Entscheidungsmodelle und lineare Programmierung: Übungsbuch zur Betriebswirtschaftslehre [3., ergänzte und aktualisierte Auflage. Reprint 2018] 9783486785722, 9783486228182

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Entscheidungsmodelle und lineare Programmierung •• Übungsbuch zur Betriebswirtschaftslehre Von

Professor Dr. Werner Dinkelbach Universität des Saarlandes und

Dr. Ulrich Lorscheider 3., ergänzte und aktualisierte Auflage

R. Oldenbourg Verlag München Wien

Die Deutsche Bibliothek — CIP-Einheitsaufnahme Dinkelbach, Werner: Entscheidungsmodelle und lineare Programmierung : Übungsbuch zur Betriebswirtschaftslehre / von Werner Dinkelbach und Ulrich Lorscheid er. - 3., erg. und aktualisierte Aufl. - München ; Wien : Oldenbourg, 1994 ISBN 3-486-22818-8 NE: Lorscheider, Ulrich:

© 1994 R. Oldenbourg Verlag GmbH, München Das Werk außerhalb lässig und filmungen

einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzustrafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverund die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen.

Gesamtherstellung: Rieder, Schrobenhausen

ISBN 3-486-22818-8

Inhaltsverzeichnis Vorwort zur 3. Auflage

VII

Vorwort zur 1. Auflage

VIII

Verzeichnis einiger Symbole und Abkürzungen

X

Teil I:

1

Entscheidungsmodelle

Erstes Kapitel: Deterministische Entscheidungsmodelle Übung Übung Übung Übung Übung Übung Übung Übung

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

(Bestellmengenproblem) ((nicht-simultane) Investitionsentscheidung) (Rucksackproblem) (Intensitätsmäßige Anpassung) (Optimale Nutzungsdauer) (Produktionsprogrammplanung) (Losfertigung) (Investitionsprogrammplanung)

4 8 12 16 19 24 33 37

Zweites Kapitel: Stochastische Entscheidungsmodelle Übung 2.1 Übung 2.2 Übung 2.3 Übung Übung Übung Übung Übung Übung Übung

(Produktionsprogrammplanung (Variante I)) (Diskrete Produktions- und Lagerhaltungsplanung) (Produktionsprogrammplanung mit stochastischen Deckungsbeiträgen) 2.4 (Stetige Produktions- und Lagerhaltungsplanung) 2.5 (Zwei-Alternativen-Entscheidungsmodell) 2.6 (Entscheidungsmodell bei Unsicherheit) 2.7 (Bestellmengenproblem (Variante I)) 2.8 (Produktions- und Absatzplanung) 2.9 (Produktionsprogrammplanung mit stochastischen Fertigungskapazitäten) 2.10 (Mehrperiodige Produktions-und Lagerhaltungsplanung)

44 48 56 64 69 83 88 93 98 105

Drittes Kapitel: Vektorielle Entscheidungsmodelle Übung Übung Übung Übung Übung Übung Übung Übung Übung Übung

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10

((nicht-simultane) Investitionsentscheidung (Variante I)) (Intensitätsmäßige Anpassung (Variante I)) (Effizienz und andere Grundbegriffe) (Produktions-und Preisplanung) (Portfolio Analyse) (Produktionsprogrammplanung (Variante II)) (Ablaufplanung) (Entscheidungsmodell mit Anspruchsniveau) (Zweipersonen-Nullsummen-Spiel) (Zweipersonen-Nichtnullsummen-Spiel)

115 119 123 128 132 136 145 149 152 156

VI

Inhaltsverzeichnis

Teil II:

Lineare Programmierung

161

Viertes Kapitel: Produktionsplanung Übung Übung Übung Übung Übung Übung Übung Übung Übung Übung

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10

(Produktionsprogrammplanung) (Mischungsproblem) (Alternativkalkulation versus arbeitsgangweise Kalkulation) . . . (Kuppelproduktion mit nichtlinearer Kostenfunktion) (Produktionsprogramm-und Produktionsvollzugsplanung) . . . . (Mehrstufige Produktionsprogrammplanung) (Produktionsvollzugsplanung) (Produktions-, Beschaffungs- und Lagerhaltungsplanung) (Kuppelproduktion mit linearer Kostenfunktion) (Zweistufige Produktions- und Absatzplanung)

167 170 174 182 190 193 201 206 210 213

Fünftes Kapitel: Absatzplanung Übung 5.1 Übung 5.2

(Werbeplanung) (Preisplanung)

221 224

Sechstes Kapitel: Investitions- und Finanzplanung Übung 6.1 Übung Übung Übung Übung Übung Übung Übung Übung Übung

(Einperiodige Investitionsplanung auf der Basis relativer Kapitalwerte) 231 6.2 (Ein- und zweiperiodige Investitionsprogrammplanung) 234 6.3 (Einperiodiges Investitionsproblem eines Immobilienmaklers) . . 238 6.4 (Einperiodige Investitions- und Finanzierungsentscheidung nach DEAN) 240 245 6.5 (Zweiperiodige Investitionsprogrammplanung) 6.6 (Fünfwöchige Finanzplanung) 249 6.7 (Vierperiodige Investitions-und Finanzplanung 254 6.8 (Vierperiodige Finanzplanung) 260 6.9 (Dreiperiodige Investitions- und Finanzplanung) 268 6.10 (Dreiperiodige Investitions-, Finanz- und Produktionsplanung) 273

Anhang

279

Übung A.l

280

Literaturverzeichnis

282

Vorwort zur 3. Auflage Bei der 3. Auflage dieses Übungsbuches haben wir uns auf einige Ergänzungen, Korrekturen und Aktualisierungen beschränkt. Ein zusätzlicher Index rundet den Text ab.

Werner Dinkel bach Ulrich Lorscheider

Vorwort zur 2. Auflage Die Übungen des Teils I "Entscheidungsmodelle" wurden bei Aufrechterhaltung des Gesamtumfangs überarbeitet und geringfügig geändert. Die Übungen des Teils II "Lineare Programmierung" wurden überarbeitet, teilweise erweitert sowie völlig neu gestaltet; so wurden je eine Übung zum Goal Programming und zur simultanen Investitions-, Finanz- und Produktionsplanung in den Text aufgenommen. Weiterhin wurden die Übungen des Teils II durch NUMERISCHE ASPEKTE ergänzt, die u.a. die jeweils optimalen Lösungen sowie gegebenenfalls auch die optimalen Finanzpläne enthalten. Der Teil II ist somit auch für PC-Übungen zur linearen Programmierung geeignet.

Werner Dinkel bach Ulrich Lorscheider

Vorwort zur 1. Auflage Eine b e t r i e b s w i r t s c h a f t l i c h e Ausbildung s o l l t e über eine a u s s c h l i e ß l i c h e Vermittlung von Begriffen und reinen Fakten hinausgehen. Faktenwissen i s t zwar unverzichtbar, muß jedoch durch die Fähigkeit ergänzt werden, Probleme zu erkennen., zu s t r u k t u r i e r e n , zu analysieren und s c h l i e ß l i c h einer Lösung zuzuführen. Fähigkeiten dieser Art werden von der Praxis in immer stärkerem Maße vorausgesetzt. Diesem Aspekt der b e t r i e b s w i r t s c h a f t l i c h e n Ausbildung i s t das vorliegende Übungsbuch gewidmet. Sowohl die Analyse von Entscheidungsmodellen a l s auch die Formulierung l i n e a r e r Programme fördern das Problemverständnis und die F ä h i g k e i t , Lösungsvorschläge für betriebl i c h e Entscheidungsprobleme - gegebenenfalls unter Zuhilfenahme vorhandener Methodensoftware - zu erarbeiten. Im Teil I "Entscheidungsmodelle" stehen allgemeine entscheidungstheoretische Aspekte im Vordergrund. Zunächst werden im ersten Kapitel

"Deterministische

Entscheidungsmodelle" Grundbegriffe der Entscheidungstheorie an unterschiedlichen Beispielen e r l ä u t e r t . Die Erfassung von R i s i k o steht im Mittelpunkt . der Übungen des zweiten Kapitels "Stochastische Entscheidungsmodelle". Gegenstand der Übungen des d r i t t e n Kapitels " V e k t o r i e l l e Entscheidungsmod e l l e " sind Fragen, die s i c h bei Vorliegen mehrerer Ziele in Entscheidungssituationen ergeben, insbesondere die Berücksichtigung von Z i e l k o n f l i k t e n . Fragen der Formulierung von Entscheidungsmodellen spielen im Teil I eine untergeordnete R o l l e ; sie sind das zentrale Thema des T e i l s I I

"Lineare

Programmierung", in dem jedoch auf die erwähnten entscheidungstheoretischen Aspekte nicht eingegangen wird. Am Anfang jeder Übung des T e i l s I I

steht

die Beschreibung eines Entscheidungsproblems aus der betrieblichen Planung, das in ein Entscheidungsmodell, s p e z i e l l in ein lineares Programm, übertragen werden s o l l . Es geht somit schwerpunktmäßig um die Formulierung von linearen Programmen. Die betrieblichen Problemstellungen entstammen jeweils den Funktionsbereichen "Produktionsplanung" ( v i e r t e s K a p i t e l ) ,

"Absatz-

planung" (fünftes Kapitel) sowie " I n v e s t i t i o n s - und Finanzplanung"

(sechstes

Kapitel). Die einzelnen Übungen weisen unterschiedliche Schwierigkeitsgrade auf. Einige Übungen sind sehr einfach, s i e mögen der Motivation dienen; andere sind vergleichsweise schwierig, sie s o l l e n zur Auseinandersetzung herausfordern. Da die Übungen in den einzelnen Kapiteln des Buches nach i n h a l t lichen Gesichtspunkten geordnet sind, folgen Übungen u n t e r s c h i e d l i c h s t e r

Vorwort

IX

Schwierigkeitsgrade aufeinander. Dieser didaktische Nachteil erschien uns im Hinblick auf die damit erreichte größere inhaltliche Geschlossenheit vertretbar.

Die Kenntnis des Stoffes, der heute in Betriebswirtschaftslehre und Mathematik im Rahmen eines wirtschaftswissenschaftlichen Grundstudiums vermittelt wird, sollte beim Leser vorausgesetzt werden können. Im zweiten Kapitel

sind

darüber hinaus Kenntnisse in statistischer Methodenlehre, soweit diese zur wirtschaftswissenschaftlichen Grundausbildung gehören, wünschenswert. nisse in Unternehmensforschung

Kennt-

(Operations Research) werden nicht vorausge-

setzt. Weiterhin ist anzumerken, daß zur Erarbeitung der Übungen des Teils II keine Kenntnisse aus dem zweiten und dritten Kapitel erforderlich sind.

Die Übungen des Teils I "Entscheidungsmodelle" in dem Buch "Entscheidungsmodelle"

basieren überwiegend auf den

(DINKELBACH [1982]) gestellten, dort aber

nicht gelösten Aufgaben; einige der Übungen werden hier erstmals vorgestellt. Die meisten Übungen des Teils II "Lineare Programmierung" gehen auf Aufgaben zurück, die in den letzten Jahren in Lehrveranstaltungen sowie Klausuren im Fachgebiet Betriebswirtschaftslehre, insbesondere

Unternehmensforschung

(Operations Research), an der Universität des Saarlandes besprochen bzw. gestellt wurden.

Für die zahlreichen kritischen Fragen und herausfordernden Anmerkungen sind wir vielen Studierenden zu Dank verbunden, die sich in den von uns abgehaltenen Obungsveranstaltungen zu Themen dieses Buches aktiv beteiligt haben. Danken möchten wir auch den ehemaligen Mitarbeitern im Fachgebiet Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Unternehmensforschung

(Operations Research),

die bei der ursprünglichen Konzeption einiger Aufgaben mitgewirkt haben. Bei der Erstellung dieses Buches haben uns die Herren Dipl.-Kfm. Thomas Brettar, Dipl.-Kfm. Markus Funk, Dipl.-Kfm. Ralf Regnitter und Dipl.-Kfm. Fritz Wengler dankenswerterweise unterstützt. Unser ganz besonderer Dank gilt Frau Karin Hunsicker, die die hier vorgelegte Reinschrift des Manuskripts mit großer Sorgfalt nicht nur geschrieben, sondern auch gestaltet hat.

Werner Dinkel bach Ulrich Lorscheider

Verzeichnis einiger Symbole und Abkürzungen :=

definiert als

fs

ungefähr g l e i c h


)

k l e i n e r a l s (größer a l s )

ä

(i)

nicht größer a l s (nicht k l e i n e r a l s )

£

Element aus

|a|

Absolutbetrag von a

0

leere Menge

flt

Menge der r e e l l e n Zahlen Menge der nichtnegativen r e e l l e n Zahlen

2 flr

Menge der nichtnegativen zweidimensionalen Vektoren

N R^

Menge der nichtnegativen N-dimensionalen Vektoren

11

Menge der natürlichen Zahlen

HQ

Menge der natürlichen Zahlen v e r e i n i g t mit {0}

{0,1 } N

N-faches kartesisches Produkt der Menge {0,1}

(x^.xg)^

Transformation eines Vektors: (x^.xg)^ :=

max (min) max (min)

Man maximiere (man minimiere) "Man maximiere" ("man minimiere") in stochastischen oder v e k t o r i e l l e n Entscheidungsmodellen

FE

Faktoreinheit(en)

FM

Fertigungsminute(n)

GE

Geldeinheit(en)

KE

Kapazitätseinheit(en)

ME

Mengeneinheit(en)

NE

Nutzeneinheit(en)

ZE

Zeiteinheit(en)

Teil I Entscheidungsmodelle

Vorbemerkung zum Teil I Eines der wichtigsten b e t r i e b s w i r t s c h a f t l i c h e n T e i l g e b i e t e i s t die betriebl i c h e Planung. Bei der Durchführung der betrieblichen Planung haben Modelle besondere Bedeutung e r l a n g t , weil mit i h r e r H i l f e die meist komplexen Zusammenhänge eines Planungsproblems transparent gemacht werden können. Während Beschreibungs- und Erklärungsmodelle l e d i g l i c h in der Lage s i n d , gewisse Sachverhalte d a r z u s t e l l e n oder zu e r k l ä r e n , sind Entscheidungsmodelle gee i g n e t , den Planer bei der Entscheidungsfindung zu unterstützen. S i e stehen im Mittelpunkt des T e i l s I dieses Buches. Entscheidungsmodelle l a s s e n s i c h einmal nach der Vollkommenheit der zugrundeliegenden Information e i n t e i l e n . Sind dem Entscheidungsträger a l l e für die Planung relevanten Daten mit S i c h e r h e i t bekannt, so s p r i c h t man von determin i s t i s c h e n Entscheidungsmodellen. Sind hingegen e i n i g e planungsrelevante Daten unbekannt, so l i e g t ein Entscheidungsmodell bei unvollkommener I n f o r mation, s p e z i e l l ein stochastisches Entscheidungsmodell v o r , sofern von Wahrs c h e i n l i c h k e i t s a u s s a g e n über unbekannte Daten ausgegangen werden kann. Ein weiteres E i n t e i l u n g s k r i t e r i u m s t e l l t die Anzahl der im Entscheidungsmodell zu berücksichtigenden Zielfunktionen dar. Bei einer Z i e l f u n k t i o n s p r i c h t man von skalaren Entscheidungsmodellen; enthält ein Entscheidungsmodell mehrere simultan zu berücksichtigende Z i e l f u n k t i o n e n , wird es v e k t o r i e l l

genannt.

Im ersten Kapitel werden a u s s c h l i e ß l i c h d e t e r m i n i s t i s c h e , skalare Entscheidungsmodelle behandelt. Ihrem Einsatz liegen r e l a t i v strenge Prämissen zugrunde. - Gegenstand des zweiten Kapitels sind - von einer Ausnahme abgesehen - stochastische Entscheidungsmodelle, die insbesondere dann Verwendung finden, wenn dem Aspekt der Zukunftsbezogenheit der Planung besondere Bedeutung zukommt. Diesen Entscheidungsmodellen l i e g t hier j e w e i l s eine Z i e l funktion zugrunde. - Das d r i t t e Kapitel enthält Übungsaufgaben zu v e k t o r i e l l e n Entscheidungsmodellen, mit denen z i e l k o n f l i k t ä r e Planungsprobleme e r faßt werden. Vereinfachend wird diesmal - von einer Ausnahme abgesehen - davon ausgegangen, daß a l l e planungsrelevanten Daten sicher s i n d . -

Gegenstand

des T e i l s I dieses Buches sind s p e z i e l l Übungen zu Entscheidungsmodellen, nicht jedoch deren generelle Charakterisierung ( v g l . dazu DINKELBACH [1982]).

Erstes Kapitel Deterministische Entscheidungsmodelle Im Mittelpunkt dieses Kapitels stehen deterministische Entscheidungsmodelle. Unter einem Entscheidungsmodell versteht man eine formale Darstellung eines Entscheidungsproblems, die wenigstens eine Alternativenmenge X und wenigstens eine auf dieser definierte Zielfunktion z enthält. Eine Alternativenmenge schließt dabei alle dem Entscheidungsträger zur Verfügung stehenden, sich gegenseitig ausschließenden Handlungsalternativen ein. Eine Zielfunktion bildet im allgemeinen die Elemente einer Alternativenmenge in die Menge der reellen Zahlen ab. Sie wird überwiegend durch eine Extremierungsvorschrift (Maximierungs- oder Minimierungsvorschrift) ergänzt.

Charakteristisch für das deterministische Entscheidungsmodell

(DEM)

max

(DEM) ist, daß

{z(x) | x € X}

deterministisches Entscheidungsmodel 1 zur Formulierung von X und z nur Koeffizienten verwendet werden, die als bekannt unterstellt werden. Insbesondere werden keine Zufallsvariablen herangezogen. Das deterministische Entscheidungsmodell wird numerisch gelöst, indem man die Zielfunktion z über der Alternativenmenge X maximiert. Es sei noch darauf hingewiesen, daß auch Entscheidungsprobleme mit Minimierungsvorschriften als deterministische Entscheidungsmodelle (DEM) formuliert werden können, weil eine mit -1 multiplizierte, zu minimierende Zielfunktion in eine zu maximierende Zielfunktion umgeformt wird. Im folgenden wird angenommen, daß (DEM) genau eine Zielfunktion besitzt. Eine Alternative x* e X heißt optimal bezüglich (DEM), wenn es kein x e X mit z(x) > z(x*) gibt. Die Menge der optimalen Lösungen von (DEM) ist X*

{x* e X | es gibt kein x e X mit z(x) > z(x*)}.

Alle in diesem Kapitel aufgeführten Übungen korrespondieren zu deterministischen Entscheidungsmodellen mit einer Zielfunktion. Das Maximum der Zielfunktion z existiert jeweils, wenn X f 0, kompakt sowie z stetig auf X ist.

4

Teil I: Entscheidungsmodelle

Ü B U N G

1.1

SCHLÜSSELWORTE ET:

Alternativenmenge, Zielfunktion,

deterministisches

Entscheidungsmodell, optimale Lösung BWL: optimale Bestellmenge, bestellfixe Kosten, Lagerhaltungskosten,

Beschaffungskosten

In der kommenden Planungsperiode, die T = 50 ZE umfaßt, benötigt ein Unternehmen für seine laufende Produktion S = 30 FE eines Produktionsfaktors P, dessen Verbrauch sich gleichmäßig über die Planungsperiode verteilt. Die Beschaffung von P erfolgt über einen Großhändler zu einem Preis von k = 1 GE pro FE, wobei pro Bestellung bestell fixe Kosten in Höhe von a = 14 GE anfallen. Lieferzeiten können vernachlässigt werden. Für die Lagerung von P setzt das Unternehmen Lagerhaltungskosten in Höhe von e = 0,168 GE pro FE und ZE an. - Das Unternehmen ist bei den gegebenen Daten an einer optimalen Beschaffungspolitik interessiert, d.h. an der Ermittlung einer Bestellmenge x*, die die Summe aus Beschaffungs- und Lagerhaltungskosten in der Planungsperiode minimiert.

a) Wie lauten Alternativenmenge und Zielfunktion dieses

Entscheidungspro-

blems, das in der Betriebswirtschaftslehre als Bestellmengenproblem

be-

kannt ist? Wie hoch ist die kostenminimale Bestellmenge? b) Welchen Einfluß haben die bestellfixen Kosten und die Lagerhaltungskosten im Hinblick auf die Zulässigkeit der unter a) gefundenen optimalen Bestellmenge? Welchen Einfluß hat der Preis des Produktionsfaktors P auf das unter a) ermittelte Ergebnis?

LOSUNGSVORSCHLAG a) Eine AIternativenmenge X eines Entscheidungsproblems

ist die Menge der

zum Entscheidungszeitpunkt dem Entscheidungsträger zur Auswahl

stehenden,

sich gegenseitig ausschließenden Handlungsmöglichkeiten. In diesem Entscheidungsproblem ist die Bestellmenge für den Produktionsfaktor P - unter Beachtung einer bestimmten Zielsetzung - festzulegen. Daher bilden alle zulässigen Bestellmengen in ihrer Gesamtheit die Alternativenmenge; nur durch positive Bestellmengen läßt sich ein positiver Faktorbestand sicherstellen, so daß für eine zulässige Alternative (Bestellmenge) x [FE/Bestellung] in jedem Fall x > 0 gelten muß. Bestellmengen von mehr als S FE führen zu einem zu hohen Faktorbestand, der zudem mit unnötigen Lagerkosten verbunden ist. Für die Bestellmenge muß daher x £ S gelten, so daß

5

Erstes Kapitel: Deterministische Entscheidungsmodelle

die Aiternativermenge durch (1.1.1)

X := {x e « | 0 < x < S}

beschrieben werden kann. Dabei i s t eine beliebige Teilbarkeit des Produktionsfaktors P unterstellt. Unter einem Ziel versteht man einen zukünftigen, gegenüber dem gegenwärtigen im allgemeinen veränderten, erstrebenswerten und vom Entscheidungsträger gewollten Zustand (Endzustand). Hier i s t es das Ziel des Entscheidungsträgers, das Kostenoptimum in der B e s t e l l p o l i t i k zu r e a l i sieren. Eine Zielfunktion i s t zusammen mit ihrer Extremierungsvorschrift eine formale Darstellung eines Zieles. In dieser Übung enthält die

Ziel-

funktion zwei Komponenten: die Beschaffungskosten und die Lagerhaltungskosten. Die Beschaffungskosten K ß setzen sich aus dem reinen Bestellwert (Beschaffungspreis • Faktorbedarf) und den Beschaffungsnebenkosten (bes t e l l f i x e Kosten pro Bestellung • Anzahl der Bestellungen) zusammen, d.h. (1.1.2)

K B := k S + a | .

Die Lagerhaltungskosten K^ ergeben sich als Produkt des Lagerkostensatzes und des durchschnittlichen Lagerbestandes. Um den durchschnittlichen Lagerbestand zu bestimmen, betrachte man die Abbildung 1.1.1. Sie enthält eine

T

T 57x

S f r

T 57x

Abbildung 1.1.1 Darstellung des Lagerbestandes in Abhängigkeit der Zeit. Es läßt sich erkennen, daß im Durchschnitt £ [FE] auf Lager liegen. Für die gesamten Lagerhaltungskosten i s t daher (1.1.3)

K L := e | T,

so daß die Zielfunktion lautet:

6

Teil I:

(1.1.4)

Entscheidungsmodelle

z(x) := k S + a £ + e \ T.

Sie umfaßt die Summe der diesem Entscheidungsproblem zuzuordnenden Kosten und ist zu minimieren. Das BestelImengenproblem kann zusammenfassend durch das deterministische Entscheidungsmodel 1 (1.1.5) beschrieben werden. Es handelt sich bei (1.1.5)

(1.1.5)

mit

min

{z(x) | x e X}

X wie in (1.1.1) z(x) wie in (1.1.4)

um ein nichtlineares Programm mit einer Variablen und zwei linearen Nebenbedingungen. Um das freie Minimum der Zielfunktion z(x) bestimmen zu können, wird die erste Ableitung gebildet, (1.1.6)

M i l = .

a S

x" 2

+

e T / 2,

und gleich null gesetzt. Da negative Bestellmengen nicht in Frage kommen, lautet die optimale Lösung bzw. die optimale Bestellmenge (1.1.7)

x* = y ? a S / e T ' , sofern x* e X.

2 2 -3 Da die zweite Ableitung 9 z(x)/ax = 2 a S x für positive Bestellmengen positiv ist, handelt es sich bei der in (1.1.7) angegebenen Lösung in der Tat um die Minimalstelle von z(x). Für die angegebenen Zahlenwerte erhält man (1.1.8)

x* = 10 [FE/Bestellung].

b) Im allgemeinen sind die Zahlenwerte eines Bestellmengenproblems von der Art, daß die optimale Bestellmenge im Sinne von (1.1.7) auch zulässig ist, d.h., daß 0 < x* s S gilt. Bei extrem hohen bestellfixen Kosten oder bei extrem niedrigen Lagerhaltungskosten kann - rein rechnerisch - die optimale Bestellmenge den Bedarf des Produktionsfaktors der Planungsperiode übersteigen. In diesem Falle ist x* = S zu setzen. Bei extrem niedrigen bestellfixen Kosten oder bei extrem hohen Lagerhaltungskosten wird die optimale Bestellmenge im Sinne von (1.1.7) möglicherweise so

Erstes Kapitel: Deterministische

Entscheidungsmodelle

klein, daß eine bestimmte Mindestbestellmenge, die nicht unterschritten werden kann, als optimale Lösung gewählt werden muß. Betrachtet man die erste Ableitung der Zielfunktion in (1.1.6), so stellt man fest, daß der Preis k des Produktionsfaktors P in ihr nicht mehr enthalten und somit für die Bestimmung des Minimums bedeutungslos ist. Dies erklärt sich - ökonomisch gesehen - aus der Tatsache, daß genau S [FE ] benötigt werden - und zwar unabhängig davon, wie groß die jeweilige Bestellmenge ausfällt. ANMERKUNG Das hier untersuchte Bestellmengenproblem ist ein sehr altes Thema der Betriebswirtschaftslehre. Die Beschaffungskosten fallen streng monoton, die Lagerhaltungskosten steigen streng monoton jeweils mit zunehmender Bestellmenge. üblicherweise wird die Summe dieser zwei konkurrierenden Kostenarten minimiert. Nach klassischer marginalanalytischer Vorgehensweise muß für die optimale Bestellmenge gelten, daß die Grenzbeschaffungskosten gleich den Grenzlagerhaltungskosten sind: (1.1.9)

( 3KB(X)/8X = j - a S x " 2 = e T / 2 ( = 8KL(x)/3x

) .

Aus (1.1.9) folgt unmittelbar die optimale Bestellmenge (1.1.7). Die hier betrachtete Bestellmengenproblematik weist dieselbe formale Struktur auf wie das Problem der Bestimmung einer optimalen Losgröße im Produktionsbereich. In diesem Fall wird die Summe aus auflagenfixen Kosten und Lagerhaltungskosten (Kapitalbindungskosten) minimiert. Sofern keine weiteren Nebenbedingungen zu berücksichtigen sind, läßt sich die optimale Bestellmenge - wie in der Literatur allgemein üblich und im obigen Beispiel gezeigt - numerisch leicht bestimmen. Dies ändert sich möglicherweise bei Vorliegen zusätzlicher Nebenbedingungen. Als Beispiel denke man etwa daran, daß die Lagerräume nur Bestellmengen bis zu einer bestimmten Größe zulassen. Auch können Rabattgewährungen das Bestellmengenproblem erheblich komplizieren. In Übung 2.7 wird das hier diskutierte Bestellmengenproblem um eine (stochastische) Nebenbedingung ergänzt.

