Geometria Con El Hexagono Y El Octogono

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• Inmaculada Fernández • M a Encarnación Reyes

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índice

Presentación

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Sobre el hexágono

9

Sobre el octógono

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• Capítulo I: PRELIMINARES

17

• Capítulo II: PAPIROFLEXIA GEOMÉTRICA

25

• Capítulo III: PROPORCIONES DE HEXÁGONOS Y OCTÓGONOS

39

• Capítulo IV: DISECCIONES DE HEXÁGONOS Y OCTÓGONOS

51

• Capítulo V: CUADRATURAS DE HEXÁGONOS Y OCTÓGONOS

61

• Capítulo VI: MOSAICOS CON HEXÁGONOS Y OCTÓGONOS

67

• Capítulo VII: HEXÁGONOS Y OCTÓGONOS EN LA GEOMETRÍA SAGRADA

87

• Capítulo VIII: ACTIVIDADES

101

• Indicaciones para la resolución de las Actividades

137

PRESENTACIÓN

El propósito del presente libro es ofrecer al profesorado y alumnado algunos aspectos de Geometría plana, tratados de forma asequible y fundamentalmente práctica. El gran objetivo que se pretende es ayudar a conseguir una imagen de las Matemáticas como ciencia bella, interesante, amena y útil. Las ideas básicas impulsoras de esta obra han sido, por una parte, la búsqueda de aplicaciones de las Matemáticas en la vida cotidiana, en el Arte y, en particular, a la Arquitectura; por otra, el deseo de contribuir a la motivación para la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas en los distintos niveles de Educación Primaria, Secundaria, Bachillerato y Primer Ciclo de Escuelas Técnicas. Esta coincidencia en nuestros intereses no es fruto de la casualidad. Las autoras han compartido, en diferentes momentos de su vida profesional, el trabajo docente en un Centro de Educación Secundaria y en la Escuela Técnica Superior de Arquitectura de Valladolid. Desde la idea inicial hasta el proceso de elaboración de estas notas, se ha pensado tanto en las personas interesadas en las Matemáticas, como en las que aún no han descubierto la utilidad y belleza de las mismas. El profesorado encontrará, en los contenidos teóricos y en las propuestas de ejercicios prácticos, un tratamiento no tradicional del estudio de polígonos, en especial del hexágono y del octógono. Otras personas, trabajando en las actividades que se presentan, tendrán la posibilidad de aprender Matemáticas descubriendo la geometría de su entorno, tantas veces inadvertida. Somos conscientes de que el quehacer matemático puede resultar interesante y atractivo, o por el contrario, tedioso y aburrido, dependiendo en muchas ocasiones de cómo se presente. Por ello, todos los ejercicios y actividades se han planteado a partir de elementos cercanos al entorno que nos rodea. No es de extrañar, por tanto, que aparezcan numerosas fotografías relacionadas con las figuras geométricas estudiadas. En algunos casos, la realidad ha sido motivo de inspiración para proponer el modelo más adecuado; en otros, la matemática objeto de estudio se ha buscado en elementos de la vida diaria.

Inmaculada Fernández y M° Encarnación Reyes

El planteamiento geométrico de los contenidos propuestos es buen pretexto para abordar y trabajar temas numéricos y algebraicos más abstractos. La Geometría tiene una naturaleza visual y manipulativa que nos permite usar la intuición e imaginación, al mismo tiempo que desarrolla nuestra capacidad para medir, calcular, experimentar, crear, comprobar y demostrar. Las actividades diseñadas pueden realizarse por alumnos y alumnas de todos los niveles, desde una primera adaptación en la que predomina la fase experimental en los cursos iniciales, hasta los superiores en los que es necesario el conocimiento de herramientas más potentes, como la Trigonometría, la Geometría Analítica o el Cálculo Infinitesimal. Esperamos transmitir a quien nos está leyendo el entusiasmo que hemos puesto durante el diseño y la elaboración de este libro. También deseamo$ que disfrute experimentando con las propuestas de trabajo y el material presentado, despertando su curiosidad para investigar o preparar nuevas actividades. Queremos agradecer a compañeros y amigos las sugerencias a los contenidos que les hemos ido mostrando. Así mismo, agradecemos la comprensión del lector con los errores que hayamos podido cometer y cuyas correcciones desearíamos conocer.

