Gesammelte Abhandlungen I 3662438046, 9783662438046

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COGNOSCO

és

EX PARTE

ww

TRENT

UNIVERSITY LIBRARY

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Photoatelier Bettina, Ziirich

“We

do not claim for mathematics

the prerogative of a Queen

of Science; there

ate other fields which are of the same or even higher importance in education. But mathematics sets the standard of objective truth for all intellectual endeavours; science and technology bear witness to its practical usefulness. Besides language and music it is one of the primary manifestations of the free creative power of the human

mind, and it is the universal organ for world-understanding through theoretical construction. Mathematics must therefore remain an essential element of the know-

ledge and abilities which we have to teach, of the culture we have to transmit, to the

next generation. Only he who knows what mathematics is, and what its function in our present civilization, can give sound advice for the improvement of our mathematical teaching.” (from the ETH collection, 1944) “Knowledge in all physical sciences — astronomy, physics, chemistry — is based on observation. But observation can only ascertain what is. How can we predict what will be? To that end observation must be combined with mathematics.” (from a

Radio Talk, 1947)

“T believe that mathematizing, like music, is a creative ability deeply grounded in

man’s nature. Not as an isolated technical accomplishment, but only as part of human existence in its totality can it find its justification. Were I not so tongue-tied when it comes to conveying such general philosophical ideas and attitudes, did I possess the necessary suggestive and scientific strength as a mathematician, and were our educational system a little better organized for responding to the impact of a scholar of Hilbert’s type,

—

maybe

right direction. But I am

I could be more approaching

helpful in developing

the threshold of the

our tradition in the

sixties, and the evening

glow of resignation begins to settle upon my life. My children are growing Let them try to make this a better world.” (from the ETH collection, 1944)

up.

HERMANN GESAMMELTE

WEYL

ABHANDLUNGEN

BAND

I

Flerausgegeben von K. Chandrasekharan

SPRINGER-VERLAG BERLIN

: HEIDELBERG:

NEW

YORK

1968

QW3

- Wy

BA)

Alle Rechte vorbehalten. Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des ‘Springer-Verlages tibersetzt oder in irgendeiner Form vervielfaltigt werden.

© by Springer-Verlag Berlin - Heidelberg 1968 Library of Congress Catalog Card Number 68-19815 Printed in Germany ‘Titel-Nr. 1488

Preface The name of HERMANN WEyY1 is enshrined in the history of mathematics. A thinker of exceptional depth, and a creator of ideas, Weyt possessed an intellect which ranged far and

wide over

the realm

of mathematics,

and beyond.

His mind

was

sharp and

quick, his vision clear and penetrating. Whatever he touched he adorned. His personality was suffused with humanity and compassion, and a keen aesthetic sensibility. Its fullness radiated charm. He was young at heart to the end. By precept and example, he inspired many mathematicians, and influenced their lives. The force of his ideas

has affected the course of science. He ranks among the few universalists of our time. This collection of papers is a tribute to his genius. It is intended as a service to the mathematical community. Thanks are due to Springer-Verlag for undertaking the publication, and to the Zentenarfonds of the Eidgenéssische Technische Hochschule, Ziirich, and to its President Dr. J. BurcKHARD?, for a generous subvention. The co-operation of Professor B. EckMANN has helped the project along.

These papers will no doubt be a source of inspiration to scholars through the

ages. Ziitich, May 1968

K. CHANDRASEKHARAN

4141005

Note ‘These four volumes of papers by HERMANN Weyt contain all those listed in the bibliography given in the Se/ecta HERMANN

Weyt,

together with four additions. No

changes in the text have been made other than those made by the author himself at the time of the publication of his Selecta. An obituary notice by A. Wert and C. CHEVALLEY, originally published in /’Enseignement mathématique, is reproduced at the end, by courtesy of the authors. The co-operation of the publishers of the various periodicals in which WeEyt’s work appeared, and particularly of Birkhauser-Verlag who brought out the Se/ecta, is gratefully acknowledged. The excellent work done by the printer merits a special mention. The frontispiece is from the collection of Mrs. ELLEN WEYL.

Inhaltsverzeichnis Band I . Singulare Integralgleichungen mit besonderer Berticksichtigung des Fourierschen Integraltheorems . Uber die Konvergenz von Reihen, die nach noasuiaston Funktionen fortschreiten (F. JeEroscH und H. Wey) . Singulare Integralgleichungen . moe : Uber die Konvergenz von Reihen, die nach Oninevenalanitentn fortschreiten or 4 bo 6 Uber beschrankte Raecrenctc Faint deen Differenz oleae ist . Uber gewohnliche lineare Differentialgleichungen mit singuliren Stellen und ihre Eigenfunktionen . Uber gewéhnliche lineare Difeentaigicichungen mit singuliren Stellen und ihre Eigenfunktionen (2. Note) .

Uber gewohnliche Daerennipieitmeen mit Singularitaten antl die zugehGrigen Entwicklungen willktirlicher Funktionen

Uber die Definitionen der mathematischen Grundbegriffe . Die Gibbssche Erscheinung in der Theorie der Kugelfunktionen . Uber die Gibbssche Erscheinung und verwandte Konvergenzphanomene . Zwei Bemerkungen iiber das Fouriersche Integraltheorem . Berichtigung zu meinem Aufsatz: Zwei Bemerkungen tiber das Fouriersche Integraltheorem . Uber die asymptotische neereilne bes Sienroie Konyergenzcharakter der Laplaceschen Reihe in der Umgebung eines Windungspunktes

. Henri Poincar F . Das asymptotische Movcintedexion der aan linearer partieller Differentialgleichungen (mit einer Anwendung auf die Theorie der Hohlraumstrahlung) Uber die Abhangigkeit der Ei penichein sunken! einer Neale von deren Begrenzung . ee A Uber das Spektrum tke Hollmemeranlang . Uber die Randwertaufgabe der Strahlungstheorie und asymptotische Spektralgesetze Bos aoc 20; Uber ein Problem aus dem Geniete der alewienueates Approximationen 21, Sur une application de la théorie des nombres a la mécanique statistique et

Ja théorie des perturbations

22 . Das 23, 24, 25. 26, 27. 28. 29;

asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenschwingungen eines beliebip pestaltcten clastischen KGrpers =. = 3 7) a Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins a Strenge Begriindung der Charakteristikentheorie auf zweiseitigen Flichen Uber die Bestimmung einer geschlossenen konvexen Flache durch ihr Tinienel ement yoyo neste cones ieee resin cnc . Le probleme de l'analysis\citus yu isiul-uicil mementos cen « Uber die Starrheit der Hiflachen und konvexer Polyeder. . . . . . . Bemerkungen zum Begriff des Differentialquotienten gebrochener Ordnung “ur Gravitatlonstheoric a me.urrn ett ies es Wo ee .

511 Se)

600 614 645 646 663 670

1. Singulare

Integralgleichungen mit besonderer Beriicksichtigung des Fourierschen Integraltheorems

Dissertation Géttingen (1908)

Hinleitung. In seiner Theorie der Integralgleichungen hat Herr Prof. Hilbert u. a. den Satz bewiesen, daf, wenn K(s,¢) irgend eine stetige symmetrische Funktion ihrer beiden Argumente in dem quadratischen

8

Bereich

a =| t \so

ist,

die

,homogene

Integral-

gleichung* b

0 = 9)-1J KE) o Ou a

fiir unendlichviele diskret liegende Werte von 4, die sog. Eigenwerte, eine nicht identisch verschwindende Lisung 9(s) besitzt*). Ein entsprechendes Theorem wird auch noch gelten, wenn wir als Integrationsintervall nicht a..b, sondern etwa 0.. wihlen, falls dann nur in einem genauer zu prazisierenden Sinne K(s,t) sich im Unendlichen hinreichend regulir verhilt. Andrer-

seits lassen sich leicht Beispiele von ,,Kernen“ K(s,t) angeben, fiir die die Hilbertsche Theorie keine Giiltigkeit mehr besitzt. Beson-

deres Interesse verdient, wie Prof. Hilbert in einer seiner Vorlesungen hervorgehoben hat, hier z. B. der Kern cos (st). Aus dem Fourierschen Integraltheorem

(1)

Ci

2 ff a

0

cos (st). cos (tr). p(r) ar dt 0

ersieht man namlich, daB dieser Kern hichstens die beiden Kigenwerte

+ Ve

—

v2

besitzen kann.

Denn ist 4 irgend ein Eigen-

1) D. Hilbert, ,Grundziige einer allgemeinen Theorie gleichungen“, 5. Mitteilung, Gétt. Nachr. 1906, pag. 455.

der linearen Integral-

2

wert und p(s) verschwindende

9)

=

ao

af

eine

d. h.

Eigenfunktion,

eine zugehdrige Lisung von

nicht-

cos st. g(t) dt,

0

so ergibt (1) die weitere Beziehung 2)

die wegen sich nun

=

(t) dt,

nach

=

i

oO

0

cos st-¢

bestiitigt dies fiir ee

a

sich zieht.

pas ery)

3 dt = Vered

Man weiB ferner, daB, wenn J, (2)

0, 1, ...] wie iiblich die rte Besselsche

deutet,

theorem,‘

(3)

fiir J, (st)

ein

zu

(1) analoges

wie wir sagen wollen, gilt:

oO =af Ww fF Shy aL

Die einzigen Kigenwerte,

Es fragt tatsichlich

V2

AVE.

Werte

Die bekannte eae

Eigenwerte sind.

[n =

cos st.

4? =

die beiden

ob

sofort,

foo}

notwendig

p(s)#0

(2)

=

2)

fos)

@

die

_

Funktion

Theorem,

ein

be»Lourier-

1 Vir) o@arat. —

diesem Fall méglicherweise

in

exi-

s

stieren,

sind e j mee

Die Funktion

(\/s)".e

2 ist eine zu dem

ersten von ihnen gehérige Higenfunktion :

(4)

t

ii J, (Vat). (VB"e 2 dt = 2.(Vsy".e i)

s

2.

Die in (2) und (4) angefiihrten Kigenfunktionen sind jedoch nicht die einzigen, wie die folgende Bemerkung zeigt. Ist i(”) irgend eine fiir 2 >0 definierte Funktion, fiir die die beiden Integrale Be TE)

pes.

Siren,

° k(e).lga

ae

=

existieren, so besitzt der Kern (st) sicher die beiden Eigenwerte

3

z -

- mit den zugehérigen

= E(5)

ul —,b Va

Kigenfunktionen

uw ah . eZW. (10s {lg 5) vee s—+—)-——

wovon man sich durch eine einfache Rechnung tiberzeugt. Diese Funktionen (5) haben jedoch einen wesentlich anderen Charakter ee 4 © cos st als die in (2) und (4) auftretenden: die Integrale if dt u. s. w. konvergieren

fanktion d. h.

zwar,

wie p(s) =

derart

mit

einem

6

Vi

0

jedoch nicht absolut,

und

laBt sich

,normieren‘%,

auch

nicht

konstanten Faktor

eine Eigen-

c multiplizieren,

daB

das Produkt,

quadratisch integriert, 1 ergibt lf “(eg (s) ds = 1} 0 Aus diesen Griinden werden wir solche Funktionen (5) kaum als »eigentliche* oder ,zulassige* Eigenfunktionen gelten lassen. Die Funktion cos (st) weist offenbar im Positiv- Unendlichen (da sie nicht einmal gegen 0 konvergiert) eine hohe Singularitat auf,

und

es kann

gralgleichung,

daher

nicht

wundernehmen,

in der diese Funktion

die Rolle

dafi auch

die Inte-

eines Kerns

spielt,

»singuldr* ist, d.h, den Hilbertschen Theoremen iiber Eigenwerte nicht geniigt. Wider Erwarten zeigen aber auch Kerne wie der folgende

K(s,t) = e*

ize) (s)

was

4

[ret Md = \F@rd—a). vs) 0

A=0. (9) v2 -\VP@T = Oat [ret.vo 0 wird.

Da (a)

Fi-a)

=

= df

sin za

ist,

zeigt sich,

daB im Falle

des Kerns e” die Eigenwerte zum mindesten das Intervall ~E = jee

%

(mit Ausschlu8

der Grenzen

und

des

Punktes

1

0) ganz

tiberdecken. Ob es weitere Eigenwerte gibt, kann hier noch nicht entschieden werden’). — Aus ¢* geht durch Zusammensetzung ein sehr interessanter Kern hervor, nimlich i gee

pat I OOo et o-# a dr. 0

Um das hier an Beispielen aufgezeigte singulire Verhalten von Integralgleichungen von einer allgemeineren Theorie aus verstiindlich zu machen, werden wir uns, abnlich wie Hilbert mittels der von ihm geschaffenen Theorie der vollstetigen quadratischen Formen unendlichvieler Variablen die reguliren Integralgleichungen bemeistert hat, in unserm Fall des allgemeineren Hiilfsmittels beliebiger beschrankter quadratischer Formen zu bedienen haben, iiber deren Natur durch die 4. Mitteilung der Hilbertschen ,Grundziige u.s. w.“ (Gott. Nachr. 1906, pag. 157—209) und neuerdings durch Herrn Hellingers Dissertation ,Die Orthogonalinvarianten quadratischer Formen yon wunendlichvielen Variablen* (Géttingen 1907) Aufschluf gegeben wird. 1) Vergl. § 15 dieser Arbeit.

I. Kerne,

§ 1.

Uher Eine

Teil.

fiir die ein Fouriertheorem

beschrinkte quadratische Form

quadratische Variablen.

Formen

gilt.

unendlichvieler

abziéhlbar unendlichvieler

Variablen

ist

allemal dann definiert, wenn jedem Paar ganzer positiver Zahlen p,qeine reelle Zahl k,, zugeordnet ist derart, daB die Symmetriebedingung erfillt ist.

Sind 2,, z,, . . . irgendwelche

unendlichviele

so verstehen wir unter dem nten Abschnitt dieser schen Form fiir das Wertsystem z,, z,,... dieses:

[K@

=

Sk,

PI=12-..0

Zahlen,

quadrati-

2,2,

Entsprechend fassen wir, wenn a,, irgend welche Zahlen sind, die endlichen Bilinearformen der Variablen 2,,.., 2%} Y¥,;-+) Yn

(A@y].= EST Dd oe 4,,2,y, fir n = 1, 2, 8, ... als die sukzessiven Abschnitte einer durch die Koeffizienten a,, definierten Bilinearform der unendlich-

vielen

Variablen

«,, 2, ..-;

¥,, ¥%,

---

auch wissen, was unter einer linearen Form ablen verstanden werden soll.

auf.

Man

unendlichyieler

Gibt es zu einer Bilinearform A (w,y) eine Zahl M, alle Werte %,, %,,...3 Y:,¥Y,)---, die den Bedingungen

(9)

@,2) = attatt...S1,

wird

nun

Vari-

sodaf fiir

Wy 1

gentigen, und fiir jedes n

abs. [4 (v, y)],

+-. Nunmehr stellen in Gleichung (10) sowohl A(w,.) B(.,y) als auch a, (x), a,(z),...; 0, (y), ® (y), ... bestimmte Zahlen vor, und es fragt sich demnach, ob aus (10) fiir diese Zahlen die Relation

(11)

A(@,.)

B(.,¥) = 4, @) 4, y)+4,@ b@) ) +>

1) Hilbert, 4. Mitt. 2) lc. pag. 179.

pag.

176.

iu

gefolgert werden kann. kunft.

Dariiber gibt der folgende Hiilfssatz Aus-

Hiilfssatz (Konvergenzsatz fiir beschrénkte Formen): Ist A, (a, y) (m = 1, 2,...) eine Folge von Bilinearformen, die eine Zahl M zur

gemeinsamen

Schranke haben, existiert ferner fiir jedes

(12)

LL

m=O

so gilt fiir jedes

(4,2, 9), = (A, Mas

spezielle Wertsystem

der

Variablen

2, y

LAs 9) = Aly)

oder

ausfiihrlicher

L L4e@v=

L LG

m=

Beweis: Gemif schitzung') ist abs.

{A, (@, y) a

einer

von

kets (a, Dn} ae Wen

Wegen

a

Herrn ,

s

M

3

angegebenen

Ab-

———-—

wo mM Vane

2 Ean

pS

Hate +]:

(12) ist auch abs. [A(a, y))],

d.h.

Hilbert

db

eine Schranke

von A(a,y),

S M, und daher

(18) abs.{ (2,9) —[4@, ].j S Salva, b= +VR

Fd

Daraus folgt unsere Behauptung. Kehren wir zu der die Faltung betreffenden Frage zuriick und verstehen unter 7, = u,, %, = 0,,...; ¥, = B,, 9, — Ba >-ein spezielles Wertsystem der Variablen, so gehdrt zu jedem m eine beschrinkte Bilinearform C(x, y), sodaB die numerische Gleichung

c™ (a, B) = a, (a) b, (B) +- + 4, (@) b, (B) statthat, da das Produkt a,(«) b,(8) durch gliedweise MultipliSind M, N Schranken von kation ausgewertet werden kann. A(a, y), bezw. B(x, y), so gilt?)

[Cm (2, y)], = UN 1) 1. c. pag.

2) 1. c. pag.

178.

179.

8

Daraus ge-

fiir alle m und » und alle Werte der Variablen 2, y. stattet unser Hiilfssatz die Folgerung zu ziehen n=O

m=O

(e"(@, Bh.

LT

[e"'(a, Bl,= a

LL

m= CO

d. i. die Gleichung (11) fiir 7 = a, y = B. Dies lehrt insbesondere, da& der Wert einer beschrinkten Bilinearform durch reihen- oder kolonnenweise Summation

kann’):

bestimmt werden

A@y=

(14) die

LC

n=O

= Bi @)

3B

pq=l,..,n

BiO) hoe Ye) = Bs@ Ye *®Bi bra Be)

Unter den beschriinkten Formen vollstetigen,

4,44.)

spielen eine besondere Rolle

da sie sich in allen wesentlichen Punkten

ver-

halten wie endliche Formen. Es hat damit die folgende Bewandtnis. Jedes bestimmte Wertsystem unserer unendlichvielen Variablen (x) = (#,, #,,...) werden wir einen Punkt des Raumes von unendlichvielen Dimensionen nennen und 2,, z,,... bezw. seine 1., 2.,... Koordinate:

=

Oo,(z), x, =

Go,(@),

...

Haben wir eine unendliche Reihe solcher Punkte (a)', (x)’,..., so sagen wir, sie konvergiere schwach gegen den Punkt (a), wenn fiir jeden Index i

TL, Soa)" = 6o,(z)

n=o0

ist. Besteht diese Limesgleichung gleichmafig im Index i, so sprechen wir von Konvergenz (schlechthin). Liegt die Sache ferner so, daB die quadrierte Entfernung

pag.

1) Diese Tatsache

179f.

erwihnt

Hilbert (ohne den

Wie mir scheint, kann der ,Konvergenzsatz“

Entwicklungen

1.

c.

pag.

