Estadistica basica aplicada (4a.ed.)
www.FreeLibros.me
353 15 6MB
Spanish Pages [388] Year 2012
Recommend Papers
- Author / Uploaded
- Matinez Bencardino
- Ciro(Author)
File loading please wait...
Citation preview
www.FreeLibros.me
CIRO MARTINEZ BENCARDINO Nacido en Convención (Norte de Santander - Colombia). Economista de la Universidad Jorge Tadeo Lozano de Bogotá, D.C. Bio-estadística (Universidad de los Andes, Bogotá, D.C.). Técnicas Estadísticas (CIENES-Santiago de Chile) y Estadística Laboral (Universidad de Río Piedras y Negociado Laboral de Puerto Rico). Vinculado a la enseñanza de la Estadística en un gran número de instituciones universitarias de Bogotá. Durante muchos años ha trabajado en el campo de la estadística, ocupando diferentes cargos gubernamentales. Entre sus publicaciones destacamos: Estadística comercial; Muestreo, algunos métodos y sus aplicaciones prácticas; Estadística Básica Aplicada; libros editados por Ecoe Ediciones.
www.FreeLibros.me
www.FreeLibros.me
www.FreeLibros.me
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
Estadística Básica Aplicada
Matínez Bencardino, Ciro Estadística básica aplicada / CIro Martinez Bencardino -- 4°. Ed. -Bogotá: Ecoe Ediciones, 2011 4 p. - (Ciencias exactas. Estadística) Incluye bibliografía ISBN 978-958-648-766-5 1. Estadística matemática 2. Estadística - Problemas, ejercicios, etc. 3. Muestreo (Estadística) I. Título II. Serie CDD: 519.53 ED. 20
CO-BoBN- a798458
CEP-Banco de la República-Biblioteca Luis Ángel Arango
Colección: Ciencias Exactas Área: Estadística Primera edición: Bogotá, D.C., enero de 2000 Segunda edición: Bogotá, D.C., marzo de 2001 Reimpresión: Bogotá, D.C., marzo de 2002, 2003 y 2004 Reimpresión: Bogotá, D.C., agosto de 2006 y enero de 2007 Tercera edición: Bogotá, D.C., mayo de 2007 Reimpresión: Bogotá, D.C., marzo de 2008 y de 2009 Reimpresión: Bogotá, D.C., marzo de 2010 Cuarta edición: Bogotá, D.C., 2012 Reimpresión: Bogotá, D.C., 2012
ISBN 978-958-648-766-5 © Ciro Martínez Bencardino E-mail: [email protected] © Ecoe Ediciones Ltda. E-mail: [email protected] -www.ecoeediciones.com Cra. 19 No. 63 C 32 Te.: 2481449 - Fax: 3461741
Coordinación editorial: Alexander Acosta Quintero Autoedición: Angélica García Reyes Carátula: Edwin Nelson Penagos Palacio Impresión: Imagen Editorial Impresores E-mail:[email protected] Impreso y hecho en Colombia
www.FreeLibros.me
Con cariño lo dedico a mis padres, esposa hijos y nietos.
www.FreeLibros.me
www.FreeLibros.me
Tabla de contenido
Prólogo ...................................................................................................................
XV
Capítulo 1. Generalidades .................................................................................... Objetivos .................................................................................................................... Contenido................................................................................................................... Introducción ............................................................................................................... Algunos conceptos necesarios ................................................................................... Finalidad de la estadística .......................................................................................... Colectivos investigados por la estadística.................................................................. Resumen de capítulo ................................................................................................. Términos para recordar .............................................................................................. Ejercicios propuestos ................................................................................................. Cuestionario de evaluación ........................................................................................
1 1 1 1 2 5 7 8 9 9 10
Capítulo 2. Investigación estadística .................................................................... Objetivos .................................................................................................................... Contenido................................................................................................................... Clases de investigación .............................................................................................. Etapas de una investigación ....................................................................................... Planeamiento.............................................................................................................. Objetivos de la investigación ..................................................................................... Unidad de investigación............................................................................................. Clase de estudio ......................................................................................................... Examen de la documentación y metodología ............................................................ Método de observación .............................................................................................. Muestreo .................................................................................................................... Muestreo probabilístico ............................................................................................. Muestreo no probabilístico ........................................................................................ Proceso de recolección............................................................................................... Preparación del presupuesto ...................................................................................... Calendario de trabajo ................................................................................................. Preparación del cuestionario ......................................................................................
13 13 13 13 14 14 15 15 15 16 16 16 16 18 18 19 20 21
www.FreeLibros.me
VIII
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
Selección y preparación del personal......................................................................... Preparación y actualización de listas de informantes ................................................ Otros aspectos ........................................................................................................... Recolección................................................................................................................ Procesamiento de análisis .......................................................................................... ......................................................................................................... Tabulación ............................................................................................................ Análisis e interpretación....................................................................................... Informe ................................................................................................................. Publicación ........................................................................................................... Resumen del capítulo................................................................................................. Términos para recordar .............................................................................................. Ejercicios propuestos .................................................................................................
23 24 25 25 26 26 26 27 27 29 29 30 31
Capítulo 3. Sumatorias y productorias ................................................................ Sumatoria simple ....................................................................................................... Propiedades de la sumatoria....................................................................................... Fórmulas especiales sobre sumatorias ....................................................................... Productoria................................................................................................................. Propiedades de la productoria.................................................................................... Resumen del capitulo................................................................................................. Ejercicios propuestos .................................................................................................
33 33 35 36 36 37 37 38
Capítulo 4. Elaboración de tablas o cuadros ....................................................... Objetivos .................................................................................................................... Contenido................................................................................................................... Caracteres................................................................................................................... Técnica empleada en la elaboración de un cuadro..................................................... Distribuciones de frecuencias .................................................................................... Atributos .................................................................................................................... Variables..................................................................................................................... Variable continua ....................................................................................................... Ejercicios.................................................................................................................... Propiedades de las frecuencias................................................................................... Resumen del capítulo................................................................................................. Términos para recordar .............................................................................................. Ejercicios propuestos ................................................................................................. Cuestionario de evaluación ........................................................................................
39 39 39 39 42 45 45 46 51 56 58 59 59 59 62
..................................................................... Objetivos .................................................................................................................... Contenido................................................................................................................... Introducción ............................................................................................................... ....................................................................... ........................................................................................................ Diagrama de frecuencias............................................................................................
65 65 65 65 66 66 67
www.FreeLibros.me
IX
TABLA DE CONTENIDO
Histograma de frecuencias......................................................................................... Polígono de frecuencias ............................................................................................. Ojiva........................................................................................................................... Pictograma ................................................................................................................. Cartograma................................................................................................................. Diagramas de barras................................................................................................... Diagrama circular....................................................................................................... Diagramas lineales ..................................................................................................... Cuadrados y triángulos .............................................................................................. ......................................................................................................... Pirámides.................................................................................................................... ............................................................................................................. Resumen del capítulo................................................................................................. Términos para recordar .............................................................................................. Ejercicios propuestos ................................................................................................. Cuestionario de evaluación ........................................................................................
68 71 71 72 74 75 77 79 81 83 84 84 85 85 85 86
Capítulo 6. Medidas de tendencia central ............................................................ Objetivos .................................................................................................................... Contenido................................................................................................................... Introducción ............................................................................................................... Medidas de posición .................................................................................................. Media aritmética ........................................................................................................ Media aritmética (simple) .......................................................................................... Media aritmética ponderada....................................................................................... Métodos indirectos..................................................................................................... Propiedades de la media............................................................................................. Mediana (Me) ............................................................................................................. Datos no agrupados.................................................................................................... Datos agrupados......................................................................................................... Variable discreta......................................................................................................... Variable continua ....................................................................................................... La moda (Md) ............................................................................................................. Aplicación de estadística en la herramienta Excel..................................................... Operaciones en la hoja de cálculo.............................................................................. ............................................................ Elaboración de tablas de frecuencia........................................................................... Elaboración de una tabla de frecuencias relativas ..................................................... ............................................................................................... Procedimiento para obtener resultados en la aplicación de medidas......................... Resumen del capítulo................................................................................................. Términos para recordar .............................................................................................. Ejercicios propuestos ................................................................................................. Cuestionario de evaluación ........................................................................................
89 89 89 89 90 90 91 93 100 101 107 108 109 109 110 111 113 113 115 117 123 125 128 129 130 132 135
www.FreeLibros.me
X
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
Capítulo 7. Medidas de tendencia central (continuación) .................................. Media cuadrática (M2)................................................................................................ Media geométrica (Mg) .............................................................................................. Media armónica (M1)................................................................................................ Cuartiles, deciles y percentiles................................................................................... Cuartiles ..................................................................................................................... Datos sin agrupar ....................................................................................................... Datos agrupados......................................................................................................... Deciles........................................................................................................................ Datos sin agrupar ....................................................................................................... Datos agrupados......................................................................................................... Centil o percentil........................................................................................................ Datos sin agrupar ....................................................................................................... Datos agrupados......................................................................................................... Tercer cuartil (Q3) ...................................................................................................... Cuarto decil (D4) ........................................................................................................ Percentil sesenta (P60)................................................................................................. Centro recorrido ......................................................................................................... Aplicación de la estadística utilizando la calculadora ............................................... Aplicación de estadística en la herramienta Excel..................................................... Primer procedimiento ................................................................................................ Segundo procedimiento ............................................................................................. Media aritmética ........................................................................................................ Mediana (Me) ............................................................................................................. Modo = Moda = Valor modal (Md) ............................................................................ Media geométrica (Mg = Mo) ..................................................................................... Media aritmética ponderada....................................................................................... Resumen del capítulo................................................................................................. Términos para recordar .............................................................................................. Ejercicios propuestos .................................................................................................
137 137 139 142 147 147 147 147 148 148 149 149 149 150 150 151 151 151 152 155 155 160 160 162 163 164 164 165 166 168
Capítulo 8. Medidas de dispersión, asimetría y apuntamiento .......................... Objetivos .................................................................................................................... Contenido................................................................................................................... Medidas de dispersión................................................................................................ La Oscilación ............................................................................................................. Varianza (S2) .............................................................................................................. Otro método de cálculo.............................................................................................. Métodos abreviados ................................................................................................... Propiedades de la varianza......................................................................................... Desviación típica o estándar (S) ................................................................................ Uso de la calculadora ................................................................................................. Aplicación de estadística en la herramienta Excel..................................................... Desviación típica estándar s = ................................................................................ ................................................................................... Puntaje típico estandarizado (Z) ................................................................................
171 171 171 171 172 173 174 175 178 180 184 184 185 186 187
www.FreeLibros.me
XI
TABLA DE CONTENIDO
Desviación media (Da) .............................................................................................. Desviación mediana (De)........................................................................................... Recorrido intercuartílico, desviación cuartil y recorrido interdecil ........................... ! ..................................................................... Momentos unidimensionales ..................................................................................... Momentos respecto a la variable................................................................................ Momento respecto a la media aritmética ................................................................... Momento respecto a un origen de trabajo.................................................................. Asimetría.................................................................................................................... Apuntamiento o curtosis ............................................................................................ Resumen del capítulo................................................................................................. Términos para recordar .............................................................................................. Ejercicios propuestos ................................................................................................. Ejercicios de evaluación ............................................................................................
189 191 193 195 196 196 196 196 198 200 201 201 203 206
Capítulo 9. Regresión y correlación .................................................................... Objetivos .................................................................................................................... Contenido................................................................................................................... Introducción ............................................................................................................... Regresión ................................................................................................................... Regresión rectilínea simple........................................................................................ Procedimiento abreviado del cálculo ......................................................................... Cálculo del error estándar de estimación ................................................................... .......................................................................................... Cálculo de la regresión de X en función de Y (utilizando la calculadora)................. Cálculo mediante el uso de la calculadora................................................................. Regresión rectilínea ponderada.................................................................................. ......................................................................... Resumen del capítulo................................................................................................. Términos para recordar .............................................................................................. Ejercicios propuestos ................................................................................................. Cuestionario de evaluación ........................................................................................
209 209 209 209 213 213 216 217 219 220 223 234 238 239 240 242 244
Capítulo 10. Series cronológicas ........................................................................... Objetivos .................................................................................................................... Contenidos ................................................................................................................. Introducción ............................................................................................................... Tendencia ................................................................................................................... Ajuste rectilíneo ......................................................................................................... Método de los mínimos cuadrados ............................................................................ Varianza residual y error estándar.............................................................................. .......................................................................................... Aplicación de estadística en la herramienta Excel..................................................... Ajuste parabólico ....................................................................................................... Ajuste exponencial..................................................................................................... Otro procedimiento ....................................................................................................
247 247 247 247 249 249 254 259 260 264 267 272 276
www.FreeLibros.me
XII
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
Resumen del capítulo................................................................................................. Términos para recordar .............................................................................................. Ejercicios propuestos ................................................................................................. Cuestionario de evaluación ........................................................................................
277 278 280 282
Capítulo 11. Números índices ................................................................................ Objetivos .................................................................................................................... Contenido................................................................................................................... Introducción ............................................................................................................... Índices simples........................................................................................................... Índices eslabonados ................................................................................................... Índices agregativos simples ....................................................................................... Índices compuestos .................................................................................................... Exámenes de fórmulas ............................................................................................... Índice de valor............................................................................................................ Empalme de una serie ................................................................................................ Uso de los números índices........................................................................................ Cálculo del salario y del ingreso real......................................................................... Poder de compra ........................................................................................................ Porcentaje de Desvalorización................................................................................... Porcentaje de Devaluación......................................................................................... Índice de producción y de productividad................................................................... Índice relación de precios de intercambio (IRPI) ...................................................... Proporciones, porcentajes, razones y tasas ................................................................ Resumen del capítulo................................................................................................. Términos para recordar .............................................................................................. Ejercicios propuestos ................................................................................................. Cuestionario de evaluación ........................................................................................
285 285 285 285 286 289 290 292 295 296 297 298 298 300 300 301 302 303 305 309 309 310 313
Capítulo 12. Inferencia estadística ....................................................................... Objetivos .................................................................................................................... Contenido................................................................................................................... Elementos del cálculo de probabilidades................................................................... Probabilidad elemental............................................................................................... Algunos conceptos básicos ........................................................................................ Probabilidad ............................................................................................................... Permutaciones, variaciones y combinaciones............................................................ Leyes o reglas de probabilidad .................................................................................. Distribuciones de probabilidad .................................................................................. Distribución binomial ................................................................................................ Distribución normal ................................................................................................... "# $ .................................................................................................. Pruebas de hipótesis................................................................................................... Distribución de Ji cuadrado x2 ...................................................................................
317 317 317 317 317 318 319 320 321 328 329 332 334 337 340
www.FreeLibros.me
XIII
TABLA DE CONTENIDO
Capítulo 13. Aplicación de algunas técnicas de muestreo .................................. Generalidades............................................................................................................. Determinación del tamaño de la muestra (MAS) ...................................................... Método de muestreo aleatorio.................................................................................... % %&'&*& ................................................................. Diseño de muestreo.................................................................................................... Aplicación en el muestreo aleatorio simple ............................................................... ' ......................................................... Estimador puntual y por intervalos ............................................................................ Aplicación en el Muestreo Aleatorio Simple (M.A.S.).............................................. ' ......................................................
343 343 346 348 350 352 354 356 360 360 363
Respuestas a los ejercicios propuestos y algunos cuestionarios de evaluación .
367
Apéndice Tabla I Tabla II Tabla III Tabla IV Tabla V
Números al azar ....................................................................................... De una distribución normal ordinaria ...................................................... Distribución “t” de Student ................................................................... Exponencial y logaritmos ........................................................................ Distribución de Ji cuadrado ( χ 2 ) .............................................................
379 382 383 384 385
Índice temático ....................................................................................................... Bibliografía .............................................................................................................
387 389
www.FreeLibros.me
www.FreeLibros.me
Prólogo La estadística es una disciplina aplicada en todos los campos de la actividad humana. De ahí que se tenga como asignatura indispensable en casi todos los programas, desde niveles medio vocacional hasta posgrado. En el mundo de los negocios su empleo, hoy en día, es considerado de gran importancia, ya que suministra los mejores instrumentos de investigación, no sólo para observar y recopilar toda una gama informativa incubada dentro de la misma empresa o fuera de ella, sino también en el control de ciertas actividades de producción, ventas, proyecciones o estimaciones a corto, mediano y largo plazo, en la formulación de hipótesis y en el análisis de procesos encaminado a facilitar la toma de decisiones por parte de los encargados de la buena marcha de la empresa. La obra presenta temas de estadística descriptiva: preparación de una investigación;
+ ? ? ? cuadrática, geométrica y armónica); medidas de dispersión (varianza, desviación típica, ? K # &* + ? + ?+ > $ & Finanzas.* k W _ ? $ ? + & Contabilidad.! # ?+ k > _ ? ? + ` ? &
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
2
Personal.* W [ ? K ? K? ~ ? ? ? ? _ # ? _ + # & Mercados." # _ + $ & ALGUNOS CONCEPTOS NECESARIOS
Estadística &^ K >? ? ?+ ? ? ? + $ & * k _ # # ? k [ # _ k historia + [ [&* ? # [ población por muestrearpoblación muestreada?_ K & #? ` ? ? $ # $ & "elementosk ? K &' ?
K _ ?+ & * [ [ k ? # #? características& " K k # elementos +características } ELEMENTOS
!
