Exerciții și probleme de ecuații diferențiale și integrale

Citation preview

-

'

I

\

Eliferie Rogai

Exercitii--· ,

\

si , -

probleme de ecuaţii . \

diferenţiale ·

si ,

integrale '

Editura

tehnic'ă

Bu~ureşti-1965

'

- '

li

-

-

-,

Lucrarea cuprinde exerciţii şi probleme din domeniul ecuaţiilor dlferenţiale ordinar';, al ecuaţiilor cu derivate parţiale de primul ordin şi al ecuaţiilor integrale liniare. Prin conţinutul lor, exerciţiile şi problemele prezentate llustreazA. modul ln care se pot obţine asemenea ecuaţii, metodele cele mai cunoscute pentru rezolvarea lor şi a problemelor ce se pun pentru ele, aplicaţiile importante pe care le au aceste ecuaţii tn ştiinţâ şi tehnicii. · Fiecare paragraf sau capitol este precedat de un breviar tn care slnt indicate formulele şi metodele de rezolvare pentru exerciţiile din paragraful sau capitolul respectiv. Pentru toate exerciţiile şi problemele diu această culegere slnt date fie rezolvările ln lntregime, fie unele indicaţii cum şi rezultatele corespunzătoare .. Interesează pe p,ractlţ.ieni, ~e nes~ecialiştil în domeniu, care în activitatea sau pregătirea lor au de rezolvat ecuaţii diferenţiale şi integrale de tipul celor consider~te în lucrare, respectiv urmează cursuri de teoria ecuaţiilor difetenţiale şi integrale: fizicienii, mecanicienii, inginerii, studenţii facultiiţllor de fizică, ai institutelor tehnice, pedagogice, de la cursurile de zi şi fârli frecvenţă, şi pe toţi cei care vor să-şi lărgească orizontul lor ştiinţific, prin studierea acestui minunat instrument de cercetare, pe care-l reprezintA. ecuaţiile diferenţiale şi integrale.

ilc,tnctor responsabil: LINA TICOS Tehnoredactor: ELENA GERU Dat la cuZea 26.12.1964: Bun de tivar 18.06.1966: .A.vărut 1966 Tiraj 6000+160; LtWAte: Bfrtie sesnivelind de 68 '1/m 2 • 700xl000/16 Coii edUoriale 27.96: Coli de tivar 29 A. 20332 11964 C. z. ve,,tru •bibliotecile mari 617.2/,3(016) C. z. ventru bibUoh;l'ile mici 517

Tiparul executnt la Intreprinderea Pollirrafld „Informatta•• Str. Drezolanu. 23,...25 - lJucureştl - R. P. R.

1

Prefaţă

Prin rolul important p-e care îl joacă în formulare~ ma~matică a wcale între mărimi caracteristice pentru fenomene fizice, mecanice, astronomice, biologice ca şi · pentru numeroase proprietăţi geometrice locale, ecuaţiile diferenţiale ordin:are Bau cu deri'Vate parţiale se înscriu printre_ instrumentele matematice cele mai fine ş.i . mai f ecwnde. Pme în mîiniZe fizicienilor, mecanicienilor, inginerilor şi altor ~pecialişti din variate dom,enii ale ştiinţei şi tehnicii ele devin efCtrem de. eficace în rezolvarea multor probleme esenţiale. Ele constituie în egală măsură mijloace efCtrem ~ ascuţite şi de pătrunzătoare în Blujba matematicienilor P.!Yittru care constituie în acelaşi ti'IYJ,p o sursă inepuizabilă de proprietăţi revelatoare de direcţii noi şi fru O, he [O, oo] •

(3)

Legea (2) sau(3) ne arată că Za o creştere în progresie artitmetioă a ·înitlţimii, corespunde o descreştere în progresie geometricii, a presiunii atmosferice. 4. Să se afle expresia matematică a legii de dezintegrare. a substan,ţelor radioactive. 11 ·

R. N otind cu .m (t) masa elementl!].ui radioactiv ewistentă la, momentul şi ex.primind analitic legea de dezintegrare radioactivă care afirmă, că, vi teza de transformare radioactivă, la un moment dat t, este proporţională, cu cantitatea de substanţă existentă la acel moment, avem ·

t, cum (t) - dm (t) cea de la momentul t +dt

(m - dm) :_ m (t + dl) - t

=

im(t)

dm

(1)

-m· =-Mt,

sau

unde i este constanta de dezintegrare radioactivă. în termeni finiţi, legea (1), cea ciuta.tă, se scrie ln m = - i t + O, (m > O), m = e0 • e-'J..t sau pi = m 0 e-).t, m 0 = e0 > O, te [O, oo]). (2) Legea (1) respectiv (2) ne arată că, la o creştere în progresie aritmetică a timpului corespunde o descreştere în progresie geometrică a numă1·ului de atomi existenţi într-o substanţă 1radioacti'Vă. Ecuaţia dy = - ky dt descrie şi alte fenomene fizice şi chimice. · 5. Să se afle ecuaţia diferenţială, care descrie variaţia curentului _. I (i) în circuitul arătat în fig. I.2, la conectarea sursei de tensiune E. B. Cu notaţiile din figur~, legea intîi a lui Kirchhoff ne dă I = IL + 10 , (1)

~ ~l0 dt,

E = rlc+

iar cea de a doua

E

= RI. +L "

E

C

(2)

dh ·

(3)

dl

Pentru a determina ecuaţia pe care o verifică, I. (t), va trebui pe IL şi 1 0 între (1), (2) şi ,(3).

L

Avem

· ( oui =dl, tlt

JL =

Ic = I - IL , rO (Î - ii) + I - I L L • I R 1'

Fig. I.2.

+L . u

E =· R

Din (2') şi (3') scoatem pe 1L j _ CrRI +

·

...

dl,i_·)

dt

iJ

=

O,

(1') (2') (3')

(4)

Rl - E rRC - L

~ -

diferenţială să eliminăm

Derivînd pe (3') şi înlocuindpeÎLdat de (4)şipeILdattotde{4), rezultă _ O. n

R. Conform

enunţului

trebuie

să

avem

\:n 11 (a:) da: = .=J!... •

.o

.. Prin derivai-ea lui (1),

(1) '

n

rezultă

imediat xy'+ y n

y =---,

care este ecuaţia diferenţială, a curbelor căutate. 8. Să se determine ecuaţia diferenţială a, curbelor pentru care segmentul de normală cuprins între punctul curent al curbei şi punctul de. intersecţie al normalei cu Ox este constant. R. Ec-q.aţia normalei la curbă !I în M (x, y) este Y - 11

= - -y'1

(X - x) ,

X, Y fiind coordcyiatele punctului curent P de pe normală (fig. I. 3 ). N va avea coordonatele: X== = y y' +ro; Y = O. Scriind că MN 2 = a2 , obţinem ecuaţia, dife-

renţială căutată

(yy' +a:_ y)2

+ 112 = a2

Fig. 1.3.

sau y2 y'2 + y2 = a2 • 9. Să,. se afle ecuaţia, diferenţială a, curbelor care au proprietatea eă segmentul de tangentă, interceptat de axe are mijlocul în punctul de tangenţă.

tangentei la curbă este ' y - y = y' (X - a:) ' (X, Y) fiind punctul curent de pe ~angentă, iar (x, y) punctul curent de R.

.

I

pe

Ecuaţia

curbă,.

13

-r .

/

Coordonatele punctelor de· intersecţie ale tangentei cu axele sînt A ( X . m-

O6nform

O), B (X= O; Y = y - my').

:, , .y

enunţului

să

trebuie

x-..J!.._ y' ro=---, 2

de aici

obţinem

care este 10. Ia Oro. R.

roy' + y =O, diferenţială a curbelor căutate.

se afle

Ecuaţia

y - xy' 2

y=---,,

imediat

ecuaţia Să,

avem

ecuaţia diferenţială

a cercurilor tangente în origine

cercurilor din plan este

(1)

ro 2 +y 2 +mroŢny+p=O.

Ele trecînd prin origine, p = O; deoarece tangenta în origine, este axa Oro, dreapta de ecuaţie mro+ny=0 va trebui să se reducă la axa Orc, y = O; de aici rezultă m = O. Deci {1) devine w2 +y 2 +ny=O sau x• + y2 n=---·

{2)

y

Derivind (2) rezultă imediat ecuaţia diferenţială căutată. 1

(2ro + 2yy') y - y' (m 2

+. y2 ) = O sau ·y' (y 2 - ro2 ) + 2my = O.

•

se afle ecuaţia. diferenţială, a elipselor homofocale, avind ' distanţa focală FF' = 2c. Rt a şi b fiind _semiaxele elipselor, avem b2 = a 2 - o2 , iar ecuaţia, elipselor devine

11.

Să

:z:2

y'I.

as

a2 - c2

-+-·--=1;

acum urm,ează prin derivare

să eliminăm

-

sa:u

(a 2

x

as

2

pe a între (1)

şi relaţia obţinută

din

{ţ.)

+ - uu· -=0 a2-c2

c2 ) ro

a {ro . 14:

(1)

+ yy' a

2

+ yy') = o

2

= ·O ,

(2)

a:~

(3)

.

.,,

I

Din (3) şi (2) scoatem.pe a 2 şi ·a2 · c2 x

a2 = - -

X+

yy'

şi

-

' a 2 -o2

02:

c2 yy'

=----, [x+ yy'

.cu care (1) dţvine a:yy'2 + y' ((/)2 _ y2 _ 02) _ (1)1J =o, . . care este ecuaw.a diferenţială, că,utată,. 12~ Să, se afle ecuaţia diferenţială, a conicelor care au axele Oai şi Oy ca axe de simetrie. · · R. Scriind că, ecuaţia conicelor f((J), '!/) .Aa:2 + 2B(J)y + Oy 2 + 2D(J) +' 2Ey + F = O (1) verifică, condiţiile de simetrie din enunţ,/((/), y) = f (- a:, y) şi / {(/), y) = =f(a:, - y), rezultă, B = D = E = O. îm.pă,rţind cu F 'în (1) şi 'notînd a - .; , o= ~, avem

=

a(J)2 Acum asociem l:ui (2)

+ oy2_+ 1 = O•

(2)

ecuaţiile

aa: + oyy' = O , a+ o(y' 2 + yy") _

O,

(3) (4)

obţinute din (2) prin două, derivă,ri succesive în raport cu a:. Eliroîoîod apoi parametrii a şi o între (2), (3) şi (4), rezultă, ecuaţia, diferenţială căutată a:yy" + (J)'Jj'2 - 'JJ'JJ' = o.