7

8

Teil I: Entscheidungsmodelle

Ü B U N G

1.2

SCHLÜSSELWORTE ET:

Alternativenmenge, Zielfunktion,

deterministisches

Entscheidungsmodell, optimale Lösung, Menge der optimalen Lösungen BWL: (nicht-simultane) Investitionsentscheidung, Kapitalwert, interner Zinsfuß

Man betrachte sechs voneinander unabhängige Investitionsobjekte I 0 n , die durch folgende Einzahlungsüberschüsse E n t in GE in den Perioden t = 0, t = 1 und t = 2 definiert sind (n = 1.....6):

2

1

E

n0

E

n1

E

n2

-100,00

-100,00

4

5

6

-100,00

-100,00

-100,00

-100,00

70,54

31,64

104,00

112,00

47,20

90,00

10,17

0

1,09 122,00

3

125,44

Der Investor interessiert sich für ein

0

Investitionsobjekt

a) mit maximalem Kapitalwert bei einem Kalkulationszinsfuß von 10 % pro Periode sowie b) m i t maximaler interner Verzinsung. Wie lauten Alternativenmenge, Zielfunktionen und optimale Lösungen der entsprechenden

Entscheidungsmodelle?

LÖSUNGSVORSCHLAG

a) Dem Investor stehen sechs voneinander unabhängige

Investitionsobjekte

I0^,...,I0g zur Verfügung, von denen genau eines realisiert werden kann und soll. Jedes einzelne Objekt stellt somit für sich eine

(zulässige)

Alternative dar, so daß die Alternativenmenge durch

(1.2.1)

X' := {I0 1

10 6 }

beschrieben werden kann. Identifiziert man die natürlichen Zahlen m i t den Investitionsobjekten menge auch durch

1,...,6

so läßt sich die Alternativen-

Erstes Kapitel: Deterministische Entscheidungsmodelle

(1.2.2)

X := {n e II | n < 6} = {1,2,3,4,5,6}

beschreiben. Ziel des Entscheidungsträgers i s t , das Investitionsobjekt mit maximalem Kapitalwert bei einem Kalkulationszinsfuß von 10 % pro Periode zu r e a l i sieren. Daher bietet es sich an, die Zielfunktion z ^ n ) durch den Kapitalwert eines Objektes zu beschreiben: (1-2-3)

z,(n) : - E „ 0

+

1.1-1 ^

+

, ,-2

^

Um die optimale Lösung des resultierenden deterministischen Entscheidungsmodells (1.2.4) bestimmen zu können, müssen zunächst die Z i e l -

(1.2.4) mit

max

{ z ^ n ) | n e X}

X wie in (1.2.2) z,(n) wie in (1.2.3)

funktionswerte a l l e r Alternativen errechnet werden. Dies wird beispielhaft für n = 1 vorgeführt: (1.2.5)

z,(1) = e 1 0 + i . r 1 e1 1 + 1,1" 2 e 1 2 = -100,00 + 1 , r 1

• 1,09 + 1 , r 2 • 122,00

= 1,82. Tabelle 1.2.1 enthält die Ziel funktionswerte z.(n) a l l e r Alternativen.

n

1

2

3

4

5

6

2,(11)

1,82

3,67

3,14

3,14

2,95

1,82

Tabelle 1.2.1 Die zweite Alternative (n* = 2) weist den höchsten Zielfunktionswert auf, d.h., sie führt zu einem maximalen Kapitalwert bei einem Kalkulationszinsfuß von 10 % pro Periode. Daher i s t sie optimale Lösung von (1.2.4). Keine andere Alternative besitzt einen gleich großen Kapitalwert, so daß die Menge der optimalen Lösungen von (1.2.4), X*, ein-

9

10

Teil I:

Entscheidungsmodelle

elementig i s t : (1.2.6)

X* := {n* e X | es g i b t kein n e X mit z , ( n ) > z ^ n * ) } = { 2 } .

b) Die Alternativenmenge b l e i b t gegenüber Teil a) unverändert, z 2 ( n ) bezeichnet im folgenden die - zu maximierende - interne Verzinsung, d.h. den K a l k u l a t i o n s z i n s f u ß , für den s i c h gerade ein Kapitalwert von null bezüglich des betrachteten I n v e s t i t i o n s o b j e k t e s e r g i b t . Die Z i e l f u n k t i o n Zg(n) kann somit aus folgender Bestimmungsgleichung e r m i t t e l t werden: (1.2.7)

E n 0 + ( 1 + z 2 ( n ) ) - 1 E n 1 + ( U z 2 ( n ) ) " 2 E p 2 = 0.

Durch Umformung von (1.2.7) e r h ä l t man (1.2.8)

( 1 + z 2 ( n ) ) 2 E n ( ) + ( 1 + z 2 ( n ) ) E p 1 + E n 2 = 0 und

(1.2.9)

(1+zp(n))2

+ ( 1 + Z („)) l ü l c nO

i

+

fn£ = 0 nO

(n=1,...,6).

(1.2.9) i s t eine quadratische Gleichung in Normalform und b e s i t z t die Lösungen

(1.2.10)

1

+

n1 z , ( n )' = - EPF

'

n0

I

?

Ii «So

-

4 E

" ° ?E 4E

n 2

no

bzw. (1.2.11)

zJ n) 2

E

„ , 1

E 2

"

2 n1 " E

4E

n0

' nO E „9 - — — —

1

(n = 1 , . . . ,6).

Zu jeder A l t e r n a t i v e i s t nur eine interne Verzinsung s i n n v o l l

interpre-

t i e r b a r , und zwar diejenige mit Zg(n) ä 0. S i e e r g i b t s i c h aus ( 1 . 2 . 1 1 ) , indem das Pluszeichen vor der Wurzel b e r ü c k s i c h t i g t wird. Nur dieser Fall wird im folgenden weiter v e r f o l g t . Ein dieser Problemstellung zugehöriges deterministisches

Entscheidungs-

model 1 i s t in (1.2.12) zusammengefaßt. Tabelle 1.2.2 enthält die Z i e l -

(1.2.12)

mit

max

(z2(n)

| n e X)

X wie in (1.2.2) z 2 ( n ) wie in (1.2.11)

Erstes Kapitel: Deterministische Entscheidungsmodelle

11

funktionswerte z , ( n ) a l l e r A l t e r n a t i v e n .

n z2(n)

1 0,11

2 0,12

3 0,125

4 0,12

5 0,13

6 0,12

Tabelle 1.2.2 Die A l t e r n a t i v e n* = 5 weist die maximale interne Verzinsung auf und i s t daher optimale Lösung von ( 1 . 2 . 1 2 ) . Die Menge der optimalen Lösungen von ( 1 . 2 . 1 2 ) , X * , lautet: (1.2.13)

X* := {n* e X | es g i b t kein n e X mit z 2 ( n ) > z 2 ( n * ) } = { 5 } .

ANMERKUNG Das Entscheidungsproblem besteht - wie in der nicht-simultanen

Investi-

tionsrechnung üblich - d a r i n , aus einer endlichen Menge von I n v e s t i t i o n s objekten ein bestimmtes Objekt auszuwählen und gegebenenfalls zu r e a l i s i e r e n . Die b e t r i e b s w i r t s c h a f t l i c h e Investitionsrechnung hat s i c h lange und i n t e n s i v um ein r i c h t i g e s Auswahlkriterium bemüht, d.h. um eine geeignete Z i e l f u n k t i o n zur Lösung dieses Entscheidungsproblems. Zwei besonders häufig zu findende K r i t e r i e n sind der Kapitalwert sowie der interne Z i n s f u ß , wobei man - wie auch in dieser Obung - sowohl die Maximierung des Kapitalwertes a l s auch die des internen Zinsfußes ans t r e b t . Beide K r i t e r i e n führen i n f o l g e u n t e r s c h i e d l i c h e r Voraussetzungen nicht zwingend zur selben optimalen Lösung, wie das obige B e i s p i e l

zeigt.

Beide K r i t e r i e n konkurrieren in dem Sinne miteinander, daß das I n v e s t i tionsobjekt mit maximalem Kapitalwert durch einen vergleichsweise geringen internen Zinsfuß gekennzeichnet i s t und daß das I n v e s t i t i o n s objekt mit maximalem internem Zinsfuß nur einen vergleichsweise geringen Kapitalwert aufweist. In Obung 3.1 wird diese s p e z i e l l e Problematik erneut a u f g e g r i f f e n und v e r t i e f t .

12

Teil I: Entscheidungsmodelle

Ü B U N G

1.3

SCHLÜSSELWORTE ET:

Alternativenmenge, Zielfunktion,

deterministisches

Entscheidungsmodell BWL: Investitionsprogrammentscheidung,

LORIE-SAVAGE-Modell,

Kapitalwert, Rucksackproblem

a) Von N wünschenswerten, voneinander unabhängigen Investitionsobjekten kann ein Investor aufgrund des beschränkten Investitionsbudgets in Höhe von a^ GE nur eine Auswahl durchführen. Jedes Investitionsobjekt, das unteilbar ist und höchstens einmal durchgeführt werden kann, ist durch eine Auszahlung in Höhe von a n GE im Investitionszeitpunkt und durch einen Kapitalwert in Höhe von c n GE sämtlicher Einzahlungsüberschüsse gekennzeichnet. Von Interesse ist ein Investitionsprogramm, das bei den gegebenen Beschränkungen zu einem maximalen Gesamtkapitalwert führt (n = 1,...,N).

b) Ein Flugreisender kann im allgemeinen aufgrund geltender Bestimmungen nur Gepäck

bis zu einem zulässigen Höchstgewicht von a^ kg mitnehmen. Wiegen die

N verschiedenen, als nicht teilbar angenommenen Gegenstände, die der Flugreisende mitnehmen möchte, zusammen mehr als a^ kg, dann muß er unter ihnen eine Auswahl treffen, wobei unterstellt wird, daß jeder Gegenstand höchstens einmal von ihm ausgewählt wird. Der n-te Gegenstand wiege a n kg (n = 1,...,N). Es wird davon ausgegangen, daß der Flugreisende jedem der N Gegenstände einen Nutzenindex c n in NE zuordnen kann (n = 1,...,N). Er ist bestrebt, seine Auswahl so zu treffen, daß dabei die Summe der Nutzenindizes unter Beachtung der Gewichtshöchstgrenze möglichst groß wird.

Man formuliere für beide Entscheidungsprobleme Alternativenmengen und Zielfunktionen.

LOSUNGSVORSCHLAG a) Der Investor hat mehrere Möglichkeiten, die Alternativen seines Entscheidungsproblems zu beschreiben. Er kann beispielsweise alle denkbaren Investitionsprogramme, d.h. alle Kombinationen, bestehend aus ein, zwei, drei, ...,N der gegebenen Investitionsobjekte, aufschreiben, deren Zulässigkeit prüfen und dann eine Liste aller zulässigen Investitionsprogramme erstellen. Diese Vorgehensweise wäre allein deshalb sehr mühsam, weil eine derartige Liste sehr umfangreich sein kann. Eine andere Möglichkeit besteht darin, für jedes

Erstes Kapitel: Deterministische

13

Entscheidungsmodelle

I n v e s t i t i o n s o b j e k t eine Variable einzuführen, die a n g i b t , ob dieses Objekt r e a l i s i e r t werden s o l l oder n i c h t . So könnte etwa die Variable x n genau dann den Wert 1 annehmen, wenn das n-te Objekt r e a l i s i e r t werden s o l l , und genau dann den Wert 0, wenn das n-te Objekt nicht r e a l i s i e r t werden s o l l , d.h.

x

n

1

f a l l s das n-te I n v e s t i t i o n s o b j e k t r e a l i s i e r t werden s o l l

0

sonst

(n = 1 , . . . ,N). T

Ein Investitionsprogramm kann dann durch das N-Tupel ( x ^ , . . . ^ )

N e {0,1}

beschrieben werden. Es i s t genau dann z u l ä s s i g , wenn (1.3.1)

a 1 x 1 + . . . + a N x N < aQ

g i l t . Ein a p wird nur dann zur Summe hinzugenommen, wenn x n = 1 i s t ; für x

= 0 g i l t a x = 0, so daß in diesem F a l l das I n v e s t i t i o n s b u d g e t nicht n n n beansprucht wird. Die Ungleichung (1.3.1) s o r g t mithin dafür, daß die

Summe der Auszahlungen der zu r e a l i s i e r e n d e n I n v e s t i t i o n s o b j e k t e das I n vestitionsbudget nicht ü b e r s t e i g t . Die Alternativenmenge des I n v e s t o r s läßt s i c h damit durch (1.3.2)

X := j ( x r . . . , x N ) T £ {0,1} N '

3lx,

+

...

+

a N x N s aQ

beschreiben. Die Z i e l f u n k t i o n hat die Summe der Kapitalwerte derjenigen

Investitions-

objekte zu enthalten, die r e a l i s i e r t werden s o l l e n , d . h . , für die x n = 1 g i l t . S o l l ein bestimmtes Objekt nicht r e a l i s i e r t werden, muß der entsprechende Beitrag zur Z i e l f u n k t i o n null s e i n , was durch x n = 0 s i c h e r g e s t e l l t wird. Diese Überlegungen führen zu folgender Z i e l f u n k t i o n : (1.3.3)

z(x1,...,xN)

c1x1 + ... +

c ^ .

Das formulierte Investitionsentscheidungsproblem kann nunmehr durch das deterministische Entscheidungsmodel 1 ( 1 . 3 . 4 ) beschrieben werden, wobei

(1.3.4)

mit

max { z ( x 1 , . . . , x N )

| (x.j,... , x N ) T e X}

X wie in (1.3.2) z(x.j,... .x^) wie in (1.3.3)

14

Teil I:

Entscheidungsmodelle

die in der Alternativenmenge und in der Z i e l f u n k t i o n ausgewiesenen Symbole folgende Bedeutung haben: a^

Investitionsbudget in GE,

an

Auszahlung des n-ten I n v e s t i t i o n s o b j e k t e s

cp

Kapitalwert des n-ten I n v e s t i t i o n s o b j e k t e s in GE (n = 1 , . . . , N ) ,

N

Anzahl der verfügbaren

in GE (n = 1

N),

Investitionsobjekte.

ANMERKUNG 1 Der Aufgabe dieser Übung l i e g t eine ganz bestimmte Struktur zugrunde, die auch unter der Bezeichnung "Rucksackproblem" bekannt i s t , durch das e i n s p e z i e l l e s kombinatorisches Optimierungsproblem in Form eines ganzzahligen linearen Programms mit ( 0 , 1 ) - V a r i a b l e n beschrieben wird. Der Name Rucksackproblem i s t auf die ursprüngliche I n t e r p r e t a t i o n des Entscheidungst r ä g e r s a l s Bergsteiger oder Wanderer zurückzuführen. Rucksackprobleme lassen s i c h nur mit s p e z i e l l e n Verfahren des Operations Research numerisch lösen, die hier nicht vorausgesetzt werden. Daher finden in dieser Übung nur allgemeine Symbole und keine numerischen Werte Verwendung. In diesem Sinne f e h l t auch die Frage nach der optimalen Lösung. - Für das Rucksackproblem e x i s t i e r e n zahlreiche Anwendungen, was durch den folgenden Teil b) verdeutlicht wird. Darüber hinaus i s t das Rucksackproblem Ausgangspunkt für umfassendere Modelle der b e t r i e b s w i r t s c h a f t l i c h e n

Investitions-

rechnung, was in Übung 6.2a a u s f ü h r l i c h gezeigt wird. b) Oberdenkt man nunmehr das Entscheidungsproblem des Flugreisenden, dann wird unmittelbar d e u t l i c h , daß es s i c h hierbei um die gleiche formale Struktur handelt, was zu folgender V a r i a b l e n d e f i n i t i o n f ü h r t :

{

1

f a l l s der n-te Gegenstand mitgenommen werden s o l 1

0

sonst

(n = 1 , . . . , N ) .

Alternativenmenge und Z i e l f u n k t i o n werden wie in (1.3.2) bzw. (1.3.3) d e f i n i e r t , wobei die dort verwendeten Symbole diesmal folgende Bedeutung haben: aQ

z u l ä s s i g e s Höchstgewicht in kg,

an

Gewicht des n-ten Gegenstandes in kg (n = 1 , . . . , N ) ,

c

Nutzen des n-ten Gegenstandes in NE

n

N

Anzahl der verfügbaren Gegenstände.

(n = 1 . . . . . N ) ,

Erstes Kapitel: Deterministische Entscheidungsmodelle

15

ANMERKUNG 2 Um einen Eindruck von der Komplexität von Rucksackproblemen im H i n b l i c k auf deren numerische L ö s b a r k e i t zu gewinnen, versuche man das Entscheidungsmodell

( 1 . 3 . 4 ) f ü r d i e nachfolgenden Werte durch Probieren numerisch zu l ö s e n .

Es s e i e n N = 5, a n = 20 und

n

1

2

3

4

5

c

n

6

8

5

7

9

a

n

4

6

7

5

8

Welche

I n v e s t i t i o n s o b j e k t e s i n d zu r e a l i s i e r e n ? Welche Gegenstände s i n d

mitzunehmen? Hinweis: Der maximale Wert der Z i e l f u n k t i o n i s t 24.

16

Teil I:

Ü B U N G

Entscheidungsmodelle

IM

SCHLÜSSELWORTE ET:

A l t e r n a t i v e n m e n g e , Zielfunktion,

deterministisches

Entscheidungsmodell, optimale L ö s u n g , Menge der optimalen L ö s u n g e n BWL: P r o d u k t i o n s - und K o s t e n t h e o r i e , Anpassung,

intensitätsmäßige

Verbrauchsfunktion

In einem Produktionsprozeß kann eine Maschine zur Erzeugung einer bestimmten Menge des Produktes SIGMA ohne zeitliche Beschränkung intensitätsmäßig angepaßt werden. Die Intensität d, d.h. die pro Zeiteinheit herstellbare Menge von SIGMA, kann zwischen d . = 1 0 und d =30 min max variieren. Der Verbrauch a^ bzw. a^ zweier Produktionsfaktoren zur Herstellung von SIGMA ist von der gewählten Intensität abhängig und wird durch folgende Verbrauchsfunktionen beschrieben: a ^ d ) :=

d2 - d

+ 1 0 [FE^/ME]

bzw.

a 2 (d) : = -

d 2 + 8 [FE^/ME].

Wie lauten Alternativenmenge und Zielfunktion dieses Entscheidungsproblems, wenn der erste Produktionsfaktor p^ = 4 GE/FE^ und der zweite p^ = 12 GE/FE2 kostet und eine optimale (= stückkostenoptimale) Intensität gesucht wird? Wie hoch ist diese, wenn Intensitätssplitting ausgeschlossen ist? LOSUNGSVORSCHLAG Der Entscheidungsträger hat die Intensität d festzulegen, die zwischen d . = 1 0 und d = 3 0 variieren kann. Das legt die folgende formale min max Beschreibung der AIternativenmenge X nahe: (1.4.1)

X := {d e R | 10 s d s 30} .

Die Dimension der Intensität ist ME/ZE. Ziel des Entscheidungsträgers ist die Realisierung der stückkostenminimalen Intensität. Bekannt sind die Verbrauchsfunktionen a^(d) und a^id), die den mengenmäßigen Verbrauch der Produktionsfaktoren je produzierter Mengeneinheit SIGMA angeben, sowie die Faktorpreise p 1 und p 2 - Die Faktorkosten zur Fertigung einer Einheit SIGMA, die zugleich die Zielfunktion z(d) darstellen, betragen

17

Erstes Kapitel: Deterministische Entscheidungsmodelle

(1.4.2)

z(d) := a 1 (d3 • P, + a 2 ( d ) • p 2 d 2 -d+10) • 4 + ( - ^

=

d 2 +8) • 12

= 0,08d 2 - 4d + 136. Um die Dimension von z zu überprüfen, werden die Dimensionen von a^ und p. bzw. a - und p„ m u l t i p l i z i e r t und anschließend addiert. Es e r g i b t s i c h FE

GE

1 *

FE

+

'

1

FE2 ME

GE FE2J

GE ME

Mit der Z i e l f u n k t i o n z(d) wird somit die Summe der Faktorkosten pro Mengeneinheit SIGMA minimiert. Das zugehörige determini stisehe Entscheidungsmode11 kann nunmehr durch (1.4.4) beschrieben werden. Zur Bestimmung der stückkostenminimalen

(1.4.4)

mit

min

{z(d)

In-

| d e X}

X wie in (1.4.1) z(d) wie in (1.4.2)

t e n s i t ä t d* wird zunächst das f r e i e Minimum der Z i e l f u n k t i o n z(d) bestimmt und anschließend geprüft, ob diese I n t e n s i t ä t z u l ä s s i g i s t . Es ist (1.4.5)

ad

= 0,16 d - 4.

Setzt man diese erste Ableitung g l e i c h n u l l , so e r g i b t s i c h d* = 25 a l s f r e i e s Minimum, welches z u l ä s s i g i s t . Da bei d* = 25 die zweite Ableitung der Z i e l f u n k t i o n z(d) p o s i t i v i s t , s t e l l t d* = 25 die optimale Lösung von (1.4.4) dar. Die Menge der optimalen Lösungen von (1.4.4) lautet folglich (1.4.6)

X*

{d* e X | es gibt kein d £ X mit z(d) < z ( d * ) } = { 2 5 } .

Der Ziel funktionswert der optimalen Lösung beträgt z(25) = 86 GE. ANMERKUNG Die intensitätsmäßige Anpassung i s t wesentlicher Bestandteil der b e t r i e b s w i r t s c h a f t l i c h e n Produktions- und Kostentheorie, wie s i e von GUTENBERG 1951 in seinen "Grundlagen der B e t r i e b s w i r t s c h a f t s l e h r e " entwickelt wurde.

18

Teil I: Entscheidungsmodelle

Viele Produktionsprozesse sind durch substituierbare Produktionsfaktoren in dem Sinne gekennzeichnet, daß ein und dieselbe Produktionsmenge von verschiedenen - miteinander konkurrierenden - Produktionsfaktorkombinationen hergeg e s t e l l t werden kann. Eine derartige Situation l i e g t auch dieser Übung zugrunde, wobei allerdings der konkurrierende Aspekt der Produktionsfaktoren durch Rückgriff auf die Faktorpreise und die Minimierung der Kosten des Faktoreinsatzes verdeckt wird. In Übung 3.2 wird l e d i g l i c h auf den mengenmäßigen Verbrauch Bezug genommen und das konkurrierende Element dieses Entscheidungsproblems in den Vordergrund gerückt.

Erstes Kapitel: Deterministische Entscheidungsmodelle

Ü B U N G

19

1.5

SCHLÜSSELWORTE ET:

Alternativenmenge, Zielfunktion,

Extremierungsziel,

Satisfizierungsziel, deterministisches

Entscheidungs-

modell, optimale Lösung, Menge der optimalen Lösungen, Sensitivitatsanalyse BWL: Investitionsentscheidung, optimale

Nutzungsdauer,

Kapitalwert

Für ein Investitionsobjekt mit einem Anschaffungspreis von A Q = 6.000 GE, der im Falle der Realisierung dieses Objekts zu Beginn der ersten Periode zu zahlen ist, wird geschätzt, daß jeweils am Ende der t-ten Periode ein Einzahlungsüberschuß von E^. GE und bei Verkauf des Objekts ein Liquidationserlös von L t GE zu erzielen ist. Die numerischen Werte von E^ und l_t sind in der folgenden Tabelle zusammengefaßt. Das Entscheidungsproblem

t

E

t

L

t

besteht

1

2

3

1.400

1.300

1.200

300

200

100

5.100

4.800

4.500

1.800

1.500

1.200

12

13

14

darin, anhand der gegebenen Daten eine optimale Nutzungsdauer zu bestimmen, d.h. eine Nutzungsdauer, bei der der Kapitalwert der gegebenen Ein- und Auszahlungen einen maximalen Wert annimmt, wobei davon ausgegangen wird, daß das Investitionsobjekt 14 Perioden technisch nutzbar ist und nach Ablauf der Nutzungsdauer nicht ersetzt wird. Der Kalkulationszinssatz

beträgt

r = 0,08.

a) Man formuliere zunächst die Alternativenmenge. Wie könnte eine Zielfunktion lauten, wenn der Entscheidungsträger den Kapitalwert g maximieren will? Wie lautet die optimale Lösung? b) In welchen Grenzen kann der Anschaffungspreis Ag schwanken, ohne daß sich die optimale Lösung ändert? c) Wie könnte eine Zielfunktion lauten, wenn der Entscheidungsträger mit einer Alternative zufrieden ist, die zu einem Kapitalwert von mindestens g = 1.820 GE führt? Welche Alternative(n) ist (sind) bezüglich dieser Zielsetzung optimal?

20

Teil I:

Entscheidungsmodelle

LÖSUNGSVORSCHLAG a) Das Entscheidungsproblem besteht in der Wahl der Nutzungsdauer, so daß es nahel iegt, die AIterndtivenrnenge wie folgt zu definieren: (1.5.1)

X := {x e Hl0 | x < 14} = {0,1,2,. ..,14}.

x bezeichnet die Nutzungsdauer, d.h. das Ende der letzten Periode, in der das Investitionsobjekt noch genutzt werden s o l l . Eine Liquidation während einer Periode i s t demnach ausgeschlossen, x = 0 bedeutet, daß die Realisierung des Investitionsobjektes unterlassen wird. Der Kapitalwert g(x) des Investitionsobjektes bei einer Nutzungsdauer von x Perioden läßt sich für x > 0 gemäß (1.5.2)

g(x) :=

x I Et t=1

t

(1+0,08) _l: + L v (1+0,08)" x - A n x

u

bestimmen. Für x = 0 g i l t g(x) = 0, weil für den Entscheidungsträger weder Ein- und Auszahlungen anfallen. Möchte der Investor den Kapitalwert g(x) seiner Investition maximieren, so verwendet er die Zielfunktion (1.5.3)

z(x) :=

{ 9(x)

für

x

>

0

Es handelt sich hier um ein Extremierungsziel. Zusammenfassend ergibt sich das deterministische Entscheidungsmodel 1 (1.5.4). Zur Bestimmung einer optimalen Lösung von (1.5.4) müssen zu-

(1.5.4)

mit

max

iz(x) | x e X}

X wie in (1.5.1) z(x) wie in (1.5.3)

nächst die Kapitalwerte für alle Alternativen numerisch ermittelt werden. Beispielhaft wird hier g(4) ausführlich berechnet, indem die entsprechenden Zahlenwerte in (1.5.3) eingesetzt werden:

Erstes Kapitel: Deterministische Entscheidungsmodelle

g(4) = 1.400 . 1,08~ 1 + 1.300 • 1,08~ 2 + 1.200 • 1,08~ 3

(1.5.5)

+1.100 • 1 , 0 8 " 4 + 4.200 • 1 , 0 8 " 4 - 6.000 = 1.296,30 + 1.114,54 + 952,60 + 3.895,66 - 6.000 « 1.259 .

Tabelle 1.5.1 enthält die Kapitalwerte a l l e r

Alternativen.

X

0

1

2

3

4

5

6

7

g(x)

0

19

526

936

1.259

1.507

1.688

1.812

8

9

10

11

1.886

1.916

1.908

1.869

12 1.802

13

14

1.712

1.603

Tabelle 1.5.1 O f f e n s i c h t l i c h i s t x* = 9 die optimale Nutzungsdauer (optimale Lösung) f ü r das betrachtete

Investitionsobjekt.

b) Um f e s t s t e l l e n zu können, in welchen Grenzen Ag schwanken kann, ohne daß x * = 9 die Optimalität v e r l i e r t , empfiehlt es s i c h , die Z i e l f u n k t i o n s werte a l l e r A l t e r n a t i v e n in Abhängigkeit von AQ d a r z u s t e l l e n

(Sensitivi-

t ä t s a n a l y s e ) ; s i e s i n d in Tabelle 1.5.2 zusammengestellt.

X

0

1

2

3

z(x;AQ)

0

6.019-A q

6.526-Aq

6.936-A Q

8 ....

