Fisica Cuantica

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física. cuántica ATOMOS, MOLECULAS, SOLIDOS. NUCLEOS Y PARTICULAS

Robert Eisberg U n iv e rs id a d d e C a lifo rn ia , S a n ta B á rb a ra i

y Robert R esn ick In stitu to P o lité c n ic o R ensselaer

1ZZ3 LIMUSA NORIEGA EDITORES M É X IC O • España • Venezuela • Colombia

Prólogo

El propósito básico de este libro es presentar el estudio claro y válido de las propiedades de la gran mayoría de los sistemas cuánticos importantes desde el punto de vista de la mecánica cuántica elemental. Sólo se desarrolla la mecánica cuántica necesaria para cumplir este fin. Por lo tanto, hemos decidido hacer énfasis en las aplicaciones de la teoría más que en la teoría misma. De esta manera, esperamos que el libro se adapte bien a las necesidades de los estudiantes contemporáneos en un curso que trate sobre los fenómenos de la física cuántica. A la vez que los estudiantes adquieren una perspectiva de las grandes aplicaciones de la mecánica cuántica, se verán motivados a aprender más acerca de la teoría. Por lo tanto, esperamos que el libro también se adapte bien a un curso que vaya seguido por otro más avanzado sobre mecánica cuántica formal. En principio, el libro está pensado para usarse en un curso anual con estudiantes que ya hayan estudiado los conceptos elementales del cálculo diferencial e integral y la física clásica que los utiliza, aunque también se puede usar en cursos más cortos. En los capítulos del 1 al 4 se presentan los distintos fenómenos de la física cuántica moderna y se desarrollan las ideas esenciales de la teoría cuántica antigua. Estos capítulos se pueden cubrir muy rápidamente, sobre todo con aquellos estudiantes que han recibido una introducción previa a la física cuántica. La clave de la mecánica cuántica y sus aplicaciones a los átomos con uno y dos electrones se encuentra en los capítulos del 5 al 8 y las cuatro primeras secciones del capítulo 9. Es posible cubrir bien esta parte en menos de un semestre. Por lo tanto, el profesor puede formar una gran variedad de cursos cortos añadiendo a este material central algunos de los temas que se presentan de manera independiente en otros capítulos como son: átomos multielec­ trónicos y moléculas, estadística cuántica y sólidos, núcleos y partículas. Los profesores que requieren un tratamiento similar de la mecánica cuántica, pero más extenso y a mayor nivel, y quienes puedan usar un tratamiento más formal de las aplicaciones de la teoría, pueden usaren vez de este libro el texto " F U N D A M E N T O S DE F IS IC A M O D E R N A ” por Robert Eisberg (Editorial I.IM U S A , 1973). A los profeso, es que requieran un estudio más completo de la relatividad especial que el que se expone en

el apéndice A, pero similar en nivel y estilo pedagógico al presentado en este libro, les recomendamos usar como complemento el texto " I N T R O ­ D U C C IO N A LA T E O R I A E S P E C IA L D E LA R E L A T I V I D A D ” por Robert Resnick (Editorial L IM U S A , 1977). Mediante un experimento que consistió en realizar pruebas intensivas con los alumnos de nuestras respectivas instituciones así como en otras cuatro escuelas desarrollamos una serie de ediciones preliminares. Du­ rante este proceso Robert Eisberg completó este libro mediante una revisión exhaustiva y una extensión considerable de la última edición preliminar. Por lo tanto, él es el autor principal de esta obra. Por su parte, Robert Resnick lia tomado la iniciativa de revisar y extender la ultima edición preliminar con el fin de preparar cl manuscrito para un libro de física moderna a un nivel un poco inferior. Por tanto, él sera ese autor principal de este libro. Las características pedagógicas del libro, algunas de las cuales no se encuentran por lo general en libros de este nivel, demostraron ser muy eficientes cuando se probaron en el aula. Estas características son: des­ cripciones detalladas al principio de cada capítulo, numerosos ejemplos resueltos, secciones opcionales en los capítulos y apéndices también opcionales; resúmenes y tablas, conjuntos de preguntas al final de cada capítulo y conjuntos extensos y variados de problemas cuidadosamente verificados al final de cada capítulo con subconjuntos de respuestas al final del libro. Por lo tanto, pensamos que este libro es adecuado tanto para cursos de autoaprendizaje como para cursos autorregulados. Hemos empleado el sistema de unidades M K S (o SI) pero de una manera flexible, donde la experiencia en un campo particular lo indica se han utilizado unidades alternativas. Es una gran satisfacción expresar nuestro agradecimiento a los Doctores Harriet Forster, Russell Hobbie, Stuart M eyer, Gerhard Salinger y Paul Yergin por sus revisiones constructivas, al Doctor David Swedlow por su ayuda en la evaluación y solución de los problemas, al Doctor Benjamín Chi por su ayuda con las figuras, al señor Donald Deneck por su ayuda editorial y a las señoras Cassie Young y Carolyn Clemente por el trabajo de mecanografía y otros servicios secretariales.