13. Să se afle ecuaţia diferenţială a hiperbolelor care trec prin origine care au asimptotele paralele cu axele de coordonate.. R. Pentru conicele .Aro2 + 2 B(J)y + Oy2 + 2 Da: + 2 Ey + F = O, coeficienţii unghiulari ai asimptotelor sînt rădăcinile ecuaţiei în m Om2 + 2 Bm + .A = O. (1) Pentru ca această, ecuaţie să admită r~ălcinile m = O (direcţia axei Oa:) şim = oo_(direcţia axei Oy), trebuie ca O ~ .A = O. Condiţia, ca hiperbolele să treacă prin origine, impune F =0. Deci ecuaţia lor se poate scrie astfel _ ' (/)'J/ +da;+ ey = O. (2) Urmează să eliminăm pe d şi ·e între (2) şi ecuaţiile 'JJ + a:y' + d + ey' = o, 2y' + (J)y" + ey" = O. (3). ,jl (2) şi (3) formează un sistem de-trei ecuaţii liniare cu două necunoscute, iar condiţia de compatibilitate · a;y a; 'Y I (J)y' +. y 1 . y' = O sau (J)YY._" - 2(J)y' 2 + 2yy' = O 11 (/)'J/ + 2y' O y" ne dă,· ecuaţia, c:Jµerenţială a hiperbolelor din enunţ. şi

, .... '

15

14. Să se afle ecuaţia diferenţială a conicelor tangente în origine la axa Oy şi care au centrele pe 0(1). .· R. .Ecuaţia generală, a conicelor este f((J), y) .Am2 + 2Bmy + Oy2 + 2D(J) + 2Ey + F =O. Ourbele trecînd -.prin origine, rezultă F == ~O ; apoi 2 Dm + 2 Ey trebuind ·să coincidă cu partea stingă a, ecuaţiei axei Oy, (1) = O, rezultă, . E=O. Aşadaţ ecuaţia conicelor căutate este .Am2 + 2 B(J)y + Oy 2 + 2 Da;= ·o. (1)

=

Coordona.tele centrului conicelor," Xo ·

ecuaţiile

1

şi y 0

1

,

=

O, trebuie să verifice ·

2 Jrto = Â(J)o + Byo +D = O, 2 fvo = Broo + ~Yo = Deci B = O. , ' Ou B = O şi D =I= o, ecuaţia, (1) se poate scrie aa: 2 Urmează relaţii

acum

+ cy + 2m =

să eliminăm

2

O.

O•

parametrii a şi o între (2)

(2) şi următoarele

am + oyy' + 1 = O a+ o(y' 2 +,yy") . 0

(3) (4)

obţinute

· două,

din (2) prin două derivări succesive în raport cum. Scriind că sistemul format de (2), (3) şi (4) de trei ecuaţii liniare cu necunoscute este compatibil, obţinem ecuaţia diferenţială, căutată m2 y2 2m m yy' 1 = O sau (1)2 yy" + (my' - y) 2 = O. 2 1 y~ +yy" o

15. Să se formeze ecuaţiile diferenţiale ale familiilor. de curbe: 1.

2.

1'• 1.

y y

= =

0(1)3 + (1)4 sin m. Osin 2(1) + sin3 m.

3•

_ 2C + 3x9. 'U - 2Cx+ x3

·

Rezolvăm ecuaţia dată în raport cu constanta O (m =/= O),

O=

Y- x4sinx x3

şi deriv~m această relaţie în raport cu ~ ; obţinem ecuaţia diferenţială , my' - 3y = m4 sin (1). + ari cos m; 2. Procedăm la. fel şi găsim y' - 2 cotg·2 m• y = - 2 cotg 2m• sin3 m + 3 sin2 ro cos m;

3. ,,

.

16

Procedăm

analog şi avem aJ'l•y' + m2 y2 - 3my + 3 =O; (y = y(m) ec1 ).

-

_·!·'

·18.

Să

ale familiilor ·de curbe:

+.

= =

0 1 cos 2w 0 2 sin 2w, 01, 0 2 parametri. A sin ( eut + 'P ), A şi 'P parametri. . 0 1 er. + ..Oa (l)fr + O3 , 01 , 0 2 şi O3 parametri.

1. y 2 • .Y 3. y

. R. 1.

ecua,ţiile diferenţiale

se formeze

Derivăm

pe 'I/ de

=, 'JJ". = y'

două

ori ·

+ +

201 sin 2w 202 cos.2w, 4( 01 COS 2a; 02 Sll,l 2lD).-

. Rezultă imediat ecuaţia diferenţială căutată y" = ~ 4y sa,u y" + 4y ·=O;. cu y (a;) .funcţie q.e clasa 2.

Procedăm '!}

analog

11 :--

(!2,

şi găsim:.

eu 2 'J/ SaU '!}

-

/

11

+ 6:)2 'J/ = 0;. '!J (ro) E 0 2•

Derivăm

•

pe 'I/ de trei ori y' = ·01 er + 0 2 (er ~ea:), y" = {!1 er» 02 (2er + wez), y'" = 01 ~ + 0 2 (3~ + wez) , . şi ~Jiro_inîod între aceste relaţii pe .0 1 şi 0 2 obţinem _ 3.

+

+.

y"~ - 2y!~

+

= _o,

y'

~

.

-

y (ro) fii~d f~cţie de c~asae-03•

l'J

'

··,

,.-·•

17.

Să

~e afle ecuaţiile

1. (y . 2

~

= 2 y =

•Y

3.

J,l. 1.

0) 2 -:--

şi

+

ale familiilor de curbe . (1):

0) 3 •

{2)

•

O) (w ~ 20) 2 •

(a; -

Derivăm

Din (1)

(w

+ C) + C)

3 sin ( x cos8 (x

diferenţiale

(l) şi avem 2 (y - O) y'

(3)

=

3 (a;+ 0) 2•

(4)

rezultă,·

(4)

.y- C 2y'

= x +C 3

• •• () _

.

~

( 5)

Sy _- 2xy' 3 + 2y'

lnlocu.iil~ pe O dat de (5) în (4), găsim ecuaţia diferenţială căutată (

32

2 )3 ( 2 ') y' ' + 3 y =

(1)

ţ

:y .

2; Scriem· pe .y astfel y

=

3 tg

(w

+ O)Jl + tg

2

(ro+ O)]

. şi-l 'derivăm în- raport cu a; y' = 3 (1 + tg2 (w +O))+ 9t~2 (a;+ O) [1 + tg2 (m + O)].

(6) ~

(7)

.. ..

2 - C. 5208

17·

'

"~ .

Dacă

'

avem în vedere (2), Y

sau

I

~~laţia

(7) se scrie

= .tg (xU+ C) + 3ytg (a: + o)

+

3y tg2 (a: O) - y' tg (m . + Ol. + y = o • 2 Scoatem din (8) P,0 ~g {a:+ O) şi-l înlocuim în (6); avem

'(8)

'

~

'Y

=

+ O) [ 1 + y' tg(x + C) - y] ·

3 ·tg (a, .

.

3y

se scrie· şi astfel y' tg {a,+ O)+ 2ytg (a:+ O) - '/1 2 = o. Din {8) şi (9) aflăm p~ tg2 {a:+ O) şi tg (a: + O). Scriem apoi că, tg2 {a: + O) = [tg {a: + 0)] 2 şi ·găsim

Această, relaţie

2

(9)

I -:a J2 -----.-y

1

-y' 2y

yS

3 :,

I

(6y2

+ y'2)S

sau y'3 - 3y'2 - 9y4 - 12y2

=

o ·,

care este· ecuaţia diferenţială, a curbelor date. 3. Derivăm pe {3) şi găsim··

=

2y'f)'

Din {3)

şi

{a, - 20) 2

+ 2(a, -

(10)

O) (a, - 20) •.

{10) deducem ...!L (3m - 40) 2if

=

(a: -

(11)

O) (a: - 20). ·

·

- Scriind re~aţiile (3) şi {11) astfel y 2 = a,3 - 50fl?2 + 802 m - 403 .JL (3ro - 40> y'

= 2m2 -:- 6ow + 402

(3')

{11') .·

pe O între {3') şi (11'). înmulţim (11') cu O şi adunăm cu (3'); rezultă,

urmează să eliminăm

y 2 y'

+ 3 0a,y

_ a,3 y'

~ 30a,2 y'

Acwn ·înmulţim (11') cu -

xy' ;

+ a,2 yy' -

6:i;y2

2y2'y 1 2

2

Y

+ 202 {flJy' + 2y).

(12)

şi a4u.năt~ -cu (12); avem

= 20 (a,yy'

- ~y2).

De aici scoatem pe O,

o=

2yS y'2 + :,;2 yy' - 6zyS ' 2 (xyy' - 4y2)

respec'tiv pe 20 _şi-i înlocuim în (10). Obţinem astfel ecuaţia diferenţială 4yy' 3 - 2a,2 y' 2 t 4xyy' a:3 - 16 y 2 = O.

+

18.

.

.