9

7.886-AQ

7.916-A q

10

14

7.908-Aq

7.603-Ag

Tabelle 1.5.2 Betrachtet man nur diejenigen A l t e r n a t i v e n , die eine R e a l i s a t i o n des I n v e s t i t i o n s o b j e k t e s erfordern, so kann x* = 9 seine Optimalität nicht v e r l i e r e n , weil eine Veränderung von Ag - unabhängig davon, in welcher Höhe s i e e r f o l g t - auf die Zielfunktionswerte a l l e r A l t e r n a t i v e n in g l e i c h e r Weise durchschlägt. Betrachtet man jedoch die

"Unterlassungs-

21

Teil I: Entscheidungsmodelle

22

alternative" x = 0, so ist deren Zielfunktionswert unabhängig von A Q . Die Alternative x* = 9 verliert folglich genau dann ihre Optimalität, wenn (1.5.6)

z(9;A Q ) < z(0;A Q ),

d.h., wenn (1.5.7)

7.916 - A Q < 0

gilt. Diese Ungleichung ist erfüllt, wenn Ag > 7.916 ist, d.h., solange 0 s AQ s 7.916 gilt, ist x* = 9 die optimale Nutzungsdauer. Bei einem Anschaffungspreis von mehr als 7.916 GE ist die Investition unter den hier betrachteten Voraussetzungen nicht sinnvoll, ihr Kapitalwert wäre negativ. c) Der Investor ist jetzt nicht mehr an der Maximierung des Kapitalwertes, sondern an der Erreichung eines Mindestkapitalwertes interessiert (Satisfizierungsziel). Er bewertet alle Alternativen mit g(x) a 1.820 gleich und außerdem höher als alle Alternativen mit g(x) < 1.820, die ihrerseits untereinander wieder gleichwertig sind. Gesucht ist eine Zielfunktion z(x), die diesen Vorstellungen des Investors Rechnung trägt. Hier wird vorgeschlagen, allen Alternativen x e X mit g(x) s 1.820 den Zielfunktionswert 1 und allen Alternativen x e X mit g(x) < 1.820 den Zielfunktionswert 0 zuzuordnen, d.h. (1.5.8)

z(x) :=

| 1

1

0

g(x)* sonst

1.820

Ein zu diesem Investitionsproblem gehörendes deterministisches Entscheidungsmodell ist in (1.5.9) zusammengefaßt. Die Alternativen x = 8, x = 9,

(1.5.9)

mit

max

{z(x) | x e X}

X wie in (1.5.1) z(x) wie in (1.5.8)

x = 10 und x = 11 führen zu einem Zielfunktionswert von 1, alle anderen zu einem Zielfunktionswert von 0. Die Menge der optimalen Lösungen von (1.5.9) ist daher (1.5.10)

X* := {x* e X | es existiert kein x £ X mit z(x) > z(x*)} = {8,9,10,11}.

Erstes Kapitel: Deterministische Entscheidungsmodelle

ANMERKUNG Die Diskussion der optimalen Nutzungsdauer ist fester Bestandteil der betriebswirtschaftlichen Investitionsrechnung und wird unter relativ restriktiven Voraussetzungen - so wie auch in dieser Übung - geführt. Manchmal wird zu ihrer Ermittlung die Differenzenrechnung herangezogen und wie folgt argumentiert: Die Nutzungsdauer ist so lange nicht optimal, wie bei einer Erhöhung um eine Periode der nächste EinzahlungsüberschuB die Verminderung des Liquidationserlöses zusammen mit der Verzinsung des jetzigen Liquidationserlöses Ubersteigt. Dies führt zu folgendem Optimalitätskriterium: Man suche die größte ganze Zahl x, für die gilt 1

i -5-11'

E

x " < L x-1 - L x> -

rL

x-1 >

Vielfach wird in der betriebswirtschaftlichen Literatur die optimale Nutzungsdauer bei stetigen Einzahlungsüberschußfunktionen und damit auch bei stetiger Verzinsung analysiert, was eine Anwendung der klassischen Marginalanalyse erlaubt.

23

24

Teil I: Entscheidungsmodelle

Ü B U N G

1.6

SCHLÜSSELWORTE ET:

Alternativenmenge, Zielfunktion,

Extremierungsziel,

Approximierungsziel, deterministisches

Entscheidungs-

modell, optimale Lösung, Menge der optimalen Lösungen, Sensitivitätsanalyse BWL: Produktionsprogrammplanung, Absatzplanung, Deckungsbeitragsmaximierung

Ein Unternehmen stellt Konserven in 1-kg- und 2-kg-Dosen her. Es wird davon ausgegangen, daß nur in M E zu je 100 1-kg-Dosen bzw. zu je 100 2-kgDosen produziert und verkauft werden kann. - Auf einer

Produktionsanlage,

auf der gekaufte Bleche zu verkaufsfertigen Dosen verarbeitet werden und die pro Woche 70 Stunden in Betrieb sein kann, dauert die Fertigstellung einer ME gleich welcher Größe 1 Stunde. - Von dem Erzeugnis, welches ohne Abfälle in die Dosen gefüllt wird, können bis zu 10.000 kg pro Woche bereitgestellt werden. - Die Verkaufsabteilung

kann pro Woche höchstens 60 M E

1-kg-Dosen und höchstens 40 ME 2-kg-Dosen absetzen. Der Deckungsbeitrag beträgt bei der 1-kg-Dose a Q 1

= 2 GE/ME und bei der 2-kg-Dose a Q 2 = 3 GE/ME.

Der Gesamtdeckungsbeitrag pro Woche ist zu maximieren.

a) Man formuliere zunächst die Alternativenmenge. Wie könnte eine Zielfunktion lauten? Man ermittle anhand einer Abbildung die optimale(n) Lösung(en). b) Im Rahmen einer direkten Sensitivitätsanalyse untersuche man, wie sich bei Fortfall der zwei Absatzbeschränkungen Schwankungen des Deckungsbeitrages für die 2-kg-Dosen auswirken. Ab welchem

Deckungsbeitrag

ist auf die Produktion von 2-kg-Dosen zu verzichten, bzw. ab welchem Deckungsbeitrag a ^

wird die Herstellung von 1-kg-Dosen ein-

gestellt? Man argumentiere anhand einer Zeichnung. c) Die Verkaufserwartungen haben sich verschlechtert. Die Verkaufsabteilung rechnet damit, daß der Absatz bei den 1-kg-Dosen wie auch bei den 2-kg-Dosen pro Woche um 1 ME zurückgehen wird. Im Rahmen einer parametrischen Sensitivitätsanalyse betrachte man zeichnerisch die Auswirkungen der veränderten Absatzsituation. Nach wieviel

Wochen

wird das Unternehmen seine Produktion einstellen, wenn ein Gesamtdeckungsbeitrag von z

= 90 GE nicht unterschritten werden darf?

d) Wie könnte eine Zielfunktion lauten, wenn das Unternehmen einen "geplanten" Gesamtdeckungsbeitrag von g = 140 GE möglichst exakt zu erreichen bestrebt ist? Welche Alternative(n) ist (sind) bezüglich dieser Zielsetzung optimal?

Erstes Kapitel: Deterministische

25

Entscheidungsmodelle

LÖSUNGSVORSCHLAG a) Jedes Produktionsprogramm, d.h. jede Kombination von 1 - kg- und 2 - k g Dosen, die in der beschriebenen S i t u a t i o n g e f e r t i g t und abgesetzt werden kann, i s t eine z u l ä s s i g e A l t e r n a t i v e . Bezeichnet man mit x^ die Anzahl der zu fertigenden und abzusetzenden 1-kg-Dosen ( i n 100 Stück) und mit x 2 die Anzahl der zu fertigenden und abzusetzenden 2-kg-Dosen (ebenfalls in 100 Stück), so läßt s i c h folgende AIternativenmenge formulieren: x1 +

x2 S

70

x 1 + 2X 2 S 100 (1.6.1)

X :=

J

( M e K f

Xj

s x2 S

60 l 40

Die ersten beiden Restriktionen ergeben s i c h aus der Tatsache, daß die Fertigungskapazitäten begrenzt s i n d . Dabei i s t zu beachten, daß in die 1-kg-Dosen genau 1 kg und in die 2-kg-Dosen genau 2 kg a b g e f ü l l t werden, so daß die Produktionskoeffizienten bei der Abfüllung 1

bzw. 2 p j ^

betragen. Außerdem wurde auf der B a s i s von 100 Dosen gerechnet. Die weiteren R e s t r i k t i o n e n ergeben s i c h aus dem Absatzbereich. Der Deckungsbeitrag von 100 1-kg-Dosen beträgt 2 GE, der von 100 2 - k g Dosen 3 GE. Daraus e r g i b t s i c h für den Gesamtdeckungsbeitrag (1.6.2)

g(xj,x2)

:= 2x 1 + 3x 2 -

Der Konservenproduzent möchte den Deckungsbeitrag maximieren (Extremierungsz i e l ) , so daß s i c h a l s Z i e l f u n k t i o n anbietet: (1.6.3)

z(x1,x2)

:= g ( x 1 , x 2 ) .

Daraus r e s u l t i e r t das deterministische Entscheidungsmodel 1 ( 1 . 6 . 4 ) .

(1.6.4)

mit

max

{z(xj,x2)

| ( x ^ , x 2 ) ^ e X}

X wie in (1.6.1) z ( x ^ , x 2 ) wie in (1.6.3)

In

26

Teil I: Entscheidungsmodelle

Abbildung 1.6.1 s i n d d i e v i e r aufgeführten R e s t r i k t i o n e n i n den n i c h t negativen Quadranten e i n g e z e i c h n e t . Der Z u l ä s s i g k e i t s b e r e i c h X besteht aus dem Inneren und dem Rand des Sechsecks ABCDEF. Weiterhin i s t s p i e l h a f t die Isozielfunktionsgerade für z =

+

bei-

= 100 d a r g e s t e l l t ;

s i e g i l t es so lange p a r a l l e l zu v e r s c h i e b e n , b i s der "äußerste

Punkt",

d.h. d i e Ecke D mit den Koordinaten x f = 40 und x£ = 30, e r r e i c h t

ist.

Die Ecke D i s t d i e optimale Lösung mit dem Z i e l f u n k t i o n s w e r t

(1.6.5)

z* := z ( x * , x * ) = 2-40 + 3-30 = 170 [GE].

Abbildung

1.6.1

b) Gegenüber T e i l a) ändert s i c h d i e Alternativenmenge durch den Wegfall der Absatzbeschränkungen. I n ( 1 . 6 . 1 ) werden d i e R e s t r i k t i o n e n Xj s 60 und x^ s 40 e r s a t z l o s g e s t r i c h e n , so daß man

(1.6.6)

G:)

+ e

r

X2 s

70

+ 2X 2 S 100

e r h ä l t . Diese Alternativenmenge i s t i n den nachfolgenden Abbildungen 1 . 6 . 2 und 1.6.3 g r a p h i s c h d a r g e s t e l l t . Die zu maximierende Z i e l f u n k t i o n l a u t e t j e t z t (1.6.7)

z(xrx2;a02)

= 2x 1 + a Q 2 x 2 >

wobei a Q 2 einen Parameter d a r s t e l l t , der n i c h t e x p l i z i t nach oben oder unten begrenzt w i r d . Es wird nun im Rahmen e i n e r

Sensitivitätsanalyse

u n t e r s u c h t , wie a n ? (Deckungsbeitrag pro ME der 2 - k g - D o s e ) d i e Menge

Erstes Kapitel: Deterministische Entscheidungsmodelle

der optimalen Lösungen b e e i n f l u ß t . In T e i l a) war der Deckungsbeitrag aQ^ = 3 eine Konstante, was zu der optimalen Lösung x^ = 40 und x | = 30 f ü h r t e . Die Z i e l f u n k t i o n (1.6.8)

z ( x 1 , X 2 ; 3 ) = 2x 1 + 3x 2

i s t in Abbildung 1.6.2 g e s t r i c h e l t eingezeichnet. Für a n ? > 3 dreht s i e

Abbildung 1.6.2

s i c h i n die eingezeichnete Richtung, wobei der Punkt B solange optimal b l e i b t , b i s die Steigung der Z i e l f u n k t i o n mit der Steigung der Gerade durch A und B überei nstimmt, d.h. solange 9»» > 3 und

Aus beidem e r g i b t s i c h (1.6.10)

3 < a Q 2 S 4.

S t e i g t der Deckungsbeitrag a ^ über 4, so wird der Punkt A optimal und die Produktion von 1-kg-Dosen e i n g e s t e l l t . Für a Q 2 < 3 dreht s i c h die Z i e l f u n k t i o n in die i n Abbildung 1.6.3 e i n g e zeichnete Richtung. B b l e i b t solange optimal, b i s die Steigung der Z i e l f u n k t i o n mit der Steigung der Gerade durch B und C übereinstimmt, d.h. solange a^,, < 3 und (1.6.11)

-

02

a -1

21

28

Teil l: Entscheidungsmodelle

Abbildung 1 . 6 . 3

bzw. (1.6.12)

3 > a Q 2 ä 2.

S i n k t der Deckungsbeitrag ag 2 a l s o unter 2, so wird der Punkt C optimal und d i e Produktion der 2-kg-Dosen e i n g e s t e l l t . Zusammenfassend i s t a l s E r g e b n i s f e s t z u h a l t e n , daß f ü r a g 2 < a ^ = 2 auf d i e Produktion von 2-kg-Dosen und f ü r a^^ > a ^

= 4 auf d i e P r o -

duktion von 1-kg-Dosen unter den g e s c h i l d e r t e n Voraussetzungen zu v e r zichten

ist.

c ) Die Alternativenmenge ändert s i c h in diesem T e i l gegenüber ( 1 . 6 . 1 ) dadurch, daß in den beiden A b s a t z r e s t r i k t i o n e n e i n Parameter t e i n g e f ü h r t w i r d , der d i e Anzahl der i n d i e Analyse einbezogenen Wochen a n g i b t :

x1 + (1.6.13)

X ( t ) :=

CO

x2 s

70

x 1 + 2X 2 S 100 x1

S

60-t

x2 s

40-t

(t a 0 ) .

Es genügt h i e r , nur einen Parameter zu verwenden, weil d i e A b s a t z h ö c h s t mengen s i c h j e w e i l s um den g l e i c h Betrag vermindern. Zusammen mit der Z i e l funktion

Erstes Kapitel: Deterministische Entscheidungsmodelle

(1.6.14)

z(x15x2)

:= 2x 1 + 3 x 2 >

die zu maximieren ist, ergibt sich das (parametrische)

Entscheidungsmodell

(1.6.15). Die folgende Abbildung 1.6.4 enthält eine graphische

(1.6.15)

mit

max

(z(x1sx2)

| (Xj^l'e

Darstellung

*(t)l

X(t) wie in (1.6.13) z ( x 1 , x 2 ) wie in (1.6.14)

wobei

t ä 0 ein Parameter

der Alternativenmenge für verschiedene Werte von t. Die optimale Lösung ist jeweils

gekennzeichnet.

29

30

Teil 1:

Entscheidungsmodelle

Für 0 s t s 10 ist x1 := (40,30)T zulässig und zugleich optimal. Der maximale Deckungsbeitrag beträgt 170 GE. Für t = 20 ist x 2 := (40,20)T optimal, was zu einem Deckungsbeitrag von 140 GE führt. Schließlich beträgt der maximale Deckungsbeitrag für t = 30 noch gerade 90 GE. Sinken die Absatzhöchstmengen weiter ab, so läßt sich ein Deckungsbeitrag von 90 GE nicht mehr erreichen, so daß die Produktion nach 30 Wochen eingestellt wird. d) Das Unternehmen möchte seine Produktionsplanung nun derart ausrichten, daß es einen Gesamtdeckungsbeitrag von g = 140 GE, der sich im Zusammenwirken mit anderen unternehmerischen Aktivitäten als wünschenswert bzw. zieladäquat herausgestellt hat, möglichst exakt erreicht

(Approximierungs-

ziel). Es ist somit eine Zielfunktion zu formulieren, die ein Maß für das Erreichen des vorgegebenen Wertes g beinhaltet. In diesem Zusammenhang kann auf die Deckungsbeitragsfunktion in (1.6.2) zurückgegriffen werden, um Zielfunktionen zu definieren, die zwei Alternativen mit gleich großem "Abstand" zu g = 140 GE auch gleich bewerten und die um so größere Werte annehmen, je größer dieser "Abstand" ist. Eine Möglichkeit - allerdings nicht die einzige - ergibt sich, indem man "Abstand" durch den Absolutbetrag von g - g(x^,x2) ausdrückt, d.h., man setzt (1.6.16)

z(x 1 ,x 2 ) := | g - g(Xj,x2) | = | 140 - 2x1 - 3x 2 |.

Je größer der "Abstand" wird, desto größer wird z(x^,x2). Es liegt daher nahe, z(x^,x 2 ) zu minimieren. Eine weitere Möglichkeit, das Ziel des Entscheidungsträgers zu formalisieren, ist (1.6.17)

z ( x r x 2 ) := (140 - 2x, - 3x 2 ) 2 .

Auch diese Zielfunktion bewertet gleiche "Abstände" - im Sinne des Absolutbetrages - gleich. Ein deterministisches Entscheidungsmodell zu diesem Entscheidungsproblem ist in (1.6.18) dargestellt. Um die optimale(n) Lösung(en) bestimmen zu (1.6.18)

mit

min

{z(x 1 ,x 2 )

( x r x 2 ) T £ X}

X wie in (1.6.1) z(x^,x 2 ) wie in (1.6.16) oder (1.6.17)

Erstes Kapitel: Deterministische Entscheidungsmodelle

können, wird die Alternativenmenge zunächst graphisch d a r g e s t e l l t

31

(siehe

Abbildung 1 . 6 . 5 ) .

Abbildung 1.6.5

A l l e A l t e r n a t i v e n , die zu einem Deckungsbeitrag von 140 GE führen, liegen auf der Geraden

+ 3x2 = 140. Diese Gerade schneidet den Z u l ä s s i g k e i t s -

bereich X ( v g l . Strecke GH in Abbildung 1 . 6 . 5 ) . Damit e x i s t i e r e n

zulässige

Lösungen, die zu einem Gesamtdeckungsbeitrag von g = 140 führen, d . h . , das vom Unternehmen geplante Ziel kann v o l l e r r e i c h t werden, die Zielfunktionen (1.6.16) und (1.6.17) haben im Optimum den Wert 0. A l l e A l t e r n a t i v e n , die zu einem Deckungsbeitrag von 140 GE führen, d . h . , für die 2x^ + 3x 2 = 140 g i l t , liegen auf der g e s t r i c h e l t e n Strecke üFT. Die Koordinaten von G ergeben s i c h aus folgendem Gleichungssystem: (1.6.19)

2x 1 + 3x 2 = 140

Daraus r e s u l t i e r t für

und

x, = 60.

G i x ^ . x ^ ) = (60,20/3). Analog g i l t für die Koordinaten

von H (1.6.20)

2x 1 + 3X2 = 140

und

= 40.

Es e r g i b t s i c h ( x . , x ? ) = (10,40). Die Menge der optimalen Lösungen X* enthält a l l e z u l ä s s i g e n Produktionsprogramme, die zu einem Deckungsbeitrag von exakt 140 GE führen. Es i s t

32

Teil I: Entscheidungsmodelle

(1.6.21)

X*

{(x*,x*) T £ mj | es gibt kein x e X mit z ( x r x 2 ) < = {(x*,x*) T e

z(x|,x^)}

|(x*,x*) T = (10,40) T X + (60,20/3) T (1-x);

0 S X S 1} = {(x*,x*) T e

X | 2x| + 3x* = 140}.

ANMERKUNG

Im Mittelpunkt dieser Übung steht ein einfaches, einführendes Beispiel in die Produktionsplanung mit Hilfe linearer Programme. KILGER spricht bei Aufgabenstellungen dieser Art vom Standardansatz zur Bestimmung gewinnmaximaler Produktionspläne (Optimale Produktions- und Absatzplanung, 1973). Das Beispiel wird in dieser Übung in erster Linie unter entscheidungstheoretischen Gesichtspunkten gesehen. Es werden grundlegende Aspekte zur Sensitivitätsanalyse und zur parametrischen Programmierung aufgezeigt; neben den verbreiteten Extremierungszielen wird hier im Rahmen der Produktionsprogrammplanung auch beispielhaft mit einem Approximierungsziel gearbeitet. In Übung 2.1 wird dieses Beispiel mit einer stochastisehen Zielfunktion analysiert. Darüber hinaus wird in den Übungen 3.3, 3.6 und 4.1 erneut auf dieses Beispiel zurückgegriffen.

33

Erstes Kapitel: Deterministische Entscheidungsmodelle

Ü B U N G

1.7

SCHLÜSSELWORTE ET:

Alternativenmenge, Zielfunktion,

Extremierungsziel,

Satisfizierungsziel, Approximierungsziel, deterministisches Entscheidungsmodell, optimale Lösung, Menge der optimalen Lösungen BWL: Produktions- und Absatzplanung,

Losfertigung

Ein Unternehmen produziert und verkauft sein einziges Erzeugnis in Losen zu je 10 ME. Die Verkaufsabteilung erwartet für die zugrundeliegende

Planungs-

periode einen Absatz von mindestens 20 ME, während die Produktionsabteilung für diese Planungsperiode eine maximale Kapazität von 60 M E ermittelt hat. Der Gewinn des Unternehmens sei durch die Zielvariable g(x) : = 1 0 0 V x 1 i n

GE

angenähert, wobei x die in der Planungsperiode produzierte und abgesetzte Menge bezeichnet.

Wie lauten Alternativenmenge, Zielfunktionen und optimale Lösungen dieses Entscheidungsproblems, wenn in der Planungsperiode a) der Gewinn g(x) maximiert, b) ein Mindestgewinn von g = 575 GE erreicht bzw. c) als Ziel ein Plangewinn von g = 575 GE möglichst exakt angestrebt werden soll? Dabei sollen gleiche Abstände von g und g auch gleich bewertet werden.

LOSUNGSVORSCHLAG

Die in der Planungsperiode zu produzierende und abzusetzende Menge x wird nach unten durch die Mindestabsatzmenge von 20 ME und nach oben durch die maximale Kapazität von 60 ME begrenzt. Es können nur Lose zu je 10 M E gefertigt werden, so daß sich als AIternativenmenge

(1.7.1)

X := {20, 30, 40, 50, 60}

anbietet. Diese Alternativenmenge bleibt von den Zielsetzungen der Unternehmensleitung unbeeinflußt, so daß sie für alle Teile dieser Übung Gültigkeit besitzt.

a) Die Zielsetzung, den Gewinn g(x) = 100 v ^ [GE] zu maximieren mierungsziel ), läßt sich durch die Zielfunktion (1.7.2)

z (x) := g(x) = 100 V T a

,

(Extre-

Teil 1: Entscheidungsmodelle

34

die ebenfalls zu maximieren ist, formalisieren. Das deterministische

Entschei-

dungsmodell zu diesem Planungsproblem ist in (1.7.3) dargestellt.

(1.7.3)

mit

tza(x)

max

| x e X}

X wie in (1 .7.1) z (x) wie in (1.7.2) a

Tabelle 1.7.1 enthält den Gewinn und somit auch den Ziel funktionswert z (x) a zu jeder Alternative. Die Werte für z^(x) und z (x) werden später aufgegriffen. Die Alternative x* = 60 führt zum höchsten Zielfunktionswert und

za(x)

zb(x)

20

447,2

0

127,82

30

547,7

0

27,32

40

632,5

1

57,52

50

707,1

1

132,12

60

774,6

1

199,42

X

zc(x)

Tabelle 1.7.1

ist somit auch optimale Losung von (1.7.3). Es existieren keine weiteren Optima; die Menge der optimalen Lösungen X* von (1.7.3) ist somit

(1.7.4)

X* := {x* £ X I es gibt kein x e X mit z (x) > z (x*)} = {60}. a a a

b) Der Entscheidungsträger bewertet alle Alternativen, die zu einem Gewinn von g = 575 GE oder mehr führen, gleich; ebenso bewertet er alle Alternativen, die einen Gewinn von weniger als g = 575 GE erbringen, gleich. Es handelt sich somit um ein Satisfizierungsziel. Die zu formulierende Zielfunktion z^(x) muß zudem sicherstellen, daß die Alternativen der ersten Gruppe höher bewertet werden als die der zweiten Gruppe. Soll z h ( x ) maximiert werden, so muß es die Form

(1.7.5)

z1

für g(x) a g(x)

I,

sonst

z b ( x ) := -

35

Erstes Kapitel: Deterministische Entscheidungsmodelle

haben, wobei z^ > z 2 gelten muß. Hier wird vorgeschlagen, z^ = 1 und z 2 = 0 zu wählen. Das deterministisehe Entscheidungsmodell i s t in (1.7.6) d a r g e s t e l l t . Tabelle 1.7.1 enthält die Zielfunktionswerte z . ( x ) a l l e r zulässigen Lösungen ( A l t e r -

(1.7.6)

max

iz^(x)

| x e X}

X wie in (1.7.1)

mit

z b ( x ) wie in (1.7.5)

n a t i v e n ) . Man erkennt, daß die Menge der optimalen Lösungen von (1.7.6) (1.7.7)

X* := { x * € X | es g i b t kein x e X m i t z f a (x) > z b ( x * ) } = {40,50,60}

ist. c) Hier l i e g t ein Approximierungsziel vor; die Z i e l f u n k t i o n z c ( x ) s o l l

gleiche

Abstände - im Sinne eines Absolutbetrages - auch g l e i c h bewerten, d . h . , eine A l t e r n a t i v e x^ mit g ( x 1 ) - g = d > 0 muß z.B. zum gleichen Zielfunktionswert führen wie eine A l t e r n a t i v e x 2 mit g - g ( x 2 ) = 3. Außerdem muß für a l l e A l t e r nativen x 3 , x 4 G X mit | g ( x 3 ) - g | > | g ( x 4 ) - g | die Ungleichung z ( x 3 ) > 4 z c ( x ) gelten, wenn z c ( x ) minimiert werden s o l l . Es gibt mehrere Zielfunktionen z c ( x ) > die die genannten Forderungen e r f ü l l e n . Eine davon i s t (1.7.8)

z c ( x ) = (g(x) - 3 ) 2 = (g(x) - 5 7 5 ) 2 .

Diese führt zu dem deterministischen Entscheidungsmodell

( 1 . 7 . 9 ) . Tabelle

1.7.1 enthält die Zielfunktionswerte a l l e r z u l ä s s i g e n A l t e r n a t i v e n .

(1.7.9)

mit

min

izc(x)

| x e X}

X wie in (1.7.1) z £ ( x ) wie in (1.7.8)

36

Teil I:

Entscheidungsmodelle

Es läßt s i c h ablesen, daß die optimale Lösung von (1.7.9) x * = 30 lautet und die Menge der optimalen Lösungen von (1.7.9) durch (1.7.10)

X* := { x * e X | es g i b t kein x e X mit z c ( x ) < z c ( x * ) } = {30}

beschrieben wird. ANMERKUNG Mit dieser Übung s o l l t e n in besonderer Weise die Unterschiede zwischen E x t r e mierungszielen, S a t i s f i z i e r u n g s z i e l e n und Approximierungszielen v e r d e u t l i c h t werden. Die in den Wirtschaftswissenschaften vorherrschenden Extremierungsz i e l e des sogenannten homo oeconomicus s i n d r e l a t i v einfach in bezug auf Formulierung und Ermittlung optimaler Lösungen. - S a t i s f i z i e r u n g s z i e l e können zu unvollständigen Entscheidungsmodellen in dem Sinne führen, daß s i e nicht zu einer eindeutig d e f i n i e r t e n Lösung führen. Was p a s s i e r t , wenn man von einem Anspruchsniveau g = 800 ausgeht? In diesem F a l l e e x i s t i e r t keine z u l ä s s i g e Lösung, die dieses Anspruchsniveau e r r e i c h t , und damit auch keine optimale Lösung. - Auch Approximierungsziele können zu unvollständigen Entscheidungsmodellen führen. Was p a s s i e r t etwa, wenn das angestrebte, genau d e f i n i e r t e Ziel nicht e r r e i c h t werden kann? In diesem Zusammenhang i s t e r gänzend zu dem e i g e n t l i c h e n (Sach-)Entscheidungsproblem eine

(Vorentschei-

dung über die Wahl einer geeigneten Abstandsfunktion zu t r e f f e n .

