Dubbel: Taschenbuch für den Maschinenbau 3540221425, 9783540221425

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Mathematik Mechanik Festigkeitslehre Thermodynamik Werkstofftechnik Grundlagen der Konstruktionstechnik Mechanische Konstruktionselemente Fluidische Antriebe Mechatronische Systeme Komponenten des thermischen Apparatebaus Energietechnik Klimatechnik Grundlagen der Verfahrenstechnik Maschinendynamik Kolbenmaschinen Fahr- und Flugzeugtechnik Str
mungsmaschinen Fertigungsverfahren Fertigungsmittel F
rdertechnik Elektrotechnik Meßtechnik und Sensorik Regelungstechnik Elektronische Datenverarbeitung Allgemeine Tabellen Sachverzeichnis

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Dubbel
Taschenbuch fr den Maschinenbau

Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau

Einundzwanzigste, neubearbeitete und erweiterte Auflage Auflage Herausgegeben von

K.-H. Grote und J. Feldhusen

Mit Mit mehr mehr als als 3000 3000 Abbildungen Abbildungen und und Tabellen Tabellen

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4y Springer

Herausgeber Professor Dr.-Ing. Karl-Heinrich Grote Otto-von-Guericke-Universit
t Magdeburg California State University, Long Beach, USA Professor Dr.-Ing. J
rg Feldhusen Rheinisch-Westf
lische Technische Hochschule Aachen

Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet ber aufrufbar.

ISBN 3-540-22142-5 21. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 3-540-67777-1 20. Aufl. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschtzt. Die dadurch begrndeten Rechte, insbesondere die der bersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielf
ltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielf
ltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zul
ssig. Sie ist grunds
tzlich vergtungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science + Business Media springer.de  Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1929, 1935, 1940, 1941, 1943, 1953, 1961, 1970, 1974, 1981, 1983, 1986, 1987, 1990, 1995, 1997, 2001 and 2005 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten w
ren und daher von jedermann benutzt werden drften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z.B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gew
hr fr Richtigkeit, Vollst
ndigkeit oder Aktualit
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ndigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gltigen Fassung hinzuzuziehen. Einbandgestaltung: Friedhelm Steinen-Broo, Estudio Calamar, Pau/Spanien Herstellung: Birgit Mnch, Berlin Satz, Druck und Verarbeitung: Strtz AG, Wrzburg Anzeigen: Renate Birkenstock, Springer, Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Tel. 0 30 / 8 27 87-7 32, Fax: 0 30 / 8 27 87-3 00, e-mail: [email protected] Gedruckt auf s
urefreiem Papier

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Mitarbeiter der 21. Auflage

Wegen der durch die Hochschulgesetzgebung der Bundesl
nder vorliegenden unterschiedlichen Regelungen zur Titelgebung werden die Professorentitel der Autoren undifferenziert angegeben. Anderl, R., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Darmstadt Berger, C., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Darmstadt Bohnet, M., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Braunschweig B
ttcher, C., Dipl.-Ing., IWS Ingenieur-Consult GmbH, Kln Bruns, R., Dr.-Ing., Prof., Universit
t der Bundeswehr, Hamburg Burr, A., Dr.-Ing., Prof., Fachhochschule Heilbronn Czichos, H., Dr.-Ing. Dr. h.c., Prof., Bundesanstalt fr Materialforschung und -prfung (BAM), Berlin Daum, W., Dr.-Ing., Prof., Bundesanstalt fr Materialforschung und -prfung (BAM), Berlin Deters, L., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universit
t Magdeburg Dibelius, G., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westf
lische Technische Hochschule Aachen Dietz, P., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Clausthal Dorn, L., Dr.-Ing. Dr. h.c., Prof., Technische Universit
t Berlin Feldhusen, J., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westf
lische Technische Hochschule Aachen Feldmann, D.G., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Hamburg-Harburg Fischer, C., Dipl.-Ing., Berliner Kraft- und Licht AG – Bewag, Berlin Flemming, M., Dr.-Ing., Dr. Ing. E.h., Prof., Eidgenssische Technische Hochschule Zrich/Schweiz Gelbe, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Gevatter, H.-J., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Gold, P.W., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westf
lische Technische Hochschule Aachen Goldhahn, H., Dr.-Ing. habil., Prof., Technische Universit
t Dresden Grabowski, H., Dr.-Ing., Dr. h.c., Prof., Universit
t Karlsruhe Grote, K.-H., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universit
t Magdeburg Grnhaupt, U., Dr.-Ing., Prof., Fachhochschule Karlsruhe Gugau, M., Dr.-Ing., Technische Universit
t Darmstadt Gnthner, W., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Mnchen Habig, K.-H., Dr.-Ing., Prof., Bundesanstalt fr Materialforschung und -prfung (BAM), Berlin Hager, M., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Hannover Hainbach, C., Dr.-Ing., Institut fr K
lte-, Klima-, und Energietechnik (IKET) GmbH, Essen Harsch, G., Dipl.-Ing., Prof., Fachhochschule Heilbronn Hecht, M., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Hempel, D.C., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Braunschweig Herfurth, K., Dr.-Ing. habil., Prof., Verein Deutscher Gießereifachleute VDG, Dsseldorf H
hn, B.-R., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Mnchen H
lz, H., Dipl.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Kaßner, M., Dipl.-Ing., Technische Universit
t Braunschweig Kerle, H., Dr.-Ing., Technische Universit
t Braunschweig

VI

Autoren

Kiesewetter, L., Dr.-Ing., Prof., Brandenburgische Technische Universit
t Cottbus Kr
mer, E., Dipl.-Ing., ABB Kraftwerke AG, Baden/Schweiz Krause, F., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universit
t Magdeburg Lackmann, J., Dr.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Lehr, H., Dr. rer. nat., Prof., Technische Universit
t Berlin Ldtke, K., Dipl.-Ing., MAN Turbomaschinen AG, Oberhausen/Berlin Mareske, A., Dr.-Ing., Bewag, Berlin Mersmann, A., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Mnchen Mertens, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Mollenhauer, K., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Mrl, L., Dr.-Ing., Prof., Fachhochschule Karlsruhe Motz, H.D., Dr. rer. sec., Dipl.-Ing., Prof., Bergische Universit
t Wuppertal Nordmann, R., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Darmstadt Pahl, G., Dr.-Ing., Dr. h.c., Dr.-Ing. E.h., Prof., Technische Universit
t Darmstadt Poll, G., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Hannover Poppy, W., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universit
t Magdeburg Pritschow, G., Dr.-Ing. Dr. h.c., Prof., Universit
t Stuttgart Pucher, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Rkczy, T., Dr.-Ing., Prof., Brandi-IGH Ingenieure GmbH, Kln Reinhardt, H., Dr.-Ing. habil., Prof., Fachhochschule Kln Ruge, P., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Dresden Schwedes, J., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Braunschweig Seidel-Morgenstern, A., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universit
t Magdeburg Seiffert, U., Dr.-Ing., Prof., WiTech Engineering GmbH, Braunschweig Seliger, G., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Severin, D., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Siegert, K., Dr.-Ing., Dr. h.c., Universit
t Stuttgart Siekmann, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Spur, G., Dr.-Ing. Dr. h.c. mult., Prof., Technische Universit
t Berlin Stephan, K., Dr.-Ing. Dr. h.c. mult., Prof., Universit
t Stuttgart Stephan, P., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Darmstadt Stiebler, M., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Stoff, H., Dr.s sc. techn. (EPFL), Prof., Ruhr-Universit
t Bochum Thamsen, P.U., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Thomas, K., Dipl.-Ing., Technische Universit
t Braunschweig Tnshoff, H.K., Dr.-Ing. Dr. h.c. mult., Prof., Universit
t Hannover Tschke, H., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universit
t Magdeburg Uhlmann, E., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Voit-Nitschmann, R., Dipl.-Ing., Prof., Universit
t Stuttgart Wagner, G., Dr.-Ing., Prof., Ruhr-Universit
t Bochum Weck, M., Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h., Prof., Rheinisch-Westf
lische Technische Hochschule Aachen Westk
mper, E., Dr.-Ing., Dr. h.c. mult., Universit
t Stuttgart Wohlfahrt, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Braunschweig Wsle, H., Dipl.-Ing., Technische Universit
t Braunschweig Ziegmann, G., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Clausthal Die Mitarbeiter von zurckliegenden Auflagen des DUBBEL (ab der 14. Auflage) sind auf den Folgeseiten genannt. Damit werden diese Autoren gewrdigt und deren Beitr
ge, die fr die vorliegende und fr vorherige Auflagen kontinuierlich auch durch neue Autoren weiterentwickelt wurden.

Mitarbeiter der 14. bis 20. Auflagen Mitarbeiter Behr, B., Dipl.-Ing., Rheinisch-Westf
lische Technische Hochschule Aachen Beitz, W., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Berger, C., Dr.-Ing., Prof., Technische Hochschule Darmstadt Blaich, M., Dipl.-Ing., Stuttgart Bohnet, M., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Braunschweig Bothe, A., Dr., Prof., Fachhochschule Gelsenkirchen Bttcher, C., Dipl.-Ing., Brandi Ingenieure GmbH bzw. IWS Ing. Consult, Kln Bretthauer, K., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Clausthal Brockmann, H.-J., Dr.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Burr, A., Dr.-Ing., Prof., Fachhochschule Heilbronn Busse, L., Dr.-Ing., ASEA Brown Boveri, Mannheim Czichos, H., Dr.-Ing., Prof., Bundesanstalt fr Materialforschung und -prfung, Berlin Dannenmann, E., Dipl.-Ing., Universit
t Stuttgart Deters, L., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universit
t, Magdeburg Dibelius, G., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westf
lische Technische Hochschule Aachen Diehl, H., Dr.-Ing., Hochtemperatur-Reaktorbau GmbH, Mannheim Dietz, P., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Clausthal-Zellerfeld Dorn, L., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Dssler, W., Obering., Ratingen Ebert, K.-A., Dr.-Ing., Hattersheim Ehrlenspiel, K., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Mnchen Engel, G., Dr.-Ing., Rheinisch-Westf
lische Technische Hochschule Aachen Federn, K., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Feldmann, D.G., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Hamburg-Harburg Fiala, E., Dr. techn., Prof., Volkswagenwerk AG, Wolfsburg Fischer, C., Dipl.-Ing., BEWAG, Berlin Flemming, M., Dr.-Ing., Prof., ETH Zrich, Schweiz Fller, D., Dr.-Ing., Prof., Battelle-Institut e.V., Frankfurt a.M. Gasˇparovic´, N., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Gast, Th., Dr.-Ing. habil., Prof., Technische Universit
t Berlin Geiger, M., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Erlangen-Nrnberg Geiger, R., Dr.-Ing., Preß- und Stanzwerk Eschen, Liechtenstein Gelbe, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Gevatter, H.-J., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Gold, P. W., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westf
lische Technische Hochschule Aachen Goldhahn, H., Dr.-Ing. habil., Prof., Technische Universit
t Dresden Grabowski, H., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Karlsruhe Grote, K.-H., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universit
t Magdeburg Gugau, M., Dr.-Ing., Technische Universit
t Darmstadt Habig, K.-H., Dr.-Ing., Prof., Bundesanstalt fr Materialforschung und -prfung, Berlin Hager, M., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Hannover Hain, K., Dr.-Ing. E.h., Braunschweig Harsch, G., Dipl.-Ing., Prof., Fachhochschule Heilbronn Hecht, M., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Hempel, D.C., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Braunschweig Herfurth, K., Dr.-Ing. habil., VDG, Dsseldorf bzw. Technische Universit
t Chemnitz Hhn, B.-R., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Mnchen Hlz, H., Dipl.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Hner, K.E., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin J
ger, B., Dr.-Ing., Prof., Kraftwerk Union bzw. Siemens AG, Berlin Jarecki, U., Dipl.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Jnemann, R., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Dortmund Kerle, H., Dr.-Ing., Technische Universit
t Braunschweig Kiesewetter, L., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Klapp, E., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Erlangen-Nrnberg Klepper, H., Dr.-Ing., ASEA Brown Boveri, Mannheim Kloos, K.H., Dr.-Ing., Prof., Technische Hochschule Darmstadt Koch, E., Dipl.-Ing., BBC, Mannheim Kr
mer, E., Dr. rer. nat., Prof., Technische Hochschule Darmstadt Kr
mer, E., Dipl.-Ing., Alstom Power, Baden/Schweiz Kttner, K.-H., Dipl.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Lackmann, J., Dr.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Ladwig, J., Dipl.-Ing., Universit
t Stuttgart Lambrecht, D., Dr.-Ing., Universit
t Erlangen-Nrnberg

mitgearbeitet bei Auflage 17 18 14 15 16 17 18 19 20 14 15 16 17 18 19 20 19 20 14 15 16 17 18 19 20 14 15 16 14 15 16 17 18 19 20 17 18 19 17 18 19 20 14 15 16 17 18 19 20 14 15 16 17 18 19 14 15 16 19 14 15 16 17 18 19 14 15 16 14 15 16 17 18 14 15 16 17 18 14 15 16 14 15 16 19 14 15 16

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15 15 15 15

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Mitarbeiter der 14. bis 20. Auflagen

Mitarbeiter

mitgearbeitet bei Auflage

Lange, K., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Stuttgart Lehr, H., Dr. rer. nat., Prof., Technische Universit
t Berlin Lenz, H., Dipl.-Ing., Kln Lenz, W., Dr.-Ing., Daisendorf Liedtke, G., Ing., Borsig GmbH, Berlin Ldtke, K., Dipl.-Ing., Deutsche Babcock Borsig AG, Berlin Mareske, A., Dr.-Ing., BEWAG, Berlin Mauer, G., Dipl.-Ing., Rheinisch-Westf
lische Technische Hochschule Aachen Mersmann, A., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Mnchen Mertens, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Mollenhauer, K., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Motz, H.D., Dr., Prof., Bergische Universit
t Wuppertal Mller, H.W., Dr.-Ing., Prof., Technische Hochschule Darmstadt Nieth, F., Dr.-Ing., Technische Hochschule Darmstadt Nordmann, R., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Kaiserslautern bzw. Technische Hochschule Darmstadt Oehmen, H., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Hannover Opitz, W., Dr. techn., Graz Pahl, G., Dr.-Ing., Prof., Technische Hochschule Darmstadt Peeken, H., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westf
lische Technische Hochschule Aachen Poll, G., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Hannover Poppy, W., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Pritschow, G., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Stuttgart Pucher, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Rkczy, T., Dr.-Ing., Brandi Ingenieure GmbH, Kln Reinhardt, H., Dr.-Ing., Prof., Fachhochschule Kln Reuter, W., Dipl.-Ing., Rheinisch-Westf
lische Technische Hochschule Aachen Rper, R., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Dortmund Ruge, J., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Braunschweig Ruge, P., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Dresden Rulla, P., Dipl.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Rumpel, G., Dr.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Schriefer, H., Dipl.-Ing., Rheinisch-Westf
lische Technische Hochschule Aachen Schulz, H.-J., Dr.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Schwedes, J., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Braunschweig Seidel-Morgenstern, A., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universit
t, Magdeburg Seiffert, U., Dr.-Ing., Prof., Witech Engineering Braunschweig Seliger, G., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Severin, D., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Siegert, K., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Stuttgart Siekmann, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Sondershausen, H.D., Dipl.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Speckhardt, H., Dr., Prof., Technische Hochschule Darmstadt Spur, G., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Stephan, K., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Stuttgart Stiebler, M., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Stoff, H., Dr.s.sc. techn. Prof., Ruhr-Universit
t, Bochum Stute, G., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Stuttgart Thomala, W., Dr.-Ing., Richard Bergner GmbH, Schwabach Thomas, K., Dipl.-Ing., Technische Universit
t Braunschweig Tnshoff, H.K., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Hannover Uhlmann, E., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Victor, H., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Karlsruhe Vierling, A., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Hannover Voit-Nitschmann, R., Dipl.-Ing., Prof., Universit
t Stuttgart Warnecke, H.-J., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Stuttgart Weber, R., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Hannover Weck, M., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westf
lische Technische Hochschule Aachen Weißbrod, G., Dipl.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Werle, T., Dipl.-Ing., Universit
t Stuttgart Westk
mper, E., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Stuttgart Wilhelm, H., Dr.-Ing., MTU Mnchen Winter, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Mnchen Wohlfahrt, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Braunschweig Wsle, H., Dipl.-Ing., Technische Universit
t Braunschweig Zuppke, B., Dipl.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin

14 15 16 19 20 14 15 16 14 15 16 14 15 16 17 18 19 20 17 18 19 20 17 17 17 14 15 16 17

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Vorwort zur 21. Auflage

Der DUBBEL ist seit 1914 f
r Generationen von Studenten und in der Praxis ttigen Ingenieuren das Standardwerk f
r die produkt- und fertigungsorientierten Fachgebiete des Maschinenbaus. Er dient gleichermaßen als Lehrbuch und Nachschlagewerk f
r alle Technischen Hochschulen und andere Technik orientierte Aus- und Weiterbildungsinstitute sowie als Arbeitsunterlage f
r die Praxis zur Lsung konkreter Ingenieuraufgaben. Diese Breite des Leserkreises spiegelt sich auch in den Erfahrungen der Herausgeber und Autoren wider, die ausgewogen aus einer Lehr- und Forschungsttigkeit oder verantwortlichen Industriettigkeit kommen. ber eine Million verkaufte Exemplare des DUBBEL sind Beweis der großen Bedeutung dieses Werkes f
r den Maschinenbau. Die Vielfalt des Maschinenbaus hinsichtlich Ingenieurttigkeiten und Fachgebieten, der enorme Erkenntniszuwachs sowie das Erf
llen der vielschichtigen Zielsetzung des Buches erforderten bei der Stoffzusammenstellung eine enge Zusammenarbeit zwischen Herausgebern und Autoren. Hierbei mussten die wesentlichen Grundlagen und die unbedingt erforderlichen, allgemein anwendbaren und gesicherten Aussagen der einzelnen Fachgebiete ausgewhlt werden. Trotz der im Hinblick auf die Umfangsbeschrnkung erforderlichen Konzentration auf das Wesentliche und Allgemeing
ltige, werden auch neueste Forschungsergebnisse und Entwicklungen behandelt ohne die eine umfassende Anwendung eines solchen Buches in Praxis und Lehre nicht mehr auskommt. Die Stoffauswahl wurde so getroffen, dass die Studierenden in der Lage sind, sich problemlos ein erforderliches Mindestwissen von der gesamten Breite des Maschinenbaus anzueignen. Die Ingenieure der Praxis sollen dar
ber hinaus ein weitgehend vollstndiges Arbeitsmittel zur Lsung von Ingenieuraufgaben erhalten. Ihnen soll auch ein schneller Einblick vor allem in solche Fachgebiete gegeben werden, in denen sie kein Spezialist sind. So sind zum Beispiel die Ausf
hrungen
ber Fertigungstechnik nicht in erster Linie f
r den Betriebsingenieur gedacht, sondern beispielsweise f
r den Konstrukteur, der fertigungsorientiert gestalten muss; die Frdertechnik soll nicht nur den Konstrukteur f
r Hebezeuge ansprechen, sondern vor allem auch den Betriebsingenieur, der seine Frdermittel mitgestalten und auswhlen muss. Das Buch will allen Bereichen der Herstellung und Anwendung maschinenbaulicher Produkte (Anlagen, Maschinen, Apparate und Gerte) bei der Lsung ihrer Probleme helfen: Angefangen bei der Produktplanung, Forschung, Entwicklung, Konstruktion, Arbeitsvorbereitung, Normung, Materialwirtschaft, Fertigung, Montage und Qualittssicherung
ber den technischen Vertrieb bis zur Bedienung, berwachung, Instandsetzung und zum Recycling. Der DUBBEL wird laufend
berarbeitet und damit auf dem aktuellen Stand der Technik gehalten. Mit der vorliegenden ergnzten und
berarbeiteten 21. Auflage wird zugleich ein neuer Mitherausgeber, Herr Dr.-Ing. Jrg Feldhusen, Professor und Institutsleiter an der Fakultt f
r Maschinenwesen der RWTH Aachen, vorgestellt. Mit der 21. Auflage wurde auch der Generationswechsel bei den Autoren auf bewhrte Art fortgesetzt: Die neu hinzugekommenen ca. 20 Autoren haben in beispielhafter Kooperation die jeweiligen Kapitel mit den langjhrigen DUBBEL-Autoren bearbeitet, korrigiert und auch erweitert oder neu geschrieben, um so f
r weitere Auflagen des DUBBEL ger
stet zu sein. Die parallel zum Buch (20. Aufl.) auf CD-ROM erhltliche zweite elektronische Ausgabe des DUBBEL, der DUBBEL interaktiv 2.0, bietet mit
ber 3000 interaktiven Gleichungen und einem vollstndigen Bereich zur Mathematik eine komplementierende Basis f
r die Lsung ingenieurwissenschaftlicher und mathematischer Probleme als ideale Ergnzung zum vorliegenden Buch. Die Gliederung der letzten Auflage wurde beibehalten, ebenso die Form der in einem Anhang am Schluss jeden Hauptkapitels aufgef
hrten quantitativen Arbeitsunterlagen in Form von Tabellen, Diagrammen und Normenausz
gen (Stoff- und Richtwerte). Am Schluss des DUBBEL enthlt wiederum der Teil Z „Allgemeine Tabellen“ die wichtigsten physikalischen Konstanten, die Einheiten mit ihren Umrechnungsfaktoren, die

X

Vorwort zur 21. Auflage

Grundgr
ßen der Kern-, Licht-, Schall- und Umwelttechnik sowie Bezugsquellen fr Technische Regelwerke und internationale Normen auch mit Angaben der Web-Adressen. Die Literaturangaben wurden wiederum als „allgemeine“ Literatur den Teilen vorangestellt und als „spezielle“ Literatur, geordnet nach den Kapiteln, am Schluss der Teile zusammengefasst. Dabei soll die allgemeine Literatur dem Leser eine Zusammenstellung von Grundlagen-, bersichts- und Standardwerken des jeweiligen Fachgebietes geben und der spezielle Teil inhaltlich dieses Gebiet vervollstndigen. Die Literaturangaben werden jedoch zum Gebrauch dieses Arbeitsbuches, insbesondere zur Anwendung von Berechnungsverfahren, nicht ben
tigt; sie sollen vielmehr fr Studierende eine umfassende Information ber den Erkenntnisstand des jeweiligen Fachgebietes geben. Die englischen bersetzungen der nummerierten berschriften m
gen dem studierenden Leser und dem Praktiker eine Hilfe beim Verstehen englischsprachiger Literatur sein sowie dem auslndischen Leser die Benutzung des DUBBEL erleichtern. Die Benutzungsanleitung soll helfen, die zahlreichen Hinweise und Querverweise zwischen den einzelnen Teilen und Kapiteln zu nutzen sowie die Abkrzungen und die gewhlte Buchstruktur einschließlich des Anhanges zu verstehen. Infolge der Uneinheitlichkeit nationaler und internationaler Normen sowie der Gewohnheiten einzelner Fachgebiete ließen sich in wenigen Fllen unterschiedliche Bezeichnungen fr gleiche Begriffe nicht vermeiden. Zwischen den Teilen und am Ende des Taschenbuches befinden sich „Informationen aus der Industrie" mit technisch relevanten Anzeigen bekannter Firmen. Hier werden industrielle Ausfhrungsformen gezeigt und auf Bezugsquellen hingewiesen. Hinweise, Vorschlge und konstruktive Kritik unserer Leser wurden dankbar verwertet. Wir sind auch weiterhin sehr an Anregungen und Hinweisen interessiert. Die Herausgeber danken allen am Werk Beteiligten: den Autoren fr ihr Engagement und ihre Kompromissbereitschaft bei der Abfassung ihrer Beitrge unter den starken Restriktionen hinsichtlich Umfang und Abstimmung mit anderen Kapiteln, Frau B. Mnch vom Springer-Verlag fr die engagierte und sachkundige Zusammenarbeit bei der redaktionellen Bearbeitung der schwierigen Text- und Bildvorlagen sowie dem Springer-Verlag fr die Ausstattung des Buches, Frau Dr.-Ing. G. M
ller fr die vorbereitende, formelle Durchsicht der Beitrge, der Druckerei Strtz fr die Sorgfalt in den einzelnen Phasen der Herstellung. Abschließend sei auch den vorangegangenen Generationen von Herausgebern und Autoren gedankt, siehe Verzeichnis am Anfang dieser Auflage, die durch ihre gewissenhafte Arbeit die Anerkennung des DUBBEL begrndet haben, die mit der jetzt vorliegenden 21. Auflage gefestigt und ausgebaut werden soll. Magdeburg und Aachen im August 2004

Karl-Heinrich Grote und J
rg Feldhusen

IInhaltsverzeichnis

XI

Inhaltsverzeichnis

Hinweise zur Benutzung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XLIII Chronik des Taschenbuches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XLV

A

Mathematik

1

Mathematik f
r Ingenieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 3

2

Ergnzungen zur Mathematik f
r Ingenieure . . . . . . . . . . . . . . . A 3

3

Numerische Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 4

3.1 Numerisch-analytische L
sung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 4 3.2 Standardaufgaben der linearen Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 4 3.3 Interpolation, Integration

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A5

3.4 Rand- und Anfangswertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 6

B

Mechanik

1

Statik starrer Krper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 1

1.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 1 1.2 Zusammensetzen und Zerlegen von Krften mit gemeinsamem Angriffspunkt . . . B 2 1.2.1 Ebene Krftegruppe B 2. – 1.2.2 Rumliche Krftegruppe B 3.

1.3 Zusammensetzen und Zerlegen von Krften mit verschiedenen Angriffspunkten . . B 4 1.3.1 Krfte in der Ebene B 4. – 1.3.2 Krfte im Raum B 4.

1.4 Gleichgewicht und Gleichgewichtsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . B 5 1.4.1 Krftesystem im Raum B 5. – 1.4.2 Krftesystem in der Ebene B 5. – 1.4.3 Prinzip der virtuellen Arbeiten B 6. – 1.4.4 Arten des Gleichgewichts B 6. – 1.4.5 Standsicherheit B 7.

1.5 Lagerungsarten, Freimachungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 7 1.6 Auflagerreaktionen an K
rpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 7 1.6.1 K
rper in der Ebene B 7. – 1.6.2 K
rper im Raum B 9.

1.7 Systeme starrer K
rper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 9 1.8 Fachwerke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B 10

1.9 Seile und Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B 12

1.10 Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B 13

1.11 Haftung und Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B 14

1.8.1 Ebene Fachwerke B 10. – 1.8.2 Rumliche Fachwerke B 11.

1.9.1 Seil unter Eigengewicht (Kettenlinie) B 12. – 1.9.2 Seil unter konstanter Streckenlast B 12. – 1.9.3 Seil mit Einzellast B 13.

Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B 18

2.1 Bewegung eines Punkts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B 18

2.2 Bewegung starrer K
rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B 21

Kinetik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B 26

3.1 Energetische Grundbegriffe – Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad . . . . . . . .

B 26

2

2.1.1 Allgemeines B 18. – 2.1.2 Ebene Bewegung B 20. – 2.1.3 Rumliche Bewegung B 21.

2.2.1 Translation (Parallelverschiebung, Schiebung) B 21. – 2.2.2 Rotation (Drehbewegung, Drehung) B 22. – 2.2.3 Allgemeine Bewegung des starren K
rpers B 22.

3

XII

Inhaltsverzeichnis

3.2 Kinetik des Massenpunkts und des translatorisch bewegten K
rpers. . . . . . . . B 27 3.2.1 Dynamisches Grundgesetz von Newton (2. Newtonsches Axiom) B 27. – 3.2.2 Arbeits- und Energiesatz B 28. – 3.2.3 Impulssatz B 28. – 3.2.4 Prinzip von dAlembert und gefhrte Bewegungen B 28. – 3.2.5 Impulsmomenten- (Flchen-) und Drehimpulssatz B 28.

3.3 Kinetik des Massenpunktsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 29 3.3.1 Schwerpunktsatz B 29. – 3.3.2 Arbeits- und Energiesatz B 29. – 3.3.3 Impulssatz B 29. – 3.3.4 Prinzip von dAlembert und gefhrte Bewegungen B 30. – 3.3.5 Impulsmomenten- und Drehimpulssatz B 30. – 3.3.6 Lagrangesche Gleichungen B 30. – 3.3.7 Prinzip von Hamilton B 31. – 3.3.8 Systeme mit vernderlicher Masse B 31.

3.4 Kinetik starrer K
rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 31 3.4.1 Rotation eines starren K
rpers um eine feste Achse B 31. – 3.4.2 Allgemeines ber Massentrgheitsmomente B 32. – 3.4.3 Allgemeine ebene Bewegung starrer K
rper. B 34. – 3.4.4 Allgemeine rumliche Bewegung B 35.

3.5 Kinetik der Relativbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 36 3.6 Stoß

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 37

3.6.1 Gerader zentraler Stoß B 37. – 3.6.2 Schiefer zentraler Stoß B 37. – 3.6.3 Exzentrischer Stoß B 38. – 3.6.4 Drehstoß B 38.

4

Schwingungslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 38

4.1 Systeme mit einem Freiheitsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 38 4.1.1 Freie ungedmpfte Schwingungen B 38. – 4.1.2 Freie gedmpfte Schwingungen B 39. – 4.1.3 Ungedmpfte erzwungene Schwingungen B 40. – 4.1.4 Gedmpfte erzwungene Schwingungen. B 40. – 4.1.5 Kritische Drehzahl und Biegeschwingung der einfach besetzten Welle B 41.

4.2 Systeme mit mehreren Freiheitsgraden (Koppelschwingungen) . . . . . . . . . . B 41 4.2.1 Freie Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden B 41. – 4.2.2 Erzwungene Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden B 42. – 4.2.3 Eigenfrequenzen ungedmpfter Systeme B 43. – 4.2.4 Schwingungen der Kontinua B 43.

4.3 Nichtlineare Schwingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 45 4.3.1 Schwinger mit nichtlinearer Federkennlinie oder Rckstellkraft B 45. – 4.3.2 Schwingungen mit periodischen Koeffizienten (rheolineare Schwingungen) B 46.

5

Hydrostatik (Statik der Fl
ssigkeiten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 46

6

Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide). . . . . . . B 48

6.1 Eindimensionale Str
mungen idealer Flssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . B 48 6.1.1 Anwendungen der Bernoullischen Gleichung fr den stationren Fall B 49. – 6.1.2 Anwendung der Bernoullischen Gleichung fr den instationren Fall B 49.

6.2 Eindimensionale Str
mungen zher Newtonscher Flssigkeiten (Rohrhydraulik) . . B 49 6.2.1 Stationre laminare Str
mung in Rohren mit Kreisquerschnitt B 50. – 6.2.2 Stationre turbulente Str
mung in Rohren mit Kreisquerschnitt B 50. – 6.2.3 Str
mung in Leitungen mit nicht vollkreisf
rmigen Querschnitten B 51. – 6.2.4 Str
mungsverluste durch spezielle Rohrleitungselemente und Einbauten B 52. – 6.2.5 Stationrer Ausfluß aus Behltern B 54. – 6.2.6 Stationre Str
mung durch offene Gerinne B 54. – 6.2.7 Instationre Str
mung zher Newtonscher Flssigkeiten B 54. – 6.2.8 Freier Strahl B 54.

6.3 Eindimensionale Str
mung Nicht-Newtonscher Flssigkeiten . . . . . . . . . . B 55 6.4 Kraftwirkungen str
mender inkompressibler Flssigkeiten . . . . . . . . . . . . B 55 6.4.1 Impulssatz B 55. – 6.4.2 Anwendungen B 56.

6.5 Mehrdimensionale Str
mung idealer Flssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . B 57 6.5.1 Allgemeine Grundgleichungen B 57. – 6.5.2 Potentialstr
mungen B 57.

6.6 Mehrdimensionale Str
mung zher Flssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . B 59 6.6.1 Bewegungsgleichungen von Navier-Stokes B 59. – 6.6.2 Einige L
sungen fr kleine Reynoldssche Zahlen (laminare Str
mung) B 59. – 6.6.3 Grenzschichttheorie B 60. – 6.6.4 Str
mungswiderstand von K
rpern B 60. – 6.6.5 Tragflgel und Schaufeln B 62. – 6.6.6 Schaufeln und Profile im Gitterverband B 63.

7

hnlichkeitsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 64

7.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 64 7.2 hnlichkeitsgesetze (Modellgesetze) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 64 7.2.1 Statische hnlichkeit B 64. – 7.2.2 Dynamische hnlichkeit B 65. – 7.2.3 Thermische hnlichkeit B 66. – 7.2.4 Analyse der Einheiten (Dimensionsanalyse) und -Theorem B 66.

8

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 67

IInhaltsverzeichnis

XIII

C

Festigkeitslehre

1

Allgemeine Grundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 1

1.1 Spannungen und Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 1 1.1.1 Spannungen C 1. – 1.1.2 Verformungen C 3. – 1.1.3 Form
nderungsarbeit C 4.

1.2 Festigkeitsverhalten der Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 4 1.3 Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen. . . . . . . . . . . . . . . C 5 1.3.1 Normalspannungshypothese C 5. – 1.3.2 Schubspannungshypothese C 6. – 1.3.3 Gestalt
nderungsenergiehypothese C 6. – 1.3.4 Erweiterte Schubspannungshypothese C 6. – 1.3.5 Anstrengungsverh
ltnis nach Bach C 6.

2

Beanspruchung stabf
rmiger Bauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 7

2.1 Zug- und Druckbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 7 2.1.1 St
be mit konstantem Querschnitt und konstanter L
ngskraft C 7. – 2.1.2 St
be mit ver
nderlicher L
ngskraft C 7. – 2.1.3 St
be mit ver
nderlichem Querschnitt C 7. – 2.1.4 St
be mit Kerben C 7. – 2.1.5 St
be unter Temperatureinfluß C 7.

2.2 Abscherbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 7 2.3 Fl
chenpressung und Lochleibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 7 2.3.1 Ebene Fl
chen C 8. – 2.3.2 Gewlbte Fl
chen C 8.

2.4 Biegebeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 8 2.4.1 Schnittlasten: Normalkraft, Querkraft, Biegemoment C 8. – 2.4.2 Schnittlasten am geraden Tr
ger in der Ebene C 9. – 2.4.3 Schnittlasten an abgewinkelten und gekrmmten ebenen Tr
gern C 11. – 2.4.4 Schnittlasten an r
umlichen Tr
gern C 12. – 2.4.5 Biegespannungen in geraden Balken C 12. – 2.4.6 Schubspannungen und Schubmittelpunkt am geraden Tr
ger C 16. – 2.4.7 Biegespannungen in stark gekrmmten Tr
gern C 19. – 2.4.8 Durchbiegung von Tr
gern C 20. – 2.4.9 Form
nderungsarbeit bei Biegung und Energiemethoden zur Berechnung von Einzeldurchbiegungen C 23.

2.5 Torsionsbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 27

2.6 Zusammengesetzte Beanspruchung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 31

2.7 Statisch unbestimmte Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 32

2.5.1 St
be mit Kreisquerschnitt und konstantem Durchmesser C 27. – 2.5.2 St
be mit Kreisquerschnitt und ver
nderlichem Durchmesser C 30. – 2.5.3 Dnnwandige Hohlquerschnitte (Bredtsche Formeln) C 30. – 2.5.4 St
be mit beliebigem Querschnitt C 30. – 2.5.5 Wlbkrafttorsion C 30. 2.6.1 Biegung und L
ngskraft C 31. – 2.6.2 Biegung und Schub C 31. – 2.6.3 Biegung und Torsion C 31. – 2.6.4 L
ngskraft und Torsion C 32. – 2.6.5 Schub und Torsion C 32. – 2.6.6 Biegung mit L
ngskraft sowie Schub und Torsion C 32.

Elastizittstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 35

3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 35

3

3.2 Rotationssymmetrischer Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . .

C 35

3.3 Ebener Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 36

Beanspruchung bei Berhrung zweier K
rper (Hertzsche Formeln). . . . .

C 37

4.1 Kugel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 37

4.2 Zylinder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 37

4.3 Beliebig gewlbte Fl
che. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 37

4

Flchentragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 38

5.1 Platten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 38

5.2 Scheiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 39

5.3 Schalen

C 40

5

5.1.1 Rechteckplatten C 38. – 5.1.2 Kreisplatten C 38. – 5.1.3 Elliptische Platten C 39. – 5.1.4 Gleichseitige Dreieckplatte C 39. – 5.1.5 Temperaturspannungen in Platten C 39. 5.2.1 Kreisscheibe C 39. – 5.2.2 Ringfrmige Scheibe C 40. – 5.2.3 Unendlich ausgedehnte Scheibe mit Bohrung C 40. – 5.2.4 Keilfrmige Scheibe unter Einzelkr
ften C 40.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.1 Biegeschlaffe Rotationsschalen und Membrantheorie fr Innendruck C 40. – 5.3.2 Biegesteife Schalen C 41.

Dynamische Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkrfte . . . .

C 42

6.1 Umlaufender Stab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 42

6.2 Umlaufender dnnwandiger Ring oder Hohlzylinder. . . . . . . . . . . . .

C 42

6

XIV

Inhaltsverzeichnis

6.3 Umlaufende Scheiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 42 6.3.1 Vollscheibe konstanter Dicke C 42. – 6.3.2 Ringf
rmige Scheibe konstanter Dicke C 42. – 6.3.3 Scheiben gleicher Festigkeit C 42. – 6.3.4 Scheiben vernderlicher Dicke C 43. – 6.3.5 Umlaufender dickwandiger Hohlzylinder C 43.

7

Stabilit
tsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 43

7.1 Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 43 7.1.1 Knicken im elastischen (Euler-)Bereich C 43. – 7.1.2 Knicken im unelastischen (Tetmajer-) Bereich C 44. – 7.1.3 Nherungsverfahren zur Knicklastberechnung C 44. – 7.1.4 Stbe bei nderung des Querschnitts bzw. der Lngskraft C 45. – 7.1.5 Knicken von Ringen, Rahmen und Stabsystemen C 45. – 7.1.6 Biegedrillknicken C 45.

7.2 Kippen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 45 7.2.1 Trger mit Rechteckquerschnitt C 45. – 7.2.2 Trger mit I-Querschnitt C 46.

7.3 Beulung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 46 7.3.1 Beulen von Platten C 46. – 7.3.2 Beulen von Schalen C 47. – 7.3.3 Beulspannungen im unelastischen (plastischen) Bereich C 48.

8

Finite Berechnungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 48

8.1 Finite Elemente Methode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 48 8.2 Randelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 50 8.3 Finite Differenzen Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 52 9

Plastizit
tstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 53

9.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 53 9.2 Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 54 9.2.1 Biegung des Rechteckbalkens C 54. – 9.2.2 Rumlicher und ebener Spannungszustand C 54.

10

Festigkeitsnachweis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 55

10.1 Berechnungs- und Bewertungskonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 55 10.2 Nennspannungskonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 56 10.3 Kerbgrundkonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 57 Anhang C: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 59 12

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 69

D

Thermodynamik

1

Thermodynamik. Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D1

1.1 Systeme, Systemgrenzen, Umgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D1

1.2 Beschreibung des Zustands eines Systems. Thermodynamische Prozesse . . . . .

D1

Temperaturen. Gleichgewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D2

2.1 Thermisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D2

2.2 Nullter Hauptsatz und empirische Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . .

D2

2.3 Temperaturskalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D2

2

2.3.1 Die Internationale Praktische Temperaturskala D 3.

Erster Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D4

3.1 Allgemeine Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D4

3.2 Die verschiedenen Energieformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D4

3

3.2.1 Arbeit D 4. – 3.2.2 Innere Energie D 4. – 3.2.3 Wrme D 4.

3.3 Anwendung auf geschlossene Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D5

3.4 Anwendung auf offene Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D5

Zweiter Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D6

4.1 Das Prinzip der Irreversibilitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D6

3.4.1 Stationre Prozesse D 5. – 3.4.2 Instationre Prozesse D 6.

4

IInhaltsverzeichnis

XV

4.2 Allgemeine Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 7 4.3 Spezielle Formulierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 7 4.3.1 Adiabate, geschlossene Systeme D 7. – 4.3.2 Systeme mit W
rmezufuhr D 7.

5

Exergie und Anergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 8

5.1 Exergie eines geschlossenen Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 8 5.2 Exergie eines offenen Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 8 5.3 Exergie einer W
rme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 8 5.4 Anergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 9 5.5 Exergieverluste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 9 6

Stoffthermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 9

6.1 Thermische Zustandsgrßen von Gasen und D
mpfen . . . . . . . . . . . . . D 9 6.1.1 Ideale Gase D 10. – 6.1.2 Gaskonstante und das Gesetz von Avogadro D 10. – 6.1.3 Reale Gase D 10. – 6.1.4 D
mpfe D 10.

6.2 Kalorische Zustandsgrßen von Gasen und D
mpfen . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Ideale Gase D 12. – 6.2.2 Reale Gase und D
mpfe D 12.

D 12

6.3 Inkompressible Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 13

6.4 Feste Stoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 13

6.5 Mischtemperatur. Messung von spezifischen W
rmekapazit
ten . . . . . . . .

D 14

6.4.1 W
rmedehnung D 13. – 6.4.2 Schmelz- und Sublimationsdruckkurve D 14. – 6.4.3 Kalorische Zustandsgrßen D 14.

Zustands
nderungen von Gasen und D
mpfen . . . . . . . . . . . . . .

