Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler [Reprint 2018 ed.] 9783486783360, 9783486217599

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Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler Von Universitätsprofessor

Dr. Götz Uebe und

Dr. Martin Schäfer

R. Oldenbourg Verlag München Wien

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Uebe, Götz: E i n f ü h r u n g in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler / von G ö t z Uebe und Martin S c h ä f e r . - München ; Wien : O l d e n b o u r g , 1991 ISBN 3 - 4 8 6 - 2 1 7 5 9 - 3 N E : S c h ä f e r , Martin:

©

1991 R. O l d e n b o u r g Verlag G m b H , München

Das Werk außerhalb lässig und filmungen

einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. J e d e V e r w e r t u n g der G r e n z e n des Urheberrechtsgesetzes ist o h n e Z u s t i m m u n g des Verlages u n z u s t r a f b a r . Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Ü b e r s e t z u n g e n , Mikroverund die E i n s p e i c h e r u n g und Bearbeitung in elektronischen S y s t e m e n .

G e s a m t h e r s t e l l u n g : R. O l d e n b o u r g Graphische Betriebe G m b H , München

ISBN 3-486-21759-3

Vorwort

Das

n-te

Statistikbuch

Z u m E r s c h e i n e n e i n e s w e i t e r e n L e h r b u c h s d e r S t a t i s t i k m ü s s e n sich die A u t o r e n s e l b s t v e r s t ä n d l i c h f r a g e n l a s s e n , w e s h a l b n u n n o c h ein s o l c h e s W e r k g e s c h r i e b e n w o r d e n ist. S e l b s t in d e r B e s c h r ä n k u n g auf d i e V e r ö f f e n t l i c h u n g e n d e r l e t z t e n J a h r z e h n t e s t r e b t ihre Z a h l (in A n l e h n u n g an die Ges e t z e d e r g r o ß e n Z a h l ) Ober alle ü b e r s c h a u b a r e n G r ö ß e n . D a ß d i e s im exponentiellen Wachstum des statistischen Wissenstoffs seine Rechtfertigung f i n d e t , ist k a u m zu b e h a u p t e n , d e n n die m e i s t e n W e r k e s i n d w i e d i e s e Einf ü h r u n g a u c h und n e h m e n an d e r W i s s e n s e x p l o s i o n nur s e h r g e d ä m p f t teil. H a u p t g r u n d ist w o h l d i e S c h w i e r i g k e i t d e r Ü b e r m i t t l u n g d e s s t a t i s t i s c h e n W i s s e n s s t o f f e s , d e n d e r a m e r i k a n i s c h e M a t h e m a t i k e r J . A . P a u l o s (Intern a t i o n a l H e r a l d T r i b ü n e , ' Y o u d o l t s a r e w r o n g a b o u t m a t h ' , 2 5 . 4 . 1 9 9 1 , 7) in s c h ö n e r Anschaulichkeit wie folgt charakterisiert: "Most s t u d e n t s (and most a d u l t s ) c a n n o t i n t e r p r e t g r a p h s , d o not u n d e r s t a n d Statistical n o t i o n s , are u n a b l e to m o d e l s i t u a t i o n s m a t h e m a t i c a l l y , s e l d o m e s t i m a t o or c o m p a r e m a g n i t u d e s , a r e i m m u n e to m a t h e m a t i c a l b e a u t y a n d , m o s t d i s t r e s s i n g of all in a d e m o c r a c y , h a r d l y e v e r d e v e l o p a c r i t i c a l , s k e p t i c a l a t t i t u d e t o w a r d n u m e r i c a l , s p a t i a l a n d q u a n t i t a t i v e d a t a or c o n c l u s i o n s . " A u f g r u n d d i e s e r E r k e n n t n i s ist d a s H a u p t a n l i e g e n ein p ä d a g o g i s c h e s : Z u g e s c h n i t t e n auf d e n S t u d i e n g a n g d e s W i r t s c h a f t s w i s s e n s c h a f t l e r s an d e r Univ e r s i t ä t d e r B u n d e s w e h r H a m b u r g , sei es für e i n e n V o l k s w i r t , B e t r i e b s w i r t o d e r W i r t s c h a f t s i n g e n i e u r , w i r d S t a t i s t i k in e i n e r z w e i t r i m e s t r i g e n Vorl e s u n g a n g e b o t e n , n ä m l i c h als ( 1 ) e i n e E i n f ü h r u n g in d i e f o r m a l e U n t e r s u c h u n g v o n M a s s e n e r s c h e i n u n g e n , f ü r d i e es k e i n e a u s r e i c h e n d e s u b s t a n z w i s s e n s c h a f t l i c h e E r k l ä r u n g gibt, ( 2 ) e i n Z w e i g d e r M a t h e m a t i k , und v o r allem ( 3 ) e i n S y s t e m v o n V e r f a h r e n , T e c h n i k e n , V e r e i n b a r u n g e n , E r f a h r u n g e n und Beispielen.

Statistik,

Wissen

und

Wahrheit

G r u n d l e g e n d d a b e i ist d i e Ü b e r z e u g u n g , d a ß es ein I r r g l a u b e ist, d a ß D a t e n , Z a h l e n o d e r b l o ß e T a t s a c h e n für s i c h s e l b s t s p r e c h e n . Im R e g e l f a l l ist d a s n i c h t d e r Fall, w i e z . B . d i e b e k a n n t e A u s s a g e : " d a s G l a s ist h a l b leer" oder " d a s G l a s ist halb v o l l " illustriert. F a k t e n m ü s s e n a u f b e r e i t e t u n d a n a l y s i e r t w e r d e n . D a z u k o m m t , d a ß über Statistik, W i s s e n u n d W a h r h e i t viel S c h w a c h s i n n p a l a v e r t w i r d , z . B . "es g i b t d i e e i n f a c h e L ü g e u n d es g i b t die statistis c h e L ü g e " . S o l c h e flotten S p r ü c h e m a c h e n d a s Fach n o c h s c h w i e r i g e r , als es d e m Studenten ohnehin erscheint. Der S t a n d p u n k t in d i e s e r V o r l e s u n g ist der w i e in d e r C h i r u r g i e : so w i e m a n mit d e m M e s s e r h e i l e n k a n n , so k a n n m a n a u c h d a m i t t ö t e n . In allen A n w e n d u n g e n , bei d e n e n e s u m m a t e r i e l l e I n t e r e s s e n g e h t , ist e s s e l b s t v e r s t ä n d lich, d a ß a u c h d i e s e W i s s e n s c h a f t a l s Streithilfe h e r a n g e z o g e n w i r d . So w i e in d e r K a r i k a t u r v o n Dr. T o m a s c h o f f s o l l t e u n s e r F a c h z u m i n d e s t

VI

Vorwort

nicht gesehen

werden:

späteren L e b e n Statistik nicht hauptberuflich tragen. Sollte der L e s e r das nicht glauben, unsere Überzeugung kundtun:

nutzt, einigen G e w i n n davonso wollen wir ihm zumindest

Für Statistiker gilt zumindest, was für Astrologen gilt " W e are not" s a y s Florida astrologer J a n Walsek, "(wo)men who hang onto superstitions and watch soap o p e r a s all day. W e are professionals with a body of knowledge that enables us to render advice." (Newsweek 22.1.1990). Dieses zu lernen, soll dieses Buch eine Hilfe sein.

Dank Bei der E r s t e l l u n g d e s Buchmanuskripts s i n d wir u n s e r e n Mitarbeitern T h o m a s Bradtke, Anke Frier, Günter Kopp, Uta Lieberum, Christian Schnack, Silke V o ß und Y a n q i n g Xia zu Dank verpflichtet. Rainer Dyckerhoff verdanken wir d a s P r o g r a m m für die t-Verteilungstafel. Herrn M. Weigert vom Verlag O l d e n b o u r g danken wir für die gute und freundliche Zusammenarbeit in der Erstellung d e s Buches. Alle Fehler g e h e n selbstverständlich zu unseren

Lasten.

Inhaltsverzeichnis

Deskriptive 1 1.1 1.2 1.3 2 2.1 2.2 2.3 2.4 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 4 4.1 4.2 4.3

Statistik

Grundbegriffe

der deskriptiven

1 Statistik

Einführende Begriffe Klassifikation von Merkmalen Aufgaben Häufigkeitsverteilungen

1 1 2 4 5

Diskrete Merkmale Stetige Merkmale Quantile Aufgaben

5 9 1 1 12

Verdichtung der Daten

14

Lageparameter Streuungsparameter Die Streuungszerlegung Konzentrationsmaße Indexzahlen Eigenschaften einer Preisindexfunktion Weitere graphische Darstellungen Aufgaben Zweidimensionale

Daten

Häufigkeitsverteilungen Bedingte Häufigkeiten Aufgaben

14 15 15 17 19 22 22 25 26 26 29 31

Wahrscheinlichkeitstheorie

32

5

32

5.1 5.2 5.3

Mengen und Ereignisse Mengen Ereignisse Aufgaben

32 38 40

VIII 6

Inhaltsverzeichnis Kombinatorik

6.1 6.2 6.3 6.4

Fakultät u n d Binomialkoeffizient Ziehen mit Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge Ziehen ohne Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge; Der Binomialkoeffizient Ziehen mit Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge Aufgaben

6.5 6.6

7

Wahrscheinlichkeiten

7.1 7.2 7.3

8

Zufallsvariable

und Verteilungen

Zufallsvariable Verteilung Aufgaben

Einzelne

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8

parametrische

42 45 46 47 49 52

53

Die A x i o m e der Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeiten Aufgaben

8.1 8.2 8.3

9

41

53 54 59

60 60 61 67

Verteilungen

Diskrete Gleichverteilung Die B e r n o u l l i - V e r t e i l u n g Die B i n o m i a l - V e r t e i l u n g Die g e o m e t r i s c h e Verteilung Pascal-Verteilung H y p e r g e o m e t r i s c h e Verteilung Die P o i s s o n - V e r t e i l u n g Aufgaben

68 68 68 69 71 72 72 75 76

10 Stetige

Verteilungen

77

10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8

stetige Gleichverteilung Dreiecksverteilung Pareto-Verteilung Exponentialverteilung Erlang-Verteilung Weibull-Verteilung Hyper-Exponentialverteilung b e i d s e i t i g e Exponentialverteilung

77 77 78 79 80 81 81 82

Die Die Die Die Die Die Die Die

Inhaltsverzeichnis

10.9 10.10 10.11 10.12 10.13 10.14 10.15

Die Die Die Die Die Die Die

Normalverteilung (Gauß-Verteilung) lognormale Verteilung Cauchy Verteilung t-Verteilung (Students t-Verteilung) Beta-Verteilung Fishersche F-Verteilung Gamma-Verteilung

10.16

x2

(Chi-Quadrat)-Verteilung

10.17 10.19 10.20

Die W e i b u l l - G a m m a - V e r t e i l u n g Ü b e r s i c h t ü b e r d e n Z u s a m m e n h a n g der s t e t i g e n V e r t e i l u n g e n Aufgaben

1 1 Erwartungswert 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5

und

^Zweidimensionale 12.1 12.2 12.3 12.4

88 89 90 91

9 2

Erwartungswerte

und Varianzen

Zufallsvariable

Diskrete Zufallsvariable Zweidimensionale stetige Bedingte Verteilungen Aufgaben

Induktive

83 84 85 86 87 87 88

Varianz

Der Erwartungswert Die Varianz Allgemeine Momente Übersicht über einige Aufgaben

IX

Zufallsvariablen

92 95 97 105 107

109

(X,Y)