Sania Bárbara, California Troy, Nueva York

Robert Eisberg Robert Resnick

Contenido

R a d ia c ió n térmica y el p o s tu la d o d e P la n c k 1-1 1-2

I n tr o d u c c ió n

1-3

T e o r ía clásica de la cavidad radiante

1-4

T e o r ía de P lanck de la cavidad radiante

1-5

A p lic a c ió n de la ley de P lan ck de la rad iación en te r m o m e tr ía

1-6

El postulado de P lanck y sus im p lic a c ion e s

1-7

B re v e h isto ria del quantu m

17

19

R ad iación té rm ic a

19 24 31 39

41

2 F otones — P r o p ie d a d e s c o r p u s c u la r e s de la ra d ia c ió n 2-1

I n tr o d u c c ió n

2-2

El e f e c t o f o t o e lé c t r ic o

2-3

T e o r ía cu án tica de Einstein del e fe c to

2-4

El e f e c t o C o m p to n

2-5

N atu raleza dual de la radiación e le c tro m a g n é tic a

4-5

47 47 fo t o e lé c t r ic o 50

55 61

2-6

F oto n es y em isió n de rayos X

2-7

P r o d u c c ió n y a n iq u ila c ión de pares

2-8

S e c c io n e s transversales para a b sorción y dispersión de fo to n e s

62 65 70

3 P o s tu la d o d e d e B r o g lie . P r o p ie d a d e s o n d u la to ria s d e las p artíc u las 3-1

Ondas de m ateria

81

3-2

D ualidad onda-partícula

3-3

El p rin c ip io de in c e rtid u m b re

3-4

P ro p ie d a d e s de las ondas de m ateria

3-5

A lgu n a s con se c u e n cia s del p rin c ip io de in c e r tid u m b r e

3-6

F ilo s o fía de la teoría cuántica

88 91 95 106

79

M o d e lo atóm ico d e B o h r 4-1

M o d e lo de T h o m s o n

115

4-2

M o d e lo de R u th e r fo r d

4-3

Estabilidad del á to m o nuclear

119 126

4-4

E spectros ató m ic o s

126

4-5

P ostu la dos de B oh r

129

4-6

M o d e lo de B oh r

4-7

C o r r e c c ió n por masa nu clear fin ita

130 136

4-8

Estados de e n e rgía atóm ica

4-9

In te r p r e ta c ió n de las reglas de cuan tización

139

4-10

M o d e lo de S o m m e r fe ld

4-11

El p rin cip io de c o r re s p o n d e n c ia

4-12

113

142

146 149

U n a crítica a la teoría cuántica antigua

151

5 T e o r ía d e S c h r ó d in g e r de la m ecánica cuántica 5-1 5-2

In tr o d u c c ió n

157

159

A r g u m e n to s de plausibilidad que c o n d u c en a la ec u a c ió n de S c h ró d in g e r

162

5-3

In te rp re ta c ió n de Born

5-4

Valores de e xp e c ta c ió n

de las fu n c io n e s

de on da 169

176

5-5

La ecu ación de S c h ró d in g e r in d e p e n d ie n te del tie m p o

5-6

P ro p ied ad es requeridas para las e ig e n fu n c io n e s

5-7

C u antización de la en e rgía en la teoría de S c h ró d in g e r

5-8

Resu m en

187 192 194

203

6 S o lu c io n e s a las ecu a c ion e s d e S c h r ó d in g e r in d e p e n d ie n te s del tiem po 6-1

In tr o d u c c ió n

217

6-2

El p oten cial c e r o

0-3

P o te n c ia l escalón (e n e rg ía m e n o r qu e la altura del e s ca ló n )

6-4

P o te n cia l escalón (e n e rg ía m a y o r qu e la altura del e s ca ló n )