1.2.. Probleme simple privind ecuaţiile diferenţiale. Problema lui Cauchy . Determi~area soluţiei problemei lui Cauchy pentru 'ecuaţia diferenţială (IV) cu condiţia = ilo, ·(x0 , uo> ED, se face astfel. · Înlocuim pe x cu x 0 şi pe y cu y0 tn expresia soluţiei generale (V); obţinem y0 == . = g (x0, C). De aici deducem (tn ipoteze corespunzătoare) C == G (x0, y0) = C0 şi a~tfcl soluţia. particulară ciiutatli va fi y = g (x, C0). . . • ' • U (Zc,)

18. Să se verifice dacă fun~ţi.ile (d~ clase corespunzătoare şi definite pe intervale corespunzătoare) scrise în dreptul următoarelor ecuaţii dife-.• renţi.ale sint sau nu soluţii ale acestora: 1. (J}'!J' = 2y; 'y' = 5a,2• 2.

=

y'2 .

+ '!/2;

(1)2

.~ •

'!J

X

3. ·(a:+ y) d(J) + (J)dy = O; a,2 + 2a:y = O. 4. y" + 9y =.O; y = sin 3m 2 cos 3a: • 5. y" ~ 2y' + y = O; '!J = eai; y = me=; y = ro2 rr. 6. 2yy"-1l2 =0; y~(w+2) 2 •

+

7.

+ a,2 y' - 1 = o; 'Y = .!.. + 1n (J) • 1 1 . · y .= (J)y'· + - ; y = ~a, + - ; y = 4w • · . Y' · 2 ..

a,3

y"

I

8.

X

•

2

9.. (x 2 - y) da:+ ro dy =O; y 4y . O•, 'U 10. a;2y" + 5 vi'+ :, 11.

+ Y = e-11:;

y'" ·

-

+0 12. 13.

y~ 3

15~

3

-

Om - m2 •

=

1 C2 2 lh l,xl -C-+ -x -- .

(01 + !.) + 0e"~ cos .xVa +

= e-~

2

3

2

. xVa

e2 sm--· 2 . 3y'2 a V1

-

9y'- -12y2

= O;

eG:d

y

+ e-a=

= 3t (1 + t2);

ro= arctgt.

+ y' y --:-----+ O. 2a . . _ y'2 _ (l)y' + y = 0 ; y = a,2. 4 . Dacă. Jn (z) est~ o snl~1.ţie a ecuaţiei lui Bessel B(w)= z w" + zw' + (z2 - n 2 )w =O, y'' 1

14.

~

y.

=

=

.

2

;.

.

2

şi

atunci

w (z)

= OJn (z) f

este soluţie. este

R. 1. Avem y' .

soluţie.

·2. ·Avem y' -=

.

.

-

~

'zJn(z)

+ DJn {z),

·

= 10m _.!.._ ~i x2

O, D

· şi ecuaţia

devine 10ro2

ecuaţia se scrie ..i... = . x'·

w2

= constante,

=10w

deci 5a:2

+_x2 .±...,

ceea~e este

2;

.

imposibil; astfel ~·nu este· soluţie a ecuaţiei diferenţiale date. '

X

.

19

3. Diferenţiind. pe a/I• +-~_a,y = O, 2mda, + 2ydro + 2rody = obţinem tocmai ecuaţia diferenţială, datit. Deci .y = c - x' este soluţie. .

4.

şi

2x

·

ori y,' = 3 cos-3m - 6 sin 3ro, y'' = - 9:·sin 3a, - 18 cos 3m înlocuim. derivata a, doua şi funcţia y(m) în ecuaţie 1 - 9 sin 3:.v - 18 cos 3:.v + 9. sin 3 m + 18 cos 3:.v --:- O. Re~ultă, că sin 3m 2 cos 3ro esţe ·soluţie. Derivăm

pe y de

o,

două,

+

5. Calculind .derivatele lui- e= identitatea 2ee

e= -

şi

ecuaţie,

înlocuindu-le în

rezultă,

+ e"' = o;

deci ce este soluţie. . . - La fel se găseşte ·că şi a: e-» este soluţie. - FoJosind aceeaşi cale, se arată că a,2 e= nu este soluţie. . . ' 6. Calculăm pe y' şi y" (y' = 2 (a:+ 2), y'' = 2) şi le înlocuim. · împreună, cu funcţia în ecuaţie; găsim o identitate. Deci funcţia respectivă este soluţie. ' · 7. Derivăm pe y de două ori şi înlocuim pe y, y', y'' în ecuaţie. Reo identitate care ne arată că funcţia considerată este soluţie;

zultă

'

8. Pentru prima funcţie, y' ==. 2 şi .ecuaţia devine o identitate; aşadar 2:.v + .!.. este soluţie. . .2 . . Pentru a doua obţinem acelaşi rezultat. 9. Calculăm diferenţiala lui y şi o inlocu.ţm în ecuaţie. ţvem dy . (O_-· 2ro) da:, (ro2 - Oa: +. a:2 ) da: Oro - 2ro2) da:··_ O:. 2 Aşadar y = Oa: - ro este _solu~e a ecuaţiei diferenţiale considerate.

+(

10. Calculăm pe. y' şi ·y' = _

=

6C1

~

x' ~q1 _ _

z2

5C2

+

x2

Deci

2

2

x'

x'

6CLlnla:•J- 10C1 x2 . z2

funcţia res:pectivă

+ !2 ~ 2C2 ln I x I • x3 x3 ' 3C + 6C ln I x I _ ~~ •
O dacă y > O), curbele integrale· aflate sµb axa Oa: vor avea concavitatea îndreptată către y-cii negativi (concave), iar cele de deasupra axei O(IJvor avea concavitatea ·îndreptată către y-cii pozitivi (convexe). In fig. ·I.6 sînt redate isoclinele 11' = .!.., 1, 4, 9 pentru m> O şi

faţă,

4

.

curba ·integJ"ală. ce trec~ prin P (1, -1) .. 4. Pentru curbele· ce a,µ ordonatele pozitive, y' > O cînd a:e ( ~oo, O) şi y' < O cind a,e (O, +oo). Deci ordonatele curbelor sînt crescătoare la st~ga;' axei Oy şi descrescătoare la dr~apta aceleiaşi axe. Pentru a: = O ( y =I= O), y' = O; dec{ axa Oy reprezintă locul geometric al punctelor în care curbele integrale prezintă maxime (vezi şi -expresia deriva.tei secunde). In originea O (O, O) cipipul nu este definit. Derivata a doua, . · 2y (3:· - u> (3: + u> (S:1:2 + u'> g~' = 0) şi Clll".ba integrală, ce trece prin (O, 2).0 ·analiză similară, ·trebuie făcută şi pentru curbele ce _au '!/

y"

O cÎţl.d

Deci pe ramur~ curbei y = - x 3 care separă regiunile II şi III vor putea exista maxime, iar pe cea care desparte regiunile I şi IV minime · . pentru unele curbe integrale (fig. I.8 ). .Altele vor putea trece din regiunea III, prin origine, în regiunea I, crescind mereu, fără a avea maxime,şi minime (curba punctată). 6. ,Curbele isocline sint parabolele x 2 +3y

-~-. =m. X

Isoclina x' +

3

Y

=

O (pentru

m= O)

împarte planul xOy în patru .

X

re~uni în care y' are urm~toarele semne: I. în regiunea dintre ramura OM şi semiaxa y-cilor negativi y' < ff; consecinţă: aici curbele integrale sint descrescătoare. 1

26

, II. .în regiunea, cuprinsă, între ramura, OM' şi sem:ia,xa, y-cilor nega,- · y' >O; curbele integra,le sînt crescătoa,re. , · III. în regiunea dintre Oy şi OM', y' < O; curbele sînt_·descrescă.toare. · IV.· tn regiunea dintre Oy şi OM, y' >O; curbele sînt crescă,toare.

ţiv:i

Fig. 1.8.

tn ·acelaşi 0

timp, isoclina, ro2

+ 3y = O

(6)

este locul punctelor de extrem ale curbelqr integrale. C~lculind pe y" şi punînd condiţia, y" = o, obţinem locul punctelor · de inflexiune ale curbe}or integrale 2ro 2

0

•.

+ 3y =

O•

(7)

Parabolele (6) şi (7) sînt reprezentate în fig. I.9, a. In interiorul parabolei (7), curbele integrale sînt concave, iar în extcµior convexe. .. Punctul prin oare trece curba · al cărui grafic ni se cere să~1 figurăm , ' se află, în interiorul parabolelor (6) şi (7). Deci, pînă, în origine, curba căutată. va fi monoton crescătoare. Din origin~, ordonatele ei vor începe să descrească, curba, îşi va, schimba, con-. 27

cavitatea cînd_ va intersecta parabola {7) în_ I, apoi va atinge un minim relativ pe (6) in M şi va tinde către + oo ,· în afara :p_arabolei (6), -cî.nd•· a;-:,.

+

00.

!I

a .

b Fig. J.9

Pînă în 1, y" < O şi curba este concavă; din I mat-departe y" > O curba este convexă (în sus). Graficul .curbei integrale ce trece prin (-1, -2) este redat în fig. 1.9, b. şi

o

. ,.

2

Ecuaţii diferenţiale­

de ordinul înfîi formă normală

sub 2.1.

Ecu.aţii diferenţiale

de forma y'

= f(a:)

t,

1.

Ecuaţia

dlferenţială Y'

. are

soluţia_ genţrală

· y(x)

~

=

((x), CU f(:») E CO(J),

=l f(x)dx + C J.

sau y(x)

fn· domeniul xe I, l°YI < + oo; x0 E (. 2. Soluţia problemei lui Cauchy pentru y(x)

3. Formula ·(III) ne

arată că

=

Yo

r~

~

.f(x)dx

+~

(II) .

ecuaţia

+ \Q:

y (x) este

=

. (I) .

(I) cu valorile,

iniţiale

x 0 , y0 este

f(x~ dx.

