Fisica Universitaria

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© Julio Anguiano Cristóbal

Física: “Dinámica de los sistemas de puntos materiales”

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ÍNDICE DE “DINÁMICA” Dinámica de la partícula Sistemas de referencia. Vector de posición. Vector desplazamiento Velocidad media. Velocidad instantánea Aceleración media. Aceleración instantánea Componentes intrínsecas de la aceleración Movimiento circular: uniforme y no uniforme Ecuaciones del movimiento curvilíneo con aceleración constante Movimiento relativo a velocidades bajas Leyes de Newton de la dinámica de una partícula Características dinámicas de los sistemas inerciales y no inerciales Aplicaciones de las leyes de Newton al movimiento curvilíneo. Fuerza de fricción Dinámica de los sistemas de puntos materiales o de partículas Sistema de partículas. Centro de masas Movimiento de un sistema de partículas. Fuerzas externas e internas Cinemática y dinámica del movimiento Momento lineal o cantidad de movimiento del sistema Momento lineal del sistema referido al centro de masas del sistema Principio de conservación del momento lineal Momento angular o momento cinético de un sistema de partículas Momento angular para un sistema de partículas Relación del momento angular con las fuerzas externas Teorema del momento cinético Principio de conservación del momento angular Energía cinética de un sistema de partículas Colisiones. Tipos de colisiones. Impacto central y oblicuo Colisión plástica o totalmente inelástica Problemas de dinámica de una partícula Problemas de dinámica de un sistema de partículas

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Revisión de la dinámica de la partícula.Sistemas de referencia: El llamado sistema de referencia está formado por el cuerpo de referencia, las coordenadas y los relojes sincronizados entre sí y ligados con él. Concepto de reposo: Si las coordenadas de todos los puntos del cuerpo en el sistema de referencia elegido permanecen constantes, entonces el cuerpo está en reposo respecto de este sistema de referencia. Concepto de Movimiento: Si las coordenadas de algunos puntos del cuerpo se modifican en el tiempo, el cuerpo está en movimiento respecto del sistema de referencia dado. Relatividad del movimiento: Tanto el reposo como el movimiento son conceptos relativos, es decir, dependen del sistema de referencia. Definir cinemáticamente un movimiento o formular una ley de movimiento de un cuerpo es definir en cualquier tiempo, la posición de este cuerpo respecto del Sistema de Referencia dado. Z

!s r

ut

t

!r

r’

C

C

X

Y

Vector de posición: El vector de posición de una partícula situada en un punto P del sistema cartesiano OXYZ, siendo rx, ry y rz las componentes del vector respecto al centro O, se ! ! ! ! expresa por r ! rx i " ry j " rz k . El vector de posición se relaciona con la trayectoria s que a ! ! su vez depende del tiempo mediante: r ! r % s # t $ & . Si la partícula se mueve, su vector de posición cambia, pero siempre va dirigido desde el origen O hasta el nuevo punto P’ que tiene ! ! ! ! de componentes sobre los ejes r’x, r’y y r’z: r ' ! r 'x i " r 'y j " r 'z k Vector desplazamiento: Es el vector resultante de la diferencia entre los vectores de posi! ! ! ! ! ! ción en dos instantes determinados 'r ! r '- r ! (r 'x - rx )i " (r 'y - ry ) j " (r 'z - rz )k Velocidad media: La velocidad media de una partícula es la relación entre el vector desplazamiento y el tiempo transcurrido en dicho desplazamiento. Si la trayectoria de la partícula es recta o si describe una trayectoria curvilínea. La velocidad media es un vector que tiene la misma dirección y sentido que el vector desplazamiento: ! ! ! ! 'r r2 ( r1 vm ! ! 't t2 ( t1 Velocidad instantánea: La velocidad del punto material en un instante dado es igual a la primera derivada del vector de posición del punto con relación al tiempo. ! ! ! ! 'r dr drx ! dry ! drz ! j" k ! ! v ! lim v m ! lim i" 't ) 0 't ) 0 't dt dt dt dt Como el vector de posición se relaciona con la trayectoria, que a su vez depende del tiempo, la velocidad instantánea también se expresa como el producto del módulo de la velocidad por el vector unitario que nos indica la dirección y sentido de la velocidad: ! ! ! ! ! dr dr ds ! ! ! ! ut v r ! r %s # t $& * v ! dt ds dt ! ! 'r 's ds ! lim ! El módulo de la velocidad es v ! lim 't ) 0 't 't ) 0 't dt

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Aceleración media: La aceleración es una magnitud que nos mide la rapidez de cambio de la velocidad. La aceleración media, que posee un punto material, cuando éste cambia la velocidad instantánea en un intervalo de tiempo como la división entre el incremento del vector velocidad y el tiempo transcurrido en dicho incremento ! ! ! ! 'v v 2 ( v1 am ! ! 't t2 ( t1 Aceleración instantánea: Se llama aceleración del punto material a una magnitud vectorial que caracteriza el cambio con el tiempo del módulo y de la dirección de la velocidad del punto material. La aceleración del punto material en un instante dado es igual a la primera derivada de la velocidad o a la segunda derivada del vector de posición del punto material con relación al tiempo. ! ! ! ! 'v dv dv x ! dv y ! dv z ! j" k ! ! a ! lim a m ! lim i" 't ) 0 't ) 0 't dt dt dt dt La aceleración instantánea, en un movimiento curvilíneo, siempre va dirigida hacia la concavidad de la trayectoria. Componentes intrínsecas de la aceleración: Como en un movimiento curvilíneo la aceleración instantánea siempre está dirigida hacia la concavidad de la curva, se puede descomponer en dos componentes, llamadas componentes intrínsecas de la aceleración. Estas componentes son la tangente a la trayectoria y la normal a la trayectoria que está dirigida hacia el centro de la curvatura. ! ! ! ! d v ! ! dv ! ! d ! ! v2 ! ! dut d v ! a ! ut " v ut " un ! a t " a n ! ! % v ut & ! dt dt dt dt dt R ! ! ! ! ! d v ! an ! a ( at ! a ( ut dt Significado físico de las componentes intrínsecas de la aceleración: ! d v ! nos mide los cambios en magnitud del módulo de → La aceleración tangencial a t ! dt la velocidad o celeridad. →

! v2 La aceleración normal a n ! nos mide los cambios en la dirección de la velocidad. R

Demostración: Consideremos una sección de la trayectoria curvilínea. En cada instante el vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria y el vector aceleración está dirigido hacia la concavidad de la trayectoria. 1)

La aceleración mide la rapidez de los cambios de velocidad, es decir, los cambios de la celeridad o de la dirección de la velocidad o de los dos.

2)

La rapidez de cambio en el módulo de la velocidad (la celeridad) se denomina aceleración tangencial.

3)

La rapidez de cambio en la dirección del vector velocidad se denomina aceleración centrípeta o normal.

Demostración de que el vector resultante de la derivada del vector unitario tangente respecto del tiempo es perpendicular al propio vector unitario tangente: ! ! ! ! ! ! ! ! ! dut ! dut ! dut ! du ut + ut ! 1 * d # ut + ut $ ! 0 * ut " ut ! 2ut ! 0 * ut 3 t dt dt dt dt s ! ! ! d ,. -/ v ! dut dut ! d0 ! R ! ! un ! un ! 1 2 un ! un dt dt dt dt R Movimiento circular: Para describir el movimiento circular lo podemos hacer de dos formas: a) considerar que la partícula va recorriendo una distancia a lo largo de la circunferen-

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cia y b) considerar que la partícula va describiendo un ángulo que barre, en cada vuelta completa, un círculo de 360º ó 2π radianes. ! ds Rd0 ! ! 4+R v ! dt dt

*

! ! ! v ! 45R

ω v R Movimiento circular uniforme: La velocidad angular es constante. El tiempo en dar una vuelta es siempre el mismo, se llama período (T) y se mide en segundos. El número de vueltas que da en un segundo de tiempo se llama frecuencia (f) y se mide en Hz (hercios): 4!

'0 # 02 ( 01 $ 26 ! ! ! 267 't # t2 ( t1 $ T

02 ( 01 ! 4 # t2 ( t1 $ En el movimiento circular uniforme la velocidad angular es constante y por tanto el módulo de la velocidad. Sin embargo, el vector velocidad, que es tangente a la trayectoria, cambia continuamente de dirección, luego la partícula posee aceleración normal. Luego en un movimiento circular uniforme toda la aceleración es centrípeta o normal. Movimiento circular no uniforme: La velocidad angular no es constante y, por tanto, la partícula posee aceleración angular. Consideraremos solamente el caso de aceleración angular constante. Vectorialmente: El vector de posición va desde el origen al punto de la circunferencia. La velocidad lineal es un vector tangente a la circunferencia y de origen el punto de la circunferencia. La velocidad angular tiene de origen el centro de la circunferencia, es perpendicular a la circunferencia y el sentido el que nos marque el sentido de avance del sacacorchos en el giro de la partícula. La trayectoria es una circunferencia. La aceleración: ! ! ! ! dv ! d ! ! d4 ! ! dR ! ! ! ! ! a ! ! 45R$ ! 5R " 45 ! 8 5 R " 4 5 v ! at " an # dt dt dt dt ! ! ! at ! 8 5 R ! ! ! ! ! ! a n ! 4 5 v ! 4 5 (4 5 R) ! ! ! ! Si 4 3 v * a n ! (42R Si la aceleración angular es constante: d4 ! 8dt

*

4 ! 4" " 8(t - t" )

d0 ! 4dt ! 4" dt " 8(t ( t" )dt

*

0 ! 0" " 4" (t ( t" ) "

1 8(t ( t" )2 2

Ecuaciones del movimiento curvilíneo con aceleración constante: ! ! ! ! ! dv ! a + dt * v ! v" " a(t ( t" ) ! ! ! ! ! ! ! 1! dr ! v + dt ! % v" " a(t ( t" ) & + dt * r ! r" " v" (t ( t0 ) " a(t ( t" )2 2 El movimiento está siempre en un plano y la trayectoria es una parábola ! ! ! ! ! ! v ! v " " a(t ( t " ) * v en plano de v " y a ! ! ! ! ! 1! 'r ! v" (t ( t0 ) " a(t ( t" )2 * 'r en plano de v " y a 2 Ejemplo: Consideramos una caída vertical, un lanzamiento hacia arriba formando un ángulo, etc. Son todos movimientos que los podemos considerar con aceleración constante, la de

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la gravedad. Si el origen O está en el suelo, el eje de ordenadas OY es positivo hacia arriba y el origen de tiempos t0=0. La aceleración del movimiento tendrá de valor ay=g=-9,8 ms-2. El movimiento se desarrolla sobre el plano OXY y la ecuación de la trayectoria es una parábola 9 v! ! v! x " v! y : == ! " ! " ! " == ; r" ! r" x " r" y = a ! a y ! g ! (9,8 j s2 ?=

! ! 9! ! 9 v x ! v" x : ! = v ! v x " v y ! v x i " v y j * ; v ! v ( g(t ( t ) < "y " ? > y == ; ! " ( r r v (t t ) 9 x : "x "x " = = r! ! r !i " r !j * = x y ; 1 2< = r ! r" y " v " y (t ( t" ) ( g(t ( t" ) = => >= y ? 2

9x ! v t * t ! x "x == v"x *; 2 = y ! v t ( 1 gt2 * y ! v , x - ( 1 g , x / . / "y "y . => 2 1 v " x 2 2 1 v" x 2

Si r" x ! r" y ! 0

Movimiento relativo a velocidades bajas.- Siempre que analicemos el movimiento de una partícula lo haremos con respecto a un Sistema de Referencia. La velocidad de una partícula, como veremos, depende del sistema de referencia que utilicemos. P r’ r O

R

O’

Sean los dos Sistemas de Referencia OXYZ y O’X’Y’Z’, cuyos centros O y O’ se encuentran a una distancia RO’O. Una partícula situada en un punto P tendrá de coordenadas (x,y,z) para el primer sistema OXYZ y (x’,y’,z’) para el segundo O’X’Y’Z’. Los vectores de posición y las velocidades instantáneas de la partícula en un sistema y en otro están relacionados por: ! ! ! ! ! ! 9 rO ! R O'O " r 'O' * r ' ! r ( R =! ! ! ; v ' ! v ( VO'O * = a! ' ! a! ( a! relativa > ! ! ! Si a relativa ! 0 * a ' ! a 9 x ' ! x ( Vx + t =y' ! y ( V + t y = Transformaciones Galileanas (sistemas inerciales) ; ! ( z ' z V z +t = => t ' ! t Si la velocidad relativa de un sistema respecto de otro es constante o cero las aceleraciones son iguales. ! ! ! rO ! r 'O' " R O'O

v '" VO'O 9v ! (velocidades altas) == # v '5 VO'O $ 1" *; 2 =! ! ! c >= v ! v '" VO'O (velocidades bajas)

Si v ' # c; VO'O # c

Leyes de la dinámica de una partícula de Newton: Las leyes de Newton en su forma convencional (1642-1727) en Principia (1687): 1ª) Todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme a menos que sobre él actúe una fuerza.

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2ª) Todo cuerpo sobre el que actúa una fuerza o varias se mueve de tal forma que la variación de su momento lineal o cantidad de movimiento por unidad de tiempo es igual ! N ! ! ! ! dP d(mv) ! ! ma a la fuerza neta: Fi ! Fneta ! dt dt

@ i !1

3ª) Cuando dos cuerpos ejercen fuerzas entre sí, estas fuerzas son de intensidades iguales y sentidos opuestos. Si sobre el cuerpo 1 (F12) ejerce una fuerza el 2 esta ha de ser ! ! igual a la fuerza que sobre el 2 (F21) ejerce el 1: F12 ! (F21 Análisis de las leyes de la dinámica: La primera ley únicamente contiene un significado preciso para una fuerza nula, es decir, que todo cuerpo en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme no está sometido a la acción de ninguna fuerza. Y se dice que es un cuerpo libre (o partícula libre). La primera ley, por sí sola, únicamente puede darnos una noción cualitativa acerca de la fuerza. La segunda ley, nos da una afirmación explícita acerca de la fuerza, en la cual la fuerza se relaciona con la rapidez de cambio del momento lineal. Ahora bien, la definición de fuerza sólo expresa algo completo y preciso cuando se define la “masa”. La tercera ley es realmente un principio, ya que se trata de una declaración relativa al mundo físico real y contiene toda la física de que están dotadas las leyes del movimiento de Newton. Con la tercera ley cuando consideramos dos cuerpos aislados 1 y 2 tenemos que: ! ! ! ! ! a m1 F12 ! (F21 * m1a1 ! (m2a 2 * ! ( !2 m2 a1 Siempre nos será posible establecer una masa unidad y determinar la masa de otro cuerpo comparando el cociente de aceleraciones cuando interactúen los dos. La masa así determinada es la masa inerte, que es la masa que determina la aceleración de un cuerpo sometido a una fuerza dada. Si la masa se determina pesando un cuerpo es la masa gravitatoria o pesante. El primero en comprobar la equivalencia entre las dos masas fue Galileo (caída de cuerpos), Newton, etc. La tercera ley no es un principio general de la Naturaleza, puesto que sólo se aplica en el caso de que la fuerza ejercida por un objeto (punto) sobre otro objeto (punto) esté dirigida a lo largo de la recta que une a ambos. Son éstas las llamadas fuerzas centrales y a ellas se aplica la tercera ley, sean las fuerzas atractivas o repulsivas. Fuerzas centrales son las gravitatorias y las electrostáticas, por lo cual las leyes de Newton podrán aplicarse a los problemas en los que intervengan fuerzas de esta naturaleza. A veces, las fuerzas elásticas son centrales, ya que son manifestaciones macroscópicas de fuerzas electrostáticas microscópicas. Toda fuerza que dependa de las velocidades de los cuerpos en interacción es no central esencialmente, y no se aplica la tercera ley en tales casos. Así, por ejemplo, la fuerza que ejercen entre sí las cargas eléctricas en movimiento no obedece la tercera ley (fuerzas electromagnéticas), puesto que dicha fuerza se propaga a la velocidad de la luz; incluso la fuerza gravitatoria que se ejercen entre sí los cuerpos en movimiento depende de la velocidad, pero el efecto de ésta es pequeño y difícil de detectar, siendo el único efecto observable la precesión del perihelio de los planetas más cercanos al Sol. Sistemas inerciales: “Se llama sistema inercial a todo sistema de referencia en el que sean válidas las leyes de la dinámica de Newton”. Propiedades: Un cuerpo, aislado de acciones exteriores, está en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, respecto a cualquiera de estos sistemas. Para estos sistemas, el espacio es homogéneo (igual naturaleza) e isótropo y el tiempo es homogéneo. Cuando las leyes de Newton sean válidas en un sistema de referencia, lo serán también en todo sistema que se mueva uniformemente respecto del primero, o sea sin aceleración. El Sistema Solar, si despreciamos la debilísima acción gravitatoria estelar, puede ser considerado como un sistema aislado, y por consiguiente, es una referencia inercial. Por tanto, un triedro con origen en el centro del Sol (c.d.m. del sistema solar) y ejes en direccio-

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nes de tres estrellas fijas, es un sistema inercial con alto grado de exactitud, es el llamado sistema copernicano. Galileo comprobó experimentalmente que las leyes de la mecánica son idénticas para dos observadores que se hallen en movimiento de traslación rectilíneo y uniforme. Es lo que se conoce como principio de relatividad de Galileo. Este principio se limita a las leyes de la mecánica si la velocidad de los cuerpos es muy inferior a la de las interacciones. La validez de la Mecánica Clásica está acotada por dos extremos: 1)

Cuando la velocidad de las partículas es muy grande y no se puede considerar como infinita la velocidad de propagación de las interacciones (próxima a 3×108 m/s).

2)

Cuando las dimensiones de las partículas involucradas en el fenómeno es del orden de 0,1 nm.

Características dinámicas de los sistemas inerciales y no inerciales.Un sistema se llama inercial si se comporta como una partícula libre, es decir, no está sujeto a interacción, y por tanto o está en reposo o se mueve con velocidad constante y sin aceleración, por lo que no ha de rotar. Dos sistemas se dice que son inerciales uno con respecto del otro si están en reposo relativo o se mueven con velocidad constante uno con respecto del otro. Características de los sistemas inerciales: Sean los Sistemas OXYZ y O'X'Y'Z' que se encuentran a una distancia R los dos centros. Una partícula situada en el punto P tendrá de coordenadas (x,y,z) para el primero y (x',y',z') para el segundo. Relacionados por: ! ! ! 9 r ! R O'O " r ' ! ! ! ! =! ! ! ! a ! a' * F ! F' ; v ! VO'O " v ' * Si VO'O ! 0 * ! = a! ! a! O'O " a ' > Para los Sistemas Inerciales tenemos que son iguales las leyes del movimiento, es decir, miden las mismas aceleraciones de la partícula situada en P y las mismas Fuerzas aplicadas en P. Esto es lo que se denomina el Principio Clásico de Relatividad. Características de los Sistemas No Inerciales: Si el Sistema O'X'Y'Z' es No Inercial, es decir que la velocidad relativa de éste sistema con respecto al OXYZ no es constante, y por tanto, el sistema O'X'Y'Z' con respecto al OXYZ posee aceleración, tenemos: ! ! ! 9 r ! R O'O " r ' ! ! ! ! =! ! ! ! ! ; v ! VO'O " v ' * ma ' ! ma ( ma O'O * F ' ! F " Finercial ! = a! ! a! O'O " a ' > En el Sistema O'X'Y'Z' medimos una fuerza distinta que en el Sistema OXYZ, considerando que en el primero aparece una Fuerza Ficticia llamada de Inercia que es consecuencia de la aceleración relativa del Sistema O'X'Y'Z' con respecto al OXYZ. Aplicaciones de las leyes de Newton del movimiento.- El movimiento de una partícula, bajo una fuerza constante, tiene la aceleración también constante. Además, analizando las ecuaciones siguientes, la velocidad siempre cambia en una dirección paralela a la fuerza aplicada, por lo que la trayectoria tiende hacia la dirección de la fuerza. Respecto al desplazamiento, si la fuerza es constante, es una combinación de dos vectores. Uno es la velocidad inicial y el otro la dirección de la fuerza aplicada. Si los dos vectores son paralelos el movimiento es rectilíneo y si no lo son estará en el plano determinado por los dos. ! 9! ! F ! == v ( v " ! m (t ( t" ) ! F *; a ! ! m = r! ( r! ! v! (t ( t ) " 1 F (t ( t )2 " " " " => 2m Movimiento curvilíneo.- Una partícula experimenta un movimiento curvilíneo cuando la fuerza resultante forma un ángulo con la velocidad. Recordando que la aceleración es siempre paralela a la fuerza. La aceleración tendrá una componente paralela a la velocidad,

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que cambia su magnitud, y otra componente perpendicular a la velocidad que nos expresa los cambios en la dirección del movimiento. Ft

O

F Fn

r B

θ

A

F

Par de torsión (Torque).- Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo, este no sólo se mueve en la dirección de la fuerza sino que también lo hace alrededor de un punto. Considera la fuerza F actuando sobre una partícula A. Supongamos que el efecto de la fuerza es mover la partícula alrededor de O. La experiencia nos dice que el efecto de rotación de F se incrementa con la distancia perpendicular o distancia de la palanca OB, desde el centro de rotación O a la línea de acción de la fuerza F. La magnitud física que lo define se llama par de torsión o momento del par ! ! ! M ! F 5 OB ! F 5 OA 5 sen0 * M ! r 5 F Fuerza de fricción.!"

Si el cuerpo no se mueve la fuerza de fricción estática es igual a la F aplicada.

!"

La magnitud fuerza de fricción estática fs tiene su valor máximo fs(máximo) = µs×N

!"

Si el cuerpo comienza a deslizarse sobre la superficie la magnitud de la fuerza de fricción rápidamente decrece a fk con el coeficiente de fricción cinética µk.

!"

La dirección de fs y de fk es siempre paralela a la superficie y opuesta al movimiento deseado y N es perpendicular a la superficie.

