommutativgesetz. Dieses Gesetz soll für alle rationalen Zahlen gelten. Also ist (+2) · (–3) = (–3) · (+2). Die rechte Seite der Gleichung besagt: Der Pfeil (–3) wird auf das Doppelte gestreckt. Dies ergibt (–6).

15

1

(–2) · (–3) = (+6) Wenden wir jetzt konsequent die im letzten Beispiel aufgestellte Regel an, so heißt dies: Pfeil (–2) auf das Dreifache strecken und dann am Nullpunkt spiegeln. Dies ergibt (+6). –6

–5

–4

–3

–2

–1 –2

0

1

2

3

4

5

6

+6

Dieses Ergebnis ist für Viele unverständlich. Minus mal minus soll plus ergeben? Bitte beachten Sie: Es heißt nicht „minus plus minus gleich plus“. Natürlich ergibt minus plus minus (salopp gesagt) noch mehr minus (siehe Abschnitt 1.2). Leider gibt es im Alltag kein überzeugendes Beispiel, in dem zwei negative Zahlen miteinander multipliziert werden. In Physik und Technik kommt aber diese Regel zum Beispiel im Zusammenhang mit der Multiplikation von Vektoren zur Anwendung. Dort bringt die Regel vernünftige Ergebnisse. Vielleicht ist auch folgende kleine Plausibilitätsbetrachtung, die früher oft in Schulbüchern zu finden war, hilfreich. Man bildet geeignete Folgen von Produkten. Dies wird jetzt an zwei Beispielen gezeigt. (+2) · (+3) = (+6) (–2) · (+3) = (–6) (+2) · (+2) = (+4) (–2) · (+2) = (–4) (+2) · (+1) = (+2) (–2) · (+1) = (–2) (+2) · 0 = 0 (–2) · 0 = 0 Man setzt die Folgen sinngemäß fort. (+2) · (–1) = (–2) (–2) · (–1) = (+2) (+2) · (–2) = (–4) (–2) · (–2) = (+4) (+2) · (–3) = (–6) (–2) · (–3) = (+6) Vielleicht trägt diese Überlegung dazu bei, dass Sie die Regel „minus mal minus gleich plus“ wenigstens für innermathematisch vernünftig halten.

Aufgaben zu 1.3 1. Berechnen Sie ohne Taschenrechner: a) (–8,2) · (–2) b) (+4,5) · (–2) · (–5) e) –5 + 9 · (–3) f) –5 – 9 · 3

c) 3 · (–8) · 5 g) (5 – 9 + 4) · (–7)

d) (–5 + 9) · (–3)

2. Berechnen Sie ohne Taschenrechner. Welche Aufgaben haben keine Lösung? a) (–8,2) : (–2) b) 5 : (–2,5) c) 0 : (–3) d) (–3) : 0 e) (–3) · 0 f) (–3) : 6

16

1.4

Schnittmenge und Vereinigungsmenge Die Begriffe Schnittmenge und Vereinigungsmenge werden in den folgenden Lektionen wiederholt verwendet, um Sachverhalte mathematisch klar und eindeutig zu beschreiben. Die beiden Begriffe werden deshalb im Telekolleg Mathematik zu den Grundkenntnissen gezählt. Schnittmenge Durch welche Zahlen ist eine vorgegebene Zahl, z. B. 12, teilbar? Antwort in Mengenschreibweise: {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Man nennt diese Zahlen „Teiler von 12“. Wir bezeichnen die Menge der Teiler von 12 mit T12. Sind zwei Zahlen gegeben und die Teiler jeder dieser Zahlen gesucht, z. B. die Teiler von 12 und die Teiler von 18, so fragt man gelegentlich nach den gemeinsamen Teilern der beiden Zahlen. T18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} T12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Die gemeinsamen Teiler von 12 und von 18 sind {1, 2, 3, 6}. Die Menge der gemeinsamen Teiler ist ein Beispiel für eine Schnittmenge. Die Schnittmenge zweier Mengen A und B enthält alle Elemente, die zu A und zu B gehören. Schreibweise: A > B; gelesen: A geschnitten mit B In unserem Beispiel heißt das: T12 > T18 = {1, 2, 3, 6}.

Häufig veranschaulicht man die beiden Mengen und ihre Schnittmenge auch durch ein Mengenbild. T12

1

4

3 12

2 6

T18

9 18

T12 > T18 Leere Menge Enthalten die beiden Mengen kein gemeinsames Element, so sagt man: Die Schnittmenge ist leer. Das Symbol für die leere Menge ist: { }. Beispiel: A enthält alle geraden Zahlen zwischen 1 und 10. B enthält alle ungeraden Zahlen zwischen 1 und 10. Die Schnittmenge ist die leere Menge.

A = {2, 4, 6, 8} B = {1, 3, 5, 7, 9} A>B={}

17

1

Vereinigungsmenge Will man wissen, welche Zahlen Teiler von 12 oder von 18 sind, so heißt die Antwort: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18}. Diese Zahlen sind also entweder Teiler von 12 oder Teiler von 18 oder Teiler von beiden. Die Vereinigungsmenge zweier Mengen A und B enthält alle Elemente, die zu A oder zu B oder zu beiden gehören. Schreibweise: A < B; gelesen: A vereinigt mit B In unserem Beispiel heißt das: T12 < T18 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18}. Im Mengenbild umfasst die Vereinigungsmenge beide Mengen: T12 und T18.

T12

T18 1

4

3 12

2 6

9 18

T12 < T18

Aufgaben zu 1.4 1. A = {1, 3, 4, 7, 9, 12, 14, 23} B = {2, 3, 5, 7, 8, 14, 22} C = {1, 4, 6, 9, 13, 15, 23} Bilden Sie mit den angegebenen Mengen A, B, C folgende Schnitt- und Vereinigungsmengen: A > B; A > C; A < C; A < B; B > C; B < C 2. A: Menge der natürlichen Zahlen, die größer als 3 und kleiner als 12 sind. B: Menge der Primzahlen, die kleiner als 30 sind. C: Menge der ganzen Zahlen, die größer als –5 und kleiner als 12 sind. D: Menge aller ganzen negativen Zahlen. Bilden Sie mit den angegebenen Mengen A, B, C, D folgende Schnitt- und Vereinigungsmengen: A > B; B > C; C > D; A < B; A > D; A < C 3. Geben Sie folgende Schnittmenge und Vereinigungsmenge möglichst einfach an: a) N > Z b) N < Z

18

1

Wiederholungsaufgaben 1. Ordnen Sie folgende Zahlen der Größe nach. 5 ; – __ 3 ; ___ 52 ; – ___ 14 4 ; ___ 3,1; –2,9; –5,2; 5,02; –5,02; –4; –2,8; –0,4; ___ 10 20 2 10 3 2. Setzen Sie eines der Zeichen , = jeweils in das leere Kästchen. 9 45 18 2 2 ___ a) –0,1 –0,01 b) – __ –3 c) – __ – __ d) ___ 3 3 4 4 10 3. Berechnen Sie ohne Taschenrechner: a) (–9) + (–9) b) (+8) – (+8) d) (–26) + (+14) e) (+54) – (–55) g) (+2,3) + (–6,5) h) (–0,2) + (–0,6) 4. Berechnen Sie ohne Taschenrechner: a) 9 – 18 b) –21 – 38 e) 34 – 36 f) –28 + 32 – 8 i) 7,2 – 6,8 k) –9,2 – 3,8

–5,6

c) (–6) – (–6) f) (+2,3) – (+6,5) i) 0 – (–27)

c) –24 + 47 g) 16 – 37 + 32 l) –4,7 + 6,9

5. Berechnen Sie ohne Taschenrechner: a) (–8) · (–3) b) (+4,5) · (–2) · (–15) d) (–7)3 e) (–1)6 g) –5 + 8 · (–4) h) –5 – 8 · 4

22 e) – ___ 4

d) –46 + 45 h) –6 – 11 + 23 – 36

c) (–4)2 f) (–5 + 8) · (–4) i) (5 – 8 + 4 –1) · (–12)

6. Berechnen Sie ohne Taschenrechner. Welche Aufgaben haben keine Lösung? a) (–4,6) : (–2) b) 10 : (–2,5) c) 0 : (–3) d) (–3) : 0 e) (–3) · 0 f) 6 : (–3 + 3) 7. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} B = {1, 2, 3} C = {3, 4, 5, 6} D = {2, 9} E = { } Bilden Sie mit den angegebenen Mengen A, B, C, D, E folgende Schnitt- und Vereinigungsmengen: A > B; A > D; B < C; B < E; A > E; A < B; C > D; D > E

19

2.

Terme und Termumformungen in Q

Vor der Sendung In dieser und der nächsten Lektion werden algebraische Fertigkeiten, die im Telekolleg Mathematik laufend als Handwerkszeug benötigt werden, wiederholt. Die Inhalte dieser Lektionen sind also für Sie sehr wichtig. Wir gehen davon aus, dass Sie die Regeln zum Umformen und Vereinfachen von algebraischen Ausdrücken, Terme genannt, in der Schule schon einmal kennengelernt und trainiert haben. Aber man vergisst ja so viel, wenn man es nicht ständig übt. Deshalb bieten Ihnen diese und die nächste Lektion eine Möglichkeit der Auffrischung und der Festigung Ihrer Fertigkeiten an. Voraussetzung für diese und die nächste Lektion ist ein sicherer Umgang mit den rationalen Zahlen. Das heißt im Einzelnen: Sie sollten die Bruchrechenregeln, die Sie in der Schule gelernt haben, beherrschen. Ferner sollten Sie im Rechnen mit negativen Zahlen, wie es in Lektion 1 eingeführt wurde, sicher sein. Bei der Addition und Subtraktion genügt das vereinfachte Verfahren, das im Abschnitt 1.2 (Addieren und Subtrahieren an der Zahlengeraden) dargestellt ist. Zum Multiplizieren und Dividieren müssen Sie vor allem die Vorzeichenregeln kennen.

Übersicht 1.

Es wird zunächst erklärt, was man in der Algebra unter einem Term versteht und der Begriff Variable eingeführt. Setzt man in einem Term für die Variablen Zahlen ein, so entsteht ein Rechenausdruck (Zahlenterm). Den Wert des Terms kann man dann durch Ausrechnen bestimmen. Welche Regeln dabei zu beachten sind, wird gezeigt.

2.

Das Umformen und Vereinfachen von Termen ist ein zentrales Anliegen dieser Lektion. Die Regeln für Termumformungen werden erklärt und eingeübt.

3.

Bruchterme haben es in sich. Auch wenn man die Bruchrechenregeln beherrscht, ergeben sich neue Fragen und Schwierigkeiten, wenn Variablen auftreten. Alle einschlägigen Verfahren und Regeln aus der Bruchrechnung (Kürzen, Erweitern, Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren) werden auf Bruchterme mit Variablen übertragen.

4.

Schließlich wird an Beispielen das Aufstellen von Termen gezeigt, wenn ein bestimmter Sachverhalt vorliegt und eine entsprechende Frage beantwortet werden muss. Insbesondere dann, wenn gleiche Rechenabläufe für verschiedene Werte immer wieder wiederholt werden müssen, eignen sich Terme zur übersichtlichen Darstellung und bisweilen zur Vereinfachung der Berechnung.

20

2.1

Terme mit und ohne Variablen In der Sendung haben Sie einen Film gesehen, in dem gezeigt wurde, wie bei einem Bremsvorgang der Anhalteweg eines Fahrzeugs von seiner Geschwindigkeit abhängt. Unter Anhalteweg versteht man die Strecke, die das Fahrzeug zurücklegt von dem Augenblick, in dem der Fahrer die Gefahr erkennt, bis zum völligen Stillstand. Der Anhalteweg setzt sich zusammen aus Reaktionsweg und Bremsweg. Der Reaktionsweg ist, wie der Name schon sagt, die Strecke, die das Fahrzeug durchfährt, bis der eigentliche Bremsvorgang beginnt. Wer, angeregt durch die Lektüre von Berichten oder durch Gespräche, Genaueres über die Länge von Anhaltewegen wissen will und deshalb einschlägige Seiten im Internet aufruft, findet eine größere Zahl von Angeboten, die online aus einer eingegebenen Geschwindigkeit sofort den Anhalteweg berechnen. Kenner wissen, dass man sich selbst ein einfaches Rechenblatt mit einem Tabellenkalkulationsprogramm, z.B. Excel, erstellen kann, das dieselben Dienste leistet. In beiden Fällen liegt der Berechnung eine Rechenvorschrift zu Grunde. Sie kennen eine solche Rechenvorschrift für den Anhalteweg aus der Sendung: v 2 v ·3 ___ ___ + 10 10

( )

Reaktionsweg

+ Bremsweg

v steht für die Geschwindigkeit des jeweiligen Fahrzeugs vor Beginn des Bremsvorgangs. In der Rechenvorschrift für den Anhalteweg spielt v die Rolle eines „Platzhalters“ für eine Zahl und wird als Variable bezeichnet. Man nennt einen Ausdruck, in dem Zahlen, Variablen und Rechenzeichen vorkommen, Term. Setzt man an die Stelle von v eine Zahl, spricht man von einer Belegung der Variablen. Es entsteht eine „Rechenaufgabe“. Das Ergebnis heißt Wert des Terms. Beispiel: Wenn man den Anhalteweg für die Geschwindigkeit von 120 km/h wissen will, setzt man 2 120 · 3 + ____ 120 . Auch diese „Rechenaufgabe“ wird als an die Stelle von v die Zahl 1201: ____ 10 10 Term bezeichnet, jedoch ohne Variablen. Der Wert des Terms ist 180. Der Anhalteweg bei 120 km/h beträgt also rund 180 m.

( )

Da der Wert des Terms für den Anhalteweg von der Variablen v abhängt, schreibt man: v · 3 + ___ v 2. T (v) = ___ 10 10 Den Wert des Terms für v = 120 bezeichnet man dann mit: T (120) = 180.

( )

1 Bitte beachten Sie, dass in dieser Faustformel mit reinen Zahlen ohne Einheiten gerechnet wird. Die Geschwindigkeit wird in km/h eingegeben, der Anhalteweg erscheint in Meter.

21

2

Beispiele für Terme mit und ohne Variablen a) 2 · x; e) 5 · 7 – 3 · 8;

b) 1 · x – 3; f) 6 · u + 1 · v – 9 · u;

c) 5 · y – 1; g) 5 · z2;

d) 2 · (a + b + c); h) 9 · x3 + 4 · y4;

Vereinfachung der Schreibweise von Termen − In Termen dürfen Malpunkte weggelassen werden, wenn keine Missverständnisse möglich sind. Dies gilt vor allem für Malpunkte zwischen einer Zahl und einer Variablen, zwischen zwei Variablen und vor Klammern: z. B. 7x statt 7 · x, 3xy statt 3 · x · y, 6 (x – 3) statt 6 · (x – 3). Malpunkte zwischen Zahlen darf man natürlich nicht weglassen. − Statt 1 · x schreibt man nur x und statt (–1) · x schreibt man –x. Die oben angeführten Beispiele für Terme kann man jetzt vereinfacht so schreiben: a) 2x; b) x – 3; c) 5y – 1; d) 2 (a + b + c); h) 9x3 + 4y4; e) 5 · 7 – 3 · 8; f) 6u + v – 9u; g) 5z2; Berechnen von Termen Bei der Berechnung von Termen muss eine bestimmte Reihenfolge der Rechenschritte eingehalten werden. Am Beispiel eines Zahlenterms wird dies jetzt verdeutlicht. Regel

Beispiel 4 · (7 + 4) – 5 · 5 + 32

1. Zuerst werden die Klammern ausgerechnet. 2. Dann folgen Produkte und Quotienten, die sog. Punktrechnungen, und die Potenzen. 3. Als letztes folgen Summen und Differenzen, die sog. Strichrechnungen.

4 · 11 – 5 · 5 + 32 44 – 25 + 9 Wert des Terms: 28

In der Sendung wurde als Merkhilfe der Ausdruck KLAPPS empfohlen. KLA PP S Klammern Potenzen u. StrichProdukte rechnungen Treten innerhalb einer Klammer Punkt- und Strichrechnungen auf, so gilt auch hier „Punktrechnung vor Strichrechnung“. Beispiel: 4 + 5 · (6 : 2 + 3 · 5) = 4 + 5 · (3 + 15) = 4 + 5 · 18 = 4 + 90 = 94 Beispiele für die Belegung von Variablen a) T (x) = 8x + 4 – 3x Setzt man 2 für x ein, so ergibt sich: T(2) = 8 · 2 + 4 – 3 · 2 = 14 b) T (a; b) = 6 (a + 2b) – 3a Setzt man 5 für a und 3 für b ein, so ergibt sich: T (5; 3) = 6 · (5 + 2 · 3) – 3 · 5 = 51

22

Ergänzungen – Wenn in einem Term eine oder mehrere Variablen auftreten, muss man angeben, aus welcher Menge die Zahlen genommen werden sollen, die für die einzelnen Variablen eingesetzt werden, z. B. Menge der natürlichen Zahlen oder Menge der ganzen Zahlen. Man nennt diese Menge Grundmenge des Terms. Wenn nichts gesagt ist, stehen für die Belegung der Variablen alle rationalen Zahlen zur Verfügung. – In einem Term wie 4x oder 7a nennt man den Zahlfaktor 4 bzw. 7 vor der Variablen Koeffizient.

Aufgaben zu 2.1 Berechnen Sie folgende Terme, nachdem Sie jeweils die angegebenen Zahlenwerte für die Variablen eingesetzt haben. 1. 3a – 4 (a – 3) + 12; a = 5 3. ab + 4a – (3b – a); a = –1; b = –2 5. –4u + 3v (v + 2u) – 3v2; u = 6; v = –8

2.2

2. 3a – 4 (a – 3) + 12; a = –4 4. 26 – (3x – 7y) – 5xy; x = 2,5; y = 2 6. –2 (a2 + 3a) – 5a3; a = –2

Umformen von Termen Zusammenfassen gleichartiger Glieder Mit Zahlenraten der folgenden Art kann man Erwachsene genau so verblüffen wie Kinder. Denke dir eine (natürliche) Zahl zwischen 0 und 20,  verdreifache diese,  addiere 10,  subtrahiere das Doppelte deiner gedachten Zahl,  addiere 3,  und subtrahiere schließlich 11. Wie heißt dein Ergebnis? Der Ratekünstler „errät“ nun aus dem Ergebnis die gedachte Zahl. Um die gedachte Zahl zu finden, muss er nur 2 vom Ergebnis subtrahieren. Ein Beispiel: Man denkt sich die Zahl 11  verdreifacht: 33  10 addiert: 43  das Doppelte von 11 subtrahiert: 21  3 addiert: 24  11 subtrahiert: 13. Die gedachte Zahl ist 13 – 2 = 11. Probieren Sie‘s selbst einmal mit verschiedenen gedachten Zahlen aus. Wie ist das zu erklären? Das Zahlenrätsel kann man als Term aufschreiben. Nennen wir die gedachte Zahl x. Dann heißt der Rechenauftrag: 3x + 10 – 2x + 3 – 11. Diesen Term kann man vereinfachen. Man unterscheidet zwischen zwei Arten von Termgliedern, solche mit x und solche ohne x: 3x + 10 – 2x + 3 – 11. Gleichartige Glieder kann man zusammenfassen : 3x – 2x = 1x und +10 + 3 – 11 = 2. Der gegebene Term „schrumpft“ jetzt zusammen: 3x + 10 – 2x + 3 – 11 = x + 2. x + 2 ist das Ergebnis, das der Ratekünstler am Ende von seinem Spielpartner erfährt. Subtrahiert man von x + 2 die Zahl 2, so erhält man die gedachte Zahl x. Durch Zusammenfassen gleichartiger Glieder wurde der Term 3x + 10 – 2x + 3 – 11 so vereinfacht, dass man den „Trick“ erkennen konnte.

23

2

Glieder einer Summe bzw. Differenz heißen gleichartig, wenn sie sich nur in dem Koeffizienten unterscheiden. Zum Beispiel sind 4a und 2a gleichartig; ferner sind 6xy und –3xy gleichartig. 3u2v und 11u2v sind ebenfalls gleichartig. Man fasst gleichartige Glieder zusammen, indem man die Koeffizienten addiert bzw. subtrahiert. Beispiele für das Zusammenfassen gleichartiger Glieder. a) 7a – 3b + 14ab + 22 – 11a + b – 7ab + 13 – 5a Gleichartig sind und können deshalb zusammengefasst werden: 1) Glieder mit a: 7a – 11a – 5a = –9a 2) Glieder mit b: –3b + b = –2b 3) Glieder mit ab: 14ab – 7ab = 7ab 4) Zahlen: 22 + 13 = 35 7a – 3b + 14ab + 22 – 11a + b – 7ab + 13 – 5a = –9a – 2b + 7ab + 35 b) 9x2 + 14x – 2y2 – 8x + 12y + 2y2 – 3y + x2 Gleichartig sind und können deshalb zusammengefasst werden: 9x2 + x2 = 10x2 1) Glieder mit x2: 2) Glieder mit x: 14x – 8x = 6x –2y2 + 2y2 = 0 3) Glieder mit y2: 4) Glieder mit y: 12y – 3y = 9y 9x2 + 14x – 2y2 – 8x + 12y + 2y2 – 3y + x2 = 10x2 + 6x + 9y Vertauschen von Summanden (Kommutativgesetz) Beim Vertauschen von Gliedern in einer Summe muss man die zugehörigen Minuszeichen mitnehmen. Beispiel: 3b – 4c = – 4c + 3b Begründung: Man deutet das Minus als Vorzeichen und setzt in Gedanken das Rechenzeichen + zwischen 3b und –4c, also 3b + (–4c). Jetzt kann man die Summanden vertauschen: (–4c) + 3b bzw. –4c + 3b Ein weiteres Beispiel: 3x – 7y – 2 = –7y + 3x – 2 = –2 – 7y + 3x

Aufgaben zu 2.2 Vereinfachen Sie die folgenden Terme. 1. a) 5x + 3y – 2x

b) 7x2 + 3x + 4y + x2

2. a) 11a2 + 17a – 30a2 – 4a

b) 35a – 53b + 81ab – 30a

3. a) 4x + 3y + 2x + 7z – y – y + 8z + 6x – 2y b) 11r + 9s – 5r + 3s + t – 6r + 4t – 12s – 5t c) –9 + 44x2 + 13y2 + 5 + 78z – 17z – 51x2 – 54y2 + 4

24

2.3

Bruchterme Von einem Bruchterm spricht man, wenn mindestens eine Variable im Nenner des Bruchs auftritt. 3; Beispiele: a) __

5 + x; b) _____

7b ; c) ______

4 (y – 1) d) _______ ; 2

–3 ; e) _____

3 f) ____________

x x–4 3b – 6 y –1 x+5 (x + 2) (x – 1) Für die Variablen im Nenner darf man nicht alle rationalen Zahlen einsetzen. Ausgeschlossen werden müssen Zahlen, die den Nenner zu 0 machen. Eine Division durch 0 ist ja nicht definiert. Die Menge der Zahlen, die man bei einem Bruchterm einsetzen darf, für die der Term also definiert ist, nennt man Definitionsmenge.

x + 3 darf die Zahl 7 nicht für x eingesetzt werden. Die DefinitionsBeispiel: Bei dem Term _____ x–7 menge dieses Terms schreibt man: D = Q\{7} , gelesen: D gleich Q ohne 7. Definitionsmengen zu den Beispielen oben: a) D = Q\{0}; b) D = Q\{4}; d) D = Q\{1; –1}; e) D = Q\{–5};

c) D = Q\{2}; f) D = Q\{–2; 1};

Addition und Subtraktion von Bruchtermen Die Addition und Subtraktion von Bruchtermen erfolgt nach denselben Regeln wie die Addition und Subtraktion von rationalen Zahlen in der Bruchrechnung. − Haben die Brüche den gleichen Nenner (gleichnamige Brüche), so werden die Zähler addiert bzw. subtrahiert und der Nenner beibehalten. − Haben die Brüche verschiedene Nenner (ungleichnamige Brüche), wird durch geeignetes Erweitern der Brüche dafür gesorgt, dass die Nenner gleich sind. Dann werden die Bruchterme, wie oben beschrieben, addiert bzw. subtrahiert. Im Folgenden sind links Beispiele mit Bruchtermen gezeigt und rechts, parallel dazu, entsprechende Beispiele mit Bruchzahlen. Die Bruchterme/Brüche haben denselben Nenner. Bruchterme

Regel

y + 1 _____ 4 _____ + 3 – _____ y–1

y–1

y–1

y _____ y–1

16 + __ 3 – __ 4 ___

y–1

(y + 1) + 3 – 4 _____________

rationale Zahlen 7

Zähler addieren, Nenner beibehalten. Zähler zusammenfassen.

7

7

16 + 3 – 4 __________ 7

15 ___ 7

25

2

Die Bruchterme/Brüche haben verschiedene Nenner. Bruchterme

Regel

rationale Zahlen

b a + __ __ x

13 + ___ 11 ___

y

5

Der erste Bruch wird mit y erweitert, der zweite mit x. ay ___ ___ + bx xy xy ay + bx _______ xy

6

Die Brüche so erweitern, dass sie gleiche Nenner haben.

Der erste Bruch wird mit 6 erweitert, der zweite mit 5. 5 · 11 13 · 6 + ______ ______ 5·6 5·6

Zähler addieren, Nenner beibehalten.

78 + 55 = ____ 133 _______ 30

30

Multiplikation von Bruchtermen Die Multiplikation von Bruchtermen erfolgt nach derselben Regel wie die Multiplikation von rationalen Zahlen in der Bruchrechnung: Es werden die Zähler miteinander multipliziert und die Nenner miteinander multipliziert. Bruchterme

Regel

u 3 · __ __

rationale Zahlen 5 · __ 7 __

a v

4 3

Zähler mal Zähler Nenner mal Nenner

3u ___ av

5 · 7 = ___ 35 _____ 4·3

12

Division von Bruchtermen Auch die Division von Bruchtermen erfolgt nach den Regeln der Bruchrechnung: Der Dividend (1. Bruch) wird mit dem Kehrwert des Divisors (2. Bruch) multipliziert. Bruchterme

Regel

u 5 : __ __

8 : __ 5 __

u 7

3 7

35 5 · __ 7 = ___ __ 2 u u

rationale Zahlen

u

Mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren.

8 · 7 = ___ 56 _____ 3·5

15

Kürzen von Bruchtermen Kürzen bedeutet: Zähler und Nenner durch dieselbe von 0 verschiedene Zahl dividieren. Diese Regel ist Ihnen aus der Bruchrechnung bekannt. Sie soll jetzt an geeigneten Beispielen auf Bruchterme mit Variablen übertragen werden. Durch Kürzen kann man häufig einen Bruchterm vereinfachen.

26

Kommentar bx abx = ___ ____ ac

c

2

2xy x ____ = ___ 2 4y z

2z

Der Bruchterm wurde durch a gekürzt.

3a 51a b = ___ ______ 2

Der Bruchterm wurde durch 17, durch a und durch b gekürzt.

u (u + v) __ ________ =u

Der Bruchterm wurde durch (u + v) gekürzt. Die Klammer als Ganzes ist im Zähler und im Nenner je ein Faktor, durch den man kürzt.

2

34ab

2b

v (u + v)

v

2

Der Bruchterm wurde durch 2 und durch y2 gekürzt.

Erweitern von Bruchtermen Erweitern bedeutet: Zähler und Nenner mit derselben von 0 verschiedenen Zahl multiplizieren. Da sich das Erweitern von Bruchtermen nicht von dem unterscheidet, was Sie in der Bruchrechnung gelernt haben, und auch keine zusätzlichen Schwierigkeiten auftreten, wird im Folgenden das Erweitern von Bruchtermen nur an einem Beispiel gezeigt. 3y2 ____ 3y2z ___ = x

xz

Der Bruchterm wurde mit z erweitert.

Aufgaben zu 2.3 1. Bestimmen Sie die Definitionsmenge, wenn die Grundmenge G = Q ist. y (x + 1) 2t – 1 2 x z r b) ______ a) __ c) ____________ d) ______ e) ________ f) _____ 2 x 2t + 1 (y – 1) (y + 2) 3x – 5 z (2z + 1) r2 + 1 2. Addieren bzw. subtrahieren Sie folgende Terme. 4x + 2y 3x + 2y 3x + ___ 3r + 1 + ______ 5r – 2 2a + ___ 3a 7x 2x – ___ b) ______ c) _______ – _______ d) ___ a) ___ 5a 5a 5a 2q – 1 2q – 1 x–y x–y x y 5d 9a 5b a a 4c 1 1 f) _____ + _____ g) _____ – ___ h) _____ – __ e) ____2 + ____2 3a 5b a+b a–b x – y xy a+b b 3. Multiplizieren bzw. dividieren Sie folgende Terme. 3x a + b · ___ ab c) ___ 9u : ___ 5v r–s 2x · ___ a) ___ b) _____ d) __r : ____ 5a 7a xy xy v 4u s r

2x + 3z : _______ 3x + 2z e) _______ x z

4. Kürzen Sie folgende Bruchterme. 19xyz 26xy 6a2bc b) ______ c) ______ a) _____ 39x 57x2y 90abc

15 (y + z) e) ________ 5 (y + z)

–28u2 d) ______ 7u3

a (x + y) f) _______ (x + y)

5. Multiplizieren bzw. dividieren Sie folgende Terme. Kürzen Sie das Ergebnis, wenn möglich. 2y 4y2 2 (x + z) 8rs 30a2 e) _____ a 3r2 · ___ 15a2b3 : _____ x + z : _______ x · ___ b) _____ c) ___ : ___ d) ______ a) ___ 2 4 2a 3x 16s 9 3z 9z 28c 49c3 x x2

27

2.4

Aufstellen von Termen In der Sendung wurde an zwei Beispielen gezeigt, wie man zu einem Sachverhalt selbst Terme aufstellen kann. Damit Sie die Beispiele in Ruhe nachlesen können, werden die einzelnen Schritte im Folgenden noch einmal dargestellt.

1. Beispiel: Wettkampf Seilziehen In der Sendung wurde von einem Wettkampf im Seilziehen berichtet. Die Anzahl der teilnehmenden Teams wird erst kurz vor der Veranstaltung bekannt. Nun möchte man gern möglichst schnell die Anzahl der einzelnen Wettkämpfe wissen, wenn jedes Team gegen jedes andere Team antreten soll. Wie kann man das berechnen? Sie haben gesehen, dass es für die Berechnung einen Term gibt. Den Weg in der Sendung, der schrittweise zu diesem Term führte, wollen wir jetzt nachzeichnen. Zahl der Teams

Zahl der Wettkämpfe

2

1

Wenn nur 2 Teams antreten, findet nur ein Wettkampf statt.

3

1+2

Wenn ein 3. Team dazukommt, muss dieses auch gegen Team 1 und gegen Team 2 antreten. Es kommen also zwei Wettkämpfe dazu.

4

1+2+3

Wenn zu den drei Teams noch ein weiteres Team dazukommt, muss dieses zusätzlich gegen die Teams 1, 2 und 3 antreten. Es kommen also drei Wettkämpfe dazu.

5

1+2+3+4

Durch ein 5. Team kommen 4 Wettkämpfe dazu. Team 5 muss ja gegen alle anderen 4 kämpfen.

Kommentar

Dies lässt sich verallgemeinern. Die Anzahl der Wettkämpfe lässt sich so berechnen: 1+2+3+4+5+6+7+… Man muss immer alle natürlichen Zahlen von 1 bis zu der Zahl addieren, die um 1 kleiner ist als die Zahl der Teams. Die Zahl x – 1 ist um 1 kleiner als die x 1 + 2 + 3 + … + (x – 1) Zahl x der Teams. Die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis zu einer bestimmten Zahl spielt auch in anderen Zusammenhängen und Sachproblemen eine Rolle. Manchmal müssen dabei über 100 Zahlen addiert werden. Das ist lästig. In der Sendung wurde gezeigt, dass es einen Term gibt, mit dem man die jeweils gewünschte Summe ganz einfach ermitteln kann.

28

Jedes der x Teams muss gegen alle anderen kämpfen. Jedes Team muss also x – 1 Wettkämpfe ausführen. Das ergibt x (x – 1) Wettkämpfe. Dabei wurden aber doppelt so viele Wettkämpfe gezählt, wie tatsächlich stattfinden. Wieso? Dies wird am Beispiel von Team 1 und 2 erläutert. Wenn man bei der Berechnung davon ausgeht, dass jedes Team gegen jedes Team antritt, dann zählt man z. B. den Kampf von Team 1 gegen Team 2 und unabhängig davon den Kampf von Team 2 gegen Team 1. Die beiden Teams kämpfen aber nur einmal gegeneinander. Dies gilt für alle Teams. Folgerung: Es finden nur halb so viele Wettkämpfe statt wie durch den Term x (x – 1) errechnet werden. x (x – 1) Der korrekte Term heißt also: _______ . 2 Prüfen wir den Term an einigen Beispielen. x = 3 (3 Teams)

1+2=3

3 (3 – 1) _______ =3

x = 4 (4 Teams)

1+2+3=6

4 (4 – 1) _______ =6

x = 5 (5 Teams)

1 + 2 + 3 + 4 = 10

5 (5 – 1) _______ = 10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

6 (6 – 1) _______ = 15 2

x = 6 (6 Teams)

2 2 2

2. Beispiel: Oberfläche eines Quaders Wir gehen davon aus, dass wir die Oberfläche von sehr vielen unterschiedlichen Quadern berechnen müssen, z.B. weil zahlreiche quaderförmige Klötze mit Rostschutz angestrichen werden sollen und wir wissen wollen, wie viel von dem Schutzmittel jeweils benötigt wird. Wir suchen also einen Term für die Oberfläche eines Quaders. Beachten Sie bitte, dass in der Mathematik mit „Oberfläche“ nicht die obere Fläche des Quaders gemeint ist, sondern die gesamte Außenfläche des Quaders.

29

2

Jeder Quader ist durch drei Größen festgelegt: Länge, Breite und Höhe. Wir bezeichnen sie mit a, b, c (siehe Bild). Im Bild sind drei Flächen zu sehen: die vordere, die rechte seitliche und die obere Fläche. Sie haben folgende Flächeninhalte: vordere: a·c rechte seitliche: b · c obere: a·b zusammen: a·c+b·c+a·b

c

b

a

Jede Fläche tritt aber zweimal auf: vorn und hinten, rechts und links, oben und unten. Also muss man jeden Flächeninhalt noch mit 2 multiplizieren: 2 · a · c + 2 · b · c + 2 · a · b. Man kann die Malpunkte auch weglassen. Dann ergibt sich: Oberfläche eines Quaders: 2ac + 2bc + 2ab

Aufgaben zu 2.4 1. Stellen Sie einen Term auf, mit dem man die Oberfläche eines Würfels mit der Kantenlänge x berechnen kann. 2. Stellen Sie einen Term für den Flächeninhalt nebenstehender Figur auf, wenn a und b unabhängig voneinander verschiedene Werte annehmen können.

b b

b

a

b a

3. Für die Überfahrt auf einer Fähre werden für einen Reisebus folgende Preise gefordert: Grundpreis für Bus einschließlich Fahrer: 25 €, für jeden Fahrgast zusätzlich 3 €. Stellen Sie einen Term auf, mit dem man für x Fahrgäste den Gesamtpreis bestimmen kann. 4. Bodenplatten sollen nach nebenstehendem Muster in Quadratform gelegt werden. Stellen Sie einen Term auf, mit dem man berechnen kann, wie viele Platten benötigt werden, wenn x Platten auf einer Seite liegen sollen.

30

Wiederholungsaufgaben 1. Berechnen Sie folgende Terme, nachdem Sie jeweils die angegebenen Zahlenwerte für die Variablen eingesetzt haben. a) 9x – 4 (x – 7) – 63; x = 5 b) 3b – 4 (2b – 4) + b2; b = –3 c) uv + 3u – (6v – 2u); u = –1; v = –2 d) 16 – (2a – 7b) – 5a2b; a = 4; b = –3 2. Vereinfachen Sie folgende Terme. a) 7a + 3b – 12a – 5b b) 9x2 – 13x + 14x – 12x2 c) 12a2b +17a2 – 30a2b – 4b2 – 17a2 d) 12rs + 9s – 5r + 3rs + 15r – 6rs + 4s – 12s + r 3. Addieren bzw. subtrahieren Sie folgende Terme. 3a – ___ 7a 9x + 1 – ______ 4x – 3 2u – ___ 3v 2a – ___ b) ______ c) ___ a) ___ 7b 7b 7b 2y + 1 2y + 1 a b

5rs 4r – ___ d) _____ x – y xy

4. Kürzen Sie folgende Bruchterme. –9xyz 6ab a) _____ b) ______ 2 9a b 6x2yz2

a (x + y) d) ________ a2 (x + y)

60 (k + m) c) _________ 9 (k + m)

5. Multiplizieren bzw. dividieren Sie folgende Terme. Kürzen Sie, wenn möglich. 9 (r + 2s) ________ 8rs 4a2 b2 · ____ · b) ________ a) ___ 2a 3b 16s2 3 (r + 2 s) 3 (u + 4v) 2 (u + 4v) 5a3b2 : ______ 30a2b c) _____ d) _________ : _________ 3 3 15c 15c 3u 3u2 6. Aus Edelstahlstangen der Länge 1 m werden Geländer nach nebenstehendem Muster angefertigt. Für das abgebildete 5m Geländer der Länge 5 m benötigt man 19 Stangen. Stellen Sie einen Term für die Anzahl der benötigten Stangen auf, wenn das Geländer x Meter lang werden soll.

31

2

3.

Multiplikation von Summen; Binome

Vor der Sendung Auch in dieser Lektion werden algebraische Fertigkeiten, die als Handwerkszeug benötigt werden, wiederholt. Die Inhalte auch dieser Lektion sind also für Sie sehr wichtig. Es geht vorrangig um Terme in denen Klammern auftreten. Zum Auflösen der Klammern muten wir Ihnen nur einige wenige Formeln bzw. Regeln zu. Das muntert auf. Die Terme, auf die die Formeln angewendet werden sollen, sind aber so verschiedenartig, dass man genau aufpassen muss und die Gefahr von Flüchtigkeitsfehlern groß ist. Da hilft vor allem: üben – üben – üben.

Übersicht 1.

Im Mittelpunkt dieser Lektion steht das sogenannte Auflösen von Klammern in Termen. Auf der ersten Stufe werden Klammern in Termen der Form a (b + c) mit Hilfe des Distributivgesetzes aufgelöst. Bisweilen kann es auch sehr hilfreich sein – z. B. beim Kürzen von Bruchtermen – mit Hilfe des Distributivgesetzes aus Summen oder Differenzen durch Ausklammern Produkte zu erzeugen. So kommen die in Lektion 2 behandelten Bruchterme wieder ins Gespräch.

2.

Auf der zweiten Stufe treffen in einem Produkt zwei Klammern aufeinander, die Summen oder Differenzen enthalten. Eine Regel, die es ermöglicht, diese Klammern zu beseitigen, wird geometrisch hergeleitet und dann in vielfältigen Aufgaben angewendet.

3.

Einen Spezialfall bilden die binomischen Formeln. Sie werden auf der dritten Stufe her­ geleitet. Auch diese Formeln können dazu dienen, Summen bzw. Differenzen in Produkte umzuwandeln. Das ist wieder für das Kürzen hilfreich. Mit Blick auf die Lektionen 8 und 9 wird schließlich die quadratische Ergänzung behan­ delt. Sie passt sich gut in das Thema „binomische Formeln“ ein, und wir entlasten durch die Einführung zum jetzigen Zeitpunkt die Lektionen 8 und 9.

32

3.1

Auflösen einer Klammer in einem Produkt (Distributivgesetz) In der letzten Lektion haben Sie gesehen, dass das Umformen von Termen oft erheblich zu deren Vereinfachung beitragen kann. Auch in dieser Lektion geht es um Termumformun­ gen. Jetzt treten in den Termen auch Klammern auf und es wird gefragt, wie man diese Terme so umformen kann, dass keine Klammern auftreten. Als Erstes betrachten wir einen Term der Form a (b + c). Es handelt sich um ein Produkt, dessen erster Faktor eine Variable ist, nämlich a. Der zweite Faktor ist eine Summe, näm­ lich b + c. Wie kann man diesen Term so umformen, dass keine Klammer mehr auftritt? Man nennt das Auflösen der Klammer. Das Auflösen einer solchen Klammer begegnet uns im Alltag beim Kopfrechnen, wenn wir eben mal zwei Zahlen miteinander multiplizieren wollen, zum Beispiel 7 · 37. Wir zerlegen den zweiten Faktor in Zehner und Einer und rechnen: 7 · 37 = 7 · (30 + 7) = 7 · 30 + 7 · 7 = 210 + 49 = 259. 12222222222222222344444444444444445 Verallgemeinert: a · (b + c) = a · b + a · c Wenn eine Summe mit einem Faktor vor (bzw. hinter) der Klammer multipliziert werden soll, so multipliziert man jeden Summanden der Klammer mit dem Faktor. Die Vorzei­ chen + und – werden nach den Vorzeichenregeln gesetzt. Entsprechendes gilt, wenn in der Klammer eine Differenz steht. Man nennt dieses Gesetz Distributivgesetz. Beispiel: 3 (4a + 7b) = 3 · 4a + 3 · 7b = 12a + 21b Das Distributivgesetz kann man geomet­ risch veranschaulichen. Den Flächeninhalt des blauen Rechtecks im Bild kann man auf zwei Arten berechnen. 1. Aus Länge und Breite des blauen Rechtecks: a (b + c). 2. Aus den beiden Teilrechtecken: ab + ac.

So kann man sich‘s merken: 3 · (4a + 7b)

a b

c

Weitere Beispiele: 9x (6u + 2v) = 54xu + 18xv 2

–2 (8y – 6) = –16y + 12

4x (3x – 9) = 12x – 36x

a (2b – 3c + 4) = 2ab – 3ac + 4a

(–9 – 5k) 3 = –27 – 15k

(–2a + 3b) (–4ab) = +8a2b – 12ab2

33

3

Vorsicht! Häufig wird das Distributivgesetz fälschlicherweise auch angewendet, wenn in der Klammer ein Produkt steht, zum Beispiel 5 · (7 · 3). Richtig ist: 5 · (7 · 3) = 5 · 7 · 3 = 105. Alle drei Faktoren, ob in der Klammer oder außerhalb, sind gleichberechtigt. Man kann die Klammer weglassen. Auflösen einer Minusklammer Steht ein Minuszeichen vor einer Klammer, so wird dies als Multiplikation mit (–1) auf­ gefasst. Beispiel: – (2a – 7) = (–1) · (2a – 7) = –2a + 7 Ausklammern eines gemeinsamen Faktors Bisweilen kann es hilfreich sein, das Distributivgesetz in umgekehrter Richtung anzuwen­ den. Beispiel: 3a + 3b = 3 (a + b) Der Term 3a + 3b ist eine Summe. Beide Summanden enthalten den Faktor 3. Diesen kann man vor die Klammer als Faktor setzen: 3 · (a + b). Man sagt: Der Faktor 3 wurde ausgeklammert. Weitere Beispiele: (1) 4ab – 6a = 2a (2b – 3) (2) 57x2z + 38x2y = 19x2 (3z + 2y) (3) 8u2v + 6uv – 10uv2 = 2uv (4u + 3 – 5v)

Der Faktor 2a wurde ausgeklammert. Der Faktor 19x2 wurde ausgeklammert. Der Faktor 2uv wurde ausgeklammert.

Anwenden des Ausklammerns beim Kürzen von Bruchtermen In Lektion 2 wurde gezeigt, wie man einfache Bruchterme kürzt. Besteht der Zähler und/ oder Nenner aus einer Summe oder Differenz, so darf man nicht kürzen. a + 3b Beispiel: ______ a Vorsicht! Hier darf man nicht durch a kürzen, weil im Zähler eine Summe und kein Produkt steht. Diesen Bruchterm kann man überhaupt nicht kürzen. Anders sieht es aus, wenn im Zähler und/oder Nenner eine Summe steht, aus der sich ein Faktor ausklammern lässt. Durch Ausklammern wird aus einer Summe ein Produkt. Gibt es jetzt in Zähler und Nenner gleiche Faktoren, dann kann man kürzen. Beispiele: x (y + z) _____ y+z xy + xz _______ _______ = = ax ax a 2a (b – x) ___ 2ab – 2ax = ________ _________ = 2a bc – xc

34

c (b – x)

c

Durch Ausklammern von x wird die Summe im Zähler in ein Produkt verwandelt. Jetzt kann man durch x kürzen. Im Zähler wird 2a ausgeklammert, im Nenner c. Jetzt ist (b – x) in Zähler und Nenner ein Faktor. Man kann also durch (b – x) kürzen.

Aufgaben zu 3.1 1. Lösen Sie die Klammern auf. a) 5 (3x + y) c) 3 – (a + 7) + (3a – 5) – (3 – 6a) e) (7c + 4cy) 8c g) 7x2 – 15x (2x + y)

b) d) f) h)

2y (a – 4) 2x2 (3ax – 4b) –9r (r2 + 11y) 2x2 – 7,5x (–3,6y – 2,4x)

3

2. Klammern Sie möglichst viele gemeinsame Faktoren aus. b) 18uv + 12uz a) 5a2 + 5b2 c) 7xy + 7x d) 13r2 + 13r2y 2 2 f) 24ab2c – 7a2bc2 e) 11x y – 11xy 2 2 2 2 g) 15u v – 5u t + 20u r – 45u h) 12rs3 – 18s4t – 30s2 + 42rs2t 3. Kürzen Sie, nachdem Sie geeignete Faktoren ausgeklammert haben. xy + xz x2 – xy 3a – 3b ab + ac a) _______ b) _______ c) _______ d) _______2 4a – 4b a xy – xz xy – y

3.2

3x2z – 4x2y e) __________ 2x2y – 2x2z

Auflösen von zwei Klammern in einem Produkt Computeralgebrasysteme sind eine feine Sache. Die Programme, die es für den PC, aber auch schon in Taschenrechnern gibt, sind in der Lage, all die Termumformungen, mit de­ nen Sie sich hier plagen, in Windeseile auszuführen. Manchmal überraschen dann doch die Ergebnisse. Beispiel: Wenn jemand den Term (x + 3) (x + 4) – x2 – 7x eintippt und den Befehl zur Vereinfachung gibt, erhält er: 12 . Geht das mit rechten Dingen zu? Wir setzen für x ein paar Werte ein. x

Wert des Terms

x=1

(1 + 3) (1 + 4) – 12 – 7 · 1

=4·5–1–7

x=3

(3 + 3) (3 + 4) – 32 – 7 · 3

= 6 · 7 – 9 – 21 = 12

x = –2

(–2 + 3) (–2 + 4) – (–2)2 – 7 · (–2) = 1 · 2 – 4 + 14 = 12

= 12

Wir vermuten, dass das Computeralgebrasystem die Klammern auflöst und dann den Term so weit wie möglich zusammenfasst. Nach welcher Regel löst man die Klammern in diesem Fall auf? In der Sendung wurde ein Film gezeigt, in dem ein Grundstücksbesitzer sein rechteckiges Grundstück vergrößern möchte. Vermessungsbeamte werden oft nach alternativen Mög­ lichkeiten der Erweiterung und nach der Größe der jeweiligen Grundstücke gefragt. Da könnte eine Formel helfen. Wenn man dies einmal aufzeichnet, erhält man einen Tipp für das Auflösen von Klammern mit Summen.