• Zo . o funcţie

~~~-~

(III)

de clasa C1 aut ln raport cu z, cit

.

. 4. Soluţii singulare. Dacă f (x) este continuă ln /, excepţie făclnd punctul x = ce I, ln care~ oo clnd x ~ c, formula (II) dă soluţia ecuaţiei diferenţiale ln fiecare din intervalele (a, c) şi (c, b), tn care f (x) este continuă. 5. Dreapta. de e_cuaţie x = c este soluţie a ecuaţiei .

clx =-1_, dy f(x)

(Dl)

Astfel de soluţii pot fi soluţii singulare. 6. x = c este soluţie singulară dacă tn oricţ punct al dreptei x

'IP·

lui Cauchy nu este

unică

[x

=

c

este

_lnftlş_urdtoarţ a familiei de curbe

=

c

(II);

soluţia

\c:

problemei

f (x) clx c con-

• • :to

vergentâ]. . 7. Dreapta x este

conservată. tn

x0 , atunci fiecare curbă integrală a ecuaţiei diferenţiale (/) are în 'punctul x = x 0 un punct de inflexiune, iar linia dreaptă -de ecuaţie x = x0 va reprezenta o linie dreaptă de puncte de inflexiune ale c~rbelor integrale, soluţii ale ecuaţiei diferenţiale (/). · Să se integreze ecuaţiile diferenţiale şi, în cazurile specificate, se rezolve problema lui Oauchy cu condiţiile iniţiale date: ·

23. 1. y'

= I ro I .

să

5 • y ' = -1- · f:z:2-4

1· 2. y ' = X

1 =--· :z:2_ 1

3. y ' I'•

4• y

I

,

=

2 (x - 1)2 ;

7 • y ' =. ..

1

'

,

roo

= .O' .Yo = -- 1.·.

1

8. y = - -

.

V9-x2

Vx +x 2

> o, pentru: orice ro e R. Deci funcţiile care

R. 1. Se observă, că y' reprezintă soluţiile· ecuaţiei vor

fi

crescătoare.

~

Deoarece

y"

= ± 1,

după, cum ro ~ o, rezultă că în intervalul ( - oo, O) curbele integrale vor fi concave, în (O, + oo) convexe, iar pe axa, Oy vor prezenta, puncte de inflexiune. · Dacă ro > o, .

y = a: • • 'Y = -:z:22.- + o, . , I

iar

dacă

x


O şi soluţia, este o funcţie strict crescătoare. Deoarece y' =I= o, curbele integrale nu vor avea,, valori extreme. y'

30

< ()

_y

11

se

calcule~ză,

deci soluţiile . avea pm;ict~ y{:.v) •

imediat, y

11

.

1

. - -;; ,

şi

·

se vede

că

y"

< O; , -

ecuaţiei

diferenpiale vor fi tuncţii concave şi nu vor de inflexiune. Soluţia generală se obţine imediat. -

= 1n I :.v 1-f- 0 1 sau a:=Oeu,

O=± e- 0 1~I (1) . •

Din soluţia generală (1) se deduce că·w = O este asimptotă a curbelor integrale. Tot de aici · rezultă, că :.v == O este o soluţie~ {particulară,) a ecuaţiei dx = :.v (O= O), :.v ·{y) fiind funcţia nedy

.

· În fig. II. 2 am trasat graficele curbelor integrale

cunoscută.

Y = In I :.v I, y = 1n I :.v I + 1, y = In.J :.v I - 1. 3. Deriv.ata y' este definită, şi continuă în R - {- I, l}; y'>0-pentru :.ve (- co ,-1) U U (1, + oo), intervale în care soluţiile ecuaFig. 11.1. ţiilor diferenţiale sînt funcţii strict ~rescă­ toare, respectiv y'

O în(--~, ·-1)

U (-1,0),

Y'

Flg. II.2.

31

unde curbele integrale sînt convexe, respectiv y" Oîn (O, + 3) şi ele vor fi convexe. Axa Oy (m = O) este o linie de puncte de inflexiunţ. Soluţia generală a ecuaţiei este ·Y = arcsin.!!_ ' 3

Dreptele x = - 3

+ a, . I=-1 3


O şi soluţiile sînt funcţii convexe, . . ' iar în (Q, + oo) y" < o, ele fiind concave. · · . Pentru a calcula soluţi~ generală facem schimbarea de variabilă, ro(m 1) = a,'?t'2• ·

Obţinem: Y+ a

+

1n

I:~ : I sa.u y + a = 1n I 2a: + 1 + 2V

iv'

Soluţiile ro- · O· şi ro= - 1 ale ecuaţiei .

şi \V dx )a:o r xz+x . a:o xz+x 0

w şînt soluţii

= Va,2 +

1

_singul~e, deoarece C 1~~x .

dx dy

sînt convergente. .

+ a: I.

Soluţiile

s~-

gulare rezultă pentru O = - y. . 24. p conductă -termică are diametrul 10 cm şi este izolată cu un strat cilindric de 10 cm grosime. Temperatura conductei este 160°0, iar temperatura mediului exterior 30°0. ' . i. ·Oare este· legea de variaţie staţionară a temperaturii în interiorul stratului izolant! · . · . ii~ oe· cantitate de căldură cedează fiecare metru de conductă în 24. ore! r.:l! ... u · Se dă coeficientul de transmisie a căldurii k = 0,00017 cal/grad •cm •s B. i." Dacă notăm cu B(r) aria unui cilindru de rază re (10, ·20) şi înălţime Z, cu T(r) ,temperatura pe suprafaţa acestui cilindru. şi cu Q . cantitatea de căldură ·cedată în unitatea de· timp, în ~egim staţionar, avem, după,. legea, lui Fourier (fig. II. 5), ~

.

dT

-kB(r)dr

J0°C

=Q=

const.

(1)

= 2 7tfZ,· (1).devine • . . dT = - - - •-~ ; deci legea căutată este 2 1t kl r Cum 8 (r) Q

T(r) Fig. II.5.

d

=

· .

O-

_Q__ lnr. 2 1t kl

(2}

Pentru a· determina pe· .O şi· pe _Q_, folosim condiţiile: 1. pentru r

= 10

cm, T

:;=

1_60°0

· 2 r. kl · şi avem

160°·= O _·_Q_lnlO. 2 1t kl

(3,)_

·' 0

2. pentru. r

-=- 20

cm, T - 30°0 şi relaţia, (-2) ne dă. 30° = 160~ _ _ Q_ ln 2.

. (4)

·2 1t kl

Din (3)

şi

(4), găsim O _ -iaO

+ 130 Jn2 ln 10 • Q 130 Şl21tkl = ln2.

-

·

DeciLT(r)

r = 160°. ~ -180° ln-· . ln2 10.

Înlocuind· valorile nlllilerice m· (5), găsim Q_ ~ 20 cal/s. ii. Pentru a, determin.a,· cantitatea, de căldură· cedată de fiecare metru liniar de conductă în 24 ore, scriem q = Q. 24 11 ~ 1-728 kca,I.

2.2. Ecuaţii dife1·enţiale ce

mi _conţin

1: Ecuaţia difere~ţialâ ~pentru y = y (x)). y'

respec~iv (pentru. x

=

generală

=

· C .=

~. dy

X=

(t1

C . . .· / • tlo

problemei lui Cauchy · cu datele

şi f (y) =/=-0,

(I')

.

' 'w : :

! : ~; ·. C:.

=, ~:--

+

-_-sau x

. / f (y) _!µ domeniul y-E J, I x·t< + oo; y0 e J. Soluţia

(I)

dy., cu f(y) E C0(J), J = [c, d] f(y) . . ' . · z.+

2.

·

= f (y),

x (y))

. dx

arc integrala

variabila .independ~ntă .

iniţiale . .i0 ,

dy

•

(II}

f (y)

. y 0 este

X.+~:,:!-•

(III)

. 3. Soluţii singulare„ Dreapta y = e E j„unde e este o răd~cină (reală) a ecuaţiei f(y) = O, poate fi soluţie singulară (lnfăşur-l.toare a curbelor integrale) sau soluţie particulară (asim-

ptotă· a .curbelor integrale), după. cum C' __dy_ J110 ·/(U)

este

con~ergentă

sau

divergentă. •

·

.

· 4. Clmp de direcţii. Dreptele y = const slnt izocline~ Curbele integrale ale ecuaţiei diferenţiale se obţin toate din una dintre ele printr-o translaţie ln lungul axel Ox. 5. Ecuaţiile diferenţiale de forma · y'

prin

= f(ax + by + c)

· (IV)

subsţituţta

z (x)

=

ax

+ by·

:(sau

z(x) ci ax+ by + c),

(V)

unde z (x) este n~ua funcţie necunoscută~ se· tr~~form~ ·tn- e.cua\ii ~e forma (~). Să,

se integreze:

25. ţ. 'U' -~ y'i.. 2. y' - e

11

•

-4~ y'

= 2 VIY!;

5. y' _

% 4 - y2.

=

1, Yo

v

= O.

.8

6.

_'1J' o dacă y O se determină din condiţia Q = 1. µ.O, la· t = o, e0 = 1 µO; pe k n aflăm _punînd Q = 1 - 0,2 = o,s µC, ·Ia· . 1 minut; deci 0,8 µ.O = 1 µ.Ce -1:; de ~ci obţinem e -k = o,s = .! , . iar

adică.

t

.

(1) devine

