Giochi matematici [1 ed.] 8835929784, 9788835929789

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Libri di base

Giochi matematici Trucchi formule e magie per capire la matematica

di Ennio Peres

O) , il numero negativo -n è quel numero che si incontra facendo, sulla retta dei numeri relativi, n passi verso sinistra a partire da O. I numeri n e -n, che sono caratterizzati dal fatto di avere, a meno del segno, lo stesso valore, si dicono opposti tra loro . Alla luce delle nostre precedenti conoscenze, vediamo anche che (- I )

n

-n.

=

Infatti, per la definizione di moltiplicazione che conoscia­ mo, abbiamo (- I ) n =

O ..;t_ (

-

I ) + (- I ) + . . . + (V

1j,

n volte

cioè, essendo + (- 1 ) prima: (- I) n

=

=

0\.-

- 1 , come abbiamo visto poco I - I - . . . - I) = V

-n,

n volte

perché -n è il numero che si incontra facendo n passi verso sinistra, come il decremento ripetuto ci porta a fare. Quindi mettere un segno « - » davanti ad un valore qualsiasi può significare sia che deve essere preso in considerazione il suo valore opposto , sia che quel valore deve essere moltiplicato per - 1 . Prima di procedere oltre, siccome le definizioni delle operazioni aritmetiche che abbiamo dato nel Capitolo O implicavano il concetto di operazione ripetuta «n volte», dobbiamo cercare di capire cosa può voler dire questo quando n è negativo . Cominciamo a vedere cosa può significare effettuare « - 1 volta» una determinata opera­ zione. 43

Osserviamo intanto che quando un'operazione viene ripetuta n volte, prima dell'ultima ripetizione è stata effettuata solo n - 1 volte (cioè una volta di meno, e n - 1 è appunto il numero che precede n); ma siccome abbiamo visto che + (- I )

- I

e quindi n

I

-

=

n

+ (

-

I),

s i compie una certa operazione n - 1 volte se l a s i effettua prima n volte e poi ancora « - 1 volta » . Chiariamo questo concetto con un esempio. Il prodotto di 3 4 può conside­ rarsi uguale a ·

0 + 3 +3 + 3 +3

4

volte

ma anche uguale a

o ci-

3 + 3 +3 +3 + y

)�

5 volte

I volta

-

come il seguente grafico ben visualizza. 1 volta

2 volte

3 volte

4

--. -----. . 6 . -----. . 9 .---O .� . . . 3 . . . . . .

o.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . . 3 . . . . . . .6 . . . . .

.

.

.

volte

5 volte .

.

. . .

1 2 .---. . . . --. . 1 5 . . . . . . . .

. 9 . . . . . . 1 2 . �. 1 5 . . . . . . . .

Compiere un'operazione « - 1 volta» equivale quindi a compiere l'operazione che permette di tornare al passo precedente. Ma questo può essere fatto solo se si effettua l'operazione inversa all'operazione che viene ripetuta per­ ché solo cosi si neutralizza l' ultimo suo effetto. 44

In definitiva, possiamo affermare che: effettuare «- I volta» una data operazione equivale a compiere « 1 volta» la sua operazione inversa (nel nostro esempio, infatti, l'operazione + 3 « - 1 volta» , equivale a - 3 « 1 volta» . D i conseguenza effettuare un'operazione « - n volte» (se n > O), equivale a compiere «n volte» la sua operazione inversa. Ricordando che: • l'operazione inversa dell'incremento è il decremento • l'operazione inversa del decremento è l' incremento • l' operazione inversa dell'addizione è la sottrazione • l'operazione inversa della sottrazione è l'addizione • l'operazione inversa della moltiplicazione è la divisione • l'operazione inversa della divisione è la moltiplicazione analizziamo caso per caso le operazioni con i numeri negativi , indicando con a e b sempre due numeri positivi (a, b > O). Per maggiore compattezza, conveniamo di sostituire il simbolo \...___ __) con il piu semplice � , per cui , n

per esempio ,

n

volte

o ci- a + a + . . . + a_; y n

indica la somma di a a partire da O, ripetuta n volte.

Addizione

Abbiamo definito a + b

=

a � I + I + . . . + I ,) y

b

avremo quindi -a + b

=

-

a� I

+

I

+

V

b

.

. + I .

/

il che semplicemente vuol dire che a partire dal numero negativo - a , bisogna compiere b passi verso destra; è chiaro che, se a b si arriva precisamente allo O; quindi si resta al di qua dello O se b è piu piccolo di a , mentre si supera lo O se b è piu grande di a . In sintesi : =

s e a = b allora - a + b = O; s e a > b allora - a + b < O; s e a < b allora - a + b > O. I n base alla stessa definizione avremo ancora che: a + (

-

b)

+ = a \..--+ I + . . . + I) = ---v

- b

= a � I - I - . . . - y = a - b, V

b

in quanto il decremento è l' operazione inversa dell'incre­ mento e il decremento ripetuto è la sottrazione. Le considerazioni precedenti si rovesciano perfettamente e siamo quindi in grado di affermare che: se a = b allora a - b = O; se a > b allora a - b > O; se a < b allora a - b < O. Analogamente avremo: - a + (- b)

=

- a \.+

+ I + . . . + I) = - b

- a \.- I - I V

... - �

=

-a

-

b;

b

siccome per arrivare a a sono stati fatti a passi verso sinistra a partire dallo O e bisogna farne altri b, sempre verso sinistra, per arrivare a -a -b, è chiaro che -

46

quest' ultimo valore disterà dallo O a + b passi verso sinistra, cioè sarà l'opposto di a + b, cioè - (a + b); si può scrivere dunque: - a + (- b)

=

-a-b

=

-(a

+

b).

Sottrazione

Abbiamo definito a - b = aC I - I

- ... - y

V

b

Questa definizione coincide con quella che abbiamo trova­ to per a + (- b) , ed anche in questo caso valgono tutte le considerazioni fatte. Avendo visto prima che - a - b = - a + (- b) = -(a + b) ,

evitiamo di studiare questo caso; osserviamo invece che, in base alla definizione, si ottiene: a - (- b) =

a� I

-

I

- . . . - lj =

V

-b

a \...+ I + I + . . . + I) = a + b, V

b m

quanto l'incremento è l'operazione inversa del decre­ mento e l' incremento ripetuto è l'addizione. Allo stesso modo avremo : - a - (- b)

- a \...- I - I

-

V

. . . - !.J =

- b - a + I + I + . . . + I) = - a + b \... V

b

e questo caso l'abbiamo già analizzato prima. 47

Moltiplicazione

Abbiamo definito +

a·b = O + a

a

+ ...

+ a.

b Avremo quindi

(- a) - b

=

O ..,t (- a)

+

(- a) + . . . + (- al, = V

b

=

O

- a - a - . . . - a = O - (a b

+

a

+ ... +

a) =

b

- (a · b). Abbiamo infatti visto che

-a -b

- (a + b).

=

In base alla stessa definizione di prima abbiamo

a · (- b)

=

=

O

+

a + a +

... +

a =

-b 0 ,- a - a - . . . - a,, = - (a · b) , y b

in quanto la sottrazione è l'operazione inversa dell'addizio­ ne e l'espressione che ne deriva ci riporta al caso appena esaminato. Analogamente avremo:

(- a) · (- b)

=

O + (- a) + (- a) + . . . + (- a) = -b

=

O ,;;:- a - a y

. . . - a,.

=

-b = O + a + a + b 48

+ a = a · b,

in quanto l' addizione è l' operazione inversa della sottrazio­ ne e l'espressione che ne deriva coincide proprio con la nostra definizione di a · b. Riassumendo:

(- a) · b

=

a· (-b)

=

- (a · b)

e

(- a) · (- b)

=

a · b.

Divisione

b (od anche _!!:.._ ) come il numero di n b volte che bisogna sottrarre b da a per ottenere O. Questa definizione è valida se a è un multiplo di b; nel caso in cui non lo fosse, si definisce 'parte intera' di a : b il numero n di volte che bisogna sottrarre b da a per arrivare ad un numero r < b; r viene chiamato 'resto' di a : b. Per rappresentare questa definizione con una notazione coerente con quelle usate prima, possiamo introdurre la seguente

Abbiamo definito

a:b

a :

=

n

---�A �---

a(- b - b - . . . - bÌ< b

che si legge cosi : a diviso b è uguale al numero n di volte che si deve sottrarre b da a per avere un numero inferiore a b. Con un procedimento analogo al precedente, che però vi risparmio, in quanto piuttosto complesso nell'esposizione, si arriva a stabilire che

(- a) : b = - (a : b) a : (- b) = - (a : b) (- a) : (- b) = a : b. Questi risultati concordano con quelli ottenuti con la moltiplicazione e sono comunque giustificati dal fatto che

a: b

=

a·

1

b 49

Elevazione a potenza

Abbiamo definito an

1 · a · a · . . . · a.

� n

Avremo quindi 1 - (- a) - (- a) · . . . - (- a) = n

1 -(- I ) - a - (- l ) · a · . . . - (- I ) a = n

1 - (- I H- I ) · . . . - (- I)

a · a · . . . · a = (- l )nan.

���--... ,,--��� � n n

Siccome ( - 1 ) ( - 1 ) = + I , mentre ( + I ) ( - 1 ) = - I , avremo che il valore di (- l )n sarà uguale a + 1 , se n è pari, sarà invece uguale a - 1 se n è dispari. I valori di ( - a)n quindi, al variare di n , saranno alternativamente uno negativo ed uno positivo . In base alla stessa definizione abbiamo : a-n = I � =

I�= n

- n

a·a· ... ·a

'----..-' n

infatti la divisione è l'operazione inversa della moltiplica­ zione e - -1 -1 \. I .· a .· a .· . . . .· a) y

-n 50

� n

Infine

I · (- a) · (- a) · . . . · (-

a)

- n

I · (- l ) · a · (- l ) · a . . . · (- I ) · � = V - n

! \(- ! ) · (- ! ) · . . . · (- I.Jr � = - n

- n

I · (- I ) : (- I ) : . . . : (-'-- I ) : � = n

n

I (- l )n an .

Quindi anche in questo caso, al variare di n , i valori di (-a)-n sono alternativamente uno negativo ed uno positi­ vo. Da quanto esposto, si deduce che:

cioè che, se due potenze hanno per base la stessa base: • il loro prodotto è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti; • il loro rapporto è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti . Concludo qui la mia esposizione, anche perché il logarit­ mo, operazione inversa dell'elevazione a potenza, può essere definito solo se, sia base che argomento, sono positivi . Un'ultima definizione però, prima di passare ad altro, ve la vorrei dare. Quando di un numero si vuole prendere in considerazione il suo valore trascurando il suo segno , si dice che viene considerato il suo ' valore assoluto' . I l valore assoluto di a viene indicato con I a I . Quindi, se a > O, l a i = a; se a < O, l a i = - a . Per cui , per esempio 1 9 1 = 9, mentre I - 9 1 = - (- 9) = 9. Detto ciò termino veramente, o meglio . . . in modo assoluto ! 51

II. GIOCANDO CON L'ALGEBRA

Possiamo sintetizzare i risultati che abbiamo ricavato nel capitolo precedente nella seguente regola, detta ' regola dei segni ' : (+) (+) = + ( + ) (- ) = -

(-) ( + ) = ­ (-) ( - ) + =

Questa regola (dove « + » sta per « + I » e «-» sta per «- I ») può essere adattata ad ogni circostanza, se si tiene presente che un numero qualsiasi - n può essere considera­ to come (- I ) · n ed un qualsiasi numero n può essere considerato come ( + I ) · n . La regola s i ricorda ancora piu facilmente s e s i nota che : • se i segni sono uguali il segno risultante è « + » ; • s e i segni sono diversi i l segno risultante è « - » . I l fatto che due segni « - » diano come risultato « + » a volte sorprende e spesso non si ricorda, ma tutto può apparire piu chiaro se si considera il segno « - » come un operatore che genera l' opposto di una data situazione . È evidente che l' opposto dell'opposto di una certa situazione è proprio la situazione di partenza ! Se avete ancora le idee confuse, prendete una carta da gioco e posatela coperta sul tavolo. Se la girate una volta la scoprirete, se la girate di nuovo tornerà coperta, come era prima ! (Fig. 3 ) . Siccome l' opposto di una carta coperta è una carta scoperta, e viceversa, è ovvio che l'opposto dell'opposto di una carta coperta è ancora una carta 52

Figura 3

coperta. Ora è pili chiaro il discorso? Vi sembra addirittura troppo banale? Non crediate che questo ragionamento sia poi cosi immediato come sembra. Alcuni semplici e diver­ tenti giochini di prestigio sono basati proprio su questo principio che in genere sfugge anche ad un attento osserva­ tore . Ve ne illustro un paio: provare per credere ! Gira e

. . .

raggira

1 . Prendete un mazzo di carte e, dopo averle mischiate pili volte, prelevatene un mucchietto (una decina circa) dall'alto; 2. girate sottosopra queste carte rimettendole di nuovo in cima al mazzo (Fig . 4a); 3. prelevate, sempre dall'alto , un altro mucchietto di carte comprendente tutte quelle girate pili un altro po' (un'altra decina circa); 4. girate anche queste carte rimettendole sopra tutte le altre (Fig . 4b); 5. sventagliate sul tavolo il mazzo che ora risulterà formato da un certo numero di carte scoperte seguito da un maggior numero di carte coperte (Fig . 4c); 6. sfilate la prima carta coperta e mettetela da parte sul tavolo; 7. togliete tutte le carte scoperte e mettetele, coperte, sotto il mazzo ; 8. eseguite tutto da capo (comprese le mischiate iniziali) 53

e

Figura

54

4

per altre tre volte in modo da trovarvi con quattro carte messe da una parte sul tavolo; 9. scoprite le quattro carte scelte in questo modo cosi casuale e (meraviglia delle meraviglie . . . ) risulteranno essere i quattro « 7 » ! ! !

Spiegazione del trucco. Prima di eseguire il gioco dovete (segretamente . . . ) mettere in cima al mazzo i quattro « 7 » ; vi sarà facile mischiare le carte senza coinvolgere queste prime quattro e senza che nessuno ci faccia caso, il resto funziona da solo . Infatti , quando girate il primo mucchietto di carte, quella che sta in cima diventa l ' ultima delle carte scoperte e, quando le carte vengono rigirate, torna ad essere la prima di quelle coperte. Se siete abili manualmente potete aumentare l'effetto di questo gioco facendo scegliere una carta ciascuno a quattro diverse persone e facendogliele poi ritrovare alla fine del procedimento illustrato. È ovvio che dovete cercare di mettere, di nascosto, le quattro carte in cima al mazzo e questa non è una cosa semplice, né è compito di questo libro insegnare trucchi di questa natura . Comunque, tanto per esaurire l'argomento, vi suggerisco questo sistema che è semplice ed efficace : 1 . mettete tranquillamente le quattro carte in cima al mazzo (Fig . Sa); 2. fate quattro mazzetti, che possiamo chiamare nell' ordi­ ne M l , M2, M3 , M4 (M4 sarà quindi quello con le quattro carte in cima) (Fig . Sb); 3. ricomponete il mazzo sovrapponendo, nell'ordine, M4 su M2 (Fig. Sc), M3 su M l (Fig. Sd) ed M2 su M l (Fig. Se) . Se ripeterete velocemente piu volte questa operazione, mescolando ogni tanto, senza spostare le prime quattro carte, l'effetto sarà garantito. Può darsi che questo gioco vi abbia lasciati insoddisfatti perché con la matematica c'en­ tra molto poco, godetevi allora il prossimo che è completa­ mente privo di furbesche scorrette manipolazioni, come lo saranno, vi assicuro, la maggior parte dei giochi che v1 presenterò nel seguito. 55

a

3

lii

,

I 1 1 b

� 3

,

I

4 .---,

I

'

I

:

3 ,- - .