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S O B R E EL H E X Á G O N O

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Hexágonos en nuestro entorno.

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GEOMETRÍA C O N EL H E X Á G O N O Y EL O C T Ó G O N O

La presencia de hexágonos regulares, irregulares, convexos y estrellados es observable tanto en la Naturaleza como en diferentes construcciones realizadas por el hombre. El hexágono está presente en la cristalografía como contorno de cristales y minerales tanto del sistema cristalino hexagonal, ejemplo el apatito, como en otros sistemas, caso del aragonito maclado del sistema rómbico; o la flogopita y la estaurolita, minerales del sistema monoclínico. La propiedad de máxima área y mínimo perímetro que posee el hexágono frente a otros polígonos regulares que también recubren el plano, explica, por ejemplo, que esta forma utilizada por las abejas para construir un panal, optimiza el almacenamiento de miel con la mínima cantidad de cera. Son bien conocidas las formas pentagonales en Zoología y Botánica, sin embargo también el hexágono aparece en algunas variedades florales o dando forma a órganos de animales como en los ojos compuestos de la mayoría de especies de insectos. Estos ojos están formados por la agregación de elementos oculares de forma hexagonal llamados ommatidios; su apariencia observada al microscopio es similar a la de un panal. En Arquitectura, el hexágono es un polígono frecuentemente utilizado en el diseño de ventanales, plantas, torres, jardines, fuentes, etc. Por ser el hexágono uno de los tres polígonos regulares que recubre el plano, es muy utilizado en decoración. Combinaciones de hexágonos solos o con otros polígonos forman frisos (cenefas o bandas decoradas) y mosaicos (pavimentos o alicatados). A pesar de la creencia extendida de que el octógono es el polígono protagonista en las decoraciones islámica y mudejar, se ha constatado que el hexágono aparece con tanta o más frecuencia en las manifestaciones artísticas de ambos estilos. La combinación adecuada de hexágonos regulares y pentágonos regulares puede recubrir la superficie esférica; tal es el caso del balón de fútbol. Otras estructuras construibles con la combinación de estos dos polígonos son las famosas cúpulas geodésicas de 11

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Richard Buckminster Fuller, quien después de observar la estructura de los Radiolarios Protozoos consideró la posibilidad de diseñar estructuras ligeras y capaces de albergar grandes espacios. Actualmente recibe el nombre de "Fullereno " la molécula formada por sesenta átomos de Carbono que espacialmente se distribuyen en los vértices del poliedro conocido como Icosaedro Truncado o Troncoicosaedro (poliedro semirregular arquimediano formado por doce caras pentagonales regulares y veinte caras hexagonales regulares, que posee sesenta vértices y noventa aristas). La forma hexagonal aparece en multitud de objetos de muy variada utilidad en la vida cotidiana: espejos, cajas, mesas, jardineras, lámparas, farolas, recipientes, labores artesanales, ... La estrella hexagonal o hexagrama, conocida popularmente como estrella de David, es el símbolo de la cultura y religión judaicas.

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SOBRE EL OCTÓGONO

Octógonos en la vida cotidiana.