Statistik

109 116 119 120

122

13 Stichprobenverteilungen

122

13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6

123 127 130 134 136 139

S u m m e n von Zufallsvariablen Gewichtete Summen von Zufallsvariablen Chebyshevsche Ungleichung Grenzwertsätze Approximationen diskreter Zufallsvariablen Aufgaben

X

Inhaltsverzeichnis

14 Punktschätzverfahren

140

14.1 14.2 14.3

140 149 152

Das Maximumlikelihood-Prinzip von R.A.Fisher Das Momenten-Verfahren Aufgaben

1 5 Eigenschaften von Schätzern

155

15.1 15.2 15.3 15.4 15.5

155 156 157 158 163

Erwartungstreue Effizienz Mittlerer q u a d r a t i s c h e r Konsistenz Aufgaben

Fehler

16 Konfidenzbereiche

164

16.1 16.2 16.3

164 177 177

Die Grundidee des Konfidenzintervalls Konfidenzbereiche für mehr als einen Parameter Aufgaben

17 Parametrische 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8

Tests

Einige Überlegungen zur Begründung der Testtheorie E i n s t i c h p r o b e n t e s t s für E r w a r t u n g s w e r t e Ein Z w e i s t i c h p r o b e n t e s t zum Vergleich zweier Mittelwerte Einstichprobentests für die Varianz Tests auf Grundlage des Zentralen Grenzwertsatzes Tests für mehr als einen Parameter Aufgaben Einige Testgrößen in der Übersicht

1 8 Nichtparametrische

Tests

178

178 181 189 192 196 196 196 198

200

18.1

Einführung

200

18.2

3C2-An p a s s u n g s t e s t s

200

18.3 18.4 18.5

2

X -Unabhängigkeitstest Beispiel (Simpsons Paradox) Aufgaben

207 211 212

I n h a l t s v e r z e i c h n i s

19 Lineare Regression 19.1

XI

213

19.2 19.3 19.4 19.5 19.6

Die Formulierung des Modells für den klassischen Fall der Normalregression Der Kleinstquadrat-Schätzansatz Der Momenten-Schätzansatz Eigenschaften der Schätzwerte Die Verteilung der Schätzwerte und Teststatistiken Symmetrische Konfidenzintervalle zum Konfidenzniveau 1-e

213 218 220 222 226 227

19.7

Tests für a, ß, o 2

228

19.8

Aufgaben

230

Literatur

232

Anhang

233

Tafel Tafel Tafel Tafel Tafel Tafel

1: 2: 3: 4: 5: 6:

Binomialverteilung Poissonverteilung Normalverteilung Umkehrfunktion der Normalverteilung Umkehrfunktion von Students t-Verteilung Umkehrfunktion der x 2 - V e r t e i l u n g

Namens- und Sachverzeichnis

233 249 262 264 265 267 269

Deskriptive

1 1.1

Statistik

Grundbegriffe Einführende

der

deskriptiven

Statistik

Begriffe

G e g e n s t a n d jeder s t a t i s t i s c h e n U n t e r s u c h u n g ist eine G e s a m t h e i t von stat i s t i s c h e n E l e m e n t e n , die G r u n d g e s a m t h e i t oder P o p u l a t i o n . B e t r a c h t e t man in einer statistischen Erhebung die g a n z e Population, d a n n spricht man von einer G e s a m t e r h e b u n g . Ein Beispiel hierfür sind V o l k s z ä h l u n g e n , z.B. die für die B u n d e s r e p u b l i k v o m Mai 1987. Im Regelfall s i n d s o l c h e G e s a m t e r h e b u n g e n aber aus K o s t e n g r ü n d e n zu a u f w e n d i g . Damit ist im allgemeinen der G e g e n s t a n d einer s t a t i s t i s c h e n U n t e r s u c h u n g nur eine T e i l e r h e b u n g oder S t i c h p r o b e . Dabei ist b e s o n d e r s zu b e a c h t e n , wie d i e S t i c h p r o b e g e z o g e n wird, d.h. wie die zu untersuchenden (auszuwählenden) Elemente der S t i c h p r o b e a u s d e r G r u n d g e s a m t h e i t a u s g e w ä h l t w e r d e n . W e r d e n d i e zu b e t r a c h t e n d e n E l e m e n t e z u f ä l l i g b e s t i m m t , so s p r i c h t m a n v o n e i n e r Zufallsstichprobe. W a s d a b e i Z u f a l l ist, ist k e i n e s w e g s selbstverständlich und w i r d noch erläutert. Im f o l g e n d e n w e r d e n wir stets von einer Z u f a l l s s t i c h p r o b e a u s g e h e n , w e n n wir v o n einer S t i c h p r o b e s p r e c h e n . Ein v e r w a n d t e r , j e d o c h nicht u n b e d i n g t ü b e r e i n s t i m m e n d e r Begriff ist der der r e p r ä s e n t a t i v e n S t i c h p r o b e . Für sie w e r d e n die Elemente so a u s g e w ä h l t , d a ß sie im Blick auf die u n t e r s u c h t e F r a g e die G r u n d g e s a m t h e i t g e t r e u widerspiegeln. D i e s E r f o r d e r n i s ist e b e n f a l l s n i c h t selbstverständlich, o b w o h l es für z a h l l o s e s t a t i s t i s c h e U n t e r s u c h u n g e n als u n e r l ä ß l i c h oder wünschenswert vorauszusetzen ist. Man denke nur an politische M e i n u n g s u m f r a g e n oder Marketingstudien. J e d e s t a t i s t i s c h e U n t e r s u c h u n g bezieht sich auf M e r k m a l e . Die E l e m e n t e der E r h e b u n g , die U r l i s t e (ob Voll- oder T e i l e r h e b u n g ) sind Träger dieser M e r k m a l e , und es w i r d untersucht, w e l c h e M e r k m a l s a u s p r ä g u n g bei j e d e m e i n z e l n e n Element, d e m M e r k m a l s t r ä g e r , v o r k o m m t . Dafür ist es besonders wichtig, die v e r s c h i e d e n e n Arten von M e r k m a l e n zu unterscheiden.

2 1.2

Deskriptive Klassifikation

Statistik

von

Merkmalen

Die v e r s c h i e d e n e n Arten, T y p e n , K l a s s e n von M e r k m a l e n w e r d e n d a d u r c h g e k e n n z e i c h n e t , wie ihre A u s p r ä g u n g e n d a r g e s t e l l t und g e o r d n e t w e r d e n können. B e g i n n e n d mit dem schwächsten Merkmalstyp sind dies die folgenden: (A)

Nominale Merkmale Ein M e r k m a l heißt n o m i n a l , w e n n seine A u s p r ä g u n g e n nicht in eine a n g f o l g e gebracht w e r d e n können, z.B. V o r n a m e n (Hilde, Klaus, Peter, S u s a n n e , . . . ) ; g e s e l l s c h a f t s r e c h t l i c h e B e z e i c h n u n g e n (AG, G m b H , KG); Glaubensbekenntnis (katholisch, evangelisch, jüdisch, muslimisch,...); Parteien (CDU, CSU, FDP, GRÜNE, SPD,...); Krankheiten (TB, Krebs, MS, Kinderlähmung,...).

(B)

Qualitative Merkmale Ein M e r k m a l h e i ß t q u a l i t a t i v oder o r d i n a l , w e n n es zwar in e i n e R a n g f o l g e g e b r a c h t werden kann, aber die Rangunterschiede nicht g e m e s s e n w e r d e n k ö n n e n , d.h. d a s M e r k m a l läßt sich nicht natürlich e i n e r reellen Zahl z u o r d n e n . B e i s p i e l e hierfür s i n d : L e b e n s s t i l (auf g r o ß e m Fuß, mittel, b e s c h e i d e n , dürftig), c h a r a k t e r l i c h e E i g e n s c h a f t e n ( g u t h e r z i g , g l e i c h g ü l t i g e r Typ,..., C h a r a k t e r s c h w e i n ) , Examensnoten (1.0,1.3, 1.7, 2.0,...), K o n j u n k t u r v e r l a u f (auf, g l e i c h , ab), G e b u r t s t a g e (15.April, 11.Mai, 12.Mai, 22. September), Popularitätsskalen in Punkten (4 Pluspunkte sind nicht doppelt so gut wie 2 Pluspunkte!).

(C)

Quantitative Merkmale Ein M e r k m a l heißt q u a n t i t a t i v oder k a r d i n a l , w e n n es sich natürlich e i n e r reellen Zahl z u o r d n e n läßt, d.h. die A u s p r ä g u n g ist eine reelle Zahl. Das heißt i n s b e s o n d e r e auch, daß R a n g u n t e r s c h i e d e g e m e s s e n w e r d e n können (z.B.Temperaturen, Flutmarken, Erträge, Z e i t p u n k t e u.a.). Für die f o l g e n d e n Ü b e r l e g u n g e n ist dies die w i c h t i g s t e K l a s s e . Sie hat die g r ö ß t e Vielfalt der A n a l y s e v e r f a h r e n und Zahl der A n w e n d u n g e n und steht im Mittelpunkt der Betrachtung. Unter d e n q u a n t i t a t i v e n M e r k m a l e n ist i n s b e s o n d e r e noch die Unterteilung in stetige und diskrete zu s e h e n :

( C . 1 ) D i s k r e t e und s t e t i g e

Merkmale

Ein Merkmal heißt d i s k r e t , wenn es höchstens abzählbar viele Ausprägungen hat. Dabei sind zwei Fälle zu unterscheiden: endlich viele Ausprägungen: z.B. G e s c h l e c h t (weiblich, m ä n n l i c h ) ; die Anzahl der täglichen Geburten in einer Klinik; die T a g e des J a h r e s (365 im Regelfall), M ö g l i c h k e i t e n einer Lottozahl (49), E x a m e n s n o t e n (1.0, 1.3, 1.7,..., 4.0, 4.3, 4 . 7 , 5.0); d i e V e r k a u f s z a h l e n e i n e s b e s t i m m t e n

1 Grundbegriffe der deskriptiven Statistik

3

Autohändlers. Abzählbar unendlich viele Ausprägungen sind mehr theoretisch von Interesse, z.B. die Zahl der Sterne im Universum, Anzahl der Mißerfolge bis z u m ersten Erfolg bei einem Glücksspiel. Ein M e r k m a l heißt s t e t i g ( k o n t i n u i e r l i c h ) , wenn es nicht diskret ist, d.h. überabzählbar viele Ausprägungen hat, z.B. die Zeit, Einkommens- und Umsatzzahlen. Bei der Beobachtung stetiger Merkmale erhält man durch entsprechende Maßeinheiten (für die Zeit etwa: Sekunden oder Minuten, für Längen: Meter oder Zentimeter) diskrete Daten. W e g e n ihrer Vielfalt faßt man sie dann aber zu Klassen zusammen. (C.2) Q u a n t i f i z i e r u n g von q u a l i t a t i v e n Merkmalen In v i e l e n S i t u a t i o n e n w e r d e n n o m i n a l e o d e r ordinale/qualitative M e r k m a l e q u a n t i f i z i e r t , z.B. nominalen Skalen w e r d e n Zahlen zugeordnet: nominale Skala: +++ ++ + 0 - — q u a n t i t a t i v e Skala: 3 2 1 0 - 1 -2 - 3 oder 100 50 25 0 -25 -50 -100 Hier ist besondere Vorsicht in den Schlußfolgerungen angebracht. (C 3) D l s k r e t i s i e r u n g von s t e t i g e n Merkmalen In vielen Situationen werden stetige Merkmale d i s k r e t i s i e r t : Stetige Skalen werden in Intervalle eingeteilt, z.B. das Messen von Firmengrößen nach Umsatzhöhe (unter 1 Mio DM, 1 Mio bis unter 2 Mio DM, 2 Mio DM und darüber; monatliche Arbeitnehmereinkommen: unter 1000 DM, von 1000 DM bis 2000 DM, über 2000 DM). In diesem Fall spricht man von k l a s s i e r t e n oder g r u p p i e r t e n Daten. vielen AuspräU m g e k e h r t w e r d e n d i s k r e t e M e r k m a l e , die mit sehr gungen auftreten, wie stetige behandelt. Sie werden als q u a s i s t e t i g e oder a p p r o x i m a t i v stetige Merkmale bezeichnet (z.B. Verkaufszahlen pro Tag von LP's in einem Schallplattengeschäft).