Dinámica de los sistemas de puntos materiales o de partículas: Cuando tiramos al aire un palo su movimiento es más complicado que cuando tiramos un objeto más sencillo. Esto se debe a que cada parte del palo se mueve describiendo una trayectoria diferente, por lo que no podemos representar la trayectoria del palo como si fuese una única partícula, por lo que decimos que es un sistema de partículas. Si observa atentamente el movimiento del palo encontramos que hay un punto especial de este que se mueve describiendo una trayectoria parabólica, como si fuese una sola partícula. Este punto se llama centro de masas y está en la unión de los ejes del palo. Cada cuerpo tiene un centro de masas y se mueve como una partícula libre siguiendo una trayectoria parabólica. Sistema de partículas. Centro de Masas.- Un sistema de partículas es un conjunto de partículas sometidas a unas fuerzas interiores, entre ellas, y a unas ligaduras que constriñen el movimiento del sistema. Un ejemplo de sistema con ligaduras es el sólido rígido que se caracteriza porque las distancias entre las partículas son inalterables. Un Sistema de partículas puede interaccionar con otro y a esas interacciones se les llama fuerzas exteriores del Sistema. Si las fuerzas exteriores son cero el sistema se dice que está aislado. Consideremos un sistema de dos partículas m1 y m2 que respecto a un sistema de referencia inercial (OXYZ) tienen sus vectores de posición de componentes respectivas (r1x; r1y; r1z) y (r2x; r2y; r2z). Se define el centro de masas del sistema de dos partículas como aquel punto cuyo vector de posición, respecto del sistema inercial OXYZ exterior al sistema de partículas, viene dado por: ! ! ! m r " m2 r2 R CM ! 1 1 m1 " m2

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r1 RCM r2 O Consideramos el sistema inercial OXYZ fuera del sistema de partículas y el sistema O'X'Y'Z' cuyo origen es el propio centro de masas (CM). La relación entre los vectores de posición de cada partícula respecto de O y de O' viene dada por la siguiente relación: 9! ! ! = r1 ! R CM " r '1 ! =! ! ; r2 ! R CM " r '2 ! ! =! m r " m2 r2 = R CM ! 1 1 m1 " m2 >

! ! ! ! ! m1 # R CM " r '1 $ " m2 # R CM " r '2 $ * R CM ! m1 " m2

! ! m1r '1 " m2 r '2 ! 0

*

Movimiento de un sistema de partículas. Fuerzas externas e internas.El movimiento de un sistema de partículas es más sencillo si lo estudiamos en función del centro de masas. Para ello, consideremos el más simple, que es un sistema de dos partículas de masas distintas m1 y m2. Cinemática del movimiento: La velocidad, la aceleración y la posición del centro de masas en cualquier instante vienen dadas por ! ! ! ! ! ! 9! ! ! dR CM d , m1r1 " m2 r2 - m1v1 " m2 v2 ! ! ! * # m1 " m2 $ VCM ! m1v1 " m2 v 2 V CM . / == m1 " m2 dt dt 1 m1 " m2 2 ! ; ! ! dVCM m1a1 " m2a 2 = a! ! CM ! dt m1 " m2 >= ! ! ! 9 Vf # CM $ ! Vi# CM $ " a CM + t = ! ! ;! 2 1! => R f # CM $ ! R i# CM $ " Vi# CM $ + t " 2 a CM t Dinámica del movimiento: Sobre cada partícula actúan dos fuerzas la externa, suma de todas las fuerzas externas, y la interna, debida a la otra partícula. La fuerza total sobre cada partícula de masas distintas m1 y m2 es igual a ! ! d ! 9F = 1 " F12 ! dt # p1 $ ;! ! ! = F2 " F21 ! d # p 2$ > dt La Fuerza total sobre el sistema se caracteriza porque la suma de las fuerzas internas es ce! ! ro F12 ! -F21 : 9 = == ; = = =>

n

!

@F

i

i !1 n

!

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i

! ! ! ! d ! d ! d ! ! F1 " F12 " F2 " F21 ! # p1 $ " # p2 $ ! # ptotal $ dt dt dt ! ! ! ! ! F1 " F12 " F2 " F21 !

i !1

n

!

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n

*

!

@F

externa

i !1

!

d ! # ptotal $ dt

externa

i !1

La suma de las fuerzas externas es igual a la variación del momento lineal del sistema con respecto del tiempo: n

!

@F

externa

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!

! ! ! ! ! d ! d ! d d # ptotal $ ! # p1 " p2 $ ! # m1v1 " m2 v2 $ ! # MVCM $ ! Ma CM dt dt dt dt

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Al aplicarle una fuerza externa al sistema, éste se mueve como si toda la masa estuviera concentrada en el Centro de Masas. Análisis de la 2ª ley de Newton aplicada a un sistema de partículas: En la suma vectorial de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema hay que tener mucho cuidado en no incluir las fuerzas internas que son las que ejerce una parte del sistema sobre otra parte. La masa total del sistema es la suma M=m1+m2. Consideramos que en el sistema no entra ni sale masa cuando se mueve, es decir, la masa es constante. El sistema es cerrado. La aceleración del centro de masas del sistema no da información sobre la aceleración de cualquier otra parte del sistema. Momento lineal o cantidad de movimiento del sistema: El momento lineal de un sistema de dos partículas, de masas distintas m1 y m2, relativo al sistema inercial OXYZ (llamado de laboratorio) es la suma de los momentos lineales de cada una de las partículas. ! ! ! ! ! ! ! ptotal ! p1 " p2 ! m1v1 " m2 v2 ! # m1 " m2 $ VCM ! MVCM El momento lineal de un sistema de partículas vemos que es igual al producto de la masa total del sistema por la velocidad del centro de masas. El momento lineal de un sistema de partículas es el mismo que el de una partícula ideal de masa igual a la masa total del sistema, de posición la del centro de masas, y que se mueva de la misma forma que éste. Momento lineal del sistema referido al centro de masas del sistema: El momento lineal de un sistema de partículas, tomando como referencia el sistema Centro de Masas del propio sistema de partículas, es siempre cero. ! ! 9 m1r '1 " m2 r '2 ! 0 == d ! ! ! ! ; # m1r '1 " m2 r '2 $ ! m1v '1 " m2 v '2 ! 0 = dt ! ! => p '1 " p '2 ! 0 Principio de conservación del momento lineal: “Si un sistema está aislado y cerrado, es decir, la suma de las fuerzas externas es cero y no pueden entrar ni salir partículas del sistema, entonces el momento lineal o la cantidad de movimiento del sistema permanece constante con respecto al tiempo”. n

!

@F

! d ! d ! # ptotal $ ! # p1 " p2 $ ! 0 dt dt i !1 ! ! ! ! # p1 " p2 $i ! # p1 " p2 $f ext

!0

*

*

!

!

# p1 " p2 $ ! cte

*

El principio de conservación del momento lineal es una ley general, más que las leyes de Newton, ya que es válido en el mundo subatómico y para partículas a altas velocidades (teoría general de la relatividad). “Si el momento lineal total es constante, la velocidad del centro de masas también lo es y la aceleración del centro de masas será cero”. Momento Angular o Momento Cinético de un sistema de partículas.Momento angular referido a una partícula: Se define el momento angular de una partícula, de masa m, moviéndose con una velocidad v (y teniendo un momento lineal p=mv), res! ! ! pecto de un punto O en un sistema inercial OXYZ, L ! r 5 p L r

v m

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La unidad es 1 kg×m2/s =1 J×s. El módulo del momento angular es LO=r×p×sen8. Si los vectores posición y momento lineal están en la misma dirección el momento angular es cero. Como todas las cantidades lineales (velocidad, aceleración), el momento lineal tiene su equivalente angular. La partícula se mueve, respecto a O, en la dirección de su momento lineal, el vector de posición rota alrededor de O. Para tener momento angular, la partícula no debe rotar por sí misma alrededor de O. También se dice que el momento angular es el momento del momento lineal. En un movimiento lineal, la causa de la variación del momento lineal con respecto del tiempo es una fuerza. En un movimiento angular o curvilíneo la causa de la variación del momento angular con respecto del tiempo está relacionada con el momento de la fuerza (par de torsión o torque) aplicada a la partícula. ! n n ! ! ! - ! , ! - ! dL dr ! ! dp ! ! ! , ! 5p"r5 ! v5p" r5. Fext / ! r 5 . Fext / ! M . i 1 / . i 1 / dt dt dt 1 ! 2 1 ! 2

@

@

La ecuación anterior corresponde a la segunda ley de Newton en forma angular. Si el momento de la fuerza es cero, M=0, el momento angular es constante. Esta condición se cumple totalmente si F=0, es decir, si la partícula es libre y se mueve con velocidad constante luego su trayectoria es una línea recta. La condición M=0 también se cumple si F es paralela a r, es decir, la dirección de F pasa a través del punto O. Una fuerza cuya dirección siempre pasa por un punto fijo se llama fuerza central. Momento angular para un sistema de partículas: Para un sistema de dos partículas, de masas m1 y m2, el momento angular del sistema respecto del punto O, del sistema inercial OXYZ, será la suma de los momentos angulares de cada partícula respecto del mismo punto. Lo que nos lleva, después del desarrollo matemático, al siguiente enunciado: “El momento angular de un sistema de partículas es la suma del momento angular orbital, Lorbital, definido respecto del sistema inercial OXYZ (sistema-L), y del momento angular interno, Linterno, definido respecto del sistema centro de masas (sistema-C) que se toma como origen”. ! ! ! ! ! ! ! 9 L O ! L1 " L 2 ! # r1 5 p1 $ " # r2 5 p2 $ ! ! =! ! ! ! ! ; L O ! CA R CM 5 MVCM DB " % # r '15 p '1 $ " # r '2 5 p '2 $ & ! ! =! > L O ! L orbital " L int erno Demostración !

!

! ! ! v1 ! VCM " v '1 ! ! ! * v 2 ! VCM " v '2 ! ! 0 * m1v '1 " m2 v '2 ! 0 ! ! ! ! ! # r1 5 p1 $ " # r2 5 p2 $ ! ! ! ! ! ! ! ! ! % # R CM " r '1 $ 5 m1 # VCM " v '1 $ & " % # R CM " r '2 $ 5 m2 # VCM " v '2 $ & ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! R CM 5 % # m1 " m2 $ VCM " # m1v '1 " m2 v '2 $ & " # m1r '1 " m2 r '2 $ 5 VCM " # r '15 p '1 $ " # r '2 5 p '2 $ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! R CM 5 # m1 " m2 $ VCM " # r '15 p '1 $ " # r '2 5 p '2 $ ! R CM 5 MVCM " # r '15 p '1 $ " # r '2 5 p '2 $ !

9 r1 ! R CM " r '1 ! ! =! ; r2 ! R CM " r '2 = m r! ' " m r! ' ! 2 2 > 1 1

! LO ! LO ! LO ! LO

*

Relación del momento angular con las fuerzas externas: Consideremos un sistema compuesto por dos masas (denominadas 1 y 2). Sobre la masa 1 se ejercen dos fuerzas, la externa y la interna (debida a la masa 2), y sobre la masa 2 se ejercen también dos fuerzas, la externa y la interna (debida a la masa 1). De tal forma que la variación del momento angular con respecto del tiempo de todo el sistema será: ! ! ! ! ! ! ! d ! d ! LO $ ! L1 " L 2 $ ! AC r1 5 # F1 " F12 $ BD " AC r2 5 # F2 " F21 $ BD # # dt dt ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! d ! L O $ ! r1 5 F1 " r2 5 F2 " r1 5 F12 " r2 5 F21 ! r1 5 F1 " r2 5 F2 ! M1 " M2 # dt

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Teorema del momento cinético: “La suma de los momentos de las fuerzas externas actuando sobre un sistema de partículas es igual a la velocidad de cambio con respecto del tiempo del momento angular del sistema”. Esto tiene significado sólo si los vectores momento (torque) resultantes de las fuerzas externas y momento angular están referidos al mismo origen. En un sistema inercial se puede aplicar a cualquier punto. En un sistema acelerado (tal como una rueda girando) sólo se aplica al centro de masas del sistema. Principio de conservación del momento angular: “Si el momento neto de las fuerzas actuantes sobre un sistema de partículas es cero, el vector momento angular del sistema permanece constante, aunque dentro del sistema haya cambios”. ! ! M1 " M2 ! 0

d ! # LO $ ! 0 dt

*

*

! L O ! cte.

El Principio de Conservación del Momento Angular implica que si en un sistema aislado el momento angular de alguna parte del sistema cambia por interacciones internas, el resto del sistema debe experimentar un cambio igual de momento angular pero opuesto. El principio de conservación del momento angular va más allá de las limitaciones de la mecánica Newtoniana. Es válido para partículas cuyas velocidades se aproximan a la velocidad de la luz y también en el mundo de las partículas subatómicas. No se han encontrado excepciones. Son ejemplos de conservación del momento angular: !"

Patinador girando: un patinador girando sobre sí mismo que no esté sometido a un momento o torque exterior su momento angular permanece constante alrededor del eje de rotación, aunque varíe su velocidad angular alejándose los brazos del cuerpo.

!"

Estabilización de un satélite: Antes de lanzar un satélite de comunicaciones al espacio desde la bodega de la lanzadera espacial se le hace girar alrededor de su eje central. Esto se debe a que de la misma forma que la dirección del movimiento de una partícula es más difícil de cambiar por un impulso cuando el momento lineal de la partícula es grande que cuando es pequeño. De la misma forma la orientación de un objeto girando es más difícil de cambiar por un torque externo cuando el objeto tiene un momento angular grande que si es pequeño. La orientación de un satélite que no está girando puede ser alterada por pequeños momentos externos como presiones de radiación solares o pequeñas restos de atmósfera.

Energía cinética de un sistema de partículas.Análisis de la energía cinética de una partícula: Teorema trabajo-energía cinética: Si sobre una partícula, de masa m, realizamos una fuerza y la partícula experimenta un desplazamiento se define el trabajo realizado por la fuerza sobre la partícula: f ! f ! ! f f ! ! ! ! ! 1 dp 1 Wneto ! Fneta + dr ! dr ! vdp ! mvdv ! mv 2f ( mv 2i ! 'Ecinética 2 2 i i dt i i

E

E

E

E

La energía cinética de un sistema de N partículas será la suma de las energías cinéticas de cada una de ellas. Sea un sistema de dos partículas, de masas m1 y m2, si consideramos sus velocidades referidas a un sistema inercial OXYZ, la energía cinética del sistema será iguala la suma 2 2 de las energías cinéticas de cada partícula: Ec ! 1 m1 # v1 $ " 1 m2 # v2 $ . 2 2 La energía cinética de cada partícula depende de la velocidad, y esta depende del sistema de referencia elegido, luego la energía cinética de un sistema de partículas dependerá del sistema de referencia usado. Por tanto, si consideramos las velocidades, de cada partícula, respecto del centro de 2 2 masas del sistema, la energía cinética interna será: E 'c ! 1 m1 # v '1 $ " 1 m2 # v '2 $ . 2 2 Siendo la relación entre ellas:

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! ! ! 2 1 ! 2 9 E ! 1 m v2 " 1 m v2 ! 1 m V = c 2 1 1 2 2 2 2 1 # CM " v '1 $ " 2 m2 # VCM " v '2 $ = ! 2 ! 2 1 ! 2 ! ! ! 1 = 1 ; Ec ! # m1 " m2 $ # VCM $ " 2 m1 # v '1 $ " 2 m2 # v '2 $ " VCM # m1v '1 " m2 v '2 $ 2 = ! 2 1 ! 2 1 1 = 2 => Ec ! 2 M # VCM $ " 2 m1 # v '1 $ " 2 m2 # v '2 $ ! Ec# traslación $ " E 'c # interna $ “La Energía Cinética de un sistema de partículas puede expresarse como la suma de la energía cinética orbital, asociada con el movimiento del centro de masas, y de la energía cinética interna, relativa al centro de masas”. Es importante entender claramente que la energía cinética interna es una propiedad del cuerpo, independiente del observador y distinta de la energía cinética traslacional del sistema. Colisiones. Tipos de colisiones.Cuando dos partículas se aproximan su interacción mutua cambia su movimiento. Como en la colisión no intervienen fuerzas externas, entonces por aplicación del Principio de conservación del momento lineal decimos que el momento lineal del sistema en conjunto permanecerá constante. La interacción provoca un cambio de momento lineal en las partículas y puede alterar o no la energía interna de ellas y disipar o no-energía mecánica. En una colisión las dos partículas no tienen que entrar en contacto físicamente. Así cuando un cometa se aproxima al Sistema Solar su trayectoria se curva debido a la interacción o colisión. Otro ejemplo sería la colisión de un partícula alfa con un núcleo. Un impacto tiene lugar cuando dos cuerpos colisionan durante un intervalo muy pequeño de tiempo, provocando fuerzas relativamente grandes entre los dos cuerpos. En general hay dos tipos de impacto. El Impacto Central tiene lugar cuando la dirección de movimiento de los centros de masas de las dos partículas que colisionan está a lo largo de la línea que pasa a través de los centros de masas de las partículas. Esta línea se llama línea de impacto, perpendicular al plano de contacto. Cuando el movimiento de una o de las dos partículas forma un ángulo con la línea de impacto se dice que le impacto es oblicuo. Procedimiento para analizar el impacto central: 1º) Se conserva el momento lineal del # vBf ( v Af $final sistema de partículas; 2º) el coeficiente de restitución e ! ( relaciona las velo# vBi ( v Ai $inicial cidades relativas de las partículas a lo largo de la línea de impacto, solamente antes y después de la colisión. Procedimiento para analizar el impacto oblicuo: 1º) Se conserva el momento lineal del sistema de partículas a lo largo de la línea de impacto; 2º) el coeficiente de restitución # v xBf ( v xAf $final e!( relaciona las componentes de las velocidades relativas de las partícu# v xBi ( v xAi $inicial las a lo largo de la línea de impacto, eje x, solamente antes y después de la colisión; 3º) el momento lineal de la partícula A se conserva a lo largo del eje y, perpendicular a la línea de impacto, ya que no existe impulso sobre la partícula A en esa dirección; 4º) el momento de la partícula B se conserva a lo largo del eje y, perpendicular a la línea de impacto, ya que no actúa impulso sobre la partícula B en esa dirección. Las colisiones o impactos son: 1) Elástico, sin pérdida de energía mecánica ya que el impulso de deformación es igual y opuesto al impulso de restitución (e=1). 2) Inelástico, con pérdida parcial de energía mecánica (e (m A C # v Af $ ( # v Ai $ D ! mB C # v Bf $ ( # v Bi $ D =? 9 m A # v Bf ( v Bi $ # v Bf " v Bi $ # v Bf ( v Bi $ : = ( mB ! # v Af ( v Ai $ ! # v Af " v Ai $ # v Af ( v Ai $ = == == vBf ( v Af !1 ; # vBf " vBi $ ! # v Af " v Ai $ = ?= Al resolver el sistema siguiente podemos calcular las velocidades de las partículas exactamente después de la colisión: 9 m A v Ai " mB v Bi ! m A v Af " mB v Bf : = = vBf ( v Af ; (m A CA # v xAf $ ( # v xAi $ DB ! mB CA # v xBf $ ( # v xBi $ DB 2

*

(

$2

: = = = 2 < * 2 ( # v xBi $ ( # v yBi $ B = D = =?

2

# v " v xBi $ # v xBf ( v xBi $ m A # v xBf $ ( # v xBi $ ! ! xBf mB # v xAf $2 ( # v xAi $2 # v xAf " v xAi $ # v xAf ( v xAi $

9 m A # v xBf ( v xBi $ # v xBf " v xBi $ # v xBf ( v xBi $ : = ( mB ! # v xAf ( v xAi $ ! # v xAf " v xAi $ # v xAf ( v xAi $ = = = = # v xBf ( v xBi $ # v xBf " v xBi $ # v xBf ( v xBi $ = ! ;#v

=? v xBi ( v xAi m A v xAi " mB v xBi ! m A v xAf " mB # (v xBi " v xAi " v xAf $ m A v xAi " mB v xBi ! m A # v xBf " v xBi ( v xAi $ " mB v xBf

* *

# mA ( mB $ v xAi " 2mB v xBi # m A " mB $ 2m A v xAi " # mB ( m A $ v xBi ! # m A " mB $

v xAf ! v xBf

Colisión Elástica y oblicua entre dos partículas de masa distinta estando una de ellas en reposo y si conocemos el ángulo de desviación de la que hace de proyectil: 1ª Forma.- Consideramos la línea de impacto en el eje X y el plano de contacto el OY: Conservación del momento lineal del sistema a lo largo de la línea de impacto, eje X: m A v xAi ! m A v xAf " mB v xBf Conservación del momento lineal de la partícula A, a lo largo del eje Y, que es perpendicular a la línea de impacto, mientras no actúe un impulso sobre la partícula A en esa dirección: v yAi ! v yAf Conservación del momento lineal de la partícula B, a lo largo del eje Y, que es perpendicular a la línea de impacto, mientras no actúe un impulso sobre la partícula B en esa dirección: mB v yBi ! mB v yBf ! 0 2 2 2 Conservación de la energía cinética: 1 m A # v Ai $ ! 1 m A # v Af $ " 1 mB # v Bf $ 2 2 2

Considerando lo anterior 9 m A v xAi ! m A v xAf " mB v xBf : ; v xBf ( v xAf ! v xAi ? m A v xAi ! m A v xAf " mB # v xAi " v xAf $

*

v xAf !

# m A ( mB $ v xAi # m A " mB $

m A v xAi ! m A # v xBf ( v xAi $ " mB v xBf

*

v xBf !

2m A v xAi m # A " mB $

Conocemos el ángulo de desviación del proyectil respecto de la dirección original y no la dirección original. Sea F el ángulo el ángulo de la dirección respecto de la línea de impacto y G el ángulo de desviación después del impacto. Luego v yAi 9 =tan F ! v xAi = ; =tan F " G ! v yAf # $ = v xAf >

: = v yAi # mA " mB $ = tan F ! < * tan # F " G $ ! m ( m v # A # mA ( mB $ B $ xAi = = # mA " mB $ ? # mA " mB $ tan F " tan G ! tan # F " G $ ! tan F 1 ( tan F + tan G # m A ( mB $

# mA " mB $ tan G # tan F $2 ( 2mB tan F ( # mA ( mB $ tan G ! 0 ! ! ! 2ª Forma.- 1) Ecuación de conservación del momento lineal: p Ai ! p Af " pBf . 2) Ecuación de ! 2 ! 2 ! 2 conservación de la energía: 1 # p Ai $ ! 1 # p Af $ " 1 # pBf $ 2m A 2m A 2mB Resolvemos el sistema de la siguiente forma:

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! ! ! ! 2 ! ! 2 ! 2 ! 2 ! ! 9p : ! p Af " pBf * # pBf $ ! # p Ai ( p Af $ ! # p Ai $ " # p Af $ ( 2p Ai + p Af = Ai = ; 1 ! 2 ! 2 ! 2 ! 2 mB A ! 2 ! 2 B< * 1 1 # pAi $ ! 2m # pAf $ " 2m # pBf $ * # pBf $ ! m C# pAi $ ( # pAf $ D = = A B A > 2m A ? Ecuación de 2º grado en p Af :

# p Ai $2 " # pAf $2 ( 2p Ai + pAf

+ cos G !

mB A 2 2 p Ai $ ( # p Af $ B # C D mA

Colisión Elástica y oblicua entre dos partículas de masa igual estando una de ellas en reposo y si conocemos el ángulo de desviación de la que hace de proyectil: Las dos partículas salen perpendicularmente. 1ª Forma.- Consideramos la línea de impacto en el eje X y el plano de contacto el OY: Conservación del momento lineal del sistema a lo largo de la línea de impacto, eje X: v xAi ! v xAf " v xBf Conservación del momento lineal de la partícula A, a lo largo del eje Y, que es perpendicular a la línea de impacto, mientras no actúe un impulso sobre la partícula A en esa dirección: v yAi ! v yAf Conservación del momento lineal de la partícula B, a lo largo del eje Y, que es perpendicular a la línea de impacto, mientras no actúe un impulso sobre la partícula B en esa dirección: v yBi ! v yBf ! 0 Conservación de la energía cinética: Si m A ! mB

*

# v Ai $2 ! # v Af $2 " # vBf $2

Considerando lo anterior 9 v xAi =v = yAi ; = v yBi => v xBf

! v xAf " v xBf : 9 v xAi ! v xAf " # v xAi " v xAf $ = = ! v yAf = = # v Ai $ ! # v Af $ " # v Bf $ ? ! ! ! ! ! ! ! 9= # v Ai $2 ! # v Af " vBf $2 ! # v Af $2 " # vBf $2 " 2v Af + vBf ; 2 2 2 => # v Ai $ ! # v Af $ " # v Bf $

:= ! ! < * 2v Af + v Bf ! 0 =?