218

6-5

La barrera de p oten cial

6-6

E jem p los de p e n e tra c ió n de barrera por partículas

224 234

240

6-7

P o te n cia l de p ozo cuadrado

6-8

P o te n cia l de p o zo cuadrado in fin ito

6-9

P ote n cia l de oscilad or a r m ó n ic o sim ple

6-10

R esu m en

247

251 257 265

269

_

Atom os con un electrón 7-1 7-2

In tr o d u c c ió n

215

279

D esarrollo de la e c u ación de S c h ró d in g e r

280

277

7-3

Se p a ra c ión de la ecuación in d e p e n d ie n te del tiem po

7-4

S o lu c ió n de las ecu acion es

7-5

E ig e n v a lo r e s , nú m eros cuán ticos y d e g e n e ra c ió n

7-6

E ig e n fu n c io n e s

7-7

D ensid ad es de probabilidad

284

°8 6

289 292

7-8

Im p u ls o angular orbital

7-9

E c u a c io n e s de e ig e n v a lo r e s

303 308

8 Mom entos m agnéticos d ip o la re s , spin y razones de transición 8-1

I n tr o d u c c ió n

8-2

M o m e n t o s m agn éticos dipolares orbitales

8-3

E x p e r im e n to de Stern-G erlach y spín del e le c tró n

8-4

In te r a c c ió n spín-órbita

328

8-5

M o m e n t o angular total

331

8-6

E n ergía de in teracción spín-órbita y n iv e le s de energía

315

317

del h id r ó g e n o

317 322

335

8-7

R a zo n es de transición y reglas de s elección

340

8-8

C o m p a ra c ió n entre las teorías cuánticas antigua y m od ern a

347

9 Atom os rm ilticlcctrónicos-estados b a se y excitac io n e s d e rayos X 9-1

I n tr o d u c c ió n

9-2

P artícu las idénticas

9-3

El p rin c ip io

355 356

de e x clu sión

362

9-4

El á to m o

9-5

T e o r ía de H a rtree

9-6

R esu ltad os de la teoría de H a r tr e e

9-7

Estados base de átom os m u ltie le c tr ó n ic o s y la tabla

d e helio y las fuerzas de in te rc a m b io

p e rió d ic a 9-8

353

365

374 378

385

E spectros de líneas de rayos X

393

10 A tom os m n lt¡ele ctró n ic o s-exc ita cio n es ópticas 10-1 10-2

In tr o d u c c ió n

407

A t o m o s alcalin os

408

10-3

A to m o s con varios e le c tro n e s ó p tic a m e n te a c tiv o s

10-4

A c o p la m ie n t o LS

10-5

N iv e le s de e n ergía del á to m o de c a r b o n o

10-6

El e f e c t o Z eem an

10-7

R esu m en

416 425 432

422

412

405

Estadística cuán tica

11-1 11-2

In d istin gu ib ilida d y estadística cu án tica

11-3

F u n c ion e s de d istrib u ció n cuánticas

I n tr o d u c c ió n

437

439 440 444

11-4

C om p a rac ió n de las fu n c io n e s de distrib u ción

11-5

C alor es p e c ífic o de un sólido c rita lin o

11-6

La distrib u ción de B oltzm an n c o m o una a p r o x im a c ió n a las distrib u cio n es cuánticas