I I I I

\ I I I

f--_-:..-::J

Figura 5 56

I

I

I

{:_:_-=._j

e

d

'

e

Acqua e vino 1. Prendete un mazzo di 40 carte e, dopo averlo mischiato e fatto mischiare piu volte, prelevate le prime 20 carte; 2. girate queste 20 carte e rimettetele a faccia in alto tra le altre 20 carte rimaste a faccia in basso (Fig . 6); 3. mischiate e fate mischiare piu volte il mazzo in modo che le carte scoperte si distribuiscano casualmente tra le altre coperte e chiedete ad uno spettatore di prelevare, non visto (per esempio da sotto un tavolo), 20 carte qualsiasi lasciandole, naturalmente, tutte girate nella posizione in cui si trovano; 4. prendete questo mazzetto di 20 carte e fate notare che voi non potete assolutamente sapere quante carte scoperte ci sono, né tanto meno potete sapere quante ce ne sono nel mazzetto che è rimasto in mano allo spettatore; 5. nascondete il vostro mazzetto (dietro la schiena o sotto il tavolo) e trafficateci per alcuni secondi , dopo di che annunciate che siete riusciti a girare quel numero di carte necessario a far si che nel vostro mazzetto ci siano ora tante carte scoperte quante ce ne sono in quello dello spettatore; 6. fate contare allo spettatore quante carte scoperte ci sono nel suo mazzetto e verificate che ce ne sono un ugual numero nel vostro !

Spiegazione del trucco. Il trucco è basato sul fatto che nel mazzetto di 20 carte rimasto in mano allo spettatore ci saranno necessariamente tante carte scoperte quante carte coperte ci sono in quello che è stato dato a voi . Per cui voi non dovete far altro che ribaltare il vostro mazzetto; in

Figura 6 57

questo modo tutte le carte che erano prima coperte diventeranno scoperte e quindi queste saranno esattamente tante quante quelle presenti nel mazzetto dello spettatore. Se la ragione di fondo non vi appare cosi intuitiva come vorrebbe essere, analizziamo il discorso matematicamente, in modo da fugare ogni dubbio residuo. Se nel mazzetto dello spettatore ci sono X carte scoperte, le altre 20 - X carte saranno coperte. Siccome le carte scoperte erano in tutto 20, come 20 erano quelle coperte, nel vostro mazzetto ci saranno 20 - X carte scoperte e 20 - (20 - X) carte coperte. Ma, essendo 20 - (20 -X)

20 - 20 + X

20 - 20 - (- X)

X

(come c1 msegna la regola dei segni . . . ), le vostre carte coperte saranno X, come X sono le carte scoperte dello spettatore. Le seguenti tabelline dovrebbero ulteriormente chiarire il senso di questi passaggi algebrici:

Situazione dopo il ribaltamento del vostro mazzetto

Situazione iniziale

dello spettatore vostre

carte scoperte

carte coperte

X

20 - X

20 - X

X

carte scoperte

carte coperte

dello spettatore

X

20 - X

vostre

X

20 - X

Queste tabelline evidenziano il fatto che, ai fini del risultato , non è determinante che vengano ribaltate proprio 20 carte. Quello che è essenziale è infatti solo che voi possediate tante carte coperte quante sono quelle scoperte in mano allo spettatore. Perché ciò avvenga vi deve essere consegnato un mazzo composto in totale da tante carte quante sono quelle che sono state girate all'inizio. Ammet­ tiamo, infatti , che vengano ribaltate Y carte e che quindi vi facciate consegnare in tutto proprio Y carte. Se le carte 58

scoperte capitate allo spettatore sono X, in mano vostra ci saranno le rimanenti Y - X carte scoperte. Il vostro mazzo di Y carte sarà quindi suddiviso in Y - X carte scoperte e in Y - (Y - X) carte coperte. Ma essendo Y - (Y X) Y - Y + X = X, avrete, appunto, tante carte coperte quante sono quelle scoperte dello spettatore . Il gioco può quindi essere eseguito inizialmente girando proprio 20 carte (o comunque la metà esatta del numero totale) , in modo da dirottare l'attenzione del pubblico su questo particolare inessenziale, e poi ripetuto con un numero di carte scoperte a scelta dello spettatore. Il gioco viene chiamato «Acqua e vino» perché trae lo spunto da un celebre quiz matematico di Martin Gardner1 , basato sullo stesso principio . Per chi non lo conoscesse, il quiz è, piu o meno, il seguente: «Si abbiano due bottiglie contenenti , l'una un litro d'acqua, l'altra un litro di vino . Se un centimetro cubo di acqua viene passato nel vino, e dopo aver mescolato completamente i due liquidi, un centimetro cubo della miscela cosi ottenuta viene ripassata nell'acqua, c'è alla fine piu acqua nel vino che vino nell'acqua, o viceversa? » . Ovviamente l a risposta è che c'è tanto vino nell'acqua, quanta acqua c'è nel vino ed il ragionamento è identico a quello sviluppato nel trucco precedente (Fig . 7). Ad onor del vero bisogna precisare che il volume occupato da una miscela di acqua e vino è leggermente inferi ore alla somma dei volumi dei due liquidi separati , ma è preferibile ignorare questa bizzarria della natura per non perdere l'occasione di adattare anche ad un simile caso un ragiona­ mento troppo bello per essere sprecato . Ma, trafficando con acqua e vino c ' è rischio, o di affogare, o di ubriacarsi ! Torniamo quindi ai nostri mazzi di carte che costituiscono, tra l'altro, sistemi meno complessi e quindi piu facilmente analizzabili . I giochi che abbiamo incontrato finora potevano essere compresi anche semplicemente a livello intuitivo, lo stru-

=

I. Martin Gardner, che ha curato dal 1 95 6 , per circa 25 anni, la rubrica di «Enigmi e giochi matematici» su Scientific A merican (rivista edita dal 1 968 anche in italiano, col titolo Le Scienze) , può considerarsi la massima autorità, di ogni tempo e paese, nel campo della matematica ricreativa. Della sua vasta produzione sono uscite in Italia undici raccolte di giochi (sette con la Sansoni e quattro con la Zanichelli). 59

Figura 7

mento matematico ci è però servito per avere una visione piu chiara del problema e per poterlo inquadrare in un contesto piu generale . Vediamo ora invece una serie di giochi basati su trucchi che è difficile spiegare senza un'attenta analisi matematica. La predizione 1 . Prendete un mazzo di carte e fatevi dire da uno spettatore un numero compreso tra 1 0 e 20 (estremi esclusi); 2. togliete dalla cima del mazzo , una alla volta, tante carte quant'è il numero scelto e ponetele sul tavolo una sopra l'altra; 3. mettete da parte le carte avanzate e fate notare allo spettatore che il numero è stato da lui liberamente scelto, che voi non potevate saperlo in anticipo, né tanto meno potevate conoscere in anticipo la somma delle cifre che lo compongono; annunciate però che in una busta chiusa avete precedentemente scritto il valore della carta che occupa, nel mazzetto di carte che avete in mano, il posto dato dalla somma delle cifre del numero scelto (cioè se è stato scelto il numero 1 5 , l' oggetto della vostra predizione riguarderà la 6• carta ( 1 + 5 6)); 4. fate togliere dal mazzetto la carta che occupa la posizione cosi determinata e mettetela in bella vista sul =

60

tavolo; aprite poi la busta ed estraete la vostra predizione : sicuramente si rivelerà esatta!

Spiegazione del trucco. Perché il gioco riesca non dovete far altro che mettere inizialmente al 1 0 ° posto del mazzo la carta il cui valore avete scritto nella busta chiusa. Abbiamo già visto nel gioco del 9, possiamo ripetere su P l'operazione effettuata prima su N ottenendo per P una scrittura del tipo 9h + s, dove s è la somma delle cifre che compongono P , e possiamo quindi scrivere N

=

9k + 9h + s = 9(k + h) + s = = 9m + s (con m

=

k + h). 89

Quindi , se s < 9, s rappresenta il resto della divisione N : 9 , altrimenti si procede analogamente finché non si riesce ad ottenere N = 9 n + r, con r < 9 . Questo ragionamento è ovviamente estendibile a d un numero composto da un qualsiasi numero di cifre . Ecco perché, per ottenere il resto della divisione per 9 di un numero N, basta sommare le cifre di questo numero e ripetere l 'operazione sulle cifre del risultato finché non si ottiene un numero composto da una sola cifra. Se questa cifra, che viene chiamata ' radice numerica' di N, è uguale a 9 , allora il numero è divisibile per 9; altrimenti, la cifra rappresenta il resto della divisione del numero per 9. Per esempio, la radice numerica di 1 986, si può ottenere rapidamente in questo modo: 1 + 9 + 8 + 6

24.

Poiché 24 > 9 , ripetiamo il procedimento : 2 + 4

=

6.

Essendo 6 < 9, l a radice numerica d i 1 986 (cioè il resto della divisione 1 986 : 9) è 6 . Quanto appena esposto risponde anche a l punto lasciato in sospeso nel capitolo precedente, dove avevamo afferma­ to, senza dimostrarlo, che se la somma delle cifre che compongono un numero è un multiplo di 3 , allora il numero è anch'esso un multiplo di 3. Infatti , per esempio , se N "abc" , possiamo scrivere : =

N

=

9k + (a + b + e)

Se a + b + e

=

N

=

=

3 · 3k + (a

+

b + e) .

3 h , potremo scrivere: 3 3 k + 3h

=

3(3k + h)

(con m

=

3k + h).

·

=

3m

Giochi basati sulle caratteristiche nascoste della numera­ zione posizionale sono antichi quanto la numerazione 90

stessa. I l seguente gioco è addirittura attribuito a Leonardo Fibonacci, detto anche Leonardo Pisano , il matematico che introdusse intorno al 1 200 la numerazione posizionale in Occidente. Pensa un numero

Date ad uno spettatore le seguenti istruzioni: 1. pensa un numero; 2. moltiplicalo per 2; 3. aggiungi 5 al risultato; 4. moltiplica quello che hai ottenuto per 5 ; 5. aggiungi 10 al risultato; 6. moltiplica quello che hai ottenuto per 1 O; 7. dimmi il risultato che hai ottenuto ed io ti dirò che numero avevi all'inizio ! ! !

Spiegazione del trucco. Non dovete far altro che sottrarre 3 50 dal valore che vi viene comunicato e scartare gli ultimi due zeri dalla differenza cosi ottenuta. Infatti, se X è il numero pensato, la sequenza di istruzioni impartite genera: R

=

((X · 2 + 5) · 5 + 1 0) · 1 0 .

Svolgendo i calcoli, otteniamo: R

=

( l OX + 25 + 1 0) IO

=

l OOX + 250 + 1 00

=

l OOX + 350.

Quindi , sottraendo 3 50 da R, otteniamo l OOX, cioè X seguito da due zeri . . . Con questa semplice dimostrazione, il gioco dovrebbe esservi chiaro; comunque vediamo un esempio applicativo. Ammettiamo che il numero pensato sia 37; dopo la sequenza di istruzioni si otterrà : R

=

((37 · 2 + 5) · 5 + 1 0) · 1 0 = ((74 + 5) · 5 + 1 0) · 1 0 = (79 · 5 + 1 0) · 1 0 = (395 + 1 0) · 1 0 405 · 1 0 = 4.050.

=

=

91

Sottraendo 3 50 da 4 . 050 otteniamo 3 .700, cioè appunto 37 seguito da due zeri ! Questo gioco, pur essendo molto antico ed in fondo molto ingenuo, risulta sempre di grande effetto. In genere viene eseguito per conoscere l'età di una persona, ma voi potrete aggiungervi un tocco di classe chiedendo ad una persona di aprire un libro in una pagina a caso e di scegliere, in quella pagina, una parola segnando il valore A della riga dove si trova questa parola e quello B della posizione che occupa la parola nella riga . Se fate eseguire su A la sequenza di istruzioni vista prima e fate aggiungere all'ultimo risultato il valore B, sottraendo 3 50 dal valore finale, otterrete un numero uguale a 1 00 A + B, per cui le ultime due cifre vi daranno la posizione della parola all'interno della riga, e le prime due il numero della riga.

Sempre 9 ! ! ! 1 . Invitate uno spettatore a pensare un numero di due cifre; 2. chiedetegli di sommare tra loro queste due cifre (se, per esempio, ha pensato 87, deve calcolare 8 + 7 = 1 5); 3. fategli sottrarre la somma cosi ottenuta dal numero pensato prima (nel nostro esempio, 87 - 1 5 = 72) ; 4. domandategli se ha ottenuto come risultato un numero composto anch'esso da due cifre; in caso affermativo fategli sommare queste cifre tra loro, altrimenti ditegli di non effettuare piu alcuna operazione (nel nostro caso, deve invece ancora fare 7 + 2 = 9); 5. ordinategli di pensare intensamente al numero cosi ottenuto, quindi guardatelo fissamente negli occhi per qualche secondo, fingendo di leggergli nel pensiero, dopo di che annunciate con piglio sicuro che , senza ombra di dubbio, stava pensando al numero 9! ! !

Spiegazione del trucco. Questo gioco è basato su un principio molto semplice, ma di sicuro effetto : non sempre le cose piu semplice sono quelle piu facilmente individuabi­ li, anzi . . . Tutto è basato sul fatto che un numero N composto da due cifre, cioè del tipo "ab " , può essere scritto anche come : I O a + b. P erciò quando fate eseguire 92

la differenza (D) tra N e la somma delle sue cifre (a + b), è come se faceste effettuare questa operazione: D

=

N

-

(a + b)

=

10

a

+ b

-

a

-

b

=

10 a

-

a =

9 a.

Se i calcoli sono stati eseguiti bene, D sarà quindi sicuramente un multiplo di 9 e, come abbiamo visto all'inizio di questo capitolo , i multipli di 9 hanno radice numerica uguale a 9 . I l numero rovesciato 1 . Voltate le spalle ad uno spettatore e dategli le seguenti istruzioni : • scrivere su un foglietto di carta un numero di tre cifre, diverse tra loro; • scrivere un altro numero composto dalle stesse cifre invertendo però l ' ordine (cioè se prima ha scritto "abc" , ora deve scrivere "cba"); • sottrarre il piu piccolo di questi due numeri dal piu grande (per esempio, se "abc" = 3 1 5 , sarà "cba" = 5 1 3 e dovrà quindi eseguire : 5 1 3 - 3 1 5 = 1 98); 2. ditegli di sommare tra loro le cifre del risultato ottenuto e di sommare tra loro anche le cifre di questo nuovo risultato (nel nostro esempio, sarà: 1 + 9 + 8 = 1 8 ; 1 + 8 = 9) ; 3. ordinategli di pensare intensamente al numero cosi ottenuto, quindi giratevi e guardatelo fissamente negli occhi per qualche secondo fingendo di leggergli nel pensie­ ro, dopo di che annunciate con piglio sicuro che, senza ombra di dubbio, stava pensando al numero 9! ! !

Spiegazione del trucco. Siccome "abc" può essere scrit­ to come 1 02 · a + I O · b + e, e "cba" come 1 02 · c + l O · b + a, ammettendo che sia a > c, sottrarre "cba" da "abc" equivale a fare: I 0 2 a + IO b + e - ( 1 0 2 e + 10 b + a) I 02 a + I O b + e - 1 0 2 e - 1 0 b - a 2 2 = ( I0 - 1) a - (10 - 1) e = =

99

a

- 99 e

=

=

=

9 ( I I a - 1 1 e). 93

Perciò anche questo procedimento, a prescindere dai valori di a e di e, genera sicuramente come risultato un multiplo di 9, la somma delle cui cifre è quindi ancora un multiplo di 9 . Il gioco riuscirebbe anche nel caso in cui fosse a < c, perché il valore assoluto di 9( 1 1 a 1 1 e) sarebbe ugual­ mente un multiplo di 9. È meglio però evitare questo caso perché si potrebbero generare fastidiosi errori di calcolo che rallenterebbero i ritmi di questo gioco , il cui pregio maggiore è invece proprio la rapidità di esecuzione. Bisogna infine escludere che sia a = e, perché altrimenti il risultato finale sarebbe O ed il vostro annuncio si rivelereb­ be clamorosamente errato . Chiedendo esplicitamente che l e tre cifre siano tutte diverse tra loro, sarete sicuri di non incorrere in questa spiacevole situazione, anche se cosi escluderete pure che sia a = b, o b = e, casi che invece non vi darebbero alcun fastidio . Ma dato che questo fatto non danneggia l ' effetto del gioco , non è necessario appesantire la sua presentazione con richieste ancora piu dettagliate. È interessante notare che questo gioco funziona anche con numeri composti da piu di tre cifre e, cosa ancor piu stupefacente, funziona anche se il secondo numero è scritto semplicemente disponendo le cifre del primo in un ordine qualsiasi, non necessariamente in quello inverso . Si può cioè proporre un gioco come il seguente. -

Il numero di telefono 1. Voltate le spalle ad uno spettatore e dategli le seguenti istruzioni : • scrivere su un foglietto di carta il proprio numero di telefono (se siete cosi sfortunati da aver scelto uno spettatore privo di telefono, chiedetegli di scrivere un numero a suo piacimento, composto da 6 o 7 cifre . . . ); • scrivere un altro numero composto dalle stesse cifre di quello di prima, scritte però in un o�dine diverso (cioè, se prima ha scritto "abcdef ' , ora può scrivere, per esempio: "cbaedf ' , oppure "defbac" , ecc . . . ) ; • sottrarre il piu piccolo d i questi due numeri dal piu grande . Per esempio , se prima ha scritto 7305 5 3 e dopo 303 5 5 7 , dovrà eseguire: 94

730553 - 303557

=

426996;

2.

ditegli di sommare tra loro le cifre della differenza cosi ottenuta e ripetere questa operazione finché non rimane una sola cifra. Nel nostro esempio sarà: 4 + 2 + 6

+

9 + 9 + 6

=

36;

3 + 6

=

9;

3.

ordinategli di pensare intensamente al numero cosi ottenuto , quindi giratevi e guardatelo fissamente negli occhi per qualche secondo fingendo di leggergli nel pensie­ ro, dopo di che annunciate con piglio sicuro che, senza ombra di dubbio , stava pensando al numero 9! ! !