*

! ! v Af 3 vBf

Las velocidades finales constituyen un paralelogramo siendo la diagonal la velocidad inicial. Colisión Plástica o totalmente inelástica: En este tipo de colisión no se conserva la ener! ! ! gía cinética mA v A " mB vB ! # mA " mB $ VCM

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Física: PROBLEMAS de “Dinámica de una partícula”

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Problemas de “Dinámica de una partícula”: 1) Conocido el vector de posición de una partícula, de componentes rx=t2; ry=2t en metros, calcula a los 3 s: a) la velocidad; b) la aceleración; c) la aceleración tangencial; d) la aceleración normal; e) la ecuación de la trayectoria. [a) vx=6 m/s; vy=2 m/s; b) ax=2 m/s2; c) at(x)=1,8 m/s2; at(y)=0,6 m/s2; d) an(x)=0,2 m/s2; an(y)=-0,6 m/s2; e) y=2x½]. 2) Desde el suelo se dispara un proyectil con una velocidad de 80 ms-1 formando un ángulo de 45º con la horizontal. Calcula: a) tiempo de vuelo; b) alcance máximo; c) vector de posición cuando lleva la mitad de tiempo de vuelo; d) ecuación de la trayectoria. [a) 11,5 s; b) 653 m; c) rx=326 m y ry=163,1 m; d) y=x-0,0015x2] 3) Un proyectil es lanzado hacia arriba formando un ángulo con la horizontal. Prueba que el tiempo de vuelo del proyectil desde el suelo a su altura máxima es igual al tiempo de vuelo desde su altura máxima al suelo. 4) Una partícula describe una circunferencia de 5 m de radio con velocidad constante de 2 ms-1. En un instante dado frena, con una aceleración constante de 0,5 m/s2 hasta pararse. Calcula: a) la aceleración de la partícula antes de empezar a frenar; b) la aceleración 2 s después de empezar a frenar; c) la aceleración angular mientras frena; d) tiempo que tarda en parar; e) número de vueltas que da desde que empieza a frenar hasta que se para. [a) 0,8 m/s2; b) 0,53 m/s2; c) 0,1 rad/s2; d) 4 s; e) 0,12] 5) Un volante parte del reposo con aceleración constante. Después de dar 100 vueltas la velocidad es de 300 rpm, calcula: a) la aceleración angular; b) la aceleración tangencial de un punto situado a 20 cm del eje. [a) 0,785 rad/s2; b) 0,157 m/s2] 6) Una persona de 95 kg está situada sobre una báscula en un ascensor. Determina el peso aparente en los casos: a) el ascensor sube con una aceleración de 1,80 m/s2; b) el ascensor sube a velocidad constante; c) el ascensor baja con una aceleración de 1,30 m/s2. [a) 1102 N; b) 931 N; c) 807,5 N] 7) Una persona de 60 kg está situada sobre una báscula dentro de un ascensor moviéndose. La masa del ascensor y de la báscula es de 815 kg. Partiendo del reposo, el ascensor sube con una aceleración, siendo la tensión en el cable del ascensor de 9410 N. ¿Cuál es la lectura sobre la escala durante la aceleración?. [645 N] 8) Desde lo alto de un ascensor de 3 m de altura se deja caer un objeto cuando el ascensor sube con una aceleración de 2 m/s2. Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo del ascensor. [0,71 s] 9) Un objeto de 2 kg se suspende del techo de un vagón de ferrocarril. Si la cuerda que sujeta al objeto es inextensible y consideramos que su peso es nulo. Calcula el ángulo, que la cuerda forma con la vertical, si el vagón lleva un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado de aceleración 3 m/s2 . [17º] 10) Un bloque en reposo sobre una superficie horizontal pesa 425 N. Una fuerza aplicada al bloque tiene una magnitud de 142 N, estando dirigida hacia arriba formando un ángulo con la horizontal. El bloque empieza a moverse cuando el ángulo es de 60º. Determina el coeficiente de fricción estático entre el bloque y la superficie. [0,235] 11) Un patinador sobre hielo lleva una velocidad inicial de 7,60 m/s. Se desprecia la resistencia del aire. Calcula: a) la desaceleración causada por la fricción cinética, si el coeficiente de fricción cinética entre el hielo y el filo de los patines es de 0,100; b) ¿cuánta distancia recorrerá hasta que se pare?. [a) 0,98 m/s2; b) 29,5 m] 12) A un bloque de 121 kg le aplicamos una fuerza de 661 N formando un ángulo de 20º por encima de la horizontal. El coeficiente de fricción estático entre el bloque y la superficie es de 0,410. ¿Cuál es la cantidad mínima de masa que se ha de poner encima del bloque para impedir que se mueva?. [56,7 kg] 13) Un bloque de masa 10 kg es empujado hacia arriba en un plano inclinado, de 30º con la horizontal, con una fuerza de 73,1 N y que forma un ángulo de 10º con la tangente al plano inclinado. Si el sistema no tiene rozamiento determina la fuerza que ejerce el plano sobre el bloque y la aceleración a lo largo del plano. [72,2 N y 2,3 m/s2]

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14) Sobre una mesa horizontal tenemos un objeto de masa 10 kg. Si el coeficiente de rozamiento del objeto y la mesa es de 0,25 y, partiendo del reposo, adquiere una velocidad de 12 m/s en 36 m de movimiento rectilíneo, determina el valor de la fuerza horizontal aplicada. [44,5 N] 15) Dos cuerpos de 0,5 kg cada uno cuelgan de los extremos de un hilo que pasa por una polea. ¿Qué masa hay que añadir a uno de ellos para que el otro recorra 1 m en 2s? y ¿qué tensión soportará la cuerda?. [53 g y 5,2 N] 16) Dos fuerzas tienen de componentes: 1ª) F1x=2N, F1y=7N; 2ª) F2x=3N, F2y=4N. Se aplican simultáneamente sobre una masa de 500 g. Calcula: a) ¿cuánto vale el módulo de la aceleración que adquiere la masa?; b) si la masa tiene una velocidad inicial, de componentes vix=3m/s; viy=-4m/s, y se encuentra en el punto (0m,0m) ¿qué posición ocupará al cabo de tres minutos?. [a) 24,2 m/s2; b) (162,5; 355,6) km] 17) Un bloque de masa 0,2 kg sube por un plano inclinado de 30º con la horizontal, si la velocidad inicial con la que empezó la subida fue de 12 m/s, a) calcula hasta donde subirá si el coeficiente de rozamiento es µ=0,16 y, b) ¿cuál será la velocidad del bloque cuando llegue a la parte más baja del plano inclinado?. [a) 11,5 m; b) 9,03 m/s] 18) Sobre una mesa horizontal hay un cuerpo de 10 kg, que está unido mediante un hilo y una polea a otro de 5 kg que está colgando verticalmente. El coeficiente de rozamiento del cuerpo con la mesa es 0,20. a) Calcula la aceleración del sistema y dibuja las fuerzas existentes. b) Determina la masa mínima que ha de tener un cuerpo para que al colocarlo sobre el de 10 kg éste no se mueva. [a) g/5; b) 15 kg] 19) Un bloque A de 5 kg situado sobre una mesa horizontal, está unido a un hilo que pasa a través de una polea ideal colocada en el borde de la mesa. El coeficiente de rozamiento del bloque con la mesa es de 0,2. Calcular la aceleración del bloque A si: a) del extremo del hilo cuelga un bloque B de igual masa que A; b) se tira del extremo del hilo con una fuerza constante de 50 N. [a) 3,92 m/s2; b) 8,0 m/s2.] 20) Un ciclista va a realizar un giro llamado el “rizo de la muerte” en el que realiza un giro por una carretera colocada perpendicularmente. Si el radio del rizo es de 2,7 m, ¿cuál es la velocidad menor que puede tener el ciclista para que pueda permanecer en contacto con el rizo?. [5,1 m/s] 21) Un coche de masa 1600 kg viaja a una velocidad constante de 20 m/s por una carretera circular llana de radio 190 m. ¿Cuál es el valor mínimo del coeficiente µs estático entre los neumáticos del coche y la carretera para prevenir que el coche se deslice?. [0,21] 22) En una carretera en la que no hay fricción, por ejemplo, sobre hielo, un coche se mueve con una velocidad constante de 20 m/s alrededor de una curva con peralte. Si el radio es de 190 m ¿cuál es el ángulo que deberá tener el peralte si no hay rozamiento?. [12º] 23) En un cilindro de radio 2,1 m apoyamos un objeto, de masa 49 kg, que tiene un coeficiente de rozamiento con la pared del cilindro de 0,40. a) ¿Cuál es la velocidad mínima para que el objeto no se deslice hacia abajo?; b) ¿cuál es la fuerza centrípeta sobre el objeto?. [a) 7,2 m/s; b) 1209 N]

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Física: PROBLEMAS de “Dinámica de los sistemas de puntos materiales”

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Problemas de Dinámica de un sistema de partículas: 1) Calcula el centro de masas de las tres partículas: 3,0 kg en el punto (0m;0m); 8,0 kg en el (1m;2m) y 4,0 kg en el (2m;1m). [(1,1m;1,3m)] 2) La molécula de amoniaco (NH3) tiene la forma de una pirámide triangular. Los tres hidrógenos están en la base formando un triángulo equilátero, siendo la distancia de cada H hasta el centro del triángulo de 9,4×10-11 m, y la distancia de cada H al N de 10,14×10-11 m. Si la relación de las masas atómicas N/H es de 13,9 determina el centro de masas relativo al átomo de N. [6,75×10-12 m del N] 3) Un sistema está compuesto de tres partículas con masas 3 kg, 2 kg y 5 kg. La primera partícula tiene una velocidad de 6 m/s dirigida hacia el eje +X. La segunda se está moviendo con una velocidad de 8 m/s en una dirección que hace un ángulo de -30º con el eje X. Determina la velocidad de la tercera partícula si el C.M. aparece en reposo relativo al observador. [vx=-6,37m/s; vy=1,6 m/s]. 4) Un sistema está formado por dos partículas, de masas m1=2 kg y m2=3 kg, inicialmente en reposo en los puntos de coordenadas (0m;4m) y (3m;0m). En el instante t=0 s se les aplican las fuerzas F1x=4N y F2y=6N, respectivamente. Calcular: a) posición y velocidad del CM al cabo de 2 s; b) posición de la segunda partícula al cabo de 4 s. [a) Rx(CM)=3,4m; Ry(CM)=4m; Vx(CM)=1,6m/s; Vy(CM)=2,4m/s; b) r2x=3m; r2y=16m]. 5) Dos masas de 10 kg y de 6 kg están situadas en los puntos (0,3) m y (4,0) m, respectivamente y unidas por una barra rígida de masa despreciable. Estando inicialmente en reposo, se someten a las fuerzas de 8 N paralela al eje X, la primera, y de 6 N paralela al eje Y, la segunda. a) Calcula las coordenadas del centro de masas (CM) en función del tiempo. b) Expresa el momento lineal en función del tiempo. [a) Rx(CM)=1,50+0,25t2 m; Ry(CM)=1,88+0,188t2 m; b) Px(CM)=8t kg×m/s; Py(CM)=6t kg×m/s] 6) Un objeto cae desde una altura de 180 m y, al cabo de 3 s, explota dividiéndose en dos fragmentos de igual masa, uno de los cuales sale con velocidad horizontal, al eje +X, de 20 m/s. Calcular: a) velocidad del otro fragmento; b) posición del primero cuando el segundo alcanza el suelo. [a) vx=-20m/s; vy=-58,8m/s; b) r1x=40m; r1y=116,3m]. 7) Un proyectil explota en el punto más alto de su trayectoria resultando dos fragmentos A y B. El fragmento A, de 2 kg, sale horizontalmente con una velocidad doble a la que tenía el proyectil en el momento de la explosión. Determinar la velocidad de salida del fragmento B e indicar cuál de los dos fragmentos alcanza antes el suelo. Haz un esquema de las trayectorias. (Resolver el problema para valores de 1, 2 y 4 kg de la masa del fragmento B). [vA=2v; vB(1)=-v; vB(2)=0; vB(4)=½v; igual t] 8) Un patinador de 70 kg, en reposo sobre una pista de hielo, lanza un objeto de 10 kg con una velocidad horizontal de 10 m/s en el sentido positivo del eje OX. El coeficiente de rozamiento patín-hielo es de 0,1. Determinar: a) la velocidad del patinador 0,2 s después del lanzamiento; b) velocidad del objeto respecto del centro de masas patinador-objeto, en ese mismo instante. Dato: g=10 m/s2. [a) vx=-1,23m/s; b) vx=9,83m/s; vy=-17,5m/s]. 9) Una cañón de masa 1300 kg lanza una bala de masa 72 kg en una dirección horizontal con una velocidad relativa al cañón de 55 m/s. ¿Cuál es la velocidad de retroceso del cañón respecto de la Tierra y la velocidad de la bala respecto de la Tierra?.[-2,9 y 52 m/s] 10) Una bala de masa 3,50 g se dispara horizontalmente. La bala atraviesa un objeto, de masa 1,20 kg, que está en reposo, y luego se incrusta en otro objeto de masa 1,80 kg, que también está en reposo. El primer objeto adquiere una velocidad de 0,630 m/s y el segundo, con la bala en su interior, adquiere una velocidad de 1,40 m/s. Calcula: a) la velocidad de la bala inmediatamente después de salir del primer bloque; b) la velocidad inicial de la bala. [721 m/s y 937 m/s] 11) Un cuerpo de 6 kg, en reposo en el origen de coordenadas, explota en tres fragmentos de masas 1 kg, 2 kg y 3 kg. Considera el plano XY horizontal y el eje Z vertical. Las componentes de las velocidades de los dos primeros: (v1x=8m/s) y (v2x=-4m/s;v2y=2m/s). Calcula: a) la velocidad del tercer fragmento; b) la cantidad de movimiento del sistema antes y después de la explosión; c) momento cinético respecto al origen, de cada fragmento y del sistema, a los

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tres segundos de la explosión. [a) v3y=4/3m/s; b) 0; c) L1y=360kg×m2/s; L2x=-180kg×m2/s; L2y=-360kg×m2/s; L3x=180kg×m2/s; |Ltotal|=0kg×m2/s] 12) Un sistema de dos partículas, de masas m1=2 kg y m2=3 kg, situadas en los puntos (0,1,1) m y (-1,0,1) m, se mueven con velocidades de componentes: v1x=10m/s; v2x=-4m/s y v2y=4 m/s. Calcula: a) la velocidad del centro de masas; b) los momentos lineales de cada una respecto del centro de masas; c) el momento angular del sistema respecto del centro de masas (sistema-C); d) el momento angular del sistema respecto del sistema OXYZ (sistemaL); e) verifica la relación: L=Lorbital+Linterno. [a) Vx(CM)=8/5m/s; Vy(CM)=12/5m/s; b) p’1x=84/5kg×m/s=-p’2x; p’1y=-24/5kg×m/s=-p’2y; c) L’z=-21,6J×s; d) Lx=-12J×s; Ly=8J×s; Lz=32J×s; e) Lx(orbital)=-12J×s; Ly(orbital)=8J×s; Lz(orbital)=-10,4J×s] 13) Un núcleo originalmente en reposo, se descompone radiactivamente por emisión de un electrón de momento lineal y en ángulo recto a la dirección del electrón un neutrino. Calcula: a) en qué dirección retrocede el núcleo original; b) cuál es el momento lineal del núcleo residual y su velocidad. Datos: pelectrón=9,22×10-21 kg×m/s; pneutrino=5,33×10-21 kg×m/s; mnú-25 kg. [a) 150º con el electrón; b) 1,07×10-20 kg×m/s y 27,3 km/s] cleo(residual)=3,90×10 14) Sea el sistema constituido por dos partículas, denominadas 1 y 2, de masas, posición y velocidad: m1=4kg; r1y=4m; v1x=2m/s y m2=6kg; r2x=4m; v2y=3m/s. Verifica: a) la relación entre el momento angular referido al sistema-L y al sistema-C; b) la relación entre la energía cinética del sistema referida al sistema-L y al sistema-C. [a) Lz(total)=40J×s; Lz(orbital)=30,4J×s; Lz(interno)=9,6J×s; b) Ec(total)=35J; Ec(orbital)=19,4J Ec(interna)=15,6J] 15) Una partícula de masa 5 kg moviéndose a una velocidad de 2 m/s colisiona con otra de 8 kg en reposo. Si la colisión es elástica calcula la velocidad de cada partícula después del choque en los dos casos: a) colisión frontal; b) si la primera es desviada 50º desde su dirección original. [a) v’1=0,46 m/s; v’2=1,54 m/s; b) v’1=1,57 m/s; v’2=0,97 m/s] 16) Una partícula de 4 kg se mueve en el sentido positivo del eje OX con una velocidad de 2 m/s. Otra partícula de 1 kg se mueve hacia el origen, para chocar con la de 4 kg, a una velocidad de 4 m/s en una dirección que forma un ángulo de +30º con el eje OX. Calcular la velocidad de cada partícula después del choque, supuesto éste: a) elástico; b) inelástico. [a) v’1x=-0,2 m/s; v’2x=5,28 m/s; v’2y=-2 m/s; b) VCM=0,91i-0,4j m/s] 17) Dos bolas A y B de masas diferentes y desconocidas chocan, estando A inicialmente en reposo cuando B tiene una velocidad. Después del choque B tiene otra velocidad de módulo la mitad de la inicial y dirección perpendicular a su movimiento original. Determina en qué dirección se mueve A después del choque. [a -26,56º de la dirección de B] 18) En un reactor nuclear se producen neutrones rápidos que deben ser retardados antes de que ellos participen en el proceso de reacción en cadena. Esto se realiza haciéndolos colisionar con el núcleo de átomos en un moderador. Calcula: a) ¿qué fracción de la energía cinética de un neutrón, de masa m1, se reduce en una colisión frontal elástica con un núcleo de masa m2 inicialmente en reposo?; b) la fracción por plomo, carbono y hidrógeno. Datos: la relación entre la masa nuclear y la masa del neutrón (m2/m1) es para el plomo de 206, para el carbono 12 y para el hidrógeno 1. [a) fracción = (Ki - Kf)/Ki = 4×m1×m2/(m1+m2)2; b) 0,019; 0,28 y 1] 19) El péndulo balístico es un aparato que se usaba para medir las velocidades de las balas. El aparato consiste de un gran bloque de madera de masa 5,4 kg colgado desde dos largos cordones. Una bala de masa 9,5 g se dispara horizontalmente contra el bloque, que está en reposo. El bloque con la bala incrustada, después del impacto, suben, de tal forma que su centro de masa sube una distancia vertical de 6,3 cm hasta que se para. Calcula: a) la velocidad de la bala antes de la colisión; b) la energía cinética inicial de la bala y la energía mecánica que permanece. [a) 630 m/s; b) 1900 J y 3,3 J] 20) Dos partículas, de igual masa, tienen una colisión elástica estando una de ellas en reposo. Demuestra (a menos que la colisión sea frontal) que las dos partículas después de la co! ! ! lisión se mueven perpendicularmente. v1i ! v1f " v2 f # v12i ! v12f " v22f 21) Un núcleo radiactivo de Uranio-235 se desintegra espontáneamente a Torio-231 emitiendo una partícula alfa. Si la partícula alfa tiene una masa de 4,00×u y una energía cinéti-

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ca de 4,60 MeV calcula la energía cinética de retroceso del núcleo Torio-231 de masa 231×u. [79,7 keV] 22) Un protón, de masa atómica 1×u, con una velocidad de 500 m/s colisiona elásticamente con otro protón en reposo. El protón primero se desvía 60º de su dirección inicial. a) ¿Cuál es la dirección de la velocidad del protón en reposo después de la colisión?; b) ¿cuáles son las velocidades de los dos protones?. [a) 30º respecto del incidente; b) 250 m/s y 433 m/s] 23) Dos esferas pequeñas de 0,5 kg y 1 kg cuelgan de un mismo punto mediante dos hilos de 1 m de longitud. Se eleva la esfera de 0,5 kg hasta que el hilo está horizontal y se suelta, dejándola caer libremente. Calcular: a) velocidad de la esfera inmediatamente antes de chocar con la otra esfera; b) velocidad de cada esfera después del choque, supuesto elástico; c) altura máxima de cada esfera tras el choque. [a) 19,6½ m/s; b) v’1(0,5)=1,48 m/s; v’2=2,9 m/s; c) 0,11 m; 0,44 m] 24) Una granada de masa m se mueve horizontalmente a 2 m/s, explota en tres fragmentos de masas m/3, m/2 y m/6. Inmediatamente después de la explosión, los tres fragmentos se mueven en un mismo plano vertical, el primero, horizontalmente, a 5 m/s y el segundo, a 5 m/s, formando 45º con la horizontal. a) Calcule la velocidad del tercer fragmento después de la explosión y haga un esquema vectorial de las velocidades de los tres fragmentos. b) Exprese la velocidad del centro de masa del sistema en función del tiempo.

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ÍNDICE DE “CAMPOS. TRABAJO Y ENERGÍA” Campos Escalares y Vectoriales Significado físico del vector gradiente Circulación de un Campo Vectorial. Campos Conservativos Campos conservativos: propiedades Trabajo. Energía Cinética. Energía Potencial Trabajo de una fuerza variable Energía Cinética Energía Potencial Propiedades de un campo de fuerzas conservativo Conservación de la Energía Mecánica Principio de conservación Ejemplos de campos conservativos Fuerzas disipativas Flujo de un Campo Vectorial Teorema de Gauss Interacciones fundamentales de la Naturaleza Modelo estándar Fuerza electromagnética Fuerza débil Fuerza fuerte Problemas de Campos, Trabajo y energía

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Campos Escalares y Vectoriales.Concepto de Campo: El concepto de campo surge a mediados del siglo pasado, debido a Faraday, para explicar las interacciones entre cargas eléctricas. Para explicar estos hechos Faraday supuso que una carga eléctrica situada, en reposo, en el espacio está rodeada de un campo eléctrico (electrostático), el cual actúa sobre otra carga en reposo. Si la primera carga estuviese en movimiento estaría rodeada de un campo electromagnético, el cual influiría electromagnéticamente sobre otra carga en reposo o en movimiento. La interacción mutua entre dos partículas se describe mediante el concepto de campo de fuerzas. Es decir, en vez de hablar de la acción de una partícula sobre otra, podemos decir que la partícula crea un campo en torno a ella y determinada fuerza actúa entonces sobre cada una de las otras partículas situadas en el campo. El concepto de campo tiene mucha importancia en la Física ya que las interacciones no se propagan instantáneamente sino a una velocidad finita. Así la fuerza que actúa sobre una partícula en un instante dado, no está determinada por las posiciones de las demás en el mismo instante. Un cambio en la posición de una de las partículas repercute sobre las otras partículas tan sólo después de transcurrido un cierto tiempo. Esto significa que el campo tiene una realidad física y no podemos hablar de una interacción directa de partículas colocadas a distancia las unas de las otras. Las interacciones en un instante cualquiera pueden ocurrir solamente en puntos muy próximos en el espacio sería interacciones de contacto. Por tanto, lo correcto es hablar de la interacción de una partícula con el campo y de la ulterior interacción del campo con una segunda partícula. Ahora bien, es conveniente recordar que las interacciones electromagnéticas tienen al fotón como partícula transportadora de la interacción siendo la velocidad de la luz finita. En una región del espacio se considera que existe un Campo cuando hay un observable físico en cada punto del espacio. Si el observable físico es de naturaleza escalar, tal como la temperatura, la presión, etc., será un Campo Escalar y si es de naturaleza vectorial, tal como la velocidad, la fuerza, etc., será un Campo Vectorial. Campos escalares: Una magnitud escalar U, como la temperatura, que toma valores determinados en ! cada punto del espacio se llama función escalar del punto o campo escalar U # U ! r " . Por ejemplo, campo de temperatura, de densidad de un medio no homogéneo, de presiones, etc. Un campo escalar puede definirse mediante la función escalar del argumento vectorial ! U # U !r"

U=1/r

y

y

U=0,5

U=-1/r

U=1

U=-0,5

y

U=-1 1

2

x

1

2

x

x z

Representaciones gráficas de los campos escalares: 1 1 U(x, y) # ; U(x, y) # $ 2 2 2 x %y x % y2 Superficie de nivel: Consideremos un campo escalar U(x,y,z), los puntos del campo (puntos del espacio) en los cuales U(x,y,z) toma el mismo valor constituyen una superficie de nivel. Siempre se cumple que por cada punto del campo pasa sólo una superficie de nivel. Campos vectoriales:

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! ! ! Una magnitud vectorial F # F ! r " que toma un valor determinado en cada punto del espacio se llama función vectorial o Campo Vectorial. Ejemplos de campos vectoriales: un campo de fuerzas, de fuerza gravitatoria o de fuerza electrostática, el campo de velocidades de las partículas de un líquido en movimiento, un campo de intensidad eléctrica, un campo magnético o de inducción magnética.

