Gesammelte Abhandlungen II 3662442361, 9783662442364

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TRENT

UNIVERSITY LIBRARY

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Alle Rechte vorbehalten, Kein Teil dieses Buches dart ohne schriftliche Genehmigung des Springer-Verlages tibersetzt oder in irgendeiner Form vervielfiltigt werden. © by Springer-Verlag Berlin - Heidelberg 1968 Library of Congress Catalog Card Number 68-19815 Printed in Germany Titel-Nr, 1488

Inhaltsverzeichnis Band II 30. ai. Des 33:

Reine Intinitestmmalecometric.yaa0 ue ramew eae sical aes aya Gravitatiomund Blekttizitae 2. 2 2 a 2G SS eee Der circulus vitiosus in der heutigen Begriindung der Analysis. . . . . Uber die statischen kugelsymmetrischen Lésungen von Einsteins ,,kosmo-

logischen™ Gravitationsgleichungen. . = . . «= ss Se ee 34, Eine neue Erweiterung der Relativitatstheories, (cia i 1) ern 35; Bemerkung tiber die axialsymmetrischen Lésungen der Einsteinschen Grayi@itionise eichun genie

aiemcmee ome wen

Gm

mes

C

me

co)

ne

36. Ausbreitung elektromagnetischer Wellen tiber einem ebenen Leiter. . . oT. Erwiderung auf Herrn Sommerfelds Bemerkungen iiber die Ausbreitung der Wellen in derdtahtlosen Islegraphie | 9. je 5 = 3s der Physik 38; Das Verhiltnis der kausalen zur statistischen Betrachtungsweisein sa). eee cle Aye Die Hinsteinsche Relatiyitatstheorie | 0) 6. 2 pe ee ee ae 40. Blektizitatund Gravitation a). 2 41. Uber die neue Grundlagenkrise der Mathematik ......-.-...-.-

ti) V0. eee ee ge 42. Zor Abschatzune von ¢ (1 43. Zur Infinitesimalgeometrie: Einordnung der projektiven und konformen

44, 45. 46. 47. 48, 49, 50.

oe Bae ea Oe 5 Oe SR Se 6 Eb TS Ge PMU Bemerkung tiber die Hardy-Littlewoodschen Untersuchungen zum Waringschen Problem — 0. 5 3 25 2 2 2 Pa IDES eed ge) Smee 5 Se eee e eb See BS Fe Uber die physikalischen Grundlagen der erweiterten Relativitatstheorie 2 Kee cea ee ee yg SSS Se SO Goes iste Wits Ss 6. eo ee 720s Blectricity and pravitition’. Die Einzigartigkeit der Pythagoreischen MaBbestimmung ...... « Zur Infinitesimalgeometrie: p-dimensionale Fliche im #-dimensionalen 5. dyn teste cess eo JN cs ec coe) Geotains witecd HM an tO) Gi ol VUANTST, Neue Lésungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungen . . . . . . . . ... Die Relativitatstheorie, auf der Naturforscherversammlung.

a, 52, a) ea ore ese ms ens 533 Was Raumproblem tar. amete oe 54. Zur Charakterisierung der Drehungsgruppe . - - . - + + + ee ee Bb: Entgegnung auf die Bemerkungen von Herrn Lanczos liber die de Sitteroy 6a @& we Caio Wee 56. Zur allgemeinen Relativitatstheorie.

eG

eo Bese Gere 2 ee . . - 6-1

cen

es

114006

Die Reparticiédn de corriente en una red conductora (Introduccidn al anilisis (eipirins)) 6 6 6 5 Ao be Bb ooo oo Oo 58, Analisis cits) cOMmbinatOriO ssc ey eye on ote eee ice eee eres ree oes . ........ . 59) Anilisis situs combinatorio (continuacién). . ..... . 60. Randbemerkungen zu Hauptproblemen der Mathematik. of. Zut Theorie der Darstellung der einfachen kontinuierlichen Gruppen (Ausieinem Schreiben an: Herm I) Scnur) = 27052). 22 2s 62. Das gruppentheoretische Fundament der Tensorrechnung. . . .. . . 63. Uber die Symmetrie der Tensoren und die Tragweite der symbolischen Methode in der Invariantentheorie 27. (7). 20 ee erie 64. Observations on the Note of Dr. L. SrrpersTetn: Determination of the Gurvature Invariant of Space-lime sys) 2 10s) ye) oe een 65. Massentragheit und Kosmos, Ein Dialog... 5 1 ae a ee 66. . 67. Die heutige Erkenntnislage in der Mathematik. .. 2... ...... 68. Theorie der Darstellung kontinuierlicher halbeinfacher Gruppen durch lineare Transformationen, I, II, II und Nachtrag. ..........

378 390

416 433 453 461 468

476 478 486 Sif

30. Reine Infinitesimalgeometrie

Mathematische Zeitschrift 2, 384—411 (1918)

§ 1.

Einleitung.

Uber

Die wirkliche Welt,

sind, sie

ist nicht da, durchliuft,

kontinuierliche

in

das Verhiltnis in die wir

schlechthin jedem

von

und

Physik.

kraft unseres BewuBtseins hineingestellt

und in Einem

Augenblick

eindimensionale

Geometrie Schlag,

vernichtet,

Folge

sondern

und

neu

von Zusténden

in

geschieht;

geboren,

der

Zeit.

eine

Der

Schauplatz dieses zeitlichen Geschehens ist ein dreidimensionaler Euklidischer Rawm. Seine Eigenschaften untersucht die Geometrie; hingegen ist es die Aufgabe der Physik, das im Raum existierende Reale begrifflich zu erfassen und die in der Flucht seiner Erscheinungen beharrenden

Gesetze zu ergriinden. Physik ist demnach eine Wissenschaft, welche die Geometrie zu ihrem Fundament hat; die Begriffe aber, durch welche sie das

Wirkliche

darstellt

—

Materie,

Elektrizitaét,

Kraft,

Energie,

elektro-

magnetisches Feld, Gravitationsfeld usf. — gehéren einer ganz andern Sphire an als die geometrischen. Diese alte Anschauung iiber das Verhiltnis von Form und Inhalt der Wirklichkeit, von Geometrie und Physik ist durch die Hinsteinsche

Relativititstheorie’) umgestiirzt worden.

Die spezielle Relativitdtstheorie

fiihrte zu der Erkenntnis, da8 Raum und Zeit zu einer unldslichen Hinheit verschmolzen sind, die als Welt bezeichnet werde; die Welt ist dieser

Theorie zufolge eine vierdimensionale Euklidische Mannigfaltigkeit — Euklidisch mit der Modifikation, daB die der Weltmetrik zugrundeliegende quadratische Form nicht positiv-definit ist, sondern vom Trigheitsindex 1. Die allgemeine Relativitétstheorte gibt das, ganz im Geiste der modernen nur

Nahewirkungsphysik,

die Weltmetrik 1) Ich

Springer

im Unendlichkleinen

also den von

verweise

auf

Riemann

die Darstellung

1918 (im folgenden

als RZM

in

als

in seinem

meinem

zitiert), und

Buch

die dort

nimmt

giiltig zu,

fiir

Habilitationsvortrag

,,Raum,

Zeit, Materie“,

angegebene

Literatur.

2

aufgestellten allgemeineren Begriff der auf einer quadratischen Differentialform beruhenden MaSbestimmung in Anspruch. Das prinzipiell Neue an

ihr ist aber die Hinsicht:

die Metrik ist nicht eine Eigenschaft der Welt

an sich; vielmehr ist Raum-Zeit als Form der Erscheinungen ein véllig gestaltloses vierdimensionales Kontinuum im Sinne der Analysis situs, die Metrik

aber

bringt

etwas Reales

ich die

Riemannsche

zum Ausdruck,

das

in der Welt

existiert,

das durch Zentrifugal- und Gravitationskrifte physikalische Wirkungen auf die Materie ausiibt und dessen Zustand auch umgekehrt durch die Verteilung und Beschaffenheit der Materie naturgesetzlich bedingt ist. Indem Geometrie,

die

doch

reine

,,Nahe-Geometrie“

sein

will, von einer ihr gegenwiirtig noch anhaftenden Inkonsequenz befreite, ein letztes ferngeometrisches Element ausstieB, das sie von ihrer Kukli-

dischen Vergangenheit Weltmetrik,

aus

her

welcher

noch

nicht

bei

sich

nur

die

fiihrte,

Grayitations-,

elektromagnetischen Wirkungen hervorgehen,

Grund

darf,

iiber

ich

sondern

zu

auch

einer die

die somit, wie man mit gutem

alle

physikalischen Vorgiange

Rechenschaft

keine andern als die geometrischen.

Der einzige Unterschied,

der zwischen

gibt*). handen

annehmen

gelangte

Nach dieser Theorie ist alles Wirkliche, das in der Welt vorist, Manifestation der Weltmetrik; die physikalischen Begriffe sind

Geometrie

und

Physik

besteht,

ist der,

daB

die Geometrie

allgemein

er-

griindet, was im Wesen der metrischen Begriffe liegt *), die Physik aber das Gesetz zu ermitteln und in seine Konsequenzen zu verfolgen hat, durch

welches die wirkliche Welt unter allen der Geometrie nach méglichen vier-

dimensionalen metrischen Riumen ausgezeichnet ist ‘). In dieser Note méchte ich jene reine Infinitesimalgeometrie

wickeln, die nach meiner Uberzeugung die Sonderfall in sich begreift. Der Aufbau der sachgemaB in drei Stufen. Auf der ersten bestimmung bare Kontinuwm im Sinne der

gesprochen,

die leere Welt;

auf der zweiten

ent-

physikalische Welt als einen Nahegeometrie vollzieht sich Stufe steht das aller MaBAnalysis situs — physikalisch

das affin zusammenhdngende

Kontinuum — so nenne ich eine Mannigfaltigkeit, in welcher der Begriff der infinitesimalen Parallelverschiebung von Vektoren einen Sinn hat; in in den

Kine erste Mitteilung dariiber ist unter dem Titel Gravitation

und Elektrizitat“

Sitzungsber. d. K. PreuB. Akad. d. Wissenschaften 1918, S. 465, erschienen. *) Freilich geht die traditionelle Geometrie von dieser ihrer eigentlichen Aufgabe alsbald zu einer weniger prinzipiellen iiber, indem sie nun nicht mehr den Raum selbst zum Gegenstand ihrer Untersuchung macht, sondern die im Raume méglichen Gebilde,

spezielle

Raummetrik

Klassen

zukommen.

*) Ich bin verwegen

Erscheinungen

sich

matischer Einfachheit

aus

solcher

und

deren

genug, zu glauben,

einem

Eigenschaften,

die

daB die Gesamtheit

ihnen

der

der physikalischen

einzigen universellen Weltgesetz von

herleiten lit.

auf Grund

héchster mathe-

3

der

auf

Physik

erscheint

der

dritten

» Ather“,

dessen

der

endlich

das

Zustiinde

Elektrizitat kundgeben.

§ 2.

affine

Zusammenhang

metrische

sich

in

als

Kontinuum

den

Gravitationsfeld

—

Erscheinungen

Situs-Mannigfaltigkeit

physikalisch: der

Materie

—;

der und

(leere Welt).

Infolge der Schwierigkeit, das anschauliche Wesen des stetigen Zusammenhangs durch eine rein logische Konstruktion zu erfassen, ist eine voll befriedigende Analyse des Begriffs der n-dimensionalen Mannigfaltig-

keit heute nicht méglich*). Uns geniigt folgendes: Eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit liBt sich auf nm Koordinaten x, #,...x,, beziehen, deren

jede in jedem

Punkt

der Mannigfaltigkeit

einen ecutamen

Zahlwert_

be-

sitzt; verschiedenen Punkten entsprechen verschiedene Wertsysteme der Koordinaten; ist %,%,...%, ein zweites System von Koordinaten, so bestehen zwischen den 2- und den Punktes gesetzmiBige Beziehungen

%-Koordinaten

desselben willkiirlichen

a, = f,(E, B, -.. E,) wo

f, rein logisch-arithmetisch

ihnen

setzen wir

nicht

sie stetige Ableitungen

nur

konstruierbare

voraus,

daB

6. tk =

sie

G12 Funktionen

stetig

sind,

ny

bedeuten;

sondern

auch,

von dab

oft

== aa,

Die letzte Bedingung besitzen, deren Determinante nicht verschwindet. ist notwendig und hinreichend, damit im Unendlichkleinen die affine Geometrie gilt, damit nimlich zwischen den Koordinatendifferentialen in beiden Systemen umkehrbare lineare Beziechungen statthaben: (1)

dx,

=») 0,45,

z

Die Existenz und Stetigkeit héherer Ableitungen nehmen wir an, wo wir Auf jeden Fall hat also der ihrer im Laufe der Untersuchung bediirfen. Begriff der stetigen und stetig differentiierbaren Ortsfunktion, ev. auch der der

2, 3,... mal

natensystem

stetig

differentiierbaren

unabhingigen

Sinn;

die

einen

invarianten,

Koordinaten

selber

vom

sind

Koordi-

derartige

Funktionen. — Eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit, an der wir keine andern Higenschaften in Betracht zichen aufer denjenigen, die im Begriff der n-dimensionalen Mannigfaltigkeit liegen, nennen wir — in physikalischer Terminologie — eine (n-dimensionale) leere Welt.

>) Vgl. dariiber H. Weyl, Das Kontinuum (Leipzig 1918), namentlich 8. 77 £1.

4

Die relativen Koordinaten dz, eines zu dem Punkte P =(a,) unendlich benachbarten Punktes P’ = (x, + d,) sind die Komponenten eines Linienelementes in P oder einer infinitesimalen Verschiebung PP’ von P. Bei Ubergang zu einem andern Koordinatensystem gelten fiir diese Komporienten die Formeln (1), in denen a, die Werte der betreffenden Ableitungen im Punkte P bedeuten. Allgemeiner charakterisieren im Punkte P — bei Zugrundelegung eines bestimmten Koordinatensystems fiir die Umgebung von P — irgend n in bestimmter Reihenfolge gegebene Zahlen

& (i=1, 2,...,

) einen Vektor (oder eine Verschiebung) in P; die Kom-

ponenten ES baw. & desselben Vektors in irgend zwei Koordinatensystemen, dem ,,ungestrichenen“ und ,,gestrichenen‘‘, hiangen durch die gleichen linearen

Transformationsformeln

(1) zusammen: e =

ee k

Vektoren

in P

kann

man

addieren

und

mit

Zahlen

multiplizieren;

sie

bilden also eine ,,lineare“ oder ,,affine‘‘ Gesamtheit. Mit jedem Koordinatensystem sind m ,,Hinheitsvektoren“ e, in P verbunden, namlich die-

jenigen, welche in dem betreffenden Koordinatensystem Gy

besitzen.

Je zwei

UO)

ce.

2)

0) URW, comn,

Go

OTD

(linear unabhiingige)

ponenten da,, bzw. 6x; spannen in P auf mit den Komponenten

so oy Jk

Linienelemente

ein

die Komponenten

in P

(zweidimensionales)

mit

den

Kom-

Flichenelement

, 42,du, — dx, dx, Az,,,

je drei (unabhangige) Linienelemente da,, dx;, Dx; in P ein (dreidimensionales) Raumelement mit den Komponenten

usw.

Eine

von

dx,

dz,

da, |

6x, | da,

6x, da,

d2,|= Aa: bas

einem

willkiirlichen

Linien-

oder

Flichen-

oder

Raum-

oder ... Element in P abhangige Linearform heift ein linearer Tensor 1.,

baw. 2., 3.,... Stufe. Bei Benutzung eines bestimmten Rammdnrorrctionn kénnen iio Raetioenn a dieser Linearform

>; a,dx,;,

i

baw.

it

i

a;,4%;,5

x

> Bp ikl

Aa, i, nes

5

eindeutig durch die Forderung des Alternierens normiert werden; diese besagt in dem letzten hingeschriebenen Fall z. B., daS Indextripeln (ikl), die durch eine gerade Permutation auseinander hervorgehen, derselbe Koeffizient a;,, entspricht, wihrend bei ungerader Permutation der Koeffizient in sein Negatives umschligt, also ey

Die

so

Oy

normierten

— — Oe

Koeffizienten

— Oe

werden

als

— a

die

Komponenten

des

be-

Koordinatensystem

un-

trefienden Tensors bezeichnet. Aus einem Skalarfeld f entspringt durch Differentiation ein lineares Tensorfeld 1. Stufe mit den Komponenten.

aus

einem

linearen

Tensorfeld

1. Stufe

f, ein solches

2h

Pogue

Sone

aus

einem

solchen

2. Stufe ie

usf.

Diese

Operationen

abhingig °).

00; >

ein lineares

iki

raiaie

sind von

Tensorfeld

neha ye of

Ox,

2. Stufe:

Oxy,

dem

a2,’

3. Stufe:

:

benutzten

Hin linearer Tensor 1. Stufe in P mége eine dort angreifende Kraft heiBen. Eine solche wird also bei Zugrundelegung eines bestimmten Koordinatensystems

gang

zu

einem

charakterisiert

andern

schiebungskomponenten

durch

nm Zahlen

Koordinatensystem

transformieren:

£,,

die sich

kontragredient

zu

bei

Uber-

den

Ver-

Can Anietee

k

Sind D>

4 die Komponenten a!

form

eine Invariante.

einer

verstanden.

oder

é, 7, ¢ und

einer willkiirlichen Verschiebung

mehrerer

willkiirlicher

Indizes

ikl

Komponenten

Verschiebungen

und Krafte

in P

Liegt z. B. eine Linearform dreier willkiirlicher Verschiebungen

zweier

willkiirlicher

Krafte Pd

sprechen

80 ist

Unter Tensor in P wird allgemein eine Linear-

» aE so

in P,

wir

von

einem

kovarianten,

a.

®) RZM, § 13.

Tensor

in bezug

pt

pel

nl

@, o vor:

0,9);

5. Stufe

auf

die

mit

den

Indizes

Kine Verschiebung ist selber

pq

in bezug

auf

die

kontravarianten

ein kontravarianter,

eine

6

kovarianter Tensor

ein

Kraft

Die Fundamentaloperationen der

1. Stufe.

Tensoralgebra sind’) 1. Addition von Tensoren und Multiplikation mit einer Zahl; 2. Multiplikation von Tensoren; 3. Verjiingung.

Die Tensoralgebra 14Bt sich demnach schon in der leeren Welt begriinden — sie setzt keine MaBbestimmung voraus —, von der Tensoranalysis hingegen nur die der ,,linearen‘’ Tensoren. — Eine ,, Bewegung‘ in unserer Mannigfaltigkeit ist gegeben, wenn jedem Wert s eines reellen Parameters in stetiger Weise ein Punkt zugeordnet ist; bei Benutzung eines Koordinatensystems x, driickt sich die Bewegung durch Formeln x; = %;(s) aus, in denen rechts die a; als Funktionszeichen zu verstehen sind. Setzen wir stetige Differentiierbarkeit voraus, so erhalten wir, unabhangig vom Koordinatensystem, zu jedem Punkte P = (s) der Bewegung einen Vektor in P mit den Komponenten

die Geschwindigkeit. Zwei Bewegungen, die durch stetige monotone Transformation des Parameters s auseinander hervorgehen, beschreiben dieselbe Kurve.

§ 3.

Affin zusammenhingende Mannigfaltigkeit Gravitationsfeld). I. Begriff des affinen

(Welt

mit

Zusammenhangs.

Ist P’ ein zu dem festen Punkt P unendlich benachbarter, so hangt P' mit P affin zusammen, wenn von jedem Vektor in P feststeht, in welchen Vektor in P’ er durch Parallelverschiebung von P nach P’ itbergeht. Die Parallelverschiebung der samtlichen Vektoren in P von dort

nach P’ muB A. Die

unendlich

dabei selbstverstindlich

Verpflanzung

benachbarten

affine Abbildung

Benutzen

wir

der

der

der folgenden

Gesamtheit

der

Forderung

Vektoren

von

Punkte P’ durch Parallelverschiebung

Vektoren

in P auf die

ein Koordinatensystem

und

Vektoren

hat

in

P darin

P

geniigen.

nach

dem

liefert eine

P’.

die

Koordi-

naten a, P’ die Koordinaten «;-++-dx,, ein beliebiger Vektor in P die Komponenten &, der Vektor in Be der aus ihm durch Parallelverschiebung nach P’ hervorgeht, die Komponenten £'-} dé’, so muf also dé‘ linear von

den

é* abhingen:

) RZM, § 6.

7

de = — Nay’ e. ao dy’,

sind

infinitesimale

GréBen,

&

die

nur

vom

Punkte

P

und

der

Ver-

schiebung PP’ mit den Komponenten dx, abhingen, nicht aber von dem der Parallelverschiebung unterworfenen Vektor €. Wir betrachten fortan affin zusammenhiingende Mannigfaltigkeiten; in einer solchen steht jeder Punkt P mit An die

all seinen

unendlich benachbarten

den Begriff der Parallelverschiebung der Kommutativitat, zu stellen.

B.

Sind

in affinem Zusammenhang.

ist noch

P,, P, zwei zu P wnendlich

eine

zweite

benachbarte

Forderung,

Punkte

und geht

der

infinitesimale Vektor PP, durch Parallelverschiebung von P nach = eS = P, in P,P,, tiber, PP, aber durch Parallelverschiebung nach P, in P, P,,,

so fallen P,, wnd P,, Parallelogrammfigur. )

Bezeichnen

mit d2,,

wir

zusammen.

(Es

die Komponenten

so besagt diese Forderung

entsteht

=> PP,

von

offenbar, da

eine

unendlich

kleine —>

mit da,;, die von PP,

dda, = — >) dy',-dx,

(2)

eine symmetrische Funktion der beiden Linienelemente d und 0 ist. Folglich muB dy‘, eine Linearform der Differentiale dx, sein,

dy und

es miissen die nur von

Komponenten geniigen.

der Art

Wegen

mit

infinitesimalen

werden,

daB

affinen

des

-

der Stelle P abhingigen Koeffizienten F, die Zusammenhangs“,

und Weise,

GroBen

sie eines

ausdriicklich durch

naa,

Sinns

einen strengen

Symmetriebedingung

in der Formulierung

wie

umgegangen

prazisen

der

wird,

entbehre.

Beweis

kénnte Wir

feststellen,

der Forderung B.

dieser vorgeworfen

wollen

da

deshalb

die

noch

Symmetrie

von (2) eine vom Koordinatensystem unabhiingige Bedingung ist. Zwecke zichen wir ein (zweimal stetig differentiierbares) Skalarfeld Aus der Formel fiir das totale Differential

Zu dem f heran.

df= Oy am,

entnehmen tors

in P

wir, sind,

daB,

wenn

é' die Komponenten

eines

willkiirlichen

Vek-

8

dp= Sy ies 5

eine

deren

weleher der Vektor soll, und erhalten

wir

Ersetzen

einer

zweiten

é parallel

mit

&' wieder

durch

bei

Anderung

hierin

die durch Vertauschung Invariante

Af= (dd

infinitesimalen

und

dx,

6,

Verschiebung

ziehen

von

von d und 6 entstandene ab, ¥

dieser

so ergibt

bei

werden

P nach P, verschoben

von

sich

bilden

Wir

ist.

Invariante

unabhangige

Koordinatensystem

vom

Gleichung

sich die

dd)f= 5 lin (dyi, x, — d7',dz,)}.

Die Beziehungen

7

al

5

\

D>) (dy', 0x, — dy',dax,) =0

r enthalten die notwendige und hinreichende Bedingung dafiir, daB fiir jedes Skalarfeld f die Gleichung 4f = 0 erfillt ist. In physikalischer Ausdrucksweise ist ein affin zusammenhingendes Kontinuum

als

eine

Welt

zu

bezeichnen,

in

der

ein

Gravitationsfeld

herrscht. Die Groen Pes sind die Komponenten des Gravitationsfeldes. Die Formeln, nach denen sich diese Komponenten beim Ubergang von dem einen zum andern Koordinatensystem transformieren, brauchen wir hier

nicht anzugeben.

wie

die

[',,

verhalten

in bezug auf r und

sich

gegeniiber

s kovarianten,

in bezug

linearer auf

Transformation

7 kontravarianten

Komponenten eines Tensors, verlieren diesen Charakter jedoch bei nichtlinearen Transformationen. Wohl aber sind die Anderungen Olina welche

die GroBen

[ erfahren,

wenn

man

den affinen Zusammenhang

der Mannig-

faltigkeit willkiirlich abindert, die Komponenten eines allgemein-invarianten Tensors von dem angegebenen Charakter.

Was unter Parallelverschiebung einer Kraft in P von dort nach dem unendlich benachbarten Punkte P’ zu verstehen ist, ergibt sich aus der

Forderung,

daB

das

invariante Produkt

dieser Kraft und eines willkiirlichen

Vektors in P bei Parallelverschiebung erhalten bleibe. Sind & die Komponenten der Kraft, 7* die der Verschiebung, so liefert*) die

Formel

d(&;n*) = (dé,- 9") + &,.dnt = (dé, —dyt,é,)ni=0

*) Wir verwenden

dé, =D)

dy",é,.

im folgenden die Einsteinsche Festsetzung, da8 iiber Indizes,

die in einem Formelglied doppelt auftreten, stets zu summieren nétig erachten, jedesmal ein Summenzeichen davor zu setzen.

ist, ohne daB

wir es

9

Zu

jeder Stelle P

kann

man

ein Koordinatensystem

x, von

solcher

Art einfiihren — ich nenne es geoddtisch in P —, da8 in ihm die Komponenten [",, des affinen Zusammenhangs an der Stelle P verschwinden. Sind zunichst a; beliebige Koordinaten, die in P verschwinden, und be-

deuten [',, die Komponenten des affinen Zusammenhangs an der Stelle P in diesem Koordinatensystem, so erhiilt man ein geodatisches %, durch die Transformation

a

(3)

Betrachten wir naimlich die %, als unabhingige Variable und deren Differentiale d%; als Konstante, so gilt im Sinne Cauchys an der Stelle 0):

Pa

dx, — dz

also

d°x,— —U",, dz,dz,, i

i>

;

:

Geared

Wegen

doen

ihrer invarianten Natur lauten die letzten Gleichungen

natensystem

Z;:

‘

Diese

sind

im Koordi-

dk, “ +0", d#,.dz,=0.

aber

verschwinden.

fiir beliebige

konstante

Das Gravitationsfeld

d,

kann

nur

erfiillt,

demnach

durch

wenn

alle [',,

geeignete Wahl

des Koordinatensystems an einer einzelnen Stelle stets zwm Verschwinden gebracht werden. Durch die Forderung der ,,Geodasie“ in P sind Koordinaten in der Umgebung von P, wenn man lineare Transformation frei gibt,

bestimmt

bis auf

Glieder

3. Ordnung;

d. h.

sind

2,;, Z, zwei

geodatische Koordinatensysteme und verschwinden sowohl die die %, in P, so gelten unter Vernachlassigung von Gliedern, den

#; von

t=

gy

k

a

3.

und

héherer

«;,%,

mit

konstanten

ets

Ordnung

sind,

Koeffizienten

I. Tensoranalysis.

lineare

in P

x, wie die in

Transformationsformeln

«,,.

Gerade

Linie.

Erst im affin zusammenhingenden Raum 1abt sich die T'ensoranalysis vollstandig begriinden. Sind beispielsweise ie die in 7 kovarianten, in k kontravarianten Komponenten eines Tensorfeldes 2. Stufe, so nehmen wir im

Punkte

bilden

P

eine

willkiirliche Verschiebung

Pee

die Invariante

& und

eine Kraft

zu Hilfe,

fF,

und ihre Anderung bei einer unendlich kleinen Verriickung d des Argumentpunktes P, bei welcher £ und 7 parallel mit sich verschoben werden. Es ist agk G) fi

d(ft &',) = 0:xp Fn, de, — fem dre + fe dyin, kept

v

é

ret

10 also

sind ok

ote

ry

= Oa,

fea

a

pe

ae

pr

die in id kovarianten, in & kontravarianten Komponenten eines Tensorfeldes 3. Stufe, das aus dem gegebenen Tensorfeld 2. Stufe in einer vom Koordinatensystem unabhingigen Weise entspringt. Im

oder

affin zusammenhangenden Raum

geodatischen

Linie

einen

gewinnt

bestimmten

wenn man einen Vektor bestindig Richtung verschiebt, als Bahnkurve

der Begriff der geraden

Sinn.

Die

Gerade

entsteht,

parallel mit sich in seiner eigenen des Anfangspunktes dieses Vektors;

sie kann daher als diejenige Kurve bezeichnet werden, die ihre Richtung ungeandert beibehalt. Sind u* die Komponenten jenes Vektors, so sollen

also im Verlaufe der Bewegung

bestiindig die Gleichungen

duit

Tipu

da,

= 0,

(HG SOK Bois CURRSS UP REE3 an 0) gelten. kénnen

Den wir

zur

Darstellung

demnach

so

der

Kurve

normieren,

daB

zu

benutzenden

identisch

Parameter

s

in s

dx;CLS ds

ist, und

die Differentialgleichungen d’a;

der geraden

,

4

Uy

dx,

Linie lauten

dann

=),

Fiir jede beliebige Bewegung x,—,(s) sind die linken Seiten dieser Gleichungen die Komponenten eines mit der Bewegung invariant ver-

kniipften

Vektors

im

Punkte

s,

der

Beschlewnigung.

In

der

wenn &, eine willkiirliche Kraft in jenem Punkte ist, die beim zum Punkte s+ ds parallel mit sich verschoben wird,

Tat

gilt,

Ubergang

Kine Bewegung, deren Beschleunigung identisch verschwindet, heiBt eine Translation. Unter gerader Linie — so kann man unsere obige Erklarung auch fassen — ist die Bahnkurve einer Translation zu verstehen. JH. Sind

P

und

Q zwei

erstem ein Vektor gegeben

der Kurve

von

P nach

tibertragung ist jedoch

durch

Kriimmung. eine Kurve

verbundene

Punkte,

in deren

kommende

Vektor-

ist, so kann man diesen parallel mit sich lings

@ schieben.

Die

so zustande

im allgemeinen nicht integrabel;

d.h.

der Vektor,

il

zu dem man

in Q gelangt, ist abhiingig von dem Verschiebungswege,

Integrabilitit

stattfindet,

dem

die Ubertragung

zwei

vollzogen hat

verschiedenen Punkten

wird.

Nur

es einen

in dem

Sinn,

von

besonderen

Fall,

gleichen

Vektor

dem

P und Q zu sprechen;

auf wo

in

es sind darunter solche

Vektoren zu verstehen, die durch Parallelverschiebung auseinander hervorgehen. Alsdann heift die Mannigfaltigkeit Zuklidisch. In einer solchen lassen sich besondere,

ausgezeichnet

sind,

,,lineare‘‘ Koordinatensysteme

dal

schiedenen Punkten

bei

ihrer

Benutzung

einfiihren,

gleiche

gleiche Komponenten besitzen.

die dadurch

Vektoren

in

ver-

Je zwei solche lineare

Koordinatensysteme hiingen durch lineare Transformationsformeln zusammen. In einem

linearen

Gravitationsfeldes

Koordinatensystem

verschwinden

die Komponenten

des

identisch.

In der oben (§ 3, L., B.) konstruierten unendlichkleinen Parallelogramm-

figur bringen nenten

da

nach

Da

P,,

wir im

é° an,

verschieben

P,,,

mit

Punkte

P einen beliebigen Vektor

ihn

ein andermal

P,,

einmal

zunachst

zusammenfillt,

Aus

P, und

wir

sich

von

nach

dort

die Differenz

erhalten

abt = — dish

6dé' = —

erhalten

und

mit

dadurch

P,

Kompo-

und

von

nach

dieser

offenbar

P,,.

beiden

einen

is' — ddé* — dd

folgt

Wir

nach

kénnen

Vektoren in jenem Punkte bilden Vektor mit den Komponenten daselbst.

parallel

mit den

— (Fdx,é*

da, dx, é* — 64, oda," + dy?, dy", &

also

At

:

= AR’, &*,

wo 4R', von dem verschobenen Vektor & unabhingige Linearformen der beiden Verriickungen d und 6 oder vielmehr des von ihnen aufgespannten Flachenelements mit den Komponenten 1u,,,

i

sind: (4)

Vise

(5)

15

Sind

i

i

Ve i

dx, 6%,

(20 em

(See

1; die Komponenten

— dx, 02,

— du, dx,

ee:

2) Sl

einer

willkiirlichen

Rand)

(Beem

= 3B yr, IE,

Oey

‘

i

i

og Kraft

\ ie aa

in P,

so

ist

9, 4&

12

eine.

varianten

Komponenten

eines

kovarianten,

die

in klm

Tensors

4. Stufe

folglich

sind

Rie

Invariante;

in

der

P,

in 7 kontra-

Kriimmung.

Das identische Verschwinden der Kriimmung ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafiir, da8 die Mannigfaltigkeit Euklidisch ist. AuBer der neben (4) verzeichneten Bedingung der ,,schiefen“ erfiillen die Kriimmungskomponenten noch die Bedingung der ,,zyklischen‘‘ Symmetrie: Sie

Sls Ro,

= oe

Re

Von Hause aus ist die Kriimmung in einem Punkte P eine lineare Abbildung oder Transformation AP, welche jedem Vektor & daselbst einen Vektor 4€ zuordnet; diese Transformation hingt selber linear von einem Flachenelement in P ab:

AP = P,,dz, 6a, = 1P,,4 a5,

(P,;= — Pin):

Die Kriimmung ist demnach am besten als ein ,,linearer TransformationenTensor 2. Stufe‘ zu bezeichnen. Um den Beweis fiir die Invarianz des Kriimmungstensors gegen Kinwande sicherzustellen, die etwa gegen die obige Infinitesimaliiberlegung erhoben werden kénnten,

benutze man

ein Kraftfeld

f,, bilde die Anderung

d(f,£") des invarianten Produkts /,£‘ in solcher Weise, endlichkleinen

wird.

Ersetzt

Verriickung

man

in dem

d

der

Vektor

erhaltenen

&

parallel

Ausdruck

daB

mit

die

sich

bei der unverschoben

infinitesimale Ver-

riickung dx durch einen beliebigen Vektor @ in P, so erhalt man eine invariante Bilinearform zweier willkiirlicher Vektoren & und o in P. Von ihr bilde man die Anderung, welche einer zweiten unendlichkleinen

Verriickung

6 entspricht,

indem

man

dabei

mitnimmt, und ersetze hernach die zweite tor o in P. Man findet die Form

die

Vektoren

Verriickung

durch

&, 9

parallel

einen Vek-

bd(f,é")= ddf,-é' + df, 5& + of,dé' + f,odé". Durch Vertauschung ‘von d und 6 und nachfolgende Subtraktion sich daraus wegen der Symmetrie von dd/,; die Invariante

AE)

=f4e,

und damit ist der gewiinschte Nachweis § 4.

Metrische

erbracht.

Mannigfaltigkeit

I. Begriff der metrischen

Eine

Mannigfaltigkeit

trdgt

ergibt

im

(der Ather).

Mannigfaltigkeit.

Punkte

P

eine

Mafbestimmung,

wenn die Linienelemente in P sich ihrer Lange nach vergleichen lassen; wir nehmen dabei im Unendlichkleinen die Giiltigkeit der Pythagoreisch-

13

Euklidischen Gesetze an. Es soll also je zwei Vektoren £, » in P eine Zahl &-y als skalares Produkt entsprechen, die in ihrer Abhingigkeit von beiden eine symmetrische Bilinearform ist; diese Bilinearform ist freilich nicht

absolut,

sondern

nur

bis

auf

einen

willkiirlichen,

von

0 verschie-

denen Proportionalititsfaktor bestimmt. Es ist also nicht eigentlich die Form £7, sondern nur die Gleichung é-7 = 0 gegeben; zwei Vektoren, welche

jene auf

sie erfiillen,

Gleichung welchem

heiBen

zueinander

nicht-ausgeartet

alle Vektoren

sei,

in P

senkrecht.

d. h. daB

senkrecht

Wir

setzen

voraus,

dah

der

Vektor

0 ist.

Wir

bestimmt.

Wir

der

stehen,

einzige Vektor in P,

setzen dagegen nicht voraus, daB die zugehérige quadratische Form é-é& positiv-definit ist. Hat sie den Triigheitsindex g und ist n —q= >, so sagen wir kurz, die Mannigtfaltigkeit sei in dem betrachteten Punkte (p+ q)-dimensional; wegen des willkiirlichen Proportionalitatsfaktors sind

die

nehmen

beiden

Zahlen

p,q

nur

jetzt an, daB unsere

bis auf

ihre

Reihenfolge

Mannigfaltigkeit in jedem Punkte

eine Ma-

bestimmung tragt. Zum Zwecke der analytischen Darstellung denken wir uns 1. ein bestimmtes Koordinatensystem und 2. den an jeder Stelle willkiirlich zu wahlenden Proportionalititsfaktor im skalaren Produkt festgelegt; damit ist ein ,,Bezugssystem‘*) fiir die analytische Darstellung gewonnen. Hat dann der Vektor é im Punkte P mit den Koordinaten a, die Komponenten £', 7 die Komponenten 7‘, so wird (7)

sein,

wo

die

Koeffizienten

=D

on 8' 9

tk

g,, Funktionen

nicht nur stetig, sondern zweimal stetig sind und ihre Determinante g schwindet, hat die quadratische Form Tragheitsindex g; wir kénnen daher

der x, sind.

(Gui

= Gin)

Die g,,

sollen

stetig differentiierbar sein. Da sie nach Voraussetzung nirgendwo ver(é-&) an allen Stellen den gleichen die Mannigfaltigkeit in ihrem ganzen

Behalten wir das KoordiVerlaufe als (p+ q)-dimensional bezeichnen. natensystem bei, legen aber eine andere Wahl des unbestimmten Proportionalitatsfaktors zugrunde, so bekommen wir statt der g,, als Koeffi-

zienten des skalaren Produkts

GréBen

Gin

4 Gens

wo 4 eine nirgendwo verschwindende stetige (und zweimal stetig differentiierbare)

einer

Ortsfunktion

Zufolge

der

ist.

bisherigen

Annahme

Winkelmessung ausgestattet;

sich stiitzt,

ware

als

,,konforme

®) Toh unterscheide also zwischen

die

ist

die

Mannigfaltigkeit

Geometrie,

Geometrie‘‘

zu

welche

auf

bezeichnen;

,,Koordinatensystem“

und

sie

nur

mit

hat

be-

sie allein

,,Bezugssystem“.

14

kanntlich im Gebiete der zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten (,,Riemann-

schen Flichen“) wegen ihrer Wichtigkeit fiir die komplexe Funktionentheorie eine weitgehende Ausbildung erfahren. Machen wir keine weitere

Voraussetzung,

Punkte der Mannigfaltigkeit in

einzelnen

die

bleiben

so

Kin metrischer metrischer Hinsicht vollstindig gegeneinander isoliert. Zusammenhang von Punkt zu Punkt wird erst dann in sie hineingetragen,

wenn ein Prinzip der Ubertragung der Langeneinheit von einem Punkte P zu seinen unendlich benachbarten vorliegt. Statt dessen machte Riemann

die viel weitergehende

an

auch

sondern

Stelle,

derselben

Linienelemente

sich

daf

Annahme,

endlich

zwei

irgend

nicht

nur an

entfernten

Stellen

ihrer Linge nach miteinander vergleichen lassen. Die Modglichkeit einer solchen ,,ferngeometrischen‘« Vergleichung kann aber in einer reinen Infinitesimalgeometrie durchaus nicht zugestanden werden. Die Riemannsche Annahme ist auch in die Einsteinsche Weltgeometrie der Gravitation iibergegangen. Hier soll diese Inkonsequenz beseitigt werden. Sei

P

ein

fester Punkt,

durch die Verschiebung

P,

ein

unendlich

benachbarter,

mit den Komponenten

ein bestimmtes Bezugssystem zugrunde.

dz, hervorgeht.

das

Quadrat

der

Linge

eines

Dig: tk Liangenquadrat

wir

die

in P

eines

gewahlte

wir das als méglich

Wir legen

Vektors

& in

P

gegeben

ik ce

beliebigen Vektors Ldngeneinheitt

voraussetzen,

ihm

festgelegten Langeneinheit

beliebigen

sein durch

Das

aus

Im Verhialtnis zu der damit in P

(sowie in allen iibrigen Punkten des Raumes) wird

der

von

gegeben

&, in P,, aber wird, P nach

P,,

wenn

iibertragen,

werden durch

wie

(1+dp) 3’ (Gin + 19:4) € ik

wo 1-+d@ einen unendlich wenig von 1 abweichenden Proportionalitatsfaktor bedeutet; dg muf eine homogene Funktion der Differentiale dz,

von der Ordnung 1 sein. Verpflanzen wir nimlich die im Punkte P gewahlte Lingeneinheit von Punkt zu Punkt lings einer Kurve, die von P

nach

dem

Quadrat

der

endlich

der Linge

so in Q

entfernten

Punkte

Q

fiithrt,

so

eines beliebigen Vektors in Q,

gewonnenen

Langeneinheit,

den

erhalten

unter

Ausdruck

wir

fiir

das

Zugrundelegung

G48

2,

multipli-

ziert mit einem Proportionalitatsfaktor, der sich als Produkt der unendlich vielen einzelnen Faktoren von der Form 1-4 dy ergibt, die jeweils

beim

Ubergang

von

einem

Punkt der Kurve zum

I(1+dq) =e?

nachsten hinzutreten:

=e Lap = Snay .

15

Damit

das im Exponenten

auftretende

Integral

einen Sinn hat, mu

eine Funktion der Differentiale von der behaupteten

Art sein.

dp

Ersetzt man g;, durch 9% =49;,, 80 wird an Stelle von dy eine andere GréBe dy’ treten. Es muf dabei, wenn 4 den Wert dieses Faktors im Punkte P -bedeutet,

A+ 49’) (95, +49;,) = 4(1 + dep) (94,

+49,,)

sein, und das ergibt

(6)

dy

Von

den

zuniichst

iiber dq

=dp——.

méglichen

Annahmen,

daB

es

eine

lineare

Differentialform ist oder die Wurzel aus einer quadratischen oder die Kubikwurzel aus einer kubischen usf., hat, wie wir jetzt aus (6) erkennen, nur die erste einen invarianten Sinn. Wir sind damit zu folgendem Resultat gelangt. Die Metrik einer Mannigfaltigkeit beruht auf einer quadratischen und einer linearen Differentialform (7)

ds? = 9,,d2,d2,

Umgekehrt gelegt,

und

dy = 9, dx,.

sind aber durch die Metrik diese Formen nicht absolut fest-

sondern

Gleichungen

jedes

(8)

Formenpaar

sei

da.

ds'*,

dy’,

dy’

das

=~do—

aus

(7)

nach

den

di

Ai

entspringt, ist dem ersten Paar in dem Sinne dquivalent, dap beide die gleiche Metrik zum Ausdruck bringen. 2 ist darin eine beliebige, nirgendwo verschwindende stetige (genauer: zweimal stetig differentiierbare) Ortsfunktion. In alle GroBen oder Beziehungen, welche metrische Verhaltnisse

analytisch darstellen, Weise eingehen, dal

miissen demnach die Funktionen g,,, g, in soleher Invarianz stattfindet 1. gegeniiber einer beliebigen

Koordinatentransformation der

Ersetzung

von

(7)

(,,Koordinaten-Invarianz“)

durch

(8)

2.

und

(,,Ma8stab-Invarianz‘).

e

gegeniiber

=dlgi

ist

ein totales Differential. Wa&hrend also in der quadratischen Form ds* ein Proportionalitatsfaktor an jeder Stelle willkiirlich bleibt, besteht die Un-

bestimmtheit von d@ in einem additiven totalen Differential. Eine metrische Mannigfaltigkeit bezeichnen wir in physikalischer Ausdrucksweise

als

vom

eine

Ather

erfiillte

Welt.

Die

bestimmte,

in

der

Mannigfaltigkeit herrschende Metrik zeigt einen bestimmten Zustand des die Welt erfiillenden Athers an. Dieser Zustand ist also relativ zu einem Bezugssystem

durch

Angabe

9x2 Y; 2a beschreiben.

( arithmetische

Konstruktion)

der

Funktionen

16

Komponenten

F

lineare

der

daB

hervor,

geht

(6)

Aus

2. Stufe

mit

den

.

Lee Gay, ba,

ik

der Mannigfaltigkeit

durch die Metrik

Tensor

eindeutig festgelegt ist;

ich

nenne

Lr ist, wie ich glaube, dasselbe, was in der ihn den metrischen Wirbel. Er geniigt dem ,,ersten System Physik elektromagnetisches Feld heibt.

der

Maxwellschen

Gleichungen“

Sein Verschwinden ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafiir, daB die Lingeniibertragung integrabel ist, da also jene Voraussetzungen Platz

greifen,

legte. die

Wir

sich

welche

verstehen

in

Riemann

daher,

mathematischer

wie

der

metrischen

Einstein

Hinsicht

an

Geometrie

durch seine Weltgeometrie,

Riemann

anschlieBt,

den Gravitations-, nicht aber von den elektromagnetischen Rechenschaft geben konnte. Il. Affiner

Zusammenhang

zugrunde

einer metrischen

nur

von

Erscheinungen

Mannigfaltigkeit.

Im metrischen Raum tritt an Stelle der in §3, I an den Begriff der infinitesimalen Parallelverschiebung gestellten Forderung A die weitergehende A*:

dap

die Parallelverschiebung

der saémtlichen Vektoren

in einem

Punkte P nach einem unendlich benachbarten P' nicht nur eine affine, sondern eine kongruente Verpflanzung dieser Vektorgesamtheit sein mup. Unter Verwendung der damaligen Bezeichnungen ergibt diese Forde-

rung die Gleichung

(9)

(1+ de) (gi, + dg)(E + dE) (8 +-ds") = g,, 858.

Bei allen Gréfen ai, die

das

,,Herunterziehen*

einen

dieses

oberen

Index

durch

EAS! Oe fata

k

(und dazu

Index A VAL

die

(¢)

tragen,

Gleichungen

k

den umgekehrten Prozef} des Heraufziehens eines Index durch die inversen Gleichungen). Fiir (9) kénnen wir, diese Symbolik be-

nutzend,

schreiben:

(Gin fe" )dg + €'&* dg, + 28,48 =0. Der

definieren wir

letzte

Term

ist

17

es mul

somit

(10)

Vy,

sein,

= 49,

+ 9:,d9

Diese Gleichung lat sich gewi8 nur erfiillen, wenn dp eine lineare

Differentialform

verninftigen

ist;

gedringt

eine Annahme,

wurden.

(10*)

Unasa

folgt in Anbetracht

(GD

Es

+ dy,

zeigt

sich

Aus

der

wir

(10) oder

k

ata. ar 7

daB

oben

als

der

einzig

Uvda—= rae ay CAR

der Symmetrieeigenschaft

somit,

schon

9,

Cg,

Tet

zu

vi) +5

in einer

[,,, —T,,,,: neki

(Gir Pe + Ger Pi — Vin Pr):

metrischen

Mannigfaltigkeit

der

Begriff

der infinitesimalen Parallelverschiebung eines Vektors durch die aufgestellten Forderungen eindeutig festgelegt wird’°). Ich betrachte dies als die trundtatsache der Infinitesimalgeometrie, daB mit der Metrik auch der

affine Zusammenhang einer Mannigfaltigkeit gegeben ist, das Prinzip der Léngentibertragung ohne weiteres ein solches der Richtungstibertragung mit sich fiihrt, oder physikalisch ausgedriickt, der Zustand des Athers das Gravitationsfeld bestimmt. Unter

sind,

den

geoditischen

Linien

hierzu

Hessenberg,

Vektorielle

die

wenn

quadratische

Form

9;,7%,d%, indefinit ist, die Nullinien ausgezeichnet, lings deren jene Sie hangen nur vom Verhiltnis der g,,, dagegen Form verschwindet. iiberhaupt nicht von den @; ab, sind also Gebilde der konformen Geometrie*), Wir hatten an den Begriff der Parallelverschiebung gewisse axiomatische Forderungen gestellt und gezeigt, daB ihnen in einer metrischen Es Mannigfaltigkeit auf eine und nur eine Weise geniigt werden kann. ist aber auch méglich, jenen Begriff in einfacher Weise explizite zu defiIst P ein Punkt unserer metrischen Mannigfaltigkeit, so wollen nieren. wir ein Bezugssystem geoddtisch im Punkte P nennen, wenn bei seiner Benutzung die gy; in P verschwinden und die g,, stationire Werte annehmen:

Math.

1) Vgl. Ann.

Bd. 78 (1917),

S. 187—217,

11) Mit dieser Bemerkung méchte »Raum, Zeit, Materie“ berichtigen.

insb.

Begriindung

S. 208.

ich ein Versehen

der Difterentialgeometrie,

auf Seite 183 meines Buches

18

Ist & geoddtische Bezugssysteme. ein zu. P unendlich benachbarter

D. Zu jedem Punkt P gibt es ein gegebener Vektor in P, P' aber

der

P’',

in

Vektor

denjenigen

Vektor

entstehenden

P'

nach

Parallelverschiebung

& durch

aus

dem

unter

wir

verstehen

so

Punkt,

dem

in

zu

P gehorigen geoddtischen Bezugssystem dieselben Komponenten wie & besitet. Diese Definition ist von der Wahl des geoddtischen Bezugssystems unabhangig.

Es ist nicht schwer, die in dieser Erklirung mitausgesprochenen Be-

hauptungen unabhangig von dem hier befolgten Gedankengang durch direkte Rechnung zu erweisen und auf demselben Wege zu zeigen, daB der so definierte ProzeB der Parallelverschiebung in einem beliebigen Ko-

ordinatensystem

durch die Gleichungen

(12)

dé’ = —1",,é" da,

mit den aus (11)

zu

entnehmenden

Koeffizienten

[ beschrieben wird'’).

Hier aber, wo die invariante Bedeutung der Gleichungen (12) bereits feststeht, schlieBen wir einfacher so. In einem geodatischen Bezugssystem

verschwinden sich

auf

nach (11)

dé”

—0.

Der

die

[’,,,

und

von

uns

aus

leitete Begriff der Parallelverschiebung nierten

iiberein.

ein

P

Es

handelt

geodiitischen Bezugssystems in

geoditisches

sich

nur

die

Gleichungen

axiomatischen

stimmt noch

nachzuweisen.

Wir

Koordinatensystem

also mit dem wihlen

das

reduzieren

Forderungen

darum,

#,,

(12)

die

herge-

in D. defi-

Existenz

zu diesem

den

Punkt

P

eines

Zweck

selbst

zum Anfangspunkt (x; 0) hat. Ist die Lingeneinheit in P und seiner Umgebung zunichst beliebig gewaihlt und bedeuten dann gy, die Werte

dieser GréBen

in P,

so

zu (8) zu vollziehen mit um

zu

Daraus

erreichen,

folgt

wonnenen

dann

—

auBer

sind

in der

Transformation

man

den

siehe (10*)

Bezugssystems.

Bezugssystems

lineare

dab

braucht

—

Pe

—

nur

noch

den

auch die g;

die

geoditische

unmittelbaren

Umgebung

freigibt,

Die

Koordinaten

bis auf

Glieder

eines

Ubergang

in P

von (7)

verschwinden.

Natur

des

so

ge-

in P geoditischen

von P, wenn man

3. Ordnung

bestimmt,

die

Lingeneinheit aber bis auf Glieder 2. Ordnung, falls die Hinzufiigung eines konstanten Faktors freigegeben wird.

™) Man gangen bin.

kénnte

dabei

denjenigen

Weg

einschlagen,

den

ich

in RZM §

14 ge-

19

IH.

Rechenbequeme

Diejenigen

Gréfen,

sind dimensionslos;

Erweiterung

welche

wir in § 2 als Tensoren

ihre Komponenten

Koordinatensystems,

des Tensorbegriffs.

hingen

eingefiihrt

haben,

wohl ab von der Wahl

nicht aber von der Wahl der Langeneinheit.

des

In der

metrischen Geometrie erweist sich eine Begriffserweiterung als zweckmabig: unter einem Tensor vom Gewichte e soll eine vom Koordinatensystem

unabhingige in einem

Linearform

Punkte

einer

verstanden

oder

werden,

der Liangeneinheit abhingt, daB (8) den Faktor 4° annimmt. Die kovarianten Tensors 2. Stufe vom erweiterten Tensorbegriff nur als

um

seiner

rechnerischen

mehrerer Verschiebungen die

aber

in der Weise

und Krafte

von der Wahl

die Form bei Ersetzung von (7) durch g,, selber sind die Komponenten eines Gewichte 1. Ubrigens sehen wir diesen einen Hilfsbegriff an, den wir lediglich

Bequemlichkeit

willen

einfiihren;

sachliche Be-

deutung schreiben wir nur den Tensoren vom Gewichte 0 zu. Wo daher im folgenden von Tensoren die Rede ist ohne Zusatz einer Gewichtsangabe,

ist der Begriff immer in diesem urspriinglichen Sinne zu verstehen. Jene Bequemlichkeit aber beruht auf folgendem: Uben wir beispielsweise den

an den Komponenten a;, eines kovarianten Tensors

ProzeB

des

Heraufziehens

e—2.

Wir kénnen

eines

oder

beider

Indizes

vom Gewichte e

aus,

so erhalten

wir in a, oder a’, die gemischten Komponenten eines Tensors vom Gewichte e—1, in a** die Komponenten eines kontravarianten Tensors vom Gewichte

schieht, die so entstehenden Tensoren mit dem zieren,

von

da sie auBer

ihm

wie dies sonst ge-

nicht entschlieBen,

uns

noch

von

der

urspriinglichen zu identifidem

Metrik,

Zustand

des

Weltithers abhangen und wir diesen durchaus nicht als a priori fest gegeben betrachten, sondern uns die Méglichkeit vorbehalten, ihn beliebigen

virtuellen Veranderungen IV.

zu unterwerfen.

Kriimmung

im

metrischen

Sind é*, 7 zwei willkiirliche Verschiebungen die Komponenten eines Kraftfeldes, so folgt aus

Raum.

im

Punkte

P,

/, aber

Cosa ts?

also

(13)

Andererseits

4 (fen) = f,4a8 = A(f'n) =f 40, EAN; £, An= i

ist, wenn wie immer bei virtuellen Verriickungen

parallel verschoben werden,

a(n.) + (En)dp = 0,

dd (Emf+ 6(8'n,)dy + (Em) dd = 0.

die Vektoren

20

=— (en; ) edgy,

erste

das

(m, AE* + €'An,) + (E'9,) dp

4p =0. + £40") + (F'n) (nA =At' —1£ Ag,

dt

(14) in eine

Aé

ponente gespalten.

und

=0

:

wir also

haben wir

daher

so kommt

subtrahiert,

6 und

d und

man

oder wegen (13)

so

‘

;

= 7, dak + bn, dé" + dy,6& + Eddn,.

Vertauscht

Setzen

ist

Gleichung

in der letzten

Glied

mittlere

Das

Es ist

é' senkrechte

zu

eine zu fee parallele Kom-

und

wir schreiben 4é'

gilt

Dann

= AR', &*,

AR

=,

(15)

he

:

Bhim = Bim — 3 OFF,

Ziehen wir den Index 7 herunter,

lund

m,

tung (15) zweiten

sondern

als

auch

bezeichnen

in

wir

7 und

den

Aus

der Natur

nur

dann,

der

& schiefsymmetrisch.

Summanden

die

durch

=k)

Zerspaltung

(14)

Parallelverschiebung

In der

Zerspal-

metrischer

Wirbel.

als

Lingenkriimmung

entsprechenden

1G

ee EOE EY. ;

Im?

der Satz hervor, der zugleich unsere Terminologie wenn

‘

so sind die GréBen R,,,,, nicht nur in

ersten

Langenkriimmung.

Are

von

Richtungs-,

ne:

rechtfertigt:

eines

Vektors

geht

den

folgen-

Dann

und

vollzogene

Richtungsiibertragung integrabel ist, verschwindet der Tensor R der Richtungskriimmung; dann und nur dann, wenn die ebenso vollzogene Lingeniibertragung integrabet ist, verschwindet der TensorF der Langenkriimmung. Wir geben hier noch den expliziten Ausdruck der Richtungskriimmung an. Fiihren wir in iblicher Weise die Christoffelschen DreiindizesSymbole und die Riemannschen Kriimmungskomponenten durch die

Gleichungen

ein:

(oe

(ee

(Vl=7Ge+ (Fe

= +

ee

°9,, ze

“0

-32),

SK: sli}

al .

\ alee}

si

=Daat,

rf tee

setzen ferner fiir ein beliebiges quadratisches System : : 2(Gi1%em

iky

von Zahlen a,,: .

+ Im 1 — Yim %M1 — Gar Fim) = Fixrm

und

bilden

ay:

(iky

Gay Lr $ 80

:

PiPe

ist

— 3Iix

iklm

Man

keine

beachte,

daf

hier

—~

selbstindige Bedeutung

naten“-,

nicht aber die

mal Pinim

einzelnen

i 2 Pikim:

Bestandteilen

zukommt:

kim

der

zwar

rechten

die

Seite

,,Koordi-

Fiir die verjiingten Tensoren

=@

kim

“"km?

auf

sie besitzen

,,Mafstab‘-Invarianz. R*

gilt

PrP”) = Pino

Gixim

den

Pe Pins

km

wo

ist.

Abermalige

Verjiingung

ergibt,

wenn

Baan

setzen,

wir

To

ROG ( a dy oe Fomgie

Aus

hangigen

der

kann

Richtungskriimmung

Tensor

in folgender Weise

ag skim

man

herleiten.

einen

Man

nur

von den g,, ab-

setze

= (G92 Bem + IumPir — Fim Pir — Jur Bin)

2) Rn

1

+ 7

(Git Gem = Fim Ini) B-

sind gleich den in analoger Weise aus den Diese Zahlen Wi bildenden *G ‘ixim> Pringt man also den Index i wieder nach die Komponenten eines invarianten Tensors = PT sind iGo 2 und n= Dieser Tensor verschwindet fiir n= formen Geometrie.

G;,,,,

2u

oben,

so

der kon3 stets,

erst fiir n> 4 spielt er eine Rolle. Sein Verschwinden ist eine notwendige (aber keine hinreichende ) Bedingung dafiir, daB die Mannigfaltigkeit sich winkeltreu

§ 5.

Skalare I.

Ist [ Wda« CUE OND 3, Oe

—

Koordinatensystem

abbilden

Euklidische

auf eine

und Im

laBt.

tensorielle

Dichten.

Situs-Raum.

ich schreibe kurz da fir das Integrationselement eine Integralinvariante, so ist YW eine GréBe, die vom

in der Weise

abhangt,

dab sie sich

bei Ubergang zu

22

einem andern Koordinatensystem mit dem absoluten Betrag der FunktionalFassen wir jenes Integral als Ma eines das determinante multipliziert.

auf,

Substanzquantums

erfiillenden

Integrationsgebiet

so

ist

dessen

YW

beschriebenen Art mége deshalb als skalare Das ist ein wichtiger Begriff, der gleichberech-

Eine Gréfe der Dichte. Dichte bezeichnet werden.

nicht auf ihn reduzieren

tigt neben den des Skalars tritt und sich durchaus

14Bt *), Eine Linearform einer oder mehrerer Verschiebungen und Krafte, die vom Koordinatensystem in solcher Weise abhiingt, daB sie bei Ubergang zu einem andern sich mit dem absoluten Betrag der Funktional-

multipliziert, nennen wir, analog eine J'ensor-Dichte.

determinante

gerechtfertigt,

titdts-Gréfen

werden wie

als Intensitdts-,

Tensoren

die

kovariant

Die Ausdriicke

zu bezeichnen.

Tensordichten

die

Hs ist

als Quan-

und kontravariant

Der allgemeine Begriff der Tensor-

fiir Tensoren verwendet.

dichte gehért der reinen Situsgeometrie an. Hingegen laBt sich in dieser Geometrie die Analysis der Tensordichten nur in einem analogen Umfange

begriinden wie die Analysis der Tensoren. Einen

Tensor

hatten wir

ist und seine Komponenten Tensordichte

alternierende kann

als

wollen

wir

linear

wenn

er kovariant

aufgefaBt

wenn

Eine

werden.

sie

lineare

Ist

kontravariant

ist

Tensordichte

m*

eine

skalare Dichte;

ist

solche,

Hine

und

1. Stufe

so

ist

ows

=

eine

mit

ihr invariant verkniipfte

Tensordichte

2. Stufe,

so ist

owt we Ox,

(7) lineare

Weise,

indem

Tensordichte

man

hérige Quellstarke Kraftfeld

und

heiBen,

besitzt.

(16)

eine

genannt,

der Forderung des Alternierens geniigen.

Komponenten

,,Stromstirke“

in § 2 linear

f; = —

die Divergenz

1. Stufe;

zeigt,

eine

zu Hilfe

usf.

Daraus

nimmt,

w**f,

lineare

> wk (16)

beweist

man

in

bekannter

daB die linke Seite die zur Stromstirke

darstellt. von

**

ergibt

das aus

sich

einem

(17),

indem

Potential

tw‘ ge-

man

ein

f entspringt,

bildet:

a(witfi) _ awe ax, eto,

usf. *8) Die Gegeniiberstellung

von Skalar

und

skalarer Dichte

entspricht

vollstindig

derjenigen von Funktion und Abelschem Differential in der Theorie der algebraischen Funktionen.

23

Il.

Im affin zusammenhingenden

In einer affin zusammenhiingenden

nur von

einer

bilden. —

nennen

linearen,

seme

von

wenn

die

vakiared

Mannigfaltigkeit

wir in einem

&

in

den

durch Parallelverschiebung aus dem Vektor in P die totalen ee tee

dé +0 bestehen.

Offenbar

,8%de,—0 gibt

es

Raum.

kann

man

nicht

Punkte P stationar zu

Nachbarpunkten

P’

€ in P hervorgehen,

(oder

solche

im metrischen

jedweder Tensordichte deren Divergenz

Hin Vektorfeld &* werden

haben,

und

von

P

d. h. wenn

2Ox, “47h er 0) in P stationire Vektorfelder,

welche

dem Punkte P einen willkiirlich vorgegebenen Vektor € zuordnen. Jin analoger Begriff ist fiir Kraftfelder aufzustellen. Will man nun z. B. die Divergenz einer gemischten Tensordichte 1/2. Stufe bilden, so nimmt man ein in P stationires Vektorfeld Tensordichte ew die Divergenz:

¢' zu

Hilfe

und

a(stmi)

konstruiert

Eu

Om,

coh

ne) 0m,

von

der

.

eine kovariante Tensordichte 1. Stufe, die aus w/ in einer von jedem Koordinatensystem unabhangigen Weise entspringt. Aber man kann nicht nur durch Divergenzbildung einer Tensordichte zu einer solchen von einer um 1 geringeren Stufenzahl herabsteigen, sondern auch durch Differentiation aus ihr eine Tensordichte bilden, deren Stufenzahl

um 1

wir als Dichte und

3dV

héher

einer

ist.

Bedeutet

die Mannigfaltigkeit

ist dV =dx,da,...da,

das

3 zunachst

erfiillenden

ein unendlich

jetzt dV

dieses

Element

der infinitesimalen Verschiebung

darunter

verstehen

wir

eine skalare

kleines

ProzeB,

bei

Wir

so ist

unterwerfen

6 (mit den Komponenten welchem

die

die

auffassen

Volumelement,

erfiillende Substanzquantum.

einen

Substanz

Dichte,

einzelnen

62;);

Punkte

von dV infinitesimale Verschiebungen erfahren, die selbst durch Parallelverschiebung auseinander hervorgehen. Der Unterschied zwischen den

Substanzquanten, welche dV und dieses durch Verschiebung aus dV stehende Weltgebiet erfiillen, betragt Es

(48)

sind also

(68 — 81 j,6a,)dV = (08 — 8dy7)aV. a8

0x;

— 7,3

ent-

24

die Komponenten einer kovarianten Tensordichte vom Koordinatensystem unabhingigen Weise aus

Stelle zeigt an,

an einer

Ihr Verschwinden

entspringt.

1. Stufe, die in einer der skalaren Dichte 3 dab

die Substanz

daselbst gleichférmig verteilt ist. (18) kann iibrigens in einer mehr rechnerischen Weise auch folgendermafen hergeleitet werden. Man nehme ein

in’P stationires Stromstarke 3":

Vektorfeld

ase) aa;

&'

zu

Hilfe

und

bilde

die

Divergenz

der

2 Oay

0a;

Um die Differentiation von der skalaren auf eine beliebige Tensordichte, z. B. die gemischte ws von 2. Stufe auszudehnen, bedient man sich in nun schon geliufiger Weise eines in P stationiren Vektorfeldes &" und

eines daselbst stationiren Kraftfeldes 7, und differentiiert die skalare Dichte w/'y,. Verjiingung der durch Differentiation entsprungenen Tensor-

dichte nach dem Differentiationsindex und einem kontravarianten fiihrt zur Divergenz zuriick. Die Analysis der Tensordichten ist demnach schon in der Affingeometrie vollendet. Was die metrische Geometrie neu liefert, ist lediglich folgende Methode zur Erzeugung von Tensordichten: man multipliziere einen

beliebigen g'

Tensor

nante

der g;, ist. —

vom

Gewichte

Beispiel:

—”™3

mit

Die wirkliche Welt

V 9gg,

wo gg die

Determi-

ist eine (3 + 1)-dimen-

sionale Mannigfaltigkeit; g ist daher negativ und wir benutzen an seiner Stelle das positive —g. Aus dem kovarianten metrischen Wirbeltensor F,,, der

vom

wichte

Gewichte

(0 ist,

erhalten

wir

den

kontravarianten

— 2 und daraus durch Multiplikation mit Y—g

F**

vom

die GréBen

Ge-

Vag FE = x. Das sind also die Komponenten

variant

bestimmten

Wirbeldichte

(19)

linearen

einer

durch

Tensordichte

(elektromagnetische

2. Stufe;

Felddichte) ik

ai

den Zustand des Athers insie

wird

zu bezeichnen

als

sein.

metrische

esre

ist daher eine Stromstirke (lineare Tensordichte 1. Stufe). In (19) haben wir das zweite System der Maxwellschen Gleichungen vor uns, das freilich

erst einen bestimmten Inhalt gewinnt, wenn der

,,elektrische Strom‘

3°

noch in einer zweiten Weise durch den Zustand des Athers ausgedriickt wird. Jedenfalls kann es aber nach unserer Deutung des elektromagnetischen Feldes. nur in einer vierdimensionalen Welt so etwas wie eine

elektromagnetische Felddichte und einen elektrischen Strom iiber irgendein Weltgebiet zu erstreckende Integral von

geben.

Das

25 S

=

i EF.

ale

tritt in der Physik als die in diesem Gebiet enthaltene elektromagnetische Wirkungsgréfe auf. Thre Bedeutung beruht darauf, daB die unendlich kleine Anderung, welche sie bei einer infinitesimalen, an den Grenzen des Weltgebiets verschwindenden Variation ég,,, 5 gp; des Atherzustandes erfahrt,

= J (3°09, 4+ 36" g,,)de

(6" = 6%)

ist, wo $' die durch (19) definierten Komponenten der Stromstirke und die gemischte Tensordichte 2. Stufe mit den Komponenten

Gi

=6si — PF, 5

die Energie-Impulsdichte des Hxistenz

aller dieser

elektromagnetischen

Grofen

bunden. Zum erstenmal ldpt kalischen Erscheinungen einen die Welt vierdimensional ist.

ist

durchaus

an

die

Feldes

darstellt.

Dimensionszahl

Die

4 ge-

die hier befiirwortete Deutung der physiverniinftigen Grund dafiir erkennen, dap

Ag =f, ist die ,,Spur‘

sind

dx,0%,

jener Transformation

AP welche als Kriimmung Transformation bilden

auftrat.

—P,,.d 2,02, Nach

dem Muster

von G kénnen

wir die

iV—g9P,, pe

(wobei

die Multiplikation als Zusammensetzung

Mt derselben

ist eine skalare Dichte, Ill.

den

Die

Zustand

bestimmte

die gleichberechtigt

Wirkungsgréfe

Wir kehren zur reinen skalare Dichte,

und

Mathematik

des Athers (unabhingig so

wollen

zuriick.

vom

wir

enthaltene

Wirkungsgrdfe

tion des Athergustandes

(20)

© tritt.

Ist Y8 irgendeine durch

Koordinatensystem)

eindeutig

(nach dem Vorbild der Maxwell-

bezeichnen.

als die in dem IntegrationsBei einer beliebigen

von der eben geschilderten

6 f Wdx— f(w'dg,

neben

Die Spur

ihre Variation.

schen Theorie) die Integralinvariante [ ¥&da

gebiet

zu deuten ist).

+4 B"dg,,)dx

ww’ sind die Komponenten einer gesetzt. gemischten Tensordichte der 1. baw. 2. Stufe. schen Ableitungen: der Wirkungsfunktion die aus der Invarianz der WirkungsgréBe Invarianz statthaben, wenn man g,, durch

Art werde

Varia-

(3 — wi*)

kontravarianten, Wi die einer Zwischen diesen ,, LagrangeX8 bestehen n +- 1 Identitdten, Zunaichst mub entspringen. dg,, und gleichzeitig g durch

26

1; — - ~

L

ersetzt;

Om;

abweichende

GréBe

nehmen

wir

1+

so muB

6A,

darin

989i. = Gi, 94, Das

ergibt

die

erste

jener

fiir 4 eine unendlich

demnach

verschwinden

von

1

fiir

a(84)

69; =

n+

(20)

wenig

- 3a

1 Identitaten:

(21) Zweitens nutzen wir die Invarianz der WirkungsgréBe gegeniiber Koordinatentransformation durch eine infinitesimale Deformation des Athers mége

aber die Verschiebung

verschwinden,

Atherquantum wir

die

verschieben

Wir

aus'*).

dem

P

PP

die

Koordinaten

die Metrik

mieren,

durch

also an der

wenn

P

ihrer

Invarianz

Ist jene

den

Deformation

Verschieben

demselben

wir

den Ather

schreiben in diesen

,(x)dx,;

wir auf die alten Koordinaten

zuriicktransfor-

und

durch

Zustand

gleichen

und des Athers

Wert

infinitesimal:

2

9 Gin = Gix(®) — Gen (@2

Fiir

x; mu.

und

Gn. (a)da,dx, Fiir den so erhaltenen

von

an der Stelle P durch

9:,(#)d%,dz, Stelle

der Verschiebung

so wird nach der Verschiebung

Gi,(e)de,dx, festgelegt sein, oder,

des betrachteten Gebiets

In einem zweiten Koordinatensystem

seines Zustandes,

Koordinaten

nach

Daber

P =(Z,).

=(a,) nach

P

an der Grenze

dieses Gebiet

erfiillt ist.

Punkte

ohne Anderung

neuen

so daf

Atherstelle

;(x)dq,. mu

besitzen wie

die WirkungsgréBe

Z,—;-+- d2;,

é

wegen

fiir den urspriinglichen. so ergibt sich

0(dx,)

| Ogi

ve Ge 4 set ba, }, {9,oe 7 ) ogee

: = ; a (da, 90, = 9; (") — (2) = —{y, 4

tm

diese Variation mu

Beseitigt man die Ableitungen

(20) verschwinden.

der Verriickungskomponenten man die Gleichungen

da,

durch

ri

30).

partielle

ae) Weyl, Ann. d. Physik Bd. 54 (1917), 8S. 117 K. Gesellsch. d. Wissensch. zu Gottingen, math.-physik.

Integration,

so. erhalt

(§ 2); F. Klein, Nachr. d. K1., Sitzung v. 25. Jan. 1918.

27

Benutzen wir (21), so finden wir fiir den zweiten der beiden geschweifte Klammer zusaminengefaBten Teile Nun

die

ist

wegen

der Symmetrie

von "*

=T,,;, reis 8" =17,Bs.

Damit nehmen die Gleichungen schlieBlich der ihr invarianter Charakter zutage tritt:

(22)

die

folgende

Gestalt an, in

(FEoa, — rem) + Fmt =o. IV.

,

durch

In

einer

metrischen

Uberleitung zur Physik.

Mannigfaltigkeit,

deren Ather

sich

im Zustand

extremaler Wirkung befindet, so daB also fiir jedes Weltgebiet bei beliebiger, an den Grenzen verschwindender infinitesimaler Variation der ¢,

und ,, (23)

6 f Wdx =0

ist, gelten die Lagrangeschen

(24)

i

Gleichungen

AU,

Wi = 0.

In der Physik werden die ersten als die elektromagnetischen, die zweiten als die Gravitationsgesetze bezeichnet. Wie die Mechanik, miindet auch

die Physik in einem Hamiltonschen Prinzip’’): die wirkliche Welt ist eine solche, deren Ather sich im Zustand extremaler Wirkung befindet. Wir kennen die in ihr giiltigen, durch das Hamiltonsche Prinzip (23) zusammengefaBten Naturgesetze, wenn wir die Wirkungsdichte 8 in ihrer Die Gleichungen (24) Abhangigkeit vom Zustande des Athers kennen. sind nicht unabhingig voneinander, sondern zwischen ihnen bestehen die

fiinf (n = 4) Gesetze (24)

Identitaten (21), (22). die GréBen g;,, y; nur

In so

der Tat kénnen ja durch weit bestimmt sein, da

die der

Ubergang von einem Bezugssystem zu einem beliebigen andern noch frei bleibt; ein solcher Ubergang hingt aber von fiinf willkiirlichen Funktionen ab. Das Verschwinden der aus den linken Seiten der elektromagnetischen

18) Vgl. dazu G. Mie, Annalen der Physik, Bd. 37, 39, 40 (1912/13), oder die

Darstellung

der Mieschen

Physik (1. Mitteilung),

vom

20. Nov. 1915.

Theorie

Nachr.

in RZM

§ 25;

d. K. Gesellsch.

D. Hilbert,

d. Wissensch.

Die Grundlagen

2u Gottingen,

der

Sitzung

28 :

4

2

gebildeten Divergenz

Gleichungen

gesetze und umgekehrt

aw.

=

-

feo

ist also eine Folge der Gravitations-

das Verschwinden

von deren

Divergenz

a _ 8

0B?

eine

Folge

der

:

elektromagnetischen.

Jene

fiinf

Identitiiten

stehen

in

engstem Zusammenhang mit den sog. Erhaltungssdtzen, nimlich dem (einkomponentigen) Satz von der Erhaltung der Elektrizitét und dem (vier-

komponentigen ) Energie-Impulsprinzip. sitze (auf Weise aus

man

Sie lehren namlich: die Erhaltungs-

deren Giiltigkeit die Mechanik den elektromagnetischen sowie

beruht) folgen auf doppelte den Gravitationsgleichungen;

méchte sie daher als die gemeinsame

Eliminante

setzesgruppen bezeichnen. Der einzige Ansatz fiir die Wirkungsdichte nalen

Welt,

den

man

verniinftigerweise

der folgende wobei

in

dieser

beiden Ge-

in der (3 + 1)-dimensio-

Betracht

zu

ziehen

hat,

ist

B=M+aG,

« eine numerische

Konstante

ist und

die Bedeutung

von )t und G

aus Abschnitt II dieses Paragraphen zu entnehmen ist. Man sieht, wie eng der Spielraum ist, welcher durch unsere Theorie dem Weltgesetz gelassen wird. Als erste Approximation, bei Beschrinkung auf die linearen Glieder, ergeben sich dann in der Tat aus dem Hamiltonschen Prinzip die Maxwellschen Gesetze des elektromagnetischen Feldes und das Newtonsche Gravitationsgesetz. Darin, dai die WirkungsgréBe eine reine Zahl ist, liegt die Méglichkeit eines Wirkungsquantums begriindet, dessen

Existenz

Struktur

nach

Doch

der

des Kosmos

heutigen

Physik

anzusehen

ist.

werde hier, wo es sich nur

der reinen Infinitesimalgeometrie

als

um

handelt

die

fundamentale

atomistische

die systematische

Entwicklung

und

der

mit

ihr verbundenen

Analysis der Tensoren und Tensordichten, auf die physikalische Ausdeutung der Theorie nicht niher eingegangen. Heben wir noch einmal jene Punkte hervor, der

in denen diese iiber das bisher Vorliegende hinausgeht!

stufenweise

Aufbau

metrischen Geometrie,

in

die

den

drei

Befreiung

Stockwerken

der

letzteren

der

von

Situs-,

Das

sind:

Affin-

und

einer ihr in der

Riemannschen Fassung noch anhaftenden ferngeometrischen Inkonsequenz und die Ergiinzung der Lehre von den Tensoren (IntensitatsgroBen) durch

ihr Gegenstiick,

die Lehre von den Tensordichten (oder QuantitiitsgréBen).

31. Gravitation und Elektrizitat

Sitzungsberichte der Kéniglich PreuBischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 465—480 (1918) Nach Riemann?) beruht die Geometrie auf den beiden folgenden Tatsachen: 1. Der Raum ist ein dreidimensionales Kontinuum, die Mannigfaltigkeit seiner Punkte lasst sich also in stetiger Weise durch die Wertsysteme dreier Koordinaten x, x, %; zur Darstellung bringen; 2. (Pythagoreischer Lehrsatz) das Quadrat des Abstandes ds® zweier unendlich benachbarter Punkte P=

(x1, %, %3)

und

P’= (x, + dx, %.+ dx_, %, + dxs)

ist (bei Benutzung beliebiger Koordinaten) tiven Koordinaten dx;:

ds? = J) gi, dX, AK,

eine quadratische Form

der rela-

(Bas = Bin)

Die zweite Tatsache driicken wir kurz dadurch

ist ein physik kleinen Die vierte

(1)

(2)

aus, dass wir sagen: der Raum

metrisches Kontinuum. Ganz dem Geiste der modernen Nahewirkungsgemiss setzen wir den Pythagoreischen Lehrsatz nur im Unendlichals streng giiltig voraus. spezielle Relativitatstheorie fiihrte zu der Einsicht, dass die Zeit als Koordinate (x9) gleichberechtigt zu den drei Raumkoordinaten hinzu-

tritt, dass der

Schauplatz

des materiellen

Geschehens,

die Welt, also ein vier-

dimensionales, metrisches Kontinuum ist. Die quadratische Form (2), welche die Weltmetrik festlegt, ist dabei nicht positiv-definit wie im Falle der dreidimensionalen Raumgeometrie, sondern vom Tragheitsindex 3. Schon RIEMANN

dusserte den Gedanken, dass sie als etwas physisch Reales zu betrachten sei, da sie sich z.B. in den Zentrifugalkraften als eine auf die Materie reale Wir-

kungen ausiibende Potenz offenbart, und dass man demgemass anzunehmen

habe, die Materie wirke auch auf sie zuriick; waihrend bis dahin alle Geometer

und Philosophen die Vorstellung gehabt hatten, dass die Metrik dem Raum an

sich, unabhangig von dem materialen Gehalt, der ihn erfiillt, zukomme. Auf diesen

Gedanken,

zu dessen Durchfiihrung

RreEMANN

durchaus noch die Még-

lichkeit fehlte, hat in unsern Tagen E1nstTEIN (unabhangig von RIEMANN)

das

grandiose Gebaude seiner allgemeinen Relativitatstheorie errichtet. Nach E1n-

1) B, Riemann, Uber die Hypothesen, welche der Geometrie sugrunde liegen, Math. Werke, 2, Aufl. (Leipzig 1892), Nr. 12, S. 272.

