Einige Bemerkungen zur Differentialgleichung X’(t)= P(t) X(t) für Operatorfunktionen [Reprint 2022 ed.] 9783112648865

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A B H A N D L U N G E N DER DEUTSCHEN AKADEMIE D E R W I S S E N S C H A F T E N ZU B E R L I N Klasse für Mathematik, Physik und Technik Jahrgang 1964 Nr. 5

EINIGE BEMERKUNGEN ZUR D I F F E R E N T I A L G L E I C H U N G X'(t) = P(t)X(t) FÜR OPERATORFUNKTIONEN von

DR. H E L L M U T BAUMGÄRTEL

AKADEMIE-VERLAG 1964

•

BERL-IN

Vorgelegt von Hrn. SCHRÖDER in der Klassensitzung vom 1 6 . 1 . 1 9 6 4

Zum Druck genehmigt am gleichen Tage, ausgegeben am SO. Juni 1964

Erschienen im Akademie-Verlag GmbH, Berlin \V 8, Leipziger Straße 3—4 Copyright 1964 by Akademie-Verlag GmbH Lizenznummer: 202 • 100/577/64 Gesamtherstellung: VEB Druckerei „Thomas Müntzer" Bad Langensalza Bestellnummer: 2001/64/1/5 • ES 19 B 4 . Preis: DM 3,80

Inhalt

1. Einleitung

5

2. Betrachtungen im BANACHSchen Raum

6

2.1. Schwache Voraussetzungen 2.2. Starke Voraussetzungen

6 13

3. Betrachtungen im HiLBERTSchen R a u m

IG

4. Literatur

19

1. Einleitung

Ist P(t) eine O p e r a t o r f u n k t i o n reellen A r g u m e n t s abgeschlossener Operatoren eines schen Raumes, so k a n n m a n die Operatordifferentialgleichung

BANACH-

X[(t) = P{t) X(t) , X{t9) = I , t^t0, (1) betrachten. E. HEYN 1 ) h a t hinreichende Bedingungen angegeben, bei deren Erfülltsein das Problem (1) genau eine Lösung besitzt. Die grundlegende Beweismethode bei H E Y N ist die Reduktion von (1) mittels Übergang zu Resolventen auf ein analoges, von einem P a r a m e t e r X abhängiges Problem, aber m i t der O p e r a t o r f u n k t i o n P,(t)

=

-

XI

+

W R (X, P(t))

anstelle von P(t), d. h. einer O p e r a t o r f u n k t i o n b e s c h r ä n k t e r Operatoren, f ü r die die Probleme (1) genau eine Lösung besitzen. Durch den Grenzübergang X^ oo wird diese R e d u k t i o n d a n n rückgängig gemacht. Die hinreichenden Bedingungen von H E Y N sind verhältnismäßig umfangreich. A u ß e r d e m ist das beim Beweis b e n u t z t e Verfahren zur K o n s t r u k t i o n der Lösung wegen des Grenzübergangs X - > oo f ü r numerische Rechnungen ungünstig. Es ist deshalb naheliegend, bei speziellen Klassen n i c h t k o n s t a n t e r P(t) nach anderen Methoden zu suchen, mittels deren u n t e r übersichtlichen Voraussetzungen die gewünschten Result a t e und bequemere Verfahren f ü r numerische Rechnungen abgeleitet werden können. So ist z. B. f ü r die Q u a n t e n m e c h a n i k besonders der Fall P(t) = — i H(t) interessant, wo H{t) eine O p e r a t o r f u n k t i o n selbstadjungierter Operatoren eines HiLBERTschen Raumes (— oo < t < oo) ist, und hier wieder der „ S t ö r u n g s f a l l " H(t) =H0+

V(t) .

V(t) soll dabei eine O p e r a t o r f u n k t i o n beschränkter Operatoren und H0 u n b e s c h r ä n k t sein. In diesem Fall ist zur U n t e r s u c h u n g von (1), der ScHRÖDiNGER-Gleichung, bereits von R. P. F E Y N M A N eine Integralgleichung herangezogen worden 2 ), die (allerdings in modifizierter Form) t X(t, t0) = U(t — t0) — i f U(t — T) F ( T ) X(r, t0) dx (2) lautet. Die vorliegenden A u s f ü h r u n g e n geben f ü r den Fall der Differentialgleichungen X'(t) = {A + V(t)) X(t) ,

Y'(t) = -

Y(t)

+ V(t))

(3)

im BANAOHschen Raum hinreichende Bedingungen, bei deren Erfülltsein die Integralgleichungsmethode Existenz- und Eindeutigkeitssätze für (3) liefert. Danach wird der Fall betrachtet, daß ein HiLBERTscher Raum zugrunde liegt. !) S i e h e [1], 2 ) S i e h e z. B . [ 2 ] S. 54 u. f.

H. Batjmgäbtel

6

2. Betrachtungen im ÜANACHSchen Baum

2.1.

Schwache Voraussetzungen

2.1.1. sei ein komplexer BANACHScher Raum. A sei ein abgeschlossener Operator in § mit dichtem Definitionsbereich Dann erzeugt A eine starkstetige Gruppe beschränkter Operatoren U(t) auf (— oo, oo) genau dann, wenn reelle Zahlen M > 0, co 0 existieren derart, daß p ( A , A)n\\ ^

M{\X\ - c » r

n

|A| >

,

Es ist dann \\U(t)\\ ^ Mem'A, und für jedes x e

co ,

l

reell.

gilt 1 )

U'(t) x = A U(t) x = U(t) A x ,

— oo < t < oo.