D 14

7.1 Zustands
nderungen ruhender Gase und D
mpfe . . . . . . . . . . . . . .

D 14

7.2 Zustands
nderungen strmender Gase und D
mpfe . . . . . . . . . . . . .

D 16

7

7.2.1 Strmung idealer Gase D 16. – 7.2.2 Dsen- und Diffusorstrmung D 17.

Thermodynamische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 17

8.1 Verbrennungsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 17

8.2 Verbrennungskraftanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 18

8.3 Kreisprozesse, Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 20

8.4 W
rmekraftanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 21

8.5 K
lteanlagen und W
rmepumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 23

8.6 Kraft-W
rme-Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 24

Gemische idealer Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 24

8

8.1.1 Reaktionsgleichungen D 17. – 8.1.2 Heizwert und Brennwert D 18. – 8.1.3 Verbrennungstemperatur D 18.

8.2.1 Offene Gasturbinenanlage D 18. – 8.2.2 Ottomotor D 19. – 8.2.3 Dieselmotor D 19. – 8.2.4 Brennstoffzellen D 20. 8.3.1 Carnot-Prozess D 20.

8.5.1 Kompressionsk
lteanlage D 23. – 8.5.2 Kompressionsw
rmepumpe D 24.

9

9.1 Gesetz von Dalton. Thermische und kalorische Zustandsgrßen . . . . . . . .

D 24

9.2 Gas-Dampf-Gemische. Feuchte Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 25

9.2.1 Mollier-Diagramm der feuchten Luft D 26. – 9.2.2 Zustands
nderungen feuchter Luft D 26.

W
rmebertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 27

10.1 Station
re W
rmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 28

10.2 W
rmebergang und W
rmedurchgang . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 28

10.3 Nichtstation
re W
rmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 29

10.4 W
rmebergang durch Konvektion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 31

10

10.3.1 Der halbunendliche Krper D 30. – 10.3.2 Zwei halbunendliche Krper in thermischem Kontakt D 30. – 10.3.3 Temperaturausgleich in einfachen Krpern D 30. 10.4.1 W
rmebergang ohne Phasenumwandlung D 32. – 10.4.2 W
rmebergang beim Kondensieren und beim Sieden D 33.

XVI

Inhaltsverzeichnis

10.5 W
rmebertragung durch Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 34 10.5.1 Gesetz von Stefan-Boltzmann D 34. – 10.5.2 Kirchhoffsches Gesetz D 34. – 10.5.3 W
rmeaustausch durch Strahlung D 35. – 10.5.4 Gasstrahlung D 35.

11

Anhang D: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 35

12

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 50

E

Werkstofftechnik

1

Werkstoff- und Bauteileigenschaften. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E2

1.1 Beanspruchungs- und Versagensarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E2

1.2 Grundlegende Konzepte fr den Festigkeitsnachweis . . . . . . . . . . . . . .

E6

1.1.1 Belastungs- und Beanspruchungsf
lle E 2. – 1.1.2 Versagen durch mechanische Beanspruchung E 3. – 1.1.3 Versagen durch komplexe Beanspruchungen E 4. 1.2.1 Festigkeitshypothesen E 6. – 1.2.2 Nennspannungskonzept E 7. – 1.2.3 rtliches Konzept E 7. – 1.2.4 Plastisches Grenzlastkonzept E 8. – 1.2.5 Bruchmechanikkonzepte E 8.

1.3 Werkstoffkennwerte fr die Bauteildimensionierung . . . . . . . . . . . . . . E 10 1.3.1 Statische Festigkeit E 10. – 1.3.2 Schwingfestigkeit E 10. – 1.3.3 Bruchmechanische Werkstoffkennwerte bei statischer Beanspruchung E 12. – 1.3.4 Bruchmechanische Werkstoffkennwerte bei zyklischer Beanspruchung E 14.

1.4 Einflsse auf die Werkstoffeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 15 1.4.1 Werkstoffphysikalische Grundlagen der Festigkeit und Z
higkeit metallischer Werkstoffe E 15. – 1.4.2 Metallurgische Einflsse E 15. – 1.4.3 Technologische Einflsse E 16. – 1.4.4 Oberfl
cheneinflsse E 17. – 1.4.5 Umgebungseinflsse E 18. – 1.4.6 Gestalteinfluss auf statische Festigkeitseigenschaften E 18. – 1.4.7 Gestalteinfluss auf Schwingfestigkeitseigenschaften E 19.

1.5 Festigkeitsnachweis von Bauteilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 20 1.5.1 Festigkeitsnachweis bei statischer Beanspruchung E 21. – 1.5.2 Festigkeitsnachweis unter EinstufenSchwingbeanspruchung E 21. – 1.5.3 Betriebsfestigkeitsnachweis E 21. – 1.5.4 Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis unter statischer Beanspruchung E 24. – 1.5.5 Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis unter zyklischer Beanspruchung E 24. – 1.5.6 Festigkeitsnachweis unter Zeitstand- und Kriechermdungsbeanspruchung E 25.

2

Werkstoffpr
fung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 26

2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 26 2.1.1 Probenentnahme E 26. – 2.1.2 Versuchsauswertung E 27.

2.2 Prfverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 28 2.2.1 Zugversuch E 28. – 2.2.2 Druckversuch E 29. – 2.2.3 Biegeversuch E 29. – 2.2.4 H
rteprfverfahren E 29. – 2.2.5 Kerbschlag-Biegeversuch E 30. – 2.2.6 Bruchmechanische Prfungen E 31. – 2.2.7 Chemische und physikalische Analysemethoden E 32. – 2.2.8 Metallographische Untersuchungen E 33. – 2.2.9 Technologische Prfungen E 34. – 2.2.10 Zerstrungsfreie Werkstoffprfung E 34. – 2.2.11 Dauerversuche E 35.

3

Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . E 36

3.1 Eisenwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 36 3.1.1 Das Zustandsschaubild Eisen-Kohlenstoff E 36. – 3.1.2 Stahlerzeugung E 38. – 3.1.3 W
rmebehandlung E 39. – 3.1.4 St
hle E 43. – 3.1.5 Gusseisenwerkstoffe E 56.

3.2 Nichteisenmetalle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 59

3.2.1 Kupfer und seine Legierungen E 59. – 3.2.2 Aluminium und seine Legierungen E 61. – 3.2.3 Magnesiumlegierungen E 63. – 3.2.4 Titanlegierungen E 64. – 3.2.5 Nickel und seine Legierungen E 64. – 3.2.6 Zink und seine Legierungen E 65. – 3.2.7 Blei E 65. – 3.2.8 Zinn E 66. – 3.2.9 berzge auf Metallen E 66.

3.3 Nichtmetallische anorganische Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 68 3.3.1 Keramische Werkstoffe E 68. – 3.3.2 Glas E 69. – 3.3.3 Beton E 70. – 3.3.4 Holz E 71.

3.4 Werkstoffauswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 75 3.4.1 Systematik der Werkstoffauswahl E 75.

4

Kunststoffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 76

4.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 76 4.2 Aufbau und Verhalten von Kunststoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 76 4.3 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 77 4.4 Wichtige Thermoplaste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 77 4.5 Fluorhaltige Kunststoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 79 4.6 Duroplaste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 79

IInhaltsverzeichnis

XVII

4.7 Kunststoffsch
ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E 80

4.8 Elastomere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E 80

4.9 Prfung von Kunststoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E 81

4.10 Verarbeiten von Kunststoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E 84

4.9.1 Kennwertermittlung an Probekrpern E 81. – 4.9.2 Prfung von Fertigteilen E 84.

4.10.1 Urformen von Kunststoffen E 85. – 4.10.2 Umformen von Kunststoffen E 87. – 4.10.3 Fgen von Kunststoffen E 87.

4.11 Gestalten und Fertigungsgenauigkeit von Kunststoff-Formteilen . . . . . . . .

E 88

4.12 Nachbehandlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E 89

Tribologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E 90

5.1 Reibung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E 90

5

5.2 Reibungszust
nde lgeschmierter Gleitpaarungen . . . . . . . . . . . . . .

E 91

5.3 Elastohydrodynamische Schmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E 91

5.4 Verschleiß. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E 92

5.5 Systemanalyse von Reibungs- und Verschleißvorg
ngen . . . . . . . . . . .

E 94

5.6 Schmierstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E 96

5.5.1 Funktion von Tribosystemen E 94. – 5.5.2 Beanspruchungskollektiv E 94. – 5.5.3 Struktur tribologischer Systeme E 94. – 5.5.4 Tribologische Kenngrßen E 95. – 5.5.5 Checkliste zur Erfassung der wichtigsten tribologisch relevanten Grßen E 95. 5.6.1 Schmierle E 96. – 5.6.2 Schmierfette E 98. – 5.6.3 Festschmierstoffe E 98.

. . . . . . . . . . . . .

E 99

6.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E 99

6.2 Mechanismen der Korrosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E 99

6

Korrosion und Korrosionsschutz von Metallen

6.3 Korrosionserscheinungen („Korrosionsarten“) . . . . . . . . . . . . . . . E 100 6.4 berlagerung von Korrosion und mechanischer Beanspruchung . . . . . . . . E 103 6.4.1 Spannungsrisskorrosion E 103. – 6.4.2 Schwingungsrisskorrosion (Bild 13) E 104. – 6.4.3 Korrosionsverschleiß E 104. – 6.4.4 Reibkorrosion, auch als Schwingverschleiß bezeichnet E 104. – 6.4.5 Erosionskorrosion E 105. – 6.4.6 Kavitationskorrosion E 105. – 6.4.7 Wasserstoffinduzierte Rissbildung E 105.

6.5 Korrosionsschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 106 6.5.1 Allgemeines E 106. – 6.5.2 Werkstoffreinheit E 106. – 6.5.3 Legierungstechnische Maßnahmen E 106. – 6.5.4 Erzeugung von Diffusionsschichten E 106. – 6.5.5 Schutz durch metallische berzge E 106. – 6.5.6 Kathodischer Schutz E 106. – 6.5.7 Korrosionsschutz durch Inhibitoren E 107. – 6.5.8 Korrosionsschutzgerechte Konstruktion E 107. – 6.5.9 Korrosionsschutzgerechte Fertigung E 107.

6.6 Korrosionsprfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 107 6.6.1 Allgemeines E 107. – 6.6.2 Hinweise zu den einzelnen Gruppen von Prfverfahren E 107.

7

Anhang E: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 109

8

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 142

F

Grundlage der Konstruktionstechnik

1

Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens . . . . . .

F1

1.1 Technische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F1

1.2 Methodisches Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F4

1.1.1 Energie-, Stoff- und Signalumsatz F 1. – 1.1.2 Funktionszusammenhang F 2. – 1.1.3 Wirkzusammenhang F 3. – 1.1.4 Bauzusammenhang F 3. – 1.1.5 Systemzusammenhang F 3. – 1.1.6 Generelle Zielsetzung und Bedingungen F 3.

1.2.1 Allgemeine Arbeitsmethodik F 4. – 1.2.2 Allgemeiner Lsungsprozeß F 4. – 1.2.3 Abstrahieren zum Erkennen der Funktionen F 5. – 1.2.4 Suche nach Lsungsprinzipien F 5. – 1.2.5 Beurteilen von Lsungen F 7.

1.3 Konstruktionsprozeß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F 11

1.4 Gestaltung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F 15

1.3.1 Kl
ren der Aufgabenstellung F 11. – 1.3.2 Konzipieren F 12. – 1.3.3 Entwerfen F 12. – 1.3.4 Ausarbeiten F 12. – 1.3.5 Effektive Organisationsformen F 13. – 1.3.6 Rapid Prototyping F 14. – 1.3.7 Konstruktionsarten F 15.

XVIII

Inhaltsverzeichnis

1.4.1 Grundregeln F 15. – 1.4.2 Gestaltungsprinzipien F 15. – 1.4.3 Gestaltungsrichtlinien F 18. – 1.4.4 Faserverbundbauweisen F 21.

1.5 Baureihen- und Baukastenentwicklung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F 26 1.5.1
hnlichkeitsbeziehungen F 27. – 1.5.2 Dezimalgeometrische Normzahlreihen F 27. – 1.5.3 Geometrisch hnliche Baureihe F 28. – 1.5.4 Halbhnliche Baureihen F 28. – 1.5.5 Anwenden von Exponentengleichungen F 28. – 1.5.6 Baukasten F 29.

1.6 Normen- und Zeichnungswesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F 30 1.6.1 Normenwerk F 30. – 1.6.2 Grundnormen F 31. – 1.6.3 Zeichnungen und Stcklisten F 35. – 1.6.4 Sachnummernsysteme F 37.

2

Anwendung f
r Maschinensysteme der Stoffverarbeitung . . . . . . . . . . F 38

2.1 Aufgabe und Einordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F 38 2.2 Struktur von Verarbeitungsmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F 38 2.2.1 Verarbeitungssystem F 39. – 2.2.2 Antriebs- und Steuerungssystem F 41. – 2.2.3 Raumsystem F 45.

2.3 Verarbeitungsanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F 47 3

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F 49

G Mechanische Konstruktionselemente Bauteilverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G3

1.1 Schweißen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G3

1

1.1.1 Schweißverfahren G 3. – 1.1.2 Schweißbarkeit der Werkstoffe G 3. – 1.1.3 Stoß- und Nahtarten G 10. – 1.1.4 Darstellung der Schweißnhte G 12. – 1.1.5 Festigkeit von Schweißverbindungen G 13. – 1.1.6 Thermisches Abtragen G 23.

1.2 Lten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 24 1.2.1 Vorgang G 24. – 1.2.2 Weichlten G 25. – 1.2.3 Hartlten und Schweißlten (Fugenlten) G 25. – 1.2.4 Hochtemperaturlten G 26.

1.3 Kleben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 27 1.3.1 Anwendung und Vorgang G 27. – 1.3.2 Klebstoffe G 27. – 1.3.3 Tragfhigkeit G 28.

1.4 Reibschlußverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 29 1.4.1 Formen, Anwendungen G 29. – 1.4.2 Preßverbnde G 29. – 1.4.3 Klemmverbindungen G 32.

1.5 Formschlußverbindungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 33 1.5.1 Formen, Anwendungen G 33. – 1.5.2 Stiftverbindungen G 33. – 1.5.3 Bolzenverbindungen G 35. – 1.5.4 Keilverbindungen G 35. – 1.5.5 Paß- und Scheibenfeder-Verbindungen G 36. – 1.5.6 Zahn- und Keilwellenverbindungen G 37. – 1.5.7 Polygonwellenverbindungen G 37. – 1.5.8 Vorgespannte WelleNabe-Verbindungen G 37. – 1.5.9 Axiale Sicherungselemente G 37. – 1.5.10 Nietverbindungen G 38.

1.6 Schraubenverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 40 1.6.1 Aufgaben G 40. – 1.6.2 Kenngrßen der Schraubenbewegung G 40. – 1.6.3 Gewindearten G 40. – 1.6.4 Schrauben- und Mutterarten G 41. – 1.6.5 Schrauben- und Mutternwerkstoffe G 43. – 1.6.6 Krfte und Verformungen beim Anziehen von Schraubenverbindungen G 43. – 1.6.7 berlagerung von Vorspannkraft und Betriebslast G 45. – 1.6.8 Auslegung und Dauerfestigkeitsberechnung von Schraubenverbindungen G 48. – 1.6.9 Sicherung von Schraubenverbindungen G 51.

2

Federnde Verbindungen (Federn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 52

2.1 Aufgaben, Eigenschaften, Kenngrßen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 52 2.1.1 Aufgaben G 52. – 2.1.2 Federkennlinie, Federsteifigkeit, Federnachgiebigkeit G 52. – 2.1.3 Arbeitsaufnahmefhigkeit, Nutzungsgrad, Dmpfungsvermgen, Dmpfungsfaktor G 53.

2.2 Metallfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 53 2.2.1 Zug/Druck-beanspruchte Zug- oder Druckfedern G 53. – 2.2.2 Einfache und geschichtete Blattfedern (gerade oder schwachgekrmmte, biegebeanspruchte Federn) G 55. – 2.2.3 Spiralfedern (ebene gewundene, biegebeanspruchte Federn) und Schenkelfedern (biegebeanspruchte Schraubenfedern) G 56. – 2.2.4 Tellerfedern (scheibenfrmige, biegebeanspruchte Federn) G 57. – 2.2.5 Drehstabfedern (gerade, drehbeanspruchte Federn) G 58. – 2.2.6 Zylindrische Schraubendruckfedern und Schraubenzugfedern G 59.

2.3 Gummifedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 61 2.3.1 Der Werkstoff „Gummi“ und seine Eigenschaften G 61. – 2.3.2 Gummifederelemente G 62.

2.4 Faserverstrkte Kunststoffedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 64 2.5 Gasfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 64 2.6 Industrie-Stoßdmpfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 64 2.6.1 Anwendungsgebiete G 64. – 2.6.2 Funktionsweise des Industrie-Stoßdmpfers G 65. – 2.6.3 Aufbau eines Industrie-Stoßdmpfers G 65. – 2.6.4 Berechnung und Auswahl G 65.

3

Kupplungen und Bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 65

IInhaltsverzeichnis

XIX

3.1
berblick, Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 65

3.2 Drehstarre, nicht schaltbare Kupplungen . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 66

3.3 Elastische, nicht schaltbare Kupplungen. . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 69

3.4 Drehnachgiebige, nicht schaltbare Kupplungen . . . . . . . . . . . . . . .

G 72

3.5 Fremdgeschaltete Kupplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 73

3.6 Selbstttig schaltende Kupplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 79

W
lzlager. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 81

3.2.1 Starre Kupplungen G 66. – 3.2.2 Drehstarre Ausgleichskupplungen G 67.

3.3.1 Feder- und Dmpfungsverhalten G 69. – 3.3.2 Auslegungsgesichtspunkte, Schwingungsverhalten G 70. – 3.3.3 Bauarten G 71. – 3.3.4 Auswahlgesichtspunkte G 72.

3.5.1 Formschlssige Schaltkupplungen G 73. – 3.5.2 Kraft-(Reib-)schlssige Schaltkupplungen G 74. – 3.5.3 Der Schaltvorgang bei reibschlssigen Schaltkupplungen G 75. – 3.5.4 Auslegung einer reibschlssigen Schaltkupplung G 76. – 3.5.5 Auswahl einer Kupplungsgrße G 77. – 3.5.6 Allgemeine Auswahlkriterien G 77. – 3.5.7 Bremsen G 78. 3.6.1 Drehmomentgeschaltete Kupplungen G 79. – 3.6.2 Drehzahlgeschaltete Kupplungen G 79. – 3.6.3 Richtungsgeschaltete Kupplungen (Freilufe) G 80.

4

4.1 Kennzeichen und Eigenschaften der Wlzlager . . . . . . . . . . . . . . .

G 81

4.2 Bauarten der Wlzlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 82

4.3 Wlzlagerkfige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 86

4.4 Wlzlagerwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 86

4.5 Bezeichnungen fr Wlzlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 86

4.6 Konstruktive Ausfhrung von Lagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 87

4.7 Wlzlagerschmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 89

4.8 Wlzlagerdichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 92

4.9 Belastbarkeit und Lebensdauer der Wlzlager . . . . . . . . . . . . . . .

G 93

4.10 Bewegungswiderstand und Referenzdrehzahlen der Wlzlager . . . . . . . .

G 96

4.2.1 Lager fr rotierende Bewegungen G 82. – 4.2.2 Linearwlzlager G 86.

4.6.1 Fest-Loslager-Anordnung G 87. – 4.6.2 Schwimmende oder Sttz-Traglagerung und angestellte Lagerung G 87. – 4.6.3 Lagersitze, axiale und radiale Festlegung der Lagerringe G 88. – 4.6.4 Lagerluft G 89. 4.7.1 Allgemeines G 89. – 4.7.2 Fettschmierung G 90. – 4.7.3 lschmierung G 91. – 4.7.4 Feststoffschmierung G 92.

4.9.1 Grundlagen G 93. – 4.9.2 Statische bzw. dynamische Tragfhigkeit und Lebensdauerberechnung G 94.

Gleitlagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 97

5.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 97

5.2 Berechnung hydrodynamischer Gleitlager . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 97

5

5.1.1 Hydrodynamische Schmierung G 97. – 5.1.2 Reibungszustnde G 97.

5.2.1 Stationr belastete Radialgleitlager G 97. – 5.2.2 Radialgleitlager im instationren Betrieb G 100. – 5.2.3 Stationr belastete Axialgleitlager G 100. – 5.2.4 Mehrgleitflchenlager G 104.

5.3 Hydrostatische Anfahrhilfen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 104 5.4 Berechnung hydrostatischer Gleitlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 104 5.4.1 Hydrostatische Radialgleitlager G 104. – 5.4.2 Hydrostatische Axialgleitlager G 105.

5.5 Dichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 106 5.6 Wartungsfreie Gleitlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 106 5.7 Konstruktive Gestaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 106 5.7.1 Konstruktion und Schmierspaltausbildung G 106. – 5.7.2 Lagerschmierung G 107. – 5.7.3 Lagerkhlung G 108. – 5.7.4 Lagerwerkstoffe G 108. – 5.7.5 Lagerbauformen G 108.

6

Zugmittelgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 109

6.1 Bauarten, Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 109 6.2 Flachriemengetriebe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 109 6.2.1 Krfte am Flachriemengetriebe G 109. – 6.2.2 Beanspruchungen G 110. – 6.2.3 Geometrische Beziehungen G 110. – 6.2.4 Kinematik, Leistung, Wirkungsgrad G 111. – 6.2.5 Riemenlauf und Vorspannung G 111. – 6.2.6 Riemenwerkstoffe G 113. – 6.2.7 Entwurfsberechnung G 113.

6.3 Keilriemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 114

XX

Inhaltsverzeichnis 6.3.1 Anwendungen und Eigenschaften G 114. – 6.3.2 Typen und Bauarten von Keilriemen G 115. – 6.3.3 Entwurfsberechnung G 116.

6.4 Synchronriemen (Zahnriemen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 116

6.5 Kettengetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 117

6.4.1 Aufbau, Eigenschaften, Anwendung G 116. – 6.4.2 Gestaltungshinweise G 116. – 6.4.3 Entwurfsberechnung G 116.

6.5.1 Bauarten, Eigenschaften, Anwendung G 117. – 6.5.2 Gestaltungshinweise G 117. – 6.5.3 Entwurfsberechnung G 117.

Reibradgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 118

7.1 Wirkungsweise, Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 118

7.2 Bauarten, Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 118

7.3 Berechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 121

7.4 Hinweise fr Anwendung und Betrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 124

7

7.2.1 Reibradgetriebe mit festem
bersetzungsverhltnis G 118. – 7.2.2 Wlzgetriebe mit stufenlos einstellbarer
bersetzung G 119. 7.3.1 Bohrbewegung G 121. – 7.3.2 Schlupf G 122. – 7.3.3
bertragbare Leistung und Wirkungsgrad G 123. – 7.3.4 Gebruchliche Werkstoffpaarungen G 124.

Zahnradgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 124

8.1 Stirnrder – Verzahnungsgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 125

8.2 Verzahnungsabweichungen und -toleranzen, Flankenspiel . . . . . . . . . . .

G 132

8.3 Schmierung und Khlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 132

8.4 Werkstoffe und Wrmebehandlung –Verzahnungsherstellung . . . . . . . . .

G 134

8.5 Tragfhigkeit von Gerad- und Schrgstirnrdern . . . . . . . . . . . . . . .

G 135

8.6 Kegelrder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 143

8.7 Stirnschraubrder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 145

8.8 Schneckengetriebe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 145

8.9 Umlaufgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 151

8.10 Gestaltung der Zahnradgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 159

8

8.1.1 Verzahnungsgesetz G 125. – 8.1.2
bersetzung, Zhnezahlverhltnis, Momentenverhltnis G 125. – 8.1.3 Konstruktion von Eingriffslinie und Gegenflanke G 125. – 8.1.4 Flankenlinien und Formen der Verzahnung G 125. – 8.1.5 Allgemeine Verzahnungsgrßen G 126. – 8.1.6 Gleit- und Rollbewegung G 127. – 8.1.7 Evolventenverzahnung G 128. – 8.1.8 Sonstige Verzahnungen (außer Evolventen) und ungleichmßig bersetzende Zahnrder G 131.

8.5.1 Zahnschden und Abhilfen G 135. – 8.5.2 Pflichtenheft G 136. – 8.5.3 Anhaltswerte fr die Dimensionierung G 136. – 8.5.4 Nachrechnung der Tragfhigkeit G 138. 8.6.1 8.6.3 8.6.6 8.6.8

Geradzahn-Kegelrder G 143. – 8.6.2 Kegelrder mit Schrg- oder Bogenverzahnung G 143. – Zahnform G 143. – 8.6.4 Kegelrad-Geometrie G 143. – 8.6.5 Tragfhigkeit G 144. – Lagerkrfte G 144. – 8.6.7 Hinweise zur Konstruktion von Kegelrdern G 144. – Sondergetriebe G 145.

8.8.1 Zylinderschnecken-Geometrie G 145. – 8.8.2 Auslegung G 146. – 8.8.3 Zahnkrfte, Lagerkrfte G 146. – 8.8.4 Geschwindigkeiten, Beanspruchungskennwerte G 147. – 8.8.5 Reibungszahl, Wirkungsgrad G 148. – 8.8.6 Nachrechnung der Tragfhigkeit G 148. – 8.8.7 Gestaltung, Werkstoffe, Lagerung, Genauigkeit, Schmierung, Montage G 150. 8.9.1 Kinematische Grundlagen, Bezeichnungen G 151. – 8.9.2 Allgemeingltigkeit der Berechnungsgleichungen G 152. – 8.9.3 Vorzeichenregeln G 152. – 8.9.4 Drehmomente, Leistungen, Wirkungsgrade G 153. – 8.9.5 Selbsthemmung und Teilhemmung G 155. – 8.9.6 Konstruktive Hinweise G 155. – 8.9.7 Auslegung einfacher Planetengetriebe G 155. – 8.9.8 Zusammengesetzte Planetengetriebe G 157.

8.10.1 Bauarten G 159. – 8.10.2 Anschluß an Motor und Arbeitsmaschine G 160. – 8.10.3 Gestalten und Bemaßen der Zahnrder G 160. – 8.10.4 Gestalten der Gehuse G 161. – 8.10.5 Lagerung G 163.

Getriebetechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 163

9.1 Getriebesystematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 163

9.2 Getriebeanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 167

9.3 Getriebesynthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 172

9.4 Sondergetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 174

9

9.1.1 Grundlagen G 163. – 9.1.2 Arten ebener Getriebe G 164.

9.2.1 Kinematische Analyse ebener Getriebe G 167. – 9.2.2 Kinetostatische Analyse ebener Getriebe G 170. – 9.2.3 Kinematische Analyse rumlicher Getriebe G 171. – 9.2.4 Laufgte der Getriebe G 171. 9.3.1 Viergelenkgetriebe G 172. – 9.3.2 Kurvengetriebe G 173.

IInhaltsverzeichnis

XXI

10

Anhang G: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 175

11

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 192

H Fluidische Antriebe 1

Grundlagen der fluidischen Energie
bertragung . . . . . . . . . . . . . . H 1

1.1 Der Fließprozeß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H 1 1.1.1 Energie
bertragung durch Fl
ssigkeiten H 1. – 1.1.2 Energie
bertragung durch Gase H 3.

1.2 Hydraulikfl
ssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H 3 1.3 Systematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H 4 1.3.1 Aufbau und Funktion der Hydrogetriebe H 4. – 1.3.2 Ordnung der Fluidgetriebe H 4. – 1.3.3 Gliederung der Getriebebauweisen H 4.

2

Bauelemente hydrostatischer Getriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . H 5

2.1 Verdrngermaschinen mit rotierender Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . H 5 2.1.1 Zahnradpumpen und Zahnring-(Gerotor-)pumpen H 6. – 2.1.2 Fl
gelzellenpumpen H 8. – 2.1.3 Kolbenpumpen H 8. – 2.1.4 Andere Pumpenbauarten H 9. – 2.1.5 Hydromotoren in Umlaufverdrngerbauart H 9. – 2.1.6 Hydromotoren in Hubverdrnger-(Kolben-)bauart H 10.

2.2 Verdrngermaschinen mit translatorischem (Ein- und) Ausgang . . . . . . . .

H 11

2.3 Hydroventile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H 12

2.4 Hydraulikzubehr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H 15

Aufbau und Funktion der Hydrogetriebe . . . . . . . . . . . . . . . .

H 15

3.1 Hydrokreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H 15

3.2 Funktion der Hydrogetriebe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H 16

3.3 Steuerung der Getriebe
bersetzung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H 16

2.3.1 Wegeventile H 12. – 2.3.2 Sperrventile H 13. – 2.3.3 Druckventile H 13. – 2.3.4 Stromventile H 14. – 2.3.5 Proportionalventile H 14.

3

3.1.1 Offener Kreislauf H 15. – 3.1.2 Geschlossener Kreislauf H 16. – 3.1.3 Halboffene Kreislufe H 16. 3.2.1 Berechnung des stationren Betriebsverhaltens H 16. – 3.2.2 Dynamisches Betriebsverhalten H 16. 3.3.1 Getriebe mit Verstelleinheiten H 16. – 3.3.2 Selbstttig arbeitende Regler und Verstellungen an Verstellmaschinen H 17. – 3.3.3 Stromteilgetriebe H 18.

Ausf
hrung und Auslegung von Hydrogetrieben . . . . . . . . . . . . .

H 18

4.1 Getriebeschaltung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H 18

4.2 Auslegung von Hydrokreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H 19

4

Pneumatische Antriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H 20

5.1 Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H 20

5.2 Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H 21

6

Anhang H: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H 22

7

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H 26

I

Mechatronische Systeme

1

5

Mechatronik: Methodik und Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . .

I1

1.1 Einf
hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I1

1.2 Basisdisziplinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I1

1.3 Modellbildung und Entwurf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I2

1.4 Komponenten mechatronischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I3

Elektronische Konstruktionskomponenten. . . . . . . . . . . . . . . . .

I6

2.1 Passive Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I6

1.4.1 Sensoren I 3. – 1.4.2 Aktoren I 3. – 1.4.3 Prozeßdatenverarbeitung und Bussysteme I 5.

2

2.1.1 Aufbau elektronischer Schaltungen I 6. – 2.1.2 Widerstnde I 7. – 2.1.3 Kapazitten I 7. – 2.1.4 Induktivitten I 8.

XXII

Inhaltsverzeichnis

2.2 Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 8 2.2.1 Diodenkennlinien und Daten I 8. – 2.2.2 Schottky-Dioden I 8. – 2.2.3 Kapazit
tsdioden I 8. – 2.2.4 Z-Dioden I 9. – 2.2.5 Leistungsdioden I 9.

2.3 Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 9 2.3.1 Bipolartransistoren I 9. – 2.3.2 Feldeffekttransistoren I 11. – 2.3.3 IGB-Transistoren I 12.

2.4 Thyristoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I 12

2.5 Operationsverst
rker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I 14

2.6 Optoelektronische Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I 15

2.4.1 Thyristorkennlinien und Daten I 12. – 2.4.2 Steuerung des Thyristors I 13. – 2.4.3 Triacs, Diacs I 14. – 2.4.4 Abschaltbare Thyristoren I 14.

2.6.1 Optoelektronische Empf
nger I 15. – 2.6.2 Optoelektronische Sender I 16. – 2.6.3 Optokoppler I 17.

Aufbau mechatronischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I 17

3.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I 17

3.2 Beispiele mechatronischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I 17

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I 19

3

4

K Komponenten des thermischen Apparatebaus 1

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K1

1.1 Unterscheidungsmerkmale von w
rmebertragenden Apparaten . . . . . . . . .

K1

1.2 W
rme- und strmungstechnische Auslegung. . . . . . . . . . . . . . . . . .

K1

1.3 Stromfhrung und Betriebscharakteristik w
rmebertragender Apparate. . . . . .

K4

1.4 Wirkungsgrade, Exergieverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K4

1.2.1 W
rmetechnische Auslegung von Rekuperatoren K 1. – 1.2.2 W
rmetechnische Auslegung von Regeneratoren K 3. – 1.2.3 Druckverlustberechnung K 3.

1.4.1 Wirkungsgrade K 4. – 1.4.2 Exergieverluste K 5.

Konstruktionselemente von Apparaten und Rohrleitungen . . . . . . . . . .

K5

2.1 Berechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K5

2

2.2 Zylindrische M
ntel und Rohre unter innerem berdruck . . . . . . . . . . . .

K5

2.3 Zylindrische M
ntel unter
ußerem berdruck

. . . . . . . . . . . . . . . .

K6

2.4 Ebene Bden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K7

2.5 Gewlbte Bden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K9

2.6 Ausschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 10 2.7 Flanschverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 11 2.7.1 Schrauben K 11. – 2.7.2 Flansche K 13.

2.8 Rohrleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 15 2.8.1 Rohrdurchmesser K 15. – 2.8.2 Strmungsverluste K 16. – 2.8.3 Rohrarten, Normen, Werkstoffe K 16. – 2.8.4 Rohrverbindungen K 16. – 2.8.5 Dehnungsausgleicher K 17. – 2.8.6 Rohrhalterungen K 18.

2.9 Absperr- und Regelorgane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 19 2.9.1 Allgemeines K 19. – 2.9.2 Ventile K 20. – 2.9.3 Schieber K 21. – 2.9.4 H
hne (Drehschieber) K 22. – 2.9.5 Klappen K 22.

2.10 Dichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 22 2.10.1 Berhrungsdichtungen an ruhenden Fl
chen K 22. – 2.10.2 Berhrungsdichtungen an gleitenden Fl
chen K 23.

3

Bauarten von W
rmebertragern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 24

3.1 Rohrbndelapparate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 24 3.2 Sonstige Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 25 4

Kondensation und Rckkhlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 27

4.1 Grundbegriffe der Kondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 27

IInhaltsverzeichnis 4.2 Oberfl
chenkondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 W
rmetechnische Berechnung K 28. – 4.2.2 Kondensatoren in Dampfkraftanlagen K 28. – 4.2.3 Kondensatoren in der chemischen Industrie K 28. – 4.2.4 Konstruktive Gesichtspunkte K 28.

XXIII K 28

4.3 Einspritz-(Misch-)Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K 29

4.4 Luftgekhlte Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K 29

4.5 Hilfsmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K 30

4.6 Indirekte Luftkhlung und Rckkhlanlagen . . . . . . . . . . . . . . . .

K 31

5

Anhang K: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K 33

6

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K 35

L

Energietechnik

1

Grunds
tze der Energieversorgung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 1

4.5.1 Trockenluftpumpen K 30. – 4.5.2 Khlwasser- und Kondensatpumpen K 30. 4.6.1 Bauarten K 31. – 4.6.2 Berechnung K 32.

1.1 Planung und Investitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 2 1.2 Elektrizit
tswirtschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 3 1.3 Gaswirtschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 5 1.4 Fernw
rmewirtschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 6 2

Prim
renergien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 7

2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 7 2.2 Feste Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 7 2.3 Flssige Brennstoffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 9 2.4 Gasfrmige Brennstoffe oder Brenngase . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 11

2.5 Kernbrennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 12

2.6 Regenerative Energien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 15

Wandlung von Prim
renergie in Nutzenergie . . . . . . . . . . . . . .

L 17

3.1 Erzeugung elektrischer Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 17

3.2 Kraft-W
rme-Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 25

3.3 Wandlung regenerativer Energien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 26

3

3.1.1 W
rmekraftwerke L 17. – 3.1.2 Kernkraftwerke L 22. – 3.1.3 Kombi-Kraftwerke L 22. – 3.1.4 Motorkraftwerke L 23. – 3.1.5 Brennstoffzelle L 24.

3.3.1 Windkraftanlagen L 26. – 3.3.2 Anlagen zur Nutzung der Sonnenenergie L 28. – 3.3.3 W
rmepumpen L 30.

Verteilen und Speicherung von Nutzenergie . . . . . . . . . . . . . . .

L 30

4.1 Energietransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 30

4.2 Energiespeicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 33

4

4.1.1 Mineralltransporte L 30. – 4.1.2 Erdgastransporte L 31. – 4.1.3 Elektrische Verbundnetze L 32. – 4.1.4 Fernw
rmetransporte L 32.

Feuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 35

5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 35

5.2 Feuerungen fr feste Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 37

5.3 Feuerungen fr flssige Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 43

5.4 Feuerungen fr gasfrmige Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 44

5.5 Allgemeines Feuerungszubehr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 44

5

5.1.1 Verbrennungsvorgang L 35. – 5.1.2 Kennzahlen L 35. – 5.1.3 Druckzust
nde L 36. – 5.1.4 Emissionen L 36.

5.2.1 Rostfeuerungen L 37. – 5.2.2 Kohlenstaubfeuerung L 38. – 5.2.3 Wirbelschichtfeuerung L 41. 5.3.1 Besondere Eigenschaften L 43. – 5.3.2 Brenner L 43. – 5.3.3 Gesamtanlage L 44. 5.4.1 Verbrennung und Brennereinteilung L 44. – 5.4.2 Brennerbauarten L 44.

XXIV

Inhaltsverzeichnis

5.5.1 Gebl
se L 44. – 5.5.2 Schornstein L 45.

5.6 Umweltschutztechnologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 45 5.6.1 Rauchgasentstaubung L 45. – 5.6.2 Rauchgasentschwefelung L 46. – 5.6.3 Rauchgasentstickung L 48. – 5.6.4 Entsorgung der Kraftwerksnebenprodukte L 48.

6

Dampferzeuger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 49

6.1 Angaben zum System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 49 6.1.1 Bauarten L 49. – 6.1.2 Dampferzeugersysteme L 49. – 6.1.3 Drcke L 50. – 6.1.4 Temperaturen L 50. – 6.1.5 Leistung L 50. – 6.1.6 Sicherheit L 50.

6.2 Ausgefhrte Dampferzeuger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 50 6.2.1 Großwasserraumkessel L 50. – 6.2.2 Naturumlaufkessel fr fossile Brennstoffe L 51. – 6.2.3 Zwanglaufkessel fr fossile Brennstoffe L 52. – 6.2.4 Dampferzeuger fr Kernreaktoren L 55.

6.3 Teile und Bauelemente von Dampferzeugern . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 56 6.3.1 Verdampfer L 56. – 6.3.2 berhitzer und Zwischenberhitzer L 56. – 6.3.3 Speisewasservorw
rmer (Eco) L 57. – 6.3.4 Luftvorw
rmer (Luvo) L 57. – 6.3.5 Speisewasseraufbereitung L 58.

6.4 W
rmetechnische Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 58 6.4.1 Energiebilanz und Wirkungsgrad L 58. – 6.4.2 Ermittlung der Heizfl
che L 59. – 6.4.3 Strmungswiderst
nde L 59. – 6.4.4 Festigkeitsberechnung L 59.

7

Kernreaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 60

7.1 Bauteile des Reaktors und Reaktorgeb
ude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 60 7.2 Sicherheitstechnik von Kernreaktoren

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 60

7.3 Funktionsbedingungen fr Kernreaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 61 7.4 Bauarten von Kernreaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 62 7.4.1 Leichtwasserreaktoren (LWR) L 62. – 7.4.2 Weiterentwicklung der Leichtwasserreaktortechnik L 65. – 7.4.3 Schwerwasserreaktoren L 65. – 7.4.4 Gasgekhlte thermische Reaktoren L 65. – 7.4.5 Schnelle Brutreaktoren (SNR) L 66. – 7.4.6 Kennwerte von Reaktortypen L 66.

7.5 Kernfusion

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 66

8

Anhang L: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 68

9

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 72

M Klimatechnik Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M1

1.1 Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M1

1.2 Meteorologische Grundlagen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M2

1.3 Hygienische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M4

1.4 K
ltetechnische Verfahren

M6

1

1.2.1 Lufttemperatur M 2. – 1.2.2 Luftfeuchte M 2. – 1.2.3 Wind M 3. – 1.2.4 Sonnenstrahlung M 3. 1.3.1 Raumklima M 4. – 1.3.2 Lufterneuerung in R
umen M 4. – 1.3.3 Behagliches Raumklima in Aufenthalts- und Arbeitsr
umen M 4. – 1.3.4 Ertr
gliches Raumklima in Arbeitsr
umen und Industriebetrieben M 5.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.1 Allgemeines M 6. – 1.4.2 Kaltdampf-Kompressionsk
lteanlage M 7. – 1.4.3 Absorptionsk
lteanlage M 8. – 1.4.4 Verdunstungskhlverfahren M 9. – 1.4.5 K
ltemittel, K
ltemaschinen-le und Khlsolen M 10.

1.5 Heiztechnische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 14

1.6 Raumlufttechnische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 15

Berechnungs- und Bemessungsgrundlagen der Heiz- und Raumlufttechnik .

M 16

2.1 W
rmebedarf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 16

2.2 Khllast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 17

2.3 Luftbedarf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 21

2.4 Leitungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 22

2

2.1.1 Transmissionsw
rmebedarf M 16. – 2.1.2 Lftungsw
rmebedarf M 17. – 2.1.3 Sonderf
lle M 17. 2.2.1 Innere Khllast M 18. – 2.2.2 ußere Khllast M 19.

2.3.1 Luftheizung M 21. – 2.3.2 Lftung M 21. – 2.3.3 Luftkhlung M 21. – 2.3.4 Klimaanlagen M 22.

2.4.1 Rohrnetz fr Warm- und Heißwasserleitungen M 22. – 2.4.2 Rohrnetz fr Dampfheizungen M 23. – 2.4.3 Kanalnetz fr raumlufttechnische Anlagen M 23. – 2.4.4 Luftfhrung im Raum M 23.

IInhaltsverzeichnis

XXV

Systeme und Bauteile der Heizungstechnik . . . . . . . . . . . . . . .

M 25

3.1 Einzelheizung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 25

3.2 Zentralheizung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 26

Systeme und Bauteile der Raumlufttechnik . . . . . . . . . . . . . . .