Spiegazione del trucco. Il motivo per cui si ottiene un risultato cosi sorprendente , che in genere lascia di stucco anche lo spettatore piu smaliziato, è piuttosto semplice, anche se la relativa trattazione matematica comporta una notazione piuttosto complessa se svolta in maniera rigoro­ sa. Cerchiamo quindi di semplificare le cose con un ragionamento piu sintetico . La differenza tra due numeri composti nel modo sopra illustrato, può immaginarsi scritta, se ogni numero è formato da n cifre, come la somma di n termini del tipo:

dove x indica una generica cifra, p l' esponente della potenza di I O relativa alla posizione che questa cifra occupa nel numero piu grande e q quello relativo alla posizione che occupa in quello piu piccolo. Analizziamo il termine IO.O - I Oq; possiamo avere tre casi : • p q ; ed allora sarà semplicemente I O.O - I Oq O; • p > q; in questo caso possiamo scrivere: =

=

I QP - I Oq

=

I QP-q I Oq - I Oq

=

J(J'l ( I QP-q_ I ) ;

siccome s e sottraiamo I d a u n a qualsiasi potenza d i I O otteniamo un numero composto da tanti 9 quant'è il valore dell' esponente di questa potenza, cioè: 95

" 99

9"

� n volte

avremo che l()P - l Oq sarà un numero formato da tanti 9 quant'è il valore di p - q, seguito da tanti O quant'è quello di q; avremo perciò : J ()P

- I Oq =

��· p-q

=

9

�' ; p-q

q

q

• p < q; in questo caso , potendo scrivere:

avremo, per il ragionamento precedente:

I CJP - J Oq = - � · q -p

p

- 9" 1 1 . . . 1,00 . . . O" . '--v--

,�

q -p

-

_J

p

Almeno uno dei termini ( 1 ()P - l Oq) sarà diverso da O , altrimenti vuol dire che i l secondo numero è stato scritto, sbagliando, uguale al primo . Siccome in ognuno di questi termini , positivi o negativi, compare sempre il 9 come fattore, la loro somma non potrà che essere un multiplo di 9, con tutte le conseguenze che ormai conosciamo . Questa sorprendente proprietà di far scaturire sempre il numero 9 da semplici operazioni svolte su dati scelti in apparente piena libertà, può essere utilizzata come base per giochi di pili elaborata presentazione . Per esempi o , potreste disporre 9 carte sul tavolo in un determinato ordine, guardando e tenendo bene a mente, durante questa operazione, il valore dell'ultima carta. Sottoponete uno spettatore ad uno dei tre giochi precedenti , il cui risultato è sempre 9, e invitatelo a guardare la carta il cui ordine corrisponde al risultato che ha ottenuto . Praticamente lo forzerete a scegliere la carta di cui conoscete già il valore. Se avete di fronte un pubblico particolarmente numeroso, un modo molto efficace per presentare uno qualsiasi dei tre giochi precedenti , è quello 96

di proporlo contemporaneamente a tutti gli spettatori . Se, quando tutti hanno terminato di svolgere le operazioni indicate, li invitate a dire i nsieme ad alta voce il risultato ottenuto, il coro di 9 che si leverà all'unisono non potrà non generare un divertito stupore, seguito quasi sempre da uno spontaneo scrosciante applauso. Un altro gioco che si presta ad essere eseguito di fronte ad una platea numerosa, soprattutto se si tratta di una scolaresca cui vogliamo insegnare a eseguire le divisioni a mano, è il seguente.

Il numero ripetuto

Date ai vostri spettatori le seguenti istruzioni : 1 . scrivere un numero di tre cifre; 2. riscrivere le stesse tre cifre accanto alle precedenti cosi da ottenere un numero di sei cifre composto da due parti uguali (se il numero scelto è "abc" si deve ottenere

"abcabc"); dividere per 7 il numero ottenuto (per esempio , se le cifre sono 345345 si otterrà 345 . 345 : 7 49 . 3 3 5 ) ; 4 . dividere per 1 1 il risultato ottenuto (nel nostro caso avremo 49 . 3 3 5 : 1 1 = 4.485); 5. dividere per 13 il nuovo risultato. Tra la meraviglia generale si scoprirà che, non solo tutte le divisioni non dànno resto, ma ogni spettatore ha ottenuto il numero di tre cifre scritto all' inizio ! (Nel nostro caso, 4 .485 : 1 3 345 ) .

3.

=

=

Spiegazione del trucco. Intanto osserviamo che u n numero di tipo "abcabc" equivale a 1 .00 l · "abc" ; infatti

"abcabc"

"abc" 1 .000 + "abc" ( 1 .000 + 1 ) "abc" 1 .00 1 "abc" . ·

=

=

·

Siccome 7 · 1 1 · 1 3 1 .00 1 , dividere "abcabc" prima per 7 , poi per 1 1 ed infine per 1 3 , equivale a dividerlo proprio per 1 .001 . E quindi sarà =

"abcabc" : 1 .00 1

1 .001 " ' abc"

:

1 .001

"abc" ! 97

Pili veloce della luce 1. Preparate 8 cartoncini rettangolari di forma allungata scrivendo su ognuno di essi 5 cifre disposte in colonna, secondo lo schema seguente:

2.

rn rn rn rn rn rn rn rn

consegnate i cartoncini (che devono essere di dimensio­ ni tali che il pubblico possa leggere i numeri da lontano) ad uno spettatore pregandolo, mentre voi gli volterete le spalle, di attaccare su una lavagna con del nastro adesivo un certo numero di questi cartoncini (anche tutti), uno accanto all'altro (Fig. 1 5a) ; 3. senza voltarvi ancora, fate notare che sulla lavagna si sono cosi formati 5 numeri, composti da tante cifre quanti sono i cartoncini utilizzat i , disposti in colonna uno sotto l ' altro (per esempio, se sono stati messi sei cartoncini disposti come in Fig . 1 5b , si sono formati nell'ordine i seguenti cinque numeri di sei cifre : 295 .47 8 , 480.65 1 , 5 1 9 . 706, 764 . 2 1 0 e 926 . 3 8 5 ) ; 4 . annunciate che siete in grado di eseguire l a somma dei cinque numeri a velocità istantanea: scrivendo il risultato sulla lavagna, sotto i cinque numeri, procedendo da sinistra verso destra (per sottolineare che il calcolo lo avete già effettuato a mente) ; 5. fate notare che le somme delle cifre di ogni colonna sono diverse una dall' altra, per cui ad ognuna delle innumerevoli possibili disposizioni dei cartoncini corri­ sponde una diversa somma dei cinque numeri ; non è quindi pensabile che voi le abbiate imparate a memoria; 6. voltatevi ed eseguite quanto promesso (nel nostro caso , scriverete, da sinistra verso destra, le cifre 2 , 9 , 8 , 6 , 4 , 3 e O, formando cosi il numero 2 . 986.430) (Fig . 1 5c). Rimar­ ranno tutti di stucco quando, dopo u n ' attenta verifica (295 .478 + 480 . 65 1 + 5 1 9 . 706 + 764.2 1 0 + 926 . 3 8 5 2 .986 .430) , il valore d a voi scritto si rivelerà esatto! 98

a

9

5

4

1

4

8

o

6

5

8 1

5

g 4

.,. 2

o

6

1

1 6

-i

9

2

6

3

8

2

z;9:- -

-

B:

e

Figura 1 5 99

Spiegazione del trucco. Per riuscire in questa impresa, non dovrete far altro che: 1. scrivere u n 2 nella posizione immediatamente prece­ dente quella del primo cartoncino a sinistra; 2. scrivere nell'ordine, sotto ogni cartoncino seguente escluso l 'ultimo , la cifra che si ottiene sommando 2 a quella che si trova, nel relativo cartoncino, al 4° posto a partire dall'alto; 3. trascrivere infine invariata sotto l ' ultimo cartoncino la sua 4" cifra . I cartoncini infatti sono stati preparati in modo tale che la somma delle cinque cifre riportate su ognuno di essi sia sempre uguale al valore della somma tra la cifra che si trova in 4" posizione ed il numero fisso 20. Per esempio, nel cartoncino che riporta, dall' alto verso il basso, le cifre: 8, 1 , 6, O e 5 , la somma risultante è 20 ed infatti la 4• cifra è O; in quello che riporta le cifre: 7 , 5 , O, 1 e 8 , la somma risultante è 2 1 ed infatti la 4• cifra è 1 ; e cosi via. La somma delle cifre poste nella stessa colonna darà quindi sempre come risultato una cifra uguale a quella posta in 4" posizione, col riporto di 2 . L e cifre poste in 4 • posizione nei cartoncini sono state scelte in modo che siano tutte inferi ori ad 8 ; la loro somma con il numero 2 non genera quindi ulteriore riporto e vi sarà perciò possibile eseguire l 'operazione descritta da sinistra verso destra dando cosi l'impressione di conoscere già il risultato. Per eseguire questo gioco, dovete essere in grado di saper fare rapidamente dei calcoli, anche se molto semplici. Se non ritenete di possedere ancora questa competenza, in attesa di acquisirla, potete ugualmente sbalordire il vostro pubblico con il gioco seguente, dove avrete molto piu tempo a disposizione per eseguire i banalissimi calcoli richiesti . La carta parlante 1. Prendete 1 0 carte di valore progressivo dall'Asso ( 1 ) al 10 e disponetele sul tavolo in una fila coperta nel seguente ordine, da sinistra verso destra : 1 00

2

-

3

-

4

-

5

-

6

-

7

-

8

-

9

-

IO

-

Asso;

2. chiedete ad uno spettatore di spostare, mentre voi non guardate, un numero di carte a sua discrezione, prelevan­ dole dall' inizio della fila a sinistra e portandole in coda alla fila a destra (Fig. 1 6a); 3. pregate poi lo spettatore di spostare tutte le carte insieme verso sinistra in modo che la fila presenti , pili o meno, lo stesso assetto di prima (Fig. 1 6b); 4. girate una delle dieci carte e, tra lo stupore generale, il suo valore indicherà proprio il numero di carte che sono state spostate (Fig . 1 6c). Potete far ripartire il procedimento dal punto 2. tutte le volte che il pubblico vorrà, riuscendo ogni volta a scoprire la carta giusta ! Spiegazione del trucco. Questo gioco si basa su un ragionamento piuttosto semplice, ma talmente sottile che difficilmente, anche facendo vedere la disposizione iniziale delle carte, qualcuno riuscirà ad interpretare il prodigi o ! Il segreto in sintesi è il seguente: • la prima volta dovrete sempre scoprire la seconda carta a partire da destra; • in seguito dovrete scoprire la carta la cui posizione (sempre a partire da destra) è data dalla somma tra il valore della carta scoperta precedentemente e quello della posizio­ ne in cui si trovava, trascurando l'eventuale cifra delle decine. Se, per esempio, la prima volta, girando la 2• carta da destra avete scoperto un 5 (individuando cosi il numero di carte che erano state spostate), la seconda volta dovrete girare la 7• carta, in quanto 2 + 5 = 7. Supponendo che la carta cosi scoperta sia un 6, la volta successiva dovrete scoprire la 3• carta, in quanto 6 + 7 = 1 3 (la cifra delle decine deve essere trascurata), e cosi via. Questo procedimento si giustifica con il fatto che, date le modalità con cui operiamo gli spostamenti , possiamo considerare la fila di carte come se, collegando le sue due estremità, fosse un anello. Cosi, ogni spostamento di n carte avrà l'effetto di portare in ogni posizione la carta che prima occupava, su questo anello ideale, n posizioni precedenti . 101

a

b

e

Figura 1 6 1 02

Dato che i valori delle carte sono stati disposti inizial­ mente in ordine decrescente rispetto al senso di rotazione (e gli spostamenti circolari non alterano quest' ordine), ogni posizione verrà cosi ad essere occupata da una carta il cui valore è piu alto di n unità rispetto a quella che c ' era prima (non prendendo in considerazione naturalmente la cifra delle decine) . Cioè, se supponiamo che ad un certo punto la situazione sia la seguente: 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - IO - I - 2 - 3 - 4,

lo spostamento, per esempio , di 5 carte genererebbe quest'altra situazione: IO - I - 2 - 3

-

4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9;

infatti : 5 + 5

=

1 0;

6 + 5

(1)1;

=

7 + 5

=

( 1 )2 ;

4 + 5

=

9.

In generale se n è il numero di carte spostate e v il valore della carta che occupava una determinata posizione, la carta che va ad occupare la stessa posizione ha un valore v ' dato da: v' v'

In particolare , se

v + n v + n - IO v =

v'

=

se v + n < I O , se v + n > I O.

I O , avremo: IO + n - I O

=

n,

per cui la carta che va ad occupare il posto del IO è proprio quella il cui valore indica il numero di carte che sono state spostate. Quindi , per sapere quante carte sono state spostate, basta sapere in quale posizione si trovava prima il 10 e scoprire la carta che vi si t rova ora. Siccome all' inizio il IO si trovava in 2• posizione, sarà li che dobbiamo andare 1 03

a scoprire comunque la prima carta. Sarà poi facile calcolare la nuova posizione che il 1 0 andrà di volta in volta ad occupare, in quanto sarà proprio la carta che abbiamo scoperto a dirci quante carte sono state spostate e quindi di quante posizioni il 10 si è spostato circolarmente. Non dobbiamo far altro, cioè, che sommare al valore della posizione precedente il valore della carta scoperta e trascu­ rare, eventualmente, la cifra delle decine. Per terminare questo capitolo vi propongo un gioco molto simpatico e semplice che potrete eseguire subito dopo quello che vi ho appena presentato dato che, per preparare la scena, dovete solo togliere il 1 0 alle carte appena utilizzate. La carta mancante I. Porgete ad uno spettatore nove carte i cui valori vadano in progressione dall' 1 al 9 ; 2. ditegli di scegliere una di queste carte e di mettersela i n tasca, senza, naturalmente, farvi vedere il s u o valore; 3. pregatelo quindi di comporre due o piu numeri utiliz­ zando tutte le 8 cifre relative ai valori delle carte rimanenti , una e d una sola volta ciascuna ; 4. chiedetegli di sommare tra loro i numeri cosi composti ,

� �-.·�· [;J··� •

Figura 1 7 104

•

- ·l·

fatevi comunicare il risultato ottenuto e , dopo un solo attimo di concentrazione, annunciate il valore della carta messa prima da parte.

