สถิติวิศวกรรม : Engineering Statistics 9786160805631

Citation preview

สถิติ วิE ศวกรรม S NGINEERING

TATISTICS

ผศ. ดร. นิลวรรณ ชุมฤทธิ์

สถิติวิศวกรรม (Engineering Statistics) โดย ผศ.  ดร. นิลวรรณ ชุ่มฤทธิ์ สงวนลิขสิทธิ์ในประเทศไทยตาม พ.ร.บ. ลิขสิทธิ์ © พ.ศ. 2556  โดย ดร. นิลวรรณ ชุ่มฤทธิ์ ห้ามคัดลอก ลอกเลียน ดัดแปลง ทำ�ซ้�ำ จัดพิมพ์ หรือกระทำ�อื่นใด โดยวิธีการใดๆ ในรูปแบบใดๆ ไม่ว่าส่วนหนึ่งส่วนใดของหนังสือเล่มนี้ เพื่อเผยแพร่ในสื่อทุกประเภท หรือเพื่อวัตถุประสงค์ ใดๆ   นอกจากจะได้รับอนุญาต

ขอมูลทางบรรณานุกรมของหอสมุดแหงชาติ​ นิลวรรณ ชุ่มฤทธิ.์ สถิตวิ ศิ วกรรม (Engineering Statistics). --กรุงเทพฯ : ซีเอ็ดยูเคชัน่ , 2556. 1. วิศวกรรม -- ระเบียบทางสถิต.ิ   2.  คณิตศาสตร์สถิต.ิ 3. ความน่าจะเป็น. I. ชือ่ เรือ่ ง. 519.5

ISBN(e-book) : 978-616-08-1003-1 ผลิตและจัดจำ�หนายโดย อาคารทีซีไอเอฟ ทาวเวอร์ ชั้น 19 เลขที่ 1858/87-90 ถนนบางนา-ตราด แขวงบางนา เขตบางนา กรุงเทพฯ 10260 โทรศัพท 0-2739-8000 [หากมีคำ�แนะนำ�หรือติชม สามารถติดตอไดที่ [email protected]]

คํานํา หนังสือ “สถิตวิ ศิ วกรรม (Engineering Statistics)” เลมนี้ เปนการประยุกตหลักทาง สถิตใิ นการวิเคราะหงานทีเ่ กีย่ วเนือ่ งทางดานวิศวกรรมหลากหลายสาขา ไมวา จะเปนทางดาน เคมี ไฟฟา เครื่องกล โยธา หรืออุตสาหการ เพื่อทําการตัดสินใจภายใตความไมแนนอนของ สถานการณ เนือ้ หาในหนังสือเลมนีป้ ระกอบดวย 11 บทเรียนทีป่ พู นื้ ฐานตัง้ แตสถิตเิ ชิงพรรณนา (Descriptive Statistics) ทีใ่ ชในการนําเสนอหรือวิเคราะหขอ มูลเบือ้ งตน จนถึงสถิตเิ ชิงอนุมาน (Inferential Statistics) ที่ใชขอมูลจากกลุมตัวอยางไปสูกระบวนการตัดสินใจในการแกปญหา เนือ้ หาและตัวอยางภายในเลม พัฒนามาจากเอกสารประกอบการสอนวิชาสถิตวิ ศิ วกรรม ซึง่ มีการปรับปรุงและเรียบเรียงมาจากหนังสือหรือตําราตาง ๆ ทางสถิติ โดยมุง เนนทีก่ ารนําสถิติ ไปประยุกตกบั งานทางวิศวกรรมหรืองานทางวิทยาศาสตร จุดประสงคเพือ่ ใหผเู รียนเกิดความ รูความเขาใจในหลักวิชาการ และทราบถึงแนวทางการนําไปใชกับการแกปญหาจริงไดตอไป ผูเ ขียนขอขอบพระคุณทุกแหลงขอมูลทีม่ สี ว นเกือ้ หนุนใหเกิดฐานความรูท างสถิตทิ เี่ ปน ประโยชนตอ ภาคการศึกษาและภาคอุตสาหกรรม และหวังวาหนังสือเลมนีจ้ ะมีสว นชวยตอยอด ทางความคิดใหกับนิสิต นักศึกษา วิศวกร และผูสนใจในหลักการสถิติประยุกต

ผศ. ดร. นิลวรรณ ชุมฤทธิ์

สารบัญ

สารบัญ

บทที่ 1 สถิติ ......................................................................... 9 1. ประเภทของสถิติ ..............................................................................................11 2. ระเบียบวิธีการทางสถิติ ....................................................................................12 3. การนําเสนอขอมูล ............................................................................................16 4. การคํานวณคาของขอมูลทางสถิติ .....................................................................28 แบบฝกหัด............................................................................................................32

บทที่ 2 ความนาจะเปน .........................................................35 1. แซมเปลสเปซและเหตุการณ (Sample Space and Event) ..............................35 2. การนับจํานวนครั้งของเหตุการณ ......................................................................36 3. ทฤษฎีของความนาจะเปน ................................................................................42 4. ความนาจะเปนแบบมีเงื่อนไขและเหตุการณอิสระ ...............................................47 5. ทฤษฎีของเบย .................................................................................................54 แบบฝกหัด............................................................................................................60

5

6

สถิติวิศวกรรม

บทที่ 3 ตัวแปรสุม .................................................................65 1. ตัวแปรสุม ........................................................................................................66 2. ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปน (Probability Density Function – pdf) .........68 3. ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสม (Cumulative Distribution Function – cdf) ........................................................74 4. การแจกแจงความนาจะเปนรวมกัน (Joint Probability Distribution) ..................78 5. การแจกแจงมารจินัล (Marginal Distribution) ...................................................84 6. การแจกแจงแบบมีเงื่อนไข (Conditional Distribution) .......................................88 7. ตัวแปรสุมเปนอิสระตอกัน (Statistical Independence) .....................................93 แบบฝกหัด............................................................................................................96

บทที่ 4 คาคาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสุม .....101 1. คาคาดหมาย (Expected Values) ...................................................................102 2. กฎของคาคาดหมาย.......................................................................................106 3. คาความแปรปรวน (Variance)........................................................................113 4. คาความแปรปรวนรวม (Covariance) .............................................................115 5. กฎของความแปรปรวน ..................................................................................118 6. โมเมนต (Moment) ของตัวแปรสุม..................................................................121 แบบฝกหัด..........................................................................................................124

บทที่ 5 การแจกแจงความนาจะเปนแบบไมตอเนื่อง ..........127 1. การแจกแจงยูนิฟอรม (Discrete Uniform Distribution) ...................................127 2. การแจกแจงแบรนูลลี (Bernoulli Distribution) .................................................129 3. การแจกแจงทวินาม (Binomial Distribution) ...................................................130 4. การแจกแจงเรขาคณิต (Geometric Distribution) ............................................135 5. การแจกแจงทวินามลบ (Negative Binomial Distribution) ...............................138

สารบัญ

7

6. การแจกแจงพหุนาม (Multinomial Distribution) ..............................................142 7. การแจกแจงไฮเพอรจีออเมตริก (Hypergeometric Distribution) ......................144 8. การแจกแจงปวสซอง (Poisson Distribution) ..................................................148 แบบฝกหัด..........................................................................................................156

บทที่ 6 การแจกแจงความนาจะเปนแบบตอเนื่อง .............161 1. การแจกแจงยูนิฟอรม (Continuous Uniform Distribution) ..............................161 2. การแจกแจงปกติ (Normal Distribution) .........................................................164 3. การแจกแจงเอกซโปเนนเชียล (Exponential Distribution)................................176 4. การแจกแจงแกมมา (Gamma Distribution) ....................................................186 5. การแจกแจงไวบูลล (Weibull Distribution) ......................................................190 6. การแจกแจงเออรแลง (Erlang Distribution) ....................................................193 แบบฝกหัด..........................................................................................................196

บทที่ 7 การแจกแจงของการสุมตัวอยาง ...........................201 1. การแจกแจงแบบไค–สแควร (Chi – Squared Distribution) .............................205 2. การแจกแจงแบบ t (t – Distribution) ..............................................................207 3. การแจกแจงแบบ F (F – Distribution) ............................................................210 4. การแจกแจงของการสุมตัวอยาง (Sampling Distributions) ..............................214 แบบฝกหัด..........................................................................................................230

บทที่ 8 ทฤษฎีการประมาณคา ............................................233 1. การประมาณคาแบบจุด (Point Estimation) ....................................................234 2. การประมาณคาแบบชวง (Interval Estimation)................................................236 3. การหาขนาดตัวอยาง (Sample Size)..............................................................250 แบบฝกหัด..........................................................................................................253

8

สถิติวิศวกรรม

บทที่ 9 การทดสอบสมมติฐาน............................................257 1. สมมติฐานสถิติ (Statistical Hypothesis) .........................................................257 2. ขั้นตอนการทดสอบสมมติฐานของพารามิเตอร ................................................260 3. คา P – Value.................................................................................................276 4. ประเภทของความผิดพลาดที่พบจากการทดสอบสมมติฐาน (Types of Error) ..277 5. ความสัมพันธระหวางการทดสอบสมมติฐานและการประมาณคาพารามิเตอร ....282 แบบฝกหัด..........................................................................................................285

บทที่ 10 การวิเคราะหความแปรปรวน ...............................289 1. Completely Randomized Design หรือ CRD.................................................292 2. เงื่อนไขของการวิเคราะหความแปรปรวน (Model Checking)...........................305 3. Completely Randomized Block Design หรือ CRBD ....................................308 แบบฝกหัด..........................................................................................................315

บทที่ 11 การถดถอยเชิงเสนและสหพันธ ...........................319 1. การถดถอยเชิงเสนอยางงาย (Simple Linear Regression) .............................319 2. การทดสอบความเหมาะสมของ Model............................................................335 3. สหสัมพันธเชิงเสน (Linear Correlation) .........................................................338 แบบฝกหัด..........................................................................................................341

ภาคผนวก ...........................................................................347 บรรณานุกรม ......................................................................369

1

บทนํา

การแกปญ  หาเพือ่ หาคําตอบหรือตองทําการตัดสินใจเลือกทางเลือกใดนัน้ การวิเคราะหสถิติ จัดเปนเครือ่ งมือพืน้ ฐานสําคัญทีจ่ ะใหผลลัพธหรือขอมูลเชิงตัวเลขทีน่ าํ ไปแปรความหมายเพือ่ ประกอบ การตัดสินใจไดอยางถูกตองและแมนยํามากยิ่งขึ้น ยกตัวอยางเชน ฝายตรวจสอบคุณภาพนํ้า ตองการทราบวาปริมาณของอนุภาคแขวนลอยในนํา้ อยูภ ายใตระดับมาตรฐานความปลอดภัยหรือไม ในทางปฏิบตั ิ คงเปนไปไดยากทีจ่ ะสูบนํา้ จากแหลงนํา้ ทัง้ หมดมาตรวจสอบ เนือ่ งจากอาจมีขอ จํากัด ในการเก็บขอมูล ไมวาจะเปนเรื่องของเวลา ทรัพยากรดานบุคคล เครื่องมืออุปกรณ งบประมาณ หรือวิธีการเก็บขอมูล เพื่อจะทราบคําตอบที่ตองการภายใตขอจํากัดเหลานั้น ตัวอยางของนํ้าบาง สวนจะถูกสุมมาตรวจและวิเคราะหหาปริมาณอนุภาคแขวนลอย ขอมูลที่ไดจะเปนเสมือนตัวแทน ของขอมูลจากแหลงนํ้าทั้งหมด แลวใชหลักสถิติมาชวยวิเคราะหและประมวลผล คําตอบที่ไดรับ จากตัวอยางนํ้าจะถูกตีความหมายและอนุมานไปสูคําตอบที่ชวยในการตัดสินใจไดวา นํ้าในแหลง นํ้าทั้งหมดมีปริมาณอนุภาคแขวนลอยในระดับที่ปลอดภัยหรือไม หลักการทางสถิติจัดเปนองคประกอบสําคัญองคประกอบหนึ่งของการคนหาคําตอบของ ปญหาหรือการปรับปรุงงานทางวิศวกรรม เริ่มตนดวยวิศวกรจําเปนตองเรียนรูที่จะเจาะลึกลงไป ในขอมูลทีร่ วบรวมมาวากําลังสือ่ ความหมายถึงอะไร ตามดวยความเขาใจพืน้ ฐานในเรือ่ งของความ แปรปรวน (Variability) สหสัมพันธ (Correlation) ความไมแนนอน (Uncertainty) และความเสี่ยง ที่จะเจอกับเหตุการณที่ไมแนนอนตางๆ (Risk in the Face of Uncertainty) ซึ่งแฝงมากับขอมูลที่ รวบรวมมา เพือ่ ใหเกิดความเขาใจถึงการนําหลักการสถิตมิ าใชกบั ปญหางานวิศวกรรม ขอยกตัวอยาง ของกระบวนการผลิตโพลีเมอรชนิดใหมทขี่ ยายผลจากการทดลองในหองปฏิบตั กิ ารมาสูข นาดของ การผลิตในโรงงานจริง ในแตละขั้นตอนจะพบวามีการใชเครื่องมือทางสถิติเขามาชวย

10

สถิติวิศวกรรม

ผลผลิตจากระดับหองปฏิบัติการ ทดลองผลิตในโรงงานตนแบบ (การออกแบบการทดลอง) สรางตัวแบบของกระบวนการผลิต (การวิเคราะหสมการความสัมพันธ) การหนดปจจัยที่สําคัญ (การทดสอบสมมติฐาน) การระบุคาความเหมาะสมของกระบวนการ (การแสดงผลตอบสนองโครงรางพื้นผิว) การควบคุมติดตามผล (แผนภูมิควบคุม)

รูปที่ 1.1 บทบาทของหลักสถิติในตัวอยางงานทางวิศวกรรม ที่มา : Vining and Kowalski. 2006.

จากรูปที่ 1.1 หลังจากโพลีเมอรชนิดใหมถกู คนพบและผานการทดสอบในหองปฏิบตั กิ ารแลว ขั้นตอนตอไป จะนําไปสูการทดลองผลิตเต็มรูปแบบในโรงงานตนแบบ (Pilot Plant) ซึ่งวิศวกร จะตองกําหนดเงื่อนไขของการผลิต เชน อุณหภูมิ แรงดัน อัตราการไหล หรือปจจัยอื่นที่มีผลตอ คุณภาพที่ดีของโพลีเมอร นักเคมีในหองทดลองปฏิบัติการอาจใหแนวคิดการผลิตอยางหยาบๆ ในขณะทีว่ ศิ วกรจะนําแนวคิดมาขยายผลและทดลองกําหนดคาปจจัยการผลิตตางๆ โดยประยุกตใช หลักการออกแบบการทดลอง (Design of Experiment – DOE) การกําหนดวาปจจัยตางๆ นัน้ สงผล ตอคุณสมบัตทิ างกายภาพทีด่ ขี องโพลีเมอรไดอยางไรนัน้ อาจกําหนดอยูใ นรูปของสมการความสัมพันธ ซึ่งประยุกตใชหลักการวิเคราะหการถดถอย (Regression Analysis) วิศวกรอาจตองตรวจสอบดู วาปจจัยใดบางที่มีความสําคัญตอคาวัดทางกายภาพของโพลีเมอร โดยใชการทดสอบสมมติฐาน

บทที่ 1 บทนํา

11

(Hypothesis Testing) รวมทั้งระบุคาที่เหมาะสมของปจจัยเหลานั้น (Process Optimization) ดวย วิธีการแสดงผลตอบสนองแบบโครงรางพื้นผิว (Response Surface Methodology) และเมื่อได เงือ่ นไขการผลิตทีเ่ หมาะสมครบถวนแลว วิศวกรอาจติดตามและวัดคาทางกายภาพทีไ่ ดจากการผลิต เพื่อใหแนใจวาตรงตามที่กําหนดไวจริงหรือไม ดวยการใชแผนภูมิควบคุม (Control Chart) จะเห็นไดวาปญหางานวิศวกรรมขางตน มีการประยุกตใชหลักสถิติมากกวาหนึ่งหลักการ ในการวิเคราะหหาผลลัพธและควบคุมติดตามผล อาจกลาวไดวา สถิติวิศวกรรม (Engineering Statistics) เปนหลักการประยุกตทางคณิตศาสตรและวิทยาศาสตร เพื่อชวยในการตัดสินใจแก ปญหางานวิศวกรรมตางๆ ที่อยูภายใตความไมแนนอนและมีขอจํากัดทางดานทรัพยากร เพื่อให เกิดประสิทธิภาพสูงสุด เนือ้ หาในบทเรียนนี้ จะกลาวถึงประเภทของสถิติ ระเบียบวิธกี ารทางสถิติ การนําเสนอขอมูล และการคํานวณคาของขอมูลทางสถิติ เพื่อใหเกิดความรูความเขาใจในหลักการพื้นฐานทางสถิติ

1. ประเภทของสถิติ หากพิจารณาตามจุดประสงคของการนําสถิติไปใชในการตัดสินใจ สามารถแบงสถิติออก เปน 2 ประเภท ดังนี้

1. สถิติเชิงพรรณนา (Descriptive Statistics) เปนสถิติที่ใชในการบรรยายลักษณะ

ของขอมูลที่รวบรวมมาจากประชากรหรือกลุมตัวอยาง ผานการนําเสนอขอมูลดวยกราฟและ แผนภาพตางๆ เพื่อใหเห็นภาพการแจกแจงของขอมูล จากนั้นสรุปและตีความหมายของขอมูล ในกลุมที่ศึกษาเทานั้น นอกจากการนําเสนอขอมูลแลว สถิติเชิงพรรณนายังรวมถึงการวิเคราะห กลุมขอมูลที่ศึกษาเพื่อหาความถี่ เปอรเซ็นต เปอรเซ็นไทล การวัดแนวโนมเขาสูสวนกลาง (เชน คาเฉลีย่ มัธยฐาน) การวัดการกระจาย (เชน สวนเบีย่ งเบนมาตรฐาน) หรือการวัดการแจกแจง (เชน ความเบ ความโดง)

2. สถิติเชิงอนุมาน (Inferential Statistics) เปนสถิติที่ใชขอมูลของกลุมตัวอยางมา

วิเคราะหเพื่อคาดคะเนและสรุปคําตอบ กอนที่จะนําไปสูการตัดสินใจเกี่ยวกับประชากรที่ศึกษา เปนสถิตทิ มี่ จี ดุ ประสงคเพือ่ การวินจิ ฉัยกลุม ตัวอยางเพือ่ คนหาขอสรุปเกีย่ วกับประชากร หลักการ ของสถิติเชิงอนุมานจะศึกษาในเรื่องทฤษฎีความนาจะเปน การสุมตัวอยาง การประมาณคาของ ประชากร และการทดสอบสมมติฐาน

12

สถิติวิศวกรรม

3L 3H 4L 4H 5L 5H 6L 6H 7L 7H 8L 8H 9L 9H

ตัวอยาง x1, x2, …, xn

0 3 9 9 2 0 5 0 5 0 5 2 6 3

2 5 0 2 2 5

2 6 0 2 2 9

3 6 0 6 2

3 7 1 7

4 7 7 7 8 9 9 1 2 3 4 7 7 7 8

9 9

(ก) สถิติเชิงพรรณนา ขอสรุป คําตอบ

ตัวอยาง x1, x2, …, xn

ประชากร X1, X2, …,XN

(ข) สถิติเชิงอนุมาน

รูปที่ 1.2 ประเภทของสถิติ

2. ระเบียบวิธีการทางสถิติ

ระเบียบวิธกี ารทางสถิตเิ ปนกระบวนการทางสถิตทิ ใี่ ชในการคนหาคําตอบของสิง่ ทีต่ อ งการ ศึกษา โดยทั่วไปจะมีขั้นตอนสําคัญ 5 ขั้นตอน ดังนี้

บทที่ 1 บทนํา

13

2.1 การนิยามประชากร 1. ประชากร (Population) หมายถึง กลุมของสิ่งตางๆ ที่เราสนใจศึกษา เชน กลุม

ของเครื่องจักร กลุมของวิศวกรโรงงาน กลุมของสินคาที่ผลิต เปนตน หรือขอบเขตของขอมูลที่ กําลังศึกษา เชน เครื่องจักรในแผนกที่ 1 วิศวกรโรงงานของแผนกผลิต สินคาที่ผลิตในไตรมาสที่ 3 เปนตน

2. ตัวอยาง (Sample) หมายถึง ประชากรจํานวนหนึ่งที่ไดถูกเลือกออกมาเปนตัวแทน

ของประชากรทั้งหมดที่เราสนใจศึกษา ทั้งนี้เนื่องจากมีขอจํากัดดานเวลา งบประมาณ ทรัพยากร หรือดวยเหตุผลอื่นๆ ที่ทําใหไมสามารถเก็บรวบรวมขอมูลจากประชากรทั้งหมดได ตัวอยาง X1, X2, …, Xn X1, X2, …, XN ประชากร

รูปที่ 1.3 ประชากรและตัวอยาง

คาที่บอกสภาพ ลักษณะ และคุณสมบัติของประชากร เรียกวา พารามิเตอร (Parameter) สวนคาที่บอกสภาพ ลักษณะ และคุณสมบัติของตัวอยาง เรียกวา คาสถิติ (Statistic) ตัวอยาง ของพารามิเตอรและคาสถิติที่พบบอย แสดงในตารางที่ 1.1 ตารางที่ 1.1 พารามิเตอรและตัวสถิติของลักษณะสมบัติตางๆ ลักษณะสมบัติ คาเฉลี่ย ความแปรปรวน คาเบี่ยงเบนมาตรฐาน สัดสวน

ของประชากร (พารามิเตอร) µ σ2 σ

p

ของตัวอยาง (คาสถิติ) x S2 S p^

14

สถิติวิศวกรรม

ตัวอยางเชน การวัดกําลังผลิตของโรงไฟฟาในประเทศ สมมติวามีโรงไฟฟาทั่วประเทศ

จํานวน 200 แหง (ประชากร) สุมตัวอยางโรงไฟฟามาศึกษาจํานวน 5 แหง (ตัวอยาง) ถาวัด คากําลังผลิตของโรงไฟฟา จะได x1, x2, …, x200 ของประชากร และขอมูล x1, x2, …, x5 ของกลุมตัวอยาง เมื่อนําขอมูลมาหาคาเฉลี่ย จะไดคากําลังผลิตเฉลี่ยเปน พารามิเตอร x + x2 + … + x200 µ = 1 200 และคากําลังผลิตเฉลี่ยเปน คาสถิติ x +x +x +x +x x = 1 2 53 4 5

2.2 การรวบรวมขอมูล ขอมูล (Data) หมายถึง สิ่งที่รวบรวมไว ซึ่งขอเท็จจริง (Fact) แบงตามลักษณะของขอมูล เปนขอมูลจากการนับ (Discrete Data) และขอมูลจากการวัด (Continuous Data) การรวบรวม ขอมูลทําไดโดยรวบรวมจากประชากรทั้งหมด (100%) หรือสุมจากกลุมตัวอยางดวยวิธีการสุม ตัวอยาง (Sampling) ที่นิยมใชมีดังนี้

1. การสุมตัวอยางแบบธรรมดา (Simple Random Sampling) คือ การเลือก

ตัวอยางโดยไมเจาะจงจากประชากรทั้งหมด วิธีนี้จะคอนขางงาย แตไมเหมาะกับกรณีที่มีการสุม ตัวอยางจํานวนมากและมีเวลาไมมากนัก ใชเลขสุม (Random Number) จากตารางเลขสุมหรือ จากโปรแกรมทางสถิติเปนเครื่องมือในการสุมตัวอยาง

2. การสุมตัวอยางแบบแบงเปนพวก (Stratified Random Sampling) เปนการ

สุมตัวอยางโดยการแบงประชากรออกเปนพวกตามลักษณะของประชากร เชน เพศ คณะ สี เปนตน แลวสุม ตัวอยางแบบธรรมดาจากแตละพวก วิธนี จี้ ะทําใหไดตวั อยางซึง่ เปนเสมือนตัวแทน จากทุกพวก 3. การสุมตัวอยางแบบมีระบบ (Systematic Random Sampling) เปนการสุม ตัวอยางโดยการแบงประชากรจํานวน N ออกเปน n กลุม กลุมละ k (k = N/n) การสุมตัวอยาง จะสุมจากทุกๆ กลุม โดยจะกําหนดวาจะสุมตัวอยางที่เทาใดในแตละกลุม เชน จํานวนประชากร N = 15 แบงเปน 3 กลุม กลุมละ 5 กําหนดสุมตัวอยางที่ 2 ดังนั้น ในแตละกลุมจะเลือกตัวอยาง ที่ 2 และจะไดจํานวนตัวอยางรวมทั้งสิ้น 3 ตัวอยาง วิธีนี้จะเปนการสุมตัวอยางที่กระจายไปทั่ว ทั้งประชากรอยางมีระบบ

บทที่ 1 บทนํา

ประชากร

ตัวอยาง

(ก) แบบธรรมดา ประชากร

ตัวอยาง

(ข) แบบแบงเปนพวก

ประชากร

ตัวอยาง

N = 15 n = 3, k = 5 (ค) แบบมีระบบ ประชากร

ตัวอยาง

(ง) แบบแบงเปนกลุม

รูปที่ 1.4 การสุมตัวอยางแบบตางๆ ที่มา : กิติศักดิ์. 2543.

15

16

สถิติวิศวกรรม

4. การสุม ตัวอยางแบบแบงเปนกลุม (Cluster Random Sampling) เริม่ ดวยการ

แบงประชากรออกเปนกลุม แตละกลุมมีลักษณะคลายกับประชากร แลวเลือกเพียงบางกลุมเปน ตัวอยาง โดยอาจใชตัวอยางทั้งหมดในกลุมนั้น หรือสุมเลือกเพียงบางสวนในกลุมมาเปนตัวอยาง

2.3 การนําเสนอขอมูลและการวิเคราะหขอมูล

หลังจากการรวบรวมขอมูลแลว จะตองนําเสนอขอมูลเพื่อใหงายตอการทําความเขาใจ ในลักษณะของขอมูล รวมถึงการวิเคราะหขอมูลเพื่อการตัดสินใจ รูปแบบของการนําเสนอมี หลากหลาย เชน กราฟ แผนภูมิ แผนภาพ ซึ่งจะกลาวถึงในรายละเอียดตอไป สวนการวิเคราะห ขอมูลนั้นจะตองเปนไปเพื่อบรรลุตามจุดประสงคของการวิเคราะหเปนสําคัญ โดยอาศัยเทคนิค การวิเคราะหทางสถิติทั้งเชิงพรรณนา (เชน การนําเสนอขอมูล และการคํานวณคาของขอมูล) และเชิงอนุมาน (เชน การประมาณคา และการทดสอบสมมติฐาน) มาประกอบกัน

2.4 การแปลความหมาย

การแปลความหมายจะตองอาศัยวิธีคิดเชิงสถิติในการพิจารณาถึงผลลัพธที่เกิดจากความ ผันแปรในขอมูลวามาจากสาเหตุอะไร ผูว เิ คราะหขอ มูลตองสามารถแปลผลจากขอมูลเชิงตัวเลขที่ เปนภาษาคณิตศาสตรใหเปนความหมายที่เขาใจทางวิศวกรรมศาสตร เพื่อนําผลที่ไดไปใชตอไป เชน คาประสิทธิภาพการเผาไหมเทากับ 77.5% อาจแปลความหมายไดวา อยูในระดับปาน กลาง ควรหาวิธีเพิ่มประสิทธิภาพใหสูงขึ้น หรือลดเปอรเซ็นตสูญเสีย 22.5% ใหนอยลง

2.5 การนําผลทางสถิติไปใช

การนําผลทางสถิตไิ ปใชเปนการนําผลจากการแปลความหมายไปใชในการแกปญ  หา ทัง้ นี้ ควรจะตองมีการติดตามผลเพือ่ ตรวจสอบวาตรงกับทีว่ นิ จิ ฉัยหรือไม ถาไมตรงกัน ก็ใหทาํ การยอน กลับไปวิเคราะหหาความผิดพลาดเพื่อปรับแกไข

3. การนําเสนอขอมูล ในสถิติเชิงพรรณนา การนําเสนอขอมูลที่เก็บรวบรวมมาเพื่อหาผลสรุปหรือแสดงลักษณะ ของขอมูลในรูปกราฟหรือตารางนั้นมีวิธีการนําเสนอไดหลายวิธี ในที่นี้จะยกตัวอยางการนําเสนอ 5 วิธีคือ

บทที่ 1 บทนํา

1. 2. 3. 4. 5.

17

กราฟแบบจุด (Dot Diagram) แผนภาพการกระจาย (Scatter Plot) ตารางแจกแจงความถี่และฮิสโตแกรม (Frequency Distribution and Histogram) แผนภาพลําตนและใบไม (Stem – and – Leaf Plot) กราฟแบบสี่เหลี่ยม (Box Plot)

3.1 กราฟแบบจุด (Dot Diagram)

กราฟแบบจุดเหมาะกับขอมูลของตัวแปรเดียวที่มีลักษณะตอเนื่อง (Continuous Data) และมีจาํ นวนของขอมูลนอย (จํานวนนอยกวา 30) เปนการนําเสนอขอมูลทีง่ า ย สะทอนใหเห็นการ กระจายหรือการกระจุกตัว และชวงหาง (Gaps) ของขอมูล

ตัวอยางที่ 1.1 คามอดูลัสของรอยแตกในไม Swedish Redwood และไม Whitewood เปน

ขอมูลที่แสดงถึงความแข็งแรงของไม (Timber Strength) (หนวย : N/mm2) จํานวน 15 คา จงสรางกราฟแบบจุดจากขอมูลชุดดังกลาว 29.11 40.53

29.93 41.64

32.02 45.54

32.40 48.37

33.06 48.78

34.12 50.98

35.58 65.35

วิธีทํา 25 30

35 40 45 50 55 60 คามอดูลัสของรอยแตกในไม (N/mm2)

65

รูปที่ 1.5 กราฟแบบจุดแสดงความแข็งแรงของไม ที่มา : Kottegoda and Rosso. 1997.

70

39.34

18

สถิติวิศวกรรม

3.2 แผนภาพการกระจาย (Scatter Plot)

70 60 50 40 30 20 10 0

80 60 แรงดึง

แรงดึง

แผนภาพการกระจายเปนลักษณะกราฟแบบจุดที่แสดงความสัมพันธของขอมูลระหวาง ตัวแปร 2 หรือ 3 ตัวแปร แสดงถึงแนวโนม (Trend) ของความสัมพันธระหวางตัวแปร จะแตกตาง จากกราฟแบบจุดตรงทีจ่ าํ นวนของขอมูลไมมผี ลตอการใชแผนภาพนีน้ าํ เสนอขอมูล สามารถใชได ทั้งขอมูลที่มีจํานวนนอยหรือมากได

40 20 0

0

10 ความยาวของลวด

20

0

4 8 ความยาวของล12 วด

16

600 500 400  300 200 มพิมพ แ 100 อง 20 0 สูงข ม า คว

รูปที่ 1.6 แผนภาพการกระจายแบบ 2 มิติ และ 3 มิติ ที่มา : Hines. 2003.

3.3 ตารางแจกแจงความถี่และฮิสโตแกรม (Frequency Distribution and Histogram) การสรางตารางแจกแจงความถี่ เปนการแบงขอมูลออกเปนกลุมๆ เพือ่ ศึกษาดูความถีข่ อง แตละกลุมขอมูล สําหรับจํานวนกลุมของขอมูลจะเทากับจํานวนชั้น (Classes) ซึ่งสามารถหาได จากหลายวิธี เชน เมื่อ หรือ หรือ เมื่อ

จํานวนชั้น = n n คือ จํานวนของขอมูล จํานวนชั้น = 1 + 3.3 log n 1/3 จํานวนชั้น = 2(Qrn – Q ) 3 1 r คือ คาพิสัย (Range) Q คือ คาควอไทล (Quartile)

บทที่ 1 บทนํา

19

หรือจํานวนชั้นสามารถกําหนดตามตารางที่ 1.2 ตารางที่ 1.2 จํานวนชั้นที่แนะนําในการสรางตารางแจกแจงความถี่ จํานวนขอมูล ตํ่ากวา 50 50 – 100 101 – 150 > 150

จํานวนชั้น 5–7 6 – 10 7 – 12 10 – 20

โดยแตละชั้นจะมีความกวางของชั้นหรืออันตรภาคชั้น เทากับ (Xmax – Xmin) ÷ จํานวนชั้น ตารางแจกแจงความถีม่ กั จะถูกใชในการสํารวจความถีข่ องขอมูลกอนทีจ่ ะใชสรางฮิสโตแกรม ตอไป อยางไรก็ตาม ถาจํานวนขอมูลมีนอยกวา 25 คา ก็ไมเหมาะที่จะใชวิธีการนําเสนอดวย ฮิสโตแกรม

ตัวอยางที่ 1.2 คามอดูลัสของรอยแตกในไม Swedish Redwood และไม Whitewood แสดง

ถึงคาความแข็งแรงของไม (หนวย : N/mm2) จํานวน 165 คา จงสรางตารางแจกแจงความถี่และ ฮิสโตแกรม 0.00 17.98 22.67 22.74 22.75 23.14 23.16 23.19 24.09 24.25 24.84 25.39 25.98 26.63 27.31 27.90 27.93

28.00 28.13 28.46 28.69 28.71 28.76 28.83 28.97 28.98 29.11 29.90 29.93 30.02 30.05 30.33 30.53 31.33

31.60 34.44 32.02 34.49 32.03 34.56 32.40 34.63 32.48 35.03 32.68 35.17 32.76 35.30 33.06 Q 1 35.43 33.14 35.58 33.18 35.67 33.19 35.88 33.47 35.89 33.61 36.00 33.71 36.38 33.92 36.47 34.12 36.53 34.40 36.81

36.84 39.21 36.85 39.33 36.88 39.34 36.92 39.60 37.51 39.62 37.65 39.77 37.69 39.93 37.78 39.97 38.00 40.20 38.05 40.27 38.16 40.39 38.64 40.53 38.71 40.71 38.81 40.85 39.05 Q2 40.85 39.15 41.64 39.20 41.72

41.75 41.78 41.85 42.31 42.47 43.07 43.12 43.26 43.33 43.33 43.41 43.48 43.48 43.64 43.99 44.00 44.07

44.30 47.25 44.36 47.42 44.36 47.61 44.51 47.74 44.54 47.83 44.59 Q3 48.37 44.78 48.39 44.78 48.78 45.19 49.57 45.54 49.59 45.92 49.65 45.97 50.91 46.01 50.98 46.33 51.39 46.50 51.90 46.86 53.00 46.99 53.63

53.99 54.04 54.71 55.23 56.60 56.80 57.99 58.34 65.35 65.61 69.07 70.22

20

สถิติวิศวกรรม

วิธีทํา

จากขอมูล n = 165 Xmax = 70.22 Xmin = 0 ดังนั้น พิสัย r = 70.22 – 0 = 70.22 N/mm2 การหาคาควอไทลตองเรียงลําดับขอมูลจากนอยไปหามาก ควอไทลที่ 1 Q1 = 32.91 N/mm2 (คาเฉลี่ยของขอมูลตําแหนงที่ 41 และ 42) ควอไทลที่ 3 Q3 = 44.57 N/mm2 (คาเฉลี่ยของขอมูลตําแหนงที่ 124 และ 125) พิสัยระหวางควอไทล (Interquartile Range – IQR) = Q3 – Q1 = 11.66 N/mm2 rn1/3 2(Q3 – Q1) = 16.52 ชั้น จํานวนชั้น = 1 + 3.3 log n = 8.32 ชั้น

ดังนั้น

จํานวนชั้น =

หรือ

ในที่นี้จะแบง 15 ชั้น เพราะจะไดความกวางของแตละชั้นประมาณ 5 ซึ่งทําใหงายตอการ แบงขอมูล ตารางที่ 1.3 ตารางแจกแจงความถี่ ชั้นที่

คาขีดจํากัดบน

ขีดจํากัดชั้น

ความถี่

ความถี่สัมพัทธ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

0 – 4.99 5 – 9.99 10 – 14.99 15 – 19.99 20 – 24.99 25 – 29.99 30 – 34.99 35 – 39.99 40 – 44.99 45 – 49.99 50 – 54.99 55 – 59.99 60 – 64.99 65 – 69.99 70 – 74.99

1 0 0 1 9 18 26 38 34 20 9 5 0 3 1

0.006 0.000 0.000 0.006 0.055 0.109 0.158 0.230 0.206 0.121 0.055 0.030 0.000 0.018 0.006

ความถี่สัมพัทธ สะสม 0.006 0.006 0.006 0.012 0.067 0.176 0.334 0.564 0.770 0.891 0.946 0.976 0.976 0.994 1.000

บทที่ 1 บทนํา

21

0.20

70 – 74.99

60 – 64.99

50 – 54.99

40 – 44.99

30 – 34.99

20 – 24.99

0.00

10 – 14.99

0.10

0 – 4.99

ความถี่สัมพัทธ

0.30

คามอดูลัสของรอยแตกในไม (N/mm2)

รูปที่ 1.7 ฮิสโตแกรมที่ความกวางของชั้นเทากับ 5 ที่มา : Kottegoda and Rosso.1997.

นอกจากขอมูลความถี่ (หรือความถี่สัมพัทธ) สามารถนําไปสรางฮิสโตแกรมไดแลว ยัง สรางกราฟของความถี่ไดดังรูปที่ 1.8 (ก) ซึ่งอาจเรียกกราฟนี้วากราฟความนาจะเปน (Probability Curve) แสดงใหเห็นถึงฟงกชันความหนาแนนของความนาจะเปน (Probability Density Function – pdf) หรือสรางกราฟของความถีส่ ะสมไดดงั รูปที่ 1.8 (ข) ซึง่ อาจเรียกกราฟนีว้ า กราฟการแจกแจง (Distribution Curve) แสดงใหเห็นถึงฟงกชันของความนาจะเปนสะสม (Cumulative Distribution Function – cdf) สําหรับรายละเอียดของ pdf และ cdf จะอธิบายไวในบทที่ 3

ความถี่สัมพัทธสะสม

ความถี่สัมพัทธ

0.3 0.2 0.1 0.0

0

20 40 60 80 2 คามอดูลัสของรอยแตกในไม (N/mm ) (ก)

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

0 20 40 60 80 2 คามอดูลัสของรอยแตกในไม (N/mm ) (ข)

รูปที่ 1.8 กราฟความนาจะเปนและกราฟความนาจะเปนสะสม ที่มา : Kottegoda and Rosso.1997.

22

สถิติวิศวกรรม

ฮิสโตแกรมมีไดหลายรูปแบบ ดังรูปที่ 1.9 ซึง่ แตละแบบจะมีรปู ทรงของการกระจาย (Shape of Distribution) รวมทั้งการตีความหมายที่แตกตางกัน ทรงระฆังควํ่า (Bell – Shaped) จะแสดง ถึงความปกติของขอมูล ทรงเบขวา (Right – Skewed) หรือทรงเบซาย (Left – Skewed) จะแสดง ถึงขอมูลที่ไมสมมาตรกัน ขณะที่ทรงสองยอด (Bimodal) หมายถึง ขอมูลมีแหลงความผันแปรมา จาก 2 สาเหตุที่แตกตางกัน เชน ชิ้นงานผลิตมาจากเครื่องจักรมากกวา 1 เครื่อง หรือพนักงาน มากกวา 1 คน หรือชวงเวลาผลิตที่ตางกัน ตองพิจารณาแยกขอมูลทั้ง 2 ชุดออกจากกันกอนการ วิเคราะหใดๆ ทรงถูกตัด (Truncated) จะมีลกั ษณะเปนรูปทรงระฆังควํา่ ทีม่ กี ารลบสวนใดสวนหนึง่ ออกไป ซึ่งจะตองพิจารณาวาเกิดจากสาเหตุอะไร

ทรงระฆังควํ่า

ทรงสมํ่าเสมอ

ทรงเบขวา

ทรงเบซาย

ทรงสองยอด

ทรงถูกตัด

รูปที่ 1.9 รูปทรงของฮิสโตแกรม ที่มา : Vardeman and Jobe. 2001.

3.4 แผนภาพลําตนและใบไม (Stem – and – Leaf Plot) แผนภาพลําตนและใบไมเปนเครื่องมือที่ใชจัดกลุมของขอมูล โดยแยกขอมูลแตละตัวออก เปน 2 สวนคือ สวนลําตน (Stem) และสวนใบไม (Leaf) สวนของลําตนจะเปนหลักของขอมูลเกือบ ทั้งหมด ในขณะที่หลักสุดทายจะเปนสวนของใบไม แผนภาพนี้จะแสดงใหเห็นถึงขอมูลที่แทจริง และการกระจายของขอมูลในลักษณะคลายกับฮิสโตแกรม

23

บทที่ 1 บทนํา

ตัวอยางที่ 1.3 ชิน้ สวนอัลลอยชนิด Aluminum – Lithium ซึง่ เปนสวนประกอบของเครือ่ งบิน ถูก

สุมตัวอยางมาจํานวน 58 ชิ้นเพื่อวัดคาแรงอัด (Compressive Strength) (หนวย : psi) จงสราง แผนภาพลําตนและใบไม 191 101 128 179 162 116

122 184 193 109 139 154

185 192 191 188 107 168

142 119 179 192 189 126

191 112 100 118 176 103

112 192 191 193 182 192

177 138 186 104 122 172

155 129 108 167 191 102

185 191 135 182 147

104 115 173 117 102

วิธีทํา ลําตน

ใบไม

19

1 3 1 23 12 1 1 2 2 1

18

4 5 8 92 62 5

17

3 2 6 97 9

16

287

15

54

14

72

13

598

12

8 2 6 92

11

6 5 2 78 92

10

4 1 8 37 90 4 2 2

รูปที่ 1.10 แผนภาพลําตนและใบไม

ขอมูล ลําตน 191

19

ใบไม 1

24

สถิติวิศวกรรม

3.5 กราฟแบบสี่เหลี่ยม (Box Plot)

กราฟแบบสีเ่ หลีย่ มเปนเครือ่ งมือในการนําเสนอขอมูลทีแ่ สดงใหเห็นแนวโนมเขาสูศ นู ยกลาง (Central Tendency) การกระจาย (Dispersion) และความเบ (Skewness) รวมถึงแสดงขอมูลที่ ผิดปกติ (Outlier) ซึ่งออกนอกขอบเขตที่กําหนด ซึ่งเปนจุดเดนของเครื่องมือนี้ ทําใหกราฟแบบ สี่เหลี่ยมมีประสิทธิผลที่เหนือกวาวิธีนําเสนออื่น 1.5 IQR คามากกวา (Xmin; Q1 – IQR)

IQR

1.5 IQR คานอยกวา (Xmax; Q3 + IQR)

ผิดปกติ

ผิดปกติ Q1 หนวดดานลาง

Q2

Q3

กลอง

หนวดดานบน

รูปที่ 1.11 โครงสรางทั่วไปของกราฟแบบสี่เหลี่ยม ที่มา : กิติศักดิ์. 2543.

ขั้นตอนแรกของการสรางกราฟแบบสี่เหลี่ยม จะตองเรียงขอมูลจากคานอยที่สุดไปหาคา มากที่สุด (หรือเรียงจากมากไปหานอย) จากนั้นคํานวณคา Q1, Q2 และ Q3 เพื่อสรางสวน "กลอง" ตําแหนงคา Q2 (Median Location) = n + 1 2 เมื่อ n คือ จํานวนขอมูล ตําแหนงคา Q1 และ Q3 (Quartile Location) = Lower Median Location + 1 2 คาพิสัยระหวางควอไทล (IQR) = Q3 – Q1 สําหรับหนวดดานบน จะเลือกคานอยกวาระหวาง xmax และ Q3 + IQR สวนหนวดดาน ลาง จะเลือกคามากกวาระหวาง Xmin และ Q1 – IQR เมื่อไดองคประกอบที่เปนกลองและหนวด ครบแลว ตรวจสอบความเปนปกติของขอมูลดวยคา Q1 – 1.5 IQR และคา Q3 + 1.5 IQR แทน ขอบเขตความปกตินี้ดวยเครื่องหมาย o ขอมูลใดที่เกินกวาขอบเขตดังกลาวจะเปนขอมูลผิดปกติ แทนดวยเครื่องหมายดอกจัน ( * )

บทที่ 1 บทนํา

25

การแปลความหมายของขอมูลที่นําเสนอดวยกราฟแบบสี่เหลี่ยม อธิบายไดดังนี้ • คาแนวโนมศูนยกลางของขอมูลคือ คา Q2 • การกระจายของขอมูลคือ คาตั้งแตหนวดดานลางจนถึงหนวดดานบน • รูปการแจกแจงของขอมูล ดูจากคา Q2 ถาอยูกึ่งกลางกลอง แสดงวาขอมูลมีลักษณะ สมมาตร (ไมเบ) ถาคา Q2 อยูชิดไปที่คา Q1 แสดงวาขอมูลมีลักษณะเบขวา ถาคา Q2 อยูชิดไปที่คา Q3 แสดงวาขอมูลมีลักษณะเบซาย Q3 Q1

เบขวา

Q2

Q2

Q2 สมมาตร

เบซาย

รูปที่ 1.12 การแจกแจงขอมูลในกราฟแบบสี่เหลี่ยม

เบซาย คาฐานนิยม > คามัธยฐาน > คาเฉลี่ย คาความเบที่ไดมีคาเปนลบ เบขวา คาฐานนิยม < คามัธยฐาน < คาเฉลี่ย คาความเบที่ไดมีคาเปนบวก

x x~ เบซาย

x x~ สมมาตร

x~ x เบขวา

รูปที่ 1.13 ลักษณะการเบของขอมูล ที่มา : Montgomery and Runger. 2003. •

ความผิดปกติในขอมูล ขอมูลที่อยูนอกขอบเขตที่กําหนดคือ นอยกวา (Q1 – 1.5 IQR) หรือมากกวา (Q3 + 1.5 IQR) จัดเปนขอมูลที่ผิดปกติแสดงดวยเครื่องหมายดอกจัน ( * ) ซึ่งการบงชี้ใหเห็นถึงความผิดปกตินี้ จะชวยใหผูวิเคราะหเห็นถึงขอมูลที่อาจเปนปญหา และนําไปคนหาสาเหตุตอไปได

26

สถิติวิศวกรรม

ตัวอยางที่ 1.4 คาความตานทานแรงดันทะลุ (Bursting Strength) (หนวย : psi) ในขวดแกว ขนาด 1 ลิตรทั้งหมด 100 ขวด แสดงดังตาราง จงนําเสนอขอมูลชุดนี้ดวยกราฟแบบสี่เหลี่ยม 265 205 263 307 220 268 260 234 299 215

197 286 274 243 231 267 281 265 214 318

346 317 242 258 276 300 208 187 264 271

280 242 260 321 228 250 299 258 267 293

265 254 281 294 223 260 308 235 283 277

200 235 246 328 296 276 264 269 235 290

221 176 248 263 231 334 280 265 272 283

265 262 271 245 301 280 274 253 287 258

261 248 260 274 337 250 278 254 274 275

278 250 265 270 298 257 210 280 269 251

วิธีทํา ขอมูลขางตนจะตองถูกจัดเรียงจากคานอยที่สุดคือ 176 ไปหาคามากที่สุดคือ 346 โดยมี จํานวนขอมูล n = 100 Q2 = 1002+ 1 = 50.5 อยูระหวางตําแหนงที่ 50 (Lower Median Location) และตําแหนงที่ 51 นําคาขอมูลใน ตําแหนงที่ 50 และตําแหนงที่ 51 มาหาคาเฉลี่ย จะไดคา Q2 = 265 ตําแหนงคา

ตําแหนงคา Q1 และ Q3 = 50 2+ 1 = 25.5 อยูระหวางตําแหนงที่ 25 และตําแหนงที่ 26 นําคาขอมูลในตําแหนงที่ 25 และตําแหนง ที่ 26 มาหาคาเฉลี่ย จะไดคา Q1 = 248 นําคาขอมูลในตําแหนงที่ 75 และตําแหนงที่ 76 มาหาคาเฉลี่ย จะไดคา Q3 = 280 IQR = Q3 – Q1 = 280 – 248 = 32 หนวดดานลาง : เลือกคามากที่สุดระหวาง (XMin, Q1 – IQR) นั่นคือ Max (176, 248 – 32) = Max (176, 216) = 216

บทที่ 1 บทนํา

27

หนวดดานบน : เลือกคานอยที่สุดระหวาง (XMax, Q3 + IQR) นั่นคือ Min (346, 280 + 32) = Min (346, 312) = 312 ตรวจสอบความผิดปกติของขอมูล โดยดูวามีขอมูลใดที่ออกนอกขอบเขต (Q1 – 1.5 IQR) ถึง (Q3 + 1.5 IQR) นั่นคือขอบเขต (200, 328) ดังนั้น ขอมูลที่ผิดปกติจะมี 6 คาคือ 176, 187, 197, 334, 337 และ 346 216

248 265 280

312

*** 175

*** 200

225

250

275

300

325

350

รูปที่ 1.14 กราฟแบบสี่เหลี่ยมของคาความตานทานแรงดันทะลุ ที่มา : Hines. 2003.

จากกราฟแบบสี่เหลี่ยมในรูปที่ 1.14 อธิบายไดดังนี้ • คาแนวโนมศูนยกลางคือ Q2 = 265 • การกระจายขอมูลตั้งแต 216 – 312 • การแจกแจงคอนขางสมมาตร • มีขอมูลผิดปกติ 6 คาคือ 176, 187, 197, 334, 337 และ 346

กราฟแบบสีเ่ หลีย่ มมักจะถูกนํามาใชในการเปรียบเทียบขอมูลระหวางกลุม ตัวอยาง 2 กลุม ขึน้ ไป เพือ่ ชีใ้ หเห็นถึงความแตกตางระหวางกลุม ตัวอยาง ซึง่ ผลความแตกตางนีอ้ าจถูกนํามาใชใน การตัดสินใจเลือกกลุมตัวอยางที่จะมาศึกษาหรือทําการวิเคราะหตอไป

28

สถิติวิศวกรรม

ความเร็วของแสง

1000 900 800 700 1

2

3 4 การทดลองที่

5

พนักงานทั้งหมด พนักงานคนที่ 5 พนักงานคนที่ 4 พนักงานคนที่ 3 พนักงานคนที่ 2 พนักงานคนที่ 1

14.7

14.8

14.9

15.0 นํ้าหนัก

15.1

15.2

15.3

รูปที่ 1.15 ตัวอยางการเปรียบเทียบกลุมตัวอยางหลายกลุมโดยใชกราฟแบบสี่เหลี่ยม

4. การคํานวณคาของขอมูลทางสถิติ เมื่อนําขอมูลมาเสนอดวยวิธีการนําเสนอขางตน เพื่อใหขอมูลเกิดประโยชนและสามารถ นํามาวิเคราะหตอไปอาจเพิ่มการคํานวณคาตางๆ ของขอมูล เชน คาเฉลี่ย ความแปรปรวน หรือ สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เปนตน การคํานวณคาขอมูลทางสถิติแบงออกเปนการวัดคาแนวโนมสู ศูนยกลางของขอมูล (Central Tendency) และการวัดการกระจาย (Dispersion) สําหรับการวัดคา แนวโนมสูศ นู ยกลางเปนการวัดคาทีค่ วรจะเปน (คากลาง) ของขอมูล เชน คาเฉลีย่ คามัธยฐาน และ

บทที่ 1 บทนํา

29

คาฐานนิยม เปนตน สวนการวัดการกระจายจะอธิบายวาขอมูลมีการกระจายออกไปจากคากลาง มากนอยเพียงใด เชน พิสัย สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวน เปนตน ในทางสถิติ ขอมูลแตละชุดจะมีทั้งความเที่ยงตรง (Accuracy) และความแมนยํา (Precision) ที่แตกตางกัน หากขอมูลชุดใดมีการเบี่ยงเบน (Bias) ไปจากคาแนวโนมสูศูนยกลางนอย อาจกลาวไดวาขอมูลชุดนั้นมีความเที่ยงตรงสูง (High Accuracy) ขณะเดียวกันขอมูลจะมีความ แมนยําสูง (High Precision) ถาการกระจายของขอมูลชุดนั้นนอย ดังรูปที่ 1.16 ขอมูลที่ดีควรจะ มีความเทีย่ งตรงและความแมนยําสูง ซึง่ เหมาะสมทีจ่ ะใชเปนตัวแทนของการวิเคราะหผลทางสถิติ ไมเที่ยงตรง และไมแมนยํา

ไมเที่ยงตรง แตแมนยํา

เที่ยงตรง แตไมแมนยํา

เที่ยงตรง และแมนยํา

รูปที่ 1.16 ความเที่ยงตรงและความแมนยําของขอมูล ที่มา : Vardeman and Jobe. 2001.

4.1 การวัดคาแนวโนมสูศูนยกลาง 1. คาเฉลีย่ (Mean) กําหนดให x1, x2, …, xN เปนขอมูลของประชากรขนาด N สัญลักษณ

ที่ใชแทนคาเฉลี่ยของประชากร (Population Mean) คือ µ N

µ

=

xi Σ i=1 N

กําหนดให x1, x2, …, xn เปนขอมูลของตัวอยางขนาด n สัญลักษณที่ใชแทนคาเฉลี่ย ของตัวอยาง (Sample Mean) คือ x

30

สถิติวิศวกรรม

n

x =

xi Σ i=1

n ;

n

x =

fixi Σ i=1 n

2. คามัธยฐาน (Median) กําหนดให x1, x2, …, xN เปนขอมูลของประชากรขนาด N

ที่เรียงลําดับจากนอยไปมากหรือจากมากไปนอย สัญลักษณที่ใชแทนคามัธยฐานของประชากร คือ µ∼ µ∼

=

x(N + 1)/2

เมื่อ N คือ เลขคี่

(xN/2 + x(N/2) + 1)/2

เมื่อ N คือ เลขคู

กําหนดให x1, x2, …, xn เปนขอมูลของตัวอยางขนาด n ที่เรียงลําดับจากนอยไปมาก หรือจากมากไปนอย สัญลักษณที่ใชแทนคามัธยฐานของตัวอยาง คือ x∼ x = ∼

x(n + 1)/2

เมื่อ n คือ เลขคี่

(xn/2 + x(n/2) + 1)/2

เมื่อ n คือ เลขคู

3. ฐานนิยม (Mode) คือ คาของขอมูลที่มีความถี่มากที่สุด คาฐานนิยมอาจมีมากกวา

หนึ่งคา หรืออาจจะไมมีก็ไดถามีความถี่เทากัน โดยจะถือวาทุกตัวเปนคาฐานนิยม

4.2 การวัดการกระจาย 1. พิสัย (Range) คือ ผลตางของคาสูงสุดและคาตํ่าสุดของขอมูล พิสัย = xmax – xmin

2. ความแปรปรวน (Variance) และคาเบีย่ งเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

กําหนดให x1, x2, …, xN เปนขอมูลของประชากรขนาด N ซึ่งมี สัญลักษณที่ใชแทนความแปรปรวนของประชากร คือ σ2

µ

เปนคาเฉลี่ยของประชากร

N

σ2

=

(xi – µ)2 Σ i=1

N และรากทีส่ องของ σ2 ทีเ่ ปนคาบวก เรียกวาคาเบีย่ งเบนมาตรฐานของประชากร (Population Standard Deviation) σ ซึ่ง σ = σ2

บทที่ 1 บทนํา

31

กําหนดให x1, x2, …, xn เปนขอมูลของตัวอยางขนาด n ซึ่งมี x เปนคาเฉลี่ยของตัวอยาง สัญลักษณที่ใชแทนความแปรปรวนของตัวอยาง (Sample Variance) คือ S2 n

n

(xi – x)2 Σ i=1

S2 =

n

fix2i Σ i=1

x2i Σ i=1

= n – 1 – n ( x )2 ; S2 = n – 1 – n ( x )2 n–1 n–1

n–1

รากที่สองของ S2 ที่เปนคาบวก เรียกวาคาเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอยาง S ซึ่ง S = S2

ตัวอยางที่ 1.5 การตรวจวัดปริมาณออกซิเจนทีล่ ะลายนํา้ (Dissolved Oxygen – DO) จากตัวอยาง นํ้า 20 ตัวอยางที่ถูกรวบรวมไว มีคาดังนี้ (หนวย : ppm) 0.9 4.3

1.3 4.3

1.8 4.6

2.5 4.6

2.6 4.6

2.8 4.7

3.6 4.8

4.0 4.9

4.1 4.9

4.2 5.0

จงคํานวณหาคาเฉลี่ย คามัธยฐาน ฐานนิยม พิสัย คาเบี่ยงเบนมาตรฐาน และคาความ แปรปรวนของคา DO

วิธีทํา

คาเฉลี่ย = x = 0.9 + 1.3 + … + 5.0 = 3.725 ppm 20 คามัธยฐาน = x~ = 4.2 +2 4.3 = 4.25 ppm คาฐานนิยม = 4.6 ppm คาพิสัย = 5.0 – 0.9 = 4.1 ppm n

คาความแปรปรวน = S2 =

(xi – x)2 Σ i=1

n–1 2 3.725)2 + ... + (5.0 – 3.725)2 = (0.9 – 3.725) + (1.3 – 20 –1 = 1.637 ppm2

คาเบี่ยงเบนมาตรฐาน = S = =

S2

1.637 = 1.279 ppm

32

สถิติวิศวกรรม

แบบฝกหัด 1. การทดสอบคาความแข็งของไมทอน (หนวย : lb/in2) จํานวน 30 ทอน แสดงดังนี้ 1325 1828 2061 1419 1840 2104 1490 1856 2168 1633 1859 2199 1645 1867 2276 1655 1889 2326 1710 1899 2403 1712 1943 2983 1725 1954 1727 1976 1745 2046 ใหนําเสนอขอมูลกลุมนี้ดวยวิธี 1.1 กราฟแบบจุด 1.2 ตารางแจกแจงความถี่และฮิสโตแกรม 1.3 แผนภาพลําตนและใบไม 1.4 กราฟแบบสี่เหลี่ยม 2. เหล็กแผนถูกตัดแลวมวนเปนมวนขนาดใหญ (Large Rolls) จะตองตรวจความหนา (หนวย : mm) โดยการสุมเหล็กมวนจํานวน 10 ตัวอยาง ผลดังนี้ 32.2

32.0 30.4 31.0 31.2 31.2 30.3 29.6 30.5 30.7

จงคํานวณคาเฉลี่ยและควอไทล (Q1, Q2 และ Q3) ของเหล็กมวนกลุมนี้ (เฉลย : x = 30.91, Q1 = 30.53, Q2 = 30.85, Q3 = 31.2)

บทที่ 1 บทนํา

33

3. การศึกษาถึงคุณภาพของเชื้อเพลิงชนิดใหมที่ใชกับเครื่องกําเนิดไอนํ้า (Steam Generator) พบวาอัตราการสันดาปเชื้อเพลิงจํานวน 65 ครั้ง แสดงดังตาราง จงหาคาเฉลี่ย คาเบี่ยงเบน มาตรฐาน และคาความแปรปรวน อัตราการสันดาป 7.6 – 8.3 8.4 – 9.1 9.2 – 9.9 10.0 – 10.7 10.8 – 11.5 11.6 – 12.3 12.4 – 13.1

จํานวนครั้ง 2 9 11 20 13 7 3

(เฉลย : x = 10.36, S = 1.18, S2 = 1.38) 4. ในการวิเคราะหสวนผสมเคมีจํานวน 15 ตัวอยาง บันทึกเวลาในการแสดงผล (หนวย : min) ดังนี้ จงหาคาเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยม 10

1 13

9

5

9

2 10

3

8

6 17

2 10 15

(เฉลย : x = 8, x~ = 9, ฐานนิยม = 10) 5. คาความเคนแรงเฉือนสูงสุดที่กระทําตอเพลา (หนวย : lb/in2) จํานวน 26 ทอน จงหาคา เบี่ยงเบนมาตรฐาน และคาความแปรปรวนของคาความเคน 191 122 125 179 163 130 140 101 119 111 120 172 (เฉลย : S = 30.9, S2 = 951.5)

145 102 170

119 187 130

144 183 190

118 160 115

182 191

34

สถิติวิศวกรรม

6. แทงคอนกรีตจํานวน 50 แทง ถูกนํามาทดสอบเปอรเซ็นตการหดตัว แสดงดังตาราง 18.2 16.4 17.4 20.5 19.6

21.2 18.7 23.6 19.0 20.6

23.1 18.2 17.5 17.6 14.8

18.5 19.6 20.3 22.3 19.7

15.6 14.3 16.6 18.4 20.5

20.8 16.6 19.3 21.2 18.0

19.4 24.0 18.5 20.4 20.8

15.4 17.6 19.3 21.4 15.8

21.2 17.8 21.2 20.3 23.1

13.4 20.2 13.9 20.1 17.0

6.1 สรางแผนภาพลําตนและใบไม 6.2 สรางฮิสโตรแกรมที่มีความกวางของชั้นเทากับ 1 โดยเริ่มชั้นแรกที่คา 13.0 6.3 คํานวณคาเฉลี่ย คามัธยฐาน และฐานนิยม (เฉลย : x = 18.98, x~ = 19.3, ฐานนิยม = 21.2) 6.4 คํานวณคาพิสัย คาเบี่ยงเบนมาตรฐาน และคาความแปรปรวน (เฉลย : r = 10.6, S = 2.5, S2 = 6.25) 7. ในการทดสอบคาความหนืดของสารผสมทั้งหมด 5 ชนิด ไดทําการสุมตัวอยางสารผสมชนิด ละ 4 ตัวอยางมาทดสอบและวัดคาความหนืดใหผลดังนี้ สารผสม # 1 สารผสม # 2 สารผสม # 3 สารผสม # 4 สารผสม # 5 41 42 27 48 28 43 43 26 45 32 42 46 28 51 37 46 38 27 46 25 จงเปรียบเทียบความหนืดของสารผสมทั้ง 5 ชนิดโดยใชกราฟแบบสี่เหลี่ยม พรอมกับหา คาเฉลี่ยและคาเบี่ยงเบนมาตรฐานของสารผสมแตละชนิด (เฉลย : x1 = 43, x2 = 42.3, x3 = 27, x4 = 47.5, x5 = 30.5 S1 = 2.2, S2 = 3.3, S3 = 0.8, S4 = 2.7, S5 = 5.2)

2

ความนาจะเปน

ทฤษฎี ค วามน า จะเป น จั ด เป น แขนงหนึ่ ง ทางคณิ ต ศาสตร ที่ มี ค วามเกี่ ย วข อ งกั บ เรื่องของความไมแนนอน (Uncertainty) และถูกนําไปใชเปนเครื่องมือทางวิทยาศาสตรในการ วิเคราะหเรื่องของโอกาส (Chance) เมื่อเริ่มศึกษาเกี่ยวกับความนาจะเปน เรามักจะคุนเคยกับ ตัวอยางของการโยนเหรียญหรือทอยลูกเตา ที่สอดแทรกความรูและความเขาใจในพื้นฐานของ ความนาจะเปน เชน ถาโยนเหรียญ 1 เหรียญ จะใหผลลัพธได 2 แบบคือ ไมออกหัวก็ออกกอย โดยมีโอกาสของการเกิดเหตุการณดังกลาว 50 : 50 นั่นคือความนาจะเปนของการเกิดหัวเทากับ 1/2 และความนาจะเปนของการเกิดกอยเทากับ 1/2 หรือถาทอยลูกเตา 1 ลูกจะใหผลลัพธได 6 แบบคือหนา 1, 2, 3, 4, 5, 6 ดวยคาความนาจะเปนของแตละหนาเทากับ 1/6 จะเห็นไดวาเมื่อ มีการทดลองใดๆ เกิดขึ้น ถาทราบผลลัพธวาจะเกิดเหตุการณใดบาง และทราบโอกาส (หรือความ นาจะเปน) วาเกิดขึ้นไดบอยครั้งเพียงใดแลว จะชวยใหเราสามารถวิเคราะหผล และทราบวาจะ ตัดสินใจหรือวางแผนดําเนินการไดอยางไร เนื้อหาในบทเรียนนี้ จะกลาวถึงหลักการพื้นฐานของความนาจะเปน ประกอบดวย (1) แซมเปลสเปซและเหตุการณ (2) การนับจํานวนครั้งของเหตุการณ (3) ทฤษฎีความนาจะเปน (4) ความนาจะเปนแบบมีเงื่อนไขและเหตุการณอิสระ และ (5) ทฤษฎีของเบย

1. แซมเปลสเปซและเหตุการณ (Sample Space and Event)

แซมเปลสเปซ (Sample Space) หมายถึง เซตที่มีสมาชิกเปนผลการทดลองทั้งหมด ใชสัญลักษณ S แทนเซตของแซมเปลสเปซ ตัวอยางเชน การตรวจสอบชิ้นสวนคอมพิวเตอร 500 ชิ้น แซมเปลสเปซ (S) ของการตรวจพบชิ้นสวนเสีย = {0, 1, 2, …, 500}

36

สถิติวิศวกรรม

การผลิตกระแสไฟฟาจากโรงไฟฟา 3 แหง S = {(0, 0, 0) (0, 0, 1) (0, 1, 0) (0, 1, 1) (1, 0, 0) (1, 0, 1) (1, 1, 0) (1, 1, 1)} เมื่อ 0 หมายถึง ไมมีการผลิต และ 1 หมายถึง มีการผลิตกระแสไฟฟา การโยนเหรียญบาท 2 เหรียญ S = {HH, HT, TH, TT} เมื่อ H คือ หัว และ T คือ กอย การทอยลูกเตา 2 ลูก S = {(1, 1) (1, 2) (1, 3) ... (6, 6)} เหตุการณ (Event) หมายถึง สับเซตของแซมเปลสเปซ ใชสัญลักษณ E ตัวอยางเชน การตรวจสอบชิ้นสวนคอมพิวเตอร พบชิ้นสวนที่เสียไมเกิน 5 ชิ้น E = {0, 1, 2, 3, 4, 5} การผลิตกระแสไฟฟาจากโรงไฟฟาแรก E = {(1, 0, 0) (1, 0, 1) (1, 1, 0) (1, 1, 1)} ผลรวมของลูกเตาทั้งสองเปน 6 E = {(1, 5) (2, 4) (3, 3) (4, 2) (5, 1)}

2. การนับจํานวนครั้งของเหตุการณ การคํานวณหาความนาจะเปนของเหตุการณใดๆ นั้น ถาทราบจํานวนครั้งของการเกิด เหตุการณและจํานวนครัง้ ของผลการทดลองทัง้ หมดแลว เมือ่ นํามาเทียบเปนอัตราสวนกัน ทําใหรู ถึงโอกาสทีจ่ ะพบเหตุการณนนั้ วามีมากนอยเพียงใด หลักการสําคัญทีใ่ ชในการนับจํานวนครัง้ ของ เหตุการณ (หรือของแซมเปลสเปซ) ประกอบดวย หลักการคูณ หลักการจัดลําดับ และหลักการจัดหมู

2.1 หลักการคูณ ถางานอยางหนึ่งมีขั้นตอนการทํางานทั้งหมด k ขั้นตอน ขั้นตอนที่ 1 มีวิธีเลือกทําได n1 วิธี ในแตละวิธีของขั้นตอนที่ 1 มีวิธีเลือกทํางานในขั้นตอนที่ 2 ได n2 วิธี และในแตละวิธีที่เลือก ทํางานขั้นตอนที่ 1 และ 2 จะมีวิธีเลือกทํางานในขั้นตอนที่ 3 ได n3 วิธี จนถึงขั้นตอนสุดทายคือ ขั้นตอนที่ k วิธีเลือกทํางานในขั้นตอนที่ k มี nk วิธี ดังนั้น จํานวนทางเลือกที่จะทํางานทั้งหมด k ขัน้ ตอน เทากับ n1 . n2 . n3 . … . nk ทางเลือก แสดงดวยแผนภาพตนไม (Tree Diagram) ดังรูปที่ 2.1

บทที่ 2 ความนาจะเปน

37

ขั้นตอนที่ k ขั้นตอนที่ 2 ขั้นตอนที่ 1

n1 วิธี

1 2 3 4 5. .. n1

1 2 3 4. .. n2

n2 วิธี n1 ทางเลือก n1 . n2 ทางเลือก nk วิธี

1 2 3 4.. . nk

n1 . n2 . … . nk ทางเลือก

รูปที่ 2.1 หลักการคูณ ที่มา : Hayter. 2002.

จากรูปที่ 2.1 ถาพิจารณาจํานวนทางเลือกที่จะทํางานขั้นตอนที่ 1 จะพบวามีอยู n1 ทาง เลือก (นั่นคือ เลือกไดตั้งแตวิธีที่ 1 จนถึงวิธีที่ n1) แตถางานมี 2 ขั้นตอน (ขั้นตอนที่ 1 และ ขั้นตอนที่ 2) จํานวนทางเลือกของการทํางานทั้ง 2 ขั้นตอนจะเทากับ n1 . n2 ทางเลือก (เลือก ขั้นตอนที่ 1 ได n1 วิธี แลวทําตอในขั้นตอนที่ 2 เลือกได n2 วิธี)

38

สถิติวิศวกรรม

ตัวอยางที่ 2.1 โพลีเพปไทดเปนสารที่ประกอบดวยกรดอะมิโนหลายชนิดทําปฏิกิริยากัน โดย

กรดอะมิโนที่จําเปนมี 8 ชนิดคือ เมไทโอนีน (M) ทรีโอนีน (Tre) ไลซีน (Li) เวลีน (V) ลิวซีน (Lu) ไอโซลิวซีน (I) เฟนิลอะลานิน (F) และทริปโตเฟน (Trp) ถานํากรดอะมิโนทัง้ 8 ชนิดมาทําปฏิกริ ยิ า กัน จะเกิดเปนโพลีเพปไทดไดทั้งหมดกี่แบบ

วิธีทํา งานมีทั้งหมด 8 ขั้นตอน แตละขั้นตอนคือการเลือกชนิดของกรดอะมิโน ใชหลักการคูณหาจํานวนแบบทั้งหมดของโพลีเพปไทด n1 . n2 . … . n8 = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 8! = 40,320 แบบ ขั้นตอนที่ 2 ขั้นตอนที่ 1

8 ทางเลือก

......

M Tre Li V Lu I F Trp

Tre Li V Lu I F Trp

M Tre Li V Lu I F 8 . 7 ทางเลือก

รูปที่ 2.2 หลักการคูณเพื่อหาโพลีเพปไทด

บทที่ 2 ความนาจะเปน

39

ตัวอยางที่ 2.2 สายการประกอบตัวถังรถยนต ประกอบดวยขั้นตอนการผลิต 5 ขั้นตอน แตละ

ขั้นตอนจะมีเครื่องจักรหลายเครื่อง ดังรูป จงหาจํานวนเสนทางการประกอบ (Pathways) ทั้งหมด

โลหะแผน

ตัวถังรถยนต

เครื่องทําความ เครื่องปม เครื่องตัด เครื่องพนสี เครื่องขัดผิว 8 เครือ่ ง 5 เครือ่ ง 8 เครื่อง สะอาด ขึ้นรูป 6 เครื่อง 3เครื่อง

รูปที่ 2.3 สายการประกอบตัวถังรถยนต ที่มา : Hayter. 2002.

วิธีทํา งานมีทั้งหมด 5 ขั้นตอน แตละขั้นตอนคือการเลือกเครื่องจักรที่ใชผลิตตัวถังรถยนต n1. n2 . … . n5 = 6 . 3 . 8 . 5 . 8 = 5,760 เสนทาง

2.2 การจัดลําดับ (Permutation)

การจัดลําดับคือ การเรียงลําดับของบางสิง่ หรือทุกสิง่ ในเซตโดยคํานึงถึงลําดับที่ ถามีการสลับ ลําดับที่หรือสลับตําแหนง จะทําใหเกิดผลลัพธใหมที่แตกตางจากเดิม ถามีของ n สิ่งตางกันจํานวนวิธีในการจัดลําดับทั้งหมด n สิ่ง จะเทากับ n! = n(n – 1)(n – 2)…(2)(1) วิธี จํานวนวิธีจัดลําดับของ n สิ่งตางกัน โดยจัดลําดับ r สิ่ง เมื่อ r < n จะเทากับ

40

สถิติวิศวกรรม

nP

r

= (n n!– r)! = n(n – 1)(n – 2) ... (n – r + 1) วิธี

จํานวนวิธีจัดลําดับแบบวงกลมของ n สิ่งตางกัน จะเทากับ (n – 1)! วิธี จํานวนวิธีในการจัดลําดับของ n สิ่ง ซึ่งมี n1 สิ่งที่เหมือนกัน, n2 สิ่งที่เหมือนกัน, …, nk สิ่งที่เหมือนกัน จะไดจํานวนวิธีจัดลําดับ = n ! n n!! ... n ! วิธี 1 2

k

ตัวอยางที่ 2.3 สารกึง่ ตัวนําเปนวัสดุไฟฟาทีม่ คี ณ ุ สมบัตกิ ารนําไฟฟาอยูร ะหวางตัวนําและฉนวน นิยมใชในอุตสาหกรรมอิเล็กทรอนิกส ถาวิศวกรไฟฟาตองเลือกใชสารกึ่งตัวนํา 3 ชนิด จากสารกึ่ง ตัวนําที่แตกตางกันทั้งหมด 9 ชนิด เพื่อมาประกอบในอุปกรณไฟฟา มีวิธีการเลือกไดทั้งหมดกี่วิธี

วิธีทํา

ในการประกอบอุปกรณไฟฟา ประเภทของสารกึ่งตัวนําที่เลือกใชและการสลับตําแหนงใน การประกอบ มีผลตอฟงกชันการทํางานที่แตกตางกันของอุปกรณไฟฟา จึงใชหลักการจัดลําดับ มาวิเคราะห มีสารกึ่งตัวนํา 9 ชนิดแตกตางกัน เลือกมา 3 ชนิดเพื่อประกอบในอุปกรณไฟฟา 9! 9P = 3 (9 – 3)! = 9! 6! = 504 วิธี

ตัวอยางที่ 2.4 คลังสินคาแหงหนึ่งนําระบบบารโคด (Barcode) มาใชในการควบคุมสต็อก

โดยใชรูปแบบของแถบสีดําและสีขาวที่มีความกวางของแถบที่ตางกันเปนตัวกําหนดขอมูลตัวเลข ในการจายสินคาทั้งหมด 15 รายการ ใชแถบสีขาว–สีดํากํากับไวที่ตัวสินคาเพื่อบงบอกขนาดที่ แตกตางกันอยู 5 ขนาดคือ XS, S, M, L, XL ถากลุม XS มี 2 รายการ กลุม S มี 4 รายการ และ ที่เหลือกลุมละ 3 รายการ สามารถจายสินคาไดกี่วิธี

วิธีทํา ใชหลักการจัดลําดับ เนื่องจากการสลับแถบสีดํา – สีขาวในรูปแบบที่แตกตางกัน จะสื่อถึง ขอมูลตัวเลขตางกลุมกัน ดังนั้น จํานวนวิธีในการจายสินคาคือ 15! 15P 2, 4, 3, 3, 3 = 2! 4! 3! 3! 3! = 126,126,000 วิธี

บทที่ 2 ความนาจะเปน

41

2.3 การจัดหมู (Combination)

การจัดหมูคือ การหาสับเซตใดๆ ของเซตโดยไมคํานึงถึงลําดับที่ในสับเซตนั้น การสลับ ลําดับที่หรือสลับตําแหนงไมทําใหผลลัพธที่มีอยูเดิมเปลี่ยนแปลงไป จํานวนวิธีในการจัดหมูของ n สิ่งตางกัน โดยเลือกมา r สิ่ง จะมีจํานวนวิธีเทากับ

ขอสังเกต

()

nC r

= n = r!(nn!– r)! วิธี r

nP

= r! nCr

r

กลาวไดวา จํานวน nCr ตัวอยาง แตละตัวอยางนํามาจัดลําดับได r! วิธี ตัวอยางเชน เลือก 3 คาจากเซต {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} เริ่มตนดวยการสุมคา 3 คา โดยไมคํานึงถึงลําดับที่ จะไดจํานวนวิธี 10C3 วิธี แตละวิธีนํามาจัดลําดับตอไดอีกวิธีละ 3! วิธี เชน ผลลัพธ {1, 2, 3}

จัดลําดับ ( 3! = 6 วิธี) (1, 2, 3) (1, 3, 2) (2, 1, 3) (2, 3, 1) (3, 1, 2) (3, 2, 1) ...

...

นั่นคือ จํานวนวิธีทั้งหมดในการเลือกคา 3 คาจาก 10 คา เทากับ 10P3 = 3! 10C3 = 720 วิธี

ตัวอยางที่ 2.5 ชิ้นสวนคอมพิวเตอรจํานวน 500 ชิ้น ตรวจพบวามีชิ้นสวนที่เสียจํานวน 9 ชิ้น

ถากําหนดใหสายการผลิตตองสุมตรวจสอบชิ้นสวน (แบบไมใสคืน) จํานวน 3 ชิ้น จงหาจํานวน วิธีในการสุมตรวจสอบชิ้นสวน และจํานวนวิธีในการสุมตรวจสอบแลวพบวามีชิ้นสวนเสีย 2 ชิ้น

วิธีทํา

การสุมตรวจสอบชิ้นสวนไมคํานึงถึงลําดับที่ของชิ้นสวนคอมพิวเตอรวาจะสุมไดลําดับที่ เทาไร จึงใชหลักการจัดหมูมาวิเคราะห = 3!500! 497! วิธี ในการสุมตรวจสอบชิ้นสวน 9C . 491C = 9! . 491! วิธี ในการสุมตรวจแลวพบเสีย 2 ชิ้น 2 1 2! 7! 1! 490! 500C 3

42

สถิติวิศวกรรม

3. ทฤษฎีของความนาจะเปน ความนาจะเปน (Probability) หมายถึง ตัวเลขทีแ่ สดงถึงโอกาสการเกิดเหตุการณทเี่ ราสนใจ วามีโอกาสเกิดขึ้นไดมากนอยเพียงใด ใชสัญลักษณ P แทนความนาจะเปน ถากําหนดให A เปน เหตุการณที่ศึกษาจากแซมเปลสเปซ (S) ทั้งหมด n(A) แทนจํานวนวิธีของเหตุการณ A และ n(S) แทนจํานวนวิธขี องแซมเปลสเปซ ดังนัน้ ความนาจะเปนของเหตุการณ A แทนดวย P(A) จะมีคา เปน P(A) = n(A) n(S) เนื่องจากเหตุการณหมายถึงเซตของผลลัพธใดๆ ดังนั้น ความสัมพันธ (Operation) ของ เซต 2 เซตสามารถใชไดกับเหตุการณ 2 เหตุการณคือ A และ B มี 3 รูปแบบของความสัมพันธ คือ 1. Union คือ เหตุการณที่ประกอบดวยสมาชิกของเหตุการณ A หรือ เหตุการณ B หรือ เปนสมาชิกทั้งสองเหตุการณ แทนดวย A ∪ B 2. Intersection คือ เหตุการณที่ประกอบดวยสมาชิกของเหตุการณ A และ เหตุการณ B แทนดวย A ∩ B 3. Complement คือ เหตุการณที่อยูในแซมเปลสเปซ แต ไมอยูในเหตุการณ A แทน ดวย A′ หรือ A หรือ AC รูปแบบของความสัมพันธของทัง้ 3 รูปแบบ แสดงดวยแผนภาพ Venn Diagram ดังรูปที่ 2.4 A

A S

A A

B

A

B

S

S A∪B

S

Ac

A∩B

รูปที่ 2.4 แผนภาพ Venn Diagram ที่มา : Johnson. 2005.