187ff.

ein

dem Bilinearausdruck 3 a,,x, y, die ee die x und y auf die Bereiche

die Forderung:

Schranke haben“

wenig

(2, x) =1,

,die Bilinearform mit bestimmte Gebiet,

eines 8. 9 definierten V4nq%pYq ist eine festem a, y].

hier

zu

gegebenen

auch

vereinfachen.

dazu dienen,

gleichfalls als Variable (y, y) sich

Deutet

man

die

in

und beschrankt

S1, die a,, aber auf das durch

den ieoerenintten Ang ‘soll

so 1a8t

Beweis) 1. c.

der Konvergenzsatz

Begriffes so aussprechen: vollstetige Funktion

Der der

die

Zahl

1 zur

mit Benutzung

Bilinearausdruck Variablen a,, [bei

(@-@, @-@©) =

[G2 @r- 60, @)P

von einem gewissen Index m ab existiert und bei weiterem Wachsen desselben 0 zur Grenze hat, so nennen wir (a)’, (z),... stark konvergent gegen (x). SchlieSlich kommt im unendlich-dimensionalen Raum noch eine Art ,diskreter Konvergenz* in Betracht, die darin besteht, da zu jedem m ein m existiert derart, da (x)", (a)"*", (z)"*, ... simtlich mit (~) in den ersten n Koordinaten iibereinstimmen. Eine beschrinkte quadratische Form K(x) hei&t nun volloder stark-stetig, wenn fiir jede Reihe von Punkten (a)', (z)?,..., die, ohne den Bereich (x, xz) | { ACO

i. Barn as|

fiir irgend zwei stetige Funktionen w(s), v(s] ist (Vollstandigkeitsrelation). Die notwendige und hinreichende Bedingung fiir das Zutreffen dieser Vollstindigkeitsrelation ist (unter Voraussetzung von I) die, daf zu jeder positiven Zahl ¢ eine endliche Anzahl von Konstanten ¢,,¢,,.., ¢, bestimmt werden kann, sodaf 1)

(21)

1

ji (u(s) —¢, ©, (3) —--—6, & (s))'ds —e, Sei jetzt w(s)

s =

0 in solcher

stetig

fiirO 00

andrerseits

fi B(s; 4) 9(s) ds =34 S D

ie 9)

q)

B(s;4) ,(s)ds,

B(s; 4) ai K(s,t) A(t; 4) dt ae Indem

(s). ie A(t; 4) ®, (dt.

die letzte Reihe gliedweise integriert wird, ergibt sich

(69)>

: i ee Bs; A g(s)ds = i ee A(s; a)f(s)ds.

Diesem Beweis von (69) liegt offenbar eine allgemeine Methode zu Grunde, welche unter Heranziehung der Betrachtungen

iiber stetig-finite Funktionen und vollkommene Orthogonalsysteme den Konvergenzsatz fiir beschriinkte Formen dazu ausnutzt, gewisse Vertauschungen von Integrationsfolgen zu legitimieren. Sie wird durch das angefiihrte Beispiel, glaube ich, hinreichend deutlich geworden sein. Nach einer zu (62) analogen Formel gilt

an

Bt)O,)d => iste fi

—co

(Gr)

@

Sm,

f” Bt; 4), (dt = 0.

@

Fiihren wir noch

eH) ay

0

die Bezeichnung a, =

ein, so wird

1,,4,+1,.4,+°°

[OBGAIOa= »» a, [ BU; 4) ©, (at 0

)

Bln [Bs 2) ®, (Oa

= (p)>>BiH @)

+ @BLS@ md. Hn L” BE a) &,(6 af

a So,.f @®

a

—co

Hol) ay — fA; a) flat. w

0

50

Die gewonnene Reihe konvergiert gleichmissig in 4, falls dieses auf ein endliches Intervall beschrinkt bleibt. Haben daher 4,, 4,

die oben Annahme

Bedeutung, so folgt, wenn wir die vorliufige daf P(s; 4) im Intervall 4, = 45 4, von be-

benutzte machen,

schrinkter Schwankung ist,

. Pe 4 cara f ba aa 2 Posayf

Das in der rechten Summe [#-

* (4)

P34).

[eae

=

ip wo v, ah(w) UH f eh

Za,

auftretende Doppelintegral

POS; ae 4)

Di

ist gleich

P(s; ao a ay i =| * Pan LACH TY i,

0

mithin wird wegen (67)

[a? P(s; 4) ib *

A(t; 2) fat ri AG (4°P (s; 4) [A (t; a) fat 0

(w) ¥,(w) du. = (4)> ak,(s)f"¥, dy Setzen

wir nun

Spektrums

M

noch

voraus,

da

fiir

alle

inneren Punkte

4 des

a ip A(t; af a) f(Odt = 4ens f [is P(t; ade wird, so lasst sich die letzte Gleichung auf die Form

[P34 {° PG; a) f(t) at aa

(70')

dy

In bekannter (70)

bringen

= Pai3 ) 44), iis ¥, (4) %, (u) du.

Weise folgt aber ee

LP (5a) J? PG AfOadda = Da,k,(s) 0

r

(p)

=FGK,0) =f" Ko,gOU = 10), d.h. in der Tat das Fouriersche Integraltheorem. Ist P(s; 4) im 4 nicht von beschrinkter Schwankung, nutzen wir statt P(s; 4) zunachst die Funktion

P85 4) = A [EO +--D+h, (8) 4, @]

und erhalten, wie leicht zu sehen, an Stelle von (70’)

so be-

51

[P65

(70") Aus

¥

=

2

SS

f° ss

|

PG HAO aa "

te) J 4, ¥,(w) du. &

(66) und (68) folgt aber an co

2

af — mithin

.

(4 esi

AA

2

eo eect 2) dA = (Tones (8)? + (lings (8)? +o z

a fortiori

LJP.) )-P 6 ayaa = 0,

n=O

und hieraus erschlieBen wir, indem wir in Forme! (70") zur Grenze lim n = ©°9 iibergehen, die Gleichung (70’). Das Resultat fassen wir in den folgenden Satz zusammen. Satz 5: Ist K(s, t) ein beschriinkter Kern mit einfachem Streckenspektrum, P(s; A) seine Spektralfunktion, deren Existenz vorausgesetat wird; bezeichnet ferner g(s) eine stetige, quadratisch integrierbare Funktion

und ist f (s) =f [Pa 0

0

KG. t)g(t)dt von

A)f (dt gleichmafiig in der

solcher Art, Umgebung

dafs

jedes

das

Integral

im Innern

des

Spektrums gelegenen Wertes 2 konvergiert, so gilt fiir f(s) das Fouriersche Integraltheorem mit dem Kern P(s; A). § 10.

Die inhomogene Integralgleichung im Falle eines beliebigen beschriinkten Kerns.

Einen Kern K (s, t), der die am Anfang des § 7 unter 1) und 2) aufgefiihrten Voraussetzungen erfiillt und der auferdem mittels eines gewissen Orthogonalsystems von Funktionen auf eine beschriinkte quadratische Form K(x) fiihrt — diese letzte Forderung besagt, daB fiir jede stetige, im Unendlichen von mindestens 2.

Ordnung

verschwindende

eSpleists fy OK (s,t) 0

0

Funktion

u(s) w(t)dsdt

w(s),

fiir die f * (uw (s))*ds 0

absolut unterhalb einer festen,

yon der Wahl der Funktion w(s) unabhingigen Grenze bleibt — Indem wir werden wir einen beschriénkten Kern nennen.

52

auf die quadratische Form K(x) die von Herrn Hilbert ') bewiesene Normaldarstellung und namentlich die durch Herrn Hellinger in seiner Dissertation eingefiihrten Begriffe und Resultate, von denen hier noch kein Gebrauch gemacht werden konnte, zur Anwendung bringen, lassen sich die Untersuchungen der beiden vorigen Paragraphen ohne prinzipielle Schwierigkeit auf beliebige beschrinkte Kerne ausdehnen. Wir erhalten in solcher Weise an Stelle des Satzes 5 Darstellungen einer willkiirlichen Funktion, die aus einer unendlichen Reihe und gewissen Integralen iiber das Streckenspektrum der Form (x) zusammengesetzt sind. Inbetreff der beschriinkten Kerne sei an dieser Stelle nur noch das Folgende mitgeteilt. Wenn K(s,?), K'(s,t) irgend zwei solche Kerne sind, so ist der aus ihnen zusammengesetzte

KK’ (s,t) = [” K(s,r) B' (tr) dr 0

— der sich nach Voraussetzung nur

symmetrisch ausfallt,

2) (pag. 34) bilden lift —, falls er

wiederum beschrainkt.

Denn

geht

durch

Anwendung des vollkommenen Orthogonalsystems ®,(s) der Kern K(s,t) in die beschrinkte quadratische Form K(x) = Sk,, x, x, (2,9)

iiber, so wird mittels desselben Orthogonalsystems auch K’(s, t) in eine beschriénkte Form K'(x) = > kl,a,«, verwandelt. Wir (9)

setzen

K,(s) = f *K(3,0).@,(Qat,

K'(s) =|" K' (st) @, dt.

Dann gilt offenbar

EKG) t)

1

(2)

(s) KG),

Diese Reihe darf (fiir s 4 s,) nach Multiplikation weise nach ¢ integriert werden, und es kommt

mit @,(¢) glied-

f ” KK’ (s,1) ©, (dt = Shi, K, (8). (@)

Da aber KK'(s, ¢) als Funktion von ¢ stetig-finit hieraus

ist, ergibt sich

LO (KK 6, tat = Ke (KG), .) KK), > 1) Hilbert, 4. Mitt.

pag.

198.

53

Das links stehende Integral existiert demnach fiir s 4 s, und ist fiir s = 0 eine stetig-finite Funktion. Dies zeigt die Richtigkeit unserer Behauptung. Insbesondere kann man also beschriinkte Kerne beliebig oft mit

sich selbst zusammensetzen,

der Zusammensetzung

(71) Wegen

und

es ist, wenn

die Vielfachheit

durch einen oberen Index

angedeutet wird,

Ki (st) = K°(K(s), K()

f=o.

dieser Gleichung gilt

[°K (5,7) Kt dr = K(s, 0). 0

Diese

Uberlegungen

sind,

wie mir scheint,

geeignet,

unsere Defi-

nition des beschrinkten Kerns als eine naturgemisse zu rechtfertigen. Wir erwahnen noch die aus (71) folgende Ungleichung

| Ks, t)|

SM’. k(s)k(O,

in der M eine Schranke der Form K (x,y) bedeutet. Satz 6: Durch belicbig-oftmalige Zusammensetzuny eines beschrinkten Kerns mit sich selbst erhalt man immer wieder beschrinkte Kerne. seteten

Die Zusammensetzung des f-fach und des g-fach zusammengeKernes liefert den (f + )-fach zusammengesetaten.

Nunmehr gehen wir noch kurz mogenen Integralgleichung

(72)

auf die Behandlung

der inho-

f(s) = g(s)—A v " K(s, 1) p(t) dt

fiir einen besckriinkten Kern K(s,¢) ein und beweisen den Satz 7: Die Integralgleichung (72) hat, wenn K(s, t) einen be-

schrankten Kern, f(s) eine bis auf isolierte Werte von s stetige, im Intervall 0. . c© quadratisch integrierbare Funktion, 4 eine dem

Spektrum von K(s, t) und seinen Verdichtungsstellen nicht angehorige Zahl bedeutet, eine und nur eine Lisung p(s), die von der gleichen Natur wie f(s) ist. Beweis: Ist K(4;2,y) die gleichfalls beschrinkte Resolvente’) der K(s,?) entsprechenden quadratischen Form K(«), so setzen wir, wenn a, den Fourierkoeffizienten if ee (s) ®, (s) ds

0

1) Hilbert, 4. Mitt. pag. 174, pag. 189f. — Einen sehr elementaren und eleganten Beweis der Existenz der Resolvente gibt O. Toeplitz, Gott. Nachr. 1907, pag. 101 ff.

54

bedeutet,

g(s) = K(a; K(s), 4).

Man iiberzeugt sich auf bekannte Art (g(s) ist wieder stetig-finit), da® diese Funktion quadratisch integrierbar ist, indem sich

)K Asa, )KA; 4)

L(y ds = KK, herausstellt.

Daraus

U= )gO [PKG 0

schlieBen

KO (p)

wir weiter

der Gleichung

und da die Resolvente

4) K(K(),.)

Ode = KA;

%, [90 ¢

geniigt

) .) K(A5 59) = (@Y), — A(x, K (A; @,y wenn

wir “, =

(73)

9)

Um

a,, y, =

AJ” Kg

eine Lisung

K,(s)

setzen:

Oat = 5 4,K,(s) = [Ko,0 f (t) dt. (p)

von (72) zu finden, schreiben wir

p(s) = v(s)+4g(s). Dann

folgt aus

(72) und

(73), wie die Rechnung

[¥)— FO] -4. J"

lehrt,

KG) HO -fO] a = 0.

Wenn aber verlangt wird, da® w(s)—/(s) im allgemeinen stetig und quadratisch integrierbar sein soll (was darauf hinauskommt, da®& von g(s) die gleichen Eigenschaften gefordert werden), so mu w(s)—f(s) identisch Null sein, also

es) = fs) +29(9). Da diese Funktion alle gestellten Bedingungen in der Tat erfiillt, ist unser Satz erwiesen. Haben wir es insbesondere mit einem Kern mit einfachem Streckenspektrum zu tun und existiert dessen Spektralfunktion P(s; 4), so lé®t sich der gefundenen Lisung, indem wir den zur Formel (68) fiihrenden Weg gehen, die Gestalt geben

96) =f +4a.fKG; 5,0 fA, wo

55

K(as 3,8) = Kep+a. f_ Pe wird.

ag

Indem wir die Entwicklung der Resolvente

KQ; x,y) = (@, y)+4K (0, y) +e heranziehen, gelangen der Formel (68)

(74)

Te

wir

zu

der

KK (a, y) +>

folgenden Verallgemeinerung

f 2EPP2ED ge Ky

Kil. Beispiele

(i4i< +)

FED)

Veil.

zur allgemeinen

Theorie.

Im Folgenden sollen einige Beispiele fiir die allgemeine Theorie durchgerechnet werden, und zwar solche, welche nicht nur die erhaltenen Resultate zu bestiitigen gestatten, sondern bei denen sich auch alle einzelnen Schritte der in den vorigen Paragraphen angestellten Untersuchung explizit verfolgen lassen. § 11. Hermitesche Wir beginnen unsere Beispiele haltens mit dem folgenden

(78)

K(s,t) = ksgn(s+d.e

Polynome. fiir Kerne

singuliren

Ver-

- (2)-G) '\2 a

Den Ubergang zur quadratischen Form zu vollziehen, eignen sich hier gewisse, von Hermite eingefiihrte Polynome, die am einfachsten durch die Gleichung

(76)

B() = Cyd #2 (4)

56

sich

Aus dieser Definitionsgleichung ergeben definiert werden. zugleich mit grosser Leichtigkeit die Rekursionsformeln Bort (s)

(77)

==

R, (s) mae PR

(s) ,

SB) — yB,_.().

1

2

Dae ** $B, (s) der p te Differentialquotient von e ** ist, ergibt sich durch p-malige Anwendung der partiellen Integration

ii fiir

irgend

mithin ist

+

0

—on

e—4°B(s) B, (s)ds = 0

ein Polynom

9, (8)

§8(s)

von niedererem

( 3 = oaraw

als p-tem

N y “Ws. ci

e po

©, (s) = wt) B, (8) Van.V2t

7

ein System orthogonaler Funktionen. Die Vollstindigkeit Systems lassen wir vorliufig dahingestellt. Wir

bilden,

zunichst

fiir

ae)

i\?

pe

Seams.

Fiir gerades p ist ®,(s) eine ungerade, rade Funktion; darum wird

dies

iff

dieses

s 2 0

re

0d= if. 0, ,) k6 *° —o ay

Grade;

a

ay

pee fiir

(a) pee Es ist aber, wenn wir (76), (77) beachten,

a, oa.

ungerades p eine

®,(t)dt

Ks) 0, (a=

i

[p unger.]

®,()dt [p ger].

ge-

57

pe ®, (dt = {, Fiat

ssi zy

|p unger.] V21 0. p. V~—D!

f

fe 8) .

e

a ) (5

[p ger.] Also

_

®, (t) dt

if

(-—

ye

1

ao

Sinan

a

Gilpee

a

By-s (8)

Cain

,

2)

Gta

D715)

Vp-1

6)

tp unger

K@,yo,Qa — ¥

vi

Vp =

=

_(s)

V2x.V(p —1)!

kommt

of

fad

Dyas (8)

ee!

Seen) ()

a

-1(8)

[p ger.].

Man iiberzeugt sich unschwer, daf diese Gleichungen negatives s in Kraft bleiben; deshalb wird

auch

fiir

1 =I oo)Sf Els, t) ©, (4) ®, (s) dds se 2)

als

Funktion

der

D

q diese

Indices p,

Werte

erhalten:

i, =) auBer

fiir

g = p+1,

wenn p ungerade, Kno

=

Vp

quadratische

Form

K(x)

p—1, wenn p gerade;

unger.]

i

GEMM. tana

bi saitoik Die

[p

g =

=

>

k,,«,2,,

welche

dem

Kern

K(s, t) entspricht, lautet demnach

K(@) = a + ae ‘A Jay, Sie lift sich orthogonal

auf

eine

Quadratsumme

transformieren,

58

indem man a, +2,

z

gee

eae

v2

|

v2

ima

Te

| a = Soe

einfithrt ; dann wird in der Tat

(78

(79)

tet

fate

@a)—

'

K(a) = [5-5 2

4 BB 2

2

2

4 “|:

Q, (s)

®, oa

(8)

a;

(s)

=

®, ve

(8)

Qs (s)

®, (8) a

(8)

rg:

(s)

—

®, (s) an

(s)

u.

oe

S.

:

r

W.

meee)

Vi’ 1

Vie rl

gehéren. Diese Tatsache ist unabhingig davon, ob das System #,(s) vollstindig ist oder nicht. Wollen wir aber wissen, ob erhaltenen die sdmtlichen Eigenfunktionen des Kerns sind ein Entwicklungstheorem ableiten, so miissen wir diese Frage Vollstindigkeit zunichst zur Entscheidung bringen. Sei f(s) = /*(s*) eine gerade Funktion, die stetig ist und Unendlichen verschwindet. Durch die Substitution 8

=

—4-lgt

der die und der im

O= 2 ist,

folgt

Ausrechnung

zu verifizieren.

(2) = ¥, (4). 1) Dieselbe ist iibrigens leicht durch direkte

68

Dies zeigt wiederum,

da8

_s Sh, f , (uw) =v, (#) du =0

mithin

Damit

u.s.f.

“

1

@

sein mui,

P

(4) = ¥, (4) daf P(s; 4), das wir von

hat

sich aber ergeben,

1

cos (s Vie! 1)

(s)ds = v, (a),

bestitigen

lé8t und welche

ab wieder mit P(s; 2) bezeichnen, die Spektralfunktion Kerns K(s,¢) ist, und es ist zugleich die Formel bewiesen

E ie a eas

(88) die

direkt

iibrigens

sich

nun

des

2h.

dab

zeigt,

yee cos (st) ein vollkommener Orthogonalkern (im friiheren Sine) mit den beiden unendlich-vielfachen In dem Integral

Eigenwerten

+1, —1

ist').

fo ( p(s; a) v, (2) ai) ®, (s) ds 0

diirfen offenbar wenn wir

i

die Integrationen vertauscht werden,

und

so folgt,

Je P(s; 2)¥,(a)da= OF (s) setzen,

i “O%()O,()ds = 6,

(py = 1,2,..),

mithin, da *(s) stetig-finit ist,

O%(s) = ®,(s). Es gilt also fiir f(s) = @,(s) das Fouriertheorem. Da nun diese Funktion alle diejenigen Voraussetzungen erfiillt, welche wir oben nach Satz 5 als fiir die Giiltigkeit des Fouriertheorems hinreichend 1) Unser Kern K(s,t) ist nichts anderes als die Greensche

(s. Hilbert, gleichung

f'(0) =

Grundziige,

Funktion

2. Mitt. Gott. Nachr. 1904, pag. 217, 219) der Differential7 ¢ a ) _ F(s) =0 (0s 0, B > 0

hat.