4

Deskriptive Statistik

Diagramm

zur Eine

Merkmalsklassifikation Merkmalsklassifikation

(ordinal)

(kardinal)

approximativ Legende:

1.3

•

mögliche Übergänge

Aufgaben

Aufgabe

1.3.1

Zur Verbesserung der Personalplanung wird ein Mitarbeiter beauftragt, Daten über alle Beschäftigten zusammenzutragen, die sich unter anderem auf das Alter, das Geschlecht, die Stellung im Unternehmen, die Dauer der Unternehmenszugehörigkeit und das Gehalt beziehen sollen. a) Was ist die statistische Einheit der Untersuchung? b) Was ist die statistische Gesamtheit (Masse, Population)? c) Welcher Art sind die oben erwähnten Merkmale? (nominal, qualitativ, quantitativ; diskret, stetig) d) Welches sind mögliche Ausprägungen dieser Merkmale?

A u f g a b e 1.3.2 Um die Auswirkungen der kommenden Tarifabschlüsse auf die eigenen Lohn- und Gehaltszahlungen abschätzen zu können, führt die Firma Nagel, Holz & Co. bei 100 ihrer 500 Beschäftigten eine Erhebung durch, bei der Alter, Tarifklasse, außertarifliche Zahlungen und Geschlecht festgestellt werden. a) Geben Sie die Grundgesamtheit der Erhebung an. b) Welcher Art sind die angeführten Merkmale? c) Geben Sie mögliche Merkmalsausprägungen dieser Merkmale an.

2 Häufigkeitsverteilungen

2 2.1

5

Häufigkeitsverteilungen Diskrete

Merkmale

Nach Durchführung einer statistischen Erhebung - und dies wird im folgenden fast s t e t s als erfolgt a n g e s e h e n - ist d a s D a t e n m a t e r i a l (die Urliste) so a u f z u b e r e i t e n , d a ß man die Fülle der B e o b a c h t u n g e n intellektuell a u f n e h m e n und v e r a r b e i t e n k a n n . Als e r s t e s w e r d e n e i n i g e e i n f a c h e graphische D a r s t e l l u n g e n v o r g e f ü h r t , die sich in der Praxis b e w ä h r t h a b e n . Sie finden sich z.B. in Z e i t u n g e n , F i r m e n b e r i c h t e n , F e r n s e h n a c h r i c h t e n . Dazu wird der B e g r i f f der H ä u f i g k e i t s v e r t e i l u n g e i n g e f ü h r t : Seien mals

{b-| ,b2 X aus

b n } die b e o b a c h t e t e n einer

Erhebung

notwendigerweise {x-| , X 2 , . . . , x k } . mehrfach

der

verschieden,

(Kk = k=l

n

Länge

so

mit d e n

beobachtet wurden. K

Ausprägungen daß

n. N i c h t die

absoluten Offensichtlich

eines alle

beliebigen

bj ( H 1 , 2

verschiedenen Häufigkeiten

Merkn}) sind

Ausprägungen n^(k=1,2,...,K)

gilt:

;

K=n trifft nur d a n n zu, falls alle B e o b a c h t u n g e n v e r s c h i e d e n

sind.

2.1.1 Beispiel Die M e n g e der n Beobachtungen {b-|,b2 b n ) seien die Ergebnisse von n=100 W ü r f e n e i n e s W ü r f e l s . Als M e r k m a l s a u s p r ä g u n g e n g i b t es d i e s e c h s v e r s c h i e d e n e n A u g e n z a h l e n {1,2,3,4,5,6}. Für die der G r ö ß e nach sortierten M e r k m a l s a u s p r ä g u n g e n s e i e n d i e f o l g e n d e n H ä u f i g k e i t e n n|< (k=1,...,6) beobachtet worden: {

x i , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x6

}

{

15,20,20,10,15,20

}, n=100, K=6

bzw. als Tabelle:

x

k

1

2

3

4

5

6

n

k

15

20

20

10

15

20

6

Deskriptive

Statistik

2.1.2 D e f i n i t i o n Sei M ={x-| ,X2,...,x| < } die Menge von beobachteten verschiedenen

Merkmalsaus-

prägungen; sei weiter M —> R ^ g: |

^ _ j n k , fallsx=x k (k=l,...,K) •g(x):={' 0 , sonst

und M

[0,1]

1 x -> f(x) := — g(x) Die Funktion f heißt e m p i r i s c h e Häufigkeitsfunktion. Der Graph dieser Abbildung heißt S t a b d i a g r a m m . O f f e n s i c h t l i c h l a s s e n sich solche S t a b d i a g r a m m e stellen. Für das Beispiel 2.1.1 ergibt sich: Das

Schema

eines

für

alle

Merkmale

er-

Stabdiagramms

f

2.1.3 B e m e r k u n g Es ist f: M —> [0, 1] mit 0.15, x=l 0.20, x=2 . 0.20, x=3 f(x) = | 0.10, x=4 0.15, x=5 0.20, x=6 0.00, sonst

sowie

g: M —> R + 15, 20, , 20, g ( x ) = | 10, 15, 20, 0,

mit x=l x=2 x=3 x=4 x=5 x=6 sonst

Offensichtlich unterscheidet sich der Graph von g vom G r a p h e n von f nur durch die Skalierung.

2 Häufigkeitsverteilungen

7

Da e s sich um Empirie ( = B e o b a c h t u n g e n aus der Praxis) handelt, spricht man a u c h von e m p i r i s c h e n H ä u f i g k e i t e n (d.h. e m p i r i s c h e a b s o l u t e Häutigkeiten bzw. e m p i r i s c h e relative H ä u f i g k e i t e n ) . Sei

X

ein

quantifiziertes

verschiedenen

ordinales

insgesamt n Beobachtungen. f k := f ( x k ) = läßt

oder

Merkmalsausprägungen n

Mit der

ein zu

kardinales

jeweils

Merkmal

n^ (k = 1,2

Definition der r e l a t i v e n

mit K)

K

und

Häufigkeiten

k

sich aus den f - | , f 2 , - -.'K

Häufigkeitsverteilung

der Begriff der k u m u l i e r t e n

(empirischen)

konstruieren:

F i := f F2:= U +

= Fi

f

= f2

3 : = f 1 + f2 + f 3

+ f2 + f3

F « > f i + f2 + ••• + fK = FK-1 + fK U m g e k e h r t l a s s e n sich d i e r e l a t i v e n H ä u f i g k e i t e n a u s H ä u f i g k e i t s v e r t e i l u n g b e s t i m m e n bzw. z u r ü c k g e w i n n e n : fi = Fl fj = Fj - Fj_-|

(¡=2,3

der

K)

2.1.4 Definition Seien die A u s p r ä g u n g e n {x-| ,X2,...,X| 2 ist

'

,

)=1

I (x-x,) ( I i=l j=l

(Xij-Xj)).

ergibt sich daraus

n n n 2 l 2 2 2 n, 2 , - - ,2 2 s = — s,1 + — s? + — ( x - xz, ) . i + — (x-x,) n n n ' n

•

3 Verdichtung der Daten 3.4

17

Konzentrationsmaße

K o n z e n t r a t i o n s m a ß e w e r d e n benutzt, um V e r m ö g e n s - , E i n k o m m e n s - oder ähnliche Verteilungen auf einer Population darzustellen. Dabei ordnet man v o r g e g e b e n e n A n t e i l e n der P o p u l a t i o n d i e e n t s p r e c h e n d e n A n t e i l e des betrachteten Merkmals folgendermaßen zu: Man ordnet die Anteile der Population in der Weise, daß der Anteil des betrachteten Merkmals wächst, wie im folgenden Beispiel dargestellt: 3.4.1 Beispiel Seien 5 Eigentümer von Vermögen verglichen, deren Vermögen {z-| Z2 Z3 Z4 Z5 } = {20 1 0 40 90 40 } bzw. sortiert {y-l y2 Y3 Y4 y s } = {10 20 40 40 90 } , b z w . skaliert {w-| W2 W3 W4 W5} = {5% 10% 20% 20% 45% } bzw. kumuliert {F-| F 2 F 3 F 4 F5}= {5% 15% 35% 55% 100%} b e t r a g e . Das bedeutet, daß die ärmste der fünf betrachteten Personen ein Vermögen von 10 Einheiten, die nächste ein Vermögen von 20 Einheiten besitzt usw. bis zur reichsten, die ein Vermögen von 90 Einheiten besitzt. Graphisch läßt sich dieser Sachverhalt folgendermaßen darstellen: Vermögen

100 %

55%

35%

15% -| 5%

Population

0% Bei Gleichheit überein.

der Verteilung

100 % stimmt

die untere

Kurve

mit der

Diagonalen

18

Deskriptive

Statistik

3.4.2 Definition E s b e z e i c h n e x-| , X 2 , . .,x|< betrachtenden

die

geordneten

kumulierten

Anteile

einer

zu

P o p u l a t i o n , d.h. es gilt

0 < x i < ... < x « < 1, und die kumulierten F-| , F 2 , . . . , F «

relativen

Häufigkeiten des betrachteten

Merkmals

mit d e r E i g e n s c h a f t F j + i - F ; > F | - F j _ i für alle i = 2,3

D a n n w i r d d e r P o l y g o n z u g , d e r die P u n k t e ( x ^ F ^ ) (k = 1,2 Lorenz-Kurve

seien

K-1.

K) v e r b i n d e t , als

bezeichnet.