CARACTERÍSTICAS
^ K
Marco:^ marco?marco muestralmarco de referencia ?mapa k ?k _ + $ ? & ^ W tamaño? &* W k _ _ ? # &^ k promedio de #A? ? $_ & ? _ & Contenido
Clases de investigación Etapas en una investigación: Planeación, Recolección, +' &
CLASES DE INVESTIGACIÓN
La investigación estadística, por sencilla que sea, es una operación compleja, que requiere atender múltiples aspectos, y que genera muy variadas funciones. * k ? $ de los fenómenos que se desean estudiar y de la facilidad que se tenga para observar los elementos. Investigación interna. Dentro de la misma empresa se originan una serie de fenómenos, tales como datos registrados por el departamento de contabilidad, k $ _ k _ + con períodos anteriores. En el caso de las ventas, las cifras obtenidas y ordenadas k ? k $ & En la elaboración del presupuesto deben tenerse en cuenta las diferentes etapas de &" k elaborar el presupuesto:
Organización:
-
Estudios preliminares Asesorías Trabajos experimentales K Propaganda
-
Impresión de los formularios Capacitación de personal Contratación de servicios auxiliares Uso de equipo, computadores, papelería, etc. Locales.
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
20
- Recolección - Transporte
Trabajos de campo:
Tabulación o procesamiento
Publicación
Calendario de trabajo Se trata de un ordenamiento de las diferentes etapas involucradas en la investigación, _ [ + ? fase, procurando que se cumpla dentro del tiempo establecido. También es una forma de determinar el tiempo total de la investigación. " _ K &* &+ & K & " & _ + k &^ denomina ! (+ k
# ? k de ejecución. Puede verse que los estudios preliminares se han ejecutado en su totalidad, ? [ $ &
Tabla 2.1
FECHAS
ETAPAS &* & &* ` 4. Recolección 5. Tabulación 6. Publicación
Inicial { { {{ 30 - VII 15 - VIII 15 - IX
www.FreeLibros.me
Final {{ {{ {{ 18 - VIII 10 - IX 30 - IX
CAPÍTULO 2. INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA
21
MESES
ETAPAS
junio
julio
agto.
sept.
1. Estudios preliminares
& 3. Encuesta preliminar 4. Recolección 5. Tabulación 6. Publicación
Preparación del cuestionario En la elaboración del cuestionario o formulario se deben considerar dos aspectos: 1. Aspectos materiales - Tamaño del formulario? k k manejo y archivo. - La calidad del papel k $ ? recolección, del tipo de impresión y otros aspectos. - El color de la tinta y del papel no debe molestar la vista de la persona que lo va a ? & - Tipo de impresión a emplear &Aspectos técnicos - Incluir únicamente las preguntas indispensables. - Las preguntas deben ser claras, concisas y comprensibles para quien las hace y para quien las responda. " ? $ _ + _# & - No se deben emplear abreviaturas. - Se deben suprimir las preguntas que, de antemano, se considera no van a ser contestadas. - La pregunta debe ser de tal claridad que, siendo formulada en lenguaje corriente, atienda a la técnica de investigación. - Las preguntas deben ser cortas, para que faciliten su retención.
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
22
En cuanto a las partes que constituyen un formulario, por lo general, se considera dividido en tres: a) Encabezamiento. En él se incluye: nombre o título de la investigación, en tal forma que resuelva los interrogantes: qué, cómo, cuándo y dónde k ? &" } , tabulación, análisis e interpretación, informe y publicación. -
Cumplido el proceso de revisión de cada una de las respuestas obtenidas, se procede a la ? $ &'k _ + ? ? es decir, cada respuesta posible tiene el código impreso en el formulario. Código es un número que sustituye la pregunta, cuando se va hacer el recuento. Por
K ? $ #+& Usted es un trabajador
Independiente...................1 Asalariado........................2
'[ ? ? ? }01 Antioquia, 02' ?&&&?32 Valle. El proceso de revisión del cuestionario se denomina crítica? + _ ?k [ u omisiones, incluso cuando los formularios han sido diligenciados por encuestadores +k crítico puede subsanar directamente o pidiendo al entrevistador que vuelva a la fuente de información o recurriendo a la memoria del mismo.
- Tabulación
? $ $ + } ! _ k $ & ! W k _ ! + ?+ k? &
Cuando la tabulación se acuerda desde el principio, como parte integrante de la planeación general de la investigación, es de suponer que todo el proceso sea totalmente satisfactorio, lo cual ha sido demostrado por la experiencia. El procesamiento _ $ crítica, o después de la & [ _ $ listados, que deben k & $[ [ ? elaborar los cuadros, con el _ _ ? ! , conclusiones y recomendaciones, si las hay.
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 2. INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA
27
Análisis e interpretación * informe?+ k k _ K + [ $ _ en forma de cuadros. Con los anteriores resultados se procede luego a hacer un resumen y a la aplicación de las diferentes medidas, que hemos denominado estadígrafos o estimadores puntuales, cuando son aplicados a las características de las unidades en la muestra o como parámetros # ? medidas de dispersión y los promedios, incluyendo en éstos los porcentajes y proporciones. Con las cifras resultantes, se pueden hacer comparaciones con otros estudios, para poder llegar a mejores conclusiones. De esta última fase de la metodología se puede decir que encierra dos aspectos: ' + # & ' + > $ & * + los resultados obtenidos de la investigación.
Informe Finalmente, se llega a la etapa de elaboración del informe, ya sea para uso interno de la empresa o para terceros. " + _ ? W gación y a la culminación de los trabajos que la misma causó. A pesar de que el informe constituye un todo indivisible, podemos considerar tres _ }introducción, conclusiones, y apéndices. - Introducción&* _ $ K + ? K ? k ? > $ k &* _ ? ? ? ? + k [ comprensible la explicación y, sobre todo, se deben presentar las recomendaciones. - Apéndice. Integra toda la documentación que se ha citado en la introducción y en las ? k + _ k información contenida en el informe. El profesor John W. Best en su libro Cómo investigar en educación nos da una posible # ? } 1. Título: + , + ,.
& * } + ," $
, ," ! ,/ !
$ + ," + ," 3. Revisión de la bibliografía relacionada: , ," $
*! , !*& $ } ,"
0 , 0 ," ," ," ," ! ," * ,
& ' } ,
! ,
, !
,"
-
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 2. INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA
29
6. Resumen y conclusiones: ,"
,"
," $
*! , 1
,/ * 1 $
*! Publicación _ ?+ [ las personas interesadas el resultado del estudio, teniendo en cuenta todos los aspectos considerados en el proceso, de tal forma que los datos sean comprensibles, con la corres $ & * > k _ } & K & k k & ` # ? + & Proceso de selección de las unidades de información y de recolección. ^ _ _ $ ? +K ? _ + ? k & * _ ? apéndice, donde se + ?k _ & > taria al informe. RESUMEN DEL CAPÍTULO
En este capítulo se quiere resaltar, que no todas las investigaciones requieren ser llevadas a cabo, debido al hecho de que en algunos casos se dispone de información, obtenida en investigaciones realizadas con anterioridad, por la misma entidad o por otras. En ocasiones dicha información puede ser considerada como complementaria a la nueva investigación. Una investigación requiere en la primera etapa ante todo de un planeamiento, que comprenda: -
Fijar los objetivos de la investigación, determinando si el fenómeno puede ser observado mediante la aplicación de métodos estadísticos. Establecer la unidad o unidades de observación. Determinar, si se trata de un censo o de una muestra. Si la encuesta se va a hacer mediante entrevista, entrega personal del cuestionario, por correo, teléfono, observación o panel.
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
30
-
Elaborar el presupuesto. Diseñar el calendario de trabajo. Diseñar el formulario e instrucciones. Seleccionar y capacitar a las personas que van a trabajar en la investigación. Hacer una pre-encuesta.
A la segunda etapa corresponde: - Distribución y recolección de formularios. - 2
3 ! - Se debe efectuar un control sobre la calidad de los datos. La tercera y última etapa comprende: - Elaboración de códigos. - - Elaboración de cuadros de tabulación. - Selección del proceso de tabulación, si es manual o mecánico. - ! - Análisis y comparación de los datos. - Publicación. Las etapas que requieren una investigación estadística, se sintetizan en la Figura 2.1. Términos para recordar
Cuestionario o formulario Encuesta por panel Entrevista personal Formulación del problema ( ( Investigación descriptiva Investigación controlada Investigación explicativa Investigación interna Investigación exhaustiva o total Investigación parcial o muestra 4! Muestreo aleatorio simple Muestreo probabilístico ' Muestreo no probabilístico
Muestreo sistemático Marco teórico Números aleatorios Objetivo de la investigación & Preguntas cerradas Preguntas de control Preguntas de selección múltiple Preguntas abiertas Preguntas en batería Preguntas inductivas &! Selección sin reposición Selección con reposición 50 Unidad de investigación o de selección
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 2. INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA
31
Figura 2.1. Etapas en una investigación (resumen)
K + Métodos de investigación: censo o muestra Proceso de recolección Presupuesto Formulario - Lista de informantes Calendario de trabajo - Mapas Encuesta preliminar
Planeamiento
Distribución del material Recolección + W _ rios y calidad de la información
Recolección Formulario
Procesamiento y análisis
Formulario
Formulario
Formulario
Listados
y recuento
Revisión Archivo
Análisis
Publicación
Ejercicios propuestos & ^ siguientes observaciones: 1.1La investigación preliminar permite: a) Establecer la hipótesis b) Determinar la muestra
c) Coordinar el personal de campo d) Ninguno de los anteriores &' k ? estadística requiere: a) Que exista un objetivo. [ + $ c) Que se tenga un problema d) Ninguno de los anteriores
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
32
1.3El costo de una encuesta por correo es generalmente: a) Igual al de una encuesta por medio de entrevistas personales. b) Mayor al de una encuesta por medio de entrevistas personales c) Menor al de una encuesta por medio de entrevistas personales d) Imposible de medir en relación con el costo de una encuesta por medio de entrevistas personales. 1.4En el diseño del cuestionario las pre _# } a) Al principio, para salir inmediata _#& b) En el centro para que sean precedi + _ ' ? k [ + $ & d) Ninguna de las anteriores. & _ ? W caso: a. Código es la representación cualitativa de un hecho cuantitativo. b. Las instrucciones permiten diligenciar mejor el formulario & _ $ & d. Un formulario debe llevar una sola clase de preguntas. e. La recolección de datos se puede hacer únicamente mediante la observación directa.
f. Después de elaborar el formulario se K & g. Al recolectar información por medio de entrevistadores, se tiene la ventaja de que éstos pueden observar el sitio & h. Se conoce como fuente primaria aquella donde se obtuvo inicialmente la información, directamente a la persona o entidad. i. Al diseñar un cuestionario no es de gran importancia la forma como se hace la pregunta, siempre que ésta sea clara. j. No hay posibilidad alguna de que en una encuesta por correo se interpreten mal las preguntas de un cuestionario, siempre y cuando la persona que la conteste sepa leer. k. El examen de la documentación y metodología se efectúa después de tabulada la información. 3. Se ha dicho que en una investigación se k ? $? _ & son? ¿Podría usted reagrupar los títulares de este capítulo en un índice de temas de acuerdo con estas etapas? 4. Mencionar algunos aspectos técnicos y materiales que deben tenerse en cuenta en el diseño de un formulario.
www.FreeLibros.me
Capítulo
3
at ias d ct ias
SUMATORIA SIMPLE
Nos encontramos frecuentemente en estadística con la suma de un W > & ? # [ &^ k números y se desea sumarlos: S = + 10 + 1 + 18 + 13 + 5 = 65
" $ + ?
&
S = a+b+c+d +e+ f
Donde a, b, c,...,f, }???&&&?[ ?k &
W [ ? _ ? [#k , & i # }
'#? } 6
∑ Xi
i =1
[ ^ _ ? sigma ( ?k
? n términos. Entonces: 6 ∑ X i = X1 + X + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 i =1
* $ i $ i $ ? n
` } ∑ i donde: i =1
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
34
# sumatoria i elemento genérico de la sumatoria # _ " ? K ?
sumatoria de i En el caso de utili ar a i k
k ? # _ [ # & # ? } 1 2 y la sumatoria sería:
1 hasta n de i
6
∑ X i = X1 + X + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 i =1
* k # i ^ ? i toma ? [ [ ? ? ?? ???? &* ? 6 $ i ∑ X i = + 10 + 1 + 18 + 13 + 5 = 65 ? [ # } i =1
Cuando la sumatoria tiene el término i >? k i toma ? _ ? # _ [ & '#? K ? # + _ } 6
∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 i=1
^ ? # _ _ } 11
9
∑ i = + 8 + 9 + 10 + 11 = 45
∑ i =5 + 6 + + 8 + 9 = 35
i=
i =5
> # > 5
6
∑ Ai = A + A3 + A4 + A5
suma: ∑ Ai = A3 + A4 + A5 + A6
i=
i =3
* $ i # ? K j: 5
∑ Aj = A + A3 + A4 + A5
6
∑ K =K + K + K + K = 4 K
j=
i =3
} 4
∑ i i = 11 + i =1 4
∑
i =1
i
=
1
+
+ 33 + 44 = 1 + 4 + +
3
+
4
+ 56 = 88
= + 4 + 8 + 16 = 30
www.FreeLibros.me
6
∑ Ai = A3 + A4 + A5 + A6
i =3
CAPÍTULO 3. SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS
4
∑
i =1
i
=
1
+
+
3
+
35
4
2
⎡ 4 ⎤ 2 ⎢ ∑ Xi ⎥ = [ X 1 + X 2 + X 3 + X 4 ] ⎣ i=1 ⎦ Propie a es e la sumatoria ' $ estadística? k > + & -
La sumatoria de una constante , desde uno hasta n, es igual a n veces la constante: n
6
i =1
i =3
∑ K = K + K + K + K ... + K = nK *K } ∑ = + + + = 4 ( ) = 8 n
$ k ∑ K = nK + k i =1
# _ &^ _ _ } 6
A4
^}A ∑ Ai = A3 + A4 + A5 + A6
i =3
A
A
6
?
$ Ai ? } ∑ K =K + K + K + K = 4 K i =3
6
'[ ? } ∑ = + + + = 4 ( i =3
-
)=8
La sumatoria del producto de una constante por una variable es igual al producto de la constante por la sumatoria de la variable: n
∑ Ki = K (1) + K ( ) + K ( 3) + ... + K ( n ) = K (1 + + 3 + ... + n ) i =1
5
*K } ∑ i = i =1
(1) + ( ) + ( 3) + ( 4 ) + ( 5) = 5
^ ` } ∑ i = i =1
-
(1 +
+ 4 + 6 + 8 + 10 = 30
+ 3 + 4 + 5) =
(15) = 30
La sumatoria de dos o más variables, entre paréntesis es igual a la suma de las sumatorias de cada una de las variables ley distributiva : n
∑ ( X i + Yi + Z1 ) = ( X1 + Y1 + Z1 ) + ( X + Y + Z ) + ... i =1
n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
^ ∑ ( X i + Yi + Z1 ) = ∑ X i + ∑ Yi + ∑ Z i
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
36
Fórmulas especiales sobre sumatorias *` _ especialesk n W ? +n? & n
a) ∑ i =
n ( n + 1)
i =1
*K } 10
10
∑ i = 1 + + 3 + 4 + 5 + 6 + + 8 + 9 + 10 = 56
∑i =
i =1
n ( n + 1)( n + 1)
i =1
6
∑i =1 + i =1 10
∑i = i =1
c)
⎡ n ( n + 1) ⎤ ∑ i3 = ⎢ ⎥ i =1 ⎣ ⎦ n
5
i =1
n
∑i =
10
*K }
10 (10 + 1)
+3 +4 +5 +6 +
10 (11)
=
110
= 55
+ 8 + 9 + 10 = 385
10 (10 + 1)( 0 + 1) 110 ( 1) = = 385 6 6
⎛ 30 ⎞ ⎡ 5(5 + 1) ⎤ ⎥ = ⎜ ⎟ = 15 = ⎝ ⎠ ⎦ ⎣
∑ i3 = ⎢ i =1
=
5
PRODUCTORIA
^ $ +W ?k
producto de? ? > ?k ? > K+ ` # _ + k [ &'#} 5
∏ j = 1⋅ ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 1 0 j =1
3
∏ i = 1 ⋅ ⋅ 3 = 1 ⋅ 4 ⋅ 9 = 36 i =1
3
∏ j =1 ⋅ j =1
⋅ 3 = 36
4
∏ X i = X1 ⋅ X ⋅ X 3 ⋅ X 4 i =1
" $ # # > &
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 3. SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS
37
Propie a es e la pro uctoria ? > & -
La productoria de una constante es igual a una potencia, donde la base es la constante y el exponente es el límite superior del producto. ^ érminos
Producto de los términos i "# _ k n " k Términos para recordar
Sumatoria Sigma
Productoria pi
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
38
Ejercicios propuestos & ! a)
6
∑ i
c)
i =3
e)
f)
i)
d)
g)
[
k)
K
& *` } a) X4
c) X
X
d) ⎣⎡( X 3 −
X
e)
) + ( X 4 − ) + ( X 5 − ) + ( X 6 − )⎦⎤
f)
& ` } a)
c)
^
4
#
yi
ni
[i
Ni
Hi
yi
ni
[i
Ni
Hi
y1
n1
[1
N1
H1
?
?
y
n
[
N
H
?
?
y3
n3
[3
N3
H3
?
?
y4
n4
[4
N4
H4
?
?
y5
n5
[5
N5
H5
?
?
?
?
' ? frecuencia absoluta se simboli ar por ni, al igual que en yi, donde i toma [ m. tras columnas que podr tener la tabla de frecuencias, dependiendo de la necesidad que se tenga en cada caso particular, son hi (frecuencia relativa),
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 4. ELABORACIÓN DE TABLAS O CUADROS
49
Ni (frecuencia absoluta acumulada), Hi (frecuencia relativa acumulada). Los anteriores símbolos se presentan en la Tabla 4.11. $ _ &? _ ? relativas y acumuladas, tal como puede verse en la Tabla 4.1 . n El c lculo de la frecuencia relativa se efectúa en la siguiente forma: hi i n Se tendría que: (se aproximó) h5 =
n5 = = 0, 0 ó n 30
(se aproximó, de tal manera que si sumamos las anteriores
frecuencias relativas el resultado ser 1). ^ &?k _ ?k K ` ? _ &
c) ¿La característica es cualitativa o cuantitativa?