37

Erstes Kapitel: Deterministische Entscheidungsmodelle

Ü B U N G

1,8

SCHLÜSSELWORTE

ET:

A l t e r n a t i v e n m e n g e , Zielfunktion, deterministisches scheidungsmodell, Binärvariable, optimale

BWL: Investitionsprogramm,

Ent-

Lösung

Kapitalwertmaximierung

Ein Investor steht vor dem Problem, ein Investitionsprogramm mit möglichst großem Kapitalwert zusammenstellen zu müssen. Dazu stehen ihm drei unterschiedliche Investitionsobjekte 10^, 10g und I z u r

Verfügung, die jeweils

beliebig teilbar sind und höchstens in drei Einheiten beschafft werden können. Sie erbringen Kapitalwerte von 1.000, 2.000 bzw. 1.500 GE pro Einheit. Bei der Zusammensetzung des Investitionsprogramms müssen folgende Grundsätze unbedingt beachtet werden: (1) Wenn 10^ in mehr als zwei Einheiten realisiert wird, dann muß IOj in wenigstens einer Einheit durchgeführt werden, während 10^ in diesem Fall nicht durchgeführt werden darf. (2) Von 10g können entweder keine oder wenigstens zwei Einheiten realisiert werden. (3) 10g darf höchstens so oft durchgeführt werden wie 10^. Man formuliere ein deterministisches Entscheidungsmodell für dieses Investitionsproblem und ermittle durch vollständige Enumeration eine optimale Lösung. Dabei bezeichne M eine sehr große Zahl (etwa 1.000).

LÖSUNGSVORSCHLAG Zunächst ist das deterministische Entscheidungsmodell zu formulieren. Dabei besteht der erste Schritt in der Ermittlung der Alternativenmenge. Im folgenden wird mit x^ die Häufigkeit der Durchführung von 10^ (i = 1,...,3) bezeichnet. Die Binärvariable y^ muß den Wert 1 annehmen, wenn 10^ in mehr als zwei Einheiten realisiert wird, und ansonsten den Wert 0. Die Binärvariable y^ soll nur dann den Wert 1 annehmen, wenn von I z w e i

oder mehr Einheiten durchge-

führt werden. Wenn 10^ nicht realisiert wird, gelte y^ - 0- Mit Hilfe dieser Variablen lassen sich die Grundsätze (1) bis (3) formulieren. Als erste Nebenbedingung wird (1.8.1)

x, - M y ( s 2

38

Teil I: Entscheidungsmodelle

aufgestellt; wird 10^ in mehr als zwei Einheiten verwirklicht, so ist (1.8.1) nur erfüllt, falls y^ = 1 gilt. Andernfalls kann y^ den Wert 0 oder 1 annehmen. Für yj = 1 muß nun gesichert werden, daß 10^ in wenigstens einer Einheit realisiert wird: (1.8.2)

x 2 + M (1-y,) a 1.

Aus y^ = 1 resultiert sofort die angegebene Restriktion, während für y^ = 0 die Nebenbedingung (1.8.2) redundant ist. Analog hierzu ergibt sich (1.8.3)

x 3 - M (1-y,) s 0.

Die Ungleichung (1.8.3) ist für y^ = 0 redundant. Für y^ = 1 folgt aus (1.8.3) und der Nichtnegativitätsbedingung für x^ unmittelbar x 3 = 0. - Damit ist der Grundsatz (1) formalisiert. Um den Grundsatz (2) formal zu erfassen, geht man von folgenden zwei Nebenbedingungen aus: (1.8.4)

x3 - M y 2

SO

x 3 + M(1-y 2 ) 2 2. Wie leicht nachzuvollziehen ist, folgt aus y 2 = 1 (1.8.5)

[x3 s M]

und

und aus y 2 = 0 wegen x 3 e lü+ (1.8.6)

x3 = 0

und

[x3 i 2 - M],

wobei die jeweils redundante Nebenbedingung eckig eingeklammert ist. Schließlich wird der Grundsatz (3) durch (1.8.7)

x 2 - x1 s 0

gesichert. Berücksichtigt man zu (1.8.1) bis (1.8.7), daß jedes Objekt höchstens in drei Einheiten realisiert werden kann, so resultiert daraus die Alternativenmenge

Erstes Kapitel: Deterministische Entscheidungsmodelle

39

S 3 S 3 S 3 /

X

1\ - m

(1.8.8)

X

:=


ä M - M y2 S 0 - M y 2 i 2-M

-x1+x2

s 0

Die Zielfunktion läßt sich direkt angeben. Es ist

(1.8.9)

z(x1,x2,x3,y1,y2)

1.000 x 1 + 2.000 x 2 + 1.500 x 3 -

Zusammengefaßt ist das deterministisehe Entscheidungsmodel 1 in (1.8.10) dargestellt. Es handelt sich um ein gemischt ganzzahliges lineares Programm. Hier-

(1.8.10)

mit

max

{z(x, ,x 2 ,x 3 ,y 1 ,y 2 ) | ( H j ^ . X j . y , ^ ) 1

£ *)

X wie in (1.8.8) z ( x 1 , x 2 , x 3 , y 1 , y 2 ) wie in (1.8.9)

für sind im Operations Research Lösungsverfahren entwickelt worden, die hier nicht als bekannt unterstellt werden. Wegen des geringen Umfangs des Beispiels bietet sich in diesem Fall eine vollständige Enumeration bezüglich yj und y 2 an, wobei vier Fälle zu untersuchen sind.

1. Fall: y^ = 1 und y 2 = 1

Für die Alternativenmenge gilt nunmehr

40

Teil I:

Entscheidungsmodelle

[x 3 [X, [1.8.11]

X

:=
.

verglichen.

< t s 0

Offensichtlich gilt

(2.5.39)

2. Fall

FFF 1 (t) = FFF 2 (t) .

0 < t < 2

Es ist

(2.5.40)

3. Fall

t 4 > 0 = FFF^it) .

FFF,(t) = ^

2 < t < 6

Zur Analyse dieses Falls wird die Differenz D(t) betrachtet:

(2.5.41)

D(t) := F F F ^ t ) - FFFgft) .

1

-JTe1

t4

2.3

77

7.2

T5

20

77

f

13

77 '

Offensichtlich ist D(2) > 0 und D(6) > 0. Möglicherweise ist D(t) > 0 für 2 s t < 6. Um dieses zu überprüfen, bildet man die erste und zweite Ableitung von D(t):

(2 5 42) (2.5.42J

D'it) ü lt; •-

M Ü )

(2.5.43)

D"(t) :=

^

- ^ 1 tt3 - j6 j tt 2 ++ 2 ^1 tt - IjSj ,

= ^

t2 - g

t • §} .

t 1 = 4 + \fz und t 2 = 4 - \T2. sind die Nullstellen von D"(t). Folglich hat D(t) an diesen Stellen einen Wendepunkt und D'(t) an diesen Stellen relative Extrema. Da D'(2) = -D'(6) = 0,074 und D"(t) symmetrisch um 4 ist, liegt es nahe zu vermuten, daß D'(4) = 0 ist. Da dieses stimmt, folgt, daß D(t) bei ig = 4 ein relatives Maximum hat (D"(4) < 0) und damit in der Tat positiv für

80

Teil I:

Entscheidungsmodelle

2 s t s 6 ist. Daraus ergibt sich:

(2.5.44)

4. Fall

FFF.J (t) > FFF 2 (t)

für 2 £ t ä 6 .

6 s t < 8

Hier gelten ähnliche Überlegungen wie im 3. Fall.

5. Fall

8 < t < «

Offensichtlich gilt hier wieder

(2.5.45)

F F F ^ t ) = FFF 2 (t) .

Somit ist F F F ^ t ) a FFF 2 (t) für t € Dt gezeigt; da weiterhin E[z(a 1

s

E[z(a 2 ;y)] gilt, folgt, daß a 2 die Alternative a 1 stochastisch im dritten Grade dominiert.

g) Es seien

U1

{u(z) | u(z), u 1 (z)

stetig und beschränkt auf Z, u'(z)

> 0 für z e Z°},

stetig und beschränkt auf Z, u " ( z )

< 0 für z e Z°),

U2

:= {u(z) e U 1

| u"(z)

U3

:= {u(z) e U 2

| u'' '(z) stetig und beschränkt auf Z, u " '(z) > 0 für z e Z°},

wobei Z der Definitionsbereich der Nutzenfunktion und Z° das Innere des Definitionsbereiches sei. 2 Wie sind die Nutzenfunktionen u ^ z ) = z

1/3 und u 2 (z) = z '

einzuordnen? Beide

Nutzenfunktionen sind stetig und beschränkt auf Z := {z | 4 s z i 8 ) . Für die ersten Ableitungen gilt (2.5.46)

3 ^ / ä z = 2z > 0

für 4 < z < 8

(2.5.47)

3u 2 /3z = 1/3 z'2/3 > 0

für 4 < z < 8 ,

d.h. u 1 , u 2 e U 1 . Für die zweiten Ableitungen ergeben sich (2.5.48)

32u1/3z2 = 2 > 0

für 4 < z < 8

(2.5.49)

3 2 U 2 / 3 Z 2 = - 2/9 z ~ 5 / 3 < 0

für 4 < z < 8 ,

Zweites Kapitel: Stochastische Entscheidungsmodelle

81

d.h. u.| C U 2 , u 2 £ U,,. Außerdem i s t (2.5.50)

a 3 u 2 / ä z 3 = 10/27 z ~ 8 / 3 > 0

für 4 < z < 8 ,

d.h. u 2 e U 3 . Nutzenfunktionen aus Uj, U 2 bzw. U 3 führen generell nur zu solchen Lösungen mit maximalem erwarteten Nutzen, die nicht s t o c h a s t i s c h dominiert werden im ersten, zweiten bzw. d r i t t e n Grad. ANMERKUNG Die übermäßige Länge der Obung 2.5 sowie ihre geringe Alternativenzahl

sind

sicher nicht Selbstzweck. Auch die umständlichen Rechnungen zur stochastisehen Dominanz in Teil f ) s o l l t e n keine Übungen zur Integralrechnung d a r s t e l l e n . Was i s t denn aber mit den ausführlichen - ermüdenden - Rechnungen b e a b s i c h t i g t ? Mit dieser Obung s o l l t e n einige grundsätzliche Fragen, die v i e l l e i c h t manchmal etwas unbekümmert übergangen werden, zur Vergleichbarkeit von A l t e r n a tiven mit zufallsabhängigen Ergebnissen a n a l y s i e r t werden, wie im folgenden im einzelnen s k i z z i e r t wird. Das Entscheidungsproblem der Übung 2.5 i s t äußerst einfach

- so wurde etwa

auch auf einen b e t r i e b s w i r t s c h a f t l i c h e n Bezug v e r z i c h t e t . Der Entscheidungsträger hat zwischen zwei A l t e r n a t i v e n zu wählen, deren Ergebnisse über je einem I n t e r v a l l s t e t i g v e r t e i l t s i n d . Die in Teil a) gelösten V e r t e i l u n g s p r o bleme machen d e u t l i c h , daß die beiden Alternativen zu verschiedenen Ergebnissen führen und somit nicht a l s i d e n t i s c h betrachtet werden können. Nicht lange zögernd g r e i f t der Entscheidungsträger wie in solchen Situationen üblich auf den Erwartungswert der z u f ä l l i g e n Ergebnisse seiner zwei A l t e r n a t i v e n zurück in der Hoffnung, auf diese Weise das Entscheidungsproblem lösen zu können. Doch dieses Vorgehen führt zu einer Enttäuschung: Die Erwartungswerte s i n d beide g l e i c h groß und bringen somit keine E n t s c h e i d u n g s h i l f e . Da bietet s i c h jedoch s o f o r t die manchmal nützliche Varianz an. Der Entscheidungsträger bestimmt die zwei entsprechenden Varianzen, die für beide A l t e r nativen g l e i c h groß sind und somit weder f ü r s i c h genommen noch in Verbindung mit dem Erwartungswert zu einer Lösung des Entscheidungsproblems führen, obwohl den zufallsabhängigen Ergebnissen - wie b e r e i t s f e s t g e s t e l l t wurde verschiedene Dichtfunktionen zugrundeliegen ( v g l . Abbildung 2 . 5 . 1 ) . Daraufhin überdenkt der Entscheidungsträger den erwarteten Wert vollkommener (Zusatz-)Information, der in Teil b) berechnet wurde und p o s i t i v i s t . Wären

82

Teil I: Entscheidungsmodelle

die beiden A l t e r n a t i v e n in bezug auf ihre E r g e b n i s s e ä q u i v a l e n t , wäre es m i t hin g l e i c h g ü l t i g , welche A l t e r n a t i v e der E n t s c h e i d u n g s t r ä g e r w ä h l t , dann müßte der erwartete Wert vollkommener ( Z u s a t z - ) I n f o r m a t i o n g l e i c h null s e i n . Somit s t e l l t der E n t s c h e i d u n g s t r ä g e r abermals f e s t , daß es s i c h i n bezug auf i h r e Auswirkungen um u n t e r s c h i e d l i c h e A l t e r n a t i v e n

handelt.

Der E n t s c h e i d u n g s t r ä g e r e r i n n e r t s i c h an das F r a k t i l m o d e l l , wendet d i e s e s auf s e i n Entscheidungsproblem mit Ag = 0,81427 an und kommt abermals zu keiner eindeutigen Lösung. Er s e t z t nunmehr seine ganze Hoffnung auf das A s p i r a t i o n s modell mit tg = 5,4142 und nimmt e n t t ä u s c h t zur K e n n t n i s , daß auch b e z ü g l i c h d i e s e s Ersatzmodells beide A l t e r n a t i v e n optimal s i n d . Der E n t s c h e i d u n g s t r ä g e r vermutet, daß an diesem E r g e b n i s die gewählten Werte von Ag und tg n i c h t ohne E i n f l u ß waren, aber er kann n i c h t n a c h t r ä g l i c h diese Werte irt A b h ä n g i g k e i t e i n e r gewünschten Lösung ändern. Was t u n ?

Die Erwartungsnutzentheorie könnte d i e l e t z t e Rettung s e i n . Der E n t s c h e i d u n g s 2 t r ä g e r glaubt von der Nutzenfunktion u ( z ) = z ausgehen zu können. Er berechnet die entsprechenden Erwartungswerte und s t e l l t abermals G l e i c h h e i t f e s t . 1 /3 E r s t a l s er - in l e t z t e r Verzweiflung - zur Nutzenfunktion u (z) = z l / J überg e h t , s t e l l t s i c h heraus, daß nunmehr d i e A l t e r n a t i v e

optimal

bezüglich

s e i n e r z u l e t z t s u b j e k t i v gewählten Nutzenfunktion i s t . Das E n t s c h e i d u n g s p r o blem i s t o f f e n s i c h t l i c h d e r a r t , daß e r s t eine Nutzenfunktion aus der K l a s s e U 3 zu e i n e r e i n d e u t i g e n Lösung des Entscheidungsproblems f ü h r t . Das Ergebnis wird in Teil f ) dadurch b e s t ä t i g t , daß d i e A l t e r n a t i v e

die A l t e r n a t i v e a1

s t o c h a s t i s c h im d r i t t e n Grade d o m i n i e r t . Nicht ohne e i n wenig v e r w i r r t zu s e i n , r e a l i s i e r t der E n t s c h e i d u n g s t r ä g e r d i e A l t e r n a t i v e ag. Das B e i s p i e l

i s t ohne Zweifel k o n s t r u i e r t . Es z e i g t jedoch e i n d r i n g l i c h d i e

U n z u l ä n g l i c h k e i t e n und V o r t e i l e verschiedener Lösungsansätze

auf.

Zweites Kapitel: Stochastische Entscheidungsmodelle

Ü B U N G

83

2.6

SCHLÜSSELWORTE

ET:

Entscheidungsmodell bei Unsicherheit, Ersatzmodeile bei Unsicherheit, Maximin-Modell, Maximax-Modell, HURWICZModell, LAPLACE-Mode11, SAVAGE-NIEHANS-Modell

Man bestimme für das Entscheidungsmodell

bei Unsicherheit (EMU) die optimalen

Lösungen

- des Maximin-Modells -des

Maximax-Modells

- des HURWICZ-Modells mit x = 0,5 - des LAPLACE-Modells - des

SAVAGE-NIEHANS-Modells.

(EMU)

max

| ( x ^ x g ) 7 e X}

{z(x1,x2;ß)

X := {(0,18) T , (3, 2 7 / 2 ) T , (6,9) T , (9, 9 / 2 ) T ,

mit

(12,0) T }

z(x 1 ,x 2 ;ß) := ßx 1 + 4 x 2

ß e {3,4,5,6,7}

wobei

LOSUNGSVORSCHLAG

Die Anzahl der Alternativen sowie die Anzahl der möglichen Ausprägungen von ß sind endlich, so daß es sich anbietet, vom Grundmodell der Entscheidungstheorie auszugehen. Zur Vereinfachung werden die Alternativen neu definiert. Es seien

a

1

:=

(l8 )

und X :=

a

2

:=

(27/2)

a

3

:=

( 9 )

a

4

(9/2)

a

5

(

1

0 )

Analog seien

ß, := 3, ß 2 := 4, ß 3 := 5, ß 4 := 6, ß 5 := 7

und B := {ß,,...,ß c }. Tabelle 2.6.1 enthält alle Zielfunktionswerte z(a :ß.) 1 d n k für n = 1,...,5 und k = 1,...,5. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von ß ist

84

Teil I:

B

X a

Entscheidungsmodelle

ß

\

1

a

2

a

3

a

4

a

5

1

ß

ß

2

ß

3

ß

4

5

72

72

72

72

72

63

66

69

72

75

54

60

66

72

78

45

54

63

72

81

36

48

60

72

84

Tabelle 2.6.1

entweder unbekannt oder nicht existent, so daß Ersatzmodelle, in die entsprechende Verteilungen eingehen, nicht anwendbar sind. Statt dessen werden Ersatzmodelle betrachtet, die ohne Wahrscheinlichkeitsverteilung

auskommen.

Dem Maximin-Model 1 liegt der Wunsch des Entscheidungsträgers zugrunde, einen möglichst hohen Zielfunktionswert mit Sicherheit zu erreichen. Zu jeder Alternative x e X wird wenigstens

(2.6.1)

wjix) := min

lz(x;ß)

| ß

€

B}

erreicht - unabhängig von der Ausprägung von ß.

ist die zu maximierende

Ersatzzielfunktion des Maximin-Modells.

Die Zielfunktionswerte ID^(X) sind - neben weiteren, im Augenblick noch nicht interessierenden Werten - in Tabelle 2.6.2 zusammengefaßt. Der mit einem * gekennzeichnete Wert ist der höchste, der erreicht werden kann. Bezüglich des Maximin-Modells ist a. mit iD.(a.) = 72 optimal.

X

a

(x)

1

a

2

a

3

a

4

a

5

u>2(x)

u>3(x)

72*

72

72*

72*

63

75

69

69

u4(x)

54

78

66

66

45

81

63

63

36

84*

60

60

Tabelle 2.6.2 Das Maximax-Modell geht davon aus, daß den Entscheidungsträger zu jeder Alternative der im günstigsten Fall erreichbare Ziel funktionswert

85

Zweites Kapitel: Stochastische Entscheidungsmodelle

(2.6.2)

gelten analoge Überlegungen. Aufgrund der unterstellten Nachfragekonstellationen sowie der gegebenen Lagerkapazitäten lassen sich nunmehr die Produktionsmengen x^ und x 2 weiter einschränken. Die Untergrenzen resultieren aus der jeweiligen Nachfrage, die mindestens befriedigt werden muß. Dabei g i l t (2.10.6)

n, s y, + x 1

(2.10.7)

n2 s y2 + x2.

Die entsprechenden Obergrenzen werden durch die Lagerkapazität bestimmt: (2.10.8)

y, + x 1 - n, S 3

(2.10.9)

y 2 + x 2 - n 2 s 3.

Die bisher aufgestellten Nebenbedingungen führen zu folgender Alternativenmenge mit zwei Zufallsvariablen im Begrenzungsvektor und in der Koeffizienten-

Zweites Kapitel: Stochastische Entscheidungsmodelle

107

matrix des linearen Ungleichungssystems: x

i 3 x. Z

x

• y, x2

2 o

= 3

a + y2 a

n

, n2

x

yo = max {0, y. + x. - n«} Die in (2.10.10) dargestellte "stochastische" Alternativenmenge könnte dazu verleiten, eines der bekannten Ersatzmodeile zu formulieren

(vgl. Übung 2.7

bis 2.9). Dies führt aber im allgemeinen nicht zu einer problemadäquaten

Lö-

sung, weil der Entscheidungsträger, hier die Leitung des Maschinenbauunternehmens, die Entscheidung für die zweite Periode endgültig erst zu Beginn der zweiten Periode, d.h. nach Realisation der Nachfrage der ersten Periode, treffen muß. Es wäre somit auf der einen Seite verfrüht, bereits in der ersten Periode die Entscheidung für die zweite Periode endgültig zu fällen. Auf der anderen Seite muß beachtet werden, daß die Entscheidung für die erste Periode nicht unabhängig von den Gegebenheiten der zweiten Periode getroffen werden kann, wie nunmehr gezeigt wird.

Setzt man in (2.10.6) und (2.10.8) den jeweils am wenigsten

einschränkenden

Wert von n, sowie y, = 1 ein, ergeben sich für x, die folgenden zwei Ungleichungen

(2.10.11)

2 = min {2,4} s 1 + x,

(2.10.12)

1 + x, s 3 + max {2,4} = 7.

Unter Berücksichtigung von (2.10.1) erhält man aus (2.10.11) und (2.10.12)

(2.10.13)

1 s x, s 3.

Die Auswirkungen der möglichen Entscheidungen der ersten Periode auf den Lageranfangsbestand der zweiten Periode können der Tabelle 2.10.1 in Spalte 4 entnommen werden. - Verfährt man in analoger Weise mit den Ungleichungen

(2.10.7)

und (2.10.9), führt dies unter Berücksichtigung der Produktionskapazität und

108

Teil I: Entscheidungsmodelle

der Nichtnegativitätsbedingung für x 2 zu

(2.10.14)

0 s x 2 s min {3, 4 - y 2 }

bzw. unter Einbezug von

(2.10.15)

(2.10.3) und (2.10.4) zu

0 S x 2 s min {3, 4 - max{0,

1+x^}}.

Damit ist gezeigt, daß die Obergrenze für x 2 von der Entscheidung und der Nachfrage der ersten Periode abhängt. Da sich keine dritte Periode anschließt bzw. kein Mindestbestand an lieferfertigen Maschinen am Ende der zweiten Periode verlangt ist, ist es ökonomisch nicht sinnvoll, in der zweiten Periode mehr als die maximal mögliche Nachfrage zu produzieren. Damit wird (2.10.15) - in diesem speziellen Beispielfall

(2.10.16)

- zu

0 s x 2 ä min |l, 4 - max{0, 1 + x ^ } }

= 1.

Die Auswirkungen der zulässigen Entscheidungen der zweiten Periode auf den Lagerendbestand der zweiten Periode können der Spalte 7 in Tabelle 2.10.1

ent-

nommen werden.

Die Zielfunktion setzt sich aus der Summe der in den beiden Perioden anfallenden zufallsabhängigen Lagerhaltungs-, Fehlmengen- und Produktionskosten

zu-

sammen. Für die Periode t gilt

(? 'n 17! (2.10.17)

u -v • 1 • / z.(x.;y.;n t ) .= 4

+

7

1

t

1

1

Xt

Yt

"

+

X

t "

n

a

t

° 1 >

3(nt - Y t - xt)

/ 0

sonst für x t = 0 1

6 + 2x,.

> (t = 1,2).

für x. > 0

Für die stochastische Zielfunktion z gilt dann

(2.10.18)

z(x 1 ,x 2 ;y 1 ,y 2 ;n 1 ,n 2 ) := z ^ x ^ y ^ r ^ )

In den Spalten 8 bis 10 der Tabelle 2.10.1

+ z2(x2;y2;n2).

sind alle Werte von Z y

z 2 und z

eingetragen, die sämtlich von der zufallsabhängigen Nachfrage abhängen und somit selbst zufallsabhängig

sind.

In (2.10.19) ist das stochastische mehrstufige Entscheidungsmodell

zusammen-

gefaßt. Hierin sind x^ und x^ Entscheidungsvariablen sowie n^ und ri2 stochastische Koeffizienten. Die abhängigen Variablen y 1

und y 2 , die Lageranfangs-

Zweites Kapitel: Stochastische Entscheidungsmodelle

min {z(x 1 ,x 2 ;y 1 .y^.n, ,n 2 ) I ( x ^ x ^ 1

(2.10.19)

mi t

109

£ X(n 1 ,ri2)}

X ( n r n 2 ) wie in (2.10.10) z(x 1 , x 2 ; y 1 , y 2 ; n 1 , n 2 ) wie in (2.10.18)

wobei

wie angegeben verteilt

bestände, sind entweder fest vorgegeben oder werden durch Entscheidungsvariablen und stochastische Koeffizienten bestimmt. Durch sie werden in mehrstufigen Entscheidungsmodellen die einzelnen Perioden bzw. Stufen miteinander verbunden.

Zur Beschreibung mehrstufiger Entscheidungsmodelle und insbesondere zur Verdeutlichung ihrer Struktur finden in der Literatur vielfach sogenannte Entscheidungsbäume Verwendung. In Abbildung 2.10.1 dungsmodell

ist der zu diesem Entschei-

korrespondierende Entscheidungsbaum wiedergegeben, der einen un-

mittelbaren Vergleich mit der entsprechenden tabellarischen Darstellung in Tabelle 2.10.1

erlaubt.

Im folgenden wird rekursiv eine optimale Politik für dieses Beispiel

bestimmt,

indem zunächst die optimalen Entscheidungen x £ ( y 2 ) der zweiten Periode in Abhängigkeit von y 2 ermittelt werden, wobei die stochastische Zielfunktion durch ihren Erwartungswert ersetzt wird. Im einzelnen gilt

y 2 = 0:

u*(0) := min | e [ z 2 ( x 2 ; 0 ; t , 2 ) ] |

£ {0,1

: JO + 3 10 + 8\ = min i — 2 — , 2—f

= |

y 2 = 1:

mit x*(0) = 0 .

üj*(1) := min |e[z 2 (x 2 ;1 ;n 2 )] = min min /< 2— +2 0—

= 1

| x 2 £ {0,1}}

, —12 2 + 101>

mit x*(1) = 0

110

Teil I:

Entscheidungsmodelle

IF~1

11

1

I 18

n

i6 14

o

o o

17

24

22

1

I 14

Ö

I 12 24 22

O í O"

13 I 16

Q

23

Ö

I 21

20 O

1« 30 28

0 J

12 15 22 20

Abbildung

2.10.1

Zweites Kapitel: Stochastische Entscheidungsmodelle

1

1

111

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X

n

y

x2

n2

y3

Z

Z

z

0

0

0

8

0

8

1

0"

8

3

11

0

1

8

10

18

1

0

8

8

16

0

0

14

0

14

1

0"

14

3

17

0

1

14

10

24

1

0

14

8

22 14

1

1

1

2

2

0

1

4

0"

0 1

2

2

1

0 1

4

o"

0 1

3

2

2

0 1

4

0

0 1

1

2

0

1

12

2

1

0

12

0

12

0

2

12

12

24

1

1

12

10

22

0

0

13

0

13

1

0"

13

3

16

0

1

13

10

23

1

0

13

8

21

0

2

16

4

20

1

1

16

2

18

0

3

16

14

30

1

2

16

12

28

0

0

12

0

12

1

0"

12

3

15

0

1

12

10

22

1

0

12

8

20

Tabelle 2.10.1 (Mit 0

wird hier und in Abbildung 2.10.1 angedeutet, daß an dieser S t e l l e

Fehlmengen a u f t r e t e n . )

112

Teil I: Entscheidungsmodelle

y 2 = 2:

u>*(2) := min | E [ Z 2 ( X 2 ; 2 ; n 2 ) ] | x £ 6 { 0 , 1 } } - mmin J ± ± l " ln ( - T " = 3

1±+12\ Z—f

'

mit x * ( 2 ) = 0 .