30

STEIN kommen auch die Erscheinungen der Gravitation auf Rechnung der Weltmetrik,

und die Gesetze, nach denen die Materie auf die Metrik einwirkt, sind

keine andern als die Gravitationsgesetze; die g,;, in (2) bilden die Komponenten

des Gravitationspotentials.

- Wahrend so das Gravitationspotential aus einer

invarianten quadratischen Differentialform besteht, werden die elektromagnetischen Erscheinungen von einem Viererpotential beherrscht, dessen Komponeny;dx, zusammenten y, sich zu einer invarianten linearen Differentialform 2

fiigen. Beide Erscheinungsgebiete, Gravitation und Elektrizitat, stehen aber bisher vdllig isoliert nebeneinander. Aus neueren Darstellungen von Levi-Civita!), HESSENBERG?) und des Verfassers*) geht mit voller Deutlichkeit hervor, dass einem naturgemassen Auf-

bau der Riemannschen Geometrie als Grundbegriff der der infinitesimalen Parallelverschiebung eines Vektors zugrunde zu legen ist. Sind P und P*

irgend zwei durch eine Kurve

verbundene

Punkte,

so kann

man

einen in P

gegebenen Vektor parallel mit sich langs dieser Kurve von P nach P* schieben. Diese Vektoriibertragung von P nach P* ist aber, allgemein zu reden, nicht integrabel, d.h. der Vektor in P*, zu dem man gelangt, hangt ab von dem Wege, lings dessen die Verschiebung vollzogen wird. Integrabilitat findet allein in der Euklidischen («gravitationslosen») Geometrie statt. — In der oben charakterisierten Riemannschen Geometrie hat sich nun ein letztes ferngeometrisches Element erhalten — soviel ich sehe, ohne jeden sachlichen Grund; nur die

zufallige Entstehung dieser Geometrie aus der Flachentheorie scheint daran schuld zu sein. Die quadratische Form (2) erméglicht es namlich, nicht nur zwei Vektoren

in demselben Punkte,

sondern

auch in irgend zwei voneinander

entfernten Punkten ihrer Lange nach zu vergleichen. Eine wahrhafte NaheGeometrie darf jedoch nur ein Prinzip der Ubertragung einer Linge von einem Punkt zu einem unendlich benachbarten kennen, und es ist dann von vornherein

ebensowenig anzunehmen, dass das Problem der Langenitibertragung von einem Punkte zu einem endlich entfernten integrabel ist, wie sich das Problem der Richtungsiibertragung als integrabel herausgestellt hat. Indem man die erwahnte Inkonsequenz beseitigt, kommt eine Geometrie zustande, die tiberraschenderweise, auf die Welt angewendet, nicht nur die Gravitationserschei-

nungen, sondern auch die des elektromagnetischen Feldes erklért. Beide entspringen nach der so entstehenden Theorie aus derselben Quelle, ja im allgemeinen kann man Gravitation und Elektrizitét gar nicht in willkiirloser Weise voneinander trennen. In dieser Theorie haben alle physikalischen Grissen eine weltgeometrische

Bedeutung ; die Wirkungsgrisse insbesondere tritt in ihr von vornherein als reine Zahl auf. Sie fiihrt zu einem im wesentlichen eindeutig bestimmten Weltgesetz;

ja sie gestattet sogar in einem gewissen Sinne zu begreifen, warum die Welt vierdimensional ist. — Ich will den Aufbau der korrigierten Riemannschen Geometrie hier zundchst ohne jeden physikalischen Hintergedanken skizzieren; die physikalische Anwendung ergibt sich dann von selber.

1) T. Levi-Crvira, Nozione di parallelismo ..., Rend. Circ. Mat. Palermo 42 (1917). 2) G. Hessensere, Vektorielle Begriindung der Differentialgeometrie, Math. Ann. 78 (1917). 3) H. Wevt, Raum, Zeit, Materie (Berlin 1918), § 14.

31

In einem bestimmten

dx, eines dem Punkte

Koordinatensystem sind die relativen Koordinaten

P unendlich

benachbarten Punktes

P’ ~ siehe (1) — die

Komponenten der infinitesimalen Verschiebung PP’. Der Ubergang von einem

Koordinatensystem zu einem andern driickt sich durch stetige Transformationsformeln aus: Cy

welche den Zusammenhang

wen

x)

(=O

ewer)

zwischen den Koordinaten

desselben Punktes in

dem einen und andern System festlegen. Zwischen den Komponenten dx, bzw.

dx; derselben infinitesimalen Verschiebung des Punktes P bestehen dann die linearen Transformationsformeln dx

lage dae

(3)

k in denen «,, die Werte der Ableitungen 0x,/0xz in dem Punkte P sind. Ein (kontravarianter) Vektor x im Punkte P hat mit Bezug auf jedes Koordinaten-

system gewisse

Zahlen & zu Komponenten, die sich beim Ubergang zu einem

andern Koordinatensystem genau in der gleichen Weise (3) transformieren wie die Komponenten einer infinitesimalen Verschiebung. Die Gesamtheit der Vektoren im Punkte P bezeichne ich als den Vektorraum in P. Er ist 1. linear oder affin, d.h. durch Multiplikation eines Vektors in P mit einer Zahl, und durch

Addition zweier solcher Vektoren entsteht immer wieder ein Vektor in P, und 2. metrisch: durch die zu (2) gehérige symmetrische Bilinearform ist je zwei Vektoren x und n mit den Komponenten &, 7 in invarianter Weise ein skalares Produkt

n=)

'2= 2) baby ik

zugeordnet. Nach unserer Auffassung ist diese Form jedoch nur bis auf einen willkiirlich bleibenden positiven Proportionalitétsfaktor bestimmt. Wird die Mannigfaltigkeit der Raumpunkte durch Koordinaten x, dargestellt, so sind durch die Metrik im Punkte

P die g,, nur ihrem Verhaltnis

nach festgelegt. Auch

physikalisch hat allein das Verhiltnis der g,,, eine unmittelbar anschauliche Bedeutung. Der Gleichung Dy Six 4%; 4%, = 0

ik

geniigen namlich bei gegebenem Anfangspunkt P diejenigen unendlich benachbarten Weltpunkte

P’, in denen ein in P aufgegebenes

Lichtsignal eintrifft.

Zum Zwecke der analytischen Darstellung haben wir 1. ein bestimmtes Koordinatensystem zu wahlen und 2. in jedem Punkte P den willkiirlichen Proportionalitatsfaktor, mit welchem die g;, behaftet sind, festzulegen. Die auftretenden Formeln miissen dementsprechend eine doppelte Invarianzeigenschaft besitzen: 1. sie miissen invariant sein gegentiber beliebigen stetigen Koor-

dinatentransformationen, 2. sie miissen ungedndert bleiben, wenn man die gjx durch Ag,, ersetzt, wo 2 eine willkiirliche stetige Ortsfunktion ist. Das Hinzutreten dieser zweiten Invarianzeigenschaft ist fiir unsere Theorie charakteristisch.

32

Sind P, P* irgend zwei Punkte und ist jedem Vektor x in P ein Vektor x* in P* in solcher Weise zugeordnet, dass dabei allgemein «x in «x*, x+9 in x*+4n* tibergeht (« eine beliebige Zahl) und der Vektor 0 in P der einzige ist,

welchem der Vektor 0 in P* entspricht, so ist dadurch eine affine oder lineare

Abbildung des Vektorraumes in P auf den Vektorraum in P* bewerkstelligt. Diese Abbildung

ist insbesondere

dhnlich, wenn das skalare Produkt

vektoren x*- y* in P* dem von x und portional ist. (Nur dieser Begriff der Auffassung einen objektiven Sinn; die scharferen der kongruenten Abbildung

der Bild-

yn in P fiir alle Vektorpaare x, 9 proahnlichen Abbildung hat nach unserer bisherige Theorie erméglichte es, den aufzustellen.) Was unter Parallelver-

schiebung eines Vektors im Punkte P nach einem Nachbarpunkte P’ zu verstehen ist, wird durch die beiden axiomatischen Forderungen festgelegt:

1. Durch Parallelverschiebung der Vektoren im Punkte P nach dem Nach-

barpunkte P’ wird eine ahnliche Abbildung des Vektorraumes in P auf den Vektorraum in P’ vollzogen; 2. sind P,, P, zwei Nachbarpunkte zu P und geht der infinitesimale Vektor, PP, in P durch Parallelverschiebung nach dem Punkte P, in P,P,, tiber, PP, aber durch Parallelverschiebung nach P, in P. »P»,, so fallen Py», Py, 2usammen (Kommutativitat). Derjenige Teil der 1. Forderung,

welcher besagt,

dass die Parallelverschie-

bung eine affine Verpflanzung des Vektorraumes von P nach P’ ist, driickt

sich analytisch folgendermassen aus: der Vektor & in P = (x, x,... x,) geht

durch Verschiebung in einen Vektor

Bad!

im

P=

(x,

dx, 4,4 de, 2.

7 dx)

uber, dessen Komponenten linear von £ abhangen:

Ge

= Daye z

(4)

Die 2. Forderung lehrt, dass die dy} lineare Differentialformen sind:

ai -S Thay, 8

deren Koeffizienten die Symmetrieeigenschaft besitzen

I

IES

(5)

Gehen zwei Vektoren &', 7 in P durch die Parallelverschiebung nach

gi

dé,

P’ in

n*+ dy} iiber, so besagt die unter 1. gestellte, tiber die Affinitat hin-

ausgehende Forderung der Ahnlichkeit, dass

ik x + agin) (E+ dB) (ok + dy) 28

mu

n Ea Sei tk

33

proportional sein muss. Nennen wir den unendlich wenig von 1 abweichenden

Proportionalitatsfaktor 1+-dy und definieren das Herunterziehen eines Index

in tiblicher Weise durch die Formel

4; =S bin a",

k

so ergibt sich

Aix — (dyxs + dyin) = Bin AP

(6)

Daraus geht hervor, dass d@ eine lineare Differentialform ist: dy = 3/9; dx;.

(7)

5

Ist sie bekannt, so liefert die Gleichung (6) oder

zusammen mit der Symmetriebedingung (5) eindeutig die Gréssen I". Der innere Masszusammenhang des Raumes hédngt also ausser von der (nur bis auf einen willkiirlichen Proportionalitatsfaktor bestimmten) quadratischen Form (2) noch von einer Linearform (7) ab. Ersetzen wir, ohne das Koordinatensystem zu andern, g,, durch 4 g,,,

so Andern sich die Gréssen dy} nicht,

Faktor 2 an, dg,, geht iiber in A dg, + g;, dA. dass dy iibergeht in

dy,, nimmt den

Die Gleichung (6) lehrt dann,

dp+ GF -dp+dlga. In der Linearform

2g; dx;

bleibt also nicht etwa ein Proportionalitatsfaktor

unbestimmt, der durch willkiirliche Wahl einer Masseinheit festgelegt werden

miisste, die ihr anhaftende Willktir besteht vielmehr in einem additiven totalen

Differential. Fiir die analytische Darstellung der Geometrie sind die Formen gleichberechtigt mit

Bin 1%, AX,

A+ gi, 4x, dx,

Pi dK;

und

,dx,+dlgd,

(8)

(9)

wo 4 eine beliebige positive Ortsfunktion ist. Invariante Bedeutung hat demnach der schiefsymmetrische Tensor mit den Komponenten

(php

(10)

d.i. die Form 1

Fy, dx; 0%, = a Fi Axx,

34

welche von zwei willkiirlichen Verschiebungen dx und 6x im Punkte P bilinear — oder besser, von dem durch diese beiden Verschiebungen aufgespannten Flachenelement mit den Komponenten Axi, = dx; 6%, — AX, OX; linear abhangt. Der Sonderfall der bisherigen Theorie, in welchem sich die in einem Anfangspunkt willkiirlich gewahlte Langeneinheit durch Parallelverschiebung in einer vom Wege unabhangigen Weise nach allen Raumpunkten libertragen lasst, liegt vor, wenn die g;, sich in solcher Weise absolut festlegen lassen, dass die p, verschwinden. Die I‘{, sind dann nichts anderes als die CurisToFFELschen Drei-Indizes-Symbole. Die notwendige und hinreichende invariante Bedingung dafiir, dass dieser Fall vorliegt, besteht in dem identischen Verschwinden des Tensors F’;,.

Es ist danach sehr naheliegend, in der Weltgeometrie y; als Viererpotential, den Tensor F mithin als elektromagnetisches Feld zu deuten. Denn das Nichtvorhandensein eines elektromagnetischen Feldes ist die notwendige Bedingung dafiir, dass die bisherige E1nsTEINsche Theorie, aus welcher sich nur die Gravi-

tationserscheinungen ergeben,

Giiltigkeit besitzt. Akzeptiert man

fassung, so sieht man, dass die elektrischen

diese Auf-

Gréssen von solcher Natur sind,

dass ihre Charakterisierung durch Zahlen in einem bestimmten Koordinaten-

system nicht von der willkiirlichen Wahl einer Masseinheit abhangt. Zur Frage der Masseinheit und Dimension muss man sich tiberhaupt in dieser Theorie neu orientieren. Bisher sprach man eine Grésse z.B. als einen Tensor der 2. Stufe (vom Range 2) an, wenn ein einzelner Wert derselben nach Wahl einer willkiirlichen Masseinheit in jedem Koordinatensystem eine Matrix von Zahlen @,, bestimmt,

welche

die Koeffizienten einer invarianten Bilinearform zweier

willkiirlicher infinitesimaler Verschiebungen

Aix AX, OX,

(11)

bilden. Hier sprechen wir von einem Tensor, wenn bei Zugrundelegung eines Koordinatensystems und nach bestimmter Wahl

des in den g;, enthaltenen Pro-

portionalitatsfaktors die Komponenten a;, eindeutig bestimmt sind, und zwar so, dass bei Koordinatentransformation die Form (11) invariant bleibt, bei

Ersetzung von g,, durch A g,,, aber die a,, tibergehen in A°a;,. Wir

sagen dann,

der Tensor habe das Gewicht e, oder auch, indem wir dem Linienelement ds die Dimension «Lange = 1» zuschreiben, er sei von der Dimension 12°. Absolut

invariante Tensoren sind nur die vom Gewichte 0. Von dieser Art ist der Feld-

tensor mit den Komponenten

der Maxwettschen

F;,.

Er geniigt nach

Gleichungen. OF iy Ox;

OF

= “Om,

(10) dem

ersten

System

OF

Liegt einmal der Begriff der Parallelverschiebung fest, so lasst sich die Geometrie und Tensorrechnung miihelos begriinden. a) Geoddtische Linie. Ist ein

35

Punkt P und in ihm ein Vektor gegeben, so dieses Vektors ausgehende geoditische Linie bestandig parallel mit sich in seiner eigenen rentialgleichung der geodatischen Linie lautet Parameters t:

entsteht die von P in Richtung dadurch, dass man den Vektor Richtung verschiebt. Die Diffebei Benutzung eines geeigneten

(Sie lasst sich hier natiirlich nicht als Linie kiirzester Lange charakterisieren, da der Begriff der Kurvenlange ohne Sinn ist.) 6) Tensorkalkiil. Um z.B. aus

einem kovarianten Tensorfeld 1. Stufe vom Gewichte 0 mit den Komponenten /,; durch Differentiation ein Tensorfeld 2. Stufe herzuleiten, nehmen wir einen willkiirlichen Vektor &* im Punkte P zu Hilfe, bilden die Invariante /,£¢ und

ihre unendlich kleine Anderung beim Ubergang vom Punkte P mit den Koor-

dinaten x; zum Nachbarpunkte P’ mit den Koordinaten x,-+-dx;, indem wir bei diesem Ubergang den Vektor € parallel mit sich verschieben. Es kommt fiir diese Anderung

Hat Bau, + (,48 = (GL-T) Edy. Die auf der rechten Seite eingeklammerten Gréssen sind also die Komponenten

eines Tensorfeldes 2. Stufe vom Gewichte 0, das in véllig invarianter Weise aus dem Felde / gebildet ist. c) Kviimmung. Um das Analogon des Riemann-

schen Kriimmungstensors zu konstruieren, kniipfe man an die oben benutzte unendlich kleine Parallelogrammfigur an, bestehend aus den Punkten P, P,, P, und P,,= P,,. Verschiebt man einen Vektor x = (é) in P parallel mit sich nach

P, und von da nach

P,,, ein andermal zunachst nach P, und von

da nach P,,, so hat es einen Sinn, da P,, und P,, zusammenfallen, die Differenz Ax der beiden in diesem Punkte erhaltenen Vektoren zu bilden. Fiir ihre Komponenten ergibt sich

A

VRE!

(12)

wo die R} unabhangig sind von dem verschobenen Vektor x, hingegen linear abhingen von dem Flachenelement, das durch die beiden Verschiebungen PP, = (dx,), PP: = (6x,) aufgespannt wird:

Rj = Riu

dy 0% = $ Rig

AXqr-

Die nur von der Stelle P abhangigen Kriimmungskomponenten Rj,,; haben die beiden Symmetrieeigenschaften: 1. sie andern ihr Vorzeichen ‘inva Ver-

tauschung der beiden letzten Indizes k und 2; 2. nimmt

man mit j k/

die drei

zyklischen Vertauschungen vor und addiert die zugeh6rigen Komponenten, so ergibt sich 0. Ziehen wir den Index 7 herunter, so erhalten wir in R;,;; die Komponenten

eines kovarianten Tensors 4. Stufe vom Gewichte

1. Noch ohne

36 Ausrechnung ergibt sich durch eine einfache Uberlegung, dass R auf natiirliche

invariante Weise in zwei Summanden spaltet:

Bue Pia ZF i

eg ye

(13)

iG—=7

i

ae

i

von denen der erste P;;,, nicht nur in den Indizes k/, sondern auch in 7 und 7

schiefsymmetrisch einen

solchen

ist. Wahrend

ohne

die

Gleichungen

elektromagnetisches

Feld

F;, = 0

unsern

charakterisieren,

d.h.

Raum

als

als einen

solchen, in welchem das Problem der Liangeniibertragung integrabel ist, sind ‘1 = 0, wie aus (13) hervorgeht, die invarianten Bedingungen dafiir, dass in ihm kein Gravitationsfeld herrscht, d.h. dass das Problem der Richtungslbertragung integrabel ist. Nur der Euklidische Raum ist ein zugleich elektrizitats- und gravitationsleerer. Die einfachste Invariante einer linearen Abbildung wie (12), die jedem Vektor x einen Vektor Ax zuordnet, ist ihre «Spur»

1 pi ak: Fiir diese ergibt sich hier nach (13) die Form = Ek

ax; OX_,

welche uns schon oben begegnete. Die einfachste Invariante eines Tensors wie —F,,,/2 ist das Quadrat seines Betrages:

1 : LaF, F*.

L ist offenbar,

Gewichte

da der Tensor F das

Gewicht

0 besitzt,

— 2. Ist g die negative Determinante der ¢;,,

eine

Invariante

vom

dw = Ve Ax, dx, dx, dx, = Vg dx das Volumen eines unendlich kleinen Volumelementes, so wird bekanntlich die

Maxwettsche Theorie beherrscht von der elektrischen Wirkungsgrésse, welche

gleich dem

iiber ein beliebiges Weltgebiet

erstreckten

Integral [ L dw dieser

einfachsten Invariante ist, und zwar in dem Sinne, dass bei beliebiger Variation der g;, und y,, die an den Grenzen des Weltgebiets verschwindet,

6fL dw = i (St dp; + T** bg;,) dw

gilt, wo

die linken Seiten der inhomogenen MAxwettschen Gleichungen sind (auf deren rechter

Seite

die

Komponenten

des

Viererstroms

stehen),

und

die

T**

den

Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes bilden. Da L eine In-

37 variante vom

Gewichte

— 2 ist, das Volumelement

aber in der n-dimensionalen

Geometrie eine solche vom Gewichte 1/2, so hat das Integral [Ldw nur einen Sinn, wenn die Dimensionszahl n =4 ist. Die Méglichkeit der Maxwettschen Theorie ist also in unserer Deutung an die Dimensionszahl 4 gebunden.

In der vierdimensionalen

Welt aber wird die elektromagnetische Wirkungs-

grésse eine reine Zahl. Als wie gross sich dabei die Wirkungsgrésse 1 in den traditionellen Masseinheiten des CGS-Systems herausstellt, kann freilich erst

ermittelt werden, wenn auf Grund unserer Theorie ein an der Beobachtung zu

priifendes physikalisches Problem, z.B. das Elektron, berechnet vorliegt. Von der Geometrie zur Physik iibergehend, haben wir nach dem Vorbild der Mreschen Theorie!) anzunehmen, dass die gesamte Gesetzmiassigkeit der Natur auf einer bestimmten Integralinvariante, der Wirkungsgrisse

[Wdo=[(Wdx

(W=WYsx),

beruht, derart, dass die wirkliche Welt unter allen mdglichen vierdimensionalen metrischen Raumen dadurch ausgezeichnet ist, dass fiir sie die in jedem Weltgebiet

enthaltene

Variationen

Wirkungsgrosse

der Potentiale

einen extremalen

g;,, @;, welche

Wert annimmt an den

Grenzen

gegeniiber solchen des betreffenden

Weltgebiets verschwinden. W, die Weltdichte der Wirkung, muss eine Invariante vom Gewichte —2 sein. Die Wirkungsgrisse ist auf jeden Fall eine

reine Zahl; so gibt unsere Theorie von vornherein Rechenschaft tiber diejenige atomistische Struktur der Welt, der nach heutiger Auffassung die fundamen-

talste Bedeutung zukommt: das Wirkungsquantum. Der einfachste und natiirlichste Ansatz, den wir fiir W machen kénnen, lautet Wns

Rar Rik

(14)

=|R/.

Nach (13) ergibt sich dafiir auch

Vis | Piaa4 Le (Héchstens der Faktor 4, mit welchem der zweite [elektrische] Term L zu dem

ersten hinzutritt, kénnte hier noch zweifelhaft sein.) Aber ohne noch die Wir-

kungsgrésse zu spezialisieren, kénnen wir aus dem Wirkungsprinzip einige allgemeine Schliisse ziehen. Wir werden namlich zeigen: in der gleichen Weise,

wie nach Untersuchungen

von HiLBERT,

LORENTZ,

EINSTEIN,

KLEIN und dem

Verfasser2) die vier Erhaltungssiitze der Materie (des Energie-Impuls-Tensors) mit der, vier willkiirliche Funktionen enthaltenden Invarianz der Wirkungsgrisse gegen Koordinatentransformationen zusammenhiingen, ist mut der hier neu

1) G. Mie, Ann. Physik 37, 39, 40 (1912/13). Vgl. auch H. Wevt, Rawm, Zeit, Materie (Berlin

1918), § 2

2) D. Hitperr, Die Grundlagen der Physik, 1. Mitt., Gott. Nachr., 20. Nov. 1915; H. A. LoreNtz in vier Abhandlungen in den Versl. Kgl. Akad. van Wetensch., Amsterdam 1915/16; A. E1nstein, Berl. Ber. 1916, S. 1111-1116; F. Krew, Gott. Nachr., 25. Januar 1918; H.Weyt, Ann. Physik 54, S. 121-125 (1917)

38 hinzutretenden, eine fiinfte willkiirliche Funktion hereinbringenden «MafstabInvarianz» [Ubergang von (8) zu (9)] das Gesetz von der Erhaltung der Elektri-

zitat verbunden. Die Art und Weise, wie sich so das letztere dem Energie-ImpulsPrinzip gesellt, erscheint mir als eines der starksten allgemeinen Argumente

zugunsten der hier vorgetragenen Theorie — soweit im rein Spekulativen iiber-

haupt von einer Bestatigung die Rede sein kann. Wir setzen fiir eine beliebige, an den Grenzen des betrachteten Weltgebiets verschwindende Variation

6 f Wadx = f (W'* dg, + wi dy,) dx

(W" = W*).

(15)

Die Naturgesetze lauten dann

w* Die ersten kénnen

wir als die

0,

wi=0.

Gesetze des

(16)

Gravitationsfeldes,

die des elektromagnetischen Feldes ansprechen. Die durch

B=

gw,

die zweiten

als

wi=ev'

eingefiihrten Gréssen Wj}, w‘ sind die gemischten bzw. kontravarianten Komponenten eines Tensors 2. bzw. 1. Stufe vom Gewichte —2. In dem System der Gleichungen (16) sind gemass den Invarianzeigenschaften 5 tiberschiissige

enthalten. Das spricht sich aus in den folgenden 5 invarianten Identitaten, die

zwischen ihren linken Seiten bestehen:

Ow

Oxi

OW,

je

ct

1S

= a =o

i 1

(17)

Fa

i

(18)

Die erste resultiert aus der MaBstab-Invarianz. Nehmen wir namlich in dem Ubergang von (8) zu (9) fiir lg 2 eine unendliche kleine Ortsfunktion dg an, so erhalten wir die Variation

Bri = Gin dQ, dp, = aloV2),

Fir sie muss (15) verschwinden. Indem man zweitens die Invarianz der Wirkungsgrésse gegeniiber Koordinatentransformationen durch eine unendlich

kleine Deformation des Weltkontinuums ausnutzt!), gewinnt man die Iden-

titaten

OW;

pee

ia

1 Ogre

eee

2

Ox

gprs

+

10/

Pink

omea)

+(e

PE

=a

:

=

F,w')=0,

die sich in (18) verwandeln, wenn nach (17) dw‘/0x,; durch g,, YB" ersetzt wird. Aus den Gravitationsgesetzen allein ergibt sich also bereits, dass

1) H. Wey,

25. Januar 1918.

Ann. Physik 54, S. 121-125

=0

(1917); F. Kiem,

(19)

Gdtt. Nachr., Sitzung vom

39

ist, aus den elektromagnetischen Feldgesetzen allein, dass

OB,

Atenas

ee — Ft, WB = 0 sein muss.

In der Maxwettschen -

(20)

Theorie hat w* die Form

Ve Bik

=

—s

5

,

=a

(s*=/gs'),

wo s‘ den Viererstrom bedeutet. Da hier der erste Teil identisch der Gleichung

(19) geniigt, liefert diese das Erhaltungsgesetz der Elektrizitat:

Ebenso besteht in der Ernsternschen Gravitationstheorie YB aus zwei Termen, von denen der erste der Gleichung (20) identisch geniigt, der zweite gleich den

mit /g multiplizierten gemischten Komponenten Tj des Energie-Impuls-Ten-

sors ist. So fiihren die Gleichungen (20) zu den vier Erhaltungssaitzen der Materie. Ganz analoge Umstande treffen in unserer Theorie zu, wenn wir fiir die Wirkungsgrésse den Ansatz (14) wahlen. Die fiinf Erhaltungsprinzipe sind «Eliminanten» der Feldgesetze, d.h. folgen auf doppelte Weise aus ihnen und setzen dadurch in Evidenz, dass unter ihnen fiinf iiberschiissige enthalten sind.

Fiir den Ansatz (14) lauten die Maxwexischen

5

= 2o*

Ve

s;

pik ke

;

iif s',

ist

=

1

Gleichungen beispielsweise

und der Strom

(21)

oR

(Ret

ay ).

R bezeichnet diejenige Invariante vom Gewichte —1, die aus Ri, entsteht, wenn man zunichst nach 7, k, darauf nach j und / verjiingt. Die Rechnung

ergibt, wenn R* die nur aus den g“ aufgebaute invariante bedeutet :

Fp

Riemannsche Kriimmungs-

REM:

tag

Im statischen Falle, wo die Raumkomponenten des elektromagnetischen Potentials verschwinden und alle Gréssen unabhangig von der Zeit x» sind, muss

nach

(21)

R= sein,

Aber

man

kann

auch

R + 0 ist, durch geeignete

R* — ganz

oP

allgemein

=

const

in einem

Weltgebiet,

in welchem

Festlegung der willkiirlichen Langeneinheit

R —

const = -—-1 erzielen. Nur hat man bei zeitlich veranderlichen Zustinden Flachen R—O0 zu erwarten, die offenbar eine gewisse singuldre Rolle spielen

40

werden. Als Wirkungsdichte (R* tritt als solche in der Ernstetnschen Gravita-

tionstheorie

auf)

ist

R

nicht

zu

gebrauchen,

da

sie nicht

das

Gewicht

—2

besitzt. Dies hat zur Folge, dass unsere Theorie wohl auf die MAxweLtschen elektromagnetischen, nicht aber auf die Ernsternschen Gravitationsgleichungen fiihrt; an ihre Stelle treten Differentialgleichungen 4. Ordnung. In der Tat ist es aber auch sehr unwahrscheinlich, dass die E1nste1nschen Gravitationsgleichungen streng richtig sind, vor allem deshalb, weil die in ihnen vorkommende Gravitationskonstante ganz aus dem Rahmen der iibrigen Naturkonstanten herausfallt,

so dass der Gravitationsradius

der Ladung

trons z.B. von véllig anderer Gréssenordnung

klein) ist wie der Radius des Elektrons selber?). Es war

hier nur

meine

Absicht,

und Masse

(naimlich 10?°

die allgemeinen

bzw.

Grundlagen

eines Elek-

104°mal so der Theorie

kurz zu entwickeln. Es entsteht natiirlich die Aufgabe, unter Zugrundelegung des speziellen Ansatzes (14) ihre physikalischen Konsequenzen zu ziehen und diese mit der Erfahrung zu vergleichen, insbesondere zu untersuchen,

ob sich

aus ihr die Existenz des Elektrons und die Besonderheiten der bisher unaufgeklarten Vorgiange im Atom herleiten lassen. Die Aufgabe ist in mathematischer Hinsicht ausserordentlich kompliziert, da es ausgeschlossen ist, durch Beschrankung auf die linearen Glieder Naherungslésungen zu erhalten; denn da die Vernachlassigung der Glieder hoherer Ordnung im Innern des Elektrons

gewiss nicht statthaft ist, so diirfen die durch eine derartige Vernachlassigung

entstehenden linearen Gleichungen im wesentlichen nur die Lésung 0 besitzen. Ich behalte mir vor, an anderm

zukommen.

Ort ausfiihrlicher auf alle diese Dinge zuriick-

Nachtrag. Herr A. E1nsTEIN bemerkt zu der vorliegenden Arbeit: «Wenn Lichtstrahlen das einzige Mittel waren, um die metrischen Verhaltnisse in der Umgebung eines Weltpunktes empirisch zu ermitteln, so bliebe in

dem

Abstand

ds (sowie in den g,,)

allerdings ein Faktor unbestimmt.

Diese

Unbestimmtheit ist aber nicht vorhanden, wenn man zur Definition von ds Messergebnisse heranzieht, die mit (unendlich kleinen) starren Kérpern (Massstében) und Uhren zu gewinnen sind. Ein zeitartiges ds kann dann unmittelbar gemessen werden durch eine Einheitsuhr, deren Weltlinie ds enthalt. Eine derartige Definition des elementaren Abstandes ds wiirde nur dann illusorisch werden, wenn die Begriffe ,EinheitsmaBstab’ und ,Einheitsuhr‘ auf

einer prinzipiell falschen Voraussetzung beruhten; dies ware dann der Fall, wenn die Lange eines EinheitsmaBstabes (bzw. die Ganggeschwindigkeit einer Einheitsuhr) von der Vorgeschichte abhingen. Ware dies in der Natur wirklich so, dann kénnte es nicht chemische Elemente mit Spektrallinien von bestimmter Frequenz geben, sondern es miisste die relative Frequenz zweier (raumlich benachbarter) Atome der gleichen Art im allgemeinen verschieden sein. Da dies nicht der Fall ist, scheint mir die Grundhypothese der Theorie leider nicht annehmbar, deren Tiefe und Kiihnheit aber jeden Leser mit Bewunderung erfiillen muss. »

1) Vgl. H. Wevt, Zur Gravitationstheorie, Ann. Physik 54, S. 138 (1917).

41

Erwiderung

des

Verfassers.

Ich danke

Herrn

E1nsteIn

dafiir, dass er mir

Gelegenheit gibt, sogleich dem von ihm erhobenen Einwand zu begegnen. In der Tat glaube ich nicht, dass er berechtigt ist. Nach der speziellen Relativitatstheorie hat ein starrer Mafstab immer wieder die gleiche Ruhlinge, wenn er in einem tauglichen Bezugsraum zur Ruhe gekommen ist, und eine richtiggehende Uhr besitzt unter diesen Umstanden immer wieder, in Eigenzeit gemessen,

dieselbe

Periode

(MicHELSON-Versuch,

DoppiEr-Effekt).

Es ist aber

gar nicht die Rede davon, dass bei beliebig stiirmischer Bewegung eine Uhr die Eigenzeit, / ds, misst (so wenig wie etwa in der Thermodynamik ein beliebig rasch und ungleichmassig erhitztes Gas lauter Gleichgewichtszustande durchlauft) ; das ist erst recht nicht der Fall, wenn die Uhr (das Atom) der Einwirkung

eines starken verdnderlichen elektromagnetischen Feldes ausgesetzt ist. In der allgemeinen Relativitétstheorie kann man also héchstens soviel behaupten: Eine in einem statischen Gravitationsfeld ruhende Uhr misst bei Abwesenheit eines elektromagnetischen Feldes das Integral f ds.

Wie

sich eine Uhr bei be-

liebiger Bewegung unter der gemeinsamen Einwirkung eines beliebigen elektromagnetischen und Gravitationsfeldes verhalt, kann erst die Durchfithrung einer auf den physikalischen

Gesetzen

beruhenden

Dynamik

lehren.

Wegen

dieses problematischen Verhaltens der MaBstaibe und Uhren habe ich mich in meinem Buch Raum, Zeit, Materie zur prinzipiellen Messung der g,, allein auf die Beobachtung der Ankunft von Lichtsignalen gestiitzt (S. 182ff.); dadurch kénnen diese Gréssen in der Tat, falls die Ernsrernsche Theorie giiltig ist, nicht nur ihrem Verhaltnis nach, sondern (nach Wahl einer festen Masseinheit) absolut bestimmt werden. Auf den gleichen Gedanken ist, unabhangig von mir, KRETSCHMANN gekommen}). Nach der hier entwickelten Theorie lautet, ausser im Innersten der Atome,

bei geeigneter Wahl der Koordinaten und des unbestimmten Proportionalitatsfaktors, die quadratische Form ds? mit grosser Annaherung so wie in der speziellen Relativitatstheorie und ist die lineare Form mit der gleichen Annaherung = 0. Im Falle der Abwesenheit eines elektromagnetischen Feldes (Linearform streng = 0) ist durch die in der Klammer ausgesprochene Forde-

tung ds? sogar vollig exakt bestimmt (bis auf einen konstanten Proportionalititsfaktor, der ja auch nach ErnsTEIN willkiirlich bleibt; das gleiche tritt noch ein, wenn nur ein elektrostatisches Feld vorhanden ist). Die plausibelste An-

nahme, die man iiber eine im statischen Feld ruhende Uhr machen kann, ist die, dass sie das Integral des so normierten ds misst ; es bleibt in meiner wie in der Ernstemnschen Theorie die Aufgabe, diese Tatsache?) aus einer explizite

durchgefiihrten Dynamik abzuleiten. Auf jeden Fall aber wird sich ein schwingendes Gebilde von bestimmter Konstitution, das dauernd in einem bestimmten

statischen Felde ruht, auf eine eindeutig bestimmte Weise verhalten (der Einfluss einer etwaigen stiirmischen Vorgeschichte wird rasch abklingen); ich

1) B. Krerscumann, Uber den physikalischen Sinn der Relativitatspostulate, Ann. Phys. 53, S. 575 (1917). 2) Deren experimentelle Priifung zum Teil noch aussteht (Rotverschiebung der Spektrallinien

in der Nahe grosser Massen).

42 glaube nicht, dass mit dieser (durch die Existenz chemischer Elemente

fiir die

Atome bestatigten) Erfahrung meine Theorie irgendwie in Widerspruch gerat. Es ist zu beachten, dass der mathematisch-ideale Prozess der Vektor-Verschiebung, welcher dem mathematischen Aufbau der Geometrie zugrunde zu legen

ist, nichts zu schaffen hat mit dem realen Vorgang der Bewegung einer Uhr, dessen Verlauf durch die Naturgesetze bestimmt wird. Die hier entwickelte

Geometrie ist, das muss vom

mathematischen

Stand-

punkt aus betont werden, die wahre Nahegeometrie. Es ware merkwiirdig, wenn in der Natur statt dieser wahren eine halbe und inkonsequente Nahegeometrie mit einem angeklebten elektromagnetischen Felde realisiert ware. Aber natiirlich kann ich mit meiner ganzen Auffassung auf dem Holzwege sein; es handelt sich hier wirklich um reine Spekulation; der Vergleich mit der Erfahrung ist selbstverstandliches Erfordernis. Dazu miissen aber die Konsequen-

zen der Theorie gezogen werden; bei dieser schwierigen Aufgabe hoffe ich auf Mithilfe.

Nachtrag Juni 1955 Diese Arbeit steht am Anfang der Versuche, eine «einheitliche Feldtheorie»

aufzubauen, die spater von vielen anderen — wie mir scheint, bisher ohne durchschlagenden Erfolg — fortgesetzt wurden; das Problem hat insbesondere Ern-

STEIN selbst, wie bekannt, bis zu seinem Ende unablassig beschaftigt. Den Ausbau meiner Theorie vollzog ich in zwei Arbeiten

in der 4. und vor allem 5. Auflage meines Buches

«Raum,

(34), (46), ferner

Zeit, Materie». Dabei

gab ich — zunachst aus formalen Griinden, dann aber bestaérkt durch eine Untersuchung von W. Pautt (Verh. dtsch. phys. Ges. 27, 1919) — einem andern Wirkungsprinzip den Vorzug. Das starkste Argument fiir meine Theorie schien dies zu sein, dass die Eichinvarianz dem Prinzip von der Erhaltung der elektrischen Ladung so entspricht wie die Koordinaten-Invarianz dem Erhaltungssatz von Energie-Impuls. Spater fiihrte die Quantentheorie die ScHROpINGER-Diracschen Potentiale y des Elektron-Positron-Feldes ein; in ihr trat ein aus der Erfahrung gewonnenes und die Erhaltung der Ladung garantierendes Prinzip der Eichinvarianz auf, das die y mit den elektromagnetischen Potentialen ~, in dhnlicher Weise verkniipft wie meine spekulative Theorie die Gravitationspotentiale g,, mit den p;, wobei

zudem die @; in einer bekannten atomaren statt in einer unbekannten kosmolo-

gischen Einheit gemessen werden. Es scheint mir kein Zweifel, dass das Prinzip der Eichinvarianz hier seine richtige Stelle hat, und nicht, wie ich 1918 geglaubt hatte, im Zusammenspiel von Gravitation und Elektrizitat. Man vergleiche

dariiber meinen Aufsatz (93): Geometrie und Physik.

32. Der circulus vitiosus in der heutigen Begriindung der Analysis

Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung 28, 85—92 (1919) Aus

einem

Briefe

an

O. Holder.

Mit den folgenden Zeilen méchte ich Ihrem Wunsche Geniige zu leisten versuchen: Ihnen den cireulus vitiosus, den ich in meiner Schrift Das Kontinuum“') der Analysis vorwerfe, auf mdg'ichst direkte Weise vor Augen zu stellen. Durch den Sinn eines klar und eindeutig festgelegten Gegenstandsbegriffs mag wohl stets den Gegenstiinden, welche des im Begriffe ausgesprochenen Wesens sind, ihre Evxistenzsphdre angewiesen sein; aber es ist darum keineswegs ausgemacht, daB dieser Begriff ein wmfangsdefiniter ist, daB es einen Sinn hat, von den unter ihn fallenden ezistierenden Gegenstiinden als einem an sich bestimmten und begrenzten, ideal geschlossenen Inbegriff zu sprechen. Ist € eine ihrem Sinne nach klar und eindeutig gegebene Higenschaft der unter einen Begriff B fallenden Gegenstiinde, so behauptet fiir einen beliebigen derartigen Gegenstand a der Satz: >a hat die Higenschaft €« einen ganz bestimmten Sachverhalt, der besteht oder nicht besteht; dies Urteil ist an sich wahr oder nicht wahr — ohne Wandel und Wank und ohne Méglichkeit irgendeines zwischen diesen beiden entgegengesetzten vermittelnden Standpunktes. Ist der Begriff B insbesondere umfangs-definit, so hat aber nicht nur die Frage: »Hat a die Eigenschaft €?« fiir einen beliebigen unter B fallenden Gegenstand a einen in sich klaren Sinn, sondern auch die Existenzfrage: »Gibt es einen unterB fallenden Gegenstand, welcher die Kigenschaft € besitzt?« Entsprechendes ist tiber Relationen zu bemerken; es ist dabei gleichgiiltig, ob der Sinn dieser Higenschaft oder Relation unmittelbar in der Anschauung aufgewiesen wird oder ob sie durch logische Operationen aus solchen Higenschaften und Relationen zusammengesetzt ist, deren Sinn anschaulich gegeben ist. (Natiirlich wire hier eine eingehende phinomenologische Analyse des Existenzhegriffs erforderlich; das Vorstehende mag aber zur Verstindigung geniigen.) Gestiitzt auf die Anschauung der Iteration sind wir tiberzeugt, daB der Begriff der natiirlichen Zahl umfangs-definit ist (dies Fundament 1) Leipzig

1918, namentlich

Kap. I, § 6.

44

mu gewif jegliche Arithmetik der Anschauung entnehmen). Nicht umfangs-definit ist aber z. B. der allgemeine Begriff »Gegenstand«, ebenso der Begriff »Higenschaft« oder auch nur »Kigenschaft natiirlicher Zahlen«. Die letzte Behauptung kann man sogar beweisen, wenn ihre Hvidenz nicht ohne weiteres zugestanden wird. Sei nimlich auf irgendeine Weise ein bestimmter Kreis x von Eigenschaften natiirlicher Zahlen abgesteckt, so daB der Begriff »x-Higenschaft« umfangs-definit ist, so ist es ohne weiteres méglich, Higenschaften natiirlicher Zahlen zu definieren, welche auBerhalb dieses Kreises liegen. Bedeutet namlich 4 irgendeine Eigenschaft von Higenschaften natiirlicher Zahlen, so ist die Higen€4,

schaft

einer

welche

natiirlichen

Zahl

x

dann

und

nur

dann

zu-

kommt, wenn es eine x-Higenschaft von der Art 4 gibt, welche der Zahl x zukommt, ganz gewiB ihrem Sinne nach von jeder x-Higenschaft verschieden. Damit ist nicht gesagt, da sie nicht mit einer solchen Eigenschaft umfangsgleich sein kénnte. Umfangsgleich nenne ich zwei

Eigenschaften (natiirlicher Zahlen) dann, wenn jeder Zahl, welche die eine besitzt, auch die andere zukommt, und umgekehrt; jeder Higenschaft korrespondiert eine Menge in solcher Weise, dab umfangsgleichen Higenschaften dieselbe Menge entspsicht. (Dies das richtige Verhiltnis der Begriffe Higenschaft und Menge. Die Verkennung der Tutsache, daB der Sinn eines Begriffs das logische prius gegeniiber dem Umfang ist, ist heute gang und gibe; an ihr leiden auch die Grundlagen unserer Mengenlehre. Sie scheint den sonderbaren Abstraktionstheorien der sensualistischen Erkenntnistheorie zu entstammen; vgl. dawider die kurzen schlagenden Bemerkungen Fichtes in seiner ,,Transzendentalen Logik“'), die sorgfiiltigeren Darlegungen in Husserls ,,Logischen Untersuchungen“). Wer freilich in logischen Dingen nur formalisieren, nicht sehen will — und das Formalisieren ist ja die Mathematiker-Krankheit —, wird weder bei Husserl noch gar bei Fichte auf seine Rechnung kommen.) Wenden wir das eben Gesagte auf den Begriff der rationalen Zahl anstatt auf den der natiirlichen an (auch yon ihm diirfen wir iiberzeugt sein, daf er umfangs-definit ist) und fassen mit Dedekind eine reelle Zahl als eine (besonders geartete) Menge rationaler Zahlen auf, so erkennen wir, daB der Begriff der reellen Zahil nicht wmfangs-definit ist. Ich darf wohl die FuBnote auf S. 594 Ihrer Besprechung der R. Grafmannschen ,,Zahlenlehre“ in den Géttinger gelehrten

Anzeigen

1892

dahin

deuten,

da

Sie

mit

dieser Behauptung

durchaus einverstanden sind, wie denn dies im Ernste niemand, der nur versteht, um was es sich handelt, wird ableagnen kénnen. Nur glaubt 1) Fichtes Werke,

Auswahl

von

Medicus,

Leipzig 1912,

2) Bd. IL (2. Aufl, Halle 1913), S. 106-224.

Bd. VI, 8. 133 ff.

45

man meistens, dai der erwihnte Umstand fiir die Begriindung der Analysis ziemlich belanglos ist, da ja eine hinreichend klare Sinn-Definition des Begriffs der reellen Zahl vorliege: jedesmal, wenn in klarer Weise eine Higenschaft rationaler Zahlen (von gewisser Art) gegeben ist, ist damit auch eine reelle Zahl gegeben, trennend diejenigen rationalen Zahlen, welche der betreffenden Higenschaft teilhaftig sind, von den iibrigen. Daf diese Auffassung aber durchaus irrig ist, mécbte ich hier von neuem durch Analyse des Satzes, daB jede beschrinkte Menge reeller Zahlen eine obere Grenze besitze, erhiirten. Hine reelle Zahl ist eine Menge rationaler, die einer bestimmten Eigenschaft rationaler Zahlen korrespondiert. Eine Menge reeller Zahlen entspricht also einer Eigenschaft 4 von Higenschaften rationaler Zahlen. Die obere Grenze dieser Menge reeller Zahlen ist selbst die Menge derjenigen rationalen Zahlen 2, welche eine gewisse Higenschaft © besitzen, niimlich die folgende: daB es eine Eigenschaft der Art A gibt, welche der Zahl « zukommt. Hine solche Erklirung, welche das Bestehen einer Higenschaft 4 daran kniipft, daB es (tiberhaupt und ohne Einschrankung) eine Higenschaft gibt von der Art, daB ..., ist aber evident sinnlos; der Begriff »Higenschaft rationaler Zahlen« ist nicht umfangs-definit. Sie gewinnt erst dann einen Inhalt, wenn der allgemeine Begriff »Eigenschaft« zu einem umfangs-definiten Begriff »x-Higenschaft« verengert wird; dies sei gelungen, und die entsprechende Hingrenzung mége der Begriff der reellen Zahl erfahren. Bei Hinfiihrung dieser Modifikation

in

der Erklarung

von

©,

erhalten

wir

dann

eine

in ©,

Higenschaft, welche ihrem Sinne nach ganz gewif auBerhalb des Kreises der x-Higenschaften liegt. Wohl kann sie mit einer xHigenschaft umfangsgleich sein, und dann, aber auch nur dann wiirde dieser Higenschaft

©,

eine

reelle

Zahl,

die obere

Grenze,

korrespondieren.

Hs

ist

aber yon vornherein auBerordentlich unwahrscheinlich, daB es méglich ist, in exakter Weise einen umfangs-definiten Begriff »x-Higenschaft« aufzustellen, so daB jede nach dem obigen Schema aus der Gesamtheit der

x-Higenschaften

heraus

zu

definierende

Higenschaft

©,

mit

einer

z-Higenschaft umfangsgleich ist. Jedenfalls liegt nicht der Schatten, eines Beweises fiir eine solche Méglichkeit vor; aber gerade dieser Beweis ware zu leisten, damit die Behauptung von der Existenz der oberen Grenze iiberhaupt einen Sinn bekommt und allgemein wahr ist. Wenn somit die tiblichen Erklirungen solcher fiir die Analysis fundamentalen Begriffe wie »obere Grenze«, »Stetigkeit« usw. so lange eines faBbaren Sinnes ermangeln, als nicht der allgemeine Begriff der Kigenschaft (und Relation) zu einem umfangs-definiten, »x-Higenschaft«, eingeschriinkt wird, — entsteht die Frage, wie eine solche Einschrin-

46

kung geschehen solle. Die historisch vorliegende Mathematik laBt keinen Zweifel iiber die Antwort iibrig: man beschrinke sich auf diejenigen Eigenschaften und Relationen, welche sich rein logisch definieren lassen auf Grund der wenigen, die mit den in Frage kommenden Gegenstandskategorien ohne weiteres in der Anschauung mitgegeben sind (fiir die nattirlichen Zahlen ist das ailein die Relation »folgt unmittelbar auf«). Ich habe versucht, die Prinzipien dieser Konstruktion priizise zu formulieren; es braucht wohl nicht ausdriicklich wiederholt zu werden, daB es sinnlos wire, unter diese Prinzipien eines von etwa folgendem Wortlaut aufzunehmen: Ist 4 eine Eigenschaft von Higenschaften, so bilde man diejenige Higenschaft ©, welche einem Gegenstande 2 dann und nur dann zukommt, wenn es eine mittels dieser Prinzipien zu konstruierende Higenschaft gibt, welche dem 2 zukommt und selber die Eigenschaft .4 besitzt. Das ware doch ein offenkundiger circulus vitiosus; ihn begeht aber unsere heutige Analysis, und ihn mache ich ihr zum Vorwurf. — Die von mir angegebenen Prinzipien machen, wie mir scheint, das Hauptstiick einer »reinen Syntax der Relationen« aus‘), auf die sich die reine Logik stiitzen mu8, wenn sie die Bedingungen zu entwickeln hat, unter denen zwei durch logische Konstruktion gebildete Higenschaften oder Relationen sinnesgleich sind. Was fiir neue Relationen vor unserer Anschauung in der Entfaltung des geistigen Lebens sich auftun werden, lit sich a priori gar nicht voraussehen; wohl aber, glaube ich, lassen sich die Prinzipien der logischen Konstruktion, vermittelst deren wir aus diesen urspriinglichen zusammengesetzte Relationen herleiten, ein fiir allemal aufstellen (ebenso wie die Elementarformen der logischen Schliisse); ein solehes Unterfangen tritt der Freiheit des Geistes nicht zu nahe. Ich bestehe nun nicht darauf, daB man die Vollstindigkeit meiner Tabelle anerkenne, wennschon ich sie auf Grund logischer Selbstbesinnung und gestiitzt auf das historisch vorliegende enorme Konstruktionsmaterial der Mathematik fiir ziemlich gesichert halte. — Die Methode der begrifflichen Konstruktion macht das Wesen der mathematisch-physikalischen Erkenntnis aus (seit Galilei und Descartes sollte dariiber Klarheit herrschen); und so hoffe ich, findet sich auch die Analysis zu dieser Methode zuriick, die sie um einer véllig vagen Allgemeinheit willen zu verlassen im Begriffe war. Die Fundierung der Analysis hiingt aufs engste mit den Anwendungen zusammen, vor allem mit der Physik; mir entgleitet tiberhaupt der Sinn der physikalischen Erkenntnis, wenn ich den Zahlen-, Mengen- und Funktionsbegriff 1) Zur Idee der ,reinen

Bd. II, 8. 328ff.

Grammatik“

vgl. Husserl,

Logische

Untersuchungen,

47

nicht auf die Weise, wie ich’s in meiner Schrift versucht habe, in logischen Konstruktionsprinzipien verankern kann. Gestatten Sie mir, tiber diese Prinzipien noch einige Bemerkungen zu machen; sie sollen den endgiiltigen Standpunkt deutlicher machen, zu dem ich den Leser des ,,Kontinuums“ hinangeleiten michte, und auf dem stehend er, wie ich hoffe, von der Evidenz ergriffen wird, daB bei meiner Begriindungsweise der geriigte Zirkel wirklich ausgeschaltet ist. Jene Konstruktionsprinzipien zerfallen in zwei Gruppen, die ,,ogischen“ (Kap. I, § 2) und die spezifisch mathematischen (Kap. I, § 7); nur von den letzteren soll hier die Rede sein. Die Vermittlung zwischen beiden bildet die Hinfiihrung der Relation ¢ (ein Satz wie: die Rose ist rot, der urspriinglich eine Higenschaft der Rose aussagt, wird aufgefabt als Aussage des Bestehens der Relation «, des ,,Habens“, zwischen der Rose und der Eigenschaft rot). In meiner Darstellung scheint dieser Ubergang zuniichst auBerdem noch bedingt durch die Begriffe der (ein- und mehrdimensionalen) Menge und Funktion, und der vorwirts treibende Gedanke ist die Iteration des durch die 6 ,logischen“ Prinzipien geleiteten Konstruktionsprozesses. So schien es mir der natiirlichen Ideenentwicklung zu entsprechen, obschon eine solche ,,dialektische“ Art der Darstellung, die das Vorhergehende immer wieder in einem héheren Standpunkt aufhebt, in der Mathematik sonst nicht tiblich ist. In dem systematischen Aufbau, zu dem ich schlieBlich gelange (Kap. I, § 8), ist aber — und vielleicht hatte das noch stiirker hervorgehoben werden sollen — der Gedanke der Iteration wieder vollstindig fallen gelassen und muB der Begriff der Menge und Funktion viel weiter zuriickgeschoben werden, als es urspriinglich geschah (namlich an die letzte Stelle, erst unter V. [S. 31 unten] findet er seinen Platz). Wir betrachten etwa die ternire Relation « (wy, Z) (»z, y stehen in der Beziehung Z zueinander«), in der die Leerstellen z, y auf die gleiche Grundkategorie bezogen sind, Z aber auf die Kategorie der biniiren Relationen zwischen Gegenstinden dieser Grundkategorie, und stellen uns das Schema dieser Relation nach der Fufnote auf S. 3 durch eine Holzplatte dar mit zwei kleinen und einem groBen Zapfen, entsprechend den Leerstellen wy, baw. Z. Die Gegenstinde der Grundkategorie werden dargestellt durch Kugeln, die mit einem Loch versehen sind, so daB sie bei Ausfiillung der Leerstellen xy auf die kleinen Zapfen gesteckt werden kénnen. Das sei geschehen. Die Leerstelle Z in « muB

ausgefiillt

werden

durch

eine

binire

Relation

R.

Diese

aber

wird ibrerseits dargestellt durch eine Platte mit zwei Zapfen, die auBerdem ein Loch tragen mu, so groB wie der grofe Zapfen in e; wird sie auf diesen Zapfen gesteckt, so sind nun alle diei Leerstellen in ¢

48

ausgefiillt. Trotzdem geht dadurch aus ¢ noch kein bestimmtes Urteil hervor, sondern es ist zu diesem Zweck weiter erforderlich, dab die beiden Leerstellen « und y in «, bzw. die sie ausfiillenden Gegenstiinde in bestimmter Weise bezogen werden auf die beiden Leerstellen § 4 derjenigen Relation R(&%), welche die Leerstelle Z in « ausfiillt, oder, wie ich mich ausdriicken will, diese miissen an jene ,,angeschlossen® werden. Zum Schema der Relation ¢ gehdren demnach noch zwei aus dem FuB der Zapfen xy entspringende ,,AnschluBdrihte’, mit deren Hilfe bei der Ausfiillung der AnschluB der ,sekundéren“ Leerstellen £4 an die ,,primiiren* zy in der aus der Figur ersichtlichen Weise zu erfolgen hat. Dieser Anschlu8 laBt sich offenbar bei gegebener Relation R noch auf zwei verschiedene Weisen vollziehen. Da die Drahte von oben in die Zapfen £, n eingeleitet werden, soll zugleich deutlich machen, daB bei der Ausfiillung alle Leerstellen ,abgesittigt“ sind. Die Existenz derartiger ,,AnschluBdriihte“ im Schema einer Relation tibertragt sich natiirlich von ¢ auf diejenigen Relationen, welche aus ¢ und den urspriinglichen Relationen mittels der Konstruktionsprinzipien hergestellt werden; durch die Driihte miissen die ,,sekundiren“ Leerstellen der zur Ausfiillung benutzten Relationen teils an die primaren, teils an gewisse Bezugspunkte angeschlossen werden. Hs erfordert einige Anstrengung, sich dartiber klar zu werden, wie nun allgemein das Schema einer Relation aussieht und worin die Ausfiillung besteht, durch welche aus ihm ein bestimmtes Urteil hervorgeht; die eben benutzte Darstellung leistet dabei gute Dienste. Wenn es auch fiir die Syntax der Relationen yon groBem Wert ist, sich dariiber einen vollstiindigen Uberblick zu verschaffen, so kann man doth durch einen einfachen, rein formalen Kunstgriff diesem einigermaen verwickelten Schematismus aus dem Wege gehen, nimlich durch Hinfiihrung der subjekt-geordneten Relationen an Stelle der Relationen, Die in meiner Schrift gegebene Erklarung ein wenig abindernd, verstehe ich hier unter einer subjekt-geordneten Relation eine solehe, in deren Schema innerhalb jeder Gruppe von Leerstellen, die auf eine und dieselbe Gegenstandskategorie bezogen sind, eine bestimmte Reihenfolge derselben festgesetzt ist. Sind in dieser Weise die Leerstellen « und y in unserer obigen Relation « numeriert, und wird zur Ausfiillung der Leerstelle Z auch stets eine subjekt-geordnete biniire Relation benutzt, d. h. sind die sekundiren Leerstellen £ und 4 gleichfalls numeriert, so eriibrigt sich der ,,Anschlu8“, da es sich von selbst versteht, daB die sekundire Leerstelle 1 an die primaire 1 und

49

die sekundire Leerstelle 2 an die primare 2 anzuschlieBen ist. Damit sind dann ¢ und alle daraus abzuleitenden Relationen von der gleichen Art, wie ich sie von Anfang meiner Schrift an voraussetze: um aus ihnen eine sinnvolle Behauptung zu gewinnen, geniigt es, jede Leerstelle durch einen Gegenstand

der betreffenden

Kategorie (der eventuell selber

eime subjekt-geordnete Relation ist) auszufiillen. Vor der Einfiihrung der subjekt-geordneten Relationen schrecke ich trotz des formalen und kiinstlichen Charakters dieses Hilfsmittels um so weniger zuriick, als spiiter, wenn der Ubergang von den Relationen zu den Mengen zu vollziehen ist, notgedrungen die ersteren als subjekt-geordnete vorausgesetzt werden miissen. Eine quinire Relation (um ein bestimmtes Beispiel zu wiihlen) R(wv|acyz) kann man auch auffassen als eine zwischen w und v bestehende, von den drei ,,Argumenten“ xyz abhdnige bindre Relation, und sie kann alsdann zur Ausfiillung einer auf binire Relationen bezogenen Leerstelle Z in einer Relation héherer Stufe benutzt werden; dabei werden von den sekundiren Leerstellen wo|ayz nur die ersten beiden durch Anschlu8 abgesittigt, hingegen bleiben xyz freie Leerstellen, die ihrer Ausfiillung durch Gegenstiinde harren. Von dem geschilderten

ProzeB wird in dem Prinzip 7 der Substitution (8. 26) Gebrauch gemacht. Kommt es uns nur auf die Relationen zwischen Gegenstiinden der Grundkategorien an, so ist freilich zu sagen, daB die Kinfihrung von ¢ und das Substitutionsprinzip fiir sich noch zu keinen weiteren Relationen fiihren als zu denjenigen, die ohne diese Erweiterung allein mit Hilfe der ersten 6 Prinzipien konstruiert werden kénnen. Fruchtbar werden ¢ und das Substitutionsprinzip erst dadurch, daB an sie das Prinzip der Iteration (8), dessen notwendige Vorbereitung sie bilden, sich anschlieBt. Die Iteration aber ist fiir alle mathematischen Begriffsbildungen von der gréSten Bedeutung. Diejenigen Relationen, welche aus den in der Anschauung aufgewiesenen urspriinglichen Relationen des zugrunde liegenden Operationsbereichs durch die angegebenen Hilfsmittel konstruiert werden kénnen, habe ich finite Relationen genannt. Damit ist die gewiinschte umfangsdefinite Einschrinkung des Relationsbegriffs gewonnen, die zur Begriindung einer zirkelfreien Analysis erforderlich ist. Erst jetzt am Schlu8 sollte der Begriff der Menge und Funktion eingefiihrt werden. Und zwar entsprechen die Mengen und Funktionen den (subjekt-geordneten,

finiten)

Relationen

in

der

Weise,

daB, fiir ihre

Gleichheit

oder

Verschiedenheit nicht mehr der Sinn, sondern nur noch der Geltungsumfang maBgebend ist; sie bilden den mathematischen Oberhau zu dem

in der Anschauung

fundierten Unterbau

der Grundkategorien.

50

Diesen durch Hinzuziehung der Konstruktionsprinzipe 7 und 8 erweiterten mathematischen ProzeB (betreffs des Ausdrucks ygl. S. 15) za iterieren, liegt, soviel ich sehe, innerhalb der Analysis nirgendwe ein AnlaB vor, und auch fiir die Anwendungen erweist sich das gewonnene Schema als umfassend genug, so daB sich auf ihm eine verniinftige Theorie des Kontinuums aufbauen laBt (Kap. I).

33. Uber die statischen kugelsymmetrischen Lésungen von Einsteins «kosmologischen» Gravitationsgleichungen Physikalische Zeitschrift 20, 31—34 (1919) Einstein

hat

in

einer

richten d. PreuB. Akad.

S.

142

erschienenen

gleichungen Glied

Note

in

Sitzungsbe-

schwindigkcit f verschwindet, die metrische Funda-

Gravitations-

von dieser Lésung nur ein bis an den Aquator

den

d. Wissensch. seinen

1917,

ein die Konstante 4 enthaltendes

hinzugefiigt.

Uber

die

statischen

kugel-

symmetrischen Lésungen dieser durch das ,,4Glied“ erganzten Gleichungen habe ich am SchluB

meines

(Berlin,

Buches

1918;

ich

,,Raum,

zitiere

Zeit,

es

Materie“

hier

mit

den

Anfangsbuchstaben RZM) einige Andeutungen gegeben, die ich hier etwas genauer ausfiihren méchte. Die

metrische Fundamentalform

einer

stati-

schen kugelsymmetrischen Welt hat bei geeigneter MaBskala

vom

des

Abstandes

r= VRERER

Zentrum

nicht

der

Welt

%,x,%,

die Aquatorkugel sein.

noch

(1)

sind die Raumkoor-

Der Faktor / sowie die Licht-

r+lre=—h,

Wir

fh=J4

(1) stimmt mit der metrischen Fundamentalform

einer (dreidimensionalen) Rotationsflache z— F(r) im

vierdimensionalen

Euklidischen

Raum

mit

den Cartesischen Koordinaten x, %,%,2 iiberein, wenn

F

aus

die

Drehrifi

den

bestimmende

Funktion

wird.

Aquator

umgibt.

gelten

P=—=—1-4r.

: Setzen wir — 7 — 0) Funktionen von a, 2, 7, allein und do® ist eine positiv-definite quadratische Form in den Variablen WX Lg. Ty ist die Zeit, x, 2,23 sind die Rawmkoordinaten. Diese besondere Gestalt der Fundamentalformen wird durch Koordinatentransformation und Umeichen nur dann nicht zerstért, wenn die Zeitkoordinate ay fiir sich eine lineare Transformation erleidet, die Raumkoordinaten gleichfalls nur unter sich transformiert werden und das Hichverhiltnis eine Konstante ist. Im statischen Fall bekommen wir also einen dreidimensionalen Riemannschen Raum mit der metrischen Funda-

65

mentalform do und dazu zwei Skalarfelder ¢ Raum. Als willkinliche Mafeinheiten sind Lingen- und die Zeiteinheit (cm, sec). do? ist sion cm, die Lichtgeschwindigkeit ¢ von

und p in diesem zu wahlen die von der Dimender Dimension

em + sec-4, und g hat die Dimension sec-1. Es ist namentlich zu beachten, daB der dreidimensionale Raum sich nicht

als ein beliebiger metrischer herausstellt (in welchem die Streckeniibertragung nicht integrabel ausfiele), sondern als ein Riemannscher Raum. Kap.

II.

Feldgesetze

und

Erhaltungssitze.

Ubergang zur Physik. Die spezielle Relativitatstheorie lehrte, da8B der in der vierdimensioralen Welt herrschenden Weltgeometrie nicht eine ,,Galileische, sondern eine ,,Kuklidische“ Metrik zugrunde liegt. Es entsprang aber daraus eine Disharmonie, daB die Nahewirkwngsgesetze der modernen Physik

die Huklidische Ferngeometrie zum Fundament hatten. kann

man

einen

spekulativen

seine

,,allgemeine

Grund

dafiir

Hierin

erblicken,

die

Euklidische Weltgeometrie durch die Riemannsche und schlieBlich durch die eben besprochene reine Nahegeometrie zu ersetzen. Hinstein blieb bei der Riemannschen Geometrie stehen;

fiir

Relativititstheorie“

sind

aber

neben dem Ubergang von der Euklidischen Fern- zur Riemannschen Nahegeometrie zwei weitere Gedanken charakteristisch: 1. die Metrik ist nicht a priori gegeben, sondern von der Verteilung der Materie abhangig; in diesem Zusammenhange ist die Relativitdt der Bewegung dasjenige Argument, aus welchem die Theorie ihre Uberzeugungskraft schdpft. 2. Die aus der Erfahrung bekannten und bis dahin unverstandenen Eigenschaften der Gravitation (Gleichheit von schwerer und triger Masse) werden begreiflich, wenn man die Gravitationserscheinungen auf die Abweichung der Metrik von der Euklidischen zuriickfiihrt, nicht aber auf gewisse, ,,in‘‘ der metrischen Welt wirksame Krafte. — Die so zustande kommende Gravitationstheorie steht, obwohl ihre Struktur auf den ersten Blick ganz und gar von der Newtonschen abweicht, wie sich bei Verfolgung ihrer Konsequenzen unter bestimmten vereinfachenden Annahmen herausstellte, im Einklang mit allen astronomischen Erfahrungen. Die neue hier vorgenommene Erweiterung betrifft zuniichst

66

gleichfalls nur die weltgeometrische Grundlage der Physik und stellt als solche den konsequenten Ausbau des RelativititsAber mit eben derselben Macht wie die gedankens dar. Relativitét der Bewegung zur EHinsteinschen Theorie, zwingt uns die Uberzeugung von der Relativitdt der Gréfe zu diesem -daritber hinaus gehenden Schritt. Und bekamen wir damals die Gravitation, so bekommen wir jetzt den Elektromagnetismus

Denn wie sich die Potentiale des Gravitationsgeschenkt. feldes nach Einstein zu einer quadratischen Differentialform

zusammenfiigen,

so,

wissen

hinaus,

in

wir,

bilden

die

Potentiale

des

elektromagnetischen Feldes die Koeffizienten einer invarianten linearen Differentialform. Es liegt deshalb nahe, die in der reinen Nahegeometrie neben der quadratischen auftretende lineare Fundamentalform mit jener Potentialform des elektromagnetischen Feldes zu identifizieren. Dann wiirden nicht nur die Gravitationskrafte, sondern auch die elektromagnetischen aus der Weltmetrik entspringen; und da uns andere wahrhaft urspriingliche Kraftwirkungen auBer diesen beiden ub rhaupt nicht bekannt sind, wiirde durch die so hervorgehende Theorie der Traum des Descartes von einer rein geometrischen Physik in merkwiirdiger, von ihm selbst freilich gar nicht vorauszurehender Weise in Erfiillung gehen, indem sich zeigte: die Physik ragt mit ihrem Begriffsgehalt tiherhaupt nicht tiber die

Geometrie

der

Materie

und

den

Naturkrdften

duBert sich lediglich das metrische Feld. Gravitation und Elektrizitéit wiren damit aus einer einheitlichen Quelle erklart.

Fir diesen Gedanken spricht der gesamte Erfahrungsschatz, der in der Maxwellschen Theorie niedergelegt ist. Denn hier (in der Infinitesimalgeometrie) wie dort (in der Maxwellschen Theorie) ist die lineare Form gy, da; nur bestimmt bis auf ein additiv hinzutretendes totales Differential, erst das

aus ihr sich ableitende

,,Feld‘‘ (= Streckenkriimmung)

f=

welches den

_

Cr

0 &

Oox

Oa,’

Gleichungen geniigt: O fer

0 a;

ist frei von jeder Willkiir; und die elektromagnetische WirkungsgréBe, welche die Maxwellsche Theorie beherrscht,

ergibt sich auch hier als eine Invariante, und zwar als die ein-

fachste Integralinvariante, die iberhaupt existiert. Nicht nur fir die Maxwellsche Theorie eréffnet sich so ein tieferes Verstindnis, sogar der bis jetzt immer als ,,zufallig‘’ hingenommene

begreiflich. Einstein

Umstand,

daB

die Welt

Die angefithrten

auf

seine

allgemeine

Griinde

vierdimensional

ist, wird

scheinen mir denen,

Relativititstheorie

die

hinfiihrten,

an Stirke etwa gleichwertig zu scin, mag auch bei uns der spekulative Charakter noch krasser hervortreten. Stutzig machen kénnte zunichst dies): daB nach der reinen Nahegeometrie die Streckeniibertragung nicht integrabel sein soll, wenn ein elektromagnetisches Feld vorhanden ist. Steht das nieht zu dem Verhalten der starren Koérper und Uhren Das Funktionieren dieser Me8in eklatantem Widerspruch? instrumente ist aber ein physikalischer Vorgang, dessen Verlauf durch die Naturgesetze bestimmt ist, und hat als solcher nichts zu tun mit dem ideellen ProzeB der ,,kongruenten Verpflanzung von Weltstrecken“, dessen wir uns zum mathe-

Schon in der matischen Aufbau der Weltgeometrie bedienen. speziellen Relativitatstheorie ist der Zusammenhang zwischen dem metrischen Felde und dem Verhalten der Mafistibe und Uhren ganz undurchsichtig, sobald man sich nicht auf quasiSpielen somit diese Instationire Bewegung beschriinkt. strumente auch eine praktisch unentbehrliche Rolle als Indikatoren des metrischen Feldes (theoretisch waren zu diesem Zweck einfachere Vorgainge, z. B. die Lichtausbreitung, vorzuziehen), so ist es doch offenbar verkehrt, durch die ihnen direkt entnommenen Angaben das metrische Feld zu definieren. Wir werden auf die Frage nach Aufstellung der Naturgesetze zurickkommen miissen. Die

Durehfiihrung

der

Theorie

mu8

zeigen,

ob

sie sich

bewahrt. — Die Maxwell-Lorentzsche Theorie war gekennzeichnet durch den Dualismus von Materie und elektromagnetischom Feld; dieser wurde (auf dem Boden der speziellen Relativitatstheorie) aufgchoben durch die Miesche Theorie’) 1) Als

Einwand

gegen

Einstein; vgl. den Anhang

die

hier

vertretene

Theorie

formuliert

von

zu der oben zitierten Akademienote des Verf.

2) Ann. d, Phys. 87, 39, 40,

1912/13.

68

An seine Stelle aber trat bei Beriicksichtigung der Gravitation der Gegensatz von elektromagnetischem Feld (,,Materie im weiteren Sinne“, wie Einstein sagt) und Gravitationsfeld; er zeigt sich am deutlichsten in der Zweiteilung der Hamiltonschen Funktion, welche der Einsteinschen Theorie zugrunde Auch dieser Zwiespalt wird durch unsere Theorie ‘liegt.4) Der Integrand der WirkungsgréBe / 28 da muh iiberwunden. eine aus der Metrik entspringende skalare Dichte 8 sein, und die Naturgesetze sind zusammengefaBt in dem Hamiltonschen Prinzip: Fir jede infinitesimale Anderung 6 der Weltmetrik, die auSerhalb eines endlichen Bereichs verschwindet, ist die Anderung

sfBde=f swede

der gesamten WirkungsgréBe =0 (die Integrale erstrecken sich tber die ganze Welt oder, was auf dasselbe hinauskommt,

iiber einen endlichen Bereich, auSerhalb dessen die Variation 6

verschwindet). Die Wirkungsgréfe ist in unserer Theorie notwendig eine reine Zahl; anders kann es ja auch nicht sein, wenn ein Wirkungsquantum existieren soll. Von 8 werden wir annehmen,

da8 es ein Ausdruck

2. Ordnung

ist, d. h. aufgebaut

ist einerseits aus den g,;, und deren Ableitungen 1. und 2. Ordnung, andererseits aus den p; und deren Ableitungen 1.Ordnung.

Das einfachste Beispiel ist die Maxwellsche Wirkungsdichte I. Wir wollen aber in diesem Kapitel keinen speziellen Ansatz fiir Y zugrunde legen, sondern untersuchen, was sich allein aus

dem

Umstande

erschlieBen

148t,

daB

/%8 da

ein koordi-

naten- und eichinvariantes Integral ist. Wir bedienen dabei einer von F. Klein angegebenen Methode.?)

uns

Folgerungen aus der Invarianz der WirkungsgréBe. a) Eichinvarianz. Erteilen wir den die Metrik relativ zu einem Bezugssystem beschreibenden Gré8en @,, g,;, beliebige unendlich Kleine Zuwiichse 6 y,, 6 g,, und bedeutet X ein endliches Weltgebiet, so ist es der Effekt der partiellen Integration, daB das Integral der zugehérigen Anderung 6 Y von %® iiber das Gebiet X in zwei Teile zerlegt wird: ein Divergenzintegral und ein 1) Vgl. Einstein, Hamiltonsches Prinzip und allgemeine Relativititstheorie, Sitzungsber, d. PreuS. Akad. d. Wissensch. 1916. p. 1111. 2) Nachr, d. Ges, d. Wissensch. zu Gottingen, Sitzung vom 19,

Juli

1918.

69

Integral, dessen Integrand von 6g; und 6 9;, ist:

Je ile)

nur noch eine lineare Kombination

aaa Bs) (wi Sg, +3 Wi* dg, dz.

es

{Wore

—

Wie}

Dabei sind tv‘, dv‘ die Komponenten je emer kontravarianten Vektordichte, &', aber die einer gemischten Tensordichte 2. Stufe (im eigentlichen Sinne). Die Komponenten 6 bv! sind lineare _Kombinationen von O@;,

Wir

.

O9;,

driicken

und

jetzt zunichst

]

aus,

daB

i

Ge}

{9ne=

OI itr

/Wdza

‘

sich nicht

Fa andert, wenn die Eichung der Welt infinitesimal abgeindert wird. Ist a=1-+ a das Hichverhiltnis zwischen urspriinglicher und abgeinderter Eichung, so ist a ein den Vorgang charakterisierendes infinitesimales Skalarfeld, das willkirlich vorgegeben werden kann. Bei diesem Proze8 erfahren die Fundamentalgré8en die Zuwichse (9)

99, = In»

9P-=—Z_°

Substituieren wir diese Werte in 6 “f so mégen die Ausdriicke (10)

8 (mn)= mw- BF ae=— + hee

Die Variation (8) a Wir runme teres muB8 hervorgehen. fiir (9) verschwinden: so formulieren wir die Tatsache der Eichinvarianz. 6 8k (a) a

Ot,

i dz uty= 0. 5 + pia) deTae wi ; Om

Formt man den ersten Term des zweiten Integrals noch durch Integration um, so kann man statt dessen schreiben: ae

ae ae

Daraus

(12)

ae ot fa (oe

ergibt sich zundchst

1%3;) dz =0.

die Identitat

oe + MBs = 0

in der aus der Variationsrechnung bekannten Weise: ware diese Ortsfunktion an einer Stelle («,) von 0 verschieden, etwa

70

positiv, so kénnte man eine so kleine Umgebung & dieser Stelle abgrenzen, da® die Funktion in ganz X positiv bliebe; wahlt man in (11) fiir ¥ dieses Gebiet, fiir 7 aber eine auferverschwindende Funktion, welche innerhalb X durchhalb wog 20 ist, so verschwindet das erste Integral, das zweite _ aber fallt positiv aus — im Widerspruch mit der Gleichung (11). Nachdem dies erkannt ist, liefert (11) weiter die Gleichung f

zg

dx=0

0 uy ee

z

Sie gilt bei gegebenem Skalarfeld x fiir jedes endliche Gebiet &,

und infolgedessen mu8

0

Sein —ae)

(18)

sein. Setzen wir (10) ein und beachten, daB an einer Stelle die Werte von én

>

On

Gx,’

Omd%

beliebig vorgegeben werden kénnen, so zerspaltet eine Formel in die folgenden Identitiéten: 1

-

6 3k Om

0 we On,”

aye i

O

hai

a

=wi,

sich

diese

3. hee + hfe =0.

Da Ox/0, die Komponenten eines aus dem Skalarfeld x entspringenden kovarianten Vektorfeldes sind, ergibt sich aus dem Umstande, da8 3'(z) eine Vektordichte ist: 3' ist eine Vektordichte, '* eine Tensordichte, und zwar nach 8. eine lineare Tensordichte 2. Stufe. 1. ist in Anbetracht der Schiefsymmetrie von f eine Folge von 2., da =— =0

ist.

b) Koordinateninvarianz. Wir nehmen mit dem Weltkontinuum eine infinitesimale Deformation vor, bei welcher der einzelne Punkt (x,;) eine Verriickung mit den Kompo-

nenten

é (x) erfahrt;

die Metrik

werde

von

der

Deformation

ungeindert mitgenommen. 6 bezeichne die duch die Deformation bewirkte Anderung irgendeiner GréBe, wenn man an derselbon Raum-Zeit-Stelle bleibt, 6’ ihre Anderung, wenn man die Verschiebung der Raum-Zeit-Stelle mitmacht. Es ist

(14)

ine

{

n=

|

6 &r

Oi

gp

(9, oa, t A

%

Og

\ — 99>

On

Tam?

Geta

Odin

ey

(6.52 ah Gar ane age

) Gy:

Dabei bedeutet z ein infinitesimales Skalarfeld, tiber das unsere

Festsetzungen nichts bestimmen. Die Invarianz der WirkungsgréBe gegeniiber Koordinatentransformation und Abanderung der Hichung kommt in der auf diese (fiinf willkirliche Funktionen

Formel

€

zum

(15)

und

a

enthaltenden)

Ausdruck:

Variation

apes od oe)

sich

beziehenden

+ mh de = 0.