35

Das ursprüngliche Grundstück (grau) hat den Flächeninhalt a · c. Verlängert man die Länge um b, so beträgt die neue Länge a + b. Verlängert man die Breite um d, so beträgt die neue Breite c + d. Der gesamte Flächeninhalt ist dann: (a + b) (c + d).

d

a·d

b·d

c

a·c

b·c

a

b

Man kann den Flächeninhalt aber auch aus den vier Teilflächen berechnen. Dann ergibt sich: ac + ad + bc + bd. Wenn zwei Summen miteinander multipliziert werden sollen, so multipliziert man jedes Glied der einen Klammer mit jedem Glied der anderen Klammer. Die Zeichen + und – werden nach den Vorzeichenregeln gesetzt. (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd Beispiel: (x + 3) (y + 4) = xy + 4x + 3y + 3 · 4     (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd

Man muss eine Entsprechung zur obigen Formel herstellen: a ↔ x, b ↔ 3, c ↔ y, d ↔ 4

Salopp gesagt, kann man es sich auch so merken: „Jeder mit jedem!“ (x + 3) (y + 4) = xy + 4x + 3y + 3 · 4

Weitere Beispiele: (1) (2x – 3y) (x + 5y) = 2x2 + 10xy – 3xy – 15y2 = 2x2 + 7xy – 15y2 Machen Sie sich klar: a ↔ 2x, b ↔ –3y, c ↔ x, d ↔ 5y (2) (a2 – 3a) (5 – 4a) = 5a2 – 4a3 – 15a + 12a2 = –4a3 + 17a2 – 15a (3) (u – 3v) (u + 3v – 6) = u2 + 3uv – 6u – 3uv – 9v2 + 18v = u2 – 6u – 9v2 + 18v Mit dieser Regel können wir jetzt auch nachvollziehen, wieso ein Computeralgebrasystem in dem Einstiegsbeispiel zu dem so einfachen Ergebnis kommt: (x + 3) (x + 4) – x2 – 7x = x2 + 4x + 3x + 12 – x2 – 7x = 12

Aufgaben zu 3.2 Lösen Sie die Klammern auf. 1. (2a + 3b) (c + d) 3. (7y + 4) (9y – 12) 5. (6a2 + 2a) (5a2 – a) 7. (6x2 – 7x – 8) (2x – 3)

36

2. 4. 6. 8.

(4a – 5c) (b – d) (5a + 6b) (3a – 8b) (–7t + 2) (–2t2 + 3t – 7) (a2 + 2a + 4) (a2 – 2a + 4)

3.3

Die binomischen Formeln Eigentlich sind die binomischen Formeln gar nichts Außergewöhnliches und bringen auch nichts Neues. Es geht noch einmal um das Ausmultiplizieren von zwei Klammern, in denen je eine Summe steht. Das Besondere ist, dass die beiden Summen in den Klammern gleich sind oder sich ähneln. Es handelt sich um folgende drei Terme: (a + b) (a + b), (a – b) (a – b) und (a + b) (a – b). Da bei den ersten beiden Termen die Faktoren gleich sind, schreibt man sie auch so: (a + b)2 und (a – b)2 . Löst man die Klammern nach der Regel auf, die in Abschnitt 3.2 behandelt wurde, so ergibt sich: (1) (a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 (2) (a – b)2 = (a – b) (a – b) = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2 (3) (a + b) (a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2 In der Schule wird viel Aufhebens um diese Formeln gemacht. Sie verdienen es eigentlich nicht. Richtig ist, dass die Terme (a + b)2, (a – b)2 und (a + b) (a – b) in der Mathematik häufig und in ganz unterschiedlichen Kontexten auftreten. Um die Klammern aufzulösen, muss man aber nicht die binomischen Formeln auswendig können. Es genügt, wenn man, wie es im Kasten dargestellt ist, statt (a + b)2 bzw. (a – b)2 ein Produkt aus zwei Klammern schreibt und diese auf die in Abschnitt 3.2 beschriebene Weise ausmultipliziert. Etwas ganz Anderes ist es, wenn man, was gelegentlich auch vorkommt, die binomischen Formeln von rechts nach links anwendet. Dann muss man die Formeln kennen und ihre Struktur durchschauen. Im Anschluss an einige Beispiele zu den binomischen Formeln wird dies näher erläutert. Beispiel zur 1. binomischen Formel: (x + 3)2 = x2 + 2 · x · 3 + 32 = x2 + 6x + 9   (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Man muss eine Entsprechung zur 1. bino­ mischen Formel herstellen: a ↔ x, b ↔ 3

Beispiele zu den drei binomischen Formeln: Machen Sie sich klar: a ↔ u, b ↔ v (1) (u + v)2 = u2 + 2uv + v2 Machen Sie sich klar: a ↔ 3a, b ↔ 4b (2) (3a + 4b)2 = (3a)2 + 2 · 3a · 4b + (4b)2 + 16b2 = 9a2 + 24ab (3) (x – y)2 = x2 – 2 · x · y + y2 = x2 – 2xy + y2 (4) (uv – uz)2 = (uv)2 – 2 · uv · uz + (uz)2 = u2v2 – 2u2vz + u2z2 (5) (a + 3) (a – 3) = a2 – 9 (6) (3b + 2c) (3b – 2c) = (3b)2 – (2c)2 = 9b2 – 4c2 Vorsicht! Verwechseln Sie beim Auflösen von Klammern nicht die beiden Terme (a + b)2 und (a · b)2. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 1. binomische Formel Regel: (a · b)2 = (a · b) · (a · b) = a · b · a · b = a2 · b2 (a · b)2 = a2 · b2

37

3

Anwenden der 3. binomischen Formel beim Kürzen von Bruchtermen In Abschnitt 3.1 wurde gesagt, dass man aus Summen und Differenzen nicht herauskür­ – b darf man nicht durch a kürzen, weil im _____ zen darf. Zur Erinnerung: In dem Bruchterm a a Zähler eine Differenz steht und kein Produkt. Wenn aber eine Differenz so beschaffen ist, dass man ein Produkt daraus machen kann, dann sieht die Sache anders aus. (x + y) (x – y) x – y x 2 – y2 Beispiel: _______ = ____________ = _____ 3 (x + y) 3 (x + y) 3 Durch Anwenden der 3. binomischen Formel „von rechts nach links“ wurde die Differenz im Zähler in ein Produkt verwandelt. x + y ist jetzt im Zähler ein Faktor. Derselbe Faktor tritt auch im Nenner auf. Also kann man kürzen. 9x2y2 – 4a2 (3xy + 2a) (3xy – 2a) 3xy + 2a Ein weiteres Beispiel: ___________ = __________________ = ________ 5 (3xy – 2a) 5 (3xy – 2a) 5 Hier muss man schon genauer hinschauen, um zu erkennen, dass im Zähler die 3. binomi­ sche Formel angewendet werden kann.

Quadratische Ergänzung In den Lektionen 8 und 9 werden Sie Sachverhalte kennenlernen, bei denen es notwendig ist, Terme so zu ergänzen, dass man eine binomische Formel anwenden kann. 1. Beispiel: x2 + 6x + h In diesem Term soll die Lücke so ausgefüllt werden, dass man die 1. binomische For­ mel (von rechts nach links) anwenden kann. Er soll also auf die Form a2 + 2ab + b2 ge­ bracht werden. Man muss eine Zuordnung der einzelnen Glieder in dem Term zu den entsprechenden Gliedern in der binomischen Formel herstellen. x2

+

6x

+ h

a2

+

2ab

+ b2

⇓

x↔a

⇓

6·x↔2·a·b 3·x↔a·b Wir wissen: x ↔ a 3↔b Jetzt kann man die Lücke in der Aufgabe ausfüllen: b2 ↔ 9 Lösung: x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

38

2. Beispiel: x2 + px + h Auch hier muss man eine Zuordnung der einzelnen Glieder in dem Term zu den entspre­ chenden Gliedern in der binomischen Formel herstellen. x2

+

px

+

h

a2

+

2ab

+

b2

⇓

x↔a

3

⇓

p·x↔2·a·b p __ ·x↔a·b Wir wissen: x ↔ a 2 p __ ↔b 2 p Jetzt kann man die Lücke in der Aufgabe ausfüllen: b2 ↔ __ 2 2 2 p p 2 Lösung: x + px + __ = x + __ 2 2

( )

( ) (

2

)

Ergänzt man einen „unvollständigen“ Term durch das Quadrat einer Zahl oder eines Terms so, dass eine binomische Formel angewendet werden kann, nennt man das quadratische Ergänzung.

Aufgaben zu 3.3 1. Lösen Sie die Klammern auf. b) (x + z)2 c) (2x + y)2 d) (3x + 4y)2 a) (y – 3)2 e) (x + 2) (x – 2) f) (7u + 1) (7u – 1) g) (3x + 7y) (3x – 7y) h) (3p – 4q) (3p + 4q) k) (2x + 3x2) (2x – 3x2) i) (3a2 – 5b2)2 2. Kürzen Sie folgende Bruchterme. u2 – v2 4a2 – 25 a) ______ b) ________ u+v 2a – 5

(u – z)2 c) _______ u2 – z2

a2 – 1 d) ______ a–1

3. Füllen Sie die Lücken aus. a) x2 + 10x + __ = (__ + __)2

b) x2 + 2ux + __ = (__ + __)2

c) x2 – 7x + __ = (__ – __)2

d) x2 + vx + __ = (__ + __)2

39

Wiederholungsaufgaben 1. Lösen Sie die Klammern auf. a) 2x2 (3ax – 4b) c) 7x2 – 15x (2x + y) e) 8c – (7c + 5y) – (–3c – y) g) (8a – 3b) (5c – 7d) i) (–a – b2) (a – 3) l) (6x + 3) (4x + y – 2) n) (4y2 – 5) (2y2 – 6y + 7) p) (9 – x)2 r) (2x + 5y) (2x – 5y) t) (3b – 2) (2 + 3b)

b) d) f) h) k) m) o) q) s) u)

(7a + ca) 5a –4z (6z – 7z2) 0,3a (0,5ab + 1,2ac) (9x – 4y) (6z + 3) (2a + 4b) (7a – 2b) (x – y – z) (x2 – y) (–2y + 3x) (–7y + 4x) (7x – 4y)2 (a2b + ab2)2 ( (–3x) – (–4y))2

2. Verwandeln Sie die Terme in ein Produkt durch Ausklammern und/oder Anwenden einer binomischen Formel. c) 30a2b + 25ab2 d) 54x6 + 81x5 a) 17u + 17v b) 14xy + 21x2 4 4 2 2 2 e) 1 – 81t f) u – w g) 3u – 3v h) 8a2 – 98b2 3. Kürzen Sie folgende Bruchterme. Sie müssen vorher Zähler und Nenner in ein Produkt umwandeln. 3x + 3y y4 – 4y2 x2 – xy x2 – xy a) _______ d) _______ b) _______ c) _______2 2 3x – 3y x + xy xy – y y3 + 2y2 4xz – 4xy e) _________ 2xz – 2xy

x2 – y2 f) ______ x+y

(a + b)2 g) _______ a2 – b2

4a2 – 100 h) _________ 6a – 30

4. Füllen Sie die Lücken aus.

40

a) x2 + 12x + __ = (__ + __)2

b) x2 + 4cx + __ = (__ + __)2

c) x2 + ux + __ = (__ + __)2

d) x2 – x + __ = (__ – __)2

4.

Gleichungen und Ungleichungen

Vor der Sendung Gleichungen spielen in der Mathematik eine ganz wichtige Rolle. Sie lernen in dieser Lektion, was eine Gleichung ist, und was es heißt, eine Gleichung lösen. Zum Lösen einer Gleichung werden bestimmte Verfahren und Regeln – salopp gesagt: Rezepte – angewendet. Diese Verfahren lernen Sie in der Lektion kennen. Versuchen Sie, Sicherheit im Anwenden der Verfahren durch Übung zu gewinnen. Das Üben mit Gleichungen ist für Schülerinnen und Schüler oft gar keine Plage. Da gibt es nämlich die so genannte Probe, mit der man bei jeder Gleichung prüfen kann, ob sie richtig gelöst ist. Dies schafft Ansporn und gibt Sicherheit. Je komplexer die Gleichungen werden, umso mehr Schritte unterschiedlicher Art müssen getan werden, um die Lösung zu ermitteln. Dabei gilt es oft, Terme zu vereinfachen, wie Sie es in den Lektionen 2 und 3 gelernt haben. Eine Sicherung des Wissens aus diesen Lektionen kann auf keinen Fall schaden. Souverän sollten Sie mittlerweile im Rechnen mit den negativen Zahlen sein. Es ist nämlich sehr ärgerlich, wenn Flüchtigkeitsfehler die Ursache für falsche Ergebnisse sind.

Übersicht 1.

Zunächst werden in dieser Lektion einige Begriffe der Gleichungslehre geklärt. Dazu gehören: Gleichung, Ungleichung, Grundmenge, Lösungsmenge, Aussage und Aussageform.

2.

Im Mittelpunkt der Lektion stehen die Äquivalenzumformungen von Gleichungen. Die Regeln werden erarbeitet und am Waage-Modell veranschaulicht. Wie man die Regeln zielgerichtet anwendet, um zu einer Lösung der Gleichung zu kommen, wird an Beispielen erklärt. Schließlich wird auf die Sonderfälle, in denen die Lösungsmenge leer oder gleich der gesamten Grundmenge ist, hingewiesen.

3.

Ungleichungen spielen in der Schulmathematik eine untergeordnete Rolle, werden im Telekolleg aber dennoch benötigt. Das Lösen einer Ungleichung erfolgt nach fast denselben Regeln wie das Lösen von Gleichungen. Der einzige, aber wesentliche Unterschied, der sich bei der Multiplikation (Division) einer Ungleichung mit einer negativen Zahl zeigt, wird herausgearbeitet.

4.

Gleichungen sind nicht nur innermathematisch wichtig. Auch Anwendungsprobleme führen sehr oft auf Gleichungen. Die Strategie, die von einem Sachproblem zur Gleichung führt, wird – ausgehend von Beispielen – erarbeitet und dient als Hilfe bei der Lösung von Textaufgaben.

41

4 4

4.1

Die Lösungsmenge einer Gleichung bzw. Ungleichung Einführungsbeispiel Ein Reisebus hat auf einer zweitägigen Fahrt insgesamt 600 km zurückgelegt. Am zweiten Tag fuhr er 68 km mehr als am ersten. Wie viele km legte der Bus am ersten Tag zurück? An einer Skizze kann man sich den Sachverhalt klarmachen. Da nach der Fahrstrecke am ersten Tag gefragt ist, diese also unbekannt ist, bezeichnet man sie mit x. Dann ergibt sich aus der Skizze die Gleichung: x + (x + 68) = 600. Aus der Skizze kann man auch die Lösung ermitteln: 2 · x = 532, nämlich: 600 – 68 x = 266 , nämlich: 532 : 2

1. Tag

2. Tag

x

x

68

600

532 266

Der Bus fährt also am 1. Tag 266 km und am 2. Tag 334 km. Hier wurde die Lösung aus der Skizze schrittweise gefunden. Dies ist natürlich nicht immer möglich. Ziel dieser Lektion ist es deshalb, durch Umformen von Gleichungen alle Lösungen einer Gleichung auf einfacherem Weg herauszufinden. Bevor wir im nächsten Abschnitt solche algebraischen Verfahren entwickeln, werden im Folgenden einige fachliche Begriffe erklärt, die eine bessere Verständigung ermöglichen. Fachbegriffe zur Gleichungslehre In der Sendung haben Sie gelernt: In einer Gleichung sind zwei Terme T1 und T2 durch das Gleichheitszeichen miteinander verbunden. Erinnern Sie sich bitte: Auch eine Zahl oder ein Rechenausdruck mit Zahlen wird als Term bezeichnet. Beispiele für Gleichungen: 3x – 7 = 12 26 + 15x = 14x + 29 5 (x – 4) = 7x + 4

T1: 3x – 7 T1: 26 + 15x T1: 5(x – 4)

T2: 12 T2: 14x + 29 T2: 7x + 4

Gleichungen spielen in der Mathematik eine ganz wichtige Rolle. In dieser Lektion kommt in jeder Gleichung immer nur eine Variable vor, zum Beispiel x. Diese Variable kann aber unter Umständen an verschiedenen Stellen der Gleichung auftreten. Ferner beschäftigen wir uns in dieser Lektion nur mit Gleichungen, in denen die Variable nicht im Quadrat oder einer höheren Potenz auftritt, also zum Beispiel kein x2, x3, x4, sondern nur x. Man nennt solche Gleichungen lineare Gleichungen.

42

Die Variable (meist ist es x) in einer Gleichung ist ein Platzhalter für eine Zahl. Man sagt auch: Es ist eine Leerstelle, an die eine Zahl gesetzt werden kann. Weil es sich bei Sachaufgaben oft um eine ganz bestimmte Zahl handelt, die gesucht und also unbekannt ist, nennt man die Variable manchmal auch Unbekannte. Diesen Begriff kennen Sie möglicherweise aus Ihrer Schulzeit. Merken Sie sich: Variable, Platzhalter, Leerstelle und Unbekannte meinen alle dasselbe. Wenn man in einer Gleichung mit der Variablen x überall, wo x auftritt, eine Zahl einsetzt, entsteht eine Zahlengleichung. In der Mathematik nennt man eine solche Zahlengleichung Aussage. Die Aussage (Zahlengleichung) kann wahr oder falsch sein, je nachdem, welche Zahl man für x einsetzt. Beispiel: 26 + 15x = 14x + 29 x

1

2

3

4

Aus- 26 + 15 · 1 = 14 · 1 + 29 26 + 15 · 2 = 14 · 2 + 29 26 + 15 · 3 = 14 · 3 + 29 26 + 15 · 4 = 14 · 4 + 29 sage 41 = 43 56 = 57 71 = 71 86 = 85 wahr/ falsch

falsch

falsch

wahr

falsch

In der Tabelle wurden vier verschiedene Zahlen für x eingesetzt und jedes Mal ermittelt, ob die dabei entstandene Aussage wahr oder falsch ist. „Zufällig“ haben wir eine Zahl gefunden, nämlich 3, die eine wahre Aussage ergibt. Man sagt: 3 ist eine Lösung der Gleichung 26 + 15x = 14x + 29. Es könnte aber noch mehr Lösungen dieser Gleichung geben. Alle Lösungen einer Gleichung fasst man zusammen in der Lösungsmenge. Ein weiteres Reisebusbeispiel, das zum Begriff Grundmenge führt: Zwei Vereine A und B planen eine gemeinsame Busfahrt. Es haben sich dreimal so viele Personen vom Verein A angemeldet wie vom Verein B. Nach 15 Abmeldungen aus A waren es nur noch doppelt so viele vom Verein A wie von B. Wie viele Personen aus Verein B wollen sich an der Busfahrt beteiligen? x sei die gesuchte Zahl von Mitfahrenden aus Verein B. Dann kann man die Zahl der zum jetzigen Zeitpunkt angemeldeten Teilnehmer aus A auf zwei Arten berechnen: (1) „Dreimal so viele wie aus B und dann 15 Abmeldungen“: 3x – 15 (2) „Doppelt so viele wie aus B“: 2x Daraus folgt die Gleichung: 3x – 15 = 2x Die Lösung ist x = 15. Wie man dazu ohne Probieren kommt, erfahren Sie in Abschnitt 4.2. Im Gegensatz zum Einführungsbeispiel muss man hier die Menge der Zahlen, die für x eingesetzt werden dürfen, auf die Menge ℕ der natürlichen Zahlen einschränken. Während zur Angabe von Streckenlängen auch Brüche in Frage kommen, ist die Anzahl von Personen immer eine natürliche Zahl. Man sagt: Die Grundmenge der Gleichung ist ℕ. Die Menge aller Zahlen, die für eine Belegung der Variablen in Frage kommen, heißt Grundmenge. Wenn nichts Anderes gesagt wird, ist ℚ die Grundmenge.

43

4 4

Ungleichungen In der Sendung haben Sie erfahren, was man unter einer Ungleichung versteht: Die Verbindung zweier Terme durch die Zeichen < (kleiner), > (größer), ≤ (kleiner oder gleich), ≥ (größer oder gleich) heißt Ungleichung. Beispiel: In einem undurchsichtigen Gefäß sind rote und blaue Kugeln. Man weiß: Jetzt sind es doppelt so viele rote Kugeln wie blaue. Wenn man aber 5 blaue dazulegen würde, wären es weniger rote als blaue. Wie viele blaue Kugeln sind jetzt in dem Gefäß? x sei die Zahl der blauen Kugeln, die sich jetzt in dem Gefäß befinden. (1) Dann befinden sich in dem Gefäß 2 · x rote Kugeln, nämlich doppelt so viele wie blaue. (2) Wenn man zu den vorhandenen x blauen Kugeln 5 dazulegen würde, wären es x + 5. (3) Dies ist mehr als die Zahl 2 · x der roten Kugeln. (4) Daraus folgt die Ungleichung: x + 5 > 2x Gesucht sind hier alle Zahlen, die aus der Ungleichung eine wahre Aussage machen, wenn man sie für x einsetzt. Die Grundmenge ist G = ℕ. In der Tabelle werden sieben verschiedene natürliche Zahlen für x eingesetzt und jedes Mal ermittelt, ob die dabei entstandene Aussage wahr oder falsch ist. x Aussage wahr/ falsch

0

1

2

3

4

5

6

0+5>2·0 1+5>2·1 2+5>2·2 3+5>2·3 4+5>2·4 5+5>2·5 6+5>2·6 5>0 6>2 7>4 8>6 9>8 10 > 10 11 > 12 wahr

wahr

wahr

wahr

wahr

falsch

falsch

Auch bei einer Ungleichung bilden die x-Werte, durch die eine wahre Aussage entsteht, die Lösungsmenge L. Wie man der Tabelle entnimmt, ist L = {0; 1; 2; 3; 4}. Man kann die Lösungsmenge auch in der „beschreibenden Form“ angeben: (gelesen: Menge aller x mit der Eigenschaft: x kleiner 5) L = {x | x < 5}N Der Index ℕ gibt an, dass die Grundmenge die Menge der natürlichen Zahlen ist. Man kann auch das Zeichen ≤ benutzen, um die Lösungsmenge zu beschreiben: (gelesen: Menge aller x mit der Eigenschaft: x kleiner oder gleich 4) L = {x | x ≤ 4}N Zurück zu dem Gefäß mit den roten und blauen Kugeln. Für die Ungleichung haben wir Lösungen gefunden. Was heißt das für die Anzahl der roten und blauen Kugeln in dem Gefäß?

44

Anzahl x der blauen Kugeln

0

1

2

3

4

5

6

Anzahl der roten Kugeln neue Anzahl blauer Kugeln, wenn 5 blaue dazukommen

0

2

4

6

8

10

12

5

6

7

8

9

10

11

Wenn keine, eine, zwei, drei oder vier blaue Kugeln in dem Gefäß sind, gilt Folgendes: Obwohl sich zunächst doppelt so viel rote wie blaue Kugeln in dem Gefäß befinden, sind es, wenn man 5 blaue dazulegt, weniger rote als blaue. Ergänzungen − In einer Gleichung oder einer Ungleichung muss die Variable nicht immer x heißen. Man muss sich daran gewöhnen, dass auch andere Buchstaben als Variable benutzt werden. Beispiele: 5a – 9 = 2a + 6, 4(u – 3) = 12 + 8u, 6k – (5 – 3k) > 13 − Wenn in einer Aufgabe oder in einem Aufgabenblock keine Grundmenge angegeben ist, wird immer ℚ als Grundmenge genommen. − Eine Lösungsmenge kann man in beschreibender oder aufzählender Form angeben: Beispiel: L = {x | x > 3}N = {4; 5; 6; …}. − Wenn ℚ die Grundmenge ist, kann bei einer Ungleichung L grafisch an der Zahlengeraden dargestellt werden. Beispiel: L = {x | x < 2}Q –4

–2

0

2

4

− Für Gleichungen und Ungleichungen gibt es einen Oberbegriff: Aussageform. Dieser Begriff wurde in der Sendung erwähnt, weil er in der Mathematik eine weitergehende Bedeutung hat. In der Gleichungslehre spielt er aber nur eine untergeordnete Rolle.

Aufgaben zu 4.1 1. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 2x – 6 = 4 (2x + 3) durch systematisches Probieren, wenn die Grundmenge G = {–4; –3; –2; –1; 0; 1; 2} ist. 2. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 5x – 18 = 12x + 3 – 7x durch systematisches Probieren, wenn die Grundmenge G = {–4; –3; –2; –1; 0; 1; 2} ist. 3. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 23 – (5x + 8) = 15 – 5x durch systematisches Probieren, wenn die Grundmenge G = {–4; –3; –2; –1; 0; 1; 2} ist. 4. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung 2x > 6x – 3 durch systematisches Probieren, wenn die Grundmenge G = {–3; –2; –1; 0; 1; 2} ist. 5. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung 2x + 4 ≤ 2(5 + 4x) durch systematisches Probieren, wenn die Grundmenge G = {–2; –1; 0; 1; 2; 3; 4} ist. 6. Welche Zahlen enthält die Lösungsmenge? – Geben Sie L in aufzählender Form an. b) L = {x | x < –1}N c) L = {x | x ≤ 0}Z d) L = {x | x ≥ 0}N a) L = {x | x > –5}Z

45

4 4

4.2

Umformungsregeln für lineare Gleichungen Bei den Beispielaufgaben in Abschnitt 4.1 haben wir „zufällig“ die Lösungen der Gleichungen und der Ungleichung gefunden. Ein systematisches Suchen durch Probieren ist allerdings sicher ungeeignet für die Suche nach Lösungen, insbesondere dann, wenn die Grundmenge ℚ ist. In der Sendung haben Sie eine Regel kennengelernt, mit deren Hilfe man relativ einfach und gezielt die Lösungen einer Gleichung finden kann: Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn man − auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addiert oder subtrahiert, − beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl multipliziert oder durch dieselbe Zahl dividiert – vorausgesetzt, die Zahl ist nicht die Null. Anwendung der Regel zur Bestimmung der Lösungsmenge Beispiel: 4x + 3 = 2x + 7

2x + 3 = 7 2x x

=4 =2

Ziel ist es, die Variable x auf einer Seite der Gleichung zu isolieren. Zunächst bringt man durch Umformen alle Glieder mit x auf die linke Seite der Gleichung. Man subtrahiert auf beiden Seiten der Gleichung 2x. Dann bringt man alle Zahlen auf die rechte Seite der Gleichung. Man subtrahiert auf beiden Seiten der Gleichung 3. Man dividiert beide Seiten der Gleichung durch 2. Die Lösungsmenge ist L = {2}.

Unsere Regel besagt, dass alle diese Gleichungen dieselbe Lösungsmenge haben. Gleichungen, die dieselbe Lösungsmenge haben, nennt man äquivalent. Die oben beschriebenen Umformungen, bei denen aus einer Gleichung eine äquivalente Gleichung entsteht, heißen deshalb Äquivalenzumformungen. Das gezielte Anwenden von Äquivalenzumformungen zur Bestimmung der Lösungsmenge einer Gleichung nennt man: Gleichung lösen. Setzt man die Zahlen der Lösungsmenge in die ursprüngliche Gleichung ein, so muss sich, wenn man richtig gerechnet hat, eine wahre Aussage ergeben. Dies nennt man die Probe. 4·2+3=2·2+7 11 = 11 wahre Aussage

46

Wie in der Sendung wollen wir das Umformen unserer Gleichung auch mit einer Waage veranschaulichen. Die Waage im Bild zeigt eine Veranschaulichung der obigen Gleichung 4x + 3 = 2x + 7. Die blauen Würfel haben das unbekannte Gewicht x. Jede der schwarzen „Dosen“ wiegt 1 Gewichtseinheit (zum Beispiel: 1 kg).

4 4

Bei allen Veränderungen muss die Waage im Gleichgewicht bleiben. Im ersten Schritt werden auf jeder Waagschale zwei blaue Würfel entfernt. Das entspricht der Subtraktion von 2x auf beiden Seiten der Gleichung. 2x + 3 = 7 Im zweiten Schritt werden auf jeder Waagschale 3 „Dosen“ entfernt. Dies entspricht der Subtraktion von 3 auf beiden Seiten der Gleichung. 2x = 4 Die Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn man links und rechts die Zahl der Gewichte halbiert. Dies entspricht der Division durch 2 auf beiden Seiten der Gleichung. x=2 Das Waage-Modell kann zum besseren Verständnis der Äquivalenzumformungen einer Gleichung mit dem Ziel, x auf einer Seite zu isolieren, beitragen. Merken Sie sich: Jede Rechenoperation, die Sie mit einer Gleichung ausführen, muss immer auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden.

Ein Beispiel aus der Sendung zur Vertiefung Die Lösungsmenge folgender Gleichung soll bestimmt werden. 4x + 3 (x + 1) + 2 = 2 (x – 2) + 3x + 3 Ziel ist auch hier, die Variable x auf einer Seite der Gleichung zu isolieren.

47

4x + 3 (x + 1) + 2 = 2 (x – 2) + 3x + 3 4x + 3x + 3 + 2 = 2x – 4 + 3x + 3 7x + 5 = 5x – 1

2x + 5 = –1 2x = –6 x = –3 Probe: 4x + 3 (x + 1) +2 4 · (–3) + 3 · (–3 + 1) + 2 –12 + (–6) +2 –16

= = = =

Zunächst werden die Klammern aufgelöst, wie Sie es in Lektion 3 gelernt haben. Dann werden gleichartige Glieder zusammengefasst, wie Sie es in Lektion 2 gelernt haben. Alle Glieder mit x werden auf die linke Seite gebracht. Deshalb wird auf beiden Seiten 5x subtrahiert. Alle Zahlen werden auf die rechte Seite gebracht. Deshalb wird auf beiden Seiten 5 subtrahiert. Jetzt wird durch den Koeffizienten von x, nämlich 2, dividiert. Die Lösungsmenge ist L = {–3}.

2 (x – 2) + 3x +3 2 · (–3 – 2) + 3 · (–3) + 3 –10 + (–9) +3 –16 wahre Aussage

Sonderfälle Das Verfahren, x mit Hilfe von Äquivalenzumformungen auf einer Seite der Gleichung zu isolieren, führt in einigen Fällen zu Überraschungen. 1. Fall 2x – 1 = 5x + 3 – 3x Zusammenfassen 2x – 1 = 2x + 3 Auf beiden Seiten 2x subtrahieren und 1 addieren. 0x = 4 Die Lösungsmenge ist leer. L = { }. Wie auch die Grundmenge gewählt wird, es gibt keine Zahl, die aus dieser Aussageform eine wahre Aussage macht. Jede Zahl, die man mit 0 multipliziert, ergibt 0 und nicht 4. 2. Fall 2x – 3 = 3 + 2x – 6 Zusammenfassen 2x – 3 = 2x – 3 Auf beiden Seiten 2x subtrahieren und 3 addieren. 0x = 0 Die Lösungsmenge ist die Grundmenge. L = G. Wie auch die Grundmenge gewählt wird, jede Zahl der Grundmenge macht aus dieser Aussageform eine wahre Aussage. Jede Zahl, die man mit 0 multipliziert, ergibt 0.

Aufgaben zu 4.2 Bestimmen Sie in den folgenden Aufgaben jeweils die Lösungsmenge der Gleichung, wenn ℚ die Grundmenge ist, und machen Sie die Probe. 1. 49 = 6x – 41 6. 4x + 2 + 3x = 14 – 5x 2. 8 + 5z – 13 = 0 7. 3 + 5x + 1 = 3x + 4 + 2x 3. 5x – 7 = 4x – 3 8. 7 (y – 5) = 5 (y – 7) + 14 4. 8 – 3v = 12 – 5v 9. 5 (3 + 2x ) – 3 (5 + 3x) = 0 5. 6x = 12x 10. 3 (2x + 3) – (4x + 3) = 2 (x + 4)

48

4.3

Umformungsregeln für lineare Ungleichungen In der Sendung haben Sie gesehen, dass man die Regel für das Umformen von Gleichungen auf Ungleichungen ungeändert übertragen kann, wenn man die Multiplikation und Division auf positive Zahlen beschränkt. Die Lösungsmenge einer Ungleichung ändert sich nicht, wenn man − auf beiden Seiten der Ungleichung dieselbe Zahl addiert oder subtrahiert, − beide Seiten der Ungleichung mit derselben positiven Zahl multipliziert oder durch dieselbe positive Zahl dividiert. Anders ist es bei der Multiplikation und Division mit einer negativen Zahl. Hier gilt, wie Sie gesehen haben, das Inversionsgesetz. Multipliziert man beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl, so muss man das Kleinerzeichen < bzw. das Größerzeichen > umdrehen. Entsprechendes gilt für die Division durch eine negative Zahl. Warum muss man das Zeichen < bei Multiplikation mit einer negativen Zahl umdrehen? Zwei Beispiele zur Begründung: 1. Beispiel

2. Beispiel

2< 3

–5 < –2

2 · (–1) ? 3 · (–1)

(–5) · (–1) ? (–2) · (–1)

Multiplikation mit –1

–2 ? –3

+5 ? +2

Welches Zeichen?

–2 > –3

+5 > +2

Anwendung des Inversionsgesetzes am Beispiel aus der Sendung. –4x + 6 > 10 G=ℤ Subtraktion von 6 auf beiden Seiten –4x > 4 Division durch –4 auf beiden Seiten. x < –1 Die Lösungsmenge enthält alle ganzen Zahlen, die kleiner sind als –1. L = {–2; –3; –4; –5; …}. In beschreibender Form: L = {x | x < –1}Z

Aufgaben zu 4.3 Bestimmen Sie in den folgenden Aufgaben jeweils die Lösungsmenge der Ungleichung, wenn ℕ die Grundmenge ist. 1. 2. 3. 4.

4x < 12 6x > 6 x + 10 < 24 8x – 40 ≥ 0

5. 6. 7. 8.

2x + 3 > 5 8t + 1 < 26 + 3t 5( x – 3) + 8 > 8 6x – 10 ≤ –2 (–5 + x)

49

4 4

4.4

Aufstellen einer Gleichung Im Folgenden wird das Beispiel aus der Sendung zum Nachlesen und zur Wiederholung nochmals dargestellt. Eine Frau sagt: „Ich bin 4 Jahre älter als mein Bruder, der 6 Jahre jünger ist als meine 27-jährige Schwester.“ Wie alt ist die Frau? An der Grafik kann man auch ohne Gleichung das Alter der Frau ermitteln. Die Grafik hilft aber auch, die in der Sendung aufgestellte Gleichung besser zu verstehen.

Schwester: 27 J. Bruder

6 J. 4 J.

Alter der Frau: x

– Das Alter der Frau ist gesucht. Bezeichnen wir es mit x. – Das Alter des Bruders kann man auf zwei Arten angeben: 27 – 6 und x – 4. – Also ist x – 4 = 27 – 6. Addiert man 4 auf beiden Seiten der Gleichung, so erhält man: x = 25. Die Frau ist also 25 Jahre alt. An dem Beispiel können wir eine Strategie zum Aufstellen einer Gleichung aus einem Text ablesen. 1. Klären Sie zunächst, was gesucht ist. Bezeichnen Sie die gesuchte Größe mit x. 2. Fertigen Sie, wenn möglich, eine Zeichnung bzw. eine Skizze an. 3. Klären Sie am Text, welche Beziehungen zwischen x und den gegebenen Größen bestehen. Vervollständigen Sie ggf. die Skizze. 4. Stellen Sie für diese Beziehungen Terme auf. 5. Bauen Sie aus den Termen eine Gleichung. Ein weiteres Beispiel Die Seitenlängen eines Rechtecks unterscheiden sich um 3 cm. Verkleinert man die kürzere Seite um 4 cm und verlängert gleichzeitig die größere um 1 cm, so verringert sich der Flächeninhalt um 70 cm2. Wie lang sind die Seiten des ursprünglichen Rechtecks? – Die kürzere Seite des ursprünglichen Rechtecks (blau) wird mit x bezeichnet. x+4 x – Dann hat die größere die Länge x + 3. – Die kürzere Seite des neuen Rechtecks (schwarz) ist dann x – 4, und die größere (x + 3) + 1, also x + 4. x+3 – Den Flächeninhalt des ursprünglichen Rechtecks kann man jetzt auf zwei Arten angeben: x (x + 3) und (x – 4) (x + 4) + 70, (d. h. Inhalt des neuen Rechtecks + 70). – Also ist: x (x + 3) = (x – 4) (x + 4) + 70.

50

x–4 1

Die Die Lösung Lösung dieser dieser Gleichung Gleichung führt führt uns uns inin eine eine Situation, Situation, die die Ihnen Ihnen beim beim Lösen Lösen solcher solcher Aufgaben Aufgabenöfter öfterbegegnen begegnenkann, kann,die dieaber abereinfach einfachzu zumeistern meisternist. ist. xx(x(x++3) 3)==(x(x––4) 4)(x(x++4) 4)++70 70

3x==xx22––16 16++70 70 xx22++3x

3x 3x==–16 –16++70 70 3x 3x==54 54 xx==18 18

Zunächst Zunächstwerden werdendie dieKlammern Klammernaufgelöst, aufgelöst,wie wieSie Siees es inin den den Lektionen Lektionen 22 und und 33 gelernt gelernt haben. haben. Dabei Dabei wird wird auch auchdie die3. 3.binomische binomischeFormel Formelangewendet. angewendet. Zunächst Zunächstentsteht entstehtder derEindruck, Eindruck,dass dassdies dieskeine keinelinelinevorkommt. are areGleichung Gleichungist, ist,weil weilininder derGleichung Gleichungxx22vorkommt. Bei Beigenauerem genaueremHinsehen Hinsehenerkennt erkenntman manaber, aber,dass dassdie die verschwinden,wenn wennman manauf aufbeiden beidenSeiten Seiten beiden beidenxx22verschwinden, subtrahiert. der derGleichung Gleichungxx22subtrahiert. Jetzt Jetztist istalles allesganz ganzeinfach einfachgeworden. geworden.

Die Die Längen Längen des des ursprünglichen ursprünglichen Rechtecks Rechtecks (blau) (blau) sind sind also also 18 18 cm cm und und 21 21 cm. cm. Sein Sein FläFlächeninhalt cheninhaltbeträgt beträgt378 378cm cm22.. Die DieLängen Längendes desneuen neuenRechtecks Rechtecks(schwarz) (schwarz)sind sinddann dann14 14cm cmund und22 22cm. cm.Sein SeinFlächeninFlächeninalso70 70cm cm22weniger. weniger.Dies Diesentspricht entsprichtden denAngaben Angabenininder derAufgabenAufgabenhalt haltbeträgt beträgt308 308cm cm22,,also stellung. stellung.

Aufgaben Aufgabenzu zu4.4 4.4 1. 1. Verkleinert Verkleinert man man eine eine Zahl Zahl um um 66 und und multipliziert multipliziert das das Ergebnis Ergebnis mit mit 3, 3, so so erhält erhält man man das das Doppelte Doppelteder derum um66vergrößerten vergrößertenZahl. Zahl.Wie Wieheißt heißtdie dieZahl? Zahl? 2. 2. Wie Wie lang lang sind sind die die Seiten Seiten eines eines Rechtecks Rechtecks mit mit dem dem Umfang Umfang 24 24 cm, cm, wenn wenn die die eine eine Seite Seite doppelt doppeltso solang langist istwie wiedie dieandere? andere? 3. 3. Verlängert Verlängertman mandie dieeine eineSeite Seiteeines einesQuadrats Quadratsum um33cm cmund undverkürzt verkürztdie diedazu dazusenkrechte senkrechte Seite Seiteum um22cm, cm,so soerhält erhältman manein einRechteck Rechteckmit mitdem demgleichen gleichenFlächeninhalt Flächeninhaltwie wiedas dasQuaQuadrat. drat.Wie Wielang langist istdie dieQuadratseite? Quadratseite? 4. 4. Ein EinJunge Jungeist istdoppelt doppeltso soalt altwie wieseine seineSchwester. Schwester.Vor Vor44Jahren Jahrenwar warder derJunge Jungeviermal viermalso soalt alt wie wieseine seineSchwester. Schwester.Wie Wiealt altist istdie dieSchwester Schwesterjetzt? jetzt?

51 51

44 4

Wiederholungsaufgaben 1. Bestimmen Sie in den folgenden Aufgaben jeweils die Lösungsmenge der Gleichung, wenn ℚ die Grundmenge ist, und machen Sie die Probe. a) 32 = 77 – 15x e) 8x + 9 = 3x + 9 + 5x b) 50 – 14z – 36 = 0 f) 5 (x – 5) = 4 (x – 4) c) 10y – 50 = 3y – 8 g) 3 (16 + 5y) – 5 (12 + 3y) = 8 d) 24x = 12x h) 5 (3 + 2x) = 3 (5 + 3x)

2. Bestimmen Sie in den folgenden Aufgaben jeweils die Lösungsmenge der Ungleichung, wenn ℤ die Grundmenge ist. a) 2x – 8x < –42 d) 4x + 7 – 3x + 5 ≤ 27 b) 9x + 4x > 5x – 1 e) 9x – 3 + 91x – 4 ≥ 46 c) 7y + 4 < 18y + 3 – 15y f) 8x – 14 + 7x ≤ –9 + 12x – 5 3. In einem Dreieck ist die kleinste Seite um 1 cm kürzer als die mittlere und diese wiederum um 1 cm kürzer als die längste Seite. Der Umfang des Dreiecks beträgt 30 cm. Wie lang ist die kürzeste Seite? 4. In 16 Jahren wird ein Vater doppelt so alt sein wie sein Sohn. Beide zusammen sind jetzt 40 Jahre alt. Wie alt ist der Sohn? 5. Welche drei aufeinander folgende Zahlen haben die Summe 96?

52

5.

Lineare Gleichungssysteme

Vor der Sendung In Lektion 4 wurden Gleichungen mit einer Variablen behandelt. In dieser Lektion geht es um Gleichungen mit zwei Variabeln, meist x und y genannt. Jede Lösung einer solchen Gleichung besteht aus einem x-Wert und einem zugehörigen y-Wert. Die beiden bilden ein Zahlenpaar. Die Lösungsmenge einer Gleichung mit zwei Variabeln besteht also aus Zahlenpaaren (x | y ). Nun hat aber eine Gleichung mit zwei Variabeln mehr als eine Lösung. Um eine eindeutige Lösung zu erhalten, müssen zwei Gleichungen mit zwei Variablen zusammenkommen. Die Lösung besteht dann aus einem Zahlenpaar, das beide Gleichungen zu wahren Aussagen macht. Man nennt zwei auf diese Weise zusammengehörende Gleichungen ein Gleichungssystem. In dieser Lektion lernen Sie algebraische Verfahren kennen, mit denen man die Lösungen solcher Gleichungssysteme bestimmen kann. Voraussetzung ist, dass Sie das Lösen von Gleichungen mit einer Variablen, wie sie in Lektion 4 behandelt wurden, sicher beherrschen.

Übersicht 1.

Ausgehend von einem Sachbeispiel wird der Begriff „lineares Gleichungssystem“ geklärt und gezeigt, was man unter der Lösung eines Gleichungssystems versteht.

2.

Um die Lösung eines Gleichungssystems zu bestimmen, gibt es verschiedene algebraische Verfahren, die nacheinander vorgestellt und geübt werden. Als Erstes wird das Gleichsetzungsverfahren besprochen.

3.

In bestimmten Fällen kann das Einsetzungsverfahren schneller zum Ziel führen als das Gleichsetzungsverfahren.

4.

Das am häufigsten angewendete Verfahren ist das Additionsverfahren.

5.

Mit Hilfe des Additionsverfahrens wird schließlich eine Lösungsformel für lineare Gleichungssysteme hergeleitet. Sie spielt bei der Programmierung der Lösungen von Gleichungssystemen gelegentlich eine Rolle und ist für Mathematiker vielleicht interessant. Für das Berechnen der Lösungen eines Gleichungssystems „von Hand“ ist sie zu umständlich.

53

5

5.1

Gleichungen mit zwei Variablen – lineare Gleichungssysteme Beispiel aus der Sendung zur Einführung In Hotelprospekten findet man häufig Angaben folgender Art über die Anzahl der zur Verfügung stehenden Einzel- und Doppelzimmer: 140 Betten in 82 Zimmern Vergeblich sucht man eine Angabe über die Anzahl der Einzelzimmer und die Anzahl der Doppelzimmer. Man kann die Anzahl der Einzel- bzw. Doppelzimmer durch Probieren ermitteln, indem man z. B. mit 1 Einzelzimmer und 81 Doppelzimmern beginnt. Dann wären es insgesamt 163 Betten. Die Annahme ist also falsch. Jetzt erhöht man die Anzahl der Einzelzimmer immer um 1 und berechnet jedes Mal die Anzahl der Betten, bis man die richtigen Anzahlen gefunden hat. Dies ist sehr mühsam. Wer ein wenig Mathematik beherrscht, hat es da einfacher. Er stellt ein sogenanntes Gleichungssystem auf und bestimmt dessen Lösung mit algebraischen Mitteln. Was man unter einem Gleichungssystem versteht und welche Lösungsverfahren es gibt, beschäftigt uns in diesem und den nächsten Abschnitten. Die Lösung des Hotelbeispiels mit algebraischen Mitteln erfolgt dann in Abschnitt 5.4.

Was man unter einem linearen Gleichungssystem versteht In der Aufgabe ist die Anzahl der Einzelzimmer und die Anzahl der Doppelzimmer gesucht. Beides ist unbekannt. Zur algebraischen Beschreibung der Prospektangaben benötigen wir also zwei Variablen. x: Anzahl der Einzelzimmer y: Anzahl der Doppelzimmer In der knappen Angabe „140 Betten in 82 Zimmern“ stecken zwei Informationen: x + y = 82 Die Gesamtzahl der Zimmer ist 82. x + 2y = 140 Bettenzahl in den Einzelzimmern plus Bettenzahl in den Doppelzimmern ergibt zusammen 140. Das sind zwei Gleichungen mit zwei Variablen. Gesucht ist das Zahlenpaar (x | y ), das beide Gleichungen zu wahren Aussagen macht. Um es vorweg zu sagen: x = 24 und y = 58, also (24/58) ist dieses Zahlenpaar. Machen wir die Probe: 24 + 58 = 82 und 24 + 2 · 58 = 140. Durch Einsetzen entstehen zwei wahre Aussagen. Wie man das Zahlenpaar ohne Probieren findet, erfahren Sie in Abschnitt 5.4. Und was bedeutet das für das Hotel? In dem Hotel gibt es 24 Einzelzimmer und 58 Doppelzimmer.