Q(t)

(

.

:J

i O. De aceea legea, a doua a lui Newton ne permite să scriem opusă

.

m

{ V

Această· ecuaţie

s.e

(2)

dt

.

=

(0)

impusă

(2) şi

ne

.

I = t + C sau mg =

lui. (3) ne d~ · 0 1 .

v·(t) ·=

kv

dă

=

.

k

0 1 e- m_ t

•

( 3)

mg. De aceea, (3) se scrie

k

mg

k 'V~- : ; ,

.

imediat

.

.

;Deoarece

.~ (1)

- k v,

0. .

integrează

- : 1n I m_g - kv Cpildiţia

=. mg

dv

--7

(1 -

e-m t).

·acum avem de integrat ecuaţia·

-dx. = -mg . dt · /(

(l - e-~ t) • m , a: (O)= O. 41

l

•

Avem

Imp~d condiţia x(0) mişcare a,

=

corpului care se ·x(t} -

scufun:lă,

k

Deci legea, de

într-un lichid este k

t + mg9 (e-m' -1). .

mg

m;u •

găsim 0 2 = ~

O în (4),

I

k

·

31. O pîlnie are forma unui con cu unghiul (X la, vîrf (fig. II. 7). Fie s aria secţiunµ prin ţare curge lichidul din ea, iar H înălţimea lichidultri la t = O. Să se âetermine expresia înălţimii k(t} a, lichidului din pllnie la m~mentele t > O. · . · in cit timp se goleşte o pllnie care ·are dimensiunile H = 20 cm, R ~ 20 cm, r = 0,3 cili Y · R. Dacă -luăm viteza, de scurgere (cazul unui lichid perf_ect } egală ,cu v(t) = V2gh (t}, putem scrie imediat ca,ntit~te de lichid scursă, prin orificiul pllniei · · dm = pd V= psvdt = ps V2gh(t} dt. (ţ)

Exprimînd aceeaşi cantitate de lichid în .funcţie de lichidului, avem . dm = - pnrr dh,

variaţia

- dh a

'Înălţimii

. (2)

unde r1 =h tg ~. Egalind cele două expresii . (1) şi (2), obţinem .

2

" . h31=dh

th{I)

= -· . sV2ii dt. 'Jt.

tg9

~

2

Integrînd 1t·

această ecuaţie q.iferenţială, găsim

2

·;,. _

5

.

t 0 - - -s 'V2u --.

-h- -

determinăm

Constanta ·O o

h(O) = H; deci O= ~H"

s,

1

5

ha 1a =

Hr,l2 -

Fig. II. 7.

(3)

s (X ,tg -. 2

1t

din

condiţia,

iar (3) se scrie Ss V2fi 21t tg2 _c:_

t.

(4)

2

Pimînd în (4) h = O, rezultă t•, timpul in care se gol~şte pîlnia. Cu datele din. enunţ: s = ~r2 = 0,091t. cm2. , tg ~ = 1, gt:::::1000cni/s2 ,avem 2 t•

= ~. 5

42

5

3,1it-20 ~ - 3,14 · 0,09-V2 OOO

= !00 ~ 176 4,5

s.

2~3. Ecuaţii diferenţiale

cu variabilei~ ·separabile

1. Ecuaţii) diferenţială cu variabilele separate

+

X (x) dx

are

= o,

cu X e c 0(J)

şi Y

e c 0 (J),' ·

(I)

ţntegrala generală

(X(,:) d,:

J

+

Y (y) dy

+J

C y (U) du= C- sau

.

c·J~

X;,,) d,:

+\"-~

Y(y) dy

2. Ecuaţia (I) nu .are soluţii ·singulare. 3. Soluţia ·problemei 2 ·y5 - c211 - 2 + (2x ~ 1> (2y ~-1>

o

dacă

i>

=

c.

(2>

~.

ecuaţia,

Din · (2m-1_) 2

(2)

obţll;le~ · imediat

+ (2y-1) 2-

2m(2x_-1) (2y-1)

+ 5(rn2-1)=0,

m .= const.

•

4-'

(3)

Ecuaţia (3). reprezintă ecuaţia unei ţamilii de conice.

Observăm că

1

V-x

2

··

·şi

+x+1

1

V-Y

2

+y+1

. d ca"tre.infini. . tru. x1.2, Y1.2 = 1-.--· ± Y.s tm • ·t pen .

.

.. 2

~ ~ă,

Şi

dx .

.r1,1

~

~

,, 1

2·

. aşa

V- y + y + 1

=

mi, de

pildă, există

tX-
o.

2.

Dăm

(x După.

şi.dy, separăm

factor comun pe dx

variabilele şi

+ V1 + x2) dx + (V 1 + y 2 -

=

O.

soluţia generală

(143), avem ~2 -

y) dy

obţinem

+ _!_ ( x V1 + x2 + y V1 + y2) .+

y2

2

· 2

+ ~- [(ro+ Vi+ w>)(Y+ Vi+ y•)] = o. 1n

-

.

3. i.

Împărţind ·cu x (1 +11 :în ipoteza x=/=O, găsim 2 ),

.

De aici· ~ezultă

.

X

soluţia ·geiler~ă

2 b;1 I X I + 1n (1

sau x 2 _(1

+y

2

)

+y

2

)

. 01

=

şi.

+ 1~ = O. +y 2

o, o> o.

=

(1)

=

=

Şcriind că x 0 1, y 0 O verifică ecuaţia .· şi soluţia problemei Cau~hy este ·

ii.

dx

"(1), deducem O = 1 ·

x 2 (1 + y 2 ) = 1 (cuartică). Observăm că axa Oy, ·x = O, .este soluţia particulară (O = ~); 4. Pentru a separa vari~bi.lele, împărţim cu (x 2 - a2 ) (y 2 + b2 ) =I= o obţinem : x2

+ a2 ·dx+

·

x2 -

a2

y2__

=o

b2 dy

ys+ b2

sau dx· Soluţia

+ dy +, 2a

generală·

·x

+Y a

2

~

2b 2

-

x2 ~ a2

~:-= O. y2 + b'l..

este

+· ln

I 1-~ _x_:-~ x + a·

. a

arc tg i.. b·

= ~Oi;

sau a:+ t1

ea

(!,)

(X -

Observăm că

x2

=

+ a2

26 arc tg ..!!__

0 (X

+ .a) e a

- - .-- .:..+ oo, cînd x x2 - a2

➔

b

,.

0

± a. Cum

= ± eCi • .

însă

\±

a

.:iio.

x2

· .

+ as dx

;v2_-•all

este o integrală· improprie divergentă, rezultă că x = a şi_ x = - a sînt soluţii particular_e ale ecuaţiei 'diferenţiale considerate. 5. Grupînd termenii convenabil, putem scrie 2 1 y' . + Y •+ • Acum. variabilei~ ~e separă uşor şi prin integrare

(1 _

_!_) ·y'J + 2

.

X

obţinem soluţia generală

y

+ arctg y = 1n i x ! + x +O.·

Soluţia, a;

=

O este o soluţie partiotila,ră.

6. Functiile - 1·-

== R

..

-

•

şi

{l}

1-y

şi 1 - -

sînt definite şi continuie în J. ~

-

I

I ==-R ~ {-1}.

Integrind, avem

·1. 11-y ·+ X I= e~-e01 ··

1

1+~:

sau

1

+X-:-

1-y

a~,. a . ± eOi•.

SoÎuţiile m = - 1 (.y =I= 1) şi y = 1 (a:4:-1) sînt soluţii particulare.· l} _c~pul de direcţii nu este definit. ·

în (-:-1,

.34. 1. (1

2. 'Y

1

+ a: dy = V1 = Vai/i; mo ....:. O; 2

y 2 da;.

)

3. 2:.v ·V 4 ~ y 2

Yo . 1.

+. yy' = O ;

:.v0

=

1,y0

·

2.

4. (1 - y 2 ) da: = y (-1 - x) dy ; :Do = - 1 ; y 0• = 3~ .

R. 1. Împărţim cu · _

.Soluţin; generală

+ arctg

a;=

---

V1 -

.•·

'Q 2 . (1

dy

V1 - u'

+

a· acestei

+ :.v

da:

1

+ x2

2)

=I= o

şi . obţinem_. .

=-= O•

·ecuaţii diferenţiale

a. ·lntegr~ele generalizate [±1

dy

este arccos y

+.

'.

2

' V1 - u

• 1/o

.fiind convergente, dreptele y = 1 · şi y = - l sînt soluţii Ringulare. 2. i. împărţim cu 2 fii şi integrăm~.,· Obţinem soluţia generală

'

· .v~y = -xsi'i. + a~ ' · 3

(t}

Soliiţia. 11 --- Oeste singul~ă lea re~ultă pent~u C = '-ii. Scriind',că a:-0 =· O şi '!Jo = 1 verifică Deci integrala, particulară,. ·căutată este 2 ( VY --1) .. '

3. i. Împăirţim.

ecuaţia,

(1),

_!;l ,

rezultă:

C

=

1.

=·~sau ·(ar'l - ~y - 2) 2 == 324 y • 9

cu V· 4 ~

..

..

.

y-2 ş_i int~ă,m ; obţinem

·x: ·~ V4 -

(1) y2_=. o. -. Dreptele y ~ ± _2 şţrit soluţii singulare (O = a:2). . .. . . ' ii. Scriind că a:0 =!fi'; y 0 = 2 verifică e·cuaţia (1), deducem O = l ;: · aţpncµ (1) se scrie · .

:

,.

.

.

.

..... -·-.·-

.. ( :.V~ -

1 )2

+ y2 = 4.

. (2) .

47

.i.i .. ,

;

·

Dar, în afară de cuartica de ecu3!ţie (2), prin punctul (1, 2) mai trece dreapta y = 2. Deci soluţia problemei lui Cauchy nu este unică (datele iniţiale se găsesc pe integrala singurală y = 2). 4. i. împăr~ cu O). în punctele (1, 1) şi (1, --:- 1) cîmpul de direcţii dat de ecuaţia diferenţială, ni1 este definit. Dreptele x· = 1, y = 1, y = :- 1 sînt soluţii co rezultă din (1) pentru O= O şi O= oo. · ii. Pumnd în (1) ro = - 1 şi y ·-:- 3, rezultă- O = + şi soluţia

prohlem~i lui Cauchy este y ~ 1 2

