Estudios Sobre La Filosofia De Wittgenstein

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TIMAS DE EUDJLBA/FILOSOFÍA

Peter Winch y colaboradores

Estudios sobre la filosofía de Wittgenstein

EUDEBA EDITORIAL UNIVERSITARIA DE BUENOS AIRES

T itu lo de la obra original ST U D IE S I N T H E rH iL O S O P H Y OF W I1 TG F .N STE IN R outledge & Kegan P a u l L im ited, L ondon, 1969

T ra d u c id a por LEÓ N M IRLAS

La revisión técnica estuvo a caigo del profesor ALBERTO M O REN O

E N E L A Ñ O D E L S E S Q U IC E N T E N A R IO DE LA F U N D A C IÓ N D E L A U N IV E R S ID A D D E B U E N O S A IR E S

©

1971

E D IT O R IA L U N IV E R S IT A R IA D E BUENO S AIRES R ivadavia 1571/73 Sociedad de Econom ía M ixta F undada por la Universidad de B uenos Aires H e d ió el depósito lie ley IM PR ESO EN LA A R G E N T IN A - P R IN T E D L \ A R G E N T IN A

INDICE

IN T R O D U C C IÓ N : LA U N ID A D D E LA FILO SO FIA DE W IT T G E N S T E IN 1.

USO Y R E FE R E N C IA DE LOS NO M BRES ...............................................

II.

“O N T O L O G 1A ” E ID E N T ID A D EN EL T R A C T A T U S : A P R O P Ó ­ S IT O D EL C O M P A N IO N D E BLACK ..........................................................

IX 1

33

“Sim bolism o adecuado” y “ontología", 33; “¿Señal o tipo?”, 35; “ La relación p ara n o m b ra r”, 37; La id en tid ad , 39; La aritm ética, 42. III.

EL PE N SA M IE N T O DE W IT T G E N S T E IN SOBRE LAS M A TEM A ­ TICA S ............................................................................................................................. A lgunos antecedentes, 53; Conclusión, 85.

4x ’\ Debido a esto, W ittgenstein no podía exigir, en un sentido estric­ to, que los Nombres existieran, sino sólo que fuesen posibles: que pudiéramos usar Nombres. Si, según he argüido, los Nombres del Tractatus son a manera de nombres ficticios, la relación de los Bedeuten o referencias válida entre los Nombres y los objetos es también de un género muy especial, como lo es la naturaleza de los objetos mismos. Hemos visto ya que la identidad de un objeto sólo puede ser determinada estableciendo el sentido de las proposiciones en que se presentan los Nombres. Pero el sentido de una proposición elemental de la forma “fa” es exactamente el mismo que el sentido

de una proposición de la forma "fb”, donde “f (x) " expresa la misma propiedad y “a” y “b" son Nombres distintos. Así como en la prueba geométrica ya mencionada, decir: “Sea a el centro del círculo C” es exactamente lo mismo que decir “Sea b el centro del círculo C”, si “a” y "b” son nombres ficticios. Los nom­ bres ficticios se usan ni más ni menos que para identificar una ejemplificación de la descripción o predicado que sigue. Si las condiciones de usar un nombre ficticio son las condiciones de decir “hay un tal y tal q u e ..." , los nombres ficticios no pueden dejar de referirse a un objeto mientras el grupo de proposiciones en que aparecen tenga sentido. Referirse a un objeto aquí, signi­ fica que los nombres ficticios tienen uso. Cuando identificamos a dos seres humanos por sus nombres propios y predicamos algo sobre ellos —como cuando decimos “Bernard Shaw y Oscar Wilde son irlandeses”— identificamos a ambos como irlandeses pero distintos, y, por lo tanto, naturalmente, sus nombres no son inter­ cambiables. Los nombres ficticios son intercambiables mientras los intercambiamos en forma consistente y así, me parece, que son los Nombres del Tractatus. No pretendo que W ittgenstein pensara explícitamente que sus Nombres se comportasen como nombres ficticios, sino sólo que, en realidad, están hechos para hacerlo. Los objetos a que se re­ fieren los Nombres son entidades que tienen un criterio de iden­ tidad totalmente distinto de aquéllas de acuerdo con las cuales identificamos y distinguimos normalmente a los objetos espaciotemporales. Por simple que sea un objeto espacio-temporal, como caso individual sólo pertenece a este mundo y no a todos los mundos imaginarios posibles como, se dice, sucede con los objetos (2.022). Los objetos espacio-temporales más simples no sólo tienen la posibilidad de presentarse en diversos estados de cosas, sino que se presentan en muchos. Son ejemplificaciones de muchas propie­ dades. El diminuto copo de nieve que tengo sobre la palma de la mano está formado de H 20 ; cayó en determinado momento de enero de 1968, en determinado sitio de Londres, etcétera. Aunque uno adopte el punto de vista de que no hay una necesidad lógica de que el objeto tenga alguna o la mayoría de esas propiedades y crea que podría tener otras propiedades externas en circunstan­ cias distintas, subsiste el hecho de que el objeto tiene todas esas propiedades externas. Si a un objeto le falta alguna de las propie­ dades que tiene A o tiene alguna que no posee A, entonces, sim­ plemente, es no A: así, ningún objeto espacio-temporal de este m undo identificado en la forma normal podría ser un compo­ nente de cualquier otro mundo imaginado. La identidad de cual­ quier objeto individual espacio-temporal no es determinada por sus “posibilidades”. Muchos filósofos se han visto tentados, por

eso, a interpretar los “objetos” del Tractatus como propiedades o datos de los sentidos. He dado ya razones por las cuales las ex­ presiones predicadas no se consideran como Nombres en el Trac­ tatus y de ahí por qué no sean tratadas como objetos las propie­ dades o relaciones (que son verdaderas con respecto a los objetos) a que se refieren las expresiones predicadas cuando se presentan en proposiciones o que son expresadas por una estructura de la concatenación de los Nombres de los objetos. La teoría sobre los datos de los sentidos tampoco nos proporcionará por si misma objetos comunes a todos los mundos. Cada dato señal de los sen­ tidos no sólo está ligado a este mundo sino también a la persona quy: ~ ( 3 y ,z) ■$ x. y. z. El Tractatus no introduce los números en esta forma. Pera

indica que lo que quieren expresar los Principia Mathematica pue­ de escribirse sin el ambiguo z = x . v . z = y. Aquí parece estar usando el simbolismo de PM. Pero las variables aparentes son signos distintos de los que escribe en la misma forma Principia Mathematica-, porque ahí las variables aparentes parecen tener la generalidad de un concepto. La crítica de la identidad es tam­ bién una crítica del uso de los cuantificadores por los Principia Mathematica ...q u e el Tractatus acaba de analizar. Parecería que los Principia Mathematica explican qué deci­ mos sobre x e y cuando los llamamos idénticos. Así como parece decir de las cosas que forman un par que están en esta (¿cuál?) relación entre sí. Quizá Russell pensara que, a menos que tratase a x — y como una función, no podría escribir las proposiciones de la aritmética en notación lógica. Ramsey pareció aceptar la crítica de la definición de identi­ dad de Russell. Pero quería conservar x = y como función: así, parece a primera vista como si hubiese conservado la substancia de la teoría de Russell. “x — y es una función en extensión de dos variables. Su valor es una tautología cuando x e y tienen el mismo valor y una contradicción cuando x ,y , tienen valores dis­ tintos .” 6 Pero no hay funciones en el sentido de Russell o de Frege; así, cuando Ramsey habí 3 de “una variable aparente é ,'\ por ejemplo, no sabemos qué dice. Lo que compartía con Russell era una confusión en la aplicación de las matemáticas y la refe­ rencia a las codas. Dijo (p. 49) que La convención de W ittgenstein (con respecto a la iden tid ad ) .. . nos coloca en u n a posición sin esperanzas en c u a n to concierne a las clases, p o r q u e ... no podem os seguir usando x = v com o u n a función proposicional al d e fin ir las clases. P o r eso, las únicas clases con las q u e podem os habérnoslas ah o ra son las definidas p o r las funciones p re d ic a tiv a s .. . L as m atem áticas, entonces, se vuelven irrem ediables, p o rq u e n o podem os estar seguros de q u e haya alguna clase definida p o r u n a función predicativa cuyo n úm ero es dos; p o rq u e todas las cosas pued en descom ponerse en tria d as q u e concuerdan en todos los sentidos, en cuyo caso no h a b ría en n u e stro sistem a clases de u n id a d y clases de dos m iem bros.

Aparentemente, Ramsey rechaza las formulaciones del Trac­ tatus 5.321 basándose en que una proposición semejante podría ser falsa; no podemos estar seguros de que los hechos la justifi­ carían: “todas las cosas pueden descomponerse en tríadas”. Y la ventaja de las funciones en extensión (de Ramsey) sería que la correlación aquí es arbitraria; la afirmación de esas funciones no depende de si los individuos concuerdan a discrepan en cuanto a sus propiedades. # F. P . Ram sey, T h e fo u n d a tio n s o f m athem atics, p. 53.

W ittgenstein diría entonces, como dijo después: “La apli­ cación de las matemáticas en nuestro lenguaje no dice qué es verdadero y qué es falso, sino qué es sentido y qué es sin sentido”. La aritmética Ramsey y Russell querían expresar la aritmética —las mate­ máticas— en términos lógicos; en términos de relaciones entre funciones. El Tractatus sostiene que las proposiciones de las mate­ máticas son ecuaciones y que éstas muestran la lógica del mundo como lo hacen las tautologías: pero no son tautologías. (“La ló­ gica del m undo” : aproximadamente, hablamos en la misma forma de la necesidad y la imposibilidad aquí como en lógica.) La notación de Russell para las expresiones numéricas no indica su interconexión con operaciones tales como la suma y la multiplicación. El Tractatus sostiene que comprendemos los nú­ meros cuando los vemos como rasgos de un sistema formal o cálculo. “Die Zahlen treten mit dem Kalkül in die Logik ein” (los números entran con el cálculo en la lógica).7 Una correlación entre signos a ambos lados de una implicación no proporcionaría esto; así como no brinda una concepción de una serie formal. Supongamos que indicáramos que es la expresión de una iden­ tidad. ¿Qué hay de matemático en esto? ¿Cómo interviene en el asunto la concepción de “y así sucesivamente”? ¿Cómo se expresa una regla}” Esto es una crítica de la concepción de Russell de la genera­ lidad de las matemáticas y la lógica. Supongamos que afirmemos que el resultado de un cálculo tiene validez universal. Esto es de la misma forma que si dijé­ ramos que el desarrollo de un decimal dado es periódico. Es lo que expresó W ittgenstein en el Tractatus al hablar de “el término general de una serie formal” o “la forma general del número". Y, como lo observó más adelante, la “generalidad” de (I, x, x -)- I) no puede expresarse con “ (x ). (I, x, x I) (Hablaba de la in­ ducción y de la idea de “tener validez para todos los números”.) Nos sentiríamos dispuestos a decir que la forma general de. la operación es la misma que el concepto general de una serie fo rm al... salvo que no hay en realidad tal concepto; es una forma. Y necesitamos mantener especialmente esta distinción cuan­ do hablamos de una generalidad. El signo para una operación es 7 P htlosophische B em erkungen, p. 129: “Esto concuerda con lo q u e pensé en n a tiem p o a l decir: los núm eros e n tra n en la lógica con el sistem a de] c álcu lo ”.

el signo general para un miembro de una serie formal. Tómese el dado en 5.2522: ( a ,x ,0 ’x ). T al es también la forma general de la aplidación sucesiva de una operación. Porque la forma general de una operación es la forma general de su aplicación su­ cesiva. Pero induciría a engaño decir que esto indica “la clase de generalidad que tiene una operación” . Podríamos distinguir entre operaciones más generales y más especiales, pero esto sería otra cosa. No sería la generalidad de la forma (por oposición, diga­ mos, a la generalidad de un concepto). “Los números son exponentes de operaciones”. No son pro­ piedades de agregados ni propiedades de las propiedades definitorias de agregados. Decir “las aplicaciones sucesivas de una ope­ ración forman agregado” carecería de sentido. Sería tratar las "repeticiones de la operación” como sucesos físicos. Sería con­ fundir la forma, o la posibilidad, con mi ejecución de la operación. Esto sería como una confusión de la cuenta en las matemáticas: contar las raíces de una ecuación o los vértices interno y externo de un pentagrama (ejemplos de Wittgenstein) y contar fuera de las matemáticas: contar las jarras de un estante o los glóbulos blancos de una muestra de sangre. Podríamos querer decir: “El orden de la aplicación sucesiva es un orden temporal; uno tras otro”. Esto está muy bien si recor­ damos que se trata de un orden de posibilidades: el orden exis­ tente en una construcción. “No podemos construir el polígono antes del triángulo” (Simone Wreil) ,8 Esto no se refiere a los tiempos de los sucesos reales. Una razón para hablar de los números como exponentes de una operación era mostrar que las expresiones de la aritmética pertenecen a un sistema. De lo contrario, las ecuaciones serían reglas arbitrarias de sustitución. No sabríamos a qué pertenecen: esto es, no sabríamos qué hacer con ellas. Black parece desorien­ tado a este respecto cuando habla de “las aplicaciones de la arit­ mética al contar” (p. 314). Se muestra más seriamente desorientado en lo que dice de 6.02. Ahí (p. 314), parece considerar que la aplicación sucesiva de una operación (su frase “la autoaplicación de una operación Q.” no está en el Tractatus y es engañosa) es algo así como la suma lógica de una función de verdad a sí misma, p v p — p; de modo que si la operación fuera "v”, O’O’O’a sería lo mismo que O’a (ver 5.2521). Black puede haber sido llevado a esto por el hecho de que, cuando Wittgenstein comienza sus definiciones o más bien sus construcciones de los números, llega a la conclusión de que 8 L e fo n s de p hilosophie de Simone W eil, presentadas p o r A nne R aynaud, P arís, 1959, p, 65.

el signo para la repetición de la misma operación será un exponente escrito en primer lugar como una sucesión de I”. Pero esto es el "_j_” de la suma aritmética. Y sean cuales fueren las difi­ cultades que eso pueda aportar aquí, no es la suma lógica. p vp = p 1+ 1^1

Como el Tractatus usa “operación”, no tendría sentido hablar de una suma lógica de operaciones. Y aunque en toda su sucesiva aplicación la operación es la misma, esto no significa que la apli­ cación sucesiva no sea distinta de una aplicación aislada de la misma. Black concluye así: “Parecería que para toda m y n mayores que cero necesitamos tener Q m’x = Q.n’x. ¿Se sigue de ello que m z= n para todos los enteros positivos?”. P e r o ..., ¿qué significa “= ” en la primera de esas frases? Si significa “es la misma ope­ ración que”, nada se sigue de ello sobre la igualdad aritmética. Si es el signo de la igualdad numérica, no tengo idea de qué signi­ fica toda esa expresión. (Las palabras de Black ‘‘para toda m y n mayores que cero necesitamos t e n e r ...” carecen de sentido en este contexto.) En 6.01, W ittgenstein había dicho que la forma general de operación es “la forma de transición más general de una propo­ sición a otra”. El resultado de cualquier transición de esta forma sería una proposición, no un número. La forma general de ope­ ración entra de un modo u otro a la serie formal en que son generados los números, aparentemente. Pero la prim era idea es que los números son exponentes de la aplicación sucesiva de una operación. . . no que son generados por ella. La serie formal en que son generados o construidos es una serie de operaciones arit­ méticas. En 5.2523, el Tractatus dice: “Der Begriff der succesiven Anwendung der Operation ist aquivalent mit dem Begriff [und so weiter ] ” .9 La forma general de operación no es, en sí misma, una operación de una serie formal. Es lo que hace posible el desarro­ llo de una serie formal. Y es lo que hace posibles las construcciones matemáticas. De modo que en aritmética podemos calcular y no nos preguntamos si el mismo cálculo dará siempre el mismo resul­ tado. Podemos ver que es así como se produce: asi como con un decimal periódico, cuando vemos que el residuo es el mismo que el dividendo, podemos ver que se produce asi. En el Tractatus, el número es un concepto formal o una forma. No aprendemos el significado de una forma como apren® “El concepto de las aplicaciones sucesivas de u n a operación es eq u iv a­ lente al concepto y así sucesivam enie” .

demos el significado de un nombre o una frase; y yo no podría explicarle al lecior una forma como podría explicarle un con­ cepto general. La “forma” y la "construcción” van de la mano; y el lector puede comprender una construcción que se realiza; así como puede comprender una frase sin tener a nadie que le diga qué es. Pero no podríamos definir una forma proposicional sin que fuera circular (la expresión para decir “forma general de proposición” contiene “proposición elemental”) . Tampoco pode­ mos definir números, en ese sentido. Digo “en ese sentido” porque las construcciones de W ittgenstein en 6.02 son definiciones en un sentido distinto. Cuando nos dan una serie formal podemos “ver que debe producirse así”. Esto es lo que subyace en las pruebas recursivas y en las definiciones. W ittgenstein da una serie formal de defi­ niciones escribiendo las definiciones de 1, 2 y 3 y escribiendo luego “ (y así sucesivamente) La serie se desarrolla con la repe­ tición de “-j- 1” y en esa forma muestra no sólo que todo número después de 1 incluye el número que lo precede, sino también que las reglas para la suma —las leyes asociadas y conmutativas, por ejemplo— son válidas para todos los números naturales. Esto significa que Wittgenstein supone la aritmética para definir el número; pero esto no tiene por qué ser una objeción. Wittgenstein admitió, más tarde, que necesitaba paréntesis si quería que la sucesión de — (— 1 fuese una serie formal. Supon­ gamos / > / / » / / / > / / / / ' / / / / / > sin nada en los signos que sugiera la operación con la cual pasamos de una de ellas a la otra. Esos signos no serían términos en una serie formal. En la serie no habría un término general o regla de la serie que determinara su desarrollo. “Y así sucesivamente” no significaría nada. Pero si escribimos 1-)- 1 -|—1 -j- 1 -)—1, esto carecería igualmente de forma. A menos que tengamos los paréntesis ((((1 ) + 1 ) -f- 1) + 1) • • • ¿cómo sabremos a qué le agregamos el 1 siguiente? Si W ittgenstein hubiese usado los paréntesis en 6.02, la co­ nexión con la repetición de una operación podría haber parecido menos directa. Quizás hubiese pensado también que los 1 debían escribirse sin diferencias a fin de mostrar que los paréntesis se justifican. .. para señalar cómo la repetición de una operación ayuda al uso de paréntesis. En 6.231, dice “Es una propiedad de "1 -(- 1 -[- 1 -j- 1” el que ello pueda ser concebido como “ (1 -j- 1) + (1 + 1)”. Es como si la gramática de “ 4 - 1” fuese funda­ mental para todas las cifras de los números naturales. Y a veces, cuando queremos mostrar que el mismo número figura a ambos lados de la ecuación, podemos pensar que, para hacer completa la demostración, debemos resolver cada cifra en una suma de va-