Will man nur die Koordinateninvarianz zum Ausdruck bringen, so

hat

man

~=0

zu

wihlen;

aber

die

so

hervorgehenden

Variationsformeln (14) haben keinen invarianten Charakter. In der Tat bedeutet diese Festsetzung: es sollen durch die Deformation die beiden Fundamentalformen so variiert werden,, da®B die Ma8zahl1 eines von der Deformation mitgenommenen

Linienelements ungedndert bleibt: 6'17=0. Nun driickt aber nicht diese Gleichung den ProzeB der kongruenten Verpflanzung

einer

Strecke

aus,

sondern

l=

—1(g, 6'x,) = — L(y; &').

Wir miissen demnach in (14) nicht x = 0, sondern a = — (9; &') wiihlen, damit invariante Formeln zustande kommen, nimlich:

— 99

2 39 = (eG + Serger) + (GE + 99.)&

eis Die

= f78 >

durch sie dargestellte Anderung

formen

ist

eine

solche,

daB

die

der beiden Fundamental-

Metrik

von

der

Deformation

ungedndert mitgenommen und jedes Lintenelement kongruent verAuch analytisch erkennt man leicht den pflanzt erscheint. invarianten Charakter der Gleichungen (16); an der zweiten tritt er zutage, wenn man den gemischten Tensor

US Se OFF

ri

ads

fi

einfiihrt; sie lautet dann — 6 Gix = bin + Sei -

72

Nachdem die Hichinvarianz bereits unter a) ausgenutzt ist, geniigt es, in (14) fiir a irgendeine besondere Wahl zu treffen; vom Standpunkt der Invarianz ist die zu (16) fihrende = — (9; &') die einzig mégliche. Fir die Variation (16) sei WE + dv*= SFE). G*(&) ist eine linear-differentiell von dem willkiwlichen Vektor-

feld & abhangige

Vektordichte;

ich schreibe explizite

SE) = SFE + Hse + 10h

(der letzte Koeffizient ist af). Fihren wir in (15) steht ein Integral, dessen 8 Sk (é) — BF ge _# Ox,

Wegen

natiilich symmetrisch in den Indizes die Ausdriicke (8), (16) ein, so entIntegrand lautet: (few'

6 9a

Fi

+ (Ge

BN

und

:

sean,

+ Iep %%) Beh =I, 5; Web = 14: Bs.

Integration

es

OX

aus,

Glied unseres Integranden noch eine so erhalten

wir

daher

[em — 74,88 +f, w*) dz = 0.

z

Daraus entspringen die Identititen

(17)

Bl

von W*? ist

Uben wir auf das zweite

partielle

+ +(e 2 9a8 + Ina)

ig

und der Symmetrie

aos

62,6 X,

nach

der oben angewendeten

SchluBweise

(Fer — THB!) + fawt= 0 8 Be

(18)

a

19

Die letzte zerspaltet sich

ISk _ 8 WE

SOG SAE) = 0. in die folgenden

,

ia Taq?

vier:

56f*

MOET yeta

Re

.

UL (Ge + Ge) # + 28" Lo, IV. gers Spree gyormo. ty

73

Ersetzt man in III. nach IV. H7e*

durch

— §,24r — Hfer,

so geht daraus hervor, daB

schiefsymmetrisch

ist in den

Indizes

a B.

YFuihren wir

§,°/

statt §,7° ein, so enthalten ITI. und IV. also lediglich Symmetrieaussagen, II. aber geht tiber in *

a1”)

Pay

Daraus

leie

Pra

6a,

h etyl!

sete CEP =

anes

Bi

folgt T., weil wegen der Symmetriebedingungen 6

gr?

ii

8

Gx, 0%, =p

Har

Ox, 6%, 0x,

-

s

Wie

Der Invarianzcharakter der Koeffizienten G und § von 6" (&),

insbesondere derjenige der GréBen G,*, laBt sich am einfachsten und vollstindigsten durch die Angabe beschreiben, daB G* (é) eine Vektordichte ist (¢‘ aber ein Vektor). Daraus geht hervor, da8 ©," nicht die Komponenten einer gemischten Tensordichte sind; wir sprechen in diesem Fall von einer Pseudotensordichte.

Beispiel.

Fur %8 =1 ist, wie man sofort sieht, pF

infolgedessen:

= fH; a= 0, HE

Unsere

=

foo3

Sk=dkl—f, fF, die Groben § = 0.

Identititen liefern also Ou,’

ra Sk m=,

Om

aotis (SS —4 99a set Set) a B ) + ie Ge sd

=

=O

Die in der letzten Zeile stehenden beiden Formeln werden in der Maxwellschen Theorie durch Rechnung bestatigt; die

Komponenten ©*

bilden

dort

die Tensordichte

der Energie

des elektromagnetischen Feldes, und die letzte Gleichung sagt aus, daB aus dieser Tensordichte durch Divergenzbildung dio ponderomoiorischen Krifte entspringen.

74

Feldgesetze und Erhaltungssdtze. Nimmt man in (8) fir 6 eine beliebige Variation, die auferhalb eines endlichen Gebiets ein solches

& die ganze Welt oder 6 = 0 ist, so kommt

verschwindet, und fiir biet, auBerhalb dessen

Ge-

foWas = f (wdg, + BIg, dz.

Daraus geht hervor, daB in dem Hamiltonschen Prinzip S6% dx =0 die folgenden invarianten Gesetze enthalten sind: hy

c= WD,

i

=0-

Die ersten sind die elektromagnetischen, die zweiten die Gravitationsgesetze. Zwischen den linken Seiten dieser Gleichungen bestehen 5 Identitaten, die oben unter (12) und (17) aufgefiihrt Es sind also im System der Feldgleichungen 5 thbersind.

schiissige enthalten, entsprechend dem von 5 willkirlichen Funktionen abhingigen Ubergang von einem Bezugssystem zu

3' ist die Vektordichte des elektrischen

einem beliebigen andern.

Viererstroms,

'*

die

Weise

aus

der Energie,

G,* die Pseudotensordichte

Im Falle der Maxwellschen elektromagnetische Felddichte. Theorie, die ja nur im Ather gilt, ist, wie es sein muh, 3'=0, und sind G;* die klassischen Ausdritcke. Es gelten h'* =f nach 1. und I. allgemein die Erhaltungssdtze

as’

(eA

act

0,

Ox,

0.

Und zwar folgen die Erhaltungssdtze auf doppelte den Feldgesetzen; es ist nimlich nicht nur a

a

k

Die

i

i

=

2

a

nicht nur, = enge

int

a

»

,

Beziehung,

sondern

auch

sondern

auch = I?,9n* — 7, 1%.

welche

zwischen

= — }MWi;

den

Erhaltungs-

sitzen von Energicimpuls und der Koordinateninvarianz besteht, ist in der Einsteinschen Theorie schon von verschiedenen Autoren verfolgt worden.1) Zu diesen vier Erhaltungssatzen tritt aber als fimfter der Erhaltungssatz der Elektrizitat, und ihm mu konsequenterweise eine Invarianzeigenschaft entsprechen, die eine finfte willkivliche Funktion mit sich bringt; 1) So von

Verfasser.

H. A, Lorentz,

Hilbert,

Einstein,

Klein

und

dem

75

als solehe erkennt unsere Theorie die Hichinvarianz. Ubrigens fihrten die ilteren Untersuchungen tiber den Energieimpulssatz nie zu einem véllig durchsichtigen Resultat. Denn macht man in der Hinsteinschen Theorie keine spezielle Annahme tiber die WirkungsgréBe, so liefert freilich die Koordinateninvarianz vier Erhaltungssiitze, die sich aber keineswegs als die Erhaltungssitze von Energie und Impuls ansprechen lassen, da sie sich in den klassischen Fallen nicht auf diese reduzieren. Das hatte mich schon seit langem beunruhigt. Hier aber erhalten wir die volle Aufklarung: man muf die Koordinatenmit der Hichinvarianz in solcher Weise verkniipfen, wie es unsere Theorie von selbst mit sich bringt — Formel (16) —, um auf die richtigen Erhaltungssitze gefiihrt zu werden. Dieser ganze Zusammenhang ist offenbar ein sehr starkes Argument fir die Richtigkeit unserer These, daB die Naturgesetze nicht nur koordinaten-, sondern auch eichinvariant sind. Es kommt noch dies hinzu. Die elektromagnetischen Gleichungen lauten nach der 2. der Gleichungen in welche (18) zerfiel, folgendermafen: ay” Cay

= 3

(und By CE

ates ap Git Ox 62x

= 0).

Ohne noch die Wirkungsgrépe zu spezialisieren, konnen wir aus der Hichinvarianz allein die ganze Struktur der Maxwellschen Theorie ablesen. Von der besonderen Gestalt der Hamiltonschen

Funktion

beeinfluBt

3%

werden

nur

die

Gesetze,

durch

welche sich Strom 3‘ und Felddichte )'* aus den Fundamentalgré8Ben @;, gix bestimmen. Die Feldgesetze und die zu ibnen gehérigen Erhaltungs-

sitze lassen sich nach (18) und (18) am ibersichtlichsten zusammenfassen in die beiden einfachen Gleichungen

a 3'(a) Oxy

(Hilbert-Kleinsche Kap. III.

=),

Form

Durchfihrung

ICG) Ox;

=0

der Feldgesetze). eines

speziellen Wirkungsprinzips.

Der Ansatz fiir %. Der weiteren Diskussion lege ich dasjenige Wirkungsprinzip zugrunde, das sich analytisch am leichtesten in seinen Konsequenzen iiberblicken laBt:

G+ Bl. FY T ®=-

76

Die Bedeutung von [ und F ist aus Friiherem zu entnehmen, die Konstante f ist eine reine Zahl. Hs gilt

F25V 94+ pot.

5@ =—1 FS (FYg) +4

Es vereinfacht die Durchrechnung sehr, wenn wir die Kichung der Welt durch die Forderung, da8 — F gleich einer (vorzugebenden positiven) Konstanten a ist, eindeutig festlegen; dies ist méglich, weil F eine Dadurch erreichen wir,

Invariante vom Gewichte —1 ist. da® die Feldgesetze DifferentialFir

gleichungen zweiter Ordnung werden.

Fortlassung

der Divergenz

5 LV 99) én,

6 %8 kommt,

unter

?

die ja bei der Integration tiber die Welt verschwindet:

a(et4

3a SVE — 825 Op, gy —*V9z).

Dividieren wir noch durch a, setzen f/a = A und fihren das Weltintegral von 6 (4 RYq) durch eime partielle Integration iiber in das Integral von 6 G, wobei G nur von den g,, und deren ersten Ableitungen abhingt), so kommt das Wirkungsprinzip:

(19) Der

df pt- G+ $= 2G

Aufbau

des Integranden

yo} ae =0.

ist klar:

A{ und

—

&

sind

die

klassischen Terme der Maxwellschen Elektrizitaéts- und der Einsteinschen Gravitationstheorie. Hinzu tritt das ,,kosmologische Glied“* (a/4) Vg, das sich hier ganz zwangsweise ergibt?), und der einfachste Term, der ttherhaupt nach der Mie schen Theorie zur Maxwellschen Wirkungsdichte hinzukommen kann und die Existenz der Materie erméglichen soll: (y; ¢') Vg. Dabei ist zu beachten, da® nach unserer Theorie dieser Ansatz die eine unter einer ganz geringen Anzahl von Méglichkeiten ist (vgl. dariiber den Schlu8 der Arbeit) und jedenfalls die einzige, welche zu Differentialgleichungen von nicht hdherer 1) Gist die in Einsteins zeichnete GréBe.

2) Von

Wissensch,

Einstein

1917.

auf p. 114 zitierter Arbeit mit

eingefiihrt in:

p. 142.

Sitzungsber,

4G@*

d. PreuB, Akad.

be-

d.

77

als der zweiten Ordnung fihrt. Insbesondere steht es hier durchaus nicht in unserm Belieben, tiber das Vorzeichen des

Terms (p, p’) etwa anders zu verfiigen, als es in (19) geschieht. Nach dem Gesagten ist bereits klar, da8 das Prinzip (19) mit den der Nachpritfung durch die Erfahrung zuginglichen Gesetzen des elektromagnetischen und des Gravitationsfeldes auBerhalb der Materie im Einklang ist. Variation der g; liefert die Maxwellschen Gleichungen

(20)

O

ee fix

On

ee

Die elektromagnetische Felddichte ist hier also = f'*, und der Ausdruck rechter Hand die Stromdichte 3‘. Daraus folgt die

Divergenzgleichung

(21) Variation (22) wo SX und

eon a

tape

der g,, liefert die

}

Gravitationsgleichungen

R$ OG, =F Pi Pe FAS, die Maxwellschen Energie-Impulskomponenten

sind

— «+3 (g; g!) oa ee

Verjiingen wir, so folgt

und darauf

R—a+i(y,g)=0

9=+-

=a von nevem (21), Die erste Beziehung liefert wegen — den Erhaltungssatz der Elektrizitiit, der, wie sich so bestatigt,

doppelte Folge der Feldgesetze ist. Die rechte Seite von (22) ist, ganz im Hinklang mit der Mieschen Theorie,

= 1(Sk — 9; 5,)5

im Ather therwiegt das erste Glied, das zweite kommt allein im Innern des materiellen Teilchens (Atomkern oder Elektron) one, ire zur Geltung. Unserer Theorie liegt eine bestimmte Elektrizitatseiheit i Nf ave ad ich Nenne zugrunde. ©

(x die Hinsteinsche Gravitationskonstante, Cg die Lichtgoschwindigkeit im Ather) den Gravitationsradius der Ladung e,

78

so kann man diese Hinheit, wie aus (22) folgt, so charakterigieren: es ist diejenige Ladung, deren Gravitationsradius = Yi ist. Diese Lange ist sicher enorm groB, da sonst die Gleichung (20) der Erfahrung widerspricht; wenn die Zahl fp =1

BPlektrizititseinheit nach

GréBenordnung

ist, hat sie die

jedenfalls

von

und

die

ebenso

des Weltradius.

Wirkungseinheit

Gré8e.

kosmischer

Das

Unsere

ist dem-

, kosmologische*

Moment, das Einstein erst nachtriglich seiner Theorie einfiigte, haftet der wnseren von thren ersten Grundlagen her an. Die Noch zwei Bemerkungen iiber den statischen Fall! statische Welt ist von Hause aus geeicht (vgl. Kap. I); es fragt sich, ob bei dieser ihrer natiirlichen Hichung F = const. gilt. Die Antwort lautet bejahend. Denn eichen wir die Welt um auf die Forderung F =const., so nimmt die metrische Fundamentalform den Faktor F an, und dp = day ist zu ersetzen durch aF YP dr, — sam

Die

Gleichung

aS

(21) liefert dann

a

und

daraus

folgt

| oR

Ges

| OR

een

F# =const.

_ oF

—

Die

(R= gz) zweite

Bemerkung

ist

diese: Im statischen Fall lautet die (00)te der Gravitationsgleichungen (22):

o(de+ $e) = 39% + 28h.

Darin ist A der zum Raum mit der metrischen Fundamentalform do? gehérige Poissonsche Differentialoperator. Die

rechte Seite ist hier positiv; unser Wirkungsprinzip fithrt also in der Tat zu einer positiven Masse und anziehenden, nicht ab-

stoBenden

Kriiften zwischen

diesen.

Mechanik. Die auf der Substanzvorstellung beruhenden Ansiitze, durch die man bisher den Ubergang vom EnergieImpulsprinzip zu den mechanischen Gleichungen zu bewerkstelligen pflegte, welche die Bewegung eines Materieteilchens regeln, erwoisen sich in unserer Theorie als unméglich, da sie den zu fordernden Invarianzeigenschaften widersprechen. Ubrigens fiihren sie, wie ich hier beiliufig bemerke,

schon in der

Einsteinschen Theorie aus eben demselben Grunde, um dessentwillen wir sie hier ganz verwerfen miissen, zu einem

79

falschen Wert der Masse. Der einzig haltbare Weg, der unter Voraussetzung der Existenz materieller Teilchen zu einer wirklichen Herleitung der mechanischen Gleichungen fithren kann,

wurde

von Mie

in dem 8. Teil seiner bahnbrechenden

,,Grund-

lagen einer Materie“ eingeschlagen!) und neuerdings von Hinstein zum Beweis der integralen Erhaltungssiitze fir ein iso-

liertes System beschritten.?) Man denke sich um das materielle Teilchen ein Volumen Q abgegrenzt, dessen Dimensionen gro8 sind gegeniiber dem eigentlichen Konzentrationskern des Teilchens, klein gegeniiber denjenigen Abmessungen, in denen das auBere Feld sich merklich andert. Bei der Bewegung beschreibt Q in der Welt einen Kanal, in dessen Innern der Strom-

faden des Materieteilchens hinflieBt. bestehend

aus

der

,,Zeitkoordinate‘‘

Das

Koordinatensystem,

z= t und

den

,,Raum-

koordinaten‘‘ 2, 223, sei so beschaffen, daB die ,,Raiume 2) = const. den Kanal durchsehneiden (der Durchschnitt ist das eben erwiihnte Volumen Q). Die Pseudotensordichte der Gesamtenergie werde mit ©,* bezeichnet. Die im Raume 2» = const. iiber das Gebiet Q zu erstreckenden Integrale J; von &,° sind die Energie (¢ = 0) und der Impuls (6 = 1, 2, 3) des Teilchens. Integriert man in der gleichen Weise jede der vier Erhaltungsgleichungen

Soe

(23)

tie

die oben allgemein bewiesen worden, so liefert das erste Glied (k= 0) die zeitliche Ableitung dJ,/dt; das Integral tiber die drei andern Glieder ergibt aber nach dem GauB8schen Satz einen

,,KraftfluB“

durch

die

Oberfliche

von

Q,

ausgedriickt

durch ein iiber diese Oberflache zu erstreckendes Integral: die Komponenten der von aufen auf das Teilchen einwirkenden Diese aus der Trennung von Zeit und Raum ,»Feldkraft. hervorgehende Scheidung liefert die fiir die Mechanik charakteristische Gegenitiberstellung von ,,Trdghettskraft dJ;/dt und Feldkraft. Der Integrand des Wirkungsprinzips (19), dessen Konkeine Da fda sequenzen wir jetzt verfolgen, heiBe B. Invariante ist, kann die in Kap. II zum Beweis der Erhaltungssiitze angewendete Uberlegung nicht ohne weiteres beibchalten 1) Ann. d. Phys. 40. p. 1. 1913. 2) Sitzungsber. d. PreuB. Akad. d. Wissensch.

1918.

80

fir eine Variaauch jetzt 6’ fda =0 durch eine unendlich kleine Verschiebung hervorgerufen wird: x = 0, & konstant. mu8 man tberhaupt kemerlei Voraus-

werden. Aber es ist tion 6, die nach (14) im eigentlichen Sinne Damit dies zutrifft,

setzungen

tber

@ machen.

Ist

5G = GING, + OP'S gap,i gosetzt, so folgt daraus auf Grund

tonschen

der Giiltigkeit des Hamil-

Prinzips die Formel

ea) 2642)9 mit Sr — Bop + 2b Genny 20 fre, Dies

sind

Impuls.

aber

nicht

Vielmehr

die

miissen

Erhaltungssitze

wir,

um

diese

zu

fir

Energie

bekommen,

und

die

Maxwellschen Gleichungen zunachst in der Form arschreiben:

(ast sbi fee) 0%

eR es oop hierin 2 = — (q;, &') zu setzen und die so hervorgehende chung mit 2 multipliziert zu (24) addieren. Dann die Gleichungen (28) zustande, und zwar wird

Gleikommen

Si = Be + S96 Gok — Apia fe — Aga. Diese Energiedichte setzi sich aus drei Teilen zusammen: 1. dem nvr im Innern des materiellen Teilchens merklichen Glied

ALE Br p,) OF — p84},

2. dem zum Maxwellschen A{LO¥

8. der Gravitationsenergie

Feld gehérigen

— fia f},

eae9.88 ©) op a at ey Gear, Wir denken uns den auSerhalb ie Kanals herrschenden Wertverlauf der g,, glatt itber den Kanal ausgedehnt, indem wir die feine tiefe Furche, welche die Bahn des Materieteilehens in das metrische Antlitz der Welt reift, »ausglitten™, ,,tiberbriicken“, und behandeln jenen Stromfaden als eine Linie in diesem ausgeglitteten metrischen Felde. Es sei ds das zu-

gehorige Eigenzeitdifferential.

Wir konnen zu einer Stelle des

81

Stromfadens ein solches Koordinatensystem einfiihren, daB dort

ds? = dx,? — (da,? + da? + dx,?) wird, die Richtung des Stromfadens durch dX): d2,: dt: dz,—1:0:0:0

gegeben ist und die Ableitungen Sis8 verschwinden. Fi den an dieser Stelle gefithrten Querschnitt 2p = const. des Stromfadens wird dann auch (approximativ)

thadh dh St)

sein

wie

im

statischen

Fall,

vorausgesetzt,

daB

die

innere

Struktur des Teilchens die gleiche ist, wie wenn es in diesem Koordinatensystem dauernd ruhte; eine bei quasistationdrer Beschleunigung zulassige Annahme. Ebenso wird dann von den tber den Querschnitt des Stromfadens erstreckten Integralen f Sidz, dx, dr,

dort nur das Ote nicht den Wert 0 haben, sondern gleich der Ladung e des Teilehens sein (die nach dem Erhaltungssatz eine von der Zeit unabhangige Invariante ist). Unter solehen Umstinden fallt in dem betrachteten Moment von den iiber die Oberflache der Kapsel Q zu erstreckenden Integralen, den , Kraftflissen“, der von 8. herriihrende Anteil fort; wesentlich dafiir ist, daB

die Ausdriicke

8. nicht nur linear, sondern

abhangen. den Differentialquotienten i ga vernachlassigen, Der von 1. herriihrende Anteil ist zu da auSerhalb des Teilchens 3‘ = 0 ist. Es bleibt nur 2., und dieser Teil liefert die ponderomotorische Kraft des elektromagnetischen Feldes nach der Maxwellschen Theorie: e fy; (fi, ist hier das duBere Feld; die Behauptung ist wenigstens dann richtig, wenn dieses Feld relativ zum Teilchen zeitlich nicht zu stark variiert). Wir bekommen die Gleichungen quadratisch

von

ORB cox Oe

O86

dt

Kehren wir zu einem beliebigen Koordinatensystem zuriick, 60 treten an Stelle der erhaltenen Formeln die folgenden: = J,=mu,,

ist und

ein

Wo

Proportionalitatsfaktor,

ua

die

CLA as

Masse‘

m,

auftritt;

1 6gap

d(mu)

(25)

ds

2

Ou;

Die g,, wie die f,, beziehen sich hier auf die ausgeglittete Metrik. Die Ladung e ist konstant. Multipliziert man die letzte Gleichung mit u; und summiert iiber 7, so findet man Von der also ist die Masse gleichfalls konstant. Konstanten a hingt sie in soleher Weise ab, daB ist (m unabhangig von a). Der

wesentlich

Anschlu8

ihre

fiir

an

die

gewohnlichen

daB

ist,

Giltigkeit

Formeln

die

Wahl m=m

der Va

ist erreicl.t;

Eichung

durch

F =const. normiert wird. Eine Uhr miBt bei quasistationarer Beschleunigung das Integral fds der dieser Normierung entsprechenden Higenzeit. Diese Ergebnisse sind aber gebunden an das hier zugrunde gelegte Wirkungsprinzip. Das Problem der Materie. DaB sich aus den Erhaltungssitzen konstante Ladung und Masse fiir ein Materieteilchen ergeben, erklart noch nicht, da8 Ladung und Masse besitzen und

alle Elektronen die gleiche bestiindig beibehalten; denn

die Teilchen sind doch niemals so vollstandig gegeneinander isoliert, als daB nicht im Laufe langer Zeitraume betrichtliche Abweichungen sollten entstehen kénnen. Dies mu vielmehr

daran liegen, daB die Weltgesetze nur eine diskrete Anzahl statischer Losungen gestatten, die ein stabiles Korpuskel darstellen. Damit kommen wir zu dem eigentlichen Problem der Materie;

1a8t

es

Wirkungsprinzips

sich

lésen?

auf

Es

Grund

des

scheint,

hier

vorausgesetzten

als sei diese

Frage

zu

verneinen, da Mie gezeigt hat, da& die Hinzufiigung eines Gliedes zu der Maxwellschen Wirkungs va to ae aye

gehéren, da w positiv sein mu8; also zu Radien kosmischer In der dreidimensionalen Mamnnigfaltigkeit aller Lé, GroBe! sungen des Gleichungssystems (D) haben wir demnach die eindimenstonale der am Pol und die eindimensionale der am Diese beiden Mannigfaltigkeiten Aquator regularen Felder. werden sich im allgemeinen so wenig ,,schneiden“ wie zwei Gerade im Raum; wohl aber ist zu erwarten, da8 es einzelne besondere Werte von 4 geben wird, die Higenwerte, fir welche ein solcher Schnitt eintritt, d.h. eine Lésung, eine ,,Higenfunktion“ existiert, die sowohl am Pol wie am Aquator regular bleibt. Zu einem wirklichen Existenznachweis der Eigenwerte sind die gegenwartigen Mittel der Analysis kaum ausreichend. Das mutmafliche Weltgesetz. In der durch die Hinsteinisch aufgefaBte Gravitation erweiterten Mieschen Theorie,

wie sie Hilbert dargestellt hat1), wird an die Hamiltonsche Funktion W (= %/Vg) nur die Forderung gestellt, daB sie eine Invariante gegeniiber Koordinatentransformation ist. Diese Forderung 148t fiir sie noch einen weiten Spielraum iibrig. Durch unser Postulat, daB W auBerdem eine Invariante vom Gewichte — 2 sein muB gegentiber Abinderung der Eichung, wird der Spielraum stark eingeengt, doch immer noch nicht in solechem Mae, da® dadurch W eindeutig bestimmt ware. Nehmen

wir an,

nenten

gebildet

daB

W

ist, so

rational

bieten

aus

sich,

den

soviel

Kriimmungskompo-

ich

sehe,

nur

die

folgenden 5 Méglichkeiten dar: 1. die Maxwellsche 1=+f,, f**; 2. nach dem gleichen Muster kann man aus der Vektor-

kriimmung bilden: +F;,F'" Dabei ist die Multiplikation als Zusammensetzung der Matrizen zu deuten. Der Ausdruck ist

selber eine Matrix, aber seine Spur L ist ein Skalar vom wichte — 2: :

Ge-

Ist *L

In-

L=3F%,, 74".

die analog

variante,

so gilt

aus

der Richtungskriimmung

L = *L +1.

gebildete

1) D. Hilbert, Nachr.d. Ges. d. Wissensch. zu Géttingen 1915. p.395.

87

8. Man vertausche in dem Ausdruck von L im zweiten Faktor F4"* die Indizes 6 und 4 miteinander. 4, Aus dem verjiingten Tensor F7,, =F, entspringt der Skalar F,, F, 5. Die oben benutzte Invariante F?. Die aufgestellte Behauptung meint, da® sich jede Invariante der angegebenen Art aus diesen 5 GréBen linear mit numerischen Koeffizienten zusammensetzen lift. Das in den vorigen Absatzen durchgefiihrte Wirkungsprinzip besitzt diese Konstitution: seine Hamiltonsche Funktion war eine lineare Kombination von 1. und 5. Ich glaube, es darf behauptet werden, daB dieses Wirkungsprinzip alles leistet, was

die Einsteinsche

Theorie

bisher geleistet hat, in

den tiefer greifenden Fragen der Kosmologie und der Konstitution der Materie aber eine entschiedeno Uberlegenheit zeigt. Dennoch glaube ich nicht, da8 in ihm die in der Wirklichkeit exakt zutreffenden Naturgesetze beschlossen sind. Im Hinblick auf die eigentliche Gré8ennatur der Kriimmung erscheinen mir naémlich die Invarianten 8.—5. als kimstliche Bildungen neben den beiden natiirlichen, den ,,Hauptinvarianten‘ Tauscht mich dieses dsthetische Vertrauen nicht 1. und 2. (dem die Vierdimensionalitait der Welt recht gibt), so wiirde also das Weltgesetz so lauten: Jede euerhalb eines endlichen Gebiets verschwindende virtuelle Anderung der Metrik, fiir welche Die Konbftdz =0, erfiillt auch die Gleichung 6f8dx=0. sequenzen dieses Wirkungsprinzips gedenke ich in einer Fortsetgzung dieser Arbeit zu verfolgen. Die Fruchtbarkeit des neuen Gesichtspunktes der Kichinvarianz hitte sich vor allem am Problem der Materie zu Die entscheidenden Folgerungen in dieser Hinsicht zeigen. verschanzen sich aber noch hinter einem Wall mathematischer Schwierigkeiten, den ich bislang nicht zu durchbrechen vermag.

35. Bemerkung iiber die axialsymmetrischen Lésungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungen Annalen der Physik 59, 185—188 (1919)

Im

Zusammenhang

seiner schénen

die Statik Einsteinscher Civita

auch

angegebenen

die in meiner

Untersuchungen

iiber

Gravitationsfelder') hat Hr. LeviArbeit

axialsymmetrischen

,,Zur Gravitationstheorie“*)

Liésungen

einer

Betrachtung

unterzogen®) und kommt zu der Feststellung, daB meine Resultate zwar zutreffend, aber unvollstindig sind. Mit Riicksicht auf diese Kritik méchte ich meinen damaligen Ausfihrungen

die folgenden Bemerkungen hinzufiigen (ich benutze alle Bezeichnungen jener Arbeit).

Die geriigte Unvollstindigkeit soll darauf beruhen, daB das Wirkungsprinzip nur teilweise ausgenutzt wird. Ich gehe

namlich von einer bestimmten (drei unbekannte Funktionen /, J, A enthaltenden) Normalform

mit

des Linienelementes

den FundamentalgréBen

gy, nur solche

aus und nehme

Variationen

vor,

bei welchen diese Normalform erhalten bleibt. Wa&hrend aber Hr.Levi-CivitaLisungen der homogenenGravitationsgleichungen sucht, die dort gelten, wo der Hnergie-Impulstensor verschwindet,

gehe ich darauf aus, das Feld gegebener, verteilter

Massen

und

element hat jedenfalls

Ladungen

zu

rotationssymmetrisch

ermitteln.

die charakteristische

ds? = fdt® — (ld3? + do’),

Das

Linien-

Gestalt

(A= 2,,

t=2,),

wo f, 4 de? nur'von den Variablen z,z, abhingen. Statt der kovarianten Komponenten 7,, des Energietensors benutze ich

die Komponenten der gemischten Tensordichte T,* = Yg- 7,*. Die Massenverteilung wird durch &4 angegeben. Verschwinden 1) ds’

1917/19.

einsteiniani

2) H. Weyl,

in campi

newtoniani,

Ann. d. Phys. 54. p. 117.

Rend.

1917.

3) Siehe die VIII. in jener Folge von Noten

Acc.

1919.

dei

Lincei,

89

alle andern Komponenten der Tensordichte {,‘, so hat man es mit inkohirentem ,Staub“ zu tun, und es ist klar, daB sich dieser Staub unter der Kinwirkung des von ihm erzeugten Gravitationsfeldes in Bewegung setzen wird. Statischen Lésungen miissen aber ruhende Kérper zugrunde liegen, und ich bedarf also eines Systems

von radial-axialen

(1)

um

die

Kérper

in

ihren

at

a7

Shy

Fey

einzelnen

Spannungen

Teilen

und

gegeneinander

ins Gleichgewicht zu setzen. (Es ist daran zu erinnern, dab das Problem des Gravitationsfeldes nach Kinstein erst bestimmt ist, wenn nicht nur die Massenverteilung der felderzeugenden

Kérper gegeben ist, sondern auch deren dynamische Konstitution.)

Ich nehme also an, da8 Spannungen (1) wirken, welche den Gravitationskraften das Gleichgewicht halten. In dieser Form besitzt aber die Aufgabe noch einen Grad der Unbestimmtheit;

ich

brauche

demnach

eine invariante

Relation,

an welche

die

Spannungskomponenten gebunden sind. Die bei weitem einachste Annahme, welche gemacht werden kann und welche meiner Berechnung zugrunde liegt, ist die, daB

,'+%,?=0

(2)

Unter diesen Umstanden

wird.

bei meiner Art

des Variierens

liefern namlich die Spannungen vollstindig,

erhalt gerade diejenigen Beziehungen den Gravitationsgleichungen 1

(3)

Ry — zIuF

wenn

man

existiert

ein

entstehen,

und man

keinen Beitrag,

zu 09t

welche

aus

=—f,

die unbekannten

Spannungen

eliminiert.

Das von mir gewonnene Ergebnis lautet also im Falle der ungeladenen Massen (§ 5), streng formuliert, folgendermaBen. Es

x, 2 =r

von

der

Art,

,,kanonisches“

Wenn

Koordincten

die

da? = h(dz* + dr’)

Massenverteilung

gegeben,

x, = 2,

daB ie

l= van

ist.

Koordinatensystem

d. h. wenn

im

sae Us=ro

Bildraum

der

kanonischen

90

eine bekannte Funktion

ist, so gibt es ein und nur

von r und z

ein der Bedingung (2) geniigendes System von Spannungen (1), welches den Gravitationskriften der Massen das Gleichgewicht

Auch ist das Gravitationsfeld eindeutig bestimmt, und zwar

hilt.

auf Grund

der Gleichungen

(4) 4y= 30,

(p. 138,

139):

47=—(yvl,

(w=leVf, 7 =le Var).

Die Werte der Spannungskomponenten, die ich a. a. QO. nicht bestimmt habe, kann ich jetzt ohne weiteres aus den Formeln

von Hrn. Levi-Civita entnehmen, der die linken Seiten (@,, in seiner Bezeichnungsweise) der Gleichungen (3) explizite berechnete.

Hs wird im khanonischen Koordinatensystem Tt=—f?=7,—7(y,"—

y,7),

— GP =—-Tl=7—-2rwy,,

wobei die Indizes 1 und 2 an den Funktionszeichen y und y die Ableitungen

Levi-Civita

nach

2, = r bedeuten.

bzw.

z, =z,

vermiBt bei mir die Gleichungen

%2— TW —W)=0,

7, -2rmyy, =,

welche in der Tat dort gelten, wo der Energie-Impulstensor verschwindet; aber fiir meine Problemstellung verschwinden

deren linke Seiten im allgemeinen nicht, sondern liefern gerade diejenigen eindeutig bestimmten sind,

die

Massen

Erhaltungssitze

ins

Spannungen,

Gleichgewicht

fir den Impuls

zu

welche imstande

setzen.

(28 +) new no

Die

beiden

| (FE + FF) rem =,

(5) fiihren

zu den Feldgleichungen (4) zuriick.

yon (5) sind n&émlich baw.

:

= 2ry,(4y —= g

1 0*) 2 1

= ary, (4w — > 0°) Abnliche

Resultate

ergeben

os

Die linken Seiten

und

— (477 + [wy))sich

in dem

yon

mir weiter-

hin behandelten Fall der geladenen Massen (§ 6). Eine kurze Rechnung liefert fiir diejenigen Spannungen, welche den elektro-

91

statischen und den Gravitationskriften das Gleichgewicht halten miissen:

Zl=-

TP =7,+792°—9,),

—22=—T'=74+

2p

y-

Es ist bemerkenswert, da® die Spannungen I nur die ersten Ableitungen der Potentiale y (bzw. y) und y enthalten; auBerdem:

ist

die

Massendichte

von

erster,

so

sind

sie

von

zweiter Ordnung unendlich klein. Von diesen Spannungen (die freilich vorhanden sein miissen, aber nur die Rolle eines yotativs’ spielen, dazu dienend, die Kérper festzuhalten) durfte

man also wohl behaupten, daB sie vernachlassigt werden kénnen. Mit einer dahin lautenden Bemerkung glaubte ich mich a. a. O. der

genaueren

sollen.

Auf

Diskussion

die Kritik

dieser

Verhidltnisse

des Hrn. Levi-Civita

mir aber jetzt angebracht,

den damals

verhalt explizite klarzulegen.

entziehen

hin schien

zu

es

nur angedeuteten Sach-

36. * Ausbreitung elektromagnetischer Wellen iiber einem ebenen Leiter

‘Annalen der Physik 60, 481—500 (1919) § 1. Das

Problem

Die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen

im Raum,

der zur Halfte von

einem homogenen Dielektrikum, zur andern von einer homogenen Substanz endlicher Leitfahigkeit erfiillt ist (eine Ebene soll die gemeinsame Grenze beider Teile sein), ist von

SOMMERFELD

in einer bekannten

Arbeit

untersucht

wor-

den?). Ich glaube aber, dass die dort zur Diskussion der Lésung eingeschlagene Methode dem Problem zu wenig angepasst ist, und méchte daher im folgenden auf eine andere hinweisen, welche mir auf natiirlicherem Wege zu durchsichtigeren und vollstandigeren Resultaten zu fiihren scheint. Die Grundformel. Wir benutzen rechtwinklige Koordinaten x yz. Im Nullpunkt O befinde sich der Ursprung einer Kugelwelle. Eine solche kann — in einem Halbraum wie z = 0 — aufgefasst werden als Superposition von lauter ebenen Wellen verschiedener Richtung, wobéi Richtungskegel der gleichen Grésse mit der gleichen Intensitat zur Geltung kommen. Es gilt namlich im Gebiete z > 0 folgende Formel

fer Mahe

YO de),

(1)

Darin ist & eine reelle positive Konstante, R ist die Entfernung des im oberen Halbraum gelegenen Punktes P = (x yz) vom Ursprung. (« By) bezeichnet einen Punkt auf der Einheitskugel, nach dem integriert wird — es ist also, wenn 3, p die zur z-Achse gehérigen Polarkoordinaten sind,

und

a=sindcosp,

B=sindsing,

y=cosd

—

dw = sin & dé dy

das Oberflachenelement der Einheitskugel. Es ist zu integrieren nach @ von 0 bis 27, nach # iiber den in der Figur 1 breit ausgezogenen Weg in der komplexen §-Ebene; auf ihm durchlauft sin? die positiven Werte von 0 bis oo,

1) A. Sommerretp, Uber die Ausbreitung der Wellen in der drahtlosen Telegraphie, Ann. Phys. 28, 665-736 (1909).

93

bleibt der schliesslich ins Positiv-Unendliche wachsende Realteil von ikcos? durchweg = 0. Diese Umstiinde verbiirgen die Konvergenz des Integrals im oberen Halbraum. Man muss also nicht nur alle ebenen Wellen zusammenfassen,

deren Fortpflanzungsrichtung (« 8 y) mit der z-Achse einen Winkel # zwischen 0 und 7/2 bildet, sondern noch eine kontinuierliche Serie komplexer Neigungswinkel # hinzunehmen. 9-Ebene

Der Beweis fiir (1) ist leicht erbracht. Wir fiihren Polar-

koordinaten

n, y zur Achse OP ein; dann wird das Integral

auf der rechten Seite 1

en ik Reosn cin n dn dy.

2a

Der Integrationsbereich ist in den Variablen , y zundchst ein anderer (durch andere Ungleichungen zu beschreibender) als in den Variablen #, y; nach dem Caucuyschen

Fig. 1. satz kénnen wir ihn so dass jetzt wieder py von 0 bis 2x,

Integral-

aber durch den gleichen ersetzen: lings des oben gezeichneten Weges

lauft. Die Integration nach yp vollziehend und tk Reosn=t

als Integrationsvariable an Stelle von 7 einfiihrend, erhalten wir dann

1

—aE

Fk cos Walia

|

_,]ikR eT #R

seers 3 alts

Mia a

SOMMERFELD benutzt zur Darstellung von J/, diejenige Formel, welche aus der unsrigen (1) hervorgeht, wenn die Integration nach @ ausgefiihrt wird’). Aber gerade dadurch wird die auf dem Caucuyschen

Freiheit der Verlagerung

Integralsatz beruhende

des Integrationsbereiches von vornherein so einge-

schrankt, dass eine natiirliche Diskussion unméglich wird. Man muss namlich,

um die Verhaltnisse in einem Punkte P bequem zu tiberblicken, Polarkoordinaten zur Achse OP einfiihren, also auf der Einheitskugel um diese Achse und nicht um die z-Achse herum integrieren. Die Lésung. Ein im Punkte O in der Richtung der z-Achse schwingender

Dipol sende ungedampfte Schwingungen aus. Das homogene Medium habe die Dielektrizitatskonstante ¢, die Permeabilitat 1, die Leitfahigkeit o. c sei die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, y die Frequenz; ¢ bedeutet die Zeit. Das Feld leitet sich aus einer Hertzschen i=

Funktion e” - [7 her; dabei ist

(2)*{e = fee} €

1) Vgl. indes seine Bemerkungen auf S. 733, insbesondere Gleichung (64).

94 Wir nehmen

jetzt an, der obere

Halbraum

z > 0

sei von einem Dielektri-

kum erfiillt (¢ = 0, & reell und > 0); im unteren Halbraum z < 0 aber befinde sich eine Substanz endlicher Leitfahigkeit. Die auf sie beziiglichen Gréssen (z.B. k’) sollen durch einen Akzent charakterisiert werden. Der Dipol befinde sich zunachst nicht im Nullpunkt, sondern auf der z-Achse im Abstand d ober-

halb des Nullpunktes. Die einfallende Welle leitet sich dann aus der soeben angegebenen HErtzschen Funktion her. Im oberen Halbraum bildet sich ausserdem eine reflektierte Welle, im unteren eine gebrochene aus von der gleichen Frequenz ; auch sie entspringen aus je einer Hertzschen Funktion eit. TT,

eft IT,

Fiir das gesamte Feld im oberen Halbraum

ist die Funktion // = JI,+ I,

massgebend. Die Grenzbedingungen an der Trennungsebene z = 0 verlangen,

dass JJ und 1/k? - 0/7/dz stetig hindurchgehen:

eee a i

iNfesTe,

ee

fiir z= 0.

Wir zerlegen die Kugelwelle 7, in ebene: im Gebiete z < d, also insbesondere auf der Trennungsebene, gilt

Diya 9

2a J

fe

emer

ea

ae

,

Zu jeder der ebenen Partialwellen bestimmen wir die reflektierte und gebro-

chene; durch ihre Summation

den Welle

erhalten wir dann JJ, und J7’. Aus der einfallen-

en iklant By + (dz)

022-4

entsteht die reflektierte und die gebrochene

eth t a By ta te) . n

(z 220)

eT tk (ae + p'y—y'2} p—ikyd ie

(z 0), von der z-Achse den Abstand 7, vom Ursprung R; OP bilde mit der z-Achse den Winkel #,:

Yo = COS y = >

:

¥

sin By = -p--

96

Wir setzen jetzt zur Vereinfachung &=1, d.h. wir benutzen den (2 o)-ten Teil der Wellenlinge im Dielektrikum als Masseinheit fir alle vorkommenden Entfernungen. R sei (im Vergleich zur Wellenlange) eine grosse Zahl. Indem

wir Polarkoordinaten 7, y zur Achse OP einfithren, wobei wir die Ebene durch

zAchse und OP als Nullmeridian benutzen, erhalten wir

(7)7

tg 1—/e f[-ineosn.1. fsi nn dy dp. H=> Dabei ist in f ==

f(y) fiir y einzusetzen:

y = cos

(8)

= cos By cosy + sind, sin y cos p.

Es ist nach y zu integrieren von 0 bis 27, nach 7 am besten langs eines solchen Weges (er ist in Figur 1 gestrichelt eingetragen), der zunachst vom Punkte n = 0 im Gebirge des Imaginarteils von cosy méglichst steil in die Tiefe fiihrt (1 — cosy rein imaginar)!). Die Integration nach y denken wir uns ausgefiihrt; wir erhalten den Mittelwert

t=

an Stelle von 7:

BR

des

Dieser Ausdruck

lasst ohne

Integrationsweges

einen

ieee SOnRTE

a

0

ea

weiteres

de

erkennen,

wesentlichen

Beitrag

(9) dass nur der erste Anfang

zum

Wert

des

Integrals

leistet ; es kommt also bei der Integration auf der Einheitskugel im wesentlichen

nur die unmittelbare Umgebung des in der Richtung OP gelegenen Punktes in Betracht. In erster Annaherung (wobei der begangene Fehler von der Gréssenordnung 1/R) kénnen wir f durch seinen Wert fiir ¢ = 0, d.i. f(cos#) ersetzen und erhalten

F ~ f(cos 9).

(10)

In Entfernungen vom Erreger, die gross sind gegeniiber der Wellenlange, hangt also Schwéchung und Phasenverschiebung der Kugelwelle nur ab von der Richtung OP, und zwar in der aus (6) und (10) ersichtlichen Weise. Insbesondere ist zu bemerken, dass /(cos#) verschwindet fiir ) = 2/2. In erster Annaherung wird demnach die ldngs der trennenden Oberfldche selbst fortschreitende Erregung zu 0

1) In seinem weiteren Verlauf muss er freilich von dieser PaBstrasse abfiihren, damit die Singularitaten von / vermieden werden. In § 3 kommen wir genauer darauf zuriick.

97

abgeschwéicht. Der Grund dafiir ist aus unserer Herleitung klar. Diejenigen in der Kugelwelle enthaltenen ebenen Wellen, welche unter Winkeln # von der Quelle ausgehen, welche nur wenig kleiner als 2/2 sind, werden fast vollstandig zerstort

von

solchen,

die durch

Reflexion

aus Wellen

entstanden

sind, deren

Winkel # wenig grésser sind als 2/2. (10) ist das erste Glied einer asymptotischen Entwicklung nach Potenzen

von 1/R. Man sieht zunichst leicht, dass { eine Entwicklung nach ganzen posi-

tiven Potenzen von ¢ in der Umgebung dazu die Taylor-Reihe

der Stelle ¢= 0 zulisst. Man

bilde

Auf das einzelne Potenzglied

(vy — yo)" = [cos % (cos 7 — 1) + sin 9 sin 7 cos p]* wende man den binomischen Lehrsatz an und integriere nach y: es bleiben nur diejenigen

Glieder stehen, welche den zweiten

Summanden

in einer geraden

Potenz enthalten, in denen also 4 nur als ganzzahlige Potenz von

sin? 7 = (1 — cos 7) (1 + cos 4) =14 (2 —71) auftritt. Das

Integral von

(y —y,)"

nach

y ist somit

ein Polynom

in ¢, in

welchem ¢”? oder ¢*/? die niedrigste vorkommende Potenz ist, je nachdem h gerade oder ungerade. Das erste Glied der Entwicklung

(11)

fa

fet ist natiirlich a) = f(yo) = fy, das zweite

Aus (9), (11) und

=A {gy,— aero} lip

fo (1 — ¥6)

e

ae

h!

/ ON 0

fliesst die asymptotische Entwicklung

F~

=

a

Sv mie

Die beiden ersten Glieder ergeben / - sin Oo/2 au (cosGre #9) aint. cos F epee Bo) *Aiea B oiicosite = (cos In der unmittelbaren Nachbarschaft der Trennungsebene

ersten, das fiir J = 2/2 verschwindet,

noch

(12)

wird neben dem

dies zweite zu beriicksichtigen

98

sein. Es ist dort von der gleichen Gréssenordnung (nadmlich 1/R) wie das erste, wo cos#) = 2/R klein ist wie 1/R, wo also die Erhebung z tiber der Grenzflache der 1, d.i. der Wellenlange vergleichbar ist. Setzen wir fi

244

ie

n?(n® +

memay

gh Oe

10) == pC

1)

at

so ist in diesem Bereich, wie (12) lehrt, >

Fr

O,2—-1C,

ane

(mit einem Fehler von der Gréssenordnung 1/R*). — Nirgendwo zeigt sich hier eine Andeutung dafiir, dass es berechtigt ware, den Vorgang in eine «Raum»und eine «Oberflachen»-Welle zu trennen. § 3.

Die

Singularitaten des Integranden. Zerlegung in Haupt- und Nebenwelle

der

Stérung

Nun sind freilich die bisherigen Annaherungen brauchbar nur fiir den Fall, dass eine miassige Zahl ist. Wenn » gross ist, wird eine néue Untersuchung erforderlich. Mathematisch gesprochen, werden wir den Grenziibergang lim =co zu vollziehen haben. Aus der Formel (5) geht hervor, dass dabei F gegen 1 kon-

vergiert ; doch ist die Konvergenz nicht gleichmassig in dem ganzen oberen Halbraum, sondern, wenn ¢ irgendeine positive Zahl ist, nur fiir 0 < #) Sa/2—e. Was hier zu tun iibrigbleibt, illustriere ich durch das bekannte « Grppssche

Phanomen» in der Theorie der Fourierschen Reihen. Entwickelt man diejenige Funktion s(x), welche im Intervall von —z bis 0 gleich —1,

im Intervall von

0 bis x gleich + 1 ist, in eine Fouriersche Reihe, so konvergiert die m-te Partialsumme s,(x) mit unbegrenzt wachsendem Index » gegen s(x); jedoch nicht gleichmassig in einem Intervall wie

FSXSTS,

4

see

welches die Sprungstelle Ungleichung

«= 0

ge

einschliesst.

[Sa(x) = Si ( »)|

ca

=

Dagegen

gilt hier die folgende

S$

(13)

bedeutet und const unabhangig ist von und x. Sie gibt genauen Aufschluss dariiber, wie sich die Partialsummen s,,(x) bei grossem in der Nahe der Sprung-

stelle verhalten;

man

sieht aus ihr insbesondere,

dass der jahe Ubergang

der

Funktion s,,(x) vom Niveau —1 auf das Niveau +1 an der Stelle x = 0 vorbereitet und gefolgt wird von heftigen, dicht gedrangten Oszillationen. Wegen

99

der mangelnden Gleichmassigkeit ist die Naherungsformel s,,(x) ~ s(x) unzulanglich; erst die gleichmassig giiltige, im Sinne der Ungleichung (13) zu interpretierende s,,(x) ~ Si(mx) ist wirklich brauchbar. — Das Analoge ist hier zu

leisten: wir wollen F (das dem s,, beim Gipssschen Phanomen entspricht) durch eine in ihrem Wertverlauf leicht tiberblickbare Funktion F* [analog zu Si(nx)]

approximieren, so dass im ganzen oberen Halbraum und fiir alle hinreichend grossen Werte des komplexen Brechungsindex » die Ungleichung We

F*|


0, in dem Sinne, dass C

aus der Vereinigung von C-, C+ und dem einen Punkte 0 bestiinde (jeder Punkt entweder mit 0 zusammenfiele oder zu C~ oder zu C+ gehérte). Erscheint dies dem heutigen Mathematiker mit seiner atomistischen Denkgewéhnung anstdssig, so war es in friiheren Zeiten eine allen selbstverstaéndliche Ansicht: innerhalb eines Kontinuums lassen sich wohl durch Grenzsetzung Teilkontinuen erzeugen; es ist aber unverniinftig, zu behaupten, dass das totale Kontinuum aus der Grenze und jenen Teilkontinuen zusammengesetzt sei. Ein wahrhaftes Kontinuum ist eben ein in sich Zusammenhangendes und kann nicht in getrennte Bruchstiicke aufgeteilt werden; das widerstreitet seinem Wesen. Ct ist ein Kontinuum in dem gleichen Sinne wie C: Medium freien Werdens; auch bei seiner

mathematischen Erfassung miissen wir daher nicht von den Punkten, sondern von den Intervallen ausgehen. Ihm liegt zugrunde das System 2+ derjenigen

Dualintervalle, deren erste Charakteristik m positiv ist. Ein Gesetz, das aus jeder natiirlichen Zahl ein Intervall dieses Systems erzeugt, und zwar so, dass

die Intervalle der Folge ineinander eingeschachtelt sind, liefert eine bestimmte Zahl

im

Kontinuum

C+;

schachtelungsbedingung

Wahlakte,

gebunden,

welche

an das

System

2+ und

die Ein-

im iibrigen aber frei sind, erzeugen eine

werdende Folge, welche «die im Bereich C+ sich bewegende Variable»

darstellt.

Man wird hier gewahr, dass «Punktmengen», welche als Variabilitatsgebiet ftir Funktionsargumente in Betracht kommen, immer nur Verkleidungen von «Intervallmengen», genauer von definiten Intervallmengen sein kénnen. Nur itber derartige Punktmengen ist aber auch eine allgemeine Theorie innerhalb der Analysis méglich, da sie unter die Rubrik der functiones discretae fallen. Neben dem System 2+ trat oben das System 2 der Dualintervalle auf, deren

erste Charakteristik m < 0 ist, und drittens das System 2° der durch m = 0 charakterisierten Dualintervalle. der «rechts

von

0 gelegenen»,

Y+, Y-, X° bestimmen

bzw.

der «links von 0 gelegenen»

und

das Kontinuum der «mit

0 zu-

sammenfallenden» Punkte. Betrachten wir jetzt eine der gewdhnlichen, auf eine reelle Variable x anzuwendenden

Operationen, z.B. x*. — Aus mehreren Dualbriichen a, a’, ... in

174

endlicher

Anzahl

kann

man

leicht das

konstruieren, welches jene Dualbriiche wir mit (a, a’, ...). Sind

einzige

Dualintervall

héchster

Stufe

dies Intervall bezeichnen

alle enthalt;

die Endpunkte eines Intervalls 7, so liegen die Quadrate aller Dualbriiche, welche in das Intervall 7 hineinfallen, ihrerseits in dem Intervall

=

(ai,a@a, a’).

Ist eine reelle Zahl « gegeben durch eine Folge ineinander eingeschachtelter Dualintervalle,

so erhalt man

die Zahl «?, indem

man

von

jedem

Intervall

der Folge das « Quadratintervall» 2? bildet. Die Entstehung von «? aus « beruht

+

also nicht auf der Zuordnung von Jntervallfolgen, sondern einfach auf der Zuordnung von Intervallen: es handelt sich um das Gesetz, das aus jedem Intervallz das Intervall 7? erzeugt; dies Gesetz nennen wir «die Funktion x». Lasst

man eine Folge ineinander eingeschachtelter Dualintervalle 7 durch freie Wahl Schritt fiir Schritt entstehen, so entspricht ihr nach diesem Gesetz eine werdende Folge von gleichfalls ineinander eingeschachtelten Intervallen 7%. In ahnlicher Weise erklaren wir die Funktion x - y (die Operation der MultipliRation) im Gebiet von zwei Variablen x, y. Diesem Variabilitatsgebiet liegt zugrunde das System der durch drei ganzzahlige Charakteristiken m, n; h voneinander zu unterscheidenden «Dualquadrate» mit den Eckpunkten _m+1 i Sap oha

Setzen wir m—1 aa,

ee ald wae

‘) m+i1, Va

ee 2

n—1 b= 7B,

uae ; m+. vase,

so erzeuge man aus diesem Quadrat J das Intervall:

a)

= (ab, a' b, ad’, a’).

Dieses Gesetz x ist die Funktion x - y; durchlauft J eine werdende Folge ineinander eingeschachtelter Quadrate, so z(J) eine werdende Folge ineinander eingeschachtelter Intervalle. Interpretieren wir endlich noch die im Gebiete zweier Variablen x, y giiltige Identitat

(% + y) (x — y) = 2? — y® Ein

Paar Dualbriiche

a, b nennen

wir «den

Schnittpunkt

(*) von

a mit b». Sind

a, a’, ... mebrere (z.B. drei) gegebene Dualbriiche, und ist daneben noch eine

175

zweite Reihe von endlichvielen (z.B. vier) Dualbriichen 6, b’, ... gegeb en, so k6énnen wir das kleinste Dualquadrat bilden, das die samtlichen (3 - 4) Schni ttpunkte von a, a’, ... mit b, b’, ... enthalt:

Die

Funktion

ECAC! S| ha) =a+y,

y=x—y

eles +

om

J

a

ist das Gesetz, welches aus jedem

a

lea

Fig. 2.

Dualquadrat

punkte von a, a’ mit 6, b’ sind, das Quadrat

J, dessen Ecken die Schnitt-

J’=(a+6,a'+b,a+0b',a'+0'|a—b,a'—b,a—0’,a'—

3d’)

erzeugt; aus ihm werde das Intervall ¢ gebildet nach dem Gesetz x’+ y’ (das eben mit z bezeichnet wurde). Damit ist die linke Seite von (*) konstruiert.

Analog rechts: Man bildet aus J zunachst das Quadrat

J? = (a2, aa’, a’? | bY, bb, b”) (das ist die Funktion

x” = x?, y” = y?] und daraus das Intervall 7 nach

dem

Gesetze x’’— y”. Die Gleichung (*) behauptet, dass, welches auch das Dual-

quadrat J sein mag, 7 wnd 2 sich stets tiberdecken.

Die angefiihrten Beispiele legen uns den allgemeinen Begriff der stetigen Funktion einer reellen Veranderlichen nahe. Eine solche Funktion wird bestimmt nicht durch ein beliebiges Gesetz, das einer werdenden Intervallfolge eine werdende Intervallfolge zuordnet, sondern durch ein Gesetz, nach welchem

einfach jedes Dualdntervall (sobald es einmal hinreichend klein geworden ist) ein Intervall erzeugt. Das entspricht auch vollkommen dem Sinn, wie dieser

Begriff in den Anwendungen

Argument

der Mathematik

gebraucht

wird:

sobald das

mit einem gewissen Grad der Genauigkett gegeben ist — und anders

ist es in den Anwendungen ja nie gegeben -, ist auch einem zugehérigen Grad von Genauigkeit bekannt. Der ersteren unter jede Grenze (wenn die Funktion in einem betrachtet wird). Die stetigen Funktionen sind demnach

der Funktionswert mit letztere sinkt mit dem beschrankten Intervall nur verkleidete «func-

176

tiones discretae»; und nur darum kann die Analysis eine allgemeine Theorie iiber sie aufstellen. Eine stetige Funktion, erklaren wir, ist bestimmt durch ein Gesetz p, das aus jedem Dualintervall 7 entweder nichts oder ein ebensolches Intervall, y(i), erzeugt. Es gehdrt ferner dazu ein Gesetz, aus jedem Intervall 7 eine natiirliche Zahl m, erzeugend, von folgender Art: Ist ¢ irgendein Dualintervall, 7 eine natiirliche Zahl = n,, so erzeugt das n-te derjenigen Dualintervalle, welche im Innern von 7 gelegen sind, nach dem Gesetz p bestimmt ein Intervall (und nicht nichts), das iiberdies im Innern von (i) liegt, falls (7) existiert. - Die Einschachtelungsbedingung hat zur Folge, dass zwei tibereinandergreifenden Intervallen i, i’ stets zwei iibereinandergreifende Intervalle y(t), vi’) entsprechen; denn nach dieser Bedingung kann man stets ein im Innern

beider Intervalle 7, 7’ enthaltenes Dualintervall

7 konstruieren,

dessen

Bild y(7) existiert und im Innern sowohl von g(z) wie (z’) liegt. Ist « eine

einzelne reelle Zahl, d.i. eine durch ein Gesetz ins Unendliche hinaus bestimmte

Schachtelfolge von Intervallen 7, 2’, 7’, ..., so bilden wir die Folge g(¢), p(t’),

g(t”), ...; aus ihr fallen natiirlich die nicht-existierenden Bildintervalle heraus, ausserdem aber streichen wir in ihr auch ein Intervall, falls es nicht im Innern

des nachstvorhergehenden enthalten ist; wegen der zu jedem Intervall 7 gehorigen Zahl n, bleibt dabei doch eine unendliche Folge stehen. Die so praparierte Bildfolge ist also wiederum eine reelle Zahl B = p(x): der Wert der stetigen Funktion fiir den Argumentwert «. Fallen die beiden reellen Zahlen a und «’ zusammen, so fallen auch die zugehérigen Funktionswerte 6 und f’ zusammen.

— Zwei

stetige Funktionen

stimmen

iiberein,

wenn

sie durch

Ge-

setze bestimmt sind, die jedem Dualintervall zwei iibereinandergreifende Inter-

valle zuordnen?).

Wie man sieht, kann man den Begriff der stetigen Funktion in einem beschrankten Intervall nicht erkldren, ohne die gleichmdssige Stetigkeit und die Beschranktheit sogleich in die Definition mit aufzunehmen. Vor allem aber kann

es gar keine andern Funktionen in einem Kontinuum geben als stetige Funktionen. Wenn die alte Analysis die Bildung unstetiger Funktionen erméglichte, so

bekundet sie damit am deutlichsten, wie weit sie von der Erfassung des Wesens

des Kontinuums entfernt ist. Was man heute eine unstetige Funktion nennt,

besteht in Wahrheit (und auch das ist im Grunde nur eine Riickkehr zu alteren

Anschauungen)

aus mehveren Funktionen in getrennten Kontinua. Wir fassen

z.B. die oben eingefiihrten Kontinua C, C+(x > 0) und C-(x < 0) ins Auge.

Die Funktion /,(«) = x in C+ ist das Gesetz, das jedem Dualintervall, dessen beide Endpunkte positiv sind, dies Intervall selbst zuordnet. Die Funktion

f,(x) = —x in C~ ist das Gesetz, das jedem Dualintervall 7, dessen beide End-

punkte a, a’ negativ sind, das Intervall —i = (—a’, —a) zuordnet. Zu diesen beiden Funktionen existiert eine einzige Funktion |x| in ganz C, welche in C+ mit /,, in C~ mit /, tibereinstimmt; sie ordnet einem Dualintervall 7 das Inter1) Von der einzelnen bestimmten stetigen Funktion war hier die Rede. Die allgemeinen Satze iiber sie handeln aber von dem Kontinuum, in das sie sich einbetten: der (als einer werdenden zu betrachtenden) willkirlichen stetigen Funktion. Das nahere Eingehen auf diesen Begriff wiirde uns hier zu weit fiihren.

17,

valli zu, falls beide Endpunkte von i positiv sind, —i, falls beide Endpunkte

negativ sind, einem Intervall i mit den Endpunkten aa’ aber, das den Nullpunkt enthalt, das Intervall (—a’, —a, a, a’). Betrachten wir hingegen die

beiden Funktionen +1 in C+, —1 in C-, so existiert zu ihnen keine in ganz C definierte

Funktion,

einstimmte. Der bisherigen

welche

Analysis

in C+ mit der einen, in C- mit der andern

erschien

das

Kontinuum

als die

Menge

iiber-

seiner

Punkte; sie sah in ihm nur einen Spezialfall des logischen Grundverhaltnisses

von Element und Menge. Wem ware es nicht schon aufgefallen, dass das ebenso fundamentale Verhaltnis von Ganzem und Teil bislang in der Mathematik liberhaupt keine Stelle hatte? Dass es Teile hat, ist aber die Grundeigenschaft des Kontinuums; undso macht die BRouwersche Theorie (im Einklang mit der Anschauung, gegen welche der heutige «Atomismus» so arg verstésst) dieses Verhaltnis zur Grundlage fiir die mathematische Behandlung des Kontinuums. Darin liegt der eigentliche Grund fiir das im vorhergehenden (bei der Abgrenzung von Teilkontinuen sowohl wie bei der Bildung stetiger Funktionen) eingeschlagene Verfahren, das nicht von den Punkten, sondern den Intervallen als den primaren Konstruktionselementen ausgeht. — Freilich: auch eine Menge besitzt Teile. Was sie aber im Reich des «Teilbaren» auszeichnet, ist die Exi-

stenz der «Elemente» im mengentheoretischen Sinne, d.h. von Teilen, welche selbst keine Teile mehr enthalten; und zwar ist in jedem Teil mindestens ein «Element»

enthalten.

Hingegen

gehért es zum Wesen

des Kontinuums,

dass

jedes seiner Teile sich unbegrenzt weiter teilen ldsst; der Begriff des Punktes muss als Grenzidee betrachtet werden,

«Punkt»

ist die Vorstellung der Grenze

einer ins Unendliche fortgesetzten Teilung. - Um den stetigen Zusammenhang der Punkte wiederzugeben, nahm die bisherige Analysis, da sie ja das Kontinuum in eine Menge isolierter Punkte zerschlagen hatte, ihre Zuflucht zu dem Umgebungsbegriff. Aber da in der daraus hervorgehenden Allgemeinheit der Begriff der stetigen Mannigfaltigkeit mathematisch unfruchtbar blieb, musste hernach als einschrankende Bedingung die Méglichkeit der «Triangulation» hinzugefiigt werden). Im Gegensatz zu diesem Aufbau erschienen in den kurzen Erlauterungen, welche BRouwER seinen bekannten Beweisen der grundlegenden Satze der Analysis situs vorausschickte*), schon deutlich die einfach zusammenhangenden Stiicke, aus denen die Mannigfaltigkeit zusammengesetzt wird, als die urspriinglich gegebenen Bausteine. Die neue Analysis lasst nur diesen Weg offen.

Deuten wir kurz an, wie sich danach die mathematische

Definition des Be-

griffes der zweidimensionalen geschlossenen Mannigfaltigkeit gestaltet. Zunachst ist das Schema ihres topologischen Aufbaues anzugeben, das ich als ein «zwei-

dimensionales Geriist» bezeichne. Es besteht aus endlichvielen «Ecken» ey (Elementen

0-ter Stufe),

«Kanten»

e, (Elementen

1. Stufe),

«Flachenstiicken»

ey

(Elementen 2. Stufe), die durch irgendwelche Symbole gekennzeichnet werden

1) Siehe z.B. H. Wevt, Die Idee der Riemannschen Flache (Leipzig 1913), § 4. 2) Siehe vor allem L, E. J. Brouwer, Math. Ann. 71, 97 (1912).

178

mégen. Jedes Flachenstiick wird von gewissen Kanten, jede Kante von gewissen Ecken «begrenzt»; die Angaben dariiber bilden den wesentlichen Inhalt des Schemas. Es muss gewissen leicht zu formulierenden Forderungen geniigen. — Von den Flachenstiicken des Geriistes gelangt man zu den Punkten der Mannigfaltigkeit durch einen unendlich oft zu wiederholenden Teilungsprozess. Diesen wollen wir so vornehmen, dass wir jede Kante durch einen ihrer Punkte

in zwei Kanten zerlegen, darauf jedes Flachenstiick von einem willkiirlich in

ihm gewahlten

Zentrum

den

aus durch Linien nach

ao)

oer,

auf seiner Begrenzung

(ey Fig. 3.

gelegenen Ecken in Teildreiecke zerlegen. Diesen Vorgang

kann man

in ab-

stracto so beschreiben: Jedem Element e; des urspriinglichen Geriistes G entspricht ein Element 0-ter Stufe (e;), des durch Teilung entstehenden Geriistes

G’; zwei Elemente e;, e, (i > k) des urspriinglichen Geriistes, von denen das eine das andere begrenzt, erzeugen ein Element 1. Stufe (e; e,); des neuen Gerlistes G’, das begrenzt wird von (e,)y und (e,)4; drei Elemente ¢, e, é¢) von G, die einander begrenzen, ein von (é, €)1, (€2 &)1, (€ &)1 begrenztes Element 2. Stufe (€, ¢, &)3 von G’. — Die Flachenstiicke von G und die durch sukzessive Teilungen entstehenden Flachenstiicke von G’, G”, ... spielen hier die gleiche Rolle wie diejenigen Intervalle im Linearkontinuum, in welche dasselbe durch die Dualbriiche von der Form

Zahlen)

zerlegt wird.

m/2, m/2?, m/23,

... (m durchlauft alle ganzen

Je zwei aneinanderstossende

einem «Dualintervall» zusammen,

von ihnen fiigten wir zu

um auf jeder Teilungsstufe eine Bedeckung

des Linearkontinuums durch tibereinandergreifende Stiicke zu bekommen. Analog fassen wir hier diejenigen Flaichenstiicke eines der durch Teilung entstandenen

Geriiste G, G’, G’, ..., welche von einem gemeinsamen

Eckpunkt

be-

grenzt werden, zu einem «Stern» zusammen. Unter einem Punkt der Mannigfaltigkett ist eine unendliche Folge solcher Sterne zu verstehen, in welcher jeder Stern ganz im Innern des nachstvorhergehenden enthalten ist; der Sinn dieser Einschachtelungsbedingung zwischen zwei Sternen ist leicht zu formulieren. Eine offene Mannigfaltigkeit unterscheidet sich von einer geschlossenen nur darin, dass das zugrunde liegende Geriist nicht aus endlichvielen, sondern einer unendlichen Folge von Elementen besteht. Das friiher ausfithrlich betrachtete Linearkontinuum fallt unter diesen Begriff, sofern wir als Dualintervalle allein

die Intervalle ((m—1)/2*, (m-+1)/2") mit einer fositiven Charakteristik h gel-

179

ten lassen. Diese Modifikation kann an allen unseren bisherigen Entwicklungen ohne weiteres angebracht werden. Der Begriff der stetigen Funktion ist gleich so gefasst worden, dass er sich auf beliebige Mannigfaltigkeiten iibertragen lasst: Eine stetige Abbildung einer Mannigfaltigkeit auf eine andere wird be-

stimmt durch ein Gesetz, das jedem Stern der ersten entweder nichts oder einen

Stern der zweiten zuordnet ; es kommt hinzu die gleiche Einschachtelungsbedingung wie frither. Hier ist es wirklich wesentlich, dass die Alternative des «Nichts» offen gelassen wird, da ja das Bildgebiet eines Sternes der ersten Mannigfaltig-

keit nicht in einem einzigen Stern der zweiten Platz zu finden braucht.

Sobald

Variablen

man

es mit

einer

zu tun hat, muss

in irgendeinem

man

Kontinuum

sich, der neuen

sich

Theorie gemiss

bewegenden operierend,

tiber dem Kontinuum sozusagen in der Schwebe halten und hat nicht wie bisher

die

Méglichkeit,

sich

auf

einem

einzelnen,

wenn

auch

willkiirlichen

Punkte

niederzulassen. Dem an das letzte Verfahren Gewohnten mag solche Zumutung zunachst unbequem erscheinen; aber jeder wird spiiren, wie treu auch hierin

die neue Analysis dem anschaulichen Charakter des Kontinuums sich anpasst.

Die BRouwErsche Auffassung verbindet héchste intuitive Klarheit mit Frethett. Wer immer sich im abstrakten Formalismus der Mathematik noch einigen Sinn

fiir anschauliche

Gegebenheiten erhalten hat, auf den muss sie wirken wie eine

Erlésung von bésem Albdruck. Endlich sei noch darauf hingewiesen, wie vollkommen beide Teile der neuen Lehre, die anschauliche Angepasstheit ans Kontinuum und ihre Jogische Stellungnahme zu den generellen und den Existentialsdtzen, sich gegenseitig fordernd, ineinandergreifen.

Nachtrag Juni,1955 Nur

mit

einigem

Zégern

bekenne

ich mich

zu

diesen

Vortragen,

deren

stellenweise recht bombastischer Stil die Stimmung einer aufgeregten Zeit widerspiegelt — der Zeit unmittelbar nach dem ersten Weltkrieg. Kurz nachdem ich diese den Intuitionismus predigenden Vortrage hielt, trat HILBERT mit seiner formalistischen Neubegriindung der Mathematik hervor [Abh. Math. Seminar Univ. Hamburg 7 (1922)]; vgl. ferner Hirpert, Die logischen Grundlagen der Mathematik, Math. Ann. 88 (1922). Zu dem Gegensatz von Intuitionismus und Formalismus nahm ich Stellung in dem (heute vielleicht schwer zuganglichen) Aufsatz (67): Die heutige Erkenntnislage der Mathematik, der den ersten Band der (bald wieder eingegangenen) «Philosophischen Zeitschrift fiir Forschung und Aussprache» Symposion (Verlag der philosophischen Akademie Erlangen, 1925) eréffnet, und dann in meinem Beitrag Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft z1 dem OLDENBOURGschen

Handbuch der Philo-

sophie (R. OLDENBOURG, Miinchen 1927). Die erweiterte amerikanische Ausgabe Philosophy of Mathematics and Natural Science (Princeton University Press 1949, second printing 1950) diskutiert im Appendix A (The Structure of Mathematics) die veranderte Sachlage, welche durch die GpEtsche Entdeckung von «formal unentscheidbaren Satzen» (1931) geschaffen wurde. Ich verweise

180 ferner noch auf meine spateren Ausserungen in (138): Mathematics and Logic und (156): Uber den Symbolismus der Mathematik und mathematischen Physik. Uber weitere Fortschritte und die auf diesem Gebiet entstandene umfangreiche Literatur orientiert bis 1936 ALonzo CHURCHs grossartige Bibliography of Symbolic Logic (J. Symbolic Logic 7, 121-218, und 3, 178-212) und dann fortlaufend eben dieses Journal of Symbolic Logic. Heute will mir scheinen, dass die ,,operative‘‘ Einstellung von Paut LorENzEN den gangbarsten Weg aus den Schwierigkeiten eréffnet; vgl. sein kiirzlich erschienenes Buch Einfiihrung in die operative Logik und Mathematik (Springer-Verlag 1955). Die Operationen des formalen Kalkiils sind hier in fruchtbarer und zwangloser Weise verflochten mit inhaltlichen Uberlegungen iiber deren Produkte; die G6peEtsche Entdeckung verliert dadurch alles Beunruhigende.

42.

Zur Abschitzung von ¢ (1 + ti) Mathematische Zeitschrift 10, 88—101 (1921)

1.

Die Herren

Behauptung

Hardy,

und

Gang

Littlewood

des

und

Beweises.

der Verf. haben,

unabhangig

voneinander und auf verschiedenen Wegen, zum Teil parallel laufende Untersuchungen iiber die Gleichverteilung von Zahlen mod 1 angestellt'), indem sie dabei insbesondere den Fall ins Auge faBten, wo die zu untersuchende Zahlenreihe aus den Werten eines reellen Polynoms y(z) fiir die

ganzzahligen Argumente z= 1, 2, 3,... besteht. bei diesen Untersuchungen spielt der Satz, daB n

(1)

Dy)

tra

Eine entscheidende Rolle

® — 0(n)-

h=0

ist, wenn

der héchste Koeffizient von q(z) irrational ist. n

(2)

ae

o (Ign).

h=1

und

Das Ziel, das sich Hardy war

zig (h)

Aus (1) folgt

der

Beweis

der

giltigen Abschatzung

die

fiir

Littlewood

urspriinglich

Riemannsche

¢-Funktion

gestellt hatten, im

lim t= oo

(lgt), ti) =o+ ¢(1 wihrend ich aus ganz anderer Richtung, von dem astronomischen Problem

(3)

der ,,mittleren Bewegung“ her, zu der gleichen Fragestellung gefiihrt wurde. Auf die ¢-Funktion angewendet, liefert. meine Methode das iiber (3) hinaus-

gehende (4)

Gesetz

Ry

f+

ee

tt)

=0

(let

igs):

2) Acta Mathematica, 37, S. 155-191 und S. 193-239; §. 313352 (im folgenden zitiest als ,G. V.“)

Math. Ann., 77 (1916),

182

Es kommt dabei nur der eine Hauptgedanke jener Methode (der zu dem Hilfssatz 2 der gegenwirtigen Note fiihrt) zur Geltung; das arithmetisch-transzendente

Prinzip,

das in G. V. die Grundlage

aller Entwick-

lungen bildet *), braucht zum Beweise von (4) nicht herangezogen zu werden. Ks zeigt sich so, daf iiberhaupt der Zusammenhang der beiden Gesetze (2), und (3) nur ein ziemlich lockerer ist und dem Inhalt von (3) insbesondere jenes zahlentheoretische

Moment

reiz und die Hauptschwierigkeit bildet. Hilfssatz Grenze

bleibt,

1.

Mit

einem Fehler,

fehlt, das bei (1) den

der absolut unterhalb

Haupt-

einer festen

ist

C(1+ #4) gleich ¥(t) = X7 Die Beziehung merkung, daB sich

Strecken

der

von S(t) zur Summe (2) ergibt sich aus der Beigm gemiS dem Taylorschen Lehrsatz auf weite

Summationsvariablen

n

wie

ein Polynom

verhalt.

Wollen

wir in einer Summe >») je H aufeinanderfolgende Glieder zusammenfassen, 2” so bringen wir das dadurch zum Ausdruck, daB wir n in die Gestalt Hy

setzen,

+h

(ye hf gan — 0, 1,2... z; 2, 7 — 1)

wodurch DN sich in Bie): verwandelt.

yh

n

; ee +h) ig (H»

Ee h Ink: y Zine a {le( "+e

In unserm

Falle ist

1h? ed nett he Sa1 n? ee Spee

(0O= 3= 1)

Der zwischen {} geschriebene Hauptteil der endlichen Taylorreihe ist ein Polynom ¢,(h) in kh vom q-ten Grade; das Restglied ist absolut

geal

G1, Wir

kénnen

also

mit

einem

Fehler,

e-tile(H»+h)

ersetzen, solange 1

aera

pert? der

prozentual

durch

ett?

sehr

klein

ist,

»?*! ein grofes Vielfaches von ¢, d. h. » ein groBes Viel-

faches von ¢4+1 ist. von der Form

Wir

werden

dementsprechend

S(t)

in Teilsummen

(g=1, 2,3, 1 ist

bekannte

Uberlegung

wird

s =o

nur

der

+ ti

Voll-

185

ist, fallt der absolute Betrag der auf der linken Seite stehenden Differenz fiir Argumente der angegebenen Art n+

ag aus.

Bedeutet

Anderseits

ne 1 S18h) : gall, a acey)

m

irgendeine ganze positive Zahl,

so ist daher

ist

und das ist dem absoluten

\

een=1

i

Betrage nach

Se

ee

< Zs

il

Daher

wird

Dees

mel n=1+[t] ey aire et es ee ”

l+o

Diese Abschiatzung behilt aber offenbar aus Stetigkeitsgriinden ihre Giiltigkeit auch noch fiir o =1:

eG@estj

ore 2 oy tie

ee,

n=

Beweis

von

Hilfssatz

2.

Unter

H, verstehen wir die Anzahl der

Gitterpunkte r, welche dem oktaedrischen Bereich |r|

< H — 1 angehéren;

es ist

1. Schritt.

1)

2H

HS

(5)

Die Konjugierte

(2H)*.

von

H-1 Ai =>) ete) h=0

ist

H-1

6

Multiplikation ergibt joi?

oo

He =»)

h=0

1 H-1

- Set

hoo

s ete ).e-tyh)

k=0

—

SY er(pir)— ih),

186 Ich setze

h =k +1;

dann

wird

p(h)=9(k +7) = v(k)+ rp(r,k). y(r,k)

ist eine

(q —1)-ter

den Potenzen (6)

jo]?

Der Summationsbereich

=>)

r durchliuft

mithin

das

eral

ganze Intervall von

1.