Spiegazione del trucco. Quello che dovete fare è, semplice­ mente, trovare la radice numerica del risultato comunicato­ v i . Sottraendo questa cifra da 9, otterrete il valore cercato. Per esempio, se vi viene comunicato come risultato il numero 568, dato che la sua radice numerica è I (5 + 6 + 8 = 1 9 ; I + 9 1 0; 1 + O 1 ) , il valore che dovete indovinare sarà 8 (infatti , 9 - 1 8) (Fig. 1 7) . Tutto ciò si spiega osservando che l a somma d i tutte l e cifre dall' l al 9 è 45 , che di 9 è multiplo (4 + 5 9) . Se si toglie una cifra di valore X, la somma delle cifre rimanenti , comunque esse siano distribuite, sarà sempre uguale a 45 - X . La radice numerica che ne risulterà sarà quindi uguale a 9 - X: infatti 45 - X 36 + (9 - X) e 36 è multiplo di 9 . =

=

=

=

=

105

IV. LA NUMERAZIONE BINARIA

Come abbiamo visto, quasi tutti i popoli dell 'antichità, anche senza aver avuto contatto tra loro, hanno adottato una numerazione basata sul numero 1 O (a prescindere dal modo di rappresentare i numeri) . Questo fatto non ci meraviglia, perché tutti questi popoli devono aver utilizzato come base numerica la prima cosa che è capitata loro sotto . . . mano, cioè il numero delle dita delle mani ! C'è tuttavia qualche eccezione. I Babilonesi, ad esempio , avevano messo a punto un sistema basato sul numero 60, che utilizziamo ancora oggi per misurare gli angoli ed il tempo. Il vantaggio di una numerazione in base 60, consiste nel fatto che questo numero possiede molti divisori: 2 , 3 , 4, 5 , 6, I O , 1 2, 1 5 , 3 0 ,

mentre il numero 1 0 può essere diviso solo per 2 o per 5 . M a una tavola d i moltiplicazione i n b ase 60 sarebbe però mostruosa, dovendo essa inglobare ben 3 . 600 caselle ! Pensate che negli Stati Uniti è esistita un'associazione che per decenni si è battuta per l'introduzione in tutto il mondo di un sistema basato sul numero 1 2 , che costituirebbe una specie di compromesso numerico tra il 60 ed il 1 0. Infatti 1 2 , pur essendo un numero piccolo , ha ben quattro divisori: 2, 3, 4 e 6 . S e aumentando il valore della base s i dilatano l e dimen­ sioni delle tabelle di calcolo, diminuendo tale valore si ottengono tabelle sempre pili piccole . Al limite, introducen1 06

do una numerazione in base 2 (che utilizza le due cifre «0» ed « 1 » e viene detta 'numerazione binaria'), tali tabelle avranno due sole caselle per lato. Questa sinteticità nello svolgimento dei calcoli è una delle ragioni per cui la numerazione binaria è stata adottata nella realizzazione dei calcolatori elettronici . La numerazione binaria non è però una conquista dell 'era informatica; era già nota nel 1 600 e Leibniz ( 1 6461 7 1 6) vedeva addirittura in essa l' immagine della creazione. Il filosofo e matematico tedesco considerava che l'unità rappresentasse Dio e lo zero il vuoto e che Dio avesse tratto dal vuoto tutti gli esseri nella creazione. Poco prima, il filosofo inglese Francesco Bacone ( 1 56 1 1 626) aveva messo a punto u n codice per trasmettere messaggi segreti in comunicazioni apparentemente innocen­ t i . Questo codice, chiamato 'omnia per omnia' era un vero e proprio codice binario e praticamente anticipò di tre secoli la rappresentazione in cifre binarie, non tanto dei numeri, quanto dei caratteri dell'alfabeto . In sintesi Bacone aveva attribuito ad ogni lettera dell 'al­ fabeto un diverso codice composto da cinque cifre binarie (ad esempio la lettera A era rappresentata ua 00000, la B da 0000 1 , la C da 000 10, ecc . ) . In secondo luogo aveva predisposto due alfabeti composti da caratteri di tipo diverso e ben distinguibili tra loro. Quando doveva vergare un messaggio cifrato, scriveva il testo fittizio (che poteva essere di qualsiasi tenore) prelevando le varie lettere da un alfabeto o dall'altro, a seconda delle cifre con cui erano codificate le lettere componenti il testo segreto. Se, per esempio, la prima parola da codificare era «Alba», essendo A 00000, B 0000 1 ed L 0 1 0 1 0 , adottando i due seguenti alfabeti : =

=

=

8, C, . . . , Z (associato alla cifra O) e A , B, C, . . . , Z (associato alla cifra I ) ,

A,

il testo fittizio poteva iniziare nel seguente modo :

CARO AM / CO T I s e R I V o O G G I � � e_ I _O I __9 �0� �-- O � · · · · · _ L A 8 A 1 07

Nella numerazione binaria la rappresentazione numerica avviene, come in ogni numerazione posizionale, attribuen­ do ad ogni successiva posizione delle cifre del numero, da destra verso sinistra, il valore di una diversa crescente potenza della base (nel caso specifico , di una potenza di 2) . Ad esempio , il numero binario N = 1 0 1 0 1 1 corrisponde a 1 . 2 5 + o . 2 4 + 1 . 23 + o . 22+ 1 . 2 1 + 1 . 2°

=

= 1 · 32 + 0 · 1 6 + 1 · 8 + 0 · 4 + 1 · 2 + l · l =

32 + 8 + 2 + I

=

43 (in base I O) .

S e s i vuole convertire i n binario u n numero N scritto in base 1 0, bisogna praticamente scomporre N in tanti gruppetti di unità corrispondenti alle varie potenze di 2. Si procede quindi nel modo seguente: a) si divide il numero N per 2 e si pone il resto della divisione (che potrà essere solo O od 1) nell'ultima posizio­ ne a destra, quella cioè corrispondente a 2°, relativa al numero binario da comporre; b) se il quoziente della divisione effettuata al passo precedente è uguale a O, si salta al punto d) , altrimenti si divide quel quoziente per 2 e si colloca il nuovo resto ottenuto nella posizione immediatamente a sinistra rispetto all 'ultima occupata (cioè in quella relativa a 2n 1 , se prima era stata occupata la posizione relativa a 2n) ; e) si ritorna al punto b); d) il procedimento termina e la sequenza di cifre scritte, letta normalmente da sinistra verso destra, costituirà la conversione in binario di N . Volendo, per esempio, convertire i l numero 348 in binario, si potrà usare il seguente schema, dove ogni quoziente della divisione per 2 viene posto ogni volta alla sinistra del dividendo dal quale è stato ottenuto , ed il relativo resto viene posto sotto di esso : �

2 o

5

21

IO

43

o

da cui 348 1 0 1 08

=

I O I O l l I 002 .

87

1 74

348

o

o

I cartoncini magici 1 . Preparate sette cartoncini scrivendo su ognuno di essi una serie di numeri compresi tra l e 1 00, come indicato nello schema seguente: I.

II.

I 21 41 61 8 1

3 5 7 9 11 13 15 17 19

23 25 27 29 31 33 35 37 39

43 45 47 49 51 53 55 57 59

63 65 67 69 71 73 75 77 79

2 3 6 7 10 11 14 15 18 19

83 85 87 89 91 93 95 97 99

22 23 26 27 30 31 34 35 38 39

42 43 46 47 50 51 54 55 58 59

III.

62 63 66 67 70 71 74 75 78 79

4 5 6 7 12 13 14 15 20 21

82 83 86 87 90 91 94 95 98 99

26 44 62 88 27 45 63 89 28 46 72 90 29 47 73 9 1 30 56 74 92 3 1 57 75 93 40 5 8 76 94 41 59 77 95 42 60 78 43 61 79

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 48 49 50 51

VI.

32 42 52 3 3 43 5 3 34 44 54 3 5 45 5 5 36 46 56 37 47 57 38 48 58 39 49 59 40 50 60 41 5 1 61

44 45 46 47 52 53 54 55 60 61

62 63 68 69 70 71 76 77 78 79

84 85 86 87 92 93 94 95 1 00

V.

IV .

8 9 IO 11 12 13 14 15 24 25

22 23 28 29 30 31 36 37 38 39

52 53 54 55 56 57 58 59 60 61

62 63 80 81 82 83 84 85 86 87

88 89 90 91 92 93 94 95

VII.

62 63 96 97 98 99 1 00

64 65 66 67 68 69 70 71 72 73

74 75 76 77 78 79 80 81 82 83

84 85 86 87 88 89 90 91 92 93

94 95 96 97 98 99 1 00

2.

invitate uno spettatore a pensare un numero compreso tra l e 1 00; 3. disponete i sette cartoncini sul tavolo e chiedete allo spettatore di indicarvi i cartoncini che contengono il numero da lui pensato; ! 09

4. date una rapida occhiata ai cartoncini segnalativi e comunicate senza alcuna esitazione qual è il numero che è stato pensato !

Spiegazione del trucco. Per individuare il numero che è stato pensato dallo spettatore, dovete semplicemente ese­ guire la somma dei numeri che compaiono al primo posto in ognuno dei cartoncini che vi ha indicato. Se, per esempio, vi viene segnalato che il numero pensato compare nei cartoncini II (dove al primo posto c ' è il 2), IV (dove al primo posto c'è 1 ' 8) e V I I (dove al primo posto c'è il 64) , vuol dire che il numero pensato è 74, infatti 2 + 8 + 64 = 74 (Fig . 1 8) . Il principio s u cui è basato questo gioco molto antico (la versione che vi ho proposto l'ho tratta da L 'amico delle conversazioni, una raccolta di giochi matematici pubblicata a cura del canonico P . Tosatti da Sorbara nel lontano 1 878 . . . ) è tanto semplice, quanto ingegnoso. I numeri compresi tra I e I 00 sono stati distribuiti sui vari cartonci­ ni, con eventuali ripetizioni, con questo criterio : 1 . ogni cartoncino è stato associato ad una particolare potenza di 2 , in particolare :

Cartoncino I II III IV V

VI VII

Potenza

2° 2'

= =

2'

=

21 2' 2'

=

26

=

= =

I 2 4 8

16 32 64

In sintesi , il cartoncino x è stato associato a 2x- 1 ; 2. su ogni cartoncino sono stati messi tutti e solo quei numeri la cui codifica in binario presenta un I nella colonna relativa alla potenza di 2 ad esso associata. Per esempio, nel cartoncino I compaiono i numeri I , 3 , . . . , 99, la cui codifica in binario è I , I l , . . . , 1 1 000 1 1 , tutti numeri cioè che contengono un I nell'ultima colonna, quella associata a 2°; nel cartoncino II compaiono i numeri 2, 3 , 1 10

�

oo o

2 + 8 + 6 4- : '14

• • •

A L \. O R R

HR\

� N

U l'\ E. R. O

74

Figura 18 Ili

. . . , 99, la cui codifica in binario è 1 0 , 1 1 , . . . , 1 1 000 1 1 , tutti numeri cioè che contengono un I nella penultima colonna, quella associata a 2 1 ; e cosi via; 3. per facilitarne la ricerca, nei vari cartoncini i numeri sono stati disposti per colonna in ordine crescente. In questo modo, su ogni cartoncino compare al primo posto proprio il valore della potenza di 2 ad esso associato. È evidente perciò che quando venite a sapere quali sono i cartoncini che contengono il numero pensato, conoscete anche la sua codifica in binario (in quanto sapete in quali colonne compaiono gli I , ed in quali, per esclusione, gli O) . Nell'esempio iniziale, infatti , quando vi viene segnalato che il numero pensato compare nei cartoncini I l , IV e V I I potete dedurre che l a sua codifica in binario conterrà un I nelle posizioni I I , I V e V I I e quindi sarà 1 00 1 0 1 0 , per cui il suo valore è 2 1 + 23 + 26 = 2 + 8 + 64 = 74. Per come sono stati preparati i cartoncini , questa decodifica dal binario viene automaticamente effettuata sommando i numeri che compaiono in testa ai cartoncini interessati . Potete aumentare l'effetto di questo gioco disponendo sul tavolo i cartoncini coperti , anziché scopert i . Infatti , s e invitate l o spettatore a sollevare u n cartoncino alla volta togliendo dal tavolo solo quelli che contengono il numero da lui pensato , vi basterà guardare quali spazi sono rimasti vuoti sul tavolo per risalire ai numeri che dovete sommare per ottenere il risultato (sempre che naturalmen­ te, ricordiate la disposizione dei cartoncini . . . ) . Elaborando ulteriormente questo principio d i base si possono inventare giochi sempre pili sofisticati come, ad esempio, il seguente, in cui tutte le tracce numeriche sono state camuffate. Il simbolo astrale

Premessa. Questo gioco, che qui viene proposto per la prima volta, richiede una preparazione un po' elaborata ma di sicuro effetto . Materiale occorrente: un cartoncino pesante, qualche fotocopia , un paio di forbici , un po' di colla e . . . una bacchetta magica . • Ritagliate 6 cartoncini di dimensioni non inferiori a cm 9 X 12; 112

• fate 5 fotocopie della Fig. 1 9 e 1 fotocopia della Fig . 20; • mettete da parte una delle cinque fotocopie e ritagliate i 1 5 segni astrali delle rimanenti; • ritagliate le sei carte con i fiori della Fig. 20 e incollatele sui cartoncini che avete preparato; • voltate i cartoncini e, seguendo lo Schema 1 , incollate 1 0 simboli astrali dalla Fig . 1 9 s u ognuna delle sei carte, facendo attenzione a non sbagliare i simboli e la loro corrispondenza con le carte.

Schema 1.

3

5

2

4

I

4

6

14

8

6

14

7

5

14

7

9

15

IO

9

15

IO

5

IO

6

13

Il

13

Il

12 Carta A

I

Carta C

Carta B

2

I

12

2

I

2

3

9

4

3

13

7

3

13

4

5

IO

6

8

15

9

5

14

6

8

Il

12

Il

7 Carta D

Carta E

12 Carta F

Ora che siete in possesso delle 6 carte speciali, veniamo al gioco vero e proprio .

1 . Iniziate affermando che, i n base a seri e recenti studi astrologici , si è scoperto che i diversi stati psicologici che una persona può assumere nell'arco di una giornata possono essere suddivisi in 1 5 categorie e che ad ognuna di esse è stato associato un diverso simbolo astrale (Schema 2). 113

� � 1 @) � 2

4

•

I

3

l.:.5 _____,

�, O

� e ___,

�-�

10

15

Figura 1 9 1 14

Retro carta A

Retro carta B '

Retro carta e

Retro carta D

Retro carta E

Retro carta F

Figura 20 I 15

Schema 2. Simbolo astrale

Categoria

Eccezionalmente tranquillo e sereno, come un dio

2

Conciliante, alla mano

3

Intricat o , contorto e spigoloso

4

Chiuso, ripiegato su se stesso

5

Vincolato a qualcuno, a qualcosa

6

Sfolgorante, in forma splendente

7

Timoroso, incerto, pauroso

8

Completamente libero da condizionamenti esterni

9

IO

2.

Impetuoso, dirompente, irrefrenabile Volubile, scontroso, lunatico

11

Rassegnato, disposto al sacrificio estremo

12

Disponibile, pronto, scattante

13

Diviso tra vari problemi irrisolti

14

Determ inat o , con un chiaro solo obiettivo

15

Estremamente nervoso, teso , esplosivo

mostrate le sei carte facendo notare che ognuna di esse contiene dieci simboli distribuiti in maniera tale che, per ogni possibile gruppo di quattro carte, uno ed un solo simbolo compare su tutte e quattro le carte; 3. aggiungete che, per conoscere quale particolare simbo­ lo astrale ci condiziona in un determinato momento della giornata è sufficiente estrarre quattro carte e cercare l ' unico simbolo che compare su tutte le carte scelte; 4. per dimostrare la validità scientifica di questo metodo , sostenete di essere in grado di individuare per altra via, senza naturalmente guardare le carte prese dallo spettatore di turno, il simbolo astrale che lo i n fluenza in quel momento; 5. dopo questa lunga premessa, mischiate e fate mischiare le sei carte e disponetele coperte sul tavolo ; 6. invitate uno spettatore a scegliere quattro di queste carte; 7. ditegli di cercare il simbolo astrale che compare su tutte e quattro le carte; 1 16

8.

mentre lo spettatore effettua la sua ricerca (in genere abbastanza laboriosa) voi passate una speciale bacchetta magica (ma va bene anche una normale matita . . . ) sul foglio contenente tutti i 1 5 simboli soffermandovi qualche secon­ do su ognuno di essi , finché la bacchetta non comincerà a vibrare vistosamente sopra un particolare simbolo; 9. verificate che il simbolo che avete individuato è proprio quello che compare sulle quattro carte scelte dallo spettatore; 10. potete ripetere piu volte l'esperimento, senza fallire mai l'individuazione del simbolo giusto ! ! !