M 38

4.1 Einrichtungen zur freien Lftung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 38

4.2 Raumlufttechnische Anlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 39

3

3.1.1 Einzelheizger
te fr Wohnr
ume M 25. – 3.1.2 Einzelheizger
te fr grßere R
ume und Hallen M 25. 3.2.1 Heizungssysteme M 26. – 3.2.2 Raum-Heizkrper, -Heizfl
chen M 26. – 3.2.3 Rohrnetz M 28. – 3.2.4 Armaturen M 30. – 3.2.5 Umw
lzpumpen M 31. – 3.2.6 W
rmeerzeugung M 31. – 3.2.7 Heizzentrale M 34. – 3.2.8 Regelung und Steuerung M 36. – 3.2.9 W
rmeverbrauchsermittlung M 37.

4

4.1.1 Fensterlftung M 38. – 4.1.2 Schachtlftung M 39. – 4.1.3 Dachaufsatzlftung M 39. – 4.1.4 Freie Lftung, verst
rkt durch Ventilatoren M 39. 4.2.1 Raumlufttechnische Systeme M 39. – 4.2.2 Luftfhrung und Luftdurchlaß M 43. – 4.2.3 Kanalnetz M 47. – 4.2.4 Luftverteilung M 50. – 4.2.5 Lftungs- und Klimazentralen M 51. – 4.2.6 Ventilatoren M 53. – 4.2.7 Filter M 57. – 4.2.8 Lufterhitzer, -khler M 59. – 4.2.9 Luftbefeuchter M 59. – 4.2.10 Luftentfeuchter M 60. – 4.2.11 Schalld
mpfer M 61. – 4.2.12 Nachbehandlungsger
te mit Luftfrderung M 61. – 4.2.13 W
rmerckgewinnung M 62. – 4.2.14 Schaltung und Regelung M 63.

Systeme und Bauteile der k
ltetechnischen Anlagen. . . . . . . . . . . .

M 65

5.1 Anwendungen und Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 65

5.2 Bauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 66

5.3 Direktverdampfer-Anlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 70

5.4 Kaltwassers
tze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 71

5.5 Rckkhlwerke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 74

5.6 Kaltwasserverteilsysteme fr RLT-Anlagen . . . . . . . . . . . . . . . .

M 76

5

5.2.1 K
ltemittelverdichter M 66. – 5.2.2 Verdampfer M 67. – 5.2.3 Verflssiger M 68. – 5.2.4 K
ltemittelkreisl
ufe M 68. – 5.2.5 Wasserkreisl
ufe M 69.

5.3.1 Verflssigerss
tze, Splitger
te fr Klimaanlagen M 71. – 5.3.2 Direktverdampfer-Anlagen fr EDVKlimager
te M 71. 5.4.1 Kaltwassersatz mit Kolbenverdichter M 71. – 5.4.2 Kaltwassersatz mit Schraubenverdichter M 72. – 5.4.3 Kaltwassersatz mit Turboverdichter M 72. – 5.4.4 Absorptions- Kaltwassersatz M 72. 5.5.1 Bauarten und Zubehr M 74. – 5.5.2 Rckkhlsysteme M 74. – 5.5.3 Khlwassertemperaturen im Jahresverlauf M 74. – 5.5.4 Wasserbehandlung M 75.

5.7 Systeme fr ganzj
hrigen Khlbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 76

5.8 Speichersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 77

Systeme und Bauteile der W
rmepumpenanlagen . . . . . . . . . . . .

M 80

6.1 Anwendungen und Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 80

6.2 Bauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 81

6.3 Kleinw
rmepumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 82

6.4 Kaltdampfkompressions-W
rmepumpen grßerer Leistung . . . . . . . . . .

M 83

6.5 Absorptionsw
rmepumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 84

6.6 W
rmepumpensysteme nur fr Heizbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . .

M 84

6.7 Systeme fr gleichzeitigen Khl- und Heizbetrieb. . . . . . . . . . . . . .

M 84

6

Sonderklima- und Khlanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 86

7.1 Grubenkhlanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 86

7.2 Fahrzeuganlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 87

7.3 Klimaprfschr
nke und -kammern

M 89

7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Wirtschaftlichkeit und Energieverbrauch . . . . . . . . . . . . . . . .

M 90

8.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 90

8.2 K
lte- und W
rmepumpentechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 90

8

8.2.1 Kosten- und energiesparender Betrieb M 90. – 8.2.2 Grunds
tzliche Wirtschaftlichkeitsfragen M 91.

XXVI

Inhaltsverzeichnis

8.3 Heiz- und Raumlufttechnik

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 93

9

Anhang M: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 97

10

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M 108

N

Grundlagen der Verfahrenstechnik

1

Einf
hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Mechanische Verfahrenstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.3.1 Energieverbrauch M 93. – 8.3.2 Bedienung und Instandhaltung M 96.

2.1 Einf
hrung

N2 N3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N3

2.2 Zerkleinern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N3

2.3 Agglomerieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N5

2.4 Trennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N6

2.5 Mischen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N8

2.6 Bunkern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N9

2.2.1 Bruchphysik; Zerkleinerungstechnische Stoffeigenschaften N 3. – 2.2.2 Zerkleinerungsmaschinen N 4. 2.3.1 Bindemechanismen, Agglomeratfestigkeit N 5. – 2.3.2 Agglomerationstechnik N 5.

2.4.1 Abscheiden von Partikeln aus Gasen N 6. – 2.4.2 Abscheiden von Feststoffpartikeln aus Fl
ssigkeiten N 7. – 2.4.3 Klassieren in Gasen N 8. 2.5.1 R
hren N 9. – 2.5.2 Mischen von Feststoffen N 9.

2.6.1 Fließverhalten von Sch
ttg
tern N 9. – 2.6.2 Dimensionierung von Bunkern N 10.

3

Thermische Verfahrenstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 11

3.1 Absorbieren, Rektifizieren, Fl
ssig-fl
ssig-Extrahieren . . . . . . . . . . . . . N 11 3.1.1 Durchsatz N 11. – 3.1.2 Stofftrennung N 11.

3.2 Verdampfen und Kristallisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 14 3.3 Adsorbieren, Trocknen, Fest-fl
ssig-Extrahieren . . . . . . . . . . . . . . . . N 16 3.4 Membrantrennverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 19 4

Chemische Verfahrenstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 20

4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 20 4.2 Stchiometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 20 4.3 Chemische Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 21 4.4 Kinetik chemischer Reaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 22 4.5 Ideale isotherme Reaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 23 4.6 Reale Reaktoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 25 5

Mehrphasenstrmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 28

5.1 Einphasenstrmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 28 5.2 Widerstand fester und fluider Partikel

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 28

5.3 Feststoff/Fluidstrmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 29 5.3.1 Pneumatische Frderung N 29. – 5.3.2 Hydraulische Frderung N 33. – 5.3.3 Wirbelschicht N 34.

5.4 Gas-/Fl
ssigkeitsstrmung

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 35

5.4.1 Strmungsform N 35. – 5.4.2 Druckverlust N 35. – 5.4.3 Filmstrmung N 36.

6

Bioverfahrenstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 36

6.1 Mikroorganismen mit technischer Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 37 6.1.1 Bakterien N 37. – 6.1.2 Pilze N 37. – 6.1.3 Hefen N 38. – 6.1.4 Algen N 38. – 6.1.5 Viren N 38. – 6.1.6 Pflanzliche und tierische Zellen (Gewebe) N 38.

6.2 Kultivierungsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 39 6.2.1 Wachstumsbedingungen N 39. – 6.2.2 Phnomenologie des Wachstums N 40. – 6.2.3 Ablauf technischer Fermentationen N 41.

6.3 Sterilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 42 6.3.1 Hitzesterilisation N 42. – 6.3.2 Sterilfiltration N 44.

IInhaltsverzeichnis 6.4 Bioreaktoren

XXVII

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.1 Oberfl
chenkultivierung N 44. – 6.4.2 Submerskultivierung N 45. – 6.4.3 Meß- und Regelungstechnik N 48. – 6.4.4 Schaumzerstrung N 48. – 6.4.5 Steriler Betrieb N 48.

6.5 Kinetik enzymatischer Reaktionen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N 49

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

N 51

6.5.1 Katalytische Wirkung der Enzyme N 49. – 6.5.2 Michaelis-Menten-Kinetik N 49. – 6.5.3 Transformationen der Michaelis-Menten-Gleichung N 50. – 6.5.4 Einfluß von Temperatur, pH-Wert, Inhibitoren und Aktivatoren N 50.

6.6 Kinetik des mikrobiellen Wachstums

N 44

6.6.1 Substratlimitiertes Wachstum N 51. – 6.6.2 Wachstumshemmung N 52. – 6.6.3 Wachstum mit Transportlimitierung N 52. – 6.6.4 Wachstum in kontinuierlicher Kultivierung N 53. – 6.6.5 Fed-BatchKultivierung N 55. – 6.6.6 Zellerhaltung N 55.

O Maschinendynamik 1

Kurbeltrieb, Massenkr
fte und -momente, Schwungradberechnung. . . . . . O 1

1.1 Drehkraftdiagramm von Mehrzylindermaschinen . . . . . . . . . . . . . . . O 1 1.2 Massenkr
fte und Momente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O 3 1.2.1 Analytische Verfahren O 3. – 1.2.2 Ausgleich der Kr
fte und Momente O 8.

2

Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O 8

2.1 Problematik der Maschinenschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . O 8 2.2 Einige Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O 9 2.2.1 Mechanisches Ersatzsystem O 9. – 2.2.2 Bewegungsgleichungen, Systemmatrizen O 9. – 2.2.3 Modale Parameter: Eigenfrequenzen, modale D
mpfungen, Eigenvektoren O 10. – 2.2.4 Modale Analyse O 11. – 2.2.5 Frequenzgangfunktionen mechanischer Systeme, Amplituden- und Phasengang O 11.

2.3 Grundaufgaben der Maschinendynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O 12

2.4 Darstellung von Schwingungen im Zeit- und Frequenzbereich . . . . . . . . .

O 14

2.5 Entstehung von Maschinenschwingungen, Erregerkr
fte FðtÞ . . . . . . . . .

O 16

2.6 Mechanische Ersatzsysteme, Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . .

O 19

2.7 Anwendungsbeispiele fr Maschinenschwingungen . . . . . . . . . . . . .

O 23

Maschinenakustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O 27

3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O 27

3.2 Entstehung von Maschinenger
uschen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O 29

3.3 Absch
tzverfahren zur Bestimmung des Schalleistungspegels . . . . . . . . .

O 29

3.4 Mglichkeiten zur Verminderung von Maschinenger
uschen . . . . . . . . .

O 31

3.5 Maschinenakustische Berechnungen mit der Finite-Elemente-Methode/ Boundary-Elemente-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O 33

2.3.1 Direktes Problem O 12. – 2.3.2 Eingangsproblem O 13. – 2.3.3 Identifikationsproblem O 13. – 2.3.4 Entwurfsproblem O 13. – 2.3.5 Verbesserung des Schwingungszustands einer Maschine O 13.

2.4.1 Darstellung von Schwingungen im Zeitbereich O 14. – 2.4.2 Darstellung von Schwingungen im Frequenzbereich O 15. 2.5.1 Freie Schwingungen (Eigenschwingungen) O 16. – 2.5.2 Selbsterregte Schwingungen O 16. – 2.5.3 Parametererregte Schwingungen O 16. – 2.5.4 Erzwungene Schwingungen O 16.

2.6.1 Strukturfestlegung O 20. – 2.6.2 Parameterermittlung O 20. – 2.6.3 Beispiele fr mechanische Ersatzsysteme: Feder-Masse-D
mpfer-Modelle O 20. – 2.6.4 Beispiele fr mechanische Ersatzsysteme: Finite-Elemente-Modelle O 21.

2.7.1 Drehschwinger mit zwei Drehmassen O 23. – 2.7.2 Torsionsschwingungen einer Turbogruppe O 24. – 2.7.3 Biegeschwingungen einer Welle mit Laufrad O 25. – 2.7.4 Biegeschwingungen einer mehrstufigen Kreiselpumpe O 26.

3

3.4.1 Verminderung des Kraftpegels (Maßnahmen an der Krafterregung) O 31. – 3.4.2 Verminderung von Krperschallmaß und Abstrahlmaß (Maßnahmen am Maschinengeh
use) O 31.

3.6 Maschinenakustische Berechnungen mit der Statistischen Energieanalyse (SEA) .

O 35

3.7 Messung des akustischen Verhaltens von Maschinen . . . . . . . . . . . .

O 36

4

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O 36

P

Kolbenmaschinen

1

Allgemeine Grundlagen der Kolbenmaschinen . . . . . . . . . . . . . . .

P2

XXVIII

Inhaltsverzeichnis

1.1 Definition und Einteilung der Kolbenmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . .

P2

1.2 Vollkommene und reale Kolbenmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P2

1.3 Hubkolbenmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P5

1.4 Elemente der Kolbenmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P8

1.2.1 Die vollkommene Maschine P 2. – 1.2.2 Die reale Maschine P 3.

1.3.1 Triebwerksbauarten P 5. – 1.3.2 Kinematik des Kurbeltriebs P 5. – 1.3.3 Kr
fte am Kurbeltrieb P 6.

1.4.1 Kurbeltrieb P 8. – 1.4.2 Abdichten des Arbeitsraumes P 11. – 1.4.3 Zylinderanordnung und -zahl P 12. – 1.4.4 Lagerung und Schmierung P 12. – 1.4.5 Khlung P 13.

2

Verdr
ngerpumpen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 14

2.1 Bauarten und Anwendungsgebiete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 14 2.2 Berechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 15 2.2.1 Frderhhen, Geschwindigkeiten und Drcke P 15. – 2.2.2 Frderleistung, Antriebsleistung, Gesamtwirkungsgrad P 16. – 2.2.3 Instation
re Strmung P 16. – 2.2.4 Kavitation P 16. – 2.2.5 Pulsationsd
mpfung P 17.

2.3 Verlustteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 18 2.3.1 Betriebsverhalten der verlustfreien Verdr
ngerpumpe P 18. – 2.3.2 Definition von Wirkungsgraden P 18. – 2.3.3 Volumetrische Verluste P 19. – 2.3.4 Mechanisch-hydraulische Verluste P 19. – 2.3.5 Nutzliefergrad und Gesamtwirkungsgrad P 19.

2.4 Auslegung und Hauptabmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 21 2.4.1 Oszillierende Verdr
ngerpumpen P 21. – 2.4.2 Rotierende Verdr
ngerpumpen P 21.

2.5 Baugruppen und konstruktive Gestaltung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 22 2.5.1 Baugruppen zur Ein- und Auslaßsteuerung P 22. – 2.5.2 Verstellung und Regelung P 23. – 2.5.3 Verwendungsbedingte Gestaltung P 24.

3

Kompressoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 28

3.1 Bauarten und Anwendungsgebiete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 28 3.2 Grundlagen und Vergleichsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 29 3.2.1 Volumenstrom, Eintrittspunkt, Austrittspunkt P 29. – 3.2.2 Verdichtung idealer und realer Gase P 29. – 3.2.3 Vergleichsprozesse fr einstufige Verdichtung P 30. – 3.2.4 Definition von Wirkungsgraden P 31. – 3.2.5 Mehrstufige Verdichtung P 31. – 3.2.6 Verdichtung feuchter Gase P 32.

3.3 Arbeitszyklus, Liefergrade und Druckverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . P 32 3.3.1 Arbeitszyklus P 32. – 3.3.2 Liefergrade P 33. – 3.3.3 Druckverluste P 34.

3.4 Auslegung und Hauptabmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 35 3.4.1 Hubkolbenverdichter P 35. – 3.4.2 Schraubenverdichter P 36. – 3.4.3 Rotationsverdichter P 37. – 3.4.4 Flssigkeitsringverdichter P 37. – 3.4.5 Roots-Gebl
se P 38.

3.5 Ein- und Auslaßsteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 38 3.5.1 Aufbau selbstt
tiger Ventile P 39. – 3.5.2 Ventileinbau P 39. – 3.5.3 Ventilauslegung P 40.

3.6 Regelung und Betriebsverhalten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 41 3.6.1 Regelung P 41. – 3.6.2 Betriebsverhalten P 43.

3.7 Bauformen und Baugruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 43 3.7.1 Hubkolbenverdichter P 43. – 3.7.2 Membranverdichter P 47. – 3.7.3 Schraubenverdichter P 47. – 3.7.4 Rotationsverdichter P 49.

4

Verbrennungsmotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 49

4.1 Einteilung und Verwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 49 4.2 Arbeitsverfahren und Arbeitsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 50 4.2.1 Arbeitsverfahren P 50. – 4.2.2 Vergleichsprozesse P 50. – 4.2.3 Wirklicher Arbeitsprozeß P 52.

4.3 Ladungswechsel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 55 4.3.1 Kenngrßen des Ladungswechsels P 55. – 4.3.2 Steuerorgane fr den Ladungswechsel P 56. – 4.3.3 Ladungswechsel des Viertaktmotors P 58. – 4.3.4 Ladungswechsel des Zweitaktmotors P 59. – 4.3.5 Aufladung von Motoren P 60.

4.4 Verbrennung im Motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 63 4.4.1 Motoren-Kraftstoffe P 63. – 4.4.2 Gemischbildung und Verbrennung im Ottomotor P 64. – 4.4.3 Gemischbildung und Verbrennung im Dieselmotor P 65. – 4.4.4 Gemischbildung und Verbrennung in Hybridmotoren P 67.

4.5 Verfahren zur Gemischbildung und Zndung bei Ottomotoren . . . . . . . . . . P 67 4.5.1 Anforderungen an Gemischbildung P 67. – 4.5.2 Vergaser P 67. – 4.5.3 Saugrohr-BenzinEinspritzung P 68. – 4.5.4 Direkte Benzin-Einspritzung P 68. – 4.5.5 Zndausrstung P 70.

4.6 Einrichtungen zur Gemischbildung und Zndung bei Dieselmotoren . . . . . . . P 71 4.6.1 Konventionelle Einspritzsysteme P 71. – 4.6.2 Unkonventionelle Einspritzsysteme P 73. – 4.6.3 Einspritzdse P 73. – 4.6.4 Start- und Zndhilfen P 74.

IInhaltsverzeichnis

XXIX

4.7 Betriebsverhalten und Kenngr
ßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P 74

4.8 Konstruktion von Motoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P 82

4.9 Philips-Stirling-Motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P 91

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P 92

4.7.1 Leistung, Drehmoment und Verbrauch P 74. – 4.7.2 Kenngr
ßen P 75. – 4.7.3 Umweltverhalten P 76. – 4.7.4 Verbrennungsmotor als Antriebsaggregat P 80. 4.8.1 hnlichkeitsbeziehungen und Beanspruchung P 82. – 4.8.2 Motorbauarten P 83. – 4.8.3 Motorbauteile P 84. – 4.8.4 Ausgefhrte Motorkonstruktionen P 87.

5

Q Fahr- und Flugzeugtechnik 1

Kraftfahrzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q 2

1.1 Definition und allgemeine Anforderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q 2 1.1.1 Definition Q 2. – 1.1.2 Allgemeine Anforderungen Q 2.

1.2 Fahrwiderstand und Antrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q 3 1.2.1 Gesamtwiderstand Q 3. – 1.2.2 Zugkraftdiagramm Q 5. – 1.2.3 Kraftstoffverbrauch beeinflussende Maßnahmen Q 5. – 1.2.4 Dynamische Krfte Q 5.

1.3 Antriebsstrang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q 5 1.3.1 Bauformen Q 5. – 1.3.2 Kennungswandler Q 6. – 1.3.3 Gelenkwellen Q 10. – 1.3.4 Antriebsschlupfregelung ASR Q 10. – 1.3.5 Alternative Antriebsformen Q 10.

1.4 Bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 11

1.5 Fahrwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 18

1.6 Querdynamik und Fahrverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 32

1.7 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 37

1.8 Schwingungen und Komfort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 40

1.9 Kraftrder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 43

1.10 Fahrzeugelektrik, -elektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 45

1.11 Automobil und Umwelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 47

1.12 Entwicklungsmethodik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 49

1.4.1 Gesetzliche Anforderungen Q 11. – 1.4.2 Physikalische Grundlagen Q 12. – 1.4.3 Bremsregelung Q 13. – 1.4.4 Bremsenbauarten Q 13. – 1.4.5 Bremsanlagen fr Nkw Q 15. – 1.4.6 Dauer-Bremsanlagen Q 15. 1.5.1 Reifen und Felgen Q 18. – 1.5.2 Radaufhngung und Radfhrung Q 23. – 1.5.3 Federn Q 25. – 1.5.4 Dmpfung Q 28. – 1.5.5 Geregelte Feder-/Dmpfersysteme im Fahrwerk Q 29. – 1.5.6 Lenkungen Q 30. 1.6.1 Offene und geschlossene Regelkreise Q 34. – 1.6.2 Bewertungskriterien Q 34. – 1.6.3 Simulationsmethoden Q 35.

1.7.1 Fahrgastzelle Q 37. – 1.7.2 Innenraumgestaltung Q 38. – 1.7.3 Sicherheitsbestimmungen Q 38. 1.8.1 Vertikaldynamik Q 40. – 1.8.2 Komfortbewertung Q 41. – 1.8.3 Innengerusch Q 42. 1.9.1 Bauarten Q 43. – 1.9.2 Fahrdynamik Q 44.

1.11.1 Fahrzeugabgase Q 47. – 1.11.2 Kraftstoffverbrauch Q 48. – 1.11.3 Materialeinsatz Q 48. – 1.11.4 Gerusch Q 49. – 1.11.5 Flchenverbrauch Q 49.

Schienenfahrzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 50

2.1 Generelle Anforderungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 50

2.2 Fahrwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 52

2.3 Aufbau, Fahrzeugarten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 61

2.4 Antriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 72

2.5 Elektrische/Elektronische Ausrstung/Diagnose . . . . . . . . . . . . . .

Q 73

2.6 Sicherheitstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 75

2

2.1.1 Fahrzeugbegrenzungsprofil Q 51. – 2.1.2 Fahrgastwechselzeiten Q 51. – 2.1.3 Lebenszykluskosten LCC Q 52. 2.2.1 Grundbegriffe der Spurfhrungstechnik Q 52. – 2.2.2 Radbauarten Q 54. – 2.2.3 Radsatz Q 54. – 2.2.4 Rad-Schiene-Kontakt Q 54. – 2.2.5 Fahrwerke Q 57. – 2.2.6 Neigetechnik Q 58. 2.3.1 Rohbau Q 61. – 2.3.2 Klimaanlage Q 61. – 2.3.3 Tren Q 64. – 2.3.4 Fenster Q 64. – 2.3.5 Fhrerrume Q 65. – 2.3.6 Zug-Stoßeinrichtungen Q 67. – 2.3.7 Fahrzeugarten Q 70. 2.4.1 Fahrwiderstand Q 72. – 2.4.2 Konstruktionen Q 72.

2.5.1 Leistungselektrik Q 73. – 2.5.2 Diagnosetechnik Q 75.

2.6.1 Aktive Sicherheitstechnik/Bremse, Bremsbauarten Q 75. – 2.6.2 Passive Sicherheit Q 80.

XXX

Inhaltsverzeichnis

2.7 Entwicklungsmethodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q 83 2.7.1 Modelle Q 83. – 2.7.2 Fahrkomfort Q 83. – 2.7.3 Rad-Schiene-Kr
fte Q 86.

3

Luftfahrzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q 87

3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q 87 3.1.1 Luftverkehr Q 87. – 3.1.2 Anforderungen an den Luftverkehr und an Luftfahrzeuge Q 87. – 3.1.3 Einordnung und Konstruktionsgruppen von Luftfahrzeugen Q 88. – 3.1.4 Einordnung von Luftfahrzeugen nach Vorschriften Q 89.

3.2 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q 90 3.2.1 Die internationale Standardatmosph
re (ISA) Q 91. – 3.2.2 Achsenkreuze Q 92. – 3.2.3 Winkel Q 93. – 3.2.4 Gewichte Q 94. – 3.2.5 Fluggeschwindigkeiten Q 94. – 3.2.6 Geometrische Beschreibung des Luftfahrzeuges Q 95. – 3.2.7 Kr
fte und Winkel im Flug Q 98. – 3.2.8 Flugsteuerung Q 99. – 3.2.9 Flugstabilit
ten Q 99.

3.3 Grundlagen der Flugphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 100

3.4 Zelle, Struktur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 110

4

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 121

R

Str
mungsmaschinen

1

3.3.1 Einfhrung Q 100. – 3.3.2 Flugzeugpolare Q 102. – 3.3.3 Flugleistungen Q 103.

3.4.1 Konstruktionsphilosophien und -prinzipien Q 110. – 3.4.2 Lasten, Lastannahmen Q 112. – 3.4.3 Leichtbau Q 113. – 3.4.4 Werkstoffe und Bauweisen Q 114. – 3.4.5 Rumpf Q 116. – 3.4.6 Tragflgel Q 117. – 3.4.7 Wartung und Instandhaltung Q 120.

Gemeinsame Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R1

1.1 Strmungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R1

1.2 Thermodynamik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R4

1.3 Arbeitsfluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R6

1.4 Schaufelgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R8

1.1.1 Einleitung und Definitionen R 1. – 1.1.2 Wirkungsweise R 1. – 1.1.3 Strmungsgesetze R 2. – 1.1.4 Absolute und relative Strmung R 3. – 1.1.5 Schaufelanordnung fr Pumpen und Verdichter R 3. – 1.1.6 Schaufelanordnung fr Turbinen R 3. – 1.1.7 Schaufelgitter, Stufe, Maschine, Anlage R 4.

1.2.1 Thermodynamische Gesetze R 4. – 1.2.2 Zustands
nderung R 4. – 1.2.3 Totaler Wirkungsgrad R 5. – 1.2.4 Statischer Wirkungsgrad R 5. – 1.2.5 Polytroper und isentroper Wirkungsgrad R 5. – 1.2.6 Mechanische Verluste R 6. 1.3.1 Allgemeiner Zusammenhang zwischen thermischen und kalorischen Zustandsgrßen R 6. – 1.3.2 Ideale Flssigkeit R 6. – 1.3.3 Ideales Gas R 7. – 1.3.4 Reales Fluid R 7. – 1.3.5 Kavitation bei Flssigkeiten R 8. – 1.3.6 Kondensation bei D
mpfen R 8.

1.4.1 Anordnung der Schaufeln im Gitter R 8. – 1.4.2 Leit- und Laufgitter R 9. – 1.4.3 Einteilung nach Geschwindigkeits- und Druck
nderung R 9. – 1.4.4 Reale Strmung durch Gitter R 10. – 1.4.5 Gitterauslegung R 10. – 1.4.6 Gitter-Kenngrßen R 11. – 1.4.7 Kriterien fr die zweckm
ßige Stellung der Schaufeln im Gitter R 13. – 1.4.8 Profilverluste R 14. – 1.4.9 Verluste an den Schaufelenden R 14.

1.5 Stufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 14 1.5.1 Zusammensetzen von Gittern zu Stufen R 14. – 1.5.2 Gegenseitige Beeinflussung der Lauf- und Leitgitter R 15. – 1.5.3 Stufenkenngrßen R 16. – 1.5.4 Axiale Repetierstufe eines vielstufigen Verdichters R 17. – 1.5.5 Radiale Repetierstufe eines Verdichters R 17. – 1.5.6 Kenngrßen-Bereiche fr Verdichterstufen R 18. – 1.5.7 Axiale Repetierstufe einer Turbine R 18. – 1.5.8 Radiale Turbinenstufe R 19. – 1.5.9 Kenngrßen-Bereiche fr Turbinenstufen R 19.

1.6 Maschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 20 1.6.1 Beschaufelung, Ein- und Austrittsgeh
use R 20. – 1.6.2 Maschinenkenngrßen R 20. – 1.6.3 Wahl der Bauweise R 21.

1.7 Betriebsverhalten und Regelmglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 22 1.7.1 Maschinencharakteristiken R 22. – 1.7.2 Instabiler Betriebsbereich bei Verdichtern R 23. – 1.7.3 Anlagencharakteristik R 23. – 1.7.4 Zusammenarbeit von Maschine und Anlage R 23. – 1.7.5 Regelung von Verdichtern R 24. – 1.7.6 Regelung von Turbinen R 24.

1.8 Beanspruchung und Festigkeit der wichtigsten Bauteile . . . . . . . . . . . . . R 25 1.8.1 Rotierende Scheibe, rotierender Zylinder R 25. – 1.8.2 Durchbiegung, kritische Drehzahlen von Rotoren R 26. – 1.8.3 Beanspruchung der Schaufeln durch Fliehkr
fte R 26. – 1.8.4 Beanspruchung der Schaufeln durch station
re Strmungskr
fte R 27. – 1.8.5 Schaufelschwingungen R 27. – 1.8.6 Geh
use R 28. – 1.8.7 Thermische Beanspruchung R 29. – 1.8.8 Werkstoffeigenschaften R 30.

2

Wasserturbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 30

2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 30 2.1.1 Kennzeichen R 30. – 2.1.2 Wasserkraftwerke R 31. – 2.1.3 Wirtschaftliches R 31.

2.2 Gleichdruckturbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 31 2.2.1 Peltonturbinen R 31. – 2.2.2 Ossbergerturbinen R 32.

IInhaltsverzeichnis

XXXI

2.3
berdruckturbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 32

2.4 Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 34

2.3.1 Francisturbinen R 32. – 2.3.2 Kaplanturbinen R 33. – 2.3.3 De´riazturbinen R 34.

2.5 Kennliniendarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 34

2.6 Extreme Betriebsverhltnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 34

2.7 Laufwasser- und Speicherkraftwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 35

Kreiselpumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 36

3

3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 36

3.2 Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 36

3.3 Betriebsverhalten

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 39

3.4 Ausgefhrte Pumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 43

3.2.1 Laufrad R 36. – 3.2.2 Gehuse R 38. – 3.2.3 Fluid R 38. – 3.2.4 Werkstoff R 38. – 3.2.5 Antrieb R 38. 3.3.1 Kavitation R 39. – 3.3.2 Kennlinien R 40. – 3.3.3 Anpassung der Kreiselpumpe an den Leistungsbedarf R 40. – 3.3.4 Achsschubausgleich R 43.

Propeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 49

4.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 49

4.2 Schiffspropeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 49

4.3 Flugzeugpropeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 50

4.4 Hubschrauberrotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 50

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 51

4

5

F
ttinger-Getriebe

5.1 Prinzip und Bauformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 51

5.2 Auslegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 53

5.3 Fttinger-Kupplungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 53

5.4 Bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 54

5.5 Fttinger-Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 55

Dampfturbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 57

6

6.1 Benennungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 57

6.2 Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 57

6.3 Konstruktionselemente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 65

6.4 Anfahren und Betrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 68

6.2.1 Kraftwerksturbinen R 57. – 6.2.2 Industrieturbinen R 62. – 6.2.3 Kleinturbinen R 65. 6.3.1 Gehuse R 65. – 6.3.2 Ventile und Klappen R 65. – 6.3.3 Beschaufelung R 66. – 6.3.4 Wellendichtungen R 67. – 6.3.5 Lufer-Dreheinrichtung R 67. – 6.3.6 Lager R 68.

6.5 Regelung, Sicherheits- und Schutzeinrichtungen . . . . . . . . . . . . . .

R 68

6.6 Berechnungsverfahren

R 69

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6.1 Allgemeines R 69. – 6.6.2 Auslegung von Industrieturbinen R 69.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 70

7.1 Einteilung und Einsatzbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 70

7.2 Radiale Laufradbauarten

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 72

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 74

7.4 Regelungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 78

7

Turboverdichter

7.1.1 Ventilatoren R 70. – 7.1.2 Axialverdichter R 70. – 7.1.3 Radialverdichter R 71.

7.2.1 Das geschlossene 2 D-Laufrad R 73. – 7.2.2 Das geschlossene 3 D-Laufrad R 73. – 7.2.3 Das offene Laufrad R 73. – 7.2.4 Laufradverwendung R 73. – 7.2.5 Laufradherstellung R 73. – 7.2.6 Laufradfestigkeit R 74.

7.3 Radiale Verdichterbauarten

7.3.1 Einwellenverdichter R 74. – 7.3.2 Mehrwellen-Getriebeverdichter R 76. – 7.3.3 Bauartmerkmale, zusammengefaßt R 77.

7.4.1 Drehzahlregelung R 78. – 7.4.2 Saugdrosselregelung R 79. – 7.4.3 Eintrittsleitschaufelregelung R 79. – 7.4.4 Nachleitschaufelregelung R 79. – 7.4.5 Bypass-Regelung R 80.

XXXII

Inhaltsverzeichnis

7.5 Beispiel einer Radialverdichterauslegung nach vereinfachtem Verfahren . . . . . R 80 7.5.1 Betriebsbedingungen (vorgegeben) R 80. – 7.5.2 Gasdaten R 80. – 7.5.3 Volumenstrom, Laufraddurchmesser, Drehzahl R 81. – 7.5.4 Endtemperatur, spezifische polytrope Arbeit R 81. – 7.5.5 Wirkungsgrad, Stufenzahl R 81. – 7.5.6 Leistung R 81.

8

Gasturbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 82

8.1 Einteilung und Verwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 82 8.2 Thermodynamische Grundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 82 8.2.1 Idealisierte Kreisprozesse R 82. – 8.2.2 Reale Gasturbinenprozesse R 84.

8.3 Baugruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 85 8.3.1 Verdichter R 85. – 8.3.2 Turbine R 86. – 8.3.3 Brennkammer R 86. – 8.3.4 W
rmetauscher R 87.

8.4 Hilfssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 88 8.4.1 Drehzahlregelung R 88. – 8.4.2 Brennstoffsystem R 88. – 8.4.3 Schmierlsystem R 89. – 8.4.4 Weitere Hilfssysteme R 90.

8.5 Gasturbine im Kraftwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 91 8.5.1 Allgemeines und Bauweise R 91. – 8.5.2 Gas- und Dampf-Anlagen R 91. – 8.5.3 LuftspeicherKraftwerk R 91.

8.6 Gasturbine fr Verkehrsfahrzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 92 8.6.1 Luftfahrt R 92. – 8.6.2 Schiffahrt R 93. – 8.6.3 Straßenfahrzeuge R 93. – 8.6.4 Abgasturbolader R 93.

8.7 Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 94 8.8 Beanspruchungen und Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 94 8.9 Betriebsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 95 8.9.1 hnlichkeitskennfelder R 95. – 8.9.2 Teillastbetrieb R 95.

8.10 Abgasemission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 96 9

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 97

S

Fertigungsverfahren

1


bersicht ber die Fertigungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S3

1.1 Definition und Kriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S3

1.2 Systematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S3

Urformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S4

2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S4

2.2 Formgebung bei metallischen Werkstoffen durch Gießen . . . . . . . . . . . .

S5

2

2.2.1 Herstellung von Halbzeugen S 5. – 2.2.2 Herstellung von Formteilen (Gußteilen). S 7. – 2.2.3 CAD/ CAM-Einsatz S 15. – 2.2.4 Vorbereitende und nachbehandelnde Arbeitsvorg
nge S 17.

2.3 Formgebung bei Kunststoffen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 17 2.3.1 Foliengießen. S 17. – 2.3.2 Strangpressen (Extrudieren). S 17. – 2.3.3 Kalandrieren S 18. – 2.3.4 Schichtpressen. S 18. – 2.3.5 Spritzgießverfahren. S 18. – 2.3.6 Formpressen. S 18. – 2.3.7 Spritzpressen S 19. – 2.3.8 Sch
umen S 19.

2.4 Formgebung bei metallischen und keramischen Werkstoffen durch Sintern (Pulvermetallurgie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 19 2.4.1 Allgemeines S 19. – 2.4.2 Anwendung S 19. – 2.4.3 Technologie S 20.

2.5 Weitere Urformverfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 22 2.5.1 Galvanoformung S 22.

3

Umformen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 23

3.1 Systematik und Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 23 2.5.2 Chemoformung S 23.

3.2 Grundlagen der Umformtechnik S 24

3.2.1 Fließspannung S 24. – 3.2.2 Form
nderungsgrßen S 24. – 3.2.3 Fließkriterien. Flow criteria S 24. – 3.2.4 Fließkurve S 25. – 3.2.5 Anisotropie S 26. – 3.2.6 Form
nderungsvermgen S 26. – 3.2.7 Grenzform
nderungsdiagramm. S 26.

3.3 Modellvorstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 27 3.4 Spannungen und Kr
fte bei ausgew
hlten Verfahren der Umformtechnik . . . . . S 29 3.4.1 Stauchen zylindrischer Krper S 29. – 3.4.2 Stauchen rechteckiger Krper S 29. – 3.4.3 Drahtziehen S 29. – 3.4.4 Durchdrcken S 30. – 3.4.5 Tiefziehen S 31.

IInhaltsverzeichnis

XXXIII

3.5 Technologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 32

Trennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 39

4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 39

4.2 Spanen mit geometrisch bestimmten Schneiden. . . . . . . . . . . . . . .

S 39

4.3 Spanen mit geometrisch unbestimmter Schneide . . . . . . . . . . . . . .

S 53

4.4 Abtragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 60

4.5 Scheren und Schneiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 64

Sonderverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 70

5.1 Gewindefertigung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 70

5.2 Verzahnen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 74

5.3 Fertigungsverfahren der Feinwerk- und Mikrotechnik . . . . . . . . . . . .

S 84

3.5.1 Streckziehen S 32. – 3.5.2 Tiefziehen S 32. – 3.5.3 Biegen S 33. – 3.5.4 Superplastisches Umformen von Blechen S 35. – 3.5.5 Stauchen S 35. – 3.5.6 Schmieden S 35. – 3.5.7 Strangpressen S 37.

4

4.2.1 Grundlagen S 39. – 4.2.2 Drehen S 41. – 4.2.3 Bohren S 45. – 4.2.4 Fr
sen S 47. – 4.2.5 Sonstige Verfahren: Hobeln und Stoßen, R
umen, S
gen S 50. – 4.2.6 Schneidstoffe S 52.

4.3.1 Grundlagen S 53. – 4.3.2 Schleifen mit rotierendem Werkzeug S 55. – 4.3.3 Bandschleifen S 57. – 4.3.4 Honen S 58. – 4.3.5 Sonstige Verfahren: L
ppen, Innendurchmesser-Trennschleifen S 59. 4.4.1 Gliederung S 60. – 4.4.2 Thermisches Abtragen mit Funken (Funkenerosives Abtragen) S 60. – 4.4.3 Lasertrennen S 62. – 4.4.4 Elektrochemisches Abtragen S 64. – 4.4.5 Chemisches Abtragen S 64. 4.5.1 Systematik S 64. – 4.5.2 Technologie S 65. – 4.5.3 Kr
fte und Arbeiten S 66. – 4.5.4 Werkstckeigenschaften S 67. – 4.5.5 Werkzeuge S 67. – 4.5.6 Sonderschneidverfahren S 69.

5

5.1.1 Gewindedrehen S 70. – 5.1.2 Gewindestrehlen S 70. – 5.1.3 Gewindeschneiden S 71. – 5.1.4 Gewindebohren S 71. – 5.1.5 Gewindefr
sen S 71. – 5.1.6 Gewindeschleifen S 72. – 5.1.7 Gewindeerodieren S 73. – 5.1.8 Gewindewalzen S 73. – 5.1.9 Gewindefurchen S 73. – 5.1.10 Gewindedrcken S 73.

5.2.1 Verzahnen von Stirnr
dern S 74. – 5.2.2 Verzahnen von Schnecken S 81. – 5.2.3 Verzahnen von Schneckenr
dern S 82. – 5.2.4 Verzahnen von Kegelr
dern S 82.

5.3.1 Einfhrung S 84. – 5.3.2 Laserstrahlverfahren S 85. – 5.3.3 Elektronenstrahlverfahren S 86. – 5.3.4 Ultraschallverfahren S 87. – 5.3.5 Funkenerosion, Elysieren, Metall
tzen S 87. – 5.3.6 Herstellen von Schichten S 88. – 5.3.7 Herstellen planarer Strukturen S 89. – 5.3.8 Verfahren der Mikrotechnik S 90.

5.4 Beschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 93

5.5 Rapid Prototyping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 94

Montage und Demontage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 96

6.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 96

6.2 Aufgaben der Montage und Demontage . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 97

6.3 Durchfhrung der Montage und Demontage . . . . . . . . . . . . . . . .

S 98

6

Fertigungs- und Fabrikbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 102

7.1 Management der Produktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 102

7.2 Qualit
tsmanagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 102

7.3 Organisation der Produktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 104

7.4 Arbeitsvorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 105

7.5 Fertigungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 108

7.6 Betriebliche Kostenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 112

7

7.2.1 Aufgaben des Qualit
tsmanagements S 102. – 7.2.2 Qualit
tsmanagement-System S 103. – 7.2.3 Umfassendes Qualit
tsmanagement S 103. – 7.2.4 Werkzeuge und Methoden S 103. – 7.2.5 CAQSysteme S 104. 7.3.1 Formen der Organisation S 104. – 7.3.2 Bereiche der Produktion S 104. 7.4.1 Arbeitsplanung S 105. – 7.4.2 Arbeitssteuerung S 107.

7.5.1 Das System „Fertigung“ S 108. – 7.5.2 Einteilung von Fertigungsystemen S 109. – 7.5.3 Automatisierung von Handhabungsfunktionen S 110. – 7.5.4 Transferstraßen und automatische Fertigungslinien S 110. – 7.5.5 Flexible Fertigungssysteme S 111. – 7.5.6 Wandlungsf
hige Fertigungssysteme S 112.

7.6.1 Grundlagen der betrieblichen Kostenrechnung S 112. – 7.6.2 Kostenartenrechnung S 113. – 7.6.3 Kostenstellenrechnung und Betriebsabrechnungsbgen S 113. – 7.6.4 Maschinenstundensatzrechnung S 114. – 7.6.5 Kalkulation S 114. – 7.6.6 Prozeßkostenrechnung/ -kalkulation S 114.