บทที่ 2 ความนาจะเปน

43

ตัวอยางที่ 2.6 ความเร็วในการสงขอมูลของระบบเครือขายดิจิตอล พบวาสายสื่อสารแบบ

ดิจิตอลของเครือขาย A มีความเร็วไมเกิน 64,000 bps สวนของเครือขาย B มีความเร็วตั้งแต 56,000 bps ขึ้นไป จงหา A ∪ B, A ∩ B, AC และ BC

วิธีทํา กําหนด s แทนความเร็วของการสงขอมูล A = {s / 0

≤

s

≤

64,000}

และ B = {s / s ≥ 56,000} ดังนั้น

A ∪ B = {s / s ≥ 0 } A ∩ B = {s / 56,000

≤

s

AC = {s / s

>

64,000}

BC = {s / 0

≤

s


เกณฑขั้นตํ่า

≤ เกณฑขั้นตํ่า

104

35

> เกณฑขั้นตํ่า

19

17

จงหา 1. ความนาจะเปนทีจ่ ะสรุปวามีมลพิษในอากาศ ถาตรวจพบปริมาณฝุน ละอองเกินเกณฑกอ น 2. ความนาจะเปนที่จะสรุปวามีมลพิษในอากาศ ถาตรวจพบปริมาณแกสเกินเกณฑกอน

วิธีทํา การตรวจสอบคุณภาพอากาศอาจจะมีขอจํากัดในหองปฏิบัติการ ทําใหตองตรวจสอบฝุน ละอองแยกจากการตรวจสอบแกส (ทําพรอมกันไมได) กําหนดให A แทนการตรวจพบปริมาณฝุนละอองเกินเกณฑ และ B แทนการตรวจพบ ปริมาณแกสเกินเกณฑ การจะสรุปวามีมลพิษในอากาศได จะตองพบทัง้ เหตุการณ A และเหตุการณ B ในตัวอยางอากาศนั้น 1. ถาตรวจสอบแบบปริมาณฝุนละอองเกินเกณฑกอน นั่นคือ พบเหตุการณ A กอน แลวจึงตรวจสอบเหตุการณ B ตามมาภายหลัง (ดังรูปที่ 2.7 (ก)) P(B | A) = P(A ∩ B) P(A) 17 = 17/175 36/175 = 36

บทที่ 2 ความนาจะเปน

49

จะสังเกตไดวาแซมเปลสเปซของเหตุการณเงื่อนไขนี้ จะไมใช S = 175 ตัวอยาง แตจะ ลดขอบเขตของ A เหลือ 36 ตัวอยาง แลวคอยมาพิจารณาตอวาภายใน 36 ตัวอยางนี้ มีเหตุการณ B จํานวน 17 ตัวอยาง 2. ถาตรวจสอบพบปริมาณแกสเกินเกณฑกอน นั่นคือ พบเหตุการณ B กอน แลวจึง ตรวจสอบเหตุการณ A ตามมาภายหลัง (ดังรูปที่ 2.7 (ข)) P(A | B) = P(A ∩ B) P(B) 17 = 17/175 52/175 = 52 จะสังเกตไดวา แซมเปลสเปซไมใช S = 175 ตัวอยาง แตเปนขอบเขตของเหตุการณ B จํานวน 52 ตัวอยาง หลังจากนั้นจึงพิจารณาเฉพาะ 52 ตัวอยางนี้วามีเหตุการณ A จํานวน 17 ตัวอยาง A

B

A

19 17

B 17 35

(ก) P(B | A)

(ข) P(A | B)

รูปที่ 2.7 ความนาจะเปนแบบมีเงื่อนไขของผลตรวจสอบตััวอยางอากาศ

ตัวอยางที่ 2.11 สินคาทีถ่ กู ลูกคาตีกลับคืน พบวามีปญ  หาดานคุณภาพของรอยเชือ่ ม คือมีรพู รุน

(Porosity) และไมไดขนาด (Undersized Weld) เพื่อตรวจสอบวาสินคาที่ถูกสงคืนมาจากการ ผลิตของชางเชื่อม A, B และ C มากนอยเพียงใด จึงทําการรวบรวมขอมูลเชิงคุณภาพของสินคา สงคืน 117 ชิ้น ผลดังตารางที่ 2.5 ตารางที่ 2.5 ผลการตรวจสอบสินคาที่สงคืน

ปญหาของ รอยเชื่อม

มีรูพรุน ไมไดขนาด

A 19 21

ชางเชื่อม B 23 16

C 20 18

50

สถิติวิศวกรรม

จงหา 1. ความนาจะเปนที่ชางเชื่อมแตละคนจะผลิตงานเชื่อมที่มีรูพรุน 2. ความนาจะเปนที่ชางเชื่อมแตละคนจะผลิตงานเชื่อมที่ไมไดขนาด

วิธีทํา

กําหนดให A แทนชางเชื่อม A, B แทนชางเชื่อม B และ C แทนชางเชื่อม C E1 แทนรอยเชื่อมที่มีรูพรุน และ E2 แทนรอยเชื่อมที่ไมไดขนาด 19 1. P(A ∩ E1) ถาดูจากขอมูลในตารางที่ 2.5 ก็จะทราบคําตอบไดทันทีวาเทากับ 117 อีกวิธีหนึ่งคือ ใชหลักการความนาจะเปนแบบมีเงื่อนไขมาชวยวิเคราะหหาผลลัพธไดเหมือนกัน P(A ∩ E1) P(A | E1) = P(E1) ∴ P(A ∩ E1) = P(A | E1) . P(E1) 19 . 62 = 19 62 117 = 117 P(A ∩ E1) หรือจาก P(E1 | A) = P(A) ∴ P(A ∩ E1) = P(E1 | A) . P(A) 19 . 40 = 19 40 117 = 117 23 P(B ∩ E1) = P(B | E1) . P(E1) = P(E1 | B). P(B) = 117 20 P(C ∩ E1) = P(C | E1) . P(E1) = P(E1 | C) . P(C) = 117 2. P(A ∩ E2) = P(A | E2) . P(E2) 21 . 55 = 21 55 117 = 117 หรือ = P(E2 | A) . P(A) 21 . 40 = 21 40 117 = 117 16 P(B ∩ E2) = P(B | E2) . P(E2) = P(E2 | B) . P(B) = 117 18 P(C ∩ E2) = P(C | E2) . P(E2) = P(E2 | C) . P(C) = 117

บทที่ 2 ความนาจะเปน

51

เหตุการณ B เปนอิสระจากเหตุการณ A ก็ตอเมื่อ P(B | A) = P(B) นั่นคือ การเกิด

ของเหตุการณ A ไมมีผลตอการเกิดของเหตุการณ B ที่ตามมา

เหตุการณ A เปนอิสระจากเหตุการณ B ก็ตอเมื่อ P(A | B) = P(A) นั่นคือ การเกิด

ของเหตุการณ B ไมมีผลตอการเกิดของเหตุการณ A ที่ตามมา การจะสรุปวาเหตุการณทั้งสองไมมีเงื่อนไขตอกัน หรือเปนเหตุการณที่อิสระตอกันนั้น (Independent Events) ก็ตอเมื่อ P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

ตัวอยางที่ 2.12 ในการชุบแข็งพืน้ ผิวโดยวิธคี ารเบอรไรซิง เหล็กทีจ่ ะชุบผิวแข็งจะตองเปนเหล็กที่ มีคารบอนตํา่ ประมาณ 0.1 – 0.2% และมีธาตุบางตัวผสมอยู เชน นิกเกิล โครเมียม เปนตน วิศวกร โลหการทําการทดสอบตัวอยางเหล็กที่จะชุบแข็งจํานวน 60 ตัวอยาง โดยสนใจปริมาณของธาตุที่ เปนสวนผสม 2 ชนิดคือ นิกเกิล และโครเมียม ผลสรุปดังตารางที่ 2.6 ตารางที่ 2.6 ผลทดสอบตัวอยางเหล็ก นิกเกิล โครเมียม

มี ไมมี

มี 21 14

ไมมี 18 7

กําหนดให A แทนตัวอยางเหล็กมีนิกเกิลผสมอยู และ B แทนตัวอยางเหล็กมีโครเมียม ผสมอยู อยากทราบวาเหตุการณทั้งสองเปนอิสระตอกันหรือไม

วิธีทํา

จากขอมูล ในตารางที่ 2.6 จะได P(A) = 35 60 = 0.58 P(B) = 39 60 = 0.65 21 P(B | A) = 21/60 35/60 = 35 = 0.60 21 P(A | B) = 21/60 39/60 = 39 = 0.54 เนื่องจาก P(B | A) ≠ P(B) และ P(A | B) ≠ P(A) จึงสรุปไดวา A และ B เปนเหตุการณ ที่ไมเปนอิสระตอกัน

52

สถิติวิศวกรรม

ตัวอยางที่ 2.13 วงจรไฟฟาชุดหนึ่งประกอบดวยสวิตช 2 ตัวตอขนานกันดังรูป ถากําหนดให

ความนาจะเปนที่สวิตชแตละตัวทํางานเทากับ 0.95 และสวิตชแตละตัวทํางานอิสระตอกัน จงหา โอกาสที่วงจรไฟฟาจะทํางาน 0.95 0.95

รูปที่ 2.8 วงจรที่มีสวิตช 2 ตัวตอขนานกัน

วิธีทํา กําหนดให A แทนสวิตชตัวบนทํางาน และ B แทนสวิตชตัวลางทํางาน เนื่องจากสวิตชทั้งสองตอขนานกัน ทั้งวงจรจะทํางานไดถาสวิตช A ทํางานหรือสวิตช B ทํางาน ยกเวนเพียงกรณีเดียวคือสวิตชทั้งสองตัวไมทํางาน จึงจะทําใหทั้งวงจรไมทํางาน ดังนั้น โอกาสที่ทั้งวงจรทํางาน = P(A ∪ B) = 1 – P(A ∪ B)C = 1 – P(AC ∩ BC) = 1 – [P(AC) . P(BC)] = 1 – [(0.05)(0.05)] = 1 – (0.05)2 = 0.9975

ตัวอยางที่ 2.14 วิศวกรไฟฟาพิจารณาเปรียบเทียบระบบการสงขอความ 2 ระบบ ขอความ

1 ขอความประกอบดวยคํา 1 คําที่เปนไดทั้งเลข 1 หรือเลข 0 ในการสงขอความมักจะถูก รบกวน ซึ่งอาจสงผลตอความถูกตองของการรับขอความ ถา p แทนความนาจะเปนที่การสง และรับขอความไมตรงกัน เชน P(สง 1 แตไดรับเปน 0) = p หรือ P(สง 0 แตไดรับเปน 1) = p ในระบบการสงขอความ จะมีระบบสง 1 Digit (Single Digit) และระบบสงครั้งละ 1 Digit จํานวน 3 ครัง้ (Three–Digit Scheme) ซึง่ จะใชหลักถือขางมาก (Majority Rule) ในการรับขอความ นั่นคือ ถาสงขอความเปน 101, 110, 011 หรือ 111 จะถูกรับและตีความเปนเลข 1

บทที่ 2 ความนาจะเปน

53

1. จงหาความนาจะเปนที่สง 1 และจะไดรับขอความเปน 1 สําหรับระบบ Three–Digit Scheme เมื่อ p = 0.01, 0.02 หรือ 0.05 การสงแตละครั้งเปนอิสระตอกัน และจงเปรียบ เทียบกับความนาจะเปนของการสงในระบบ Single Digit 2. ถา 1 ขอความประกอบดวยคํา 2 คําคือ 1 ตามดวย 0 จงหาความนาจะเปนที่ขอความ ไดรับถูกตอง เมื่อ p = 0.05 และจงเปรียบเทียบความนาจะเปนของการสงขอความทั้ง สองระบบ

วิธีทํา 1. สําหรับระบบ Three–Digit Scheme ถา 111 ถูกสงแลวไดรับขอความเปน 1 ตามหลัก Majority Rule จะมี 4 กรณีคือ ไดเปน 111, 011, 101 และ 110 ถาไดรับเปน 111 นั่นคือ ความนาจะเปนเทากับ (1 – p) (1 – p) (1 – p) = (1 – p)3 ถาไดรับเปน 011 ความนาจะเปนเทากับ p (1 – p) (1 – p) = p(1 – p)2 ซึ่งเหมือนกับ กรณีไดรับเปน 101 และ 110 หรือกลาวไดวา ความนาจะเปนของการไดรับ 0 จํานวน 1 ครั้ง จากทั้งหมด 3 ครั้ง (หรือ 011, 101, 110) จะเทากับ 3p(1 – p)2 ดังนั้น ในการใชหลัก Majority Rule ความนาจะเปนในการสงรับขอความไดถูกตองของ ระบบ Three–Digit Scheme ได P (สง 1 ไดรับ 1) = (1 – p)3 + 3p(1 – p)2 สวนระบบสง Single Digit จะได P (สง 1 ไดรับ 1) = (1 – p) ตารางที่ 2.7 ผลลัพธของการสงขอความทั้งสองระบบ P(สง 1 ไดรับ 1)

p = 0.01

p = 0.02

p = 0.05

Three–Digit Scheme

0.9997

0.9988

0.9928

0.99

0.98

0.95

Single Digit

2. ขอความถูกตอง นั่นหมายถึงการสงขอความทั้ง 1 และ 0 จะไดรับถูกตองทั้ง 2 คํา จาก ขอ 1. ถาสง 0 ไดรับ 0 จะมีความนาจะเปนเทากับการสง 1 ไดรับ 1 ตามหลัก Majority Rule เหมือนกัน และการสงแตละครั้งเปนอิสระตอกัน ดังนั้น เมื่อ p = 0.05 ความนาจะเปนของการสงขอความถูกตองทั้งหมดของระบบ Three–Digit Scheme = (0.9928)2 = 0.986 สวนความนาจะเปนของระบบสง Single Digit = (0.95)2 = 0.903

54

สถิติวิศวกรรม

ความแตกตางระหวางเหตุการณที่เกิดพรอมกันไมได (Mutually Exclusive Event) และเหตุการณที่เปนอิสระตอกัน (Independent Event) สองกรณีนี้อาจมีความ

สับสนวามีความเหมือนกันหรือแตกตางกันอยางไร จึงขออธิบายเปนลําดับดังนี้ • เมื่อเหตุการณ A และ B เกิดขึ้นพรอมกันไมได หมายถึง เมื่อเหตุการณ B เกิดขึ้นแลว เหตุการณ A จะไมสามารถเกิดขึ้นได นั่นคือ P(A | B) = 0 การเกิดของเหตุการณ B มีผลกระทบตอเหตุการณ A • ดังนั้น เหตุการณที่เกิดพรอมกันไมได จะเปนเหตุการณที่ไมอิสระ (Dependent Event) • สรุปไดวา กรณีเหตุการณเกิดขึ้นพรอมกันไมได จะไดวา P(A ∩ B) = 0 และ

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

กรณีเหตุการณอิสระตอกัน จะไดวา P(A ∩ B) = P(A) . P(B) และ

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

ตัวอยางเชน ถากําหนดให P(A) = 0.3 และ P(B) = 0.4 P(A ∩ B) P(A ∪ B) เหตุการณที่เกิดพรอมกันไมได 0 0.7 เหตุการณที่เปนอิสระตอกัน 0.12 0.58

P(A | B) 0 0.3

5. ทฤษฎีของเบย

ถาแซมเปลสเปซ S ประกอบดวยเหตุการณที่ไมสามารถเกิดขึ้นพรอมกันได (Mutually Exclusive Events) n เหตุการณคือ A1, A2, …, An และถาให B เปนอีกเหตุการณหนึ่งบน แซมเปลสเปซเดียวกัน และเปนสวนหนึ่งของ Ai (i = 1, 2, …, n) จะไดวา P(B) = P(A1 ∩ B) + P(A2 ∩ B) + ... + P(An ∩ B) = [P(B | A1) . P(A1)] + [P(B | A2) . P(A2)] +  + [P(B | An) . P(An)] n

= Σ P(B | Ai) . P(Ai) i=1

บทที่ 2 ความนาจะเปน

ดังนั้น

P(Ak | B) =

55

P(Ak ∩ B) P(B | Ak) . P(Ak) = n P(B) Σ P(B | Ai) . P(Ai) i=1

ตัวอยางเชน จากรูปที่ 2.9 เหตุการณ A ประกอบดวยเหตุการณยอ ย 4 เหตุการณทเี่ กิดขึน้ พรอมกันไมไดคือ A1, A2, A3 และ A4 เหตุการณ B เปนอีกเหตุการณหนึ่งที่สนใจศึกษา (เสนประ) P(B) = P(A1 ∩ B) + P(A2 ∩ B) + P(A3 ∩ B) + P(A4 ∩ B) เนื่องจาก P(Ai ∩ B) = P(B | Ai) . P(Ai) ∴ P(B) = [P(B | A1) . P(A1)] + [P(B | A2) . P(A2)] + [P(B | A3) . P(A3)] + [P(B | A4) . P(A4)]

จากหลักการทฤษฎีของเบย จะคํานวณคา P(A2 | B) ไดจาก P(A2 ∩ B) P(A2 | B) = P(B) P(B | A2) . P(A2) = 4 (สวนที่แรเงา) . P(B | A ) P(A ) Σ i i i=1

B A2

A1 A 1∩ B

A 4∩ B

A2∩ B

A4

A 3∩ B A3

รูปที่ 2.9 เหตุการณ B บนเหตุการณ n เหตุการณของ A ที่เกิดพรอมกันไมได ที่มา : Navidi. 2008.

56

สถิติวิศวกรรม

ตัวอยางที่ 2.15 ผูจําหนายไมโครโปรเซสเซอร 3 บริษัท (A, B, C) สงวงจรใหกับผูผลิตอุปกรณ

Telemetry ซึ่งจะทําการตรวจสอบกอนสงเขาประกอบในสายการผลิต ทางผูผลิตไดรวบรวมสถิติ ขอบกพรองที่พบในวงจรของทั้ง 3 บริษัทจํานวน 1,525 วงจร แสดงดังตารางที่ 2.8 ตารางที่ 2.8 ผลการตรวจสอบอุปกรณ Telemetry ผูจําหนายไมโครโปรเซสเซอร

ขอบกพรองที่ ตรวจสอบพบ

A

B

C

นอย

176

223

187

ปานกลาง

194

182

209

มาก

112

124

118

จงหา 1. ความนาจะเปนทีส่ มุ ตรวจสอบวงจรไมโครโปรเซสเซอร แลวพบวาสงมาจากผูจ าํ หนาย A ถาเปนกลุมวงจรมีขอบกพรองนอย 2. ความนาทีจ่ ะเปนทีส่ มุ ตรวจสอบวงจรไมโครโปรเซสเซอร แลวพบวาสงมาจากผูจ าํ หนาย B ถาเปนกลุมวงจรมีขอบกพรองปานกลาง 3. ความนาทีจ่ ะเปนทีส่ มุ ตรวจสอบวงจรไมโครโปรเซสเซอร แลวพบวาสงมาจากผูจ าํ หนาย C ถาเปนกลุมวงจรที่มีขอบกพรองมาก

วิธีทํา

กําหนดให A แทนผูจําหนาย A, B แทนผูจําหนาย B และ C แทนผูจําหนาย C E1 แทนขอบกพรองนอย, E2 แทนขอบกพรองปานกลาง และ E3 แทน ขอบกพรองมาก

บทที่ 2 ความนาจะเปน

1. P(A | E1) = =

57

P(E1 | A) . P(A) P(E1 | A) . P(A) + P(E1 | B) . P(B) + P(E1 | C) . P(C) (176 | 482) . (482 | 1525) . (176 | 482) (482 | 1525) + (223 | 529) . (529 | 1525) + (187 | 514) . (514 | 1525)

= 176 586 A

B

C

E1 ขอบกพรองนอย

รูปที่ 2.10 ผลการตรวจสอบของ 3 บริษัท เมื่อวงจรมีขอบกพรองนอย

P(E2 | B) . P(B) P(E2 | A) . P(A) + P(E2 | B) . P(B) + P(E2 | C) . P(C) (182 | 529) . (529 | 1,525) = (194 | 482) . (482 | 1525) + (182 | 529) . (529 | 1525) + (209 | 514) . (514 | 1525) = 182 585

2. P(B | E2) =

P(E3 | C) . P(C) P(E3 | A) . P(A) + P(E3 | B) . P(B) + P(E3 | C) . P(C) (118 | 514) . (514 | 1525) = (112 | 482) . (482 | 1525) + (124 | 529) . (529 | 1525) + (118 | 514) . (514 | 1525)

3. P(C | E3) =

= 118 354

58

สถิติวิศวกรรม

ตัวอยางที่ 2.16 การตรวจสอบคุณภาพนํ้าจากแหลงธรรมชาติทั้งหมด 38 แหง วิเคราะหคา DO (Dissolved Oxygen) และคา BOD (Biochemical Oxygen Demand) ไดดังตารางที่ 2.9 ตารางที่ 2.9 ผลการตรวจสอบคุณภาพนํ้า DO BOD DO BOD DO BOD

8.15 2.27 7.19 3.58 8.09 2.96

5.45 4.41 7.55 3.16 8.19 2.93

6.05 4.03 6.92 3.43 8.29 2.89

6.49 3.75 7.11 3.36 8.38 2.86

6.11 3.37 7.28 3.30 8.46 2.82

6.46 3.23 7.44 3.24 8.54 2.79

6.22 3.18 7.60 3.19 8.62 2.76

6.05 4.08 7.28 3.22 8.69 2.73

6.30 4.00 7.44 3.17 8.76 2.70

6.53 3.92 7.59 3.13 9.26 2.51

วิธีทํา กําหนดให B1 = {DO ≤ 7.5 mg/L, BOD > 3.2 mg/L} B2 = {DO > 7.5 mg/L, BOD > 3.2 mg/L} B3 = {DO > 7.5 mg/L, BOD ≤ 3.2 mg/L} B4 = {DO ≤ 7.5 mg/L, BOD ≤ 3.2 mg/L} ดังนั้น

P(B1) = 17 38 0 P(B2) = 38 P(B3) = 19 38 2 P(B4) = 38

ถา A = {6.5 < DO < 8.5 mg/L, 2.7 < BOD < 3.7 mg/L} 7 ดังนั้น P(A | B1) = 17

6.74 3.83 7.73 3.08 9.31 2.49

6.90 3.74 7.85 3.04 9.35 2.46

7.05 3.66 7.97 3.00

บทที่ 2 ความนาจะเปน

59

P(A | B2) = หาคาไมได (Undefined) เพราะ P(B2) = 0 P(A | B3) = 11 19 P(A | B4) = 12

BOD, mg/L

5.0 4.5 4.0 3.5

B1

A

3.0 2.5 2.0 1.5 5.0

B2

B4 6.0

B3 7.0 8.0 DO, mg/L

9.0

10.0

รูปที่ 2.11 แผนภาพการกระจาย (Scatter Diagram) ของคุณภาพนํ้า และการประยุกตใชทฤษฎีเบย ที่มา : Kottegoda and Rosso.1997.

P(A) = P(A | B1) P(B1) + P(A | B2) P(B2) + P(A | B3) P(B3) + P(A | B4) P(B4) 7 17 + (–)(0) + 11 19 + 1 2 = 19 = 17 38 19 38 2 38 38

( )

P(B1/A) =

( ) ( )

P(A | B1) . P(B1) P(A | B1) . P(B1) + P(A | B2) . P(B2) + P(A | B3) . P(B3) + P(A | B4) . P(B4)

7 = 19 = (7/17)(17/38) 19/38 P(B2 | A) = 0 P(B3 | A) = 0.05 P(B4 | A) = 0.58

60

สถิติวิศวกรรม

แบบฝกหัด 1. ในการทดสอบรสชาติผลิตภัณฑอาหารชนิดใหม ผูทดสอบจะทดลองชิมรสชาติตัวอยาง ผลิตภัณฑ 8 ชนิด จงหาจํานวนวิธีที่จะเลือกตัวอยางที่มีรสชาติดีที่สุด อันดับ 1, 2 และ 3 วามีกี่วิธี (เฉลย : 336 วิธี) 2. ผูจัดการทีมวอลเลยบอลตองการจัดใหผูเลน 10 คนลงเลน 6 ตําแหนงตางๆ กัน มีกี่วิธีที่ สามารถจัดได ถาผูเลนทุกคนสามารถเลนตําแหนงใดก็ได (เฉลย : 151,200 วิธี) 3. บริษัทแหงหนึ่งทําการสอบเทียบเครื่องมือวัดจํานวน 15 เครื่อง จงหาจํานวนวิธีที่เปนไปได ในการเลือกสอบเทียบเบื้องตน 3 เครื่อง (เฉลย : 455 วิธี) 4. จํานวนเหตุการณในการสุมเลือกเลนสจากกลุมเลนสเวา 6 เลนส กลุมเลนสโคง 4 เลนส และกลุมเลนสรูปพีระมิด 3 เลนส กลุมละ 1 เลนส มีกี่เหตุการณ (เฉลย : 72 เหตุการณ) 5. ชิน้ สวนอิเล็กทรอนิกส 12 ตัววางอยูใ นถาดชิน้ งานเพือ่ เตรียมประกอบแผงวงจร ถามีชนิ้ สวน 2 ตัวทีเ่ สีย แลวพนักงานผลิตหยิบชิน้ สวนมา 3 ตัว พนักงานผลิตจะหยิบชิน้ สวนอิเล็กทรอนิกส ไดทั้งหมดกี่วิธี โดยให 5.1 ไมไดชิ้นสวนที่เสียเลย (เฉลย : 120 วิธี) 5.2 ไดชิ้นสวนที่เสีย 1 ตัว (เฉลย : 90 วิธี) 5.3 ไดชิ้นสวนที่เสีย 2 ตัว (เฉลย : 10 วิธี) 6. ผูตรวจสอบอาคารสุมตรวจสอบการติดตั้งสายไฟในอาคารแหงหนึ่ง พบวาจุดที่สายไฟยังมี คุณภาพดี 12 จุด เสื่อมคุณภาพ 6 จุด และคุณภาพไมผาน 2 จุด ถาสุมจุดตรวจสายไฟออก มา 1 จุด จงหาความนาจะเปนที่ 6.1 ไดสายไฟที่มีคุณภาพดี (เฉลย : 0.6) 6.2 ไมไดสายไฟที่คุณภาพไมผาน (เฉลย : 0.9) 6.3 ไดสายไฟคุณภาพดีหรือไมก็คุณภาพไมผาน (เฉลย : 0.7)

บทที่ 2 ความนาจะเปน

61

7. การบําบัดนํ้าทิ้งจากโรงงานอุตสาหกรรม นํ้าทิ้ง (Effluent) คือนํ้าเสียที่ไดรับการบําบัดและ/ หรือไมไดรับการบําบัด ซึ่งถูกระบายสูแหลงนํ้าตามธรรมชาติ จะถูกควบคุมไมใหเกินคา มาตรฐานคุณภาพนํา้ ขัน้ ตํา่ (L) ในการตรวจสอบจะใชตวั อยางนํา้ ทีเ่ ก็บมาจากสถานทีแ่ ละเวลา ที่แตกตางกัน ถาทราบวามีโอกาส 1% ที่จะเจอตัวอยางนํ้าที่มีการปนเปอนเกินคามาตรฐาน 7.1 จงหาความนาจะเปนที่ไมพบการเจือปนในตัวอยางนํ้าที่เก็บมาทั้ง 2 ตัวอยาง (เฉลย : 0.98) 7.2 ถามีการเก็บตัวอยางนํ้า 1 ตัวอยางทุกสัปดาหเปนเวลา 2 ปติดตอกัน จงหาความนาจะ เปนที่ไมพบการปนเปอนเลย (เฉลย : 0.35) 8. ระบบการทํางานของวงจรไฟฟามีชิ้นสวนประกอบหลายชิ้นสวนตอกันแบบอนุกรม ขนาน และผสม ดังรูป ถากําหนดคาความนาจะเปนในรูปเปนโอกาสที่ชิ้นสวนประกอบเหลานั้นจะ ทํางานได และการทํางานของชิ้นสวนประกอบแตละอันเปนอิสระตอกัน จงหาความนาจะ เปนที่แตละระบบจะทํางานได 0.35

8.1

0.75

8.2

0.35 0.90

8.3

0.75

0.95 0.99

0.90 0.90

(เฉลย : 0.8375, 0.2625, 0.9865)

0.95

62

สถิติวิศวกรรม

9. วิศวกรซอมบํารุงตรวจสอบการสึกกรอนของทอในระบบหลอเย็นของโรงไฟฟานิวเคลียร เพือ่ ทําการเปลี่ยนใหมใหกลับมามีสภาพสมบูรณพรอมใชงาน การเลือกสั่งซื้อทอจากบริษัทผู จําหนาย 3 แหงคือ บริษัท A, B และ C จากประสบการณวิศวกรทราบวา 1% ของทอที่มา จากบริษัท A, 3% ที่มาจากบริษัท B และ 4% จากบริษัท C จะเปนทอที่มีตําหนิ วิศวกรสั่ง ซื้อทอจากบริษัททั้ง 3 แหงเปนจํานวน 30%, 50% และ 20% ตามลําดับ จงหาความนาจะ เปนที่จะพบทอที่มีตําหนิ ถาสุมตรวจสอบคุณภาพมา 1 ตัวอยาง (เฉลย : 0.026) 10. การตรวจสอบการแพรระบาดของไขหวัดในชุมชนแหงหนึ่ง พบวา 2% มีการแพรระบาด ของโรคระดับรุนแรง, 10% แพรระบาดเปนบางสวน และที่เหลือไมพบการแพรระบาดเลย ถาคนไขคนหนึ่งที่พบการแพรระบาดของโรคระดับรุนแรง แลวความนาจะเปนของการตอบ สนองตอการรักษาไดดีเทากับ 0.9 (ที่เหลือ 0.1 ไมตอบสนองตอการรักษา) ถาคนไขที่พบ การแพรระบาดเปนบางสวน แลวความนาจะเปนของการตอบสนองตอการรักษาไดดีเทา กับ 0.6, ถาคนไขที่ไมพบการแพรระบาดเลย แลวความนาจะเปนของการตอบสนองตอ การรักษาเทากับ 0.1 10.1 จากการสุมเลือกคนไขมา 1 คน ถาพบวาตอบสนองตอการรักษาไดดีแลว จงหาความ นาจะเปนที่คนไขมีการแพรระบาดของโรคระดับรุนแรง (เฉลย : 0.108) 10.2 จงหาความนาจะเปนที่พบการตอบสนองตอการรักษาไดผลดี (เฉลย : 0.166) 10.3 ถาการตอบสนองตอการรักษาไดผลดีแลว จงหาความนาจะเปนทีจ่ ะพบการแพรระบาด เปนบางสวนหรือไมพบการแพรระบาดเลย (เฉลย : 0.892) 11. การตรวจประเมินคามลพิษในภูมิภาคแหงหนึ่ง พบวามีสาเหตุจากโรงงานอุตสาหกรรมและ จากการจราจร ถาคาดวาอีก 3 ปขา งหนาโอกาสทีจ่ ะควบคุมมลพิษจาก 2 แหลงนีไ้ ดเปน 75% และ 60% ตามลําดับ และถาสามารถควบคุมเพียงสาเหตุหนึ่งสาเหตุใดได จะทําใหโอกาส ที่จะใหมลพิษของภูมิภาคตํ่ากวาระดับที่กําหนดไวเปน 80% 11.1 มีความนาจะเปนเทาไรทีจ่ ะสามารถควบคุมมลพิษไดในอีก 3 ปขา งหนา (เฉลย : 0.81) 11.2 ในอีก 3 ปขางหนา มีโอกาสเทาไรที่ระดับมลพิษไมสามารถควบคุมไดมาจากสาเหตุ ของการจราจร (เฉลย : 0.32)

บทที่ 2 ความนาจะเปน

63

12. ขอมูลของอุตสาหกรรมจังหวัดหนึ่งสํารวจพบวา 40% ของโรงงานอุตสาหกรรมใชพลังงาน นํ้า, 50% ใชพลังงานแสงอาทิตย และที่เหลือใชพลังงานลม 75% ของโรงงานที่ใชพลังงาน นํ้าจะเปนโรงงานขนาดใหญ, สวน 65% ของโรงงานที่ใชพลังงานแสงอาทิตยจะเปนโรงงาน ขนาดใหญ และ 25% ของโรงงานที่ใชพลังงานลมจะเปนโรงงานขนาดใหญ 12.1 จงหาความนาจะเปนที่จะพบโรงงานที่มีขนาดกลางและเล็ก (เฉลย : 0.35) 12.2 ถาโรงงานแหงหนึง่ เปนโรงงานขนาดใหญแลว จงหาความนาจะเปนทีจ่ ะใชพลังงานนํา้ พลังงานแสงอาทิตย และพลังงานลม ตามลําดับ (เฉลย : 0.4615, 0.5, 0.0385)

3

ตัวแปรสุม

การทดลองเชิงวิทยาศาสตรและเชิงวิศวกรรมศาสตรมักใหนํ้าหนักความสําคัญตอขอมูล ที่เปนตัวเลข (Numerical Outcome) ในบทที่ 2 ผลของการทดลองจะจําแนกเปนรายละเอียด เชิงกายภาพ (Physical Outcome) อยูในเหตุการณและแซมเปลสเปซ ถาแปรเปลี่ยนมุมมองเชิง กายภาพใหกลายเปนมุมมองเชิงตัวเลขเพือ่ นําไปคํานวณหรือสรางฟงกชนั ความสัมพันธ จะทําให จัดระเบียบของผลการศึกษาไดอยางเปนแบบแผน (Pattern) งายตอการนําไปวิเคราะหหรือใชงาน ตัวอยางเชน ผลการทดสอบความเคนของชิน้ งานโลหะ จะไดผลลัพธเปนผาน (Pass, P) และไม ผาน (Fail, F) ถาเปลีย่ นมุมมองเปนจํานวนของชิน้ งานโลหะทีผ่ า นการทดสอบ จะไดขอ มูลเชิงตัวเลข ตัง้ แต 0, 1, 2, ... (ดังรูปที่ 3.1) เพือ่ นําไปสรุปผล วิเคราะห หรือสรางฟงกชนั ของความนาจะเปนไดตอ ไป แซมเปลสเปซ PPPP PPPF PPFP PFPP FPPP PPFF PFPF PFFP FPPF FPFP FFPP PFFF FPFF FFPF FFFP FFFF

0

1

2

3

4

x

รูปที่ 3.1 ตัวอยางการแปรผลลัพธเชิงกายภาพเปนผลลัพธเชิงตัวเลข ที่มา: Devore and Farnum. 2005.

66

สถิติวิศวกรรม

เนื้อหาในบทเรียนนี้ จะแนะนําใหรูจักตัวแปรสุม (Random Variable) และการสราง ฟงกชันความนาจะเปนประเภทตางๆ เพื่อปูพื้นฐานสูการแจกแจงความนาจะเปน (Probability Distribution) แบบตางๆ ซึ่งจะกลาวรายละเอียดในบทเรียนถัดไป สําหรับหัวขอในบทเรียนนี้ ประกอบดวย (1) ตัวแปรสุม (2) ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปน (3) ฟงกชันการแจกแจง ความนาจะเปนแบบสะสม (4) การแจกแจงความนาจะเปนรวมกัน (5) การแจกแจงมารจินัล (6) การแจกแจงแบบมีเงื่อนไข และ (7) ตัวแปรสุมเปนอิสระตอกัน

1. ตัวแปรสุม ตัวแปรสุม (Random Variable) หมายถึง ลักษณะตางๆ ซึ่งเปนผลลัพธที่เกิดขึ้นจากการ ทดลองสุม อาจอยูในรูปของตัวเลข หรือฟงกชันที่เปนจํานวนจริง ซึ่งจะถูกกําหนดคาโดยสมาชิก แตละตัวในแซมเปลสเปซ S สัญลักษณที่ใชแทนตัวแปรสุม เชน X, Y เปนตน คาของตัวแปรสุม จะใชสัญลักษณแทนดวย x, y แซมเปลสเปซ S

ตัวแปรสุม X X(e)

e

รูปที่ 3.2 ความสัมพันธระหวางแซมเปลสเปซและตัวแปรสุม ที่มา : Hines et al. 2003.

จากรูปที่ 3.2 จะเห็นไดวา สมาชิก e ในแซมเปลสเปซ เปนตัวกําหนดคาของตัวแปรสุม X โดยมีคาเทากับ X(e) ตัวอยางเชน ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ จํานวน 3 ครั้ง กําหนดใหตัวแปรสุม X แทน จํานวนหนาหัวที่ปรากฏจากการทดลอง สมาชิกในแซมเปลสเปซจะกําหนดคาของตัวแปรสุม X ดังรูปที่ 3.3 S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} X = {0, 1, 2, 3}

บทที่ 3 ตัวแปรสุม

แซมเปลสเปซ S TTT TTH THT HTT HHT HTH THH HHH

67

ตัวแปรสุม X 0 1 2 3

รูปที่ 3.3 ตัวแปรสุม X แทนจํานวนหนาที่ออกหัว ที่มา : Hines et al. 2003.

ตัวอยางเชน ในการทอดลูกเตา 2 ลูก กําหนดใหตัวแปรสุม Y แทนผลบวกของลูกเตา

สมาชิกแตละตัวในแซมเปลสเปซ S จะกําหนดคาของตัวแปรสุม Y แสดงดังตารางที่ 3.1 S = {(1, 1) (1, 2) (1, 3) … (6, 6)} Y = {2, 3, 4, …, 12} ตารางที่ 3.1 ตัวแปรสุม Y แทนผลบวกของลูกเตา ตัวแปรสุม Y

สมาชิกในแซมเปลสเปซ S

Y=2

{(1, 1)}

Y=3

{(1, 2), (2, 1)}

Y=4

{(1, 3), (2, 2), (3, 1)}

Y=5

{(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}

Y=6

{(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}

Y=7

{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}

Y=8

{(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}

Y=9

{(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}

Y = 10

{(4, 6), (5, 5), (6, 4)}

Y = 11

{(5, 6), (6, 5)}

Y = 12

{(6, 6)}

ความนาจะเปน 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36

68

สถิติวิศวกรรม

ลักษณะของตัวแปรสุมแบงออกเปน 2 ประเภทคือ ตัวแปรสุมแบบไมตอเนื่อง และตัวแปร สุมแบบตอเนื่อง ตัวแปรสุมแบบไมตอเนื่อง (Discrete Random Variable) หมายถึง ตัวแปรสุมที่มี คาแนนอนอันเนื่องมาจากการทดลองที่มีจํานวนตัวอยางจํากัดหรือไมจํากัดแตนับได สวนตัวแปร สุมแบบตอเนื่อง (Continuous Random Variable) จะหมายถึงตัวแปรสุมที่มีคาที่ตอเนื่องอันเนื่อง มาจากการทดลองที่มีจํานวนตัวอยางนับไมถวน ตัวอยางเชน ตัวแปรสุม X แทนจํานวนโรงไฟฟาที่ผลิตกระแสไฟฟา จากทั้งหมด 3 แหง x = 0, 1, 2, 3 ← ตัวแปรสุมแบบไมตอเนื่อง ตัวแปรสุม X แทนเสนผานศูนยกลางของกระบอกสูบ วัดคาไดระหวาง 49.5 ถึง 50.5 mm x = (49.5, 50.5) ← ตัวแปรสุมแบบตอเนื่อง ตัวแปรสุม X แทนอายุการใชงานของแบตเตอรี่ ← ตัวแปรสุมแบบตอเนื่อง x = [0, ∞)

2. ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปน (Probability Density Function – pdf) ตัวแปรสุมเปนขอมูลเชิงตัวเลขทีส่ รุปไดจากการทดลองใดๆ สามารถหาคาความนาจะเปน แตละคาของตัวแปรสุมได แทนดวย P(X = x) โดยมีคุณสมบัติของความนาจะเปนคือ 0 ≤ P(X = x) ≤ 1 เมื่อ X = x หมายถึง ตัวแปรสุม X ที่มีคาเทากับ x คาความนาจะเปน เมื่อกําหนด X = x หรือแทนดวย P(X = x) นั้น อาจเรียกวาเปนฟงกชัน การแจกแจงความนาจะเปน (pdf) ของ ตัวแปรสุม X แทนดวย f(x) ดังนั้น P(X = x) มีความหมายเดียวกันกับ f(x) ความสัมพันธระหวาง X และ P(X = x) แสดงในรูปฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนได โดยอยูในรูปของตาราง รูปของความสัมพันธ หรือรูปของกราฟ ตัวอยางเชน โยนเหรียญ 1 เหรียญ จํานวน 3 ครั้ง กําหนดใหตัวแปรสุม X คือจํานวน หนาหัวที่ปรากฏ คาของตัวแปรสุม X เทากับ 0, 1, 2, 3 แสดงดวยฟงกชันการแจกแจงความนา จะเปน pdf ในรูปของตาราง ดังตารางที่ 3.2 หรือรูปของกราฟ ดังรูปที่ 3.4

บทที่ 3 ตัวแปรสุม

69

ตารางที่ 3.2 pdf ในรูปของตาราง X

0

1

2

3

P(X = x)

1/8

3/8

3/8

1/8

1/8; x = 0, 3 P(X = x) = 3/8; x = 1, 2 ← pdf ในรูปของความสัมพันธ 0; x อื่นๆ 3/8

3/8 1/8

1/8 0

1

2

3

x

รูปที่ 3.4 pdf ในรูปของกราฟ

2.1 การแจกแจงความนาจะเปนแบบไมตอเนื่อง (Discrete Probability Distribution) เมื่อ X เปนตัวแปรสุมไมตอเนื่องที่มีคาเปน x1, x2, …, xn ดวยความนาจะเปน f(x1), f(x2), ..., f(xn) ตามลําดับ ถาเหตุการณ A เปนสับเซตของเซต { x1, x2, …, xn } แลวจะไดคาความนา จะเปนของเหตุการณ A หรือ P(A) = Σ f (x) ทุกคา x ของเหตุการณ A x

คุณสมบัติของ pdf ของตัวแปรสุมไมตอเนื่อง 1. f(x) ≥ 0 สําหรับทุกคา x ที่เปนจํานวนจริง 2. 0 ≤ f(x) ≤ 1 3. Σ f(x) = 1 x

b

4. P(a ≤ X ≤ b) = Σ f(x) x=a

70

สถิติวิศวกรรม

ตัวอยางที่ 3.1 การสุม ตรวจสอบตัวอยางเวเฟอรจาํ นวน 2 อันในกระบวนการผลิตเซมิคอนดักเตอร

ไดกําหนดใหผลลัพธจากการตรวจสอบเปน 2 ทางคือ ผาน (Pass) หรือไมผาน (Fail) จากขอมูล ในอดีตพบวา การตรวจสอบเวเฟอรอันที่ 1 และ 2 เปนอิสระตอกัน ความนาจะเปนในการตรวจ สอบเวเฟอร 1 อันแลวไดผลเปนผานเทากับ 0.93 จงหาคาของตัวแปรสุมและการแจกแจงความ นาจะเปนของตัวแปรสุม

วิธีทํา

S = {, ,  , } กําหนดให X แทนผลลัพธในการตรวจสอบแลว ผาน ดังนั้น คาของตัวแปรสุม X = {0, 1, 2} การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X แสดงดังตารางที่ 3.3 ตารางที่ 3.3 การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X

ดังนั้น

ผลลัพธ 

ความนาจะเปน

X=x

(0.93)(0.93) = 0.865

2



(0.93)(0.07) = 0.065

1



(0.07)(0.93) = 0.065

1



(0.07)(0.07) = 0.005

0

P(X = 0) = 0.005 P(X = 1) = 0.065 + 0.065 = 0.13 P(X = 2) = 0.865

จะเห็นไดวา

f(x) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 1 Σ x

บทที่ 3 ตัวแปรสุม

71

ตัวอยางที่ 3.2 โรงงานผลิตแบตเตอรี่ Nikel Metal Hydride (NMH) สําหรับรถยนตไฮบริด

ไดทําการตรวจสอบขอบกพรองระหวางการชารจแบตเตอรี่ และจะหยุดตรวจสอบเมื่อตรวจพบ แบตเตอรี่ที่ชารจไฟไมเขา จากขอมูลในอดีตพบวา การตรวจสอบแบตเตอรี่แตละอันเปนอิสระ ตอกัน และมีความนาจะเปนที่จะตรวจพบแบตเตอรี่ที่ชารจไฟไมเขาเทากับ 0.005 ถาให X แทน จํานวนแบตเตอรีท่ ตี่ อ งทําการตรวจสอบ จงหาฟงกชนั การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X

วิธีทํา

S = {, , , , ….}

ตัวแปรสุม X แทนจํานวนแบตเตอรี่ที่ตองทําการตรวจสอบ คาของตัวแปรสุม X = {1, 2, 3, 4, …} P(X = 1) = P() = (0.995)0 (0.005) P(X = 2) = P() = (0.995)1 (0.005) เมื่อตัวแปรสุม X มีคาเพิ่มมากขึ้น จะพบวาความนาจะเปนของ X สามารถสรุปเปน ฟงกชันความสัมพันธไดในรูป (0.995)x – 1 (0.005) ดังนั้น ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X = f(x) P(X = x) = (0.995)x – 1 (0.005); x = 1, 2, 3, … 0 ; x อื่นๆ

ตัวอยางที่ 3.3 ในการขนสงเครื่องยนต 100 เครื่องโดยทางเรือ ตรวจสอบพบวามีชํารุด 5 เครื่อง

ถาโรงงานประกอบรถยนตแหงหนึ่งสั่งซื้อเครื่องยนตจํานวน 4 เครื่อง จงหาฟงกชันการแจกแจง ความนาจะเปนของจํานวนเครื่องยนตชํารุดที่ทางโรงงานจะไดรับ

วิธีทํา

กําหนดให X แทนจํานวนเครื่องยนตชํารุดที่ทางโรงงานจะไดรับ X = {0, 1, 2, 3, 4} 5 95 x 4–x ดังนั้น f(x) = P(X = x) = ; x = 0, 1, 2, 3, 4 100 4 0 ; x อื่นๆ

( )( ) ( )

72

สถิติวิศวกรรม

อาจแสดงฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X ในรูปของตาราง หรือรูป ของกราฟ ดังรูปที่ 3.5 0.805 X 0 1 2 3 4

( 50 ) ( 954 ) ( 51 ) ( 953 ) ( 52 ) ( 952 ) ( 53 ) ( 951 ) ( 54 ) ( 950 )

f(x) 100 4 100 4 100 4 100 4 100 4

( ( ( ( (

) ) ) ) )

= 0.805 = 0.178

f(x) 0.178

= 0.014 = 0.003 = 0.000

0

1

0.014 0.003 2 3

4 x

รูปที่ 3.5 pdf ในรูปของตารางและกราฟ

2.2 การแจกแจงความนาจะเปนแบบตอเนื่อง (Continuous Probability Distribution)

ตัวแปรสุมตอเนื่อง X มีฟงกชัน f(x) ซึ่ง f(x) ≥ 0 สําหรับทุกคา x ในชวง ( –∞, ∞) ถา A เปนเหตุการณใดๆ จะไดคาความนาจะเปนของเหตุการณ A หรือ P(A) = ∫ f(x)dx ทุกคา x ของ x เหตุการณ A คุณสมบัติของ pdf ของตัวแปรสุมตอเนื่อง 1. f(x) ≥ 0 สําหรับทุกคา x ที่เปนจํานวนจริง 2. 0 ≤ f(x) ≤ 1 ∞

3. ∫ –∞ f(x)dx = 1

b

4. P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f(x)dx a

บทที่ 3 ตัวแปรสุม

73

ตัวอยางที่ 3.4 ถาตัวแปรสุม X แทนเสนผานศูนยกลางของกระบอกสูบ ซึ่งมีฟงกชันความนา

จะเปน f(x) = 1.5 – 6(x – 50)2 โดยมีขอบเขตของ X เปน [49.5, 50.5] mm จงหาความนาจะ เปนที่จะวัดเสนผานศูนยกลางระหวาง 49.8 และ 50.1 mm

วิธีทํา P(49.8 < X < 50.1) =

50.1

50.1

∫ 1.5 – 6(x – 50)2dx = [1.5x – 2(x – 50)3 ] | 49.8

49.8

= 75.148 – 74.716 = 0.432 f(x) = 1.5 – 6(x – 50)2

49.5

49.8

50.1 50.5 x เสนผานศูนยกลางกระบอกสูบ (mm)

รูปที่ 3.6 ความนาจะเปนของตัวแปรสุม X ระหวาง 49.8 และ 50.1 mm ที่มา : Hayter. 2002.

74

สถิติวิศวกรรม

kx ; 0 ≤ x < 2

ตัวอยางที่ 3.5 จงหาคาคงที่ k ของฟงกชัน f(x) = k(4 – x); 2 ≤ x ≤ 4 ซึ่งเปนฟงกชัน 0 ; x อื่นๆ

pdf และคาของ P(1 < X < 2)

วิธีทํา 1. หาคาคงที่ k ∞ จากคุณสมบัติของความนาจะเปน ∫ –∞ f(x)dx = 1 จะได 2

4

∫0 kx dx + ∫2 k(4 – x)dx = 1

(k x22 ) 02 + (4kx – k x22 ) 42

= 1

2k + 2k = 1 ∴ k = 14 2 2. P(1< X < 2) = ∫ 14 xdx = 18 x2 1

( ) 21

= 38

3. ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสม (Cumulative Distribution Function – cdf) ถา X เปนตัวแปรสุม ซึ่งอาจจะเปนแบบไมตอเนื่องหรือแบบตอเนื่อง กําหนดให F(x) เปน ฟงกชันความนาจะเปนสะสม (cdf) ของตัวแปรสุม X แลว F(x) = P(X ≤ x) ถา X เปนตัวแปรสุมแบบไมตอเนื่อง F(x) = Σ f (x) x x

ถา X เปนตัวแปรสุมแบบตอเนื่อง F(x) = ∫ f(x)dx –∞

ตัวอยางของกราฟความนาจะเปนสะสมแบบไมตอ เนือ่ งและแบบตอเนือ่ ง แสดงดังรูปที่ 3.7

บทที่ 3 ตัวแปรสุม

F(x) 1 17/18 15/18 12/18

75

1 F(x)

8/18 3/18

0 0

1

2

3

4

5

x

x

รูปที่ 3.7 ตัวอยางกราฟความนาจะเปนสะสม (cdf) แบบไมตอเนื่อง (ซาย) และแบบตอเนื่อง (ขวา) ที่มา : Hayter. 2002.

คุณสมบัติของ cdf 1. 0 ≤ F(x) ≤ 1 2. F(x) เปนฟงกชันที่มีคาไมลดลงของ X 3. P(a < X ≤ b) = F(b) – F(a)

ตัวอยางที่ 3.6 บริษทั ผูผ ลิตเครือ่ งมือทางการแพทยสง มอบชุดผาตัดใหกบั โรงพยาบาลแหงหนึง่

635 ชุด ฝายตรวจรับพัสดุของโรงพยาบาลตรวจสอบพบวามีชุดผาตัดที่ตํ่ากวามาตรฐานจํานวน 35 ชุด ถาลองเปลี่ยนมาสุมตรวจสอบชุดผาตัด 2 ชุดโดยสุมตรวจทีละชุด จงหาความนาจะเปนที่ พบชุดผาตัดที่ตํ่ากวามาตรฐาน และหาฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสม

วิธีทํา

S = {, , , } กําหนดให X แทนชุดผาตัดที่สุมตรวจสอบแลวพบวาตํ่ากวามาตรฐาน x = 0, 1, 2 600 599 . 599 = 0.893 P(X = 0) = 1 . 1 = 600 635 634 635 634 1 1

( )( ) ( )( ) ( )( )

76

สถิติวิศวกรรม

P(X = 1) =

( 6001 ) . ( 351 ) + ( 351 ) . ( 6001 ) ( 6351 ) ( 6341 ) ( 6351 ) ( 6341 ) ( )( ) ( )( )

= 600 . 35 + 35 . 600 = 0.052 + 0.052 635 634 635 634 = 0.104 P(X = 2) =

( 351 ) . ( 341 ) = 35 . 34 = 0.003 ( 635 ) ( 634 ) 635 634 (1) (1)

ฟงกชันความนาจะเปนสะสม F(x) =

0.893; x = 0 0.997; x = 1 1 ; x=2

ตัวอยางที่ 3.7 จากตัวอยางที่ 3.4 ถาทราบฟงกชนั ความนาจะเปนของเสนผานศูนยกลางกระบอกสูบ f(x) แลว จงหาฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมของเสนผานศูนยกลางกระบอกสูบ

วิธีทํา จากตัวอยางที่ 3.4 กําหนดใหตัวแปรสุม X แทนเสนผานศูนยกลางของกระบอกสูบ F(x) = P(X ≤ x) =

x

2 ∫ 1.5 – 6(x – 50) dx

49.5

= 1.5x – 2(x – 50)3 – 74.5 ดังนั้น

0 ; x < 49.5 3 F(x) = 1.5x – 2(x – 50) – 74.5 ; 49.5 ≤ x ≤ 50.5 1 ; x > 50.5

ถาตองการหา P(49.7 ≤ X ≤ 50.0) = F(50.0) – F(49.7) = 0.5 – 0.104 = 0.396 (ดังรูปที่ 3.8)

บทที่ 3 ตัวแปรสุม

77

F(x) = 1.5x – 2(x – 50)3 – 74.5 1

P(49.7 ≤ X ≤ 50.0) = 0.396

P(X ≤ 50.0) = 0.500

P(X ≤ 49.7) = 0.104 49.5

49.7

50.0

50.5 x เสนผานศูนยกลางกระบอกสูบ (mm) รูปที่ 3.8 ความนาจะเปนของเสนผานศูนยกลางกระบอกสูบ ตั้งแต 49.7 ถึง 50.0 mm

ตัวอยางที่ 3.8 กําหนดใหฟงกชันความนาจะเปนสะสมของความเคนอัดในแทงคอนกรีตคือ F(x) = 3.856 – 12.8e–0.01x ; 120 ≤ x ≤ 150 จงหาฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปน (pdf) และความนาจะเปนที่ความเคนอัดในแทง คอนกรีตไมเกิน 133.9

วิธีทํา กําหนดให X แทนความเคนอัดในแทงคอนกรีต เนื่องจาก ดังนั้น

∴

หรือ

F(x) =

x

∫ f(x)dx

–∞

d dx F(x) = f(x) d (3.856 – 12.8e–0.01x) = 0.0128e–0.01x ∴ f(x) = dx P(X ≤ 133.9) =

133.9

–0.01x dx ∫ 0.0128e

120

F(133.9) = 3.856 – 12.8e–0.01(133.9) = 0.5

78

สถิติวิศวกรรม

4. การแจกแจงความนาจะเปนรวมกัน (Joint Probability Distribution) หัวขอที่ผานมา เปนการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมเพียงตัวแปรเดียว ในกรณี ที่ตองการศึกษาความสัมพันธระหวางตัวแปรสุมหลายตัวภายใตแซมเปลสเปซเดียวกันนั้น เชน ชิ้นงานโลหะหนึ่งชิ้น วัดขอมูลของขนาด นํ้าหนัก ความเคน เปอรเซ็นตคารบอน เปนตน สมาชิก ภายในแซมเปลสเปซแตละตัวจะเปนตัวกําหนดคาของตัวแปรสุม ไดหลายคา ดังรูปที่ 3.9 จะพบวา สมาชิก e เปนตัวกําหนดคาของตัวแปรสุม k ตัวแปร ไดคาของตัวแปรสุมเทากับ X1(e), X2(e), …, Xk(e) การศึกษาความสัมพันธระหวางตัวแปรสุมหลายตัวแปรและความนาจะเปนรวมกัน (Joint Probability Distribution) จะถูกเรียกวา การแจกแจงหลายตัวแปร (Multivariate Distributions) ตัวแปรสุม X1, X2, ..., Xk แซมเปลสเปซ S e

X1 X2 Xk

x1 = X1(e) x2 = X2(e) xk = Xk(e)

รูปที่ 3.9 แซมเปลสเปซและตัวแปรสุมจํานวน k ตัวแปร ที่มา : Hines et al. 2003.

ในหัวขอนี้จะศึกษาเฉพาะตัวแปรสุมสองตัวคือ X และ Y ฟงกชันการแจกแจงความนา จะเปนรวมกันของตัวแปรสุม X และ Y แทนดวย f(x, y) การศึกษาความสัมพันธของตัวแปรสุม สองตัวและความนาจะเปนรวมกัน จะถูกเรียกวาการแจกแจงสองตัวแปร (Bivariate Distribution) ฟงกชัน f(x, y) แบงเปน 2 กรณีคือ กรณีตัวแปรสุมแบบไมตอเนื่อง และกรณีตัวแปรสุมแบบ ตอเนื่อง

79

บทที่ 3 ตัวแปรสุม

4.1 การแจกแจงความนาจะเปนรวมกันของตัวแปรสุม แบบไมตอเนื่อง (Discrete Joint Probability Distribution) ถา X และ Y เปนตัวแปรสุมแบบไมตอเนื่อง จะนิยามฟงกชันความนาจะเปนรวมกันของ X และ Y ดังนี้ f (x, y) = P(X = x, Y = y)

คุณสมบัติของความนาจะเปนรวมกันของตัวแปรสุมแบบไมตอเนื่อง 1. f(x, y) ≥ 0 สําหรับทุกคาของ x และ y ที่เปนจํานวนจริง 2. 0 ≤ f(x, y) ≤ 1 3. Σ Σ f (x, y) = 1 x y

4. P[(X, Y) ∈ A ] = Σ Σ f(x, y) A

เชนเดียวกันกับตัวแปรสุม เดียว การแจกแจงรวมกันของตัวแปรสุม แบบไมตอ เนือ่ งสามารถ แสดงในรูปของตารางหรือกราฟได ดังรูปที่ 3.10 X

Y 0

f(x, y) 0

1

2

3

3/30

4

1/30 1/30 2/30 3/30 1/30

1

1/30 1/30 3/30 4/30

2

1/30 2/30 3/30

3

1/30 3/30

4

3/30

1/30 0

1/30 0

1/30 1

1/30

1/30 2/30

1/30

3/30

y

3/30 3/30 4/30

2/30

3/30 1/30

2

3

รูปที่ 3.10 การแจกแจงของตัวแปรสุมแบบไมตอเนื่อง

4

x

80

สถิติวิศวกรรม

ตัวอยางที่ 3.9 ทดลองโยนลูกเตา 2 ลูกจํานวน 1 ครั้ง ถากําหนดให X แทนผลรวมของแตมที่

ได และ Y แทนจํานวนของแตมที่เปนเลขคี่ จงหาการแจกแจงความนาจะเปนรวมกันของตัวแปร สุมทั้งสอง

วิธีทํา S = {(1, 1) (1, 2) (1, 3) ... (6, 6)} รวมทั้งหมด 36 เหตุการณ กําหนดให X = ผลรวมของแตมที่ได; x = 2, 3, …, 12 Y = จํานวนของแตมที่เปนเลขคี่; y = 0, 1, 2 ดังนั้น การแจกแจงความนาจะเปนรวมกัน f(x, y) แสดงดังตารางที่ 3.4 ตารางที่ 3.4 ความนาจะเปนรวมกันของตัวแปรสุม X และ Y Y

X 0 1 2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0 0 1/36

0 2/36 0

1/36 0 2/36

0 4/36 0

2/36 0 3/36

0 6/36 0

3/36 0 2/36

0 4/36 0

2/36 0 1/36

0 2/36 0

1/36 0 0

จากตารางที่ 3.4 ตัวอยางเชน ถา X = 2 หมายถึง ผลรวมลูกเตามีคา เทากับ 2 (x = 2) ซึง่ จะมีอยู เพียง 1 เหตุการณคือ (1, 1) และเมื่อพิจารณาจํานวนของแตมที่เปนเลขคี่ จะไดวาลูกเตาทั้งสอง ใหหนาคี่คือ 1 ซึ่งจะใหคาตัวแปรสุม Y เทากับ 2 (y = 2) ดังนั้น f(x, y) = f(2, 2) = 1/36 ถา X = 3 หมายถึง ผลรวมลูกเตามีคาเทากับ 3 (x = 3) ซึ่งจะมีอยู 2 เหตุการณคือ (1, 2) (2, 1) และเมื่อพิจารณาจํานวนของแตมที่เปนเลขคี่ จะไดวามีลูกเตา 1 ลูกใหหนาคี่คือ 1 ซึ่งจะ ใหคาตัวแปรสุม Y เทากับ 1 (y = 1) ดังนั้น f(x, y) = f(3, 1) = 2/36 การแจกแจงความนาจะเปนสะสมของตัวแปรสุม X และ Y แทนดวย F(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) ตัวอยางเชน 4

2

F(4, 2) = P(X ≤ 4, Y ≤ 2) = Σ Σ f(x, y) x=2 y=0

= f(2, 0) + f(2, 1) + f(2, 2) + f(3, 0) + f(3, 1) + f(3, 2) + f(4, 0) + f(4, 1) + f(4, 2) = 0 + 0 + 1/36 + 0 + 2/36 + 0 + 1/36 + 0 + 2/36 = 6/36

บทที่ 3 ตัวแปรสุม

81

ตัวอยางที่ 3.10 การบํารุงรักษาเครือ่ งปรับอากาศของแผนก 3 แผนก ซึง่ แตละแผนกจะมีจาํ นวน เครื่องปรับอากาศไมเทากัน ถาแผนกที่ 1 มี 4 เครื่อง แผนกที่ 2 มี 3 เครื่อง และแผนกที่ 3 มี 5 เครื่อง ถาทําการสุมตรวจสอบเครื่องปรับอากาศจํานวน 3 เครื่อง กําหนดให X แทนจํานวนเครื่อง ปรับอากาศในแผนกที่ 1 และ Y แทนจํานวนเครื่องปรับอากาศในแผนกที่ 2 ที่ไดรับการสุมตรวจ จงหา 1. การแจกแจงความนาจะเปนรวมกันของ X และ Y 2. P[(X, Y) ∈ A)] เมื่อ A = [(x, y)x + y ≤ 2]

วิธีทํา กําหนดให X = จํานวนเครื่องปรับอากาศในแผนกที่ 1 ที่ไดรับการสุมตรวจสอบ = {0,1,2, 3,4} Y = จํานวนเครื่องปรับอากาศในแผนกที่ 2 ที่ไดรับการสุมตรวจสอบ = {0, 1, 2, 3} 12 1. จํานวนวิธีในการสุมตรวจสอบจํานวน 3 เครื่อง = 3 4 จํานวนวิธีที่สุมตรวจสอบ x เครื่อง จากแผนกที่ 1 = x 3 จํานวนวิธีที่สุมตรวจสอบ y เครื่อง จากแผนกที่ 2 = y 5 จํานวนวิธีที่สุมตรวจสอบ (3 – x – y) เครื่อง จากแผนกที่ 3 = 3 – x – y

( ) ( ) ( ) ( )

ดังนั้น

f(x, y) = P(X = x, Y = y) 4 3 5 ( )( )( x y 3–x–y) = ( 123 )

เมื่อ และ

x = 0, 1, 2, 3, 4 y = 0, 1, 2, 3 0 ≤ x+y ≤ 3

นอกจากแสดงในรูปของฟงกชันความสัมพันธขางตนแลว f(x, y) สามารถแสดงในรูปของ ตารางไดอีกดวย ดังตารางที่ 3.5

82

สถิติวิศวกรรม

ตารางที่ 3.5 การแจกแจงความนาจะเปนรวมกันของตัวแปรสุม X และ Y X

Y 0 1 2 3

รวม

0

1

2

3

4

รวม

10 220 30 220 15 220 1 220 56 220

40 220 60 220 12 220

30 220 18 220

4 220

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

84 220 108 220 27 220 1 220

112 220

48 220

4 220

–

1

2. f(0, 0) + f(0, 1) + f(0, 2) + f(1, 0) + f(1, 1) + f(2, 0) 10 + 30 + 15 + 40 + 60 + 30 = 185 = 220 220 220 220 220 220 220

4.2 การแจกแจงความนาจะเปนรวมกันของตัวแปรสุม แบบตอเนื่อง (Continuous Joint Probability Distribution)

ถา X และ Y เปนตัวแปรสุมแบบตอเนื่อง จะนิยามฟงกชันความนาจะเปนรวมกันของ X และ Y ดังนี้ f(x, y) = P(X = x, Y = y) คุณสมบัติของความนาจะเปนรวมกันของตัวแปรสุมแบบตอเนื่อง 1. f(x, y) ≥ 0 2. 0 ≤ f(x, y) ≤ 1 ∞ ∞

3. ∫ ∫ f(x, y)dxdy = 1 –∞ –∞

4. P[(X, Y) ∈ A] = ∫ ∫ f(x, y)dxdy A

เชนเดียวกันกับตัวแปรสุมเดียว การแจกแจงรวมกันของตัวแปรสุมแบบตอเนื่องสามารถ แสดงในรูปของกราฟได ดังรูปที่ 3.11

บทที่ 3 ตัวแปรสุม

f(x, y)

f(x, y)

y

83

y

y = 2000

2 1

0.25 x 1 (ก) f(x, y) = 500 ; 0 ≤ x ≤ 0.25, 0 ≤ y ≤ 2000

1 (ข) f(x, y) = x2+

x xy 3 ; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2

รูปที่ 3.11 ตัวอยางของกราฟการแจกแจงความนาจะเปนรวมกันของ 2 ตัวแปรสุม ที่มา : Hines et al. 2003.

ตัวอยางที่ 3.11 ในการเลือกตําแหนงขุดเจาะแร วิศวกรเหมืองแรไดนําตัวอยางแรที่ขุดพบมา วิเคราะหหาปริมาณแรเหล็กและสังกะสี ถากําหนดใหตัวแปรสุม X แทนปริมาณสังกะสี มีคาอยู ระหวาง 0.5 – 1.5 และตัวแปรสุม Y แทนปริมาณแรเหล็ก มีคาอยูระหวาง 20.0 และ 35.0 ฟงกชัน ความนาจะเปนรวมกันของตัวแปรสุม X, Y คือ 2 2 f(x, y) = 39 – 17(x – 1) – (y – 25) 100 50 10000 1. จงทดสอบวา f(x, y) เปนฟงกชันความนาจะเปนรวมกันของ X และ Y 2. จงหา P[(X, Y) ∈ A)] = P(0.8 < X < 1, 25 < Y < 30)

วิธีทํา

∞ ∞

1. f(x, y) เปนฟงกชันความนาจะเปนรวมกันของ X และ Y ก็ตอเมื่อ ∫ ∫ f(x, y)dxdy = 1 –∞ –∞ 1.5 35 2 2 39 – 17(x – 1) – (y – 25) dxdy = 1 ∫ 100 ∫ y=20 10000 50 x=0.5 ดังนั้น f(x, y) เปนฟงกชันความนาจะเปนรวมกันของ X และ Y 1

2. P(0.8 < X < 1, 25 < Y < 30) = ∫

30

39 – 17(x – 1)2 – (y – 25)2 dxdy ∫ 100 10000 50

x=0.8 y=25

= 0.092 ประมาณ 9% ของแรที่ขุดพบจากแหลงนี้ จะมีปริมาณแรเหล็กและสังกะสีในชวงที่กําหนด

84

สถิติวิศวกรรม

5. การแจกแจงมารจินัล (Marginal Distribution) สมมติวา X = {x1, x2, …, xm} และ Y = {y1, y2, …, yn} จะไดคาความนาจะเปนของ เหตุการณที่ X = xj และ Y = yk คือ P(X = xj, Y = yk) = f(xj, yk) ตารางที่ 3.6 การแจกแจงมารจินัลของตัวแปรสุม X และ Y Y

y1

y2

…

yn

x1

f(x1, y1)

f(x1, y2)

…

f(x1, yn)

g(x1)

x2

f(x2, y1)

f(x2, y2)

…

f(x2, yn)

g(x2)

:

:

:

:

:

xm

f(xm, y1)

f(xm, y2)

…

f(xm, yn)

g(xm)

h(y1)

h(y2)

…

h(yn)

1

X

จากตารางที่ 3.6 ความนาจะเปนที่ X = xj หาไดจากการรวมทุกคาในแถวที่สอดคลองกับ xj นั่นคือ n

P(X = xj) = g(xj) = Σ f(xj, yk) k=1

เมื่อ

j = 1, 2, …, m สําหรับตัวแปรสุมแบบไมตอเนื่อง n

P(X = xj) = g(xj) = ∫ f(xj, yk)dy k=1

เมื่อ j = 1, 2, …, m สําหรับตัวแปรสุมแบบตอเนื่อง ความนาจะเปนที่ Y = yk หาไดจากรวมทุกคาในสดมภที่สอดคลองกับ yk นั่นคือ m

P(Y = yk) = h (yk) = Σ f (xj, yk) j=1

บทที่ 3 ตัวแปรสุม

เมื่อ

85

k = 1, 2, …, n สําหรับตัวแปรสุมแบบไมตอเนื่อง m

P(Y = yk) = h (yk) = ∫ f (xj, yk)dx j=1

เมื่อ

k = 1, 2, …, n สําหรับตัวแปรสุมแบบตอเนื่อง

g(xj) และ h(yk) เรียกวา ฟงกชันความนาจะเปนมารจินัลของ X และ Y ตามลําดับ m n m n ซึ่งมีคุณสมบัติของความนาจะเปนคือ Σ g(xj) = 1 และ Σ h(yk) = 1 และ Σ Σ f(xj, yk) = 1 j=1

1

Y

2

k=1

X

3

4

j=1 k=1

1 0.12

0.08

0.07

0.05

0.32

2 0.08

0.15

0.21

0.13

0.57

3 0.01

0.01

0.02

0.07

0.11

0.21

0.24

0.30

0.25

การแจกแจง มารจินัลของ Y

การแจกแจงมารจินัลของ X

รูปที่ 3.12 ตัวอยางฟงกชันมารจินัลของ X และ Y

จากรูปที่ 3.12

X = {1, 2, 3, 4} และ Y = {1, 2, 3}

ดังนั้น ฟงกชันความนาจะเปนมารจินัลของ X = g(xj) เมื่อ j = 1, 2, 3, 4 g(x1) g(x2) g(x3) g(x4)

= = = =

g(1) g(2) g(3) g(4)

= = = =

0.12 + 0.08 + 0.01 0.08 + 0.15 + 0.01 0.07 + 0.21 + 0.02 0.05 + 0.13 + 0.07

= = = =

0.21 0.24 0.30 0.25

86

สถิติวิศวกรรม

ฟงกชันความนาจะเปนมารจินัลของ Y= h(yk) เมื่อ k = 1, 2, 3 h(y1) = h(1) = 0.12 + 0.08 + 0.07 + 0.05 = 0.32 h(y2) = h(2) = 0.08 + 0.15 + 0.21 + 0.13 = 0.57 h(y3) = h(3) = 0.01 + 0.01 + 0.02 + 0.07 = 0.11 4

g(xj) = g(1) + g(2) + g(3) + g(4) = 1 Σ j=1

สรุปไดวา

3

4

3

h(yk) = h(1) + h(2) + h(3) = 1 Σ k=1

และ Σ Σ f(xj, yk) = 1 j=1 k=1

ตัวอยางที่ 3.12 จากตัวอยางที่ 3.10 จงหา g(1) และ h(2) วิธีทํา

3

g(1) = P(X = 1) = Σ f(1, y) = f(1, 0) + f(1, 1) + f(1, 2) + f(1, 3) y=0 40 + 60 + 12 + 0 = 112 = 220 220 220 220 4

h(2) = P(Y = 2) = Σ f(x, 2) = f(0, 2) + f(1, 2) + f(2, 2) + f(3, 2) + f(4, 2) x=0 15 + 12 + 0 + 0 + 0 = 27 = 220 220 220

ตัวอยางที่ 3.13 ในการจายนํ้าใหกับชุมชน 2 แหงจากอางเก็บนํ้าแหงหนึ่ง พบวาปริมาณความ

ตองการนํา้ ของแตละชุมชนมีความแตกตางกัน ถาปริมาณนํา้ ทีจ่ า ยใหกบั ชุมชนแรกเปนตัวแปรสุม X และปริมาณนํ้าที่จายใหกับชุมชนที่ 2 เปนตัวแปรสุม Y โดยมีหนวยเปน 106 l/day สามารถ แสดงเปนฟงกชันความนาจะเปนรวมกัน ดังนี้ f(x, y) = 3 (2 – x – y); 0 ≤ x, y ≤ 2 4

บทที่ 3 ตัวแปรสุม

f (x, y)

2 y 1 0

0

1 x

2 1.5 1 0.5 0

87

2 0

2

x

1

1 y 2

0

รูปที่ 3.13 การแจกแจงความนาจะเปนรวมกันของ X และ Y ที่มา : Kottegoda and Rosso. 1997.

จงหา g(x) และ h(y)

วิธีทํา 2 2–x

2

(

3 3 3 x3 ∫ 4 (2 – x – y) dy dx = 8 ∫ (2 – x)2 dx = 8 4x – 2x2 + 3 ∫ y=0 x=0 x=0 ดังนั้น เปนฟงกชันความนาจะเปนรวมกันของ X และ Y 2–x

g(x) = 34 ∫ (2 – x – y) dy = 38 (2 – x)2 y=0 ดังนั้น

g(x) =

3 (2 – x)2 ; 0 ≤ x ≤ 2 8 0 ; x อื่นๆ 2–y

h(y) = 34 ∫ (2 – x – y) dx = 38 (2 – y)2 x=0 ดังนั้น

h(y) =

3 (2 – y)2 ; 0 ≤ y ≤ 2 8 0 ; y อื่นๆ

2

)0 = 1

88

สถิติวิศวกรรม

6. การแจกแจงแบบมีเงื่อนไข (Conditional Distribution) การแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของตัวแปรสุม Y เมื่อ X = x = x, Y = x) P(Y = y | X = x) = P(XP(X = x) f(x, y) หรือ f (y | x) = g(x) เมื่อ g(x)

>

0

การแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของตัวแปรสุม X เมื่อ Y = y = x, Y = y) P(X = x | Y = y) = P(XP(Y = y) y) หรือ f (x | y) = f(x, h(y) เมื่อ h(y) > 0

ตัวอยางที่ 3.14 กอนการสงมอบตูเ ย็นใหกบั ลูกคา แผนกตรวจสอบคุณภาพขัน้ สุดทายสุม ตรวจ ขอบกพรองที่พบระหวางการผลิต ถากําหนดให X แทนจํานวนรอยตําหนิบนพื้นผิวของตูเย็น และ Y แทนจํานวนครั้งที่ตูเย็นมีฟงกชันการทํางานที่บกพรอง ตัวแปรสุมทั้งสองมีฟงกชันการ แจกแจงความนาจะเปนรวมกันดังตารางที่ 3.7 จงหา 1. การแจกแจงมารจินัลของ X และ Y 2. P(X = x | Y = 1) และ P(Y = y | X = 1) ตารางที่ 3.7 ผลการตรวจสอบตูเย็น X

Y 1 2

1

2

3

0.1 0.2

0.4 0.2

0.1 0

บทที่ 3 ตัวแปรสุม

วิธีทํา 1. การแจกแจงมารจินัลของ X g(1) = P(X = 1) g(2) = P(X = 2) g(3) = P(X = 3) ∴

3

= = = =

g(x) = P(X = x) 0.1 + 0.2 = 0.3 0.4 + 0.2 = 0.6 0.1 + 0 = 0.1

Σ g(x) = 0.3 + 0.6 + 0.1 = 1 x=1

การแจกแจงมารจินัลของ Y = h(y) = P(Y = y) h(1) = P(Y = 1) = 0.1 + 0.4 + 0.1 = 0.6 h(2) = P(Y = 2) = 0.2 + 0.2 + 0 = 0.4 ∴

2

Σ h(y) = 0.6 + 0.4 = 1 y=1

2. P(X = x | Y = 1) เมื่อ x = 1, 2, 3 ดังนัั้น

1) 1 0.1 P(X = 1 | Y = 1) = f(1 | 1) = f(1, h(1) = 0.6 = 6 1) = 0.4 = 4 P(X = 2 | Y = 1) = f(2 | 1) = f(2, h(1) 6 0.6 1) 1 0.1 P(X = 3 | Y = 1) = f(3 | 1) = f(3, h(1) = 0.6 = 6 P(Y = y | X = 1) เมื่อ y = 1, 2

ดังนั้น

1) 1 0.1 P(Y = 1 | X = 1) = f(1 | 1) = f(1, g(1) = 0.3 = 3 2) 2 0.2 P(Y = 2 | X = 1) = f(2 | 1) = f(1, g(1) = 0.3 = 3

89

90

สถิติวิศวกรรม

ตัวอยางที่ 3.15 ในการทดสอบคุณสมบัติของคอนกรีตดานความหนาแนน (X) และการทนตอ แรงกด (Y) สามารถจําแนกเปนฟงกชันความนาจะเปนรวมกัน ดังนี้

1 y – 40 ; 2400 ≤ x ≤ 2500 และ 40 ≤ y ≤ 60 f(x, y) = 2000 20 1 1 – y – 60 ; 2400 ≤ x ≤ 2500 และ 60 ≤ y ≤ 80 = 2000 20

(

)

2500 x 2400 0

20

40

80

60 y

f(x, y) 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 0 100

รูปที่ 3.14 ฟงกชันความนาจะเปนรวมกันของ X และ Y ที่มา : Kottegoda and Rosso. 1997.

จงหา g(x), h(y), f(y | x)

วิธีทํา 1.

60

y=40

h(y) =

(

)

1 y – 40 dy + 1 1 – y – 60 dy = 1 ∫ 2000 20 100 2000 20 y=60

1 100 ; 2400 ≤ x ≤ 2500 0 ; x อื่นๆ

ดังนั้น g(x) =

2.

80

g(x) = ∫

2500

∫

x=2400

(

1 y – 40 dx = 0.05 y – 40 2000 20 20

)

บทที่ 3 ตัวแปรสุม

และ

ดังนั้น h(y) =

2500

∫

x=2400

(

)

( (

)

)

h(y)

0.010 0.005 0.000 2300 2400 2500 2600 x

0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00

0 20 40 60 80 100 y

รูปที่ 3.15 ฟงกชันมารจินัลของ X และ Y ที่มา : Kottegoda and Rosso. 1997.

3.

y) f(y | x) = P(Y = y | X = x) = f(x, g(x)

( ) ; 40 ≤ y ≤ 60 0.05 ( 1 – y – 60 ) ; 60 ≤ y ≤ 80 20

0.05 y – 40 20 ดังนั้น

)

0.05 y – 40 ; 40 ≤ y ≤ 60 20 0.05 1 – y – 60 ; 60 ≤ y ≤ 80 20 0 ; y อื่นๆ

0.015 g(x)

(

1 1 – y – 60 dx = 0.05 1 – y – 60 20 20 2000

f(y | x) =

0

; y อื่นๆ

91

92

สถิติวิศวกรรม

ตัวอยางที่ 3.16 กําหนดให X, Y เปนตัวแปรสุมตอเนื่อง โดย X แทนความกวางของรอยเชื่อม และ Y แทนความเคนดึง มีฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนรวมกันคือ

f(x, y) = 23 (x + 2y) ; 0 < x < 1 และ 0 < y < 1 0 ; x, y อื่นๆ จงหา g(x), h(y), f(x | y), P X < 14 | Y = 13

(

วิธีทํา

)

1

1

g(x) = ∫ f(x, y)dy = ∫ 23 (x + 2y)dy y=0 y=0 = 23 (x + 1) ; 0 < x < 1 1

1

h(y) = ∫ f(x, y)dx = ∫ 23 (x + 2y)dx x=0 x=0 = 13 (1 + 4y) ; 0 < y < 1 y) (2/3)(x + 2y) f(x | y) = P(X = x | Y = y) = f(x, h(y) = (1/3)(1 + 4y) 2x + 4y = 1 + 4y ; 0 < x < 1 ¼ ¼ P X < 14 | Y = 13 = ∫ 2x + 4y dx = ∫ 2x + 4(1/3) dx x=0 1 + 4y x=0 1 + 4(1/3)

(

)

=

¼

( 3x72 + 4x7 ) | 0

19 = 112

บทที่ 3 ตัวแปรสุม

93

7. ตัวแปรสุมเปนอิสระตอกัน (Statistical Independence) ถา f(x | y) ไมขึ้นอยูกับ y แลว f(x | y) = g(x) และถา f(y | x) ไมขึ้นอยูกับ x แลว f(y | x) = h(y) ถาทัง้ สองสวนเปนจริงแลว สามารถสรุปไดวา X และ Y เปนตัวแปรสุม ทีเ่ ปนอิสระตอกัน นอกจากนี้ สามารถตรวจสอบความเปนอิสระไดจาก f(x, y) = g(x) . h(y) ทุกคาของ x, y

ตัวอยางที่ 3.17 ศูนยลูกคาสัมพันธของระบบเครือขายสื่อสารแหงหนึ่งไดรับเรื่องรองเรียนจาก

ลูกคาเกี่ยวกับการใหบริการ ถา X แทนจํานวนเรื่องที่แจงเขามาในวันธรรมดา และ Y แทนจํานวน เรื่องที่แจงเขามาเฉพาะวันหยุด ฟงกชันการแจกแจงรวมกันของจํานวนเรื่องที่แจงเขามา แสดง ดังตารางที่ 3.8 ตารางที่ 3.8 ความนาจะเปนรวมกันของ X และ Y X

Y 0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

0.02 0.02 0.01 0.04 0.01

0.04 0.04 0.02 0.08 0.02

0.06 0.06 0.03 0.12 0.03

0.04 0.04 0.02 0.08 0.02

0.04 0.04 0.02 0.08 0.02

จงตรวจสอบวาตัวแปรสุม X และ Y เปนอิสระตอกันหรือไม

วิธีทํา การแจกแจงมารจินัลของตัวแปรสุม X X

0

1

2

3

4

g(x)

0.10

0.20

0.30

0.20

0.20

94

สถิติวิศวกรรม

การแจกแจงมารจินัลของตัวแปรสุม Y Y

0

1

2

3

4

h(y)

0.20

0.20

0.10

0.40

0.10

ตัวแปรสุม X และ Y เปนอิสระตอกัน ตรวจสอบไดจาก f(x, y) = g(x) . h(y) ทุกคาของ x, y f(0, 0) = g(0) • h(0) พบวา 0.02 = 0.10 × 0.20 f(0, 1) = g(0) • h(1) พบวา 0.02 = 0.10 × 0.20 

∴





f(4, 3) = g(4) • h(3) พบวา 0.08 = 0.20 × 0.40 f(4, 4) = g(4) • h(4) พบวา 0.02 = 0.20 × 0.10 f(x, y) = g(x) • h(y) ทุกคาของ x, y

ดังนั้น ตัวแปรสุม X และ Y เปนตัวแปรสุมอิสระตอกัน

ตัวอยางที่ 3.18 จากตัวอยางที่ 3.16 จงตรวจสอบวา X และ Y เปนตัวแปรสุมที่เปนอิสระตอ

กันหรือไม

วิธีทํา จากตัวอยางที่ 3.16 และ

g(x) = 23 (x + 1) h(y) = 13 (1 + 4y)

g(x) • h(y) = 23 (x + 1) • 13 (1 + 4y) = 29 (x + 4xy + 4y + 1) พบวา

g(x) • h(y)

≠

f(x, y)

ดังนั้น ตัวแปรสุมตอเนื่อง X และ Y ไมเปนอิสระตอกัน

บทที่ 3 ตัวแปรสุม

95

กรณีตัวแปรสุมมีจํานวนมากกวา 2 ตัวขึ้นไป เชน X1, X2, X3, …, Xn และมีฟงกชันการ แจกแจงความนาจะเปนรวมกันคือ f(x1, x2, x3, …, xn) โดยตัวแปรสุมแตละตัวมีการแจกแจง มารจินัลเปน f1(x1), f2(x2), f3(x3), …,fn(xn) ตามลําดับ ตัวแปรสุม X1, X2, X3, …, Xn จะเปนอิสระ ตอกันก็ตอเมื่อ f(x1, x2, x3, …, xn) = f1(x1) . f2(x2) . f3(x3) . …. . fn(xn) ตัวอยางเชน f(x, y, z) = 2x – y2 + 9z เมื่อ 0 < x < 4, 1 < y < 3 และ 0 < z < 2 ถา ตองการทดสอบวา x, y, z เปนอิสระตอกันหรือไม ทําไดโดยพิสูจนวา f(x, y, z) = f1(x) . f2(y) . f3(z) หรือไม เมื่อ

2

3

f1(x) = ∫ ∫ f(x, y, z) dydz, z=0 y=1 2

4

f2(y) = ∫ ∫ f(x, y, z) dxdz z=0 x=0

และ

3

4

f3(z) = ∫ ∫ f(x, y, z) dxdy y=1 x=0

96

สถิติวิศวกรรม

แบบฝกหัด 1. แผนกตัดเหล็กทําการรวบรวมขอมูลอุบัติเหตุ และโอกาสที่เกิดขึ้นตอเดือน ดังตาราง จงหา X P(X = x)

0 0.716

1 0.180

2 0.06

3 0.02

4 0.01

5 0.01

6 0.002

7 0

8 0.002

1.1 จงสรางฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปน pdf ในรูปแบบกราฟ และรูปแบบความ สัมพันธ 1.2 ความนาจะเปนที่จะเกิดอุบัติเหตุมากกวา 1 ครั้ง (เฉลย : 0.104) 1.3 ความนาจะเปนที่เกิดอุบัติเหตุมากกวา 1 ครั้งแตไมเกิน 5 ครั้ง (เฉลย : 0.1) 2. บริษทั ขายซอฟตแวรแหงหนึง่ ตรวจพบจํานวนความผิดพลาดของโปรแกรมและโอกาสเสีย่ ง ที่จะเกิดขึ้น ดังนี้ f(x) =

( 5x )( 23 )x ( 13 )5 – x ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5

2.1 จงหาความนาจะเปนที่ตรวจพบความผิดพลาดของโปรแกรมอยางนอย 2 ครั้ง (เฉลย : 0.9547) 2.2 จงหาฟงกชันความนาจะเปนสะสม 3. กระบวนการผลิตแผนนิกเกิลในแบตเตอรี่ จะกําหนดคานํา้ หนักทีเ่ ปนมาตรฐานไว ซึง่ พนักงาน ผลิตจะทําการตรวจสอบจํานวน 3 ครั้งกอนที่จะสงตอกระบวนการถัดไป ถาฟงกชันความ นาจะเปนของการตรวจสอบคานํ้าหนักผานตามมาตรฐานเปน ดังนี้ x ; x = 1, 2, 3 f(x) = k 12 3.1 จงหาคาของ k (เฉลย : 1.143) 3.2 จงสรางกราฟและตารางแจกแจงความนาจะเปน 3.3 จงหาฟงกชันความนาจะเปนสะสม

( )

บทที่ 3 ตัวแปรสุม

97

4. ในการพนสีรถยนต ชางเทคนิคจะใหความสําคัญกับความหนาของสีที่พน ถาตัวแปรสุมตอ เนื่อง X เปนคาความหนาของสี (หนวย : mm) โดยมีฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปน ดังนี้ 1 ; 4≤x≤6 xln(1.5) 4.1 จงสรางกราฟการแจกแจงความนาจะเปน (pdf) และกราฟการแจกแจงความนาจะเปน สะสม (cdf) 4.2 จงทดสอบวาฟงกชันขางตนเปนไปตามคุณสมบัติของฟงกชันความนาจะเปนหรือไม 4.3 จงหา P(4.5 ≤ X ≤ 5.5) (เฉลย : 0.495) f(x) =

5. คุณสมบัติการโกงตัวของแผนพลาสติกถูกวัดเปนคามุมสูงสุดที่วัดไดกอนการเปลี่ยนรูป ซึ่ง กําหนดเปนตัวแปรสุมตอเนื่อง X (หนวย : องศา) ที่มีฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปน ดังนี้ x f(x) = 15 64 + 64 ; – 2 ≤ x ≤ 0 = 38 + cx ; 0 ≤ x ≤ 3 5.1 จงหาคาของ c (เฉลย : –0.125) 5.2 จงหา P( – 1 ≤ X ≤ 1) (เฉลย : 0.539) 6. คาความตานทาน X ของอุปกรณอิเล็กทรอนิกส มีฟงกชันความนาจะเปนสะสมดังนี้ x2 ; 0 ≤ x ≤ 4 F(x) = 16 6.1 จงหา P(X ≤ 2) (เฉลย : 0.25) 6.2 จงหา P(1 ≤ X ≤ 3) (เฉลย : 0.5) 6.3 จงสรางฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปน f(x) (เฉลย : f(x) = 8x ; 0 ≤ x ≤ 4)

98

สถิติวิศวกรรม

7. ความสัมพันธระหวาง 2 ตัวแปรสุมคือ คาความเขมขนของเอทานอล X และคุณสมบัติความ เปนกรด Y เปนฟงกชันความนาจะเปนรวมกัน ดังนี้ f(x, y) = A(20 – x – 2y); 0 ≤ x ≤ 5 และ 0 ≤ y ≤ 5 7.1 จงหาคาของ A (เฉลย : 0.0032) 7.2 จงหา P(1 ≤ X ≤ 2, 2 ≤ Y ≤ 3) (เฉลย : 0.0432) 7.3 จงหาฟงกชันการแจกแจงมารจินัล g(x) และ h(y) (เฉลย : g(x) = 0.24 – 0.016 x; 0 ≤ x ≤ 5) h(y) = 0.28 – 0.032 y; 0 ≤ y ≤ 5) 7.4 จงทดสอบความเปนอิสระตอกันระหวาง 2 ตัวแปรสุม (เฉลย : ไมอิสระตอกัน) 7.5 ถาความเขมขนของเอทานอลมีคาเปน 3 จงหาฟงกชันการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของ – 2y; 0 ≤ y ≤ 5) คุณสมบัติความเปนกรด f(y | x = 3) (เฉลย : f(y | x = 3) = 1760 8. การวัดคุณสมบัติแรงตึงผิว X และความทนกรด Y ของผลิตภัณฑเคมีชนิดหนึ่ง มีความนา จะเปนรวมกันดังฟงกชันตอไปนี้ f(x, y) = k(6 – x – y) ; 0 ≤ x ≤ 2 และ 2 ≤ y ≤ 4 8.1 จงหาคาของ k (เฉลย : 0.125) 8.2 จงหาความนาจะเปนเมื่อ X < 1 และ Y < 3 (เฉลย : 0.375) y3 ; 0 ≤ x ≤ 2, 2 ≤ y ≤ 4, x + y ≤ 4) 8.3 จงหาความนาจะเปนเมือ่ X + Y ≤ 4 (เฉลย : 23 – 4y + 48 8.4 จงหาความนาจะเปนเมื่อ X < 1.5 (เฉลย : 11.7516– 4.5y ) 8.5 จงหาฟงกชันความนาจะเปนตอไปนี้ g(x), h(y), f(x/y), f(y/x) (เฉลย : g(x) = 18 (6 – 2x); 0 ≤ x ≤ 2) h(y) = 18 (10 – 2 y); 2 ≤ y ≤ 4) f(x | y) = 6 – x – y ; 0 ≤ x ≤ 2) 10 – 2y f(y | x) = 6 – x – y ; 2 ≤ y ≤ 4) 6 – 2x

บทที่ 3 ตัวแปรสุม

99

9. สถานที่กอสรางคลังสินคาแหงหนึ่ง ผูรับเหมาคนที่ 1 รับผิดชอบงานโครงสรางอาคาร ขณะ ที่ผูรับเหมาคนที่ 2 รับผิดชอบงานติดตั้งระบบไฟ ถากําหนดตัวแปรสุม X และ Y แทนเวลา ที่ใชในการทํางานจนแลวเสร็จของผูรับเหมาคนที่ 1 และคนที่ 2 ตามลําดับ (หนวย : เดือน) ดวยฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนรวมกัน คือ f(x, y) =

8xy ; เมื่อ 0 ≤ x ≤ 1 และ 0 ≤ y ≤ x 0 ; x, y อืน่ ๆ

9.1 จงหา g(x) และ h(y) (เฉลย : g(x) = 4x3; 0 ≤ x ≤ 1) h(y) = 4y(1 – y2); 0 ≤ y ≤ x) 9.2 จงหา f(y | x) และ P Y < 18 | X = 12 1 ) (เฉลย : f(y | x) = 2y2 ; 0 ≤ y ≤ x และ 16 x 9.3 จงตรวจสอบวา X และ Y เปนตัวแปรสุมที่เปนอิสระตอกันหรือไม (เฉลย : ไมอิสระตอกัน)

(

)

4

คาคาดหมาย และความแปรปรวน ของตัวแปรสุม

คุณสมบัตทิ สี่ าํ คัญของตัวแปรสุม ไดแก คาเฉลีย่ (Mean) และคาความแปรปรวน (Variance) ซึ่งเปนคาที่ใชอธิบายถึงคาแนวโนมสูศูนยกลางของขอมูล (Central Tendency) และการวัดการ กระจาย (Dispersion) ดังแสดงไวในบทที่ 1 การคํานวณคาเฉลี่ยและความแปรปรวนของขอมูล จะมีการนําจํานวนขอมูล N มาเฉลี่ย โดยมองวาเปนความนาจะเปนของขอมูลแตละตัวที่มีคา เทากัน และเทากับ 1/N N

µ

=

xi Σ i=1 N

N

และ σ2 =

(xi – µ)2 Σ i=1 N

ในขณะทีต่ วั แปรสุม ซึง่ อาจประกอบดวยเหตุการณมากกวาหนึง่ เหตุการณ มีฟง กชนั ความ นาจะเปน (pdf) หรือฟงกชันความนาจะเปนรวมกันของตัวแปรสุมแตละคาที่อาจเทากันหรือไม เทากัน โดยอยูในรูป f(x) หรือ f(x, y) ตามที่กลาวไวในบทที่ 3 หลักการวิเคราะหคาเฉลี่ยและ ความแปรปรวนของตัวแปรสุมจัดเปนพื้นฐานของคุณสมบัติของการแจกแจง (Distribution) รูปแบบตางๆ ที่จะกลาวถึงในบทเรียนถัดไป เนื้อหาในบทเรียนนี้ จะอธิบายถึงคุณสมบัติทั้งสองของตัวแปรสุมและกฎการประยุกตใช ประกอบดวย (1) คาคาดหมาย (2) กฎของคาคาดหมาย (3) คาความแปรปรวน (4) คาความ แปรปรวนรวม (5) กฎของความแปรปรวน และ (6) โมเมนตของตัวแปรสุม

102

สถิติวิศวกรรม

1. คาคาดหมาย (Expected Values) ถา X เปนตัวแปรสุมที่มีฟงกชันความนาจะเปน f(x) คาคาดหมายของ X แทนดวย E(X) คือ คาเฉลี่ย ของตัวแปรสุม ซึ่งเปนคาที่บงบอกถึงแนวโนมสูศูนยกลาง นั่นคือ E(X) = µ และมีคาเทากับ E(X) = Σ x . f(x) x เมื่อ X เปนตัวแปรสุมไมตอเนื่อง ∞

E(X) = ∫ x . f(x) dx –∞ เมื่อ X เปนตัวแปรสุมตอเนื่อง

N

xi Σ i=1

N จากการคํานวณคาเฉลี่ย µ = N ขางตน อาจเขียนในรูปของ µ = Σ x . N1 ซึ่งคา 1 คือ ฟงกชันความนาจะเปน f(x) ของตัวแปรสุม X จํานวน N ขอมูลที่มีคาความนi=1 าจะเปนเทากัน N

ตัวอยางที่ 4.1 ในการผลิตกระแสไฟฟาของโรงไฟฟา 3 แหง กําหนดให X แทนจํานวนโรง ไฟฟาที่มีการผลิตกระแสไฟฟาดวยฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปน P(X = x) ดังนี้ X P(X = x)

0 0.07

1 0.23

2 0.57

3 0.13

โดยเฉลี่ยแลวจะมีจํานวนโรงไฟฟากี่แหงที่ทําการผลิตกระแสไฟฟา

วิธีทํา E(X) = Σ x . f(x) x = 0(0.07) + 1(0.23) + 2(0.57) + 3(0.13) = 1.76 แหง

บทที่ 4 คาคาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสุม

103

E(X) 0.57

ความนาจะเปน f(x) 0.23 0.13 0.07 0

1

1.76 2

3 จํานวนของโรงไฟฟา

รูปที่ 4.1 กราฟการแจกแจงความนาจะเปนและคาคาดหมาย

ตัวอยางที่ 4.2 สวนผสมของแมกนีเซียมในสารอัลลอยชนิดหนึง่ เปนตัวแปรสุม ชนิดไมตอ เนือ่ งที่

มีฟงกชันความนาจะเปน f(x) = x/18 เมื่อ 3 ≤ x ≤ 6 จงหาคาคาดหมายของสวนผสมแมกนีเซียมนี้

วิธีทํา จากฟงกชันความนาจะเปน f(x) ที่กําหนดให สามารถแจกแจงคาตัวแปรสุม X และ P(X = x) ไดดังตารางที่ 4.1 ตารางที่ 4.1 คาความนาจะเปนของตัวแปรสุม X X P(X = x) ∴

3 3 18

4 4 18

5 5 18

6 6 18

E(X) = Σ x . f(x) x

( ) ( ) ( ) ( )

3 + 4 4 + 5 5 + 6 6 = 86 = 3 18 18 18 18 18

104

สถิติวิศวกรรม

ตัวอยางที่ 4.3 ในการผลิตกระบอกสูบเสนผานศูนยกลาง X ดวยฟงกชันการแจกแจงความ นาจะเปน f(x) = 1.5 – 6(x – 50)2 โดยมีขอบเขตของ X เปน [49.5, 50.5] mm จงหาเสน ผานศูนยกลางโดยเฉลี่ยของกระบอกสูบ

วิธีทํา E(X) = =

50.5

∫ x . f(x) dx

x=49.5 50.5

2 ∫ x . (1.5 – 6(x – 50) ) dx = 50 mm

x=49.5

f(x) = 1.5 – 6(x – 50)2 E(X)

49.5

50.0

x 50.5 เสนผานศูนยกลางกระบอกสูบ

รูปที่ 4.2 กราฟการแจกแจงความนาจะเปนและคาคาดหมาย ที่มา : Hayter. 2002.