! k> _ _ & m? [ ! }y y5 n1 n4 h
h5
N
N H 4
H
Solución a) Niñ `? ? del barrio el Eden. " _ ? + c) La característica es cuantitativa (variable). d) La variable est dada por puntos de aceptación del nuevo sabor
" ? $ W ? fracciones. f) La tabla de frecuencias ser :
yi
ni
i
? ? ? ? ? ? ? ? ?
i
i
? ? ? ? ? ? ? ?
* W k & m n4 3 h ? h5? [ y 3 y5 n1 3
www.FreeLibros.me
N
CAPÍTULO 4. ELABORACIÓN DE TABLAS O CUADROS
51
ariable continua K N + K n ? ¢? en kg de cada caja. La información sobre el peso de cada caja, se da en números enteros K? k $ _ + $ ? & Tabla .13 >
x1
x
x13
x
x5
5
x
x
x14
x
x
x3
x
x15
x 1
x
x4
x
x
x
55
x
x5
x11
x
x 3
x
x
x1
x
x 4
x
En la elaboración de la tabla o cuadro de frecuencias, se deben observar los siguientes pasos: a) Se determina el valor m ximo y mínimo que toma xi: " _ k [ + ` + # rango o recorrido:
xmax − xmin
= rango o recorrido
^ [ W m) que se utili ar para agrupar los datos: m número de intervalos o marcas de clase. Una de las formas de obtener m es aplicando la regla de Sturges, con la cual se obtiene una aproximación aceptable sobre el número de intervalos necesarios para agruparlos. m
1
3,3 log n
' [ _ K K ?+ _ en la Tabla 4.13 se tendr : m ? m? ? ?? El número de intervalos, de acuerdo a la regla de Sturges? &$ remos en nuestro ejercicio seis intervalos (m &
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
52
En la pr ctica m _ ? } estudio, grado de variabilidad de los datos, necesidad de efectuar comparaciones. En todo caso, se recomienda que el valor de m[ ? ? + & d) Una ve determinado el número de intervalos, se debe decidir sobre el valor de la amplitud para cada intervalo: ' C, no es necesario que ésta sea igual para todos los intervalos, &^ ? y de funcionalidad, se puede considerar el valor de C constante para todos los intervalos. ![ _ }
en nuestro ejercicio se tendr :
Para facilitar los c lculos se aproximaría C ? W superior por pequeña que sea la fracción por lo tanto se altera el valor del rango. Si recordamos que m _ K + ? }
[ 8=
48 rango ⇒8= 6 6
* ? &* tribuido ojal proporcionalmente, sumando unas unidades al límite superior y rest ndole # _ &" k [ incremento se exponen a continuación. k # ? _ [ _ &
m x
-
mín
Recorrido
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 4. ELABORACIÓN DE TABLAS O CUADROS
53
Esta es la ra ón por la cual se tomar como:
y
e) La columna correspondiente a la variable continua se simboli ar por minúsculas para la muestra y mayúsculas en la población). límite inferior del intervalo
(ambas
límite superior del intervalo
f) La Tabla 4.15 sobre frecuencias se basa en la información de la Tabla 4.13 y corres K ` & Para la elaboración de los intervalos, se inicia con la determinación del valor de min
? ? # _ yi, ) del primer intervalo, luego se procede a agregarle el valor de la amplitud para así obtener el límite superior ( yi, ), que ser a su ve el límite inferior del segundo intervalo, al cual se le agrega nuevamente el valor de C para obtener el límite superior del segundo intervalo, + # [ _ & Tabla .1 ; #= $
ni
hi
Ni
Hi
yi
, 1
n1
[1
N1
H1
y1
,
n
[
N
H
y
y , y ,3
n3
[3
N3
H3
y3
y ,3 y , 4
n4
[4
N4
H4
y4
y , 4 y ,5
n5
[5
N5
H5
y5
y ,5 y , 6
n
[
N
H
y
?
fi
fi n
Fi
Hi
y0y ,
y y , 1
,
i-1
i
,
www.FreeLibros.me
i
marcas de clase
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
54
Tabla .1 ? #
Tabulación
ni
hi
Ni
Hi
yi
¡¡¡ ¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡ ¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡ ¡¡¡ ¡¡ -
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? - 54 54,1 - ? - ? ? ? -
Se observar también que a cada uno de los límites inferiores de los intervalos se les ?? _ ? # K x # ?+ ?? k [ ? + & ! k k +k ? W + & _ _ & } , y - y, i-1
i
? ? ? ? ? ?
Es este caso el valor de xk ?& En las tablas de frecuencias (Tablas 4.14 y 4.15) la columna simboli ada por $i se denomina marca de clase, la cual sirve para facilitar el c lculo de algunas medidas de posición y de dispersión. El c lculo de estas marcas de clase se puede obtener de tres formas diferentes: & # }
y1 =
y0, + y1,
=
46 + 54
= 50
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 4. ELABORACIÓN DE TABLAS O CUADROS
y = y3 = .. .
y1, + y ,
=
y , + y3,
=
.. .
y6 =
54 + 6 6 + 0
.. .
y5, + y6,
=
55
= 58 = 66
.. .
86 + 94
= 90
& ^ ? de clase, de acuerdo con el método anterior, luego se le va sumando el valor de la amplitud, tal como se presenta a continuación:
y1 =
y0, + y1,
=
46 + 54
= 50
y = y1 + C = 50 + 8 = 58 y3 = y + C = 58 + 8 = 66 y4 = y3 + C = 66 + 8 = 4 y así sucesivamente. & > [ ? intervalo por dos, luego, este resultado se le suma al límite inferior del respectivo intervalo, o se le resta al límite superior.
C 8 = 46 + = 46 + 4 = 50 2 2 8 C y = y1, + = 54 + = 54 + 4 = 58 y1 = y0, +
y3 = y , +
C
=6 +
8
= 6 + 4 = 66
y así sucesivamente. Nota. En una variable, ya sea discreta o continua, cuando las frecuencias absolutas y las relativas equidistantes a un valor central son iguales, se dice que la distribución es simétrica &+&&
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
56
? @ D
? @ +
yi
ni
hi
yi,1 yi,
ni
hi
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?+
? ? ? ? ? ?
?
fi
fi ¡n
i
fi
fi n
, i 1
, i
" 1. Los siguientes datos, corresponden a una distribución de frecuencias, de los gastos en ? & ![ constante, de la cual se sabe: y1
3,5
y4, ? n 1
4
N n3
5
Se pide elaborar una tabla de frecuencias. Solución: 1 y0, + C = y1
Reempla ando
y0, + 0,5C = 3,5
y0, + 4C = y4,
Reempla ando
y0, + 4C = 8, 5
Si al límite inferior del primer intervalo le sumamos la mitad de C se obtendr la &'[ ? # C, se obtendr el límite superior del cuarto intervalo. ^ &'[ C, multiplicando a la primera ecuación por -1 y luego se la restamos a la segunda ecuación:
yo, + 4C = 8, 5
− yo, − 0,5C = 5, 5 3,5C = 5, 5
C=
www.FreeLibros.me
5, 5 =1,5 3,50
CAPÍTULO 4. ELABORACIÓN DE TABLAS O CUADROS
yi,−1 − yi, ? 4, 5 ? ?
- ? - ? - ? - ?
57
yi
ni
Ni
hi
Hi
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
& ? _ k distribución es simétrica. m $ ? K k + o m s distribuciones proporcionales, ya sea para representar características cualitativas o cuantitativas. H O < ! V $
**L ' *
Años
09 10 11
miles de millones
* | & _ k [$ ¢?> W # observadas, diferenci ndolas mediante la utili ación de colores o rayado.
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 5. ELABORACIÓN DE GRÁFICAS
77
H *
W ! Q U * * ' ' *
Confección textiles.
Animales vivos y productos del reino animal
k# +_ &
#
Manuf. met licas y mec n.
Materiales de construcción
¢
iagrama circular Se utili a con mucha frecuencia para representar características cualitativas, y sirve _ K k &| && Este tipo de comparación es relativamente efectivo, siempre y cuando los segmentos & H UZ? >[ ' * \
\ V
= OX
*= *X +*=LL X
O=*X
DL=O X
········ ····· ··
=LDX
> en planteles privados >
Fondos en administración
www.FreeLibros.me
L=DX ?¢
= LX
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
78
* k _ circular o pastel, consiste en _ ? K k [ # & K ? K? $ ? $+ | &? K ha sido separada, por no formar parte del capital circulante. H '{ ¢ '!^
_ U Q
>
> @=LX
p
_ Q
_ U Q *=X
H D=JX
Ca
H
l ita
? ??
_ Q JL=+X
ulante ,¢ circ
K?? $ $?? $ $?? ! ??
> [ #? k $ ? &^ > k k [ # & $ } W | &+ W &&> _ ` & H J
"'^*!* '" !{^ {{¤ ¢ '^^ :
Salarios, prestaciones ^ 'k ?
&
?
& & & &
? ? ? ?
140.000
1,00
^ ¢
H @
;
; +X
Seguros +X
Q X
?
¢
! JX ]^ X
?
'k ¢ ?
?
^ ¢
¢
5,4
* #? _ k k
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 5. ELABORACIÓN DE GRÁFICAS
79
_ # ? & > + + H QF $ **J ' * 12 10 09 08
07 06 05
03 04 05 06
05 04 03
07 08 09 10
11 12
8.000.000
7.000.000 1.000.000
2.000.000
6.000.000
3.000.000
5.000.000 4.000.000
>
* $ ? ? ? k + $ ? ? ? ? _ K & | & _ _ _ ? &
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
80
y
H D
b) Incorrecta
a) Correcta
y
40
40 -
10 -
10
x
'
'
x
c) Incorrecta y 40 '
10 -
'
x
' > ?k #&![ series de tiempo o series cronológicas&* ? k variable tiempo k K [$ + k ? +
K | & ? k porcentual para este caso hemos considerado las rentas y recursos del Gobierno Nacional, #& $
#? ras geométricas, tales como cuadrados y rectángulos&* ?
? ? K de yuxtaponerlas.
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
82
+ _ [ $ & | &k _ k & * ` ? ? }
H L >
# *X 1) 0,50 × 36 = 18 luego se obtiene 18 = 4, 4 cm por lado ) 0,35 × 36 = 1 , 6
¢
¢
luego se obtiene 1 , 6 = 4, 4 cm por lado 1) 0,15 × 36 = 5, 4 luego se obtiene 5, 4 = ,3 cm por lado
?
H H
H [
H
* $ triángulos se debe buscar una W + $ | & &
H O
?" UQ; ' * * ' * miles de trabajadores 150 100 50 0
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 5. ELABORACIÓN DE GRÁFICAS
83
H J*
Convenciones: Salarios
'k Impuestos
'^^
%{"*^
^ 'k Impuestos
&& && 990.000 & &&
> ? _ ? | &+& & H J* _ V F $ UZ? >[ / [ &" tas se pueden observar en el siguiente ¢ ¢
¢!
¢ # ¢
¢
&*¢k + igual a & * W k programas culturales y noticias es igual a &* W k # + es igual a
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
88
_ _ presentada, los datos se organi an
_ ? + > &" k situación, es:
Frecuencia
4
0
1
3 4 5 Número de cursos
6
Frecuencia
5 4 3 1 0
1
3 4 5 Número de cursos
6
! 5 4 3 1 0
1
3 4 5 Número de cursos
6
*
14. A un curso de bachillerato de último ? la cual sentían una mayor inclinación, al continuar estudios universitarios. Estos fueron sus respuestas: A-Administración C-Contadurías D-Derecho E-Economía I-Ingenierías M-Medic ? k K & +> _ respuestas. Estudiante 1 → 1 curso * → 4 cursos * → 6 cursos Estudiante 4 → 4 cursos Estudiante 5 → 5 cursos Estudiante 6 → 6 cursos * → * → Estudiante 9 → 4 cursos Estudiante 10 → Estudiante 11 → * → 5 cursos * → 4 cursos Estudiante 14 → 5 cursos Estudiante 15 → 5 cursos
5 4 3 1 0
1
3 4 5 Número de cursos
6
'' ' { * ! {
' % % { * % ! ' ' {
! { % ! ' % '
* % ' ' ! % ' % %
a. Construya una distribución de frecuencias & + + otro de barras c. Comente estos resultados
www.FreeLibros.me
Capítulo
6
edidas de tendencia cent a Objetivos Desarrollar destre as en la aplicación de las distintas medidas de tendencia central. Interpretar y comprender los resultados obtenidos mediante la aplicación de promedios. Adquirir destre as para determinar cu l es el promedio que debe ser utili ado según las circunstancias.
Contenido
Media aritmética Mediana Moda Media cuadr tica Media cúbica
Media geométrica Media armónica Cuartiles, deciles y percentiles Centro recorrido
INTRODUCCIÓN
En el desarrollo de los cinco capítulos anteriores, nos habíamos dedicado a estudiar los métodos que deben ser aplicados en el proceso de agrupar, organizar y presentar los datos originados dentro de la misma empresa, tales como resultados de balances, inventarios, ventas, costos, volumen de producción, gastos generales y de personal, cuentas de resultados, punto muerto, y otros aspectos que atañen a la actividad interna, y de aquellos que provienen de fuera de la empresa +k ? _ ? la marcha de la actividad industrial o comercial. Ahora trataremos de presentar otros métodos para estudiar o medir el comportamiento de los elementos que constituyen una población. Si bien es cierto que los cuadros y ! describen el fenómeno, no lo hacen en forma satisfactoria, y por tanto hay necesidad de acudir a ciertas medidas denominadas parámetros o valores estadísticos de la población, cuando se hacen sobre el total de ésta, y estadígrafos o estimadores cuando corresponden a una parte de la población o muestra.
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
90
?# k estar n representados por letras griegas o por letras en mayúsculas de nuestro alfabeto, y k ? W & Para el an lisis de una variable o de una distribución unidimensional se consideran cuatro clases de medidas:
Medidas de posición o de tendencia central. Medidas de dispersión o de variabilidad. Medidas de asimetría o de deformación. Medidas de apuntamiento o curtosis. MEDIDAS DE POSICIÓN
Son utili adas para describir y sinteti ar mediante un número único, denominado promedio, la posición de un valor en la variable, en tal forma que represente al conjunto de valores observados. En otras palabras, un promedio es un valor que intenta representar o resumir las características relevantes de un conjunto de valores. El promedio > >?+ _ # & Los promedios reciben el nombre genérico de medidas de tendencia central porque algunos constituyen valores ubicados en el centro de la variable a la cual representan. Se consideran varias clases de promedios o medidas de posición:
Media aritmética Mediana Moda Media cuadr tica Media cúbica
Media geométrica Media armónica Cuartiles, deciles y percentiles Centro recorrido tros m s
Al elegir algunos de los promedios anteriores, se debe procurar la obtención de un valor concreto que sea representativo del conjunto, de tal manera que éste pueda ser comparado útilmente con otros valores obtenidos de conjuntos similares. Es importante recalcar que únicamente hay un solo valor numérico para cada tipo de promedio de un conjunto de datos, con la posibilidad de poder escoger uno, entre los diferentes tipos de promedios, que sea el m s representativo para la distribución anali ada.
Me ia aritm tica Es la medida m s conocida, la m s f cil de calcular y con la que siempre estamos m s _ $ ?+ k [
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
91
en cada período escolar. A veces, se le denomina simplemente media o promedio, y es utili ado con tanta frecuencia, que en algunas ocasiones nos conduce a resultados que no revelan lo que se pretende presentar, ya que la distribución puede requerir de la aplicación de un promedio diferente a la media. La media presenta algunas ventajas: es el único promedio que se presta a tratamientos algebraicos, presenta una gran estabilidad en el muestreo, y es altamente sensible a cualquier cambio en los valores de la distribución. Su mayor desventaja radica en la im k k extremos y debido a su gran sensibilidad para valores muy grandes de la variable, puede darnos un valor promedio que no sea típico o representativo. Adem s, no es recomendable su uso cuando la variable est dada en forma de tasas o porcentajes o cuando presenta un >&^ k media aritmética es representativa del conjunto, si se quiere promediar cantidades semejantes, que presenten variaciones dentro de un margen ra onable.
Me ia aritm tica (simple) La media aritmética k los valores de la variable por el número total de observaciones: = x=
1
+
+
3
N
+ ... +
N
( Media poblacional )
∑ xi media muestral, n
=
∑ N
i
media de la población, también se utili a (letra griega miu) x media de la muestra. +W ? suma de. valores que toma la variable en la población. i xi valores que toma la variable en la muestra. N número de observaciones en la población. n número de observaciones en la muestra. De ahora en adelante trabajaremos con muestras, de ahí que la mayoría de los símbolos que se utili ar n, ir n en minúscula. La media aritmética, que hemos simboli ado por x , se podr representar indistintamente por: M M[ ] M1 x y a ax a y [ ] Ejercicio 1. Supongamos que un almacén tiene empleados a 1 vendedores, y sus ingresos mensuales son:
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
92
Tabla .1 Datos originales
85.000
691.000
0.000
63.800
1.300
8 3.000
1.091.000
6 3.000
856.000
856.000
50.000
46. 00
Se quiere determinar la media aritmética de los ingresos (sueldos y comisiones) de los 1 vendedores.