ríos. Esto está muy bien cuando se trata de números pequeños. Si escribimos (1 -}- 1) -f- (I - f 1 -f- I) = (1 + I -f- 1) -(- (1 + 1) y luego abandonamos los paréntesis, podemos ver que a ambos la­ dos se halla el mismo signo. Pero si hiciéramos esto para el 18 — |—17 = 17 -j- 18, la sustitución de 1 -)—1 -|— 1.. . n ° aclararía nada. Tendríamos que contar los 1 después de haber sido elimi­ nados los paréntesis y confiar en nuestra ecuación primitiva. Esta ecuación (18 — f- 17 = 17 — f- 18) es evidente, de todos modos. De manera que, ¿por qué nos sentimos inclinados a sustituir los -(- 1? ¿Es una manera de mostrar la forma general de la suma? ¿De mos­ trar por qué las reglas de la adición son válidas para todos los números naturales? Como si esa manera de escribir números mos­ trara cómo surge la aritmética de la forma general de operación. En 1923, Skolem habló de la prueba recursiva de la ley aso­ ciativa para la suma, por ejemplo. ¿Supone algo así Wittgenstein cuando escribe "así sucesivamente” en sus definiciones con 4- 1? ;Supone que la forma general de la operación lo proporciona? Poco más tarde, diría que no lo supone. Pero acaso cuando escri­ bió el Tractatus no tenía ideas muy claras al respecto. Supongo oue la forma general de operación (si queremos hablar de ella) interviene cuando hemos dado la prueba recursiva para a -f- (b -)- 2), a -f- (b -(- 3),. . . y vemos que esto es una serie de pruebas que tienen una forma especial... válida para todos los números natu­ rales. Ésta no es la forma de la prueba recursiva; es lo que se muestra en la prueba recursiva. Si hablamos aquí de sacar una conclusión, sacamos la conclusión a partir del modelo esnecial: la transición paradigma desde a -f- (b -)~ 1) = (a -|- b) -)- 1 a la regla correspondiente para a -(- (b 4- 2), digamos. No basamos nada en la forma del cálculo en s;eneral. Y cuando diie hace un mo­ mento que la forma general de operación “intervendría c u a n d o .. esto no era correcto; no interviene para nada. W itteenstein quería mostrar una conexión entre la aritmética v la posibilidad del simbolismo. Lo que hace posible que un sim­ bolismo tenga sentido. Wittgenstein quería contrarrestar la idea de que una opera­ ción podía provocar un galimatías de signos carentes de signifi­ cación. Más tarde, escribió sobre seudo-operaciones, las que pare­ cen operaciones matemáticas pero no lo son. Se trata de una se'udooperación si no podemos ver en los signos escritos la ley o la regla de desarrollo que las determina; si el desarrollo de un decimal, por ejemplo, no es determinado completamente por una regla de ope­ ración que conocemos desde el principio. (¿En qué sentido sería esto un “desarrollo”?) Si fuera generalmente así, si no hubiese diferencia alguna entre operación y seudo-operación, no podríamos

comprender ninguna operación. No comprenderíamos la instruc­ ción “elabore el cálculo”. El “así” en "y así sucesivamente” care­ cería de significación. Si es esto lo que significa “Hay una forma general de operación”, no se sigue de ello que podamos pedir que se escriba la forma general de operación. W ittgenstein abandonó toda esa manera de hablar cuando (en 1929) dejó de referirse a la forma general de proposición. Pero la distinción de operacio­ nes y funciones de verdad fue importante para estudiar la nota­ ción lógica de Russell para la aritmética. Fue, quizás, un paso adelante para reconocer que las operaciones matemáticas y las lógicas no pueden marchar juntas.

EL PEN SAM IEN TO DE W IT T G E N S T E IN SOBRE LAS M A T E M A T IC A S

D.

S. S h w a y d e r

La filosofía de W ittgenstein es kantiana del principio al fin. Tampoco cambia jamás en otros sentidos. W ittgenstein siempre escribió en ese estilo enloquecedoramente personal, desnudo, tea­ tralmente epigramático, centelleante como un poderoso estrobos­ copio, desconcertando a la inteligencia con un brillo que alternaba con la oscuridad y causa a menudo algo totalmente borroso. El prólogo de Philosophische Bemerkungen es una expresión intensa de su insistente opinión de que lo importante en el m undo del espíritu debe ser claro y simple (ver también Tractatus, 5.4541) y su tragedia fue que sabía que, en su vida, todo era menos claro y simple de lo que esperaba. El espíritu progresista de la llamada ciencia empírica y los programas metodológicos de su filosofía fueton siempre ajenos a su temperamento (ver Tractatus, 6.372). Daba preferencia al “otro m undo” trascendental de la metafísica, la lógi­ ca y las matemáticas sobre las inexplicables contingencias sin valor de la ciencia y del sentido común (ver Tractatus, 6.13, 6.421, 6.4312). La única clase de explicación que no se detendría de pronto prematuramente mientras duraba, sin embargo, la impre­ sión de explicarlo todo, revelaría las más profundas características constantes de nuestras maneras de pensar sobre el mundo y W itt­ genstein nunca dominó el impulso kantiano de demostrar las cate­ gorías fundamentales del pensamiento y la experiencia. Pero esos experimentos sólo podían ser realizados en el propio espíritu. Así, en su obra de los últimos tiempos, cuando había abandonado el ideal de un lenguaje unificado, dejó solamente a la filosofía la ta­ rea de describir lo '“abigarrado” del pensamiento humano. Esta concepción del pensamiento de W ittgenstein coloca en perspectiva sus nuevas visitas a la filosofía de las matemáticas; con­ servó su interés por ella por lo menos hasta 1944, en el Tractatus,

en Philosophische Bemerkungen, y en los escritos compilados bajo el título de Observaciones sobre el fundamento de las matemáticas (a las cuales, para mayor facilidad de referencia, llamaré desde ahora, respectivamente, T, B y R ) . Como es sabido, Wittgenstein vino a Cambridge a estudiar los fundamentos de las matemáticas con Russell, y los escritos de Frege y Russell sobre la relación existente entre las matemáticas y el uso del lenguaje fueron la pri­ mera y principal influencia persistente sobre su pensamiento, y lo impresionan también más tarde las conversaciones con Brower y Ramsey y los escritos de Hilbert y Goedel. Los resultados de W itt­ genstein en la filosofía de las matemáticas fueron siempre poco concluyentes, poco adecuados a los problemas, técnicamente terri­ bles y a veces hasta ridículos, en R así como en T —según las pala­ bras de Kreisel—, “ un producto sorprendentemente insignifican­ te de un cerebro centelleante”.1 En una posterior recensión a Los libros azul y marrón, Kreisel se queja de que Wittgenstein, cosa característica, no logró, al examinar las matemáticas o casi todo, ir más allá de hurgar, y llegar a un análisis más satisfactorio, com­ pleto, de los problemas teóricos.2 Pero hay, sin embargo, algo de fascinante en todo eso, por razones reveladas acaso por su limitada pertinencia con respecto a la lógica y a las partes más concretas de las matemáticas clásicas, la geometría, la mecánica y la aritmética. Argüiré nue, según Wittarenstein, al matematizar con éxito descu­ bre y confirma las conexiones conceptuales obtenidas con nuestras formas cotidianas v científicas de pensar v hablar. Las matemá­ ticas, con la metafísica, son, según esto, la investigación conceptual de las conexiones necesarias. A pesar de sus declaraciones ocasio­ nales en sentido contrario, W ittgenstein debió de considerar a las matemáticas y la metafísica primos platónicos, métodos para des­ entumecer el cerebro (ver R: 17). Creía en la geometría y la me­ cánica porque en ellas la relación de las matemáticas con nuestras maneras usuales de pensar es inmediatamente visible. Consideraba que la axiomática y el uso de otras maquinarias metodológicas pesadas son perniciosos. Las matemáticas puras y la metafísica especulativa, por igual, pueden verse anegadas en imágenes y en sus propias abstracciones sin sentido, y en ninguna parte, pensaba, 1 G. Kreisel, “R ecensión d e H " en el B ritish Journal of th e P hilosophy o f Science, 1958, p p . 135-58. A p a rtir de a q u í “K reisel” (1) . 2 “T e o ría y práctica de la filosofía de W ittg en ste in ”, BJPS, 1960, pp. 238 52, esp. p p 239 y ss. E n co n tré ese a rtícu lo desde a q u í '‘K reisel” (2) , c u a n ­ do ya h a b ía escrito lo substancial de este ensayo, a h í conseguí u n a guía p a ra los "C om entarios a las O bservacio-us sobre los fu n d a m e n to s de las m a tem á ­ ticas de L udw ig W ittg en ste in ” de P . B ernays (R a tio , 1959, p p . 1-22), q u e se acerca a m is p u n to s de vista sobre la filosofía de las m atem áticas de W ittg en s­ tein m ás q u e cu alq u ier o tra cosa q u e yo h aya leído.

es más evidente esto que en el desarrollo de la teoría de los con­ juntos desde los tiempos de Cantor. En este artículo, quiero presentar la filosofía de las matemá­ ticas de Wittgenstein, tal como la he leído,con la intención pri­ maria de establecer indirectamente el hecho de un saldo conside­ rable que pasa de T a R , una continuidad que también creo típica de toda su filosofía. Sostengo que W ittgenstein consideró siempre a las matemáticas un método o un acopio de métodos que se pro­ pone demostrar conexiones conceptuales latentes o impuestas a nuestro uso ordinario y científico del lenguaje. Lo que les da a las matemáticas su significación y justifica sus necesidades civiles, co­ tidianas, son los roles no matemáticos, de los conceptos investiga­ dos. Wittgenstein, lo cual nada tiene de sorprendente, puso énfa­ sis en el cálculo y en lo que Hilbert-Cohn-Vossen llamaron “Matemáticas intuitivas”, en esa clase de pensamiento no siste­ mático bien ilustrado por experimentos del pensamiento condu­ cidos típicamente fuera de la teoría matemática por métodos que, son~en realidad, de demostración y no de derivación lógica. W ittgen­ stein, como cabía esperarlo igualmente, desaprueba las teorías muy estructuradas, pero estructuradas de una manera artificial, de las “matemáticas puras”, que se dirigen más que nada hacia otras partes de la propia matemática. T rataré de descomponer la posición de Wittgenstein en m u­ chos "temas” conectados, que desarrollaré y elaboraré con observa­ ciones y referencias a T, B y R. Mi argumento indirecto para la conclusión indicada son precisamente las referencias que, con todo, han sido reunidas bastante al azar y están destinadas a ser sólo ilustrativas y son por cierto incompletas. A veces, la cita de una referencia constituirá también una interpretación implícita.3 Mi propósito accesorio es ofrecer una alternativa a la bien conocida interpretación de R por el señor Dummétt, que con todo, suscita una amplia incredulidad.4 Convengo, con Dummett, en que las matemáticas no pueden tolerar ningún supuesto privilegio de estipular cuándo una afirmación se justifica, pero esto no im­ plica criticar a Wittgenstein. Mis colegas Chihara y Stroud tienen 3 Me lim ito en g ran p a rte a los tres libros m encionados. Al red actar este estudio, yo no ten ía las N otas sobre m atem áticas, q u e circularon am p lia ­ m en te en la década 1950-60, a u n q u e m e alegró h a lla r ú tiles citas de ellas e n m i tesis sobre T m C reo q u e esas notas h a n sido desalojadas p o r R . Asim ism o, p o r n o e star disponibles, no hice u n uso sistem ático d e las N otas sobre lógica, d e los Cuadernos de M oore y los diarios de W ittgenstein. E n cu an to concierne a las Investigaciones filosóficas, he confiado en la im presión general q u e me h á quedado, co n firm ad a ocasionalm ente p o r las notas sobre m i tesis. Las Referencias a B y R se d a rá n sim plem ente con esas iniciales, seguidas p o r los núm eros de páginas. * “W ittg en stein ’s Philosophy of M athem atics”, P hil. R e v t, 1959, p p . 324-48.

razón al censurar a Dummett por hacer aparecer a Wittgenstein como un convencionalista en ese tonto sentido.5 Ven que W itt­ genstein se propuso hacer inteligible la compulsión lógica y no formular pretensiones para algún juego muy carnapiano, de rela­ tividad en el lenguaje. Kreisel hizo notar que la incredulidad de Wittgenstein en cuanto a los objetos matemáticos no constituye una incredulidad en la objetividad matemática ([1], p. 138, n? 1). Chihara llega a sugerir que “el punto de vista constructivo" sobre las matemáticas de Wittgenstein está en concordancia con el “pun­ to de vista realista” (ob. cit., p. 34) y si me viera forzado a elegir, yo llamaría más bien a W ittgenstein “platónico” y no ‘‘convencio­ nalista”. Mi tema principal, más adelante, será que Wittgenstein sostuvo que las matemáticas han derivado del uso cotidiano del len­ guaje y (como lo señala Chihara, ob. cit., p. 26, n? 17) concordó con Frege en que esa aplicación cotidiana es la que da su signi­ ficado a las matemáticas. Las matemáticas ponen de manifiesto las propiedades de las nociones familiares. Yo comprendería que alguien calificara a la filosofía de las matemáticas de Wittgenstein de “platonismo trascendental” o (si se quiere), de “conceptualis­ mo”. va que Wittgenstein pensaba que las matemáticas, en su as­ pecto más característico, son la investigación conceptual de (otros) “juegos de lenguaje”. Algo así es su alternativa con respecto a las demás “filosofías” usuales. El formalismo despoja erróneamente los conceptos matemáticos de su papel cotidiano, pero tiene razón al reconocer que “las matemáticas deben valerse por sí mismas" (T: 5.473; R: fi7 dos veces); el "psicologismo” v el “empirismo” conservan el significado pleno a costa de sustituir las necesidades de las matemáticas por el trasfondo contingente del pensamiento: v el platonismo sólo rescata la necesidad entregándose al peor gé ñero de teología y alquimia. Pero el "platonismo trascendental” y el “conceptualismo” se equivocan también, porque Wittgenstein en todo momento mantuvo con firmeza su opinión de que el género de matemáticas que importa, no es un cuerpo de doctrina o una teoría, sino más bien un testimonio de los esfuerzos hechos con éxito por el hombre para volver explícito lo que es esencial en nuestras formas de pensamiento. Las matemáticas constituyen un tipo difícil de conocimiento “no observacional” reflexivo, intui­ tivo. Los mandatos convencionales sólo son —y no son más— una parte de esto, así como la autointerpretación forma parte de nues­ tro conocimiento de nuestras propias intenciones, Al presentar y argüir esta interpretación, me limitaré más que ® V er C. C h ih ara, ‘‘M athem atical Discovery a n d C oncept F o rm a tio n ", P hil. R ev., 1963, p p . 17-34; B. Stroud, ‘‘W ittg en stein a n d Logical Necessity”, P hil. R eo ^ 1965, p p . 504-18

nada a lo que Kreisel distinguió como interrogantes en la "filoso­ fía general” en contraste con los interrogantes en la “filosofía de las matemáticas", a saber, las concernientes a la relación de las matemáticas con la “vida” en contraste con las planteadas por investigaciones matemáticas específicas, para las cuales mi incom­ petencia es enorme. Mi plan concuerda con la resistencia de Wittgenstein a negarlo todo y con su declarado deseo de dejar los resultados matemáticos tales como son (R: 104, 157, 174; ver también Dummett, ob. cit., p. 325), y no con sus conclusiones sobre la naturaleza de las matemáticas, que según lo he sugerido ya, indican una semejanza con la metafísica. A pesar de todo, el temprano uso de las tablas de verdad por Wittgenstein fue un aporte pequeño pero históricamente importante para la propia lógica matemática y por cierto pareció W ittgenstein a menudo negar cosas. Acato gustosamente la autoridad de los matemáticos que dicen que Wittgenstein no captaba la significación matemática de los resultados que interpretaba y que sus observaciones espe­ cíficas son útiles solamente para quienes, en su inocencia mate­ mática, son capaces de incurrir en terribles malentendidos. Mi opinión es que la parte útil de lo que tiene que decir Wittgenstein sobre las proposiciones verdaderas pero que no se pueden probar de R (p. 50 y ss.) ha sido mejor expresada después por otros, y por cierto que él no muestra mucha sensibilidad ante las sutilezas de las interrogantes matemáticas en juego. Con todo, diré algo sobre las opiniones de Wittgenstein con respecto a números reales y la consistencia. El grueso de lo que sigue será una revisión de temas que re­ aparecen en la filosofía de las matemáticas de Wittgenstein. Co­ mienzo con algunas observaciones históricas generales y termino con una valuación de mera fórmula v con una tentativa de darle un carácter verosímil a las ideas de Wittgenstein. Algunos antecedentes Quizás el rasgo más distintivo y revolucionario de los progra­ mas logísticos de Frege y Russell para las matemáticas puras haya sido la finalidad declarada de hacer anclar a las matemáticas en el lecho del pensamiento y el lenguaje no matemáticos. La lógica y las matemáticas son, según este punto de vista, responsables ante las familiares actividades de inferir, contar, medir y en última instancia son teorías de las proposiciones que formulan hechos cotidianos. Ambos pensadores consideraron necesario establecer cierto número de teorías originales y aun de influencia acerca del lenguaje, con las cuales garantizar sus teorías lógicas. Frege sub­

rayó más que nada la distinción entre la pretendida Bedeutungen de los nombres propios y nombres de f unción (así llamados). De sus otras distinciones claves, el distingo entre Sinn y Bedeutung era esencial, pero sólo ocasionalmente visible en el sistema del Grundgesetze, y la existente entre “contenido” y “juicio”, aunque muy visible, no fue elaborada suficientemente. Russell, con mayor despreocupación y menor coherencia, se propuso erigir toda la estructura de la lógica y las matemáticas sobre el llamado Princi­ pio del Círculo Vicioso, que, antes que nada, era un principio sobre el lenguaje en sus apariencias “vulgares”, no matemáticas. Wittgenstein encontró mucho de provocativo para él en esas teorías del lenguaje, tomadas simplemente en sí mismas. Lo que es más importante para nuestros fines, pensó que todo el programa lógico se basaba en una concepción errónea sobre la relación exis­ tente entre las matemáticas y el lenguaje. Esa concepción errónea involucraba la suposición de que las matemáticas con la lógica podían ser dispuestas como una teoría autónoma elegible para la remodelación sistemática como disciplina deductiva. Los sistemas del Grundgesetze y PM le parecían a Wittgenstein inmensos mo­ numentos a ese error, contra el cual polemizó largamente a través de las páginas de T. Entre los síntomas más dramáticos de que había algo de erróneo estaban la contradicción y la incoherencia fundamental de la teoría de los tipos como teoría del lenguaje (vér especiálmenté el tomo II de PM., declaración preliminar) y lá aparición' entre los fundamentos de las proposiciones mal com­ prendidas y las proposiciones aparentemente contingentes. W itt­ genstein explotó todas estas dificultades a fondo, junto con puntos dé doctrina positivos tomados en préstamo tales como la creencia afirmada por Russell de qué la teoría de los tipos' es una teoría del simbolismo y el argumento de Frege de que no podemos for­ mular la distinción decisiva entre la función y el objeto. Pero la dificultad principal, fue simplemente que ni Frege ni Russell po­ dían decir con precisión cuál era, a su entender, la relación esen­ cial entre las matemáticas y el lenguaje. El método logístico frus­ traba la tentativa logística. Ambos se vieron empujados finalmente a la idea de que las leyes de la lógica eran proposiciones muy generales, quizás sobre el m undo en general (Russell), quizás sobre lo que debemos considerar verdadero (Frege), o, (misterio­ samente) , sobre un dominio de las cosas preferible para los mo­ radores de las matemáticas tradicionales sólo por el hecho de ser más evidentemente fáctica. Durante algún tiempo, Wittgenstein se mostró de acuerdo con la tesis de que las proposiciones lógicas son muy generales, pero más tarde, partiendo de la manera como Frege explicó y justificó sus axiomas, argüyó que las verdades de