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GEOMETRÍA C O N EL H E X Á G O N O Y EL O C T Ó G O N O

Antiguamente este polígono era llamado octágono, siguiendo la norma de denominación de los otros polígonos. La presencia del octógono en el Arte y la Arquitectura es muy abundante en todas las épocas, en especial en los estilos islámico y mudejar. Recordemos por ejemplo los trazados de plantas, cúpulas, mausoleos, torres, fontanas, etc. En el arte propio de las culturas cristiana y bizantina, también existen cúpulas y plantas de iglesias y catedrales con forma octogonal. El octógono es una forma geométrica frecuentemente utilizada en la construcción arquitectónica como paso intermedio entre la forma cuadrada y la circular. Se utiliza como solución constructiva para cerrar semiesféricamente un prisma de planta cuadrada. Respecto a este polígono recordamos las bellas palabras de D. Rafael de la Hoz Arderius: "El octógono nace casi espontáneamente cuando las esquinas del pilar de base cuadrada se desportillan por el uso, se ochavan -pasan a ser ocho-, geometrizando el desgaste". Este arquitecto observó que la forma octogonal y las proporciones implícitas en ella, predominaban sobre otras formas poligonales en edificios y elementos constructivos de la ciudad de Córdoba; precisamente de este estudio surgió el número cordobés como la razón entre el radio del octógono regular y su lado {proporción cordobesa). En la cultura china se considera que el octógono es muy positivo por ser una figura regular y equilibrada no tan "presuntuosa" como el círculo, representación del cielo. Por esto no es extraño ver esta forma en puertas y ventanas de las casas tradicionales de China. El octógono no es uno de los tres polígonos regulares que recubren el plano; sin embargo, es muy conocida y habitual su combinación con el cuadrado dando lugar a uno de los ocho mosaicos semirregulares, que aparecen con frecuencia en la decoración.

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Constructivamente, se simplifica esta combinación utilizando un cuadrado y haciendo composiciones de éste y de sus mitades para formar un octógono. La forma más simple surge al trazar una cruz con cinco cuadrados cerrándola con cuatro triángulos rectángulos isósceles (mitades del cuadrado). Evidentemente el octógono obtenido no es regular porque tiene cuatro lados iguales al lado del cuadrado de partida y los otros cuatro son la diagonal de dicho cuadrado. Esta forma octogonal así construida es empleada con frecuencia en plantas de edificios, en pavimentos y alicatados. La estrella octogonal obtenida a partir de dos cuadrados girados cuarenta y cinco grados es considerada símbolo del arte mudejar, por su frecuente aparición en los diseños de zócalos, pavimentos, cúpulas, etc. Existe otra estrella octogonal (octagrama) cuya forma es utilizada en la construcción de cimborrios y en otras manifestaciones de las Artes Decorativas. Esta estrella aparece en diseños de Leonardo da Vinci publicados en sus Cuadernos. Multitud de objetos de uso cotidiano o decorativo adoptan forma octogonal convexa o estrellada, como por ejemplo relojes, fuentes, tapacubos de coches, logotipos, jardineras, etc.

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Capítulo I: PRELIMINARES

En los distintos apartados del libro aparecen conceptos y otros contenidos ya conocidos, sin embargo, en algunos casos, creemos conveniente revisarlos y matizarlos. Por otra parte, es necesario clarificar el significado de algunos términos y concretar su notación, sobre todo en lo concerniente al tratamiento de polígonos estrellados y estrellas.

ÁNGULO INTERIOR DE UN POLÍGONO Consideremos un polígono regular de n lados. Éste puede descomponerse en los n-2 triángulos que determinan las diagonales trazadas desde un vértice. Por tanto, la suma de los ángulos interiores del polígono es 180°(n-2). Así, cada ángulo interior del polígono regular mide: \W(n-2)

= 180° 1Figura I-1.

También, teniendo en cuenta que el ángulo central del polígono regular es:

P =

360°

; se tiene, 2 a + P = 180°;

de donde 2a = 180°-

360°

180° 1 - -

2^

Figura 1-2. Efectivamente, el ángulo interior es / 2 a = 7i 1-

n-2

-TC radianes.

V

Esta igualdad proporciona los posibles valores de los ángulos interiores de un «-polígono regular:

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180° (3-2)

n=3

180° (4-2)

n=A

180 ( 7 ° 7

•

2)

18(f (10-2) 10

«=10

180°(6-2)=i2()O 6

n=6

180° (9-2)

n= 9

9 0

180°(5-2)=i08O

n=5

n =l

-

4

180»(8-2) . 8

n=8

-60

3

n= 11

- 128-34

= i4QO

=

180-ai - 2) ^

«=12

]35„

i 4 r i 6

.