+2

+.

(x. - 1)

2•

'

C. · UttJ,ele ecu~ţii de ârdin1tl ţntîi, care prin· substituţia y .

.

= z , X

unde ·

z(x) este noua fu~cţie, pot fi transformate în ecuaţii cm, variabilele sepm·abile: Să

se in~egrez!3

+ y) _:. a~• . 2. 2y' + y + _!_ :-~ o. . xs

35. 1. roy 2 (roy'

2

U. 1. ·Facem schimbarea de fun~ţie y funcţie nec~noscută] şi avem a:y' y Ecuaţia diferenţială dată se scrie 6z2dz generală 2z3 3a2ro 2 O sau. 2ro3 y3 - 3a2ro 2

+ = ~'.

+

=

2. Pror.edăm walog şi găsim • _

2z'ro

Separînd variabilele

şi

=

z(ro)J{)) [z(ro) fiind noua

= Oa ro(ţro şi ne = O (sextice).2

dă soţuţia

+ (z -1) = o.· 2

(1)

obţinem soluţia generală

integrind 2

{1)8~

·

'

(2)

= o.

Oîndam separat variabilele în (1) ·amîinpărţit cu ro(z-· 1)2• Să vedem dacă nu am pierdut soluţH, împărţind cu m(z - 1 )2 • Se constată imediat că ro= O şi y = lf.ro sînt soluţii conţinute- în (2). Deci nu s-au pierdut soluţii. · ·

D. .A.lte ecuaţii diferenţiale care prin anumite schimbări de variabi~e :le_ transformi't tot în emtaţii diferenţiale cu variabilele separabile. 36. 1~ y' = V_ aro + by + c, a,~,o . 2. y' ~ e;c- 11 + = o.

= const.

ez

3. y' _.;.. 2y ::.:. (2y - 2e2Z) (a:cotg ro2 -1)~ 4. ţJ;

+

. 5. (a,2 ·

'48 ·

yy'

+ P Vx2 + y2 = o.

+ y2 + a2) a:dro + (a2 -

ro2 -

y2) yd-y

= ·O.

R. 1. Notăm· cu u(:v} nc;ma funcţie: u (:.v} =

dă

de realitate ne

' o,

adică,

C cs -- + er-y cos y + , (y.) ·

cos y (a:lf - d"} + d" ·cos y - e-.e y sin y + q>' (y) = _d" (ro cos y . - y sin y) = µ.Q . •• ~, (y) =·'o'."·· fP = ·const.

.,lleci soluţia generală est~ U ( w, y) ere (a: sin y - sin y + y co·s y) = O. -3. M;~tiplicato~l µ. = ;-(ro) .s~ află ţntegrînd ecuaţia

=

(Y) •

•

găsmi-·

µ. (ro)

= ro- 2•

·

·-: .

··

·

·· •

diferenţială -

' · Imnulţind ecuaţia diferenţial~ c~ µ.· ( ro), (?bţinem ecuaţia diferenţială_

· d: - (yda,, + a:dy) + X

68

ydy

=

O,

care are soluţia generală f1ly 2 - 2m2y +·Oa;= 2~ Axa Oy, a:= o, este o soluţie particulară. · · . · 4. FoPmula (V) ne dă µ1 (ro) = 1/a:4• Ecuaţia diferenţială fiind omo. genă, un mu).tiplicator est 3 d1t de (VII) ·. .. . · -

1;

ll.2 -

-

+ yQ

xP

1 2 x (xi - 3y )

-

I

1

-

.

-

+ y • ~xy

,_

x(xll ··- y2)

.

Cei doi multiplicatori :fÎind distincţi, soluţia generală este -·.

1:!,_ l-¼

=

0 sau

..!... se anulează pentm a: = l-¼

(1)

y2

a;2 . .

O şi y

Oro3.•.

.....'..

Toate a.ce~te trei soluţii

= ± a:.

! .

= o, y = ±

(1) ·

soh,1ţii

sînt

particulare.

5 •. Aceeaşi formulă .(V) ne. dă µ (-ro)

(Jiferenţială dată

.cu µ

şi

integrînd,

-.-- = tg

(1)

sm x

53. 1. y (1 2. 2(l)y

=

înmulţind. ecuaţia

obţ~em soluţia generală

sin y

" B. M1iltiplicat O. , 3. i. p =1=· -· a. Integrala generală a ecuaţiei omogene ataşate este y (x) = Oe- 0 z. O soluţie particulară, a ecuaţiei diferenţiale neomogene o obţinem de p:µdă ·prin meţoda lui Lagrange; punem căutate,

Yo (x)

=

şi găsim

O(m)e- 0 ~

O (ro)

= -11- ~I. a+p

Deci berna

Yo(X) = -

şi

a+ p ·

be:i>z

=-

Y (x) = Yo (ro)+ y (x) .

a+p

= ba: şi

ii. p = - a. în acest caz O' (m) = b ••• 0-(x) iar y (x) = y0 (x) + y (m), adică · y (m). = bxe-.Jz + Oe-a~. 70. 1. y'A+ y cos a;= sin: a, cos ro; ~o •

, 2 y

•

+ arcsin x

-:----=-:-

-

x2

-

V1 -

y 0 (x)= bx~-aoi,'

= O; Yo =-1; y

Yt -

+ Oe-az. .

.

x9 arcsin

X. .

. . R. 1. i. Ecuaţia omogenă are soluţia generală, y(x) Oe-slu. Luind y 0 (ro) O (m)e-s 1na: şi scriind că y 0 (ro) verifică· ecuaţia diferenţială iţeomo­ . genă, găsim O(m) es1n:i: (sin ro -1); aşadar y 0 (m) = sîn: ro - 1 şi soluţia generală_ este .

=

=

=

y·(x)

= sin ro -

.

1

+- Oe-sln a:•.

(1)

ii._ Pentru a determina v~oarea_ lui.: O care corespunde curbei integrale ce trece prin P(O,l), scriem că m0 = O şi Yo = 1 verifică ecuaţia (1); obţi­ nem O= 2; deci s.oluţia problemeilui 0auchy este: y (ro)·= sin ro·- 1 +

+ 2e-sln_z • ·2.

.

Ecuaţia omogenă. asociată

1

·~~y =

Yi ~

x2

arcsm x

are soluţia ge?1erală y (m)

=

O arcsin ro. .

O soluţie particulară, o aflăm prin metoda variaţiei constantei; avem . a; = - arcsln x . a, V ; d ec1. O (a,:\ = - arcsm O·;(x:\ arcs1n I

1 - xz

1

şi o soluţie particulară este Yo (ro) = - arcsin2 t», iar soluţia generală_ va fi y (ro) = - [arcsin. ro. - O] arcsin ro. ·

71. Ecuaţia diferenţi~ă y' + p (x) y = Q (a,) admite mtegralele particu).are y1 (m) = m şi y 2 (ro)

(1) QQ

ro sin ro.

81

.·

·i. Să se construiască integrala generală. ii. Să se afle P(ro) şi Q(ro). iii. Să se determine integrala, particulară y (ro) c~e capă.tă, valoarea 21t pentru ro0 = 1t. · R. i. C~nform cu (VII), soluţia generală, a, ecuaţiei diferenţiale date este y (ro} = ro Oro (sin ro - 1). - (2)

+

ii. ·Scriind că în P (ro) şi Q (ro} Pro - Q

De aici

y1

şi

= -

yerifică, ecuaţia

y2

(1), căpătăm sistemul liniar

= - sin ro

1; Pro_ sin ro - Q

- ~- cos ro.

aflăm

1

COS X

P=--+ . X iii. Scriind

că

=

pentru ro0

·21t

=

1t

'

Q_

. x -· 1 ...:.. sm

X COS X

-

•

1 - sin x

1t, y 0 este egal cu 21t, din (2)

+ O 1t ( -

1),- deci O =

-

l;

rezultă

,

astfel soluţia particulară căutată este y ;= ro (2 - sin ro)~ 72.· 1. Să se .formeze ecuaţia diferenţială. care admite integralele particulare y1 (ro) = 3ro2 ;_ _2ro, y 2 (ro} = - a:. : 2. Să se ~etermine integrala generală a ei şi să se arate că ţo_ate curbele integrale treo prin· două puncte fix~.· · 3. Să se determine curba integrală particulară care· este tangentă axei Oa: în origine. _ R. 1. Fie ecuaţia căutată y' + ·p (ro) y = Q (ro). Scriind că y1 (ro} şi y 2 (ro) verifică ec~aţia aceasta, obţinem sistemul p (3ro2 - ~ror- Q = ~ - 6ro ; p ( - ro) - Q :::;:: + 1. ·_ ])e aici deducem 1 - 6x

P

X

2.

Q = , -3x- -

(3x - 1)

Dacă

Y

.este integrala

•

=---ŞI

3x - 1

=

Of (ro)+ g (ro} a· ecuaţiei noastre, atunci Y1 =Gif+ g.

generală

(1} (2)

şi

Y2

. Din (1), (2)

şi

(3)

Y--:- Y1

=

02f +·g.

(3)

rezultă, relaţiile

_=

(O -

01)!; Y2 -- Y1

=

(O~ -

01)f

care p~ împărţire _ne dau . u - Yi. ~-~

88

=

~

.·. Y (a:) =

Y1 (a:)

+ K (Y2 (a:) .

Y1 (a:)).

])eci soluţia generală se scrie (VII): 'Y = 3ro2 -2x + K(x - 3ro2 )-. (4} Coordonatele punctelor _fixe verifică ecuaţiile obţhmte prin egalarea cu zero a coeficientului lui K şi a terme~ului liber din (4-): 3ro2

X -

=

0, 3ro2

2a; - 'JJ

-

=

(5}

0.