¡a lógica no son proposiciones universales sobre el lenguaje o sobre cualquier cosa, sino más bien reflexiones de cómo usamos el len­ guaje. La prueba, en esta concepción, se convierte en una “demos­ tración” en el sentido original de la palabra —mostramos cómo son las cosas en nuestro lenguaje— y no el derivado lógico de las pro­ posiciones. Como es notorio, la doctrina resultante era excesiva­ mente rígida en su exagerada exigencia de que la demostración, en el sentido de “mostrar cómo es eso”, es el único recurso disponi­ ble para el que quiera comprender mejor las bases del pensamien­ to y la naturaleza de la necesidad. Esta teoría de las matemáticas perduró casi intacta hasta el período “medio”, “verificacionista”, de Wittgenstein, del cual B es hasta ahora el principal de los testimonios publicados. Se con­ servan la posición extrema sobre el “mostrar” y hasta los detalles. Hubo varios agregados y cambios interesantes. En la filosofía general, W ittgenstein mostraba un interés creciente por los pro­ blemas del escepticismo y de lo privado. El artículo 1929 sobre la forma lógica testimoniaba una modificación significativa de de­ talle, aunque no en principio, en la idea de T de que el lenguaje es una estructura unificada con una lógica unificada que podía ser captada de golpe. Sus supuestas conversaciones con Brower acaso hayan confirmado sus tendencias al “intuicionismo” en las matemáticas y lo hayan alentado a pedirnos que consideremos cómo se pueden verificar declaraciones sobre (por ejemplo) los números reales, donde sólo eran procedimientos aceptables, gene­ ralmente, la aritmética y los métodos recursivos. (Ver B: 174 ss.) En B, W ittgenstein reveló un interés mucho mayor que el que se advierte en T por las ideas reales de las matemáticas modernas, sobre todo las concepciones modernas de los números infinitos y reales y en la teología del Mengenlehre (teoría de los grupos). Hace una aplicación constante pero novedosa de la idea de “las reglas para continuar”, prefiguradas sólo vagamente en la apela­ ción del Tractatus a las operaciones. En el segundo Anhang (apén­ dice) , que es un testimonio de las conversaciones con Schiick y Waismann, W ittgenstein dirigió sus armas arguméntales contra la filosofía de H ilbert y la doctrina emergente de las metamatemáticas, polemizando en forma estridente contra la filosofía que refuerza la cuestión mediante la consistencia y contra la presunta importancia del teorema de la “incompletitud” de Goedel. Esos intereses y tendencias críticas perduran en los escritos reunidos en R en que (arguyo) la doctrina tractariana de W itt­ genstein sobreviven también, algo atenuada por su naciente admi­ sión de las variedades del lenguaje y el consiguiente énfasis sobre ‘ lo abigarrado de las matemáticas”. El cambio principal, me pa­

rece, es que finalmente W ittgenstein atenuó su rígida insistencia en que las necesidades no pueden depender, en modo alguno, de las meras contingencias de la situación humana. Wittgenstein logró, finalmente, encontrar algo semejante a un fundamente para las matemáticas en la historia natural del hombre. Tema Z:« PODEMOS EMPEZAR PO R OBSERVAR QUE W ITTG EN STEIN TOM Ó COMO EJEM PLO PRIM ORDIAL DE LA TE O R ÍA DE LA INFERENCIA DE LAS MATEMATICAS VIVAS AUTÉNTICAS [evidente en T , B y R , por igual, pero nótese que se tornó gradualmente menos consentidor en lógica y más inexorable en sus críticas de las pretensiones de ésta], A L CALCULO Kreisel observó que a Wittgenstein le preocupaba la descuidada cuestión de los cómputos elementales. (Ver también: Bernays, ob. cit., p. 11) .) En T , llamó cálculo su método para llegar a las tautologías, asimilando así la teoría de la inferencia y la verdad lógica a la aritmética (T : 6.1203, 6.126). Pensaba que las mate­ máticas no eran otra cosa que el método de sustituir por ecuacio­ nes, calificado también de cálculo [T : 6.2331, 6.24], Se puede suponer que tenía en vista algo así como la trigono­ metría. (B : 177, 180 s.). (La teoría, tal como se la presenta, es probablemente in­ coherente, aunque sólo sea porque las ecuaciones en cuestión no involucrarían símbolos matemáticos sino más bien nom­ bres comunes.) Su único ejemplo contiene números (6.231, 6.241) y su teoría de los números puede considerarse generosamente como equiva­ lente al esquema de Peano para introducir operaciones aritmé­ ticas. El énfasis sobre el cáculo y sobre los sistemas de números continúa en B (en toda su extensión). Es significativo que Wittgenstein parece adherir aún a la teoría del T (132 s., 142 s.). y R (por ejemplo, 88 s.), donde observa la conexión con el contar. (5 s., 28). Es evidente, asimismo, que su axioma de que el proceso y el resultado son equivalentes es ahora más plausible que para el cálculo. 6 E m p learé esta form a: P L A N T E O MAYOR DEL T EM A Desarrollo Discusión (M ás discusión) Los peldaños, a veces, serán salteados.

(Referencias)

A LA GEOM ETRÍA, que él asemeja al cálculo ( T : 2.0131, 3.032, 6.35; B: 152, 216 s.; R : 16 ss., 77); A LA TO POLO GÍA (R : 174 s.; ver también el ejemplo de desatar un nudo, B : 184). A LA CINEMÁTICA, A Wittgenstein, lo fascinaban los engranajes y mecanismos simples. Éstos figuran entre sus ejemplos favoritos de pruebas con diagra­ mas, donde la pintura define las conexiones y trasmite la sensación de rigidez y compulsión (R: 35-9, 119 s., 127 s.), y también exce­ lentes ejemplos, de la forma en que puede interpretarse un movi­ miento real como “demostración de lo que es esencial” (R: 25 s., 139, 195 s.); Y, POR DERIVACIÓN, A LA MEDICIÓN, Tanto en B como en R , Wittgenstein apela a menudo a la medi­ ción para ilustrar las relaciones internas entre los conceptos y la imposición de “controles” (por ejemplo, R : 27 s., 159 s., 173 s., 194); A LA MECANICA, Especialmente en el T [4.041, 6.321-6.3611, 6.3751]. También hay unos pocos ejemplos sueltos en B, sobre todo en el primer Anhang y en R [por ejemplo, 136 s.]. Y, FINALM ENTE, EN ESCRITOS POSTERIORES, EL T IP O DE DEMOSTRACIÓN O G E D AN K EN EXPERIM EN T CON QUE LOS FÍSICOS NOS HACEN CAPTAR LOS PRINCIPIOS DE LA FISICA. (Ver las referencias mencionadas más arriba bajo el rótulo de “cinemática", donde se usa como prueba un diagrama o un mecanismo que funciona realmente.) W ITTG EN STEIN DESDEÑA VISIBLEMENTE LAS DEMOS­ TRACIONES CLÁSICAS EN EL ANÁLISIS QUE NO PUEDEN LOGRARSE CON LA SIMPLE EXHIBICIÓN DE UNA FIGURA O HACIENDO UN CÁLCULO FORMAL. (Ver Bernays, ob. cit., p. 2.) Tema 2. LA LÓGICA Y LAS MATEMÁTICAS SON MÉTODOS PARA LA DEMOSTRACIÓN “TRASCENDENTAL” DE LAS PROPIEDADES LÓGICAS, ESENCIALES DE NUESTRAS MA­ NERAS “VULGARES” (NO MATEMÁTICAS) DE PENSAR Y HABLAR SOBRE EL MUNDO. (Para la clase de cosas que él tuvo al principio en vista, véase T: 6.12, 6.121; B: 142 s. Usa “lógico” en todo el T en ese sen­ tido, equivalente efectivamente a “interno”, “formal”, “necesa-

rio” y “esencial”; todo lo cual, sobre todo “interno”, reaparece a menudo en B y R . Usó el “transcendental” altamente kantiano en T: 6.13. Para la interpretación de lo que significa, ver más abajo.) La misión de las matemáticas es demostrar qué tiene sentido decir, mostrando cómo se aplica una regla; tendiendo vías en el len■ guaje [-R: 12, 77 s., 80]; poniendo conceptos usuales que tienen característicamente un uso no matemático en las relaciones memorables [i?: 25 s.]. “Lo que le hace aceptar una prueba a la gente es que usa las palabras como lenguaje” [i?; 44]; “Es esencial para las matemá­ ticas que sus signos sean usados también en el lenguaje com ente”, [ií: 133]; “Los conceptos que se presentan en las proposiciones “necesarias” deben presentarse también en las no necesarias”. (R; 153). Esta idea de la aparición “vulgar” de los conceptos matemáticos, que reaparece en R [también en 8, 41, 79], es un eco del pensamiento tractariano de que la lógica y las mate­ máticas deben estar en “contacto” con la realidad por inter­ medio de su “aplicación” (T: 2.1512 1,5.557). Lo que hace del juego una matemática, es la “aplicación” a las proposiciones comunes (B : 131, 135, 143; R : 133); “La lógica obtiene todo su sentido simplemente de su presunta aplicación a las propo­ siciones” (R: 118, 133), por ejemplo, mediante las sentencias comunes que se presentan en las tautologías, (Las tautologías, aunque carecen de sentido, no son sin sentido, sino más bien proposiciones limitativas, degeneradas, no esquemas [T : 4.4611, 4.466, 5.143, 6.111, 6.121; asi­ mismo R : 79]) y los nombres usuales que se presentan en las ecuaciones de ías matemáticas ( T : 6.22, 6.23, 6.2341; B: 143); (Pero el propio W ittgenstein observó más tarde que, como no les dejaba sitio a los enunciados de identidad, esas ecua­ ciones no son siquiera proposiciones degeneradas [B : 142] .) se ve en la insistencia de W ittgenstein que las ideas como las de los números que son sometidas a la investigación matemá­ tica dependen de los conceptos [B: 123; R : 150], (En el T los números estaban vinculados esencialmente a las reglas por las cuales fueron generadas las proposiciones, pero la idea no fue elaborada [T: 6.02, 6.03] .) y es parte de lo que él solía tener en vista cuando hablaba del “uso” (R : 3 s.). La concepción general del lenguaje es el único primitivo matemático ( T : 5.472), el lenguaje en sí es la realidad que está más allá (R: 6, 39, 80) y proporciona la intuición necesaria de que dependen las matemáticas [ T :

5.4731, 6.233]. La forma en que son reflejadas demostrativa­ mente las propiedades lógicas del lenguaje es bien ilustrada por el uso del análisis funcional de verdad por Wittgenstein, tomado de Frege [ T’: 4.431 ] y que sugiere lo que se llegó a llamar desde entonces ‘ semántica”. La prueba así concebida sirve para revelar las propiedades “in­ ternas” esenciales y las relaciones de conceptos, verbigracia las relaciones de consecuencia lógica o la dependencia de la medida al contar. La empresa supone ciertamente convenciones y acaso también otros hechos, pero hay hechos que capacitan nuestras maneras corrientes, no matemáticas, de hablar, La necesidad de convenciones y la dependencia de las mate­ máticas de las “formas de vida” es un tema insistente en R Tpor eiemnlo, 94 y ss.l, pero fue anticipada va en T T3.342, 4.1121]. el empleo del “pensamiento” insinúa ampliamente aue la lógica supone hechos psícniiros. de lo cual las matemáticas son un derivado: las matemáticas snn "Postuladas” con el lenguaje y no a la inversa. [T : 6:1233;, R : 43 s,, 159]. ‘ Aquí fue donde se apartó Wittgenstein de Frege v ’Rusjell. Aunque estaba de acuerdo con ellos al insistir en el hecho, de una relación entre las matemáticas y el lenguaje vulgar v en la idea de nue la aplicación es lo míe les da a las matemátiras su significado, pencaba que no habían loprado cantar e^a de­ pendencia con suficiente claridad o ronstancia (Ti: 137: • R : 4I.78K suponiendo qn° la lómVa norh'a prop^n-iona^es leves de verdad al len^uaie (T: 5.132. .5.4733' ver Fres"1, flrundo-esetze v. I xvi: asimismo, en i>nn de sus últimos artículos "Der Gedanhe”. traducido v reproducido en M ind. 1956. pp. 2R9-3P eso. n. 289) d° dondp rWiVnn confusiones sobre la verdad y el significado (T: 4.431. 6.111). f'En realidad, la i'dtima v desordenada forma de hablar de Wittgenstein sobre e l cambio de c^^rentos oor las P r u e b a s matemáticas [para lo cual véase pp. 64 y s., abajo! suele pare­ cerse sospechosamente a lo propuesto r»or Frege.) Siguiendo el Propio uso de Wittgenstein. Uámese a esas activida­ des conceptuales ‘'r/ule'ares” la "aplicación” de las matemáticas; repitámoslo, Ja aplicación es lo eme les da “sentido” a las mate­ máticas. \B: 201: R : 118, 147 s.. 172, 1861. (Asimismo [5 : 229], donde dice que la aplicación es el crite­ rio de la realidad en las matemáticas. Sólo aquí la “aplicación” puede significar algo así como “efectivamente computable” e ilustrar la ocasional disposición de W ittgenstein a contar las "aplicaciones internas” dentro de las propias matemáticas. Es

muy negligente con respecto a esta distinción decisiva de la cual depende la distinción entre las matemáticas puras y las aplicadas.) Una consecuencia inmediata de esto es que la distinción tradicional entre las matemáticas puras y las aplicadas no es válida. La lógica de T se parece a la sencilla y formal lógica “no matemática” de la primera tradición de la enseñanza impar­ tida en conexión directa con ejemplos y considerada evidente en la comprensión misma del lenguaje. (Ver T : 5:13, 6.12, 6 . 1221.)

(También [ ií: 186], que yo interpreto significa que los conceptos introducidos para su aplicación exclusiva dentro de las matemáticas mismas, tales como 2 So» pueden muy bien carecer de fundamento y ser encarados muy fácilmente en forma errónea. Su sentido depende también de sus rela­ ciones lejanas con actividades no matemáticas como la me­ dición.) N o podemos “darles” a las matemáticas una aplicación o una interpretación sea añadiendo explicaciones laterales [T : 5.452], o, más formalmente, asignándoles objetos a los nombres y ciases a los predicados o. “interpretando” variables, (Ver B: 327, donde W ittgenstein parece desafiar la distin­ ción de H ilbert entre juego y teoría.) porque la aplicación no puede ponerse en duda y por lo tanto no puede ser estipulada ni nada parecido. La aplicación debe valerse por si misma \B: 130 s.; R: 67 y T : 5.473, pero obsérvese aquí la importante “Anutendung” (aplicación) .] Las verdades matemáticas son esencialmente aplicables a sí mismas. [Por ejem­ plo, B: 130 ss.; R : 176]. Las características “internas” del lenguaje y el pensamiento son demostradas típicamente con argumentos de un género que se ha llamado “trascendental La verdad de lo que se muestra es garantizada por el sentido de la formulación y la prueba no es tanto una señal de verdad como de lo que tiene sentido decir [ T : 3.04, 6.2322; B: 144, 170, 200 s.; R : 77, 80], Esas características internas, formales, son dadas con los objetos a que se aplican y su presencia no puede ser puesta en duda o negada significativamente porque son presupuestas en la formulación misma de la duda. (Esto es un tema familiar en la filosofía. Probablemente, Wittgenstein halló sus precedentes en el “furor” de la con­ tradicción en el filo del siglo y en el vano intento de Russell de formular el Principio del Círculo Vicioso, que lo dejó con todo en la situación de no poder hacer atribuciones

erróneas significativas o verdaderas negaciones de tipos, así como en la doctrina Moore-Russell de los “indefinibles”, explicados como ideas que serían presupuestas en toda defi­ nición intentada.) En el T , sostuvo también Wittgenstein, “Sería tan sin sentido atribuirle a una proposicion una propiedad formal como ne­ garle una propiedad formal” [4.124], (Para lo cual, asimismo, tenía el precedente del reconoci­ miento de Russell de que no podemos decir que un objeto no es de un tipo distinto del que es y también el de la conclusión de Frege de que no podemos decir que una fun­ ción es una función.) Wittgenstein expresó esto diciendo que nos complicaría en una tentativa ilícita de trascender los límites del pensamiento y del lenguaje (T : 2.174, 4.041, 4.121, 5.61, 6.45-7). La misma idea persiste en B, donde Wittgenstein sostuvo que no se puede negar o afirmar principios fundamentales y presuposiciones o definicio­ nes (B : 172, 120, 193, 330). A unque Wittgenstein repudió más tarde la “metafísica trascendental” de las “posibilidades” y del “ideal” que acompaña tan naturalmente a esos argumentos■ [por ejemplo, Investigaciones, I, § § 89-105; R : 6, 22 s.], algo análogo perdura en el importante pensamiento de que los acuerdos fun­ damentales en nuestras maneras de obrar y en los hechos funda­ mentales de la naturaleza humana que constituyen el medio en que se forman los conceptos y sobre los cuales reposan nuestras matemáticas son también los “limites del empirismo" [ ñ : 121, 171, 176], Las pruebas reductio concebidas como deducciones son parti­ cularmente sospechosas al respecto, porque parecerían apartarse de las suposiciones sin sentido [ü : 190; R : 147, 177]. Quizás podrían ser rescatadas si pudiéramos liberarnos de la idea de que la demostración matemática es una derivación lógica. Siempre formó parte de la opinión de Wittgenstein sobre la depen­ dencia de las matemáticas del lenguaje vulgar el que los resultados matemáticos no debían ser enseñados como enunciados empíricos o semejantes a los empíricos [para el desarrollo de esto, ver el tema 4, más abajo] y que debíamos resistirnos a toda inclinación a suponer que las proposiciones matemáticas tienen su propio tema —un domi­ nio de “objetos matemáticos”— porque esto sólo puede ser una ficción oscurecedora y perniciosa. De ahí que la polémica tractariana contra los “objetos lógicos” [4.0312, 5.4 y ss.], extendida más tarde contra las pretensiones del M e n g e n l e h r e . [Ver Tem a 6 , aba­ jo ], Lo único primitivo lógico, también, es el lenguaje en si mismo. .asimismo, también, la sistematización logística, si fuera adecuada,

sólo lo seria para las teorías empíricas. [Para el desarrollo, ver el Tema 8, más abajo]. Efectivamente, los resultados matemáticos no son propiamente considerados romo proposiciones de ningún m odo, ya que, como las leyes de la lógica, ellas. . . "muestran qué hacemos con las proposiciones, como algo opuesto a la expresión de opinio­ nes y convicciones” [Notas sobre Matemáticas^. y Jo qve hacemos con las proposiciones aparece en las propias demostraciones mate­ máticas y no en las supuestas conclusiones de los derivados lógicos. [Para el desarrollo, ver los Temas 8 y 9, más abajo.] Tema 3. LA PRUEBA MATEMÁTICA ES UN INSTRUM EN TO DE FISCALIZACIÓN CONCEPTUAL Un “instrumento del lenguaje” [íí: 78, 80, 165] Usa d o p a r a d e t e r m in a l o o u e t ie n e s e n t id o a l DECIRLO O LO OUE ES POSTBLE. TVer arriba v B: 140; R: 116] CUANDO SE USA CON fiXTTO. DA POR RESULTADO EL DESARROLLO IR: 24, 301 O LA FTTACIÓN [7?; 201, 249; R: 80, 127. 195 s.] DE LO QUE CONSIDERAMOS ESENCIAL [R: 12 s., 30, 163], A l explicar cómo s* obem esto. Wittírevstcin abela a una des­ concertante variedad d" analonias v nociones térnicas. ('Siemn>-e f’ie " ''g lí^ n fe '"on la termínoloo-ía v a veres lo la m ^ tó [/?: 163, 188, 195, en conexión con “concepto”] .) "10°” ca” /Esencialmente prominente pn T. dondf* la nnlabra se usaba ñor lo general nara a b u ra r todo lo oue tuviese que ver con la determinación a Priori de las características “internas” esenciales del l^no-uaíe. ñero a verps se limitaba más estre­ chamente al método de las tautologías y contradicciones [por ejemplo, 6.221 .) “interna” rer todo T , B v 7?1 "gramática” T/?: 129 s„ 135. 186, 188. 309; R: 40. 77 s.. 1191 “sintaxis” \T : 3.327, 3.33, 3.344, 6.124; B: 143, 178, 189, 216] "formas” (de lenguaje, pensamiento, a jnenudo identificados con “po­ sibilidades” \T : en toda su extensión; B: 178] “Diccionarios”, “definiciones” y “lo que llamamos” [5: 135, 194; R : 28. 76, 74] “reglas” [T: 4.0141, 5.476; B: 143, 178, 216, 311 y ss; R : 21, 26, 32, 47, 77, 81, 115 ss., 127, 159, 163, 196] (Sobre todo "reglas de inferencia” [B : 134; R: 178 ss. 185] ) “convención” [72; 6, 159] “decisión” [ ñ : 77]