—(H —1)

r>0

oder r an q+ i) = ngt}

isthe SH

te

1S @ENGF2) get

;

©

q+1

eae q+2

ae}

ee

SchlieBlich ist es bequem,

in =” den Faktor 1 durch

1, =Ig(1+ 5) =le(m +1) —Ign 1

zu

ersetzen:

PSs

moi

Se

Es gilt

(10)

j2"-2*|/s n= d|4-4)0 regular ist; das ist natiirlich nur berechtigt, wenn die Welt aus diesem Keil allein besteht, wenn sie also durch die statischen Koordinaten vollstandig dargestellt wird. Eine solche geschlossene Welt wird aber zufolge der Einsteinschen Gesetze erst méglich durch einen am Aquator lagernden mach-

tigen Massenhorizont,

und die Rotverschiebung

ist dann als Wirkung der Annaherung an diesen Massenhorizont

aufzufassen!).

Wenn

jedoch

die Masse im geschlossenen Raum gleichformig mit der Einsteinschen Gleichgewichtsdichte verteilt ist, wird die Lichtgeschwindigkeit f konstant, und es tritt iiberhaupt keine Verschiebung der Spektrallinien auf. Die Rolle, welche bei Einstein der Massenhorizont spielt, namlich

die Frequenziibertragung in der Lichtwelle zu selber iibernehmen

ein-

dieselbe

messende

darauf,

zelne Inseln wie das MilchstraBensystem

sondern

Raum

ausgesandte

besitzt. Umgekehrt wiirde dann ein Beobachter auf S an einem Stern in O Violettverschiebung konstatieren. Diese Asymmetrie zwischen

bestimmen,

annahm,

Stern

Zeit ¢ zu

aber die Massen in ihr nicht gleichférmig verteilt sind, wie Einstein

vom

Zentrum

kann

unserer

aufzufassende

leeren Raumes,

Masseninseln die Deutung

nach

der

—

ihm

Theorie

das

als

MilchstraBensystem

fiir denjenigen niaher

liegt als

Teil des andern

yon 4hnlicher Machtigkeit. Fiir der besprochenen astronomischen

Erscheinung ist also unser kosmologisches Glied

unter

Umstanden

von

Wichtigkeit.

8. Bisher haben wir nur die zwei einfachsten Integralinvarianten des metrischen Feldes, die Maxwellsche WirkungsgréBe und das

natiirlich gemessene Volumen, in Betracht ge-

zogen. Alle Integralinvarianten von zweiter Ordnung, d. h. alle, welche die Ableitungen der Sw bis zur zweiten, der gy; bis zur ersten Ord-

nung enthalten, sind von R. Weitzenbéck®) 1) Natiirlich bleibt es sehr auf klirangsbediirftig, wie es kommt, da der Zusammenschlu8 der Welt im grofen die Lichtwelle yon Anfang an beeinfluBt, wo man doch meinen sollte, sie kinne darauf erst reagieren, wenn sie die ganze Weltkugel durchlaufen hat, Mit der Hertzschen Vorstellung von der Entstehung einer Lichtwelle ist das ganz unvertriglich; der Bohrschen bingegen scheint es mir nicht zu widersprechen, 2) Sitzungsber, d, Akad. d. Wissensch, in Wien, Abt. Ha, 129, 1920, Sitzung vom 21, und 28, Okt, 1920; 180, 1921, 10. Februar.

235 bestimmt

von

denen

worden.

zwei

Es ergaben sich deren sechs,

allerdings in ihrem

Vorzeichen

abhiingen von einem in der Welt anzunehmenden Schraubungssinn. R. Bach hat gezeigt?), da

die Variation

dieser

beiden

identisch

ver-

schwindet; dasselbe gilt nach seinen Rechnungen auch

fiir eine

der ibrigen bisher

gewisse

vier.

numerische

Demnach

benutzten

Invarianten

kommt

Kombination

im

neben den

Wirkungs-

prinzip nur noch eine weitere in Frage. Entgegen friher geauBerter Meinung glaube ich jetzt, nachdem die Konsequenzen der Theorie

sich etwas geklart haben, dessen ziemlich sicher zu sein, daB sie in der Natur keine Rolle spielt. Denn wenn wir sie mit heranziehen, kommen wir auf Feldgesetze vierter Ordnung; die statische kugelsymmetrische Lésung derselben enthalt wenn wir annehmen; dab kein elektromagnetisches Feld vorhanden ist

und von den kosmologischen Termen absehen,

einer nicht ausgearteten quadratischen DifferenMaBberuhende Pythagoreische tialform

ist.

bestimmung

ist, welche den dort aufgestellten

sie die einzige

geniigt, habe ich in-

natiirlichen Forderungen

mathematischen

den

zwischen

in

kénnen!);

bringen

der

Nachweis

Giiltigkeit

ihr

Hinblick

auf

pflanzung

des

hang,

die

Punkte

O

barten.

der

Méglichkeit

Vektorkérpers

die

Wenn

im

stante, die

allem

aber

einem

nicht

Masse,

scheint

solchen

Untersuchung

deren

zwei*).

nur

eine

willkiirliche

Kon-

es

ganz

unméglich,

von

sondern

Wirkungsprinzip

mechanischen Gleichungen Herleitung

einer

aus

den

Vor

aus zu den

zu gelangen, deren

differentiellen

Erhaltungs-

astzen aufs allerengste an die besonderen Eigentiimlichkeiten

der

beiden

anderen

Invarianten

gebunden ist (vgl. dariiber FM). Stichhaltige Griinde dafiir, warum die Natur die Benutzung

der dritten Invariante verschmaht hat, wei® ich nicht anzugeben; aber schon die Beschrankung der Differentiationsordnung auf 2 ist offenbar ein viel zu formaler Gesichtspunkt, als daB man darin den entscheidenden inneren Zwang fiir

die

Auswahl

diirfte.

der

WirkungsgréBe

erblicken

9, Ein wie hohes MaB von Harmonie und

innerer Notwendigkeit dem Aufbau der reinen welche die Infinitesimalgeometrie innewohnt, der erweiterten Relativitatstheorie Grundlage

beliebigen benach-

den materiellen K6rpern

an

erfahrene ,,.K6rpergeometrie“, wie es die Uberlegungen zu Beginn der Note evident gemacht nicht

haben,

werden

ohne

kann

verbindlich

weiteres

als

so

kénnten

Ather

fiir die dem

iiber diese ,,Athergeometrie“ nahmen als recht willkiirlich erscheinen; die

Pauli?)

nach

Ver-

kongruenten

unendlich

O

zu

allen

nach

Zusammen-

metrischen

den

im

zukommt

nur

Charakter

einzigartiger

von

—

dieses

stellung zum Raumproblem. Es zeigt sich dabei, daB der Pythagoreischen MaBbestimmung

achtet

legen

er-

Satzes erblicke ich eine sehr entschiedene Be: statigung der Richtigkeit meiner Gedankenein-

dafiir aber eine bestimmte Mafeinheit der Lange

zugrunde

daB

die Vermutung,

Fir

Struktur,

schreibende

unsere

er-

zuzu-

An-

zundchst erwahnte

gruppentheoretische Untersuchung aber zeigt, daB dem nicht so ist. Immerhin liegt der Gedanke nahe, ob man nicht, unter Verzicht auf

und. natiirlich

den metrischen Zusammenhang

auf die Erklarung

unter Verzicht

auch

mit der allein Elektromagnetismus, Welt, der Beschaffen formen heit

des

konihrem

,, Wirkungszusammenhang“ auskommen kann, die Gleichung

der durch

beschrieben

standig

wird.

gydx;dx,—=0

voll-

Méglichkeit

Diese

ist neuerdings von R. Bach®) und von Einstein®) erwogen worden; namentlich hat Herr Bach

die Konsequenzen

des dann

allein még-

lichen Wirkungsprinzips rechnerisch entwickelt. Man

dadurch

gewinnt

aber

keinen

Anschluf

an die Erfahrung: da man die Bachsche WirkungsgréBe mit der oben erwahnten dritten

Integralinvariante identifizieren kann, hiingt das

lems, erung des Raumprob retischeFormuli

Gravitationsfeld eines Kérpers hier statt von einer von zwei Konstanten ab; und es ist gar nicht abzusehen, wie man von diesem Wirkungs-

matischen Analyse zuginglichen Griinden ver-

rein theoretisch ist Auch gelangen kénnte. dieser Ansatz viel weniger befriedigend als der

bildet,

glaube

ich

durch

die gruppentheo-

Insbesondere RZM § 18, aufgedeckt zu haben. tiefsten der mathewird dadurch aus den standlich,

warum

die

Metrik

gerade

die

auf

1) Math. Zeitschr. 9, 110—135, 1921, insbesondere S, 125 u. 128, 2) Verhandl, d. Deutsch. Phys, Ges. 21, 742, 1919. 3) Diese zweite Konstante wiirde in der gleichen Weise der aus dem metrischen Felde entspringenden nicht massenproportionalen Kraft entsprechen, von welcher auf S, 476 die Rede war, wie die elektrische Ladung der ponderomotorischen Kraft des elektromagnetischen Feldes ; von einer solchen Kraft wissen wir aus der Erfabrung nichts,

prinzip aus zu den mechanischen Gleichungen

unsere, weil nach einer eben gemachten Bemerkung die mit einer Pythagoreischen Mab-

bestimmung verkniipfte konforme Beschaffenheit auf

sich

ein

nicht

nur

im Hinblick

der

ganzen

Metrik

selber

ist,

ruhendes

dessen

Bruchstiick

Vorhandensein

auf den metrischen Zusammen-

1) Erscheint in der Math, Zeitschrift, 2) lec, S, 128135. 3) Sitzungsber. d, Berl, Akad. rg21, S. 261-264.

236 hang verstandlich wird. Aus beiden Griinden halte ich daher diesen Versuch fiir aussichtslos.

| hang

Enthalt J” entspringen. Einschrankung, da doch

eine

iiberhaupt J” in viel

das die

Eine abweichende Idee hat jiingst Edding- | gréBerer Anzahl (40) vorhanden sind als dic

ton?)

verfolgt;

er

sammenhang

méchte

den

affinen

Zu-

als die urspriingliche Struktur

des Weltathers zugrunde legen. Er spaltet den Kriimmungstensor zweiter Stufe — dessen Existenz

nur

an

den

affinen

Zusammenhang

gebunden ist und dessen Ausdruck an einer Stelle O, an welcher wir ein geodatisches Koordinatensystem verwenden, so lautet:

wh ae os,

oy:

so verwegenen Ansatz, weil er hier eine Még-

(=I, I die in O selber verschwindenden Komponenten des affinen Zusammenhangs) — in einen symmetrischen und schiefsymmetrischen Teil: eas

pts

und

ov;

identifiziert

2

ae) den

Er

zieht

mit

dem

aber

nur

solche

Konsequenzen, welche sich allein daraus ergeben, daB in der Welt eine quadratische Grundform, das Einsteinsche ds?, und eine lineare, die aus den elektromagnetischen Potentialen gebildete Form dg= ;dx; besteht; darin sind sich aber alle Theorien einig. Das Spezifische

meiner Auffassung liegt darin, da diese beiden Formen, ohne eine Anderung des physikalischen

Feldzustandes herbeizufiihren, in

verwandelt werden kénnen;

e-ds®, dp — “

die Konsequenzen

dieser besonderen These machten sich vor allem in der Auswahl der Wirkungsgréfe geltend. Analog hatte Eddington die Aufgabe, die Konsequenzen seiner Annahme zu

verfolgen, daB jene beiden Formen in der geschilderten Weise

aus einem

affinen Zusammen-

1) Proceedings of the Royal Society, A, 99, 104 bis

122, 1921.

wittert,

Krafte,

nach

den

,,unbekannten

kraften“ auf die Spur zu kommen; Mie

zu

gesucht

glauben.

denen

auf

hatte,

Ebenso

anderem

vermag

Elektronen-

an diese

Wege

schon

ich aber nicht mehr

mu

ich

Eddingtons

Begriindung der Bewegungsgleichungen ablehnen, von

symmetrischen dann

lichkeit

schon

|

Einsteinschen MaBtensor gj, den schiefsymmetrischen aber mit dem elektromagnetischen Feldtensor.

14 Koeffizienten gj, g;? Die I” sind bei EdZustandsgréBen, die unabhangigen dington und es miissen deshalb auch 40 Feldgleichungen auftreten. Eddington verzichtet aber einstweilen iiberhaupt noch auf die Aufstellung der Feldgesetze. Die Einfiihrung von 40 Unabhangigen scheint mir bedenklich, da die Erfahrung gar keinen Hinweis darauf enthalt; Eddington hat wohl auch nur den Mut zu einem

heit

darum,

der

von

weil

sie keine

fundamentalen

trager

und

zeugender Masse.

Rechenschaft

Tatsache

der

gibt

Gleich-

gravitationsfeld-er-

Der den Spekulationen miBtrauende Physiker wird wahrscheinlich finden, daB die ganze Frage einer erweiterten Relativitatstheorie, welche

in organischer Weise die elektromagnetischen Erscheinungen mit umfaBt, im Augenblick noch

nicht spruchreif ist, da keine Erfahrungen zu ihrer Entscheidung herbeigezogen werden kénnen,

solange Einfliisse von kosmologischer Kleinheit der

Beobachtung

sich

aber nicht vergessen,

entziehen.

Man

darf

daB in aller Wirklichkeits-

erkenntnis neben dem Sammeln typischer Erfahrungstatsachen das apriorische Element, die Bildung von angemessenen Anschauungen und Begriffen,

deuten

mit

Hilfe

deren

sind, eine nicht

Rolle spielt.

die

Tatsachen

zu

zu vernachlassigende

Ich habe versucht, in diesem und

in dem parallel laufenden Artikel iiber ,,Feld und Materie“ das Bild, das mir yorschwebt, so deutlich zu zeichnen, wie es mir méglich ist.

47. Feld und Materie Annalen der Physik 65, 541—563

(1921)

I

Wenn ich in dieser Arbeit sowie in einer mit ihr nahe zusammenhiingenden, in der ,,Physikalischen Zeitschrift“ erscheinenden Note iiber die ,,erweiterte“ Relativitatstheorie einige Punkte zur Sprache bringe, die fiir die physikalische Auffassung der Relativititstheorie von grundsitzlicher Bedeutung sind, so referiere ich damit zugleich tiber die wichtigsten Anderungen in physikalischer Hinsicht, welche mein

Buch ,,Raum, Zeit, Materie“+) in der vierten Auflage (Springer 1921) erfahren

hat.

Das Galileische Tragheitsgesetz zeigt, daB in der Welt eine Art zwangsweiser Fiihrung vorhanden ist, welche einem Kérper, der in bestimmter Weltrichtung losgelassen ist, eine ganz bestimmte natiirliche Bewegung aufnétigt, aus der er nur durch fuSere Krifte herausgeworfen werden kann; und zwar geschieht das vermége einer von Stelle zu Stelle infinitesimal wirksamen

Beharrungstendenz,

welche

die Weltrichtung

r des

Kérpers im beliebigen Punkte P ,,parallel mit sich* nach demjenigen zu P unendlich benachbarten Punkte P’ transportiert, welcher in der Richtung r von P aus liegt. Das ist jene Einheit von Trigheit und Gravitation, welche Einstein an die Stelle beider setzte. Uber die im Trigheitsgesetz ausgesprochene Tatsache hinausgehend, nehmen wir an, daB das

.,Fuhrungsfeld nicht bloB die infinitesimale Parallelverschiebung yon Richtungen in sich selber, sondern auch der Vektoren im Punkte P nach allen zu P unendlich benachbarten Punkten bestimmt.

mit

Dann

ist das Fihrungsfeld das Gleiche,

was ich sonst

einem mathematischen Terminus als affinen Zusammenhang 1) Es wird

im folgenden

als ,,RZM“

zitiert

238

der Welt bezeichnet habe. Das Wesen der Parallelverschiebung, der ,,ungeiinderten* Verpflanzung, kommt darin zum Ausdruck, daf in einem gewissen zu P gehérigen, dem ,geodatischen“ Koordinatensystem die Komponenten eines beliebigen Vektors in P bei Parallelverschiebung nach einem beliebigen zu P un‘endlich benachbarten Punkte keine Anderung erfahren (Hinsteins Forderung, daB sich das Gravitationsfeld lokal ,,wegIn einem willkiirlichen, aber ein fir transformieren“ 1Bt). allemal fest gewihlten Koordinatensystem lautet demgemaf’)

die Formel fiir die Parallelverschiebung vom Punkte P = (2,°) nach dem Punkte P’= (r+ da), durch welche ein willktirlicher Vektor x in P mit den Komponenten (&' + dé‘) in P’ iibergeht, folgendermafen:

£ in den

Vektor

dgi=—Tipét day,

wobei

der Stelle P abhingigen

die nur von

des Fithrungsfeldes,

Komponenten

Gréfen

Iyj,, die

der Symmetriebedingung

Fig =Tia

Im geniigen. sie simtlich, Massenpunktes

geoditischen Koordinatensystem verschwinden Die Weltlinie eines sich selbst iiberlassenen geniigt, bei geeigneter Wahl des die ver-

schiedenen Stadien der Bewegung voneinander unterscheidenden

Parameters

s (,,Higenzeit“), d* x;

der Gleichung ;

1%,

dx,

Mir scheint es fir die richtige Erfassung und anschauliche Darlegung der Grundgedanken der EHinsteinschen

Gravyitationstheorie zweckmaBig, zuniichst keine Riicksicht darauf zu nehmen, daB das Fihrungsfeld in einer tieferen Beschaffenheit der Welt, ihrer Metrik, fundiert ist. Wie angemessen und berechtigt es auch in rein theoretischer Hinsicht ist, den affinen Standpunkt neben dem metrischen selbstindig zur Geltung zu bringen, geht, denke ich, aus dem Aufbau der Infinitesimalgeometrie im II. Kapitel yon RZM hervor. Die alte Galileische und die neve Kinsteinsche Auffassung unterscheiden sich dadurch, daB nach Galilei das Fihbrungs-

1) R2ZM, S. 101.

239

feld eine der Welt an sich zukommende geometrische Struktur ist, unabhiingig von der erfiillenden Materie und ihrer Konstellation, wihrend es nach Hinstein ein Zustandsfeld von physikalischer Realitit ist (analog dem elektromagnetischen Feld), das mit der Materie in Wechselwirkung steht. Nach Galilei bestimmt ein Vektor in einem Punkte P einen ihm »gleichen“ in einem beliebigen andern Punkte P’ an sich (d. h. unabhiangig von der Materie) und unmittelbar in die Ferne; mit besonderer Klarheit spricht das Maxwell in Matter and Motion aus'): ,,Bei allen bisher iiber die Bewegung von Korpern Gesagten haben wir stillschweigend angenommen, daB es beim Vergleiche zweier Konfigurationen des Systems miteinander modglich ist, in der Endkonfiguration eine Linie parallel mit einer in fle Anfangskonfiguration liegenden Linie zu ziehen.“ Nach Einstein geschieht diese Ubertragung lings einer P mit P’ verbindenden Weltlinie vermége einer nur im Unendlichwirksamen

kleinen

Beharrungstendenz,

die auBerdem

sich ver-

Der physikalische andert mit der Konstellation der Materie. Erfolg der Einsteinschen Auffassung lag darin, daB in seiner Theorie das Fihrungsfeld die Erscheinungen der Gravitation mit umfaBt: die Planeten folgen der ihnen durch das Fiihrungsfeld vorgeschriebenen natiirlichen Bahn; es ist keine besondere Gravitationskraft“ nétig wie bei Newton, die sie aus dieser Eine Trennung des Fithrungsfeldes in Bewegung ablenkte. zwei Bestandteile, ,,Trigheit* und ,,Gravitation“, einer gewissen Willkiir vorgenommen werden,

objektive

Bedeutung.*)

1) Ich

(Braunschweig

zitiere

1881)

nach

S. 95,

der

deutschen

Ubersetzung

kann nur mit sie ist ohne

von

Fleischl,

2) Wenn Lenard in seinem Kampf gegen die allgemeine Relativititstheorie bestiindig von ,,fingierten“ Gravitationsfeldern spricht, so scheint mir das zu zeigen, da® er diese Einheit von Triigheit und Gravi-

tation noch nicht erfa8t hat. Genau so kénnte ein Anhinger der Alten, der mit ihnen an eine absolut ausgezeichnete Richtung oben-unten im Raum glaubt, gegen die moderne Ansicht von der Gleichberechtigung aller Richtungen im Raum argumentieren; indem er die wirkliche Fallrichtung eines Kérpers nicht als Einheit akzeptiert, sondern sie sich aus jener absoluten Normalrichtung und einer Abweichung davon zusammen-

gesetzt einer

denkt.

Natiirlich

materiellen

Ursache

sucht ein solcher (mit Demokrit) fiir

die

,,Abweichung“,

wihrend

nur nach wir

mit

240

Wir

haben

also nicht zu fragen, wie die ,,(wirklichen oder

fingierten) Gravitationsfelder“, sondern nach welchem Gesetz das Fihrungsfeld durch die Materie erzeugt wird oder mit ihr Dariiber sind zwei verschiedene in Wechselwirkung steht. Ansichten méglich. 1. Wenn ich nicht irre, wird heute durchweg yon den theoretischen Physikern das Meld als eine selbstiindige Realitat neben der Materie anerkannt oder sogar als die einzige urspriingliche physikalische Wesenheit betrachtet, auf welche die Materie zuriickgefiihrt werden muB. Diese Auffassung ist bekanntlich am konsequentesten von G. Mie zur Geltung gebracht worden.1) Nur in ihrem Rahmen ist die Behauptung berechtigt, daB die Masse eines Kérpers aus konzentrierter Feldenergie bestehe. Von diesem Standpunkt aus hat man auf die Frage nach der Ursache des verschiedenen Verhaltens eines ,ruhenden“ und eines ,,rotierenden oder beschleunigten“ Kérpers K zu antworten, daB das vollstindige physikalische System, bestehend aus dem Kérper und dem Viuhrungsfeld, in dem einen Falle ein anderes ist wie im andern. Das Fihrungsfeld ist die reale Ursache der Tragheitskrafte; es ist ein un-

berechtigtes

Uberbleibsel

des alten

Alleinrechts

der

Kérper

auf pbysikalische Wirklichkeit, wenn man (mit Mach und Einstein) den Unterschied der beiden Fille durchaus in einem verschiedenen kinematischen Verhiltnis von K zu andern Kérpern suchen will, Woher z. B. das an der Erdoberflache herrschende Fithrungsfeld stammt, das an der Zerstérung eines plétzlich gebremsten Eisenbahnzuges mitschuldig ist, ist nicht eine Frage der Naturgesetze, sondern des zufilligen augenblicklichen Weltzustandes (nicht anders wie etwa die Zahl und Masse der Planeten). In der Tat zeigen denn auch die Feldgesetze an, da® Zustand der Materie (Energie — Impuls — Tensor) und des Feldes in einem Augenblick willkiirlich vorgegeben werden kénnen; sie bestimmen lediglich, wie sich Newton in der Anziehung der Erde die materielle Ursache fiir die Fallrichtung als Einheit erblicken. So mu8 denn auch Hinstein nicht bloB die Gravitation genannte leichte Fluktuation des Fiihrungsfeldes in der Materie verankern, sondern das Fiihrungsfeld als Ganzes. 1) Grundlagen einer Theorie der Materie, Ann. d. Phys. 37. S. 511

bis 584. 1912; 39. S. 1-40. 1912; 40. S. 105, 1918.

241

daraus die Folgezustiinde (und die vergangenen) des ganzen Systems gesetzmiBig entwickeln. Nicht anders steht es mit den Gesetzen des elektromagnetischen Feldes, ) 2. Es ist aber nicht zu leugnen, daf die Erfahrung mit groBer Deutlichkeit fiir einen andern Sachverhalt spricht; dafiir nimlich, daB die Materie das Feld eindeutig bestimmt. Die reine Feldphysik ist auBerstande, davon Rechenschaft zu geben; es ist das aber eine Schwierigkeit, welche keineswegs der Relativitatstheorie anhaftet, sondern jeder Feldtheorie iiberhaupt. Andrerseits ist diese Tatsache als cin notwendiges Postulat mit der entgegengesetzten Ansicht verbunden, nach welcher die Materie das einzige eigentlich Wirkliche ist, demgegeniiber das Feld nur eine Rolle spielt wie der leere Raum mit seinen Kuklidischen Gesetzen in der Vor-Hinsteinschen Physik. Wir kommen damit auch in Kinklang mit der Alltagserfahrung, da& unser willentliches Handeln primar stets an der Materie angreifen muB, daB wir nur durch die Materie hindurch das Feld zu verindern imstande sind. Das Feld ist ein in sich kraftloses extensives Medium, das die Wirkungen von Kérper zu Korper iibertriigt. Die Feldgesetze, gewisse Bindungen des inneren differentiellen Zusammenhangs der miglichen Feldzustiinde, vermége deren das Feld allein zur Wirkungsiibertragung fahig ist, haben fiir die Wirklichkeit kaum eine weiter tragende Bedeutung wie die Gesetze der Geometrie nach friherer Ansicht. Daneben treten die tiefer liegenden physikalischen Gesetze, nach welchen die Materie die Feldzustinde verursacht. Auf sie geht die moderne Physik

der Materie

los;

die Quantentheorie

enthilt

die ersten

provi-

sorischen Ansitze dafiir; aber da tappen wir noch arg im Dunkel. Die neue Grundeinsicht der allgemeinen Relativititstheorie: das Fihrungsfeld ist nicht eine a priori starr gegebene

formale

Struktur

der

Welt,

sondern

steht

mit der

Materie

in

Wechselwirkung, schwebt tiber der in 1. und 2. angeschnittenen In den Ausfiihrungen Kinsteins und auch in Streitfrage. dem neuen Buche Borns iiber die Relativititstheorie*) kommt

1) Vel. G. Mie, a.a.0, 1. Abhandlung S. 514 ff. 2) M. Born, Die Relativitatstheorie Einsteins. Springer, Berlin1520.

242

soviel ich verstehe, eine inkonsequente Mischung dieser beiden entgegengesetzten Auffassungsméglichkeiten zum Ausdruck. In der ersten bis dritten Auflage von RZM stellte ich mich — die Schénheit und Hinheit der reinen Feldtheorie hatte es mir angetan — ganz auf den ersten Standpunkt; in der vierten »bin ich jedoch, aus triftigen Griinden an der Feldtheorie der Materie irre geworden, zu dem zweiten iibergegangen. Le

Der

Stein

des AnstoBes

war

fir mich

die Feldformel

des

ruhenden Elektrons, welche sich aus der Maxwellschen Theorie der Elektrizitit und der Kinsteinschen Gravitationstheorie (ohne das kosmologische Glied) ergibt. Bezeichnungen: metrische Fundamentalform im

statischen Fall

d=

ty

t,

9,,dzr,dx,

df= fed?

die Lichtgeschwindigkeit / und O° yd

a

(i, 4 = 0,1,2, 8),

—de; oe

(2 = 1,2)3),

hangen nur von den Raumkoordinaten %,%,2, ab. Wenn Kugelsymmetrie herrscht, kann die radiale Mabskala so gewihlt werden, daB do? = (da? + dz? + dr?) 4 (a, da, + x,d2, + x, dz)

wird; f und 7 hiangen nur yon der Entfernung r ab, 7? = rr? +a,% 1tirta ht — g = Determinante der g,,. Komponenten des elektromagnetischen Potentials @;, des Feldes

Im statischen Fall PP: = f2 = 3 = 9, Yo = y. O;*= 1 oder 0, je nachdem i= oder i+ h ist. f,, der Kriimmungstensor 2. Stufe, 2) = R. Verwandlung eines lateinischen in den entsprechenden deutschen Buchstaben bedeutet Multiplikation mit Vg. ZX die tensorielle Energiedichte des elektromagnetischen Feldes, x die Gravitationskonstante im Kinsteinsche n Gesetz

(1)

Rk — £0* R=

Bax FT}.

243

Ferner

G=hYVG-g'* (tee

0G =4LG Fir

Darin

des

99,4 4 GHrdg,. ,

das Elektron

(2) sind

Feldes

Al ;

‘= a

haben

(six. bes 52s) :

wir

pas,

ff=yel-S+

e und m

zwei

im

Unendlichen

Konstante. folgt,

daB

Aus

e die

dem das

Verhalten

elektrische

Feld erzeugende Ladung, m die das Grayitationsfeld erzeugende Masse ist (sie hat die Dimension einer Linge, ihr Energiewert

betragt m/z). Man hat dem Elektron einen endlichen Radius gugeschrieben, um nicht auf eine unendliche Gesamtenergie des yon ihm erzeugten elektrostatischen Feldes und damit auf eine unendlich groBe triage Masse zu kommen. Das Erstaunliche an unserer Feldformel ist nun dies, daf in ihr eine endliche Masse m auftritt, ganz unabhiingig davon, bis zu einem wie kleinen Wert von r herab wir diese Formel als giiltig

ansehen,

die

also

offenbar

nichts

zu

tun

hat

mit

der

Energie des mitgefiihrten Feldes; wie reimt sich das zusammen? Nach Faraday ist die von einer Fliche 2 umschlossene

Ladung nichts anderes als der Flu8 des elektrischen Feldes durch 2. Analog werden wir erkennen, daB nach ihrer wahren Bedeutung die Masse sich als FeldfluB durch eine das Teilchen umschlieBende Hille ausdruckt. Fir die totale Hnergie Gf=

TP+

tF,

die sich aus elektromagnetischer und Gravitations-Energie zusammensetzt, gilt der differentielle Erhaltungssatz

Er

ist

eine

mathematische

Identitét,

wenn

wir

Gravitationsgleichungen Ri—fOFR durch 8axF* ersetzen; dann ist, unter Fortlassung des Faktors

Of=

(ae ss 7OR?

+(G— sats) i;

nach 82x,

FR) oF.

den

244

Ein abgeschlossenes isoliertes System durchfegt im Laufe seiner Geschichte einen ,,Weltkanal‘, auBerhalb dessen das metrische Feld in das Euklidische der speziellen Relativitatstheorie tibergeht und die Energiekomponenten verschwinden. Energie und Impuls des Systems J, (welche den Faktor » in ‘sich aufgenommen haben) bestimmen sich aus

Bad, = [SPdz, dz, day. Dabei miissen die Koordinaten so gewahlt sein, daf fiir sie auBerhalb des Kanals ds? = dz,? —(dz,?+4 dz,* + dz,”) wird und jede ,,Ebene“ x, = const. den Kanal in einem endlichen Bereich durchschneidet; die Integration erstreckt sich tiber den Schnittbereich. J, sind die Komponenten eines vom Orte unabhingigen invarianten Vierervektors in der Euklidischen Umwelt des Systems; er ist unabhingig von dem benutzten Koordinatensystem,

Forderungen

sofern

entspricht,

dasselbe

und

gentigt

nur

dem

den

angegebenen

Erhaltungssatz

ad, aE =0

(EAS

Das sind die Grundgleichungen der Mechanik fiir den besonderen Fall, daB auf das System gar keine auBeren Krifte wirken. Im statischen Fall ist natiirlich (bei Benutzung der statischen Koordinaten) J, = J, =J,=0 und 82J gleich dem Raumintegral von

S,? =H," — FR - );

J, die triige Masse des Systems, welche nach der Grundeinsicht der allgemeinen Relativitiitstheorie mit der schweren Masse wesensgleich ist. Hine hurze Rechnung zeigt aber), dag

dieses

lépt;

Raumintegral

und

zwar

sich

in

ein

ergibt sich, daB

Oberflachenintegral

die yon 2 umschlossene Masse

gleich dem Flu8 der (uneigentlichen) riumlichen

(8)

verwandeln

rat =~ 167 U9 (yon (eA)a

1) Fir die explizite Durchfiihrung weise ich auf RZM, § 33.

v(t) dieser ganzen

Vektordichte

Gap = 1,2, 8) Betrachtung

ver-

245

durch 2 ist. Im Falle FluB8 von der Starke

und

der Flu8

(4)

durch

=m—=

der Kugelsymmetrie

eine Kugel

a

vom

ist das ein radialer

Radius

r:

im Unendlichen = m.

Damit ist es uns gelungen, die Masse als einen FeldfluB darzustellen; und wir haben zugleich das wichtige Resultat erhalten, daB die trage und schwere Masse (die Masse als Angrifispunkt des Fithrungsfeldes) gleich der gravitationsfelderzeugenden Masse ist. Da fir ein endliches isoliertes ruhendes System das metrische Feld im Unendlichen stets kugelsymmetrisch sein und daher zufolge der Gravitationsgleichungen die ermittelte Gestalt besitzen wird, gilt dieses Resultat allgemein. Weil aber die Vektordichte (3) eine uneigentliche ist, nicht invariant gegentiber einem Wechsel des Koordinatensystems, so hat der Be-

griff der Masse einen Sinn nur fiir einen Kérper, der von andern Kérpern hinreichend isoliert ist, nicht aber fiir ein beliebiges Kérperstiick; er muB nimlich von einem keine andern Korper einschlieBenden metrischen Felde umgeben sein, das mit hinreichender Anniherung als ein Euklidisches betrachtet werden kann. Unser obiges Dilemma klart sich nun vermége der Formel (4) vollstindig auf. Wenden wir die Feldgleichungen (2) bis zu beliebig kleinen Werten von r herab an — mégen auch solche Verhaltnisse in der Natur vielleicht nicht realisiert sein —, so erscheint der Nullpunkt als eine Singularitét im Felde. Der Energiewert der von der Kugel r umschlossenen Masse betrigt m —1 *

27

|

DieMassendichte stimmt danach mit der Energie-

dichte iiberein, aber wegen der Singularitit im Zentrum ist trotz unendlicher Energie die Masse endlich. Das ,,Anfangsniveau“ im Zentrum, von dem aus die Masse gerechnet werden muB, ist nicht = 0, sondern =— 00; die Masse des Elektrons

246

deshalb

kann

iiberhaupt

nicht von

hier aus

werden,

bestimmt

sondern bezeichnet das Auslaufniveau in unendlich groBer Entfernung. Mag es physikalisch zulassig sein oder nicht, die letzten Elementarbestandteile der Materie als wirkliche Singularitaiten sim Felde aufzufassen, jedenfalls dassen sich Ladung e und Energieimpuls J, eines Teilchens ebenso wie die auf das Teilchen einwirkende Feldkraft K, bestimmen aus dem Verlauf des das

Teilehen

umgebenden

Volumiutegrale

Feldes;

iiber

das

Innere

des Teilchens sind dazu nicht erforderlich. Infolgedessen kann aus ihren Werten auch nicht das geringste geschlossen werden iiber die innere Beschaffenheit des Korpuskels; insbesondere schlieBt der Umstand, daB sie einen bestimmten endlichen Wert besitzen, die ,,Singularitatsauffassung* keineswegs aus. Hbenso

honnen

genugen,

die

,,mechanischen

6)

bewiesen

ohne

auf

nehmen.

Gleichungen“,

aa0, werden

die

Wie

allein

im

diese

Grépin

Sek,

durch Betrachtung

Zustinde

welchen

Innern

das zu verstehen

des

des umgebenden Keldes,

Teilchens

ist, will ich

Rucksicht

hier an

dem

zu

ein-

fachsten dieser Gesetze, der Erhaltungsgleichung fiir die Ladung, Klar machen. Dabei haben wir es nur mit der Elektrizitaét zu tun und kénnen uns der Einfachheit halber auf den Boden der speziellen Relativitatstheorie stellen. Die im Ather giiltigen Maxwellschen Gleichungen lauten

aft

(6) Eine

Oxy

Lisung

derselben

kugelsymmetrische

ist 7;, = const.;

aber (welche

bekommt), die aus dem Potential Wir

wissen

durchaus

=0.

nichts

im

die einzige

Zentrum

statische

eine Singularitit

» = < entspringende (e = const).

davon,

daB im Gebiet

der Materie

die Gleichung (6) durch eine inhomogene zu ersetzen ist, auf deren rechter Seite eine neue Feldgréfe, die ,,Dichte des Viererstroms“ — in der Lorentzschen Elektronentheorie als

reiner Konvektionsstrom 9 u' —, auftritt. Von einem Elektron kénnen wir lediglich behaupten, daB auBerhalb einer gewissen

dasselbe umgebenden Flache 2 die homogenen Gleichungen (6)

247

gelten und bei Benutzung cines Koordinatensystems, in welchem

das

Elektron

momentan

statischen, aus dem identisch

ruht,

Potential

/;,

im

y = 7

ist; im wesentlichen,

d.h.

tretendes Feld 7;,, das im Gebiet

wesentlichen

mit

dem

entspringenden Felde f,i bis auf ein additiy hinzu-

der Fliche

2

ohne merk-

lichen Fehler als konstant betrachtet werden kann. Bei Benutzung dieses Koordinatensystems schickt dann das elektrische Feld den Flu8 47e durch die Hiille @ hindurch und nicht den Flu8 0, wie es der Fall wire, wenn das Feld auch im Innern des Teilchens regulir wire und den Gleichungen (6)

geniigte. Das Glied des Konvektionsstroms gu‘ in der Lorentzschen Theorie bringt den HinfluB dieser Ladungssingularitaten in Bausch und Bogen zum Ausdruck fiir ein Gebiet, das viele Elektronen enthalt; es ist aber ganz unberechtigt, die Lorentzschen Gleichungen etwa so zu interpretieren, daB sie auf die »Volumelemente

des

Hlektrons*

Anwendung

finden

kénnten.

Unser Ansatz ist iibrigens zutreffend nur im Falle quasistationirer Beschleunigung, wenn die Weltlinie des Teilchens hinreichend wenig von einer Geraden abweicht.!) 1) Gewéhnlich nimmt man, dariiber hinausgehend, an, daB bei beliebiger Bewegung des Elektrons das Feld in seiner Umgebung durch die bekannten Liénard-Wiechertschen Formeln geliefert wird. Sie ergeben fiir ein beschleunigtes Elektron Ausstrehlung und enthalten eine Auszeichnung der Richtung des Zeitablaufs. Schon darin zeigt sich, daB sie keineswegs eine notwendige Konsequenz der (umkehrbaren) Maxwellschen Gleichungen sein kénnen. In der Tat erhilt man z. B. zu einem um ein Zentrum O gleichférmig kreisenden Elektron durch Superposition der nach Liénard-Wiechert berechneten ,,auslaufenden“ und der ,,einlaufenden“ Welle ein Feld ohne einseitigen Energiestrom, das in dem um O mitrotierenden Koordinatensystem stationdr ist. Mir scheint das ein an sich ebenso berechtigter und méglicher stationiirer Zustand der Welt zu sein wie der des statischen Feldes, das von einem ruhenden Zumal in der riumlich geschlossenen Welt, auf Elektron erzeugt wird. die sich Einstein auch zur Begriindung des statischen Potentials e/r beruft, ist nur dieser Zustand und nicht der der auslaufenden Welle Man vgl. dazu G. Mie, Physik. Zeitschr. 21. S. 657. dauernd méglich. 1920; S. R. Milner, Phil. Mag. 41. S. 405—419. 1921; der Beweis von Oseen fiir die Notwendigkeit der Ausstrahlung (Physik. Zeitschr. 16. §. 895. 1915) beruht weniger auf den Maxwellschen Gleichungen als auf den postulierten Anfangs- und Randbedingungen; vgl. ferner, was die Beziehung zur Kosmologie betrifft, meine zu Anfang erwihnte Note

248

Nach dieser Beschreibung gehdrt zu dem Teilchen in jedem Moment seiner Bewegung ein Ladungswert e. Ich behaupte, daB sich aus den Maxwellschen Gleichungen (6), welche auBer-

halb des von 2 beschriebenen Weltkanals gelten, die Erhaltungsgleichung ae = 0 ergibt. genden Kunstgriff:

Zum Beweise

benutzen

wir den fol-

Wir filhren innerhalb des Kanals

laritiitenfreies fingiertes Feld f,,, = stetig an das im AuSern

Dann wird innerhalb Stromdichte“

——“

Oa,

ein,

04;

ein singu2

das

sich

wirklich herrschende Feld anschlieft.

des Kanals im allgemeinen

(7)

die ,,fingierte

foes ee

nicht verschwinden; fiir sie gilt zufolge der Definition als eine mathematische Identitit der Hrhaltungssatz

(8)

Ox;

Das Koordinatens ystem liege so, dab jede ,,Ebene* x, = const. den Kanal in einem endlichen (von 2 begrenzten) Bereich durchschneidet. Das iiber diesen Bereich erstreckte Integral

[32x dx, dx, = 6* ist eine Funktion

von x = ¢; aus (8) ergibt sich aber sogleich

durch Integration d& =0. dt

Ferner

schlieBen wir

aus (8) mit

Hilfe des Gaussschen Satzes, daB e* gleich dem FluB der Vektordichte 8‘ durch eine beliebige dreidimensionale Fliche ist, welche den Kanal durchsetzt. Infolgedessen ist e* yom gewahlten Koordinatensystem unabhingig. Hs ist aber auch unabhingig von der Wahl des fingierten Feldes; denn es 1A8t sich nach (7) als Flu8 der ,riumlichen* Vektordichte mit den Komponenten f%, f°, f°? durch 2 darstellen, und auf 2 stimmt das fingierte Feld mit dem wirklichen tiberein. Endlich geht daraus lervor, wenn wir diesen Flu8 an einer bestimmten in der Physik. Zeitschr. Quantenauswahl

gang

zwischen

Eine andere

der stationiiren

den verschiedenen

Frage

Zustiinde

ist es natiirlich, woher

riihrt

staticniiren

und

wie

Zustiinden

sich

die

der Uber-

yollzieht.

249

Zeitstelle in dem Ruh-Koordinatensystem berechnen, daB dort e* =e ist. Damit ist der Beweis beendet. Er laft erkennen, daB die Ladung des Elektrons in zwei Augenblicken dieselbe ist auch dann, wenn zwischen diesen beiden Momenten das Elektron durch rasch wechselnde stationiire Zustinde hindurchgeglitten ist, obschon wir wihrend dieser Zeit nichts ttber das Verhalten des Feldes in der Umgebung des Elektrons wissen.) Auf 4bnlichem, wenn auch komplizierterem Wege gelingt der Beweis der andern mechanischen Gleichungen, wie ich ihn in meinem Buche durchgefiithrt habe (S. 273—279). Das Gesetz

fur

die

Erzeugung

des

metrischen

Feldes

durch

ein

matrielles

Teilchen lautet folgendermaBen: In einem gewissen, zu dem Teilchen in seiner augenblicklichen Lage gehérigen Koordinatensystem?) ®, in welchem das Teilchen selber momentan ruht, ist das metrische Feld in der Umgebung des Teilchens auf und auBerhalb Q ein statisches kugelsymmetrisches: und

zwar haben f und f die Werte

(9)

alae d eas

welche durch die Feldgleichungen #* = 0 gefordert sind. Die Konstante m wird als die Masse des Teilchens bezeichnet. Da die Ableitungen der g,, dieses Feldes im Unendlichen gegen 0 konvergieren (und zwar in zweiter Ordnung), so ist & ein geo-

ditisches Koordinatensystem an der betreffenden Stelle fiir das auBere Feld des Teilchens. Die Annahme ist berechtigt im Falle quasistationiirer Beschleunigung, d. h. wenn die Weltlinie des Teilchens sich hinreichend schwach aus der durch das Fihrungsfeld bestimmten geoditischen Weltlinie herauskriimmt. Sie fihrt zu den Gleichungen (5) mit den klassischen Werten: Energie-Impuls J; = mu,, Feldkraft K, = xe/;. US

dx; ds

sind die Komponenten der Weltrichtung des Teilchens,

die zu verwendenden Werte von g,, sind die zum duBeren Felde 1) Ich halte es fiir unwahrscheinlich, daB sich fir diesen Feldzustand iiberhaupt eine universelle, eine einzige Konstante e enthaltende Beschreibung geben 1aBt. 2) Natiirlich ist es unméglich, dab ein solches Gesetz, wie Lenard in seiner Argumentation anzunehmen scheint, in yedem Koordinatensystem giiltig ist.

250

gehérigen, so daB ds? = d2,? — (d2,? + d2,* + dz,*) besondere folgt daraus

ist.

Ins-

(10) Kehren wir zu einem beliebigen Koordinatensystem zuriick, so erhalten wir die Bewegungsgleichungen

(11)

Ge — yee et = Shae

(é = 1,2, 8).

Die Bestimmung der Feldkraft setzt auBer den schon erwihnten Annahmen noch folgendes voraus: 1. Im Koordinatensystem ® hat das elektromagnetische Feld in der Umgebung des Teilchens die frither angegebene Gestalt fi. + f,,; dabei ist 7, das auBere Feld, das in (11) ein-

fach mit f;, bezeichnet wurde. 2. @ ist so groB,

da8

auf Q das duBere

Feld

7 vielmal

stirker ist als das vom Elektron herriihrende f°; d.h. die mechanischen Gleichungen gelten nur mit solcher Genauigkeit, daB eine Anderung des iuBeren Feldes um den Betrag des Elektronenfeldes auf 2 nicht ins Gewicht fallt. Andererseits ist 2 so klein, daB die Wertunterschiede yon f auf 2 vielmal kleiner sind als die von /°. 3. Das iuBere Feld 7, ist so schwach, daB das Quadrat seines Betrages auf 2 klein ist gegeniiber m/x7* (sonst diirfte nimlich der EHinfluB des elektromagnetischen Feldes auf das metrische in der Gegend von 2 nicht vernachlissigt werden). Damit ist gezeigt, dab fiir die Festlegung der Begriffe Ladung und Masse und fiir den Beweis der mechanischen Gleichungen das Feld im Innern des Kanals keine Rolle spielt; es war lediglich ein mathematischer Kunstgriff, wenn wir uns den Kanal mit einem fingierten Felde ausgefiillt dachten. Wird dadurch die Identitit zwischen triger Masse und Feldenergie, welche die spezielle Relativititstheorie aufgedeckt zu haben schien, wieder zerrissen, so ist doch zu betonen, daf das physikalisch Bedeutungsvolle an der Erkenntnis von der Zrédigheit der Energie bestehen bleibt. Die Gleichung (10) ist gebunden an unsere Annahme iiber die Feldbeschaffenheit in der Umgebung des Teilchens. Ist das Teilchen statt mit einem statischen Feld z. B. mit einer elektromagnetischen Dipolwelle umgeben, wie das fiir ein Atom im Zustande der Ausstrahlung

251

der Fall sein wird,

so liefert dieselbe Betrachtung

auf beson-

ders einfache und strenge Weise statt (10) das Resultat: der Verlust an Masse m, welchen das Teilchen zwischen zwei Augenblicken 1 und 2 erlitten hat, ist gleich der mit x zu multiplizierenden elektromagnetischen Energie, welche wihrend dieser Zeit durch die das Teilchen umgebende Hiille 2 hindurchgestrahlt wird. Man versteht, wie dieses Resultat zustande kommt: die Masse ist ein Integral, das tiber die Fliche Q in Teilchen

[oy a

($2 bezeichnet bei 1 und 2 die beiden Kurven, welche den schlauchférmigen Mantel

Ze

begrenzen.)

Fig. 1.

den Augenblicken 1 und 2 erstreckt wird, die hindurchgestrahlte Energie aber stellt sich dar als ein Integral tiber den »Schlauch“, den die Fliche 2 wihrend der Zeit von 1 bis 2

in der Welt beschreibt. Die erreichte Klirung des Massenbegriffs erscheint als eine der physikalisch bedeutungsvollsten Leistungen allgemeinen Relativitatstheorie.

mir der

Til.

Die

Masse

ist ihrem

Wesen

nach

eine

Lange.

Da

nach

der Relativititstheorie Zeit- und Lingeneinheit nicht unabhingig voneinander sind, kennt sie nur zwei urspriingliche Ma8-

einheiten; als solche werden zweckmiBig die Linge (2) und die Elektrizitétsmenge (ec) gewahlt. Die Koordinaten 2,, welche nicht gemessen, sondern willkiirlich in die Welt hineingelegt werden, sind als dimensionslose Zahlen zu betrachten, die metrische Fundamentalform ds? und ihre Koeffizienten g,, haben die Dimension 72. Wenn wir aber, wie es bei unserer Definition der Masse geschah, uns auf solche Koordinaten heschrinken, fiir welche im Unendlichen ds? = dx,? — (dz,* + dx,’ + dz,”) wird, so missen wir, wenn sich bei einem Wechsel in der Wahl der Lingeneinheit ds? mit der Konstanten / multipliziert, gleichzeitig auch die Koordinaten x, mit der KonDann bekommen die Koordinaten die stanten / multiplizieren.

252

Dimension 7, und die g,, werden dimensionslos. Die Flu8stirke mi erhilt also die Dimension /-1, die Masse selbst 7, die Energie ¢?/l. Die im Hinsteinschen Gesetz vorkommende Gravitationskonstante « ist eine Aquivalenzzahl fiir die Umwandlung von Masse in Energie; ihre Bedeutung tritt physikadisch am klarsten hervor in der Tatsache, dab der Massenverlust eines strahlenden Kérpers gleich xmal der ausgestrahlten Energie ist. Sie hat offenbar die Dimension (?/e”. (Ware sie wirklich eine absolute, in der universellen GesetzmaBigkeit der Natur

allein

begriindete

—

und

nicht,

wie

es wahrscheinlich

ist, eine von der zufalligen Gesamtmasse der Welt abhangige — Konstante, so wiirde sie gestatten, die Dimension e mit 7 zu identifizieren.) Endlich sei noch bemerkt: Nach unserer jetzigen Auffassung gehdrt das Glied 8x x Z* des Hinsteinschen Gravitationsgesetzes (1) mit auf die linke Seite; das Gesetz besteht aus homogenen Gleichungen, die zusammen mit den homogenen Maxwellschen Gleichungen die Kigengesetzlichkeit des ,,Athers“ (des kombinierten elektromagnetischen und metrischen Feldes) zum Ausdruck bringen, nicht aber aus inhomogenen Gleichungen, nach welchen die ,,Materie T,'“ das Feld erzeugt. Um die Tatsache des Vorhandenseins materieller Teilchen mit einer von 0 verschiedenen Ladung und Masse in der Welt trotz der Giltigkeit jener homogenen Gleichungen im Ather zu erkliren, stehen zwei Wege zur Verfiigung: entweder die Glei-

chungen so zu modifizieren, wie es von Mie in seinen ,,Grundlagen einer Theorie der Materie“ versucht wurde, oder die Materie als eine wirkliche Singularitit im Felde gelten zu lassen, Der erste Weg mufte notwendig im Rahmen der speziellen Relativititstheorie beschritten werden, die hier gewonnene Definition der Masse und Herleitung der mechanischen Gleichungen 6ffnet den zweiten. GewiS ist es physikalisch unmiglich, daB der Verlauf der ZustandsgréBen irgendwo im Innern des extensiven vierdimensionalen Mediums der Welt wirkliche Singularititen aufweist; in der speziellen Relativititstheorie, wo dieses Medium ein Kuklidisches ist und daher auch die Zusammenhangsverhiltnisse der Welt die einer vierdimensionalen Enuklidischen Mannigfaltigkeit sein miissen, war auch aus diesem Grunde der zweite Weg durchaus verschlossen. In der allgemeinen Relativititstheorie aber kann die Welt beliebige andere

253

Zusammenhangsverhiltuisse besitzen: nichts steht im Wege, anzunehmen, da sie von solcher Analysis-situs-Beschaffenheit ist, wie ein vierdimensionales Euklidisches Kontinuum, aus welchem einzelne Schliuche von eindimensional unendlicher Erstreckung berausgeschnitten sind. Im Innern dieser Schliuche ist kein ,,Raum“ mehr, ihre Grenzen sind genau so wie das Unendlichferne nie erreichbare ,,Siume“ des extensiven Feldes. Das einfach zusammenhingende Kontinuum, aus welchem wir das Feldgebiet durch Herausschneiden von Schlauchen

konstruieren,

ist tiberhaupt

eine

bloBe

mathema-

tische Fiktion, wennschon die im Felde herrschenden metrischen Verhiltnisse es sehr nahe legen, den wirklichen Raum durch Hinzufiigung solcher erdichteter uneigentlicher Gebiete,

welche den verschiedenen Materieteilchen entsprechen, zu einem einfach zusammenhiingenden zu erginzen. Man muf sich hier durchaus auf den freien Standpunkt der Analysis situs stellen. Sie betrachtet z. B. ein Gebilde G wie das nebenstehend gezeichnete und schraffierte, das nur aus inneren Punkten besteht (die Randkurven gehéren

nicht mehr da-

zu), indem sie lediglich den stetigen Zusammenhang seiner Punkte im groBen ins Auge faBt, als ein Wesen sui generis, das nichts mit der

Vollebene zu tun hat. Denken wir es uns aus der Vollebene 2 durch Herausschneiden entstanden, so hei8t das, wir betrachten G nicht fiir sich, sondern in demjenigen Verhiltnis zu einer Ebene #, das durch eine bestimmte eindeutige Abbildung von G auf # vermittelt ist (jedem Punkt von G korrespondiert ein mit ihm stetig sich Sndernder Punkt von #). Aber auch ohne eine solche Beziehung zu F zu stiften, hat es einen Sinn, @ Das drei verschiedene ,,SAume“ oder ,,Lécher“ zuzuschreiben. mu8 man etwa so verstehen. Eine beliebige zweidimensionale Mannigfaltigkeit wird in der Analysis situs immer wie die Oberfliche eines Polyeders aufgebaut aus einzelnen einfach zusammenhiingenden Elementarflachenstiicken.!) Eine geschlossene MannigIdee

8. 78.

1) L. E. J. Brouwer, Math. Annalen 71. S. 97. 1912; H.Weyl, Die der Riemannschen Fliche. §§ 4, 5; ders., Math, Zeitschrift 10. 1921.

254

faltigkeit besteht aus endlich vielen, eine offene aus einer abzihlbar unendlichen Reihe solcher Zellen, die wir uns in einer bestimmten Reihenfolge mit Z,, Z,, Z,,... bezeichnet denken. (Vgl. die Zelleinteilung eines Kreisrings in der nachEine Vereinigung von Zellen mége ein stehenden Figur.) :Kontinuum heiBen, wenn man jede Zelle 4 derselben mit jeder B durch eine endliche Kette von der Vereinigung angehérigen

(Die inneren Kreise hiiufen sich gegen die beiden gestrichelten

Grenzkreise.)

Fig. 3.

Zellen A = JZ, Z®, ..., Z™-Y), Z™ = B so ,verbinden* kann, daB immer Z@+ lings einer Kante an Z® grenzt. Ein Kontinuum heiBe ,,endlich* oder ,,unendlich’, je nachdem es aus einer endlichen oder unendlichen Anzahl von Zellen besteht.

Vollzieht Zellen

man

nun

bestehenden

den Abbau

Gebietes

unseres

G dadurch,

aus

daB

unendlich man

vielen

der Reihe

nach 4, 4,, Z,,... fortnimmt, so besteht der Rest, wenn dieser ProzeB eine gewisse Grenze iiberschritten hat, bestindig aus drei

(immer kleiner werdenden) unendlichen Kontinua mit einer im allgemeinen wechselnden Anzahl endlicher Kontinua; diese drei unendlichen Kontinua bilden die immer enger werdenden Umgebungen der drei Scéiume von G. Nach der zweiten Auffassung ist die Materie selber also uberhaupt nichts Riumliches (Extensives), aber sie stecht in einer bestimmten raéumlichen Umgebung drin. Wir kénnen sie quan-

255

titativ charakterisieren nur durch ihre Feldwirkungen; die Ladung e z. B. ist der FluB des elektrischen Feldes, welchen das Teilchen durch eine im Felde gelegene, das Teilchen umschlieBende Hille 2 hindurchschickt. Von der unmittelbaren riumlichen Umgebung des ‘eilchens nehmen seine Feldwirkungen ihren Ausgang. Diese ganze Anschauung gewinnt auBerordentlich an Kinheitlichkeit, wenn der Ather nicht aus zwei miteinander in keinem inneren Zusammenhang stehenden, im extensiven Medium der AuSenwelt herrschenden Feldern besteht, sondern lediglich das mit einer von der Materie abhangigen metrischen Struktur

begabte

extensive Medium

selber ist; so lehrt

yon mir aufgestellte erweiterte Relativitiitstheorie.

es die

Wennschon

die Physik es in gewissem Sinne nur mit dem Ather zu tun hat, das Agens der Materie eigentlich jenseits der physischen Sphire liegt, ist es doch ihre Aufgabe, neben der Kigengesetzlichkeit des Feldes auch die Gesetze zu studieren, nach denen die Materie die Feldwirkungen auslést; diese formulieren sich als eine Art Randbedingungen fiir die metrischen ZustandsgréBen des Feldes. Der Ather, sagten wir schon oben, spielt fiir die Wirklichkeit kaum eine andere Rolle wie einst der Raum mit seiner starren Kuklidischen Metrik: nur hat sich der unbewegte in einen allen Kindriicken zart nachgebenden geschmeidigen Diener gewandelt. Der Substanz- und der Feld-Vorstellung reiht sich als dritte diese Auffassung der Materie als eines die Feldzustiinde verursachenden 4gens an. Sobald einmal die Bahn fir sie frei gelegt ist, glaube ich, wird man die Feldtheorie, die vom neuen Standpunkt aus etwas Phantastisch-Unwirkliches bekommt, verlassen und zu ibr tibergehen miissen. Sie liBt neben der streng funktionalen Feldphysik Raum fiir die moderne Physik der Materie, die mit statistischen Begriffen operiert. Nicht nur die Materie wird in ihre alten Wirklichkeitsrechte wieder eingesetzt, sondern auch der echte Gedanke der Kausalitét, der Verursachung, wie wir sie am unmittelbarsten in unserem Willen Von Mach als Fetischiserfahren, erwacht zu neuem Leben. mus gebrandmarkt, war diese Idee doch immer fir jeden Physiker in seinem lebendigen Verhaltnis zur Natur unentbehrlich geblieben, mochte auch seine Erkenntnistheorie nur_,,funktio-

256

Aber die funktionalen Benale Beziehungen“ gelten lassen, ziehungen zwischen den Feldgréfen sind der Ausdruck fiir die Struktur des Athers, nicht fir die Kausalitit, d.i. die ErzeuHier wird die gung der Atherzustinde durch die Materie. ausgezeichnete Ablaufsrichtung der Zeit: Vergangenheit> Zu»kunft, die in den Feldgesetzen keine Stelle finden kann, wieder aufzunehmen sein; sie ist ja mit der Idee der Verursachung Auch bringt die Materie in der Tat aufs engste verbunden. in gewissem Sinne eine Auszeichnung der Zeit gegeniiber den Raumkoordinaten mit sich: die in einer Dimension unendliche Erstreckung der inneren Feldsdume. — Die folgenden beiden Griinde scheinen es mir vor allem, welche fir die Agens-, gegen die Feldtheorie der Materie sprechen: 1. sie steht allein in Einklang mit der grundlegenden Erfahrung des tiglichen Lebens und der Physik, daB die Materie das Feld erzeugt und alles Handeln in der Welt primar an der Materie angreifen muB; 2. die erweiterte Relativitatstheorie 148t keinen Platz fir derartige Verallgemeinerungen und Ergiinzungen der klassischen Feldgesetze, wie sie Mie im Rahmen der speziellen Relativititstheorie ins Auge gefabt hatte. Dabei muB freilich zugestanden werden, daB es nach wie vor einigermaBen dunkel bleibt, wie man in der allgemeinen Relativitatstheorie tiberhaupt die Aussage streng formulieren soll, daB die Materie, als deren Charakteristika Laduny, Masse und Bewegung anzusehen sind, das Feld erzeugt. Deutet man (um der anschaulichen Ausdrucksweise willen) ein Koordinatensystem als Abbildung der wirklichen Welt auf einen vierdimensionalen Cartesischen Raum, so kann man bei gegebener Bewegung der Teilchen ihren Weltkaniilen im Bilde durch geeignete Wahl der Koordinaten jede beliebige Gestalt erteilen. Prinzipiell gesprochen, ist also in der allgemeinen Relativitiitstheorie

nicht

nur

der Begriff der

absoluten, sondern auch der

der

relativen Bewegung verschiedener Kérper geyeneinander sinnlos. Es ist danach klar, daB die Kenntnis von Ladung und Masse jedes Teilchens und des Verlaufs ihrer Weltkanile im Koordinatenbilde zur eindeutigen Bestimmung des Feldes nicht geniigen kann. Vielleicht mu8 man den Sinn der Aussage, daB die Bewegung eines Teilchens bekannt ist, dahin interpretieren, daB in dem zur Darstellung der Welt gewihlten Koordinaten-

257

system UW nicht nur der Verlauf ist (denn das besagt gar nichts),

des Teilchenkanals gegeben sondern auBerdem an jeder

Stelle des Kanals das oben mit & bezeichnete Koordinatensystem, in welchem das umgebende Feld die Normalform (9) besitzt, oder genauer: die Transformationsformeln, vermége deren das lokale ® mit dem universellen ll zusammenhingt. Wir mii®ten dann sagen: der Begriff der Bewegung eines Teilchens hat keinen kinematischen, sondern einen dynamischen Inhalt; die bisher meist gegebene Formulierung ,,von Bewegung eines Kérpers (im kinematischen Sinne) kann nicht absolut, sondern nur relativ zu andern Kérpern die Rede sein“ trife nicht den richtigen Gegensatz.?) Da zufolge unserer Erklirung die Masse m keine durch das materielle Teilchen véllig exakt festgelegte Zahl ist und darum

auch

die Erhaltungsgleichuvg

oe

=0

kein mathema-

tisch strenges Gesetz ist, kénnen wir aus ihm heraus nicht verstehen, weshalb ein Elektron selbst nach beliebig langer Zeit immer noch die gleiche Masse besitzt und weshalb allen Elektronen dasselbe m zukommt. Dieser Umstand zeigt, daB es

offenbar nur einen Gleichgewichtszustand der negativen Elektrizitit gibt, auf den sich das Korpuskel in jedem Augenblick yon neuem einstellt: die Erhaltung der Ladung und Masse kommt nicht durch eine differentiell wirksame Beharrungstendenz, sondern durch Minstellung zustande. Daraus diirfen 1) Ich gebe diese Andeutung einer Liésung mit allem Vorbehalt. Wo die Kritiker der Relativitatstheorie diese Schwierigkeit beriihren (vgl. namentlich Reichenbicher, Physik. Zeitschr. 22. 5.234 —243. 1921), treffen sie in der Tat eine dunkle Stelle (freilich kann ich darin keinen zureichenden Grund fiir die Preisgabe der Theorie erblicken; die eben erwihnte Lésung scheint mir die Reichenbichersche Idee: die Materie bewirkt eine ,,Verzerrung des metrischen Feldes, mit der These Einsteins: Trigheit und Gravitation sind eines, zu yersdhnen). Einsteins Kosmologie der geschlossenen Welt hat lediglich zur Folge, daB man neben den Grenzbedingungen fiir die Materieschliuche nicht auch noch eine Grenzbedingung fiir den unendlichfernen Saum des Feldes ndtig hat; zur prinzipiellen Klirung der vorliegenden Frage leistet sie dariiber hinaus meines Erachtens keinen Beitrag. Mit dem Machschen Gedanken, da® die triige Masse eines Kérpers auf einer Wechselwirkung mit den Massen

des Universums

Auffassung

beruht,

des Massenbegriffs

kann

ich mich nach der hier vertretenen

erst recht nicht befreunden.

258

wir weiter auch

nur

schlieBen,

als Fluf

daB

in dem

Ladung

und Masse,

extensiven,

den Felde definieren kénnen,

wenn

das Teilchen

doch als Higenschaften

wir

sie

umgeben-

des Teil-

chens selber anzusprechen sind. Den Gegensatz von Beharrung und Kinstellung kann man sich gut klar machen an dem Bei» spiel eines rotierenden Kreisels — die Richtung seiner Achse, in einem Augenblick willkirlich, ibertragt sich von Moment zu Moment durch Beharrung — und einer Magnetnadel, deren Richtung sich in jedem Augenblick unabhiingig von der Vergangenheit auf das Magnetfeld einstellt. Von einer rein der Beharrungstendenz folgenden Verpflanzung haben wir a priori keinen Grund anzunehmen, da sie integrabel sei, d. h. unabhingig vom Wege, auf welchem sich die Verpflanzung vollzieht. Aber sei das auch der Fall, wie z. B. fiir die Achse des rotierenden Kreisels im Euklidischen Raum; es werden dennoch zwei Kreisel, die von demselben Punkte mit gleicher

Achsenstellung ausgingen und sich nach Ablauf einer sehr langen Zeit wieder treffen, beliebige Abweichungen der Achsenstellung aufweisen, da sie ja niemals vollstiindig gegen jede Einwirkung isoliert werden kénnen. Auf der Erhaltung der Masse und Ladung beruht es nach der mit Quantenansiitzen operierenden Bohrschen Atomtheorie, daB bei der Bewegung eines Atoms die Radien der Kreisbahnen

seiner

Elehtronen

erhalten

bleiben.

und

die Frequenzen

Ebenso

wird

man

des

ausgesendeten

schlieBen kénnen,

Lichtes

daB in

einem kristallinischen Medium die Gitterabstiinde erhalten bleiben. Die Frequenzen der Spektrallinien und die Linge eines materiellen MaBstabes sind daher gleichfalls Gréfen, die sich durch eine in jedem Augenblick neu erfolgende Kinstellung auf das Gleichgewicht erhalten. Das geht auch schon daraus hervor, daB ich diesem MaBstab an dieser Feldstelle nicht willkirlich anstatt der Linge, die er jetzt einnimmt, irgendeine andere, die doppelte oder dreifache, hatte geben kénnen, wie ich ihm die Richtung beliebig vorschreiben kann; und da die Spektrallinien der Atome sich von der Vorgeschichte als unabhingig erweisen. Wenn Einstein die MaBbestimmung im Ather mit Hilfe von MaBstiben und Uhren definiert, so kann man das nur als eine vorliufige Ankniipfung an die Erfahrung gelten lassen, wie etwa auch die Definition der elektrischen

259

Feldstirke als ponderomotorische Kraft auf die Kinheitsladung. Hernach muB8 sich hier das Verhalten der Ladung unter dem Einflu8 des elektrischen Feldes, dort das Verhalten der Gitterabstinde in einem kristallinischen Medium unter dem HinfluB des metrischen Feldes als eine Folgerung der entwickelten Theorie ergeben. Und auf dem eben angedeuteten theoretischen Zusammenhang scheint mir die Erhaltung der (mit Hilfe der lokalen Metrik des Feldes zu bestimmenden) Mafstablangen und Uhrperioden zu beruhen.

Mit den letzten Erwigungen rihren wir an die physikalischen Grundlagen der ,,erweiterten Relativitatstheorie“; darauf gehe ich niher in der zu Anfang erwahnten Note ein.

48. Electricity and gravitation

Nature 106, 800—802 (1921)

MODERN

physics renders it probable that the

only

fundamental

forces

in

Nature

After

the

are

(Fihrungsfeld) is a physical reality which is demani-

and

matter,

of

state

the

on

pendent

proceeding from the electromagnetic field had been

fests itself only infinitesimally (as a tendency of persistence which carries over the vectors from one point to “indefinitely neighbouring ” ones).

of striking simplicity and clearness, it became

on

those, which have their origin in gravitation and in

the

electromagnetic

field.

effects

co-ordinated by Faraday and Maxwell into laws necessary on

the

to attempt

basis

of

to explain gravitation

electromagnetism,

or

at least

also

to

fit it into its proper place in the scheme of electromagnetic laws, in order to arrive at a unification

The immense success of Einstein’s theory is based

the

fact

that

the

effects

of gravitation

also

belong to the guiding field, as we should expect

@ priori from our experience of the equality of

gravitational and inertial mass. The planets follow exactly the orbit destined to them by the

guiding field; there is no special “gravitational

of ideas. This was actually done by H. A. Lorentz, G. Mie, and others, although the success

force ” necessary, as in Newton’s theory, to cause

the present time, however, in virtue of Einstein general theory of relativity, we understand in

general, the parallel displacement is “non-integrable”; i.e. if we transfer a vector at P along

of their work

was

not

wholly

convincing.

At

principle the nature of gravitation, and the problem is reversed. It is necessary to regard electromagnetic phenomena, as well as gravitation,

as

an

universe.

I

outcome

of

the

geometry

of the

believe that this is possible when we

liberate the world-geometry (on which Einstein based his theory) from an inherent inconsistency, which

is still associated with it as a consequence

of our previous Euclidean conceptions.

The great accomplishment of the theory of rela-

tivity

was

that

it brought

the obvious

principle

of the relativity of motion into harmony with the

existence of inertial forces. The Galilean law of inertia shows that there is a kind of obligatory

guidance in the universe, which constrains a body left to itself to move with a perfectly definite motion, once it has been set in motion in a particular direction in the world. The body does this in virtue of a tendency of persistence, which carries on this direction at each instant “parallel

to itself.” At every position P in the universe, this tendency of persistence (the “guiding field”) thus determines the infinitesimal parallel displace-

ment of vectors from P to world-points indefinitely near to P. Such a continuum, in which this idea of infinitesimal parallel displacement is determinate, I have designated as an “‘affinely con-

nected” one (affin cusammenhdngend).

Accord-

ing to the ideas of Galileo and Newton,’ the “affine connection ” of the universe (the difference

between

straight and curved) is given by its geo-

metrical structure.

A vector at any position in

the universe determines directly and without ambiguity, at every other position, and by itself (i.e. independently of the material content of the universe), a vector “equal” to itself. According to Einstein, however, the guiding field

them

to

deviate

from

their

Galilean

orbit.

In

two different paths to a point P/ at a finite distance

from

P, then

the vectors,

which

were

coincident

at P, arrive at P! in two different end-positions

after travelling these two paths.

The “affine connection” is not an original characteristic of the universe, but arises from a

more

deeply

“metrical

lying

field.”

condition

There

exists

of

an

things—the

infinitesimal

“light-cone” (Lichtkegel) at every position P in

the world, which separates past and future in the immediate vicinity of the point P. In other words,

this light-cone separates those world-points which

can receive action from P from those from which an “action” can arrive at P. This “cone of

light” renders it possible to compare two line-

elements at P with each other by measurement; all vectors of equal measure represent one and the same distance at P. In addition to the determination of measure at a point P (the “relation

of action” of P with its surroundings), we have

now the “metrical relation,” which determines the

congruent transference of an arbitrary distance at

P to all points indefinitely near to P.

Just as the point of view of Einstein ledds back

to that

of Galileo

and

Newton

when

we

assume

the transference of vectors by parallel displacement to be integrable, so we fall back on Einstein when the transference of distances by congruent

transference is integrable. But this particular assumption does not appear to me to be in the least justified (apart from the progress of the historical development). It appears to me rather

as a gross inconsistency.

old

tudes

point

For the “distances ” the

of view of a determination

in terms

of each

being independent of directly at a distance.

other

of magni-

is maintained,

this

matter and taking place This is just as much in

261 conflict with the principle of the relativity of magnitude as the point of view of Newton and Galileo is with the principle of the relativity of motion. If, in the case in point, we proceed

in earnest

with

the

idea

of the continuity

of action, then “magnitudes of condition” occur in

the

mathematical

description

of

the

world-

metrics in just sufficient number and in such a combination as is necessary for the description of the electromagnetic and of the gravitational field. We saw above that, besides inertia (the retention of the vector-direction), gravitation was also

included in the guiding field, as a slight variation

of this, as a whole, constant inertia. So in the present case, in addition to the force which conserves space- and time-lengths, electromagnetism

is

readily

as

also

Unfortunately,

included

in

the

metrical

relation.

this cannot be made

in the

case

of

clear so

gravitation.

For

the

phenomena of gravitation are easily obtained from the Galilean principle, according to which the world-direction

of a mass-point

in motion follows

supplemented by an additional term of similar character. This renders the existence of charged

material

particles

possible

without

requiring

an

immense mass-horizon as in Einstein’s cosmology.

At first the non-integrability of the transference of distances (Streckeniibertragung) aroused much

antipathy.

Does

not this

mean

that

two

measuring-rods which coincide at one position in the universe no longer need to coitcide in the event of a subsequent encounter? Or that two

clocks which set out from one world-position with the same period will possess different periods

should they happen to encounter at a subsequent position in space?

Such a behaviour of “atomic

clocks ” obviously

stands in opposition to the fact

that atoms emit spectral lines of a definite frequency, Neither

independently of their past history. does a measuring-rod at rest in a static

field experience a congruent

transference

moment to moment,

from

What is the cause of this discrepancy between

Now

the idea of congruent transfer and the behaviour of measuring-rods and clocks? I differentiate

force of the electromagnetic field should be included in our Galilean law of motion, as well as

Nature by “persistence” (Beharrung) and by “adjustment” (Einstellung). I shall make the

at every instant the parallel displacement.

it is by no means the case that the ponderomotive

gravitation, for a charged mass-point does not

follow the guiding field. On the contrary, the correct equations of motion are obtained only by

the establishment of a definite and concrete law of Nature, which is possible within the framework of the theory, and not from the general

principles of the theory.

The form of the law of Nature condition of the metrical field is

on which the dependent is

tion

measure

limited by our conception of the nature of gravitaand

electricity

in still greater

than

it is by Einstein’s general principle of relativity.

When

the

metrical

connection

alone

is virtually

varied, the most simple of the assumptions possible leads exactly to the theory of Maxwell. Thus, whereas Einstein’s theory of gravitation

gave certain inappreciable deviations from the Newtonian theory, such as could be tested by experiment, our interpretation of electricity—one

is almost tempted fo say unfortunately—results in the complete confirmation of Maxwell’s laws.

If we supplement Maxwell’s “magnitude of action” (Wirkungsgrésse) by the simplest additional term which also allows of the virtual variation of the “relation of action,” we then arrive

at

Einstein’s

laws

of the

gravitational

field,

from which, however, there are two small deviations : (1) That cosmological term appears which Einstein appended later to his equations, and which results in the spatial closure

(Geschlossenheit) of the universe. A hypothesis conceived ad hoc by Einstein to explain the generally prevailing equilibrium of masses results here

of

necessity.

Whereas

a pre-stabilised harmony

Einstein

between

has

the

to

assume

“cosmo-

logical constant” which is characteristic for his modified law of gravitation, and the total mass

fortuitously present

in the universe,

in our case,

where no such constant occurs, the world-mass

determines the curvature of ‘the universe in virtue of the laws of equilibrium. Only in this way, it appears to me, is Einstein's

cosmology at all possible from a physical point of view.

(2) In the case where an electromagnetic field

is present,

Einstein’s cosmological

term

must

be

between

the

determination

of

a

difference clear by the following

magnitude

in

illustration:

We

can give to the axis of a rotating top any arbitrary

direction in space.

tion then determines

This arbitrary original direc-

for all time the direction of

the axis of the top when

left to itself, by means

of a tendency of persistence which operates from moment to moment;

the axis experiences at every

instant a parallel displacement.

The exact oppo-

site is the case for a magnetic needle in a magnetic field. Its direction is determined at each instant independently of the condition of the system at other instants by the fact that, in virtue of its constitution, the system adjusts itself in an

unequivocally

determined

which it is situated.

manner

to the

field

in

A priori we have no ground

for assuming as integrable

a transfer which

results purely from the tendency of persistence. Even if that is the case, as, for instance, for the rotation of the top in Euclidean space, we should find that two tops which start out from the same

point with the same axial positions and encounter again after the lapse of a very long time would show arbitrary deviations of their axial positions,

for they can never be completely isolated from every influence. Thus, although, for example,

Maxwell’s equations demand the conservational equation de/di=o for the charge e of an electron,

we

are

unable

to

understand

from

this fact why an electron, even after an indefinitely long time, always possesses an

unaltered charge, and why the same charge e is

associated

with

all

electrons.

This

circum-

stance shows that the charge is not determined

by persistence, but by adjustment, and that there

can exist only one state of equilibrium of the negative electricity, to which the corpuscle adjusts itself afresh at every instant. For the same reason we

can conclude

lines of atoms.

the same

thing

for the spectral

The one thing common to atoms

emitting the same frequency is their constitution,

and not the agreement of their frequencies on the occasion of an encounter in the distant past.

Similarly, the length of a measuring-rod is obviously determined by adjustment, for I could not

give this measuring-rod in this field-position any (say double or treble length) in place of the length which it now posother length arbitrarily

262 sesses,

in the

determine

manner

in which

its direction.

The

I can at will pre-

theoretical

possi-

bility of a determination of length by adjustment is given as a consequence of the world-curvature, which arises from the metrical field according a complicated mathematical law. As a result its

constitution,

the

measuring-rod

assumes

to of

a

length which possesses this or that value, in rela-

tion to the radius of curvature of the field.

In

point of fact, and taking the laws of Nature indicated above as a basis, it can be made plausible that measuring-rods and clocks adjust themselves

exactly in this way,

although

this assumption—

which, in the neighbourhood of large masses, involves the displacement of spectral lines towards the red upheld by Einstein—does not appear anything

like so conclusive

in that of Einstein,

in our theory

as it does

49. Die Einzigartigkeit der Pythagoreischen Mafbestimmung Mathematische Zeitschrift 12, 114—146 (1922)

S al Das

Seit den Untersuchungen

Problem.

von Helmholtz

und Lie iiber die Grund-

lagen der Geometrie haben unsere Ansichten iiber die Natur des Raumes oder allgemeiner des extensiven Mediums der AuSenwelt durch die Rela-

tivitiitstheorie nicht

tinuum

mehr

auf einer

zu

eine

mit

tiefgreifende Wandlung

einem

tun,

drei-,

dessen Metrik

sondern

nicht

indefiniten quadratischen

erfahren.

mit

einem

auf einer

Form

beruht;

Wir haben

es jetzt

vierdimensionalen

positiv-definiten,

Kon-

sondern

auBerdem glauben

wir

nicht mehr an die metrische Homogenitiat dieses Mediums, welche geradezu die Grundlage der Helmholtzschen Axiomatik war, weil das metrische Feld nicht etwas Festgegebenes ist, sondern in kausaler Abhangigkeit von der Materie

des Raumes greifen,

neu

steht.

aus

So mu8

méglichst

formuliert

also

auch

einfachen

werden.

das Problem,

und

die metrische

prinzipiellen

Beim

Aufbau

4.