54

Verallgemeinern wir das Beispiel. Gegeben sind zwei Gleichungen mit zwei Variablen, die zusammengehören, weil ein Zahlenpaar gesucht ist, das sowohl die erste als auch die zweite Gleichung zu einer wahren Aussage macht. Man spricht in diesem Fall von einem Gleichungssystem. Treten die Variablen nicht im Quadrat oder einer höheren Potenz auf, also zum Beispiel kein x2, y2, x3, y3, …, sondern nur x, y, so nennt man das Gleichungssystem linear. Man kann die Tatsache, dass zwei Gleichungen ein Gleichungssystem bilden, auf unterschiedliche Weise darstellen. In manchen Büchern werden die beiden Gleichungen mit einem sogenannten Systemkasten versehen. x + y = 82 ∧ x + 2y = 140 In anderen Büchern findet man zur Kennzeichnung eines Gleichungssystems nur Teile des Systemkastens: x + y = 82 oder x + y = 82 x + 2y = 140 x + 2y = 140 Im Folgenden werden die beiden Gleichungen eines Gleichungssystems mit römischen Ziffern bezeichnet. (I) x + y = 82 (II) x + 2y = 140 Wie bei Gleichungen mit einer Variablen gibt man auch hier eine Grundmenge an. Sie bezieht sich jetzt auf zwei Variablen, nämlich x und y. Sie enthält deshalb als Elemente Zahlenpaare. Wenn für x und für y beliebige rationale Zahlen eingesetzt werden dürfen, schreibt man G = ℚ × ℚ (gelesen: Q kreuz Q). Wenn für x natürliche Zahlen eingesetzt werden dürfen und für y ganze Zahlen, schreibt man G = ℕ × ℤ. In unserem Beispiel ist G = ℕ × ℕ, da es ja um Anzahlen von Zimmern bzw. Betten geht. Die Lösungsmenge eines Gleichungssystems mit zwei Variablen enthält die Zahlenpaare der Grundmenge, die beide Gleichungen zu wahren Aussagen machen. In unserem Beispiel enthält die Lösungsmenge ein einziges Zahlenpaar: L = {(24 | 58 )}.

Aufgaben zu 5.1 Die Grundmenge der Gleichungssysteme in den Aufgaben 1. bis 4. besteht aus folgenden Zahlenpaaren: G = {( 4 | –1), (4 | 2 ), ( 2 | –3), (1 | 1 ), ( 7 | –2), (– 4 | –2), (–3 | 3 ), (–2 | 1 )}. Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge durch Probieren. 1. (I) –x + 6y = 8 2. (I) x – 5y = 17 (II) 4x + 3y = –5 (II) 2x + 3y = –5 3. (I) (II)

–5x + y = 18 2x – 6y = 4

4. (I) (II)

2x + 9y = –1 3x + 7y = 5

55

5

5.2

Gleichsetzungsverfahren Das Gleichsetzungsverfahren ist das erste Verfahren zur Lösung eines Gleichungssystems, das hier behandelt wird. Wie Sie in der Sendung gesehen haben, eignet es sich besonders gut, wenn in beiden Gleichungen dieselbe Variable auf einer Seite allein steht oder, wie man sagt, beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst sind. Beispiel: (I) y = 15x – 7 (II) y = –9x + 41 Da y im ersten Fall gleich 15x – 7 ist und im zweiten Fall gleich –9x + 41, ist natürlich 15x – 7 = –9x + 41. Dies ist eine Gleichung, in der nur noch eine Variable, nämlich x, auftritt. Wie man eine solche Gleichung löst, wurde in Lektion 4 behandelt. Folgende Schritte führen zur Lösung: 15x + 9x = 41 + 7 24x = 48 x=2 Dies ist der x-Wert des gesuchten Zahlenpaars. Um den y-Wert zu finden, setzt man den x-Wert in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen ein. Welche man wählt, ist gleichgültig. Wir wählen Gleichung (I). y = 15 · 2 – 7 y = 23 Mit der anderen Gleichung, bei uns also Gleichung (II), kann man die Probe machen, indem man das gefundene Zahlenpaar ( 2 | 23) einsetzt. 23 = –9 · 2 + 41 23 = –18 + 41  Die Lösungsmenge ist also L = {( 2 | 23)}.

Ein weiteres Beispiel (I) x = 3y + 8 (II) x = –6y – 19 3y + 8 = –6y – 19 9y = –27 y = –3 Probe mit Gleichung (I): –1 = 3 · (–3) + 8  Lösungsmenge: L = {( –1 | –3)}.

56

Berechnung von x mit Gleichung (II): x = (–6) · (–3) – 19 x = –1

Umformen vor Anwenden des Gleichsetzungsverfahrens Wenn die Gleichungen eines Gleichungssystems nicht nach derselben Variablen aufgelöst sind, kann man dennoch das Gleichsetzungsverfahren anwenden. Man muss dann allerdings die Gleichungen vorher umformen. Dies wird im folgenden Beispiel gezeigt. (I) 3x + 6y = –18 (II) 2x – 8y = 72 Man löst beide Gleichungen nach derselben Variablen auf. Welche Variable man wählt, ist gleichgültig. Die beiden Terme werden gleichgesetzt.

5

Wir entscheiden uns für x und lösen schrittweise beide Gleichungen nach x auf. (I) 3x = –18 – 6y |:3 (II) 2x = 72 + 8y |:2 (I) x = –6 – 2y (II) x = 36 + 4y Die beiden Terme –6 – 2y und 36 + 4y werden gleichgesetzt. –6 – 2y = 36 + 4y –6y = 42 y = –7 Um den zugehörigen x-Wert zu berechnen, sollte man in jedem Fall eine der ursprünglichen Gleichungen wählen und nicht eine bereits umgeformte. Wir nehmen die Gleichung (I): 3x + 6y = –18 3x + 6 · (–7) = –18 3x = 24 x=8 L = {( 8 | –7)} Probe mit Gleichung (II): 2 · 8 – 8 · (–7) = 72 

Aufgaben zu 5.2 Bestimmen Sie bei folgenden Gleichungssystemen jeweils die Lösungsmenge mit dem Gleichsetzungsverfahren. 1. (I) (II)

y = 2x – 1 y=x+3

2. (I) x = 5y – 3 (II) x = 2y

3. (I) (II)

y = 3x – 1,5 y = 0,5x – 4

4. (I) x = –0,7y + 1,3 (II) x = 2,5y – 3,5

5. (I) (II)

4x – 5y = 7 7x + 5y = 26

6. (I) 9x + 3y – 8 = 0 (II) 6x + 4y – 3 = 0

57

5.3

Einsetzungsverfahren Das Einsetzungsverfahren eignet sich besonders gut, wenn in einer der beiden Gleichungen eine Variable auf einer Seite allein steht oder, wie man sagt, eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst ist. Beispiel: (I) x + 5y = 13 (II) y=x–1 Die Gleichung (II) besagt, dass man für y auch den Term x – 1 nehmen kann. Also setzt man diesen Term in der Gleichung (I) für y ein. x + 5 (x – 1) = 13

Dies ist wieder eine Gleichung, in der nur eine Variable auftritt.

Berechnung von x: x + 5x – 5 = 13 6x = 18 x=3 Berechnung von y aus Gleichung (II): y=3–1 y=2 Probe mit Gleichung (I): 3 + 5 · 2 = 13

L = {(3 | 2 )} 

Umformen vor Anwenden des Einsetzungsverfahrens Wenn keine der Gleichungen eines Gleichungssystems nach einer Variablen aufgelöst ist, kann man dennoch das Einsetzungsverfahren anwenden. Man muss dann allerdings eine der Gleichungen vorher umformen. Dies wird an demselben Beispiel gezeigt, das in Abschnitt 5.2 mit dem Gleichsetzungsverfahren gelöst wurde. (I) 3x + 6y = –18 (II) 2x – 8y = 72 Man löst eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen auf. Welche Gleichung man wählt und welche Variable, ist gleichgültig. Man setzt den für die Variable gefundenen Term in die andere Gleichung ein. Wir entscheiden uns für Gleichung (II) und die Variable x. (I) 3x + 6y = –18 (II) 2x = 72 + 8y (I) 3x + 6y = –18 (II) x = 36 + 4y

58

Der Term 36 + 4y aus Gleichung (II) wird in Gleichung (I) für x eingesetzt. 3 (36 + 4y) + 6y = –18 108 + 12y + 6y = –18 18y = –126 y = –7 Berechnung von x aus Gleichung (I): 3x + 6 · (–7) = –18 3x = 24 x=8

L = {( 8 | –7)}

Probe mit Gleichung (II): 2 · 8 – 8 · (–7) = 72 

5

Aufgaben zu 5.3 Bestimmen Sie bei folgenden Gleichungssystemen jeweils die Lösungsmenge mit dem Einsetzungsverfahren.

5.4

1. (I) (II)

x+y=3 y=x–1

2. (I) 3x + 5y = 10 (II) x=y–2

3. (I) (II)

5x – 2y = 7 y = 3 – 2x

4. (I) (II)

1,2x – 5y = 2,4 y = 1,2x

5. (I) (II)

8x – 5y = 8 2x + 3y = 2

6. (I) (II)

4y – 3x = 4 2x – y = 6

Additionsverfahren Das Additionsverfahren ist das am häufigsten angewendete Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems. Um das Verfahren verständlich zu machen, gehen wir von einem Spezialfall aus. (I) 3x + 7y = 24 (II) –3x + 2y = 3 Es fällt auf, dass die Koeffizienten von x in den Gleichungen Gegenzahlen voneinander sind, nämlich 3 und –3. Der Vergleich von Gleichungen mit Waagen, die im Gleichgewicht sind (vgl. Lektion 4), führt zu einem Weg, wie man dieses Gleichungssystem geschickt lösen kann.

59

Von diesen beiden Waagen interessiert nur, dass sie im Gleichgewicht sind. Die Belegungen der Waagschalen spielen keine Rolle.

Waage 1

Waage 2

Wenn man nun auf die linke Schale von Waage 1 die Belegung der linken Schale von Waage 2 hinzufügt (blauer Würfel) und entsprechend mit den rechten Schalen verfährt (blauer Zylinder), so bleibt Waage 1 im Gleichgewicht. Diese Überlegung übertragen wir auf unser Gleichungssystem. „Hinzufügen“ heißt hier addieren. Man darf die Terme auf den linken Seiten von Gleichung (I) und Gleichung (II) addieren, wenn man auch die Terme auf den rechten Seiten von Gleichung (I) und Gleichung (II) addiert. Man sagt: Die beiden Gleichungen werden addiert. (I)

3x + 7y = 24

(II) –3x + 2y = 3 12222344445 12345

677777789999990 67890 3x + 7y + (– 3) x + 2y = 24 + 3 9y = 27 y=3

Dies ist wieder eine Gleichung, in der nur eine Variable auftritt.

Berechnung von x aus Gleichung (I): 3x + 7 · 3 = 24 3x = 3 x=1

L = {(1 | 3 )}

Probe mit Gleichung (II): –3 · 1 + 2 · 3 = 3



Verallgemeinerung des Verfahrens Der entscheidende Schritt in dem Beispiel war das Addieren der beiden Gleichungen, weil nach dem Addieren eine der beiden Variablen, in unserem Fall x, nicht mehr auftrat. x ist beim Addieren „weggefallen“, weil die Koeffizienten von x Gegenzahlen voneinander waren. Wenn aber in den beiden Gleichungen des Gleichungssystems weder die Koeffizienten von x noch die von y Gegenzahlen voneinander sind, muss man die Gleichungen vor dem Addieren passend umformen. Dazu jetzt ein Beispiel, das auch in der Sendung benutzt wurde. (I) 2,5x – 3y = 8 (II) 3x + 2y = 4

60

Man multipliziert jede der beiden Gleichungen mit einer jeweils geeigneten Zahl so, dass die Koeffizienten einer Variablen Gegenzahlen voneinander werden. Welche Variable man auswählt, ist gleichgültig. Anschließend addiert man die beiden Gleichungen. Wir entscheiden uns für die Variable y. (I) 2,5x – 3y = 8 Diese Gleichung wird mit 2 multipliziert. (II) 3x + 2y = 4 Diese Gleichung wird mit 3 multipliziert. (I) 5x – 6y = 16 (II) 9x + 6y = 12

Die Koeffizienten von y sind jetzt Gegenzahlen voneinander.

5

Addition der beiden Gleichungen: 5x – 6y + 9x + 6y = 16 + 12 14x = 28 x=2 Berechnung von y aus Gleichung (I): 2,5 · 2 – 3y = 8 –3y = 3 y = –1

L = {( 2 | –1)}

Probe mit Gleichung (II): 3 · 2 + 2 · (–1) = 4



Lösung der Hotelaufgabe aus Abschnitt 5.1 (I) x + y = 82 (II) x + 2y = 140 (I) –x – y = –82 (II) x + 2y = 140

Diese Gleichung wird mit –1 multipliziert.

Die beiden Gleichungen werden addiert.

–x – y + x + 2y = –82 + 140 y = 58 Berechnung von x aus Gleichung (I): x + 58 = 82 x = 24 In dem Hotel gibt es also 24 Einzelzimmer und 58 Doppelzimmer.

61

Aufgaben zu 5.4 Bestimmen Sie bei folgenden Gleichungssystemen jeweils die Lösungsmenge mit dem Additionsverfahren. 1. (I) (II)

x+y=7 x–y=3

2.

3. (I) (II)

2x + 5y = 3 x – 5y = 9

4. (I) 7x + 10y = 3 (II) 2x + 5y = 3

5. (I) (II)

9x – 7y = 10 3x + y = 2

6. (I) (II)

(I) (II)

y – 2x = 1 y + 2x = 5

3x + 7y = 26 5x – 6y = 8

7. 6 Weizenbrötchen und 2 Roggenbrötchen kosten 2,50 €. 4 Weizenbrötchen und 4 Roggenbrötchen kosten 2,60 €. Wie teuer ist ein Weizenbrötchen, wie teuer ein Roggenbrötchen? 8. Die Kosten für eine Taxifahrt setzen sich zusammen aus der Grundgebühr und den Kosten für die gefahrenen Kilometer. Bei einer Fahrstrecke von 7 km bezahlt man 12,70 €, bei 10 km mit dem gleichen Taxi 17,20 €. Wie hoch ist die Grundgebühr? Wie viel kostet 1 km?

5.5

Lösungsformel In der Sendung wurde auch eine allgemeine Lösungsformel für ein lineares Gleichungssystem erwähnt. Es wurde darauf hingewiesen, dass programmierbare Taschenrechner danach arbeiten. Wenn man allerdings ein Gleichungssystem „von Hand“ lösen will oder muss, ist die Lösungsformel ungeeignet, weil man sie sich nur schwer merken kann. Etwas Anderes ist es, wenn man eine Formelsammlung benutzt, in der die Lösungsformel zu finden ist. Im Folgenden wird die Lösungsformel hergeleitet und in einem Beispiel angewendet. Man geht von einem allgemeinen Gleichungssystem aus, in dem die Koeffizienten nicht Zahlen sind, sondern – stellvertretend für Zahlen – sogenannte Formvariablen benutzt werden. Hinweis: In der Mathematik und in den Naturwissenschaften werden in der Regel Buchstaben a, b, c, …x, y, z als Zeichen für Variablen benutzt. Manchmal benutzt man auch für verschiedene Variablen ein und denselben Buchstaben und hängt an den Buchstaben eine kleine Zahl an, um sie zu unterscheiden: a1, a2, a3, …, b1, b2, b3, … Die kleine Zahl nennt man Index.

62

Um die angekündigte Lösungsformel herzuleiten, gehen wir – wie in der Sendung – von folgendem Gleichungssystem aus und wenden das Additionsverfahren zweimal an. (I) a1 x + b1 y = c1 (II) a2 x + b2 y = c2 Berechnung von x

Berechnung von y

Durch geeignete Multiplikation sollen die Koeffizienten von y Gegenzahlen voneinander werden. | · b2 (I) a1 x + b1 y = c1 (II) a2 x + b2 y = c2 | · (–b1)

Durch geeignete Multiplikation sollen die Koeffizienten von x Gegenzahlen voneinander werden. (I) a1 x + b1 y = c1 | · (–a2) | · a1 (II) a2 x + b2 y = c2

(I) (II)

(I) (II)

a1 b2 x + b1 b2 y = c1 b2 –a2 b1 x – b1 b2 y = –c2 b1

5

–a2 a1 x – a2 b1 y = –a2 c1 a2 a1 x + a1 b2 y = a1 c2

Addieren der beiden Gleichungen a1 b2 x – a2 b1 x = c1 b2 – c2 b1

Addieren der beiden Gleichungen a1 b2 y – a2 b1 y = a1 c2 – a2 c1

Auf der linken Seite wird x ausgeklammert. x (a1 b2 – a2 b1) = c1 b2 – c2 b1 Durch die Klammer wird dividiert.

Auf der linken Seite wird y ausgeklammert. y (a1 b2 – a2 b1) = a1 c2 – a2 c1 Durch die Klammer wird dividiert.

c1 b2 – c2 b1 x = ___________ a1 b2 – a2 b1

a1 c2 – a2 c1 y = ___________ a1 b2 – a2 b1

(a1 b2 – a2 b1 ≠ 0)

(a1 b2 – a2 b1 ≠ 0)

Beispiel: Wir lösen jetzt mit der Lösungsformel die Aufgabe, die in Abschnitt 5.4 mit dem Additionsverfahren gelöst wurde. (I) 2,5x – 3y = 8 (II) 3x + 2y = 4

(I) (II)

a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2

Als Erstes muss man klären, welche Werte die Variablen a1, a2, b1, b2, c1, c2 in unserem Fall annehmen. a2 = 3 b1 = –3 b2 = 2 c1 = 8 c2 = 4 a1 = 2,5 In die Lösungsformel eingesetzt, ergibt sich: 8 · 2 – 4 · (–3) 2,5 · 4 – 3 · 8 x = ______________ y = ______________ 2,5 · 2 – 3 · (–3) 2,5 · 2 – 3 · (–3) 28 –14 x = ___ y = ____ 14 14 x=2 y = –1

63

Aufgaben zu 5.5 Bestimmen Sie bei folgenden Gleichungssystemen jeweils die Lösungsmenge mit der Lösungsformel. 1. (I) –x + 7y = 5 2. (I) –5x + y = 18 (II) 3x + 5y = 11 (II) 2x – 6y = 4 3. (I) (II)

–2x + 5y = 19 3x – 4y = –18

4. (I) (II)

2x – 3y = 15 3x – 2y = 15

Wiederholungsaufgaben Bestimmen Sie bei folgenden Gleichungssystemen jeweils die Lösungsmenge. 1. (I) (II)

y = 2x – 3 y = 3x – 8

2. (I) (II)

x + y = 10 x–y=4

3. (I) (II)

3x – 8y = 49 5x + 2y = 5

4. (I) (II)

5x + 4y = 19 3x – 2y = 7

5. (I) (II)

x+y=3 y = –2x + 2

6. (I) (II)

7x – 3y = 108 5x + 6y = 12

7. (I) (II)

3x – 2y + 8 = 0 x=y+3

8. (I) (II)

2y – 4x = 2 2y + 4x = 10

9. (I) (II)

x – 4 (1 – y) = 3 + 3y 3 (x + 1) – y = 6 + 2x

10. (I) (II)

3x – y – 1,5 (x – y) = 41 1,5 (2x – y) + 2 (x – 2y) = 43,5

11. (I) (II)

3 (2x – 1) – 4 (y – 3) – 7 = 0 5 (2x – 1) – 6(y – 3) – 13 = 0

12. Jemand kauft beim Weinhändler Weißwein für 4,20 € und Rotwein für 5,10 € pro Flasche. Für 28 Flaschen bezahlt er insgesamt 256,80 €. Wie viele Flaschen Weißwein und wie viele Flaschen Rotwein hat er gekauft? 13. Eine Stiftung unterstützt 8 Schüler und 12 Studenten. Es stehen 7 560 € pro Monat zur Verfügung. Der Förderbetrag eines Studenten ist 80 € höher als der eines Schülers. Wie hoch ist der monatliche Betrag für einen Studenten, wie hoch der für einen Schüler? 14. Ein Weinfass enthält 8 Liter weniger als ein zweites. Werden 28 Liter aus dem zweiten in das erste Fass gegossen, so enthält dieses dreimal so viel Wein wie das zweite. Wie viel Liter Wein waren anfangs in den Fässern? 15. Ein Hotel hat 50 Zimmer und 110 Betten. Es sind nur Zwei- und Dreibettzimmer vorhanden. Wie viele Zweibettzimmer hat das Hotel, wie viele Dreibettzimmer?

64

6.

Proportionalitäten

Vor der Sendung In dieser Lektion werden Verfahren besprochen, die zur Lösung von Fragestellungen und Aufgaben im täglichen Leben eine große Rolle spielen. Sie kennen mindestens eines der Verfahren aus Ihrer Schulzeit. In der Schule werden solche Aufgaben häufig als „Dreisatzaufgaben“ bezeichnet. Der Dreisatz ist aber nicht das einzige Verfahren, mit dem man solche Aufgaben lösen kann. In dieser Lektion werden weitere Verfahren vorgestellt. Sie sollten sich aber für ein Verfahren entscheiden und dieses dann immer konsequent anwenden. Es liegt nahe, das Verfahren zu benutzen, das Sie in der Schule gelernt und geübt haben. Es ist also durchaus möglich, dass Sie sich auf dem Gebiet, das in dieser Lektion behandelt wird, ziemlich sicher fühlen. Für den weiteren Aufbau der Mathematik im Telekolleg sind dann nur einige Begriffe aus dieser Lektion wichtig. Dazu zählt vor allem der Begriff der Zuordnung, der in Lektion 7 vertieft wird. Ferner sollten Sie wissen, was man unter einer Proportion versteht und unter dem Proportionalitätsfaktor.

Übersicht 1.

An Beispielen wird der Begriff Zuordnung erklärt. Eine Vertiefung und Weiterführung erfolgt in Lektion 7.

2.

Die direkt proportionalen Zuordnungen werden dann unter die Lupe genommen. Es werden verschiedene Verfahren vorgestellt, mit denen man entsprechende Aufgaben lösen kann. Schließlich werden die Begriffe Proportion und Proportionalitätsfaktor eingeführt.

3.

Die Eigenschaften der indirekt proportionalen Zuordnung werden erarbeitet und zum Lösen entsprechender Aufgaben eingesetzt.

4.

Am Beispiel der Mehrwertsteuer wird gezeigt, dass sich auch Prozentaufgaben mit Hilfe von Proportionalitäten lösen lassen.

65

6

6.1

Der Zuordnungsbegriff – Beispiele In dieser Lektion geht es um spezielle Zuordnungen zweier Größen. In Lektion 7 wird der Zuordnungsbegriff vertieft. Was man unter einer Zuordnung versteht, wird – soweit es für diese Lektion wichtig ist – jetzt durch Beispiele erläutert. Weitere Beispiele finden Sie in Lektion 7. 1) Jemand kauft Eier. Je mehr Eier er kauft, desto mehr muss er bezahlen. Man sagt: Einer bestimmten Anzahl von Eiern ist ein bestimmter Preis zugeordnet. Anzahl der Eier → Preis (€) 2) Aus Johannisbeeren wird Saft gepresst. Je mehr Beeren verarbeitet werden, desto mehr Saft erhält man. Man sagt: Dem Gewicht der Johannisbeeren ist eine bestimmte Saftmenge zugeordnet. Gewicht (kg) → Saftmenge (l) 3) Die Qualität eines Druckers wird u. a. durch die Anzahl der Seiten, die er pro Minute druckt, angegeben. Je mehr Seiten man druckt, desto länger dauert es. Man sagt: Der Anzahl der zu druckenden Seiten ist die Dauer des Druckvorgangs zugeordnet. Anzahl der Druckseiten → Dauer des Druckvorgangs (min) 4) Von einem Rechteck weiß man den Flächeninhalt, aber nicht Länge und Breite. Je größer die Länge ist, desto kleiner muss die Breite sein. Man sagt: Bei einem fest vorgegebenen Flächeninhalt eines Rechtecks ist jeder Länge eine Breite zugeordnet. Länge des Rechtecks (cm) → Breite des Rechtecks (cm) 5) Ein Auto fährt von A nach B. Je größer die Durchschnittsgeschwindigkeit ist, desto kürzer ist die Fahrzeit. Man sagt: Einer bestimmten Durchschnittsgeschwindigkeit ist die Fahrzeit für eine bestimmte Strecke zugeordnet. Durchschnittsgeschwindigkeit (km/h) → Fahrzeit (h)

6.2

Direkte Proportionalität Eigenschaften direkt proportionaler Zuordnungen Die direkt proportionale Zuordnung ist eine der speziellen Zuordnungen, die in dieser Lektion behandelt werden. In der Sendung haben Sie die Eigenschaften einer direkt proportionalen Zuordnung an folgendem Beispiel kennengelernt. Jemand betankt sein Auto an einer Tankstelle. Je mehr Benzin getankt wird, desto mehr muss man zahlen. Man sagt: Jeder getankten Benzinmenge ist ein Preis zugeordnet. Benzinmenge (l) → Preis (€)

66

Die Zuordnung wird an einer Zapfsäule gut veranschaulicht. Sie zeigt zwei Zählwerke. Eines gibt die Benzinmenge in Litern an, das zweite den zugeordneten zu zahlenden Preis in Euro. In der Tabelle rechts sind einige, bei einem Literpreis von 1,20 € einander zugeordnete Größen angegeben. Man erkennt eine Gesetzmäßigkeit: Bei doppelter Benzinmenge ist auch der doppelte Preis zu zahlen. Dies ist eine wesentliche Eigenschaft einer direkt proportionalen Zuordnung.

Preis (€) 6,00 12,00 14,40 24,00 28,80 30,00 36,00 43,20 48,00

Benzinmenge (ø) 5 10 12 20 24 25 30 36 40

Allgemein gilt: Eine Zuordnung heißt direkt proportional, wenn sie folgende Eigenschaften besitzt: Verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, …) man eine Ausgangsgröße, so verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, …) sich auch die zugeordnete Größe. Teilt man eine Ausgangsgröße durch zwei (drei, vier, …), so wird auch die zugeordnete Größe durch zwei (drei, vier, …) geteilt. Statt „direkt proportional“ sagt man meist einfach nur „proportional“. Ausgangsgröße ist in unserem Beispiel: „Benzinmenge in Litern“. In der Sendung haben Sie gesehen, dass man Zuordnungen in einem Koordinatensystem darstellen kann. Dies wird in Lektion 7 noch ausführlicher behandelt. Bei jeder direkt proportionalen Zuordnung liegen die Punkte des Graphen auf einer geraden Linie, die im Punkt (0 | 0 ) beginnt.

Preis in Euro 50 40 30 20 10 0

Anzahl Liter 10 20 30 40 50

Quotientengleichheit Am Beispiel „Wechselkurs“ wurde in der Sendung eine weitere Eigenschaft einer direkt proportionalen Zuordnung gezeigt. Jemand wechselt 150 Euro in amerikanische Dollar und erhält 189 $. Auch dem Geldwechselgeschäft liegt eine Zuordnung zu Grunde. Je größer der Euro-Betrag, desto mehr Dollar erhält er. Man sagt: Jedem Euro-Betrag ist ein Dollar-Betrag zugeordnet. Euro-Betrag → Dollar-Betrag

67

6

Der Wechselkurstabelle rechts können Sie entnehmen, dass es sich hier um eine direkt proportionale Zuordnung handelt. Die oben angegebenen charakteristischen Eigenschaften treffen hier zu.

Betrag in €

Betrag in $

10 20 30 40 50 100 150 200

12,60 25,20 37,80 50,40 63,00 126,00 189,00 252,00

In der dritten Spalte der Tabelle erkennt man eine weitere Eigenschaft der direkt proportionalen Zuordnungen: Betrag in $ Der Quotient __________ ist überall Betrag in € gleich.

Betrag in $ __________ Betrag in € 1,26 1,26 1,26 1,26 1,26 1,26 1,26 1,26

Bei einer direkt proportionalen Zuordnung haben die Quotienten einander zugeordneter Größen stets den gleichen Wert. Man nennt diesen Quotienten den Proportionalitätsfaktor der direkt proportionalen Zuordnung. zugeordnete Größe __________________ = Proportionalitätsfaktor Ausgangsgröße In unserem Beispiel hat der Proportionalitätsfaktor in der Praxis einen eigenen Namen: „Wechselkurs“.

Lösungsverfahren bei direkter Proportionalität Im täglichen Leben begegnet man Fragestellungen und Aufgaben, denen direkt proportionale Zuordnungen zu Grunde liegen, sehr häufig. Es sind die sogenannten „Dreisatzaufgaben“, mit denen Sie sich in der Schule herumgeschlagen haben. Das Lösen von Aufgaben zur direkten Proportionalität ist nicht nur mit der Dreisatzmethode möglich. Auch über die Eigenschaften dieser Zuordnungen, die Sie oben kennengelernt haben, kann man solche Aufgaben lösen. Dies wird jetzt an der Aufgabe gezeigt, die am Ende der Sendung gelöst wurde. Aufgabe: Ein Auto verbraucht auf 100 km 8 Liter Benzin. Wie viel Benzin verbraucht es bei einer Fahrt von 750 km? Lösung mit dem Dreisatz 1. Satz: Für 100 km werden 8 Liter benötigt. 2. Satz: Für 1 km wird der hundertste Teil davon benötigt. 3. Satz: Für 750 km wird 750-mal so viel Benzin benötigt. 8 · 750 = 60 Als Bruch geschrieben: _______ 100 Antwort: Für 750 km werden 60 Liter Benzin benötigt.

68

Lösung mit dem Gesetz der direkten Proportionalität Man legt eine Tabelle an und wendet das Gesetz der direkten Proportionalität an: Die km-Zahl (Ausgangsgröße) wird mit 7,5 multipliziert (linke Spalte der Tabelle). Dann wird auch der Benzinverbrauch (zugeordnete Größe) mit 7,5 multipliziert (rechte Spalte der Tabelle). Rechnung:

· 7,5

km

Liter

100

8

750

x

· 7,5

8 · 7,5 = 60

Antwort: Für 750 km werden 60 Liter Benzin benötigt. Lösung mit der Quotientengleichheit zugeordnete Größe Bei einer direkt proportionalen Zuordnung ist der Quotient __________________ bei allen Ausgangsgröße 8 x Größenpaaren gleich. In dieser Aufgabe ist also ____ = ____. 100 750 Eine solche Gleichung nennt man Verhältnisgleichung oder Proportion. Es ist eine Gleichung mit einer Variablen. 8 · 750 = x. Daraus folgt x = 60. Lösung: Man multipliziert beide Seiten mit 750: _______ 100 Antwort: Für 750 km werden 60 Liter Benzin benötigt. Wichtiger Hinweis: Die drei Methoden, eine Aufgabe zur direkten Proportionalität zu lösen, sind völlig gleichberechtigt. Man sollte sich für eine Methode entscheiden und diese dann immer konsequent anwenden. Es liegt nahe, die Methode zu benutzen, die man in der Schule gelernt und geübt hat.

Aufgaben zu 6.2 1. Wenn man 9 Eimer Wasser in ein zylindrisches Planschbecken füllt, steht das Wasser 10,8 cm hoch. Wie hoch steht es, wenn man 15 Eimer einfüllt? 2. In 24 Stunden umkreist ein Satellit die Erde 12-mal. Wie oft umkreist er die Erde in 30 Stunden? 3. Aus 12 kg Mehl erhält man 15 kg Brot. Wie viel kg Brot erhält man aus 27 kg? 4. Ein 1,2 m langes Rohr wiegt 4,9 kg. Wie schwer ist ein 0,5 m langes Rohr? 5. 13 m2 Fließen kosten 299 €. Wie viel kosten 9 m2 Fließen derselben Sorte? 6. Ein Auto verbraucht 11,3 Liter Benzin auf 100 km. Wie weit kommt man mit einer Tankfüllung von 60 Litern?

69

6

6.3

Indirekte Proportionalität Eigenschaften indirekt proportionaler Zuordnungen Eine weitere spezielle Zuordnung, die in dieser Lektion behandelt wird, ist die indirekt proportionale Zuordnung. Häufig sagt man statt „indirekt proportional“ auch „umgekehrt proportional“ oder „antiproportional“. Wir passen uns der Sendung an und benutzen im Folgenden den Begriff „indirekt proportional“. In der Sendung haben Sie die Eigenschaften einer indirekt proportionalen Zuordnung an folgendem Beispiel kennengelernt. Der Flächeninhalt eines rechteckigen Grundstücks beträgt 600 m2. Wie lang und wie breit kann das Grundstück sein? Man erkennt sofort: Je größer die Länge ist, desto kleiner muss die Breite sein. Man sagt: Bei einem fest vorgegebenen Flächeninhalt eines Rechtecks ist jeder Länge eine Breite zugeordnet. Länge des Rechtecks (m) → Breite des Rechtecks (m) In der Tabelle rechts sind einige Möglichkeiten einander zugeordneter Größen angegeben. Man erkennt eine Gesetzmäßigkeit: Verdoppelt man die Länge, so muss man die Breite halbieren. Dies ist eine wesentliche Eigenschaft einer indirekt proportionalen Zuordnung.

Länge (m) 5 10 12 20 24 25 30 40

Allgemein gilt:

Breite (m) 120 60 50 30 25 24 20 15

Eine Zuordnung heißt indirekt proportional, wenn sie folgende Eigenschaften besitzt: – Verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, …) man eine Ausgangsgröße, so wird die zugeordnete Größe durch zwei (drei, vier, …) geteilt. – Teilt man eine Ausgangsgröße durch zwei (drei, vier, …), so verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, …) sich die zugeordnete Größe. Ausgangsgröße ist in unserem Beispiel: „Länge des Grundstücks“. In der Sendung wurde auch diese Zuordnung in einem Koordinatensystem dargestellt. Bei jeder indirekt proportionalen Zuordnung liegen die Punkte des Graphen auf einer gekrümmten Linie. Man nennt einen solchen Graphen: Hyperbel.

Breite (m) 50 40 30 20 10 0

70

Länge (m) 10 20 30 40 50 60

Produktgleichheit Am Beispiel „Futtervorrat“ wurde in der Sendung eine andere indirekt proportionale Zuordnung besprochen. An ihr wollen wir eine weitere Eigenschaft dieser Zuordnung zeigen. Der Futtervorrat eines Bauern reicht aus, um über den Winter 150 Tage lang 20 Kühe zu versorgen. Wenn der Futtervorrat für weniger Tage reichen muss, kann sich der Bauer mehr Kühe halten. Man sagt: Bei einem fest vorgegebenen Futtervorrat ist der Anzahl der Tage die Anzahl der Kühe zugeordnet. Anzahl der Tage → Anzahl der Kühe Der Tabelle rechts können Sie entnehmen, dass es sich hier auch um eine indirekt proportionale Zuordnung handelt. Die oben angegebenen charakteristischen Eigenschaften treffen zu. In der dritten Spalte der Tabelle erkennt man eine weitere Eigenschaft der indirekt proportionalen Zuordnungen: Das Produkt einander zugeordneter Größen ist überall gleich.

Anzahl der Tage 50 60 100 120 150 200 300

Anzahl Anzahl Tage mal der Kühe Anzahl Kühe 60 50 30 25 20 15 10

3000 3000 3000 3000 3000 3000 3000

6

Bei einer indirekt proportionalen Zuordnung haben die Produkte einander zugeordneter Größen stets den gleichen Wert. Ausgangsgröße · zugeordnete Größe = konstanter Wert

Lösungsverfahren bei indirekter Proportionalität Im täglichen Leben begegnet man Fragestellungen und Aufgaben, denen indirekt proportionale Zuordnungen zu Grunde liegen, fast genau so häufig wie Aufgaben zur direkten Proportionalität. Auch sie werden oft mit dem „Dreisatz“ gelöst. Das Lösen von Aufgaben zur indirekten Proportionalität ist aber nicht nur mit der Dreisatzmethode möglich. Auch über die Eigenschaften dieser Zuordnungen, die Sie oben kennengelernt haben, kann man solche Aufgaben lösen. Dazu jetzt ein Beispiel. Aufgabe: 6 Mähdrescher benötigen für das Abernten der Getreideflächen eines Landwirts 20 Stunden. Wie viele Stunden benötigen 2 Mähdrescher?

71

Lösung mit dem Dreisatz 1. Satz: 6 Mähdrescher benötigen 20 Stunden. 2. Satz: 1 Mähdrescher muss sechsmal so lang arbeiten. 3. Satz: 2 Mähdrescher benötigen die Hälfte der Zeit, die ein Mähdrescher braucht. 20 · 6 = 60 Als Bruch geschrieben: ______ 2 Antwort: 2 Mähdrescher benötigen 60 Stunden.

Lösung mit dem Gesetz der indirekten Proportionalität Man legt eine Tabelle an und wendet das Gesetz der indirekten Proportionalität an: Die Anzahl der Mähdrescher (Ausgangsgröße) wird durch 3 dividiert (linke Spalte der Tabelle). Dann muss die Anzahl der Stunden (zugeordnete Größe) mit 3 multipliziert werden (rechte Spalte der Tabelle).

:3

Mähdrescher

Stunden

6

20

2

x

·3

Rechnung: 20 · 3 = 60 Antwort: 2 Mähdrescher benötigen 60 Stunden.

Lösung mit der Produktgleichheit Bei einer indirekt proportionalen Zuordnung ist das Produkt „Ausgangsgröße mal zugeordnete Größe“ ein konstanter Wert bei allen Größenpaaren. In dieser Aufgabe ist also: 6 · 20 = 2 · x Eine solche Gleichung nennt man Produktgleichung. Es ist eine Gleichung mit einer Variablen. 6 · 20 = x. Daraus folgt x = 60. Lösung: Man dividiert beide Seiten durch 2: ______ 2 Antwort: 2 Mähdrescher benötigen 60 Stunden.

Wichtiger Hinweis: Wie bei der direkten Proportionalität sind auch bei der indirekten Proportionalität die drei Methoden, eine Aufgabe zu lösen, völlig gleichberechtigt. Man sollte sich für eine Methode entscheiden und diese dann immer konsequent anwenden. Es liegt nahe, die Methode zu benutzen, die man in der Schule gelernt und geübt hat.

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Aufgaben zu 6.3 1. Bei 10 Expeditionsmitgliedern reicht der Lebensmittelvorrat in einem Basislager 24 Tage. Wie lange reicht derselbe Vorrat bei 15 Mitgliedern? 2. Ein Wasserbeckenvorrat wird durch 5 gleich starke Pumpen in 9 Stunden gefüllt. Wie lange dauert das Füllen mit 3 Pumpen? 3. Ein Buch hat 520 Seiten mit je 32 Zeilen. Wie viele Seiten hätte das Buch, wenn auf jeder Seite 36 Zeilen gedruckt würden? 4. Zwei Bagger benötigen zum Ausbaggern eines Sees 14 Monate. Welche Zeitspanne muss man einplanen, wenn 8 Bagger eingesetzt werden? 5. 12 Personen teilen sich die Kosten für eine Anzeige in einer Tageszeitung. Jeder muss 35 € zahlen. Wie viel muss jeder zahlen, wenn sich 15 Personen beteiligen? 6. Wenn ein Zuschuss zu einer Klassenfahrt auf 27 Schülerinnen und Schüler gleichmäßig aufgeteilt wird, erhält jeder 6 €. Wie viel würde jeder erhalten, wenn in der Klasse nur 24 Schülerinnen und Schüler wären?

6.4

Prozentrechnung und direkte Proportionalität Dieser Abschnitt ist dem Teil der Sendung gewidmet, der sich mit der Mehrwertsteuer beschäftigt. Dabei handelt es sich um nichts Anderes als um Prozentaufgaben. Es gibt viele Wege, Prozentaufgaben zu lösen. Einen davon haben Sie sicher in der Schule gelernt. Auch in Zukunft sollten Sie Prozentaufgaben mit dem Verfahren lösen, das Ihnen vertraut ist. Wer sich von Ihnen aber für mehr interessiert, dem sollte in der Sendung gezeigt werden, dass hinter den Prozentaufgaben direkt proportionale Zuordnungen stecken. Es geht um einen vertiefenden Einblick und nicht darum, dass Sie ggf. umlernen und in Zukunft Prozentaufgaben nur noch mit Hilfe der Eigenschaften direkt proportionaler Zuordnungen lösen. Vom Nettopreis zur Mehrwertsteuer Ein Fernsehgerät ist ausgezeichnet mit 540,00 € + 19 % MwSt. Wie hoch ist der Bruttopreis? Die Berechnung der Mehrwertsteuer kann man als direkt proportionale Zuordnung auffassen. Nettopreis (€) → Mehrwertsteuer (€) Der Mehrwertsteuersatz 19% besagt, dass man für 100 € Nettobetrag eine Mehrwertsteuer von 19 € zahlen muss. Dann stellt man, um zu einer Proportion zu kommen, zwei Mehrwertsteuer auf und setzt diese gleich. Quotienten _______________ Nettopreis

73

6

19 = ____ x ____

100 540 x 0,19 = ____ 540 0,19 · 540 = x 102,60 = x

0,19 ist der Proportionalitätsfaktor.

Die Mehrwertsteuer beträgt also 102,60 € und der Bruttopreis demnach 642,60 €.

Vom Nettopreis zum Bruttopreis Man kann auch direkt vom Nettopreis zum Bruttopreis kommen. Die entsprechende direkt proportionale Zuordnung heißt dann: Nettopreis (€) → Bruttopreis (€). Bruttopreis Um zu einer Proportion zu kommen, muss man jetzt die Quotienten ___________ bilden. Nettopreis 119 = ____ x ____ 100 540 x 1,19 = ____ Hier ist 1,19 der Proportionalitätsfaktor. 540 1,19 · 540 = x 642,60 = x

Vom Bruttopreis zum Nettopreis Angenommen, man kennt nur den Bruttopreis 642,60 € und möchte den Nettopreis Bruttopreis bestimmen. Dann kann man auch die Quotienten ___________ benutzen, muss aber die Nettopreis Zahlenwerte richtig einsetzen. 642,60 119 = _______ ____ 100 x 1,19 · x = 642,60 540,00 = x

Vom Bruttopreis zur Mehrwertsteuer Angenommen, man kennt den Bruttopreis 642,60 € und möchte die Mehrwertsteuer bestimmen. Dann kann man, um eine Proportion aufzustellen, folgende Quotienten bilden: Bruttopreis _______________ Mehrwertsteuer 642,60 119 = _______ ____ 19 x 642,60 · 19 ___________ x= 119 x = 102,60

In allen Fällen ist es entscheidend, dass man zum Aufstellen einer Proportion die passenden Quotienten bildet und die Zahlenwerte richtig einsetzt.

74

Wiederholungsaufgaben Bei den folgenden Aufgaben muss man zunächst entscheiden, ob eine direkte Proportionalität oder eine indirekte Proportionalität vorliegt. 1. Aus 60 kg Zuckerrüben erhält man 10 kg Zucker. Wie viel kg Zucker erhält man aus 150 kg Zuckerrüben? 2. 8 Brötchen kosten 2,16 €. Wie viel kosten 7 Brötchen? 3. Wenn eine Ölheizung täglich 12 Stunden läuft, reicht ein Heizölvorrat für 5 Monate. Wie lange reicht der Vorrat, wenn die Anlage täglich 15 Stunden läuft? 4. 2,30 m Stoff kosten 26,20 €. Wie viel kosten 9,40 m dieses Stoffs?

6

5. Ein Rechteck ist 45 cm lang und 16 cm breit. Wie breit ist ein Rechteck mit dem gleichen Flächeninhalt, das 36 cm lang ist? 6. Ein Fahrzeug benötigt für eine Teststrecke bei einer konstanten Geschwindigkeit von 90 Kilometern pro Stunde 24 Sekunden. Bei welcher Geschwindigkeit durchfährt es die Strecke in 18 Sekunden?

75

7.

Relationen – lineare Funktionen

Vor der Sendung Funktionen spielen in den Bereichen der Mathematik, mit denen Sie sich im Telekolleg beschäftigen, eine große Rolle. Deshalb sollten Sie sich genau ansehen, was man in der Mathematik unter einer Funktion versteht. Sie werden im Laufe des Telekollegs verschiedene Funktionstypen kennenlernen und genauer untersuchen. In dieser Lektion beginnen wir mit den linearen Funktionen. Sie sind die einfachsten. Was Sie speziell für diese Lektion an Vorwissen benötigen, hält sich in Grenzen. Sie müssen sicher sein im Rechnen mit negativen Zahlen, sonst verrechnen Sie sich immer wieder, und das ist ärgerlich. Für bestimmte Aufgabentypen dieser Lektion ist es erforderlich, dass man die Lösung eines Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Variablen bestimmen kann (Lektion 5). Das Koordinatensystem sollte Ihnen nicht fremd sein. Sie sollten Zahlenpaare, zum Beispiel ( 2 | –1), als Punkte in ein Koordinatensystem eintragen können und umgekehrt zu Punkten im Koordinatensystem das zugehörige Zahlenpaar angeben können. Wenn Sie da nicht ganz sicher sind, schauen Sie in einem Schulbuch nochmals nach.

Übersicht 1.

Zunächst wird in dieser Lektion geklärt, was genau man in der Mathematik unter einer Funktion versteht. Die üblichen Begriffe Definitionsmenge, Wertemenge, Funktionsgleichung, Funktionswert, Wertetabelle und Graph der Funktion werden eingeführt.

2.

Die lineare Funktion wird ausführlich behandelt. Im Mittelpunkt steht das Zusammenspiel zwischen Funktionsgleichung einerseits und dem Verlauf des zugehörigen Graphen andererseits. Es werden die Begriffe Steigung und y-Achsenabschnitt erklärt. Um rein rechnerisch zu prüfen, ob ein bestimmter Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt, muss man die sogenannte Punktprobe durchführen. Wie man das macht, erfahren Sie auch in dieser Lektion.

3.

Wie findet man rasch die Funktionsgleichung, wenn zwei Punkte des Graphen, das heißt der Geraden, gegeben sind? Und wie kann man sich umgekehrt ein Bild vom Verlauf der Geraden machen, wenn die Funktionsgleichung bekannt ist? Diese Fragen werden anhand von Beispielen beantwortet. Das Einzeichnen von Geraden in ein Koordinatensystem und das Aufstellen von Funktionsgleichungen spielt also im letzten Teil dieser Lektion eine wichtige Rolle.