Solución x=
Σx1 785.000 + 721.300 + 856.000 + ... + 746.200 9.426.300 = = = 785.525 12 12 n
El sueldo b sico para cada vendedor es de 6 0.000. El promedio de ingreso mensual, incluyendo las comisiones, ser aproximadamente de 85.5 5. Se podr observar que la mayoría de los vendedores reciben una asignación inferior al promedio, debido a la inclusión de los ingresos del jefe de vendedores, quien recibió 1.091.000. Como la media es sensible a valores extremos, se vio afectada por dicho valor. Si se requiere que el promedio sea representativo, se dan dos soluciones: a) utili ar otro promedio diferente a la media, siendo el m s recomendable la mediana b) prescindir de dicho valor extremo. bservemos el resultado utili ado este último procedimiento. x=
Este valor de 85.5 5.
∑ xi 8.335.000 = = 5 . 54, 55 n 11
5 . 54,55 como promedio, es mucho m s representativo que el de
En el ejercicio , veremos otra situación que nos har comprender por qué la media no ? [ sobre el comportamiento de la variable. Ejercicio 2. Consideremos las utilidades y pérdidas de un almacén por departamentos (ver Tabla 6. ). Si examinamos solamente los promedios, llegamos a la conclusión de que el promedio ? ? cambios que se han producido en los departamentos donde ha habido un despla amiento ?+ +_ que se observó en algunos departamentos en 010.
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
93
Tabla .2
Distribución e utili a es y p r i as (2010 2012) UTILIDADES ( ) DEPARTAMENTOS
PERDIDAS ( )
(EN MILLONES DE )
010 Cal ado Electrodomésticos Juguetería Miscel neas Ropa Media ( x ) (Promedio)
01
-10 153 -40 -13 130 44
0 58 - 0 10 15 44
La fórmula dada para calcular la media aritmética simple la vamos a utili ar como ejercicio de aplicación con los datos de las Tablas 4.9 y 4.13, (Ver en pp. 4 y 51) correspondientes a observaciones no agrupadas de variables discreta y continua, respectivamente. En la variable discreta, la media aritmética ser : ∑ xi + 1 + 1 + 0 + ... + 59 = → x= = 1,966 x= 30 30 n
x = 1,9
y en la variable continua, el resultado obtenido al aplicar la misma fórmula, ser : x=
48 + 56 + 60 + ... + 6 .039 = = 6 ,966 30 30
La fórmula utili ada hasta el momento para calcular la media aritmética, tan sólo es aplicable cuando se trata de términos simples o datos no agrupados. Generalmente esta forma de presentación y de c lculo se da cuando el número de observaciones es pequeño.
Me ia aritm tica pon era a Cuando el número de observaciones es grande, las operaciones para calcular la media > _ & Ejercicio 3. Supongamos que se tienen 10 observaciones. Tabla .3 Datos originales
6
4
6
8
4
6
La media aritmética de esos 10 valores ser : x=
∑ xi + 6 + 4 + ... + 6 48 = = = 4,8 10 10 n
www.FreeLibros.me
4
6
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
94
Si los 10 valores anteriores los ordenamos de menor a mayor y luego los sumamos, se obtendr el mismo resultado. x=
+ + 4 + 4 + 4 + 6 + 6 + 6 + 6 + 8 48 = = 4,8 10 10
La suma anterior se podr abreviar en la siguiente forma: x=
( ) + 4 ( 3) + 6 ( 4 ) + 8 (1) = 4 + 1 10
+ 4 + 8 48 = = 4,8 10 10
Se observar que , 4, 6, 8 son valores que toma la variable, y , 3, 4, y 1 son sus respectivas frecuencias absolutas. Calculemos la media aritmética de los datos anteriores, pero ordenados en una tabla de frecuencias yi
ni
yi ni
4 6 8
3 4 1 10
4 1 4 8 48
i
fi
i fi
y=
∑ yi ni n
y=
y1n1 + y n + y3n3 + y4n4 n
y=
4 + 1 + 4 + 8 48 = = 4,8 10 10
y=
∑ yi ni 48 = = 4,8 10 n
=
∑
i fi
n
Ejercicio . Apliquemos la fórmula para calcular la media ponderada (en una variable discreta, con los datos de la Tabla 4.1 ) con la cual ya habíamos calculado la media aritmética simple. Tabla .12 Variable iscreta.
yi
ni
yi ni
0 1
3 6
0 6 4 1 8 59 i fi
1
3 4 i
30 fi
y=
∑ yi ni n
y=
59 = 1,966 30
=
∑
i fi
n
Los resultados obtenidos al aplicar la fórmula, tanto para datos no agrupados como para los agrupados, en una variable discreta deben ser exactamente iguales.
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
95
En la variable continua, al aplicar la fórmula en el c lculo de la media aritmética con datos agrupados, se deber trabajar con las marcas de clase. El resultado obtenido, por lo general, no es igual al obtenido para datos sin agrupar. Ello se debe a la pérdida de información que se presenta al agrupar los datos en intervalos, así por ejemplo, los tres valores (Tabla 4.13) x1 48 x5 4 y x 5 5 quedan incluidos en el primer intervalo 46,1 - 54 de la Tabla 4.15 luego al calcular la media se har con las marcas de clase, siendo 50 el valor que representar a las tres observaciones de xi que se encuentran en el primer intervalo. Comparemos el resultado de la Tabla 4.13 donde la media fue 6 ,966, con el de la Tabla 4.15. Ejercicio Tabla .1 Variable continua
yi,−1 − yi,
yi
ni
yi ni
46,1 - 54 54,1 - 6 6 ,1 - 0 0,1 - 8 8,1 - 86 86,1 - 94
50 58 66 4 8 90 -
3 6 10 6 3
150 348 660 444 46 180 .0 8
30
y= y=
∑ yi ni n .0 8 = 6 ,6 30
Se observar que los resultados son diferentes. En el primero dio 6 ,9 y ahora 6 ,6. En una variable continua? ` + _ cias correspondientes a dichos intervalos tienen cierta importancia dentro de la distribución, es mejor aplicar un promedio diferente a la media. Ahora, si dichas frecuencias carecen de peso o importancia dentro de la distribución, se podr calcular la media, prescindiendo para ello de los intervalos extremos y de las respectivas frecuencias. Ejercicio Tabla .3 Variable continua
yi,−1 − yi,
ni
yi
ni
yi ni
8
3
-
-
-
8,1 - 1 1 ,1 - 0 0,1 - 30 m s de 30
10 18 14 5 50
10 16 5 -
10 18 14 4
100 88 350 38
fi
xi
fi
menor o igual a
,
i1
,
i
y=
∑ yi ni n
y
f
i i
www.FreeLibros.me
1 ,
2
=
∑
f
i i
n
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
96
+ * Recordando que hi =
ni se podr obtener otra fórmula para calcular la media aritmén
tica, utili ando para ello las frecuencias relativas. Se tiene que: y=
∑ yi ni y1n1 + y n + ... + ym nm siendo: = n n
y=
yn y n y1n1 y n + + 3 3 + ... + m m n n n n
y = y1h1 + y h + y3h3 + ... + ym hm donde: y = ∑ yi hi
i
fi n
Ejercicio . Aplicamos la fórmula anterior a los datos de las Tablas 4.1 y 4.15, observando que los resultados son exactamente iguales a los obtenidos al calcular la media ponderada. Las pequeñas diferencias que se pueden presentar en los resultados, se deben a las aproximaciones que hacemos al calcular las frecuencias relativas, y trabajar con dos decimales. Tabla .12 Variable iscreta
yi 0 1
3 4
hi 0,10 0, 0 0,40 0, 3 0,0 1,00 fi n
i
yi hi 0 0, 0 0,80 0,69 0, 8 1,9 fi n i
y = ∑ yi hi y = 1,9
Tabla .1 Variable continua
yi,−1 − yi,
46,1 - 54 54,1 - 6 6 ,1 - 0 0,1 - 8 8,1 - 86 86,1 - 94
hi
yi
yi hi
0,10
50
5,00
0, 0 0,33 0, 0 0,10 0,0 1,00
58 66 4 8 90 -
11,60 1, 8 14,80 8, 0 6,30 6 ,68
y = ∑ yi hi y
,
+ : Antes de explicar los métodos abreviados utili ados para calcular la media, veamos qué son las desviaciones y cómo se usan.
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
97
Las desviaciones son las diferencias que se presentan entre los valores que toma la variable, ya sea xi o yi y un valor constante, el que puede ser la media aritmética o un origen de trabajo, denominada también como media teórica. Este último se simboli a por Ot y corresponde a un valor cualquiera, seleccionado arbitrariamente y que puede estar locali ado dentro o fuera del rango o recorrido. Se consideran tres clases de desviaciones: a) : Se simboli a por i+ _ cias que hay entre cada valor que toma la variable y su media aritmética. i
= xi − x
(para datos no agrupados)
i
= yi − y
(para datos agrupados)
Ejercicio . Utilicemos los datos de las Tablas 4.1 y 4.15 para calcular las diferentes clases de desviaciones. En primer lugar obtengamos los valores para las desviaciones respecto a la media
i
= yi − y
Tabla .12 Variable iscreta
yi
ni
yi ni
y1 y
0 1
3 6
0 6 4 1 8 59 i fi
-1,9 -0,9 0,03 1,03 ,03 i
1
3 4
30 fi
i
y=
∑ yi ni n
y=
59 = 1,9 30
i
= yi − y
1
= y1 − y = 0 − 1,9 = −1,9 = y − y = 1 − 1,9 = − 0,9
3
= y3 − y = − 1, 9 = 0, 03
4
= y4 − y = 3 − 1,9 = 1, 03
5
= y5 − y = 4 − 1,9 =
Tabla .1 Variable continua
yi,−1 − yi,
yi
ni
yi ni
yi y
46,1 - 54 54,1 - 6 6 ,1 - 0 0,1 - 8 8,1 - 86 86,1 - 94
50 58 66 4 8 90
3 6 10 6 3
150 348 660 444 46 180
-1 ,6 -9,6 -1,6 6,4 14,4 ,4
,
i1
,
i
i
fi
f
i i
i
y=
∑ yi ni .0 8 = = 6 ,6 30 n
i
= yi − y
1
= 50 − 6 , 6 = − 1 , 6
= 58 − 6 , 6 = −9, 6 3
= 66 − 6 , 6 = − 1, 6
4
= 4 − 6 ,6 =
5
= 8 − 6 , 6 = 14, 4
6
= 90 − 6 , 6 =
www.FreeLibros.me
6, 4 ,4
, 03
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
98
En la variable continua, el c lculo de i, se debe hacer con las marcas de clase. Veamos ahora el c lculo de las desviaciones respecto a la media en datos no agrupados. Ejercicio Supongamos que n 10, cuyos valores son: 4
6
6 8
4 4 6 6
x=
∑ xi 48 = = 4,8 10 n
1
= x1 − x = − 4, 8 = − , 8
3
= x3 − x = 4 − 4, 8 = −0, 8
4
= x4 − x = − 4, 8 = − , 8
5
= x5 − x = 6 − 4, 8 = 1,
6
= x6 − x = 8 − 4, 8 = 3,
= x − x = 4 − 4, 8 = −0, 8
8
= x8 − x = 6 − 4, 8 = 1,
= x9 − x = 4 − 4, 8 = −0, 8
10
9
= x − x = 6 − 4, 8 = 1,
= x10 − x = 6 − 4, 8 = 1,
En datos no agrupados la ∑ i = ∑ ( xi − x ) = 0 , en cambio para datos agrupados, por lo general, es diferente a cero. En datos agrupados la suma de las desviaciones con respecto a la media será igual a cero, cuando la distribución es simétrica o cuando cada est multiplicada por su respectiva frecuencia ni. i ∑ i ni = ∑ ( yi − y ) ni = 0
b) : ! 1. Se simboli a por i y se lee como eta prima sub i. Es de gran aplicación en el c lculo de la media aritmética con datos presentados en tablas de frecuencias. Ejercicio 10. Consideremos, arbitrariamente, algunos valores para Ot y calculemos las respectivas desviaciones i, para las variables discreta y continua, dadas en las Tablas 4.1 y 4.15. Tabla .12 Variable iscreta
t
yi 0 1 3 4 i
,
4
t
,
i
i
-1 0 1
-4 -3 -1 0
i
t
0
,
i
4
i
t
0
,
i
0 1
- 0 -19 -18 -1 -16
3 4
0
0
i
www.FreeLibros.me
= yi − Ot
i
, i
i
A
CAPÍTULO 6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Considerando Ot
99
se tendr que:
, 1
= y1 − Ot = 0 − = −
, 4
= y4 − Ot = 3 − = 1
,
= y − Ot = 1 − = −1
, 5
= y5 − Ot = 4 − =
, 3
= y3 − Ot = − = 0 Tabla .1 Variable continua
yi,−1 − yi,
yi
46,1 - 54 54,1 - 6 6 ,1 - 0 0,1 - 8 8,1 - 86 86,1 - 94
50 58 66 4 8 90
t
4
50
t
,
i
i
- 4 -16 -8 0 8 16
0 8 16 4 3 40
,
90
t
i
t
,
68 i
-40 -3 - 4 -16 -8 0
30
t
,
i
-18 -10 6 14
,
0 8 36 44 5 60
= yi − Ot
, i
,
En la variable continua, el procedimiento de calcular las i es el mismo que el utili ado en la variable discreta, pero se trabaja con las marcas de clase. c)
: ! 1
Se simboli a por
,, i
y es igual a: ,, i
,
=
yi − Ot = i C C
Se aplica únicamente en la variable continua y en especial cuando la amplitud en los ,, intervalos es constante. Veamos cómo se calcula i (teniendo para ello los datos de la Tabla 4.15). Tabla .1 Variable continua
yi,−1 − yi,
46,1 - 54 54,1 - 6 6 ,1 - 0 0,1 - 8 8,1 - 86 86,1 - 94
yi
t
,, i
4
t
,, i
50
t
,, i
,, i
90
t
,, i
,, i
-5 -4 -3 -1 0 -
50 58 66 4 8 90
- 4 -16 -8 0 8 16
-3 -1 0 1
0 8 16 4 3 40
0 1 3 4 5
-40 -3 - 4 -16 -8 0
-
-
-
-
-
-
www.FreeLibros.me
68 ,, i
- , -1, -0, 0, 1, ,
30
t
,, i
5 5 5 5 5 5
,5 3,5 4,5 5,5 6,5 ,5
-
-
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
100
Se dijo anteriormente que el origen de trabajo es un valor arbitrario, que puede estar locali ado dentro o fuera del recorrido, sin embargo es aconsejable tomar un valor que apare ca en la columna de las marcas de clase (yi), siendo preferible seleccionar como tal ? media, como se ver m s adelante En la tabla 4.15 de acuerdo a lo anterior es preferible tomar como origen de trabajo a 66 o a 4. ,,
Por otra parte, se podr observar que i toma el valor 0, al frente del origen de trabajo, y a partir de él se tendr -1, - , -3,... hacia arriba y 1, , 3... hacia abajo de la tabla. Siempre que la amplitud sea constante, se tendr en
,, i
una diferencia de 1 entre cada desviación.
M to os in irectos
Son aplicados en distribuciones de frecuencias (datos agrupados), cuando las variables toman valores grandes que hacen engorroso el c lculo de la media, facilitando el c lculo con operaciones m s sencillas. a) Primer m to o abrevia o. Implica la utili ación de i (desviaciones respecto a un origen de trabajo), de donde deducimos la fórmula para este método de c lculo: Siendo y = Ot +
∑
, i
ni
fórmula correspondiente al primer método abreviado.
n
También se puede presentar la anterior fórmula en la siguiente forma: y = Ot + M ⎡⎣ z ⎤⎦ , i
b) Segun o m to o abrevia o. Se aplica exclusivamente cuando la variable es continua, ,,
y la amplitud es constante. Este método requiere la utili ación de i la que se puede ,, obtener directamente partiendo de cero (al frente de Ot) o dividiendo a i por el valor de la amplitud (C). ,, i
=
yi − Ot C
o
,
,, i
, i
C
,,
siendo i = C i , reempla amos en la fórmula utili ada, para calcular la media por el primer método abreviado: y = Ot + C
∑
,, i i
n
n
y = ot + C
∑ zi,, ni n
también, y = Ot + CM ⎡ z ⎣
,, ⎤ i ⎦
Ejercicio 11. El cómputo de la media, aplicando los dos métodos abreviados anteriores, se har utili ando los datos de la tabla 4.15.
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
101
Tabla .1
a ) Ot → b) Ot →
a) y = Ot +
yi
ni
50 58 66 4 8 90
3 6 10 6 3
∑
30
, i
, i
-8 0 8 16 4 3 -
, i i
n
- 4
,, i
ni
- 4 31
80 96 64 88 y = 58 +
n
⎡ ∑ i,,ni ⎤ b) y = Ot + C ⎢ ⎥ ⎣ n ⎦
-3 -1 0 1
,, i i
n
-9 -1 -10
-31
-
3 4 - 4
88 = 58 + 9, 60 = 6 , 60 30
− 4⎤ 19 ⎤ y = 4 + 8 ⎡⎢ = 4 − ⎡⎢ = 4 − 6, 4 = 6 , 60 ⎣ 30 ⎦⎥ ⎣ 30 ⎦⎥
A pesar de la recomendación de considerar como origen de trabajo al valor central de la variable, se ha tomado un valor que no est ubicado en ese lugar, para demostrar que se obtiene el mismo resultado trabajando con cualquier valor como origen de trabajo. Adem s, como el producto de la frecuencia por su desviación, en el origen de trabajo, su resultado ser igual a cero, dicho espacio lo utili amos para anotar las semi-sumas de los valores negativos y positivos.