Auf

Grund

unserer

[7H (6,1) H® (tr) dr = HTP (5,0) 0

gilt. (Diese in die Theorie der Besselschen Funktionen gehérige Formel ist meines Wissens nicht bekannt.) Was die quadratischen Formen angeht, so besteht offenbar der allgemeine Satz: Ist A(x) irgend eine beschrankte, positiv-definite quadratische Form, so ist es auf eine und nur eine Weise méglich, jedem « > 0 eine gleichfalls heschrankte, positiv-definite Form K‘ («) zuzuordnen, sodab

1) K®(e) = K(a), 2) KO(a, .)K®(,2) = K@+?) (@) (fir beliebige « > 0, 6 > 0),

3) die Koeffizienten von KK‘ (a) stetig mit o variieren. nsbesondere wird dann immer K® () = (a, a). Die angefiihrten Tatsachen setzen, wie mir scheint, auch

Begriff der

«-maligen

Differenzierbarkeit

einer

zahligem auf beliebiges « zu iibertragen, in ein neues Licht.

das Problem,

Funktion

von

den

ganz-

val

gelten, wo die

B,(s) = [O(s, ) pdt 0 Jos)

(unter gewissen allgemeinen Annahmen iiber 9, (t)) wiederum ein Orthogonalsystem bilden. Um diese Idee streng zur Durchfiihrung zu bringen, transformiere oe t in eine neue Variable @, die von 0 bis 1 lauft; OG

6aie2s

=

co

sei

So=1

ein

Orthogonalkern,

der

an

der

Stelle

Oo eine Singularitat besitzt. Ferner seien die ,(0) Higenfunktionen einer gewéhnlichen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung, gleichzeitig also Kigenfunktionen eines gewissen Kerns I'(o, 6)*). Wir setzen voraus, dab f'00s, 0) (6, e) de als Funktion

von 6 im Intervall

0 = 6 0 eine stetige, quadratisch von besitzt.

Derivierte

H(s, 0) = Fe (s, 6) de 0

1) Hilbert, 2. Mitt. Gott. Nachr.

[(88) und Satz 9]

1904, pag. 225.

Da das Integral

72

o =

bei

(trotz der Singularitit schreiben

0) offenbar

existiert,

kénnen

wir

0) aH(s, ¥F(@) =f rde arte fPow )

=*(§ eta LPH, 0).

=. cos (2p — l)o (p

bilden,

Q«-» x

fir

a

diges a

..) ein vollstin-

4

Da die Funktionen

wird

[7 @H6, 04 = 23(p) [ 17H) c05 Gp —Ne def" HE, 0) e08 @p—1)e de | 0

0

Es ist aber

fre cos @ —1e-de = Cr—1)f*fe) sin @p—1) ¢-de, if

z

)

Da

sicher

ist, gilt =

7)

nach

den

|sin (2p— 1) + a

wir alle

Gleichung a

—1)9.de

=

S

-H(s,

fa 4)

— gpa JF O66) sin G1). do

f(e)

Fiigen

H(s, 9) cos (2p

sin (p—1) real

Funktionen Ed 2

sin (2p—1)@

entwickelbar

f(e) sin @p—1)o-do] = F(Z):

diese Tatsachen

zusammen,

so

erhalten

wir

die

1

L°0 de = 2. & Os) [7F(@) sin @p—1 0 do. ) 0 6,0)f Vx & 0

Bedeutet nun g(s) eine fiir s=0 zweimal stetig differenzierbare Funktion, die samt ihren ‘peiden ersten Ableitungen im Unendlichen von héherer als 2. Ordnung verschwindet (sodai s’ (Ig s)*g(s),.. endlich bleiben), so ist, wenn

f(e) =[" 06, @) 9 (s) ds

73

gesetzt ist, nach dem Fourierschen Integraltheorem bg

9(8) = f°0(s, @) Fle) do. Wir

formen

f (0) durch

partielle Integration

2

)=— Ven g' (0) 2. ‘5 12.Ie cos*

Z

den gemachten Voraussetzungen wird

eye

fs

() e

0

bekommen

9" (s) cos (s cotgg)ds.

J, f(e) = Oist.

Unter

g=0

cos (s soles @) cos om

0

fo 9)

und

-g(s)ds

i

5

f'@) =

afi

cos’o

Daraus schliefen wir, da f(g) stetig und

um

sin® 9

sin (s ees Q) sin® 0

alte.

Durch zweimalige partielle Integration kommt als einziges Glied, das eventuell bei Annaherung an ge = 0 nicht endlich bleiben kénnte,

i Da

aber a )

Veet

NTE

sin (s cotg @). ff "Oa.

adh

sin@. cos’ @

ist notwendig

sg" (s) | ds konvergiert, eas

(s. § 4)

2)

[Gey cost ede = J (69" (6) as. Folglich existiert La

L°0" (@ e050 de, 9 =

und da (f'(o))? an der Stelle

Lr0

t,

_

gewiB

integrabel

@)' de.

Da schlieflich noch

:

Stl

Abel

ae f"r(@)sin@r—1e 2. = 0,045 fa) Yo Va 0 sein mu8, ergibt sich hieraus das Entwicklungstheorem:

ist,

auch

74

Satz 10: Jede zweimal stetig differenzierbare Funktion, die samt ihren beiden ersten Derivierten im Unendlichen von héherer als 2. Ordnung verschwindet, -kann nach den Laguerreschen Orthogonalfunktionen entwickelt werden *).

§ 13.

Die Ote

Besselsche

Funktion.

Fiir die Besselschen Funktionen gilt ein ahnliches Fouriertheorem wie fiir die trigonometrischen. Um auch dieses von den quadratischen Formen aus zu gewinnen, verfahren wir analog wie im vorigen Paragraphen. Wir setzen zunidchst in iiblicher Weise

Entsprechend

der Funktion RO)

S

Cosa benutzen

wir hier

Way

imaginire

(¢ =

Einheit).

S(@) geniigt der Differentialgleichung

Eee ve _ (1 - g2)8@) V2 = 0. Ein zweites, Gleichung ist

von

$

unabhingiges

partikulires

Integral

dieser

wobei a, =

Ig 2—C,

a,

Gtitit---+#

=

[C =

Eulersche

Constante]

gesetzt ist. Mit der von Weber?) eingefiihrten Funktion S$ hingt € folgendermafen zusammen

i

E(a) = &* Ve - S22). Dabei ist (nach Weber) 1) Diese Bedingungen stimmen genau mit den Myller-Lebedeffschen (I. c., pag. 409) itberein. Vergl. die Bemerkung auf S. 63 dieser Arbeit. — Eine weitergehende Theorie dieser Polynome und ihrer Verallgemeinerungen werde ich

an anderer Stelle veréffentlichen. 2) Riemann-Weber,

Part. Diff-gl., Bd.

I, pag.

170.

15

1h,

Say

a= oO

16

Der Kern, mit dem wir uns beschiiftigen wollen, ist (in Analogie zu dem in § 12 betrachteten) dieser

K(s, = GIO)VE =EW3)VH

Als Orthogonalsystem

2

wihlen

i

Vout

pl°

wo die Polynome

Ss) (—1, so setzen wir :

ah)

var aL ae 2 thee 2 ) == @

Diese Funktion ist fiir positive Argumentwerte der Differentialgleichung

(ye

(0) ‘i ( ee

reell und geniigt

~) Va.3,(2) = 0.

Wie bekannt ist’), gibt es ein von 3, (#) unabhingiges, gleichfalls 1) Vergl.

etwa

N. Nielsen,

Handbuch

der Cylinderfunktionen,

pag.

155,

80

in dem eben benutzten Sinne reelles Integral dieser Gleichung, das bei unbegrenzt positiv wachsendem x gegen 0 konvergiert wie me

;

—; a

3

wir

ie

5

bezeichnen

inictes

es mit ©,(z),

:

wobei wir es so normiert an-

daB

£6, ) Va). 3, (@) Va-—© da (8, @V2)-G(@) Va = wird.

Durch diese Festsetzungen ist €, (x) véllig bestimmt. Gehen wir nunmehr von dem Kern

K,(,) =GO3(9)V% =G6()3,QVH

(6Sd fost} < (>y * |

mittels des Orthogonalsystems a? th (s) @=0,1,2,...) zor quadratischen Form K, (a) iiber, so ergibt die Rechnung, die genau in der friiheren Weise durchzufiihren ist, (96)

K, (2)

Dabei ist noch druck

(2p+2v)?+2,

+3

(2p

+ 2v)?

zu beachten,

BEE (Qp4+2)*—1EL

ist durch

dai

x, ee

fiir

2p

p =

1,

in der unbestimmten

Gy a fi 2 gang

zu ersetzen.

—1

Vp (p + 2v +1)

Wir bekommen

+

2y+

v =

Form

ii

—4

Ly Uyrs

der Aus-

¢ erscheint;

(Qy + 2)? + Qy Capa

dann,

wie es nach

K ,@=abettataty-

§ 12 sein mu,

—9,2,-2,0,—--)

K, (x) laft sich allgemein in die Hilbertsche Normalform

i (1? (w) a, + em OE i

Sar ted

bringen, wobei

WW = Tot) ow

wird.

1

=

2

Bar

2v+1-+p)

ear neee Ue (w—1)

Der Kern K,(s, ‘) hat zur Spektralfunktion

P,(s;2) = VE.u,(6ya=a),

(tn

1

er

81

und es gelten die Formeln

a LP ws, ) ve J,(tVi—1) dt = Ve J,(sVi=1) (=D), {/

Nes J, (sVa—1)-a? + D(6) ds = yw, (A).

Aus der Gestalt der Formen K, (zx) folgt sofort, orthogonal ineinander transformierbar sind. Die Gleichung

f(s) = de K,(s, #9 kann, wenn

daf sie sémtlich

(at

iiberhaupt eine, so nur die Auflésung

(97)

96) == @)+(t4+

4)

besitzen. Wir werden also annehmen miissen, daf f(s) fiir s > 0 zweimal stetig differenzierbar und (f(s))’, (f"(s))’ im Unendlichen

integrierbar sind.

Unter

diesen Umstiinden

f() = €=0 L |-1@,©V9 -fO-3©

ergibt sich

Ve-'} GOVs

+f" K,(s,)9@ ai), wenn

unter

Forderung

oe

auf.

g(s) die Funktion

tritt demnach

(97) verstanden

die Limesgleichung

wird.

Als weitere

V8)-8',0) V5.7) = 0 E,1@,6)70)

Setzen wir

tt. BO,

Z0Vs=s'

fe =e

tt ue,

so geht diese iiber in

Ls?" (ui —w' B) = 0,

s=0

und es ist

g(s) = 8? tA" —u) + (Qv-41) 8”

Fw.

Die Limesgleichung (98) wird erfiillt und (y(s))’ auch an der Stelle s = O integrierbar sein, wenn u(s), w’(s), w"(s) bei der Anndherung

82

an 0 endlich bleiben und [)w'(s) s=O

(98)

und

die

Konvergenz

fachere Forderung

Andrerseits

y =);

Bedingung

J, w'(s)= 0

eo

kénnen

wir

unter

der Funktion nord (s) beseitigen. Das Fouriertheorem mit dem Kern

3: UeVi=1)

fw > 1

gilt fiir jede im Gebiet s > 0 zweimal stetig differenzierbare Funktion, die selbst absolut und quadratisch, deren zweite Derivierte aber quadratisch im Unendlichen integrierbar ist, und welche an der Stelle s = 0 gewisse Voraussetzungen erfiillt. Als solche kommen 2. B. in Betracht entweder: die betreffende Funktion f(s) verschwindet fiir s = 0 von mindestens 2. Ordnung, dda

fis) = s’t* u(s), wo u(s) samt seinen beiden ersten Derivierten fiir s = O endlich bleibt. Aus diesem Theorem folgt nach einer § 12 angegebenen Methode leicht ein Satz iiber die Entwickelbarkeit willkiirlicher Funktionen nach den Polynomen P%(s) (py = 0,1, 2, ...).

§ 15.

Ich komme

wihnten

Kern

endlich noch it

se

Der Kern

kurz

|

(9 >1)*) (s>

Zahlen,

so

& >---

eine abnehmende, gegen 0 konvergierende Reihe

kiénnen wir

im

Intervall

49%,

+--+

0< a ¢ “m+1? Cm49°**) der Wert J(z) fiir das folgende Argumentsystem verstanden: Gan

a= Bal

Lavine a

Cv

=0,

Cas

ofitrn) gah

der Funktion

ee (a)

4= 6" =0,---,4,=6"=0;

la! =

Gueys

an+2

pp —

ppb

“mee —

Der Einfachheit halber setzen wir

T(o) = Je,

*) Hilbert, Gétt. Nachr. 1906, pag. 159 u. 440.

Ty

ea:

n

161

ferner

so daB

LS

IO = L fo (F(a) dex [0

und

fir nm>N

tp @)— fn (®)| SVe Dann

ist.

gelten in &, auch die sdémtlichen Ungleichungen fo) (a)

und

daher

Andererseits

mithin

ist

S Ve

4—

fire

oy i) Lol besitzt

die

also

8,

Komplementirmenge re!

von

%,

MaB

das

«;,

dz

ae

a| m(€,) +4 {Gm

®

folgt

[+e

tf S52 +8644

1

0

da.

ist)

m,,, =>, +2

Es ist aber nach der Erklirung von n, (falls

mithin

1

(sin ixx)?

— tt

a

mit der Behauptung unseres Satzes tiberein. Wir haben weiter zu zeigen, dass, wenn es eine orthogonale Substitution von der im Satz beschriebenen Art gibt, i kein isolierter Wert von § sein kann. In der Tat: wire 2 isoliert, so gabe es eine zwischen den Variablen x,, einerseits und den Variablen E,, , andrerseits vermittelnde orthogonale Transformation

= EatE Ay

von der Beschaffenheit, dass fiir schwach folgen (x’), (x"’), ... die Bedingung

gegen den Nullpunkt konvergierende Punkt-

L (a, 0) =0

mit den unendlichvielen

y =) (0)

(Ci

dquivalent ware. Daraus folgt zunichst, dass

ahead ofc

eine vollstetige Form

der ie ist. Fihren

wir fiir S

as)

das folgende

Bom

spezielle Wertsystem

ee

0

9(b) Bi0)0,

9b) B,(2) > 0,

was der zweiten Randbedingung widerspricht. Aus der damit bewiesenen Ungieichung (3) fulgt, daB fir alle stetigen Funktionen v(s), fiir die @

feoy ds

1

“oe

ist, die ,quadratische Integralform* fra: 8, t) v(s) v(t) ds dt

1 den Grenzen 0 und aa

zwischen

bleibt’). Wegen der Symmetrie

von I, kénnen wir allgemeiner (ria S, t) v(s) w(t) ds dt E

He

ae

LE

V fotsy' as- ftw (s))’ ds

ie

8

schreiben. Setzen wir darin speziell, indem wir unter a eine Zab] a,_1, so ware nach fritherem

fiir hinreichend grosses s

sgn ds 22 =—6,,

“sgn

du ds

=O.

Da ausserdem sgn (dg/ds)q,_, = + 6 ist, so wiirde die linke Seite von (71) das Vorzeichen — 66,, die rechte das Vorzeichen +66, erhalten, was nicht még-

lich ist.

Denken wir uns nun in der Randbedingung (10) den nur bis auf ganzzahlige Vielfache von x bestimmten Winkel f so gewahlt, dass 0 < A 0 und < f, bezeichnen ferner mit u;(s), v;(s) die durch

[u()-o=—sing,

— [a(9) SE]

= 0057

bestimmten Lésungen von L(u)+Au=0

so hat u,(s)

bzw.

L(u)+Au=0,

gewiss je eine Nullstelle zwischen

denen

von

g(s), ferner eine,

welche > a,_, ist, und schliesslich, wie leicht zu sehen, auch eine solche, die

zwischen 0 und der kleinsten Nullstelle von g(s) liegt. Die Anzahl der Nullstellen von u,(s), also a fortiori von

v,(s), ist demnach

= k. Numerieren

wir

die letzteren nach ihrer Grésse, so wird allgemein die m-te Nullstelle von v,(s) mit wachsend gegen h konvergierendem j gleichfalls wachsend gegen die m-te

284

Nullstelle von v,(s) = y(s; A’) konvergieren, und 9(s; A’) kénnte nur dann weniger als k Nullstellen besitzen, wenn bei diesem Prozess die k-te Nullstelle von v,(s) gegen +oo

konvergierte. Dies hatte aber wie oben zur Folge, dass v,(s);

dv,/ds fir s = b konstantes, und zwar entgegengesetztes Vorzeichen besdssen, so dass also 2’ ein Eigenwert ware. Wenn aber die Anzahl der Nullstellen von g(s;4’) nur =k-—1 ist, so haben auch sémtliche Funktionen (s; 1), welche Werten « =A und 2 genommen Aus

Grunde

wird.

alle Tatsachen

folgen

im Falle eines endlichen

wir nur noch die Bemerkung, dass

lim

A= +00

wie 2’ Eigenwerte

sein.

A < c ein Eigenwert

des

Satzes

c betreffen.

Ist

9,

soweit

c = +oo0,

ist,

sie das

so haben

(A) =0o

ist, hinzuzufiigen, welche ohne weiteres daraus einleuchtet, dass sogar die Anzahl der Nullstellen, welche g(s; 4) in irgend einem festen endlichen Intervall darbietet, gegen oo konvergiert, falls 2 positiv iiber alle Gren0 0 entsteht sie durch Superposition zweier Si Wellen, deren Niveaulinien jedoch parabolisch gekriimmt

sind, und zwar

so, dass die Niveaulinien

der einen

Si-Welle lauter zu $,,

die der anderen lauter zu $8, kongruente halbe Parabeln sind. Das Resultat der Superposition lisst sich graphisch (mittels Zeichnung der Niveaulinien) leicht wberblicken.

325

Wir gehen darauf nicht naher ein. — Die soeben zur Anwendung gebrachte Entfaltungsweise scheint einen Uebelstand zu besitzen: jede feste, von derjenigen der Spitze verschiedene Richtung wird durch unsern Prozess in die Axe ) = 0 geworfen. Dieses

schadet aber deshalb nicht, weil die Werte der Absturzfunktion in der oberen Halbebene 4 > 0 sich trotzdem lings y = o stetig an den in der unteren Halbebene herrschenden

Wert o anschliessen.

Wir erkennen in diesem Umstande

tiber die Spitze wieder. — Der grésste Wert,

die

Aussage

des

1. Satzes

den die Absturzfunktion annimmt, betragt

1+ 2|Si(z)|, der kleinste —|Si(z)|—|Si(2=)|. (Die letzte Bemerkung gilt tibrigens allgemein fir jede Spitze, nicht bloss fir die, deren Aeste sich 2-punktig beriihren). Im ganzen genommen, bietet das Konvergenzphinomen der Spitze wohl seiner dusseren Form, nicht aber seiner inneren Struktur nach etwas Neues.

§ 2 Aufstellung

der Formein

fiir die Ecke.