76

7.1

Der Funktionsbegriff Um es vorweg und einfach zu sagen: Funktionen sind Zuordnungen. Genauer: Funktionen sind eindeutige Zuordnungen. Was das heißt, wird jetzt an Beispielen erklärt. Beispiele für Zuordnungen 1) Sie kaufen Äpfel ein. Die Äpfel werden gewogen. Je größer das Gewicht, desto mehr müssen Sie bezahlen. Man sagt: Jedem Gewicht wird ein Preis zugeordnet. Gewicht (kg) → Preis (€) 2) Sie fahren mit dem Taxi. Der Taxameter zeigt während der Fahrt jeweils den Preis für die zurückgelegte Fahrstrecke an. Man sagt: Jeder Fahrstrecke wird ein Fahrpreis zugeordnet. Fahrstrecke (km) → Fahrpreis (€) 3) Ein entleertes und gesäubertes Schwimmbecken wird wieder mit Wasser gefüllt. Im Laufe der Zeit steigt das Wasser im Becken. Man sagt: Der Einlaufzeit wird die Höhe des Wasserstands im Becken zugeordnet. Einlaufzeit (min) → Wasserhöhe (m) 4) Je größer ein Würfel, desto größer sein Volumen. Man sagt: Der Kantenlänge eines Würfels wird sein Volumen zugeordnet. Kantenlänge (cm) → Volumen (cm3) 5) Der Fahrtenschreiber in einem LKW zeigt an, wann das Fahrzeug mit welcher Geschwindigkeit gefahren ist. Man sagt: Der Uhrzeit wird die Geschwindigkeit des Fahrzeugs zugeordnet. Uhrzeit (h;min;s) → Geschwindigkeit (km/h) 6) Ein Thermograph zeichnet die Lufttemperatur während eines Tages auf. Man sagt: Der Uhrzeit wird die Temperatur zugeordnet. Uhrzeit (h; min; s) → Temperatur (°C) 7) In Autozeitschriften findet man bei der Beschreibung eines Fahrzeugs häufig auch Angaben zum Kraftstoffverbrauch in Abhängigkeit von der jeweils gefahrenen Geschwindigkeit. Man sagt: Der Geschwindigkeit des Fahrzeugs wird der entsprechende Kraftstoffverbrauch zugeordnet. Geschwindigkeit (km/h) → Kraftstoffverbrauch (ø pro 100 km) In den letzten drei Beispielen wird in der Praxis häufig die jeweilige Zuordnung graphisch dargestellt. Am Beispiel des Kraftstoffverbrauchs werden jetzt die Möglichkeiten der Darstellung einer Zuordnung erörtert.

77

7

Graphen und Wertetabellen Die beiden am häufigsten benutzten Darstellungen von Zuordnungen sind der Graph im Koordinatensystem und die Wertetabelle. Im Bild rechts ist der Kraftstoffverbrauch eines Kleinwagens in einem Koordinatensystem dargestellt. Auf der horizontalen Achse (x-Achse) ist die Geschwindigkeit des Fahrzeugs aufgetragen und auf der vertikalen Achse (y-Achse) der Verbrauch pro 100 km. Man nennt so eine Darstellung Graph der Zuordnung. Aus dem Graphen kann man zu einer bestimmten Geschwindigkeit den zugehörigen Verbrauch ermitteln. Beispiel: Bei einer Geschwindigkeit von 90 km/h werden knapp 5,5 Liter Kraftstoff pro 100 km verbraucht.

y (ø pro 100 km)

10

5 x (km/h)

3 50

100

150

Neben dem Graphen wird häufig auch eine Wertetabelle zur Darstellung einer Zuordnung benutzt. Folgende Wertetabelle bezieht sich auf das gleiche Fahrzeug wie der Graph oben. Geschwindigkeit in km/h Benzinverbrauch in ø pro 100 km

50

60

70

80

90

100

110

120

130

3,8

3,9

4,2

4,7

5,5

6,3

7,4

8,7

10,2 11,9

Nicht eindeutige Zuordnungen – Relationen Im Bild ist die Skizze eines Thermographen gezeigt. Die Trommel dreht sich einmal in 24 Stunden um ihre Achse. Der Zeiger, an dessen Ende sich ein Stift befindet, bewegt sich je nach Temperatur nach oben oder nach unten. So wird auf das Papier auf der Trommel der Temperaturverlauf an einem Tag gezeichnet. Es entsteht automatisch der Graph der Zuordnung: Uhrzeit → Temperatur.

78

140

Nehmen wir einmal an, am Abend eines Tages findet man im Thermographen folgendes Diagramm. Was soll man davon halten? Offenbar war das Gerät defekt. Wo einem Zeitpunkt mehrere Temperaturen zugeordnet sind, kann man mit dem Graphen nichts anfangen. Die Information ist nicht eindeutig.

Temperatur in °C 18° 16° 14° 12° 10°

8° 900 1200 1500 1800 600 Ein weiteres Beispiel: In einer Maschine läuft ein Punkt auf einem Rad kreisförmig. Man kann das Rad von außen nicht sehen. Eine Lichtquelle wirft aber einen Schatten auf den Boden. Wenn der Punkt umläuft, bewegt sich der Schatten des Punkts immer hin und her. Aus der Stellung des Schattens kann man nicht eindeutig sagen, an welcher Stelle in der Umlaufbahn sich der Punkt befindet. Es gibt fast immer zwei Möglichkeiten, wo sich der Punkt auf dem Rad befinden kann. Die Zuordnung Schattenpunkt → Punkt auf dem Rad ist nicht eindeutig.

Uhrzeit

7

Zuordnungen und Beziehungen allgemein – gleichgültig, ob sie eindeutig oder nicht eindeutig sind – werden in der Mathematik als Relationen bezeichnet. Sie spielen bei uns eine untergeordnete Rolle. Wir werden uns im Folgenden nur mit eindeutigen Zuordnungen beschäftigen.

Eindeutige Zuordnungen – Funktionen Die Informationen aus nicht eindeutigen Zuordnungen sind häufig wenig aussagekräftig und in der Praxis deshalb oft unbrauchbar. Auch in der Mathematik konzentriert man sich vor allem auf eindeutige Zuordnungen. Man bezeichnet sie als Funktionen. Oft wird eine Funktion durch eine Funktionsgleichung angegeben. Das ist eine Gleichung mit zwei Variablen. Beispiel: y = x2 Bei dieser Funktion wird jeder Zahl x ihr Quadrat zugeordnet. Man setzt für x eine Zahl ein und berechnet den zugeordneten Funktionswert y. Zum Beispiel: 3 → 9 (gelesen: 3 wird zugeordnet 9), weil 32 = 9 ist.

79

Übersichtlicher wird dies in einer Wertetabelle. Um eine Wertetabelle zu erstellen, muss man wissen, welche Zahlen für x eingesetzt werden dürfen. Die Menge aller Zahlen, die für x eingesetzt werden dürfen, nennt man Definitionsmenge der Funktion. y heißt Funktionswert von x. Die Menge aller Funktionswerte nennt man Wertemenge. Eine eindeutige Zuordnung, bei der jeder Zahl (Größe) der Definitionsmenge eine ganz bestimmte Zahl (Größe) zugeordnet wird, heißt Funktion. In unserem Beispiel y = x2 soll ℚ die Definitionsmenge sein. Man darf also alle rationalen Zahlen für x einsetzen. Dann könnte ein Ausschnitt aus einer Wertetabelle so aussehen. x

0

0,5

1

2

3

4

–1

–1,5

–2

–3

–4

y

0

0,25

1

4

9

16

1

2,25

4

9

16

Die Wertetabelle besteht aus Zahlenpaaren (x | y ), z. B. (1 | 1 ), (2 | 4 ), (–3 | 9 ). In der oberen Zeile stehen Zahlen aus der Definitionsmenge. In der unteren Zeile stehen die jeweils zugeordneten Funktionswerte, also Zahlen der Wertemenge. Vorsicht! Halten Sie die beiden Begriffe y „Wertemenge” und „Wertetabelle” auseinander! 10 Jedem Zahlenpaar der Funktion entspricht ein Punkt im Koordinatensystem. Überträgt man die Zahlenpaare in ein Koordinatensystem, so entsteht der Graph der Funktion y = x2. Dem Graphen kann man entnehmen, dass nur positive Funktionswerte oder 0 auftreten, die Wertemenge also nur die positiven rationalen Zahlen enthält, einschließlich null. Man sagt auch: Die Wertemenge besteht aus allen nichtnegativen rationalen Zahlen.

9 8 7 6 5

y = x2

4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

x 1

2

3

4

5

6

Aus Lektion 2 wissen Sie, dass man einen Term mit dem Symbol T (x) beschreibt. Entsprechend beschreibt man eine Funktion mit dem Symbol f (x) (gelesen: f von x). Unsere Funktion im Beispiel könnte man dann auch so angeben: f (x) = x2. Will man die Zuordnung für bestimmte Zahlen notieren, so schreibt man, in Analogie zu den Termen, zum Beispiel: f (2) = 4; f (–3) = 9; f (0) = 0; f (0,5) = 0,25.

80

y = x2

Aufgaben zu 7.1 1. Füllen Sie für die Zuordnung Seitenlänge eines Quadrats x → Umfang des Quadrats y folgende Wertetabelle aus. x

0,25

0,5

1

2,2

4

y

8

2. Welcher der folgenden 6 Graphen passt zu welcher der zwei Kerzen (rechts)? Die Kerzen brennen ohne Unterbrechung, bis sie ganz abgebrannt sind. a)

b)

Höhe in cm

1

10

c)

Höhe in cm

Höhe in cm

12

12

8

8

8

4

4

Zeit in h 0

d)

2

4

6

8

Zeit in h 0

10

e)

Höhe in cm

2

4

6

8

f)

Höhe in cm

12

8

8

8

4 4

6

8

10

4

6

8

6

8

Zeit in h 0

10

4

Zeit in h 2

2

Höhe in cm

12

0

7

Zeit in h 0

10

12

4

16,4

2

12

4

13

2

4

6

8

Zeit in h 0

10

2

4

10

3. Skizzieren Sie einen Graphen, der die Zuordnung Zeit → Kerzenhöhe für nebenstehende Kerze beschreibt.

4. Skizzieren Sie eine Kerzenform, die zu nebenstehendem Graphen passt.

Höhe in cm 12 8 4 Zeit in h 0

2

4

6

8

10

5. Berechnen Sie folgende Funktionswerte zu der Funktion f (x) = 2x2 – x + 3. a) f (2) b) f (0) c) f (–3) d) f (0,5)

81

7.2

Lineare Funktionen Eine Funktion mit der Funktionsgleichung y = mx + b heißt lineare Funktion. Beispiele: a) y = 3x + 2 b) y = –2x + 3 c) y = x – 1 d) y = 2x e) y = 4

Hier ist Hier ist Hier ist Hier ist Hier ist

m = 3 und b = 2. m = –2 und b = 3. m = 1 und b = –1. m = 2 und b = 0. m = 0 und b = 4.

Und hier sind die Graphen der Funktionen: y

y

5

y

5

5 y=x–1

3 1 –4

3

y = 3x + 2

1

x

0 –2 –1

2

4

–4

1

x

0 –2 –1

2

4

–4

0 –2 –1

–3

–3

–3

–5

–5

–5

y

3

4

5 3

y = 2x

1 0 –2 –1

x 2

y

5

–4

3

y = –2x + 3

1

x 2

4

y=4

–4

0 –2 –1

–3

–3

–5

–5

x 2

4

Die Graphen von linearen Funktionen sind Geraden. Der Koeffizient m von x gibt die Steigung der Geraden an. Das sogenannte „absolute Glied“ b heißt y-Achsenabschnitt. Er gibt an, an welcher Stelle die Gerade die y-Achse schneidet. Ist m positiv, so steigt die Gerade von links nach rechts; ist m negativ, so fällt sie. Ist m = 0, so verläuft sie parallel zur x-Achse. y 3 Die Graphen zweier linearer Funktionen 2 mit derselben Steigung m laufen parallel. y = 0,5x + 2 1 x –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3

82

1 2 3 4 y = 0,5x – 1

5

6

Geht man von einem beliebigen Punkt des Graphen einer linearen Funktion eine Einheit nach rechts (x-Richtung), so gibt m an, um wie viel Einheiten man in y-Richtung nach oben oder unten gehen muss, um einen weiteren Punkt des Graphen zu erreichen. Nach oben geht man, wenn m positiv ist, nach unten, wenn m negativ ist. Im Bild ist m = 2.

9

y

8 7 6

2

5

1

4

y = 2x + 1

3 2

Eine Parallele zur y-Achse stellt keine Funktion dar. Angenommen die Parallele schneidet die x-Achse im Punkt (3 | 0 ), dann werden der Stelle x = 3 alle rationalen Zahlen zugeordnet. Die Zuordnung ist nicht eindeutig und deshalb keine Funktion.

1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1

2 1

x 1

2

3

4

5

6

–2 –3

Punktprobe Welcher der Punkte P ( 3 | –2) und Q( 4 | –1) liegt auf dem Graphen von y = –3x + 7? Man setzt die Koordinaten des Punkts, den man prüfen will, in die Funtionsgleichung ein. Funktionsgleichung: y = (–3) · x + 7 Punktprobe mit P: Punktprobe mit Q:

–2 = (–3) · 3 + 7 –2 = –2  Dies ist eine wahre Aussage. P liegt also auf der Geraden. –1 = (–3) · 4 + 7 –1 = –5  Dies ist eine falsche Aussage. Q liegt also nicht auf der Geraden.

Aufgaben zu 7.2 1. Welche der folgenden Geraden sind parallel zueinander? 1x – 3 (1) y = 2x – 1 (2) y = –2x + 1 (3) y = __ 2 (5) y = –2x (6) y = 0,5x + 1 (7) y = 3 + 2x

(4) y = 2x + 4 (8) y = 2 – x

2. Welche der folgenden Geraden steigen von links nach rechts, welche fallen? 1x + 1 4x a) y = 3x + 1 b) y = 3x – 1 c) y = – __ d) y = __ 5 3 e) y = 3 f) y = –x + 1 g) y = x h) y = 2 – 2x 3. Prüfen Sie in jeder der folgenden Aufgaben, ob der Punkt auf dem Graphen liegt. b) P (–2 | 3 ); y = 2x + 1 a) P (2 | 1 ); y = 2x + 1 | d) P (3 | 0 ); y = –3x + 9 c) P (– 2 –3); y = –x – 5

83

7

7.3

Einzeichnen von Geraden – Aufstellen der Funktionsgleichung In diesem Abschnitt untersuchen wir das Zusammenspiel von Gleichung einer linearen Funktion einerseits und zugehöriger Geraden andererseits.

1. Von der Gleichung zur Geraden Angenommen, die Gleichung y = mx + b einer linearen Funktion ist gegeben, zum Beispiel y = 2x – 3. 1. Möglichkeit: Man liest ab: m = 2; b = –3. Der y-Achsenabschnitt ist bekannt und mithin der Punkt, in dem die Gerade die y-Achse schneidet: ( 0 | –3). Dies ist ein erster Punkt der Geraden, den man ins Koordinatensystem eintragen kann. Von diesem Punkt geht man nun 1 Einheit in x-Richtung nach rechts und um +2 Einheiten in y-Richtung nach oben. So erhält man einen zweiten Punkt der Geraden. Es ist ( 1 | –1). Durch diese beiden Punkte kann man die Gerade zeichnen.

2. Möglichkeit: Man errechnet zwei beliebige Punkte, durch die die Gerade geht. Für x setzt man einen Wert aus der Definitionsmenge ein und errechnet den Funktionswert y, also die Zahl, die dem gewählten x zugeordnet ist. Zum Beispiel x = 0,5 einsetzen, ergibt f (0,5) = –2. Dies führt man ein zweites Mal durch. Zum Beispiel x = 2 einsetzen, ergibt f (2) = 1. Man erhält zwei Zahlenpaare, (0, 5 | –2) und (2 | 1 ), die man als Punkte in ein Koordinatensystem übertragen kann. Durch diese beiden Punkte kann man die Gerade zeichnen.

84

y 2 1 x –1

1

0

2

3

–1 –2 –3

y 2 1 x –1

0 –1 –2 –3

1

2

3

2. Aufstellen der Funktionsgleichung Von dem Graphen einer linearen Funktion ist gegeben: Steigung m und ein Punkt P. Gesucht ist die Funktionsgleichung. Beispiel: m = –3; P ( 5 | –11). m kann man sofort in die Funktionsgleichung einsetzen. y = –3x + b Da der Punkt P auf dem Graphen liegt, muss sein Zahlenpaar die Gleichung erfüllen (Punktprobe). –11 = –3 · 5 + b Daraus kann man b bestimmen: b = 4. Die gesuchte Gleichung lautet also: y = –3x + 4.

Von dem Graphen einer linearen Funktion sind zwei Punkte P und Q gegeben. Gesucht ist die Funktionsgleichung. Beispiel: P (–1 | 7 ) und Q ( 4 | –3). Jetzt muss man zweimal die Punktprobe anwenden. (I) 7 = m · (–1) + b (II) –3 = m · 4 + b Dies ist ein Gleichungssystem mit den Variablen m und b. Löst man es nach einem der Verfahren auf, die in Lektion 5 behandelt wurden, ergibt sich: m = –2 und b = 5. Die gesuchte Gleichung heißt also: y = –2x + 5.

Aufgaben zu 7.3 1. Zeichnen Sie die Graphen folgender Funktionen in ein Koordinatensystem. a) y = 2x – 2 b) y = 0,5x – 3 c) y = –2x + 1,5 2. Bestimmen Sie aus den gegebenen Größen jeweils die Funktionsgleichung. b) m = 1; P (2 | 5 ) c) P (1 | 7 ); Q (–1 | 3 ) a) m = –0,5; P ( 4 | –1) | | e) m = –2; P ( 3 1,5) f) P (2 | 1 ); Q (– 2 | –7) d) m = 4; P ( 4 12) 3. Wie lauten die Gleichungen folgender linearer Funktionen? a) b) c) 3

y

3

y

3

2

2

2

1

1

1

–3 –2 –1 0 –1

x 1 2

3

–3 –2 –1 0 –1

x 1 2

3

–3 –2 –1 0 –1

d)

y

3

y

2 x 1 2

3

1 –3 –2 –1 0 –1

–2

–2

–2

–2

–3

–3

–3

–3

–4

–4

–4

–4

x 1 2

3

85

7

Wiederholungsaufgaben 1. In die Gefäße läuft gleichmäßig Wasser ein. 1) 2) 3)

4)

5)

Entscheiden Sie, welcher Graph zu welchem Gefäß gehört. Höhe

Höhe

Höhe

Zeit

Zeit

a

Zeit

b Höhe

c Höhe

Zeit

d

Zeit

e

2. Berechnen Sie folgende Funktionswerte zu der Funktion f (x) = –x2 + 2x + 3. a) f (3) b) f (–2) c) f (0) d) f (–4)

3. Prüfen Sie in jeder der folgenden Aufgaben, ob der Punkt auf dem Graphen liegt. b) P (– 2 | –3); y = –6x – 15 a) P (2 | 1 ); y = 4x – 7 | d) P (0 | 0 ); y = 5x c) P (0 5 ); y = –x – 5

4. Zeichnen Sie die Graphen folgender Funktionen in ein Koordinatensystem. a) y = x – 3 b) y = –0,5x + 1,5 c) y = 3

5. Bestimmen Sie aus den gegebenen Größen jeweils die Funktionsgleichung. b) m = –1; P (2 | 0 ) c) P (1 | 0 ); Q (3 | 7 ) a) m = –3; P ( 3 | –3) | | e) m = 1; P (– 1 –1) f) P ( 2 | –4); Q (– 2 | –4) d) m = 0; P (4 5 )

86

8.

Die reellen Zahlen ℝ; quadratische Gleichungen

Vor der Sendung Jetzt wird‘s quadratisch. Im Mittelpunkt dieser Lektion stehen quadratische Gleichungen. Der Lösungsweg ist ein ganz anderer als der bei linearen Gleichungen. Was aber beiden Gleichungstypen gemeinsam ist: Man muss sie durch algebraische Umformungen auf eine passende Form bringen. Das heißt aber, Terme und Termumformungen sind auch in dieser Lektion die Voraussetzung für eine erfolgreiche Arbeit. Wiederholen und vertiefen Sie also – wenn nötig – bevor Sie mit dem Durcharbeiten der Lektion beginnen, was Sie in den Lektionen 2 und 3 gelernt haben – von den Grundrechen­ arten mit Termen bis hin zu den binomischen Formeln. In Lektion 1 wurde gezeigt, wie die Menge der rationalen Zahlen, ausgehend von den na­ türlichen Zahlen, schrittweise aufgebaut wird. Da in dieser Lektion neue Zahlen definiert werden, die nicht zu den rationalen Zahlen gehören, sollten Sie sich das, was in Lektion 1 über Zahlen und Zahlenmengen gesagt ist (Abschnitt 1.1), nochmals bewusst machen.

8 8

Übersicht 1.

In dieser Lektion werden die Quadratwurzeln eingeführt und gezeigt, dass nicht jede Quadratwurzel eine rationale Zahl ist. Die Menge der rationalen Zahlen wird zur Menge der reellen Zahlen erweitert.

2.

Für das Rechnen mit Quadratwurzeln werden Regeln, sogenannte Wurzelgesetze, er­ arbeitet. In Beispielen wird gezeigt, wie man die Wurzelgesetze anwendet, um Terme mit Quadratwurzeln zu vereinfachen.

3.

Den Schwerpunkt dieser Lektion bildet die Behandlung der quadratischen Gleichungen. Für das Lösen quadratischer Gleichungen, das heißt zum Bestimmen der Lösungsmenge, wird das Verfahren der „quadratischen Ergänzung“ vorgestellt und ferner eine Formel her­ geleitet. Die Formel legt die Gleichung x2 + px + q = 0 zu Grunde. In mehreren Beispielen wird gezeigt, wie man die erarbeitete Formel im konkreten Fall anwendet. Da in den Lehrbüchern und im Mathematikunterricht oft eine weitere bzw. andere Formel behandelt wird, die von der Gleichung ax2 + bx + c = 0 ausgeht, wird auch diese Formel zum Schluss hergeleitet.

87

8.1

Quadratwurzeln und reelle Zahlen Einführungsbeispiel: Ein quadratisches Baugrundstück hat die Größe 500 m2. Die Anliegerkosten, die die Gemeinde 500 m2 von den Hausbesitzern einfordert, richten sich nach der an die Straße angrenzenden a Länge des Grundstücks. Um die Kosten berechnen zu können, muss man die Sei­ tenlänge a des Quadrats bestimmen. Gesucht ist also die Zahl a, für die gilt: a2 = 500. Oder in Worten ausgedrückt: Gesucht ist die Zahl, die quadriert 500 ergibt. Es kommt häufig vor, dass eine Zahl gesucht wird, deren Quadrat eine vorgegebene Zahl ergibt. Die Mathematiker haben für diese gesuchte Zahl den Begriff „Quadratwurzel“ ein­ geführt. Unter der Quadratwurzel aus a versteht man diejenige (nichtnegative) Zahl, die quad­ riert a ergibt. „Nichtnegative Zahl“ heißt: Positive Zahl oder Null. (Siehe auch Hinweis 1 unten auf dieser Seite).

_

Für die „Quadratwurzel aus a“ schreibt man: √ a (gelesen „Wurzel aus a“). Die Zahl a unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand.

Beispiele: _ 16 = 4, denn 42 = 16. a) √_ 81 = 9, denn 92 = 81. b) √__ c) √0,09 = 0,3, denn 0,32 = 0,09. Hinweise: _ 1) Bei Beispiel a) könnte man auch auf die Idee kommen, –4 als Lösung von √ 16 anzu­ geben, denn auch (–4)2 = 16. Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, hat man festgelegt, dass Quadratwurzeln immer positiv oder null (also nichtnegativ) sind.

_

2) Quadratwurzeln gibt es nur aus nichtnegativen Zahlen. √ –25 würde bedeuten, dass man eine Zahl sucht, deren Quadrat –25 ergibt. Machen Sie sich klar, dass unter den Ihnen bekannten Zahlen keine zu finden ist, die quadriert eine negative Zahl ergibt.

88

Lösung des Einführungsbeispiels: Gesucht ist die Zahl a, deren Quadrat 500 ergibt. Die Lösung ist sicher keine natürliche Zahl, denn 222 = 484 und 232 = 529. Man kann sich nun durch systematisches Probieren an die gesuchte Zahl „herantasten“. Einige Schritte davon sind in folgender Tabelle dargestellt. Untere Näherung für a

Quadrat der unteren Näherung

Quadrat der oberen Näherung

Obere Näherung für a

22

484

529

23

22,3

497,29

501,76

22,4

22,36

499,9696

500,4169

22,37

Der gesuchte Wert liegt also zwischen 22,36 m und 22,37 m. Diese Genauigkeit ist wohl für die Praxis ausreichend. Wenn man es noch genauer wissen will, kann man natürlich die Tabelle weiter fortsetzen, indem man von Schritt zu Schritt jeweils eine weitere Dezimal­ stelle untersucht und sich so der gesuchten Zahl a immer besser nähert.

Bestimmen von Quadratwurzeln mit dem Taschenrechner Viel einfacher hat man es mit dem Taschenrechner. Auf jedem Taschenrechner gibt es eine Taste für die Quadratwurzel einer Zahl. Meist sieht sie so  aus oder ähnlich. Gibt man eine Zahl ein, z. B. 500, und drückt_ diese Taste, so erhält man in der Anzeige: 22,36068. Dies ist nicht der exakte Wert für √500 , sondern ein Näherungswert. Man überzeugt sich davon, wenn man 22,36068 mit sich multipliziert, und zwar schriftlich, da der Taschenrech­ ner natürlich auch beim Quadrieren rundet. Beim Ermitteln von Quadratwurzeln mit dem Taschenrechner erhält man in vielen Fällen gerundete Näherungswerte.

Kann man Quadratwurzeln genau angeben? Für die Praxis reichen Näherungswerte von Quadratwurzeln völlig aus. Den Mathematiker reizt aber die Frage, ob man Quadratwurzeln auch genau angeben kann. Dies könnte als Dezimalzahl sein oder als Bruch. Sie wissen, dass man jede Dezimalzahl in einen Bruch verwandeln kann. Umgekehrt lässt sich jeder Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln. Man muss nur den Zähler durch den Nenner dividieren. Bei dieser Umwandlung ergibt sich entweder eine Dezimalzahl mit end­ lich vielen Nachkommastellen oder eine periodische Dezimalzahl.

_

Wir wollen nun am Beispiel von √ 2 zeigen, dass es Quadratwurzeln gibt, die sich nicht als Bruch darstellen lassen. Anders ausgedrückt: Die Zahl, die quadriert 2 ergibt, ist keine Bruchzahl.

89

8 8

Wir gehen von der Annahme aus, es gebe eine solche Bruchzahl und zeigen, dass diese Annahme falsch ist. Genau so macht es gelegentlich auch die Polizei. Um die Vermutung zu erhärten, dass A unschuldig ist, unterstellt man zunächst einmal das Gegenteil, näm­ lich, dass A der Täter war. Ausgehend von dieser Hypothese werden Indizien gesammelt und Argumente aneinandergereiht. Dabei zeigt sich, dass unauflösbare Widersprüche auf­ treten. Dies ist nur so zu erklären, dass die ursprüngliche Annahme falsch war. A kommt somit als Täter nicht in Frage. Dieses Vorgehen, _ das in der Mathematik „indirekter Beweis“ _ genannt wird, wenden wir keine Bruchzahl ist, unterstel­ jetzt auf die √2 an. Um die Vermutung zu erhärten, dass √2 _ len wir zunächst einmal das Gegenteil, nämlich, dass sich √2 als Bruch darstellen lässt: _ m √2 = __ n. Was kann man über m und n aussagen? 1. Die Variablen m und n bedeuten natürliche Zahlen, die wir (noch?) nicht kennen. 2. Der Bruch soll bereits so weit wie möglich gekürzt sein. 3. n kann nicht 1 sein, sonst wäre die Bruchzahl eine natürliche Zahl. Es gibt aber keine natürliche Zahl, die quadriert 2 ergibt. Jetzt quadrieren wir beide Seiten der Gleichung und wollen sehen, was passiert: _2 m2 ( √2 ) = __ n · _ √2 ist die Zahl, die quadriert 2 ergibt. Daraus folgt: m·m 2 = ______ n·n Was können wir aus dieser Gleichung folgern? m schon gekürzt war. 1. Den Bruch auf der rechten Seite kann man nicht kürzen, weil __ n

( )

2. Da n nicht 1 ist, steht auf der rechten Seite ein echter Bruch. Auf der linken Seite steht aber die natürliche Zahl 2. Das passt nicht zusammen. Die Gleichung ist also falsch. Warum ist_die Gleichung falsch? Weil die Annahme, von der wir ausgegangen sind, dass nämlich √2 eine Bruchzahl_ist, falsch war. Das Gegenteil ist richtig: √2 ist keine Bruchzahl.

Das zieht Folgen nach sich …

_

√2 kann nicht exakt als endlicher _ oder periodischer Dezimalbruch dargestellt werden. Die Dezimaldarstellung von √ 2 ist immer ein Näherungswert. Alle Zahlen, die Sie kennen, können als Bruch bzw. als endlicher oder periodischer De­ zimalbruch dargestellt werden. Es handelt sich also hier um eine neue Art von Zahlen. – In Lektion 1 wurden in einem Überblick über die Zahlenmengen, die in der Mathematik eine Rolle spielen, alle Ihnen _bis dahin bekannten Zahlen zu der Menge der rationalen _ Zahlen zusammengefasst. √2 gehört nicht dazu. √ 2 ist keine rationale Zahl. Viele Quadratwurzeln sind ebenfalls keine rationalen Zahlen. Man sagt: Sie sind irrational. – Die rationalen und die irrationalen Zahlen werden zu einer umfassenden Menge ver­ einigt. Man nennt sie die Menge der reellen Zahlen und bezeichnet sie mit R. Die Menge der rationalen Zahlen ist also eine Teilmenge der Menge der reellen Zahlen. – – –

90

_

√a als Zahlzeichen und als Rechenauftrag Wir haben gesehen: Eine Zahl, die quadriert a ergibt, kann _ man in vielen Fällen nicht als Dezimalzahl bzw. als Bruch darstellen, zum Beispiel √2 . Mit dem Taschenrechner oder durch Probieren erhält man immer nur Näherungswerte. Diese Näherungswerte reichen für die Praxis aus. In der Mathematik braucht man aber auch ein Zeichen _ für die exakte Zahl, √ a . So ist beispielswei­ die quadriert a ergibt. Dann benutzt man dafür das Wurzelzeichen _ se √2 ein Zeichen, ein Symbol, für eine Zahl – genauso wie ein Bruch ein Zeichen für eine 3. Zahl ist, zum Beispiel __ _ 4 √a wird aber häufig auch benutzt, um einen Rechenauftrag zu beschreiben: Suche die nichtnegative1 Zahl, die quadriert a ergibt. Man nennt diesen Vorgang „Wurzelziehen“ oder „Radizieren“. Das Wurzelziehen ist also die Umkehrung des Quadrierens. Beispiele: _ (1) √49 = 7, da 72 = 49.

__

__

(3) √6,25 = 2,5 , da 2,52 = 6,25.

(2) √1024 = 32, __ 4 = __ 2 , da (4) __ 9 3

√

da 322 = 1024. 2 2 = __ 4. __ 3 9

( )

8 8

Aufgaben zu 8.1 1. Berechnen Sie die Wurzeln ohne den Taschenrechner zu benutzen. __ _ _ im Kopf, _ _ __ b) √121 c) √169 d) √400 e) √0,16 f) √1,96 a) √49 2. Berechnen __ Sie: a) √36 x2

__

b) √ 0,04 v2

_

c) √u2 v4

___

d) √ a2 + 2ab + b2

3. Ein quadratischer Bauplatz, der 961 m2 groß ist, wird eingezäunt. Wie viel m Zaun sind erforderlich, wenn für die Einfahrt 4 m frei bleiben sollen? 4. Die Oberfläche eines Würfels ist 5400 cm2 groß. Wie lang sind seine Kanten?

8.2

Rechnen mit Quadratwurzeln In der Praxis beschafft man sich von Quadratwurzeln, die keine rationalen Zahlen sind, Näherungswerte und rechnet mit diesen Werten. Man muss sich aber bewusst sein, dass man nicht mit den exakten Werten arbeitet. Man kann aber auch mit den exakten Werten gewisse _ Rechnungen durchführen. Dann benutzt man die Wurzeldarstellung, zum Beispiel √ 2 , und formt Rechenausdrücke mit Wurzeln nach bestimmten Regeln, den sogenannten Wurzelgesetzen, um. Diese Regeln werden jetzt zusammengestellt.

1

„Nichtnegative Zahl“ heißt „positve Zahl oder Null“.

91

_2 ( √a ) = a _

(1) Für alle a ≥ 0 gilt:

√a2 = a

(2) Für alle a ≥ 0 gilt: (3) Für alle a ≥ 0, b ≥ 0 gilt: (4) Für alle a ≥ 0, b > 0 gilt:

_ _ _ __ √_ a a ___ = √__

__

√a · √b = √a · b √b

b

Ergänzende Anmerkungen: Zu (1): Dies ist nichts anderes als die Definition der Quadratwurzel, hier in Form einer Gleichung dargestellt. Die Forderung a ≥ 0 stellt sicher, dass unter der Wurzel kei­ ne negative Zahl steht. Zu (2): Diese Gleichung ergibt sich unmittelbar aus der Definition der Quadratwurzel. Zu (4): b darf nicht 0 sein, weil man durch 0 nicht dividieren kann.

Beispiele zu den Wurzelgesetzen:

__ 2

1. ( √3,57 ) = 3,57 Man muss hier die Quadratwurzel aus 3,57 nicht zuerst berechnen. Würde man es mit dem Taschenrechner tun, so erhielte man einen Näherungswert. Einige Taschenrech­ ner finden dann beim Quadrieren dieses Näherungswerts nicht wieder zu 3,57 zurück.

__

2. √8,452 = 8,45 Man kann natürlich zuerst 8,45 quadrieren und dann daraus die Wurzel ziehen. Dies umgeht man, wenn man die Formel (2) anwendet.

_

_

__

_

3. √3 · √ 12 = √3 · 12 = √ 36 = 6 _ _ _ Hier zeigt sich der Vorteil von Regel (3). √3 und √12 sind beide nicht rational. √ 36 ist _ aber eine natürliche Zahl, nämlich 6. Würde man mit dem Taschenrechner zuerst √ 3 _ und dann √12 bestimmen und die Näherungswerte multiplizieren, so kann es sein, dass der Taschenrechner nur einen Näherungswert für 6 ausgibt.

_

√_ 28 4. ____ =

___

√

28 = ___

__

√

4 = __ 2 __ 63 9 3 √63 2 „angenehmer“, zum Beispiel zum Weiterrechnen, als Auch hier ist die rationale Zahl __ 3 der Quotient zweier Näherungswerte.

Teilweises Wurzelziehen Manchmal lassen sich Rechenausdrücke durch geschicktes Anwenden der Wurzelgesetze vereinfachen. _ __Hier ein_Beispiel: _ √75 _______ √25 · 3 ______ 5 · √3 √ ____ = = = 3 5 5 5

92

_

Das Vereinfachen des Ausgangsbruchs zu √ 3 wurde möglich, weil man den Radikanden 75 in ein Produkt aus einer Quadratzahl und einer anderen Zahl zerlegt hat: 25 · 3; an­ schließend wurde das Wurzelgesetz (3) angewendet. Weitere Beispiele für eine solche Zerlegung und Vereinfachung: _ __ _ _ _ √360 = √36 · 10 = √36 · √10 = 6 · √10 _ _ _ _ √5v2 = √5 · √v2 = v · √5

__

___

_

_

_

√18ab2 = √9 · b2 · 2 · a = √9b2 · √2a = 3b · √2a

Eine solches Vorgehen nennt man teilweises Wurzelziehen. Beseitigen von Wurzeln im Nenner Bei algebraischen Umformungen können Wurzeln im Nenner lästig sein. Man kann eine Wurzel im Nenner beseitigen und dabei häufig den Term vereinfachen, indem man den Bruch geeignet erweitert und dann die Wurzelgesetze anwendet. Beispiele: _ _ _ _ _ 6_· √2_ ______ 6 · √2 6 · √2 6_ = _______ ___ = _ 2 = ______ = 3 · √2 Der ursprüngliche Bruch wurde erweitert mit √2 . 2 √2 √2 · √2 ( √2 )

_

_

_

a_· √ a_ ______ a · √a a · √a a_ = _______ ___ = _ 2 = ______ =

√a

√a · √a

( √a )

a

_

√a

_

Der ursprüngliche Bruch wurde erweitert mit √a .

Vorsicht, wenn unter dem Wurzelzeichen eine Summe oder eine Differenz steht Das Wurzelgesetz (3) verführt gelegentlich dazu, Summen oder Differenzen unter dem Wurzelzeichen wie Produkte zu behandeln. Ein Beispiel: __ √9 + 16 verführt dazu, aus 9 und 16 die Wurzel getrennt zu ziehen und die Ergebnisse anschließend zu addieren. __ Das _darf man nicht, wie folgende Rechnungen zeigen: √__ 9 + 16 = √_ 25 = 5 Richtig ist: _ √9 + 16 = √9 + √16 = 3 + 4 = 7 Falsch ist: Merke: Ist der Radikand einer Wurzel eine Summe (oder eine Differenz), so muss man zuerst die Summe (Differenz) ausrechnen und erst dann die Wurzel ziehen.

Aufgaben zu 8.2 1. Vereinfachen Sie durch Anwenden der Wurzelgesetze, ohne Benutzung des Taschenrech­ ners._ _ _ _ _ _ _ __ _ _ b) √ 27 · √3 c) √99 · √11 d) √10 · √14,4 e) √ 1,2 · √0,3 a) √8 · √2 __ _ _ _ _ _ √ √ √ √1,5 √ √ 0,68 3,6 3 ·_ 12 125 _ _ __ _ f) ____ g) _____ h) ______ i) _____ k) _________ √3 √5 √0,17 √10 √0,5

93

8 8

2. Lösen Sie zunächst die Klammer auf und vereinfachen Sie dann mit Hilfe der Wurzelgeset­ ze. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2 b) ( √27 – √3 ) · √12 c) ( √ 7 + √5 ) · ( √7 – √5 ) d) ( √18 + √8 ) a) ( √32 + √2 ) · √ 2 3. Vereinfachen Sie durch_ teilweises Wurzelziehen. _ _ b) √ 125 c) √98 a) √18 4. Beseitigen Sie die Wurzeln im Nenner. 1_ a) ___

√2

3_ b) ___

√6

5. Vereinfachen möglich. __ Sie, wenn__ b) √ 64 + 36 a) √ 25 – 9

8.3

4_ c) ___

√8

___

c) √169 – 144

_

__

d) √16x

e) √25z3

_

_

√_ 3 d) ___

√2 6 ·_ e) ______

√2

√3

__

d) √32 + 42

__

e) √a2 + b2

Quadratische Gleichungen Eine quadratische Gleichung – was ist das? Die Antwort ist einfach: Wenn in einer Gleichung die Lösungsvariable – man nennt sie in der Regel x – im Quadrat vorkommt, dann ist dies eine quadratische Gleichung. Beispiele: 5x2 – 3x = 15 16x + 9 = 2x2 14 – 5x + 2 = 4x2 + 24 3 (2x –18) = 45 – x2 Gegenbeispiel: 9x – 14 = 7x + 26 ist keine quadratische Gleichung, weil an keiner Stelle x2 auftritt. In Lektion 4 haben wir eine solche Gleichung lineare Gleichung genannt. Häufig führen Anwendungsaufgaben, vor allem in der Geometrie, auf quadratische Gleichungen. Beispiel: Von einem Quader mit einer Höhe von 5 cm und quadratischer Grund­ fläche weiß man, dass diese Grundfläche 14 cm2 größer ist als eine seiner Seiten­ flächen. Wie groß ist die Seitenlänge der Grundfläche?

5 cm

x

x

Die gesuchte Größe nennen wir x. Dann ist x2 die Größe der Grundfläche und 5x die Größe einer Seitenfläche. Zur Größe der Seitenfläche muss man 14 cm2 addieren, um die Größe der Grundfläche zu erhalten. Wie findet man x? Also gilt: 5x + 14 = x2.

94

Ein Verfahren zur Lösung von quadratischen Gleichungen soll im Folgenden schrittweise entwickelt werden.

Lösen einer reinquadratischen Gleichung Die einfachsten Gleichungen enthalten nur Terme mit x2 und Konstante. Man nennt sie reinquadratische Gleichungen. Beispiele: 1. x2 = 81 Gesucht sind alle Zahlen2, die diese Gleichung erfüllen – nicht nur die positiven. Man sieht sofort, dass außer 9 auch –9 Lösung der Gleichung ist. Die Lösungsmenge ent­ hält also zwei Elemente: L = {–9 ; 9}. 2. x2 = 0 Gesucht sind wieder alle Zahlen, die diese Gleichung erfüllen. Hier gibt es nur eine Lösung, nämlich 0. Das heißt: L = {0}. 3. x2 = –4 Hier erkennt man schnell, dass es keine Zahl gibt, die quadriert –4 ergibt. Die Lösungs­ menge ist also leer: L = { }. 4. x2 = 5 Mit dieser Gleichung wird nach allen (reellen) Zahlen gefragt, die quadriert 5 ergeben. Man überlegt sich leicht, dass es keine rationalen Zahlen gibt, die diese Bedingung erfüllen._ In Abschnitt _ 8.1 wurde für die positive Zahl, die quadriert 5 ergibt, das Zei­ chen √5 eingeführt. √5 ist also eine Lösung der reinquadratischen _ Gleichung. Es gibt aber auch hier eine zweite, nämlich die negative Gegenzahl: _ _– √5 . Daraus folgt: Die Lösungsmenge besteht hier aus zwei Elementen: L = {– √ 5 ; √5 }. In der Mathematik lässt man diese Lösungen mit dem Wurzelzeichen stehen. Nur in _ Anwendungsaufgaben wird man für √ 5 einen (rationalen) Näherungswert bestimmen. Die Lösungsmenge würde dann heißen: {–2,236; 2,236}.

Lösen einer allgemeinen quadratischen Gleichung In einer allgemeinen quadratischen Gleichung treten Terme mit x2, mit x und Konstante auf. Solche Gleichungen werden mit einer „quadratischen Ergänzung“ (siehe Lektion 3) oder mit Hilfe einer Formel gelöst. Die Verfahren werden jetzt schrittweise hergeleitet.

2

Unter Zahlen werden, wenn nicht anders angegeben, im Folgenden immer reelle Zahlen verstanden.

95

8 8

Schritt 1: Anwenden einer binomischen Formel Beispiel: x2 – 10x + 25 = 16 Um diese Gleichung zu lösen, wenden wir einen „Trick“ an, der sich hier anbietet. Die linke Seite lässt sich nämlich durch eine binomische Formel umformen: Statt x2 – 10x + 25 kann man auch (x – 5)2 schreiben. Die Gleichung heißt dann: (x – 5)2 = 16 Diese Gleichung sieht einer reinquadratischen sehr ähnlich. Das wird noch deutlicher, wenn man vorübergehend x – 5 durch u ersetzt: u2 = 16. Dies ergibt zwei Lösungen: u = 4 oder u = –4 Setzt man für u wieder den Term x – 5 ein, so ergibt sich: x – 5 = 4 oder x – 5 = –4 Daraus folgt: x = 9 oder x=1 Die Lösungsmenge enthält also die zwei Elemente: L = {9 ; 1}. 2) 12 – 10 + 25 = 16 Die Probe ergibt: 1) 92 – 90 + 25 = 16 Schritt 2: Quadratische Ergänzung (siehe Lektion 3) Natürlich konnten wir den „Trick“ mit der binomischen Formel nur anwenden, weil die gegebene Gleichung dies so schön nahelegte. Für andere quadratische Gleichungen gibt es aber einen zweiten „Trick“, den man quadratische Ergänzung nennt und der es möglich macht, anschließend mit den binomischen Formeln zu arbeiten wie oben. Beispiel: x2 + 14x + 13 = 0

x2 + 14x

= –13

x2 + 14x + 49 = –13 + 49

(x + 7)2 = 36 x + 7 = 6 oder x + 7 = –6 x = –1 oder x = –13

Damit auf der linken Seite eine binomische Formel ange­ wendet werden kann, muss zunächst einmal auf beiden Seiten 13 subtrahiert werden. Nun wird auf beiden Seiten 49 addiert, damit auf der linken Seite eine binomische Formel angewendet werden kann. Man nennt dieses Addieren einer geeigneten Zahl „quad­ ratische Ergänzung“. Jetzt wird auf der linken Seite die 1. binomische Formel angewendet.

Daraus folgt:

L = {–1 ; –13}.

Schritt 3: Erstellen einer Lösungsformel für x2 + px + q = 0 Am einfachsten löst man eine quadratische Gleichung mit Hilfe einer Lösungsformel. Es ist ein sicherer Weg, wenngleich auch nicht immer der eleganteste. Jede quadratische Gleichung lässt sich durch algebraische Umformungen auf die Form bringen: x2 + px + q = 0. Beispiele hierfür finden Sie nach der Herleitung der Formel. Der in Schritt 2 an konkreten Beispielen beschriebene Weg zur Lösung einer quadrati­ schen Gleichung über die quadratische Ergänzung wird jetzt auf den allgemeinen Fall übertragen.

96

x2 + px + q = 0

x2 + px

( )

=–q

( ) ( __p2 ) ( ) ( __p2 )

p2 x2 + px + __ = 2 2 p x + __ = 2 p x + __ = 2

Damit auf der linken Seite eine binomische Formel angewen­ det werden kann, muss zunächst einmal q auf beiden Seiten subtrahiert werden. p2 Nun wird auf beiden Seiten __ addiert, damit auf der linken 2 Seite eine binomische Formel angewendet werden kann.

2

2

–q

Jetzt wird die 1. binomische Formel angewendet.

–q

Analog zu den Zahlenbeispielen oben ergeben sich jetzt zwei Lösungen.