XXXIV

Inhaltsverzeichnis

7.7 Arbeitswissenschaftliche Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 115

8

Anhang S: Diagramme und Tabellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 117

9

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 123

T

Fertigungsmittel

1

Elemente der Werkzeugmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T1

1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T1

1.2 Antriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T5

1.1.1 Funktionsgliederung T 1. – 1.1.2 Mechanisches Verhalten T 3.

1.2.1 Motoren T 5. – 1.2.2 Getriebe T 12. – 1.2.3 Mechanische Vorschub-
bertragungselemente T 16.

1.3 Gestelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 22 1.3.1 Anforderungen, Bauformen T 22. – 1.3.2 Werkstoffe fr Gestellbauteile T 24. – 1.3.3 Gestaltung der Gestellbauteile T 25. – 1.3.4 Berechnung und Optimierung T 25.

1.4 Fhrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 27 1.4.1 Linearfhrungen T 28. – 1.4.2 Drehfhrungen, Lagerungen T 33.

2

Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 35

2.1 Steuerungstechnische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 35 2.1.1 Zum Begriff Steuerung T 35. – 2.1.2 Informationsdarstellung T 35. – 2.1.3 Programmsteuerung und Funktionssteuerung T 35. – 2.1.4 Signaleingabe und -ausgabe T 36. – 2.1.5 Signalbildung T 36. – 2.1.6 Signalverarbeitung T 36. – 2.1.7 Steuerungsprogramme T 37. – 2.1.8 Aufbauorganisation von Steuerungen T 38. – 2.1.9 Aufbau von Steuerungssystemen T 38. – 2.1.10 Dezentralisierung durch den Einsatz industrieller Kommunikationssysteme T 40. – 2.1.11 Offene Steuerungssysteme T 41. – 2.1.12 Datenquellen und Verbindungsstrukturen in der Fertigung T 43. – 2.1.13 Sicherheitsbestimmungen T 44.

2.2 Steuerungsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 45 2.2.1 Mechanische Speicher und Steuerungen T 45. – 2.2.2 Fluidische Steuerungen T 45. – 2.2.3 Elektrische Steuerungen T 46.

2.3 Speicherprogrammierbare Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 46 2.3.1 Aufbau T 46. – 2.3.2 Arbeitsweise T 47. – 2.3.3 Programmierung T 47.

2.4 Numerische Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 49 2.4.1 Zum Begriff T 49. – 2.4.2 NC-Programmierung T 49. – 2.4.3 Datenschnittstellen T 50. – 2.4.4 Steuerdatenverarbeitung T 51. – 2.4.5 Numerische Grundfunktionen T 52. – 2.4.6 Lageeinstellung T 54.

2.5 Einrichtungen zur Positionsmessung bei NC-Maschinen . . . . . . . . . . . . . T 56 2.5.1 Arten der Positionswerterfassung T 56. – 2.5.2 Meßort und Meßwertabnahme T 56. – 2.5.3 Digitale Meßwerterfassung T 56. – 2.5.4 Analoge Meßwerterfassung T 57.

2.6 Einrichtungen zur Geschwindigkeitserfassung bei NC-Maschinen . . . . . . . . T 58 2.6.1 Direkte Geschwindigkeitsmessung T 58. – 2.6.2 Messen von Beschleunigungen T 58.

3

Maschinen zum Scheren und Schneiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 59

3.1 Maschinen zum Scheren 3.2 Maschinen zum Schneiden

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 60

3.3 Blechbearbeitungszentren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 61 3.4 Maschinen zum Strahlschneiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 61 4

Werkzeugmaschinen zum Umformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 62

4.1 Kenngrßen von Preßmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 62 4.2 Weggebundene Preßmaschinen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 64

4.2.1 Bauarten T 64. – 4.2.2 Baugruppen T 65. – 4.2.3 Kinetik und Kinematik T 65. – 4.2.4 Anwendung, Ausfhrungsbeispiele T 66.

4.3 Kraftgebundene Preßmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 67 4.3.1 Bauarten T 67. – 4.3.2 Baugruppen T 67. – 4.3.3 Anwendung, Ausfhrungsbeispiele T 67.

4.4 Arbeitgebundene Preßmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 67 4.4.1 Hmmer T 67. – 4.4.2 Spindelpressen T 71.

IInhaltsverzeichnis

XXXV

4.5 Arbeitssicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T 72

Spanende Werkzeugmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T 74

5.1 Drehmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T 74

5.2 Bohrmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T 80

5.3 Fr
smaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T 85

5.4 Bearbeitungszentren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T 90

5.5 Hobel- und Stoßmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T 91

5.6 R
ummaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T 93

5.7 S
ge- und Feilmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T 94

5.8 Schleifmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T 95

5.9 Honmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T 98

5

5.1.1 Allgemeines T 74. – 5.1.2 Universaldrehmaschinen T 74. – 5.1.3 Frontdrehmaschinen T 76. – 5.1.4 Drehautomaten T 76. – 5.1.5 Großdrehmaschinen T 78. – 5.1.6 Sonderdrehmaschinen T 78. – 5.1.7 Flexible Drehbearbeitungszentren T 79.

5.2.1 Allgemeines T 80. – 5.2.2 Tischbohrmaschinen T 81. – 5.2.3 S
ulenbohrmaschinen T 81. – 5.2.4 St
nderbohrmaschinen T 81. – 5.2.5 Mehrspindelbohrmaschinen T 82. – 5.2.6 Schwenkbohrmaschinen T 82. – 5.2.7 Koordinatenbohrmaschinen T 82. – 5.2.8 Revolverbohrmaschinen T 84. – 5.2.9 Feinbohrmaschinen T 84. – 5.2.10 Tiefbohrmaschinen T 85. – 5.2.11 Sonderbohrmaschinen T 85. 5.3.1 Allgemeines T 85. – 5.3.2 Konsolfr
smaschinen T 86. – 5.3.3 Bettfr
smaschinen T 87. – 5.3.4 Nachformfr
smaschinen T 88. – 5.3.5 Rundfr
smaschinen T 88. – 5.3.6 UniversalWerkzeugfr
smaschinen T 88. – 5.3.7 Waagerecht-Bohr- und -Fr
smaschinen T 88. – 5.3.8 Hochgeschwindigkeitsfr
smaschinen T 89. – 5.3.9 Fr
smaschinen mit Parallelkinematiken T 89. – 5.3.10 Sonderfr
smaschinen T 89.

5.5.1 Hobelmaschinen T 91. – 5.5.2 Stoßmaschinen T 92.

5.7.1 Allgemeines T 94. – 5.7.2 Kaltkreiss
gemaschinen T 94. – 5.7.3 Bands
ge- und Bandfeilmaschinen T 94. – 5.7.4 Hubs
ge- und Hubfeilmaschinen T 95. 5.8.1 5.8.4 5.8.6 5.8.8

Allgemeines T 95. – 5.8.2 Planschleifmaschinen T 95. – 5.8.3 Rundschleifmaschinen T 95. – Schraubfl
chenschleifmaschinen T 97. – 5.8.5 Verzahnungsschleifmaschinen T 97. – Profilschleifmaschinen T 97. – 5.8.7 Bandschleifmaschinen T 97. – Entwicklungstendenzen T 98.

5.9.1 Langhubhonmaschinen T 98. – 5.9.2 Kurzhubhonmaschinen T 99.

5.10 L
ppmaschinen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 100 5.10.1 Allgemeines T 100. – 5.10.2 Einscheiben-L
ppmaschinen T 100. – 5.10.3 ZweischeibenL
ppmaschinen T 101. – 5.10.4 Kugell
ppmaschinen T 102.

5.11 Mehrmaschinensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 102 6

Schweiß- und L
tmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 103

6.1 Lichtbogenschweißmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 103 6.2 Widerstandsschweißmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 105 6.3 Laserstrahl-Schweiß- und Lteinrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . T 106 6.4 Lteinrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 106 7

Industrieroboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 106

7.1 Einteilung von Handhabungseinrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . T 106 7.2 Komponenten des Roboters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 107 7.3 Kinematisches und dynamisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . T 108 7.3.1 Kinematisches Modell T 108. – 7.3.2 Dynamisches Modell T 108.

7.4 Genauigkeit, Kenngrßen, Kalibrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 108 7.5 Steuerungssystem eines Industrieroboters . . . . . . . . . . . . . . . . . T 109 7.6 Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 110 7.6.1 Programmierverfahren T 110. – 7.6.2 Off-line-Programmiersysteme T 111.

7.7 Anwendungsgebiete und Auswahl von Industrierobotern . . . . . . . . . . . T 112 8

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 112

XXXVI

Inhaltsverzeichnis

U

F
rdertechnik

1

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U2

1.1 Begriffsbestimmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U2

1.2 F
rdergter und F
rdermittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U2

1.3 Stromstrke und Durchsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U2

Hebezeuge und Krane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U3

2.1 Ketten und Kettentriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U3

2.2 Seile und Seiltriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U4

2

2.1.1 Rundstahlketten U 3. – 2.1.2 Stahlgelenkketten U 4.

2.2.1 Faserseile U 4. – 2.2.2 Drahtseile U 4. – 2.2.3 Seilrollen und Seiltrommeln U 9. – 2.2.4 Treibscheiben und Treibtrommeln U 10.

2.3 Tragmittel und Lastaufnahmemittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 11 2.3.1 Lasthaken U 11. – 2.3.2 Lastaufnahmemittel fr Stckgter U 12. – 2.3.3 Lastaufnahmemittel fr Schttgter U 13.

2.4 Mechanische Elemente der Antriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 14 2.4.1 Getriebe U 14. – 2.4.2 Motorkupplungen U 15. – 2.4.3 Mechanische Bremsen U 15.

2.5 Hubwerke und Winden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 19 2.5.1 Antriebsleistung U 19. – 2.5.2 Serienhebezeuge U 19. – 2.5.3 Stckguthubwerke U 20. – 2.5.4 Greiferhubwerke U 21. – 2.5.5 Freifallwinden U 22.

2.6 Fahrbahnen und Fahrwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 22 2.6.1 Kranschienen U 22. – 2.6.2 Laufrder und ihre Lagerung U 23. – 2.6.3 Berechnung der Laufrder U 23. – 2.6.4 Spurfhrung U 24. – 2.6.5 Antriebssysteme U 24.

2.7 Antriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 26 2.7.1 Elektromotorische Antriebe U 26. – 2.7.2 Dieselmotorisch getriebene Antriebe U 28.

2.8 Krantragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 28 2.8.1 Berechnung U 28. – 2.8.2 Puffer U 30. – 2.8.3 Schraubenverbindungen U 31. – 2.8.4 Standsicherheit und Sicherheit gegen Abtreiben durch Wind U 32. – 2.8.5 Abnahmeprfung von Kranen U 32.

2.9 Kranarten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 32 2.9.1 Hngebahnen U 32. – 2.9.2 Hngekrane U 33. – 2.9.3 Brckenkrane U 33. – 2.9.4 Verladebrcken U 36. – 2.9.5 Drehkrane U 37. – 2.9.6 Autokrane U 42.

3

Stetigf
rderer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 43

3.1 F
rderprinzip, Einteilung, Leistungsfhigkeiten. . . . . . . . . . . . . . . . . U 43 3.2 Stetigf
rderer, Zug- und Tragorgan vereinigt (Gurtf
rderer)

. . . . . . . . . . U 43

3.2.1 Gurtarten U 44. – 3.2.2 Berechnungsgrundlagen U 45. – 3.2.3 Konstruktionselemente und Baugruppen U 48.

3.3 Stetigf
rderer, Zug- und Tragorgan getrennt . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 52 3.3.1 Gliederf
rderer U 52. – 3.3.2 Schneckenf
rderer U 57.

3.4 Stetigf
rderer ohne Zugorgan, mit Energiezufuhr (Schwingf
rderer) . . . . . . . U 58 3.5 Stetigf
rderer ohne Zugorgan und ohne Energiezufuhr (Schwerkraftf
rderer) . . . U 59 3.5.1 Rutschen U 59. – 3.5.2 Rollenbahnen U 59.

3.6 Str
mungsf
rderer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 60 3.6.1 F
rderung im Luftstrom U 60. – 3.6.2 F
rderung im Wasserstrom U 60. – 3.6.3 F
rderung nach dem Lufthebeverfahren U 61. – 3.6.4 Berechnungsgrundlagen zur Str
mungsf
rderung U 61.

4

Flurf
rderer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 61

4.1 Hand-Flurf
rderzeuge

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 61

4.1.1 Karren U 61. – 4.1.2 Wagen U 61. – 4.1.3 Roller U 61. – 4.1.4 Hubwagen U 61.

4.2 Motorisch angetriebene Stckgutf
rderer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 61 4.2.1 Wagen W U 62. – 4.2.2 Schlepper Z U 63. – 4.2.3 Gabelstapler U 63. – 4.2.4 Portalhubwagen und -stapler U 67. – 4.2.5 Fahrerlose Flurf
rderzeuge U 68. – 4.2.6 Fahrwiderstnde und Fahrmotorleistung U 68.

4.3 Motorisch angetriebene Schttgut-Flurf
rderer . . . . . . . . . . . . . . . . . U 68 5

F
rderelemente und F
rdersysteme fr den innerbetrieblichen Materialfluß . U 69

5.1 Aufbau und Arbeitsweise von Materialflußsystemen (MFS) . . . . . . . . . . . U 69 5.2 Theoretische Behandlung der Materialflußsysteme . . . . . . . . . . . . . . . U 70

IInhaltsverzeichnis 5.3 Transporteinheit (TE) und Transporthilfsmittel (TPH)

XXXVII

. . . . . . . . . . .

U 72

5.4 F
rderelemente fr den innerbetrieblichen Materialfluß . . . . . . . . . . .

U 72

5.5 Lagertechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U 78

Baumaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U 84

6.1 Einteilung und Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U 84

6.2 Hochbaumaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U 84

6.3 Erdbaumaschinen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U 87

7

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U 94

V

Elektrotechnik

1

Grundlagen

5.4.1 Elemente zur F
rderung auf freier Strecke U 73. – 5.4.2 Elemente zum Zusammenfhren und Verteilen von Transportstr
men U 74. – 5.4.3 Sortiersysteme U 75. – 5.4.4 Kreisf
rdersysteme U 76. 5.5.1 5.5.3 5.5.5 5.5.7 5.5.9

6

Aufgabe, Struktur und Funktion eines Lagersystems U 78. – 5.5.2 Lagerungsm
glichkeiten U 78. – Abmessungen von Regalen in Palettenlagern U 79. – 5.5.4 Das Hochregallager (HRL) U 79. – Das Kanalregallager fr Paletten U 80. – 5.5.6 Das Paletten-Kommissionierlager (PKL) U 80. – Automatisierte Kleinteilelger (AKL) U 82. – 5.5.8 Durchsatz in Lagersystemen U 82. – Steuerung automatisierter Lagersysteme U 83.

6.2.1 Turmdrehkrane U 84. – 6.2.2 Betonmischanlagen U 84. – 6.2.3 Transportbetonmischer U 85. – 6.2.4 Betonpumpen. U 86. – 6.2.5 Verteilermasten U 86. 6.3.1 Bagger U 88. – 6.3.2 Schaufellader U 89. – 6.3.3 Planiermaschinen U 90. – 6.3.4 Transportfahrzeuge U 92.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V1

1.1 Grundgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 2 1.1.1 Feldgr
ßen und -gleichungen V 2. – 1.1.2 Elektrostatisches Feld V 2. – 1.1.3 Stationres Str
mungsfeld V 2. – 1.1.4 Stationres magnetisches Feld V 3. – 1.1.5 Quasistationres elektromagnetisches Feld V 3.

1.2 Elektrische Stromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 3 1.2.1 Gleichstromkreise V 3. – 1.2.2 Kirchhoffsche Stze V 4. – 1.2.3 Kapazitten V 5. – 1.2.4 Induktionsgesetz V 5. – 1.2.5 Induktivitten V 5. – 1.2.6 Magnetische Materialien V 6. – 1.2.7 Kraftwirkungen im elektromagnetischen Feld V 6.

1.3 Wechselstromtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 8 1.3.1 Wechselstromgr
ßen V 8. – 1.3.2 Leistung V 9. – 1.3.3 Drehstrom V 9. – 1.3.4 Schwingkreise und Filter V 11.

1.4 Netzwerke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 12

1.5 Werkstoffe und Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 14

1.4.1 Ausgleichsvorgnge V 12. – 1.4.2 Netzwerkberechnung V 13.

1.5.1 Leiter, Halbleiter, Isolatoren V 14. – 1.5.2 Besondere Eigenschaften bei Leitern V 14. – 1.5.3 Stoffe im elektrischen Feld V 15. – 1.5.4 Stoffe im Magnetfeld V 15. – 1.5.5 Elektrolyte V 16.

Transformatoren und Wandler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 16

2.1 Einphasentransformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 16

2.2 Meßwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 18

2.3 Drehstromtransformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 18

2

2.1.1 Wirkungsweise und Ersatzschaltbilder V 16. – 2.1.2 Spannungsinduktion V 17. – 2.1.3 Leerlauf und Kurzschluß V 17. – 2.1.4 Zeigerdiagramm V 17. 2.2.1 Stromwandler V 18. – 2.2.2 Spannungswandler V 18.

Elektrische Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 19

3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 19

3.2 Asynchronmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 24

3.3 Synchronmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 26

3.4 Gleichstrommaschinen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 29

3

3.1.1 Maschinenarten V 19. – 3.1.2 Bauformen und Achsh
hen V 20. – 3.1.3 Schutzarten V 20. – 3.1.4 Verluste und Wirkungsgrad V 21. – 3.1.5 Erwrmung und Khlung V 21. – 3.1.6 Betriebsarten V 22. – 3.1.7 Schwingungen und Gerusche V 22. – 3.1.8 Drehfelder in Drehstrommaschinen V 22. 3.2.1 Ausfhrungen V 24. – 3.2.2 Ersatzschaltbild und Kreisdiagramm V 24. – 3.2.3 Betriebskennlinien V 25. – 3.2.4 Einfluß der Stromverdrngung V 26. – 3.2.5 Einphasenmotoren V 26. 3.3.1 Ausfhrungen V 26. – 3.3.2 Betriebsverhalten V 27. – 3.3.3 Kurzschlußverhalten V 28. 3.4.1 Ausfhrungen V 29. – 3.4.2 Stationres Betriebsverhalten V 29. – 3.4.3 Instationres Betriebsverhalten V 29.

XXXVIII

Inhaltsverzeichnis

3.5 Kleinmotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 30 3.6 Linearmotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 33 4

Leistungselektronik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 34

4.1 Grundlagen und Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 34 4.1.1 Allgemeines V 34. – 4.1.2 Ausf
hrungen von Halbleiterventilen V 34. – 4.1.3 Leistungsmerkmale der Ventile V 35. – 4.1.4 Einteilung der Stromrichter V 36.

4.2 Wechselstrom- und Drehstromsteller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 36 4.3 Netzgef
hrte Stromrichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 37 4.3.1 Netzgef
hrte Gleich- und Wechselrichter V 37. – 4.3.2 Steuerkennlinien V 37. – 4.3.3 Umkehrstromrichter V 38. – 4.3.4 Netzr
ckwirkungen V 39. – 4.3.5 Direktumrichter V 39.

4.4 Selbstgef
hrte Stromrichter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 40 4.4.1 Gleichstromsteller V 40. – 4.4.2 Selbstgef
hrte Wechselrichter und Umrichter V 40. – 4.4.3 Blindleistungskompensation V 42.

5

Elektrische Antriebstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 42

5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 42 5.1.1 Aufgaben V 42. – 5.1.2 Stationrer Betrieb V 42. – 5.1.3 Anfahren V 43. – 5.1.4 Drehzahlverstellung V 43. – 5.1.5 Drehschwingungen V 44. – 5.1.6 Elektrische Bremsung V 45. – 5.1.7 Elektromagnetische Vertrglichkeit V 45.

5.2 Gleichstromantriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 45 5.2.1 Gleichstromantriebe mit netzgef
hrten Stromrichtern V 45. – 5.2.2 Regelung in der Antriebstechnik V 46. – 5.2.3 Drehzahlregelung V 47.

5.3 Drehstromantriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 49 5.3.1 Antriebe mit Drehstromsteller V 49. – 5.3.2 Stromrichterkaskaden V 49. – 5.3.3 Stromrichtermotor V 50. – 5.3.4 Umrichterantriebe mit selbstgef
hrtem Wechselrichter V 50. – 5.3.5 Regelung von Drehstromantrieben V 50.

6

Energieverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 54

6.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 54 6.2 Kabel und Leitungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 55 6.2.1 Leitungsnachbildung V 55. – 6.2.2 Kenngrßen der Leitungen V 55.

6.3 Schaltgerte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 56 6.3.1 Schaltanlagen V 56. – 6.3.2 Hochspannungsschaltgerte V 56. – 6.3.3 Niederspannungsschaltgerte V 56.

6.4 Schutzeinrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 56 6.4.1 Kurzschlußschutz V 56. – 6.4.2 Schutzschalter V 56. – 6.4.3 Thermischer berstromschutz V 57. – 6.4.4 Kurzschlußstrme V 57. – 6.4.5 Selektiver Netzschutz V 58. – 6.4.6 Ber
hrungsschutz V 58.

6.5 Energiespeicherung (s. L 4.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 59 6.5.1 Speicherkraftwerke V 59. – 6.5.2 Batterien V 59. – 6.5.3 Andere Energiespeicher V 60.

6.6 Elektrische Energie aus erneuerbaren Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . V 60 6.6.1 Solarenergie V 60. – 6.6.2 Windenergie V 61.

7

Elektrow
rme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 62

7.1 Widerstandserwrmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 63 7.2 Lichtbogenerwrmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 63 7.2.1 Lichtbogenofen V 63. – 7.2.2 Lichtbogenschweißen V 64.

7.3 Induktive Erwrmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 64 7.3.1 Stromverdrngung, Eindringtiefe V 64. – 7.3.2 Aufwlbung und Bewegungen im Schmelzgut V 64. – 7.3.3 Oberflchenerwrmung V 64. – 7.3.4 Stromversorgung V 65.

7.4 Dielektrische Erwrmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 65 8

Informationselektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 66

8.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 66 8.2 Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 66 8.3 Analoge Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 67 8.4 Digitale Schaltungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 67 9

Anhang V: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 70

IInhaltsverzeichnis 10

XXXIX

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 72

W Meßtechnik und Sensorik Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W1

1.1 Aufgabe der Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W1

1.2 Strukturen der Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W1

1.3 Planung von Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W4

1.4 Auswertung von Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W4

Meßgr
ßen und Meßverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W6

2.1 Einheitensystem und Gliederung der Meßgr
ßen der Technik . . . . . . . . .

W6

2.2 Sensoren und Aktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W6

2.3 Geometrische Meßgr
ßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W7

2.4 Kinematische und schwingungstechnische Meßgr
ßen . . . . . . . . . . . .

W 11

2.5 Mechanische Beanspruchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 14

2.6 Str
mungstechnische Meßgr
ßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 18

2.7 Thermische Meßgr
ßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 19

2.8 Optische Meßgr
ßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 21

2.9 Umweltmeßgr
ßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 22

2.10 Stoffmeßgr
ßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 24

1

1.2.1 Meßkette W 1. – 1.2.2 Kenngr
ßen von Meßgliedern W 1. – 1.2.3 Meßabweichung von Meßgliedern W 2. – 1.2.4 Dynamische bertragungseigenschaften von Meßgliedern W 3.

2

2.1.1 Internationales Einheitensystem W 6. – 2.1.2 Gliederung der Meßgr
ßen W 6.

2.2.1 Meßgr
ßenumformung W 6. – 2.2.2 Zerst
rungsfreie Bauteil- und Maschinendiagnostik W 6. 2.3.1 Lngenmeßtechnik W 7. – 2.3.2 Gewinde- und Zahnradmeßtechnik W 9. – 2.3.3 Oberflchenmeßtechnik W 10. – 2.3.4 Mustererkennung und Bildverarbeitung W 11. 2.4.1 Wegmeßtechnik W 12. – 2.4.2 Geschwindigkeits- und Drehzahlmeßtechnik W 12. – 2.4.3 Beschleunigungsmeßtechnik W 13. 2.5.1 Kraftmeßtechnik W 14. – 2.5.2 Dehnungsmeßtechnik W 14. – 2.5.3 Experimentelle Spannungsanalyse W 16. – 2.5.4 Druckmeßtechnik W 17.

2.6.1 Flssigkeitsstand W 18. – 2.6.2 Volumen, Durchfluß, Str
mungsgeschwindigkeit W 18. – 2.6.3 Viskosimetrie W 19. 2.7.1 Temperaturmeßtechnik W 20. – 2.7.2 Kalorimetrie W 20.

2.8.1 Licht- und Farbmeßtechnik W 21. – 2.8.2 Refraktometrie W 22. – 2.8.3 Polarimetrie W 22.

2.9.1 Strahlungsmeßtechnik W 22. – 2.9.2 Akustische Meßtechnik W 23. – 2.9.3 Klimameßtechnik W 24. 2.10.1 Anorganisch-chemische Analytik W 24. – 2.10.2 Organisch-chemische Analytik W 25. – 2.10.3 Oberflchenanalytik W 25.

Meßsignalverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 26

3.1 Signalarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 26

3.2 Analoge elektrische Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 26

3.3 Digitale elektrische Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 29

3.4 Rechneruntersttzte Meßsignalverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . .

W 30

3

3.2.1 Strom-, Spannungs- und Widerstandsmeßtechnik W 26. – 3.2.2 Kompensatoren und Meßbrcken W 27. – 3.2.3 Meßverstrker W 28. – 3.2.4 Funktionsbausteine W 29. 3.3.1 Digitale Meßsignaldarstellung W 29. – 3.3.2 Analog-Digital-Umsetzer W 30.

Meßwertausgabe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 32

4.1 Meßwertanzeige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 32

4.2 Meßwertregistrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 34

4.3 Ergebnisdarstellung und Dokumentation . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 34

5

Anhang W: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 35

6

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 37

4

4.1.1 Meßwerke W 32. – 4.1.2 Digitalvoltmeter, Digitalmultimeter W 33. – 4.1.3 Oszilloskope W 33. 4.2.1 Schreiber W 34. – 4.2.2 Drucker W 34. – 4.2.3 Meßwertspeicherung W 34.

XL

Inhaltsverzeichnis

X

Regelungstechnik

1

Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

X2

Lineare
bertragungsglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X3

2.1 Statisches Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X3

2.2 Dynamisches Verhalten linearer zeitinvarianter bertragungsglieder . . . . . . .

X4

2.3 Lineare Grundglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X5

2.4 Grundstrukturen des Wirkungsplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X7

Regelstrecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X8

3.1 Struktur und Grßen des Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X8

3.2 Regelstrecken mit Ausgleich (P-Strecken) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X9

2.1.1 Lineare Kennlinie X 3. – 2.1.2 Nichtlinearit
ten X 3.

2.2.1 Sprungantwort und bergangsfunktion X 4. – 2.2.2 Frequenzgang und Ortskurve X 4. – 2.2.3 Differentialgleichung und bertragungsfunktion X 5.

2.3.1 P-Glied X 6. – 2.3.2 I-Glied X 6. – 2.3.3 D-Glied X 6. – 2.3.4 Tt-Glied X 6. – 2.3.5 T1-Glied X 6. – 2.3.6 T2/n-Glied X 7. 2.4.1 Reihenstruktur X 7. – 2.4.2 Parallelstruktur X 7. – 2.4.3 Kreisstruktur X 7.

3

3.1.1 Funktionsblcke des Eingrßen-Regelkreises X 8. – 3.1.2 Grßen des Regelkreises X 9. – 3.1.3 Stellund Strverhalten der Strecke X 9.

3.2.1 P-Strecke 0. Ordnung (P–T0) X 9. – 3.2.2 P-Strecke 1. Ordnung (P–T1) X 9. – 3.2.3 P-Strecke 2. und hherer Ordnung (P–Tn) X 9. – 3.2.4 P-Strecke mit Totzeit (P–Tt) X 9. – 3.2.5 Strecke mit Ausgleich i-ter Ordnung und Totzeit (P–Ti–Tt) X 9.

3.3 Regelstrecken ohne Ausgleich (I-Strecken). . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 11 3.3.1 I-Strecke 0. Ordnung (I–T0) X 11. – 3.3.2 I-Strecke 1. Ordnung (I–T1) X 11. – 3.3.3 I-Strecke i-ter Ordnung und Totzeit (I–Ti–Tt) X 11.

4

Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 12

4.1 Arten linearer Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 12 4.1.1 P-Anteil, P-Regler X 12. – 4.1.2 I-Anteil, I-Regler X 12. – 4.1.3 PI-Regler X 12. – 4.1.4 PDRegler X 12. – 4.1.5 PID-Regler X 12.

4.2 Technische Ausfhrung der Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 13 4.2.1 Verstrker mit Rckfhrung X 13. – 4.2.2 Rechnergesttzter Regler X 13. – 4.2.3 Entwicklungstendenzen. X 14.

5

Linearer Regelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 14

5.1 Fhrungs- und Strungsverhalten des Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . . X 14 5.1.1 Fhrungsverhalten des Regelkreises X 15. – 5.1.2 Strungsverhalten des Regelkreises X 15.

5.2 Stabilitt des Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 16 5.3 Optimierung von Regelkreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 17 5.3.1 Gte der Regelung X 17. – 5.3.2 Einstellregeln fr Regelkreise X 18.

6

Spezielle Formen der Eingrßen-Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 18

6.1 Mehrschleifige Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 18 6.1.1 Regelung mit Strgrßenaufschaltung X 18. – 6.1.2 Kaskadenregelung X 19.

6.2 Zweipunkt-Regelung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 19 6.3 Adaptive Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 19 7

Regelung und Steuerung von Mehrgrßensystemen . . . . . . . . . . . . . X 20

7.1 Mehrgrßensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 20 7.1.1 Beispiele X 20. – 7.1.2 Definition X 20. – 7.1.3 Mathematische Beschreibung von Mehrgrßensystemen X 21.

7.2 Leittechnik fr Mehrgrßensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 21 7.2.1 Regelung von Mehrgrßensystemen X 22. – 7.2.2 Steuerung von Mehrgrßensystemen X 22. – 7.2.3 Kombinierte Steuerung und Regelung von Mehrgrßensystemen X 22.

IInhaltsverzeichnis

XLI

Y

Elektronische Datenverarbeitung

1

Einf
hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 1

2

Informationstechnologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 1

2.1 Grundlagen und Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 1 2.1.1 Zahlendarstellungen und arithmetische Operationen X 2. – 2.1.1 Datenstrukturen und Datentypen X 3. – 2.1.3 Algorithmen X 4. – 2.1.4 Numerische Berechnungsverfahren X 4. – 2.1.5 Programmiermethoden X 5. – 2.1.6 Programmiersprachen X 7. – 2.1.7 Objektorientierte Programmierung X 8. – 2.1.8 Softwareentwicklung X 8.

2.2 Digitalrechnertechnologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 8 2.2.1 Hardwarekomponenten X 8. – 2.2.2 Hardwarearchitekturen X 9. – 2.2.3 Rechnernetze X 10. – 2.2.4 Client-/Serverarchitekturen X 11. – 2.2.5 Betriebssysteme X 11.

2.3 Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X 13

2.4 Sicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X 13

Virtuelle Produktentstehung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X 14

3.1 Produktentstehungsprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X 14

3.2 Basismethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X 14

3

3.2.1 Geometrische Modellierung X 14. – 3.2.2 Featuretechnologie X 19. – 3.2.3 Parametrik X 19. – 3.2.4 Wissensbasierte Modellierung X 19. – 3.2.5 Strukturmodellierung X 20. – 3.2.6 Erstellung von Dokumenten X 21.

3.3 Systeme der rechnerunterst
tzten Produktentstehung . . . . . . . . . . . .

X 22

3.4 Produktdatenmanagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X 23

3.5 Schnittstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X 24

4

Anhang Y: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X 25

5

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X 28

Z

Allgemeine Tabellen 1. Basiseinheiten des SI-Systems Z 1. – 2. Abgeleitete Einheiten des SI-Systems Z 1. – 3. Vorstze f
r Einheiten Z 1. – 4. Einheiten außerhalb des SI-Systems Z 1. – 5. berschlagswerte zur Umrechnung von m kp s- in das SI-System Z 2. – 6. Namen und Abk
rzungen englischer Einheiten Z 2. – 7. Umrechnung der wichtigsten Einheiten des f p sin das SI-System Z 2. – 8. Rmisches Zahlensystem Z 2. – 9. Große Zahlenwerte Z 2. – 10. Raum und Zeit Z 3. – 11. Mechanik Z 3. – 12. Wrme Z 4. – 13. Elektrizitt Z 4. – 14. Magnetismus Z 4. – 15. Lichtstrahlung Z 5. – 16. Physikalische Konstanten Z 5. – 17. Grundbegriffe und Grundgrßen der Kernphysik Z 6. – 18. Grundgrßen der Lichttechnik Z 7. – 19. Die wichtigsten Grßen der Schalltechnik Z 8. – 20. Angenherte akustische Wirkungsgrade Z 8. – 21. Periodisches System der Elemente mit Ordnungszahl, Symbol, Namen und relativer Atommasse Z 9. – 22. Die wichtigsten Schadstoffe und ihre Kennwerte Z 10. – 23. Umrechnung von dB in Druck- oder Leistungs-(Druckquadrat-) verhltnisse und umgekehrt Z 11. – Bezugsquellen f
r Technische Regelwerke, die in den Textteilen und in den Anhngen auszugsweise als Hinweise enthalten sind Z 12. – Die wichtigsten auslndischen Normen und ihre Bezugsquellen Z 13.

Sachverzeichnis Inserenten

1 63

IInhaltsverzeichnis

XLIII

Hinweise zur Benutzung

Gliederung. Das Werk umfaßt 25 Teile, die in Kapitel, Abschnitte und Unterabschnitte gegliedert sind. Die Teile sind durch Großbuchstaben gekennzeichnet und ihre Seiten werden, jeweils mit eins beginnend, getrennt durchgez
hlt. Bei den Untergliederungen bezeichnet die erste Ziffer das Kapitel, die zweite den Abschnitt und die dritte den Unterabschnitt. Sie stehen jeweils vor ihrer berschrift, die auch ins Englische bersetzt ist. Weitere Unterteilungen werden durch fette (unnumerierte) berschriften sowie fette und kursive Zeilenanf
nge (sog. Spitzmarken) vorgenommen. Sie sollen dem Leser das schnelle Auffinden spezieller Themen erleichtern. Kolumnentitel oder Seitenberschriften enthalten auf den linken Seiten (gerade Endziffern) die Namen der Teile und Kapitel, auf den rechten die Abschnitte. Kleindruck. Er wurde fr Bildunterschriften und Tabellenberschriften sowie fr Beispiele und l
ngere Bildbeschreibungen angewandt, um diese Teile besser vom brigen Text abzuheben und Druckraum zu sparen. Inhalts- und Sachverzeichnis sind zur Erleichterung der Benutzung des Werkes ausfhrlich gestaltet. Sie enthalten ebenfalls die Seitenbezeichnung nach Teilen. Kapitel. Es bildet die Grundeinheit, in der Gleichungen, Bilder und Tabellen jeweils wieder von 1 ab numeriert sind. Fett gesetzte Bild- und Tabellenbezeichnungen sollen ein schnelles Erkennen der Zuordnung von Bildern und Tabellen zum Text ermglichen. Anhang. Am Ende fast aller Teile befinden sich die Kapitel „Anhang: Diagramme und Tabellen“ und „Spezielle Literatur“. Sie enthalten die fr die praktische Zahlenrechnung notwendigen Kenn- und Stoffwerte sowie Sinnbilder und Normenauszge des betreffenden Fachgebietes und das im Text angezogene Schrifttum. Am Ende des Werkes liegt der Teil Z „Allgemeine Tabellen“. Er enth
lt die wichtigsten physikalischen Konstanten, die Umrechnungsfaktoren fr die Einheiten, das periodische System der Elemente sowie ein Verzeichnis von Bezugsquellen fr Technische Regelwerke und Normen. Außerdem sind die Grundgrßen von Gebieten, deren ausfhrliche Behandlung den Rahmen des Buches sprengen wrden, aufgefhrt. Hierzu z
hlen die Kern-, Licht-, Schall- und Umwelttechnik. Numerierung und Verweise. Die Numerierung der Bilder, Tabellen, Gleichungen und Literatur gilt fr das jeweilige Kapitel. Gleichungsnummern stehen in runden ( ), Literaturziffern in eckigen [ ] Klammern. Bei Verweisen auf ein anderes Kapitel stehen vor den Bezeichnungen zus
tzlich der Buchstabe des Teils und die Nummer des Kapitels, z.B. C 2 Tab. 1, G 1 Bild 6, Anh. X 5 Tab. 1, B 3 Gl. (22) bzw. B 1.7 bei Textabschnitten, fr die „Allgemeinen Tabellen“ am Buchende z. B. Z Tab. 3. Bilder. Hierzu gehren konstruktive und Funktionsdarstellungen, Diagramme, Flußbilder und Schaltpl
ne. Bildgruppen. Sie sind, soweit notwendig, in Teilbilder untergliedert, die zus
tzlich zur Bildnummer mit kleinen Buchstaben a, b, c usw. bezeichnet sind (z. B. U 2 Bild 2). Sind diese nicht in der Bildunterschrift erl
utert, so befinden sich die betreffenden Erl
uterungen im Text (z. B. B 6 Bild 12 a–e). Kompliziertere Bauteile oder Pl
ne enthalten Positionen, die entweder im Text (z. B. P 2 Bild 26) oder in der Unterschrift erl
utert sind (z. B. L 5 Bild 5). Sinnbilder fr Schaltpl
ne von Leitungen, Schaltern, Maschinen und ihren Teilen sowie fr Aggregate sind nach Mglichkeit den zugeordneten DIN-Normen oder den Richtlinien entnommen. In Einzelf
llen wurde von den Zeichnungsnormen abgewichen, um die bersicht der Bilder zu verbessern. Tabellen. Sie ermglichen es, Zahlenwerte mathematischer und physikalischer Funktionen schnell aufzufinden. In den Beispielen sollen sie den Rechnungsgang einpr
gsam erl
utern und die Ergebnisse bersichtlich darstellen. Aber auch Gleichungen, Sinnbilder und Diagramme sind zum besseren Vergleich bestimmter Verfahren tabellarisch zusammengefaßt. Hinweis: Die CD DUBBEL interaktiv ermglicht die Nutzung von vielen interaktiven Tabellen und eine interaktive Nutzung vieler Diagramme.

XLIV

Hinweise zur Benutzung

Literatur. Spezielle Literatur. Sie ist auf das Sachgebiet eines Kapitels bezogen, eine Ziffer in ekkiger [ ] Klammer weist im Text auf das entsprechende Zitat hin. Diese Verzeichnisse, die h
ufig auch grundlegende Normen, Richtlinien und Sicherheitsbestimmungen enthalten, befinden sich am Ende der Teile nach Kapiteln geordnet. Allgemeine Literatur. Sie steht am Anfang des Teils in der Reihenfolge der Kapitel und enth
lt die betreffenden Grundlagenwerke. Sachverzeichnis. Nach wichtigen Einzelstichwrtern sind die Stichworte fr allgemeine, mehrere Kapitel umfassende Begriffe wie z. B. „Arbeit“, „Federn“ und „Steuerungen“ zusammengefaßt. Zur besseren bersicht ersetzt ein Querstrich nur ein Wort. In diesen Gruppen sind nur die wichtigsten Begriffe auch als Einzelstichwrter aufgefhrt. Dieses raumsparende Verfahren l
ßt natrlich immer einige berechtigte Wnsche der Leser offen, vermeidet aber ein zu langes und daher unbersichtliches Verzeichnis. Hinweis: Die CD DUBBEL interaktiv ermglicht eine Schlagwortsuche im gesamten Buch. Gleichungen. Sie sind der Vorteile wegen als Grßengleichungen geschrieben. Sind Zahlenwertgleichungen, wie z. B. bei empirischen Gesetzen oder bei sehr h
ufig vorkommenden Berechnungen erforderlich, so erhalten sie den Zusatz „Zgl.“ und die gesondert aufgefhrten Einheiten den Zusatz „in“. Fr einfachere Zahlenwertgleichungen werden gelegentlich auch zugeschnittene Grßengleichungen benutzt. Exponentialfunktionen sind meist in der Form „exp(x)“ geschrieben. Wo mglich, wurden aus Platzgrnden schr
ge statt waagerechte Bruchstriche verwendet. Hinweis: Die CD DUBBEL interaktiv 2.0 ermglicht die Nutzung von ber 3000 interaktiven Gleichungen, die in eine mathematische Arbeitsumgebung, basierend auf MUPAD, bertragen werden. Formelzeichen. Sie wurden in der Regel nach DIN 1304 gew
hlt. Dies ließ sich aber nicht konsequent durchfhren, da die einzelnen Fachnormenausschsse unabh
ngig sind und eine laufende Anpassung an die internationale Normung erfolgt. Daher mußten in einzelnen Fachgebieten gleiche Grßen mit verschiedenen Buchstaben gekennzeichnet werden. Aus diesen Grnden, aber auch um l
stiges Umbl
ttern zu ersparen, wurden die in jeder Gleichung vorkommenden Grßen meist in ihrer unmittelbaren N
he erl
utert. Bei Verweisen werden innerhalb eines Kapitels die in den angezogenen Gleichungen erfolgten Erl
uterungen nicht wiederholt. Wurden Kompromisse bei Formelzeichen der einzelnen Normen notwendig, so ist dies an den betreffenden Stellen vermerkt. Zeichen, die sich auf die Zeiteinheit beziehen, tragen einen Punkt. Beispiel: B 6 Gl. (5). Variable sind kursiv, Vektoren und Matrizen fett kursiv und Einheiten steil gesetzt. Einheiten. In diesem Werk ist das Internationale bzw. das SI-Einheitensystem (Systme international) verbindlich. Eingefhrt ist es durch das „Gesetz ber Einheiten im Meßwesen“ vom 2. 7. 1969 mit seiner Ausfhrungsverordnung vom 26. 6. 1970. Außer seinen sechs Basiseinheiten m, kg, s, A, K und cd werden auch die abgeleiteten Einheiten N, Pa, J, W und Pa s benutzt. Unzweckm
ßige Zahlenwerte knnen dabei nach DIN 1301 durch Vors
tze fr dezimale Vielfache und Teile nach Z Tab. 3 ersetzt werden. Hierzu l
ßt auch die Ausfhrungsverordnung folgende Einheiten bzw. Namen zu: Masse Volumen Druck

1 t = 1000 kg 1 l = 10–3 m3 1 bar = 105 Pa

Zeit Temperaturdifferenz Winkel

1 h = 60 min = 3600 s 1
C = 1 K 1
= p rad/180

Fr die Einheit 1 rad = 1 m/m darf nach DIN 1301 bei Zahlenrechnungen auch 1 stehen. Da
ltere Urkunden, Vertr
ge und
lteres Schrifttum noch die frheren Einheitensysteme enthalten, sind ihre Umrechnungsfaktoren fr das internationale Maßsystem in Z Tab. 5 aufgefhrt. Druck. Nach DIN 1314 wird der Druck p meist in der Einheit bar angegeben und z
hlt vom Nullpunkt aus. Druckdifferenzen werden durch die Formelzeichen, nicht aber durch die Einheit gekennzeichnet. Dies gilt besonders fr die Manometerablesung bzw. atmosph
rischen Druckdifferenzen. DIN-Normen. Hier sind die bei Abschluß der Manuskripte gltigen Ausgaben maßgebend. Dies gilt auch fr die dort gegebenen Definitionen und fr die angezogenen Richtlinien.