Von weit hervorragenderem Interesse ist die Erscheinung, welche eintritt, falls die Sprungkurve © an einer Stelle O eine Ecke besitzt, d.h. falls an dieser Stelle zwei Aeste von © unter einem von o verschiedenen Winkel zusammenlaufen. Die Grosse des sich nach & hin 6ffnenden Winkels betrage « und werde (was natiirlich keine

Einschrankung ist) < ~ vorausgesetzt;

© abgesehen von O gleich +,

1° ist jetzt in W gleich 1, in 9 gleich

im Eckpunkt

selbst aber gleich =.

In

o, auf

diesem

Falle

treten zunachst wieder die beiden, in ihrer Streichrichtung den Kurvenisten folgenden Si-Wellenziige auf. Daritber aber lagert sich, vom Eckpunkt O ausgehend, cine neue

Welle, die in erster Annaherung als kreisférmig ziemlich komplizierten Gesetz gehorcht. Bei der Behandlung

der Ecke

diirfen

wir

angesehen

werden

uns zunachst

darauf

kann und einem

beschranken,

fiir

© die aus zwei unter dem Winkel « im Nord- und Siidpol zusammenstossenden Meri-

dianen gebildete Kurve zu wahlen. Dem allgemeinen Fall kann man dann offenbar durch Hinzufiigung zweier Spitzen in O gerecht werden, und die durch diese veranlasste Modifikation

beherrschen

wir

nach

§

1

vollstindig.

Bei

der

Behandlung

des

aus zwei Meridianen © gebildeten Zweiecks wird sich, wenn 3, 9 die auf den Stidpol O beziiglichen spharischen Polarkoordinaten und 1%(3, 9) den Wert der Funktion 1$ im Punkte (3, 9) bezeichnet, das folgende Resultat herausstellen : Satz Ill («1. Satz itber die Ecke»): Fiir die aus der Kugelfunktionen-Reihe von 1* gewonnene Anndherungsfunktion n'* Ordnung 1% gilt die Formel

(3, 9) = Ang” (ns, 9) +R, (3, 4). Dabei ist Ang (r, 9) eine bestimmte (von

n unabhdngige)

eindeutige

in einer auf die Polarkoordinaten r (Radius vector) und p (Azimut)

stetige Funktion

bexogenen

Ebene,

326 R,, aber ein « unwesentliches » Restglied,

dh. ein Term,

lim R,(3, 9)

die Limesgleichung

fiir welchen

=0

$20 gleichmissig inbezug auf ¢ (0 < & 27) besteht. Demzufolge hat die Entfaltung des Eckenphinomens

so

zu

geschehen,

dass

wir

das Bild, welches 1° in der Umgebung der Ecke O zeigt, nachdem es durch Mittelpunktsprojektion auf die Ebene ibertragen ist, von O aus allseitig im Verhaltnis :1

vergréssern. Bei diesem Process aber geht die von einer in O befindlichen Spitze herrihrende Erscheinung in der Grenze fiir n = oo identisch in o uber, und also ergibt die Entfaltung als charakteristische Absturzfunktion, wenn wir 7, 9 als ebene Polarkoordinaten mit O als Pol betrachten, stets jene Funktion Ang'” — einerlei, ob die Ecke

durch zwei Meridiane oder durch zwei andere unter demselben Winkel zusammenstossende Kurven gebildet wird: unser Entfaltungsprozess liefert denjenigen Teil des Phanomens, der von dem besonderen Verhalten der in der Ecke zusammenlaufenden

Kurvenaste unabhingig ist.

Indem wir jetzt zur Bestimmung der Absturzfunktion Ang” tbergehen, wollen wir uns einer Bezeichnung g’ < g” bedienen, welche besagen soll, dass sich die beiden

Funktionen g', und g” von n; 3, 9 nur um

ein

« unwesentliches »

Glied

voneinander

unterscheiden. Zunachst mégen die geometrischen Verhaltnisse an der Figur 2 (in der grosste Kreise durchweg als gerade Linien gezeichnet sind) erliutert werden. OC,,

OC, sind die Seiten des Zweiecks, welche den Winkel « einschliessen, OF,, OF, deren Verlangerungen iiber O hinaus. OD, bedeutet denjenigen Meridian durch O,

welcher auf OC, senkrecht steht und durch den Vollkreis C,F, von der zweiten Seite OC, des Zweiecks getrennt wird; OD, ist von analoger Bedeutung. A ist der va-

riable Punkt, in welchem

1° berechnet

dass A in dem Winkelraum

Ecke

D, OD,

werden soll; wir setzen bis auf weiteres voraus,

gelegen ist und sein Winkelabstand

> von

der

O, der schliesslich gegen o konvergieren soll, bereits kleiner ist als eine beliebig

( cos (x-

=)

damit

saat

al

4

in dem

IQs

ein und

f

ff 2 GiI@de=05

wir die Grundlage fiir die Diskussion des Eckenphinomens

Zunachst vorgegebene

—ps@de

fs

sin E(r — p). se

Uietra

7 Ve

ne |

fs sin (-=

+0)

{fe de—

Ve

Sire

p

|

-

und, unter abermaliger Vernachlassigung von Gliedern, die im Bereich oo gleichmassig von derselben Ordnung

Bo

Null werden wie

Z~

—e

I

falc Ua fp tee)

Vam|

vr

G@ —&) Van

(@+8)rr

(1 —8)Vr

Daraus folgt endlich fiir A die asymptotische =p

slat) sn( r— ee

2% Te stimmt

in

dem

Quadranten

ee

y o

0,

:

gilt

an Te = 27%Si(x) — A(r, i und folglich gemiiss der asymptotischen Gleichung

7 — 9),

2cos x x

2m Si(x)~

und weil nach der eben aufgestellten Formel A fiir grosse r gegeniiber Si(x) zu vernachlassigen ist, mle

(fiir y > 0)

ig

sD

Goth EE

Yon

[x> 0].

cos (r + =) ee a

Die fiir y > 0 giiltige Formel

(fir

=

y < 0)

bedeutet eine Folge gerader Wellen,

deren Niveau-

linien samtlich der y-Axe parallel laufen. Die Amplitude jeder Welle ist lings des ganzen Wellenriickens (oder lings des ganzen Wellentals) konstant, dagegen nimmt sie, wenn wir die einzelnen Wellen

nach ihrer Entfernung

numerieren, mit der Ordnungszahl I

nur — n

von

derjenigen

der ersten

von

der y-Axe als 1., 2., 3. u. s. f.

der Welle so ab, dass die Amplitude der n‘" Welle betragt.

Als

« einzelne

Welle » wird

dabei

der

zwischen zwei aufeinander folgenden Linien Te = 0 gelegene Teil bezeichnet; die « Wellenlinge » betragt demnach =. — Die fir y sondern

konstant, sondern ab. Auch

r + —-!); AOE

die Amplitude P.

nimmt, wenn ¢ sich von =

betrigt die Stirke der n‘

aufweisen

(des Argument

der einzelnen

Welle ist nicht

— bis o dreht, nach dem Gesetz tg 9

Welle nicht den n‘", sondern nur denn’

3 Sten

‘Teil

der Starke der ersten. Alles dieses gilt asymptotisch fiir grosse Werte von m, wenn wir einen beliebig kleinen, die positive x-Axe enthaltenden Winkelraum = —0

Gebiet

im

darauf

erst nach wiederholten Oszillationen in eine xur y-Axe parallele gerade Linie tiberzugehen, deren Abstand von der y-Axe um

Radius

der

ist als

grosser

e

des

am Anfang

der

Durchlaufung beschriebenen Kreises. Die gegebene Beschreibung trifft auf die Te-Wellen mit einer hohen Ordnungszahl

zu; aber auch noch fiir die 3., ja selbst fir die 2. Welle erhalten wir auf diesem Wege

ein qualitativ durchaus richtiges Bild der Erscheinung. Die 1. Welle ist die einzige, welche eine augenfillige Abweichung zeigt. Wahrend namlich die ibrigen Begrenzungsder einzelnen Wellen senkrecht in die negative y-Axe einmiinden, lauft linien Te =

die der y-Axe nichste dieser Linien Te = 0 (die innere Begrenzung der r. Welle) von unten (y o.

bekommen

daher fir —

(25)

R@) = 0(=), ss

dagegen fir

o

Nx

Tv

N— oon Rie

5

7“ x Z 0 beschrankt ist. Ent-

dies ist mit (24) nur dann vertraglich, wenn

c(=#)

Nun

0

ar

R@) = C@).S sntespe) dE o(

See

2ax

= — wSi(—

c,. 5

eGers)

4 o(

).

N—7

2max)

+ o(4)

= — 7 Si(— 20x) + o(

Mithin ergibt sich die far oN x N\—

o(

T—T

die

obere

ersetzen. Wir bekommen

f apesis) meat ih -fi)

die Funktionszeichen

Si, A, Te in dem in I erklirten

dabei aber die Definition von A(r, 9) auf alle g, fir welche cosp=o Formel

ausdehnen.

Grenze

2%

ee

In I ist bewiesen,

ra

dass

Si (rz)

Aue @— sm) We—11*

lin £ Hda—Si (nn = 0 ist; daraus ergibt sich fir uns hier x

2

Int

Hd)&

Si(ns, sing).

x — 3,

dann

Sinne, wollen

ist, durch

die

379

Wir setzen wie in Il: n3,-=r und deuten r (Radius Polarkoordinaten einer Ebene. In II ist gezeigt *), dass

vector) und 9 (Azimut) als

2) Dort ist ohne Beweis behauptet, dass man in dem Integral ? sin(n + +)¢ as ( x ii aeL7G Delp

6

©

cea var asfn

d

unter Vernachlassigung unwesentlicher Terme 1°

durch of = 3, sing,

2°

sin (m+ £)¢ durch sinnt

ersetzen darf, Zur Bequemlichkeit des Lesers will ich die zur Rechtfertigung dieser Behauptungen dienenden Abschatzungen hier angeben. Was zundchst den ersten Punkt betrifft, so erhalten wir far k(3,) = sin / — sin

indem

wir nach

Potenzen

von

3, gemass

dem

= sin (s, sin ¢) — sins, sing,

Taytorschen

33

RO)J=E"S)BO Nun

ergibt

sich durch

Bk(s) _ dx3

dreimalige

A523).

Differentiation

=" (3)= sing cos* g cos (3 sin g) + [cos 3 — cos (s sin g)] sing.

Denken wir uns o 4¢2—, der zweite Summand

Lehrsatz entwickeln,

so ist der auf der rechten Seite stehende erste Summand

: N sin g cos g [: = =] und Z cost,

negativ und

seinem

absoluten Betrage nach

= 2singsin (2! $599) sin (s! = 82) 2 acing SESW 50

mithin

ee

—5 sin ¥9 cos? % g,

(1 — $4) sin g cos? g Z K"(s) Z cos? g.

So kommt, wenn wir oZye— und s, (das schliesslich gegen o konvergiert) bereits pe annehmen,

0 Z sina’ — sing Z 4.33 cos*g, ofW—1Z ty

1 I Z 33 | 3008 cos? toss Z—a 33 cos? g.

nach 1 differentiieren, folgt weiter

Indem wir

Der durch die Substitutiona oe

in (6) begangene Fehler ist demnach B:

Ben

“gga aay

atZCaw) alk £ a2 16os,

Damit ist Punkt 1° Baye a nach den weiteren Schliissen in II, S. 383 f. wird das Integral (6) aa((+ +)s, *):

380 I

nN

9)

AG

"

+ Si(r)

Hdixr

Jo

9)

FA,

—

firs

cosp>o

fiir

cosp=o

fir

cosp |xm+1| + |%n+41|

sind,

398

und

den

unter

Zahlen

x

+”,

m

héchstens

sich

finden

deren

absoluter

absoBetrag oberhalb dieser Grenze liegt. Insgesamt kommen unter den s luten Betrigen der x also héchstens (m*+n*) + (m+), di. héchsten m+n

vor, die diese Grenze

inshesondere

man

Wahlt

tibersteigen.

K—k,,

K’=

Der

folet (3).

= 0

=k, und

beachtet,

daB

ist, so schlieBt man

wir ausgingen, verallgemeinernden)

aus I. den (das Lemma, yon welchem IL

K”

von k,, gewiB

der (n+ 1)® reziproke Eigenwert Satz

Daraus

m* positive Higenwert

von K —k,

ist nicht groper

als

der (n+m)" positive Eigenwert von K; der m* negative Eigenwert von K—k, ist nicht kleiner als der (n+ mj negative Eigenwert von K; der absolute Betrag des m" Eigenwerts von K—k, ist nicht groper als der absolute Betrag des (n-+m)*" Eigenwerts von Kk. Der

letzte Teil dieses Satzes

Quadratsumme

liefert insbesondere das Resultat, daB die

der reziproken Higenwerte eg

et

von

K —k,,

eee

schon von E. Schmidt

ist, und damit den auf anderem Wege

bewiesenen*)

Satz II]. Sucht man K(s,1) mittels solcher Kerne k,(s,t), welche durch dilineare Kombination von hichstens n Funktionen ®,(s) entstehen, zw approximieren, so lit sich der Wert des Fehlerintegrals

: an K(s,t) — k, nicht unter

2

herabdriicken.

Mn+1

Aus I. ergeben sich Kern K, um den es sich meter « abhiingt, x und stetige Abhingigkeit des dem Sinne zu verlangen,

+

(3,0) }? ds dt

2

Xnzat-+-

auch solche handelt, noch x stetig mit Kernes K = dab

Siitze wie dieser: daB, wenn der in stetiger Weise von einem Para« variieren. Dabei geniigt es, die K(s,t|/«) = Ka von « lediglich in

bb

lim [{(Ke'— Ka) dsdi =0

Soa a

sein soll.

Um

den Beweis zu fiihren, nehme

*) Math. Ann. 63 (1907), S. 467ff.

Man

man in den Ungleichungen

darf wohl behaupten,

daB der hier ge-

gebene Beweis tiefer in das Wesen der Sache eindringt als der Schmidtsche; hier zeigt sich namlich: der wahre Grund dafiir, daB die Quadratsumme der reziproken Eigenwerte von K—k,, grifer ist als die Quadratsumme x? ,,-++ 2 ,,-+---, ist der, daB

jedes einzelne Glied jener ersten Quadratsumme grdBer ist als das entsprechende Glied der zweiten Summe. E. Schmidts Satz bezieht sich iibrigens auf beliebige (unsymmetrische) Kerne; aber auch unser Beweis lift sich auf diesen allgemeineren Fall sogleich

tibertragen.

399

von Satz I. fir K’ den Kern Ka, fir K” dagegen Ke’ — Ke, und setze n = 0. Satz IV. Bildet man aus K mittels einer abteilungsweise stetigen Funktion p(s), die den Bedingungen

0Sm< [P< Py

(Bo, Py Konstante)

genigt, den Kern K' = K(s,t)p(s) p(t), so gilt Ay

(nee ni hy: P,’.

Zum Beweise reicht es offenbar und zwar unter der Annahme P, = 1, Funktion, deren Quadratintegral )

von

23) Gils) PO 0)

h=l

ist also < He’ und daraus gestattet das Lemma, die zu beweisende Ungleichung zu erschlieBen. Satz V. Ist (a,b,) ein in (ab) enthaltenes Intervall, so ist der n® positive, zu dem Kern

K(s,t)

(4, 5

1)

gehiorige Eigenwert nicht kleiner als der n® positive, zu

K(st)

(a S'mJ, n=0

tiber die Higenwerte DMI.

n=0

i—1,2,-

yon

x

Biggayene

von

K — K*, auch

lim inf. 4arn-z, =D n=0

nd.

gelten fiir jede noch so feine Teilung in Bereiche J, solchen Teilung giinzlich unabhiingig ist, und folg: Mos danz, ~ [fre

Wir haben damit das Resultat: Satz IX. Die zw dem Gebiet J und

dx dy

der

Randbedingung

u=0

ge-

horigen Eigenwerte 1, der Differentialgleichung (17) vom elliptischen Typus

geniigen, threr

Der

Groéfe nach angeordnet, der Limesgleichung

Nachweis

dafiir,

daB

stirker gegen Null geht als os

der n

reziproke

1aBt sich

Higenwert

von

sehr schén so erbringen.

[ — G Sind

4,°, Ap’, +++ die zu Au, dem Gebiet J und der Randbedingung u = 0 gehérigen Higenwerte und 9, (xy), y,(zy), --- die zugehdrigen normierten Eigenfunktionen, bilden wir ferner so

ist

—v, (ey) sili (En) UEn) (En, wy) dé dn,

= Sinengto,

CE n=1

a)

417

Wir approximieren

[ — G durch >

ater)by Gn)

v=1

das Quadratintegral

des Restes ist dann

gleich

= f[videdan

2) und

3

See

r=nti

weil

Sasd = Jf (en) een, Bn) *ae ay vent1 ist, fillt jenes Integral

Sar aus, konvergiert

[aff JS (een) rev, tn) *ax ay- aba]

also mit wachsendem

wie a , und der x‘ reziproke destens so stark wie

» mindestens

Eigenwert

7 gegen Null. n +

Statt Differentialausdriicke in einem

so stark gegen

Null

geht

demnach

min-

ebenen Gebiet J kann man

auch

von [—G

solche auf einer geschlossenen Flache definierten Differentialausdriicke untersuchen*). Die Uberlegungen werden dann sogar in gewisser Beziehung, da die vom Rand des Gebietes J herriihrenden Schwierigkeiten

zum

Fortfall kommen,

noch

vereinfacht.

8 5. Modifikationen, die bei Ubertragung des Beweises auf den dreidimensionalen Raum yorgenommen werden miissen.

Wenn auch im Vorhergehenden darauf Bedacht genommen ist, nur solche Methoden zu verwenden, die sich auf drei Dimensionen iibertragen lassen, so miissen doch, wenn wir jetzt zum Raum tibergehen, an einigen Punkten des Beweisganges Modifikationen vorgenommen werden, die der Erwihnung wert scheinen. Die wichtigste ist diese: Im dreidimensionalen

*) Vgl. R. Konig, Math. Ann, 71 (1911), 8. 184ff. (Habilitationsschrift); Hilbert, Gott. Nachr., math.-phys. Klasse, 1910, S. 362 ff.

418

Fall hat die zu Aw, einem Gebiet J des xvyz-Raumes und bedingung « =0 gehdrige Greensche Funktion G die Form:

[r= Ve—8* +9

(eye, &n6) =< — Aleye, Ent)

der

Rand-

+H,

aber das Integral

(SB) | deanag: de dy de (4+ )

SILL

IA

konvergiert jetet nicht. Freilich 148t sich auch hier noch gration nach ££ ausfiihren und ergibt einen Wert ')

die innere

Inte-

Ane>

wo 0 =o0(xyz) die kiirzeste Entfernung des inneren Punktes (wyz) vom Rande des Gebietes J bedeutet. Von der Berandung von J wollen wir voraussetzen, daB sie in dem folgenden Sinne eine endliche Oberfliche besitzt *):

bedeutet

J, n die Menge5

ist, so soll das Volumen schlieBen,

derjenigen Punkte

von J—J,=

O (7)

von J, ? fiir die 9 =n > =

sein *)

Daraus kann man

daf Np

a?

0 (gn)

In

ist.

Denn zerlegt man J in lauter diinne Schalen:

8: = In, 8: = Se —In, 8; = In — Im, so gilt fiir deren Volumina

Sr41 ST — Jn = O(5), ak

und da in S,,,:0> a

ist, wird

[yperr-o0, frees Sho da dy dz

da dy dz

—

1) Bei dieser Abschiitaung ist wieder angenommen, zweier in J gelegener Punkte 0 und die Kernmatrix A also positiv-definit ist.