บทที่ 4 คาคาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสุม

105

ตัวอยางที่ 4.4 ผูผลิตสินคาเซรามิกตัดสินใจจะขยายโรงงานเนื่องจากมีความตองการสินคา

เพิ่มมากขึ้น โดยตองเลือกสรางโรงงานขนาดเล็ก (S) กลาง (M) หรือใหญ (L) ทั้งนี้ขึ้นอยูกับ ผลตอบแทนจากการลงทุนภายใตสภาวการณทางเศรษฐกิจรุง เรือง คงที่ หรือซบเซา ฝายวิจยั ทางการ ตลาดของบริษัทไดประเมินผลการลงทุน (หนวย : เปอรเซ็นต) แสดงดังตารางที่ 4.2 บริษัทควร จะตัดสินใจเลือกสรางโรงงานที่มีขนาดใดจึงจะเหมาะสม กําหนดความนาจะเปนของสภาวการณ ทางเศรษฐกิจ 0.40, 0.35 และ 0.25 ตามลําดับ ตารางที่ 4.2 การประเมินผลการลงทุน ขนาดของโรงงาน ขนาดเล็ก (S) ขนาดกลาง (M) ขนาดใหญ (L)

ผลตอบแทนที่ไดจากการลงทุนเมื่อสภาวการณทางเศรษฐกิจ รุงเรือง

คงที่

ซบเซา

(0.40) 15% – 10% 30%

(0.35) 13% 18% 14%

(0.25) 10% 20% – 25%

วิธีทํา กําหนดให X คือผลตอบแทนของโรงงานขนาด S, M และ L X = {15, 13, 10, –10, 18, 20, 30, 14, –25} หาคาคาดหมายผลตอบแทนของโรงงานแตละขนาด ภายใตสภาวการณทางเศรษฐกิจ แบบตางๆ โรงงานขนาดเล็ก E(S) = 0.40(15) + 0.35(13) + 0.25(10) = 13.05% โรงงานขนาดกลาง E(M) = 0.40(–10) + 0.35(18) + 0.25(20) = 7.30% โรงงานขนาดใหญ E(L) = 0.40(30) + 0.35(14) + 0.25(–25) = 10.65% สรุปวา บริษทั ควรลงทุนสรางโรงงานขนาดเล็ก เนือ่ งจากคาคาดหมายผลตอบแทนมีคา สูงสุด

106

สถิติวิศวกรรม

2. กฎของคาคาดหมาย บางครัง้ การศึกษาเรือ่ งของคาคาดหมายอาจขยายสูก ารนําไปใชในรูปแบบของฟงกชนั แบบ ตางๆ ดังนัน้ กฎของคาคาดหมายจะเปนเครือ่ งมือชวยในการวิเคราะหผลลัพธทอี่ ยูภ ายใตสถานการณ เดียวกัน แตมีฟงกชันของความสัมพันธที่หลากหลาย บางสวนของกฎของคาคาดหมาย มีดังนี้ 1. E(b) = b เมื่อ b เปนคาคงที่ 2. E(aX) = aE(X) เมื่อ a เปนคาคงที่ 3. E(aX + b) = aE(X) + b เมื่อ a และ b เปนคาคงที่ 4. คาคาดหมายของผลบวกหรือผลตางของสองฟงกชัน หรือมากกวาสองฟงกชันของ ตัวแปรสุม X มีคาเทากับผลบวกหรือผลตางระหวางคาคาดหมายของฟงกชันเหลานั้น E[u(X) ± v(X)] = E[u(X)] ± E[v(X)] 5. ถา X และ Y เปนตัวแปรสุมสองตัว จะไดวา E[X ± Y] = E[X] ± E[Y] 6. ถา X และ Y เปนตัวแปรสุมที่มีฟงกชันความนาจะเปนรวมกันอยูในรูปของฟงกชัน u(X, Y), v(X, Y) ซึ่งเปนฟงกชันที่มีคาจริงของ X และ Y จะไดวา E[u(X, Y) ± v(X, Y)] = E[u(X, Y)] ± E[v(X, Y)] 7. เมื่อ X และ Y เปนตัวแปรสุมที่อิสระตอกัน จะไดวา E[X . Y] = E[X] . E[Y]

ตัวอยางที่ 4.5 ในงานเชื่อมตัวถังรถยนตดวยแขนกลหุนยนตมีโอกาสที่แขนกลจะไมทํางาน ซึ่งสงผลใหกระบวนการผลิตหยุดชะงัก ถาตัวแปรสุม X แทนจํานวนครั้งที่แขนกลหยุดทํางาน ดวยฟงกชันความนาจะเปน P (X = x) ดังนี้ X 0 1 2 P(X = x) 0.6 0.3 0.1 จงหา E(X), E(X2), E(2X + 3)2, E(X – E(X))2

บทที่ 4 คาคาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสุม

107

วิธีทํา จะเห็นไดวา ภายใตสถานการณของงานเชื่อมดวยแขนกล อาจสนใจศึกษาฟงกชันของ ตัวแปรสุม X ที่มีหลากหลายรูปแบบ เชน X2, (2X + 3)2 เปนตน กฎของคาคาดหมายจะถูกนํา มาประยุกตใชได E(X) = (0)(0.6) + (1)(0.3) + (2)(0.1) = 0.5 E(X2) = (0)2(0.6) + (1)2(0.3) + (2)2(0.1) = 0.7 E(2X + 3)2 = E(4X2 + 12X + 9) = E(4X2) + E(12X) + E(9) = 4E(X2) + 12E(X) + E(9) = 4(0.7) + 12(0.5) + 9 = 17.8 E(X – E(X))2 = E(X – 0.5)2 = E(X2 – X + 0.25) = 0.7 – 0.5 + 0.25 = 0.45

ตัวอยางที่ 4.6 ถาตัวแปรสุม X และ Y แทนจํานวนชิ้นสวนอิเล็กทรอนิกสที่บกพรองซึ่งผลิตมา

จากเครื่องจักรตัวที่ 1 และ 2 ตามลําดับ ดวยการแจกแจงความนาจะเปนรวมกันดังตารางที่ 4.3 จงหา E(X . Y) และ E ( XY ) ตารางที่ 4.3 ความนาจะเปนรวมกันของตัวแปรสุม X และ Y Y

8 9 10

X

10

11

12

0.10 0.04 0.15

0.05 0.10 0.20

0.25 0.06 0.05

108

สถิติวิศวกรรม

วิธีทํา ตารางที่ 4.4 การวิเคราะหฟงกชันคาคาดหมายของตัวแปรสุม X และ Y X Y f(x, y) . x y . f(x, y) X . f(x, y) Y

10.00 8.00 0.10 8.00

10.00 9.00 0.04 3.60

0.125

10.00 10.00 0.15 15.00

0.044

11.00 8.00 0.05 4.40

0.15

0.069

11.00 9.00 0.10 9.90 0.122

11.00 10.00 0.20 22.00 0.22

12.00 8.00 0.25 24.00 0.375

12.00 9.00 0.06 6.48

12.00 10.00 0.05 6.00

0.08

0.06

∴ จากตารางที่ 4.4 จะได

E(XY) = Σ Σ x . y . f(x, y) x

y

= 8 + 3.6 + 15 + 4.4 + 9.9 + 22 + 24 + 6.48 + 6 = 99.38 E X = Σ Σ X . f(x, y) Y x y Y = 0.125 + 0.044 + 0.15 + 0.069 + 0.122 + 0.22 + 0.375 + 0.08 + 0.06 = 1.245

( )

ตัวอยางที่ 4.7 สวนผสมของกรดไฮโดรคลอริก (HCl) ทีส่ ง มาจากผูจ าํ หนายรายหนึง่ ตรวจพบวา

มีการเจือปนของทองแดงและนิกเกิล ถากําหนดให X แทนจํานวนทองแดงที่เจือปน และ Y แทน จํานวนนิกเกิลที่เจือปน ดวยฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนรวมกัน f(x, y) = 6xy2; 0 ≤ X ≤ 1 และ 0 ≤ Y ≤ 1 จงหา E(X . Y), E ( YX )

วิธีทํา

1

1

E(X . Y) = ∫ x=0 ∫ y=0 x . y . f(x, y) dy dx

( )

E Y X

1 1 = ∫ x=0 ∫ y=0 6x2 y3 dy dx = 1 2 1 1 = ∫ x=0 ∫ y=0 yx . f(x, y) dy dx 1 1 = ∫ x=0 ∫ y=0 6 y3 dy dx = 3 2

บทที่ 4 คาคาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสุม

109

ตัวอยางที่ 4.8 การตรวจสอบมลภาวะทางอากาศของโรงไฟฟาพลังงานถานหิน ดวยการสุม

ตัวอยางอากาศที่ปลอยจากปลองควัน กําหนดให X แทนนํ้าหนักของสิ่งเจือปนขณะโรงไฟฟา ทํางาน, Y แทนนํ้าหนักของสิ่งเจือปนเมื่อโรงไฟฟาหยุดทํางานตอตัวอยางอากาศ 1 ตัวอยาง ถาตัวแปรสุม X และ Y เปนตัวแปรสุมตอเนื่องที่เปนอิสระตอกัน มีการแจกแจงมารจินัล g(x) = 6x(1 – x) เมื่อ 0 < x < 1 และ h(y) = 3y2 เมื่อ 0 < y < 1 จงหาคาคาดหมายของ Z = X . Y

วิธีทํา

X และ Y เปนอิสระตอกัน ดังนั้น

และ ∴

E(Z) = E(X . Y) = E(X) . E(Y) 1

1

1

E(X) = ∫

∫ x . f(x, y) dy dx = ∫ x . g(x) dx

E(Y) = ∫

∫ y . f(x, y) dy dx = ∫ y . h(y)dy

x=0 y=0 1 1

x=0 1

x=0 y=0 1

y=0

1

E(X . Y) = ∫ x . 6x(1 – x) dx . ∫ y . 3y2 dy x=0

6 . 3 = 3 = 12 4 8

y=0

ตัวอยางที่ 4.9 ในการหาคาคาดหมายแบบมีเงื่อนไข (Conditional Expectation) ของตัวแปรสุม

X และ Y สามารถหาไดจากความสัมพันธ E(X | Y) = Σ x . f (x | y) ถาตัวแปรสุมทั้งสองมีคาความ x นาจะเปนรวมกันดังตารางที่ 4.5 จงหาคาคาดหมายแบบมีเงื่อนไข E(Y | X) ตารางที่ 4.5 ความนาจะเปนรวมกัน และการแจกแจงมารจินัล Y

X

0 1 2 3 g(x)

0

1

2

h(y)

0.05 0.10 0.10 0.05 0.3

0.05 0.25 0.15 0.05 0.5

0.10 0.05 0.05 – 0.2

0.2 0.4 0.3 0.1 1

110

สถิติวิศวกรรม

วิธีทํา

สามารถหาคาของ f(y | x) ดังตารางที่ 4.6 ตารางที่ 4.6 ความนาจะเปนแบบมีเงื่อนไข f(y | x) X

Y 0 1 2 3

ดังนั้น

f(y | x = 0)

f(y | x = 1)

f(y | x = 2)

1 6 2 6 2 6 1 6

1 10 5 10 3 10 1 10

1 2 1 4 1 4 –

E(Y | X) = Σ y . f(y | x) y E(Y | X = 0) = 0 . 1 + 1 . 6 E(Y | X = 1) = 0 . 1 + 1 . 10 E(Y | X = 2) = 0 . 1 + 1 . 2

( ) ( 26 ) + 2 . ( 26 ) + 3 . ( 36 ) = 1.5 ( ) ( 105 ) + 2 . ( 103 ) + 3 . ( 101 ) = 1.4 ( ) ( 14 ) + 2 . ( 14 ) + 3(0) = 0.75

ตัวอยางที่ 4.10 ตัวแปรทีใ่ ชในการจําแนกกลุม ของพายุทเี่ กิดในพืน้ ทีแ่ หงหนึง่ มี 2 ตัวแปร ประกอบ ดวย X แทนชวงเวลา และ Y แทนความรุนแรงของการเกิดพายุ ดวยฟงกชันความนาจะเปน รวมกัน f(x, y) = x2+ xy 3 ; 0 < x ≤ 1 และ 0 ≤ y ≤ 2 0 ; x, y มีคาอื่นๆ จงหา f(x | y), f(y | x), E(X | Y), และ E(Y | X)

วิธีทํา

2

(

1

(

)

การแจกแจงมารจินัลของ X; g(x) = ∫ x2+ xy dy = 2x2+ 2 x ; 0 < x ≤ 1 3 3 y=0

)

การแจกแจงมารจินัลของ Y; h(y) = ∫ x2+ xy dx = 1 + y ; 0 ≤ y ≤ 2 3 6 3 x=0

บทที่ 4 คาคาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสุม

111

f(x, y) y 2 1 x 1 (ก) ฟงกชันความนาจะเปนรวมกัน f(x, y) g(x)

h(y) y 2

1 (ข) มารจินัลของ x

x

0

(ค) มารจินัลของ y

รูปที่ 4.3 ฟงกชันความนาจะเปนรวมกัน และการแจกแจงมารจินัล ที่มา : Hines et al. 2003.

ดังนั้น

f(x | y) = = f(y | x) = =

f(x, y) h(y) x2 + (xy | 3) = x(3x + y) ; 0 < x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 | | 1 + (y | 2) (1 3) + (y 6) f(x, y) g(x) x2 + (x1y | 3) 1 . 3x + y = ; 0 < x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 2x2 + (2 | 3) x 2 3x + 1

112

สถิติวิศวกรรม

fy l x 3 + y ,0≤y≤2 fy l 1/2(y) = 10 5

y

2 y fy l 1(y) = 38 + 8 , 0 ≤ y ≤ 2 1/2

1

x

(ก) f(y l x) เมื่อ x = 12 , 1

fx y l y 3x2 fx l 2(x) = 2 + x, 0 < x ≤ 1

2

fx l 1(x) = 2x2+ 23 x, 0 < x ≤ 1

1

fx l 0(x) = 3x2, 0 < x ≤ 1 0

x

(ข) f(x l y) เมื่อ y = 0, 1, 2

รูปที่ 4.4 ฟงกชันความนาจะเปนแบบมีเงื่อนไข ที่มา : Hines et al. 2003.

ดังนั้น

1

1

(

)

2

2

(

)

4y + 9 3x2+ xy E(x | y) = ∫ x . f(x | y)dx = ∫ x . dx = 6y + 12 1 + (y | 2) x=0 0 E(y | x) =

1 3x + y 9x + 4 ∫ y . f(y | x)dy = ∫ y . 2 . 3x + 1 dy = 9x + 3 y=0 0

บทที่ 4 คาคาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสุม

113

กราฟความสัมพันธของ E(X | Y) จะเรียกคาถดถอย (Regression) ของ X บน Y ดังรูป ที่ 4.5 (ก) สวนกราฟความสัมพันธของ E(Y | X) จะเรียกวาคาถดถอยของ Y บน X ดังรูปที่ 4.5 (ข) สําหรับรายละเอียดเกี่ยวกับคาถดถอยจะอธิบายไวในบทที่ 11 E(Y | X)

E(X | Y)

x

y (ก) คาถดถอยของ X บน Y

(ข) คาถดถอยของ Y บน X

รูปที่ 4.5 กราฟแสดงคาถดถอย ที่มา : Hines et al. 2003.

3. คาความแปรปรวน (Variance) คาความแปรปรวนของตัวแปรสุม X เปนคาที่บอกถึงการกระจายของคาของตัวแปรสุม X ถาคาความแปรปรวนมีคามาก แสดงวาคาของตัวแปรสุมมีการกระจายมาก ในทางกลับกัน ถาคาความแปรปรวนมีคานอย จะหมายถึงการกระจายของคาของตัวแปรสุมมีนอย คาความแปรปรวนของตัวแปรสุม X แทนดวยสัญลักษณ V(X) หรือ σ2x โดยพิจารณาการ กระจายคาของตัวแปรสุมแตละตัววาหางจากคาเฉลี่ยเทาใด 1. กรณี X เปนตัวแปรสุมแบบไมตอเนื่อง จะไดวา V(X) = E(X – µ)2 = Σ (x – µ)2 f (x) x

หรือ

V(X) = E(X2) – [E(X)]2 = Σ x2 f(x) – µ2 x

114

สถิติวิศวกรรม

2. กรณี X เปนตัวแปรสุมแบบตอเนื่อง จะไดวา ∞

V(X) = E(X – µ)2 = ∫ (x – µ)2 f(x) dx –∞ หรือ

V(X) =

E(X2) – [E(X)]2

∞

= ∫ x2 f(x) dx – µ2 –∞

ตัวอยางที่ 4.11 เครือ่ งมือสํารวจการประสบอุทกภัย (Satellite – Borne Sensor) รายงานบริเวณ ที่เสียหายจากนํ้าทวม (Inundated Areas) ซึ่งกําหนดใหเปนตัวแปรสุมตอเนื่อง X ที่มีฟงกชัน การแจกแจงความนาจะเปนคือ f(x) = 2e–2x ; x ≥ 0 0 ; x อื่นๆ จงหาคาเฉลี่ยและคาความแปรปรวนของตัวแปรสุม X

วิธีทํา

∞

µ

E(X2) ∴

σ2

= E(X) = ∫ x . (2e–2x) dx = 12 x=0 ∞

= ∫ x2. (2e–2x) dx = 12 x=0 = E(X2) – µ2 = 12 – 14 = 14

ตัวอยางที่ 4.12 ฟงกชันความนาจะเปนของอุณหภูมิการทําปฏิกิริยาทางเคมี X (หนวย ํF) คือ f(x) = (x – 190)/3600 เมื่อ 220 < x < 280 ถาตองการเปลี่ยนหนวยของอุณหภูมิการทํา ปฏิกิริยาเคมีเปนองศาเซลเซียส (°C) หรือตัวแปรสุม Y ซึ่งมีความสัมพันธกับตัวแปรสุม X คือ Y = 5/9 X – (160/9) จงหาคาเฉลี่ยและคาความแปรปรวนของตัวแปรสุมทั้งสอง

วิธีทํา

280

µ σ2x

(

)

– 190 dx = 255 = E(X) = ∫ x . x 3600 x=220 = E(X2) – µ2 = 275 หรือ

σ

= 16.58

บทที่ 4 คาคาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสุม

115

ชวง 220 < x < 280 เทากับชวง 104.44 < y < 137.78 5. 160 E(Y) = 59 E(X) – 160 9 = 9 (255) – 9 = 123.90 5 2 5 2. σ2y = 9 σ2x = 9 (275) = 84.88

( )

( )

E(X)

E(Y)

– 190 f(x) = x 3600

9y – 79 f(y) = 10000 1000

σ = 16.58 σ = 16.58

220

255

280 x อุณหภูมิ ( ํF)

σ = 9.21

104.44

σ = 9.21

123.9

137.78 y อุณหภูมิ ( ํC)

รูปที่ 4.6 กราฟการแจกแจงความนาจะเปนและคาคาดหมาย ที่มา : Hayter. 2002.

4. คาความแปรปรวนรวม (Covariance) คาความแปรปรวนรวมแทนดวยสัญลักษณ Cov (X, Y) หรือ σXY เปนคาที่ใชวัดความ สัมพันธระหวางตัวแปรสุม 2 ตัวที่ไมอิสระตอกัน ความแปรปรวนรวมของตัวแปรสุม X และ Y ซึ่งมีคาเฉลี่ยคือ µX และ µY ตามลําดับ หาไดจาก σXY

= E[(X – µx)(Y – µY)] = E(X . Y) – µXµY

ถา Cov(X, Y) = 0 แสดงวาตัวแปรสุม X และ Y เปนอิสระตอกัน แตถา Cov(X, Y) ≠ 0 แสดงวา X และ Y ไมเปนอิสระตอกัน หรือมีความสัมพันธระหวางกัน ในการอธิบายวาสัมพันธ กันอยางไรนั้นจะดูไดจากเครื่องหมายของความแปรปรวนรวม ถา Cov(X, Y) มีเครื่องหมายเปน ลบ แสดงวาตัวแปรสุม X และ Y แปรผกผันตอกัน (Negative Slope) เชน ถาตัวแปรสุม X

116

สถิติวิศวกรรม

มีคาเพิ่มขึ้น ตัวแปรสุม Y จะมีคาลดลง เปนตน แตถา Cov (X, Y) มีเครื่องหมายเปนบวก แสดง วาตัวแปรสุม X และ Y แปรตามกัน (Positive Slope) เชน ถาตัวแปรสุม X มีคาเพิ่มขึ้น ตัวแปร สุม Y จะมีคาเพิ่มขึ้นดวย คาความแปรปรวนรวมจะเปนตัววัดความสัมพันธเชิงเสนตรง (Linear Relationship) ระหวางตัวแปรสุม แตถาความสัมพันธระหวางตัวแปรสุมไมเปนเชิงเสนตรง (Nonlinear) คาความแปรปรวนรวมจะใชวัดคาความสัมพันธไมได ซึ่งจะใหคาเปน 0 ออกมาแทน ดังนั้น ถาคาความแปรปรวนรวมเปน 0 อาจหมายถึงตัวแปรสุมอิสระตอกันหรือตัวแปรสุมไมมี ความสัมพันธเชิงเสนระหวางกัน นอกจากคาความแปรปรวนรวมแลว การวัดความสัมพันธระหวางตัวแปรสุมจะวัดไดดวย σ คาสหสัมพันธ (Correlation) ρXY = COV(X, Y) = σ .xyσ ซึ่งคาสหสัมพันธจะมีคาตั้งแต x y V(X) . V(Y) –1 ถึง 1 (–1 ≤ ρXY ≤ 1) บอกทิศทางความสัมพันธวาเปนเชิงลบ เชิงบวก หรือไมมีความสัมพันธ กัน รายละเอียดแสดงในบทที่ 11 y

y

x (ก) คาความแปรปรวนรวมเปนบวก

x (ข) คาความแปรปรวนรวมเปนศูนย

y

x (ค) คาความแปรปรวนรวมเปนลบ

รูปที่ 4.7 ความแปรปรวนรวมระหวางตัวแปรสุม X และ Y

ที่มา : Montgomery and Runger. 2003. และ Navidi. 2008.

บทที่ 4 คาคาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสุม

117

ตัวอยางที่ 4.13 ในสายการผลิตโตะปฏิบตั กิ าร ประกอบดวยเครือ่ งเชือ่ มรวมทัง้ หมด 8 เครือ่ ง แบง

เปนประเภทเครื่องเชื่อมกาซ 3 เครื่อง เครื่องเชื่อม TIG 2 เครื่อง และเครื่องเชื่อม MIG 3 เครื่อง ถา ในการประกอบโตะโดยสุมเลือกเครื่องเชื่อมจํานวน 2 เครื่อง กําหนดให X, Y เปนตัวแปรสุมแสดง ถึงจํานวนเครือ่ งเชือ่ มกาซและเครือ่ งเชือ่ ม TIG ถูกเลือก และมีความนาจะเปนรวมกันดังตารางที่ 4.7 ตารางที่ 4.7 ความนาจะเปนรวมกัน f(x, y) X

Y 0 1 2 3 g(x)

0

1

2

3

h(y)

0.2 – – – 0.2

– 0.1 0.1 – 0.2

– 0.1 0.1 – 0.2

– – – 0.4 0.4

0.2 0.2 0.2 0.4 1

จงหาคาความแปรปรวนรวมกันของตัวแปรสุม X และ Y

วิธีทํา

E(X . Y) = Σ Σ x . y . f(x, y) x y = (0)(0)(0.2) + (1)(1)(0.1) + (1)(2)(0.1) + (2)(1)(0.1) + (2)(2)(0.1) + (3)(3)(0.4) = 4.5 3 3 3 E(X) = Σ Σ x . f(x, y) = Σ x . g(x) x=0 y=0

x=0

= (0)(0.2) + (1)(0.2) + (2)(0.2) + (3)(0.4) = 1.8 3 3 3 E(Y) = Σ Σ y . f(x, y) = Σ y . h(y) x=0 y=0

∴

σXY

y=0

= (0)(0.2) + (1)(0.2) + (2)(0.2) + (3)(0.4) = 1.8 = E(X . Y) – E(X) . E(Y) = 4.5 – (1.8)(1.8) = 1.26

ดังนั้น ตัวแปรสุม X และ Y มีความสัมพันธในเชิงแปรผันตามกัน

118

สถิติวิศวกรรม

ตัวอยางที่ 4.14 กําหนด X และ Y แทนดัชนีวัดคาเสนผานศูนยกลางและความยาวของโชกอัป ดวย ที่ถูกตรวจสอบคุณภาพกอนสงมอบใหลูกคา จงหาความแปรปรวนรวมของ X และ Y ที่มี ฟงกชันความนาจะเปนรวมกัน ดังนี้ f(x) = x + y ; 0 < x < 1, 0 < y < 1 0 ; x, y อื่นๆ

วิธีทํา

1 1 1 1 E(X . Y) = ∫ ∫ x . y . f(x, y) dx dy = ∫ ∫ x . y . (x + y) dx dy = 13 y=0 x=0 y=0 x=0 1 1 1 1 7 E(X) = ∫ ∫ x . f(x, y) dx dy = ∫ ∫ x . (x + y) dx dy = 12 y=0 x=0 y=0 x=0

∴

1 1 1 1 7 E(Y) = ∫ ∫ y . f(x, y) dx dy = ∫ ∫ y . (x + y) dx dy = 12 y=0 x=0 y=0 x=0 σXY = E(X . Y) – E(X) . E(Y)

( )( 127 ) = – 1441

7 = 13 – 12

ดังนั้น ตัวแปรสุม X และ Y มีความสัมพันธในเชิงแปรผกผันกัน

5. กฎของความแปรปรวน เชนเดียวกับกฎของคาคาดหมาย บางครั้งอาจตองการขยายผลการศึกษาในรูปฟงกชัน ความสัมพันธแบบตางๆ เพื่อวัดคาความแตกตางจากคากลางวามีมากนอยเพียงใด กฎของความ แปรปรวนที่ถูกนํามาประยุกตใชมีดังนี้ 1. V(b) = 0 เมื่อ b เปนคาคงที่ 2. V(aX) = a2V(X) 3. ถา X เปนตัวแปรสุม และ a เปนคาคงที่ จะไดวา V(X + a) = V(X)

บทที่ 4 คาคาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสุม

119

4. ถา X และ Y เปนตัวแปรสุมใดๆ จะไดวา V(aX + bY) = a2V(X) + b2V(Y) + 2abCov(X, Y) V(aX – bY) = a2V(X) + b2V(Y) – 2abCov(X, Y) 5. ถา X และ Y เปนตัวแปรสุมซึ่งเปนอิสระกันแลว จะไดวา V(aX + bY) = a2V(X) + b2V(Y) V(aX – bY) = a2V(X) + b2V(Y)

ตัวอยางที่ 4.15 หัวลูกสูบ (Piston Head) ถูกออกแบบใหเคลือ่ นทีภ่ ายในกระบอกสูบ (Cylinder)

กําหนดใหตัวแปรสุม X1 เปนขนาดรัศมีของหัวลูกสูบมีคาเฉลี่ย 30 mm และคาเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.05 mm ตัวแปรสุม X2 เปนขนาดรัศมีภายในของกระบอกสูบมีคาเฉลี่ย 30.25 mm และคาเบี่ยง เบนมาตรฐาน 0.06 mm ชองวางระหวางหัวลูกสูบและกระบอกสูบเปนตัวแปรสุม Y = X2 – X1 ดังรูป ถาทราบวาคารัศมีของหัวลูกสูบและกระบอกสูบเปนอิสระตอกัน จงหาคาเฉลี่ยและคาเบี่ยง เบนมาตรฐานของ Y กระบอกสูบ ชองวาง = X2 – X1 x2 หัวลูกสูบ

x1

รูปที่ 4.8 รัศมีของหัวลูกสูบและกระบอกสูบ ที่มา : Hayter. 2002.

120

สถิติวิศวกรรม

วิธีทํา เนื่องจาก X1 และ X2 เปนอิสระตอกัน E(Y) = E(X2) – E(X1)

∴

= 30.25 – 30 = 0.25 mm V(Y) = V(X2 + ( –1)X1) = V(X2) + ( –1)2 V(X1) = 0.062 + 0.052 = 0.0061 mm2 ∴

SD(Y) =

V(Y) = 0.078 mm

ตัวอยางที่ 4.16 เพลาในมอเตอรพัดลมไฟฟาถูกสุมจากกระบวนการผลิต 10 ตัวอยางเพื่อวัด

คาเสนผานศูนยกลาง ถากําหนดใหตัวแปรสุม X1, X2, …, X10 เปนคาเสนผานศูนยกลางที่วัดได จากเพลาตัวอยางและเปนอิสระตอกัน ตัวแปรสุมแตละตัวมีคาเฉลี่ย µ และคาความแปรปรวน σ2 จงหา E(X) และ V(X)

σ12 = σ2

µ1 = µ

σ22 = σ2

X1

µ2 = µ

(ก)

X2

σ210 = σ2

µ10 = µ

(ข)

รูปที่ 4.9 คาเฉลี่ยและความแปรปรวนของเพลา 10 ตัวอยาง ที่มา : Hines et al. 2003.

วิธีทํา

X1 + X2 + … X10 10 1 X + 1 X +…+ 1 X = 10 1 10 2 10 10 1 E(X ) + 1 E(X ) + ... + 1 E(X ) E(X) = 10 1 10 2 10 10 X =

(ค)

X10

บทที่ 4 คาคาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสุม

เนื่องจาก

E(X1) = E(X2) = … = E(X10) = ∴

121

µ

1 µ + 1 µ + … + 1 µ = 1 (10µ) = E(X) = 10 10 10 10

µ

เนื่องจาก X1 และ X2 เปนอิสระตอกัน ดังนั้น

( X1 + X210+ …X10 ) ( 101 )2 V(X1) + ( 101 )2 V(X2) + ... + ( 101 )2 V(X10)

V(X) = V =

เพราะวา

V(X1) = V(X2) = … = V(X10) = ∴

∴

( 101 )2 σ2 + ( 101 )2 σ2 + … + ( 101 )2 σ2 1 2 10σ2 = σ2 = ( 10 ) 10

V(X) =

SD(X) =

V(X) =

คา SD(X) = (Standard Error of X)

σX

E(X) =

µX

สรุปวา

σ2

10

σ

= =

σ

n เรียกวาความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของ X

µ

2

และ V(X) = σ2X = σn ซึ่งเปนคาเฉลี่ยและความแปรปรวนของการแจกแจงการสุมตัวอยาง (Sampling Distribution) ของ X รายละเอียดอยูในบทที่ 7

6. โมเมนต (Moment) ของตัวแปรสุม

ในการอธิบายคุณสมบัติของตัวแปรสุม สามารถใชการเปรียบเทียบกับคุณสมบัติดาน กลศาสตรทเี่ รียกวา “โมเมนต” ซึง่ หมายถึงคุณสมบัตทิ างกายภาพอยางหนึง่ ของแทงนํา้ หนัก โดยที่ โมเมนตอันดับที่หนึ่งหมายถึงจุดศูนยถวง (Center of Gravity – CG) ของวัตถุ และโมเมนตอันดับ ที่สองรอบจุดศูนยถวงหมายถึงโมเมนตของความเฉื่อย (Moment of Inertia)

122

สถิติวิศวกรรม

โมเมนตอันดับที่ 1 คือ คาเฉลี่ยของตัวแปรสุม X แทนดวย µ โมเมนตอันดับที่ 2 รอบจุดศูนยถวง (คาเฉลี่ย) คือ คาความแปรปรวนของตัวแปรสุม X แทนดวย σ2 สําหรับโมเมนตอันดับที่ k รอบจุดกําเนิดของตัวแปรสุม X แทนดวย E(Xk) = Σ xk f(x) x เมื่อ X เปนตัวแปรสุมไมตอเนื่อง ∞

E(Xk) = ∫ xk f(x) dx –∞ เมื่อ X เปนตัวแปรสุมตอเนื่อง สําหรับโมเมนตอันดับที่ k รอบคาเฉลี่ย µ ของตัวแปรสุม X แทนดวย E(X – µ)k = Σ (x – µ)k f(x) x เมื่อ X เปนตัวแปรสุมไมตอเนื่อง ∞

E(X – µ)k = ∫ (x – µ)k f(x) dx –∞ เมื่อ X เปนตัวแปรสุมตอเนื่อง โมเมนตของการแจกแจงความนาจะเปนสามารถหาไดจาก Moment – Generating Function, Mx (t) สําหรับตัวแปรสุม X Mx (t) = E(etx) = Σ etxi f(xi) เมื่อ X เปนตัวแปรสุมไมตอเนื่อง ∞

i

Mx (t) = ∫ etx f(x) dx –∞ เมื่อ X เปนตัวแปรสุมตอเนื่อง

บทที่ 4 คาคาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสุม

123

ตัวอยางที่ 4.17 กําหนดให X เปนตัวแปรสุมแบบไมตอเนื่อง จงหาคาเฉลี่ยและความแปรปรวน

ของการแจกแจงทวินาม (Binomial Distribution) โดยใช Moment – Generating Function

วิธีทํา การแจกแจงทวินาม f(x) =

( nx ) px qn–x ; x = 0, 1, …, n (ดูรายละเอียดในบทที่ 5) 0

; x อื่นๆ

( ) n n (pet)x (1 – p)n–x = [pet + (1 – p)]n ( ) Σ x x=0

n Mx(t) = Σ etx nx px (1 – p)n–x x=0

=

คาเฉลี่ยหาจากโมเมนตอันดับที่ 1 รอบจุดกําเนิด โดย

M′X(t) | t = 0 = dtd MX (t) | t = 0 = E [ XetX ] t = 0 = µ′1 M′X(t) = dtd MX (t) = npet [1 + p(et – 1) ] n–1

เพราะ ∴

µ

=

µ′1

= M′X(t) | t = 0 = np

ความแปรปรวนหาจากโมเมนตอันดับที่ 2 โดย 2 M″X(t) | t = 0 = d 2 MX (t) | t = 0 = E [ X2 etX ] t = 0 = µ′2 dt 2 M″X(t) = d 2 MX (t) = npet (1 – p + npet) [1 + p(et – 1)] n–2 dt

เพราะ ดังนั้น ∴

µ′2

= M″X(t) | t = 0 = np(1 – p + np)

σ2

=

µ′2 – µ2

= np(1 – p)

124

สถิติวิศวกรรม

แบบฝกหัด 1. กําหนดใหตัวแปรสุม X มีคา – 2, 1, 4 และ 6 ดวยคาความนาจะเปน 1/3, 1/6, 1/3 และ 1/6 ตามลําดับ จงหาคาเฉลี่ยและความแปรปรวนของตัวแปรสุม X (เฉลย : 11 , 341 ) 6 36 1 2. ถาฟงกชันความนาจะเปน f(x) = xln(1.5) ; 4 ≤ x ≤ 6 จงหาคา E(X), V(X) และ SD(X) (เฉลย : 4.93, 0.33, 0.58) 3. ถาฟงกชันความนาจะเปนสะสม F(x) = x2/16; 0 ≤ x ≤ 4 จงหาคา E(X), V(X) และ SD(X) (เฉลย : 2.67, 0.89, 0.94) 4. ให X และ Y มีการแจกแจงความนาจะเปนรวมกันดังนี้ x

0

0

1

1

y

1

–1

0

1

f(x, y)

0.4

0.3

0.2

0.1

จงหาคา E(X), E(Y), σ2X, σ2Y, E(XY) และ Cov(X, Y) (เฉลย : 0.3, 0.2, 0.21, 0.76, 0.1, 0.04) 5. แรธาตุชนิดหนึง่ มีสงั กะสีและเหล็กเปนองคประกอบ ถากําหนดใหตวั แปรสุม X แทนสัดสวน ของสังกะสี และ Y แทนสัดสวนของเหล็ก โดยมีฟงกชันความนาจะเปนของตัวแปรสุมทั้ง สอง ดังนี้ 39 – 17(x – 1)2 – (y – 25)2 ; 0.5 ≤ x ≤ 1.5, 20 ≤ y ≤ 35 f(x, y) = 400 10000 50 จงหา E(X), V(X), E(Y), V(Y), E(Y/X = 0.55), V(Y/X = 0.55) (เฉลย : 1, 0.055, 27.36, 18.27, 27.14, 17.16)

บทที่ 4 คาคาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสุม

125

6. กําหนดให X, Y, Z เปนตัวแปรสุมอิสระตอกันดวย E(X) = 2, V(X) = 4, E(Y) = (–3), V(Y) = 2, E(Z) = 8, V(Z) = 7 จงหาคาเฉลี่ยและความแปรปรวนดังตอไปนี้ 6.1 3X + 7 (เฉลย : 13, 36) 6.2 4X – 3Y (เฉลย : 17, 82) 6.3 5X – 9Z + 8 (เฉลย : – 54, 667) 6.4 –3Y – Z – 5 (เฉลย : – 4, 25) 6.5 6X + 2Y – Z + 16 (เฉลย : 14, 159) 7. กําหนดให X1, X2, X3 เปนตัวแปรสุมอิสระที่มีคาเฉลี่ย µ และคาความแปรปรวน σ2 จงหา คาเฉลี่ยและคาความแปรปรวนของตัวแปรสุมตอไปนี้ 7.1 Y = 3X1 (เฉลย : 3 µ, 9 σ2) 7.2 Z = X1 + X2 + X3 (เฉลย : 3 µ, 3 σ2) 8. จงหาคาความแปรปรวนจากสถานการณดังตอไปนี้ 8.1 ถา X และ Y เปนตัวแปรสุมที่เปนอิสระตอกัน มี σ2X = 5 และ σ2Y = 3 จงหาคา σ2z เมื่อ Z = X + 4Y – 3 (เฉลย : 53) 8.2 ถา X และ Y เปนตัวแปรสุม ทีไ่ มเปนอิสระตอกัน มี σ2X = 5 และ σ2Y = 3 และ Cov(X, Y) = 1 จงหาคา σ2z เมื่อ Z = 2X – 3Y + 5 (เฉลย : 35)

5

การแจกแจง ความนาจะเปน แบบไมตอเนื่อง

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Probability Distribution) เป็น ฟังก์ชันความสัมพันธ์ของความน่าจะเป็น P(X = x) หรือ f(x) ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Random Variable) รูปแบบของการแจกแจงความน่าจะเป็น (Probability Distribution) ทีจ่ ะกล่าวถึงในบทเรียนนี้ จะมีแบบแผน (Pattern) และถูกนําไปใชกบั สถานการณ์ทเี่ ฉพาะเจาะจง ประกอบดวย (1) การแจกแจงยูนิฟอร์ม (2) การแจกแจงแบร์นูลลี (3) การแจกแจงทวินาม (4) การแจกแจงเรขาคณิต (5) การแจกแจงทวินามลบ (6) การแจกแจงพหุนาม (7) การแจกแจง ไฮเพอร์จีออเมตริก และ (8) การแจกแจงปัวส์ซอง ในแต่ละหัวขอ จะอธิบายถึงสถานการณ์เฉพาะที่แต่ละรูปแบบการแจกแจงจะถูกนําไปใช ฟังก์ชันความสัมพันธ์ของความน่าจะเป็น f(x) คุณสมบัติของตัวแปรสุ่ม X (ค่าเฉลี่ย m และความ แปรปรวน s2) รวมทั้งการวิเคราะห์ดวยเอกซ์เซล (Excel)

1. การแจกแจงยูนิฟอร์ม (Discrete Uniform Distribution)

การแจกแจงของตัวแปรสุ่ม ซึ่งแต่ละค่าของตัวแปรสุ่มมีความน่าจะเป็นที่เท่ากัน เรียกว่า การแจกแจงยูนิฟอร์ม ถากําหนดใหตัวแปรสุ่ม X ประกอบดวย x1, x2, …, xn ดวยความ น่าจะเป็นที่เท่ากันคือ 1n ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของการแจกแจงยูนิฟอร์มของ X คือ f(x; n) = 1n เมื่อ x = x1, x2, …, xn ถาคาของตัวแปรสุม X เปนเลขจํานวนเต็ม a, a + 1, a + 2, …, b ดังนั้น คาเฉลี่ย m และ ความแปรปรวน s2 ของการแจกแจงยูนิฟอรม คือ

128

สถิติวิศวกรรม

m s2

และ

= b+a 2 (b – a + 1)2 – 1 = 12

ตัวอย่างเช่น X = {0, 1, 2,…, 9} แต่ละค่าของ X จะมีความน่าจะเป็นเท่ากันคือ f(x) = 1 10 ดังนั้น ฟังก์ชันความน่าจะเป็น f(x; 10) = 1 เมื่อ x = 0, 1, 2, …, 9 ดังรูปที่ 5.1 10 คุณสมบัติของตัวแปรสุ่มคือ (9 + 0) ค่าเฉลี่ย m = 4.5 และความแปรปรวน s2 = 2 [(9 – 0 + 1)2 – 1] = 8.25 12 f(x) 0.1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 x

รูปที่ 5.1 ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของการแจกแจงยูนิฟอร์ม เมื่อ f(x; n) = 0.1 ที่มา : Montgomery and Runger. 2003.

ตัวอย่างที่ 5.1 การตัดสินใจเลือกสถานที่ตั้งแท่นขุดเจาะนํ้ามันจํานวน 2 แห่งจากที่ตั้งทั้งหมด 7 แห่ง โดยที่สถานที่ตั้งแต่ละแห่งมีโอกาสถูกเลือกเท่าๆ กัน จงเขียนฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ การเลือกสถานที่ตั้งแต่ละทางเลือก

วิธีทํา กําหนดให X = ทางเลือกสถานที่ตั้งแท่นขุดเจาะนํ้ามัน จํานวนทางเลือกของสถานที่ตั้ง 2 แห่งจากทั้งหมด 7 แห่ง 7C 2

= 21 ทางเลือก

ถาสถานที่ตั้งทั้ง 7 แห่ง แทนดวย a, b, c, d, e, f, g ทางเลือกของสถานที่ตั้ง 2 แห่งมี 21 ทางเลือก คือ

บทที่ 5 การแจกแจงความนาจะเปนแบบไมตอเนื่อง

129

ab, ac, ad, ae, af, ag, bc, bd, be, bf, bg, cd, ce, cf, cg, de, df, dg, ef, eg, fg } ดังนั้น          ∴

X = {1, 2, 3, …, 21} แต่ละทางเลือกมีโอกาสถูกเลือกเท่าๆ กัน 1 ; x = 1, 2, …, 21 P(X = x) = 21

2. การแจกแจงแบร์นูลลี (Bernoulli Distribution) รูปแบบทั่วไปของการทดลองแบร์นูลลี คือ 1. ทําการทดลองเพียง 1 ครั้งเท่านั้น 2. ในการทดลอง 1 ครั้ง มีผลได 2 แบบเท่านั้นคือ ความสําเร็จ (Success) และความ ลมเหลว (Failure) ความสําเร็จหมายถึง สิ่งที่สนใจศึกษา ส่วนความลมเหลวหมายถึง สิ่งที่อยู่นอก ขอบเขตของการศึกษา 3. ความน่าจะเป็นที่จะเกิดความสําเร็จเท่ากับ p 4. ความน่าจะเป็นที่จะเกิดความลมเหลวเท่ากับ q ซึ่ง p + q = 1 X เป็นตัวแปรสุ่มแทนจํานวนครั้งที่เกิดความสําเร็จในการทดลอง 1 ครั้ง กําหนดให X = 0 แทนการทดลองที่ลมเหลว และ X = 1 แทนการทดลองที่สําเร็จ ดังนั้น ค่าของตัวแปรสุ่ม X = {30, 1} เรียกว่า ตัวแปรสุม่ แบร์นลู ลี และการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุม่ X เรียกว่า การแจกแจงแบร์นูลลี ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X คือ f(x) = pxq1–x ; x = 0, 1 จากฟังก์ชันความน่าจะเป็น f(0) = p0 . q1 – 0 = q และ f(1) = p1 . q1 – 1 = p

130

สถิติวิศวกรรม

ค่าเฉลี่ย m และความแปรปรวน s2 ของการแจกแจงแบร์นูลลี คือ   m = p และ s2 = pq ซึ่งค่าเฉลี่ยหาจาก E(X) = S x f(x) = [0 . q] + [1 . p] = p x

ความแปรปรวนหาจาก V(X) = S x2 f(x) – m2 = [(02 . q) + (12 . p)] – p2 = pq x

ตัวอย่างที่ 5.2 กระบวนการผลิตแผ่นกระจกจะมีการตรวจสอบหารอยตําหนิต่างๆ เช่น ปุมเม็ด

ทราย หรือฟองอากาศ ในขั้นตอนสุดทายก่อนส่งมอบใหกับลูกคา ถาทําการสุ่มหยิบแผ่นกระจก 1 แผ่นจากทั้งหมด 50 แผ่น ซึ่งมีกระจกที่มีรอยตําหนิปนอยู่ 4 แผ่น จงหาความน่าจะเป็นที่สุ่ม หยิบไดกระจกที่ไม่ผ่านการตรวจสอบ

วิธีทํา

กําหนดให X = จํานวนกระจกที่ไม่ผ่านการตรวจสอบจากการสุ่มหยิบ 1 แผ่น = {0, 1} โดย x = 0 แทนกระจกผ่านการตรวจสอบ และ x = 1 แทนกระจกไม่ผ่านการตรวจสอบ 4C p = 50 1 C1 4 = 0.08 = 50 q = 1– p = 1 – 0.08 = 0.92 ∴       P(X = 1) = (0.08)1 . (0.92)0 = 0.08

3. การแจกแจงทวินาม (Binomial Distribution) รูปแบบทั่วไปของการทดลองทวินามคือ 1. ในการทดลอง 1 ครั้ง มีผลได 2 แบบเท่านั้นคือ ความสําเร็จ และความลมเหลว 2. ความน่าจะเป็นที่จะเกิดความสําเร็จเท่ากับ p 3. ความน่าจะเป็นที่จะเกิดความลมเหลวเท่ากับ q ซึ่ง p + q = 1

บทที่ 5 การแจกแจงความนาจะเปนแบบไมตอเนื่อง

131

4. การทดลองแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน 5. ทําการทดลองซํ้าๆ กัน (Repeated Trials) ทั้งหมด n ครั้ง X เป็นตัวแปรสุ่มแทนจํานวนครั้งที่เกิดความสําเร็จในการทดลอง n ครั้งของการทดลอง ทวินาม เรียกว่า ตัวแปรสุ่มทวินาม และการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X เรียกว่า การแจกแจงทวินาม แทนดวย b(x; n, p) ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X คือ n f(x) = b(x; n, p) = x px qn–x ; x = 0, 1, 2, ..., n

( ) 

f(x) 0.4 0.3 0.2 0.1

f(x)

n=5 p = 0.2

0.4 0.3 0.2 0.1

0 1 2 3 4 5 x f(x) n = 10 0.3 p = 0.2 0.2 0.1

n=5 p = 0.5

f(x) 0.4 0.3 0.2 0.1

0 1 2 3 4 5 x

n=5 p = 0.8

0 1 2 3 4 5 x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

รูปที่ 5.2 ฮิสโตแกรมของการแจกแจงทวินาม ที่มา : Vardeman and Jobe. 2001.

จากรูปที่ 5.2 ฮิสโตแกรมของการแจกแจงทวินาม เมื่อค่า p < 0.5 จะเป็นกราฟเบขวา ส่วนค่า p > 0.5 จะเป็นฮิสโตแกรมเบซาย ค่าความเบจะลดลงเมื่อ n เพิ่มขึ้น การหาค่าของความน่าจะเป็นสะสม P(X ≤ r) สามารถหาไดจากตารางความน่าจะเป็น สะสมของการแจกแจงแบบทวินาม ในภาคผนวก ก.3 โดย P(X ≤ r) = B(r; n, p) เมื่อ B(r; n, p) แทนความน่าจะเป็นสะสมของการแจกแจงทวินาม

( ) 

r r n B(r; n, p) = S b (x; n, p) = S x px qn–x x=0 x=0

132

สถิติวิศวกรรม

ตัวอย่างเช่น กําหนดให n = 5, r = 2, p = 0.25 การหาค่า P(X ≤ 2) = B(2; 5, 0.25) = S b (x; 5, 0.25) ไดค่า 0.8965 ดังตารางที่ 5.1 2

x=0

ตารางที่ 5.1 ตัวอย่างการหาค่าความน่าจะเป็นสะสมจากตารางผลรวมความน่าจะเป็นทวินาม p n 5

x 0 1 2 3 4 5

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.7738 0.9774 0.9988 1.0000 1.0000 1.0000

0.5905 0.9185 0.9914 0.9995 1.0000 1.0000

0.4437 0.8352 0.9734 0.9978 0.9999 1.0000

0.3277 0.7373 0.9421 0.9933 0.9997 1.0000

0.2373 0.6328 0.8965 0.9844 0.9990 1.0000

0.1681 0.5282 0.8369 0.9692 0.9976 1.0000

0.1160 0.4284 0.7648 0.9460 0.9947 1.0000

0.0778 0.3370 0.6826 0.9130 0.9898 1.0000

0.0503 0.2562 0.5931 0.8688 0.9815 1.0000

0.0312 0.1875 0.5000 0.8125 0.9688 1.0000

ขอสังเกต 1. b(x; n, p) = B(x; n, p) – B(x – 1; n, p) ตัวอย่างเช่น b(3; 5, 0.05) = B(3; 5, 0.05) – B(2; 5, 0.05) = 1.0000 – 0.9988 = 0.0012 2. b(0; n, p) = (1 – p)n และ b(n; n, p) = pn ตัวอย่างเช่น b(0; 5, 0.05) = (1 – 0.05)5 = 0.7738 b(5; 5, 0.05) = 0.055 3. b(x; n, p) = b(n – x; n, 1 – p)

≈

0

ตัวอย่างเช่น b(3; 5, 0.05) = b(2; 5, 0.05)5 = 0.3125 ค่าเฉลี่ย m และความแปรปรวน s2 ของการแจกแจงทวินาม คือ       m = np และ s2 = npq สูตรของค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของการแจกแจงทวินาม มีที่มาจากหลักการของค่า คาดหมาย E(X) และความแปรปรวน V(X) ในบทที่ 4 อธิบายไดดังนี้

บทที่ 5 การแจกแจงความนาจะเปนแบบไมตอเนื่อง

133

n E(X) = S x . x!(nn!– x)! pxqn – x x=0 n = np S x . (x –(n1)!–(n1)!– x)! px – 1qn – x x=1 กําหนดให y = x – 1 ดังนั้น n–1 E(X) = np S . y!(n(n––11)!– y)! py qn – 1 – y y=0 ∴    E(X)

= np

จากแนวคิดเดียวกันนี้ สามารถหา V(X) ไดดังนี้ n – 1)n! px qn – x E(X(X – 1)) = S x(x x!(n – x)! x=0 n = n(n – 1)p2 S (x –(n2)!–(n2)!– x)! px – 2 qn – x x=2 n–2 = n(n – 1)p2 S y! (n(n––y2)!– 2)! py qn – y – 2 y=0

= n(n – 1)p2 ∴    V(X)

= E(X2) – [E(X)]2 = E[X(X – 1)] + E(X) – [E(X)]2 = n(n – 1)p2 + np – (np)2 = npq

นอกจากนี้ ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของการแจกแจงทวินาม สามารถอธิบายไดจาก หลักการของโมเมนต์ ดังตัวอย่างที่ 4.17 ในบทที่ 4 สามารถใชฟังก์ชันในเอกซ์เซลหาค่าความน่าจะเป็นของการแจกแจงทวินามไดดังนี้ BINOMDIST(x, n, p, FALSE) สําหรับการคํานวณฟังก์ชนั ความน่าจะเป็น (pdf) ของการแจกแจง ทวินาม b(x; n, p) เช่น f(3) = b(3; 5, 0.2) = 53 (0.23)(0.82) = BINOMDIST(3, 5, 0.2, FALSE) = 0.0512

()

134

สถิติวิศวกรรม

BINOMDIST(x, n, p, TRUE) สําหรับการคํานวณฟังก์ชันความน่าจะเป็นสะสม (cdf) 3 ของการแจกแจงทวินาม B(r; n, p) เช่น F(3) = B(3; 5, 0.2) = S 5x (0.2x)(0.85–x) = x=0 BINOMDIST(3, 5, 0.2, TRUE) = 0.9933

()

ตัวอย่างที่ 5.3 ในเครือข่ายการสื่อสารทางไกล การเดินทางของสัญญาณผ่านสายส่งสัญญาณ

จะพบกับปัญหาสัญญาณรบกวน (Noise) เพิ่มเขามา ทําใหระบบการสื่อสารบกพร่อง โดยที่ระดับ สัญญาณจะมีคา่ ตํา่ มากส่งผลใหอปุ กรณ์เครือข่ายไม่สามารถอ่านค่าไดถกู ตอง ถาอุปกรณ์เครือข่าย มีโอกาสอ่านค่าผิดพลาด 5% จากการอ่านค่าทั้งหมด 10 ครั้ง จงหา 1. ความน่าจะเป็นที่อุปกรณ์จะอ่านค่าผิดพลาด 1 ครั้ง 2. ความน่าจะเป็นที่อุปกรณ์อ่านค่าผิดพลาดอย่างนอย 1 ครั้ง 3. โดยเฉลี่ยแลว อุปกรณ์เครือข่ายอ่านค่าผิดพลาดกี่ครั้ง และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

วิธีทํา กําหนดให X = จํานวนครั้งที่อุปกรณ์อ่านค่าผิดพลาดจากการอ่านทั้งหมด 10 ครั้ง x = 0, 1, 2, 3, …, 10

( ) 

x 10–x X ~ b(x; 10, 0.05) = 10 x (0.05) (0.95) 1. ความน่าจะเป็นที่อุปกรณ์จะอ่านค่าผิดพลาด 1 ครั้ง

( ) 

= 0.3152

1 9 P(X = 1) = 10 1 (0.05) (0.95) = 0.315 หรือหาไดจาก BINOMDIST(1, 10, 0.05, FALSE) หรือใชตารางความน่าจะเป็นสะสม B(1; 10, 0.05) – B(0; 10, 0.05) = 0.9139 – 0.5987

2. ความน่าจะเป็นที่อุปกรณ์อ่านค่าผิดพลาดอย่างนอย 1 ครั้ง P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0)

( ) 

0 10 = 1 – 10 0 (0.05) (0.95) = 0.401

บทที่ 5 การแจกแจงความนาจะเปนแบบไมตอเนื่อง

135

ค่า P(X = 0) หาไดจาก BINOMDIST (0, 10, 0.05, FALSE) หรือ B(0; 10, 0.05) ในตารางความน่าจะเป็นสะสม จะไดค่า 0.5987 3. อุปกรณ์เครือข่ายอ่านค่าผิดพลาดโดยเฉลี่ย และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน  

m 

= np = 10(0.05) = 0.5 ครั้ง

และ

s

=

npq

=

10(0.05)(0.95) = 0.689 ครั้ง

4. การแจกแจงเรขาคณิต (Geometric Distribution) รูปแบบทั่วไปของการทดลองเรขาคณิตคือ 1. ในการทดลอง 1 ครั้ง มีผลได 2 แบบเท่านั้นคือ ความสําเร็จ และความลมเหลว 2. ความน่าจะเป็นที่จะเกิดความสําเร็จเท่ากับ p 3. ความน่าจะเป็นที่จะเกิดความลมเหลวเท่ากับ q ซึ่ง p + q = 1 4. การทดลองแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน 5. ทําการทดลองไปเรื่อยๆ และหยุดเมื่อพบความสําเร็จเป็นครั้งแรก X เป็นตัวแปรสุ่มแทนจํานวนครั้งที่ทดลองจนเกิดความสําเร็จเป็นครั้งแรก เรียกว่า ตัวแปรสุ่มเรขาคณิต และการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X เรียกว่า การแจกแจง เรขาคณิต แทนดวย g(x; p) ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X คือ f(x) = g(x; p) = pqx–1; x = 1, 2, 3, ...

136

สถิติวิศวกรรม

f(x) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

p = 0.5

f(x)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

x

p = 0.25

0.3 0.2 0.1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

x

รูปที่ 5.3 ฮิสโตแกรมของการแจกแจงเรขาคณิต ที่มา : Vardeman and Jobe. 2001.

จากรูปที่ 5.3 แสดงฮิสโตแกรมของการแจกแจงเรขาคณิตที่ค่า p แตกต่างกัน จะพบว่า เมื่อค่า p ลดลง ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มจะมีค่าลดลง ขณะที่เมื่อค่าของตัวแปรสุ่ม X เพิ่มขึ้น ความน่าจะเป็นจะมีค่าลดลง ค่าเฉลี่ย m และความแปรปรวน s2 ของการแจกแจงเรขาคณิต คือ 1 m = p q และ s2 = 2 p สูตรของค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของการแจกแจงเรขาคณิต มีที่มาจากหลักการของ E(X) และ V(X) อธิบายไดดังนี้ ∞ d ∞ qx m = E(X) = S x . p . qx – 1 = p . dq S x=1 x=1 ∴     m

d q = p dq 1–q

   =

1 p

บทที่ 5 การแจกแจงความนาจะเปนแบบไมตอเนื่อง

 

s2 ∴     s2

( )2 = p Sx=1 x2qx – 1 –

∞ = V(X) = S x2 . pqx – 1 – 1p x=1 q = p2

∞

137

1 p2

ตัวอย่างที่ 5.4 ถาทราบว่าแบตเตอรี่ใหม่ที่ผลิตไม่สามารถใชงานได เนื่องจากกระแสไฟฟาที่ ชาร์จไม่เพียงพอนั้นมีโอกาสพบ 8% เมื่อทําการสุ่มตรวจสอบแบตเตอรี่ 1. จงหาความน่าจะเป็นที่จะตรวจพบแบตเตอรี่ชํารุด เมื่อทําการตรวจสอบจนถึงเครื่องที่ 3 เป็นตนไป 2. โดยเฉลี่ยจะตองตรวจแบตเตอรี่กี่เครื่อง จึงจะพบแบตเตอรี่ชํารุดเป็นเครื่องแรก

วิธีทํา กําหนดให X = จํานวนแบตเตอรี่ที่ตรวจสอบจนพบชํารุดเครื่องแรก x = 1, 2, 3, … X ~ g(x; 0.08) = (0.08)(0.92)x–1 1. ความน่าจะเป็นที่จะตรวจพบแบตเตอรี่ชํารุด เมื่อทําการตรวจสอบจนถึงเครื่องที่ 3 เป็นตนไป หมายถึง X = { 3 3 7, 3 3 3 7 , ... } หรือ x = 3, 4, ... P(X ≥ 3) = 1 – P(X ≤ 2) = 1 – P(X = 1) – P(X = 2) = 1 – (0.08(0.92)1 – 1 – (0.08) (0.92)2 – 1 = 1 – 0.08 – 0.0736 = 0.8464 2. โดยเฉลี่ยจํานวนแบตเตอรี่ที่ตองตรวจสอบจนกระทั่งพบว่าชํารุดเป็นเครื่องแรก E(X) =

m  =

1 = 1 = 8 เครื่อง p 0.08

138

สถิติวิศวกรรม

5. การแจกแจงทวินามลบ (Negative Binomial Distribution) การแจกแจงทวินามลบ หรือเรียกอีกชือ่ หนึง่ ว่าการแจกแจงปาสคาล (Pascal Distribution) เป็นการแจกแจงทีเ่ ป็นส่วนขยายต่อจากการแจกแจงเรขาคณิต นัน่ คือ ทดลองไปเรือ่ ยๆ จนกว่าจะ พบความสําเร็จเป็นครั้งที่ k (การแจกแจงเรขาคณิตจะสนใจที่ความสําเร็จครั้งแรก k = 1) รูปแบบทั่วไปของการทดลองทวินามลบคือ 1. ในการทดลอง 1 ครั้งมีผลได 2 แบบเท่านั้นคือ ความสําเร็จ และความลมเหลว 2. ความน่าจะเป็นที่จะเกิดความสําเร็จเท่ากับ p 3. ความน่าจะเป็นที่จะเกิดความลมเหลวเท่ากับ q ซึ่ง p + q = 1 4. การทดลองแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน 5. ทําการทดลองไปเรื่อยๆ และหยุดเมื่อพบความสําเร็จเป็นครั้งที่ k เมื่อ k เป็นจํานวน เต็มบวก X เป็นตัวแปรสุ่มแทนจํานวนครั้งที่ทดลองจนเกิดความสําเร็จเป็นครั้งที่ k เรียกว่า ตัวแปร สุ่มทวินามลบ และการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X เรียกว่า การแจกแจงทวินาม ลบ แทนดวย b*(x; k, p) ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X คือ x–1 f(x) = b*(x; k, p) = k – 1 pk qx – k; x = k, k + 1, k + 2, k + 3, …

( ) 

บทที่ 5 การแจกแจงความนาจะเปนแบบไมตอเนื่อง

f(x) 0.15

k = 20, p = 0.25 k = 20, p = 0.5 k = 20, p = 0.75

0.1 0.05

0

100 x

50 (ก)

f(x) k = 10, p = 0.5 k = 20, p = 0.5 k = 70, p = 0.5

0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

50 (ข)

รูปที่ 5.4 ฮิสโตแกรมของการแจกแจงทวินามลบ ที่มา : http : //ecs.swan.ac.uk/~csoliver/ok-sat-library

100 x

139

140

สถิติวิศวกรรม

จากรูปที่ 5.4 เมื่อ k คงที่ ขณะที่ p เพิ่มขึ้น พบว่ากราฟจะเปลี่ยนรูปจากสมมาตรเป็น เบขวาและมีความน่าจะเป็นเพิ่มขึ้น ซึ่งตรงกันขามกับกรณี p คงที่ ขณะที่ k เพิ่มขึ้น กราฟจะ เปลี่ยนจากเบขวามาเป็นสมมาตร และความน่าจะเป็นลดลง ค่าเฉลี่ย m และความแปรปรวน s2 ของการแจกแจงทวินามลบ คือ k   m  = p kq s2 = 2 และ p การแจกแจงแบบทวินามลบ จะเป็นการทดลองแบบทวินามจํานวน x – 1 ครั้ง แลวพบ ความสําเร็จ k – 1 ครั้ง ก่อนที่จะพบความสําเร็จครั้งที่ k ในการทดลองครั้งสุดทาย (ครั้งที่ x) เสมอ x – 1 k–1 x–k p q * (p) นั่นคือ k–1

( ) 

ตัวอย่างเช่น การตรวจสอบอุปกรณ์เครือข่ายสื่อสาร 10 ครั้ง (ดังตัวอย่างที่ 5.3) ถา ตองการทราบว่ามีโอกาสเท่าไรที่จะพบอุปกรณ์อ่านค่าผิดพลาดเป็นครั้งที่ 3 สามารถวิเคราะห์ จาก (1) X ~ b* (10; 3, 0.05) เมื่อ x = 10, k = 3 หรือ (2) มองว่าเป็นการทดลอง 9 ครั้ง ที่พบ อุปกรณ์อ่านค่าผิดพลาด 2 ครั้ง X ~ b (2; 9, 0.05) เมื่อ n = 9, x = 2 และครั้งที่ 10 (การทดลอง ครั้งสุดทาย) พบอุปกรณ์อ่านค่าผิดพลาดเป็นครั้งที่ 3 (p = 0.05) นั่นคือ b* (10; 3, 0.05) = b(2; 9, 0.05) . (0.05)   ∴  

(103––11) (0.05)3 (0.95)10 – 3 = ( 92 ) (0.05)2 (0.95)9 – 2 . (0.05)

ขอสังเกต การทดลองแบบทวินามจะทราบจํานวนของการทดลองทัง้ หมด n ครัง้ ในขณะที่ การทดลองทวินามลบจะไม่ทราบจํานวนการทดลอง เพียงแต่สนใจว่าพบความสําเร็จครัง้ ที่ k ก่อน แลวค่อยนับจํานวนครั้งของการทดลอง x ครั้ง ดังนั้น จํานวนครั้งของการทดลอง x อาจเท่ากับ k ครั้ง หรืออาจมากกว่า k ครั้ง นอกจากนี้ สามารถใชฟังก์ชันในเอกซ์เซลหาค่าความน่าจะเป็นของการแจกแจงทวินาม ลบไดดังนี้ NEGBINOMDIST(x – k, k, p) สําหรับการคํานวณฟังก์ชันความน่าจะเป็น (pdf) ของ การแจกแจงทวินามลบ b*(x; k, p)

บทที่ 5 การแจกแจงความนาจะเปนแบบไมตอเนื่อง

เช่น

141

8–1 b*(8; 5, 0.35) = 5 – 1 (0.35)5(0.65)8–5 = NEGBINOMDIST (8 – 5, 5, 0.35) = 0.0505

( ) 

ตัวอย่างที่ 5.5 มลพิษทางอากาศ (Air Pollution) เป็นภาวะของอากาศที่มีสารพิษเจือปนอยู่ใน

ปริมาณที่มากพอ และเป็นระยะเวลานานพอที่จะทําใหเกิดผลเสียต่อสุขภาพอนามัย หน่วยงาน ที่ทําการตรวจวัดคุณภาพอากาศไดกําหนดสารมลพิษอากาศหลัก ไดแก่ ฝุนละออง (SPM) ตะกั่ว (Pb) กาซคาร์บอนมอนอกไซด์ (CO) กาซซัลเฟอร์ไดออกไซด์ (SO2) และกาซออกไซด์ ของไนโตรเจน (NOx) โดยสุ่มตรวจกลุ่มตัวอย่างอากาศ พบว่า 1 ใน 5 ของกลุ่มตัวอย่างจะเป็น อากาศที่มีสารมลพิษเหล่านี้เจือปน จงหา 1. ความน่าจะเป็นที่พบตัวอย่างอากาศที่มีสารมลพิษเจือปนเป็นตัวอย่างที่ 3 จากการ ตรวจสอบทั้งหมด 10 ตัวอย่าง 2. โดยเฉลีย่ ตองตรวจสอบตัวอย่างอากาศเท่าไร จึงจะพบอากาศทีม่ สี ารมลพิษเจือปนเป็น ตัวอย่างที่ 4

วิธีทํา กําหนดให X = จํานวนตัวอย่างอากาศทีต่ รวจสอบจนพบสารมลพิษเจือปนเป็นตัวอย่างที่ 3 x = 3, 4, 5, …. 1. ความน่าจะเป็นที่พบตัวอย่างอากาศที่มีสารมลพิษเจือปนเป็นตัวอย่างที่ 3 จากการ ตรวจสอบทั้งหมด 10 ตัวอย่าง 1

2

3

...... 9

10

สารมลพิษตัวที่ 3

มีสารมลพิษ 2 ตัว จากการตรวจสอบทั้งหมด 10 ตัวอย่าง (x = 10) พบสารมลพิษเป็นตัวอย่างที่ 3 (k = 3) 10 – 1 X ~ b*(10; 3, 0.20) = 3 – 1 (0.20)3(0.80)10 – 3 = 0.0604

( ) 

หรือหาไดจาก NEGBINOMDIST(10 – 3, 3, 0.20) = 0.0604

142

สถิติวิศวกรรม

2. ตรวจสอบตัวอย่างอากาศโดยเฉลีย่ กีต่ วั อย่าง จึงจะพบอากาศทีม่ สี ารมลพิษเจือปนเป็น ตัวอย่างที่ 4 E(X) = m  = pk 4 = 20 ตัวอย่าง = 0.20 1

2

3

...... 19

20

สารมลพิษตัวที่ 4

มีสารมลพิษ 3 ตัว

6. การแจกแจงพหุนาม (Multinomial Distribution) รูปแบบทั่วไปของการทดลองพหุนาม คือ 1. ในการทดลอง 1 ครั้ง มีผลลัพธ์ได k แบบ คือ E1, E2, …, Ek 2. ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ E1, E2, …, Ek มีค่าเป็น p1, p2, …, pk ตามลําดับ 3. การทดลองแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน 4. ทําการทดลองทั้งหมด n ครั้ง 5. ผลการทดลอง n ครั้ง มี E1 เกิดขึ้น x1 ครั้ง, E2 เกิดขึ้น x2 ครั้ง, … , Ek เกิดขึ้น xk ครั้ง ใหตัวแปรสุ่ม X1, X2, …, Xk แทนจํานวนครั้งที่ไดผลการทดลอง E1, E2, …, Ek จากการ ทดลองทั้งหมด n ครั้ง เป็นตัวแปรสุ่มพหุนามที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มเรียก ว่า การแจกแจงพหุนาม แทนดวย f(x1, x2, …, xk; p1, p2, …, pk, n) ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มคือ f(x) = f (x1, x2, …, xk; p1, p2, …, pk, n) n = x , x , …, x p1x1 p2x2 … pkxk 1 2 k

( )  = ( n! ) p1x1 p2x2 … pkxk x1! x2!...xk!

บทที่ 5 การแจกแจงความนาจะเปนแบบไมตอเนื่อง

143

k

โดยที่

xi = n S i=1

และ

pi = 1 S i=1

k

ค่าเฉลี่ย m และความแปรปรวน s2 ของการแจกแจงพหุนามคือ mi = E(Xi) = npi และ s2i = V(Xi) = npi(1 – pi)

ตัวอย่างที่ 5.6 หน่วยซ่อมบํารุงเครื่องจักรของโรงงานแห่งหนึ่ง บันทึกสาเหตุของเครื่องจักรเสีย แบ่งเป็น 3 สาเหตุหลักคือ จากระบบไฟฟา จากระบบเครื่องกล และจากการใชงานของพนักงาน โดยมีสัดส่วนของโอกาสที่พบ 0.2, 0.5 และ 0.3 ตามลําดับ ถาวิศวกรซ่อมบํารุงตองการวางแผน ซ่อมเครื่องจักรที่จะเสียจํานวน 10 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่แผนซ่อมจะมีการรองรับเครื่องจักร เสียจากสาเหตุระบบไฟฟา 3 ครั้ง ระบบเครื่องกล 5 ครั้ง และ 2 ครั้งจากการใชงาน

วิธีทํา กําหนดให X1 = จํานวนครั้งที่เครื่องจักรเสียจากระบบไฟฟา; p1 = 0.20 X2 = จํานวนครั้งที่เครื่องจักรเสียจากระบบเครื่องกล; p2 = 0.50 X3 = จํานวนครั้งที่เครื่องจักรเสียจากการใชงานของพนักงาน; p3 = 0.30 X ~ f(3, 5, 2; 0.20, 0.50, 0.30, 10) = =

( 3,105, 2 ) (0.20)3(0.50)5(0.30)2 ( 3!10!5! 2! ) (0.20)3(0.50)5(0.30)2

= 0.057 โดยที่ และ

3

xi = 3 + 5 + 2 = 10 S i=1 3

pi = 1 S i=1

144

สถิติวิศวกรรม

7. การแจกแจงไฮเพอร์จีออเมตริก (Hypergeometric Distribution) รูปแบบทั่วไปของการทดลองไฮเพอร์จีออเมตริก คือ 1. มีของทั้งหมด N รายการ 2. มีอยู่ k รายการที่จําแนกไวในพวกที่เรียกว่าความสําเร็จ 3. มีอยู่ N – k รายการที่จําแนกไวในพวกที่เรียกว่าความลมเหลว 4. ทําการทดลอง โดยการสุ่มตัวอย่างสิ่งของออกมาพรอมกัน n รายการ N

n k

x

รูปที่ 5.5 การทดลองสุ่มตัวอย่างสิ่งของ n รายการ จากทั้งหมด N รายการ

X เป็นตัวแปรสุ่มแทนจํานวนความสําเร็จ จากการสุ่มตัวอย่าง n รายการ เรียกว่า ตัวแปร สุ่มไฮเพอร์จีออเมตริก การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X เรียกว่า การแจกแจง ไฮเพอร์จีออเมตริก แทนดวย h(x; N, n, k) ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X คือ k N–k n–x ; x = 0, 1, 2, …, n หรือ k f(x) = h(x; N, n, k) = x N n จํานวนของความสําเร็จ x อาจมีคา่ เป็น n หรือเป็น k นัน้ ขึน้ อยูก่ บั สถานการณ์ ตัวอย่างเช่น กรณีที่ 1 ถาความสําเร็จ k ≥ n; x มีค่าตั้งแต่ 0, 1, 2,…, n

( )( ) ( )

k = 10

n=5

∴

x = 0, 1, 2, …, 5

กรณีที่ 2 ถาความสําเร็จ k < n; x มีค่าตั้งแต่ 0, 1, 2, …, k k=3

n = 12

∴

x = 0, 1, 2, 3

บทที่ 5 การแจกแจงความนาจะเปนแบบไมตอเนื่อง

f(x)

145

N = 500, k = 50, n = 30 N = 500, k = 100, n = 30 N = 500, k = 250, n = 30

0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0

5

10

15 (ก)

x

20

f(x)

N = 500, k = 50, n = 50 N = 500, k = 50, n = 100 N = 500, k = 50, n = 250

0.2 0.15 0.1 0.05

0

10

20

(ข)

30

x

รูปที่ 5.6 ฮิสโตแกรมของการแจกแจงไฮเพอร์จีออเมตริก ที่มา : http : //cs.swan.ac.uk/~csoliver/ok-sat-library

จากรูปที่ 5.6 เมื่อ n คงที่ ขณะที่ k เพิ่มขึ้น (หรือ k คงที่ ขณะที่ n เพิ่มขึ้น) กราฟจะ เปลี่ยนรูปจากเบขวามาเป็นสมมาตร ดวยค่าความน่าจะเป็นที่ลดลง

146

สถิติวิศวกรรม

ค่าเฉลี่ย m และความแปรปรวน s2 ของการแจกแจงไฮเพอร์จีออเมตริก คือ  

m

และ ไดดังนี้

s2

= nk N

(

= NN –– n1 n Nk 1 – Nk

)

สามารถใชฟังก์ชันในเอกซ์เซล หาค่าความน่าจะเป็นของการแจกแจงไฮเพอร์จีออเมตริก

HYPERGEOMDIST (x, n, k, N) สําหรับการคํานวณฟังก์ชันความน่าจะเป็น (pdf) ของ การแจกแจงไฮเพอร์จีออเมตริก h(x; N, n, k) เช่น h(1; 20, 4, 8) =

( 81 )( 204 ––18 ) = HYPERGEOMDIST (1, 4, 8, 20) = 0.3633 ( 204 )

ตัวอย่างที่ 5.7 Absorption Chiller เป็นระบบทําความเย็นที่อาศัยพลังงานความรอนในการขับ

เครื่องทําความเย็นใหทํางาน ในการผลิต Absorption Chiller ตามคําสั่งซื้อของลูกคาจํานวน 15 เครื่อง ทราบจากขอมูลในอดีตว่ามี Absorption Chiller ที่ไม่ไดตามมาตรฐานอยู่ 2 เครื่อง วิศวกร ตรวจสอบคุณภาพไดทาํ การสุม่ ตรวจ Absorption Chiller จํานวน 3 เครือ่ ง และจะไม่ยอมรับทัง้ หมด ถาสุ่มตรวจพบ Absorption Chiller ที่ไม่ไดตามมาตรฐาน จงหาความน่าจะเป็นที่ Absorption Chiller จะไม่ถูกส่งใหกับลูกคา

วิธีทํา กําหนดให X = จํานวน Absorption Chiller ที่ไม่ไดตามมาตรฐานจากการสุ่มตรวจสอบ 3 เครื่อง N = 15 k=2

n=3 x

รูปที่ 5.7 การสุ่มตรวจ Absorption Chiller

บทที่ 5 การแจกแจงความนาจะเปนแบบไมตอเนื่อง

147

เนื่องจาก k < n ดังนั้น x มีค่าสูงสุดเท่ากับ k นั่นคือ x = 0, 1, 2 X ~h(x; 15, 3, 2) =

( 2x )( 153 –– x2 ) ( 153 )

ความน่าจะเป็นที่ Absorption Chiller จะไม่ถูกส่งใหลูกคา เมื่อตรวจพบว่าไม่ไดมาตรฐาน ตั้งแต่ 1 เครื่องขึ้นไป ∴

P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0) =

2 15 – 2 ( )( 3 – 0 ) 1– 0 ( 153 )

= 1 – 0.6286 = 0.3714

สําหรับ P(X = 0) หาไดจาก HYPERGEOMDIST (0, 3, 2, 15) = 0.6286

การประมาณการแจกแจงแบบไฮเพอร์จีออเมตริก ดวยการแจกแจงทวินาม

การแจกแจงแบบทวินามและการแจกแจงแบบไฮเพอร์จอี อเมตริก เป็นการแจกแจงของตัวแปร สุม่ ทีไ่ ดมาจากการทดลองแบร์นลู ลี แต่มคี วามแตกต่างกันคือ การแจกแจงแบบทวินามทําการทดลอง มาจากประชากรแบบอนันต์ (หรือทดลองดวยการแทนที่ (With Replacement)) แต่การแจกแจง แบบไฮเพอร์จีออเมตริกจะทดลองมาจากประชากรแบบจํากัด (หรือการทดลองแบบไม่แทนที่ (Without Replacement)) ถาจํานวนตัวอย่างที่สุ่ม n มีขนาดเล็กมากเมื่อเทียบกับประชากรที่มี ขนาด N (ดวยเงื่อนไข n/N ≤  0.10) การสุ่มแบบแทนที่กับแบบไม่แทนที่จะไดผลลัพธ์ที่ไม่แตก ต่างกันมากนัก กล่าวไดว่า การแจกแจงทวินามสามารถนําไปประมาณค่าแทนการแจกแจง ไฮเพอร์จีออเมตริกได โดยมีค่าความน่าจะเป็นของการพบความสําเร็จ p = k/N

148

สถิติวิศวกรรม

ตัวอย่างที่ 5.8 หน่วยบรรจุและขนส่งผลิตภัณฑ์สีนํ้ามัน บันทีกสถิติการขนส่งสีนํ้ามัน 5,000 แกลลอนใหกับผูคาส่ง พบว่ามี 1,000 แกลลอนที่ชํารุดเสียหาย ถามีลูกคารายหนึ่งซื้อสีนํ้ามัน 10 แกลลอนจากรานคาส่งแห่งหนึ่ง จงหาความน่าจะเป็นที่จะพบแกลลอนสีนํ้ามันที่ชํารุดเสียหาย 3 แกลลอน

วิธีทํา ลูกคาซื้อสีนํ้ามัน 10 แกลลอน จากรานคาส่งที่มีสี 5,000 แกลลอน เป็นการทดลอง ไฮเพอร์จีออเมตริก N = 5000 k = 1000

n = 10 x

รูปที่ 5.8 การจําหน่ายสีนํ้ามันใหแก่ลูกคา

เนือ่ งจาก 10 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2) –1.02 (1.02)0 e–1.02 (1.02)1 e–1.02 (1.02)2 – – = 1– e 0! 1! 2!

= 1 – 0.361 – 0.368 – 0.188 = 0.083 ดังนั้น ทีมบํารุงรักษาควรจะวางแผนการซื้อปัมสํารอง เพราะมีโอกาสสูงถึง 8.3% ที่จะพบ ปัมเสียมากกว่า 2 ตัว

ตัวอย่างที่ 5.10 ทุกๆ ครึง่ ปจะมีกจิ กรรมการบํารุงรักษาเครือ่ งทําความเย็นใหมสี มรรถนะพรอมใช

งาน โรงงานแห่งหนึง่ ตรวจพบว่าโดยเฉลีย่ จะมีเครือ่ งทําความเย็นทีม่ ชี าํ รุดจํานวน 12 เครือ่ ง จงหา 1. ความน่าจะเป็นที่จะตรวจพบเครื่องทําความเย็นชํารุด 25 เครื่องในระยะเวลา 1 ป 2. ความน่าจะเป็นที่จะตรวจพบเครื่องทําความเย็นชํารุดอย่างนอย 4 เครื่องทุก 3 เดือน 3. ความน่าจะเป็นที่ ไม่ พบเครื่องทําความเย็นชํารุดในรอบ 3 เดือน

วิธีทํา กําหนดให X = จํานวนเครื่องทําความเย็นที่ชํารุดในการตรวจทุกครึ่งป; x = 0, 1, …                  m   =

12 เครื่องในรอบครึ่งป

บทที่ 5 การแจกแจงความนาจะเปนแบบไมตอเนื่อง

153

1. ความน่าจะเป็นที่จะตรวจพบเครื่องทําความเย็นชํารุด 25 เครื่องในระยะเวลา 1 ป ถา X = จํานวนเครื่องทําความเย็นที่ชํารุดต่อป m

= 12(2) = 24 เครื่องต่อป

 ∴    P(X = 25)

–24 25 = p(25; 24) = e (24) 25!