IChronik des Taschenbuchs – Biographische Daten

Chronik des Taschenbuchs Der Plan eines Taschenbuchs f
r den Maschinenbau geht auf eine Anregung von Heinrich Dubbel, Dozent und spter Professor an der Berliner Beuth-Schule, der namhaftesten deutschen Ingenieurschule, im Jahre 1912 zur
ck. Die Diskussion mit Julius Springer, dem f
r die technische Literatur zustndigen Teilhaber der „Verlagsbuchhandlung Julius Springer“ (wie die Firma damals hieß), dem Dubbel bereits durch mehrere Fachverffentlichungen verbunden war, f
hrte rasch zu einem positiven Ergebnis. Dubbel
bernahm die Herausgeberschaft, stellte die – in ihren Grundz
gen bis heute unverndert gebliebene – Gliederung auf und gewann, soweit er die Bearbeitung nicht selbst durchf
hrte, geeignete Autoren, zum erheblichen Teil Kollegen aus der Beuth-Schule. Bereits Mitte 1914 konnte die 1. Auflage erscheinen. Zunchst war der Absatz unbefriedigend, da der 1. Weltkrieg ausbrach. Das besserte sich aber nach Kriegsende und schon im Jahre 1919 erschien die 2. Auflage, dicht gefolgt von weiteren in den Jahren 1920, 1924, 1929, 1934, 1939, 1941 und 1943. Am 1. 3. 1933 wurde das Taschenbuch als „Lehrbuch an den Preußischen Ingenieurschulen“ anerkannt. H. Dubbel bearbeitete sein Taschenbuch bis zur 9. Auflage im Jahre 1943 selbst. Die 10. Auflage, die Dubbel noch vorbereitete, deren Erscheinen er aber nicht mehr erlebte, war im wesentlichen ein Nachdruck der 9. Auflage. Nach dem Krieg ergab sich bei der Planung der 11. Auflage der Wunsch, das Taschenbuch gleichermaßen bei den Technischen Hochschulen und den Ingenieurschulen zu verankern. In diesem Sinn wurden gemeinsam Prof. Dr.-Ing. Fr. Sass, Ordinarius f
r Dieselmaschinen an der Technischen Universitt Berlin, und Baudirektor Dipl.-Ing. Charles Bouch, Direktor der Beuth-Schule, unter Mitwirkung des Oberingenieurs Dr.-Ing. Alois Leitner, als Herausgeber gewonnen. Durch Spezialwerke standen Sass und Bouch schon mit dem Springer-Verlag in Verbindung; Fr. Sass durch seine „Dieselmaschinen“, Ch. Bouch durch seine „Kolbenverdichter“. Das gesamte Taschenbuch wurde nach der bewhrten Disposition H. Dubbels neu bearbeitet und mehrere Fachgebiete neu eingef
hrt: hnlichkeitsmechanik, Gasdynamik, Gaserzeuger und Kltetechnik. So gelang es, den technischen Fortschritt zu ber
cksichtigen und eine breitere Absatzbasis f
r das Taschenbuch zu schaffen. In der 13. Auflage wurden im Vorgriff auf das Einheitengesetz das technische und das internationale Maßsystem nebeneinander benutzt. In dieser Auflage wurde Prof. Dr.-Ing. Egon Martyrer von der Technischen Universitt Hannover als Mitherausgeber herangezogen. Am 26. 2. 1968 verstarb Fr. Sass, am 5. 11. 1975 E. Martyrer, am 6. 2. 1978 Ch. Bouch. Die 14. Auflage wurde von den Herausgebern W. Beitz und K.-H. K
ttner und den Autoren vollstndig neubearbeitet und erschien 1981, also 67 Jahre nach der ersten. Auch hier wurde im Prinzip die Disposition und die Art der Auswahl der Autoren und Herausgeber beibehalten. Inzwischen haben aber besonders die Computertechnik, die Elektronik, die Regelung und die Statistik den Maschinenbau beeinflußt. So wurden

XLV

umfangreichere Berechnungs- und Steuerverfahren entwickelt, und es entstanden sogar neue Spezialgebiete. Eine Auswahl unter der erforderlichen Ber
cksichtigung des klassischen Maschinenbaus und bei der notwendigen Beschrnkung der Seitenzahl zu treffen, die der Kritik standhlt, ist eine außerordentlich schwierige Aufgabe. Der Umfang des unbedingt ntigen Stoffes f
hrte zu zweispaltiger Darstellung bei grßerem Satzspiegel. So ist wohl die unvernderte Bezeichnung „Taschenbuch“ in der Tradition und nicht im Format begr
ndet. Das Ansehen, dessen sich das Taschenbuch
berall erfreute, f
hrte im Lauf der Jahre auch zu verschiedenen bersetzungen in fremde Sprachen. Eine erste russische Ausgabe gab in den zwanziger Jahren der Springer-Verlag selbst heraus, eine weitere erschien unautorisiert. Nach dem 2. Weltkrieg wurden Lizenzen f
r griechische, italienische, jugoslawische, portugiesische, spanische und tschechische Ausgaben erteilt. Von der Neubearbeitung (14. Auflage) erschienen 1984 eine italienische, 1991 eine chinesische und 1994 eine englische bersetzung. Der DUBBEL, wie er kurz und respektvoll von seinen Benutzern genannt wird, erwies sich aufgrund seiner klaren praxisnahen Darstellung und der Zuverlssigkeit der gebrachten Daten von der 1. Auflage an als hervorragendes Ausbildungsbuch und Nachschlagewerk f
r die Maschinenbauer. Die jetzt vorliegende 20. Auflage des DUBBEL wird die Marke von 1 000 000 verkauften Exemplaren seit dem Erscheinen der 1. Auflage im Jahre 1914
berschreiten. Dieses Ergebnis war mglich durch den Einsatz der Herausgeber und Autoren, der sorgfltigen Bearbeitung im Verlag und der exakten drucktechnischen Herstellung.

Biographische Daten
ber H. Dubbel Heinrich Dubbel, der Schpfer des Taschenbuches, wurde am 8. 4. 1873 als Sohn eines Ingenieurs in Aachen geboren. Dort studierte er an der Technischen Hochschule Maschinenbau und arbeitete in der vterlichen Fabrik als Konstrukteur, nachdem er in Ohio/USA Auslandserfahrungen gesammelt hatte. Vom Jahre 1899 ab lehrte er an den Maschinenbau-Schulen in Kln, Aachen und Essen. Im Jahre 1911 ging er an die Berliner Beuth-Schule, wo er nach f
nf Jahren den Titel Professor erhielt. 1934 trat er wegen politischer Differenzen mit den Behrden aus dem ffentlichen Dienst aus und widmete sich in den folgenden Jahren vorwiegend der Beratung des Springer-Verlages auf dem Gebiet des Maschinenbaus. Er starb am 24. 5. 1947 in Berlin. Dubbel hat sich in hohem Maße auf literarischem Gebiet bettigt. Seine Aufstze und B
cher, insbesondere
ber Dampfmaschinen und ihre Steuerungen, Dampfturbinen, l- und Gasmaschinen und Fabrikbetrieb genossen großes Ansehen. Durch das „Taschenbuch f
r den Maschinenbau“ wird sein Name noch bei mancher Ingenieurgeneration in wohlverdienter Erinnerung bleiben.

I

A

A1

Mathematik Mathematics P. Ruge, Dresden

Allgemeine Literatur Umfassende Darstellungen Aumann, G.: H
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A

A2

A

Mathematik

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rnig, W.; Spellucci, P.: Numerische Mathematik fr Ingenieure und

I2 Ergnzungen zur Hheren Mathematik

A3

Physiker, Bd. 1: Numerische Methoden der Algebra, 2. Aufl. Berlin: Springer 1988. – T
rnig, W.; Spellucci, P.: Numerische Mathematik f
r Ingenieure und Physiker, Bd. 2: Numerische Methoden der Analysis, 2. Aufl. Berlin: Springer 1990. – Varga, R. S.: Matrix iterative analysis, 3. Ed. Berlin: Springer 1999. – Wilkinson, J. H.: The algebraic eigenvalue problem. Oxford: Clarendon Press 1965. – Young, D. M.: Iterative solution of large linear systems. New York: Academic Press 1971. – Young, D. M.; Gregory, R. T.: A survey of numerical mathematics, Vols. I+II. Reading: Addison-Wesley 1973. – Zienkiewicz, O. C.: Methode der finiten Elemente, 2. Aufl. M
nchen: Hanser 1984. – Zurmhl, R.; Falk, S.: Matrizen und ihre Anwendungen, Teil 1: Grundlagen, 5. Aufl. Berlin: Springer 1984. – Zurmhl, R.; Falk, S.: Matrizen und ihre Anwendungen, Teil 2: Numerische Methoden, 5. Aufl. Berlin: Springer 1986.

1 Mathematik f
r Ingenieure Mathematics for engineers Die hauptschlichen Grundlagen der Ingenieurwissenschaften und damit auch die Mathematik im Maschinenbau liegen in dem Kompendium „HTTE – Die Grundlagen der Ingenieurwissenschaften“ aus gleichem Hause in einer relativ ausf
hrlichen Zusammenfassung vor. Eine wichtige Unterst
tzung stellt die CD DUBBEL interaktiv des Springer-Verlags dar. Basierend auf der 19. Auflage des DUBBEL mit dem umfangreichen Teil zur Mathematik im Maschinenbau nutzt sie die Mglichkeiten des Softwarepakets MuPAD. Deshalb sollen hier Hinweise zur Literatur und einige Anmerkungen zu neueren Entwicklungen und wesentlichen Aspekten ausreichen. Mathematik f
r Ingenieure, hufig auch Ingenieurmathematik genannt, ist keine Mathematik mit abgeminderten Qualittsanspr
chen, sondern eine Mathematik, von der man konkrete Lsungen f
r konkrete Probleme erwartet. Konkrete Lsungen sind hufig nur nherungsweise darstellbar; das ist kein grundstzlicher Mangel, falls gesicherte Abschtzungen
ber den Fehler mglich sind. Die rasante Entwicklung der Leistungsfhigkeit moderner Computer erffnet die Analyse immer komplexerer Problemfelder auch und gerade in den Ingenieurwissenschaften. Im interdisziplinren Spannungsfeld von Mathematik, Informatik, Ingenieur- und Naturwissenschaften entstanden neue Fachgebiete wie das Scientific Computing. Im Kern dieser Bem
hungen stehen zum einen die Entwicklung leistungsfhiger numerischer Algorithmen, zum anderen aber auch Aussagen
ber Genauigkeit, Konvergenz und numerische Stabilitt. Dies sind zutiefst mathematische Begriffe, die bis in die Funktionalanalysis f
hren. Aus diesen wenigen Aussagen wird die stetige Fortentwicklung auch der Ingenieurmathematik deutlich. So wie die Theorie

2 Ergnzungen zur Mathematik f
r Ingenieure Complements for engineering mathematics Klarere Definitionen alter mathematischer Begriffe, neue Ingenieuranwendungen auf der Basis der klassischen Analysis und die Einf
hrung verallgemeinerter Zahlendarstellungen ergnzen immer wieder die mathematischen Hilfsmittel des Ingenieurs. Beispiele gibt es hierf
r in der Beschreibung von Stoffgesetzen mit Gedchtnis
ber fraktionale Ableitungen, in der Zuschrfung des Dirac-Delta Formalismus
ber integral formulierte Distributionen oder in der bereichsweisen Einf
hrung von Wichtungs- oder Projektionsfunktionen in der Theorie der Wavelet-Integraltransformationen. Damit wird in der Signalanalyse eine Entwicklung nachgeholt, die in der Strukturanalyse schon seit langem durch den bergang von globa-

und Anwendung der Integraltransformationen, der Tensoren und Matrizen in die Ingenieurwelt Eingang gefunden haben, wird auch die Funktionalanalysis allmhlich an Bedeutung gewinnen. Zugenommen hat auch die Verf
gbarkeit von Mathematik in Form von Softwarepaketen wie zum Beispiel Mathematica, Maple, Mathcad oder Matlab – um nur einige zu nennen. ber das klassische mathematische R
stzeug des Ingenieurs herrscht weitgehende bereinstimmung, wie ein Blick in die allgemeine Lehrbuchliteratur ausweist. Neben typischen Klassikern von Autoren wie Baule, Mangoldt/Knoop sowie Smirnow erfreuen sich in letzter Zeit insbesondere die Werke von Meyberg/Vachenauer sowie von Burg/Haf/Wille einer besonderen Nachfrage. Auch unter den Handb
chern und Formelsammlungen gibt es neben Bewhrtem solche Klassiker wie „den Bronstein“ von Bronstein/Semendjajew und „die H
tte“ mit ihrem Mathematikteil. Eine viel beachtete relativ neue Formelsammlung von Rde/Westergren enthlt tabellarische bersichten auch zu mehr abstrakten Objekten der Mathematik. Klassisches Nachschlagewerk f
r spezielle Funktionen ist das Handbuch von Abramowitz/Stegun. Wesentliche Bedeutung f
r die Anwendungen im Maschinenbau haben neben den elementaren Grundlagen die Matrizen und Tensoren, die Geometrie einschließlich der Projektion auf Ebenen, die Integraltransformationen, die Variationsrechnung einschließlich verallgemeinerter Optimierungsstrategien und schließlich alle numerischen Verfahren. Dazu gehren sowohl die Diskretisierung kontinuierlicher Probleme in Ort und Zeit in Verbindung mit effektiven Integrationsverfahren als auch die anschließende Lsung der algebraischen Gleichungen. Daneben gibt es das eigenstndige Fachgebiet der Statistik mit der weiterf
hrenden Wahrscheinlichkeitslehre. Zu allen Themenkreisen sind im Vorspann spezielle Literaturstellen aufgelistet.

len Ritz-Anstzen zu lokalen FEM-Diskretisierungen gekennzeichnet ist. Selbst in der Algebra gibt es neue f
r den Ingenieur interessante Entwicklungen; so die Einf
hrung der Intervallrechnung und die Weiterentwicklung zur Fuzzy-Algebra. In der Intervallarithmetik wird eine Zahl z nicht mehr nur durch einen einzigen diskreten Wert dargestellt, sondern durch ein Intervall mit einer unteren Schranke z und einer oberen Schranke
z. z ¼ ½z,
z
; z  z 
z: ð1Þ Auf dieser Menge werden Verkn
pfungen definiert; so zum Beispiel die Subtraktion u  u : u
; u ¼ ½u;
u
; u  u ¼ ½u 
u;
u  u
: ð2Þ u ¼ ½u;
Die Bewertung der Zahlen z im Intervall ½z;
z
hinsichtlich ihrer Zugehrigkeit zum Intervall durch eine sogenannte Zugehrigkeitsfunktion m (memoryfunction) mit Werten zwischen

A

A4

Mathematik – 3 Numerische Methoden

A

Bild 1 a–c. Differenz u
u von Fuzzy-Zahlen

0 (mit Sicherheit keine Zugeh
rigkeit) und 1 (mit Sicherheit volle Zugeh
rigkeit) beschreibt den bergang von bewertungsneutralen Zahlenintervallen zu Fuzzy-Zahlen. Eine Aussage wie: die Verschiebung u liegt berwiegend zwischen 7,4 cm und 7,6 cm und fllt gelegentlich bis auf 7,0 cm ab oder steigt bis auf maximal 8,0 cm, lßt sich durch die Zugeh
rigkeitsfunktion in Bild 1 b darstellen.

Eine weitere Aussage wie: die Verschiebung u betrgt ungefhr 3,0 cm und liegt garantiert nicht unter 2,5 cm oder ber 3,5 cm, ist in Bild 1 a veranschaulicht. Die Differenz u
u folgt aus einfacher Anwendung der Regel in Gl. (2) angewandt auf jedes m-Niveau, wie in Bild 1 c fr m ¼ 0; 5 eingetragen.

3 Numerische Methoden Numerical methods

zu beurteilen, eignen sich Testaufgaben, deren L
sungen mit Hilfe nicht numerischer Methoden vollkommen unabhngig dargestellt werden k
nnen. Quellen hierfr sind die Grundlagen-HTTE im Mathematikteil und das Internet; so zum Beispiel die Website des National Institute of Standards: http://math.nist.gov. Selbst eine so vermeintlich elementare Aufgabe wie die L
sung eines Gleichungssystems mit reeller symmetrischer Koeffizientenmatrix A bedarf klrender Hinweise. Das Verfahren der Wahl ist die vorweggezogene Cholesky-Zerlegung von A mit A ¼ CCT . Dabei ist C oberhalb der Hauptdiagonalen mit den Elementen Cjj von vorneherein nur mit Nullen belegt. Diese Elemente pffiffiffi Cjj ergeben sich typischerweise als Wurzeln C jj ¼ R, wobei der Radikand R negativ sein kann und damit Cjj imaginr – eine Eigenschaft, die dem reellen Problem nicht angemessen ist. Folgerichtig reagieren manche Softwarepakete mit einer Fehlermeldung und brechen ab. Konzipiert man hingegen die ! Zerlegung mit vorgegebenen Elementen Cjj ¼ 1 und einer zwischengeschalteten Diagonalmatrix D,

3.1 Numerisch-analytische L
sung Numerical-analytical solutions Von allen Teildisziplinen der Mathematik hatte in den letzten 30 Jahren die numerische Mathematik mit ihrer Realisierung auf programmierbaren Rechnern den mit Abstand gr
ßten Einfluß auf die Ingenieurwissenschaften. Universelle L
sungsstrategien wie die Finite-Element-Methode und hocheffektive Algorithmen erlauben die Behandlung von Problemen mit einigen Zehntausend Freiheitsgraden. Analytische Verfahren treten dabei fast ganz in den Hintergrund und doch haben sie eine wesentliche Funktion bei der Kontrolle von Nherungsergebnissen. So k
nnen die Biegeeigenfrequenzen f ½Hz eines beidseitig frei drehbar unverschieblich gelagerten Bernoullibalkens nach Bild 1 als analytische Funktion der Ordnungszahl k angegeben werden. sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k2 p EI ; k ¼ 1, . . . , 1: ð1Þ f¼ 2 l3 rAl EI Biegesteifigkeit, l Balkenlnge, r Spezifische Masse pro Volumen, A Querschnittsflche.

3.2 Standardaufgaben der linearen Algebra Standard problems of linear algebra Zwei Standardaufgaben beherrschen die lineare Algebra und damit die Diskretisierung von Ingenieurproblemen: Das Gleichungssystem und das nichtlineare Eigenwertproblem: Ax ¼ r; A, r gegeben; x gesucht: Ax ¼ lBx; A, B gegeben; l, x gesucht: Um das reichlich vorhandene Softwareangebot hinsichtlich seiner Leistungsfhigkeit und insbesondere Zuverlssigkeit

!

A ¼ CDCT , Cjj ¼ 1, D ¼ diagfd1 ; . . . ; d n g,

ist das Wurzelproblem beseitigt, wie folgendes Beispiel zeigt 2 3 2 3 2 3 1 2 3 1 0 0 1 0 0 A ¼ 4 2 3 5 5, C ¼ 4 2 1 0 5, D ¼ 4 0
1 0 5: 3 5 10 3 1 1 0 0 2 Die L
sung eines Gleichungssystems Ax ¼ r ber die Invertierung der Matrix A mit x ¼ A
1 r ist absolut ungeeignet wegen des unn
tig hohen Rechenaufwands und der Zerst
rung der gerade bei Ingenieurproblemen hufig vorhandenen Bandstruktur von A. Gleichungssysteme Ax ¼ r mit regulrer, aber unsymmetrischer Koeffizientenmatrix A 6¼ AT werden im Rahmen des Gaußschen Algorithmus durch die Produktzerlegung A ¼ LR in eine Linksdreiecksmatrix L und eine Rechtsdreiecksmatrix R gel
st. Formal kann ein Gleichungssystem mit unsymmetrischem A durch Multiplikation von links mit AT in ein System mit symmetrischer Matrix AT A berfhrt werden. Ax ¼ r mit A 6¼ AT : ! ðAT AÞ x ¼ AT r:

Bild 1. Bernoullibalken

ð2Þ

ð3Þ

Damit erschließen sich zwar alle Methoden fr symmetrische Matrizen – neben der Cholesky-Zerlegung gibt es das Vorgehen ber die Minimierung zugeordneter quadratischer For-

I3.3 Interpolation, Integration

A5

men –, doch ist bereits der Aufwand zur Ausf
hrung des Produktes AT A unsinnig hoch und zudem sind die Lsungseigenschaften der quasi „quadrierten“ Matrix ausgesprochen schlecht. Rein anschaulich wird dies offenbar bei der Berechnung des Schnittpunktes zweier Geraden
x þ 20 y ¼ 20 und
x þ 10 y ¼ 9 wie in Bild 2 skizziert. Das zugeordnete Gleichungssystem ist unsymmetrisch.





1 20 x 20 x 2,0 Ax ¼ r: ¼ ! ¼ :
1 10 y 9 y 1,1

A

Das entsprechende System mit symmetrischer Matrix liefert dieselbe Lsung, AT Ax ¼ AT r: 




2,0 x
29 2
30 x , ¼ ! ¼ 1,1 y 490
30 500 y

Bild 2. Schleifender Schnitt der inneren Geraden

doch stellt sich der Lsungspunkt als Schnittpunkt der beiden inneren Geraden jetzt als „schleifender Schnitt“ heraus, was auch der numerischen Lsungsdarstellung abtrglich ist. Die Berechnung der Eigenwerte l und Eigenvektoren x des algebraischen Eigenwertproblems Ax ¼ lBx

ð4Þ

ist ungleich aufwendiger als die Lsung eines Gleichungssystems, so daß hier nur auf die Literatur verwiesen werden kann. Notwendige Bedingung f
r nichttriviale Lsungen x der Aufgabe (4) ist das Verschwinden der Koeffizientendeterminante ! 0: detðA
lBÞ¼

ð5Þ

Gngige numerische Verfahren basieren entweder auf Vektoriterationsverfahren oder sukzessiven Umformungen von A und B zu Matrizen LAR, LBR einfacherer Struktur. Ax ¼ lBx: x ¼ Ry ! LAR y ¼ l LBR y:

ð6Þ

Die Eigenwerte l bleiben dabei unverndert. Der hufige Sonderfall symmetrischer Matrizen A ¼ AT , B ¼ BT f
hrt nicht zwangslufig zu reellen Eigenwerten und -vektoren, wie das folgende Beispiel zeigt.

 2 1 6 4 A¼ , B¼ : 1 0 4 1
 3i 1 Ax ¼ lBx: ! l ¼ , x¼ :
1  i 10 Bedingung f
r reelle Eigenwerte bei symmetrischen Matrizen ist die Definitheit wenigstens einer der beteiligten Matrizen A oder B. Definitheit liegt dann vor, wenn die Elemente Djj der Matrix D der Cholesky-Zerlegung A ¼ CDCT alle gleiches Vorzeichen haben. Das ist in obigem Beispiel weder f
r A noch f
r B der Fall.


 1 0 2 0 1 1=2 A¼ : 1=2 1 0
1=2 0 1


 1 0 6 0 1 2=3 B¼ : 2=3 1 0
5=3 0 1 Viele Eigenwertlser fordern bei symmetrischem Paar A; B unabhngig von A eine positiv definite Matrix B. Leistet B dieses nicht, wohl aber die Matrix A, hilft ein Austausch der Matrizen mit einem Hilfseigenwert m: 1 Ax ¼ lBx ! Bx ¼ mAx; m ¼ : l

ð7Þ

Bei singulrer Matrix B ist diese Maßnahme ebenso hilfreich. Ist auch nur eine der beteiligten Matrizen unsymmetrisch, sind grundstzlich nur solche Eigenwertlser geeignet, die im Komplexen arbeiten.

Neben dem in l linearen algebraischen Eigenwertproblem Ax ¼ lBx gibt es das in l nichtlineare Eigenwertproblem PðlÞ x ¼ 0, PðlÞ ¼ A0 þ lA1 þ l2 A2 þ . . . þ lp Ap

ð8Þ

mit einer Polynommatrix P. Durch die Einf
hrung zustzlicher Unbekannter x1 ¼ l x0 mit x0 ¼ x, x2 ¼ l x1 , .. . xp
1 ¼ l xp
2

ð9Þ

gelingt eine formale Darstellung als lineares Eigenwertproblem und damit die Nutzung von Standardsoftware, z. B. f
r p ¼ 4: 32 3 32 3 2 2 x x 0 1 0 0 1 0 0 0 6 0 0 1 0 76 x1 7 6 0 1 0 0 76 x1 7 76 7 ¼ l6 76 7: ð10Þ 6 4 0 0 0 1 54 x2 5 4 0 0 1 0 54 x2 5 x3 x3 A0 A1 A2 A3 0 0 0
A4 Ist P in Gl. (8) nicht wie dort algebraisch, sondern eine Matrix mit transzendenten Elementen wie Pij ¼ sin2 l, sind verallgemeinerte Taylor-Entwicklungen heranzuziehen, wie z. B. in Falk/Zurm
hl beschrieben. Mehrgitterverfahren Im Rahmen der iterativen Lsung von Gleichungssystemen und Eigenwertproblemen
ber zugeordnete quadratische Formen hat das Mehrgitterverfahren (Multigrid Method) eine gewisse Bedeutung erlangt. Dabei werden Diskretisierungen mit verschiedenen finiten Elementnetzen so miteinander verquickt, daß der Fehler auf dem groben Gitter berechnet wird, die entsprechende Verbesserung der aktuellen Nherung hingegen auf dem feinen Gitter stattfindet.

3.3 Interpolation, Integration Interpolation, Integration Bei der Interpolation wird eine Menge von k ¼ 1 bis n diskreten Werten f k ðxk Þ an St
tzstellen xk auf einen kontinuierlichen Bereich abgebildet. Dadurch ist man in der Lage zu differenzieren, zu integrieren und beliebige Zwischenwerte f ð xÞ in der Zeit oder im Raum zu berechnen. Zur Interpolation nichtperiodischer Punktmengen eignen sich insbesondere Polynome. Daneben sind gebrochen rationale Funktionen a0 þ a1 x þ . . . þ ap xp ð11Þ fpq ðxÞ ¼ b0 þ b1 x þ . . . þ bq xq besonders geeignet, Polstellen und asymptotisches Verhalten wiederzugeben. 8 falls p < q q So gibt es f
r die Exponentialfunktion f ðxÞ ¼ expðxÞ verschie-

A6

A

Mathematik – 3 Numerische Methoden

Tabelle 1. Pade´-Entwicklungen Pp q ðxÞ f
r expðxÞ

Simpson: I  26 ½1  0 þ 4  0 þ 1  0 ¼ 0: Gauß (n=2):

 pffiffiffiffiffiffi  8 5  0,6ð0,6
1Þ
0,6 þ 2 þ 18 0 I 2 ½ 18   p ffiffiffiffiffiffi 5 8 þ 18  0,6ð0,6
1Þ þ 0,6 þ 2  ¼
15 :

Tabelle 2. St
tzstellen x1 bis xn der Gauß-Integration Zh n X I¼ f ðxÞ dx  2 h wk f ðxk Þ

3.4 Rand- und Anfangswertprobleme Boundary and initial value problems

k¼1


h

Anfangswertprobleme in der Regel im Zeitbereich, z_ ðtÞ ¼ f ðz, tÞ, z0 ¼ zðt0 Þ,

dene sogenannte Pade´-Entwicklungen Pp q ðxÞ mit globalen Eigenschaften nach Gl. (12), die in Tab. 1 angegeben sind. F
r periodische Punktmengen ist die globale Fourierinterpolation das klassische numerische Werkzeug. Die Interpolation dient nicht nur zur Verstetigung diskreter Punktmengen, sondern auch zur Abbildung komplizierter Integranden f ðxÞ auf einfach zu integrierende Ersatzfunktionen; vorzugsweise Polynome. Man spricht auch von „interpolatorischer Quadratur“. Alle numerischen Integrationsverfahren basieren auf einer linearen Entwicklung des Integranden in den Funktionswerten f k ¼ f ðxk Þ an gewissen St
tzstellen xk . Gibt man diese St
tzstellen vor, z. B. an den Stellen x1 ¼
h; x2 ¼ 0; x3 ¼ þh eines Integrationsintervalls ½
h, h, Zh I¼

f ðxÞ dx,

ð13Þ

mit den Funktionswerten f1 ; f2 ; f3 , so wird dadurch eine quadratische Interpolation mit dem Integralwert I¼

2h ð f1 þ 4 f2 þ f3 Þ 6

ð14Þ

begr
ndet; das ist die Simpson-Regel. Allgemein formuliert, gehen die Funktionswerte fk mit gewissen Wichtungsfaktoren wk in den Wert des Integrals ein: n X I¼ 2 h wk fk : ð15Þ k¼1

Der entscheidende Aufwand steckt in der Berechnung der n Funktionswerte f k ; bei n vorgegebenen St
tzstellen xk wird der Integrand durch ein Polynom ðn
1Þ. Grades interpoliert. Lßt man hingegen die n St
tzstellen zunchst frei, so lassen sie sich aus der Forderung bestimmen, daß ein Polynom ð2n
1Þ. Grades exakt integriert wird. Dieses Vorgehen geht auf Gauß zur
ck und kann als optimal bezeichnet werden. St
tzstellen sind in Tab. 2 aufgelistet. Ein einfaches Beispiel verdeutlicht die Qualitt der Gauß-Integration gegen
ber der Simpson-Formel mit jeweils n ¼ 2 St
tzstellen und h ¼ 1. Exakt: Z1 8 x2 ðx2
1Þ ðx þ 2Þ dx ¼
: I¼ 15
1

fj ¼ f ðtk þ tj h, Zj Þ, Zj ¼ Zðtk þ tj hÞ; 0  tj  1: Die St
tzstellen tj und die Wichtungsfaktoren wj werden f
r eine konkrete Entwicklungsstufe m so berechnet, daß der lokale Fehler im Zeitschritt h mglichst klein wird. Entwicklungen nach Gl. (17) nennt man pauschal Runge-Kutta-Verfahren. Im Zusammenhang mit linearisierten Anfangswertproblemen z_ ðtÞ ¼ SzðtÞ, z0 ¼ zðt0 Þ

ð18Þ

vorgegeben, definieren die Eigenwerte l des zugeordneten Eigenwertproblems ðS
l1Þ x ¼ 0 die Steifheit S. S¼


h

ð16Þ

zeichnen sich durch vorgegebene Anfangswerte z0 im Anfangszeitpunkt t0 aus. Eine numerische Lsung im Zeitintervall tk  t  tk þ h mit Approximationen Zk f
r zk gelingt durch numerische Integration der rechten Seite f in Gl. (16). Z m X f ðz, tÞ dt: ! Zkþ1 ¼ Zk þ h wj fj ; zkþ1
zk ¼ j¼1 ð17Þ tk þh

jljmax : jljmin

ð19Þ

F
r große Werte von S spricht man von steifen Differentialgleichungen; hierf
r eignen sich nur implizite Runge-KuttaVerfahren. Bewhrt haben sich f
r lineare Probleme wie in Gl. (18) Pade´-Darstellungen Ppq der Exponentiallsung nach gl. (11) mit Tab. 1. z_ ¼ S z ! zðtÞ ¼ expðS tÞ z0 z1 ¼ zðt ¼ hÞ ¼ expðS hÞ z0:

ð20Þ

Bei gleichen Potenzen p ¼ q, z. B. p ¼ q ¼ 1, ist die Stabilitt der bertragungsgleichung     h h ð21Þ 1
S z1 ¼ 1 þ S z0 2 2 a priori gesichert. Randwertprobleme in der Regel im Ortsbereich werden durch Vorgaben an allen Rndern des Problemfeldes charakterisiert. F
r Nherungslsungen eignen sich insbesondere lokale Anstze mit normierten Ansatzfunktionen; dies sind die FiniteElement-Methoden, kurz FEM. Im Rahmen des Konzepts gewichteter Residuen kann es durch die Wahl geeigneter Wichtungs- oder Projektionsfunktionen gelingen, die Integraldarstellung des Problems ausschließlich auf den Problemrand zu reduzieren: Dieses Vorgehen begr
ndet die Randelementmethode oder kurz BEM: Boundary Element Method.

I1.1

B

B1

Allgemeines

Mechanik Mechanics

B

J. Lackmann, Berlin Dieser Teil basiert auf den Ausf
hrungen von G. Rumpel und H.D. Sondershausen (bis 18. Auflage) Allgemeine Literatur zu B 1 bis B 7 B
cher: Falk, S.: Lehrbuch der Technischen Mechanik, Band 1–3. Berlin: Springer 1967, 1968, 1969. – Gross, D.; Hauger, W.: Technische Mechanik, Bd. 1–3. Heidelberger Taschenb
cher Bd. 215–217. Berlin: Springer 1986. – Gummert, P.; Recklinger, K.-A.: Mechanik, Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg & Sohn 1986. – Holzmann, Meyer, Schumpich: Technische Mechanik, Teil 1– 3, 5. bzw. 6. Aufl. Stuttgart: Teubner 1986. – Marguerre, K.: Technische Mechanik, Teil I–III. Berlin: Springer 1967, 1968. – Neuber H.: Technische Mechanik, Teil I–III. Berlin: Springer 1967, 1971, 1974. – Pestel, E.: Technische Mechanik, Teil 1–3. Mannheim: Bibliographisches Institut, 1969, 1971. – Szabo´, I.: Einf
hrung in die Technische Mechanik, 8. Aufl. Berlin: Springer 1975, Nachdruck 1984. – Szabo´, I.: Hhere Technische Mechanik, 5. Aufl. Berlin: Springer 1972, Nachdruck 1985. – Szabo´, I.: Repertorium zur Technischen Mechanik, 3. Aufl. Berlin: Springer 1972, Nachdruck 1985. – Ziegler, F.: Technische Mechanik der festen und fl
ssigen Krper, Wien: Springer 1985. Normen und Richtlinien: – (DIN 1305) Masse, Gewicht, Gewichtskraft, Fallbeschleunigung, Begriffe. – (DIN 1311) Schwingungslehre. – (DIN 1342) Viskositt Newtonscher Fl
ssigkeiten. – (DIN 5492) Formelzeichen der Strmungsmechanik. – (DIN 5497) Mechanik; starre Krper; Formelzeichen.

wobei

1 Statik starrer K
rper Statics of rigid bodies

F ¼ jFj ¼

1.1 Allgemeines. Introduction Statik ist die Lehre vom Gleichgewicht am starren Krper oder an Systemen von starren Krpern. Gleichgewicht herrscht, wenn sich ein Gebilde in Ruhe oder in gleichfrmiger geradliniger Bewegung befindet. Starre K
rper im Sinne der Statik sind Gebilde, deren Deformationen so klein sind, daß die Kraftangriffspunkte vernachlssigbar kleine Verschiebungen erfahren. Krfte sind linienfl
chtige, auf ihrer Wirkungslinie verschiebbare Vektoren (s. A bzw. DUBBEL interaktiv), die Bewegungs- oder Formnderungen von Krpern bewirken. Ihre Bestimmungsst
cke sind Grße, Richtung und Lage (Bild 1 a). F ¼ Fx þ Fy þ Fz ¼ Fx ex þ Fy ey þ Fz ez ¼ ðF cos aÞex þ ðF cos bÞey þ ðF cos gÞez ;

ð1Þ

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Fx2 þ Fy2 þ Fz2 :

ð2Þ

F
r die Richtungskosinusse der Kraft gilt cos a ¼ Fx =F, cos b ¼ Fy =F, cos g ¼ Fz =F sowie cos2 a þ cos2 bþ cos2 g ¼ 1. Es gibt eingeprgte Krfte und Reaktionskrfte sowie ußere und innere Krfte. ußere Krfte sind alle von außen auf einen freigemachten Krper (s. B 1.5) einwirkende Krfte (Belastungen und Auflagerkrfte). Innere Krfte sind alle im Inneren eines Systems auftretende Schnitt- und Verbindungskrfte. Momente oder Krftepaare bestehen aus zwei gleich großen, entgegengesetzt gerichteten Krften mit parallelen Wirkungslinien (Bild 1 b) oder einem Vektor, der auf ihrer Wirkungsebene senkrecht steht. Dabei bilden r, F, M eine Rechtsschraube (Rechtssystem). Krftepaare sind in ihrer Wirkungsebene und senkrecht zu dieser beliebig verschiebbar, d. h. der Momentenvektor ist ein freier Vektor, festgelegt durch das Vektorprodukt M ¼ r
F ¼ M x þ M y þ M z ¼ Mx e x þ My e y þ Mz e z ¼ ðM cos aÞe þ ðM cos bÞe þ ðM cos gÞe : x

M ¼ jMj ¼ jrj  jFj  sin j ¼ Fh ¼

Bild 1 a–c. Vektordarstellung. a Kraft; b Krftepaar; c Moment

y

z

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Mx2 þ My2 þ Mz2 :

ð3Þ

ð4Þ

M heißt Grße oder Betrag des Moments und bedeutet anschaulich den Flcheninhalt des von r und F gebildeten Parallelogramms. Dabei ist h der senkrecht zu F stehende Hebelarm. F
r die Richtungskosinusse gilt (Bild 1 c) cos a ¼ Mx =M, cos b ¼ My =M, cos g ¼ Mz =M: Moment einer Kraft bezglich eines Punktes (Versetzungsmoment). Die Wirkung einer Einzelkraft mit beliebigem Angriffspunkt bez
glich eines Punkts O wird mit dem Hinzuf
gen eines Nullvektors, d. h. zweier gleich großer, entgegengesetzt gerichteter Krfte F und F im Punkt O (Bild 2 a) deutlich. Es ergibt sich eine Einzelkraft F im Punkt O und ein Krftepaar bzw. Moment M (Versetzungsmoment), dessen Vektor auf der von r und F gebildeten Ebene senkrecht steht. Sind r und F in Komponenten x, y, z bzw. Fx , Fy , Fz gegeben (Bild 2 b), so gilt

B2

Mechanik – 1 Statik starrer Krper

B

Bild 4 a, b. Zusammensetzen mehrerer Krfte in der Ebene. a Lageplan; b Krftepolygon Bild 2 a – c. Kraft und Moment. a und b Kraftversetzung; c Moment in der Ebene



ex

M ¼ r
F¼
x

Fx

ey y Fy


ez


z

Fz


FR ¼ ð5Þ

¼ ðFz y  Fy zÞex þ ðFx z  Fz xÞey þ ðFy x  Fx yÞez F
r die Komponenten, den Betrag des Momentenvektors und die Richtungskosinusse gilt M

¼ Fz y  Fy z; My ¼ Fx z  Fz x;qM z ¼ Fy x  Fx y; ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi ¼ jMj ¼ jrj  jFj  sin j ¼ Fh ¼

n X i¼1

¼ Mx ex þ My ey þ Mz ez :

Mx

Die rechnerische Lsung lautet

Mx2 þ My2 þ Mz2 ;

cos a ¼ Mx =M; cos b ¼ My =M; cos g ¼ Mz =M:

Fi ¼

n X

Fix ex þ

i¼1

n X

Fiy ey

i¼1

ð6Þ

¼ FRx ex þ FRy ey mit Fix ¼ Fi cos ai ; Fiy ¼ Fi sin ai . Grße und Richtung der Resultierenden: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 þ F 2 ; tan a ¼ F =F : ð7Þ FR ¼ FRx R Ry Rx Ry Zerlegen einer Kraft ist in der Ebene eindeutig nur nach zwei Richtungen mglich, nach drei und mehr Richtungen ist die Lsung vieldeutig (statisch unbestimmt). Graphische Lsung s. Bild 5 a, b.