Propie a es e la me ia Dada al importancia que tiene el c lculo de la media aritmética y su frecuente uso, conviene detenernos a considerar algunas de sus propiedades. Primera propiedad la suma de las desviaciones respecto a la media aritmética es igual a cero. a) En datos no agrupados u originales se tiene que ∑
i
i
0
= ∑ ( xi − x ) = ∑ xi − ∑ x = ∑ xi − nx
∑ xi n x = ∑ xi reempla ando, se tendr n considerar: ∑ xi − ∑ xi = 0
Siendo: x =
nx − nx = 0 siendo igual a
b) En tablas de frecuencias, las desviaciones con respecto a la media deber n ponderarse, es decir, multiplicadas por sus respectivas frecuencias absolutas. En distribuciones simétricas no hay necesidad de ponderar las desviaciones para que la suma sea cero. ∑ i ni = ∑ ( yi − y ) ni = ∑ yi ni − y ∑ ni = ∑ yi ni − yn
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
102
∑ yi ni se tendr que yn = ∑ yi ni reempla ando, se obtiene que n ∑ ( yi − y ) ni = 0 ∑ yi ni − ∑ yi ni = 0 y=
Siendo
Ejercicio 12. Los sueldos de 5 personas en un almacén son: 68 .000, 665.000, 658.000, 6 5.000 y 680.000. Calcular las desviaciones respecto a la media. Solución xi 68 .000 665.000 658.000 6 5.000 680.000 3.360.000
∑ xi x= n
3.360.000 5 x 6 .000
x
xi − x 10.000 - .000 -14.000 3.000 8.000 i 0
Ejercicio 13. Los sueldos de 0 personas que trabajan en un almacén, se presentan a continuación en una tabla de frecuencias. Calcular las desviaciones respecto a la media. Solución yi 65 .000 660.000 668.000 6 6.000 684.000
ni
yi ni
1.304.000 3 1.980.000 5 3.340.000 6 4.056.000 4 . 36.000 0 13.416.000
(yiy)
(yi-y)ni
-18.800 -10.800 - .800 5. 00 13. 00 -
-3 .600 -3 .400 -14.000 31. 00 5 .800 0
∑ yi ni 13.416.000 = n 0 x 6 0.800 y=
∑( y − y )n i
i
=0
Segunda propiedad La media aritmética de una constante, es igual a la constante. ∑ xi = x siendo xi la variable. Se tiene que M [ x] = n Ahora, considerando a K como constante, reempla amos: n = M[ ] = ∑ = (en datos no agrupados) n n M[ ] =
∑ ni = n
⎡ ∑ ni ⎤ ⎢⎣ n ⎥⎦ =
⎡n⎤ = ⎢⎣ n ⎥⎦
M
(en datos agrupados)
Esta propiedad se puede comprender f cilmente. Sin embargo, veamos un ejemplo. Ejercicio 1 . * de 86 .000 mensuales cada uno la media aritmética simple se obtendría sumando veinte
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
103
veces los 86 .000 y el total resultante, se dividir por veinte, siendo el promedio igual a 86 .000. Tercera propiedad La media del producto de una constante por una variable, es igual a multiplicar a la constante por la media de la variable. ⎡ ∑ xi ⎤ ⎢⎣ n ⎥⎦ = x (en datos no agrupados) ∑ yi ni ⎡ ∑ yi ni ⎤ M [ yi ] = = ⎢ = y (en datos agrupados) n ⎣ n ⎥⎦ M[
yi ]
=
∑ xi = n
M
x
x
Ejercicio 1 . En un inventario reali ado en la bodega de un almacén, se encontraron 00 artículos que fueron importados a diferentes precios (datos en Euros). (Ver Tabla 6.5). Tabla .
yi 0,5 3 ,0 48,6 50,0 60,4
ni 0 30 50 60 40 00
y i ni 410 960 .430 3.000 .416 9. 16
y=
∑ yi ni n
y
9. 16 46, 08 00
El precio promedio del artículo es de 46,08.
Resulta ahora, que se quiere hacer el registro contable de esos 00 artículos en pesos colombianos. Si el tipo de cambio actual fuera de .396 se tendría que el precio promedio de esos artículos sería: M[
yi ]
=
(y) = (
.396 )( 46, 08 ) = 110.40 , 68
Un método innecesario, que se aplica por desconocimiento de la anterior fórmula, es el de convertir en pesos, los precios en euros para cada grupo de artículos. Veamos a continuación como se hubieran efectuado esas operaciones. Tabla .
yi
ni
49.118,00 6.6 ,00 116.445,60 119.800,00 144. 18,40
0 30 50 60 40 00
i
fi
yi ni 98 .360 .300.160 5.8 . 80 .188.000 5. 88. 36 .081.536
y= y=
∑ yi ni n .081.536 = 110.40 , 68 00
y 110.40 , 68
f
i i
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
104
Cuarta propiedad La media aritmética de una variable más o menos una constante, será igual a la media de la variable, más o menos la constante. M [ x − ] = M [ x] − M [ ] = x −
M [ x − ] = M [ x] − M [ ] = x −
Ejercicio 1 . ?_ > doles un salario diario (ver Tabla 6. ) de acuerdo con la clase de trabajo que ejecutan. Tabla .
yi
ni
yi ni
1.3 0 1.380 1.500 1.600 1. 00 !"#
10 0 5 5
13. 00 4 .600 53 .500 108.000 151.900 8 . 50 1. 0.950
CLASE DE TRA A O
Plomeros Ayudantes Albañiles Carpinteros Electricistas Pintores
13 80
y= y
∑ yi ni n 9 0.950
1.
0.950 1.511, 88 80
El promedio de salario diario para este grupo de obreros es de 1.511,88. Resulta k & ? tanto el nuevo promedio ser M[ y + ] = y +
y = 1.511, 88 + 1.000 =
.511, 88
Sin el conocimiento de esta propiedad, la media se hubiese calculado en la forma siguiente: Tabla .
yi .3 0 .380 .500 .600 . 00 . 50 i
ni 10 0 5 5 13 80 fi
yi ni 3. 00 44 .600 56 .500 113.000 158.900 95. 50 1.800.950 i fi
y=
∑ yi ni n
1.800.950 80 y = .511, 8 y
.511, 8
Ejercicio 1 . El salario medio mensual por obrero de la empresa fue de 6 8.000 durante 011. Para 01 la empresa da a cada uno de sus obreros la suma de 4 .000, k # + [ el promedio de salario quincenal en 01 ?
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Solución
x 6 8.000
M[
+ x]
= 4 .000
M[
+ x]
x
=
105
+x
= 4 .000 + 6 8.000 =
0.000
0.000 mensual
uinta propiedad La media aritmética de una muestra dividida en submuestras, es igual, a la media ponderada de las submuestras, tomando como ponderación los tamaños de las mismas. x=
xi n1 + x n + ... + xm nm n1 + n + ... + nm
Generali ando se tendr que y = Ahora, si se considera que hi = x = x1h1 + x h + ... + xm hm
o
∑ yi ni n
y=
y1n1 + y n + ... + ym nm n1 + n + ... + nm =
1 1
+ ∑
+ ..... i
ni se tendr : n
x = ∑ xi hi
o
y = ∑ yi hi
Ejercicio 1 . Un inversionista tiene 1. 00 acciones de un precio inferior a 3.490, siendo su valor promedio de .905 adem s, 800 acciones cuyo valor unitario es superior a 3.490 y su valor promedio de 4. 5. Se quiere averiguar el valor promedio de las .000 acciones.
Solución Una operación muy común, pero errónea, consiste en sumar los dos promedios y dividirlos entre dos. x +x .905 + 4. 5 .180 = = = 3.590 x= 1 n La solución acertada es aplicando la quinta propiedad. .905 (1. 00 ) + 4. 5 ( 800 ) xn +x n + + ..... x= i 1 = = 1 1 n1 + n 1. 00 + 800 1+ x=
3.486.000 + 34 0.000 6.906.000 = = 3.453 .000 .000
Ejercicio 1 . El precio de un centenar de artículos es 1.85 , los artículos se dividen
? &+&& #[ +
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
106
Solución x = 1.85
n1 = 100 − n
x1 1. 58
n 100
x 1.9 8
n1 ?
n1 + n = 100
n ?
x1n1 + x n n1 + n
1.85 =
1.85 (100 ) = 1. 58 (100 − n ) + 1.9 8n 185. 00 − 1 5.800 = 1.9 8n − 1. 58n 185. 00 − 1 5.800 = 1.9 8n − 1. 58n
9.900
x=
n =
1. 58n1 + 1.9 8n 100
9.900 = 45 0
n1 = 100 − 45 = 55
0n
Ejercicio 20. La media de los salarios pagados en una quincena a los empleados de una empresa ascendió a 380.000. La media de los salarios pagados a los hombres y a las mujeres fueron, respectivamente, de 390.000 y 3 3.000. Determinar los porcentajes de hombres y mujeres empleados en dicha empresa. Solución x = 380.000 x=
x1 = 390.000
x1n1 + x n n
x1 = 390.000
x = x1h1 + x h
h1 = ?
siendo 1 = h1 + h
reempla ando se tiene 380.000 = 390.000 (1 − h ) + 3 3.000h 380.000 = 390.000 − 390.000h + 3 3.000h 390.000h − 3 3.000h = 390.000 − 380.000 1 .000h
58,8
h =?
h =
1 = h1 + h
10.000 = 0,588 1 .000
h1 = 1 − 0,588 = 0, 4118
10.000 mujeres
41,18
hombres
Sexta propiedad La media aritmética de la suma de dos variables que tienen la misma ponderación será igual a la suma de las medias de dichas variables. Si existen n pares de valores de la variable x y de la variable y, se pueden formar sumas x1 y1
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
M ( x+ y) =
107
∑ ( xi + yi ) ni ∑ xi ni ∑ yi ni = + n n n
M ( x+ y) = x + y
La propiedad anterior puede ser aplicada para la suma o resta de un número cualquiera dado de variables. Séptima propiedad La suma de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media es menor, si se compara con desviaciones respecto a un origen de trabajo. (1) z ,j = yi − Ot De la ecuación (1) restamos la ( ) ( ) z j = yi − y , i
−
i
= ( yi − Ot ) − ( yi − y )
zi, − zi = y − Ot zi, ni = ( zi +
siendo y − Ot =
)
se tendr que: zi, = zi +
zi,2 ni = ( zi +
ni
∑ zi, ni = ∑ ( zi +
)
, ∑ zi ni = ∑ zi ni − n
Se tendr
zi, − zi = yi − yi + y − Ot
ni
, ∑ zi ni = ∑ zi ni +
Por lo tanto
)
2
zi, = ( zi +
)
ni ∑ zi ni +
∑ ni
siendo ∑ zi ni = 0
, ∑ zi ni = ∑ zi ni − n
, ∑ zi ni < ∑ zi ni
Me iana (Me) * ? k &^ }aquel valor de la variable que supera la mitad de las observaciones y a su vez es superado por la otra mitad de las observaciones. Por tal ra ón, se le considera como el valor central, ya que el promedio estar situado en el centro de la distribución. La mediana se simboli a por Me. Su aplicación es menos frecuente que la media aritmética presenta gran inestabilidad en el muestreo sus fórmulas son rígidas y no admiten tratamiento algebr ico como la media. En aquellas distribuciones irregulares, que presentan valores extremos que por lo general afectan al promedio, deber utili arse la mediana, ya que no se afecta por los cambios que sufra la variable, mientras no sea en la observación central. Para calcular la mediana se requiere un ordenamiento de los datos, de menor a mayor o viceversa. La mediana es utili ada con mayor frecuencia, cuando la distribución presenta el + W &* promedio depende del número de observaciones y no del valor de las mismas la mediana
+ &
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
108
atos no agrupados Cuando calculamos la mediana en datos no agrupados, ordenamos las observaciones de menor a mayor o viceversa. En su c lculo se presentan dos casos: a) Cuan o el n mero e atos es impar. En este caso la mediana coincide con el dato central. Ejercicio 21. Consideremos los salarios para los primeros once vendedores, del ejercicio 1 de esta unidad, para calcular la mediana. 85.000 1.300
691.000 8 3.000
0.000 1.091.000
63.800 6 3.000
856.000 50.000
856.000
Lo primero que hacemos en el c lculo de la mediana, es ordenar los datos de menor a mayor. M e
6 3.000
691.000
8 3.000
856.000
0.000
1.300
50.000
63.000
85.000
856.000 1.091.000
Cuando el número de observaciones es grande, se podr locali ar la observación central mediante la aplicación de la fórmula n + 1 11 + 1 = = 6 observación En este caso la mediana se ubicar en la sexta observación, cuyo valor es 63.000. Se k ? ?& central, la que supera a cinco observaciones y a su ve es superada por igual número de observaciones. Si cualquiera de las 10 observaciones, (exceptuando la sexta) cambia de valor, la mediana no se altera. Si comparamos el valor de la mediana con la media aritmética para la misma distribución, notamos que son diferentes: x=
∑ xi 8.6 9.000 = = 89.0 11 n
,
M e 63.000
El valor obtenido para la mediana puede ser superior o inferior al de la media., dependiendo del grado de asimetría, como se ver m s adelante. En el ejercicio que nos ocupa, la mediana es menor que la media, ya que no est afectada por el valor de 1.091.000, en cambio la media si se encuentra afectada. Ahora, si el último valor en ve de 1.091.000 fuera .000.000, se tendr que la media varía, aument ndo su valor, mientras que la mediana sigue siendo la misma. b) Cuan o el n mero e atos es par. En este caso la mediana ser el término medio de los dos valores centrales. Supongamos que en ve de 11 se tienen 1 vendedores, cuyos salarios se presentan ordenados de menor a mayor.
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
109
6 3.000
691.000
0.000
1.300
46. 00
50.000
63.000
85.000
8 3.000
856.000
Me =
50.000 + 63.000
856.000
1.091.000
= 56.500
Para obtener las observaciones centrales, aplicamos la fórmula: n + 1 = 1 + 1 = 6,5 es decir, la mediana debe estar locali ada entre la sexta y la séptima observación, por lo tanto se promediar n los valores de esas observaciones.
atos agrupados Para el c lculo de la mediana, se deber tener en cuenta, en primer lugar si la variable es discreta o continua y la ubicación de la observación central. Veamos el procedimiento que se sigue en cada caso especial.
ariable discreta a) Cuando Nj-1
n
la mediana se obtendr aplicando esta fórmula: M e =
y j −1 + y j
Para la aplicación de la anterior fórmula, consideremos los datos de la Tabla 6.9 y tengamos en cuenta los siguientes cuatro pasos: Tabla .
y j −1 →
yj $
yj
nj
Nj
yj
nj
Nj
0
3
3
0
3
3
1
4
1
6
9
8 3
15
3
30 i
← N j −1
1
← Nj
1
4
Tabla .10
fi
1
3
8
30
4
30
-
30
-
Ni
i
fi
Ni
← N j −1 ← Nj
(i) Se acumulan las frecuencias absolutas (Nj). (ii) Se divide al valor de n por dos. En este ejercicio se tendr : 30 = 15 (iii) Se busca en la columna de las frecuencias absolutas el valor de n . Si aparece, como en la Tabla 6.9, se simboli ar por Nj-1 y el valor inmediatamente posterior por Nj. Se tendr que Nj-1 15 y Nj
.
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
110
(iv) Siempre que Nj-1 n , en una variable discreta, la fórmula que se aplica para calcular la mediana, ser : y j −1 + y j +3 Me = = = ,5 b) Cuando Nj-1 n
la mediana se obtendr aplicando la siguiente fórmula: Me
yj
bservemos el c lculo de la mediana trabajando con los datos de la Tabla 6.10. (i)
Se obtienen las frecuencias absolutas acumuladas (Nj).
(ii)
Se divide a n por . En este caso es
30
= 15
(iii) Se locali a el valor de n en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas. (iv) Como no aparece el 15 en dicha columna, se tomar el valor inmediatamente superior a 15 como Nj (en este caso es 1) y el valor inmediatamente anterior (en la Tabla 6.10) como Nj-1 (en nuestro caso, 9). (v) Siempre que Nj-1 n , en una variable discreta, la mediana se calcular aplicando la siguiente fórmula: Me yj Me
ariable continua n , la fórmula para hallar la mediana ser : M e = y ,j −1
a) Cuando Nj-1
Utili aremos la Tabla 6.11 para calcular la mediana. No se describir n los pasos a seguir en la variable continua, debido a que son los mismos dados para la variable discreta, , sólo que y j1 se locali a al frente de Nj y que el valor de corresponder al del intervalo que est al frente de Nj. Tabla .11 ,
,,
y j −1 − y j
nj
Nj
46,1 - 54 54,1 - 6 6 ,1 - 0 0,1 - 8 8,1 - 86 86,1 - 94
5
5 1 5 ← N j −1 35 ← N j 44 50 -
b) Cuando Nj-1
13 10 9 6 50
n
50
5 siendo N j 1 5
Siempre que: N j 1 n La mediana ser : ,
M e = y j −1 = 0
n , para hallar la mediana se aplicar la siguiente fórmula:
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Me =
y ,j −1
111
⎡n−N ⎤ j −1 ⎥ ⎢ +C⎢ nj ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦
Consideremos una distribución, donde los valores extremos de la variable no est n +? ? ? && Tabla .12
y ,j 1 yi
nj
Nj
menor o igual a 54
6
6
54,1 - 60
1
60,1 ,1 - 86 86,1 - 94 94,1 y m s
n
=
60
= 30
0 nj 1
18
← N j −1
38
←Nj
50 6
56
4
60
60
-
N j −1 < n
N j −1 = 18
N j 38
Me =
y ,j −1
⎡n−N ⎤ j −1 ⎥ ⎢ +C ⎢ nj ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦
30 − 18 ⎞ 144 ⎛1 ⎞ M e = 60 + 1 ⎛⎜ = 60 + , = 6 , ⎟ = 60 + 1 ⎜ ⎟ = 60 + 0 0 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
a moda Md La moda es otra medida de posición, menos importante que los dos promedios anteriores, y su uso es bastante limitado. Al igual que la mediana, sus fórmulas no admiten tratamiento algebr ico tampoco es sensible a valores extremos o a los cambios que se hagan a los valores de la variable diferentes al de la moda. Su uso se hace indispensable +W & Se utili a de preferencia en distribuciones con amplitud constante y en especial cuan-do la variable o el atributo presenta una frecuencia demasiado grande con relación a las dem s. La moda
mayor densidad, es decir, la mayor frecuencia.
