Fortschritte der Physik / Progress of Physics: Band 14, Heft 3 1966 [Reprint 2021 ed.] 9783112500262, 9783112500255

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FORTSCHRITTE DER PHYSIK HERAUSGEGEBEN IM AUFTRAGE DER PHYSIKALISCHEN GESELLSCHAFT IN DER DEUTSCHEN DEMOKRATISCHEN REPUBLIK VON F. KASCHLUHN, A. LÖSCHE, R. RITSCHL UND R. ROMPE

B A N D 14 • H E F T 3 • 1966

A K A D E M I E

- V E R L A G

•

B E R L I N

INHALT Seit«

H. PAUL: Ein Beitrag zur Quantentheorie der optischen Kohärenz F. CAP, W. MAJEROTTO, W. RAAB, P. UNTEREGGER: Spinor Calculus in Riemannian Manifolds

141 205

Die „FORTSCHRITTE DER PHYSIK" sind durch den Buchhandel zu beziehen. Falls keine Bezugsmöglichkeit durch eine Buchhandlung vorhanden ist, wenden Sie sich bitte in der Deutschen Demokratischen Republik an den AKADEMIE-VERLAG, GmbH, 108 Berlin Leipziger Straße 3—4 in der Deutschen Bundesrepublik an die Auslieferungsstelle: KUNST UND WISSEN, Inhaber Erich Bieber, 7 Stuttgart 1, Wilhelmstraße 4—6 bei Wohnsitz im übrigen Ausland an den Deutschen Buch-Export und -Import, GmbH, 701 Leipzig, Postschließfach 276 oder direkt an den AKADEMIE-VERLAG, GmbH, 108 Berlin, Leipziger Straße 3—4

Fortschritte der Physik 14, 141—204 (1966)

Ein Beitrag zur Quantentheorie der optischen Kohärenz 1 ) H . PAUL Institut für spezielle Probleme der theoretischen der Deutschen Akademie

der Wissenschaften

zu Berlin,

Physik Berlin-Adlershof

Inhalt 1. Einleitung

142

2. Quantisierung des Strahlungsfeldes 2.1. Klassischer Hamiltonformalismus für das Strahlungsfeld 2.2. Ausführung der Quantisierung 2.3. Diagonalisierung des Hamiltonoperators 2.4. Laufende Wellen

142 142 145 146 148

3. Elektrische Feldstärke und Phase 3.1. Der Operator der elektrischen Feldstärke 3.2. Schwankungen und Korrelationen der elektrischen Feldstärke 3.3. Quantisierung der Phase der elektrischen Feldstärke

149 149 151 157

4. Interferenzen zwischen unabhängigen Lichtstrahlen 160 4.1. Der Intensitätsoperator 160 4.2. Optimal interferierende Lichtstrahlen 165 4.3. Interferenz zwischen Lichtstrahlen in allgemeinen quantenmechanischen Zuständen 168 4.4. Quantenmechanische Beschreibung eines Laserstrahls 174 5. Wechselwirkung maximal kohärenter Strahlung mit Materie 179 5.1. Störungstheoretische Behandlung der Wechselwirkung mit einem einzigen atomaren System 179 5.2. Halbphänomenologische Beschreibung der Spiegelung 186 5.3. Absorption und induzierte Emission im Falle sehr vieler Atome 190 5.4. Mikroskopische Behandlung der Spiegelung 196 6. Anhang Maximal kohärente Zustände des materiellen harmonischen Oszillators

200

7. Literatur

203

Dieser Arbeit liegt eine Gastvorlesung des Verfassers am Institut für Theoretische Physik (III) der Universität Marburg (Lahn) im Oktober 1964 sowie eine Vorlesung an der HumboldtUniversität zu Berlin im Frühjahrssemester 1965 zugrunde. 12 Zeitschrift „Fortschritte der Physik", Heft 3