Liegt der Kraftvektor in der x, y-Ebene, d. h., sind z und Fz gleich null, so folgt (Bild 2 c) M ¼ M z ¼ ðFy x  Fx yÞez ; M ¼ jMj ¼ Mz ¼ Fy x  Fx y ¼ Fr sin j ¼ Fh: Projektion eines Momentenvektors auf eine gegebene Achse (Richtung): Ist y der Winkel zwischen Vektor und Achse und e1 der Einheitsvektor der Achse, so ergibt sich aus dem Skalarprodukt: M1 ¼ Me1 ¼ M cos y.

1.2 Zusammensetzen und Zerlegen von Kr
ften mit gemeinsamem Angriffspunkt Combination and resolution of concurrent forces 1.2.1 Ebene Kr
ftegruppe. Systems of coplanar forces Zusammensetzen von Kr
ften zu einer Resultierenden. Krfte werden geometrisch (vektoriell) addiert, und zwar zwei Krfte mit dem Krfteparallelogramm oder Krftedreieck (Bild 3), mehrere Krfte mit dem Krftepolygon oder Krafteck (Bild 4, Krftemaßstab 1 cm =k N).

Bild 5 a – c. Zerlegen einer Kraft in der Ebene. a In zwei Richtungen (eindeutig); b in drei Richtungen (vieldeutig); c rechnerisch

Rechnerische Lsung (Bild 5 c): F ¼ F1 þ F2 bzw. in Komponenten F cos a ¼ F1 cos a1 þ F2 cos a2 ; F sin a ¼ F1 sin a1 þ F2 sin a2 ; d. h. F2 ¼ ðF sin a  F1 sin a1 Þ= sin a2 und somit F cos a ¼ F1 cos a1 þ cos a2 ðF sin a  F1 sin a1 Þ= sin a2 : F cos a sin a2  F sin a cos a2 ¼ F1 cos a1 sin a2  F1 sin a1 cos a2 ; Bild 3 a, b. Zusammensetzen zweier Krfte in der Ebene. a Mit Krfteparallelogramm; b mit Krftedreieck

also F1 ¼ F sinða2  aÞ= sinða2  a1 Þ und entsprechend F2 ¼ F sinða1  aÞ= sinða2  a1 Þ: Diese Gleichungen entsprechen dem Sinussatz am schiefwinkligen Dreieck (Bild 5 c).

I1.2

Zusammensetzen und Zerlegen von Kr
ften mit gemeinsamem Angriffspunkt

B3

1.2.2 R
umliche Kr
ftegruppe 3-dimensional force systems Zusammensetzen von Kr
ften zu einer Resultierenden. Kr
fte werden geometrisch (vektoriell) addiert, indem das r
umliche Krafteck (Bild 6 a) gezeichnet wird. Dazu werden sie auf zwei Ebenen projiziert, d. h., die Aufgabe wird im Grund- und Aufriß gelst (Bild 6 a). In der x, y-Ebene (Grundrißebene) ergibt die Vektoraddition die Projektion F0R der Resultierenden FR , in der y, z-Ebene (Aufrißebene) F00R (Bild 6 b). Die Projektion von F00R in z-Richtung ergibt die wirkliche Komponente FRz der Resultierenden. FRz wird mit F0R in der von beiden Komponenten aufgespannten Ebene zur Resultierenden FR zusammengesetzt (Bild 6 c).

B

Bild 7 a – c. Zerlegen einer Kraft im Raum. a Lageplan; b Krafteck; c endgltige Kr
fte

Bild 6 a – c. Zusammensetzen von Kr
ften im Raum. a Lageplan; b Krafteck; c Gesamtresultierende

Damit folgt

Die rechnerische Lsung lautet FR ¼

n X i¼1

Fi ¼

n X i¼1

Fix ex þ

n X i¼1

menden Kraft F01 in der von diesen beiden Kr
ften aufgespannten Ebene zusammensetzt. Entsprechendes gilt fr F2 und F3 (Bild 7 c). Die rechnerische Lsung lautet F1 þ F2 þ F3 ¼ F; F1x þ F2x þF3x ¼ Fx ; F1y þ F2y þ F3y ¼ Fy ; F1z þ F2z þ F3z ¼ Fz . Gem
ß Bild 8 gilt fr die Richtungskosinusse der drei gegebenen Richtungen qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos ai ¼ xi = x2i þ y2i þ z2i ; cos bi ¼ yi = x2i þ y2i þ z2i ; qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos gi ¼ zi = x2i þ y2i þ z2i :

Fiy ey þ

n X i¼1

Fiz ez

ð8Þ

¼ FRx ex þ FRy ey þ FRz ez ; mit Fix ¼ Fi cos ai , Fiy ¼ Fi cos bi , Fiz ¼ Fi cos gi . Grße und Richtung der Resultierenden: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 þ F2 þ F2 ; F ¼ FRx Ry Rz ð9Þ cos aR ¼ FRx =F; cos bR ¼ FRy =F; cos gR ¼ FRz =F: Zerlegen einer Kraft ist im Raum eindeutig nur nach drei Richtungen mglich; nach vier und mehr Richtungen ist die Lsung vieldeutig (statisch unbestimmt). Bei der graphischen Lsung (Bild 7 a, b) bestimmt man zun
chst den Spurpunkt E der Kraft F (Wirkungslinie O) im Aufriß und Grundriß und damit im Grundriß die von O und 1 aufgespannte Ebene A0 D0 E0 . Sie schneidet die von 2 und 3 gebildete Ebene B0 C0 D0 im Grundriß in der Schnittgeraden c0 mit dem Spurpunkt G0 . Die Projektion von G0 in den Aufriß liefert G00 und damit c00 . Nun zerlegt man die Kraft F im Grundriß und Aufriß in die Richtungen 1 und c, die in zwei verschiedenen Ebenen, n
mlich in ABD und BCD, liegen. Fc ist die sogenannte Culmannsche Hilfskraft, die anschließend in die Richtungen 2 und 3 im Grundriß und Aufriß zerlegt wird. Die endgltige Grße von F1 erh
lt man, indem man die aus dem Aufriß zu entnehmende Komponente F1z mit der aus dem Grundriß zu entneh-

F1 cos a1 þ F2 cos a2 þ F3 cos a3 ¼ F cos a; F1 cos b1 þ F2 cos b2 þ F3 cos b3 ¼ F cos b; F1 cos g1 þ F2 cos g2 þ F3 cos g3 ¼ F cos g: Diese drei linearen Gleichungen fr die drei unbekannten Kr
fte F1 , F2 und F3 haben nur dann eine eindeutige Lsung, wenn ihre Systemdeterminante nicht null wird (s. A bzw. DUBBEL interaktiv), d. h., wenn die drei Richtungsvektoren nicht in einer Ebene liegen. Gem
ß Bild 8 gilt F1 e1 þ F2 e2 þ F3 e3 ¼ F und nach Multiplikation mit e2
e3 F1 e1 ðe2
e3 Þ þ F2 e2 ðe2
e3 Þ þ F3 e3 ðe2
e3 Þ ¼ Fðe2
e3 Þ:

Bild 8. Rechnerische Zerlegung einer Kraft im Raum

B4

Mechanik – 1 Statik starrer K
rper

Da der Vektor ðe2
e3 Þ sowohl auf e2 als auch auf e3 senkrecht steht, werden die Skalarprodukte null, und es folgt

B

F1 e1 ðe2
e3 Þ ¼ Fðe2
e3 Þ bzw: F1 ¼ Fe2 e3 =ðe1 e2 e3 Þ;

ð10Þ

F2 ¼ e1 Fe3 =ðe1 e2 e3 Þ; F3 ¼ e1 e2 F=ðe1 e2 e3 Þ: Fe2 e3 ; e1 e2 e3 usw. sind Spatprodukte, d. h. Skalare, deren Gr
ße der Rauminhalt des von drei Vektoren gebildeten Spats festlegt. Die L
sung ist eindeutig, wenn das Spatprodukt e1 e2 e3 6¼ 0 ist, d. h., die drei Vektoren drfen nicht in einer Ebene liegen (s. A bzw. DUBBEL interaktiv). Mit ei ¼ cos ai ex þ cos bi ey þ cos gi ez wird




F cos a cos a2 cos a3

cos a1 cos a2 cos a3







F1 ¼
F cos b cos b2 cos b3
:
cos b1 cos b2 cos b3

:ð11Þ
F cos g cos g cos g

cos g cos g cos g
2

3

1

2

3

Entsprechend F2 und F3 .

Fr einen beliebigen Punkt ist die Wirkung der Krftegruppe gleich der ihrer Resultierenden. Wird die Resultierende parallel aus dem Nullpunkt soweit verschoben, daß MR null wird, so folgt fr ihre Lage aus MR ¼ FR hR usw. (Bild 10 b) hR ¼ MR =FR bzw: xR ¼ MR =FRy bzw: yR ¼ MR =FRx : Zerlegen einer Kraft. Die Zerlegung einer Kraft ist in der Ebene eindeutig m
glich nach drei gegebenen Richtungen, die sich nicht in einem Punkt schneiden und von denen h
chstens zwei parallel sein drfen. Graphisch zerlegt man eine Kraft mit Hilfe der Culmannschen Hilfsgeraden (Bild 11 a, b). Dazu sind die Kraft F mit einer der drei Wirkungslinien und die beiden anderen Wirkungslinien untereinander zum Schnitt zu bringen. Die Verbindungslinie der Schnittpunkte A und B ist die sogenannte Culmannsche Hilfsgerade c. Nach Zerlegen der Kraft F im Krafteck in die Richtungen 3 und c ergeben sich F3 und Fc . Die Kraft Fc wird dann weiter zerlegt in die Richtungen 1 und 2, was zu F1 und F2 fhrt.

1.3 Zusammensetzen und Zerlegen von Kr
ften mit verschiedenen Angriffspunkten Combination and resolution of non-concurrent forces 1.3.1 Kr
fte in der Ebene. Coplanar forces Zusammensetzen mehrerer Kr
fte zu einer Resultierenden. Graphisches Verfahren mit Kraft- und Seileck: die Krfte werden im Krafteck (Bild 9 b) geometrisch zur Resultierenden addiert, ein beliebiger Pol P gewhlt und die Polstrahlen 1 bis n gezogen. Die Parallelen hierzu werden als Seilstrahlen 10 bis n0 in den Lageplan (Bild 9 a) bertragen, und zwar so, daß die Krfte eines Krftedreiecks des Polecks sich im Lageplan in einem Punkt schneiden (Punkt-Dreieck-Regel). Der Schnittpunkt des ersten und letzten Seilstrahls liefert den Angriffspunkt der Resultierenden, deren Gr
ße und Richtung aus dem Krafteck zu entnehmen ist. Rechnerisches Verfahren: Bezglich des Nullpunkts ergibt die ebene Krftegruppe eine resultierende Kraft und ein resultierendes (Versetzungs-)Moment (Bild 10 a) FR ¼ FRy ¼

n X i¼1 n X i¼1

Fi ; M R ¼ Fiy ; MR ¼

n X

M i bzw: FRx ¼

n X

i¼1 n X

i¼1 n X

i¼1

i¼1

ðFiy xi  Fix yi Þ ¼

Fix ;

Fi hi :

Bild 11 a – c. Zerlegen einer Kraft in der Ebene. a Lageplan mit Culmannscher Geraden c; b Krafteck; c rechnerische L
sung

Die rechnerische L
sung folgt aus der Bedingung, daß Kraftund Momentenwirkung der Einzelkrfte Fi und der Kraft F bezglich des Nullpunktes gleich sein mssen (Bild 11 c): n n X X Fi ¼ F; ðri
Fi Þ ¼ r
F; d: h: i¼1

i¼1

F1 cos a1 þ F2 cos a2 þ F3 cos a3 ¼ F cos a; F1 sin a1 þ F2 sin a2 þ F3 sin a3 ¼ F sin a; F1 ðx1 sin a1  y1 cos a1 Þ þ F2 ðx2 sin a2  y2 cos a2 Þ þ F3 ðx3 sin a3  y3 cos a3 Þ ¼ Fðx sin a  y cos aÞ

Bild 9 a, b. Zusammensetzen mehrerer Krfte in der Ebene. a Lageplan (Seileck); b Krafteck (Poleck)

oder an Stelle der letzten Gleichung F1 h1 þ F2 h2 þF3 h3 ¼ Fh, wobei entgegen dem Uhrzeigersinn drehende Momente positiv sind. Das sind drei Gleichungen fr die drei Unbekannten F1 , F2 , F3 . Ihre Nennerdeterminante darf nicht null werden, d. h., es mssen die bei der graphischen L
sung angefhrten Bedingungen bezglich der Lage der Wirkungslinien der Krfte erfllt sein, wenn die L
sung eindeutig sein soll. 1.3.2 Kr
fte im Raum. Forces in space

Bild 10. Resultierende von Krften in der Ebene

Kr
ftezusammenfassung (Reduktion). Eine rumliche Krftegruppe, bestehend aus den Krften Fi ¼ ðFix ; Fiy ; Fiz Þ; deren Angriffspunkte durch die Radiusvektoren ri ¼ ðxi ; yi ; zi Þ gegeben sind, kann bezglich eines beliebigen Punkts zu einer resultierenden Kraft FR und zu einem resultierenden Moment M R zusammengefaßt (reduziert) werden. Die umstndliche graphische L
sung erfolgt in drei Projek-

I1.4

Gleichgewicht und Gleichgewichtsbedingungen

B5

B Bild 12 a – c. Rumliche Krftereduktion. a Lageplan; b Kraft- und Momentenresultierende; c Kraft- und Momentenkomponenten

tionsebenen [1]. Die rechnerische L
sung (Bild 12) lautet, bezogen auf den Nullpunkt FR ¼

n X

Fi ;

i¼1


n n

ex X X
xi MR ¼ ðri
Fi Þ ¼
i¼1 i¼1
Fix FRx ¼ MRx ¼

n X

Fix ; FRy ¼

i¼1 n X

n X

ey yi Fiy


ez

zi

bzw: Fiz


Fiy ; FRz ¼

i¼1

i¼1

Fiz ;

i¼1

ðFiz yi  Fiy zi Þ; MRy ¼

n X MRz ¼ ðFiy xi  Fix yi Þ:

n X

n X ðFix zi  Fiz xi Þ; i¼1

i¼1

Kraftschraube oder Dyname. Eine weitere Vereinfachung des reduzierten Krftesystems ist insofern m
glich, als es eine Achse mit bestimmter Lage gibt, auf der Kraftvektor und Momentvektor parallel zueinander liegen (Bild 13). Diese Achse heißt Zentralachse. Sie ergibt sich durch Zerlegen von M R in der durch M R und FR gebildeten Ebene E in die Komponenten MF ¼ MR cos j (parallel zu FR ) und MS ¼ MR sin j (senkrecht zu FR ). Hierbei folgt j aus dem Skalarprodukt M R  FR ¼ MR FR cos j, d. h. cos j ¼ M R  FR =ðMR FR Þ: Anschließend wird MS durch Versetzen von FR senkrecht zur Ebene E um den Betrag a ¼ MS =FR zu null gemacht. Der dazu geh
rige Vektor ist a ¼ ðFR
M R Þ=FR2 , da sein Betrag jaj ¼ a ¼ FR MR sin j=FR2 ¼ MS =FR ist. Die Vektorgleichung der Zentralachse, in deren Richtung FR und M F wirken, lautet dann mit t als Parameter rðtÞ ¼ a þ FR  t: Kraftzerlegung im Raum. Eine Kraft lßt sich im Raum nach sechs gegebenen Richtungen eindeutig zerlegen. Sind die Richtungen durch ihre Richtungskosinusse gegeben und heißen die Krfte F1 . . . F6 , so gilt 6 X

Fi cos ai ¼ F cos a;

i¼1 6 X i¼1 6 X i¼1 6 X i¼1 6 X i¼1

6 X i¼1

Fi cos bi ¼ F cos b;

Fi cos gi ¼ F cos g; Fi ðyi cos gi  zi cos bi Þ ¼ Fðy cos g  z cos bÞ; Fi ðzi cos ai  xi cos gi Þ ¼ Fðz cos a  x cos gÞ; Fi ðxi cos bi  yi cos ai Þ ¼ Fðx cos b  y cos aÞ:

Aus diesen sechs linearen Gleichungen erhlt man eine eindeutige L
sung, wenn die Nennerdeterminante ungleich null ist (s. A bzw. DUBBEL interaktiv).

Bild 13. Kraftschraube (Dyname)

1.4 Gleichgewicht und Gleichgewichtsbedingungen Conditions of equilibrium Ein K
rper ist im Gleichgewicht, wenn er sich in Ruhe oder in gleichf
rmiger geradliniger Bewegung befindet. Da dann alle Beschleunigungen null sind, folgt aus den Grundgesetzen der Dynamik, daß am K
rper keine resultierende Kraft und kein resultierendes Moment auftreten. 1.4.1 Kr
ftesystem im Raum. System of forces in space Die Gleichgewichtsbedingungen lauten X X FR ¼ Fi ¼ 0 und M R ¼ Mi ¼ 0 bzw. in Komponenten X X X Fiy ¼ 0; Fiz ¼ 0; Fix ¼ 0; X X X Mix ¼ 0; Miy ¼ 0; Miz ¼ 0:

ð12Þ

ð13Þ

Jede der drei Gleichgewichtsbedingungen fr die Krfte kann durch eine weitere fr die Momente um eine beliebige andere Achse, die nicht durch den Ursprung O gehen darf, ersetzt werden. Aus den sechs Gleichgewichtsbedingungen lassen sich sechs unbekannte Gr
ßen (Krfte oder Momente) berechnen. Sind mehr als sechs Unbekannte vorhanden, nennt man das Problem statisch unbestimmt. Seine L
sung ist nur unter Heranziehung der Verformungen m
glich (s. C 2.7). Liegen Krfte mit gemeinsamem Angriffspunkt vor, so sind die Momentenbedingungen von Gl. (13) bezglich des Schnittpunkts (und damit auch fr alle anderen Punkte, da M R ein freier Vektor ist) identisch erfllt. Dann gelten nur die Krftegleichgewichtsbedingungen von Gl. (13), aus denen drei unbekannte Krfte ermittelt werden k
nnen. Fr die Xgraphische L
sung Fi ¼ 0 das rumlimuß sich in diesem Fall wegen FR ¼ che Krafteck schließen (Durchfhrung in Grund- und Aufriß entsprechend Bild 7). 1.4.2 Kr
ftesystem in der Ebene Systems of coplanar forces Das Gleichungssystem (13) reduziert sich auf drei Gleichgewichtsbedingungen: X X X Fix ¼ 0; Fiy ¼ 0; Miz ¼ 0: ð14Þ Die beiden Krftegleichgewichtsbedingungen k
nnen durch zwei weitere Momentenbedingungen ersetzt werden. Die drei Bezugspunkte fr die drei Momentengleichungen drfen nicht auf einer Geraden liegen. Aus den drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene lassen sich drei unbekannte Gr
ßen (Krfte oder Momente) ermitteln. Sind mehr Unbekannte vorhanden, so ist das ebene Problem statisch unbestimmt. Die graphische L
sung fr das Gleichgewicht in der Ebene folgt aus dem Satz, daß sich Kraft- und Seileck schließen mssen (Bild 14). Schließt sich das Krafteck, das Seileck aber nicht, so herrscht kein Gleichgewicht; ein Krftepaar

B6

B

Mechanik – 1 Statik starrer Krper

bleibt
brig (s. Bild 14, Kraft F40 und Krftepaar, bestehend aus Seilkrften 1 und 50 ). Sonderflle: Zwei Krfte sind im Gleichgewicht, wenn sie auf gleicher Wirkungslinie liegen, gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sind. Drei Krfte m
ssen sich in einem Punkt schneiden, und das Krafteck muß sich schließen. Bei vier Krften muß sich das Krafteck schließen, und die Resultierenden von je zweien m
ssen auf derselben Wirkungslinie liegen, gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sein (Bild 15).

Bild 17. Prinzip virtueller Verr
ckungen Bild 18. Zeichenmaschine

In nat
rlichen Koordinaten nimmt das Prinzip die Form X ðeÞ X ðeÞ dW ðeÞ ¼ Fis dsi þ Mij dji ¼ 0 ð17Þ ðeÞ

an, wobei Fis die in die Richtung der Verschiebung zeigenBild 14. Graphische Gleichgewichtsbedingungen

ðeÞ

den Kraftkomponenten und Mij die um die Drehachse wirksamen Komponenten der Momente sind. Das Prinzip dient unter anderem in der Statik zur Untersuchung des Gleichgewichts an verschieblichen Systemen und zur Berechnung des Einflusses von Wanderlasten auf Schnitt- und Auflagerkrfte (Einflußlinien). 1.4.4 Arten des Gleichgewichts. Types of equilibrium Beispiel: Bei einer Zeichenmaschine sind Gegengewicht FQ und sein Hebelarm l so zu bestimmen, daß sich die Zeichenmaschine vom Eigengewicht FG in jeder Lage im Gleichgewicht befindet (Bild 18). – Das System hat zwei verschiedene Freiheitsgrade j und y.

Bild 15

Bild 16

rG ¼ ð
c sin j þ b sin y; b cos y
c cos jÞ; rQ ¼ ðl sin j
a sin y;
a cos y þ l cos jÞ; drG ¼ ð
c cos j dj þ b cos y dy;
b sin y dy þ c sin j djÞ; drQ ¼ ðl cos j dj
a cos y dy; a sin y dy
l sin j djÞ:

Bild 15. Gleichgewicht von vier Krften in der Ebene Bild 16. Gleichgewicht von Krften mit gemeinsamem Angriffspunkt

F
r Kr
fte mit gemeinsamem Angriffspunkt in der Ebene ist die Momentenbedingung in Gl. (14) identisch erf
llt, es bleiben nur die beiden Krftebedingungen X X Fiy ¼ 0: ð15Þ Fix ¼ 0; Die graphische Lsung folgt aus der Vektorgleichung FR ¼ 0, d. h., das Krafteck muß sich schließen (Bild 16). 1.4.3 Prinzip der virtuellen Arbeiten Principle of virtual work Das Prinzip tritt an die Stelle der Gleichgewichtsbedingungen und lautet: Erteilt man einem starren Krper eine mit seinen geometrischen Bindungen vertrgliche kleine (virtuelle) Verr
ckung, und ist der Krper im Gleichgewicht (Bild 17), so ist die virtuelle Gesamtarbeit aller eingeprgten ußeren Krfte und Momente – durch (e) hochgestellt gekennzeichnet – gleich null: X ðeÞ X ðeÞ dW ðeÞ ¼ Fi dri þ M i dji ¼ 0 ð16Þ bzw. in Komponenten X ðeÞ ðeÞ ðeÞ dW ðeÞ ¼ ðFix dxi þ Fiy dyi þ Fiz dzi Þ X ðeÞ ðeÞ ðeÞ þ ðMix djix þ Miy djiy þ Miz djiz Þ ¼ 0; ri ¼ ðxi ; yi ; zi Þ Ortsvektoren zu den Kraftangriffspunkten; dri ¼ ðdxi ; dyi ; dzi Þ Variationen (mathematisch ausgedr
ckt Vektordifferentiale) der Ortsvektoren, die sich durch Bildung der ersten Ableitung ergeben; dji Drehwinkeldifferentiale der Verdrehungen ji .

Mit FG ¼ ð0;
FG Þ und FQ ¼ ð0;
FQ Þ wird X ðeÞ dW ðeÞ ¼ Fi dri ¼
FG ð
b sin y dy þ c sin j djÞ
FQ ða sin y dy
l sin j djÞ ¼ sin y dyðFG b
FQ aÞ þ sin j djð
FG c þ FQ lÞ: Aus dW ðeÞ ¼ 0 folgt wegen der Beliebigkeit von j und y FG b
FQ a ¼ 0 und
FG c þ FQ l ¼ 0 und damit FQ ¼ FG b=a und l ¼ c FG =FQ ¼ ca=b: Ferner wird d2 W ðeÞ ¼ cos y dy2 ðFG b
FQ aÞ þ cos j dj2 ð
FG c þ FQ lÞ: Hieraus folgt mit den ermittelten L
sungswerten d2 W ðeÞ ¼ 0; d. h., es liegt indifferentes Gleichgewicht vor.

Man unterscheidet stabiles, labiles und indifferentes Gleichgewicht (s. Bild 19). Stabiles Gleichgewicht herrscht, wenn ein Krper bei einer mit seinen geometrischen Bindungen vertrglichen Verschiebung in seine Ausgangslage zur
ckzukehren trachtet, labiles Gleichgewicht, wenn er sie zu verlassen sucht, und indifferentes Gleichgewicht, wenn jede benachbarte Lage eine neue Gleichgewichtslage ist. Wird entsprechend B 1.4.3 die kleine Verschiebung als virtuelle aufgefaßt, so gilt nach dem Prinzip der virtuellen Arbeiten f
r die Gleichgewichtslage dW ðeÞ ¼ 0. Bewegt man den Krper gemß Bild 19 a aus einer Lage 1 in eine Lage 2
ber die Gleichgewichtslage 0 hinweg, so ist im Bereich 1 bis 0 die Arbeit dW ðeÞ ¼ Fs ds > 0; d. h. positiv, im Bereich 0 bis 2 dW ðeÞ < 0; d. h. negativ. Aus der Funktion dW ðeÞ ¼ f ðsÞ geht hervor, daß die Steigung von dW ðeÞ negativ ist, d. h. d2 W ðeÞ < 0, wenn stabiles Gleichgewicht. Allgemein gilt f
r das Gleichgewicht: stabil d2 W ðeÞ < 0; labil d2 W ðeÞ > 0; indifferent d2 W ðeÞ ¼ 0:

I1.6

Auflagerreaktionen an Krpern

B7

B Bild 21 a, b. Freimachungsprinzip. a Gesttzter Krper mit geschlossener Schnittlinie; b freigemachter Krper

Bild 19 a – c. Gleichgewichtsarten. a Stabil; b labil; c indifferent

Handelt es sich um Probleme, bei denen nur Gewichtskr
fte eine Rolle spielen, dann gilt mit dem Potential U ¼ FG z bzw. dU ¼ FG dz dW ðeÞ ¼ FðeÞ dr ¼ ð0; 0;
FG Þðdx; dy; dzÞ ¼
FG dz ¼
dU und d2 W ðeÞ ¼
d2 U; d. h., bei stabilem Gleichgewicht ist d2 U > 0 und somit die potentielle Energie U ein Minimum, bei labilem Gleichgewicht d2 U < 0 und die potentielle Energie ein Maximum. 1.4.5 Standsicherheit. Stability Bei Krpern, deren Auflagerungen nur Druckkr
fte aufnehmen knnen, besteht die Gefahr des Umkippens. Es wird verhindert, wenn um die mglichen Kippkanten A oder B (Bild 20) die Summe der Standmomente grßer ist als die Summe der Kippmomente, d. h., wenn die Resultierende des Kr
ftesystems innerhalb der Kippkanten die Standfl
che schneidet. Standsicherheit ist das Verh
ltnis der Summe aller Standmomente zur X Summe X aller Kippmomente bezglich eiMK . Fr S  1 herrscht Standner Kippkante: S ¼ MS = sicherheit und Gleichgewicht.

Bild 22. Lagerungsarten

Lager wirken dann nach „actio = reactio“ (3. Newtonsches Axiom) gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kr
fte. Je nach Bauart und Anzahl der Reaktionsgrßen eines Lagers unterscheidet man ein- bis sechswertige Lager (Bild 22). Bild 20. Standsicherheit

1.6 Auflagerreaktionen an K
rpern Support reactions

1.5 Lagerungsarten, Freimachungsprinzip Types of support, the „free body“

1.6.1 K
rper in der Ebene. Plane problems

Krper werden durch sog. Lager abgesttzt. Die Sttzkr
fte wirken als Reaktionskr
fte zu den
ußeren eingepr
gten Kr
ften auf den Krper. Je nach Bauart der Lager knnen im r
umlichen Fall maximal drei Kr
fte und maximal drei Momente bertragen werden. Die Reaktionskr
fte und -momente werden durch das sogenannte „Freimachen“ eines Krpers zu
ußeren Kr
ften. Ein Krper wird freigemacht, indem man ihn mittels eines geschlossenen Schnitts durch alle Lager von seiner Umgebung trennt und die Lagerkr
fte als
ußere Kr
fte am Krper anbringt (Bild 21, Freimachungsprinzip). Auf die

In der Ebene hat ein Krper drei Freiheitsgrade hinsichtlich seiner Bewegungsmglichkeiten (Verschiebung in x- und yRichtung, Drehung um die z-Achse). Er bentigt daher eine insgesamt 3wertige Lagerung fr eine stabile und statisch bestimmte Festhaltung. Diese kann aus einer festen Einspannung oder aus einem Fest- und einem Loslager oder aus drei Loslagern (Gleitlagern) bestehen (im letzten Fall drfen sich die drei Wirkungslinien der Reaktionskr
fte nicht in einem Punkt schneiden). Ist die Lagerung n-wertig (n > 3), so ist das System (n
3)fach statisch unbestimmt gelagert. Ist die Lagerung weniger als 3wertig, so ist das System statisch un-

B8

Mechanik – 1 Statik starrer Krper

terbestimmt, d. h. instabil und beweglich. Die Berechnung der Auflagerreaktionen erfolgt durch Freimachen und Ansetzen der Gleichgewichtsbedingungen.

B

Beispiel: Welle (Bild 23 a). Gesucht werden die Auflagerkr
fte in A und B infolge der gegebenen Kr
fte F1 und F2 .

Bild 23 a – c. Welle. a System; b Freimachung; c graphische Lsung Rechnerische L
sung: An der freigemachten Welle (Bild 23 b) gilt X MiA ¼ 0 ¼
F1 a þ FB l
F2 ðl þ cÞ also FB ¼ ½F1 a þ F2 ðl þ cÞ=l; X X

MiB ¼ 0 ¼
FAy l þ F1 b
F2 c, also FAy ¼ ðF1 b
F2 cÞ=l; Fix ¼ 0 ¼ FAx :

X Die Gleichgewichtsbedingung Fiy ¼ 0 muß ebenfalls erf
llt sein und kann als Kontrollgleichung benutzt werden. X Fiy ¼ FAy
F1 þ FB
F2

Bild 24 a – c. Abgewinkelter Tr
ger. a System; b Freimachung; c graphische Lsung

mit der (bekannten) Wirkungslinie von FS liefert die Schlußlinie s0 , die das Seileck schließt. Ihre bertragung in das Poleck liefert – unter Einhaltung der Punkt-Dreieck-Regel (s. B 1.3.1) – zun
chst FS und dann durch Schließen des Kraftecks die Kraft FA . Beispiel: Wagen auf schiefer Ebene (Bild 25 a–c). Der durch die Gewichtskraft FG und die Anh
ngerzugkraft FZ belastete Wagen wird von einer Seilwinde auf der schiefen Ebene im Gleichgewicht gehalten. Zu bestimmen sind die Zugkraft im Halteseil sowie die Sttzkr
fte an den R
dern, wobei Reibkr
fte außer acht gelassen werden sollen.

¼ ðF1 b
F2 cÞ=l
F1 þ ½F1 a þ F2 ðl þ cÞ=l
F2 ¼ F1 ða þ b
lÞ=l þ F2 ð
c þ l þ c
lÞ=l ¼ 0: Graphische L
sung (Bild 23 c): Mit den Kr
ften F1 und F2 l
ßt sich das Kraft- und Poleck sowie das zugehrige Seileck zeichnen. Die Schnittpunkte der beiden
ußeren Seilstrahlen 10 und 30 mit den bekannten Wirkungslinien beider Auflagerkr
fte (da hier FAx ¼ 0 ist) liefert die Schlußlinie s0 , die das Seileck zum „Schließen“ bringt. Ihre Parallelbertragung in das Poleck ergibt die beiden Auflagerkr
fte FA und FB unter Einhaltung der Punkt-Dreieck-Regel (s. B 1.3.1). Damit sind dann Seileck und Krafteck geschlossen, d. h., es herrscht Gleichgewicht unter den Kr
ften F1 , F2 , FB , FA . Beispiel: Abgewinkelter Tr
ger (Bild 24 a). Fr den durch zwei Einzelkr
fte F1 und F2 und die konstante Streckenlast q belasteten abgewinkelten Tr
ger ist die Auflagerkraft im Festlager A und die Kraft im Pendelstab bei B zu bestimmen. Rechnerische L
sung: Mit der Resultierenden der Streckenlast Fq ¼ qc wird (Bild 24 b) X MiA ¼ 0 ¼
F1 sin a1 a
qcða þ b þ c=2Þ
F2 e þ FS cos aS l þ FS sin aS h und daraus FS ¼ ½F1 sin a1 a þ qcða þ b þ c=2Þ þ F2 e=ðl cos aS þ h sin aS Þ: Aus

X X

Fix ¼ 0 ¼ FAx þ F1 cos a1 þ F2
FS sin aS und

Bild 25 a–c. Wagen auf schiefer Ebene. a System; b Freimachung; c graphische Lsung

Rechnerische L
sung: Am freigemachten Wagen (Bild 25 b) ergeben die Gleichgewichtsbedingungen X Fix ¼ 0 ¼
FZ
FG sin a þ FS cos a; also X

Fiy ¼ 0 ¼ FAy
F1 sin a1
qc þ FS cos aS

folgen FAx ¼
F1 cos a1
F2 þ FS sin aS und FAy ¼ F1 sin a1 þ qc
FS cos aS ; wobei der vorstehend errechnete Wert f
r FS einzusetzen ist. Graphische L
sung (Bild 24 c): Nach Zeichnen des Kraftecks aus den gegebenen Kr
ften F1 ; F2 und Fq und des Polecks wird das zugehrige Seileck konstruiert, wobei der erste Seilstrahl 10 durch das Festlager A gelegt werden muß, da es der einzige bekannte Punkt der Wirkungslinie von FA ist. Der Schnittpunkt des letzten Seilstrahls 40

X

FS ¼ FG tan a þ FZ = cos a; MiA ¼ 0 ¼ FZ h=4 þ FG ðh=2Þ sin a
FG b cos a þ 2Fn2 b
FS ðh=2Þ cos a
FS ða þ 2bÞ sin a; MiB ¼ 0 ¼ FZ h=4
2Fn1 b þ FG ðh=2Þ sin a þ FG b cos a
FS ðh=2Þ cos a
FS a sin a:

Hieraus folgen Fn2 ¼
FZ h=ð8bÞ
FG ½ðh=2Þ sin a
b cos a=ð2bÞ þ FS ½ðh=2Þ cos a þ ða þ 2bÞ sin a=ð2bÞ und Fn1 ¼ FZ h=ð8bÞ þ FG ½ðh=2Þ sin a þ b cos a=ð2bÞ
FS ½ðh=2Þ cos a þ a sin a=ð2bÞ;

I1.7 wobei X der errechnete Wert von FS einzusetzen ist. Die Bedingung Fiy ¼ 0 ¼ Fn1 þ Fn2
FG cos a
FS sin a kann dann als Kontrollgleichung benutzt werden.

X X X X

Graphische L
sung (Bild 25 c): Die eingepr
gten Kr
fte FG und FZ werden zur resultierenden eingepr
gten Kraft FR zusammengesetzt, deren Lage mit dem Schnittpunkt der Wirkungslinien von FG und FZ gegeben ist. Das Gleichgewicht zwischen den vier Kr
ften FR ; FS ; Fn1 ; Fn2 erfordert, daß die Resultierenden je zweier Kr
fte (z. B. FR und Fn1 bzw. Fn2 und FS ) Gegenkr
fte sein mssen (s. B 1.4.2). Die Schnittpunkte der Wirkungslinien von FR und Fn1 bzw. von Fn2 und FS ergeben die Culmannsche Hilfsgerade c, in der die beiden Resultierenden als Gegenkr
fte liegen mssen. Im Krafteck l
ßt sich FR mit Fn1 zu Fc zusammensetzen und anschließend die Gegenkraft
Fc in Fn2 und FS zerlegen. Beispiel: Tr
ger unter Wanderlast. Einflußlinie (Bild 26 a). Die Auflagerkraft FX A fr eine Kraft F in einer beliebigen Laststellung x ergibt sich aus MiB ¼ 0 ¼
FA l þ Fðl
xÞ zu FA ¼ Fðl
xÞ=l ¼ FhðxÞ: Fr F=1 folgt FA ¼ hðxÞ ¼ ðl
xÞ=l: Diese Funktion ist eine Gerade (Bild 26 b), deren Ordinaten den Einfluß der Wanderlast F=1 auf die Auflagerkraft FA darstellen. Sie heißt Einflußlinie der Auflagerkraft FA . Steht z. B. eine Kraft F1 = 300 N an der Stelle x1 ¼ 3l=4, so ergibt sich FA ¼ F1 hðx1 Þ ¼ 300 Nð1=4Þ ¼ 75 N. Fr mehrere X Einzelkr
fte Fi an den Stellen xi folgt demgem
ß FA ¼ Fi hðxi Þ. Bei einer Streckenlast q(x) im Bereich a % x % b ist Zb FA ¼ qðxÞhðxÞ dx. Fr konstante Streckenlast q0 auf der gesamten

X X

Fiy

Systeme starrer Krper

B9

¼ 0 ergibt F3 ¼ Fy = cos a;

MiBz ¼ 0 ergibt F1 ¼ ðFx
Fy Þ=ð2 cos aÞ; Fix

¼ 0 ergibt F5 ¼ ðFx þ Fy Þ=ð2 cos aÞ;

MiBx ¼ 0 ergibt F2 ¼ Fz =2
½ðFx
Fy Þ tan a=2; MiAy ¼ 0 ergibt F6 ¼ Fz =2:

Mi; AC ¼ 0 ¼ F4 l sin 45° þ F3 l sin a sin 45° þ F5 l sin a sin 45°; ergibt F4 ¼
½ðFx þ 3Fy Þ tan a=2: Kontrolle: X Fiz ¼
F1 sin a
F2
F3 sin a
F4
F5 sin a
F6 þ Fz ¼ . . . ¼ 0: Beispiel: Welle mit Schr
gverzahnung (Bild 28). Die Auflagerkr
fte der Welle sind Xzu berechnen. – Die Welle kann sich um die x-Achse drehen, d. h. Mix ¼ 0 entf
llt. Die restlichen fnf Gleichgewichtsbedingungen lauten: X Fix ¼ 0 ergibt FAx ¼ F1x
F2x ; X M ¼ 0 ergibt FAy ¼
ðF1x r1 þ F1y b þ F2x r2 þ F2y cÞ=l; X iBz M ¼ 0 ergibt FAz ¼ ðF1z b
F2z cÞ=l; X iBy M ¼ 0 ergibt FBy ¼ ½F1x r1
F1y a þ F2x r2 þ F2y ðl þ cÞ=l; X iAz MiAy ¼ 0 ergibt FBz ¼ ½F1z a þ F2z ðl þ cÞ=l: X X Fiz ¼ 0 knnen als Kontrollen Die Bedingungen Fiy ¼ 0 und verwendet werden.

x¼a

Tr
gerl
nge folgt Zl

Zl FA ¼ q0

hðxÞdx ¼ ðq0 =lÞ x¼0

ðl
xÞdx x¼0

¼ ðq0 =lÞ½lx
x2 =2lx¼0 ¼ q0 l=2: Die maximale Ordinate der Einflußlinie gibt die ung
nstigste Laststellung f
r die Auflagerkraft an.

Bild 28. Welle mit Schr
gverzahnung

1.6.2 K
rper im Raum. Body in space Im Raum hat ein Krper sechs Freiheitsgrade (drei Verschiebungen und drei Drehungen). Er bentigt daher fr eine stabile Festhaltung eine insgesamt 6wertige Lagerung. Ist die Lagerung n-wertig (n > 6), so ist das System (n
6)fach statisch unbestimmt gelagert. Ist n < 6, so ist es statisch unterbestimmt, also beweglich und instabil. Beispiel: R
umlich durch sechs St
be abgesttzte Platte. Die Stabkr
fte F1 bis F6 sind rechnerisch zu bestimmen (Bild 27). Die Gleichgewichtsbedingungen werden in Form von Kr
fte- oder Momentengleichungen mglichst so angesetzt, daß nur eine Unbekannte enthalten ist.