Auflage

Griinden

Natur

zu

_be-

der Infinitesimalgeometrie

im Geiste der Relativititstheorie hatten sich mir die entscheidenden Eigentiimlichkeiten der Pythagoreischen MaSbestimmung immer deutlicher herausgeschalt,

so

da8

ich

in

der

von

,,Raum

Zeit

Materie‘

das Kapitel iiber das metrische Kontinuum mit einer solchen Neuformulierung des Raumproblems beschlieBen konnte, die ich fiir véllig zwingend Hier soll — fiir eine beliebige Dimensionszah] n -- der mathehalte’). matische Nachweis erbracht werden, dai die Pythagoreische MaSbestimmung die einzige ist, welche den dort aufgestellten Forderungen geniigt. Das Wesen

der Metrik

erblicke

steht, im Begriffe der Kongruenz, 1) Siehe 1. c. § 18.

ich,

wie

sich

das fast

von

selbst

ver-

der jedoch rein infinitesimal zu fassen

264

ist:

die

linearen

den

unter

ist, welche

bekannt

wenn

ist bekannt,

Metrik

Abbildungen des Vektorkérpers im beliebigen Punkte P, auf sich selber oder auf den Vektorkérper in einem unendlich benachbarten Punkte P kongruente Abbildungen sind (,,Metrik im Punkte P,* und _,,metrischer Die ,,Drehungen‘, d. s. die kongruenten Zusammenhang von P, mit P*). ungeiindert

Parallelepipeds

m Vektoren

eines von

das ,,Volumen“

und

bilden

Gruppe

auf sich selber,

im Punkte P,

des Vektorkérpers

Abbildungen

eine

aufgespannten vor aller

noch

sich,

lassen

es

(denn

lassen

miissen

MaBbestimmung, an einer Stelle die -dimensionalen Vektorparallelepipede Wird die Gruppeneigenschaft auch auf den miteinander vergleichen). metrischen Zusammenhang ausgedehnt, so liegen in ihr die folgenden drei Forderungen: Gruppe

sie eine

daB

1. fiir die ,,Drehungen“,

2. fiir die kongruenten Verpflanzungen

zu P, unendlich

benachbarten

in P, entstehen

und

aus einer von ihnen, A, Drehungsgruppe

kongruenten

®,

daS

Punkte

P:

die Gruppe

©

durch

in P,

von P, nach einem bestimmten da8 alle diese Verpflanzungen

Hinzufiigung einer

durch

Verpflanzung A

bilden;

der Drehungen

,,Transformation

entsteht:

willkiirlichen Drehung

G =

in P

mittels

aus

einer

der

solchen

AW, 4’;

3. fiir den metrischen Zusammenhang von P, mit allen Punkten seiner unmittelbaren Umgebung: da durch Hintereinanderausfiihrung einer infinitesimalen kongruenten Verpflanzung des Vektorkorpers durch die Ver-

schiebung da, [d.h. vom Punkte P, = (;) nach der Stelle

P = (a}+ dz,)|

und einer zweiten solchen Verpflanzung durch die Verschiebung 6x; eine durch die resultierende Verschiebung dx;+- 6”; bewirkte infinitesimale kongruente Verpflanzung zustande kommt. — Eine kongruente Verpflanzung

ist infinitesimal,

beliebigen Vektors

von

wenn

die Anderungen d&'

der

der Komponenten

gleichen

GréSenordnung

die

SNe

unendlich

&*

eines

klein sind

wie die Komponenten. da, der vorgenommenen Verschiebung des Zentrums. Ist also eine

ersten

beliebige

infinitesimale

Koordinatenachse,

kongruente

nach

dem

Verpflanzung

Punkte

in

Richtung

(x?+ ¢, a,...,

72),

der und

haben Aj, ..-, Azn eine analoge Bedeutung fiir die 2-te bis n-te Koordinatenachse (e ist eine infinitesimale Konstante), so liefert die Formel

f dx, df= krSN,

(1) ein ,,System

infinitesimaler

kongruenter

lichen Punkten der Umgebung

von

P,.

Verpflanzungen“

nach

den

si&mt-

265

Unter Parallelverschiebung

des Vektorkérpers

von P,

nach dem

un-

endlich benachbarten Punkte P verstehe ich die Verpflanzung simtlicher Vektoren von P, nach P ohne Anderung ihrer Komponenten. Dieser Begriff ist aber abhiingig vom Koordinatensystem, so daB jedem Koordinatensystem in P, ein méglicher Begriff der Parallelyerschiebung entspricht. In einem bestimmten, ein fiir allemal fest gewiihlten Koordinatensystem driickt sich ein solches System méglicher Parallelverschiebungen des Vektorkdrpers in P,=(a?) nach den simtlichen Punkten P=(«x;-+-da,) der Umgebung von P, durch eine Formel aus

df= mit Koeffizienten,

welche

—

der Symmetriebedingung

geniigen; aber auch umgekehrt symmetrischen Koeffizienten [ schiebungen dar®). Das Bisherige erscheint mir dessen, was in den Begriffen Parallelverschiebung als solchen schen*

STE, edz,

kr

Teil im Kantischen

Cre Vie

stellt diese Formel bei beliebig gewahlten ein mégliches System von Parallelverals eine bloBe Begriffsanalyse, Explikation Metrik, metrischer Zusammenhang und

liegt.

Ich

Sinne.

komme

jetzt zum ,,syntheti-

I. Jede Gruppe G’, die aus einer Gruppe © linearer Transformationen durch Abanderung der Wahl des Koordinatensystems hervorgeht, nenne

nur

ich

,,von

durch

derselben

die Orientierung

Art‘‘

wie

von %.

©,

oder

sage,

sie unterscheide

Aus 2. erhellt,

daB

sich

die Drehungs-

gruppe in allen Punkten des Raumes von der gleichen Art ist. Die Art der Drehungsgruppe ist also fir den Raum als Form der Erscheinungen

charakteristisch, sie metrischer Hinsicht. bestimmt

eine

und

nicht

kennzeichnet das apriorische Wesen des Raumes in Die Art der Drehungsgruppe ist eine, darum absolut

teilhabend

an

der unaufhebbaren Vagheit

veranderliche Stelle in einer kontinuierlichen Skala

dessen, was

einnimmt.

Nicht

durch das Wesen des Rawmes bestimmt ist aber — darin liegt die eigentliche prinzipiell neue Einsicht der allgemeinen Relativititstheorie — die

gegenseitige Orientierung der Drehungsgruppen in den verschiedenen Punkten des Raumes und der metrische Zusammenhang ; dieser ist viel-

mehr abhingig von der zufalligen Konstellation der Materie; an sich jedoch frei und beliebiger virtueller Verinderungen faihig. Unsere erste Forderung

lautet geradezu:

metrischen Zusammenhang *) RZM

(= Raum

Zeit

das

Wesen

des Raumes

4. Aufl.,

Springer,

zw; in dem Sinne, da

Materie,

lift jeden moglichen

bei gegebenem Wesen

1921),

§ 14.

266

des Raumes welchem

stets ein solcher (1)

die Formel

mit

metrischer Zusammenhang

méglich

Koeffizienten

ist, bei Aj, ein

beliebig

vorgegebenen

betrifft die

Beziehung,

welche

zwischen

kon-

Bestimmtheit

auch

der nach

I an

System kongruenter Verpflanzungen des Vektorkérpers im Punkte Py nach den simtlichen Punkten seiner Umgebung darstellt. — Ich bemerke dazu in erkenntnistheoretischer Hinsicht: es ist nicht richtig, zu sagen, daB der Raum oder die Welt an sich, vor aller matoeriellen Erfiillung, lediglich eine formlose stetige Mannigfaltigkeit im Sinne der Analysis situs ist ; die Natur der Metrik ist ihm an sich eigentiimlich, nur die gegenseitige Orientierung der Metriken in den verschiedenen Punkten ist zufiillig, a posteriori und abhingig von der materiellen Erfiillung. (Selbstverstindlich kann sich das Wesen des Raumes nur in einer ganz bestimmten, ihm gegeniiber aber als zufallig zu betrachtenden quantitativen Ausgestaltung in der Wirklichkeit darstellen.) In dieser Einschriénkung und zunichst auch nur in diesem Sinne (nicht im Sinne der Herkunft aus einer erfahrungsunabhangigen Erkenntnisquelle) miissen wir auch heute noch an der Kantischen Behauptung festhalten, da die Euklidische Geometrie a priori sei; sofern wir als den eigentlichen Inhalt der Euklidischen Geometrie die Aussage betrachten, daB die Drehungsgruppe aus denjenigen linearen Transformationen besteht, welche eine nichtausgeartete quadratische Form invariant lassen. Wenn hingegen die hier durchgefiihrte Analyse das Richtige trifft, so wird der ausgezeichnete Charakter dieser Pythagoreischen Metrik erst dadurch verstindlich, da8 wir uns die Orientierung, die quantitative Bestimmtheit und Zusammenkniipfung der Metriken in den verschiedenen Punkten als frei verdnderlich denken und nicht von vornherein jene besondere Verkniipfung als starr gegeben annehmen, welche fiir die Euklidische Ferngeometrie charakteristisch ist. II. Die zweite, iiber die bloBe Begrifisanalyse hinausgehende Forderung,

aufstellen,

wir

welche

gruenter Verpflanzung und Parallelverschiebung besteht; sie besagt: unter den méglichen Systemén von Parallelverschiebungen gibt es ein einziges, welches zugleich ein System kongruenter Verpflanzungen ist; und zwar soll dies zutreffen,

welche

quantitative

sich freie metrische Zusammenhang zufolge der Konstellation der Materie angenommen haben mag. Unter den infinitesimalen kongruenten Verpfian-

zungen des Vektorkérpers in P, nach einem beliebigen Nachbarpunkte P ist also eine ausgezeichnet, die Translation, welche mit der Identitit zusammenfallt,

Fir

fiillt; und,

wenn

P=

P,

die Pythagoreische wie

ich

in der

ist.

MaBbestimmung

vorliegenden

Arbeit

sind zu

diese Forderungen beweisen

gedenke,

ernur

fir diese. Zu jedem Punkt P, gehdrt daher zufolge der Forderungen I und IT eine nichtausgeartete, von einem willkiirlichen Vektor (é*) ab-

267

hangige quadratische Form von bestimmtem Trigheitsindex 'g,,£'é", die A tk »metrische Fundamentalform‘,

welche gegeniiber

den Drehungen

invariant

ist. Die Form ist nur bis auf einen konstanten Faktor festgelegt. Durch Normierung dieses Faktors wird die Mannigfaltigkeit im Punkte P, = (x?) »geeicht*;

(é°).

1 =

Ist

See

bezeichnen

wir

dann

als Mafzahl

des

Vektors

de — Sdype = — SUL ede, i ker

die Formel

fiir das

unter II postulierte

einzig

,,wirkliche“ System von

Parallelverschiebungen, so 1aBt sich durch diese Parallelverschiebung die Metrik und die metrische Fundamentalform nach dem Punkte P = (x/-+ d2,) iibertragen. Die Anderungen dg,, der Koeffizienten der metrischen

Fundamentalform

werden

dabei geliefert durch die Gleichungen

agi,.=

S (9; 473+ 9; 471).

i

Nachdem wir die Mannigfaltigkeit an einer Stelle O geeicht haben, kénnen wir dadurch, da wir diese Gleichungen lings der von O ausgehenden Radien x,—=«,r

|e, beliebige

Konstanten,

r der

variable Parameter]

integrieren,

die Eichung an alle andern Raumstellen iibertragen (eine Ubertragung, die natiirlich abhingig sein wird vom benutzten Koordinatensystem). Dadurch erscheint die Umgebung des Punktes O insbesondere in solcher Weise geeicht, daB die MaBzahl einer Strecke in O bei kongruenter Verpflanzung nach den Nachbarpunkten keine Anderung erfahrt (geodatische Eichung). Daraus folgt, da8 bei beliebiger Eichung die Anderung d1, welche die MaBzahl / einer Strecke durch kongruente Verpflanzung erleidet, sich aus einer Gleichung bestimmt

dl=—ldy, eine

lineare

Differentialform

inder ist.

Die

DS Gi, 10; 1,5

dp=3S beiden

a

9,42,

Formen

Sy dz;

beschreiben die Metrik der Mannigfaltigkeit in ihrer quantitativen BeDamit ist der AnschluB an die gewohnliche Infinitesimalstimmtheit. geometrie gewonnen*). Es erscheint mir wesentlich, den Beweis unserer Behauptung fiir eine Denn ich glaube, daB sich erst beliebige Dimensionszahl n zu erbringen. auf Grund der Pythogoreischen Metrik die Besonderheit der Dimensionszahl

4, welche

der wirklichen

Welt

zukommt,

verstindlich

machen

1aBt.

Nur in einer vierdimensionalen Welt existiert namlich die aus der Strecken-

*) RZM, § 16.

268

kriimmung entspringende einfachste Integralinvariante, welche als WirkungsgréBe meiner Uberzeugung nach den Erscheinungen des elektromagnetischen Auf die Frage endlich, warum in der wirklichen Feldes zugrunde liegt*). Welt die metrische Fundamentalform gerade den Trigheitsindex 1 besitzt, kénnen wir gegenwirtig keine andere Antwort geben als die: da® allein Fall

in,diesem

ist,

nur

da

im

eine Scheidung

Falle

SS 9;,¢%;,4%, = 0 durch

zur

Nun

des

Vergangenheit

von

1

Trigheitsindex

infinitesimale

moglich

Kegel

zerlegt wird.

Mantel

seine Spitze in zwei

mathematischen

der

und Zukunft

unserer beiden Forderungen

Formulierung

I und II! Durch sie werden gewisse Higenschaften der infinitesimalen Zu ihr hat man bekanntlich eine Matrix A Drehungsgruppe g festgelegt. dann und nur dann zu rechnen, wenn es in der Drehungsgruppe eine

(von « abhingige) lineare Transformation gibt, welche mit®) H + «A iibereinstimmt

bis auf einen

Fehler,

stirker

¢

mit

der

gegen

(0

konvergiert

als « selber. Die infinitesimale Drehungsgruppe ist nach Lie eine lineare Schar von besonderer Art; mit irgend zwei zu ihr gehdrigen Matrizen A tritt namlich in ihr immer

und B

auch

die Matrix

[AB] =AB—BA auf

(diese Operation

Matrizen).

bezeichnen

m Matrizen von g:

A, = (af,),

wir

hier

a= (apg) ++

als

,,Zusammensetzung“

An = (Gn)

bilden eine symmetrische Doppelmatrix in g, wenn Spalte von A, gleich der k-ten Spalte von A, ist: Beinn : G5 = Vin

die Formel

allgemein die

der

i-te

Sar é'nt c = 47,87

ordnet dann je zwei Vektoren £,7 in bilinearer symmetrischer Weise einen dritten Vektor ¢ so zu, da® fiir jeden festen Vektor 7 der Uber-

gang

von

€ zu ¢ eine Operation

der Gruppe g

ist.

Die infinitesimale Drehungsgruppe 4 hat folgende Higenschaften*): a) die Spur einer Matrix von g ist 0; b) es existiert in g keine andere symmetrische Doppelmatriz als 0; c) die Dimensionszahl von g ist die hochste, welche mit der Bigen-

schaft b) vertraglich ist, ndmlich ""=1),

4) Vgl. RZM,

§§ 35, 36; ferner den Aufsatz

Grundlagen der erweiterten Relativitatstheorie“

des Verf.

»Uber

in der Physik.

die physikalischen

Zeitschr. 22 (1921).

5) E bezeichnet die Einheitsmatrix, deren Elemente 6;, (=1 fiir i= k, hingegen = 0 fiir i=- k) sind. ®) Die Herleitung ist genauer durchgefiihrt in RZM, S. 131-132.

269

Die

infinitesimale Gruppe (Nh derjenigen Operationen, welche die nicht-

ausgeartete quadratische Form @ mit den Koeffizienten lassen, besteht aus allen Matrizen (af), fiir welche

9;

variant

27 (9:4 + 541) = 0

gilt. Ist die quadratische Form insbesondere die Kinheitsform mit Koeffizienten 6,,, so besteht Sq =o aus allen schiefsymmetrischen trizen. Die Bestimmung aller infinitesimalen Gruppen mit den oben gegebenen Eigenschaften ist offenbar eine rein algebraische Aufgabe Gegensatz zu dem gruppentheoretischen Problem, zu welchem

den Maan(im die

plexen

dab

Helmholtzsche Axiomatik fiihrte); wir konnen deshalb im Bereich der kom-

statt nur der

reellen

GréSen

operieren.

Das hat

zur Folge,

alle Gruppen §g von derselben Art sind wie gy: die Unterschiede des Tragheitsindex fallen dahin. Der von uns behauptete Satz lautet: Die infinitesimale Euklidische Drehungsgruppe 9, hat die oben geforderten Higenschaften a),b),c); und umgekehrt: jede infinitesimale Gruppe, welche jenen Forderungen geniigt, wnterscheidet sich nur durch die Orientierung von gy, ist also mit der zu einer gewissen nichtausgearteten quadratischen Form Q gehérigen Gruppe Gq tdentisch.

Der erste Teil ergibt sich durch eine ganz einfache Rechnung, die den Kern der Bestimmung der Christoffelschen Dreiindizessymbole aus den Koeffizienten der metrischen Fundamentalform bildet. Der Beweis der Umkehrung ist mir leider nicht durch Versenkung in den Sinn der aufgestellten Forderungen, sondern nur durch mathematische Seiltanzerei gelungen. — Die Wichtigkeit des zu beweisenden Satzes liegt fiir mich — das méchte ich zum SchluB noch einmal hervorheben — durchaus nicht in seiner mathematischen, sondern allein in seiner transienten Bedeutung fiir das Raumproblem. Ich erblicke in ihm eine Bestitigung der Richtigkeit meiner ganzen Gedankeneinstellung zum Raumproblem durch die Logik (analog etwa wie das Vorriicken des Merkurperihels fiir Einstein eine Bestitigung der Richtigkeit seiner Gedankeneinstellung zum Gravitationsproblem durch die Tatsachen war). § 2. Die Fortan formationen

g gentigt a), b),

¢).

unabhingig

niedersten

Dimensionszahlen

1, 2, 3.

bezeichnen wir die Variablen, welche den linearen Transder inf. Gruppe g zu unterwerfen sind, stets mit 2,,a,,...,%,-

nach Voraussetzung Zu

vom

jeder

linearen

den

in § 1 ausgesprochenen

Transformation

Koordinatensystem

(Matrix)

Bedingungen

A =(a,,)

das charakteristische Polynom

gehért

det

270 1s = Std

=A)

a

ee

dessen Nullstellen die charakteristischen Wurzeln sind. Uber die Dimenstonszahl 1 ist kein Wort zu verlieren. Im Falle n=2 konnen wir unseren Satz durch direkte Rechnung g besteht aus den Multipla einer einzigen Matrix bestitigen. | \ | %1 2 | A= P | Go,

Ago

Die Voraussetzung, da8 keine symderen Spur a,,-@,, verschwindet. metrische Doppelmatrix in der Gruppe existiert auBer 0, besagt, daB aus der Bedingung: zweite Spalte von y,A gleich der ersten Spalte von — y, A, das Verschwinden der beiden Zahlen y,, y, folgt; oder die Gleichungen A171

1 12% = 9,

a171 + Aan72 = 0

haben

keine Lésung auBer 7, = y,—0;

+0.

Die nicht-ausgeartete

oder die Determinante

quadratische Form,

formation A ungeindert bleibt, bestimmt

der

welche

sich nunmehr

von A ist

bei der inf. Trans-

einfach aus

Iu = A> fia Faye Jor = %2> 92g— — Fae Wir gehen zur Dimensionszahl 3 iiber. Im charakteristischen Polynom allgemeinen,

von

drei Parametern

linear abhangigen

Gruppenmatrix

verschwindet nach Voraussetzung der Koeffizient S,, die Spur, identisch. Infolgedessen kénnen wir durch die beiden Gleichungen S,=0, 8S, =0 eine nicht-verschwindende Matrix charakteristische Wurzeln 0 sind.

theorie

durch

geeignete Wahl

~

der Gruppe bestimmen, deren samtliche Ihr laéBt sich nach der Elementarteiler-

des Koordinatensystems

001]

F5—=000)0))

0104)

oder

die Gestalt geben

|000|

| 100).

}000||

Die zweite Méglichkeit scheidet hier aus nach dem folgenden, fiir beliebige Dimensionszahlen

giiltigen Prinzip:

I. Eine Matrix der Gruppe, in der alle Spalten bis auf eine mit Nullen besetzt sind, ist tiberhaupt = 0. Sei namlich A eine solche Matrix, in welcher alle Spalten bis auf die erste verschwinden; dann ist die folgende Reihe von n Matrizen:

AL Wy 05 cau offenbar eine symmetrische

Doppelmatrix.

271

Wir

diirfen

demnach

annehmen,

da8

unsere

Gruppe

die Matrix R,

enthilt. Aus der willkiirlichen Gruppenmatrix A bilden wir A’=[R, 4] und wiederholen diese von A zu A’ fiihrende Operation. Wir erhalten dann der Reihe nach Ay A=

Ayn As

|

| Gy

Ugg

Aog

Il;

| M1

Azo

Ags

yi

G45

A=

A” =| Indem

schlieBen

| 0,

0,

A'=||

yy

|\"0; 5

—

| 11

Uy,

— 2g3

+ Ayy, Agg

Ohy,

Sb

3a,,

@

die

Reihe

0)

der

4)

— 433, Agg

— Ay,

— 2Ay,

set

|

a, =

|| I>

.

0, 6a,,,

0

Oy

©

(000

wir mit Hilfe des Prinzips I aus A

— A, A,

,,Abgeleiteten“

mn.

Ags

ag»

0 — 245,

aGhis

— 3a,

0,

— Ag,

0,

= Sa 4-34.,,

10,

wir

| A319 Aso

riickwarts

O;

durchlaufen,

0;

darauf aus 4a” darauf aus 4” Wegen

+ ak):

des Verschwindens

der Spur ist also

G1, + Age

Endlich Matrix

Sie kann

A

Ein

gehen

lautet 5

wir

zu A’

oder

= 0,

a3,=

vielmehr

zu A’+a,,R,

a, 0,,— 4.4,

nicht

identisch

solches A

aber mu

gleich einem

Qy, — 24,,-+ a,, = 0.

verschwinden.

Multiplum von R, plus

Denn

zuriick;

diese

0

ware

das der Fall,

nach dem Prinzip I verschwinden,

wenn

so wiire

a,, = 0

wird; also gibt es héchstens eine linear unabhingige Matrix von der Form

A in unserer Schar. verschwindenden A*.

Dieser Widerspruch zeigt die Existenz eines nichtIn diesem A™ muf dann insbesondere (wieder in-

272

folge des Prinzips

1) a+ 0 sein; wir kénnen a = 1 nehmen.

Damit haben

wir eine Matrix von der Gestalt gewonnen:

1

@

of

O

0%

(i alo) OF

Ersetzt

man

die

Koordinate

Koordinatensystem

A,=||0 10 ohne

daB

R,

sich

0 —1

o||

0

sich

aus A*

von A, sein mu) weiter allgemein a,,—a,,, Multiplum von R,-+ einem Multiplum von 4A, ||

26)

0 a,,

es nach

Fritherem

ein A

drittens in unserer Gruppe

(das ein Multiplum

und A

ist gleich einem

0 ||

0 a!

ja

Da

neuen

0] 04,

ergibt

Dann

andert.

im

an

diese Matrix die Form

1

nimmt

so

2, —- 5

durch

aw,

0

gibt,

0

fiir welches

eine Matrix,

a + 0 ist, so erhalten

die so aussieht:

wir

0 6 0 | food). eae

A, Die letzte, noch nicht ausgenutzte

Am 454, ;

Gruppenbedingung:

1/0 — 26 0|| 0 Ome | 1 @ ©!

setzt sich linear aus Ry, A,, A, zusammen, liefert A,, =A, und damit 6=0. Wir sind so schlieBlich bei einer einzigen inf. Gruppe angelangt,

welche durch die Formel

oad

mit den Parametern inf.

e, «, 6 dargestellt wird.

Transformationen,

invariant

lassen.

welche

die

Hs ist die Gruppe derjenigen

nicht-ausgeartete

quadratische

Form

273

§ 3. Die

Grundlagen

des Beweises.

Eine Verallgemeinerung des soeben bestiindig herangezogenen Prinzips I bietet im allgemeinen Fall in ganz analoger Weise das Mittel zur Verkettung der Schliisse. Wir betrachten diejenigen Matrizen A unserer Gruppe,

dem

geben,

in denen

bestimmte

r Kolonnen

seien s lineare homogene,

denen

kénnen

jede Kolonne

insbesondere

darin

mit

voneinander

von A

Nullen

unabhingige

zu geniigen hat.

bestehen,

daf

besetzt

bestimmte

sind;

auBer-

Bedingungen

ge-

Diese Bedingungen

s Zeilen verschwinden

sollen. Wie viele linear unabhingige Matrizen unserer Gruppe der gewiinschten Art kann es héchstens geben? Ihre Anzahl sei N. Die r mit Nullen besetzten Kolonnen seien die r letzten. Wir wihlen willkiirlich

r’—n—r

Matrizen

der zu

untersuchenden Art A,, A,,..., 4, und fiigen

dieser Reihe noch r Matrizen 0 hinzu. Die so erhaltene Reihe ist eine symmetrische Doppelmatrix, wenn allgemein die k-te Spalte von A, gleich

der i-ten Spalte von A, ist (¢,k=1,2,...,1r’). Da die Ubereinstimmung zweier Spalten, die ja beide den gleichen s linearen Beziehungen geniigen,

durch s’ = n — s Bedingungsgleichungen herbeigefiihrt werden kann,

liert sich die Aufgabe

der Bestimmung

schafienheit in 7 ly bekannte.

Losung

Bien 2 sein; d. i. um

einer Doppelmatrix von dieser Be-

s’ linearen homogenen

Soll 0 die einzige

formu-

Gleichungen fiir r’N Un-

sein, so muB

eg:

jue = 2 =)

wenigstens

rts (r+) 8 healer 2 weniger als die Parameterzahl

es

1) der totalen Gruppe.

Dies Ergebnis

kénnen wir offenbar in doppelter Weise so aussprechen:

Diejenigen Matrizen von g, deren Zeilen r und deren Kolonnen s unabhangigen linearen ets Gleichungen geniigen, bilden eine lineare hochstens

Schar

kiirlichen Matrix

jede

ihrer

geniigt,

vom Grade

A

Kolonnen

so involviert

dingungsgleichungen

8’ (r’—1)

—— ry

der inf. Gruppe,

; oder:

s unabhingigen

das mindestens zwischen

Verlangt

man

von einer will-

dap jede ihrer Zeilen denselben

linearen

a

ee

den Parametern

homogenen

Gleichungen

as Le unabhangige von A.

r,

Be-

274

Von diesem allgemeinen Satze wird im folgenden auBer dem Prinzip I nur derjenige Fall zur Anwendung kommen, wo r=

oa

tn)

der Codazzische

Tensor

die Integrabilitdtsbedingungen sind

>) (G4, Gh, — G5sGi,),

sie

erfiillt,

so

haben

92°(Gh Gio _ Gh. Gy

= 0.

der

jene

,,Fundamentalformeln

Gleichungen,

(2)

als Differential-

gleichungen fiir die Unbekannten e; betrachtet, eine und nur eine Lésung mit beliebig vorgegebenen Anfangswerten. Bedeutet a den vom Nullpunkt zum Flachenpunkt fiihrenden Vektor mit den Komponenten x,, so kann

301

man

dann

#

metrischen

03 OY,

j

aus “~ —e,

Fall

erfiillen

bestimmen, die

Liésungen

da nach e;

(3,)

identisch

Ge, __ oe,

—

oe Yp ~

cil

der

ist.

Im

Fliche

die

OY,

Gleichungen (e- e)—g,,, wenn dies fiir die Anfangswerte zutrifit; denn nach (2) geniigen die GréBen g* = (e;-e,) ebenso gut wie die 9,, selber den Beziehungen (4*;

velo4) Zu

und

agie= 9,47 + 9% dy;

gegebener

Torsion

metrischer

existiert

Fundamentalform,

im Euklidischen

Raum

stets

gegebener

eine

und

Kriimmung

(im

Sinne

der Kongruenz) nur eine Flache, vorausgesetzt, dap die gegebenen GroBen den Bedingungen (6) bzw. (7) gentigen (Fundamentalsatz der Flichentheorie). Der ebene ist nicht der einzige metrisch homogene Raum; auch die »Kugel* von der (positiven oder deren metrische Fundamentalform

negativen)

konstanten

Kriimmung J,

ee+...+a2) (Gai dodeh te todnay4 1—A(wp+ag e lautet,

ist von solcher Art. das Problem

raum

Torsion

und

mung

Daher kann auch in einem derartigen Kugeleine

werden,

gestellt

gelingt

Seine Lésung

zu bestimmen.

ihrer Metrik,

aus

Flache

auf

Kriim-

die gleiche

Weise ; die ,,Fundamentalformeln“ und ,,Integrabilitatsbedingungen“ kénnen

einfach heriibergenommen werden mit den folgenden beiden Modifikationen:

auf

Term

im

der

rechten

Seite

von

(3,)

ist

der

Term

—1g,g-a,

— 4(gus9sy--Jay 9ps) hinzuzufiigen. In einem beliebigen Raum mit affinem Zusammenhang,

Koordinatensystem

der

x,

i

J

Stelle von (6) die Gleichungen Riage

Das werden.

Komponenten

die

Ria

Kriimmung als

daB affiner Zusammenhang

der

dessen Wirbel

hat,

treten

an

J

alles ist ja ganz trivial; aber Es ware sehr zu wiinschen, da

Riemannschen

(7,,)

= Raapek ed ef.

es mute doch einmal gesagt auch die gewohnliche Flachen-

theorie den Begriff der infinitesimalen Parallelverschiebung, der

von

eines Vektorwirbels

der Fliche, Kriimmung

die Auffassung

und den Gedanken,

und Torsion eine natiir-

liche Einheit bilden, aufnihme; der Gewinn an Anschaulichkeit und Ubersichtlichkeit ist bedeutend. Ferner erscheint es zweckmabig, die Kurven-

theorie

der

benutzt

werden;

Achsenkreuz

werden,

hier

gegebenen

Darstellung

in der Normalebene denn

sie

wenn die Kriimmung

leiden

nicht

an

insofern

anzupassen,

daB

als zu

mehr

die Haupt-

und Binormale

dem

Ubelstand,

unbestimmt

verschwindet.

302 Literatur. Ann.

1. A. Voss, 16 (1880),

Zur Theorie der ... Kriimmung

S. 129-178.

2. T. Levi-Civita,

Nozione

di

parallelismo

Rend. del Cire. Math. di Palermo 42 (1917). 3. H. Weyl, 4.

Zeitschr.

W.

héherer Mannigfaltigkeiten, Math.

Raum

Blaschke,

6 (1920),

Zeit Materie

Frenets

S. 94—99.

(4. Aufl,

Formeln

5. G. Juvet, Les formules de Frenet rendus 172 (27. Juni 1921), S. 1647.

fiir

pour

in

una

Springer den

variata

1921),

Raum

un espace

qualunque

Kap.

von

...,

II.

Riemann,

de M. Weyl,

Math.

Comptes

51. Neue Lésungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungen

Mathematische Zeitschrift 13, 134—145 (1922) I. Einleitung.

Nach Weyl’) und Levi-Civita’) laBt sich die metrische Fundamentalform eines statischen axialsymmetrischen Feldes im leeren Raum durch Einfithrung

(1)

der ,,kanonischen

ds*=f'dt?—do®,

% ist das Azimut achse,

und

Zylinderkoordinaten“

20 =z,

y hangen

sind

r= 0 die Gleichung der Symmetrie-

Koordinaten

nur von z und r ab.

(2) he

bringen

f*do? =r?dd* + e27(dr? + da’);

einer Meridianebene, x) —y

auf die Form

in der

Meridianebene;

f= e’

y geniigt der Potentialgleichung

fa(ry-) Ay _ = 1 {4

(y,, y,

(3)

wegen

bedeuten

die

Ableitungen

nach

Y= 270,

r),

und y bestimmt sich aus

Y=? (ve — 2);

(2) ist namlich

(4)

z und

dy = 2ry,y,dz+1—(w w?)d ?r

ein totales Differential.

Die Schwarzschildsche Lésung fiir das polarsymmetrische Feld eines Massenpunktes ergibt sich, wenn man fiir y diejenige Lésung von (2) nimmt,

die

einer gewissen

zeichnet

21, den in

im

man

halt man

konstanten

die Lange

Abstand

kanonischen

kanonischen

Raum

Dichte

dieser

des Aufpunktes

Koordinaten

belegten Strecke der Achse

Strecke,

von den

in z-Koordinaten

yy

*) Zur Gravitationstheorie,

satz dazu:

°) ds*

Ann. d. Phys.

Ann. d. Phys, 59 (1919), einsteiniani

in campi

54

S. 185-183.

newtoniani,

1

mit

einer

gibt.

gemessen,

beiden Endpunkten

gemessen,

euklidisch

(5)

Potential

Newtonsche

das

r, bzw.

mit

Be-

mit

der Strecke, r,,

so er-

ogee ts) 40

108,

(1918),

VIII. Note,

arr

S. 117-145;

mit einem Zu-

Rend. Ace. dei Lince:

1919.

304

Durch eine konforme Abbildung der Meridianebene l4Bt sich die Ubereinstimmung mit der Schwarzschildschen Formel nachweisen.

Il. Das Newtonsche der

m,

Masse

Das Feld eines Ringes.

Achse

dessen

aN

(0)

unendlich

eines

Potential

ist,

z-Achse

die

diinnen

Kreisringes

von

bekanntlich:

lautet

km

y i

ee

wo k die gewodhnliche Gravitationskonstante, c die Lichtgeschwindigkeit und R das arithmetisch-geometrische Mittel aus den Entfernungen 1,, 7,

des Aufpunktes

P

Meridianebene

nach

a oi)

von den P

beiden Durchsto8punkten

da

a

gelten

auBerhalb

mit

der

bedeutet:

des

i

Vr? cos? w +r} sin? @

Halt der Ring sich selbst vermége

so

des Ringes

Ringes

innerer Spannungen

die

homogenen

im Gleichgewicht,

Gravitationsgleichungen,

und y bestimmt sich aus (3) oder (4). Die Integration gelingt, wenn durch Einfiihrung des Moduls des elliptischen Integrals (7) an Stelle z eine Koordinatenénderung vornehmen. Durch Reduktion von (7) die Normalform finden wir die Werte der Moduln (Bezeichnungen in Weise, die in der Theorie der elliptischen Integrale iiblich ist):

wir von auf der

(8)

ae

Es

(9)

x? wird

Ferner

dann ist

(10)

Hiermit (18)

ee

reek pa— 2kmK ne ay

24+

(r—a)”

wird aI-

km

Ke

(=

305

Jetzt

setzen

wir

(14)

yp(n2)=7(n2(7,42))=I(r, x2);

plr,z)-

w(r,2(r, 22)

— Wr,x?

so daB

2

Nun

= 0 (Wr — ye)

Ir yy, yes

ist

Setzt man die sich hieraus ergebenden Werte so kommt:

Nun

ist weiter,

nicht

wenn

ae

=K

von y, und y. in (15) ein,

gesetzt wird (die Bezeichnung K’ ist ja

gestattet):

eee

(18)

2c? aryar’

Bezeichnet man die im Zahler des letzten Bruches auftretende Klammer

voriibergehend zur Abkiirzung mit L, so folgt aus (17), (18):

Ae 22sae

ue ae

(19)

re

Op

(20) In

(1

Bk a? as 4+; @(x),A K* +2"L?) P= piee(—

(21) Zur Bestimmung x* differentiieren einstimmung

gleichung der

(22)

der

der Integrationsfunktion ®(%*) muB man (21) nach und mit (20) vergleicken. Zuniichst ergibt sich Ubervon

r

K- Funktion:

abhangigen

(x? +4 K 4ntn!?

Glieder

vermége

—2)K—K=0,

und fiir ® ergibt sich der Ausdruck:

(23)

B(x? 2)

ie

eoMeL

feria)

der

Diflerential-

306

Differentiieren,

durch

daB

(K 4 222K)*d(x? Jet

(24)

GréBenbezeichnung

Wir

miissen zu

Fiir

noch

ist Null, damit J’ im Unendlichen veran Stelle der Funktionsbezeichnung I” die

auf

der Achse

ry wie

sowohl

der Achse

braucht

daB

x?

y verschwindet.

unendlich von

Um

klein.

man

die

Potenzentwicklung

K

bis

zum

neben

ra,

aber nicht ra neben z? vernachlassigt:

Glied:

kommt, =

tiberzeugen,

der Nahe

berechnen,

dritten

(26)

KK

y ein, so lautet unser Ergebnis:

uns

in

wird

Es

Es

4utn?

=n K?—

+ 4u4x'* (1+ x?) K? + Konst.

ist. Die Integrationskonstante Fiihrt man wieder schwindet.

y

tiberzeugt sich

Man

gliicklicherweise ausfiihren.

laBt sich

Die Quadratur

y=—

wenn

man

2

Pee

7?

(2242

-p2a?

te te

2c*(a*+z

Z

+

F

ie

Glieder mit héheren Potenzen von r.

r = 0 verschwindet also y in zweiter Ordnung, wie es sein soll. Wenig lohnend ist die Ausfiihrung numerischer Berechnungen und die

Entwicklung in der Umgebung der Ringlinie (x? ~ 1), wo y mit Gliedern in (log x’)” beginnt. Bemerkenswert ist vielleicht, da8 bei solcher linienhaften Massenverteilung die Singularitiét erst auf der Linie selbst eintritt. Il.

Um

Das

zweier

kugelihnlichen

Kérper.

die in I. angegebene Liésung zu verallgemeinern,

einer solchen Lésung

legungen

Feld

der z-Achse

der Gleichung

entspricht.

(2) ausgehen,

Wir

wihlen

miissen

wir von

die zwei getrennten Be-

also auf der z-Achse vier

Punkte P; (¢

=1, 2,3, 4) mit den Koordinaten bzw. z, > z, > z, > z,, setzen

(27)

2—%=21;

denken

und

(28)

uns

machen

die Strecken

entsprechend

ee

10

-2—2,=21; 2/ und

22’

fiir y den

mit

z= 22d, konstanten Massendichten

Ansatz:

belegt

307

wo r; (t=1,2,%,4) punktes von P; sind. stiitzende Spannungen nichst

feststellen,

von welcher Beschaffenheit das Gravitationsfeld im leeren

Raum

ist; dort gelten

ist,

kommt

y.

leitungen von so

die euklidisch gemessenen Entfernungen des AufDie beiden Kérper werden nun freilich nicht ohne in Ruhe verharren kénnen. Wir wollen aber zu-

Da

die Gleichungen

(3).

Wir

berechnen

also die Ab-

ay

(29)

or

Nun

ist identisch:

(30)

2— 2 =

{

(31)

16r?0°=[(r, +r)" — AP] [40 — (7, — 1) r2

2

12

V re r2d’* = [lr +r)? — 4) [40 — (ry — 1)".2 19

Mittels (30) laBt sich die zweite Zeile von (29) umformen CN

(29’)

Ce

Denkt

man

Us

2h,

sich nun die Werte

Ny

i

in:

m! (Ye)

2r,7;

(29), (29’) in (3) eingesetzt,

so sieht

man, da dy eine quadratische Form in m und m’ wird. Die beiden quadratischen Glieder dieser Form entsprechen den von jeder der beiden

belegten Strecken erzeugten Einzelfeldern, das mittlere Glied gibt die Modifikation des durch Uberlagerung entstehenden Feldes durch die Wechselwirkung

beider

Strecken.

(32)

pees

(Der

Fall

dreier

und

mehrerer

Strecken

bietet

dann nichts Neues mehr.) Die den beiden Einzelfeldern entsprechenden Lésungen sind nach I, Formel (5) bekannt. Wir schreiben diese Teilfelder so: Vin

2

Nigg tm 4ri%,

d= me log (mtn) 4" Arsry

:

Man iiberzeugt sich durch Ausdifferentiieren, daB (3) erfiillt ist. Zu diesen Einzelfeldern kommt nun noch ein mit mm’ proportionales, dessen Be-

rechnung

von dy

wir uns jetzt zuwenden.

mit dy,,.

Man

Wir bezeichnen das betreffende

erhilt zunichst:

Glied

308

nner

g

=z

Ally? (mitt ) (s+ 4)

— 407] (rst) 40?

tr)

Leon

[rt (7, ees

Nun

(t

benutzen wir ee

Bs

Relationen:

( 80rdr=(r2 — 72 +40) r,dr, + (72 — 72 +40) ry dry, | 2ldz—r,dr,—r1,ar,,

(34)

lr} = (1+ d)r? —d-r? + 4ld(1+d), ing =(I+-U 4d)r2 —(U+d)r? +41(U4+4)(1+1' +d). Wir

trennen

dy,,

BB,

(35)

2mm ro

in ein Glied

y

any

a

ee

und

ein solches

4rl-(r7, +75) a

Tipe

+ stl

r,— 75:

ee

NG ray 4 lint rat amerepe eea e

re Ten

f

ier) ate glob re) detar tr

n)sdride

b(n

bn)

ee

Ly

rl! (ry +15)

rat

mit

742

Sri 2

et

mit r,-+-r,

r)[,+r.)—40 de}

1

(er) *jaz}.

Jetzt fiihren wir als unabhingige Differentiale dr, und dr, mittels (34) ein, wobei betrichtliche Vereinfachungen eintreten. Es wird zunichst: Qryr,

Ton Sodann,

(37) ‘i

@e

1610’ r? (rs +15) (7, +19)

Cra

mm! Tes

An

dr,

Lae

f_ arity) tld) rs;

{nit ile

dieser Stelle iiberzeuge

Differential

ist.

Man

findet

r, je fiir sich ein solches

dy,,

in zwei

dy,

bezeichnen.

ik

(31):

dry

Gap

rT Cee area

—1,)d(r,—1.)-

=

5

4

i

mittels

=

a

baw.

—_

entsprechende

Der

=4l+d) rs

man sich, daB

dabei,

da

bilden.

Teile

Nenner

is

7,

die

Zur

spalten,

ist

oy (ry try) +4’ +d)) T,

(tr

ra

)—4l+ ay ry a fe

der Ausdruck

Glieder

mit

dem

Integration kann von

in 7,,7,

denen

wir

irrational,

ein exaktes

den

Nenner

dy

man deshalb

den

ersten

mit

rationalen

309

Teil der Briiche

zerlegen

wir in Partialbriiche und

Differenz ) von 7, und r, als unabhingige

(38)

5 |

aero

pA

Hierbei

ist

42-r2—

fiihren Summe

o und

Variable ein:

eo

‘i=

2do.

10° —2(1+ 2d)do + lo? + 16ld(1 + d).

Zur Integration von (38) bilden wir zuniichst bei konstant gehaltenem o das Integral

oe re Jo?1 = 2tog{t9— (t+ 24)0-4 Viae V 10" —2(1-+ 2d) 00-4 lo?+ 161d (l-+d)}, rs

Der Dann

Logarithmand

ist auch

18 — (1+ 2d)o-+ 2lr,= L.

ist zunichst

(39)

gleich

—1* =: — log L + f(0), mm’

wo

f(a)

durch

Differentiation

von

(39)

und

Vergleich

mit

(38)

sich

zu

»1 log(o? 3 — 4a)@ -- Konst. ergibt.

(40)

hat

—=—

weg

Das

also

Glied y,, ,

4 und

und

ec

mm’

Ist

Bei Subtraktion

es bleibt:

y,,

wenn

man

ergibt sich hieraus,

1’+-d.

\

Damit

gefunden,

wieder

4 tog [(r, + 1g)? — 44%] — log (Ir,

mms

setzt:

(ay)

Man

log

Substitution

verschwindet,

so

bestimmt,

rans

mu

so

i

Ge

Uy

a

an;

dieser Ansatz

allein

zwei ,,Massenpunkte“ folgendermaBen :

ere

(Atm)

4ryre

Al

4

der erhaltenen entspricht

Pe

handelt.

(rte)

4rsry

Dann

al?

d

j

10

: sein.

bei

der

) ist. nehmen

(5)

dem

lautet

das

dealin

a+

PASTS

y,, ungeindert

Formeln

ja nach

Kost.

a

wie durch eine kleine Rechnung zu beweisen der Diskussion

statt 3 und d baw.

Konst. = SCE

bleibt

Gen paet

ry] + Konst.

fallt das vordere Glied

lr,— dr,—(1+d) ry

( i Bei

(37)

man

Ir4— Ce +d) r,—(b- tU+d)r,

im Unendlichen

die Konstante

— dr, — (+d)

wenn

gemi®

zu r,, 7, zuriickkehrt:

Fall,

wir m =m’ = 1 daB

es sich

gewonnene

a Ud

Det (14d)

um

Resultat

noldr,

¢

par, —10" +d) ry}

310

Nur

Teil

raumliche

der

wird

m,m’

iiber

bei dieser Annahme

do®

der metrischen Fundamentalform auf den massebelegten Strecken der Achse weder 0 noch oo. Es gilt z. B. auf P, P,, wenn 2—2,=I1(1—

gesetzt wird:

cosu) Vid +lsin?

2

=

d+ Tsin®

ae

SN

4

Fiir lim/’/d = 0, d. h. wenn der EinfluB des zweiten Kérpers

zu ver-

nachlissigen ist, geht das iiber in

do®— 41" (du? + sin?udd’), das Linienelementquadrat sind also,

k6orper.

Auf

mit

dem

den

Stiicken

Fundamentalform

invarianten

besitzt,

i eine

[ao=

Singularitaét,

do”

2>2,

Ml

(l+d) (+4) y dort

(43)

nicht T=lg

annimmt.

Darin

jiubert

sich

beiden

Auf

,,Massenpunkte“

kugelahnliche Rotations-

der Achse

der

liegt, obwohl

d(l+U+d)

da

z 0 reell dar. Ist die wirkliche Welt der ganze de Sittersche Kegelschnitt, so ist also das Prinzip 2. véllig unberechtigt. Wenn aber die Welt nur aus einem derartigen Keil besteht, wie Hinstein es annimmt, ist natiirlich dasjenige, bis auf eine lineare Transformation eindeutig bestimmte ¢ zu nehmen, welches diesem Keil entspricht. Steht das im Hinklang mit der Wirklichkeit, so ist also auf die Ausbreitung einer Lichtwelle vom Moment ihrer Entstehung an der ZusammenschluB der Welt im Ganzen von Hinflu8, wahrend man doch erwarten sollte, daB die Lichtwelle darauf erst reagieren kann, wenn sie den ganzen Weltraum durchlaufen hat. Mit der in den retardierten Potentialen zum Ausdruck kommenden alten Hertzschen Vorstellung von der Entstehung einer Lichtwelle ist das gewiB unvertriglich. So bedarf das Prinzip 2., der Mechanismus der Ubertragung der Frequenz in einer Lichtwelle, noch sehr der physikalischen Aufklirung. Inwieweit die nach Einstein zu erwartende Rotverschiebung der Fraunhoferschen Linien im Sonnenspektrum gegeniiber den von irdischen Lichtquellen stammenden Linien durch die Kaperimente bestatigt wird, dariiber berichtete Grebe. Die Messungen sind angestellt worden von Schwarzschild, dann von Evershed und Royds, spater von Namentlich die mit St. John, schlieBlich von Bachem und Grebe.

320

den schirfsten Hilfsmitteln ausgefiihrten Beobachtungen von St. John sprachen gegen das Vorhandensein des Hinsteineffektes. Alle Beobachter stellen aber tibereinstimmend fest, daB verschiedene Linien verschiedene

Verschiebungen aufweisen. Grebe und Bachem machten nun darauf aufmerksam, daB fiir die Erklirung dieser UnregelmiBigkeiten vor allem der Umstand in Betracht fallt, daB unmittelbar benachbarte Linien sich gegenseitig in der Lage ihrer Intensitiitsmaxima stéren. Sie sonderten deshalb auf Grund mikrophotometrischer Aufnahmen aus den von ihnen gemessenen 36 Linien der sogenannten Cyanbande 11 aus, die sie als stérungsfrei glaubten in Anspruch nehmen zu diirfen; diese zeigen nun im Mittel eine Rotverschiebung, welche dem Hinsteineffekt ungefahr entspricht.

Ebenso

ergab

sich

als Mittel

der Verschiebungen

von

100

aufeinanderfolgenden Cyanbandenlinien ohne jede Auswahl — wo man erwarten darf, daB die gegenseitigen Stérungen sich ausgleichen — nahezu derselbe Wert. Wenn man diese Untersuchungen auch noch kaum als eine definitive experimentelle Bestitigung des Hinsteineffektes ansprechen darf, so verstiirken sie doch die Wahrscheinlichkeit seines wirklichen Vorhandenseins erheblich. In der seit der Nauheimer Tagung vertlossenen Zeit hat sich die Situation in dieser Hinsicht durch neue Beobachtungen noch weiter verbessert. Um Sinn und Tragweite

des Einsteinschen Aquivalenzprinzips durch

ein vollstindig zu tibersehendes, nicht triviales Beispiel zu illustrieren, berechnete Mie nach diesem Prinzip das elektrische Feld eines geladenen Teilchens, das um ein elektrisch neutrales Gravitationszentrum unter dem HinfluB der Gravitation eine Kreisbahn beschreibt. Die statischen Koordinaten, in welchen das kugelsymmetrische Gravitationsfeld die von Schwarzschild angegebene Form besitzt, bezeichnet Mie als das verniinftige Koordinatensystem. In einem gewissen ,,kiinstlichen“ Koordinatensystem, in welehem sowohl das Teilchen ruht wie auch das Gravitationsfeld stationir ist, haben die Maxwellschen Gleichungen eine von der Zeit unabhingige Lisung, welche in der unmittelbaren Nahe des Teilchens

man

mit der elektrostatischen Lésung idenutisch ist.

sie auf das

verniinftige

Koordinatensystem,

so erhalt

Transformiert man

diejenige

Lésung des Problems, welche nach dem Aquivalenzprinzip dem elektrostatischen Feld eines ruhenden Teilchens gleichwertig ist. Das Feld ist in unendlichgroBer Entfernung nicht von solcher Art, daB eine Ausstrahlung von Energie. stattfindet, sondern man erhilt es dort, wenn einem nach den Liénard-Wiechertschen Formeln berechneten ausstrahlenden Feld ein einstrahlendes von gleicher Starke superponiert wird. Zweifellos ist das eine mit den uns bekannten Feldgesetzen vertragliche Lésung; dennoch ist es sicher, daB das wirkliche Verhalten eines elek-

321

trisch geladenen Kérpers, der um ein Gravitationszentrum rotiert, nicht ihr entspricht, sondern eine elektromagnetische Welle ausstrahlt und dadurch selber in seiner Bewegung modifiziert wird. Die tatséichlichen Vorgiinge bei Ruhe und Rotation sind also nicht einander iiquivalent. Mie auBert sich dartiber so: Man denke sich ein Einsteinsches Kupee, welches auf einer Kreisbahn um das Gravitationszentrum herumfihrt; die Beobachter stellen an einem mitgefiihrten elektrischen Teilchen Beobachtungen an. Bestehen die Wandungen des Kupees aus Metall, so daB das von dem Teilchen erregte elektrische Feld dort endigt, so gilt das Aquivalenzprinzip; bestehen die Wandungen jedoch aus isolierendem Material, so kénnen die Beobachter im Kupee ihre Bewegung feststellen; die Feldlinien des Teilchens sind sozusagen Fiihler, die sie aus dem Kupee heraus ins Unendliche strecken. Damit kann man sich sehr wohl auch vom Hinsteinschen Standpunkt aus einverstanden erkliren. Solange man mit einem unendlichen Raum operiert, hat man immer den unendlich fernen Saum dieses Raumes zu_berticksichtigen, liber den gewissermafen ein das Feld bestimmendes Agens ebenso heriiberwirkt wie iiber die inneren Feldsiume, welche den verschiedenen Materieteilchen

entsprechen.

Mathematisch

dufert

sich

das

darin,

daB

nur solche Koordinaten zulassig sind, fiir welche im Unendlichen das ds* die Gestalt der speziellen Relativitiitstheorie hat. In Einsteins geschlossenem Raum aber fallt der unendlich ferne Saum weg, an seine Stelle treten

die weit entfernten

Massen.

Der Durchrechnung dieses speziellen Problems schickte Mie einige grundsiitzliche Bemerkungen voraus, welche zeigen, daB er in einigen Punkten einen andern Standpunkt einnimmt als Hinstein. Insbesondere glaubt er an ein ausgezeichnetes ,,vernunftgemaBes“ Koordinatensystem. Nun ist ja zuzugeben, da8 sich in speziellen Problemen oft aus der Beschaffenheit des metrischen Feldes heraus ein besonders einfaches und zweckmiBiges Koordinatensystem definieren la8t. So kann man im Schwarzschildschen Fall des statischen kugelsymmetrischen Gravitationsfeldes die Raumkoordinaten 2,7,7, derart wihlen, dab, wenn man mit ihrer Hilfe den wirklichen Raum auf einen Cartesischen abbildet, das lineare VergréBerungsverhiltnis fiir Linienelemente, welche senkrecht zu den Radien im Bildraum stehen, = 1 wird (fiir radiale Linienelemente wird es dann, wie aus den Gravitationsgleichungen hervorgeht, Qa

= I/f, und f? ist —1—~—; messene

man

Entfernung

tiber

Abbildung

von

a eine

Zentrum).

die radiale Mafskala auf den

Konstante, Aber

gerade

z. B. doch auch

Cartesischen Bildraum

x die im Bildraum

in diesem Fall kann

so verfiigen,

konform

ge-

ist (dann

daB

wird

die

das

322

VergréBerungsverhiiltnis = rf). r+ a/2

Hier

ist

gar

fiir alle Linienelemente nicht

abzusehen,

2

5

=(1 + Zukunft. Fiir den Stern

erhalt man aus x;—ax, und der Gleichung des Hyperboloids die Beziehung %(%_ + x4) —=1

und zugleich ist auf seiner Weltlinie — ds* =dx, (dx, + adx,).

In den Gleichungen By =O, ky + aX, —=e-* (4, =a e') ist also s die Eigenzeit des Sternes. Sind & 1) Bei de Sitter sowohl (Monthly Notices Roy. Astronom, Soc., Nov. 1917) wie bei Eddingoftonthe (Math. Theory of Relativity, Cambridge 1923, S. 161i)

\S%

dar.

Punkt

Beide

Weltort

Gerade

(&,,&),0);

laufen

sie bilden

offenbar

den

durch

von

des Beobachters ausgehenden

den

diesem

Nullkegel.

Um den Schnittpunkt der in die Vergangenheit gedffneten

Hilfte

des

Nullkegels

mit

der

Welt-

linie des Sternes A zu bestimmen, miissen wir (wegen «>>0, %,>>0), wie man sofort erkennt,

das erste Gleichungspaar wahlen.

Der Beobach-

tungsmoment 6—G(s) eines vom Stern im Augenblick s abgeschickten Lichtsignals bestimmt

sich also aus der Gleichung

e-%—=1—ae®

(Die

zweite

oder e7—*= 1 + ce’.

Gleichung

entsteht

durch Multiplikation mit e?—*.) oder

=e?—* (do—ds)=(1

oa

do

aus

der

ersten

Differentiation

+ ce’) (do —ds)

ar tet

(3)

Derjenige Teil des Systems ¥, welchen der Beobachter B iiberhaupt im Laufe seiner unendlichen

Geschichte

zu

Gesicht

ein keilférmiger Ausschnitt

bekommt,

ist

der ganzen Welt,

der sich so auf statische Koordinaten beziehen laBt, daB der Beobachter selber als ruhender Mittelpunkt seiner Welt erscheint. Die im statischen Raum des Beobachters gemessene Ent-

fernung des Sternes im Augenblick 6 findet man, indem man durch den Punkt 6 =(&,&)0) der Weltlinie 4 des Beobachters orthogonale Ebene hindurchlegt

die

x,d§, + x,dg,=o0

und auf dem Schnittkreis den Abstand stimmt. Die Gleichung (4) lautet — *e~%+ xge°=0 oder x, § —

zu

A

(4)

7 be-

Infolgedessen ist

%,=§,cos7, x,—€,cosr, x3;=sin7 (5) die Parameterdarstellung des Schnittkreises, und wegen —ds*==dy" ist der Parameter 7 die yhatiirliche* Entfernung seiner Punkte vom Beobachtungspunkt. Der Kreis schneidet die Welt-

linie

des

Sternes

siny = «@§, cos7,

dort,

wo

Xy—=@x,

tgr—= cae’,

fehlt noch diese Annahme iiber den ,,Rubzustand" der | Die Verbindung dieser Formel Sterne — die einzig mdgliche ibrigens, welche sich mit das behauptete Resultat der Homogenitit von Raum und Zeit vertrigt. Ohne

cine solche Annahme 1i8t sich aber natiirlich nichts aber die Rotverschiebung ausmachen,

= 1+ %5

je eine geradlinige Erzeugende des Hyperboloids

ae’de

Die x,-Achse ist Asymptote und sei zugleich

die ,,Achse“ des Systems ¥.

aia 4 2

liefert

=1,

mit der metrischen Fundamentalform

—dst=dx,dx,

irgend zwei Zahlen, deren Produkt= 1 ist, so stellt das Gleichungspaar [m1 41, und ebenso [S:¥2=1—%5

Aa _ et

=tgr.

ist;

d.h.

(6) mit (3) liefert

(7)

377

Es wird niitzlich sein, die GréBe der Verschiebung 2u vergleichen mit der Radialgeschwindigkeit des Sternes do Alle Sterne unseres Systems

¥

fliehen namlich

von

einem

beliebig

herausgegriffenen Beobachtungsstern aus in radialer Richtung davon; der Materie wohnt eine universelle Fliehtendenz inne, welche in dem ,,kosmologischen Glied“ des Einsteinschen Gravitationsgesetzes ihren Ausdruck findet (und welche in der Einsteinschen Kosmologie kom-

pensiert wird durch die gravitierende Wirkung

der den Raum homogen erfiillenden Weltmasse). Aus (6) ergibt sich _ ar 1 dy cos r. und damit — =sin7 ae cos?y do

do

Die Verschiebung

(7) ist also im Verhiltnis

1:cos?y grofer, als es der Radialgeschwindigkeit

entspricht. Was die

Beziehung

unseres

Resultates

zur

Erfahrung angeht, zu den von den Astronomen

gefundenen starken Rotverschiebungen der Spektrallinien ich auf die von

der Spiralnebel, verweise Eddington in seinem neuen,

oben zitierten Buch auf S. 162 gegebene Tabelle; man vergleiche ferner die in meinem Buche a.a.O.

gemachten Benterkungen iiber die GréBenordnung des Weltradius, die sich aus der kosmo-

logischen

Deutung

jener

Rotverschiebung

in

unserm Sinne und den hypothetischen Parallaxebestimmungen

an Spiralnebeln ergeben wiirde.

57. Reparticién de corriente en una red conductora.

(Introduccién al andlisis combinatorio) Revista Matematica Hispano-Americana 5, 153—164 (1923)

Englische Ubersetzung: George Washington University Logistics Research Project

(1951)

La ciencia del Continuo, el Andlisis situs, contiene una parte puramente combinatoria que hoy, gracias sobre todo a los trabajos fundamentales de H. Poincaré (*), puede ser estudiada autondmicamente y es susceptible de una exposicion sistematica y completa. De este asunto me ocupé en las lecciones del afio 1918 en la Escuela Técnica Superior de Zurich. Desde entonces se han publicado trabajos, en el mismo sentido, por O. Veblen (**), y limitados al caso bidimensional por Chuard (***). Como introduccion a estos razonamientos es sumamente apropiado el problema (unidimensional) de la reparticion de corriente en una red conductora arbitrariamente complicada, porque nos pone de relieve los conceptos fundamentales que luego pueden ser extendidos al caso de mas dimensiones. La red conductora supondremos que esté formada por un numero finito de hilos homogéneos, los cuales concurren en numero finito

de nudos. La figura geométrica sera designada con el nombre de complejo de segmentos,

\os nudos seran los puntos del complejo y los

diversos trozos de hilo contados de nudo a nudo seran sus segmentos. En forma mas rigurosa: Un complejo de segmentos consta de un ntimero finito de «puntos» o elementos de dimensién cero y un niimero de «segmentos» o elemen-

(*) Analysis situs. J] de \'Ecole Politech. 1895. Complement a I’Analysis situs, Rend. Palermo, 1899. Second complement a l’Analysis situs. Proc. London Math. Soc. 1900. Cinguieme complement a I’ Analysis situs. Rend. Palermo, 1904. (*) The Cambridge Colloquium, 1916, part. Il. Analysis situs, American Math.

Soc. New York,

(***)

1922.

Rend. Palermo, 1922.

379

tos de dimension uno. Cada segmento estd limitado por dos de esos puntos y los datos que tengamos sobre ello constituyen el esquema del complejo. En vez de la expresion: el punto a limita el segmento oc, usaremos también el modismo: s termina en a o bien cy a son elementos incidentes del complejo. No es necesario que en un punto a terminen siempre tres o mds segmentos, sino que puede suceder también que solo dos y aun un segmento acaben en a, puede también a ser un punto aislado y no limitar asi ningtin segmento. Admitiremos también que en el complejo no aparezcan segmentos, esto es, que pueda estar formado solamente por puntos, pero excluiremos el ) = a,w

' Die Charakteristiken, welche Sie y,4* nennen, machen keine gréBeren Schwierigkeiten als die andern. * Kutine, Math. Annalen 31, 33, 34, 36 (1888—1890); Carran, Thése, Paris (Nony) 1894.

459

(a, sind

durch

gewisse

S, tiber

der Wurzel

in—w.

»

zugeordnete

Die S, erzeugen

eine

ganze

liber ist das System der Wurzeln invariant’. grunde zu legende Integrationselement

Zahlen).

w selber

endliche Gruppe

Das ist

im

(S);

Raume

geht

ihr gegen-

der

9, zu-

dQ = [] ¢%—1)-d¢,d¢9,-+- dgy,. Ich

kann

also

setzen

H= u(2)

, dQ= Hdg,dg,--- doy,

wo das Produkt sich nur auf die positiven Wurzeln erstreckt. Eine Operation von (S) hei®t gerade oder ungerade, je nachdem sie H in H oder

in —H

iiberfiihrt.

Jede

primitive

dem

Term

S, ist ungerade.

Charakteristik

y% ist

eine

endliche

Fourierreihe,

d.h.

eine

linearé Kombination von Termen der Gestalt e(@), @=/,¢,+1¢,+-:-+honDie vorkommenden ® sind die »Gewichte« in der Carranschen Bezeichnung,

der

fachheit

zukommende

des Gewichtes

an.

positive ganzzahlige

Die / sind

ganze Zahlen zu sein; sondern 1) fiir jede Wurzel » muB

die

rationale,

genaue

Koeffizient gibt die Viel-

brauchen

aber

Bedingung,

die

nicht

immer

da gilt,

lautet:

ein ganzzahliges Multiplum von w sein. Ferner ist y invariant tiber den Operationen von (S). Weil fiir irgendeinen Ausdruck

gegen& die

z

A,(@)=aw

Summe

aller #8,

kommt, gungen

gewiS nicht negativ zu erfiillen,

gehen, = 0

ist,

die daraus

fallt das

(a=/,a,+1,a,4---+haq)

durch

héchste

#:

aus.

(10)

die Operationen

der Gruppe

6 = m,,+---+m,,,

Setzen

wir,

um

das

(S) hervorin %

vor-

die Orthogonalitatsbedin-

H-%=&,

so haben die Glieder von ¢ ebenfalls die Eigenschaft 1); gegeniiber der Gruppe (S) ist aber € eine »alternierende« Funktion. Ich wihle die Zahlen /,, /,,---, irgendwie so, daB @ = /,p,+/,9,+-:-+4,¢, die Bedingung 1) erfillt und alle Ausdriicke @S mit Ausnahme von ® tiefer stehen als ®. Ich bilde dann E(l,,4,-+-, 4) gleich der alternierenden Summe der ¢(#S). Zwei verschiedene £(/) haben kein Glied gemeinsam; infolgedessen geniigen die aus ihnen nach (10) gebildeten y, der Orthogonalitatsbeziehung. AufBerdem sind die £(/) wirklich

durch

gilt, allemal 2m

ist.

Da

drigsten £(/)

einer oben

H

dann

teilbar, weil

£(/)

als

verschwindet, wenn

H selber

alternierend

alternierende

irgendeine Wurzel

ist und

sein, das iberhaupt

existiert:

gemachten Bemerkung

ist das

' Im Falle a=g

Funktion,

1)

erfiillt, muB

fiir welche

ein Multiplum

es

gleich

H = £(r,,7,,---, 7).

héchste

Glied

t}

von ae

dem

1)

von

nie-

Denn nach

notwendig

dn —13 ist zB. (S) die Gruppe aller Vertauschungen von do, (ies*+*s

S, sind die Transpositionen.

460 nicht-negativ; das héchste Glied Die Formel von H.

nicht

also

von £ (J) steht

als dasjenige

tiefer

Leh) a)

die Héhe

liefert die simtlichen Charakteristiken; die Exponenten m; = 1;—r,; bezeichnet’.

Ein bequemer Weg

zur Berechnung

Die Quadratsumme

sich folgendermaBen.

x

von

der Dimensionszahlen

wird

durch

WN

ergibt

w ist eine definite ganz-

der Wurzeln

zahlige quadratische Form > Jie Pie, die gegeniiber der Gruppe (S) invariant i,k

ist.

Wir

allgemein far

setzen

E(.,,+--, ) so bekommen

unter Benutzung die

wir

er hervorgehen,

wenn

in

wir

k

einer Variablen @ die Substitution 9; = 1r'o,

alternierende

Summe

jener

Ausdriicke,

thr +: +hr")>) = ep man

Machen

gut.

beliebige Zahlen /; = >D

die

aus

> Gul’)

die ~ oder die 1‘ den Transformationen (S) unterwirft.

Es kommt also dasselbe heraus, wie wenn man in H = £(r,,7,,---,7):9; =U setzt. Fir ¢, =r‘ und unendlich kleines ¢ ist darum R-hkh

Elishy- hol]

@l+al+---+ml').g

?

Das Produkt erstreckt sich tiber alle Systeme ganzer Zahlen 7,, ---,,, positive Wurzeln (9) korrespondieren. So kommt

,wo

Pil,,l,---,4)=[

Auch der Satz von der vollen

[Wh

Reduzibilitit

Schliissel zu den erwihnten Ergebnissen

denen

+vh+-.-+n'h). ist allgemein giiltig.

ist die Konstruktion

Der

einer definiten

Hermiteschen Form, die gegeniiber der nach Lir so genannten adjungierten Gruppe (a) invariant ist — wenigstens dann, wenn man die Gruppenparameter gewissen Reellititseinschrankungen unterwirft, welche die Gruppeneigenschaft von

(a) nicht

zerstéren

(Analogon

der unitiren

Beschrinkung).

' Damit klart sich auch der Zusammenhang auf, der zwischen Carrans Satz, daB der Koeffizient des héchsten Gliedes in y, gleich 1 ist, und Ihrer Normierungsformel

if nnceara besteht. — Will man sich nicht darauf stiitzen, daB es Carran in ziher Arbeit gelungen ist, fiir alle in Betracht kommenden Gruppen zu jedem méglichen héchsten Gewicht (m) eine Darstellung zu konstruieren, so kann man auf transzendentem Wege allgemein zeigen, daB die Charakteristiken neben der Orthogonalitits- die »Vollstindigkeitsrelation« erfiillen, and daraus schlieBen,’ da® jedem unserer ¥, tatsichlich eine Darstellung entspricht. Zirich,

den

28. November

1924.

62. Das gruppentheoretische Fundament

der Tensorrechnung

Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Géttingen, Mathematischphysikalische Klasse, 218—224 (1924)

Vorgelegt

von

C. Runge

Im Koordinatenraum

in der Sitzung

vom

21. November

1924.

der x; (i = 1,2,...,”) betrachten wir die

Gruppe © der homogenen linearen Transformationen von der Determinante 1. Die Tensoren v ter Stufe in jenem Raum, welche vorgegebenen linearen Symmetriebedingungen geniigen, bilden ihrerseits, wenn sie N unabhingige Komponenten besitzen, eine lineare Mannigfaltigkeit von N Dimensionen; unter dem Hinflu8 der Gruppe © erfaihrt sie eine zu © isomorphe Gruppe I homogener linearer Und das wahre mathematische Fundament der Transformationen. Tensorrechnung scheint mir der Satz zu sein, dab auf diese Weise jede zu © isomorphe, linear-homogene Gruppe Zur KennTI jede ,Darstellung von @* erhalten wird. zeichnung einer bestimmten Gréfenart im Koordinatenraum gehéren im allgemeinen aufer der Stufenzahl Symmetrieforderungen. Einen Uberblick tiber die méglichen Symmetriecharaktere von Tensoren vter Stufe gewinnt man leicht auf Grund der namentlich von Frobenius entwickelten Darstellungstheorie fiir die symmetrische Vertauschungsgruppe S, von v Dingen, wie ich kiirzlich gezeigt habe'). Einen Symmetriecharakter nenne ich irreduzibel, die zugehirige Gréfenart einfach, wenn jede weitere hinzugefiigte Symmetrieforderung der Gréfe keine Wertméglichkeit aufer 0 offen 148t. Die Tensoren jeden Symmetriecharakters lassen sich additiv aus unabhingigen Bestandteilen zusammensetzen, welche in diesem Sinne einfache Gréfen sind. Den irreduziblen Symmetrieklassen der Tensoren entsprechen die irreduziblen Darstellungen T yon ©. Fiihrt man die kontinuierlichen Gruppen mit Lie auf ihre infinitesimalen Operationen zuriick, so formuliert sich das Dar1) Rend.

Circ. Mat. Palermo

48 (1924), p. 29.

462

die Elemente einer stellungsproblem allgemein folgendermafen: inf. Gruppe bilden eine lineare Vektormannigfaltigkeit, innerhalb ation* [ab] erklart tor - Multiplik deren eine distributive ,Kommuta ist, welche den Rechenregeln geniigt:

[ba] = —[ad];

[[ad]o]+ [[ee]a] +[[ea]>] = 0.

Sind die Elemente Matrizen, so ist [ab] = ab—ba zu setzen. Es soll jedem Element a einer gegebenen inf. Gruppe eine Matrix A so zugeordnet werden: a— A, daf allgemein auf Grund von aA, b+B den Elementen ia (A eine Zahl), a+, [ab] die MaEs handelt sich also trizen 1A, A+B, [AB] korrespondieren. um reine Algebra. Die zu © gehdrige inf. Gruppe g besteht insbesondere aus allen Matrizen von der Spur 0. E. Cartan hat in einer tiefsinnigen Arbeit aus dem Jahre 1913 im wesentlichen alle irreduziblen Darstellungen einer beliebigen, in abstracto gegebenen inf. Gruppe bestimmen gelehrt’). Fiir g gewinnt er in der Tat lauter Gruppen I’, die angeben, wie sich die Tensoren bestimmter Symmetrieklassen transformieren. Man ordne nimlich z die Ziffern von 1 bis v in ein Schema wie das nebenstehende ein, das durchgehende Horizontal- und Vertikalreihen aufweist. Es sei (OQ) die Gruppe der— jenigen Permutationen P(), welche et) jeweils nur die Ziffern der Horizontalreihen (Vertikalreihen) untereinander vertauschen. Auf den willkiirlichen Tensor vter Stufe f tibe man die simtlichen Permutationen PQ des Komplexes $0 aus und addiere die so erhaltenen Tensoren, wobei ein Glied das Vorzeichen + oder — bekommt, je nachdem @ eine gerade oder eine ungerade Permutation ist; was so entsteht, durchliuft bei frei veriinderlichem f die Tensoren einer einfachen Symmetrieklasse. Auf diesem Wege sind schon friiber von A. Young und G. Frobenius die ,charakteristischen Hinheiten* der symmetrischen Gruppe und damit deren Gruppencharaktere konstruiert worden®). Cartan macht auf diesen Zusammenhang nicht aufmerksam, der, wie ich glaube, die ganze Sachlage erst ins rechte Licht riickt. Bei gegebener Stufenzahl v erhaélt man hier genau soviele indquivalente irreduzible Darstellungen I’, als es verschiedene Klassen konjugierter Elemente 1) Bull. Soc. math. de France 41, p. 53. 2) Young, Proc, Lond. Math. Soc. 33 (1901), p. 97; 34 (1902), p. 361. Frobenius, Sitzungsber. Preug. Ak. 1903, p. 328 (auch schon 1900, p. 516). Vel. ferner: J. A. Schouten, Der Ricci-Kalkiil, Berlin 1924, Kap. VII.

463

in der symmetrischen

Gruppe

(1)

L.p+2.pto =

S, gibt;

ihre Anzahl

ist gleich der

Anzahl der verschiedenen Schemata, d.h. der additiven Zerlegungen von v in positive Summanden, oder gleich der Anzahl der Lisungen der Gleichung

in nicht-negativen

ganzen Zahlen

(2)

L.p,+2.p,+--+n.p, = v

p,, p,,.....

Nur

wenn

n < v

ist,

liefern diejenigen Schemata keine einfache GréBe (sondern lediglich 0), in denen Vertikalstollen yon einer Linge > auftreten (ausgeschlossene Schemata); die Gleichung (1) muf ersetzt werden durch

Zwei Symmetriecharaktere sind als 4quivalent anzasehen, welche im Sinne meiner oben zitierten Note die gleiche Ordnung (h, h’,...) besitzen'). Es existieren soviele indquivalente irreduzible Symmetriecharaktere, als die Anzahl der Liésungen von (2) in nichtnegativen ganzen Zahlen p, betrigt. Agquivalenten Symmetriecharakteren entsprechen fquivalente Darstellungen von ©, und umgekehrt. Die Aufgabe, alle Darstellungen von @, nicht bloB die irreduziblen, zu finden, wurde schon vor Cartan von Herrn I. Schur in seiner Dissertation (Berlin 1901) behandelt. Er verwendet die kontinuierliche Gruppe selbst, nicht die zugehérige infinitesimale; der Zusammenhang mit den Darstellungen der endlichen Gruppe S, tritt direkt hervor. Aber hier wird eine andere wesentliche Einschraénkung gemacht: daf naémlich die Elemente der darstellenden Matrix ganze rationale Funktionen von denen der dargestellten Matrix (a;,) sind. Unser Haupttheorem besagt, dai seine Resultate auch dann vollstandig bleiben, wenn jene Kinschinkung fallen gelassen wird; vorausgesetzt natiirlich, da{ man die Gruppe © — und nicht wie Herr Schur selber die Gruppe aller homogenen linearen Transformationen ohne die Nebenbedingung |a;,| = 1 — zugrunde legt! Nach dem entscheidenden Schritt von Herrn Cartan geniigt dazu der Nachweis, daf jede Darstellung von & voll reduzibel ist. Das laBt sich aber einsehen mit Hiilfe der Integrationsmethode von Hurwitz, die neuerdings Herr Schur zu 1) In dem Ordnungssymbol

entspricht

jede Zahl h, h’,...

einem

der’

oben

erwihnten Schemata (oder einem Gruppencharakter von §,); es sind hierbei, wenn na,5.

(6)

Dabei bedeutet Se diejenige hyperkomplexe Zahl, deren simtliche Komponenten e, =o sind (fir TS) mit Ausnahme von e, = 1. Das Produkt zweier unserer « Gruppenzahlen » a, b aber soll definiert werden durch die Gleichung ab=

>

es ist also

20ST),

a (a.d)yp =

wenn die Summe Produkt ST = U

Dasby,

rechts iiber alle Paare von Permutationen ist. Aus (5) oder

f=

S, T erstreckt wird, deren

Dorf t

folgt durch Ausiibung der Permutation S: f=

Dd rfins-

Fihrt man die Gruppenzablen c, f und f* ein *), so bekommen

()

wir einfach

pH.

1) Die Formen f und f* selber miissten dann genauer, unter Verwendung der identischen Permutation E als Index, durch fg und f% bezeichnet werden; doch ist eine Verwechslung auch ohne diese pedantische Genauigkeit nicht zu befiirchten.

470

Ebenso kann die Symmetriebedingung (1) in der Gestalt geschrieben

L.f=o.

(8) Wegen

werden:

des assoziativen Gesetzes geniigt (7) sicher dann dieser Bedingung, wenn iste

are

(9)

Nach der Theorie der Gruppenzahlen kann man statt der urspriinglichen, in (6) verwendeten Grundeinheiten S neue einfithren, die sich zu einer oder mehreren quain

den

aus denen sich alle Systeme der Tabelle (12) linear zusammensetzen lassen,

die

aber

auch selber aus ihnen zusammengesetzt

dann

dratischen Tafeln

zugehdrigen

derart, dass

Einheiten zusammenfiigen,

....

von je g*, g',

a,,, @,,, ... das Multiplikationsgesetz lautet:

neuen Komponenten

I= herBD

= Seb, (4.0), ie

B

=H

(4.Dpy = Styby g

opt

”

Die Symmetriebedingung (8) fordert dann MD

(10)

we pone

dig

Ist die Kategorie © durch mehrere solche Gleichungen definiert : Tf =o,

if So

(a1)

...

so bestimme man eine Basis der g-gliedrigen Zahlsysteme

i)

fer Sra

jis

Se

CELE

aa go

tp el

d. h. b(Z g) linear unabhingige Zahlsysteme

(33) setzt werden (14)

CE

CEE sind. Die Forderungen

(11) konnen

er-

durch dié Gleichungen Dif,

=%

>,

ng FO

o>

und die entsprechenden ftir die Komponenten f,,, .... Wir bezeichnen die Kategorie © als eine solche von der Ordnung (4h, h’,...). Der Inhalt der Symmetrieforderungen ist jetzt iberblickbar geworden; die samtlichen linearen Symmetriebedingungen L.f =o,

471

denen die Tensoren der Kategorie © geniigen, werden Gruppenzahl L den Ansatz macht L,=

mit beliebigen einander

by

bh mgm,

Jf, mf, so .... Wahlt man

arenas

sondere ab:

sind, z. B. r=

Satz 2. — Mebrere werden. Ferner gilt:

Poss

erhalten,

indem

man

fur

die

Nise:

diese g-gliedrigen Zahlsysteme so, dass sie von

1, m; = m,, -.., so liest man

Symmetrieforderungen

kinnen

flets

durch

eine

daraus

insbe-

einzige

ersetgt

Satz 3. — Zum Symmetriecharakter © lasst sich ein komplementirer © angeben derart, dass jeder Tensor sich auf eine und nur eine Weise in zwei Summanden Spalien lasst, welche bexw. den Kategorien ©, © zugehiren. Sind namlich g —h

Zahlsysteme,

CA Ke rm icy

die mit (13) zusammen

eine

Basis

on fir

alle g-gliedrigen

Zahlsy-

steme bilden, so kann man © definieren durch die Gleichungen

Sarat

und die entsprechenden

fiir die

gestrichenen

Komponenten.