Representaciones gráficas de un Campo Vectorial central están en el dibujo anterior. Líneas del campo: En un campo vectorial se llaman líneas del campo a unas líneas tales que en cada punto de la línea el vector del campo es tangente a la curva (líneas radiales y líneas circulares). Siempre se cumple que por cada punto del campo pasa sólo una línea del campo y, por tanto, las líneas no se cortan. Derivada direccional; gradiente: En un campo escalar U=U(x,y,z), como la Temperatura, al pasar de un punto P, de vector de posición rx ; ry ; rz , a otro punto P’ infinitamente próximo,

!

!

"

"

de vector de posición rx % drx ; ry % dry ; rz % drz , éste varía un diferencial de U (dU). Si U dependiera sólo de la variable x entonces dU #

dU dx dx

y y=f(x) dy &x=dx

línea tangente tg =dy/dx

&y

dy=y'∙dx x

& y es el cambio en y a lo largo de la curva dy=y'∙dx es el cambio de en y a lo largo de la línea tangente.

Un diferencial de U sería la derivada de U con respecto a la variable multiplicado por lo que varía la variable, es decir, un diferencial de x. Como U depende de las tres variables x, y, z: ' )U ( ' )U ( ' )U ( dU # * + dy % * + dx % * + dz , )x - y,z , )z - x,y , )y - x,z Diferencial de una función U en un punto es el producto de las derivadas de la función en ese punto por un incremento de la variable independiente. Ejemplo: .U # x 2 y / ' )U ( 0 ' )U ( 2 /dU # * )x + dx % * )y + dy # ! 2xy " dx % x dy , , y x 1 ! ! ! ! Si el diferencial de desplazamiento en el campo escalar es igual a dr # dx i % dy j % dz k

! "

Podemos escribir:

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! ! ! ! ! 2 )U ! )U ! )U ! 3 dU # 4U 5 dr # 6 i% j% k 7 5 28dx i % dy j % dz k 39 )y )z 9 8 )x ! ! ' )U ( ' )U ( ' )U ( dU # 4U 5 dr # * + dy % * + dx % * + dz y ) , )x - y,z , )z - x,y , - x,z Que es el producto escalar del gradiente de U por el diferencial del vector desplazamiento. Significado físico del vector gradiente: Representa la dirección del máximo cambio en los valores del Campo Escalar o la dirección de máxima pendiente en el Campo Escalar. !U

!U ß

U=cte dr

O

v dU = ds !U∙cosß

U=cte

r

Si nos movemos en una superficie equiescalar o de nivel, es decir, por puntos en los ! ! que dU=0, significa que el producto escalar del vector gradiente de U, 4U , por el vector dr ! ! es cero: dU # 4U 5 dr # 0 El producto escalar cero implica que los dos vectores son perpendiculares, por tanto, el vector gradiente de U es un vector perpendicular a la superficie de nivel. Circulación de un Campo Vectorial. Campos Conservativos.Circulación elemental: Sea un campo vectorial cuyo vector campo en el punto P(x,y,z) viene dado por ! ! ! ! ! ! ! ! F # Fx i % Fy j % Fz k y sea dr # drx i % dry j % drz k un desplazamiento elemental cualquiera. Se define la circulación elemental del vector al producto escalar del vector en ese punto por el diferencial de la posición: ! ! ! ! ./F # Fx i % Fy j % Fz k :/ ! ! ! ! ! < ; dC # F 5 dr # Fx drx % Fy dry % Fz drz 0 ! /1dr # drx i % dry j % drz k /= Ejemplo: En física elemental aprendimos que el trabajo realizado por la fuerza aplicada sobre un objeto es igual al producto de la fuerza por el desplazamiento. Si la fuerza y el desplazamiento no es paralelo, entonces la componente de la fuerza perpendicular al desplazamiento no realiza trabajo. Si la fuerza varía con la distancia o también la dirección del movimiento cambia con el tiempo, podemos escribir, para un desplazamiento infinitesimal

! ! dW # F 5 dr

Circulación a lo largo de una trayectoria: Supongamos que el objeto se mueve a lo largo de una trayectoria curvilínea que une dos puntos A y B. Si hay definido un campo de fuerzas en todos los puntos de la trayectoria curvilínea, como a lo largo de una curva hay sólo una variable independiente podemos escribir la circulación como función de una única variable. Por tanto, la integral de a lo largo de una curva dada será una integral sencilla de una variable y se llama integral de línea o curvilínea, en contrate con la integral en una superficie que es doble. F dr A

dW= F∙ d r

B

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Se llama Circulación del Campo Vectorial a lo largo de la trayectoria desde A hasta B a la integral curvilínea de la función vectorial tomada sobre el camino AB: N

?

lim !

&r > 0

@

Propiedades de la Circulación:

B

A

! ! F(r!i ) 5 &ri #

i #1

! ! F 5 dr # $

@

A

B

! ! F 5 dr #

@

@

C

A

B

A

! ! F(r!i ) 5 dri

! ! F 5 dr %

@

B

C

! ! F 5 dr

! ! ! Ejemplo: Dada la fuerza F # xyi $ y 2 j calcula el trabajo realizado por la fuerza a lo largo de los caminos indicados en la figura desde (0,0) hasta (2,1). 3

1

(2,1)

3

1 2

1

Al ser W #

@

B

A

! ! F 5 dr #

@

2,1

0,0

2

2 xydx $ y 2dy 3 , debemos escribir la integral en términos de 8 9

una variable. A lo largo del camino 1 que es la línea recta de ecuación y=½∙x B ! 2,1 ! . : 2 xydx $ y 2dy 3 / W F dr # 5 # / 8 9 A 0,0 0 e$ % p% J$ e % p % > e % % n El muón y el tauón son inestables, con tiempos de vida de 2,2∙10-6 s y 3,0∙10-13 s, respectivamente. Se desintegran por interacción débil, y la gran diferencia en sus tiempos de vida es una consecuencia de la diferencia de masa. $ $ /. H > e % J$ e % JH /: 0 % < % /1 H > e % Je % J$ H /=

$ $ /. I > e % J$ e % J I /: 0 $ < $ /1 I > H % J$ H % J I /=

2) Quarks: 2 2 2 ' up ( ' charged ( ' top ( ' u ( ' c ( ' t ( ' qu # % 3 qe ( ' qc # % 3 qe ( ' qt # % 3 qe ( * + * + * + ; ; * +* +* + * +* +* + , down - , strange - , bottom - , d - , s - , b - *, q d # $ 13 q e +- *, q d # $ 13 q e +- *, q d # $ 13 q e +-

Quarks (espín-½) Up (u) Down (d) Strange (s) Charm (c) Bottom (b) Top (t)

Energía 0,35 GeV 0,35 GeV 0,50 GeV 1,50 GeV 4,50 GeV 92 GeV

Carga (Qe) + 2/3 - 1/3 - 1/3 + 2/3 - 1/3 + 2/3

Extrañeza 0 0 -1 0 0 0

Nº bariónico + 1/3 + 1/3 + 1/3 + 1/3 + 1/3 + 1/3

Como los leptones, estos seis tipos distintos de quarks, o sabores, existen a pares. Cada par está formado de un quark con carga fraccionaria, respecto de la carga del electrón. Sin embargo, no puede medirse sobre los quarks libres y aislados porque hasta la fecha no han podido ser aislados. Además de la carga eléctrica los quarks poseen otro atributo llamado carga color, que juega el mismo papel que la carga eléctrica en la interacción electromagnética. Para explicar por qué se observan sólo ciertas combinaciones de quarks, se considera que hay tres tipos de cargas color, que arbitrariamente se llaman rojo (r), verde (g) y azul (b), a las que añadimos las cargas anticolor. Los estados color corresponden a diferentes valores de dos de las cargas color llamados la carga color hipercarga y la carga color isospín. Cargas color Estados color rojo (r) verde (g) azul (b)

Color Isospín (I) + 1/2 - 1/2 0

Color Hypercarga (Y) + 1/3 + 1/3 - 2/3

Los quarks están unidos por la fuerza fuerte o fuerza “color”. Se considera que los quarks de diferentes colores se atraen formando combinaciones estables, es decir, sin color "" " tales como !q r , q g , q b " o !q r , q r " . Por esta razón una distribución estable de quark son combinaciones sin color de tres quarks o de un quark y un antiquark. De la misma forma que los átomos neutros están formados de cargas positivas y negativas, una combinación de tres quarks con tres colores diferentes o de un quark con una carga color y un antiquark con la carga anticolor dan un sistema de color neutro o sin color (blanco). Así, los hadrones son combinaciones de quarks sin color. Dos hadrones sin color,

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cuando están separados, prácticamente no sienten fuerza color. De la misma forma que dos átomos neutros cuando están separados no sienten apenas la fuerza eléctrica. Pero si dos hadrones se encuentran próximos, los quarks coloreados, en cada uno, pueden sentir la fuerza color de los quarks en el otro. Esta fuerza se llama “interacción residual”, que se pone de manifiesto en fenómenos nucleares y es el origen de la fuerza entre protones y neutrones. Es decir, los núcleos existen por un efecto residual de la fuerza color. 3) Bosones intermediarios: Los bosones intermediarios tienen espín-1 y son las partículas llamadas transportistas de las interacciones. En una interacción física cambia el momento y la energía, que están cuantizados, es decir, que no pueden variar continuamente, sino que están restringidos a tomar ciertos valores discretos. Por tanto, en una interacción entre dos partículas no se produce un flujo continuo de momento y energía entre ellas a través del campo, la interacción tiene lugar a través del intercambio de bosones. Es decir, cuando se produce una interacción ésta consiste en el intercambio de bosones. El sentido del paso del bosón no se puede discernir por el principio de incertidumbre. En la interacción electromagnética, la partícula transportadora es el fotón, cuya masa es cero en reposo. En la interacción débil las partículas transportadoras de la interacción son W± y Zº. Las partículas W± tienen de masa 80,6 GeV/c2 y la Zº de 91,2 GeV/c2. Los bosones W y Z son muy inestables y se descubrieron en la interacción protónantiprotón. En la interacción fuerte o fuerza color entre los quarks las partículas transportadoras son bosones llamados gluones, que se suponen sin masa y espín-1. Llevan carga color pero no carga eléctrica. Hay ocho gluones, que corresponden a las combinaciones color posibles. Fuerza electromagnética: Si dos electrones se ejercen una fuerza, esta interacción está descrita por una teoría muy lograda llamada electrodinámica cuántica (QED). Esta teoría establece que cada electrón detecta la presencia del otro por intercambio de fotones (que no tienen masa y son bosones de espín-1) entre los dos, siendo el fotón el cuanto del campo electromagnético. Sin embargo, no podemos detectar estos fotones porque son emitidos por un electrón y absorbidos por el otro en un intervalo de tiempo muy corto, y por su corta existencia le llamamos fotones virtuales o partículas mensajeras. Como las partículas mensajeras de la interacción electromagnética no tienen masa la interacción se produce a muy largas distancias. Fuerza débil: Una teoría del campo de la fuerza débil se desarrolló análogamente con la del campo electromagnético. Las partículas mensajeras que transmiten la fuerza débil, entre leptones, no son los fotones sino unas partículas con masa llamadas W y Z y que son bosones de espín-1. La teoría ha revelado que la fuerza electromagnética y la fuerza débil son aspectos diferentes de una fuerza llamada electrodébil. Esta conclusión es una extensión lógica del trabajo de Maxwell, quien consideró que la fuerza eléctrica y la magnética son aspectos diferentes de una única fuerza electromagnética. La teoría electrodébil predijo las propiedades de las partículas mensajeras. Es decir, sus cargas y sus energías en reposo (las dos W±, la positiva y la negativa, tienen 80,6 GeV y la Zº tiene 91,2 GeV). Recordamos que el protón tiene una energía de 0,938 GeV. La teoría fue confirmada en 1983 en el acelerador del CERN de Ginebra, por el descubrimiento de las partículas mensajeras W y Z. Al tener las partículas mensajeras de la interacción débil, una masa muy elevada, dicha interacción no llega muy lejos, y se dice que es de corto alcance. Se manifiesta sobre todo produciendo la transmutación de partículas, en vez de ejerciendo un efecto de tiro o empuje directo. Fue postulada inicialmente para explicar la desintegración ß: 1ª) n ! udd " > p% ! uud " % e $ % J$ e ; 2ª) p% ! uud " > n ! udd " % e % % Je . Un quark-d es sustituido por un quark-u lo que involucra cambio de sabores de quarks. Es decir, la fuerza débil es capaz de cambiar el sabor de un quark, el d por el u, y los leptones, así los electrones se vuelven neutrinos y así sucesivamente. A energías altas se han producido en los aceleradores de partículas los bosones por interacción electromagnética:

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p (uud) % e > p % % e $ C

Z%

e% % e$ > H % % H $ Hoy en día la interacción electromagnética y la débil se consideran unificadas, llamándose Electrodébil. Fuerza fuerte: La teoría de la fuerza fuerte, es decir, la fuerza que actúa entre quarks, también ha sido desarrollada. Las partículas mensajeras en este caso se llaman gluones y, como el fotón, no tienen masa, por lo que la interacción fuerte entre quarks es de largo alcance. Sin embargo, la interacción fuerte residual entre los estados quarks enlazados (hadrones) es de corto alcance. La teoría considera que cada “sabor” de quark puede presentarse en tres variedades que se llaman rojo (r), verde (g) y azul (b). Así, existen tres quarks de sabor u, uno de cada color. La teoría se llama cromodinámica cuántica (QCD) y una importante predicción de la teoría es que los quarks se pueden unir sólo en combinaciones de color neutras. Es decir que se unan tres quarks en r-g-b, o dos quarks en coloranticolor, como en r-r-. La tentativa de unificar las fuerzas fundamentales de la naturaleza se está desarrollando actualmente en dos pasos. El primero, sería la unificación de la fuerza fuerte y la electrodébil llamada teoría de la gran unificación. El segundo, sería añadir la fuerza gravitatoria con lo que tendríamos la llamada teoría de todo. Tipo de interacción Fuerte

Fuentes Intensidad relativa carga 1 color

Alcance

Bosón transportista

10-15 m

Débil

carga 10-14 débil carga 10-2 eléctrica

10-18 m

8 bosones(gluones: 2 quarks) Los Hadrones: bariones (1,8∙10-36 hasta 3,2∙10-25 kg) (fermiones: n y p) y mesones (bosones). No los leptones 3 bosones Leptones y Quarks (W+- y Z)(1,4∙10-25 kg) El fotón(masa=0) Partículas cargadas y neutras con momento magnético intrínseco (n) El gravitón (?) Todas las partículas (hasta el fotón)

Electromagnética Gravitatoria

masa

10-38

infinito infinito

Sienten la interacción

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Física: PROBLEMAS de “Campos. Trabajo y energía”

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1) Calcula el Trabajo realizado sobre una partícula al desplazarla desde el punto (1,1) m ! ! ! ! ! ! hasta el (2,4) m por los campos de fuerzas: F # x 2 i $ y 2 j; F # y 2 i $ x 2 j . Siguiendo las trayectorias: a) por la recta que pasa por los citados puntos; b) por la quebrada que pasa por los puntos (1,1), (2,1) y (2,4); c) por la quebrada que pasa por los puntos (1,1), (1,4) y (2,4); d) por la parábola de ecuación y=x2. Posteriormente determina si el campo de fuerzas es conservativo. [1º: a) -56/3 J; b) igual a; c) igual a; d) igual a; Conservativo][2º: a) 0 J; b) -11 J; c) 13 J; d) -1,3 J. No conservativo] ! ! ! 2) Sea el campo de fuerzas que actúa sobre una partícula: F # 2xy i $ x 2 j . Calcula el Trabajo realizado al desplazar la partícula desde el punto (0,0) m hasta el (2,4) m siguiendo las trayectorias siguientes: a) por la quebrada (0,0), (2,0) y (2,4); b) por la quebrada (0,0), (0,4) y (2,4); c) a lo largo de la recta que une los dos puntos (0,0) y (2,4). Posteriormente comprobar si el campo es conservativo. [a) -16 J ; b) 16 J; c) 16 J. No Conservativo] 3) Un cuerpo se mueve a lo largo de la trayectoria [x=t+1; y=2t-2; z=t] y bajo la acción del ! ! ! ! campo: F # t i $ (3t % 1) j % 2k . Calcular: a) el trabajo realizado entre los instantes 2 s y 3 s; b) el desplazamiento de la partícula. [a) -12,5 J; b) 61/2 m] 4) Un bloque de 5 kg desliza por una superficie horizontal lisa con una velocidad de 4 m/s y choca con un resorte de masa despreciable y constante elástica 800 N/m, en equilibrio y con el otro extremo fijo. Calcular: a) cuánto se comprime el resorte; b) desde qué altura debería caer el bloque sobre el resorte, colocado verticalmente, para producir la misma compresión. (La fuerza del muelle es F=-k∙r). [a) 0,11/2 m ; b) 0,8 m]. 5) Un bloque de 2 kg se lanza hacia arriba con una velocidad de 10 m/s por un plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es µ=0,4. Calcular: a) longitud que recorre hacia arriba el bloque, hasta detenerse; b) velocidad del bloque al volver al punto de lanzamiento. [a) 6,0 m; b) 4,3 m/s] 6) Un proyectil de 0,01 kg con velocidad de 40 m/s en dirección horizontal, se incrusta en un bloque de 4 kg, suspendido de un punto fijo mediante una cuerda de 1 m de longitud. Calcular: a) la altura a la que asciende el bloque tras el impacto; b) velocidad mínima de la bala para que el bloque describiera una circunferencia vertical completa. [a) 0,51 mm; b) 2510 m/s]. 7) Un bloque de 10 kg se lanza hacia arriba por un plano inclinado de 30º, con la horizontal, con una velocidad de 10 m/s. El bloque vuelve al punto de partida con una velocidad de 5 m/s. Calcula: a) la longitud que recorre hasta que sube, el trabajo de rozamiento y el coeficiente de rozamiento con el plano; b) deformación máxima y final de un resorte de constante elástica 500 N/m, colocado en dicho punto de partida, al volver el bloque. [a) 6,25 m; -187,5 J y µ=0,346; b) 0,748 m y 0,092 m] 8) Un bloque de 20 kg se encuentra sobre una superficie horizontal unido a uno de los extremos de un resorte de constante elástica 100 N/m, en equilibrio y con el otro extremo fijo. Se tira del bloque con una fuerza de 150 N en una dirección que forma un ángulo de 30º con la horizontal hasta desplazar el bloque una longitud de 0,5 m. Si el coeficiente de rozamiento es de 0,4 calcula: a) el trabajo de la fuerza de rozamiento; b) velocidad y aceleración del bloque en ese instante. [a) -24,2 J; b) 1,7 m/s y 1,6 m/s2]. 9) Calcular el trabajo neto realizado al arrastrar un bloque de 80 kg, sobre un plano horizontal, aplicándole una fuerza de 400 N durante una distancia de 15 m si: a) la fuerza aplicada es horizontal y no existe rozamiento entre el bloque y el plano; b) la fuerza aplicada forma un ángulo de 30º con la horizontal; c) la fuerza es horizontal y el coeficiente de rozamiento es 0,4; d) la fuerza forma un ángulo de 30º con la horizontal y el coeficiente de rozamiento es 0,4. [a) 6000 J; b) 5196 J; c) 1296 J; d) 1692 J] 10) Un proyectil de 100 g lleva una velocidad de 210 m/s cuando choca y se incrusta en un bloque de madera de 2 kg que descansa en un plano horizontal. El bloque, con el proyectil incrustado, recorre 4 m antes de encontrarse con un resorte de constante elástica 200 N/m, al que comprime. Si consideramos el coeficiente de rozamiento 0,2 determina: a) velocidad del bloque inmediatamente después de incrustarse en el proyectil; b) longitud que se com-

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prime el resorte; c) distancia a que queda del resorte el bloque cuando es expulsado por aquél. [a) 10 m/s; b) 0,92 m; c) 19,6 m] 11) Un cuerpo se desliza sin rozamiento por una vía en forma de rizo. Si la altura de la que parte es de 4 m y el rizo tiene 1 m de radio, calcula: a) las velocidades en el rizo pero a 1 m de altura y en la parte superior que está a dos metros de altura; b) analiza desde qué altura se debe dejar caer el cuerpo para que al pasar por el punto más alto la fuerza centrípeta sea igual que el peso del cuerpo. [a) 7,7 y 6,3 m/s; b) 2,5 m] 12) Un bloque de masa 2 kg se lanza con una velocidad de 6 m∙s-1 por una superficie horizontal rugosa de µ=0,2. Después de recorrer una distancia de 4 m, choca con el extremo libre de un resorte, de masa despreciable y constante elástica 200 N∙m-1, colocado horizontalmente y fijo por el otro extremo. Calcule: a) la compresión máxima del resorte y el trabajo total realizado en dicha compresión; b) la altura desde la que debería dejarse caer el bloque sobre el extremo del resorte, colocado verticalmente, para que la compresión máxima fuera la misma que en el apartado a). Dato: g=10 m∙s-2. [a) 0,43 m y 18,3 J; b) 0,485 m] 13) Un muelle se comprime 2 cm si se le aplica una fuerza de 270 N. Un bloque cuya masa es de 12 kg se deja caer desde lo alto de un plano inclinado, sin rozamiento, cuyo ángulo de inclinación es de 30º. El bloque en su caída por el plano inclinado choca con el muelle y lo comprime hasta 5,5 cm. Calcula: a) ¿desde qué distancia ha caído?; b) ¿cuál es la velocidad del bloque justamente antes de chocar con el muelle?. Dato: g=9,8 m∙s-2. [a) 35 cm; b) 1,7 m/s] 14) Un bloque de 2,0 kg se deja caer desde una altura de 40 cm sobre un muelle colocado verticalmente. La constante elástica del muelle es de 1960 N∙m-1. Calcula la distancia máxima que se comprime el muelle. Dato: g=9,8 m∙s-2. [10 cm]

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ÍNDICE DE “CAMPOS GRAVITATORIO Y ELECTROSTÁTICO” Interacción gravitatoria. Ley de gravitación universal Historia de las teorías acerca de los movimientos planetarios. Leyes de Kepler Ley de Newton de la gravitación universal Bases de la Gravitación Universal Conceptos de masa inercial y de masa gravitatoria Campo y potencial gravitatorios Energía potencial gravitatoria de una masa puntual Campo y potencial gravitatorios de una distribución de masas puntuales Ley de Gauss para el campo gravitatorio Aplicaciones del teorema de Gauss Campo gravitatorio terrestre. Satélites Campo gravitatorio terrestre: variación de g con la altura Energía potencial gravitatoria terrestre Satélites: velocidad orbital y velocidad de escape Energía mecánica de un satélite en órbita Velocidad de escape Trabajo sobre un satélite: para situarlo en una órbita de altura h y para sacarlo de la interacción gravitatoria terrestre Interacción electrostática. Ley de Coulomb Campo y Potencial electrostáticos Líneas del campo y superficies equipotenciales Energía potencial electrostática Ley de Gauss para el campo electrostático Campo electrostático en la materia: conductores y dieléctricos Polarización Influencia del medio en la interacción electrostática; permitividad y constante dieléctrica Condensadores Energía almacenada en un condensador cargado Asociación de condensadores: serie y paralelo Estudio comparativo de los campos gravitatorio y electrostático Problemas del campo gravitatorio Problemas del campo electrostático

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Interacción gravitatoria. Ley de gravitación universal.Historia de las teorías acerca de los movimientos planetarios: Modelo geocéntrico: Considera la Tierra en el centro del Universo y las estrellas pegadas a una esfera celestial que rota alrededor de un eje que pasa a través de los polos Norte y Sur de la Tierra y de los polos celestiales Norte y Sur. Sin embargo, el movimiento retrógrado del planeta Marte no se comprendía con este modelo y fue el problema durante 2000 años. Hiparco (150 a.C.) propuso un sistema de círculos para explicar el movimiento retrógrado. Consideraba que un planeta rotando en forma de epiciclos (círculo que se suponía descrito por un planeta alrededor de un centro que se movía en el deferente) alrededor de una curva deferente (círculo que se suponía descrito alrededor de la Tierra por el centro del epiciclo de un planeta). Posteriormente, Ptolomeo (100 a.C.) introdujo refinamientos en el sistema epiciclos -deferente- que se utilizó hasta el siglo XVI. Modelo heliocéntrico: Nicolás Copérnico (1473-1543) desarrolló un modelo más sencillo para entender el Universo. Esto se debió a que con la obtención de nuevos datos observados y aplicarlos al modelo geocéntrico era necesario introducir modificaciones a las trayectorias de los planetas. Copérnico se plantea que las dificultades tenían su origen en la teoría y propone el modelo heliocéntrico que sirve para calcular las posiciones planetarias y que tiene como objetivo eliminar las dificultades del sistema de Ptolomeo. El sistema de Copérnico lo que hizo fue cambiar el sistema de referencia, tomando el Sol como centro, que al tener una gran masa respecto de los otros planetas, hace que el nuevo sistema sea prácticamente inercial y, por tanto, más sencillo en su descripción. En 1596 Johannes Kepler (1571-1630) publicó las leyes del movimiento planetario. Kepler analizó las observaciones astronómicas de su maestro Tycho Brahe (1546-1601), que personalmente no pudo demostrar el sistema copernicano, y publicó en 1609 un estudio elaborado del sistema heliocéntrico pero considerando órbitas elípticas. Las leyes de Kepler nos proporcionan una descripción cinemática del movimiento planetario, pero no nos informan por qué los planetas se mueven en aquel camino y no en otro. La tercera ley se publicó diez años después de las dos primeras. Leyes de Kepler: 1)

Un planeta describe una órbita elíptica alrededor del Sol, con el Sol en un foco de la elipse.