Spiegazione del trucco. Per prima cosa dovete associare mnemonicamente ad ogni simbolo astrale un particolare numero, come è indicato nello Schema 3 . (Come si vede i processi mnemonici che regolano l'associazione di ogni simbolo al relativo numero, non seguono tutti la stessa logica: alcuni potrebbero essere considerati addirittura illogici; questo è stato fatto volutamente per depistare le ricerche degli spettatori pili curiosi . . . ) Mentre vi accingete a passare la bacchetta sul foglio contenente i 1 5 simboli , dovete guardare il dorso delle due carte scelte, rimaste coperte sul tavolo . Potete notare che il disegno che compare sul retro di ogni carta presenta delle leggere differenze da carta a carta. Infatti , solo in una i contorni di ognuno degli stigmi in cima ai sei pistilli del fiore sono disegnati in grassetto; in tutte le altre carte c ' è sempre uno stigma, ogni volta in posizione diversa, dise­ gnato con il bordo superiore leggermente piu sottile. Con tutti questi elementi a disposizione, per individuare final­ mente il simbolo astrale che ha scelto lo spettatore, dovete: • vedere, su ognuna delle due carte rimaste sul tavolo, quale posizione occupa, contando da destra verso sinistra, il pistillo con in cima lo stigma disegnato con il bordo superiore piu sottile; • calcolare i valori delle potenze di 2 che hanno come esponenti i valori di queste due posizioni (nel caso in cui nessun pistillo ha la cima disegnata con tratto sottile, il valore della posizione è considerato O); • seguire la somma di questi due risultati; • risalire dal valore cosi ottenuto al simbolo astrale .

1 17

Schema 3.

Simbolo

Numero

Meccanismo

astrale

associato

mnemonico

3

La figura ha la forma di un triangolo.

2

5

Le dita della mano sono 5.

3

6

La figura rappresenta una stella a

4

9

La forma della chiocciola ricorda un

5

IO

L ' anello visto di lato assume la forma di un J , i l contorno della sfera quella d i uno O: globalmente si ha 10.

6

12

I l sole splende a mezzogiorno, cioè alle 12.

7

17

Il 1 7, dicono, porta sfortuna, mentre il cor­ netto raffigurato porta fortuna.

8

18

La sagoma della figura è un cerchio perfetto, cioè un O di Giotto (che ricorda . . . 18).

9

20

La figura rappresenta Eolo, re dei

10

24

La luna appare a mezzanotte, cioè alle 24.

11

33

La croce ricorda Cristo, che visse 33 ann i .

12

34

L a figura rappresenta 3 saette, l a forma delle quali rappresenta un 4 ; globalmente si ha 34.

13

36

40

6:

1 18

48

9.

venti.

globalmente s i ha

La saetta ricorda

un

globalmente s i ha 40.

15

punte .

La figura rappresenta 3 chiocciole, la forma di ciascuna un

14

6

4,

la

36.

sfera uno

O;

L ' esplosione ricorda la catastrofe totale, quel­ la che popolarmente viene detta «un 48» .

t u t t i i pistilli hanno la cima

i l 4 ° pistillo a partire d a de­

d i ,egnata i n grasset t o ;

stra ha la cima disegnata con

t r a i l o '01 1 i le ;

1-igura 2 1

associato mnemonicamente secondo lo schema visto prima . Per esempio, se sul tavolo sono rimaste due carte che mostrano i dorsi come in Fig. 2 1 , si attribuisce alla prima posizione il valore O ed alla seconda il valore 4; dopo di che si calcola n = 2° + 24 1 + 16 = 1 7 . Il simbolo astrale è quindi il cornetto , dato che è questo ad essere associato mnemonicamente al numero 1 7 . Questo meccanismo s i basa sul fatto che i numeri associati ad ogni carta sono i piu piccoli 1 5 numeri che presentano due, e solo due, cifre 1 nella codifica binaria. Infatti : =

Numero

Cod. bin.

Numero

Cod . bin .

Numero

Cod. bin.

3

Il

12

1 1 00

33

1 00000

5

101

17

1 000 1

34

1 000 1 0

6

1 10

18

1 00 1 0

36

1 00 1 00

9

1 00 1

20

1 0 1 00

40

1 0 1 000

IO

1010

24

1 1 000

48

1 1 0000

1 19

Ognuno di questi numeri può essere quindi scritto come N = 2x + 2Y (x = O, 1 , . . . , 5; y = O, 1 , . . . , 5 ; x � y) ; ad ogni carta è stato allora attribuito un diverso valore di 2k (k = O, 1 , . . . , 5) ed ogni simbolo astrale è stato messo, se N = 2x + 2Y è il numero ad esso associato, solo sulle carte relative a potenze di 2 diverse sia da 2x che da 2Y. Per esempio: il simbolo rappresentante Eolo, associato al numero 20 = 22 + 24 (in quanto la codifica di 20 in binario è 1 O 1 00), è stato messo solo sulle quattro carte relative ai valori 2°, 2 1 , 23 e 25 (saltando quelle relative a 22 e 24) ; il simbolo rappresentante l'esplosione, associato al numero 48 = 24 + 25 (in quanto la codifica di 48 in binario è 1 1 0000) è stato messo solo sulle quattro carte relative ai valori 2°, 2 1 , 22 e 23 (saltando quelle relative a 24 e 25); e cosi per tutti gli altri simboli . Per ogni simbolo, quindi , il valore del numero ad esso mnemonicamente associato è dato dalla somma delle potenze di 2 attribuite alle due carte sulle quali il simbolo non è stato messo . Ma siccome è possibile individuare quali potenze di 2 sono state attribuite alle varie carte (guardando semplicemente quali sono i pistilli la cui cima è stata disegnata con tratto sottile), dalle due carte rimaste sul tavolo è facile risalire al simbolo che su quelle carte non compare e che è quindi quello che compare su tutte le altre quattro carte in mano allo spettatore. È superfluo aggiungere che starà a voi dosare, con opportuni ed impercettibili movimenti della mano, la vistosa vibrazione della bacchetta quando questa comincerà ad avvicinarsi al simbolo individuato . Qualche spettatore probabilmente vorrà ripetere l'esperi­ mento su se stesso per verificarne la validità scientifica. Siccome in 1 4 casi su 1 5 , sceglierà la seconda volta un simbolo diverso da quello scelto prima, voi potete sempre sostenere che il suo stato psichico è nel frattempo mutato, forse proprio perché influenzato dall' esito del primo re­ sponso . . . Per sfruttare i meccanismi della codifica in binario di un numero , non serve sempre un 'attrezzatura cosi sofisticata: si possono ottenere brillanti risultati anche utilizzando materiale di pili facile reperimento . Il gioco seguente ne è una valida dimostrazione.

1 20

Le tracce I. Disegnate sul tavolo (per esempio con un gessetto) otto lineette parallele, ad una distanza di circa I O centimetri una dall'altra; 2. giratevi e date ad uno spettatore le seguenti istruzioni : • mettere sulla prima lineetta un numero di carte a piacere; • prelevando due carte alla volta dal mazzo cosi formato, mettere la prima carta sulla lineetta a fianco (Fig . 22a) e scartare la seconda (Fig. 22b) , fino ad esaurimento delle carte. Nel caso in cui rimanga una sola carta, lasciarla sulla lineetta; • ripetere l'intero procedimento utilizzando le carte ora sulla seconda lineetta e cosi via fino ad esaurimento carte. Alla fine, su ogni lineetta rimarrà al massimo una sola carta (Fig. 22c). Per esempio, se lo spettatore ha messo 1 3 carte sulla prima lineetta , s i succederanno via via sul tavolo le seguenti situazioni : lineette

8•

7•

6'

s·

4•

3•

2·

t•

disposizione delle carte all ' i n izio

o

o

o

o

o

o

o

13

disposizione delle carte dopo la prima operazione

o

o

o

o

o

o

6

disposizione delle carte dopo la seconda operazione

o

o

o

o

o

3

o

disposizione delle carte alla fine

o

o

o

o

o

3.

quando lo spettatore avrà terminato di eseguire quanto da voi richiestogli , vi volterete e, dopo un' occhiata alle carte rimaste sul tavolo, direte il numero delle carte di cui era composto all'inizio il mazzo !

Spiegazione del trucco. Per ottenere il numero cercato, dovete vedere la successione di carte e spazi vuoti lasciati sul tavolo come una successione di I e di O e convertire in decimale il numero binario che si ottiene. Nel caso 121

a

1 1 1 1 1 1

F'

b

• I I I 1 llJ 1 IJ e

Figura 22

122

dell' esempio precedente otterrete il numero binario 1 1 0 1 , che convertito in decimale dà: 2° + 22 + 23

=

I

+ 4 + 8

13.

Il motivo è piuttosto semplice, e l 'avrete già individuato da soli : ogni operazione di ridistribuzione delle carte di un mazzetto non è altro che la divisione intera per 2 del numero di carte componenti quel mazzetto; l' eventuale carta rimasta indica il caso in cui il resto risulta essere uguale ad 1 . In questo modo quindi , per quanto illustrato all'inizio di questo capitolo, la successione di carte e di spazi vuoti lasciati sul tavolo rappresenta proprio la codifica in binario del numero di carte componenti il mazzo iniziale. Se non commetterete errori nel decodificare questo numero in decimale, il gioco funzionerà sempre, automaticamente. Come funzionerà sempre anche il seguente gioco, basato anch'esso su un principio semplice, ma ben nascosto. La sedicesima carta 1 . Consegnate ad uno spettatore un mazzo di 52 carte con le seguenti istruzioni : • formare due mazzetti all'incirca dello stesso numero di carte; • scegliere uno dei due mazzetti e mischiarne le carte; • scrivere su un foglio un numero qualsiasi di tre cifre diverse tra loro; • scrivere un altro numero utilizzando le stesse cifre invertite (se, per esempio, il primo numero è 357 ora sarà 753); • calcolare la differenza tra i due numeri (nel nostro caso 753 - 357 396); • sommare tra loro le cifre del numero cosi ottenuto : il risultato sarà sicuramente di due cifre (nel nostro caso 3 + 9 + 6 1 8) ; • calcolare s i a l a somma c h e l a differenza tra l e due cifre che compongono il risultato precedente (nel nostro caso 1 + 8 = 9 e 8 - 1 = 7); =

=

1 23

Figura 23

• sommare i due numeri cosi ottenuti e guardare, senza mostrarla, la carta che occupa il posto corrispondente a quest 'ultimo risultato (nel nostro caso, 9 + 7 = 1 6 , dovrà guardare la 1 6a carta) . 2. Fatevi consegnare il mazzo e disponete le carte in modo che quelle in posizione dispari sporgano rispetto alle altre (Fig. 23); 3. scartate tutte le carte sporgenti e ripetete la stessa operazione con le carte che vi sono rimaste; 4. alla fine rimarrete con una sola carta in mano . Giratela e mostratela: sarà proprio la carta vista prima dallo spettatore !

Spiegazione del trucco. Il gioco funziona automaticamente, senza ulteriori accorgimenti oltre quelli illustrati . Infatti, la differenza tra due numeri, uno di tipo "abc" e l ' altro di tipo "cba" , genera sempre un numero la somma delle cui cifre è 1 8 ; il lungo procedimento numerico illustrato prima serve quindi a forzare la scelta del numero 1 6 (in quanto sarà evidentemente sempre: 1 + 8 = 9, 8 1 = 7 e 9 + 7 1 6) . Ebbene, se il numero di carte con cui si effettua il gioco è inferiore a 3 1 , ma non inferiore a 1 6 , l ' estrazione successiva delle carte con il procedimento indicato (punti 2. e 3. ) selezionerà alla fine proprio la 1 6a carta ! Vediamo perché. -

=

1 24

Vengono tolte dal mazzo ogni volta le carte che in quel momento occupano una posizione dispari , una posizione cioè la cui codifica in binario termina con un 1 . Si può costruire perciò il seguente prospetto :

Pos. I

cod. bin.

Pos.

Dopo la 3• estrazione

Dopo la 2• estrazione

Dopo la I• estrazione

Situazione iniziale

cod. bin.

Pos.

cod. bin.

IO

3

11� 2

IO

1 10

3

11�

8

1 000

4

1 00

2

IO

9

1 00 1 �

6

I IO

3

11�

7

111

8

1 000

9

1 00 1 �

1 00

5

101 �

6

Ili �

IO

1010

Il

101 1 �

12

1 1 00

13

1 101 -·

14

1 1 10

15

1 1 1 1 -·

16

1 0000

17

1 000 1

18

1 00 1 0

19

1 00 1 1 �

20 21

10101

22

101 10

23

1 01 1 1 �

24

1 1 000

25

1 1 00 1 �

26

1 1010

27

1 101 1

28

1 1 1 00

29

1 1 101

•

11111

•

30

Pos.

cod. bin.

1�

4

31

cod. bin.

1 �

2

7

Pos.

Situazione finale

I

•

1�

•

4

1 00

2

5

101

6

110

7

111�

IO

�

1 0 1 00

IO

1010

11

101 1

12

1 1 00

13

1 101 �

14

1 1 10

15

1111

•

• -·

11�

•

1 1 1 1o

•

dove sono state allineate su una medesima riga le successive posizioni di ogni carta, dall'inizio alla fine, e sono state evidenziate con il segno « --> » le posizioni dispari , quelle cioè relative alle carte che verranno eliminate dall'estrazio­ ne successiva. 1 25

La codifica binaria relativa alla posizione di ogni carta rimasta in gioco si può ricavare eliminando l'ultimo O dalla codifica binaria relativa alla posizione precedente. Infatti , ogni successiva posizione delle carte rimaste in gioco è esattamente uguale alla metà di quella precedente, che è sicuramente pari ; e per effettuare la divisione per 2 di un numero pari scritto in binario , basta togliere lo O con cui questo numero termina. È evidente quindi che resisterà fino alla fine la carta la cui codifica in binario presenta il maggior numero di O finali . Se il numero delle carte in gioco è compreso tra 1 6 e 3 1 , questa carta è proprio la 1 6• carta; infatti la codifica binaria di 1 6 è 1 0000. Se le carte fossero state pili di 3 1 , la carta selezionata sarebbe stata invece la 32•, perché la codifica binaria di 32 è 1 00000 e quindi il gioco non sarebbe riuscito. Se però richiedete esplicitamente di suddividere il mazzo di 52 carte in due parti quasi uguali , sicuramente il numero di carte di ognuno dei due mazzetti cosi formati rientrerà nei limiti voluti . Infatti , se uno dei due mazzetti fosse composto da pili di 3 1 carte, l ' altro ne conterrebbe meno di 2 1 , la differenza tra i due mazzetti sarebbe quindi sicura­ mente maggiore di 1 0 carte e questi non potrebbero pili essere considerati quasi uguali . L ' operazione di togliere alternativamente una carta si ed una no da un mazzo di carte genera degli effetti inaspettati sulla codifica binaria delle posizioni che le carte assumono nel mazzo , anche quando il procedimento è pili complesso di quello appena visto.

