Géométrie projective : cours, exercices et problèmes corrigés [2e éd. ed.] 9782100052349, 2100052349

Table of contents :
Table des matières
Préface
Avant-propos
Avertissement au lecteur
Chapitre 1. Généralités sur les espaces projectifs
1.1 ESPACE PROJECTIF
1.2 COORDONNÉES HOMOGÈNES
1.3 CARTES AFFINES
1.4 HOMOGRAPHIES
1.5 BIRAPPORT DE QUATRE POINTS ALIGNÉS
1.6 RAPPORT HARMONIQUE DE QUATRE POINTS ALIGNÉS
1.7 DUALITÉ DANS LE PLAN PROJECTIF
1.8 BIRAPPORT DE QUATRE DROITES CONCOURANTES
1.9 COMPLEXIFICATION DU PLAN PROJECTIF RÉEL
1.10 COMPLÉMENTS SUR LE PLAN PROJECTIF RÉEL
Chapitre 2. Homographies entre droites projectives
2.1 GÉNÉRALITÉS
2.2 LES PROJECTIONS
2.3 EXPRESSIONS ANALYTIQUES
2.4 FAISCEAUX DE DROITES D'UN PLAN PROJECTIF
2.5 EXERCICES
Chapitre 3. Groupe des homographiesd'une droite projective -- Deuxième théorème de Desargues
3.1 POINTS FIXES D'UNE HOMOGRAPHIE : DÉFINITION SET GÉNÉRALITÉS
3.2 INVOLUTIONS
3.3 PROPRIÉTÉS DES HOMOGRAPHIES HYPERBOLIQUES
3.4 HOMOGRAPHIES PARABOLIQUES
3.5 HOMOGRAPHIES ELLIPTIQUES D'UNE DROITE PROJECTIVE RÉELLE
3.6 CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES
3.7 THÉORÈMES DUAUX
3.8 DEUXIÈME THÉORÈME DE DESARGUES
3.9 EXERCICES
Chapitre 4. Homographies du plan projectif
4.1 DÉTERMINATION D'UNE HOMOGRAPHIE PLANE
4.2 LES HOMOLOGIES
4.3 LES TRANSFORMATIONS AFFINES
4.4 LES INVOLUTIONS DU PLAN PROJECTIF
4.5 GÉNÉRATEURS DU GROUPE PROJECTIF
4.6 QUELQUES PROPRIÉTÉS CLASSIQUES
4.7 ORTHOGONALITÉ
4.8 SIMILITUDES
4.9 EXERCICES
Chapitre 5. Homographies et coniques -- Théorème de Chasles-Steiner, théorème de Pascal
5.1 DESCRIPTION GÉOMÉTRIQUE D'UNE CONIQUE
5.2 HOMOGRAPHIE D'UNE CONIQUE SUR ELLE-MÊME
5.3 DÉCOMPOSITION D'UNE HOMOGRAPHIE. AXE D'HOMOGRAPHIE
5.4 CONIQUES AFFINES
5.5 CONIQUES TANGENTIELLES
5.6 EXERCICES
Chapitre 6. Faisceaux de coniques dans un planprojectif complexe -- Troisième théorème de Desargues
6.1 LES FAISCEAUX DE CONIQUES ET LEUR CLASSIFICATION
6.2 CLASSIFICATION DES FAISCEAUX NON DÉGÉNÉRÉS DU PLAN PROJECTIF COMPLEXE
6.3 FAISCEAUX ET POLARITÉ
6.4 TROISIÈME THÉORÈME DE DESARGUES
6.5 FAISCEAUX TANGENTIELS
6.6 EXERCICES
Chapitre 7. Exercices de référence
7.1 Le quadrangle
7.2 Le quadrilatère : figure duale du quadrangle
7.3 Triangle inscrit dans un triangle
7.4 Une figure clé
7.5 La polarité en une seule figure
7.6 Points conjugués et polarité
7.7 Involutions qui permutent
7.8 Produit de trois involutions
7.9 Couple commun à deux involutions
7.10 Construction d'une homographie elliptique
7.11 Théorème de Chasles-Steiner
7.12 Dual du théorème de Steiner
7.13 Involution de conjugaison
7.14 Coniques de Maclaurin
7.15 Constructions à la règle
7.16 Diamètres conjugués d'une conique à centre
7.17 Nature d'une conique affine
7.18 Centre d'une conique
7.19 Constructions des axes d'une conique à centre
7.20 Conique à point de vue harmonique
7.21 Le cercle orthoptique
7.22 Droite orthoptique; cas de la parabole
7.23 Le cercle - Arc capable
7.24 Condition pour qu'un cercle appartienne à un faisceau
7.25 Une forme duale de l'exercice 7.24: foyer d'une conique
7.26 Symétrie par rapport à une bissectrice dans un triangle
7.27 Cercles et triangles
7.28 Cercles de Monge d'un faisceau tangentiel
7.29 Coniques particulières d'un faisceau ponctuel
7.30 Centres des coniques d'un faisceau contenant un cercle
7.31 Faisceau d'hyperboles équilatères
7.32 Cercle des neuf points
7.33 Montrer que dans un faisceau de coniques tangentielles, il existe en généralune parabole et deux hyperboles équilatères
7.34 Propriétés focales d'une conique
7.35 Coniques homofocales. Théorème de Poncelet
7.36 Triangles conjugués
7.37 Triangle conjugué par rapport à une conique
7.38 Polarité réciproque
Chapitre 8. Problèmes classiques
8.1 TRIANGLES ET CERCLES. PROBLÈMES CLASSIQUES SOUS L'ÉCLAIRAGE PROJECTIF
8.2 LIEUX ET ENVELOPPES
8.3 CONIQUES HOMOLOGIQUES
8.4 QUELQUES CAS PARTICULIERS DU GRAND THÉORÈME DE PONCELET
8.5 SIX OU HUIT POINTS SUR UNE CONIQUE
8.6 QUELQUES PROPRIÉTÉS CLASSIQUES DES CONIQUES AFFINES
Solutions des exercicesde fin de chapitre
CHAPITRE 2
CHAPITRE 3
CHAPITRE 4
CHAPITRE 5
CHAPITRE 6
Appendice. Rappel de quelques définitions
A.1 ESPACES PROJECTIFS
A.2 ÉQUATION D'UNE DROITE
Bibliographie
Index