447 452

456

11-7

El láser

457

11-8

Gas de fo to n e s

463

11-9

Gas de fo n o n e s

464

11-10

C o n d en sació n de Bose y H e lio líqu id o

11-11

El gas de ele ctro n e s libres

11-12

P o te n c ia l de c o n ta c to y em isión te rm ió n ie a

11-13

D e s crip c io n e s clásica y cuántica del estado de un sistema

465

471 474

476

12

M o lé c u la s

12-1

In tr o d u c c ió n

12-2

E nlaces ión ic os

12-3

E nlaces c o v a le n tes

483

485 485 488

12-4

E spectros m olecu lares

492

12-5

E spectros ro tacio n ales

493

12-6

Espectros v ib ro -ro ta c io n a le s

12-7

E spectros e le c tró n ic o s

12-8

El e le c t o Raman

12-9

D e te rm in a c ió n del spin n u clear y características de sim etría

496 500

503 504

13 S ó li d o s — C o n d u c to re s y se m ic o n d u c to re s 13-1

In tr o d u c c ió n

13-2

T ip o s de sólidos

515

13-3

T e o r ía de bandas de los sólidos

13-4

C o n d u c c ió n e léctrica en m etales

13-5

M o d e lo cu án tico del e le c t r ó n libre

13-6

M o v im ie n t o de e le c tro n e s en una red p erió d ica

13-7

Masa e fe c tiv a

13-8

S e m ic o n d u c to re s

13-9

D is p o s itiv o s s e m ic o n d u c to re s

515 517 522 524

534 538 544

530

513

14 S ó li d o s — S u p e rc o n d u c t o re s y p r o p ie d a d e s m agnéticas 14-1

S u p e rc o n d u c tiv id a d

55 5

557

14-2

P ro p ie d a d e s m agnéticas de sólid os

14-3

P ara m a gn etism o

566

567

14-4

F e r r o m a g n e tis m o

571

14-5

A n tife r r o m a g n e tis m o y fe rr im a g n e tis m o

577 I

M o d e lo s n u c le a re s 15-1

I n tr o d u c c ió n

15-2

G eneralid ad es sobre algunas prop ied ad es

585

nu cleares 15-3 15-4 15-5 15-6 15-7 15-8 15-9 15-10 15-11

583

587

D im e n s io n e s y densidades nu cleares

591

Masas nucleares y sus abundancias M o d e lo de gota N ú m e r o s m ágicos

607

M o d e l o del gas de F erm i

609

M o d e lo de capas

612

P r e d ic c io n e s del

m o d e lo de capas

M o d e lo c o le c tiv o R e su m e n

595

604

618 622

628

|£

D ecaim ien to n u c le a r y reaccion es n u c le a re s 16-1

I n tr o d u c c ió n

16-2

D e c a im ie n to A lfa

635

16-3

D e c a im ie n to Beta

642

16-4

In te r a c c ió n por d e ca im ie n to Beta

16-5

D e c a im ie n to Gam ma

16-6

El e f e c t o M óssbauer

16-7

R e a c cio n e s nucleares

16-8

Estados excitad o s de los nú cleos

16-9

Fisión y reactores

16-10

Fusión y o rig en de los e le m e n to s

633

635

653

660

666 669 679

683

688

17 P a rtíc u la s elem entales 17-1 17-2

I n tr o d u c c ió n

701

Fuerzas nu cleó n icas

17-3

Isospín

715

17-4

P io n e s

717

17-5

M uones

17-6

E xtrañ eza

725 727

701

699

17-7

In te r a c c io n e s fu nd am entales y leyes de c o n s e r v a c ió n

732

17-8

Familias de partículas elem en tales

17-9

H ip ercarga y Cuarks

736

739

A p é n d ic e A

T e o r ía esp ecial de la relativid ad

749

A p é n d ic e B

R a d ia c ió n d e una c a rg a a c e le ra d a

76 9

A p é n d ic e C

D is tr ib u c ió n d e B oltzm ann

773

A p é n d ic e D

T ra y e c to ria s en la d is p e r s ió n de R u th e rfo r d

781

A p é n d ic e E

C a n tid a d e s c o m p le ja s

78 5

A p é n d ic e F

S o lu c ió n n u m é ric a de la e c u a c ió n d e S c h r ó d in g e r in d e p e n d ie n te d el tiempo para un potencial d e pozo c u a d r a d o

78 9

A p é n d ic e G

S o lu c ió n analítica d e la e c u a c ió n de S c h r ó d in g e r in d e p e n d ie n te el tiem po p ara un potencial d e pozo c u a d r a d o

795

A p é n d ic e H

S o lu c ió n en serie d e la e c u a c ió n de S c h r ó d in g e r in d e p e n d ie n te del tiem po para un potencial d e o s c ila d o r a rm ó n ic o sim ple

801

A p é n d ic e I

El lap la c ia n o y los o p e r a d o r e s d e im p u lso a n g u la r en c o o r d e n a d a s p o la res esféricas A p é n d ic e J

L a p re ce sió n d e T ilo m a s

807

A p é n d ic e K

p r in c ip io de e x c lu s ió n en el a co plam ien to L S

815

A p é n d ic e L

R eferen cias

819

A p é n d ic e M

R espu estas

ap ro b le m a s se lec c io n ad o s

821

A p é n d ic e N

Constantes u su ales y factores de c o n v ersió n I n d ic e

823 825

I Radiación térmica y el postulado de Planck

1

Introducción

19

Teoría cuántica antigua; relación entre la física cuántica y la clásica; papel de la constante de Planck. 2

R a d i a c i ó n térmica

19

Propiedades de la radiación térmica, cuerpos negros; radiancia espectral; fun­ ciones de distribución; radiancia; ley de Stefan; constante de Stefan*Boltzmann; ley de W ien; radiación por una cavidad; densidad de energía; ley de Kirchhoff. 3