B e i G l e i c h h e i t d e r V e r t e i l u n g fällt d i e L o r e n z k u r v e mit d e r Diagonalen zusammen. T y p i s c h e A n w e n d u n g e n der L o r e n z k u r v e s i n d E i n k o m m e n s - u n d V e r m ö g e n s verteilungen, und a n d e r e Konzentrationsübersichten (Z.B.Marktanteile). Die F l ä c h e A unter d e r L o r e n z k u r v e (ein D r e i e c k u n d (n-1) T r a p e z e ) x,F, A= —

3.4.3.

k ^ i (Fj + F j + i ) ( x j + 1 - x j ) + I j i=l

ist

'

Definition

Sei B d i e F l ä c h e z w i s c h e n d e r Diagonalen u n d d e r L o r e n z k u r v e , also

B =;

Die G r ö ß e G mit G = —— B+A heißt Bei

tf©

Gini-Koeffizient Gleichverteilung

( x ^ = F|1 u n d d i e A n z a h l d e r Z i e h u n g s m ö g l i c h k e i t e n N n . A l l e M ö g l i c h k e i t e n bei n + 1 Z i e h u n g e n e r h ä l t m a n d a d u r c h , d a ß m a n z u a l l e n M ö g l i c h k e i t e n bei n Z i e h u n g e n a l s E r g e b n i s d e r ( n + 1 ) - t e n Z i e h u n g n a c h e i n a n d e r d i e L o s e 1,2,...,N h i n z u f ü g t . I n s g e s a m t e r g e b e n sich d a n n N N n = N n + 1 M ö g l i c h k e i t e n . 6.2.2

•

Beispiele:

1 . N = 5 , n=2: N n = 5 2 = 2 5 2.Sonderfall n=N; nacheinander werden ebensoviel Ziehungen w i e L o s e in der U r n e sind.

vorgenommen

3 . M a n b e t r a c h t e e i n M e r k m a l , d e s s e n A u s p r ä g u n g e n in m e h r e r e T e i l e z e r l e g t w e r d e n k ö n n e n , z . B . die S i g n a t u r e i n e s B u c h e s e t w a a u s d e r B i b l i o t h e k d e r Universität der B u n d e s w e h r H a m b u r g : "vwl 895 J 2+2" Die v e r s c h i e d e n e n T e i l e d e r A u s p r ä g u n g s i n d : T e i l 1: 3 B u c h s t a b e n , v o n d e n e n j e d e r 2 6 A u s p r ä g u n g e n hat, d.h. 2 6 3 . T e i l 2: E i n e Z a h l , d i e j e w e i l s d e n W e r t { 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 } , n i c h t j e d o c h d i e 0 a n n e h m e n k a n n ( k e i n e f ü h r e n d e Null b e i e i n e r d r e i s t e l l i g e n Z a h l in d e r e r s t e n P o s i t i o n ! ) d.h., e s g i b t 9 A u s p r ä g u n g e n .

46

Wahrscheinlichkeitstheorie

Teil 3: Zwei Zahlen, die jeweils einen Wert aus {9,8,7,6,5,4,3,2,1,0} annehmen können (nichtführende Nullen bei den Folgeziffern bei einer dreistelligen Zahl in der zweiten und dritten Position sind zulässig!) d.h., es gibt 10 2 = 100 Ausprägungen Teil 4: Ein Buchstabe, d.h. wie für das erste Merkmal 26 Ausprägungen. Für Teile 5 und 7 gilt das für Teil 2 Entsprechende, d.h. jeweils 9 Ausprägungen, und schließlich gibt es nur eine Möglichkeit für den 6. Teil, nämlich das "+" Zeichen. So folgt für die Signaturmöglichkeiten (ohne Berücksichtigung, ob diese Signaturen alle sinnvoll sind): 263• 9

100• 26 • 9 • 1 • 9 = 264• 9 3 • 100 = 33313550400

Oder allgemein: N n

i•

n

2'

n

3

••••

n

r

••••

n

N=nnji=i

Hierzu ist nj = N ein Sonderfall, d.h. N

Betrachten wir in diesem Sonderfall N=2, so erhalten wir das bekannte Rechtecksschema für die möglichen Kombinationen zweier Merkmale. 6.3 Ziehen

ohne

Zurücklegen,

mit

Berücksichtigung

der

Reihenfolge

In einer Urne seien wieder N durchnumerierte (also wechselseitig unterscheidbare) Lose; aus dieser Urne wird zufällig ein Los gezogen und außerhalb der Urne gelassen. Dieser Vorgang wird n-mal durchgeführt und die gezogenen Lose jeweils den zuvor gezogenen hinzugefügt. Offensichtlich muß hier n2) gebildet. M . a . W . die Koeffizienten g e b e n an, auf wieviele Weisen man die M e n g e von N Elementen in 2 bzw K Teilmengen zerlegen kann.

6 Kombinatorik

49

4.N=4, K=3: N!

_

4!

n

n ! l! 3 ~ n l ! n2! n 3 ! ' Die Veranschaulichung für n-| = 2, n2 = 1, nß = 1:

Aus den Kugeln { a,b,c,d } sind drei Gruppen zu bilden, wobei die Reihenfolge unerheblich ist. Insgesamt gibt es zwölf Möglichkeiten:

4!

n !n

l

2 ! n3!

(a b) (a c) (a d) (b c) (b d) (c d)

(c) (b) (b) (a) (a) (a)

4! 2! 1! 1!

(d) (d) (c) (d) (C) (b)

und und und und und und

N!

12 (a (a (a (b (b (c

b) c) d) c) d) d)

(d) (d) (c) (d) (c) (b)

(c) (b) (b) (a) (a) (a)

6!

n

n !n !n ! 1!n2!n3! l 2 3 ' Die Veranschaulichung für n-| = 2, ri2 = 3, n3 = 1:

Aus den Kugeln {a,b,c,d,e,f} sind drei Gruppen zu machen, wobei die Reihenfolge unerheblich ist. Insgesamt gibt es sechzig Möglichkeiten: 6! _ 6! n j! n ^ rij! ~ 2 ! 3 ! 1 ! ~ '

6 . 5 Z i e h e n mit 6.5.1

Zurücklegen,

ohne

Berücksichtigung

der

Reihenfolge

Satz

Beim Ziehen mit Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge gibt /N+n-l\ es

Ziehungsmöglichkeiten.

Beweis:

(Feller,

S.36-37)

Die Urne besteht aus n Teilurnen (Zellen, Plätzen, Löchern...), in denen jeweils die Kugeln sein müssen. Die Zahl der Möglichkeiten für die Wahl ist also die unterschiedliche Zahl der Belegungen der Zellen durch Kugeln. Sei rj (i=1,2,...,n) die Zahl der Kugeln einer Zelle mit r > rj > 0; r-| + r2 +...+ r n = r. Da es auf die Reihenfolge nicht ankommt, sind nur die unterschiedlichen Belegungen für die Wahl von Interesse. Dafür

stelle

man eine

spezielle Verteilung

{rj,

i=1,2,...n}

Strich/Stern-Muster dar, z.B. für 6 Zellen, 8 Kugeln

durch

folgendes

50

Wahrscheinlichkeitstheorie

(6) mit der Belegung

r * * r i i i i **" i 3 1 0 0 0 4

Jede der Zellen wird durch zwei Striche eingerahmt, jede Kugel durch einen Stern repräsentiert. Ein jedes solches Strich/Stern-Muster beginnt mit einem Strich |, endet mit einem Strich |, und zwischen Anfangsstrich und Endstrich können die übrigen n+r-1 Symbole (r Kugeln, n-1 weitere Trennstriche) beliebig verteilt werden. Damit folgt für die Kugeln, daß sie aus n+r-1 Möglichkeiten ausgewählt werden können, d.h. es gibt ( " V i unterschiedliche Möglichkeiten frei wählbaren Trennzeichen

der Belegung.

Entsprechend

folgen

für

die

( " . " " ) unterschiedliche Möglichkeiten der Belegung. Selbstverständlich sind beide Zahlen für die Möglichkeiten gleich: /n + r - l \ /n + r - l \ r (7) [ n-l H ) Die Identität folgt aus der unmittelbaren Auswertung zienten: (n+r-1)! /n + r - l \ /n + r - l \ (n + r - 1 ) ! ( n - l ) ! r! \ n-l j [ r j r! ( n - l ) ! '

der

Binomialkoeffi-

Ein Sonderfall ist der, in dem in jeder Zelle mindestens eine Kugel auftaucht, d.h. keine Zelle leerbleibt, bzw. daß keine zwei Striche nebeneinander stehen. Mit r Sternen ist dann auf jeden Fall eine Kugel festgelegt, m.a.W. die n-1 frei wählbaren Trennzeichen können nur an r-1 potentiellen Positionen stehen, d.h. die Zahl unterschiedlicher Belegungsmöglichkeiten bei Vorgabe einer Kugel je Zelle ist (8)

(r-D! (n-l)!(r-n)!

6.5.2 Beispiel Sei n=6, r=8: (6+8-1)! (6-l)!8!

/r-l\ (n-l|

/|r-l| (r-nf

(r-1)! (r - n)! (n - 1 ) ! '

/ 6+8-1 \ 16+8-1 \ (6+8-1)! 13! ( 6-1 ] I 8 I 81(6-1)! 8!5!

13 8!5!

1287

(8)' Für ein einfacheres Beispiel, das sich per Hand überprüfen läßt, betrachten wir n=2, r=4:

6 Kombinatorik

(7)"

(2+4-1)! J 2+4-1 _ 2+4-1 (2-1 )!4! 2-1 4

W

3! = / 4 - l j / 3 \ _ 3! 112! \ 2 - l j ( l j 1!2!

(2+4-1)! _ 5! 4!(2-l)! ~4!1!

Die zugehörigen Strich/Stern-Muster

sind:

bzw

Eine Übersicht faßt die Möglichkeiten zusammen: Vier

mögliche

verschiedene

.osen aus N ohne |egen

\ZiehungsNrnodus UrnenN,^ modell

1= < §= > 1 E

M

n!

:

Nn speziell n=N: N

Permutationen

/N+n-1 | _ (N+n-1) (N+n-2) •..: N \

n

I

n

'

51

52

6.6

Wahrscheinlichkeitstheorie

Aufgaben

Aufgabe

6.6.1

Man benutze den eigenen PC, um die Fakultät z! zu berechnen. Benutzen Sie dazu die z! = z (z-1)! (2=1,2,...)

Rekursion:

Aufgabe 6.6.2 Für die B e r e c h n u n g der Fakultät n! gibt es A n n ä h e r u n g e n , z.B. die Stirlingsche Approximation. Prüfen Sie die Güte der Approximation der Fakultät durch die Stirling-Zahl (vergl.Feller), d.h.

n!=V^fnn+0/2)e-n (Hinweis:

Ü b e r p r ü f e n Sie für n=0,1 ,...,20).

Aufgabe

6.6.3

W e l c h e und wieviele Kombinationen gibt es für drei Buchstaben, z.B. für S,P,D? Aufgabe

6.6.4

B e s t i m m e n Sie die Anzahl verschiedener KFZ-Zeichen für einen bestimmten Landkreis. D.h. nach der Festlegung des Landkreises bleiben höchstens zwei Buchstaben und anschließend eine höchstens v i e r s t e l l i g e Zahl. A u f g a b e 6.6.5 Ein weiteres Beispiel zur Kombinatorik ist die A u s w a h l von Spielkarten: Seien die vier üblichen Spielfarben v o r h a n d e n : * v • * , sowie für jede Farbe die Karten

7,8,9,10,Bube,Dame,König,As.

Das s o g e n a n n t e Mischen soll sicherstellen, daß jede Karte aus einem Kartenstapel mit gleicher relativer Häufigkeit in die Wahl kommt, d.h. aus 32 Karten die erste Wahl mit 1/32. Beim Skat erhält j e d e r der drei Spieler jeweils zehn Karten und die restlichen zwei k o m m e n in den Skat. Wieviele Möglichkeiten gibt es, d a ß a) g e n a u i B u b e n (¡=0,1,2) im Skat liegen, b) ein b e s t i m m t e r Spieler g e n a u j B u b e n (j=0.1,2,3,4) erhält? [In e c h t e n S p i e l a n w e n d u n g e n sind selbstverständlich andere Fragen interessanter, z.B. wieviel gute Möglichkeiten gibt es, beispielsweise vier Asse in einer Hand von sieben zu halten. [Robert Louis Stevenson soll mal gesagt haben: Im Leben gibt es nie gute Karlen, sondern immer nur die Chance, schlechte gut zu spielen.] Aufgabe 6.6.6 W ä h r e n d eines Fußballturniers treffen vier M a n n s c h a f t e n a u f e i n a n d e r . Jede M a n n s c h a f t spielt g e g e n j e d e andere. Für einen Sieg gibt es zwei Punkte, für ein Unentschieden für beide jeweils einen Punkt und bei einer Niederlage keinen Punkt. a) Wieviele Möglichkeiten gibt es für eine Mannschaft, genau vier Punkte zu erhalten? b) Wieviele v e r s c h i e d e n e Möglichkeiten der Punktverteilungen gibt es nach A b s c h l u ß d e s Turniers?