2)

La línea que conecta un planeta al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

3)

Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de la elipse de sus órbitas.

En 1623, Galileo (1564-1642), que tuvo relación con Kepler, verificó con ayuda de un telescopio que los satélites de Júpiter cumplían leyes análogas a las de Kepler, respecto de éste planeta. Sus trabajos colaboraron a la aceptación definitiva del Sistema Copernicano. Ley de Newton de la gravitación universal.Las leyes de Kepler proporcionan una descripción de cómo se mueven los planetas, pero no explican por qué se mueven en aquel camino y no en otro. Usando las tres leyes de Kepler Newton fue capaz de encontrar una expresión que describe la fuerza a la que están sometidos los planetas en sus órbitas. En 1666 Isaac Newton (1642-1727) formuló la ley de Gravitación Universal que fue publicada en 1687 en su trabajo "Principios Matemáticos de la Filosofía Natural". Enunciado de la ley de gravitación universal: “la interacción gravitatoria, entre dos cuerpos, se expresa por una fuerza atractiva y central, directamente proporcional al producto de las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia en! ! ! ! Mm r! r! tre ellos”: F ! "G Mm u ! " G # u ! r r r r2 r3

M

ur

F

F

m

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El vector de posición tiene su origen en el centro de masas de una masa M y el extremo en el centro de masas de la otra masa m. La fuerza gravitatoria, tiene signo negativo, por ser atractiva y, por tanto, tiene sentido contrario al vector unitario que va de una masa a otra. Bases de la Gravitación Universal: 1ª) Los planetas describen órbitas cerradas alrededor del Sol por lo que la fuerza es atractiva, ya que si fuese repulsiva la órbita no sería cerrada. 2ª) Como el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales, es decir, su velocidad areolar es constante se ha de cumplir que el momento angular del planeta, respecto del Sol es constante. Lo que supone que el momento de la fuerza sea cero, luego la fuerza ha de ser central. Demostración: sea A el área barrida por el radio vector, luego el que su derivada respecto del tiempo (velocidad areolar) sea constante supone que el momento angular respecto del Sol sea constante dr r A=(r∙dr)/2

! ! 1 ! dA ! r $ dr 2 ! ! dA ! 1 r! $ dr ! 1 r! $ v! ! 1 L! ! cte. dt dt 2 2 2m Luego al cumplirse la segunda ley de Kepler se ha de cumplir que el momento angular sea constante, lo que implica que la fuerza ha de ser central: ! ! ! dL ! r! $ F ext ! M dt ! ! ! ! L ! cte. # M ! 0 # r " Fext La fuerza ha de ser paralela al radio vector y es lo que se llama una fuerza central. Por tanto, la fuerza que ejerce el Sol sobre un planeta es una fuerza atractiva y central, es decir, que actúa a lo largo de la línea que une los dos cuerpos. Otro aspecto, muy importante, es determinar la relación de la fuerza y del radio vector o distancia entre los dos cuerpos. Newton determinó, realizando una serie de cálculos matemáticos basados el análisis de las órbitas elípticas, que para que las órbitas elípticas de los planetas, obtenidas por Kepler, sean posibles, la fuerza ha de ser proporcional al inverso del cuadrado de la distancia entre el Sol y la Tierra. Si asumimos que la fuerza gravitatoria es una propiedad universal de toda la materia, podemos considerar que la fuerza está asociada con la “cantidad de materia” o masa gravitatoria, en cada cuerpo. Cavendish, en 1.798, determinó la constante de proporcionalidad, que se conoce con el nombre de constante de gravitación universal y que no depende del medio. 3ª) Para comprobar la 3ª ley de Kepler, vamos a consideremos órbitas circulares, en las cuales se ha de cumplir que la fuerza centrípeta de la Tierra es igual a la fuerza gravitatoria 2 m v ! G Mm r r2

#

v ! GM r 2

' v2 ! G M ( r ) ) + , 2 2 * 2 2 )v ! r ) . T

% &

#

Conceptos de masa inercial y de masa gravitatoria: ! ! ! ' F12 ! "F21 a2 m1 # ! " La masa inercial se obtiene de + ! ! ! m2 a1 - m1a1 ! "m2a 2

2 T 2 ! 4* r 3 GM

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Si le damos a una masa un valor, se determinan las masas inerciales de las demás. ! ! La masa gravitatoria se obtiene de la fuerza peso Fpeso ! "mg # ur y la aceleración de la gravedad de la ley de gravitación universal g # ! G

MT / 9,8 m2 , lo que nos indica que g0 es inR 2T s

dependiente de la masa m del cuerpo que cae. Es un hecho muy probado que todos los cuerpos caen en la superficie de la Tierra con la misma aceleración. Este hecho es indicativo de que las masas gravitatoria e inercial son iguales. Si la masa gravitatoria mg fuese distinta de la masa inercial mi la fuerza gravitatoria en la superficie de la Tierra (peso) sería igual ! M T mg Fpeso ! mi g # ! G % R T &2

#

g# ! G

mg % R T & mi MT

2

Si la relación entre las dos masas no fuera la misma para todos los cuerpos la aceleración g0 será diferente para cada cuerpo, lo que es contrario a la experiencia. Las dos masas, son indistinguibles experimentalmente y, por tanto, la magnitud masa es para la masa inercial o la masa gravitatoria. La masa de la Tierra, se determina a partir de los datos experimentales conocidos: G, g0 y RT. El peso de un cuerpo, en la superficie de la Tierra, es la fuerza con que la Tierra lo atrae: ! M m Fpeso ! mg # ! G T2 RT

#

MT !

g # R 2T G

Campo y potencial gravitatorios.Se llama Campo Gravitatorio a la situación física por la cual al colocar una masa en dicho campo ésta experimenta una interacción o fuerza gravitatoria. Siendo el campo gravitatorio un campo vectorial de fuerzas. Campo gravitatorio creado por una masa M: Sea una masa M, en un punto del espacio, y colocamos otra masa, m, en diferentes posiciones del espacio alrededor de M. Debido a la interacción gravitatoria entre las dos masas, la masa m experimenta una fuerza en cada posición dada por la ley de gravitación universal. Es decir, que la interacción entre las masas, m y M, va a depender de sus posiciones relativas. Por lo que, en cada punto del espacio podemos definir un vector intensidad del campo gravitatorio, creado por la masa M. En cada punto del campo vectorial gravitatorio, se define un vector llamado intensidad del campo gravitatorio, que se define como la fuerza por unidad de masa que coloquemos en dicho punto, siendo la unidad N∙kg-1=m∙s-2 : ! ! ! g ! lim F ! "G M2 ur m 00 m r g M

ur g

La intensidad del campo gravitatorio, producido por M, en un punto del espacio, es una magnitud vectorial, cuyo vector tiene su origen es ese punto del campo y la dirección y sentido hacia el centro de masas de la masa M. La intensidad del campo gravitatorio en un punto del campo gravitatorio depende del vector de posición de dicho punto, por lo que el campo gravitatorio es conservativo. Por lo tanto, la circulación del campo gravitatorio no depende de la trayectoria elegida sino de los puntos inicial y final y la circulación a lo largo de una trayectoria cerrada será cero. Decimos entonces que en cada punto del campo gravitatorio hay definido un potencial gravitatorio.

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Potencial gravitatorio: El potencial gravitatorio es la magnitud escalar asociada, en cada punto del campo vectorial gravitatorio conservativo, al vector intensidad del campo gravita! ! torio o campo gravitatorio g 1 dr ! "dU Demostramos que el campo gravitatorio es conservativo f

! ! g 1 dr ! "

? ? ! ! C ! g 1 dr ! 0 $? C!

i

f

i

G

f ! M! 2 "G M 3 ! " 2 "G M " 4 "G M 5 3 ! " U " U ! "6U 1 ! " u dr % f 7 9 :8 r i& 7; r 8< i rf = ri > < r2 ;

M

La Representación gráfica un campo gravitatorio se hace mediante las líneas de fuerza. Una línea de fuerza se dibuja de tal forma que en cada punto la dirección del campo es tangente a la línea que pasa a través del punto. Por convenio, las líneas de fuerza se dibujan de tal forma que su densidad es proporcional a la intensidad del campo. El campo gravitatorio, alrededor de una masa M, tiene las líneas de fuerza radiales y dirigidas hacia la masa M y las superficies de nivel o superficies equipotenciales del campo gravitatorio, debido a una masa M, tienen simetría esférica. Energía potencial gravitatoria de una masa puntual: Si colocamos una masa, m, en un punto del espacio donde existe un campo gravitatorio, la fuerza que experimenta es el producto del valor de la masa m, que es escalar, por el ! ! vector intensidad del campo gravitatorio en ese punto: F ! mg . La fuerza tiene la dirección y sentido de la intensidad del campo gravitatorio en ese punto. Al ser el campo gravitatorio conservativo, la fuerza gravitatoria, es una fuerza conservativa. Por lo que en cada punto de un campo vectorial de fuerzas gravitatorias, podemos definir un potencial escalar, asociado a dicha fuerza, llamado energía potencial gravitatoria. Deducción:

Wpor

f

!

!

? F 1 dr ! ! "G Mm u ? r

Wpor !

Wpor !

g

i

f

2

i

f

!

?F i

g

r

f ! 2 4 53 1 dr ! " 27 "G Mm 38 ! " 7 "G Mm " 9 "G Mm : 8 ! "6E p(g) ! "m6U ; r < = ;

! 1 dr ! "6E p(g) ! "Wsobre

La energía potencial gravitatoria Ep(g) ! "G Mm ! mU , es una propiedad del sistema r de dos partículas y no de una de ellas. No hay forma de dividir esta energía y saber cuanto le corresponde a una partícula y cuanto a la otra. Sin embargo, si una de las masas es muy superior a la otra (M>>m) se habla de la energía potencial de la menor m. Campo y potencial gravitatorios de una distribución de masas puntuales: Si tenemos una distribución de masas puntuales M1, M2, M3, ...Mn, para hallar el campo y el potencial gravitatorios, en un punto del espacio, aplicamos el Principio de Superposición: El campo gravitatorio producido, por un conjunto discreto de masas, en un punto del campo, es la suma vectorial de los campos gravitatorios debidos a cada una de las masas, en ese punto. El potencial gravitatorio, en el mismo punto del campo, se obtiene por la suma escalar de los potenciales gravitatorios debidos a cada una de las masas

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! ! ! g ! g1 @ g 2 @ ... !

n

A

i !1 n

U ! U1 @ U2 @ ... !

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4 M ! 5 ! M ! 5 4 g i ! 9 "G 21 ur1 : @ 9 "G 22 ur2 : @ ... ! 9 : 9 : r1 r2 = > = >

AU i !1

i

M 5 M 5 4 4 ! 9 "G 1 : @ 9 "G 2 : @ .... ! r1 > = r2 > =

n

n

4

Mi ! 5 uri : 2 : i >

A 99= "G r i !1

A 49= "G r

Mi 5 : i >

i !1

La fuerza gravitatoria obedece el principio de superposición, que nos dice que la fuerza total sobre una partícula, de masa m, situada en un punto es la suma de las fuerzas ejercidas sobre ella por todas las demás partículas consideradas al mismo tiempo; la energía potencial para un sistema de partículas será la suma de las energías potenciales de cada par de partículas: n

! ! ! F ! m % g1 @ g 2 @ ...& ! m

Ag !

! ! mg

i

i !1

n

AU

Ep ! m % U1 @ U2 @ ...& ! m

i

! mU

i !1

Ley de Gauss para el campo gravitatorio.La ley del físico Gauss (1777-1855) relaciona los campos en una superficie Gaussiana (superficie cerrada) y la masa que hay dentro de la superficie. Concepto de flujo del campo gravitatorio: el flujo (de fluir) del campo gravitatorio, a través de una superficie, se define como el producto escalar de la intensidad del campo gravitatorio por el vector superficie (es un vector cuya magnitud es igual al área y cuya dirección es normal al plano del área). Luego el flujo del campo depende de tres factores: del valor de la magnitud intensidad del campo, del valor del área de la superficie y del ángulo entre los vectores respectivos (o de las orientaciones relativas).

g

S

+

dS dS

-

Expresiones del flujo a través de una superficie plana, S, y a través de una superficie irregular, que la dividimos en diferenciales de superficie dS: ! ! ! ! C ! g 1 S ! g 1 S 1 cos D ! ! C ! g1 1 dS1 @ ... ! lim

n0B

n

!

!

A g 1 dS ! ?? g 1 dS !

i

!

i

i !1

El flujo del campo gravitatorio, a través de una superficie, nos mide la cantidad de líneas del campo gravitatorio que pasan por esa superficie. El flujo total, a través de una superficie Gausiana esférica de radio R, en cuyo interior hay una masa total M será: n

C ! lim

n0B

!

!

A g 1 dS ! % ?? g 1 dS !

i

!

i

i !1

! ! 4 ! M ! 5 C ! g 1 S ! 9 "G 2 ur : 1 4*R 2ur ! "4*GM = > R

%

Demostración infinitesimal:

&

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! ! 4 ! M! 5 dC ! g 1 dS ! 9 "G 2 ur : 1 % rdDr sen DdG∙ur & ! "GM sen DdDdG = > r 2* * ! ! 2* * C! g 1 dS ! "GM sen DdD dG ! " GM E " cos DF0 E GF0 ! "4*GM

??

?

?

0

0

z

dr r∙d D

D

r y

x

Ø

r∙senD ∙dØ

Enunciado de la ley de Gauss: “El flujo del campo gravitatorio a través de una superficie cerrada es igual a C ! "4*GM , siendo M la masa dentro de la superficie o una distribución de masas cuya suma es Mtotal.” En el caso de una superficie cerrada (superficie gaussiana), el flujo, a través de ella, puede ser cero o negativo: a) Si el flujo es cero quiere decir que entran en la superficie cerrada, el mismo número de líneas del campo gravitatorio que salen, es decir, en su interior no hay fuentes del campo que son las masas. b) Si el flujo del campo gravitatorio es negativo quiere decir que salen, de la superficie cerrada, menos líneas del campo gravitatorio que entran. Es decir, en su interior hay fuentes del campo que son las masas. Aplicaciones del teorema de Gauss: Cuando hemos calculado el campo y el potencial gravitatorio en un punto determinado, hemos supuesto que las masas son puntuales o de tamaños mucho más pequeños que las distancias al punto. Ahora bien, si los tamaños de las masas no se pueden despreciar frente a las distancias, para calcular el campo gravitatorio y el potencial gravitatorio en un punto del campo, es más sencillo utilizar el teorema de Gauss. Ejemplos: a) Halla el campo gravitatorio, de una masa M, en un punto exterior a ella y a una distancia r de su centro de masas.

M R u

r

r

dS

Esfera imaginaria de radio r

En primer lugar, consideramos una esfera imaginaria de radio r, tomando la distancia r desde el centro de masas de M hasta el punto exterior. El flujo a través de la esfera imaginaria vendrá dado por el teorema de Gauss ! ! ! ! C ! g 1 S ! g 1 4*r 2ur ! "4*GM ! ! g ! " GM ur 2 r El campo gravitatorio en el exterior de la masa M es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde su centro de masas. b) Halla el campo gravitatorio, de una masa M esférica, de radio R, en un punto de su interior y a una distancia r de su centro de masas.

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M g

R

R

r

0 lineal r

r

1/r²

Esfera imaginaria de radio r

Consideremos una esfera imaginaria de radio r. Siendo r la distancia desde el centro de masas de M hasta el punto interior, y siendo m la masa que hay dentro de la esfera imaginaria. El flujo a través de la esfera imaginaria vendrá dado por el teorema de Gauss ! ! ! ! C ! g 1 S ! g 1 4*r 2ur ! "4*Gm ! ! g i ! "G m u 2 r r Si la esfera es homogénea su densidad permanece constante: H!

4 3

M ! *R 3

4 3

m *r3

#

3 m ! M r3 R

3 M r3 ! ! ! ! g i ! "G m u ! "G R ur ! "G Mr u 2 r 2 3 r r r R

El campo gravitatorio en el interior de la masa M es directamente proporcional a la distancia desde su centro de masas. Si se considera la Tierra homogénea, de masa MT, y dejamos caer un cuerpo, de masa m, hacia su centro de la Tierra. La velocidad con la que llega será calculada de la siguiente forma, si vi=0; ri=RT; rf=0 W ! 6Ec ! "6Ep W!

?

f

i

! ! mg i 1 dr !

W ! 6Ec ! vf ! G

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f

i

f

"mG

21 3 ! MT r ! M ur 1 dr ! " 7 mG 3T r 2 8 3 RT RT ;7 2 f = 2 % R T @ h & >i El trabajo motor que hay que aplicar a un satélite situado en la superficie de la Tierra para sacarlo de la interacción gravitatoria terrestre: En la superficie de la Tierra consideramos la velocidad inicial cero y hay que alcanzar la velocidad de escape

%

Wmotor ! Ec @ E p(g )

&f " % Ec @ Ep(g) &i

M m5 4 M m5 1 41 Wmotor ! 9 mv 2esc " G T : " 9 0 " G T : ! mv 2esc R T >f = R T >i 2 =2 M m5 M m 4 Wmotor ! % 0 &f " 9 0 " G T : ! G T ! g º R T m R T >i RT = El trabajo motor que hay que aplicar a un satélite situado en una órbita a una altura h para sacarlo de la interacción gravitatoria terrestre: En una órbita, a una altura h sobre la superficie de la Tierra, la velocidad inicial es la velocidad orbital y para salir hay que alcanzar la velocidad de escape

%

Wmotor ! Ec @ E p(g)

&f " % Ec @ Ep(g ) &i

41 MT m 5 4 1 MT m 5 1 1 2 2 2 Wmotor ! 9 mv 2esc " G : " 9 mv orb " G : ! mv esc " mv orb @ @ R h R h 2 2 2 2 % & % & T T = >f = >i 2 41 MT m 5 MT m 1 1 gºR T m ! Wmotor ! % 0 &f " 9 mv 2orb " G : !@ G 2 %R T @ h& 2 %R T @ h & % R T @ h & >i =2

Interacción electrostática. Ley de Coulomb.El origen de la interacción eléctrica son las cargas eléctricas. Los aspectos más importantes son: 1)

Existen dos tipos de interacción, atractiva y repulsiva, debido a que existen dos tipos de cargas eléctricas, positivas y negativas.

2)

La interacción atractiva se produce entre las cargas de distinto tipo y la interacción repulsiva entre las cargas del mismo tipo.

3)

Las cargas eléctricas son de naturaleza escalar y aditivas. En cuanto a la cuantificación de la carga eléctrica, se ha observado en la naturaleza, que son múltiplos de la carga elemental que es la carga del electrón, de valor -1,6∙10-19 C. La conservación de la carga es un principio a considerar, ya que la carga eléctrica se puede mover a través de un objeto, pasar de un objeto a otro pero no se destruye.

Charles Augusto Coulomb (1736-1806) realizó una serie de experimentos para determinar la interacción entre dos cargas puntuales y llegó a la siguiente expresión, conocida como ley de Coulomb: “La interacción eléctrica entre dos partículas cargadas, en reposo o en movimiento relativo muy lento, es directamente proporcional al producto del valor de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, y su dirección es a lo largo de la línea que une las dos cargas. La interacción depende siempre del medio”.

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Física: “Campos gravitatorio y electrostático”

! Qq ! Qq ! Fe ! K e ! 2 ur ! K e ! 3 r r r

! 'u )) r ! + )K e ! )-

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! r ! r 1 ! 1 4*K 4*K# K r

1 , sien4*K do K ! K# K r un parámetro (llamado permitividad) que depende de las propiedades eléctricas del medio, su valor es igual al producto de la permitividad del vacío por la constante dieléctrica del medio. Las propiedades eléctricas del medio que se expresan por la constante K e !

Campo y Potencial electrostáticos.Concepto de campo electrostático creado por una carga puntual Q: Existe un campo electrostático en una región del espacio si al colocar una carga eléctrica ésta experimenta una fuerza eléctrica. La intensidad del campo electrostático creado por la carga puntual Q, en reposo, en un punto del espacio es una magnitud vectorial definida ! ! F Q ! E ! lim ! K e 2 ur q 00 q r La intensidad del campo electrostático creado por una carga Q, en un punto del espacio, depende del vector de posición de dicho punto. Por tanto, el campo electrostático es un campo conservativo ya que la Circulación del campo electrostático no depende de la trayectoria elegida sino de los puntos inicial y final. Es decir, la Circulación del campo electrostático a lo largo de una trayectoria cerrada será cero. Y decimos que en cada punto del campo electrostático podemos definir un potencial electrostático. ! ! E 1 dr !

f

4 ! 2 Q ! Q3 Q Q5 u 1 dr ! 7 "K e 8 ! " 9 K e " K e : ! "6Ve 2 r r i i r ; = ! ! 'E 1 dr ! "dVe f ! ! ) ! ! C ! E 1 dr ! "6Ve # + i )-C ! E 1 dr ! 0 C!

?

f

?

f

Ke

?

$?