Bild 26

1.7 Systeme starrer K
rper Systems of rigid bodies Sie bestehen aus mehreren Krpern, die durch Verbindungselemente, d. h. Gelenke a oder Fhrungen b oder auch durch gelenkig angeschlossene Fhrungen c, miteinander verbunden sind (Bild 29). Ein Gelenk bertr
gt Kr
fte in zwei Richtungen, aber kein Moment; eine Fhrung bertr
gt eine Kraft quer zur Fhrung und ein Moment, aber keine Kraft parallel zur Fhrung; eine gelenkige Fhrung bertr
gt eine Kraft quer zur Fhrung, aber keine Kraft parallel zur Fhrung und kein Moment. Man spricht daher von zweiwertigen oder einwertigen Verbindungselementen. Ist i die Summe der Wertigkeiten der Auflager und j die Summe der Wertigkeiten der Verbindungselemente, so muß bei einem System aus k Krpern mit 3k Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene die Bedingung i þ j ¼ 3 k erfllt sein, wenn ein stabiles System statisch bestimmt sein soll. Ist i þ j > 3 k, so ist das System statisch unbestimmt, d. h., wenn i þ j ¼ 3 k þ n, ist es n-fach statisch unbestimmt. Ist

Bild 27

Bild 26 a, b. Tr
ger mit Wanderlast. a System; b Einflußlinie Bild 27. R
umlich durch sechs St
be abgesttzte Platte

Bild 29. System aus starren Krpern

B

B 10

Mechanik – 1 Statik starrer Krper

B Bild 30 a – c. Dreigelenkrahmen. a System; b Freimachung; c graphische Lsung

i þ j < 3 k, so ist das System statisch unterbestimmt und auf jeden Fall labil. F
r das stabile System nach Bild 29 ist i þ j ¼ 7 þ 5 ¼ 12 und 3 k ¼ 3
4 ¼ 12, d. h., das System ist statisch bestimmt. Bei statisch bestimmten Systemen werden die Auflagerreaktionen und Reaktionen in den Verbindungselementen ermittelt, indem die Gleichgewichtsbedingungen f
r die freigemachten Einzelkrper erf
llt werden. Beispiel: Dreigelenkrahmen oder Dreigelenkbogen (Bild 30 a). Rechnerische L
sung: Nach Freimachen der beiden Einzelkrper (Bild 30 b) Gleichgewichtsbedingungen f
r Krper I: X Fix ¼ 0 ergibt FAx ¼ FCx  F1x ; ð18 aÞ X ð18 bÞ Fiy ¼ 0 ergibt FAy ¼ F1y þ F2  FCy ; X ð18 cÞ MiA ¼ 0 ¼ FCx H þ FCy a  F1x y1  F1y x1  F2 x2 ; und f
r Krper II: X Fix ¼ 0 ergibt FBx ¼ FCx  F3x ; X Fiy ¼ 0 ergibt FBy ¼ FCy þ F3y ; X MiB ¼ 0 ¼ FCx h þ FCy b þ F3x ½y3  ðH  hÞ þ F3y ðl  x3 Þ:

ð18 dÞ ð18 eÞ ð18 fÞ

Aus den Gln. (18‚c und f) ergeben sich die Gelenkkrfte FCx und FCy , eingesetzt in die Gln. (18a, b, d und e) dann dieX Auflagerkrfte MiC ¼ 0 am FAx ; FAy ; FBx ; FBy . Zur Kontrolle verwendet man Gesamtsystem. Graphische L
sung (Bild 30 c): F
r jeden Krper werden die Resultierenden FR1 und FR2 der eingeprgten Krfte gebildet und deren Wirkung nacheinander untersucht. FR1 muß mit den Krften FA1 und FB1 in den Lagern A und B im Gleichgewicht stehen. Dabei muß die Wirkungslinie von FB1 durch die Punkte B und C gehen, da am zunchst noch als lastfrei betrachteten Krper II Momentengleichgewicht f
r beliebige Punkte herrschen muß. Durch den Schnittpunkt D dieser Wirkungslinie mit FR1 muß aber auch die Wirkungslinie von FA1 gehen, wenn zwischen den drei Krften FR1 , FA1 und FB1 Gleichgewicht bestehen soll (s. B 1.4.2). Aus dem nun zu zeichnenden Krafteck ergeben sich die Grßen von FA1 und FB1 . Anschließend folgen aus der analogen Konstruktion f
r FR2 (wobei im Krafteck FR2 zweckmßig an FR1 angetragen wird) die Krfte FA2 und FB2 . Die vektorielle Addition von FA1 und FA2 liefert FA , die von FB1 und FB2 liefert FB . Am Ende ist im Krafteck die Gleichgewichtsbedingung F1 þ F2 þ F3 þ FB þ FA ¼ 0 wie erforderlich erf
llt.

Bild 31 a – c. Fachwerk. a Statisch bestimmt; b statisch unterbestimmt; c statisch unbestimmt

da es f
r jeden Knoten zwei Gleichgewichtsbedingungen gibt, f
r ein statisch bestimmtes und stabiles Fachwerk (Bild 31 a) 2n ¼ s þ 3, s ¼ 2n  3, d. h., aus den 2n  3 Gleichgewichtsbedingungen sind s unbekannte Stabkrfte berechenbar. Ein Fachwerk mit s < 2n  3 Stben ist statisch unterbestimmt und kinematisch instabil (Bild 31 b), ein Fachwerk mit s > 2n  3 Stben ist innerlich statisch unbestimmt (Bild 31 c). F
r die Bildung statisch bestimmter und stabiler Fachwerke gelten folgende Bildungsgesetze: – Ausgehend von einem stabilen Grunddreieck werden nacheinander neue Knotenpunkte mit zwei Stben angeschlossen Bilder 31 a, 32 a. – Aus zwei statisch bestimmten Fachwerken wird ein neues gebildet durch drei Verbindungsstbe, deren Wirkungslinien keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben (Bild 32 b). Dabei knnen zwei Stbe durch einen den beiden Fachwerken gemeinsamen Knoten ersetzt werden (Bild 32 b, rechts). – Durch Stabvertauschung kann jedes nach diesen Regeln gebildete Fachwerk in ein anderes statisch bestimmtes und stabiles umgebildet werden, wenn der Tauschstab zwischen zwei Punkte eingebaut wird, die sich nach seiner Entfernung gegeneinander bewegen knnten (Bild 32 c). – Aus mehreren stabilen Fachwerken knnen nach den Regeln der Starrkrpersysteme gemß Bild 32 c B 1.7 neue stabile Fachwerksysteme gebildet werden (Bild 32 d). Ermittlung der Stabkr
fte Knotenschnittverfahren. Allgemein ergeben sich die s Stabkrfte und die drei Auflagerkrfte f
r ein statisch bestimmtes Fachwerk nach Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen

1.8 Fachwerke. Pin-jointed frames 1.8.1 Ebene Fachwerke. Plane frames Fachwerke bestehen aus Stben, die in den Knotenpunkten als gelenkig miteinander verbunden angesehen werden. Die Gelenke werden als reibungsfrei angenommen, d. h., es werden nur Krfte in Stabrichtung
bertragen. Die in Wirklichkeit in den Knotenpunkten vorhandenen Reibungsmomente und biegesteifen Anschl
sse f
hren zu Nebenspannungen, die in der Regel vernachlssigbar sind. Die ußeren Krfte greifen in den Knotenpunkten an oder werden nach dem Hebelgesetz am Stab auf diese verteilt. Hat ein Fachwerk n Knoten und s Stbe und ist es ußerlich statisch bestimmt mit drei Auflagerkrften gelagert, so gilt,

Bild 32 a – d. Fachwerke. a bis d zum 1. bis 4. Bildungsgesetz

I1.8 X Fiy ¼ 0 an allen durch Rundschnitt freigeFix ¼ 0 und machten n Knoten. Man erh
lt 2n lineare Gleichungen. Ist die Nennerdeterminante des Gleichungssystems ungleich null, so ist das Fachwerk stabil, ist sie gleich null, so ist es instabil (verschieblich) [1]. H
ufig gibt es (z. B. nachdem man vorher die Auflagerkr
fte aus den Gleichgewichtsbedingungen am Gesamtsystem ermittelt) einen Ausgangsknoten mit nur zwei unbekannten Stabkr
ften, dem sich weitere Knoten mit nur jeweils zwei Unbekannten anschließen, so daß sie nacheinander aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden knnen, ohne ein Gleichungssystem lsen zu mssen. Bei der graphischen Lsung fhrt dies zum sogenannten

X

Cremonaplan. Gibt es von Knoten zu Knoten fortschreitend nur zwei Unbekannte, so werden diese aus dem sich schließenden Krafteck graphisch bestimmt. Die Aneinanderreihung der Kraftecke ergibt den Cremonaplan, indem man alle Knoten im selben Drehsinn nacheinander umf
hrt. Dabei liefern Stabkr
fte, die an einem Knoten angreifen, im Kr
fteplan ein geschlossenes Krafteck (s. Beispiel). Rittersches Schnittverfahren. Ein analytisches Verfahren, bei dem durch Schnitt dreier St
be ein ganzer Fachwerkteil freigemacht wird und nach Ansatz der drei Gleichgewichtsbedingungen fr diesen Teil die drei unbekannten Stabkr
fte berechnet werden (s. Beispiel). Stabvertauschungsverfahren nach Henneberg. Kompliziert aufgebaute Fachwerke lassen sich durch Stabvertauschung auf einfache zurckfhren. Die Stabkraft im Ersatzstab infolge
ußerer Last und die Kraft im Vertauschungsstab muß insgesamt null sein; daraus ergibt sich die Kraft im Vertauschungsstab. Die Methode ist auch gut geeignet zur Feststellung der Stabilit
t eines Fachwerks, da im Fall der Labilit
t die Kraft im Vertauschungsstab gegen unendlich geht. Einflußlinien infolge von Wanderlasten Die Berechnung einer Stabkraft FSi als Funktion von x infolge einer Wanderlast F ¼ 1 liefert die Einflußfunktion h(x); ihre graphische Darstellung heißt Einflußlinie. Die Auswertung fr mehrere Einzellasten Fj liefert die Stabkraft FSi ¼ X Fj hðxj Þ (s. Beispiel). Beispiel: Fachwerkausleger (Bild 33 a). Gegeben: F1 ¼ 5 kN , F2 ¼ 10 kN, F3 ¼ 20 kN, a ¼ 2 m, b ¼ 3 m, h ¼ 2 m, a ¼ 45
, b ¼ 33;69
. Gesucht: Stabkr
fte. Knotenschnittverfahren. Die unbekannten Stabkr
fte FSi werden als Zugkr
fte positiv angesetzt (Bild 33 b). Fr Knoten E gilt: X Fiy ¼ 0 ergibt FS2 ¼ F2 = sin a ¼ 14;14 kN; also Druck; X Fix ¼ 0 ergibt FS1 ¼ F1  FS2 cos a ¼ þ15;00 kN; also Zug:

Fachwerke

B 11

F
r Knoten C gilt: X Fix ¼ 0 ergibt FS4 ¼ FS1 ¼ þ 15;00 kN ðZugÞ; X Fiy ¼ 0 ergibt FS3 ¼ F3 ¼  20;00 kN ðDruckÞ: F
r Knoten D gilt: X Fiy ¼ 0 ergibt FS5 ¼  ðFS2 sin a þ FS3 Þ= sin b X

¼ þ 54;08 kN ðZugÞ; Fix ¼ 0 ergibt FS6 ¼ FS2 cos a  FS5 cos b ¼  55;00 kN ðDruckÞ:

F
r Knoten B gilt: X Fiy ¼ 0 ergibt FS7 ¼ 0; X Fix ¼ 0 ergibt FB ¼ FS6 ¼ 55;00 kN: F
r Knoten A gilt: X Fix ¼ 0 ergibt FAx ¼ FS4 þ FS5 cos b ¼ 60;00 kN; X Fiy ¼ 0 ergibt FAy ¼ FS5 sin b þ FS7 ¼ 30;00 kN: Diese Auflagerkrfte folgen auch aus den Gleichgewichtsbedingungen am (ungeschnittenen) Gesamtsystem. Cremonaplan (Bild 33 c). Umfahren im Uhrzeigersinn. Ritterscher Schnitt. Die Stabkr
fte FS4 ; FS5 und FS6 werden durch einen Ritterschen Schnitt (Bild 33 d) ermittelt. X X X

MiD ¼ 0 ergibt FS4 ¼ ðF2 a þ F1 hÞ=h ¼ þ 15;00 kN; MiA ¼ 0 ergibt FS6 ¼ ½F2 ða þ bÞ þ F3 b=h ¼  55;00 kN; Fiy ¼ 0 ergibt FS5 ¼ ðF2 þ F3 Þ= sin b ¼ þ 54;08 kN:

Einflußlinie fr Stabkraft FS6 . Untersucht wird der Einfluß einer vertikalen Wanderlast Fy (in beliebiger Stellung x auf dem Obergurt) auf die Stabkraft FS6 (Bild 33 e ). Aus X MiA ¼ 0 ¼ Fy ða þ b  xÞ þ FS6 h folgt mit Fy ¼ 1 hðxÞ ¼ 1  ða þ b  xÞ=h ¼  5=2 þ x=ð2 mÞ also eine Gerade (Bild 33 f). Ihre Auswertung fr Xdie gegebenen Lasten liefert, da F1 keinen Einfluß auf FS6 hat (s. MiA ¼ 0), FS6 ¼ F2 hðx ¼ 0Þ þ F3 hðx ¼ aÞ ¼ 10 kNð 5=2Þ þ 20 kNð 3=2Þ ¼  55 kN:

1.8.2 R
umliche Fachwerke. Space frames Da im Raum pro Knoten drei Gleichgewichtsbedingungen bestehen und sechs Lagerkr
fte zur stabilen, statisch bestimmten Lagerung des Gesamtfachwerks erforderlich sind, gilt das Abz
hlkriterium 3n ¼ s þ 6 bzw. s ¼ 3n  6. Im brigen gelten den ebenen Fachwerken analoge Methoden fr die Stabkraftberechnung usw. [2].

Bild 33 a – f. Fachwerkausleger. a System; b Knotenschnitte; c Cremonaplan; d Ritterscher Schnitt; e Wanderlast; f Einflußlinie

B

B 12

B

Mechanik – 1 Statik starrer K
rper

1.9 Seile und Ketten. Cables and chains

yðx ¼ Z x2 Þ ¼ yZ2

Seile und Ketten werden als biegeweich angesehen, d. h., sie k
nnen nur Zugkrfte bertragen. Vernachlssigt man die Lngsdehnungen der einzelnen Elemente (Theorie 1. Ordnung), so folgt fr das ebene Problem infolge vertikaler Streckenlast aus den Gleichgewichtsbedingungen am Seilelement (Bild 34 a)

L¼

bei X gegebener Belastung q(s):X Fiy ¼ 0, d. h. FV ¼ qðsÞ ds; Fix ¼ 0, d. h. dFH ¼ 0, also FH ¼ const und dFV =ds ¼ qðsÞ. Gemß Bild 34 a gilt ferner tan j ¼ y0 ¼ FV =FH ; d: h: FV ¼ FH y0 bzw: FV0 ¼ dFV =dx ¼ FH y00 . pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Mit ds ¼ 1 þ y02 dx wird hieraus pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dFV =ds ¼ ðdFV =dxÞðdx=dsÞ ¼ FH y00 = 1 þ y02 ¼ qðsÞ: Folglich ist

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y00 ¼ ½qðsÞ=FH
1 þ y02 ;

ð19Þ

bei gegebener Belastung q(x): gemß Bild 34 a gilt qðsÞ ds ¼ qðxÞ dx, d. h. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qðsÞ ¼ qðxÞ dx=ds ¼ qðxÞ cos j ¼ qðxÞ= 1 þ y02

sowie aus pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ y02 dx.

der

gegebenen

Seillnge

1.9.1 Seil unter Eigengewicht (Kettenlinie) The catenary Fr ein Seil konstanten Querschnitts folgt mit qðsÞ ¼ const ¼ q aus Gl. (19) mit a ¼ FH =q nach Trennung der Variablen und Integration arsinh y0 ¼ ðx  x0 Þ=a bzw. y0 ¼ sinh½ðx  x0 Þ=a
und somit die Kettenlinie yðxÞ ¼ y0 þ a cosh½ðx  x0 Þ=a
:

ð21Þ

Der Extremwert von y(x) folgt aus y0 ¼ 0 an der Stelle x ¼ x0 zu ymin ¼ y0 þ a. Die unbekannten Konstanten x0 ; y0 und a ¼ FH =q ergeben sich aus den drei Bedingungen (Bild 34 b) yðx1 ¼ 0Þ ¼ 0 ¼ y0 þ a coshðx0 =aÞ; yðx ¼ x2 Þ ¼ y2 ¼ y0 þ a cosh½ðx2  x0 Þ=a
; Zx2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi L ¼ 1 þ sinh2 ½ðx  x0 Þ=a
dx x¼0

¼ a sinh½ðx2  x0 Þ=a
þ a sinhðx0 =aÞ:

und damit nach Gl. (19) y00 ¼ qðxÞ=FH :

ds ¼

ð20Þ

Die L
sungen dieser Differentialgleichungen ergeben die Seilkurve y(x). Die dabei auftretenden zwei Integrationskonstanten sowie der unbekannte (konstante) Horizontalzug FH folgen aus den Randbedingungen yðx ¼ x1 Þ ¼ y1 und

Hieraus ergeben sich y0 ¼ a coshðx0 =aÞ; x0 ¼ x2 =2  a artanhðy2 =LÞ und qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sinhðx2 =2aÞ ¼ L2  y22 =ð2aÞ: Aus der letzten (transzendenten) Gleichung kann a, anschließend k
nnen x0 und y0 berechnet werden. Der maximale Durchhang f gegenber der Sehne folgt an der Stelle xm ¼ x0 þ a arsinhðy2 =x2 Þ zu f ¼ y2 xm =x2  yðxm Þ. Fr die Krfte gilt FH ¼ aq ¼ const; FV ðxÞ ¼ FH y0 ðxÞ;

ð22Þ

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FS ðxÞ ¼ FH2 þ FV2 ðxÞ: Die gr
ßte Seilkraft tritt an der Stelle auf, wo y0 zum Maximum wird, d. h. in einem der Befestigungspunkte. Beispiel: Kettenlinie. Befestigungspunkte P1 (0; 0) und P2 (300 m;  50 m). Seillnge L ¼ 340 m, Belastung qðsÞ ¼ 30 N=m. – Aus der transzendenten Gleichung ergibt sich nach iterativer Rechnung a ¼ 179; 2 m und damit x0 ¼ 176; 5 m und y0 ¼  273;4 m, womit nach Gl. (21) die Kettenlinie bestimmt ist. Der maximale Durchhang gegenber der Sehne tritt an der Stelle xm ¼ 146; 8 m auf und hat die Gr
ße f ¼ 67; 3 m. Der Horizontalzug betrgt FH ¼ aq ¼ 5;375 kN ¼ const. Die gr
ßte Seilkraft tritt im Punkt P1 auf: FV ðx ¼ 0Þ ¼ FH  jy0 ðx ¼ 0Þj ¼ 6;192 kN und somit FS; max ¼ FS ðx ¼ 0Þ ¼ 8;20 kN.

1.9.2 Seil unter konstanter Streckenlast Cable with uniform load over the span

Bild 34 a – c. Seil. a Element; b Seil unter Eigengewicht; c Seil unter Einzellast

Hierunter fallen neben Seilen mit angehngter konstanter Streckenlast qðxÞ ¼ const auch solche mit flachem Durchhang unter Eigengewicht, da bei qðsÞ ¼ q0 ¼ const wegen pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qðsÞ 1 þ y02 ¼ q0 = cos j ¼ qðxÞ mit cos j  cos a ¼ const auch qðxÞ ¼ const ¼ q wird. Zweimalige Integration der Gl. (20) liefert yðxÞ ¼ ðq=FH Þx2 =2 þ C1 x þ C2 ; Randbedingungen mit gegebenem Durchhang f in der Mitte: yðx1 ¼ 0Þ ¼ 0, yðx ¼ x2 Þ ¼ y2 , yðx ¼ x2 =2Þ ¼ y2 =2  f . Hieraus C2 ¼ 0, C1 ¼ ðy2  4f Þ=x2 , FH ¼ qx22 =ð8f Þ und damit yðxÞ ¼ ðy2 =x2 Þx  ð4f =x22 Þðx2 x  x2 Þ ¼ ðy2 =x2 Þx  f ðxÞ, wobei f(x) der Durchhang gegenber der Sehne ist (Bild 34 b). Ferpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ner gilt FV ðxÞ ¼ FH y0 ðxÞ und FS ðxÞ ¼ FH2 þ FV2 ðxÞ; FS; max an der Stelle der maximalen Steigung.

I1.10

Schwerpunkt (Massenmittelpunkt)

B 13

Zx2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Die L
nge L des Seils folgt aus L ¼ 1 þ y02 dxmit a ¼ FH =q zu x¼0 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi L ¼ ða=2Þ½ðC1 þ x2 =aÞ 1 þ ðC1 þ x2 =aÞ2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ lnðC1 þ x2 =a þ 1 þ ðC1 þ x2 =aÞ2 Þ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
C1 1 þ C12
lnðC1 þ 1 þ C12 Þ:

B

Fr Seile mit flachem Durchhang gilt mit der Sehnenl
nge pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi l ¼ x22 þ y22 die N
herungsformel L  l½1 þ 8x22 f 2 =ð3l4 Þ:

ð23Þ

Beispiel: Seil mit flachem Durchhang. Das Beispiel aus B 1.9.1 werde n
herungsweise als flach durchh
ngendes Seil berechnet. Gegeben: P1 (0; 0), P2 (300 m; – 50 m), f ¼ 67; 3 m, q0 ¼ 30 N=m. – Aus tan a ¼
50=300 folgt a ¼
9;46° und cos a ¼ 0;9864, so daß q  q0 = cos a ¼ 30;41 N=m wird. Es folgen C1 ¼
1;064 und FH ¼ 5;083 kN. Somit ist die Seillinie yðxÞ ¼
0;1667  x
0;003 m
1 ð300 m  x
x2 Þ ¼
1;064  x þ 0;003 m
1  x2 : An der Stelle x ¼ 0 wird y0max ¼ jy0 ð0Þj ¼ 1;064, also FV; max ¼ FH y0max ¼ 5;408 kN und somit FS; max ¼ 7;42 kN. Die N
herungsformel Gl. (23) fr die Seill
nge liefert dann mit l ¼ 304; 1 m den Wert L  342; 7m. Die Ergebnise zeigen, daß die N
herungslsung von den exakten Werten (B 1.9.1) nicht erheblich abweicht, obwohl der „flache“ Durchhang hier nur in geringem Maße zutrifft.

1.9.3 Seil mit Einzellast. Cable with point load Betrachtet wird nur das Seil mit flachen Durchh
ngen gegenber den Sehnen (Bild 34 c, links). Sind x2 , y2 , x3 , y3 gegeben, so gelten mit FHI ¼ FHII ¼ FH die Beziehungen q1 ¼ q0 = cos aI ; qII ¼ q0 = cos aII ; fI ¼ qI x22 =ð8FH Þ; fII ¼ qII
x22 =ð8FH Þ; yðxÞ ¼ ðy2 =x2 Þx
ðqI =2FH Þðx2 x
x2 Þ;
yð
xÞ ¼ ð
y2 =
x2 Þ
x
ðqII =2FH Þð
x2
x

x2 Þ; y0 ðxÞ ¼ ðy2 =x2 Þ
ðqI =2FH Þðx2
2xÞ;
y0 ð
xÞ ¼ ð
y2 =
x2 Þ
ðqII =2FH Þð
x2
2
xÞ:

X Aus der Gleichgewichtsbedingung Fiy ¼ 0 ¼ FVl þ F
FVr am Knoten P2 (Bild 34 c, rechts) folgt mit FV ¼ FH  jy0 j unter Beachtung, daß
y0 negativ ist und somit jy0 j ¼
y0 ; FH y2 =x2 þ qI x2 =2 þ F þ FH
y2 =
x2 þ qII
x2 =2 ¼ 0; d: h: FH ¼ ½
qI x2
qII
x2
2F=½2ðy2 =x2 þ
y2 =
x2 Þ: Hiermit knnen fI und fII , wie angegeben, FV ðxÞ und FS ðxÞ nach Gl. (22) sowie LI und LII nach Gl. (23) berechnet werden.

Bild 35 a, b. Schwerpunkt. a Eines Krpers; b eines Tr
gerquerschnitts

Z rS  FG ¼ r  dFG bzw: mit dFG ¼ dFG e   Z rS FG
r dFG  e ¼ 0; d: h: Z  rS ¼ r dFG =FG bzw: in Komponenten Z Z xS ¼ ð1=FG Þ x dFG ; yS ¼ ð1=FG Þ y dFG ; Z zS ¼ ð1=FG Þ z dFG :

Analog gilt bei konstanter Fallbeschleunigung g fr den Massenmittelpunkt, bei konstanter Dichte r fr den Volumenschwerpunkt sowie fr den Fl
chen- und Linienschwerpunkt in vektorieller Form Z Z rS ¼ ð1=mÞ r dm; rS ¼ ð1=VÞ r dV; Z rS ¼ ð1=AÞ r dA und ð25Þ Z rS ¼ ð1=sÞ r ds: Bestehen die Gebilde aus endlich vielen Teilen mit bekannten Teilschwerpunkten, so gilt in Komponenten z. B. fr den Fl
chenschwerpunkt X xi Ai ; xS ¼ ð1=AÞ X ð26Þ yi Ai ; yS ¼ ð1=AÞ X zi Ai : zS ¼ ð1=AÞ Z

1.10 Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) Center of gravity An einem Krper der Masse m wirken an den Massenelementen dm die Gewichtskr
fte dFG ¼ dmg, die alle zueinander parallel Z sind. Den Angriffspunkt ihrer Resultierenden FG ¼

dFG nennt man den Schwerpunkt (Bild 35 a). Seine

Lage ist festgelegt durch die Bedingung, daß das Moment der Resultierenden gleich dem der Einzelkr
fte sein muß, d. h.

ð24Þ

Die Grßen

x dA bzw.

X

xi Ai usw. bezeichnet man als

statische Momente. Sind sie null, so folgt auch xS ¼ 0 usw., d. h., das statische Moment bezglich einer Achse durch den Schwerpunkt (Schwerlinie) ist stets gleich null. Alle Symmetrieachsen erfllen diese Bedingung, d. h., sie sind stets Schwerlinien. Die durch Integration ermittelten Schwerpunkte von homogenen Krpern sowie von Fl
chen und Linien sind in den Tab. 1, 2, 3 angegeben.

B 14

Mechanik – 1 Statik starrer Krper

Tabelle 1. Schwerpunkte von homogenen Krpern

B

Beispiel: Schwerpunkt eines Tr
gerquerschnitts. Fr den zusammengesetzten Tr
gerquerschnitt ist der Fl
chenschwerpunkt zu ermitteln (Bild 35 b). – Der Schwerpunkt liegt aufder Symmetrieachse. Ermittlung von yS tabellarisch, wobei die Bohrung als negative Fl
che angesetzt wird.

1.11 Haftung und Reibung. Friction Haftung. Bleibt ein Krper unter Einwirkung einer resultierenden Kraft F, die ihn gegen eine Unterlage preßt, in Ruhe, so liegt Haftung vor (Bild 36). Die Verteilung der Fl
chenpressung zwischen Krper und Unterlage ist meist unbekannt und wird durch die Reaktionskraft Fn ersetzt. Aus Gleichgewichtsgrnden ist Fn ¼ Fs ¼ F cos a und Fr ¼ Ft ¼ F sin a, d. h. Fr ¼ Fn tan a. Der Krper bleibt so lange in Ruhe, bis die Reaktionskraft Fr den Grenzwert Fr0 ¼ Fn tan r0 ¼ Fn m0 erreicht, d. h. solange F – r
umlich betrachtet – innerhalb des sogenannten Reibungskegels mit dem ffnungswinkel 2r0 liegt. Fr die Reaktionskraft Fr gilt die Ungleichung Fr % Fn tan r0 ¼ Fn m0 :

ð27Þ

Die Haftzahl m0 h
ngt ab von den aneinander gepreßten Werkstoffen, deren Oberfl
chenbeschaffenheit, von einer Fremdschicht (Schmierschicht), von Temperatur und Feuchtigkeit, von der Fl
chenpressung und von der Grße der Normalkraft; m0 schwankt daher zwischen bestimmten Grenzen

I1.11

Haftung und Reibung

B 15

Tabelle 2. Schwerpunkte von Fl
chen

B

Tabelle 3. Schwerpunkte von Linien

B 16

Mechanik – 1 Statik starrer Krper

B

Bild 36. Haftung

Bild 37. Gleitreibung Bild 38. Leiter mit Reibungskegeln

Tabelle 4. Haft- und Gleitreibungswerte.

wert ist erreicht, wenn FQ durch Punkt A geht (Bild 38). Die Ergebnisse folgen aus der Abbildung (wegen des rechten Winkels zwischen oberer und linker Mantellinie). a ¼ l cosðb þ r0 Þ; x ¼ a cos r0 ¼ l cos r0 cosðb þ r0 Þ: Aus dem Krafteck liest man ab Fo ¼ FQ sin r0 ; Fno ¼ FQ sin r0 cos r0 ; Fro ¼ FQ sin2 r0 ; Fu ¼ FQ cos r0 ; Fnu ¼ FQ cos2 r0 ;

Fru ¼ FQ sin r0 cos r0 :

Anwendungen zur Haftung und Gleitreibung Reibung am Keil. Gesucht wird die Kraft F, die zum Heben und Senken einer Last mit konstanter Geschwindigkeit erforderlich ist. Die Lsung folgt am einfachsten aus dem Sinussatz am Krafteck, z. B. f
r das Heben der Last nach Bild 39 F2 sinð90° þ r3 Þ F sinða þ r1 þ r2 Þ ¼ ¼ ; ; FQ sin½90°
ða þ r2 þ r3 Þ F2 sinð90°
r1 Þ hieraus tanða þ r2 Þ þ tan r1 : Entsprechend 1
tanða þ r2 Þ tan r3 tanða
r2 Þ
tan r1 F ¼ FQ 1 þ tanða
r2 Þ tan r3

F ¼ FQ

und ist gegebenenfalls experimentell zu bestimmen [3]. Anhaltswerte f
r m0 s. Tab. 4. Gleitreibung (Reibung der Bewegung). Wird die Haftung
berwunden, und setzt sich der Krper in Bewegung, so gilt f
r die Reibkraft das Coulombsche Gleitreibungsgesetz (Bild 37) Fr =Fn ¼ const ¼ tan r ¼ m bzw: Fr ¼ mFn :

ð28Þ

f
r das Senken der Last. Wird F  0, so tritt Selbsthemmung auf; dann ist tanða
r2 Þ % tan r1 bzw: a % r1 þ r2 : Der Keil muß dann herausgezogen bzw. von der anderen Seite hinausgedr
ckt werden. Der Wirkungsgrad des Keilgetriebes beim Heben der Last ist h ¼ F0 =F; hierbei ist F0 ¼ FQ  tan a die erforderliche Kraft ohne Reibung.

Die Gleitreibungskraft ist eine eingeprgte Kraft, die dem Geschwindigkeits- bzw. Verschiebungsvektor entgegengesetzt gerichtet ist. Der Gleitreibungskoeffizient m (bzw. Gleitreibungswinkel r) hngt neben den unter Haftung beschriebenen Einfl
ssen vornehmlich von den Schmierungsverhltnissen (Trockenreibung, Mischreibung, Fl
ssigkeitsreibung; s. E 5.1) ab, zum Teil aber auch von der Gleitgeschwindigkeit [4, 5]. Anhaltswerte f
r m s. Tab. 4. Beispiel: Standsicherheit einer Leiter (Bild 38). Wie weit darf eine Person (Gewichtskraft FQ ) eine Leiter (Lnge l, Neigungswinkel b, Gewicht vernachlssigbar) besteigen, ohne daß diese abrutscht, wenn der Haftungswinkel zwischen Leiter und Wand bzw. Boden r0 ist? Wie groß sind dann die Krfte im oberen und unteren Ber
hrungspunkt? – An Kopf- und Fußpunkt wird der Reibungskegel eingezeichnet. Solange die Kraft FQ innerhalb der schraffierten Flche liegt, kann sie auf unendlich vielfache Weise so zerlegt werden, daß die Krfte Fo und Fu an Kopf- und Fußpunkt innerhalb des Reibungskegels liegen, so daß Gleichgewicht herrscht (d. h., das Problem ist statisch unbestimmt, die Krfte sind so nicht bestimmbar). Der Grenz-

ð29Þ

Bild 39. Reibung am Keil

I1.11 F
r r1 ¼ r2 ¼ r3 ¼ r gilt F ¼ FQ tanða
2rÞ; Selbsthemmung f
r a  2 r, Wirkungsgrad h ¼ tan a= tanða þ 2rÞ. Bei Selbsthemmung wird h ¼ tan 2r= tan 4r ¼ 0;5  0;5 tan2 2r < 0;5. Schraube (Bewegungsschraube). Rechteckgewinde (flachgngige Schraube, Bild 40 a). Gesucht ist das Drehmoment M zum gleichfrmigen Heben und Senken der Last. Z X Fiz ¼ 0 ¼ dF cosða þ rÞ  FQ ; F ¼ FQ = cosða þ rÞ; Z X Miz ¼ 0 ¼ M  dF sinða þ rÞrm ; M ¼ FQ rm tanða þ rÞ Wirkungsgrad beim Heben h ¼ M0 =M ¼ tan a= tanða þ rÞ; M0 erforderliches Moment ohne Reibung. Beim Senken tritt r an Stelle von r; M ¼ FQ rm tanða  rÞ. Selbsthemmung f
r M % 0, d. h. tanða  rÞ % 0; also a % r. Dann ist zum Senken der Last ein negatives Moment erforderlich. F
r a ¼ r folgt h ¼ tan r= tan 2r ¼ 0;5  0;5 tan2 r < 0;5. Trapez- und Dreieckgewinde (scharfgngige Schraube) (Bild 40 b). Es gelten dieselben Gleichungen wie f
r Rechteckgewinde, wenn anstelle von m ¼ tan r die Reibzahl m0 ¼ tan r0 ¼ m= cosðb=2Þ, d. h. anstelle von r der Reibwinkel r0 ¼ arctan½m= cosðb=2Þ eingesetzt wird. Beweis gemß Bild 40 b, da anstelle von dFn die Kraft dFn0 ¼ dFn = cosðb=2Þ und anstelle von dFr ¼ m dFn die Kraft dFr0 ¼ m dFn0 ¼ ½m= cosðb=2ÞdFn ¼ m0 dFn tritt. Hierbei ist b der Flankenwinkel des Gewindes. Bemerkung: F
r Befestigungsschrauben ist Selbsthemmung, d. h. a % r00 , erforderlich. Seilreibung (Haftung zwischen Seil und Seilrolle) (Bild 41). Gleitreibung tritt auf bei relativer Bewegung zwischen Seil und Scheibe (Bandbremse, Schiffspoller bei laufendem Seil). Bei Haftung zwischen Seil und Scheibe (Riementrieb, Band-

Haftung und Reibung

B 17

bremse als Haltebremse, Schiffspoller bei ruhendem Seil) tritt Gleichgewicht in Normal- und Tangentialrichtung am Seilelement auf. Damit ergibt sich dFn ¼ FS dj, dFS ¼ dFr ; mit dFr ¼ m dFn folgt dFS ¼ m0 FS dj. Nach Integration
ber den Umschlingungswinkel a folgt die Eulersche Seilreibungsformel: FS2 ¼ FS1 em0 a bzw. FS2 =FS1 ¼ em0 a . Die Haftkraft ergibt sich aus Fr ¼ FS2  FS1 und das Haftmoment aus Mr ¼ Fr r. Bei nicht vernachlssigbarer Geschwindigkeit des Seiles (z. B. beim Riementrieb) treten Fliehkrfte qF ¼ mn2 =r (m: Masse pro Lngeneinheit des Seiles) am Seil auf. Dann ist FS durch FS  mn2 zu ersetzen. Beim Schiffspoller (Bild 41 c) mit a=2p und m0 ¼ 0,1 ergibt sich ein Verhltnis FS2 =FS1  1,87. Rollwiderstand Rollt ein zylindrischer o.. Krper auf einer Unterlage (Bild 42 a), so ergibt sich wegen der Verformung der Unterlage und des Krpers eine schrg gerichtete Resultierende, deren Horizontalkomponente die Widerstandskraft Fw ist. Ihr muß bei gleichfrmiger Bewegung die Antriebskraft Fa das Gleichgewicht halten. Mit Fn ¼ FQ und f  r, d. h. tan a  sin a ¼ f =r, folgt Fw ¼ FQ f =r ¼ FQ mr und als sog. Moment der rollenden Reibung Mw ¼ Fw r ¼ mr FQ r ¼ FQ f , wobei mr ¼ f =r der Koeffizient der Rollreibung ist. Der Hebelarm f der Rollreibung ist empirisch zu ermitteln. F
r Stahlrder auf Schienen ist f  0;05 cm, f
r Wlzlager f  0;0005 . . . 0;001 cm. Als Fahrwiderstand (Bild 42 b) bezeichnet man die Summe aus Rollwiderstand und Lagerreibungswiderstand, Fw; ges ¼ ðFQ þ FG Þf =r þ FQ mz r1 =r (FG Gewichtskraft des Rads, mz Zapfenreibungszahl s. Q 2.1.1). Widerstand an Seilrollen Infolge Biegesteifigkeit der Seile erfolgt an der Auflaufstelle ein „Abheben“ um a2 (s. Bild 42 c) und an der Ablaufstelle ein „Anschmiegen“ um a1 . Unter gleichzeitiger Ber
cksichtigung der Lagerreibung folgt bei gleichmßiger Geschwindigkeit f
r die

Bild 40 a, b. Reibung an a flachgngiger und b scharfgngiger Schraube

Bild 41 a – c. Seilreibung. a Krfte; b Element; c Schiffspoller

Bild 42 a – e. Widerstnde. a Rollwiderstand; b Fahrwiderstand; c feste und d lose Seilrolle; e Flaschenzug

B

B 18

Mechanik – 2 Kinematik

Feste Rolle (Bild 42 c): Beim Heben X MA ¼ 0 ¼ Fðr
a1 Þ
FQ ðr þ a2 Þ
ðF þ FQ Þrz ; d: h:

B

F ¼ FQ ðr þ a2 þ rz Þ=ðr
a1
rz Þ ¼ FQ =h: h ist der Wirkungsgrad der festen Rolle beim Heben ðh  0;95Þ. Beim Senken ist h durch 1/h zu ersetzen. (rz Radius der Zapfenreibung.) Lose Rolle (Bild 42 d): Beim Heben X MA ¼ 0 ¼ Fð2r þ a2
a1 Þ
FQ ðr þ a2 þ rz Þ; d: h: F ¼ ðFQ =2Þðr þ a2 þ rz Þ=ðr þ a2 =2
a1 =2Þ ¼ ðFQ =2Þ=h: h = Nutzarbeit/zugef
hrte Arbeit = ðFQ s=2Þ=ðFsÞ. Nherungsweise wird ebenfalls h  0;95 gesetzt. Beim Senken ist h durch 1/h zu ersetzen.

2 Kinematik. Kinematics

1 þ h þ h2 þ h3 ¼ ð1
h4 Þ=ð1
hÞ folgt F ¼ FQ =½hð1
h4 Þ=ð1
hÞ: Bei n tragenden Seilstrngen werden die Kraft und der Gesamtwirkungsgrad f
r das Heben F ¼ FQ =½hð1
hn Þ=ð1
hÞ und hges ¼ Wn =Wz ¼ ðFQ s=nÞ=ðFsÞ ¼ hð1
hn Þ=½ð1
hÞn: Beim Senken ist h wieder durch 1/h zu ersetzen.

drðtÞ dr ds ¼ ¼ et u dt ds dt

ð3Þ

gilt (et Tangenteneinheitsvektor). Der Betrag der Geschwindigkeit ist qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi juj ¼ u ¼ ds=dt ¼ s_ ¼ u2x þ u2y þ u2z ¼ x_ 2 þ y_ 2 þ z_ 2 : ð4Þ Beschleunigung. Der Beschleunigungsvektor ergibt sich durch Ableitung des Geschwindigkeitsvektors nach der Zeit:

2.1 Bewegung eines Punkts The motion of a particle

du d2 r ¼ €rðtÞ ¼ €xðtÞex þ €yðtÞey þ €zðtÞez ¼ dt dt2 ¼ ð€xðtÞ;€yðtÞ;€zðtÞÞ ¼ ðax ; ay ; az Þ

aðtÞ ¼

2.1.1 Allgemeines. Introduction Bahnkurve. Ein Punkt bewegt sich in Abhngigkeit von der Zeit im Raum lngs einer Bahnkurve. Die Ortskoordinate des Punkts ist durch den Ortsvektor (Bild 1 a)

Geschwindigkeit. Der Geschwindigkeitsvektor ergibt sich durch Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit: ð2Þ

Der Geschwindigkeitsvektor tangiert stets die Bahnkurve, da in nat
rlichen Koordinaten t, n, b (begleitendes Dreibein, wobei t die Tangentenrichtung in der sog. Schmiegungsebene, n die Normalenrichtung in der Schmiegungsebene und b die Binormalenrichtung senkrecht zu t und n ist; s. Bild 1 a)

ð5Þ

bzw. in nat
rlichen Koordinaten aðtÞ ¼

ð1Þ

festgelegt. Ein Punkt hat im Raum drei Freiheitsgrade, bei gef
hrter Bewegung lngs einer Flche zwei und lngs einer Linie einen Freiheitsgrad.

uðtÞ ¼ dr=dt ¼ r_ ðtÞ ¼ x_ ðtÞex þ y_ ðtÞey þ z_ ðtÞez ¼ ð_xðtÞ; y_ ðtÞ; z_ ðtÞÞ ¼ ðux ; uy ; uz Þ:

Fðh þ h2 þ h3 þ h4 Þ ¼ FQ : Mit

uðtÞ ¼

Die Kinematik ist die Lehre von der geometrischen und analytischen Beschreibung der Bewegungszustnde von Punkten und Krpern. Sie ber
cksichtigt nicht die Krfte und Momente als Ursachen der Bewegung.

rðtÞ ¼ xðtÞex þ yðtÞey þ zðtÞez ¼ ðxðtÞ; yðtÞ; zðtÞÞ

Rollenzug (Bild 42 e): Mit den Ergebnissen f
r die feste und die lose Rolle ist F1 ¼ hF; F2 ¼ hF1 ¼ h2 F usw. Gleichgewicht f
r die freigemachte untere Flasche f
hrt zu X Fy ¼ 0 ¼ F1 þ F2 þ F3 þ F4
FQ ; d: h:

Mit

d du det ðuet Þ ¼ et þ u  : dt dt dt

det det ds dj en 1 ¼ u ¼ en u ¼ dt ds dt ds R

aðtÞ ¼ u_ et þ ðu2 =RÞen ¼ at þ an ;

(s. Bild 1 b) folgt ð6Þ

d. h., der Beschleunigungsvektor liegt stets in der Schmiegungsebene (Bild 1 a). Seine Komponenten in Tangentialund Normalenrichtung heißen Tangential- und Normalbeschleunigung at ¼ du=dt ¼ u_ ðtÞ ¼ €sðtÞ

ð7Þ

und an ¼ u2 =R;

ð8Þ

wobei R der Kr
mmungsradius der Bahnkurve ist. Die Normalbeschleunigung ist stets zum Kr
mmungsmittelpunkt M gerichtet, also immer eine Zentripetalbeschleunigung. F
r die Grße des (resultierenden) Beschleunigungsvektors gilt qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a ¼ jaj ¼ a2x þ a2y þ a2z ¼ a2t þ a2n : ð9Þ Gleichf
rmige Bewegung liegt vor, wenn uðtÞ ¼ s_ ðtÞ ¼ u0 ¼ const ist. Durch Integration folgt Z sðtÞ ¼ s_ ðtÞ dt ¼ u0 t þ C1 bzw. mit der Anfangsbedingung sðt ¼ t1 Þ ¼ s1 hieraus C1 ¼ s1
u0 t1 und somit sðtÞ ¼ u0 ðt
t1 Þ þ s1 :

Bild 1. Punktbewegung. a Bahnkurve, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor; b Differentiation des Tangenteneinheitsvektors

Graphische Darstellungen von uðtÞ und s(t) liefern das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm und das Weg-Zeit-Diagramm (Bild 2). Aus s(t) folgt umgekehrt durch Differentiation uðtÞ.