Wie b e r e i t s aufgrund der Nebenbedingung ( 2 . 1 0 . 1 6 ) erwartet werden konnte, d i e Entscheidung i n der zweiten Periode in diesem s p e z i e l l e n B e i s p i e l

ist

unab-

hängig vom Lageranfangsbestand y ^ und damit auch von der Entscheidung i n der e r s t e n Periode ( v g l . DINKELBACH [ 1 9 8 2 ] , S . 132). Der s t o c h a s t i s c h e Wert der e r s t e n Z i e l f u n k t i o n z^ z u z ü g l i c h des minimalen Wertes der zweiten Z i e l f u n k t i o n Zg i s t

(2.10.20)

Z^x^y^n,)

:= ^ ( x 1 ;y 1 ; n 1 ) + u * ( y 2 ) = z 1 ( x 1 ;y 1 ; n 1 ) + i»* ^max { 0 , y 1 + x 1 - n 1

Der Erwartungswert von ly i s t nunmehr über x^ e { 1 , 2 , 3 } zu minimieren. Im e i n zelnen g i l t x, = 1:

EEZ 1 ( 1 ; 1 ; n 1 )] = ( 8

x,

E[Z1(2;1;nl

=2:

x.| = 3:

)]

E[2 1 C 3 ; 1 ; n i I»

*!>

= (12 +

D

= (16 + 3)

- i -

(14

2 ' I

=

13,50

(13

2 ' 3

=

14

(12 * i >

2 15,33 7 "

Die optimale P o l i t i k l a u t e t demnach x f O ) = 1 und x £ ( y | ) = x|(0) = 0.

ANMERKUNG M i t d i e s e r Übung s o l l t e e i n k l e i n e r E i n b l i c k in das umfangreiche Gebiet mehrs t u f i g e r Entscheidungsprobleme gegeben werden, um zu z e i g e n , wie E n t s c h e i dungen u n t e r s c h i e d l i c h e r Perioden voneinander abhängen können. Weder d i e numerischen Fragen m e h r s t u f i g e r Entscheidungsmodelle, die im Rahmen des Oper a t i o n s Research unter der Bezeichnung "Dynamische Programmierung" sucht werden, noch d i e k o n z e p t i o n e l l e S e i t e m e h r s t u f i g e r

unter-

Entscheidungsmo-

d e l l e aus b e t r i e b s w i r t s c h a f t l i c h e r S i c h t , d i e unter dem S t i c h w o r t

"Flexible

Planung" in der B e t r i e b s w i r t s c h a f t s l e h r e d i s k u t i e r t werden, konnten b i s h e r v o l l z u f r i e d e n s t e l l e n d g e l ö s t werden. Dennoch i s t das V e r s t ä n d n i s f ü r die

Zweites Kapitel: Stochastische Entscheidungsmodelle

113

Strukturen mehrstufiger Entscheidungsprobleme von großer Wichtigkeit, wenn man sich vor Augen führt, wie wenig statisch, d.h. einstufig, die Probleme der Realität sind.

Drittes Kapitel Vektorielle Entscheidungsmodelle

Werden zur Abbildung eines Entscheidungsproblems in ein Entscheidungsmodell K (K > 1) simultan zu maximierende Zielfunktionen benötigt, so spricht man von einem vektoriellen Entscheidungsmodell, das in (VEM) zusammenfassend wiedergegeben ist:

' (VEM)

fZ1(x)N|

max

x e x

vektorielles Entscheidungsmodel 1 Ähnlich wie bei stochastischen Entscheidungsmodellen werden die Alternativen auch diesmal nicht in reelle

Zahlen, sondern mittels der vektoriellen Ziel-

funktion in eine Menge von Vektoren abgebildet. Diese sind im allgemeinen nicht in natürlicher Weise vergleichbar, so daß auch hier die Maximierungsvorschrift nur einen Sinn macht, wenn zusätzliche Informationen vom Entscheidungsträger gegeben werden. Eine Möglichkeit zur Bestimmung einer (subjektiv) optimalen Lösung bezüglich (VEM) besteht darin, Kompromißmodelle zu formulieren. "Ein Kompromißmodell eines Vektoroptimierungsmodells skalares Optimierungsmodell

(VEM) ist ein

(DEM), das in der Zielfunktion und/oder den Neben-

bedingungen die Präferenzvorstellungen des Entscheidungsträgers bezüglich der konkurrierenden Zielfunktionen z 1 (x),...,z K (x) zusammenfaßt, grundsätzlich numerisch lösbar ist und von dessen optimalen Lösungen wenigstens eine effizient ist" (DINKELBACH [1982], S. 179). Damit übernimmt das Kompromißmodell eine ähnliche Funktion wie das Ersatzmodell

im Falle stochastischer Entschei-

dungsmodelle. Kompromißmodelle zur Bestimmung effizienter Lösungen eines vektoriellen Entscheidungsmodells sind Bestandteil der meisten Übungen des dritten Kapitels. Auf Übungen, in denen interaktive Verfahren eine Rolle spielen, wurde verzichtet.

Drittes Kapitel: Vektorielle Entscheidungsmodelle

Ü B U N G

115

3.1

SCHLÜSSELWORTE

ET:

Vektorielles Entscheidungsmodell, Effizienz, Dominanz, wesentliche Effizienz

BWL: (nicht-simultane) Investitionsentscheidung,

Kapitalwert,

interner Zinsfuß

a) Das Entscheidungsproblem der Übung 1.2 formuliere man als Vektormaximierungsmodell. Man zeichne die Zielmenge. b) Welche Investitionsobjekte sind effizient? c) Welche Investitionsobjekte sind wesentlich effizient?

LÖSUNGSVORSCHLAG

a) In Übung 1.2 wurden zwei Zielsetzungen unabhängig voneinander betrachtet Verfolgt ein Investor beide Ziele gleichzeitig, so läBt sich die Problemstellung durch folgendes vektorielles Entscheidungsmodel 1 (3.1.1) beschreiben. Die zulässigen Investitionsobjekte führen zu den in Tabelle 1.2.1

(3.1.1)

mit

max

{z(n)

bzw.

| n e X}

X := {n e III | n s 6} ,n1 . /z11"2 1 - 4En0En2

n1

+

1

Ü

)

"O

Tabelle 1.2.2 im Lösungsvorschlag zu Übung 1.2 angegebenen

Zielfunktions-

werten. Bezogen auf z(n) im vektoriellen Entscheidungsmodell

(3.1.1) ergeben

sich die in Tabelle 3.1.1 zusammengestellten Zielfunktionswerte. Diese Zieln

z(n)

1

(1,82; 0 , 1 1 ) T

2

(3,67; 0 , 1 2 ) T

3

(3,14; 0,125) T

4

(3,14; 0 , 1 2 ) T

5

(2,95; 0 , 1 3 ) T

6

(1,82; 0 , 1 2 ) T

Tabelle 3.1.1

116

Teil I: Entscheidungsmodelle

funktionswerte sind in Abbildung 3.1.1 graphisch d a r g e s t e l l t . besteht aus a l l e n eingezeichneten

Die Zielmenge

Punkten.

z2 ( n ) 0,13

O l 0

5

O1O3

o»i 11

•

I0

[7]

io,

6

(H

I 0

4

Ol0

2

1 1

0

2

3 Abbildung 3.1.1

4

b) Ein I n v e s t i t i o n s o b j e k t n° e X heißt genau dann e f f i z i e n t bezüglich

(3.1.1),

wenn kein Objekt n e X e x i s t i e r t mit z , ( n ) > z , ( n ° ) und z 2 ( n ) a z 2 ( n ° ) oder z , ( n ) a z, (n°) und z 2 ( n ) > z g ( n ° ) .

I s t b e i s p i e l s w e i s e das I n v e s t i t i o n s o b j e k t

10, e f f i z i e n t ? Um diese Frage zu

beantworten, betrachte man 10g mit z , ( 6 ) = z , ( 1 ) und z 2 ( 6 ) > z 2 ( 1 ) .

Offen-

s i c h t l i c h e x i s t i e r t e i n n e X mit z , ( n ) a z , ( 1 ) und z 2 ( n ) > z 2 ( 1 ) , d . h . , i s t nicht e f f i z i e n t .

10,

Man sagt auch, daß das Objekt 10g das Objekt 10, domi-

n i e r t . Ähnliche Beziehungen bestehen zwischen weiteren

Investitionsobjekten.

So wird 10^ von I0 2 dominiert, weil z, (2) > z , ( 4 ) und z 2 (2) = z 2 ( 4 ) .

10g

wird von 10g dominiert, weil z , ( 5 ) > z , ( 6 ) und z 2 (5) a z 2 ( 6 ) . Hingegen werden I 0 2 , I0 3 und 10g nicht dominiert, d . h . , der e f f i z i e n t e n I n v e s t i t i o n s o b j e k t e

(3.1.2)

s i e sind e f f i z i e n t ; die Menge

lautet:

E(X,z) = {2,3,5}.

c) Eine bezüglich eines v e k t o r i e l l e n Entscheidungsmodells e f f i z i e n t e

Alter-

native heißt genau dann wesentlich e f f i z i e n t , wenn s i e die optimale Lösung eines Zielgewichtungsmodells a l s Kompromißmodell i s t . wi chtungsmodell

ist

(3.1.3).

Ein solches

Zielge-

Es b a s i e r t auf einer Gewichtung der beiden Z i e l -

funktionen mit t bzw. ( 1 - t ) . Für die Zielfunktionswerte der A l t e r n a t i v e n n e X ergeben s i c h die in Tabelle 3 . 1 . 2 zusammengefaßten Werte.

Drittes Kapitel: Vektorielle Entscheidungsmodelle

(3.1.3) mit

max

0(n;t)

| n e X}

X wie in (3.1.1) 4-(n;t) := t z ^ n ) + ( 1 - t )

wobei

117

z2(n)

0 < t < 1

n

ijj(n; t)

1

0,11

+

1,71 t

2

0,12

+

3,55 t

3

0,125 +

3,015 t

4

0,12

+

3,02 t

5

0,13

+

2,82 t

6

0,12

+

1,70 t

Tabelle 3.1.2 Zunächst einmal lassen s i c h aus Tabelle 3.1.2 - erneut, aber in anderer Weise die bezüglich (3.1.1) e f f i z i e n t e n I n v e s t i t i o n s o b j e k t e bestimmen. O f f e n s i c h t lich gilt (3.1.4)

i|i(2;t) = 0,12 + 3,55 t > 0,11 + 1,71 t = i(-(1;t)

für 0 < t < 1

(3.1.5)

\ji(2;t) = 0,12 + 3,55 t > 0,12 + 3,02 t = i|>(4;t)

für 0 < t < 1

(3.1.6)

ijj(2;t) = 0,12 + 3,55 t > 0,12 + 1,70 t = f(6;t)

für 0 < t < 1,

so daß nach dem Effizienztheorem der Vektoroptimierung die Objekte 10^, 10^ und 10g nicht e f f i z i e n t bezüglich (3.1.1) s i n d und im folgenden unberücks i c h t i g t bleiben können ( v g l . DINKELBACH [1982], S. 175). Für sehr kleine Werte von t aus 0 < t < 1 i s t das bezüglich (3.1.1) e f f i z i e n t e I n v e s t i t i o n s o b j e k t I 0 5 bezüglich (3.1.3) optimal (maximale interne Verzinsung); f o l g l i c h i s t 10g auch wesentlich e f f i z i e n t bezüglich ( 3 . 1 . 1 ) . Für Werte von t nahe 1 aus 0 < t < 1 i s t das bezüglich (3.1.1) e f f i z i e n t e

Investitionsobjekt

10^ bezüglich (3.1.3) optimal (maximaler K a p i t a l w e r t ) , so daß 10g auch bezügl i c h (3.1.1) wesentlich e f f i z i e n t i s t . Aus (3.1.7)

t|>(2;t) = 0,12 + 3,55 t Q = 0,13 + 2,82 t Q = ^ ( 5 ; t )

f o l g t tp = 1/73, so daß zunächst einmal g i l t : Bezüglich (3.1.3) i s t für 0 < t < 1/73 10- günstiger a l s I 0 ? , für 1/73 < t < 1 I0„ günstiger a l s

I0-.

118

Teil I:

Entscheidungsmodelle

Damit b l e i b t zu prüfen, ob auch das b e z ü g l i c h ( 3 . 1 . 1 ) e f f i z i e n t e Objekt

I03

wesentlich e f f i z i e n t bezüglich ( 3 . 1 . 1 ) i s t . M i t anderen Worten: Kann das Obj e k t 10^ optimal b e z ü g l i c h ( 3 . 1 . 3 ) s e i n ? Wie l e i c h t r e c h n e r i s c h nachprüfbar ist,

gilt

(3.1.8)

ijj(3;t) = 0,125 + 3,015t < 0,13 + 2,82t = ^ ( 5 ; t ) f ü r 0 < t < 1/39

(3.1.9)

i//(3;t) = 0,125 + 3,015t < 0,12 + 3,55t = * ( 2 ; t ) f ü r 1/107 < t < 1,

so daß IOg f ü r kein t aus 0 < t < 1 optimal b e z ü g l i c h ( 3 . 1 . 3 ) und damit auch n i c h t wesentlich e f f i z i e n t

bezüglich ( 3 . 1 . 1 ) i s t . Zusammenfassend l ä ß t s i c h

f e s t h a l t e n : Da s i c h a u s s c h l i e ß l i c h das Objekt 10,, und das Objekt 10g a l s o p t i male Lösungen von ( 3 . 1 . 3 ) erweisen, s i n d auch nur diese beiden Objekte wesentlich

effizient.

Bei nur zwei Z i e l f u n k t i o n e n l a s s e n s i c h die wesentlich e f f i z i e n t e n A l t e r n a t i v e n graphisch i n e i n f a c h e r Weise dadurch e r m i t t e l n , daß man die gewichtete Z i e l f u n k t i o n IJJ(ri;t) - mit variierendem t aus 0 < t < 1 - um die Zielmenge, wie s i e in Abbildung 3 . 1 . 1 d a r g e s t e l l t i s t , " d r e h t " . Dabei wird s o f o r t e r s i c h t l i c h , daß d i e im Inneren der konvexen H ü l l e der Zielmenge liegende e f f i z i e n t e A l t e r n a t i v e 10, niemals bezüglich ( 3 . 1 . 3 ) optimal s e i n kann.

Anmerkung Durch die entscheidungstheoretische Analyse des Z i e l k o n f l i k t e s zwischen der Maximierung des internen Z i n s f u ß e s und der Maximierung des Kapitalwertes der einzelnen I n v e s t i t i o n s o b j e k t e wird d i e s e r K o n f l i k t zwar n i c h t g e l ö s t , es werden jedoch dessen Implikationen h e r a u s g e a r b e i t e t , soweit d i e s bei einem so einfachen B e i s p i e l überhaupt möglich i s t . Wegen der recht

unterschiedlichen

Voraussetzungen, auf denen die zwei Z i e l s e t z u n g e n beruhen, b i e t e t s i c h a l s konkretes Kompromißmodell etwa folgendes Vorgehen an: Man suche d a s j e n i g e I n v e s t i t i o n s o b j e k t mit maximaler i n t e r n e r Verzinsung unter der Bedingung, daß der zugehörige Kapitalwert zum B e i s p i e l mindestens 3,00 b e t r ä g t . Für d i e s e s Kompromißmodell wäre das e f f i z i e n t e , aber n i c h t wesentlich e f f i z i e n t e I n v e s t i t i o n s o b j e k t I 0 3 optimal. Geht man von der Betrachtung e i n z e l n e r

In-

v e s t i t i o n s o b j e k t e zu Simultanansätzen über, so v e r l i e r t der h i e r aufgez e i g t e K o n f l i k t an Bedeutung ( v g l . u.a. die Übungen 6 . 1 , 6 . 2 , 6.4 und 6 . 5 ) .

119

Drittes Kapitel: Vektorielle Entscheidungsmodelle

Ü B U N G

3.2

SCHLÜSSELWORTE

ET:

Vektorielles Entscheidungsmodell, individuell optimale Lösungen, Effizienz,

Dominanz, Kompromißmodell,

Zielge-

wichtungsmodell BWL: Produktions- und Kostentheorie, intensitätsmäßige A n passung,

Verbrauchsfunktion

a) Das Entscheidungsproblem der Übung 1.4 interpretiere man als Vektoroptimierungsmodell, bei dem sowohl der (mengenmäßige) Verbrauch des ersten als auch der des zweiten Produktionsfaktors minimiert werden soll. b) Wie lauten die individuell optimalen Lösungen? c) Man bilde zeichnerisch die Elemente

10, 15, 20, 25 und 30 der Alternativen-

menge in den Zielraum ab. d) Man bestimme die Menge der effizienten Alternativen. e) Welchem Kompromißmodell malen"

entspricht die Bestimmung einer sogenannten

"opti-

Intensität?

f) Ist die in Übung 1.4 gefundene Lösung effizient?

LÖSUNGSVORSCHLAG

a) Wurde in Übung 1.4 gefordert, daß der wertmäßige Gesamtverbrauch der beiden Produktionsfaktoren minimiert werden soll, so sind diesmal zwei Zielsetzungen simultan zu berücksichtigen: Es sollen sowohl der Verbrauch a 1 von Faktorart 1 als auch der Verbrauch a,, von Faktorart 2 minimiert werden. Die Alternativenmenge hingegen bleibt gegenüber dem Lösungsvorschlag der Übung 1.4 unverändert. Das so modifizierte Entscheidungsproblem läßt sich durch das vektorielle Entscheidungsmodell

(3.2.1)

mit

min

{Z(d)

(3.2.1) beschreiben.

I d e X}

X := td £ IR | 10 s d s 30}

z(d) :=

h

( d )

] = [

[a 2 (d)J

^

d

2

d

2

d

• 8

+

1

°|

Teil I: Entscheidungsmodelle

120

b) Um die individuell optimalen Losungen bestimmen zu können, werden aj(d) und a^Cd) isoliert betrachtet. Zunächst wird das freie Minimum von a^

bestimmt:

3a, -ggi = 1/15 d - 1.

(3.2.2)

Setzt man die erste Ableitung gleich null, so ergibt sich d^ = 15. Diese Intensität ist zulässig, d.h. d^ £ X. Die zweite Ableitung von a. ist positiv, 1

i so daß d

in der Tat ein individuelles Optimum bezüglich der ersten Ziel-

funktion ist. Die Menge der individuell optimalen Lösungen bezüglich der ersten Zielfunktion lautet:

(3.2.3)

X1

:= | d 1 e X | a ^ d 1 )

= min

(a^d)

= {d 1 } = {15}.

| d e X}J

Nun soll das individuelle Optimum bezüglich der zweiten Zielfunktion errechnet werden. Es sind: 3a,

7

bzw.

2

(3.2.5)

i ! | = - ^ < 3d

0

.

An der Stelle d = 0 besitzt'a^ folglich ein Maximum, während lokale Minima nicht existieren, a , hat die Form einer nach unten geöffneten Parabel; das 2 Minimum von a 2 auf X liegt offensichtlich bei d

(3.2.6)

X£

:= | d 2 e X | a 2 ( d 2 ) = min

{a 2 (d)

= 30. Es ist

| d e X}j

= {d 2 } = {30}.

Damit sind die individuell optimalen Lösungen von (3.2.1) bestimmt. c) Die Tabelle 3.2.1 enthält alle für diese Aufgabenstellung relevanten Zielfunktionswerte. Diese Werte sind in Abbildung 3.2.1 d

a

1

a

2

10

3,33

15

2,50

7,55 7,00

20

3,33

6,22

25

5,83

5,22

30

10,00

4,00

Tabelle 3.2.1

eingetragen.

Drittes Kapitel: Vektorielle Entscheidungsmodelle

I I i

i i

a.(d)

,

,

0

2

121

4

6

8

, —

— 10

12

Abbildung 3.2.1

d) Aus Abbildung 3.2.1 läßt sich erkennen, daß für 15 s d s 30 der Verbrauch der Faktorart 2 nur dann gesenkt werden kann, wenn der Verbrauch an Faktorart 1 steigt und umgekehrt. Diese Intensitäten sind effizient. Eine Intensität zwischen 10 und 15 ist unwirtschaftlich, weil der Verbrauch an beiden Faktorarten gleichzeitig gesenkt werden kann, indem man auf d = 15 ausweicht. Folglich sind Intensitäten aus 10 < d < 15 nicht effizient. Aus diesen Überlegungen heraus folgt für die Menge der bezüglich (3.2.1) effizienten Alternativen

(3.2.7)

E(X,z) = {d € R | 15 s d s 30}.

e) Die Bestimmung der "optimalen" Intensität, wie sie in Übung 1.4 gefragt wurde, beruht auf dem Zielgewichtungsmodell. Dabei wurden z^ mit 4 und

mit

12 gewichtet.

f) Jede Lösung eines vektoriellen Entscheidungsmodells, die sich aus einer Zielgewichtung mit positiven Gewichtungsfaktoren ergibt, ist effizient. Eine ineffiziente Alternative ist - unabhängig von den Faktorpreisen p^ und P 2 - niemals in Betracht zu ziehen. Die entsprechenden Intensitäten sind demnach in jedem Falle

unwirtschaftlich.

122

Teil I:

Entscheidungsmodelle

ANMERKUNG Unter entscheidungstheoretischen Aspekten wurde in dieser Übung e i n n i c h t l i n e a r e s Vektoroptimierungsmodell

- mit zwei n i c h t l i n e a r e n Zielfunktionen -

a n a l y s i e r t . Die N i c h t l i n e a r i t ä t wird auch in der Abbildung 3.2.1 angedeutet. Um mathematischen Problemen auszuweichen, wurde das B e i s p i e l

diskretisiert

und auf fünf - d i s k r e t e - Alternativen beschränkt. - Unter produktionstheoretischen Aspekten werden mit diesem B e i s p i e l Wege a u f g e z e i g t , wie s i c h die hier u n t e r s t e l l t e GUTENBERG-Technologie mit der linearen Technologie (LEONTIEF-Technologie) verbinden l ä ß t .

Drittes Kapitel: Vektorielle

Ü B U N G

123

Entscheidungsmodelle

3.3

SCHLÜSSELWORTE

ET:

Vektorielles Entscheidungsmodell, Effizienz, Dominanz, individuell optimale Lösungen, komplementäre Ziele, konkurrierende Ziele, perfekte Lösung

Welche Eigenschaften (komplementär oder konkurrierend) haben die den folgenden Vektormaximierungsmodellen zugrundeliegenden Ziele? Welche Alternativen sind jeweils effizient?

a)

b)

P

3

}'

Z

X := » ,

(V

X

2>

x2 S

=(

X 1

2xz*l).

2 / - x + 4x ^(.5x2 + 5Qx

z(x)

x1 +

:

.

80)/9

\ J,

70

x 1 + 2 X 2 < 100

c)

C )

£

*

x1

S

60

x2 s

40

(Vgl. Übung 2.1). Für die folgenden Vektormaximierungsmodelle bestimme man jeweils E(X,z), die Menge der effizienten Alternativen (Definitionsbereich),und E(Z), die Menge der zu den effizienten Alternativen gehörenden Zielfunktionswerte reich):

d)

e)

f)

/~ x 1

+

\

+

rxi X

:=

{(xP

€

^

I

X1 S

1

}'

Z (

V

X

2>

x2)

V

" +

2\ V x

V

'

2\ '

(?) •

(Wertebe-

124

Teil I: Entscheidungsmodelle

LÖSUNGSVORSCHLAG Da die (vektoriellen) Zielfunktionerl jeweils zweidimensional sind, genügt es, im folgenden die Definitionen der Komplementarität und Konkurrenz zweier (skalarer) Zielfunktionen zu betrachten: Zwei zu maximierende Zielfunktionen eines vektoriellen Entscheidungsmodells bzw. die ihnen zugrundeliegenden Ziele heißen komplementär, wenn Ubereinstimmende individuell optimale Lösungen existieren, d.h., wenn (3.3.1)

x 1 n X 2 j¡ 9

mit (3.3.2)

Xk : = | x k e X

es gibt kein x e X mit z k ( x ) > z k ( x k ) j

(k = 1,2).

Sie heißen konkurrierend, wenn ihre individuell optimalen Lösungen verschieden sind: (3.3.3)

X1 n X 2 = 0 .

a) Für das erste vektorielle Entscheidungsmodell g i l t (3.3.4)

X1 = | ( x r x 2 ) T e X | x 1 = 2 |

(3.3.5)

X2 = | ( X , , X 2 ) T £ X | x2 = 3 j .

Wegen Xj n X 2 = { ( 2 , 3 ) T } ¿ 0 sind z 1 und z 2 komplementär. Die perfekte Lösung (2,3)^ i s t zugleich die einzige effiziente Lösung: E(X,z) = { ( 2 , 3 ) ' } . b) Mit Hilfe der ersten Ableitungen von (3.3.6)

z,(x) := - x 2 + 4x

und (3.3.7)

z 2 (x) := (-5x 2 + 50x - 80)/9

erhält man X1 = {2} und X 2 = {5}. Wegen X

n X 2 = 0 sind z^ und z 2 konkurrie-

rend. Die Menge der effizienten Lösungen wird mit Hilfe des Zielgewichtungsmodells (3.3.8) bestimmt.

Drittes Kapitel:

(3.3.8) mit

max

Vektorielle Entscheidungsmodelle

125

i|>(x;t) = t z ^ x ) + (1-t)z2(x)

X := Di z^(x) wie in (3.3.6) z 2 (x) wie in (3.3.7)

wobei

0 £ t x2).

Nach einem der Effizienztheoreme führt beispielsweise (3.3.20)

, x 2 ; t ) = t z 1 ( x 1 , x 2 ) + (1-t)

z^x^x^

für t = 1/2 zu einer effizienten Lösung. Nun i s t aber (3.3.21)

1

1

1

385. A l s o i s t x 1 z u l ä s s i g bezüglich ( 3 . 4 . 1 3 ) . Wegen z ^ x 1 ) > z ^ x 0 ) und z ^ x 1 ) > z 2 ( x D ) i s t auch z ^ x 1 ) + z ^ x 1 ) > z ^ x 0 ) + z 2 ( x D ) , d.h. z T E S J ( x 1 ) > z T E S T ( x ° ) . x D i s t nicht e f f i z i e n t .

ANMERKUNG Der entscheidungstheoretische Hintergrund dieser Übung besteht aus der Frage, wie eine vorgegebene A l t e r n a t i v e auf E f f i z i e n z getestet werden kann. Das Modell

(TEST), dessen S i n n h a f t i g k e i t o f f e n s i c h t l i c h i s t , kann auf jedes vekto-

r i e l l e Entscheidungsmodell angewandt werden. - Der b e t r i e b s w i r t s c h a f t l i c h e Hintergrund dieser Übung i s t in dem K o n f l i k t zwischen Erlösmaximierung und Minimierung der S t i l l s t a n d s z e i t e n bzw. Maximierung der Kapazitätsauslastung zu sehen. Dieser K o n f l i k t wird offenbar, wenn man f e s t s t e l l t , daß die e r l ö s maximale Produktmengenkombination ( x j , x^) = (6,6) im Inneren des Z u l ä s s i g k e i t s b e r e i c h s l i e g t , d.h. die gegebenen Kapazitäten nicht ausnutzt, und auf der anderen Seite die minimalen S t i l l s t a n d s z e i t e n bei der Produktmengenkombi=2

nation (x^,

=2

= (10,8) e r r e i c h t werden, die auf dem Rande des Z u l ä s s i g k e i t s -

bereichs l i e g t und eine der zwei Produktionskapazitäten sowie die Absatzmögl i c h k e i t e n v o l l ausschöpft. E f f i z i e n t e A l t e r n a t i v e n liegen in diesem B e i s p i e l sowohl auf dem Rande a l s auch im Inneren des Z u l ä s s i g k e i t s b e r e i c h s .

Teil I: Entscheidungsmodelle

132

Ü B U N G

3.5

SCHLÜSSELWORTE

ET:

Vektorielles Entscheidungsmodell, stochastisches Entscheidungsmodell, individuell optimale Lösungen, Kompromißzielfunktion,

Nutzenfunktion

BWL: Finanzinvestition, Portfolio Analyse, Risikominimierung, Dividende, Kursgewinn, Kursverlust

Ein Investor möchte sein gesamtes Vermögen in Höhe von 100 GE für eine Periode möglichst ertragreich und zugleich möglichst risikolos anlegen, wobei sich ihm zwei Finanzanlagen I und II anbieten, x bzw. 100-x seien die Anteile des Vermögens, die in I bzw. II angelegt werden sollen. Die Dividendenzahlungen

in

GE - einschließlich eventueller Kursgewinne oder -Verluste - für die Finanzanlagen I und II nach einer Periode seien zwei Zufallsvariablen

und Yg>

die gemeinsam zweidimensional Die Randverteilung für

normal-verteilt sind mit folgenden Eigenschaften: 2 2 ist N(y^ ) = N(20;16), die für y^ ist Nii^jOg)

= N(30;100); der Korrelationskoeffizient beträgt p = 0,5.