L a cifra trasferita 1 . Chiedete a d uno spettatore di prelevare d a u n mazzo un numero di carte a piacere; 2. pregatelo di contarle e fatevi dire quante sono; 3. scrivete su una lavagna il numero che vi è stato comunicato; 4. convertite questo numero secondo la numerazione binaria, spendendo due parole per illustrare, a quella parte del pubblico che non lo sapesse, cosa significa questa 1 26

Figura 24

trasformazione e con quale criterio si opera (per esempio, se le carte sono 1 9 seri vere 1 00 1 1 ) ; 5 . trasferite l a prima cifra d i questa notazione binaria i n fondo, dopo l'ultima, facendo notare che s i è cosi generato un altro numero casuale, dato che casuale era anche il numero di carte scelte dallo spettatore (nel nostro caso, spostando la prima cifra di 1 00 1 1 in fondo , si ottiene 00 1 1 1 , cioè 1 1 1 ) ; 6. convertite in decimale il numero binario cosi ottenuto e chiedete allo spettatore di guardare la carta che nel mazzo occupa, a partire dall' alto , la posizione di corrispondente valore e di tenerla a mente (nel nostro caso, essendo 7 il numero che si ottiene convertendo 1 1 1 in decimale, la carta da tenere a mente sarà la 7•) ; 7. fatevi riconsegnare il mazzo ed annunciate che indivi­ duerete la carta memorizzata dallo spettatore eseguendo sulle carte un'operazione analoga a quella effettuata sul numero binario di prima; 8. detto questo, trasferite in fondo la prima carta del mazzo (Fig . 24a) e scartate quella successiva (Fig. 24b); 9. ripetete questo procedimento finché rimarrete con una sola carta in mano; 1 0. mostrate questa carta al pubblico verificando che è proprio quella memorizzata dallo spettatore. 1 27

Spiegazione del trucco. Anche questo gioco non ha partico­ lari accorgimenti oltre quelli illustrati. Infatti, se si manipo­ la nel modo indicato precedentemente un mazzo composto da un numero N di carte, alla fine rimane proprio quella carta che all' inizio occupava una posizione la cui codifica in binario si ottiene operando, su quella di N, la trasforma­ zione vista prima cioè proprio la carta che abbiamo fatto memorizzare al nostro spettatore . Per spiegare con un ragionamento matematico perché alla fine rimane proprio quella carta conviene costruire prima un prospetto che riporti, per ogni valore N delle carte componenti il mazzo, la posizioni P in cui deve trovarsi la carta che sarà selezionata dalla manipolazione precedentemente illustrata. Analizzando poi questo prospetto , cercheremo di formaliz­ zare matematicamente la relazione esistente tra N e P . Anche cosi i l procedimento logico d a seguire è molto complesso: mi seguano i piu temerari ! Immaginiamo di ripercorrere all' indietro (come se le analizzassimo alla moviola . . . ) le varie fasi di questa manipolazione . Immaginiamo cioè di eseguire le seguenti azioni : 1 . prendere una sola carta; 2. metterci sopra una delle carte che sono sul tavolo (azione inversa a quella di togliere una carta e metterla sul tavolo) ; 3. portare al primo posto l 'ultima carta del mazzo (azione inversa a quella di trasferire una carta dal primo posto all' ultimo); 4. ritornare al punto 2. se ci sono altre carte da prendere, altrimenti fermarsi. Osserviamo intanto che, ogni volta che mettiamo una nuova carta sopra il mazzo che si va cosi costituendo: • il numero N ' delle carte che ora compongono il mazzo è cresciuto di una unità rispetto al numero N delle carte componenti il mazzo di prima (N ' N + l ); • dato che ogni carta del mazzo slitta di un posto verso il fondo, la nuova posizione P' che ognuna di queste carte va ora ad occupare è superiore di una unità rispetto alla posizione P di prima (P' = P + 1 ) . A l contrario, ogni volta che spostiamo una carta dal fondo in testa al mazzo : =

1 28

• il numero delle carte del mazzo rimane invariato (N' ·= N); • la nuova posizione che ognuna delle altre carte va ad occupare è superiore di una unità rispetto a quella di prima (P' P + 1 , se P � N, altrimenti P' = 1 ). Possiamo quindi costruire i l seguente schema riportando i valori che assumono N e P al susseguirsi delle varie azioni di questo procedimento i nverso: =

a

s

a

s

a

s

a

s

a

s

a

s

N

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7 8 8 9 9 10 IO 1 1 1 1 12 12 . . .

a

s

a

s

a

s

a

s

p

2

2

3

4

2

3

4

5

6 7 8

2 3 4 5 6 7

a

8

9. . .

(abbiamo indicato con « i » l a situazione d i partenza, con «a» la situazione che si ottiene dopo l' aggiunta di una carta, con «S» quella che si ottiene dopo lo spostamento di una carta) . Possiamo osservare, esaminando questo schema, che P torna al valore 1 in una fase « S » , dopo essere riuscito a raggiungere il valore di N nella precedente fase « a » , e ciò coincide ogni volta in corrispondenza di una nuova potenza di 2 . Riusciamo a comprendere questo fenomeno s e riflettia­ mo sul fatto che P cresce con una velocità doppia di quella con cui cresce N; per cui, se ad un certo punto abbiamo P ed N uguali ad x, dopo y fasi «S» ed altrettante fasi «a» , il nuovo valore di P, che è ripartito da 1 , sarà 2 · y, mentre il nuovo valore di N sarà x + y. Quindi P uguaglierà di nuovo il valore di N, quando 2 y x + y, cioè quando y x, ossia quando P avrà assunto il valore 2 y 2 x, esattamente doppio di quello assunto la volta precedente. Siccome la prima volta che P uguaglia il valore di N in una fase « a » , si ha per P N = 2 e le volte successive questo deve accadere per valori sempre doppi di quelli precedent i , si avrà P N , per P 2 , 4, 8 , 1 6 , . . . , ovvero per P 2k (k = 1 , 2 , . . . ) . Questa importante osservazione ci permette intanto di conoscere l 'andamento di P al susseguirsi delle varie fasi, senza dover necessariamente completare la costruzione dello schema. =

=

=

=

=

=

=

1 29

A questo punto, per ottenere il prospetto che cercavamo, cioè quello che fornisce il valore P della posizione che deve occupare all'inizio una carta in un mazzo che ne contiene N, per essere selezionata al termine della manipolazione descritta all' inizio, basta estrarre dallo schema precedente i valori di N e di P che si hanno in concomitanza delle varie fasi « S » . Otteniamo in questo modo il seguente nuovo schema: i N p

s

s

s

s

s

s

s

s

2

3

4

5

6

7

8

9 10 1 1 1 2 . . .

3

5

7

3

3

s

s

5

7

s

9 ...

Infatti, siccome la prima fase prevista dalla manipolazione è quella di spostare sotto il mazzo la carta che prima si trovava in testa, si può percorrere a ritroso lo schema precedente solo partendo dalle caselle contrassegnate con «S» (le caselle contrassegnate con «a» ci possono fornire analoghe informazioni , nel caso adottassimo una manipo­ lazione a fasi invertite rispetto a quella di cui ci stiamo occupando) . Da quest' ultimo schema possiamo dedurre che: • se N 2 k (con k O 1 , 2, . . . ), allora P 1; • se N "#- 2 k , cioè se N 2k + a (con a 1 , 2, . . . 2k - 1 ), allora P 1 + 2 a (infatti , in questi casi il valore di P cresce sempre di due unità alla volta) . Dato che, per come è stato introdotto , a N - 2 k , dove 2 k rappresenta la piu grande potenza di 2 il cui valore sia inferiore a quello di N, possiamo unificare i vari casi scrivendo che in generale, per un qualsiasi valore di N, si ha: =

=

=

=

,

=

=

=

(dove per 2k valgono le considerazioni appena espresse) . Se i ragionamenti che fino a questo punto abbiamo sviluppato sono esatti, dovremmo ricavare lo stesso risulta­ to analizzando cosa avviene in pratica quando si sposta la prima cifra di un numero binario e la si porta dopo l ' ultima . Vediamo se è vero . 1 30

Se N è un numero compreso tra 2k e 2k + 1 , la sua codifica binaria sarà una scrittura del tipo

dato che la prima cifra di un numero scritto in binario è sempre I . Il numero che si ottiene spostando in fondo la prima cifra della codifica in binario di N sarà allora del tipo :

cioè:

Siccome possiamo scrivere:

potremo scrivere:

per cui :

cioè:

cioè la stessa formula che abbiamo , appunto, trovato prima per P . I l lungo cammino logico che abbiamo percorso per comprendere fino in fondo il meccanismo che regola il trucco di questo gioco , dovrebbe garantirci che, pur svolgendo « alla luce del Sole» tutte le operazioni necessarie 131

al suo svolgimento, difficilmente riusciremo a mettere qualcuno sulla strada buona per svelare l 'arcano ! Comun­ que, siccome può essere noioso per il pubblico passare attraverso la codifica binaria dei numeri coinvolti nel gioco, si può evitare la formulazione generale del gioco e sfruttare solo qualche caso particolare. Una interessante applicazione è per esempio il gioco seguente. Le tredici carte 1 . Fate mischiare un mazzo di carte qualsiasi e fatevi poi consegnare tredici carte, scelte a caso da questo mazzo ; 2. aprite queste carte a ventaglio e mostratele ad uno spettatore pregandolo di sceglierne una, senza dire quale, e di tenere a mente il posto che occupa partendo dalla cima del mazzo ; 3. richiudete il mazzetto e, con l ' apparente scopo di metterlo in disordine, eseguite velocemente queste opera­ zioni : • prelevate le ultime 3 carte e portatele tutte insieme sopra (Fig. 25a) ; • prelevate le ultime 2 carte e portatele tutte insieme sopra (Fig. 25b); • prelevate l ' ultima carta e portatela sopra (Fig . 25c); • prelevate le ultime 2 carte e portatele tutte insieme sopra (Fig. 25d) ; • prelevate le ultime 3 carte e portatele tutte insieme sopra (Fig . 25e) ; 4. consegnate il mazzetto allo spettatore e chiedetegli di portare sotto il mazzo , prelevandole da sopra, una ad una tante carte quant 'era il valore della posizione della carta che aveva scelto prima (per esempio , se aveva scelto la 7a carta, dovrà spostare, nel modo indicato, 7 carte) (Fig. 25f) ; 5. pregatelo ora di portare la prima carta sotto il mazzetto e di scartare la successiva, ripetendo l'operazione finché non rimane con una sola carta in mano; 6. fategli girare la carta che gli è rimasta in mano : si stupirà non poco nel ritrovare proprio la stessa carta scelta all'inizio ! ! ! 1 32

a

d

e

b

e

.,

.

i'OSTO , Q V I N DI

DE. VO

PORTA R � 50TTO

5 l!TTI!

C. R f\.T E

�

Figura 25 1 33

Spiegazione del trucco. Anche per questo gioco non ci sono particolari accorgimenti oltre quelli illustrati. Il motivo sta nel fatto che, quando portate da sotto a sopra il mazzo le carte, come indicato al punto 3. , è come se ne portaste sopra 1 1 tutte insieme (3 + 2 + 1 + 2 + 3 1 1). Se l a carta scelta dallo spettatore s i trova a l posto X , dopo questa manipolazione finirà a l posto =

P

=

1 1 + X (se 1 1 + X

:s

1 3 , cioè se X

=

X

:s

13

-

1 1 ; X :s 2);

o al posto P

=

11 + X

-

13

-

2 (se è invece X > 2 ) .

Portando da sopra a sotto il mazzo proprio X carte, la nuova posizione P' della carta sarà P'

=

P

-

X (se P

-

X > 0) ,

altrimenti sarà P'

=

P

-

X + 1 3 (se P

-

X

:s

O) .

Ora, siccome quando X ::; 2 è P 1 1 + X e quindi sicuramente P X > O, avremo in questo caso : =

-

P'

=

P

-

X

=

11 + X - X

=

11;

e siccome quando X > 2 è P = X 2 e quindi sicura­ mente P X ::; O, in questo caso avremo: -

-

P'

=

P - X + 13

=

X

-

2

-

X + 13

=

11.

In tutti i casi quindi, dopo questa manipolazione, la carta finirà all' 1 1 ° posto. Ma siccome il numero 13 in binario si scrive 1 1 0 1 e, in questa scrittura, portando la prima cifra in fondo si ottiene 1 0 1 1 che è la codifica in binario di 1 1 , per il ragionamento fatto nella dimostrazione del gioco precedente, sarà pro­ prio la 1 1 • carta ad uscire alla fine se si effettua su 1 3 carte la manipolazione finale indicata al punto 5 . 1 34

V . PARI E DISPARI

Per aumentare al massimo l' alone di mistero che circon­ da un gioco di prestigio matematico, non è necessario che il suo meccanismo sia basato su calcoli eccessivamente com­ plessi o su ragionamenti esasperatamente sofisticat i . È invece essenziale che il suo svolgimento sia incentrato su alcune azioni dai risvolti matematici difficilmente interpre­ tabili, se non addirittura insospettati . Giochi di questo tipo , oltre ad ammantarsi di raffinata eleganza matemati­ ca, sono in genere di agile presentazione e di facile e rapida esecuzione perché, per loro natura, non richiedono attrez­ zature particolari , né formule da tenere a mente . Un aspetto matematico che ben si presta alla realizzazio­ ne di giochi con queste caratteristiche è quello riguardante la suddivisione dei numeri naturali nell'insieme dei numeri pari ed in quello dei numeri dispari. Tutti voi sapete che vengono chiamati : • pari i numeri naturali che sono multipli di 2; • dispari i numeri naturali che non sono multipli di 2 . Quindi u n generico numero N è : • pari, se N = 2 K • dispari, se N 2K +

(K = O, 1 , 2, . . . ) ; (K O, 1 , 2, . . . ) .

=

=

Da ciò ne consegue che: • O è pari (infatti 2 K O, per K O) ; • se N è pari, N 1 e N + 1 sono dispari. Infatti: ·

=

=

-

135

N - I

=

2 K - I

=

2 (K - I ) + 2 - I = 2 M + I

=

2 (K - I) + I = (M = K - I )

e N + l = 2 K + I

• se N è dispari, N

-

=

(K

O, I , 2 , . . . ) ;

I e N + I sono pari. Infatt i : =

N - I = 2 K + I - I

2 K

(K

=

O, I , 2, . . . )

e N + I

2 K + I + I

=

2 K + 2 2 M

=

=

2 (K + I ) = (M = K + I ) .

Ciò comporta che , nella successione dei numeri naturali , ogni numero pari s i trova tra due numeri dispari, e viceversa. Questa proprietà, talmente ovvia che avrete sicuramente considerato un eccesso di pignoleria la sua dimostrazione, costituisce la base di uno dei piu potenti mezzi di indagine matematica, noto sotto il nome di «controllo di parità» . Convenuto d i dichiarare che due numeri presentano: • uguale parità, quando sono entrambi pari o entrambi dispari; • diversa parità, quando uno è pari e l'altro è dispari; possiamo affermare che: • se N e M presentano uguale parità, N + M è pari. Infatti avremo : N + M =

=

2K + 2L

2(K + L)

=

=

2H

(H

K + L )

oppure N + M = 2K + I + 2L + I

=

2K + 2L + 2

= 2(K + L + I ) = 2H 1 36

=

(H = K + L + I ) ;

• se N e M presentano diversa parità , N + M è dispari. Infatti avremo : N + M =

=

2K + 2L + I

2 (K + L) + I

=

=

2H + I

(H

K + L).

Con analogo ragionamento, nel caso in cui sia N > M , possiamo affermare che : • se N e M presentano uguale parità, N - M è pari; • se N e M presentano diversa parità, N - M è dispari. Se i dati di un problema si presentano suddivisi in due insiemi distinti e separati, associabili quindi all'insieme dei numeri pari ed a quello dei numeri dispari , le informazioni che si possono trarre dal rispetto delle regole di parità for­ niscono spesso una rapida ed elegante dimostrazione che sarebbe difficile ottenere per altre vie. Nel mondo fisico si trovano spesso fenomeni che si pre­ stano a questo tipo di analisi. Vediamo come tutto ciò può divenire materia per creare misteri di magia mate­ matica.

La moneta coperta 1 . Fatevi dare dal pubblico un numero qualsiasi di mone­ te (non è necessario che le monete siano tutte dello stesso tipo, purché sia possibile stabilire, per ognuna di esse, qua­ le faccia si debba considerare « testa» e quale «croce»); 2. invitate uno spettatore ad agitare energicamente le mo­ nete tra le mani ed a farle poi ricadere in maniera casuale su un tavolo; 3. date una rapida occhiata alla situazione che si è cosi creata, dopo di che voltatevi per dare le spalle al tavolo; 4. chiedete allo spettatore di capovolgere due monete alla volta, quante volte vuole, operando eventualmente anche piu volte sulle stesse monete (Fig. 26a); 5. al termine di questa operazione pregatelo di coprire con la mano una qualsiasi moneta; 6. voltatevi , date una rapida occhiata a come sono ora 1 37

Figura 26

disposte le monete sul tavolo e senza troppi indugi annun­ ciate quale faccia mostrava la moneta che è stata coperta ! ! ! (Fig. 26b) .