458

§ 5.

Bis jetzt haben wir fiir die Anzahl der Spektrallinien im Spektrum Eine obere der Hohlraumstrahlung nur eine untere Grenze ermittelt. Grenze liefert der folgende Satz: Die Anzahl der unterhalb einer beliebigen Grenze gelegenen Higenwerte o

der

Grenze

dieser

unter

Eigenwerte ¢@;.

Dabei ist g9=0

Zum Nachweis stirke,

den

d.i.

mitzuzihlen.

immer

Vektor

M=(M,,M,,M,).

Er

7 . = folgenden Problems enthalten: 4M,+0”°M,=0,

(a) OMe My

tangential

Rande

curl Mm

Die o sind also unter

gerichtet.

am

ist

hingegen (wie man aus der Gleichung

gerichtet, seine normale Ableitung ae

ersieht) normal

wir die magnetische Feld-

untersuchen

dieses Satzes

Anzahl

zugehorigen

ovo

Randbedingung

der

gelegenen,

als die doppelte

1 gréfer

wm

ist héchstens

des Strahlungsproblems

4M,+0’M,=0,

OMe _ Xx: ¥:2,

4M,+

den Eigenwerten 0M,

o’’ des

= 0: innerhalb J,

XM, + YM,+ ZM,=0: am Bande.

Die o” sind gleichfalls alle positiv, und wie im vorigen Paragraphen die o’ dadurch hervorgingen, da’ man zu den o noch die x, hinzufiigte, so erhalten wir die

Reihe

die g,, auBer

g,=0,

einer

beliebigen

schlieBlich

Wir

kénnen

o” dadurch,

aufnehmen.

Grenze

g,= 0).

symmetrischen

der

liegen

die o”

Kernmatrix

dafi

Es bleibt

héchstens

wiederum

Vektoren

in diese Reihe

also

dreimal

als

neben

zu beweisen:

so

viel

die Eigenwerte

o”

den

o

Unterhalb

als

einer

g, (ein-

gewissen

[Hohe He

soi in|" © lim, dn auffassen, Elemente H, uns eine

wir

70, ow 17,| oe

|#, Hy Hi,

deren Konstruktion ganz analog wie die von f verliuft. Die einer Kolonne erfiillen die in (III.) verzeichneten Randbedingungen. H* sollen die frithere Bedeutung haben. Aus H kénnen wir andere symmetrische Kernmatrix H verschaffen, die zu den drei

459

1,=(1,0,0), ly= (0,1, 0) 1,= (0,0, 1) orthogonal ist, im iibrigen aber fiir alle Vektoren u, die ihrerseits zu diesen dreien orthogonal sind, die Gleichung HE (1) = H(t) befriedigt (vgl. § 1). Wenngleich die in der Hauptdiagonale von Hf stehenden Elemente ebensowenig wie H* bei festem p’ hinsichtlich p Potentialfunktionen

sind,

besteht

doch

die

Matrix

H* 0 B=|0 HA* 0 |—Hi |o o HF aus lauter innerhalb daB

J reguliren Potentialfunktionen.

Wir wollen zeigen,

sie positiv-definit ist. Fiir einen zu dem Eigenwert 7a ;, gchorigen Kigenvektor (Uy, u, w,)

von B erhalten wir nimlich a: [udp= innerhalb

am

wo t(0) dann

Um

ist

(0)

J:

S% dp=0,

4u,=0,

4%,

fudp=0;

= 0,

4u,=0

Gus = X(0)r(0), SH = ¥(0)r(0), SY = Z(0)r(0),

Rand:

eine

;

Formeln:

stetige Funktion

auf

der Oberfliche

ist.

Setzt

man

noch

X(0)u,(0) + ¥ (0)u,(0) + 4(0)u.(0)= 90),

SMS B+| AP ar——Srvororee | ou?

aus z(0)

(21.)

zu berechnen,

haben

wir zunichst

4nu,(p)= — fH po) X(0)t

Lassen wir in denjenigen Gleichungen, welche u als Eigenvektor von B definieren, p in einen beliebigen Randpunkt o iibergehen und ersetzen unter den

Integralzeichen

stehenden

Ausdriicke,

g(o)=—

haf

u,(p),...

HAH

durch

die

auf

der

rechten

von

(21.)

so wird

(00') {X (0) X(0’) + ¥(0) ¥(0’) + Z(0)Z(0’)| x (0’)do’

[at He(o0') = f H¥(op)H* 0’) dp), also

Seite

J

460

— f o(0)e(o)do= he & H*H*(X1) = 8 I (ut + ut+ G70 ee yre

ut)dp,

B>0.

Unterhalb einer beliebigen Grenze liegen mithin héchstens dreimal

viel Eigenwerte durch

von Ht

H ersetzen, wachst

Eigenwerte héchstens um

als von H*.

die Zahl der

3, und

Dadurch

unterhalb

die Anzahl

daf

wir

so

jetzt

wieder Ht

dieser Grenze

gelegenen

der Higenwerte

von H unter

einer gegebenen Grenze ist héchstens dreimal so gro8 wie die Anzahl der g;, wenn wir dabei auch g,= 0 (das nicht als Eigenwert von H* auftritt) mitzahlen. Damit haben wir die Zahl der Spektrallinien der Hohlraumstrahlung

in Grenzen eingeschlossen.

Aus ihnen erhalten wir insbesondere

ptotische Gesetz, das wir so aussprechen Die Zahl der Spektrallinien im deren Frequenz ,> 0 sind.

Im zweidimen-

ch sionalen Falle ist die rechter Hand stehende ,,Integralspur‘ von D endli nicht und daher limnd,=0; im dreidimensionalen Fall trifft das freilich n=0

zu,

aber man

eine

durch

findet

wenigstens

leichte

des

Modifikation

da8

Verfahrens,

b, < Const. Us

wird, ein Resultat, das auch hinsichtlich der Schirfe der Abschatzung mehr

durch. Es entsteht

§§ 2 und

in

ich

fiihre

dankengang

problem

frithere Methode

als meine

aussagt,

so

den

auf

eine

dieser

8

hiermit skizzierten Ge-

Den

lieferte.

in

fiir

Arbeit

das

vorigen

meinen

Strahlungs-

be-

Noten

nutzten Prinzipien beruhende direkte Methode zur Beherrschung des Strahlungsproblems,

akustischen

bei welcher der Vergleich mit dem

keine Rolle

In der Tat ist ein solcher Vergleich, wie sich herausstellt, mehr spielt. nicht der Sache entsprechend, und ein zu IT analoger Satz besteht, wenigstens allgemein, nicht, wenn man die Randbedingungen 2) durch diejenigen ersetzt, welchen in Wahrheit die Amplitude ® der magnetischen Feldstarke geniigt,

namlich:

2,) M Immerhin

148t

tangential, sich

durch

curl ®@ normal an der

Begrenzung.

eine Art Kontinuitéatsmethode

erweisen,

da®

fiir

einen konvexen Bereich J das Analogon zu Satz IT dennoch giiltig bleibt: Fir einen konvexen Hohlraum besitzt 2,.) in der Tat unterhalb einer beliebigen Grenze

héchstens

dreimal

soviel

Eigenwerte

wie

das

akustische

Problem.

Darauf gehen wir in §4 ein. In § 5 fiige ich einige Betrachtungen hinzu iiber die Genauigkeit, mit der die in den bisherigen Noten bewiesenen asymptotischen Higenwertsgesetze giiltig sind, und in § 6 endlich handle ich kurz von der Anwendung der dargelegten SchluBweise auf die allgemeine

(einem

inhomogenen

Medium

Differentialgleichung. Wir werden bei der Aufgabe die dritte Randbedingung

in

sie aber

ersetzen,

durch

eine

solche

entsprechende)

1,),

die wir nun zunichst angreifen,

der Form div ©=0 in der

sich selbst adjungierte

nur

beibehalten.

die Randwerte

Will von

man © und

465

seiner normalen Ableitung vorkommen, so wird man — ich folge hier der freundlichen Mitteilung von Herrn Levi-Civita — so schlieBen miissen. Trégt

man

in

allen Punkten

der inneren Normale

eines Oberflachenelementes

die unendlich

kleine konstante

do

Héhe

in Richtung

¢ ab,

so erfiillen

diese Strecken ein iiber do stehendes Volumelement dp (= “ve (PaP2) = Gey (PrP 2) > Gee (PaP2) = Gee (PrP2) -

Man kann auch umgekehrt, wenn der Greensche Tensor Ff bekannt ist, mit seiner Hiilfe die Randwertaufgabe (6.), in der f(0) jetzt eine be-

liebige auf © gegebene die Vertikalvektoren Die

drei Skalare

Wenden setzen,

durch

stetige Funktion

von fF, so kénnen

bedeutet, lésen.

wir setzen:

6, (op’) = 0(0)-g2(0p"),-+- -

g,,9,,g,

betrachten wir als Komponenten

T(op’) =

(0) x g(op’).

wir (3.) in der Weise an, daS wir fiir » aber einen der drei Vektoren

eine kleine

ergibt sich:

Kugel

aus dem

Sind 6,, 6,, 6,

eines Vektors gq:

fiir u die Lésung ,, G,,@, (p’ ist

Integrationsgebiet

von (6.) zunichst

J auszuschlieBen),

so

als Lésung

Um (zu dessen ich

von

(6).

dieser Aufgabe ohne Benutzung

aber die Losung Konstruktion

des Tensors f mache

sie ja erst dienen soll) zu bewerkstelligen,

wie

Ansatz

gleichen

den

(op) f(0) do

—4au =f

(8.)

in A,

S. 473,

te

P(tt)

(9.)

unter

also

verstehe

zunichst allgemein dasjenige Vektorpotential, das durch eine iiber die Begrenzung von © verteilte tangential gerichtete Doppelbelegung vom Momente

t(o)

|n(o)-t(0) = 0} zusammen

mit einer normal gerichteten einfachen Be-

legung von der Starke n(o)-t(0) erzeugt wird. ¢(0) und t(o) sollen dann nachher so bestimmt werden, daB den Forderungen der zu lésenden Auf-

gabe

Geniige geschieht. Fiir den

Ansatz

(9.) ist

dieses

wesentlich:

P(t,t)

kann

nur dann

in ganz J identisch gleich 0 sein, wenn die erzeugenden Belegungen ¢ und t selber

identisch

verschwinden.

(9.)

auch im AuBenraum J ein sql:

wo

ist nimlich

nicht

nur

in

dem

Gueviatventateral

der Oberflache

herrschenden

rechts

Werte

sondern

Potentialvektor, und es ist daher

) AL E L + |e T+ 5t eeavae = fasta

in

J,

von

natiirlich ‘tie u, a

zu

auf

nehmen

der sind.

AuBenseite Man

be-

achte bei Herleitung dieser Identitaét, daB das Integral von 1 std iiber die Oberflache einer Kugel von unendlich grofem Radius unendlich klein (von der ersten Ordnung) ist.

komponenten

von -

Die Normalkomponente von

durchsetzen

die Oberfliche

und die Tangential-

von J stetig.

Ist also

im Innern J identisch t= 0, so sind diese Komponenten auch an der AuBenseite von © gleich Null; es verschwindet infolgedessen das Oberflachenintegral

dann

natiirlich,

senkrecht

iyi

gungen

in (10.),

0:

stehen

daher

muf

in J:

da ein konstanter Vektor nicht

kann,

Die Forderung, (6.)

und

geniigen

u=0. da

soll,

Also

sind

w=const.=c¢

sein,

auf allen Normalen

auch

(9.)

an der

inneren

setzt

sich in

ein System

die

Seite

und

von

©

Sprungfunktionen von ©

X von

den

Bedin-

vier Integral-

471

gleichungen

Fredholmsche

fiir ¢(0)

Theorie

Gleichungen

lauten

und

die drei Komponenten

angewendet

genau

werden

kann.

so wie A, S. 473,

von t(o) um,

Die

Formel

auf das die

ersten

drei

dieser

die

vierte,

(271,23);

die durch das Auftreten hochsingularer Kerne am meisten Schwierigkeiten bereitet, ist ein wenig zu modifizieren, da die Bedingung Normalkomponente

jetzt durch

Normalkomponente zu

ersetzen

ist.

gleichungen Lésung;

—

denn

Potential tisches Feld

Das das

eine

zugehdrige

gleich f (0)

homogene

aus = entsteht,

ein solches

System

wenn man /(o)=0

nichtverschwindende

und

.

von ee — Ku gleich (0)

u = P(t, ¢) ein in J nicht liefern,

von

Lésung

identisch

¢,t

>0) und q gegebene stetige Funktionen in J sind. Als Oberflichenbedingung nehmen wir u=0. Uber die Abhingig-

keit

der

zugehérigen

folgende und so

Higenwerte

4 von

dem

Koeffizienten

g gibt

der

Satz Auskunft: (I.) Wahlen wir fiir g zwei verschiedene Funktionen g’ und q”, heiBen die beziiglichen Eigenwerte (der GréBe nach geordnet) 2/, 1”,

bleibt :

nimlich

die .

Differenz

zwischen

dem

u”

fiir

alle

Minimum

und

dem

4;—4;’

se

m

zwischen :

Maximum

endlichen von

ye

£ C

Grenzen, :

Zum Beweise dieser Behauptung, welche zeigt, von wie geringem EinfluB g auf die Eigenwertverteilung ist, benutzen wir die in § 4 dar*) DaB in der Tat diese Gleichung als die allgemeinste Form des Problems betrachtet werden darf, lehrt die in A., S. 463 von mir angegebene Transformation.

485

gelegte indem

Kontinuitatsmethode.

Wir

fiihren

also

einen

Parameter

ein,

wir q in (29.) durch

ersetzen,

und

hériger

Io = Fg + (L—F)q"

verstehen

Eigenfunktion

daB sie stetig mit

§ 4 die Gleichung:

dann

von

unter

(29.),

4g,uv»

GréBen,

variieren.

Dann

einen

die

Rigenwert

so

zu

nebst

zuge-

determinieren

sind,

liefert ein analoger

Schlu8

wie in

ay J bus dp= f(g — 4") whdp.

di,

a

J

Es liegt demnach

oe

J

zwischen

dem

Minimum

und daraus ergibt sich die Richtigkeit von 0 bis 1 integrieren. Demnach

kann

(30.) beschriinken.

ao

man

und

unseres

Maximum

Satzes,

(Randbedingung:

Grenze

Z

liegen,

in J ist,

gilt, n®

wenn (Lk)

k, das

=

n®

Minimum,

(L)


0 vorausgesetzt*). — Wir setzen unter Benutzung des Somicii1anaschen Tensors P:

r=

P-A,

Die drei Vertikalvektoren von P bezeichnen wir der Reihe nach mit ®,, Ry Ne

entsprechende weden

Benennungen

vorkommenden

benutzen wir fiir J’ und A

Tensor.

Um

A zu bestimmen,

und iiberhaupt jed-

hat man

zu lésen, ein der homogenen Gleichung

die Aufgabe

I?

A*u—0 gentigendes Feld (wir sagen kurz: ein statisches Feld) u zu bestimmen, das an der Oberflache vorgegeben ist. Betrachtet man namlich den Quellpunkt #’ als fest, so ist beispielsweise 2, als Funktion von # ein statisches Feld und besitzt an

der Oberflache die gleichen Werte wie #,,, und diese sind ja bekannt. benutzen

wir einen analogen Ansatz,

wie er nach NEUMANN

Fir I°

zur Losung der

1. Randwertaufgabe der Potentialtheorie verwendet wird, indem wir (D) — und nicht etwa eines der andern méglichen Analoga — an Stelle der GrEENschen Formel in der Potentialtheorie treten lassen. Um diesen Ansatz zu formulieren,

haben wir zu einer annoch Oberflache den Ausdruck a

ice zu

bilden,

indem

wir

unbekannten b

(u)e+ amy fiir u

der

vektoriellen Belegung

E,

(a divu -e,, +

Reihe

nach

die

e(0) auf der

curl ufn, e]) drei

Vertikalvektoren

P(p p’) einsetzen (wobei der Quellpunkt #’ als fest gilt), Die drei welche wir dadurch erhalten, sind die Komponenten eines Vektors

A(p’0) e(0)

von

Gréssen,

(8)

(A bedeutet einen Tensor), und der Ansatz, den wir zu machen haben, lautet:

Wh) =z | AG 0) (0) do. i>)

0)

*) Anderung 1955. Urspriingliche Fassung dieses Satzes: Hierbei ist freilich a > b/3 vorausgesetzt. Wollen wir dies nicht, so muss man sich statt dessen auf die Ungleichung (Co) stiitzen; man gelangt dabei zu dem gleichen Ergebnis.

520

Um die Rechnung durchzufiihren, ist es zweckmissig, ein Koordinatensystem

xyz zu Grunde zu legen, dessen Nullpunkt sich im Punkte o der Oberflache

befindet und dessen x-Achse mit der Normale in diesem Punkte zusammenfallt. Sind x yz die Koordinaten des Quellpunktes #’, so findet man fiir die drei Komponenten von (8) die folgenden Werte: 3 @— 0 e+ are1 (204; +9 FF)

a5 (@-9)

+ @Ae,

=

{(@—) *% Fo, + (a0)

e, + (a—6)

Bin ve

=P)

(20-4x + (a—0) e+

3x2

,

Rae

3)

Y= eh,

Baye ye

(10)

je. 0,4 (26-5 + (a—8) sls ye

Bezeichne ich den Winkel, welchen der Vektor 0 f = Tp. von der Lange 7,.= ee! mit der Normale im Punkte o bildet, mit #,,, so erhalt man daraus offenbar den Ausdruck

A(p 0) e(0) =

2b

a+b

cos #,, 4

3(a—b)

cos #,,

a+b

ay

(bes

Tpoltpo €)

der durch seine vektorielle Schreibweise von der Wahl des speziellen Koordinatensystems wieder befreit ist. Ist E die 3 x 3-gliedrige Einheitsmatrix, so findet sich also

(11)

Nach einer Bemerkung von FREDHOLM!) hat das Vektorfeld A(p 0) e(0) diese einfache anschauliche Bedeutung: Legt man im Punkte o an die Oberflache

die Tangentenebene,

denkt

sich den

einen

der

beiden

Halbraume,

in

welche diese Ebene den Gesamtraum zerlegt (namlich denjenigen, fiir welchen n(0) gleichfalls innere Normale ist) mit unserem elastischen Medium erfiillt und bringt im Punkte o die Kraft e(0) an, so stellt dieser Ausdruck die Deformation des elastischen Halbraums

dar, wenn an der ebenen Oberflache die Verschie-

bung = 0 vorgegeben ist. Diese Lésung des statischen Problems fiir einen durch

eine Ebene begrenzten Halbraum ist zuerst von CERRUTI und BoussINESsQ?) angegeben worden.

Von der Oberflache O setzen wir voraus, dass sie nicht nur iiberall eine stetige

Normale

besitzt, sondern dass diese auch einer

niigt; d.h. es soll einen positiven Exponenten

HOLDERschen

Bedingung

ge-

«(< 1) geben, derart, dass der

Winkel 7,.°, den die Normalen in zwei benachbarten Punkten 0, o’ miteinander

bilden, eine Ungleichung

|"too| 46>

0 voraus.