Im Rahmen der Portfolio Analyse wird im allgemeinen der Ertrag durch den Erwartungswert und das Risiko durch die Varianz der zufälligen

Dividendenzah-

lungen gemessen. Der Investor ist somit bestrebt, den Erwartungswert E [ Y i x + y 2 ( 1 0 0 - x ) ] seiner Erträge zu maximieren und gleichzeitig die Varianz +

Y g t 0 0 - x ) ] seiner Erträge zu minimieren.

a) Man stelle das Entscheidungsproblem des Investors als ein Vektoroptimierungsmodell

dar.

b) Man bestimme die individuell optimalen Lösungen. c) Man analysiere die Menge der effizienten Alternativen unter Zuhilfenahme der Kompromißzielfunktion i| 0.

d) Wie lautet die optimale Lösung, wenn der Investor seine Entscheidung anhand folgender Nutzenfunktion ausrichtet : u(E,V) = 840 E - V?

LOSUNGSVORSCHLAG

a) Die Variable x wurde bereits im Aufgabentext definiert. Um die beiden Zielfunktionen formulieren zu können, wird zunächst noch die Kovarianz cov berechnet :

Drittes Kapitel: Vektoriette Entscheidungsmodelle

133

cov(y1,Y2) (3.5.1)

P

=

•

V(YI)-V(Y2)'

bzw.

(3.5.2)

covtr,.Y 2 )

0,5 =

y/ 16 • 100' bzw.

(3.5.3)

c o v ( Y L , Y 2 ) = 20.

Weiterhin sind

(3.5.4)

Et-^x + Y 2 ( 1 0 0 - x)] = 20x + 30(100 - x) = 3000 - lOx

und

(3.5.5)

V [ Y l x + Y 2 ( 1 0 0 - x)] = x 2 V [ Y 1 ] + (100 - x) 2

V[Y2]

+ 2x (100 - x) • c o v ( Y r Y 2 ) = 16x 2 + 100(100 - x ) 2 + 2x(100 - x) • 20 = 76x 2 - 16.000X + 1.000.000.

Mit diesen Angaben läßt sich das vektorielle Entscheidungsmodel1 wobei z,|(x) und z ^ M

jeweils Ersatzzielfunktionen des ursprünglich stocha-

stisehen Entscheidungsmodel!s

(3.5.6)

mit

sind.

max

{z(x)

X

:= {x | 0 s x s 100}

1 X e X}

3.000 - 1Ox

/z,(x)x z(x)

formulieren,

\

z

z

M )

=

l - 76x

2

s

+ 16.000X - I.OOO.OOOJ

b) Die individuellen Optima lassen sich jeweils bestimmen, indem zunächst die erste Ableitung gebildet und null gesetzt wird: (3.5.7)

3z. ^

(3.5.8)

-r-^

, = - 1 0 = 0 i = - 152x + 16.000 = 0 bzw. x = 105,26.

134

Teil I: Entscheidungsmodelle

Die erste Zielfunktion besitzt also kein freies Maximum, weist aber eine negative Steigung auf, so daß x 1 = 0 die individuell optimale Lösung bezüglich Zj ist. Das freie Maximum der zweiten Zielfunktion liegt über 100; da z^ aber eine nach unten geöffnete Parabel darstellt, ist für 0 s x s 100 der Wert von =2 Z£ an der Stelle 100 maximal. Folglich ist x = 100 die individuell

optimale

Lösung bezüglich der zweiten Zielfunktion. c) Es ist

(3.5.9)

i|a(x)

:=

I

tk zk(x)

mit t 1 = 0,6 und

= 0,4

(Zielgewichtung) 2 b)

*b(x)

IZ

tk (zk - zk(x))P]1/P

mit p = 2 und t, = t 2 = 1

(gewichteter euklidischer Abstand vom 2

c)

y 3 , Z y

z 2 > z 3 und v l a s s e n s i c h dem Text

l e i c h t entnehmen. Zur Bestimmung der Z i e l f u n k t i o n s k o e f f i z i e n t e n der Produktarten P I , P2 und P3 s i n d von den V e r k a u f s p r e i s e n ( T a b e l l e 4 . 7 . 1 ) d i e vom Prod u k t i o n s v o l l z u g unabhängigen p r o p o r t i o n a l e n H e r s t e l 1 kosten ( T a b e l l e 4 . 7 . 1 ) , die p r o p o r t i o n a l e n Verpackungs- ( T a b e l l e 4 . 7 . 5 ) und d i e p r o p o r t i o n a l e n Vert r i e b s k o s t e n ( T a b e l l e 4 . 7 . 5 ) abzuziehen. Die Kosten zur E r s t e l l u n g der Zwischenprodukte, d i e s i c h aus der M u l t i p l i k a t i o n der

Produktionskoeffizienten

in Tabelle 4 . 7 . 3 mit den entsprechenden Kostensätzen ergeben, b i l d e n d i e Z i e l f u n k t i o n s k o e f f i z i e n t e n von w.jn ( i = 1 , 2 ) ; ( n = 1 , . . . , 3 ) . 3. Auch f ü r d i e s e s Planungsproblem s i n d andere äquivalente

Formulierungen

denkbar. So kann man etwa auf d i e V a r i a b l e n x ^ , x 2 und x 3 durch Ausnutzen der D e f i n i t i o n s g l e i c h u n g e n (7) b i s ( 9 ) v e r z i c h t e n , wodurch der Aspekt der Produktionsprogrammplanung weiter i n den Hintergrund

tritt.

Viertes Kapitel: Produktionsplanung

205

NUMERISCHE ASPEKTE *

Der maximale Gesamtdeckungsbeitrag in Höhe von z

= 115.480 DM wird durch

folgenden Produktions- und Absatzplan erreicht: Endprodukte: x* = 2.500, Vorprodukte

925,

Vorprodukte Z

x* = 0

(Eigenerstellung):

y* =

*

x* = 1.200,

y* = 1.170,

y*3 = 7.460

(Fremdbezug): *

1 = z2

*

=

z

3

=

0

Verkauf von V3: v* = 5.000 Maschinenauslastung: w^

= 2.500,

w 2 2 = 1 .200,

restliche w * p = 0,

d.h., das Endprodukt P^ ist ausschließlich auf Maschinenart 1 und das Endprodukt P„ ausschließlich auf Maschinenart 2 zu fertigen.

206

7>/7 II: Lineare Programmierung

Ü B U N G

4.8

SCHLÜSSELWORTE

BWL: Produktions-, Beschaffungs- und Lagerhaltungsplanung, Kostenminimierung, Wartungsmaßnahme ET:

Alternativenmenge,

Zielfunktion

Ein Unternehmen des produzierenden Gewerbes muß aufgrund vertraglicher Vereinbarungen in den nächsten drei Perioden folgende Mengen eines von ihm erzeugten Produktes liefern: Periode 1: 160 M E Periode 2: 180 M E Periode 3: 240 ME. Die verfügbare Produktionskapazität beträgt in Periode 1: 100 ME Periode 2: 260 M E Periode 3: 225 M E , wobei die Produktion in Periode 3 aus technischen Gründen höchstens 10 % unter der der Vorperiode liegen darf. - Die Stückkosten des lagerfähigen Produktes belaufen sich auf 25 GE/ME; die Lagerungskosten betragen 1 GE/Periode und ME. Wird das Produkt ab Lager verkauft, entstehen Auslagerungskosten in Höhe von 5 GE/ME; zum Planungsbeginn ist das nicht restriktiv wirkende Lager leer.

Neben der Eigenerstellung besteht in der ersten Periode die Möglichkeit, bis zu 60 ME zum Preis von 35 GE/ME fremd zu beziehen. Desweiteren können eventuell in der ersten Periode auftretende Fehlmengen nachträglich in der zweiten Periode abgedeckt werden; die hierdurch entstehenden Zusatzkosten belaufen sich auf 8 GE/ME.

a) Man formuliere ein lineares Programm, das den gesamtkostenminimalen duktions-, ßeschaffungs- und Lagerhaltungsplan

Pro-

bestimmt.

b) Man berücksichtige in obigem linearen Programm zusätzlich eine Wartungsmaßnahme, die zu einer Kapazitätsminderung von 25 M E führt und die wahlweise in Periode 2 und/oder 3 durchgeführt werden kann.

Viertes Kapitel:

Produktionsplanung

207

LÖSUNGSVORSCHLAG a) Variablendefinitionen: x^. := in Periode i selbst zu produzierende und in Periode j abzusetzende Menge

(i = 1,...,3; j = 1,...,3-, j a i)

:= in Periode 2 zu produzierende, nachträglich abzusetzende Menge y^

in Periode 1 fremdzubeziehende und in Periode j abzusetzende Menge (j = 1

3)

(jeweils in ME) Formulierung des linearen Programms (LP-8): min 6 x + 7 X 8 X 12 13 + 21 + 6 x 2 u.d.N. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

X 11 X 12 X 13 X 11 X 21 x 33

+

+ + + +

X 21

+

x 22

• y12

X 23

+

x 33

X 12

+

X 13

x 22

+

X 23

= 160

y11

= 180 + y , 3 = 240
x ß , y A I > y A n , y B I > y

ß n

, yßIII)

und 5 Nebenbe-

dingungen benötigt. Dies sind sowohl mehr Variablen a l s auch mehr Nebenbedingungen a l s bei der ersten Vorgehensweise.

216

Teil II: Lineare

Programmierung

2. Die Formulierung der Kapazitätsrestriktionen, der Absatzhöchstrestriktionen und der Zielfunktion dürften keine Schwierigkeiten verursachen. 3. Löst man die Gleichungen (1) bis (3) nach Xj,

XJJ,

XJJJ

auf und setzt die

so entstehenden Beziehungen in die Zielfunktion sowie in (4) bis (8) ein, so wird aus (LP-IOa) ein lineares Programm mit 2 Variablen und 4 Nebenbedingungen zuzüglich der Nichtnegativitätsrestriktionen. Auf eine Wiedergabe dieses linearen Programms wird hier verzichtet. b) Variablendefinitionen: x.j := Produktions- und Absatzmenge des Endproduktes i

(i = A,B)

Xj := Menge der herzustellenden Vorprodukte j

(j = I,II,III)

y. := Menge der am Absatzmarkt zu veräußernden Vorprodukte j (j = I,II,III) J (jeweils in ME) Formulierung des linearen Programms (LP-10b):

max

5,5xa

+ 5xß

- Xj - 0 , 5 X J J - 0 , 7 X J J J + 1,4yj + 1 , 4 5 y j j

+

1

> 4 3 y j j j (= z b )

u.d.N. (1)

-2,0x A - 2x ß + x^

(2)

-3,0x a - 2x ß

(3)

-

2 x

(6)

x

y

0

I yIX

n

+

4Xj +

3Xj j +

XJJJ

3xnI

2,0x a + 2x ß xft

(7) (8)

+

ß

(4) (5)

"

xß X A , X ß , Xj, X n , Xjjj, yj, Yjj, Yjjj

-

y

m

=

0

=

0

£1.020 £

400

£

260

s

170

^

0

Bemerkungen: 1. Die Menge yj der am Absatzmarkt zu veräußernden Vorprodukte j ist in der Menge x. der herzustellenden Vorprodukte j enthalten (j = I,II,III). Die Menge der zu fertigenden Vorprodukte erhöht sich damit indirekt gegenüber Teil a) um die geplanten Absatzmengen yj, yjj und yjjj. Dies schlägt sich in den Restriktionen (1) bis (3) nieder, die darüber hinaus garantieren, daß die Menge der

Viertes Kapitel: Produktionsplanung

217

am Absatzmarkt zu veräußernden Vorprodukte die der herzustellenden Vorprodukte n i c h t ü b e r s t e i g t . A l l e übrigen R e s t r i k t i o n e n

bleiben

unverändert.

2. Die b i s h e r i g e n Z i e l f u n k t i o n s k o e f f i z i e n t e n bleiben gegenüber T e i l a) unverändert. Die K o e f f i z i e n t e n zu y j , y j j und y j j j e r h ä l t man, indem man d i e Verwaltungs- und V e r t r i e b s k o s t e n vom A b s a t z p r e i s s u b t r a h i e r t . So e r g i b t s i c h z.B für y j 1,50 GE/ME - 0 , 1 - 1

GE/ME = 1,40 GE/ME. Die v a r i a b l e n H e r s t e l l kosten

s i n d b e r e i t s in den K o e f f i z i e n t e n zu X j ,

und

Xjj

Xjjj

b e r ü c k s i c h t i g t . Wie

schon in T e i l a) wird der Deckungsbeitrag maximiert. c)

Variablendefinitionen: z := Menge der fremdzubeziehenden E i n h e i t e n von Vorprodukt I I A l l e übrigen V a r i a b l e n wie i n T e i l

Formulierung des l i n e a r e n Programms max

0

5,5x^ + 5x ß - Xj - 0,5Xjj -

( i n ME)

b) angegeben. (LP-IOc):

» 7 x j j j - 1,6z + 1,4yj + 1,45yjj + 1,43yjj^

u.d.N (1)

X

I

(2)

X

II

(3)

X

III

(4)

-

y

+ z

- y

-

y

4xj

+

3 x

(5)

2x

+

2x ß

(6)

X

A

m "

X X

n

+

- 3x ft - 2Xg - 0

n

2x

0

ß

3x

< 1 .020

III

A

(7) (8)

0

- 2 X a - 2Xg

I

A'

Xß,

B

Xp

X

II'

X

I11*

y

I'

y

II»

y

n r


+

u.d.N. (1) (2)

5Xj +

(LP-1b):

7x^ +

9x^ + 15Xg

50x 1 + 6 0 x 2 + 3 0 x 3 + 20x 4 + 3 0 x g + 50x g S 100 0 s xn S 1

(n = 1,...,6).

Bestimmung einer optimalen Lösung von (LP-1b): Zunächst wird das Investitionsobjekt mit dem höchsten relativen

Kapitalwert

ins Programm aufgenommen: x^ = 1. Es verbleiben Mittel in Höhe von 80 TDM. Die Objekte mit dem zweithöchsten relativen Kapitalwert sind 1 0 1 0 g

und 10g.

Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge diese Objekte ins Programm aufgenommen werden. So könnte beispielsweise das Objekt 10g ganz aufgenommen werden: x£ = 1. Nun verbleiben noch Mittel von 50 TDM. Es wird angenommen, daß damit das Objekt 10g - ebenfalls vollständig - finanziert werden soll: x | = 1. Jetzt sind alle Mittel ausgeschöpft. Eine bezüglich (LP-1b) optimale Lösung ist somit

= x | = x£ = 1

und

=

= x^ = 0. In diesem Fall beträgt der

maximale Gesamtkapitalwert - lediglich - 31 TDM.

NUMERISCHE ASPEKTE a) Für (LP-la) wurde die (eindeutige) optimale Lösung bereits berechnet. Sie ist aufgrund der gegebenen numerischen Werte, nicht dagegen infolge des benutzten Verfahrens ganzzahlig.

b) Eine optimale Lösung von CLP-1b) wurde ebenfalls bereits ermittelt. Es existieren offensichtlich weitere optimale (Basis-)Lösungen, die jedoch nicht ganzzahlig sind. Unter der (zusätzlichen) Nebenbedingung, daß alle Variablen in der optimalen Lösung ganzzahlig sein müssen, ist die angegebene optimale Lösung eindeutig (vgl. hierzu Übung 1.3).

234

Teil II: Lineare Programmierung

Ü B U N G

6.2

SCHLÜSSELWORTE

BWL: Investitionsentscheidungen, Kalkulationszinsfuß, maximierung, Beteiligungsgesellschaft, ET:

Alternativenmenge, Binärvariable,

Gewinn-

Finanzinvestition

Zielfunktion

Einem Chemieunternehmen stehen zum Planungszeitpunkt, d.h. zu Beginn der ersten Periode, fünf Investitionsobjekte zur Verfügung, die folgende Zahlungsreihen (Einzahlungsüberschüsse e ^ - a n t ) auslösen (jeweils in GE am Periodenende) (n =1

5; t = 0,... ,3):

Periode t 1

2

3

- 1 000

200

500

740

2

- 5 000

300

1.500

4.500

3

- 1 500

0

1.000

1.000

4

- 3 000

3.000

1.000

0

5

- 2 500

1.000

1.000

1.000

Investi^ ^ ^ ^ ^ tionsobjekt n 1

0

Um Erlösinterdependenzen zu vermeiden, dürfen nicht mehr als drei dieser Investitionsobjekte realisiert werden, und zwar jedes vollständig und nicht öfter als einmal. Man gehe zunächst davon aus, daß dem Unternehmen

genügend

liquide Mittel zur Verfügung stehen und daß der Kalkulationszinssatz i= 0,06 pro Periode beträgt.

a) Man stelle ein ganzzahliges lineares Programm zur Gewinnmaximierung auf. b) Dem Chemieunternehmen wird nun zusätzlich von einer

Betei1igungsgesell-

schaft zur Auflage gemacht, in der ersten Periode nicht mehr als 5.000 GE zu investieren. Außerdem wünscht die Beteiligungsgesellschaft, daß die Investitionsobjekte 4 und 5 nur zu Beginn der zweiten Periode realisiert werden können. Man formuliere erneut ein lineares Programm zur Bestimmung des gewinnmaximalen Investitionsprogramms, wenn sofort und/oder zu Beginn der zweiten Periode investiert werden kann. c) In Gesprächen mit der Beteiligungsgesellschaft

ist man zu dem Ergebnis ge-

kommen, daß die Durchführung des dritten Investitionsobjektes positive Auswirkungen auf die Absatzchancen des beteiligten Unternehmens in einem speziellen Markt hätte. Um besondere Anreize für die Realisierung des dritten Objektes zu schaffen, wird dem Chemieunternehmen für diesen Fall eine Finanzinvestition angeboten. Am Ende der zweiten Periode können liquide

Sechstes Kapitel: Investition- und Finanzplanung

235

Mittel in Höhe von 1.000 GE für eine Periode zu 10 % Zinsen angelegt werden. Wie ändert sich das in Teil b) formulierte lineare

Programm?

LOSUNGSVORSCHLAG

a) Variablendefinitionen:

n

f 1 \ 0

:

falls das n-te Investitionsobjekt zu realisieren ist sonst' (n = 1,...,5)

Formulierung des linearen Programms

max

z a = 255x 1

u.d.N. (1)

+ 396x 2 + 230x 3 + 720x 4 + 173x 5

x^ +

(2)

(LP-2a):

x^ +

x3 +

x^ +

Xg ä 3

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 e {0,1}

Bemerkungen:

1. Da keine zeitlichen Interdependenzen zwischen den Investitionsobjekten bestehen, genügt eine einperiodige

Betrachtung.

2. Jedes Investitionsobjekt wird entweder vollständig oder gar nicht durchgeführt. Das legt die obige Variablendefinition

3. In die Zielfunktion werden die Kapitalwerte K r

nahe.

n

der fünf

Investitionsob-

jekte aufgenommen. Es gilt

K

n

j

Q

speziell für das erste

K

1 =

jQ

(e

+

^

=

Investitionsobjekt

1 t " a 1t>

(1

+

i)_t

=

- 1 .000 + 200-0,9434 + 500-0,8900 + 7 4 0 - 0 , 8 3 9 6

«

255

Die Kapitalwerte der weiteren Investitionsobjekte lassen sich analog bestimmen.

236

Teil II: Lineare Programmierung

4. Das vorliegende lineare Programm wird im Operations Research als Rucksackproblem bezeichnet. Eine solche Struktur wurde bereits in den Anmerkungen zur Übung 1.3 angesprochen, so daß auf eine erneute Diskussion verzichtet wird.

b) Variablendefinitionen:

(

1

falls das n-te Investitionsobjekt am Ende der

0

Periode t zu realisieren ist sonst

Formulierung des linearen Programms

max

255x1q +

396x2Q +

(n = 1,...,5-, t = 0,1)

(LP-2b):

230x3Q + 241x^

+ 374x21 + 217x31

+ 6 7 9 x 4 1 + 163x 5 1

u.d.N. (1 )

x10 +

(2)

x10

(3) (4) (5) (6)

x20

+

x30

+

x„

+ x2Q

x

x21

+

+


0

(t = 1, —

(t = 1,...,5) (s,t = 1 ,...,5; s s t) ,5)

252

Teil II: Lineare Programmierung

Bemerkungen: 1. Zunächst werden a l l e Zahlungen t a b e l l a r i s c h e r f a ß t . Wird in der Woche t e i n K o n t o k o r r e n t k r e d i t i n Höhe von x t aufgenommen, so s i n d i n der Woche t + 1 x t ( 1 + 0 , 0 0 2 5 ) = 1,0025x t zurückzuzahlen ( t = 1 , . . . , 5 ) . Der zum Anfang der e r s t e n Woche b e r e i t s aufgenommene K r e d i t wird in t = 1 v e r z i n s t

zurückge-

z a h l t , d . h . , es e n t s t e h t e i n e Auszahlung von 1.000 • 1,0025 = 1.002,5 GE. Wird-eine Lieferantenrechnung s o f o r t oder eine Woche nach Eingang b e z a h l t , d.h., ist y t

t

= 1 oder y t

= 1 (t = 1 , . . . , 4 ) , so werden 2 % Skonto vom

Rechnungsbetrag abgezogen. A n d e r n f a l l s i s t der Rechnungsbetrag v o l l zu beg l e i c h e n . Eine Zahlung nach der f ü n f t e n Woche i s t l a u t Obungstext n i c h t

statt-

h a f t . Der L i e f e r b e t r a g aus der f ü n f t e n Woche muß d i r e k t bezahlt werden. Daher wäre keine V a r i a b l e

e r f o r d e r l i c h ; s i e wird zur V e r d e u t l i c h u n g jedoch mit

d e f i n i e r t . - Die d i s k o n t i e r t e n Wechsel i n Höhe v^, Vg und v^ werden mit 0,9 %, 0,6 % bzw. 0 , 3 % b e l a s t e t . D i e s i s t in den entsprechenden Zahlungsreihen zu erkennen. - Der Bankkredit w i s t in der zweiten, d r i t t e n und v i e r t e n Woche mit 0,002w zu v e r z i n s e n und i n der v i e r t e n Woche zurückzuzahlen. - Die zu 0,1 % pro Woche angelegten f i n a n z i e l l e n M i t t e l verursachen zunächst e i n e Auszahlung i n Höhe von z^ i n der t - t e n Woche, anschließend eine E i n z a h l u n g i n Höhe von 1 , 0 0 1 z t + 1

(t = 1 , . . . , 5 ) . - S c h l i e ß l i c h s i n d d i e autonomen, d.h.

f e s t t e r m i n i e r t e n und n i c h t mehr vom Unternehmen ( E n t s c h e i d u n g s t r ä g e r )

beein-

f l u ß b a r e n , Zahlungen ausgewiesen. 2. Die L i q u i d i t ä t s r e s t r i k t i o n e n

(1) b i s (5) sorgen d a f ü r , daß i n jeder Woche

f i n a n z i e l l e s Gleichgewicht h e r r s c h t , d . h . , daß die E i n - und Auszahlungen a u f einander abgestimmt s i n d . I n (6) b i s (10) wird g e w ä h r l e i s t e t , daß d i e L i e f e rantenrechnungen genau einmal b e g l i c h e n werden. Die d i s k o n t f ä h i g e n Wechsel sowie der Bankkredit s i n d e b e n f a l l s begrenzt ( ( 1 1 ) und ( 1 2 ) ) . Das Kontokorrentkonto d a r f nur b i s 2.000 GE überzogen werden ( 1 3 ) . - Es f o l g e n d i e r e s t l i c h e n N i c h t n e g a t i v i t ä t s b e d i n g u n g e n und d i e Beschränkung von y

t

auf

d i e Werte 0 und 1 ( s . t = 1 , . . . , 5 ; s < t ) .

3. Das Endvermögen am Ende der f ü n f t e n Woche i s t zu maximieren.

NUMERISCHE ASPEKTE Das l i n e a r e Programm ( L P - 6 ) hat 28

- davon 14 binäre -

Entscheidun^svari-

ablen. M i t H i l f e der von Null verschiedenen Werte der V a r i a b l e n i n e i n e r optimalen Lösung wird der optimale Finanzplan

aufgestellt.

253

Sechstes Kapitel: Investirions• und Finanzplanung

Optimaler Finanzplan

Wochen VariablerN^

t=1

x* = 451,205 y

12 "

4

"

t=2

451 ,205

t=3

t= 6

-452,333

-490,00

1

4 =1 4= 1 4 •1 • w*

= 602,500

z*3

=

z^

= 662,813

z*

=

-490,000 -980,000 -1470,000 602,500

-1,205

56,462

-1 ,205

-603,705

-56,462

56,518 -662,813

13,476

663,476 -13,476

400,000

2000,000

1000,000

-1002,500 Saldo

t=5

-2450,000

1

autonom

t=4

0

200,000

13 490

1800,000

1500,000 0

0

0

0

13 490

Der angegebene Finanzplan ist optimal bezuglich des linearen Programms (LP-6), d.h. bezüglich der im Text der Übung formulierten Daten.

254

Teil II: Lineare Programmierung

Ü B U N G

6.7

SCHLÜSSELWORTE

BWL: Simultane Investitions- und Finanzplanung, Kredit, A n leihe, Anlage liquider Mittel, Endvermögensmaximierung, gleichbleibende ET:

Entnahmen

Alternativenmenge,

Zielfunktion

Die Leitung eines mittelständischen Unternehmens möchte für die nächsten vier Perioden einen simultanen Investitions- und Finanzplan aufstellen. Die drei Sachinvestitionen, die nur zu Beginn der ersten Periode realisiert werden können, sind voneinander unabhängig und in höchstens zwei Einheiten durchführbar; sie sind zudem beliebig teilbar und führen zu folgenden Zahlungsreihen, die sich jeweils auf den Periodenbeginn beziehen: a c h i n v e s t iPeriode^

2

1

3

1

- 10

- 8

- 12

2

4

2

10

3

8

8

5

4

1

2

1

Alle Werte besitzen die Dimension GE. Zur Finanzierung des gramms steht Eigenkapital

Investitionspro-

in Höhe von 5 GE zur Verfügung. Darüber hinaus kann

zu Beginn jeder Periode ein Kredit in unbegrenzter Höhe zu 10 % Zinsen pro Periode aufgenommen werden, der in der jeweiligen Folgeperiode

zurückzuzah-

len ist. Weiterhin stehen zur Finanzierung zwei Anleihen A und B zur Disposition. Die Höhe der Anleihe A bzw. B, die nur zu Beginn der ersten Periode begeben werden kann, ist auf 24 bzw. 6 Geldeinheiten begrenzt. Anleihe A wird zu Beginn der dritten Periode getilgt, Anleihe B zu Beginn der dritten und vierten Periode je zur Hälfte. Die Zinsen betragen 6 % für A bzw. 8 % für B. überschüssige liquide Mittel können zu 5 % Zinsen angelegt werden.

a) Man formuliere ein lineares Programm zur Maximierung des Endvermögens am Ende der vierten Periode. b) Welche Modifikationen sind nötig, wenn statt des Endvermögens ein gleichbleibender Entnahmestrom

- ab Beginn der zweiten Periode bis zum Ende

der vierten bzw. bis zum Beginn der fünften Periode soll?