7 Wahrscheinlichkeiten

7 7.1

53

Wahrscheinlichkeiten Die

Axiome

der

Wahrscheinlichkeit

In d i e s e m K a p i t e l soll n u n d e r B e g r i f f d e r W a h r s c h e i n l i c h k e i t für b e l i e b i g e E r e i g n i s r ä u m e e i n g e f ü h r t w e r d e n . G e s u c h t ist also eine A b b i l d u n g , d i e j e d e m b e l i e b i g e n E r e i g n i s e i n e Z a h l z u o r d n e t , d i e als W a h r s c h e i n l i c h k e i t für d a s Eintreten dieses Ereignisses interpretiert werden kann. 7.1.1 Definition Sei ß ein E r e i g n i s r a u m und 2>(Q) d i e P o t e n z m e n g e v o n £2. D a n n h e i ß t e i n e Abbildung P : P(Q) = P(fl) + P(0) => P(a) = 0

(2) A n A = 0 u n d Q = A u A

(A3)

_

(A2)

.

_

_

=> P(A) + P(A) = P(Q) =» P(A) + P(A) = 1 => P ( A ) = 1 - P(A)

( 3 ) P(A) = P ( B n A ) + P ( B n A ) = P(B) + P ( B n A ) => P(B) = P(A) - P ( B n A ) => P(B) < P(A) ( 4 ) A läßt sich als V e r e i n i g u n g z w e i e r d i s j u n k t e r T e i l m e n g e n A = ( A \ B ) u (AnB) E n t s p r e c h e n d gilt für B: B = (B\A) u (AnB)

schreiben:

54

Wahrscheinlichkeitstheorie und woraus

A u B = ( A \ B ) u ( B \ A ) u (AnB), unmittelbar die Behauptung folgt.

•

7.1.3 B e m e r k u n g Aus (4) in Bemerkung 7.1.2 folgen die u.U. hilfreichen Abschätzungen: P(AuB) < P(A) + P(B)

(Bonferronis

I.Ungleichung),

P(AnB) > l - [P(Ä) + P(B)]

(Bonferronis

2.Ungleichung).

Die Verallgemeinerungen auf beliebig viele Ereignisse sind offenbar: P(uAk)ik=l 7.1.4

iP(Äk)

Bemerkung

Hat Sl nur endlich viele Elemente, d.h. = {(»!, 0)2. •••. a>n} und gilt Püco,}) = P({co2}) = ... = P({coJ), dann k ö n n e n zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten die Ergebnisse des Kapitels 6 (Kombinatorik) herangezogen werden. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis Ae !P(fi) berechnet sich dann aus der Anzahl der Elemente von A im Verhältnis zur Anzahl der Elemente von Q: P(A) |Q|

" A n z a h l der günstigen Fälle" " A n z a h l der möglichen Fälle"

7.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten In vielen Z u s a m m e n h ä n g e n genügt es, zur Berechnung von keiten nur Teilmengen des Ereignisraums Q zu betrachten.

Wahrscheinlich-

7

7.2.1

Definition

(bedingte

55

Wahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeiten)

Seien und zwei beliebige P(A)>0 und P(B)>0. Dann werden

Ereignisse

des

Ereignisraums

Q,

mit

bzw.

als b e d i n g t e

Wahrscheinlichkeiten

bezeichnet.

^

Damit kann insbesondere die gemeinsame Wahrscheinlichkeit P(AnB), d.h. die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die beiden Ereignisse A und B zugleich auftreten, berechnet w e r d e n : P(AnB) = P(A I B) P(B) bzw. P(AnB) = P(B IA) P(A).

7.2.2

Beispiel

Sei ß die Menge der natürlichen Zahlen zwischen 1 und 20; sei A die Menge der geraden Zahlen in i l , und sei B die Menge der Zahlen aus Q, die durch 3 teilbar sind. Dann lassen sich fí, A und B wie folgt darstellen: n = {1,2,3, 4,5, 6,7, 8,9, 10,11, 12,13, 14,35, 16,17, 18,19, 20 I A = ( 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 ) B= { 3 6 9 32 35 38 } Sei a u ß e r d e m j e d e s der 20 Elementarereignisse g l e i c h w a h r s c h e i n l i c h mit 1/20. Damit sind durch unmittelbares Auszählen: P(AnB) =3/20, P(A) = 10/20, P(B) = 6/20, und damit die bedingten Wahrscheinlichkeiten: P(AIB) = P(AnB)/P(B) = 1/2, bzw. P(BIA) = P(AnB)/P(A) = 3/10. Mit anderen Worten, sofern B als Ereignisraum betrachtet wird (Bedingung B), dann gibt es 6 Elementarereignisse, von denen 3 gerade sind; sofern h i n g e g e n A als E r e i g n i s r a u m dient ( B e d i n g u n g A), d a n n haben wir 10 Elementarereignisse, von den nur 3 (nämlich 6, 12 und 18) durch 3 teilbar sind, und damit Eigenschaft B aufweisen. Mit der bedingten W a h r s c h e i n lichkeit P(A|B) ist also ein W a h r s c h e i n l i c h k e i t s m a ß auf dem auf B eingeschränkten Ereignisraum definiert.

56 7.2.3

Wahrscheinlichkeitstheorie Satz

(Totale

Wahrscheinlichkeit)

Sei ( A j I i=l,2 / ...,K, A ; ? i 0 ) eine Zerlegung des Ereignisraums fi (s.o. 5.1.14) und B c f l eine beliebige Teilmenge, dann gilt: K

P(B) = £ p ( B I A j ) P(Aj). i=l Beweis: K Aus den Zerlegungseigenschaften (UAi=£2; A h A j * 0 , i*j) und B c i i i=l

folgt:

K B = Bnfl = Bn(kjAi). i=l Aus d e m Distributivgesetz für Vereinigung

und Durchschnitt

folgt

K

B = L^BnAi). i=l Damit

folgt für die

Wahrscheinlichkeit:

K k P(B) = P [ ( j B n A i ) l = X P(BnAj), i=l i=1

da alle B n A ¡ disjunkt sind. Mit der Definition der bedingten keit ergibt sich dann die Behauptung.

Wahrscheinlich•

In Fortführung des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit ergibt sich der sehr wichtige Begriff der Bayesschen Formel. 7.2.4

Satz

(Bayes

Formel)

Sei (A¡ I i=l,2,...,K, A ¡ * 0 } eine Zerlegung des Ereignisraums Q und BcQ beliebige Teilmenge, dann gilt (3)

P(AkIB) =

P(B I A k ) P(A.) 5 —, k=l,2,...,K . i P ( B I A j ) P(Aj) i=l

Beweis: Aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit P(B I A k ) P(A k ) = P ( A k I B) P(B)

folgt:

und damit P(BIAk)P(Ak) P(A

*IB) =

P(B)

Mit Ersetzen des Teilers aus Satz 8.1 ist dann alles bewiesen.

•

eine

7 Wahrscheinlichkeiten

57

7.2.5 Beispiel Vier Abteilungen eines Betriebes fertigen ein bestimmtes Produkt. Aus langjährigen Untersuchungen weiß man, d a ß Abteilung I mit Wahrscheinlichkeit 0.05, Abteilung II mit W a h r s c h e i n l i c h k e i t 0.01, Abteilung III mit Wahrscheinlichkeit 0.02 und Abteilung IV mit Wahrscheinlichkeit 0.1 A u s s c h u ß produziert. A u ß e r d e m kommt ein Fertigungsteil mit Wahrscheinlichkeit von jeweils 0.3 aus Abteilung I oder II, mit Wahrscheinlichkeit von jeweils 0.2 aus Abteilung III oder aus Abteilung IV. Sei nun D das Ereignis, daß ein Fertigungsteil defekt ist und Aj (¡=1,2,3,4) jeweils das Ereignis, daß das Teil von der e n t s p r e c h e n d e n Abteilung gefertigt wurde. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein zufällig der laufenden Produktion e n t n o m m e n e s Fertigungsteil defekt ist, b e r e c h n e t sich nach dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit folgendermaßen: 4 P(D)= I P(D I Aj)P(Aj) = 0.05 0.3 + 0.01-0.3 + 0.02-0.2 + 0 . 1 0 . 2 = 0.042 i=l Nun habe man ein Fertigungsteil aus der laufenden Produktion e n t n o m m e n , und es sei defekt. Nach dem Satz von Bayes berechnet sich die Wahrscheinlichkeit, d a ß dieses Teil von der Abteilung II gefertigt wurde, folgendermaßen: P(A 2 1D) =

P(DIA 2 )P(A 2 ) —

=

0 01-0 3 „ = 0.042

0.0714

I P(D I Aj)P(Aj) i=l Wie aus dem Beispiel 7.2.2 offensichtlich ist, stimmen die Wahrscheinlichkeiten P(A) und P(A|B) im Regelfall n i c h t überein (s.o.), aber der Sonderfall der Ü b e r e i n s t i m m u n g ist d e n n o c h m ö g l i c h und t a t s ä c h l i c h von großer t h e o r e t i s c h e r und praktischer B e d e u t u n g . Es ist der Begriff d e r Unabhängigkeit, der dies ermöglicht:

7.2.6 D e f i n i t i o n ( U n a b h ä n g i g k e i t zweier Ereignisse) Seien A c f l und BcO; dann heißen A und B u n a b h ä n g i g , falls P(AnB) = P(A) P(B). In Worten heißt das: Bedingung B übt auf A keinen Einfluß aus, 6 ist unabhängig von A und umgekehrt. ^ Offensichtlich gelten die Äquivalenzen P(A I B) = P(A) o P(AnB)/P(B) = P(A) » P(AnB) = P(B) P(A).