Das inhomogene

Problem

in der soeben ange-

gebenen Formulierung soll nun wiederum durch eine Gleichung

) arte Pb’) (6) ap integriert werden mittelst eines neu zu bestimmenden GREENschen Tensors I’=Iy,. Wir machen zunachst P unter Wahrung seiner Symmetrie orthogonal zu den a;,, ersetzen es also durch

Ppt’) = PP)

P) x fal") PO") ap"

3 [PO P") ait") 4p” x ailb’) i-1lJ

(35)

+ Sap) x af falb) POOP asl) ab ap Die Vertikalvektoren von P geniigen als Funktionen von # nicht mehr der Gleichung A* = 0, sondern es ist, wenn

vorgenommen

wird,

Ee

Wir machen den Ansatz

der Prozess A* spaltenweise nach p

6

A*P = 4 iJ al) x a(6’)LE

P-

Ay,

und suchen die Vertikalvektoren

Ub p),

u(p) = U0 6’),

UP P’)

von A= Aj,,, als solche statische Felder zu bestimmen, fiir welche an der Oberflache $B(u) bzw. die gleichen Werte annimmt wie fiir

= RP),

Diese Aufgabe

A*u=Oin J,

Ry),

RlP P’).

$P(u) = vorgegebenem Vektor p(o) auf

lésbar sein, wenn

kann gewiss nur dann

— OG J v(o) G0) 20

b)

= 1p2,re,6)

(36)

534 ist. Beweis auf Grund der Formel (B), indem man u durch a;, » aber durch die

Lésung u von (36) ersetzt. Diejenigen drei Vektoren p = p,(0 p’), Pr(o f’), p.(0 p’), fiir welche die Lésung der Aufgabe erforderlich ist, um die Vertikalvektoren von A,,; zu bestimmen, geniigen aber in der Tat diesen linearen Integralbedingungen. Man zeigt das, indem man in der Gleichung (B) udurch a,, v aber durch jeden der drei Vertikalvektoren von P ersetzt; natiirlich muss man ’ zunachst durch eine kleine Kugel aus dem Integrationsfelde ausschliessen. Gerade damit diese Bedingungen erfiillt seien, haben wir P durch Persetzt. Der naheliegende Ansatz

ulp) =

| Pl 0) e(0) do

(37)

o

zur Lésung von (36) ist, wie aus §2 hervorgeht, nicht brauchbar, da er zu keiner regularen Integralgleichung fiir die unbekannte Belegung e(o) fiihrt. Den Vektor (37) bezeichnen wir als den aus der Oberfldchenbelegung e hervorgehenden Elastizitatsvektor. Neben der Oberflachenbelegung miissen wir eine «Antennenbelegung» auf © anbringen. Ich fasse eine einzelne Stelle o der Oberflache ins Auge und errichte in 0 nach aussen die Normale; es soll zunachst die Annahme

gemacht werden, dass diese Normale, nicht wieder

trifft. Ich

benutze

ins Unendliche verlangert, den Kérper

rechtwinklige

Koordinaten

x y z, fiir welche

o der Nullpunkt ist und die innere Normale mit der positiven x-Achse zusammenfallt. Dann bilde ich die Funktion V=.

=

eat

ov

, ov

Ox Oy?

7

Ox®

OsV

Ox

a8V

dz?’

0),

Om

(=245" =25, 5} und analog $8(1),) ; so dass der aus diesen drei Druckvektoren bestehende Tensor lautet:

2%

Pe

=e

4

o

7

0

a eels ud) = 3 [ Y(b 0) e(0) do £2)

nenne ich den aus der « Antennenbelegung» e(0) hervorgehenden Elastizitatsvektor.

Er lasst sich bilden, falls die samtlichen dusseren Normalen den Kérper J ausser

in ihren Fusspunkten nicht wieder treffen (wie dies z.B. bei konvexen Kérpern der Fall ist).

Wir kombinieren, um unsere Aufgabe (36) zu lisen, eine Oberflichen- mit einer Antennenbelegung, indem wir schreiben:

u() = z= | Sib 0) e(0) do, o

wo

i

ip

(38)

(3 ¥-)

o)| do < Const.

und gilt fiir eine Funktion g(o 0’) die Abschatzung

[g(009| = conse, r

so hat man fiir die Funktion

Const

F(p 0) = [0 0’) g(0’0) do’ eine Ungleichung

(44)

539

Zum Beweise zerlege ich (wenn # und o gegeben sind) die Oberflache in 2 Teile: zum Teil [1] gehéren alle Punkte o’, fiir welche 7,, 0) SS Const. e*

wird, ist das Integral F, wenn es nur tiber den Teil [1] der Oberflache erstreckt

wird (in welchem 7,,, = 7,,/2 gilt), dem absoluten Betrage nach < Com:

[|g(o’0)| Ap

& Const. .

2a

‘D0

Bei Integration tiber den 2. Teil aber, in welchem 7,-, > Tyo[2 ist, ergibt sich ein Wert, absolut

Bye

IV. Ist in Satz III

hs

[1 | = 2S, Const

so gilt

[F(@ 0)|

Const

$s

(falls w < 1 ist). Beim Beweise darf man die Oberflache © durch eine Ebene ersetzen; es handelt sich dann um Abschatzung von do’

Fall ) = | ear wobei sich die Integration auf die ganze Ebene erstreckt. 0, sei der Fusspunkt des von # auf die Ebene gefallten Lotes. Ist so schliessen wir

Ist aber

Uggs 2 Togs

iS e Fels pe

alSO

do’

%o,0' Yoo’)yaa

1 HD

also

ety = V5. a Const.

=

Const.

aS

V3 ae 94 = re

so schlagen wir um 0, den Kreis 8: der enthalten ist in dem Kreise

ms

Too" Ss Tyo?

os

:

540

integrieren zunachst nur tiber R und bekommen

dann einen Wert

2 =" onan yi-%

Ge C7, eels =

==F)|S Fiir alle Punkte ausserhalb 8

ist 7o,o°

po

= 2 7o0//3, also ist das Integral iiber dieses

Aussere

if

do’

(00° Tpo,|2)

< Const.

(Yoo) * ~~ po

”

und der Beweis ist auch in diesem Falle erbracht. V. Hat f(p 0) die Eigenschaften

|#(P0)| Ss Const 2 : f "D0

[ite o)| do < Const.

und ist

so gilt fiir die Abschatzung

in der R(p p') das Minimum von 7 yo+ 1 p'o bedeutet, wenn o die ganze Oberfliche durchliuft (also den Lichtweg von p nach p' bei einmaliger Reflexion an ©). Ich setze R(p p’) = ¢ und teile D in zwei Teile: zu dem ersten [1] gehéren alle Punkte o, fiir die r,,, e/2. Da nun fiir jeden positiven Wert von e das Integral i

(p55)

oe < Const. ¢ Yp0

ist («Const.» heisst hier: unabhangig von # und e), so ist das Integral F tiber diesen ersten Teil absolut < Const. e

Q)

[ do i

< Const. : eee

Die Integration tiber den Rest der Oberflache, in welchem 7,,, > ¢/2 ist, ergibt

[|

2

sSS*/ine €

ES)

ice i

é€

541

Wir gehen zu den Anwendungen dieser Abschatzungen auf unsere Elastizitatsprobleme itiber. In § 2 ist gelehrt worden, die Gleichung A*u = 0 mit vorgegebenen Randwerten u(0) in der Form

Wl) ~ yy | O(P 0) w(0) ao fa)

zu integrieren. Das Problem wurde auf eine Integralgleichung mit dem Kern A(o o') zuriickgefiihrt. Bezeichnen wir den dort auftretenden Tensor A(p 0) jetzt, um Verwechslungen zu vermeiden, mit A;(p 0), so war (Gl. (16)]

Be

1 Ae Diehl a Al aialia:

Wegen I. ist ausser

|A,(6 0)|

S$ =,—

auch

flAue 0)| do < Const.,

fs)

und mittelst IT. und IIT. folgt daraus

VI.

|O(6 0),

0) gegeben. Dilatieren wir 8 vom Nullpunkte aus im Verhiltnis ¢:1 zu dem Flachenstiick {R — wobei ¢ eine grosse reelle Zahl sein soll —, so wird die Anzahl , der in ¢R gelegenen Gitterpunkte (Punkte mit ganzzahligen Koordinaten w,v) asymptotisch fiir lim ¢= oo durch J - ¢? gegeben. Jedem dieser Gitterpunkte u,v ordnen wir in ®, den Punkt

X= Qy(U,0), x. = Po(U,v), ..., Xp=Pp(u,v) zu. Grenzen wir in , ein beliebiges Volumen tung der Gleichverteilung so lauten: Satz

19.

Unter

den

n, Punkten

(17),

die

(17)

(mod. 1)

V ab, so wird jetzt die Behaupman

erhdlt, wenn

man

fiir u,v

die simtlichen in t& gelegenen Gitterpunkte einsetzt, sondere man diejenigen aus,

welche in R, dem Raumstiick V angehiren; ihre Anzahl n\") verhdlt sich zu n, im

Limes fiir t = co wie V:1.

590

Sollte die Voraussetzung betreffs der ganzzahligen linearen Kombinationen

der Funktionen ¢,(w,v) nicht zutreffen, so modifiziert sich die Aussage in derselben Weise wie im vorigen Paragraphen. Sind die @; lineare Funktionen von u und v, so ist damit erst der allgemeinste, von KRONECKER aufgestellte Approximationssatz in der Art verscharft, dass die Aussage «tiberall dicht» durch «iberall gleichmissig dicht» ersetzt worden ist’). Der Beweis wird erbracht sein, wenn wir zeigen: Satz 20. Ist p(u,v)

eine

ganze

rationale Funktion

von

u,v,

deren

Koeffi-

zienten, vom konstanten Gliede abgesehen, nicht sdmtlich rational sind, und bildet man die Summe ope

e(p(u,2))

iiber alle n, Gitterpunkte (u,v), die dem Fldchenstiick t® angehoren, so ist

Ein besonderer Fall dieser Satze kommt z.B. zustande, wenn man bei einer oder mehreren ganzen rationalen Funktionen ®(z) mit beliebigen komplexen Koeffizienten fiir z die simtlichen ganzen Zahlen des Gauss’schen Kérpers

(i = Y—1) setzt und nach der Verteilung der Werte dieser Funktion fir die

angegebenen Argumente

fragt, unter der Voraussetzung,

dass zwei komplexe

Zahlen (Werte der Funktion ®), die sich um eine ganze Zahl des Gauss’schen

KGrpers unterscheiden, nicht als verschieden gelten. Man wird dabei z zunachst

durch die Bedingung |z| (x) ist eindeutig, stetig, langentreu. Wir wechseln die Auffassung, indem wir nunmehr iibereinkommen, p als einen tiber dem Punkte (x) von R gelegenen Punkt zu betrachten. Da-

durch verwandelt sich R in einen unverzweigten Uberlagerungsraum tiber R. Derselbe ist wnbegrenzt. Uber dem Nullpunkt in R liegt namlich gewiss ein

Punkt , von ®. Wir zichen vom Nullpunkte aus eine beliebige Halbgerade g

in R und verfolgen auf ® einen stetig veranderlichen Punktp.p, der von py ausgeht und dessen Spurpunkt in R diese Gerade durchlauft (WEIERSTRASS’

Prinzip der analytischen

Fortsetzung); dadurch erhalten wir eine eindeutig

599 bestimmte Kurve y auf § tiber g. Es ist unméglich, dass man auf ® gegen einen «kritischen Punkt»,

eine

«Grenze» lauft; denn von jedem Punkte aus, zu dem

man gelangt ist, kann man auf g noch mindestens um ein Stiick von der Lange 7, weiter fortschreiten. Da mithin ® relativ zu R unverzweigt und unbegrenzt ist und der gewohnliche Euklidische Raum einfachen Zusammenhang besitzt, muss § tiberall genau einblattrig tiber R sich hinziehen, d.h. R ist durch die Bezichung p > (x) umkehrbar eindeutig und kongruent auf den Euklidischen Raum R abgebildet. Vermége dieser Abbildung erscheint die Gruppe Ty, der Decktransformationen von § (relativ zu ¥) als eine diskontinuierliche Bewegungsgruppe T in R, und & selber ist umkehrbar eindeutig, stetig und langentreu auf den Kristall 8p abgebildet. Wenn ® geschlossen ist, muss dies auch von Sp gelten, d.h. die Gruppe I’ muss einen endlichen Fundamentalbereich besitzen. Damit ist unser Beweis zu Ende gefiihrt.

24. Strenge Begriindung der Charakteristikentheorie auf zweiseitigen Flachen Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung 25, 265—278

(1916)

Es ist diese Note als ein Zusatz zu den Analysis-situs-Betrachtungen meines Buches ,,Die Idee der Riemannschen Flache“ (Teubner 1913)*), namentlich zu dem vom Geschlechte geschlossener Flichen handelnDurch eine strenge Begriindung des Charakteristiden § 11 gedacht. kenbegriffs (Zahl der Uberschneidungen zweier Kurven) soll die eigentliche Bedeutung der kanonischen Zerschneidung und im Zusammenhang damit die Rolle, welche die ,,Uberlagerungsflache der Integralfunktionen“ spielt, aufgeklirt werden. Hs handelt sich dabei um Dinge, die im wesentlichen bekannt sind; aber es lag mir daran, kurz zu zeigen, wie sie sich im Anschlu8 an die in meinem Buche benutzten Begriffsbildungen in strenger und einfacher Weise darstellen lassen, und in welcher Beleuchtung sie von dem dort eingenommenen Standpunkt aus erscheinen. — Auf Zitate mu8 ich, augenblicklich im deutschen Heere Kriegsdienste leistend, verzichten. Es sei § eine geschlossene, zweiseitige, triangulierte Fliche, « und 6 zwei mit Umlaufssinn versehene geschlossene Streckenztige auf ihr. Es mége sowohl jeder dieser beiden Streckenztige sich selber als auch

sie beide untereinander sich nur in einzelnen Punkten schneiden.’) Nachdem auf § eine positive Indikatrix festgesetzt ist, kinnen wir von jedem solchen Punkt, in welchem « und £ sich schneiden, feststellen, ob « dort den Weg 6 von rechts nach links oder von links nach rechts tiberkreuzt. Es geniigt dazu die Bemerkung, da8 wir die positive Drehung als eine ,,Wendung links-um“ betrachten. Mathematisch schirfer kann man das so fassen: Man mache eine derartige Unterteilung der vorliegenden Triangulation, daB 6 aus lauter Kanten der neuen Triangulation besteht. Von den beiden Dreiecken dieser (fortan allein benutzten) feineren Teilung, die lings einer zu B gehérigen und bei positiver Durchlaufung des Streckenzuges von der Ecke 1 zur 2 Sy Kcke

2 fiihrenden Kante

12 aneinander

stoBen, ist dasjenige

das linke,

1) Im folgenden zitiert mit R. F. 2) Es soll also beispielsweise nicht vorkommen, daB w und # streckenweise ganz zusammenfallen. — Ubrigens wird diese einschriinkende Annahme nur zum Zweck einer méglichst bequemen Ausdrucksweise gemacht.

601

dessen positive Indikatrix (12+) heiBt.t) Indem wir die Stellen, an denen @ den Weg 6 von rechts nach links iiberkreuzt, positiv (mit + 1), die anderen aber negativ (mit — 1) in Ansatz bringen, sei s(«, p) die so berechnete Anzahl der Uberkreuzungen von q@ tiber B oder, wie wir mit Kronecker sagen wollen, die Charakteristik von « in bezug auf 6. Hs ist offenbar

()

8(B, «) = — s(«, B).

Es gilt jetzt, diesen Charakteristenbegriff von Streckenztigen auf beliebige geschlossene Kurven zu tibertragen (bei denen wir nicht ohne weiteres von einem linken und rechten Ufer, von endlichvielen Uberkreuzungen u. dgl. reden kénnen). Sind @, a* zwei geschlossene Kurven auf § und laBt sich «@ in eine endliche Anzahl r von Bégen @,, %,.--, 0, und gleicherweise a* in r Teilbégen aj, a;,..., @, zerlegen derart, daB jedesmal «, und a beide der Umgebung U, eines geeigneten Punktes q, auf % angehéren, so wollen wir sagen, diese beiden

Kurven

verliefen

,mahe

beieinander“

oder

die

eine

verlaufe

,,in

der Nahe der andern“. « und a* zeigen ein véllig gleichartiges Verhalten, solange wir uns nur um Verhiltnisse kiimmern, die dem Bereich der Analysis situs angehéren; beispielsweise hat eine Integralfunktion fiir « und e* immer den gleichen Wert. Wir haben nun zu zeigen: Ist 6 ein vorgegebener geschlossener Streckenzug, « eine geschlossene Kurve auf §, «, &” irgend zwei geschlossene Streckenziige, die in der Nihe von a verlaufen, so ist stets

s(@, B) = s(@", B).

Dies wird bewiesen sein, wenn wir zu’@ eine Integralfunktion F’ konstruieren, deren Wert fiir jeden geschlossenen Streckenzug « mit Denn dann ist S(c’, B) tibereinstimmt. und

ebenso

F(a) = F(#’) = s(@’, B) F(a) = F(a") = s(@", B).

Wir benutzen die oben hergestellte Triangulation, bei der 6 aus Kanten von Elementardreiecken besteht. Einer beliebigen Integralfunktion F ordnen wir mit Bezug auf jedes Paar 4,, 4, von Elementardreiecken der Triangulation, die lings einer Kante aneinanderstoSen, die Zahl x vy ale ] zu, welche gleich dem Werte der Integralfunktion fiir einen Weg ist, der den Schwerpunkt von 4, mit dem von 4, innerhalb des Dreieckpaares 4, + 4, verbindet. Ist y ein geschlossener 1) Vgl. Fig. 20, das Bild des linken Ufers rigen Text auf S. 66 R. F.

eines Polygons,

und den zugehd-

602

Streckenzug, der die Kanten der Triangulation in einzelnen Punkten, die keine Triangulationsecken sind, tiberschreitet, und geht an einer beliebigen solchen Kreuzungsstelle y aus dem Dreieck 4, in das Dreieck A, hintiber, so ist F(y) gleich der tiber die simtlichen KreuzungsWir definieren ferner fiir jedes Ae stellen erstreckten Summe eV Dreieckpaar 4,, 4, eine Zahl « Ae in folgender Weise:

Vd, falls die gemeinsame

(0),

Kante von 4,

und

ty4,7

4, nicht zu f gehort;

4,

falls 4, das rechte, 4, das linke Dreieck ist, das an eine zu 6 gehérige und infolgedessen mit positivem Durchlaufungssinn versehene Kante stéBt; im letzten Fall setzen wir ferner Dann

ist stets Aig

ge

Ads

und, wenn 4,, 4,,..., 4, die sich um eine Triangulationsecke e gruppierenden Hlementardreiecke in zyklischer Anordnung sind,

(¢) Denn

DH yon

den

ede

|

in der letzten Gleichung

so viele = + 1 wie gen Kanten ebenso zulaufen wie von e funktion J, die fiir

yO) summierten

GréBen

sind eben-

= — 1, da unter den in e endigenden, zu 6 gehiriviele mit ihrem positiven Durchlaufungssinn auf e fortgehen. Infolgedessen') gibt es eine Integraljedes Dreieckspaar 4,, 4, die Gleichung £4 4,1F] = hy

befriedigt, und es ist ohne weiteres klar, daB diese Integralfunktion die geforderten

Higenschaften

besitzt.

Hs sei jetzt auch 6 eine beliebige geschlossene Kurve, f’, B” geschlossene Streckenztige, die in der Nihe von f verlaufen. Dann gelten die Gleichungen oe Ae

3

Statt

der

schreiben: und

zweiten

sie liefert dann

——— 1) RB. F. 8. 69.