Ist © von der Ordnung

(h, b', ...), so © von der Ordnung (g — h, g’ — hi’, ...). Wir verschaffen uns nunmehr ein vollstindiges System linear sungen der simultan zu erfillenden homogenen Gleichungen

(15)

Din

E

=o,

>. m,x, == 0,...3

g

EG 2

unabhingiger

Lé-

namlich

FNS 5

Die Forderung I) an die zu konstruierende hyperkomplexe Zahl ¢ spricht sich — vergl. Formel (9) — in den Gleichungen aus Dale Es muss daher sein (16)

== 0,

LM

hy (v5

Or ae

ead

een

Die Forderung II) verlangt, dass aus (14)

folgt; d. h.

dehy =Ln

cane

472

Setzt man (16) ein und bezeichnet abkiirzend >4,«, Bestimmung

mit

(az),

so erhilk

man

zur

von 2, B, ... die Gleichungen

(ax) =1,

(Ca) =0, 005

(a8)

(02)

=0,

eas

Der Beweis von Satz 1 ist damit erbracht. Von der Auswahl der Basis (15) sind nach ihrem Bildungsgesetz die Gréssen c,, unabhingig. Die Willkir besteht darin, dass man zu 2, @,... je eine beliebige lineare

Kombination

der Zahlsysteme |, m, ... hinzufiigen kann. (In c gehen demnach

be — HKG)

willkiirliche Zahlen linear ein). Handelt es sich um

po

reelle

Symmetriebedingungen,

so

ist — bei gegebener Darstellung der symmetrischen Gruppe — eine eindeutige Normierung durch die Forderung méglich, dass 2, 2, ... sich aus den Zahlsystemen a,

b, ... linear zusammensetzen sollen. Ebenso kann dann in Satz 3 die komplementire Kategorie © dadurch normiert werden, dass man a, =a,, 6. =},,... wahlt. Sind die Koeffizienten der Symmetriebedingungen komplex, so muss man bei beiden Normierungen die Zahlsysteme a, b, ... durch ihre konjugiert-imaginiren ersetzen. 2. In der Invariantentheorie betrachtet man ganze rationale Funktionen mehrerer willkiirlicher Tensoren, die sich einer Gruppe © linearer Transformationen gegentiber invariant verhalten, d. h. sich nur mit einem von der Transformation,

nicht von

den

Tensoren abhingigen Faktor multiplizieren, wenn man die urspriinglichen Tensoren durch die transformierten ersetzt. Die transformierten Tensoren werden gebildet, indem man die Variablenreihen &, », ... kogredient einer © unterwirft. Fir jeden der auftretenden Tensoren

willkiirlichen Transformation von muss eine durch Symmetriebedin-

gungen gekennzeichnete Kategorie a priori gegeben sein, innerhalb deren der Tensor als frei verinderlich zu denken ist. Die Invariante soll in den Komponenten jedes Tensors homogen

sein. Sei etwa J(w) eine Invariante, die neben andern von einem Tensor

dritter Stufe f mit den Komponenten u,,, abhingt und ihn in der h*" Ordnung enthalt. Anstelle von u fihren wir h willkirliche Tensoren u’, ..., u' der gleichen Kategorie ein und bilden (iterierter ARONHOLD’scher Prozess) den Koeffizienten J,(u’, ..., u'”) des Produkts +’... +” in der Potenzentwicklung von rite’

Se

nach den Parametern +. J, ist wiederum

wy os.) w

we oy)

eine Invariante, enthilt aber die Tensoren

linear; fir u! = +». =u") = u gewinnt man aus J, die urspriingliche

473

Invariante J zuriick. Sei also jetzt J* eine Invariante, die von dein willkiirlichen Tensorf linear abhingt. Die Komponenten von f mégen mit (uvw),,, bezeichnet werden, um den Uebergang zu den speziellen Tensoren von der Gestalt

@7) bequem

(uE)(ony wd) = Dd uo,wiEato! vollziehen

zu

kénnen, fiir welche (wvw),,, = u,v, w, ist. Die Trilinearform

der Gréssenreihen u, v, w, welche durch diese Substitution aus einer beliebigen Linearform H(uvw) der Komponenten (wvw),,, hervorgeht, werde alsdann mit H(w, v, w)

bezeichnet. Auf solche Weise fibrt die symbolische Methode die

Tensorinvarianten

auf

Vektorinvarianten zuriick. Unterliegt der willkiirliche Tensor f aber Symmetrieeinschrinkungen, so ist die entstehende Form I*(u, v, w) im allgemeinen keine Invariante.

Hier gelangt man nun durch eine Anwendung des Satzes 1 sofort zum Ziel. Wir sub-

stituieren in J*(f) fir f den Tensor M

CP) = Loft 5

£

und erhalten so die Invariante

ITP) =FES)

(8)

deren Argument f* keinen Symmetrieeinschrankungen unterliegt, und aus ihr vermoge des speziellen Ansatzes (17) fiir f* die Vektorinvariante I(u, v, w). Durch die auf %, a, ¢ auszuitbende Permutation S entsteht aus (17) die gleiche Form, wie wenn man u, v, w durch

Gs)

S~* permutiert. Es ist also

(u,v, 0) = Sel (u, 9, 1).

Fir Tensoren der Kategorie © ist nach I): *(f)=I(f);

mit andern Worten: es ist

uns gelungen, die Koeffizienten in J* so zu normieren (J ist das normierte I*), dass I(u, v, w) bei frei verinderlichen u, v, w eine Invariante wird. Offenbar ist I eine Vektorinvariante von besonderen Symmetrieeigenschaften. Aus der Definition (19) folgt

(20) wenn

(21)

Drsls=

Lerdslis = Fula

=o

:

¢.4=0

ist. Wir haben also die Symmetriebeziehungen zahl ist, deren Komponenten die Form haben

(20), in denen 2 irgend eine Gruppen-

degar sap oo aria a ye

Ypo Bpr ve sind eine Basis far: die Lasungen der simultan zu erfillenden homogenen

Gleichungen

DS

aes

Sa

die Me BB) oe sind beliebig. Wir nennen diese Symmetricbedingungen zu den urspriinglichen, welchen die Tensoren f unterworfen waren, adjungiert. Die adjungierte Kategorie €, welcher J angehdrt, ist offenbar von der gleichen Ordnung (4, b’, mre)

J vollstindig

wie ©. Durch sie ist die Koeffizientensymmetrie der Invariante zeichnet.

Es

gehdrt

namlich

nicht bloss jede Form

gekenn-

(19), J, zu €; sondern gehort I

zu G, so gilt umgekehrt stets > c1,(u, ¥,

wy =1(u,

2, w).

Diese Gleichung oder LE

—1);l,=0

folgt aus (20), weil die Gruppenzahl 4 = c— 1 wegen c.c ==c der Gleichung (21) geniigt. — Will man (20) wiederum in der Form J.J=o schreiben, so muss man

die Gruppenzahl T aus (22) entnehmen. —

er Es

ist damit

erwiesen,

dass die symbolische Methode der Invariantentheorie,

die Reduktion der Tensor- auf Vektorinvarianten, kungen der willkiirlichen Tensoren zum Ziele fiihrt.

bei

beliebigen

Symmetrieeinschran-

Sobald die Gruppenzahl c fixiert ist, ist die adjungierte Kategorie € eindeutig bestimmt. Verwenden wir bei reellen Symmetriebedingungen die oben angegebene Normierung, so ist einfach 4, =1,, »,—= m py ++ zu setzen. Man erhilt die adjungierten Symmetriebedingungen in der Form (20), indem man aus jeder der zur Charakterisierung von © dienenden Zahlen |, 7, ... — vergl. Formel (11) — das zugehdrige 2, 2, ... bildet gemass den Gleichungen pq =

lps

Noch zweckmiassiger ist es, was offenbar erlaubt ist, rechts fiigen :

(23)

=i Pg

den

Faktor ai a

g

gps

Tis

Nach der FRrosentus’schen Theorie besteht nimlich die Gleichung

(24)

Sind

NY asbsa1 = 8D Ay by Ha’ Dab :

Ms

Grd

ips

-

boos

hinzuzu-

475

die Komponenten der Grundeinheit S: 4. = 2D a5-5455 Snes

so folgt aus der identisch in a erfiillten Gleichung (24) umgekehrt

Ie

85h

+8 Sn ae

Angewendet auf die durch (23) und (22) definierte bg = Dds Spgs

=

DS

Why

Zahl j, liefert das:

= DbseSyqy oo

+ lian foe

Danach ist klar, wie man aus einer Symmetriebedingung

/ die adjungierte

T

zu_bilden

hat. — Liegen komplexe Symmetriebedingungen vor, so miissen in der letzten Gleichung rechts die Gréssen Vga Egat durch ihre konjugiert-imaginaren ersetzt werden.

Gehen in die Symmetriebedingungen nur die Permutationen einer gewissen Untergruppe der vollen symmetrischen Gruppe ein, so kann man sich ginzlich auf diese Untergruppe beschrinken; denn auch fir sie gilt die Fropentus’sche Darstellungstheorie.

64, Observations on the Note of Dr. L. Silberstein: Determination of the Curvature Invariant of Space-Time

The London, Edinburgh and Dublin philosophical Magazine and Journal of Science 48, 348—349 (1924) Observations on the Note of Dr. L. Silberstein:

Determination

of the Curvature Invariant of Space-Time (Phil. Mag. xlvii.

1924, pp. 907-917),

By H. Wey, Professor a, d. Eidg.

Techn, Hochschule, Zuerich.

1. Dr. SmuperstErN maintains (footnote, p. 909) that “tan”

ought to stand for “sin” in my formula for the displacement

to the red 7, for this is the result furnished by his own formula

(5, p. 912) for y=1.

But in my case r signifies the distance

of the star measured in the static space of the observer at the moment

of observation.

For

Dr.

contrary, r signifies a very artificial complex-imaginary) quantity—namely,

Silberstein,

on

the

(in some instances the distance of the

star from the observer at the moment of observation, but in

the static space of the star.

2. I have by no means necessary feature of de regarding the world-lines further than de Sitter and the necessity for adding an turbed

state”

of stars,

“more or less disguised as a Sitter’s world” the assumption of stars. On the contrary, going Eddington, I strongly emphasized assumption regarding the “ undis-

if anything

in

the theoretical

line

regarding hypothesis “perfectly the system

the displacement to red is to be formulated. The also which I have pursued arithmetically is not gratuitous,” but simply means that the stars of are, able to act upon one another from eternity.

but

has the

Another hypothesis has been followed by Mr. K. Lanczos *, mine

great

advantage

of not

introducing

a

singular initial moment, of conserving the homogeneousness of time. (Morcover, it is the only one which satisfies this requirement.) However, the cosmology arrived at in this

way remains also for me—that is self-understood—an_ hypothesis, even a rather daring but nevertheless reasonable

hypothesis.

3. Curiously enough, Dr. Silberstein at the end of his articles

uses exactly the same assumption as a basis, the only difference being that he adds to my group of world-lines, which diverges

+ Raum Zeit Materie, 54 Auflage, Berlin, 1923, ps 823 ; Physikalische Zeitschrifil, xxiv. p. 230 (1928). i Ee ® Zeitschrift fiir Physik, xvii. pp. 168-189 (1923).

477 into the future, that which results from it through the inter-

change

of past

and

future (double

confess, appears quite abstruse

to me.

sign).

‘That,

If (according

I must

to the

opinion of van Maanen and Shapley) the conception which has been developed by Charlier, Lundmark and others is erroneous—the conception, namely, that the spiral nebula are

extra-galactic

and

in consequence

a good

deal further otf

than the other heavenly bodies, including the globular clusters,—then, of course, the cosmological interpretation of

that pronounced displacement to the red which the spectrumlines of the greater majority of them show becomes impossible. Zuerich, 15 June, 1924.

65.

Massentragheit und Kosmos. Ein Dialog Die Naturwissenschaften 12, 197—204 (1924) 1. Und

sie bewegt

sich doch!

Petrus. Lieber Freund! Als wir uns gestern abend nach langer Trennung wiedersahen, muSte

ich wihrend unseres Gespriichs bestiindig an die Zeit von 1915 zuriickdenken, die uns uerst in gemeinsamem eifrigen Studium der Relativitits-

theorie zusammenfihrte, in gemeinsamer Begeisterung und gemeinsamen Zukunftstraumen. Damals glaubten wir ja fast, das Weltgesetz schon

in Handen zu haben, das alle Erscheinungen restlos erklirte! Seither habe auch ich wohl Kritik gelernt und bin ,,weiser“ geworden. Aber das hat mich doch fast schmerzlich betroffen, da8 du dich sogar von der Grundidee losgesagt zu haben scheinst, die ich nach wie vor als den Kernpunkt der neuen Lehre ansehen muf. Lab uns heute ausfihrlich dariiber sprechen, warum du nicht mehr glaubst, daB (M) die Trigheit eines Korpers durch das Zusammenwirken aller Massen des Universums zustande kommt. O Saulus!

Saulus! wie kannst du dich so gegen die offen

zutage liegende Wahrheit verstocken! — Nimm etwa das Foucaultsche Pendel. Newtons Meinung war: die Bbene, in welcher das Pendel schwingt, bleibt erhalten im absoluten Raum; die Fixsterne stehen auch fast still im absoluten Raum. Deshalb geht die Pendelebene mit den Fixsternen

mit und

rotiert relativ zur Erde.

Hinstein aber

erklirte: Es gibt nur relative Bewegungen; das Zwischenglied des absoluten Raumes ist so fragwiirdig wie iiberfliissig. Nicht dieses Gespenst, sondern die wirklich yorhandenen ungeheuren Fixsternmassen des ganzen Kosmos halten oder fihren die Pendelebene. Die Erde plattet sich ab, weil sie — nicht absolut, sondern — relativ zu den Fixsternen rotiert. Wenn du diese Auffassung ableugnest, so weiB igh nicht, was iberhaupt noch von der aligemeinen Relativititstheorie itbrig bleibt. Paulus. Und doch ist es so — da hast du gestern abend ganz richtig gehért —, daB ich deine eben ausgesprochene therzeugung nicht

mehr zu teilen vermag; und wenn hier der Fels

liegt, auf dem die Relativititskirche steht, o Petrus!, so bin ich in der Tat ein Abtriinniger geworden. Aber um dich tiber meine Ketzerei ein wenig zu beruhigen, gestehe ich dir zunichst einmal unumwunden zu: Wenn jené auf Mach zurickgehende Deutung sich wirklich durehfiihren lieBe, wire sie auch mir auferordentlich

sympathisch; sie gibt eine einfache, anschauliche

und in sich kraftige Antwort auf das Problem der Bewegung. Kein Zweifel auch, da8 sie — neben der Gleichheit von schwerer und triiger Masse — fiir Zinstein das wichtigste Motiv war zur Ausbildung der allgemeinen Relativitatstheorie. Endlich bin ich mit dir darin einverstanden, daB man in einer derartigen konkreten Aussage physikalischen Inhalts den Kernpunkt der Theorie suchen mu8, nicht aber in einem formal-mathematischen Prinzip wie dem yon der Gleichb

rechtigung aller Koordinatensysteme.

zip,

das

unglicklicherweise

der

Dies Prin-

Theorie

ihren

Namen gegeben hat, ist ja im Grunde ganz inhaltsleer; denn die Naturgesetze lassen sich unter allen

Umstinden,

sie

mégen

lauten

wie

sie

wollen, ,,invariant gegenitber beliebigen Koordi-

natentransformationen“ formulieren. Wbenso ist das kinematische Prinzip von der Relativitit der

Bewegung fiir sich nichtssagend, wenn nicht die

physikalische Voraussetzung hinzutritt, daB (C) alle Geschehnisse kausal eindeutig bestimmt sind durch die Materie, d. h. durch Ladung, Masse und Bewegungszustand der Elementarbestandteile der Materie. Erst dann erscheint es auf Grund jen Prinzips als grundlos und unméglich, daB eine

Wassermasse, auf welche keine Krifte von auBen

wirken, im stationiren Zustand einmal die Gestalt einer (,,ruhenden“) Kugel, ein andermal die eines (,,rotierenden“) abgeplatteten Ellipsoids annimmt.

Petrus.

Erfreut

bin

ich dariiber, daf du

den

Grundsatz C so klipp und klar aussprichst; von

ihm wird in der Tat all unser kausales Denken in der Physik geleitet. Niemand ist imstande, auf ein Stiick elektromagnetischen Feldes anders einzuwirken als dadurch, daB er die das Feld er-

zeugende

Materie anpackt.

dann daran der Kérper

Massen?

Aber wie kannst du

aweifeln, da8 die Triagheitsfithrung erzeugt wird durch die kosmischen

Paulus. Du hast recht: Ich fiir meine Person kann C nicht aufrechterhalten, weil ich die Undurchfithnbarkeit von M a priori einsehe. Ich

behaupte namlich, daB (A) nach der allgemeinen Relativitatstheorie der Begriff der relativen Bewegung mehrerer getrennter Korper gegeneinander ebenso wenig haltbar ist wie der der absoluten Be-

wegung eines einzigen.

Petrus. Wie? Du leugnest also, daf die Fixsterne sich relativ zur Erde drehen, und meinst, man kénne ebenso gut sagen. sie ruhten? Wir

479 sehen

doch

aber

Nacht

Sternenhimmel dreht!

Paulus.

fiir

Nacht,

wie

sich

dor

Was sich nach dem Zeugnis unseres

Gesichtssinns um die Erde dreht, sind nicht die Sterne, sondern der ternenkompaB“, welcher hier an der Stelle, wo ich mich befinde, gebildet wird von den Richtungen der Lichtstrahlen, die in einem Augenblick von den Sternen her auf mein Auge treffen. Und das ist ein wesentlicher Unterschied; denn zwischen den Sternen und meinem Auge befindet sich das .,metrische Feld“, hes die Lichtausbreitung determiniert und nach der Relativitiétstheorie ebenso veriinderungsfiihig ist wie das elektromagnetische. Dieses metrische Feld ist fiir die Richtung, in der ich einen

Stern erblicke, nicht minder wichtig wie der Ort

des Sternes selbst. — Wiire der Raum nach der Vorstellung der alten Lichttheorie von einem substanziellen Ather liickenlos erfiillt, so hitte die Frage natiirlich einen klaren Sinn, ob ein kleiner Kérper in einem Augenblick relativ zu dem am Kérperort befindlichen Ather sich be-

wegt oder nicht.

Hior wird der Bewegungszu-

stand zweier Substanzen miteinander verglichen. die sich an der gleichen Stelle befinden, die sich iiberdecken. Aber wie sollte es in der allgemeinen Relativitiitstheorie mglich sein, den Bewegungs-

zustand zweier getrennter vergleichen? noch

den

miglich;

Zur

starren

da

konnte

wie es unsere Erde

Zeit

Machs

Kérper miteinander zu

Bezugskérper

man

sich

freilich, hatte,

eine

ist, als starren

als man

war

das

Masseninsel,

Korper,

dessen

Mafverhiiltnisse ein fiir allemal durch die Euklidische Geometrie festgelegt sind, idecll itber den

ganzen

Raum

erweitert denken,

und

dann

etwa

konstatieren, daB die Sonne sich relativ zu ihm bewegt. Aber unter den Hinden Finsteins hat sich das Koordinatensystem so erweicht (Hinstein selber sprichtja gelegentlich yon einem ,,Bezugsmollusken“), dafi es sich simultan der Bewegung aller Kirper in der Welt anzuschmiegen verm: du kannst sie, wie sie sich auch bewegen mégen, mit einem Schlage alle ,,auf Ruhe transformieren“. Denk dir die vierdimensionale Welt als eine Plastelinmasse, die von einzelnen h nicht schneidenden, aber sonst ganz unregelmiiBig verlaufenden Fasern, den Weltlinien der Materieteilehen, durchzogen ist: du kannst das Plastelin stetig so deformieren, daB nicht nur eine, sondern alle Fasern vertikale Gerade werden. Wenn ich die vertikale Achse als Zeitachse

deute, heiBt das: jeder Kérper verharrt an seiner Stelle

im

Fixsterne

Raum.

und

Wendest

stellst

dir

vor,

du

das

da8

an

auch

auf

das

die

me-

trische Feld, die im Plastelin verlaufenden Kegel der Lichtausbreitung von der Deformation mitgenommen werden, so ruhen die Erde und alle Fixsterne in dem durch das Plastelin darge-

stellten

Bezugssystem, aber der Sternenkompab

dreht sich dennoch in bezug auf die Erde genau so, wie wir es beobachten. Petrus (nach einer Pause). Ja.. ich kann

dagegen nichts Stichhaltiges vorbringen. Der Gedanke liegt ja eigentlich ganz auf der Hard. Du kommst also zu dem Schluf, daB unabhingig vom metrischen Feld der gegenseitige Bewegunzs-

zustand

der

verschiedenen

Kérper

in

der

Welt

ein reines Nichts ist; und wenn C zu Recht bestiinde,.so kinnte das Weltgeschehen nur abhiingen und miiBte eindeutig bestimmt sein allein durch Ladung und Masse aller Materieteilchen. Da

dies

offenbar

dere

kannst

absurd

ist

—

so

darf

ich

deinen

Gedanken wohl weiter spinnen —, mu jenes Kausalprinzip preisgegeben werden. Insbesouwenig

mit

du

Mach

die

und

Abplattung Hinstein

der

auf

Erde

ihre

ebenso

Rotation

relativ zu den Fixsternen zu fihren, wie mit Newton auf ihre absolute Rotation. — Vorliufig fehlt mir diesem Radikalismus gegeniitber jeder

Halt..., aber mein Geftih) striubt sich noch durchaus dagegen, deiner allgemeinen und abstrakten Idee zuliebe eine so positive und b friedigende Anschauung wie die von der Erveugung der Trigheitsfithrung durch die Wel'massen preiszugeben. Du leugnest, daQ sie sich durchfithren lasse; aber hat nicht Einstein hereits geleistet, was du leugnest, — in jener A\ beit, in der er seine urspriinglichen Gravitationsgesetze durch das ,kosmologische Glied erweiterte!)? Angesichts der geschehenen Tat ist jeder Beweis ihrer Unméglichkeit hinfilllig. Paulus. Ich kann dir nur erwidern, weun wir uns zuniichst des gemeinsamen Fundaments

vergewissert haben, von dem wir beide ausgehen

Mir scheimt, da8 man den konkreten physikalischen Gehalt der Relativitiitstheorie fassen kann, ohne zu dem ursiichlichen Verhiltnis zwischen Weltmassen und Triigheit Stellung zu nehmen Seit Galilei und Newton sehen wir in der Be-

wegung

eines Kérpers

denzen,

Tragheit

nahme

beruht

»,Pithrung“,

den Kampf

und

welche

aweier

Ten-

Beharrungstendenz,

die

Kraft.

die

dem

Nach

Kérper

alter

seine

An-

natiirliche,

die Tragheitsbewegung. erteilt, auf einer formal-

geometrischen

Struktur

der

Welt

(gleichférm'

Bewegung in gerader Linie), welche ihr ein fiir

allemal,

unabhiingig

und

unbeeinfluBbar

die materiellen Vorgiinge, innewohnt.

Diese

durch

An-

nahme verwirft Hinstein; denn was so michtige Wirkungen sie bei

tut wie die

cinem

Trigheit

Zugzusammensto8

mit den Molekularkriften der

fahrenden

Ziige die Wagen

Reales sein, das seinerseits Materie erleidet. Und in

scheinungen,

so

—

im

beiden

2.

B.

wenn

Widerstreit

aufeinander

zerrei8t —, muB etwas

Wirkungen von de den Gravitationser

erkannte Hinstein weiter, verriit

sich des ,,Fiihrungsfeldes* Veriinderlichkeit und Abhiingigkeit von der Materie. An dem Dualis-

mus von Fiihrung und Kraft wird also festge-

halten;

(G) aber die Piihrung ist ein physika-

lisches Zustandsfeld

das

Die zur

mit

der

Materie

Gravitation Kraft; nur

(wie das elektromagnetische), in

Wechselwirkung

steht.

gehirt zur Fiihrung und nicht so wird die Gleichheit von

480 schwerer und triiger Masse von Grund aus verstiindlich.

Petrus. Und das Pihrungsfeld Jaft sich mieht ohne Willkiir in einen homogenen konstanten Bestandteil,

die

Galileische

Trigheit,

und

einen

variablen, die Newtonsche Gravitation, zerlegen; das Vorhandensein einer starren geometrischen Struktur wird geleugnet. — Ja, mit diese schreibung bin ich ganz einverstanden.

auch dein Terminus thrungsfeld® fiir durch Hinstein aufgestellte Einheit von Trigheit und Gravitation gefillt mir gut, weil er die physikalische Rolle und den realen Charakter des gemeinten Dinges deutlich bezeichnet. Wenn es

trotz der einheitlichen Natur des Fithrungsfeldes in praxi — wenigstens niherungsweise und fiir

ein

beschriinktes

zerlegen

in

Galileischen

den

Gebiet

—

gelingt,

homogenen

Trigheit

und

dasselbe

Untergrund

eine verinderliche,

zu

der

ihr

gegeniiber auBerordentlich schwache Fluktuation,

das Schwerefeld, so hat es damit etwa dieselbe Bewandtnis, wie wenn der Geodit die tatsiichliche Erdoberfliche mit allen Meeresbecken, Klippen, Talern und Bergen von einer glatt verlaufenden Idealfliche, dem Geoid, aus konstruiert, dem er dann alle jene kleinen Buckel und Vertiefungen anfiigen muf. Aus der einheitlichen Natur des Fithrungsfeldes folgt nun aber, daf es als Ganzes in der Materie verankert werden mu8. An dem Analogon des elektrischen Feldes machst du dir's am besten klar. Das elektrische Feld zwischen

den

Platten

eines geladenen

Kondensators

wird

erzeugt von den in den Platten steckenden Elektronen; dieses Feld hat einen im ganzen homogenen Verlauf, aus dem es sich nur in der Um-

gebung der einzelnen Elektronen heraushebt wie kleine steile Bergkegel aus einer weiten Ebene. Aber

nicht nur diese atomaren

Abweichungen

in

der Umgebung jedes Elektrons werden von den

Elektronenladungen erzeugt, sondern auch das durch Uberlagerung entstehende homogene Feld zwischen den Platten. So wird auch die Trigheit durch das Zusammenwirken aller Massen

in der Welt erzeugt; um jeden einzelnen Stern herum

liegt

dann

noch

jene

Abweichung

des

Fihrungsfeldes yom homogenen Verlauf, die sich

als Gravitationsanziehung

des Sternes

bemerkbar

macht und wesentlich von ihm allein herriihrt.

Paulus. Die Analogie ist bestechend; ich komme darauf zuriick. Aber la8 mich vorher noch dies sagen! Von der alten zu der neuen Auffassung @ der Dinge itbergehen, heiBt: den yeometrischen Unterschied zwischen gleich firmiger und beschleunigter Bewegung ersetzen durch den dynamischen Unterschied zwischen Piihrung und Kraft. Gegner Einsteins steliten die Frage: Warum geht bei cinom Zusammenstof der Zug in Trimmer und nicht der Kirchturm, an dem er gerade voriberfihrt — wo doch der Kirchturm relativ zum Zuge einen ebenso starken Bewegungsruck erfihrt wie der Zug relatiy zum Kirehturm? Darauf antwortet der go-

sunde Menschenyerstand:

Bahn des Fithrungsfeldes der Kirchturm aber nicht. ja bis in alle Einzelheiten

durch

diesen

Kampf

Kraft die Wagen gleichen dynamischen

angebrachten

herausgerissen wird, Man kann sich das deutlich machen, wie

zwischen

Fithrung

einem

,,Triigheitskompab“,

Fihrungsfelde

folgt.

—

Die

im

Mittelpunkt

welcher

dem

Einsteinschen

Gra-

Lisung,

stationire

eine

besitzen

vitationsgesetze

und

zertriimmert werden. Im Sinne dreht sich die Erde;

gegeniiber

sich

dreht

sie

weil der Zug aus der

welche eine gleichférmig rotierende Wassermasse

mit ihrem Gravitationsfeld darstellt; du weift selber, wie du das Problem anzusetzen hast. Die Lésung ist verschieden von dem statischen Feld einer ruhenden Wasserkugel; die rotierende Wassermasse wird nicht eine Kugel, sondern algeplattet sein. Und was bedeutet dabei Rotation?

Es hat genau den eben angegebenen dynamischen

Sinn, — Solange man das Fihrungsfeld ignoriert, kann man weder von absoluter, noch von relativer Bewegung reden; erst bei Beriicksichtigung des Filhrungsfeldes zewinnt der Begriff der Bewegung einen Inhalt. Die Relativititstheorie

will,

richtig verstanden,

nicht

die absolute

Be-

wegung zugunsten der relativen ausmerzen. sondern

sie

vernichtet

den

kinematischen

Be-

wegungsbegriff und ersetzt ihn durch den dynachen.

Die

Weltansicht,

fir

welche

Galile:

gekiimpft hat, wird durch sie nicht kritisch ze setzt,

ich

sondern

Petrus.

im

Gegenteil

konkreter

gedeutet.

Gegen deine ganze Darstellung habe

nichts

du

dabei

nebeneinander zu betrachten; wird das aber durch die Materie erzeugt, so sind’s

Feld dana

stehen,

doch

einzuwenden.

Materie

und

Nur

bleibst

Fihrungsfeld

die Fixsterne, welche die

Erde hervorbringen. Paulus.

Aber

das

leugne

selbstiindig

Abplattung der

ich

ja

eben!

habe,

das

Ich

meine: was ich bisher dargelegt und in den bei-

den

greift

Sitzen in

die

G knapp Physik

formuliert

ein,

liegt

den

allein

tatsichlichen

Einzeluntersuchungen von Problemen der Relativititstheorie zugrunde. Das weit dariiber hinausgehende Machsche Prinzip M aber, nach welchem die Fixsterne mit geheimnisvoller Macht in den Gang der irdischen Geschehnisse eingreifen sollen, ist bis jetzt reine Spekulation, hat iediglich kosmologische Bedeutung und wird darum

fiir die Naturwissenschaft erst von Belang wer-

den kénnen, wenn der astronomischen Beobachtung nicht mehr nur eine Sterneninsel, sondern das Weltganze zugiinglich ist. Wir kénnten diese

Frage also ganz auf sich beruhen lassen, wenn

ich nicht zugeben miiBte, daB es allerdings verlockend ist, sich auf Grund der Relativititstheorie ein Bild vom Weltganzen 71 machen Darum bin ich bereit, dir auch daritber Rede und

Antwort

zu stehen.

II.

Kosmologie.

Petrus. La8 mich an ein bekanntes Ergebnis von Thirring?) ankniipfen! Auf einen ruhenden

481 Kérper & im Mittelpunkt einer gewaltigen rotierenden

vertritt)

Hohlkugel wirkt

H

nach

(welche den Fixsternhimmel den

Eimsteinschen

Gravita-

tionsgesetzen eine analoge Kraft wie die Zentrifugalkraft, die an ihm angreifen wiirde, wenn umgekehrt die Hohlkugel ruht, aber k rotiert. Allerdings ist ihre Intensitiét unter realisier-

baren Verhiiltnissen viel geringer; die Zentrifugalkraft

erscheint

multipliziert

mit

einem

win-

zigen Faktor, welcher gleich ist dem Verhiltnis

awischen dem Gravitationsradius der Hohlkugelmasse und dem geometrischen Radius der Hohlkugel. Der Gravitationsradius einer Masse M

betriigt,

wenn

M

in Gramm

gémessen

wird,

1,87.10-7 X M Zentimeter; der Gravitationsradius der Erdmasse ist z.B.=0.5 Zentimeter.

derjenige der Sonnenmasse etwa 1,5 Kilometer Man

wird danach im Machscher

Weise

die Zentri-

sich

drehenden

fugalkraft, die Abplattung der Erde als eine Wir-

kung

des

um

die

ruhende

Erde

Sternenhimmels erkliren kénnen, wenn man annimmt, daB die mittlere Entfernung der Sterne so groB ist wie der Gravitationsradius ihrer Ge-

samtmasse.

Paulus. Bei der Anordnung von Thirring tritt aber an dem ruhenden Kérper k aufer der Zentrifugalkraft noch eine andere Kraft von vergleichbarer Stirke auf, die nicht wie jene von der Rotationsachse fortgerichtet ist, sondern parallel gu ihr wirkt. AuBSerdem ergibt sich ja, wie du selber erwihntest, die Zentrifugalkraft nur dann in dem richtigen Betrage, wenn zwischen Radius und Masse der Hohlkugel H ein genau

abgestimmtes Verhiltnis besteht.

Es geht dar-

aus klar hervor, da8 es etwas anderes ist, ob k ruht und H rotiert, oder ob die Hohlkugel H ruht und der Kérper h sich im entgegengesetzten Sinne mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit dreht, im Gegensatz zu dem Prinzip von der ReMeine dynamische Auflativitit der Bewegung! ohne weiteres Unterschied den fassung macht klar; und tatsichlich zeigt sich, wenn man Thirrings Formeln diskutiert, daB im ersten Fall die

Materie des Kérpers i dem Fihrungsfeld folgt,

die der Hohlkugel H jedoch nicht, im zweiten Fall es sich umgekehrt verhilt. Deine Bemerkung ist auch fiir mich Petrus. Aber dein Einwand schiichtert mich aufklirend. Thirring operiert mit dem unendnicht ein. lichen Raum, und das von ihm errechnete metrische Feld ist von soleher Art, daf es sich im Un-

endlichen immer genauer jenem homogenen

Zu-

die Euklidische der durch stand anschmiegt, Infolgedessen wirkt Geometrie beschrieben wird. hier der unendlich ferne Saum des Raumes wie Durch ein materielles felderzeugendes Agens.

die Analogic des elektrostatischen

Feldes

wird

Ruhende Ladungen erdas deutlicher werden. yeugen ein solches Feld; der wirkliche Verlauf desselben la8t sich aus den Nahewirkungsgesetzen nur dann eindeutig ableiten, wenn die Bedingung hinzugefiigt wird, daf im Unendlichen das Feld

auf dem Nullniveau festgehalten wird. Der Raumhorizont wirkt wie eine unendlich grofe metallische Hohlkugel. Beim elektrischen so gut wie beim Fithrungsfeld ist somit der homogene

Untergrund des Feldes,

das ,,Nullniveau“,

auf

auf das Weltgeschehen.

Er

Rechnung dieses unendlich fernen Raumhorizonts zu setzen; von dort her legt sich eine ungeheure

Macht

beruhigend

mu8 fallen, will man das Machsche Prinzip wirklich durchfithren; der dreidimensionale Ratm darf keinen Saum besitzen, er muB geschlossen sein (nach Art der Kugelfliche im Gebiete von 2 Dimensionen). Und nun konnte Hinstein in

der Tat, nachdem er seinem urspriinglichen Gra-

vitationsgesetz eine kleine Modifikation,

das soy.

‘kosmologische Glied, hinzugefiigt hatte, zeigen:*)

Im Glleichgewicht ist die Welt riaumlich geschlossen. Die Gesetze fordern die Anwesenheit yon Materie; ohne Materie, heift das, ist ein

Fithrungsfeld iiberhaupt nicht méglich.

Die Ma-

terie ist gleichférmig yerteilt und ruht. Der Gravitationsradius der gesamten in der Welt vorhandenen Masse ist so groB wie der geometrische Weltradius; offenbar bestimmt die zufiillig vorhandene Gesamtmasse die Kriimmung und damit die GréBe des Weltraums. Hier hast du den Anschlu8 an die Untersuchung von Thirring, und hier, meine ich, ist nun das Machsche Programm in einer Weise durchgefiihrt, die prinzipiell nichts mehr zu wiinschen iibrig lé8t. Der eben

geschilderte

Gleichgewichtszustand

ist natiirlich

nur makroskopisch zu verstehen. Die einzelnen Sterne werden sich bewegen wie die Molekile eines in einen ruhenden Kasten eingeschlossenen Gases, das ja auch, makroskopisch gesehen, ruht und sich gleichférmig tiber das Kasteninnere verteilt. Es erklirt sich damit zugleich die merk-

wiirdige und sehr der Erklirung bediirftige Tatsache,

daB

so klein

die

sind

Sterngeschwindigkeiten

gegeniiber

durchweg

der Lichtgeschwindig-

keit. Auch fallen die Paradoxien dahin, zu denen die unendliche Ausdehnung des Raumes in ihren astronomischen Konsequenzen gefiihrt hat *).

Paulus.

Offen gesagt, kann ich mir mach die-

ser kosmischen Theorie noch durchaus kein klares und in den Einzelheiten stichhaltiges Bild davon machen, wie die Materie das Fithrungsfeld

erzeugt.

Petrus, Vielleicht ist da die Bemerkung forderlich, daB schon auf Grund der gewéhnlichen Theorie, in welcher das kosmologische Glied fehlt, die Anniherung eines Kérpers an einen andern eine induktive Wirkung auf seine trige

Masse ausitbt.

Im statischen

ist Gravitationsfeld

die Lichtgeschwindigkeit f mit dem

Gravitations-

potential ® durch die Gleichung verknipft ®

cet,

in welcher die Konstante ¢ zufolge der Gleichung fern yon allen selber die Lichtgeschwindigkeit Zu jedem Korgravitierenden Massen bedeutet. per gehdrt cine durch seinen inneren Zustand

482 allein

bestimmte

Konstante,

der

,,Massenfaktor“

mo; seine Energie HW aber und seine triige Masse M (der Quotient aus Impuls und Geschwindigkeit) sind abhiingig vom Gravitationspotential, auf dem sich der Kérper befindet, nach den Formeln E=mof,

Bringt man einen Kérper an eine Stelle niederen Gravitationspotentials, legt man ihn z. B. vom Tisch auf den FuBboden, so vermindert. sich folglich seine Energie; nimlich um den Betrag der Arbeit, die zu leisten ist, um ihn vom Fufboden auf den Tisch zuriickzuheben. In demselben Verhiltnis aber, wie seine Energie sich bei Annitherung an das Erdzentrum vermindert, erhéht sich seine trige Masse. Das weist doch deutlich darauf hin, daB die Triigheit der Kérper sich r los als eine Induktionswirkung der die Gravitation erzeugenden Weltmassen mul verstehen lassen..

Paulus.

Wenn du mir nur sagen kénntest, wie

dieser Hinweis sich zu einer wirklichen Drklirung ausgestalten lieBe! Je mehr ich dariiber nachgedacht habe, um so gréBer schien mir die Rluft 2u werden, die es noch zu iberbritcken gilt. Im Grunde hat sich das Problem nur ein wenig verschoben: an Stelle der trigen Ma: ist der Massenfaktor mo getreten. Er bleibt eine dem Kérper allein eigentimliche Konstante, die von keinen Induktionswirkungen betroffen wird; keine Aussicht hat sich eréffnet, ihn durch cine Weehselwirkung aller Massen im Universum entstanden zu denken. _ Die Schwierigkeit, welche von dem Raumhorizont herkommt, ist natiirlich durch den geschlossenen Raum behoben; diejenige aber, die iiberall im Innern des Weltkontimuums ihren Sitz hat, in seiner molluskenhaften Deformierbarkeit — denke an meine Feststellung A! — bleibt bestehen.

Physikalisch un-

durehsichtig, ja bedenklich ist die~ Beschriinkunz auf statische Verhiltnisse. Du fragst: Warum hat eine ruhende Punktladung cin elektrostatisches Feld F um sich, dessen Intensitit umgekehrt

proportional

dem

Quadrat

der

Entfer-

nung von der Ladung abnimmt? Die Nahewirkungsgesetze des elektrostatischen Feldes erkliiren das nicht. Beriicksichtige nun aber die Zeit und analysiere den folgenden Vorgang: Von einem neutralen Mutterkérper dst sich eine Kleine Ladung ab und kommt fern vom Mutterkérper im Augenblick ¢ zur Ruhe. Wenn seit ¢

jetzt eine Stunde vergangen

ist, so herrscht

das

oben geschilderte Feld F um die Ladung herum in einem Umkreis von 1 Lichtstunde— ca. 10! om Radius. Aus den Gesetzen des verdnderlichen elektromagnetischen Feldes ergibt sich zwanes laufig diese Ausbildung des Feldes F, wenn dic Annahme hinzugefiigt wird, da8 vor Begynn der Ablésung der Raum feldfrei war. Nicht daran liegt’s also, daf das Feld am unendlich fernen Raumbhorizont festgehalten wird, sondern die

Bindung

kommt

her von dem

Weltsaum der un-

endlich weit zuritckliegenden Vergangenheit. Sobald man sich nicht mehr auf die Statik beschriinkt, besitzen die durch das kosmologische Glied

erweiterten

Gravitationsgesetze

nach

de

Sitter eine sehr einfache Lisung, bei welcher (im Gegensatz zu Einsteins Behauptung) die Welt masseleer und ibrigens ihr metrisches Feld vollkommen homogen ist!), Zum Zwecke der graphisehen Darstellung streiche ich 2 Raumdimensionen, so da8 die Welt nicht vier-, sondern nur zweidimensional ist. Die Bilder, welche ich konstruiere, liegen in einem dreidimensionalen Raum R, dessen Metrik so ist, wie sie die spezielle Relativititstheorie der Welt zuschreibt; wenn die Vertikale als Zeitachse fungiert, ist also. in einem rechtwinkligen Dreieck, dessen eine Kathete horizontal,

dessen

andere

vertikal

ist, das

Quadrat

der Hypotenuse gleich der Differenz der Quadrate der beiden Katheten. Ich unterscheide drei Hlypothesen iiber den Zustand der Welt im groBen. I. (Blementare Kosmologie). Die Welt stimmt in ihrer metrischen Beschaffenheit iiberein mit einer vertikalen Ebene im Raume R. Die Sterne sind unendlich diinn verteilt und ruhen alle; ihre Weltlinien sind also vertikale Gerade. Der Kegel der Lichtausbreitung von einem Weltpunkt P aus wird gebildet von den beiden durch P laufenden Geraden, welche gegen die Vertikale um 45° geneigt sind. Das ist der Normalzustand, der durch die gegenseitige Einwirkung der Himmelskérper nur leicht gestért wird. IL. (Hinstein). Die Welt wird metrisch treu dargestellt durch einen geraden Kreiszylinder mit vertikaler Achse in unserm Raume R. Die Weltlinien der Sterne sind wiederum vertikale Gerade, aber die Massendichte ist nicht unendlich klein, sondern steht in einem genau abgestimmten Verhiiltnis zum Radius des Zylinderquerschnitts. Der Kegel der Lichtausbreitung besteht aus awei Schraubenlinien auf dem Z;

linder,

welche

schneiden ILL. Der

R,

die

von

seine

Mantellinien

geometrische

Ort

Zentrum

unter

aller

Q

45°

Punkte

in

einen

festen

beiden

durch

(reellen) Abstand besitzen, hat nicht die Gestalt einer Kugel, sondern eines einschaligen Hyperboloids mit vertikaler Achse; das ist die oben erwihnte de Sittersche Lisung. Der Kegel der Lichtausbreitung

besteht

aus

den

den Ursprungsort hindurehgehenden geradlinigen Erzeugenden des Hyperboloids, die Sterne sind unendlich

diinn

verteilt.

Die

Ebenen,

welche

durch eine feste Mantellinie 1 des Asymptotenkegels hindurchgehen — er hat seine Spitze in O and einen Offnungswinkel von 90° —, schneiden auf dem Hyperboloid zwei Scharen von geodittisehen Linien aus; die Hyperbeln der einen Schar laufen nach unten (Vergangenheit) zusammen, indem sie J zur gemeinsamen Asymptote besitzer, und breiten sich mach oben ficherférmig iiber

483 das ganze Hyperboloid aus; die aweite Schar entsteht aus der ersten durch Vertauschung von oben und unten, Die Weltlinien der ersten Schar werden im ungestiérten Normalzustand beschrieben

yon

den

Sternen

eines

Kausalzusammenhang

von

stehenden

Ew:

t

her

in

Sternsystems.

Petrus. Wenn es mit Hilfe des kosmologisehen Glicdes nicht gelingt, das Machsche Prinzip durchzufithren, so balte ich es iiberhaupt fiir

zwecklos und bin fitr die Riidkkehr taren

elemen-

Kosmologie.

Paulus. Das scheint mir doch voreilig. Die Ebene I besitzt einen einzigen zusammenhiingenden unendlich fernen Saum; da la&t sich Raum und Zeit, kunft gar

ewige nicht

Vergangenheit und ewige Zuvoneinander trennen. Infolge-

dessen lift sich auch keine verniinftige Voi schrift geben, welche es verhindert, da die Welt-

einerseits, den sich nicht iaberschlagenden Li kegel anderseits. Hier werden die kleinen Sterngeschwindigkeiten nicht wie in der Einsteinschen Kosmologie auf einen im Laufe von Xonen allmihlich eingetretenen ,,thermodynamischen“ Ausgleich, sondern auf einen gemeinsamen Ursprung

muriickgefiihrt.

sprechen Ansicht Nach

Die

mit

der

aller

astronomischen

Tatsachen

Entschiedenheit

Hypothese

IIL

scheinen

fiir

diese

alle Sterne

eines Systems yon einem beliebig herausgegriffe-

nen Zentralstern

fliehen; obachter

ihre auf

aus in radialer Richtung

zu

Spektrallinien sind fir einen Bedem Zentralstern nach dem roten

Ende verschohen, und zwar um so stiirker, je ent-

fernter sie sind. Nun zeigen die Spiralnebel. welche wahrscheinlich die entferntesten Himmelsgebilde sind, mit ganz wenigen Ausnahmen

eine starke Rotversehiebung ihrer Spektrallinien*), Sollte wirklich die universelle Flich tendenz

der

Materie

davon

die

Ursache

sein,

welehe formelmiiBig im kosmologischen Glied der Gravitationsgleichungen zum Ausdruck kommi so

man

erhalt

aus

Parallaxe-

hypothetischen

bestimmungen yon Spiralnebeln einen Weltradius von der GréBenordnung 10” em,

Die Lichtgespenster der Sterne im Petrus. Kosmos II werden wohl zu diffus sein. um wahrgenommen werden zu kénnen.

Dann

Paulus.

miihte aber die diffuse, den

Weltraum erfiillende Strahlung so stark sein, dab die Sterne im Durchschnitt ebenso viel Licht ab-

Vergangerror

Weltlinien cine: zusammenhiingenden Steznsystems nach der k: smologischen Annahme 111. linie

eines

schlieBt;

lichkeiten

Kérpers

genau

oder

nahezu

Doppelgiingertum

und

Selbst-

das wiirde

von

sich

aber

zu den grausigsten Még-

begegnungen fihyen. Hingegen triigt der Zylinder IL so gut wie das Hyperboloid III awei getrennte Siiume, den unteren der ewigen Vergangenheit und den oberen der ewigen Zukunft; das ist der eigentliche Inhalt der Aussage, da die Welt von

riumlich geschlossen ist: Ewigkeit zu Ewigkeit®.

sie erstreckt sich Und um dieses

doppelten Weltsaumes willen méchte ich an dem kosmologischen

steinschen

der

und

Glied

Zylinder

Lichtausbreitung

nach

demselben

Stern

unendlich

viele

festhalten.

Auf

dem

Hin-

iiberschligt sich der Kegel unendlich mub

Bilder

ein

oft.

Von

Beobachter

erblicken;

einem

dem-

zwischen.

den Zustiinden des Sternes, von denen

zwei avf-

Aon

Licht

einanderfolgende verflossen,

Bilder

die

Zeit,

Kunde welche

geben, das

ein

ge-

braucht, um einmal rund um die Weltkugel zu laufen: die Wahrnehmung des jetzt Geschehenden

Fiir die Strahlung sorbieren wie emittieren. Gleichgew statistisc sollte so gut icht bestehen hes

wie fiir die Sternbewegung. Nach allem, was du gesagt hast, Petrus. glaubst

herrscht jener homogene Zustand Z, der durch das Hyperboloid TIT (oder im Grenzfall durch die Mit der ErfahEbene I) wiedergegeben wird.

rung steht das wohl im Einklang, aber es scheint

mir dem Prinzip der Kontinuitit zu widersprechen. Denn wenn auch Z in sich qualitativ vollstiindig bestimmt ist, so gibt es doch unendlich viele Méglichkeiten,

der

Vergangenheit

und

Zukunft

gleich

sind,

es aber doch

un-

endlich yiele Méglichkeiten ihrer Lage im Raum gibt. Welche dieser Méglichkeiten soll nun wirklich werden, wenn ich die vorhandene Materie stetig zu Null abnehmen verschwindender Materie

Ich meine, bei lasse? muf das Fiihrungsfeld

unbestimmt werden. Paulus. Begehst du da nicht den

so sagte

Saum

den dop-

einander

qualitativ

pelten

miteinander:

Zustand

wie alle Geraden in der gewéhnlichen Geometrie

Fehler,

beide Vorziige

wie sich dieser

im Weltkontinuum realisieren kann; analog etwa

ist durchsetzt von den Gespenstern des Liingstvergangenen. Hingegen vereinigt de Sitters Hyperboloid

du an eine selbstiindige Macht des Fih-

rungsfeldes, unabhiingig von der Materie, Fern von aller Materie oder wenn alle Materie vernichtet ist — das ist doch deine Meinung? —

den

Hinstein

1914

machte*),

gleichen

als er

aus

der dem Kausalititsprinzip auf die Unméglichkeit

allgemeinen

Relativititstheorie

er, wenn

die

schlo8?

Naturgesetze

Denn,

invariant sind

484 gegenitber beliebigen Koordinatentransformationen, so erhalte ich aus einer Lésung durch Transformation wnendlich viele neue. Teile ich die Welt durch einen dreidimensionalen Querschnitt,

eines hung

Koordinatensystems im Ather, der Bezieauf ein stehendes Medium entspricht hier

die willkiirliche

unterscheidende Kennzeichnung

gleich-

der einzelnen gleichartigen Wasserteilchen (z. B. durch Numerierung). Kommt ‘das Wasser am Abend, wenn alle Schiffe im Hiafen sind, wieder zur Ruhe, so ist der Zustand qualitativ genau der gleiche wie am Morgen vor dem Ausfahren

surlgen auch in der oberen Welthiilfte objektiv deu

gene“ Ebene. Aber der materielle Zustand, der sich dahinter verbirgt, kann sich vollstandig ver-

welcher ihre beiden Siiume voneinander trennt,

in zwei Teile und verwende nur solche Transformationen, welche die ,,untere“ Halfte unberivhrt

lassen, so stimmen

alle diese Lésungen

wohl in der unteren Welthilfte mit der urspriinglichen iiberein. Er iibersah, daf alle diese Légleichen

Zustandsverlauf

wiedergeben,

daf

ein

Unterschied nur bestiinde, wenn die vierdimensio-

nale Welt ein stehendes Medium wire, in das sich die Spuren der materiellen Vorgiinge so oder so einzeichnen, Und nur dann kann man auch die Méglichkeiten der Realisierung, von denen du

sprichst, als verschieden anerkennen.

Ein solches

stehendes Medium wird aber, ohne Zweifel mit deinem Beifall, von der Relativitatstheorie dureh-

aus geleugnet. Erachtest du es fiir notwendig, daB fern von aller Materie das Fithrungsfeld unbestimmt wird, so mviBtest du konsequenterweise tas

gleiche Postulat fiir das elektromagnetische Feld aufstellen. Jedermann nimmt aber an, daf mit verschwindender Materie die elektromagnetische Feldstiirke = 0 wird; und das bedeutet doch nicht, daB itberhaupt ,,kein Feld da ist“, sondern daB dieses sich in einem bestimmten ,,Ruh-Zustand“ befindet, der sich stetig in alle tbrigen méglichen Zustinde einpaBt. Darf ich das Wort ,,Ather“ in den Mund nehmen? Ich yerstehe darunter nicht ein substantielles Medium, dessen hypothetiscl

Bewegungen

ich ergriinden michte, sondern als

Zustand des Athers gilt mir das herrschende metrische und elektromagnetische Feld. In der Weylschen Theorie, ebenso in der kitrzlich von

Eddington und Binstein

entworfenen ,,affinen*

Feldtheorie erscheint auch das elektrische mit in das metrische Feld aufgenommen. Der einzig mégliche homogene Zustand desselben ist das Hyperboloid III, auf welchem die eloktromagnetische Feldstirke itberall verschwindet. Aus di sem Ruhzustand heraus — Ruhe heift hier soiel wie Homogeneitit — wird der Ather durch die Materie erregt; sie stehen nicht in dem eiaseitigen Kausalverhiltnis von Erzeuger und Erzeugtem, sondern in Wechselwirkung miteinander. Deinen Einwand aus dem Kontinui prinzip kann ich anschaulich vielleicht am besten durch eine Analogie ‘entkriiften, indem ich den Ather einer Seefliiche, die Materie den Schiffen vergleiche, welche sie durchfurchen. Die ver-

schiedenen Méglichkeiten, von denen du sprachst, bestehen hier darin, da8 man, dieselhe Gestalt der Seefliche, denselben qualitativen Zustand materiell auf unendlich viele verschiedene Weise

realisieren kann; der ,,materielle Zustand“ gilt nimlich erst als bestimmt, wenn yon jedem

Wasserteilchen Seebeckens

es

feststeht,

sich

an

hefindet.

welcher Der

Stelle

des

Festlegung

der Schiffe:

die Scefliche ist eine glatte ,,homo-

schoben haben. Es ist nicht angingig (wie es beim Fihrungsfeld vor Hinstein geschah), die

tatsichliche Lage ‘aller Wasserteilechen in dem durch die Schiffe erregten Seebecken aus einer ein fiir allemal fixierten Ruhelage und einer

dureh die Schiffe bewirkten Elongation zusam-

menzusetzen. Dieser Vergleich macht es recht gut deutlich, wo ich die Grenze erblicke zwischen

der als giiltig zu akzeptierenden neuen Auffas-

sung, die uns die allgemeine Relativitiitstheorie gebracht hat, und ihrer itbers Ziel hinausschieBenden spekulativen Ausdeutung. Dahinfallt, wie ich nicht leugnen kann, die von ihr

versprochene problems,

um

radikale die

sich

Lésung

des Bewegungs-

hauptsichlich

in der populiren Diskussion drehte.

der

Kampf

Aber freuen

wir uns, aus dem Rausche der Revolution erwacht, des ruhigeren Lichtes, das sie jetzt ttber die Dinge yerbreitet und das dem zarteren Verstiindnis feinere, aber nicht minder bedeutungsvolle Ziige der Weltstruktur erhellt! Die Tatsache, daB Trigheits- und Sternenkompa8 fast genau zusammengehen, bezeugt die

gewaltige Ubermacht des Athers in der Weehselwirkung

zwischen

Ather

und

Materie.

Denke

Ather“;

aber

aufgestért

durch

ich daran, wie auf dem de Sitterschen Hyperboloid die Weltlinien eines Sternsystems mit einer gemeinsamen Asymptote aus der unendlichen Vergangenheit heraufsteigen, so méchte ich sagen: die Welt ist geboren aus der ewigen Ruhe

den

des ,,Vaters

Geist

der

Unruh“

(Hélderlin),

der

im

Agens der Materie, ,in der Brust der Erd’ und der Menschen“ zu Hause ist, wird sie niemals wieder zur Ruhe kommen. Petrus. Abtriinnig werde ich dich fortan

nicht mehr schelten.

Denn

immer

deutlich

spire ich, daB du den physikalischen Gehalt de Relativititstheorie nicht preisgegeben hast und dein Denken iiber den Kosmos nach wie vor in ihrem Geiste geschieht. Deine Griinde will ich

sorgfiiltig erwiigen; aber ob ich mich nun deine Meinung anschlieBe oder nicht weifi ich mich von neuem einerlei im Herzen.

voll Sinnes

Freude mit dir

Literatur. i. Sitzungsber. d. Preuf. Akad. d. Wissensch. 1917, S. 142. Physikal. Zeitschrift 19 (1918), S. 83; 22 (1921), Se, Diese wurden namentlich von Seeliger diskutiert. Astronomische Nachrichten 137, Nr. 3273 (1895); Miinchner Berichte 26 (1896). Einen Ausweg in

485 ganz anderer Richtung suchten schon Lambert und nach ihm Fournier d’Albe (Two new Worlds, London 1907) und @. V. L. Charlier (Arkiv for Matem., tr. och Fysik 4 (1905), Nr. 24). Vgl. Natur: wissenschaften 10 (1922), S. 481. Monthly Notices of the R. Astronom. Soc. London, Nov. 1917. Dazu: Weyl, Raum, Zeit, Materie, 6. Aufl. (Berlin 1923), S. 322, und Physikal. Zeitschrift 24 (1923), S. 230. Eddington, Math. Theory of Relativity (Cambridge

1923), S, 162, — Die Leser dieser Zeitschrift freilich aus den fortlaufenden ',,Astronomischen Mitteilungen", wie wenig abgekliirt noch immer die Stellung der Spiralnebel ist. Uber eine andere von Lindemann aufgestellte Hypothese zur Erklirung der Rotverschiebung in den Spektren der Spirainebel vgl. Naturwissenschaften 11 (1923), 961. Sitzungsber. d Preug. Akad. d. Wissensch. 1914 S. 1067, wissen

66. Was ist Materie?

Die Naturwissenschaften 12, 561—568, 585—593 und 604—611 (1924) Nach den iiberaus glinzenden Ergebnissen, welche die experimentierende Physik in enger Verbindung mit der Theorie in den letzten Dezennien gewonnen hat, kann an der atomistischen Konstitution der Naturkérper kein Zweifel mehr walten. Aber nicht vom Aufbau der Kérper aus unteilbaren Elementarquanten, Elektronen und Atomkernen, soll hier in erster Linie die Rede sein, sondern unsere Frage zielt tiefer: was ist die ,,Materie“, aus denen diese letzten Einheiten selber bestehen? Seit altersher hat die Philosophie darauf eine Antwort zu geben versucht. Der empirisch-naturwissenschaftlichen Forschung liegt bewuBt oder unbewuBt eine bestimmte Vorstellung iiber das Wesen der Materie a priori zugrunde, und das Tatsachenwissen mu8 schon gewaltig in die Breite und Tiefe gewachsen sein, ehe es die Kraft gewinnt, von sich aus modifizierend auf diese Vorstellungen einzuwirken. Die historische Situation bringt es also mit sich, daB wir die Formulierungen der Philosophen nicht auBer acht lassen diirfen; ist es doch unméglich, in der Alteren Zeit Philosophie und Physik iberhaupt voneinander zu trennen, wahrend in spiteren Epochen die Empiriker selten bemiiht waren, die Grundanschauungen scharfer zu fassen, von denen aus sie ihre durch das Experiment zu beantwortenden Fragen an die Natur stellten. Doch soll versucht werden, von dem heute in Mathematik und Physik gewonnenen Standpunkte aus die alten philosophischen Lehren praziser auszudeuten. Im iibrigen kommt es uns mehr auf die Sache als auf ihre Geschichte an; um so berechtigter erscheint mir da eine solche nicht objektive, sondern von dem historischen Augenpunkt der Gegenwart retrospektive Geschichtsbetrachtung.

Was

ist

I, Die Substanziheorie. Materie?

Kani

antwortet

darauf

(Kritik der reinen Vernunft, 1. Auflage) mit der ersten Analogie der Erfahrung', dem ,,Grundsatz der Beharrlichkeit": ,,Alle Erscheinungen enthalten das Beharrliche (Substanz) als den Gegenstand selbst und das Wandelbare als dessen Bestimmung, das ist eine Art, wie der Gegenstand ewistiert. Es ist offenbar die ontologische Kategorie der Substanz, das in der logischen Sphare sich als die Gegeniiberstellung von Subjekt und Pradikat widerspiegelnde Verhaltnis von Substanz und Akzidenz, welches hier in die Erscheinungswirklichkeit hineingetragen wird. Aus den Erlauterungen geht klar hervor, da8 Kant die physikalische Materie als die be-

harrende Substanz anspricht und nicht etwa wie bei AristorEtes und Sprvoza ein metaphysisches Prinzip jenseits der erfahrbaren AuBenwelt in Frage steht, das tiber den Unterschied von geistig und kérperlich-ausgedehnt erhaben ist. So heiBt es: ,,Ein Philosoph wurde gefragt: ,Wieviel wiegt der Rauch? Er antwortete: ,Ziehe von dem Gewichte des verbrannten Holzes das Gewicht der lbrigbleibenden Asche ab, so hast du das Gewicht des Rauches.' Er setzte also als unwidersprechlich voraus: daB selbst im Feuer die Materie (Substanz) nicht vergehe, sondern nur die Form derselben eine Abanderung erleide.‘ Die Substanz tritt hier gleich dem ,,steinernen Gast", vom Jenseits gesandt, kérperlich-leibhaftig unter die heitere, im Schmuck der Qualitaten prangende Tafelrunde der Wirklichkeit. Der innere Grund fiir die Notwendigkeit der Substanz liegt fiir Kant darin, daB die selbst nicht wahrnehmbare bleibende Zeit, in der aller Wechsel der Erscheinungen gedacht werden soll, in den Gegenstanden der Wahrnehmung reprasentiert sein muS durch etwas, das im Laufe der Zeit mit sich selber identisch bleibt: ,,den stetig fortbestehenden Kérper“, wie Locke?) sagt, ,,der ‘in jedem Zeitpunkt des Daseins derselbe mit sich selbst ist.‘ Daran hangt der Begriff der Bewegung. Denn dies ist in der Tat der wesentliche Zug des Substanzbegriffes: es soll einen objektiven Sinn haben, von derselben Substanzstelle zu verschiedenen Zeiten zu sprechen ; oder anders ausgedriickt, es soll prinzipiell maglich sein, dieselbe Substanzstelle im Laufe der Geschichte eines _Kérpersystems immer wiederzuerkennen. Zur naturwissenschaftlichen Definition des Substanzbegriffes gehért also die Angabe von exakten Methoden, durch welche in praxi Substanzstellen im FluB der Bewegung festgehalten werden kénnen. Solange nur feste Kérper in Frage kommen, die durch mechanische Mittel in Sticke getrennt oder aus Stiicken zusammengeleimt werden, bietet das keine ernstliche Schwierigkeit; bei strémendem Wasser mu8 man schon zu indirekten Mitteln, einem hineingeworfenen Strohhalm etwa, seine Zuflucht nehmen; bei chemischen Umsetzungen endlich handelt es sich nur noch um eine durch Wahrnehmungen nicht zu kontrollierende Hypothese. Um den zeitlichen Ablauf graphisch darstellen zu kénnen, betrachten wir lediglich die Vorginge in einer (horizontalen) Ebene H und zeichnen eine 1) Essay concerning human understanding, 2. Buch,

Kap. 27, § 3.

487

zu E senkrechte Zeitachse t. Die Geschichte einer Substanzstelle findet ihren Ausdruck durch ihren »graphischen Fabrplan‘', eine in Richtung der t-Achse monoton ansteigende Weltlinie; auf ihr liegen die Raumzeitpunkte, welche von der Substanzstelle nacheinander passiert werden. Die Horizontalebene ¢ = const. = ¢, reprasentiert den Zustand der Ebene H zur Zeit ty. Auf jedem solchen Horizontalschnitt kann ich den Ort des Substanzpunktes zu der betreffenden Zeit ablesen. Ist B kontinuierlich und liickenlos mit Substanz bedeckt, so erscheint also das von unserem Bildraum wiedergegebene dreidimensionale RaumZeitkontinuum aufgelést in eine stetige Mannigfaltigkeit von «* Weltlinien. In der Wirklichkeit erhdhen sich die Dimensionszahlen um 1: jedes Element der dreidimensional ausgedehnten Substanz beschreibt eine Weltlinie in dem vierdimensionalen Raum-Zeitkontinuum. Das ist die Ausdrucksweise, welche sich durch die Relativitatstheorie in ihrer von MuyKowskt herriihrenden »,weltgeometrischen Fassung eingebiirgert hat; so heiBt es bei MinKowsk?) in seinem Vortrag »Raum und Zeit: ,,Die ganze Welt erscheint aufgelést in solche Weltlinien, und ich méchte sogleich vorwegnehmen, da8 meiner Meinung nach die physikalischen Gesetze ihren vollkommensten Ausdruck als Wechselbeziehungen unter diesen Weltlinien finden diirften.“’ Das ist in klaren Worten das Programm einer von der Substanzvorstellung beherrschten Physik. Wo immer in der Physik ein substantielles Medium hypothetisch als ,,Trager'’ gewisser Erscheinungen eingeftihrt wurde, z. B. der Ather der mechanischen Lichttheorie, war dies das Wesentliche; es wurde dadurch die Méglichkeit objektiver Unterscheidung zwischen Ruhe und Bewegung eines Kérpers relativ zu jenem Medium gewonnen. Und nur in dieser substantiellen Fassung wurde, beilaufig gesagt, die Hypothese des Lichtathers durch die spezielle Relativitatstheorie bzw. durch die ihr zugrundeliegenden Erfahrungstatsachen widerlegt. Kant nimmt an der zitierten Stelle aber die Unveranderlichkeit der Materie nicht nur in dem eben erdrterten Sinne an, daB die Substanzstellen etwas sind, was im Laufe des Weltprozesses ,durchhalt, sondern er setzt weiter voraus, daB ein beliebiges Stick der dreidimensionalen Substanz als ein Quantum sich messen lasse. Besonders deutlich zeigt sich das in der Formulierung, welche der Grundsatz der Beharrlichkeit in der 2. Auflage der Kritik erhalt: ,,Bei allem Wechsel der Erscheinungen beharrt die Substanz, und das Quantum derselben wird in der Natur weder vermehrt noch vermindert.“ Endlich wird laut dem angefiihrten Beispiel das Gewicht zur Menge proportional gesetzt, ohne daB das Prinzip, nach welchem Materie gemessen werden soll, gekennzeichnet ware. In dieser Form hat LavorsiER bekanntlich den Grundsatz von der Unzerstor1) Werke, Bd. 2, S. 432.

barkeit des Stoffes in die Chemie cingefihrt; und nach einer oben gemachten Bemerkung ist ja im Falle der chemischen Umsetzung in der Tat die Erhaltung der einzelnen Substanzstelle nicht mehr kontrollierbar, sondern lediglich die Erhaltung der Gesamtmasse (ihres Gewichts). Es ist darum wohl ganz im Sinne Kants, wenn HoLLeMANN in seinem bekannten ,,Lehrbuch der anorganischen Chemie“ (ich zitiere die 2. Auflage der deutschen Ausgabe 1903, welche ich als Student benutzte; die neueren kenne ich nicht mehr), nachdem er das Prinzip an einigen Beispielen der Gewichtsanalyse illustriert hat, hinzufigt: ,,Die Uberzeugung von der Unméglichkeit des Entstehens und Vergehens der Materie war bereits bei den griechischen Philosophen fest eingewurzelt; sie ist durch alle Zeiten die Basis philosophischen Denkens gewesen... Die Erkenntnistheorie lehrt, daB die Unverganglichkeit des Stoffes eine von unserem Denken gebildete Voraussetzung ist; nichts ist unrichtiger als zu meinen, das Prinzip sei aus experimentellen Versuchen _hergeleitet worden." Mit dem Begriff des Substanzquantums steht Kant offenbar unter dem Einflu8 der Galilei-Newtonschen Mechanik, welche die Masse freilich nicht als MaB fir eine Menge Materie, sondern als einen dynamischen Koeffizienten verwendet. Aus anderen Stellen ist ersichtlich, daB fiir Kant die Dichte eine stetiger Abstufungen fahige intensive GréBe ist — Intensitat der Raumerfiillung durch das Widerspiel anziehender und abstoBender Krafte. In den Alteren Formen der Substanztheorie wird konsequenter als MaB der Materie das Volumen des von ihr eingenommenen Raumes angesetzt; den Unterschied in der Dichtigkeit der verschiedenen Kérper erklart sie durch das von Kérper zu Kérper wechselnde Verhaltnis zwischen erfiilltem und leerem Raum. Denn es ist eine von Anfang an mit der Idee der Substanz verkniipfte Vorstellung, daB sie eine sei, keine inneren qualitativen Unterschiede zulasse; daB iiberhaupt alle Qualitaten nur subjektiven Charakter besitzen und allein aus der Form und Bewegung der Substanzquanten und ihrer Wirkung auf unsere Sinne zu erkldren sind. So heift es schon bei Drmoxrit, der zuerst den Begriff des Stoffes als die Grundlage der Naturerkenntnis aufstellte: »Nur in der Meinung besteht das SiiBe, in der Meinung das Bittere, in der Meinung das Kalte, das Warme, die Farbe." Und bei Gatiter findet man AuBerungen'), die besagen: Wei® oder rot, bitter oder siB, tonend oder stumm, wohl- oder iibelriechend sind Namen fiir Wirkungen auf die Sinnesorgane ... Die Verschiedenheit, welche ein Kérper in seiner Erscheinung darbietet, beruht auf bloBer Umlagerung der Teile ohne irgendwelche Neuentstehung oder Vernichtung... Die Materie ist unveranderlich und immer dieselbe, da sie eine ewige und notwendige Art des Seins vor1) Im ,,Saggiatore", z. B. Op. II, S. 340.

488

stellt. In groBartiger Abstraktion vom Sinnenscheine setzt DeMoxriT als die einzige Unterscheidung, aus welcher alle Mannigfaltigkeit entspringt, den absoluten Gegensatz des ,,Leeren‘‘ und des ,,Vollen‘’ — das s) 6v des leeren Raumes gegeniiber dem aapmijoec év der Materie. Dieser Unterschied 148t sich nicht mebr qualitativ charakterisieren, er muB einfach als das letzte Erklarungsprinzip der Erscheinungen hingenommen werden. Hier noch fragen, was das Volle sei, und sich, weil keine Antwort erfolgt, etwa dartiber beklagen, daB wir das Innere der Dinge gar nicht einséhen, ist mit Kant zu reden, eine bloBe Grille; es ist eine absurde Forderung, daf in einer j,intellektuellen Anschauung'’ gegeben werde, was doch als das nichtanschauliche Fundament der angeschauten

Erscheinungswelt gesetzt wurde.

Offenbar muB die Materie atomistisch konstituiert, der Raum kann nicht lickenlos erfuillt sein, wenn die verschiedene Dichte der Kérper auf die angegebene Weise erklart werden soll Das ist ein Motiv, warum der Substanzbegriff von jeher zur Atomistik geftihrt hat; andere Griinde sollen spater im Zusammenhange mit dem Kontinuumproblem gestreift werden}). Ganz zwingend kommt man zum Atombegriff, wenn man sich die Frage stellt, wie die Wiedererkennung desselben Substanzpunktes zu verschiedenen Zeiten in einer homogenen qualitatslosen Substanz tiberhaupt méglich ist. Erfillt die Materie den Raum kontinuierlich, so ist das in der Tat ebensogut unméglich, wie es nach dem Grundgedanken der Relativitatstheorie unméglich ist, im homogenen Medium des Raumes denselben Raumpunkt festzuhalten, Besteht die Materie aber aus einzelnen Atomen, und setzen wir weiter voraus, daB die Atome sich stetig bewegen und sich niemals gegenseitig durchdringen, so kénnen wir ein Atom durch den Bewegungsproze® der Materie hindurch verfolgen, selbst wenn die Atome alle untereinander gleichartig sind, insbesondere alle dieselbe Gestalt besitzen. Denn fassen wir in einem Augenblick t ein Atom A ins Auge, so gibt es in einem hinreichend wenig spateren Augenblick ¢-+ 4t ein einziges Atom A’, welches ein Raumgebiet g’ einnimmt, das um weniger als ein beliebig vorgegebenes MaB abweicht von demjenigen Raumgebiet g, welches das Atom A zur Zeit ¢ besetzt hielt: dieses A’ zur Zeit t + dt ist dasselbe Atom wie A zur Zeit t. Es mag auf den ersten Blick so scheinen, als drehten wir uns in einem logischen Zirkel, da hier die Wiedererkennung des Atoms A zur Zeit t+ dt daranf gegriindet wird, daB wir das Raumgebiet g in die Zeit t + 4t verpflanzen und mit dem vom Atom in diesem spateren 1) In des Lucretrus Lehrgedicht de rerum natura tritt ein Argument fir die Atomistik auf, das an den in neueren kosmologischen Betrachtungen eine groBe Rolle spielenden ,,Verddungseinwand" E1nstErns gegen den unendlichen Raum anklingt: Alles lést sich leichter auf, als es sich bildet; darum muBte ohne Atome die Materie langst zerfallen sein.

Moment eingenommenen Raumstiick g’ vergleichen; es ist aber klar, daB es hier nicht erforderlich ist, Raumpunkte und Raumstiicke wahrend der Zeit At identisch festhalten zu kénnen, sondern da es nur auf den stetigen Zusammenhang der Raumzeitpunkte ankommt; dieser freilich ist unerlaBliche Voraussetzung. Man iibersieht das am besten im vierdimensionalen RaumZeit-Bild; das Weltgebiet, das ein Atom iiberstreicht, erscheint hier als substanzfithrende ,,Rohre’ von eindimensional unendlicher Erstreckung. Das Verfahren bleibt brauchbar, wenn sich die Atome wahrend ihrer stetigen Bewegung stetig deformieren; nur darf die Ausdehnung eines Atoms niemals unter jede Grenze herabsinken. Hingegen muB postuliert werden, da8 auch in der Beriihrung zwei Atome nicht zu einem einzigen Kontinuum miteinander verschmelzen); sonst ware z. B. fiir zwei Atome von der Gestalt gleichgroBer Halbkugeln, die sich mit ihren ebenen Begrenzungen aneinander legen und nach einiger Zeit wieder trennen, die Identitat nach der Trennung unméglich festzustellen. Das einzelne Atom aber ist unteilbar; d. h. das Raumgebiet, welches es einnimmt, ist ein einziges zusammenhangendes Kontinuum. Zu beachten ist ferner, daB die Identitat im Laufe der Zeit wohl fir die einzelnen Atome gewabrleistet ist, nicht aber fir die einzelnen Stellen innerhalb eines Atoms, obschon es raumlich ausgedehnt ist. Insbesondere ist es fir ein kugelférmiges Atom unsinnig zu fragen, ob es eine rein translatorische Bewegung ausfibrt, oder ob mit der Translation eine Drehung um seinen Mittelpunkt verbunden sei. — Unser Prinzip griindet die Unverwechselbarkeit der Atome bloB darauf, daB sie getrennte Individuen sind, nicht aber auf Unterschiede der Qualititen. Fir die Ausbildung des Stoffbegriffes ist gewiB auf der einen Seite die logisch-metaphysische Kategorie der Substanz (des Subjektes, von welchem die Aussagen iiber die Erscheinungswelt handeln) maBgebend gewesen, auf der anderen Seite die der Erfahrung sich aufdrangende Existenz zahlreicher in ihren Eigenschaften bestandiger Korper, auf welche sich das Handeln des Menschen vor allem stiitzt. Aber hier scheint mir durchzublicken, daB der letzte Grund, vielleicht auch fiir den ontologischen Substanzbegriff selber, in der inneren GewiBheit des mit sich selbst identischen indi1) Es ist das ein gelegentlicher Einwand des Axistoreres, welcher fragt, warum zwei Atome in der Berdhrung nicht miteinander verschmelzen wie zwei Wassermassen, die zusammentreffen. Die heutige punktmengen-theoretische Analysis wird diesem Unterschied zwischen zwei sich berihrenden Kontinuen und dem kleinsten, sie beide umfassenden Kontinuum kaum gerecht; es sind aber von Brouwer und dem Verf. die Grundlagen einer mit dem anschaulichen Wesen des Kontinuums in besserem Einklang stehenden Analysis entworfen worden, in welcher der alte Grundsatz zu seinem Rechte kommt, a8 ,,sich, nur trennen laBt, was schon getrennt ist" (GasseNp1).

489

viduellen Ich liegt, nach dessen Analogie die Welt gedeutet wird?) In DeMoxrits zayshjges 6v liegt schon die Undurchdringlichkeit der Atome ausgesprochen, die Tatsache, daB die Raumgebiete, welche von zwei Atomen eingenommen werden, sich niemals iiberdecken. Dariiber hinaus wird ihnen auch, wennschon ihre Individuation nach einer obigen Bemerkung die Deformierbarkeit nicht ausschlésse, im Namen der Unverdnderlichkeit der Substanz eine unveranderliche Gestalt, Starrheit, zugeschrieben: das Raumgebiet, welches ein Atom einnimmt, soll im Laufe der Zeit bestandig zu sich selbst kongruent bleiben (diese Voraussetzung schlieBt natiirlich die Unteilbarkeit ein). Dadurch gewinnt die an sich rein ideelle geometrische Beziehung der Kongruenz-von Raumstiicken reale Bedeutung. In den Eigenschaften der Ausdehnung und Undurchdringlichkeit bewahrt die Materie ihre Realit&t, darin, daB sie aus mit sich selbst identisch bleibenden starren Individuen besteht, ihre Substantialitat. Soliditdt, unter welchem Namen Undurchdringlichkeit und Starrheit zusammengefaBt werden, ist namentlich von GassENp1, dem Ereuerer der Atomistik innerhalb der abendlindischen Kultur, und Locke scharf als das Grundwesen der Materie hingestellt worden; im Gegensatz zu Descartes, in dessen Korpusculartheorie die Elementarkérper sich gegenseitig deformieren, abschleifen und zerreiben. Dabei darf die Soliditat nicht sinnlich als Harte oder dynamisch als eine auf gegenseitigen Kraften der Substanzstellen beruhende Festigkeit gegen Zerbrechen und als Widerstand umgedeutet werden. Sondern sie ist abstrakt-geometrisch zu fassen, wie es hier geschah; die elastische Festigkeit der sichtbaren Kérper hat diese absolute Eigenschaft der Atome zur Voraussetzung. Das ist der Standpunkt, den Huycuens, der geometrisch-kinematisch und in Prinzipien denkende Mechaniker, in seinem Briefwechsel mit dem anschaulichdynamisch denkenden Metaphysiker LEtentz vertritt®), HuvGuens spricht zwar selbst von einem Widerstand gegen das Brechen oder Zusammendriicken. Aber man darf die um des lebendigeren Ausdrucks willen gewahlten Termini nicht miBverstehen; denn ,,man muB", sagt er, ,,diesen Widerstand als unendlich voraussetzen, weil es absurd erscheint, einen gewissen Grad desselben anzunehmen, etwa gleich dem des Diamanten oder des Eisens; denn dazu kénnte keine Ursache in einer Materie liegen, von der man ja nichts als die Die Hypothese der Ausdehnung voraussetzt... unendlichen Festigkeit scheint mir daher sehr notwendig, und ich begreife nicht, warum Sie dieselbe so befremdend finden, als ob sie ein bestandiges Wunder einfiihre". 2) Vgl. dazu Locks, a. a. O., das ganze 27. Kapitel des 2. Buches tber Identitat und Verschiedenheit. 2) Lerpniz, Mathematische Schriften, ed. Gerhardt II, S. 139. — Im gleichen Sinne: Locks, a. a. O., 2. Buch, Kap. 4, namentlich § 4.