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
112
Si se tiene un atributo o una variable con m xima frecuencia, la distribución es unimodal. Si hay dos valores en la variable con la misma frecuencia m xima, la distribución es bimodal. Si hay m s de dos, la distribución es multimodal. En datos, originales o no agrupados, puede suceder que no haya moda, cuando ninguno de los valores que toma la variable se repite. Algunos consideran la moda como un promedio industrial ya que la fabricación o la venta de un artículo puede estar determinado por la moda. Ejercicio 22 Examinemos tres casos de observaciones para locali ar en ellos en el valor de la moda: a)
4
9
10 10
1
15
b)
4
9 10 11
14 16
18
0
c)
4 4 4
10 10
10 18
9
moda sin moda bimodal (modas 4 y 10).
En series agrupadas la aplicación de la moda es muy relativa y poco usada. Consideremos los mismos datos de la Tabla 4.15, para calcular la moda, en donde se tendr n que utili ar las marcas de clase. Tabla .1
yj
nj
50 58 66 4 8 90
3 6 10 6 3 30
← nj
M d y j 66 M d 66 puesto que este valor
presenta la m xima frecuencia (10)
Cuando la moda se aplica en una variable continua, se requiere que la amplitud de los intervalos sean constantes. Se presenta a continuación dos fórmulas m s para el c lculo de la moda, y quienes las establecieron buscaban con su aplicación, la obtención de un valor m s representativo de la distribución, pretensión discutible si se tiene en cuenta que la estadística no proporciona exactitud, sino aproximaciones acerca de las características de una población.
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
113
Tabla .13
n j −1 < n j > n j +1
y ,j 1 yi,
nj
46,1 - 54
3
n j1
54,1 - 6
1
6 ,1 - 0
30
0,1 - 8
8
8,1 - 86
5
nj n j +1
86,1 - 94
⎡ n j +1 ⎤ a) M d = y ,j −1 + C ⎢ ⎥ ⎣ n j +1 + n j −1 ⎦
60 ⎡ ⎤ n j − n j +1 ⎥ b) M d = y ,j −1 + C ⎢ ⎢⎣ ( n j − n j +1 ) + ( n j − n j −1 ) ⎥⎦
8 ⎤ 64 a) M d = 6 + 8 ⎡⎢ =6 + = 6 + 3, = 65, 0 ⎣ 8 + 1 ⎥⎦ ⎡ ⎤ 30 − 1 144 ⎡ 18 ⎤ b) M d = 6 + 8 ⎢ ⎥ = 6 + 8 ⎢ + 18 ⎥ = 6 + 40 = 65, 6 − + − 30 8 30 1 ( ) ( ) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Los resultados no necesariamente deben ser iguales
icación de estadística en a e a ienta ce El proceso a seguir Hacemos clic en INICI Luego clic en PR GRAMAS tro procedimiento a seguir Doble clic en el icono MICR S FT EXCEL
Operaciones en la oja e cálculo Creamos una tabla de 30 datos, tecleando la información en la Hoja 1, con las siguientes características, tal como aparece en el siguiente cuadro:
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
114
Como se puede observar las características cualitativas (sexo, profesión, estado civil, etc.) se digitaron utili ando códigos, que anteriormente se habían establecido, lo mismo se hi o para la característica cuantitativa (variable) Ingresos. C DIG S UTILI AD S SEX 1: Masculino : Femenino LECTURA
^ W de libros leídos durante el año. Es una variable discreta.
ESTAD
CIVIL
1: Soltero : Casado 3: Unión libre } ^ 5: Viudo 6: tros : Mercadotecnista 8: Publicista
PR FESI N
SALARI S
1: Abogado : Agrónomo 3: Arquitecto } 5: Economista 6: Ingeniero Civil
1: 800.000 - 1. 00.000 : 1. 00.001 - 1.600.000 3: 1.600.001 - .000.000 }&&&& 5: .400.001 - .600.000 6: .600.001 - 3.000.000 : 3.000.001 - 3.400.000
K ? ? la información recolectada, en la Hoja adem s si es necesario convertir los códigos en palabras o números que muestren su equivalencia, lo cual se podr hacer con los datos de la tabla copiada (hoja ), cuyo proceso se reali a de la siguiente forma: Seleccionamos la información que se requiere, para posteriores c lculos, en este caso toda la tabla anterior (Hoja 1). En la barra de herramientas hacemos clic en EDICI N, aparece inmediatamente una ventana o comandos, y hacemos clic en C PIAR. Hacemos clic en Hoja , clic en EDICI N, aparece de nuevo la ventana y clic en PEGAR. Se tiene toda la información en la Hoja .
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
115
PRESENTACIÓN DEL CUADRO O TA LA DECODIFICADA
Ahora queremos tener una tabla donde no apare can los códigos, si no tal palabras como se expresa el atributo, es decir, en ve del código 1, en sexo debe aparecer Masculino algo similar ocurre con la variable salario, que en ve del código uno debe aparecer el intervalo 800.000 - 1. 00.000. K +[ '? los datos de ésta columna, desde A hasta A31
Nos ubicamos nuevamente en el menú EDICI N hacemos clic en REEMPLA AR y nos aparece un cuadro de di logo llamado BUSCAR y REEMPLA AR.
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
116
En la caja BUSCAR tecleamos el código, en este caso 1 y en la caja REEMPLA AR C N: la palabra MASCULIN . Hacemos clic en PCI NES¦¦+ C INCIDIR C N EL C NTENID DE LA TABLA Si no aparece el menú PCI NES¦¦ BUSCAR S L CELDAS C MPLETAS
Hacemos clic en la casilla REEMPLA AR T D , inmediatamente cambia todas las celdas donde aparece el número 1, por la palabra correspondiente Masculino. Todos los pasos, se deben repetir para el código número en la columna A, cambiada para la palabra Femenino. Se har lo mismo, en las columnas B, C y E, de acuerdo con los códigos asignados.
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
117
Copiamos el cuadro o tabla anterior en la hoja 3 EDICI N C PIAR H JA 3 PEGAR.
ELA ORACIÓN DE TA LAS DE FRECUENCIA
Consideremos la información de la columna H, correspondiente a la variable Estatura, de la tabla que aparece en la hoja 3. Hacemos clic en cualquier celda del rango A1:H:31 Se hace clic en el menú DAT S, apareciendo un plegable.
Hacemos clic en INF RME DE TABLAS
GR FIC S DIN MIC S.
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
118
bservamos que aparece un cuadro de di logo ASISTENTE PARA TABLAS GR FIPaso 1 de 3. Como los datos se encuentran en una hoja de c lculo de EXCEL, seleccionamos LISTA
C S DIN MIC S
BASE DE DAT S DE MICR S FT FFICE EXCEL.
Seleccionamos y hacemos clic en SIGUIENTE. Tenemos un nuevo cuadro de di logo GR FIC S DIN MIC S, paso de 3, encontramos que K ? k [ # seleccionado una celda cualquiera en la lista de datos, si no lo hubiéramos hecho tendríamos que digitar los valores correspondientes al rango.
ASISTENTE PARA TABLAS
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
119
Nuevamente, hacemos clic en SIGUIENTE obteniendo el tercer cuadro de di logo correspondiente a ASISTENTE PARA TABLAS GR FIC S DIN MIC S, paso 3 de 3, ofreciendo seis (6) opciones, locali ando en la parte inferior de este cuadro.
Al hacer clic en DISE , nos presenta un nuevo cuadro de di logo, d ndonos opciones de acuerdo con las variables que inicialmente presentaba la lista de datos, como lo podemos observar a continuación:
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
120
Procedemos a seleccionar una de las variables, por ejemplo ESTATURA, en la que hacemos clic con el botón i quierdo del mouse, manteniendo oprimido y arrastrando hasta el rect ngulo FILA. Repetimos el proceso en el cuadro de DAT S.
Ahora procedemos a hacer clic en ACEPTAR, con el cual regresamos al cuadro de di logo ASISTENTE PARA TABLAS GR FIC S DIN MIC S, paso 3 de 3. Hacemos clic en H JA DE C LCUL NUEVA. clic en FINALI AR.
El cuadro nos muestra los datos de la variables sin agrupar y, en forma predeterminada, EXCEL suma los datos de toda la variable estatura (característica cuantitativa). (Puede
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
121
que apare ca la barra de herramientas de TABLA DINAMICA, ésta no afecta, se puede cerrar haciendo clic en la X superior derecha). Ahora, nos ubicamos en una de las celdas correspondientes a la columna total, hacemos clic con el botón derecho, en el comando C NFIGURACI N DE CAMP , y nos aparece el cuadro de di logo CAMP DE LA TABLA DIN MICA.
Con el cuadro anterior, en la lista desplegable RESUMIR P R elegimos CUENTA y hacemos clic en ACEPTAR, con lo cual aparece la frecuencia de cada intervalo en la columna total. Vale la pena observar en la lista desplegable RESUMIR, porque se tiene una lista de die (10) funciones de resumen: SUMA, CUENTA C NTAR, PR MEDI MAX, MIN, PR DUCT , C NTAR NUMER S, DESVEST, DESVESTP, VAR VARP. Las anteriores funciones podr n ser utili adas a medida que avancemos en el desarrollo del programa de Estadística Descriptiva y en el c lculo de Medidas de Posición (Media Aritmética) y de dispersión (Desviación Típica o Est ndar de Varian a ). Procedemos a ubicarnos en cualquier celda de la columna ESTATURA haciendo clic con el botón derecho y, elegimos el submenú AGRUPAR M STRAR DETALLE o también llamado AGRUPAR ESQUEMA, luego el comando AGRUPAR... de inmediato aparece el cuadro de di logo AGRUPAR.
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
122
De acuerdo con la forma que deseamos presentar la tabla de frecuencias, establecemos el valor mínimo, correspondiente al primer valor del intervalo de clase y lo digitamos en la caja de entrada C MEN AR EN: En nuestro ejemplo 145, luego en TERMINAR EN: 185 Nos queda por digitar el tamaño del intervalo en la caja P R: Supongamos que se van a hacer intervalos de 8., es decir que la amplitud va a ser de 8. Finalmente hacemos clic en ACEPTAR.
Podemos observar cómo, en el cuadro anterior, nos queda la tabla de frecuencias para una variable continua.
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
ELA ORACIÓN DE UNA TA LA DE FRECUENCIAS RELATIVAS
Regresemos a la Tabla Din mica Seleccione toda la Tabla Din mica
Haga clic en EDICI N y luego C PIAR.
Clic en la celda D3, luego clic derecho e, inmediatamente de clic en PEGAR.
www.FreeLibros.me
123
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
124
Inmediatamente nos aparece una segunda tabla din mica exactamente igual a la anterior, en la cual vamos a reali ar los procedimientos necesarios para que se convierta en una Tabla de Frecuencias Relativas.
En una de las celdas de la columna Total de la segunda tabla (Hoja 4) hacemos clic derecho, seleccionamos el comando C NFIGURACI N DE CAMP , obtenemos el cuadro de di logo CAMP DE LA TABLA DIN MICA, hacemos clic en PCI NES .
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
125
Hacemos clic en la lista desplegable M STRAR DAT S C M y elegimos DEL T TAL.
Se podr observar la Tabla de Frecuencias Relativas.
REPRESENTACIÓN GR FICA
Consideremos los datos, presentados anteriormente en una Tabla de Frecuencias, con
&
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
126
Lo primero que debemos hacer es seleccionar el rango en este caso A 8:B3 , tenga cuidado al hacer la selección, pues no debe incluir la celda que dice Total.
Nos ubicamos en el menú INSERTAR y elegimos GR FIC , también hubiéramos podido proceder haciendo clic en el icono de acceso r pido de la barra de herramientas est ndar. bservamos que aparece el ASISTENTE PARA GR FIC S, paso 1 de 4: Tipo de Gr ? k nos ofrece, procurando que sea el m s adecuado al tipo de información disponible.
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
127
'[ ? ? K C LUMNAS y Subtipo k ? C LUMNA AGRUPADA. Hacemos clic en SIGUIENTE en el cual obtenemos un cuadro de di logo ASISTENTE PARA GR FIC S, paso de 4: Datos de origen.
! # K k _ ? &* _ k && " | &? la: Media, Error Típico Mediana Asimetría Mínimo Máximo Suma Conteo para la variable ESTATURA.
www.FreeLibros.me
Cua ro No. . Resulta os para ca a una e las columnas el cua ro No. MEDIDAS
SE O
Media
1,485 14 9
Error típico
0,085 14 9
Mediana
1
Moda
1
Desviación est ndar
0,50 09 55
Varian a de la muestra
0, 5 14 86
Curtosis
- ,1 1 1 1
ESTADO CIVIL
LECTURA
N DE HERMANOS
ESTATURA
3,0 85 143
4,4
1,4 85 143
163,54 85
0,341 3486
0,41646
0, 848
1,6904 895
EDAD
SALARIO
, 4 85 14 3, 4 85 14
34,6 85 14
0, 99419 1 0,416 5589
,159 4 68
1 1,
PROFESIÓN
3
9
1
8
138 91
,46556111
3,13 81513
6,0 89916
- 0,933 4066 -1, 8946 09
1 ,
con atos sin agrupar
4
1
1
4
164
1
165
4 519
,0 1 3068
,4638563
1,6853 968
10,0010084
163,181513
4,08 39496
6,0 0588 4
,84033613
100,0 0168
-0,418314 5 -0,6 911041
0, 3938 69
,11 86648
-0,618 358
0, 8 6408
0,864 8149
0,8 194364
,43
-0,0
44
6
9
8
3
19
1
1
0
146
Coeficiente de asimetría
0,059 5838
Rango
1
5
Mínimo
1
1 6
8
63
10
8
183
Suma
5
96
131
1 1
106
154
50
5
Cuenta
35
35
35
35
35
6
8
63
1
1
1
19
1
0,1 419 39
0,60849303
0,8469498
4,38810905
0,694488 8
M ximo
Mayor (1) Menor(1) Nivel de confian a(95,0 )
0,616 5 03 0,3 683883 1
3 65
93
4
35
35
35
10
8
183
1
0
146
0,5 8931
3,43546655
0,846364
www.FreeLibros.me
159
bserve cuidadosamente los errores que se pueden cometer en el an lisis de resultados. En primer lugar las características cualitativas: SEX , *^'!{ {"? |*^{¤, solo sería v lido el M D , pero las medidas a aplicar son proporciones, para luego presentarlas como porcentajes. Las 3 caraterísticas anteriores ? _ +
CAPÍTULO 7. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (CONTINUACIÓN)
Este procedimiento lo podemos aplicar a las dem s variables y éstos son los resultados .
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
160
SEGUNDO PROCEDIMIENTO ^ _ ? *!*{'* '" y de !{^* ^{¤. Para ello solo se va a tomar una de las variables, en este caso ser la ESTATURA? _ &&
MEDIA ARITM TICA. Fórmula:
=
∑ xi fi n
El proceso de c lculo es el siguiente: Seleccionamos la CELDA, es decir, la activamos en el lugar donde deseamos que apare ca el resultado. Con el M USE nos movemos al { y le damos CLIC dos veces a fx y aparecer ? *' |{¤: Figura No. . Pegar unción
Luego de haber activado fx, se debe escoger la categoría ESTAD STICA y luego el % *!*"'|{¤ que vayamos a estimar, para el caso seleccionamos MEDIA AC TADA, después vamos a la opción ACEPTAR, al hacerle CLIC, debe aparecer la | &&
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 7. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (CONTINUACIÓN)
161
Figura No. . Me ia
* | & % $&^ & 4 y sombrear todos los datos de la columna ESTATURA donde est nuestra variable sin soltar el botón i quierdo. En la casilla que dice *'¥* se le da el valor de cero (0) y se observar que el resultado de la MEDIA es de 163, 0588 4, siendo el mismo resultado que se obtuvo ? | && Figura . Cálculo e la me ia (estatura)
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
162
ota _ de ^{{¤ y de !{^* ^{¤, sólo cambia cuando nos ubicamos en el nombre de la _ ? ? k k & MEDIANA Me A continuación del uso del EXCEL + K ? ` TE RIA de varias medidas de posición y de tendencia central, entre otros, la Mediana, Moda, y Media geométrica. En datos sin agrupar hay dos maneras de estimarla: a Número de observaciones IMPAR. En este caso se ordenan los datos de menor a mayor o viceversa, luego seleccionamos como %*!{'' al valor central. Ejemplo:
3
5
12
16
30
Me b Número PA de observaciones. También se ordenan de mayor a menor o de menor a mayor se tiene dos valores en el centro, por lo tanto se promedian. Ejemplo:
3
5
1 Me
Figura No.
16 (1
16)
30
46
14
Me iana
} ubicamos en
AUT SUMA y
luego seleccionamos
%'^|{*^
haciendo clic en selección
''* {'
que puede ser: Mediana, Moda, Media geométrica o aquella que usted desee
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 7. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (CONTINUACIÓN)
163
bsérvese, que para el c lculo de la %*!{'' y !*%§^%*!{!'^, aparece en las primeras casillas la palabra ¬%* 1, en ésta se debe copiar el rango de los valores k &?