“jugadas” y “posiciones en los juegos” [/?.' 94 s .]. “indicadores”, “senderos”, “canales”, “pasamanos” [i?: 82, 116, 122, 193] “pinturas”, “esquemas”, “modelos” y descripciones de los mis­ mos [R : 11 s., 29, 75, 117]. (N. B.: En R , a diferencia de T , las “pinturas” y los “mode los mismos [ií: 13, 65, 187] instrumentos de fiscalización conceptual, usados para regular lo que debe considerarse una proposición y para demostrar conexiones entre las proposiciones.) "métodos de experimento” y “de predicción” y formulacione* délos” no son en sí mismos proposiciones, sino más bien “marcos de descripción” Tí?; 160: también T: 6.341] “estampar un procedimiento” TR: 14] “paradigmas” [Tí: 45 s., 82, 193] "medidas’, “natrones”, “normas”. "fiscalizaciones” \R: 212; R: 47. 76, 99, 199. 194]; v la idea general de un criterio de iden­ tidad fR: 96, 196], entre otros. La prueba, ¡al ponernos en posición para ver las cosas de cierta manera, [Tí: 13, 18], hace visible y nos permite captar mejor lo que antes puede haber estado sólo implícito y latente en la prác­ tica usual, por ejemplo, de qué cosa o de qué clase de cosa estamos hablando [T : 6.232; R: 27], o las “posibilidades” (que son las “realidades” de las matemáticas) admitidas por el pensamiento y el lenguaje [T: 2.0121 6.361; B: 138, 157, 161, 164, 217, 253; R: 39, 116] y para fiscalizar esas operaciones cotidianas [7?: 212; R : 117], por ejemplo, guiando inferencias \ T : 6.211], o propor­ cionando un criterio para los errores al contar [7?; 27, 76], Co­ locarse en esta posición no constituye un descubrimiento mayor que llegar a conocer la existencia del polo norte [T : 6.1251, 6 . 1261;\B.- 182, 189 s.; R : 127]. O, más bien, la realización de una expedición al polo, que es algo que debe hacerse, es como la prueba, en el sentido de que los hechos no se discuten en ninguno de ambos casos. Lo impor­ tante, no es tanto dónde se llega como llegar allí. La ilusión del descubrimiento se debe a un inadmisible viaje ida y vuelta entre cuestiones empíricas y conceptuales [i?: 26, 126 s.]. Esto debe asemejarse más bien a un conocimiento reflexivo "no observacional” de los propios actos. (¿Se podría argüir que todo “conocimiento trascendental” es de esta clase?) Pienso aquí en el uso de la “reflexión” por W ittgenstein [7\’ 6.13] y en su énfasis de los últimos tiempos en el “hacer”.

“saber cómo seguir”, presagiados en la idea de T de una “ope­ ración” [T de 5.51; B: 191, 199; R : 3, 7, 117 s., 123, 176, 179]. Encuentro particularmente vigoroso su ejemplo de desatar nudos [5 : 182, 184 s .]. Wittgenstein suele expresar esto en forrna exagerada hablando de “invención” [B: 186; R: 47, 59, 140]. Cuando abandonó su concepción “estática” del lenguaje como un sistema unificado gobernado por el “postulado de la determinatividad del sentido" con una única forma general de proposición cuya lógica toda pudiera ser captada a un tiempo [T : 2.0124. 3.23, 4.5, 4.53, 5.47, 5.476, 5.55, 5.557; B: 177, 187J, cuando la unidad del lenguaje le cedió el paso a la variedad de los juegos de lenguaje, una lógica monolítica a la “mescolanza de las matemáticas” [Jt: 84, 194], (Las semillas fueron sembradas ya en el análisis de T de la mecánica [esp. 6.34-6.35]. W ittgenstein trató de acallar la incoherencia en 6.3431. Su uso de la “Forderung” en el sen­ tido de la “exigencia” en 3.23 y 6.1223 anticipó también el futuro. Asimismo en B (170), donde se preocupa acerca de cómo es posible la prueba si ésta depende solamente del sen­ tido que debe ser captado antes de que pueda ser intentada la prueba: esto, lleva naturalmente a la idea de que la prue­ ba modifica también o crea sentido.) y la demostración matemática se volvió en sus aplicaciones rela­ tivamente inestable, como una mesa de cuatro patas [fí: 115,180], se enfrentó con el problema de decir hasta qué punto cambia también y crea conceptos la demostración de las conexiones con­ ceptuales. Wittgenstein no se sentía cómodo con esa manera de hablar de la modificación e innovación del concepto a la cual algunos de sus comentaristas han asignado tanta importancia [R: 126, 154]. El antiguo concepto, en todo caso, siempre está en el trasfondo [ ü : 121]. El hecho es que W ittgenstein tenía en vista muchas cosas aceptables, más o menos distintas. Lo más importante era establecer nuevas conexiones entre los (viejos) conceptos y crear con ello el concepto de una conexión [ ñ : 79, 154, 188, 195]. (Pero, pregunta. . . , ¿es el aparato conceptual un concepto, es un “camino conceptual un concepto” [154, 188]? A ese respecto, vale la pena observar que ios conceptos matemá­ ticos en cuestión, por ejemplo, el número primo, típicamente no tienen un uso vulgar.) Pero también: Dando vuelta a las cosas para que parezcan dis­ tintas [ií: 18, 122, 192]: ampliando viejos paradigmas y reglas para abarcar casos nuevos [ ñ : 47, 193]; cambiando reglas y

trayendo otras nuevas [ ü : 124]; introduciendo nuevos paradig­ mas [R: 78, 82]; introduciendo nuevos paradigmas para una aplicación interna dentro de las propias matemáticas, verbigra­ cia remodelando la aritmética en un molde algebraico [2J: 2028]; (La manera de hablar de W ittgenstein sobre la creación de conceptos es, por razones obvias, más adecuada para las apli­ caciones “internas”; la filosofía general de W ittgenstein está calculada para darles poca importancia a éstas y pasarlas por alto. Uno podría reescribir el tema del lenguaje corriente para decir que la matemática es creada “esencialmente” para aumentar nuestra comprensión reflexiva de los conceptos vulgares no registrados que deben estar “ahí” adelantándose a las matemáticas.) estableciendo criterios de identidad, por ejemplo, haciendo ex­ plícito que un número cardinal no se ve afectado por la direc­ ción desde la cual se cuenta un conjunto. Nuestra descripción de lo abigarrado de las matemáticas debería captar, en cualquier caso, el orden conceptual natural de las dis­ tintas técnicas, un orden que duplica las relaciones de dependen­ cia dentro del lenguaje [B; 244 s.; R: 7]. Esto es un instrumento importante en la critica de Wittgenstein a las tentativas de redu­ cir una parte de las matemáticas a otra, por ejemplo, la teoría de los números a la lógica. [Para el desarrollo, ver tema 7, más abajo.] Tema 4. LOS RESULTADOS MATEMATICOS, SEAN CUALES FUEREN, ESTAN PO R ENCIMA DE TODA CONTINGENCIA Y DEBEN SER NECESARIOS Y RÍGIDOS [T: en toda su exten­ sión, pero ver esp. 2.012, 5.55 y ss., 6.111, 6.1222, 6.1233]. (En B y R , W ittgenstein opone repetidas veces los cálculos, las pinturas, los paradigmas y otros instrumentos matemáticos clasificados a la causalidad, el experimento, la predicción \B: 125, 133, 152, 187, 209 s., 213, 235, 238, 240, 313; R\: 19,28 s., 32, 69,81 s„ 91,94 y ss., 113 s., 119, 124 s., 171, 186 s., 189 ss.; también T: 6.2331]. Axiomas y consecuencias por igual [J¿: 79, 114]. Por ese motivo, aprobó la campaña de Frege y Russell contra el “psicologismo” y el “empirismo” [T : 4.1121]. En T el Axio­ ma de la Reductibilidad y el conjunto de la teoría establecida se consideraban matemáticamente espurios por ser empíricos [7'; 6.031, 6.1232, 6.1233] y la clasificación de las proposicio­ nes de acuerdo con la forma prohibida por la misma razón [T : 5.553-5.5542]. La regla de la necesidad suscitó las sospe-

chas de W ittgenstein sobre las teorías deductivas de las mate­ máticas que recurrían a paradigmas tan empíricos como la coordinación de los objetos y usualmente trataba las posibili­ dades como realidades [B: 140, 164 s., 212], y en las cuales la demostración era asimilada a una pauta de deducción de enun­ ciados empíricos desde otros enunciados empíricos que condu­ jeron de regreso finalmente a axiomas que. simplemente, son evidentes por sí mismos u obvios FT; 5.4731, 6.1232, 6.1271. Una necesidad, de acuerdo con el Wittgenstein de los primeros tiempos, es algo cuyo contrario no puede ser concebido en forma coherente y que. Por lo tanto, no puede ser puesto en duda sig­ nificativamente f T: 3.03-3.0321, 5.4731]. Los argumentos tras­ cendentales deben establecer n ec esid a d es oue son, por así decirlo, el otro lado de la paradoja. La verdad de esas proposiciones es determinada con su sentido [T.: 3.04, 3.05; B: 1441, y no tienen justificación alguna salvo la comprensión en sí. Más tarde, diría que esas Proposiciones no son tan ciertas como probadas por el ■uso [R: 41. Son un a priori v conocidas antes del hecho, por el lenguaje solamente \ T : 3.04: B: 1431. La exigencia de necesidad Para los resultados matemáticos es concomitante con la idea de Wittgenstein en los primeros tiempos de nue las realidades de las matemáticas son las Posibilidades de la vida cotidiana, igiml a lo nue ■hademos decir \T : 2.0121: B: 135, 140, 153. 161, 164. 253: R: 1161, cuya existencia no puede ser Puesta en duda significati­ vamente, por ser Probada por su esencia fB: 1241 y garantizada por el lenguaje [T : 5.525. 3.041. Aunque Wittgenstein se liberó más tarde de esta manera de hablar, jamás dejó de pensar que la necesidad es una especie de dependencia en el uso del lenguaie TB: 135; R: 4.20, 153], aunque lo filoso del axioma fue embotado por su enmienda de que a veces planteamos necesidades para fi­ lar un sentido antes indeterminado \F: 113 v ss., 1211. En T , Wittgenstein sostuvo con firmeza que lo que es necesariamente así carece en absoluto d* consecuencias contingentes v de vtn re_ vestir el piso de un cuarto de baño que ya tiene mosaicos de 1 X 1 en d°s rincones opuestos:

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impar 9

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o la siguiente prueba, “la más breve” del Teorema de Pitágoras

C

Obsérvese que el área de ABC es la suma de las áreas de ADB y BBC, todas las cuales son análogas. Desde luego, se debe reconocer qué es lo esencial en la repre­ sentación para poder considerarlas pruebas y pueden hacer falta para ello mucha preparación e incitación. (Aunque estoy completamente seguro de que “la prueba más breve” de arriba debe de ser una prueba, no estoy tan seguro de ella.) Tema 6. LAS MATEMÁTICAS NO SON EL ESTUDIO ABS­ TR A CTO DE LO IN FIN ITO . Wittgenstein advirtió con sagacidad que el uso de un concepto de' infinito era característico de las matemáticas y su marca. (En su período "medio”, especialmente, a W ittgenstein lo preocupaba obtener una comprensión correcta de este con­ cepto del infinito. Ver especialmente la Parte X II y el pri­ mer Anhang; ambos contienen señales del uso por W itt­ genstein en T de la idea de una operación para continuar.) Eso se debe a que las matemáticas se ocupan de la ilimitada po­ sibilidad de aplicar reglas que están implícitas en el uso del len­ guaje. El concepto matemático dél infinito, no es claramente una idea que pertenece al lenguaje vulgar, sino que sólo puede ser captado como parte del uso de la demostración matemática para fiscalizar nuestra comprensión del lenguaje vulgar. La infi­ nitud no es una característica de algo de que hablamos o que conceptitalizamos en el lenguaje vulgar, sino, por así decirlo, un rasgo de nuestras formas de conceptualización mismas [un tema altamente kantiano; ver esp. B: 155-61]. No algo conocido por “experiencia” [B : 154 s., 157 s., 304, y siguientes]. La aparición del “infinito” en este uso muestra que nos las habernos con “posibilidades” [5 : 153, 155, 159,

164, 313], con “sintaxis”, "gramática” y “regla” [B : 160s. 309, 313 s.] y distintas clases de infinitud matemática son caracte­ rísticas de distintas concepciones y no de distintas realidades [R: 571. A l atnbvir la infinitud en este sentido, uno revela confianza en que ha captado visiblemente la ilimitada amplitud total de apli­ cación de un {solo) concepto (regla, forma, etcétera) [T : 2.0131: B: 153, 157, 313 s.]. La afirmación de que un hecho seguro ocurrirá en algún mo­ mento de la infinitud del tiempo es algo así como una tauto­ logía fZ?: 153, S il]. Pero se puede juzgar mal una regla formulada finitamente, como un enunciado universal no verificable, sobre un gran conjunto de cosas, considerar cada aplicación posible de una regla única como un real objeto matemático [B: 314; para “inverificabili dad”, ver 149]. Uno considera las posibilidades singulares latentes en nues­ tras formas de pensar como realidades plurales. Pero una posibilidad infinita no es la posibilidad de un infinito real fB: 164 s„ 159, 219, 312 s.]. (Suponiendo, por ejemplo, que las posibilidades de poner las cosas por pares —los números naturales— puedan a su vez ser puestas en pares como las manzanas y las peras. [/}; 140, 1621.) El error es en parte el resultado de mezclar el material, el "recipiente” temporal de la capacidad y la oportunidad, con el “recipiente” intemporal "adverbial” de la posibilidad lógi­ ca. \B: 161 s„ 219, 311 ss.; también R : 38 s. ] Esto es una con­ fusión de den Elementen der Erkennstnis (de los elementos del conocimiento) con las cuestiones físicas [B: 168]. (Esto es nn ejemplo del tema familiar de las asimilaciones gramaticales erróneas.) Las posibilidades son singulares y sus supuestas extensiones no pueden tener una existencia independiente. (La existencia de una extensión infinita es probada por la esencia \R: 124, 221 s.], por ejemplo, el lenguaje tiene un número ilimitado de nombres \ T : 5.535].) Los grupos infinitos supuestos presuponen siempre conceplos (lógicos) y deben ser “construidos” \B: 155, 221, 244], El espurio resultante mundo de los "conjuntos” puede presen­ tarse como el tema propiamente dicho y autónomo de las mate­ máticas para reclamar los títulos de las desacreditadas filosofías del empirismo y el psicologismo. (Hay precedentes de este tipo de "platonismo” en la anti­

gua idea de que las proposiciones cognoscibles, necesarias, deben tener su propio tema especial. .. quizás universales. Russell había adelantado una propuesta de esta clase en Problemas de la filosofía.) Esto ha sucedido, en realidad, con el Mengenlehre, con res­ pecto al cual se habían dirigido de nuevo las primeras criticas de Wittgenstein a los "objetos lógicos” de Frege [5 : 206 s., 211 ].

(Hemos visto ya que antes W ittgenstein había sostenido que el sujeto era lisa y llanamente empírico [7\- 6.031].) Aunque esta investigación puede ser realizada con exactitud }> precisión, la pretensión de que proporciona un tema y un fu n ­ damento a las matemáticas es, en el mejor de los casos un pre­ texto, basado solamente en falsas pinturas, que oscurece los elementos esenciales y lleva inevitablemente al misterio y a la paradoja. El teórico del conjunto parece saber de qué está hablando porque usa pinturas tomadas en préstamo [B: 162, 218, 2 2 1 ; R: 62, 144 ss., 149 ss.] e impone principios aparentemente irre­ cusables como “El del Medio Excluido” [2?; 176; R: 140, 149], pero más que nada porque sus conceptos son introducidos en su aplicación a ejemplos familiares y compulsivos que, incues­ tionablemente, tienen sentido [B: 208 s.; R : 60, 137, 148 y ss], (Creo que el punto de partida de Cantor era la Teoría de los Desarrollos de Fourier.) Pero éste salta más allá de éstos a ejemplos caprichosos e inde­ terminados [B : 224, 232; R : 9 s„ 55, 148, 180]. (Donde no hay manera de examinar claramente los supues­ tos desarrollos infinitos o de hacer “selecciones” [B: 167, 224].) Y sus operaciones resultaron sin fundamento. [B: 211; R: 149 s.]. El resultado es el misterio, el resplandor y la oscuri­ dad que dilatan los ojos y nos hacen proferir exclamaciones entrecortadas y tambalearnos [R: 142, 148]. (Una especie de prestidigitación, ceremonia y encantamien­ to [B: 229; R : 60, 136 s. y 53 para un caso distinto pero similar], lleno de problemas sin significación [B: 175 s.], que Wittgenstein suele llamar “alquimia” [R: 142]. Fue un practicante ocasional y que no se dejaba impresionar en sus primeros tiempos, por ejemplo, en una carta a Russell en que se proponía probar que el Axioma de la Reductibilidad era empírico y contingente.) Y el matemático se parece más que nada a un guardián de un culto, como los antiguos sacerdotes y astrólogos.