142

H . PAUL

1. Einleitung Die in den letzten Jahren entwickelten Quantengeneratoren wie Maser und Laser eröffneten der Mikrowellenphysik und vor allem der Optik ganz neue experimentelle Möglichkeiten. Als eindrucksvolle Beispiele seien auf optischem Gebiet der Nachweis von Mehr-Quanten-Absorptionen oder die Erzeugung von optischen Harmonischen (Oberwellen) in piezoelektrischen Kristallen genannt. Aber auch auf einem so traditionsreichen Gebiet wie der Interferenzoptik konnte unter Verwendung von Lasern erstmalig ein mit den bisherigen Lichtquellen undurchführbares Experiment, nämlich die Beobachtung von räumlichen Interferenzen zwischen zwei von verschiedenen Lichtquellen kommenden Lichtstrahlen, verwirklicht werden. Interferenzexperimente solcher Art sowie die Untersuchungen der Fluktuationen in der Zahl der auf einen Photovervielfacher auftreffenden Photonen (das Experiment von Hanbury Brown und Twiss z. B.) waren es vor allem, die andererseits das Interesse an einer tiefergehenden quantenelektrodynamischen Analyse der typisch wellenhaften Züge des elektromagnetischen Feldes erweckten, die sich bisher — von der Aufstellung einer Unschärfebeziehung zwischen Lichtquantenzahl und Phase abgesehen — auf die Beschreibung der „Interferenzen eines Photons mit sich selbst" beschränkt hatte. Über einige in letzter Zeit erzielte Fortschritte in dieser Richtung soll im folgenden berichtet werden. I m Vordergrund des Interesses werden die physikalischen Eigenschaften der maximal kohärenten (quantenmechanischen) Zustände des elektromagnetischen Feldes stehen (vor allem ihre Interferenzfähigkeit) und darüber hinaus die Frage einer Änderung des Kohärenzverhaltens der Strahlung durch die Prozesse der Absorption und induzierten Emission sowie einer Übertragung der Kohärenzeigenschaften der einfallenden Strahlung auf — infolge Wechselwirkung mit Materie — neu erzeugte Lichtstrahlen (gestreute Strahlen, Harmonische; Strahlen, deren Frequenz gleich der Summe oder Differenz der eingestrahlten Frequenzen ist, u. a.). Weiterhin wird die Bedeutung der maximal kohärenten Zustände für die genaue Formulierung des korrespondenzmäßigen Überganges von der Quantenelektrodynamik zur klassischen Elektrodynamik herausgestellt und ihre Eignung zur quantenelektrodynamischen Beschreibung eines Laserstrahls untersucht werden.

2. Quantisierung des Strahlungsfeldes 2.1.' Klassischer Hamiltonformalismus für das Strahlungsfeld Um die Ausführungen auch einem mit dem Formalismus der Quantenfeldtheorie wenig vertrauten Leser verständlich zu machen, beginnen wir mit einer Skizzierung des Überganges von der klassischen Beschreibung des elektromagnetischen Strahlungsfeldes zur quantenelektrodynamischen. Zu diesem Zweck entwickeln wir zunächst im Rahmen der klassischen Elektrodynamik einen Hamiltonformalismus für das Strahlungsfeld. Wir denken uns das Strahlungsfeld entweder (a) in einem Hohlraumresonator mit unendlich gut leitenden Wänden eingeschlossen oder aber (b) einer Periodizitätsbedingung der A r t : das Feld sei räumlich periodisch mit der Periodenlänge L in x-, y- und z-Richtung unterworfen. Das Volumen des Resonators bzw. des Periodizitätskubus der Kantenlänge L werde mit V bezeichnet. I m ersten Fall

Quantentheorie der optischen Kohärenz

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beschreiben wir stehende Wellen, die sich infolge Reflexion an den ideal leitenden Wänden ausbilden, d. h., es liegt eine echte physikalische Beeinflussung des Strahlungsfeldes durch den Resonator vor. Der zweite Fall (b) zielt darauf ab, die frei im Vakuum sich ausbreitenden laufenden (ebenen) Wellen zu erfassen. Die Periodizitätsbedingung spielt dabei nur die Rolle eines mathematischen Tricks; um formal ein diskretes Spektrum (an Stelle des bei fehlender Randbedingung auftretenden kontinuierlichen Spektrums) für die erlaubten Ausbreitungsrichtungen und Frequenzen des elektromagnetischen Feldes zu erhalten. Dadurch wird die spätere Quantisierung formal vereinfacht. Im Endergebnis läßt sich die „künstliche" Periodizitätsforderung durch Ausführung des Limes V - > oo praktisch wieder beseitigen. Bei vorausgesetzter Quellenfreiheit kann das Strahlungsfeld schon durch das Vektorpotential 9t(r, t) vollständig beschrieben werden. Für 31 (r, t) gilt die Wellengleichung J«(r,i) -

- ^ « ( M ) = 0;

(2,1)

die Lorentzkonvention für die Eichung der elektromagnetischen Potentiale reduziert sich auf div 2l(r, t) = 0 , (2,2) und die elektrische bzw. magnetische Feldstärke drückt sich vermöge der Beziehungen ®(t,f) = - - ä ( t , f ) . c

(2,3)

&(r,f) = r o t « ( r , f )

(2,4)

durch 91 (r, t) aus. Der Separationsansatz 91 (r, t) = 91 (r) |(£)