= 0.0779 สําหรับ p(25 ; 24) หาไดจาก POISSON (25, 24, FALSE) 2. ความน่าจะเป็นที่ตรวจพบเครื่องทําความเย็นชํารุดอย่างนอย 4 เครื่องทุก 3 เดือน ถา X = จํานวนเครื่องทําความเย็นที่ชํารุดทุก 3 เดือน = 12 2 = 6 เครื่องต่อ 3 เดือน ∴     P(X ≥ 4) = 1 – P(X ≤ 3)

           m

3 –6 x = 1 – P(3; 6) = S e x!6 = 1 – 0.151 = 0.849 x=0

สําหรับ P(3; 6) หาไดจาก POISSON (3, 6, TRUE) หรือจากตารางความน่าจะเป็น สะสมของปัวส์ซอง 3. ความน่าจะเป็นที่ ไม่ พบเครื่องทําความเย็นชํารุดในรอบ 3 เดือน –6 0 P(X = 0) = p(0; 6) = e (6) 0! = 0.002 สําหรับ p(0; 6) หาไดจาก POISSON (0, 6, FALSE) หรือจากตารางความน่าจะเป็น สะสมของปัวส์ซอง P(0; 6)

154

สถิติวิศวกรรม

การประมาณการแจกแจงแบบทวินามดวยการแจกแจงปัวส์ซอง สามารถใชการแจกแจงปัวส์ซองมาประมาณแทนการแจกแจงทวินามได เมื่อ n → ∞ และ p →  0 หรือ 1 โดยที่ np มีค่าคงที่ ดังนั้น ดวยเงื่อนไข n ≥  20, np ≤  1 หรือ n ≥  50, np ≤  5 หรือ n ≥ 100, np ≤ 10 จะใชการแจกแจงปัวส์ซองแทนดวย m = np

ตัวอย่างที่ 5.11 รอยเชื่อมของท่อส่งนํ้ามันจะถูกตรวจสอบดวยระบบเอ็กซเรย์เพื่อหารอยรั่วที่

อาจเกิดขึ้น ในการเชื่อมท่อส่งนํ้ามันสายหนึ่งพบว่ามีโอกาสที่จะพบรอยรั่ว 0.001 ถาหากมีการ เชือ่ มท่อส่งนํา้ มันทัง้ หมด 4, 000 จุด จงหาความน่าจะเป็นทีจ่ ะพบรอยรัว่ จากการเชือ่ มไม่เกิน 6 จุด

วิธีทํา รอยรัว่ จากการเชือ่ มท่อส่งนํา้ มันเป็นการทดสองแบบทวินามดวย n = 4000 และ p = 0.001 แต่เนื่องจาก n > 100 และ np < 10 ดังนั้น b(x; 4000, 0.001) ≈  p(x; 4) อธิบายการแจกแจงทวินามแทนดวยการแจกแจงปัวส์ซอง m = 4000(0.001) = 4 ∴    P(X ≤ 6)

6 6 –4 x = P(6; 4) = S p(x; 4) = S e x!4 = 0.889 x=0 x=0

x–1 f(x) = k – 1 pkqx–k; x = k, k + 1, k + 2, … 0 ; x อื่นๆ

k = 1, 2, … 0 0, เมื่อ

λ>0

คือ จํานวนเหตุการณโดยเฉลี่ยที่เกิดขึ้นตอหนวยเวลา x คือ ชวงเวลาระหวางเหตุการณ x x x

λ

1

2

x=x

ฟงกชันความนาจะเปนสะสม F(x) = P(X ≤ x) = ∫x=0

3

λe–λx dx

x4

= 1 – e–λx

บทที่ 6 การแจกแจงความนาจะเปนแบบตอเนื่อง

177

f(x) 4 λ=4

3 2

λ=2

1 0

λ=1

x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 รูปที่ 6.13 กราฟความนาจะเปนของการแจกแจงเอกซโปเนนเชียล ที่มา : Navidi. 2008. 0

จากรูปที่ 6.13 สําหรับพารามิเตอรของการแจกแจงเอกซโปเนนเชียล เมื่อ λ มีคาใดๆ ก็ตาม พบวากราฟจะเปนรูปทรงเบ (ไมสมมาตร) คาเฉลี่ย µ และความแปรปรวน σ2 ของการแจกแจงเอกซโปเนนเชียล exp(x; λ) คือ 1 µ = λ

และ

σ2

=

1

λ2

คาเฉลี่ยและความแปรปรวนของการแจกแจงเอกซโปเนนเชียล มีที่มาจากหลักการ E(X) และ V(X) อธิบายไดดังนี้ ∞ ∞ ∞ E(X) = xλe–λx dx = –xe–λx + e–λx dx = 1

∫0

และ

( )2

∞ V(X) = ∫ 0 x2 λe–λx dx – λ1

|0 ∫0

( )2 =

∞ ∞ = [–x2e–λx | 0 + 2∫ 0 xe–λx dx] – λ1

λ

1

λ2

นอกจากนี้ สามารถใชฟงกชันในเอกซเซล หาคาความนาจะเปนของการแจกแจงเอกซ– โปเนนเชียลไดดังนี้

178

สถิติวิศวกรรม

การแจกแจงเอกซโปเนนเชียล EXPONDIST(x, λ, FALSE) สําหรับฟงกชนั ความนาจะเปน f(x) และ EXPONDIST(x, λ, TRUE) สําหรับฟงกชันความนาจะเปนสะสม F(x) เชน ถา X ∼ exp (x; 1.6) ดังนั้น EXPONDIST(3, 1.6, FALSE) = P(X = 3) = 0.0132 และ EXPONDIST(3, 1.6, TRUE) = P(X ≤ 3) = 0.9918

ตัวอยางที่ 6.6 ในการสํารวจซากเรือทีจ่ มใตมหาสมุทร ทีมสํารวจจะใชคลืน่ โซนารในการตรวจจับ วัตถุที่อยูตามพื้นมหาสมุทร จากประสบการณของกับตันเรือพบวา โดยเฉลี่ยในการพบซากเรือ จะใชเวลา 20 วัน ซึ่งระยะเวลาในการคนหาซากเรือมีการแจกแจงแบบเอกซโปเนนเชียล ถาระยะ เวลาคนหาซากเรือพบภายใน 1 สัปดาหจะสามารถลดคาใชจาย ในขณะที่จะยกเลิกการสํารวจถา ใชเวลาอยางมากไมเกิน 4 สัปดาห ใหศกึ ษาถึงลักษณะการแจกแจงของเวลาในการสํารวจซากเรือ

วิธีทํา กําหนดให T แทนเวลาในการสํารวจซากเรือ (วัน) T ∼ exp(t; λ) 1 λ = โดย t 1 = 0.05 ซากเรือ/วัน = 20 ดังนั้น ลักษณะการแจกแจงของ T คือ f(t) = 0.05e–0.05t ; t > 0 โอกาสที่ทีมสํารวจจะไดรับเงินโบนัส P(T ≤ 7) = F(7) = 1 – e–0.05(7) = 0.3 หรือคํานวณจาก EXPONDIST(7, 0.05, TRUE) = 0.2953 โอกาสที่จะลมเหลวในการสํารวจ P(T ≥ 28) = 1 – F(28) = e–0.05(28) = 0.25

บทที่ 6 การแจกแจงความนาจะเปนแบบตอเนื่อง

179

f(x)=0.05e–0.05x ความนาจะเปนที่จะไดโบนัส = 0.30

ความนาจะเปนที่จะลมเหลว = 0.25

7

20 28

40

60

x

รูปที่ 6.14 ความนาจะเปนของเวลาที่ใชในการสํารวจซากเรือ ที่มา : Hayter. 2002.

ตัวอยางที่ 6.7 พนักงานของดานเก็บคาผานทางแหงหนึ่ง รวบรวมเวลาระหวางรถยนตแตละ คันรอจายเงินคาผานทาง พบวามีการแจกแจงเอกซโปเนนเชียลดวยเวลาเฉลี่ย 12 s ถากําหนด เวลามาตรฐานในการรอไววาไมควรเกิน 10 s/คัน ในจํานวนรถที่รอในแถวคอยจํานวน 8 คัน จงหาความนาจะเปนที่จะมีรถไมตํ่ากวา 3 คันที่ใชเวลารอเปนไปตามมาตรฐานที่กําหนด

วิธีทํา กําหนดให X แทนชวงเวลาที่รถยนตรอจายเงินคาผานทาง ชวงเวลาในการรอคอยมีการแจกแจงเอกซโปเนนเชียลดวยเวลาเฉลี่ย 12 s/คัน หรือ 1 λ = X 1 = 0.083 s/คัน = 12 ดังนั้น

X

∼

(

1 exp x; 12

)

ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนคือ f(x) = 0.083e–0.083x ; x > 0

180

สถิติวิศวกรรม

ความนาจะเปนที่รถยนตรอไมเกิน 10 s = P(X ≤ 10) = ∫ 10 0.083e–0.083x dx x=0 = 1 – e–0.083(10) = 0.564 หรือคํานวณจาก EXPONDIST(10, 0.083, TRUE) = 0.564 ในจํานวนรถยนต 8 คัน ถาจะหาความนาจะเปนที่มีรถยนตรอในแถวคอยไมเกิน 10 s อยางนอย 3 คันนั้น สามารถประยุกตใชการแจกแจงทวินาม นั่นคือ n=8 p = ความนาจะเปนที่มีรถรอในแถวคอยไมเกิน 10 s = 0.564 q = ความนาจะเปนที่มีรถรอในแถวคอยมากกวา 10 s = 1 – 0.564 = 0.436 และ Y เปนตัวแปรสุมทวินาม แทนจํานวนรถยนตที่รอไมเกิน 10 s; y = 0, 1, …, 8 Y ~ b (y; 8, 0.564) ดังนั้น ความนาจะเปนที่มีรถยนตรอไมเกิน 10 s อยางนอย 3 คันคือ P(Y ≥ 3) = 1 – P(Y = 0) – P(Y = 1) – P(Y = 2) 8 8 8 = 1 – 0 (0.564)0(0.436)8 – 1 (0.564)1(0.436)7– 2 (0.564)2(0.436)6 = 1 – 0.0013 – 0.0135 – 0.0612 = 0.924

()

()

()

3.1 ความสัมพันธระหวางตัวแปรสุมเอกซโปเนนเชียลและปวสซอง

“ถาจํานวนเหตุการณ X เปนตัวแปรสุม ไมตอ เนือ่ งแบบปวสซองทีม่ พี ารามิเตอร µ ตอหนวย เวลาแลว จํานวนหนวยเวลาระหวางการเกิดเหตุการณแตละครั้งจะเปนตัวแปรสุมตอเนื่องแบบ เอกซโปเนนเชียลที่มีพารามิเตอร λ” ซึ่ง µ ของการแจกแจงปวสซองเปนพารามิเตอรเดียวกับ λ ของการแจกแจงเอกซโปเนนเชียล จากรูปที่ 6.15 แสดงความสัมพันธระหวางตัวแปรสุมเอกซโปเนนเชียลและปวสซอง โดย กําหนดให X แทนเวลาระหวางเหตุการณ ซึ่งมีการแจกแจงแบบเอกซโปเนนเชียล X ~ exp(x; λ) ขณะที่ในสถานการณเดียวกัน ถาสนใจศึกษา Y แทนจํานวนเหตุการณในชวงเวลาหนึ่ง จะมี การแจกแจงแบบปวสซอง Y ~ p(y; µ) โดยคาพารามิเตอรของการแจกแจงทั้งสองแบบเปน คาเดียวกัน (λ = µ)

บทที่ 6 การแจกแจงความนาจะเปนแบบตอเนื่อง

181

ตัวอยางเชน ถาจํานวนลูกคาทีม่ ารับการบริการเปนการแจกแจงแบบปวสซองแลว จะไดวา เวลาระหวางลูกคาเขามารับการบริการดังกลาวจะเปนการแจกแจงแบบเอกซโปเนนเชียล e –µ . µ y เหตุการณ (ตัวแปรสุมปวสซอง f(y) = y! )

x1

x2

x3

x4

x5

เวลา

ตัวแปรสุมเอกซโปเนนเชียล f(x) = λe–λx

รูปที่ 6.15 ความสัมพันธระหวางการแจกแจงปวสซองและเอกซโปเนนเชียล ที่มา : Hayter. 2002.

ตัวอยางที่ 6.8 วิศวกรโรงงานประกอบตัวถังรถยนต ศึกษาอัตราการเขามาของวัตถุดิบคือ

เหล็กแผนที่ถูกนํามาตัดเปนขนาดตางๆ กอนจะถูกปอนเขาสายการประกอบ พบวาโดยเฉลี่ย จะมีเหล็กแผนจํานวน 96 แผน/hr ถูกสงเขามา ซึ่งจากขอมูลในอดีตทราบวามีการแจกแจงแบบ ปวสซอง จงหา 1. ความนาจะเปนที่อัตราการเขามาของเหล็กแผนมากกวา 3 min 2. ความนาจะเปนที่พบเหล็กแผนจํานวน 16 แผนที่เขามาในระยะเวลา 15 min

วิธีทํา

1. ความนาจะเปนที่อัตราการเขามาของเหล็กแผนมากกวา 3 min กําหนดให T แทนระยะเวลาที่เหล็กแผนถูกสงเขามา (min/แผน) t = 60 96 = 0.625 min/แผน 1 λ = 0.625 = 1.6 min/แผน ดังนั้น T

∼

exp(t; 1.6) P(T ≥ 3) = 1 – P(T < 3) = 1 – F(3) = e–1.6(3) = 0.008

182

สถิติวิศวกรรม

2. ความนาจะเปนที่พบเหล็กแผนจํานวน 16 แผนที่เขามาในระยะเวลา 15 min กําหนดให X แทนจํานวนเหล็กแผนที่ถูกปอนเขาตอนาที (แผน/min) ดังนั้น ระยะเวลา 15 min จํานวนเหล็กแผนเฉลี่ย จะได

µ

=

X

∼

= 1.6 × 15 = 24 แผน p(x; 24) λ

–24(2416) P(X = 16) = e 16! = 0.022

ตัวอยางที่ 6.9 รอยหยักที่เกิดตามขอบเหล็กแทงความยาว 10 m โดยเฉลี่ยจะพบ 42 แหง

ซึ่งจะทําใหเกิดชองวางระหวางรอยหยักรวม 43 ชอง ความยาวเฉลี่ยของแตละชองเทากับ 10/43 = 0.23 m ถาวิศวกรคาดวารอยหยักบนแทงเหล็กมีการแจกแจงแบบปวสซองดวยคาเฉลี่ย λ = 1/0.23 = 4.3 แหง/m ซึ่งเปนความยาวเฉลี่ยของชองวางระหวางรอยหยักที่ติดกัน จงหา 1. ความนาจะเปนที่พบชองวางระหวางรอยหยักหางกันไมเกิน 10 cm 2. ความนาจะเปนที่จะพบรอยหยักอยางนอย 2 แหงบนแทงเหล็กยาว 25 cm ชองวางระหวางรอยหยัก

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

ตัวแปรสุมเอกซโปเนนเชียล λ = 4.3 25 cm

จํานวนของรอยหยัก Y ~ p(1.075)

รูปที่ 6.16 ความสัมพันธระหวางการแจกแจงเอกซโปเนนเชียลและการแจกแจงปวสซอง ที่มา : Hayter. 2002.

บทที่ 6 การแจกแจงความนาจะเปนแบบตอเนื่อง

183

วิธีทํา

การแจกแจงเอกซโปเนนเชียลและการแจกแจงปวสซอง มีพารามิเตอรตัวเดียวกันคือ λ 1. ความนาจะเปนที่พบชองวางระหวางรอยหยักหางกันไมเกิน 10 cm กําหนดให X แทนความยาวเฉลี่ยของชองวางระหวางรอยหยัก (m/ชอง) จํานวนเฉลี่ยของรอยหยักที่พบ λ = 4.3 แหงตอเหล็กแทงยาว 1 m จะได

X ∼ exp(x; 4.3) P(X ≤ 0.10) = F(0.10) = 1 – e–4.3(0.10) = 0.35

2. ความนาจะเปนที่จะเจอรอยหยักอยางนอย 2 แหงบนแทงเหล็กยาว 25 cm กําหนดให Y แทนจํานวนรอยหยักที่พบบนแทงเหล็กยาว 1 m (แหง/m) สําหรับแทงเหล็กยาว 25 cm จํานวนเฉลี่ยของรอยหยัก λ = 4.3 × 0.25 = 1.075 แหงตอ เหล็กแทงยาว 25 cm จะได

Y ∼ p(y; 1.075) P(Y ≥ 2) = 1 – P(Y = 0) – P(Y = 1) –1.075(1.0750) e–1.075(1.0751) = 1– e – 0! 1! = 1 – 0.341 – 0.367 = 0.292

3.2 การประยุกตกับทฤษฎีความเชื่อถือได (Reliability Theory) ความนาจะเปนที่จะเกิดเหตุการณที่สนใจ x ครั้งระหวางชวงเวลา t นั้น สามารถประมาณ โดยการแจกแจงปวสซองดวยพารามิเตอร µ = αt เมื่อ µ คือคาเฉลี่ยของการแจกแจงปวสซอง และ α คือคาเฉลี่ยของจํานวนเหตุการณที่สนใจในชวงเวลาสั้นๆ ∆t ดังนั้น –αt x –µ x P(X = x) = f(x) = p(x; µ) = e µ = e x!(αt) x! ถากําหนดให R(t) เปนความเชื่อถือได (Reliability) ที่จะไมเกิดผลิตภัณฑเสียในชวง เวลา t ของผลิตภัณฑชิ้นหนึ่ง จะไดวา P(X = 0) = R(t) = e–αt

184

สถิติวิศวกรรม

เมื่อกําหนดให F(t) เปนความนาจะเปนที่ผลิตภัณฑนี้อาจจะเสียในชวงเวลาใดๆ ของ t ดังนั้น R(t) และ F(t) เปนคอมพลีเมนตซึ่งกันและกัน หรือจะไดวา R(t) = 1 – F(t) = e–αt หรือ F(t) = 1 – e–αt ดังนั้น f(t) = dtd F(t) = α e–αt ซึ่งเปนฟงกชันเอกซโปเนนเชียลดวยพารามิเตอร λ = α นั่นเอง คา λ1 เปนคาเฉลี่ยของการแจกแจงเอกซโปเนนเชียล ซึ่งแทนระยะเวลาเฉลี่ยระหวาง การเสียหาย (Mean Time Between Failures – MTBF)

ตัวอยางที่ 6.10 การเก็บสถิติการเกิดนํ้ามันรั่วไหลสูแหลงนํ้าธรรมชาติระหวางป พ.ศ. 2443 – 2553 พบวามีการรั่วไหลเกิดขึ้นบริเวณพื้นที่สํารวจ 24 ครั้ง ดวยปริมาณตั้งแต 100 lb ขึ้นไป ถาเหตุการณที่เกิดการรั่วไหลของนํ้ามันสําหรับบริเวณนี้มีการแจกแจงปวสซอง จงหาความนาจะ เปนที่จะเกิดการรั่วไหลของนํ้ามันสูแหลงนํ้าธรรมชาติภายใน 5 ปขางหนา

วิธีทํา

คาเฉลี่ยจํานวนครั้งที่เกิดนํ้ามันรั่วไหลสูแหลงนํ้าธรรมชาติตอป คือ α = 24 = 0.218 ครั้ง/ป 110 ให T เปนจํานวนปที่เกิดนํ้ามันรั่วไหลครั้งแรก ดังนั้น T มีการแจกแจงเอกซโปเนนเชียล f(t) = αe–αt = 0.218e–0.218t ดังนั้น ความนาจะเปนที่จะเกิดนํ้ามันรั่วไหลสูแหลงนํ้าธรรมชาติภายใน 5 ปคือ P(t ≤ 5) = F(t) = 1 – e–αt = 1 – e–0.218(5) = 0.664 ∴ มีโอกาสประมาณ 66.4% ที่จะเกิดนํ้ามันรั่วไหลในชวง 5 ปแรก และความนาจะเปนที่จะไมเกิดนํ้ามันรั่วไหลสูแหลงนํ้าธรรมชาติในชวง 8 ปแรกคือ P(t > 8) = R(t) = e–αt = e–0.218(8) = 0.175 ∴ มีโอกาสประมาณ 17.5% ที่จะไมเกิดนํ้ามันรั่วไหลในชวง 8 ปแรก

บทที่ 6 การแจกแจงความนาจะเปนแบบตอเนื่อง

185

ตัวอยางที่ 6.11 โซลารเซลล (Solar Cell) หรือเซลลแสงอาทิตย เปนอุปกรณที่สามารถผลิต

พลังงานไฟฟาจากแสงอาทิตยหรือแสงสวางไดโดยตรง จะใชหลักการโฟโตอิเล็กทริกของสารกึ่ง ตัวนําโดยใชการเคลื่อนของอิเล็กตรอน อายุการใชงานเฉลี่ย 22.5 ป ถาพบวาจํานวนเซลลแสง อาทิตยที่เสียมีการแจกแจงปวสซอง จงหา 1. ความนาจะเปนที่เซลลแสงอาทิตยเซลลหนึ่งจะเสียภายในเวลา 10 ปหลังการติดตั้ง 2. ความนาจะเปนที่เซลลแสงอาทิตยจะเสียกอนอายุเฉลี่ย 3. ความนาจะเปนที่เซลลแสงอาทิตยจะใชงานไดอยางตํ่า 35 ป

วิธีทํา คาเฉลี่ยอายุการใชงานของเซลลแสงอาทิตย 1 เซลล = 22.5 ป ∴

อัตราการเสีย =

α

=

1 = 0.04 เซลล/ป 22.5

ให T เปนอายุเซลลแสงอาทิตย ดังนั้น T มีการแจกแจงเอกซโปเนนเชียล f(t) =

α e–αt

= 0.04e–0.04t

1. ความนาจะเปนที่เซลลแสงอาทิตยเซลลหนึ่งจะเสียภายในเวลา 10 ปหลังการติดตั้ง P(t ≤ 10) = F(t) = 1 – e–αt = 1 – e–0.04(10) = 0.33 ∴ มีโอกาสประมาณ 33% ทีเ่ ซลลแสงอาทิตยตวั หนึง่ จะเสียภายใน 10 ปแรกของการติดตัง้

2. ความนาจะเปนที่เซลลแสงอาทิตยจะเสียกอนอายุเฉลี่ย P(t ≤ 22.5) = F(t) = 1 – e–αt ∴

= 1 – e–0.04(22.5) = 0.593 มีโอกาสประมาณ 59.3% ที่เซลลแสงอาทิตยจะเสียกอนอายุเฉลี่ย

186

สถิติวิศวกรรม

3. ความนาจะเปนที่เซลลแสงอาทิตยจะใชงานไดอยางตํ่า 35 ป P(t ≥ 35) = R(t) = e–αt ∴

= e–0.04(35) = 0.247 มีโอกาสประมาณ 24.7% ที่เซลลแสงอาทิตยเซลลหนึ่งจะใชงานไดอยางตํ่า 35 ป

4. การแจกแจงแกมมา (Gamma Distribution) การแจกแจงแกมมาเปนการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมที่มีลักษณะไมสมมาตร (มีความเบ) พบการประยุกตใชการแจกแจงแบบนี้ในทฤษฎีความเชื่อถือได (Reliability Theory) ถากําหนดใหการแจกแจงของตัวแปรสุมตอเนื่อง X เปนแบบแกมมา X ∼ G(x; k, λ) จะมี ฟงกชันความนาจะเปน f(x) = เมื่อ

λk xk–1 e–λx Γ(k)

; x > 0, λ > 0

คือ จํานวนเหตุการณโดยเฉลี่ยที่เกิดขึ้นตอหนวยเวลา x คือ เวลาที่ทําใหเกิดเหตุการณจํานวน k เหตุการณ

λ

Γ(k)

∞

= ∫ xk–1 e–x dx = (k – 1) Γ(k – 1); k 0

>

1

ถา n เปนจํานวนเต็มบวก จะได Γ(n) = (n – 1)! ตัวแปรสุมแบบแกมมาจะมีพารามิเตอร k, λ ซึ่งพารามิเตอร k จะมีผลตอรูปทรงของ การแจกแจงความนาจะเปน จึงเรียกชื่อวา พารามิเตอรดานรูปทรง (Shape Parameter) และ เรียกพารามิเตอร λ วา พารามิเตอรดานสเกล (Scale Parameter)

บทที่ 6 การแจกแจงความนาจะเปนแบบตอเนื่อง

187

f(x) 1.0

λ=1, k=1

0.5 λ=1, k=3 λ=1, k=5

2.5

5.0

7.5

10.0

x

รูปที่ 6.17 ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมแบบแกมมา เมื่อ λ = 1 ที่มา : Hayter. 2002.

คาเฉลี่ย µ และความแปรปรวน σ2 ของการแจกแจงแกมมา G(x; k, λ) คือ µ

และ ดังนี้

σ2

= λk =

k

λ2

นอกจากนี้ สามารถใชฟงกชันเอกซเซลหาคาความนาจะเปนของการแจกแจงแกมมาได

การแจกแจงแกมมา GAMMADIST(x, k, 1/λ, FALSE) สําหรับฟงกชันความนาจะเปน f(x) และ GAMMADIST(x, k, 1/λ, TRUE) สําหรับฟงกชันความนาจะเปนสะสม F(x) เชน ถา X ∼ G(x; 1.5, 0.2) ดังนั้น GAMMADIST(10, 1.5, 1/0.2, FALSE) = P(X = 10) = 0.0432 และ GAMMADIST(10, 1.5, 1/0.2, TRUE) = P(X ≤ 10) = 0.7385

188

สถิติวิศวกรรม

ตัวอยางที่ 6.12 จากตัวอยางที่ 6.8 ถาวิศวกรโรงงานสนใจศึกษาการปอนเหล็กแผนจํานวน 20

แผนเขาสูสายการประกอบวาใชเวลานานเทาไรภายใตกระบวนการปวสซอง เวลาที่ใชในการคอย เหล็กแผนปอนเขาสูสายการประกอบ (X) จะมีการแจกแจงแบบแกมมาดวยพารามิเตอร k = 20 และ λ = 1.6 จงหาคาเฉลี่ย และคาเบี่ยงเบนมาตรฐานของเวลารอคอย X

วิธีทํา กําหนดให X แทนเวลารอคอยการปอนเหล็กแผนเขากระบวนการผลิต X ~ G (x; 20, 1.6) E(X) = µ = k λ

20 = 12.5 min = 1.6 Var(X) = σ2 = k2 λ

= ดังนั้น

SD(X) =

20 = 7.81 min2 (1.6)2 σ

=

7.81 = 2.80 min

f(x) E(X) = 12.5 นาที การแจกแจงแกมมา k = 20, λ = 1.6

σ = 2.80 min σ = 2.80 min

5

10

15

20

x

รูปที่ 6.18 การแจกแจงแกมมาของเวลารอคอยการปอนเหล็กแผน ที่มา : Hayter. 2002.

บทที่ 6 การแจกแจงความนาจะเปนแบบตอเนื่อง

189

นอกจากนี้ สามารถหาคาความนาจะเปนสะสม (cdf) ไดดังนี้ F(17.42) = GAMMADIST(17.42, 20, 1/1.6, TRUE) = 0.95 มีโอกาส 95% ที่ เหล็กแผน 20 แผนจะถูกปอนเขามาภายใน 17.42 นาที

ความสัมพันธระหวางตัวแปรสุม แบบแกมมาและแบบเอกซโปเนนเชียล เมื่อ k = 1 การแจกแจงแบบแกมมาจะกลายเปนการแจกแจงแบบเอกซโปเนนเชียล นั่นคือ f(x) =

λ1 x1–1 e–λx Γ(1)

= λe–λx

นอกจากนี้ ถาตัวแปรสุม X เปนผลรวมของตัวแปรสุม k ตัวที่มีความเปนอิสระตอกัน โดยที่แตละตัวแปรสุม (Xi) มีการแจกแจงแบบเอกซโปเนนเชียลที่มีพารามิเตอร λ แลวจะไดวา X เปนตัวแปรสุมแบบแกมมาที่มีพารามิเตอร λ และ k นั่นคือ X = X1 + X2 + … + Xn

ตัวอยางที่ 6.13 ในการทํางานของระบบควบคุมระบบหนึ่ง จะมีหนวย 1 เปนหนวยทํางาน

หลัก ขณะที่หนวย 2 และหนวย 3 จะเปนหนวยสํารองที่จะทํางานแทนกรณีหนวยหลักเสีย เชน ถาหนวย 1 เสีย หนวย 2 จะทํางานแทน และถาหนวย 2 เสีย หนวย 3 จะทํางานแทน โดยที่มี Decision Switch (DS) เปนสวิตชควบคุม ดังรูปที่ 6.19 ถากําหนดใหการทํางานของสวิตชควบคุม DS อยูในสภาพสมบูรณ ระบบควบคุมนี้จะมีอายุงาน X = X1 + X2 + X3 โดยที่อายุงานของแตละ หนวย Xi เมื่อ i = 1, 2, 3 มีการแจกแจงแบบเอกซโปเนนเชียลเทากับ f(xi) = (1/100)e–(xi/100); xi ≥ 0 จงหาฟงกชันความนาจะเปนของผลรวม X หนวย 1 DS

หนวย 2 หนวย 3

รูปที่ 6.19 ระบบควบคุม ที่มา : Hines et al. 2003.

190

สถิติวิศวกรรม

วิธีทํา ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนของหนวยยอย f(xi) กําหนดใหเปนการแจกแจงแบบ เอกซโปเนนเชียล ดังนั้น อายุงานของระบบควบคุม X จะมีการแจกแจงแบบแกมมาที่ k = 3 และ λ = 1/100 = 0.01 ซึ่งจะมีฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนของผลรวม X คือ (0.01x)3 – 1 e–0.01x ; x > 0 f(x) = 0.01 Γ(3) นอกจากนี้ ความนาจะเปนที่จะพบระบบควบคุมนี้ทํางานอยางนอย x ชั่วโมง จะหาไดจาก ฟงกชันความเชื่อถือได (Reliability Function – R(x)) k 2 R(x) = 1 – F(x) = Σ e–0.01x (0.01x) k! k=0 2 = e–0.01x [1 + (0.01x) + (0.01x) 2

5. การแจกแจงไวบูลล (Weibull Distribution) การแจกแจงไวบูลลเปนการแจกแจงที่ใชศึกษาเรื่องเวลาสึกหรอ (Time Until Failure) ของอุปกรณทางกลหรืออิเล็กทรอนิกส และเวลารอคอย (Waiting Time) ถากําหนดให X เปน ตัวแปรสุมแบบไวบูลลแลว จะมีฟงกชันความนาจะเปนคือ f(x) = โดยที่

δ β

β δ

( δx ) –1 exp – ( δx ) β

β

; x>0

β, δ > 0

คือ พารามิเตอรกําหนดสเกล (Scale Parameter) คือ พารามิเตอรกําหนดรูปทรง (Shape Parameter) ถาคา β = 1 การแจกแจง ไวบูลลจะเหมือนกับการแจกแจงแบบเอกซโปเนนเชียล

บทที่ 6 การแจกแจงความนาจะเปนแบบตอเนื่อง

191

f(x) 1 β = 1, δ = 1 (เอกซโปเนนเชียล) β = 2, δ = 1

0.5

β = 2, δ = 0.5

0

5

f(x)

10

(ก)

x

8 6

β = 10, δ = 0.5

4

β = 10, δ = 1

β = 10, δ = 2

2 0

0

0.5

1.0

1.5 (ข)

2.0

2.5

x

รูปที่ 6.20 ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมไวบูลล ที่มา : Devore and Farnum. 2005.

จากรูปที่ 6.20 เมื่อพารามิเตอร β และ δ มีการเปลี่ยนแปลงคา จะสงผลตอรูปทรงและการ เลื่อนสเกลของตัวแปรสุมไวบูลล

192

สถิติวิศวกรรม

ความนาจะเปนสะสม (cdf) ของการแจกแจงไวบูลล

( )

F(x) = 1 – exp – δx

β

คาเฉลี่ย µ และความแปรปรวน σ2 ของการแจกแจงไวบูลล W(x; β, δ) คือ

และ ดังนี้

µ

=

σ2

=

(1 + β1 ) 2 – δ2 Γ 1 + 1 2 δ 2 Γ (1 + ( β) β) δΓ

นอกจากนี้ สามารถใชฟง กชนั ในเอกซเซล หาคาความนาจะเปนของการแจกแจงไวบูลลได

การแจกแจงไวบูลล WEIBULL(x, β, δ, FALSE) สําหรับฟงกชันความนาจะเปน f(x) และ WEIBULL(x, β, δ, TRUE) สําหรับฟงกชันความนาจะเปนสะสม F(x) เชน ถา X ∼ W(x; 0.5, 5) ดังนั้น WEIBULL(10, 0.5, 5, FALSE) = P(X = 10) = 0.0172 และ WEIBULL(10, 0.5, 5, TRUE) = P(X ≤ 10) = 0.7569

ตัวอยางที่ 6.14 ผาเบรกรถยนตซึ่งผลิตจากวัตถุดิบชนิดใหมถูกนํามาทดสอบดวยการวิ่งใน

สภาพการจราจรจริงจนสึกหรอจนหมด ถา X เปนตัวแปรสุมไวบูลสแทนระยะทางที่รถวิ่งจนผา เบรกสึกหรอหมด (หนวย : 1,000 ไมล) ดวยพารามิเตอร β = 0.5 และ δ = 5,000 ไมล จงหา ระยะทางโดยเฉลี่ยกอนที่ผาเบรกจะสึกหรอหมด และหาโอกาสที่ผาเบรกจะมีอายุการใชงานอยาง นอย 10,000 ไมล

วิธีทํา กําหนดให X แทนระยะทางที่รถวิ่งจนผาเบรกสึกหรอหมด X ~ W (x; 0.5, 5) ระยะทางเฉลี่ยกอนที่ผาเบรกจะสึกหรอหมด

(

)

1 = 5(2!) = 10,000 ไมล = 5Γ 1 + 0.5 โอกาสที่ผาเบรกจะมีอายุการใชงานอยางนอย 10,000 ไมล = P(X ≥ 10) E(X) =

µ

บทที่ 6 การแจกแจงความนาจะเปนแบบตอเนื่อง

( )

P(X ≥ 10) = R(10) = 1 – F(10) = exp – δx

( )0.5

= exp – 10 5

193

β

= 0.243

จะมีผาเบรก 24.3% ของจํานวนผาเบรกทั้งหมดที่มีอายุการใชงานอยางนอย 10,000 ไมล

6. การแจกแจงเออรแลง (Erlang Distribution)

ถาการแจกแจงเอกซโปเนนเชียลเปนชวงของการเกิดเหตุการณ 1 เหตุการณในกระบวน การปวสซอง การแจกแจงเออรแลงจะเปนชวงของการเกิดเหตุการณ k เหตุการณในกระบวนการ ปวสซอง กําหนดให X เปนตัวแปรสุม เออรแลง ดังนัน้ ฟงกชนั การแจกแจงความนาจะเปนของ X คือ f(x) =

λk xk–1 e–λx

(k – 1)! ; x > 0, λ > 0, k = 1,2, …

เมื่อ k = 1 การแจกแจงเออรแลงจะกลายเปนการแจกแจงเอกซโปเนนเชียล การแจกแจง เออรแลงจัดไดวาเปนการแจกแจงแกมมา ซึ่งมีคา k เปนจํานวนเต็ม 2.0 k 1 5 5

1.6

f(x)

λ

1 1 2

1.2 0.8 0.4 0.0 0

2

4

6

8 10 12 x รูปที่ 6.21 ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมเออรแลง ที่มา : Montgomery and Runger. 2003.

194

สถิติวิศวกรรม

คาเฉลี่ย µ และความแปรปรวน σ2 ของการแจกแจงเออรแลง E(x; k, λ) คือ k µ = λ

และ

σ2

= k2 λ

นอกจากนี้ สามารถใชฟงกชันเอกซเซลหาคาความนาจะเปนของการแจกแจงเออรแลง ได โดยใช GAMMADIST(x, k, 1/λ, FALSE) สําหรับฟงกชันความนาจะเปน f(x) และ GAMMADIST(x, k, 1/λ, TRUE) สําหรับฟงกชันความนาจะเปนสะสม F(x) โดย k เปนจํานวนเต็ม เชน ถา X ~ E (x; 2, 0.2) ดังนั้น GAMMADIST (10, 2, 1/0.2, FALSE) = P(X = 10) = 0.0541 และ GAMMADIST (10, 2, 1/0.2, TRUE) = P(X ≤ 10) = 0.594

ตัวอยางที่ 6.15 ความเสียหายที่พบในระบบประมวลผลกลางของคอมพิวเตอรขนาดใหญมัก

เปนกระบวนการปวสซอง และมักจะเสียจากวงจรของเซมิคอนดักเตอร ถาจํานวนความเสีย หายโดยเฉลี่ยเทากับ 0.0001 ครั้ง/hr กําหนดให X เปนเวลาที่พบระบบเสียหายรวม 4 ครั้ง จงหาความนาจะเปนที่เวลาดังกลาวเกิน 40,000 hr

วิธีทํา

กําหนดให X แทนเวลาที่พบระบบเสียหายรวม 4 ครั้ง X ∼ E(x; 4, 0.0001) P(X > 40000) = =

∞

∫

40000

λk xk–1 e–λx

(k – 1)!

dx

∞

4 4–1 –0.0001x dx = 0.4335 ∫ 0.0001 (4x – 1)!e 40000

หรือหาไดจากฟงกชันเอกซเซลคือ 1 – GAMMADIST(40000, 4, 1/0.0001, TRUE) อาจกลาวไดวา ตัวแปรสุมเออรแลงเปนตัวแปรสุมตอเนื่องที่มีแนวคิดเดียวกับตัวแปรสุม ทวินามลบ ถาตัวแปรสุม ทวินามลบอธิบายไดดว ยผลบวกของตัวแปรสุม เรขาคณิต k ตัวแลว ตัวแปร สุมเออรแลงจะหมายถึงผลบวก k ตัวของตัวแปรสุมเอกซโปเนนเชียลนั่นเอง

β>0 δ>0

ไวบูลล W(x; β, δ)

เออรแลง E(x; k, λ)

k>0 λ>0

แกมมา G(x; k, λ)

0

; x อื่นๆ

λk xk–1 e–λx ; x > 0, λ > 0 Γ(k)

0

; x อื่นๆ

( δx )β–1 exp[ – ( δx )β ] ; x > 0 β, δ > 0

f(x) =

β δ

; x อื่นๆ

)2; –∞ < x < ∞

f(x) = λe–λx; x > 0, λ > 0 0 ; x อื่นๆ

σ

1 x–µ

e– 2 (

1 ;a≤x≤b b–a 0 ; x อื่นๆ

k = 1, 2, … f(x) = λk xk–1 e–λx ; x > 0, λ > 0, k = 1,2 ,… λ>0 (k – 1)! 0 ; x อื่นๆ

f(x) =

λ>0

2π 0

เอกซโปเนนเชียล exp(x; λ)

σ

1

µ , σ2

ปกติ N(µ, σ2)

f(x) =

f(x) =

a, b b>a

ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปน (pdf)

ยูนิฟอรม U(a, b)

การแจกแจง พารามิเตอร

δΓ

λ

k

(1 + β1 )

k

λ

λ

1

δ2 Γ

λ2

k

(1 + β2 ) – δ2[Γ(1 + β1 )]

λ2

k

λ2

1

2

Γ

–k

( 1 + βn ) ( 1 – λt )

∞ n n Σ t n!δ n=0

–1

–k

( 1 – λt )

( 1 – λt )

]

σ2

µ

22

etb – e–ta t(b – a)

(b – a)2 12

a+b 2 exp[tµ + σ2t

ฟงกชันโมเมนต Mx(t)

ความแปรปรวน

คาเฉลี่ย

ตารางที่ 6.3 การแจกแจงความนาจะเปนแบบตอเนื่อง

บทที่ 6 การแจกแจงความนาจะเปนแบบตอเนื่อง

195

196

สถิติวิศวกรรม

แบบฝกหัด 1. กําหนดใหตัวแปรสุม X แทนกระแสไฟฟาที่ไหลผานลวดทองแดง (หนวย : mA) มีคาใน ชวง [0, 20 mA] ถาฟงกชันความนาจะเปน f(x) = 0.05 ; 0 ≤ x ≤ 20 จงหา 1.1 ความนาจะเปนที่พบกระแสไฟฟามีคาระหวาง 5 – 10 mA (เฉลย : 0.25) 1.2 คาเฉลี่ยและคาความแปรปรวนของกระแสไฟฟา (เฉลย : 10, 33.33) 2. นํ้าหนักของลังบรรจุสารกําจัดวัชพืช (Herbicide) (หนวย : lb) มีการแจกแจงแบบยูนิฟอรม ดวย 49.75 ≤ x ≤ 50.25 จงหา 2.1 คาเฉลี่ยและคาความแปรปรวนของนํ้าหนักลังสารเคมี (เฉลย : 50, 0.0208) 2.2 ฟงกชันความนาจะเปนสะสมของนํ้าหนักลังสารเคมี (เฉลย : F(x) = 2x – 99.5; 49.75 ≤ x ≤ 50.25) 2.3 ความนาจะเปนที่นํ้าหนักของลังสารเคมีนอยกวา 50.1 lb (เฉลย : 0.7) 3. ใชตารางความนาจะเปนสะสมของตัวแปรสุมปกติมาตรฐาน (Z) คํานวณหาผลลัพธตอไปนี้ 3.1 จงหาความนาจะเปนเมื่อ Z มีคาดังนี้ ก. Z < 1.32 (เฉลย : 0.9066) ข. Z < 3.00 (เฉลย : 0.9987) ค. Z > 1.45 (เฉลย : 0.0735) ง. Z > – 2.15 (เฉลย : 0.9842) จ. – 2.34 < Z < 1.76 (เฉลย : 0.9512) 3.2 จงหาคา z ถา ก. P(Z < z) = 0.9 (เฉลย : 1.28) ข. P(Z < z) = 0.5 (เฉลย : 0) ค. P(Z > z) = 0.1 (เฉลย : 1.28) ง. P(Z > z) = 0.9 (เฉลย : –1.28) จ. P( – 1.24 < Z < z) = 0.8 (เฉลย : 1.33)

บทที่ 6 การแจกแจงความนาจะเปนแบบตอเนื่อง

197

3.3 จงหาความนาจะเปนเมื่อ X เปนตัวแปรสุมปกติที่มีคาเฉลี่ย 10 และคาเบี่ยงเบน มาตรฐาน 2 ข. P(X > 9) (เฉลย : 0.6915) ก. P(X < 13) (เฉลย : 0.9332) ง. P(2 < X < 4) (เฉลย : 0.0014) ค. P(6 < X < 14) (เฉลย : 0.9545) จ. P( – 2 < X < 8) (เฉลย : 0.1587) 4. ซีเมนตที่ผลิตจากบริษัทแหงหนึ่งจํานวน 5,000 ตัวอยาง มี 15% ที่คาความเคนอัดตํ่ากวา มาตรฐาน ถาทราบวาคาความเคนอัดมีการแจกแจงปกติดวยคาเฉลี่ยเทากับ 18,500 g/cm2 และคาเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 2,800 g/cm2 จงตรวจสอบวาขอใดถูกหรือผิด ถาผิด ใหแกไขใหถูกตองดวย 4.1 ถามีซเี มนตถกู สงกลับมายังบริษทั 750 ตัวอยาง ประมาณ 716 ตัวอยางทีม่ คี า ความเคน อัดระหวาง 15,700 ถึง 24,100 g/cm2 (เฉลย : ผิด, 614) 4.2 มีซีเมนตเพียง 1 ตัวอยางเทานั้นที่ถูกสงกลับมายังบริษัท โดยมีคาความเคนอัดตํ่ากวา 10,100 g/cm2 (เฉลย : จริง) 4.3 ความนาจะเปนทีซ่ เี มนตตวั อยางหนึง่ จะมีคา ความเคนอัดระหวาง 15,700 และ 18,500 g/cm2 เทากับ 0.136 (เฉลย : ผิด, 0.3413) 4.4 ประมาณ 84.13% ของซีเมนตที่ถูกสงกลับมาทัง้ หมด มีคา ความเคนอัดอยางมากทีส่ ดุ 21,300 g/cm2 (เฉลย : จริง) 5. ถาปริมาตรของการบรรจุเครื่องดื่มกระปองเปนตัวแปรสุมที่มีการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย เทากับ 10 ออนซ คาเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 0.02 ออนซ ถาปริมาตรของการบรรจุอยู นอกชวง (10 – C, 10 + C) จะถือวาเปนเครื่องดื่มกระปองไมไดมาตรฐาน ปรากฏวามี เครื่องดื่มไมไดมาตรฐานอยู 5% จงหาคา C (เฉลย : 0.0392) 6. คาความกวางแถบสเปกตรัมของแสงทีเ่ ปลงออก (Linewidth) ของเลเซอรไดโอดมีการแจกแจง ปกติ ดวยคาเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 0.07 µm 6.1 จงหาชวงสมมาตรของระดับเชื่อถือได (Symmetric of Tolerance Limit) ที่จะทําใหมี เลเซอรไดโอดที่มีคาความกวางแถบสเปกตรัมของแสงที่เปลงออกไมไดตามมาตรฐาน กําหนด 2% (เฉลย : µ ± 0.163) 6.2 จงหาเปอรเซ็นตของเลเซอรไดโอดทีผ่ า นการตรวจสอบ โดยมีคา ความกวางแถบสเปกตรัม ของแสงที่เปลงออกมาอยูในชวง 12 ± 0.20 µm (เฉลย : 99.58)

198

สถิติวิศวกรรม

7. จงประมาณการแจกแจงทวินามดวยการแจกแจงปกติ สําหรับเหตุการณดังตอไปนี้ 7.1 ตัวแทนจําหนายเครื่องซีลไดรับแจงจากฝายซอมสินคาของบริษัทวา โดยเฉลี่ย 2% ของเครื่องซีลที่ขายไปจะสงกลับมาซอมภายใน 3 เดือน จงหาความนาจะเปนที่จะมี เครื่องซีลอยางนอย 30 เครื่องสงกลับมาซอมภายใน 3 เดือนหลังจากขายไปทั้งหมด 1,200 เครื่อง (เฉลย : 0.1292) 7.2 ชองทางการสื่อสารมีการสงขอมูลแลวไดรับผิดพลาดคลาดเคลื่อนโดยเฉลี่ย 20% ถา จํานวนบิต (Bits) ของขอมูลที่ไดรับผิดพลาดมีการแจงแจงแบบทวินาม ถาสงขอมูลไป จํานวน 100 บิต จงหาความนาจะเปนที่ ก. จํานวนบิตที่ผิดพลาดมีจํานวนอยางมากที่สุด 15 บิต (เฉลย : 0.1303) ข. จํานวนบิตที่ผิดพลาด 15 บิตพอดี (เฉลย : 0.0458) 8. จํานวนแรใยหินทีเ่ จือปนอยูใ นอากาศมีการแจกแจงปวสซองดวยคาเฉลีย่ 1,000 อนุภาค/m2 จงประมาณการแจกแจงปวสซองดวยการแจกแจงปกติเพือ่ หาโอกาสทีจ่ ะพบแรใยหินไมเกิน 950 อนุภาค/m2 (เฉลย : 0.057) 9. ตัวควบคุมแรงดันภายในไดชารจของรถยนต (Automotive Voltage Regulator) มีอายุการ ใชงานเปนการแจกแจงเอกซโปเนนเชียลที่มีอายุเฉลี่ย 0.125 ป จงหาความนาจะเปนที่ตัว ควบคุมแรงดันจะสามารถใชงานจนกระทั่งเสียในเวลา 9.1 ไมเกิน 4 ป (เฉลย : 0.3935) 9.2 อยางนอยที่สุด 16 ป (เฉลย : 0.1353) 10. ถาหนวยซอมบํารุงเครื่องจักรของโรงงานแหงหนึ่ง โดยเฉลี่ยมีจํานวนเครื่องจักรที่ตองซอม 3 เครื่อง/เดือน จงหา 10.1 ความนาจะเปนที่เครื่องจักรตองซอมจํานวน 1 เครื่อง/ครึ่งเดือน (เฉลย : 0.224) 10.2 ความนาจะเปนทีเ่ ครือ่ งจักรตองใชเวลารอซอมไมนานเกินครึง่ เดือน (เฉลย : 0.7769) 11. อายุการใชงานของยางนอกแบบวิบากของจักรยานภูเขาที่นําเขาจากบริษัทแหงหนึ่ง มีการ แจกแจงเอกซโปเนนเชียลดวยคาเฉลี่ย 1 ป ในจํานวนยางนอก 6 เสน จงหาความนาจะเปน ที่จํานวนอยางมาก 2 เสนที่ยังใชไดอีกหลังจากใชงานแลว 2.3 ป (เฉลย : 0.9841)

บทที่ 6 การแจกแจงความนาจะเปนแบบตอเนื่อง

199

12. จากสถิติแผนดินไหวแถบอินโดนีเซียระหวางป พ.ศ. 2413 – 2538 พบวาที่ระดับความสั่น สะเทือนตั้งแต 7 ริกเตอรขึ้นไปมีจํานวน 16 ครั้ง ถาการเกิดแผนดินไหวรุนแรงขนาดนี้มี การแจกแจงแบบปวสซอง จงหา 12.1 ความนาจะเปนที่จะเกิดแผนดินไหวรุนแรงภายใน 2 ปขางหนา (เฉลย : 0.226) 12.2 ความนาจะเปนที่จะไมเกิดแผนดินไหวในชวง 10 ปแรก (เฉลย : 0.278) 13. วิศวกรเคมีเก็บขอมูลอุปกรณควบคุมในทอสงนํ้ามัน 100 คา หาคาเฉลี่ยอายุการใชงานของ อุปกรณควบคุมได 5.75 ป ถาทราบวาจํานวนอุปกรณควบคุมทีเ่ สียนีม้ กี ารแจกแจงปวสซอง จงหา 13.1 ความนาจะเปนที่อุปกรณควบคุมตัวหนึ่งจะเสียภายในเวลา 1 ปหลังติดตั้ง (เฉลย : 0.160) 13.2 ความนาจะเปนที่อุปกรณควบคุมจะเสียกอนอายุเฉลี่ย (เฉลย : 0.632) 13.3 ความนาจะเปนที่อุปกรณควบคุมจะใชงานไดอยางตํ่า 10 ป (เฉลย : 0.176) 14. เวลาในการเติมเต็มสินคา (Replenishment Time) หมายถึงเวลาที่นับตั้งแตการออกคําสั่ง ซื้อจนกระทั่งไดรับสินคา ถาทราบวาเวลาเติมเต็มสินคามีการแจกแจงแบบแกมมาดวยเวลา เฉลี่ย 40 วัน และความแปรปรวน 400 วัน2 จงหาความนาจะเปนที่จะไดรับสินคาใน 20 วัน แรกหลังจากการออกคําสั่งซื้อไปแลว (เฉลย : 0.8488) 15. อายุการใชงานของตลับลูกปนมีการแจกแจงไวบูลสดวยพารามิเตอร β = 2 และ δ = 10,000 hr จงหา 15.1 ความนาจะเปนที่ตลับลูกปนมีอายุการใชงานอยางนอย 8,000 hr (เฉลย : 0.5273) 15.2 อายุเฉลี่ยของการใชงานจนกระทั่งตลับลูกปนเสีย (เฉลย : 8862) 15.3 ถามีตลับลูกปนถูกใชงาน 10 ตัว แตละตัวอิสระตอกัน จงหาความนาจะเปนที่ทั้ง 10 ตัวจะมีอายุการใชงานอยางนอย 8,000 hr (เฉลย : 0.0017)

200

สถิติวิศวกรรม

16. ทุกๆ 105 บิต จะมีการปนเปอนอยูบนจานแสง (Optical Disk) 1 จุด ถาจํานวนของการ ปนเปอนมีการแจกแจงแบบปวสซอง จงหา 16.1 จํานวนบิตโดยเฉลี่ยที่จะพบการปนเปอนเกิดขึ้น 5 จุด (เฉลย : 500,000) 16.2 คาเบีย่ งเบนมาตรฐานของจํานวนบิตเมือ่ พบการปนเปอ นเกิดขึน้ 5 จุด (เฉลย : 223,607) 16.3 การแกไขการปนเปอนจะไมเกิดผลถามีจุดปนเปอนตั้งแต 3 จุดขึ้นไปใน 105 บิต จงหาความนาจะเปนที่จะเกิดเหตุการณดังกลาว (เฉลย : 0.0803)

7

การแจกแจง ของการสุมตัวอยาง

การสุมตัวอยาง (Sample) จากประชากร (Population) เปนวิธีการที่นิยมใชในการเก็บ รวบรวมและวิเคราะหขอมูลเพื่อนําไปสูการหาผลลัพธที่ตองการ ผลวิเคราะหจากกลุมตัวอยางจะ เปนเสมือนตัวแทน (Representative) ของผลวิเคราะหจากประชากร คุณลักษณะ (Characteristic) ของประชากรหรือที่เรียกวาพารามิเตอร (Parameter) จะเปนสิ่งที่ใชในการอธิบายวาประชากร มีลักษณะอยางไร เชน คาเฉลี่ย (µ) คาเบี่ยงเบนมาตรฐาน (σ) เปนตน ขณะเดียวกัน ตัวสถิติ (Statistics) จะเปนสิ่งที่ใชในการอธิบายวากลุมตัวอยางที่สุมมามีลักษณะอยางไร เชน คาเฉลี่ย (X) คาเบี่ยงเบนมาตรฐาน (S) เปนตน ตัวอยางเชน ตัวตานทานกระแสไฟฟาที่ผลิตจากโรงงาน A มีแรงตานทานเฉลี่ยกี่กิโลโอหม (kΩ) ขอมูลและแหลงที่จะเก็บรวบรวมขอมูล รวมทั้งคุณลักษณะ ทีต่ อ งการศึกษา จะตองถูกกําหนดใหชดั เจนกอนทีจ่ ะเริม่ วิเคราะหขอ มูลเพือ่ หาผลลัพธทตี่ อ งการตอไป กําหนดให ขอมูล (Xi) คือ แรงตานทาน (หนวย : kΩ) ประชากร คือ ตัวตานทานกระแสไฟฟาทั้งหมดที่ผลิตจากโรงงาน A กลุมตัวอยาง คือ ตัวตานทานกระแสไฟฟาที่สุม (Random) ตัวอยางมาตรวจสอบ พารามิเตอร คือ แรงตานทานเฉลี่ย (µ) ที่วัดจากตัวตานทานทั้งหมด ตัวสถิติ คือ คาแรงตานทานเฉลี่ย (X) ที่วัดจากตัวตานทานเฉพาะที่สุม ตัวอยางมาตรวจสอบ

202

สถิติวิศวกรรม

ประชากร µ

ตัวอยาง x s ^ θ

σ

θ

รูปที่ 7.1 ความสัมพันธระหวางประชากร ตัวอยาง พารามิเตอร และสถิติ ที่มา : Vining and Kowalski. 2006.

การแจกแจงของการสุมตัวอยาง (Sampling Distribution) เปนฟงกชันความหนาแนน (Density Function) ทีอ่ ธิบายถึงพฤติกรรมความนาจะเปนของตัวสถิตจิ ากการสุม ตัวอยางซํา้ หลายครัง้ ตัวอยางเชน ถาสุมตัวอยางของตัวตานทานกระแสไฟฟาจากตัวตานทานทั้งหมดที่ผลิต จากโรงงาน A โดยทราบวาแรงตานทานมีการแจกแจงแบบยูนิฟอรม 1 ; x = 0, 1, 2, …, 9 f(x) = 10 จํานวน 50 กลุมตัวอยางโดยที่แตละกลุมตัวอยางมีขนาด n = 10 เมื่อคํานวณแรงตานทาน เฉลี่ยของแตละกลุมตัวอยาง จะไดคาเฉลี่ย (X) จํานวน 50 คาดังนี้ 4.4 3.1 3.0 5.3 3.6

3.2 5.3 3.0 5.5 2.7

5.0 3.8 4.6 4.8 4.0

3.5 4.3 5.8 6.4 5.0

4.1 3.3 4.6 4.9 2.6

4.4 5.0 4.0 6.5 4.2

3.6 4.9 3.7 3.5 4.4

6.5 4.8 5.2 4.5 5.6

5.3 3.1 3.7 4.9 4.7

4.4 5.3 3.8 5.3 4.3

นําคาเฉลีย่ ทัง้ 50 คามาสรางฮิสโตแกรม พบวาการแจกแจงของคาเฉลีย่ มีลกั ษณะใกลเคียง กับทรงระฆังควํ่า (Bell Shape) ดังรูปที่ 7.2

บทที่ 7 การแจกแจงของการสุมตัวอยาง

203

ตารางที่ 7.1 ตารางแจกแจงความถี่ของคาเฉลี่ย คาเฉลี่ย (X) [2.0, 3.0) [3.0, 4.0) [4.0, 5.0) [5.0, 6.0) [6.0, 7.0)

ความถี่ 2 14 19 2 3 50

ความถี่ 20 15 10 5 0

2

3

4

5

6

7

x

รูปที่ 7.2 ฮิสโตแกรมแสดงการแจกแจงการสุมตัวอยางของคาเฉลี่ย ที่มา : Johnson. 2005.

จะเห็นไดวาขอมูลแรงตานทานจะถูกสุมตัวอยางมาจากตัวตานทานกระแสไฟฟาที่มีการ แจกแจงแบบยูนิฟอรม (Uniform Distribution) แตถามีการทดลองซํ้าไปซํ้ามาหลายครั้ง (หรือ สุมตัวอยางซํ้าหลายครั้ง) จะไดการแจกแจงการสุมตัวอยางของคาเฉลี่ย (Sampling Distribution of the Mean) ในรูปแบบที่แตกตางจากการแจกแจงของขอมูล ซึ่งจากฮิสโตแกรมในรูปที่ 7.2 มีรูปแบบของการแจกแจงปกติ (Normal Distribution) ดังนั้น การแจกแจงของการสุมตัวอยาง (Sampling Distribution) จึงเปนการศึกษารูปแบบ ของการแจกแจงความนาจะเปนของตัวสถิติตางๆ ที่อธิบายถึงลักษณะของกลุมตัวอยาง ตัวสถิติ ไมไดมีเพียงแคคาเฉลี่ย (X) เหมือนตัวอยางขางตนเทานั้น ยังมีตัวสถิติอื่นๆ ที่ใชศึกษาพฤติกรรม

204

สถิติวิศวกรรม

ของการแจกแจงความนาจะเปนในคุณลักษณะตางๆ ของกลุม ตัวอยางชุดเดียวกัน ดังรูปที่ 7.3 กลุม ตัวอยาง 1,000 กลุม กลุมละ 25 ตัวอยาง (n = 25) ภายใตชุดขอมูลเดียวกันนี้ ศึกษาลักษณะของ ความนาจะเปนของคาเฉลี่ย (X) มัธยฐาน (X~) คาเบี่ยงเบนมาตรฐาน (S) และความแปรปรวน (S2) ความถี่

ความถี่

x

คาเฉลี่ย ความถี่

มัธยฐาน

~x

ความถี่

คาเบี่ยงเบนมาตรฐาน

S

ความแปรปรวน

S2

รูปที่ 7.3 การแจกแจงการสุมตัวอยางของตัวสถิติตางๆ ภายใตขอมูลชุดเดียวกัน ที่มา : Devore and Farnum. 2005.

การแจกแจงการสุมตัวอยางในบทเรียนนี้ จะเนนศึกษาเฉพาะตัวสถิติที่เปนคาเฉลี่ย ความแปรปรวน และสัดสวน วาจะอธิบายไดดวยการแจกแจงรูปแบบใด กรณีสุมตัวอยางจากประชากรชุดเดียว ตัวสถิติที่ศึกษาคือ X, S2, p^, D กรณีสุมตัวอยางจากประชากรสองชุดเปรียบเทียบกัน ตัวสถิติที่ศึกษาคือ X1 – X2, 2 2 S1 /S2 , p^1 – p^2 การแจงแจงทีใ่ ชอธิบายพฤติกรรมของความนาจะเปนของตัวสถิตเิ หลานีจ้ ะมีอยู 4 รูปแบบ คือ การแจกแจงปกติมาตรฐาน (Z), การแจกแจงไค–สแควร (χ2) การแจกแจง t และการแจก แจง F สําหรับการแจกแจง Z แสดงไวในบทที่ 6 สวนการแจกแจงอีก 3 รูปแบบจะอธิบายในหัวขอ ถัดไป

บทที่ 7 การแจกแจงของการสุมตัวอยาง

205

1. การแจกแจงแบบไค–สแควร (Chi – Squared Distribution)

ถา Z1, Z2, …, Zn เปนตัวแปรสุมปกติมาตรฐานที่มีความเปนอิสระตอกัน ดวยคาเฉลี่ย เทากับ 0 และความแปรปรวนเทากับ 1 แลว ตัวแปรสุมไค–สแควร (χ2) เปนผลรวมของคากําลัง สองของตัวแปรสุมปกติมาตรฐาน Z นั่นคือ χ2

= Z12 + Z22 + … + Zn2

ซึ่งมีฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนคือ ν x x 2 –1 e– 2 ; x > 0 f(x) = ν 1 2 2 Γ( ν2 ) โดยที่ตัวแปรสุม X เปนตัวแปรสุม χ2 ที่มีพารามิเตอร ν ถาพิจารณาจากฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปน จะพบวาลักษณะของการแจกแจง แบบไค–สแควรจะสัมพันธกับการแจกแจงแบบแกมมา (Gamma Distribution) ที่มีคาพารามิเตอร k = ν/2 และ λ = 1/2 พารามิเตอร ν เรียกวาองศาอิสระ (Degrees of Freedom) เปนพารามิเตอรรูปทรง (Shape Parameter) ของการแจกแจงนี้ เพราะเมื่อคา ν เปลี่ยนไป จะสงผลตอรูปทรงของกราฟ การแจกแจงไค–สแควร ดังรูปที่ 7.4 กราฟจะเปนทรงเบขวาเมื่อ ν มีคานอย และกราฟจะลูเขาสู ทรงระฆังควํ่า (Bell – Shape) เมื่อคา ν → ∞ พารามิเตอร ν นี้จะสัมพันธกับขนาดของตัวอยาง (Sample Size) คือ ν = n – 1 เชน สุมตัวอยางขนาด 20 จะมีคาองศาอิสระ ν = 20 – 1 = 19 f(x)

ν=2

ν=5 ν = 10

0

5

10

15

20

25

x

รูปที่ 7.4 กราฟความนาจะเปนของการแจกแจงไค–สแควร ที่มา : Hines et al. 2003.

206

สถิติวิศวกรรม

สวนคาเฉลี่ยของการแจกแจงไค–สแควร µ = ν และความแปรปรวน σ2 = 2ν ความนาจะเปนของตัวแปรสุมไค–สแควร หรือ P(χ2 ≥ χ 2) = α

∞

∫ f(χ2) dχ2 = α

χ2 α

โดย α คือความนาจะเปนซึ่งมีคาเทากับพื้นที่ใตกราฟของการแจกแจงไค – สแควร f(x) α χα2, ν

0

x

รูปที่ 7.5 ความสัมพันธของคาตัวแปรสุม χ2 และพื้นที่ใตกราฟ α ที่มา : Hines et al. 2003.

คาของความนาจะเปนหรือคาของตัวแปรสุม หาไดจากตารางคาของตัวแปรสุม ภาคผนวกที่ ก.6 ตัวอยางเชน กําหนดคา α = 0.025 และ ν = 8

χ2

ใน

ตารางที่ 7.2 ตัวอยางการหาคาของตัวแปรสุม χ2 จากตารางสถิติ α

ν

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.995 0.00 + 0.01 0.07 0.21 0.41 0.68 0.99 1.34 1.73 2.16

0.990 0.00 + 0.02 0.11 0.30 0.55 0.87 1.24 1.65 2.09 2.56

0.975 0.00 + 0.05 0.22 0.48 0.83 1.24 1.69 2.18 2.70 3.25

0.950 0.00 + 0.10 0.35 0.71 1.15 1.64 2.17 2.73 3.33 3.94

0.900 0.500 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.02 0.45 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88 0.21 1.39 4.61 5.99 7.38 9.21 10.60 0.58 2.37 6.25 7.81 9.35 11.34 12.84 1.06 3.36 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86 1.61 4.35 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75 2.20 5.35 10.65 12.59 14.45 16.81 18.55 2.83 6.35 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28 3.49 7.34 13.36 15.51 17.53 20.09 21.96 4.17 8.34 14.68 16.92 19.02 21.67 23.59 4.87 9.34 15.99 18.31 20.48 23.21 25.19

บทที่ 7 การแจกแจงของการสุมตัวอยาง

207

จากตารางขางตน จะไดคาของตัวแปรสุม χ2 = 17.53 นั่นคือ ∞

P(χ2 ≥ 17.53) =

f(χ2) dχ2 = 0.025

∫

χα2, = 17.53 8

ตัวอยาง การหาคาตัวแปรสุม χ2 โดยใชตารางภาคผนวกที่ ก.6 ก. χ20.05 เมื่อ ν = 7 ข.

χ20.99

ค.

χα2 ที่ทําให P(χ2 < χα2)

เมื่อ

= 24

ν

(10.86) = 0.975 เมื่อ ν = 16

(28.85)

ง. P(χ21–α < χ2 < χα2) = 0.90 เมื่อ ν = 10 f(x)

f(x)

χ20.05, 7

α = 0.99

(ก)

x

(3.94, 18.31)

f(x)

α = 0.05

(14.07)

α

0.975 α = 0.025

x

χ20.99, 24

f(x)

(ข)

χ20.025, 16

(ค)

0.90

x

α

χ21 – α, 10 χ2α, 10

x

(ง)

รูปที่ 7.6 ตัวอยางการหาคาตัวแปรสุม χ2

2. การแจกแจงแบบ t (t – Distribution) ถา Z เปนตัวแปรสุมปกติมาตรฐานที่มีคาเฉลี่ยเทากับ 0 ความแปรปรวนเทากับ 1 และ

χ2 เปนตัวแปรสุมไค–สแควรที่มีองศาอิสระ ν โดยที่ Z และ χ2 เปนอิสระตอกันแลว

ดังนั้น

t =

Z

χ2 ν

ซึ่งมีฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนคือ

208

สถิติวิศวกรรม

f(t) = ตัวแปรสุม t มีคาเฉลี่ย

( ν 2+ 1 ) (1 + t2 )– ( ν ν Γ( 2 ) πv Γ

µ=0

และความแปรปรวน

ν+1

2

);

–∞ < t

3.355) เมื่อ ν = 8 (0.875) 2. P( –1.356 < T < 2.179) เมื่อ ν = 12 (–2.602) 3. t เมื่อ P(T < t) = 0.01 และ ν = 15 (1.714) 4. t เมื่อ P(|T| < t) = 0.90 เมื่อ ν = 23 α = 0.01

α

0 3.355 (ก)

–1.356 0 2.179 (ข)

t

0.90 0 (ค)

–t

0 (ง)

t

รูปที่ 7.9 ตัวอยางการหาคาความนาจะเปนและตัวแปรสุม t

3. การแจกแจงแบบ F (F – Distribution) ถา χ2[1] และ χ2[2] เปนตัวแปรสุมไค–สแควร 2 ตัวที่มีความอิสระตอกัน และมีองศา อิสระ ν1 และ ν2 ตามลําดับ ดังนั้น F =

χ2[1] /ν1 χ2[2] /ν2

ซึ่งมีฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนคือ f(f) =

(

ν1 ν1 2 ν2

) ( ) f( 2 ) –1 ν1 ν1 ν2 ( Γ ( 2 ) Γ ( 2 ) [1 + ( ν ) f ] 2 Γ

ν1 + ν2

2

ν1

ν1 + ν2 2

;0 4

การเปลีย่ นแปลงคาองศาอิสระ ν1 หรือ ν2 ของตัวแปรสุม ไค–สแควร จะสงผลตอรูปทรงของ การแจกแจง F ตัวอยางของการเปลี่ยนคา ν2 ซึ่งสงผลตอกราฟความนาจะเปนของการแจกแจง F แสดงดังรูปที่ 7.10 f(f) ν1 = 5, ν2 = 5

ν1 = 5, ν2 = 15

0

2

4

6

8

10

f

รูปที่ 7.10 กราฟความนาจะเปนของการแจกแจงแบบ F ที่มา : Hines et al. 2003.

ความนาจะเปนของตัวแปรสุม F หรือ P(F ≥ fα, ν1, ν2) =

∞

∫ f(f) df =

fα, ν1, ν2

α

212

สถิติวิศวกรรม

f(f)

α

α

f1 – α,ν1, ν2

f

fα, ν1, ν2

รูปที่ 7.11 ความสัมพันธของคาตัวแปรสุม F และพื้นที่ใตกราฟ α ที่มา : Hines et al. 2003.

คาของความนาจะเปนหรือคาของตัวแปรสุม หาไดจากตารางคาของตัวแปรสุม F ในภาค ผนวกที่ ก. 8 ตัวอยางเชน กําหนดคา α = 0.025 และ ν1 = 10, ν2 = 8 ตารางที่ 7.4 ตัวอยางการหาคาของตัวแปรสุม F จากตารางสถิติ f0.025, ν1, ν2 ν2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ν1

1 647.80 38.51 17.44 12.22 10.01 8.81 8.07 7.57 7.21 6.94

2

3

4

5

6

7

8

องศาอิสระของตัวตั้ง (ν1) 9

10

12

15

20

24

30

40

60

120

∞

799.50 864.20 899.60 921.80 937.10 948.20 956.70 963.30 968.60 976.70 984.90 993.10 997.20 1001.00 1006.00 1010.00 1014.00 1018.00 39.00 39.17 39.25 39.30 39.33 39.36 39.37 39.39 39.40 39.41 39.43 39.45 39.46 39.46 39.47 39.48 39.49 39.50 16.04 15.44 15.10 14.88 14.73 14.62 14.54 14.47 14.42 14.34 14.25 14.17 14.12 14.08 14.04 13.99 13.95 13.90 10.65 9.98 9.60 9.36 9.20 9.07 8.98 8.90 8.84 8.75 8.66 8.56 8.51 8.46 8.41 8.36 8.31 8.26 8.43 7.76 7.39 7.15 6.98 6.85 6.76 6.68 6.62 6.52 6.43 6.33 6.28 6.23 6.18 6.12 6.07 6.02 7.26 6.60 6.23 5.99 5.82 5.70 5.60 5.52 5.46 5.37 5.27 5.17 5.12 5.07 5.01 4.96 4.90 4.85 6.54 5.89 5.52 5.29 5.12 4.99 4.90 4.82 4.76 4.67 4.57 4.47 4.42 4.36 4.31 4.25 4.20 4.14 6.06 5.42 5.05 4.82 4.65 4.53 4.43 4.36 4.30 4.20 4.10 4.00 3.95 3.89 3.84 3.78 3.73 3.67 5.71 5.08 4.72 4.48 4.32 4.20 4.10 4.03 3.96 3.87 3.77 3.67 3.61 3.56 3.51 3.45 3.39 3.33 5.46 4.83 4.47 4.24 4.07 3.95 3.85 3.78 3.72 3.62 3.52 3.42 3.37 3.31 3.26 3.20 3.14 3.08

จากตารางขางตน จะไดคาของตัวแปรสุม F = 4.30 นั่นคือ ∞

P(F ≥ 4.30) = ∫ f(f) df = 0.025 fα, 10, 8 = 4.30

213

บทที่ 7 การแจกแจงของการสุมตัวอยาง

ถา fα, ν1, ν2 คือ คา fα ซึ่งมีองศาอิสระเทากับ ν1 และ ν2 แลว จะไดวา f1 –α, ν1, ν2 = เชน

F0.95, 4, 8 =

1 fα, ν2, ν1

1 F0.05, 8, 4

1 = 0.166 6.04 ตัวอยาง การหาคาของความนาจะเปนและตัวแปรสุม F โดยใชตารางภาคผนวกที่ ก.8 (2.68) 1. f0.025 เมื่อ ν1 = 12 และ ν2 = 20 1 2. f0.90 เมื่อ ν1 = 7 และ ν2 = 15 2.63 1 3. P(f1–α < F < fα) = 0.95 เมื่อองศาอิสระ = 10, 24 3.37 , 2.64 1 < F < 1.85 = ? เมื่อองศาอิสระ = 9, 30 4. P 2.25 (0.80) =

(

f(f)

( ) ( )

)

f(f) α = 0.90

α = 0.025

f0.025, 12, 20 f (ก)

f(f)

f0.90, 7, 15 (ข)

f(f)

α α

0.95

f

fα f

f1 – α (ค)

รูปที่ 7.12 ตัวอยางการหาคาความนาจะเปนและตัวแปรสุม F

1 2.25

(ง)

1.85 f

214

สถิติวิศวกรรม

4. การแจกแจงของการสุมตัวอยาง (Sampling Distributions) มีดังนี้

กรณีสมุ ตัวอยางจากประชากรชุดเดียว การแจกแจงของการสุม ตัวอยางสําหรับตัวสถิตติ า งๆ

4.1 การแจกแจงของการสุมตัวอยางของคาเฉลี่ย (X) ถาสุมตัวอยางขนาด n จากประชากรที่มีการแจกแจงแบบปกติ ดวยคาเฉลี่ย µ และความ แปรปรวน σ2 กลาวไดวา คาสังเกตในตัวอยาง X1, X2, ..., Xn จะเปนตัวแปรสุมที่มีการแจกแจง ปกติและอิสระตอกัน (Normally and Independently Distributed Random Variable) ดังนั้น คาเฉลี่ย X จะมีการแจกแจงแบบปกติดวยคาเฉลี่ย µ และความแปรปรวน σ2/n µX

=

σ2X

=

µ+µ+…+µ

=

µ

σ 2 + σ2 + … + σ 2

=

n

σ2

n n2 ถาสุมตัวอยางจากประชากรที่ไมทราบการแจกแจงดวยขนาดตัวอยาง n ที่มีขนาดใหญ จะไดวาคาเฉลี่ย X ประมาณดวยการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย µ และความแปรปรวน σ2/n เปนไปตาม ทฤษฎีลิมิตเขาสูศูนยกลาง (Central Limit Theorem – CLT)

(

)

(

)

E(X) = E X1 + X2 + … + Xn = 1n E(X1) + 1n E(X2) + ... + 1n E(Xn) n = 1n µ + 1n µ + … + 1n µ = µ V(X) = V X1 + X2 + … + Xn = 12 V(X1) + 12 V(X2) + ... + 12 V(Xn) n n n n 2 = 12 σ2 + 12 σ2 + … + 12 σ2 = σn n n n นั่นคือ X ∼ N(µ, σ2/n) หลักการของทฤษฎี CLT แสดงดังรูปที่ 7.13 สุมตัวอยางจาก ประชากรที่มีการแจกแจงเอกซโปเนนเชียลหรือยูนิฟอรม จะพบวาเมื่อขนาดตัวอยาง n เพิ่มมาก ขึ้น การแจกแจงของคาเฉลี่ย (X) จะลูเขาสูการแจกแจงรูปแบบเดียวกัน คือการแจกแจงแบบปกติ

บทที่ 7 การแจกแจงของการสุมตัวอยาง

215

n = 25 n=2 x การแจกแจงเอกซโปเนนเชียล

n=6 x

x การแจกแจงของคาเฉลี่ย X

x

n = 25

n=2 การแจกแจงยูนิฟอรม

x

n=6

x การแจกแจงของคาเฉลี่ย X

x

x

รูปที่ 7.13 ทฤษฎี CLT แสดงแนวโนมสูการแจกแจงปกติ เมื่อ n เพิ่มขึ้น ที่มา : Johnson. 2005.

นอกจากนี้ ทฤษฎี CLT ยังใชกับกรณีของผลบวกตัวแปรสุม นั่นคือ X1 + X2 + … + Xn ∼ N(nµ, nσ2) ตัวอยาง n ที่มีขนาดใหญ มักจะกําหนดที่คา n ≥ 30 อยางไรก็ตาม ในหลายกรณีพบวา การแจกแจงของคาเฉลี่ย X มีแนวโนมสูการแจกแจงปกติ แมในกรณีที่ n มีขนาดนอยกวา 30 คาคลาดเคลื่อนมาตรฐาน (Standard Error) ของ X คือ คาเบี่ยงเบนมาตรฐานของ X ซึ่งมีคาเทากับ σ/ n การแจกแจงของการสุมตัวอยางของคาเฉลี่ย X มีรูปแบบของการแจกแจง ดังตาราง ที่ 7.5 นั่นคือ การแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน Z และการแจกแจงแบบ t ขึ้นอยูกับเงื่อนไขของ เหตุการณ ซึ่งประกอบดวย 3 สวนคือ

216

สถิติวิศวกรรม

1. การแจกแจงของตัวแปรสุม X 2. ความแปรปรวนของประชากร σ2 3. ขนาดตัวอยาง n ตารางที่ 7.5 การแจกแจงของการสุมตัวอยางของคาเฉลี่ย X เงื่อนไขของเหตุการณ

รูปแบบของการแจกแจง

1. X มีการแจกแจงปกติ

Z= X–µ σ/ n

2. ทราบ σ2 1. X มีการแจกแจงปกติ

T= X–µ; S/ n

2. ไมทราบ σ2 3. n < 30

ν=n–1

1. X มีการแจกแจงปกติ Z= X–µ S/ n

2. ไมทราบ σ2 3. n ≥ 30 1. X มีการแจกแจงแบบอื่นๆ

Z = X – µ ถาทราบ σ2 σ/ n Z = X – µ ถาไมทราบ σ2 S/ n

2. n ≥ 30

4.2 การแจกแจงการสุมตัวอยางของความแปรปรวน (S2)

ถา σ2 เปนความแปรปรวนของตัวอยางขนาด n ที่สุมมาจากประชากรที่มีการแจกแจง ปกติดวยความแปรปรวน σ2 ดังนั้น χ2

=

(n – 1)S2 σ2

n

=

2 Σ i=1 (Xi – X) σ2

S2 มีการแจกแจงแบบไค–สแควร ดวยพารามิเตอร S2 ∼ σ2 [χ2n – 1/(n – 1)]

ν

= n – 1 หรืออาจกลาวไดวา

บทที่ 7 การแจกแจงของการสุมตัวอยาง

217

การแจกแจงการสุมตัวอยางของความแปรปรวน S2 มีรูปแบบของการแจกแจงดังนี้ χ2

2 = (n – 1)S 2 ; σ

ν=

n–1

4.3 การแจกแจงของการสุมตัวอยางของสัดสวน (p^) ถา X ∼ b(x; n, p) คาสัดสวนของกลุมตัวอยางหาไดจาก p^ = X/n สามารถประมาณ การแจกแจงทวินามดวยการแจกแจงปกติได ถาขนาดตัวอยาง n มีขนาดใหญ จากการแจกแจงแบบทวินาม E(X) = p และ V(X) = np(1 – p) ดังนั้น E( p^ ) = p และ V( p^ ) = p(1 – p)/n นั่นคือ p^ ∼ N [p, p(1 – p)/n] คาคลาดเคลื่อนมาตรฐาน (Standard Error) ของ p^ คือคาเบี่ยงเบนมาตรฐานของ p^ ซึ่งมีคาเทากับ p(1 – p)/n การแจกแจงของการสุมตัวอยางของสัดสวน p^ มีรูปแบบของการแจกแจงดังนี้ Z =

p^ – p p(1 – p)/n

4.4 การแจกแจงการสุมตัวอยางของผลตางเฉลี่ย (D) สุมตัวอยางขนาด n จากประชากรชุดเดียว วัดคาสังเกตจากวิธีการที่ตางกัน 2 วิธี ซึ่งจับ เปนคู X1 และ X2 ดังนั้น Di = X1 – X2 เราเรียกผลตางที่ไดจากคาสังเกตจับเปนคูๆ นี้วา Matched Pairs Comparisons เปนตัวชี้ใหเห็นถึงผลเปรียบเทียบระหวางวิธีที่ 1 กับวิธีที่ 2 วามีความแตก ตางกันอยางไร เชน สุมตัวอยางขนาด n ตัวอยาง แตละตัวอยางนําไปวัดคาสังเกตดวยวิธีการที่ 1 และวิธีการที่ 2 อยางละ 1 ครั้ง ผลตาง Di ของแตละคู แสดงดังตารางที่ 7.6

218

สถิติวิศวกรรม

ตารางที่ 7.6 ผลตางของคาสังเกตจากวิํธีที่ 1 และวิธีที่ 2 ตัวอยางที่

คาสังเกตวัดจาก วิธีที่ 1 (X1)

คาสังเกตวัดจาก วิธีที่ 2 (X2)

ผลตาง Di = X1 – X2

1

X11

X21

D1 = X11 – X21

2

X12

X22

D2 = X12 – X22









n

X1n

X2n

Dn = X1n – X2n

หาคาผลตางเฉลี่ย D D = Σn i คาเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลตาง SD =

Σ (Di – D)2 n–1

ตัวอยางของ Matched Pairs Comparisons เชน วัดประสิทธิภาพของเครื่องดื่มสมุนไพร ลดนํา้ หนักวาไดผลหรือไม โดยการสุม ตัวอยางผูห ญิงจํานวน 4 คนมาทดลองวัดนํา้ หนักกอนและหลัง ดื่มเครื่องดื่มสมุนไพร ไดผลตางของนํ้าหนักดังตารางที่ 7.7 ผลตางของนํ้าหนักจะชี้ใหเห็นถึง ประสิทธิภาพของเครื่องดื่มสมุนไพร ถาผลตางเปนบวก แสดงวามีประสิทธิภาพ สามารถลด นํ้าหนักลงได แตถาผลตางเปนลบ แสดงวาไมมีประสิทธิภาพ ไมสามารถลดนํ้าหนักลงได ตารางที่ 7.7 ผลตางนํ้าหนักของผูหญิงกอนและหลังดื่มสมุนไพรลดนํ้าหนัก นํ้าหนักกอนดื่ม (X1)

นํ้าหนักหลังดื่ม (X2) 63

D1 = 65 – 63 = 2

2

72

75

D2 = 72 – 75 = ( –3)

3

68

66

D3 = 68 – 66 = 2

4

64

64

D4 = 64 – 64 = 0

ตัวอยางที่ 1

65

ผลตางของนํ้าหนัก Di = X1 – X2

บทที่ 7 การแจกแจงของการสุมตัวอยาง

ดังนั้น

219

D = 2 + ( – 3)4 + 2 + 0 = 0.25 (2 – 0.25)2 + ( – 3 – 0.25)2 + (2 – 0.25)2 + (0 – 0.25)2 4–1

SD = = 2.363

การแจกแจงของการสุมตัวอยางของผลตางเฉลี่ย D มีรูปแบบของการแจกแจงดังนี้ T =

D – µD ; SD / n

ν=

n–1

ตัวอยางที่ 7.1 ผูผลิตฟวสกลาวอางวา ฟวสจะขาดภายในเวลาเฉลี่ย 12.40 min ถาไดรับกระแส

เกิน 20% ดวยคาเบีย่ งเบนมาตรฐาน 2.48 min วิศวกรไฟฟาจึงทําการทดสอบโดยสุม ฟวสตวั อยาง จํานวน 15 ตัวมาใชงานในสภาพกระแสเกิน 20% แลววัดเวลาจนกระทั่งฟวสขาด จงหาความนา จะเปนที่พบเวลาเฉลี่ยที่ฟวสตัวอยางจะขาดมากกวา 10.52 min ถาทราบวาอายุการใชงานของ ฟวสเมื่อไดรับกระแสเกิน 20% มีการแจกแจงปกติ

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ ฟวส ตัวแปรสุม X คือ อายุการใชงานของฟวสเมื่อไดรับกระแสเกิน 20% (min)

และ

X

∼

N(12.40, 2.482)

µx

=

µ

σx

= 12.40 = σn = 2.48 = 0.64 15

*** เลือกวิเคราะห X ดวยการแจกแจง Z = X – µ σ/ n

220

สถิติวิศวกรรม

∴ P(X > 10.52 )

(

)

– 12.40 = P(Z > – 2.94) = P X σ– µx > 10.520.64 x

= 0.9984

ตัวอยางที่ 7.2 สุมตัวอยางอะลูมิเนียมแผนที่ใชในการสรางปกเครื่องบินพาณิชยจํานวน 8 แผน

จากอะลูมิเนียมแผนที่ทนตอความเคน (Tensile Strength) เปนการแจกแจงปกติดวยความเคน เฉลี่ย 87.6 kg/mm2 ในกลุมอะลูมิเนียมแผนตัวอยางพบวา คาเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 1.5 kg/mm2 จงหาความนาจะเปนที่ความเคนเฉลี่ยของอะลูมิเนียมแผนตัวอยางนอยกวา 89.2 kg/mm2

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ อะลูมิเนียมแผน ตัวแปรสุม X คือ ความเคนที่อลูมิเนียมแผนรับได (kg/mm2) X

∼

N(87.6, σ2) ทราบคา S = 1.5

µx

=

µ

Sx =

และ

= 87.6 S = n

1.5 = 0.53 8

*** เลือกวิเคราะห X ดวยการแจกแจง T = X – µ S/ n ∴

(

P(X < 89.2 ) = P X S– µx x


39.25 ) = P

D

>

39.25 – 35 6.7/ 12

= P( T > 2.202) เมื่อ

ν

)

= 11

= 0.025

ตัวอยางที่ 7.4 วิศวกรรมจราจร (Taffic Engineer) เก็บรวบรวมขอมูลความปลอดภัยของ

การจราจรทีส่ แี่ ยกแหงหนึง่ ชวงชัว่ โมงเรงดวน โดยทัว่ ไปพบวาโอกาสทีจ่ ะมีอบุ ตั เิ หตุสงู ถึง 18 ครัง้ จากการบันทึก 75 ครั้ง จงหาความนาจะเปนที่จะมีอุบัติเหตุเกิดขึ้น 1. ตั้งแต 10 – 20% 2. มากกวาหรือเทากับ 2 ใน 7 ครั้ง

222

สถิติวิศวกรรม

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ การจราจรที่สี่แยกแหงหนึ่ง ตัวแปรสุม X คือ จํานวนอุบัติเหตุที่เกิดขึ้น (ครั้ง) X ∼ b(x; n, p) ∼ b(x; 75, 0.24) 18 = 0.24 µp^ = P = 75 p (– P) σp^ = และ n (0.24)(0.76) = 0.05 75 p^ – p *** เลือกวิเคราะห p^ ดวยการแจกแจง Z = p(1 – p)/n =

1. ความนาจะเปนที่จะมีอุบัติเหตุเกิดขึ้นตั้งแต 10 – 20% 0.5 การแจกแจงทวินามจะตองมีการขยายชวงดวยแฟกเตอรปรับคาใหตอ เนือ่ ง ± 0.5 n = ± 75 กอน จึงจะวิเคราะหตอดวยการแจกแจง Z ∴

P(0.1 ≤ p^

≤ 0.2)

^

– µp^ p – µp^ (0.2 + 0.5/75) – µp^ ≤ ≤ ( (0.1 – 0.5/75) ) σp^ σp^ σp^ – 0.24 ≤ Z ≤ 0.207 – 0.24 = P ( 0.0930.05 0.05 )

= P

= P( – 2.94 ≤ Z ≤ – 0.66) = 0.2546 – 0.0016 = 0.253 2. ความนาจะเปนที่จะมีอุบัติเหตุเกิดขึ้นมากกวาหรือเทากับ 2 ใน 7 ครั้ง 0.5 กรณีนี้จะตองมีการขยายชวงดวยแฟกเตอรปรับคาใหตอเนื่อง – 0.5 n = – 75 p^ – µ (2/7 – 0.5/75) – µp^ ∴ P p^ ≥ 27 = P σ p^ ≥ σp^ p^ – 0.24 = P Z ≥ 0.2790.05

(

)

=

( ( ) P (Z ≥ 0.78) = 0.2177

)

บทที่ 7 การแจกแจงของการสุมตัวอยาง

223

ตัวอยางที่ 7.5 กระบวนการผลิตกระจกไฮอินเด็กซ (High – Index Glass) ของบริษัทหนึ่ง

มีความแปรปรวนของดัชนีหักเหของเลนส (Refractive Index) 0.67 ลูกคาจะตัดสินใจไมรับ กระจกทั้งลอต ถาสุมตัวอยางแลวพบความแปรปรวนของดัชนีหักเหมากกวา 0.95 จะมีโอกาส เทาไรที่ลูกคาจะไมรับกระจก ถาสุมตัวอยางกระจกมาทดสอบจํานวน 21 ตัวอยาง จากกระจก ที่มีดัชนีหักเหเปนการแจกแจงปกติ

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ กระจกไฮอินเด็กซ ตัวแปรสุม X คือ ดัชนีหักเหของเลนส X ∼ N(µ, 0.67) 2 *** เลือกวิเคราะห S2 ดวยการแจกแจง χ2 = (n – 1)S 2 ∴

(

σ

2 (21 – 1)(0.95) P(S2 > 0.95) = P (n – 1)S > 0.67 σ2

= P(χ2 > 28.36) เมื่อ = 0.10

ν

)

= 20

กรณีสุมตัวอยางจากประชากรสองชุดเปรียบเทียบกัน การแจกแจงของการสุมตัวอยาง สําหรับตัวสถิติตางๆ มีดังนี้

4.5 การแจกแจงการสุมตัวอยาง ของผลตางของคาเฉลี่ย (X1 – X2)

ประชากร 2 กลุมที่อิสระตอกัน กลุมแรกมีคาเฉลี่ย µ1 และความแปรปรวน σ12 กลุมที่สอง มีคาเฉลี่ย µ2 และความแปรปรวน σ22 ถาประชากรทั้งสองกลุมมีการแจกแจงปกติ การแจกแจง ของการสุมตัวอยางของผลตางของคาเฉลี่ย (X1 – X2) อธิบายไดดวย ทฤษฎีสวนประกอบเชิง เสน (Linear Combination) ที่วา ถา X1, X2, …, Xn เปนตัวแปรสุมที่มีการแจกแจงปกติและอิสระตอกันที่มี E(Xi) = µi และ V(Xi) = σ2i เมื่อ i = 1, 2, …n แลว จะได Y = c1X1 + c2X2 + … + cnXn