- maximiert werden

Sechstes Kapitel: Investitions-

und Finanzplanung

255

LÖSUNGSVORSCHLAG

a) Variablendefinitionen: x n := Häufigkeit, mit der die Sachinvestition n durchzuführen ist

(n = 1,...,3)

:= Höhe des zu Beginn der Periode t aufzunehmenden Kredits (in GE)

(t = 1,...,4)

y|! := Höhe der zu Beginn der Periode t anzulegenden Mittel (in GE)

(t = 1

:= Höhe, in der die Anleihe m zu begeben ist (in GE)

(m = A,B)

Obersicht aller 1iquiditätswirksamen Zahlungskoeffizienten: "----^Zahlungen

t = 1

t = 2

t = 3

t = 4

t = 5

- 10

4

8

1

-

x2

-

8

2

8

2

-

X

3

- 12

10

5

1

-

y

i

1

- 1,1

-

-

-

yz

-

1

- 1,1

-

-

y

3

-

-

1

- 1 ,1

-

y

4

-

-

-

1

- 1,1

y

1

1,05

-

-

-

y

2

1 ,05

-

-

y

3

1 ,05

-

y

4

Z

A

Z

B

Variableri""'"-^»^^ X

1

Eigenkapital

- 1 -

- 1

-

-

- 1

-

-

-

- 1

1,05

1

- 0,06

- 1,06

-

-

1

- 0,08

- 0,58

- 0 ,54

-

5

-

-

-

-

4)

256

Teil II: Lineare Programmierung

Formulierung des linearen Programms

max

(LP-7a):

+ 1,05y^

u.d.N. (1)

-10x l - 8 X 2 - 12X 3 + y^ - y!j +

(2)

4x 1 + 2x 2 + 10x 3 - 1,1yj +

+ zß + 5 = 0 + 1,05yf -

- 0,06z A

-0,08zß = 0 (3)

8x 1 + 8 x 2 + 5 X 3 - 1 ,1y 2 + y j + 1 ,05y^ - y^ - 1 ,06z A -0,58zß = 0

(4)

x, + 2x 2 + x 3 - 1,1y 3 + y^ + 1,05y^ - yjf - 0,54z ß = 0

(5)

xp S

(6)

z A < 24

(7)

z

(8)

VVV

2

( n = 1.....3)

6

ß S

y

r

y

2'

y

3

, y

4'

y

r

y

2'

y

3

, y

4'

z

A'

z

B

ä 0

Bemerkungen: 1. Sämtliche für das Planungsproblem relevanten Zahlungen sind - in Abhängigkeit von den entsprechenden Entscheidungsvariablen - in der angebenen Tabelle zusammengefaßt. Dabei weisen wiederum die Einzahlungen ein positives, die Auszahlungen ein negatives Vorzeichen auf. Alle angegebenen Zahlungen beziehen sich jeweils auf den Periodenbeginn. Mit t = 5, d.h. dem Ende der vierten Periode, ist der Planungshorizont erreicht. Die tabellarische

Zusammen-

stellung aller Zahlungen erleichtert die Formulierung der Liquiditätsrestriktionen erheblich.

2. Durch die Liquiditätsbedingungen

(1) bis (4) wird garantiert, daß das Un-

ternehmen sich bei Realisation des bezüglich (LP-7a) optimalen und Finanzprogramms zu Beginn jeder Periode im finanziellen

Investitions-

Gleichgewicht

befindet. Dazu ist es nötig, daß die Summe aller Zahlungen bzw. die Differenz aus Ein- und Auszahlungen einen nichtnegativen Wert annimmt. Zugleich ist es aber unsinnig, einen positiven Kassenbestand auszuweisen, denn dieser Betrag würde sich bei Nutzung der Anlagemöglichkeit mit 5 % pro Periode verzinsen. Daher ist in (1) bis (4) das Gleichheitszeichen berechtigt: Alle 1iguiden Mittel werden angelegt und führen somit zu einer entsprechenden Auszahlung.

Sechstes Kapitel: Investitions- und Finanzplanung

257

3. Die Restriktion (5) sorgt dafür, daß keine Sachinvestition häufiger als zweimal realisiert wird. In (6) und (7) sind die Höchstbeträge der Anleihen A und B festgeschrieben. Schließlich handelt es sich bei (8) um Nichtnegativitätsrestriktionen.

4. Das Endvermögen ist positiv, wenn zu Beginn der vierten Periode Geld angelegt werden kann (y]j > 0 ) . Es ist negativ, wenn ein Kredit aufgenommen werden muß (y^ > 0). Unter Berücksichtigung der jeweiligen Verzinsung ist daher 1,05yJ! - 1,1 yi zu maximieren.

b) Variablendefinition: v := Höhe der (gleichbleibenden) Entnahme (in GE) Formulierung des linearen Programms (LP-7b):

u.d.N. (1) (2)

-10x l - 8X 2 - 12X 3 + yj - y',' + zft + z ß + 5 = 0 4x, + 2x 2 + 10x3 - 1 ,1y' + y£ + 1,05y^' - y£ - 0,06zA - 0,08Zg - v = 0

(3)

8x1 + 8x 2 + 5x 3 - 1,1y2 + y 3 + 1,05y£ - y 3 - 1,06zA - 0,58Zg - v = 0

(4) (4a)

x} + 2X 2 + x 3 - 1,1y3 + yj + 1,05y^ - y)| - 0,54z ß - v = 0 - 1

+

1,05yjJ - v a 0

(5)

xn s

(6)

z A s 24

(7)

z

(8)

X

(9)

v S 0

ß S x

2

(n = 1.....3)

6 x

1* 2* 3» y 1' y 2' y 3 , y 4' y 1 , y 2' y 3' y 4' z A' z B

2

0

Bemerkungen: 1. Die Restriktionen (5) bis (8) bleiben gegenüber dem Teil a) dieser Übung unverändert, da sie durch den gleichbleibenden Entnahmestrom nicht berührt werden.

258

Teil II: Lineare Programmierung

2. Der g l e i c h b l e i b e n d e Entnahmestrom d a r f n i c h t n e g a t i v werden

(Restriktion

( 9 ) ) . Ab der zweiten Periode werden Auszahlungen von v e r f a ß t , was s i c h i n den L i q u i d i t ä t s b e d i n g u n g e n

(2) b i s (4a) n i e d e r s c h l ä g t . Die R e s t r i k t i o n

(4a)

bezieht s i c h dabei auf das Ende des P l a n u n g s h o r i z o n t e s ; zu diesem Zeitpunkt i s t noch eine Entnahme zu b e r ü c k s i c h t i g e n . Die R e s t r i k t i o n (1) b l e i b t gegenüber (LP-7a) unverändert, weil zu d i e s e r Z e i t ( t = 1) noch keine Entnahme e r folgt.

3. I n der R e s t r i k t i o n (4a) wurde kein G l e i c h h e i t s z e i c h e n verwendet, weil auch e i n p o s i t i v e r Finanzüberschuß am Ende des P l a n u n g s h o r i z o n t e s z u l ä s s i g

ist.

M i t H i l f e der folgenden Überlegungen l ä ß t s i c h jedoch auch das G l e i c h h e i t s zeichen r e c h t f e r t i g e n : Bestünde i n t = 5 e i n p o s i t i v e r Finanzüberschuß, so könnte d i e s e r i n eine ä q u i v a l e n t e Z a h l u n g s r e i h e verwandelt werden, die eine höhere Entnahme z u l i e ß e und zu einem Finanzüberschuß von n u l l

in t = 5 führen

würde. Der Z i e l f u n k t i o n s w e r t könnte erhöht werden, weil durch entsprechende Kredite der Entnahmestrom erhöht werden könnte. I n e i n e r optimalen Lösung von (LP-7b) g i b t es daher keinen Finanzüberschuß zum Ende des

4. Eine Kommentierung der Z i e l f u n k t i o n e r ü b r i g t

Planungshorizontes.

sich.

NUMERISCHE ASPEKTE Die optimale Lösung der l i n e a r e n Programme (LP-7a) und (LP-7b) können den e r s t e n S p a l t e n der z u g e h ö r i g e n , nachfolgend angegebenen optimalen

Investi-

t i o n s - und Finanzpläne entnommen werden. Die d o r t n i c h t aufgeführten V a r i ablen haben j e w e i l s den Wert N u l l . Bei beiden Z i e l s e t z u n g e n i s t es o p t i m a l , a l l e I n v e s t i t i o n s o b j e k t e

höchstmög-

l i c h , d . h . i n j e w e i l s zwei E i n h e i t e n , zu r e a l i s i e r e n . Der K o n f l i k t zwischen Endvermögensmaximierung und Entnahmemaximierung wird dadurch d e u t l i c h , daß bei einem maximalen Endvermögen i n Höhe von 22,470 GE wegen der Anlagemögl i c h k e i t zum Z i n s s a t z 0,05 keine Entnahme möglich i s t und daß umgekehrt s i c h *

bei e i n e r maximalen, p e r i o d i s c h g l e i c h b l e i b e n d e n Entnahme v

= 5,165 GE e i n

Endvermögen von 0 GE e r g i b t . Im Gegensatz zur Entnahmemaximierung

erreicht

bei der Endvermögensmaximierung aufgrund der gegebenen Z i n s s t r u k t u r d i e Höhe der A n l e i h e B n i c h t i h r e i n d i v i d u e l l e Obergrenze.

259

Sechstes Kapitel: Investitions- und Finanzplanung

Optimaler I n v e s t i t i o n s - und Finanzplan bei Endvermögensmaximierung

(LP-7a)

Perioden 1

2

3

4

2

- 20

8

16

2

? = 2 • X, = 2 * = 24 Z A

- 16

4

16

4

- 24

20

10

2

Variablen\^ X*

1 =

x

*

•

Z

R 1*

y

1 ii* »*

=

24

3,471

3,471

= 27,529

27,529

-

1 440

- 25 440

-

0 278

-

2 013

1 874

- 30 282 - 14 547

= 14,547 = 21,400 EK

-

5

15 274 - 21 400

22 470

0

22 470

5

Saldo

0

0

0 '

Optimaler I n v e s t i t i o n s - und Finanzplan bei Entnahmemaximierung

(LP-7b)

^\Perioden Variablen^. X

3

4

2

- 20

8

16

2

=

2

- 16

4

16

4

=

2

- 24

20

10

2

= 24

24

-

1 440

- 25,440

6

-

0 480

-

3,480

-

2,844

-

5,071

*

• •

= 6 R 1* = 25 y 1 1* y? = 2,585 Z

•I •

4 *

V

2

* 1 =

• x ?

y

1

=

5,071

=

4,919

-

5,165

EK Saldo

25

-

5

3,240

- 27 500 2 585

-

5 165

-

.5,165

5,324 -

4,919

-

5,165

' 5, 165 -

5, 165

5 0

0

0

0

0

260

Teil II: Lineare Programmierung

Ü B U N G

6.8

Schlüsselworte

BWL: Finanzplanung, Skonto, Kontokorrentkredit,

Bankkredit,

Wertpapierbestand ET:

Alternativenmenge, Z islkonfIikte, Goal Programming

Die Finanzabteilung der LAMBDA-GmbH hat die Aufgabe, die dispositiven Zahlungen der kommenden vier Perioden so zu gestalten, daß zum einen in jeder Periode das finanzielle Gleichgewicht gewahrt ist (Ziel

1) und zum anderen

am Ende des Planungshorizonts ein Endvermögen von mindestens 150 GE erzielt wird, das sich aus dem Bestand an Wertpapieren zum Nennwert und der Differenz der Finanzerträge und der Finanzaufwendungen am Ende der vierten Periode zusammensetzt (Ziel 2). Alle Zahlungen bis auf die Zinszahlungen der gehaltenen Wertpapiere fallen jeweils zu Beginn einer Periode an.

Die anfallenden autonomen Zahlungseingänge sowie erwartete Lieferantenrechnungen sind in Tabelle 6.8.1, jeweils in GE, zusammengestellt. Die Lieferantenrechnungen sind entweder direkt unter Abzug von 3 % Skonto oder nach Ablauf einer Periode in voller Höhe zu bezahlen.

Bei einer Oberziehung des Kontokorrentkontos fallen Zinsen in Höhe von 5 % je Periode an; dieses Konto sollte jedoch nicht um mehr als 90 GE Uberzogen werden (Ziel 3). überschüssige Beträge werden auf dem Kontokorrentkonto mit 1 % je Periode verzinst.

Außerdem kann zu Beginn der ersten Periode ein Bankkredit I in Höhe von 150 GE in Anspruch genommen werden. Dieser Kredit muß

- gegebenenfalls -

in voller

Höhe aufgenommen werden und ist in der zweiten und dritten Periode jeweils zur Hälfte zurückzuzahlen. Der Zinsfuß beträgt 3 % pro Periode. Der Bankkredit II kann in der ersten Periode in beliebiger Höhe zwischen 20 GE und 200 GE aufgenommen werden. Ein Verzicht ist nicht möglich. Er ist mit 4 % pro Periode zu verzinsen und zu Beginn der dritten Periode zu tilgen.

Das Unternehmen verfügt über festverzinsliche Wertpapiere mit einem Zinsfuß von 2 % zum Nennwert in Höhe von 200 GE, von denen aber höchstens die Hälfte innerhalb des Planungszeitraums veräußert werden sollte in Tabelle 6.8.1 angegebenen Rückzahlungskurse

(Ziel 4), wobei die

(pro 100 GE) erwartet werden.

a) Man formuliere zu diesem Finanzplanungsproblem ein lineares Programm in der Art eines Goal Programming-Modells, wobei das Ziel 1 (finanzielles Gleichgewicht) in jedem Fall voll erreicht werden muß, die Ziele 2 bis 4

Sechstes Kapitel: Investition-

Perioden

1

Autonome Zahlungseingänge

3 -

261

4

- 170

80

70

190

40

20

60

0

108

107

106

105

Lieferantenrechnungen Rückzahlungskurs

2

und Finanzplanung

Tabelle 6.8.1 dagegen nach M ö g l i c h k e i t e r r e i c h t werden s o l l e n , wobei dem Ziel 4 ( E r haltung des halben Wertpapierbestandes) eine höhere P r i o r i t ä t

(Gewichtung

des Nennwertes der veräußerten Wertpapiere, soweit er 100 ü b e r s t e i g t , mit 100), dem Ziel 3 (Einhaltung der K r e d i t l i n i e beim Kontokorrentkredit) eine m i t t l e r e P r i o r i t ä t (Gewichtung der Summe der Oberziehungsbeträge jeder e i n zelnen Periode, soweit die K r e d i t l i n i e überschritten wird, mit 10) und dem Ziel 2 (angestrebtes Endvermögen) eine geringere P r i o r i t ä t (Gewichtung des Endvermögens, soweit 150 GE u n t e r s c h r i t t e n werden, mit 1) zuzuordnen s i n d . b) Wie läßt s i c h das unter a) gefundene l i n e a r e Programm fügig -

- möglichst g e r i n g -

ändern, um mit dessen H i l f e ein maximales Endvermögen am Ende des

Planungshorizonts bestimmen zu können, wobei die Z i e l e 1, 3 und 4 in jedem F a l l e v o l l e r r e i c h t werden müssen?

LÖSUNGSVORSCHLAG Variablendefinitionen:

{

1 f a l l s die Lieferantenrechnung, die in Periode t a n f ä l l t , s o f o r t zu bezahlen i s t 0 sonst (t = 1 , . . . , 3 )

üTj. t

:=

yk.

:=

i n Periode t in Anspruch zu nehmender Kontokorrentkredit ( i n GE) (t = 1

yg^.

:=

in Periode t auf dem Kontokorrentkonto auszuweisendes Guthaben ( i n GE) (t = 1 , . . . , 4 )

1

t

..

DK

_ 1

4)

f 1 f a l l s Bankredit I aufzunehmen i s t \ 0 sonst

bk 2

Aufnahmehöhe des Bankkredits I I

w

Nennwert der i n Periode t zu verkaufenden Wertpapiere

(t = 1 , . . . , 4 )

dmk

Zielunterschreitungen in Nebenbedingung k

(k = 5 , . . . , 1 0 )

dp k

Ziel Überschreitungen i n Nebenbedingung k

(k = 5 , . . . , 1 0 )

t

( i n GE)

262

Teil II: Lineare Programmierung

Übersicht aller 1 iquiditätswirksamen

Zahlungskoeffizienteri:

Sechstes Kapitel: Investitions- und Finanzplanung

263

a) Formulierung des linearen Programms (LP-8a):

min

u.d.N.

z =

(1) (2)

100dp 1 n + 10dp, + 10dp 7 + 1Odp„ + 10dp q + dm.

-38,85t., + yk 1 - yg 1 + 150bk 1 + bk 2 + 1,08w 1 = 170 40£r, - 19,4Jlr2 - 1,05yk 1 + y k 2 + 1,01yg 1 - y g 2 - 79,5bk 1 -0,04bk 2 - 0,02w 1 + 1,07w 2 = -44

(3)

20ü.r2 - 58,2Jlr3 - 1,05yk 2 + y k 3 + 1,01yg 2 - y g 3 - 77,25bk 1 -1,04bk 2 - 0,02w 1 - 0,02W 2 + 1,06w 3 = 86

(4)

60J>r3 - 1,05yk 3 + y k 4 + 1,01yg 3 - y g 4 - 0,02w 1 - 0,02w 2 -0,02W 3 + 1 ,05W 4 = -134

(5)

-1,05yk 4 + 1,01yg 4 - 1,02w 1 - 1,02w 2 - 1,02W 3 - 1,02W 4 +dnig - dp,. = -54

(6)

yk 1 - d p 6 + dm g = 90

(7)

y k 2 - d p 7 + d m 7 = 90

(8)

y k 3 - d p 8 + dm 8 = 90

(9)

y k 4 - d p g + d m g = 90

(10)

w1

+ w2

+ w3

+ w 4 - d p 1 Q + d m 1 Q = 100

(11)

d p 1 Q < 100

(12)

20 £ bk 2 < 200

(13)

ir.,, l r z , ir 3 , bk1 € {0,1}

(14)

restliche (alle) Variablen nichtnegativ.

Bemerkungen: 1. Die tabellarische Obersicht aller liquiditätswirksamen Zahlungskoeffizienten ist bei der (anschließenden) Formulierung der Liquiditätsrestriktionen, d.h. aller Nebenbedingungen, die die Einhaltung des finanziellen Gleichgewichts zu bestimmten Zeitpunkten sichern, und der Zielfunktion sehr nützlich. In der Spalte t = 1 sind alle Zahlungen, die in der ersten Periode anfallen, in Abhängigkeit von den Entscheidungsvariablen dargestellt. Außerdem sind die autonomen Zahlungseingänge in der Obersicht erfaßt. Die Koeffizienten werden im folgenden zusammen mit den Restriktionen erläutert.

264

Teil II: Lineare Programmierung

2. Die L i q u i d i t ä t s r e s t r i k t i o n e n f i n a n z i e l l e n Gleichgewichts

(1) b i s (4) g a r a n t i e r e n d i e E i n h a l t u n g des

( Z i e l 1) zu Beginn jeder Periode t ( t = 1 , . . . , 4 ) .

Die Kassenhaltung i s t in keinem F a l l s i n n v o l l , da d i e ü b e r s c h ü s s i g e n Beträge auf dem Kontokorrentkonto p o s i t i v e Finanzüberschüsse e r b r i n g e n und somit der Barhaltung vorzuziehen s i n d . Daher kann in den Nebenbedingungen (1) b i s

(4)

auf e i n U n g l e i c h h e i t s z e i c h e n v e r z i c h t e t und s t a t t dessen das G l e i c h h e i t s zeichen verwendet werden.

Für d i e Lieferantenrechnungen besteht d i e M ö g l i c h k e i t , d i e s e s o f o r t zu z a h l e n ; i n diesem F a l l

können 3 % Skonto abgezogen werden. Es v e r b l e i b e n daher 38,8 GE

(Lieferantenrechnung i n Periode 1 ) , 19,4 GE (Periode 2) bzw. 58,2 GE (Periode 3 ) . Zum anderen besteht d i e M ö g l i c h k e i t der Zahlung i n v o l l e r Höhe nach j e w e i l s e i n e r Periode. Um d i e s formal a b z u b i l d e n , werden d i e B i n ä r v a r i a b l e n 2.r^,

und i.r.3 e i n g e f ü h r t , d i e nur bei s o f o r t i g e r Zahlung den Wert 1, an-

sonsten aber den Wert 0 annehmen. So r e s u l t i e r t z . B . f ü r

= 0 i n Periode 1

eine Zahlung von 38,8 • 0 = 0 und in Periode 2 von 40 • 0 - 40 = - 40 GE ( v g l . d i e z w e i t l e t z t e Z e i l e der Ü b e r s i c h t ) . Wird e i n K o n t o k o r r e n t k r e d i t i n Höhe von y k t beansprucht, so s i n d i n t + 1 1,05 y k t GE zurückzuzahlen ( t = 1 , . . . , 4 ) . Analog dazu e r h ä l t man bei Anlage von y g t i n t + 1 eine Einnahme von 1,01 y g t GE. Bei Inanspruchnahme des B a n k k r e d i t e s I (bk 1 = 1) r e s u l t i e r e n Zahlungen von 150 i n Periode 1, von - 4 , 5 ( Z i n s e n ) - 75 ( T i l g u n g ) i n Periode 2 und von - 2 , 2 5 - 75 i n Periode 3. Wegen der Beschränkung der Handlungsmöglichkeiten auf d i e Aufnahme des K r e d i t e s i n v o l l e r Höhe oder den V e r z i c h t auf den Kred i t wird

bk 2 a l s B i n ä r v a r i a b l e d e f i n i e r t . - Hingegen kann der Bankkredit

II

i n jeder b e l i e b i g e n Höhe zwischen 20 und 200 GE aufgenommen werden. Werden die Wertpapiere während des Planungszeitraumes n i c h t v e r ä u ß e r t , so f a l l e n j e w e i l s Z i n s e n von 0,02 • 200 = 4 GE an; d i e s e s i n d i n der O b e r s i c h t der l i q u i d i t ä t s w i r k s a m e n Z a h l u n g s k o e f f i z i e n t e n e n t h a l t e n . Um die Z i n s e n f ü r b e r e i t s veräußerte Wertpapiere muß d i e s e r Wert k o r r i g i e r t werden. So s i n d z . B . i n Periode 4 wieder 0,02(w 1 + w,, + w 3 ) abzuziehen, d . h . , d i e Zinsen aus Wertpapieren betragen 4 - 0,02(w 1 + w 2 + w 3 ) GE. Die veräußerten Wertpapiere werden bei Verkauf mit dem Rückzahlungskurs

angesetzt.

3. Die R e s t r i k t i o n (5) e r f a ß t das Endvermögen. Es s e t z t s i c h zusammen aus dem ( v e r z i n s t e n ) Kontokorrentguthaben, dem ( v e r z i n s t e n ) zum Nennwert von (200 - w1 -

Wertpapierbestand

- w 3 - w 4 ) • (1 + 0,02) a b z ü g l i c h dem ( v e r -

z i n s t e n ) K o n t o k o r r e n t k r e d i t . Durch d i e V a r i a b l e n dp g und dmg werden d i e Abweichungen des Endvermögens von 150 e r f a ß t . S i e s p i e l e n f ü r d i e Formulierung der Z i e l f u n k t i o n eine R o l l e .

Sechstes Kapitel: Investitions- und Finanzplanung

265

4. Die Abweichung des in Anspruch genommenen Kontokorrentkredits von der vorgesehenen Kreditlinie wird für jede Periode in Form der Variablen dp^ und dm^ erfaßt (Restriktionen (6) bis (9)). Während Überschreitungen der Kreditlinie in der Zielfunktion zu berücksichtigen sind, können die Unterschreitungen dm^ als Schlupfvariablen, d.h. Nichtausschöpfung der Kreditlinien, aufgefaßt werden (k = 6,....9). - In ähnlicher Weise erfaßt die Nebenbedingung weichungen der veräußerten Wertpapiere von 100 GE

(10) die Ab-

(Nennwert).

5. Die Ober- und Untergrenzen für den Bankkredit II werden durch beschrieben. (13) beschränkt die Variablen SLr^,

(12)

Hr^ und bk^ auf die Werte

0 und 1, während (14) die Nichtnegativitätsbedingungen

zusammenfaßt.

6. Das Ziel 1 wird bei der Formulierung der Restriktionen (1) bis (4) berücksichtigt, so daß die Zielfunktion nur noch die Ziele 2, 3 und 4 in der im Text geforderten Art und Weise

berücksichtigt.

Ziel 4 wird durch die Variable dp^g erfaßt: dp^g gibt dm^Q = 0 gilt -

- wenn gleichzeitig

an, um wieviel der Nennwert der veräußerten Wertpapiere 100

überschreitet. Diese Variable ist bei Minimierung der Zielfunktion mit 100 zu gewichten, so daß 100 d p ^

Bestandteil dieser Zielfunktion ist. Die Variable

dm^Q entspricht in (10) einer Schlupfvariablen; sie kann dann positiv werden, wenn dp^g = 0, d.h. das Ziel 4 voll erreicht ist. Das Minimieren der Zielfunktion sichert, daß in einer optimalen Lösung nicht dm^g > 0 und dp^g > 0 gleichzeitig gilt.

Ziel 3 besteht in der Einhaltung der Kreditlinie in jeder Periode. Ein Oberschreiten wird durch dp^ zum Ausdruck gebracht (k = 6,...,9). Ziel 3 wird dadurch erfaßt, daß die Summe der Einzelüberziehungen mit 10 gewichtet wird.

Unterschreitet das Endvermögen den Wert 150, so ist diese Differenz in Nebenbedingung (10) durch dmg erfaßt (Ziel 2). dm^ geht mit der Gewichtung 1 in die Zielfunktion ein.

b ) Formulierung der linearen Programme (LP-8b,1) und (LP-8b,2) LOSUNGSVORSCHLAG 1 Formulierung des linearen Programms

min u.d.N.

(LP-8b,1):

z^ = d m 5 - dp,. + 1000(dp 6 + dp^ + d p g + d p g + d p 1 Q ) wie in (LP-8a)

266

Teil II: Lineare Programmierung

Bemerkung: Gegenüber (LP-8a) wird lediglich die Zielfunktion geändert. Mit d m 5 - d p g soll die Unterschreitung dm^ des Endvermögens minimiert bzw. die Überschreitung dp^ maximiert, d.h. zusammenfassend das Endvermögen maximiert werden, wobei der Fall dmg > 0 und dpg > 0

- analog den Überlegungen bei Ziel 4 -

sen ist. Durch den Gewichtungsfaktor 1000 bei den Variablen dpg

ausgeschlosdp^g wird

eine Verletzung der Ziele 3 und 4 "hart bestraft". Das Erreichen des Ziels 1 wird durch die Nebenbedingungen (1) bis (4) garantiert.

LOSUNGSVORSCHLAG 2 Formulierung des linearen Programms (LP-8b,2): min

u.d.N.

Z2 = dnig - dpg

(1) bis (14) wie in (LP-8a) (15)

dp 6 + d p 7 + d p 8 + dpg + d p 1 Q = 0

Bemerkung: (LP-8b,2) stimmt bis auf die geänderte Zielfunktion und die ergänzte Nebenbedingung (15) mit (LP-8a) überein. Aus (15) und den Nichtnegativitätsrestriktionen folgt dp^ = 0 (k = 6,...,10). Eine bezüglich (LP-8b,2) zulässige Lösung erreicht daher die Ziele 1, 3 und 4 voll.

NUMERISCHE ASPEKTE Die Ergebnisse der numerischen Auswertung der linearen Programme (LP-8a), (LP-8b,1 ) und (LP-8b,2) sind in der Tabelle 6.8.2 zusammengefaßt. Die nicht aufgeführten Variablen haben jeweils den Wert Null. Wie bereits in den Bemerkungen zu Teil b) der Übung angedeutet, ist es möglich, daß nur (LP-8b,1), nicht jedoch (LP-8b,2) eine Zulässigkeitslösung besitzt. Wie aus der Spalte 2 der Tabelle 6.8.2 zu entnehmen ist, ist in (LP-8b,1) dp.|o > 0, d.h., es ist bei der vorgeschlagenen Formulierung nicht möglich, die Ziele 3 und 4 voll zu erreichen. Dies wäre auch bei einer noch höheren Gewichung von dpg bis dp^g nicht möglich gewesen, wie die Formulierung (LP-8b,2) zeigt, bei der die Ziele 3 und 4 durch Gleichungen erfaßt sind.