58

Wahrscheinlichkeitstheorie

Die Verallgemeinerung auf mehr als zwei Ereignisse folgt entsprechend: Seien Ereignisse A ^ c i } (k=l,2,...K) gegeben, dann heißen die A^ unabhängig, falls (4)

K

k

P( n A k ) = n P(A k ) k=l k=l

^

Aus der paarweisen Unabhängigkeit von (4), wie das folgende Beispiel zeigt: 7.2.7 Beispiel i i seien die Ergebnisse darstellung: ^v^Würfel

eines

zweifachen

1 j=

Würfel i=1 2 3 4 5 6

Ereignissen folgt nicht

1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

2

Würfelwurfes,

3

4

5

d.h.

notwendig

in

Matrix-

6

(1,2) (1 ,3) (1,4) ( 1 , 5 ) ( 1 , 6 ) (2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6) (3,2)(3,3)(3,4) (3,5)(3,6) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,2)(5,3)(5,4) (5,5)(5,6) ( 6 , 2 ) ( 6 , 3 ) (6,4) ( 6 , 5 ) ( 6 , 6 )

Dabei ist jeder einzelnen Ergebnismöglichkeit zugeordnet . Sei A j = ((i,j) I i gerade},

die Wahrscheinlichkeit

1/36

a

2 = ( «,j> ' ) gerade} und A3 = ((i,j) I i und j gerade oder i und j ungerade} Durch Abzählen erhält man: P(A-|) = P(A 2 ) = P(A3) = 1/2. Zur Unabhängigkeit gelten: P(Aj) • P(A 2 )

=1/4 = P(Ai n A 2 )

P i A j ) • P(A 3 )

=1/4 = P ( A j n A3)

P(A 2 ) P(A 3 )

=1/4 = P(A 2 n A 3 )

P ( A j ) • P(A 2 ) • P(A 3 ) =1/8 / P ( A j n A 2 n A 3 ) = 0. A j n A 2 n A3 bedeutet ein unmögliches Ereignis. 7.2.8 Beispiel Q. sei die Menge der gemeingefährlichen Störfälle für K AKWs innerhalb eines bestimmten Monats, d.h. A^ ist der Ausfall des k-ten AKW innerhalb eines Monats. Mit der Annahme, daß die Ausfallwahrscheinlichkeit bei allen AKWs gleich ist (eine sehr strenge Annahme; z.B. willkürlich p=0.0001), und daß sie untereinander unabhängig sind, ist die Wahrscheinlichkeit mindestens eines Ausfalls die Parallelsituation der Abbildung zu Beispiel 5.2.4:

7 Wahrscheinlichkeiten

59

P ( n A k ) = n P ( A k ) = l - P ( n A k ) = l - n P(A k ) = l - ( i - p ) K . k=l k=l k=1 k=1 Für eine Stadt wie Hamburg mit K=3

sowie mit der Annäherung

K

(l-p) - 1 - pK ergibt sich: 1 - 0.0003 = 0.9997, bzw. für die Ausfallwahrscheinlichkeit 0.0003, d.h. in 10000 Betriebsmonaten drei Störfälle. Ob das eine erträgliche Gefährdung durch die AKWs ist, ist keine wissenschaftliche Frage, wie oft irrtümlicherweise in der Diskussion solcher Probleme suggeriert wird.

7.3

Aufgaben

A u f g a b e 7.1: Zeigen Sie, daß für beliebige Ereignisse A, B und C gilt: P ( A u B u C ) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AnB) - P(BnC) - P ( A ^ C ) + 2 P ( A n B n C ) . Aufgabe

7.2:

Beim Vergleich der drei Fluggesellschaften A, B und C, welche als einzige die Strecke von X nach Y bedienen, wurde insbesondere untersucht, ob das Gepäck der Passagiere korrekt transportiert wird. Dabei stellte sich heraus, daß Gesellschaft A mit der Wahrscheinlichkeit 0.001, Gesellschaft B mit der Wahrscheinlichkeit 0.002 und Gesellschaft C mit der Wahrscheinlichkeit

0.01 das

Gepäck eines Passagiers fehlleitet. Die Wahrscheinlichkeit, bei zufälliger Auswahl eines Flugzeuges für die Strecke von X nach Y in einem Flugzeug der Fluggesellschaft A zu sitzen, beträgt 0.5; für Fluggesellschaft B beträgt sie 0.3 und für Fluggesellschaft C 0.2. a) Ein Passagier wählt zufällig eine Maschine aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird sein Gepäck nicht fehlgeleitet? b ) Ein Passagier kommt in Y an und sein Gepäck fehlt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit saß er in einer Maschine der Gesellschaft B? c ) Sind die beiden Ereignisse E-f. "Ein Passagier fliegt mit Fluggesellschaft A" und E2'- "Sein Gepäck wird fehlgeleitet" voneinander unabhängig?

60 8

Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariable

und

Verteilungen

Bei der Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten stößt man häufig auf Schwierigkeiten, die zugrundeliegenden Ereignisse richtig zu beschreiben. Dies läßt sich dadurch überwinden, daß man die Wahrscheinlichkeit nicht unmittelbar als Abbildung von iP(£2) nach dem Intervall [0,1] betrachtet, sondern vorher den Ereignisraum Q in die reellen Zahlen abbildet. Dadurch erhält man einen neuen Ereignisraum, dessen Elemente reelle Zahlen sind. Bildet man auf dieser Menge von reellen Zahlen ein iP(£2) entsprechendes Mengensystem, dann entsprechen die gemäß der Abbildung von Q nach R abgebildeten Ereignisse den "Originalereignissen". Mit einem durch die gleiche Abbildung erzeugten Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem von R erzeugten Mengensystem lassen sich dann die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten bestimmen. 8.1

Zufallsvariable

8.1.1 Definition (Zufallsvariable) Eine Abbildung X: n R mit der Eigenschaft, daß das Urbild eines jeden Intervalls aus R ein Ereignis aus R mit X(0,0,0) = 0 X(0,0,1) = X(0,1,0) = X(1,0,0) = 1 X(0,1,1) = X(1,0,1) = X(1,1,0) = X(2,0,0) = X(0,2,0) = X(0,0,2) = 2 X(1,1,1) = X(0,1,2) = X(1,0,2) = X(1,2,0) = X(0,2,1) = X(2,0,1) = X(2,1,0) = 3 X(0,2,2) = X(2,0,2) = X(2,2,0) = X(2,1,1) = X(1,2,1) = X(1,1,2) = 4 X(2,2,1) = X(2,1,2) = X(1,2,2) = 5 X(2,2,2) = 6 Ein Funktionswert x von X, also die Zahl x e R , deren Urbild X" 1 (x) ein Ereignis Ae i > ( Q ) ist, d.h. für die gilt X(A) = x, heißt R e a l i s i e r u n g oder R e a l i s a t i o n der Zufallsvariablen X. 8.2

Verteilung

8.2.1 Definition (Verteilungsfunktion) Die Funktion F: R [0,1], die jedem Intervall (-~,x] die Wahrscheinlichkeit P({coeß| X(0) sei, und sei B das Ereignis, daß die Glühbirne über tg hinaus noch bis zum Zeitpunkt t-j (t-| >tg) weiterarbeitet. Interessiert man sich nun für die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine Glühbirne, nachdem sie schon bis zum Zeitpunkt to gebrannt hat, auch noch bis zum Zeitpunkt ti weiterbrennt, d.h. für die bedingte Wahrscheinlichkeit

dann erhält man

80

Wahrscheinlichkeitstheorie

= e~^to,

für das Ereignis A (Funktionszeit bis mindestens tg): P(A) für das Ereignis A n B (Funktionszeit von tg bis t-|): weil t i

nur erreicht w e r d e n

kann, nachdem tg

P ( A n B ) = e"^ 1 " 1 ,

erreicht w o r d e n

ist.

Damit

gilt: -U-i P(B|A) = e"

= U

e

'U1+Xt0=

e^^l^O).

0

D i e s e s E r g e b n i s w i r d ü b l i c h e r w e i s e als die Gedächtnislosigkeit Exponentialverteilung b e z e i c h n e t . Es kommt nur auf die Zeitdifferenz nicht jedoch wo diese Zeitdifferenz anfällt. 1 0 . 5 Die Erlang-Verteilung Eine erste V e r a l l g e m e i n e r u n g der Exponentialverteilung metrige unimodale E r l a n g v e r t e i l u n g . Eine Zufallsvariable mit der Dichte f:R->R 0 e

(n-1)!

zweipara-

tfür - x > n0

heißt Erlang-verteilt

Eine Kurzschreibweise

die

für x < 0

i x" - ' X

mit ne N und X > 0

ist

der an,

mit

Parametern

X und n.

ist X ~ P(n,X).

Dichten mit den Parametern X=3 und n=3 bzw. n=6 sehen folgendermaßen aus:

Für n=1 ist die Exponentialverteilung

zurückgewonnen.

81

10 Stetige Verteilungen

10.6 Die Weibull-Verteilung Eine zweite Verallgemeinerung der Exponentialverteilung metrige unimodale W e i b u l l - V e r t e i l u n g . Eine Z u f a l l s v a r i a b l e mit d e r D i c h t e f: R - > R 0

ist d i e

zweipara-

für x < 0

f(x):={ nx

n-1

Xe

-Xx

n furx>0

mit n s N u n d X > 0 h e i ß t W e i b u l l - v e r t e i l t

mit

den

Parametern

X u n d n.

Eine Dichte mit d e n P a r a m e t e r n X = 0 . 2 5 und n=2 sieht f o l g e n d e r m a ß e n aus:

10.7 Die Hyper-Exponentialverteilung Eine dritte V e r a l l g e m e i n e r u n g der Exponentialverteilung Exponentialverteilung: Eine Z u f a l l s v a r i a b l e mit d e r Dichte f: R - > R 0 f(x):= ^

Für n = 1 folgt e r n e u t die

die

Hyper-

für x < 0 mit Ä.j>0 u n d X

n

X i=l

ist

e

1

für x > 0

Exponentialverteilung.

ai

= l,neN.

82

Wahrscheinlichkeitstheorie

1 0 . 8 Die b e i d s e i t i g e Exponentialverteilung Eine vierte V e r a l l g e m e i n e r u n g der Exponentialverteilung tige Exponentialverteilung. Eine Zufallsvariable mit der Dichte f: R - > R

{

beidsei-

X -e

x -ix

- e

heißt b e i d s e i t i g

ist die

, x0

,x>0

exponentialverteilt

mit

Parameter

X.

Dichten mit den Parametern X=1,2,3 sehen folgendermaßen aus:

Anwendungsbereiche dieser Verteilungen sind etwa: Die Lebensdauer von Glühbirnen oder anderen technischen Aggregaten oder die Servicezeit an S c h a l t e r n werden t y p i s c h e r w e i s e durch Exponentialverteilungen beschrieben. Auch die Sterbewahrscheinlichkeit von Säuglingen wird durch eine Exponential-Verteilung beschrieben.

10 S t e t i g e V e r t e i l u n g e n

83

1 0 . 9 Die N o r m a l v e r t e i l u n g (Gauß-Verteilung) Eine Zufallsvariable mit der Dichte f:R->R (x-n)2 f(x):=—L=e

2ct

2

V 27tG heißt n o r m a l v e r t e i l t

mit Parametern

neR,a2eR++.

Eine verbreitete Kurzschreibweise ist rA£(|i,o2). Eine Kurvendiskussion von f(x) liefert

sofort:

1. f ist symmetrisch um den Extremwert n, d.h. f'(p.)= 0. 2. f ist streng monoton steigend von -«> bis

und streng monoton

fallend

von |i bis 3. f hat zwei Wendepunkte in n ± o Damit

ist

f,

eine

stetige

H-ct Üblicherweise

Funktion,

|i

vollständig

beschrieben:

n+a

bezeichnet man sie als Glockenkurve

der

Normalverteilung.

Die numerischen Werte sind aus Tafel 3 zu entnehmen. Für die Verteilung gibt es keinen geschlossenen Ausdruck, d.h. es existiert keine Stammfunktion F(x). Aber die entsprechenden Werte der Fläche unter obiger Kurve können numerisch gefunden werden. Deswegen ist eine Tabelle der einzige Weg, F(x) schnell verfügbar zu haben.

84

Wahrscheinlichkeitstheorie

Eine in der Wirtschaftstheorie erforderliche Modifikation ist die sog. n o r m a l e V e r t e i l u n g . Die zugehörige Dichte ist f: (-°°,|i]->R

halb-

_ (x-ll)2 f(x) :=

V

.