224

สถิติวิศวกรรม

Y เปนตัวแปรสุมปกติที่มี E(Y) = c1µ1 + c2µ2 + … + cnµn V(Y) = c12 σ12 + c22 σ22 + … + cn2 σn2

และ

ดังนั้น สําหรับ X1 – X2 แลว คาเฉลี่ย

µX – X 1 2

=

µX

ความแปรปรวน

σ2

=

σ2

X1 – X2

1

– µ X2 = µ 1 – µ 2 σ2

σ2

+ σ2X = n1 + n2 X1 2 1 2

การแจกแจงการสุมตัวอยางของผลตางคาเฉลี่ย X1 – X2 มีรูปแบบของการแจกแจงดังนี้ คือ การแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน Z และการแจกแจงแบบ t ขึ้นอยูกับเงื่อนไขของเหตุการณ ซึ่งประกอบดวย 3 สวน คือ 1. การแจกแจงของตัวแปรสุม X1 และ X2 2. ความแปรปรวนของประชากร σ12 และ σ22 3. ขนาดตัวอยาง n1 และ n2 ตารางที่ 7.8 การแจกแจงการสุมตัวอยางของผลตางของคาเฉลี่ย X1 – X2 เงื่อนไขของเหตุการณ

รูปแบบของการแจกแจง

1. X1 และ X2 มีการแจกแจงปกติ

Z=

2. ทราบ σ12, σ22

1. X1 และ X2 มีการแจกแจงปกติ

2. ไมทราบ σ12, σ22 แตรูวา σ12 = σ22

3. n1 < 30 และ n2 < 30 1. X1 และ X2 มีการแจกแจงปกติ

T=

(X1 – X2) – (µ1 – µ2) (σ12/n1) + (σ22/n2)

(X1 – X2) – (µ1 – µ2) SP

เมื่อ SP =

(1/n1) + (1/n2)

; ν = n1 + n2– 2

(n1 – 1)S12 + (n2 – 1)S22 n1 + n2 – 2

[(S12/n1) + (S22/n2)]2 2. ไมทราบ σ12, σ22 แตรูวา σ12 ≠ σ22 T = (X1 – X2) – (µ1 – µ2) ; ν = (S12/n1)2/(n1 – 1) + (S22/n2)2/(n2 – 1) (S12/n1) + (S22/n2) 3. n1 < 30 และ n2 < 30

บทที่ 7 การแจกแจงของการสุมตัวอยาง

225

ตารางที่ 7.8 (ตอ) การแจกแจงการสุมตัวอยางของผลตางของคาเฉลี่ย X1 – X2 เงื่อนไขของเหตุการณ

รูปแบบของการแจกแจง

1. X1 และ X2 มีการแจกแจงแบบอื่นๆ 2. ทราบ σ12, σ22

Z=

(X1 – X2) – (µ1 – µ2)

Z =

(X1 – X2) – (µ1 – µ2)

3. n1 ≥ 30 และ n2 ≥ 30 1. X1 และ X2 มีการแจกแจงแบบอื่นๆ 2. ไมทราบ σ12, σ22

3. n1 ≥ 30 และ n2 ≥ 30

(σ12/n1) + (σ22/n2)

(S12/n1) + (S22/n2)

การแจกแจงการสุมตัวอยางของผลตางของคาเฉลี่ย X1 – X2 จะมีความคลายคลึงกับ การแจกแจงการสุมตัวอยางของผลตางเฉลี่ย (D) นั่นคือ เปนการหาผลตางเฉลี่ยเหมือนกัน แต กรณีของ X1 – X2 จะเปนการสุมตัวอยางจากประชากร 2 ชุด ขณะที่กรณีของ D จะเปนการสุม ตัวอยางจากประชากรชุดเดียวแตวัดผลดวยวิธีที่ตางกัน 2 วิธี ดังรูปที่ 7.14

ตัวอยางที่ 1 X1

ตัวอยางที่ 2 X2

ประชากร 1 µ1

ประชากร 2 µ2

(ก) X1 – X2

วิธีที่ 1 X1

วิธีที่ 2 X2

ประชากร µ

(ข) D

รูปที่ 7.14 ความแตกตางระหวางการแจกแจงผลตางเฉลี่ย X1 – X2 และ D

226

สถิติวิศวกรรม

4.6 การแจกแจงการสุมตัวอยางของ อัตราสวนของความแปรปรวน (S12/S22)

ประชากร 2 กลุมที่อิสระตอกัน กลุมแรกมีคาเฉลี่ย µ1 และความแปรปรวน σ12 กลุม ที่สองมีคาเฉลี่ย µ2 และความแปรปรวน σ22 ถาประชากรทั้งสองกลุมมีการแจกแจงปกติ การแจกแจงของการสุมตัวอยางของอัตราสวนของความแปรปรวน (S 12/S22) มีรูปแบบของ การแจกแจงดังนี้ F =

S12 σ22 ; S22 σ12

ν1

= n1 – 1 และ

ν2

= n2 – 1

**ความแปรปรวนที่มีคามากกําหนดเปน S12

4.7 การแจกแจงการสุมตัวอยางของผลตางของสัดสวน (p^1 – p^2)

กลุมตัวอยาง 2 กลุมขนาด n1 และ n2 สุมจากประชากร 2 กลุมที่อิสระตอกัน X1 และ X2 เปนจํานวนเหตุการณที่สนใจของตัวอยางที่ 1 และ 2 ตามลําดับ ถาประชากรทั้ง 2 กลุม ประมาณการแจกแจงทวินามดวยการแจกแจงปกติ ดังนั้น p^1 = X1/n1 และ p^2 = X2/n2 สามารถ ประมาณดวยการแจกแจงปกติไดเมื่อ n ทั้งสองกลุมมีขนาดใหญ การแจกแจงการสุมตัวอยางของผลตางของสัดสวน ( p^1 – p^2) มีรูปแบบของการแจกแจง ดังนี้

Z =

(p^1 – p^2) – (p1 – p2) [p1(1 – p1)/n1] + [p2(1 – p2)/n2]

บทที่ 7 การแจกแจงของการสุมตัวอยาง

227

ตัวอยางที่ 7.6 กระบวนการทางเคมีที่ใชกรดกัดบนแผน PCB มีการเลือกใชตัวเรง 2 ชนิด

เปรียบเทียบเวลาทําปฏิกิริยาแลวเสร็จ ถาประสิทธิภาพของตัวเรงชนิดที่ 1 ใชเวลาทําปฏิกิริยา แลวเสร็จเฉลี่ย 24.9 min ขณะที่ตัวเรงชนิดที่ 2 ใชเวลาเฉลี่ย 21.8 min วิศวกรเคมีทดสอบตัวเรง ทั้งสองชนิดดวยแผน PCB ชนิดละ 50 แผน พบวาคาเบี่ยงเบนมาตรฐานของเวลาทําปฏิกิริยา เทากับ 0.85 และ 0.98 min ตามลําดับ จงหาความนาจะเปนทีต่ วั เรงชนิดแรกจะใชเวลาทําปฏิกริ ยิ า เฉลี่ยนานกวาตัวเรงชนิดที่ 2 อยางนอย 3.5 min

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ แผน PCB ตัวแปรสุม X1 และ X2 คือ เวลาทําปฏิกิริยาแลวเสร็จโดยใชตัวเรงชนิดที่ 1 และ 2 (min) X1 ∼ N (24.9, σ12) ทราบคา S1 = 0.85 X2 ∼ N (21.8, σ22) ทราบคา S2 = 0.98 (X – X ) – (µ1 – µ2) *** เลือกวิเคราะห X1 – X2 ดวยการแจกแจง Z = 1 2 S12/n1 + S22/n2 ∴ P(X1 – X2 ≥ 3.5)

= P

( (X1 –SX2/n2) –+(µS12/n– µ2) ≥ 2 2

1 1

(

= P Z

≥

3.5 – (24.9 – 21.8) 0.852/50 + 0.982/50

)

)

0.4 0.1835 = P(Z ≥ 2.18) = 0.0146

ตัวอยางที่ 7.7 ในการทดสอบคาความตานทาน (Resistance) ของสายเคเบิลทองแดง 2

ประเภท ดวยการสุมตัวอยางสายเคเบิลประเภทที่ 1 จํานวน 13 ตัวอยาง และวัดคาเบี่ยงเบน มาตรฐาน 0.26 Ω และสุมตัวอยางสายเคเบิลประเภทที่ 2 จํานวน 10 ตัวอยาง และวัดคาเบี่ยง เบนมาตรฐานได 0.35 Ω สมมติวาคาความตานทานของสายเคเบิลทั้งสองมีการแจกแจงปกติ ดวยคาความแปรปรวนเทากัน และมีคาความตานทานเฉลี่ยของสายเคเบิลเทากับ 75 และ 50 Ω ตามลําดับ จงหาความนาจะเปนทีค่ า เฉลีย่ ของสายเคเบิลตัวอยางประเภทที่ 1 จะมากกวาประเภท ที่ 2 มากกวา 24.6 Ω

228

สถิติวิศวกรรม

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ สายเคเบิลทองแดง ตัวแปรสุม X1 และ X2 คือ คาความตานทานของสายเคเบิลประเภทที่ 1 และประเภทที่ 2 (Ω) X1 ∼ N (75, σ12) ทราบคา S1 = 0.26 X2 ∼ N (50, σ22) ทราบคา S2 = 0.35 (X – X ) – (µ1 – µ2) *** เลือกวิเคราะห X1 – X2 ดวยการแจกแจง T = 1 2 SP (1/n1) + (1/n2) ∴ P(X1 – X2 > 24.6)

เมื่อ

= P

SP =

– (75 – 50) ( (XS1 – X(1/n2) –)(+µ1(1/n– µ2)) > S 24.6(1/13) ) + (1/10) P

1

P

(13 – 1)0.262 + (10 – 1)0.352 = 0.302 13 + 10 – 2

= P( T > – 3.15) เมื่อ ≈

2

ν

= n1 + n2 – 2 = 21

0.9975

ตัวอยางที่ 7.8 ผลการวัดประสิทธิผลโดยรวม (Overall Equipment Effectiveness – OEE) ของ

ตูเครื่องดื่มกระปองหยอดเหรียญของรานสะดวกซื้อแหงหนึ่ง พบวาประสิทธิผลโดยรวมของตูที่ 1 และตูที่ 2 เปน 83% และ 79% ตามลําดับ ถาทดสอบการใชงานจํานวน 250 ครั้งตอตู จงหาความ นาจะเปนที่พบประสิทธิภาพโดยรวมของตูที่ 1 มากกวาตูที่ 2 เกิน 5.5%

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ ตูเครื่องดื่มกระปองหยอดเหรียญ ตัวแปรสุม X1 และ X2 คือ คาประสิทธิผลโดยรวมของตูที่ 1 และตูที่ 2 (%) X1 ∼ b(x1; n1, p1) ∼ b(x; 250, 0.83) X2 ∼ b(x2; n2, p2) ∼ b(x; 250, 0.79)

บทที่ 7 การแจกแจงของการสุมตัวอยาง

*** เลือกวิเคราะห p^1 – p^2 ดวยการแจกแจง Z =

(

(p^1 – p^2) – (p1 – p2)

∴ P (p^1 – p^2 > 0.055) = P

>

[p1(1 – p1)/n1] + [p2(1 – p2)/n2]

(

= P Z > 0.015 0.035

229

(p^1 – p^2) – (p1 – p2) [p1(1 – p1)/n1] + [p2(1 – p2)/n2] 0.055 – (0.83 – 0.79) [0.83(0.17)/250] + [0.79(0.21)/250]

)

) = P( Z > 0.429) = 0.3336

ตัวอยางที่ 7.9 ในการศึกษาความแปรปรวนที่เกิดในกระบวนการชุบเงินดวยกระแสไฟฟา (Silver

Electro Plating Process) ของบริษัทที่ 1 และบริษัทที่ 2 พบคาเบี่ยงเบนมาตรฐานของความ ลึกจากผิวตัวนํา (Skin Depth) S1 และ S2 เทากับ 0.035 และ 0.062 mil (1 mil = 0.001 in) ตามลําดับ วัดไดจากกลุมตัวอยางขนาด 10 และ 11 ซึ่งสุมจากชิ้นงานที่มีการแจกแจงปกติที่มี คาความแปรปรวนเทากัน จงวิเคราะหความนาจะเปนของความแปรปรวนบริษทั ที่ 2 มากกวาบริษทั ที่ 1

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ ชิ้นงานที่ผานกระบวนการชุบเงิน ตัวแปรสุม X1 และ X2 คือ คาความลึกจากผิวตัวนํา (mil) X1 ∼ N(µ1, σ12) และ X2 ∼ N(µ2, σ22) ทราบวา σ12 = *** เลือกวิเคราะห S12/S22 ดวยการแจกแจง F = ∴

P(S22 > S12) = P

(

S22σ21 S12σ22

>

(0.0622)σ21 (0.0352)σ22

σ22

S12σ22 S22σ12

)

= P( F > 3.14) เมื่อ ν1 = 10 (บริษัทที่ 2), ν2 = 9 (บริษัทที่ 1) = 0.05

230

สถิติวิศวกรรม

แบบฝกหัด 1. จงหาคาของ χα2, ν 1.1 χ20.95, 8 (เฉลย : 2.73) 1.2 χ20.05, 12 (เฉลย : 11.34) 1.3 χ20.025, 20 (เฉลย : 34.17) 1.4 P(χ2 < χ2α, 10) = 0.975 (เฉลย : 20.48) 1.5 P(37.652 < χ2 < χ2α, 25) = 0.045 (เฉลย : 46.93) 1.6 P(χ2α, 10 < χ2 < 23.209) = 0.015 (เฉลย : 20.48) 2. จงหาคาตอไปนี้ 2.1 t0.025, 14 (เฉลย : 2.145) 2.2 t0.995, 7 (เฉลย : –3.499) 2.3 P( – 1.356 < T < 2.179) เมื่อ ν = 12 (เฉลย : 0.985) 2.4 P( k < T < 2.807) = 0.095 เมื่อ ν = 23 (เฉลย : 1.319) 2.5 P(| T | < k) = 0.90 เมื่อ ν = 23 (เฉลย : 1.714) 3. จงหาคาของ f 3.1 f0.25, 4, 9 (เฉลย : 1.63) 3.2 f0.05, 15, 10 (เฉลย : 2.85) 3.3 f0.95, 6, 8 (เฉลย : 0.241) 3.4 f0.90, 24, 24 (เฉลย : 0.588) 4. นํ้าหนักของอาหารกระปองมีการแจกแจงแบบปกติดวยนํ้าหนักเฉลี่ย 400 g และคาความ แปรปรวน 146.4 g2 ถาสุม ตัวอยางอาหารกระปองจํานวน 25 กระปอง จงหาความนาจะเปนที่ พบนํ้าหนักเฉลี่ยของอาหารกระปองตัวอยางอยูระหวาง µ ± σ/53.1 (เฉลย : 0.6826)

บทที่ 7 การแจกแจงของการสุมตัวอยาง

231

5. คาความหนาแนนของตะกั่วเมื่อถูกชั่งดวยตาชั่งสปริงในของเหลวชนิดหนึ่ง มีการแจกแจง แบบปกติดวยคาเฉลี่ย 12,000 kg/m3 ถาสุมตัวอยางกอนตะกั่ว 10 กอน แลววัดคา ความหนาแนนจะไดคาเบี่ยงเบนมาตรฐานของความหนาแนน 2,980 kg/m3 จงหาความ นาจะเปนที่คาความหนาแนนเฉลี่ยของกอนตะกั่ว 10 กอนนี้จะมากกวา 13,500 kg/m3 (เฉลย : 0.0767) 6. ขอมูลในอดีตพบวา ตัวตานทานไฟฟาที่ผลิตจากสายการผลิตหนึ่งทุกๆ 100 ตัว จะพบตัว ตานทานไฟฟาที่คุณภาพตํ่ากวาเกณฑ 10 ตัว กอนที่จะสงใหลูกคาทางแผนกตรวจสอบ คุณภาพทําการสุมตัวอยางตัวตานทานไฟฟา 500 ตัว จงหาความนาจะเปนที่พบสัดสวน ของตัวตานทานไฟฟาตัวอยางที่ไมผานเกณฑคุณภาพมากกวา 11% (เฉลย : 0.2514) 7. ลูกสูบมีบทบาทสําคัญตอการทํางานของระบบเครื่องยนต ผูผลิตลูกสูบไดกําหนดขนาด กระบอกสูบ (Bore) ซึ่งมีการแจกแจงแบบปกติดวยความแปรปรวน 6 mm2 ถาสุมลูกสูบมา ตรวจสอบขนาดกระบอกสูบจํานวน 25 ชิน้ จงหาความนาจะเปนทีพ่ บวาความแปรปรวนของ ขนาดกระบอกสูบของลูกสูบตัวอยางมีคามากกวา 10.745 mm2 (เฉลย : 0.01) 8. บริษัทผูผลิตอินซูลินแบบขวด ระบุคาความเขมขนของอินซูลินที่บรรจุในแตละขวดมีการ แจกแจงปกติ โดยมีคาเฉลี่ย 200 unit/mm และมีคาเบี่ยงเบนมาตรฐาน 6 unit/mm ไดสุม ตัวอยางอินซูลนิ แบบขวดมาตรวจสอบ 9 ขวด จงหาความนาจะเปนทีค่ วามเขมขนเฉลีย่ ของ อินซูลินทั้ง 9 ขวดนี้แตกตางจากความเขมขนเฉลี่ยที่แทจริงไมเกิน 4 unit/mm (เฉลย : 0.9544) 9. คาความหนืดของแปงที่ผลิตในโรงงานอุตสาหกรรมแปงแหงหนึ่งมีคาเฉลี่ย 40 Brabender Unit (BU) และมีคาเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2 BU สุมตัวอยางแปงมาตรวจสอบ 36 ตัวอยาง จงหาความนาจะเปนทีค่ า ความหนืดรวมของแปงตัวอยางมากกวา 1,458 BU (เฉลย : 0.0668) 10. การปลูกขาวโดยใชพันธุขาวชนิดหนึ่ง พบวาโดยปกติจะมีอัตราเติบโตจนสามารถเก็บเกี่ยว ไดประมาณ 60% ในการปลูกขาวครั้งหนึ่งตองใชพันธุขาวชนิดนี้ 100 ตัน จงหาความนาจะ เปนที่พบการเติบโตของขาวจนสามารถเก็บเกี่ยวไดไมถึง 50 ตันใน 100 ตัน (เฉลย : 0.0162)

232

สถิติวิศวกรรม

11. วิศวกรคุณภาพตรวจสอบผลิตภัณฑสิ่งทอทางการแพทยชนิดหนึ่ง พบวามีผลิตภัณฑชํารุด 2% ถาสุมตัวอยางสิ่งทอทางการแพทยจํานวน 400 ตัวอยาง จงหาความนาจะเปนที่ตรวจ ผลิตภัณฑชํารุด 11.1 อยางนอย 3% (เฉลย : 0.1056) 11.2 ไมเกิน 2% (เฉลย : 0.5714) 12. นํ้าหนักของแบตเตอรี่ที่ผลิตจากบริษัท A และ B มีการแจกแจงแบบปกติ แบตเตอรี่ของ บริษัท A มีนํ้าหนักเฉลี่ย 102 g และคาเบี่ยงเบนมาตรฐาน 7.8 g สวนแบตเตอรี่ของบริษัท B มีนํ้าหนักเฉลี่ย 98.7 g และคาเบี่ยงเบนมาตรฐาน 6.9 g ถาสุมตัวอยางแบตเตอรี่จาก บริษัท A จํานวน 25 ลูก และจากบริษัท B จํานวน 30 ลูก จงหาความนาจะเปนที่ผลตางของ นํ้าหนักเฉลีย่ ของแบตเตอรี่จากบริษัท A จะมากกวาแบตเตอรีจ่ ากบริษัท B อยางนอย 2.5 g (เฉลย : 0.6554) 13. สถิติของการตรวจสอบคุณภาพนํ้าจากนิคมอุตสาหกรรม 2 แหง ระบุวาพบนํ้าเสียในนิคม แหงที่ 1 และ 2 ในอัตราสวน 35 และ 30% ตามลําดับ ถาสุมตัวอยางนํ้าจากนิคมแหงที่ 1 จํานวน 500 ตัวอยาง และนิคมแหงที่ 2 จํานวน 500 ตัวอยาง จงหาความนาจะเปนที่พบนํ้า เสียในนิคมแหงที่ 1 มากกวานิคมแหงที่ 2 เกิน 10% (เฉลย : 0.0455) 14. บริษทั ทอผาฝายแหงหนึง่ ใชเครือ่ งจักร 2 รุน ในการทอผา เพือ่ ประมาณคาอัตราสวนของความ แปรปรวนของจํานวนเสนดายตอตารางนิ้ว (Thread Count) ของผาที่ทอระหวางเครื่องจักร ปจจุบนั กับรุน ใหม จึงทําการสุม ตัวอยางผาฝายทีท่ อโดยเครือ่ งจักรรุน ปจจุบนั มา 25 ผืน และ สุมตัวอยางผาฝายที่ทอโดยเครื่องจักรรุนใหมมา 31 ผืน จงหาความนาจะเปนที่อัตราสวน ความแปรปรวนจํานวนเสนดายตอตารางนิ้วในผาฝายตัวอยางระหวางเครื่องจักรปจจุบัน กับรุนใหมมีคามากกวา 1.26 (จากขอมูลในอดีตพบวาความแปรปรวนของจํานวนเสนดาย ตอตารางนิ้วจากเครื่องจักรปจจุบันเทากับ 10 และจากเครื่องจักรใหมเทากับ 15) (เฉลย : 0.05) 15. บริษัทผูผลิตตลับลูกปน 2 บริษัทคือ A และ B ผลิตตลับลูกปนที่มีความเร็วเฉลี่ย 4,000 และ 4,500 rpm ดวยคาเบี่ยงเบนมาตรฐาน 300 และ 200 rpm ตามลําดับ สุมตัวอยางตลับ ลูกปนจากบริษัท A จํานวน 100 ชิ้น และสุมตัวอยางตลับลูกปนจากบริษัท B จํานวน 50 ชิ้น จงหาความนาจะเปนที่ตลับลูกปนตัวอยางจากบริษัท B จะมีความเร็วเฉลี่ยมากกวาตลับ ลูกปนตัวอยางจากบริษัท A อยางนอยที่สุด 600 rpm (เฉลย : 0.0077)

8

ทฤษฎีการประมาณคา

จากบทที่ 1 ประเภทของสถิติมี 2 ประเภทคือ สถิติเชิงพรรณนา (Descriptive Statistics) และสถิติเชิงอนุมาน (Inferential Statistics) ซึ่งการนําขอมูลที่เก็บรวบรวมไดจากกลุมตัวอยาง มาวิเคราะหเพื่อประมาณ คาดคะเน และสรุปอางอิง หรือนําไปสูการตัดสินใจไปยังประชากรที่ ศึกษานั้นเปนหลักสําคัญของสถิติเชิงอนุมาน วิธีการวิเคราะหแบงเปน 2 วิธีคือ การประมาณ คาพารามิเตอร (Parameter Estimation) และ การทดสอบสมมติฐานทางสถิติ (Statistical Hypothesis Testing) การประมาณคาพารามิเตอรเปนการประมาณหรือทํานายคาของพารามิเตอร สวนการ ทดสอบสมมติฐานเปนการตัดสินใจวาคาของพารามิเตอรทกี่ าํ หนดใหเปนจริงหรือไม เพือ่ ใหเขาใจ ถึงความแตกตางระหวางวิธีการทั้งสอง จะขอยกตัวอยางดังตอไปนี้ ตัวอยางเชน กระบวนการเคลือบผิวทองแดงบนแผน PCB พบวาวิศวกรตองอาศัยขอมูล จากการผลิตแผน PCB ในหลายวันที่ผานมา เพื่อนํามาคํานวณหาคาความหนาโดยเฉลี่ยของ การเคลือบผิว เนือ่ งจากเขาไมแนใจวาคาความหนาเฉลีย่ ทีแ่ ทจริง µ ควรเปนเทาไหร การประมาณ คาความหนาเฉลี่ยจัดเปนการประมาณคาพารามิเตอร (Parameter Estimation) ตัวอยางเชน ถาวิศวกรไดรบั ขอมูลจากฝายวิศวกรรมวาความหนาของการเคลือบผิวทองแดง ตองไมนอยกวา 0.001 นิ้ว จึงจะทําใหกระบวนการผลิตเปนไปตามมาตรฐาน (In Control) เพื่อจะ ตัดสินใจวากระบวนการผลิตเปนไปตามมาตรฐานหรือไม วิศวกรตองทําการทดสอบภายใตการตัง้ สมมติฐานวาความหนาเฉลี่ยของการเคลือบผิวมีคา 0.001 นิ้วขึ้นไป แลวทําการสุมตัวอยางจาก กระบวนการผลิตเพื่อมาพิสูจนวาสมมติฐานของเขาถูกตองหรือไม กระบวนที่นําไปสูการตัดสินใจ ดังกลาว เรียกวาการทดสอบสมมติฐาน (Hypothesis Testing)

234

สถิติวิศวกรรม

เนื้อหาในบทเรียนนี้ จะอธิบายถึงหลักการของการประมาณคาพารามิเตอร ซึ่งประกอบ ดวยการประมาณคาแบบจุด และการประมาณคาแบบชวง

1. การประมาณคาแบบจุด (Point Estimation)

การประมาณคาแบบจุดเปนการใชคาสถิติ 1 คา ซึ่งคํานวณจากกลุมตัวอยางมาประมาณ คาพารามิเตอรของประชากร ซึ่งมีโอกาสที่จะประมาณคาผิดพลาดคลาดเคลื่อนไดอยางมาก ตัว ประมาณคา (Estimator) ที่ดีจะตองมีทั้งความเที่ยงตรง (Accuracy) และความแมนยํา (Precision) ในการวัดความเที่ยงตรงจะวิเคราะหผานหลักของความไมเอนเอียง (Unbiased Estimators) สวน การวัดความแมนยําจะดูที่ความแปรปรวนของตัวประมาณคา (Variances of Estimators) ตัวประมาณคา θ^ จะเปนตัวประมาณคาที่ไมเอนเอียงของพารามิเตอร θ ถา E(θ^) = θ ตัวอยางเชน ตัวประมาณคาที่ไมเอนเอียงของพารามิเตอร µ และพารามิเตอร σ2 จะเปน X และ S2 ตามลําดับ ซึ่งอธิบายไดดังนี้ ถาตัวแปรสุม X มีคาเฉลี่ย µ และความแปรปรวน σ2 สุมตัวอยางขนาด n จากตัวแปรสุม X จะได X1, X2, …, Xn ดังนั้น E(X) = E ∴

(

n

Xi Σ i=1 n

)=

1 n E(X ) = 1 n µ = i nΣ nΣ i=1 i=1

X เปนตัวประมาณคาที่ไมเอนเอียงของพารามิเตอร µ n (Xi – X)2 Σ 1 E n (X – X)2 i=1 E(S2) = E = i n–1 Σ n–1 i=1 n = n 1– 1 E Σ (X2i + X2 – 2XXi) i=1 n n = n 1– 1 E Σ X2i – nX2 = n –1 1 Σ E(X2i ) – nE(X2) i=1 i=1

(

)

(

n

)

(

2

)

= n 1– 1 Σ (µ2 + σ2) – n µ2 + σn i=1 1 = n – 1 (nµ2 + nσ2 – nµ2 – σ2) = σ2 ∴

µ

S2 เปนตัวประมาณคาที่ไมเอนเอียงของพารามิเตอร σ2

บทที่ 8 ทฤษฎีการประมาณคา

235

จะเห็นไดวาไมมีการเอนเอียง (Unbias) ถาการคํานวณคา S2 ใชตัวหารเปน n – 1 แทนที่ จะเปน n ถาเปลี่ยนมาคํานวณโดยใชตัวหารเปน n จะพบวามีการเอนเอียง (Bias) เกิดขึ้นดังนี้

) = ( n –n 1 ) σ2 2 E(σ^ 2) – σ2 = ( n –n 1 ) σ2 – σ2 = – σn

E(σ^ 2) = E ∴

มีการเอนเอียง =

(

n

(Xi – X)2 Σ i=1 n

รูปที่ 8.1 แสดงการแจกแจงการสุมตัวอยางของตัวประมาณคา 2 ตัวคือ θ^1 และ θ^2 จาก รูปจะเห็นไดวา คาเฉลีย่ ของ θ^1 เทากับ θ ดังนัน้ หากวัดทีค่ วามเทีย่ งตรงแลว θ^1 จะเปนตัวประมาณ คาไมเอนเอียงของ θ ในขณะที่ี θ^2 จะมีคาการเอนเอียงเกิดขึ้น

θ^1

θ^2

θ

คาการเอนเอียง

รูปที่ 8.1 ความเอนเอียงและความไมเอนเอียงของการประมาณคา ที่มา : Vining and Kowalski. 2006.

ตัวประมาณคา θ^ จะมีความแมนยํา ถาการแจกแจงของการสุมตัวอยางมีคาความคลาด เคลื่อนมาตรฐาน (Standard Error) นอย รูปที่ 8.2 แสดงการแจกแจงของการสุมตัวอยางของตัว ประมาณ 2 ตัวคือ θ^1 และ θ^2 จากรูป ทั้ง 2 ตัวเปนตัวประมาณคาที่ไมเอนเอียง (Unbiased Estimators) แต θ^1 มีความแปรปรวนนอยกวา θ^2 ดังนั้น θ^1 จะใหคาประมาณที่ใกลคาที่แทจริงของ ^ ^ θ มากกวา θ2 หรือกลาวไดวา θ1 เปนตัวประมาณคาที่แมนยําของ θ

236

สถิติวิศวกรรม ^

θ1

θ^2 θ

รูปที่ 8.2 ความแมนยําของการประมาณคา ที่มา : Vining and Kowalski. 2006.

ตัวประมาณคาแบบจุดทีพ่ บบอยในการประมาณคาพารามิเตอรของงานทางวิศวกรรม มีดงั นี้ กรณีประชากรชุดเดียว พารามิเตอร ตัวประมาณคาแบบจุด µ µ^ = X คาเฉลี่ย ความแปรปรวน σ2 σ^ 2 = S2 สัดสวน p p^ = Xn กรณีประชากรสองชุด พารามิเตอร ตัวประมาณคาแบบจุด µ1 – µ2 µ^1 – µ^2 = X1 – X2 ผลตางของคาเฉลี่ย ผลตางของสัดสวน p1 – p2 p^1 – p^2

2. การประมาณคาแบบชวง (Interval Estimation) การประมาณคาแบบชวงเปนการประมาณคาโดยใชคาสถิติหลายคาในลักษณะเปนชวง (Interval) ตั้งแตคาตํ่าสุด (Lower) จนถึงคาสูงสุด (Upper) เพื่อใชในการประมาณคาพารามิเตอรที่ ตองการ การประมาณคาแบบนีจ้ ะมีโอกาสผิดพลาดคลาดเคลือ่ นไดนอ ยกวาการประมาณคาแบบจุด ในการสรางตัวประมาณคาแบบชวงของพารามิเตอร θ จําเปนตองหาคาตํา่ สุดและคาสูงสุด ซึ่ง P(L ≤ θ ≤ U) = 1 – α ดังนั้น ชวง L ≤ θ ≤ U จะถูกเรียกวา ชวงความเชื่อมั่น 100 (1 – α)% (Confidence Interval) สวนคา L และคา U จะถูกเรียกวา คาลิมิตความเชื่อมั่นดานลาง (Lower Confidence Limits) และคาลิมิตความเชื่อมั่นดานบน (Upper Confidence Limits) สําหรับ 1 – α จะเรียกวาคาสัมประสิทธิ์ของความเชื่อมั่น (Confidence Coefficient) ตัวอยางเชน ถากําหนด P(L ≤ µ ≤ U) = 0.95 แสดงวาโอกาสที่พารามิเตอร µ จะมี คาอยูในชวงตั้งแตคา L ถึงคา U เทากับ 0.95 หรือเรียกวาระดับความเชื่อมั่น 95%

บทที่ 8 ทฤษฎีการประมาณคา

237

P(µ ≤ L) + P(µ ≥ U) = 0.05 หมายถึง โอกาสที่พารามิเตอร µ จะมีคาอยูในชวงนอยกวา หรือเทากับ L และมีคาอยูในชวงมากกวาหรือเทากับ U คิดเปน 0.05 หรือเรียกวาระดับนัย สําคัญ (Significance Level) 5%

1–α α

2

µ α

2

µ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

ตัวอยางกลุม ที่

(ก)

(ข)

รูปที่ 8.3 การประมาณคาแบบชวง ที่มา : Vining and Kowalski. 2006. และ Montgomery and Runger. 2003.

จากรูปที่ 8.3 (ก) แสดงระดับความเชื่อมั่น 100 (1 – α)% และระดับนัยสําคัญ 100 (α)% รูปที่ 8.3 (ข) แสดงชวงของความเชื่อมั่น 100 (1 – α)% ของพารามิเตอร µ สําหรับการแจกแจง แบบปกติเมือ่ กลุม มีการสุม ตัวอยางซํา้ หลายๆ ครัง้ จุดกึง่ กลางของแตละชวงเปนคาเฉลีย่ X จะเห็น วาตัวอยางกลุมที่ 11 จะใหการประมาณคาแบบชวงที่ไมครอบคลุมคาพารามิเตอร µ ซึ่งสอดคลอง กับการกําหนดชวงความเชื่อมั่น 95% ที่จะมีประมาณ 15 กลุมที่มีพารามิเตอร µ อยูในชวงความ เชื่อมั่น ขณะที่ 5% หรือ 1 กลุมมีโอกาสประมาณคาผิดพลาดคลาดเคลื่อน การเปลี่ยนคาของระดับความเชื่อมั่นจะมีผลทําใหคา L และคา U เปลี่ยนไปดวย สําหรับ การแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน Z, การแจกแจงไค–สแควร χ2, การแจกแจง t และการแจกแจง F ที่ระดับความเชื่อมั่นตางๆ จะไดคาวิกฤติ (Critical Value) ซึ่งหมายถึงคาตํ่าสุดและสูงสุดของ การประมาณคาแบบชวง ดังตารางที่ 8.1 เมื่อระดับความเชื่อมั่นเปลี่ยนจาก 90% เปน 95% หรือ 98% จะพบวาคาวิกฤติของการแจกแจงทุกรูปแบบมีคาเปลี่ยนแปลงไป

238

สถิติวิศวกรรม

ตารางที่ 8.1 ความสัมพันธของระดับความเชื่อมั่นกับคาวิกฤติ คาวิกฤติ (คาตํ่าสุดและคาสูงสุด) การแจกแจง χ2 การแจกแจง t การแจกแจง F (χ21 – α/2, 5, χ2α/2, 5) (± tα/2, 5) (F1 – α/2, 5, 5, Fα/2, 5, 5) (1.15, 11.07) (–2.015, 2.015) (0.198, 5.05) (0.83, 12.83) (–2.571, 2.571) (0.140, 7.15) (0.55, 15.09) (–3.365, 3.365) (0.091, 10.97)

ระดับ ความเชื่อมั่น การแจกแจง Z (± zα/2) (1 – α) 0.90 หรือ 90% (–1.645, 1.645) 0.95 หรือ 95% (–1.960, 1.960) 0.98 หรือ 98% (–2.325, 2.325)

การประมาณคาแบบชวงแบงไดเปน 2 ประเภทคือ

1. การประมาณคาสองทาง (Two – Tailed Interval Estimate) เปนการประมาณ

คาโดยกําหนดคาลิมิตความเชื่อมั่นทั้งดานตํ่าสุดและดานสูงสุด P(L ≤ θ ≤ U) = 1 – α ตัวอยางเชน P(–2.179 ≤ t ≤ 2.179) = 0.95 2. การประมาณคาทางเดียว (One – Tailed Interval Estimate) เปนการประมาณ คาโดยกําหนดคาลิมิตความเชื่อมั่นเพียงดานเดียว ประมาณคาทางดานลาง (Lower Bound) P(L ≤ θ) = 1 – α ประมาณคาทางดานบน (Upper Bound) P(θ ≤ U) = 1 – α ตัวอยางเชน P(–1.782 ≤ t) = 0.95 การประมาณคาทางดานลาง P(t ≤ 1.782) = 0.95 การประมาณคาทางดานบน 1 – α = 0.95

1 – α = 0.95

α

α = 0.05

2 = 0.025

–2.179

0 2.179 (ก) แบบสองทาง

t

0 1.782 (ข) แบบทางเดียว (ดานบน)

t

รูปที่ 8.4 ประเภทของการประมาณคาแบบชวง ที่มา : Devore and Farnum. 2005.

2.1 สรุปการประมาณคาพารามิเตอร

การประมาณคาพารามิเตอรหรือลักษณะตางๆ ของประชากรทีใ่ ชกนั ทัว่ ไปคือ การประมาณ คาเฉลี่ย (µ) ความแปรปรวน (σ2) และสัดสวน (p) สําหรับการประมาณคาพารามิเตอรแบบชวง แสดงดังตารางที่ 8.2

คาเฉลี่ย (µ)

พารามิเตอร

3. n ≥ 30

2.

ไมทราบ σ2

1. X มีการแจกแจงแบบอื่นๆ

3. n ≥ 30

2. ทราบ σ2

1. X มีการแจกแจงแบบอื่นๆ

3. n ≥ 30

2.

n

σ

X – Zα/2 S n

X – Zα/2

≤ µ ≤ X + Zα/2

≤ µ ≤ X + Zα/2

≤ µ ≤ X + Zα/2

X – Zα/2 S n

ไมทราบ σ2

3. n < 30

2. ไมทราบ σ2

n

σ

S n

n

σ

S n

≤ µ ≤ X + tα/2, n – 1

≤ µ ≤ X + Zα/2

1. X มีการแจกแจงปกติ

n

σ

X – tα/2, n – 1 S n เมื่อ v = n = 1

X – Zα/2

S n

กรณีสุมตัวอยางจากประชากรชุดเดียว

การประมาณคาสองทาง

1. X มีการแจกแจงปกติ

2. ทราบ σ2

1. X มีการแจกแจงปกติ

เงื่อนไขของเหตุการณ

n

µ≥

n n

σ

σ

X – Zα S n S ดานบน µ ≤ X + Zα n ดานลาง

µ ≤ X + Zα

ดานบน

X – Zα µ≥

ดานลาง

µ≥

X – Zα S n S ดานบน µ ≤ X + Zα n ดานลาง

µ ≥ X – tα, n – 1

µ ≤ X + Zα

S n ดานบน µ ≤ X + tα, n – 1 S n ดานลาง

ดานบน

n

σ

σ

การประมาณคาทางเดียว

ดานลาง µ ≥ X – Zα

ตารางที่ 8.2 การประมาณคาแบบชวงของพารามิเตอร

บทที่ 8 ทฤษฎีการประมาณคา

239

ผลตางเฉลี่ย (µD)

สัดสวน (p)

ความแปรปรวน ( σ2)

พารามิเตอร

≤ µD ≤ D + tα/2, n – 1

SD n

S D – tα/2, n – 1 D n

S ดานลาง µD ≥ D – tα, n – 1 D n SD ดานบน µD ≤ D + tα, n – 1 n

^^ ดานบน p ≤ p^ + Zα pnq

X มีการแจกแจงปกติ

p^ q^ n

^^ ดานลาง p ≥ p^ – Zα pnq

≤ p ≤ p^ + Zα/2

χ21 – α, n – 1

(n – 1)S2

χ α, n – 1

2 ดานลาง σ2 ≥ (n2– 1)S

^^ p^ – Zα/2 pnq

(n – 1)S2 2 χ 1 – α/2, n – 1

1. X ∼ b(x; n, p) 2. n ≥ 30

≤ σ2 ≤

การประมาณคาทางเดียว

ดานบน σ2 ≤

α/2, n – 1

χ2

(n – 1)S2

กรณีสุมตัวอยางจากประชากรชุดเดียว

การประมาณคาสองทาง

เมื่อ ν = n – 1

X มีการแจกแจงปกติ

เงื่อนไขของเหตุการณ

ตารางที่ 8.2 (ตอ) การประมาณคาแบบชวงของพารามิเตอร

240 สถิติวิศวกรรม

ผลตางของคาเฉลี่ย ( µ 1 – µ 2)

พารามิเตอร

3. n1 < 30 และ n2 < 30

S12 S22 n1 + n2

เมื่อ ν =

(s12/n1 + s22/n2)2 [(s12/n1)2/(n1 – 1)] + [(s22/n2)2/(n2 – 1)]

(X1 – X2) + tα/2, n–1

2. ไมทราบ σ12, σ22 แตรูวา σ12 ≠ σ22

≤ µ1 – µ2 ≤

(n1 – 1)S12 + (n2 – 1)S22 n1 + n2 – 2 ν = n1 + n2 – 2

1 1 n1 + n2

S12 S22 n1 + n2

และ

≤ µ1 – µ2 ≤

ดานบน µ1 – µ2 ≤ (X1 – X2) + zα

ดานลาง µ1 – µ2 ≥ (X1 – X2) – zα

ดานบน µ1 – µ2 ≤ (X1 – X2) + tα, n–1

S12 S22 n1 + n2

S12 S22 n1 + n2

1 1 n1 + n2

1 1 n1 + n2

2 σ2 n1 + n2

σ12

ดานบน µ1 – µ2 ≤ (X1 – X2) + tα,n–1 SP

ดานลาง µ1 – µ2 ≥ (X1 – X2) – tα,n–1

σ2

2 n1 + n2

σ12

การประมาณคาทางเดียว

1 1 n1 + n2 ≤ µ1 – µ2 ≤ ดานลาง µ1 – µ2 ≥ (X1 – X2) – tα,n–1 SP

2

σ2 n1 + n2

σ12

(X1 – X2) + tα/2, n–1 SP

เมื่อ SP =

σ2

2 n1 + n2

σ12

(X1 – X2) – tα/2, n–1 SP

(X1 – X2) + zα/2

(X1 – X2) – zα/2

กรณีสุมตัวอยางจากประชากรสองชุด

การประมาณคาสองทาง

1. X1 และ X2 มีการแจกแจง (X1 – X2) – tα/2, n –1 ปกติ

3. n1 < 30 และ n2 < 30

2. ไมทราบ σ12, σ22 แตรูวา σ12 = σ22

1. X1 และ X2 มีการแจกแจง ปกติ

2. ทราบ σ12, σ22

1. X1 และ X2 มีการแจกแจง ปกติ

เงื่อนไขของเหตุการณ

ตารางที่ 8.2 (ตอ) การประมาณคาแบบชวงของพารามิเตอร

บทที่ 8 ทฤษฎีการประมาณคา

241

2. ทราบ σ12, σ22

1. X1 และ X2 มีการแจกแจง แบบอื่นๆ

เงื่อนไขของเหตุการณ σ2

(X1 + X2) + Zα/2

≤ µ1 – µ2 ≤

≤ µ1 – µ2 ≤

p^1q^1 p^2q^2 n1 + n2 p^1q^1 p^2q^2 n1 + n2

(p^1 – p^2) – Zα/2 (p^1 – p^2) + Zα/2

เมื่อ ν1 = n2 – 1 และ ν2 = n1 – 1 ≤ p1 – p 2 ≤

2

≤

ดานบน p1 – p2 ≤ (p^1 – p^2) + Zα

σ2

S12 S22 n1 + n2

S12 S22 n1 + n2

σ2

2 n1 + n2

σ12

2 n1 + n 2

σ12

p^1q^1 p^2q^2 n1 + n2

p^1q^1 p^2q^2 n1 + n2

S12 F S22 1–α, n2–1, n1–1 S12 F S22 α, n2–1, n1–1 ดานลาง p1 – p2 ≥ (p^1 – p^2) – Zα

σ2

σ ดานบน 12

≥

ดานบน µ1 – µ2 ≤ (X1 – X2) + Zα

ดานลาง µ1 – µ2 ≥ (X1 – X2) – Zα

ดานบน µ1 – µ2 ≤ (X1 – X2) + Zα

ดานลาง µ1 – µ2 ≥ (X1 – X2) – Zα

การประมาณคาทางเดียว

S12 σ12 ด า นล า ง F α S22 /2, n2–1, n1–1 σ22

S12 S22 n1 + n2

S12 S22 n1 + n2

(X1 – X2) – Zα/2

2

σ2 n1 + n2

σ12

2 n1 + n2

σ12

(X1 – X2) + Zα/2

(X1 – X2) – Zα/2

กรณีสุมตัวอยางจากประชากรสองชุด

การประมาณคาสองทาง

σ12 X1 และ X2 มีการแจกแจงปกติ S12 F ≤ ≤ α S22 1– /2, n2–1, n1–1 σ22

1. X1 ∼ b(x; n1, p1) และ X2 ∼ b(x; n2, p2) ผลตางของสัดสวน (p1 – p2) 2. n1 ≥ 30 และ n2 ≥ 30

σ

σ2

( 122 )

อัตราสวนของ ความแปรปรวน

3. n1 ≥ 30 และ n2 ≥ 30

2. ไมทราบ σ12, σ22

ผลตางของคาเฉลี่ย 3. n1 ≥ 30 และ n2 ≥ 30 ( µ 1 – µ 2) 1. X1 และ X2 มีการแจกแจง แบบอื่นๆ

พารามิเตอร

ตารางที่ 8.2 (ตอ) การประมาณคาแบบชวงของพารามิเตอร

242 สถิติวิศวกรรม

บทที่ 8 ทฤษฎีการประมาณคา

243

ตัวอยางที่ 8.1 สุมตัวอยางแทงคอนกรีตจํานวน 40 แทงของบริษัทกอสรางแหงหนึ่งเพื่อ

ทดสอบกําลังอัด (Compressive Strength) ผลคือวัดคากําลังอัดเฉลี่ยไดเทากับ 60.14 N/mm2 และคาเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5.02 N/mm2 ถากําหนดใหคากําลังอัดของแทงคอนกรีตมีการแจกแจง ปกติ จงหาชวงความเชื่อมั่น 95% ของกําลังอัดเฉลี่ยของแทงคอนกรีตของบริษัทกอสรางแหงนี้

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ แทงคอนกรีต ตัวแปรสุม X คือ คากําลังอัด (N/mm2) X ∼ N(µ, σ2) ทราบคา X = 60.14 และ S = 5.02 *** เลือกวิเคราะห µ ดวยการประมาณคาแบบ X ± Zα/2 Sn X – Z0.025 Sn ≤ µ ≤ X + Z0.025 Sn 60.14 – 1.96 5.02 ≤ µ ≤ 60.14 + 1.96 5.02 40 40 ∴ 58.58 ≤ µ ≤ 61.70

ตัวอยางที่ 8.2 การบันทึกขอมูลนํ้าฝนรายปในชวง 10 ป ตั้งแต พ.ศ. 2541 – 2550 ของลุมนํ้า

ภาคเหนือตอนบน ไดปริมาณนํ้าฝนดังนี้ 1,065.3, 1,320.6, 1,022.7, 1,127.7, 1,721.7, 763.1, 1,087.6, 1,386.7, 1,250.1, 1,186.8 mm จากขอมูลในอดีตทราบวาปริมาณนํ้าฝนรายปมีการ แจกแจงแบบปกติ จงหาปริมาณนํา้ ฝนเฉลีย่ ของลุม นํา้ ภาคเหนือตอนบนทีร่ ะดับความเชือ่ มัน่ 90%

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ ลุมนํ้าภาคเหนือตอนบน ตัวแปรสุม X คือ ปริมาณนํ้าฝนรายป (mm) X ∼ N(µ, σ2) จากขอมูลขางตนคํานวณคา X = 1193.23 และ S = 254.32 *** เลือกวิเคราะห µ ดวยการประมาณคาแบบ X ± tα/2, n–1 Sn

244

สถิติวิศวกรรม

X – t0.05, 9 Sn 1193.23 – 1.833 254.32 10 ∴

1045.82

≤ µ≤

X + t0.05, 9 Sn

≤ µ≤

1193.23 + 1.833 254.32 10

≤ µ ≤ 1340.65

ตัวอยางที่ 8.3 โรงงานอุตสาหกรรม 10 แหง ทําการเปรียบเทียบจํานวนชั่วโมงทํางานที่เสียไป เนื่องจากอุบัติเหตุกอนและหลังจากการเขารวมโครงการสงเสริมความปลอดภัยในโรงงาน ผลดัง ตารางที่ 8.3 ตารางที่ 8.3 จํานวนชั่วโมงสูญเสียกอนและหลังเขารวมโครงการ จํานวนชั่วโมงสูญเสีย โรงที่ โรงที่ โรงที่ โรงที่ โรงที่ โรงที่ โรงที่ โรงที่ โรงที่ โรงที่ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (hr) กอนรวมโครงการ

45

73

46

124

33

57

83

34

26

17

หลังรวมโครงการ

36

60

44

119

35

51

77

29

24

11

9

13

2

5

–2

6

6

5

2

6

ผลตาง (Di)

จงประมาณผลตางเฉลี่ยที่แทจริงของชั่วโมงทํางานที่เสียไปกอนและหลังจากเขารวม โครงการสงเสริมความปลอดภัยที่ระดับความเชื่อมั่น 98% สมมติวาผลตางของชั่วโมงทํางานที่ เสียไปมีการแจกแจงปกติ

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ โรงงานอุตสาหกรรม ตัวแปรสุม X คือ จํานวนชั่วโมงทํางานที่เสียไปเนื่องจากอุบัติเหตุ (hr) D ~ N(µD, σ2) จากขอมูลขางตนคํานวณคา D = 5.2 และ SD = 4.08 S *** เลือกวิเคราะห µD ดวยการประมาณคาแบบ D ± tα/2, n–1 Dn

บทที่ 8 ทฤษฎีการประมาณคา

SD n

≤ µD ≤

D + t0.01, 9

5.2 – 2.821 4.08 10

≤ µD ≤

5.2 + 2.821 4.08 10

≤ µD ≤

8.84

D – t0.01, 9

∴

1.56

245

SD n

ตัวอยางที่ 8.4 การบํารุงรักษาประจําปของโรงงานอุตสาหกรรมเคมีแหงหนึ่ง วิศวกรซอมบํารุง

สุมตรวจสอบการกัดกรอนในทอทนความรอนสูง PTFE จํานวน 60 ทอ พบวา 8 ทอมีการกัดกรอน ที่รุนแรง จงประมาณคาชวงความเชื่อมั่น 99% ของสัดสวนที่แทจริงของการกัดกรอนภายในทอ ทั้งหมดของโรงงานนี้

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ โรงงานอุตสาหกรรมเคมี ตัวแปรสุม X คือ จํานวนทอ PTFE ที่พบการกัดกรอนรุนแรง (ทอ) X ∼ b(x; n, p) ∼ b(x; 60, p) 8 = 0.133 โดย p^ = 60 ^^ *** เลือกวิเคราะห p ดวยการประมาณคาแบบ p^ ± zα/2 pnq ^^ ^^ p^ – Z0.005 pnq ≤ p ≤ p^ + Z0.005 pnq 0.133 – 3.27 ∴

0.133(0.867) 60

– 0.01

≤

≤

p ≤ 0.276

p ≤ 0.133 + 3.27

0.133(0.867) 60

246

สถิติวิศวกรรม

ตัวอยางที่ 8.5 แผนซิลิคอนเวเฟอรผานการเจียละเอียด (Lapping Process) เพื่อใหไดความ

หนาตามกําหนด หนวยตรวจสอบคุณภาพทําการสุมแผนเวเฟอร 15 แผนจากแผนเวเฟอรทั้ง หมด แลววัดคาเบี่ยงเบนมาตรฐานของความหนาได 0.64 mil จงหาชวงความเชื่อมั่น 95% ของ คาความแปรปรวนของความหนาของแผนเวเฟอรทั้งหมด ถาความหนามีการแจกแจงปกติ

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ แผนซิลิคอนเวเฟอร ตัวแปรสุม X คือ ความหนา (mil) X ∼ N(µ, σ2) ทราบคา S = 0.64 2 2 *** เลือกวิเคราะห σ2 ดวยการประมาณคาแบบ (n2– 1)S , (n2 – 1)S χ α/2, n–1

(n – 1)S2 χ20.025, 14

∴

≤ σ2 ≤

14(0.642) 26.12

≤ σ2 ≤

0.22

≤ σ2 ≤

χ 1–α/2, n–1

(n – 1)S2 χ20.975, 14

14(0.642) 5.63 1.02

ตัวอยางที่ 8.6 การศึกษาผลของความหนืด (Viscosity) ตอความหนาของสี (Coating Thickness)

โดยการเลือกทดสอบสีที่มีความหนืดตํ่า 15 ตัวอยาง และสีที่มีความหนืดสูง 20 ตัวอยาง แลวทํา การวัดคาความหนาสี พบวาคาความหนาสีเฉลี่ยเทากับ 1.48 และ 2.36 mil ตามลําดับ ถาทราบ วาคาความหนาสีทั้ง 2 ประเภทมีการแจกแจงปกติดวยคาความแปรปรวน 0.37 และ 0.45 mil2 ตามลําดับ จงประมาณคาผลตางของความหนาสีเฉลีย่ ของสีทงั้ สองประเภททีร่ ะดับความเชือ่ มัน่ 95%

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ สี ตัวแปรสุม X1 และ X2 คือ คาความหนาสีของสีประเภทความหนืดตํ่าและสูง (mil) X1 ∼ N(µ1, 0.37) และ X2 ∼ N(µ2, 0.45) σ2 σ2 *** เลือกวิเคราะห µ1 – µ2 ดวยการประมาณคาแบบ (X1 – X2) ± Zα/2 n 1 + n 2 1

2

บทที่ 8 ทฤษฎีการประมาณคา

σ12

(1.48 – 2.36) – 1.96

σ2

2 n1 + n2

(X1 – X2) – Z0.025

≤ µ1 – µ2 ≤ (X1 – X2) + Z0.025

0.37 + 0.45 15 20

≤ µ1 – µ2 ≤

(1.48 – 2.36) + 1.96

– 1.306

≤ µ1 – µ 2 ≤

– 0.454

∴

σ12

247

σ2

2 n1 + n2

0.37 + 0.45 15 20

ตัวอยางที่ 8.7 ในการตรวจสอบอายุการใชงานของยางเรเดียล 2 ยี่หอ ไดมีการสุมตัวอยาง

ยางยี่หอละ 35 เสน ทดสอบภายใตสภาวการณเหมือนกัน ผลปรากฏวายางยี่หอ A อายุการใช งานเฉลี่ย 51,400 ไมล และคาเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2,900 ไมล ยางยี่หอ B อายุการใชงานเฉลี่ย 67,200 ไมล และคาเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2,400 ไมล จงสรางความเชื่อมั่น 90% ของผลตางของ อายุการใชงานเฉลี่ยของยางทั้งสองยี่หอ

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ ยางเรเดียล ตัวแปรสุม XA และ XB คือ อายุการใชงานของยางยี่หอ A และ B (1,000 ไมล) XA ∼ ? และ XB ∼ ? ไมทราบ σA2 , σB2 S2 S2 *** เลือกวิเคราะห µA – µB ดวยการประมาณคาแบบ (XA – XB) ± Zα/2 n A + n B A

SB2 SA2 nB + nA

(XB – XA) – Z0.05 (67.2 – 51.4) – 1.645

2.42 + 2.92 35 35 ∴

14.753

≤ µB – µA ≤

(XB – XA) + Z0.05

≤ µB – µA ≤ (67.2 – 51.4) + 1.645 ≤ µB – µA ≤

16.847

B

SB2 SA2 nB + nA 2.42 + 2.92 35 35

248

สถิติวิศวกรรม

ตัวอยางที่ 8.8 ความคงทนตอการใชงานทีอ่ ณ ุ หภูมสิ งู เกีย่ วของกับการเลือกวัสดุทใี่ ชทาํ อุปกรณ ตัดแตงขึ้นรูป (Cutting Tools) ในกระบวนการผลิตชิ้นงาน ถาเลือกใชทังสเตนคารไบด (WC) และ เหล็กกลา (Steel) เปนวัสดุ 2 ประเภทที่ใชทําอุปกรณตัดแตงขึ้นรูปในการผลิตชิ้นงานอยางละ 4 ตัวอยาง แลวทําการเก็บรวบรวมอุณหภูมิสูงสุดที่อุปกรณจะทนทานได (°C) ผลดังนี้ ทังสเตนคารไบด 810

650

717

เหล็กกลา 771

834

717

914

782

จงหาชวงความเชื่อมั่น 98% ของผลตางของอุณหภูมิเฉลี่ยที่ทนทานไดของวัสดุทั้งสอง ชนิด ถาอุณหภูมิของวัสดุดังกลาวมีการแจกแจงปกติและมีความแปรปรวนเทากัน

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ ชิ้นงาน ตัวแปรสุม X1 และ X2 คือ อุณหภูมสิ งู สุดทีอ่ ปุ กรณตดั แตงขึน้ รูปทําจากวัสดุทงั สเตนคารไบด และเหล็กกลาจะคงทนได (°C ) X1 ∼ N(µ1, σ12) และ X2 ∼ N(µ2, σ22) ไมทราบ σ12, σ22 แตรูวา σ12 = σ22 *** เลือกวิเคราะห µ1 – µ2 ดวยการประมาณคาแบบ (X1 – X2) ± tα/2, ν SP (X1 – X2) – t0.01,6SP เมื่อ

SP =

– 245.14

≤ µ1 – µ2 ≤ (X1 – X2) + t0.01, 6 SP

1 1 n1 + n2

(4 – 1)69.412 + (4 – 1)83.292 = 76.67 4+4–2

(737 – 811.75) – 3.143(76.67) ∴

1 1 n1 + n2

1 1 n1 + n2

1+1 4 4

≤ µ1 – µ2 ≤

≤ µ1 – µ2 ≤ (737 – 811.75) + 3.143(76.67)

95.64

1+1 4 4

บทที่ 8 ทฤษฎีการประมาณคา

249

ตัวอยางที่ 8.9 ความกาวหนาทางการแพทยดวยเทคโนโลยีวิศวพันธุกรรม มีการพัฒนาวัคซีน

ปองกันเชื้อเยื่อหุมสมองอักเสบชนิดหนึ่งที่พบบอยในเด็กคือเชื้อ Hib ใหมีประสิทธิภาพดียิ่งขึ้น ทีมวิจัยไดสุมตัวอยางเด็กกลุมละ 70 คน เพื่อทดลองใชวัคซีนดังกลาวที่ผลิตจากบริษัทยาที่ 1 และบริษัทยาที่ 2 พบวามีภูมิตานทานเพิ่มขึ้นเมื่อใชวัคซีนจํานวน 54 คน และ 63 คน ตามลําดับ จงหาชวงความเชื่อมั่น 80% ของผลตางของสัดสวนของเด็กที่มีภูมิตานทานเพิ่มขึ้นจากการใช วัคซีนของบริษัทที่ 1 และ 2

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ เด็ก ตัวแปรสุม X1 และ X2 คือ จํานวนเด็กที่มีภูมิตานทานเพิ่มขึ้นจากการใชวัคซีนของบริษัท ที่ 1 และ 2 (คน) X1 ∼ b (x1; n1, p1) ∼ b(x; 70, 0.77) X2 ∼ b (x2; n2, p2) ∼ b(x; 70, 0.90) p^1q^ 1 p^2q^ 2 *** เลือกวิเคราะห p1 – p2 การประมาณคาแบบ (p^1 – p^2) ± Zα/2 n + n 1

p^2q^ 2 p^1q^ 1 n2 + n1

(p^2 – p^1) – Z0.10

≤

p2 – p1 ≤ (p^2 – p^1) + Z0.10

(0.90 – 0.77) – 1.28

0.90(0.10) + 0.77(0.23) 70 70

(0.90 – 0.77) + 1.28

0.90(0.10) + 0.77(0.23) 70 70

∴

0.051

≤

p2 – p1

≤

0.209

≤

p2 – p1 ≤

2

p^2q^ 2 p^1q^ 1 n2 + n1

250

สถิติวิศวกรรม

ตัวอยางที่ 8.10 การเปรียบเทียบคาพลังงานความรอนจากเชื้อเพลิง 2 ชนิดคือถานหินและ

เม็ดพลังงานเชื้อเพลิงไม (Wood Pellet) ซึ่งเปนเชื้อเพลิงทดแทนผลิตดวยเศษไมเหลือใชจาก อุตสาหกรรมไมยางพารา โดยการวัดคาพลังงานความรอนจากถานหินจํานวน 13 ครั้ง ได S 1 = 78.4 kcal/kg จากเม็ดพลังงานเชื้อเพลิงไมจํานวน 25 ครั้ง ได S2 = 53.2 kcal/kg จงหาชวง ความเชื่อมั่น 80% สําหรับ σ21/σ22 ถาทราบวาคาพลังงานความรอนมีการแจกแจงปกติ

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ เชื้อเพลิง ตัวแปรสุม X1 และ X2 คือ คาพลังงานความรอนของถานหินและเม็ดพลังงานเชื้อเพลิงไม (kcal/kg) X1 ∼ N(µ1, σ21) และ X2 ∼ N(µ2, σ22) ทราบคา S1 = 78.4 และ S2 = 53.2 *** เลือกวิเคราะห

σ21 σ22

S21 F S22 0.90, 24,12

( )

78.42 1 53.22 1.83

∴

≤

การประมาณคาแบบ ≤

σ21

≤

1.187

≤

σ22

σ21 σ22

≤

S21 S21 F , Fα α S22 1 – /2, n2–1, n1–1 S22 /2, n2–1, n1–1

S21 F S22 0.10, 24,12

78.42 (2.04) 53.22 σ21 σ22

≤

4.43

3. การหาขนาดตัวอยาง (Sample Size) จากการประมาณคาแบบจุดในหัวขอที่ 1. ทีก่ ลาวไววา ตัวประมาณคาทีด่ จี ะตองมีทงั้ ความ เที่ยงตรงและความแมนยําในการประมาณคาใหใกลเคียงกับพารามิเตอร θ มากที่สุด หรืออาจ กลาวไดวามีความคลาดเคลื่อนนอยที่สุด รูปที่ 8.5 แสดงคาความคลาดเคลื่อนของชวงความ เชื่อมั่น X ± Zα/2 σ/ n ซึ่งคลาดเคลื่อนจากคาพารามิเตอร µ = | X – µ |

บทที่ 8 ทฤษฎีการประมาณคา

251

E = คาคลาดเคลื่อน = | x – µ| x

L = x – zα/2 σ/ n

µ

U = x + zα/2 σ/ n

รูปที่ 8.5 คาคลาดเคลื่อนในการประมาณ µ ดวย X

คาเที่ยงตรงของชวงความเชื่อมั่น X ± Zα/2 σ/ n จะเทากับ 2 Zα/2 σ/ n คา E จากการประมาณคาจะมีคานอยกวาหรือเทากับ Zα/2 σ/ n ถาระบุคา E ที่ตองการแลว จะได ขนาดตัวอยางที่เหมาะสมจาก Z σ 2 n = α/2 E

(

)

ถาคาของ n ที่คํานวณไดไมเปนจํานวนเต็ม ใหทําการปดเศษขึ้น (Rounded Up) เพื่อให แนใจวาขนาดตัวอยางดังกลาวจะยังคงอยูในระดับความเชื่อมั่น 100(1 – α)% ขอสังเกตหนึ่งคือ คา 2E เทากับระยะของชวงความเชื่อมั่น หรือคือ 2 Zα/2 σ/ n นั่นเอง

ตัวอยางที่ 8.11 ในการวัดคาความรอนของเหล็กชนิดหนึง่ ซึง่ สุม มา 10 ตัวอยาง วัดคาความรอน

เฉลี่ยได 41.924 Btu/hr – ft – ํF จากขอมูลในอดีตทราบวา คาความรอนของเหล็กมีการแจกแจง ปกติดวยคาเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.10 Btu/hr – ft – ํF ถาตองการใหการประมาณคามีคลาดเคลื่อน นอยกวา 0.05 Btu/hr – ft – ํF ดวยความเชื่อมั่น 95% จะตองสุมตัวอยางเพิ่มอีกหรือไม

วิธีทํา คาที่โจทยกําหนด α = 0.05, จะได

σ = 0.10, E = 0.05

Z0.025 = 1.96 ∴

n =

2 = 15.37 = 16 ( 1.96(0.10) ) 0.05

ดังนั้น เมื่อตองการระดับเชื่อมั่น 95% วาคาเฉลี่ยจะผิดพลาดนอยกวา 0.05 Btu/hr – ft – ํF จะตองประมาณคาเฉลี่ยดวยการสุมตัวอยางเหล็ก 16 ตัวอยาง นั่นคือ จะตองสุมเพิ่มอยางนอย อีก 6 ตัวอยาง

252

สถิติวิศวกรรม

ในทํานองเดียวกับการประมาณคาเฉลี่ย ถาศึกษาคาเที่ยงตรงของชวงความเชื่อมั่น α/2 [ p(1 – p)/n ] จะไดเทากับ 2Zα/2 [ p(1 – p)/n ] คา E จากการประมาณคาจะมีคา นอยกวาหรือเทากับ Zα/2 [ p(1 – p)/n ] ถาระบุคา E ที่ตองการแลว จะไดขนาดตัวอยางที่ เหมาะสมจาก Z 2 n = α/2 p(1 – p) E p^ ± Z

( )

คา p จะมีคามากสุดที่ 0.5 นั่นคือ p(1 – p) = 0.25 ดังนั้น สามารถหาขนาดตัวอยางสูงสุด ในการประมาณคา p ดวย p^ จาก Z 2 n = α/2 (0.25) E

( )

ตัวอยางที่ 8.12 สุม ตัวอยางเพลา 75 ตัว พบวามีความละเอียดของผิวหยาบกวามาตรฐานกําหนด

อยู 12 ตัว ถาตองการใหคาความคลาดเคลื่อนในการประมาณคา p ดวย p^ ไมเกิน 5% ภายใต ความเชื่อมั่น 0.95 จงหาขนาดตัวอยางที่เหมาะสม

วิธีทํา E = 5% = 0.05, Z0.025 = 1.96, p^ = 12 75 = 0.16 ∴

n =

(1.96)2(0.16)(0.84) (0.05)2

= 206.52 = 207

ดังนั้น ถาตองการใหคาที่ประมาณไดผิดจากคาที่แทจริงไมเกิน 5% ดวยความเชื่อมั่น 95% จะตองใชเพลา 207 ตัวจึงจะเพียงพอ

บทที่ 8 ทฤษฎีการประมาณคา

253

แบบฝกหัด 1. คาความตานทานไฟฟาของลวดโลหะผสมทีผ่ ลิตโดยโรงงานแหงหนึง่ มีการแจกแจงปกติดว ย คาเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2.009 Ω ลวดตัวอยางถูกสุมมาตรวจสอบจํานวน 12 ตัวอยาง วัดคา ความตานทานไฟฟาเฉลี่ย 12.91 Ω จงหาชวงความเชื่อมั่น 95% และ 99% ของคาความ ตานทานไฟฟาเฉลี่ยของลวดโลหะผสมของโรงงานแหงนี้ (เฉลย : [11.773, 14.047], [11.417, 14.403]) 2. หองปฏิบัติการแหงหนึ่งทดสอบคาเฉลี่ยของโครเมียม (Cr) ในเหล็กผสมชนิดหนึ่ง โดยสุม ตัวอยางเหล็กจํานวน 36 ตัวอยาง วัดเปอรเซ็นตเฉลี่ยของโครเมียมได 3.5% และคาเบี่ยง เบนมาตรฐาน 0.24% จงหาชวงความเชื่อมั่น 95% ของเปอรเซ็นตเฉลี่ยของโครเมียมใน เหล็กผสมชนิดนี้ (เฉลย : [3.422, 3.578]) 3. ในกระบวนการกัดผิวของเวเฟอร วิศวกรฝายผลิตจะใหความสําคัญกับความหนาของชั้น ซิลิคอนที่เคลือบบนเวเฟอรเพราะมีผลตอเวลาที่ใชในการกัดผิว สุมตัวอยางเวเฟอร 15 ตัวอยางมาตรวจสอบความหนาของผิวเคลือบ พบวามีคาเฉลี่ย 0.4 µm และคาเบี่ยงเบน มาตรฐาน 0.06 µm 3.1 จงประมาณคาเฉลีย่ ชนิด 2 ทางของความหนาผิวเคลือบในเวเฟอรทรี่ ะดับเชือ่ มัน่ 98% (เฉลย : [0.359, 0.441]) 3.2 จงประมาณคาเฉลี่ยชนิดทางเดียวดานบนของความหนาผิวเคลือบในเวเฟอรที่ระดับ เชื่อมั่น 95% (เฉลย : [0, 0.506]) 3.3 ถาวิศวกรฝายผลิตสุม ตัวอยางเวเฟอรจาํ นวน 500 ตัวอยาง แลวไดคา เฉลีย่ และคาเบีย่ ง เบนมาตรฐานคงเดิม จงประมาณคาเฉลี่ยประชากรใหมที่ระดับเชื่อมั่น 98% (เฉลย : [0.394, 0.406])

254

สถิติวิศวกรรม

4. การตัดสินใจวาควรจะเลือกใชเพลาที่ผลิตจากโรงงานที่ 1 หรือโรงงานที่ 2 หนวยจัดซื้อได ขอตัวอยางเพลาจากทั้งสองโรงงาน 36 ตัวอยางมาทดสอบขนาดเสนผานศูนยกลาง ไดผล ดังนี้ เพลาตัวอยาง

คาเฉลี่ย

คาเบี่ยงเบนมาตรฐาน

โรงงานที่ 1

0.138 m

0.003 m

โรงงานที่ 2

0.081 m

0.004 m

จงหาชวงความเชื่อมั่น 95% ของผลตางระหวางคาเฉลี่ยที่แทจริงของขนาดเสน ผานศูนยกลางของเพลาจากโรงงานที่ 1 และโรงงานที่ 2 (เฉลย : [0.0554, 0.0586]) 5. การทดสอบคาความแข็งของแทงโลหะ 2 ชนิดหลังผานกระบวนการอบภายใตอุณหภูมิ เดียวกัน นักโลหะวิทยาทําการสุม แทงโลหะตัวอยางชนิดละ 8 แทง วัดคาความแข็งเฉลีย่ และ ความแปรปรวน (หนวย : ร็อคเวล) ไดดังนี้ X1 = 91.73, S12 = 3.89 และ X2 = 93.75, S22. = 4.02 ถาสมมติวาคาความแข็งของแทงโลหะทั้งสองชนิดมีการแจกแจงปกติที่มี ความแปรปรวนเทากัน จงหาชวงความเชื่อมั่น 95% ของ µ1 – µ2 (เฉลย : [– 4.5, 0.11]) 6. ปริมาณนํ้าที่ระบายเพื่อการเกษตรและผลิตไฟฟาของเขื่อนแหงที่ 1 จากการบันทึกขอมูล 15 วัน พบวามีปริมาณนํ้าที่ระบายออกโดยเฉลี่ย 1.94 ลานลูกบาศกเมตรตอวัน ดวยคา เบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.45 ลานลูกบาศกเมตรตอวัน สวนเขื่อนแหงที่ 2 จากการบันทึก ขอมูล 10 วัน พบปริมาณนํ้าที่ระบายออกโดยเฉลี่ย 1.04 ลานลูกบาศกเมตรตอวัน ดวยคา เบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.26 ลานลูกบาศกเมตรตอวัน จงหาชวงความเชื่อมั่น 95% สําหรับ ความแตกตางของคาเฉลีย่ ทีแ่ ทจริงของปริมาณนํา้ ทีร่ ะบายออกจากเขือ่ นทัง้ สอง ถาทราบวา ขอมูลเหลานีม้ าจากประชากรปกติทมี่ คี า ความแปรปรวนแตกตางกัน (เฉลย : [0.61, 1.19])

255

บทที่ 8 ทฤษฎีการประมาณคา

7. การบงชีค้ วามเหนียวของกระดาษทีใ่ ชจะระบุดว ยคาการตานแรงดันทะลุ (ความสามารถของ แผนกระดาษลูกฟูกทีจ่ ะตานแรงดันทีก่ ระทําบนแผนทดสอบดวยอัตราทีเ่ พิม่ ขึน้ อยางสมํา่ เสมอ จนทําใหแผนทดสอบนั้นขาดทะลุ) กระดาษที่ผลิตจากสายการผลิตที่ 1 และ 2 ของโรงงาน แหงหนึ่งพบวาคาการตานแรงดันทะลุมีการแจกแจงปกติ แตคาดวามีความแปรปรวนตาง กัน ทําการสุมตัวอยางกระดาษจากสายการผลิตที่ 1 จํานวน 8 ตัวอยาง ไดคาการตานทาน แรงดันทะลุโดยเฉลี่ย 166 kPa และคาเบี่ยงเบนมาตรฐาน 21.08 kPa สวนกระดาษตัวอยาง จากสายการผลิตที่ 2 จํานวน 10 ตัวอยางพบวามีคาการตานแรงดันทะลุเฉลี่ย 132 kPa และคาเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10.42 kPa จงหาชวงความเชื่อมั่น 98% ของผลตางระหวาง คาการตานแรงดันทะลุเฉลี่ยที่แทจริงของกระดาษที่ผลิตจากสายการผลิตทั้งสอง (เฉลย : [11.477, 56.523]) 8. เพื่อทดสอบความแมนยําของเครื่องหยั่งความลึกของนํ้า (Echo Sounder) ผูประกอบการ เดินเรือจึงสุมวัดคาความลึกของมหาสมุทรแหงหนึ่งทั้งหมด 7 จุด โดยแตละจุดจะเปรียบ เทียบคาความลึกจริงเทียบกับความลึกที่ไดจากการวัดดวยเครื่องมือนี้ กําหนดใหผลตาง ที่แทจริงของคาความลึกโดยเฉลี่ย 4.5 ฟาธอม ผลของคาความลึกจากจุดวัดทั้ง 7 จุด แสดง ดังนี้ (หนวย : ฟาธอม) จุดวัดจุดที่

1

2

3

4

5

6

7

ความลึกจริง

60.3

61.7

69.0

58.5

64.0

62.6

56.7

ความลึกวัดจากเครื่องมือ

54.9

58.1

62.1

60.0

58.5

59.9

54.4

สมมติวา ผลตางของคาความลึกมีการแจกแจงปกติ จงทดสอบความแมนยําของเครือ่ ง หยั่งความลึกนี้ดวยการคํานวณชวงความเชื่อมั่น 95% ของผลตางเฉลี่ยของคาความลึก (เฉลย : [0.99, 6.125])

256

สถิติวิศวกรรม

9. ในการออกแบบการตอโครงสรางเหล็ก วิศวกรตองการทราบสัดสวนของโครงสรางเหล็กที่ สามารถรองรับนํ้าหนักไดตามมาตรฐาน จึงไดสุมตัวอยางโครงสรางเหล็กจํานวน 500 ชุด พบวามี 160 ชุดทีร่ บั นํา้ หนักไดตาํ่ กวามาตรฐาน จงหาชวงความเชือ่ มัน่ 95% สําหรับสัดสวน ที่แทจริงของโครงสรางเหล็กที่รับนํ้าหนักไดตํ่ากวามาตรฐาน (เฉลย : [0.28, 0.36]) 10. พนักงานประกอบแผงวงจรอิเล็กทรอนิกสของกะเชาและกะบายมีประสิทธิภาพในการทํางาน ที่ไมแตกตางกัน เพื่อตรวจสอบขอสรุปนี้ ฝายผลิตจึงสุมตรวจแผงวงจรที่ผลิตโดยพนักงาน ทั้งสองกะ ผลปรากฏวากะที่ 1 มีแผงวงจรชํารุด 75 ชิ้นจาก 1,500 ชิ้น สวนกะที่ 2 มี แผงวงจรชํารุด 80 ชิ้นจาก 2,000 ชิ้น จงหาชวงความเชื่อมั่น 90% ของผลตางที่แทจริง ในสัดสวนของแผงวงจรชํารุดจากการประกอบของพนักงานกะที่ 1 และ 2 (เฉลย : [–0.002, 0.022]) 11. การทดสอบความเร็วในการเชื่อมตออินเทอรเน็ตของผูใหบริการแหงหนึ่ง โดยสุมตรวจ ความเร็วในการเชื่อมตอจํานวน 10 ครั้ง ไดผลดังนี้ (หนวย : Mbps) 2.5

2.1

2.2

1.3

2.1

3.2

1.9

2.3

2.4

2.0

จงหาชวงความเชื่อมั่น 95% ของความแปรปรวนที่แทจริงและของสวนเบี่ยงเบน มาตรฐานทีแ่ ทจริงของความเร็วในการเชือ่ มตออินเทอรเน็ต ถาทราบวาความเร็วในการเชือ่ ม ตอมีการแจกแจงปกติ (เฉลย : [0.11, 0.778], [0.332, 0.882]) 12. ในการสอบเทียบเครื่องมือวัดความดันที่ใชในหองปฏิบัติการ 2 แหง ผูวิเคราะหไดสุม ตัวอยางเครื่องมือวัดความดันจากหองปฏิบัติการแหงที่ 1 จํานวน 10 เครื่อง นํามาหาคา ความแปรปรวนของความดันที่วัดได S12 = 0.088 และสุมตัวอยางเครื่องมือวัดความดันจาก หองปฏิบัติการแหงที่ 2 จํานวน 8 เครื่อง นํามาหาคาความแปรปรวนของความดันที่วัดได S22. = 0.065 ถาสมมติวาคาความดันที่วัดไดจากเครื่องมือวัดความดันของหองปฏิบัติการ ทั้งสองแหงมีการแจกแจงปกติ จงหาชวงความเชื่อมั่น 98% ของ σ12/σ22. และของ σ1/σ2 (เฉลย : [0.202, 7.595], [0.449, 2.756])

9

การทดสอบสมมติฐาน

การคนหาคําตอบหรือขอสรุปเกีย่ วกับประชากรทีศ่ กึ ษานัน้ นอกจากจะอธิบายไดดว ยการ ประมาณคาพารามิเตอรในบทที่ 8 แลว อีกวิธกี ารหนึง่ ของสถิตเิ ชิงอนุมานคือ การทดสอบสมมติฐาน (Hypothesis Testing) วิธนี จี้ ะใชกลุม ตัวอยางทีส่ มุ มาตรวจสอบวาคาพารามิเตอรของประชากร (เชน µ, σ2) เปนไปตามที่ตั้งขอสงสัยไวหรือไม ขอสงสัยหรือขอความตางๆ ที่เกี่ยวของกับประชากร ซึ่งอาจเปนจริงหรือไมจริงและตองการการตรวจสอบนั้น จะเรียกวาสมมติฐาน (Hypothesis) ตัวอยางเชน กระบวนการผลิตลูกสูบ กําหนดใหเสนผานศูนยกลางเฉลี่ยของกระบอกสูบเทากับ 50 mm แตเนือ่ งจากกระบวนการผลิต การตัง้ เครือ่ งจักร หรือสาเหตุอนื่ ๆ ทําใหกระบอกสูบทีผ่ ลิต ไดไมเปนไปตามมาตรฐานทีก่ าํ หนด ดังนัน้ ขอความหรือขอสงสัยทีต่ อ งการตรวจสอบของประชากร (ลูกสูบ) คือพารามิเตอร µ (เสนผานศูนยกลางเฉลี่ยของกระบอกสูบ) ซึ่งตองผานขั้นตอนของ การทดสอบสมมติฐานเพื่อตอบขอสงสัยหรือหาขอสรุปที่ตองการตอไป

1. สมมติฐานสถิติ (Statistical Hypothesis) จากทีก่ ลาวมาขางตน สมมติฐานสถิตหิ มายถึง ขอสงสัยหรือขอความทีเ่ กีย่ วของกับประชากร หนึ่งชุดหรือมากกวา ซึ่งอาจเปนจริงหรือไมก็ได การหาคําตอบหรือขอสรุปวาสิ่งที่สงสัยเปนจริง หรือไมนั้น ทําไดดวยการสํารวจจากประชากรทั้งหมด ซึ่งในทางปฏิบัติทําไดยาก เนื่องจากมีขอ จํากัดเรื่องเวลา บุคลากร เครื่องมือ หรืองบประมาณ จึงมักสรุปผลจากกลุมตัวอยางที่สุมมาจาก ประชากรที่ศึกษา แลวใชหลักของการทดสอบสมมติฐานมาชวยในการวิเคราะหหาคําตอบ ขอ สรุปจะมี 2 แบบคือ ปฏิเสธสมมติฐาน และยอมรับสมมติฐาน ถาหลักฐานที่ไดจากกลุมตัวอยางไม

258

สถิติวิศวกรรม

สอดคลองกับสมมติฐานที่ตั้งไว จะสรุปวาปฏิเสธสมมติฐาน (Reject Hypothesis) และถาหลักฐาน ที่ไดจากกลุมตัวอยางสนับสนุนสมมติฐานที่ตั้งไว จะสรุปวายอมรับสมมติฐาน หรืออาจกลาวไดวา ไมมีหลักฐานพอที่จะเชื่อเปนอยางอื่น (Fail to Reject Hypothesis) สมมติฐานที่ตั้งขึ้นสําหรับการทดสอบสมมติฐานจะมี 2 สวนคือ

1. สมมติฐานหลัก (Null Hypothesis) หรือ H0 เปนขอความหรือขอสมมติฐานที่

ตั้งขึ้นเกี่ยวกับพารามิเตอรของประชากรหนึ่งชุดหรือมากกวา แสดงใหเห็นถึงสภาพที่เปนอยูใน ปจจุบันและยังไมมีการเปลี่ยนแปลงใดๆ เครื่องหมายที่ระบุในสมมติฐานหลักมักจะใช = (เทากับ) ซึ่งจะแสดงถึงสภาพดั้งเดิมหรือมูลคาคงเดิม

2. สมมติฐานทางเลือก (Alternative Hypothesis) หรือ H1 เปนขอความหรือ

ขอสมมติฐานที่ตั้งขึ้น แสดงใหเห็นถึงสภาพที่มีการเปลี่ยนแปลงหรือเปนสิ่งที่สงสัยแลวตองการ การตรวจสอบ เครื่องหมายที่ระบุในสมมติฐานทางเลือกจะใช > (มากกวา), < (นอยกวา) หรือ ≠ (ไมเทากับ) เพื่อแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้น ซึ่งจะเลือกใชเครื่องหมายใดนั้น ขึ้นอยูกับ วัตถุประสงคของการทดสอบวาตองการจะตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงไปในทิศทางใด

ตัวอยางเชน 1. กระบวนการผลิตลูกสูบ กําหนดเสนผานศูนยกลางเฉลีย่ เทากับ 50 mm ตองการทดสอบ วากระบวนการผลิตเปลี่ยนแปลงไปหรือไม ซึ่งอาจทําใหไดกระบอกสูบไมเปนไปตามกําหนด พารามิเตอรคือ µ (เสนผานศูนยกลางเฉลี่ย) ตามขอกําหนดระบุให µ = 50 ซึ่งเปนสภาพ เดิมที่ยังไมมีการเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้น แตสงสัยวานาจะมีการเปลี่ยนแปลงไปจากขอกําหนดเดิม ดังนั้น สมมติฐานหลักคือ H0 : µ = 50 และสมมติฐานทางเลือกคือ H1 : µ ≠ 50 การตั้งสมมติฐานทางเลือกดวยเครื่องหมาย ≠ (ไมเทากับ) เปนการตั้งสมมติฐานแบบสอง ทาง (Two–Sided Alternative Hypothesis) 2. ผูผลิตรถยนตยี่หอหนึ่งอางวา อัตราการใชนํ้ามันเชื้อเพลิงของรถขณะวิ่งบนทางหลวง จะกินนํ้ามันดวยอัตราเฉลี่ยอยางนอย 35 ไมลตอแกลลอน ซึ่งทางกลุมผูบริโภคตองการตรวจสอบ วาโฆษณาเกินจริงหรือไม พารามิเตอรคือ µ (อัตราการใชนํ้ามันเชื้อเพลิงเฉลี่ย) ตามที่ผูผลิตกลาวอาง µ ≥ 35 ซึ่งเปนคุณลักษณะของรถยนตยี่หอนี้ และผูบริโภคสงสัยวามีคุณลักษณะไมตรงตามคําอาง

บทที่ 9 การทดสอบสมมติฐาน

259

ดังนั้น สมมติฐานหลักคือ H0 : µ ≥ 35 และสมมติฐานทางเลือกคือ H1 : µ < 35 การตั้งสมมติฐานทางเลือกดวยเครื่องหมาย < (นอยกวา) หรือ > (มากกวา) เปนการตั้ง สมมติฐานแบบทางเดียว (One–Sided Alternative Hypothesis) 3. นักเคมีวิเคราะหคุณสมบัติการยอมสีของเสนใยชนิดที่ 1 พบวา ใหเปอรเซ็นตการติด ของสีโดยเฉลี่ยนอยกวาเสนใยชนิดที่ 2 ซึ่งหนวยจัดซื้อวัตถุดิบตองการตรวจสอบขอมูลดังกลาว กอนที่จะตัดสินใจเลือกซื้อเสนใย พารามิเตอรคือ µ1 (เปอรเซ็นตการติดสีโดยเฉลี่ยของเสนใยชนิดที่ 1) และ µ2 (เปอรเซ็นต การติดสีโดยเฉลี่ยของเสนใยชนิดที่ 2) สมมติฐานหลักคือ H0 : µ1 ≤ µ2 และสมมติฐานทางเลือกคือ H1 : µ1 > µ2 ในการตั้งสมมติฐานสามารถทดสอบกับพารามิเตอรอื่นๆ เชน ความแปรปรวน หรือ สัดสวน เปนตน โดยทดสอบไดทงั้ กรณีประชากรหนึง่ ชุดหรือมากกวา ตารางที่ 9.1 จะเปนตัวอยาง ของการตัง้ สมมติฐานหลักและสมมติฐานทางเลือกของพารามิเตอร µ, σ2, p สําหรับกรณีสมุ ตัวอยาง จากประชากรหนึ่งชุดและสองชุด ตารางที่ 9.1 การตั้งสมมติฐานหลักและสมมติฐานทางเลือกของพารามิเตอร µ, σ2, p กรณีประชากร 1 ชุด พารามิเตอร คาเฉลี่ย ( µ) ความแปรปรวน (σ2) สัดสวน (p)

สมมติฐานหลัก H0

กรณีประชากร 2 ชุด

สมมติฐานทางเลือก สมมติฐานหลัก สมมติฐานทางเลือก H1 H0 H1

H0 : µ = µ0

H1 : µ ≠ µ0 H1 : µ > µ0 H1 : µ < µ0

H0 : σ2 = σ02

H1 : σ2 ≠ σ20 H1 : σ2 > σ20 H1 : σ2 < σ20

H0 : p = p0

H1 : p ≠ p0 H1 : p > p0 H1 : p < p0

H0 : µ1–µ2 = d0 H0 : σ21 = σ22

H0 : p1 – p2 = d0

H1 : µ1 – µ2 ≠ d0 H1 : µ1 – µ2 > d0 H1 : µ1 – µ2 < d0 H1 : σ21 ≠ σ22 H1 : σ21 > σ22 H1 : σ21 < σ22 H1 : p1 – p2 ≠ d0 H1 : p1 – p2 > d0 H1 : p1 – p2 < d0

260

สถิติวิศวกรรม

2. ขั้นตอนการทดสอบสมมติฐานของพารามิเตอร การทดสอบสมมติฐานของพารามิเตอรที่พบบอยคือ คาเฉลี่ย ความแปรปรวน และสัดสวน ประกอบดวย 6 ขั้นตอนคือ 1. กําหนดสมมติฐานหลัก H0 2. กําหนดสมมติฐานทางเลือก H1 3. เลือกคาระดับนัยสําคัญ α 4. กําหนดบริเวณวิกฤติ (Critical Region) ตามระดับนัยสําคัญและการตั้งสมมติฐานทาง เลือก H1 (สมมติฐานแบบสองทางหรือทางเดียว) ดังรูปที่ 9.1 5. สุมตัวอยางขนาด n และคํานวณคาสถิติที่ใชทดสอบ 6. นําคาสถิติที่ไดจากการคํานวณตามขอที่ 5. เปรียบเทียบกับบริเวณวิกฤติตามขอที่ 4. แลวสรุปผลดังนี้ • ถาอยูในบริเวณวิกฤติ จะปฏิเสธสมมติฐานหลัก H0 • ถาอยูนอกบริเวณวิกฤติ จะยอมรับสมมติฐานหลัก H0

บริเวณวิกฤติ

H1 : θ ≠ θ0 N(0,1)

α/2

–zα/2

H1 : θ > θ0 N(0,1) บริเวณวิกฤติ

บริเวณ ยอมรับ 0

α/2

zα/2

Z0

tn–1

H1 : θ < θ0 N(0,1) บริเวณวิกฤติ

บริเวณ ยอมรับ 0

α

zα

–tα/2, n–1

0

f(x)

0

tα/2, n–1 f(x)

0 χ21–α/2, n–1

χ2α/2, n–1 x

tα, n–1

–tα, n–1 f(x) α

0

Z0

α

χ2n–1

α/2

บริเวณ ยอมรับ –zα 0 tn–1

α

χ2n–1 α/2

Z0

tn–1

α/2

α/2

α

χ2α, n–1 x

0 χ2n–1

α

0 χ21–α, n–1

รูปที่ 9.1 การทดสอบสมมติฐานแบบสองทางและทางเดียวของการแจกแจง Z, t และ χ2 ที่มา : Montgomery and Runger. 2003.