La teoría del conjunto, cuyo uso general daría sólo por resul­ tado cubrir los rasgos distintivos de las diferentes partes de las matemáticas con una estructura formal uniforme, no podría ser, menos que nada, un fundamento para las matemáticas [B: 206; R : 150: para el desarrollo, ver tema 7, más abajo]. La teoría del conjunto (cuyas credenciales, como una parte de la mezcla, no están en discusión) sólo puede ser redimida filosóficamente destruyendo la teología de la “matemática pura", con su pan­ teón de objetos que flotan libremente [íi: 142] y sus caprichosas imágenes [/?: 60 s., 180 s.] y cuestiones escolásticas [B: 149; R : 59], haciendo volver al sujeto a sus aplicaciones y ejemplos concretos [Tí: 62 s., 133 ss., 146, 152 s.], desviándose de las abs­ tracciones gratuitas (ver Kreisel [2 ]). Los matemáticos en ge­ neral y los teóricos del conjunto en particular, no proporcionan descripciones generales de conjuntos amorfos, sino que brindan esquemas generales para tratar los casos particulares. Esas apli­ caciones a los casos son esenciales y debemos siempre prestar atención a las funciones vulgares y matemáticas de los concep­ tos matemáticos en su orden de dependencia. Con respecto a la dependencia, los números reales presuponen los naturales y deben ser comparables con los racionales [B : 231 s. 236 ss.; ver tema 7 y tema 10, más abajo]. Nuestra comprensión de la continuidad y de otras nociones semejan­ tes está edificada sobre nuestra familiaridad con los números [B: 207 s.] y tiene importantes conexiones con la geometría [i?: 148, 151]. La teoría del conjunto no debe tratar de in­ vertir las dependencias o suponer que puede hacerlas desapa­ recer [B: 2 1 1 ], ni tratar de ocultar la distintividad de las di­ versas partes de las matemáticas con una dilucidación amorfa, uniforme [B: 206, 209; R: 146; para un desarrollo mejor, ver tema 7, más abajo]. Las funciones vulgares deben dominar las matemáticas, consideraba Wittgenstein, pero es significa­ tivo que los conceptos teóricos del conjunto se aplican casi exclusivamente dentro de las propias matemáticas fJí: 186]. Escribiendo sobre la densidad de los racionales, dice: “Las fracciones no pueden ser dispuestas por orden de mag­ nitud.” Antes que nada, esto parece muy interesante y destacable. "Parece interesarse en forma muy distinta de, digamos, una proposición del cálculo diferencial. La diferencia, me parece, radica en el hecho de que semejante proposición es asociada finalmente a una aplicación a la física, mientras que ésta pro­ posición pertenece simple y exclusivamente a las matemáticas,

parece referirse a la historia natural de los propios objetos matemáticos. ”Uno querría decir de esto, por ejemplo, que nos introduce en los misterios del mundo matemático. Éste es el aspecto contra el cual quiero poner en guardia.” [-R: 60.] Queda en pie el hecho de que los conceptos de las matemáti­ cas puras corren peligro de perder sus pies [ií: 186]. Gran parte de los llamados “fundamentos de las matemáticas” pa­ recen consagrados a esta posibilidad. Kreisel le reprocha a Wittgenstein el no haber tomado suficientemente en cuenta que la lógica . .proporcionaba los conceptos necesarios para la descripción de las matemáticas, así como, según Wittgenstein, las matemáticas proporcionaban los conceptos necesarios para la descripción de la naturaleza” ([I], p. 143). Wittgenstein podría haber aceptado eso [ver R : 145 s.] y añadido también la teoría del conjunto, y haber argüido luego que, precisamen­ te por esa razón, esos temas son inaptos para servir de fun­ damentos. i ema 7. NINGUNA PARTE DE LAS MATEMATICAS ES UN FUNDAM ENTO PARA TODAS LAS DEMAS. E l deseo de fundamentos se debe en parte a un ansia errónea de justificación [7?; 8 s., 76, 82]. Pero las matemáticas son la medida, no lo medido [-R: 99], Cada parte debe valerse por sí misma [T: 5.473; B: 131; R-. 67], y debe mostrar en sí misma y en su aplicación que es verdadera; [B: 143 s.]. No podemos explicar la aplicación con observaciones m ar­ ginales \ T : 5.452], ni puede ser conseguida con ninguna otra parte de las matemáticas [/?: 67]. Éste es un tipo de generali­ zación de la confianza de Brouwer en la “intuición básica”. En última instancia, calculamos, simplemente como lo hacemos ]R: 98] y la única justificación de ello está en lo que hacemos fuera de las matemáticas y en cómo hablamos. [ T : 5.47, 5.472, 6.233; R : 9, 72, 82]. y a una metodolgía que exige una presentación uniforme. Creemos que esto asegura la comprensión y fiscaliza los deri­ vados, pero la notación lógica no es mejor que la prosa [/?.' 155], y las formulaciones teóricas lógicas de conjunto ocultan importantes diferencias y defectos en su concepción bajo una presentación amorfa [2?: 206, 221; R : 76 s., 89, 145 s.j. Desde el principio, Wittgenstein hizo objeciones a las formula­ ciones lógicas unificadas y dudó de las pretensiones de la lógica formal de un fundamento [ií: 72 s., 83, 145 s.]. En T, las matemáticas son descritas como un método lógico

de cálculo, de convertir las sustituciones en ecuaciones [6 . 2 , 6.233, 6.234, 6.2341, 6.24], y se las opone al método de las tautologías y las contradicciones usado en la lógica formal para revelar relaciones de consecuencia lógica [6.22]. Las ma­ temáticas, así enfocadas, no forman parte de la lógica (en el sentido limitado de “lógica”) ni pueden ser derivadas deduc­ tivamente de ella. (La definición propuesta por Russell de “ = ” en términos puram ento lógicos fue proscrita basándose en que los obje­ tos sólo son indiscernibles de un modo contingente [T : 2.0233, 2.02331, 3.221, 5.5302]. La diferencia “puramente numé­ rica" esencial y necesaria que hace falta en las matemáticas no puede ser capturada en esa forma [4.1272, 5.5303[.) Pero se parece a la lógica en que es un método de cálculo que no deriva de nada, sino que se refleja en el uso del lenguaje. La lógica y las matemáticas son verdaderas en cuanto “Si una palabra [sic., “¿Dios”?], crea un mundo de modo tal que en él los principios de la lógica son verdaderos, crea con ello un mundo en el cual se sustenta el todo de las matemáticas (Notas sobre lógica), a saber, por verse conjuntamente implicados por el hecho de que usamos el lenguaje como lo hacemos y por la consideración de que las totalidades de las proposiciones elementales con que opera la lógica y de los objetos cuya distintividad m utua es presupuesta por las matemáticas les impo­ nen los mismos límites al pensamiento y a la realidad [T : 5.5561], (Hay en T, de 5.11 en adelante, una fuerte tendencia a reducir los conceptos de la lógica y las matemáticas conjun­ tamente a la idea de una regla putativa recursiva para con­ tinuar. [Ver también 4.1252, 4.1273.] ) Toda la insatisfactoria doctrina de Wittgenstein sobre la iden­ tidad y las matemáticas subsistió en B, donde encontró nuevos argumentos para sustentar su opinión de que las ecuaciones no podían ser reducidas a tautologías [5 ; 141 ss.; también 126, lo cual anticipa a i ? ] . (Esto parece ser una respuesta a la interpretación de Ramsey de T: 5.535 [ver Fundamentos de las matemáticas, pp. 60 s.].) Llega hasta el extremo de insinuar que la aritmética, en su independencia de la lógica y en su confianza en su propia forma de percepción autónoma, es un ejemplo del a priori sintético de Kant [B: 129]. Esas objeciones y dudas fueron dirigidas más tarde contra las reducciones de toda clase.

En primer lugar, porque la reducción destruiría la claridad esen­ cial de la prueba [£ : 125 s.; R : 62 s., 68, 70, 81„ 83, 91J. En segundo lugar, no nos conseguiría lo que teníamos y queríamos conservar, por ejemplo, una reducción logística no nos enseñaría a calcular o resolver ecuaciones diferenciales [U; 127; R : 66, 71, 89J. Tercero, el resultado justifica la reducción intentada y no viceversa; la prueba más corta, original, nos dice cómo debería surgir la más larga. [B: 127; R : 73 s., 81. 83, 91, 171]. Y, final­ mente, el reduccionismo confunde sistemáticamente una repre­ sentación de una teoría por otra mediante la identificación [R: 66, 72, 84, 89 s„ 91]. Wittgenstein subraya en forma exagerada pero interesante la diferencia y la autonomía. Por ejemplo, las diferencias existentes en las matemáticas entre los enunciados existenciaies aparentes y entre los enunciados existenciales y las funciones de verdad [B: 149; R : 141, 144], números pequeños y grandes R : 67, 74, ecuaciones e inecua­ ciones [£: 249; R : 1 ]. Sus criterios para la independencia m utua de las teorías y la autonomía matemática parecerían ser los siguientes: ( 1 ) ¿Podría aprenderse una teoría (técnica, etcétera) con inde­ pendencia de otra? [ ü ; 86.] (2) ¿Tiene el sujeto sus propias técnicas características [it: 85 ss., 145]; (3) su propia abluación característica, por ejemplo, en la agri­ mensura? [ii: 88, 190], (4) ¿Utiliza o presupone de otro modo la reducción implicada los conceptos analizados? [B: 125 ss.; R : 66 s., 71 s., 83, 85]. (5) F inalm ente... ¿son aplicables inmediatamente por si mis­ mos los conceptos en cuestión, por ejemplo, cuando contamos los números o usamos una construcción geométrica para ilustrar una prueba? [B : 132 s .]. La autoaplicación garantiza la claridad e independencia de la contingencia. Si la prueba es un ejemplo de cómo es, uno no puede negar que eso es como es, del mismo modo que quieu grita sinceramente no puede dejar de saber que eso es dolor [B: 130, 132]. La alternativa de Wittgenstein al reduccionismo de cualquier cla­ se —sea a los números, la geometría, la lógica o los grupos— era atender a las variedades del lenguaje elegible para la dilucidación matemática y a la consiguiente mezcla de las matemáticas. (Aunque la “mezcla" no es un tema en T , donde Wittgenstein pareció exigir un solo lenguaje unificado, la idea se preanuncia en sus observaciones interesantes pero insastifactorias sobre la

mecánica y los principios de la física [ T : 6.3211, 6.33, 6.34 y siguientes], que son presentadas como con cierta autonomía, aunque “hablen de los objetos del m undo” [6.3431], En cam­ bio, 6.3751 insinúa la idea de que las distinciones lógicas de toda clase pueden ser presentadas dentro del formalismo del análisis matemático.) Tema 8. LAS MATEMATICAS NO SON TA N TO UNA DOC­ TR IN A COMO UN MÉTODO. Un “método de lógica” \T : 6.2, 6.234]. Para exhibir rasgos esenciales del uso vulgar del lenguaje \ T : 6.12, 6.1201, 6.Í21, 6,1221, 6.124, 6.22; R-. 731. En T , Wittgen­ stein se preocupó especialmente de combatir la idea de que la lógica y las matemáticas podían ser consideradas un cuerpo de proposiciones, que idealmente era posible presentar deductiva­ mente como una teoría unificada al modo de Frege y Russell. Los derivados lógicos aparentes pueden ser sustituidos por cálculos en que la distinción entre la prueba v la conclusión no puede establecerse fácilmente [ver más abajo: T : 6.126, 6.23311. El método de las tablas de verdad de Wittgenstein abolió la distinción en grado artificialmente impuesta existente entre las supuestas proposiciones primitivas v sus consecuencias IT : 6.126, 6.127], Arguvó qve no hav conrento« fundamenta­ les en la lógica v las m atemát:cas ]T: 5.45-5.45411 v que la clasificación de ideas que forma parte tan esencialmente de todo eénero de teorización es anuí un sfntoma de error [5.554, 5.555]. La presentación logística om inara falsamente las nece­ sidades de la lóerica a las verdades contingentes T6.113, 6.12631, v los concentos formales de las matemáticas a los conceptos materiales í4.1272. 4 1274, 6.1231-6.12331 L? con.strucrón de teorías de lóeica v matemáticas de esta clase d"ben pi-esunon^r, sea como fuere, los métodos matemáticos nue Wittgenstein con­ sideraba fundamentales ¡T: 6.12,3. 6.12631. (Esta posición es fortalecida noderosame^te ñor el argumen­ to aue nropuso Ijewis Carroll en su famóso artículo Lo que le dijo a Aquiles la Tortuga (M ind, 1895, pp. 278-80; T : 5.1321.) A W ittgenstein no le interesaban las formas especiales que po­ dían ser definidas en esta o aquella supuesta teoría de la lógica, sino más bien “lo que hace posible inventar esas cosas” [T : 5.555]. Las supuestas conclusiones de los argumentos matemáticos no son realmente proposiciones que podrían ser verdaderas o falsas> sino partes integrales de toda la demostración lógica que en sí no

podría ser afirmada o negada, sino sólo exhibida [Zi: 192, 198 s .]. En T, la interdicción de M7ittgenstein fue codificada en el exagerado axioma de que lo que se podía mostrar así no se podía decir. Se aferró a esto en B, donde continuó considerando el lenguaje una unidad intrascendible en que todas las propo­ siciones tienen un sentido perfectamente determinado [-B: 123, 139, 143 s„ 152, 168, 178, 198, 203, 208, 234], (En [208], rechaza el principio de que ciertos grupos sólo pueden ser descriptos y no presentados honradamente sobre su base.) La tesis de que los resultados, de, por lo menos, algunas partes de las matemáticas, no pueden ser formulados adicional e inco­ herentemente fue apoyada proposicionalmente usando el prin­ cipio de la verificación \B: 172, 174 s., 190, 336, 338]. Un débil eco de "mostración” se oye aún a lo lejos en R [79], aunque entonces Wittgenstein se había evadido de esta posición, inde­ fendiblemente hermética. Wittgenstein se mostró siempre cauteloso con la concepción de una proposición matemática porque, argüía, (1) no tienen un tema propio \T : 6.111; 6.211; ver tema 6 ], (2) no trasmiten información [T : 2.225, 5.142, 6.11, 6.122, 6.2321, 6.2323; R: 31, 53 s.|; (3) no admiten alternativas significativas \ T : 4.463, 6.1222); (4) presuponen su propia exactitud [T: 6.123, 6.1261, 6.1264, 6.1265,6.23,6.232-6.23221. Su sentido presupone su verdad \B: 144] v no son más afirmables que sus contrapartes entre las paradojas auto-referencirtles. Wittgenstein, como cabía esperarlo, tuvo duras palabras para las llamadas conjeturas e hipótesis de las matemáticas, por ejemplo la Hipótesis Riemann \B: 190 s., 338]. Una consecuencia intere­ sante y relativamente plausible de su opinión es que las proposi­ ciones aparentes de las matemáticas no tienen negaciones; o, más bien, que las negaciones aparentes (por ejemf>Jo las inecuaciones) son determinaciones independientes f R: 247-251]. En B y en R Wittgenstein pudo clasificar las no proposiciones como órdenes, reglas y aplicaciones esquemáticas de reglas \P>: 143, 194, 322 s.; R : 47, 77, 118, 120], definiciones \B: 198] o simplemente técnicas i R : 431. Señaló la posibilidad de impartir técnicas matemáticas sin el beneficio de proposiciones formuladas o aparentes; por ejemplo, le enseñamos a una Persona a contar o a integrar sin molestarse en comunicar “hechos” tales como los teoremas fun­ damentales de la aritmética y el cálculo [il: 49, 118], La tesis de Wittgenstein de que los resultados matemáticos no son proposi-

dones es irdlida especialmente para sus ejemplos favoritos de cálculos \B: 172; R: 32, 76, 115] donde la distinción entre la prueba y la conclusión no puede ser trazada fácilmente [para desarrollo, ver Tem a 9], y paru desatar nudos [/}; 184 s.], y para el tipo de demostración que uno presencia en el salón de disertaciones sobre física. Pero no es totalmente evidente que éstas son lo que los matemáticos acostumbran llamar "pruebas”: ciertamente, 13 X 14 = 182 no es un "teorema". Tema 9. EN LAS MATEMATICAS, LO QUE IM PORTA SIEM­ PRE ES LA PRUEBA. (Aqui, hay una curiosa concordancia parcial con Frege, quien definía la necesidad analítica en términos de derivabilidad desde los axiomas de la lógica.) Los resultados matemáticos son construcciones de prueba [ B: 183; R : 92], ya que la prueba es lo que muestra las conexiones con­ ceptuales [Tí: 25 s., 75 s., 80]. La “real” proposición matemática es la prueba misma [B: 184], (Pero eso no es una proposición.) Las llamadas proposiciones matemáticas, son esencialmente con­ clusiones de prueba [B: 192; también Dummett, obra citada, p. 327]. Si se puede creer en las proposiciones matemáticas, eso implica creer que uno tiene una prueba [ZJ: 204; R : 32]. (Creo que ese pensamiento sería cierto si dijera “ . . . que hay una prueba.”) . Conocer una proposición matemática es saber cómo se la puede probar y saber esto es haberla probado [ii: 199]. N o pueden ser comprendidas criando se las separa de la prueba [B: 183; R : 26 s., 52, 77]. (Como la superficie de un cuerpo [B : 192].) Con referencia al ejemplo favorito de cálculo de Wittgenstein, no existe una distinción clara entre la prueba y la conclusión [T: 6.126-6.1265; B: 130; R : 26, 32 s.; y ver Kreisel [1], p. 140], (Analizando el Teorema de la Incompletitud de Goedel y la manera usual de hablar de él como si se dijera algo de sí mismo, dice “En este sentido, la proposición “625 = 25 X 25” afirma también algo sobre sí misma: es decir que el número de la izquierda se obtiene multiplicando los números de la derecha" [72: 176].) Wittgenstein pretende que la conclusión alegada es en si misma

una forma o una indicación de tina forma de prueba en la “apli­ cación”, lo cual es plausible; por ejemplo, es una forma de Modus ponens [ T : 6.1264] o una regla que dice cuántos objetos debe haber si hemos combinado aritméticamente dos grupos de cosas [B: 145; R : 77]. A la conclusión, así encarada, le da su sentido la demostración matemática [B: 180 s.; R : 52] (un ejemplo donde la aplicación está dentro de las matemáticas), [77], mostrando esquemática­ mente cómo se aplica la conclusión alegada como regla de inferencia en la vida cotidiana; la prueba de la “conclusión” muestra cómo puede ser usada ésta como regla de prueba. La conclusión, a su vez, nos dice cómo leer la demostración. Su sentido, es decirnos cómo se usa la prueba de la cual es la “conclusión” [fí: 76], El sentido de la pretendida conclusión es que esto ha sido probado [/>: 181, 192]. (También dice —si es que comprendo el pasaje— que, en la prueba inductiva, el género que más le gustaba, la conclusión es para la prueba lo que el signo para lo significado \B: 328 s.].) De esto concluye Wittgenstein que el sentido de la conclusión es su prueba [7': 6.1265; B: 192]. (Y por eso ello debe ser así, segiin la teoría de la necesidad de Wittgenstein. Ver Tem a 4, más arriba.) Aparentemente, Wittgenstein creía que esta manera de pensar sobre la prueba y la conclusión es apoyada por el hecho de que la pretendida conclusión se aplica a sí misma a menudo [-6 : 130, 132]. Lo resumió todo en la máxima de que, en las matemáticas, el proceso y el resultado son lo mismo [T : 6.1261; íR: 26]. (Pero esta máxima soporta también otras interpretaciones, por ejemplo la de que no hay procesos en las matemáticas.) Una objeción obvia y vigorosa es que la tesis de Wittgenstein, si es verdadera, le resta toda significación a hablar de establecer la misma conclusión en dos formas distintas [/?: 92 s.]. A veces, parece aceptar la conclusión de que no puede haber dos pruebas independientes de la misma proposición matemá­ tica [B: 184, también 193]. (Pero nótese la palabra “independiente”.) A veces, admite en forma incoherente que nos puedan inducir a aceptar la misma regla en distintas formas [/?: 92 s.], me­ diante nuevas conexiones, pero una forma domina, a saber la definida por la multiplicación [i?: 93]; asimismo, admite que podemos llegar al mismo lugar por dos caminos distintos [ ñ : 92, 165], o que estamos trabajando en distintos sistemas [Tí:

165], siempre con la sugerencia de que la aplicación proporciona la trama de conexión. Wittgenstein dice también que las pruebas alternadas proporcionan instrumentos igualmente adecuados para el mismo fin [-R.- 165] y nos induce a “apostar la misma cosa” por la verdad de la proposición [/?: 186]. Esas respuestas no resuelven la objeción y revelan lo que, a mi entender, puede ser el lugar más débil de toda la filosofía de las matemáticas de Wittgenstein: el hecho de que no diga cómo pueden relacionarse las distintas pruebas para toda clase de cosas distintas, por intermedio de las muchas partes de las matemáticas. Tema 10. EN SUS PERÍODOS MEDIO Y ÚLTIM O, W IT T GENSTEIN MOSTRÓ UN NACIENTE INTERÉS POR LA APLICACIÓN DE LOS CONCEPTOS MATEMATICOS DEN­ T R O DE LAS PROPIAS MATEMATICAS, SOBRE TO D O EN CONEXIÓN CON EL PROBLEMA DE LA CONSISTENCIA (OUE EXAMINAREMOS MAS ABATO Y EN IN TER PR E TA ­ CIONES TEÓRICAS POR CONTUNTOS DE LA REPRESEN­ TACIÓN CLASICA DE LOS NÚMEROS REALES PO R DECI­ MALES PERIÓDICOS. [Para estos últimos, ver B en toda su extensión, pero más que nada las partes XII, XV-XVII y el primer Ankang; R : Apéndice II.] Wittgenstein sospechaba positivamente que Ja idea de números reales podía ser considerada como conjuntos infinitos arbitra­ rios de intervalos encajados de racionales o como arbitrarias "cortaduras” Dedekind, concebidas como existentes fuera de miestras concepciones sin necesidad de regla o especificación. Esta es la peor forma del “extensionalismo”, donde sólo parecemos saber de qué estamos hablando, basados en imágenes caprichosas v lle­ nas de toda clase de problemas aparentes y aplicaciones erróneas [ver más arriba temas 2 y 6 ], Pensamos en un número real como en una sucesión de cosas definida pero infinitamente Iarsra que podemos sistemáticamen­ te desechar v, después de un tiempo infinito evocar como un trabafo hecho, un estado en el que podríamos hallarnos va si hubiéramos vivido desde tiempos inmemoriales \B: 149, 164 v ss., 236 s.]. Podemos pensar en esta forma sobre sucesiones infi­ nitas y procesos infinitos porque confundimos v provectamos ráseos accidentales de la representación corno elementos esen­ ciales de la concepción [i?; 231 s.; R: 2511. CLa vigorosa dialéctica dirigida ñor Wittorensfem contra la fácil suposición de que la representación de un número real contiene simplemente o no contiene cierto cuadro de dígitos encierra el germen de un auténtico punto matemático, a

saber, la distinción entre las secuencias generalmente recur­ sivas y las secuencias enumerables simplemente recursivas. Véase esp. R [133 ss.], donde W ittgenstein hace la observa­ ción de apoyo de que la negación de “Existe una ley de que p" no es “Existe una ley de que ~ p ” [JR: 141; también B: 228 s .] .) Hizo objeciones, en particular, a la idea de “secuencia de libre elección” arbitrarias, consideradas especiosamente como gene­ radas por algún proceso mecánico temporario, tal como arrojar una moneda [B : 165 ss., 218 ss., 233]. Wittgenstein tenia también dudas sobre el “Argumento Diagonal” de Cantor, Presuponiendo aparentemente familiaridad con un número real no definido aún, la prueba parece exigirnos que obremos en ignorancia y sin una comprensión concreta [B: 226], La prueba asimila la introducción de un nuevo concepto en un descubri­ miento profundo y misterioso. Pero la profundidad es una ilu­ sión y el misterio se debe al hecho de que, hasta después de haberse comprendido el argumento, no resulta claro dónde y cómo se aplica el concepto y tratamos de establecer su sentido en términos en otras partes adecuados, por ejemplo, en términos de comparaciones de magnitud [ i í : 54 y ss.]. y sobre el teorema de Dedekind de que el conjunto de los números reales está cerrado para todo corte construido sobre ellos [B; 224 s., 148 ss.]. Objetó, sobre todo, a la imagen de “insertar” reales entre los racionales B: 223, 339; R : 151. Aparentemente, Wittgenstein no hizo objeciones a la concepción clásica de un número real como límite de una secuencia de sumas parciales, representadas quizás por la asignación de un argumento a üft desarrollo bien definido de series de potencia. A quí podemos aún distinguir la relación de los números reales con la institución Vulgar de la medición [B: 230, 235; mi interpretación quizás incorrecta de "m e s s e n y son menos adecuados que con la con­ cepción más abstracta para borrar las líneas claras de dependencia de los reales de las otras teorías matemáticas y sobre todo del sistema de los números racionales [B: 228; R : 148]. Un tema particularmente insistente en B fue la exigencia de Wittgenstein de que determinados números reales fuesen com­ parables, efectiva y uniformemente, a los racionales de que dependen [B; 227, 236 y ss.]. (La regla de desarrollo de uno real es el método de compa­ ración con los racionales \B: 236-44].) La introducción o definición de un número real debe indicar

claramente desde el principio cuáles son esas relaciones y no dejarlas como algo que será descubierto más adelante [B: 238 s.]. Wittgenstein hasta parecía admitir a veces que la idea general de un decimal infinito tenía un sentido útil, no misterioso, capaz de abarcar una variedad de sistemas distintos [ ñ : 58], (quizás otras formas de números distintos de ‘por ejemplo’ 1/3, y / 2 y jt, las mismas introducidas antes con respecto a casos muy distintos) lodo lo cual se sentía inclinado W ittgenstein a colocar bajo la concepción de una regla para seguir adelante, una “inducción’' (una "regla recursiva’’) [B: 223 s., 234 ss.]. Positivamente, identi­ ficaba a números reales determinados con esas reglas determinadas [B: 227-34, 308 s.; R: 144]. Tema II. LA MÉDULA DE LAS OBJECIONES DE W 1TTGENSTE1N AL PROBLEMA DE LA CONSISTENCIA PARECE HA­ BER SIDO QUE ESTA SÓLO ES UNA ESPECIE DE CUESTIÓN MATEMATICA A LA CUAL LE HAN DADO UNA EXAGE­ RADA IM PORTANCIA LAS MODAS DE LAS TEORIAS CON­ TEMPORANEAS SOBRE LOS FUNDAMENTOS DE LAS MA­ TEMÁTICAS [R: 52, 107]. El primer examen extenso del asunto por Wittgenstein del cual tengamos una constancia impresa es la transcripción de las con­ versaciones con Sclilick y Waismann incorporadas como segundo Anhang en B, aunque hay una clara anticipación del mismo en B: 189 ss. Volvió al tema de la consistencia y las pruebas de la consistencia a menudo en R , sobre todo en las partes II y V. Resulta evidente, con iodo, que el pensamiento de W ittgen­ stein al respecto fue condicionado en gran parte por la preocu­ pación existente a principios del siglo por las paradojas lógicas, que él consideraba simplemente confusiones que debían resolver los análisis y no las pruebas [B; 320], (Pero adviértase su sugestión de que la demostración mate­ mática nunca es otra cosa que “análisis” [B: 192]. Usual­ mente, Wittgenstein ilustraba sus observaciones con paradojas heterológicas y conexas [R: 51, 102, 104 s., 150 s., 166, 170, 175, 182]. Esto podría explicar por qué interpretó en forma tan acabadamente errónea los objetivos y resultados de las matemáticas.) La polémica de Wittgenstein concordaba en todos los puntos con su actitud negativa con respecto a los “fundamentos” y las teorías matemáticas sobre las matemáticas [B: 320, 327, 330, 336; R : 109].

Tenía la misma escasa paciencia con la preocupación raetamatemática conexa por las cuestiones de independencia y carácter completo [B; 189 s., 319, 324, 335 ss.]. Sostenía que el temor a una contradicción no revelada hasta enton­ ces era una ficción o algo neurótico [B; 318 s„ 323, 325, 332, 338, S45 s.; R : 181], en primer lugar, porque la aparición de una con­ tradicción no es lo único que puede resultar mal en las matemáticas [B: 325; R: 105, 180, 196]; en segundo lugar, porque la demostra­ ción de una contradicción en sí sólo sería un resultado matemático más, aunque estuviera en otro sistema que aquel en qite encontrá­ ramos la supuesta inconsistencia; [B; 189, 320, 328, 330, 335, 341; R : 167 s.]; Argüía que sólo las matemáticas formalizadas, derivacionales, podían pretender considerar un desastre a una contradicción. Pero en realidad una contradicción formal sólo sería intere­ sante si fuera también una inconsistencia, presuponiendo asi que el sistema tuviese verdad, significado v aplicación [B: 321 ss., 333, 337, 339; R : 104, 166], (Una contradicción es sólo una pieza más en el juego imagi­ nado de la matemática formal [B ; 318 s., 326, 331 s.].) Wittgenstein creía que sus opiniones sobre el significado y la aplicación de las matemáticas no dejaban sitio a cuestiones filosóficas significativas sobre demostrabilidad y consistencia [B: 189, 322, 329 ss., 339; R: 104, 109, 166 ss., 178, 181]. (Esta pretensión fue apoyada a veces en forma poco satis­ factoria con el uso de principios tractarianos sobre lo que sólo puede ser mostrado y no dicho y sobre la imposibilidad de franquear significativamente los límites del lenguaje [B.‘ 326, 330, 336.].) tercero, las contradicciones pueden ser lomadas siempre con bene­ ficio de inventario [Ji: 51, 101, 141.. 150 s., 166, 168, 170, 181 s.] y hasta usadas [i?; 150 s., 166, 171, 183], Los sistemas con contra­ dicciones pueden siempre, en el peor de los casos, ser remendados con reparaciones más o menos ad hoc. [B: 319, 333, 345; R: 102, 181]. En lodo caso, una prueba de consistencia no nos daría los medios de fiscalización que necesitaríamos y la confianza que nos faltarla si las matemáticas nos inspiraran realmente escepticismo [B: 330, 345; R: 104, 106 s., 109 s„ 181].

Conclusión Confío en haber creado una convincente sensación de constancia y continuidad en el pensamiento de W ittgenstein sobre las matemá­

ticas, una constancia en lo básico que aumenta bajo una continui­ dad de cambios de superficie en énfasis e intereses y ocasionalmente en doctrina. Ciertamente, las líneas duras de T fueron suavizadas en días posteriores, pero sobrevivió una doctrina reconocible para que le dieran una más ancha y libre aplicación. Constructivamente, los dos temas que continúan dominando en el pensamiento de Wittgenstein son que las matemáticas constituyen un equipo ordenado de instrumentos para la fiscalización concep­ tual del lenguaje vulgar y la vida en general y la concepción de la prueba matemática como demostración visible de elementos esen­ ciales, a saber, necesidades. La doctrina era ilustrada en su mayor parte con ejemplos de simples cálculos aritméticos y el cálculo de tautologías, concediéndole cierta atención ocasionalmente a otras partes de las “matemáticas intuitivas”. Desde un punto de vista crítico, encontramos un persistente escepticismo acerca del para­ digma deductivo de la demostración matemática, una obstinada resistencia a concebir las matemáticas como una materia autónoma que se codifica mejor en un cuerpo creciente de proposiciones sobre los objetos matemáticos; Wittgenstein nunca se reconcilió realmente con las proposiciones matemáticas ni aceptó la tesis, que reaparece periódicamente en la historia, de que las matemáticas pueden unificarse en una teoría única. Su desconfianza ante las preten­ siones de las “matemáticas puras” era apuntalada por una seria desatención ante la verdadera conducta contemporánea de la teoría matemática, sólo compensada parcialmente por sus preocupaciones, tan pronto crecientes como menguantes, por la idea de un número real y la concepción del infinito matemático y su todavía posterior reacción crítica ante las metamatemáticas (Wittgenstein, aparente­ mente, ignoraba por completo los trabajos recientes en álgebra, análisis y geometría, de los cuales habría podido recibir cierto apoyo m oral). Este tardío y perezoso interés a regañadientes por las'matemáticas puras no tuvo consecuencias totalmente felices, por­ que parece haber excitado la ocasional indiferencia de Wittgenstein ante la distinción entre las aplicaciones vulgares y matemáticas de los conceptos matemáticos, que provecían una sombra de sospecha cada vez más intensa sobre toda su filosofía de las matemáticas. Algb a un tiempo más interesante y compulsivo podría haber sur­ gido de una investigación de cómo las aplicaciones internas (por ejemplo, desde los conceptos de la probabilidad hasta la teoría de los núm eros), penetran finalmente en la “vida”. Wittgenstein ha­ bría hecho muy bien en tomar en serio la tesis de que la no numerabilidad es una implicación ineludible de las aplicaciones físicas y tecnológicas del análisis matemático. [Ver Bernays, ob. ct., p. 14.] El cambio superficial más obvio fue que el lenguaje unificado m

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de T estaba fragmentado en un caos de juegos de lenguaje consi­ derados como formas de conducta, y las matemáticas en la enseñan­ za se tornaban dependientes de las convenciones y de los acuerdos entre los hombres, de nuestras maneras de obrar y formas de vida. Wittgenstein se volvió más capaz aún de formular sus pensamien­ tos en el vocabulario de las “reglas”, los “caminos”, los “paradig­ mas” y las “normas” y de prestarles quizás una exagerada atención a las transformaciones conceptuales causadas por las demostraciones matemáticas. La tesis original de que la lógica formal y las mate­ máticas son métodos lógicos distintos fue atenuada en la “mezcla”; la concepción aparentemente cristalina de “y así sucesivamentemente” quedó diluida en la noción general de la claridad. Wittgenstein se mostró preocupado por las líneas netas [ver R : 155, 168, 186j e imputó una teoría superrígida del lenguaje a su propio yo de los primeros tiempos [R: 182], A esto, desde luego, lo acompañó una actitud generalmente más relajada con respecto al lenguaje en general. Lo que es más destacado, Wittgenstein, después de una firme resistencia, abandonó finalmente la idea de que hasta el lenguaje proposicional era un sistema unificado resoluble analíticamente en una “totalidad” de juicios elementales, anclados ellos mismos a la “totalidad” de los objetos a que se hace referencia en última instancia, una opinión que nace de lo que he llamado en otra parte “El Principio Absoluto del Spielmum” (Tnquiry, 1964, pp. 411 s.) . La rígida distinción entre el decir y el mostrar se rompe, y luego es destruida la “meta­ física trascendental” del otro “m undo” más allá de los límites, el mundo de las “posibilidades” que debe haber tenido la estructura perfecta de un “ideal” para mantener al lenguaje inflexible por dentro .'7 Me parece que el cambio más importante, más profundo y menos visible que los demás, radicaba en su opinión sobre la necesidad. Lo propuesto retóricamente en la pregunta de T “¿qué debe acaecer a fin de que algo pueda acaecer?” (5-5542), cedió el paso finalmente en la concesión de que “Corresponden a nuestras leyes de la lógica hechos muy generales de la experiencia cotidiana’.’ [R : 36], Por lo demás, el mundo ideal de la lógica del cual habla Wittgenstein con tanta elocuencia en las Investigaciones filosóficas habría quedado totalmente separado de la contingencia del hecho. Pero ahora los mojones de la contingencia, los “límites del empi­ rismo”, son ubicados en otros hechos contingentes. 7 q u e los tad o en y en p, realid ad a ú n , del

La p rim e ra ru p tu ra tuvo lu g ar con su a b an d o n o de la exigencia de juicios elem entales fuesen indepen d ien tes e n tre sí. Esto es docum en­ el artículo de 1929 sobre la form a lógica y en B , p a rte s V III y X X I 317, donde reescribe T : 2.1512 p a ra decir q u e no se aplican a la sentencias aisladas (como él creía antes) sino todo el sistema, rígido lenguaje.

Creo que Wittgenstein tenía razón, pero no la suficiente. Las matemáticas están edificadas sobre los presupuestos de la vida coti­ diana y por lo tanto tienen implicaciones contingentes. Pero dudo de que W ittgenstein viera esto con suficiente claridad o lucidez en R y no lo persiguió con suficientes detalles. Seguramente, los hechos de que caminamos sobre dos piernas y hablamos una babel de idio mas —importantes en la situación hum ana— no figuran entre las piedras demarcatorias del empirismo. P e r o ..., ¿por qué no? Nece sitamos muchos casos con tantos detalles, por lo menos, como los dedicados por W ittgenstein a sus vendedores de madera de cons micción [H: 43 s.]. Entonces, quizás, podríamos empezar a com­ prender lo que es tan importante: que cada parte de la mezcla de las matemáticas tiene una mezcla de aplicaciones (ver, por ejemplo. R : 352). Valuación. Hemos observado ya numerosos defectos en la pre­ sentación de Wittgenstein y problemas no resueltos para su teoría de las matemáticas. Wittgenstein, simplemente, no sabía qué hacer con respecto a las matemáticas puras, donde la “aplicación vulgar” es ya matemá­ tica. Importa aquí ver lo que el propio W ittgenstein solía no notar: que los conceptos matemáticos no son, en sí, conceptos vulgares. Los números naturales no son los números de “¿cuántos?” o “¿cuál?”, sino, simplemente, aquéllos con que podemos calcular y sobre los cuales podemos demostrar teoremas, a menudo, sin duda, para los fines corrientes de regularizar nuestras ideas de "¿cuántos?”, etcétera. El número 6 es simplemente una noción tan matemática como el número perfecto o Xn- Quizás W ittgenstein chocara ya inconscien temente con la dificultad en B al aplicar a menudo el principio de la verificación a las proposiciones supuestas de la teoría del número. La aplicación es, me parece, enteramente razonable consi derada en sí misma, pero apenas coherente con la proscripción de las proposiciones matemáticas por Wittgenstein. El problema lo siguió persiguiendo en R , por ejemplo, donde se sintió incapaz de hallar una técnica vulgar para que 2 fuese una propiedad de [■/?; 186]. Parece haberlo decepcionado la doble faz de las matemá ticas, que mira afuera hacia su aplicación vulgar y, adentro, hacia su propia teoría. [Ver R: 117 ss.]. Ésta se una forma de tomar el "carácter doble de la proposición matemática como ley y como regla". [/?: 120], Como no quería negar nada. W i t t g e n s t e i n d e b í a hallar cierta adaptación al hecho de que las matemáticas trabajan entre sus propias paredes y establecen toda clase de cosas interesan­ tes como la irracionalidad de 2 y la trascendencia de k . Esto embota el aguijón de la crítica de Wittgenstein a las metamatemáticas que, en sus operaciones, no difieren tanto de la teoría de

Galois o de cualquier otra parte de las matemáticas puras, en que los hombres han razonado con éxito sobre los objetos matemáticos.