= e 2(J2

2KG

in der die Variable auf eine Halbachse beschränkt ist. 10.10 Die l o g n o r m a l e V e r t e i l u n g Eine verwandte Verteilung ist die l o g n o r m a l e Eine Zufallsvariable mit der Dichte f. R->R (lnx-a)2

1 ,

1 f(x) := .-.e / 2 x V 271(7 heißt l o g n o r m a l - v e r t e i l t

mit

:r~ 2ct

Verteilung.

2

/ x>0, c >0, ae R

Parametern

a und

c2.

Diese Dichte spielt ähnlich wie die Pareto-Verteilung in Größenverteilungen eine Rolle. Ein Bild der Normal-Verteilung (W. J. Youden) DIE N O R M A L ODER GAUSS VERTEILUNG IST EINES DER HERVORRAGENDSTEN ERGEBNISSE DER STATISTIK UND DER MENSCHLICHEN ERKENNTNIS ALL GEMEIN * SIE IST HEUTE EIN NAHEZU UNENTBEHRLICHER BEGRIFF FUER DIE EMPIRISCHE FORSCHUNG IN DER NATUR- UND SOZIALWISSENSCHAFT, IN MEDIZIN, LANDWIRTSCHAFT UND INGENIEURWISSENSCHAFTEN * FUER DIE ANALYSE VON DATEN UND GRUNDWISSEN, DIE SICH AUS BEOBACHTUNG UND EXPERIMENT AUFBAUEN.

10 S t e t i g e V e r t e i l u n g e n

10.11 Die Cauchy

Verteilung

Eine Zufallsvariable mit der

Dichte

t: R->R f(x) := K

k 2 2 ( k + (x-m) )

heißt Cauchy-verteilt

mit

, 0 < k. - ° o < x < ° °

Parametern

Das Maximum der Dichte liegt in x=m:

k und

m.

85

86

Wahrscheinlichkeitstheorie

1 0 . 1 2 Die t-Verteilung (Students Eine Zufallsvariable mit der Dichte f: R - > R

t-Verteilung)

n ^ l ) f(t):=

V^nJ> + V

— . - °° < t < °°

(1 + )n+1

ir

heißt t - v e r t e i l t mit n Freiheitsgraden. Der Parameter n wird als Freiheitsgrad der Verteilung Mit n=1 und n^-) = Vit folgt

aus

der t-Verteilung

die

bezeichnet. Cauchy-Verteilung

k=1. Dichten mit n=5 bzw. n=9 Freiheitsgraden sehen folgendermaßen aus:

mit

10 Stetige Verteilungen

87

1 0 . 1 3 Die Beta-Verteilung Eine Zufallsvariable mit der Dichte f: R - > R r(a+ß)xa"1(l-x)ß"1

0< x< 1

HcO n p )

, 0 < a,ß

f(x) := { , sonst

0 heißt b e t a - v e r t e i l t

mit

Parametern

a und ß.

Dabei ist f ( z ) die Gammafunktion H z ) :=

I f

°°

x

z

'

]

e"

x

a^ x , 0 < z, 0 < x < •

•'0 Die Beta-Dichte Dichten:

ist eine zentrale

G r ö ß e . A u s ihr folgen z a h l r e i c h e

1 0 . 1 4 Die F i s h e r s c h e F - V e r t e i l u n g Eine Zufallsvariable mit der Dichte f: [0,°o) -> R r(-i—=) f

2

f(x) :=

r A r Ä 2 2 heißt

F-verteilt f(x)

mit

1

f

1 (

L

2

x v ,0< f

f

Parametern

^

W f-)

* und f2-

2 ganzzahlig, 0 < x < •

andere

88

Wahrscheinlichkeitstheorie

Mit f-) = 1, f2 = f sowie x = t 2 folgt aus der F-Dichte die t-Dichte. Mit a =: f-j /2,

ß =: f2/2, F:= (fi/f2)[x/(1-x)]

und f-| ,f2 ganzzahlig

ist die F-

Verteilung ein Sonderfall der Beta-Verteilung. Man beachte den Zusammenhang zur Binomialverteilung (den Rollentausch von Variablen und Parametern), d.h.: mit ganzzahligen a.und ß und x als Parameter erhält man die Binomial-Verteilung. 10.15 Die G a m m a - V e r t e i l u n g Eine Zufallsvariable mit der Dichte f: ( O H -> R a-1 -x/ß f(x) := — , 0 < Ot,ß , 0 < x < °° a ß Ha) heißt g a m m a - v e r t e i l t mit Parametern Die Kurzschreibweise sei G(a,ß).

a und ß.

10.16 x2(Chi-Quadrat)-Verteilung Eine Zufallsvariable mit der Dichte f: [0,~) R 7/2-1 x/2 f(x) := — ,0 1 a-1

Für d ie Varianz folgt: var(X) = E(X2) - E(X) 2 mit: a-1 E(X 2 )= I

x 2 f ( x ) d x = aba I

K

l 0

, a I = -ab fI J

z

a 2 " a-3 , , az dz = -ab aU a-2

(ij

b

w

dx

n u2 iu ab I , ,, = fur a > 2 , 'Vb a-2

also var(X) =

K2 ab

2 2 K a b

V,2 ab

a-2

(a-1) 2

(a-2)(a-l) 2

11.3.12 Beispiel Die Dichte dieses Beispiels zeigt, daß eine stetige Verteilung keinen Erwartungswert zu besitzen braucht. Sei die Dichte 100] P[X>0] = E(X) E(X 2 1 4 ) P U ) = E[X 2 1 X>0] P[X>0] = E(X 2 ), usw. Aus der Definition der Varianz folgt dann die Ungleichung: C)

E(X2)>E[X I X>0I2P|X>0],

sowie aus der Verteilungsannahme, daß der bedingte Mittelwert nur größer als der unbedingte ist: E(X 2 ) > E[X] 2 P[X>0). Dies gibt eine erste, triviale, obere Abschätzung: P(X>0] {Kovarianz=0} nicht der Umkehrschluß, d. h. {Unabhängigkeit} {Kovarianz=0}. Auch hierfür gibt es Gegenbeispiele (Ferguson, 1969, S.112). 12.2.8 D e f i n i t i o n ( K o r r e l a t i o n s k o e f f i z i e n t p) Die Kovarianz zweier standardisierter Zufallsvariablen Korrelationskoeffizient p p = Cov(X*,Y*) = f

X*, Y* heißt

f D l x * - E(X*)] [y* - E(Y*)] f*(x,y) dxdy,

wobei f*(x,y) die gemeinsame Dichte von X* und Y* bezeichnet.

12.2.9 B e m e r k u n g ( K o r r e l a t i o n s k o e f f i z i e n t Für den Korrelationskoeffizienten gilt (i) -1 < p < 1 (ii)

wieder

und

^

Linearität)

p = ± 1 » Y = a + bX(a,beR).

Der Beweis zu Satz 12.1.12 gilt für alle Zufallsvariable, also insbesondere auch hier. 12.2.10 p 2 =: R2

Definition wjrc| a|s

Bestimmtheitsmaß

Offensichtlich ist 0 < R 2 < 1.

bezeichnet.

^

12 Zweidimensionale 12.2.11

Zufallsvariable

119

Satz

Für unabhängige Zufallsvariable X und Y gilt wieder p = 0 und R 2 =0. Der Beweis ist wieder eine unmittelbare Folgerung aus Satz 12.1.4. 12.3

Bedingte

Verteilungen

In Erweiterung zum e i n d i m e n s i o n a l e n Fall e r l a u b t der V e r t e i l u n g s b e g r i f f folgende Verallgemeinerung: Aus der Definition der Verteilung F(x,y) = P[X< x u n d Y< y] ist es offensichtlich, daß auch andere Wahrscheinlichkeiten der Weise bestimmt werden können, etwa:

in

entsprechen-

P[ X ist höchstens halb so groß wie Y] = y=+oo y/2 P[X < 0.5 Y] = I I f(x,y) dxdy. j

Ein weiteres Beispiel

V—-OO

'

\ :

-L. :

ist:

P[ X+Y < c, 09

Eine beliebige Verteilung mit E(X) und var(X)

E(X)=np var(X)=np(1 -p)

13 Stichprobenverteilungen 13.6

139

Aufgaben:

Aufgabe

13.6.1:

In vielen Anwendungen der Binomialverteilung B(n,p) ist n groß und p klein und außerdem das Produkt np:= X konstant sowie sehr klein. In dieser Situation kann die Binomialverteilung wie folgt durch die Poissonverteilung P ( X ) wie folgt angenähert werden. Sei p 0 von B(n,p) durch eine Taylorreihe angenähert, d.h. PO = (1 - p) n = (1 -

« In po = n ln(l - p) = n lnCl -

und (1)

2 In pg = - X - — - . . . bzw für große n lnpo = -A. po = 2n

Für zwei aufeinanderfolgende Werte der Zähldichte von B(n,p), d.h. das Verhältnis ,X k 1 npi— - — - —) n n n =* + , k>0 Pk-1 k k(l-p) ergibt sich mit den Voraussetzungen (np const.; n -» •») für ein festes beliebiges k Pk

Pk-1

i. n k

, k Daraus ergibt sich jedoch die Poissonverteilung (s.o. 9.7):

—e

_x

,k=0,l,2,...

Zeigen Sie die Annäherungschritte im Detail und beweisen Sie damit (1) und (2). Aufgabe 13.6.2 Wie groß ist näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei 10 000 Würfen mit einem fairem Würfel das arithmetische Mittel der Augenzahlen um höchstens 0.035 von dem Mittelwert 3.5 abweicht ( 1 % Abweichung ) ? Aufgabe 13.6.3 Die Sterblichkeitsrate von Ratten, die mit einer bestimmten Seuche infiziert worden sind, beträgt 0.8. In einer Versuchsreihe werden 120 Ratten infiziert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß weniger als 90 Ratten sterben? Aufgabe 13.6.4 Ein Prozent einer bestimmten Population sei farbenblind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 500 zufällig ausgewählten Personen dieser Population a) höchstens drei Personen farbenblind, b ) mindestens zwei Personen farbenblind? c ) Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariablen, welche die Anzahl der Farbenblinden unter den 500 Untersuchten Personen beschreibt. Aufgabe 13.6.5 In einem Fertigungslos von N = 1000 Sicherungen sind M = 10 Sicherungen defekt. Zur Kontrolle werden n = 30 Sicherungen ohne Zurücklegen entnommen und überprüft. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß a) genau zwei der entnommenen Sicherungen, b ) höchstens drei der entnommenen Sicherungen defekt sind.

140 14

Induktive Statistik Punktschätzverfahren

Im a l l g e m e i n e n sind die Parameter von Verteilungen, die bei statistischen Untersuchungen auftreten, nicht bekannt. Deshalb versucht man, Werte für diese Parameter mit Hilfe von Stichproben und deren Realisierungen so zu bestimmen, d a ß begründet davon ausgegangen werden kann, daß die so erhaltenen Parameterwerte den wahren, aber unbekannten Parametern entsprechen. Da die so bestimmten numerischen Werte mit den wahren Parametern nicht übereinstimmen müssen - der numerische Wert ist immer mit einem gewissen Fehler behaftet -, werden sie daher als S c h ä t z w e r t e bezeichnet. Man geht a l s o davon aus, daß ein zu untersuchendes Merkmal auf einer G r u n d g e s a m t h e i t einer bestimmten Verteilung unterliegt, deren Parameterwerte mit Hilfe einer Stichprobe ermittelt w e r d e n . Sei f ( x ; 0 ) die (Zähl)-Dichte einer Verteilung einer Zufallsvariablen X mit den unbekannten Parameter ©eR* 3 (Der Einfachheit

halber wird im folgenden

oft

davon ausgegangen daß p=1 ist, d.h., daß nur ein Parameter zu bestimmen ist. (Tatsächlich

gelten

die

Überlegungen

jedoch

allgemein

für

p>1).