Spiegazione del trucco. Il trucco è semplicissimo: molto piu semplice da eseguire che da spiegare . . . All ' inizio , prima di voltarvi con le spalle al pubblico, dovete contare quante monete mostrano la stessa faccia . Non ha importanza s e contate l e monete c o n «testa» o «croce » ; vi conviene comunque scegliere quelle in minor quantità . Se alla fine il numero di monete che mostrano questa stessa faccia presenta, rispetto al numero preceden­ te: • diversa parità, vuol dire che la moneta coperta mostrava una faccia del tipo scelto ; • uguale parità, vuol dire che la moneta coperta mostrava una faccia dell altro tipo . Per esempio , se prima di voltarvi avete contato sul tavolo 5 teste (non importa il numero delle croci) e alla fine ne avete contate 2, siccome questi due numeri presentano di­ versa parità, vuol dire che la moneta coperta mostrava una croce. Se invece all'inizio avete contato sempre 5 teste ma alla fine ne avete contate 3, siccome questi due numeri pre­ sentano uguale parità, vuol dire che la moneta coperta mo­ strava una testa. '

1 38

Per capire bene perché ciò avvenga, dobbiamo interpre­ tare matematicamente l 'operazione fisica di girare le mone­ te. Supponiamo che sul tavolo ci siano: • T monete che mostrano testa; • C monete che mostrano croce. Se giriamo una moneta che mostra testa, avremo, rispetto a prima, una testa in meno ed u na croce in pili. Possiamo quindi scrivere, indicando con T' il nuovo numero delle teste e con C' il nuovo numero delle croci : T' = T - 1 C' = C + 1 .

Allo stesso modo, se giriamo una moneta che mostra croce, possiamo scrivere: C' = C - 1 T' = T + 1 .

Se ne deduce perciò che, qualsiasi moneta giriamo , rispetto a prima, cambieranno parità sia il numero delle teste sia quello delle croci . Se giriamo un'altra moneta qualsiasi (anche quella di pri­ ma) ripristineremo invece, sia per le teste che per le croci, la parità iniziale. Applicando pili volte questo ragionamento, possiamo arrivare alla conclusione che : • sia le teste che le croci, dopo un numero dispari di ribal­ tamenti , cambiano parità, mentre dopo un numero pari di ribaltamenti , la mantengono. Siccome noi abbiamo chiesto allo spettatore di girare due monete alla volta, il numero di ribaltamenti che questo ef­ fettuerà sarà sicuramente pari. È ovvio quindi che alla fine dovremo ritrovare, per le monete che mostrano le facce del tipo da noi scelto, la stessa parità iniziale. Se ciò non avvie­ ne, vuol dire che manca all'appello una faccia del tipo da noi scelto , quindi la moneta coperta mostrava proprio que­ sto tipo di faccia; se invece avviene, vuol dire che le nostre monete ci sono tutte e quindi è stata coperta una faccia dell' altro tipo . Il principio alla base di questo ragionamento permette di effettuare numerose varianti alla presentazione di questo 1 39

gioco . Mantenendo immutate le altre istruzioni , si può per esempio chiedere, invece di ribaltare due monete alla volta, di : • girare prima una sola moneta, poi due, poi tre ed infine quattro; siccome 1 + 2 + 3 + 4 10 e 10 è un numero pari, la situazione è analoga a quella analizzata precedente­ mente . (Dato che 1 + 2 + 3 6 ed anche 6 è un numero pari, si potrebbe addirittura lasciare, allo spettatore, libera e segreta la scelta di effettuare o meno il ribaltamento delle ultime quattro monete) ; • girare una moneta alla volta e farci comunicare il nume­ ro totale di ribaltamenti effettuati; in questo caso alla fine, se è stato effettuato un numero pari di ribaltamenti , do­ vremmo ritrovare la stessa parità iniziale per le facce del tipo da noi scelto; altrimenti , se è stato effettuato un nume­ ro dispari di ribaltamenti , ne dovremmo trovare una diver­ sa· • irare le monete tante vo fte quant'è il loro numero tota­ le; in questo caso, analogamente a quello esaminato prima, la parità finale sarà uguale a quella iniziale se il numero delle monete in gioco è pari altrimenti sarà diversa. In qualsiasi forma lo si voglia presentare, rimane però un limite in questo gioco : è necessario guardare la situazione iniziale prima di poter voltare le spalle al tavolo . Nel gioco seguente questo limite è stato rimosso ; potrete eseguirlo quindi stando voltati di spalle dall'inizio, anche se sarà ne­ cessaria una presentazione leggermente piu elaborata. =

=

�

Testa o croce I. Chiamate uno spettatore e consegnategli un sacchetto contenente un abbondante numero di monete; 2. voltatevi di spalle e (dopo averlo pregato di non scap­ pare con i soldi . . . ) chiedetegli di disporre sul tavolo un numero qualsiasi di monete tutte mostranti testa ed un ugual numero di monete tutte mostranti croce , facendo no­ tare che in questo modo la situazione di partenza presenta una equa distribuzione delle due facce (Fig. 27a); 3. chiedetegli di modificare a piacere questa situazione ri­ baltando alcune monete, in completa libertà di scelta; 1 40

a

b Figura 2 7

4.

terminata questa operazione, pregatelo di prelevare una moneta dal tavolo e di lanciarla in aria (Fig. 27b) ; 5. ditegli di guardare che faccia è stata cosi sorteggiata e di contare quante monete, compresa quella che è stata lan­ ciata, mostrano lo stesso tipo di faccia (senza farvi comuni­ care il risultato) ; 6. chiedetegli di ribaltare ancora tante altre monete quan­ t ' è il numero cosi contato (Fig . 28); 7. al termine di quest'ultima operazione pregatelo di co­ prire con la mano una qualsiasi moneta; 141

Figura 28

8.

giratevi, date una rapida occhiata a come sono disposte le monete sul tavolo e senza troppi indugi annunciate quale faccia mostrava la moneta che è stata coperta ! ! !

Spiegazione del trucco. Dovete semplicemente guardare quale tipo di faccia compare in numero dispari : sicuramen­ te la moneta mostrava una faccia di questo tipo ! Se, per esempio, alla fine vedete sul tavolo 7 croci e 4 teste, vuol dire che è stata coperta una croce. Il motivo sta nel fatto che le nostre istruzioni rendono alla fine pari sia il numero delle teste che quello delle croci. La richiesta di avere sul tavolo un ugual numero di teste e di croci serve solo a nascondere il fatto che vogliamo che sia pari il numero totale delle monete in gioco. Per cui , in qualsiasi momento , il numero delle teste e quello delle croci saranno entrambi pari o entrambi dispari. Quindi , effettua­ ti i ribaltamenti dopo il lancio della moneta, qualsiasi esito questo abbia avuto , il numero delle teste e quello delle croci • resterà pari, se era pari per entrambe le facce (dato che il numero dei ribaltamenti effettuati è pari); • diventerà dispari, se era dispari per entrambe le facce (dato che il numero dei ribaltamenti effettuati è dispari ) . Questo gioco può essere ulteriormente modificato adope­ rando dei gettoni telefonici al posto delle monete. Sfruttan1 42

do opportunamente la loro particolare conformazione, una scanalatura da un lato e due dall'altro , potremo fare a meno di assicurarci che ne vengano adoperati proprio un numero pari. Ne può scaturire quindi il seguente gioco . Le scanalature 1 . Voltatevi di spalle e chiedete a d uno spettatore d i met­ tere sul tavolo un qualsiasi numero di gettoni telefonici , disponendoli nel modo che preferisce; 2. chiedetegli di contare (senza farvi dire il risultato) quante sono le scanalature che appaiono in totale su tutte le facce e di ribaltare tante volte i gettoni (anche piu volte lo stesso gettone) quant'è questo numero (Fig. 29); 3. al termine pregatelo di coprire con la mano un gettone; 4. giratevi, contate rapidamente quante sono le scanalatu­ re che mostrano i gettoni e, senza troppi indugi, annunciate quante scanalature mostrava il gettone coperto ! ! !

Spiegazione del trucco. Se i l numero complessivo di scana­ lature che mostrano i gettoni è: • dispari, il gettone coperto mostrava una sola scanalatu­ ra; • pari, il gettone coperto mostrava due scanalature. Analogamente al gioco precedente, le nostre istruzioni han­ no l 'effetto di rendere pari , alla fine, il numero totale delle scanalature mostrate dai gettoni . Vediamo perché. Ogni volta che un gettone viene ribaltato, il numero tota­ le delle scanalature visibili può solo : • aumentare di una unità (se viene ribaltato un gettone che mostrava una sola scanalatura) ; • diminuire di una unità (se viene ribaltato un gettone che mostrava due scanalature). In ogni caso, ogni volta che viene ribaltato un gettone, cambia parità il numero totale delle scanalature visibili . Se quindi , all' inizio, il numero totale delle scanalature è : • pari, alla fine resterà pari, dato che devono essere effet­ tuati un numero di ribaltamenti pari; • dispari, alla fine diventerà pari, dato che devono essere effettuati un numero di ribaltamenti dispari. 14 3

S.ONO U N DI C. I

IN /

TUTTO QUINDI

Figura 29

Il principio matematico analizzato in questi ultimi giochi si presta ad essere applicato anche ad oggetti diversi dalle monete o dai gettoni . Con il gioco seguente, utilizzando tre soli bicchieri , potrete far impazzire per un' intera serata i vostri amici prima che si accorgano del trucco . L o scherzo dei tre bicchieri 1. Disponete tre bicchieri in fila in modo che siano capovolti il primo e l ' ultimo e stia diritto quello di mezzo (Fig. 30a) ; 2. eseguite velocemente la seguente manovra, composta da tre fasi , nelle quali dovete rigirare contemporaneamen­ te, nell'ordine: • il primo ed il secondo bicchiere (Fig. 30b) , • il primo e l 'ultimo bicchiere, • il primo ed il secondo bicchiere; in questo modo i bicchieri si troveranno tutti e tre diritti ; 3. capovolgete il bicchiere di mezzo (Fig. 30c) e chiedete ai vostri amici se c'è qualcuno in grado di riportarli tutti e tre diritti applicando la manovra da voi appena svolta . Per quanti sforzi faranno, nessuno di loro ci riuscirà !

Spiegazione del trucco. È impossibile riuscire a portare tre bicchieri diritti partendo da una situazione in cui ce ne sono due diritti, applicando la manovra descritta. Infatti il 1 44

Figura 30 145

ribaltamento contemporaneo di due bicchieri non cambia la parità di quelli diritti, che quindi potranno essere solo due o zero, mai uno o tre. Quando voi avete svolto la manovra di esemplificazione, siete riusciti nell'intento perché siete partiti da una situazio­ ne in cui c'era un solo bicchiere diritto. Questo particolare però sfugge perché in genere si tende a concentrare la propria attenzione sulla successione di mosse da effettuare, perdendo di vista tutto il resto. I l controllo di parità non si applica solo agli oggetti che possono venire capovolti ; spunta fuori dalle situazioni piu impensate, come nel gioco seguente. Il percorso contorto I. Voltatevi di spalle e chiedete ad uno spettatore di disegnare una curva chiusa che si intersechi piu volte, senza ripassare mai per lo stesso punto di intersezione; 2. fategli poi contrassegnare ogni intersezione con un numero diverso (ottenendo, per esempio, una situazione come in Fig. 3 1 ) ; 3. ditegli d i percorrere l a curva cominciando d a u n punto qualsiasi e di dirvi ad alta voce, ogni volta che arriva ad un incrocio, il numero corrispondente finché non torna al punto di partenza ; durante il percorso dovrà invertire, una sola volta a sua scelta, i numeri relativi a due intersezioni successive (nell'esempio di prima potrebbe, partendo dal

I I

I

Figura 3 1 1 46

punto 1 , chiamare nell' ordine: 1 , 2 , 3 , 7 , 6, 3 , 7 , 4, 6 (invece di 6 , 4) , 1 , 2, 4, 5 , 5); 4. prendete nota della successione dei numeri che vi viene comunicata e, senza troppi indugi, annunciate quale coppia è stata invertita !

Spiegazione del trucco. Tracciate sul vostro taccuino una riga verticale e disponete alternativamente a sinistra e a destra della riga i numeri nell'ordine in cui vi vengono dettati . Nell'esempio di prima scriverete: I

2 7 3 4

3 6 7 6 2

4

5

5.

I

numeri scambiati tra loro saranno gli unici a comparire tutte e due le volte dallo stesso lato (nel nostro esempio il 6 compare due volte nella colonna di sinistra ed il 4 compare due volte nella colonna di destra, tutti gli altri numeri compaiono una volta a destra ed una volta a sinistra). Il motivo di questa miracolosa disposizione è legato ad un teorema di una branca della matematica chiamata 'topologia' riguardante la teoria dei nodi . Vediamo di spiegarlo intuitivamente. Analizziamo che cosa succede intorno ad una intersezione partendo dal caso in cui la curva formi un cappio come in Fig. 32a. Percorrendo questo tratto di curva, in un verso o nell'altro, il numero relativo a quell'intersezione sarà chiamato due volte di seguito. Nella successione dei numeri chiamati, questo numero occuperà quindi due posti di diversa parità . E la stessa cosa accadrà se la curva interseca il cappio in piu punti, perché questi non possono che essere in numero pari . Infatti, siccome la curva è chiusa, una volta che un suo tratto entra nel cappio, formando una nuova interse­ zione, deve anche riuscirne, formandone un'altra (Fig. 32b). Quando disponiamo i numeri da una parte e dall'al­ tra della linea verticale, separiamo le posizioni dispari da quelle pari. Se non fosse stato effettuato nessuno scambio 147

�---------. �

a

�------.

b

Figura 32

i numeri si disporrebbero tutti m modo da figurare una volta a destra ed una volta a sinistra, o viceversa. È ovvio quindi che i numeri che non rispetteranno questa regola di disposizione saranno proprio quelli che sono stati scambiati tra loro. L'esito di questo gioco , come tutti quelli che richiedono l'intervento di uno spettatore, è legato all'esatta esecuzione delle istruzioni impartite . Per finire , voglio presentarvi un gioco che riesce sempre di grande effetto e che potrete svolgere senza alcun intervento esterno. Rosse e nere 1. Estraete da un mazzo di carte francesi un qualsiasi numero di carte rosse (cuori e quadri) ed un identico numero di carte nere (picche e fiori) ; 2. componete un unico mazzo alternando rigorosamente le carte rosse alle nere; 3. dividete in due il mazzo cosi ottenuto e mischiate con una sola «sfogliata all' americana» i due mazzetti (Fig. 3 3 ) ; 4 . fate notare a l pubblico c h e in questo modo si sono formate delle coppie di carte contigue dello stesso colore (che, per brevità, da ora in poi chiameremo «coppie omogenee»); 1 48

Figura 3 3

5.

tagliate il mazzo in modo da spezzare una qualsiasi di queste coppie. Per esempio, un mazzo cosi composto :

R N R N N R R N R N tN R N R N R R N I può essere spezzato nel punto indicato dalla freccia e cosi ricomposto :

tN R N R N R R N 1 R N R N N R R N R N; 6.

fate vedere al pubblico che nel mazzo cosi ricomposto continuano a sopravvivere coppie omogenee; 7. passate la mano sopra il mazzo pronunciando qualche formula magica ed annunciate che le coppie omogenee si sono tutte dileguate ! ! ! 8. Prendete le prime due carte dalla cima del mazzo e, senza guardarle, fate vedere che sono di colore diverso; 9. fate cadere sul tavolo le carte appena prelevate, prendete le successive due e, con ostentata sicurezza, fate notare che sono ancora di colore differente; 10. fate cadere sul tavolo anche queste due carte e ripetete l 'operazione fino alla fine mostrando sempre, fra Io stupore generale (ed anche vostro . . . ), due carte di colore differente ! ! ! 1 49

Spiegazione del trucco. Questo gioco, che Martin Gardner attribuisce al mago Vietar Eigen, non ha bisogno di nessun accorgimento aggiuntivo oltre quelli illustrati precedente­ mente. Se ben eseguito, riesce sempre ! Vediamo perché. È evidente intanto che le parole magiche non hanno fatto dileguare le coppie omogenee, ma semplicemente che queste ultime, con le operazioni effettuate si vanno a disporre a cavallo di due successive carte estratte . Nel nostro esempio infatti abbiamo

Ma perché si verifica sempre una situazione di questo genere? Osserviamo intanto che nel mazzo , dopo la sfogliata all'americana, si potranno formare solo coppie di carte dello stesso colore, mai triplette. Infatti la formazione di una tripletta comporterebbe necessariamente che in uno dei due mazzetti c ' era già almeno una coppia di carte dello stesso colore. Siccome il mazzo iniziale era stato composto con una successione rigorosa di carte di colore alterno, questo è da escludere. Notiamo poi che , se le coppie di carte omogenee si dispongono a cavallo delle coppie di carte estratte, vuol dire che la prima carta di ogni coppia omogenea occuperà sempre nel mazzo una posizione pari (infatti dovrà essere sempre la seconda carta di una coppia estratta) ; di conseguenza la seconda carta di una coppia omogenea occuperà sempre una posizione dispari. Questa osservazione ci porta a concludere che fra due successive coppie di carte omogenee verranno a collocarsi sempre un numero pari di carte di colore alterno (perché le triplette omogenee, come abbiamo visto, non possono formarsi). Ma questo significa che le coppie omogenee si succedono nel mazzo a colori alterni (cioè subito dopo una coppia di carte rosse, la prima coppia di carte che si incontrerà sarà nera, e viceversa) . Ed infatti, quando mischiamo all'americana, se si forma una coppia omoge­ nea di colore, per esempio, rosso, vuol dire che una carta rossa del primo mazzetto si è infilata accanto ad un' altra carta rossa del secondo mazzetto. 1 50

Essendo entrambi i mazzetti formati da carte disposte a colori alterni , la successiva carta del primo mazzetto che si andrà ad infilare nell' altro sarà necessariamente una carta nera. La successiva carta del primo mazzetto, pronta ad infilarsi nell'altro , sarà di nuovo una carta rossa e questa o distruggerà la coppia omogenea nera appena formatasi , se vi si infilerà nel mezzo , o andrà a formare un'altra coppia omogenea rossa . Per esempio : I 0 mazzetto

2° mazzetto

mazzo risultante

l

1Rti···

� iN J � N + R N R N + R .. N R R N R N R N N R R N..