U(t) ist gleichmäßig stetig (bezüglich der Operatornorm) genau dann, wenn A beschränkt ist. Wir betrachten im folgenden ausdrücklich einen unbeschränkten Operator A und setzen voraus, daß die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Existenz einer starkstetigen Gruppe U(t) erfüllt sind. 2 . 1 . 2 . Wir erwähnen zwei einfache Eigenschaften starkstetiger Operatorfunktionen: L e m m a 1. Sind A(t) und B(t) starkstetige Operatorfunktionen beschränkter Operatoren in t (t e [a, ¿>]), so sind auch A(t) B(t) und B(t) A(t) starkstetig in t. B e w e i s . Es gilt für alle x e ig \\A (t + h) B (t + h) x -

A(t) B(t) a:|| ^ \\(A (t + h) +

A(t)) B(t) x\\

\\A (t + k) ( B ( t +

h)-B(t))x||.

Da A(t) starkstetig ist, so ist für jedes x e § |¡-4(¿) x\ \ in t stetig, also ist sup m ( i ) x\\ < oo. t e [a,i>] Dann ist 2 ) auch sup ||¿(] Stetigkeit in jedem Punkt t e [a, b] folgt. L e m m a 2. Ist A(t) starkstetig in jedem Punkt des endlichen Intervalls [a, b~\, so ist A(t) gilt: Zu s > 0 existiert ein ö(x, e) > 0 in [a, b] gleichmäßig in t starkstetig; d. h. für jedes x e derart, daß für alle tlt t2 (tu t2e[a, 6]) mit — t2\ < d{x, e) gilt ||i4(í,) x — A{t2) x\\ < e. Der Beweis verläuft ebenso wie z. B. im Fall reeller Funktionen. 2 . 1 . 3 . V(t) sei eine in — oo < t < oo definierte starkstetige Operatorfunktion beschränkter Operatoren. Wir betrachten dann folgende Integralgleichung: t X(t, t0) = U (t - g + / U (t - T) F ( t ) X(r, t0) dr . (4) Für starkstetige Operatorfunktionen Y(r) ist U (— r) V{r) Y(r) ebenfalls starkstetig. In diesem Fall ist das Integral als R i E M A N N s c h e s Integral über eine starkstetige Operatorfunktion zu verstehen. 3 ) ' ) Siehe z. B. [ 3 ] S. 628, Corollar 17. 2)

Siehe z. B. [ 3 ] S. 66, Corollar 21.

3)

Siehe z. B. [ 4 ] S. 63, T h e o r e m 3.3.2.

Einige Bemerkungen zur Differentialgleichung X'(t) = P(t) X(t) für Operatorfunktionen

7

Wir suchen Lösungen X{t, i0), die für jedes (t, t0) e Q x ü (ü sei die Gesamtheit der reellen Zahlen) beschränkte Operatoren und in Q x ß starkstetig sind. Es gilt der S a t z 1. Zur Integralgleichung (4) existiert eine in Q x ü starkstetige Lösung X(t, t0). Für die Norm dieser Operatorfunktion gilt die Abschätzung Ii-«-/ Beweis. sind:

SU

P Hr

vii ^ „, l'-M (»+*

||X(Z, / 0 )|| ^ M e

^['».'i

Wir betrachten die Operatorfunktionen Xn(t, t0), die folgendermaßen definiert *o(f, «o) =

xn+l(t,

t0) =

U(t-t0), U (t -

g + / U (t cogleichmäßig (bezüglich der Operatornorm) konvergent. Es ist \Xi(t, Q -

*o(Mo)ll

^ /II U ( t -

| F ( r ) | | • ||X 0 (T, i 0 )|| dr

^ M 2 sup | | F ( t ) IE [(„,(]

Jea,(|i-r,+;r-(o|)dT

= M2 sup 11 V(r)

re [i0,i]

und weiter Ix 2 (t,t 0 ) -

x^t, g | |

/ ||U(t - r)|| • ||F(r)|| - HX^t, t0) -

\r £[(„, N(e) und beliebiges p = 1, 2, . . . bei festem (i, g . Also ist an jeder Stelle (i, t0) die Folge Xn(t, t0) gleichmäßig konvergent. Wir setzen lim Xn(t, t0) = =

x(t,

g.

Der Grenzoperator ist für jedes (t, g linear und beschränkt. Für seine Norm erhalten wir unmittelbar die Abschätzung oo

l i x u , g | | ^ |ix 0 (i, g | | + z ||x e (i, g e=i OO

M e™,!_io1 + Z M ew e=-1

x ^ t ,

g||

• Me l sup ||F(r)||V We[i„ i]

/

t - t„

8

H. Baumgärtel

also ,,, \\X(t, t0)\\

, , |i-i.l («.+JM- BUP IIF(T)II) M e '6fi.,t]

W i r lassen jetzt (t, g in endlichen Bereichen variieren, also z. B. a ig i 5S d. h., (t, t0) variiere in einem festen Rechteck Qi x ß 2 - Dann ist

c ig t0 fg d,

sup K(t, t„) = sup || V(r) 11 = K(a, b, c, d) . (t, i0) efl, xfl3 t e [min (o, c), max (b, d)] F ü r alle (t, g e Q1 x Q2 gilt ^

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