Sistemul (5) are soluţia a:= O şi y = O, respectiv_ w = 1/3 şi y = 1/3. Deci punctele fixe sînt O (O,O) şi P (1/3; -1/3). · 3. Curba (4-) trecîn-d prin origine, tangenta în origine rezultă din (4)· egalînd cu zero ·grupul termenilor de gradul cel mai mic: y + 2a, - Ka, = O. · Ca ecuaţia acestei drepte să coincidă cu cea a axei Oa, (y = O), este. deajuns ca să avem K . 2. Curba căutată este deci parabola y = -· 3a:2 • 73.- i. Să,-se afle integrala generală a ecuaţiei

= -

+ (ro+: )e" :- o.

y' - ( l+ : ) 11

'·

•

ii. ·Să, se arate că există două, integrale particulare astfel incit mia. ~ste derivata celeilalte. . ·· · · R. i. Ecuaţia omogenă, asociată ecuaţiei considerate

. ~, ( 1 ._Y-

7Y=_.O

=

generală, y .Oa,ez. Să,. calculăm o soluţie particulară. Lagrange; găsim y0 (ro) (1· - a:2 ) e:C,

are integrala lui

+· 1 ) -

. . Pentru aceasta folosim· metoda iar saluţi~ generală este

=

o=

y (ro).. (1· - a,2) e» + Oroe» sau y (ro) = (1 - ro2 + Oa:) ~ii. Dacă y este o soluţie particulară a ecuaţiei .obţinută pentm o' ca y _..:. yI să fie. o altă_ soluţie particulară, trebuie ca

. y' . , (1 să fie de forma

y··= (1 -

1_ ...::.: x2 De aici deducem

- ro2

+ aw -

2ro

+ O) ~ .

+ Oro) lfr:, adică + oro - 2x + o=1 x2

a:2

+ oa:.

+ o, afilcă O= O-_ 2, O= O.·. O= - 2. căutată y(ai) este y(ro) == (1 ·- a: )ei:, derivata. ei, y =(1--:- a,

Ca:= (O

- 2)a,

2

şi

ea

soluţie particulară,

74. i.

Să

a

ecuaţiei diferenţiale

se int~eze

.

(2a: Să

Deci soluţiEh 2a:) e=r:, fiind · 1

•

considerate.

ecuaţia diferenţială

-:;\

ii.

2 -

a,2 ) y'

+ (a: -

.

l)y

=

2a, - 1.

se determine curba integrală ce trece prin

P( ~' oJill. Să se determine natura" ei. Să se calculeze aria închisă de ea„

80

R. i. Ecuaţia omogenă, asociată, ecuaţiei diferenţiale date are soluţia ·

generaJ.ă

y(ro)=0Vm2 -2ro. Căutînd

o

soluţie particulară,

,

de forma y 0 = .A.a: +B,

+ 1. Deci integrala generală a-ecuaţiei· date este (V) y (a:) = a; + 1 + o Ji a: 2a:

găsim

y 0 = a:+

2 ...:_.

.sau

!)

(1)

ii.Sc~find că P ( ~ , O) se află pe curba (1), rezultă: = IX ( ··.IX·· = - 3. Deci•~urba ce trece prin punctul Pare ecuaţia f (a;, y) ·4a;2 - 2a:y + y 2 - 4a; - 2y + l = O (~) şi este o conică. iii. Deoarece 8 =. 4 - 1 = 3 > O şi (a11 + a 22 ) Â = 5 ( - 9) = = - 45 .< O, ea este o elipsă reală. Coordonatele a:0 , y 0 ale centrului O al elipsei sînt date de soluţia sistemului ·

=

.

a~ ax adică

(mo, Yo)

a;0

= 8roo -

= 1,

Yo

=

2yo - 4 .

=

2 ..Fă,cînd

_ar 8y

O,

(%, Yo)

translaţia

=-

de. axe

+ a;', y = 2 + y', ecuaţia (2) devine ai1 ro '2 - 2au a: ,Y·' + a22 Y. ,2 +

sau

·

+

-

ai1 -

MărÎillea

O

A 8 =

2a;~y' y' 2 - 3 = o. Acum rotim ax~le x' Oy' de unghiul· cp dat de . + 2alll .·. t g ·2 .cp. = t g 2 cp = ------4ro' 2

.

+ 2yo ---: 2 =· O, · definită de a: = 1 + ~roo

(3) 2 -11

a22

3

semiaxelor este dată de

=

a2

1~1· S1 8

b2

'

=.

1~1-, S2 8

unde 8 11 8 2

au+ a + (slgnum a

. 8 =s --V13 D ec1: 1 2

;

·a .o 2

.x2 ·6

5 -

Aria, elipsei

90

)

V(au -

a a)2

+ 4ai

2 2 = - - -22- - - - 12-----: i 2

vâ

fi

.Â. .

+.· elipse1, . d upa.., ro t·ue, este = · .s +2Viă ş1. ecuav1a ·

+ -. -Y2- 1 = 0 . 6

Vts · s + Vi3

=

rcab, adică .Â. ·=. 7t .

V

6 •6 ~

=

va

.

TC. .

.

-75. Unei bobine cu inductanţa L = lH şi rezistenţa R = 20- i se t.e.m. u = s~ 3t volţi. Care este intensitatea curentului prin bobină, t

aplică

R. Legea a doua a lui Kirchhoff · aplicată circuitului format ·din sursa d~ tensiune ne dă ,

bobină -şi

L~

1

dl

+ -RI =

(1)

sin 3t, .

1(t) fiind intensitatea curentului. electric prin bobină. Ecuaţia diferenţială, (1) se mai scrie

i!. + 21 = sin 3t.

(2)

dl

Soluţia ecuaţiei diferenţiale

(2) este I(t) = Î (t)+ I 0 {t), unde I (t) este·

=

soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale omogene, adică I (t) · Oe_- 2', iar 10 (t) o soluţie particulară a ecu~ţiei diferenţiale. (2). O soluţie particulară

o căutăm sub fornia I 0 (t) =A sin 3t+ B cos 3t. Înlocuind pe10 (t) şi I~(t) obţinem -.

in (2),

.A

2

.

=13Şl

B

-3

=13•

Deci .10 (t) şi soluţia generală

a

= :3 · sin

ecuaţiei diferenţiale

I (t)

. .

Av~d in vedere I (t)

2

= oe-21· + -13

t cos

3t -

3

·

3t

(2) este . -3

sin 3t - -- cos. 3t. 13

(;3)

că· I (O)·= o,. din (3) r~zultă 0= : 3 • Astfel. (3) se scrie

= -13S

e-21

2· · + -sin 3t 13

o

3

-- cos 3t. 13

h Fig. 11.12

76. Circuitul din. fig. II.12, a est.e alim.eiţtat cu· o tensiune al cărei grafic, în funcţie _de timp, este arătat în fig.· 11.12, . . b. Să se determine jntensitate~ cur~ntului din circuit. . R. i. Dacă, t < o, 11 (t) = O.

-~

ii.

Dacă

O~ t ~ 1, ·

variaţia intensităţii

descrisă

curentului este

de

ecuaţia diferenţială

-- + Rl = t

dlo _dl

L

Soluţia generală diferenţiale (1) este

a.

I 2 (t)

O

soluţie particulară

Scriind

/ beci

că

dl

ecuaţiei diferenţiale

-

=

02 e

l ·= 2

+ -RL

sau -d/2

2

-!!..t L

va avea forma I 2~ (t) = .At

l -· L

(1)

omogene asociate

-

ecuaţiei

•

+ B.

.(2} .

(2) verifică ecuaţia dif~re~ţială neomogenă rezultă . . 1 .B · L A =-Şl = - - • R R2

soluţia generală

a

·

=

J 2 (t) „

Condiţia .1 2 (O)

- 11 (O)

=.

12 (t)

ecuaţiei diferenţiale -~t

026

L

l

.

(1) este L

+ -R - -• R

(3)

2

= O ne dă (3)_: -0 2 = L/R2• Astfel (3) se seri~ · L

R2

l'

) e-~t L --1

+ Rt

~

iii. Dacă 1 ~ t~ ·2, intensitatea curentului prin circuit verifică-

ecuaţia diferenţială.

·L- + .

d/3 dl

·

Rl = 2 - t sau -d/3 3

dl ·

obţinem_ soluţia generală

Procedînd la fel .

1 s (t) _

+ -LR I 3 =. -2 L--l·

.

B

= Os e

Constanta 0 3 din (5) se are expresia

--t L

.

l

-

a

ecuaţiei diferenţiale

2

L

R +R +

determină

R2 •

condiţia

din

.găseşte că

L

2L

R

R~

(4)

.

(4) ( ) 5 .

1 3 (1)

= 1 2(1)

şi

se

,!!-_

·O 3 = - 2- · - - e L , .

:

cu care (5) .devine . ( L 2L .!!_) -!:t 1 3 (t)= - - - e L e L

R2

iii. Dacă. t·

>

R2

2

t -

·

L

.:_--+-, R.

R2_

l~t~2.

2, curentul din circuit verifică ecuaţia diferenţială

omogenă.

dl

.

L--'- + Rl4 dl

=·

.

O,

...

..

~·.-

care are

soluţia generală

I 4 (t) =,04 e Constanţa

0 4 se

_.!:_, L

determină din co:ndiţia . ' .

L. 1!. 04 =-· e L Rs. 2

(6)

•

L

I 4 (2) = I 3(2) 2L .:!!.

şi

este

+ -Ra·- -eL. R2'

acum (6) devine

14 (t) = !:._(1RS

ei)

2

e-{,. ;

t

> 2.

77. Un circuit electric cu.prinde o sursă, de tensiune, un rezistor şi = 120 t volţi,. rezistenţa rezis== selful bobinei L = lH, iar I (O)= I 0 , să se afle intensitatea, curentului' I(t) în decursul primului minut . al. experienţei. , · R. Intensitatea curentului verifică ecuaţia liniară, ·,

bobină.. Ştiind că tensi~ea sursei este E torului R, 120 t ohmi, t e [O ; 1 minut] şi