T e o r í a c l á s i c a d e la c a v i d a d r a d i a n t e

2 1

Ondas electromagnéticas en una cavidad; ondas estacionarias; conten de las frecuencias permitidas; equipartición de la energía; constante de Boltzmann; espectro de Ravleigh-Jeans. -1

T e o r í a d e I M a nc k d e la c a v i d a d r a d i a n t e

31

Distribución de Boltzmann; energías discretas; violación de la equipartición; constante «le Planck; espectro de Planck. 5

A p l i c a c i ó n «le la lev d e r a d i a c i ó n d e P l a n c k e n t e r m o m e t r í a

38

Pirómetros ópticos; radiación universal a 3°K. y la "gran explosión ". 6

E l postulado de P lan c k y sus im plicaciones Definición general del postulado; energías cuantizadas; estados cuánticos; nú­ meros cuánticos; péndulo macroscópico.

39

1.7

Breve historia del quantum

41

Trabajo inicial de Planck; intentos de reconciliar la cuantización con la física clásica.

Preguntas

41

Problemas

43

Radiación térm ica y el postulado de Planck

1.1

In t r o d u c c ió n

En una reunión de la Sociedad Alemana de Física, el 14 de diciembre de 1900, Max Planck leyó un trabajo intitulado "L a teoría de la ley de distribución de energías del espectro normal” . Este trabajo que en un principio atrajo poca atención, fue el precursor de una revolución en la física. La fecha de su presentación se considera como el nacimiento de la física cuántica, a pesar de que fue hasta un cuarto de siglo después, cuando Schródinger y otros desarrollaron la mecánica cuántica moderna, base del conocimiento actual. Fueron muchos los caminos que convergieron en este conocimiento, cada uno de los cuales mostró distintos aspectos de las fallas de la física clásica. En éste y los siguientes capítulos se examinarán los logros más importantes de la que hoy se llama teoría cuántica antigua y que dio origen a la mecánica cuántica moderna. Los fenómenos experimentales que se analizarán en relación con la teoría cuántica antigua, comprenden todas las disciplinas de la física clásica: mecánica, termodinámica, mecánica estadística y electromagnetismo. I*t necesidad de una mecánica cuántica, se manifestará por la contradicción sistemática de las leyes clásicas respecto a dichos fenómenos y la solución a esos conflictos en base a ideas cuánticas. El estudio de la teoría cuántica antigua permitirá obtener, más fácilmente, un conocimiento más profundo de la mecánica cuántica cuando se inicie su consideración en el quinto capítulo. Como en el caso de la relatividad (que se trata brevemente en el apéndice A ), la física cuántica representa una generalización de la física clásica, que incluye a las leyes clásicas como casos particulares. Así como la relatividad extiende el campo de aplicación de las leyes de la física a la región de altas velocidades, la física cuántica lo extiende a la región de dimensiones pequeñas; y así como la relatividad se caracteriza por una constante universal de significado fundamental, la velocidad de la luz c, así mismo la física cuántica se caracteriza por una constante universal de significado fundamental, que hoy se llama constante de Planck h. En su trabajo de 1900, Planck introdujo esta constante para tratar de explicar las propiedades observadas en la radiación térmica. De esta manera se empezará el estudio de la radiación térmica, que conducirá a la constante de Planck y, relacionada con ésta, al concepto cuántico de energía discreta. También se verá (jue la radiación térmica en sí, es de gran importancia y actualidad, ya que, por ejemplo, este fenómeno ha ayudado recientemente a los astrofísicos a decidir entre varias teorías acerca del origen del universo.

1.2

R a d ia c ió n térmica

Se llama radiación térmica, a la radiación emitida por un cuerpo como consecuencia de su temperatura. Todos los cuerpos emiten esta radiación a su derredor, y la absorben de él. Si. en