Concepto de potencial electrostático debido a una carga puntual Q: V ! K e

Q r

Líneas del campo y superficies equipotenciales:

+

-

Energía potencial electrostática: Si colocamos una carga eléctrica, q, en un punto del espacio, en el que existe un cam! ! po electrostático, experimenta una fuerza eléctrica que viene dada por Fe ! qE . Al ser el campo eléctrico conservativo, la fuerza eléctrica también es conservativa. Por tanto, podemos definir en cada punto del campo eléctrico en el que coloquemos una carga q una magnitud escalar llamada energía potencial del campo electrostático asociada a la carga. Si el campo electrostático está creado por una carga Q:

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Física: “Campos gravitatorio y electrostático”

f

! 2 Qq ! Qq 3 Qq 3 2 Qq ur 1 dr ! 7 "K e ! " 7K e " Ke ! "6Ep(e) 2 8 r r ri 8< i f r ;

= ! ! L ! P 1 un La componente de la polarización de un dieléctrico en la dirección de la normal a la superficie del cuerpo es igual a la carga por unidad de área sobre la superficie del cuerpo polarizado. Luego la polarización coincide con la densidad superficial de carga inducida por la polarización. En general, el vector polarización de un dieléctrico depende de tres factores: a) del campo eléctrico aplicado; b) del tipo de material de que esté constituido el dieléctrico especificado por la susceptibilidad eléctrica; c) del medio físico en el que se encuentre, es! ! pecificado por la permitividad. Siendo P ! K# Ne E . Influencia del medio en la interacción electrostática; permitividad y constante dieléctrica: Si colocamos un dieléctrico dentro de un campo eléctrico producido por dos placas metálicas uniformemente cargadas, dentro del dieléctrico se crea una polarización con una carga superficial que contrarresta al campo eléctrico externo:

E

+Q cargas

libres

+ + +

- Kr

+

Lp

L libre

-Q -

+ + + Lp

polarización

"Llibre

d -P L neta = L libre

6 V=E∙d

Por la ley de Gauss tenemos que el campo eléctrico entre las placas metálicas será: - sin el dieléctrico: C t ! 2E#S !

2Qlibre 2Llibre S ! K# K#

- con el dieléctrico Lneta ! Llibre @ Lpolarización E!

#

E# !

Llibre K#

'izquierda: Lneta ! Llibre " P #+ -derecha: Lneta ! "Llibre @ P

Lneta Llibre " P ! K# K#

Llibre ! P @ K#E ! K# NeE @ K#E ! K# % Ne @ 1& E ! K# Kr E ! KE ! D E!

Llibre Llibre ! K K# Kr

La magnitud D, llamada desplazamiento eléctrico, depende solamente de las cargas libres que crean el campo. Su dirección y sentido es el mismo que el del campo eléctrico E. El desplazamiento eléctrico D, al depender sólo de las cargas libres es más operativo, ya que no hay forma directa de controlar la carga de polarización. Así, el desplazamiento eléctrico con dieléctrico y el desplazamiento eléctrico sin dieléctrico son iguales D=D0, pero el campo eléctrico depende del dieléctrico:

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Física: “Campos gravitatorio y electrostático”

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D# ! D ! Llibre K#E# ! K# K r E ! KE E# ! Kr E E# J E El campo eléctrico depende de la constante dieléctrica K r , que varía desde 1 (para el vacío) hasta 310 (titanato de estroncio), siendo para el agua a 25ºC igual a 78,5. La diferencia de potencial entre dos puntos del campo también varía con el medio: ')% V@ " V" &# ! E# 1 d ! Kr E 1 d + )-% V@ " V" & ! E 1 d

#

% V@ " V" &#

! K r % V@ " V" &

#

Kr !

% V@ " V" &# % V@ " V" &

J1

Condensadores.Concepto de capacidad de un conductor: “Se define la capacidad de un conductor como la relación entre su carga y el potencial C=Q/V siendo la unidad 1 faradio (1 F=1C/1V)”. Consideremos una esfera conductora, de radio R, que contiene una carga Qlibre y rodeada del vacío, en primer lugar, y de un dieléctrico εr, posteriormente. La relación entre la carga Qlibre y el potencial eléctrico, en cada caso, en la superficie de la esfera conductora es constante e independiente de la carga Qlibre. Qlibre ( ' )C# ! V ) ) ) # + , Q libre )V ! ) )- # 4*K# R ).

#

C# ! 4*K# R;

Qlibre ( ' ))C ! V )) + , )V ! Qlibre ) )4*K# Kr R ).

#

C ! 4*K# Kr R ! 4*KR

El razonamiento anterior es válido para todos los conductores cargados de distinta geometría. Concepto de condensador: Un condensador, o capacitor, está constituido por dos conductores aislados entre sí. Cuando un condensador se carga sus platos o conductores tienen igual carga pero opuesta. Cuando un conductor no está aislado su capacidad se afecta por la presencia de otros conductores que modifican su potencial. Sea el condensador formado por dos conductores planos paralelos cargados con +Q y con -Q. La capacidad del sistema que se llama capacitor o condensador depende de si hay entre los conductores un dieléctrico: C# !

Qlibre Llibre 1 S S ! ! K# V E d d 6 # # 1

Qlibre Llibre 1 S S ! ! K# K r ! K # C# 6V E1d d C J C# C!

Por tanto, si se introduce un dieléctrico en un condensador observamos que: a) disminuye el campo eléctrico en su interior (E 5 < ?A< VmR R =0 % ImR sen * ) Im X L cos * @ ;cos * % % 2 2 ; Z Im R ) XL = sen * &Im X L & XL : ;tan * % cos * % I R % R ; m 0 % Im R sen * ) Im XL cos * A < X & 1 2 L ;* % arctan 3 R 4 ;= 5 6

!

: Z 2 % R 2 ) XL2 ; < R ;cos * % Z =

A

"

:R % 0 B ; ( < 1 &XL 2 ;* % arctan 3 R 4 % & 2 5 6 =

La intensidad está retrasada respecto del voltaje. La potencia consumida en la autoinducción: P% Demostración:

1 Im Vm cos * % Ief Vef cos * 2

2> 44 ; 6; ? ; ; @

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Física: “Corriente Alterna”

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1 T 1 T 1 T Pdt % ivdt % Im Vm sen 't sen ! 't ) * " dt T 0 T 0 T 0 T I V P% m m sen 't ! sen 't cos * ) cos 't sen * " dt T 0 T I V P% m m cos * sen2 't ) sen * sen 't cos 't dt T 0 T T . I V P % m m Ccos * sen2 'tdt ) sen * sen 't cos 'tdt D T / 0 0 0 P%

7

7

7

7 7!

"

7

: ;; < ; ;=

T

7

T

> 1 T !1 & cos 2't "dt % ;; 2 0 0 2 ? T T 1 T 1 1 sen 't cos 'tdt % sen ! 2't " dt % -cos ! 2't " .0 0 % 0 ; ;@ 2 0 2 2' / 0 I V T I V P % m m cos * % m m cos * % Ief Vef cos * T 2 2

7 7

sen2 'tdt %

7

7

De las ecuaciones obtenidas sacamos las siguientes conclusiones: a)

La intensidad, i, de la corriente en la autoinducción no está en fase con el voltaje de la autoinducción. La intensidad está retrasada respecto del voltaje.

b)

Si la autoinducción fuese pura, es decir, no presentase resistencia (R=0 ohmios) la intensidad estaría retrasada en 90º respecto del voltaje.

c)

La resistencia que presenta la autoinducción pura (sin resistencia) al paso de la corriente llamada reactancia inductiva es directamente proporcional a la autoinducción L y a la pulsación (y a la frecuencia), es decir, mientras mayor sea la autoinducción L y mayor la frecuencia de la corriente alterna mayor es la resistencia de la autoinducción.

d)

Una autoinducción absorbe y libera energía alternativamente en periodos iguales de tiempo y, en el promedio, la potencia es cero y una autoinducción no realiza potencia disipativa en un circuito de corriente alterna.

Voltaje Intensidad

V t

*

Z=V/I

v(t)

L· ' *

L·(di/dt) i

(I·L· '"

(R·I)

R

R·i

Condensador (C): Un condensador, en corriente continua, se caracteriza porque a)

La corriente fluye por él sólo el breve periodo de tiempo después de que se aplique el voltaje de la batería, para cruzarlo.

b)

La carga fluye sólo mientras el condensador se está cargando.

c)

Cuando el condensador esté totalmente cargado no salen más cargas de los terminales de la batería.

El condensador en corriente alterna: Supongamos que los extremos de una batería se conectan a un condensador totalmente cargado, donde repentinamente se invierten las conexiones, con el terminal positivo de la batería estando conectado al plato negativo y el terminal negativo conectado al plato positivo. Entonces, lo que ocurre es que la carga fluirá, otra vez, pero en dirección inversa, hasta que la batería recargue el condensador de acuerdo con las nuevas conexiones.

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Esto, es similar a lo que ocurre cuando un condensador se conecta a un circuito de corriente alterna, donde la polaridad del voltaje aplicado al condensador cambia continuamente. Cuando el generador está conectado a un condensador exclusivamente, la diferencia de potencial que cruza el condensador será: v C % Vm sen 't %

q libre C

q C % CvC dq C (2 (2 1 1 % CVm ' cos 't % Vm C' cos 't % Vm C' sen 3 't ) 4 % Im sen 3 't ) 4 dt 26 26 5 5 Im Vm % % Im X C C'

iC %

( respecto del voltaje. Relación de los valo2 res máximos: Vm % Im X C . Siendo XC la reactancia capacitativa. Estando la intensidad adelantada en

Condensador y Resistencia (RC): La diferencia de potencial aplicada a los extremos de un condensador en serie con una resistencia R, es igual

v % iR ) VC % iR )

q 1 idt % iR ) C C

7

:;v % Vm sen 't < ;=i % Im sen ! 't ) * "

1 Im sen ! 't ) * " dt C I Vm sen 't % ImR sen ! 't ) * " & m cos ! 't ) * " C' I Vm sen 't % ImR ! sen 't cos * ) cos 't sen * " & m ! cos 't cos * & sen 't sen * " C' I Im . . Vm sen 't % sen 't CImR cos * ) sen * D ) cos 't CIm R sen * & m cos * D C' C' / 0 / 0 Vm sen 't % ImR sen ! 't ) * " )

7

2 : Im 2 1 2 > Im : > % * ) * V I R cos sen ; ! " m 3 m 4 ; ;; Vm % ImR cos * ) C' sen *;; C' ; 5 6 ; < ?A< ? 2 Im ;0 % I R sen * & Im cos * ; ; ; 1 2 m ;= ;@ ;0 % 3 ImR sen * & C' cos * 4 ; C' 5 6 = @ 2

2 1I 2 2 Vm % ! ImR " ) 3 m 4 % I2m 5 C' 6

- 2 1 1 22 . CR ) 3 4 D 5 C' 6 D0 C/

2

1 1 2 2 2 Vm % Im R 2 ) 3 4 % Im R ) X C % Im Z C ' 5 6

XC se llama la reactancia capacitativa y Z la impedancia. De las ecuaciones anteriores se obtiene:

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: 1 Im X C cos * I X2 % cos * 3 ImR ) m C ;Vm % ImR cos * ) Im X C 3 Im R R ; : Vm % ImR cos * ) Im X C sen *> 5 A < ? < VmR R =0 % ImR sen * & Im X C cos * @ ;cos * % % 2 2 ; Z Im R ) XC = Im 1 : > ; sen * C' C' X C ; % % % ;;tan * % ; I cos * Im R R R ;? 0 % Im R sen * & m cos * < C' ; ; 1X 2 ; ;* % arctan 3 C 4 5 R 6 =; @;

!

2 : Z2 % R 2 ) XC ; < R ;cos * % Z =

A

:R % 0 B ; < 1 XC ;* % arctan 3 R 5 =

2 44 6

"

2 ( 4%2 6

La intensidad está adelantada respecto del voltaje. La potencia consumida en el condensador: P%

1 Im Vm cos * % Ief Vef cos * 2

De las ecuaciones obtenidas sacamos las siguientes conclusiones: a)

La intensidad de la corriente alterna no se interrumpe con un condensador.

b)

La intensidad en el condensador no está en fase con el voltaje del condensador, ya que la tangente de la diferencia de fase es positiva y, por tanto, la intensidad está adelantada respecto del voltaje.

c)

Si no consideramos la resistencia la intensidad estaría adelantada en 90º respecto del voltaje.

d)

La resistencia que presenta el condensador al paso de la corriente llamada reactancia capacitativa es inversamente proporcional al valor de la capacidad del condensador C y a la pulsación (y a la frecuencia).

e)

Mientras mayor sea la capacidad C y mayor la frecuencia de la corriente alterna menor es la reactancia capacitativa. Así, a altas frecuencias la corriente puede ser intensa aunque la capacidad sea pequeña.

f)

Un condensador absorbe y libera energía alternativamente en periodos iguales de tiempo y, en el promedio, la potencia es cero y un condensador no realiza potencia disipativa en un circuito de corriente alterna.

B

R·i V(t)

A' A

(I/C '"

R·I i(t)

B'

C

t

i

V

*

C (V)

v(t)

C'

Análisis de las gráficas voltaje e intensidad: 1)

Cuando el voltaje se incrementa desde A hasta B, la carga sobre el condensador se incrementa y alcanza su valor máximo en B.

2)

La corriente, o velocidad de flujo de carga, tiene un valor máximo positivo en el comienzo del proceso de carga en A', cuando no hay carga sobre el condensador y por lo tanto no hay voltaje sobre el condensador para oponerse al voltaje del generador.

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3)

Cuando el condensador está totalmente cargado en B, el voltaje del condensador tiene una magnitud igual a la del generador y completamente opuesta al voltaje del generador. El resultado es que la corriente decrece a cero en B'.

4)

Mientras el voltaje del condensador decrece desde B a C, el flujo de carga sale del condensador en dirección opuesta a aquella del proceso de corriente de carga, como viene indicada por la corriente negativa desde B' a C'.

5)

El voltaje y la corriente no están en fase y la corriente adelanta al voltaje en 90º.

6)

El hecho que la corriente y el voltaje en un condensador tengan una diferencia de fase de 90º tiene una importante consecuencia desde el punto de vista de la potencia eléctrica.

7)

Como la potencia eléctrica es el producto del voltaje y de la intensidad. Para un intervalo de tiempo desde los puntos A y B o desde A' y B' que tienen el voltaje y la intensidad positiva, la potencia instantánea es también positiva, significando que el generador está dándole energía al condensador.

8)

Durante el período B y C o B' y C' la corriente es negativa mientras el voltaje permanece positivo, siendo la potencia negativa lo que significa que el condensador está retornando energía al generador.

9)

Así la potencia se alterna entre valores positivos y negativos por iguales periodos de tiempo. En otras palabras, el condensador absorbe y da energía alternativamente. Consecuentemente, en promedio, la potencia es cero y un condensador o capacitor no consume energía en un circuito de corriente alterna.

Circuitos de corriente alterna (serie RCL). Impedancia.Vamos a analizar la relación entre la fem y la intensidad de corriente en un circuito de corriente alterna que tiene una resistencia (R), un condensador (C) y una autoinducción (L) en serie (circuitos serie RCL). En los circuitos en serie RCL la oposición total al flujo de carga se llama impedancia del circuito que está formada parcialmente de la resistencia R, la reactancia capacitativa y la reactancia inductiva. La fem alterna aplicada y la corriente alterna resultante $ % $ m sen 't

i % Im sen ! 't ) * " Para calcular la amplitud de la corriente y la diferencia de fase en un circuito serie RLC: $ % vR ) vL ) vC Donde vR, vL y vC son las diferencias de potencial en los extremos de la resistencia, la autoinducción y el condensador. Esta relación entre estas cuatro cantidades que varían con el tiempo permanece exacta en todos los instantes v R % iR % Im R sen ! 't ) * " di (2 1 % ImL' cos ! 't ) * " % Im L' sen 3 't ) * ) 4 dt 2 5 6 q 1 1 1 (2 1 vC % % idt % &Im cos ! 't ) * " % Im sen 3 't ) * & 4 C C C' C' 26 5 vL % L

7

Análisis de los resultados obtenidos: 1)

La diferencia de potencial en los extremos de la resistencia está en fase con la intensidad.

2)

La diferencia de potencial en los extremos de la autoinducción está adelantada en 90º respecto de la intensidad.

3)

La diferencia de potencial en los extremos del condensador está retrasada en 90º respecto de la intensidad.

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4)

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La diferencia de fase entre la fem y la intensidad va a depender de los valores de L, de C y de la pulsación (o de la frecuencia).

Obtención de la relación entre el voltaje y la intensidad analíticamente: : ;v R % Im R sen ! 't ) * " ;; $ % vR ) vL ) vC < vL % Im L' cos ! 't ) * " % Im XL cos ! 't ) * " ; ;v C % &Im 1 cos ! 't ) * " % &Im X C cos ! 't ) * " C' =; $ m sen 't % ImR sen ! 't ) * " ) Im X L cos ! 't ) * " & Im X C cos ! 't ) * " $ m sen 't % ImR sen ! 't ) * " ) Im ! X L & X C " cos ! 't ) * " $ m sen 't % ImR ! sen 't cos * ) cos 't sen * " ) Im ! X L & X C " ! cos 't cos * & sen 't sen * " ;:$m % Im R cos * & Im ! X L & X C " sen * ;> < ? ;=0 % ImR sen * ) Im ! X L & X C " cos * ;@ Con las dos ecuaciones anteriores sacamos las dos conclusiones siguientes: a) Elevando al cuadrado las ecuaciones 1) y 2) y sumándolas tenemos 2 2 : > :;$m % ImR cos * & Im ! XL & XC " sen *>; ;! $ m " % ! ImR cos * & Im ! XL & XC " sen * " ; A < ? < ? 2 ;=0 % ! ImR sen * ) Im ! XL & XC " cos * " ;@ =;0 % ImR sen * ) Im ! X L & X C " cos * @;

:! $ " 2 % ! I R " 2 ) - I ! X & X " . 2 m C 0 /m L ; m ; 2 2 mv relativa 3 3p " mv propia " 2 3 3 1 & + cv , 6 7

1 3 3E c 3 3 33Et 4 3E 3 t 3 3 3 36Et

8 9 : ; 1 " mc : & 1; " mc 2 + > & 1, 2 : 1 & + cv , ; < = 2

" Ec * mc 2 " mc2 + > & 1, * mc 2 " >mc2 "

"

1 1& +

,

v 2 c

mc 2 " >mc 2

+ pc ,2 * + mc2 ,

2

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Física: “Naturaleza de la luz. Dualidad onda-corpúsculo”

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Demostración: Ec "

Ec "

Ec "

$

v

0

Ft ds "

mv 2 1 & + cv ,

2

$

v

0

&

$

v

0

+

mcv c2 & v2

mv 2 * m c 2 & v 2 1&

$

vdp " vp &

+ , v2 c2

v

0

2

1 & + cv ,

mv 2

dv "

, & mc

mv2

pdv "

2

&

v

mv

0

1 & + cv ,

$

2

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v

1 & + cv ,

2

&mc ? & c2 & v2 @ " CA DB 0

8 : 1 " mc : : 1& < 2

+ , v2 c2

dv

2

c &v c

2

* mc c 2 & v 2 & mc2

9 ; & 1; " mc2 + > & 1, ; =

Para obtener la expresión de la energía total: la expresión del momento lineal la elevamos al cuadrado y despejamos la velocidad al cuadrado, la expresión de la energía cinética la elevamos al cuadrado y sustituimos la velocidad al cuadrado obtenida anteriormente. Obtenemos:

p"

mv 1&

'

+ , v2 c2

1 2 m2 v2 2 3p " 3 2 1 & v2 3 3 c 4 5 3 2 m2 v2c2 3 3p " 2 3 c & v2 7 6

+ ,

'

v2 "

p2 c 2 m 2c 2 * p 2

1 1 2 2 2 2 mc 2 3Et " Ec * mc " mc + > & 1, * mc " >mc " v2 1& 2 3 c 3 2 2 4 2 2 c c 3E2t " 2 mc 2 " mc 2 " m2c 4 * p2c2 2 2 2 c &v p c 3 c2 & 2 2 3 m c * p2 6

+ ,

+

Et "

Esta expresión

,

+

,

+ pc ,2 * + mc2 ,

2

+ Et ,2 " + pc ,2 * + mc2 ,

2

nos da la relación relativista entre el momento

lineal, p, y la energía total de la partícula, de masa m, sea de un electrón o de un protón. La ecuación anterior la podemos aplicar a un fotón cuya masa es cero, mfotón=0, y por tanto para un fotón viajando a la velocidad de la luz E=p∙c. Sustituyendo la energía por E=hf=pc, deducimos que hf=pc, y despejando el momento lineal p=hf/c. Como la velocidad de la luz es igual a c " -f , obtenemos que el momento de un fotón y la longitud de onda de la luz se relacionan por 1Efotón " pc 4 6Efotón " hf

'

1pc " hf 4 6c " -f

'

p"

h -

Con esta última expresión obtenemos que los modelos ondulatorios y de fotón están íntimamente relacionados. La energía E de un fotón se relaciona con la frecuencia f de la onda por E=hf. De igual forma, el momento p del fotón se relaciona con la longitud de onda de la onda . En cada caso, el factor de proporcionalidad es la constante de Planck h. Las relaciones anteriores nos permiten mirar el espectro electromagnético de una forma distinta. Hasta ahora hemos expuesto el espectro electromagnético como una serie o cadena de longitudes de onda o, de igual forma, de frecuencias. Ahora podemos considerarlo también como una cadena de energías fotónicas o de momentos fotónicos. Con el modelo fotónico de la luz se pueden resolver los problemas que planteaba el efecto fotoeléctrico. Por ejemplo, el problema de la intensidad en el modelo fotónico se explica sencillamente. Si doblamos la intensidad de luz simplemente doblamos el número de fo-

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tones pero no cambiamos la energía de los fotones individuales que viene dada por la expresión E=hf. Por lo que la energía cinética que un electrón puede alcanzar debido a la colisión del fotón permanece constante. Respecto al problema de la frecuencia, el modelo fotónico lo explica sencillamente. Así la conducción de los electrones en el interior del metal se debe a un campo eléctrico, por lo que el arranque de un electrón necesita un mínimo de energía, W, llamada función trabajo del material. Si la energía del fotón excede de la función trabajo, es decir si hf>W, el efecto fotoeléctrico puede ocurrir. Si esto no es así el efecto no tendrá lugar. Análisis del fenómeno dualidad onda-corpúsculo: Partículas y campos Nuestra experiencia sensorial, nos lleva a considerar que los objetos que tocamos, tienen una forma y un tamaño bien definidos, por lo que están bien localizados en el espacio. Por tanto, tendemos a extrapolar y consideramos que las partículas fundamentales de la materia (electrones, protones, etc.) tienen forma y tamaño y las imaginamos como pequeñas esferas con un radio determinado, con una masa y carga. Los experimentos nos demuestran que nuestra extrapolación sensorial de los constituyentes básicos de la materia es errónea. El comportamiento dinámico de los átomos y de las partículas subatómicas requiere que asociemos a cada partícula un campo (un campo de materia), de la misma forma que asociamos un fotón (que puede considerarse equivalente a una partícula) con un campo electromagnético. Ondas de materia: verificación experimental.Para probar que en un experimento estamos tratando con una onda lo que debemos hacer es medir su longitud de onda. Esto es lo que hizo Thomas Young en 1801 cuando estableció la naturaleza ondulatoria de la luz visible; y lo que hizo en 1912 Max von Laue para establecer la naturaleza ondulatoria de los rayos X. Para medir una longitud de onda necesitamos dos o más centros de difracción (agujeros, rendijas, o átomos) separados por una distancia que sea del mismo tamaño que la longitud de onda que estamos buscando para medir. Si aplicamos la ecuación - "

h " p

h 2mEc

a un electrón con una energía cinética de

120 eV encontramos que la longitud de onda asociada al electrón de masa me=9,1∙10-31kg será de 112 pm, que es del orden de la distancia que separa a los átomos. Sin embargo, si aplicamos la ecuación anterior a una pelota de masa 150 g con una velocidad de 35 m/s encontramos que la longitud de onda asociada a la pelota será de 1,26×10-34m, que para detectarla necesitamos un par de rendijas a una distancia de este orden. Lo que nos indica el por qué no se observa que la pelota se comporte como una onda. El experimento de Davisson-Germer: Los físicos Davisson y Germer crearon un aparato para demostrar la naturaleza ondulatoria de los electrones. Los electrones son emitidos desde un filamento a temperatura alta, son acelerados por una diferencia de potencial ajustable. La energía cinética de los electrones que se dirigen hacia un cristal de Ni es igual al producto e∙V. Después de que se reflejen en el cristal de Ni se registran en un detector, que puede girar para obtener diferentes posiciones angulares. El “rayo” reflejado, desde la superficie del cristal, entra en el detector y se registra como una corriente I. Los distintos experimentos se hacen a diferentes valores de diferencia de potencial V y la lectura de la corriente I por el detector se hace colocándolo a ángulos distintos. Se comprueba que para V=54 voltios se observa un fuerte rayo difractado a 50º. Si el potencial acelerador se incrementa o decrece un poco, la intensidad del rayo difractado disminuye. El rayo difractado se forma por reflexión de Bragg del electrón como onda de materia desde una familia determinada de planos atómicos dentro del cristal: d sen E " m - + m " 0,1,2,..., . Para el cristal de Davisson y Germer d que es la distancia interatómica 215 pm. Para m=1 que corresponde a un pico de difracción de primer orden nos lleva a una longitud de onda de 165 pm: 215 pm×sen 50º=165 pm.