T0

x

บทที่ 9 การทดสอบสมมติฐาน

261

รูปที่ 9.1 แสดงการทดสอบสมมติฐานแบบสองทาง (เชน H1 : µ ≠ µ0) จะพบวาบริเวณ วิกฤติแบงเปน 2 สวน แตละสวนมีพื้นที่ใตกราฟ α/2 สวนบริเวณของการยอมรับ (Acceptance Region) มีพื้นที่ใตกราฟ 1 – α ในขณะที่การทดสอบสมมติฐานทางเดียวดานบน (เชน H1 : µ > µ0) หรือทางเดียวดาน ลาง (เชน H1 : µ < µ0) จะพบวาบริเวณวิกฤติมีเพียงดานเดียวคือดานบน (Upper) หรือดาน ลาง (Lower) ดวยพื้นที่ใตกราฟเทากับ α สวนบริเวณของการยอมรับมีพื้นที่ใตกราฟ 1 – α การสรุปผลในขั้นตอนที่ 6 ของการทดสอบสมมติฐาน จะขอยกตัวอยางการแจกแจง Z คือ ถาคาสถิติ Z0 ที่คํานวณไดจากกลุมตัวอยางตกในบริเวณวิกฤติ จะสรุปผลวา ปฏิเสธสมมติฐาน หลัก H0 แตถาคาสถิติ Z0 ที่คํานวณไดจากกลุมตัวอยางตกในบริเวณของการยอมรับ จะสรุปผล วา ยอมรับสมมติฐานหลัก H0 สําหรับรายละเอียดของการทดสอบสมมติฐานของพารามิเตอร แสดงดังตารางที่ 9.2

H0 : σ2 = σ20

H0 : µ = µ0

สมมติฐานหลัก (ขั้นตอนที่ 1)

X มีการแจกแจงปกติ χ2 =

(n – 1)S2 σ20

เมื่อ ν = n – 1

X – µ0 S/ n

1. X มีการแจกแจงแบบอื่นๆ 2. ไมทราบ σ2 3. n ≥ 30 Z=

X – µ0 Z= σ/ n

1. X มีการแจกแจงแบบอื่นๆ 2. ทราบ σ2 3. n ≥ 30

X – µ0 S/ n

Z=

X – µ0 เมื่อ ν = n – 1 t= S/ n

X – µ0 Z= σ/ n

H1 : σ2 ≠ σ20 H1 : σ2 > σ20 H1 : σ2 < σ20

α, n – 1

1–α, n – 1

χ2 < χ2

และ χ2 < χ21– α/2, n – 1 χ2 > χ2

α/2, n – 1

χ2 > χ2

Z > Zα/2 และ Z < –Zα/2 Z > Zα Z < –Zα

t > tα/2, n – 1 และ t < –tα/2, n – 1 t > tα, n – 1 t < –tα, n – 1

H1 : µ ≠ µ0 H1 : µ > µ0 H1 : µ < µ0

H1 : µ ≠ µ0 H1 : µ > µ0 H1 : µ < µ0

Z > Zα/2 และ Z < –Zα/2 Z > Zα Z < –Zα

บริเวณวิกฤติ (ขั้นตอนที่ 4)

H1 : µ ≠ µ0 H1 : µ > µ0 H1 : µ < µ0

สมมติฐานทางเลือก (ขั้นตอนที่ 2)

กรณีสุมตัวอยางจากประชากรชุดเดียว

สถิติที่ใชทดสอบ (ขั้นตอนที่ 5)

1. X มีการแจกแจงปกติ 2. ไมทราบ σ2 3. n ≥ 30

1. X มีการแจกแจงปกติ 2. ไมทราบ σ2 3. n < 30

1. X มีการแจกแจงปกติ 2. ทราบ σ2

เงื่อนไขของเหตุการณ

ตารางที่ 9.2 การทดสอบสมมติฐานของพารามิเตอร 262 สถิติวิศวกรรม

H0 : µ1 – µ2 = d0

X มีการแจกแจงปกติ

H0 : µD = d0

1. X1 และ X2 มี การแจกแจงปกติ 2. ไมทราบ σ21, σ22 แตรูวา σ21 = σ22 3. n1 < 30 และ n2 < 30

1. X1 และ X2 มี การแจกแจงปกติ 2. ทราบ σ21, σ22

1. X ∼ b(x; n, p) 2. n ≥ 30

เงื่อนไขของเหตุการณ

H0 : p = p0

สมมติฐานหลัก (ขั้นตอนที่ 1)

(n1 – 1)S12 + (n2 – 1)S22 n1 + n2 – 2

(X1 – X2) – d0 SP 1/n1 + 1/n2

และ ν = n1 + n2 – 2

เมื่อ SP =

t=

Z=

(X1 – X2) – d0 σ21/n1 + σ22/n2

กรณีสุมตัวอยางจากประชากรสองชุด

D – d0 t= เมื่อ ν = n – 1 SD/ n

Z=

p^ – p0 p0q0/n

H1 : µ1 – µ2 ≠ d0 H1 : µ1 – µ2 > d0 H1 : µ1 – µ2 < d0

t > tα/2, ν และ t < –tα/2, ν t > tα, ν t < –tα, ν

Z > Zα/2 และ Z < –Zα/2 Z > Zα Z < –Zα

t > tα/2, n – 1 และ t < –tα/2, n – 1 t > tα, n – 1 t < – tα, n – 1

H1 : µD ≠ d0 H1 : µD > d0 H1 : µD < d0 H1 : µ1 – µ2 ≠ d0 H1 : µ1 – µ2 > d0 H1 : µ1 – µ2 < d0

Z > Zα/2 และ Z < – Zα/2 Z > Zα Z < –Zα

บริเวณวิกฤติ (ขั้นตอนที่ 4)

H1 : p ≠ p0 H1 : p > p0 H1 : p < p0

สมมติฐานทางเลือก (ขั้นตอนที่ 2)

กรณีสุมตัวอยางจากประชากรชุดเดียว

สถิติที่ใชทดสอบ (ขั้นตอนที่ 5)

ตารางที่ 9.2 (ตอ) การทดสอบสมมติฐานของพารามิเตอร

บทที่ 9 การทดสอบสมมติฐาน

263

H0 : µ1 – µ2 = d0

สมมติฐานหลัก (ขั้นตอนที่ 1)

1. X1 และ X2 มีการแจกแจงอื่นๆ 2. ไมทราบ σ21, σ22 3. n1 ≥ 30 และ n2 ≥ 30

1. X1 และ X2 มีการแจกแจงอื่นๆ 2. ทราบ σ21, σ22 3. n1 ≥ 30 และ n2 ≥ 30

1. X1 และ X2 มีการแจกแจงปกติ 2. ไมทราบ σ21, σ22 แตรูวา σ21 ≠ σ22 3. n1 < 30 และ n2 < 30

เงื่อนไขของเหตุการณ

เมื่อ ν =

(X1 – X2) – d0 S21/n1 + S22/n2

Z=

Z=

(X1 – X2) – d0 S21/n1 + S22/n2

(X1 – X2) – d0 σ21/n1 + σ22/n2

[(S12/n1) + (S22/n2)]2 [(S12/n1)2/(n1 – 1)] + [(S22/n2)2/(n2 – 1)]

t=

H1 : µ1 – µ2 ≠ d0 H1 : µ1 – µ2 > d0 H1 : µ1 – µ2 < d0

H1 : µ1 – µ2 ≠ d0 H1 : µ1 – µ2 > d0 H1 : µ1 – µ2 < d0

สมมติฐานทางเลือก (ขั้นตอนที่ 2)

กรณีสุมตัวอยางจากประชากรสองชุด

สถิติที่ใชทดสอบ (ขั้นตอนที่ 5)

ตารางที่ 9.2 (ตอ) การทดสอบสมมติฐานของพารามิเตอร

Z > Zα/2 และ Z < –Zα/2 Z > Zα Z < –Zα

t > tα/2, ν และ t < – tα/2, ν t > tα, ν t < –tα, ν

บริเวณวิกฤติ (ขั้นตอนที่ 4)

264 สถิติวิศวกรรม

H0 : p1 – p2 = d0

X1 และ X2 มีการแจกแจงปกติ

H0 : σ21 = σ22

1. X1 ∼ b(x; n1, p1) และ X2 ∼ b(x; n2, p2) 2. n1 ≥ 30 และ n2 ≥ 30

เงื่อนไขของเหตุการณ

สมมติฐานหลัก (ขั้นตอนที่ 1)

Z=

p^ 1 – p^ 2 1

2

x +x ; p^ = n1 + n2

p^ 1(1 – p^ 1)/n1 + p^ 2(1 – p^ 2)/n2

(p^ 1 – p^ 2) – d0

p^ (1 – p^ )(1/n1 + 1/n2)

กรณี d0 ≠ 0

Z=

กรณี d0 = 0

เมื่อ ν1 = n1 – 1 และ ν2 = n2 – 1

S2 F = 12 S2

H1 : p1 – p2 ≠ d0 H1 : p1 – p2 > d0 H1 : p1 – p2 < d0

H1 : σ21 > σ22 H1 : σ21 < σ22

H1 : σ21 ≠ σ22

สมมติฐานทางเลือก (ขั้นตอนที่ 2)

กรณีสุมตัวอยางจากประชากรสองชุด

สถิติที่ใชทดสอบ (ขั้นตอนที่ 5)

ตารางที่ 9.2 (ตอ) การทดสอบสมมติฐานของพารามิเตอร

Z > Zα/2 และ Z < – Zα/2 Z > Zα Z < – Zα

F > Fα/2, n1 – 1, n2 – 1 และ F < F1 – α/2, n1 – 1, n2 – 1 F > Fα, n1 – 1, n2 – 1 F < F1 – α, n1 – 1, n2 – 1

บริเวณวิกฤติ (ขั้นตอนที่ 4)

บทที่ 9 การทดสอบสมมติฐาน

265

266

สถิติวิศวกรรม

ตัวอยางที่ 9.1 การเผาไหมเชื้อเพลิงของจรวด ตามมาตรฐานกําหนดใหมีอัตราเผาไหมเฉลี่ย

40 cm/s ถาทราบคาเบี่ยงเบนมาตรฐานของอัตราการเผาไหมเทากับ 2 cm/s วิศวกรอากาศยาน (Aeronautical Engineer) ทดสอบการเผาไหมของเชื้อเพลิงจํานวน 25 ตัวอยาง พบอัตราการเผา ไหม 41.25 cm/s ที่ระดับนัยสําคัญ α = 0.05 จงทดสอบวาอัตราการเผาไหมเปนไปตามที่กําหนด หรือไม กําหนดใหอัตราการเผาไหมมีการแจกแจงปกติ

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ จรวด ตัวแปรสุม X คือ อัตราการเผาไหมของเชื้อเพลิง (cm/s) X ∼ N(40, 22) 1. H0 : µ = 40 2. H1 : µ ≠ 40 3. α = 0.05 4. บริเวณวิกฤติ Z > Z0.025 และ Z < –Z0.025 ∴ Z > 1.96 และ Z < –1.96 X–µ 5. คาสถิติ Z = σ/ n0 = 41.25 – 40 = 3.125 2/ 25 6. สรุปผล ปฏิเสธ H0 ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 อัตราการเผาไหมของจรวดไมเปนไปตามมาตรฐานที่กําหนดไว

ตัวอยางที่ 9.2 แบตเตอรีน่ กิ เกิล–ไฮโดรเจน (Ni–H) ใชแผนนิกเกิลเปนขัว้ บวก (Anode) คุณสมบัติ

สําคัญคือผิวพรุนของแผน (Plate’s Porosity) ซึ่งจะคอยควบคุมการสัมผัสกันระหวางขั้วบวกกับ ตัวเรงปฏิกริ ยิ าโปแตสเซียมไฮดรอกไซด โดยทัว่ ไปผูผ ลิตเซลลแบตเตอรีจ่ ะกําหนดผิวพรุนที่ 80% ขึน้ ไปเปนคามาตรฐาน เพือ่ ทดสอบคาผิวพรุนจึงสุม แผนนิกเกิลจํานวน 10 แผน ไดผลของคาผิวพรุน ดังนี้ 79.1, 79.5, 79.3, 79.3, 78.8, 79.0, 79.2, 79.7, 79.0, 79.2% จงทดสอบขอสมมติฐานวา การผลิตเซลลแบตเตอรีย่ งั คงมีคณ ุ ลักษณะตามทีก่ าํ หนดหรือไม ดวยระดับนัยสําคัญ 0.05 กําหนด คาผิวพรุนมีการแจกแจงปกติ

บทที่ 9 การทดสอบสมมติฐาน

267

วิธีทํา

ประชากรและกลุมตัวอยางคือ เซลลแบตเตอรี่ Ni–H ตัวแปรสุม X คือ คาผิวพรุนของแผนนิกเกิล (%) 1. H0 : µ = 80 2. H1 : µ < 80 3. α = 0.05 –t0.05, 9 ∴ < –1.833 X–µ 5. คาสถิติ t = S/ n0 = 79.21 – 80 = –9.60 0.26/ 10 6. สรุปผล ปฏิเสธ H0 ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 การผลิตเซลลแบตเตอรี่ไมไดคาผิวพรุนของแผนนิกเกิลตามคุณลักษณะที่กําหนด 4. บริเวณวิกฤติ

t t


t0.005, 31 และ t < –t0.005, 31 ∴ t > 2.75 และ t < –2.75 D–d 5. คาสถิติ t = S / n0 D = –7.10 – 0 = –13.212 3.04/ 32 6. สรุปผล ปฏิเสธ H0 ที่ระดับนัยสําคัญ 0.01 วิธีผสมมีผลตอการใหคาออกเทนที่แตกตางกัน

ตัวอยางที่ 9.4 วัสดุ Carbon Fiber เปนวัสดุทางวิศวกรรมชั้นสูงที่สังเคราะหจากกระบวนการ

ทางเคมีในอุณหภูมิสูง โดยทําใหเกิดการจัดเรียงตัวของโมเลกุลคารบอนเปนเสนยาวและมี ความแข็งแรงสูง เสนใย Carbon Fiber มีความสามารถรับแรงดึงไดสูงสุด (Breaking Strength) ไมตํ่ากวา 1.2 GPa เมื่ออางอิงจากขอมูลในอดีต พบวาจะมี 10% ของเสนใยไฟเบอรที่มีคุณสมบัติ ไมเปนไปตามกําหนด วิศวกรสิ่งทอจึงสุมตัวอยางเสนใยจํานวน 100 ตัวอยางมาทดสอบ พบวามี 6 ตัวอยางทีค่ วามสามารถรับแรงดึงไดสงู สุดมีคา ตํา่ กวามาตรฐาน จงสรุปผลภายใตระดับนัยสําคัญ 0.01 วาคํากลาวอางนั้นถูกตองหรือไม

วิธีทํา

ประชากรและกลุมตัวอยางคือ เสนใย Carbon Fiber ตัวแปรสุม X คือ คาความสามารถรับแรงดึงไดสูงสุด (GPa) 1. H0 : p = 0.10 2. H1 : p ≠ 0.10

บทที่ 9 การทดสอบสมมติฐาน

3. α = 0.01 4. บริเวณวิกฤติ ∴

5. คาสถิติ

269

Z > Z0.005 และ Z < –Z0.005 Z > 2.575 และ Z < –2.575 p^ – p0 Z = p0q0/n =

0.06 – 0.10 = –1.33 0.10(0.90)/100

6. สรุปผล ยอมรับ H0 ที่ระดับนัยสําคัญ 0.01 คํา อา งวา มี 10% ของเสน ใยไฟเบอรที่มีคุณ สมบัติไมเปน ไปตามกํา หนดนั้น เปน จริง

ตัวอยางที่ 9.5 ในการบรรจุผงซักฟอกชนิดเหลวลงขวดตามปริมาตรทีก่ าํ หนด ถาความแปรปรวน

ของปริมาตรเกิน 0.01 ออนซ2 จะไมผานการตรวจสอบคุณภาพ เพราะมีผงซักฟอกที่ปริมาตร ตํ่าหรือเกินกวามาตรฐานกําหนดอยู ดังนั้น พนักงานบรรจุจึงทดสอบดวยตัวอยางผงซักฟอก จํานวน 20 ขวด พบวามีความแปรปรวน 0.0153 ออนซ2 หากทราบวาปริมาตรของผงซักฟอก มีการแจกแจงปกติ จงทดสอบวากระบวนการบรรจุผงซักฟอกนี้มีความแปรปรวนตามขอกําหนด หรือไม ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ ผงซักฟอกชนิดเหลวบรรจุขวด ตัวแปรสุม X คือ ปริมาตรการบรรจุ (ออนซ) 1. H0 : σ2 = 0.01 2. H1 : σ2 > 0.01 3. α = 0.05 4. บริเวณวิกฤติ χ2 > χ20.05, 19 ∴ χ2 > 30.14

270

สถิติวิศวกรรม

χ2

5. คาสถิติ

2 = (n – 1)S 2 σ0

=

19(0.0153) = 29.07 0.01

6. สรุปผล ยอมรับ H0 ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 กระบวนการบรรจุผงซักฟอกนี้มีความแปรปรวนตามขอกําหนด

ตัวอยางที่ 9.6 ปริมาณความรอนที่ผลิตไดจากถานหิน 2 ชนิด ซึ่งมีคาเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ1 = 125.5 ลานแคลอรี่/ตัน และ σ2 = 104.5 ลานแคลอรี่/ตัน ผูประกอบการอางวาปริมาณความ

รอนจากถานหินชนิดแรกมากกวาชนิดที่สองอยู 300 ลานแคลอรี่/ตัน ในการทดสอบขออางดัง กลาว ไดมีการสุมถานหินชนิดแรก 15 ตัวอยาง พบวามีคาความรอนเฉลี่ย 8230 ลานแคลอรี่/ตัน และสุมถานหินชนิดที่สอง 20 ตัวอยาง พบวามีคาความรอนเฉลี่ย 7940 ลานแคลอรี่/ตัน จงทดสอบสมมติฐานวาปริมาณความรอนที่ผลิตไดจากถานหินชนิดแรกมากกวาชนิดที่สองอยู 300 ลานแคลอรี่/ตัน ตามขอกลาวอางภายใตระดับนัยสําคัญ 0.025

วิธีทํา

ประชากรและกลุมตัวอยางคือ ถานหิน ตัวแปรสุม X1 และ X2 คือ ปริมาณความรอนที่ผลิตไดจากถานหินชนิดที่ 1 และชนิดที่ 2 (ลานแคลอรี่/ตัน) 1. H0 : µ1 – µ2 = 300 2. H1 : µ1 – µ2 ≠ 300 3. α = 0.025 4. บริเวณวิกฤติ Z > Z0.0125 และ Z < –Z0.0125 ∴

5. คาสถิติ

Z > 2.24 และ Z < –2.24 (X – X ) – d Z = 1 2 0 σ21/n1 + σ22/n2 (8230 – 7940) – 300 = = –0.25 (125.52/15) + (104.5 2/20)

บทที่ 9 การทดสอบสมมติฐาน

271

6. สรุปผล ยอมรับ H0 ที่ระดับนัยสําคัญ 0.025 ปริมาณความรอนที่ผลิตไดจากถานหินชนิดแรกมากกวาชนิดที่สองอยู 300 ลาน แคลอรี่/ตัน

ตัวอยางที่ 9.7 ทีมวิจยั ของโรงงานแปงมันสําปะหลังแหงหนึง่ ศึกษาเรือ่ งนํา้ เสียทีไ่ ดจากกระบวน

การผลิตแปงวามีศักยภาพสูงในการผลิตแกสชีวภาพ จึงทําการวิจัยเปรียบเทียบกัน 2 ระบบคือ มีระบบแกสชีวภาพ และไมมรี ะบบแกสชีวภาพ เพือ่ วัดศักยภาพการผลิตแกส จึงทําการเก็บขอมูล ทั้ง 2 ระบบจํานวน 100 hr พบวาตนแบบที่ 1 (มีระบบแกสชีวภาพ) และตนแบบที่ 2 (ไมมีระบบ แกสชีวภาพ) มีศักยภาพการผลิตแกสชีวภาพเฉลี่ย 834 และ 585 m3/hr ตามลําดับ และมีคา เบี่ยงเบนมาตรฐาน 34.2 และ 28.6 m3/hr ตามลําดับ จงทดสอบวาโรงงานแปงมันสําปะหลังควร จะติดตั้งระบบแกสชีวภาพหรือไม ภายใตระดับนัยสําคัญ 0.10

วิธีทํา

ประชากรและกลุมตัวอยางคือ โรงงานแปงมันสําปะหลัง ตัวแปรสุม X1 และ X2 คือ ศักยภาพการผลิตแกสที่ไดจากมีระบบแกสชีวภาพและไมมี ระบบแกสชีวภาพ (m3/hr) 1. H0 : µ1 = µ2 2. H1 : µ1 > µ2 3. α = 0.10 4. บริเวณวิกฤติ Z > Z0.10 ∴ Z > 1.28 (X1 – X2) – d0 5. คาสถิติ Z = S21/n1 + S22/n2 (834 – 585) – 0 = 55.85 34.22/100 + 28.62/100 6. สรุปผล ปฏิเสธ H0 ที่ระดับนัยสําคัญ 0.10 ศักยภาพการผลิตแกสชีวภาพของตนแบบที่ 1 สูงกวาตนแบบที่ 2 โรงงาน ควรจะติดตั้ง ระบบแกสชีวภาพ =

272

สถิติวิศวกรรม

ตัวอยางที่ 9.8 การผลิตเสนใยจะผานเครื่องรีดซึ่งใชแรงกดที่ลูกกลิ้ง (Roller) 10 และ 20 lb/in2 ปริมาณแรงกดที่แตกตางกันอาจสงผลตอคุณสมบัติการดูดซับความชื้นของเสนใย (% Water Pickup) วิศวกรทําการสุมตัวอยางเสนใยเพื่อทดสอบดวยปริมาณแรงกดอยางละ 15 ตัวอยาง แลววัดผลการดูดซับความชื้น ไดผลดังนี้ แรงกด 10 lb/in2 : 51.8, 61.8, 57.3, 54.5, 64.0, 59.5, 61.2, 64.9, 54.5, 70.2, 59.1, 55.8, 65.4, 60.4, 56.7 แรงกด 20 lb/in2 : 55.6, 44.6, 46.7, 45.8, 49.9, 51.9, 44.1, 52.3, 51.0, 39.9, 51.6, 42.5, 45.5, 58.0, 49.0 จงทดสอบขอสมมติฐานวาแรงกดนอยจะใหเสนใยทีม่ กี ารดูดซับความชืน้ มาก ภายใตระดับ นัยสําคัญ 0.05 ถาทราบวาความแปรปรวนของการดูดซับความชื้นเทากัน

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ เสนใย ตัวแปรสุม X1 และ X2 คือ การดูดซับความชืน้ ของเสนใยเมือ่ ใชแรงกด 10 และ 20 lb/in2 (%) 1. H0 : µ1 = µ2 2. H1 : µ1 > µ2 3. α = 0.05 4. บริเวณวิกฤติ t > t0.05, 28 เมื่อ ν = n1+ n2 – 2 = 28 ∴ t > 1.701 (X – X ) – d 5. คาสถิติ t = 1 2 0 Sp 1/n1 + 1/n2 =

(59.807 – 48.560) – 0 = 6.201 4.967 1/15 + 1/15

14(4.943)2 + 14(4.991)2 = 4.967 28 6. สรุปผล ปฏิเสธ H0 ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 แรงกดนอยจะใหเสนใยที่มีการดูดซับความชื้นมาก เมื่อ

Sp =

บทที่ 9 การทดสอบสมมติฐาน

273

ตัวอยางที่ 9.9 การวิจัยเรื่องความเร็วในการสงผานกระแสประสาทของเสนประสาทในสมอง ของมนุษยวามีความเกี่ยวของกับภาวะความปกติของเสนประสาทหรือไม นักวิจัยจึงสุมตัวอยาง คนไขปกติและคนไขที่มีภาวะผิดปกติของเสนประสาทกลุมละ 32 คน และ 27 คน ตามลําดับ เพื่อ ทําการวัดความเร็วของการสงผานกระแสประสาทวาแตกตางกันหรือไม ปรากฏผลดังตารางที่ 9.4 ตารางที่ 9.4 ความเร็วของการสงผานกระแสประสาทในกลุมคนไขปกติและผิดปกติ ความเร็วเฉลี่ย (m/s)

คาเบี่ยงเบนมาตรฐาน (m/s)

คนไขปกติ

53.994

0.974

คนไขที่มีภาวะผิดปกติของเสนประสาท

48.594

2.490

กลุมตัวอยาง

จงทดสอบขอสมมติฐานภายใตระดับนัยสําคัญ 0.05 ถาทราบวาคาความแปรปรวนของ ความเร็วในการสงผานกระแสประสาทของกลุมคนไขทั้งสองกลุมไมเทากัน

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ คนไข ตัวแปรสุม X1 และ X2 คือ ความเร็วของการสงผานกระแสประสาท (m/s) 1. H0 : µ1 = µ2 2. H1 : µ1 ≠ µ2 3. α = 0.05 4. บริเวณวิกฤติ t > t0.025, 33 และ t < –t0.025, 33 เมื่อ

ν

=

[(S12/n1) + (S22/n2)]2 [(S12/n1)2/(n1 – 1)] + [(S22/n2)2/(n2 – 1)]

= 32.69 ≈ 33 ∴ t > 2.042 และ t < –2.042

274

สถิติวิศวกรรม

5. คาสถิติ

t = =

(X1 – X2) – d0

S21/n1 + S22/n2

(53.994 – 48.594) – 0 = 10.61 (0.9742/32) + (2.4902/27)

6. สรุปผล ปฏิเสธ H0 ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 ความเร็วในการสงผานกระแสประสาทมีความเกีย่ วของกับภาวะความปกติของเสนประสาท

ตัวอยางที่ 9.10 การใชงานของระบบ FCC (Fire Control Computer) สําหรับอาวุธอากาศ

สูพ นื้ 2 ระบบทีแ่ ตกตางกันถูกนํามาทดสอบความแมนยํา ระบบที่ 1 ยิงโดนเปาหมาย 250 ครัง้ จาก 300 ครั้ง ขณะที่ระบบที่ 2 โดน 178 ครั้งจาก 260 ครั้ง จากผลการทดสอบดังกลาว จะสรุปไดหรือ ไมวาระบบ FCC ทั้งสองระบบมีความแมนยําแตกตางกัน ภายใตระดับนัยสําคัญ 0.05

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ ระบบ FCC ตัวแปรสุม X1 และ X2 คือ จํานวนครัง้ ของการยิงโดนเปาหมายของระบบที่ 1 และที่ 2 (ครัง้ ) 1. H0 : p1 = p2 2. H1 : p1 ≠ p2 3. α = 0.05 4. บริเวณวิกฤติ Z > Z0.025 และ Z < –Z0.025 ∴ Z > 1.96 และ Z < –1.96 p^1 – p^2 5. คาสถิติ Z = p^ (1 – p^)[(1/n1) + (1/n2)] = เมื่อ

(250/300) – (178/260) = 4.13 0.7643(0.2357) [(1/300) + (1/260)]

+ 178 p^ = 250 300 + 260 = 0.7643

บทที่ 9 การทดสอบสมมติฐาน

275

6. สรุปผล ปฏิเสธ H0 ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 ระบบ FCC ทั้งสองระบบมีความแมนยําแตกตางกัน

ตัวอยางที่ 9.11 ผูผลิตครีบใบพัด (Impeller) ที่ใชกับเครื่องยนตไอพน (Jet Engine) ใหความ

สําคัญกับกระบวนการเจียผิวของสวนประกอบไทเทเนียมอัลลอย ในโรงงานมีการใชกระบวนการ เจียผิว 2 แบบที่แตกตางกัน วิศวกรการผลิตจะทําการวัดคาความหยาบของผิวชิ้นงานที่ได โดย ตั้งสมมติฐานไววา ความแปรปรวนของความหยาบผิวจากทั้งสองกระบวนการไมแตกตางกัน อยางไรก็ตาม เพื่อทดสอบสมมติฐานนี้วาเปนจริงหรือไม วิศวกรจึงสุมตัวอยางครีบใบพัดที่ผลิต จากกระบวนการเจียผิวแบบที่ 1 จํานวน 11 ชิ้นสวน วัดคาเบี่ยงเบนมาตรฐานได 5.1 µin จาก กระบวนการเจียผิวแบบที่ 2 จํานวน 16 ชิ้นสวน วัดคาเบี่ยงเบนมาตรฐานได 4.7 µin จงทดสอบ สมมติฐานภายใตระดับนัยสําคัญ 0.10

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ ครีบใบพัด ตัวแปรสุม X1 และ X2 คือ คาความหยาบผิวของสวนประกอบไทเทเนียมอัลลอยที่ไดจาก กระบวนการเจียผิวแบบที่ 1 และ 2 (µin) 1. H0 : σ12 = σ22 2. H1 : σ12 ≠ σ22 3. α = 0.10 4. บริเวณวิกฤติ F > F0.05, 10, 15 และ F < F0.95, 10, 15 ∴ F > 2.54 และ F < 0.35 S2 5. คาสถิติ F = 12 S2 (5.12) = 1.178 = (4.72) 6. สรุปผล ยอมรับ H0 ที่ระดับนัยสําคัญ 0.10 ความแปรปรวนของความหยาบผิวจากทั้งสองกระบวนการไมแตกตางกัน

276

สถิติวิศวกรรม

3. คา P – Value ขั้นตอนการทดสอบสมมติฐานของพารามิเตอรในสวนของการสรุปผลวา จะปฏิเสธหรือ ยอมรับสมมติฐานหลัก H0 นัน้ จะพิจารณาจากคาสถิตซิ งึ่ คํานวณจากกลุม ตัวอยางมาเปรียบเทียบ กับคาวิกฤติดงั รูปที่ 9.1 ถาคาสถิตมิ คี า มากกวาหรือเทากับคาสัมบูรณของคาวิกฤติ (หรือตกอยูใ น บริเวณวิกฤติ) จะปฏิเสธ H0 แตถา คาสถิตมิ คี า นอยกวาคาสัมบูรณของคาวิกฤติ (หรือตกอยูใ นบริเวณ ยอมรับ) จะยอมรับ H0 ตัวอยางเชน การทดสอบสมมติฐานสองทางของการแจกแจง Z จะไดวา Z0

≥ | Zα/2 |

สรุปผล ปฏิเสธ H0

Z0

< | Zα/2 |

สรุปผล ยอมรับ H0

อีกวิธีหนึ่งที่ใชในการสรุปผลคือ พิจารณาคา P – Value ที่ไดจากกลุมตัวอยางมาเปรียบ เทียบกับระดับนัยสําคัญ α คา P – Value เปนคาความนาจะเปนนอยทีส่ ดุ ทีท่ าํ ใหปฏิเสธสมมติฐาน หลัก H0ได ซึ่งจะเปนความนาจะเปนที่สอดคลองกับคาสถิติที่คํานวณจากกลุมตัวอยาง โปรแกรม วิเคราะหทางสถิติโดยสวนใหญจะแสดงผลวิเคราะหทั้งคาสถิติและคา P – Value การเทียบคา P – Value กับ α จะสะดวกตอการสรุปผลมากกวา เพราะไมตองเปดตารางสถิติเพื่อหาคาวิกฤติ มาเปรียบเทียบ ถาคา P – Value มีคานอยกวาหรือเทากับระดับนัยสําคัญ α จะปฏิเสธสมมติฐานหลัก H0 ถาคา P – Value มีคามากกวาระดับนัยสําคัญ α จะยอมรับสมมติฐานหลัก H0 คา P – Value จะสอดคลองกับพื้นที่ใตกราฟหรือความนาจะเปนของคาสถิติ ตัวอยาง เชน การแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน Z สามารถคํานวณหาคา P – Value ที่สอดคลองกับคาสถิติ Z0 ไดดังนี้ P – Value = 2 [1 – Φ (| Z0 | ) ] สําหรับการทดสอบสมมติฐานแบบสองทาง (Two–Tailed Test) = 1 – Φ (Z0) สําหรับการทดสอบสมมติฐานแบบทางเดียวดานบน (Upper–Tailed Test) = Φ (Z0) สําหรับการทดสอบสมมติฐานแบบทางเดียวดานลาง (Lower–Tailed Test) เมื่อ Φ (Z0) = P(Z ≤ Z0) ความนาจะเปนสะสมของการแจกแจงปกติมาตรฐาน N(0, 1)

บทที่ 9 การทดสอบสมมติฐาน

Z = –1.96

คาสถิติเทียบกับคาวิกฤติ H0 : µ = 35 H1 : µ ≠ 35 ระดับนัยสําคัญ = 0.05 ขอมูลของกลุมตัวอยาง = 33.6 คาสถิติ Z0 = –2.47 Z = 1.96

Z0 = –2.47 สรุปผล เนื่องจากคาสถิติ z0 = (–2.47) มีคานอยกวา คาวิกฤติ Z = (–1.96) จึงปฏิเสธสมมติฐานหลัก H0

277

คา P–Value เทียบกับคา α

α=0.025

H0 : µ = 35 H1 : µ ≠ 35 ระดับนัยสําคัญ = 0.05 ขอมูลของกลุมตัวอยาง = 33.6 คาสถิติ Z0 = –2.47 α=0.025

คา P–Value = 2 × 0.0068 = 0.0136 (สําหรับการทดสอบแบบสองทาง) สรุปผล เนื่องจากคา P–Value มีคานอยกวาระดับนัยสําคัญ α = 0.05 จึงปฏิเสธสมมติฐานหลัก H0

รูปที่ 9.2 สรุปผลการทดสอบสมมติฐานดวยคาสถิติ Z0 หรือคา P – Value ที่มา : http://mips.stanford.edu/courses/stats_data_analsys/

จากรูปที่ 9.2 เปนการทดสอบสมมติฐานแบบสองทาง คาสถิติ Z0 = –2.47 จะใหคา P – Value = 2 [1 – Φ ( | –2.47 | ) ] = 2(0.0068) = 0.0136 ซึ่งเมื่อเทียบกับระดับนัยสําคัญ α = 0.05 พบวา P – Value < α จึงสรุปไดวา ปฏิเสธสมมติฐานหลัก H0 อีกวิธีหนึ่งคือ เทียบคา สถิติ Z0 = –2.47 กับคาวิกฤติ Z = –1.96 ซึ่งจะใหผลสรุปที่เหมือนกัน

4. ประเภทของความผิดพลาดที่พบจากการทดสอบสมมติฐาน (Types of Error) การตัดสินใจทีจ่ ะยอมรับหรือปฏิเสธสมมติฐานหลัก H0 นัน้ จะพิจารณาจากคาสถิตทิ คี่ าํ นวณ ไดจากกลุมตัวอยาง ซึ่งมีโอกาสที่จะเกิดความผิดพลาดในการตัดสินใจได ประเภทของความผิด พลาดที่พบจากการทดสอบสมมติฐานแบงเปน 2 ประเภทคือ

1. ความผิดพลาดแบบที่หนึ่ง (Type I Error) เปนความผิดพลาดที่เกิดขึ้นโดย

การปฏิเสธสมมติฐานหลัก H0 ทั้งๆ ที่ H0 เปนจริง กําหนดใหระดับนัยสําคัญ นาจะเปนของความผิดพลาดแบบที่หนึ่ง

α

แทนคาความ

2. ความผิดพลาดแบบที่สอง (Type II Error) เปนความผิดพลาดที่เกิดขึ้นโดย

การยอมรับสมมติฐานหลัก H0 ทั้งๆ ที่ H0 เปนเท็จ กําหนดให β แทนคาความนาจะเปนของความ ผิดพลาดแบบที่สอง

278

สถิติวิศวกรรม

α

= P(Type I Error) = P(Reject H0 | H0 is True)

β

= P(Type II Error) = P(Fail to Reject H0 | H0 is False)

การยอมรับสมมติฐานหลักจะใช “Fail to Reject H0” แทนที่จะใช “Accept H0” เพราะ เปนการสรุปผลจากหลักฐานที่มีอยูซึ่งยังไมเพียงพอที่จะปฏิเสธ H0 ได (Insufficient Evidence to Reject H0) ดังนัน้ เพือ่ ความถูกตองและแมนยําในการสรุปผล จําเปนตองเก็บรวบรวมขอมูลเพิม่ ขึน้ ตารางที่ 9.5 ประเภทของความผิดพลาดจากการทดสอบสมมติฐาน สรุปผลจากการทดสอบสมมติฐาน

ขอเท็จจริง H0เปนจริง 3

ยอมรับ H0

(1 – α)

ปฏิเสธ H0

Type I Error (α)

7

H0เปนเท็จ 7

Type II Error (β) 3

(1 – β)

คา (1 – β) เรียกวาอํานาจการทดสอบ (Power of the Test) เปนความนาจะเปนที่ปฏิเสธ สมมติฐานโดยที่ H0 เปนเท็จ (1 – β) = Power = P(Reject H0 | H0 is False) อํานาจการทดสอบจะเปนตัววัดความไว (Sensitivity) ของการทดสอบสมมติฐาน โดยจะ บงบอกถึงความสามารถของการทดสอบที่จะตรวจพบความแตกตางที่เกิดขึ้น เชน ความไวที่ จะปฏิเสธสมมติฐานหลัก H0 เมื่อพบ H0 เปนเท็จ = 0.74 หรือ 74% ที่ตรวจพบเจอเหตุการณ ดังกลาว คาอํานาจการทดสอบยิ่งมีคามากยิ่งดี เพราะจะบงบอกถึงความรวดเร็วในการตรวจพบ แตถาอํานาจการทดสอบมีคานอย ผูวิเคราะหขอมูลควรเพิ่มคาระดับนัยสําคัญ α และ/หรือขนาด ของกลุมตัวอยาง n ใหมากขึ้น

4.1 ความนาจะเปนของความผิดพลาดแบบที่สอง ( )

ความนาจะเปนของความผิดพลาดแบบทีห่ นึง่ จะถูกกําหนดโดยผูว เิ คราะหขอ มูลวาตองการ ทดสอบภายใตระดับนัยสําคัญ α เทาใด สวนความนาจะเปนของความผิดพลาดแบบที่สองจะขึ้น กับขนาดของกลุมตัวอยาง

บทที่ 9 การทดสอบสมมติฐาน

279

ตัวอยางของการคํานวณคา β เชน การทดสอบสมมติฐานแบบสองทางของคาเฉลี่ย H0 : µ =

µ0

H1 : µ ≠ µ0 สมมติวาสมมติฐานหลัก H0 เปนเท็จ และคาที่แทจริงของคาเฉลี่ยคือ µ = µ0 + δ โดยที่ δ > 0 ดังนั้น คาสถิติ X – µ0 X – (µ0 + δ) δ n = + σ Z0 = σ/ n σ/ n การแจกแจงของคาสถิติ Z0 เมื่อ H1 เปนจริงคือ Z0

∼

N

( δ σ n , 1)

ซึ่งการแจกแจงของคาสถิติ Z0 ภายใตสมมติฐานหลัก H0 และสมมติฐานทางเลือก H1 แสดงดังรูปที่ 9.3 ภายใต H0 : µ = µ0 ภายใต H1 : µ ≠ µ0 N(0, 1)

N

α

2

(

δ σ

n

)

,1

β

–Zα/2

0

Zα/2

δ σ

n

Z0

รูปที่ 9.3 การแจกแจงคาสถิติ Z0 ภายใตสมมติฐานหลัก H0 และสมมติฐานทางเลือก H1 ที่มา : Hines et al. 2003.

จากรูปที่ 9.3 ถา H1 เปนจริง ความผิดพลาดแบบทีส่ องจะเกิดขึน้ ในชวง –Zα/2 ≤ Z0 ≤ Zα/2 δ n โดยที่ Z0 ∼ N σ , 1 ดังนั้น ความนาจะเปนของความผิดพลาดแบบที่สอง หรือ β จะเทากับ ความนาจะเปนที่คา Z0 ตกอยูระหวาง –Zα/2 และ Zα/2 เมือ่ H1 เปนจริง (สวนที่แรเงาในรูป) นั่นคือ

(

)

280

สถิติวิศวกรรม

β

=

(

Φ Zα/2 –

δ

σ

n

) – Φ(–Z /2 – δ σ n ) α

ตัวอยางเชน ตองการทดสอบ H0 : µ = 50 และ H1 : µ ≠ 50 กําหนดให σ = 2.5 สุมตัวอยางขนาด n = 10 ระดับนัยสําคัญ α = 0.0574 จะไดบริเวณ วิกฤติคือ X > 51.5 และ X < 48.5 ดังรูปที่ 9.4 α

= P(X < 48.5 เมื่อ

µ

= 50) + P(X > 51.5 เมื่อ µ = 50)

คาของ Z ที่สัมพันธกับคาวิกฤติ 48.5 และ 51.5 คือ Z1 = 48.5 – 50 = (– 1.90) และ Z2 = 51.5 – 50 = 1.90 2.5/ 10 2.5/ 10 ดังนั้น α = P(Z < –1.90) + P(Z > 1.90) = 0.0287 + 0.0287 = 0.0574 N(0, 1)

α/2 = 0.0287

48.5

α/2 = 0.0287 µ = 50

51.5

X

บริเวณวิกฤติ α/2 –1.90

บริเวณ ยอมรับ 0

บริเวณวิกฤติ α/2 1.90

Z0

รูปที่ 9.4 ความผิดพลาดแบบที่หนึ่ง ที่มา : Hines et al. 2003. and Montgomery & Runger. 2003.

เพื่อจะคํานวณคา β จะตองระบุคาของ µ ที่ทําใหสมมติฐานทางเลือก H1 เปนจริงเสีย กอน สมมติวาจะปฏิเสธสมมติฐานหลัก H0 : µ = 50 ถาพบวา µ ≥ 52 ดังนั้น ความผิดพลาด แบบที่สองจะเกิดขึ้นในชวง 48.5 ≤ X ≤ 51.5 เมื่อ µ = 52 นั่นคือ = P(48.5 ≤ X ≤ 51.5 เมื่อ µ = 52) ขณะที่ µ = 52 คาของ Z เมื่อ X = 48.5 และ 51.5 จะเทากับ Z1 = 48.5 – 52 = –4.43 2.5/ 10 β

บทที่ 9 การทดสอบสมมติฐาน

281

Z2 = 51.5 – 52 = –0.63 2.5/ 10 β = P(–4.43 ≤ Z ≤ –0.63)

และ ดังนั้น

= P(Z ≤ –0.63) – P (Z ≤ –4.43) = 0.2643 – 0 = 0.2643 จากรูปที่ 9.5 การแจกแจงของคาสถิติ Z0 เมื่อ H1 เปนจริง คือ Z0 ∼ N(2.53, 1) δ

ความนาจะเปน

โดยคาเฉลี่ย 2.53 ไดจาก

σ

n

=

2 10 2.5 = 2.53

0.6 ภายใต H0 : µ = 50 ภายใต H1 : µ = 52 0.5 0.4

ภายใต H0 : µ = 50 ภายใต H1 : µ = 52

N(0, 1)

0.3

N(2.53, 1)

0.2 0.1 0

β

46

48

50

x

52

54

–1.90

56

0

1.90 2.53

Z0

รูปที่ 9.5 ความผิดพลาดแบบที่สอง

ที่มา : Hines et al. 2003. and Montgomery & Runger. 2003.

4.2 ขนาดตัวอยางที่เหมาะสม (Sample Size)

ความผิดพลาดแบบที่สองขึ้นอยูกับขนาดตัวอยางที่สุมมาทดสอบดวย ในทางกลับกัน สามารถหาขนาดตัวอยางที่เหมาะสมได ถากําหนดคา β, α และ δ ตามที่ตองการ δ n δ n จาก β = Φ Zα/2 – σ – Φ –Zα/2 – σ ถา δ > 0 δ n จะได β ∼ Φ Zα/2 – σ

(

) (

)

( ) δ n เพราะวาพจนหลัง Φ(–Z /2 – σ ) ∼ 0 เมื่อ δ มีคาเปนบวก α

กําหนดให Zβ เปนคาเปอรเซ็นไทลดานบน (Upper Percentile) ของการแจกแจงปกติ มาตรฐาน ดังนั้น β = Φ (–Zβ) จะไดวา

282

สถิติวิศวกรรม

∴

Zβ

∼

ขนาดตัวอยางที่เหมาะสม n

∼

เมื่อ ∴

δ

=

δ

=

δ

σ

n

(Zα/2 + Zβ)2σ2 δ2

µ – µ0 (สําหรับการทดสอบสมมติฐานสองทาง)

ขนาดตัวอยางที่เหมาะสม n

เมื่อ

Zα/2 –

∼

(Zα + Zβ)2σ2 δ2

µ – µ0 (สําหรับการทดสอบสมมติฐานทางเดียว)

ตัวอยางเชน การทดสอบสมมติฐานสองทาง H0 : µ = 50 และ H1 : µ ≠ 50 ถาผูวิเคราะห

ขอมูลตองการทราบขนาดตัวอยางที่เหมาะสมเมื่อคาเฉลี่ยที่แทจริงแตกตางเดิม (H0 : µ = 50) เทากับ 2 และการทดสอบมีความไวในการตรวจจับความแตกตางนี้ดวยความนาจะเปน 0.90 กําหนดคา σ = 2.5 และ α = 0.05 จากขอมูลขางตน ทําใหทราบวา 1 – β = 0.90 ∴ β = 0.10 Zβ = Z0.10 = 1.28 และ ∴

δ

ขนาดตัวอยางที่เหมาะสม n

= 52 – 50 = 2 (Zα/2 + Zβ)2σ2

∼ ∼

δ2

(1.96 + 1.28)2 2.52 22

∼ 16.4 ∼

17 ตัวอยาง

5. ความสัมพันธระหวางการทดสอบสมมติฐาน และการประมาณคาพารามิเตอร การทดสอบสมมติฐานมีความเชื่อมโยงกับการประมาณคาพารามิเตอรในบทที่ 8 นั่นคือ ถา [L, U] เปนการประมาณคาแบบชวง 100(1 – α)% ของพารามิเตอร θ ดังนั้น การทดสอบ สมมติฐาน H0 : θ = θ0 และ H1 : θ ≠ θ0 จะใหขอสรุปวาปฏิเสธสมมติฐานหลัก H0 ถาคาสถิติ θ0 ไมอยูในชวงความเชื่อมั่น [L, U] จากตัวอยางที่ 9.1 เปนการทดสอบสมมติฐาน H0 : µ = 40 และ H1 : µ ≠ 40 ระดับนัย สําคัญ α = 0.05 ดังนั้น ชวงความเชื่อมั่น 100(1 – 0.05)% หรือ 95% ของพารามิเตอร µ หา

บทที่ 9 การทดสอบสมมติฐาน

283

จาก X ± Zα/2 (σ/ n ) ไดเทากับ [40.466, 42.034] จะพบวาคาสถิติ µ0 = 40 ไมอยูในชวง ความเชื่อมั่นดังกลาว จึงใหขอสรุปเปนปฏิเสธสมมติฐานหลัก H0 ซึ่งสรุปตรงกันกับการทดสอบ สมมติฐาน รูปที่ 9.6 แสดงถึงความสัมพันธระหวางการทดสอบสมมติฐานกับการประมาณคาพารามิเตอร ทั้งแบบสองทางและแบบทางเดียว ดวยตัวอยางของการแจกแจงแบบ t พบวาชวงความเชื่อมั่นจะ เปนขอบเขตเดียวกับบริเวณยอมรับของการทดสอบสมมติฐาน ซึ่งเปนบริเวณที่ P – Value ≥ α ปฏิเสธ H0 P – Value < α

H0 : µ = µ0 และ H1 : µ ≠ µ0 ยอมรับ H0 P – Value ≥ α

t s x – α/2, nn– 1

ปฏิเสธ H0 P – Value < α

t s x + α/2, nn– 1 ชวงความเชื่อมั่น (ก) แบบสองทาง x

H0 : µ ≥ µ0 และ H1 : µ < µ0 ปฏิเสธ H0 ยอมรับ H0 P – Value ≥ α P – Value < α x

t s x + α, n –n1

ชวงความเชื่อมั่น (ข) แบบทางเดียวดานลาง

H0 : µ ≤ µ0 และ H1 : µ > µ0 ปฏิเสธ H0 ยอมรับ H0 P – Value < α P – Value ≥ α t s x – α, n –n1

x

ชวงความเชื่อมั่น (ค) แบบทางเดียวดานบน

รูปที่ 9.6 ตัวอยางความสัมพันธระหวางการทดสอบสมมติฐานกับการประมาณคาพารามิเตอร ที่มา : Hayter. 2002.

284

สถิติวิศวกรรม

จากความสัมพันธระหวางการทดสอบสมมติฐานและการประมาณคาพารามิเตอรทกี่ ลาวมา ขางตน จะทําใหเห็นถึงความสัมพันธของ 3 คาคือ ขนาดตัวอยาง n ระดับนัยสําคัญ α และ อํานาจการทดสอบ 1 – β (หรือชวงความเชื่อมั่น (Length of Confidence Interval) ) แสดงดังรูป ที่ 9.7 กําหนดคาเพียง 2 คาจะทําใหทราบคาที่เหลือดวย เชน ในการทดสอบสมมติฐาน กําหนด n และ α จะทําใหทราบคาอํานาจการทดสอบ 1 – β หรือในการประมาณคาพารามิเตอร กําหนด n และ 1 – α จะทําใหทราบชวงความเชื่อมั่น ขนาดตัวอยาง n การทดสอบสมมติฐาน อํานาจการทดสอบ 1 – β

ระดับนัยสําคัญ α ขนาดตัวอยาง n การประมาณคาพารามิเตอร ระดับความเชื่อมั่น 1–α

ชวงความเชื่อมั่น

รูปที่ 9.7 ความสัมพันธระหวาง n, α และอํานาจการทดสอบ (หรือชวงความเชื่อมั่น) ของการทดสอบสมมติฐานและการประมาณคาพารามิเตอร ที่มา : Hayter. 2002.

บทที่ 9 การทดสอบสมมติฐาน

285

แบบฝกหัด 1. จากขอมูลในอดีต ทราบวาการผลิตนํ้ามันชนิดหนึ่งจากนํ้ามันดิบวัดคาผลิตผลเฉลี่ยได 57.4% ควรจะสรุปอยางไรที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 ถาสุมตัวอยางนํ้ามันจากการผลิตจํานวน 40 ครั้ง แลววัดคาผลิตผลเฉลี่ยไดเทากับ 59.1% และคาเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5.2% (เฉลย : ปฏิเสธ H0 คาผลิตผลเฉลี่ยของนํ้ามันดิบแตกตางจากคาเดิม) 2. ตัวแทนจําหนายวัคซีนของบริษัทที่ 1 อางวาวัคซีนมีอายุการใชงานไดนานกวาของบริษัท ที่ 2 ถาโรงพยาบาลแหงหนึ่งทําการสุมตัวอยางวัคซีนจากบริษัทที่ 1 จํานวน 40 หลอด แลววัดอายุการใชงานเฉลี่ยไดเทากับ 647 hr ดวยคาเบี่ยงเบนมาตรฐาน 27 hr สุม ตัวอยางวัคซีนจากบริษัทที่ 2 จํานวน 40 หลอด วัดอายุการใชงานเฉลี่ยไดเทากับ 638 hr ดวยคาเบี่ยงเบนมาตรฐาน 31 hr จงทดสอบที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 วาอายุการใชงานเฉลี่ย มีความแตกตางกันอยางมีนัยสําคัญทางสถิติหรือไม (เฉลย : ยอมรับ H0 อายุการใชงานเฉลี่ยของวัคซีนไมแตกตางกัน) 3. เพื่อตรวจสอบคุณภาพของยางรถยนตที่ผลิตจากโรงงาน 2 แหง โดยวัดระยะวิ่ง (หนวย : ไมล) ไดคาดังนี้ ยางรถยนตผลิตจาก

ระยะวิ่ง (ไมล)

โรงงานที่ 1

8,260 8,130 8,350 8,070 8,340

โรงงานที่ 2

7,950 7,890 7,900 8,140 7,920 7,840

กําหนดใหความแปรปรวนของระยะวิง่ ของยางรถยนตจากโรงงานทั้งสองแหงเทากัน จงทดสอบที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 วาระยะวิ่งของยางรถยนตที่ผลิตจากโรงงานทั้งสองแหง ตางกันหรือไม ถาทราบวาระยะวิ่งมีการแจกแจงปกติ (เฉลย : ปฏิเสธ H0 ระยะวิ่งของยางรถยนตที่ผลิตจากโรงงานทั้งสองแหงไมเทากัน)

286

สถิติวิศวกรรม

4. ตัวชี้วัดคุณภาพของเสนใยฝาย (Cotton Fiber) วัดไดจากความสมํ่าเสมอของเสนใย Uniformity Ratio – UR หนวยจัดซื้อวัดคา UR จากตัวอยางของเสนใยฝาย 2 ยี่หอ ผลดัง ตาราง เสนใยฝาย

จํานวนตัวอยาง

คาเฉลี่ย

ความแปรปรวน

ยี่หอที่ 1

9

42

9

ยี่หอที่ 2

12

50

1

จงทดสอบวาเสนใยฝาย 2 ยี่หอนี้มีคา UR ตางกันหรือไม ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 ถาทราบวาคาเบี่ยงเบนมาตรฐานของคา UR ของเสนใยฝาย 2 ยี่หอนี้แตกตางกัน และคา UR มีการแจกแจงปกติ (เฉลย : ปฏิเสธ H0 เสนใยฝาย 2 ยี่หอมีคา UR แตกตางกัน) 5. การทดสอบวาอุณหภูมิมีผลตอความแข็งของแทงโลหะหรือไม โดยสุมแทงโลหะจํานวน 12 แทง แลวแบงแตละแทงออกเปน 2 สวน แยกอบในเตาอบที่มีอุณหภูมิ 85 °C และ 100 °C จากนั้นวัดความแข็งของแทงโลหะทั้ง 12 คู ไดผลดังตาราง จงทดสอบวาเปนความจริงหรือ ไมที่จะกลาววาอุณหภูมิไมมีผลตอคาความแข็งของแทงโลหะ อุณหภูมิ

คาความแข็ง (ร็อคเวล)

85 °C

81

79

82

79

83

80

83

81

80

77

74

81

100 °C

76

79

80

75

77

74

76

80

82

79

75

81

(เฉลย : ปฏิเสธ H0 อุณหภูมิมีผลตอความแข็งของแทงโลหะ) 6. วิศวกรโครงสรางตรวจสอบรอยราวของอาคารในชุมชนแหงหนึง่ พบวาเทาทีผ่ า นมามีสดั สวน ของอาคารที่มีรอยราวบงบอกถึงการทรุดตัว 0.02 ถาวิศวกรตรวจสอบอาคารจํานวน 500 แหง พบวามีสัดสวนที่พบรอยราวบงบอกการทรุดตัว 0.01 จงทดสอบวาสัดสวนของอาคาร ที่พบรอยราวบงบอกการทรุดตัวมีสัดสวนที่ลดลงจริงหรือไม ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 (เฉลย : ยอมรับ H0 สัดสวนของอาคารที่พบรอยราวบงบอกการทรุดตัวมีคาไมลดลง)

บทที่ 9 การทดสอบสมมติฐาน

287

7. หลอดแกวชนิดหนึง่ ถูกออกแบบใหสามารถทนแรงดันไดตามมาตรฐานทีก่ าํ หนด ผูผ ลิตหลอด แกวอางวาในกระบวนการผลิตเดิมจะพบหลอดแกวชํารุด 10% แตเมือ่ ปรับปรุงกระบวนการ ผลิตใหมแลวคาดวาสัดสวนของหลอดแกวชํารุดจะลดลงเหลือนอยกวา 10% เพื่อพิสูจนขอ กลาวอางดังกลาว ลูกคาจึงทดลองสุมหลอดแกวที่ผลิตดวยกระบวนการใหม 100 หลอด พบวามีหลอดแกวชํารุด 5 หลอด จะสรุปไดหรือไมวากระบวนการผลิตแบบใหมดีกวาแบบ เดิมที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 (เฉลย : ปฏิเสธ H0 กระบวนการผลิตแบบใหมดกี วาแบบเดิม) 8. การเปรียบเทียบความสามารถในการตรวจจับบรรจุภัณฑที่ถูกหยอนลงจากเครื่องบิน โดยใชระบบเรดาร 2 ระบบวาแตกตางกันหรือไม ไดทําการทดลองหยอนบรรจุภัณฑจาก เครื่องบินแลวตรวจจับดวยระบบเรดาร พบวาระบบที่ 1 ตรวจพบบรรจุภัณฑ 24 กลองจาก ทั้งหมด 100 กลอง และระบบที่ 2 ตรวจพบบรรจุภัณฑ 31 กลองจากทั้งหมด 100 กลอง จงทดสอบวาเรดารระบบที่ 1 มีประสิทธิภาพดอยกวาระบบที่ 2 ในแงที่วาใหสัดสวนของ บรรจุภัณฑที่ตรวจพบนอยกวาหรือไม ดวยระดับนัยสําคัญ 0.01 (เฉลย : ยอมรับ H0 เรดารระบบที่ 1 มีประสิทธิภาพไมดอยกวาระบบที่ 2) 9. ผูผลิตตัวตานทานไฟฟาชนิดปรับคาได (Variable Resistor) อางวาอัตราการทนกําลัง งานของตัวตานทานชนิดนี้มีการแจกแจงปกติดวยคาเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.9 W วิศวกร คุณภาพทําการสุมตัวอยางตัวตานทานไฟฟาจํานวน 10 ตัว วัดอัตราการทนกําลังงาน พบ วามีคา เบีย่ งเบนมาตรฐาน 1.2 W จงทดสอบวาคาเบีย่ งเบนมาตรฐานของอัตราการทนกําลัง งานในตัวตานทานไฟฟาชนิดนี้มากกวา 0.9 W หรือไมที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 (เฉลย : ยอมรับ H0 คาเบี่ยงเบนมาตรฐานของอัตราการทนกําลังงานไมมากกวา 0.9 W) 10. สุมตรวจสอบตลับลูกปนที่ผลิตจากสายการผลิตที่ 1 จํานวน 5 ชิ้น และจากสายการผลิต ที่ 2 จํานวน 6 ชิ้น แลววัดเสนผานศูนยกลางของตลับลูกปน พบวาความแปรปรวนของ เสนผานศูนยกลางของตลับลูกปนจากสายการผลิตที่ 1 เทากับ 0.00045 m และจากสาย การผลิตที่ 2 เทากับ 0.00039 m จงทดสอบวาความแปรปรวนของเสนผานศูนยกลางตลับ ลูกปนจากสายการผลิตที่ 1 มากกวาจากสายการผลิตที่ 2 หรือไม ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 (เฉลย : ยอมรับ H0 ความแปรปรวนของเสนผานศูนยกลางตลับลูกปนจากสายการผลิตที่ 1 ไมมากกวาจากสายการผลิตที่ 2)

288

สถิติวิศวกรรม

11. การทดสอบคาความลาของโลหะที่ใชทําเฟอง 2 แบบ นักโลหะวิทยาไดสุมตัวอยางเฟอง แบบที่ 1 และแบบที่ 2 จํานวน 10 และ 9 ชิ้น ตามลําดับ แลวนําไปวิเคราะหหาคาความลา ของโลหะ ผลดังนี้ คาความลาของโลหะ เฟองแบบที่ 1

3.3 3.7 3.5 4.1 3.4 3.5 4.0 3.8 3.2 3.7

เฟองแบบที่ 2

3.2 3.6 3.1 3.4 3.0 3.4 2.8 3.1 3.3

นักโลหะวิทยาจะสรุปไดหรือไมวา คาความลาของโลหะในเฟองแบบที่ 1 มากกวาใน เฟองแบบที่ 2 ที่ระดับนัยสําคัญ 0.01 (คําแนะนํา ใหทดสอบสมมติฐานของความแปรปรวน กอน แลวจึงทดสอบสมมติฐานของคาเฉลี่ย) (เฉลย : ยอมรับ H0 ความแปรปรวนเทากัน, ปฏิเสธ H0 ความลาของโลหะในเฟองแบบที่ 1 มากกวาในเฟองแบบที่ 2) 12. ผูผลิตกระดาษอารตมัน 2 ยี่หอ สงตัวอยางกระดาษมายังบริษัทเพื่อพิจารณาการสั่งซื้อ บริษัทจะตัดสินใจเลือกซื้อกระดาษที่มีนํ้าหนักความหนาของกระดาษ (หนวย : แกรม) ตรงกับการใชงาน สุมตรวจกระดาษตัวอยางจากผูผลิตที่ 1 และที่ 2 จํานวน 10 และ 21 แผนตามลําดับ ผลดังนี้ นํ้าหนักความหนาของกระดาษ (แกรม) ผูผลิตที่ 1

218 236 178 244 148 171 198 168 160 174

ผูผลิตที่ 2

178 184 146 176 185 158 175 172 163 181 162 152 164 180 157 164 182 169 178 154 148

จงทดสอบวากระดาษอารตมันจากผูผลิตทั้งสองมีนํ้าหนักความหนาของกระดาษแตกตาง กันหรือไม ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 (คําแนะนํา ใหทดสอบสมมติฐานของความแปรปรวน กอน แลวจึงทดสอบสมมติฐานของคาเฉลี่ย) (เฉลย : ปฏิเสธ H0 ความแปรปรวนไมเทากัน, ยอมรับ H0 นํ้าหนักความหนาของกระดาษ จากผูผลิตทั้งสองไมแตกตางกัน)

10

การวิเคราะห ความแปรปรวน

จากพื้นฐานของบทที่ 9 เปนการทดสอบสมมติฐานของพารามิเตอรที่ใชตรวจสอบความ เปลี่ยนแปลงที่อาจเกิดขึ้นในประชากรที่ศึกษา 1 ชุดและ 2 ชุด โดยวิเคราะหจากกลุมตัวอยางที่ สุมมาและอนุมานไปสูคําตอบที่ตองการทราบของประชากร เชนเดียวกันกับการวิเคราะหความ แปรปรวน (Analysis of Variance – ANOVA) ที่ยังคงเปนวิธีการตรวจสอบความเปลี่ยนแปลง ที่อาจจะเกิดขึ้น แตเปนในประชากรที่ศึกษาตั้งแต 3 ชุดขึ้นไป โดยใหความสําคัญกับการศึกษา ความแตกตางของคาเฉลี่ยของประชากร (µ1, µ2, …, µa) ซึ่งมีความเหมือนกันหรือตางกันใน แตละกลุม อันมีสาเหตุจากความแปรปรวนหรือความผันแปรในขอมูลที่เกิดจาก 2 แหลงคือ

1. ปจจัยศึกษา (Treatment) เปนปจจัยที่สนใจศึกษา สามารถควบคุมหรือกําหนดวา

จะทดสอบปจจัยนี้ในลักษณะใด แปรเปลี่ยนรูปแบบการทดลองของปจจัยนี้ได เพื่อใชศึกษาผล กระทบของปจจัยวามีผลตอคาสังเกต (Observation) ที่เก็บรวบรวมอยู

2. ปจจัยแวดลอมอื่นๆ (Error) เปนปจจัยอื่นๆ ที่ไมอยูในสิ่งที่สนใจศึกษา ไมมีการ

ควบคุม หรือควบคุมปจจัยเหลานี้ไมได ปจจัยเหลานี้จะมีผลกระทบตอคาสังเกตที่เก็บรวบรวม ดวยเชนกัน ∴ ความผันแปรในขอมูล = ความผันแปรจากปจจัยศึกษา + ความผันแปรจากปจจัยแวดลอมอืน ่ ๆ

ตัวอยางเชน การศึกษาชนิดของเรซินมีผลตอความแข็งแรงเฉือน (Shear Bond Strength)

หรือไม ทําการทดลองโดยเลือกชนิดของเรซินที่แตกตางกันมา 3 ชนิดคือ ED, MD และ PF แลว สุมตัวอยางจากเรซินแตละชนิด ชนิดละ 5 ตัวอยาง วัดคาความแข็งแรงเฉือนในแตละตัวอยาง

290

สถิติวิศวกรรม

ปจจัยที่ไดรับการควบคุมที่เราสนใจศึกษา (Treatment) คือ ชนิดของเรซิน ซึ่งสามารถ กําหนดหรือเลือกชนิดของเรซินที่ใชในการศึกษาได ปจจัยที่ไมไดรับการควบคุมอื่นๆ (Error) เชน อุณหภูมิ ความชื้น สิ่งแวดลอม เครื่องมือ อุปกรณ วิธีการวัด เปนตน ซึ่งปจจัยเหลานี้อยูนอกเหนือความสนใจหรือควบคุมไมได คาสังเกตหรือขอมูลที่เก็บรวบรวมคือ คาความแข็งแรงเฉือน จากตัวอยาง จะเห็นวาเราสนใจศึกษาเพียง 1 ปจจัยเทานั้นคือ ชนิดของเรซิน ซึ่งนํามา ศึกษา 3 ชนิด (Single–Factor Experiment with 3 Levels of the Factor) จํานวนของปจจัยศึกษา = จํานวนระดับของปจจัย (Levels of the Factor) = a = 3 แตละชนิดของปจจัยศึกษาจะมีจํานวนตัวอยาง = n = 5 จํานวนตัวอยางทั้งหมด = N = a . n = 15 ถาจะตั้งสมมติฐานเพื่อทดสอบความแตกตางของคาเฉลี่ยของประชากร จะไดวา H0 : µ1 = µ2 = µ3 H1 : µi ≠ µj อยางนอย 1 คูของ i, j ที่ i ≠ j ความแตกตางที่เกิดขึ้นในแตละประชากรมาจากความผันแปรของขอมูลจาก 2 สาเหตุคือ จากปจจัยศึกษาและจากปจจัยแวดลอมอืน่ ๆ เพือ่ จะวิเคราะหถงึ ความผันแปรหรือความแปรปรวน ที่เกิดขึ้นวามาจากสาเหตุใดบางนั้น สามารถตั้งสมมติฐานไดดังนี้ H0 : σ2tr = σ2E (สาเหตุของความผันแปรในขอมูลมาจากปจจัยแวดลอมอื่นๆ) H1 : σ2tr > σ2E (สาเหตุของความผันแปรในขอมูลมาจากทั้งสองปจจัย) การวิเคราะหความแปรปรวนเฉพาะปจจัยที่ตองการศึกษาเพียงปจจัยเดียว (One Factor) เรียกวาการวิเคราะหความแปรปรวนแบบทางเดียว (One–Way Classification ANOVA Model) ถา 1 ปจจัยมี a ระดับ (a Levels) (หรือมี a Treatments) แตละระดับจะมีการสุมตัวอยางมาเพื่อ วัดคาสังเกต ลักษณะของขอมูลไดมาจากการสุมตัวอยาง (Randomization) เรียกวา Completely Randomized Design หรือ CRD แตในการทดลองทีม่ กี ารกําหนดปจจัยควบคุม (Blocks) เพือ่ ชวย กําจัดแหลงของความผันแปร (Source of Variability) เรียกวา Completely Randomized Block Design หรือ CRBD

บทที่ 10 การวิเคราะหความแปรปรวน

291

ตัวอยางเชน แผนดิสกจํานวน 48 แผนซึ่งตัดออกมาจากแผนดีบุก 4 แผน ดังรูปที่ 10.1 แผนดิสก 12 แผนที่ตัดมาจากแผนดีบุกแผนที่ 1 (Strip # 1) จะสงไปตรวจสอบที่หองปฏิบัติการ A ในทํานองเดียวกัน แผนดิสก 12 แผนตัดจากแผนดีบุกแผนที่ 2 (Strip # 2) จะสงไปตรวจสอบ ที่หองปฏิบัตการ B อีก 24 แผนที่เหลือก็จะสงไปตรวจสอบที่หองปฏิบัติการ C และ D ตามลําดับ แผนดีบุก

แผนดิสก

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

2

13

14

15

16

17 18

19

20

21

22

23

24

3

25

26

27

28

29 30

31

32

33

34

35

36

4

37

38

39

40

41 42

43

44

45

46

47

48

รูปที่ 10.1 แผนดิสกที่ถูกตัดออกมาจากแผนดีบุก ที่มา : Johnson. 2005.

ลักษณะการทดลองแบบนี้ ตัวอยางจะถูกกําหนดอยางเปนแบบแผน (Pattern) ซึ่งจะทําให ผลการศึกษามีความผันแปรสูงจากความแตกตางของแผนดีบุก หรือแมแตความแตกตางของหอง ปฏิบัติการการตรวจสอบ เพื่อลดความผันแปรใหลดลง จึงออกแบบ การทดลองแบบ CRD ตัวอยางทั้งหมด 48 แผนจะถูกสุม (Random) โดยใชตารางเลขสุม (Table of Random Numbers) ชวย เพื่อสงตัวอยางไปตรวจสอบยังหองปฏิบัติการทั้ง 4 แหง ดังตารางที่ 10.1 ตารางที่ 10.1 การทดลองแบบ CRD หองปฏิบัติการ A

3

38

17

32

24

30

48

19

11

31

22

41

หองปฏิบัติการ B

44

20

15

25

45

4

14

5

39

7

40

34

หองปฏิบัติการ C

12

21

42

8

27

16

47

46

18

43

35

26

หองปฏิบัติการ D

9

2

28

23

37

1

10

6

29

36

33

13

292

สถิติวิศวกรรม

อยางไรก็ตาม ผลการสุม ตัวอยางขางตนชีใ้ หเห็นวายังคงมีความผันแปรในขอมูลไดอกี โดย มาจากการทดลองที่อาจคลาดเคลื่อนไป (Chance Variation) เชน ถาดูที่หองปฏิบัติการ D จะ พบวามีแผนดิสกจาก Strip #1 มากถึง 5 ตัวอยาง (แผนดิสก # 1, 2, 6, 9, 10) เพื่อปองกันไมให เกิดความผิดพลาดลักษณะนี้ การบล็อกที่แผนดีบุก (หรือ Strip) จะชวยใหเกิดการกระจายของ ตัวอยางจากแตละ Strip ไปยังหองปฏิบัติการไดอยางเทาเทียมกัน (Homogeneous Conditions) ลักษณะการบล็อกปจจัยที่อาจสงผลใหเกิดความแปรปรวนนี้จัดเปน การทดลองแบบ CRBD ดังตารางที่ 10.2 ตารางที่ 10.2 การทดลองแบบ CRBD แผนดีบุก # 1

แผนดีบุก #2

แผนดีบุก #3

แผนดีบุก #4

หองปฏิบัติการ A

8

4

10

23

24

19

26

29

35

37

44

48

หองปฏิบัติการ B

2

6

12

21

15

22

34

33

32

45

43

46

หองปฏิบัติการ C

1

5

11

16

20

13

36

27

30

41

38

47

หองปฏิบัติการ D

7

3

9

17

18

14

28

31

25

39

40

42

การศึกษาผลกระทบจากปจจัยศึกษา (Treatment Effect) สําหรับการทดลองที่มีระดับ ของปจจัยจํานวน a กลุม มีรูปแบบการทดลองได 2 แบบคือ Fixed–Effects Model และ Random–Effects Model สําหรับ Fixed–Effects Model จะเปนการออกแบบการทดลองที่ กําหนดจํานวนของปจจัยศึกษาที่แนนอน แต Random–Effects Model จะสุมเลือกปจจัยมา ศึกษาเพียงบางสวนเทานั้น ในบทนี้จะมุงศึกษาเฉพาะกรณี Fixed–Effects Model

1. Completely Randomized Design หรือ CRD การทดลองแบบ CRD เปนการทดลองที่มีการสุมตัวอยางจากประชากร a กลุมเพื่อศึกษา ผลกระทบของปจจัย 1 ปจจัยที่มีตอคาสังเกตหรือขอมูลที่ศึกษา yij โดยแตละกลุมจะประกอบ ดวยตัวอยางขนาด ni เมื่อ i คือจํานวนของกลุมหรือจํานวนระดับของปจจัยศึกษา (Treatment No.) = 1, 2, …, a และ j คือจํานวนของตัวอยางในแตละกลุมหรือจํานวนครั้งของการทดลองใน แตละระดับ (Sample No.) = 1, 2, …, ni ดังรูป

บทที่ 10 การวิเคราะหความแปรปรวน

ตัวอยางจาก ประชากรที่ 1 (ระดับของปจจัยที่ 1)

ตัวอยางจาก ประชากรที่ i (ระดับของปจจัยที่ i)

ตัวอยางจาก ประชากรที่ a (ระดับของปจจัยที่ a)

y11 y12 .. . y1n1

yi1 yi2 .. . yini

ya1 ya2 .. . yana

...

...

ขนาดตัวอยาง ni

ขนาดตัวอยาง n1

293

ขนาดตัวอยาง na

รูปที่ 10.2 การทดลองแบบ CRD ที่มา : Hayter. 2002.

การวิเคราะหความแปรปรวนของการทดลองแบบ CRD จะเริ่มตนดวยการศึกษาความ ผันแปรที่เกิดขึ้นในคาสังเกตหรือขอมูล ซึ่งขอมูลแตละตัวจะไมเทากันเนื่องจากสาเหตุของความ แตกตางของปจจัยศึกษา (Treatment) หรือความแตกตางของปจจัยอื่นๆ ที่อยูนอกขอบเขตการ ศึกษา (Error) กอนทีจ่ ะกลาวถึงหลักการคํานวณของการวิเคราะหความแปรปรวน สัญลักษณตา งๆ ที่แทนคาสังเกต ผลรวม และคาเฉลี่ย แสดงดังตารางที่ 10.3 ตารางที่ 10.3 ลักษณะของขอมูลที่จะใชในการวิเคราะหความแปรปรวน ปจจัยศึกษา

คาสังเกต (yij)

ผลรวม (yi•)

คาเฉลี่ย (yi•)

1

y11 y12 … y1n

y1•

y1•

2

y21 y22 … y2n

y2•

y2•









a

ya1 ya2 … yan

ya•

ya•

y••

y••

a





n

y•• = y yij = y•• และ an •• Σ Σ i=1 j=1 n

yij = yi• Σ j=1

y และ ni• = yi•

294

สถิติวิศวกรรม

จากที่กลาวมาขางตน ความแตกตางของ 2 สาเหตุทําใหขอมูลแตละตัวไมเทากัน ถา พิจารณาองคประกอบของขอมูลแตละตัว จะพบวาประกอบดวย 3 สวนคือ 1. คาเฉลี่ยทั้งหมด (µ) 2. ผลกระทบจากปจจัยศึกษา (τi) 3. ผลกระทบจากปจจัยแวดลอมอื่นๆ (εij) yij =

µ + τi + εij

เมื่อ i = 1, 2, … , a และ j = 1, 2, … , n (กรณีของประชากร) หรือ yij = y•• + ( yi• – y••) + (yij – yi•) (กรณีของตัวอยาง) โดยที่ yij คือ คาสังเกตหรือขอมูลจากการทดลองของปจจัยศึกษาตัวที่ i ในการทดลอง ครั้งที่ j µ คือ พารามิเตอรรวมสําหรับทุกคาของปจจัยศึกษา หรือหมายถึงคาเฉลี่ยของ ประชากรทั้งหมด (Grand Mean) แตถาเปนคาเฉลี่ยของตัวอยางทั้งหมด จะเทากับ y•• τi คือ พารามิเตอรที่ใชอธิบายปจจัยศึกษาตัวที่ i (หรือเรียกวา Treatment Effects ที่ i) แตถาเปนผลกระทบจากความแตกตางของปจจัยศึกษา ใน ตัวอยางจะเทากับ (yi• – y••) εij คือ พารามิเตอรที่ใชอธิบายปจจัยแวดลอมอื่นๆ ของปจจัยศึกษาตัวที่ i ใน การทดลองครัง้ ที่ j แตถา เปนผลกระทบจากปจจัยแวดลอมอืน่ ๆ ในตัวอยาง จะเทากับ (yij – yi•) ตัวอยางเชน สวนผสมของกาวชนิดหนึ่งมีอยู 3 สูตร ซึ่งแตละสูตรจะใชเวลาในการแหง แตกตางกัน ทําการสุมตัวอยางของกาวทั้ง 3 สูตรไดผลดังนี้ สูตรที่ 1 : 13 10 8 11 8 สูตรที่ 2 : 13 11 14 14 สูตรที่ 3 : 4 1 3 4 2 4

บทที่ 10 การวิเคราะหความแปรปรวน

295

จํานวนตัวอยางทั้งหมด (N) = 15 ตัวอยาง a

n

y•• = Σ Σ yij = 13 + 10 + ... + 4 = 120 i=1 j=1

และ

y•• = yN•• = 120 15 = 8

ถาพิจารณาแตละคาสังเกต yij จะพบวาประกอบดวย หรือ เชน

yij = y•• + (yi• – y••) + (yij – yi•) คาสังเกต = คาเฉลี่ยของประชากรทั้งหมด + ผลตางของปจจัยศึกษา + ผลตางจากปจจัยแวดลอมอื่นๆ 13 = 8 + (10 – 8) + (13 – 10) = 8 + 2 + 3

13 10 8 11 8 8 = 8 ดังนั้น 13 11 14 14 4 1 3 4 2 4 8 3 + 0 1

8 8 8 8 8 8 8 8 8 0 –2 –2 1 –2 0

8

2 2 2 2 2 + 5 5 5 5 –5 –5 –5 –5 –5 –5

8 8 1 –2 1 1 –1 1

การตรวจสอบความแตกตางทีเ่ กิดขึน้ ในคาสังเกตวามาจากสาเหตุใดนัน้ การตัง้ สมมติฐาน การวิเคราะหความแปรปรวนสามารถเจาะจงไปที่ผลกระทบจากปจจัยศึกษา (Treatment Effect หรือ τi) ไดโดยตรง เพื่อศึกษาดูวาความแตกตางของปจจัยศึกษามีผลตอคาสังเกต yij (หรือเรียก วาตัวแปรตอบสนอง (Response Variable)) หรือไม (ปจจัย ไมมีผล ตอคาสังเกต yij) H0 : τ1 = τ2 =  = τa = 0 H1 : τi ≠ 0; อยางนอย 1 คาของ i (ปจจัย มีผล ตอคาสังเกต yij) เนือ่ งจากความผันแปรในขอมูล เทากับความผันแปรจากปจจัยศึกษา รวมกับความผันแปร จากปจจัยแวดลอมอืน่ ๆ ดังนัน้ ความผันแปรจะวัดจากคาเบีย่ งเบนทีเ่ กิดขึน้ จากปจจัยทัง้ สอง แสดง ดังรูปที่ 10.3 โดยใชตัวอยางของสวนผสมกาว 3 สูตรขางตน การทดสอบสมมติฐานขางตนจะ กําหนดให εij ∼ NID(0, σ2) นัน่ คือ ปจจัยแวดลอมอืน่ ๆ จะเปนตัวแปรสุม ทีม่ กี ารแจกแจงแบบปกติ และเปนอิสระตอกันดวยคาเฉลี่ยเทากับ 0 และความแปรปรวนเทากับ σ2 ซึ่งคาความแปรปรวนนี้ กําหนดใหมีคาคงที่ในทุกๆ กลุม

296

สถิติวิศวกรรม

เวลาที่กาวแหง

y32

คาเบี่ยงเบนเนื่องจาก ปจจัยแวดลอมอื่นๆ

y3•

y1• y••

คาเบี่ยงเบนทั้งหมด

คาเบี่ยงเบนเนื่องจาก ปจจัยศึกษา

y2•

สูตรที่ 1

สูตรที่ 2

สวนผสมของกาว

สูตรที่ 3

รูปที่ 10.3 คาเบี่ยงเบนเนื่องจากปจจัยศึกษาและปจจัยแวดลอมอื่นๆ

จากรูปที่ 10.3 คาเบี่ยงเบนทั้งหมด = คาเบีย่ งเบนเนือ่ งจากปจจัยศึกษา + คาเบีย่ งเบนเนือ่ งจากปจจัยแวดลอมอืน่ ๆ = (yi• – y••) + (yij – yi•) = yij – y•• ผลรวมของคาเบี่ยงเบนยกกําลังสองเรียกวา Sum of Squares (SS) a

n

ดังนั้น Total Sum of Squares (SST) = Σ Σ (yij – y••)2 i=1 j=1 a n

a

Treatment Sum of Squares (SStr) = Σ Σ (yi• – y••)2 = ni Σ (yi• – y••)2 i=1 j=1 a n

i=1

Error Sum of Squares (SSE) = Σ Σ (yij – yi•)2 i=1 j=1

SST = SStr + SSE ผลรวมของคากําลังสองจากปจจัยศึกษา (Treatment Sum of Squares) เปนการเปรียบเทียบ ผลตางกําลังสองของแตละกลุม และทําใหเห็นความแตกตางระหวางกลุมวามีมากนอยเพียงใด อาจเรียกไดวา ผลรวมของคากําลังสองระหวางกลุม ตัวอยาง (Between–Sample Sum of Squares)

บทที่ 10 การวิเคราะหความแปรปรวน

297

ผลรวมของคากําลังสองจากปจจัยแวดลอมอื่นๆ (Error Sum of Squares) เปนการเปรียบ เทียบผลตางกําลังสองของคาสังเกตกับคาเฉลี่ยภายในกลุม ทําใหเห็นวาแมจะอยูในกลุมเดียวกัน ก็ยังเกิดความแตกตางของคาสังเกตได ซึ่งสาเหตุนาจะมาจากปจจัยอื่นๆ ที่ไมใชปจจัยศึกษา อาจ เรียกไดวาผลรวมของคากําลังสองภายในกลุมตัวอยาง (Within–Sample Sum of Squares) คาเฉลี่ยของผลรวมของคากําลังสอง (Sum of Squares) เรียกวา คาเฉลี่ยของคากําลังสอง (Mean Square (MS)) หาไดจาก Sum of Squares Mean Square = Degrees of Freedom a

(yi• – y••)2 SStr ni Σ ดังนั้น Treatment Mean Square (MStr) = df = i=1 a – 1 tr SS Error Mean Square (MSE) = df E = E

a n

Σ Σ (y – y )2 i=1 j=1 ij i• a(n – 1)

กรณีคาเฉลี่ยของประชากร (µ) แตละกลุมเทากัน คาเฉลี่ยของคากําลังสองทั้งสองจะเปน ตัวประมาณคาของความแปรปรวน (Estimates of σ2) ดังนั้น การวิเคราะหความแปรปรวนจึง เปรียบเทียบดูความแปรปรวนของปจจัยศึกษาเทียบกับปจจัยแวดลอมอืน่ ๆ เพือ่ หาขอสรุปวาสาเหตุ ความผันแปรในขอมูลมาจากปจจัยแวดลอมอืน่ ๆ เพียงอยางเดียวหรือมาจากทัง้ สองแหลง รูปแบบ ของการแจกแจง F (F Distribution) จะถูกใชในการเปรียบเทียบความแปรปรวนของทั้งสองปจจัย MS SS /df σ2 F = MStr = SS tr/dftr หรือเทากับ 2tr σ E E E E

เมื่อ ν1 = a – 1 และ ν2 = a(n – 1) = N – a ขัน้ ตอนการทดสอบสมมติฐานของการวิเคราะหความแปรปรวนประกอบดวย 6 ขัน้ ตอนคือ 1. ตั้งสมมติฐานหลัก H0 2. ตั้งสมมติฐานทางเลือก H1 3. กําหนดระดับนัยสําคัญ α 4. กําหนดบริเวณวิกฤติของการแจกแจง F

298

สถิติวิศวกรรม

α

Fα, dftreatment, dferror

F

รูปที่ 10.4 บริเวณแจกแจง F

5. คํานวณคาสถิติ F0 ดวยตาราง ANOVA • สําหรับกรณีขนาดตัวอยางของแตละกลุมเทากัน ตาราง ANOVA จะใชตารางที่ 10.4 • สําหรับกรณีขนาดตัวอยางของแตละกลุม  ไมเทากัน ตาราง ANOVA จะใชตารางที่ 10.9 ตารางที่ 10.4 ตาราง ANOVA กรณีขนาดตัวอยางเทากัน แหลงของ ความผันแปร ปจจัยศึกษา

ผลรวมของ คากําลังสอง

องศาอิสระ

กําลังสองเฉลี่ย

คาสถิติ F0

y2i• y2•• – an Σ i=1 n

a–1

SStr a–1

MStr MSE

SST – SStr

a(n – 1)

SSE a (n – 1)

a

ปจจัยแวดลอมอื่นๆ ผลรวม

a

n

y2

Σ Σ y2 – •• i=1 j=1 ij an

an – 1

6. สรุปผลการทดสอบสมมติฐาน • ถา F0 ≤ Fα, a – 1, N – a จะสรุปวายอมรับสมมติฐานหลัก H0 แสดงวา 1. ปจจัยศึกษาไมมีผลตอคาสังเกต yij หรือ 2. สาเหตุของความผันแปรในขอมูลมาจากปจจัยแวดลอมอื่นๆ หรือ 3. คาเฉลี่ยของประชากรแตละกลุมไมแตกตางกัน

บทที่ 10 การวิเคราะหความแปรปรวน •

299

ถา F0 > Fα, a – 1, N – a จะสรุปวาปฏิเสธสมมติฐานหลัก H0 แสดงวา 1. ปจจัยศึกษามีผลตอคาสังเกต yij หรือ 2. สาเหตุของความผันแปรในขอมูลมาจากทัง้ สองปจจัยคือ จากปจจัยศึกษาและจาก ปจจัยแวดลอมอื่นๆ หรือ 3. คาเฉลี่ยของประชากรแตละกลุมแตกตางกัน

ตัวอยางที่ 10.1 ผูผ ลิตกระดาษใหความสําคัญตอคุณสมบัตกิ ารทนตอแรงดึง (Tensile Strength)

ของผลิตภัณฑทใี่ ชกระดาษเปนวัตถุดบิ ในการทดลองทางอุตสาหกรรม วิศวกรดานการออกแบบ ผลิตภัณฑสนใจศึกษาวาคาการทนตอแรงดึงของผลิตภัณฑขึ้นอยูกับเปอรเซ็นตเยื่อไมเนื้อแข็ง ที่นําไปทํากระดาษหรือไม จึงไดนําถุงกระดาษซึ่งมีเปอรเซ็นตเยื่อไมที่แตกตางกัน 4 ชนิด ชนิดละ 6 ถุงมาทดลองและวัดคาการทนตอแรงดึง ปรากฏผลดังตารางที่ 10.5 จงหาขอสรุปการทดลอง ดวยระดับนัยสําคัญ 0.01 ตารางที่ 10.5 คุณสมบัติการทนตอแรงดึงของกระดาษ เปอรเซ็นตของ เยื่อไม (%) 5 10 15 20

วิธีทํา

#1 7 12 14 19

#2 8 17 18 25

คาการทนตอแรงดึง (psi) #3 #4 15 11 13 18 19 17 22 23

#5 9 19 16 18

#6 10 15 18 20

รวม 60 94 102 127 383

ประชากรและกลุมตัวอยางคือ ถุงกระดาษ ตัวแปรสุม yij คือ คาการทนตอแรงดึง (psi) เมื่อ i คือ เปอรเซ็นตเยื่อไม = 5%, 10%, 15% และ 20% ← Treatment No. j คือ ถุงกระดาษถุงที่ = 1, 2, … , 6 ← Sample No.