Sechstes Kapitel: Investition- und Finanzplanung

(LP-8a)

(LP-8b,1)

1

1

267

(LP-8b,2)

*

yk

1

bk

2

*

W

19,921

20,364

42,079

20,783 119,308

100

1

yk* •

111,762

90

14,650

37,114

dm*

33,204

30,210

dm^

70,079

69,636

dmy

90

90

dp* *

21,762

dmn

90

yg

4

dp

10

0 90

0

19,308

Tabelle 6.8.2

Die Variablen dirig, dm^ und dmg geben die Höhe des in den Perioden 1, 2 und 4 nicht in Anspruch zu nehmenden Kontokorrentkredits an, soweit dieser unterhalb der Kreditlinie möglich wäre.

268

Teil II: Lineare Programmierung

Ü B U N G

6.9

SCHLÜSSELWORTE

BWL: Investitions- und Finanzplanung, Anleihe, Zero Bond, Endvermögen, gleichbleibende Entnahme ET:

Alternativenmenge, Ganzzahligkeit,

Zielfunktion

Ein Unternehmen möchte für einen Zeitraum von drei Perioden eine simultane Investitions- und Finanzplanung durchführen. Es stehen drei voneinander unabhängige Sachinvestitionen und eine Finanzinvestition zur Disposition. Die unteilbaren Sachinvestitionen, die maximal

in zwei, drei bzw. einer Einheit

durchgeführt werden können, sind pro Einheit mit folgenden Zahlungsreihen verbunden (Zeitpunkt t := Ende der t-ten Periode):

e

n0 "

a

n0

e

n1 "

a

n1

n2 "

a

n2

n3 "

a

n3

e

e

n = 1

n = 2

n = 3

-200

-150

-100

80

50

50

70

60

50

90

70

50

(in GE)

Die Finanzinvestition bietet zu Beginn jeder Periode die Möglichkeit, Kapital in beliebiger Höhe zu 5 % für eine Periode anzulegen. Das Unternehmen verfügt über liquide Mittel

in Höhe von 250 GE.

Zu Beginn der ersten Periode kann das Unternehmen die Anleihe A1 zu 40 GE -

und/oder A2

- in Stücken

- in Stücken zu 50 GE - begeben. Die auf 200 GE limi-

tierte 6 %-Anleihe A1 ist zum Ende der zweiten und dritten Periode je zur Hälfte zurückzuzahlen; die Zinsen auf den ausstehenden Betrag sind jeweils am Periodenende zu leisten. Von A2 können höchstens 300 GE zu 12 % aufgenommen werden, die am Ende der zweiten Periode mit Zins und Zinseszins fällig werden. Desweiteren kann zu Beginn jeder Periode ein Kredit zu 12 % bis zu 80 GE mit einjähriger Laufzeit in Anspruch genommen werden. Darüber hinaus bietet sich zu Beginn der ersten Periode die Möglichkeit an, zwei verschiedene Zero Bonds

Z1 und Z2

mit (hier ausnahmsweise nur) dreijähriger Laufzeit zu kaufen. Z1 (Z2) hat in t = 0 einen Ausgabekurs von 100 (70) GE, während in t = 3 der Rückzahlungskurs 125 (100) GE beträgt. Beide Zero Bonds können bis zu drei Einheiten erworben werden.

a) Man formuliere ein lineares Programm zur Bestimmung eines und Finanzierungsprogramms mit maximalem Endvermögen bei periodisch gleichbleibenden

Entnahmen.

Investitionsnichtnegativen

Sechstes Kapitel: Investitions- und Finanzplanung

269

b) Wie ist das lineare Programm zu modifizieren, wenn bei nichtnegativem Endvermögen periodisch gleichbleibende Entnahmen maximiert werden sollen?

LÖSUNGSVORSCHLAG Variablendefinitionen: x n := Häufigkeit, mit der die n-te Sachinvestition durchzuführen ist

(n = 1,2,3)

y t := Höhe, in der die Finanzinvestition am Beginn der Periode t zu tätigen ist (in GE)

(t = 1,2,3)

a^ := Stückzahl, in der die Anleihe Am aufzunehmen ist

(m = 1,2)

w t := Höhe, in der der Kredit zu 12 % am Beginn der Periode t in Anspruch genommen werden soll (in GE)

(t = 1,2,3)

zn

:= Anzahl der zu kaufenden Zero Bonds Zn

u

:= Endvermögen am Ende des Planungszeitraums (in GE)

v

:= periodisch gleichbleibende Entnahme (in GE)

(n = 1,2)

Obersicht aller liquiditätswirksamen Zahlungskoeffizienten:

^—^Perioden

t = 0

Var i abl en X

1

x

2

x

3

80

70

- 150

50

60

70

- 100

50

50

50

1

2

a

40

1

1

2

1-

1 w2 w

1

z

2

EK

2,4

1 ,05 1

1,05

- 22,4

- 21,2

- 62,72 -

1,12 1

-

1 ,12 1

3

Z

-

50

W

90

1,05 -

a

t = 3

t = 2

- 200

y

t = 1

-

1,12

- 100

125

-

100

70 250

270

Teil II: Lineare Programmierung

a) Formulierung des linearen Programms

(LP-9a)

u u.d.N. (1)

-200x 1 - 150X 2 - IOOX3 - 100z 1 - 70z 2 + 40a 1 + 50A 2 - Y, + w 1 = - 250

(2)

80x 1 +

50X 2 +

50X 3 - 2,4a 1 + 1,05y 1 - 1,12w, - y 2

+ w2 - v = 0 (3)

70x 1 +

60X 2 +

50X 3 - 22,4a, - 62,72a 2 + 1,05y 2 - 1,12w 2

- y3 + w3 - v = 0 (4)

90x, +

70X 2 +

50X 3 + 125z, + 100z 2 - 21,2a, - u + 1,05y 3

- 1,12w 3 - v à 0 (5)

x,


< 900

(m

< 900

(m12 + m 1 3

11

< 900 ( m 1 3

n3

+

m

m

12

23

+

m

13}

+

m

22

+ m33)

< 10

280

> 425 > 608

+

b

n1

+

b

n2

+

b

n3

> 250 > 380 > 510

(14>

C

(15)

c n 2 < 170

(16)

c

(17)

bkr £ 150000

(18)

yk


i/ II: Lineare Programmierung

(19)

36000ma1 - 112000Cm11 + m 1 2 + m 1 3 ) + bkr + yk 1 - y g ^ - 65000

(20)

27000ma2 - 2000(10 - m a ^ + 96000m11 - 1000(m 11 + m 1 2 + m 1 3 ) - 112000(m 22 + m 2 3 ) + 52a,. + 60b,. + 62a . + 7 0 b . + 54c . al al nl nl nl - 0,08bkr - 1,15yk 1 + y k 2 + 1,05yg 1 - y g 2 = 0

(21)

18000ma3 - 2000(10 - ma1 - ma2) + 80000m 12 - 1000(m 12 + m 1 3 ) + 96000m 22 - 1000(m 22 + m 2 3 ) - 112000m 33 +

52a a 2

+

60b a 2

+

62a n 2

+

70b p 2

54c p 2

+

- 0,08bkr - 1,15yk 2 + y k 3 + 1,05yg 2 - y g 3 = 0 (22)

+ 7000(10 - ma1 - ma2 - ma 3 ) + 63000m 13 + 79000m 23 + 95000tn33 +

52a

a3

+

60b

a3

+

62a

n3

+

70b

n3

+

54c

n3

- 1,08bkr - 1,15yk 3 + 1,05yg 3 = u (23)

mat e l)l0

(t = 1,2,3)

(24)

m s t e (l0

( s , t = 1,2,3; s < t )

(25)

a l l e übrigen Variablen nichtnegativ.

Bemerkungen: 1. Die Ungleichungen (1) bis (3) geben die Kapazitäten der alten Maschinen unter Berücksichtigung der möglichen D e s i n v e s t i t i o n e n an. Bei den Ungleichungen (4) bis (6) handelt es s i c h um die Kapazitäten der anzuschaffenden Maschinen. Die Einhaltung der Ungleichung (7) g a r a n t i e r t , daß nicht mehr a l t e Maschinen veräußert werden a l s vorhanden s i n d . 2. Für die einzelnen Perioden sorgen die Ungleichungen (8) bis (13) für das Erreichen der vorgegebenen Mindestmengen der Produkte A und B, während die Höchstmengen für das Produkt C durch die Ungleichungen (14) bis (16) erfaßt werden. Durch die Ungleichungen (17) und (18) wird für das Einhalten der Kred i t l i n i e n gesorgt. 3. 'Die vorhandenen alten Maschinen mit einem Anschaffungspreis von 63000 GE haben nach drei Perioden Nutzung einen Restwert von 63000 - 3-9000 = 36000 GE. Diesen Betrag erlösen die zu Beginn der ersten Periode zu veräußernden Maschinen, d . h . , in der Liquiditätsnebenbedingung (19) für den Beginn der ersten

Sechstes Kapitel: Investitions- und Finanzplanung

277

Periode ist 36000 ma^ anzusetzen. Ein Kauf von neuen Maschinen führt zu Ausgaben in Höhe von 112000 GE pro Maschine. Die Variablen für den Bankkredit und das Kontokorrentkonto weisen bezüglich ihrer Koeffizienten keine Besonderheiten gegenüber üblichen Finanzierungsmodellen auf. - Gegenüber der Gleichung (19) weist die Gleichung (20) zwei zusätzliche Aspekte auf. Zum einen müssen die fixen Kosten für die Maschinen in Ansatz gebracht werden, die während der ersten Periode bereitstanden. Das sind für die alten Maschinen 2000(10 - ma^) und für die neuen Maschinen 1000(m^^

+ m^

Zum

+ m^)-

anderen sind die ein-

gehenden Deckungsbeiträge als Zahlungseingänge zu berücksichtigen. - Die Gleichung (21) entspricht der Gleichung

(20). - In Gleichung (22) wird der

gesamte noch vorhandene Maschinenpark erfaßt. Die fixen Maschinenkosten sind bei den Liquidationserlösen in Abzug gebracht. Die links vom Gleichheitszeichen stehenden Zahlungsein- und -ausgänge definieren genau das Vermögen u am Ende der dritten Periode. Die Variable u ist zu maximieren.

4. Lediglich für die Anzahl der zu desinvestierenden alten Maschinen und die Anzahl der anzuschaffenden neuen Maschinen wird Ganzzahligkeit gefordert. Für alle übrigen Variablen gilt die

Nichtnegativitätsbedingung.

NUMERISCHE ASPEKTE Die optimale Lösung von (LP-10) sieht vor, daß 8 der vorhandenen 10 alten Ma*

schinen gleich zu Beginn der ersten Periode zu desinvestieren sind (ma^ = 8). Zu Beginn der ersten, * zweiten* und dritten Periode ist jeweils eine neue Ma* schine anzuschaffen ( m ^ = n ^

= m^

= 1 ) ; diese neuen Maschinen gehen sämt-

lich mit ihren Restwerten in das Endvermögen ein. Die Anzahl der fertigzustellenden Produkte ergibt sich aus folgender Zusammenstellung

a2 =

*

•

a

a3 =

a

n1

0

a

n2

0

*

•

a

n3

•

= 220

b

a1 =

= 425

b

a2 =

= 608

•

•

b

a3 =

250

•

310

b

0

C

n1 =

70

c

n2 =

c

a

60

II

=

jd

a1

*

•

*

a

*

310

n2 =

•

b

n3 =

200

*

*

c

n3

=

(in ME):

120 122,5 38.

Kredite werden nicht in Anspruch genommen. Die Anlagebeträge fallen von yg 1 = 241000 GE über y g 2 = 174290 GE auf y g 3 = 121469,5 GE, was zu einem Guthaben am Ende der dritten Periode in Höhe von 121469,5 • 1,05 = 127542,98 GE führt. Das maximale Endvermögen, das sich aus dem

Kontokorrentguthaben,

den Deckungsbeiträgen und den Restwerten der alten und neuen Maschinen

(ab-

züglich der maschinenfixen Kosten), jeweils am Ende der dritten Periode, zusammensetzt, beträgt u * = 450890,90 GE.

278

Teil II: Lineare Programmierung

Die Frage, ob sich eine Investition von neuen Maschinen lohnt, ist aufgrund der Daten dieses Entscheidungsproblems einschließlich der unterstellten Zielsetzung zu bejahen. Zur Begründung: Die geforderten Mindestmengen der Produkte A und B können vollständig mit den vorhandenen Maschinen hergestellt werden, wie sich durch Einsetzen bestätigen läßt. Das Produkt C muß nicht notwendig gefertigt werden. Wenn nur auf alten Maschinen produziert wird, können keine Liquiditätsengpässe auftreten, da zum einen keine Investitionsausgaben anfallen und zum anderen die Deckungbbeiträge in jeder Periode die maschinenfixen Kosten übersteigen. Damit existiert mindestens eine bezüglich (LP-10) zulässige Lösung mit m

t

= 0 (s,t = 1,2,3; s s t). Da in der bezüg-

lich (LP-10) optimalen Lösung jedoch die Investition von neuen Maschinen *

*

*

vorgeschlagen wird ( m ^ = 1^3 = m.^ = 1), ist die gestellte Frage mit Ja zu beantworten.

Anhang

280

Anhang

Ü B U N G

A .1

L o g e l e i

v o n

Z w e i s t e i n

Zehn Jahre ist es nun her, da in Irdelsbach das "Wilde Dutzend" sein Abitur bestanden hatte. Inzwischen sind die damals so genannten sechs Mädchen und sechs Jungen erwachsen und keineswegs mehr wild. Sie sind zum Jahrestag der Reifeprüfung nach Hamburg gefahren. Hier ist ein Stadtrundflug mit dem Hubschrauber geplant. Der Pilot kann aber nur sechs Passagiere mitnehmen. Also wird beschlossen, daß drei Frauen und drei Männer fliegen, während die anderen sechs eine Hafenrundfahrt unternehmen. Doch wer soll

Hans erklärt: "Wenn Christa fliegt, will

fliegen?

ich auch fliegen". Fee sagt: "Ich

tue das, was Birgit tut". Darauf Jörn: "Und ich unternehme dasselbe wie Lukas". Doris: "Wenn Elke nicht fliegt, muß Günter fliegen". Christa: "Und wenn Anne fliegt, dann will ich es auch". Karl erklärt: "Wenn Hans fliegt, will fliegen". Hans ergänzt: "Und wenn Karl fliegt, will

ich auch

ich es auch". Ingo sagt zu

Fee: "Wenigstens einer von uns beiden sollte mitfliegen". Günter sagt:

"Wenn

Anne nicht fliegt, dann fliegen weder Ingo noch ich mit".

Wer wird fliegen, wenn alle diese Wünsche erfüllt werden?

(ZEITmagazin Nr. 32, 4.8.1989, S. 37; Übernahme erfolgt mit freundlicher Genehmigung von "Zweistein")

LOSUNGSVORSCHLAG Variablendefinitionen: 1 0

falls Person n fliegen darf sonst (n = A N , BI, CH, DO, EL, FE, GO, HA, IN, Jt), KA, LU)

Die Variablenbezeichnungen entsprechen den ersten beiden Buchstaben von Anne bis Lukas. Formulierung des linearen Programms

(LP-A1):

AN + BI + CH + DO + EL + FE + GO + HA + IN + Jö + KA + LU

281

Übung A.I

u.d.N.

(1)

AN + BI + CH

(2)

GÜ + HA + IN

(3)

HA £ CH

(4)

BI = FE

(5)

Jö = LU

(6)

Gü + EL > 1 CH > AN

(7) (8)

HA = KA

(9)

IN + FE > 1

(10)

IN £ AN Gü ä AN

(11) (12)

AN.> * ..,LU £• •

Bemerkungen: Bei der Zielfunktion wird davon ausgegangen, daß a l l e Ehemaligen mitfliegen möchten. Die Bedingungen (1) und (2) garantieren, daß genau drei Damen und drei Herren mitfliegen können. (3) i s t äquivalent der Aussage "Wenn Christa f l i e g t " , d . h . , wenn CH = 1 i s t , " w i l l ich" (Hans) "auch f l i e g e n " , d . h . , dann i s t wegen HA > CH und HA e {0,1} auch HA = CH = 1. (4) und (5) sind offens i c h t l i c h . (6) ergibt sich aus: "Wenn Elke nicht f l i e g t , muß Günter f l i e g e n " , d . h . , wenn EL = 0 i s t , muß G0 = 1 sein, bzw. wenn EL = 1 i s t , dann kann Gü = 0 oder Gü = 1 sein; dieser Wunsch wird genau durch (6) wiedergegeben. (7) entspricht ( 3 ) . (8) i s t die Zusammenfassung von KA ä HA und HA ä KA (vgl.

(3)).

(9) i s t selbsterklärend. "Wenn Anne nicht f l i e g t " , d . h . , wenn AN = 0 i s t , "dann fliegen weder Ingo noch ich" (Günter) "mit", d . h . , dann muß sowohl IN = 0 als auch Gü = 0 sein, was durch (10) und (11) zum Ausdruck kommt. Da für a l l e Ehemaligen nur zwei

- sich gegenseitig ausschließende -

Alterna-

tiven (Fliegen oder Nichtfliegen) in Frage kommen, wird verlangt, daß a l l e Variablen binär sein müssen (vgl.

(12)).

NUMERISCHE ASPEKTE Die optimale Lösung von (LP-AI) lautet: AN = CH = EL = HA = IN = KA = 1, BI = DO = FE = G0 = Jö = LU = 0. Danach können die Damen Anne, Christa und Elke sowie die Herren Hans, Ingo und Karl mitfliegen (vgl. ZEITmagazin Nr. 33, 1 1.8.1989, S. 37).

Literaturverzeichnis L i t e r a t u r zum ersten und zweiten Kapitel BAMBERG, G. und A.G. COENENBERG: B e t r i e b s w i r t s c h a f t l i c h e 5. A u f l . München: Vahlen 1989.

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BITZ, M.: Entscheidungstheorie. München: Vahlen 1981. DINKELBACH, W.: Entscheidungsmodelle. B e r l i n : de Gruyter 1982, 1. und 2. Kapitel. HAX, H.: Entscheidungsmodelle in der Unternehmung: Einführung in Operations Research. Reinbek: Rowohlt 1974. LAUX, H.: Entscheidungstheorie. Band 1: Grundlagen. B e r l i n : Springer 1982. LAUX, H.: Entscheidungstheorie. Band 2: Erweiterung und Vertiefung. B e r l i n : Springer 1982. PFOHL, H.-Ch. und G.E. BRAUN: Entscheidungstheorie - Normative und d e s k r i p t i v e Grundlagen des Entscheidens. Landsberg a . L . : moderne i n d u s t r i e 1981. REHKUGLER, H. und V. SCHINDEL: Entscheidungstheorie - Erklärung und Gestaltung b e t r i e b l i c h e r Entscheidungen. 3. A u f l . München: Florentz 1986. SALIGER, E.: B e t r i e b s w i r t s c h a f t l i c h e Entscheidungstheorie. 2. A u f l . München: Oldenbourg 1988. SIEBEN, G. und Th. SCHILDBACH: B e t r i e b s w i r t s c h a f t l i c h e 3. A u f l . Düsseldorf: Werner 1989.

Entscheidungstheorie.

Weitere L i t e r a t u r zum zweiten Kapitel ABEL, P. und R. THIEL: Mehrstufige s t o c h a s t i s c h e Produktionsmodelle - Eine p r a x i s o r i e n t i e r t e D a r s t e l l u n g mit programmierten B e i s p i e l e n . Frankfurt/M. : F i s c h e r 1981. BÜHLER, W. und R. DICK: Stochastische Lineare Optimierung. Das V e r t e i l u n g s problem und verwandte Fragestellungen. In: Z e i t s c h r i f t für B e t r i e b s w i r t s c h a f t 42 (1972), S. 677-692. BOHLER, W. und R. DICK: Stochastische Lineare Optimierung. Chance-Constrained-Modell und Kompensationsmodell. In: Z e i t s c h r i f t für B e t r i e b s w i r t s c h a f t 43 (1973), S. 101-120. FABER, M.M.: Stochastisches Programmieren. Würzburg: Physica 1970. KALL, P.: S t o c h a s t i c l i n e a r programming. B e r l i n : Springer 1976. VAJDA, S . : P r o b a b i l i s t i c programming. New York: Academic Press 1972.

283

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284

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Index Ablaufplanung 145 Absatzplanung 24, 44, 136, 182, 213, 221, 224 Absatzprogrammplanung 167 Alternative - , effiziente gemeinsame 156 - , maximin-effiziente gemeinsame 156 Alternativenmenge 4, 8, 12, 16, 19, 24, 33, 37, 167, 170, 174, 182, 190, 193, 201, 206, 210, 213, 221, 224, 231, 234, 238, 240, 245, 249, 254, 260, 268, 273 Alternativkalkulation 174 Anlage - , liquider Mittel 254 Anleihe 254, 268 Anpassung - , intensitätsmäßige 16, 119 Anspruchsniveau 149 Approximierungsziel 24, 33, 136 Aspirationsmodell 48, 56, 69 Auftragsfertigung 145 Bankkredit 249, 260 BERNOULLI-Prinzip 69 Beschaffungskosten 4 Beschaffungsplanung 206 Bestellmenge - , optimale 4, 88 Beteiligungsgesellschaft 234 Binärvariable 37, 182, 213, 221, 224, 234, 240, 245, 249 Chance-Constrained-Modell 88, 93, 98 DEAN-Modell 240 Deckungsbeitrag 221 Deckungsbeitragsmaximierung 24, 44, 56, 93, 98, 136, 167, 182, 190, 193, 201, 210, 213 Desinvestition 276 Dichtefunktion 44, 64, 69, 88 Diskontsatz 249 Diskretisierung - , einer nichtlinearen Funktion 224

Dividende 132 Dominanz 115, 119, 123, 128, 136, 149 Dominanzbeziehung - , ersten, zweiten, dritten Grades 69 Eigenfertigung (-erstellung) und Fremdbezug 182, 190, 201 Effizienz 115, 119, 123, 128, 136, 145, 149 - , wesentliche 115 Effizienztest 128 Endvermögen 268 Endvermögensmaximierung 249, 254 Entnahme - , gleichbleibende 254, 268 Entscheidungsbaum 105 Entscheidungsmodell - , bei Unsicherheit 83 - , deterministisches 3, 4, 8, 12, 16, 19, 24, 33, 37 - , stochastisches 43, 44, 48, 56, 64, 69, 88, 93, 98, 132 - , stochastisches mehrstufiges 105 - , vektorielles 114, 115, 119, 123, 128, 132, 136, 145, 149, 152 Enumeration - , vollständige 39 Entsorgung 197, 224 Erlösmaximierung 128 Ersatzmodell 43, 44, 48, 64, 88, 93, 98 - , bei Unsicherheit 83 Ersatzzielfunktion 50, 56 Erwartungswertmodell 48, 56, 64, 69, 88, 98 Erwartungswert-Varianz-Modell 56 Extremierungsziel 19, 24, 33, 149 Fat-Solution-Modell 88, 98 Fehlmengenkosten 48, 64, 105 Fertigstellung - , durchschnittliche und maximale Verzögerung der 145 Finanzinvestition 132, 234 Finanzplan 249 Finanzplanung 260 - , simultane 273

Index

Fraktilmodell 48, 69 Ganzzahligkeit 268 Ganzzahligkeitsbedingung 238 Gewinnmaximierung 224, 234 Gleichgewichtspunkt 152 Goal Programming 136, 260 Gozintograph 193, 213 Grundmodell der Entscheidungstheorie 55, 87 GUTENBERG-Technologie 122 HURWICZ-Modell 83 Idealzielpunkt 136, 151, 156 Immobiliengeschäft 238 Investitions- und Finanzierungsentscheidung 240 Investitions- und Finanzplanung 231, 268 - , simultane 254, 273 Investitionsentscheidung 19, 234, 238, 245 - , nicht-simultane 8, 115 Investitionsobjekt Teilbarkeit von 245 Investitionsprogramm 37 Investitionsprogrammentscheidung 12 Kalkulation - , arbeitsgangweise 174 Kalkulationszinsfuß 8, 19, 234 Kapazität, - , zeitliche Anpassung der 193 Kapazitätsauslastung 131 Kapitalbindungskosten 7 Kapitalkosten 240 Kapitalwert 8, 12, 19, 115 relativer 231 Kapitalwertmaximierung 37, 231, 238, 245 Kassenhaltung 245 Kompensationsmodell 93 Kompromißlösung 136 Kompromißmodell 114, 119, 136, 145, 149 - , auf der Basis von Abstandsfunktionen 136 Kompromißzielfunktion 132, 136, 145 Kontokorrentkredit 249, 260 Konvexkombination 173, 239 Kosten

289

- , bestellfixe 4, 88 - , fixe 190 - , sprungfixe 213 Kostenminimierung 170, 174, 206 Kredit 254 Kuppelproduktion 182, 193, 210, 224 Kursgewinn 132 Kursverlust 132 Lagerhaltungskosten 4, 48, 64, 88, 105 Lagerhaltungsplanung 206 LAPLACE-Modell 83 Lineares Programm - , graphische Darstellung eines - mit zwei Variablen 167 Linearisierung - , einer nichtlinearen Funktion 182 Lösung optimale 4, 8, 16, 19, 24, 33, 37 - , perfekte 123 Lösungen - , individuell optimale 119, 123, 132 Menge der optimalen 8 , 16, 19, 24, 33 Lösungsfunktion - , optimale 56, 69 LORIE-SAVAGE-Modell 12 Losfertigung 33 Maximax-Modell 83 Maximin-Modell 83 Mischungsverhältnis - , Bestimmung eines 170 Modellformulierung äquivalente 170, 174, 210 NASH-Kompromißzielfunktion 137 Nebenbedingung - , redundante 38 Nutzenfunktion 69, 132 Nutzungsdauer - , optimale 19 Parameter 44 Planung - , flexible 112 Politik - , optimale 105

290

Index

Portfolio - , effizientes 135 Portfolio Analyse 132 Preisabsatzfunktion 128, 224 Preisplanung 224 Produktionsänderungskosten 88 Produktionsfaktor - , Beschaffung von 193 - , substituierbarer 18, 210 Produktionsfaktorkombination 18 Produktionskoeffizient 25, 202 Produktionskosten - , fixe 105 Produktionsplanung 206 - , simultane 273 Produktionsprogrammplanung 24, 44, 56, 98, 136, 165, 167, 170, 182, 190, 193, 201, 210, 213 Produktions- und Absatzplanung 33, 93, 128 Produktions- und Kostentheorie 16, 119 Produktions- und Lagerhaltungsplanung 48, 64 mehrperiodige 105 Produktionsvollzugsplanung 145, 165, 174, 190, 201 Programm - , gemischt ganzzahliges 39, 163 Programmierung stochastische 92, 97 Rendite 240 Risikominimierung 132 Rucksackproblem 12 Satisfizierungsziel 19, 33, 149 SAVAGE-NIEHANS-Modell 83 Sensitivitätsanalyse 19, 24, 48, 68 Skonto 249, 260 Spiel kooperatives 159 Spielwert - , oberer 152 - , unterer 152, 156 Stillstandszeiten 128 Strategie - , optimale 152

Umsatz 224 Unterlassungsalternative 21 Verbrauchsfunktion 16, 119 Verteilungsfunktion 64, 69, 88, 93 Verteilungsproblem 44, 56, 69, 88 Wahrscheinlichkeitsfunktion 56 Wartungsmaßnahme 206 Wechsel - , diskontfähiger 249 Werbekosten 221 Werbeplanung 221 Werbeträger 221 Wert - , kritischer 52 Wert vollkommener (Zusatz-)Information 48, 64, 69 Wertpapierbestand 260 Zahlungseingang - , autonomer 261 Zero Bond 268 Ziel 5 - , komplementäres 123 - , konkurrierendes 123 Zielfunktion 4, 8, 12, 16, 19, 24, 33, 37, 167, 170, 174, 182, 190, 193, 201, 206, 210, 213, 221, 224, 231, 234, 238, 240, 245, 249, 254, 268, 273 Zielgewichtungsmodell 119, 136 Zielkonflikt 118, 260 Zinsfuß - , interner 8, 115 Zufallsvariable 44, 64 (Zusatz-) Information - , Wert vollkommener 48, 64, 69 Zweipersonen-Nichtnullsummen-Spiel - , endliches 156 Zwei personen- Nullsummen- Spiel - , endliches 152, 156