Wittgenstein admitía que la demostración de una contradicción indicaría que no sabemos qué estamos haciendo. [Tí: 104]. Acep­ tado, y esto es un resultado importante, que pueda asemejarse al descubrimiento de la irracionalidad de \ / 2 ; pero esto es también un problema, que puede tener una significación análoga, aunque cabe dudar de que sea tan importante, para las matemáticas, como el descubrimiento de la irracionalidad; no vemos inmediatamente qué tiene de malo nuestra idea intuitiva de la abstracción de clase en la misma forma como podemos ver la mayoría de nosotros por que está prohibida la división por 0. No creo que W ittgenstein se haya equivocado al subrayar las aplicaciones vulgares, por el con­ trario; pero dudo de que haya podido resolver la dificultad sin entrar en detalles inusitados con el objetivo de explicar cómo las aplicaciones internas de los conceptos matemáticos también, en una forma quizás refractada y diluida, reflejan los elementos esenciales del lenguaje vulgar, no matemático. Esta primera dificultad está ligada al estado insatisfactoriamen­ te indefinido de las ideas de W ittgenstein sobre el cambio concep­ tual. Las modificaciones más obvias se presentan en conexión con las aplicaciones internas, por ejemplo, el cierre del plano provectivo con la introducción de un punto en la infinidad, el desarrollo del campo del número real, la reelaboración algebraica de la aritmética y la geometría y el uso sistemático de la teoría del conjunto como algo formulista. Tam bién hemos notado que W ittgenstein nunca pudo decir cómo podían llegar las distintas pruebas a las mismas conclusiones. O, para decirlo de otro modo, no tenía lugar en su marco mental para la idea de un teorema. La disponibilidad de pruebas alterna­ tivas va de la mano con la suposición usual de que se puede com­ prender un teorema que nunca se ha visto probado, que Wittgenstein quiso también aparentemente negar, no sin adm itir el círculo de la paradoja [ver B: 183; R : 92]. Tam bién aquí creo que W ittgen­ stein sólo habría podido eliminar la dificultad si, contrariamente a todas sus inclinaciones, hubiese mirado muchos casos especiales distintos, con considerables detalles. No sé cómo hacer esto: pero c r e o que ]0 que debemos term inar por comprender mejor es la aplicabilidad obvia, franca, multivalente de las matemáticas inte­ resantes a casos de todo género, tanto dentro como fuera; esto, acaso, revelaría mejor cómo se puede considerar a una cosa como un modelo para otra cosa y (para decirlo figurativamente) cómo se puede hacer girar el mismo caso en direcciones distintas para llegar a la misma posición.

Otro problema de magnitud que el propio W ittgenstein reco­ noció es explicar cómo son posibles los errores en el cálculo especí­ ficamente y en la demostración generalmente. O se sabe o no se sabe calcular; pero, si se sabe, el cálculo arroja el resultado exacto. Plasta aquí, el problema se parece un poco a la justificación de los errores de ortografía. Pero le da especial importancia el axioma de W ittgenstein de que el proceso y el resultado son lo mismo en las matemáticas y lo hace lamentable la consideración de que si la prueba fuese (como lo sostenía Wittgenstein) la revelación del sentido, resultaría difícil explicar cómo podemos, con la compren­ sión, proponernos probar algo, si no conocemos el resultado por adelantado [ver B: 170], Podemos aceptar hasta cierto punto la declaración confesional de W ittgenstein “No he hecho aún claro el rol del cálculo erróneo. El rol de la proposición: ‘Debo de haber cometido en error de cálculo’. Esto es, realmente, la clave de una comprensión de los ‘fundamentos de las matemáticas’.” [i?: 1 1 1 ; ver también 33, 95, 120.] Hay muchos otros problemas menores, no resueltos. W ittgen­ stein estaba mal preparado para afrontar la distinción, obvia, aun­ que sólo ocasionalmente pertinente, entre los axiomas y los teoremas [ver R : 79], ¿Por qué, por ejemplo, eran tan cautelosos los antiguos con el axioma de las paralelas... se le consideraba generalmente verdadero? (Y ver las propias observaciones de W ittgenstein en R: 113 s.) A sim ism o..., ¿cómo explica W ittgenstein el hecho de que los matemáticos no “descubren” pruebas, sino teoremas? ;Dónde enca­ jan en su plan los métodos de ensayo y de error? Aunque puedo creer que algo que no veo llevó a Euler a su calculada desaprobación de n la conjetura de Fermat, de que todos los números de la forma 22 -f- 1 5 son primos, la mayoría de nosotros vemos -(- 1 como un contra­ ejemplo concreto [para un reconocimiento parcial, ver B: 134 y R : 188], Todo esto son dificultades evidentes, no resueltas aún por la filosofía de las matemáticas de Wittgenstein. Desviándonos a otro sendero crítico, creo que la mayoría de los comentaristas estarán de acuerdo en que el estilo y la manera de W ittgenstein eran inadecuados para el tema. Las fluctuantes imágenes de su variable terminología son de lamentar; y las usa en una forma analógica negligente, con escasa discriminación. Pién­ sese solamente cómo han sido llamadas y podrían llamarse “reglas” muchas cosas distintas; piénsese qué distintas son las reglas del inglés de las del cálculo. En ninguna otra parte de la filosofía se exige más el detalle. W ittgenstein llama nuestra atención sobre la “mezcla”; p e r o ..., ¿dónde está la misma en su libro? T rabaja con unos pocos ejemplos insípidos, que se destacan más que nada por

su vaga semejanza con otros más importantes. (¿No habría dado más resultado como ejemplo el Problema del Puente de Kónisberg que las bisagras en la pared j\R: 174]?). W ittgenstein era inexcusa­ blemente negligente en punto a tecnicismos y a veces éstos revisten importancia. Todos han considerado, con Wittgenstein, que debe de haber una diferencia formal importante entre la serie de los números primos y (digamos) la serie de los números pares [ver B : 251]. Creo que los matemáticos, algunos de los cuales piensan lo mismo que Wittgenstein sobre los números reales, han intentado sin éxito decir en qué consiste la diferencia. El T , por lo demás bien elaborado, es inverosímilmente malo cuando se refiere a importantes cuestiones técnicas. El principal de ésos defectos es que la operación de W ittgenstein para generar pro­ posiciones no era, como él habría podido enunciarlo más tarde, generalmente recursiva, tal como debía serlo. Me he devanado los sesos tratando de imaginar cómo se podía adaptar una teoría de las descripciones a la teoría de T del lenguaje, como insinuó W itt­ genstein que podía ser T : 3.24. Pero, yendo más al grano, la teoría ¿ie T de las matemáticas per se es simplemente un caos. En primer lugar, las ecuaciones en cuestión no son sentencias degeneradas, de modo que no resulta claro cómo pueden ser sinnlos pero no puntos singulares unsinnig de revelación lógica. En segundo lugar, esas ecuaciones son descritas como conteniendo nombres y no (por ejem­ plo) números, aunque los ejemplos de W ittgenstein están urdidos '{jara el número. Sospecho que W ittgenstein tenía en vista algo así como la trigonometría; pero, por la razón que acabo de mencionar, sU teoría es inadecuada hasta para los simples cálculos. Bosqueja sucintamente una teoría del número, que puede ser congruente con el esquema de Peano; pero uno se pregunta cómo se puede aplicar esto a las manzanas y a las naranjas. Se necesitarían más de dos Aplicaciones de negación conjunta para conseguir "manzana t , está en el plato y manzana 2 está en el plato”. Hay soluciones para esto, P^ro llevan a dificultades más profundas aún. Sin embargo, después de haber anotado todo esto, creo que Wittgenstein tenía razón en el fondo en su alternativa, propuesta aunque fragmentada, a las demás “filosofías” de las matemáticas. Mientras rastreaba a lo largo de esos textos, me sentía cada vez más agradablemente dispuesto a pensar que el método derivacional for­ mal de presentar una prueba matemática contra el cual polemiza Wittgenstein sólo es un método de presentación, v bastante artifi­ cial por lo demás, una suerte de uniforme qut; yo había aprendido a respetar con el adiestramiento por los profesores de lógica. Estoy absolutamente convencido por lo que él insinúa sobre el “sentido” f las matemáticas. Ahora, me gustaría tratar de trasmitir esta convicción.

Muchas comparten la aversión de W ittgenstein a la teología de las matemáticas puras y su deseo de disipar los misterios arcanos del culto. Pero quizás los misterios sean preferibles a decir que las matemáticas son algo que evidentemente no son (¿quién cambiaría ¡as matemáticas que conocemos por la psicología?) y al naturalismo del “juego” sin sentido. El concepto de las matemáticas de W ittgen­ stein como un equipo de instrumentos para la fiscalización concep­ tual es, a un tiempo, un refugio del empirismo y una alternativa ai platonismo. Debemos tratar de ver cómo los objetos matemáticos son seres de concepción hum ana en una forma en que no lo son los cocos y los pensamientos. El pensamiento orientador de W ittgen­ stein es que son rasgos de nuestras formas primitivamente no mate­ máticas de pensar sobre el mundo y le deben su superpalpabiliclad aparente al hecho de que pueden ser presentadas “no observacionalmente” en esa forma, más inmediata. Explicamos el sentido de las matemáticas atendiendo a esas aplicaciones, a los ejemplos domi­ nantes y no apelando a imágenes tomadas en préstamo. W ittgen­ stein nos fortalece también contra esas maneras evidentemente falsas, pero con todo peligrosamente invitantes, de pensar en las secuencias matemáticas como verdaderos procesos físicos que subsisten quizás durante un tiempo larguísimo. Los infinitos de las matemáticas no son procesionales, sino características de las reglas singulares abier­ tas, aunque de aplicación regular. Creo que muchos matemáticos practicantes comparten la idea de W ittgenstein de que los números reales deben responder a "reglas”. La prueba de la exactitud de la manera de pensar de W ittgen­ stein sobre las matemáticas aparece en muchos lugares. Piénsese que, hasta hace poco, sólo en la geometría, entre las muchas disci­ plinas matemáticas, había pruebas que supuestamente debían pro­ venir de axiomas y postulados estipulados. ¿Por qué? Porque en otra parte de la demostración comenzaba llamándonos la atención ei matemático sobre lo que cualquiera podía ver que debía acaecer, por ejemplo, se podía advertir que los números eran ilimitados simplemente porque uno había aprendido una regla de lenguaje vulgar, para contar así, permitiéndole siempre contar más arriba de "esto”. Hasta en la geometría, los axiomas se formulaban como in­ dicaciones de que las proporciones geométricas y no (por ejemplo) las intensidades de la sensación, eran la materia tratada y los pos­ tulados se estipulaban donde se requería una especie de generali­ dad para la cual la práctica vulgar no proporcionaba una construc­ ción que diera validez inmediata. La demostración geométrica se reducía más que nada a conseguir que uno “mirara y viese”, donde lo que miraba era la “aplicación”. Fuera de la geometría, con el desarrollo de las matemáticas puras, esta aplicción era ya común­

mente algo matemático (por ejemplo, el orden y el número de los exponentes de las funciones polinómicas). Hay algo de exacto en las ideas de W ittgenstein sobre los con­ ceptos “creadores” de pruebas. Uno cree en primer término en los ejemplos importantes, aunque trillados, de la historia del desarrollo del concepto del número, sobre los cuales no me extenderé como no sea para observar las diferencias. Llegamos a X0 generalizando sobre una aplicación de los números y a co generalizando sobre otra; los números complejos, a modo de contraste, surgen de una exi­ gencia de redondez algebraica. La resolución final de los proble­ mas de la geometría clásica proporciona un tipo de ejemplo distin­ to. Wittgenstein consideró que éstos establecían conexiones entre “sistemas de lenguaje” antes separados (B: 177). Supongamos, lo que es históricamente inconcebible, que Arquímides supiera lo que hacia con respecto a las magnitudes geométricas y dominara en cierto modo la teoría algebraica completa de las ecuaciones, el con­ cepto de una función derivada y la teoría analítica del desarrollo de series de potencia. Él, como Lindemann, habría podido demos­ trar que e no era la raíz de ninguna ecuación polinómica; y por lo tanto no jti; y por lo tanto no Tt; pero ni siquiera Arquímedes habría podido ver inmediatamente que, por lo tanto, no se podía obtener la cuadratura del círculo. La prueba de Lindemann habría sido incomprensible para los antiguos y no hubiera respondido a su pregunta. El sentido de “n” ha sufrido desde entonces un cam­ bio continuo pero acentuado, más que nada por haber aplicado un creciente cuerpo de técnica analítica a problemas que, originaria­ mente, se planteaban en otra parte. El concepto original de una razón geométrica estaba, con todo, siempre ahí, como habría podido 4ecirlo Wittgenstein, en el trasfondo. Se podría interpretar tenden­ ciosamente la demostración de Lindemann como una explicación de por qué el problema geométrico no habría podido ser (y por lo tanto nunca lo fue) resuelto, Esta descripción del caso, que supongo aceptable, está destinada a ilustrar cómo cobra sentido la aplicación; aquí, la “aplicación” principal era matemática, pero la aplicación matemática en sí ob­ tiene su sentido de los procedimientos superimposicionales no mate«íá ticos que provienen de comparar áreas. En realidad, no quere­ mos negar nada y se plantea el interrogante de si esa forma de pensar tendría algún sentido útil si es dirigida a partes más ocultas y abstractas de las matemáticas que empiezan con aplicaciones ano­ tadas y muy reglamentadas desde hace tiempo. Me arriesgo a insi­ nuar que eso puede ser, aunque aquí mi ignorancia podría trai­ cionarme. Me ha asombrado observar la excitación causada por Cohén al probar hace poco la independencia del Axioma de la

Elección. El gran interrogante es qué harán ahora los matemáticos. La opinión general parece ser que seguirán como hasta ahora con la sensación de que su confianza anterior al usar el Axioma ha sido justificada .8 Creo que se podría explicar “filosóficamente” esa “de­ cisión” manteniéndose a lo largo de las siguientes líneas wittgensteinianas. Empezar con el pensamiento de W ittgenstein de que las concepciones matemáticas del infinito son planteadas con el fin de fijar, en forma no arbitraria, los límites de conceptos ya disponi­ bles. Una prueba de numerabilidad exhibe una regla con la cual puede ser puesta en práctica. Una prueba de no numerabilidad muestra que no hay tal procedimiento. Sin embargo, a fin de que todo sea limitado, un concepto de un desarrollo supuestamente nodenumerable debe ser sujeto a algo que podamos captar. Las prue­ bas usadas, en la estratosfera de la teoría del conjunto obtienen su sentido de sus conexiones con cosas más próximas, gravitantes, “constructivas”. Los límites se trazan para permitirnos considerar esos casos en una forma no arbitraria. Si estamos seguros de que un principio es válido para cualquier caso finito como éste o “cons­ tructivo” de otro modo, nos incumbe a nosotros adoptarlo, si se le sabe también consistente con todos los demás principios semejantes. Creo que tal es ahora la situación con el Axioma de la Elección. No confío del todo en que lo que digo tenga sentido; pero se trata, en cualquier caso, de un ejemplo del pensamiento de W ittgenstein .9 Debe ser evidente, ya, que simpatizo con la tesis de W ittgens­ tein de que la prueba matemática es una clara demostración y no un derivado lógico; o, más bien, que el derivado lógico sólo es una especie de demostración. Creo que esto, en realidad, habría sido el sentimiento tradicional y que la filosofía de W ittgenstein represen­ ta un regreso significativo de la moda reciente. Me inclino a pensar que H ilbert se equivocaba y Euclides tenía razón, que los postula­ dos no deben ser enunciados como supuestas verdades, sino que j 8 P u ed e h a b e r ciertas reservas, m ás q u e n a d a p o rq u e el A xiom a de la Elección tiene algunas consecuencias c o n tra in íu itiv a s —¡obsérvese la apelación in m e d iata a la aplicación n o m atem ática!— sobre todo el teorem a T arskiB anach. P ero esa clase de in tu ició n , sea com o fuere, está siem pre a la defensiva. R ecuérdese el p ro p io ejem plo favorito de W ittg en stein de la dis­ tan c ia d e la superficie a q u e se h allaría u n cordón colocado alred ed o r de la T ie rra si su lo n g itu d fuera au m en tad a en q uince centím etros. ® U n razonam iento análogo p o d ría in d u cirn o s a a d o p ta r el A xiom a de la R e d u ctib ilid ad si se dem ostrara que es in d ep e n d ien te de los dem ás axiom as de la T e o ría R am ificada de los T ipos. El A xiom a es evidentem ente válido p a ra los m odelos finitos, p o rq u e ahí podem os form ar fácilm ente p o r lo gene­ ral funciones predicativas q u e d e fin a n los desarrollos de funciones im p re d ica ­ tivas, p o r ejem plo x tiene todas las propiedades de u n gran general posee el m ism o desarrollo q u e tal o cual función m ás bien q u e x = E p a m in o n d a s .. . v x = A le ja n d ro .. . v x = A n í b a l.. . v x = C é s a r.. . v x = S a b u ta i.. . v x = M a rlb o ro u g h .. . v x = R om m el.

han de ser colocados de vez en cuando para decirle a uno qué puede hacer. Sea como fuere, estoy de acuerdo con W ittgenstein en que lo que importa es la prueba y no la conclusión. Los matemáticos descubren pruebas, no teoremas. Las proposiciones matemáticas, en realidad, son esencialmente últimas líneas de demostraciones. No se puede afirmar adecuadamente que se conoce un teorema si se piensa que no ha sido demostrado y creer en una proposición matemática implicaría para nosotros creer que se la puede de­ mostrar. La máxima de Wittgenstein de que el proceso y el resultado son lo mismo es una formulación extrema de la posición. Hasta eso tiene cierta plausibilidad inicial para los ejemplos de demostracio­ nes no sistemáticas, tales como la prueba de Cauchy de que la suma de los números de las caras y los vértices menos el número de las aristas de un poliedro es siempre 2 , y la solución del problema del Puente de Kónigsberg. Podríamos argumentar en favor de la tesis concentrándonos (como lo hace Wittgenstein) en los cálculos, don­ de el cálculo parece ser una prueba de que éste puede hacerse. No me gusta esa defensa, pues dudo de que el cálculo sea alguna vez en sí mismo una demostración, a pesar del hecho de que los ejerci­ cios de Goedel parecen culminar finalmente en un cómputo refi­ nado, pero, con todo, elemental. Yo diría, más bien, que el teorema es que hay un cálculo que puede ser considerado así. Generalizando sobre esto, uno puede conservar algo de la doctrina de Wittgenstein. Una demostración revela que existe cierta construcción y que no se la puede ejecutar mejor que exhibiendo semejante construcción. Uno recuerda aquí el precedente clásico de la geometría euclidiana, donde las construcciones se exhiben con las pruebas agregadas. Pero la doctrina se aplica mejor a los ejemplos no sistemáticos. Recuerdo la experiencia de un amigo matemático (el mismo que me mostró la prueba "más corta” del Teorema de Pitágoras) que fue contratado para ofrecerles lecciones de geometría elemental por televisión a alumnos de segundo grado. Lo axiomático estaba des­ cartado. En tal semana, mi amigo les enseñaba a dividir en dos partes iguales una línea. En la siguiente, les enseñaba a trazar un círculo y luego les pedía que encontraran el centro de un círculo. Se informó que dos niños vieron de inmediato la solución. Lo que me resulta interesante en esto y lo otro con respecto a los dos ejem­ plos que dimos en página 69 y siguientes, es la casi imposibilidad de considerar deducciones de axiomas a las demostraciones que acompañan a las conclusiones. En re a lid a d ..., ¿dónde están los axiomas? Quizá estén “implícitos”. T al vez. P e ro ..., ¿cómo figuran a modo de premisas? No Pliego que podamos encontrar pruebas derivacionales de los axiomas para las conclusiones afirmadas, Pero