300

สถิติวิศวกรรม

ดังนั้น a = 4 และ n = 6 ∴ an = N = 24 1. H0 : τ5% = τ10% = τ15% = τ20% = 0 2. H1 : τi ≠ 0; อยางนอย 1 คาของ i 3. α = 0.01 4. บริเวณวิกฤติ F > F0.01, 3, 20 ∴ F > 4.94 5. คาสถิติ คํานวณจากตาราง ANOVA ดังตารางที่ 10.6 ตารางที่ 10.6 ตาราง ANOVA แหลงของ ความผันแปร

ผลรวมของ คากําลังสอง

องศาอิสระ

กําลังสองเฉลี่ย

คาสถิติ F0

เยื่อไม

382.79

a–1=3

SStr a – 1 = 127.60

MStr MSE = 19.61

ปจจัยแวดลอมอื่นๆ

130.17

a(n – 1) = 20

SSE a(n – 1) = 6.51

ผลรวม

512.96

an – 1 = 23

2 4 6 SST = Σ Σ y2ij – yan•• i=1 j=1

2 = 72 + 82 +…+ 202– 383 = 512.96 4(6) 2 4 y2i y SStr = Σ n• – an•• i=1

2 2 2 2 2 = 60 + 94 + 102 + 127 – 383 = 382.79 6 4(6) 6. สรุปผล ปฏิเสธ H0 ที่ระดับนัยสําคัญ 0.01 เปอรเซ็นตของเยื่อไมเนื้อแข็งมีผลตอคาการทนตอแรงดึงของถุงกระดาษ

บทที่ 10 การวิเคราะหความแปรปรวน

301

ตัวอยางที่ 10.2 แผนดิสกจํานวน 48 แผน ถูกสุมตรวจคาความหนาของการเคลือบดีบุกโดย

หองปฏิบัติการ 4 แหง แหงละ 12 แผน เพื่อทดสอบวาหองปฏิบัติการทั้ง 4 แหงใหผลการ วิเคราะหแตกตางกันหรือไม คาความหนาของการเคลือบผิวดวยดีบุกบนแผนดิสกแสดงดังตาราง ที่ 10.7 จงทดสอบสมมติฐานที่ระดับนัยสําคัญ 0.025 ตารางที่ 10.7 ความหนาของการเคลือบดีบุกบนแผนดิสก หองปฏิบัติการ A 0.25 0.27 0.22 0.30 0.27 0.28 0.32 0.24 0.31 0.26 0.21 0.28

B 0.18 0.28 0.21 0.23 0.25 0.20 0.27 0.19 0.24 0.22 0.29 0.16

C 0.19 0.25 0.27 0.24 0.18 0.26 0.28 0.24 0.25 0.20 0.21 0.19

D 0.23 0.30 0.28 0.28 0.24 0.34 0.20 0.18 0.24 0.28 0.22 0.21

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ แผนดิสก ตัวแปรสุม yij คือ คาความหนาของการเคลือบผิวดวยดีบุก (mm) เมื่อ i คือ หองปฏิบัติการ = A, B, C และ D ← Treatment No. j คือ แผนดิสกแผนที่ = 1, 2, … , 12 ← Sample No. ดังนั้น a = 4 และ n = 12 ∴ an = N = 48

302

สถิติวิศวกรรม

1. H0 : τA = τB = τC = τD = 0 2. H1 : τi ≠ 0; อยางนอย 1 คาของ i 3. α = 0.025 4. บริเวณวิกฤติ F > F0.025, 3, 44 ∴ F > 3.46 5. คาสถิติ คํานวณจากตาราง ANOVA ดังตารางที่ 10.8 ตารางที่ 10.8 ตาราง ANOVA แหลงของ ความผันแปร

ผลรวมของ คากําลังสอง

องศาอิสระ

กําลังสองเฉลี่ย

คาสถิติ F0

หองปฏิบัติการ

0.0130

a–1 = 3

SStr a – 1 = 0.0043

MStr MSE = 2.87

ปจจัยแวดลอมอื่นๆ

0.0679

a(n – 1) = 44

SSE a(n – 1) = 0.0015

ผลรวม

0.0809

an – 1 = 47

2 4 12 SST = Σ Σ y2ij – yan•• i=1 j=1

2 = 0.252 + 0.272 +…+ 0.212 – 11.69 4(12) = 0.0809 2 4 y2i SStr = Σ n• – yan•• i=1 2 2 2 2 2 = 3.21 + 2.72 + 2.76 + 3.00 – 11.69 = 0.0130 12 4(12)

6. สรุปผล ยอมรับ H0 ที่ระดับนัยสําคัญ 0.025 หองปฏิบัติการทั้งสี่แหงใหผลการวิเคราะหไมแตกตางกัน ในกรณีขนาดตัวอยางจากประชากรแตละกลุมไมเทากัน n1, n2, …, na ตาราง ANOVA จะสรุปไดดังตารางที่ 10.9

บทที่ 10 การวิเคราะหความแปรปรวน

303

ตารางที่ 10.9 ตาราง ANOVA กรณีขนาดตัวอยางไมเทากัน แหลงของ ความผันแปร ปจจัยศึกษา

ผลรวมของ คากําลังสอง

องศาอิสระ

กําลังสอง เฉลี่ย

คาสถิติ F0

y2i• y2•• – N Σ i=1 ni

a–1

SStr a–1

MStr MSE

SST – SStr

N–a

SSE N–a

a

ปจจัยแวดลอมอื่นๆ ผลรวม

ni

2

y y2ij – N•• Σ Σ i=1 j=1 a

N–1

ตัวอยางที่ 10.3 การศึกษาการกัดกรอนของโลหะที่ถูกจุมลงในสารละลายชนิดหนึ่ง บันทึกคา

อัตราการกัดกรอน (Corrosion Rate) ในโลหะตางชนิดกันคือ อะลูมิเนียม เหล็กกลาไรสนิม โลหะ ผสม 1 และโลหะผสม 2 ไดผลดังนี้ (หนวย : เปอรเซ็นต) อะลูมิเนียม (Al) : เหล็กกลาไรสนิม (SS) : โลหะผสม 1 (Alloy 1) : โลหะผสม 2 (Alloy 2) :

75 74 73 71

77 76 74 74

76 75 72 74

79 78 74 73

74 74 70 74

77 77 73 73

75 75 77 74 71 71

จงทดสอบวา โลหะตางชนิดกันมีคา อัตราการกัดกรอนแตกตางกันหรือไม ทีร่ ะดับนัยสําคัญ 0.05 และหาชวงความเชื่อมั่น 95% ของผลตางเฉลี่ยในอัตราการกัดกรอน

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ โลหะที่นํามาทดสอบ ตัวแปรสุม yij คือ คาอัตราการกัดกรอน (%) เมื่อ i คือ ชนิดของโลหะ = Al, SS, Alloy 1, Alloy 2 ← Treatment No. j คือ โลหะตัวอยาง = 1, 2, … , ni ← Sample No. ดังนั้น a = 4 และ ni = 7, 8, 8, 7 ∴ N = 30

304

สถิติวิศวกรรม

1. H0 : τAl = τSS = τAlloy 1 = τAlloy 2 = 0 2. H1 : τi ≠ 0; อยางนอย 1 คาของ i 3. α = 0.05 4. บริเวณวิกฤติ F > F0.05, 3, 26 ∴ F > 2.98 5. คาสถิติ คํานวณจากตาราง ANOVA ดังตารางที่ 10.10 ตารางที่ 10.10 ตาราง ANOVA แหลงของ ความผันแปร

ผลรวมของ คากําลังสอง

องศาอิสระ

กําลังสองเฉลี่ย

คาสถิติ F0

ชนิดของโลหะ

77.58

a–1 = 3

SStr a – 1 = 25.86

MStr MSE = 11.38

ปจจัยแวดลอมอื่นๆ

59.09

N – a = 26

SSE N – a = 2.27

ผลรวม

136.67

N – 1 = 29

2 4 ni SST = Σ Σ y2ij – yN•• i=1 j=1

2 = 752 + 772 + … + 712 – 2230 30 = 136.67 2 2 4 y SStr = Σ ni • – y •• N i=1 i 2 6062 5812 5102 22302 = 533 7 + 8 + 8 + 7 – 30 = 77.58

6. สรุปผล ปฏิเสธ H0 ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 โลหะทั้งสี่ชนิดมีอัตราการกัดกรอนที่แตกตางกัน ชวงความเชื่อมั่นของผลตางเฉลี่ยอัตราสวนการกัดกรอนของโลหะทั้ง 4 ชนิด สามารถ เปรียบเทียบเปนคูๆ ไดทั้งหมด a = a(a – 1) คู 2 2 = 42 = 4(4 2– 1) = 6 คู

()

()

บทที่ 10 การวิเคราะหความแปรปรวน

305

ชวงความเชื่อมั่นหาไดจาก yk – yl ± tα/2, N – a

(

s2 n1 + n1 l k

)

โดยคา MSE จะเปนคาประมาณของ s2 ดังนั้น ชวงความเชื่อมั่น 95% ของโลหะทั้งสี่ชนิดเทากับ

(

)

2.27 17 + 18 = (–1.210, 1.996) Al – Alloy 1 : 76.143 – 72.625 ± 2.056 2.27 17 + 18 = (1.915, 5.121) Al – Alloy 2 : 76.143 – 72.857 ± 2.056 2.27 17 + 17 = (1.630, 4.942) SS – Alloy 1 : 75.750 – 72.625 ± 2.056 2.27 18 + 18 = (1.576, 4.674) SS – Alloy 2 : 75.750 – 72.857 ± 2.056 2.27 18 + 17 = (1.290, 4.496) Alloy1 – Alloy 2 : 72.625 – 72.857 ± 2.056 2.27 18 + 17 = (–1.835, 1.371) Al – SS : 76.143 – 75.750 ± 2.056

( (

) )

( (

) )

(

)

2. เงื่อนไขของการวิเคราะหความแปรปรวน (Model Checking)

ในการทดสอบสมมติฐานการเทากันของคาเฉลีย่ ของประชากรตัง้ แต 3 ประชากรขึน้ ไป หรือ การวิเคราะหความแปรปรวนจะกระทําไดนนั้ เงือ่ นไขทัง้ สามจะตองตรวจสอบและเปนจริงกอน นัน่ คือ 1. ประชากรทั้ง a กลุมมีการแจกแจงแบบปกติ 2. คาความแปรปรวนของแตละประชากรเทากัน คือ σ21 = σ22 = … = σ2a 3. การสุมตัวอยางแตละชุดจากแตละประชากรจะเปนอิสระตอกัน ดังนั้น การทดสอบคาเงื่อนไขดังกลาววาเปนจริงหรือไมนั้น มีวิธีการตรวจสอบดังนี้ 1. กราฟความนาจะเปนแบบปกติ (Normal Probability Plot) 2. กราฟระหวางคา Residuals กับระดับของปจจัย และเปรียบเทียบการกระจายของคา Residuals (Plot Residuals against the Factor Levels and Compare the Spread in the Residuals) 3. กราฟระหวางคา Residuals กับเวลาหรือลําดับการทดลอง (Plot Residuals against the Time or Run Order)

306

สถิติวิศวกรรม

คา Residuals (eij) เปนคาความแตกตางระหวางคาสังเกต yij กับคาเฉลี่ยของแตละปจจัย (Treatment Mean) yi• นั่นคือ eij = yij – yi• จากตัวอยางที่ 10.1 สามารถคํานวณคา Residuals ไดดังตารางที่ 10.11 ตารางที่ 10.11 คา Residuals ของตัวอยางที่ 10.1 เปอรเซ็นต ของเยื่อไม (%)

คา Residuals

5

–3.00

–2.00

5.00

1.00

–1.00

0.00

10

–3.67

1.33

–2.67

2.33

3.33

–0.67

15

–3.00

1.00

2.00

0.00

–1.00

1.00

20

–2.17

3.83

0.83

1.83

–3.17

–1.17

กราฟความนาจะเปนแบบปกติ (Normal Probability Plot) ดังรูปที่ 10.5 ซึ่งเปนกราฟ ระหวางคา Residuals กับคาตัวแปรสุมปกติมาตรฐาน (Z) มีแนวโนมเปนเสนตรง แสดงถึงถุง กระดาษที่มีเปอรเซ็นตเยื่อไมตางกันทั้ง 4 กลุมนั้น คาการทนตอแรงดึงมีการแจกแจงแบบปกติ

คาปกติมาตรฐาน z

2 1 0 –1 –2 –4

–2

0 2 คา Residuals

4

6

รูปที่ 10.5 กราฟความนาจะเปนแบบปกติของตัวอยางที่ 10.1 ที่มา : Montgomery and Runger. 2003.

บทที่ 10 การวิเคราะหความแปรปรวน

307

สวนกราฟระหวางคา Residuals กับระดับของปจจัย (Plot Residuals Against the Factor Levels) ดังรูปที่ 10.6 ซึ่งเปนกราฟระหวางคา Residuals กับเปอรเซ็นตของเยื่อไมทั้ง 4 กลุมคือ 5%, 10%, 15% และ 20% และรูปที่ 10.7 เปนกราฟระหวางคา Residuals กับ yi• (บางครั้งเรียก วา Fitted Valve) ซึง่ กราฟทัง้ สองรูปไมมกี ารกระจายตัวทีผ่ ดิ ปกติ แสดงถึงคาความแปรปรวนของ ถุงกระดาษแตละกลุมเทากัน นั่นคือ σ21 = σ22 = σ23 = σ24 4

คา Residuals

2 0

5%

10%

15%

20%

–2 –4

รูปที่ 10.6 คา Residuals กับเปอรเซ็นตของเยื่อไมของตัวอยางที่ 10.1 ที่มา : Montgomery and Runger. 2003.

คา Residuals

4 2 0

10.0

15.0

20.0

25.0

y i•

–2 –4

รูปที่ 10.7 คา Residuals กับ yi• ของตัวอยางที่ 10.1 ที่มา : Montgomery and Runger. 2003.

308

สถิติวิศวกรรม

กราฟระหวางคา Residuals กับเวลาหรือลําดับการทดลอง (Plot Residuals Against the Time or Run Order) จะใชสําหรับการตรวจสอบเงื่อนไขการสุมตัวอยางแตละชุดจากแตละ ประชากรที่เปนอิสระตอกัน โดยดูวาคา Residuals ทั้งที่เปนคาบวกและคาลบไมไดมีลักษณะการ กระจายที่เปนรูปแบบ (Pattern) แตมีการกระจายอยางอิสระตอกัน

3. Completely Randomized Block Design หรือ CRBD

การทดลองแบบ CRBD เปนการทดลองที่มีการควบคุม (บล็อก) ตัวแปรบางตัวที่สงผลให เกิดความคลาดเคลื่อนในการทดลอง จากตัวอยางแผนดิสกที่อธิบายไวในสวนนําของบทนี้ จะเห็น วามีการบล็อกของแผนดีบุก (Strip) โดยใหแตละหองปฏิบัติการมีตัวอยางที่มาจาก Strip ทั้ง 4 อัน อันละ 3 ตัวอยางเทาๆ กัน เปนการกําจัดความผันแปรที่เกิดจากจํานวน Strip ที่แตกตางกัน ทําให ลักษณะของการทดลองอยูในสภาพที่คลายคลึงกัน (Homogeneous Conditions) ในแตละบล็อก แตยังคงความแตกตางระหวางบล็อกอยู (Fixed in Each Block but Vary from Block to Block) วิธีทดสอบที่จับคูคาสังเกตหรือ Paired t – Test ถูกใชในการเปรียบเทียบคาเฉลี่ย 2 กลุม โดยมีการควบคุมตัวแปรที่สงผลใหเกิดความคลาดเคลื่อนในการทดลอง ซึ่งเปนหลักการเดียวกัน กับการทดลองแบบ CRBD จึงอาจกลาวไดวาการทดลองแบบ CRBD เปนสวนขยายตอจากวิธี ทดสอบที่จับคูคาสังเกต แตใชในกรณีปจจัยที่สนใจศึกษามีมากกวา 2 ระดับ บล็อก 1 y11 y21 y31 .. . ya1

บล็อก 2 y12 y22 y32 .. . ya2

...

บล็อก b y1b y2b y3b .. . yab

รูปที่ 10.8 การทดลองแบบ CRBD ที่มา : Hines et al. 2003.

ปจจัยทีส่ นใจศึกษามีจาํ นวน a ปจจัย โดยปจจัยศึกษา (Treatment) จะมีปจ จัยควบคุม (Block) จํานวน b บล็อก เริม่ แรกจะศึกษาคาสังเกต 1 คา ซึง่ วัดมาจากตัวอยางทีส่ มุ จากแตละปจจัยศึกษาใน แตละบล็อก นั่นคือแตละหองปฏิบัติการจะทดสอบเพียงแผนดิสก 1 แผนที่สุมมาจากแผนดีบุก

บทที่ 10 การวิเคราะหความแปรปรวน

309

แตละแผน การวิเคราะหความแปรปรวนที่ดูเหมือนจะมี 2 ปจจัยคือ ปจจัยศึกษาและปจจัยควบคุม เรียกวาการวิเคราะหความแปรปรวนแบบสองทาง (Two–Way Classification ANOVA Model) สําหรับสัญลักษณตางๆ ที่แทนคาสังเกตและคาเฉลี่ย แสดงดังตารางที่ 10.14 ตารางที่ 10.14 ลักษณะของขอมูลที่จะใชในการวิเคราะหความแปรปรวน ปจจัยศึกษา

ปจจัยควบคุม B1

B2

1

y11

y12

2

y21

y22



i





yi2



y2j



yij 

yaj

ya1

ya2

คาเฉลี่ย (y•j)

y•1

y•2



Bb y1b

y1•

y2b





a



y1j



yi1

Bj

คาเฉลี่ย (yi•)



y•j

y2• 



yib

yi• 



yab

ya•

y•b

y••

การทดลองแบบ CRBD นั้น องคประกอบของขอมูลแตละตัวประกอบดวย 4 สวนคือ 1. คาเฉลี่ยทั้งหมด (µ) 2. ผลกระทบจากปจจัยศึกษา (τi) 3. ผลกระทบจากปจจัยควบคุมแวดลอม (βj) 4. ผลกระทบจากปจจัยแวดลอมอื่นๆ (εij) yij =

µ + τi + βj + εij

เมื่อ i = 1, 2, …, a และ j = 1, 2, …, b หรือ yij = y•• + (yi• – y••) + (y•j – y••) + (yij – yi•)

(กรณีของประชากร) (กรณีของตัวอยาง)

310

สถิติวิศวกรรม

การทดลองแบบ CRBD แตกตางจากการทดลองแบบ CRD ตรงที่มีผลกระทบจากปจจัย ควบคุมเขามาเพิ่ม โดยที่ βj คือ พารามิเตอรที่ใชอธิบายปจจัยควบคุมตัวที่ j (หรือเรียกวา Block Effects ที่ j) แตถาเปนผลกระทบจากความแตกตางของปจจัยควบคุม ในตัวอยางจะเทากับ (y•j – y••) คาเบี่ยงเบนทั้งหมด = คาเบี่ยงเบนเนื่องจากปจจัยศึกษา + คาเบี่ยงเบนเนื่องจาก ปจจัยควบคุม + คาเบี่ยงเบนเนื่องจากปจจัยแวดลอมอื่นๆ ∴ yij – y•• = (yi• – y••) + (y•j – y••) + (yij – yi• – y•j + y••) a

b

a

b

ดังนั้น Σ Σ (yij – y••)2 = Σ Σ [(yi• – y••) + (y•j – y••) + (yij – yi• – y•j + y••)]2 i=1 j=1

=

i=1 j=1 a b a b b Σ (yi• – y••)2 + a Σ (y•j – y••)2 + Σ Σ (yij – yi• – y•j + y••)2 i=1 j=1 i=1 j=1

SST = SStr + SSbl + SSE หลักการวิเคราะหความแปรปรวนของการทดลอง CRBD จะคลายคลึงกับการทดลอง CRD แตตาราง ANOVA จะมีความแตกตางกัน โดยเพิ่มการวิเคราะหความผันแปรเนื่องจาก ปจจัยควบคุมเขามาดวยดังตารางที่ 10.12 ทั้งนี้เพื่อตรวจสอบดูวาปจจัยศึกษาและ/หรือปจจัย ควบคุมมีผลตอคาสังเกต yij หรือไม ตารางที่ 10.12 ตาราง ANOVA ของการทดลอง CRBD แหลงของ ความผันแปร

ผลรวมของคา กําลังสอง

องศาอิสระ

กําลังสอง เฉลี่ย

คาสถิติ F0

ปจจัยศึกษา

a y2 2 i• – y •• Σ ab i=1 b

a–1

SStr a–1

MStr MSE

ปจจัยควบคุม

b y2 2 •j – y •• Σ ab j=1 a

b–1

SSbl b–1

SST – SStr – SSbl

(a – 1)(b – 1)

SSE (a – 1)(b – 1)

MSbl MSE

ปจจัยแวดลอมอืนื่ ๆ ผลรวม

a

b

y2••

Σ Σ y2 – i=1 j=1 ij ab

ab – 1

บทที่ 10 การวิเคราะหความแปรปรวน

311

เชนเดียวกันกับการทดลองแบบ CRD การวิเคราะหความแปรปรวนของการทดลองแบบ CRBD จะกระทําไดก็ตอเมื่อเงื่อนไขทั้ง 3 ของประชากรเปนจริงเสียกอน ซึ่งวิธีการตรวจสอบ เงื่อนไขแสดงไวในหัวขอที่ 2

ตัวอยางที่ 10.4 กระบวนการอัดเรียบมีการเลือกใชนํ้ายาที่มีสวนผสมทางเคมีแตกตางกัน 4

ชนิด เพื่อศึกษาดูวาชนิดของนํ้ายามีผลตอความเรียบของผาหรือไม นํ้ายาแตละชนิดจะใชทดสอบ ผาตัวอยาง 5 ผืน การทดลองแบบ CRBD ถูกใชในการทดสอบผาตัวอยางแตละผืนในนํ้ายาแตละ ชนิด ผลการทดลองแสดงดังตารางที่ 10.13 ตารางที่ 10.13 ความเรียบของผาจากการใชนํ้ายาชนิดตางๆ 1

ผาตัวอยางผืนที่ 2 3 4

5

1 2 3 4

1.3 2.2 1.8 3.9

1.6 2.4 1.7 4.4

0.5 0.4 0.6 2.0

1.2 2.0 1.5 4.1

1.1 1.8 1.3 3.4

ผลรวม (y•j)

9.2

10.1

3.5

8.8

คาเฉลี่ย (y•j)

2.30

2.53

0.88

2.20

นํ้ายาชนิดที่

ผลรวม (yi•)

คาเฉลี่ย (yi•)

7.6

39.2

1.96

1.90

(y••)

(y••)

5.7 8.8 6.9 17.8

1.14 1.76 1.38 3.56

จงทดสอบวาการใชนาํ้ ยาทีม่ สี ว นผสมทางเคมีแตกตางกัน จะทําใหความเรียบของผาแตก ตางกันหรือไม ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05

วิธีทํา ประชากรและกลุมตัวอยางคือ ผาที่นํามาทดสอบ ตัวแปรสุม yij คือ คาความเรียบของผา เมื่อ i คือ ชนิดของนํ้ายา = 1, 2, 3, 4 ← Treatment No. j คือ ผาตัวอยางผืนที่ = 1, 2, 3, 4, 5 ← Block No. ดังนั้น a = 4 และ b = 5 ∴ N = 20

312

สถิติวิศวกรรม

1. H0 : τ1 = τ2 = τ3 = τ4 = 0 2. H1 : τi ≠ 0; อยางนอย 1 คาของ i 3. α = 0.05 4. บริเวณวิกฤติสําหรับชนิดของนํ้ายา (ปจจัยศึกษา) F > F0.05, 3, 12 ∴ F > 3.49 สําหรับตัวอยางผา (ปจจัยควบคุม) F > F0.05, 4, 12 ∴ F > 3.26 5. คาสถิติ คํานวณจากตาราง ANOVA ดังตารางที่ 10.14 ตารางที่ 10.14 ตาราง ANOVA แหลงของ ความผันแปร

ผลรวมของ คากําลังสอง

องศาอิสระ

กําลังสองเฉลี่ย

คาสถิติ F0

ชนิดของนํ้ายา (ปจจัยศึกษา)

18.04

a–1 = 3

SStr = 6.01 a–1

MStr = 75.13 MSE

ตัวอยางผา (ปจจัยควบคุม)

6.69

b–1=4

SSbl = 1.67 b–1

MSbl = 20.88 MSE

ปจจัยแวดลอมอื่นๆ

0.96

(a – 1)(b – 1) = 12

SSE (a – 1)(b – 1) = 0.08

ผลรวม

25.69

ab – 1 = 19

2 4 5 SST = Σ Σ y2ij – yab•• i=1 j=1

2 = 1.32 + 1.62 + ... + 3.42 – 39.2 = 25.69 20 2 2 4 y SStr = Σ i • – y •• i=1 b ab 2 2 2 2 2 = 5.7 + 8.8 + 6.9 + 17.8 – 39.2 = 18.04 20 5

บทที่ 10 การวิเคราะหความแปรปรวน

313

2 5 y2 SSbl = Σ a•j – y •• ab j=1 2 2 2 2 2 2 = 9.2 + 10.1 + 3.5 + 8.8 + 7.6 – 39.2 = 6.69 4 20

SSE = SST – SStr – SSbl = 25.69 – 18.04 – 6.69 = 0.96 6. สรุปผล ปฏิเสธ H0 ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 ทั้งชนิดของนํ้ายา (ปจจัยศึกษา) และ ตัวอยางผา (ปจจัยควบคุม) การใชนาํ้ ยาทีม่ สี ว นผสมทางเคมีแตกตางกันและตัวอยางผาทีไ่ มเหมือนกัน จะทําใหความ เรียบของผาแตกตางกัน (หรือชนิดของนํ้ายาและประเภทของตัวอยางผามีผลตอความเรียบของผา) ในการทดลองแบบ CRBD ชวงความเชื่อมั่น (1 – α) ของผลตางของคาเฉลี่ยแตละคู (Pairwise Comparison of the Factor Level Means) จํานวน ( a2 ) = a(a – 1) คู หาไดจาก 2 S(qα, a, ν) yk – yl ± b โดย S =

∧

σ

=

MSE

และ qα, a, ν เปนคาวิกฤติดานบน (Upper α Point) ของการแจกแจง Studentized Range Distribution ดังตารางในภาคผนวกที่ ก.9 เมื่อ ν = (a – 1)(b – 1) จากตัวอยางที่ 10.4 ถาตองการหาชวงความเชื่อมั่น 95% ของผลตางของคาเฉลี่ยใน นํ้ายาทั้งสี่ชนิด จะไดจํานวนคู

( 42 )

4(4 – 1) = 6 คู 2 MSE (q0.05, 4, 12) S(q ) และ α, a, ν = b b =

= ( 0.08)(4.20) = 0.531 5

314

สถิติวิศวกรรม

ผลเปรียบเทียบของนํ้ายาแตละคูเปนดังนี้ L1 – L2 : 1.14 – 1.76 ± 0.531 = (–1.151, –0.089) L1 – L3 : 1.14 – 1.38 ± 0.531 = (–0.771, 0.291) L1 – L4 : 1.14 – 3.56 ± 0.531 = (–2.951, –1.889) L2 – L3 : 1.76 – 1.38 ± 0.531 = (–0.151, 0.911) L2 – L4 : 1.76 – 3.56 ± 0.531 = (–2.331, –1.269) L3 – L4 : 1.38 – 3.56 ± 0.531 = (–2.711, –1.649) ผลจากการวิเคราะหความแปรปรวนอาจชี้ใหเห็นวามีความแตกตางของคาเฉลี่ยในแตละ กลุม ดังนั้น อาจศึกษาตอจากผลวิเคราะหดังกลาวเพื่อดูวากลุมใดบางที่แตกตางกัน โดยดูไดจาก S(qα, a, ν) Tα = b ถา | yk – yl | > Tα จะสรุปไดวา คาเฉลี่ยคูดังกลาวมีความแตกตางกัน การวิเคราะหเพื่อหาคูของปจจัยศึกษาที่มีความแตกตางกันเรียกวา Multiple Comparison Method ซึ่งวิธีการคํานวณที่ใชผลตางมาเปรียบเทียบกับคา Tα จะเรียกวาวิธี Tukey’s Test จากตัวอยางที่ 10.4 พบวา T0.05 = 0.531 | yL1 – yL2 | = | 1.14 – 1.76 | = 0.62 | yL1 – yL3 | = | 1.14 – 1.38 | = 0.24 | yL1 – yL4 | = | 1.14 – 3.56 | = 2.42 | yL2 – yL3 | = | 1.76 – 1.38 | = 0.38 | yL2 – yL4 | = | 1.76 – 3.56 | = 1.80 | yL3 – yL4 | = | 1.38 – 3.56 | = 2.18 ดังนั้น สรุปไดวามี 2 คูที่ไมแตกตางกันคือ 1. นํ้ายาชนิดที่ 1 และ 3 2. นํ้ายาชนิดที่ 2 และ 3 สําหรับคูที่เหลือจะมีความแตกตางกัน ซึ่งใหผลในทิศทางเดียวกันกับการหาชวงความ เชื่อมั่นขางตน ซึ่งจะพบวาเฉพาะ 2 คูเทานั้นคือคูที่ 1 กับ 3 และคูที่ 2 กับ 3 ที่ชวงความเชื่อมั่น ครอบคลุมคา 0 อยูดวย คา 0 จะเปนการบอกโดยนัยวา µk ไมแตกตางจาก µl นั่นเอง

บทที่ 10 การวิเคราะหความแปรปรวน

315

แบบฝกหัด 1. การบันทึกผลการปฏิบัติงานที่ผิดพลาดของชางเทคนิค 4 คนประจําหองปฏิบัติการแหง หนึ่ง โดยบันทึกจํานวนครั้งที่ผิดพลาดในการทํางานทั้งหมด 5 วันติดตอกัน ผลดังตาราง จงทดสอบวาชางเทคนิคทั้ง 4 คนมีประสิทธิภาพการทํางานที่แตกตางกันหรือไม ที่ระดับ นัยสําคัญ 0.01 (เฉลย : ยอมรับ H0 ชางเทคนิคทั้ง 4 คนมีประสิทธิภาพการทํางานไมแตกตางกัน) ชางเทคนิค # 1

ชางเทคนิค # 2

ชางเทคนิค # 3

ชางเทคนิค # 4

6

14

10

9

14

9

12

12

10

12

7

8

8

10

15

10

11

14

11

11

2. การวัดคานํ้าหนักที่สูญเสียไปของชิ้นสวนทางกล (หนวย : mg) จากการเสียดสี โดยวัดหลัง จากการใชงานภายใตสารหลอลื่น 3 ชนิดที่แตกตางกัน จงทดสอบวาชนิดของสารหลอลื่นมี ผลตอการสูญเสียนํ้าหนักของชิ้นสวนทางกลหรือไม ที่ระดับนัยสําคัญ 0.025 สารหลอลื่นชนิดที่ 1

12.2

11.8

13.1

11.0

3.9

4.1

10.3

8.4

สารหลอลื่นชนิดที่ 2

10.9

5.7

13.5

9.4

11.4

15.7

10.8

14.0

สารหลอลื่นชนิดที่ 3

12.7

19.9

13.6

11.7

18.3

14.3

22.8

20.4

(เฉลย : ปฏิเสธ H0 ชนิดของสารหลอลื่นมีผลตอการสูญเสียนํ้าหนักของชิ้นสวนทางกล)

316

สถิติวิศวกรรม

3. การจําลองสถานการณที่แตกตางกัน 3 รูปแบบ เพื่อทดสอบนักบิน 28 คนวาสามารถตอบ สนองและแกปญหาเฉพาะหนาไดดีเพียงใด ผลของเวลาตอบสนอง (หนวย : ms) แสดง ดังตาราง สถานการณจําลองที่ 1

14

13

9

15

11

13

14

11

สถานการณจําลองที่ 2

10

12

9

7

11

8

12

9

สถานการณจําลองที่ 3

11

5

9

10

6

8

8

7

10

13

9

10

จงทดสอบวาสถานการณจําลองที่แตกตางกันมีผลตอการตอบสนองของนักบินหรือ ไม ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 (เฉลย : ปฏิเสธ H0 สถานการณจําลองที่แตกตางกันมีผลตอการตอบสนองของนักบิน) 4. อะลูมิเนียมอัลลอยถูกนํามาใชในขดลวดเหนี่ยวนําเพื่อคุณสมบัติตานทานไฟฟาตํ่า จงหา ขอสรุปวาการเลือกใชประเภทของอะลูมเิ นียมอัลลอยมีผลตอกระแสไฟฟาทีไ่ หลผานขดลวด หรือไม ที่ระดับนัยสําคัญ 0.01 อัลลอย

กระแสไฟฟา (A)

ชนิดที่ 1

1.085

1.016

1.009

ชนิดที่ 2

1.051

0.993

1.002

ชนิดที่ 3

0.985

1.001

0.990

ชนิดที่ 4

1.101

1.015

1.034 0.988

1.011

(เฉลย : ยอมรับ H0 การเลือกใชประเภทของอะลูมเิ นียมอัลลอยไมมผี ลตอกระแสไฟฟาทีไ่ หล ผานขดลวด)

บทที่ 10 การวิเคราะหความแปรปรวน

317

5. การทดสอบประสิทธิภาพของสารทําความสะอาดหัวฉีดเชือ้ เพลิง โดยบันทึกคาความสะอาด ของหัวฉีดเมื่อใชสารทําความสะอาด 4 ชนิดกับหัวฉีดเชื้อเพลิงของเครื่องยนต 3 ประเภท ผลดังนี้ เครื่องยนต # 1

เครื่องยนต # 2

เครื่องยนต # 3

สาร A

45

43

51

สาร B

47

46

52

สาร C

48

50

55

สาร D

42

37

49

ถากําหนดใหชนิดของสารทําความสะอาดเปนปจจัยศึกษา และประเภทของเครือ่ งยนต เปนปจจัยควบคุม จงวิเคราะหความแปรปรวนทีร่ ะดับนัยสําคัญ 0.05 เพือ่ ดูวา มีความแตกตาง ในสารทําความสะอาดหรือในเครื่องยนตหรือไม (เฉลย : ปฏิเสธ H0 ชนิดของสารทําความสะอาดและประเภทของเครือ่ งยนต มีผลตอคาความ สะอาดของหัวฉีดเชื้อเพลิง) 6. นักวิจัยในหองปฏิบัติการแหงหนึ่งทําการวัดความทนตอแรงดึง (หนวย : ออนซ) ของเสนใย ลินิน 5 ชนิด ดวยเครื่องมือวัดที่แตกตางกัน 4 เครื่อง ผลดังตาราง เครื่องวัด # 1

เครื่องวัด # 2

เครื่องวัด # 3

เครื่องวัด # 4

เสนใยชนิดที่ 1

20.6

20.7

20.0

21.4

เสนใยชนิดที่ 2

24.7

26.5

27.1

24.3

เสนใยชนิดที่ 3

25.2

23.4

21.6

23.9

เสนใยชนิดที่ 4

24.5

21.5

23.6

25.2

เสนใยชนิดที่ 5

19.3

21.5

22.2

20.6

ถากําหนดใหชนิดของเสนใยลินนิ เปนปจจัยศึกษา และเครือ่ งมือวัดเปนปจจัยควบคุม จงวิเคราะหความแปรปรวนที่ระดับนัยสําคัญ 0.01 (เฉลย : ปฏิเสธ H0 ชนิดของเสนใยลินินมีผลตอความทนตอแรงดึง และยอมรับ H0 ประเภท ของเครื่องมือวัดไมมีผลตอความทนตอแรงดึง)

318

สถิติวิศวกรรม

7. วิธีการบมคอนกรีตมีผลตอคาความแข็งแรงของคอนกรีตหรือไม วิศวกรโยธาจึงสุมกลุม (Batch) ของคอนกรีตทั้งหมด 15 กลุม แตละกลุมใชวิธีการบมที่แตกตางกัน 3 วิธี วัดคา ความแข็งแรง ผลดังตาราง คาความแข็งแรง (MPa) กลุมคอนกรีตที่

วิธีการบม A

วิธีการบม B

วิธีการบม C

1

30.7

33.7

30.5

2

29.1

30.6

32.6

3

30.0

32.2

30.5

4

31.9

34.6

33.5

5

30.5

33.0

32.4

6

26.9

29.3

27.8

7

28.2

28.4

30.7

8

32.4

32.4

33.6

9

26.6

29.5

29.2

10

28.6

29.4

33.2

7.1 ถากําหนดใหวธิ กี ารบมคอนกรีตเปนปจจัยศึกษา และกลุม ของคอนกรีตเปนปจจัยควบคุม จงทดสอบวาวิธกี ารบมคอนกรีตทีแ่ ตกตางกันมีผลตอคาความแข็งแรงของคอนกรีตหรือ ไม ที่ระดับนัยสําคัญ 0.01 (เฉลย : ปฏิเสธ H0 วิธีการบมคอนกรีตมีผลคาความแข็งแรงของคอนกรีต) 7.2 จงวิเคราะหวา กลุม ของคอนกรีตทีแ่ ตกตางกันมีผลตอคาความแข็งแรงของคอนกรีตหรือ ไม ที่ระดับนัยสําคัญ 0.01 (เฉลย : ปฏิเสธ H0 กลุมของคอนกรีตมีผลตอความแข็งแรงของคอนกรีต) 7.3 ถาไมมีผลกระทบจากความแตกตางกันของกลุมของคอนกรีต หรือไมมีปจจัยควบคุม (Block) จงใชการวิเคราะหความแปรปรวนแบบ One–Way ANOVA เพื่อสรุปผลการ ศึกษา ที่ระดับนัยสําคัญ 0.01 (เฉลย : ยอมรับ H0 วิธีการบมคอนกรีตไมมีผลตอคาความแข็งแรงของคอนกรีต)

11

การถดถอยเชิงเสน และสหพันธ

ในการศึกษาความสัมพันธระหวางตัวแปรหรือปจจัยตั้งแต 2 ตัวขึ้นไปวามีความสัมพันธ กันอยางไร ดวยการสรางตัวแบบในการทํานายคาของตัวแปรนั้น จะใชเทคนิคทางสถิติที่เรียกวา การวิเคราะหการถดถอย (Regression Analysis) ตัวอยางเชน การศึกษาความสัมพันธระหวาง ความแข็งของโลหะชนิดหนึ่งกับคามอดูลัสของยัง (Young’s Modulus) วาเกี่ยวของกันอยางไร การวิเคราะหการถดถอยจะชวยสรางตัวแบบซึ่งทํานายคามอดูลัสของยังเมื่อความแข็งของโลหะ มีคาตางๆ หรือตัวอยางของการคาดการณระยะทางที่รถยนตวิ่งไดจากสมการความสัมพันธของ ฟงกชันความหนาของดอกยาง เปนตน การทํานายหรือการคาดการณนั้นตองอาศัยสูตรหรือตัว แบบของความสัมพันธระหวางตัวแปรตาม (Dependent Variable) กับตัวแปรอิสระ (Independent Variables) ที่อาจมีมากกวาหนึ่งตัวแปร ถากําหนดให Y เปนตัวแปรตาม และ X1, X2, …, Xk เปนตัวแปรอิสระ k ตัวแปรซึ่ง มีความสัมพันธกันกับตัวแปร Y อธิบายความสัมพันธระหวางตัวแปรไดดวยสมการถดถอย (Regression Equation) Y = φ (X1, X2, …, Xk) ซึ่งนอกจากจะทําใหทราบรูปแบบของความ สัมพันธแลว ยังสามารถใชทํานายคาของตัวแปรตาม Y หากทราบคาของตัวแปรอิสระ X ได อีกดวย

1. การถดถอยเชิงเสนอยางงาย (Simple Linear Regression) การถดถอยเชิงเสนอยางงายเปนการอธิบายความสัมพันธเชิงเสนตรงระหวางตัวแปรเพียง 2 ตัวคือ ตัวแปรอิสระ X กับตัวแปรตาม Y ถา (x1, y1) (x2, y2) …(xn, yn) เปนขอมูลจํานวน n

320

สถิติวิศวกรรม

คูที่ไดจากการทดลอง ซึ่งตัวแปร X จะสามารถกําหนดหรือควบคุมคาที่ตองการ ขณะที่ตัวแปร Y จะเปนผลที่ไดจากการทดลอง ขอมูลชุดดังกลาวจะเปนการเริ่มตนสําหรับการวิเคราะหหาสมการ ถดถอย ในบทเรียนนี้มุงศึกษาเฉพาะความสัมพันธเชิงเสนตรงของตัวแปร 2 ตัวเทานั้น จึงควร เริ่มตนดวยการดูแนวโนมความสัมพันธระหวาง 2 ตัวแปรกอน โดยใชแผนภาพการกระจาย (Scatter Plot) เพื่อดูวาขอมูลมีแนวโนมจะเปนเชิงเสนตรงหรือไม ยกตัวอยางเชน ในการศึกษา ผลกระทบของอุณหภูมิวามีผลตอคา Yield ของผลิตภัณฑหรือไมนั้น วิศวกรไดทดลองปรับ อุณหภูมิที่ใชในกระบวนการผลิต (หนวย : °C) แลวทําการวัดคา Yield ของผลิตภัณฑที่ผลิตออก มา (หนวย : %) ทดลองทั้งหมด 10 ครั้ง ผลการทดลองดังตารางที่ 11.1 ตารางที่ 11.1 ขอมูลของอุณหภูมิและคา Yield ของผลิตภัณฑ อุณหภูมิ Yield

100 45

110 51

120 54

130 61

140 66

150 70

160 74

170 78

180 85

190 89

กอนที่จะวิเคราะหหาสมการถดถอยที่แสดงถึงความสัมพันธระหวาง 2 ตัวแปรคือ ตัวแปร อิสระ X ซึ่งแทนอุณหภูมิ (สามารถปรับหรือกําหนดอุณหภูมิที่เราตองการทดลองได) และตัวแปร ตาม Y ซึ่งแทนคา Yield (ผลที่ไดจากการทดลอง) ควรจะดูแนวโนมของขอมูลวาเปนเชิงเสนตรง หรือไม โดยใชแผนภาพการกระจาย ดังรูปที่ 11.1

Yield, Y

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 อุณหภูมิ, X

รูปที่ 11.1 แผนภาพการกระจาย ที่มา : Hines et al. 2003.

บทที่ 11 การถดถอยเชิงเสนและสหสัมพันธ

321

พบวาแนวโนมของขอมูล (x1, y1) (x2, y2) … (x10, y10) เปนเชิงเสนตรง จึงสามารถวิเคราะห หาสมการถดถอยเชิงเสนไดตอไป สําหรับสมการถดถอยเชิงเสนอยางงายจะอยูในรูป yi =

β0 + β1xi + εi

เมื่อพารามิเตอร β0 เปนระยะตัดแกน Y (Y Intercept) พารามิเตอร β1 เปนคาความ ชัน (Slope) และ εi เปนคาความคลาดเคลื่อนอยางสุม (Random Error) ที่มีคาเฉลี่ย 0 และ ความแปรปรวน σ2 นั่นคือ εi ∼ N(0, σ2) ซึ่งอาจกลาวไดวา Yi ∼ N (β0 + β1xi, σ2) มีลักษณะ ดังรูปที่ 11.2 การแจกแจงของ y3 เสนการถดถอย y = β0 + β1x

y

.

.. 1xn β0 + β

การแจกแจงของ y1

การแจกแจง ของ y2

... β0 + β1x2 β0 + β1x1

x2

x1

...

xn

x

รูปที่ 11.2 สมการถดถอยเชิงเสนอยางงาย ที่มา : Hayter. 2002.

จากรูปที่ 11.2 จะสังเกตไดวา E(Yi) = β0 + β1xi พารามิเตอร β0 และ β1 เปนพารามิเตอร ที่ไมทราบคา จําเปนตองประมาณคาพารามิเตอรทั้งสองดวยตัวประมาณคา β^0 และ β^1 ดวย หลักการของ Least Squares คือ ผลตางกําลังสองระหวางคาสังเกต yi และคาที่ไดจากสมการ n ถดถอย y^i จะมีคานอยที่สุด หรือ Σ ε2i มีคานอยที่สุด โดยที่ εi = yi – y^i i=1

322

สถิติวิศวกรรม

y 17 ε4

16 ε ε1 3

15 14 13

ε2

ε6

12

ε5

y^ = β^0 + β^1x

11 4

5

6 7 8 9 10 รูปที่ 11.3 สมการถดถอยเชิงเสน และคา εi

x

จากรูปที่ 11.3 คา εi เรียกวา Residual เปนระยะหางจากจุด (xi, yi) ไปยังเสนตรง ^y = β^ + β^ x ซึ่งเรียกวา เสนการถดถอย (Regression Line) 0 1 n n n ถากําหนดให L = Σ ε2i = Σ (yi – y^i)2 = Σ (yi – β0 – β1xi)2 i=1 i=1 i=1 จากหลักการของ Least Squares คา L จะมีคานอยที่สุด ∂L = 0 โดย และ

∂β0 ∂L ∂β1

= 0

แกสมการหาคา β^0 และ β^1 จะไดวา ^

β0

^

β1

= y – β^1x n

=

(n )( n ) 2 n n n Σ x2i – (Σ xi) i=1 i=1

n Σ xiyi – Σ xi Σ yi i=1 i=1 i=1

บทที่ 11 การถดถอยเชิงเสนและสหสัมพันธ

323

ดังนั้น สามารถหาสมการที่ใชประมาณคาสมการถดถอยเชิงเสนแบบงายได นั่นคือ y^ =

^

^

β0 + β1x

เพื่อใหเขาใจผลรวมกําลังสอง (Sum of Squares) และผลรวมของผลคูณระหวางตัวแปร (Sum of Cross – Products) และสามารถใชในการคํานวณตอไป สัญลักษณของผลรวมตางๆ มีดงั นี้

( ) 2 n n n (yi – y)2 = Σ y2i – 1n ( Σ yi) Σ i=1 i=1 i=1

2 n n n ผลรวมกําลังสองของตัวแปรอิสระ X = Sxx = Σ (xi – x)2 = Σ x2i – 1n Σ xi i=1 i=1 i=1

ผลรวมกําลังสองของตัวแปรตาม Y = Syy =

n

ผลรวมของผลคูณระหวางตัวแปร X และ Y = Sxy = Σ (xi – x) (yi – y) i=1

( )( )

n n n = Σ xiyi – 1n Σ xi Σ yi i=1 i=1 i=1

ซึ่งเมื่อพิจารณาจากความสัมพันธของตัวประมาณคาความชัน สามารถหาตัวประมาณคา β^1 ไดจาก ^

β1

^

β1

ขางตน จะพบวา

S = Sxy xx

เมื่อไดสมการประมาณคาของสมการถดถอยเชิงเสนแลว กอนที่จะนําไปใชในการทํานาย คาของตัวแปรตาม Y ได จะตองทําการตรวจสอบกอนวา ตัวแปรทั้งสองคือตัวแปรอิสระ X และ ตัวแปรตาม Y มีความสัมพันธเชิงเสนตรงจริง ดวย การทดสอบความมีนัยสําคัญของตัวแบบ ถดถอย หรือเรียกวา การทดสอบสมมติฐานของพารามิเตอรความชัน β1 เพื่อดูวาคาความ ชันระหวาง 2 ตัวแปรมีคาเปน 0, บวก หรือลบ ถาคาความชันเปน 0 (หรือ β1 = 0) แสดงวา ตัวแปร X และ Y ไมมีความสัมพันธกัน การเปลี่ยนแปลงของคา X ไมไดทําใหคา Y เปลี่ยนแปลง ไปดวย จึงไมสามารถใชสมการถดถอยเชิงเสนมาทํานายคาของ Y ได แตถาคาความชันเปนบวก หรือลบ (β1 > 0 หรือ β1 < 0) แสดงวาตัวแปร X และ Y มีความสัมพันธกัน โดยอาจสัมพันธ กันเชิงบวก (แปรตามกัน) หรือสัมพันธกันเชิงลบ (แปรผกผันกัน) บอยครั้งที่การตั้งสมมติฐาน ทดสอบวา X และ Y สัมพันธกันหรือไม จะอยูในรูปของ β1 ≠ 0 เพราะตองการตรวจสอบวา ตัวแปรทั้งสองสัมพันธกันหรือไมเทานั้น ไมไดเนนวาสัมพันธเชิงบวกหรือลบตอกัน

324

สถิติวิศวกรรม

y

y

y

β1 = 0

β1 > 0

x

β1 < 0

x

x

รูปที่ 11.4 ความหมายของพารามิเตอรความชัน β1 ที่มา : Hayter. 2002.

การทดสอบสมมติฐานของพารามิเตอรความชัน ทดสอบ t หรือสถิติทดสอบ F (ตาราง ANOVA)

β1

นั้นสามารถทําได 2 วิธีคือ ใชสถิติ

วิธีที่ 1 ใชสถิติทดสอบ t ขั้นตอนการตั้งสมมติฐานทั้ง 6 ขั้นตอน ประกอบดวย 1. 2. 3. 4.

H0 : β1 = 0 (หมายถึงตัวแปร X และ Y ไมมีความสัมพันธกัน) H1 : β1 ≠ 0 (หมายถึงตัวแปร X และ Y มีความสัมพันธกัน) กําหนดระดับนัยสําคัญของการทดสอบ α บริเวณวิกฤติ t > tα/2, n – 2 และ t < –tα/2, n – 2

5. คาสถิติ t0 =

^

β1

MSΕ/Sxx

6. สรุปผล ถา | t0 | ≤ tα/2, n – 2 ถา | t0 | > tα/2, n – 2

จะสรุปวายอมรับสมมติฐานหลัก H0 จะสรุปวาปฏิเสธสมมติฐานหลัก H0

คา MSE (หรือ Mean Square Error, Residual Mean Square) คือ คาความแปรปรวน ของความคลาดเคลื่อน (Error) มีคาเทากับผลรวมกําลังสองของความคลาดเคลื่อน หารดวย องศาอิสระ n – 2 (จํานวนขอมูล n ซึ่งเสียความเปนอิสระไป 2 ตัว จากการประมาณคา β0 และ β1 เพื่อสรางสมการถดถอยเชิงเสน) SS MSE = n – E2 n

n

n

i=1

i=1

i=1

SSE = Σ ε2i = Σ (yi – y^i)2 = Σ y2i – ny2 – β^1Sxy

บทที่ 11 การถดถอยเชิงเสนและสหสัมพันธ

325

วิธีที่ 2 ใชสถิติทดสอบ F (หรือ ตาราง ANOVA) ขั้นตอนการตั้งสมมติฐานทั้ง 6 ขั้น

ตอน ประกอบดวย 1. H0 = β1 = 0 (หมายถึง ตัวแปร X และ Y ไมมีความสัมพันธกัน) 2. H1 = β1 ≠ 0 (หมายถึง ตัวแปร X และ Y มีความสัมพันธกัน) 3. กําหนดระดับนัยสําคัญของการทดสอบ α 4. บริเวณวิกฤติ F > Fα, 1, n – 2 5. คาสถิติ ใชตาราง ANOVA วิเคราะหหาคาสถิติ F0 ดังตารางที่ 11.2 ตารางที่ 11.2 ตาราง ANOVA แหลงของ ความผันแปร การถดถอย (Regression) ความคลาดเคลื่อน จากปจจัยอืน่ (Error) ผลรวม

ผลรวมของคา กําลังสอง ∧2

(

องศาอิสระ

n

n

(Σ xi ) x2 – i=1

SSR = β1 Σ i i=1

n

SSE= SST – SSR n

SST= Syy =Σ y2i – ny2 i=1

2

)

กําลังสองเฉลี่ย คาสถิติ F0

1

MSR =

SSE 1

n–2

MSE =

SSE n–2

MSR MSE

n–1

6. สรุปผล ถา F0 ≤ Fα, 1, n – 2 จะสรุปวายอมรับสมมติฐานหลัก H0 ถา F0 > Fα, 1, n – 2 จะสรุปวาปฏิเสธสมมติฐานหลัก H0 ในการวิเคราะหดว ยตาราง ANOVA นัน้ จะมองความผันแปรในการทํานายหรือความแปรปรวน มาจาก 2 สาเหตุคือ จากการถดถอย (Regression) และจากปจจัยอื่นๆ ที่กอใหเกิดความคลาด เคลื่อน (Error) ผลรวมของผลตางกําลังสองระหวางคาทํานาย y^i รอบๆ คาเฉลี่ยของตัวแปรตาม Y (หรือ y) เรียกวา SSR (Regression Sum of Squares) และผลรวมของผลตางกําลังสองระหวาง ขอมูล yi รอบๆ คาทํานาย y^i เรียกวา SSE (Error Sum of Squares) ดังรูปที่ 11.5 ผลรวมทั้งหมด เรียกวา SST (Total Sum of Squares) ซึ่งเทากับ SSR + SSE

326

สถิติวิศวกรรม

y 18

yi y^i

17 16

yi – y^i คาเบี่ยงเบนจากปจจัยอื่น y^i – y คาเบี่ยงเบนจากการถดถอย

15 y 14 13 12 11 4

5

6

8

7x

9

10 x

รูปที่ 11.5 คาเบี่ยงเบนจากการถดถอยและคาเบี่ยงเบนจากปจจัยอื่น

จากรูปที่ 11.5

n

SSR = Σ (y^i – y)2 = i=1 n

^

β1Sxy

=

^

β12Sxx

SSE = Σ (yi – y^i)2 = SST – SSR i=1

n

n

i=1

i=1

SST = Syy = Σ (yi – y)2 = Σ y2i – ny2 การทดสอบสมมติฐานของความชัน β1 จะใชสถิติทดสอบ t หรือสถิติทดสอบ F (ตาราง ANOVA) วิธีไหนก็ได ผลการทดสอบจะเหมือนกันไมวาจะเลือกตัวใดเปนสถิติทดสอบ ทั้งนี้ เพราะวากําลังสองของ t มีคาเทากับ F ดังนี้ t2 =

(

^

MS /Sxx ) β1

Ε

2

=

^

β12 Sxx

MSE

SS /1 MS = MSR = MSR = F E E

การสรุปผลของการทดสอบสมมติฐาน β1นั้น พบวาถาผลสรุปเปนยอมรับสมมติฐาน หลัก H0 แสดงวาไมมีความสัมพันธเชิงเสนระหวางตัวแปร X และ Y ดังนั้น จึงไมสามารถใช สมการถดถอยเชิงเสนที่สรางขึ้นในการทํานายคาของ Y ได สําหรับการยอมรับสมมติฐานหลัก H0 นั้นตีความหมายได 2 แบบคือ

บทที่ 11 การถดถอยเชิงเสนและสหสัมพันธ

327

1. ตัวแปร X ไมมีผลตอตัวแปร Y ดังรูปที่ 11.6 (ก) หรือ 2. ความสัมพันธระหวางตัวแปร X และ Y ไมใชเชิงเสนตรง ดังรูปที่ 11.6 (ข) y

y

(ก)

x

(ข)

x

รูปที่ 11.6 ความหมายของการยอมรับสมมติฐานหลัก H0 ที่มา : Hines et al. 2003.

ถาผลสรุปเปนปฏิเสธสมมติฐานหลัก H0 แสดงวาตัวแปร X และ Y มีความสัมพันธเชิงเสน ตอกัน หรืออาจกลาวไดวาตัวแปร X มีผลตอตัวแปร Y แตจะใชสมการถดถอยไดนั้น ควรตรวจ สอบรูปแบบความสัมพันธระหวางตัวแปร X กับ Y ดวยแผนภาพการกระจาย (Scatter Plot) เสียกอน สําหรับการปฏิเสธสมมติฐานหลัก H0 นั้น ตีความหมายได 2 แบบคือ 1. ตัวแปร X และ Y แสดงความสัมพันธเชิงเสนดังรูปที่ 11.7 (ก) ซึ่งสมการถดถอยเชิง เสนจะมีความเหมาะสมใชทํานายคาของ Y ได หรือ 2. ความสัมพันธระหวาง X และ Y เปนรูปแบบอื่นๆ ที่ไมใชเสนตรงดังรูปที่ 11.7 (ข) ดังนั้น สมการถดถอยรูปแบบอื่นจะมีความเหมาะสมมากกวาแบบเชิงเสน y

y

x (ก) (ข) รูปที่ 11.7 ความหมายของการปฏิเสธสมมติฐานหลัก H0 ที่มา : Hines et al. 2003.

x

328

สถิติวิศวกรรม

ตัวอยางที่ 11.1 การศึกษาความสัมพันธระหวางความเร็วลม (Air Velocity) กับสัมประสิทธิ์

การระเหย (Evaporation Coefficient) ของการเผาไหมหยดนํ้ามันเชื้อเพลิงในเครื่องยนตชนิด หนึ่ง บันทึกขอมูลไดดังตารางที่ 11.3 ตารางที่ 11.3 ขอมูลความเร็วลมและสัมประสิทธิ์การระเหย ความเร็วลม (cm/s) x 20 60 100 140 180 220 260 300 340 380

สัมประสิทธิ์การระเหย (mm2/s) y 0.18 0.37 0.35 0.78 0.56 0.75 1.18 1.36 1.17 1.65

จงหา 1. จงวาดแผนภาพการกระจายและบอกแนวโนมของความสัมพันธระหวางความเร็วลมกับ สัมประสิทธิ์การระเหย 2. จงหาคาประมาณของสมการถดถอย y^ = β^0 + β^1x 3. จงทดสอบวามีความสัมพันธเชิงเสนระหวางความเร็วลมกับสัมประสิทธิ์การระเหย หรือไม ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 โดยใชสถิติทดสอบ t 4. ทดสอบความสัมพันธระหวางตัวแปรทั้งสอง โดยใชสถิติทดสอบ F

บทที่ 11 การถดถอยเชิงเสนและสหสัมพันธ

329

วิธีทํา

สัมประสิทธิ์การระเหย (mm2/s)

1. วาดแผนภาพการกระจาย และบอกแนวโนมความสัมพันธระหวางความเร็วลมกับ สัมประสิทธิ์การระเหย y 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 x ความเร็วลม (cm/s)

รูปที่ 11.8 แผนภาพการกระจายและแนวโนมความสัมพันธระหวางความเร็วลมกับสัมประสิทธิ์การระเหย ที่มา : Johnson. 2005.

∴ ความสัมพันธระหวางความเร็วลมกับสัมประสิทธิ์การระเหยมีแนวโนมสัมพันธเชิงเสน

2. คาประมาณสมการถดถอย y^ = n

^

β1

= =

^

β0

∴

^

^

β0 + β1x

(n )( n ) 2 n n n Σ x2i – (Σ xi) i=1 i=1

n Σ xiyi – Σ xi Σ yi i=1 i=1 i=1

10(2175.40) – 2000(8.35) = 0.00383 10(532000) – 20002

= y – β^1x

(

)

= 8.35 – 0.00383 2000 10 = 0.069 10 คาประมาณสมการถดถอย y^ = β^0 + β^1x = 0.069 + 0.00383x

330

สถิติวิศวกรรม

3. ทดสอบความสัมพันธเชิงเสนระหวางความเร็วลมกับสัมประสิทธิ์การระเหยที่ระดับนัย สําคัญ 0.05 โดยใช สถิติทดสอบ t 1. H0 : β1 = 0 2. H1 : β1 ≠ 0 3. α = 0.05 4. บริเวณวิกฤติ t > t0.025, 8 และ t < –t0.025, 8 ∴ t > 2.306 และ t < – 2.306 5. คาสถิติ ^

β1

t0 =

MSΕ/Sxx 0.00383 = 8.75 0.0252/132000

= n

Sxx = Σ x2i –

โดย

(Σi=1n xi)2 n

i=1

2 = 532000 – 2000 10 = 132000 n

Sxy = Σ xiyi – i=1

n

n

xi . Σ yi Σ i=1 i=1 n

= 2175.40 – 2000(8.35) = 505.40 10 n

SSE = Σ y2i – ny2 – β^1Sxy i=1

∴

( )

2 = 9.1097 – 10 8.35 – 0.00383(505.40) = 0.2018 10 SS MSE = n – E2 = 0.2018 = 0.0252 8

บทที่ 11 การถดถอยเชิงเสนและสหสัมพันธ

331

6. สรุปผล ปฏิเสธ H0 ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 มีความสัมพันธเชิงเสนระหวางความเร็วลมกับสัมประสิทธิ์การระเหย 4. ทดสอบความสัมพันธเชิงเสนระหวางความเร็วลมกับสัมประสิทธิ์การระเหยที่ระดับนัย สําคัญ 0.05 โดยใช สถิติทดสอบ F 1. H0 : β1 = 0 2. H1 : β1 ≠ 0 3. α = 0.05 4. บริเวณวิกฤติ F > F0.05, 1, 8 ∴ F > 5.32 5. คาสถิติ คํานวณจากตาราง ANOVA ดังตารางที่ 11.4 ตารางที่ 11.4 ตาราง ANOVA แหลงของ ความผันแปร

ผลรวมของคากําลังสอง

องศาอิสระ

กําลังสองเฉลี่ย

คาสถิติ F0

การถดถอย

SSR = 1.935

1

SSR 1 = 1.935

MSR MSE = 76.49

ความคลาดเคลื่อน จากปจจัยอื่น

SSE = 0.202

n–2=8

SSE n – 2 = 0.0252

SST = Syy = 2.137

n–1=9

ผลรวม

โดย

n

SST = Syy = Σ y2i – ny2 i=1

( )

= 9.1097 – 10 8.35 10

2

= 2.1375

332

สถิติวิศวกรรม

SSR =

(

^ n β12 Σ x2i i=1

–

(Σi=1n xi)2 n

(

) )

2 = (0.00383)2 532000 – 2000 10 = 1.935 SSE = SST – SSR

= 2.1375 – 1.935 = 0.202 6. สรุปผล ปฏิเสธ H0 ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 มีความสัมพันธเชิงเสนระหวางความเร็วลมกับสัมประสิทธิ์การระเหย

ตัวอยางที่ 11.2 ในการศึกษาผลกระทบของอุณหภูมิวามีผลตอคา Yield ของผลิตภัณฑหรือ

ไมนั้น วิศวกรไดทดลองปรับอุณหภูมิที่ใชในกระบวนการผลิต (หนวย °C) แลวทําการวัดคา Yield ของผลิตภัณฑที่ผลิตออกมา (หนวย %) ทดลองทั้งหมด 10 ครั้ง ผลการทดลองดังตารารางที่ 11.5 ตารางที่ 11.5 คาอุณหภูมิและคา Yield ของผลิตภัณฑ อุณหภูมิ

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

Yield

45

51

54

61

66

70

74

78

85

89

ถาทราบจากแผนภาพการกระจาย (ดังรูปที่ 11.1) วาตัวแปรทั้งสองมีแนวโนมมีความ สัมพันธเชิงเสนตรงตอกัน จงวิเคราะหหาสมการถดถอยเชิงเสน และทดสอบตัวแบบถดถอยดวย สถิติทดสอบ t และ F ที่ระดับนัยสําคัญ 0.01

วิธีทํา ตัวแปรอิสระ X คือ อุณหภูมิ (ควบคุมและกําหนดคาในการทดลองได) ตัวแปรตาม Y คือ Yield (ผลที่ไดจากการทดลอง) 1. วิเคราะหหาสมการถดถอยเชิงเสน จากชุดขอมูล 10 คา (n = 10)

( )

2

10 10 Sxx = Σ x2i – 1 Σ xi 10 i=1 i=1 = 218500 – 1 (1450)2 = 8250 10

บทที่ 11 การถดถอยเชิงเสนและสหสัมพันธ

( )( )

10 10 10 Sxy = Σ xiyi – 1 Σ xi Σ yi 10 i=1 i=1 i=1 = 101570 – 1 (1450)(673) = 3985 10 S xy ^ ∴ β1 = Sxx = 3985 8250 = 0.483 ^ ^ β0 = y – β1x 1450 = 673 10 – 0.483 10 = –2.739

(

คาประมาณสมการถดถอย y^ =

^

)

^

β0 + β1x

= –2.739 + 0.483x 2. 1. 2. 3. 4.

ทดสอบตัวแบบถดถอยที่ระดับนัยสําคัญ 0.01 โดยใช สถิติทดสอบ t H0 : β1 = 0 H1 : β1 ≠ 0 α = 0.01 บริเวณวิกฤติ t > t0.005, 8 และ t < –t0.005, 8 ∴ t > 3.355 และ t < –3.355 5. คาสถิติ ^

β1

t0 =

MSΕ/Sxx 0.483 = 46.24 0.90/8250

= 10

SSE = Σ y2i – 10y2 – β^1Sxy

โดย

i=1

∴

= 47225 – 10(67.3)2 – (0.483)(3985) = 7.23 SS MSE = 10 –E2 = 7.23 8 = 0.90

333

334

สถิติวิศวกรรม

6. สรุปผล ปฏิเสธ H 0 ที่ระดับนัยสําคัญ 0.01 มีความสัมพันธเชิงเสนระหวางอุณหภูมิกับคา Yield ของผลิตภัณฑ 3. 1. 2. 3. 4.

ทดสอบตัวแบบถดถอยที่ระดับนัยสําคัญ 0.01 โดยใช สถิติทดสอบ F H0 : β1 = 0 H1 : β1 ≠ 0 α = 0.01 บริเวณวิกฤติ F > F0.01, 1, 8 F > 11.26 ∴ 5. คาสถิติ คํานวณจากตาราง ANOVA ดังตารางที่ 11.6 ตารางที่ 11.6 ตาราง ANOVA

แหลงของ ความผันแปร

องศาอิสระ

กําลังสองเฉลี่ย

คาสถิติ F0

1924.87 7.23

1 8

1924.87 0.90

2138.74

1932.10

9

ผลรวมของคากําลังสอง

การถดถอย ความคลาดเคลื่อน จากปจจัยอื่น ผลรวม

โดย

10

SST = Syy = Σ y2i – 10y2 i=1

= 47225 – 10(67.3)2 = 1932.10 SSR = β^12 Sxx = (0.483)2(8250) = 1924.87 6. สรุปผล ปฏิเสธ H0 ที่ระดับนัยสําคัญ 0.01 มีความสัมพันธเชิงเสนระหวางอุณหภูมิกับคา Yield ของผลิตภัณฑ นอกจากการทดสอบสมมติฐานของพารามิเตอรความชัน ความเชื่อมั่น 100(1 – α)% ของพารามิเตอรความชัน β1 ไดจาก ^

β1 – tα/2, n – 2

MSE Sxx

^

≤ β1 ≤ β1+ tα/2, n – 2

β1

MSE Sxx

แลว ยังสามารถหาชวง

บทที่ 11 การถดถอยเชิงเสนและสหสัมพันธ

335

ในทํานองเดียวกัน สามารถหาชวงความเชื่อมั่น 100(1 – α)% ของพารามิเตอรจุดตัด แกน Y (Y Intercept) β0 ไดจาก ^

β0 – tα/2, n – 2

2 MSE 1n + Sx xx

^

≤ β0 ≤ β0 + tα/2, n– 2

2 MSE 1n + Sx xx

จากตัวอยางที่ 11.2 ถาตองการหาชวงความเชื่อมั่น 99% ของความชัน β1 จะได 0.483 – 3.355 ∴

0.90 8250

≤ β1 ≤

0.448

≤ β1 ≤

0.483 + 3.355

0.90 8250

0.518

ชวงความเชื่อมั่น 99% ของจุดตัดแกน β0 จะได – 2.739 – 3.355

1 + 1452 0.90 10 8250 ∴

–7.919

≤ β0 ≤ – 2.739 + 3.355

≤ β0 ≤

1 + 1452 0.90 10 8250

2.441

2. การทดสอบความเหมาะสมของ Model

วิธกี ารทีใ่ ชในการทดสอบความเหมาะสมของสมการถดถอย (Regression Model) แบงเปน

2.1 การวิเคราะหคา Residuals

คา Residuals εi = yi – y^i เมื่อ i = 1, 2, …, n โดยที่คา yi เปนคาสังเกต และ y^i เปน คาประมาณที่ไดจากสมการถดถอย การวิเคราะหคา Residuals จะใชตรวจสอบเงื่อนไขที่วา คาความคลาดเคลื่อน (Errors) มีการแจกแจงแบบ NID (0, σ2) หรือไม กราฟ Residuals กับคา y^i ดังรูปที่ 11.9 อาจแสดงใหเห็นเปน 4 รูปแบบคือ รูป (ก) กระจายตัวอยางสมํ่าเสมอ (Satisfactory) แสดงใหเห็นถึงการแจกแจงปกติ (Normality) ขณะที่รูป (ข) ทรงกรวย (Funnel) รูป (ค) คันธนูคู (Double Bow) และรูป (ง) ไมเปนเชิงเสน (Nonlinear) จะแสดงใหเห็นถึงความไมปกติ มีลักษณะ เปนรูปแบบ (Pattern)

336

สถิติวิศวกรรม

εi

εi

0

0

y^i (ก) กระจายตัวอยางสมํ่าเสมอ εi

(ข) ทรงกรวย

y^i

εi

0

0

y^i

(ค) คันธนูคู

(ง) ไมเปนเชิงเสน

y^i

รูปที่ 11.9 กราฟ Residuals กับคา y^i ที่มา : Hines et al. 2003.

จากตัวอยางที่ 11.2 ถาตองการวิเคราะหคา Residuals จะไดดังตารางที่ 11.7 ตารางที่ 11.7 คา Residuals yi

45.00

51.00

54.00

61.00

66.00

70.00

74.00

78.00

85.00

89.00

y^i

45.56

50.39

55.22

60.05

64.88

69.72

74.55

79.38

84.21

89.04

εi = yi – y^i

–0.56

0.61

–1.22

0.95

1.12

0.28

–0.55

–1.38

0.79

–0.04

โดย y^i คํานวณจากสมการถดถอยเชิงเสน y^ = –2.739 + 0.483x เมื่อนําคา Residuals มาสรางกราฟ Normal Probability Plot เพื่อตรวจสอบความ เปนปกติ (Normality) พบวาคา Residuals เรียงตัวกันเปนแนวเสนตรง ซึง่ แสดงถึงขอมูลมีการแจกแจง ปกติ

ความนาจะเปน

บทที่ 11 การถดถอยเชิงเสนและสหสัมพันธ

2 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 95 98

–1.5 –1.0 –0.5

0.0

0.5 1.0

1.5

2.0

337

98 95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 2

คา Residuals รูปที่ 11.10 กราฟ Normal Probability Plot ที่มา : Hines et al. 2003.

รูปที่ 11.11 เปนกราฟระหวางคา Residuals กับ y^i และกราฟระหวางคา Residuals กับ xi แสดงใหเห็นวาเปนไมมีความผิดปกติเกิดขึ้น กราฟมีลักษณะคลายคลึงกับรูปแบบกระจาย ตัวอยางสมํ่าเสมอ (Satisfactory) ที่กลาวมาขางตน εi

εi

2.00 1.00 0.00 –1.00 –2.00 40

50

60

70

80

90

y^i

2.00 1.00 0.00 –1.00 –2.00

100 110 120 130 140 150 160 170 180 190

xi

รูปที่ 11.11 กราฟระหวางคา Residuals กับ y^i และ xi ที่มา : Hines et al. 2003.

2.2 Lack – Fit Test

Lack – Fit Test เปนการตรวจสอบดูวา ตัวแบบการถดถอย (Regression Model) มีลกั ษณะ ของความสัมพันธทเี่ หมาะ (Fit) กับขอมูลหรือไม รูปที่ 11.12 จะแสดงใหเห็นวาขอมูลกับ Regression Model ไมเหมาะกัน (Lack of Fit) แนวโนมของขอมูลไมเปนเชิงเสน ซึ่งขัดแยงกับสมการถดถอย เชิงเสนตรง y^ = β^0+ β^1x

338

สถิติวิศวกรรม

y ^ ^ y^ = β0 + β1x

x

รูปที่ 11.12 ตัวอยางการตรวจสอบ Lack – Fit Test ที่มา : Hines et al. 2003.

2.3 Coefficient of Determination (r2)

Coefficient of Determination (r2) เปนคาสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ จะถูกใชบอยใน การตัดสินใจวา Regression Model ที่ไดมีความเหมาะสมหรือไม การคํานวณคา r2 จะกลาวถึง ในหัวขอสหสัมพันธ (Correlation) ที่อยูถัดไป

3. สหสัมพันธเชิงเสน (Linear Correlation) สหสัมพันธคือ ตัวชี้วัดความสัมพันธระหวางตัวแปรตั้งแต 2 ตัวขึ้นไปวามีความสัมพันธ กันมากนอยเพียงใด ในที่นี้จะศึกษาเฉพาะตัวแปรเพียง 2 ตัว สําหรับสหสัมพันธเชิงเสนระหวาง ตัวแปร X และ Y จะเปนการศึกษาถึงความสัมพันธเชิงเสนตรงวามีมากนอยเพียงใด สัมประสิทธิ์ที่ใชวัดความสัมพันธมากนอยระหวางตัวแปรเรียกวา สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ (Correlation Coefficient, ρ) ρ

= Cov(X,Y) = E(XY) σ– E(X)E(Y) σ σσ x y

x y

สําหรับคาประมาณของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ (Sample Correlation, r)

ρ

คือ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธตัวอยาง

บทที่ 11 การถดถอยเชิงเสนและสหสัมพันธ

339

n

r =

=

(xi – x)(yi – y) Σ i=1

n

n

(xi – x)2 Σ (yi – y)2 Σ i=1 i=1 Sxy = SxxSyy

^

β1

Sxx Syy =

SSR SST

คาของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ (r) มีคาตั้งแต – 1 ถึง 1 ( – 1 ≤ r ≤ 1) ถา r = 1 หรือ – 1 แสดงวาเสนถดถอยผานทุกๆ จุดหรือไมมีความคลาดเคลื่อนเลย เครื่องหมายบวก (+) แสดงถึง คาของตัวแปรทั้งสองมีการเปลี่ยนแปลงไปในทางเดียวกันหรือแปรตามกัน สวนเครื่องหมาย ลบ (–) เปนการเปลี่ยนแปลงกลับกันหรือแปรผกผันกัน ถาคาสัมบูรณของ r ใกล 1 มาก แสดงวามีความสัมพันธเชิงเสนอยางดี แตถาใกลคา 0 แสดงวามีความสัมพันธเชิงเสนนอย และถา r = 0 หมายถึงไมมีความสัมพันธเชิงเสนตอกัน r = 0.9

r = 0.5

(ก)

(ข)

r = –0.9

(ง)

r=0

(จ)

r = –0.5

(ค) r=0

(ฉ)

รูปที่ 11.13 ลักษณะของความสัมพันธเมื่อพิจารณาจากสัมประสิทธิ์สหสัมพันธตัวอยาง ที่มา : Johnson. 2005.

340

สถิติวิศวกรรม

นอกจากคาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธแลว ยังมีสัมประสิทธิ์แสดงการตัดสินใจ (Coefficient of Determination, r2) ที่ใชเปนตัววัดความสัมพันธเชิงเสนระหวางตัวแปร X และ Y r2 =

SST – SSE SSR = SST SST

คา r2 มีคาตั้งแต 0 ถึง 1 (0 ≤ r2 ≤ 1) การอธิบายความสัมพันธจะอยูในรูปของเปอรเซ็นต โดยแสดงวา 100r2% ของการแปรผันของตัวแปร Y เปนผลเนื่องมาจากการมีสัมพันธเชิงเสน กับตัวแปร X เชน r = 0.80 (หรือ r2 = 0.64) หมายความวา 64% ของการแปรผันของตัวแปร Y เปนผลเนื่องมาจากการมีสัมพันธเชิงเสนกับตัวแปร X

ตัวอยางที่ 11.3 จากตัวอยางที่ 11.1 จงคํานวณและอธิบายความหมาย 1. คาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ (r) 2. คาสัมประสิทธิ์แสดงการตัดสินใจ (r2)

วิธีทํา 1. คาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ (r) r = =

SSR SST 1.935 = 0.952 2.137

ความหมาย สัมประสิทธิ์การระเหย (Y) มีความสัมพันธเชิงเสน (สหสัมพันธเชิงบวก) กับ ความเร็วลม (X) 2. คาสัมประสิทธิ์แสดงการตัดสินใจ (r2) r2 = 0.9055 = 90.55% ความหมาย 90.55% ของความผันแปรของสัมประสิทธิ์การระเหย (Y) เปนผลเนื่องมา จากความมีสัมพันธเชิงเสนกับความเร็วลม (X)

บทที่ 11 การถดถอยเชิงเสนและสหสัมพันธ

341

แบบฝกหัด 1. คลังสินคาแหงหนึ่งตองการปรับปรุงประสิทธิภาพของคนงานในการขนถายสินคาจากรถ บรรทุกเขาคลังสินคาซึ่งมีการติดตั้งเครื่องปรับอากาศ จึงทดลองปรับอุณหภูมิของเครื่อง ปรับอากาศ (หนวย : °F) แลววัดเวลาในการขนถายสินคา (หนวย : min) ผลดังตาราง อุณหภูมิ

เวลาในการขนถายสินคา

52 68 64 88 80 75 59 63 85 74 71 66

64 53 58 59 49 54 38 48 68 63 58 47

1.1 จงหาคาประมาณสมการถดถอย y^ = β^ 0 + β^ 1x, (เฉลย : y^ = 36.2 + 0.266 x) 1.2 จงทดสอบความมีนัยสําคัญของตัวแบบถดถอยที่ระดับนัยสําคัญ 0.05 (เฉลย : ยอมรับ H0 อุณหภูมิและเวลาในการขนถายสินคาไมมีความสัมพันธกัน) 1.3 จงคํานวณคาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ พรอมอธิบายความหมาย

(เฉลย : r = 0)

1.4 จงประมาณเวลาในการขนถายสินคาเมื่ออุณหภูมิเปน 72 °F (เฉลย : เนื่องจากไมมีความสัมพันธกัน จึงไมสามารถประมาณเวลาไดดวยสมการ ถดถอย)

342

สถิติวิศวกรรม

2. เปอรเซ็นตความบริสุทธิ์ของออกซิเจนที่ผลิตไดจากกระบวนการกลั่นถูกอางวาสัมพันธกับ เปอรเซ็นตของไฮโดรคารบอนในเครื่องควบแนน เพื่อตรวจสอบขออางดังกลาวจึงทดลอง เก็บขอมูล 1 เดือน ผลดังนี้ %O2 บริสุทธิ์

86.91 89.85 90.28 86.34 92.58 87.33 86.29 91.86 95.61 89.86

%ไฮโดรคารบอน

1.02

%O2 บริสุทธิ์

96.73 99.42 98.66 96.07 93.65 87.31 95.00 96.85 85.20 90.56

%ไฮโดรคารบอน

1.46

1.11

1.55

1.43

1.55

1.11

1.55

1.01

1.40

0.95

1.15

1.11

1.01

0.87

0.99

1.43

0.95

1.02

0.98

2.1 จงหาคาประมาณสมการถดถอย y^ = β^ 0 + β^ 1x (เฉลย y^ = 77.9 + 11.8 x) 2.2 จงทดสอบความมีนัยสําคัญของตัวแบบถดถอยที่ระดับนัยสําคัญ 0.01 (เฉลย : ปฏิเสธ H0 เปอรเซ็นต O2 และเปอรเซ็นตไฮโดรคารบอนมีความสัมพันธกัน) 2.3 จงคํานวณคาสัมประสิทธิ์แสดงการตัดสินใจ พรอมอธิบายความหมาย (เฉลย : r2 = 38.9%) 2.4 จงหาชวงความเชื่อมั่น 99% ของพารามิเตอรความชัน β1 (เฉลย : 11.8 ± 10.032) 3. วัตถุดบิ ทีใ่ ชในการผลิตเสนใยสังเคราะหถกู เก็บไวในพืน้ ทีค่ วบคุมความชืน้ เพือ่ ปองกันความ เสียหายของวัตถุดบิ จึงมีการตรวจวัดคาความชืน้ สัมพัทธของพืน้ ทีจ่ ดั เก็บและความชืน้ ของ วัตถุดิบ (%) โดยสุมตรวจวัดทั้งหมด 12 วันผลดังนี้ ความชื้นสัมพัทธ ความชื้นของวัตถุดิบ

42 35 50 43 48 62 31 36 44 39 55 48 12

8

14

9

11 16

7

9

12 10 13 11

3.1 จงวาดแผนภาพการกระจาย 3.2 จงหาคาประมาณสมการถดถอย y^ = β^ 0 + β^ 1x (เฉลย : y^ = –0.95 + 0.269 x) 3.3 จงทดสอบความมีนัยสําคัญของตัวแบบถดถอยที่ระดับนัยสําคัญ 0.025 (เฉลย : ปฏิเสธ H0 ความชื้นสัมพัทธและความชื้นของวัตถุดิบมีความสัมพันธกัน) 3.4 จงคํานวณคาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ พรอมอธิบายความหมาย (เฉลย : r = 0.914)

บทที่ 11 การถดถอยเชิงเสนและสหสัมพันธ

343

4. บริษทั ผูผ ลิตสารเคมีตอ งการศึกษาผลกระทบของเวลาทีใ่ ชในการแยกสารทีม่ ตี อ ประสิทธิภาพ ของกระบวนการแยกสาร โดยสุมตรวจสอบจากสารตัวอยางจํานวน 10 ชนิด ไดผลดังนี้

สารตัวอยางที่

เวลาที่ใชในการแยกสาร (min)

ประสิทธิภาพของ กระบวนการ (%)

1

27

57

2

45

64

3

41

80

4

19

46

5

35

62

6

39

72

7

19

52

8

49

77

9

15

57

10

31

68

4.1 ใหหาตัวแบบถดถอยเชิงเสนตรงอยางงาย (เฉลย y^ = 39.1 + 0.764 x) 4.2 จงทดสอบความมีนัยสําคัญของตัวแบบถดถอยที่ได ดวยระดับนัยสําคัญ 0.10 (เฉลย : ปฏิเสธ H0 เวลาทีใ่ ชและประสิทธิภาพของกระบวนการแยกสารมีความสัมพันธ กัน) 4.3 จงคํานวณคาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ พรอมอธิบายความหมาย (เฉลย : r = 0.825)

344

สถิติวิศวกรรม

5. การทดสอบความเขมขนของสารเติม Additive วามีความสัมพันธกบั เวลาทีส่ นี าํ้ มันแหงอยางไร นักวิจยั จึงทดลองเติมสาร Additive ลงในสีนาํ้ มันดวยความเขมขนตางๆ แลววัดเวลาทีส่ แี หง สนิท ผลดังนี้ ความเขมขนของ สารเติม (%)

เวลาที่สีนํ้ามันแหง (hr)

4.0

8.7

4.2

8.8

4.4

8.3

4.6

8.7

4.8

8.1

5.0

8.0

5.2

8.1

5.4

7.7

5.6

7.5

5.8

7.2

5.1 ใหหาตัวแบบถดถอยเชิงเสนตรงอยางงาย (เฉลย y^ = 12.2 – 0.833 x) 5.2 จงทดสอบความมีนัยสําคัญของตัวแบบถดถอยที่ได ดวยระดับนัยสําคัญ 0.05 (เฉลย : ปฏิเสธ H0 ความเขมขนของสารเติม และเวลาทีส่ นี าํ้ มันแหงมีความสัมพันธกนั ) 5.3 จงคํานวณคาสัมประสิทธิ์แสดงการตัดสินใจ พรอมอธิบายความหมาย (เฉลย : r2 = 88.5%)

บทที่ 11 การถดถอยเชิงเสนและสหสัมพันธ

345

6. การสํารวจทางหลวงแหงหนึง่ เพือ่ ศึกษาความสัมพันธระหวางปริมาณนํา้ ฝน (m3) และปริมาณ การระบายนํ้า (m3) สําหรับใชเปนขอมูลพื้นฐานในการซอมบํารุง สุมตรวจสอบทั้งหมด 15 ชวง ผลดังนี้ ทางหลวงชวงที่

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15

ปริมาณนํ้าฝน

5

12 14 17 23 30 40 47 55 67 72 81 96 112 127

ปริมาณการระบายนํ้า 4

10 13 15 15 25 27 46 38 46 53 70 82 99 100

6.1 ใหหาตัวแบบถดถอยเชิงเสนตรงอยางงาย (เฉลย y^ = 1.13 + 0.827 x) 6.2 จงทดสอบความมีนัยสําคัญของตัวแบบถดถอยที่ได ดวยระดับนัยสําคัญ 0.01 (เฉลย : ปฏิเสธ H0 ปริมาณนํ้าฝนและปริมาณการระบายนํ้ามีความสัมพันธกัน) 6.3 จงคํานวณคาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ พรอมอธิบายความหมาย (เฉลย : r = 0.987)

ภาคผนวก

ตารางที่ ก.1 ตารางที่ ก.2 ตารางที่ ก.3 ตารางที่ ก.4 ตารางที่ ก.5 ตารางที่ ก.6 ตารางที่ ก.7 ตารางที่ ก.8 ตารางที่ ก.9

ตัวเลขสุม ประเภทของการแจกแจงความนาจะเปน ความนาจะเปนสะสมของการแจกแจงแบบทวินาม ความนาจะเปนสะสมของการแจกแจงแบบปวสซอง ความนาจะเปนสะสมของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน คาของตัวแปรสุม χ2 ภายใตความนาจะเปน α ที่กําหนด คาของตัวแปรสุม t ภายใตความนาจะเปน α ที่กําหนด คาของตัวแปรสุม F ภายใตความนาจะเปน α = 0.25, 0.10, 0.05, 0.025, 0.01 คาของตัวแปรสุม q ภายใตความนาจะเปน α = 0.01, 0.05

348

สถิติวิศวกรรม

ตารางที่ ก.1 ตัวเลขสุม 3407 5044 0045 7536 7653 6157 6593 3187 4780 9414 1948 1843 4944 3882 6596 4793 2112 0743 8856 8027 3134 0633 8771 2672 3136 6490 8628 9270 5723 6228 7645 6842 6126 4956 1327 9188 0271 2127 2102 1706 7501 5705 3234 5641 2127

1440 9859 4999 1448 4231 1144 8668 7434 1071 6170 2360 0914 8903 3195 9009 2503 0232 1083 5352 4975 1688 9002 6069 1304 1916 7491 0501 0504 3807 8874 3379 5836 7792 0215 4736 1516 9627 1847 9201 6011 7635 1900 2599 4935 1868

ตัวเลขสุมบนชวง (0,1) 6960 8675 5649 4658 7779 7986 4930 7408 7551 7843 4801 3147 1233 4409 0609 4779 0951 3757 4871 0946 3155 0315 4418 1569 6814 2733 7968 2581 1398 2429 7244 9682 5418 9705 7861 6861 0460 0188 0530 8287 3298 9532 2055 4081 4842 2906 6807 2028 5334 1443 7306 8071 9779 5973 3384 8891 9189 2346 5786 0693 4071 3766 0570 1305 2256 5956 1598 4275 6017 2186 8279 2430 8886 8617 9312 6562 5355 3794 4618 3364 6709 5018 7013 4423 4997 4699 2231 7271 2621 5746 8376 3030 0351 6203 6171 2698 9337 7773 7286 3468 8038 6144 6229 8965 7215 5279 5433 2254 9442 9217 4656 1331 5122 8332 2911 7318 7670 5280 5552 5180 2301 0889 6955 7144 8707 9065 3295 9160 8441 7971 8917 1978 3664 9376 1984

5793 0520 3124 3071 6448 9562 3941 1101 8541 4763 0596 7865 7790 9066 7852 1075 6418 1141 1680 5615 2142 9256 5946 4896 5070 3555 1289 2147 3193 6333 8290 4086 4236 9753 6458 5768 7603 8195 6079 4630 8113 8163 0085 5649 6315

1514 6697 0527 4749 2900 2354 9662 0043 1003 9192 4971 7293 9118 8225 5915 7175 9639 4393 3192 2047 3492 8979 8189 3698 2720 7510 0543 4089 8130 0345 3640 5469 1788 3131 3937 8718 8826 3322 2676 4747 4364 9846 9317 5799 8396

349

ภาคผนวก

ตารางที่ ก.2 ประเภทของการแจกแจงความนาจะเปน รูปแบบ

การแจกแจงความนาจะเปน

คาเฉลี่ย

ความแปรปรวน

1,a≤b n

(b + a) 2 np

(b – a + 1)2 – 1 12 np(1 – p)

(1 – p)x–1 p x = 1, 2, …, 0 ≤ p ≤ 1

1 p

(1 – p) p2

( xk –– 11 ) (1 – p)x – k pk

k p

k (1 – p) p2

( kx ) ( Nn –– xk ) ( Nn )

nk N

n Nk (1 – Nk ) NN –– 1n

e–µ µx , x = 0, 1, 2, …, 0 < µ x!