180° (12-2) 12

NÚMEROS METÁLICOS

Los números metálicos son números positivos, soluciones de la ecuación cuadrática x2 - ax - b = 0, a,b € N. Resolviendo las distintas ecuaciones que resultan al variar a y b, se obtienen como raíces los diferentes números metálicos. Fijando b = 1 la ecuación de segundo grado que resulta es x2 - ax - 1 = 0, cuyas ¡2

soluciones son x =

. Al variar a e N, obtenemos:

Si a = 1 la ecuación x2 - x - 1 = 0, cuya solución positiva es (p =

i+ S -, es

decir, el número de oro. Si a = 2 la ecuación x2 - 2x - 1 = 0, cuya solución positiva es 1 + denotamos por 8 y que se llama número de plata.

, que

Si a = 3 la ecuación x2 - 3x - 1 = 0, cuya solución positiva es el número irracional

3 + Vl3

, llamado número de bronce.

Fijando a = 1 la ecuación cuadrática que resulta es x2 - x - b = 0, cuyas soluciones

1 ± Vl + 4b son x = 18

Al variar b e N, obtenemos:

CAPÍTULO I: PRELIMINARES

Si b = 1 la solución positiva de x2 - x - 1 = 0 es, como ya hemos visto, el número de oro. Si b = 2 la ecuación x2 - x - 2 = 0, cuya solución positiva es el número natural 2, que se llama número de cobre. Si b = 3 la ecuación x2 - x - 3 = 0, tiene por solución positiva el número irracional llamado número de níquel. 2 Cada uno de los números metálicos origina una progresión geométrica con propiedades aditivas. La combinación del doble carácter multiplicativo-aditivo de estas sucesiones es muy utilizado en el diseño artístico y arquitectónico.

POLÍGONOS Y ESTRELLAS Un polígono de n lados está determinado por n puntos distintos (vértices del polígono) y n segmentos (lados del polígono). Tres vértices consecutivos no están alineados y los lados sólo tienen en común los vértices del polígono. En un polígono, cuando se parte de un vértice con un movimiento continuo y ordenado a través de los lados del mismo, se recorren todos los vértices antes de regresar al de partida. Un polígono se llama convexo si el segmento que une puntos de dos lados está contenido en el interior del polígono o es un lado del mismo. En caso contrario se dice que el polígono es cóncavo. Un polígono regular tiene todos sus lados de la misma longitud y los ángulos formados por dos lados consecutivos son iguales. Estrellar un polígono es prolongar sus lados hasta que las rectas que los contienen se corten por última vez. Este proceso es finito ya que el número de lados del polígono lo es. Se llama estrella a la figura que se obtiene en cada intersección de las prolongaciones de los lados del polígono en el proceso de estrellarlo. No debemos confundir el concepto de estrella en el contexto matemático de estrellar polígonos, con la denominación "estrella" por la que se conoce, en el lenguaje cotidiano, un polígono cóncavo con "puntas". Ver parte derecha de Figura 1-6 y Figura 1-7. 19

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En la Figura 1-6 se visualiza, por una parte, la estrella conocida por Pentagrama que es un polígono de cinco lados y cinco vértices y, por otra parte, la "estrella" de cinco puntas como un polígono cóncavo de diez vértices y diez lados. La figura estrellada denotada con los números 1,2,3,4,5,6,7,8 en la Figura 1-3 no es un polígono, sino dos cuadrados girados 45° uno respecto del otro. Sin embargo la estrella denotada por A,B,C,D,E,F,G,H, es un polígono porque verifica que a partir de un vértice, y con un movimiento continuo, se recorren todos los vértices para terminar en el punto de partida. Atendiendo a la definición de polígono estrellado, los lados del polígono son los segmentos AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH y HA, y sus vértices los puntos A, B, C, D, E, F, G y H.

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