las que he mencionado no son de esa clase. Digo que la prueba no» hace ver la construcción en cierta forma que puede aparecer de vez en cuando y, en realidad, podemos tener algo más parecido a una situación híbrida que a un derivado .10 lie leído en alguna parte que los banqueros genoveses inven­ taron en el siglo XV el interés compuesto. Me imagino que pueden haber apoyado su introducción de esta nueva forma de comerciar en la siguiente demostración: si la liquidez tiene su precio, en una economía ideal sin fricción el interés debe ser compuesto en for­ ma continua, ya que un inversor perfectamente racional podría sin cesar retirar y reinvertir su capital con un interés acrecentado. Este género de “prueba” debe parecerse, a mi entender, al tempra­ no e importante descubrimiento por los babilonios de una expli­ cación de por qué los campos de igual perímetro no producen igual rendimiento y la explicación de por qué el diario de navegación ile El Cano tenía un día de error cuando el navegante recaló en un puerto portugués del África a fines del primer viaje alrede­ dor del mundo. Creo que son esas las demostraciones que tenía en vista Wittgenstein. No provienen deductivamente de axiomas; to­ man su sentido de sus conexiones directas con una aplicación que es inmediata y palpable. Al mismo tiempo, es evidente que la natu­ raleza no se comporta siempre como parece exigirlo la demostra­ ción. La economía no carece de fricción; es demasiado dificultoso ser “perfectamente racional": la “fertilidad”, como el área, puede afectar la cosecha. Pero asimismo la prueba nos pone en condicio­ nes de localizar los demás factores y por eso se la puede usar como instrumento de fiscalización conceptual. En el uso cotidiano, las palabras como “demostración”, “prue­ ba” e “inferencia”, en compañía de otras como “explicación”, “di­ lucidación”, etcétera, abarcan actividades que, aunque esencialmen­ te lingüísticas, llegan más allá del uso del lenguaje, hasta lo que puede ganarse en cuanto a crear convicción y organizar conoci­ miento. La concepción formal moderna de la prueba como deriva­ ción lógica, como la concepción de explicación corrientemente po­ pular de la “ley abarcante”, cercenaría los factores no lingüísticos como algo extrañamente psicológico y reduciría las nociones de de­ mostración y explicación a sus componentes puramente lingüísti­ cos. En realidad, una de las hazañas de Goedel fue mostrar cómo las pruebas formales podían ser consideradas estructuras pura­ mente lingüísticas. Con todo, la inclusión no resulta fácil de ex10 E n cierta ocasión, solucioné el problem a de d em o strar q u e u n triá n g u lo con dos bisectrices iguales es isósceles. N o h e logrado re c a p tu ra r la p ru e b a , a u n q u e recuerdo q u e la conclusión apareció cuan d o vi u n a relación q u e , com o las caras en los árboles, ha desaparecido ah o ra e n u n caos de líneas^

plicar y la prueba formal es una demostración solamente según advertencias importantes e implícitas. La inclusión bajo reglas generales es una forma de derivación lógica: a cambio de esto, me siento inclinado a pensar que la de­ mostración matemática es, en el mejor de los casos, una especie de explicación. Esta idea, tomada conjuntamente con los ejemplos arriba exa­ minados, me retrotrae a la “formación del concepto”. Las demos­ traciones no sistemáticas que hemos estado viendo sólo tienen éxito si nos llevan a ver algo en forma nueva o revelan distinciones antes pasadas por alto. Hacen esto con tanto mayor eficacia cuanto más “explican” también; son “claras”, si no inmediatamente convincen­ tes. Después de haber leído a Wittgenstein, me desconcierta fran­ camente el hecho de que pueda haber distintas pruebas de los mismos teoremas. Pero ahora, teniendo en cuenta los ejemplos ele­ gidos de la poca matemática aprendida en la escuela, me impre­ siona el hecho de que ciertas pruebas se expliquen mejor que otras. Volvamos a la prueba “más corta” del Teorema de Pitágoras ya citada que usa esta construcción. C

Compárese esto con otra muy convincente, “corta”, prueba que usa la construcción (a -f- b f = a 2 -f-62 2ab, donde, naturalmena

b

a

te, los cuatro triángulos de las esquinas tienen un área combinada de 2ab. Confieso que no estoy seguro aún de ver por qué la prime­

ra prueba más corta es una prueba: me convence perfectamente la otra. Sin embargo, creo que la prim era prueba es probablemente la “mejor”, porque sugiere una conexión explicativa con el princi­ pio fundamental de que las partes correspondientes de las figuras similares tienen magnitudes proporcionales .11 U n último ejemplo. Todos hemos visto la prueba clásica de la irracionalidad de \ / 2 atribuida a Pitágoras. Empezamos por supo­ ner que 2 = m 2fn 2, donde m y n son relativamente primos. En cier­ ta ocasión, me quejé a un matemátimo amigo mío de que, aunque yo encontraba esto perfectamente convincente, no comprendía real­ mente qué estaba sucediendo. Él me expresó su simpatía y me dijo que considerase la demostración como un caso especial del Teorema de Factorización Única. Ahora, comprendo (como comprendiera __

s __

3 ___

“implícitamente” en la escuela cuando “vi” que x/5, \/1 0 y \/4 9 son irracionales). El Teorema de Factorización Única en sí parece, o antaño me pareció, perfectamente evidente, aunque confieso que la prueba usual, atribuida a Euclides, me parece “poco clara”. Comprendo o comprendería mejor las cosas con algunas pruebas de un teorema dado más bien que con otras porque la prueba “me­ jor” relaciona más estrechamente la conclusión con las aplicaciones vulgares con que empezó mi pensamiento a las operaciones de suma y multiplicación que apoyan la teoría de los números o a la cons­ trucción y uso de triángulos euclidianos para medir áreas.

11 Q uizás la o lra p ru e b a sugiera tam b ién u n a p ro fu n d a explicación vinculada a la consideración de la sim etría. Lo q u e n o veo, son las conexiones e n tre esas p ruebas y las otras q u e h a n presentado los e sp íritu s ociosos d u ra n te más de dos m ilenios.

LOS SERES H U M ANO S

J ohn

W.

Cook

Sólo de u n ser h u m an o y de lo q u e parece (se com porta como) u n ser h u m an o , puede decirse: tiene sensaciones; ve; es ciego; oye; es sordo; es consciente o inconsciente. W

it t g e n s t e in

Parece justo decir que no existe un consenso muy general acerca de lo que ha aportado exactamente Wittgenstein a nuestra comprensión del problema de otras mentes. Algunos atribuirán es­ to al carácter desconcertante del estilo de W ittgenstein y acaso haya algo de justo en ello. En cambio, tal vez las dificultades que halla­ mos en su estilo sean en parte, el resultado de los preconceptos que aportamos a nuestra lectura de sus escritos. Cuando se trata del problema de otras mentes, nos sentimos sin duda dispuestos a des­ cubrir que las líneas principales de su posición siguen ciertos ca­ minos bien conocidos. Esperamos hallar en su posición algún ele­ mento del cartesianismo o el behaviorismo, porque éstos parecen dividir el campo sin dejar un sobrante. Es cierto que Wittgenstein quizá haya repudiado ciertas consecuencias, tales como la idea de un lenguaje privado, que otros creían ver en estas alternativas, pero no puede haber rechazado integralmente a ambas. Quizás haya transado adoptando elementos de una y otra. Contra esta manera de interpretar a Wittgenstein, intentaré mostrar que rechazó en rea­ lidad integralmente tanto al cartesianismo como al behaviorismo. Rechaza un elemento que comparten fundamentalmente esas alter­ nativas, es decir cierta manera de decir qué es un ser humano. A fin de revelar este elemento, empezaré por pasar revista a los rasgos del escepticismo filosófico que suscitan los problemas de otras mentes.

I En su Primera Meditación, Descartes pone en claro las siguien­ tes características del escepticismo filosófico: el escéptico debe de­ sechar dudas sobre casos especiales (“¿Han sacado al gato?” “¿Está cargada la escopeta?”) y una vez de ello, debe buscar bases para discutir toda una clase de juicios. Esto debe realizarse socavando en alguna forma el género usual de justificaciones que damos para juzgar la clase de cuestión. Ahora bien, el escepticismo así enten­ dido ha provocado un conjunto de exigencias que los filósofos han tratado por lo general de honrar en las respuestas que le han dado al escéptico. En primer lugar, al responderle al escéptico nos priva­ mos de apelar simplemente a las justificaciones de tipo corriente (“Yo miré”) , ya que son precisamente ésas las que él da a entender que ha socavado. (Esto es lo que Moore parecía pasar por alto tan a menudo.) En segundo lugar, si se le ha de contestar al escéptico en sus propios términos y hemos de progresar de una certeza sim­ plemente moral hasta una certeza metafísica, como lo habría ex­ presado Descartes, tenemos que empezar por premisas que no contienen en sí presuposiciones discutibles de ninguna clase. De­ bemos encontrar alguna manera de fundar nuestros juicios usuales en lo que se ha llamado “enunciados protocolares”. (Para mayor sencillez de exposición, conservaré esta frase, recurriendo a la sig­ nificación etimológica de “proto”.) En tercer lugar, esta fundamentación de nuestros juicios corrientes debe ser realizada sea ( 1 ) por una justificación de alguna clase extraordinaria para hacer inferencias a partir de enunciados protocolares, por ejemplo, Ja apelación de Descartes a la veracidad de Dios, o (2) una construc­ ción (en la letra, si no en espíritu) de nuestros juicios ordinarios con sentencias protocolares usando medios puramente formales. (Llamaré a éstas las exigencias del escepticismo.) Los filósofos, como dije, han honrado usnahnente esas preguntas. Ha habido ex­ cepciones, como Moore y Thomas Reid, pero sus respuestas al es­ céptico han sido más desconcertantes que útiles. De acuerdo con ello, la filosofía moderna ha sido más que nada una lucha para hallar medios adecuados de satisfacer la tercera exigencia del es­ céptico. Por eso, hemos sido testigos de una sucesión de reduccio­ nistas, por un lado, y de los que ellos llaman metafísicos, por otro. Éstas son las líneas, pues, entre las cuales se libran las escaramuzas. Con cierta frecuencia, un filósofo trata de hallar un terreno inter­ medio, pero los demás gritan “necio” y la lucha prosigue con su­ tilezas adicionales. T al es, en líneas generales, el medio en el cual interpretamos a Wittgenstein. Convendrá pasar revista, pues, al contenido de las exigencias del escéptico en cuanto concierne a los problemas de

otras mentes. La primera exigencia requiere que desechemos nues­ tras justificaciones usuales de nuestros enunciados sobre los pro cesos, sucesos y estados mentales de los demás, tales como: “Sé que está preocupada: he estado hablando con ella”. “Noté que él estaba dolorido; hacía muecas y se agarraba el codo”, etcétera. (Esto debe ser excluido, si no por otro motivo, porque “Ella me dijo” y “Él hacía muecas” parecen ser, por lo menos implícitamente, enuncia­ dos de ésos que el escéptico se propone poner en duda.) La segun­ da exigencia es ahora que los enunciados protocolares en que fun­ damos cualquier enunciado sobre los procesos, sucesos y estados mentales de los demás, deben ser enunciados sobre cuerpos huma­ nos. (Los behavioristas suelen hablar de descripciones de “movi­ mientos incoloros”.) Podríamos formular más gráficamente esta exigencia diciendo que los enunciados protocolares deben estar li­ bres de toda sugerencia de que los sujetos a que se aplican son esencialmente distintos de los autómatas. A la tercera exigencia, se la satisface más usualmente sea ( 1 ) con el argumento por analo­ gía que, se admite, es menos eme lo que aceptará el escéptico, pero lo mejor que podemos hacer si somos cartesianos, o (2 ) con cierta forma de behaviorismo. Ahora, permítaseme preguntar cuál, se pre­ sume, es la posición de Wittgenstein en respuesta al escéptico. Pa­ recen existir tres interpretaciones: o bien Wittgenstein trata de satisfacer la tercera exigencia con su noción del criterio y es por eso, a pesar de los aue lo niegan, un sutil behaviorista: o continúa, en forma refinada, la tradición de Moore de negarse a acceder a la primera exigencia, y es por eso lo que podría llamarse "cartesiano de lenguaje corriente” ; o trata de combinar de algún modo estos enfoques aparentemente antitéticos y es asf, quizás, el primer "criptocartaviorista”. Lo que nadie parece haber tenido en cuenta en todo esto, es lo que tiene que decir Wittgenstein con respecto a la se­ gunda exigencia y en particular sobre la idea del “cuerpo” o los "movimientos corporales” de los cuales nace todo el problema. Si. en realidad, Wittgenstein adelantó consideraciones substanciales contra esta verdadera raíz del problema, hizo algo muy distinto de lo que han sugerido interpretaciones corrientes. En este ensayo, afirmaré que W ittgenstein dio con la raíz. A fin de aclarar qué implicaría semejante enfoque del proble ma, conviene pasar revista al status de la segunda exigencia en el problema sobre el m undo externo. Ahí, la exigencia es que empece­ mos por enunciados protoclares sobre los datos de los sentidos o, con más lenidad, sobre las apariencias. Creo que ahora se admitirá ampliamente que en la noción de los datos de los sentidos reina una confusión irremediable y también que, aunque comprendamos y usualmente hagamos observaciones sobre las apariencias de la*

cosas, éstas no podrían servir de fundamento lógico-epistemológico para nuestros enunciados sobre cosas tales como las barras de cho­ colate (“Está derretidas”) y las pelotas de fútbol (‘‘Tiene un agu­ jero”) . Varias de las razones de esto pueden ser expuestas sucinta­ mente. En primer lugar, es evidente que los niños no dominan pri­ meramente el lenguaje de las apariencias y se dedican luego a cons­ truir o derivar enumerados sobre objetos físicos. Además, existen bases sólidas para sostener que hay mucho en nuestros enunciados sobre objetos físicos, por ejemplo, palabras tales como "derretido” y “agujero”, que no se podrían presentar en las descripciones de apariencias, y en cualquier caso el aprendizaje del lenguaje de las apariencias presupone un dominio del lenguaje usado al hablar de los objeto físicos. En realidad, el lenguaje de las apariencias es un uso muy refinado de las palabras. ¿Quién, después de todo, puede describir fácilmente tintes y relieves y sombras y una aparente con­ vergencia de líneas y cosas parecidas? ¿Y cuándo notamos esas cosas? Los dibujos de los niños no sugieren que se fijen mucho en las apariencias. Por esas y otras razones, la idea de que el lenguaje de las apariencias constituye un lenguaje epistemológicamente básico ha sido de hecho abandonada. Una de las razones adicionales para ello es que ya no encontramos plausibles los argumentos escépticos, como el de la ilusión, que parecían crear la necesidad de un len­ guaje de protocolo y darnos la idea misma de él, (Nadie pensó que había datos de los sentidos, antes de encontrar seductores esos ar­ gumentos.) Menciono especialmente este punto porque ilustra la conexión esencial entre los argumentos escépticos y la idea de una descripción básica o lenguaje de protocolo del género que reclama el escéptico. Así, los filósofos que querían responderle al escéptico dentro de sus propios términos satisfaciendo la tercera exigencia en alguna forma, comparten una suposición mucho más fundamental que las diferencias que pueda haber entre sus modos opuestos de satisfacer esa tercera exigencia. En el problema de otras mentes, esto significa que el behaviorismo y el argumento por analogía son hermanos en su esencia: ambos reposan sobre la suposición de que debemos reconocer por fuerza las descripciones (u observaciones) de los movimientos corporales como epistemológicamente básicos en nuestro conocimiento de otras personas. Es precisamente esta suposición la que rechaza Wittgenstein. Me refiero especialmente a las secciones 281-7 de las Investigaciones filosóficas, donde intro­ duce por primera vez preguntas sobre cuerpos, almas y seres h u ­ manos, y también me refiero a la forma en que recoge esto en las

secciones 288-316 con un ataque a la idea de una identificación in­ terna o privada del dolor o el pensamiento .1 Lo que quiero poner de rríanifiesto, es la relación entre esos dos grupos de pasajes. A fin de hacerlo, con todo, habrá que empezar por reelaborar el problema en sí, ya que gran parte del análisis publicado de las opiniones de Wittgenstein es, simplemente, el re­ sultado de haber planteado muy fuera de foco el problema de las otras mentes. Empezaré, pues, por preguntar en qué consiste ese problema.

II Veamos cómo debemos plantear el problema de otras mentas. Podríamos preguntar: ‘“¿Tienen los demás una vida mental como yo?” Pero esto, evidentemente, estaría fuera de lugar, porque no ss es persona, con seguridad, si no se tienen pensamientos, emociones, deseos, sensaciones, etcétera. Después de todo, no nos proponemos preguntar en la forma corriente si tal o cual persona está en coma o algo así. Por lo tanto, más vale que nos repleguemos a esta formulación: “¿Son las cosas que considero gente, realmente pí“’V es decir, tienen pensamiento y emociones, etcétera?” Pero tampoco esto es satisfactorio, porque queda sin especificar qué distinción s? nos pide que hagamos. Si la pregunta es si son gente o no, debemos preguntar: “¿La gente como opuesta a q u é ? " Y aquí, la respuesta no es del todo clara. Si miro a mi hijo que juega cerca de mí y prégunto: “¿Qué otra cosa podría ser?”, no se me ocurre fácilmente ninguna respuesta. Evidentemente, el niño no es una estatua ni un muñeco animado de los que solemos ver con una apariencia muv próxima a la vida. Es mi propio hijo, mi propia carne y sangra .2 El problema de las otras mentes parece correr peligro de zozo­ brar desde el principio. Es evidente, por lo menos, que no pode­ mos plantearlo mientras dejamos que ocupe su lugar usual el con­ 1 E n la sección 316, la discusión no concluye, sino q u e se Je da u n nuevo giro; debe considerarse q u e la investigación del concepto pensar y otros en las secciones 316-76 contiene u n a exposición u lte rio r de la form a como se p ropone W ittg en stein op o n er la idea de u n a identificación in te rn a o privada de u n estado o proceso m ental. H ace ex p lícita esta conexión en el g ru p o siguiente de pasajes, 377-97, y luego en la sección 398, la discusión vuelve a la cuestión p la n te a d a e n 281-7 sobre la n a tu ra le z a d el su jeto del dolor o e! pensam iento. A hí, W ittg en stein analiza p o r p rim e ra vez (398-413) enigm as sobre el p ro n o m b re en p rim e ra persona y la idea de q u e el "yo” es discernido p o r u n a m ira d a in te rio r y concluye luego el análisis de todo el tem a recogiendo in terro g an tes sobre seres hum anos, alm as y au tó m atas (414-27). Vuelve al tem a en la segunda p a rte , p. 178. . 2 V er Investigaciones filosóficas, p. 178.

cepto ser humano (o persona o niño). De un modo u otro, debe­ mos apartarlo oponiéndole algún otro concepto. Descartes procuró suscitar una duda sobre el equipo del m undo suponiendo que so­ ñaba y en esa forma no sólo podía hablar de barcos y zapatos y cera de abejas, sino también de los sueños con éstos. Es precisa­ mente un paso así el requerido m hemos de plantear el problema de otras mentes. Pero también este paso debería ser hallado en las Meditaciones, va q u e ..., ¿no fue acaso el propio Descartes quien planteó el problema? Sum res cogitans. ¿Cómo afrontó esto Des­ cartes? Comenzó con esta advertencia sobre sí mismo: “ ¡Como si \o no fuera un hombre que duerme habitualm ente de noche v liene las mismas impresiones (o aún más descabelladas) al dormir cine los locos cuando están despiertos!” La advertencia es que D esertes se duerme y sueña. Pero, luego, continúa diciendo: "Cuando refle­ xiono más cuidadosamente sobre esto, me siento desconcertado: v ese mismo desconcierto confirma la idea de que estov dormido”. Esto le proporciona a Descartes el desafío a sus opiniones prim iti­ vas qne buscaba: quizás sólo esté soñando que ve v ove. Pero es la frase siguiente la que se acerca a nuestro problema actual: "Rueño, supongamos ciue estoy soñando, y esos detalles de que abro los ojos, muevo la cabeza, tiendo la mano, son inexactos; supongamos, inclusive, que no tengo esa mano ni ese cuerpo . . 8 Aquí tenemos el comienzo de una respuesta a nuestra ¡>'