Mit der Soliditat endet fiir die Substanztheorie die Aufstellung der Grundeigenschaften der Materie. Es ist jetzt weiter von der Gestalt und Lage der Atome zu handeln und endlich von den Gesetzen, nach denen sich die Materie bewegt. Hinsichtlich des ersten Punktes ist die Substanztheorie vor ihrer Verschmelzung mit dynamischen Vorstellungen eigentlich niemals aus dem Stadium ungepriifter Phantasien herausgetreten. Die Altere Atomistik halt sich da alle Méglichkeiten offen; denn aus der geometrischen Verschiedenheit von Gestalt und Lagerung sucht sie die bunte Mannigfaltigkeit der sinnlichen Erscheinungen zu erklaren. Insbesondere sind hakenférmige Ansatze und dergleichen beliebt, mittels deren sich die Atome verklammern sollen, wenn sie den nur mit Gewalt zu lésenden Verband eines festen Kérpers bilden, Erst spater, wo sich der Blick vom Geometrischen weg auf die Bewegung der Atome und deren GesetzmaBigkeit zu richten beginnt, kann der Akzent starker auf die Verschiedenheit der Bewegungszustdnde fallen. Natiirlich wird man a_ priori der Kugelgestalt ob ihrer allseitigen Symmetrie den Vorzug geben und jedenfalls bei einer exakten Untersuchung zunachst einmal feststellen miissen, wie weit man mit dieser Annahme in der Erklarung der Erscheinungen kommt. Die Symmetrie der Kugel spricht sich mathematisch darin aus, daB es eine umfassende Gruppe von kongruenten Abbildungen (Bewegungen) gibt, welche die Kugel in sich tiberfithren, namlich die ® Drehungen um den Mittelpunkt. Die ideale Lésung ware eine solche Gestalt g des Atoms, daB gegeniiber den g in

sich

selbst

iiberfiihrenden

kongruenten

Ab-

bildungen alle Punkte des Atoms gleichberechtigt waren; d. h. es sollte méglich sein, durch derartige Abbildungen jeden Punkt von g in jeden anderen uberzufiihren.

Dann

stiinde der Méglichkeit,

ein

Atom als Ganzes wahrend seiner Bewegung zu verfolgen, die Unméglichkeit gegeniiber, dabei noch Teile des Atoms als mit sich selbst identisch bleibend festzuhalten. Ein endliches Raumstiick von der geforderten Beschaffenheit existiert aber nicht; die Kugel nahert sich dem Ideal wenigstens, soweit es méglich ist. Jede Bewegung des kugelférmigen Atoms kann als eine bloBe Translation aufgefaBt, sie kann durch die Bewegung ihres Mittelpunktes vollstandig gekennzeichnet werden.

Die Lagerung der Atome hat man sich in der

Alteren Zeit immer als viel zu kompakt vorgestellt; selbst die

Atheratome

liegen

bei

HuyGHENs

so

dicht, daB sie sich gegenseitig beriihren. Der Ausdruck ,,Poren“ fiir den zwischen ihnen leerbleibenden Raum ist bezeichnend. Gassenpr verwendet das Bild des Sand- oder Weizenhaufens, Er glaubte, daB beim Lésen des Steinsalzes in Wasser durch die Salzatome die Poren zwischen den Wasseratomen ausgefiillt werden, und war dann héchst iiberrascht, daB eine gesattigte Steinsalzlésung noch Alaun zu lésen imstande war. Da ARIstoTELES im Gegensatz zu den griechischen Atomistikern die Méglichkeit des leeren Raumes bestrit-

490 ten hatte und seine Ansicht in der Scholastik zum philosophischen Dogma geworden war, kann es nicht wundernehmen, daB die ersten abendlandischen Denker, welche den Gedanken des Atoms wieder aufgreifen, ohne die Annahme eines Vakuums auszukommen bestrebt sind?), In Gaiters Versuch wird der Begriff des Infinitesimalen auf die raumliche Ausdehnung angewandt: unendlich kleine Atome erfillen den Raum ,,itberall dicht'', so daf kein Raumgebiet angegeben werden kann, welches von ihnen frei ware; es besteht die Mé lichkeit von Verdiinnung und Verdichtung, ohne daB irgendwo ein Loch entsteht. Gatiter beruft sich zur Veranschaulichung auf die ,,rota Aristotelis': Wird ein Rad auf einer horizontalen Geraden abgerollt, so erscheint jeder der konzentrischen kleineren Kreise zu einer gleichlangen horizontalen Geraden h ausgestreckt; ersetzt man aber das Kreisrad durch ein regulres Polygon von vielen Seiten, so bilden die Strecken auf h, in welche sukzessive die Seiten eines konzentrischen Polygons hineinfallen, eine unterbrochene Linie, In einer strengen Fassung dieses Gedankens miiSte man wohl die unendlich kleinen Atome ersetzen durch eine Menge von lauter endlich ausgedehnten Atomen, in welcher aber solche vorkommen, deren Ausdehnung unterhalb einer beliebig vorgegebenen Grenze liegt. Man kann z. B. einen Wirfel mit einer unendlichen, durch einen bestimmten KonstruktionsprozeB erzeugten Reihe von Kugeln K,, K,, Ky... so erfiillen, daB die Kugeln sich nirgendwo tberdecken und im Kubus kein noch so kleines kugelférmiges Gebiet & angegeben werden kann, in welches dieselben nicht eindringen. Es ist dem mengentheoretisch geschulten Mathematiker ein Leichtes, die Kugeln der Serie K,, K,, K,... 2 einer der gleichen Bedingung geniigenden Erfiillung des ganzen Raumes auseinanderzustreuen (unendliche Verdinnung). Angedeutet ist eine solche Fassung bei Huycnens. Drscartss ringt mit der Vorstellung, daB die einzelnen Teilchen der Materie, die auch bei ihm keine leeren Raume zwischen sich lassen sollen, in der Bewegung sich teilen miissen ins Unendliche ,,oder wenigstens ins Unbestimmte (in indelinitum), und zwar in so viele Teile, da8 man sich in Gedanken keinen so kleinen vorstellen kann, von welchem man nicht einsahe, daB er tatichlich noch in viel kleinere geteilt ist’. Er wird nicht recht fertig damit und beruft sich schlieBlich auf die Unbegreiflichkeit der Allmacht Gottes?). Abnlich Lerpniz, fiir den es ,,Welten in Welten ins

Unendliche" gibt. Diese Betrachtungen sind wichtig fiir die Mathematik als die Anfange der Infinitesimalrechnung: hier miht sich der Begriff,

1) Die Atomistik war als die Philosophie des ,,gottlosen“ Eprxur im Mittelalter — ebenso schon bei den Kirchenvatern — sittlich-religiés im héchsten MaBe anrtichig. Noch 1624 wurde sie in Paris, als sie in dem Kreis um Gassenpt schon lebhaft diskutiert wurde, durch Parlamentsbeschlu8 bei Todesstrafe verboten. 2) Principia philosophiae, Teil II, § 34.

den

Ubergang

vom

Diskreten

zum

Kontinuier-

lichen zu finden; physikalisch schlagen sie die Briicke

von

der

Atomistik

zu

der

im

III.

Teile

zu besprechenden Fluidums- und Feldtheorie der Materie. Kein Wunder, da® wir der gleichen Lehre (nach dem Zeugnis des ARISTOTELES) auch schon bei ANAxaGoras begegnen, der, soviel wir wissen, als erster das Infinitesimalprinzip ausgesprochen hat. Es ist sehr instruktiv, damit die Ausfiihrungen von PERRIN im Vorwort seines bekannten Buches iiber die Atome?) zu vergleichen, wo er an der Kiistenlinie der Bretagne oder an kolloidalen Flocken schildert, wie dasjenige, was bei einem MaBstab der Betrachtung als homogen erscheint, bei verfeinertem Mafstab sich immer wieder in ganz ungleichmaBig orientierte und beschaffene

Teile

auflést;

,,wir

haben

durchaus

keinen Anhalt dafiir, da wir beim weiteren Vordringen endlich auf Homogeneitat oder wenigstens auf Materie stoBen wiirden, deren Eigenschaften regelmaBig von einem Punkte zum anderen variieren‘’.

Eine mechanisch-atomistische Erklarung der Erscheinungen, durch welche alle Vorgange auf Bewegung der Substanzteilchen zuriickgeftihrt werden sollen, ist erst méglich, wenn die Bewegungsgesetze der Atome bekannt sind. Es mu8 erstens festgestellt werden, wie sich ein Atom fret bewegt, wenn es nicht durch andere Atome an dem Eindringen in die ihm benachbarten Raumteile gehindert ist; und es mu zweitens bestimmt werden, wie die Atome aufeinander ,,wirken", d. h. wie sie ihre Bewegung modifizieren, wenn sie im Zustand der Beriihrung einander im Wege sind. Als freie Bewegung betrachtet Drmoxrit den Fall

,,von

oben

nach

unten‘;

seit

GaLiter

besitzen;

die

der

Natur

tritt

hier natiirlich die gleichférmige Translation zufolge des Tragheitsgesetzes an Stelle des Falles im Schwerefeld?). Gassenpt glaubt, daB zufolge eines inneren Antriebes die Atome im ungehemmten Zustand eine bestimmte groBe universelle Geschwindigkeit

in

beob-

achteten verschiedenen Geschwindigkeiten kommen ebenso durch Mischung von Ruhe und Bewegung in wechselndem Verhaltnis zustande wie die verschiedenen Dichten durch Mischung von Leerem und Vollem. Bei jedem Sto8 wird eine kiirzere oder langere Ruhepause eingeschaltet, wahrend welcher der Antrieb latent ist. Hier ist also nicht ein Austausch der kinetischen Energien méglich wie in der modernen Gastheorie, sondern

nur ein Austausch der Orte, Umlagerung. — Was

das zweite betrifft, die Wirkung der Atome aufeinander, so geschieht sie nur durch _,,Stoh"; und dieser wird nicht dynamisch aufgefaBt, sondern die Behauptung meint lediglich, daB ein Atom, solange es nicht an andere st0Bt, den Ge1) Ubersetzung von A. LoTTERMosER, Leipzig ror4, S. IX *) Ich kann die Bemerkung nicht unterdricken, daB seit Aufstellung der allgemeinen Relativitatstheorie eigentlich Drmoxrit wieder recht bekommt:

491

setzen der freien Bewegung folgt, bei der Beriihtung aber die Bewegung unmittelbar nachher aus der Bewegung unmittelbar vorher gesetzlich bestimmt ist. Wahrend den Atomen niemals die sinnlichen Qualitaten beigelegt wurden, welche wir an den Kérperh

unserer AuBenwelt wahrneh-

men, sind die Vorstellungen tiber die Wirkung der Atome aufeinander bei den alteren Autoren durchweg ziemlich naiv nach Analogie grobsinnlicher Erfahrungen gebildet und nicht in quantitativ prazise Gesetze gefaBt. Erst HuyGHENs gelingt die Aufstellung der Prinzipien: es sind die in der Tat fur die ganze Physik fundamentalen Erhaltungssdtze fiir Impuls und Energie. In Verbindung mit der Annahme, da beim Sto ein Impulsaustausch nur in der zur gemeinsamen Beriihrungsebene der Atome senkrechten Richtung (StoBrichtung) geschieht, determinieren sie die Bewegung eindeutig. Dies sind zugleich die Gesetze des elastischen StoBes. Sie gelten nach der Meinung von HuyGHENS aber fiir die Atome nicht deshalb, weil die Atome elastische Billardkugeln sind, ausgestattet mit der dynamischen Figenschaft der _,,vollkommenen Elastizitat“, sondern die Erhaltungssitze von Energie und Impuls sind universell giiltige Prin-

zipien, aus denen sich u. a. fiir gewisse Kérper zufolge

ihrer

atomistischen

Konstitution

jenes

Ve

halten ergibt, das wir als unelastischen oder elastischen

StoB

mit allen méglichen

Ubergangen

be-

zeichnen. Aus den Gesetzen folgt, daB beim StoB, obschon die Stetigkeit der Ortsveranderung natiirlich gewahrt bleibt, die Geschwindigkeit der Atome einen momentanen Sprung erleidet. Der Impuls ist gleich Masse mal Geschwindigkeit, die Energie das halbe Produkt aus der Masse und dem Quadrat der Geschwindigkeit. Dabei ist der Impuls als ein Vektor aufzufassen; es war der Grundirrtum der Cartesischen Mechanik, daB sie fiir das Produkt aus Masse und dem absoluten Betrag der Geschwindigkeit das Erhaltungsgesetz postulierte. Die

Masse

deutet

Huycuens

wohl

noch

als

Substanzquantum. In Wahrheit aber besteht die einzige Methode, das Massenverhiltnis zweier Kérper zu finden, darin, daB man ihre Bewegung vor und nach der StoBreaktion beobachtet und daraus unter Zugrundelegung des Gesetzes von der Erhaltung des Impulses jenes Verhaltnis berechnet. Der Zusammenhang der so definierten trdgen Masse mit dem Gewicht ist erst durch die allgemeine Relativitatstheorie klargestellt worden. Durch die Einfiihrung der Masse geschieht ein Nachdem die Schritt von groBer Tragweite. Materie aller sinnlichen Qualitaten entkleidet war,

schien es zundchst, als kénne man ihr nur noch geometrische Eigenschaften beilegen; ganz konsequent ist hierin Descartes. Aber nun zeigt sich, daB man aus der Bewegung und ihrer geset maBigen Veranderung bei Reaktionen andere zahlenmaBige Charakteristika der Kérper ablesen kann. Es 6ffnet sich damit, iiber Geometrie und Kinematik hinaus, die Sphare der eigentlich mechanischen und physikalischen Begriffe. Dieser

Schritt war schon von Gaxter vollzogen worden, der zuerst in der Bewegung eines Kérpers nicht bloB die kinematische Ortsverdnderung sah, sondern ihr eine dynamische Intensitat, den Impuls oder impetus (StoBwucht) zuschrieb und die Masse eines Kérpers als das konstante Verhaltnis zwischen Impuls und Geschwindigkeit bestimmte. Der Gedankenkreis der Atomistik hatte, wie aus unserer Schilderung hervorgeht, philosophisch und physikalisch schon die sorgfaltigste Ausbildung erfahren, ehe die Chemie eingriff und von Darton atomistisch die chemische Grundtatsache erklart wurde, daB sich die Elemente nur in festen Massenproportionen miteinander verbinden. Die Chemie fiigte dem Atombegriff vor allem die Erkenntnis hinzu, daB aus der zweifach unendlichen Mannigfaltigkeit aller méglichen, nach Radius und Masse verschiedenen Atome in der Natur nur ganz bestimmte diskrete Fialle realisiert sind (entsprechend den chemischen Elementen). Die Atome eines Elementes miissen alle untereinander gleich sein nach GréBe und Masse; die Existenz von Elementen mit konstanten Eigenschaften ware sonst nicht verstandlich, Einen tieferen Grund, warum gerade nur diese Atomradien und Atommassen vorkommen, kann die Substanztheorie nicht angeben. Wenn nicht alle Werte der Radien und Massen zulassig sind, so wird sich die Vernunft kaum anders als bei dem entgegengesetzten Extrem befriedigen: daB nur ein Da®8

Element

existiert.

reagiert.

Uber den Bau

die

letzten

Bausteine

der Materie alle untereinander gleich groB und von gleicher Masse sind, dieser naheliegende Gedanke ist jedoch erst durchfithrbar, wenn dynamische Vorstellungen herangezogen werden; er setzt, wie in der modernen Atomtheorie, voraus, daB durch starke Krafte mehrere solcher Bausteine — die aus historischen Griinden jetzt nicht Atome, sondern Elektronen heiSen — zu einem schwer zerreiBbaren Verband zusammentreten kénnen, der nach auBen wie eine Atomkugel der Atomkerne

sind wir

bekanntlich auch heute noch nicht gentigend orientiert; und die von Asron entdeckte wunderbare Tatsache, daB die Atomgewichte der wahren Elemente, die nicht aus Gemischen von Isotopen bestehen, ganze Zahlen sind, ist noch nicht als zwingende Konsequenz in eine Theorie der Materie eingefiigt. Es ist nur soviel klar, da wir uber die Unterschiede der chemischen Atome hinaus einer letzten Einheit entgegensteuern. Durch HuyGuens hatte die atomistische Substanztheorie diejenige Prazision erreicht, welche es erméglichte, strenge Folgerungen zu ziehen. Lauter gleichgroBe kugelférmige Atome, welche sich nach den von ihm aufgestellten Gesetzen bewegen, bilden, wie sich mit Hilfe der Statistik Eigenzeigte, einen Kérper, der alle diejenigen schaften aufweist, die wir erfahrungsmaBig an einem Gas konstatieren; die Warmeerscheinungen kommen dabei auf Rechnung der lebhaften Atombewegung. (Das Eingreifen der Wahrscheinlich-

492 keitsrechnung

ist ein

neues erkenntnistheoretisch

wichtiges Moment in der Naturerklarung, doch sei hier darauf nicht naher eingegangen.) Aus den

Beobachtungen konnten in Verbindung mit der

Theorie, nachdem die Sache einmal so weit gediehen war, ziemlich sichere Werte entnommen werden fiir die GréBe der Atommassen und Atomradien, desgleichen fiir die Anzahl der Atome in einem

gegebenen Gasquantum und fiir die Atomgeschwindigkeiten. Es zeigte sich, da® fir die verschiedenen Elemente die Atommasse keineswegs dem Volumen proportional ist. Die Vorstellung eines

homogenen

Substanzteiges,

aus

welchem

der

Schépfer am Beginn aller Zeiten mit einer Serie von Backformen die kleinen Atomkuchen ausgestochen hat, um ihnen dann absolute Starrheit zu verleihen und sie mit den verschiedensten An-

fangsimpulsen

in den Raum

diese

Vorstellung

damit

endgiiltig

erweist

sich

hinauszuschicken, als

unhaltbar.

Der mechanische Begriff der Masse laBt sich, wie feststeht,

reduzieren.

Die kinetische

nicht

Substanztheorie

auf

Geometrie

hat im ganzen

nicht iiber die Erklarung des gasférmigen Zustandes hinausgefiihrt. Ein spater Nachfahre von Huvcuens, der fiir einen weiteren Kreis von

Vorgingen

auf analogem

Wege,

ohne

Zuhilfe-

nahme von ,,Kraften'‘, zum Ziele kommen will, ist Heiner. HERTz in seiner Mechanik. Man kann

die

kugelformigen

Atome,

die

etwa

gleichen Radius @ besitzen mogen,

alle

den

durch ihre

Mittelpunkte, die ,,Atompunkte“, reprasentieren; die Bewegungsbeschrankung infolge der Undurchdringlichkeit der Atome

driickt sich dann

dadurch

aus, daB die Entfernung irgend zweier Atompunkte stets

=2a bleibt.

Hertz ersetzte die

Koordinaten der Atompunkte durch irgendwelche

GréBen, deren Werte den Zustand des betrachteten

mechanischen

Systems

kennzeichnen,

und jene

Einschrankungen durch Bedingungsgleichungen (oder Ungleichungen), ,,Bindungen‘’ zwischen den

Systemkoordinaten

Form.

von beliebiger mathematischer

Diese Bedingungsgleichungen

zusammen

mit einem universellen Bewegungsgesetz

minieren die Koordinaten

deter-

als Funktionen der Zeit,

sofern ihre Werte in einem Anfangsmoment gegeben

sind.

Es ist die Aufgabe,

durch

Annahme

verborgener Massen und geeigneter einfacher Ver-

bindungen

zwischen ihnen

den

wirklichen Verlauf

der Naturvorgange in diesem Schema darzustellen. Offenbar

wird

hier der

Substanzbegriff

auf

dem

Wege mathematischer Verallgemeinerung zu einem

abstrakten Schema formalisiert. Es wird wohl zutreffen, daB die endgiiltige systematische Form der Physik von ahnlicher Art sein muB, wobei

nur vorausgesetzt bleibt, da8 die verkniipfende

Beziehung zwischen den Symbolen des mathematischen Schemas und der unmittelbar erlebten Wirklichkeit, wenn nicht explizite beschrieben, so doch innerlich irgendwie verstanden wird. Es ist aber sehr zweifelhaft, ob durch das Streichen

der ,,metaphysischen“ Anschauungen, welche den

Aufbau der Physik geleitet hatten und zu denen der Substanzbegriff gehért, die theoretische Deutung nicht alles Zwingende verliert. Die Hertzsche Mechanik ist nur Programm geblieben. Viel fruchtbarer ward das seit NEwTon sich vollzichende Hindringen der Dynamik in die Substanztheorie. Als Beispiel einer solchen gemischt substantiell-dynamischen Auffassung, zugleich als Beweis

fiir die fundamentale

Rolle,

welche

auch

in der ganz andersartigen Begriffswelt der Dynamik die Substanzidee immer noch gespielt hat, will ich die Abrakamsche Theorie des starren Elektrons!) anfilhren, ABRAHAM tragt so wenig wie H. A. Lorentz Bedenken, die Grundgesetze der Maxwellschen Theorie des elektromagnetischen Feldes auch auf die Volumelemente

des Elektrons

anzuwenden. Das Elektron ist eine starre Kugel, mit dessen Raumelementen die elektrische Ladung starr verbunden ist; sie ist entweder gleichférmig liber das Innere oder gleichformig iber die Oberflache verteilt.

Erst auf Grund einer solchen Vor-

aussetzung wird das elektromagnetische Feld in der Umgebung des Elektrons zu einem durch dessen Gesamtladung und Bewegungszustand eindeutig bestimmten. (Wenn die Formeln, welche sich da ergeben und welche verlangen, da8 ein beschleunigtes Elektron stets elektromagnetische Wellen aussendet, sich in der Erfahrung nicht besttigt haben — und nach den Erfolgen der Bohrschen Atomtheorie kann daran kaum ein Zweifel sein —, so braucht das, wie es lange geschehen ist, nicht den Maxwellschen Gleichungen zur Last gelegt werden, sondern es ist viel wahrscheinlicher, daB die Hypothese tiber die geometrisch-substantielle Natur des Elektrons die Diskrepanz verschuldet.) Von Kraften, welche die Volumelemente des Elektrons aufeinander ausiiben, ist in der Abrahamschen Theorie aber nicht die Rede; das Elektron ist ein einfiirallemal zur Starrheit eingefrorenes Stiick Natur, innerhalb dessen keine Wechselwirkung

der Teile mehr

stattfindet.

Insbesondere wird die Frage von Poincaré, was die dicht zusammengedrangten negativen Ladungen im Elektron daran hindert, den Coulombschen Fliehkraften folgend, zu explodieren, als sinnlos zuriickgewiesen. Die mechanischen Gleichungen gelten nicht fiir die Volumelemente, sondern nur fiir das ganze Elektron: die zeitliche Anderung des Impulses und des Drehimpulses tiir ein Elektron ist gleich der Kraft bzw. dem Kraftmoment, das von dem elektromagnetischen Feld in Stnma auf die geladenen Volumelemente des Elektrons ausgeiibt wird. Es wird postuliert, daS man sinnvollerweise auch von einer Rotation des Elektrons

sprechen kann. Im wbrigen hat der Begriff des starren Kérpers hier nicht mehr bloB einen geometrischen

(wie

bei

den

alten

Atomistikern),

sondern einen geometrisch-mechanischen Inhalt (den Kongruenzaxiomen der Geometrie und den mechanischen Bewegungsgesetzen des starren Kérpers unterworfen).

1)

Theorie der Elektrizitat, Bd. II (Teubner 1995).

493

Auch in die spezielle Relativitatstheorie laGt sich die Vorstellung des Elektrons als einer starren Substanzkugel tibertragen (so liegt sie der Lorentzschen Elektronentheorie zugrunde), streng freilich nur bei Beschrinkung auf gleichformige Bewegungen. Mit den beschleunigten Bewegungen tritt man namlich bereits hiniiber in das Gebiet der allgemeinen Relativitatstheorie, welche die Idee des Starren nicht aufrecht erhalten kann. Die Bemihungen um das relativistisch starre Elektron, die Fragestellungen, zu denen gewisse an ihm auftretende Unstimmigkeiten Anla8 gaben, zeigen, wie wenig wir heute schon berechtigt sind, den Glauben an die substantielle Materie eine langst berwundene Metaphysik zu schelten. Aber immer deutlicher ist doch in den letzten

Jahrzehnten geworden, daB dieses Bild vom Elektron: das Stoffteilcben mit starr anhaftenden Ladungen, eigentlich eine groteske Naivitat ist. Ich bin fest davon iberzeugt, dag die Substanz heute ihre Rolle in der Physik ausgespielt hat. Der Anspruch dieser von ARistoTELes als einer metaphysischen konzipierten Idee, das Wesen der realen Materie auszudriicken — der Anspruch der Materie, die fleischgewordene Substanz zu sein — ist unberechtigt. Die Physik muB sich ebenso der ausgedehnten Substanz entledigen, wie die Psychologie schon langst aufgehért hat, die Gegebenheiten des BewuBtseins als ,,Modifikationen“ aufzufassen, die einer einheitlichen Seelensubstanz inharieren.

494

Fortsetzung

II. Masse, Energie und Impuls.

Die Begriffe Masse, Energie und Impuls sind

fiir das Verstandnis der Physik, insbesondere des Problems der Materie so wichtig, daB dariber ein Abschnitt eingeschaltet werden muB, ehe wir der Substanz- die Feldtheorie und die dynamische Auffassung der Materie gegeniiberstellen kénnen, Das Wesentliche fiir die Definition der Masse ist die Angabe eines physikalischen Kriteriums dafiir, wann zwei Kérper die gleiche Masse besitzen. Dasselbe lautet nach Gatitri: Zwei

Kérper haben gleiche Masse, falls keiner den an-

deren

iiberrennt,

wenn

man

sie

mit

entgegen-

jagt.

(Wir stellen uns etwa vor, daB beim Zu-

gesetzt gleichen Geschwindigkeiten gegeneinander

sammenstoB die beiden Kérper aneinander haften bleiben.)

Aus

Griinden

der

Raumsymmetrie

ist

Kdar, daB dieses Kriterium fir zwei véllig gleich beschaffene Kérper zutrifft, daB also insbesondere zwei solche Kérper gleiche Masse besitzen. Wir wahlen

einen

willkiirlichen

Kérper

als

Massen-

einheit. Aus einem Satz von Einheiten, d. h. lauter Kérpern von der gleichen Masse 1 kann man Blécke von 1, 2, 3,... Einheiten zusammen-

fiigen. Um die Masse eines Kérpers K zu bestimmen, der sich mit der Geschwindigkeit » bewegt,

hat man die Blécke mit gleich groBer, aber ent-

gegengesetzter Geschwindigkeit gegen K zu jagen. Wird etwa der Block aus iiberrannt, iiberrennt aber aus 5 Einheiten den Kérper yon K zwischen 4 und 5. Es

4 Einheiten von K andererseits der Block K, so liegt die Masse ist klar, wie man unter

Verwendung dezimaler Teilungen auf diese Weise die Masse beliebig genau bestimmen kann. Der

Begriff

des

Impulses

erscheint

hier

als

primar gegeniiber dem der Masse. Zwei sich gegeneinander bewegende Kérper (die beide nach dem Galileischen Tragheitsgesetz eine gleichformige Translation austiihre) haben entgegengesetzt gleichen Impuls, wenn beim ZusammenstoB keiner den anderen iiberrennt; zwei Kérper haben gleiche Masse, so wiederholen wir unsere obige Erklérung, wenn sie bei entgegengesetzt

gleichen Geschwindigkeiten entgegengesetzt gleiche Impulse besitzen. Diese Betrachtungen fihren ohne weiteres auf das allgemeine Impulsgesetz. Wir fassen ein isoliertes, keinen Einwirkungen von auBen unterliegendes Kérpersystem vor und nach einer Reaktion der Teile des Systems aufeinander

{z. B. vor und nach einem Zusammensto8)

ins

Auge. Vor der Reaktion werden mehrere Kérper vorhanden sein, deren jeder sich in gerader Linie mit gleichformiger Geschwindigkeit bewegt (Anfangszustand); ebenso nach der Reaktion, wenn jede Einwirkung der Einzelkérper aufeinander wieder aufgehért hat (Endzustand). Die Anzahl der Kérper nach der Reaktion braucht nicht die gleiche zu sein wie vorher; wabrend der Reaktion sind thermische und chemische Umsetzungen keineswegs ausgeschlossen. Das Impulsgesetz sagt nichts aus uber den Verlauf der Reaktion im einzelnen, sondern vergleicht lediglich den Endmit dem Anfangszustand; es behauptet: Binem isolierten (in gleichformiger Bewegung begriffenen) Kérper kommt ein bestimmter Impuls zu, das ist ein mit seiner Geschwindigkeit gleichgerichteter Vektor. Die Impulssumme der einzelnen Kérper eines isolierten Systems vor einer Reaktion ist gleich der Impulssumme nach der Reaktion. Dieses Gesetz kann als der allgemeine Ausdruck der Erfahrungstatsache betrachtet werden, daB sich ein zunachst ruhendes Kérpersystem nicht aus eigener Kraft in eine einseitig fortschreitende Translationsbewegung versetzen kann; oder genauer: innere Reaktionen in einem isolierten ruhenden Kérpersystem sind nicht imstande zu bewirken, da8 nach der Reaktion ein Teil des Systems eine gemeinsame gleichférmige Translationsbewegung ausfihrt, wahrend der Rest ruhend zuriickbleibt. Weil Impuls $ und Geschwindigkeit » gleiche Richtung besitzen, kann man setzen: J = mb. Der skalare Faktor m heiBt trdge Masse. Die Ausfithrungen zu Beginn dieses Abschnittes zeigen, wie man dadurch, da8 man Kérper miteinander reagieren 1Bt, auf Grund des Impulssatzes das Verhaltnis ihrer Massen experimentell bestimmen kann. Die Masse eines Kérpers ist, allgemein zu reden, durch seinen Zustand bestimmt. Die Mechanilk unterscheidet zwischen innerem (von einem mit dem Kérper mitbewegten Beobachter zu beurteilenden) Zustand und dem durch die Geschwindigkeit gegebenen Bewegungszustand. DemgemaB muB sie die Frage aufwerfen: Wie hangt die Masse eines Kérpers, dem unter Erhaltung seines inneren von einem mitbewegten Beobachter zu beurteilenden Zustandes verschiedene Geschwindigkeiten erteilt werden, von der Geschwindigkeit » ab? Die Klassische Mechanik antwortet darauf: die Masse ist von der Geschwindigkeit unabhangig; die Mechanik der Relativitatstheorie, welche durch

495

die Beobachtungen an rasch bewegten Elektronen bestatigt wurde, behauptet das Gesetz (1)

in welchem der ,,Massenfaktor’ M, von der Geschwindigkeit unabhangig ist und ¢ die Lichtgeschwindigkeit bedeutet. (IM, hat ubrigens nicht die physikalische Dimension einer Masse, sondern des Produktes Masse x Geschwindigkeit; m, = M,/c ist die ,,Ruhmasse', welche sich fir v = oergibt.) Weiter fragt es sich, wie die Masse, bzw. der Massenfaktor von dem inneren Zustand des Kérpers abhangt, wie er sich z. B, verandert, wenn der Kérper erwarmt wird oder in ihm eine chemische Umsetzung vor sich geht, Die klassische Mechanik behauptet abermals, da® dabei die Masse erhalten bleibt, nach der Mechanik der Relativitatstheorie verandert sich jedoch My mit dem inneren Zustand des Kérpers. Es ist héchst beachtenswert, daB die Antwort auf diese beiden Fragen sich zwingend aus einem allgemeinen Prinzip, dem Relativitéteprinzip, ergibt, welches aussagt, da8 man aus einem naturgesetzlich méglichen Vorgang in einem isolierten System einen gleichfalls méglichen Vorgang erhalt, wenn man allen Teilen des Systems eine gemeinsame gleichférmige Translation aufpragt. Wir fassen wieder den oben geschilderten Vorgang ins Auge: Zwei gleichbeschaffene Kérper K’, K” mit entgegengesetzt gleichen Geschwindigkeiten », —p vereinigen sich zu einem einzigen, notwendig ruhenden Kérper k (man kann sich auch vorstellen, daB K’, K” gleichzeitig in ein ruhendes widerstehendes Medium eindringen, in dem sie gebremst werden). Der Impulssatz bleibt nach dem Relativitatsprinzip giltig, wenn wir dem ganzen System, in welchem sich dieser Vorgang abspielt, die Geschwindigkeit u aufpragen. Haben dann K’, K” die vektoriellen Geschwindigkeiten v’ baw. b” von der GréBe v’, v”” und bedeutet m(v) fiir die beiden gleichbeschaffenen Kérper K’, K” die Masse als Funktion der Geschwindigkeit », so muB also der Vektor (2) m(v’) +b’ + m(v”) +b” parallel zu w sein, Nach dem in der Klassischen Kinematik giiltigen Gesetz von der Addition der Geschwindigkeiten ist v0” =—bd+Uu,

(3)

b’=o+u,

(4)

b/+ bv”= 24 parallel zu u.

mithin

Infolgedessen

kann

(2)

nur

bestehen,

Jetzt untersuchen wir einen beliebigen Reaktionsvorgang. In die Reaktion mégen mehrere Korper mit verschiedenen Massen m (bzw. Massenfaktoren M,) und Geschwindigkeiten » eintreten; aus der Reaktion gehen andere Kérper mit anderen Massen m (bzw. Massenfaktoren M,) und anderen Geschwindigkeiten B hervor. Der Impulssatz behauptet, daB (5)

Ymv=

ist (2 ist das Zeichen fiir Swmme). Figen wir wieder die gemeinsame Translationsgeschwindigkeit u hinzu, so lautet nach dem Additionsgesetz der klassischen Kinematik und weil die Massen m von der Geschwindigkeit unabhangig sind, der Impulssatz: Sm(u+v) = Fm(u +) oder Smv+ulm=Tmbi+urtm

In Verbindung mit (5) liefert das neben dem Impulssatz das Gesetz von der Brhaltung der Masse (6) Sm= Sm: die Gesamtmasse eines Kérpersystems wird durch innere Reaktionen nicht verdndert. Auf ganz analoge Weise erhalt man, unter Zugrundelegung der relativistischen Kinematik, neben dem Impulssatz (7)

)

y Moet

Als Energie eines Kérpers vom Massenfaktor My und der Geschwindigkeit v erscheint hier die GroBe E=

(9)

Machen wir uns den Inhalt der Gleichung (8) zunachst an dem obigen Beispiel klar! Ein ruhender kugelformiger Kérper K von der Ruhmasse m, bestehe aus zwei véllig gleichbeschaffenen Halbkugeln K’,K”. Jede derselben hat die Ruhmasse }m,. Wir nehmen die beiden Halbkugeln auseinander und jagen sie mit entgegengesetzt gleichen Geschwindigkeiten von der GréBe v gegeneinander. Beim Zusammensto® mégen sie sich zu einem einzigen (ruhenden) Kérper K vereinigen.

wenn

m (v’) = m(v”) ist; dh. m(v) ist unabhdngig von v. Die Relativitatstheorie fihrte zu einem anderen kinematischen Additionsgesetz; aus ihm schlieBt man, daB nicht (4) besteht, sondern bv __ 4, —__" __ parallel zu u =a ist, und daraus entspringt auf Grund von (2) die schon oben angegebene Formel (1).

rmMd

Hat K dieselbe Ruhmasse wie K?

Nach

der klassischen Mechanik ja, nach der relativistischen nein. Die Gleichung (8) ergibt namlich, auf den Vereinigungsvorgang angewendet: oder

x mct 1 __tee is Se es 2 Yr—(wjo)® | 2 Vx — Cole}? Mio.

Vi — (v/e)* Wir kénnen sagen, K ist derselbe Kérper wie K;

nur ist sein innerer Zustand ein anderer geworden,

496

er hat sich ndmlich erwérmt. Die Erwarmung, sehen wir, ist mit einer Massenanderung des ruhenden Kérpers verbunden vom Betrage

-%):

I

Am = mol

V1 — (e/c)?

Dieser Zuwachs 4m an Masse muB der gleiche sein, auf welchem Wege wir auch jene thermische Zustandsinderung hervorbringen, weil die Masse eines Kérpers nur von seinem Zustand, nicht von dessen Vorgeschichte abhangt. Da haben wir sofort das Energiegesetz in der Form, wie es von Ros. Mayer, Joute, Hermuoutz aus der Erfahrung abstrahiert wurde, und erkennen in 4m oder in c?Am das EnergiemaB der thermischen Zustandsénderung. Man kann die Masseneinheit so wahlen, da8 fiir die Erwarmung 1 ccm Wassers unter Atmospharendruck von 15° auf 16°C (Kalorie) der Zuwachs ct-dm=1 ist. Sei S$ irgendein Kérpersystem, in welchem unter der Einwirkung seiner Teile aufeinander und beliebiger anderer Kérper eine Zustandsinderung 8 sich vollzogen hat. Wir kénnen diese Zustandsanderung, wenn wir S mit einem Wasserkalorimeter und geeigneten Hilfskérpern verbinden, in der Weise riickgangig machen, daB die Hilfskérper aus dem ProzeB schlieBlich in gleichem Zustand wieder hervorgehen und nur das Kalorimeter eine Erwarmung (oder Abkiblung) erfahren hat. Betragt seine Erwarmung w Kalorien, d. h. besteht sie darin, daB w ccm Wasser unter Atmospharendruck sich von 15° auf 16° erwarmt haben (oder, wenn w negatiy ist, da — w Gramm sich von 16° auf 15° abgekiihlt haben), so liefert die Anwendung der Gleichung (8) auf das abgeschlossene, aus S, dem Kalorimeter und den Hilfskérpern bestehende physikalische System und auf den eben geschilderten ProzeB die Beziehung Die

eckige

Klammer

bedeutet

den

Zuwachs,

wel-

chen die auf das Kérpersystem § allein beziigliche Summe

Durch

durch

die

welche

Zustandsanderung

Zwischenstufen

also

&

erleidet.

auch

die

Zu-

standsanderung 8 des Kérpersystems § in eine

Erwarmung des Kalorimeters umgesetzt wird —

immer

ergibt

sich

die

gleiche

Anzahl

en Fes] [pee].

von

Kalorien

chung (9).

Zwischen dem Energiegehalt E und der

trdgen Masse m eines universelle Relation

Kérpers

besteht

danach

die

EB=em. (Fiir die klassische Mechanik versagt diese ganze Uberlegung, weil nach ihr die Erwarmung eines

ruhenden Kérpers mit keiner Massenanderung verbunden ist.) Unter der kinetischen Energie eines Kérpers versteht

man

Formeln

ist

bekanntlich

diejenige

Energie,

welche nétig ist, um ihn unter Erhaltung seines inneren, von einem mitbewegten Beobachter aus zu beurteilenden Zustandes von der Ruhe auf die Geschwindigkeit » zu bringen. Nach unseren

aAnderung Im

Mv?

Limes

der

23 fiir

Energiewert

2

I

——1

fii (7 r= (w/o ¢ = oo

dieser

liefert

das

der klassischen Mechanik

)

Zustands-

%

den

Ausdruck

(sie ist der Grenz-

fall fiir solche Geschwindigkeiten v, welche klein sind gegeniiber c). Ein Energiegesetz hatten wir oben im Rahmen der klassischen Mechanik nicht erhalten; in der Tat hat es ja in seiner ,,rein mechanischen"’ Gestalt

(20)

nur beschrankte Giiltigkeit. Es bezieht sich allein auf solche Reaktionen, aus denen die Kérper in ungeindertem inneren Zustand wieder hervorgehen; ich schlage vor, eine derartige Reaktion allgemein als elastischen StoB zu bezeichnen. Man versteht eigentlich nur von der relativistischen Mechanik aus, woher im Falle des elastischen StoBes das Gesetz (10) riihrt. Sind m,,m,,... die Ruhmassen der Kérper vor dem StoB, m,, m,,... nach dem Sto8, so hat die Forderung, daB der innere Zustand der einzelnen Korper sich nicht gedndert hat, die Gleichungen zur Folge (13)

MM, =m,

z= m,,

:

Die Gleichung (6) der klassischen Mechanik wird dadurch iiberfliissig, und an ihre Stelle tritt das

neue Gesetz (to). Man erhalt es aus dem allgemein giiltigen Energiesatz der relativistischen Mechanik

Myc

Das ist das phinomenologische Energiegesetz. Zugleich zeigt sich, daB der Ausdruck rechts der Energiewert der Zustandsinderung & ist; und wir

kommen

so

dazu,

nicht

blo®

einer

Zustands-

dnderung einen Energiewert, sondern einem Zu-

stand

daB

gleich

ein

der

der

Energieniveau

Energiewert

Differenz

des

zuzuschreiben

einer

—

derart,

Zustandsinderung

Energieniveaus

im

End-

und im Anfangszustand ist. Das Energieniveau

eines Kérpers vom Massenfaktor M, und der Geschwindigkeit

v ist gegeben

durch die Glei-

wenn man links und rechts die nach (11) fir den elastischen StoB iibereinstimmende Summe - Tm, ot Bm, = ct ¢ 1 subtrahiert. Dann folgt, daB die kinetische Energie der Massen vor und nach dem StoB die gleiche ist, und in der Grenze fiir ¢ = 00 also das Huyghenssche StoBgesetz (10). Im allgemeinen hat aber nach der relativistischen Mechanik die Summe der Ruhmassen nach der Reaktion keineswegs den gleichen Wert wie vorher. Und doch kame als MaB fiir ein

497

Substanzquantum offenbar nur die von der Geschwindigkeit unabhangige Ruhmasse in Frage! Die These ,,Masse = Substanzquantum ist damit ad absurdum gefihrt. Aber vielleicht hatte es dessen gar nicht mehr bedurft; aus unseren Darlegungen geht ohnehin hervor, daB mit dem Wort ,,Substanzquantum" die Rolle nicht umschrieben werden kann, welche die Masse in den physikalischen Reaktionsvorgangen spielt. Neben dem Erhaltungsgesetz fiir Energie und Impuls tritt das Gesetz, daB bei Reaktionen innerhalb eines abgeschlossenen Kérpersystems die elektrische Gesamtladung sich nicht verandert. Die Ladung eines Kérpers ist von seinem Bewegungszustand unabhangig. Aber die Ladung kommt als MaB fiir eine Substanzmenge offenbar darum nicht in Frage, weil sie sowohl positiver wie negativer Werte fahig ist. Es sei noch erwahnt, wie sich unsere Formeln in der allgemeinen Relativitatstheorie modifizieren, wenn wir annehmen, daB die Kérper in ein unveranderliches statisches MaBfeld (Gravitationsfeld) eingebettet sind, in welchem die Lichtgeschwindigkeit f (oder, was dasselbe ist, das Gravitationspotential) eine Funktion des Ortes ist. Auch dann besitzt ein Kérper einen konstanten, nur von seinem inneren Zustand abhangigen Massenfaktor M,, und es ist die trage Masse

Giorgi)

2

mie, =e

insbesondere fiir einen ruhenden Kérper (v = 0): m= a TINS fe Uber die Beziehung dieser Formeln zu der Frage, ob die Masse eines Kérpers nach dem Vorschlag von Macu als Induktionswirkung der Fixsterne aufgefaBt werden kann, vergleiche den vor kurzem in dieser Zeitschrift erschienenen Dialog tber yMassentragheit und Kosmos‘ (Bd. 12, S$. 197). Die elektrische Ladung verhalt sich in dieser Hinsicht viel einfacher als die Masse; sie ist, wie vom Bewegungszustand, so auch vom einbettenden MaBfeld unabhangig. III. Die Feldtheorie Anders als im AbschnittI soll diesmal die moderne Fassung der Theorie vorangestellt werden, und wir wollen erst hernach auf die friiheren Ansitze zur Feldtheorie und die historischen WandTungen eingehen. Ferner liegt es in der Natur der Sache, daB wir schon hier, dem Abschnitt IV vorgreifend, gewisse dynamische Gesichtspunkte hineinziechen miissen. Weil fiir einen isolierten Kérper k Impuls § und Energie H zeitlich konstant sind, sind die ; ids GréBen pro Zeiteinheit -

Anderungen

beider

bzw. a ,,Krajt und ,,Leistung, ein MaB fir die Einwirkung, welche k von anderen Kérpern k,, ky... erfahrt. In der Tat erkannte Newton,

daB die Kraft sich additiv aus einzelnen Kraften zusammensetzt, welche von je einem der Korper ky, ky, ... auf k ausgeiibt werden ; in solcher Weise, daB die Kraft, welche z. B. k, auf k in einem Moment ausiibt, nur von dem Zustand dieser beiden Kérper, ihrem Ort und ihrer Geschwindigkeit im gleichen Augenblick abhangt. Dasselbe gilt von der Leistung. Aus der Relativitat von Ort und Bewegung ergibt sich ibrigens sogleich, daB in das Kraftgesetz nur der Vektor kk, und die vektorielle Relativgeschwindigkeit der beiden Kérper eingehen werden. Im Falle der Gravitation ist nach Newton die Kraft sogar von der Geschwindigkeit unabhangig und infolgedessen eine universelle

Funktion

der

Entfernung

r allein

3)ee: im Ge-

lich nach dem Attraktionsgesetz biet

der

Elektrizitat

aber

kommt

(nam-

zu

der

elektro-

statischen Anziehung bzw. AbstoBung bei beweg-

ten Ladungen noch die Ampéresche Kraft hinzu, welche zwei Stréme aufeinander ausiiben; denn

cine bewegte Ladung ist elektrischer Strom — von der

Stromstirke:

Ladung

mal

Geschwindigkeit.

Wesentlich aber ist, daB der Bewegungszustand

nur in Form der Geschwindigkeit beider Korper k, k,

im Kraftgesetz vorkommt. klérung

der

Kraft

Denn aus der Ei

ist es ja ohnehin

sich durch die Beschleunigung,

klar,

daB

sie

iibrigens sogar

durch die Beschleunigung des ausdriicken la8t; dazu bedarf

Kérpers & allein es keines Natur-

konstanten

besteht,

gesetzes. Wenn jenes Postulat aber erfiillt ist, so bestimmt das Newtonsche Bewegungsgesetz fiir ein System, das aus Kérpern von bekanntem inneren

Zustand

bei

ge-

hier

das

gebener Lage und Geschwindigkeit der Kérper in einem Augenblick ¢ ihre Lage und Geschwindigkeit im nachstfolgenden Augenblick ¢ + dt, und somit, indem wir von Augenblick zu Augenblick integrierend fortschreiten, den ganzen Verlauf der Bewegung. In dieser besonderen, aber streng mathematisch

faSbaren

Kausalitdteprinzip.

Gestalt

gilt

‘Auf Grund der angegebenen Tatsachen kommt man notgedrungen zu der Auffassung, da8 die Definition

,,Kraft = Ableitung

wirkliche Die Kraft

Sachverhalt ist ist der Ausdruck

des

Impulses‘

Wesen der Kraft nicht richtig wiedergibt.

das

Der

vielmehr umgekehrt: fiir eine selbstandige,

die Kérper zufolge ihrer inneren Natur und ihrer gegenseitigen Lage und Bewegungsbezichung verkniipfende

Potenz,

welche

die zeitliche

Anderung

des Impulses verursacht. Bei dieser metaphysischen Deutung mag das innere BewuBtsein des Ichs, im willentlichen Handeln Grund eines Geschehens zu sein, entscheidend hineinspielen, Es ist aber zu beachten, daB in Newtons Physik der Fernkrafte die Kraft nicht eine durch einen

einzigen Kérper k bestimmte, von ihm ausgehende Aktivitat ist, sondern eine Wechselbeziehung zweier Kérper (k und &,), die sich gegenseitig iiber

einen

Abgrund

hiniiber

die

Hande

reichen.

498

Durch das mechanische Grundgesetz der Bewegung wird der Physik die Aufgabe tiberbunden, die zwischen Kérpern wirkenden Krifte in ihrer Abhangigkeit von Ort, Bewegung und innerem Zustand zu erforschen. Der letztere wird in die Kraftgesetze mittels gewisser, fiir den inneren Zustand der reagierenden Kérper charakteristischer Zahlen eingehen, wie‘z. B. die Ladung in das Coulombsche Gesetz der elektrostatischen Anzichung und AbstoBung. So wird der Krajtbegriff 2u einer Quelle newer mefbarer physikalischer Kennzeichen der Materie, welche ebenso wie die Masse mit den im ersten Abschnitt besprochenen, aus der Substanzvorstellung entsprungenen Merkmalen nichts mehr zu tun haben. Insbesondere tritt an Stelle der Harte und Undurchdringlichkeit der Atome — welche bewirkte, daB sich zwei Atome bis zu ihrem ZusammenstoB gleichformig bewegten, in diesem Augenblick aber momentan in eine andere gleichformige Bewegung umspringen — das Gesetz, nach welchem die repulsive Kraft, mit der zwei Atome aufeinander wirken, von ihrer Entfernung abhingt; eine solche repulsive Kraft hat zur Folge, daB nicht ein momentaner Stof erfolgt, sondern die Bahn eines Atoms bei Annaherung an ein anderes sich allmahlich krimmt. Es ist kein Zweifel, da® diese Vorstellung der Wahrheit viel naher kommt als die Huyghenssche. Man sieht an diesem Beispiel, daB die Enideckung der ,,dynamischen'’ Bigenschaften der Materie von selber dazu fiihrt, ihre ,substantiellen zu verdrdngen, die zur Erklarung der Naturerscheinungen iberfliissig werden. Im IV. Abschnitt kommen wir genauer darauf zuriick; hier sollte uns der Kraftbegriff nur als Vorbereitung dienen auf die Idee des Feldes. Diese Idee hat sich bei FARADAY und MaxWELL aus dem Bestreben entwickelt, die WechselkrAfte, welche geladene Kérper aufeinander ausiiben, durch eine kontinuierliche Wirkungsiibertragung (Nahewirkung) verstandlich zu machen. Um das Kraftfeld zu untersuchen, das geladene ruhende Konduktoren umgibt, bedient man sich eines schwach geladenen Probekérpers. Derselbe erfabrt an jeder Stelle P des leeren Raumes eine bestimmte, im allgemeinen natiirlich von Ort zu Ort wechselnde Kraft € (P); immer wieder aber, wenn ich den Probekérper an dieselbe Raumstelle P zuriickbringe, dieselbe Kraft © (P). Immer wieder, wenn ich zum Fenster meines Arbeitszimmers hinausschaue, habe ich dieselben Gesichtswahrnehmungen eines rotbedachten _dreistéckigen Hauses. Mit demselben Recht, wie ich daraufhin zu der Ansicht komme, es stehe ein derartiges Haus da, ganz unabhingig davon, ob ich zu ihm hinschaue oder nicht, nehme ich hier an, daB in dem die Konduktoren umgebenden Raume ein Kraftfeld vorhanden ist, auch wenn ich die Kraft nicht an einem in das Feld hineingebrachten Probek6rper konstatiere; der Probekérper ist nur das Mittel, das an sich vorhandene Kraftfeld wabrnehmbar und meBbar zu machen. Freilich ist

die Kraft €(P) im Punkte P auBer vom Zustand der Konduktoren auch von dem des Probekérpers abhangig — wie ibrigens ja auch die Gesichtswahrnehmung auGer durch den objektiven Zustand des’ wahrgenommenen Gegenstandes von dem Beobachter abhangt; aber beide Komponenten lassen sich — im Falle des Kraftfeldes — sehr leicht voneinander trennen. Verwenden wir namlich zur Untersuchung des gleichen Feldes einen anderen Probekérper, so stellt sich heraus, daB die an ihm wabrgenommene Kraft @(P) zm €(P) in einem konstanten Verhiltnis steht: ®(P) =e-(P). Und auch wenn wir dieselben beiden Probekérper zur Untersuchung anderer elektrostatischer Felder benutzen, die von anderen Konduktoren erzeugt werden, erweist sich immer wieder diese Gleichung mit demselben Wert der Konstanten e als gilltig. Die Kraft @(P), welche die Konduktoren auf irgendeinen Probekérper an der Stelle P ausiiben, ist also das Produkt zweier Faktoren e-@, von denen der skalare e, die yLadung* des Probekérpers, vom Ort P unabhangig und allein durch den Zustand des Probekérpers bestimmt ist, wahrend der vektorielle Faktor € = G(P), die ,,elektrische Feldstarke", nur von den Konduktoren, nicht aber vom verwendeten Probekérper abhangt, im ubrigen aber eine Funktion des Ortes ist. Die Zerlegung ist eindeutig bestimmt, wenn wir die Einheitsladung willkiirlich (als die Ladung eines bestimmten, hier an erster Stelle verwendeten Probekérpers) festsetzen, Das von den Konduktoren erzeugte und von ihnen allein abbangige elektrische Feld © wird man jetzt nicht langer als Krajtfeld bezeichnen diirfen; es ist vielmehr eine Realitat sui generis. Die Gleichung (z2)

R=e-E

zwischen Kraft @ und Feldstarke © ist nicht Definition, sondern ein Naturgesetz, welches die ponderomotorische Wirkung bestimmt, die ein derartiges elektrisches Feld © auf eine hineingebrachte Punktladung e ausiibt. Tatsichlich ist es, wie die entwickelte Theorie lehrt, nicht einmal streng giiltig, sondern nur im Grenzfall unendlich schwacher Ladung e des Probekérpers. Da das Licht nach der Maxwellschen Theorie nichts anderes ist als ein periodisch veranderliches elektromagnetisches Feld von sehr kleiner Periode, kénnen wir das Feld in seinem Gegensatz zur Materie vielleicht am besten als etwas Lichtartiges bezeichnen. Im Auge besitzen wir ein Sinnesorgan, mit Hilfe dessen wir gewisse elektromagnetische Felder auch anders als durch ihre ponderomotorischen Wirkungen wahrnehmen. Ist der Raum zundchst feldfrei und entsteht dann Elektrizitat durch Trennung von Ladungen, die vorher so nahe vereinigt waren, daB sie sich neutralisierten, so wird von ihnen ein mit Lichtgeschwindigkeit (c) sich ausbreitendes Feld erregt; statt unmittelbarer Fernwirkung bekommen wir hier also eine kontinuierliche, von Punkt zu

499

Punkt mit endlicher Geschwindigkeit sich fortpflanzende Wirkungsausbreitung. Und die Wechselkraft des Kérpers k auf k, zerlegt sich in eine Altivitdt von k (Brregung des durch k allein bestimmten Feldes) und ein Erleiden von ke, (durch jenes Feld verursachte zeitliche Anderung seines Impulses). Dazwischen schiebt sich die Ausbreitung des Feldes, die nach eigenen Gesetzen von der durchsichtigsten Einfachheit und Harmonie vor sich geht. Bewegte Ladungen erzeugen neben dem elektrischen Feld € ein magnetisches 8; in der Relativitatstheorie vereinigen sich beide Bestandteile zu einem einzigen _,,Feldtensor“. Die Ausbreitungsgesetze fiir das elektromagnetische Feld (G, 8) im leeren Raum lauten nach MAxwet}) Wesentlich an ihnen ist, 1. daB sie Differentialgleichungen sind, Nahewirkungsgesetze, welche nur die Werte der ZustandsgréBen © und B in unendlich benachbarten Raum-Zeitpunkten miteinander verkniipfen; 2. daB nach ihnen sich die

zeitliche Anderung

des Feldes

o€

ot’

0B

Ot

aus

seinem momentanen Zustand bestimmt (Giiltigkeit des Kausalitatsprinzips). Es treten freilich noch zwei Zusatzbedingungen hinzu, welche nur

die raumlichen, enthalten:

nicht

die

zeitliche

Ableitung

(t4) divE=0, divB=o. Aber sie sind in gewissem Sinne wberschissig. Aus (13) folgt namlich, daB die zeitliche Ableitung der beiden Divergenzen identisch verschwindet. Geniigt also der Anfangszustand des Feldes den Bedingungen (14), so bleiben sie dauernd erfuillt. Die Definition des Feldes mit Hilfe seiner ponderomotorischen Wirkung auf einen Probekérper ist nur ein Provisorium. Durch das Hereinbringen des geladenen Probekdrpers stért man immer in etwas das Feld, das es eigentlich zu beobachten galt; befindet er sich einmal im Felde, so gehért er so gut wie die ibrigen Konduktoren mit zu den das Feld erzeugenden Ladungen. Das wahre Naturgesetz, das an Stelle von (12) tritt, wird also anzugeben haben, was fiir Krafte das von irgendwie verteilten Ladungen erregte elektrische Feld auf diese Ladungen selber ausiibt. Mit dem sich ausbreitenden Feld wird von dem einen Kérper auf den anderen Impulse ibertragen — wie ja auch kein Zweifel dariiber herrschen kann, daB durch Lichtstrahlen (Warmestrahlen) Energie von Kérper zu Kérper transportiert wird. Wahrend das Licht unterwegs ist, nachdem also die Energie den einen Kérper verlassen und den an1) Nur um der gréBeren Bestimmtheit willen schreibe ich diese Gesetze hin; Leser, welchen die mathematische Symbolik nicht vertraut ist, sollen sich dadurch nicht abschrecken lassen!

dern noch nicht erreicht hat, miissen wir sie notwendig im Felde lokalisieren. Auf Grund der Ausbreitungsgesetze (13) kommt man zu folgendem Resultat: +2 ist als Energiedichte des elektrischen,

} $* als Energiedichte

des magnetischen

Feldes anzusetzen; die Stromdichte der Energie ist = ¢[€WB], alsq ein Vektor, welcher senkrecht zu € und ® steht und dessen GrdBe gleich ¢ mal dem Flacheninhalt des von € und % gebildeten Parallelogramms ist. Bezeichnet man demnach das Volumintegral von W=4(@

tiber irgendein

Raumgebiet

+ 8%)

V als die in

V ent-

haltene Feldenergie und berechnet man den Energiestrom, welcher durch die Oberflache @ von V von auBen nach innen hiniibertritt in der Weise, da8 dazu das Oberflachenelement df einen Beitrag liefert: df mal der zu df senkrechten Komponente von ©, so gilt: die Zunahme pro Zeiteinheit der gesamten in V enthaltenen Energie —

das

ist Feldenergie + Energie

der

in

V

vor-

handenen Materie — ist gleich dem durch @ hi durchtretenden EnergiefluB. Die gesamte Energi menge bleibt also bestandig konstant, sie flieBt nur im Felde hin und her und verwandelt sich aus Feldenergie in Energie der Materie und vice versa.

Fiihrt man ein rechtwinkliges Koordinatensystem ein und ersetzt den vektoriellen Impuls durch seine drei Komponenten in diesem Koordinatensystem, so gilt fiir die drei Impulskomponenten etwas ganz Analoges: fiir jede von ihnen haben wir eine skalare Felddichte, eine vektorielle Stromdichte und den entsprechenden Erhaltungssatz. Er ist nurein anderer Ausdruck fiir NewTons

mechanisches

Grundgesetz;

an

die

Stelle

der

Formel (12) sind die Gleichungen getreten, welche Energie- und Impulsdichte, Energie- und Impulsstrom durch die Feldstarken © und § ausdriicken. Insbesondere ist fiir ein Raumgebiet V, das iiber-

haupt keine Materie enthalt, die zeitliche Zunahme

der Feldenergie gleich dem durch die Oberflache eintretenden Energieflu8 (genau so fiir die drei Impulskomponenten), in Formeln:

(as)

0), so fiihrt die eindeutige Darstellung derselben y = a” - y’, wenn wir gemass der

eingeschlagenen Methode durch die infinitesimalen Transformationen ins Kom-

plexe iibergehen und uns dann auf das unitare Gebiet beschranken, zu jener unendlichvieldeutigen Darstellung der unitaren Gruppe. Fiir die zugehérige infinitesimale Gruppe dx = Ax ist z.B.

|| 4.0

aa]

eine zweidimensionale

reduzible,

aber

dennoch

nicht zerfallende Darstellung.

Betrachten wir aber nicht die Gruppe aller unitaren Transformationen, sondern

nur die der unitaren Transformationen

mit der Determinante

1, so gilt erfreu-

licherweise der , Satz 4. 9, ist einfach zusammenhdngend. (Darum fiihrt jede Darstellung der infinitesimalen Gruppe zu einer eindeutigen Darstellung von ganz q,,.) Beweis. Jede Matrix ¢ von q, lasst sich in der Form?) t= ue)

u

schreiben, wo die Matrizen w und (e) gleichfalls zu g, gehéren und (e) insbesondere eine Diagonalmatrix ist, die aus den Multiplikatoren e,, fg, ae besteht ;

é,| =1.

«kann,

ohne dass‘¢ sich andert, durch

von t

(e’)w ersetzt werden,

wo (e’) eine Matrix von derselben Natur wie (e) ist. Ist aber z.B. e, =e,

so

1) Es liegt wiederum an der Analysis situs, namlich an der Geschlossenheit von g,, dass hier die von der Elementarteilertheorie her bekannten Ausnahmefalle nicht eintreten.

563

kann

w sogar ersetzt

werden

durch

s-,

wo s

in eine zweizeilige und n — 2

einzeilige Matrizen zerfallt, die sich lings der Hauptdiagonale aneinanderreihen. s hangt von n + 1, nicht bloss wie (e’) von — 1 Parametern ab. Die «singularen» t, d.s. diejenigen, deren Multiplikatoren nicht alle voneinander verschieden sind, bilden mithin innerhalb der (n® — 1)-dimensionalen Mannigfaltigheit g,, eine solche von drei Dimensionen weniger! Man darf also voraussetzen,

dass die geschlossene

Kurve € auf g,,, die in einen

Punkt

zusammen-

gezogen werden soll, nicht durch die singularen Stellen hindurchgeht.

Ich fithre die Drehwinkel ,, des nicht-singularen ¢ ein durch die Gleichungen ey

Cote

e(y,)

(k=1,2,...,0)

und markiere auf einer reellen g-Achse die sdmtlichen Winkelwerte g,. Sie bilden ein diskretes Punktsystem W, das sich periodisch mit der Periode 1 wiederholt. Wegen J/7¢;=1 ist die Summe von m aufeinanderfolgenden Punkten 9, Q, --., Pn dieses Systems eine ganze Zahl k. Indem ich von der «Reprasentantenfolge» @,, ~g,..., Pn links gy, abhange und dafiir rechts i +1 hinzufiige, gehe ich zu der «nachstfolgenden» Reprasentantenfolge iiber ; deren Summe ist um 1 grésser. Zu jeder ganzen Zahl k gibt es also eine und nur eine (die k-te) Reprasentantenfolge in W, deren Summe = k ist. Ich gehe aus von der 0-ten Reprasentantenfolge y,, 2, ..., Pn desjenigen t, mit dem ich auf € starte. Wahrend nun ¢ die geschlossene Kurve € durchlauft, verfolge ich die stetige Anderung

Kurvenparameter

singularen

yw.

von u und der Winkelwerte

Fiir

diese

Stellen vermeidet.

Aus

Stetigkeit

demselben

kann

9,, 92, ..., Pn mit dem

gesorgt

werden,

da © die

Grunde findet ein gegenseitiges

Uberholen der Punkte , auf der y-Achse nicht statt. Sie bleiben also bestandig

den Ungleichungen

Pi u- dt wie dt > 6t- uw hat die Determinante (det u)". In-

folgedessen ist die Determinante aus n* Vektoren ot gleich der Determinante

aus den dazu gehérigen Vektoren w- dt: u-1 mit den Komponenten (26). Und die Grésse |dt| eines Volumelements, das von ¢ in der Mannigfaltigkeit u be-

schrieben

wird,

wenn

[wv] in [u] ein Volumelement

von

der

schreibt und (e) im Spielraum 9; ... p; + dy; variiert, ist!)

Grésse

|du|

be-

1) In der Tafel der unabhangigen reellen Komponenten von ot:

Ste

2nV-1 Real- und Imaginarteil von f,, (i < k), kann man die letzten beiden zweckmissig ersetzen durch

Ot, und 6t,; = — Alyy.

566 Das Produkt ist

Fiir das gesuchte Volumen findet sich so der Wert

A dPn, dy, doy... dQ=A

i

nee ae,

noe

worin ein konstanter Faktor, das Gesamtvolumen faltigkeit

Wert

[u],

nur von

eindeutige

der Klasse des Arguments

Funktion

periodische

ist. Eine

fortgelassen der

Drehwinkel

¢,,

der geschlossenen Mannig-

Funktion

¢ abhangt,

@2,

-.-, Yn-

auf u,

deren

Mittelwert

einer

F(¢)

ist eine symmetrische Der

solchen Klassenfunktion auf u berechnet sich unserem Ergebnis zufolge durch die Formel

af FijdQ)

O= faa.

Schranken wir durch die Bedingung «Determinante = 1» die Gruppe u auf gy ein, so benutze man nur 9, Yo, -.-, Yn—1 als unabhangige Variable und setze Pn = — (Pi + Pot *** + Yn-1)- Dann gilt im analogen Sinne

dQ = AA dq, doy... dn _1-

(28)

Der einzige Punkt, der erneuter Erwagung bedarf, ist der, dass auch jetzt noch der Ubergang von der willkiirlichen Matrix 6¢ mit der Spur 0 zu der Matrix u

Ot: u-, welche gleichfalls die Spur 0 besitzt, eine wnimodulare

Substitution

ist. Als unabhangige Komponenten von ot sind dabei etwa ausser den seitlichen Ot;, (¢ + k) die Gréssen

(gb, zu benutzen.

Wig Gas ey ob mm

ea Oty

Dies aber ist klar, weil wir fiir eine véllig willkiirliche Matrix

als Komponenten

die eben angegebenen und die Spur

é¢

Otay + Otay +--+ + Oban benutzen

kénnen,

die letztere

aber bei

der in Rede

stehenden

Substitution

ungeandert bleibt. Genau wie fiir endliche Gruppen zeigt man, dass die Charakteristiken (é) der irreduziblen Darstellungen von g, den Orthogonalitatsrelationen geniigen:

Ju) xO at] = 0,

(Gy)

567

wenn y, y’ zu zwei indquivalenten Darstellungen gehéren. Da y eine Klassenfunktion ist, so kénnen

wir das Argument

¢ durch

++, Mn ersetzen und erhalten so

dazu die Gleichung Am

einfachsten

hat

seine Drehwinkel

Pi» Po»

ule) x'(— 9) 42 =0;

(29)

ge | ul?) x(— 9) 42 = 1.

(29')

< Nf

I. ScuuR

diese Orthogonalitatsrelationen

bewiesen});

er

hat auch im Falle der reellen Drehungsgruppe zuerst bemerkt, dass sie sich ins kontinuierliche Gebiet tibertragen lassen. Sein Beweis stiitzt sich auf den algebraischen Hilfssatz. Sind T, T’ zwei quadratische (Variable enthaltende) irreduzible Matrizen von N bzw. N’ Zeilen, so kann eine konstante rechteckige Matrix A von N Spalten und N' Zeilen die Gleichung

AT=T'A

nur so erfiillen, dass

entweder N = N’, det A +0, oder A = 0 ist.

(30)

also T dquivalent T' gilt;

Bedeutet T bzw. T’ die allgemeine Matrix in zwei inaquivalenten irreduziblen Darstellungen G,, 6j, von g,,, so folgt aus (30) demnach A = 0; aus ATA aber ergibt sich, dass A ein Multiplum

der Einheitsmatrix sein muss. Ist X

eine willkiirliche Matrix von N Zeilen und N’ Kolonnen,

so erfiillt

A= [T*XT'|dt| (Gu)

die Beziehung

(30). Darum

ist, in Komponenten

/ T,,(¢-) T,,(t) |dt| = 0 Nimmt

man

7 = 7, 4 = k und summiert

ie

geschrieben, 152

ile

tiber 7 von 1

Ni

ee n'): bis N, iiber k von 1

N’, so kommt die Relation (29) zustande; analog (29’) mit Hilfe der Matrix

A=

{TXT

bis

|di|.

Es soll jetzt gezeigt werden, wie sich auf Grund der Orthogonalitatsrelationen die Charakteristiken vollstandig berechnen lassen. 7(~) ist eine endliche symmetrische Fourier-Reihe in den » Winkelargumenten. Setzt man, um den Orthogonalitatsbedingungen zu geniigen, A - y=,

1) I, Scnur, Neue Begriindung der Theorie der Gruppencharahtere, Sitz.-Ber. Berl. Akad. 1905, S. 406.

568 Eine solche ist eine

so wird é eine endliche schiefsymmetrische Fourier-Reihe.

lineare Kombination von Ausdriicken der folgenden Gestalt: Ot

1,, ly, ..., 1, sind abnehmend Grund der Nebenbedingung gleich 0 genommen wird:

(31)

ell, Gy + le Pe + +++ + In Pn)

geordnete

ganze

Zahlen,

Pit Peto

+ Pn =O

hoy

= 1,—0:

=

wenn

die letzte auf

Die Summe (31) ist alternierend zu erstrecken tiber alle »! Permutationen der Argumente 9;, P2, ---, Pn- Man kann jenen Ausdruck auch als Determinante schreiben:

Elisday stn) = leap), elle p), ---» ellap)| = [ets

et,

em |

Thre Zeilen werden aus der hingeschriebenen durch Anhangen der Indizes 1, 2, ..., m an die Argumente bzw. e gebildet. Nach der frither befolgten Rangordnung — an Stelle der A, sind jetzt durch die unitére Beschrankung die rein imaginaren Gréssen 27 Vv- 1 , getreten — ist das in (31) hingeschriebene Glied

das

héchste

berechnen

also

Fourier-Reihe

der

durch

ganzen

Summe;

Ausfiihrung

der

es

bestimmt

Division

die

die

Héhe

endliche

von

&.

Wir

symmetrische

(32) Irgend zwei verschiedene dieser y* erfiillen dann die Orthogonalitatsrelation (29). Denn unter den (m!)? Gliedern des Produkts

Sistoy vey ty) Bs a os In) ist keines = 1, und darum liefert jedes durch Integration nach @,, ¢2, ---, Pn—1 von 0 bis 1 den Wert 0. Ferner wird

a/ eo A ist selber eines der &, namlich

A=f0ule cot) Das héchste

aa=%.

das

niedrigste

1a

(33)

tiberhaupt

1n=n—2,

mégliche:

0%

(34)

Glied in y* ist

€(10y Py + My Py + +++ + My Pp) = END EM... En; m=1,—%,,

Da fiir 7;=7,

=0.

die Funktion

m

y* =

=m, =0.

2m,2

1 wird,

muss

der von

(35)

den J unabhangige

Wert des Integrals (33) = 1 sein, so dass Q = ! ist und y* die in (29’) fair dz

569

verzeichnete Gewicht

Relation

erfiillt. Es existiert

aber zu vorgegebenem

(36)

+ MyAn}

my Ay + mz dy +--+ m, ganze Zahlen,

héchstem

m, = m,=---=m,=0,

(36’)

wie wir wissen, eine irreduzible Darstellung. Ihre Charakteristik ,, muss sich additiv aus dem zu den gleichen m, gehérigen y* = 7", Formel (32) und (35), und den y* von niedrigerer Héhe zusammensetzen. In Anbetracht des Umstandes aber, dass die y* den Orthogonalitatsrelationen geniigen, wie wir gezeigt haben, und die Charakteristiken y ihnen nach I. Scuur geniigen miissen, ergibt sich daraus sofort durch einen Induktionsschluss, der von den niedrigeren zu den héheren y fortschreitet, 7, = ++y;,. Das Vorzeichen ist dadurch bestimmt, dass alle Koeffizienten der Fourier-Reihe 7,,, insbesondere auch der

Koeffizient des héchsten Gliedes, positive ganze Zahlen sein miissen (Multiplizitaten der vorkommenden Gewichte). So kommen wir schliesslich zu dem folgenden tibersichtlichen Ergebnis:

leg), e(leg),--

Je (1 Ps ea

Xm =

en Ml

P22) |

_

(37)

ist die Charakteristik der irreduziblen Darstellung vom héchsten Gewicht (36). Kehrt

man

von

gq, zur

vollen

Gruppe

g zuriick,

so bedeuten

die e; nichts

anderes als die Multiplikatoren des dargestellten Elements ¢ von g; und der zweite Ausdruck in (37) liefert direkt die Charakteristik als Funktion jener Multiplikatoren. Das Cartansche Resultat, dass es zu vorgegebenem héchstem Gewicht nur eine irreduzible Darstellung gibt, ist damit auf neuem Wege bestatigt ; und man erkennt zugleich den Zusammenhang zwischen der Normierung durch die Gleichung (29’) und durch den CarTanschen Satz, dass der Koeffizient des héchsten Gliedes in x gleich 1 ist. Die zugehérige Variablenzahl N = N,, ist der Wert

also

fiir ~, = @2=

durch, indem man

und

der Charakteristik

++: = Pn = 9. Man

bemerkt,

fiir das Einheitselement

fiihrt die

Rechnung

am

g,

bequemsten

dass

&(1,, 1, ...,1,)

durch die Substitution y,; = 7; p

&(r,,%,---,%)

durch die Substitution p; = 1; p

in dieselbe Funktion fiir 9; = 7, 9:

von

der einen Variablen

y tibergehen.

Ella lay stn) = i

(2)

Die Multiplikatoren einer zu ¢ gehérigen Transformation ¢ sind paarweise zueinander reziprok. Denn geht durch ¢ der Vektor e, + 0 iiber in ¢ - e,, so kann man ¢, zu einem normalen Koordinatensystem erganzen, d.h. einem solchen, in welchem das schiefe Produkt die Normalform (1) hat. Wird ¢ in diesem Koordinatensystem beschrieben durch: 65 > €&,, , * e+ (e e

6g —>

#6

Cy

ke

a

€6,+---,

+- ,

+ Ge,

tert os,

so liefert die Forderung, dass die Gleichungen

S(6r 6) = 1,

Ole e:) — 0,2,

9(e, €)

0

bei ¢ bestehen bleiben sollen, die Beziehungen

ee

=1;

g—--

=o

—0.

Infolge des Verschwindens der « enthalt das charakteristische Polynom /(¢)

= |e — ¢t| den Faktor

(e eC)c (tac ) ) (lec).

581

Die Fortsetzung der eingeleiteten Schlussweise fiihrt zu Satz 1.

Die Multiplikatoren einer zu der Komplexgruppe gehorigen Trans-

formation t sind paarweise zueinander reziprok. Der Matrix von t kann in einem geeigneten normalen Koordinatensystem die untenstehende Gestalt verliehen werden.

Die befolgte Reihenfolge der Variablen ist

L Bred oho und nur an den Glieder. In der Multiplikatoren Diagonalmatrix Der Beweis

Flos

orebuae sei

(2)

mit einem * bezeichneten Stellen finden sich von 0 verschiedene Hauptdiagonale stehen die Multiplikatoren von ¢. Sind die alle voneinander verschieden, so ist t innerhalb ¢ sogar mit der (e) seiner Multiplikatoren konjugiert. der letzten Verscharfung erfordert die Konstruktion einer Ma-

trix « in ¢, welche die Gleichung

t= ue)

uv

(3)

erfiillt. Zunachst existiert iiberhaupt ein Koordinatensystem, in welchem die S invariant lassende Abbildung ¢ mit lauter verschiedenen Multiplikatoren durch die Matrix (¢) ausgedriickt wird. Geht S in diesem Koordinatensystem in die schiefsymmetrische Form S* iiber, so lasst die Transformation (e), bei welcher

jede

Variable

mit

einem

Faktor

¢, multipliziert

wird,

die

Form

S*

ungeandert. Jeder Koeffizient von S* multipliziert sich aber durch diese Trans-

formation mit einem Produkt zweier e;, und daraus folgt in Beriicksichtigung der gemachten Voraussetzung iiber die Multiplikatoren, dass S* die Gestalt haben muss:

8, (% Yj — 211) + So (%2H2 — %E90) Hoe

Sp (Fn In — Fn In)»

(4)

wo die zu zwei Variablen wie x,, x; gehérigen Multiplikatoren e¢,, ¢; zueinander reziprok sind. Die Form ist nicht-ausgeartet, also sind alle s, + 0. Die Normalform

(e) der Abbildung ¢ wird nicht zerstért, wenn

jeder der Grundvektoren

des neuen Koordinatensystems mit einer willkiirlichen von 0 verschiedenen Konstanten multipliziert wird; infolgedessen kann noch dafiir gesorgt werden, dass in (4) die Koeffizienten s, alle gleich 1 sind. Dann ist S* = S, das neue Koordinatensystem

ist wie das alte ein normales,

und die Transformation

welche den Ubergang von dem einen zum andern vermittelt, gehért zu c.

u,

582

Die Gruppe der in ¢ enthaltenen unitéren Transformationen werde mit c¢, bezeichnet. Innerhalb ¢, gilt die Gleichung (3) ausnahmslos: Satz 2. Innerhalb der unitér beschrankten Komplexgruppe ¢, ist jedes Element t mit der Diagonalmatrix seiner Multiplikatoren konjugiert. Die Multiplikatoren e,, ¢;= 1/e;=é; sind vom absoluten Betrag 1. Nehmen wir

zunachst

wieder

an,

dass

sie alle untereinander verschieden sind, so ist

es,bekanntlich méglich, die Gleichung (3) durch eine unitdre Transformation u zu erfiillen. Da die Koeffizientenmatrix S der Form S, mit der konjugiertkomplexen iS multipliziert, die negative Einheitsmatrix —e ergibt, gilt, wie man sofort sieht, dasselbe fiir S*; darum sind die Koeffizienten s; in (4) vom

absoluten Betrag 1; und indem man z. B. die neuen Grundvektoren e;, ¢,..., &) mit geeigneten Konstanten alle s; zu 1 machen,

vom absoluten Betrag 1 multipliziert, kann

ohne den unitaren Charakter des Koordinatensystems

man

zu

zerstéren. — Der Satz iibertragt sich auf jedes t, weil es zu einem Element von ¢, Stets beliebig benachbarte gibt, die lauter verschiedene Multiplikatoren besitzen, und weil die Mannigfaltigkeit ¢,, auf welcher w variiert, geschlossen ist. Aber auch auf direktem algebraischem Wege kann man die Ausnahmefialle mitumfassen, wenn man sich stiitzt auf den

Hilfssatz.