o

L~+ RI . E.

·

dl'

.

Dacă

·_ t

Dacă ro< o, (1) = - V(Y .:_ 0) 3, iar dacă (1) >

O, ro= +V (y -

0) 3•

. Partea dreaptă a, ecuaţiei verifică condiţiile teoremei lui PicarO 27 · · · . iar· pentru a:0 > Q. Şi

·,

Deci. curbele· seJUU'atoarc sînt axa 4r ( . .. · b. • . fi Oa:, '!J ·=. O, .ŞI cu JCa• y = 27 .. vezi.. g. : III, 5~ a, ip. care am notat cu 1, res- · pectiv 3, regiunile planului prin care trece o curbă. integrală, respectiv. trec . trei _curbe. integrale)'. · iii. Dfl/că· P O · este situat pe axa Om, y 0 = O; · atunci (4) a,re rădăcina, dµblă

..

p1 = p 2 = O

şi„rădăcina,

.b I

simpli

· Pa = -mo. · · .. .. ·c · Rădacinii duble îi corespund . . Fig. 111.5_ . curbele 0 17 adică a.xa Ow, şi 0 2 ce au · . · forma din fig. III, 5b, _deoarece· din ecuaţia (1) şe găseşte (prin derivare. -de dou~ ori) · · · · · · . y~· (a:0 , '!J __:_ O, y~ .· · O) =. o, y;• ·(a:0 , 'Y = O, y' = O) = 1/2 a:0 ~ Rădăcinii p 3 =. ~ ao0 îi _cprespunde curba, 0 3 din fig~· III, 5,= li. . .

Dacă P 0 este sit1'8,t

pe cubiC11,

11,=::", atunei (4.) are

dublă p 1 .== Ps = -2a:~/3 şi rădăcina, simplă. P.~

rădăcinii,

=; . ..135: '

I

•

•

.

~

·

4x2

Dacă rădăcina dublă diferă de panta cubicei, .

0

9

,

atunci forma

4;,; ) este cea desenată în fig. III. 5, c ; curba. .

curbelor în jurul ll)i P O ( "'o ,

O3 corespunde lui p 3 , iar- O~ (care are. punct de întoarcere iri P 0 ) corespunde lui Pi= p 2 • . · Dacă· O din ecuaţiile parametrice ale soluţiei generale este astfel· incit panta p 1 ( = p 2 ) coincide cu panta cubic·ei, ~x5 , adică dacă O= o„ .

d~ci m0

.

= -·~-, . ,2

.

.

9

. .

.

.

.

1

...

.

2 ·

Ele ne. dau parabola O2 , y :

,

p2

Y==---. · 2

.(5}

= - 21 ( a; + 21)·2 ,,

tangentă

la cubică

-~),_prin care trece şi curba 0 3 •

-

=

Dacă m0 că·

.

ecuaţiile· (2) şi .(3) devin

.

X= -p--.Şl

· îri P 0 ( -

.

y0

1

=

O, ecuaţiile (2) şi (3) ne dau p · O şi O...:_-, aşa .

2

.

ele ·devin aJ

Ele· ne în origine.

·arată, că

3 = -p2 +. ... ' 2

.aste :vorba de o

(6} curbă

-cu un .punct de întoarcere

ţn afară, d~ curba (?), prin origine trece şi sol~ţi~ singulară y

= O. p 1 = p 2 = O,. .

ilii. __ Pţntru $ 0 = 1 şi Yo = O, ecuaţia (~1:) are rădăcinile res~ectiv p 3 = -1;. în primul c~z ecuaţiile (2) şi (3) n~ da~ O= : şi obţinem o . curbă integrală, O2 , tangentă la ·Oa; (la Îlltegrala ~ingulară y = O): "1

3

. aJ

= 2 (p -

1)2

p -

-

2'

Y=-=.

. 3pB

2 (p -

pi•.:,

1)2

-~. 2

în al doilea caz (p 3 = -:-1) aceleaşi ecuaţii ne dau O ::, ~ ; deci avem curba 0 3 - de ecuaţii p~rametrice 1 W =2- -p-. 2 (p :- 1)

2 '

.

y

=

p'J

2p2 . (p .:._ 1)9 -

2 •

o

112.

Să

se integr~ze: 1. 2y (y'

.

+ 2) =

a;y'2.

.

folos~d transformarea Legendre. 136 ·

2• y

=

m

+

1

+ y'

Vi + y

~bţinem

n;1. F~losind formulele (_L),

=

2 (XY' -: Y) (X+ 2) dY

dX~2X

y

X 11

·. Y'X:i,

+ 4)

-=---:adică

+ 4X

o ecuaţie diferenţig,lă, cu vM'iat.,ilele separate. Soluţia -gener11lă _a, aces_tei ecuaţ~. di;ferenţiale

+ 4.X).

Y ~- O (XJ

Derivînd (l)în raport;

. este

mr X, rezultă.' Y'

.(1)

==;:

2·c (.X

+ 2) sau, dupăi (L)~

= ~o (P + ~).

x

Avînd în .vedere (2), ecua~ia. y

(2}

~erenţială dată

=

0p2.

,

ne

~dă

(3}

_. . Formulele (2) şi (~)· ne dau ·.soluţ.ia generală a ecuaţ:iei diferenţiale considerate, în formă paraJ:iietrică. , 2. Ou ajutorul aceloraşi formule (L), ecuaţia diferenţială se scrie ,

1+X = --. ---·--. 1 , (X -. 1) V1+ xa

Y_ -.

_y - .

X -

·

(l}

. E~uaţia. c;Uferenţială omogenă asociată, lui (1) ·are soluţie general~ - 1). O soluţie particulară a ecuaţiei (1) o căutăm prin metoda l~i Lagrange: Y 0 (X) _ · O(~) (X:.__ 1); avem · · _

Y

= O (.X

O'(X)-

l+X ~ (X·-1)2 fi,q;.xs

·

bilă

·..

.

Pentru a inte'gTa a.Qeastă ecuaţie in O, fa.cem schimbareâ de variau . arctg X. Obţinem · · ·

Y0(X) =

_-r-

V1

-1- _t 2

. şi . Y(~)

Derivînd (2),

= oc_x -

obţinem

·

1) ~ v1

+x2.

(2)

(vezi (L)) ·

. a:= 0--p

Y1 . +P

.

.

-.

2

(3)

Folosind {3),' ecuaţia dată ne dă .

.

1

y=O+-.-. .

1

+

p2

(4}

· · Eliminînd pe p între (3) şi (4), obţinem soluţia generală a ecuat,iei date (x - 0) 2 (y - OF= 1 (c_ercuri cu centrele p~ prima bisecto&ire) ..

+

137

'.

Ecuaţii diferenţia~e

3.5.

de ordinul întîi rezolvate în raport cu x

sau· ·cu y. 1_. Fie

ec~aţia diferenţială

înţll generală

de ordinul

F(x, y, y')

se

Dacă

cunoaşte

o reprezentare

= 9.

{I)·

parametrică

x = x (u, v), g = y (u, v), z = (u, v)

pentru

suprafaţa

F (x, y, z)

==. O,

că

astfel

F (x (u, v), y (u, v), z (u, v))

atunci pe baza

relaţiei

= zdx ecua/ia

dy

·= O,

(1) poate fi adusit la forma

·

normală ~ = f (u, v). .

du

2. Cazul

= f(x,

y Luăm~ ·parametru pe y' l1

= p şi derivăm pe y = f(x, are ·soluţia

Dacă ecuaţia 'diferenţială rezultată ecuaţiei diferenţiale va fi

Y Dacă p

{II)

y').

= f (:z:,

p) ln raport cu

P (x, C)).

= p (x) este o integrală singulară pentru e~uaţia

poate fi. integrală 3. Cazul

singulară

:z:.

p· = p (x, C), inţegrala generală

generală

diferenţială în p, y

pentru· ecuaţia {li).

=

y ( x,

·

p (x))

·

== f (Y, y').

X

(III)

Notăin y' == p, derivăm {III) tn raport cu y şi lnlocuim pe ~ cu .!.. • .

Dacă ecuaţia diferenţială rezultată pentr0: ecuaţia (III) va fi

are

X==

dy

soluţia generală

p

= p (y,

p. . C), integrala

f (y, p (y, C)).

Dacă p .== p (y) este o integrall singulară pentru ecuaţia diferenţială ln p, :z: ,poate fi integralii singulară pentru ecuaţia. (III). Ecuaţia (III) mai poate avea integrale singulare de forma iJ == b.

Să

1. 'Y

=

xy'

Il.l.

Notăm

.

-obţinem

p

.X

+ y•2 x9

2

p

=:== :,:

(y, p (y))

se. integreze:

113.

. .

generală_

.2. 'J/

= --=JL + (x-+ 1) e= • x+l

·

y'

y' =-= p (m) în' ecua~ dată şi derivăm în raport cu

,

·

2p 2

·2pp'

=. -2 + -p +-' 2 :z:ll :z:3· 1

.

·

·

·

(m3 +4p) (mdp - p_da:)

=

m;

O•

Avem deci cazurile: i. Soluţia

a:dp - pda; :-- O • • • p = Om. generală a ecuaţi➔i dife~enţ.iale date este . 'JJ -=

ii. 138

Cx2 2

+ 02. :,;8

p= - - ; .

4.

(1) .

(2)

această·

ou

ecuaţia dată

valo~e ·a lui. p,

·ne

dă

. x'

+-= o. 16

y

(3)'

..•O~serv~ că ~cua.ţia, (=3)· o obţinem eliminînd pe (J între (2) şi deri. vata Im (2) în taport cu C. · · . . . . ~

'.

"2 Ţ 2q = . . . sţ c~nstată, imediat ·oă y: '

·

.

=y + 16~= o; ~

.

o,

,. (a:, y)

'

'

.·.

'.

= ...J--=este soluţie 16 . .

singulară.

2.. ·Procedăm la fel şi obţinem ·

· xp ·

+ 1) e~'

(x

y=--+--x+1·

/P

'

P· ·_·_p_· +