_______

√( )

p2 __ – q oder 2

p x + __ = – 2

________

√ ( p2 ) – q __

2

p Subtrahiert man auf beiden Seiten __ , so erhält man die gewünschte Lösungsformel. 2 Um eine quadratische Gleichung, die in der Form x2 + px + q = 0 vorliegt, zu lösen, kann man folgende Formel anwenden. p x1 = – __ + 2

_______

√( 2 ) p __

2

p x2 = – __ – 2

–q

_______

√( p2 ) – q __

2

Je nachdem, ob der Radikand eine positive Zahl, null oder eine negative Zahl ist, enthält die Lösungsmenge zwei Elemente, ein oder kein Element. In Formelsammlungen schreibt man als Lösungsformel oft auch abkürzend: x1,2

_______

√( p2 ) – q

p = – __ ±

__

2

2

1. Beispiel: x2 + 4x – 21 = 0 Hier ist p = 4 und q = –21. ___________

4+ x1 = – __ 2

( 2 ) – (–21) √__ 4 __

2

x1 = –2 + √4 + 21 x1 = –2 + 5 x1 = 3

___________

4– x2 = – __ 2

_______

2

√( 2 ) 6 __

2

–4

__

__

2

x2 = –2 – √4 + 21 x2 = –2 – 5 x2 = –7

2. Beispiel: x2 + 6x + 4 = 0 Hier ist p = 6 und q = 4. 6+ x1 = – __

( 24 ) – (–21) √__

_______

6– x2 = – __ 2

√( __26 )

2

–4

__

x1 = –3 + √9 – 4

x2 = –3 – √ 9 – 4

x1 = –3 + √5

x2 = –3 – √5

_

L = {3; –7}

_

_

_

L = {–3 + √ 5 ; –3 – √ 5 }

97

8 8

Wichtiger Hinweis: _ Summen aus einer rationalen Zahl und einer irrationalen _ Zahl, z. B. –3 + √5 , kann man nicht weiter vereinfachen – es sei denn, man wählt für √5 einen rationalen Näherungswert. Da man _ aber oft mit dem exakten Wert weiterrechnen möchte, z. B. bei einer Probe, gilt –3 + √5 als Lösung. Beispiel für die Probe mit einer solchen Lösung:

_2 _ ( –3 + √5 ) + 6 · ( –3 + √5 ) + 4 = 0 _ _

_

–3 + √ 5 wurde für x eingesetzt.

_2

Auf ( –3 + √ 5 ) wurde die 1. binomi­ sche Formel angewendet.

9 + 2 · (–3) · √5 + 5 + (–18) + 6 · √5 + 4 = 0

_

_

9 – 6 · √5 + 5 – 18 + 6 · √5 + 4 = 0

Der Term auf der linken Seite ergibt 0.

3. Beispiel: x2 – 8x + 17 = 0 Hier ist p = –8 und q = 17. _________

–8 + x1 = – ___ 2

√( 2 ) __ –8 ___

2

– 17

_________

–8 – x2 = – ___ 2

( –82 ) – 17 √__ ___

2

x1 = +4 + √16 – 17

x2 = +4 – √ 16 – 17

x1 = +4 + √–1

x2 = +4 – √ –1

_

_

L={}

4. Beispiel: 4x2 + 16x – 20 = 0 Diese Gleichung hat nicht die Form x2 + px + q = 0, weil bei x2 der Faktor (Koeffizient) 4 steht. Man muss zunächst die ganze Gleichung durch 4 dividieren. x2 + 4x – 5 = 0 Jetzt kann man p und q ermitteln: p = 4 und q = –5. _________

4+ x1 = – __ 2

( 2 ) – (–5) √__ 4 __

2

_________

4– x2 = – __ 2

( 24 ) – (–5) √__ __

2

x1 = –2 + √4 + 5

x2 = –2 – √ 4 + 5

x1 = 1

x2 = –5

L = {1; –5}

5. Beispiel: 15x + 6 = –12 + 30x – 3x2 Diese Gleichung hat noch nicht die Form x2 + px + q = 0. Man muss sie zunächst so umformen, dass auf der rechten Seite 0 steht und der Koeffizient von x2 gleich 1 ist. x2 – 5x + 6 = 0 Jetzt kann man die Lösungsformel anwenden. x2 = 3 L = {2; 3} x1 = 2

98

Eine Lösungsformel für ax2 + bx + c = 0 In Schulbüchern wird häufig eine zweite Lösungsformel angeboten. Sie geht von der Form ax2 + bx + c = 0 aus. Der Vorteil dieser Lösungsformel ist, dass man nicht durch den Ko­ effizienten a von x2 dividieren muss, ehe man die Formel anwendet. Ein Nachteil ist, dass man sie sich schwerer merken kann. Man bezeichnet die Formeln oft kurz als pq­Formel bzw. abc­Formel. Sie sollten sich für eine der beiden Formeln entscheiden und diese dann konsequent anwenden. Um eine quadratische Gleichung, die in der Form ax2 + bx + c = 0 vorliegt, zu lösen, kann man folgende Formel anwenden.

__

__

–b – √ b – 4ac x1 = ______________

–b + √b – 4ac x1 = ______________ 2

2

2a

2a

Unter Rückgriff auf die Formel für x2 + px + q = 0 wird diese Formel jetzt hergeleitet. ax2 + bx + c = 0 b x + __ c x2 + __ a a=0

Division durch a b und q = __ c p = __ a a

________

b ± x1,2 = – ___ 2a

√( 2ab ) – ac ___

2

__

__

–b ± √b2 – 4ac x1,2 = ______________ 2a Beispiel:

8 8

Umformungen der Wurzel:

__ __ 2 √b2 _ √b2 – 4ac – 4ac _________ b – __ c = ____ b2 – ____ 4ac = _________ ___ = a 2a 2a 4a2 4a2 √4a2

________

√( )

_________

√

Dies ist die gesuchte zweite Formel.

3x2 + 12x – 15 = 0 Hier ist a = 3, b = 12 und c = – 15.

____

____

–12 + √12 – 4 · 3 · (–15) x1 = ______________________

–12 – √12 – 4 · 3 · (–15) x2 = ______________________

x1 = 1

x2 = –5

2

2·3

2

2·3

L = {1; –5}

99

Aufgaben zu 8.3 1. Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender quadratischer Gleichungen. b) x2 + 4x + 3 = 0 c) x2 – 2x + 2 = 0 a) x2 – 10x + 16 = 0 2 2 e) x – 0,5x – 0,24 = 0 d) x – 3x + 2,25 = 0 2. Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender quadratischer Gleichungen. b) 21x2 + 28x – 105 = 0 a) 3x2 + 15x – 72 = 0 2 d) 36x2 – 24x + 13 = 0 c) 9x – 30x + 25 = 0 2 2 f) (8 + x) (2,5 + 4x) = 20 – 13,5x e) 16x + 74x + 81 = 76 – 9x + 24x – 16 g) 2 (x – 5) (3 + x) = –4 (x + 3) h) (3x – 4)2 – (4x – 3)2 + (5x – 2)(5x + 2) = 18 (x + 2) + 3 3. Dividiert man 7,2 durch eine Zahl, so erhält man genau so viel, wie wenn man die Zahl von 7,2 subtrahiert. 4. Ein Spiegel von 60 cm Länge und 40 cm Breite soll mit einem überall gleich breiten Holzrahmen (im Bild blau) versehen wer­ den. Aus optischen Gründen soll die Rah­ menfläche genau so groß wie die Spiegel­ fläche sein. Wie breit muss der Rahmen werden?

Wiederholungsaufgaben 1. Berechnen Sie die Wurzeln ohne den Taschenrechner zu benutzen. __ _ _ im Kopf, __ _ __ b) √ 256 c) √ 8100 d) √104 e) √ 0,09 f) √1,21 a) √64 2. Geben Sie einen Term an, der quadriert den Radikanden __ __ _ ergibt. b) √0,01v2 c) √ a2 b4 a) √144x2 3. Vereinfachen Sie durch Anwenden der Wurzelgesetze. __ _ _ __ __ √0,48 ______ _ √ √ √ √ a) 18 · 2 b) 0,16 · 2,25 c) √3 4. Vereinfachen Sie durch teilweises Wurzelziehen. _ _ 27 b) √__ 50 a) √__ e) √ 20ab2 (a, b > 0) d) √200y2 (y > 0)

___

d) √ x2 + 8x + 16

__

√16,2 __ d) ______ √0,05

_

c) √288

5. Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender quadratischer Gleichungen. b) 2x2 – 3x – 5 = 0 a) x2 – 8x – 20 = 0 2 d) 4x2 – 12x + 10 = 3x2 – 16x c) –10x + 6 = 3x 2 f) x (3x – 7) = (x + 2)2 + x – 4 e) 2x (x + 1,5) = x – 2,25 2 g) (3x + 5) – x (7x – 3) = 29x + 45

100

9.

Quadratische Funktionen

Vor der Sendung Nachdem Sie sich in der letzten Lektion mit quadratischen Gleichungen beschäftigt haben, stehen nun quadratische Funktionen zur Diskussion. In Lektion 7 wurde erklärt, was man in der Mathematik allgemein unter einer Funktion versteht. Am Beispiel der linearen Funktionen wurde dies vertieft. Grundlage für ein erfolgreiches Bearbeiten der quadratischen Funktionen sind folgende Kenntnisse: − In der Mathematik wird unter einer Funktion eine Zuordnung verstanden, die bestimmte Bedingungen erfüllt. Näheres finden Sie in Lektion 7. − Gleichungen mit zwei Variablen können dazu dienen, Funktionen zu beschreiben. Eine solche Gleichung heißt Funktionsgleichung. − Funktionen lassen sich im Koordinatensystem veranschaulichen. Eine solche Darstellung einer Funktion nennt man Funktionsgraph. Wenn Ihnen diese Kenntnisse nicht geläufig sind, sollten Sie vor Bearbeitung des Themas „quadratische Funktionen“ die entsprechenden Abschnitte von Lektion 7 wiederholen.

Übersicht 1.

Ein konkretes Sachproblem führt zur Definition einer quadratischen Funktion, zur charakteristischen Form des Graphen einer quadratischen Funktion, der Parabel, und zeigt die Bedeutung des Scheitelpunkts einer Parabel.

2.

Das Verständnis für den Zusammenhang zwischen einer Funktionsgleichung und der zugehörigen Parabel wird schrittweise aufgebaut. Die Normalparabel wird in x-Richtung und in y-Richtung verschoben. Dabei wird der Begriff Scheitelpunktform der Funktionsgleichung einer verschobenen Normalparabel eingeführt.

3.

Die beiden Gleichungsformen y = (x – d)2 + e und y = x2 + bx + c einer quadratischen Funktion werden miteinander verglichen. Im Mittelpunkt steht die Umwandlung einer der beiden Formen in die jeweils andere.

4.

Im letzten Abschnitt wird untersucht, welche Auswirkungen ein Faktor a ≠ 1 vor dem quadratischen Term in der allgemeinen Funktionsgleichung y = ax2 + bx + c bzw. y = a (x – d)2 + e auf die Parabel hat. Die Graphen werden gestreckt, gestaucht oder gespiegelt.

101

9 9

9.1

Einführung der quadratischen Funktionen Einführungsbeispiel In einer Tuchfabrik werden weiße Stoffqua1m 1m drate von 1 m Seitenlänge bedruckt. Sie sollen nach beiliegenden Mustern in zwei blaue Quadrate und zwei weiße Rechtecke aufgeteilt werden. Die Seitenlängen der blauen Quadrate stehen noch nicht fest. Der Designer behauptet, dass die Kosten für den Druck davon abhängen, wie groß die Fläche ist, die blau eingefärbt werden soll. Gegenargument eines Mitarbeiters: „Die beiden blauen Flächen zusammen haben immer die gleiche Größe. Macht man das eine blaue Quadrat größer, wird dafür das andere kleiner und umgekehrt.“ – Stimmt das? Schon ein Überschlag zeigt, dass der Mit1m 1m arbeiter unrecht hat. Im links dargestellten Tuch beträgt die blaue Fläche: 0,82 m2 + 0,2 2 m2 = 0,68 m2. Im rechts dargestellten Tuch beträgt die blaue Fläche: 0,8 m 0,6 m 0,62 m2 + 0,4 2 m2 = 0,52 m2. Folgende Frage soll uns nun beschäftigen: Wie groß muss die Seitenlänge des blauen Quadrats links oben sein, damit die blaue Fläche (insgesamt) möglichst klein wird? Eines ist jetzt schon klar: Der Flächeninhalt des blau eingefärbten Teils hängt ab von der Seitenlänge eines der blauen Quadrate. Es liegt also eine Funktion vor. In Lektion 7 haben Sie gesehen, dass man vielfach eine Funktion durch eine Gleichung mit zwei Variablen beschreiben kann. Wir suchen für unseren Sachverhalt eine passende Funktionsgleichung. Wir nehmen an, dass wir die Seite des x Quadrats links oben variieren und nennen 1–x Sie deshalb x. Dann beträgt die Gesamtx fläche y der zwei blauen Quadrate: 1–x y = x2 + (1 – x) 2. Auflösen der Klammer ergibt: 1 y = 2x2 – 2x + 1. Man nennt eine solche Funktion quadratisch, weil in dem Funktionsterm x2 vorkommt. Allgemein gilt: Eine Funktion, deren Funktionsgleichung auf folgende Form gebracht werden kann, heißt quadratische Funktion: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)

102

Graphen quadratischer Funktionen Man verschafft sich – wie Sie wissen – einen anschaulichen Eindruck von einer Funktion, wenn man ihren Graphen in einem Koordinatensystem darstellt. Wer über einen grafikfähigen Taschenrechner verfügt, hat es leicht. Man gibt die Funktionsgleichung ein und lässt sich den Graphen anzeigen. Ein Weg, der auch ohne grafikfähigen Taschenrechner sicher zum Graphen führt, ist das Erstellen einer Wertetabelle. Im Folgenden sind für die Funktion y = 2x2 – 2x + 1 eine Wertetabelle und der zugehörige Graph dargestellt. y

0

1

1

1

2

5

3

13

–1

5

–2

13

–3

25

Der Graph ist charakteristisch für quadratische Funktionen. Sie sind symmetrisch zu einer Parallelen zur y-Achse.

5

y

4 3 2 1

Symmetrieachse

x

Scheitelpunkt x

–2

–1

0

1

2

3

Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel. Der Schnittpunkt der Parabel mit ihrer Symmetrieachse heißt Scheitelpunkt der Parabel. Lösung des Einführungsbeispiels Die Frage in unserem Einführungsbeispiel lässt sich jetzt am Graphen beantworten. Die blaue Gesamtfläche in dem Muster wurde mit y bezeichnet, die Seitenlänge des Quadrats links oben mit x. y Die Länge x ist natürlich größer als 0 und 1 muss kleiner als 1 sein. Das Tuch ist ja insgesamt nur 1 m breit. Deshalb benötigen wir von dem Graphen nur den Bereich 0,5 0 ≤ x ≤ 1. Wir nannten dies in Lektion 7 die x Definitionsmenge. 0 –1 –0,5 0,5 1 1,5 Wo wird y am kleinsten? y wird am kleinsten, wenn x = 0,5 ist. Daraus ergibt sich: Wenn die beiden blauen Quadrate gleich groß sind, das heißt, jedes eine Seitenlänge von 50 cm hat, dann wird die blaue Gesamtfläche am kleinsten; anders ausgedrückt: In diesem Fall wird am wenigsten Farbe benötigt.

103

9 9

Aufgaben zu 9.1 1. Welche der folgenden Funktionen sind quadratische Funktionen? Geben Sie bei den quadratischen Funktionen an, welche Werte a, b und c haben. c) y = 8x2 +12x + 2x3 d) y = x2 + 4 a) y = 3x2 + 7 + 5x b) y = x2 – 3x – 1 x2 + 2x + 3 1 e) y = (x + 1)2 f) y = x + 42 g) y = __ h) y = __________ 2 3 x 2. Beschaffen Sie sich zum Lösen folgender Aufgabe den Graphen der Funktion, zum Beispiel indem Sie eine Wertetabelle erstellen und den Graphen zeichnen. Für welchen Wert x nimmt die Funktion y = 2x2 – 4x + 4 ihren kleinsten y-Wert an? Wie groß ist dieser?

9.2

Die Normalparabel und ihre Verschiebungen in x- und y-Richtung Im Folgenden werden die quadratischen Funktionen genauer untersucht. Insbesondere interessiert, wie sich die Wahl von a, b und c in der Gleichung einer quadratischen Funktion auf Lage und Form der zugehörigen Parabel auswirkt. Wir beginnen mit der einfachsten Gleichung einer quadratischen Funktion. Der Graph der Funktion y = x2

5

2

Rechts ist der Graph der Funktion y = x abgebildet. Er heißt Normalparabel. Die Normalparabel hat folgende Eigenschaften: − Ihr Scheitelpunkt liegt im Ursprung. Er ist der tiefste Punkt der Parabel. − Die Normalparabel ist symmetrisch zur y-Achse. − Sie ist nach oben geöffnet. Verschiebung in y-Richtung Jetzt wird die Normalparabel in y-Richtung verschoben. Zu jedem y-Wert von y = x2 wird eine bestimmte Zahl e addiert. Die Funktionsgleichung der verschobenen Normalparabel heißt also: y = x2 + e. Da die Normalparabel im Bild (rechts) um 1 Einheit nach oben verschoben wurde, heißt ihre Funktionsgleichung hier: y = x2 + 1. Wenn e negativ ist, wird die Normalparabel in y-Richtung nach unten verschoben.

104

y

4 y = x2

3 2 1

–3

–2

–1

x

0

5

1

2

3

y

4 3

y = x2 + 1

2 1

–3

–2

–1

0

x 1

2

3

Verschiebung in x-Richtung Jetzt wird die Normalparabel in x-Richtung verschoben. Als Beispiel wählen wir eine Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts (siehe Bild). Wie sieht die zugehörige Funktionsgleichung aus?

4 y = x2

y y = (x – 2)2

3

2 Man kann es sich leicht machen, wenn man Folgendes bedenkt: Sucht man den 1 y-Wert zu einem bestimmten x-Wert, zum Beispiel zu x = 3,5, so findet man ihn, x wenn man um 2 Schritte nach links zur 0 –2 –1 1 2 3 4 Normalparabel geht, also zu x = 1,5. Der gesuchte y-Wert ist y = 2,25. Das heißt: Der y-Wert zu x = 3,5 lässt sich so berechnen: y = (3,5 – 2)2. Das gilt für alle Punkte der verschobenen Normalparabel: Der y-Wert zu einem beliebigen x-Wert lässt sich so berechnen: y = (x – 2)2. Eine nochmalige Verallgemeinerung ergibt: Die Gleichung einer um d Einheiten in x-Richtung verschobenen Normalparabel lautet: y = (x – d)2.

Wenn die Normalparabel nach links verschoben wird, ist d negativ.

9 9

Beispiel: Eine um 4 Einheiten nach links verschobene Normalparabel hat die Gleichung: y = (x – (–4))2; das heißt: y = (x + 4)2.

Verschiebung in x- und y-Richtung Wenn man die in x-Richtung verschobene Normalparabel nun auch noch um e Einheiten in y-Richtung verschiebt, muss – wie Sie oben gesehen haben – in der Funktionsgleichung ein Summand e addiert werden. Die Gleichung einer um d Einheiten in x-Richtung und um e Einheiten in y-Richtung verschobenen Normalparabel lautet: y = (x – d)2 + e.

4

y

3 2 1

e x

–2

–1

0

1

2

3

4

d

Am Graphen kann man sehen, dass der Scheitelpunkt der zu dieser Gleichung gehörenden Parabel folgende Koordinaten hat: S ( d | e). Man nennt diese Form der Gleichung einer quadratischen Funktion: Scheitelpunktform.

105

Ablesen der Scheitelpunktkoordinaten aus der Scheitelpunktform Beim Ablesen der Scheitelpunktkoordinaten aus der Scheitelpunktform werden häufig Vorzeichenfehler gemacht. Zur Vermeidung solcher Fehler folgende Beispiele: 1. Wie lauten die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel, die durch folgende Gleichung gegeben ist: y = (x + 3)2 – 5 ? Antwort: Die gegebene Funktionsgleichung muss erst auf die Form y = (x – d)2 + e gebracht werden. y = (x – (–3))2 + (–5) Jetzt kann man ablesen: S (– 3 | –5). 2. Wie wurde die Normalparabel verschoben, wenn die Gleichung der verschobenen Parabel y = (x + 1)2 + 2 heißt? Antwort: Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S (– 1 | +2). Die Normalparabel wurde also um 1 Einheit nach links und um 2 Einheiten nach oben verschoben.

Aufgaben zu 9.2 1. Eine Normalparabel wurde verschoben a) um 2 Einheiten nach oben. b) um 5 Einheiten nach rechts. c) um 1 Einheit nach rechts und um 4 Einheiten nach unten. d) um 7 Einheiten nach oben und um 2 Einheiten nach links. Wie lautet jeweils die Gleichung der verschobenen Parabel in Scheitelpunktform? 2. Wie sind die folgenden Parabeln aus der Normalparabel entstanden? b) y = (x – 3)2 – 6 c) y = x2 + 5 a) y = (x – 4)2 + 1 e) y = (x + 9)2 + 9 f) y – 4 = (x – 8)2 d) y = (x + 5)2 3. Wie lauten die Funktionsgleichungen folgender Parabeln? a) b) c) y y 4 6 3 5 2

–1 0 –1 –2 –3

106

x 1

2

3

4

5

3

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1

2

–3 –2 –1 0 –1

2 1

3 1

4

1

y

x

–2 –3 –4

x 1

2

3

9.3

Vergleich von y = (x – d)2 + e und y = x2 + bx + c In der Regel sind die Funktionsgleichungen von verschobenen Normalparabeln nicht in der Scheitelpunktform gegeben, sondern in der Form y = x2 + bx + c (siehe Abschnitt 9.1). Wie hängen y = x2 + bx + c und y = (x – d)2 + e zusammen? Umwandeln der Form y = x2 + bx + c in die Scheitelpunktform y = (x – d)2 + e Wenn die Koordinaten des Scheitelpunkts gesucht sind, die quadratische Funktion aber in der Form y = x2 + bx + c gegeben ist, muss man diese in die Scheitelpunktform umformen. Dies geschieht mit Hilfe einer quadratischen Ergänzung1 und anschließender Anwendung der 1. binomischen Formel. Beispiel

allgemein

2

y = x + 4x + 9

y = x2 + bx + c

Die quadratische Ergänzung erfolgt, indem eine passende Zahl addiert wird. Damit sich der Wert des Terms nicht ändert, wird dieselbe Zahl sofort wieder subtrahiert. 2 b Die passende Zahl ist hier: 4 Die passende Zahl ist hier: __ 2

( )

( ) ( ) 2

y = x2 + 4x + 4 – 4 + 9

b – __ b y = x2 + bx + __ 2 2

y = [x2 + 4x + 4] + 5

b y = x2 + bx + __ 2

y = (x + 2)2 + 5 y = (x – (–2)) + 5 2

F

Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten: S (–2 | 5 ).

+c

( ) G – ( __b2 ) + c b – __ b +c y = ( x + __ 2) (2) b + – __ b +c y = ( x – ( – __ ( ) ( 2 )) 2) 1223445 12222222344444245 2

2

2

9 9

2

2

2

d

Man liest ab: d = –2; e = 5

2

e

( )

2

b +c b ; e = – __ Man liest ab: d = – __ 2 2 Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten: 2 b – __ b +c . S – __ 2 2

( |() )

Umwandeln der Scheitelpunktform y = (x – d)2 + e in die Form y = x2 + bx + c Von der Scheitelpunktform kommt man ganz leicht zur allgemeinen Form, indem man die Klammer mit Hilfe der zweiten binomischen Formel auflöst und zusammenfasst. Beispiel y = (x – 3)2 + 4 Der Scheitel hat die Koordinaten: S(3|4). y = x2 – 6x + 9 + 4 y = x2 – 6x + 13 Man liest ab: b = –6; c = 13 1

allgemein y = (x – d)2 + e Der Scheitel hat die Koordinaten: S(d|e). y = x2 – 2dx + d2 + e 1223445

12222344245

b c Man liest ab: b = –2d;

c = d2 + e

Auch in Lektion 8 wurde mit der quadratischen Ergänzung gearbeitet (siehe Abschnitt 8.3).

107

Aufgaben zu 9.3 1. Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel. b) y = x2 + 8x + 13 a) y = x2 + 4x + 1 2 d) y = x2 – 4x c) y = x – 3x + 0,75 2. Wie sind die folgenden Parabeln aus der Normalparabel entstanden? b) y = x2 + 10x – 13 a) y = x2 – 4x + 7

9.4

Die allgemeine quadratische Funktion In Abschnitt 9.1 wurde die Funktionsgleichung einer allgemeinen quadratischen Funktion angegeben: y = ax2 + bx + c. In den bisherigen Ausführungen war immer a = 1. Jetzt werden die Fälle untersucht, bei denen a ≠ 1 ist. Dies führt zu einer Formänderung der Normalparabel. Der Graph der Funktion y = ax2 (a > 0) Streckung/Stauchung in y-Richtung

y

y = 2x2

y = x2

4

Wie verändert sich die Normalparabel, wenn der Koeffizient bei x2 eine beliebige positive reelle Zahl ist? Am Beispiel y = 2x2 sieht man, dass alle y Werte verdoppelt werden. Das heißt, die Normalparabel wird im Fall a > 1 gestreckt. Im Fall a < 1 wird sie gestaucht, wie das Beispiel y = 0,3x2 zeigt.

3 2 1

y = 0,3x2 x

–3

–2

–1

0

Der Graph der Funktion y = –x2 Spiegelung an der x-Achse In der Funktionsgleichung y = ax2 ist jetzt der Koeffizient a = –1. Der Graph entsteht aus der Normalparabel durch Spiegelung an der x-Achse. − Die Parabel ist nach unten geöffnet. − Ihr Scheitelpunkt liegt ebenfalls im Ursprung. Er ist der höchste Punkt der Parabel. − Die Parabel ist wie die Normalparabel symmetrisch zur y-Achse.

108

1

2

y –3

–2

–1

0 –1 –2 –3 –4

x 1

2 y = –x2

3

Der Graph der Funktion y = ax2 (a < 0; a ≠ –1) Spiegelung und Streckung/Stauchung Der Koeffizient von x2 ist jetzt negativ, aber von –1 verschieden, zum Beispiel y = –3x2. Wegen des negativen Vorzeichens von a wurde die Normalparabel an der x-Achse gespiegelt. Weil a < –1, wurde sie zusätzlich in y-Richtung gestreckt.

3 y y = x2

1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1

3

4

5

–4

Beispiel

Die Normalparabel wird …

a>1

a=3

… gestreckt.

0 5? Ersetzt man y durch den Term –x2 + 6x, so erhält man eine quadratische Ungleichung: –x2 + 6x > 5 .

7

An der zugehörigen Parabel kann man ab­ lesen, dass alle x­Werte zwischen 1 und 5 diese Bedingung erfüllen, also möglich sind. Wenn x < 1 oder x > 5 ist, sind die y­Werte kleiner als 5.

2

6 5 4 3 1 –3 –2 –1 0 –1

x 1

2

3

4

5

6

7

8

Häufig werden die quadratischen Ungleichungen, analog zu den quadratischen Gleichun­ gen, in der Form ax2 + bx + c > 0 oder ax2 + bx + c < 0 gegeben oder auf eine dieser Formen gebracht. Dazu jetzt noch ein Beispiel.1

1

Für x und y wird die Menge der reellen Zahlen zu Grunde gelegt.

123

10

x2 + 2x – 3 < 0 Man zeichnet den Graphen der Funktion y = x2 + 2x – 3 und liest am Graphen ab, für welche x­Werte y < 0 ist. Diese x­Werte bilden die Lösungsmenge der Ungleichung. L = {x | –3 < x < 1} Aus dem Graphen kann man auch able­ sen, dass die Ungleichung x2 + 2x – 3 > 0 von allen x­Werten erfüllt wird, die kleiner als –3 oder größer als +1 sind. Die y­Werte sind in diesen Bereichen größer als 0. L = {x | x < –3 oder x > 1}

3

y

2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1

x 1

2

3

4

–2 y = x2 + 2x – 3

–3 –4

Aufgaben zu 10.5 Bestimmen Sie graphisch die Lösungsmengen folgender Ungleichungen. b) –x2 + 4 > 0 c) x2 – 3x – 4 > 0 a) x2 – 2x < 0

Wiederholungsaufgaben 1. Entscheiden Sie jeweils, ob die Geraden parallel sind oder nicht, und geben Sie ggf. die Koordinaten des Schnittpunkts an. a) y = 3x – 1 – x b) y = – x + 4 c) y = 2x – 6 y = 2x – 2 y = 2x + 4 y = –x – 9 2. Entscheiden Sie jeweils, ob die Parabel und die Gerade sich schneiden, berühren oder ob sie aneinander vorbeilaufen, und geben Sie ggf. die Koordinaten der Schnittpunkte bzw. des Berührpunkts an. b) y = x2 – 6x – 18 c) y = –x2 + 3x + 6 a) y = –4x2 – 5x + 5 y = 3x – 7 y = –10x – 22 y=x+3 3. Entscheiden Sie jeweils, ob die zwei Parabeln sich schneiden, berühren oder ob sie an­ einander vorbeilaufen, und geben Sie ggf. die Koordinaten der Schnittpunkte bzw. des Berührpunkts an. b) y = –x2 + 10x + 5 c) y = x2 + 6x + 11 a) y = 2x2 – 5x + 3 2 2 y = –2x + 2x – 11 y = –x2 + 6x – 11 y = x – 11x – 2 4. Bestimmen Sie die Schnittpunkte folgender Parabeln mit der y­Achse und, sofern vorhan­ den, mit der x­Achse. b) y = 3x2 + 2 c) y = x2 – 10x + 25 a) y = x2 – 6,5x + 10

124

11.

Sätze am rechtwinkligen Dreieck

Vor der Sendung Jetzt kommt die Geometrie ins Spiel. Allerdings geht es nicht um geometrisches Zeich­ nen, auch nicht um die Eigenschaften von ebenen oder räumlichen Figuren, sondern vor allem darum, die Länge von Seiten und die Größe von Winkeln in Vielecken – vor allem Dreiecken – rechnerisch zu bestimmen. Und dazu gibt es einige Formeln, die sehr hilfreich sind. Formeln sind nichts anderes als Gleichungen, und wenn mehrere Formeln zusam­ menkommen, dann gibt das schnell ein Gleichungssystem. Sie werden also Ihre Kenntnis­ se über Terme, Gleichungen und Gleichungssysteme jetzt gut gebrauchen können.

Übersicht 1.

Im Mittelpunkt steht der Satz des Pythagoras. Mit seiner Hilfe kann man in rechtwinkligen Dreiecken die Längen von Seiten berechnen.

2.

Die vielseitigen Anwendungen dieses Satzes werden an mehreren Beispielen aufgezeigt. Entsprechende Aufgaben und Übungen erweitern den Gesichtskreis und helfen, den Satz des Pythagoras in unterschiedlichen Aufgabenstellungen sicher zu handhaben.

3.

Der Satz des Pythagoras wird ergänzt durch einen Satz, der ebenfalls Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken ermöglicht und diese Berechnungen in bestimmten Aufgaben erleichtert: den Höhensatz.

4.

Die sogenannte „Satzgruppe des Pythagoras“ wird abgerundet durch den Kathetensatz, der ebenfalls zur Vereinfachung der Lösung einer Aufgabe beitragen kann.

Bezeichnungen am rechtwinkligen Dreieck In den folgenden Ausführungen werden – von Ausnahmen abgesehen – die in vielen Ma­ thematikbüchern üblichen Begriffe und Bezeichnungen für Strecken im rechtwinkligen Dreieck benutzt. Sie werden der Übersichtlichkeit halber hier zusammengestellt. – Dreiecke mit einem Winkel von 900 C nennt man rechtwinklige Dreiecke. Den rechten Winkel kennzeichnet b a man durch einen Punkt im Viertel­ h kreis. q p – Die dem Punkt A gegenüberliegende A B c Seite wird häufig mit a bezeichnet. Entsprechendes gilt für die Seiten b und c. ___ – Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite (im Bild die Seite AB bzw. c) wird mit Hypotenuse bezeichnet. Die beiden Seiten a und b, die den rechten Winkel bilden, heißen Katheten. – Die Höhe h teilt die Hypotenuse in zwei Hypotenusenabschnitte q und p. Man be­ zeichnet p als den an der Kathete a anliegenden Hypotenusenabschnitt, weil p mit a den gemeinsamen Punkt B hat. Entsprechend ist q der an b anliegende Hypotenusen­ abschnitt.

125

11 11

11.1

Der Satz des Pythagoras Einführungsbeispiel Ein Sendemast wird durch Abspannsei­ le gesichert. Sie sind am Mast in 180 m Höhe befestigt und werden am Boden in einem Abstand von 100 m vom Mast ver­ ankert. Wie lang ist jedes der Abspannsei­ le, wenn das Durchhängen der Seile nicht berücksichtigt wird? Das linke Seil, der Mast und die (horizontale) Strecke von der linken Verankerung zum Mast bilden ein rechtwinkliges Dreieck. In der Praxis ergibt sich häufig aus einem konkreten Sachverhalt das Problem, in einem rechtwinkligen Dreieck die Länge einer der drei Seiten zu bestimmen, wenn die Längen der beiden anderen bekannt sind. Einen passenden Satz zur Lösung solcher Aufgaben kennen Sie aus der Fernsehsendung: Satz des Pythagoras1: In einem rechtwinkligen Dreieck, in dem die Katheten die Längen a und b haben und die Hypotenuse die Länge c, gilt die Beziehung: a2 + b2 = c2.

C a

b A

B

c

Kennt man die Längen zweier Seiten, so kann man mit diesem Satz die Länge der dritten berechnen. So ist es auch in unserem Einführungsbeispiel: Die Längen der beiden Kathe­ ten sind bekannt, die Länge der Hypotenuse ist gesucht. Lösung des Einführungsbeispiels Setzt man die gegebenen Werte ein, so ergibt sich: 1002 + 1802 = c2 10 000 + 32400 = c2 42 400 = c2__ c = √ 42 400 Die Länge eines Abspannseils ist also rund 206 m.

1

126

c

180 m

100 m

Pythagoras von Samos (etwa 580 v. Chr. – 500 v. Chr.) war ein griechischer Philosoph. Es wird vermu­ tet, dass der nach ihm benannte Satz schon vorher bei den Ägyptern und Babyloniern bekannt war. Sein Verdienst ist es, diesen Satz wohl als Erster bewiesen zu haben.

Geometrische Deutung und Beweis des Satzes von Pythagoras Deutet man in der Formel a2 + b2 = c2 die Terme a2, b2 und c2 als Flächeninhalte von Qua­ draten, so kann man den Satz von Pythagoras auch so formulieren: Addiert man bei einem rechtwinkligen Dreieck die Flächeninhalte der beiden Quadrate über den Katheten a2 + b2, so erhält man den Flächeninhalt des Quad­ rats über der Hypotenuse c2.

c2 a2 b2

Geometrisch lässt sich der Satz von Pythagoras anschaulich beweisen. Zunächst betrachtet man die beiden hell­ blauen Kathetenquadrate und fügt vier de­ ckungsgleiche (kongruente) rechtwinklige Dreiecke an. Es entsteht ein Quadrat mit der Seitenlänge a + b (blau umrandet).

a2

a2

a b

b2

b2

b

Jetzt ergänzt man das blaue Hypotenusen­ quadrat durch die gleichen vier Dreiecke aber in anderen Positionen. Es entsteht wieder ein Quadrat mit der Seitenlänge a + b, ebenfalls blau umrandet.

a b

a

2

c

2

c

a

b a

b

Man kann auch „von rechts nach links“ argumentieren: Die beiden blau umrandeten Quad­ rate sind flächengleich. Nimmt man bei jedem die vier grauen kongruenten Dreiecke weg, so bleibt im oberen Fall a2 + b2 und im unteren Fall c2.

Aufgaben zu 11.1 1. Nicht immer werden beim Satz des Pythagoras in der Formel die Variablen a, b und c benutzt. Formulieren Sie den Satz des Pythagoras mit den in den folgenden Figuren vor­ gegebenen Variablen: a) b) c) w u

v

z

f

g h

x y

127

11 11

2. Berechnen Sie in den Dreiecken von Aufgabe 1 jeweils die fehlende Seite: a) v = 4 cm, w = 6 cm b) g = 5 cm, f = 3,8 cm c) x = 7 cm, z = 7,5 cm 3. Das nebenstehende Dreieck ABC ist rechtwinklig. Durch die Höhe h wird es in zwei rechtwinklige Teildreiecke geteilt. Schreiben Sie die Formeln für den Satz des Pythagoras für alle drei rechtwinkligen Dreiecke auf. Benutzen Sie dazu die Vari­ ablen in der Zeichnung.

11.2

C b

a h

q

A

p

B

Anwendungen des Satzes von Pythagoras 1. Beispiel Im Bild rechts ist ein gleichseitiges Drei­ eck gezeichnet, dessen drei Seiten alle die Länge a haben. Wie lang ist die Höhe h des Dreiecks?

C

a

Lösung: Das linke Teildreieck ADC ist rechwinklig. Die beiden Katheten haben die Längen a , denn der Fußpunkt D der Höhe h und __ 2 ___ halbiert die Seite AB. a 2 = a2 Satz des Pythagoras: h2 + __ 2

A

h D a

a

B

( )

2

a h2 = a2 – __ 4 2

3a h2 = ____ 4

_

a √3 h = __ 2 2. Beispiel

Wie weit ragt ein 20 cm langer Strohhalm aus einem Glasbecher heraus, der 10 cm hoch ist und einen Durchmesser von 7 cm hat? Lösung: Wenn der Aufgabe ein Sachproblem zu Grunde liegt, sollte man zunächst eine Zeichnung anfertigen, die gegebenen und die gesuchte Größen eintragen und nach einem rechtwink­ ligen Dreieck Ausschau halten, in dem diese Größen vorkommen.

128

In unserer Aufgabe ist dies das blau mar­ kierte Dreieck. Die beiden Katheten sind gegeben: 10 cm und 7 cm, die Hypotenu­ se x ist gesucht. x

x2 = 102 + 72 x2 = 149 x ≈ 12,2 Der Strohhalm ist 20 cm lang, ragt also rund 8 cm über den Becherrand hinaus. Satz des Pythagoras:

3. Beispiel Vom Punkt P, der sich 550 m über dem Meeresspiegel befindet, führt ein geradli­ niger Weg gleichmäßig bergauf direkt zu einem Aussichtspunkt A in 900 m Höhe. Auf der Wanderkarte mit einem Maßstab 1:20000 ist der Weg 4 cm lang. Wie lang ist der Weg in Wirklichkeit?

P A

Lösung: Hier ist nicht unmittelbar ein rechtwinkli­ ges Dreieck zu erkennen. Um die wahre Länge des Wanderwegs zu berechnen, muss man sich einen Längsschnitt durch die Landschaft vorstellen. Die Strecke auf der Karte stellt die horizontale Entfernung von P nach A1 dar. Sie ist in der Karte 4 cm lang, umgerechnet mit dem Maßstab 1:20000 also 800 m in Wirklichkeit.

A x P

800 m

350 m A1

11 11

Satz des Pythagoras: x2 = 8002 + 3502 x2 = 762 500 x ≈ 873 Der Weg ist in Wirklichkeit rund 870 m lang.

129

4. Beispiel Ein pyramidenförmiges Zelt mit quadratischer Grundfläche von a = 3 m Seitenlänge hat eine Höhe von h = 2 m. Wie lang sind die Seitenkanten? Lösung: Die Seitenkante s bildet mit der Höhe und der halben Diagonalen der Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck. 2 d = s2 Satz des Pythagoras: h2 + __ 2

h

( )

s

d a

d2 = s2 2 + ___ 4 s ist gesucht, d ist noch unbekannt. Man muss sich d aus einer Teilfigur beschaffen. Es bietet sich die Grundfläche an, da a be­ kannt ist. Die Grundfläche ist ein Quadrat. 2

a

d

a

d2 = a2 + a2 d2 = 2 a2 d2 = 18 _ d = √18 Setzt man d in die obige Gleichung ein, so erhält man: 18 = s2 22 + ___ 4 s ≈ 2,9 Die Seitenkante ist ungefähr 2,9 cm lang. Satz des Pythagoras:

a

5. Beispiel Von A nach B führt ein schmaler, meist stark befahrener Weg. Lohnt sich die Ab­ kürzung, wenn man auf dem schmalen Weg durchschnittlich mit 30 km/h und auf den Hauptstraßen mit 50 km/h fahren kann?

B d A

3 km

5 km

Lösung: Zunächst muss die Länge des schmalen Wegs berechnet werden: Satz des Pythagoras: d2 = 52 + 32 d ≈ 5,83 km · t . Zeitberechnung für den kürzeren Weg: 5,83 km = 30 ___ 1 h Daraus folgt: t1 ≈ 0,194 h ≈ 12 min. Zeitberechnung für den längeren Weg: 8 = 50 · t2 . Daraus folgt: t2 = 0,16 h ≈ 10 min. Die Abkürzung lohnt sich nicht.

130

Aufgaben zu 11.2 1. Zwischen zwei Häusern ist über eine Stra­ ße eine Lampe gespannt. Das Aufhän­ geseil ist 10,50 m lang. Der Abstand der Häuser beträgt 10 m. Wie weit hängt die Lampe nach unten durch? 2. Eine Garage mit einem schrägem Dach ist 4,20 m breit. Das Dach ist an der höchs­ ten Stelle 3 m hoch und an der niedrigsten Stelle 2 m. Wie lang müssen die Dach­ sparren sein, wenn sie links und rechts je 25 cm überstehen. 3. Die Cheopspyramide hat eine quadratische Grundfläche. Die Seitenlänge des Quadrats beträgt 230 m. Die Seitenkante der Pyramide ist 220 m lang. Wie hoch ist die Pyramide? 4. Durch eine Türöffnung soll eine dünne Holzplatte, die 2,08 m lang und 2,08 m breit ist, transportiert werden. Die Türöffnung ist 0,80 m breit und 1,95 m hoch. Ist das möglich?

11.3

Höhensatz Einführungsbeispiel Eine Sporthalle hat einen halbkreisförmi­ gen Querschnitt mit dem Durchmesser von 25 m. In einem Abstand von 5 m vom linken Rand wird eine Trennwand hochge­ zogen. Wie hoch ist diese Wand? Sinnvoll ist es, in einer Planfigur die Ver­ bindungen des Punkts C mit den Punk­ ten A und B zu zeichnen. So entsteht das Dreieck ABC, das nach folgendem Satz bei C einen rechten Winkel hat.

11 11

C

A

D

B

Satz des Thales: ___ Wenn bei einem Dreieck ABC die Ecke C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB liegt, dann hat das Dreieck bei C einen rechten Winkel. ___

___

Da die Höhe CD senkrecht auf der Seite AB des Dreiecks steht, kann man in der obigen Figur drei rechtwinklige Dreiecke finden: ABC, ADC und CDB. Um die Einführungsaufga­ be zu lösen, könnte man jetzt mehrfach den Satz ___ des Pythagoras anwenden und durch geeignete Kombination der Gleichungen die Höhe CD berechnen. Dies ist aber sehr um­ ständlich.

131

In der Fernsehsendung haben Sie einen Satz kennengelernt, mit dessen Hilfe die Lösung einer solchen Aufgabe viel einfacher ist: Der Höhensatz: In einem rechtwinkligen Dreieck be­ steht zwischen der Höhe h und den Hypotenusenabschnitten p und q die Beziehung: h2 = p · q.

C h A

q

B

p

D

Lösung des Einführungsbeispiels: Es ist q = 5. Ferner ist p = 25 – 5 = 20. Setzt man die Werte in die Formel für den Höhensatz ein, so ergibt sich: h2 = 20 · 5 h2 = 100 h = 10 Die Wand ist also 10 m hoch. Geometrische Deutung des Höhensatzes Deutet man in der Formel h2 = p · q den Term h2 als Flächeninhalt eines Quadrats und p · q als Flächeninhalt eines Rechtecks, so kann man den Höhensatz auch so formulieren: In einem rechtwinkligen Dreieck hat das Quadrat über der Höhe h denselben Flä­ cheninhalt wie das Rechteck aus den Hy­ potenusenabschnitten p und q.

h2

h p q p·q

Herleitung des Höhensatzes (1) (2) (3) (4)

Im Dreieck ABC gilt: a2 + b2 = c2. Im Dreieck ADC gilt: q2 + h2 = b2. Im Dreieck CDB gilt: h2 + p2 = a2. Ferner gilt: c = p + q.

Die Gleichungen (2) bis (4) werden in Glei­ chung (1) eingesetzt. (h2 + p2) + (q2 + h2) = (p + q)2 2h2 + p2 + q2 = p2 + 2pq + q2 2h2 = 2pq h2 = pq

132

q

C b A

a

h

q D

p c

B

Aufgaben zu 11.3 1. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Höhe h = 6 cm lang und der Hypotenusenabschnitt q = 8 cm. Wie lang sind die Seiten des Dreiecks? 2. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Hypotenusenabschnitt q = 4,5 cm, der Hypotenu­ senabschnitt p = 3,5 cm. Wie lang sind die Seiten des Dreiecks? 3. Die Dachbalken eines Hauses bilden am First einen rechten Winkel. Der rechte Dachbalken ist 3,6 m lang, die Höhe des Firsts über dem Dachboden beträgt 2,5 m. Da das Ausmessen des linken Dachbal­ kens mit Schwierigkeiten verbunden ist, soll seine Länge berechnet werden.

11.4

Kathetensatz Zum Berechnen von Längen in rechtwinkligen Dreiecken kommt man fast immer mit dem Satz des Pythagoras aus. Allerdings muss man ihn unter Umständen mehrfach in ver­ schiedenen Teildreiecken einer Figur anwenden. Dies hängt davon ab, welche Größen in der Figur gegeben und welche gesucht sind. Die Lösung einer Aufgabe durch mehrfaches Anwenden des Satzes von Pythagoras kann aufwändig werden. Einfacher wird es, wenn man sich nicht nur auf den Satz des Pytha­ goras verlässt, sondern weitere Sätze im rechtwinkligen Dreieck parat hat, zum Beispiel den Höhensatz, um im jeweiligen Fall den Satz auszuwählen, der am elegantesten zum Ziel führt. Außer dem Höhensatz gibt es einen weiteren Satz, der zu Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck herangezogen werden kann. Es ist der Kathetensatz, den Sie in der Fernsehsendung bereits kennengelernt haben. Der Kathetensatz Im rechtwinkligen Dreieck gelten zwischen den Katheten a bzw. b, den Hypotenusenabschnitten p bzw. q und der Hypotenuse c die Beziehungen: b2 = q · c. a2 = p · c und

C b A

a

h

q D

p

B

c

133

11 11

Geometrische Deutung des Kathetensatzes In einem rechtwinkligen Dreieck hat das Quadrat über einer Kathete denselben Flächenin­ halt wie das Rechteck aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt.

a2

C

C

A

b q

b2

a

a

b

p

A q

B

D p·c

p

q D

q·c

B

c

p

c

Herleitung Die Herleitung des Pythagoras. Dreieck CDB: Dreieck CAD: Dreieck ABC: | AD | = | AB | – | DB |:

Kathetensatzes erfolgt durch dreimaliges Anwenden des Satzes von (1) (2) (3) (4)

h2 = a2 – p2 h2 = b2 – q2 b2 = c2 – a2 q=c–p

(1) und (2) gleichsetzen: (5) a2 – p2 = b2 – q2 (3) in (5) einsetzen: (6) a2 – p2 = c2 – a2 – q2 (4) in (6) einsetzen: a2 – p2 = c2 – a2 – (c – p)2 a2 – p2 = c2 – a2 – c2 + 2cp – p2 2a2 = 2cp a2 = cp

Dreieck CDB: Dreieck CAD: Dreieck ABC: | DB | = | AB | – | AD |:

h2 = a2 – p2 h2 = b2 – q2 a2 = c2 – b2 p=c–q

(1) (2) (3) (4)

(1) und (2) gleichsetzen: (5) b2 – q2 = a2 – p2 (3) in (5) einsetzen: (6) b2 – q2 = c2 – b2 – p2 (4) in (6) einsetzen: b2 – q2 = c2 – b2 – (c – q)2 b2 – q2 = c2 – b2 – c2 + 2cq – q2 2b2 = 2cq b2 = cq

1. Beispiel C

In dem in der Abbildung dargestellten rechtwinkligen Dreieck sind gegeben: p = 5,2 cm, q = 3,5 cm. Wie lang sind die Seiten des Dreiecks?

b A

a

q

p c

134

B

Lösung: Die Seite c ist sehr einfach zu berechnen: c = 5,2 + 3,5. Also ist c = 8,7 cm lang. Die Längen der Seiten a und b ergeben sich jeweils durch Anwendung des Katheten­ satzes: a2 = 5,2 · 8,7. Die Seite a ist ungefähr 6,7 cm lang. b2 = 3,5 · 8,7. Die Seite b ist ungefähr 5,5 cm lang.