?k >? %*!{'' sigue siendo igual a 164,5. ': Este resultado se locali a en la celda que se escoja y así sucesivamente. Lo invito a que estime los dem s valores de las otras variables k && MODO
MODA VALOR MODAL M
^ aquel valor de la variable que más se repite. Para algunos no es aconsejable calcularla mediante la utili ación de EXCEL en caso de que haya m s de una M DA, es decir, que sea BIM DAL o PLURIM DAL. Sólo se debe aplicar si es unimodal, es decir, cuando hay una sola M DA. Cuando es BIM DAL o PLURIM DAL solo se reconoce la primera M DA de la lista. Los pasos son los mismos utili ados para el c lculo de la MEDIA y %*!{'' es decir, Figura No. . Mo a
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
164
Figura No. 10. Estimación mo a (estatura)
bsérvese, que el valor que m s se repite en la muestra es 165, siendo el mismo valor && MEDIA GEOM TRICA Mg
Mo
^ #$ >
M o = n π xi
Fórmula
Media, Mediana, y Moda. Se hace CLIC en la parte i quierda correspondiente a '* ¨' ESTAD STICA, luego, a la derecha seleccionamos el renglón %*!{'*%« {'? [ CLIC en ACEPTAR. MEDIA ARITM TICA PONDERADA $ ` media, se reali a el siguiente procedimiento. Tomemos ahora como ejemplo, la tabla que aparece en el cuadro siguiente, correspondiente a la variable (yi) ESTATURA?+_ ? ni) el número de veces que se repite cada valor de la variable. Para ello vamos a tener presente una tabla ? _ k }
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 7. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (CONTINUACIÓN)
165
SUMAPR DUCT (A :A9 B :B9) SUMA(B :B9)
0,86
RESUMEN DEL CAPÍTULO Este capítulo sirvió para presentar otros promedios, diferentes a la media, mediana y moda, que pueden ser aplicados en casos especiales, atendiendo a ciertas caracterís-ticas que presenta la variable. El uso de la media cuadrática es adecuado cuando se requiere calcular un promedio para lo cual deben ser elevados los valores de la variable al cuadrado, como en algunos casos de probabilidad y en aquellas variables que toman valores positivos !% !
1 # por valores extremos especialmente por los más grandes. La media geométrica es utilizada para promediar crecimientos geométricos, también cuando se quiere dar importancia a valores pequeños y en aquellos casos en que se requiere determinar el valor medio para un conjunto de porcentajes. Este promedio presenta el inconveniente de su inestabilidad en el muestreo, su cálculo % ! 9 %
! #
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
166
/ %
!
% ! 1 # % los más pequeños no puede ser calculada si algunos de los datos de la distribución son iguales a cero, ya que el valor de este promedio depende de cada uno de los elementos de la distribución. Se utiliza de preferencia para promediar velocidades. La media cúbica tiene un uso restringido y por lo engorroso de su cálculo casi nunca % % 1 # %
por los más altos. Los cuartiles, deciles y percentiles, generalmente, se aplican en variables continuas, cuando se tiene un número grande tanto de intervalos, como de observaciones, y se desea examinar tan sólo una parte de la distribución que presenta una característica especial a ser estudiada. Las relaciones numéricas entre los promedios, en cualquier distribución tienen el siguiente comportamiento: M
M-1
M1
M2
M
Por su parte la media aritmética, la mediana y la moda, tienen la siguiente relación: M1
Me
Md
en la distribución simétrica.
M1
Me
Md
en la distribución asimétrica negativa.
M1
Me
Md
en la distribución asimétrica positiva. Términos para recordar
Centro recorrido Cuartiles Deciles Media cuadrática Media cúbica
Media geométrica Media armónica Percentiles Promedio Productoria
Fórmulas: Datos sin agrupar M =
∑ xi n
Datos agrupa os
Media cuadr tica
M =
∑ yi ni
www.FreeLibros.me
n
Media cuadr tica
CAPÍTULO 7. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (CONTINUACIÓN)
Datos sin agrupar M3 =
3
∑ xi3 n
167
Datos agrupa os
∑ yi3 ni
Media cúbica
M3 =
Media geométrica
M o = n ∏ yin
3
n n
M o = n ∏ xi
M o = antilog
M o = antilog
M −1 =
∑ log xi n
i =1
M −1 = Media geométrica
∑ ni log yi Media geométrica
m
=
n
n 1 ∑ xi
n n ∑ i yi S Si
∑
Media cúbica
Media geométrica
Media armónica
Velocidad media
i
Media armónica
⎡n−N ⎤ j −1 ⎥ ⎢ , Q1 = y j −1 + C ⎢ 4 nj ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦
Cuando
Cuando Nj-1 n 4 (Primer cuartil)
⎡ 3n − N ⎤ Nj-1 3n 4 j −1 ⎥ ⎢ , Q3 = y j −1 + C = ⎢ 4 (Tercer cuartil) ⎥ nj ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
(Datos agrupados) D6 = y
Cr =
Cr =
, j −1
⎡ 6n − N ⎤ ⎡ 30n − N ⎤ j −1 ⎥ Cuando Nj-1 6n 10 j −1 ⎥ ⎢ 10 ⎢ , P30 = y j −1 + C = ⎢ 100 +C = ⎢ ^ ` ⎥ ⎥ nj nj ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
xmáx + xmín
y0, + ym,
Centro recorrido (datos no agrupados)
Cr =
y1 + ym
Centro recorrido variable continua
www.FreeLibros.me
Cuando j-1 30n 100 (Percentil treinta)
Centro recorrido, variable discreta
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
168
Ejercicios propuestos 1. ¿Por qué no se aplica la media geométrica cuando uno de los valores es cero?, _ n π xi . Calcular la moda en una distribución de _ + x = 80,3 y Me 9,5 3. Durante un mes se construyeron 134 kilómetros de carretera en la siguiente _ } ?¢ semana 15,3 en la segunda semana ,60 en la tercera 4,5 en la cuarta, y en la última 49 . Hallar la medida de tendencia central que represente mejor el promedio de esta distribución dada en kilómetros construidos por semana. & ! K # cada uno de los siguientes promedios. a) Media armónica b) Media geométrica. 5. La media aritmética de tres números es , su mediana es 6 y su media geométrica es 3 16 Con los tres números, calcular la media armónica, el centro recorrido y la media cuadr tica. 6. Dados tres números, se sabe que su media cúbica es 3 65 su media aritmética es y su mediana es 6. Calcular los valores de cada uno de esos tres números. . Se sabe que la media aritmética de dos números es igual a 5 y la media geométrica de los mismos es igual a 4. ¿Cu l es la media armónica? 8. Un estadístico entrega una hoja con los siguientes datos correspondientes al c lculo de la media aritmética.
,, i
,, i i
n
1 3 4 5 6
0 5 100 5 18
Calcular la media geométrica. 9. Una persona viaja 4 días. Diariamente recorre 00 kilómetros, pero maneja el primero y el último día a 50 km h, el segundo a 55 km h y el tercer día a 0 km h. ¿Cu l es la velocidad media durante el viaje? 10.Un automovilista viaja de A a a una velocidad media de 40 km h. y vuelve de la ciudad B a A a una velocidad media de 60km h. Hallar la velocidad media del viaje completo. 11. Las ciudades A, y C son equidistantes entre sí. Un automovilista viaja de A a a 30 km h. de a C a 40 km h. y de C a A a 50 km h. Determinar el promedio de velocidad para el viaje completo. & _ & semanales, para la compra de materia prima. Durante tres años invierte la misma cantidad de dinero. Si el precio promedio por kilo ha aumentado en los tres años sucesivos de . 00 a .800 y luego a 4.600, ¿cu l es el precio k [ _ en dichos tres años? 13.El 1 de mayo de 008 se colocan & al ,6 de interés anual, capitali ados semestralmente. Se pide la suma media depositada en la cuenta, entre el primero de mayo de 008 y el 31 de octubre de 01 si no se hicieran retiros durante el período.
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 7. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (CONTINUACIÓN)
&* mos, desarrollamos un proceso de agili ación de atención, para aquellos períodos de mayor asistencia. Para ello se llevó un registro de tiempo de espera, incluyendo la atención (horas, minutos) de 1 personas, seleccionadas al a ar con los siguientes resultados: 0,40 0, 0 1,10 , 5 0,45 1,16 1,30 0,15 1,4 ,16 3,1 0,36 a) Calcular la media, mediana y primer porcentil. 15.La empresa de servicio de acueducto y alcantarillado de una ciudad del país, seleccionó 30 clientes, al a ar, que utili an este servicio. En el último mes el valor _ ? ?_ } 3 0 38 39 66 53
68 103 4 51 100 61
65 56 88 94 4
3 4 6 6 56
3 69 94 0 4 65
a) Calcule: la Media, Mediana, Moda, Media geométrica, Media cúbica, la armónica. } ? ` decil, y el percentil. * _ ? donde m y calcule los puntos a) y b) que se dieron anteriormente. &*`k K + K cada una de las medidas de posición y de tendencia central. 1 .Se considera posible convertir una variable cualitativa (atributo) en una cuantitativa ya sea a partir de medidas central o variabilidad, asignando un número consecutivo a cada posibilidad
169
de respuesta, en una escala de opinión, _ &" dencia central que podría ser utili ada en este caso es: a) Media b) Mediana c) Moda % 18.Un almacén dedicado a la venta de cal ado para hombre, durante un mes, encontró, que se vendieron: 30 pares de número 34 1 de número 35 6 de número 36 40 de número 3 140 de número 38 00 de número 39 10 de número 40 y 5 de número 41. Comente el uso de la Media, Mediana y la Moda como medida de tendencia central y la utili ación de cada una de ellas para la toma de decisiones en relación al W ?k `tencia, para no perder clientes. & _ cando la palabra adecuada. a) La se obtiene al disponer los datos de menor a mayor o viceversa. b) La es la medida m s recordable cuando los valores
` & c) La es la medida que se debe utili ar, cuando convertimos un atributo en una variable (cuantitativa). " _ como el valor central en una distribución. e) La es el valor que m s se repite. _ " _ admiten tratamiento algebraico.
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
170
0. Cuando la variable tiene un crecimiento geométrico, la medida de posición correcta es: a) Media aritmética b) Media armónica c) Mediana d) Media geométrica e) El modo 1. En un problema donde se debe calcular la velocidad media, la medida indicada es: a) Media aritmética b) Media armónica c) Mediana d) Media geométrica e) El Modo
&¥k } a) En una distribución simétrica puede darse que: X 5 Me 5 y Md 6 b) En una serie de datos cuando n es par, la Me es igual al valor central c) La X se utili a para promediar _ & d) Es una distribución de intervalos abiertos es recomendable utili ar la X
^ _ rencia por un determinado deporte en un grupo de estudiantes puedo utili ar la X. & _ }
& _ ? endo la palabra adecuada a) El cuartil, supera el 5 de las observaciones b) El decil, su resultado es igual a la mediana c) El percentil, supera al 30 de las observaciones d) El cuartil, es superado por el 5 de las observaciones e) El decil, es superado por el 0 de las observaciones _ * ? resultado es igual a la mediana 3. Se tienen 10 vendedores en una compañía, los cuales cada uno vendió las siguientes cantidades de cierto producto, en un mes determinado: 15, 3, 4, 19, 15, 10, 10, 8, 8, 19. a) Calcular la X Me Md Q3 D6 b) Diga qué promedio representa mejor _ +k>
a) La se determina ordenando los datos y seleccionando el valor central. b) La no se puede calcular si la distribución es de intervalos abiertos. c) La no es representativa si un valor es demasiado grande con relación a los dem s. * k + _ cuencia en un conjunto de datos se denomina
_ iguales? 6.Con los datos de la siguiente tabla calcular la X Me Md D P63 yi
3
6
ni
8
0
www.FreeLibros.me
9
1
15 3
Capítulo
8
edidas de dis e sión asi et ía a nta ient Objetivos Desarrollar destre as en la utili ación y aplicación de las medidas de dispersión. Interpretar los resultados obtenidos con la aplicación de las diferentes fórmulas. { k $ & Contenido
scilación Varian a Desviación típica Puntaje típico Desviación media
Desviación mediana Recorrido intercuartílico Momentos unidimensionales Asimetría Apuntamiento
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
^ k & W & " ? + ? # &^ ?k distribuyen o se dispersan los datos alrededor del promedio. ^ ?A y ? $ + salarios (en miles de ): Almacén A:
560
680
0 4 0 630 x
Almacén :
600
40 640
60 8 0 950 660
80
0 640 650 680
690 00
x
00
50 690
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
172
" > & & _ ? contraste. En el almacén A[ + &^ &
+& K&* > hubo muy poca variación. * +_ &+ K&& k > A hubo salarios muy altos y muy bajos. En el almacén los & K ? un promedio, se utili a una serie de medidas entre otras:
scilación ! # & Puntaje típico o estandari ado. Desviación mediana
Varian a Desviación media. Recorrido intercuartílico.
LA OSCILACIÓN
k k ? ?$ K& Tabla .3
yi
ni
,, i
50 58 66 4 8 90
3 6 10 6 3
-3 -1 0 1
30
-
,, i i
n
-9 -1 -10 -31 3 4 - 4
,, i
ni
4 10 0 3 8
s
C
s
8
30
s
64
s
11 ,64
www.FreeLibros.me
zi ni n
zi ni n
,4
4 30
0,64
64 (1, 6)
CAPÍTULO 8: MEDIDAS DE DISPERSIÓN, ASIMETRÍA Y APUNTAMIENTO
177
Ejercicio . En un conjunto de n valores de x k xi s 5. Se pide encontrar el valor de n.
10
x i
60 y
Solución xi n
S
5
x2
60 n
10 n
b
b
60n & La varianza ` ? _ k & # k $ K # ??[ ?k ? #k [ & ?$ $ k > + > ? # & La desviación estándar se simboli a por s W + +W ? > $ &^ la raíz cuadrada de la varianza? & > como la raíz cuadrada de las desviaciones respecto a la media. s s * # } s
(xi x) n
xi n
nx
xi n
x
? _ & s
(yi y) ni n
yi ni ny n
yi ni n
y
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 8: MEDIDAS DE DISPERSIÓN, ASIMETRÍA Y APUNTAMIENTO
181
& & # } 140.4 30
s
11 ,64
6 ,6
10,61
La desviación típica + $ k ?[ # ? ? k ' ?&* ? K K ? ? K promedio (cero), en cambio en la primera operación fue de 1,86 por debajo del promedio. ^ k [ ? ?+? ?¢?+ ?¢? k & ' ±, k ? K k &* ±xy+xy ±?+?
±? ???? &
'[ ? ? + ±? ?¢ k # $ & ^ varianza residual?+ error estándarxy? } sxy X
3
`+ $ P?¢ n
? ? X&? ??? & $ ` }
+
$ ` }
`
( i+ n (Xi` n
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
228
$ ` & * ? > &! _ ` ? k } `++ Tabla .1
Xi
Xi`i
(Xi`i
+i
( i+i
?
?
&
? ?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
`
i
?
(Xi` ? ? &^ $ +
? & ^ > } _
$ ` $ }
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 9: REGRESIÓN Y CORRELACIÓN
VE
R
=
sa y sy
229
50, 864 = 0, 9 5 ,4
=
=
sax
sx
=
69, 99 = 0, 9 0, 4
* $ ` ? $ [ _#&'#k _ _
de determinación& k *.^ > T } VR VE 2
s2 = 1− 2 sy
VR R
VR ^
? R ?< ?
`+ ? R ? ` ?
VR
K $ k k ` & +`
? ??¢ $ k k ` & + ? `+ ? k } ??¢ ` ? VE
K $ k k ` &
+
`
? ?¢ $ k k ` & + ? ? ?¢ ` ? _ [ ? } R + +
`+ + +` + } `
^ }
`+ `+
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
230
k `?
+?
`+}
`+ & } ` ? `+ ? ? &? `+ `+ k +` +`+ k ` + +``+ ? ? ?& k _ k k ? ` & k } - R - ^ +_ r W ? & ^ k $ + ?? > } `+ ? `+ ? ?
r=
∑ xi yi − ( ∑ xi ) ( ∑ yi ) ⎡ n ∑ x − ( ∑ x ) ⎡ n ∑ y − ( ∑ yyi ) ⎤ ⎤ i i i 1 ⎣ ⎦⎦ ⎣
* - r - Ejercicio * ±+³ ?&> K k ` Solución VR +` ??¢ R +` ³ _ `& & & ? ? ± + + ³ ` } & & & & & & & &
& &
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 9: REGRESIÓN Y CORRELACIÓN
& k ? } & & & &
&
[ + & [ + & ` _ & ` & &
&^ } ³?`+±?+ } &?&?&?&? &?& & ³?`? `? ³ } &?&?&?&?
&?
245
&^ $ y+ $ y _ ` &^ k $ ` } &&&& & &* W } & 8 & -&- R - &- R - &- R 8 &^ ³ ` `} +} * _ } &&&& && & `? ? K $&
A OS
+i ³i + ? + ?
& & & |K # ?¢ ª ³ & _ ? } A OS
INDICE DEL PRODUCTO REAL AGRÍCOLA
& ! ? } & * ³ ? K # & & +++
? ? ? ? ? ? ?
& * #
K ` & & ! &
&^ k ? # ? & A OS
³i}
* ??+&
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 10: SERIES CRONÓLOGICAS
& " # [ $ &
* | % $ ' % + ¥ ¥ ' ^ ! *
VENTAS (millones e ) A o 2012
& * + K # & & * K # + & &^ k ? [ ?
[ &^ [ ³? ± # } &±
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
& & &
&
± ± ± ±
& $ ? ? >? [ >& & " & *` & &
Cuestionario e Evaluación &* } & W +k + k & & * & & " & &* & & ³&` ? k
} & & & & & & & &
& & & _ ? + K # &
A OS +i
³i
& ?
& ? &!