Eine schiefsymmetrische Form S* geht dann und nur dann aus S

durch eine unitéve Koordinatentransformation

matrix selber unitar ist. Wie

hervor,

wenn

ihre Koeffizienten-

S selber muss jede aus S durch unitére Transformation entstandene

Form S* der Gleichung geniigen: S*S* — —e. Beriicksichtigt man die schiefe Symmetrie von S*, so folgt daraus, dass die Koeffizientenmatrix von S* unitar ist. Es sei umgekehrt S* eine schiefsymmetrische Form, deren Koeffizienten-

matrix

unitar

ist;

es gilt

einzusehen,

dass

in einem

unitaren

Koordinaten-

system (das aus dem urspriinglichen durch eine unitaére Transformation hervorgeht) S* die Normalform S annimmt. Die erste Zeile der Koeffizientenmatrix S* laute: Sy = OF Sey Ss, eos

Wir bilden die beiden Vektoren

é, = (1,0,0,...), Bi

Sie sind zueinander unitiar-orthogonal: die Quadratsumme der absoluten Betrage in jeder der beiden Komponentenzeilen ist = 1, und die Produktsumme 1-s,+0-s.4+0-s3+-.-=0.

Darum kann man ¢,, e; durch Hinzunahme weiterer Vektoren einem unitaren Koordinatensystem erginzen. Da * S*(e; €)= = $1 S;° + $385 +n $355= +1 +++ = 1

¢, 3, ... zu

583 ist, verwandelt

sich in diesem

Koordinatensystem

S* in eine schiefsymmetri-

sche Form S**, deren unitare Koeffizientenmatrix links oben die Zahlen tragt Cot

Da die Quadratsumme der absoluten Betriige in den beiden ersten Zeilen und Spalten der Matrix S** gleich 1 sein muss, zerfallt sie notwendig in der aus (5) ersichtlichen Weise. Damit ist der Beweis des Hilfssatzes durch vollstandige Induktion eingeleitet.

0 -

ON)

Oo.

0

Oice.

0!

@

00

(5)

i

00 Zusatz.

20

eo

*

o

A

(6) den

.

of

ee

0

Hat die Matrix S* von vornherein die Gestalt (6), so kann man die

mit den Nummern

1, 2,

n bezeichneten Grundvektoren beibehalten und braucht

nur die andere Hdlfte 1’, 2', ..., n' unitér zu transformieren. Die zu ¢, gehdrige Matrix ¢ lasst sich unter allen Umstanden

durch

eine

unitare Transformation u in die Hauptmatrix (e) ihrer Multiplikatoren iiberfithren. In dem durch w neu eingefiihrten Koordinatensystem werde das schiefe Produkt durch die Form S* dargestellt. Eine Rotte gleicher Multiplikatoren

von ¢ ist entweder von dem Typus

& =

=,

[dannist auch

e = ¢=e, und eg, + +1]

oder von dem Typus

ep = b= 65 — 65 (==

1)

In jedem der beiden Falle sondert sich aus der Matrix S*, da die Form S* invariant ist gegeniiber der Transformation (e), ein Quadrat von 6 bzw. 4 Zeilen ab, das zu den Koordinaten 1, 2, 3, 1’, 2’, 3’ bzw. 1, 1’, 2, 2’ gehért. Inm kann

man auf Grund des Hilfssatzes und seiner Erganzung durch eine unitare Transformation von e;, €3, e; bzw. von é, ej, é:, e3 die Normalform verleihen. Damit ist gezeigt, dass die unitare Transformation w in (3) unter allen Umstanden so normiert werden kann, dass sie S invariant lasst.

Eine zu ¢ gehérige Diagonalmatrix

(¢) besteht, wenn die Variablen in der

Reihenfolge (2) verwendet werden, aus den Gliedern (yay

cae

nas

Gia Sone eh eePy

(e,e; = 1).

584

Sie ist innerhalb ¢ zu derjenigen Diagonalmatrix konjugiert, die aus ihr entsteht durch Vertauschung der beiden Glieder ¢, und e, vnd die damit verbundene Vertauschung

von e; mit ¢5; ebenso bleibt sie in ihrer Klasse, wenn

man ¢, mit ¢; vertauscht. Das gleiche gilt innerhalb der unitar beschrankten

Komplexgruppe

¢,. Im letzteren Fall setzen wir noch e&=ep;),

und bezeichnen

wenn ¢ in wenn man von ihnen In der

die reellen

& = e(— %)

Gréssen g,, @2, ---, Yn als die Drehwinkel

von ¢,

¢, zur selben Klasse gehdrt wie (e). Die Klasse andert sich nicht, die Drehwinkel beliebig untereinander permutiert oder in einigen das Vorzeichen wechselt. Gleichung (3) darf man w ersetzen durch (e*) w, ohne dass ¢ sich

andert ; handelt es sich um die Gruppe ¢,,, so bedeutet (e*) hierin eine beliebige

zu ¢, gehérige Diagonalmatrix. Auch hier werden wir sagen, dass alle Elemente oder «Punkte» von ¢,, welche aus einem, u, auf diese Weise hervorgehen,

die

Gerade {u] auf ¢, bilden; und wir werden durch Projektion, dadurch, dass wir alle Punkte von c¢, auf einer und derselben Geraden in einen einzigen Punkt

zusammenfallen lassen, eine Mannigfaltigkeit [c,] von ” reellen Dimensionen weniger erzeugen. — In dem besonderen Falle aber, wo zwei Multiplikatoren ein-

ander gleich werden: ¢,= ¢, oder ¢,= e1, lasst sich w in der Gleichung (3) ohne Anderung von ¢ sogar ersetzen durch s-u, wo s folgendermassen gebaut ist:

1. Im ersten Fall e, = 9, e, = eg zerfallt s in zwei zu den Variablen x,, x» bzw. x}, %j gehérige Quadrate (12), (12)’ von der Seitenlange 2 und 2(n — 2) Quadrate von der Seitenlange 1, die sich langs der Hauptdiagonale aneinander-

reihen. In (12) steht eine beliebige zweireihige unitaére Matrix,

in (12)' die zu

ihr kontragrediente. Da eine unitare Matrix in zwei Variablen von 4 reellen Parametern abhangt, betragt die Zahl der reellen Parameter (n—2)+4=n+2 fiir die Gruppe

der s, wahrend

nur -parametrig ist.

die Untergruppe

der Hauptmatrizen

(e) in ¢,

2. Im Falle e, = ej = +1 zerfallt s in ein zu den Variablen x,, x; gehériges Quadrat (11’) von der Seitenlange 2 und 2(m — 1) Quadrate von der Seitenlange 1, die sich langs der Hauptdiagonale aneinanderreihen. In (11’) steht eine beliebige unitaére Matrix von der Determinante 1. Da eine solche von 3 Parametern abhangt, ist die Gruppe der s auch jetzt (m+ 2)-parametrig. So kommen wir zu dem fiir die Analysis situs der Mannigfaltigkeit ¢, fundamentalen Resultat : Hilfssatz. Innerhalb der Gruppe ¢, bilden die singuldren t, deren Multiplikatoren nicht alle voneinander verschieden sind, eine Mannigfaltigheit von 3 Dimensionen weniger als ¢,. Die Parameterzahl n(2n + 1).

von

¢, selber ist, wie wir alsbald sehen werden,

gleich

585 § 2. Darstellungen

der Komplexgruppe:

Infinitesimaler Teil

Eine infinitesimale Transformation

dx, = J) in Xe + DY in Xs E i ,

oe

dx, = J) Gin % + 3) On Xe k

(OPW

'

on ()

(7)

k

gehort zu ¢ dann und nur dann, wenn

@% Symmetrisch

Cin + O% = 9,

ist. Die infinitesimale Komplexgruppe

komplexen Parametern. deren Glieder mit

und

oj, symmetrisch

c° ist demnach eine lineare Schar von

neg 2. Bt)

nan 41)

Die allgemeine

Hauptmatrix

Aas dar eer dni

h(A,, Ag, ..., An) in c°,

Aas day er An

bezeichnet seien, durchlauft eine m-parametrige infinitesimale Abelsche Untergruppe von c°. Bildet man aus # und dem Element c, Formel (7), den Kommutator [hc] = he — ch, so erhalt man die infinitesimale Transformation mit der Koeffizientenmatrix

Qin (i= Ae) ert

— o% (A: + Ax)

in (a + Ae) | On (— A: + An)

Als Wurzeln treten daher auf: a=+A;+4, Man

(i < k, alle vier Vorzeichenkombinationen) und « = + 24,.

liest aus der Tabelle ohne

weiteres

ab, welches

die zu diesen Wurzeln

Ah’) =0,

[he,j=a-e,,

[4,¢ 5

analog zu den Kom-

l =

gehérigen Elemente e, von c® sind; und wir bekommen positionsformeln in § 2 des I. Kapitels:

«

Dabei ist #, im Falle « = +A; + Ay (i

wo p, irgendwelche nicht-negative ganze Zahlen bedeuten. Damit ist bewiesen:

Zu jeder Linearform A, deren Koeffizienten m, ganzzahlig sind und den Unglei-

chungen (9) gentigen, existiert eine irreduzible Darstellung von ¢°, deren hichstes Gewicht = A ist. Nach der in I, §4, geschilderten Konstruktionsmethode von E. CARTAN muss sie dadurch gewonnen werden, dass man die kleinste lineare Mannigfaltigkeit ® bildet, welche den «Hypervektor»

ef (€1 X &2)?*(e, X ep X es)... und alle daraus durch die Transformationen ¢ von ¢ entstehenden enthalt. Freilich lasst sich die Methode erst durch das im nachsten Paragraphen auf integralem Wege bewiesene Ergebnis rechtfertigen, dass jede Darstellung von c in irreduzible Darstellungen zerfallt. Verwandelt ¢ die Vektoren ¢,, é, ..., én (um ey, 3, ..., é, haben wir uns nicht zu kiimmern) nach der Tabelle:

€; > 6,6,

+--+ Ene, + Ee +:

so liefern die Invarianzforderungen @=1,4 =2):

+ Se,

S(e; ¢,) = 0 Relationen

von

dem

Typus

S(En) = (Em — €im) + Eom — 62m) + + + Ente — Sntn) = 9Andern Beschrankungen sind die Koeffizienten des von uns benétigten Halb-

teils von ¢ nicht unterworfen. Das aus 7 Zeilen bestehende Schema {m}, Kap. I,

§ 4, besitze die Zeilenlangen

m= b+ birt

+ Pn:

Wieder werde m, + m,+ +--+ m, = gesetzt. Hat {m} z.B. die untenstehende Gestalt (y = 7), so ist die kleinste lineare Mannigfaltigkeit (f) von Tensoren 7. Stufe zu bilden, welche die Tensoren mit den Komponenten

EE Nk,

Ney

bed,

enthilt;

dabei sind die &, 7, ¢ irgendwelche

S(nf)=0,

S(é)=0,

Zahlen,

welche

S(En)=0

den

Bedingungen

588

gentigen.

Auf einen willkiirlichen Tensor / aus (f) ist dann

beziiglich jeder Spalte des Schemas

anzuwenden:

erzeugten Tensoren »-ter Stufe /* ist das Substrat

die Alternation

die Mannigfaltigkeit

der so

® der gesuchten irreduziblen

Darstellung von ¢ mit dem héchsten Gewicht 3 A, + 24, + 243. Das Resultat

bedarf noch der genaueren algebraischen Durcharbeitung durch Angabe eines Prozesses, der aus einem vollig willkiirlichen Tensor y-ter Stufe den allgemeinsten Tensor der Mannigfaltigkeit (f) hervorbringt!); im Augenblick wiirde sie uns aber zu weit vom Wege abfiihren. Das infinitesimale Element (7) von ¢ gehért der unitar beschrankten Gruppe

¢, an, wenn

On + O,;= 0

und damit auch

o,+6,;=0,

gilt. Insbesondere wird 0;,; = A; rein imaginar. meter von ¢, ist demnach = (2m + 1). Eine

ferner

o,+0,;=0

(10)

Die Anzahl der reellen ParaLinearform des willkiirlichen

Elementes (7) von ¢ lasst sich auf eine und nur eine Weise in die Gestalt bringen

2 (ix Cie + Sin Gin + Gin in + Ot OH)» ik

wo die Koeffizienten analogen Bedingungen geniigen wie die Variablen:

ay, + b=

0,

aj, symmetrisch,

Verschwindet eine solche Form

6;, symmetrisch.

identisch, falls die Parameter den Einschran-

kungen (10) gentigen, so verschwindet sie itberhaupt identisch. Denn zunachst setze man

0% = 04 = 0; es kommt

a;,=0,

by, = 0, weil Da, 0,

identisch

verschwindet, falls es das unter der Einschrankung (10) tut. Die verbleibende Bedingung lautet

Man braucht hierin die willkiirlichen symmetrischen

Gréssen 9{, nur

durch

V—1- 0% zu ersetzen, um auf das gesonderte Verschwinden beider Teile der

letzten Summe zu schliessen.

§ 3. Darstellungen

der Komplexgruppe:

Integraler Teil

Gilt der Satz von der vollen Reduzibilitat fiir die Darstellungen der unitar beschrankten infinitesimalen Gruppe c), so gilt’ er nach der letzten Uberlegung des vorigen Paragraphen auch fiir die ganze Gruppe c°. Fiir ¢, aber

wird er bewiesen durch die HURwitz-Scuursche Integrationsmethode. Nur ist es ndtig, sich zuvor davon zu iiberzeugen, dass ¢, einfach zusammenhdngend ist.

1) Vgl. dazu J. A. Scuouten, Der Ricci-Kalkiil (Berlin 1924), S. 262.

589

Die geschlossene Kurve & auf ¢, gehe durch keines der singularen Elemente hindurch, die nach dem letzten Hilfssatz von § 1 eine Mannigfaltigkeit von drei Dimensionen weniger bilden. Fiir ein nicht-singulares ¢ markieren wir auf dem Einheitskreis die Multiplikatorpunkte e,, ¢; (i = 1, 2, ..., 2) und verbinden das konjugierte Paar e;, ¢; durch eine vertikale Strecke, welche die reelle Achse der e-Ebene im Punkte P; = cos 2x;

holen sich nicht gegenseitig,

sondern

bewahren

trifft. Die Punkte P; iiber-

ihre Anordnung.

Ausserdem

Fig. 1 Multiplikatoren von t.

passieren ¢,, ¢; niemals die Punkte -+- 1. Infolgedessen vollfithren die vertikalen Strecken und auch die zugehérigen Punkte ¢;, ¢; auf. dem Einheitskreis lediglich Pendelungen, die Winkelwerte y, kehren nach Durchlaufung der Kurve 8 bei stetiger Variation zu ihren Ausgangswerten zurtick. Daraus folgt, dass sich S stetig in den Einheitspunkt zusammenziehen lasst. - Aus dem einfachen Zusammenhang

von

¢, ergibt

sich von

neuem,

dass die

Gewichte

(8) ganz-

zahlige Koeffizienten m, besitzen miissen. Weiter haben wir nach dem Vorgehen von § 6 des I. Kapitels das Volumen dQ desjenigen Stiicks von ¢, zu berechnen, auf welchem die Elemente ¢ liegen, deren Drehwinkel dem Spielraum 9, ... y; + dp; angehoren. Wie dort bekommen wir aus (3) die Gleichung

“-Ot-u-t= dy ist die Hauptmatrix, —dg.,

..., —dp,

besteht.

fe. du

(e)-4 — du} + 2x /—1 dp.

(11)

welche aus den Gliedern dp,, dps, ..-, 4Pni Fiir ein beliebiges Element

6¢ von

—41,

c?), Formel

(7),

k6nnen wir als unabhangige Komponenten verwenden!) :

alle 9,, und diejenigen oj, und o;,, fiir welche 7 S & ist. Man muss einsehen, dass der Ubergang von 6¢ zu 6*¢ = w- df- u-! auf eine unimodulare Substitution jener Komponenten hinauskommt. Fiir diesen Nach-

1) An Stelle des Realteils und Imaginirteils von Qj. werden dabei 2.B. Qy2 und — 01 = Og, benutzt.

590

weis will ich hier eine bequemere Methode angeben als in Kap. I. w lasst sich in die Form bringen =

Ur (es

igs

wo v und (e*) wieder zu ¢,, gehdren, (e*) aber eine Hauptmatrix ist. Es gilt

(v+ 6¥¢ + v-4) = (e*) (v- dt - v3) (e*)1. Nun

ist 6¢

> 6*¢ eine unimodulare

Substitution, wenn

der Ubergang

v- dt -v-1>06*t- vt unimodular ist. Es kommt von ¢, der Ubergang

eine unimodulare

also nur darauf an, dass fiir eine Hauptmatrix

bt > (e) « bt - (e)-}

Substitution

(é)

(12)

ist. Dies ist bereits dafiir erforderlich,

dass in

der Mannigfaltigkeit [c,,] tiberhaupt eine independente Volummessung zustande kommt. Durch (12) verwandeln sich, da e; = l1/e,; ist, die Komponenten von ot, wie folgt:

OO

ae &

k

Cin > Cin bree

(SA),

Gn > Fn

(Sh).

0

cae

Sa

:

sy eae

Das Produkt der hinzutretenden Faktoren ist = 1 und damit die Behauptung bewiesen. Dieselbe Rechnung bendtigen wir auf der rechten Seite von (11) fiir du an Stelle von d¢: das Volumen dQ wird, unter Fortlassung eines von den Drehwinkeln unabhangigen Faktors,

=[] (=

t£k

1)- [7

tsk

ee—

0) (——

fi ee

-1)

- dp, dg...

dor.

(13)

Ich bediene mich der Abkiirzungen

#7 — ep); Die Produkte

ges von

Hier kann

in (13) ergeben

2 cos 2x@ = ely) + e(— ¢) =c(g),

2isin 2x = e(p) — e(— 9) =s(g). zusammen

das

Quadrat

des absoluten

Betra-

ersetzt werden durch

Qs

durch

(ec) — (r+ 2) etn — etn

ex

1

Also darf in

genommen

dQ = AA dy, dy... dyn:

(14)

A= ITs(p) - IT (e(.) ~ (ge)

(15)

werden. Das zweite Produkt lasst sich als Determinante schreiben:

[er-4(q), -.-, €?(@), ofp),

1] =|..., (29), e(), 1

und darum ist auch

A= |s(nq), ..., s(29), s(9)|Die zu irgendeiner irreduziblen Darstellung von c¢, gehérige Charakteristik z(t) hangt nur von den Drehwinkeln 9, yz, ..., Pn von ¢ ab, und zwar ist sie eine

endliche

Fourier-Reihe

derselben,

die sich nicht

P2a>M

PH

linearen Substitutionen derjenigen endlichen die Transpositionen sind von dem Typus

A> Ps und die Vorzeichenanderungen

Gruppe

andert

bei

den

2”- !

(S), deren Erzeugende

+

1,2)

vom Typus

A>-M1,

%>P:

(+1).

Die primitiven Charakteristiken geniigen den Orthogonalitatsrelationen mit dem Integrationselement (14). A - y = & ist eine endliche Fourier-Reihe, welche sich den Substitutionen der Gruppe (S) gegeniiber alternierend verhalt. Eine solche ist eine Summe von Elementarreihen der folgenden Gestalt Dey Gr + le Pe t+

(S)

+n

Pn)

1, sind ganze Zahlen, fiir welche

fn a gilt, und die Summe

ist so zu verstehen,

eo)

dass in dem

hingeschriebenen

Glied

die ¢ allen Substitutionen der Gruppe (S) unterworfen werden und die Summe

592

sich alternierend iiber die so hervorgehenden Ausdriicke erstreckt. In Form einer Determinante ist diese Elementarreihe

(16)

Ella,lay «+4 In) = | (La @)» S(la.@), -++1 ln |:

A ist nichts anderes als das niederste é(/), das man erhalt, wenn man fir /;

die Zahlen

G1,

wahlt.

7,—n—

1,

rii,—!

(17)

ae — Slaybas veerIn) Ellasbay os In)

© ineroe?,)

A

ue

ist eine endliche Fourier-Reihe mit den geforderten Das héchste Glied darin ist

Symmetrieeigenschaften.

Py + My Po + -+- + Mn Pn)» € (ty

wo also

ist. Die verschiedenen y* sind zueinander orthogonal in bezug auf das Integrationselement (14). Ferner gilt

(18)

a [eo t-9 9-2

(die Integration geht nach allen Variablen gy; von 0 bis 1). Da aber die rechte

Seite von den / unabhangig ist und y* sich fiir 1; = 7, auf 1 reduziert, muss Q=

f dQ—2r

en!

sein, und die linke Seite von (18) ist allgemein = 1. Beriicksichtigt man nun aber, dass zu jedem héchsten Gewicht, dessen Koeffizienten die Ungleichungen (9) erfiillen, tatsachlich eine irreduzible Darsteliung gehért, so erkennt man wie in I, § 6, dass y* die zugehérige Charakteristik ist. Der gleiche Schluss, wie er dort vollzogen wurde,

gestattet

die Dimensionszahl

Wert der Charakteristik fiir ¢ = e oder p; = 0.

zu berechnen,

den

Kehrt man zur totalen Gruppe c zuriick, so hat man in der Determinante

EU

Ty,

y=

let

eh eh

et

gin g-In|

fiir e der Reihe nach die Multiplikatoren ¢, €,, ..., €, von ¢ zu setzen, wahrend

gleichzeitig e’ = 1/e die tibrigen Multiplikatoren ej, 5, ..., e, durchlauft. ((e)) ist namlich ein Aggregat von Potenzprodukten

EiKy

gks

eaeyKn

593 mit ganzzahligen, wennschon nicht durchweg positiven Exponenten k;. Ein solches aber ist durch die Fourier-Reihe eindeutig festgelegt, in welches es durch die Substitution e, = e(p,) tibergeht. Darum ist die behauptete Charakteristikenformel gewiss richtig fiir alle nicht-singularen Elemente der

in

Satz

1

durch

ein

Schema

gekennzeichneten,

fiir alle

¢ von ¢. Aus

¢ ausnahmslos

giiltigen Normalform schliesst man aber leicht, dass jedes ¢ innerhalb der Gruppe ¢ beliebig nahe approximiert werden kann durch nicht-singulare Elemente, und die Formel tibertragt sich dadurch auch auf die singularen Elemente. Endlich kann man statt der Multiplikatoren die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms /(¢) einfiihren. Wir setzen stets

M)=le—ti], Fy = Pot htt ltt. Man bediene sich der CAucHyschen

| %— und

wahle,

——

I(x; — Vx)

verstehend,

(¢+4)-(e+4)=%

und

BAEC)

Ye |

ates

Nun gilt

Formel

ne

unter ¢; Variable

(19)

yn

Roe

.

:

(1-44) (1-9).

eg

cope

ED

ist der Koeffizient von ¢’~! in der Potenzentwicklung der Funktion 1

=

(l= ef) (i—e1f) °

Ferner ist

HC) = TT. — e,€) (L— e*¢).

In der Determinante

Lo+4, (¢+4).-..|

kann man die Potenz (¢ + 1/Z)* ersetzen durch ¢¢+

1

(1 = eq 6%) (L — €6 74s)

cm 8 4 om, [ena

|

¢-*. So erhalt man

LE Ee...ett eve ete tt

AE) fea) «- HEn)

Vergleicht man auf beiden Seiten die Koeffizienten der Potenz

Com

ied Wace! aa Lpeal ee

ce 2 time (0),

594 so kommt

, eli— e-tn|

pepe

a

tll

Mee)

i

oh

= [Pins Prada © Picacis Pi-wde + Piano

(20)

Damit ist die Charakteristik ganz rational durch die Komponenten der Matrix ¢ ausgedriickt. Satz 4. Jede Darstellung von ¢ zerfallt in irreduzible Bestandteile. Die Chavakteristik der irreduziblen Darstellung von dem hichsten Gewicht (8), (9) ist, wenn p= m,+n+1— 1 gesetzt wird:

[ek et

ae = ox

Pi-nti + Pi-n—1 Pi-nse + Pi-n-2

|

die zugehirige Dimensionszahl

mit

TT li — bx) li + 'x)-

Ply, da, + finn = 9,

die dem willkiirlichen schiefsymmetrischen sind.

4)

Tensor 3. Stufe f;,; aufzuerlegen

595 § 4. Die Darstellungen

der Drehungsgruppe:

Infinitesimaler Teil

Unter der Drehungsgruppe verstehe ich hier den Inbegriff ) der homogenen linearen Transformationen von der Determinante 1 (nicht —1), welche eine vorgegebene nicht-ausgeartete quadratische Form Q invariant lassen. Und zwar kann es sich entweder um alle komplexen Transformationen von dieser Art handeln, oder um die reellen Transformationen, welche eine reelle quadratische

Form Q

in sich iiberfiihren.

Tragheitsindex,

und

unsere

Im reellen Gebiet gibt es die Unterschiede des

Resultate

beziehen

sich nicht

etwa

nur auf

den

definiten Fall). Es wird nétig sein, zwischen gerader und ungerader Dimensionszahl

wenden wir (2p,

2n,

bzw.

tty gH

2n +1

zu

iq Hp)

unterscheiden.

bzw.

2

12

Als

Normalform

0, 1 Wyte

bo

von

@Q ver-

4 Xy%p)

(22)

Die unitaére Beschrankung tritt ein, indem wir x; konjugiert zu x, (und bei ungerader Dimensionszahl ausserdem 1, reell) nehmen und fordern, dass diese Bedingungen bei der Transformation erhalten bleiben. Ich verzichte hier auf die genauere Betrachtung der einzelnen Operation von 0; es geniigt die Bemerkung, dass bei gerader Dimensionszahl 2m ihre Multiplikatoren paarweise zueinander reziprok sind, bei ungerader Dimensionszahl 2n+ 1 zu den » Paaren reziproker Multiplikatoren noch der Einspainner ¢) = 1 hinzutritt. Von der Gruppe B, derjenigen unitaren Transformationen mit der Determinante 1 in 2n bzw.

2n+

1 Variablen (bg)

welche

die Form Q

Vays

aoe

vas 2a

Bos ees

in sich iiberfithren, ist es wohl bekannt,

Elemente ¢ sich in der Form schreiben lasst t= 'e)

dass jedes ihrer

@,

wo wv und die Diagonalmatrix (¢) der Multiplikatoren

(9=1),

s=e(y),

¢ =&=e(—y,)

(¢=1,2,...,n)

gleichfalls zu », gehéren. Bei ungerader Dimensionszahl ist mit (e) jede derjenigen Hauptmatrizen innerhalb 0, konjugiert, welche aus ihr durch die schon oben erwahnten 2”-n! Substitutionen der Gruppe (S) fiir die Drehwinkel P1» Pa» «++» Pn hervorgehen. Bei gerader Dimensionszahl muss man sich jedoch auf diejenige Halfte (S)’ von (S) beschranken, deren Elemente die Permutationen der @ sind, verbunden mit gleichzeitigem Wechsel des Vorzeichens an einer geraden Anzahl der Winkelargumente. 1) Den definiten Fall behandelte I. Scuur in seiner zweiten Mitteilung: Neue Anwendungen der Integralrechnung auf Probleme der Invariantentheorie. Sitz.-Ber. Berl. Akad. 1924, S. 297.

596

Die Matrix einer willkiirlichen infinitesimalen Operation von d ist in dem Schema (23) angegeben. 0

Qi

Oo;

(Paeclew

723)

Si a

oy

cs

CR

On + %; =,

0

0:4:

|

—9,,

ST:

einl€s— ay)

|

ielAy + Ay)

2]

|

s

—o,(A; + A,)

a

(24)

Oa(— Ai +Ax)

0% und oj schiefsymmetrisch (7, k = 1, 2,..., ).

Der Rand von der Breite 1 tritt nur bei ungerader Dimensionszahl auf. Die zur infinitesimalen Gruppe d° gehérigen Hauptmatrizen seien wieder mit h(A,, Ag, -.», An) bezeichnet; 9,;=A,, o;; = —A,. Das rechte Schema (24) beschreibt, was aus der linken Matrix (23) entsteht durch die Kommutatormultiplikation mit 4. Die Wurzeln sind also a=(+4,),

+4,+4,

(i < &, alle vier Vorzeichenkombinationen).

Fiir eine Linearform A der 2, mit den Koeffizienten m, ist dementsprechend

(25)

(--2m,,=\m,|.

|

Im zweiten Fall kann m, auch negativ sein. Realisierung. Zu jedem der miglichen hichsten Gewichte gehirt eine nur eine trreduzible Darstellung.

26 ee und

597

Dimensionszahl

2n + 1.

Jedes mégliche héchste

Gewicht

nicht-negative ganzzahlige Koeffizienten ~, zusammen aus MeAySH Ag

Wie man

eH

Ay

(61)

2,02,

die irreduziblen Darstellungen mit dem

-., f@n—1 findet, ist uns bekannt.

21),

héchsten

In einer Darstellung,

wicht yw, besitzt, miissen alle Linearformen

setzt sich durch

Gewicht “4, [W2,

die das héchste

Ge-

(27) als Gewichte

auftreten; ihre Variablenzahl betragt also mindestens 2”. Und

wenn wir eine zum héchsten Gewicht yw, gehérige Darstellung der Dimensionszahl 2” finden, muss sie irreduzibel sein. Denn die Gewichte (27) sind alle von-

einander verschieden, und aus einem von ihnen erhalt man die iibrigen durch wiederholte Anwendung der zu den Wurzeln «=A; gehérigen Ubergange

AA’.

Eine

solche Darstellung

ist in der Tat von E. Cartan konstruiert

worden?). Die 2” Variablen werden zweckmassig durch einen Buchstaben x mit n Indizes gekennzeichnet, deren jeder die Werte + oder — besitzen kann. Ich gebe die Operationen an, welche in der gesuchten Darstellung der Hauptmatrix h und den zu den Wurzeln « gehérigen Elementen e, von c° korrespondieren.

H = H(A, Ao, .-., An): jedes x geht iiber in

tA th to aS wo die Vorzeichenkombination der betreffenden Variablen x.

E,,%=A,.

Diejenigen

An ee,

im Faktor zusammenfallt mit der Indizesfolge

x, deren

i-ter Index

+

% = x_ aber, dessen i-ter Index -- ist, geht iiber in

ist, gehen

iiber in 0. Ein

+ x,, wo x, aus x_ ent-

steht, indem der 7-te Index aus — in + verwandelt wird; das Vorzeichen vor x,

ist gleich dem

des 1-ten bis (:—1)-ten Index von x,. — Analog fiir

Produkt

a = —A,: die Rollen von + und — im 7-ten Index sind zu vertauschen.

E,,

«=A; +,

(i , .--, Pn—1 noch immer stetig in den Ruhwert g=0 zusammenziehen;

gleichzeitig fiihre man den von ¢,, durch-

laufenen Bogen, indem man seine vertikale Anfangssehne den tibrigen vertikalen Strecken nach gegen 1 riicken lisst, in die einmalige Durchlaufung des ganzen Kreises von y = 0 bis y = 1 iiber. Man erhalt dann am Ende des Deformationsprozesses an Stelle von

& die stetig sich vollziehende volle Umdre-

hung einer reellen zweidimensionalen, variierenden Ebene:

mit

dem

Kurvenparameter

€;

> COS:

e,— SiN:

ey,

€y

> SIN - &; + COS

: ep.

yu stetig

Die «reellen» Vektoren e,, ¢, und der Drehwinkel g hangen stetig von yu ab, und @ durchlauft einmal die Skala der Winkelwerte von 0 bis 1. Diesen Prozess kann ich offenbar stetig tiberfiihren in die volle Umdrehung §, einer irgendwie fest vorgegebenen reellen zweidimensionalen Ebene. Darum ist jede geschlossene Kurve & entweder homolog 0 oder homolog Sy. Da es evident ist, dass sich R

nicht stetig auf einen Punkt

zusammenziehen

ungerade Dimensionszahl bewiesen. Bei gerader Dimensionszahl ist die Méglichkeit

lasst, ist unser

zu erwagen,

Satz fiir

dass das am

weitesten nach rechts gelegene Paar e,, ¢, durch +1 hindurchgleiten kann und

dadurch 9, tiber 0 in — y, sich verwandelt. Wenn aber nicht bloss ein einziges

Paar da ist, d. h. wenn

nicht = 2 ist, wird dem ersten Paar unter allen Um-

stainden durch die tibrigen Paare das erwahnte Méglichkeit ist darum von welche gy, ersetzt durch o - y, (o der parameter), den von y, durchlaufenen (2, +++) Pn—1 Stetig in die Ruhelage p

Hiniiberriicken nach —1 verwehrt. Die keinen Folgen, weil die Deformation, von 1 bis 0 abnehmende DeformationsBogen ebenso wie die Pendelungen von = 0 iiberfiihrt. Es bleibt nur die andere

600 MOglichkeit zu diskutieren, dass das m-te, das am weitesten nach links gelegene

Paar durch —1 hindurchgeht und @, iiber 1/2 hiniiber in 1 — ¢, sich verwandelt. Das Resultat ist dann offenbar das gleiche wie bei ungerader Dimensionszahl. Die oben wiedergegebene CarTANsche Tabelle lasst erkennen, dass es tatsichlich Darstellungen der abstrakten Gruppe d% gibt, die erst auf dj, nicht schon auf D,, eindeutig sind. »Dem schon im I. Kapitel eingeschlagenen Gedankengang gemiss folgt nun die Berechnung des Volumens dQ. Als Komponenten eines infinitesimalen Elementes

(23) von D,, kénnen wir verwenden

(Q;, 0;) alle 9, und diejenigen 0;,, 0%, fiir welche 1 < & ist. Darum gilt

a0 =( IT.-0 (&—3)} TT ( -1)- Tee i

itk

(a3

i0, so ist derselbe Ausdruck brauchbar fiir den ersten der beiden Summanden, in welche y nach (33) zerfallt. Fiir den zweiten, den sin-Teil hat man

Jeh — enh, ..., en — en|

ie

=F, ep e711] °

d.i. die p-Determinante (20), multipliziert mit 6 = JT s(;). i

Man findet

(— 1)"6? = J] (2 — e(p,)) (2 + e(p,)) = #1) f(-1) = le—2| - |e + tj. Bezeichnet man die Koeffizientenmatrix (38) der invarianten quadratischen Form (22) mit é, so ist | e|=(—1)". Darum erhilt man,

1

(38)

nachdem man zunachst |e —¢| ersetzt hat durch die transponierte Determinante |e—¢’|: 6? =|(e —#’e) (e+ 24)|.

Nun

ist ¢’/et=e,

minante 2) Vgl. zu dieser und I, Scuur.

den

iibrigen

Formeln

der

also 62 gleich der Deter-

schiefsymmetrischen

dic auf S. 314 unter

Matrix

1) zitierte Abhandlung

von

604

ét—t'é. das

Die

Quadrat

Determinante

einer

schiefsymmetrischen

Matrix

ist

einer ganzen rationalen Funktion ihrer Komponenten,

der «Pfaffiante».

aber

namlich

Setzt man also

a(t) = Pfaffiante von (é¢ — t’é), so kommt?) 2 x(t) =

[Pica

ae Pina

ei oma

Pines

wal

A(t) -|Pr—ny Pr-n4a + Pi-n-a»---| (Gewicht: 1,-n+1,

l,—n+2,...,

In-y—1,41,

(39)

(hn 29);

fiir /,, =0 ist der Faktor 2 links zu léschen und fallt rechts das zweite Glied fort}. Sind die / halbganze Zahlen, so schreiben wir an Stelle von / diesmal /—1/2. el

ae

eo

U-12)

ef

ra

t2

=

eo

Apa

U-12)

an

ei sind die Koeffizienten von ¢’~1 in den Potenzentwicklungen

i

oe

eu

ess

bzw.

CS ee.)

Eiues

(l= et)

l—e 8)

der Funktionen

*

Darum ersetze man in der p-Determinante (20) ; durch p;—?,_, bzw. £;4 pi43 so kommen die beiden Determinanten in der Formel (40) zustande. Ausserdem sind die Produkte

He? +"), i

Fle? -e"*) i

ins Quadrat erhoben bzw. gleich

f(-1) =|e+4|

und

(—1)"f(1) = (—1)"Je—t|=|é— 2].

Somit findet sich jetzt 24)

= Vier?

1)" [e=?]

+V(A ‘

[Gewicht : 7,—

“| Pren—Preaa Pind

il

+ peep

Deas

pen

hae

3

Fa one

rae

— (ane Ben 3

9

ts

hers

+ (In-

L

ab

|

40

(#0)

To Set

In den Formeln (36), (37), (39), (40) bedeuten J,, /,, ..., 1, stets ganze Zahlen, die den Ungleichungen /, >J, >--. >/, geniigen; ausserdem ist, wie jedes-

1) Die Berechnung dieser Charakteristiken, welche er 7 nennt, ist I. ScxuR noch nicht gelungen; ebenso fehlen bei ihm natiirlich diejenigen der zweideutigen Darstellungen. Eine rekursive Bestimmung der 7 gelang im Anschluss an die Scuurschen Untersuchungen, aber ohne Benutzung des Integralkalkils, R. BRAUER (Dissertation Berlin, 1925)

605 mal vermerkt ist, /, entweder der Einschrankung worfen. — Die vorkommenden Irrationalitaten sind

V(-1)"{e—#| Bei

ungerader

Dimensionszahl

ist ihr Produkt rational = x(t).

und

ist die erste

//le4

/, > 0 oder /, = 0 unter-

tl.

= 0; bei gerader

Dimensionszahl

Satz 6. Jede Darstellung von d zerfallt in irreduzible. Die Dimensionszahlen

der irreduziblen Darstellungen sind unter (35), (35') verzeichnet. Den Ausdruck der Charakteristiken durch die Multiplikatoren von t findet man nach Anweisung der Gleichung (32) in den Formeln

selber in (37), (36) bzw. (39), (40).

(29), (31) bzw. (33), (34), durch die Matrix t

Auf die von I. ScuuR neben d behandelte Gruppe alley Q invariant lassenden linearen Transformationen, zu welcher auch diejenigen von der Determinante —1 gehéren, gehe ich hier nicht ein. Denn unser Standpunkt ist der infinitesimale. Auch die Charakteristiken =

Di Vivty. tn

oo)

ORs Pr + Ba Pz + ++ + Pn Pu)

sind fiir uns lediglich die «erzeugenden Funktionen», welche die vorkommenden Gewichte

sammenfassen.

2; p+

ke

2+ --: + An Gn und ihre Multiplizitaten 7;, ,,.-.%, 2U-

— Die durch Hinzunahme

der Dilatation erweiterten

c und d kénnen analog behandelt werden wie in Kap. I, § 8.

Gruppen

606

KAPITEL

111

Struktur der halb-einfachen

Gruppen

Begonnen wurde die Untersuchung der Struktur der halb-einfachen kontinuierlichen Gruppen endlicher Parameterzahl von KiLi1NnG?); abererst E.CarTAN gelang in seiner Thése (Paris 1894) ein einwandfreier Aufbau. Das Resultat war eine vollstandige Tabelle aller abstrakten einfachen Gruppen (deren direkte Produkte die halb-einfachen sind): zu den drei grossen Klassen der Gruppen g, ¢, D, deren Darstellungstheorie in den beiden vorigen Kapiteln entwickelt wurde, traten nur noch weitere fiinf einzelne Gruppen hinzu. Die Untersuchung zerfallt in zwei Teile, einen allgemeinen, in welchem die Haupteigenschaften der halb-einfachen Gruppen ausfindig gemacht werden, und einen speziellen, der durch viele Fallunterscheidungen hindurch zu den wenigen konkreten Méglichkeiten vordringt, welche zufolge jener Eigenschaften allein offen bleiben. Ich komme

hier auf den allgemeinen Teil zuriick, weil er nicht nur wesentlicher

Vereinfachungen

fahig ist, sondern

fiir unsere Zwecke weiter gefiihrt werden

muss, als es durch E. CARTAN geschehen ist. Das Hauptziel dabei ist, die

Beschrankung», die bisher eine so bedeutsame halb-einfachen Gruppen zu iibertragen.

§ 1. Grundbegriffe.

Zerlegung

«unitare

Rolle spielte, richtig auf alle

nach einer maximalen

auflésbaren

Untergruppe

Der

Begriff der infinitesimalen

Gruppe

a wurde

schon

in Kap. I, § 2, in

Erinnerung gebracht. Eine lineare Teilschar b von a ist eine Untergruppe, wenn irgend zwei zu b gehdrige Elemente 6,, 5, stets ein zu b gehoriges Kommutatorprodukt [b,,,] erzeugen. Eine invariante (ausgezeichnete, selbstkonjugierte) Uniergruppe liegt vor, wenn mit 6 zugleich [bx] der Schar angehért, welches auch das Gruppenelement x innerhalb a sein mag. Im letzten Fall ist a mod. b genommen (Projektion von a nach b; in der durch Projektion entstehenden Mannigfaltigkeit gelten zwei Elemente von aq als gleich, wenn ihre Differenz zu b gehért) ebenfalls eine Gruppe, die Faktorgruppe. Die Elemente von der Form

[xy] und alle diejenigen, die sich aus solchen additiv zusammensetzen,

bilden die Kommutatorgruppe oder abgeleitete Gruppe a’; sie ist eine invariante Untergruppe von a. Scharfer gilt: Die Ableitung einer invarianten Untergruppe von a ist wiederum eine invariante Untergruppe von a. Demnach sind die sukzessiven Ableitungen a’, a’, ... samt und sonders invariante Untergruppen

1) Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen, Math. Annalen 31 S. 252; 33, S.1; 34, S.57; 36, S. 161 (1888-1890).

607

von a. Bricht diese Reihe ab mit der infinitesimalen Gruppe 0, so ist a eine auflosbare (oder «integrable») Gruppe. Man kann diesen Begriff auch so fassen: Die Gruppe a ist auflésbar, wenn sie sich mittels einer Reihe = Ap, Gps

+++) Ag, Ay, Oo = 0

abbauen lasst, in welcher jedes a;_, invariante Untergruppe des vorhergehen-

den a; ist und die Parameterzahl von Glied zu Glied um 1 sinkt. Enthalt eine

Gruppe keine andere invariante Untergruppe als 0 und sich selbst, so heisst sie einfach; halb-einfach hingegen, wenn sie keine andern auflésbaren invarianten Untergruppen enthalt ausser 0. Die einparametrigen Gruppen sind zugleich Abelsch und einfach; aber abgesehen von diesem trivialen Fall ist eine einfache Gruppe stets auch halb-einfach.

Zu einer beliebigen in abstracto gegebenen Gruppe gehért immer die von Lik als Parametergruppe bezeichnete Transformationsgruppe. In ihr korrespondiert dem Gruppenelement T die Transformation X = TX’ der Gruppenmannigfaltigkeit in sich selber; sie ist so auf die urspriingliche Gruppe homomorph bezogen. Eine andere isomorphe Transformationsgruppe, die «adjungierte», erhalt man, wenn man dem Element T die Transformation Ea

ICE

zuordnet. Diese Darstellung ist jedoch unter Umstanden «verkiirzt»; es entspricht namlich allen denjenigen Elementen T die Identitat, welche dem Zentrum der Gruppe angehéren, d.h. mit allen Elementen X der Gruppe vertauschbar sind. Im Gebiet der kontinuierlichen Gruppen ist sie dennoch von grésserer

Wichtigkeit als die Parametergruppe, da die Transformation aus jedem infinitesimalen Element x wieder ein infinitesimales x’ entstehen lasst: Sa ist eine homogene

lineare Transformation

im 7-dimensionalen

Vektorraum

a,

und wir bekommen so eine Darstellung der kontinuierlichen Gruppe durch lineare Transformationen. Das infinitesimale Element ¢ wird dabei reprasen-

tiert durch die infinitesimale lineare Transformation, welche dem willkiirlichen

Vektor x des Raumes a die Anderung x—.’ gleich

da =|tx)

(1)

erteilt. Dass dies eine isomorphe Darstellung ist, bildet den eigentlichen Inhalt des Multiplikationsgesetzes [fs é) x] =[é{s x]] t gehort dem Zentrum

an, wenn

—[s(é2]].

[tx] identisch in » gleich 0 ist. Das Zentrum

ist eine invariante Untergruppe, deren Elemente s,t vertauschbar sind: [st]=0. Fiir eine halb-einfache Gruppe a besteht demnach das Zentrum nur aus 0, und

608 hier ist die infinitesimale Gruppe Y der adjungierten linearen Transformationen (1) eine homomorphe Darstellung von a.

Jede homogene lineare Transformation in einem m-dimensionalen Vektorraum t, den die Variable x durchlauft, ai—

besitzt ein von der Wahl stisches Polynom

des Koordinatensystems unabhangiges

f(¢)=|¢€£-—T| Ist

€ = «a eine

Wurzel

Ex

charakteri-

(E die m-dimensionale Einheitsmatrix).

von

/, so existiert

Abbildung sich in awe verwandelt:

de—

ein

Vektor

e + 0, der

durch

diese

le — ou

Den verschiedenen Wurzeln «1, a, ... von f(¢) entsprechend, kann man den Raum t in Teilrdume tr, + t, + --- zerspalten, deren jeder invariant ist gegeniiber T, von folgender Beschaffenheit?): Ist «, eine v;-fache Wurzel des charakteristischen Polynoms, so ist t, von »,; Dimensionen, und alle Vektoren x, die zu t, gehéren, erfiillen die Gleichung (La;

E)@s = (@

2,24 — 0;

Geniigt umgekehrt ein Vektor x einer Gleichung (d — «,)'x = 0 mit einem beliebig hohen positiven Exponenten J, so liegt x in r,. Entsprechendes gilt firs ee Diese Tatsachen werden angewendet auf die Operationen der adjungierten Gruppe, auf die Matrix T der linearen Transformation

ae= tx), Benutzt man irgendeine Basis ¢,, ey, ..., e, der infinitesimalen Gruppe a und ist darin ba

Ty Oy

tata

=

eee

(2)

so besteht jene Matrix aus den in den Gleichungen [te]

= Dvn

k

ex

(te

eer)

auftretenden Koeffizienten y,,. In ihrer Abhangigkeit vom

Elemente ¢ sind

sie Linearformen der Parameter 1, , T:, --., T,- Das charakteristische Polynom

15) =|CE— T| =f" — yy) En-1 + yf) C2

ty),

1) Vgl. etwa H. Wri, Mathematische Analyse des Raumproblems (Berlin 1928), S. 88-95.

(3)

609 dessen Koeffizienten y;(t) homogene ganze rationale Funktionen der durch den

Index 7 angezeigten Ordnung in den Parametern 7, t2, ..., tT, von ¢ sind, ist

eine Invariante gegeniiber der adjungierten Gruppe; d.h. es ist df = 0, wenn man ¢ den infinitesimalen Zuwachs dt = [at] erteilt, welches auch das Element

a von

a sein mag.

Der

letzte

Koeffizient

y,(t) verschwindet

Besonders wichtig ist die in den Parametern homogen-lineare

Spur

identisch.

ylt) = Oy Yi:

Ist b eine g-parametrige Untergruppe von a, so ist das charakteristische Polynom g(¢; 7) des beliebigen Elements ¢ von b fiir die Gruppe b — es ist vom Grade q — ein Teiler des Polynoms

Untergruppe

von

/(£; ¢). Ist b insbesondere eine

a, so gilt fiir die Elemente

Ho; t) = 079

invariante

¢ von b:

g(C; 2).

(4)

Bei fest gegebenem ¢ = fy zerspalten wir den y-dimensionalen linearen Raum a, in welchem

sich die Transformation

“Ty: dx = [tx] abspielt, nach den verschiedenen charakteristischen Wurzeln von T, in Teilraume. Von einem Vektor oder Element x, das in dem zur Wurzel %» gehérigen Teilraum liegt, sagen wir kurz, es gehdre zu a. Hilfssatz. Gehdrt x, zur Wurzel a, x3 zur Wurzel Bo, $0 [X_Xp] ZU % + Bo(Insbesondere ist [x,%,] = 0, wenn o%» + By keine Wurzel des charakteristischen

Polynoms ist.)

Beweis. Wird a + Bo = Yo» [%x Xp] = %, gesetzt, so folgt

oder

[to [%_ ¥6]] = [[to %a] %p] + [%2 [to al] To%,= [To %» %) ELM, L (To — Yo} x)=

Lo Mpls

[(To — %)% > %p] + [>

(To — Bo) %3]-

Durch wiederholte Anwendung dieser Relation ergibt sich, dass (J) — 7»)'x,, eine Summe von Ausdriicken der Form ist: [(Lo — Xo) *%1 (To — Bo)?%_)

miti+7=1.

Sobald / also mindestens so gross ist wie die Summe beiden Wurzeln «» und fo, ist (io

der Vielfachheiten der

Yo) x, = 0.

Gemiiss dem Hilfssatz bilden die zur Wurzel 0 gehérigen Vektoren, zu denen insbesondere ¢y selber gehdrt, nicht bloss eine lineare Mannigfaltigkeit, sondern eine Gruppe } innerhalb a. Ist A ein Element von , so lasst die Abbildung

610

Teil-

dx = [hx] jeden der zu den verschiedenen Wurzeln %» von 4, gehdrigen

raume invariant; denn mit x, gehért auch immer [hx,] zur gleichen Wurzel a. Das ty, von

welchem

wir ausgehen,

sei insbesondere

als ein regulares

ment gewahlt, d.h. als ein solches, dessen charakteristische

Ele-

Gleichung /(£; t)

die Maximalzahl verschiedener Wurzeln hat, die tiberhaupt ein Element inner-

halb

kann),

a besitzen

Verschwinden

unter

Koeffizienten

den

(3) die

von

letzten nidentisch, so hat fiir das spezielle f, die Wurzel 0 von /(£; ¢)) nur gerade die Multiplizitat , und b ist n-parametrig. Mit Hilfe einer Basis /,, fg, ..-, In von h sei jedes Element von h in die Form gesetzt:

= W(Ay, Ags ++) An) = Ay hy + Ag hy +0 Es wird etwa

y= DP =A,

+ Qhe to

+ An hen

+ A hn

sein. % bedeute eine Wurzel der charakteristischen Gleichung von ¢) und r, den zugehérigen Teilraum. Da die Formel dx = [hx] eine Abbildung des Teilraums r, auf sich selber definiert, konnen wir deren charakteristisches Polynom

£,(C; h) herstellen. Sein Grad », ist gleich der Dimensionszahl von r,.

f(C; h) ist = ITM Das Produkt

erstreckt sich iiber die Aria kea ros

Wurzeln %». Ich behaupte,

dass /,(¢; h) fiir alle Werte der Parameter A;, A, ..., A, die Potenz eines Linearfaktors sein muss: (¢ — «)’«. Denn gabe es A- Werte, fiir welche /, verschiedene Wurzeln

besasse,

des Polynoms

so ware

fiir t= ¢, die

Maximalzahl

/(£; 4) nicht erreicht gewesen.

v,-«

verschiedener

ist die Teilspur

Wurzeln

von

h im

Raume r, und demnach « selber eine Linearform der Parameter /,; a» ist ihr Wert fiir 2; = A?. Insbesondere muss /o(¢; 2), das charakteristische Polynom von h in der Gruppe b, identisch = ¢” sein, da im Produkt der tibrigen Faktoren /,(¢; 4) der Koeffizient von ¢° nicht identisch verschwindet. In der gewonnenen Produktzerlegung

nennen wir die Linearformen « der Parameter 2 die Wurzeln der Gruppe a. Das Element f) = h® spielt von jetzt ab keine Rolle mehr, an seine Stelle ist die

ganze Gruppe b getreten.

Die Gruppe b ist aufldsbar. Das geht aus dem folgenden

Satz von ENGEL?)

hervor: Ist das charakteristische Polynom eines willkiirlichen Elementes h in einer

1) Spaltet man, die Parametert als Unbestimmte behandelnd, aus f den gréssten gemeinsamen Teiler von f(¢) und df/df ab, so bedeutet diese Bedingung, dass die Diskriminante des tibrigbieibenden Faktors /,(¢), eine ganze rationale, nicht identisch verschwindende Funktion der Parameter von ¢, fiir t = ty verschieden von 0 ist. 2) Vgl.A. Umiaur, Dissertation (Leipzig 1891), S.35; E. Cartan, Thése (Paris 1894), S. 46; und die Beweise fiir dieses und das Lirsche Theorem im Anhang des gegenwiartigen Kapitels.

611

n-parametrigen infinitesimalen Gruppe b gleich &", so ist h auflésbar. Sein Beweis

beruht auf dem fundamentalen Lieschen Theorem iiber infinitesimale auflosbare

Gruppen linearer Transformationen. Ist § eine solche, welche Transformationen eines m-dimensionalen Raumes r besteht:

aus

linearen

dx = Hx= (HH, +4,H, +++ +4,H,) x — die A; sind die Parameter, die Vektoren

des Raumes

H; feste m-dimensionale

Matrizen,

t —, so besagt dieses Theorem:

x durchlauft

dass im Raume

vt ein

durch den Nullpunkt gehender Strahl existiert, welcher gegeniiber allen Transformationen von $ invariant ist. Mit anderen Worten: es existiert ein von 0 verschiedener Vektor e in r, so dass

He=A-e ist, wo A eine Linearform

der Parameter 1; bedeutet.

zur Ableitung §’, so wird A = 0. Denn Bezeichnung

Man

kann

[BB den Lieschen

(5) H insbesondere

aus (5) folgt in leicht verstandlicher

e= AlAs

Satz von

Gehért

= AA)

neuem

= 0,

anwenden

auf den

(m—1)-dimen-

sionalen Raum, der ausr durch Projektion nache entsteht; und so fortfahrend, erhalt man eine Folge von Vektoren ¢, €, ..., €m, welche ein Koordinaten-

system in r bilden und Gleichungen geniigen TEE H

A e. = Ag és (mod €,), me

miodd €1)¢5) 1. Ena)

in denen die A; Linearformen der 4 sind. Das charakteristische Polynom von H zerfallt demnach in Linearfaktoren

(¢ — Ay) (¢ — Ay)... (6 — An)Dies Theorem kann man insbesondere anwenden auf die lineare Transformationsgruppe, welche zu einer auflésbaren infinitesimalen Gruppe adjungiert ist. Der Satz von ENGEL ist im wesentlichen die Umkehrung

des so entstehenden

Satzes iiber die Konstitution der auflésbaren Gruppen. Hier machen wir von dem Lieschen Theorem Gebrauch fiir die zu isomorphe Gruppe von Abbildungen dx = [h x] des zur Wurzel « gehérigen Teilraums r,. Danach

existiert ein bestimmtes

Element

fiir alle h die Gleichung besteht

[hej = & + &-

¢, + 0, so dass simultan

(7)

612 Ist r, nicht eindimensional, gibt es weiter ein von e, linear unabhangiges Ele-

ment ¢, fiir welches

[he]

=a-e, (mod ¢,)

(7’)

gilt, usf. Fiir ein Element der Gruppe ) von der Form

[/,h,] und damit fiir

jedes Element der abgeleiteten Gruppe b’ sind die Wurzeln « = 0. , Diese

Ausfiihrungen

lassen

bereits

deutlich

erkennen,

dass

die

Konstitu-

tionsformeln der Gruppen gq, ¢, 0 wesentliche Ziige tragen, die allen Gruppen gemeinsam sind.

§ 2. Die

Gewichte

Es liege eine Darstellung der Gruppe a durch lineare Transformationen vor. Dabei entspreche dem Element / die Matrix H, dem Element e¢, die Matrix E,.

Ausserdem

sei neben « auch

—a Wurzel.

[E, E_,] = H, ist eine spezielle Ma-

trix H. Der Wert einer beliebigen Linearform A = A(H) der Variablen /,, /,,

..., A, fiir H = H, werde wie frither mit A, bezeichnet. Gilt fiir einen Vektor e des Darstellungsraumes eine Gleichung

He

ece

(5)

wo A eine Linearform der A, ist, so sagen wir, e sei vom

Gewichte A, und falls

e + Oist, A komme in der Darstellung als Gewicht vor. Wir kénnen nun genau die in Kap. I, § 2, angestellte Uberlegung wiederholen: Ist A ein vorkommendes Gewicht, nicht dagegen A —« (wir nehmen jetzt an, « sei eine von 0

verschiedene

Wurzel),

so bilde man

aus dem

Vektor ¢ =e) + 0 die Reihe ¢, Ey ¢)=¢,, erste Element, welches = 0 ist, so gilt

der

Gleichung

Ey e,=g,

(5) gentigenden

... Ist in ihr 741

ya

das

c)

Daraus fliessen wichtige Folgerungen:

1. Ist «, = 0, so verschwindet A, fiir jedes vorkommende Gewicht A. (Das

ist selbstverstandlich auch richtig, wenn « = 0 ist.) 2. Unter der entgegengesetzten Voraussetzung a, + 0 tritt mit

Ae2OoAa als Gewicht auf; und 2 A,/a, ist eine ganze Zahl. Aus dem friiher gefiihrten Beweise von (8) notieren wir noch

die Gleichung

i

E_,E,e=—6- S(A+7a),. i=0

A zugleich

(9) (fiir « + 0)

613 Der Faktor rechts ist

(36

= (i 1) dot Ersetzen wir das struierte a-Serie

Zeichen Vo

a asa

A +7

durch A,

ei

el

so heisst

das:

Teilt A die kon-

lg ee reiAo,

von Gewichten so, wie aus der Bezeichnung hervorgeht, dann gilt fiir den von uns konstruierten Vektor e4(= e;) vom Gewichte A die Gleichung

BD. boat

ee

(10)

Die Transformation FE _,E, besitzt also innerhalb des von den Vektoren é9, ¢), .., €, aufgespannten (g+ 1)-dimensionalen Teilgebiets, welches ihr gegeniiber invariant ist, die Teilspur

Se

2)

eee

ae

In zweierlei Hinsicht bedarf diese Formel der Erganzung. 1. Wir projizieren den Darstellungsraum r modd ép, ¢,, ..., ¢, und wenden die gleiche Uberlegung auf den entstehenden Raum r’ von g+1 Dimensionen weniger an. Es ist méglich, dass in ihm abermals eine Serie von Gewichten der Form A+7« auftritt mit der gleichen LinearformA und zugehérigen Vektoren ¢; an Stelle von

zweiten

e;. Besteht

Vektorserie

sie aus g’+1

zusammen

Gliedern,

aufgespannte

so ist der von der ersten und

(g + 1) + (g’+ 1)-dimensionale

Raum invariant gegeniiber der Abbildung E_,£,, und die Teilspur der Abbildung in diesem Gebiet ist

abet We

Sle 2) CCE 1:2-3 T2535

2) ie

So kann man fortfahren. Fir die Gesamtspur von E_, E, findet man den Wert

(11)

os

wo sich die Summe iiber alle «-Serien erstreckt, in welche auf die geschilderte Weise die Reihe der Gewichte in verallgemeinertem Sinne, namlich der charak-

teristischen Wurzeln A,, A,, ..., 4, von H — Formel

(6) — zerlegt werden

kann; g+1 bedeutet fiir jede «-Serie ihre Lange. Ist insbesondere «, + 0, so folgt aus der zu (8) analogen Gleichung, welche

ausdriickt, dass die Werte der Seriengewichte fiir H, Null zum haben, dass die zweite

Serie die erste an beiden Enden

Schwerpunkt

um die gleiche Anzahl

iiberragt oder um die gleiche Anzahl gegeniiber der ersten verkiirzt ist. Es geht daraus

hervor:

Ist «,

+0, so sind

immer

zwei

durch

die Formel

(9) verbun-

614

dene

Linearformen

und A’ charakteristische

A

von

Wurzeln

H

der gleichen

Multiplizitat, wahrend die dazwischen gelegenen Linearformen der arithmetischen Reihe A-+ia

Wurzeln von der gleichen oder héherer Multiplizitat sind.

2. Die Resultate bleiben bestehen, wenn wir an Stelle von E_, die irgend-

einem zur Wurzel —« gehdrigen

Element ¢_, von a korrespondierende Matrix

T_, verwenden. [E,,T_,] = Hx ist ebenfalls eine Matrix H, A(H3) werde = A}

gesetzt. Fiir die Spur der Matrix T_,£, bekommt man analog zu (11):

ae yy s (6+ 1) (8+2) 2 C230 | § 3. Cartans

Kriterium

(11*) )

fiir die auflésbaren

halb-einfachen

und

fiir die

Gruppen

Dass die Spur y,(¢) eine Invariante der adjungierten Gruppe ist, kommt darauf hinaus, dass y,(t) = 0 ist fiir alle Elemente ¢ der abgeleiteten Gruppe a’. Dies sieht man auch so ein: Korrespondieren den Elementen s, ¢ von a in der adjungierten Gruppe die Transformationen S, T, so dem Element [s¢] die Transformation ST — TS. Aber die beiden Transformationen ST und TS haben die gleiche Spur, ST — TS also die Spur 0. — Benutzen wir als Basis von a das willkiirliche Element h(A,, A,, ..., An) der in § 1 konstruierten maximalen auflésbaren Untergruppe bh und die zu den verschiedenen Wurzeln «+0

gehorigen Elemente e,, ¢, ...: t=

h(Ay, Ag, ---, An)

+

az0

(le

tT

+),

(12)

so hangt y,(¢) nur von den Parametern A, ab, ist namlich gleich der Summe aller Wurzeln

« (jede in ihrer Vielfachheit

gerechnet).

Denn

gehért

¢, zur Wurzel

a + 0, so entsteht vermége der Abbildung dx = [t,x] aus einem zur Wurzel @ gehérigen x ein zur Wurzel 9 + «+ @ gehdriges dx. Die Spur dieser Abbildung ist also = 0. Darum ist y,(t) = y,(4). Die Teilspur von dx = [h x] in dem

zur Wurzel « gehérigen Teilraum r, ist aber gleich », - «. Von besonderer Wichtigkeit wird fiir uns die quadratische Form yp,(é) oder die Spur g(t) der Transformation T?; es ist p(t) = yi — 2 ye. Die Spur 9s, 2) der Abbildung ST:

dx = [t[sx]]

(13)

ist eine symmetrische Bilinearform von s und ¢, p(t, f) = p(t) die zugehérige quadratische Form. Die folgenden Entwicklungen beruhen darauf, dass die Resultate des § 2, insbesondere die Formel (8) angewendet werden auf die adjungierte Gruppe;fiir diese fallen die Gewichte mit den Wurzeln zusammen. Die Formel (8) muss noch dahin verallgemeinert werden: Sind ¢,, t_, irgend zwei zu den entgegen-

615

gesetzten Wurzeln a, —a« gehdrige Wurzel 9 fiir das in h enthaltene

Elemente,

so ist der Wert

einer jeden

lige

(14)

03", ein rationales Multiplum von «%*. Dass im Falle « = 0 fiir (14) alle Wur-

zeln verschwinden,

wurde

schon

am

Ende

von

§ 1 erwahnt.

Ist « + 0, so sei

Q—t4,...,@—4,0,0+4,...,,0+hka

eine zusammenhangende

Reihe

von Wurzeln,

(15)

so dass weder g— (i+ 1)a noch

e+ (k+1)a als Wurzel auftritt. Wir betrachten die lineare Mannigfaltigkeit

Baty it

tty g tty t tyra t

+ Tyike

Sie ist invariant gegeniiber den ¢, und t_, korrespondierenden Transformationen T,, T_, der adjungierten Gruppe. Da

HO Len Se ist, wird die Spur der Transformation Hz* jenes Teilraums gleich 0: k

Salo + ja)s* = 0;

ja-i

g; bezeichnet die Dimensionszahl von r, ,;4-

Wenn a eine auflosbare Gruppe ist, so gilt nach dem Lieschen Theorem fiir alle Elemente ¢ von a’: d.h. fiir solche Elemente verschwinden die samtlichen y,(¢). Nach von ENGEL

ist — unter Beriicksichtigung der Gleichung

dem

Satze

(4) fiir b = a’ — diese

Bedingung auch hinreichend dafiir, dass a’ und damit a eine auflésbare Gruppe ist.

E. CARTAN

verscharfte

das

Kriterium,

indem

er zeigte,

dass

man

statt

aller Koeffizienten nur den einen y, ins Auge zu fassen braucht: Hilfssatz. a ist dann und nur dann auflosbar, wenn fiir alle Elemente t von

a’ die Gleichung g(t) = 0 besteht.

Beweis. Aus der Voraussetzung folgt insbesondere p(hz*) = 0. Nun ist aber

o%* ein rationales Multiplum von «%*.

Das Verschwinden der Quadratsumme

aller 9%* —q(h) ist namlich die Quadratsumme aller Wurzeln — hat demnach zur Folge, dass « und damit jedes 0 fiir h = h%* gleich 0 wird. Ein beliebiges Element der Kommutatorgruppe a’, das zu h gehért, setzt sich additiv aus Elementen von der Form (14) zusammen. Darum verschwinden die Wurzeln samt und sonders fiir jedes Element von b, das der abgeleiteten Gruppe a’ angehort. Hieraus folgt, dass a’ nicht mit der ganzen Gruppe a zusammenfallt. Sonst wiirden alle Wurzeln identisch verschwinden, d.h. a ware = ); da aber bh auflésbar ist, besitzt h’ wenigstens einen Parameter weniger als h.

616

Darum ist die Parameterzahl von a’ geringer als die von a. Aber auch in dem charakteristischen Polynom, das zur Gruppe a’ gehdrt, verschwinden gemass der Gleichung (4) die zu y,, 2 analogen Koeffizienten identisch. Die Anwendung unseres Ergebnisses auf a’ statt auf a lehrt, dass wiederum a” wenigstens einen Parameter weniger enthilt als a’. So fortfahrend erkennt man die Auflésbarkeit von a. Satz

11).

a ist dann und nur dann halb-einfach, wenn die quadratische Form

p(t) nicht ausgeartet st. Da g(t) eine Invariante gegeniiber der adjungierten Gruppe ist, bilden diejenigen Elemente ¢, deren Parameter 1,, T2, .-., t, den linearen Gleichungen

gentigen

ON

I

Ge

eine invariante Untergruppe gruppe auflésbar. Wenn a

ey

von a?).

ES

Nach

oo)

dem

Hilfssatz ist diese Unter-

halb-einfach ist, diirfen die Gleichungen

demnach

nur die einzige Lésung t, = t, = -:- = 1, = 0 besitzen, oder g(¢) muss eine nicht-ausgeartete quadratische Form der Parameter T sein. Die Umkehrung spielt fiir uns keine Rolle, ist aber leicht zu beweisen. Ist a nicht halb-einfach, so gibt es eine von 0 verschiedene auflésbare ausgezeichnete Untergruppe b von a. Die Reihe der Ableitungen b, b’, b”, ... bricht ab. Die letzte von 0 verschiedene darunter, c, ist eine ausgezeichnete Untergruppe von a, welche Abelsch ist. Wahlt man die r-gliedrige Basis fiir a so, dass darin eine Basis von c¢ enthalten ist, so kommen in der charakteristischen Gleichung {(¢; ) und darum auch in @/(t) die zu ¢ gehorigen Parameter offenbar nicht vor. Mit Satz 1 ist das erste wesentliche Ziel der Strukturuntersuchung erreicht.

Fiir eine beliebige halb-einfache Gruppe bietet sich als diejenige Darstellung

durch lineare Transformationen, von der man seinen Ausgang nehmen kann, von selbst die adjungierte Gruppe dar. So verfuhren wir freilich nicht in Kap. I und II, wo uns von vornherein eine Darstellung in einem Raum von viel geringerer Dimensionszahl zur Verfiigung stand, als die Parameterzahl der Gruppe betragt. Dadurch aber, dass wir eine nicht-ausgeartete quadratische Form g(x) konstruiert haben, welche invariant ist gegentiber den Transformationen der adjungierten Gruppe, ist der Weg geebnet, der adjungierten Gruppe in analoger Weise sich zu bedienen wie der linearen Transformationsgruppen q, ¢, D in den beiden vorigen Kapiteln. Durch eine ahnliche

Schlussweise wie die zu Satz 1 fiihrende erkennt man,

dass jede halb-einfache Gruppe das direkte Produkt von einfachen (nicht einparametrigen) Gruppen ist; diese Zerlegung ist eindeutig bestimmt. Doch bediirfen wir hier dieser fiir die Konstruktion aller halb-einfachen Gruppen fundamentalen Erkenntnis nicht?).

mea oPh

617

Von jetzt ab bedeute a stets eine nung Wurzel werde allein fiir die von in Satz 1 gewonnene Bedingung wird Satz 2. Ist a halb-einfach, so ist

halb-einfache Gruppe, und die Bezeich0 verschiedenen Wurzeln verwendet. Die weiter ausgewertet in dem die maximale auflisbare Untergruppe b

Abelsch. Die Wurzeln « treten nur einfach auf und sind paarweise einander ent-

gegengesetzt: x, —a. Es existieren unter ihnen n voneinander linear unabhdngige.

O,, der

Wert

von « fiir hy = [€,e 4],

ist +0.

Die

Multipla

2a,

3a,

...

einer

Wurzel « kommen nicht unter den Wurzeln vor. Beweis. Wir verwenden wiederum die Basisdarstellung (12). Ist daneben s ein zweites willkiirliches Element der Gruppe a: S=

h(x, Ha) «2+, Xn)

+ Dy (0,6,+0,6,+°°)5

(17)

so hat die Spur der Abbildung (13) die Gestalt

Pls, t) = Q(x, a) +X (a, ta) Q ist eine symmetrische Bilinearform der Parameter x und 4; die zugehérige

quadratische

Form

Q(A) ist die

Quadratsumme

ein Glied bedeuten, das aus einem numerischen

aller Wurzeln.

(o,7_,) soll je

Koeffizienten, einer zur Wurzel

a gehorigen Variablen o,, o,, ... und einer zu —« gehorigen t_,, t_,, ... multiplikativ zusammengesetzt ist.

1. Q(A), die Quadratsumme der Wurzeln, darf nicht ausgeartet sein; darum miissen unter den Wurzeln ebenso viele unabhangige vorkommen, als die Anzahl der Variablen 4 betragt. Und 0 ist das einzige Element von b, fiir welches alle Wurzeln verschwinden. Da nun aber fiir ein Element der abgeleiteten Gruppe )’ tatsachlich alle Wurzeln = 0 sind, reduziert sich h’ auf 0. 2. Ware « Wurzel, aber nicht —«, so kame die Variable a, in g/(s, ¢) nicht

vor — entgegen dem Umstand, dass ¢/(s, ¢) nicht ausgeartet ist. 3. Aus demselben Grunde, weil die Variable o, in gs, t) vorkommen kann « nicht verschwinden fiir jedes zu ) gehérige Element von der he = [e,t-,), to —€_, oder é_, oder e_, ...; vgl. die Formel (11*). Es seit als ein zur Wurzel —« gehdriges Element so gewahlt, dass a} = a(hz) +

Die Annahme,

(mod e,), welches der Beziehung

es gabe ein e/, = e, +0

[A e,]

Fir ¢ = ¢_, ergibt sich Denn es ist ‘

(18)

=a - e, (mod ¢,)

geniigt, fiihrt auf einen Widerspruch weise. Man bilde wiederum die Reihe

&,

muss, Form =7_, 0 ist.

mit Hilfe der in § 2 befolgten

Eye =(%%)=%2,

Eyes

Schluss-

es,

Te, = [t ¢,] = — ak - e, (mod ¢,). (é[e, e1]] = [¢. [¢ ex]] — [Len4] lle

(19)

618

Da [¢ e,] zu h gehort, so ist das erste Glied rechts ein Multiplum von e¢,, das zweite aber ist nach (18): = — a% e, (mod ¢,). Durch Anwendung der Formel (19) auf e,, es, ... an Stelle von e, ergibt sich durch Induktion weiter = 3a8-2,,

[be] = allgemein

g(g+1) aegis

ere

;

2,

(absolut von g = 2 ab, mod ¢, fiir g = 1). Weil ein ¢,,, mit hinreichend hohem

Index verschwinden muss, folgt daraus riickwarts das Verschwinden von e¢,, «+, €3, 2 und schliesslich e, = 0 (mod ¢,) gegen die Voraussetzung. Zugleich

ist damit

—(t+1)a,

bewiesen,

so ergibt

dass «, + 0 ist. Ist —7-«

sich durch

eine Serie von Elementen

Cupp

unsere

eine Wurzel,

Methode,

von

aber

e_,, = e_;

nicht mehr

anfangend,

see CutsCpe C15 sean egy 5,

deren jedes aus dem vorhergehenden durch die Abbildung E, erzeugt wird. Sie muss wegen «, + 0 gerade mit e, abbrechen. Das zur Wurzel « gehérige e, ist notwendig ein Multiplum von e,, folglich e, = [e, e,] = 0. Darum kann 7 nicht = 2 sein.

Die Analogie mit den in den beiden ersten Kapiteln benutzten Konstitutionsformeln ist vollkommen. Satz 3. Wir haben eine Abelsche Untergruppe b, deren allgemeines Element h von n Parametern hy, Ag, ..., An abhdngt, und zu jeder Wurzel x ein Element e,. h und die den verschiedenen Wurzeln korrespondierenden e,, bilden zusammen eine Basis fiir die ganze Gruppe a. Und es gelten die Beziehungen

[Ah ]=0; 85 Willkiirlich ist noch

[he]=a-e,;

| 0, wenn a+

|

Ny» Crip,

1. die Wahl

rgendein (nicht verschwindendes) nimmt nunmehr die Gestalt an:

[eea © — a =;

B + 0 keine Wurzel ist. Wenn w+

’

B Wurzel ist.

der Basis von

Multiplum

von

Qt:A) + YN, 0,7. Nach (11) ist der Koeffizient

); und 2. kann

e, ersetzt

e, durch

werden.

9(s, ¢)

(20)

i

el g (e+ 1) (g+2) N,=>4, fae

(21)

die Summe erstreckt iiber die verschiedenen «-Serien von Wurzeln, deren Lange

mit g+1 bezeichnet ist. Zu diesen Serien ist auch die 3-gliedrige —a, 0, a zu rechnen, Fasst man immer mit einer «-Serie die entgegengesetzte zusammen,

619

die entsteht, indem man jedes Glied @ in —@ verwandelt (nur die eine Serie —a,

0, a geht

dabei in sich tiber), so erkennt

man,

dass N, ein ganzzahliges

Multiplum von @, ist; der ganzzahlige Faktor ist positiv und

§ 4. Die Gruppe

= 2.

(S)

Bis hierher bin ich im wesentlichen, von einigen Modifikationen und das Folgende vorbereitenden Erginzungen abgesehen, der Thése von E. CARTAN gefolgt. Von nun ab gehe ich eigene Wege. Im A-Raum der Variablen A,, Aj, ..., An korrespondiert jeder Wurzel « eine homogene lineare Transformation S,, welche die willkiirliche Linearform & der A

verwandelt in

foie. "

(22)

Sie fiihrt insbesondere « selber in —« tiber. S, ist = S_,. Fiir eine Wurzel 0 ist insbesondere 2 0,/a, eine ganze Zahl. Durch S, werden die samtlichen Wur-

zeln lediglich untereinander vertauscht. Infolgedessen erzeugen die S, eine endliche Gruppe (S). Statt der Quadratsumme Q aller Wurzeln « muss ich zunachst die analog gebaute positiv-definite Hermitesche Form betrachten, die ich gleichfalls mit Q bezeichne:

C= yaa, Sie ist gegeniiber S, und darum gegeniiber allen Operationen der Gruppe

(S)

invariant. Ich verwende geometrische Termini, welchen die dem 4-Raum durch

die Form

Q aufgepragte Metrik zugrunde

liegt. Die Transformation

S, von

der Gestalt (22) kann, da sie Q invariant lasst und nicht die Identitat ist, nichts

anderes sein als die Spiegelung an der Ebene « = 0. S, ist folglich zu sich selbst invers, und es gilt mit der Bezeichnung (22):

SoS. 58 Fiihrt man Ebenenkoordinaten ein, indem man

n

&=JY'x'j;, jai setzt, und

bezeichnet

insbesondere

G* die zu Q reziproke

n

«= J’ a'd; i=1 Hermitesche

Form

bzw.

die zu-

gehorige bilineare Bildung

G* (xy)

so wird

=D

bin xy

fa _ G*(xa) aa G*(ad)

(Bee = Bix) »

(23)

620 (mehr dem Setzer als dem Leser zuliebe) (%) an sich insbesondere » unabhangige Wurzeln a,, %,

Ich schreibe von jetzt ab Stelle von &,. Sucht man

..., &, heraus und verwendet sie als Koordinaten:A, so liefert (23) 2 (eece = ee

4 Mi

= ganze

fr

Zahl

a,,.

Dié Determinante der a,,, ist demnach + 0. Daraus folgt weiter, dass fiir eine beliebige Wurzel Q = Tay + 770g +++ + 1% hy, die Koeffizienten 7; rationale Zahlen sind, welche sich aus den ganzzahligen Gleichungen berechnen 2

et) = Vay. E

Jetzt kann ich von der Hermiteschen zur quadratischen Form oe?

Q=

(g durchlauft alle Wurzeln)

zuriickkehren: sie ist eine positiv-definite Form mit rationalen und das gleiche gilt fiir die reziproke Form G*. Will man die geometrisch

evidente

Gleichung

Koeffizienten

(23) rechnerisch bestatigen,

so geschieht das am bequemsten so, dass man die definite Hermitesche Form

in solcher Weise auf die Gestalt bringt

Om cA

Asie

heady)

(c eine positive Konstante), dass « = A, wird. Schreibt man die Transformation (22): 4, =2,—¢;0,

(2 (5a) Gear

= 0, x1 +4 cyx% 4 oe

en")

so ergeben sich aus ihrem unitaéren Charakter sogleich die Relationen darum

Satz 4.

Wir kinnen die Parameter 1, so wahlen, dass alle Wurzeln Linear-

formen der 1; mit rationalen Koeffizienten werden. Die Spiegelungen S, an den Ebenen « = 0 im Sinne der durch die definite quadratische Form Q im A-Raum festgelegten Metrik erzeugen eine endliche Gruppe (S), die das System der Wurzeln invariant lasst. Wir wissen, wie bedeutungsvoll die Gruppe (S) auch fiir die Darstellungen von a ist; denn in einer Darstellung treten mit einem Gewicht A immer auch

621

diejenigen Linearformen der A; als Gewichte auf, die aus A durch die Operationen der Gruppe (S) hervorgehen: das System der Gewichte ist gleichfalls invariant gegentiber (S). Und wenn wir das Wort « Gewicht» in dem erweiterten Sinne gebrauchen wie in Zusatz 1, § 2, so haben «dquivalente» Gewichte, welche durch eine Operation der Gruppe (S) auseinander hervorgehen, auch stets die gleiche Multiplizitat. Damit haben wir mehrere Resultate abgeleitet und zum Teil in einfachere Form gebracht, welche von Kitiinc und E. Cartan durch komplizierte Determinantenrechnungen gefunden wurden. Die Formel ay, = 22,

ersetzt

die uniibersichtlichen

Gleichungen

Sxi = Sik

in E. Cartans

Thése,

Theorem

X,

S.61. Da gj, die Koeffizienten einer definiten quadratischen Form sind, gilt oder

O