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Filamento

Rayo Incidente E

Rayo Difractado

Detector

V

Rayo

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d E Cristal

Esquema de los átomos en el cristal

El valor esperado de la longitud de onda de De Broglie para un electrón de energía 54 eV es de 167 pm, que está en correspondencia con el valor medido. Por lo que se confirma la predicción de De Broglie. El experimento de G.P. Thomson: En 1927 G.P. Thomson trabajando independientemente de Davisson y Germer confirmó la ecuación de Luis de Broglie usando un método algo diferente. Dirigió un rayo monoenergético de rayos X o electrones a través de una hoja metálica (A) muy fina, que hacía de blanco. El blanco no era un cristal, como en el experimento de Davisson y Germer, pero estaba hecho de un gran número de pequeños cristalitos orientados al azar. Con esta distribución habrá siempre, por casualidad, un cierto número de cristales orientados en un determinado ángulo para producir un rayo difractado.

Blanco (Al) Rayo incidente

Anillos Difracción Circular

Rayos X o electrones

Película fotográfica

Si una placa fotográfica se sitúa perpendicularmente al rayo incidente se observa una mancha central rodeada por anillos de difracción. Haciendo el experimento con electrones de una determinada longitud de onda, para una energía de 15 eV, se obtiene la misma figura de difracción que si utilizamos rayos X de la misma longitud de onda. Las medidas y el análisis de las dos figuras de difracción confirman la hipótesis de De Broglie en cada detalle. G. P. Thomson compartió el premio Nobel en 1937 con Davisson por los experimentos de difracción de los electrones y su padre J.J. Thomson recibió el premio Nobel en 1906 por su descubrimiento del electrón y por la medida de su relación carga/masa. Aplicaciones de las ondas de materia: Hoy en día la naturaleza ondulatoria de la materia está aceptada, y los estudios de difracción implicando rayos de electrones y neutrones se usan rutinariamente para estudiar la estructura atómica de los sólidos y de los líquidos. Así en los laboratorios de análisis químico, físico y metalúrgico poseen aparatos comerciales de difracción de electrones. Las ondas de materia son complementarias a los rayos X para estudiar la estructura atómica de los sólidos. Los electrones, por ejemplo, son menos penetrantes que los rayos X y son útiles para estudiar los rasgos en la superficie. Por el contrario, los rayos X interactúan, en gran parte, con los electrones de un blanco que utilicemos, y por esta razón no se utilizan para localizar los átomos ligeros, particularmente hidrógeno. Los neutrones, sin embargo, interactúan en gran parte con los núcleos y pueden usarse mejor que los rayos X para los átomos ligeros. Por ejemplo, con una difracción de neutrones sobre benceno sólido se pude comprobar la estructura del anillo bencénico hexagonal y los seis átomos de hidrógeno acoplados a él. La función de onda: Cuando Thomas Young midió la longitud de onda en 1801 no tenía ni idea sobre la naturaleza del rayo de luz solar que cae sobre las dos rendijas en su aparato de interferencia. No fue hasta finales del siglo cuando Maxwell postuló que la luz es una configuración en movimiento de campos eléctrico y magnético. Estamos exactamente en la misma situación en esta etapa de nuestra introducción a las ondas de materia. Podemos medir la longitud de onda asociada con un electrón o un

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neutrón pero hasta ahora no conocemos cual es la naturaleza de lo ondulatorio. Es decir, no conocemos que cantidad en una onda de materia corresponde al campo eléctrico en una onda electromagnética, al desplazamiento transversal en una onda viajando a lo largo de una cuerda estirada, o a la variación de la presión local en una onda de sonido viajando por medio de un tubo lleno de aire. Usaremos el término función de onda para la cantidad cuya variación con la posición y el tiempo representa el aspecto ondulatorio de una partícula en movimiento y le asignamos el símbolo F . Posteriormente, interpretaremos la función de onda físicamente de una forma análoga con la luz: “Onda de materia es a partícula como onda de luz es a fotón”. En primer lugar desarrollaremos un teorema útil que se aplica a todo tipo de ondas. Cuando analizamos las ondas sobre cuerdas, vimos que se puede enviar una onda viajera, de cualquier longitud de onda, a través de una cuerda estirada de longitud infinita. Sin embargo, si lo hacemos en una cuerda de longitud finita, sólo las ondas estacionarias se pueden conseguir y estas tienen una serie discreta de longitudes de onda. Esta experiencia general con las ondas se puede resumir: “Una onda en el espacio, localizada en una zona concreta, tiene como resultado que solo puede tener una serie discreta de longitudes de onda, y por tanto una serie discreta de frecuencias. Es decir, la localización nos conduce a la cuantización” Este teorema sirve no sólo para ondas en cuerdas sino para ondas de todos tipos, incluyendo ondas electromagnéticas y, como veremos, ondas de materia. Una onda estacionaria se produce cuando una cuerda se restringe a una longitud L con los extremos fijos, siendo la longitud de onda - = 2L/n, para n = 1, 2, 3,..., en el que el número entero n define el modo de oscilación. Tales números enteros se llaman números cuánticos. Las frecuencias que corresponden a estas longitudes de onda están también cuantizadas y vienen dadas por f=v/ - =v/(2L)∙n, en la que v es la velocidad de la onda. Ondas de luz y fotones: Podemos considerar las ondas electromagnéticas estacionarias exactamente como las producidas en una cuerda estirada. Las ondas electromagnéticas estacionarias se consiguen atrapando una radiación entre dos espejos paralelos que sean totalmente reflectantes. En la región visible o próxima a la visible las ondas estacionarias se consideran en la cavidad de un gas láser. También se consideran ondas estacionarias en la región de microondas del espectro usando como espejos paralelos hojas de cobre. A partir de ahora, por conveniencia, consideraremos solo el modo de oscilación que tiene la mayor longitud de onda y, por tanto, la menor frecuencia, que corresponde a la onda con n=1. La representación en el eje de abscisas, eje x, de la longitud L (distancia entre los espejos) y en el de ordenadas de la amplitud de la onda Emáxima de nuestra onda electromagnética estacionaria como una función de la posición, para este modo. Vemos que exactamente la mitad de una onda está encajada entre los espejos, los cuales están en O y en L, por lo que la longitud de onda - es 2L. En otra figura se representa (Emáx)2 para el mismo modo de oscilación, y como la densidad de energía u, es igual a u=½!0E2, la gráfica representa la densidad de energía en la onda electromagnética estacionaria.

E

0

máx

E2

n=1

máx

L

n=1

0

Luz atrapada entre dos espejos paralelos planosseparados por L A la izquierda amplitud frente posición para n=1 A la derecha el cuadrado de la amplitud que es proporcional a la densidad de fotones.

L

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Podemos considerar que la densidad de energía en cualquier punto se debe a fotones que están localizados en aquel punto, y cada fotón llevando la misma energía hf. Por tanto, puede concluirse que el cuadrado de la amplitud de onda, en cualquier punto, en una onda electromagnética estacionaria es proporcional a la densidad de fotones en aquel punto. Esta conclusión se puede testar explorando la región entre los espejos con una sonda fotónica. Encontraremos un máximo de densidad de fotones en la mitad del camino entre los espejos y una densidad aproximadamente cero delante de los espejos. Si la energía total en las ondas estacionarias se muestra tan baja que corresponde a la energía de un único fotón, podemos decir: “la probabilidad de detectar un fotón en cualquier punto es proporcional al cuadrado de la amplitud que la onda electromagnética tiene en aquel lugar”. Hay que hacer notar que nuestro conocimiento de la posición de un fotón es de naturaleza estadística. Es decir, no podemos saber exactamente donde está un fotón en un momento dado; podemos hablar sólo de la probabilidad relativa de que un fotón esté en una cierta región del espacio. Como veremos, esta limitación estadística es fundamental para la luz y para la materia, para los fotones y para las partículas. Ondas de materia y electrones: Para considerar la relación entre ondas de materia y partículas, usamos el electrón como prototipo y nos sirven de guía para nuestra analogía entre luz y ondas de materia. ¿Cómo podríamos considerar una onda de materia estacionaria usando un electrón?. Recordando el teorema localización-cuantización desarrollado en el apartado función de onda, queremos encontrar una situación en la que un electrón esté confinado en una región del espacio, debido a fuerzas eléctricas, que sería como un electrón atrapado. Las ondas de materia asociadas con el electrón se comportarán como una serie de ondas de materia estacionarias, con una frecuencia específica. Los átomos son justamente un sistema con electrones atrapados. De hecho, muchos de los electrones en los átomos que constituyen nuestro planeta y la vida que hay han sido atrapados antes de la formación del sistema solar. Para nuestro propósito, consideremos un electrón atrapado en un sistema unidimensional, en el que el electrón solamente se puede mover en el eje x, entre dos paredes rígidas separadas una distancia L. La energía potencia U(x) será cero dentro de la zona en que está atrapado L, y alcanzará rápidamente un valor infinitamente grande en x=0 y x=L La zona de atrapamiento se le suele llamar un pozo de potencial. Para un electrón atrapado en su estado n=1, representamos la gráfica de su función de onda y del cuadrado de la función de onda. Razonando por analogía con las ondas de luz y los fotones, concluimos que: “La probabilidad de encontrar el electrón en cualquier lugar es proporcional al cuadrado de la amplitud que la onda de materia tiene en aquel lugar”. En particular, la probabilidad de encontrar el electrón en el intervalo entre x y x+dx, es proporcional a la cantidad F 2 + x , dx . Para nuestros propósitos, el cuadrado de la función de onda, que llamamos densidad de probabilidad, es más importante que la propia función de onda porque el cuadrado nos dice donde es probable que se encuentre el electrón. La probabilidad de que el electrón esté en alguna parte del pozo infinito es la unidad

$F

2

+ x , dx " 1 .

La integral es simplemente el

área bajo la curva y como es numéricamente igual a uno se dice que está normalizada. Energías de los estados posibles: Hemos considerado que la energía potencial del electrón atrapado es constante dentro del pozo infinito y su valor es cero. Por tanto, la energía electrónica total es igual a su energía cinética, si n =1,2,... tenemos E " Ec "

p2 2m

h hn 2 1 4p " " 5 - 2L 7 6

E " Ec "

p2 n2 h2 = 2m 8mL2

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La energía en el punto cero: Un resultado importante es que en el pozo de potencial infinito el electrón no puede estar en reposo. Esto se debe a que su energía menor es su energía en el estado fundamental que corresponde a n=1, luego E1=h2/(8mL2). Este resultado nos indica que los electrones no puede tener energía cero por lo que el electrón no puede ser estacionario, ni siquiera en el cero absoluto de temperatura. El átomo de hidrógeno: Vamos a extender el análisis de un electrón atrapado en un pozo infinito a un caso más realista de un electrón atrapado en un átomo. Para ello elegimos el átomo de hidrógeno. El átomo de hidrógeno tiene un sólo electrón unido a su núcleo (un sólo protón) por la fuerza atractiva eléctrica. La energía de los estados posibles del átomo de hidrógeno

+

,

2

Ze2 me 1 Ze2 Ze2 1 E " Ec * E p " K e & Ke " & K e2 2 r r 2 n2 $2 El átomo de hidrógeno, como el electrón en un pozo infinito, también tiene una energía en el punto cero, correspondiente a n=1. La densidad de probabilidad para el estado 2

fundamental del átomo de hidrógeno viene dada por F (r) "

1

&2r rB

e siendo rB el radio de /rB3 Bohr de valor rB=5,292×10-11m=52,92 pm. El significado físico de la ecuación anterior es que F 2 (r)dV es proporcional a la probabilidad de que el electrón se encuentre en un elemento específico infinitesimal de volumen. Supongamos que queremos evaluar F 2 (r)dV , como la densidad de probabilidad F 2 (r) depende sólo de r, elegimos como elemento dV el volumen entre dos capas de esferas concéntricas cuyos radios son r y r+dr. Es decir, definimos un elemento de volumen dV " 4/r 2dr . Ahora definimos la densidad de probabilidad radial P(r) de tal forma que P(r)∙dr nos exprese la probabilidad de encontrar el electrón en el elemento de volumen definido por 2

P(r)dr " F (r)dV "

1 /rB3

8 &2r 9 : ; r e< B = 4/r 2dr

"

4r 2 rB3

8 &2r 9 : ; r e< B = dr

En la teoría semiclásica de Bohr, el electrón en su estado fundamental describe una órbita circular de radio rB. En la mecánica ondulatoria se descarta esta representación y se considera el átomo de hidrógeno como un pequeño núcleo rodeado por una nube de probabilidad cuyo valor P(r) en cualquier punto viene dado por P(r) "

4r 2 rB3

8 &2r 9 : ; r e< B =

Densidad de -1 Probabilidad radial (nm ) 10

5

50

Se puede demostrar que

100

150

200

Radio (pm)

$ P(r)dr " 1 el área bajo la curva es la unidad, lo que asegura

que el electrón en el átomo de hidrógeno está ligado en alguna parte. En la teoría semiclásica de Bohr el electrón en su estado fundamental gira en una órbita circular de radio rB. En mecánica ondulatoria descartamos esta representación fotográfica. Consideramos el átomo de hidrógeno como un pequeño núcleo rodeado por una nube de probabilidad cuyo valor

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8 &2r 9 : ; r e< B =

4r 2

P(r) en algún punto está dado por P(r) "

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. No debemos preguntar “¿Está el electrón rB3 próximo a este punto?”. Aunque “¿cuáles son los puntos de ventaja de que el electrón esté próximo a este punto?”. Esta información probabilística es todo lo que podemos conocer acerca del electrón y además, también es todo lo que alguna vez necesitaremos conocer. Como se demuestra en la gráfica la densidad de probabilidad radial tiene un valor máximo en el radio clásico de Bohr. Los puntos que indican que el electrón estará más alejado del núcleo tienen el valor del 68% del tiempo y los más próximos el 32% restante del tiempo. No es fácil empezar a analizar las partículas subatómicas de esta forma probabilística y estadística. La dificultad es nuestro impulso natural a considerar un electrón como una minúscula partícula o como un grano de gelatina, estando en un determinado lugar en un determinado tiempo y siguiendo una trayectoria bien definida. Los electrones y otras partículas subatómicas simplemente no se comportan de esta forma. En la sección siguiente trataremos de ayudar a disipar esta penetrante falacia de “grano de gelatina” (jelly bean fallacy) como se le suele llamar. Efecto túnel: En la siguiente figura se representa una barrera de energía, llamada barrera de potencial (potencial se refiere a energía potencial), de altura U y anchura L. Un electrón de energía E se aproxima a la barrera por la izquierda. Clásicamente como E dN ; ; dt T 1 2 ? @ dt ln 2 ln 2 21 T12 $ % N$% 2, 665 ) 10 átomos $ 4, 99 ) 1010 s $ 1580 años 10 átomos dN %3,7 ) 10 s dt Las ecuaciones que hemos obtenido :dN $ %MNdt ; = dN ;? N $ %Mdt

D

: N ;ln N $ %Mt # = ;N $ N e %Mt ? #

:dN $ %MNdt ; = dN %Mt ;? dt $ %MN $ %MN#e

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Física: “Física nuclear”

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son leyes estadísticas, que son válidas sólo cuando el número de núcleos es muy grande. Por tanto, no podemos hablar de período de semidesintegración de un sólo núcleo o predecir cuándo un núcleo dado se desintegrará. Por otra parte, λ da la probabilidad por unidad de tiempo para desintegrar un núcleo. Cada vez que ocurre una desintegración el número de núcleos radiactivos decrece. Por tanto, la actividad será igual a la variación en el número de núcleos que se desintegran por el intervalo de tiempo considerado. Mientras la desintegración de un núcleo individual ocurre completamente al azar, el número de desintegraciones por segundo que tienen lugar en una muestra es proporcional al número de núcleos radiactivos presentes. Vida media: El proceso de desintegración radiactiva viene dado por una función exponencial. Por lo tanto, en cualquier instante de tiempo t (lejano desde el instante inicial), siempre hay núcleos sin desintegrar con un tiempo de vida mayor que t. Por el contrario, todos los núcleos que han experimentado la desintegración en el instante t han tenido un tiempo de vida menor que t. Los núcleos que se estén desintegrando en el instante t tienen un tiempo de vida exactamente igual a t, y el número de esos núcleos será: dN $ %MNdt dN(t) $ MN#e %Mt dt Podemos calcular el tiempo de vida promedio N $ M %1 de un determinado núcleo radiactivo calculando el valor promedio de tiempo t: O O : t ) dN t MN# e %Mt dt O ; t Me %Mt dt ;N $ t $ 0 O $ 0 $ N# 0 ; dN = 0 ; O O O O ; 1 +1 , t Me%Mt dt $ + t %e %Mt , % %e%Mt dt $ 0 % A e %Mt B $ ;N $ . / 0 0 0 .M /0 M ;?

C '

C C

C '

(

(

'

(

C '

(

C

1)

La vida media o tiempo de vida promedio de un núcleo radiactivo es el inverso de la constante de desintegración.

2)

La constante de desintegraciónGtiene el significado físico de la probabilidad de desintegración, es decir, la fracción de desintegraciones que tienen lugar por unidad de tiempo, o fracción de núcleos que se desintegran en un segundo.

Radiactividad natural y artificial: Radiactividad Alfa: La desintegración alfa o radiactividad alfa consiste en la emisión de una partícula 4He que es un núcleo de helio, constituido de dos protones y dos neutrones. Cuando un núcleo se desintegra y emite una partícula 4He el núcleo hijo tiene un número atómico con dos unidades menos y un número másico con cuatro unidades menos que su padre: A ZX

-

238 92 U

A %4 Z % 2Y

-

& 42 He

234 90Th

& 42 He

Las partículas  tienen una estabilidad muy alta por lo que se comporta como una única partícula, similar a los protones y los neutrones, y se llaman heliones. La energía potencial de interacción de una partícula  con el resto del núcleo, que es similar a la de un protón, se indica en la figura siguiente:

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Ep Barrera Potencial

Nivel de Energía de !

Energía cinética partícula- !

E Repulsión Coulomb

0

r

Radio Nuclear

Atracción Nuclear

La energía de las partículas 4He (de 4 a 9 MeV) es menor que la altura de la barrera de Coulomb (de unos 40 MeV para muchos emisores de partículas 4He) en la superficie del núcleo, y la partícula 4He puede escapar sólo penetrando la barrera de potencial. La probabilidad de desintegración por unidad de tiempo M puede calcularse en términos de la probabilidad P de penetración de la barrera. La cantidad P se determina usando métodos mecánico-cuánticos. Los resultados coinciden bastante bien con los valores experimentales de M. La energía liberada en la desintegración-alfa 4He se obtiene del cambio de masa que ocurre en el proceso: Q=(mX-mY-m)c2. Para que la desintegración ocurra naturalmente es necesario que Q>0. Cuando las masas se expresan en unidades de masa atómicas y Q se expresa en MeV la ecuación será: Q=931,48∙(mX-mY-m!). Es importante destacar que la desintegración alfa es un proceso de dos cuerpos y es equivalente a la explosión de una granada en dos fragmentos. El exceso de energía del núcleo radiactivo se desprende en forma de energía cinética de la partícula alfa y del núcleo hijo. Además, se ha de conservar el momento lineal. Por tanto, la conservación de la energía y del momento lineal requiere que, para cada desintegración-, las partículas  han de tener una energía definida, lo que se ha confirmado experimentalmente. Sin embargo, la energía de las partículasG es ligeramente menor que Q porque parte de la energía se la lleva el núcleo hijo en su retroceso. En muchos casos, las partículas  procedentes de un núcleo no tienen todas las mismas energías. Por ejemplo, las partículas  procedentes del 238U tienen energías de 4,18 MeV y 4,13 MeV. Esto se debe a que aunque el núcleo padre puede estar en su estado fundamental, el núcleo hijo se puede formar en su estado fundamental o en un estado excitado. Por ejemplo, la desintegración 4He del 212Bi a 208Tl tiene un exceso de energía de 6,203 MeV (estando los dos núcleos en sus estados fundamentales) y puede hacerlo de seis formas distintas, siendo las energías de las partículas  desde 5,584 MeV hasta 6,203 MeV por lo que las partículas ! estarían acompañadas de radiación 0 212 83 Bi

-

208 81Tl

& 42 He

Ejemplo: Calcula la energía cinética de las partículas- emitidas desde el desintegración: 232 U - 228 Th & 4 He .

232U.