'}
³i }
* K # ? } & ? & ? & ? & ?
& ?
& k } & ? & ? & ? & ?
& ? & ^ K &
k
} & ? & ? & ?
A OS+i
³i
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 10: SERIES CRONÓLOGICAS
k } & ? & ? & ? & ?
& ?
&
? } & & & &
& & " ³?? `+ ? ³ ? } & ? & ? & ? & ?
& ? & * ? K # población, sin tomar en cuenta la totalidad de la población. Con base en el conocimiento de los índices, las proporciones, las tasas, las ra ones, los cocientes, y los porcentajes, se presentar n a continuación una serie de indicadores ? & La liquidez absoluta LA Disponible y reali able a corto pla o LA Total del balance
9 A Reservas A Capitales propios
La liquidez relativa LR Disponible y reali able a corto pla o LR Exigible a corto pla o
D 1 RO RO Total balance
Inversión I Capitales circulantes I K
D 1 RS RS Capital social
Financiación F Capitales propios F Capitales ajenos
D RF RF Capitales propios
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
Productividad P Producción (en cantidad o valor) P Horas de trabajo E <
Ingresos Utilidades netas
entabilidad global
Total archivo
ECF Ventas netas ECF Total activo De independencia
K Pasivo total
De capital circulante DCC
DCC
Activo circulante - pasivo circulante
Activo circulante
De pasivo y activo
Pasivo total Activo Total
Costos de publicidad CDP
CDP
CDD
DRP
N de personal que se retiraron Total de personal
DRP
De penetración de ventas
De mecanización DM
DM
Valor del equipo Mano de obra directa
: $ 1
Costos de distribución Ventas
DCHT
Total de gastos Horas trabajadas
DCHT
De solvencia
Activo corriente Activo Pasivo
! CGV Gastos de ventas x 100 Cifras de negocios
CGV
CE
CDD
DPV
Ventas Mercado potencial
DPV
Costos de publicidad Ventas
Costos de distribución
De rotación de personal
CE
Gastos x 100 Ingresos
+ ? k # largos de enumerar y que se podían ver con m s claridad en la asignatura respectiva.
En demografía hay un sinnúnero de Tasas y azones, en las que podríamos mensionar: N Personas sexo Masculino Ra ón de masculinidad N Personas sexo Femenino Ra ón de niños a mujeres
N Niños ambos sexos menores de 5 años N Mujeres entre 15 y 44 años Población .01 - Población .006 Población .006 N Total de defunciones 1.000 Población total
Tasa de crecimiento de la población Tasa bruta de defunción Tasa bruta de natalidad tros m s.
Total de nacimientos 1.000 Población total
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 11: NÚMEROS ÍNDICES
RESUMEN DEL CAPÍTULO
Los números índices son indicadores muy utilizados en el sector económico, es así como una empresa puede utilizar los índices de producción, de productividad, de obreros, de ventas, de costos, de fabricación, de ventas, sueldos, etc. Uno de los índices más criticado y más utilizado es el índice de precios al consumidor IPC mal denominado índice de costo de vida es un indicador de la variación de precios de productos y servicios de primera necesidad que pueden ser incluidos en la canasta familiar de un grupo social: obreros y empleados. Con los índices de valor unitario precios de artículos importados y exportados, se puede calcular la relación de precios de intercambio, el cual multiplicado por el relativo de quantum cantidad de exportación nos da la capacidad para importar. Los índices se dividen en simples, agregativos simples y ponderados. Términos para recordar Capacidad de importación :# Devaluación Desvalorización Empalme de una serie Encadenamiento Eslabones relativos Indices de precios Indice simple Indices de cantidad Indice ponderado Indexar
Indice de producción Indice agregativo simple Indice quantum Indice valor unitario Indexar Ingreso Período base Poder de compra Productividad elación precios de intercambio Salario nominal Salario real órmulas
I ot
Xt 100 Xo
I ot
Xt 100 Xo t
Lo
ndice simple
Poqt 100 Poqo
Ptqt P 100 Poqt I ot
t
FIo
t
LI PI
t
F
ndice agregativo simple ndice de Laspeyres de cantidad ndice de Paasche de precios. ndice de Fischer de precios.
t o
t o
t
= L oP
ndice de Fischer de cantidad.
Ptqt 100 Relación de valores Poqo t
t
t
t
Vot = LJo P Io Vot = LIo P J o
I
t o
t
t
Relación de valores Relación de valores
o
FI o F o
t o
Ioo x R1o x R1 x R3 x ...Rtt-1
Relación de valores
Encadenamiento de una serie
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
Salario nominal Salario 100 I de precios al consumidor real
de desvalori ación
Ingreso nominal Ingreso 100 I de precios al consumidor real
de devaluación
1 100 adquisitivo I de precios al consumidor
Poder
I poder adquisitivo
Indice de productividad
100 1
100 1
Io It To Tt
I de producción 100 I de obreros
ndice de relación de precios intercambio
Io 100 It
I de valor unitario de exportación 100 I de valor unitario de importación
IRPI
Ejercicios propuestos &^ _ maciones? a) Un índice es una cifra relativa (expresada en términos porcentuales). b) El índice de Fisher es el promedio geométrico de los índices de Laspeyres y Paasche. c) La capacidad para importar se obtiene multiplicando el índice de la relación neta de cambio por el relativo del índice quantum de exportación. d) El porcentaje de al a de un índice se obtiene dividiendo el índice del período que se investiga por el del período base, multiplic ndolo por 100. e) El índice de productividad se obtiene dividiendo la cantidad producida por el número de obreros. f) La fórmula de Laspeyres se puede escribir:
g) Si el tipo de cambio sube de .305 a . 3,51 por dólar, la devaluación de la moneda ser del 0 . h) Cuando no se altera la relación de precios de intercambio, los valores unitarios de importación y de exportación tampoco varían. ! vertir precios corrientes de mercadeo a precios constantes respecto a un período. . Dados los siguientes índices, calculados para una serie de artículos: t o
L
I ot
L
115 130.
F
t o
1 5 t
Se pide calcular Vo
3. Tomadas las cosechas de ciertos productos agrícolas, determinar el índice agregativo simple para 01 con base en 010, utili ando los métodos conocidos.
Ptqo t 100 LI o Poqo
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 11: NÚMEROS ÍNDICES
COSECHA
(Cientos de toneladas) 010 01
PRODUCTOS
A B C D E F G H I
11.158 1.196 1.111 1.460 859 1.106 41 6.686 04 3.8 1
13.044 1.35 1.3 6 1.840 99 8 0 59 .9 8 0 .6 3
4. Las cifras de ventas en miles de millones de de unos grandes almacenes desde 00 hasta 01 son los siguientes: ... continuación
A OS
00 003 004 005 006 00
VENTAS
1 14 18 18 19 15
A OS
008 009 010 011 01
VENTAS
1 16 0 4 35
continua
Se pide: a) Hallar los índices de ventas, tomando como base primero 00 y luego 00 . b) Hallar los índices con base variable, para la misma serie. 5. Si se tiene un índice de precios al consumidor de 38 ,5 para el mes de enero de 01 , ¿se podría determinar el poder adquisitivo del peso para ese mes respecto a 004 que es el período base? Explicar el resultado. 6. Conocidos los índices de precios y de cantidades de Paasche y el índice de valor, ¿cómo se podrían obtener los índices de precios y de cantidad de Laspeyres?
. Los índices de producción de un determinado bien de consumo desde 006 hasta 01 fueron los siguientes: A OS
006 00 008 009 010 011 01
ÍNDICES
100 11 115 110 105 110 1 0
Sabiendo que en 010 se produjeron 3 toneladas de dicho bien, hallar las cantidades producidas para los años de 006 a 01 .
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
8. Un empleado ganaba .000 mensuales en 011. Hoy día ( 01 ) recibe 91 .000 mensuales, con lo cual mejora su ingreso real en un 1 . Si el actual índice de precios es 560,00 ¿cu l era el de 011? 9. El índice de costo de construcción de casas de habitación (base 1985) registró las siguientes cifras. A OS
INDICES
194 195 196 19 198 199 011 01
6, 59,3 4 ,5 0,6 108,4 13 ,6 56,4 1.1 0,3
1 .Se conocen los índices sobre comercio exterior de un país: R índice de relación de precios de intercambio. Qe índice de quantum de exportación. A OS
Si el costo de construcción de una casa en 198 era de 1 .000.000, ¿a cu nto ascender en 01 ? 10.En 01 el precio de un bien disminuyó en un 5 con relación a 00 , pero se incrementó en un 50 con relación a 1999. Hallar el precio relativo para 00 con base en 1999. 11. Con los siguientes datos A OS
006 00 008 009 010 011 01
SALARIOS (Miles millones )
18,0 0,6 3,0 38,0 51,0 58,0 60,0
INDICE DE PRECIOS O REROS AL CONSUMIDOR N.
1999
3 0 380 400 00 1.000 1.050 1.100
b) Calcular los salarios nominales por obreros. c) Calcular los índices de los salarios reales con base 006. d) Calcular los índices de los salarios nominales, con base 006. e) Calcular los salarios reales por obrero, con base 006. f) Calcular los índices de salarios reales por obrero, con base 006.
100
140 148 15 160 166 168 1 0
Se pide: a) Calcular los salarios reales con respecto a 006.
00 008 009 010 011 01
R (Base variable)
100 110 80 1 0 115 116
010
E
100
90 1 0 90 100 110 80
Se pide determinar la capacidad para importar con base en 00 . 13. ¿Qué indica cada uno de los siguientes índices? a) El índice de precios de Laspeyres. b) El índice de precios de Paasche. c) El índice de cantidad de Laspeyres. d) El índice de cantidad de Paasche. 14. ¿Por qué cree que sea necesario cambiar el período base de un índice de ve en cuando? &* $ ?
uso de los números índices. Concretar. 16. Suponiendo que la información disponible es:
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 11: NÚMEROS ÍNDICES
A OS
00 008 009 010 011 01
INDICE A
100 98 110 135
INDICE
A O
INDICE ESLA ONADO
1
100 108 96
Empalmar dichas series. 1 . En los siguientes datos de índices eslabonados, se pide encadenarlos, tomando como periodo base el año 1.
100 108 3 94 4 11 5 104 18. Las ponderaciones o peso en un índice de precios son: a) Precio b) Cantidades c) Promedio de precios d) Promedio de cantidades e) Ninguno de los anteriores
Cuestionario e Evaluación & * &?? una devaluación del 3 respecto a la coti ación de: a. c. e.
96 ,30 1.196,84 1. 50,6
b. 1.0 6, 0 d. 1. 06,34 f. Ninguno
. Se tienen dos índices de precios al consumidor, para dos períodos determinados (con la misma base), 36 ,8 y 436,4 respectivamente. Se puede decir que el porcentaje de desvalori ación entre esos dos períodos fue: a. 13,41 d. 19,3
b. 16,86 e. 0,13
c. 1 ,18 f. Ninguno
3. Se tiene que el tipo de cambio en dos períodos determinados son 1.468,3 y 1.60 ,94 respectivamente. Se puede decir que el porcentaje de devaluación en dicho período fue:
a. 5,6 d. 9,51
b. 6,3 e.1 ,15
c. 8,68 f. Ninguno
4. Se tienen los siguientes índices de base variable. I09 105,6 I1009 93,5 06 11 1 I 10 1 8,6 I09 109,8
^ k # K 008) encadenado para 01 es: a. 108,6 b. 11 ,5 c. 118,4 d. 1 1,6 e.13 ,0 d. 139,41
5. Si al calcular el índice de poder adquisitivo entre dos períodos es 80,5 se podr decir, que el salario real para un sueldo mensual de 800.000,oo, el último período ser de: a. 4 .000 b. 5 5.000 c. 644.000 d. 650.000 e. 8 .000
www.FreeLibros.me
CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO
6. Si se tiene hipotéticamente que el índice de precios al consumidor para el mes de mayo de un período es de 4 0,8, siendo para el año siguiente en el mismo mes de 46 ,5, se podr decir que el porcentaje de al a en ese período es: a. 5,4 d. 10,
b. 6, e.10,8
c. 9,9
. De acuerdo con la información del punto anterior, si se sabe adem s, que un empleado que ganaba 300.000.oo quincenales en el primer período, y luego su sueldo fue ajustado a 350.000.oo para el segundo período, se podr decir que el empleado: a) Mejoró su salario real en 8.44 con respecto al primer período. b) Mejoró su salario real en 0. 0,91 con respecto al primer período c) Desmejoró su salario real en 8.44 d) Desmejoró su salario real en 0. 0,91 e) No hubo cambio en su salario real. 8. Si el índice de precio al consumidor para un mes del presente año es de 436, con respecto a la base (un mes de 1995), k dicho período es: a. 136, d. 436,
b. 36, e.536,
c. 336,
9. Con el punto ocho (8), se puede decir que el poder adquisitivo del peso para el mes del presente año con respecto al período base es: a. 1 ,94 d. 4 ,94
b. ,93 e.5 ,94
10.Con base en la información del punto ocho (8), el porcentaje de desvalori ación del peso para el período es: a. 8 ,06 b. ,0 c.6 ,06 d. 5 ,06 e.4 ,06 11. Si se tiene un salario nominal para el último período del punto ocho (8) de &?? ? k salario real con respecto al período base y el índice dado es: a. 1 1.939,48 c. 190.650, e. 310.360,4
b. 181.513,60 d. 10.3 0,8
&! } a) Dividir la cantidad producida en un año investigado, por el total de obreros en ese año. b) Multiplicar la relación neta de cambio por el índice de exportación c) Convertir precios corrientes de mercado interno a precios constantes respecto a un período dado. d) Cambiar la relación de precios de intercambio. e) Ninguna de las anteriores. 14.Dados los índices de producción cuya base es 006. 006
00 69
008 009 86 100
010 011 1 3 16
01 150
El índice para 011 con base en 006 es: a. 168,0 b. 19 ,0 c. 5,0 d. 86,0 e.3 0,0
c.3 ,94
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO 11: NÚMEROS ÍNDICES
15.Cuando un índice de costo de vida (índice de precios al consumidor) sube en un 5 , el índice de poder adquisitivo baja en un: a. 8 c. 18
b. 10 d. 0
c. 15
16.Con los siguientes índices de base variable 009 100
010 10
011 108
01 104
k # K a. 19 b. 0,18 c. 1,0 d. 3,6 e. 8,34
1 .Si el índice de producción en un sector de la industria es del 136,8, mientras que el índice de obreros para ese sector es del 109, . Se dice que el índice de productividad es: a. 4, d. 115,4
b. ,6 e.1 4,
c. 93,8
18.Si el índice de precios al consumidor para un mes determinado del presente ?? k poder de compra para ese mes respecto al período base es: a. 0,1 1 d. 0,1386
www.FreeLibros.me
b. 0,1 96 e.0,1453
c. 0,1354
www.FreeLibros.me
Capítulo
12
In e encia estadística Objetivos
Describir en forma muy general algunos aspectos de la inferencia estadística. Inquietar o despertar en el alumno, la importancia que tiene el método estadístico en la actividad económica o comercial de una empresa. Inculcar en el estudiante el deseo de profundi ar un poco m s en esta disciplina. Contenido
¶ * Distribución binomial Distribución normal
¶
"# $ Prueba de hipótesis Distribución ji-cuadrado
ELEMENTOS DEL C LCULO DE PRO A ILIDADES Probabili a Elemental
El concepto de probabilidad ? utili ado para expresar, de algún modo, un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tenga. Con frecuencia observamos o escuchamos el estado del tiempo , o sea los pronósticos meteorológicos sobre la posibilidad de un buen tiempo o la presencia de lluvias fuertes o ligeras, gran nubosidad, vientos fuertes o en calma, etc. los hinchas de los diferentes equipos de fútbol discuten frecuente ) cuando lo represente como 1 , así por ejemplo P(x (
6
6)
8
(68) ( 1 ) ( 1 ) SHIF
ser calculado así:
nCr
6
)
(
0,5
6
y el resultado ser igual a 0,1093 5 ?0,1094 d)
P(x 8 3)
P3
P4
P5
P(x 8 3)
1 (0,0039
P6
P
0,0313
P8
)
(
0,5
)
10,94
1
P(o)
0,1094)
1
P(1)
P( )
0,1446
85,54
puede observarse que el resultado es igual al anteriormente dado, siendo p
(85) (0,5)
e)
P(x
f)
P(38 x 8
5)
P(38 X 8
)
)
P(o)
5
(0,5)3 P(1)
0, 18 5
P( ) P(3)
P( )
q.
1,88 P(8)
0,0039 0,0313 0,1094 0, 188 0,0313 0,0039
0,3986
39,86
Distribución Normal En una distribución binomial, si el valor de n ?
968.000 − 963.000 = 0,0 6.000 mejor en A que en B
968.000 − 9 .000 = −0,05 88.000
yi
ni
yi ni
10 30 50 0 90 110
30 5 15 13 1 5 100
300 50 50 910 1.080 550 4.340
yi ni
yi-y
(yi-y) ni
3.000 -33,4 33.466,80 .500 -13,4 4.489,00 3 .500 6,6 653,40 63. 00 6,6 9.198, 8 9 . 00 46,6 6.058, 60.500 66,6 .1 ,80 84.400 - 96.044,00
c) s =
s
84.400 − 43, 4 = 960, 44 100 96.044 960, 44 100
Cuestionario e evaluación 1 (c) (d) 3 (c) 4 (e) 6 (b) (c) 8(a) 9(b) 11 (e) 1 (b) 13(a) 14(a)
5 (c) 10 (a) 15 (d)
Cap tulo
x = 8,6
s1 8, 4
=
y = 43, 4
b) Variabilidad relativa
10. x1 = 46
A
14. a)
88.000 = 0,0905 = 9,05 9 .000