un principio, el cuerpo está más caliente que su alrededor, se enfriará, ya que la rapidez con que emite energía excederá la rapidez con que la absorbe. Cuando se alcanza el equilibrio térmico la rapidez de emisión y la de absorción de energía serán iguales. La materia en un estado condensado (es decir, sólido o líquido) emite un espectro de radiación continuo. Los detalles del espectro son casi independientes del material particular del cual se compone el cuerpo, pero dependen I uerteniente de la temperatura. A temperaturas ordinarias, la mayoría de los cuerpos son visibles no por la luz que emiten sino por la luz que reflejan, ya que si no se liace incidir luz sobre ellos 110 es posible verlos. Sin embargo, a muy altas temperaturas, los cuerpos son luminosos por sí mismos. En un cuarto obscuro se les puede ver brillar ; pero aún a temperaturas de varios miles de grados Kelvin, más del 90% de la radiación térmica emitida es invisible para nosotros, empezando por la parte correspondiente al infrarrojo del espectro electromagnético. Por lo lauto, los cuerpos luminosos por si mismos están muy calienles. Por ejemplo, considere el calentamiento en el fuego, de 1111a barra de hierro a temperaturas cada vez más alias, retirando en forma periódica la barra del fuego, el tiempo suficiente para observar sus propiedades. Cuando la barra aún está a temperaturas relativamente bajas, radía calor pero no está visiblemente caliente; conforme aumenta la temperatura, la cantidad de radiación emitida por la barra aumenta muy rápidamente y empiezan a notarse efectos visibles. La barra empieza a verse de un color rojo opaco, después adquiere un color rojo brillante y, a muy altas temperaturas, un intenso color blanco azuloso. Es decir, a medida que aumenta la temperatura, el cuerpo emite más radiación térmica v la frecuencia de la radiación más intensa se vuelve cada vez mayor. La relación que existe entre la temperatura de un cuerpo y el especlro de frecuencias de la radiación emitida, se utiliza en un dispositivo llamado pirómetro óptico. Este dispositivo es esencialmente un espectrómetro rudimentario «pie permite al operador estimar la temperatura de 1111 cuerpo caliente, como una estrella, observando el color o la composición de frecuencias de la radiación térmica que emite. Existe un espectro continuo de radiación emitida, pero el ojo humano ve principalmente el color correspondiente a la emisión más intensa en la región visible. El sol, los filamentos de focos y carbones calientes, son ejemplos comunes de objetos que emiten radiación visible. En términos generales, la forma detallada del espectro de radiación térmica emitida por un cuerpo caliente, depende de la composición del mismo. Sin embargo, experimentalmente se encuentra que solo hav una clase de cuerpos que emiten espectros térmicos de características universales. Estos son los llamados cuerpos negros, es decir, cuerpos cuyas superficies absorben toda la radiación térmica que incide sobre ellos. El nombre resulla apropiado puesto que dichos cuerpos no reflejan luz v, por tanto, se ven negros. Un ejemplo de un (casi) cuerpo negro, sería cualquier objeto cubierto con una capa difusa de pigmento negro, como negro-bismuto o negroliumo. Más adelante se describió otro ejemplo bastante diferente. Independientemente de los detalles de su composición, lodos los cuerpos negros a la misma temperatura emiten radiación térmica con el mismo espectro. Este hecho general se puede entender en base a argumentos clásicos que implican el equilibrio termodinámico. Sin embargo, la forma específica del espectro no puede obtenerse solamente de argumentos termodinámicos. Las propiedades universales de la radiación emitida por cuerpos negros los hacen objeto de un interés teórico especial y los físicos siempre trataron de encontrar una explicación a las características específicas de su espectro. L i distribución espectral de la radiación de un cuerpo negro se especifica por la cantidad /?-!•(»’)» llamada radiancia espectral, definida tal que R r (v )d v e s igual a la energía emitida en forma de radiación con frecuencias en el intervalo entre v y v + dv de un área unitaria de la superficie a temperatura absoluta T y por unidad de tiempo. E 11 1899, Lummer y Pringsheim realizaron una de las primeras mediciones precisas de esta cantidad. Utilizaron un instrumento esencialmente similar a los espectrómetros de prisma utilizados para medir espectros ópticos, excepto que para los prismas, lentes, etc, se utilizaron materiales especiales, de manera que

* (1 0 MHz>

F I G U R A 1-1 Radiancia espectral de un cuerpo negro radiante como función de la frecuencia de radiación, para temperaturas de 1000°K y 2000°K del cuerpo radiante. Obsérvese que la frecuencia a la que ocurre la máxima radiancia (línea punteada), aumenta lineal­ mente conforme la temperatura aumenta y que la potencia total emitida, por metro cuadrado del cuerpo radiante (área bajo la c urva), aumenta muy rápidamente con la temperatura.

f u e r a n t ra n s p a r e n te s a la ra d ia c ió n térm ica de f r e c u e n c i a r e l a t i v a m e n t e b a ja . En la fig u ra 1-1 s«* in d ic a la d e p e n d e n c i a de R t ( v ) con ^ Y »’ q u e se o b s e r v a en los e x p e r im e n t o s .