2. Beispiel Von der Skizze eines Hauses, in die alle Abmessungen eingetragen waren, ist nur noch der rechts dargestellte Teil vorhan­ den. Wie breit ist das Haus?

90° 4,4 m

Lösung:

2,2 m

Das Dachgeschoss bildet offenbar ein rechtwinkliges Dreieck, in dem eine Ka­ thete und der anliegende Hypotenusenab­ schnitt gegeben sind und die Hypotenuse c gesucht ist. Zur Lösung bietet sich der Kathetensatz an. 4,42 = c · 2,2 c = 8,8 Das Haus ist 8,8 m breit.

Aufgaben zu 11.4 1. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse c = 9,5 cm lang und der Hypotenu­ senabschnitt q = 3 cm. Wie lang sind die Seiten a und b des Dreiecks? 2. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse c = 10 cm und die Seite b = 4,6 cm lang. Wie lang sind die Hypotenusenabschnitte p und q? 3. Auf ein Fabrikgebäude sollen für das Dach Bauteile aus Glas in der abgebildeten Form hergestellt werden. Einige Maße für die dreieckigen Glasteile sind in die Skiz­ ze eingetragen. Der Bauleiter behauptet, dass eine der Seitenkanten falsch berech­ net wurde. Hat er Recht? Welche Seitenkante meint er?

4,25 m

2,7 m

2,16 m

1,2 m

135

11 11

Wiederholungsaufgaben 1. In einem rechtwinkligen Dreieck (siehe Bild) sind von den Strecken a, b, c, h, p und q jeweils zwei gegeben. Berechnen Sie die übrigen.

C b A

a

h

q

p

B

c

a a)

b

7,2 cm

d)

h

p

q

10 cm

b) c)

c

4 cm 8 cm

3 cm 5 cm

4,5 cm

3,5 cm

2. Welchen Rauminhalt (Volumen) hat ein Kegel mit dem Grundkreisdurchmesser d = 6 cm und der Seitenkante s = 9,5 cm? 3. Eine quadratische Pyramide hat die Höhe h = 7,3 cm. Eine Seitenkante ist 10,5 cm lang. Wie groß ist eine Kante der quadratischen Grundfläche? 4. Wie lang ist die Raumdiagonale eines Würfels, der die Kantenlänge a cm hat. 5. Mit Hilfe von vier Stäben von je 2,50 m Länge wird ein pyramidenförmiges Zelt aufgebaut. Die quadratische Grundfläche soll eine Seitenlänge von 2 m haben. Wie hoch wird das Zelt? 6. Durch ein Unwetter wurde ein 20 m hoher Mast in einer Höhe von 4 m so abgeknickt, dass seine Spitze den Boden berührt. Wie weit liegt die Spitze vom Fuß des Masts entfernt? 7. In einer Kapelle hängt ein Glockenseil. Wenn man das Ende 2,50 m nach rechts auslenkt, so hebt sich das Ende um 50 cm. Wie lang ist das Seil? 8. Die Länge der Diagonalen eines Fernsehbildschirms mit dem Format 4:3 betrage 70 cm. Das Format gibt den Quotienten Breite durch Höhe an. Wie breit und wie hoch ist der Bildschirm?

136

12.

Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion

Vor der Sendung Nachdem Sie in der letzten Lektion erfahren haben, wie man in einem Dreieck – speziell in rechtwinkligen Dreiecken – Seitenlängen berechnen kann, kommen jetzt Winkel ins Spiel. In dieser Lektion werden Beziehungen zwischen Streckenlängen und Winkeln aufgezeigt. Sie lernen zunächst drei Winkelfunktionen – auch trigonometrische Funktionen genannt – kennen. In späteren Lektionen werden diese angewendet, um in – zuerst rechtwinkligen, dann beliebigen – Dreiecken Seiten und Winkel zu berechnen.

Übersicht 1.

Die beiden Winkelfunktionen Sinus und Kosinus werden am Einheitskreis erklärt und de­ finiert.

2.

Da es sich bei Sinus und Kosinus um Funktionen handelt, kann man sie in einem Koordina­ tensystem darstellen. Die Graphen der beiden Funktionen werden, ausgehend vom Ein­ heitskreis, erarbeitet. Dabei werden bestimmte Eigenschaften dieser Funktionen erkannt.

3.

Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion müssen genutzt werden, wenn man aus den Winkelmaßen, die ein Taschenrechner zu Sinus­ oder Kosinuswerten ausgibt, Folge­ rungen ziehen will.

4.

In vielen Teilbereichen der Mathematik und in den Naturwissenschaften werden Winkel nicht nur im Gradmaß angegeben, sondern auch im Bogenmaß. Das Bogenmaß und der Zusammenhang zwischen Gradmaß und Bogenmaß werden am Einheitskreis erklärt und definiert.

5.

Um in praktischen Anwendungsaufgaben das Rechnen mit Winkeln zu erleichtern, hat man neben Sinus und Kosinus eine weitere Winkelfunktion definiert: die Tangensfunktion. Ihre Werte lassen sich mit Hilfe der Definition aus den entsprechenden Sinus­ und Kosi­ nuswerten berechnen oder mit dem Taschenrechner ermitteln. Trägt man die Werte in ein Koordinatensystem ein, so erhält man den Graphen der Tangensfunktion.

137

12

12.1

Definition der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion Einführungsbeispiel Auf einer großen Plakatwand soll die Eu­ ropaflagge dargestellt werden. Der Ster­ nenkreis soll einen Durchmesser von 2 m haben. Wie findet man die Positionen der einzelnen Sterne? In der offiziellen Erläuterung der Europäi­ schen Union zu dem Emblem heißt es un­ ter anderem: „… Auf einem unsichtbaren Kreis … sind in gleichmäßigem Abstand zwölf goldene Sterne angeordnet. … Die Sterne sind wie die Stunden auf dem Zifferblatt einer Uhr angeordnet.“ 1 Die Radien des Sternenkreises bilden mit der Horizontalen Winkel von 300, 600, 900, 1200 usw. Da ein Winkelmesser zum Zeichnen in einem Kreis von 2 m Durch­ messer nicht zur Verfügung steht, muss man wissen, wie weit ein Punkt auf dem Kreis jeweils in horizontaler und in vertika­ ler Richtung vom Mittelpunkt entfernt ist. Da ist guter Rat teuer. Oder nicht? Betrachten wir verschiedene Winkel und dazu jeweils die gesuchte Länge in vertikaler Richtung. Zu jedem Winkel gibt es eine ganz bestimmte Länge. Das ist doch nichts Anderes als eine Funktion: Jedem Winkel wird eine entsprechende Strecken­ länge zugeordnet. Im Bild rechts sind zwei Winkel und die zugehörigen Strecken ein­ gezeichnet.

1m

Da diese Funktion in sehr vielen Anwendungsbereichen der Mathematik eine Rolle spielt, hat man ihr einen Namen gegeben: Sinusfunktion. Sie ist wie folgt definiert:

1

138

Grafik­Handbuch des Europa­Emblems, http://publications.europa.eu/code/de/de­5000100.htm, 15.01.2009.

Das nebenstehende Bild zeigt einen Kreis im Koordinatensystem mit dem Radius 1. Der Mittelpunkt liegt im Ursprung O des Koordinatensystems. Einen solchen Kreis nennt man Einheitskreis.

y-Achse P (x | y)

1 a

sin a

x-Achse

O

Definition: P(x | y) ist ein Punkt auf dem Einheits­ kreis, α ist der Winkel zwischen Radius ___ OP und der positiven x­Achse. Die y­Koordinate des Punkts P heißt: sin a (gelesen: Sinus a) für alle Winkel zwischen 0° und 360°. Die Zuordnung a ! sin a heißt Sinusfunktion. Die Werte der Sinusfunktion findet man in Tabellen oder mit Hilfe eines Taschenrechners. Dies sind in der Regel Näherungswerte, die auf eine bestimmte Anzahl von Dezimalstellen gerundet sind. Beim Taschenrechner muss man zunächst die Winkelgröße eingeben (z. B.: 30) und dann die Taste ˜ drücken. Da in unserem Beispiel der Radius des Sternenkreises 1 m sein soll, sind die Werte der Sinusfunktion genau die vertikalen Entfernungen von der Horizontalen (x­Achse), die der Grafiker wissen muss, um die Sterne in der richtigen Höhe zu platzieren. Für die genaue Position der Sterne muss der Grafiker auch den horizontalen Abstand eines Sterns von der Vertikalen (y­Achse) kennen. Auch dafür gibt es eine Winkelfunktion: die Kosinusfunktion. Definition: P (x | y) ist ein Punkt auf dem Einheits­ kreis, a ist der Winkel zwischen Radius ___ OP und der positiven x­Achse. Die x­Koordinate des Punkts P heißt: cos a (gelesen: Kosinus a) für alle Winkel zwischen 0° und 360°. Die Zuordnung a ! cos a heißt Kosinusfunktion.

y-Achse

1 a O cos a

12

P (x | y) x-Achse

Auch die Werte der Kosinusfunktion findet man in Tabellen oder mit Hilfe eines Taschen­ rechners. Beim Taschenrechner muss man zunächst die Winkelgröße eingeben (z. B.: 30) und dann die Taste ™ drücken. Man erhält einen Näherungswert für cos 30°.

139

Für Winkel zwischen 0° und 90° sind die Sinus­ und Kosinuswerte positiv. Die Definitio­ nen von Sinus und Kosinus gelten natürlich auch für Winkel, die größer als 90° sind. Dann können sin a und cos a auch negative Werte annehmen. Im Folgenden sind hierfür drei Beispiele dargestellt. y

y

y

P cos a

cos a

sin a cos a

a

a

a x 1

sin a

x sin a

x 1 1

P

a liegt zwischen 90° und 180°. cos a ist bei diesem Winkel negativ, da die x­Koor­ dinate von P negativ ist. sin a ist dagegen bei die­ sem Winkel positiv.

a liegt zwischen 180° und 270° Bei diesem Winkel a ist sin a negativ, da die y­Koordinate von P negativ ist. cos a ist ebenfalls negativ.

P

a liegt zwischen 270° und 360° Bei diesem Winkel ist sin a negativ, cos a ist dagegen positiv.

Aufgaben zu 12.1 1. Zeichnen Sie einen Einheitskreis mit dem Radius 1 dm und tragen Sie einen Radius ein, der mit der positiven x­Achse einen Winkel von 60° bildet. Den Endpunkt des Radius nen­ nen Sie P (x | y) . a) Bestimmen Sie sin 60°, indem Sie die y­Koordinate von P messen (in dm). b) Bestimmen Sie cos 60°, indem Sie die x­Koordinate von P messen (in dm). c) Vergleichen Sie die Werte mit denen, die Sie mit Ihrem Taschenrechner ermitteln. 2. Bestimmen Sie wie in Aufgabe 1 zeichnerisch die Werte von sin 150° und cos 150° und vergleichen Sie diese mit den Werten, die Ihr Taschenrechner liefert. 3. Geben Sie für alle Sterne der Europa­Flagge die x­ und die y­Position, bezogen auf den Mittelpunkt des Sternenkreises, an. 4. In einem Koordinatensystem unterscheidet man vier Quadranten. Wie sie bezeichnet werden, kann man nebenstehendem Bild entnehmen. In welchen Quadranten a) ist sin a negativ? b) ist cos a positiv? c) sind sowohl sin a als auch cos a negativ?

140

2. Quadrant 90° < a < 180°

y 1. Quadrant 0° < a < 90°

x

3. Quadrant 4. Quadrant 180° < a < 270° 270° < a < 360°

12.2

Die Graphen der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion Durch die Sinusfunktion wird – wie oben beschrieben – jedem Winkel eine Streckenlänge im Einheitskreis zugeordnet. Diese Zuordnung kann man als Graphen der Sinusfunktion in einem Koordinatensystem darstellen. Auf der horizontalen Achse werden die Winkel auf­ getragen, auf der vertikalen Achse die Sinuswerte. Geometrisch kann man den Graphen der Sinusfunktion dadurch erzeugen, dass man vom Einheitskreis die Strecke, die zu ei­ nem bestimmten Winkel a gehört, in das Koordinatensystem ”herüberzieht“. Im folgenden Bild ist dies für sieben Winkel dargestellt. Auf diese Weise entsteht punktweise der Graph der Sinusfunktion. y +1 1 P

90°

180°

270°

360°

a

–1

Stellt man sich vor, der Punkt P bewegt sich gegen den Uhrzeigersinn kontinuierlich auf dem Einheitskreis, beginnend bei einem Winkel von 0°, und zu jedem Winkel wird der Sinuswert in ein Koordinatensystem übertragen, so entsteht bei einem Umlauf von P der Graph als zusammenhängende Linie, wie im Bild dargestellt. Nun könnte aber der Punkt P nach einem Umlauf einen weiteren durchführen und dann noch einen und so weiter. Dann fängt man mit den Winkelgrößen nicht wieder von vorn an, sondern zählt einfach weiter. Beim zweiten Umlauf ergibt das Winkel zwischen 360° und 720°. Dies kann man beliebig lange fortsetzen. Für den Graphen bedeutet das eine periodische Fortsetzung über 360° hinaus. Man kann den Graphen der Sinusfunktion auch nach links, d.h. in den negativen Bereich der horizontalen Achse, fortsetzen. Für den Punkt P auf dem Einheitskreis bedeutet dies, dass er nun in die entgegengesetzte Richtung läuft. Die Winkelgrößen sind jetzt negativ. Das folgende Bild zeigt einen Ausschnitt des vollständigen Graphen der Sinusfunktion. y y = sin a +1

–360° –270° –180° –90°

90°

180° 270° 360° 450° 540° 630° 720°

a

–1

Der Graph sieht aus wie eine Wellenlinie. Es ist deshalb nicht verwunderlich, dass man mit der Sinusfunktion Schwingungen und Wellen mathematisch gut beschreiben kann.

141

12

Auch der Graph der Kosinusfunktion kann am Einheitskreis gewonnen werden. Jedem Winkel ist, wie im Bild rechts dar­ gestellt, eine Strecke zugeordnet. Man kann sich das auch so vorstellen: Eine Stange vom Mittelpunkt des Einheits­ kreises zum Punkt P dreht sich um den Mittelpunkt und wird von oben bzw. unten beleuchtet. Die Länge des Schattens, der auf der horizontalen Achse entsteht, ist der Kosinus des jeweiligen Winkels.

P

1 a cos a

Die Längen dieser Strecken kann man nun wieder in ein Koordinatensystem bei den ent­ sprechenden Winkeln als y­Werte eintragen. Denkt man sich P wieder als umlaufenden Punkt, der auch mehr als eine Umdrehung machen soll und auch gegen den Uhrzeigersinn laufen kann, so entsteht folgender Graph: y y = cos a +1

–360° –270° –180° –90°

90°

180° 270° 360° 450° 540° 630° 720°

a

–1

Wenn a = 0° ist, P also im Einheitskreis auf der horizontalen Achse liegt, dann ist der Ko­ sinus so groß wie der Radius des Einheitskreises: cos 0° = 1. Wenn a = 90° ist, P also auf der vertikalen Achse liegt, dann ist der Kosinus auf 0 ge­ schrumpft: cos 90° = 0. Ist a ein Winkel zwischen 90° und 180°, so wird der Kosinus negativ und erreicht bei 180° den Wert –1: cos 180° = –1. Das geht immer so weiter: Bei jedem Winkel projiziert man die Strecke zwischen Mittel­ punkt des Einheitskreises und dem Punkt P auf die horizontale Achse und liest am „Schat­ ten“ den zugehörigen Kosinus ab. Zwischen dem Sinus und dem Kosinus eines bestimmten Winkels a besteht ein einfacher Zusammenhang, der bei algebraischen Umformungen häufig sehr nützlich ist: 2 (sin a)2 + (cos a)2 = 1 Aus der Zeichnung können Sie entneh­ men, dass dies eine Anwendung des Sat­ zes von Pythagoras ist.

1 a cos a

2

142

Statt (sin a)2 schreibt man auch häufig: sin2 a.

sin a

Aufgaben zu 12.2 1. Geben Sie jeweils drei Winkel an, für die gilt: a) cos a = 0 b) sin a = +1 c) cos a = –1

d) sin a = 0

2. Es ist sin 30° = 0,5. Berechnen Sie mit Hilfe der Formel (sin a)2 + (cos a)2 = 1 den Wert für cos 30° und bestätigen Sie den Wert mit dem Taschenrechner. 3. Vom Verlauf der Graphen der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion sollten Sie, ohne irgendwo nachschauen zu müssen, eine Vorstellung im Kopf haben. Zeichnen Sie ein geeignetes Koordinatensystem und skizzieren Sie darin die Graphen der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion. 4. Geben Sie drei Winkel an, für die gilt: sin a = cos a.

12.3

Bestimmen von Winkeln zu vorgegebenen Sinus- und Kosinuswerten Ist ein Winkel a gegeben und sin a oder cos a gesucht, so liefert der Taschenrechner auf einfache Weise Näherungen für die gesuchten Werte. Häufig ist es aber in Anwendungsaufgaben umgekehrt: Der Sinuswert (oder der Kosi­ nuswert) ist gegeben und der zugehörige Winkel ist gesucht. Hier müssen Überlegungen angestellt werden, die über das Tastendrücken hinausgehen. Diese werden im Folgenden erklärt. Sinuswert ! Winkel

Beispiel: Gegeben ist der Sinuswert: sin a = 0,8091. Wie groß ist a? Man gibt den Wert 0,8091 in den Taschenrechner ein. Nach Drücken einer bestimmten Taste bzw. einer Tastenkombinationen erscheint als Ergebnis 54. Der gesuchte Winkel ist also ungefähr 54°.3 Dies ist aber nicht der einzige Winkel, y y = sin a dessen Sinuswert 0,8091 ist. Am Graphen erkennt man: Einen zweiten Winkel findet 0,8091 man, indem man den gefundenen Wert 180° 54° von 180° subtrahiert. Das heißt, dass 54° 126° a 126° eine zweite Lösung der Aufgabe ist. Wegen der Periodizität des Sinus findet man weitere Winkel, wenn man jeweils ein Vielfaches von 360° addiert.

3

Welche Tasten bzw. Tastenkombinationen gedrückt werden müssen, damit der zugehörige Winkel angezeigt wird, ist von Rechner zu Rechner sehr verschieden. Lesen Sie dies bitte in der Bedie­ nungsanleitung Ihres Taschenrechners nach.

143

12

Was zeigt der Taschenrechner an, wenn man einen negativen Sinuswert eingibt? Beispiel: sin a = –0,5736. Man erhält einen negativen Wert für a: a = –35°. Wie findet man die zugehörigen positiven Winkelwerte? Am Graphen kann man er­ kennen: 1) Die gesuchten Winkel liegen zwischen 180° und 360°. 2) Man muss den Betrag des gefundenen Winkels, also 35°, einmal zu 180° ad­ dieren und einmal von 360° subtrahie­ ren. Das ergibt: a1 = 215° und a2 = 325°. Allgemein gilt: Wenn ein Sinuswert gegeben und der zugehörige Winkel gesucht ist, liefert ein Taschenrechner immer nur einen Winkel­ wert, und zwar zwischen –90° und +90°. Alle anderen Winkel muss man sich durch Überlegung beschaffen. Und da ist der Graph sehr hilfreich.

y

y = sin a 180°

–35°

a

–0,5736

y

–90°

360°

y = sin a

90°

a

Kosinuswert ! Winkel

Beispiel: Gegeben ist der Kosinuswert cos a = 0,707. Wie groß ist a? Man gibt den Wert 0,707 in den Taschenrechner ein. Nach Drücken der entsprechenden Tasten bzw. Tastenkombinationen erscheint als Ergebnis 45. Der gesuchte Winkel ist also 45°. y y = cos a Auch hier ist dies nicht der einzige Winkel. Am Graphen erkennt man, dass man den 0,707 a gefundenen Wert 45° von 360° subtrahie­ ren muss, um eine zweite Lösung zu fin­ 360° 45° den: a2 = 315°. Ein Beispiel mit einem negativen Kosinuswert: cos a = –0,5; wie groß ist a?

y

y = cos a

0

Der Taschenrechner liefert a = 120 . Am Graphen erkennt man, dass man den gefundenen Wert 1200 von 3600 subtrahie­ ren muss, um den zweiten Winkel zu er­ halten: a2 = 2400.

144

120° –0,5

a 360°

y

Allgemein gilt: Wenn ein Kosinuswert gegeben und der zugehörige Winkel gesucht ist, liefert ein Taschenrechner einen Winkelwert zwi­ schen 0° und +180°. Alle anderen Winkel muss man sich durch Überlegung be­ schaffen.

–180°

y = cos a

180°

a

Aufgaben zu 12.3 1. a) Es ist sin 48° ≈ 0,7431. Geben Sie einen weiteren Winkel zwischen 0° und 360° an, der zu dem gleichen Sinuswert gehört. b) Geben Sie auch zu cos 72° ≈ 0,309 einen weiteren Winkel zwischen 0° und 360° an, der zu dem gleichen Kosinuswert gehört. 2. Bestimmen Sie mit Hilfe des Taschenrechners jeweils zwei zugehörige Winkel a im Bereich zwischen 00 und 3600. a) sin a = –0,643 b) cos a = –0,819 c) cos a = +0,819 d) sin a = +0,643 3. Geben Sie zu folgenden Sinus­ bzw. Kosinuswerten zwei Winkel im Bereich 360° bis 720° an. a) sin a = 0,5 b) cos a = 0,5 c) cos a = –0,94 d) sin a = +0,5736

12.4

Bogenmaß Winkelgrößen werden in der Geometrie in Grad angegeben, z. B. 90° für einen rechten Winkel. In vielen Teilbereichen der Mathematik und in den Naturwissenschaften hat es sich aber als zweckmäßig erwiesen, für die Angabe von Winkelgrößen ein anderes Maß einzuführen: das Bogenmaß. Man geht wieder vom Einheitskreis, das heißt einem Kreis mit dem Radius 1, aus. Der Umfang eines Kreises mit dem Radius r ist: U = 2 · p · r. Beim Einheitskreis ist der Radius 1, also ist der Umfang 2 · p · 1 = 2 · p. Der Umfang 2p entspricht also einem Winkel von 360°. Für Winkel, die kleiner sind als 360°, legt man den zugehörigen Kreisbogen auf dem Einheitskreis zu Grunde. Zum Beispiel: 90° ist ein Viertel von 360° p ist ein Viertel von 2p. und __ 2

12

2π 360°

1

π __ 2

90° 1

145

Zu jedem Winkel gibt es auf dem Einheitskreis einen entsprechenden Bogen. Beim Bogenmaß gibt die Maßzahl der zu einem Winkel gehörenden Bogenlänge auf dem Einheitskreis die Größe des Winkels an. Die Umrechnung vom Gradmaß ins Bogenmaß und umgekehrt erfolgt nach folgender Formel: a = ___ x _____ 360° 2 p a bedeutet die Winkelgröße im Gradmaß, x die Winkelgröße im Bogenmaß. In der folgenden Tabelle sind exemplarisch einige Winkel sowohl im Gradmaß als auch im Bogenmaß als Vielfache von p und als Dezimalzahlen angegeben. Gradmaß Bogenmaß

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

p __

p __

p __

p __ 2

p

3p ___

2p

≈ 0,52

≈ 0,785

≈ 1,05

≈ 1,57

≈ 3,14

6

4

3

Im Bild rechts sind die Graphen der Funk­ tionen Sinus und Kosinus in einem Koordi­ natensystem gezeichnet, in dem die Win­ kel im Bogenmaß angegeben sind.

y

2 ≈ 4,71

y = sin a

≈ 6,28

3π ___ 2

π

π __ 2

2π x

y = cos a

Auch von Winkeln, die im Bogenmaß angegeben sind, kann man mit dem Taschenrechner Sinus­ oder Kosinuswerte bestimmen. Der Taschenrechner verfügt über eine Taste, mit der man von Gradmaß auf Bogenmaß (und umgekehrt) umschalten kann. Näheres lesen Sie bitte in der Bedienungsanleitung zu Ihrem Taschenrechner nach.

Aufgaben zu 12.4 1. Berechnen Sie das Bogenmaß folgender Winkel: b) 170° c) 1° d) 300° a) 56°

e) 570°

2. Berechnen Sie das Gradmaß folgender im Bogenmaß angegebener Winkel: a) 0,7 b) 1,25 c) 2,1 d) 3,4 e) 4

146

12.5

Die Tangensfunktion In praktischen Anwendungsproblemen wird zur Beschreibung oder Berechnung von be­ sin a stimmten Größen vielfach der Quotient _____ cos a benötigt. Ein Beispiel hierzu finden Sie am Ende dieses Abschnitts. Um sich in solchen Fällen die Arbeit zu erleichtern, hat man eine weitere Winkelfunktion definiert: die Tangensfunktion. sin a tan a = _____ cos a

tan a wird gelesen: Tangens a

Durch die Tangensfunktion wird jedem Winkel ein Zahlenwert zugeordnet, der sich aus dem entsprechenden Sinus­ und Kosinuswert errechnen lässt. Beispiele: a

0°

30°

45°

70°

90°

130°

180°

350°

sin a

0

0,5

0,707

0,9397

1

0,766

0

– 0,174

cos a sin a _____ cos a

1

0,866

0,707

0,342

0

–0,643

–1

0,985

0 __

0,5 ______

0,707 ______

0,9397 _______

1 __

0,766 _______

0 ___

–0,174 _______

tan a

0

0,577

1

2,747

nicht definiert

–1,19

0

–0,176

1

0,866

0,707

0

0,342

–0,643

–1

0,985

In der Tabelle fällt auf, dass tan 90° nicht definiert ist. Das hat folgenden Grund: Um tan 90° zu berechnen, müsste man durch 0 dividieren, weil cos 90° = 0 ist. Eine Division durch 0 ist aber nicht definiert. Auf Ihrem Taschenrechner gibt es für die Tangensfunktion die Taste š. Sie wird genau­ so gehandhabt wie die entsprechenden Tasten bzw. Tastenkombinationen für die Sinus­ und die Kosinusfunktion. Bei der Umkehrung, das heißt, wenn der Tangenswert gegeben und der Winkel gesucht ist, werden – wie beim Sinus – Winkel zwischen –90° und +90° angezeigt. Weitere Winkel zu diesem Tan­ y genswert findet man auch hier anhand des Graphen. Da es sich beim Tangens auch um eine Funktion handelt, kann man die Werte in ein Koordinatensystem eintragen. Im Bild rechts ist die Tangensfunktion für Winkel zwischen 0° und 360° dargestellt. Sie ist natürlich auch für Winkelwerte definiert, die größer als 360° bzw. negativ sind. Auch hier kann man die Winkel nicht nur im Gradmaß, sondern auch im Bogenmaß angeben.

y = tan a

1

90°

180°

270°

360° a

147

12

Steigungswinkel einer Ursprungsgeraden In Lektion 7 wurde die lineare Funktion besprochen. Ihr Graph ist eine Gerade. Geht die Gerade durch den Ursprung, so lässt sie sich durch die Gleichung y = mx beschreiben. m gibt die Steigung der Geraden an. y Kennt man einen Punkt der Ursprungsge­ P1 (x1 | y1) raden, z. B. P1 (x1 | y1) , so ist die Steigung y1 y1 m = __ x1 . Nun kann man den Anstieg einer Geraden x1 x auch durch ihren Steigungswinkel a ange­ y = mx ben. Der Steigungswinkel ist der Winkel, den die Gerade mit der positiven x­Achse bildet. Welcher Zusammenhang besteht y zwischen der Steigung m und dem Stei­ gungswinkel a? Q (cos a | sin a) Wir wählen einen Punkt Q auf der Gera­ 1 sin a den, der um eine Einheit vom Ursprung a entfernt ist. Ist a der Steigungswinkel, so cos a x y = mx heißen seine x­Koordinate cos a und seine y­Koordinate sin a. sin a Die Steigung ist dann m = _____ cos a . Weil es die Tangensfunktion gibt, kann man das ein­ facher ausdrücken: m = tan a. Dies erleichtert manche Berechnung, wenn es um Steigun­ gen von Geraden geht, wie Sie noch sehen werden.

Aufgaben zu 12.5 1. Bestimmen Sie mit dem Taschenrechner folgende Tangenswerte: a) tan 70° b) tan 125° c) tan (–55°) d) tan 255° 2. Für welche Winkel aus dem Bereich zwischen 00 und 3600 gilt: a) tan a = 2,5 b) tan a = 0,45 c) tan a = ­6,5

e) tan 270°

d) tan a = –1,8

3. Der Steigungswinkel einer Ursprungsgeraden beträgt a = 75°. Wie lautet die Gleichung der Geraden? 4. Bestimmen Sie den Steigungswinkel folgender Ursprungsgeraden: a) y = 2,5x b) y = x c) y = –2x d) y = – x

148

Wiederholungsaufgaben 1. Ergänzen Sie die fehlenden Werte in folgender Tabelle. Die gesuchten Winkel sollen im Bereich zwischen 0° und 180° liegen. a) a (Gradmaß) x (Bogenmaß) sin a

b)

c)

d)

e)

f)

g)

63° 1,5

4 0,966

cos a

0,927 –0,174

tan a

1,192

2. Bestimmen Sie den Steigungswinkel der Geraden y = 0,84x. 3. Erklären Sie anhand der Graphen von Sinus und Kosinus, warum tan 45° = 1 ist. 4. Warum kann eine Gerade, die auf der y­Achse liegt, nicht durch die Gleichung y = mx beschrieben werden? 5. Bestimmen Sie mit dem Taschenrechner den Winkel a, für den sin a = 2 ist. Deuten Sie die Ausgabe des Taschenrechners. 6. Für welche Winkel zwischen 0° und 360° gilt: a) tan a > 0 und gleichzeitig sin a < 0? b) tan a < 0 und gleichzeitig cos a > 0?

12

149

13.

Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck

Vor der Sendung In Lektion 11 haben Sie erfahren, dass man in einem rechtwinkligen Dreieck eine Seite mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen kann, wenn die anderen Seiten bekannt sind. In dieser Lektion wird die Möglichkeit der Berechnung von Größen in einem rechtwinkligen Dreieck erweitert. Jetzt kommen die Dreieckswinkel ins Spiel. Die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens, die in Lektion 12 eingeführt wurden, sind die geeigneten mathematischen Mittel, um in Dreiecken Winkelberechnungen durchzuführen. Natürlich wird in den Anwendungsaufgaben jetzt auch auf den Satz des Pythagoras zurückgegriffen. Sie sollten sich vielleicht zur Wiederholung die eine oder andere Aufgabe aus Lektion 11 in Erinnerung rufen.

Übersicht 1.

Die in Lektion 12 am Einheitskreis definierten Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens werden auf Winkel im rechtwinkligen Dreieck übertragen. An Beispielen wird gezeigt und in Aufgaben geübt, wie man in rechtwinkligen Dreiecken aus gegebenen Seiten Winkel berechnet und mit Hilfe von bekannten Winkeln auf die Längen von Dreiecksseiten schließt.

2.

In der Geometrie, in der Natur, in der Technik und im Alltag gibt es sehr viele Problemstellungen, die mit Hilfe von rechtwinkligen Dreiecken gelöst werden können. Das Berechnen von Seiten und Winkeln in solchen Dreiecken ist deshalb sehr nützlich und wird in sehr vielen Bereichen angewendet. Beispiele hierzu werden das erläutern.

3.

Der Satz des Pythagoras und die Winkelfunktionen werden im weiteren Verlauf des Telekollegs Mathematik nicht nur zur Lösung von Sachproblemen benutzt, sie dienen auch innermathematisch zu Argumentationen und Beweisen. Dann ist es hilfreich, dass die Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte für spezielle Winkel, nämlich 30°, 45° und 60° rasch zur Verfügung stehen. Sie werden hergeleitet und in einer Tabelle zusammengestellt.

150

13.1

Übertragung von Sinus, Kosinus, Tangens auf rechtwinklige Dreiecke Einführungsbeispiel Eine Leiter mit 4 m Länge lehnt an einer Hauswand. Der Abstand des Fußendes der Leiter von der Wand beträgt 2,1 m. Aus Sicherheitsgründen muss der Winkel zwischen Leiter und (horizontalem) Erdboden 70° betragen. Ist diese Bedingung hier erfüllt?

4m a 2,1 m

Das Dreieck aus Leiter, Erdboden und Hauswand ist ein rechtwinkliges Dreieck. Wäre die Höhe an der Hauswand gesucht, so könnte man diese mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Stattdessen ist aber der Winkel a gesucht. Das Dreieck erinnert an Lektion 12. Dort hatte die Hypotenuse allerdings die Länge 1 (siehe Bild). Im Leiterbeispiel hat sie die Länge 4. Wie hängen die beiden rechtwinkligen Dreiecke zusammen? Die Hypotenuse des großen Dreiecks ist viermal so lang wie die des kleinen Dreiecks. Anschaulich kann man sich vorstellen, dass das kleine Dreieck auf die vierfache Länge seiner Seiten „aufgeblasen“ wurde. An der horizontalen Kathete kann man dann ablesen: 2,1 = 4 · cos a. Daraus kann man a bestimmen: 2,1 cos a = ___ = 0,525 4 a ≈ 58° Die Stellung der Leiter erfüllt hier nicht die 70°-Bedingung.

1 a cos a

4

1 a cos a

2,1 m

13

Verallgemeinerung Die Überlegungen, die zur Lösung der Leiteraufgabe führten, lassen sich verallgemeinern: Die Länge der Hypotenuse ist c und die Länge der Kathete, die den anderen Schenkel von a bildet, ist b. Das blaue und das schwarze Dreieck haben „die gleiche Gestalt“, aber verschiedene Größen. In der Mathematik sagt man: Die Dreiecke sind ähnlich.

c 1 a cos a

b

151

Wann sind zwei Dreiecke im mathematischen Sinn ähnlich? Zwei Dreiecke heißen ähnlich zueinander, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen. Für zwei ähnliche Dreiecke gilt: Sind zwei Dreiecke zueinander ähnlich, so ist der Quotient der Längen zweier Seiten in dem einen Dreieck gleich dem Quotienten der Längen der entsprechenden Seiten in dem anderen Dreieck. horizontale Kathete (siehe Bild): Wir betrachten in unseren Dreiecken die Quotienten __________________ Hypotenuse cos a = __ b. b , das heißt: cos a = __ _____ c c 1 Aus dem Bild rechts kann man eine weitere Beziehung ablesen: sin a = __ a a _____ __ c , das heißt: sin a = c . 1

c a 1

sin a

a cos a

b Dies lässt sich auf ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck übertragen.

In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: – Der Sinus eines Winkels ist gleich dem Quotienten: Länge der Gegenkathete durch Länge der Hypotenuse. Gegenkathete sin a = ______________ Hypotenuse

C Ankathete A

Gegenkathete

a Hypotenuse

B

– Der Kosinus eines Winkels ist gleich dem Quotienten: Länge der Ankathete durch Länge der Hypotenuse. Ankathete cos a = ____________ Hypotenuse Die Gegenkathete liegt dem Winkel a gegenüber, die Ankathete ist der eine Schenkel von a.

152

Auch die Winkelfunktion Tangens kann auf rechtwinklige Dreiecke übertragen werden und leistet dort gute Dienste bei der Berechnung von Seiten oder Winkeln. In Lektion 12 wurde der Tangens mit Hilfe von Sinus und Kosinus definiert: sin a tan a = _____ cos a Im Bild rechts bedeutet dies: a __ c tan a = __ b __ c

C a

b

a tan a = __ b

A

a

B

c

a ist Gegenkathete von a und b Ankathete von a. In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: Der Tangens eines Winkels ist gleich dem Quotienten: Länge der Gegenkathete durch Länge der Ankathete. Gegenkathete tan a = ______________ Ankathete 1. Beispiel

C

Es ist b = 4 cm und b = 400. Berechnen Sie die übrigen Seiten und Winkel des Dreiecks.

a

b A

a

b

c

Lösung:

B

b , sin 40° = __ 4 , c = _______ 4 , c ≈ ______ 4 , c ≈ 6,22 cm sin b = __ c c 0,643 sin 40° b , tan 40° = __ 4 , a = _______ 4 , a ≈ _____ 4 , a ≈ 4,76 cm tan b = __ a a tan 40° 0,84 a = 90° – b, a = 500 2. Beispiel Es ist b = 5 cm und c = 8 cm. Berechnen Sie die übrigen Seiten und Winkel des Dreiecks. Lösung:

13

C a

b A

a

c

b

B

a2 = c2 – b2, a2 = 64 – 25, a ≈ 6,24 cm b , cos a = 0,625, a ≈ 51,3° cos a = __ c b = 90° – a, b ≈ 38,7°

153

Aufgaben zu 13.1 1. Nicht immer werden in rechtwinkligen Dreiecken die Variablen a, b und c benutzt. Geben Sie in den folgenden Dreiecken mit Hilfe der jeweiligen Variablen an: sin a = , cos a = , tan a = , sin b = , cos b = , tan b = a)

b)

w

a

c) f

g u

v h

C

b

a

b A

a 6,9 cm 4 cm

x

y

2. In einem rechtwinkligen Dreieck (siehe Bild) sind von den Größen a, b, c, a und b jeweils zwei gegeben. Berechnen Sie die Übrigen.

a) b) c) d)

a

b b

a

b

z

a

b

c

c 9,1 cm

a

8 cm

65°

B

b

2,8 cm 4,5 cm

3. In einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck (siehe Bild) ist c = 9 cm. Berechnen Sie a, die Seitenlänge s und die Höhe h.

39°

s a

h c

s b

4. Unter welchem Winkel treffen die Sonnenstrahlen auf den Boden, wenn der Schatten eines 18 m hohen Mastes 24 m lang ist? 5. In einem Rechteck sind die Diagonalen d = 7,5 cm lang und schneiden sich unter einem Winkel von 55°. Wie lang sind die Rechteckseiten? 6. In einer Raute (siehe Bild) ist a = 40°. Die Seitenlänge ist 7 cm. Wie lang sind die Diagonalen?

154

a

13.2

Anwendungen in verschiedenen Gebieten Aus der Raumgeometrie 1. Beispiel Eine Pyramide hat die Höhe h = 8 cm. Eine Seite der quadratischen Grundfläche ist a = 5 cm lang. a) Wie lang ist die Seitenkante s? b) Wie groß ist der Winkel a, den die Seitenkante mit der Grundfläche bildet? c) Wie groß ist der Winkel b, den eine Seitenfläche mit der Grundfläche bildet?

s h d

b a

a

a

Lösung:

a) Wir greifen das 4. Beispiel im Abschnitt 11.2 (Lektion 11) auf. Dort wurden mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die Längen von d und s berechnet. 2 d = s2 h2 + __ d2 = a2 + a2 2 50 = s2 2 2 d = 50 8 + ___ 4 d ≈ 7,07 s ≈ 8,75 cm

( )

b) In dem blauen rechtwinkligen Dreieck s kann man nun den Winkel a berechh d sind benen. Die Seiten s, h und __ s 2 kannt. Man hat die freie Wahl, ob man d den Sinus, den Kosinus oder den Tangens benutzt: a d __ 2 , tan a = __ h. h , cos a = __ a sin a = __ s s d __ 2 Gleichgültig, welche Formel man wählt, jedes Mal ergibt sich a ≈ 66,1°. c) Zunächst muss man sich klarmachen, dass der Winkel, den die Seitenkante mit der Grundfläche bildet und der Winkel, den die Seitenfläche mit der Grundfläche bildet, nicht gleich sind (siehe Bild). In dem blauen Dreieck sind die beiden Katheten bekannt: die Höhe h und die a. halbe Grundflächenseite __ 2 h , daraus folgt tan b = 3,2. Also ist b ≈ 72,6°. tan b = __ a __ 2

a

13

s h d

b

a

a

155

2. Beispiel Wie groß ist der Winkel a, den die Raumdiagonale eines Würfels mit der Grundfläche bildet (siehe Bild)? Der Würfel hat die Kantenlänge a = 4,5 cm. Zeigen Sie, dass der Winkel unabhängig von der Kantenlänge des Würfels ist.

a

d

a

a

a

Lösung: Anschaulich ist unmittelbar klar, dass der gesuchte Winkel bei kleinen und großen Würfeln immer gleich groß sein muss. Wie zeigt sich das in der Rechnung? Um dies verfolgen zu können, setzen wir in der Rechnung für die Kantenlänge die Variable a und nicht 4,5 cm. Zunächst muss in der quadratischen Grundfläche die Länge d der Diagonalen berechnet werden. d2 = a2 + a2 d2 = 2a2_ d = a √2

Mit Hilfe von d kann nun der Winkel a berechnet werden. a tan a = __ d a_ tan a = ____ √ a 2 1_ tan a = ___ √2

Kürzen durch a.

a ≈ 35,3° Weil man bei tan a durch a kürzen kann, verschwindet das a aus der Rechnung. Die Größe des berechneten Winkels ist also unabhängig von der Kantenlänge und gilt somit für alle Würfel. Aus dem Vermessungswesen Bei der Landvermessung können häufig Längen von Strecken nicht direkt gemessen werden (z. B. die Höhe eines Turms, die Breite eines Sees). Man misst stattdessen geeignete Winkel und berechnet die gesuchten Längen mit trigonometrischen Mitteln. Mit einem Theodolit können im Gelände Winkel gegen die Horizontale gemessen werden. Man unterscheidet „Höhenwinkel“ und „Tiefenwinkel“. Höhenwinkel werden gegen die Horizontale nach oben gemessen, Tiefenwinkel nach unten. 1. Beispiel In 75 m Entfernung von einem Turm wird vom Erdboden der Höhenwinkel zur Spitze gemessen. Es ergibt sich: a = 43°. Welche Höhe h hat der Turm? Lösung: h , h ≈ 75 · 0,933 = 69,94 tan 43° = ___ 75 Der Turm ist ungefähr 70 m hoch.

156

43°

75 m

2. Beispiel Von C aus führen zwei zueinander senkrechte Straßen zu den Punkten A und B. A ist 1000 m von C entfernt. Die Entfernung von A nach B kann man nicht unmittelbar messen, weil ein Hindernis dazwischen ___ liegt. Man ___misst in A den Winkel zwischen AB und AC: a = 37°. Wie groß ist die Entfernung von A nach B?

C 1000 m a

A

B

x

Lösung: 1000 cos 37° = _____ x 1000 x ≈ _____ 0,8 x ≈ 1250

A ist ungefähr 1250 m von B entfernt.

3. Beispiel B

Lösung: Von der Höhe des Hochhauses kennt man die Strecke | CD | = 7 m. Man muss also nur noch die Streckenlänge | DB | berechnen. Sie ist Kathete im Dreieck ADB. In diesem Dreieck kennt man aber nur den Winkel a. Man müsste die Entfernung | AD | = e der beiden Häuser kennen. e kann man aber aus dem Dreieck ACD berechnen: 7 Also ist e ≈ 80. tan 5° = __ e

e

a

A 7m

Von einem 7 m hoch gelegenen Fenster sieht man das Flachdach eines gegenüberliegenden Hochhauses (Punkt B) unter dem Höhenwinkel a = 28° und den Fußpunkt C unter dem Tiefenwinkel b = 5°. Wie hoch ist das Hochhaus?

D

b

C

13

___

DB tan 28° = ___

Daraus folgt | DB | ≈ 42,5. 80 | CB | = 7 + 42,5 = 49,5 Das Hochhaus ist also rund 50 m hoch.

157

Aus dem Alltag 1. Beispiel Ein Verkehrsschild an einer geradlinig verlaufenden Straße zeigt ein Gefälle von 12 % an. Wie groß ist der Winkel der Straße gegen die Horizontale? Lösung: 12 % Gefälle besagt, dass auf 100 m in der Horizontalen der Höhenunterschied 12 m beträgt. 12 tan a = ____ Also ist a ≈ 6,8°. 100

100 m a 12 m

2. Beispiel Ein Holzbrett soll als Aufgang zu einer 1,8 m hohen Laderampe hergestellt werden. Der Winkel zwischen Brett und Erdboden soll 40° betragen. Wie lang muss das Brett werden? Lösung: 1,8 sin 40° = ___ x

Also ist x ≈ 2,8.

Das Brett muss 2,8 m lang werden.

Aufgaben zu 13.2 1. Ein Quader ist 7 cm lang, 5 cm breit und 4 cm hoch. Welchen Winkel bildet die Raumdiagonale mit der Grundfläche? 2. In einer quadratischen Pyramide ist die Seitenlänge der Grundfläche 5,5 cm lang. Der Winkel zwischen einer Seitenkante und der Grundfläche beträgt 58°. Wie hoch ist die Pyramide? 3. Um die Höhe der unteren Wolkengrenze zu bestimmen, wird die Wolkendecke durch einen senkrecht nach oben gerichteten Scheinwerfer angestrahlt. In 300 m Entfernung vom Scheinwerfer wird der Höhenwinkel gemessen, unter dem der Lichtfleck auf der Wolke erscheint. Er beträgt 35°. 4. Von einem 30 m hoch gelegenen Beobachtungspunkt erscheint die Spitze eines Turms unter einem Höhenwinkel von 27,5°, der Fußpunkt unter einem Tiefenwinkel von 3,5°. Wie hoch ist der Turm?