El proceso de

Las masas m(232U) = 232,1095u; m(228Th) = 228,0998u; m(4He) = 4,0039u. Solución: A partir de la ecuación Q=931,48∙(mX-mY-m!)=5,40 MeV. Al ser Q>0 el proceso es espontáneo. La energía se distribuye entre la partícula- y el núcleo hijo en proporción inversa a sus masas. E’c(Th)=(p’Th)2/(2mTh)=Q∙m!/(mTh+m!)=0,10 MeV E’c(!)=(p’!)2/(2m!)=Q∙mTh/(mTh+m!2)=5,30 MeV

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Las energías de los fragmentos de un cuerpo, inicialmente en reposo en el sistema-L, que explota en dos fragmentos de masas m1 y m2. Si el cuerpo está inicialmente en reposo, su momento lineal total es cero, después de la explosión los dos fragmentos separados en dirección opuesta con momentos p y p’ tal que p’1+p’2=0. Siendo los módulos iguales p’1=p’2 y la suma de las energías cinéticas inicial Ec(i)=0 y la final E’c(f)=E’c(1)+E’c(2)=(p’1)2/(2m1)+(p’2)2/(2m2)=½∙[(1/m1)+(1/m2)]∙(p’1)2=Q (p’1)2=(p’2)2=[2∙Q∙(m1∙m2)/(m1+m2)] E’c(1)=(p’1)2/(2m1)=Q∙m2/(m1+m2) E’c(2)=(p’2)2/(2m2)=Q∙m1/(m1+m2) Radiactividad Beta: Los núcleos que tienen demasiados neutrones comparados con el número de protones pueden ser inestables y emitir electrones, proceso llamado desintegración- K% . El núcleo hijo tiene el mismo número másico, A, pero un número atómico mayor en una unidad que el núcleo padre. Es decir, en la desintegración-ß- un neutrón se sustituye por un protón: A ZX

-

A Z &1Y

&

0 %1 e

La carga total se conserva ya que Ze=(Z+1)e-1e. El número de nucleones también se conserva ya que A permanece constante. Por ejemplo, el 14C se transforma de acuerdo con el siguiente esquema: 14 6C

- 147 N &

0 %1 e

Los núcleos que tienen, relativamente, un mayor número de protones comparado con los neutrones también pueden ser inestables y sufrir una desintegración- K& , un proceso que consiste en la emisión de positrones (con carga +e), que son partículas con la misma masa y espín que los electrones, pero su carga es positiva. En la desintegración- K& el número atómico del núcleo hijo es menor en una unidad, con lo que cumple la ley de conservación de la carga, pero su número másico es el mismo que el del núcleo padre, con lo que cumple la ley de conservación de los nucleones. Por tanto, en la desintegración- K& un protón se sustituye por un neutrón: A ZX

Por ejemplo, el

11C

-

A Z %1Y

& 01e

se transforma de acuerdo con el siguiente esquema 11 6C

0 - 11 5 B & 1e

El núcleo hijo resultante de una desintegración- K puede estar en su estado fundamental o en un estado excitado; en el último caso los procesos van seguidos por emisión- 0

14

20

F -

ß 5,41 MeV

ß

1,63 0 20

O

+

1,84 MeV

2,30 0

0

0

Ne

14

N

64 Cu 29 +

ß 0 0

64 28Ni

ß

-

0,57 MeV

64 30Zn

0

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En la figura podemos ver algunos esquemas de desintegración de emisores- K . Una característica interesante de la desintegración- K es que los electrones y los positrones son emitidos con un rango muy amplio de energías cinéticas y momentos, desde cero hasta el máximo compatible con la energía total posible. Es decir, los electrones y los positrones tienen un espectro continuo de energía. Sin embargo, las ecuaciones de la desintegración- K son procesos de dos cuerpos, similares a la desintegración- ! , y las leyes de conservación de la energía y del momento lineal requieren que en el centro del sistema centro de masas, donde el núcleo padre está en reposo, la energía liberada debe dividirse en una relación fija entre el núcleo hijo y el electrón o positrón. Esto está en contradicción con los resultados experimentales. Esta dificultad la solucionó Wolfgang Puli en 1930 considerando que debe estar implicada otra partícula en la desintegración- K . Esta tercera partícula debe ser neutra para cumplir con la ley de conservación de la carga, y de masa muy pequeña, ya que la masa total se toma en cuenta en las dos partículas observadas. Por estas dos razones la nueva partícula se llamó neutrino (propuesto por Enrico Fermi que significa pequeño neutrón). Se ha encontrado que hay dos tipos de partículas, casi idénticas, asociadas a la desintegración- K . Una de ellas, el neutrino, se emite en la desintegración- K& , mientras la partícula emitida en la desintegración- K% es un antineutrino. Por tanto, los procesos de desintegración- K deben reescribirse de la siguiente forma:

K% : K& :

A ZX A ZX

-

A Z &1Y & A Z %1Y &

0 $e %1e & # 0 1e & # e

EK% $ P M(A, Z) % M(A, Z & 1) % me Q c 2 $ P Mat (A, Z) % Mat (A, Z & 1) % 2me Q c2 L 0 EK& $ P M(A, Z) % M(A, Z % 1) % me Q c2 $ PMat (A, Z) % Mat (A, Z % 1) % 2me Q c2 L 0 K% : K% : K% : &

K :

3 1H

- 32 He &

0 $e %1 e & # 14 14 0 $e 6 C - 7 N & %1 e & # 234 234 0 90Th - 91Pa & %1 e 11 11 0 6 C - 5 B & 1e & # e

& #$ e

El neutrino es el que lleva la energía y el momento lineal necesario para restablecer la conservación de las dos cantidades. Además, el neutrino debe tener espín ½ para compensar el espín del electrón y asegurar la conservación del momento angular. En el centro del sistema de referencia centro de masas el momento lineal de las tres partículas resultantes debe ser cero. Pero hay un número infinito de formas en las que la energía total liberada se puede repartir entre las tres y es preciso explicar la distribución continua de energía de los electrones y positrones. P

#

P X Pe

En algunos casos un núcleo puede capturar un electrón de las capas atómicas más internas, tal como un electrón-K. Estos electrones están en orbítales muy próximos al núcleo, por lo que su probabilidad de ser capturados por un protón es relativamente grande. Este proceso se llama captura electrónica (EC), el resultado es la sustitución de un protón por un neutrón en el núcleo hijo. El proceso se expresa por:

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Captura-e- : -

Captura-e :

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A 0 A Z X & %1 e - Z %1Y 7 0 7 4 Be & %1e - 3 Li

& #e & #e

ECE $ PM(A, Z) & me % M(A, Z % 1) Q c 2 $ P Mat (A, Z) % Mat (A, Z % 1)Q c2 L 0 El neutrino fue una interesante invención para salvar dos leyes de conservación. Cuando se analizan los resultados experimentales se determina que la masa de los neutrinos es muy pequeña del orden de 10-3me y para muchos propósitos se considera que la masa es cero. El neutrino es insensible a los campos eléctricos y magnéticos. De hecho no se observó hasta 1956. Se puede explicar el proceso de desintegración- K considerando lo siguiente: 1)

En la desintegración- K% un neutrón se transforma en un protón de acuerdo con el siguiente esquema

2)

1 0n

- 11p &

0 %1 e

& #$ e

En la desintegración- K& un protón se transforma en un neutrón de acuerdo con los :; 11 p - 01 n & 01e & #e esquemas = 1 0 1 ;? 1 p & %1e - 0 n & #e

En cualquiera de los tres caminos un núcleo se desprende de sus neutrones o protones en exceso sin desprenderse de ellas o sin emitirlas. Sin embargo, la masa de un neutrón excede, en 0,728 MeV, la suma de las masas del protón y del electrón, con lo que el primer proceso puede tener lugar con neutrones libres y se ha observado que estos se desintegran de esa forma, con un período de semidesintegración de 12 minutos. Por otra parte, el segundo proceso no puede ocurrir con los protones libres. Puede ocurrir sólo en núcleos donde los protones pueden usar parte de la energía enlazante del núcleo para la desintegración. Esto explica por qué el hidrógeno es muy abundante en el Universo pero no hay neutrones libres. Del análisis experimental de muchas desintegraciones-ß y de la necesidad de explicar las transformaciones de protones en neutrones y de los neutrones en protones, se ha llegado a la conclusión que el proceso se puede deber a una interacción especial diferente de la fuerza nuclear y llamada interacción débil. La intensidad de la interacción débil es del orden de 10-14 cuando se compara con la fuerte o interacción nuclear, o alrededor de 10-12 cuando se compara con la interacción electromagnética. Radiación gamma: La radiación gamma es la emisión espontánea de un cuanto- 0 por el núcleo. Por la emisión de un cuanto- 0 el núcleo pasa desde un estado excitado a otro con menor energía (radiación o transición radiativa). La radiación 0 es una radiación electromagnética de corta longitud de onda de origen nuclear. La energía del cuanto-γ nuclear varía desde 10 keV a 5 MeV. Es una radiación altamente penetrante que no se desvía por un campo eléctrico o magnético. Es una radiación de longitud de onda muy corta, mas corta que la de los RayosX. Radiactividad artificial: Fue descubierta en 1934 por los esposos Frederic e Irene Curie cuando estaban estudiando reacciones nucleares producidas por bombardeo de elementos ligeros con partículas alfa. Una de las reacciones que observaron 10 5B

El núcleo

13N

*

& 42 He - +. 147 N ,/ - 137 N & 01 n

es inestable y se desintegra de acuerdo al siguiente esquema 13 7N

- 136 C & 01e & #e

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Una forma de producir núcleos que tengan radiactividad- K% es por captura neutrónica, por lo que una muestra del material se expone a un flujo fuerte de neutrones. Por ejemplo, cuando el 59Co es bombardeado con neutrones se produce 60Co, que es radiactivoK% y se desintegra en 60Ni que tiene un T½ de 5,27 años y la emisión de electrón y dos rayos gamma de energías 1,17 MeV y 1,33 MeV: 59 27 Co

& 01n -

60 27 Co

-

60 28 Ni

&

0 %1 e

& #$ & 01 & 0 2

El radio-núcleo 60Co es muy usado en radioterapia y para el análisis de los defectos en las estructuras metálicas. Una serie interesante de reacciones son aquellas que resultan cuando isótopos del 92U capturan un neutrón y su posterior desintegración- K% que producen nuevos núcleos con Z=93 (Np), Z=94 (Pu), Z=95 (Am), hasta Z=109 llamados transuránidos. Leyes de conservación que se han de cumplir en todos los procesos radiactivos: 1)

Conservación de la masa/energía.

2)

Conservación de la carga eléctrica.

3)

Conservación del momento lineal.

4)

Conservación del momento angular.

5)

Conservación del número de nucleones.

Familias radiactivas: Cuando un núcleo inestable se descompone radiactivamente los núcleos resultantes, algunas veces, son también radiactivos, y así sucesivamente hasta llegar a producirse un núcleo estable. Esta radiactividad secuencial de un núcleo después de otro se llama serie de desintegración radiactiva o familia radiactiva. Ejemplo:

A 238

K

234 ! 230 226 222 218 214 210 206

Hg Tl

Pb

80 81 82

Bi

Pb

83 84

At

Rn Fr

85

86 87

Ra Ac 88

89

Th

Pa

90

91 92

U

Reacciones nucleares. Fisión y fusión.Cuando dos núcleos se acercan dentro del rango de las fuerzas nucleares, venciendo sus fuerzas de repulsión de Coulomb, se puede producir una redistribución de nucleones. Esto puede resultar en una reacción nuclear, similar al reagrupamiento de átomos en moléculas que reaccionan durante una reacción química. Las reacciones nucleares se producen, usualmente, bombardeando un núcleo, que hace de blanco, con un proyectil nuclear, en muchos casos un nucleón (neutrón o protón) o un núcleo ligero como el deuterón o una partícula-.

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En general, cuando la energía de las partículas implicadas no es demasiado alta, una reacción nuclear ocurre en dos etapas. Primera, la partícula entrante o proyectil es capturado, resultando la formación de un intermediado o compuesto nuclear, el cual está en un estado altamente excitado. En la segunda etapa, el compuesto nuclear pierde energía, bien emitiendo una partícula, que podría ser la misma que la partícula entrante, o por algún otro medio. Por ejemplo, el bombardeo del nitrógeno-14 por partículas- ! (En 1919 Rutherford observó que cuando una partícula alfa choca con un núcleo de nitrógeno, se produce un núcleo de oxígeno y un protón) *

14 7N

& 42 He - +. 189 F ,/ - 11H & 178 O

14 7N

' !, p ( 178 O

Generalmente, una vez producida la primera etapa en una reacción nuclear hay distintos modos de pérdida de energía para el compuesto nuclear. Por ejemplo, cuando se bombardea el alumnio-27 con protones se obtienen varios productos: *

27 13 Al

, & 11H - +. 28 14 Si / -

27 13 Al

, & 11H - +. 28 14 Si / -

27 13 Al

, & 11H - +. 28 14 Si / -

27 13 Al

*

24 12 Mg

& 42 He

27 14 Si

& 01 n

*

28 14 Si

&0

*

24 11 Na

, & 11H - +. 28 14 Si / -

& 311H & 01 n

Leyes de conservación en una reacción nuclear: Las reacciones nucleares son esencialmente procesos de colisión en los que se deben conservar la energía, el momento lineal, el momento angular, el número de nucleones y la carga. Si la partícula entrante y saliente son las mismas el proceso se llama dispersión. La dispersión es elástica si el núcleo queda en el mismo estado y se conserva la energía cinética, e inelástica si el núcleo permanece en un estado diferente y la energía cinética de la partícula entrante es distinta de la saliente. Las reacciones nucleares frecuentemente se escriben en una notación corta: :; 105 B & 01n - 42 He & 73 Li = 10 7 ;? 5 B ' n, ! ( 3 Li

' 0, p ( 24 11 Na 13 14 6 C ' p, 0 ( 7 N 25 12 Mg

Las transmutaciones nucleares inducidas pueden usarse para producir isótopos que no se encuentran en la Naturaleza. En 1934, Enrico Fermi sugirió un método para producir elementos con un alto número atómico, superior al U (Z=92). Estos elementos se llaman elementos transuránidos y ninguno de ellos existen en la Naturaleza. Ellos son creados en una reacción nuclear. Por ejemplo el Pu se obtiene a partir del U mediante las siguientes reacciones 238 92 U

& 01 n -

239 92 U

'

(

& 0 T12 $ 23,5 ' -

239 93 Np

&

0 %1 e

'

(

& 0 T12 $ 2, 4dias -

239 94 Pu

&

0 %1 e

&0

Fisión nuclear: La fisión nuclear consiste en la división de la masa nuclear 235U y 90Th) en dos fragmentos de tamaño comparable. La fisión como proceso natural es muy rara, el 238U fisiona espontáneamente con un T½ de aproximadamente 1016 años. Un método de producir la fisión artificialmente es excitar el núcleo. El umbral o energía mínima de activación requerida para la fisión de un núcleo pesado es de 4 a 6 MeV. Otro método de fisión inducida es por captura neutrónica. La energía enlazante de la captura neutrónica es, en algunos casos, suficiente para excitar el núcleo por encima de la energía umbral y la división se produce. Este es el caso del 235U, que en 1939 cuatro científicos alemanes (Otto Hahn, etc.) descubrieron

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que un núcleo de U, después de absorber un neutrón, se rompe en dos fragmentos, con una masa menor que el núcleo original 235 92 U

141 , & 01 n - +. 236 92 U / - 56 Ba &

92 36 Kr

& 3 01 n

235 92 U

140 , & 01 n - +. 236 92 U / - 54 Xe &

94 38 Sr

& 2 01 n

Algunas reacciones producen hasta 5 neutrones, siendo el número promedio de 2,5 neutrones. Cuando un neutrón colisiona con un núcleo de U y es absorbido, el núcleo comienza a vibrar y se distorsiona. La vibración continúa hasta que la distorsión viene a romper la fuerza nuclear fuerte atractiva y predomina la fuerza de repulsión electrostática entre los protones nucleares. En el momento en que el núcleo se rompe en sus fragmentos expulsa su energía en forma de energía cinética. La energía desprendida por los fragmentos es muy grande y en el núcleo original estaba en forma de energía potencial eléctrica. En promedio unos 200 MeV de energía es desprendida por fisión. En la naturaleza el 92U está compuesto fundamentalmente de dos isótopos, el uranio-238 238U (99,275%) y el uranio-235 235U (0,720%). El fisionable es el uranio-235 ya que captura el neutrón, con una energía cinética de 0,004 eV o menor. También es fisionable el plutonio-239. El hecho de que en el proceso de fisión se produzcan neutrones (una media de 2,5 por fisión) hace que el proceso se pueda auto-sostener. Una reacción en cadena es una serie de fisiones nucleares donde algunos de los neutrones producidos por cada fisión causa fisiones adicionales. Para otros núcleos, la energía enlazante del neutrón capturado no es suficiente para que la fisión tenga lugar y le neutrón debe tener también energía cinética. Esto es lo que le ocurre al 238U, que se fisiona sólo después de capturar un neutrón rápido con una energía cinética del orden de 1 MeV. La captura de neutrones lentos lleva a la producción de Np y Pu: 238 92 U

*

, & 01 n - +. 239 92 U / -

239 93 Np

&

0 %1 e

'

(

& #$ & 0 T12 $ 23,5 ' -

239 94 Pu

&

0 %1 e

'

& #$ & 0 T12 $ 2, 4 dias

(

Por esta razón se producen grandes cantidades de Pu en los reactores nucleares. La razón para este diferente comportamiento está ligada con la estructura de los distintos núcleos. El núcleo 235U es par-impar, con 92 protones y 143 neutrones, y cuando captura un neutrón se forma un núcleo par-par 236U. El neutrón capturado se aparea con el último neutrón impar del 235U eliminando la energía del apareamiento que es de 0,57 MeV. Sin embargo, el 238U es un núcleo par-par, con 92 protones y 146 neutrones, todos apareados, y cuando captura un neutrón se forma un núcleo par-impar, el 239U, que no tiene energía extra. Por la misma razón el 239Pu con 145 neutrones experimenta la fisión por captura de neutrones lentos. Reacciones de fisión: Los procesos de fisión tienen dos propiedades que hacen que estos procesos tengan aplicaciones prácticas: uno es que en la fisión se eliminan neutrones y el otro es que se libera energía. Para los núcleos pesados, tal como el U, la relación de neutrones a protones N/Z ≈ 1,55. Esta será también la relación de los fragmentos resultantes. Sin embargo, para los núcleos estables de masa media la relación N/Z ≈ 1,30. Esto significa que los fragmentos resultantes tienen demasiados neutrones y algunos se eliminan al mismo tiempo que ocurre la fisión. El número promedio de neutrones eliminados por fisión es de 2,5. Por la misma razón, los fragmentos presentan radiación-ß-. La energía es eliminada en la fisión nuclear porque la energía enlazante por nucleón es menor en los núcleos pesados que en los núcleos de masa media. Para un núcleo pesado, la energía enlazante es de 7,5 MeV por nucleón, pero para un núcleo de masa media, correspondiente a los dos fragmentos de la fisión, es de 8,4 MeV por nucleón, resultando un incremento de la energía enlazante de 0,9 MeV por nucleón, o un total de unos 200 MeV para todos los nucleones en un núcleo de U. Este es el orden de magnitud de la energía libera-

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da en la fisión de un núcleo de U, que aparece como energía cinética de los dos fragmentos, de los neutrones liberados y de los productos de desintegración (electrones y neutrinos) resultantes de la desintegración-ß de los fragmentos radiactivos, además de radiación electromagnética. Como los neutrinos emitidos en la desintegración-ß normalmente escapan del material en el que tiene lugar la fisión, sólo unos 185 MeV por átomo se pueden retener, una energía que es todavía considerablemente mayor que la energía liberada en una reacción química, que es del orden de 3 a 10 eV por átomo. El hecho es que por cada neutrón absorbido para producir una fisión, se emiten más de dos neutrones, como promedio, lo que hace posible una reacción en cadena. Es decir, si después de cada fisión, al menos uno de los nuevos neutrones produce otra fisión, y de los neutrones liberados en ésta al menos uno produce una nueva fisión, y así sucesivamente, el resultado es un proceso auto-sostenido o sin parar. Estas reacciones en cadena son muy corrientes en química. Por ejemplo, la combustión es una reacción en cadena y requiere que una molécula tenga cierta energía de excitación para que se pueda combinar con una molécula de oxígeno. Excepto las primeras moléculas que están excitadas y se combinan con el oxígeno, la energía liberada es suficiente para excitar más moléculas del combustible y el resultado es la combustión. Si, en cada etapa de un proceso en cadena de fisión, se produce más de un neutrón por fisión que a su vez produce una nueva fisión, el número de fisiones se incrementa exponencialmente y el resultado es una reacción en cadena divergente. Esto es lo que ocurre en una bomba atómica. Pero si los procesos se controlan de tal forma que sólo un neutrón de cada fisión produce una nueva fisión, una reacción en cadena constante se mantiene bajo condiciones controladas. Esto es lo que ocurre en un reactor nuclear. En los reactores nucleares rápidos los neutrones se usan con la misma energía, de 1 a 2 MeV, con la que se liberan en los procesos de fisión. Pero en los reactores nucleares térmicos los neutrones, en primer lugar, se frenan haciendo que colisionen con átomos de una sustancia, llamado moderador, hasta que alcancen un equilibrio térmico con la sustancia y los neutrones se llaman térmicos. El moderador debe ser una sustancia con un número másico pequeño y que no capture neutrones. El agua, el agua pesada y el grafito son sustancias muy empleadas.

Fisión: La fisión nuclear consiste en la división de un núcleo grande en dos núcleos de tamaño comparable 239 94 Pu

& 01 n - 141 58 Ce &

A ZX

A1 Z1 X1

-

&

A2 Z2 X2

96 42 Mo

& 3 01n

: A $ A1 & A 2 < = > ? Z $ Z1 & Z 2 @

Qfisión $ +.M % ' M1 & M2 ( ,/ c 2 L 0

:M ' A, Z ( c2 $ + Z 3 mp & ' A - Z ( 3 mn , c2 - FA . / ; ; 2 2 =M1 ' A1, Z1 ( c $ +. Z1 3 mp & ' A1 - Z1 ( 3 mn ,/ c - F1A1 ; 2 2 ;?M2 ' A 2 , Z 2 ( c $ .+ Z 2 3 mp & ' A 2 - Z 2 ( 3 mn /, c - F2 A 2

Qfisión $ +.M % ' M1 & M2 ( ,/ c 2 $ %FA % ' %F1A1 % F2 A 2 ( L 0 : F1A1 & F2 A 2 F1A1 & F2 A 2 $ =Fpromedio $ A1 & A 2 A ?

'

D

F1A1 & F2 A 2 $ Fpromedio 3 A

(

Qfisión $ %FA & F promedio A $ F promedio % F A L 0

Fusión: La fusión nuclear consiste en la unión de dos núcleos que colisionan en un núcleo mayor 1 1H 1 1H

& 11H - 21H & 01e & #e & 1,35 MeV & 21H - 31H & 01e & #e & 4,6 MeV

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A1 Z1 X1

&

A2 Z2 X2

-

A ZX

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: A1 & A 2 $ A < = > ?Z1 & Z 2 $ Z @

Qfusión $ +.' M1 & M2 ( % M,/ c 2 L 0

:M1 ' A1, Z1 ( c2 $ + Z1 3 mp & ' A1 - Z1 ( 3 mn , c2 - F1A1 . / ; ; 2 2 =M2 ' A 2 , Z 2 ( c $ +. Z 2 3 mp & ' A 2 - Z 2 ( 3 mn ,/ c - F2 A 2 ; 2 2 ;?M ' A, Z ( c $ +. Z 3 mp & ' A - Z ( 3 mn ,/ c - FA

Qfusión $ +.' M1 & M2 ( % M,/ c 2 $ ' %F1A1 % F2 A 2 ( & FA L 0

'

(

Qfusión $ FA % Fpromedio A $ F % F promedio A L 0 Debido a la repulsión Coulombiana, el núcleo que colisiona debe tener una energía cinética mínima para sobrepasar la barrera Coulombiana para que se aproximen bastante y la fuerza nuclear produzca la necesaria consolidación entre los núcleos. Este problema no aparece en la fisión nuclear porque los neutrones no tienen carga eléctrica, y se pueden aproximar a un núcleo aunque su energía cinética sea muy pequeña o prácticamente cero. Como la barrera Coulombiana se incrementa con el número atómico, la fusión nuclear tiene lugar a energías cinéticas razonables sólo para núcleos muy ligeros con bajo número atómico o carga nuclear baja.

MeV

Ep

Interacción p-p

70 60 50 40

Barrera Coulomb Partícula entrante

30

Ec

20 10 0 Potencial Nuclear fuerte 10

r (fm)

20

30

Cuando dos núcleos de números atómicos Z1 y Z2 están en contacto, la energía potencial eléctrica de los dos es Ep=Ke∙Z1∙Z2/r donde r es la suma de los radios nucleares, del orden de 10-14 m, luego Ep=Ke∙Z1∙Z2/r = 9∙1023 Z1∙Z2 J = 1,5∙105 Z1∙Z2 eV = 0,15 Z1∙Z2 MeV. Esto da la altura de la barrera y por tanto la energía cinética mínima que debe tener el núcleo para que ocurra la fusión. Si la energía es menor, hay una pequeña probabilidad de penetrar la barrera de potencial. La energía cinética promedio de un sistema de partículas teniendo una temperatura T es del orden de kT, o alrededor de 8,6∙10-5T eV, donde T está en Kelvin. Así una energía de 105 eV corresponde a una temperatura de 109 K que es más alta que la temperatura en el centro del Sol. Para que tenga lugar una fusión nuclear de un gran número de núcleos es necesario que el núcleo reaccionante esté a una temperatura muy superior a las generadas en las reacciones químicas más exoérgicas, creando un problema de recipiente para las partículas reaccionantes, ya que no se conoce material que pueda resistir esas temperaturas. Además, a esas temperaturas extremas los núcleos han perdido todos sus electrones y las sustancias consisten de una mezcla neutra de núcleos cargados positivamente y electrones negativos llamada plasma. El recipiente está formado por campos magnéticos y el calentamiento se hace con rayos láser.

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En la fusión nuclear de núcleos ligeros (A