. .

Ripetendo il ragionamento verifichiamo che effettiva­ mente un mazzo di carte composto a colori alterni, mischiato con una sola sfogliata ali' americana, assume l ' insospettata proprietà di disporre tutte le coppie omoge­ nee a colori alterni , cioè distanti l'una dall'altra un numero pari di carte. Per cui , quando tagliamo il mazzo spezzando una coppia qualsiasi , facciamo occupare un posto dispari (il primo . . . ) alla sua seconda carta e di conseguenza a tutte le altre seconde carte delle varie coppie omogenee. Sempli­ ce vero? Comunque magico !

15 l

INDICE DEI TERMINI DEFINITI

addend i , 2 1 addizione, 1 4 algebra, 3 5 argomento, 1 7 base,

logaritmo,

17

minuendo, 23 moltiplicazione, multiplo , 23

15

17 numerazione - binaria, 1 07

cifra, I O commutativa, proprietà,

22

- posizionale, 87 numeri interi negativi, 4 1 interi positivi, 4 1 interi relativi, 4 1 naturali, 4 1 razionali, 24 relativi, 23

13 41 - positivo, 4 1 disequazione, 3 3

decremento, - negativo,

divisibile, numero, divisione, 1 6

24

operazione inversa, opposti, 43

elemento neutro per la - addizione, 22 - moltiplicazione, 23 elevazione a potenza, 1 7 equazione, 33 algebrica, 34 elementare, 34 equivalente, 34 grado dell ' , esponente, 1 7 fattori,

parte intera,

49

raccoglimento

a

fattor

comune,

37 radice, estrazione di,

18

radice numerica, 90 regola dei segni, 52 relazione di uguaglianza, resto, 1 6

34

22

identità, 33 incognita, 29 incremento, 1 1

sottraendo,

- negativo, 4 1 - positivo, 4 1

topologia,

insieme dei numeri naturali,

13

sottrazione,

21

31

23 14

1 47

valore assoluto,

51 1 53

LETTURA DI ALTRI LIBRI DI BASE

Questo Libro di base può essere messo in relazione con uno o p1u volumi delle otto sezioni di cui la collana si compone. In questo modo si costituiscono percorsi di lettura per temi e problemi fino a formare una enciclopedia scomponibile. Ecco il percorso di lettura che vi proponiamo in relazione a questo volume, Giochi matematici (sez . 3, n. 1 06). dalla sezione 3 . La donna, l 'uomo: corpo, mente, funzioni

A verbach, Giocare a scacchi (Ldb 7 /) Tajé, Giocare a dama (Ldb 84)

dalla sezione 5. Economia e lavoro: organizzazione e tecnologie

Cioffi, Che cos 'è il calcolatore (Ldb 74)

dalla sezione 7. Il sapere: scienze e campi di interesse

Lombardo Radice, L ' in finito (Ldb 26) Batini, Le basi dell'informatica (Ldb 69) Jsrael, Modelli matematici (Ldb 98)

1 55

INDICE DELLE OPERE CONSULTATE

Alberti Giuseppe Antonio Bolognese, I Giuochi Numerici. Fatti arcani palesati da. . . , Venezia, 1 795 . Copia anastatica, Firenze, Arnaud, 1 979. A.a. V . v . , Stupire - L 'arte del prestigiatore, 2 vv . , M ilano, Forbes & Huges , 1 98 3 . Cerchi Teofrasto, Giuochi Fisici e Matematici, Quaderno li , Mantova, Erede Pazzoni, 1 8 1 8 . De Frank Philip, L e Carte Magiche. Giuochi di destrezza e di calcolo, Milano, Hoepli, 1 92 1 . Copia anastatica, Milano, Cisalpino-Goliardica, 1975. Franci Raffaella - Toti Rigatelli Laura, Storia della teoria delle equazioni algebriche, Milano, Mursia, 1 979. Gardner Martin, Enigmi e giochi matematici, 5 vv ., Firenze, Sansoni , 1 967- 1 97 7 . -, I Misteri della Magia Matematica, Firenze, Sansoni, 1 985 . Ghersi Italo, Matematica dilettevole e curiosa, Milano, Hoepli , 1 967. Giacardi Livia - Roero Silvia Clara, La matematica delle civiltà arcaiche, Torino, Stampator i , 1 979. Lombardo Radice Lucio, La matematica da Pitagora a Newton, Roma, Editori Riuniti, 1 97 1 . -, L 'educazione della mente, Roma, Editori Riuniti , 1 986 (I ed. 1 962). Lombardo Radice Lucio - Mancini Praia Lina, Il metodo matematico, 3 vv. , Milano , Principato, 1 97 7 . Peana Giuseppe, Giuochi d i Aritmetica e problemi interessanti, Torino, Paravia, 1 925 . Copia anastatica, Firenze, Sansoni, 1983. Rossetti Carlo, Magia delle carte, Milano, Hoepli , 1958. Copia anastati­ ca, M i lano , Cisalpino-Goliardica, 1 984. Sei ffert Helmut , Le basi della Matematica Moderna, M i lano , Mondado­ ri, 1 976. Sintini Carlo, Matemagica e giochi matematici, M ilano, Mondadori, 1 982. Tosatti P . di Sorbara, L 'amico delle conversazioni, Modena, 1 87 8 . Copia anastatica, Roma, Malvarosa, 1 986. 157

Libri di base

I. 2.

Uso dell'energia solare di Vitto­ Le libertà dell'uomo di Deme­

trio Neri 3.

4.

1 7.

rio Silvestrini

Guida

all'uso

delle

18.

Come leggere i bilanci aziendali

di Alba Bugari e Vincenzo Co­ mito (riedizione) La

rivoluzione

elettronica

di

Andrea Frova

parole di

Tullio De Mauro

19.

La Cina d i Costantino Caldo

Saper leggere di Lione! Bellen­

20.

La scimmia e le stelle di Lia

Formigari

ger L'economia italiana dal dopo­ guerra a oggi di Ruggero Spesso

21.

La moneta d i Claudio Picozza

22.

Il giornale di Mario Lenzi

6.

La televisione di Ivano Cipriani

23.

7.

Guida all'alimentazione I - La nutrizione di Emanuele Djalma

5.

Vitali 8. 9.

24.

maria Scarcia

Handicap di Massimo Ammani­

26.

L'infinito di Lucio Lombardo L a Germania Federale di Pier

11.

Tossicomanie di Luigi Cancrini

28 .

12.

La Democrazia cristiana d i Giu­

Uso e risparmio dell'energia di

Giancarlo P inchera

seppe Chiarante

29.

Calamità naturali d i Paolo Mi­

30.

La famiglia di Claudia Mancina Il gioco del calcio di Giancarlo

Bevilacqua

L'industria

della

canzone

di

31.

gli

amori

Saper

invecchiare

di

Alberto

Oliverio

Mimma Gaspari di Letizia

32.

Paolozzi Dalla pietra a l laser d i Roberto

Fieschi

di

Carlo Bontempelli

gliarini

16.

preistorica

Radice 27.

L'amore

L'economia

Louis-René Nougier

L a Comunità economica euro­ pea di Giuliano Bellezza

15.

Il mondo dell'Islam di Bianca­

25.

10.

14.

mestiere dell' intellettuale di

Guida all'alimentazione I I - I cibi di Emanuele Djalma Vitali

ti

13.

Il

Barnaba Maj

Guida alla teoria della relatività

di Vittorio Silvestrini 33.

Guida a l mestiere di maestro d i

Mario Lodi

34.

Che cos'è l'energia di Franco

SeIl eri

59.

I ritmi della vita di Anna Ferra­ ris e Alberto Oliverio Che cos'è l'eguaglianza di Ales­

35.

L'economia italiana nell'età moderna di Paolo Malanima

60.

36.

Charles

Giuseppe

61.

Come farsi una discoteca di Ber­

62.

Darwin

di

Montalenti 3 7.

Guida alla psicoterapia di Luigi Fumare o no di Jean-François

Lemaire 40.

La

cooperazione

di

Onelio

Prandini 41 .

La vita del mare di Francesco

Cinelli 42.

La fotografia di Wladimiro Set­

timelli 43 .

Immanuel

di

Martina

Come nacque la vita sulla Terra

di Marcello Giomini 45.

L o sport di Luciano Minerva

46.

Come far leggere i bambini di

47.

L'estremismo in Italia di Gian

Roberto Denti Mario Bravo

4 8.

Che cos'è una legge fisica di

Carlo Bernardini 49.

Martin Lutero di Mario Miegge

50.

Che cos'è la statistica di Grazia

Arangio Ruiz 51.

63 .

Stalin di Aldo Agosti

64.

La Terra e le sue risorse di

Edoardo Proverbio 65.

I paesi arabi di Pier Giovanni

Donini

Le frontiere della genetica di

67.

L'acqua di Marco Fontana

68.

Nascita dell 'industria in Italia di

Marcello Buiatti

69. 70.

La filologia di Lucia Martinelli

71

Giocare a scacchi di Juri Aver­

bach e Michail Bej lin 72.

74.

Salamoni 56.

Karl Marx di Nicolao Merker

57.

Guida alla speleologia di An­

drea Bonucci La donna: corpo mente funzioni

di Carla Bongarzoni

donne e

la

letteratura

di

C h e cos'è i l calcolatore di Gia­

como Cioffi 75.

I cosmetici di Gabriella Costa­

relli 76.

Il cosmo di Alberto Masani

77.

L a malattia di Giovanni Berlin­ Guida ai vini d ' Italia di Marco

79.

Dal ferro all' acciaio d i Ernesto

Le

Elisabetta Rasy

Popoli e società verso i l Duemi­ la di Pierre George

Renzo Stefanelli

Il volto statistico dell'Italia di

Luciano Bergonzini 73.

53.

Come leggere la busta paga di

Le basi dell'informatica di Car­

lo Batini

78.

58.

Leonello

66.

Operai e sindacati negli Stati Uniti di Aldo Lanza

55.

alle tasse di

Raffaelli

52.

54.

Guida

Roberto Romano Kant

Thom 44.

Lo Stato di Israele di Nicola

Garribba

Cancrini 39.

Guida al cinema d'animazione

di Daniele Lombardo

nardino Fantini 3 8.

sandro Pizzorusso

guer Trimani La civiltà della carta di Federico

Sposato 80.

Guida all'uso delle biblioteche

di Maria Cecilia Cuturi 81.

Che cos'è l'entropia d i Vittorie

Silvestrini 82.

Il cammino delle scienze I . Dalle stelle alla vita di Omiti Fancellc

83.

I l cammino delle scienze I I . Dal· le molecole all'uomo di Orni!

Fancello

84.

Giocare a dama di Elser Tajé

85.

Armi e armamenti d i Fabrizio

Batti stelli

86-87 La fame nel mondo di Emanue­ le Djalma Vitali 88.

Andare a l cinema di Giorgio De

Vincenti 89 .

Il magnetismo di Giovanni Asti

90.

Dal feuilleton al fumetto di Car­

91.

L'Italia del Medioevo di Vincen­

lo Bordoni e Franco Fossati zo D'Alessandro

92.

94. 95.

98.

Modelli matematici di Giorgio

99.

L'origine delle città di

1 00 .

Mario

La Corte costituzionale di Carla

Rodotà 101 .

Le rivolte contadine in Europa

1 02 .

Come si prende una decisione di

103.

Le guerre stellari di Giuseppe

di Oscar Di Simplicio Vittorio Silvestrini Ferrari 1 04.

Il mestiere di genitore di Giorgio

1 05 .

Guida alla telematica di Carlo

Israel Liverani

Il ciclo economico di Bruna ln­

Salvanesc)li

Nucleo e radioattività di Gual­

tiero Pisent

grao Bini

Il movimento operaio in Italia

di Nicola Lisanti 97.

Baruch Spinoza di Emilia Gian­

cotti 93 .

96.

David Hume di Franco Restaino Iran e Afghanistan di Giorgio

Vercellin 1 06 .

Giochi

matematici

Peres

Libri di base Periodico quindicinale degli Editori Riuniti spa, l 0 luglio 1 986 Direttore responsabile Elisabetta Bonucci Registrazione del Tribunale di Roma n . 1 8055 del 25 marzo 1 980 Fotocomposizione G I Grafica Internazionale - Roma Stampato presso la tipolitografia Iter, via G. Raffaelli, I - Roma

di

Ennio

I Libri di base v a n n o i n c o n t r o al b isogno d i conoscere e d i partecipare a l l e scelte di v i t a , di s t u d i o e di l avoro nel mondo d ' oggi . P r e s e n t a n o autori fra i piu esperti in ogni campo di a t t i v i t à e di i nteresse . Sono s c r i t t i e i ll u s t r a t i in modo s e m p l i ce e c h i aro perché t u t t i possano c a p i r e . La c o l l a n a

è

d i re t t a d a T u l l i o De M auro .

E n n i o Peres ( R o m a , 1 94 5 )

è

p r o fessore di matemat ica nelle

scuole medie superi o r i . C o l laborat ore d i r iv is t e e p u b b licazioni special izzat e , ha scri t t o u n volumetto sul cubo d i R u bi k ; collabora con l a Rai e l ' Arei , cura u n a pag i n a d i giochi su

Paese Sera .

L d b u l t i m i p u b blicati (a/l 'interno l 'elenco completo ) 97 . N ucleo e radi o a t t i v i t à d i G u a l t iero P i s e n t 9 8 . M o d e l l i matemat ici d i Giorgio l s rael 99. L ' origine delle c i t t à d i :viario L i ve r a n i

100.

La C o r t e cost i t uzionale d i Carla R o d o t à

I 0 1 . Le rivolte c o n t a d i n e i n E u r o p a d i O s c a r Di S i m plicio

17.

Come leggere i b i l a n ci aziendali d i A l b a Bugari e V i ncenzo

Comito

(riedi::;1one)

I 02 . Come si prende una decisione di V i t t orio S i l ve s t r i n i I 03 . Le guerre s t e l l a r i d i G i useppe Ferrari

I 04. David H u rn e d i ha neo R e s t a i no

1 05 . 1 06 .

Iran e Afghanistan d i G i orgio Verce l l i n

Giochi matematici d i E n n i o Pcres

51. I

paesi arabi d i Pier G i ov a n n i Donini

(riedizione)

D i prossi m a p u b b l icazione C i t t à e c a m p a g n a nel M e d i o e v o i t a l i a n o d i L j u bo' K o t e l ' n i kova La rnoperatione d i O n e l i o P ra n d i n i

L. 8.500