(2,5)

führt zusammen mit den obigen Bedingungen (a) bzw. (b) auf die Eigenschwingungen des Strahlungsfeldes. Wir wollen uns im folgenden zunächst auf reelle Funktionen 9t(r, t) beschränken. Das bedeutet, daß wir es auch im Fall (b) — dem Produktansatz (2,5) gemäß — mit stehenden Wellen zu tun haben; den Übergang zu laufenden Wellen werden wir erst nach der Quantisierung vollziehen. Im Fall (a) lautet die Randbedingung explizit: Verschwinden der Tangential komponente der elektrischen Feldstärke auf der Wand oder (unter Beachtung von (2,2)) 9ltg (r) = 0

und

an

= 0

auf der Wand,

(2,6 a)

wobei 9ltg(t) bzw. 9t„(r) die Tangential- bzw. Normalkomponente von 91 (r) und n die Normalenrichtung bezüglich der Wand bezeichnen. Die Randbedingung im Fall (b) ist %{x,y,z) 12*

= %{x + L,y,z)

= %{x,y + L,z) = %{x,y,z+L).

(2,6b)

144

H.

PAXIL

Die Ausführung der Separation von räumlicher und zeitlicher Abhängigkeit liefert an Stelle von (2.1) die beiden Differentialgleichungen J « ( r ) + ^ « ( t ) = 0, c

(2,7)

| + co'i = 0,

(2,8)

wobei die Separationskonstante mit — oß bezeichnet wurde. Unter Zugrundelegung der Randbedingungen (2,6 a bzw. b ] ist der Laplaceoperator A ein negativ definiter Operator (d. h., es gilt stets v

daher ist co 2 0. Dieses Ergebnis ist aus physikalischen Gründen sofort verständlich, denn nur nichtnegative Werte von co2 führen (entspr. Gl. (2,8)) zu einer periodischen Zeitabhängigkeit des Feldes — mit der Kreisfrequenz co — und nur sie sind daher mit der durch die Randbedingungen (2,6 a bzw. b) erzwungenen zeitlichen Konstanz der Energie des Feldes im Volumen V verträglich. Weiterhin ist anschaulich klar, daß co2 nach oben nicht beschränkt sein kann, vielmehr wächst, wie m a n am Beispiel der Randbedingung (2,6 b) leicht nachprüfen kann, die auf die Einheit des Frequenzintervalls bezogene Zahl der Eigenschwingungen (also die Zustandsdichte) quadratisch mit der Frequenz an. Der ¿1-Operator läßt sich überdies — das Bestehen der Randbedingungen (2,6 a bzw. b) vorausgesetzt — „überwälzen":

/9l(r) J » ( r ) dH = / » ( r ) A%l(r) dH-,

v

v

daraus folgt die Orthogonalität der Vektorpotentiale (r) und 2i;< (r), die zu zwei verschiedenen Eigenschwingungen mit unterschiedlichen Kreisfrequenzen cox bzw. coy gehören. I m Fall der Entartung (cox = cox > = coX " = . . .) können (gemäß dem Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren) die zugehörigen Eigenfunktionen 91;, 2t,i", • • • orthogonal zueinander gewählt werden, d. h. wir haben bei zweckmäßiger Normierung die Beziehung f W i % r d H = 47tc2du'

v

(2,9)

(da' Kroneckersymbol). Eine beliebige (mit den Randbedingungen verträgliche) Schwingung des Strahlungsfeldes kann als Superposition von Eigenschwingungen der Form a(t,o = ^«i(t)fiW (2,10) l aufgefaßt werden. Die spezielle Form der Schwingung wird allein durch Angabe der Funktionen (i) charakterisiert; die haben also die Bedeutung von generalisierten Koordinaten. Die im Volumen V enthaltene Energie U des Strahlungsfeldes drückt sich, wie sich unter Verwendung von Hilfsformeln aus der Vektoranalysis unschwer zeigen läßt (s. z. B. H e i t l e b . (1954)), folgendermaßen durch die generalisierten Koordinaten aus

u = ^ J (@2 + v

dH = Z\

(¿1 + «1 *!)•

(2,11)

Quantentheorie der optischen Kohärenz

145

Da jeder Summand der rechten Seite — bei Interpretation von als Auslenkung eines Massenpunktes aus der Ruhelage — die Energie eines harmonischen Oszillators (der Masse m = 1 und der Federkonstanten cof) darstellt, bringt 61. (2,11) die mathematische Äquivalenz des Strahlungsfeldes mit einem System (unendlich vieler) ungekoppelter harmonischer Oszillatoren zum Ausdruck. Damit liegt der Übergang von der bisherigen Beschreibung des Strahlungsfeldes mit Hilfe generalisierter Koordinaten und ihrer zeitlichen Ableitungen zum Hamiltonformalismus für das Strahlungsfeld auf der Hand: Der zu kanonisch konjugierte Impuls ist n\ = und die Hamiltonfunktion des Strahlungsfeldes lautet =

(2,12)

mit •**, = -H*3 +