8(e, B’) = 8(«", B’),

#(8,,«") = 6(8",

kénnen

wir

auf Grund

ar

i

s(@”, B) =15(0516

mit

der ersten

pit

des Symmetriegesetzes );

zusammen:

s(@’, B’) = s(«”, B”).

(1)

603

In Worten:

Hs

seien «, B irgend

zwei

gegebene

geschlossene

Kurven;

sind dann «', B’ irgend zwei geschlossene, sich in einzelnen Punkten tiberkreuzende Streckenziige, die in der Nédhe von « bzw. B verlaufen, so hat die Charakteristik s(c’, 6’) immer den gleichen Wert s, man mag im tibrigen diese Streckenziige wiihlen, wie man will. Wir bezeichnen s darum auch mit s(qa, f), nennen diese Zahl die Charakteristik von o in bezug auf $ und kénnen sie unbedenklich als die Gesamtzahl der positiven Uberschreitungen von « iiber 6 ansprechen. Auch fiir beliebige Kurven gilt die Symmetriegleichung (1). Aus ihr folgt noch S(a, «) = 0. Schneiden

sich

«

und

£

nicht,

so

ist

stets

s(a, 6) —0.

haben wir den Charakteristenbegriff fiir beliebige festgelegt. Ist p’ ein geschlossener Streckenzug, der in bigen geschlossenen Kurve 6 verlauft, so kénnen eine Integralfunktion F’ konstruieren, die fiir jede « die Gleichung

—

Damit

geschlossene Kurven

der Nihe der beliewir zu p’ wie oben geschlossene Kurve

F(a) = 8(«, B)

oder, da s(q, B’) = s(a, B) ist, die Gleichung erfiillt.

F(a) = s(@, B)

Aus dieser wichtigen Tatsache,

daB die Charakteristik, in ihrer

Abhingigkeit vom ersten Wege « betrachtet, mit einer Integralfunktion identisch ist, schlieBen wir sogleich: I. Ein geschlossener Weg, welcher homolog 0 ist, hat mit Bezug auf jede geschlossene Kurve die Charakteristik 0. Il. Der Wert der Charakteristik s(a,$) andert sich nicht, wenn man « durch einen zu «@ hédmologen Weg ersetzt. TL. Aus «~ a’ + &” folgt

8(«, B) = s(@’, B) + s(@”, B).

Entsprechendes ergibt sich fiir s in seiner Abhingigkeit vom zweiten Wege 6 aus dem Symmetriegesetz (1). Ist 7,, 7g) +--+) Y, eine Basis der geschlossenen Wege auf %, h, also der Zusammenhangsgrad unserer Fliche, und , MAY ay YFoot + MgYy OM Bro my,

+ Me

to

+

(die m und m sind ganze Zahlen), so wird h

s(a, B) =

ij=

1345593

Ys

604

darin Die

ist der Koeffizient schiefsymmetrische

Sh

8%

5).

Bilinearform h

‘j=

der

beiden

Variablenreihen

z,, y,

(S.= — Si;

zy;

S— ot

heiBt

Charakteristikenform.

Sie

hingt von der Wahl der i ogabenia y, ab und erfahrt, wenn diese durch eine andere ersetzt wird, eine ganzzahlige unimodulare lineare Unabhiingig von der Wahl der Basis ist demnach die Transformation. Determinante

d = |8,5|i=1,2,...42

j=1,2.

der Charakteristikenform. nen zweiseitigen Flichen

Ys ist fiir die renee situs der geschlossewie auch fiir die Funktionentheorie auf einer

Riemannschen Fliiche von entscheidender Bedeutung,

dab die Determinante

der Charakteristikenform + 0 ist. Wir werden sogar zeigen, dap sie den Wert 1 besitzt. Nur bei gerader Variablenzahl kann die Determinante einer schiefsymmetrischen Form +0 (und zwar positiy) sein. Setzen wir demnach h =2p, so ist p, das Geschlecht der Fliche §, eine ganze,

nichtnegative

Zahl.

Die Behauptung d+ 0 ist offenbar der Aussage iiquivalent, daB ein Weg «, der mit Bezug auf jeden andern die Charakteristik 0 besitet, d= 1 selber notwendig ~ 0 ist, d. i. der Umkehrung von L DaB aber ist, besagt: Es gibt stets eine (im Sinne der Homologie eindeutig bestimmte) geschlossene Kurve, die mit Bezug auf die Basiskurven y,, Yay +++) Vy beliebig vorgegebene ganze Zahlen zu Charakteristiken hat. Um eine méglichst einfache Basis der geschlossenen Wege auf § za ermitteln, mu8 man die Charakteristikenform durch unimodulare ganzzahlig-lineare Transformation in eine Normalform iiberfiihren. Wir kommen hier auf eine algebraisch-zahlentheoretische Fragestellung, die im Zusammenhang mit der Elementarteiler-Theorie, wie bekannt, ihre allgemeine Erledigung gefunden hat. Insbesondere ergibt sich in dieser Theorie (Frobenius), da eine jede schiefsymmetrische Bilinearform von zweimal h Variablen mit ganzzahligen Koeffizienten durch unimodulare Transformation sich in eine Form der folgenden Art verwandeln laBt: C4 (U1Y2 — Tots) + C2(%sY4 — Tay) +--+

6 ’p(Lap—1Y2p — Lap Vap— 1):

Die ¢, @, ..-, @ sind ganze positive Zahlen und 2p 0 ausfallt fir

seat

Aus

den

3

He,

>

=H,

letzten folgt offenbar,

k=1

da

Ane,

= 0

G@ = 1,2,3).

die zum Element H,, adjungierte

Unterdeterminante der Matrix || H,,|| gleich «,«,-H ist, wo H von den Indizes ik nicht abhingt. Die Funktion H, fiir welche ich das Symbol (HH) verwende, kann man als die Diskriminante des Differentials 2. Ordnung dhe

=, F,,da;doy,

ik

658

Sie ist homogen

bezeichnen. davon,

ein

wie

H

ist

orientiertes

wie

tragt quadratischen Charakter: W cine Funktion von derselben Diskriminante

die

Konstante,

zwei

4,

und

zu

(#,)

Koordinatensystem

rechtwinkliges

Sie ihrer Berechnung benutzt wird. dieser priigt sich darin aus, daB, wenn Art

unabhangig

und

—4

der Ordnung

von

AH+y.W,raAH+uWw)

eine

quadratische

Form

der Parameter

/, 4 ist

= 8 (H, H) + 2au(H,W) +2 (W,W). [2]

dem

natiirlich

(H,W)

Diskriminante«

»gemischte

Dabei geniigt die Symmetriegesetz

(H,W) = (W, H). In unserm Falle

hat (HH),

fir Punkte («) auf der Einheitskugel

berechnet, eine einfache Bedeutung: es ist die reziproke Gausssche Kriimmung der konvexen Fliche im entsprechenden Flichenpunkte und daher >0. Betrachten wir die Umgebung desjenigen Punktes p, auf der Fliche,

auf die bild,

kugel,

Tangentenebene

eine

Ebene

beiden

dessen Normale

die

gewisse

wir vom

«, =

(0,0, 1) ist und

in diesem

Umgebung

Nullpunkt

1 tibertragen.

erwihnten

des

Punkte;

aus

durch

erhalten

aufeinander,

& = Ay (%,%,1), gegeben

ee

Oa,

ist.

Auge @uee

da,

insbesondere

=

da, an

da,

der Stelle

)

sie orthogonal

das

(0,0,

sphirische 1)

der

Zentralprojektion wir

welche

Ab-

Einheits-

auf

eine Abbildung

durch

die

die

der

Formeln

Ay (ea, 1)

Das VergréSerungsverhiiltnis

Ace,

dazu

»Nordpols«

Dadurch

Ebenen

projizieren

dieser Abbildung

BP yet (0,0, 1) gleich

ey =

—/(H

dem Werte

ist Ha

von

eee:

(HH)

da-

selbst. Infolgedessen gilt fiir das Verhaltnis eines unendlich kleinen ), enthaltenden Flichenelements do und seines spharischen Bildes dw dic Formel

[1]

do

Da jeder Punkt natensystems

zichung

erkennen,

= (H, H)dw.

der Kinheitskugel zum

tberall

und

»Nordpol«

beweist ;

durch

gemacht

unsere

1

dai (ois auf den Faktor 5)

gecignete Wahl werden

Behauptung.

kann,

des Koordigilt

Zugleich

diese

1aBt

unser jetziger Ausdruck

Be-

sie

(HH)

659

das Analogon

zu dem

in der Polyedertheorie

ebenso bezeichneten

ist.

Das dreifache Volumen des von der Fliche umschlossenen konvexen K6érpers (in dessen Innern wir den Koordinatennullpunkt annehmen) ist [Hao

=

fun,

H)dw,

wobei das letzte Integral tiber die ganze Einheitskugel zu erstrecken ist.

Fiir die Umgebung der Stelle («, = a, die Darstellung von t und > durch H und nehmen kénnen, und benutzen ferner «,, , Dann' liefert die dritte Komponente der

= 0, #,—= 1) benutzen wir W, in welcher wir 2, = | an Stelle der Parameter we. Gleichung (10)

H,,Wey-HyWr = HyWy-HyW,,

[3]

(H,W)

=

di.

0.)

Die andern beiden ergeben nichts Neues.

Zwei

der drei in der Vektor-

gleichung (10) enthaltenen Integrabilititsbedingungen waren bereits durch (11) ausgenutzt, und [3] ist nun die dritte. W ist Wrmneartens »charakteristische Funktion«, [3] die Weincarrensche Differentialgleichung. Unser Gedankengang stimmt im wesentlichen mit dem Biascnxkes liberein® und 1i8t die Beziehung zur Minxowsxischen Theorie sogleich zutage

treten.

Jetzt gilt es zu zeigen, daB die einzigen Lésungen der Wey: carrenschen Gleichung die homogenen linearen Funktionen von «,, a,, ¢, sind.

In

der Tat,

ist

dies

richtig,

so

folgt,

dag

W,,

W.,

W,.

also der Drehvektor } konstant ist = 6,; die Gleichungen (9) ergeben dann, daB t—[6,, t] auf der ganzen Fliche konstant ist. 8.

Punkt dem

Die Ungleichheit (H, H) > 0 bedeutet, daB

(a) gebildete Sinne

definit

quadratische Form ist,

Punkte (£) der Ebene

daB iGi£,

die fiir einen festen

der Variablen

E>

MSE

in

ik

sie fiir alle

vom Nullpunkt

verschiedenen

== 0 Werte

einerlei Vorzeichens

7 (Auf jeder Geraden senkrecht zu dieser Ebene ist sie konstant.)

annimmt. So, wie

wir die Normalenrichtung gewahlt haben, ist die Form positiv-definit. Wir bestimmen in jener Ebene das Maximum und Minimum 4 von 1 In der Tat ist (ro) offenbar invariant gegeniiber

rentiierbaren

Transformation

der

Parameter

uv.

Stelle der uv die Parameter «,, «, zu benutzen, stetig differentiierbar zu sein brauchen. 2

Kin

Beweis

fiir die

Unverbiegbarkeit

Es

ist

einer beliebigen nicht

von

gut,

richten d. Kgl. Gesellschaft d. Wissenschaften zu Gittingen,

konvexer

Sitzung

vornhercin

an

} nicht zweimal

da in diesen v und

geschlossener

stetig ditle-

Flichen,

vom

Nach-.

18, Mai 1912

660

S AixE:f. = 1

unter der Nebenbedingung

DS WiEE,

ik

ik

einer Ellipse hinaus-

— was offenbar auf die Hauptachsentransformation Man

kommt.

£,=0

dann

tische

wieder

kann

auf

erhilt

und

Gleichung

(HH) -24(HW) +(WW) = 0.

(12) Die beiden des

Wert

gréfte

Quotienten ik

Veranderlichkeit

freier

mu8,

haben

Wurzeln

Ay

Wir EcEx : >

ik

reelle

und

kleinste

der

sind

dieser Gleichung

Wurzeln

>

bei

hat

fir A die quadra-

Weise

die einfachste

nehmen,

0, #;=1

«=

#,=

speziell

quadratische

jene

Da

der £.

EE:

Gleichung

ist

(H, W)’ = (H, H).(W,W). Diese Ungleichheit’ gilt allgemein fiir jede homogene Funktion W der 1. Ordnung. Da in unserm Falle aber [3] besteht, ergibt sich

(W,W) (W,

W)

wie

Wyau

und =

Hae. im

ersten Teil:

Aus

[3] und

= 05

[4] nur dann zusammen bestehen 0 ist.

Das Weitere

haben

wir

be-

28. Bemerkungen zum Begriff des Differential quotienten

gebrochener Ordnung

Vierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft in Ziirich 62, 296—302

(1917)

ib Riemann

hat

als Student und

den

, Versuch

fassung

der Integration

Differentiation*

Zweifel

nicht an ihre Verdffentlichung

einer allgemeinen

gemacht,

indem

Auf-

er den

Begriff des Differentialquotienten n'** Ordnung auf den Fall tibertragt, wo an Stelle der natiirlichen Ordnungszahl ” eine beliebige reelle Zahl tritt. Diese Arbeit ist als Nr. XIX in den Gesammelten Werken abgedruckt mit dem Bemerken des Herausgebers, dass Riemann ohne dachte,

die Betrachtung

sich

auch auf Grundlagen stiitze, deren Haltbarkeit er in spateren Jahren nicht

mehr

anerkannt

haben

wiirde.

Trotzdem

die Riemann’sche Begriffserweiterung, wenn man Weise

formuliert —

und

dies ist méglich

—,

ist

zu

sagen,

dass

sie nur in haltbarer

vollig naturgemass,

ja

die einzig naturgemiisse ist und ihr eine keineswegs bloss formale Bedeutung zukommt. Dies scheint mir die folgende kurze Uberlegung zu zeigen, die ich angestellt habe, um méglichst einfach einen von mir zu anderen Zwecken bendtigten Satz iiber trigonometrische Reihen zu beweisen. Ist f(x) eine fir «> 0 definierte stetige Funktion, so bilden wir,

indem wir den Prozess der Integration iterieren, der Reihe nach (fiir x > 0)

A@)=[f@ae und schreiben

f= FA@dn

fe)!

hae.

ausfiihrlicher

Sf, (a) = I" f (@); J ist das Symbol

fiir den Integrationsprozess.

und leicht zu sehen,

Fine a fe- Brrr aie

Es ist, wie

a= 6,

bekannt

Uae:

664

Daher

« eine beliebige

wenn

wir allgemeiner,

definieren

reelle Zahl

+0 ist, als die durch ,«-malige Integration“ aus f entstehende Funktion fig

J f@) = Ag f@— OF Oa. 0

Die Funktionaloperation I. Fir

der

Higenschaften:

J* hat folgende

« = 1,2,3,... stimmt sie mit dem urspriinglichen Begriff

1, 2,3,...-maligen

Integration

iiberein.

IL. Sie ist linear:

(/, fz beliebige

I’ (fi

+6 fe) = aI

stetige

Funktionen;

fo

fi +3"

¢,, ¢, beliebige

Konstante).

We Jed) fish Jan’ f Die Beziehung

@)

p(x) = J* f(a)

driicken symbols

wir auch D durch

umgekehrt

mit

Benutzung

des

Differentiations-

f(x) = D* p(x)

aus und sagen, falls zu der gegebenen Funktion @ eine solche stetige Funktion / gehirt, sie sei der a'® Differentialquotient von g, und p sei a-mal stetig differentiierbar. Es liegt nahe, mit Riemann zu

setzen: J’ f—= Df=f und allgemein J~* = D%*, wodurch sowohl die Definition der Operation J* wie D* auf negative Exponenten « und

0 ausgedehnt

wird.

Es ist dann

aber

daran

festzuhalten,

dass

der Prozess J* mit negativem Exponenten nicht (wie der mit positivem) auf jede stetige Funktion anwendbar ist. Die Ermittlung von f= D*g (in den Exponenten-Grenzen 00,

= 0 fiir a ist; fir ein Elektron ist der Quotient a’/a von der Gré8enordnung 1029, In Entfernungen, die mit ”

~

e me

vergleichbar sind, haben das Massenglied und das elektrische Glied im Gravitationspotential { die gleiche GréS8enordnung; erst wenn r gro® gegen a’’, gilt das Superpositionsprinzip in

dem

Sinne,

daB

das

elektrostatische

Potential

durch

die

Ladung, das Gravitationspotential durch die Masse mittels der gew6hnlichen Formeln bestimmt ist. Demnach wird man

687

a”, eine GroBe, die in andern Zusammenhingen als ,,Radius des Hlektrons“ auftritt, jedenfalls als den Radius seiner Wirkungssphire betrachten kénnen. Es besteht die Relation a= Vara’.

Nachdem das Feld des mit elektrischer Ladung behafteten Massenpunktes aufgestellt ist, kann man nach dem letzten Absatze von §8 leicht die Bewegung eines den Kraftwirkungen dieses Feldes unterliegenden Probekérpers berechnen, dessen Masse und Ladung gegentiber der felderzeugenden

schwach

ist; das

Problem

Falle (Planetenbewegung']) tionen geldst. § 5.

Das

Feld

streng

wird

wie

durch

rotationssymmetrisch

im

ladungslosen

elliptische

verteilter

Funk-

Massen.

Sich in den Besitz strenger Lésungen der Gravitationsgleichungen zu setzen, scheint mir namentlich von Wichtigkeit mit Riicksicht auf die Frage nach den Vorgiingen im Atom. Denn es ist méglich, da® in diesen Abmessungen die Nichtlinearitiéit der exakten Naturgesetze wesentlich in B«tracht kommt. Den Mathematikern ist seit langem bekannt, daB bei nichtlinearen Differentialgleichungen, was vor allem ihre Singularitéten betrifft, Verhaltnisse vorliegen, welche gegentiber den bei linearen Gleichungen auftretenden au8erordentlich kompliziert, unerwartet und vorerst noch ganz und gar unbeherrschbar sind. Es ist den Physikein bekannt, daB sich im Innern des Atoms eigenttimliche Vorgiinge abspielen miissen, zu denen das vom Superpositionsprinzip beherrschte Kraftespiel der sichtbaren Welt keine Analoga aufweist. Ich glaube, daB diese beiden Dinge in engem Zusammenhange miteinander stehen kénnen, ja da® von daher vielleicht sogar die endgiilltige Deutung der Quantentheorie zu ist.

erwarten

Um

solcher, heute

freilich noch

in weiter

Ferne

liegenden Zwecke willen schien es mir zunichst von Interesse zu sein, das Gravitationsfeld rotationssymmetrisch verteilter Theorie Massen und Ladungen nach der Hinsteinschen strenge zu bestimmen. Das soll hier fiir den Fall der Ruhe geschehen;

fachen

die

Untersuchung

Ergebnissen.

1) K.

Schwarzschild,

1. ¢.

fihrt

mu

tiberraschend

ein-

688

Als Koordinaten treten auf: 1. die Zeit a, = +; 2. eine ausgezeichnete Raumkoordinate, der Drehwinkel a3 = @ um die

Rotationsachse,

der

mit

2x;

Pericde

@ = const.

ist

eine

In an die Rotationsachse angetzende Meridianhalbebene. dieser haben wir 8. zur Festlegung ihrer Punkte zwei Koordinaten a, Z,, die wir sogleich genauer normieren werden. Das Linienelement mu8 die Gestalt haben

wo

ds? — fda?