Las funciones de distribución, de las cuales es un ejemplo, la radiancia espectral son muy comunes en física. Así por ejemplo, la función de distribución de velocidades de Maxwell (qu e se parece a una de las curvas de la figura 1-1) nos dice cómo se distribuyen las moléculas de un gas a presión y temperatura fijas, de acuerdo con su velocidad. Otra función de distribución, que probablemente el estudiante lia visto, es la que especifica el tiempo de decaimiento de núcleos radiactivos (que tiene la forma de una exponencial decreciente) en una muestra que contiene núcleos de una especie dada, y desde luego habrá visto la función de distribución correspondiente a las calificaciones obtenidas en un examen de física. La función de distribución para la radiancia espectral de un cuerpo negro de área dada y a una temperatura particular, sea 1000"Kde la figura 1-1, muestra que: (1) la potencia emitida por un intervalo de frecuencias pequeño dv, es pequeña si ese intervalo se encuentra a una frecuencia y muy pequeña comparada con I0 14 Hz. 1.a potencia es cero para y igual a cero. (2) 1.a potencia radiada en el intervalo dv aumenta rápidamente a medida que y aumenta, partiendo de valores muy pequeños. (3) Alcanza un máximo para un valor de y ~

1.1 X 10u Hz. Fs decir, la potencia radiada con mayor intensidad, ocurre a

esa frecuencia. (4) Por arriba de ~ 1. 1 X I O14 Hz, la potencia radiada disminuye lenta pero continuamente conforme v aumenta. Se vuelve cero una vez más, cuando y tiende a valores infinitamente grandes. Las dos funciones de distribución, correspondientes a las temperaturas de 1500°K y 2000°K, que aparecen en la figura, muestran que; (5) la frecuencia para la cual la potencia radiada ocurre con mayor intensidad, aumenta, conforme la temperatura aumenta. Por inspección de la figura se puede verificar que esta frecuencia aumenta linealmente con la temperatura. (6) La potencia total radiada, en todas las frecuencias, aumenta conforme la temperatura aumenta, pero más rápidamente que en forma lineal. La potencia total radiada a una temperatura particular, se obtiene sencillamente del área bajo la curva correspondiente a esa temperatura,

R j > (v ) d v ,ya que R j , ( v ) d i ' es la potencia radiada en el intervalo de

frecuencias comprendido entre v y v + dv.

La integral de la radiancia espectral R ^ (v ) sobie íoda v, es la energía total emitida de un cuerpo negro a temperatura T, por unidad de tiempo y por unidad de área. Se le llama la radianciaR y , es decir,

R T = j R T( v ) d v

( 1 - 1)

o Como se mencionó en el estudio relacionado con la figura 1-1,R T aumentaría rápidamente a medida que la temperatura aumenta. El resultado se conoce como ley de Stefan, y fue enunciada por primeia vez en 1879, en forma de una ecuación empírica: R t «= o T *

(1-2)

donde a =

5.67 x

1 0 - » W / m 2- ° K 4

es llamada constante de Stefan-Boltzmann. En la figura 1-1 también se muestra que el espectro se desplaza hacia frecuencias mayores a medida que T aumenta. Este resultado se conoce como ley del desplazamiento de W ien: (1 -3a) dondevm¿x es la frecuencia para la cual /?r (v)alcanza su valor máximo para una T particular. A medida que T aurpenta,vm¿x se desplaza hacia frecuencias mayores. Todos estos resultados concuerdan con las experiencias ya conocidas que se analizaron anteriormente, a saber; que la ra­ diación térmica emitida aumenta rápidamente con la temperatura, (la barra de fierro radía mucha más energía térmica a temperaturas más altas), y la frecuencia principal de la radiación también aumenta, conforme la temperatura aumenta (la barra cambia de color, de rojo opaco a blanco azuloso). Otro ejemplo de un cuerpo negro, que como se verá resulta particularmente importante, consiste en un objeto que contiene una cavidad y que se comunica con el exterior por medio de un pequeño agujero como se muestra en la figura 1-2. La radiación del exterior que incide sobre el igujero, penetra en la cavidad y se refleja hacia todos sentidos en las paredes de la cavidad, de modo que eventualmente se absorbe en estas paredes. Si el área del agujero es muy pequeña, comparada con el área de la superficie interna de la cavidad, la radiación reflejada hacia el exterior a través del agujero será despreciable. Esencialmente, toda la radiación que incide sobre el agujero será absorbida, por lo tanto, el agujero tendrá todas las propiedades de la superficie de un cuerpo negro. La mayoría de los cuerpos negros que se utilizan en los experimentos de laboratorio, se construyen a lo largo de estas líneas. supóngase que las paredes de la cavidad se calientan a una temperatura T, de modo que