158

5. Wenn ein Lichtstrahl von Luft in Wasser übergeht, dann wird er an der Grenzfläche gebrochen. Es gilt das Brechungsgesetz (siehe Bild): sin a = __ 4 _____ sin b 3 Berechnen Sie den Brechungswinkel b, wenn der Einfallswinkel a = 25° beträgt.

a b

6. Eine Stehleiter mit 2,5 m langen Holmen hat oben einen Öffnungswinkel von 36°. Wie weit ist der höchste Punkt der Leiter vom Erdboden entfernt?

7. Um die Breite eines Flusses zu berechnen, werden von einem Hubschrauber H aus, der sich 35 m über dem Fluss befindet, die beiden Ufer angepeilt und die Tiefenwinkel gemessen: a = 28°, b = 118°.

H b a

8. Eine 5 m lange Leiter wird an eine Hauswand gelehnt. Der Winkel zwischen Leiter und Erdboden muss nach Vorschrift 70° betragen. Das ist mit einem Winkelmesser schwer zu machen. Man kann aber berechnen, wie weit das Fußende der Leiter von der Hauswand entfernt sein muss.

13.3

Sinus, Kosinus, Tangens für spezielle Winkelgrößen Natürlich kann man mit dem Taschenrechner zu jedem Winkel den Sinus, den Kosinus oder den Tangens bestimmen. Man erhält dann einen Näherungswert. In praktischen Anwendungsaufgaben sind dies genau die Werte, die man zur Lösung eines Sachproblems benötigt. Bei innermathematischen Fragestellungen und Argumentationen – insbesondere bei Beweisen – ist es bisweilen nützlich bzw. erforderlich, dass man für spezielle Winkelgrößen exakte Werte benutzt. Im Folgenden werden solche Werte durch geometrische und trigonometrische Überlegungen hergeleitet. Es ist für Sie nicht unbedingt erforderlich, dass Sie diese Werte auswendig wissen, es kann aber in bestimmten Situationen sehr hilfreich sein. In einem gleichseitigen Dreieck sind nicht nur alle Seiten gleich lang, sondern auch alle Winkel gleich groß, nämlich 60°. Durch eine Höhe wird das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt.

159

13

Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras kann man im blauen Dreieck h berechnen. a 2 h2 = a2 – __ 2 3 a2 h2 = __ 4 _ 1 √3 h = a · __ 2

( )

a 30°

a

h

60° a

Da im blauen Dreieck jetzt alle Seiten bekannt sind, kann man für die Winkel im blauen Dreieck, nämlich 60° und 30°, die Werte für Sinus, Kosinus und Tangens ermitteln. h sin 60° = __ a

a __ 2 __ cos 60° =

h tan 60° = __ a

2 sin 60° = _______ a

1 cos 60° = __

1 √3 a · __ 2 tan 60° = _______ a __ 2

_ 1 √3 a · __ _

__

a

2

2

1 √3 sin 60° = __ 2

_

_

tan 60° = √3 a __ 2 __ sin 30° = a

1 sin 30° = __ 2

h cos 30° = __ a

a __ 2 __ tan 30° =

_

h

1 √3 a · __ 2 _______ cos 30° = a _ 1 cos 30° = __ √3 2

a __

2 _ tan 30° = _______ __ a · 1 √3 2 _ 1 1 √3 ___ tan 30° = _ = __ √3 3

_

1_ mit √3 erweitert. Hinweis: Bei tan 30° wurde der Bruch ___ √3 Entsprechende Überlegungen kann man auch für den Winkel 45° anstellen. Man geht von einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck aus. Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras kann man c berechnen. c2 = a2 + a2 c2 = 2a2_ c = a √2 Daraus ergibt sich:

160

a 45°

a

c

a sin 45° = __ c

a cos 45° = __ c

a tan 45° = __ a

a_ sin 45° = ____ √ a 2 _ 1_ = __ 1 √2 sin 45° = ___ √2 2

a_ cos 45° = ____ √ a 2 _ 1_ = __ 1 √2 cos 45° = ___ √2 2

tan 45° = 1

45°

Wiederholungsaufgaben C

1. In einem rechtwinkligen Dreieck (siehe Bild) sind von den Größen a, b, c, h, a und b jeweils zwei gegeben. Berechnen Sie die Übrigen.

b A

a a) b) c)

b

c

3,3 cm

9,1 cm

4 cm

h

a q

p

b p

c

q

a

B

b

2,6 cm 7,7 cm

d)

41° 4 cm

60°

e)

2,6 cm

f) g)

a h

3,3 cm

70°

4,9 cm

8 cm

5 cm

2. Berechnen Sie die Höhe h des Parallelogramms aus a = 7,9 cm, b = 4,6 cm und a = 62° (siehe Bild).

b a

h a

3. Ein unterirdisch verlegtes gerades Rohr hat in einer Karte mit dem Maßstab 1 : 20 000 die Länge von 5,3 cm. Der Anfangspunkt liegt höher als der Endpunkt. Der Neigungswinkel beträgt 8°. a) Wie lang ist das Rohr? b) Wie groß ist der Höhenunterschied zwischen Anfangspunkt und Endpunkt? 4. Ein Graben ist 1,8 m tief, an der Oberfläche 4,9 m und am Boden 3,1 m breit. Wie groß ist der Neigungswinkel a der Böschung? 5. Ein Walmdach hat die im Bild angegebenen Maße. Seine Höhe beträgt 6,5 m. Unter welchem Winkel sind a) die trapezförmigen Dachflächen b) die dreieckigen Dachflächen`gegen den Dachboden geneigt?

13

a

6m

9m

16 m

161

14.

Der Sinussatz

Vor der Sendung Wie Sie an den unterschiedlichen Beispielen und Aufgaben von Lektion 13 gesehen ha­ ben, kann es sehr nützlich sein, in Dreiecken gesuchte Seitenlängen und Winkelgrößen zu berechnen, wenn die Längen anderer Seiten oder die Größe anderer Winkel bekannt sind. Allerdings ist dies bis jetzt nur eingeschränkt möglich. Die Dreiecke müssen nämlich rechtwinklig sein. Das soll sich in dieser und der nächsten Lektion ändern. Sie lernen, wie man auch in Dreiecken, die keinen rechten Winkel haben, Seitenlängen und Winkelgrößen aus gegebenen Stücken berechnen kann. Natürlich werden Sie jetzt Ihre Kenntnisse über die Winkelfunktionen benötigen. Auch der Satz des Pythagoras bleibt in dieser Lektion nicht außen vor. Sollten Sie das Gefühl haben, dass Sie mit den Inhalten der Lektionen 11 bis 13 noch nicht so ganz vertraut sind, dann wäre es ratsam, sich die Definitionen der Winkelfunktionen noch einmal anzuschauen und die zugehörigen Graphen in Erinnerung zu rufen. Auch ein Blick auf die eine oder andere Aufgabe zum Satz des Pythagoras kann nicht schaden.

Übersicht 1.

In der letzten Lektion wurde erarbeitet, wie man in einem rechtwinkligen Dreieck Seitenlän­ gen und Winkelgrößen aus bekannten Stücken berechnen kann. Dies wird jetzt erweitert. Berechnungen werden jetzt auch in Dreiecken möglich, die keinen rechten Winkel haben. Hierzu dient der so genannte Sinussatz, der schrittweise hergeleitet wird.

2.

Es wird an Beispielaufgaben vorgerechnet, wie man den Sinussatz anwendet, um ge­ suchte Größen in einem Dreieck zu berechnen. Dabei wird auch auf Sonderfälle hingewie­ sen – z. B. Aufgaben mit mehr als einer Lösung oder gar keiner Lösung. Es wird gezeigt, wie man diese Sonderfälle bei der Berechnung erkennt, wie sie zu erklären sind und wel­ che Folgerungen man im Einzelfall ziehen muss.

3.

Wie schon in Lektion 13 bei rechtwinkligen Dreiecken werden Aufgaben aus unterschiedlichen Anwendungsbereichen, insbesondere aus dem Gebiet der Landvermessung, in denen allgemeine Dreiecke eine Rolle spielen, beschrieben und gesuchte Größen berech­ net.

162

14.1

Herleitung des Sinussatzes In Lektion 13 wurden Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken durchgeführt. Es gibt aber oft auch Situationen, bei denen kein rechter Winkel vorliegt, sondern Berechnungen in einem allgemeinen Dreieck notwendig sind. Um solche Aufgaben zu lösen, gibt es zwei Sätze, den Sinussatz und den Kosinussatz. In dieser Lektion wird der Sinussatz behandelt, in der nächsten Lektion der Kosinussatz. Zunächst erfolgt die Herleitung des Sinussatzes für spitzwinklige Dreiecke, das heißt für Dreiecke, deren drei Winkel zwischen 0° und 90° liegen.

1. Teil des Sinussatzes: Beziehung zwischen a, b, a und b Die Dreiecke ADC und CDB sind recht­ winklig. hc h sin b = __ sin a = __c a b hc = a · sin b hc = b · sin a

C g

Gleichsetzen der beiden Gleichungen er­ gibt: a · sin b = b · sin a a = _____ b _____ sin a

sin b

b

A

a hc b

a

c

D

B

Dies ist der 1. Teil des Sinussatzes.

2. Teil des Sinussatzes: Beziehung zwischen b, g, b und c Die Dreiecke AEC und ABE sind recht­ winklig. ha sin b = __ c ha = c · sin b

h sin g = __a b ha = b · sin g

C g E

Gleichsetzen der beiden Gleichungen ergibt: b · sin g = c · sin b b = _____ c _____ sin b

sin g

14

a

b ha

A

a

b c

B

Dies ist der 2. Teil des Sinussatzes.

163

3. Teil des Sinussatzes: Beziehung zwischen a, g, a und c Um den Sinussatz für a, g, a, c herzuleiten, könnte man in dem Dreieck die Höhe hb ein­ zeichnen und dann entsprechend verfahren wie oben. Wir wählen hier einen anderen Weg, indem wir von den beiden Gleichungen ausgehen, die bereits hergeleitet sind. b und _____ b = _____ c a = _____ _____ sin a

sin b

sin b sin g b c , so ergibt sich: Ersetzt man _____ in der linken Gleichung durch _____ sin b sin g a = _____ c _____ sin a

sin g

Dies ist der 3. Teil des Sinussatzes. Sinussatz In einem Dreieck sind für alle drei Seiten bzw. Winkel die Quotienten einer Seiten­ länge durch den Sinus des gegenüber­ liegenden Winkels gleich.

C g a

b

b = _____ c a = _____ _____ sin a

sin b

sin g

A

a

b c

B

Merkregel: Da in Dreiecken nicht immer die Seiten mit a, b, c und die Winkel mit a, b, g bezeichnet werden, sollte man sich für das Lösen von Aufgaben Folgendes merken: a , _____ b , _____ c Jeder der drei Quotienten des Sinussatzes _____ stellt eine Beziehung sin a sin b sin g zwischen einer Seite und dem gegenüberliegenden Winkel dar. Man kann nun, je nach Aufgabe, zwei Quotienten herausgreifen und diese gleichsetzen. Dies ergibt dann die drei b , _____ b = _____ c und _____ a = _____ c . a = _____ bereits bekannten Gleichungen _____ sin a sin b sin b sin g sin a sin g Der Sinussatz gilt auch für stumpfwinklige Dreiecke. Dies soll jetzt gezeigt werden. Ein Dreieck heißt stumpfwinklig, wenn ein Winkel größer als 90° ist.

164

Wenn der Winkel a stumpf ist, liegt die Höhe hc außerhalb des Dreiecks. Wir betrachten deshalb das gestrichelte Dreieck (siehe Bild). In ihm kommen hc und b vor, aber nicht a. Deshalb wählen wir vorübergehend den „Ersatzwinkel“ a1. h sin a1 = __c b hc = b · sin a1

hc sin b = __ a hc = a · sin b

C g

Gleichsetzen der beiden Gleichungen ergibt: a · sin b = b · sin a1 a = _____ b _____ sin a1 sin b

hc

a

b a1 a A

c

b

B

Das sieht so aus wie der Sinussatz. Schön und gut! Im Sinussatz steht aber nicht a1, sondern a. Der Zusammenhang zwischen a und a1 entnimmt man dem stumpfwinkligen Dreieck (siehe Bild oben): a = 180° – a1. Welcher Zusammenhang besteht dann zwischen sin a und sin a1? Dies lässt sich am Graphen ermitteln (siehe Bild). Man liest ab, dass sin (180° – a) genau so groß ist wie sin a.

y 1 sin a

Für Winkelgrößen zwischen 0° und 180° gilt: sin a = sin (180° – a)

x a

180°– a

180°

Für den Sinussatz im stumpfwinkligen Dreieck erhält man also die gleiche Beziehung wie a = _____ b . im spitzwinkligen Dreieck _____ sin a sin b Auch die beiden anderen Beziehungen des Sinussatzes lassen sich auf stumpfwinklige Dreiecke übertragen. Die Beweise verlaufen analog dem oben geführten.

14.2

Berechnungen im Dreieck mit dem Sinussatz In der Schule werden im Geometrieunterricht Dreiecke mit Zirkel, Lineal und Geodreieck gezeichnet. Dabei zeigt sich, dass von den drei Seiten und drei Winkeln eines Dreiecks drei Größen bekannt sein müssen. Dann kann man das Dreieck konstruieren. Mit einer Ausnahme: Drei Winkel reichen nicht aus. Das können Sie sich leicht selbst über­ legen: Stellen Sie sich vor, Sie sollen aus a = 50°, b = 60° und g = 70° ein Dreieck zeichnen. Über die Seitenlängen ist nichts gesagt. Dann könnten Sie doch Dreiecke mit ganz unter­ schiedlichen Seitenlängen zeichnen, die alle die oben angegebenen Winkelbedingungen erfüllen. In Lektion 13 wurden solche Dreiecke „ähnlich“ genannt.

165

14

In vielen Aufgaben, auch in der Praxis, sind drei Größen eines Dreiecks bekannt und an­ dere gesucht. Durch Zeichnen kann man solche Aufgaben lösen. Man muss aber, um die gesuchten Streckenlängen oder Winkelgrößen zu ermitteln, nicht zeichnen. Man kann diese auch berechnen.

Übersicht über die verschiedenen Aufgabentypen In folgender Tabelle werden die möglichen Typen von Aufgaben zusammengestellt, die auftreten können, wenn in einem Dreieck drei Größen gegeben und die anderen gesucht sind. Anschließend werden für die Aufgabentypen, die mit dem Sinussatz gelöst werden, die jeweiligen Lösungswege erläutert und Beispiele vorgerechnet. Die Aufgabentypen, die sich für eine Lösung mit dem Sinussatz nicht eignen, werden in Lektion 15 behandelt. Aufgabentyp

Gegeben

Beispiel

1

Zwei Winkel, eine Seite

a = 75° c = 6 cm b = 58°

2a

Ein Winkel, zwei Seiten, eine anliegende und eine dem Winkel gegenüberliegende Seite

a = 20° a = 3,5 cm b = 6 cm

2b

Ein Winkel, zwei Seiten, die den Winkel einschließen

a = 60° b = 5,7 cm c = 7,9 cm

Drei Seiten

a = 7,5 cm b = 5,1 cm c = 6,9 cm

3

Lösen mit

Bemerkung

Sinussatz

Sinussatz

Es kann zwei Lösungen, eine oder keine Lö­ sung geben.

Kosinussatz (wird in Lektion 15 behandelt)

Kosinussatz

Es kann eine (wird in Lektion oder keine Lö­ 15 behandelt) sung geben.

Aufgabentyp 1 Gegeben: Zwei Winkel und eine Seite Wenn zwei Winkel gegeben sind, wird man mit Hilfe des Winkelsummensatzes zunächst den dritten Winkel berechnen. Dann lassen sich mit der gegebenen Seite und einer ge­ suchten Seite passende „Pärchen“ aus Seite und Winkel bilden.

166

Beispiel:

C g

Von einem Dreieck sind gegeben: a = 75°, c = 6 cm, b = 58°. Gesucht sind g, a und b. Vorüberlegungen zur Lösung: – Zunächst wird der Winkel g mit dem Winkelsummensatz berechnet. c kann man dann zu­ – Mit Hilfe von _____ sin g erst a berechnen (a ist gegeben) und dann b (b ist gegeben) oder umgekehrt. Lösung: Winkel g: Die Summe der Winkelgrö­ ßen im Dreieck ist 1800. Also ist: g = 1800 – a – b g = 47°

a

b

A

b

a

c

Seite a:

B

Seite b:

c a = _____ _____

c b = _____ _____

sin a sin g c · sin a a = _____ sin g

sin b sin g c · sin b b = _____ sin g

a ≈ 7,92 cm

b ≈ 6,96 cm

Aufgabentyp 2a Gegeben: Ein Winkel und zwei Seiten (eine anliegende und eine dem Winkel gegenüberliegende Seite) Beispiel: Von einem Dreieck sind gegeben: a = 20°, a = 3,5 cm, b = 6 cm. Gesucht sind: b, g und c. Bei diesem Aufgabentyp ist Vorsicht ge­ boten. Man kann sich an einer Skizze vor­ ab anschaulich klarmachen, dass es zwei verschiedene Dreiecke gibt, die die vor­ gegebenen Bedingungen erfüllen (siehe Bild). In beiden Dreiecken stimmen a, b, und a überein. b, g und c sind aber verschie­ den. Das muss sich auch bei der Berechnung zeigen.

C g b A

a b

a

c

B

C b A

a

c

14

g a

b B

167

Vorüberlegungen zur Lösung: a beginnen. – Da a und a gegeben sind, sollte man mit _____ sin a b zur Berechnung von b. – Da b gegeben und b gesucht ist, eignet sich der Term _____ sin b – Über die Winkelsumme errechnet man g und mit g schließlich c. Lösung: Da wir zwei verschiedene Lösungen erwarten, bezeichnen wir die gesuchten Größen mit b1, g1 und c1 bzw. b2, g2 und c2 . Winkel b1: a = _____ b _____ sin a sin b1 sin a · b sin b1 = _____ a sin b1 ≈ 0,586 b1 ≈ 35,9°

Winkel g1: Die Summe der Winkelgrö­ ßen im Dreieck ist 180°. Also ist: g1 = 180° – a – b1 g1 ≈ 124,1°

Seite c1:

c1 a _____ = _____

sin g1 sin a a · sin g c1 = _____ 1 sin a c1 ≈ 8,47 cm

In Lektion 12 haben Sie gelernt, dass es zwischen 0° und 180° zu einem Sinuswert zwei Winkelgrößen gibt. Zu sin b1 ≈ 0,586 gibt es also einen zweiten Winkelwert: b2 = 180° – b1. Winkel b2: b2 = 180° – 35,9° b2 ≈ 144,1°

Winkel g2: g2 = 180° – a – b2 g2 ≈ 15,9°

Seite c2: a · sin g c2 = _____ 2 sin a c2 ≈ 2,8 cm

Was bei diesem Aufgabentyp auch passieren kann Bei den beiden folgenden Sonderfällen werden die gleichen Größen im Dreieck vorgege­ ben wie oben. Es wird nur der Zahlenwert von a geändert. Sonderfall 1: Die Aufgabe hat nur eine Lösung. Von einem Dreieck sind gegeben: a = 20°, a = 7 cm, b = 6 cm. Rechnet man wie oben die gesuchten Größen aus, so erhält man: 1. Lösung: b1 ≈ 17°, g1 ≈ 143° und c1 ≈ 12,3 cm. 2. Lösung: b2 ≈ 163°. Wenn man jetzt g2 berechnet, g2 ≈ 180° – 163° – 20°, so erhält man g2 ≈ –3°. Die zweite Lösung ist unbrauchbar. Es gibt hier also nur eine Lösung.

168

Wie muss man sich das vorstellen? –

C g

b

Nehmen wir an, das Dreieck im Bild rechts zeigt die eine Lösung. Wenn man b und a unverändert lässt, gibt es keine Möglich­ keit, mit der vorgegebenen Länge von a ein zweites Dreieck zu erzeugen. Die Seite a ist „zu lang“.

A

a

a b

c

B

Sonderfall 2: Die Aufgabe hat keine Lösung. Von einem Dreieck sind gegeben: a = 20°, a = 2 cm, b = 6 cm. Jetzt scheitert man schon bei der Berechnung von b1: sin a · b sin b1 = _____ a sin b1 ≈ 1,03 Alle Sinuswerte liegen aber zwischen –1 und +1. Hier gibt es gar keine Lösung. C g

Wie muss man sich dieses vorstellen? – b

a ist hier „so klein“, dass – wie man im­ mer a auch legt – kein Dreieck zustande kommt.

A

a

a c

Was sollte man sich für diesen Aufgabentyp 2a merken? Wenn ein Winkel und zwei Seiten (eine anliegende und eine dem Winkel gegenüberlie­ gende Seite) gegeben sind, kann es als Lösung zwei Dreiecke, ein Dreieck oder gar kein Dreieck geben. Welcher Fall eintritt, merkt man – wie oben beschrieben – bei der Lösung der Aufgabe mit dem Sinussatz.

Aufgaben zu 14.1 und 14.2 In den folgenden Aufgaben sind von den sechs Größen a, b, c, a, b, g jeweils drei gege­ ben. Berechnen Sie die fehlenden Größen. Fertigen Sie jeweils eine Zeichnung an, um Ihre Ergebnisse zu veranschaulichen oder zu kontrollieren. 1. a = 8,9 cm

a = 53°

b = 41°

2. b = 7,6 cm

a = 75°

g = 52°

3. c = 5,7 cm

b = 44°

g = 110°

4. a = 8,5 cm

c = 9,3 cm

a = 65°

169

14

5. a = 4,4 cm

b = 95°

g = 38°

6. b = 3,3 cm

c = 5,7 cm

b = 78°

7. b = 7,6 cm

a = 75°

b = 28°

8. b = 7,5 cm

c = 6,5 cm

b = 18°

9. b = 2,3 cm

c = 1,3 cm

g = 32°

a = 33°

b = 112°

10. c = 10,5 cm

14.3

Anwendungen des Sinussatzes 1. Beispiel An den Punkten P, Q und R stehen Türme, die man von Weitem sehen kann. Die Ent­ fernungen von P nach Q und von P nach R kann man wegen eines Flussverlaufs nicht messen. Man wählt die Türme als Vermes­ sungspunkte und misst die Länge |QR|. Um die Entfernungen | PQ | und | PR | zu be­ rechnen, misst man ferner den Winkel in Q und den Winkel in R (siehe Bild).

P a

Q

74° 3,2 km

47°

R

Lösung: Bei einer solchen Anwendungsaufgabe muss man sich zunächst klarmachen, welcher Aufgabentyp vorliegt, das heißt, was gegeben und was gesucht ist. In dieser Aufgabe sind eine Seite und zwei Winkel gegeben. Man übernimmt den Lösungsweg, der für diesen Aufgabentyp in Abschnitt 14.2 (Aufga­ bentyp 1) beschrieben ist, setzt die gegebenen Zahlenwerte ein und rechnet aus. Zunächst wird a mit dem Winkelsummensatz berechnet: a = 59°. | PQ | | PR | 3,2 3,2 und _______ = _______ kann man die gesuchten Entfernungen Aus _______ = _______ sin 59° sin 74° sin 59° sin 47°

berechnen. Ergebnis: | PR | ≈ 3,6 km

| PQ | ≈ 2,7 km

Beachten Sie bitte, dass bei Anwendungsaufgaben oft nicht die üblichen Bezeichnungen an Dreiecken (a, a, …) verwendet werden.

170

2. Beispiel

6,2 km

Im Gelände soll die Entfernung des Punkts F vom Punkt E berechnet werden, da sie geländebedingt nicht gemessen werden kann. Gemessen werden können die Ent­ fernungen | HF | und | HE | und der Winkel bei F (siehe Bild).

H

36°

F

b

3,7 km a E

Lösung: Zunächst muss man sich auch hier klarmachen, welcher Aufgabentyp vorliegt. In dieser Aufgabe sind ein Winkel gegeben und zwei Seiten, eine an den Winkel anliegende und eine dem Winkel gegenüberliegende. Man übernimmt den Lösungsweg, der für diesen Aufgabentyp in Abschnitt 14.2 (Aufga­ bentyp 2a) beschrieben ist, setzt die gegebenen Zahlenwerte ein und rechnet aus. 6,2 3,7 Aus _______ = _____ ergibt sich sin a ≈ 0,985. sin 36° sin a Aufgepasst! Zu diesem Sinuswert gibt es zwei Winkelgrößen: a1 ≈ 80° und a2 ≈ 100°. Daraus folgen zwei Werte für b: b1 ≈ 64° und b2 ≈ 44°. Also hat die Aufgabe zwei Lösungen: | EF | 3,7 _______ = _______

| EF | 3,7 _______ = _______

| EF |

| EF |

sin 36°

sin 64°

sin 36°

≈ 5,7 km 6,2 km H

36°

b1

≈ 4,4 km

F 6,2 km H

5,7 km

3,7 km a1

sin 44°

36°

F

b2 4,4 km 3,7 km

a2 E

E

Mathematisch kann man nicht entscheiden, ob im Gelände Lösung 1) oder Lösung 2) die gesuchte Entfernung ist.

171

14

3. Beispiel

T

Im Gelände wurden drei Punkte T, S, U ausgewählt. Von jedem Punkt aus wurden die beiden anderen Punkte angepeilt und der Winkel zwischen den Strecken zu die­ sen Punkten gemessen. Es ergab sich: bei T: 61°, bei S: 47° und bei U: 72°. Wie groß ist die Entfernung von T nach S?

61°

U

72°

47°

S

Lösung: In dieser Aufgabe sind drei Winkel gegeben. Da keine der Seitenlängen bekannt ist, kann man die Aufgabe weder mit dem Sinussatz noch mit dem Kosinussatz lösen. Auch zeichnerisch kann man sie nicht eindeutig lösen. Man kann die Länge einer Seite frei wählen, das Dreieck also so „groß“ machen, wie man will. Im Abschnitt 13.1 haben Sie erfahren, dass man zwei Dreiecke, die in drei Winkeln übereinstimmen, ähnlich nennt. Noch eine kritische Beobachtung: Wenn, wie in dieser Aufgabe, drei Winkel gegeben sind, so ist das eigentlich Augenwischerei. Es würde nämlich genügen, wenn man zwei der drei Winkel angibt. Den Dritten könnte man mit Hilfe des Winkelsummensatzes errechnen. Man hätte sich diesen dritten Messvorgang ersparen können. Somit sind gar nicht drei Größen dieses Dreiecks angegeben, sondern nur zwei. Und mit zwei Größen ist ein Dreieck nicht eindeutig festgelegt.

Aufgaben zu 14.3 1. Bei einer Landvermessung werden drei Vermessungspunkte festgelegt: A, B und C. Gemessen werden: | AB | = 82,4 m, | BC | = 87,3 m und der Winkel bei C: g = 62,6°. Gesucht ist die Entfernung von A nach C. 2. Um die Entfernung eines___ unzugänglichen Punkts P von zwei Punkten A und B zu bestim­ 1645,3 m. In A und in___ B wird der men, wird die Länge von AB ___gemessen: ___ ___ Punkt P angepeilt und die Winkel zwischen AB und AP (35,12°) und zwischen AB und BP (106,48°) gemes­ sen. ___

3. Zwischen zwei Punkten P und Q liegt sumpfiges Gelände. Um die Länge von ___ PQ zu be­ (318,2 m) stimmen, von AP___ ___ wählt man seitwärts einen Punkt A und misst die Längen___ und AQ (267,4 m). Von Q aus wird P angepeilt. Der Winkel zwischen AP und PQ beträgt 68,78°.

172

Wiederholungsaufgaben 1. In einem Dreieck sind von den Größen a, b, c, a, b und g jeweils drei gegeben. Berechnen Sie die Übrigen. a a)

b

c

10 m

11 m

b)

a

4,4 km

d)

7 cm

g

65,4°

12,4 cm

c)

b

48,2°

7,1 km

83,3°

33,5° 61°

43°

2. Vom Dach eines 100 m hohen Hochhauses sieht man die beiden Uferränder eines Flusses unter den Tiefenwinkeln a = 5,6° und b = 10,8°. Wie breit ist der Fluss an dieser Stelle?

3. Ein Schiff fährt auf geradem Kurs. In zwei Positionen, A und B, wird vom Schiff aus der Leuchtturm L angepeilt (siehe Bild). Wie weit ist das Schiff in Position A bzw. B von L entfernt?

135°

B 12 km 82° A

L ___

4. Vom Endpunkt A einer Standlinie AB in der horizontalen Ebene, die 950 m lang ist, er­ scheint ein Berg unter dem Höhenwinkel 21,2°. In der Horizontalebene werden die Winkel a = 52,4° und b = 80,5° gemessen. Wie hoch ist der Berg?

21,2° A

14

a

b B

173

15.

Der Kosinussatz

Vor der Sendung Berechnungen in Dreiecken stehen auch in dieser Lektion zur Diskussion. Bis jetzt können Sie Berechnungen durchführen in rechtwinkligen Dreiecken und in bestimmten allgemei­ nen Dreiecken. Aber noch nicht in allen. Machen Sie sich, bevor Sie Lektion 15 bearbeiten, noch einmal anhand der Übersichts­ tabelle in Abschnitt 14.2 bewusst, welche verschiedenen Fälle auftreten können, wenn in einem Dreieck drei Größen gegeben und die restlichen gesucht sind. Machen Sie sich auch klar, welche der Fälle mit dem Sinussatz gelöst werden können.

Übersicht 1.

In dieser Lektion werden Berechnungen in einem allgemeinen Dreieck möglich gemacht, wenn Folgendes gegeben ist: – zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel. – drei Seiten. Um Aufgaben der genannten Art lösen zu können, wird ein weiterer Satz hergeleitet und angewendet: der Kosinussatz.

2.

Es wird an Beispielaufgaben vorgerechnet, wie man den Kosinussatz anwendet, um ge­ suchte Größen in einem Dreieck zu berechnen. Dabei ergibt sich auch, dass der Satz des Pythagoras ein Spezialfall des Kosinussatzes ist.

3.

Die Sammlung der Aufgaben aus unterschiedlichen Anwendungsbereichen in Lektion 14, insbesondere aus dem Gebiet der Landesvermessung, in denen allgemeine Dreiecke eine Rolle spielen, wird erweitert und ergänzt.

174

15.1

Herleitung des Kosinussatzes Noch ist es nicht möglich, Berechnungen in allgemeinen Dreiecken durchzuführen, un­ abhängig davon, welche Größen gegeben und welche gesucht sind. Um diese Lücke zu schließen, wird jetzt der Kosinussatz, und zwar zunächst für spitzwinklige Dreiecke, hergeleitet. Bisher war es nicht möglich, Seiten und Winkel in einem Dreieck zu berechnen, wenn zwei Seiten und der eingeschlosse­ ne Winkel gegeben sind. Als Ziel der folgenden Überlegungen stel­ len wir uns deshalb vor, dass b, c, und a gegeben sind und a gesucht ist. a ist der von den Seiten b und c eingeschlossene Winkel.

C g b

A

a

hc

a q

D

b p

B

c

Mit dem Sinussatz kommt man hier nicht weiter, da die „Winkelpartner“ von b und c, nämlich b und g, unbekannt sind und über den Winkelsummensatz auch nicht berechnet werden können. Also versuchen wir es mit dem Satz des Pythagoras, und zwar im Dreieck CDB, weil die gesuchte Größe a in diesem Dreieck liegt. Seite a:

Hypotenusenabschnitt p:

Höhe hc:

a2 = p2 + h 2c

p=c–q q = b · cos a (Dreieck ADC) p = c – b · cos a

hc = b · sin a (Dreieck ADC)

a2 = (c – b · cos a)2 + (b · sin a)2 a2 = c2 – 2cb · cos a + b2 · (cos a)2 + b2 · (sin a)2 a2 = c2 – 2cb · cos a + b2 · [(cos a)2 + (sin a)2]

In Lektion 12 haben Sie eine Formel gelernt, die uns jetzt zugute kommt: (sin a)2 + (cos a)2 = 1 a2 = c2 – 2bc · cos a + b2 Umgeformt merkt sich’s leichter:

15

a2 = b2 + c2 – 2bc · cos a

Das ist bereits der 1. Teil des Kosinussatzes.

175

Um zum 2. Teil des Kosinussatzes zu kommen, wendet man den Satz des Pythagoras auf das Dreieck CAD an. Seite b: b = q + hc 2

2

2

Hypotenusenabschnitt q:

Höhe hc:

q=c–p p = a · cos b (DreieckCDB) q = c – a · cos b

hc = a · sin b (Dreieck CDB)

Führt man ausgehend von diesen Gleichungen die obige Herleitung analog durch, so er­ hält man: Das ist der 2. Teil des Kosinussatzes. b2 = a2 + c2 – 2ac · cos b Wenn man in dem spitzwinkligen Dreieck statt hc die Höhe hb einzeichnet, dann kommt man auf dem entsprechenden Weg, wie der oben dargestellte, zu folgender Beziehung: Das ist der 3. Teil des Kosinussatzes. c2 = a2 + b2 – 2ab · cos g Kosinussatz

C g

Für jedes Dreieck gilt:

a

b

a = b + c – 2bc · cos a b2 = a2 + c2 – 2ac · cos b c2 = a2 + b2 – 2ab · cos g 2

2

2

A

a

c

b

B

Muss man diese drei Formeln alle auswendig lernen? – Nein! Folgende Merkregel kann helfen: – Auf der linken Seite jeder Gleichung steht das Quadrat einer Seitenlänge. – Die rechte Seite beginnt mit der Summe der Quadrate der anderen Seitenlängen. – Davon wird subtrahiert: das Produkt dieser Seiten – mal 2 – mal dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels. Man kann es sich auch so merken: Der eingeschlossene Winkel ist immer der „Partner“ der Dreiecksseite, die auf der linken Seite der Gleichung steht (a ↔ a, b ↔ b, c ↔ g). Sie wissen, dass man in der Mathematik Ergebnisse, die man an einem speziellen Fall gewonnen hat (z. B. Kosinussatz für spitzwinklige Dreiecke), nicht leichtfertig verallge­ meinern darf. Jede Verallgemeinerung muss bewiesen werden. Da in der Formulierung des Kosinussatzes behauptet wird, er gelte für alle Dreiecke, er aber nur für spitzwinklige hergeleitet wurde, folgt nun ein Beweis, dass er auch für stumpfwinklige Dreiecke ange­ wendet werden darf. Wenn es Sie drängt, den Kosinussatz möglichst bald anzuwenden, können Sie die nächsten Ausführungen überspringen und zu Abschnitt 15.2 gehen.

176

Wir beschränken uns im Folgenden auf den 1. Teil des Kosinussatzes, weil die Herleitung des 2. und 3. Teils entsprechend verläuft. Seite a: a = (c + q) + h 2

2

2 c

Hypotenusenabschnitt q:

Höhe hc:

q = b · cos a1

hc = b · sin a1

a2 = (c + b · cos a1)2 + (b · sin a1)2

C g

a2 = c2 + 2cb · cos a1 + b2 · (cos a1)2 + b2 · (sin a1)2 a = c + 2cb · cos a1 + b · [(cos a1) + (sin a1) ] 2

2

2

2

hc

a

b

2

D

q

a1 a A

c

b

B

Weil (sin a1)2 + (cos a1)2 = 1 ist, ergibt sich a2 = c2 + 2bc · cos a1 + b2. Nun muss noch a1 durch a ersetzt werden. Aus der Figur entnimmt man: a1 = 180° – a. Und aus Lektion 12 wissen Sie: cos (180° – a) = – cos a. cos a1 muss man also durch – cos a ersetzen. Daraus folgt: a2 = c2 – 2bc · cos a + b2 Das ist genau der 1. Teil des Kosinussatzes, wie er für spitzwinklige Dreiecke hergeleitet wurde.

15.2

Berechnungen im Dreieck mit dem Kosinussatz In Lektion 14 (Abschnitt 14.2) wurde erläutert, dass man fehlende Größen in einem Dreieck berechnen kann, wenn drei Stücke bekannt sind – mit Ausnahme von drei Winkeln. Hier noch einmal eine Übersicht über die möglichen Aufgabentypen: Aufgabentyp

Gegeben

Lösen mit

1

Zwei Winkel, eine Seite

2a

Ein Winkel, zwei Seiten, eine anliegende und eine dem Winkel gegenüberliegende

2b

Ein Winkel, zwei Seiten, die den Winkel einschließen

Kosinussatz

3

Drei Seiten

Kosinussatz

Bemerkung

Sinussatz Sinussatz

Es kann zwei Lösungen, eine oder keine Lösung geben.

15

Es kann eine oder keine Lösung geben.

Hinweis: Aufgaben vom Typ 2a können auch mit dem Kosinussatz gelöst werden. Die Be­ rechnung der dritten Seite führt allerdings auf eine quadratische Gleichung.

177

Aufgabentyp 2b Gegeben: Zwei Seiten und der von den Seiten eingeschlossene Winkel Beispiel:

C g

Von einem Dreieck sind gegeben: a = 60°, b = 5,7 cm, c = 7,9 cm. Gesucht sind a, b und g.

a

b

A

a

c

b

B

Vorüberlegungen zur Lösung: – Zur Lösung dieser Aufgabe ist der Sinussatz ungeeignet, da nur ein Winkel gegeben ist und sich kein „Pärchen“ aus Seite und gegenüberliegendem Winkel bilden lässt, deren Maße bekannt sind. – Mit dem Kosinussatz lässt sich aber a berechnen. – Auch einer der Winkel b oder g lässt sich mit dem Kosinussatz berechnen. Welchen Winkel man wählt, ist gleichgültig. – Man muss natürlich nur einen der beiden Winkel mit dem Kosinussatz berechnen. Der andere kann über den Winkelsummensatz bestimmt werden. Lösung: Seite a: Winkel b: a2 = b2 + c2 – 2bc · cos a b2 = a2 + c2 – 2ac · cos b 2 2 2 a2 + c2 – b2 a = 5,7 + 7,9 – 2 · 5,7 · 7,9 · cos 60° cos b = __________ 2ac a ≈ 7,06 cm cos b ≈ 0,715 b ≈ 44,4 0

Winkel g: c2 = a2 + b2 – 2ab · cos g a2 + b2 – c2 cos g = __________ 2ab cos g ≈ 0,248 g ≈ 75,60

Alternative Berechnung von b oder g mit dem Sinussatz vermeiden. Wenn man a berechnet hat, könnte man, um einen der beiden Winkel b oder g zu be­ stimmen, auch auf den Sinussatz „umsteigen“. Es sind ja jetzt drei Seiten und ein Winkel bekannt. Manchen erscheint dieser Weg einfacher. Aber: Beim Bestimmen eines Winkel mit dem Sinussatz, muss man von einem Sinuswert auf den Winkel schließen. Zu jedem Sinuswert, der sich bei Anwenden des Sinussatzes ergeben kann, gibt es zwischen 0° und 180° – wie in Lektion 12 gezeigt wurde – zwei Winkelwerte. Nur einer der gefundenen Winkel kann richtig sein, weil das Dreieck, das be­ rechnet wird, durch die vorgegebenen Größen eindeutig bestimmt ist. Zur Entscheidung, welcher der beiden Winkel der gesuchte ist, bedarf es zum Teil aufwändiger Überlegungen oder einer Zeichnung. Empfehlung: Bei den Aufgabentypen 2b und 3 sollte man zur Bestimmung von Winkeln immer den Kosinussatz benutzen.

178

Aufgabentyp 3 Gegeben: Drei Seiten Beispiel:

C g

Von einem Dreieck sind gegeben: a = 7,5 cm, b = 5,1 cm, c = 6,9 cm. Gesucht sind a, b und g.

a

b

A

a

c

b

B

Vorüberlegungen zur Lösung: – Mit dem Kosinussatz muss die Größe eines der drei Winkel berechnet werden. Welchen Winkel man wählt, ist gleichgültig. – Ein zweiter Winkel wird ebenfalls mit dem Kosinussatz berechnet. – Die Größe des dritten Winkels ergibt sich aus dem Winkelsummensatz. Lösung: Winkel a 2

Winkel b 2

2

a = b + c – 2bc · cos a b2 + c2 – a2 cos a = __________ 2bc cos a ≈ 0,247 a ≈ 75,7°

2

2

Winkel g 2

b = a + c – 2ac · cos b a2 + c2 – b2 cos b = __________ 2ac cos b ≈ 0,752 b ≈ 41,2°

g ≈ 180° – 75,7° – 41,2° g ≈ 63,1°

Wenn der Kosinus negativ wird … 2 + c2 – a2 kann der Kosinus negativ werden, nämlich dann, In der Gleichung cos a = b__________ 2bc wenn a2 größer ist als b2 + c2. Wie ist das zu deuten?

Dazu das folgende Beispiel. In der Aufgabenstellung oben wird nur a größer gewählt. Die übrigen Maße bleiben unverändert. Von einem Dreieck sind gegeben: a = 10,9 cm, b = 5,1 cm, c = 6,9 cm, gesucht ist a. a2 = b2 + c2 – 2bc · cos a b2 + c2 – a2 cos a = __________ 2bc 5,12 + 6,92 – 10,92 ________________ cos a = 2 · 5,1 · 6,9 cos a ≈ –0,642

15

Gibt man diesen negativen Kosinuswert in den Taschenrechner ein, so erhält man: a ≈ 130°.

179

In Lektion 12 können Sie bestätigt finden: Wenn der Kosinus eines Winkels negativ ist, so liegt der Winkel zwischen 90° und 180° oder zwischen 180° und 270°. Letzteres kann in einem Dreieck nicht vorkommen, weil die Winkelsumme 180° beträgt. In unserem Beispiel liegt also ein stumpf­ winkliges Dreieck vor. Die übrigen Winkel kann man wie oben mit dem Kosinussatz und dem Winkelsum­ mensatz berechnen.

C g

a

b a A

c

b

B

Kosinussatz und Satz des Pythagoras Wir haben gesehen: In der Gleichung b2 + c2 – a2 kann der Kosinus po­ cos a = __________ 2bc sitiv oder negativ sein. Er könnte auch mal null sein. Wenn cos a = 0 ist, dann ist a = 90°. Das heißt aber: Das Dreieck ist rechtwinklig.

C g a

b A

c

b

B

Wenn cos a = 0 ist, vereinfacht dies auch die entsprechende Formel: a2 = b2 + c2 – 2bc · cos a. Der Term –2bc · cos a ist dann 0. Es bleibt: a2 = b2 + c2. Diese Gleichung ist bekannt. Es ist der Satz von Pythagoras. Da der rechte Winkel bei A liegt, ist a die Hypotenuse und b und c sind die Katheten. Man sagt gelegentlich: Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall des Kosinussatzes.

Was noch passieren kann … Beispiel: Von einem Dreieck sind gegeben: a = 3,5 cm, b = 2,5 cm, c = 7 cm. Gesucht ist a. a2 = b2 + c2 – 2bc · cos a b2 + c2 – a2 cos a = __________ 2bc 2 + 72 – 3,52 2,5 cos a = ______________ 2 · 2,5 · 7 cos a ≈ 1,23 Zu diesem Kosinuswert gibt es keinen Winkel a, weil die Kosinuswerte alle zwischen –1 und +1 liegen.

180

Wie muss man sich das vorstellen? Die Seiten a und b sind zusammen kürzer als die Seite c. Auf diese Weise kann kein Dreieck zustande kommen.

a = 3,5 cm

b = 2,5 cm A

c = 7 cm

B

Aufgaben zu 15.1 und 15.2 In den folgenden Aufgaben sind von den sechs Größen a, b, c, a, b, g jeweils drei gege­ ben. Berechnen Sie die fehlenden Größen. Fertigen Sie jeweils eine Zeichnung an, um Ihre Ergebnisse zu veranschaulichen oder zu kontrollieren. 1. a = 8,9 cm

c = 11 cm

b = 41°

2. a = 7,1 cm

b = 4,8 cm

g = 52°

3. a = 8,5 cm

b = 5,1 cm

c = 9,3 cm

4. b = 3,2 cm

c = 6,5 cm

a = 26,2°

5. a = 3,3 cm

b = 5,7 cm

c = 9 cm

6. b = 7,6 cm

c = 7,6 cm

a = 75°

7. a = 5,6 cm

b = 3,6 cm

c = 10,9 cm

8. b = 2,3 cm

c = 2 cm

a = 32°

9. a = 10,5 cm

c = 10,5 cm

b = 60°

10. Lösen Sie folgende Aufgabe mit dem Kosinussatz und dann zur Bestätigung auch mit dem Sinussatz. (Hinweis: Die Lösung mit dem Kosinussatz führt auf eine quadratische Gleichung.) a = 8,57 cm c = 9,16 cm a = 68,3°

15.3

Anwendungen des Kosinussatzes 1. Beispiel

___

Zwischen zwei Messpunkten P und Q liegt ein Hügel. Deshalb kann die Länge von PQ nicht direkt gemessen werden. ___ Man nimmt deshalb einen Punkt R, der nicht auf der Strecke PQ liegt, bestimmt die Ent­ fernungen___ von R nach ___ P (194 m) und von R nach Q (312 m) und misst den Winkel, den die Strecken RP und RQ einschließen: a = 54°.

181

15

Lösung: Bei einer solchen Anwendungsaufgabe sollte man zunächst eine Skizze anfertigen (siehe Bild). Dann muss man sich klarma­ chen, welcher Aufgabentyp vorliegt, das heißt, was gegeben und was gesucht ist. In dieser Aufgabe sind zwei Seitenlängen, nämlich | RP | und | RQ |, und der einge­ schlossene Winkel gegeben.

P

194 m

R

54° 312 m

Q

Man übernimmt den Lösungsweg, der für diesen Aufgabentyp in Abschnitt 15.2 (Aufga­ bentyp 2b) beschrieben ist, setzt die gegebenen Zahlenwerte ein und rechnet aus. | PQ |2 = | RP |2 + | RQ |2 – 2 · | RP | · | RQ | · cos a | PQ |2 = 1942 + 3122 – 2 · 194 · 312 · cos 54° | PQ | ≈ 253 m

2. Beispiel Auf ebenem waagerechten Boden wirft ein Stab von 1,35 m Länge, der gegen den Boden geneigt ist, einen Schatten von 2,55 m Länge. Der Winkel zwischen Stab und Boden ist 75° groß. Unter welchem Winkel fallen die Sonnenstrahlen auf den Boden? Lösung: Zunächst sollte man sich den Sachverhalt anhand einer Skizze verdeutlichen (siehe Bild). Dieser Aufgabe liegt der gleiche Aufga­ bentyp zugrunde wie dem 1. Beispiel. Allerdings ist hier nicht die Länge einer a B Seite gesucht, sondern die Größe eines 2,55 m Winkels. Diese Aufgabe lässt sich mit dem Kosinussatz nicht in einem Schritt lösen.