µ

µ

(b + a) 2

(b – a)2 12

µ

σ2

การแจกแจงแบบไมตอเนื่อง ยูนิฟอรม ทวินาม เรขาคณิต ทวินามลบ

( nx ) px(1 – p)n – x

x = 0, 1, …, n, 0 ≤ p ≤ 1

x = k, k + k, k + 2, …, 0 ≤ p ≤ 1 ไฮเพอรจีออเมตริก

(

x = max(0, n – N + k), 1,…, min(k, n), k ≤ N, n ≤ N ปวสซอง การแจกแจงแบบตอเนื่อง ยูนิฟอรม ปกติ เอกซโปเนนเชียล เออรแลงก แกมมา ไวบูลล

1 b – a, a ≤ x ≤ b 1 e– 12 ( x –σµ )2 σ 2π – ∞ < x < ∞, – ∞ < µ < ∞, 0 < σ

1

λe–λx, 0 ≤ x, 0 < λ λkxk–1 e–λx

(k – 1)! , 0 < x, k = 1, 2,… λkxk–1e–λx Γ(k) , 0 < x, 0 < k, 0 < λ β x β–1 –(x/δ)β e δ

(δ)

0 < x, 0 < β, 0 < δ

1

λ2

λ

k

k

λ2

λ

k

k

λ2

λ δΓ

(1 + β1 )

(1 + β2 ) 2 –δ2 [ Γ (1 + β1 ) ] δ 2Γ

)

350

สถิติวิศวกรรม

ตารางที่ ก.3 ความนาจะเปนสะสมของการแจกแจงแบบทวินาม x P(X ≤ x) = Σ k!(nn!– k)! px(1 – p)n–k k=0

n 2 3

4

5

6

7

8

x 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.05 0.9025 0.9975 1.0000 0.8574 0.9928 0.9999 1.0000 0.8145 0.9860 0.9995 1.0000 1.0000 0.7738 0.9774 0.9988 1.0000 1.0000 1.0000 0.7351 0.9672 0.9978 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 0.6983 0.9556 0.9962 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.6634 0.9428 0.9942 0.9996 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.10 0.8100 0.9900 1.0000 0.7290 0.9720 0.9990 1.0000 0.6561 0.9477 0.9963 0.9999 1.0000 0.5905 0.9185 0.9914 0.9995 1.0000 1.0000 0.5314 0.8857 0.9842 0.9987 0.9999 1.0000 1.0000 0.4783 0.8503 0.9743 0.9973 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000 0.4305 0.8131 0.9619 0.9950 0.9996 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.15 0.7225 0.9775 1.0000 0.6141 0.9392 0.9966 1.0000 0.5220 0.8905 0.9880 0.9995 1.0000 0.4437 0.8352 0.9734 0.9978 0.9999 1.0000 0.3771 0.7765 0.9527 0.9941 0.9996 1.0000 1.0000 0.3206 0.7166 0.9262 0.9879 0.9988 0.9999 1.0000 1.0000 0.2725 0.6572 0.8948 0.9786 0.9971 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000

0.20 0.6400 0.9600 1.0000 0.5120 0.8960 0.9920 1.0000 0.4096 0.8192 0.9728 0.9984 1.0000 0.3277 0.7373 0.9421 0.9933 0.9997 1.0000 0.2621 0.6553 0.9011 0.9830 0.9984 0.9999 1.0000 0.2097 0.5767 0.8520 0.9667 0.9953 0.9996 1.0000 1.0000 0.1678 0.5033 0.7969 0.9437 0.9896 0.9988 0.9999 1.0000 1.0000

p 0.25 0.5625 0.9375 1.0000 0.4219 0.8438 0.9844 1.0000 0.3164 0.7383 0.9492 0.9961 1.0000 0.2373 0.6328 0.8965 0.9844 0.9990 1.0000 0.1780 0.5339 0.8306 0.9624 0.9954 0.9998 1.0000 0.1335 0.4449 0.7564 0.9294 0.9871 0.9987 0.9999 1.0000 0.1001 0.3671 0.6785 0.8862 0.9727 0.9958 0.9996 1.0000 1.0000

0.30 0.4900 0.9100 1.0000 0.3430 0.7840 0.9730 1.0000 0.2401 0.6517 0.9163 0.9919 1.0000 0.1681 0.5282 0.8369 0.9692 0.9976 1.0000 0.1176 0.4202 0.7443 0.9295 0.9891 0.9993 1.0000 0.0824 0.3294 0.6471 0.8740 0.9712 0.9962 0.9998 1.0000 0.0576 0.2553 0.5518 0.8059 0.9420 0.9887 0.9987 0.9999 1.0000

0.35 0.4225 0.8775 1.0000 0.2746 0.7182 0.9571 1.0000 0.1785 0.5630 0.8735 0.9850 1.0000 0.1160 0.4284 0.7648 0.9460 0.9947 1.0000 0.0754 0.3191 0.6471 0.8826 0.9777 0.9982 1.0000 0.0490 0.2338 0.5323 0.8002 0.9444 0.9910 0.9994 1.0000 0.0319 0.1691 0.4278 0.7064 0.8939 0.9747 0.9964 0.9998 1.0000

0.40 0.3600 0.8400 1.0000 0.2160 0.6480 0.9360 1.0000 0.1296 0.4752 0.8208 0.9744 1.0000 0.0778 0.3370 0.6826 0.9130 0.9898 1.0000 0.0467 0.2333 0.5443 0.8208 0.9590 0.9959 1.0000 0.0280 0.1586 0.4199 0.7102 0.9037 0.9812 0.9984 1.0000 0.0168 0.1064 0.3154 0.5941 0.8263 0.9502 0.9915 0.9993 1.0000

0.45 0.3025 0.7975 1.0000 0.1664 0.5748 0.9089 1.0000 0.0915 0.3910 0.7585 0.9590 1.0000 0.0503 0.2562 0.5931 0.8688 0.9815 1.0000 0.0277 0.1636 0.4415 0.7447 0.9308 0.9917 1.0000 0.0152 0.1024 0.3164 0.6083 0.8471 0.9643 0.9963 1.0000 0.0084 0.0632 0.2201 0.4770 0.7396 0.9115 0.9819 0.9983 1.0000

0.50 0.2500 0.7500 1.0000 0.1250 0.5000 0.8750 1.0000 0.0625 0.3125 0.6875 0.9375 1.0000 0.0312 0.1875 0.5000 0.8125 0.9688 1.0000 0.0156 0.1094 0.3438 0.6562 0.8906 0.9844 1.0000 0.0078 0.0625 0.2266 0.5000 0.7734 0.9375 0.9922 1.0000 0.0039 0.0352 0.1445 0.3633 0.6367 0.8555 0.9648 0.9961 1.0000

ภาคผนวก

351

ตารางที่ ก.3 (ตอ) ความนาจะเปนสะสมของการแจกแจงแบบทวินาม p n

x

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0.6302 0.9288 0.9916 0.9994 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.5987 0.9139 0.9885 0.9990 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.5688 0.8981 0.9848 0.9984 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.5404 0.8816 0.9804 0.9978 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.3874 0.7748 0.9470 0.9917 0.9991 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.3487 0.7361 0.9298 0.9872 0.9984 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.3138 0.6974 0.9104 0.9815 0.9972 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.2824 0.6590 0.8891 0.9744 0.9957 0.9995 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.2316 0.5995 0.8591 0.9661 0.9944 0.9994 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.1969 0.5443 0.8202 0.9500 0.9901 0.9986 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.1673 0.4922 0.7788 0.9306 0.9841 0.9973 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.1422 0.4435 0.7358 0.9078 0.9761 0.9954 0.9993 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.1342 0.4362 0.7382 0.9144 0.9804 0.9969 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000 0.1074 0.3758 0.6778 0.8791 0.9672 0.9936 0.9991 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 0.0859 0.3221 0.6174 0.8389 0.9496 0.9883 0.9980 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0687 0.2749 0.5583 0.7946 0.9274 0.9806 0.9961 0.9994 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.0751 0.3003 0.6007 0.8343 0.9511 0.9900 0.9987 0.9999 1.0000 1.0000 0.0563 0.2440 0.5256 0.7759 0.9219 0.9803 0.9965 0.9996 1.0000 1.0000 1.0000 0.0422 0.1971 0.4552 0.7133 0.8854 0.9657 0.9924 0.9988 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 0.0317 0.1584 0.3907 0.6488 0.8424 0.9456 0.9857 0.9972 0.9996 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.0404 0.1960 0.4628 0.7297 0.9012 0.9747 0.9957 0.9996 1.0000 1.0000 0.0282 0.1493 0.3828 0.6496 0.8497 0.9527 0.9894 0.9984 0.9999 1.0000 1.0000 0.0198 0.1130 0.3127 0.5696 0.7897 0.9218 0.9784 0.9957 0.9994 1.0000 1.0000 1.0000 0.0138 0.0850 0.2528 0.4925 0.7237 0.8822 0.9614 0.9905 0.9983 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000

0.0207 0.1211 0.3373 0.6089 0.8283 0.9464 0.9888 0.9986 0.9999 1.0000 0.0135 0.0860 0.2616 0.5138 0.7515 0.9051 0.9740 0.9952 0.9995 1.0000 1.0000 0.0088 0.0606 0.2001 0.4256 0.6683 0.8513 0.9499 0.9878 0.9980 0.9998 1.0000 1.0000 0.0057 0.0424 0.1513 0.3467 0.5833 0.7873 0.9154 0.9745 0.9944 0.9992 0.9999 1.0000 1.0000

0.0101 0.0705 0.2318 0.4826 0.7334 0.9006 0.9750 0.9962 0.9997 1.0000 0.0060 0.0464 0.1673 0.3823 0.6331 0.8338 0.9452 0.9877 0.9983 0.9999 1.0000 0.0036 0.0302 0.1189 0.2963 0.5328 0.7535 0.9006 0.9707 0.9941 0.9993 1.0000 1.0000 0.0022 0.0196 0.0834 0.2253 0.4382 0.6652 0.8418 0.9427 0.9847 0.9972 0.9997 1.0000 1.0000

0.0046 0.0385 0.1495 0.3614 0.6214 0.8342 0.9502 0.9909 0.9992 1.0000 0.0025 0.0233 0.0996 0.2660 0.5044 0.7384 0.8980 0.9726 0.9955 0.9997 1.0000 0.0014 0.0139 0.0652 0.1911 0.3971 0.6331 0.8262 0.9390 0.9852 0.9978 0.9998 1.0000 0.0008 0.0083 0.0421 0.1345 0.3044 0.5269 0.7393 0.8883 0.9644 0.9921 0.9989 0.9999 1.0000

0.0020 0.0195 0.0898 0.2539 0.5000 0.7461 0.9102 0.9805 0.9980 1.0000 0.0010 0.0107 0.0547 0.1719 0.3770 0.6230 0.8281 0.9453 0.9893 0.9990 1.0000 0.0005 0.0059 0.0327 0.1133 0.2744 0.5000 0.7256 0.8867 0.9673 0.9941 0.9995 1.0000 0.0002 0.0032 0.0193 0.0730 0.1938 0.3872 0.6128 0.8062 0.9270 0.9807 0.9968 0.9998 1.0000

10

11

12

352

สถิติวิศวกรรม

ตารางที่ ก.3 (ตอ) ความนาจะเปนสะสมของการแจกแจงแบบทวินาม p n

x

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

13

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0.5133 0.8646 0.9755 0.9969 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.4877 0.8470 0.9699 0.9958 0.9996 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.4633 0.8290 0.9638 0.9945 0.9994 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.2542 0.6213 0.8661 0.9658 0.9935 0.9991 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.2288 0.5846 0.8416 0.9559 0.9908 0.9985 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.2059 0.5490 0.8159 0.9444 0.9873 0.9978 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.1209 0.3983 0.6920 0.8820 0.9658 0.9924 0.9987 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.1028 0.3567 0.6479 0.8535 0.9533 0.9885 0.9978 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0874 0.3186 0.6042 0.8227 0.9383 0.9832 0.9964 0.9994 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.0550 0.2336 0.5017 0.7473 0.9009 0.9700 0.9930 0.9988 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0440 0.1979 0.4481 0.6982 0.8702 0.9561 0.9884 0.9976 0.9996 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0352 0.1671 0.3980 0.6482 0.8358 0.9389 0.9819 0.9958 0.9992 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.0238 0.1267 0.3326 0.5843 0.7940 0.9198 0.9757 0.9944 0.9990 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0178 0.1010 0.2811 0.5213 0.7415 0.8883 0.9617 0.9897 0.9978 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0134 0.0802 0.2361 0.4613 0.6865 0.8516 0.9434 0.9827 0.9958 0.9992 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.0097 0.0637 0.2025 0.4206 0.6543 0.8346 0.9376 0.9818 0.9960 0.9993 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 0.0068 0.0475 0.1608 0.3552 0.5842 0.7805 0.9067 0.9685 0.9917 0.9983 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0047 0.0353 0.1268 0.2969 0.5155 0.7216 0.8689 0.9500 0.9848 0.9963 0.9993 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.0037 0.0296 0.1132 0.2783 0.5005 0.7159 0.8705 0.9538 0.9874 0.9975 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000 0.0024 0.0205 0.0839 0.2205 0.4227 0.6405 0.8164 0.9247 0.9757 0.9940 0.9989 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 0.0016 0.0142 0.0617 0.1727 0.3519 0.5643 0.7548 0.8868 0.9578 0.9876 0.9972 0.9995 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000

0.0013 0.0126 0.0579 0.1686 0.3530 0.5744 0.7712 0.9023 0.9679 0.9922 0.9987 0.9999 1.0000 1.0000 0.0008 0.0081 0.0398 0.1243 0.2793 0.4859 0.6925 0.8499 0.9417 0.9825 0.9961 0.9994 0.9999 1.0000 1.0000 0.0005 0.0052 0.0271 0.0905 0.2173 0.4032 0.6098 0.7869 0.9050 0.9662 0.9907 0.9981 0.9987 1.0000 1.0000 1.0000

0.0004 0.0049 0.0269 0.0929 0.2279 0.4268 0.6437 0.8212 0.9302 0.9797 0.9959 0.9995 1.0000 1.0000 0.0002 0.0029 0.0170 0.0632 0.1672 0.3373 0.5461 0.7414 0.8811 0.9574 0.9886 0.9978 0.9997 1.0000 1.0000 0.0001 0.0017 0.0107 0.0424 0.1204 0.2608 0.4522 0.6535 0.8182 0.9231 0.9745 0.9937 0.9989 0.9999 1.0000 1.0000

0.0001 0.0017 0.0112 0.0461 0.1334 0.2905 0.5000 0.7095 0.8666 0.9539 0.9888 0.9983 0.9999 1.0000 0.0001 0.0009 0.0065 0.0287 0.0898 0.2120 0.3953 0.6047 0.7880 0.9102 0.9713 0.9935 0.9991 0.9999 1.0000 0.0000 0.0005 0.0037 0.0176 0.0592 0.1509 0.3036 0.5000 0.6964 0.8491 0.9408 0.9824 0.9963 0.9995 1.0000 1.0000

14

15

ภาคผนวก

353

ตารางที่ ก.3 (ตอ) ความนาจะเปนสะสมของการแจกแจงแบบทวินาม n 16

20

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.05 0.4401 0.8108 0.9571 0.9930 0.9991 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.3585 0.7358 0.9245 0.9841 0.9974 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.10 0.1853 0.5147 0.7892 0.9316 0.9830 0.9967 0.9995 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.1216 0.3917 0.6769 0.8670 0.9568 0.9887 0.9976 0.9996 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.15 0.0743 0.2839 0.5614 0.7899 0.9209 0.9765 0.9944 0.9989 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0388 0.1756 0.4049 0.6477 0.8298 0.9327 0.9781 0.9941 0.9987 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.20 0.0281 0.1407 0.3518 0.5981 0.7982 0.9183 0.9733 0.9930 0.9985 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0115 0.0692 0.2061 0.4114 0.6296 0.8042 0.9133 0.9679 0.9900 0.9974 0.9994 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

p 0.25 0.0100 0.0635 0.1971 0.4050 0.6302 0.8103 0.9204 0.9729 0.9925 0.9984 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0032 0.0243 0.0913 0.2252 0.4148 0.6172 0.7858 0.8982 0.9591 0.9861 0.9961 0.9991 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.30 0.0033 0.0261 0.0994 0.2459 0.4499 0.6598 0.8247 0.9256 0.9743 0.9929 0.9984 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0008 0.0076 0.0355 0.1071 0.2375 0.4164 0.6080 0.7723 0.8867 0.9520 0.9829 0.9949 0.9987 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.35 0.0010 0.0098 0.0451 0.1339 0.2892 0.4900 0.6881 0.8406 0.9329 0.9771 0.9938 0.9987 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0002 0.0021 0.0121 0.0444 0.1182 0.2454 0.4166 0.6010 0.7624 0.8782 0.9468 0.9804 0.9940 0.9985 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.40 0.0003 0.0033 0.0183 0.0651 0.1666 0.3288 0.5272 0.7161 0.8577 0.9417 0.9809 0.9951 0.9991 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 0.0000 0.0005 0.0036 0.0160 0.0510 0.1256 0.2500 0.4159 0.5956 0.7553 0.8725 0.9435 0.9790 0.9935 0.9984 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.45 0.0001 0.0010 0.0066 0.0281 0.0853 0.1976 0.3660 0.5629 0.7441 0.8759 0.9514 0.9851 0.9965 0.9994 0.9999 1.0000 1.0000 0.0000 0.0001 0.0009 0.0049 0.0189 0.0553 0.1299 0.2520 0.4143 0.5914 0.7507 0.8692 0.9420 0.9786 0.9936 0.9985 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.50 0.0000 0.0003 0.0021 0.0106 0.0384 0.1051 0.2272 0.4018 0.5982 0.7728 0.8949 0.9616 0.9894 0.9979 0.9997 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0013 0.0059 0.0207 0.0577 0.1316 0.2517 0.4119 0.5881 0.7483 0.8684 0.9423 0.9793 0.9941 0.9987 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000

354

สถิติวิศวกรรม

ตารางที่ ก.3 (ตอ) ความนาจะเปนสะสมของการแจกแจงแบบทวินาม p n

x

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

0.2774 0.6424 0.8729 0.9659 0.9928 0.9988 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.0718 0.2712 0.5371 0.7636 0.9020 0.9666 0.9905 0.9977 0.9995 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.0172 0.0931 0.2537 0.4711 0.6821 0.8385 0.9305 0.9745 0.9920 0.9979 0.9995 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.0038 0.0274 0.0982 0.2340 0.4207 0.6167 0.7800 0.8909 0.9532 0.9827 0.9944 0.9985 0.9996 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.0008 0.0070 0.0321 0.0962 0.2137 0.3783 0.5611 0.7265 0.8506 0.9287 0.9703 0.9893 0.9966 0.9991 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.0001 0.0016 0.0090 0.0332 0.0905 0.1935 0.3407 0.5118 0.6769 0.8106 0.9022 0.9558 0.9825 0.9940 0.9982 0.9995 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.0000 0.0003 0.0021 0.0097 0.0320 0.0826 0.1734 0.3061 0.4668 0.6303 0.7712 0.8746 0.9396 0.9745 0.9907 0.9971 0.9992 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.0000 0.0001 0.0004 0.0024 0.0095 0.0294 0.0736 0.1536 0.2735 0.4246 0.5858 0.7323 0.8462 0.9222 0.9656 0.9868 0.9957 0.9988 0.9997 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.0000 0.0000 0.0001 0.0005 0.0023 0.0086 0.0258 0.0639 0.1340 0.2424 0.3843 0.5426 0.6937 0.8173 0.9040 0.9560 0.9826 0.9942 0.9984 0.9996 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0005 0.0020 0.0073 0.0216 0.0539 0.1148 0.2122 0.3450 0.5000 0.6550 0.7878 0.8852 0.9461 0.9784 0.9927 0.9980 0.9995 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

ภาคผนวก

355

ตารางที่ ก.4 ความนาจะเปนสะสมของการแจกแจงแบบปวสซอง x µk e –µ

P(X ≤ x) = Σ k=0

k!

µ

x 0 1 2 3 4 5 6

0.1 0.905 0.995 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

0.2 0.819 0.982 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000

0.3 0.741 0.963 0.996 1.000 1.000 1.000 1.000

0.4 0.670 0.938 0.992 0.999 1.000 1.000 1.000

0.5 0.607 0.910 0.986 0.998 1.000 1.000 1.000

0.6 0.549 0.878 0.977 0.997 1.000 1.000 1.000

0.7 0.497 0.844 0.966 0.994 0.999 1.000 1.000

0.8 0.449 0.809 0.953 0.991 0.999 1.000 1.000

0.9 0.407 0.772 0.937 0.987 0.998 1.000 1.000

1.0 0.368 0.736 0.920 0.981 0.996 0.999 1.000

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

1.1 0.333 0.699 0.900 0.974 0.995 0.999 1.000 1.000 1.000

1.2 0.301 0.663 0.879 0.966 0.992 0.998 1.000 1.000 1.000

1.3 0.273 0.627 0.857 0.957 0.989 0.998 1.000 1.000 1.000

1.4 0.247 0.592 0.833 0.946 0.986 0.997 0.999 1.000 1.000

1.5 0.223 0.558 0.809 0.934 0.981 0.996 0.999 1.000 1.000

1.6 0.202 0.525 0.783 0.921 0.976 0.994 0.999 1.000 1.000

1.7 0.183 0.493 0.757 0.907 0.970 0.992 0.998 1.000 1.000

1.8 0.165 0.463 0.731 0.891 0.964 0.990 0.997 0.999 1.000

1.9 0.150 0.434 0.704 0.875 0.956 0.987 0.997 0.999 1.000

2.0 0.135 0.406 0.677 0.857 0.947 0.983 0.995 0.999 1.000

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2.2 0.111 0.355 0.623 0.819 0.928 0.975 0.993 0.998 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

2.4 0.091 0.308 0.570 0.779 0.904 0.964 0.988 0.997 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000

2.6 0.074 0.267 0.518 0.736 0.877 0.951 0.983 0.995 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000

2.8 0.061 0.231 0.469 0.692 0.848 0.935 0.976 0.992 0.998 0.999 1.000 1.000 1.000

3.0 0.050 0.199 0.423 0.647 0.815 0.916 0.966 0.988 0.996 0.999 1.000 1.000 1.000

3.2 0.041 0.171 0.380 0.603 0.781 0.895 0.955 0.983 0.994 0.998 1.000 1.000 1.000

3.4 0.033 0.147 0.340 0.558 0.744 0.871 0.942 0.977 0.992 0.997 0.999 1.000 1.000

3.6 0.027 0.126 0.303 0.515 0.706 0.844 0.927 0.969 0.988 0.996 0.999 1.000 1.000

3.8 0.022 0.107 0.269 0.473 0.668 0.816 0.909 0.960 0.984 0.994 0.998 0.999 1.000

4.0 0.018 0.092 0.238 0.433 0.629 0.785 0.889 0.949 0.979 0.992 0.997 0.999 1.000

356

สถิติวิศวกรรม

ตารางที่ ก.4 (ตอ) ความนาจะเปนสะสมของการแจกแจงแบบปวสซอง µ

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

4.2 0.015 0.078 0.210 0.395 0.590 0.753 0.867 0.936 0.972 0.989 0.996 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

4.4 0.012 0.066 0.185 0.359 0.551 0.720 0.844 0.921 0.964 0.985 0.994 0.998 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000

4.6 0.010 0.056 0.163 0.326 0.513 0.686 0.818 0.905 0.955 0.980 0.992 0.997 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000

4.8 0.008 0.048 0.143 0.294 0.476 0.651 0.791 0.887 0.944 0.975 0.990 0.996 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000

5.0 0.007 0.040 0.125 0.265 0.440 0.616 0.762 0.867 0.932 0.968 0.986 0.995 0.998 0.999 1.000 1.000 1.000

5.2 0.006 0.034 0.109 0.238 0.406 0.581 0.732 0.845 0.918 0.960 0.982 0.993 0.997 0.999 1.000 1.000 1.000

5.4 0.005 0.029 0.095 0.213 0.373 0.546 0.702 0.822 0.903 0.951 0.977 0.990 0.996 0.999 0.999 1.000 1.000

5.6 0.004 0.024 0.082 0.191 0.342 0.512 0.670 0.797 0.886 0.941 0.972 0.988 0.995 0.998 0.999 1.000 1.000

5.8 0.003 0.021 0.072 0.170 0.313 0.478 0.638 0.771 0.867 0.929 0.965 0.984 0.993 0.997 0.999 1.000 1.000

6.0 0.002 0.017 0.062 0.151 0.285 0.446 0.606 0.744 0.847 0.916 0.957 0.980 0.991 0.996 0.999 0.999 1.000

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

6.5 0.002 0.011 0.043 0.112 0.224 0.369 0.527 0.673 0.792 0.877 0.933 0.966 0.984 0.993 0.997 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

7.0 0.001 0.007 0.030 0.082 0.173 0.301 0.450 0.599 0.729 0.830 0.901 0.947 0.973 0.987 0.994 0.998 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

7.5 0.001 0.005 0.020 0.059 0.132 0.241 0.378 0.525 0.662 0.776 0.862 0.921 0.957 0.978 0.990 0.995 0.998 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

8.0 0.000 0.003 0.014 0.042 0.100 0.191 0.313 0.453 0.593 0.717 0.816 0.888 0.936 0.966 0.983 0.992 0.996 0.998 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

8.5 0.000 0.002 0.009 0.030 0.074 0.150 0.256 0.386 0.523 0.653 0.763 0.849 0.909 0.949 0.973 0.986 0.993 0.997 0.999 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000

9.0 0.000 0.001 0.006 0.021 0.055 0.116 0.207 0.324 0.456 0.587 0.706 0.803 0.876 0.926 0.959 0.978 0.989 0.995 0.998 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000

9.5 0.000 0.001 0.004 0.015 0.040 0.089 0.165 0.269 0.392 0.522 0.645 0.752 0.836 0.898 0.940 0.967 0.982 0.991 0.996 0.998 0.999 1.000 1.000 1.000

10.0 0.000 0.000 0.003 0.010 0.029 0.067 0.130 0.220 0.333 0.458 0.583 0.697 0.792 0.864 0.917 0.951 0.973 0.986 0.993 0.997 0.998 0.999 1.000 1.000

10.5 0.000 0.000 0.002 0.007 0.021 0.050 0.102 0.179 0.279 0.397 0.521 0.639 0.742 0.825 0.888 0.932 0.960 0.978 0.988 0.994 0.997 0.999 0.999 1.000

11.0 0.000 0.000 0.001 0.005 0.015 0.038 0.079 0.143 0.232 0.341 0.460 0.579 0.689 0.781 0.854 0.907 0.944 0.968 0.982 0.991 0.995 0.998 0.999 1.000

ภาคผนวก

357

ตารางที่ ก.4 (ตอ) ความนาจะเปนสะสมของการแจกแจงแบบปวสซอง µ

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

11.5 0.000 0.000 0.001 0.003 0.011 0.028 0.060 0.114 0.191 0.289 0.402 0.520 0.633 0.733 0.815

12.0 0.000 0.000 0.001 0.002 0.008 0.020 0.046 0.090 0.155 0.242 0.347 0.462 0.576 0.682 0.772

12.5 0.000 0.000 0.000 0.002 0.005 0.015 0.035 0.070 0.125 0.201 0.297 0.406 0.519 0.628 0.725

13.0 0.000 0.000 0.000 0.001 0.004 0.011 0.026 0.054 0.100 0.166 0.252 0.353 0.463 0.573 0.675

13.5 0.000 0.000 0.000 0.001 0.003 0.008 0.019 0.041 0.079 0.135 0.211 0.304 0.409 0.518 0.623

14.0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.006 0.014 0.032 0.062 0.109 0.176 0.260 0.358 0.464 0.570

14.5 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.004 0.010 0.024 0.048 0.088 0.145 0.220 0.311 0.413 0.518

15.0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.003 0.008 0.018 0.037 0.070 0.118 0.185 0.268 0.363 0.466

15.5 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.002 0.006 0.013 0.029 0.055 0.096 0.154 0.228 0.317 0.415

16.0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.004 0.010 0.022 0.043 0.077 0.127 0.193 0.275 0.368

x 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

11.5 0.878 0.924 0.954 0.974 0.986 0.992 0.996 0.998 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

12.0 0.844 0.899 0.937 0.963 0.979 0.988 0.994 0.997 0.999 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

12.5 0.806 0.869 0.916 0.948 0.969 0.983 0.991 0.995 0.998 0.999 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

13.0 0.764 0.835 0.890 0.930 0.957 0.975 0.986 0.992 0.996 0.998 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

13.5 0.718 0.798 0.861 0.908 0.942 0.965 0.980 0.989 0.994 0.997 0.998 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

14.0 0.669 0.756 0.827 0.883 0.923 0.952 0.971 0.983 0.991 0.995 0.997 0.999 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

14.5 0.619 0.711 0.790 0.853 0.901 0.936 0.960 0.976 0.986 0.992 0.996 0.998 0.999 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

15.0 0.568 0.664 0.749 0.819 0.875 0.917 0.947 0.967 0.981 0.989 0.994 0.997 0.998 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

15.5 0.517 0.615 0.705 0.782 0.846 0.894 0.930 0.956 0.973 0.984 0.991 0.995 0.997 0.999 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

16.0 0.467 0.566 0.659 0.742 0.812 0.868 0.911 0.942 0.963 0.978 0.987 0.993 0.996 0.998 0.999 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

358

สถิติวิศวกรรม

ตารางที่ ก.5 ความนาจะเปนสะสมของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน Φ(z) =

z

P(Z ≤ z) = ∫ –

∞

1 e– 12 u2 du 2π

Φ(z)

z z –3.9 –3.8 –3.7 –3.6 –3.5 –3.4 –3.3 –3.2 –3.1 –3.0 –2.9 –2.8 –2.7 –2.6 –2.5 –2.4 –2.3 –2.2 –2.1 –2.0 –1.9 –1.8 –1.7 –1.6 –1.5 –1.4 –1.3 –1.2 –1.1 –1.0 –0.9 –0.8 –0.7 –0.6 –0.5 –0.4 –0.3 –0.2 –0.1 –0.0

0.09 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0003 0.0005 0.0007 0.0010 0.0014 0.0019 0.0026 0.0036 0.0048 0.0064 0.0084 0.0110 0.0143 0.0183 0.0233 0.0294 0.0367 0.0455 0.0559 0.0681 0.0823 0.0985 0.1170 0.1379 0.1611 0.1867 0.2148 0.2451 0.2776 0.3121 0.3483 0.3859 0.4247 0.4641

0.08 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0007 0.0010 0.0014 0.0020 0.0027 0.0037 0.0049 0.0066 0.0087 0.0113 0.0146 0.0188 0.0239 0.0301 0.0375 0.0465 0.0571 0.0694 0.0838 0.1003 0.1190 0.1401 0.1635 0.1894 0.2177 0.2483 0.2810 0.3156 0.3520 0.3897 0.4286 0.4681

0.07 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0008 0.0011 0.0015 0.0021 0.0028 0.0038 0.0051 0.0068 0.0089 0.0116 0.0150 0.0192 0.0244 0.0307 0.0384 0.0475 0.0582 0.0708 0.0853 0.1020 0.1210 0.1423 0.1660 0.1922 0.2206 0.2514 0.2843 0.3192 0.3557 0.3936 0.4325 0.4721

0.06 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0006 0.0008 0.0011 0.0015 0.0021 0.0029 0.0039 0.0052 0.0069 0.0091 0.0119 0.0154 0.0197 0.0250 0.0314 0.0392 0.0485 0.0594 0.0721 0.0869 0.1038 0.1230 0.1446 0.1685 0.1949 0.2236 0.2546 0.2877 0.3228 0.3594 0.3974 0.4364 0.4761

0 0.05 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0006 0.0008 0.0011 0.0016 0.0022 0.0030 0.0040 0.0054 0.0071 0.0094 0.0122 0.0158 0.0202 0.0256 0.0322 0.0401 0.0495 0.0606 0.0735 0.0885 0.1056 0.1251 0.1469 0.1711 0.1977 0.2266 0.2578 0.2912 0.3264 0.3632 0.4013 0.4404 0.4801

0.04 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0006 0.0008 0.0012 0.0016 0.0023 0.0031 0.0041 0.0055 0.0073 0.0096 0.0125 0.0162 0.0207 0.0262 0.0329 0.0409 0.0505 0.0618 0.0749 0.0901 0.1075 0.1271 0.1492 0.1736 0.2005 0.2296 0.2611 0.2946 0.3300 0.3669 0.4052 0.4443 0.4840

0.03 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0006 0.0009 0.0012 0.0017 0.0023 0.0032 0.0043 0.0057 0.0075 0.0099 0.0129 0.0166 0.0212 0.0268 0.0336 0.0418 0.0516 0.0630 0.0764 0.0918 0.1093 0.1292 0.1515 0.1762 0.2033 0.2327 0.2643 0.2981 0.3336 0.3707 0.4090 0.4483 0.4880

0.02 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0003 0.0005 0.0006 0.0009 0.0013 0.0018 0.0024 0.0033 0.0044 0.0059 0.0078 0.0102 0.0132 0.0170 0.0217 0.0274 0.0344 0.0427 0.0526 0.0643 0.0778 0.0934 0.1112 0.1314 0.1539 0.1788 0.2061 0.2358 0.2676 0.3015 0.3372 0.3745 0.4129 0.4522 0.4920

0.01 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0003 0.0005 0.0007 0.0009 0.0013 0.0018 0.0025 0.0034 0.0045 0.0060 0.0080 0.0104 0.0136 0.0174 0.0222 0.0281 0.0351 0.0436 0.0537 0.0655 0.0793 0.0951 0.1131 0.1335 0.1562 0.1814 0.2090 0.2389 0.2709 0.3050 0.3409 0.3783 0.4168 0.4562 0.4960

0.00 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0003 0.0005 0.0007 0.0010 0.0013 0.0019 0.0026 0.0035 0.0047 0.0062 0.0082 0.0107 0.0139 0.0179 0.0228 0.0287 0.0359 0.0446 0.0548 0.0668 0.0808 0.0968 0.1151 0.1357 0.1587 0.1841 0.2119 0.2420 0.2743 0.3085 0.3446 0.3821 0.4207 0.4602 0.5000

ภาคผนวก

359

ตารางที่ ก.5 (ตอ) ความนาจะเปนสะสมของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน Φ(z) =

P(Z ≤ z) = ∫

z –∞

1 e– 12 u2 du 2π Φ(z)

0 Z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

0.00 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000

0.01 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719 0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982 0.9987 0.9991 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000

0.02 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982 0.9987 0.9991 0.9994 0.9995 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.03 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983 0.9988 0.9991 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.04 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 0.9988 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

z 0.05 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.06 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279 0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750 0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.07 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.08 0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306 0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761 0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.09 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767 0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

360

สถิติวิศวกรรม

ตารางที่ ก.6 คาของตัวแปรสุม χ2 ภายใตความนาจะเปน α ที่กําหนด

α χ2 , ν α

ν

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100

α

0.995 0.00 + 0.01 0.07 0.21 0.41 0.68 0.99 1.34 1.73 2.16 2.60 3.07 3.57 4.07 4.60 5.14 5.70 6.26 6.84 7.43 8.03 8.64 9.26 9.89 10.52 11.16 11.81 12.46 13.12 13.79 20.71 27.99 35.53 43.28 51.17 59.20 67.33

0.990 0.00 + 0.02 0.11 0.30 0.55 0.87 1.24 1.65 2.09 2.56 3.05 3.57 4.11 4.66 5.23 5.81 6.41 7.01 7.63 8.26 8.90 9.54 10.20 10.86 11.52 12.20 12.88 13.57 14.26 14.95 22.16 29.71 37.48 45.44 53.54 61.75 70.06

0.975 0.00 + 0.05 0.22 0.48 0.83 1.24 1.69 2.18 2.70 3.25 3.82 4.40 5.01 5.63 6.27 6.91 7.56 8.23 8.91 9.59 10.28 10.98 11.69 12.40 13.12 13.84 14.57 15.31 16.05 16.79 24.43 32.36 40.48 48.76 57.15 65.65 74.22

0.950 0.00 + 0.10 0.35 0.71 1.15 1.64 2.17 2.73 3.33 3.94 4.57 5.23 5.89 6.57 7.26 7.96 8.67 9.39 10.12 10.85 11.59 12.34 13.09 13.85 14.61 15.38 16.15 16.93 17.71 18.49 26.51 34.76 43.19 51.74 60.39 69.13 77.93

ν คือ องศาอิสระ (Degrees of Freedom) = n – 1

0.900 0.02 0.21 0.58 1.06 1.61 2.20 2.83 3.49 4.17 4.87 5.58 6.30 7.04 7.79 8.55 9.31 10.09 10.87 11.65 12.44 13.24 14.04 14.85 15.66 16.47 17.29 18.11 18.94 19.77 20.60 29.05 37.69 46.46 55.33 64.28 73.29 82.36

0.500 0.45 1.39 2.37 3.36 4.35 5.35 6.35 7.34 8.34 9.34 10.34 11.34 12.34 13.34 14.34 15.34 16.34 17.34 18.34 19.34 20.34 21.34 22.34 23.34 24.34 25.34 26.34 27.34 28.34 29.34 39.34 49.33 59.33 69.33 79.33 89.33 99.33

0.100 2.71 4.61 6.25 7.78 9.24 10.65 12.02 13.36 14.68 15.99 17.28 18.55 19.81 21.06 22.31 23.54 24.77 25.99 27.20 28.41 29.62 30.81 32.01 33.20 34.28 35.56 36.74 37.92 39.09 40.26 51.81 63.17 74.40 85.53 96.58 107.57 118.50

0.050 3.84 5.99 7.81 9.49 11.07 12.59 14.07 15.51 16.92 18.31 19.68 21.03 22.36 23.68 25.00 26.30 27.59 28.87 30.14 31.41 32.67 33.92 35.17 36.42 37.65 38.89 40.11 41.34 42.56 43.77 55.76 67.50 79.08 90.53 101.88 113.14 124.34

0.025 5.02 7.38 9.35 11.14 12.83 14.45 16.01 17.53 19.02 20.48 21.92 23.34 24.74 26.12 27.49 28.85 30.19 31.53 32.85 34.17 35.48 36.78 38.08 39.36 40.65 41.92 43.19 44.46 45.72 46.98 59.34 71.42 83.30 95.02 106.63 118.14 129.56

0.010 6.63 9.21 11.34 13.28 15.09 16.81 18.48 20.09 21.67 23.21 24.72 26.22 27.69 29.14 30.58 32.00 33.41 34.81 36.19 37.57 38.93 40.29 41.64 42.98 44.31 45.64 46.96 48.28 49.59 50.89 63.69 76.15 88.38 100.42 112.33 124.12 135.81

0.005 7.88 10.60 12.84 14.86 16.75 18.55 20.28 21.96 23.59 25.19 26.76 28.30 29.82 31.32 32.80 34.27 35.72 37.16 38.58 40.00 41.40 42.80 44.18 45.56 46.93 48.29 49.65 50.99 52.34 53.67 66.77 79.49 91.95 104.22 116.32 128.30 140.17

ภาคผนวก

361

ตารางที่ ก.7 คาของตัวแปรสุม t ภายใตความนาจะเปน α ที่กําหนด α

0 α

tα,ν

0.40 0.25 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0025 0.001 0.0005 1 0.325 1.000 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 127.320 318.310 636.620 2 0.289 0.816 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 14.089 23.326 31.598 3 0.277 0.765 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 7.453 10.213 12.924 4 0.271 0.741 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5.598 7.173 8.610 5 0.267 0.727 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 4.773 5.893 6.869 6 0.265 0.718 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 4.317 5.208 5.959 7 0.263 0.711 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.029 4.785 5.408 8 0.262 0.706 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 3.833 4.501 5.041 9 0.261 0.703 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 3.690 4.297 4.781 10 0.260 0.700 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 3.581 4.144 4.587 11 0.260 0.697 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 3.497 4.025 4.437 12 0.259 0.695 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.428 3.930 4.318 13 0.259 0.694 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.372 3.852 4.221 14 0.258 0.692 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.326 3.787 4.140 15 0.258 0.691 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.286 3.733 4.073 16 0.258 0.690 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.252 3.686 4.015 17 0.257 0.689 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.222 3.646 3.965 18 0.257 0.688 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.197 3.610 3.922 19 0.257 0.688 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.174 3.579 3.883 20 0.257 0.687 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.153 3.552 3.850 21 0.257 0.686 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.135 3.527 3.819 22 0.256 0.686 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.119 3.505 3.792 23 0.256 0.685 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.104 3.485 3.767 24 0.256 0.685 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.091 3.467 3.745 25 0.256 0.684 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.078 3.450 3.725 26 0.256 0.684 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.067 3.435 3.707 27 0.256 0.684 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.057 3.421 3.690 28 0.256 0.683 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.047 3.408 3.674 29 0.256 0.683 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.038 3.396 3.659 30 0.256 0.683 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.030 3.385 3.646 40 0.255 0.681 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 2.971 3.307 3.551 60 0.254 0.679 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 2.915 3.232 3.460 120 0.254 0.677 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 2.860 3.160 3.373 ∞ 0.253 0.674 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 2.807 3.090 3.291 ν = องศาอิสระ (Degrees of Freedom) = n – 1 ν

362

สถิติวิศวกรรม

ตารางที่ ก. 8–1 คาของตัวแปรสุม F ภายใตความนาจะเปน α = 0.25

α

fα, ν1, ν2 ƒ0.25, ν1, ν2 องศาอิสระของตัวตั้ง (ν1)

ν1

องศาอิสระของตัวหาร (ν2)

ν2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 ∞

1 5.83 2.57 2.02 1.81 1.69 1.62 1.57 1.54 1.51 1.49 1.47 1.46 1.45 1.44 1.43 1.42 1.42 1.41 1.41 1.40 1.40 1.40 1.39 1.39 1.39 1.38 1.38 1.38 1.38 1.38 1.36 1.35 1.34 1.32

2 7.50 3.00 2.28 2.00 1.85 1.76 1.70 1.66 1.62 1.60 1.58 1.56 1.55 1.53 1.52 1.51 1.51 1.50 1.49 1.49 1.48 1.48 1.47 1.47 1.47 1.46 1.46 1.46 1.45 1.45 1.44 1.42 1.40 1.39

3 8.20 3.15 2.36 2.05 1.88 1.78 1.72 1.67 1.63 1.60 1.58 1.56 1.55 1.53 1.52 1.51 1.50 1.49 1.49 1.48 1.48 1.47 1.47 1.46 1.46 1.45 1.45 1.45 1.45 1.44 1.42 1.41 1.39 1.37

4 8.58 3.23 2.39 2.06 1.89 1.79 1.72 1.66 1.63 1.59 1.57 1.55 1.53 1.52 1.51 1.50 1.49 1.48 1.47 1.47 1.46 1.45 1.45 1.44 1.44 1.44 1.43 1.43 1.43 1.42 1.40 1.38 1.37 1.35

5 8.82 3.28 2.41 2.07 1.89 1.79 1.71 1.66 1.62 1.59 1.56 1.54 1.52 1.51 1.49 1.48 1.47 1.46 1.46 1.45 1.44 1.44 1.43 1.43 1.42 1.42 1.42 1.41 1.41 1.41 1.39 1.37 1.35 1.33

6 8.98 3.31 2.42 2.08 1.89 1.78 1.71 1.65 1.61 1.58 1.55 1.53 1.51 1.50 1.48 1.47 1.46 1.45 1.44 1.44 1.43 1.42 1.42 1.41 1.41 1.41 1.40 1.40 1.40 1.39 1.37 1.35 1.33 1.31

7 9.10 3.34 2.43 2.08 1.89 1.78 1.70 1.64 1.60 1.57 1.54 1.52 1.50 1.49 1.47 1.46 1.45 1.44 1.43 1.43 1.42 1.41 1.41 1.40 1.40 1.39 1.39 1.39 1.38 1.38 1.36 1.33 1.31 1.29

8 9.19 3.35 2.44 2.08 1.89 1.78 1.70 1.64 1.60 1.56 1.53 1.51 1.49 1.48 1.46 1.45 1.44 1.43 1.42 1.42 1.41 1.40 1.40 1.39 1.39 1.38 1.38 1.38 1.37 1.37 1.35 1.32 1.30 1.28

9 9.26 3.37 2.44 2.08 1.89 1.77 1.70 1.63 1.59 1.56 1.53 1.51 1.49 1.47 1.46 1.44 1.43 1.42 1.41 1.41 1.40 1.39 1.39 1.38 1.38 1.37 1.37 1.37 1.36 1.36 1.34 1.31 1.29 1.27

10 9.32 3.38 2.44 2.08 1.89 1.77 1.69 1.63 1.59 1.55 1.52 1.50 1.48 1.46 1.45 1.44 1.43 1.42 1.41 1.40 1.39 1.39 1.38 1.38 1.37 1.37 1.36 1.36 1.35 1.35 1.33 1.30 1.28 1.25

12 9.41 3.39 2.45 2.08 1.89 1.77 1.68 1.62 1.58 1.54 1.51 1.49 1.47 1.45 1.44 1.43 1.41 1.40 1.40 1.39 1.38 1.37 1.37 1.36 1.36 1.35 1.35 1.34 1.34 1.34 1.31 1.29 1.26 1.24

15 9.49 3.41 2.46 2.08 1.89 1.76 1.68 1.62 1.57 1.53 1.50 1.48 1.46 1.44 1.43 1.41 1.40 1.39 1.38 1.37 1.37 1.36 1.35 1.35 1.34 1.34 1.33 1.33 1.32 1.32 1.30 1.27 1.24 1.22

20 9.58 3.43 2.46 2.08 1.88 1.76 1.67 1.61 1.56 1.52 1.49 1.47 1.45 1.43 1.41 1.40 1.39 1.38 1.37 1.36 1.35 1.34 1.34 1.33 1.33 1.32 1.32 1.31 1.31 1.30 1.28 1.25 1.22 1.19

24 9.63 3.43 2.46 2.08 1.88 1.75 1.67 1.60 1.56 1.52 1.49 1.46 1.44 1.42 1.41 1.39 1.38 1.37 1.36 1.35 1.34 1.33 1.33 1.32 1.32 1.31 1.31 1.30 1.30 1.29 1.26 1.24 1.21 1.18

30 9.67 3.44 2.47 2.08 1.88 1.75 1.66 1.60 1.55 1.51 1.48 1.45 1.43 1.41 1.40 1.38 1.37 1.36 1.35 1.34 1.33 1.32 1.32 1.31 1.31 1.30 1.30 1.29 1.29 1.28 1.25 1.22 1.19 1.16

40 9.71 3.45 2.47 2.08 1.88 1.75 1.66 1.59 1.54 1.51 1.47 1.45 1.42 1.41 1.39 1.37 1.36 1.35 1.34 1.33 1.32 1.31 1.31 1.30 1.29 1.29 1.28 1.28 1.27 1.27 1.24 1.21 1.18 1.14

60 120 9.76 9.80 3.46 3.47 2.47 2.47 2.08 2.08 1.87 1.87 1.74 1.74 1.65 1.65 1.59 1.58 1.54 1.53 1.50 1.49 1.47 1.46 1.44 1.43 1.42 1.41 1.40 1.39 1.38 1.37 1.36 1.35 1.35 1.34 1.34 1.33 1.33 1.32 1.32 1.31 1.31 1.30 1.30 1.29 1.30 1.28 1.29 1.28 1.28 1.27 1.28 1.26 1.27 1.26 1.27 1.25 1.26 1.25 1.26 1.24 1.22 1.21 1.19 1.17 1.16 1.13 1.12 1.08

∞

9.85 3.48 2.47 2.08 1.87 1.74 1.65 1.58 1.53 1.48 1.45 1.42 1.40 1.38 1.36 1.34 1.33 1.32 1.30 1.29 1.28 1.28 1.27 1.26 1.25 1.25 1.24 1.24 1.23 1.23 1.19 1.15 1.10 1.00

ภาคผนวก

363

ตารางที่ ก.8–2 คาของตัวแปรสุม F ภายใตความนาจะเปน α = 0.10 ƒ0.10, ν1, ν2 ν1 ν2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞ 39.86 49.50 53.59 55.83 57.24 58.20 58.91 59.44 59.86 60.19 60.71 61.22 61.74 62.00 62.26 62.53 62.79 63.06 63.33 8.53 9.00 9.16 9.24 9.29 9.33 9.35 9.37 9.38 9.39 9.41 9.42 9.44 9.45 9.46 9.47 9.47 9.48 9.49 5.54 5.46 5.39 5.34 5.31 5.28 5.27 5.25 5.24 5.23 5.22 5.20 5.18 5.18 5.17 5.16 5.15 5.14 5.13 4.54 4.32 4.19 4.11 4.05 4.01 3.98 3.95 3.94 3.92 3.90 3.87 3.84 3.83 3.82 3.80 3.79 3.78 3.76 4.06 3.78 3.62 3.52 3.45 3.40 3.37 3.34 3.32 3.30 3.27 3.24 3.21 3.19 3.17 3.16 3.14 3.12 3.10 3.78 3.46 3.29 3.18 3.11 3.05 3.01 2.98 2.96 2.94 2.90 2.87 2.84 2.82 2.80 2.78 2.76 2.74 2.72 3.59 3.26 3.07 2.96 2.88 2.83 2.78 2.75 2.72 2.70 2.67 2.63 2.59 2.58 2.56 2.54 2.51 2.49 2.47 3.46 3.11 2.92 2.81 2.73 2.67 2.62 2.59 2.56 2.54 2.50 2.46 2.42 2.40 2.38 2.36 2.34 2.32 2.29 3.36 3.01 2.81 2.69 2.61 2.55 2.51 2.47 2.44 2.42 2.38 2.34 2.30 2.28 2.25 2.23 2.21 2.18 2.16 3.29 2.92 2.73 2.61 2.52 2.46 2.41 2.38 2.35 2.32 2.28 2.24 2.20 2.18 2.16 2.13 2.11 2.08 2.06 3.23 2.86 2.66 2.54 2.45 2.39 2.34 2.30 2.27 2.25 2.21 2.17 2.12 2.10 2.08 2.05 2.03 2.00 1.97 3.18 2.81 2.61 2.48 2.39 2.33 2.28 2.24 2.21 2.19 2.15 2.10 2.06 2.04 2.01 1.99 1.96 1.93 1.90 3.14 2.76 2.56 2.43 2.35 2.28 2.23 2.20 2.16 2.14 2.10 2.05 2.01 1.98 1.96 1.93 1.90 1.88 1.85 3.10 2.73 2.52 2.39 2.31 2.24 2.19 2.15 2.12 2.10 2.05 2.01 1.96 1.94 1.91 1.89 1.86 1.83 1.80 3.07 2.70 2.49 2.36 2.27 2.21 2.16 2.12 2.09 2.06 2.02 1.97 1.92 1.90 1.87 1.85 1.82 1.79 1.76 3.05 2.67 2.46 2.33 2.24 2.18 2.13 2.09 2.06 2.03 1.99 1.94 1.89 1.87 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72 3.03 2.64 2.44 2.31 2.22 2.15 2.10 2.06 2.03 2.00 1.96 1.91 1.86 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72 1.69 3.01 2.62 2.42 2.29 2.20 2.13 2.08 2.04 2.00 1.98 1.93 1.89 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72 1.69 1.66 2.99 2.61 2.40 2.27 2.18 2.11 2.06 2.02 1.98 1.96 1.91 1.86 1.81 1.79 1.76 1.73 1.70 1.67 1.63 2.97 2.59 2.38 2.25 2.16 2.09 2.04 2.00 1.96 1.94 1.89 1.84 1.79 1.77 1.74 1.71 1.68 1.64 1.61 2.96 2.57 2.36 2.23 2.14 2.08 2.02 1.98 1.95 1.92 1.87 1.83 1.78 1.75 1.72 1.69 1.66 1.62 1.59 2.95 2.56 2.35 2.22 2.13 2.06 2.01 1.97 1.93 1.90 1.86 1.81 1.76 1.73 1.70 1.67 1.64 1.60 1.57 2.94 2.55 2.34 2.21 2.11 2.05 1.99 1.95 1.92 1.89 1.84 1.80 1.74 1.72 1.69 1.66 1.62 1.59 1.55 2.93 2.54 2.33 2.19 2.10 2.04 1.98 1.94 1.91 1.88 1.83 1.78 1.73 1.70 1.67 1.64 1.61 1.57 1.53 2.92 2.53 2.32 2.18 2.09 2.02 1.97 1.93 1.89 1.87 1.82 1.77 1.72 1.69 1.66 1.63 1.59 1.56 1.52 2.91 2.52 2.31 2.17 2.08 2.01 1.96 1.92 1.88 1.86 1.81 1.76 1.71 1.68 1.65 1.61 1.58 1.54 1.50 2.90 2.51 2.30 2.17 2.07 2.00 1.95 1.91 1.87 1.85 1.80 1.75 1.70 1.67 1.64 1.60 1.57 1.53 1.49 2.89 2.50 2.29 2.16 2.06 2.00 1.94 1.90 1.87 1.84 1.79 1.74 1.69 1.66 1.63 1.59 1.56 1.52 1.48 2.89 2.50 2.28 2.15 2.06 1.99 1.93 1.89 1.86 1.83 1.78 1.73 1.68 1.65 1.62 1.58 1.55 1.51 1.47 2.88 2.49 2.28 2.14 2.03 1.98 1.93 1.88 1.85 1.82 1.77 1.72 1.67 1.64 1.61 1.57 1.54 1.50 1.46 2.84 2.44 2.23 2.09 2.00 1.93 1.87 1.83 1.79 1.76 1.71 1.66 1.61 1.57 1.54 1.51 1.47 1.42 1.38 2.79 2.39 2.18 2.04 1.95 1.87 1.82 1.77 1.74 1.71 1.66 1.60 1.54 1.51 1.48 1.44 1.40 1.35 1.29 2.75 2.35 2.13 1.99 1.90 1.82 1.77 1.72 1.68 1.65 1.60 1.55 1.48 1.45 1.41 1.37 1.32 1.26 1.19 ∞ 2.71 2.30 2.08 1.94 1.85 1.77 1.72 1.67 1.63 1.60 1.55 1.49 1.42 1.38 1.34 1.30 1.24 1.17 1.00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120

องศาอิสระของตัวหาร (ν2)

องศาอิสระของตัวตั้ง (ν1)

364

สถิติวิศวกรรม

ตารางที่ ก.8–3 คาของตัวแปรสุม F ภายใตความนาจะเปน α = 0.05 ƒ0.05, ν1, ν2 ν1

องศาอิสระของตัวหาร (ν2)

ν2

องศาอิสระของตัวตั้ง (ν1)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞ 161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 241.9 243.9 245.9 248.0 249.1 250.1 251.1 252.2 253.3 254.3 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40 19.41 19.43 19.45 19.45 19.46 19.47 19.48 19.49 19.50 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.74 8.70 8.66 8.64 8.62 8.59 8.57 8.55 8.53 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5.91 5.86 5.80 5.77 5.75 5.72 5.69 5.66 5.63 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.68 4.62 4.56 4.53 4.50 4.46 4.43 4.40 4.36 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 4.00 3.94 3.87 3.84 3.81 3.77 3.74 3.70 3.67 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.57 3.51 3.44 3.41 3.38 3.34 3.30 3.27 3.23 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 3.28 3.22 3.15 3.12 3.08 3.04 3.01 2.97 2.93 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.07 3.01 2.94 2.90 2.86 2.83 2.79 2.75 2.71 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.91 2.85 2.77 2.74 2.70 2.66 2.62 2.58 2.54 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 2.79 2.72 2.65 2.61 2.57 2.53 2.49 2.45 2.40 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 2.69 2.62 2.54 2.51 2.47 2.43 2.38 2.34 2.30 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.60 2.53 2.46 2.42 2.38 2.34 2.30 2.25 2.21 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 2.53 2.46 2.39 2.35 2.31 2.27 2.22 2.18 2.13 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.48 2.40 2.33 2.29 2.25 2.20 2.16 2.11 2.07 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.42 2.35 2.28 2.24 2.19 2.15 2.11 2.06 2.01 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 2.38 2.31 2.23 2.19 2.15 2.10 2.06 2.01 1.96 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 2.34 2.27 2.19 2.15 2.11 2.06 2.02 1.97 1.92 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.31 2.23 2.16 2.11 2.07 2.03 1.98 1.93 1.88 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 2.28 2.20 2.12 2.08 2.04 1.99 1.95 1.90 1.84 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 2.25 2.18 2.10 2.05 2.01 1.96 1.92 1.87 1.81 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30 2.23 2.15 2.07 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.78 4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27 2.20 2.13 2.05 2.01 1.96 1.91 1.86 1.81 1.76 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25 2.18 2.11 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.79 1.73 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24 2.16 2.09 2.01 1.96 1.92 1.87 1.82 1.77 1.71 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22 2.15 2.07 1.99 1.95 1.90 1.85 1.80 1.75 1.69 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.20 2.13 2.06 1.97 1.93 1.88 1.84 1.79 1.73 1.67 4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19 2.12 2.04 1.96 1.91 1.87 1.82 1.77 1.71 1.65 4.18 3.33 2.93 2.70 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18 2.10 2.03 1.94 1.90 1.85 1.81 1.75 1.70 1.64 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 2.09 2.01 1.93 1.89 1.84 1.79 1.74 1.68 1.62 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 2.00 1.92 1.84 1.79 1.74 1.69 1.64 1.58 1.51 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 1.92 1.84 1.75 1.70 1.65 1.59 1.53 1.47 1.39 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.17 2.09 2.02 1.96 1.91 1.83 1.75 1.66 1.61 1.55 1.55 1.43 1.35 1.25 ∞ 3.84 3.00 2.60 2.37 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88 1.83 1.75 1.67 1.57 1.52 1.46 1.39 1.32 1.22 1.00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120

ภาคผนวก

365

ตารางที่ ก.8–4 คาของตัวแปรสุม F ภายใตความนาจะเปน α = 0.025 ƒ0.025, ν1, ν2 ν1

องศาอิสระของตัวหาร (ν2)

ν2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 ∞

องศาอิสระของตัวตั้ง (ν1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 647.8 799.5 864.2 899.6 921.8 937.1 948.2 956.7 963.3 968.6 976.7 984.9 993.1 997.2 38.51 39.00 39.17 39.25 39.30 39.33 39.36 39.37 39.39 39.40 39.41 39.43 39.45 39.46 17.44 16.04 15.44 15.10 14.88 14.73 14.62 14.54 14.47 14.42 14.34 14.25 14.17 14.12 12.22 10.65 9.98 9.60 9.36 9.20 9.07 8.98 8.90 8.84 8.75 8.66 8.56 8.51 10.01 8.43 7.76 7.39 7.15 6.98 6.85 6.76 6.68 6.62 6.52 6.43 6.33 6.28 8.81 7.26 6.60 6.23 5.99 5.82 5.70 5.60 5.52 5.46 5.37 5.27 5.17 5.12 8.07 6.54 5.89 5.52 5.29 5.12 4.99 4.90 4.82 4.76 4.67 4.57 4.47 4.42 7.57 6.06 5.42 5.05 4.82 4.65 4.53 4.43 4.36 4.30 4.20 4.10 4.00 3.95 7.21 5.71 5.08 4.72 4.48 4.32 4.20 4.10 4.03 3.96 3.87 3.77 3.67 3.61 6.94 5.46 4.83 4.47 4.24 4.07 3.95 3.85 3.78 3.72 3.62 3.52 3.42 3.37 6.72 5.26 4.63 4.28 4.04 3.88 3.76 3.66 3.59 3.53 3.43 3.33 3.23 3.17 6.55 5.10 4.47 4.12 3.89 3.73 3.61 3.51 3.44 3.37 3.28 3.18 3.07 3.02 6.41 4.97 4.35 4.00 3.77 3.60 3.48 3.39 3.31 3.25 3.15 3.05 2.95 2.89 6.30 4.86 4.24 3.89 3.66 3.50 3.38 3.29 3.21 3.15 3.05 2.95 2.84 2.79 6.20 4.77 4.15 3.80 3.58 3.41 3.29 3.20 3.12 3.06 2.96 2.86 2.76 2.70 6.12 4.69 4.08 3.73 3.50 3.34 3.22 3.12 3.05 2.99 2.89 2.79 2.68 2.63 6.04 4.62 4.01 3.66 3.44 3.28 3.16 3.06 2.98 2.92 2.82 2.72 2.62 2.56 5.98 4.56 3.95 3.61 3.38 3.22 3.10 3.01 2.93 2.87 2.77 2.67 2.56 2.50 5.92 4.51 3.90 3.56 3.33 3.17 3.05 2.96 2.88 2.82 2.72 2.62 2.51 2.45 5.87 4.46 3.86 3.51 3.29 3.13 3.01 2.91 2.84 2.77 2.68 2.57 2.46 2.41 5.83 4.42 3.82 3.48 3.25 3.09 2.97 2.87 2.80 2.73 2.64 2.53 2.42 2.37 5.79 4.38 3.78 3.44 3.22 3.05 2.93 2.84 2.76 2.70 2.60 2.50 2.39 2.33 5.75 4.35 3.75 3.41 3.18 3.02 2.90 2.81 2.73 2.67 2.57 2.47 2.36 2.30 5.72 4.32 3.72 3.38 3.15 2.99 2.87 2.78 2.70 2.64 2.54 2.44 2.33 2.27 5.69 4.29 3.69 3.35 3.13 2.97 2.85 2.75 2.68 2.61 2.51 2.41 2.30 2.24 5.66 4.27 3.67 3.33 3.10 2.94 2.82 2.73 2.65 2.59 2.49 2.39 2.28 2.22 5.63 4.24 3.65 3.31 3.08 2.92 2.80 2.71 2.63 2.57 2.47 2.36 2.25 2.19 5.61 4.22 3.63 3.29 3.06 2.90 2.78 2.69 2.61 2.55 2.45 2.34 2.23 2.17 5.59 4.20 3.61 3.27 3.04 2.88 2.76 2.67 2.59 2.53 2.43 2.32 2.21 2.15 5.57 4.18 3.59 3.25 3.03 2.87 2.75 2.65 2.57 2.51 2.41 2.31 2.20 2.14 5.42 4.05 3.46 3.13 2.90 2.74 2.62 2.53 2.45 2.39 2.29 2.18 2.07 2.01 5.29 3.93 3.34 3.01 2.79 2.63 2.51 2.41 2.33 2.27 2.17 2.06 1.94 1.88 5.15 3.80 3.23 2.89 2.67 2.52 2.39 2.30 2.22 2.16 2.05 1.94 1.82 1.76 5.02 3.69 3.12 2.79 2.57 2.41 2.29 2.19 2.11 2.05 1.94 1.83 1.71 1.64

30 1001 39.46 14.08 8.46 6.23 5.07 4.36 3.89 3.56 3.31 3.12 2.96 2.84 2.73 2.64 2.57 2.50 2.44 2.39 2.35 2.31 2.27 2.24 2.21 2.18 2.16 2.13 2.11 2.09 2.07 1.94 1.82 1.69 1.57

40 1006 39.47 14.04 8.41 6.18 5.01 4.31 3.84 3.51 3.26 3.06 2.91 2.78 2.67 2.59 2.51 2.44 2.38 2.33 2.29 2.25 2.21 2.18 2.15 2.12 2.09 2.07 2.05 2.03 2.01 1.88 1.74 1.61 1.48

60 1010 39.48 13.99 8.36 6.12 4.96 4.25 3.78 3.45 3.20 3.00 2.85 2.72 2.61 2.52 2.45 2.38 2.32 2.27 2.22 2.18 2.14 2.11 2.08 2.05 2.03 2.00 1.98 1.96 1.94 1.80 1.67 1.53 1.39

120

1014 39.49 13.95 8.31 6.07 4.90 4.20 3.73 3.39 3.14 2.94 2.79 2.66 2.55 2.46 2.38 2.32 2.26 2.20 2.16 2.11 2.08 2.04 2.01 1.98 1.95 1.93 1.91 1.89 1.87 1.72 1.58 1.43 1.27

∞ 1018 39.50 13.90 8.26 6.02 4.85 4.14 3.67 3.33 3.08 2.88 2.72 2.60 2.49 2.40 2.32 2.25 2.19 2.13 2.09 2.04 2.00 1.97 1.94 1.91 1.88 1.85 1.83 1.81 1.79 1.64 1.48 1.31 1.00

366

สถิติวิศวกรรม

ตารางที่ ก.8–5 คาของตัวแปรสุม F ภายใตความนาจะเปน α = 0.01 ƒ0.01, ν1, ν2 องศาอิสระของตัวตั้ง (ν1)

ν1 ν2

1

องศาอิสระของตัวหาร (ν2)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120

4052 98.50 34.12 21.20 16.26 13.75 12.25 11.26 10.56 10.04 9.65 9.33 9.07 8.86 8.68 8.53 8.40 8.29 8.18 8.10 8.02 7.95 7.88 7.82 7.77 7.72 7.68 7.64 7.60 7.56 7.31 7.08 6.85 ∞ 6.63

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

15

20

24

30

40

60

120

∞

4999.5 99.00 30.82 18.00 13.27 10.92 9.55 8.65 8.02 7.56 7.21 6.93 6.70 6.51 6.36 6.23 6.11 6.01 5.93 5.85 5.78 5.72 5.66 5.61 5.57 5.53 5.49 5.45 5.42 5.39 5.18 4.98 4.79 4.61

5403 99.17 29.46 16.69 12.06 9.78 8.45 7.59 6.99 6.55 6.22 5.95 5.74 5.56 5.42 5.29 5.18 5.09 5.01 4.94 4.87 4.82 4.76 4.72 4.68 4.64 4.60 4.57 4.54 4.51 4.31 4.13 3.95 3.78

5625 99.25 28.71 15.98 11.39 9.15 7.85 7.01 6.42 5.99 5.67 5.41 5.21 5.04 4.89 4.77 4.67 4.58 4.50 4.43 4.37 4.31 4.26 4.22 4.18 4.14 4.11 4.07 4.04 4.02 3.83 3.65 3.48 3.32

5764 99.30 28.24 15.52 10.97 8.75 7.46 6.63 6.06 5.64 5.32 5.06 4.86 4.69 4.36 4.44 4.34 4.25 4.17 4.10 4.04 3.99 3.94 3.90 3.85 3.82 3.78 3.75 3.73 3.70 3.51 3.34 3.17 3.02

5859 99.33 27.91 15.21 10.67 8.47 7.19 6.37 5.80 5.39 5.07 4.82 4.62 4.46 4.32 4.20 4.10 4.01 3.94 3.87 3.81 3.76 3.71 3.67 3.63 3.59 3.56 3.53 3.50 3.47 3.29 3.12 2.96 2.80

5928 99.36 27.67 14.98 10.46 8.26 6.99 6.18 5.61 5.20 4.89 4.64 4.44 4.28 4.14 4.03 3.93 3.84 3.77 3.70 3.64 3.59 3.54 3.50 3.46 3.42 3.39 3.36 3.33 3.30 3.12 2.95 2.79 2.64

5982 99.37 27.49 14.80 10.29 8.10 6.84 6.03 5.47 5.06 4.74 4.50 4.30 4.14 4.00 3.89 3.79 3.71 3.63 3.56 3.51 3.45 3.41 3.36 3.32 3.29 3.26 3.23 3.20 3.17 2.99 2.82 2.66 2.51

6022 99.39 27.35 14.66 10.16 7.98 6.72 5.91 5.35 4.94 4.63 4.39 4.19 4.03 3.89 3.78 3.68 3.60 3.52 3.46 3.40 3.35 3.30 3.26 3.22 3.18 3.15 3.12 3.09 3.07 2.89 2.72 2.56 2.41

6056 99.40 27.23 14.55 10.05 7.87 6.62 5.81 5.26 4.85 4.54 4.30 4.10 3.94 3.80 3.69 3.59 3.51 3.43 3.37 3.31 3.26 3.21 3.17 3.13 3.09 3.06 3.03 3.00 2.98 2.80 2.63 2.47 2.32

6106 99.42 27.05 14.37 9.89 7.72 6.47 5.67 5.11 4.71 4.40 4.16 3.96 3.80 3.67 3.55 3.46 3.37 3.30 3.23 3.17 3.12 3.07 3.03 2.99 2.96 2.93 2.90 2.87 2.84 2.66 2.50 2.34 2.18

6157 99.43 26.87 14.20 9.72 7.56 6.31 5.52 4.96 4.56 4.25 4.01 3.82 3.66 3.52 3.41 3.31 3.23 3.15 3.09 3.03 2.98 2.93 2.89 2.85 2.81 2.78 2.75 2.73 2.70 2.52 2.35 2.19 2.04

6209 99.45 26.69 14.02 9.55 7.40 6.16 5.36 4.81 4.41 4.10 3.86 3.66 3.51 3.37 3.26 3.16 3.08 3.00 2.94 2.88 2.83 2.78 2.74 2.70 2.66 2.63 2.60 2.57 2.55 2.37 2.20 2.03 1.88

6235 99.46 26.00 13.93 9.47 7.31 6.07 5.28 4.73 4.33 4.02 3.78 3.59 3.43 3.29 3.18 3.08 3.00 2.92 2.86 2.80 2.75 2.70 2.66 2.62 2.58 2.55 2.52 2.49 2.47 2.29 2.12 1.95 1.79

6261 99.47 26.50 13.84 9.38 7.23 5.99 5.20 4.65 4.25 3.94 3.70 3.51 3.35 3.21 3.10 3.00 2.92 2.84 2.78 2.72 2.67 2.62 2.58 2.54 2.50 2.47 2.44 2.41 2.39 2.20 2.03 1.86 1.70

6287 99.47 26.41 13.75 9.29 7.14 5.91 5.12 4.57 4.17 3.86 3.62 3.43 3.27 3.13 3.02 2.92 2.84 2.76 2.69 2.64 2.58 2.54 2.49 2.45 2.42 2.38 2.35 2.33 2.30 2.11 1.94 1.76 1.59

6313 99.48 26.32 13.65 9.20 7.06 5.82 5.03 4.48 4.08 3.78 3.54 3.34 3.18 3.05 2.93 2.83 2.75 2.67 2.61 2.55 2.50 2.45 2.40 2.36 2.33 2.29 2.26 2.23 2.21 2.02 1.84 1.66 1.47

6339 99.49 26.22 13.56 9.11 6.97 5.74 4.95 4.40 4.00 3.69 3.45 3.25 3.09 2.96 2.84 2.75 2.66 2.58 2.52 2.46 2.40 2.35 2.31 2.27 2.23 2.20 2.17 2.14 2.11 1.92 1.73 1.53 1.32

6366 99.50 26.13 13.46 9.02 6.88 5.65 4.46 4.31 3.91 3.60 3.36 3.17 3.00 2.87 2.75 2.65 2.57 2.59 2.42 2.36 2.31 2.26 2.21 2.17 2.13 2.10 2.06 2.03 2.01 1.80 1.60 1.38 1.00

ภาคผนวก

367

ตารางที่ ก.9 ค่าของตัวแปรสุม q ภายใตความนาจะเปน α = 0.01 และ 0.05 α

องศาอิสระ ν

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 24 30 40 60 120

∞

องศาอิสระ ν

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 24 30 40 60 120

∞

2 5.70 5.24 4.95 4.74 4.60 4.48 4.39 4.32 4.26 4.21 4.17 4.13 4.10 4.07 4.05 4.02 3.96 3.89 3.82 3.76 3.70 3.64

3 6.97 6.33 5.92 5.63 5.43 5.27 5.14 5.04 4.96 4.89 4.83 4.78 4.74 4.70 4.67 4.64 4.54 4.45 4.37 4.28 4.20 4.12

4 7.80 7.03 6.54 6.20 5.96 5.77 5.62 5.50 5.40 5.32 5.25 5.19 5.14 5.09 5.05 5.02 4.91 4.80 4.70 4.60 4.50 4.40

5 8.42 7.56 7.01 6.63 6.35 6.14 5.97 5.84 5.73 5.63 5.56 5.49 5.43 5.38 5.33 5.29 5.17 5.05 4.93 4.82 4.71 4.60

6 8.91 7.97 7.37 6.96 6.66 6.43 6.25 6.10 5.98 5.88 5.80 5.72 5.66 5.60 5.55 5.51 5.37 5.24 5.11 4.99 4.87 4.76

7 9.32 8.32 7.68 7.24 6.91 6.67 6.48 6.32 6.19 6.08 5.99 5.92 5.85 5.79 5.73 5.69 5.54 5.40 5.27 5.13 5.01 4.88

8 9.67 8.61 7.94 7.47 7.13 6.87 6.67 6.51 6.37 6.26 6.16 6.08 6.01 5.94 5.89 5.84 5.69 5.54 5.39 5.25 5.12 4.99

9 9.97 8.87 8.17 7.68 7.32 7.05 6.84 6.67 6.53 6.41 6.31 6.22 6.15 6.08 6.02 5.97 5.81 5.65 5.50 5.36 5.21 5.08

= 0.01 a

10 10.20 9.10 8.37 7.87 7.49 7.21 6.99 6.81 6.67 6.54 6.44 6.35 6.27 6.20 6.14 6.09 5.92 5.76 5.60 5.45 5.30 5.16

11 10.50 9.30 8.55 8.03 7.65 7.36 7.13 6.94 6.79 6.66 6.55 6.46 6.38 6.31 6.25 6.19 6.02 5.85 5.69 5.53 5.38 5.23

12 10.70 9.49 8.71 8.18 7.78 7.48 7.25 7.06 6.90 6.77 6.66 6.56 6.48 6.41 6.34 6.29 6.11 5.93 5.77 5.60 5.44 5.29

13 10.90 9.65 8.86 8.31 7.91 7.60 7.36 7.17 7.01 6.87 6.76 6.66 6.57 6.50 6.43 6.37 6.19 6.01 5.84 5.67 5.51 5.35

14 11.10 9.81 9.00 8.44 8.03 7.71 7.46 7.26 7.10 6.96 6.84 6.74 6.66 6.58 6.51 6.45 6.26 6.08 5.90 5.73 5.56 5.40

15 11.20 9.95 9.12 8.55 8.13 7.81 7.56 7.36 7.19 7.05 6.93 6.82 6.73 6.65 6.58 6.52 6.33 6.14 5.96 5.79 5.61 5.45

16 11.40 10.10 9.24 8.66 8.23 7.91 7.65 7.44 7.27 7.12 7.00 6.90 6.80 6.72 6.65 6.59 6.39 6.20 6.02 5.84 5.66 5.49

17 11.60 10.20 9.35 8.76 8.32 7.99 7.73 7.52 7.34 7.20 7.07 6.97 6.87 6.79 6.72 6.65 6.45 6.26 6.07 5.89 5.71 5.54

18 11.70 10.30 9.46 8.85 8.41 8.07 7.81 7.59 7.42 7.27 7.14 7.03 6.94 6.85 6.78 6.71 6.51 6.31 6.12 5.93 5.75 5.57

19 11.80 10.40 9.55 8.94 8.49 8.15 7.88 7.66 7.48 7.33 7.20 7.09 7.00 6.91 6.84 6.76 6.56 6.36 6.17 5.98 5.79 5.61

20 11.90 10.50 9.65 9.03 8.57 8.22 7.95 7.73 7.55 7.39 7.26 7.15 7.05 6.96 6.89 6.82 6.61 6.41 6.21 6.02 5.83 5.65

11 7.17 6.65 6.30 6.05 5.87 5.72 5.61 5.51 5.43 5.36 5.31 5.26 5.21 5.17 5.14 5.11 5.01 4.92 4.82 4.73 4.64 4.55

12 7.32 6.79 6.43 6.18 5.98 5.83 5.71 5.61 5.53 5.46 5.40 5.35 5.31 5.27 5.23 5.20 5.10 5.00 4.90 4.81 4.71 4.62

13 7.47 6.92 6.55 6.29 6.09 5.93 5.81 5.71 5.63 5.55 5.49 5.44 5.39 5.35 5.31 5.26 5.16 5.08 4.98 4.88 4.78 4.68

14 7.60 7.03 6.66 6.39 6.19 6.03 5.90 5.80 5.71 5.64 5.57 5.52 5.47 5.43 5.39 5.36 5.25 5.15 5.04 4.94 4.84 4.74

15 7.72 7.14 6.76 6.48 6.28 6.11 5.98 5.88 5.79 5.71 5.65 5.59 5.54 5.50 5.46 5.43 5.32 5.21 5.11 5.00 4.90 4.80

16 7.83 7.24 6.85 6.57 6.36 6.19 6.06 5.95 5.86 5.79 5.72 5.66 5.61 5.57 5.53 4.49 5.38 5.27 5.16 5.06 4.95 4.85

17 7.93 7.34 6.94 6.65 6.44 6.27 6.13 6.02 5.93 5.85 5.78 5.73 5.67 5.63 5.59 5.55 5.44 5.33 5.22 5.11 5.00 4.89

18 8.03 7.43 7.02 6.73 6.51 6.34 6.20 6.09 5.99 5.91 5.85 5.79 5.73 5.69 5.65 5.61 5.49 5.38 5.27 5.15 5.04 4.93

19 8.12 7.51 7.10 6.80 6.58 6.40 6.27 6.15 6.05 5.97 5.90 5.84 5.79 5.74 5.70 5.66 5.55 5.43 5.31 5.20 5.09 4.97

20 8.21 7.59 7.17 6.87 6.64 6.47 6.33 6.21 6.11 6.03 5.96 5.90 5.84 5.79 5.75 5.71 5.59 5.47 5.36 5.24 5.13 5.01

α = 0.05

a

2 3.64 3.46 3.34 3.26 3.20 3.15 3.11 3.08 3.06 3.03 3.01 3.00 2.98 2.97 2.96 2.95 2.92 2.89 2.86 2.83 2.80 2.77

3 4.60 4.34 4.16 4.04 3.95 3.88 3.82 3.77 3.73 3.70 3.67 3.65 3.63 3.61 3.59 3.58 3.53 3.49 3.44 3.40 3.36 3.31

4 5.22 4.90 4.68 4.53 4.41 4.33 4.26 4.20 4.15 4.11 4.08 4.05 4.02 4.00 3.98 3.96 3.90 3.85 3.79 3.74 3.68 3.63

5 5.67 5.30 5.06 4.89 4.76 4.65 4.57 4.51 4.45 4.41 4.37 4.33 4.30 4.28 4.25 4.23 4.17 4.10 4.04 3.98 3.92 3.86

6 6.03 5.63 5.36 5.17 5.02 4.91 4.82 4.75 4.69 4.64 4.59 4.56 4.52 4.49 4.47 4.45 4.37 4.30 4.23 4.16 4.10 4.03

7 6.33 5.90 5.61 5.40 5.24 5.12 5.03 4.95 4.88 4.83 4.78 4.74 4.70 4.67 4.65 4.62 4.54 4.46 4.39 4.31 4.24 4.17

8 6.58 6.12 5.82 5.60 5.43 5.30 5.20 5.12 5.05 4.99 4.94 4.90 4.86 4.82 4.79 4.77 4.68 4.60 4.52 4.44 4.36 4.29

9 6.80 6.32 6.00 5.77 5.59 5.46 5.35 5.27 5.19 5.13 5.08 5.03 4.99 4.96 4.92 4.90 4.81 4.72 4.63 4.55 4.47 4.39

10 6.99 6.49 6.16 5.92 5.74 5.60 5.49 5.39 5.32 5.25 5.20 5.15 5.11 5.07 5.04 5.01 4.92 4.82 4.73 4.65 4.56 4.47

368

สถิติวิศวกรรม

บรรณานุกรม กิติศักดิ์ พลอยพานิชเจริญ. 2543. สถิติสําหรับงานวิศวกรรม เลม 1 และเลม 2. สํานักพิมพ ส.ส.ท., กรุงเทพฯ. กัลยา วานิชยบัญชา. 2545. หลักสถิติ. โรงพิมพแหงจุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย, กรุงเทพฯ. ธี ร ะศั ก ดิ์ อุ รั จ นานนท . 2546. ความน า จะเป น และสถิ ติ ป ระยุ ก ต เล ม 1 และเล ม 2. บริษัทสยามสปอรตซินดิเคท, กรุงเทพฯ. ดํารง ทิพยโยธา. 2544. ความนาจะเปนและสถิติ สรุปเนื้อหา โจทยแบบฝกหัดและเฉลย. โรงพิมพแหงจุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย, กรุงเทพฯ. ทวีรัตนา ศิวดุลย. 2539. สถิติและความนาจะเปน. แมคกรอ-ฮิล, กรุงเทพฯ. ทองคํา คุมสิน. 2527. สถิติวิศวกรรมศาสตรและวิทยาศาสตร. สถาบันเทคโนโลยีพระจอมเกลา พระนครเหนือ, กรุงเทพฯ. มิ่งขวัญ เหรียญประยูร. 2542. ความนาจะเปนและสถิติ. มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกลา ธนบุรี, กรุงเทพฯ. วีนสั พีชวณิชย. 2535. ทฤษฎีความนาจะเปนและการประยุกต.มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร, กรุงเทพฯ. ศันสนีย สุภาภา. 2539. ความนาจะเปนและสถิติประยุกตสําหรับวิศวกร. สํานักพิมพฟสิกส เซ็นเตอร, กรุงเทพฯ.

ภาคผนวก

369

Brase, C. H. and C. P. Brase. 2000. Understanding Basic Statistics. 2nd ed. Houghton Mifflin Company, Illinois. Devore, J. and N. Farnum. 2005. Applied Statistics for Engineers and Scientists. 2nd ed. Thomson Brooks/Cole, California. Hayter, A. J. 2002. Probability and Statistics for Engineers and Scientists. Duxbury, California. Hines, W. W., D. C. Montgomery, D. M. Goldsman and C.M. Borror. 2003. Probability and Statistics in Engineering. 4th ed. John Wiley and Sons, New York. Hogg, R. V. and E. A. Tanis. 1997. Probability and Statistical Inference. 5th ed. PrinticeHall, New Jersey. Johnson, A. R. 2005. Probability and Statistics for Engineers. 7th ed. Pearson Prentice Hall, New Jersey. Kottegoda, N. T. and Rosso, R. 1997. Statistics, Probability, and Reliability for Civil and Environmental Engineers. McGraw-Hill, Singapore. Montgomery, D. C. and G. C. Runger. 2003. Applied Statistics and Probability for Engineers. 3rd ed. John Wiley and Sons, New York. Vardeman, S. B. and Jobe, J. M. 2001. Basic Engineering Data Collection and Analysis. Duxbury, California. Navidi, W. 2008. Statistics for Engineers and Scientists. 2nd ed. McGraw-Hill, Singapore. Ott, R. L. 1993. An Introduction to Statistical Methods and Data Analysis. 4th ed. Duxbury Press, California.