F IG U R A 1-2 Cavidad en un cuerpo comunicada con el exterior por medio de un pequeño agujero. La radiación incidente sobre el agujero es absor­ bida completamente después de reflexiones sucesivas en las paredes internas de la cavidad. El agujero absorbe radiación como un cuerpo negro. En el proceso inverso, por medio del cual la radiación que sale por el agujero se constituye por contribuciones emitidas de la superficie interna, el agujero emite radiación como un cuerpo negro.

e m it irá n r a d ia c ió n té rm ic a q u e lle n a r á la c a v id a d . U n a p e q u e ñ a f r a c c ió n de esta r a d ia c ió n , q u e in c id a en el a g u j e r o , p a sa rá p o r él, y así el a g u j e r o a c t u a r á c o m o e m is o r de rad iación térm ica . C o m o el a g u j e r o de b e ten er las pr o p ie d a d e s de la s u p e r fi c ie de u n c u e r p o n e g r o , la ra d ia c ió n q u e em ite d e b e ten e r el e s p e c t ro de 1111 c u e r p o n e g r o ; sin e m b a r g o , c o m o el a g u j e r o s im p le m e n t e m u e s tr e a la ra d ia c ió n térm ica d e n t ro de la c a v id a d , r es u lta e v id e n t e q u e la r ad ia c ió n en la c a v id a d tam bién d e b e tener u n e spe c tro de c u e r p o n e g r o 1 D e h e c h o , d e b e tener un e sp e c t ro de cuerpo

n e g r o c a ra c te rís tic o de la t e m p e r a t u r a

T en las pa re de s, ya q u e ésta es la ú n ic a

t e m p e r a t u r a q u e se d e f i n e en el sistema. El e s p e c t ro e m itid o por el a g u j e r o en la c a v id a d , se e sp e c ific a en t é r m i n o s del flu jo de en erg ía R T ( v ) . S in e m b a r g o , re s u lta más útil e sp e c ific a r el e sp e c t ro de la r a d ia c i ó n d e n t r o de la c a v id a d , lla m a d a r a d i a c i ó n d e l a c a v i d a d , en t é r m i n o s di­ u n a d e n s i d a d d e e n e r g í a , P r ( v) > q u e se d e f i n e c o m o la e n e r g ía c o n t e n i d a en u n a u n i d a d de v o l u m e n de la c a v id a d a t e m p e ra t u r a T , en el i n t e rv a lo de f r e c u e n c i a e n tre v y V 4- d r . Es e v id e n t e q u e estas c a n t id a d e s d e b e n ser p r o p o r c i o n a le s e n tr e sí, es d e c ir,

P

t

( v)

R

t

( v)

(1 -4 )

P o r lo tan to, la r a d ia c i ó n d e n t r o de u n a c a v id a d c u y a s p a r e d e s están a te m p e ra t u r a T, tiene el m i s m o c a rá c te r q u e la r ad ia c ió n em itida pur la s u p e r fic ie de un c u e r p o n e g r o a t e m p e r a t u r a T. E x p e r i m e n t a l m e n t e , re s u lta c o n v e n ie n t e p r o d u c i r un e sp e c t ro de c u e r p o n e g r o , p o r m e d io d e u n a c a v id a d en u n c u e r p o c alien te c on un a g u j e r o h acia el e x t e r io r , y t e ó ric a m e n t e ta m b ié n es c o n v e n i e n t e e s t u d ia r la rad iación de un c u e r p o n e g r o , a n a liz a n d o la ra d ia c ió n de u na c a v id a d , ya q u e es p o s ib le a p lic a r a r g u m e n t o s m u y g e n e r a le s para p r e d e c ir las p r o p ie d a d e s de la r a d ia c ió n de u n a ca vid ad .

E je m p lo

1 -1 .

(a) Ya que V = c, la velocidad constante de la luz, la ley del desplazamiento de W ie n

(l - 3 a ), también se puede escribir como:

Airi^x 7’ = constante

(l-3 b )

donde Am¿x es la longitud de onda para la cual, a una temperatura T particular, la radiancia espectral alcanza su valor máximo. El valor determinado experimentalmente para la constante de W ie n es 2.808 X 10-3 m - ° K . S i se supone que las superficies de las estrellas se comportan como cuerpos negros, se puede obtener una buena estimación de su temperatura, midiendo ^má.v Para el sol, Am¿x = 510 0 Á , mieniras que para la estrella polar