S

1,35 m

75°

Man berechnet zuerst die Länge |SB| auf dem Sonnenstrahl von der Stabspitze S bis zum Boden B. | SB |2 = 1,352 + 2,552 – 2 · 1,35 · 2,55 · cos 750 | SB |2 ≈ 6,54 | SB | ≈ 2,56 Mit dem Wert von | SB | bzw. | SB |2 kann man jetzt a berechnen. 2,562 + 2,552 – 1,352 cos a ≈ ___________________ 2 · 2,56 · 2,55 cos a ≈ 0,8604 a ≈ 30,60

182

3. Beispiel Stuttgart (S), Mainz (M) und Freiburg (F) bilden ein Dreieck mit folgenden Entfernungen: | SM | = 150 km, | FM | = 225 km und | FS | = 130 km. Wie groß ist der Winkel zwischen den Richtungen Stuttgart­Freiburg und Stuttgart­Mainz? Lösung:

M

Zunächst sollte man auch hier eine Skizze anfertigen (siehe Bild). In dieser Aufgabe sind drei Seiten gege­ ben und ein Winkel gesucht. Man übernimmt den Lösungsweg, der für diesen Aufgabentyp in Abschnitt 15.2 (Aufgabentyp 3) beschrieben ist, setzt die gegebenen Zahlenwerte ein und rechnet aus. 1302 + 1502 – 2252 cos a = _________________ 2 · 130 · 150 cos a = –0,2878

150 km 225 km a S 130 km F

a ≈ 106,7°

Aufgaben zu 15.3 1. Um die Entfernung zweier Punkte P und Q zu bestimmen, zwischen denen ein Hin­ dernis liegt, wählt man einen Hilfspunkt A und misst die Längen | AP | = 168 m und | AQ | = 214 m. Der Winkel, den die beiden Strecken einschließen, beträgt 81,64°. 2. In einem Wald werden drei Wege angelegt, die ein Dreieck bilden sollen. Die Entfernun­ gen der Schnittpunkte sind mit 235 m, 185 m und 270 m geplant. Unter welchen Winkeln schneiden sich die Wege? 3. Vom Punkt D eines Bergwerks aus verlaufen zwei Stollen, von D nach A (315 m) und von D nach B (425 m). Der Winkel zwischen den Stollen bei D beträgt 57°. Zwischen A und B soll ein Verbindungstollen getrieben werden. Wie lang wird dieser?

15 183

Wiederholungsaufgaben Bei den Wiederholungsaufgaben treten auch Fälle auf, bei denen nicht der Kosinussatz, son­ dern der Sinussatz angewendet werden sollte. 1. In einem Dreieck sind von den Größen a, b, c, a, b und g jeweils drei gegeben. Berechnen Sie die Übrigen.

a)

a

b

c

9m

10 m

11 m

7,2 cm

12,4 cm

48,2°

7,1 km

33,5°

b) c)

5,8 km

d)

4,5 cm

e)

7,2 cm

f)

5,4 cm

3,7 cm

a

g

6 cm 61°

8 cm

b

73° 39°

2. Ein Parallelogramm hat die Seiten a = 6 cm und b = 4 cm. Der Winkel, den a und b ein­ schließen, beträgt 50°. Wie lang sind die Diagonalen? 3. Zwei waagerechte Stollen in einem Bergwerk gehen von einem Punkt A unter dem Winkel von 75° aus und haben die Längen | AB | = 325 m und | AC | = 275 m. Wie lang ist der Ver­ bindungsstollen von B nach C und unter welchem Winkel muss man ihn von B und C aus vorantreiben? 4. Zwei Punkte P und Q sind durch einen Bach ___ getrennt. Um Ihre Entfernung zu bestimmen, wählt man einen Punkt A, der nicht auf PQ liegt, und misst die Entfernung von A nach P ___ ___ (86,4___ m). Der___ Winkel bei P, den AP und PQ einschließen, beträgt 47,7°, der Winkel bei A, den PA und AQ einschließen, 97,2°. 5. Auf einer Freilichtbühne soll eine 35 m lange Front von einem Scheinwerfer überstrichen werden. Der Scheinwerfer muss an einem Punkt stehen, der von den beiden Enden dieser Front 25 m und 37 m entfernt ist. Um welchen Winkel muss der Scheinwerfer mindestens gedreht werden können?

184

Lösungsteil

L 185

Lösungen der Aufgaben Liebe Kollegiatin, lieber Kollegiat, die Lösungen wurden mit größtmöglicher Sorgfalt erstellt, die Aufgaben mehrfach durchgerechnet. Trotzdem können sich Fehler eingeschlichen haben. Wenn Sie bei einer Aufgabe trotz mehrfachen Rechnens nicht zu dem Ergebnis kommen, das in den Lösungen steht, sollten Sie jemanden zu Rate ziehen (z.B. Kolleglehrer/in, Mitkollegiat/in) und uns ggf. den gefundenen Fehler mitteilen. Vielen Dank.

Lektion 1 Aufgaben zu 1.1 5 ; 2,9 12 ; – __ 7 ; –3; –1,5; – __ 1 ; 0,5; __ 7 ; 2; 2,09; __ 1. –5; –4,9; –4,09; – ___ 3 2 2 4 2 3 < – __ 3 d) __ 3 > __ 4 = –2 c) – __ 2 e) – __ 7 < –3 2. a) –3,5 < 3,4 b) – __ 2 2 4 4 3 2 Aufgaben zu 1.2 1. a) –9;

b) –4;

c) 9; d) –9;

e) 78;

f) –1,8;

g) –4,8;

h) 0;

i) –4,8

2. a) –6; b) –51; c) –7; d) 13; e) –13; f) –22; g) –12; h) 21; i) –1,5; k) –12,8; l) 1,8 3. Die Argumentation ist falsch: Von –18° bis –26° fällt die Temperatur, von –26° bis –18° steigt sie. Der Verkäufer tut so, als ob es sich um Temperaturen über 00 handelt. Aufgaben zu 1.3 1. a) 16,4;

b) 45;

2. a) 4,1;

b) –2;

c) –120; c) 0;

d) –12;

e) –32;

d) nicht definiert;

f) –32;

e) 0;

g) 0

f) –0,5

Aufgaben zu 1.4 1. A > B = {3; 7; 14}; A > C = {1; 4; 9; 23}; A < C = {1; 3; 4; 6; 7; 9; 12; 13; 14; 15; 23}; A < B = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 12; 14; 22; 23}; B > C = { }; B < C = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 13; 14; 15; 22; 23} 2. A > B = {5; 7; 11}; B > C = {2; 3; 5; 7; 11}; C > D = = {–5; –4; –3; –2; –1}; A < B = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 13; 17; 19; 23; 29}; A > D = { }; A < C = C 3. a) N > Z = N

b) N < Z = Z

Wiederholungsaufgaben 3 ; –0,4; ___ 5 ; ___ 52 14 ; –4; –2,9; –2,8; – __ 4 ; 3,1; 5,02; ___ 1. –5,2; –5,02; – ___ 3 2 20 10 10 18 = ___ 9 = –3 c) – __ 45 22 > –5,6 2 < – __ 2 d) ___ e) – ___ 2. a) –0,1 < –0,01 b) – __ 3 3 4 4 10 4 3. a) –18; b) 0; c) 0; d) –12; e) 109; f) –4,2; g) –4,2; h) 0,8; i) 27 4. a) –9;

186

b) –59; c) 23; d) –1; e) –2;

f) –4;

g) 11;

h) –30;

i) 0,4;

k) –13;

l) 2,2

5. a) 24; b) 135; c) 16; d) –343; e) 1;

f) –12;

6. a) 2,3; b) –4;

e) 0;

c) 0; d) nicht definiert;

g) –37; h) –37;

i) 0

f) nicht definiert

7. A > B = B; A > D = {2}; B < C = {1; 2; 3; 4; 5; 6}; A > E = { }; A < B = A; C > D = { }; D > E = { }

Lektion 2 Aufgaben zu 2.1 1. 19;

2. 28;

3. 3;

4. 7,5;

5. –312;

6. 44

Aufgaben zu 2.2 1. a) 3x + 3y

b) 8x2 + 3x + 4y

2. a) –19a2 + 13a

b) 5a – 53b + 81ab

3. a) 12x – y + 15 z

b) 0

c) –7x2 – 41y2 + 61z

Aufgaben zu 2.3

{ }

5 d) ℚ \ __ e) ℚ \ {0; –0,5} f) ℚ 3 2ay + 3ax 6x b) ______ 8r – 1 c) _____ 20b2c + 15a2d x 2. a) ___ d) _________ e) _____________ 5a 2q – 1 x–y xy 15a2b2 9axy – 5b (x – y) a – b + a + b = ____________ 2a ab – a2 – ab = ________ –a2 f) ____________ g) _______________ h) ___________ (a + b) (a – b) (a + b) (a – b) xy (x – y) b (a + b) b (a + b)

1. a) ℚ \ {0}

ab (a + b) b) _________ x2y2

6x2 3. a) _____ 35a2 2y 4. a) ___ 3 1 5. a) __ 6

b) ℚ \ {–0,5}

z b) ___ 3x r3 b) ___ 6s

a c) ___ 15 3 c) ___ 2y

c) ℚ \ {1; –2}

36u2 c) _____ 5v2 4 d) – __ u

r2 d) _______ s (r – s)

e) 3

z (2x + 3z) e) __________ x (3x + 2z)

f) a

7b3 e) __ x d) ____ 8c 2

Aufgaben zu 2.4 1. 6x2;

2. a2 – 2b2;

3. 25 + 3x;

4. 2x + 2(x – 2)

1. a) –10

b) 40

c) 9

2. a) –5a – 2b

b) –3x + x

c) –18a b – 4b

d) 9rs + s + 11r

–8a 3. a) ____ 7b

5x + 4 b) ______ 2y + 1

2ub – 3av c) _________ ab

4rxy – 5rs (x – y) d) _______________ xy (x – y)

Wiederholungsaufgaben

2

d) 227 2

2

187

L

–3 b) ____ 2xz 3r b) ___ 2s

2 4. a) ___ 3a 2ba 5. a) ____ 3

20 c) ___ 3 ab c) ___ 6

1 d) __ a 3u d) ___ 2

6. Pro Meter werden 4 Stangen benötigt. Bei x Meter werden 4 · x Stangen benötigt. Beim letzten Meter wird 1 Stange weniger benötigt, also 4 · x – 1.

Lektion 3 Aufgaben zu 3.1 1. a) 15x + 5y e) 56c2 + 32c2y

b) 2ay – 8y f) –9r3 – 99ry

c) –12 + 8a g) –23x2 – 15xy

d) 6ax3 – 8bx2 h) 27xy + 20x2

b) 6u (3v + 2z) c) 7x (y + 1) d) 13r2 (1 + y) e) 11xy (x – y) 2. a) 5 (a2 + b2) 2 h) 6s2 (2rs – 3s2t – 5 + 7rt) f) abc (24b – 7ac) g) 5u (3v – t + 4r – 9) 3 3. a) __ 4

y+z c) _____ y–z

b) b + c

x d) __ y

3z – 4y e) _______ 2y – 2z

Aufgaben zu 3.2 1. 2ac + 2ad + 3bc + 3bd

2. 4ab – 4ad – 5bc + 5cd

3. 63y2 – 48y – 48

4. 15a2 – 22ab – 48b2

5. 30a4 + 4a3 – 2a2

6. 14t3 – 25t2 + 55t – 14

7. 12x3 – 32x2 + 5x + 24

8. a4 + 4a2 + 16

Aufgaben zu 3.3 1. a) y2 – 6y + 9 b) x2 + 2xz + z2 2 e) x – 4 f) 49u2 – 1 4 2 2 4 i) 9a – 30a b + 25b

c) 4x2 + 4xy + y2 g) 9x2 – 49y2 k) 4x2 – 9x4

2. a) u – v

u–z c) _____ d) a + 1 u+z b) x2 + 2ux + u2 = (x + u)2 v2 = x + __ v 2 d) x2 + vx + __ 4 2

b) 2a + 5

3. a) x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 2 49 = x – __ 7 c) x2 – 7x + ___ 4 2

(

188

)

d) 9x2 + 24xy + 16y2 h) 9p2 – 16q2

(

)

Wiederholungsaufgaben 1. a) d) g) h) l) n) o) r) u)

6ax3 – 8bx2 b) e) –24z2 + 28z3 40ac – 56ad – 15bc + 21bd 54xz + 27x – 24yz – 12y i) 24x2 + 6xy + 3y – 6 m) 8y4 – 24y3 + 18y2 + 30y – 35 p) 14y2 – 29xy + 12x2 s) 4x2 – 25y2 9x2 – 24xy + 16y2

2. a) 17 (u + v) e) (1 + 9t2) (1 – 9t2)

35a2 + 5a2c 4c – 4y

c) –23x2 – 15xy f) 0,15a2b + 0,36a2c

k) 14a2 + 24ab – 8b2 –a2 + 3a –ab2 + 3b2 3 2 2 2 x – xy – x y + y – x z + xz 81 – 18x + x2 a4b2 + 2a3b3 + a2b4

b) 7x (2y + 3x) f) (u2 – w) (u2 + w)

q) 49x2 – 56xy + 16y2 t) 9b2 – 4 d) 9x5 (6x + 9) h) 2 (2a + 7b) (2a – 7b)

c) 5ab (6a + 5b) g) 3 (u + v) (u – v)

x+y x–y 3. a) _____ b) _____ x–y x+y y2 (y2 – 4) ____________ (y + 2) (y – 2) d) ________ = =y–2 2 y (y + 2) y+2 a+b 2a + 10 g) _____ h) _______ a–b 3

e) 2

4. a) x2 + 12x + 36 = (x + 6)2 u2 = x + __ u2 c) x2 + ux + __ 4 2

b) x2 + 4cx + 4c2 = (x + 2c)2 2 1 = x – __ 1 d) x2 – x + __ 4 2

(

x c) __ y f) x – y

(

)

)

Lektion 4 Aufgaben zu 4.1 1. L = {–3} 2. L = { } 3. L = G 6. a) L = {–4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; …}

4. L = {–3; –2; –1; 0} 5. L = {0; 1; 2; 3; 4} b) L = { } c) L = {0; –1; –2; …} d) L = N

Aufgaben zu 4.2 1. L = {15} 6. L = {1}

2. L = {1} 7. L = N

3. L = {4} 8. L = {7}

4. L = {2} 9. L = {0}

5. L = {0} 10. L = { }

Aufgaben zu 4.3 1. {x | x < 3}N = {1; 2} 4. {x | x ≥ 5}N = {5; 6; …} 7. {x | x > 3}N = {4; 5; …}

2. {x | x > 1}N = {2; 3; …} 5. {x | x > 1}N = {2; 3; …} 8. {x | x ≤ 2,5}N = {0; 1; 2}

3. {x | x < 14}N = {0; 1; 2; …; 13} 6. {t | t < 5}N = {0; 1; 2; 3; 4}

Aufgaben zu 4.4 1. 2. 3. 4.

3 (x – 6) = 2 (x + 6); x = 30 2 (x + 2x) = 24; x = 4 (x + 3) (x – 2) = x2; x = 6 2x – 4 = 4 (x – 4); x = 6

L

Eine Seite ist 4 cm lang, die andere 8 cm. Die ℚuadratseite ist 6 cm lang. Die Schwester ist 6 Jahre alt, der Junge 12 Jahre.

189

Wiederholungsaufgaben 1. a) L = {3}; e) L = N;

b) L = {1}; f) L = {9};

c) L = {6}; g) L = { };

d) L = {0}; h) L = {0}

{ x | x > – 81 } __

2. a) {x | x > 7}Z = {8; 9; …}; 1 = {–1; –2; …}; c) x x < – __ 4 Z e) {x | x ≥ 0,53}Z = {1; 2; …};

d) {x | x ≤ 15}Z = {15; 14; 13; 12; …}

3. x + x + 1 + x + 2 = 30;

Die kürzeste Seite ist 9 cm lang.

{|

}

x=9

b)

f)

Z

= {0; 1; 2; …} = N

{x | x ≤ 0}Z = {0; –1; –2; …}

4. Jetzt: Sohn x; In 16 Jahren: Sohn x + 16; 2 (x + 16) = 56 – x; x = 8

Vater 40 – x Vater: (40 – x) + 16 Der Sohn ist jetzt 8 Jahre alt, der Vater 32.

5. x + x + 1 + x + 2 = 96;

Die gesuchten Zahlen heißen 31, 32, 33.

x = 31

Lektion 5 Aufgaben zu 5.1 1. L = {(–2 | 1 )}

2. L = {( 2 | –3)}

3. L = {( –4 | –2)}

4. L = {( 4 | –1)}

2. L = {( 2 | 1)} 23 – __ 7 6. L = ___ 18 6

3. L = {( –1 | –4,5)}

4. L = {(0,25 | 1 ,5)}

2. L = {( 0 | 2)}

13 __ 1 3. L = ___ 9 9

4. L = {( –0,5 | –0,6)}

3. L = {( 4 | –1)}

4. L = {( –1 | 1)}

Aufgaben zu 5.2 1. L = {( 4 | 7)} 5. L = {( 3 | 1)} Aufgaben zu 5.3 1. L = {( 2 | 1)} 5. L = {( 1 | 0)}

{( | )}

{( | )}

6. L = {( 5,6 | 5,2)}

Aufgaben zu 5.4 1. L = {( 5 | 2)}

2. L = {( 1 | 3)}

5. L = {( 0,8 | –0,4)}

6. L = {( 4 | 2)}

7. Ein Weizenbrötchen kostet 0,30 €, ein Roggenbrötchen 0,35 €. 8. Grundgebühr: 2,20 €, Kilometerpreis: 1,50 €. Aufgaben zu 5.5 1. L = {(2 | 1 )}

190

2. L = {( –4 | –2)}

3. L = {(–2 | 3 )}

4. L = {( 3 | –3)}

Wiederholungsaufgaben 1. L = {( 5 | 7)}

2. L = {( 7 | 3)}

3. L = {( 3 | –5)}

4. L = {( 3 | 1)}

5. L = {(–1 | 4 )}

6. L = {( 12 | –8)}

7. L = {( –14 | –17)}

8. L = {( 1 | 3)}

9. L = {(5 | 2 )}

10. L = {( 23 | 13)}

11. L = {( 3 | 5)}

12. 32 Flaschen Weißwein, 24 Flaschen Rotwein. 13. Student: 410 €, Schüler: 330 €. 14. Erstes Weinfass: 44 Liter, zweites Weinfass: 52 Liter. 15. 40 Zweibettzimmer, 10 Dreibettzimmer.

Lektion 6 Aufgaben zu 6.2 1. 18 cm

2. 15-mal

5. 207 €

6. 531 km

3. 33,75 kg

4. 2,04 kg

3. 463 Seiten

4. 3,5 Monate

Aufgaben zu 6.3 1. 16 Tage

2. 15 Stunden

5. 28 €

6. 6,75 €

Wiederholungsaufgaben 1. direkt proportional

2. direkt proportional

25 kg

3. indirekt proportional 4 Monate 5. indirekt proportional 20 cm

1,89 €

4. direkt proportional

107 € km 6. indirekt proportional 120 ___ h

Lektion 7 Aufgaben zu 7.1 1.

x y

0,25 1

0,5 2

2. Kerze 1 ↔ Graph e

1 4

2,2 8,8

4 16

2 8

2,5 10

3,25 13

4,1 16,4

Kerze 2 ↔ Graph c

L 191

3.

4.

Höhe in cm 12 8 4 Zeit in h 0

2

4

6

8

10

5. a) f (2) = 9;

b) f (0) = 3;

c) f (–3) = 24;

d) f (0,5) = 3

Aufgaben zu 7.2 1.

(1), (4), (7) sind parallel zueinander. (3), (6) sind parallel zueinander.

(2), (5) sind parallel zueinander.

2. von links nach rechts steigend: a), b), d), g). e) verläuft parallel zur x-Achse.

von links nach rechts fallend: c), f), h).

3. a) nein; b) nein; c) ja; d) ja Aufgaben zu 7.3 1. a)

b)

y

y

5

5

3

3

3

1 –4

c)

y

5

0 –2 –1

1

x 2

4

–4

0 –2 –1

1

x 2

4

–4

0 –2 –1

–3

–3

–3

–5

–5

–5

x 2

2. a) y = –0,5x + 1; e) y = –2x + 7,5;

b) y = x + 3; f) y = 2x – 3

c) y = 2x + 5;

d) y = 4x – 4

3. a) y = –3x + 3;

b) y = –0,5x – 2;

c) y = 2x;

d) y = 3x – 4

Wiederholungaufgaben 1. Gefäß 1 ↔ Graph b; Gefäß 4 ↔ Graph d;

192

Gefäß 2 ↔ Graph a Gefäß 5 ↔ Graph c

;

Gefäß 3 ↔ Graph e

2. a) f (3) = 0;

b) f (–2) = –5;

c) f (0) = 3;

d) f (–4) = –21

3. a) ja ;

b) ja;

c) nein;

d) ja

4

4. a)

b)

y

y

5

5

3

3

3

1 0 –2 –1

–4

c)

y

5

1

x 2

4

–4

1

x

0 –2 –1

2

4

–4

0 –2 –1

–3

–3

–3

–5

–5

–5

5. a) y = –3x + 6;

b) y = –x + 2;

c) y = 3,5x – 3,5;

d) y = 5;

e) y = x;

x 2

4

f) y = –4

Lektion 8 Aufgaben zu 8.1 1. a) 7; b) 11;

c) 13; d) 20;

2. a) 6x;

e) 0,4;

b) 0,2v;

f) 1,4 c) uv2;

d) a + b

3. Länge des ℚuadrats: x; Flächeninhalt des Bauplatzes: x2 = 961, also x = 31. Zaunlänge: 4 · 31 m – 4 m =120 m 4. Kantenlänge des Würfels: x; Oberfläche: 6x2 = 5400; x = 30 cm. Aufgaben zu 8.2 1. a) 4; b) 9; 2. a) 10;

c) 33; d) 12;

_

e) 0,6; f) 2;

b) 12;

g) 5;

c) 2;

_

_

3. a) 3 · √ 2 ; b) 5 · √5 ; c) 7 · √2 ; _ _ _ 1 · √2 ; 1 · √6 ; 4. a) __ b) __ c) √ 2 ; 2 2 5. a) 4; b) 10; c) 5; __ e) √a2 + b2 Vereinfachung nicht möglich. Aufgaben zu 8.3 1. a) L = {2; 8};

b) L = {–3; –1};

2. a) L = {–8; 3};

5 ; –3 ; b) L = __ 3 g) L = {–3; 3};

f) L = {0; –12};

{

}

c) L = { };

{ }

5 ; c) L = __ 3 h) L = {2; –1}

h) 2; i) 0,6;

_

d) 4 · √x ; _ 1 · √6 ; d) __ 2 d) 5;

k) 3

d) 50

_

e) 5z · √ z

_

e) 2 · √ 6

3; d) L = __ 2

{ }

e) L = {–0,3; 0,8}

d) L = { };

e) L = {–1,4; –0,6}

7,2 3. ___ = 7,2 – x x1 = 1,2 x2 = 6 x 4. Spiegelfläche: 2400 cm2 Breite des Rahmens: x Geamtfläche von Spiegel, einschl. Rahmen: (40 + 2x) (60 + 2x) = 2 · 2400 x = 10 cm

L 193

Wiederholungsaufgaben 1. a) 8;

b) 16;

2. a) 12x; 3. a) 6;

_

4. a) 3 · √3 ; 5. a) L = {10; –2}; 3; e) L = – __ 2

{ }

c) 90;

d) 100;

e) 0,3;

f) 1,1

b) 0,1v;

c) ab2;

b) 0,6;

c) 0,4;

_

d) x + 4

_

b) 5 · √ 2 ;

_

c) 12 · √2 ;

b) L = {2,5; –1}; f) L = {0; 6};

d) 10y · √ 2 ; _ 1 (5 ± √ 43 ) ; c) L = – __ 3 _ g) L = {–1 ± √ 11 }

{

}

d) 18

_

e) 2b · √5a d) L = { }

Lektion 9 Aufgaben zu 9.1 1. a) a = 3; b = 5; c = 7 b) a = 1; b = –3; c = –1 c) keine quadratische Funktion d) a = 1; b = 0; c = 4 e) y = x2 + 2x + 1; a = 1; b = 2; c = 1 f) keine quadratische Funktion g) keine quadratische Funktion 1 ; b = __ 2; c = 1 h) a = __ 3 3 2. (1 | 2 ) Aufgaben zu 9.2 1. a) y = x2 + 2

b) y = (x – 5)2

2. a) 4 nach rechts und 1 nach oben c) 5 nach oben e) 9 nach links und 9 nach oben 3. a) y = (x – 3)2 – 2

c) y = (x – 1)2 – 4

d) y = (x + 2)2 + 7

b) 3 nach rechts und 6 nach unten d) 5 nach links f) 8 nach rechts und 4 nach oben

b) y = (x + 2)2 + 1

c) y = (x – 1)2 – 3

Aufgaben zu 9.3

( 23 | – 23 ) ; __

__

1. a) ( –2 | –3);

b) ( –4 | –3);

2. a) S (2 | 3 ); b) S ( –5 | –38);

2 nach rechts und 3 nach oben verschoben 5 nach links und 38 nach unten verschoben

c)

d) ( 2 | –4)

Aufgaben zu 9.4 1. a) gestreckt b) gespiegelt c) gestaucht d) gestreckt und gespiegelt e) gestaucht und gespiegelt f) gestaucht 1 (x + 7)2 – 44,5 2. a) y = –3 (x + 2)2 + 33 b) y = __ 2

194

3. y = x (10 – x) y = –x2 + 10x y = – (x – 5)2 + 25

10 – x

S ( 5 | 25)

x

Wiederholungsaufgaben 1. a) y = x2 – 3 2. a) c) e) g)

2 nach rechts und 1,5 nach oben gespiegelt gestreckt 1 nach links und 1 nach oben

3. a) (1 | 0 ); 4. a) b) c) d) e) f)

b) y = (x + 1,5)2 + 2 c) y = (x + 1)2 – 1 y = x2 + 2x y = x2 + 3x + 4,25

d) y = x2 + 6

b) 3 nach rechts und 4 nach unten d) 3,5 nach links f) gespiegelt und gestaucht h) 1 nach rechts und 1 nach unten

b) ( –2 | –15)

gestreckt / 1,5 nach rechts / 1,5 nach oben gespiegelt / 1 nach rechts / 2 nach oben gestaucht / 2,5 nach rechts y = 2 (x – 1)2 – 4; gestreckt / 1 nach rechts / 4 nach unten y = –2 (x + 1,5)2 + 8,5; gespiegelt / gestreckt / 1,5 nach links / 8,5 nach oben y = 3 (x2 + 4x) y = 3 (x + 2)2 – 12; gestreckt / 2 nach links / 12 nach unten

5. y = x (12 – x) y = –x2 + 12x y = – (x – 6)2 + 36

x=6

Lektion 10 Aufgaben zu 10.1 1. a) (2 | 1 )

2. a) (I) y = 6x + 15 (II) y = 6x – 2 c) (I) y = –x 1 (II) y = –x – __ 3 e) (I) y = –5x + 2 (II) y = –3x + 4

( |)

parallel

1 0 e) __ 3 b) (I) y = –2x + 8 (II) y = 2x + 4

parallel

d) (I) y = –2x – 2 (II) y = –2x + 8

b) parallel

c) (1 | 0 )

d) parallel

f) (–2 | 1 ) S ( 1 | 6) parallel

f) S ( 0 | 0) S (–1 | 7 )

L 195

Aufgaben zu 10.2 1. a) Schnittpunkte: (2 | 5 ) und (–3 | 20 ) b) Berührpunkt: ( 1 | –1) _ _ _ _ 3 – __ 3 + __ 1 + __ 1 – __ 1 √5 – __ 1 √5 und – __ 1 √ 5 – __ 1 √5 c) Schnittpunkte: – __ 2 2 2 2 2 2 2 2 Näherungswerte: ( 0,62 | –2,62) und ( –1,62 | –0,38)

(

|

)

(

|

)

2. a) Parabel und Gerade laufen aneinander vorbei. b) Schnittpunkte: ( 0 | 0) und ( 5 | 15) c) Parabel und Gerade laufen aneinander vorbei. Aufgaben zu 10.3 1. a) Schnittpunkte: ( 1 | 4) und (–5 | 70 ) b) Die Parabeln laufen aneinander vorbei. c) Berührpunkt: (–2 | 16 ) 2. y = (x + 1)2 + 1 Scheitelpunkt: (–1 | 1 ) tiefster Punkt, da noch oben geöffnet.

y 5 3

y = – (x – 2)2 + 1 Scheitelpunkt: (2 | 1 ) höchster Punkt, da nach unten geöffnet.

1 –4

Aus der Skizze erkennt man, dass die Parabeln keinen gemeinsamen Punkt haben können.

0 –2 –1

x 2

4

–3 –5

Aufgaben zu 10.4 1. a) Schnittpunkt mit der y-Achse: ( 0 | –8) Schnittpunkte mit der x-Achse: ( 2 | 0) und (–4 | 0 ) b) Schnittpunkt mit der y-Achse: ( 0 | –7) keine Schnittpunkte mit der x-Achse c) Schnittpunkt mit der y-Achse: ( 0 | –4) Schnittpunkte mit der x-Achse: (–4 | 0 ) und (–1 | 0 ) 2. a) Der Scheitelpunkt ( 0 | 4) ist der tiefste Punkt der nach oben geöffneten Parabel. b) Der Scheitelpunkt ( 1 | 1) ist der tiefste Punkt der nach oben geöffneten Parabel. c) Der Scheitelpunkt ( 0 | –3) ist der höchste Punkt der nach unten geöffneten Parabel. Aufgaben zu 10.5 a) {x | 0 < x < 2}

b) {x | –2 < x < 2}

c) {x | x < –1 oder x > 4}

b) ( 0 | 4)

c) ( –1 | –8)

Wiederholungsaufgaben 1. a) parallel

2. a) Schnittpunkte: ( 1 | –4) und ( –3 | –16) c) Schnittpunkte: (–1 | 2 ) und (3 | 6 )

196

b) Berührpunkt: ( –2 | –2)

3. a) Schnittpunkte: (–5 | 78 ) und (–1 | 10 ) b) Berührpunkt: (–4 | –51 ) c) Die Parabeln laufen aneinander vorbei. 4. a) Schnittpunkt mit der y-Achse: (0 | 10 ) Schnittpunkte mit der x-Achse: (2,5 | 0 ) und (4 | 0 ) b) Schnittpunkt mit der y-Achse: (0 | 2 ) keine Schnittpunkte mit der x-Achse c) Schnittpunkt mit der y-Achse: (0 | 25 ) Berührpunkt mit der x-Achse: (5 | 0 )

Lektion 11 Aufgaben zu 11.1 1. a) v2 + w2 = u2

b) g2 + f2 = h2

c) x2 + y2 = z2

2. a) w ≈ 7,21 cm

b) h ≈ 6,28 cm

c) y ≈ 2,69 cm

3. a2 + b2 = (p + q)2; h2 + q2 = b2; h2 + p2 = a2 Aufgaben zu 11.2 1. Das Seil hängt ungefähr 1,6 Meter durch. 2. Die Dachsparren müssen ungefähr 4,82 Meter lang sein. 3. Die Pyramide ist ungefähr 148 Meter hoch. 4. Die Diagonale der Türöffnung beträgt 2,10 m. Es ist also gerade möglich, die Platte schräg durch die Türöffnung zu schieben. Aufgaben zu 11.3 1. a = 7,5 cm; b = 10 cm; c = 12,5 cm 2. a ≈ 5,29 cm; b = 6 cm; c = 8 cm 3. Der linke Dachbalken ist ungefähr 3,47 Meter lang. Aufgaben zu 11.4 1. a ≈ 7,86 cm; b ≈ 5,34 cm 2. p ≈ 7,88 cm; q ≈ 2,12 cm 3. Der Bauleiter hat Recht. Die linke Seitenkante ist ungefähr 3,25 Meter lang und nicht, wie in der Zeichnung angegeben, 4,25 Meter.

L 197

Wiederholungsaufgaben 1. a

b

c

h

p

q

a)

7,2 cm

6,94 cm

10 cm

5 cm

5,18 cm

4,82 cm

b)

6,66 cm

5 cm

8,33 cm

4 cm

5,33 cm

3 cm

c)

8 cm

10 cm

12,8 cm

6,24 cm

5 cm

7,8 cm

d)

5,57 cm

4,5 cm

7,16 cm

3,5 cm

4,33 cm

2,83 cm

2. V ≈ 84,9 cm3 3. Die Kante der Grundfläche ist ungefähr 10,67 cm lang.

_

4. Die Länge der Raumdiagonalen ist d = a √ 3 . 5. Das Zelt ist ungefähr 2,06 Meter hoch. 6. Die Spitze liegt ungefähr 15,5 Meter vom Fuß des Masts entfernt. 7. Das Seil ist 6,5 Meter lang. 8. Der Bildschirm ist 56 cm breit und 42 cm hoch.

Lektion 12 Aufgaben zu 12.1 1. a) 0,87 dm

b) 0,5 dm

2. a) 0,5

b) –0,87

3.

( 1 | 0) (–1 | 0 )

( 0,87 | 0,5) ( –0,87 | –0,5)

4. a) 3. und 4. ℚuadrant

( 0,5 | 0,87) ( –0,5 | –0,87)

( 0 | 1) ( 0 | –1)

( –0,5 | 0,87) ( 0,5 | –0,87)

b) 1. und 4. ℚuadrant

(–0,87 | 0,5 ) (0,87 | –0,5 )

c) 3. ℚuadrant

Aufgaben zu 12.2 1. a) zum Beispiel: 90°; 270°; –90° c) zum Beispiel: 180°; 540°; –180°

b) zum Beispiel: 90°; 450°; –270° d) zum Beispiel: 0°; 180°; –180°

2. 0,52 + (cos 30°)2 = 1

cos 30° ≈ 0,87

4. zum Beispiel: 45°; 225°; –135° Aufgaben zu 12.3

198

1. a) 132°

b) 288°

2. a) 220°; 320°

b) 145°; 215°

c) 35°; 325°

d) 40°; 140°

3. a) 390°; 510°

b) 420°; 660°

c) 520°; 560°

d) 395°; 505°

Aufgaben zu 12.4 1. a) 0,977

b) 2,967

c) 0,0175

d) 5,236

e) 9,948

2. a) 40,11°

b) 71,62°

c) 120,32°

d) 194,81°

e) 229,18°

b) –1,428

c) –1,428

d) 3,732

e) nicht definiert

Aufgaben zu 12.5 1. a) 2,747 2. a) 68,2°; 248,2°

b) 24,23°; 204,23°

3. m = tan 75°

y = 3,732 x

4. a) 68,2°

b) 45°

c) 98,75°; 278,75°

d) 119,05°; 299,05°

c) 116,6°

d) 135°

Wiederholungsaufgaben a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

a (Gradmaß)

63°

85,94°

75°

229,18°

100°

67,97°

50°

x (Bogenmaß)

1,1

1,5

1,31

4

1,745

1,186

0,8728

sin a

0,891

0,9974

0,966

–0,7567

0,9848

0,927

0,766

cos a

0,454

0,07

0,2588

–0,6537

–0,174

0,375

0,643

tan a

1,963

14,1

3,732

1,1577

–5,671

2,471

1,192

1.

2. 40° sin 45° = 1. 3. An den Graphen sieht man, dass cos 45° = sin 45° ist. Daraus folgt tan 45° = _______ cos 45° 4. Es ist m = tan a. Der Steigungswinkel ist 90°. tan 90° ist aber nicht definiert. 5. Alle Sinuswerte liegen zwischen –1 und +1. Es gibt keinen Winkel a mit sin a = 2. 6. a) 180° < a < 270°

b) 270° < a < 360°

Lektion 13 Aufgaben zu 13.1 v 1. a) sin a = __ u b) sin a = __f h y c) sin a = __ z

w cos a = __ u g cos a = __ h x cos a = __ z

v tan a = __ w tan a = __f g y tan a = __ x

w sin b = __ u g sin b = __ h x sin b = __ z

v cos b = __ u cos b = __f h y cos b = __ z

w tan b = __ v g tan b = __ f x tan b = __ y

L 199

2.

a

b

c

a

b

a)

6,9 cm

5,93 cm

9,1 cm

49,3°

40,7°

b)

4 cm

2,8 cm

4,88 cm

55°

35°

c)

7,25 cm

3,38 cm

8 cm

65°

25°

d)

5,56 cm

4,5 cm

7,15 cm

51°

39°

3. a = 45°

4. a ≈ 36,87°

s ≈ 6,36 cm h = 4,5 cm

5. a ≈ 6,65 cm b ≈ 3,46 cm

6. d1 ≈ 4,79 cm

d2 ≈ 13,16 cm

Aufgaben zu 13.2 1. a ≈ 24,94°

2. h ≈ 6,22 cm

3. h ≈ 210 m

4. h ≈ 285,3 m

5. b ≈ 18,5°

6. x ≈ 2,38 m

7. x ≈ 84,43 m

8. x ≈ 1,71 m

Wiederholungaufgaben a

1. a)

8,48 cm

b)

4 cm

c)

c

h

8 cm

p

q

a

b

3,3 cm

9,1 cm

3,08 cm

7,9 cm

1,2 cm

21,26°

68,74°

3,04 cm 2,22 cm

49,5°

40,5°

3,81 cm 4,39 cm 3,31 cm

49°

41°

6,93 cm 2,31 cm

60°

30°

70°

20°

3,42 cm 5,26 cm

5,81 cm 5,05 cm

d) e)

b

7,7 cm

2,6 cm

4,62 cm 9,24 cm

20,86 cm 7,6 cm

4 cm

22,2 cm 7,14 cm 19,6 cm

2,6 cm

f)

5,9 cm

4 cm

7,12 cm

3,3 cm

4,9 cm

2,22 cm

56°

34°

g)

4,9 cm

6,32 cm

8 cm

3,87 cm

3 cm

5 cm

37,8°

52,2°

2. h ≈ 4,06 cm 3. a) Rohrlänge: ≈ 1070 m

b) Höhenunterschied: ≈ 149 m

4. a ≈ 63,4° 5. a) trapezförmige Dachflächen: a ≈ 55,3°

b) dreieckige Dachflächen: b ≈ 52,4°

Lektion 14 Aufgaben zu 14.1 und 14.2 1. g = 86° b ≈ 7,31 cm 3. a = 26°

a ≈ 2,66 cm

c ≈ 11,1 cm b ≈ 4,21 cm

4. zwei Lösungen: b ≈ 32,4° b ≈ 17,6°

200

2. b = 53°

g ≈ 82,6° g ≈ 97,4°

b ≈ 5 cm b ≈ 2,84 cm

a ≈ 9,19 cm

c ≈ 7,5 cm

5. a = 47°

b ≈ 6 cm

c ≈ 3,7 cm

6. keine Lösung; Berechnung von g führt zu sin g = 1,69. 7. g = 77°

a ≈ 15,6 cm

9. zwei Lösungen: a ≈ 78,4° a ≈ 37,6° 10. g = 35°

8. a ≈ 146,5°

c ≈ 15,8 cm

a ≈ 9,97 cm

b ≈ 69,6° b ≈ 110,4°

g ≈ 15,5°

a ≈ 13,4 cm

g

a ≈ 2,4 cm a ≈ 1,5 cm

b ≈ 17 cm

Aufgaben zu 14.3 1. zwei Lösungen: | AC | ≈ 68,15 m 2.

| AP |

≈ 2540 m

| BP |

| AC |

≈ 12,2 m

≈ 1524 m

3. | Pℚ | ≈ 294,5 m Wiederholungsaufgaben a

1.

b

c

a

b

a)

4,58 cm

10 m

11 m

24,62°

65,4°

90°

b)

12,34 cm

16,44 cm

12,4 cm

48,2°

83,3°

48,5°

c)

4,4 km

7,1 km

7,92 cm 3,92 cm

33,5°

62,95° 117,05°

83,55° 29,45°

d)

7 cm

5,46 cm

7,77 cm

61°

43°

76°

2. Der Fluss ist ungefähr 495,7 m breit. 3.

| AL |

≈ 10,62 km

| BL |

≈ 14,85 km

4. Der Berg ist ungefähr 496,1 m hoch.

Lektion 15 Aufgaben zu 15.1 und 15.2 1. a ≈ 53,74° g ≈ 85,26° b ≈ 7,24 cm

2. a ≈ 85,6°

b ≈ 42,4°

3. a ≈ 64,9° b ≈ 32,9° g ≈ 82,2°

4. b ≈ 21,2°

g ≈ 132,6°

5. a = 0°

6. b = 52,5°

g = 52,5°

c ≈ 5,61 cm a ≈ 3,89 cm a ≈ 9,25 cm

7. keine Lösung; Berechnung von g führt zu cos g = 1,28. 8. b ≈ 87,7° g ≈ 60,3° a ≈ 1,22 cm

9. a = 60°

g = 60°

b = 10,5 cm

10. zwei Lösungen: b ≈ 28,44° g ≈ 83,26° b ≈ 4,39 cm b ≈ 14,96° g ≈ 96,74° b ≈ 2,38 cm

L 201

Aufgaben zu 15.3 1. | Pℚ | ≈ 252,2 m 2. a ≈ 79°

b ≈ 42,3° g ≈ 58,7°

3. Der Verbindungsstollen ist ungefähr 366,1 m lang. Wiederholungaufgaben 1.

a

b

c

a

b

g

a)

9m

10 m

11 m

50,48°

59°

70,52°

b)

9,3 cm

7,2 cm

12,4 cm

48,2°

35,25°

96,55°

c)

5,8 km

10,2 cm 1,64 cm

7,1 km

33,5°

1040 9°

42,5° 137,5°

d)

4,5 cm

3,7 cm

6 cm

48,5°

38°

93,5°

e)

7,2 cm

7,87 cm

5,92 cm

61°

73°

46°

f)

5,4 cm

8 cm

5,1 cm

41,8°

99,2°

39°

2. d1 ≈ 4,6 cm

d2 ≈ 9,1 cm

3. Länge des Stollens ungefähr 376,4 m; Winkel in B: 46,3°; Winkel in C: 58,7° 4. | Pℚ | ≈ 149 m 5. Der Scheinwerfer muss mindestens um 65,4° gedreht werden können.

202

Register Additionsverfahren 59 Ankathete 152, 153 Äquivalenzumformung 46 Auflösen von Klammern 33, 34, 35, 36 Ausklammern eines Faktors 34 Aussage 43 falsche Aussage 43 wahre Aussage 43 44, 55 Aussageform 45 binomische Formeln 37, 96 Bogenmaß 146 Bruchterme 25 Addition und Subtraktion 25 Definitionsmenge 25 Kürzen und Erweitern 26, 27, 34 Multiplikation und Division 26 Diskriminante 118 Distributivgesetz 33 Dreiecke ähnliche ~ 152 rechtwinklige ~ 125 spitzwinklige ~ 163, 176 stumpfwinklige ~ 164, 176 Dreisatz 68, 72 Einheitskreis 139 Einsetzungsverfahren

58

Funktion 80 Definitionsmenge einer ~ 80 Funktionsgleichung 79, 85 Funktionswert 80 lineare ~ 82 Nullstellen einer ~ 121 quadratische ~ 102, 108 Wertemenge einer ~ 80 Wertetabelle 78, 80 ganze Zahlen 7, 9 Gegenkathete 152, 153 Gerade 82, 113, 116 gleichartige Glieder 24 Gleichsetzungsverfahren 56

Gleichung 42, 43 Aufstellen einer ~ 50 Grundmenge einer ~ 43, 45 lineare ~ 42 Lösung einer ~ 43 Lösungsmenge einer ~ 43, 46 Probe 46 quadratische ~ 94, 116, 120 Umformungsregeln 46 Gleichungssystem 55, 114, 116, 119 Grundmenge eines ~ 55 lineares ~ 55 Lösungsformel 62 Lösungsmenge eines ~ 55 Höhe im Dreieck 125, 132, 175, 176, 177 Höhensatz 132 Hyperbel 70 Hypotenuse 125, 133 Hypotenusenabschnitt 125, 132, 133, 175, 176, 177 Index 62 Inversionsgesetz 49 irrationale Zahlen 90 Kathete 125, 133 Kathetensatz 133 Koeffizient 23, 24, 48, 59, 61, 82 Kommutativgesetz 24 Kosinus im rechtwinkligen Dreieck 152 Kosinusfunktion 139, 141, 152, 159 Kosinussatz 166, 176, 177, 180, 181 leere Menge 17, 95 Lösungsmenge 43, 44, 45, 46, 55, 95, 97, 116 aufzählende Form 45 beschreibende Form 45 graphische Darstellung 45 natürliche Zahlen 7, 9, 14 negative Zahlen 7 Normalparabel 104 Parabel 103, 116, 119, 121 Platzhalter 21, 43 Produktgleichheit 71, 72

203

Proportionalität direkte ~ 67, 69, 73 indirekte ~ 70, 72 Proportionalitätsfaktor 68 Prozentrechnung 73 Punktprobe 83 Pythagoras, Satz des 126, 128, 180 Quadrant 140 quadratische Ergänzung 38, 39, 95, 107 quadratische Gleichung 94, 116, 120 Lösungsformel 97, 99 Lösungsmenge 95, 97 reinquadratische Gleichung 95 Quadratwurzel 88 Quotientengleichheit 68, 69

Unbekannte 43 Ungleichung 44, 49 quadratische ~ 123 Lösungsmenge einer ~ 44, 45 Umformungsregeln 49 Variable 21, 43, 45 Vereinigungsmenge 18 Wertemenge 80 Wertetabelle 78, 80 Winkelfunktion 137 Wurzelgesetze 91, 92 Wurzelziehen 91 teilweise ~ 92, 93 y-Achsenabschnitt

Radikand 88 Radizieren 91 rationale Zahlen 8, 9, 90 Addition und Subtraktion 10 Multiplikation und Division 14 reelle Zahlen 90 Relation 79

Zahlengerade 8, 10, 15, 45 Zahlenpaar 54, 55, 80, 116 Zahlenstrahl 7 Zuordnung 66, 77 Graph einer ~ 78

Scheitelpunkt einer Parabel 103, 105, 106 Scheitelpunktform 105, 106, 107, 110 Schnittmenge 17, 114, 116 Sinus im rechwinkligen Dreieck 152 Sinusfunktion 139, 159 Sinussatz 164, 166, 170, 177 Steigung einer Geraden 82 Steigungswinkel 148 Tangens im rechtwinkligen Dreieck Tangensfunktion 147 Term 21, 42 Aufstellen eines ~ 28 Grundmenge eines ~ 43, 55 Umformen eines ~ 23, 33 Wert eines ~ 21 Thales, Satz des 131

204

82

153