,

—do?

do? = (hy, d 2,2 + Qh. da, d x. + hop dx,”) + 1 day? ;

die Koeffizienten f, 1; Nyy, hyg, hog sind Funktionen nur von a, und a. Nach einem allgemeinen Satz tiber positive quadratische Differentialformen von zwei Variablen ist es moéglich, die Koordinaten a, 2, genauer so zu wihlen, daB der in Klammern gesetzte Teil mit den Koeffizienten h die ,,iso-

therme“

Form

h (day? + dag?)

bekommt; damit ist dann das Variablenpaar 2, 2) bis auf eine konforme Abbildung bestimmt. Nach solcher Wahl der Variablen

VON

2, 2

werde

gesetzt. Fiihre Determinante

allgemein

ich

le

fiir irgend

da a6

zwei

Funktionen

Al= 35 a0, + Bam

r= YUf ein, so ist die Wurzel Vg

aus

=we=hr.

Fir die Wirkungsdichte H gilt allgemein die Formel

29 In unserem

=2HYg= fears On,

{3a a(g* V9) | 0

Falle ist das erste Glied gleich AD so ny

man

findet dafiir sofort

Das

zweite

ee il

ti7/> laii a SSK2

~a(lt-4]+[F 7) -

Glied aber mand

zS

aV9 89 V9) 0 2;

Ox;

_ [wr] | w

a,

8

der

689

Nun

ist

©

6]

plhfl

Fella=o

ef

eae

=—w(Igf lefj+ 7 [A Igf]+Al[r, lef),

also, wenn

lg h = uw

ist,

¥ [ef] == Ue ef) + rw, If) + Ors Ie).

Bildet man

ebenso

achtet, daB

den andern

Summanden

Slgr Sie l

lef

yon

§' und

be-

ist, so kommt

9 =r le, ler] +[r. ler] — $7 (lef.lg f] + [lg 21g 2).

Fihren

f

wir

d=lg Vif

ein, so ist

+ (lg f.dg f} + (lg?1g 4) =[lg 7, ler] + (2,2).

Damit

finden

SchlieBlich

wir

ist

go” =e

6 =[".r] —r[4.a. lel, eh ays, Vr] + (wr).

w

iB

So haben wir insgesamt

§=4(6' + 9") = [4.1] — 47 [4,4] + 2(V 7, Vr).

Zar bilden

Formulierung

des

Wirkungsprinzipes

miissen

wir

t) ff H dz, dx,

fir Variationen du, 64, dr, die am Rande des (beliebigen) Integrationsgebietes verschwinden. Setzen wir allgemein =

Oa

a

aaa

aaa

und

so verwandelt sich durch Of wo

O$*

dx, dz,

Aa

=~

Ie

ieCm)

0 &

{o-(r52)

+o

G

da

(rZ2)},

partielle Integration in

foH* dz, dz, ,

=—dOu- Ar+odh-rAr

~ br(Hut Byp feetsaat Up Zaye)

.

690

Fiir ruhende (ungeladene) Materie, deren Spannung zu vernachlissigen ist, besteht der Energie-Impulstensor Ty, aus der einzigen Komponente T,, =;gg (0 = absolute Massendichte) , und

es ist

dM=—Vy 1,89" =—

V9 ae = ohrdlgf = o* (dr —rda) ie Shg):

Nach dem Wirkungsprinzip mu8 nun dieses Differential Koeffizient fir Koeffizient wtbereinstimmen. mit 6* ercibt zuniichst (Koeffizient von 6 p):

[Fo]

6 M Das

r ist demnach in der 2, £_-Ebene eine Potentialfunktion. Bezeichnet z die konjugierte Potentialfunktion, so daB z+or eine analytische Funktion von 2, -+%2, ist, so ist der Ubergang von £,,% zu 2,7 eine konforme Abbildung. Wir kénnen daher

yon

vornherein

annehmen,

et

a

dai

— oe

ist. In der Definition der Operationssymbole setze man demgem4B z,, 2 durch z und r. Das system ist nunmehr bis auf eine willktrliche stante in z vollstindig eindeutig bestimmt. Auf achse muB, damit das Linienelement daselbst

[], 4, A? erKoordinatenadditive Konder Rotationsregular bleibt,

r verschwinden. 2,7, @ bezeichne ich als kanonische Zylinderkoordinaten; die zugehérige kanonische Form des Linienelements lautet

:

fae —{h (dz? + dr?) + a

Der

,,Euklidische

Fall

ist darin

mit

f

=1,

h = 1 enthalten.

Wir stellen aber allgemein, um uns geometrisch ausdriicken zu kénnen, den Gravitationsraum dar durch einen Euklidischen Bildraum mit den Zylinderkoordinaten z, r, 3. Die Abbildung der beiden Raume aufeinander durch die kanonischen Koordinaten ist eindeutig bestimmt bis auf eine willkilich bleibende Translation des Huklidischen Bildraumes in Richtung der z-Achse. In diesem Bildraum ist

1 HACd)+ha)]

691

der gemeine Potentialoperator fiir rotationssymmetrische Funktionen. Gleichsetzung der Koeffizienten von 6/4 in liefert

(18) Gleichsetzung

Osa}

co) te

A,

=o",

der Koeffizienten

(14)

von

br:

2 1, Lopes Agta (Aad) eee a

*

One

Betrachten wir zuniichst (13) und fiihren y = le Vf ein; dann ist und

A=lgr—-2y

daher

(15)

Ap=20,

oder, wenn wir zu den Mafeinheiten des CGS-Systems kehrend, rechts den Faktor 82 hinzufiigen, [4y

und zwar kommt diejenige Rotationsachse regulir ist. Koordinatensystem zu der chung gelangt; da sie linear positionsprinzip.

zuriick-

=4ax0;

Lésung p in Frage, die aut der Damit sind wir im kanonischen gewohnlichen Poissonschen Gleiist, gilt fiir p = Ig V7 das Super-

Fiir den unendlich diinnen Ring, der von dem Flachenelement drdz der kanonischen r,z-Ebene bei der Rotation uim die z-Achse beschrieben wird, findet

ze

man als Lésung der Poissonschen Gleichung,

;

of

\

dz r_

wenn

Qno*rdrdz=m gesetzt

wird, wie

bekannt,

=_tm

Ce

)

(2

iy

R, die ,,Entfernung“

R

id

des Aufpunktes

P

vom Ringe, ist das arithmetisch -geometrische Mittel aus den Entfernungen Fig. 1. 11, % des Punktes P von den beiden DurchstoBpunkten des Ringes mit der Meridianebene, in welcher P gelegen ist:

692 +2

ee!

Ro

Ausdriicke

alle

die

auf

Masse

af

an

im

kanonischen

—2

do

A

Vr, c0s* @ + 7,810?©

EHuklidischen

Koordinaten!

verstanden,

Sinne

dieser

Ist nur

behaftet, so wird

bezogen

Ring

mit

m erweist sich damit als die im Ringe enthaltene gravitierende Masse und 9* somit als die Massendichte im kanonischen Koordinatensystem. — Wir sind zu folgendem einfachen Resultat

gelangt: Ist die (otationssymmetrische) Massenverteilung wm kanonischen Koordinatensystem bekannt und c? y thr Newtonsches Potential, so ist nach der Einsteinschen Theorve

Vf=e”. Auch m die Gleichung it

(14) fiihren wir y statt A ein; es ist 46

Be2dl SS ae

+5

aw und

nehmen

so

bekommen

(16)

d.i.

eine

+ 4ly,y]

a

als Unbekannte wir

| ay =— [wy], |

Poissonsche

Gleichung

in

der

7,z-Ebene.

Damit

das Linienelement auf der Rotationsachse regular bleibt, mu8 auf ihr y verschwinden; es ist also diejenige eindeutig bestimmte Lésung der Poissonschen Gleichung in der Meridianhalbebene

fiir y zu nehmen,

die im

Unendlichen

und

auf der

Rotationsachse verschwindet. Begniigen wir uns itibrigens mit derjenigen Approximation, die sich durch Streichung der quadratischen Glieder ergibt, so ist y = 0,h = 1/f au setzen. —

693

Es ist sehr instruktiv, zu verfolgen,

wie sich in die eben

entwickelte allgemeine Theorie der rotationssymmetrischen Massenverteilung der Massenpwnkt einordnet. Wir gehen von der Darstellung (12) aus und fihren darin statt der ,,rechtwinkligen“ Koordinaten x, Zylinderkoordinaten ein: % =reosé, das

in (12)

auftretende

%—=rsind, r mu8

dann

@,=2;

natiirlich

durch

yete2

ersetzt werden. Darauf bewerkstelligen wir in der Meridianhalbebene die konforme Transformation

(riz)

Lie

(9 = 94);

dann nimmt unser Linienelement in der Tat Form an, und gwar ergibt die Rechnung: f

a i aoe2

ss

iyo

die

kanonische

(nie _ a) (ais we a) 2

f

tits

2

Y

wo die Bedeutung von 1, 72 aus Fig. 2 zu entnehmen ist. y = lg Vf ist im kanonischen Raum mit den Zylinderkoordinaten z*, r*, 0*

das Newtonsche Potential der gleichmaBic mit Masse belegten Strecke (re, -asxesS+a: der ,,Massenpunkt erscheint demnach

in den

kanonischen Koordinaten nicht als eine Kugel, Fig. 2.

sondern

als

eine

Strecke,

die Meridian-Halb-

ebene als die lings der beiden stark ausgezogenen Halbgeraden geschlitzte Vollebene, die Rotationsachse als der (im Unendlichen zusammenhingende) Schlitz, der so durchlaufen werden muB, wie es in der Figur durch beigesetzte Pfeile und Nummern angedeutet ist. Die rechte Halfte der Vollebene entspricht dem AuBeren, die linke dem Inneren des Massenpunktes. Hier bestatigt sich von neuem unsere in § 4 geltend gemachte Auffassung : wiirden wir jenes ,,Innere“ nicht mitberiicksichtigen, so gelangten wir nicht zu der richtigen Lésung. Man tiberzeuge sich, daB lg Vhf in der Tat diejenige Losung der Gleichung (16) in der geschlitzten Vollebene 7*, 2* ist, die an den Randern des Schlitzes verschwindet.

694

— Man wire auf die vorliegende strenge Lésung der Gravitationsgleichungen naturgemiB durch die Aufgabe gefthrt einer

Feld

das

worden,

Strecke

belegten

m

Masse

der

mit

von der Linge 2m zu bestimmen. Nach Ermittlung des Gravitationsfeldes hatte sich dann aber durch Ausmessung

der ,,Strecke‘ mit dem invarianten réumlichen Linienelement do®

ergeben, daB sie in Wahrheit gar keine Strecke, sondern eine Kugeloberflache ist: man kann in der strengen Gravitationstheorie immer erst a posteriori feststellen, einer wie beschaffenen Massenverteilung eine Lésung entspricht, auf die man von irgendcinem bestimmten Ansatz her gekommen ist. § 6,

Das

Feld

rotationssymmetrisch

verteilter

Ladungen.

Tragen die ruhenden Massen statische elektrische Ladungen,

so entsteht auBer dem

Gravitations-

ein elektrostatisches

Feld,

das sich aus einem Potential O = @ (a1,a) ableitet. 2, 2 sind wie zu Beginn des § 5 isotherme Koordinaten in der Meridian-Halbebene. Die Wirkungsdichte der Elektrizitit bestimmt

sich aus

aes

eds

LY g =—[@P)e

=— [00] —-

Das Integral von 6 (LYg) iiber irgendein Gebiet der a,, 2,-Ebene,

ist, wenn

die

Variationen

6@,

bietes verschwinden, gleich dem

IL

= — [OO] Ut

it os

Gh

Pee

6A

an

den

Grenzen

des

Integral des Differentials

Ge-

91+ 27rd, O50, fe

Ge)

Ol

ike

cece

8) aa}

,

Beriicksichtigen wir nach § 1 neben der Feld- auch die Substanzwirkung der Hlektrizitét, so liefert das allgemeine Wirkungsprinzip durch Variation von ® zuniachst: (17) A, ® = —e* = —he (e = absolute Ladungsdichte). Zur Bestimmung des Gravitationsfeldes aber erhalten wir ? indem wir nunmehr 6® = 0 setzen, die Gleichung

(18)

Aus

6H* =6M+ 5k.

ihr

finden

wir

zunichst

wieder

A?r=0;

dadurch

die Hinfiihrung der kanonischen Koordinaten ermdglicht,

in diesem Sinne setzen wir wiederum lautet jetzt:

2, = 2,

=r.

ist

und

Gl. (17)

695

(19)

Cie G@ bez (4 ae)

|4e=4

0 + ae

(rd@ (Fae)

= -

Die willkiirliche additive Konstante, welche in ® auftritt, werde, wie tblich, so gewiéihlt, da8 ® im Unendlichen verschwindet.

Vergleichung der Koeffizienten von 64 in (18) ergibt die Gl. (18) des vorigen Paragraphen mit der Modifikation, daB rechts zu dem Massenglied o* das von der gleichfalls gravitierend wirkenden elektrischen Energie herriihrende Zusatzglied fees hinzutritt; also:

a9 ar EH)

+ G) -e + F109

Gl. (14), § 5 kann unveraindert ttbernommen werden. Wir bilden den Ausdruck $4,(@%); auf Grund der Gleichungen igo ag?

a@

Begg

160@

Orgs

Gon

und des elektrostatischen

Grundgesetzes

—&

a@

rar

(19) hat er den Wert

G+ + 1P, 9)

Fiihren wir also {-i@=F, oe 2 — 0" ein, so kénnen wir Forme! (20) ersetzen durch

1,

1)

0/(réF

“Se

oe

sa

r OF

ar) t=?

i

‘

Befindet sich Masse und Ladung nur auf einem Elementarring, der im kanonischen Koordinatensystem den Radius r und

den

Querschnitt

Ino* rdrdz=m,

so folgt aus den

ist.

hier auftretende

(19), (21), daB notwendig

const. — a a)

der

Wahl

Bei geeigneter

const. = 1, und

fil

Se

m

MaBeinheit

wir haben 1

Or = D2

oder bei Hinfithrung des CGS- nee f=

wir

Oe) Pdr dee.

Gleichungen F =

setzen

hat, und

drdz

ilocos BG)o+* a: Os:

Fe oy

.

i

ee

Rechnen wir das Integral (22) aus, so kommen wir zu folgendem Ergebnis: 1) Nimmt man 9* = 0, so ergibt sich fiir den Bereich, tiber den die Ladung eines Elektrons verteilt ist, der iibliche Radius a”. Es ist

aber nicht ausgeschlossen, da durch ein negatives g* das Glied e*D fast vollstandig kompensiert wird; ich verweise dieserhalb auf die Mie-

sche

Theorie.

Es

kiime

ja gerade

Elektron eine so kleine Masse von der Gréfe

demnach

10-?° kommt!

vielleicht

auf

einen

darauf

an,

zu

besitzt, d. h. woher

erklaren,

Die eigentliche Ladung

sehr

viel

kleineren

warwm

das

die reine Zahl a/a’

des Elektrons ist

Bereich

und a” hat lediglich die Bedeutung des ,,Wirkungsradius“.

konzentriert,

697

Ist die Ladwngsverteilung (zw der nach Voraussetzung die Massenverteilung proportional ist) im kanonischen Koordinatensystem bekannt und q thr ,,elementares‘‘, d. h. ohne Beriickstchtigung der Gravitation nach der elementaren Theorie bestemmtes Potential, multipliziert mit dem konstanten Faktor V*

so gilt strenge

x

0s

fos

jij

oh OG

(23)

a’ cos (p — gy)” Im Falle des Ringes ist insbesondere

eet

aD

wo & die ,,Entfernung des Aufpunktes P vom Ring bedeutet. Fir groBe R ergibt sich daraus fiir ) f die asymptotische Formel a

1- Sap aus

der

hervorgeht,

daB

m

in der

Tat,

wie

oben

behauptet,

die gravitierende Masse ist. Es bleibt unter den gegenwirtigen Annahmen noch der zweite Koeffizient h des kanonischen Linienelementes zu berechnen. Dazu steht uns die Gl. (14), § 5, zur Verfiigung. Behandeln wir sie in der gleichen Weise wie dort, so erhalten

wir fir y =lg Vhf zunichst

La 2 a Gehen

wir

zum

[V7.VF] _ Bayt 1(%, 9%) | Seay =F pe r:

CGS§-System

ttber

—

der

Faktor

4 auf

der

rechten Seite ist dann durch x/c? zu ersetzen — und benutzen die Ausdriicke (23), so nimmt diese Bestimmungsgleichung fiir y die einfache Form an

(24)

47 =[9 9). |

Lassen wir die Voraussetzung der Proportionalitat von Ladung und Masse fallen, so 1&8t sich die Lésung nicht mehr auf so einfachem Wege ermitteln. Nun liegen aber fiir das Elektron und den Atomkern die numerischen Verhialtnisse so, da a/a’ sehr klein, von der GréSenordnung 10-?° bzw. 10-1” ist.

698

Unter diesen Umstinden kann also die Massenwirkung vollig neben derjenigen der Ladung vernachlissigt werden. Spezialisieren wir unsere Formeln in dieser Weise, d. h. dadurch, daB wir a =0, gy = 0 setzen, so kommen wir zu dem Satz:

Verteilung ruhender LaIst die (rotationssymmetrische) dungen, neben deren Wirkung die Massenwirkung vernachlassigt werden kann, im kanonischen Koordinatensystem _bekannt und y thr elementares Potential multipheziert mat Vz/e, so gilt unter Beriicksichtigung der Gravitation tgq yee

= —

@

Vfaa cos

:

Das Auftreten der durch ihre Periodizitat in so engem Zusammenhang mit den ganzen Zahlen stehenden trigonometrischen Funktionen hat etwas Uberraschendes; in Be-

reichen,

y mit

in denen

1 vergleichbare

Werte

gilt

erreicht,

nicht mehr das Superpositionsprinzip, vielmehr sind die Potentiale der wirkenden Krafte trigonometrische Funktionen derjenigen GréBe, welche diesem Prinzipe genitigt. Bei hinreichend konzentrierten Ladungen kénnte es geschehen, daB eine dieselben einschlieBende Fliche S auftritt, auf der y den Wert 2/2 erreicht und daher ® und Vf unendlich werden. Da auf dieser »,Grenzflache

wird

auf

ihr

der

des

invarianten

auf

der

das

Aufenwelt‘‘

raéumliche

Linienelements

nach

(24)

Linicnelement

hf

ausgemessen,

endlich

bleibt,

do® = 0; mittels stellt

sich

daher

S als ausdehnungslos heraus. — Fir das Verstandnis der Vorgiinge im Atom ist unser Ergebnis kaum nutzbar zu machen; denn die Abweichungen des Feldes der Elektronenladung e von dem durch die gravitationslose klassische Theorie bestimmten sind nur in Distanzen merklich, die von der GréBenordnung a’ ~ 10-83 cm sind! Die kugelsymmetrische Punktladung erscheint im kanonischen Koordinatensystem als eine Kreisscheibe vom Radius a’, mentaren Fall ist.

die

Elektrizitét

Elektrostatik

so

auf

verteilt

einer

ist, wie

geladenen

es

nach

der

Metallplatte

ele-

der

Offsetdruck: Julius Beltz, Weinheim/Bergstr.

Date Due

(bay

CAT. No. 23 233

PRINTED IN U.S.A.

W N T 0 1164 0298530 j