Sei

( X i , X 2 , . . . , X n ) eine Zufallsstichprobe aus der betrachteten Grundgesamtheit. Dann sind alle Xj (i= 1,2,...,n) entsprechend der (Zähl)-Dichte f(x;0) verteilt. Ein

Schätzwert

ist

dann

eine

( S c h ä t z f u n k t i o n ) g: R n e-g(xi,x2

Realisierung

der

Stichprobenfunktion

RP xn)

d.h. bei vorliegender Stichprobenrealisierung

(x-| ,X2,..-,x n )

e = g(x-|,x2,...,x n ). M.a.W. die Menge der n Beobachtungen unabhängiger von

dem

und

identisch

p-dimensionalen

verteilter

(x-| , X 2 , . . . , x n )

Zufallsvariablen,

Parameter

0

sind deren

Realisierungen (Zähl-)

a b h ä n g t . Offensichtlich ist 0

Dichte eine

Zufallsvariable. 14.1 Sei

Das

Maximumlikelihood-Prinzip

( X i , X 2 , . . . , X n)

unabhängig

und

eine

von

Zufallsstichprobe,

identisch

verteilte

f ( x ; 0 ) , wobei der Parameter 0

R.A.Fisher d.h.

unbekannt ist.

Dann wird die Funktion n (1)

£=rif(xii0) i=l

als L i k e l i h o o d f u n k t i o n ,

und ihr

alle

Zufallsvariablen

Logarithmus

Xj mit

(i= der

1,2,...,n)

sind

(Zähl)-Dichte

141

14 Punktschätzverfahren n

(2)

L = Dlnf(xil0) i=l

als L o g l i k e l i h o o d f u n k t i o n Mit

diesen

bezeichnet.

Vereinbarungen

kann

das

Problem

der

Schätzung

wie

folgt

angegangen werden. Für die S c h ä t z u n g von 0 , d.h. die numerische Bestimmung von Werten 9 für 0 wird die Likelihoodfunktion maximiert, d.h. es werden Werte 0 so gewählt, d a ß (1) bzw. äquivalent (2) möglichst g r o ß wird. D i e s e s Optimierungsproblem wird als Fishersche Maximumlikelihoodschätzung bezeichnet. Den Übergang von der Likelihoodfunktion zur Loglikelihoodfunktion vollzieht man häufig, weil d a s Maximum der Loglikelihoodfunktion in vielen Fällen leichter als das Maximum der Likelihoodfunktion zu bestimmen ist. A u ß e r d e m interessiert man sich beim Maximum-Likelihood Verfahren nicht für den Maximalwert selbst, sondern nur für d e s s e n Lage. Diese wird jedoch durch Logarithmieren nicht verändert, w i e der f o l g e n d e Satz zeigt. Der formalen Einfachheit w e g e n wird dies nur für d e n e i n d i m e n s i o n a l e n Fall gezeigt (p=1).

14.1.1 Sei

Satz

(Monotone

f(z) eine

beliebige

Transformationen

Funktion

R - > R und

in sei

der für

Optimierung) einen

Optimalpunkt

zg

d e s s e n Umgebung U betrachtet. f ( z 0 ) > Hz), Mit einer

zeU(zo)

monotonen Transformation g: R

-> R bleibt die Lage des

Optimal-

punkts unberührt, d.h.: g(f(z 0 )) > g(f(z)), z e U ( z 0 ) .

Beweis: Ein Extremum wird d u r c h f'(z) transformierte Funktion gilt:

de dz

de df df dz =

2

df dz

„

d_ dg df dz df dz

damit

nach die

bestimmt Ein

charakterisiert.

Für

die

monoton

„

von

g das

ob

Vorzeichen

Maximum

oder

der

zweiten

nicht)

Ableitung

ausschließlich

wird.

Hauptfall

schätzung

Monotonie

Entscheidung,

de dz

0

dg dY df V, 2 ' dz

dz woraus

=

(und aus

f

If einer

ist der

monotonen

Logarithmus.

Transformation

in

der

Maximumlikelihood-

142

Induktive

14.1.2 Beispiel Für die Dichte

Statistik

(Der

ML-Schätzer

00 0 sonst sowie eine Zufallstichprobe {X-| ,X2

für

die

Exponentialverteilung)

,

f(x) = (

X n } ist die Likelihoodfunktion:

n L =

YlXe

X x i

,

i=l

bzw. die

Loglikelihoodfunktion: n L = n lnX - A. Z i=l

•

Eine notwendige Extremumsbedingung 1. Ordnung ist: n dL n ^ Ä

=

r

£ X i = 0

i=i Die zweite Ableitung d \ dX

= 2

n X

-

ist:

< 0.

2

Damit ist die Lösung, der ML-Schätzer, X= X ein maximierendes X. 1 4 . 1 . 3 Beispiel (Der ML-Schätzer für die Für die Dichte f: R -> R 1 f(x) = -°°1, > o, für a 0. Außerdem wird der Ausschluß von a=1 in der Definition der Dichte verständlich. Hält man einen der beiden Parameter konstant, dann kann der andere durchaus mit dem ML-Verfahren geschätzt werden (siehe etwa Schlittgen 1990, S.206). 1 4 . 1 . 6 B e i s p i e l (Der Verteilung)) Für die Dichte

ML-Schätzer

(x-n) f(x)=-^L=e"

2(J

für

die

Normalverteilung

(Gauß-

2

2

V 27IG mit den beiden Parameter )ieR, o 2 > 0, sowie einer Zufallstichprobe {X-], X2,...., X n } ist die Likelihoodfunktion n

(*i-H>

2

2a2

L = n T j = * i=1

sowie

die

V 27to Loglikelihoodfunktion n I>,

(5)

L = -n ln(V2n) - y Ina2 - —

V .

2a2 Der erste Term in (5) ist für die ML-Schätzung unbeachtlich (er verschwindet beim Ableiten!) und wird daher oft gar nicht aufgeführt. Notwendige Extremumsbedingungen sind n Z 0 nach n aufgelöst werden. Ebenso folgt aus der zweiten

Normalgleichung

(7)

eine

Bestimmungsgleichung

für

a2,

nachdem

n

eingesetzt ist. Weiter beachte man, daß aus historischen Gründen nach a 2

14 Punktschätzverfahren

147

und nicht nach a abgeleitet wurde! Als Ergebnis folgen die Schätzer n

H = — y x :1 = X und n ^ i=l _

1

2

°

=n

Ii

~ 2

i=l

2

=s •

Die Tatsache, daß es sich um ein Maximum handelt, wird aus den zweiten Ableitungen unter Berücksichtigung der Bedingungen erster Ordnung klar: I(xrli) i=i

a i 2

3n3n

2

(O )

o ¿(xrn) 2

3|iâo

(a )

= 0,

2

•=0

2

I i=l 2 2 da da

2a

4

2a

4

a

4

-< 0 2a

bzw.

H :

; det (H) = - — a

2

0 . 2a

2

2a

Hiermit

ist das

\ Determinantenkriterium

für ein M a x i m u m

erfüllt.

1 4 . 1 . 7 B e i s p i e l (Der M L - S c h ä t z e r für e i n e ein(-zwei)parametrige Verteilung) Sei X eine diskret verteilte Zufallsvariable mit der Zähldichte P(X=xi)= ap P(X=x 2 ) = (l-a) p; P(X=x3)=

000 n — n — > 0 0 ri

15.2

2

Effizienz

15.2.1 Ein

2

0 = 0 .

Definition

Schätzer

Teilmenge

©

heißt

sonstiger

unterscheiden

(Effizienz) effizienter

als

Eigenschaften

ein sich

Schätzer beide

nur

0, falls in

der

in

einer Varianz

und

var(@) < v a r ( 0 ) ist.

f

Mit d i e s e m B e g r i f f h ä n g t e b e n f a l l s d i e B e z e i c h n u n g z u s a m m e n , d a ß e i n S c h ä t z e r b e s t e n s sei. E s heißt, daß d i e s e r b e s t e S c h ä t z e r in einer K l a s s e (z.B. d e n l i n e a r e n u n d u n v e r z e r r t e n ) v o n S c h ä t z e r n die k l e i n s t e V a r i a n z hat.

157

15 Eigenschaften von Schätzern 15.2.2 Beispiel (Mittelwertschätzer) Man vergleiche die drei Mittelwertschätzer H = X,

E(X) = n ,

, n-l n = a( — - X Xj ) + (1-a) X n / 0 a 0

Unterfall 4 (ein einseitiger

Test):

2

H 0 : o 2 := öq 2

H-|: a 2 :< a 0 als Stichprobenfunktion auf die beiden Schätzer für o 2 — n , n . 2 (xrn) 2 (x: - (i) o =y — und 0 = y . n n-1 i=l i=l Die

Stichprobenfunktion

Theorie des

(in

vier

Konfidenzintervalls

äquivalenten

erläutert)

zurückgegriffen:

Schreibweisen,

für a 2 ist:

wie

in

der

17 Parametrische Tests

£(x,-X)2 z:=

i=1

o

_ =

2

193

_

2 nS 2 0 n 0 (n-1) . = = und z ~ y „ i • 2 2 2 n-1 o a a

Damit kann in Abhängigkeit von der Irrtumswahrscheinlichkeit 1. Art der entsprechende Verwerfungsbereich für die jeweilige Nullhypothese bestimmt werden. Für den 2. Unterfall (dieser wird behandelt, da er besonders einfach in Analogie zum Konfidenzbereich behandelbar ist, vergl. oben Beispiel 16.1.14, bei dem in gleicher W e i s e von der Parallelität der formalen Entwicklung Gebrauch gemacht ist) folgt nach Entnahme der zugehörigen Tafelwerte aus der X 2 -Verteilung-Tabelle ein beidseitiges Intervall: P[Ty < z < T 0 ] = 1 - a, 0< a MO

M ^ M„

M < MO

M = M, 0

M ^ MO

Me [nfn2]

M « t^-Mgl

t-Werte g e m ä ß Dabei

Student's

_ 2 2 1 — ist s * = — - Y ( x1r x ) n-l . , 1=1

H q kann nicht verworfen werden, x e

M0 + t 1 - a '

falls

S* "7= Vn

x s

[ M o - t 1-a ' - 7 = . ) ^S* [ M o " 1 1-a/2 '—/=< Mo + t 1-o/2 Vn s* x e [Ml"t1-a/2 ' - 7 = . M 2 + tl-a/2 Vn t-Verteilung

mit n - 1

Freiheitsgraden.

s* '-7=] Vn s* -7=] Vn

17 Parametrische Tests Grundgesamtheit

199

normalverteilt;

Tests für a 2 :

H

2 CS

H

o 2

"

ö

c

0

2

>

Hg kann 2 a

0

s ^

nicht

verworfen werden,

( o . x L - i i 2

2 a

2 "

°0

2 °0

.2

2

2

»2

II

2 a

a

*

°0

n-1

S

X 2 - W e r t e a u s der x 2 - V e r t e i l u n g s t a f e l Dabei ist s*

2

2

2 Ö