I2.1

Bewegung eines Punkts

B 19

Die mittlere Geschwindigkeit ergibt sich zu Zt2 um ¼

uðtÞdt=ðt2
t1 Þ t1

¼ ðs2
s1 Þ=ðt2
t1 Þ ¼ ðu1 þ u2 Þ=2: Bild 2. Gleichf
rmige Bewegung, Bewegungsdiagramme

Gleichm
ßig beschleunigte (und verzgerte) Bewegung (Bild 3) liegt vor, wenn at ðtÞ ¼ u_ ðtÞ ¼ €sðtÞ ¼ at0 ¼ const; d: h: uðtÞ ¼ at0 t þ C1 und sðtÞ ¼ at0 t2 =2 þ C1 t þ C2 : Hieraus folgen mit den Anfangsbedingungen uðt ¼ t1 Þ ¼ u1 und sðt ¼ t1 Þ ¼ s1 die Konstanten C1 ¼ u1
at0 t1 und C2 ¼ s1
u1 t1 þ at0 t12 =2 und somit at ðtÞ ¼ at0 ¼ const; uðtÞ ¼ at0 ðt
t1 Þ þ u1 ; sðtÞ ¼ at0 ðt
t1 Þ2 =2 þ u1 ðt
t1 Þ þ s1 : Nach Elimination von ðt
t1 Þ ergeben sich die Beziehungen t
t1 ¼ ðv
u1 Þ=at0 ; at0 ¼ ðu2
u21 Þ=½2ðs
s1 Þ; qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u ¼ u21 þ 2at0 ðs
s1 Þ; s ¼ ðu2
u21 Þ=ð2at0 Þ þ s1 : Fr den Sonderfall t1 ¼ 0, u1 ¼ 0, s1 ¼ 0 folgen uðtÞ ¼ at0 t; sðtÞ ¼ at0 t2 =2; t ¼ u=at0 ; pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi at0 ¼ u2 =ð2sÞ; u ¼ 2at0 s; s ¼ u2 =ð2at0 Þ:

In allen Gleichungen kann at positiv oder negativ sein: Positives at bedeutet Beschleunigung bei Bewegung eines Punkts in positiver s-Richtung, aber Verz
gerung bei Bewegung in negativer s-Richtung; negatives at bedeutet Verz
gerung bei Bewegung in positiver s-Richtung, aber Beschleunigung bei Bewegung in negativer s-Richtung. Ist s(t) gegeben, so erhlt man durch Differentiation uðtÞ und at ðtÞ. Ungleichm
ßig beschleunigte (und verzgerte) Bewegung liegt vor, wenn at ðtÞ ¼ f1 ðtÞ ist (Bild 3 b). Integration fhrt zu Z Z uðtÞ ¼ at ðtÞdt ¼ f1 ðtÞdt ¼ f2 ðtÞ þ C1 und Z Z sðtÞ ¼ uðtÞdt ¼ ½ f2 ðtÞ þ C1 dt ¼ f3 ðtÞ þ C1 t þ C2 : Die Konstanten werden aus den Anfangsbedingungen uðt ¼ t1 Þ ¼ u1 und sðt ¼ t1 Þ ¼ s1 oder quivalenten Bedingungen ermittelt. Aus u_ ðtÞ ¼ at ðtÞ folgt, daß dort, wo uðtÞ einen Extremwert annimmt (wo u_ ¼ 0 wird), im at ; t-Diagramm die Funktion at ðtÞ durch Null geht. Analog folgt aus s_ ðtÞ ¼ uðtÞ, daß s(t) dort ein Extremum hat, wo uðtÞ im u, t-Diagramm durch Null geht. Die mittlere Geschwindigkeit ergibt sich zu um ¼ ðs2
s1 Þ=ðt2
t1 Þ. Entsprechend der anschaulichen Deutung des Integrals als Flcheninhalt lassen sich bei gegebenem at ðtÞ die Gr
ßen uðtÞ und s(t) auch mit den Methoden der graphischen oder numerischen Integration (s. A bzw. DUBBEL interaktiv) bestimmen.

Bild 3 a, b. Bewegungsdiagramme. a gleichmßig beschleunigte, b ungleichmßig beschleunigte Bewegung

B

B 20

Mechanik – 2 Kinematik

2.1.2 Ebene Bewegung. Plane motion

B

Bahnkurve (Weg), Geschwindigkeit, Beschleunigung. Es gelten die Formeln von B 2.1.1, reduziert auf die beiden Komponenten x und y (Bild 4 a): rðtÞ ¼ xðtÞex þ yðtÞey ¼ ðxðtÞ; yðtÞÞ; uðtÞ ¼ x_ ðtÞex þ y_ ðtÞey ¼ ð_xðtÞ; y_ ðtÞÞ ¼ ðux ; uy Þ; aðtÞ ¼ €xðtÞex þ €yðtÞey ¼ ð€xðtÞ; €yðtÞÞ ¼ ðax ; ay Þ bzw. in nat
rlichen Koordinaten t und n: aðtÞ ¼ u_ ðtÞet þ ðu2 =RÞen ¼ ð_uðtÞ; u2 =RÞ ¼ ðat ; an Þ:

sowie uy ðtÞ ¼
gt þ C3 ; yðtÞ ¼
gt2 =2 þ C3 t þ C4 : Anfangsbedingungen xð0Þ ¼ 0; yð0Þ ¼ 0; ux ð0Þ ¼ u1 cos b; uy ð0Þ ¼ u1 sin b ergeben C2 ¼ 0, C4 ¼ 0, C1 ¼ u1 cos b, C3 ¼ u1 sin b und somit xðtÞ ¼ u1 t cos b; yðtÞ ¼ u1 t sin b
gt2 =2 (Bahnkurve in Parameterdarstellung). Elimination von t ergibt Bahnkurve y ¼ f ðxÞ: yðxÞ ¼ x tan b
x2 g=ð2u21 cos2 bÞ ðWurfparabelÞ: Geschwindigkeit ux ðtÞ ¼ x_ ðtÞ ¼ u1 cos b; uy ðtÞ ¼ y_ ðtÞ ¼ u1 sin b
gt; qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi uðtÞ ¼ ðu1 cos bÞ2 þ ðu1 sin b
gtÞ2 : Beschleunigung ax ðtÞ ¼ €xðtÞ ¼ 0; ay ðtÞ ¼ €yðtÞ ¼
g; pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aðtÞ ¼ 0 þ g2 ¼ g ¼ const :

Bild 4 a, b. Ebene Bewegung. a Allgemein; b Kreis

Ist die Bahnkurve mit y(x) und die Lage des Punkts mit s(t) gegeben, so ergibt sich ein Zusammenhang Z pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi zwischen t und x
ber die Bogenlnge sðxÞ ¼ 1 þ y0 2 dx aus sðxÞ ¼ sðtÞ. Hieraus ist t(x) bzw. x(t) nur in einfachen Fllen explizit berechenbar (s. nchstes Beispiel). Beispiel: Bewegung auf einer Bahnkurve y(x) (Bild 4 b). Untersucht pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi wird die Bewegung eines Punkts auf der Kreisbahn yðxÞ ¼ r 2
x2 gemß dem Weg-Zeit-Gesetz sðtÞ ¼ At2 . – Nach den Gln. (4), (7) und (8) ergeben sich uðtÞ ¼ s_ ðtÞ ¼ 2At; at ðtÞ ¼ u_ ðtÞ ¼ €sðtÞ ¼ 2A und an ðtÞ ¼ u2 =R ¼ 4A2 t2 =r pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi und somit aðtÞ ¼ a2t þ a2n ¼ 2A 1 þ 4A2 t4 =r 2 . F
r die Kreisbahn pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 0 2 2 ergibt sich mit y ¼
x= r
x die Bogenlnge zu sðxÞ ¼

Z r pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Z r pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ y02 dx ¼ r 2 =ðr 2
x2 Þdx ¼ r arccosðx=rÞ; x¼x

x

woraus mit sðxÞ ¼ sðtÞ ¼ At2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi tðxÞ ¼ r arccosðx=rÞ=A bzw: xðtÞ ¼ r cosðAt2 =rÞ folgt. Damit wird

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Ar arccosðx=rÞ; at ðxÞ ¼ 2A; qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi an ðxÞ ¼ 4A arccosðx=rÞ; aðxÞ ¼ 2A 1 þ 4½arccosðx=rÞ2 : sðxÞ ¼ r arccosðx=rÞ; uðxÞ ¼ 2

Bild 5. Schiefer Wurf, Wurfbahn Aus uy =ux ¼ tan jðtÞ erhlt man die Steigung der Bahnkurve und damit die nat
rlichen Komponenten der Beschleunigung (s. Bild 5): an ðtÞ ¼ g cos jðtÞ und at ðtÞ ¼
g sin jðtÞ 6¼ const ! Steigzeit und Wurfhhe aus uy ðt2 Þ ¼ 0: t2 ¼ u1 sin b=g; yðt2 Þ ¼ u21 sin2 b=ð2gÞ: Wurfdauer und Wurfweite aus yðt3 Þ ¼ 0: t3 ¼ 2u1 sin b=g ¼ 2t2 ; xðt3 Þ ¼ u21 sin 2b=g: Wegen sinð180°
2bÞ ¼ sin 2b ergibt sich dieselbe Wurfweite f
r die Abwurfwinkel b und ð90°
bÞ. Die grßte Wurfweite bei gegebenem u1 wird mit dem Abwurfwinkel b ¼ 45° erzielt.

Ebene Bewegung in Polarkoordinaten. Bahn und Lage eines Punkts werden durch r(t) und j(t) festgelegt. Mit den begleitenden Einheitsvektoren er und ej (Bild 6 a) gilt rðtÞ ¼ rðtÞer :

ð10Þ

Hieraus folgt durch Ableitung der Geschwindigkeitsvektor uðtÞ ¼ r_ ðtÞ ¼ r_ ðtÞer þ rðtÞ_er ¼ r_ er þ j_ rej ¼ ur þ uj ;

ð11Þ

da gemß Bild 6 c e_ r ¼ der =dt ¼ 1  dj  ej =dt ¼ j_ ej ist. Hierbei ist j_ ¼ dj=dt die Drehgeschwindigkeit des Radiusvektors r, genannt Winkelgeschwindigkeit w.

Lsung dieser Aufgabe in Parameterdarstellung: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xðtÞ ¼ r cosðAt2 =rÞ; yðtÞ ¼ r 2
x2 ¼ r sinðAt2 =rÞ; ux ðtÞ ¼ x_ ðtÞ ¼
2At sinðAt2 =rÞ; uy ðtÞ ¼ y_ ðtÞ ¼ 2At cosðAt2 =rÞ; somit ist uðtÞ ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u2x þ u2y ¼ 2At sin2 ðAt2 =rÞ þ cos2 ðAt2 =rÞ ¼ 2At;

ax ðtÞ ¼ u_ x ðtÞ ¼ €xðtÞ ¼
2A½sinðAt2 =rÞ þ ð2t2 A=rÞ cosðAt2 =rÞ; ay ðtÞ ¼ u_ y ðtÞ ¼ €yðtÞ ¼ 2A½cosðAt2 =rÞ
ð2t2 A=rÞ sinðAt2 =rÞ; woraus aðtÞ ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2x þ a2y ¼ 2A 1 þ ð2t2 A=rÞ2 folgt:

Beispiel: Der schiefe Wurf (Bild 5). Ungleichmßig beschleunigte Bewegung. Abwurfgeschwindigkeit u1 unter Abwurfwinkel b. – Unter Vernachlssigung des Luftwiderstands ist die Schwerkraft die einzige wirkende Kraft. Deshalb wird ax ðtÞ ¼ 0 und ay ðtÞ ¼
g ¼ const. Integration liefert ux ðtÞ ¼ C1 ; xðtÞ ¼ C1 t þ C2

Bild 6 a – c. Polarkoordinaten. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen; c Differentiation der Einheitsvektoren

I2.2

Bewegung starrer Krper

B 21

Die Ableitung des Geschwindigkeitsvektors ergibt die Beschleunigung (Bild 6 b): € rÞej aðtÞ ¼ u_ ðtÞ ¼ €rðtÞ ¼ r_ e_ r þ €r er þ j_ r e_ j þ ðj_ r_ þ j ð12Þ ¼ ð€r
j_ 2 rÞer þ ð€ jr þ 2_rj_ Þej ¼ ar þ aj

Mit r0 ðtÞ ¼ r0 ¼ const, einer beliebigen Funktion j(t) sowie zðtÞ ¼ jðtÞh=2p wird rðtÞ ¼ r0 er þ zðtÞez . Hieraus folgt analog Gl. (11) bzw. (12) mit r_ 0 ¼ 0, €r0 ¼ 0

mit e_ j ¼ dej =dt ¼
1  dj  er =dt ¼
j_ er gem
ß Bild 6 c. € ¼ w_ die nderung der Winkelgeschwindigkeit Hierbei ist j des Radiusvektors r mit der Zeit, genannt Winkelbeschleunigung a. Ebene Bewegung in kartesischen Koordinaten (Bild 6 a, b):

bzw.

rðtÞ ¼ r cos jex þ r sin jey ¼ xðtÞex þ yðtÞey ;

ð13Þ

uðtÞ ¼ r_ ðtÞ ¼ ð_r cos j
r j_ sin jÞex þ ð_r sin j þ r j_ cos jÞey ð14Þ ¼ ux e x þ uy e y ; j sin jÞex aðtÞ ¼ u_ ðtÞ ¼ ð€r cos j
2_r j_ sin j
r j_ 2 cos j
r€ þ ð€r sin j þ 2_r j_ cos j
r j_ 2 sin j þ r€ j cos jÞey

ð15Þ

¼ ax ex þ ay ey : Zusammenhang zwischen Komponenten in r, j- und x, yRichtung (Bild 6 b): ur ¼ ux cos j þ uy sin j; uj ¼
ux sin j þ uy cos j; ux ¼ ur cos j
uj sin j; uy ¼ ur sin j þ uj cos j: Analoge Gleichungen gelten fr die Beschleunigung a. Resultierende Geschwindigkeit und Beschleunigung: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u ¼ u2r þ v2j ¼ u2x þ u2y ; a ¼ a2r þ a2j ¼ a2x þ a2y : Der Beschleunigungsvektor a l
ßt sich auch in die natrlichen Komponenten at und an zerlegen, da die Richtung t durch den Geschwindigkeitsvektor und die Richtung n als Senkrechte dazu gegeben sind (Bild 6 b). Ebene Kreisbewegung (Bild 4 b). Aus der Darstellung in Polarkoordinaten folgen mit r ¼ const, also mit r_ ¼ €r ¼ 0 und, da jetzt die ej - und er -Richtung mit der et - und der negativen en -Richtung zusammenfallen, uðtÞ ¼ j_ ret ¼ wret und aðtÞ ¼
j_ 2 rer þ r€ jej ¼ w2 ren þ raet :

ð16Þ

u

¼ wr;

ð17Þ

at

€ r ¼ w_ r ¼ ar; ¼j

ð18Þ

an ¼ j_ 2 r ¼ w2 r; qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a ¼ jaj ¼ a2t þ a2n ¼ r a2 þ w4 :

ð19Þ ð20Þ

2.1.3 R
umliche Bewegung. Motion in space Es gelten die Gleichungen von B 2.1.1. Als Anwendung wird die Bewegung auf einer zylindrischen Schraubenlinie behandelt (Bild 7 a; s. hierzu auch Beispiel in B 3.2.4). Lsung in Zylinderkoordinaten: r0 ðtÞ; jðtÞ; zðtÞ.

uðtÞ ¼ ur þ uj þ uz ¼ j_ r0 ej þ z_ ez ¼ j_ r0 ej þ ðj_ h=2pÞez

€r0 ej þ €zez aðtÞ ¼ ar þ aj þ az ¼
j_ 2 r0 er þ j € r0 ej þ ð€ ¼
j_ 2 r0 er þ j jh=2pÞez : Fr die Grßen von Geschwindigkeit, Weg und Beschleunigung ergibt sich mit dem Steigungswinkel b ¼ arctan½h=ð2pr0 Þ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u2r þ u2j þ u2z ¼ r0 j_ 1 þ h2 =ð2pr0 Þ2

uðtÞ ¼ juj ¼

¼ r0 j_ = cos b; sðtÞ ¼ r0 j= cos b; qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi € 2 ½1 þ h2 =ð2pr0 Þ2  aðtÞ ¼ jaj ¼ a2r þ a2j þ a2z ¼ r0 j_ 4 þ j qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi j= cos bÞ2 : ¼ r0 j_ 4 þ ð€ Natrliche Komponenten der Beschleunigung: Fr die Komponente senkrecht zur Steigung der Schraubenlinie (Bild 7 b) gilt jr0 sin b þ ð€ jh=2pÞ cos b
aj sin b þ az cos b ¼
€ € r0 tan b cos b ¼ 0: ¼
€ jr0 sin b þ j In dieser Richtung liegt demnach die Binormale eb , in der es gem
ß B 2.1.1 keine Beschleunigung gibt. Also muß en ¼
er und damit an ¼ ar ¼ r0 j_ 2 sein. Ferner wird (s. Bild 7 b) € r0 cos b þ j € r0 tan b sin b at ¼ aj cos b þ az sin b ¼ j qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi € = cos b ¼ r0 j € 1 þ h2 =ð2pr0 Þ2 : ¼ r0 j Lsung in kartesischen Koordinaten: rðtÞ ¼ xðtÞex þ yðtÞey þ zðtÞez ¼ r0 cos jex þ r0 sin jey þ ðjh=2pÞez : Analog den Gln. (14) und (15) gilt uðtÞ ¼ ux ex þ uy ey þ uz ez ¼
r0 j_ sin jex þ r0 j_ cos jey þ ðj_ h=2pÞez ; € sin jÞex aðtÞ ¼ ax ex þ ay ey þ az ez ¼
ðr0 j_ 2 cos j þ r0 j € cos j
r0 j_ 2 sin jÞey þ ð€ þ ðr0 j jh=2pÞez ; woraus wieder qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u ¼ juj ¼ u2x þ u2y þ u2z ¼ r0 j_ 1 þ h2 =ð2pr0 Þ2 und qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi € 2 ½1 þ h2 =ð2pr0 Þ2  a ¼ jaj ¼ a2x þ a2y þ a2z ¼ r0 j_ 4 þ j folgen.

2.2 Bewegung starrer Krper Motion of rigid bodies 2.2.1 Translation (Parallelverschiebung, Schiebung) Translation

Bild 7 a, b. Massenpunkt auf Schraubenlinie

Alle Punkte beschreiben kongruente Bahnen (Bild 8 a), d. h., der Krper fhrt keinerlei Drehung aus. Die Gesetze und Gleichungen der Punktbewegung nach B 2.1 gelten auch fr die Translation, da die Bewegung eines Krperpunkts zur Beschreibung ausreicht.

B

B 22

Mechanik – 2 Kinematik Da bei Rotation alle Punkte Kreisbahnen in Ebenen senkrecht zur Drehachse beschreiben, gengt die Ebene Darstellung (Bild 8 c). Hierbei geht die Drehachse senkrecht zur Zeichenebene durch den Punkt O. Es gilt

B

sðtÞ ¼ rjðtÞ; uðtÞ ¼ rj_ ðtÞ ¼ rwðtÞ; jðtÞ ¼ r w_ ðtÞ ¼ raðtÞ; an ðtÞ ¼ r j_ 2 ðtÞ ¼ rw2 ðtÞ; at ðtÞ ¼ r€

ð26Þ

d. h., alle Gr
ßen nehmen linear mit r zu, so daß zur Beschreibung der Drehbewegung (Rotation) eines starren K
rpers der Drehwinkel j(t), die Winkelgeschwindigkeit wðtÞ ¼ j_ ðtÞ und € ðtÞ ausreichen. In die Winkelbeschleunigung aðtÞ ¼ w_ ðtÞ ¼ j den Anwendungen wird hufig mit der Drehzahl n gerechnet; dann ist w ¼ 2pn und u ¼ 2prn. Fr die Umlaufzeit bei w ¼ const gilt T ¼ 2p=w. Fr die gleichf
rmige und ungleichf
rmige Rotation gelten die Gesetze der Punktbewegung und die zugeh
rigen Diagramme gemß B 2.1.1, wenn dort at durch a, u durch w und s durch j ersetzt wird.

Bild 8 a – c. Bewegung starrer K
rper. a Translation; b Rotation im Raum; c Rotation in der Ebene

2.2.2 Rotation (Drehbewegung, Drehung) Rotation Unter Rotation versteht man die Drehung eines starren K
rpers um eine raumfeste Achse (Bild 8 b). Vektorielle Darstellung. Wird der Winkelgeschwindigkeit der Vektor w ¼ we zugeordnet, d. h., dreht sich die Ebene OPO0 mit w, so beschreiben der Punkt P und somit alle Punkte Kreisbahnen. Der Vektor der Umfangsgeschwindigkeit u ergibt sich aus dem Vektorprodukt u ¼ r_ P ¼ we
rP mit juj ¼ u ¼ wrP sin b ¼ wr; ð21Þ u ist ein im Sinne einer Rechtsschraube auf e und rP senkrecht stehender Vektor. Mit rP ¼ r0 þ r folgt u ¼ we
ðr0 þ rÞ ¼ we
r0 þ we
r: Da e und r0 zueinander parallel sind, gilt e
r0 ¼ 0; d. h. u ¼ we
r mit juj ¼ u ¼ wr sin 90
¼ wr: Damit ist ð22Þ u ¼ wret : In kartesischen Koordinaten ist


ex ey ez




u ¼ we
rP ¼ w
rP ¼
wx wy wz



x y z


ð23Þ

¼ ðwy z  wz yÞex þ ðwz x  wx zÞey þ ðwx y  wy xÞez ¼ ux e x þ uy e y þ uz e z : Beschleunigung von Punkt P: a ¼ u_ ¼ €rP ¼ ðwe
r_ P Þ þ ðw_ e
rP Þ ¼ ðwe
uÞ þ ðw_ e
rP Þ:

ð24 aÞ

Mit w_ ¼ a (Winkelbeschleunigung) ist in natrlichen Koordinaten a ¼ wuer þ arP sin bet ¼ w2 rer þ aret ¼ an er þ at et :

ð24 bÞ

In kartesischen Koordinaten ergibt sich aus Gl. (23) durch Differentiation a ¼½ðw2y þ w2z Þx þ ðwx wy  az Þy þ ðwx wz þ ay Þzex þ ½ðwx wy þ az Þx  ðw2x þ w2z Þy þ ðwy wz  ax Þzey þ ½ðwx wz  ay Þx þ ðwy wz þ ax Þy  ðw2x þ w2y Þzez

ð25 aÞ

bzw. bei alleiniger Drehung um die z-Achse a ¼ ðw2z x  az yÞex þ ðaz x  w2z yÞey :

ð25 bÞ

2.2.3 Allgemeine Bewegung des starren K
rpers General motion of a rigid body Rumliche Bewegung. Ein K
rper hat im Raum sechs Freiheitsgrade: drei der Translation (Verschiebung in x-, y- und zRichtung) und drei der Rotation (Drehung um die x-, y- und z-Achse). Die beliebige Bewegung jedes K
rperpunkts lßt sich daher aus Translation und Rotation zusammensetzen (zusammengesetzte Bewegung). Fr die Translation gengt die Kenntnis der Bahnkurve eines einzigen k
rperfesten Punkts, z. B. des Schwerpunkts (s. B 2.2.1) zur ausreichenden Beschreibung, d. h. die Kenntnis des Ortsvektors r0 ðtÞ. Fr die Rotation gengt die Beschreibung der Drehung durch den Winkelgeschwindigkeitsvektor w um den k
rperfesten Punkt (s. B 2.2.2), d. h., w ist ein freier Vektor. Es gelten (Bild 9 a) rP ðtÞ ¼ r0 ðtÞ þ r1 ðtÞ; uðtÞ ¼ r_ P ðtÞ ¼ r_ 0 þ r_ 1 ¼ r_ 0 þ wðtÞe
r1 ¼ u0 ðtÞ þ wrej ¼ u0 ðtÞ þ u1 ðtÞ:

ð27Þ ð28Þ

Hierbei ist u0 der aus der Translation herrhrende, u1 der aus der Rotation herrhrende Anteil (Eulersche Geschwindigkeitsformel). Aus Gl. (28) folgt nach Multiplikation mit dt drP ¼ dr0 þ dje
r1 ¼ dr0 þ r djej :

ð29Þ

Diese Gleichung (Eulersche Formel) besagt, daß eine sehr kleine Lagenderung eines Punkts sich aus einer Verschiebung dr0 und aus einer mit dem Betrag ds ¼ r dj (entstehend aus Drehung um die w-Achse) zusammensetzen lßt. Fr die Beschleunigung des Punkts P des K
rpers folgt aus Gl. (28) 9 aðtÞ ¼ u_ ðtÞ ¼ €rP ðtÞ > > > > ¼ €r0 ðtÞ þ wðtÞe
r_ 1 þ ðw_ e þ w_eÞ
r1 > > = ¼ a0 ðtÞ þ we
ðwe
r1 Þ þ w_ e
r1 þ w_e
r1 ð30Þ ¼ a0 ðtÞ þ we
wrej þ w_ rej þ w_e
r1 > > > > ¼ a0  w2 rer þ arej þ w_e
r1 > > ; ¼ a0 þ aPA;n þ aPA;t þ ðw_e
r1 Þ; d. h., die Gesamtbeschleunigung setzt sich zusammen aus dem Translationsanteil a0 , dem Normalbeschleunigungsanteil aPA;n bei Drehung um O, dem Tangentialbeschleunigungsanteil aPA;t bei Drehung um O und dem Anteil aus der Richtungsnderung der Drehachse (Bild 9 b). Drehung um einen Punkt (sphrische Bewegung). In diesem Fall hat der K
rper nur drei Rotationsfreiheitsgrade, d. h., in den Gln. (27) bis (30) entfallen r0 ; u0 und a0 , wenn man den Punkt O in Bild 9 als Bezugspunkt whlt. Der Winkelgeschwindigkeitsvektor ist jetzt ein linienflchtiger Vektor, d. h. nur in seiner Wirkungslinie verschiebbar. Die augenblickliche Drehachse (Momentanachse OM) beschreibt bei der Bewegung des K
rpers bezglich eines raumfesten Koordinatensy-

I2.2

Bewegung starrer Krper

B 23

B

Bild 9 a, b. Rumliche Bewegung. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen

stems den Rastpolkegel (Spurkegel) und bez
glich des krperfesten Koordinatensystems den Gangpolkegel (Rollkegel), der auf dem Rastpolkegel abrollt. F
r die Winkelgeschwindigkeit bez
glich der Momentanachse gilt w ¼ w1 þ w2 (Bild 10). Ebene Bewegung. Ein Krper hat bei der ebenen Bewegung drei Freiheitsgrade: zwei der Translation (Verschiebung in xund y-Richtung) und einen der Rotation (Drehung um die zAchse senkrecht zur Zeichenebene). Wie bei der rumlichen Bewegung erhlt man die beliebige ebene Bewegung durch berlagerung von Translation und Rotation. Da bei der ebenen Bewegung der Vektor e stets senkrecht zur Zeichenebene steht und seine Richtung nicht ndert, folgt aus den Gln. (27) bis (30) mit e_ ¼ 0 und den Bezeichnungen gemß Bild 11 rB ðtÞ ¼ rA ðtÞ þ rAB ðtÞ,

ð31Þ

uB

¼ r_ B ¼ r_ A þ wez
rAB ¼ uA þ wrAB et ¼ uA þ uBA ,

ð32Þ

aB

¼ €rB ¼ aA  w rAB er þ arAB et ¼ aA þ aBA, n þ aBA, t :

ð33Þ

2

Die Gln. (32) und (33) sind der Eulersche Geschwindigkeitssatz und der Eulersche Beschleunigungssatz. Danach ergibt sich die Geschwindigkeit der Punkte einer eben bewegten Scheibe gemß Gl. (32), wenn man die Geschwindigkeit eines Punkts A und die Winkelgeschwindigkeit w der Scheibe kennt, und die Beschleunigung gemß Gl. (33), wenn die Beschleunigung eines Punkts A sowie die Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung a der Scheibe bekannt sind. Die Vektoren uB und aB werden hufig graphisch bestimmt, da die rechnerische Lsung kompliziert ist.

Bild 10. Sphrische Bewegung keits- und Beschleunigungsvektor des Kurbelzapfens B, die Winkelgeschwindigkeiten und -beschleunigungen von Kurbel K und Schubstange S sowie der Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor eines beliebigen Punkts C der Schubstange. – Geschwindigkeiten (Bild 12 a ): Von den Vektoren der Gl. (32) sind uA nach Grße und Richtung, uB und uBA der Richtung nach ðuB ? r, uBA ? lÞ bekannt. Aus dem Geschwindigkeits-Eck folgen uB ¼ 1;4 m=s; uBA ¼ 1;2 m=s und hieraus wK ¼ uB =r ¼ 14 s1 ; wS ¼ uBA =l ¼ 2;4 s1 . Die Geschwindigkeit des Punkts C wird dann gemß Gl. (32) zu uC ¼ uA þ uCA , wobei uCA ¼ wS  AC ¼ uBA  AC=l ist und sich geometrisch aus dem Strahlensatz ergibt. Beschleunigungen (Bild 12 b): Der Eulersche Beschleunigungssatz Gl. (33) nimmt, da sich B auf einer Kreisbahn bewegt, die Form aB; n þ aB; t ¼ aA þ aBA; n þ aBA; t an. Davon sind bekannt aB; n nach Grße ðaB; n ¼ rw2K ¼ 19;6 m=s2 Þ und Richtung (in Richtung von r), von aB; t die Richtung ð? rÞ; aA nach Grße und Richtung (aA ¼ 20 m=s2 gegeben), aBA; n nach Grße ðaBA; n ¼ lw2S ¼ 2;88 m=s2 Þ und Richtung (in Richtung von l), von aBA; t die Richtung ( ? l). Aus dem Beschleunigungs-Eck erhlt man aB; t ¼ 5;3 m=s2 , aBA; t ¼ 6;5 m=s2 und damit aK ¼ aB; t =r ¼ 53 s2 , aS ¼ aBA; t =l ¼ 13 s2 . Die Beschleunigung des Punkts C ist aC ¼ aA þ aCA; n þ aCA; t , wobei aCA; n ¼ w2S  AC und aCA; t ¼ aS  AC jeweils linear mit AC wachsen, so daß auch aCA ¼ aCA; n þ aCA; t linear mit AC zunimmt und parallel zum Vektor aBA sein muß. Nach dem Strahlensatz erhlt man aCA , und die geometrische Zusammensetzung mit aA ergibt aC .

Beispiel: Kurbeltrieb (Bild 12). Der Kolben A des Kurbeltriebs (l ¼ 500 mm; r ¼ 100 mm) hat in der skizzierten Lage ðj ¼ 35°Þ die Geschwindigkeit uA ¼ 1;2 m=s und die Beschleunigung aA ¼ 20 m=s2 . F
r diese Stellung sind zu ermitteln: der Geschwindig-

Bild 11 a, b. Allgemeine ebene Bewegung. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen

Bild 12 a, b. Kurbeltrieb. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen

B 24

B

Mechanik – 2 Kinematik

Momentanzentrum. Es gibt stets einen Punkt, um den die ebene Bewegung momentan als reine Drehung aufgefaßt werden kann (Momentanzentrum oder Geschwindigkeitspol), d. h. einen Punkt, der momentan in Ruhe ist. Man erh
lt ihn als Schnittpunkt der Normalen zweier Geschwindigkeitsrichtungen (Bild 13 a). Ist neben den zwei Geschwindigkeitsrichtungen die Grße einer Geschwindigkeit gegeben (z. B. uA ), so ist die momentane Winkelgeschwindigkeit w ¼ uA =rMA , ferner uB ¼ wrMB ¼ uA rMB =rMA und uC ¼ wrMC ¼ uA rMC =rMA usw. Graphisch erh
lt man die Grße der Geschwindigkeiten mit der Methode der „gedrehten“ Geschwindigkeiten, d. h., man dreht uA um 90° in Richtung rMA und zieht die Parallele zur Strecke AB. Die auf den Radien rMB und rMC abgeschnittenen Strecken BB0 und CC0 liefern die Grßen der Geschwindigkeiten uB und uC (Strahlensatz).

Bild 14. Beschleunigungspol

Bild 15 a, b. Relativbewegung. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen

gung durch Translation des krperfesten Punkts O und die Rotation um diesen Punkt (s. r
umliche Bewegung, Bild 9) festgelegt ist, so unterscheidet sich das Problem von dem der Krperbewegung dadurch, daß jetzt der Vektor r1 ðtÞ nicht nur infolge Fahrzeugdrehung seine Richtung, sondern zus
tzlich infolge Relativbewegung seine Richtung und Grße
ndert. Entsprechend der Darstellung fr die r
umliche Krperbewegung gem
ß den Gln. (27) bis (30) gilt hier (Bild 15 a)

Bild 13 a – c. Momentanzentrum. a „Gedrehte“ Geschwindigkeiten; b Kurbeltrieb; c Polkurven Als Anwendung werden die Geschwindigkeiten des Beispiels Kurbeltrieb untersucht: Aus Bild 13 b erh
lt man bei gegebenen Richtungen von uA und uB das Momentanzentrum M zu rMA ¼ 495 mm, damit wS ¼ uA =rMA ¼ ð1;2 m=sÞ=0;495 m ¼ 2;42 s
1 und mit rMB ¼ 580 mm dann uB ¼ wS rMB ¼ 1;40 m=s. Die graphische Konstruktion mittels der gedrehten Geschwindigkeiten liefert dieselben Ergebnisse.

Das Momentanzentrum beschreibt bei der Bewegung bezglich eines raumfesten Koordinatensystems die Rastpolkurve (Spurkurve, Polhodie) und bezglich eines krperfesten Koordinatensystems die Gangpolkurve (Rollkurve, Herpolhodie). Bei der Bewegung rollt die Gangpolkurve auf der Rastpolkurve ab. Bild 13 c zeigt einen abrutschenden Stab. Im raumfesten Koordinatensystem lautet die Gleichung der Rastpolkurve (R) x2 þ y2 ¼ l2 und im krperfesten x, h-System die der Gangpolkurve (G) x2 þ h2 ¼ ðl=2Þ2 , d. h., die beiden Polbahnen sind Kreise. Beschleunigungspol. Es ist der Punkt P, der momentan keine Beschleunigung hat. Dann gilt fr andere Punkte A und B (Bild 14) aA ¼ aAP; t þ aAP; n mit aAP; t ¼ arPA und aAP; n ¼ w2 rPA sowie aAP; t =aAP; n ¼ a=w2 ¼ tan b, ferner aB ¼ aBP; t þ aBP; n mit aBP; t ¼ arPB und aBP; n ¼ w2 rPB sowie aBP; t =aBP; n ¼ a=w2 ¼ tan b. Der Beschleunigungspol ist also der Schnittpunkt zweier Radien, die unter dem Winkel b zu zwei gegebenen Beschleunigungsvektoren stehen. Relativbewegung. Bewegt sich ein Punkt P mit der Relativgeschwindigkeit ur bzw. Relativbeschleunigung ar auf gegebener Bahn relativ zu einem Krper, dessen r
umliche Bewe-

rP ðtÞ ¼ r0 ðtÞ þ r1 ðtÞ;

ð34Þ

uðtÞ ¼ r_ P ðtÞ ¼ r_ 0 ðtÞ þ r_ 1 ðtÞ ¼ r_ 0 ðtÞ þ wðtÞe  r1 þ dr r1 =dt ¼ uF þ ur :

ð35Þ

Hierbei ist dr r1 =dt ¼ ur die Relativgeschwindigkeit des Punkts gegenber dem Fahrzeug und r_ 0 þ we  r1 ¼ uF die Fhrungs- oder Fahrzeuggeschwindigkeit. Gleichung (35) enth
lt die Regel: Die Ableitung r_ 1 einen Vektors im krperfesten System nach der Zeit enth
lt den Anteil we  r1 von der Drehung des Systems und die sogenannte relative Ableitung im System selbst. Entsprechend ergibt sich fr die Beschleunigung (Bild 15 b) d d ðwe  r1 Þ þ ur dt dt ¼ €r0 þ ½ðw_ e þ w_eÞ  r1  þ we  r_ 1 þ u_ r :

aðtÞ ¼ u_ ðtÞ ¼ u_ F þ u_ r ¼ €r0 þ

Mit r_ 1 aus Gl. (35) und u_ r ¼ we  ur þ dr ur =dt ¼ we  ur þ dr2 r1 =dt2 ¼ we  ur þ ar folgt aðtÞ ¼€r0 þ ½ðw_ e þ w_eÞ  r1  þ we  ðwe  r1 Þ þ dr2 r1 =dt2 þ 2we  ur ¼ aF þ ar þ aC :

ð36Þ

Die ersten drei Glieder dieser Gleichung stimmen mit denen der r
umlichen Bewegung des starren Krpers gem
ß Gl. (30) berein, stellen also die Fhrungs- oder Fahrzeugbeschleunigung aF dar. Das vierte Glied ist die Relativbeschleunigung ar , und das letzte Glied ist die sogenannte Coriolisbeschleunigung aC , die sich infolge Relativbewegung zus
tzlich ergibt. Sie wird zu null, wenn w=0 ist (d. h., wenn das Fahrzeug eine reine Translation ausfhrt) oder e und ur parallel zueinander sind (Relativgeschwindigkeit in Richtung der momentanen Drehachse) oder wenn ur ¼ 0 ist. Sie hat die Grße aC ¼ 2wur sin b, wobei b der Winkel zwischen w und ur ist,

I2.2 und sie steht im Sinne einer Rechtsschraube senkrecht zu den Vektoren e und ur . Bei der ebenen Bewegung (Bewegung eines Punkts auf einer ebenen Scheibe) stehen die Vektoren e und ur senkrecht zueinander, d. h., sin b ¼ 1 und somit aC ¼ 2wur . Im
brigen gelten auch hier u ¼ uF þ ur und a ¼ aF þ ar þ aC ;

ð37Þ

wobei dann alle Vektoren in der Scheibenebene liegen. Beispiel: Bewegung im rotierenden Rohr (Bild 16). In einem Rohr, das sich nach dem (beliebig) vorgegebenen j(t)-Gesetz dreht, bewegt sich relativ ein Massenpunkt nach dem ebenfalls gegebenen WegZeit-Gesetz sr ðtÞ nach außen. F
r einen beliebigen Zeitpunkt t sind Absolutgeschwindigkeit und -beschleunigung des Massenpunkts zu ermitteln. – Aus sr ðtÞ erhlt man f
r Relativgeschwindigkeit und -beschleunigung ur ðtÞ ¼ s_ r und ar ðtÞ ¼ €sr , whrend die F
hrungsbewegung mit uF ðtÞ ¼ sr ðtÞwðtÞ sowie aFt ðtÞ ¼ sr ðtÞaðtÞ, € beschrieben wird. Die aFn ðtÞ ¼ sr ðtÞw2 ðtÞ mit wðtÞ ¼ j_ und aðtÞ ¼ j Coriolisbeschleunigung wird dann aC ¼ 2wðtÞur ðtÞ mit der Richtung senkrecht ur . Absolutgeschwindigkeit und -beschleunigung werden gemß Gl. (37) durch geometrische Zusammensetzung erhalten (Bild 16).

Bewegung starrer Krper

B 25

so daß uA ¼ uA; F
uA; r ¼ u0
ðw2;1
w1 Þ  OA wird. Mit w2;1
w1 ¼ w2 sowie u0 =w2 ¼ l2 ¼ OM wird uA ¼ w2 ðOM
OAÞ ¼ w2 MA; d. h. eine reine Drehgeschwindigkeit um das Momentanzentrum M (Bild 18 a). Da u0 ¼ r0 w1 und somit l2 ¼ r0 w1 =ðw2;1
w1 Þ gilt, ist das eine Besttigung des Satzes
ber die Zusammensetzung von Winkelgeschwindigkeiten f
r parallele Achsen, wobei im Fall gegenlufiger Drehungen f
r wres die Differenz der beiden Winkelgeschwindigkeiten anzusetzen ist und ihre Achse außerhalb der beiden gegebenen Achsen liegt. Sind beide Winkelgeschwindigkeiten entgegengesetzt gleich groß, wird wres ¼ 0, die Scheibe f
hrt eine reine Translation (hier mit u0 ) aus. F
r den beliebigen Punkt P gilt nach Gl. (37) uP ¼ uP; F þ uP; r , wobei gemß Gl. (35) uP; F ¼ r_ 0 þ w1  r1 ¼ u0 þ w1  r1 bzw. auch uP; F ¼ w  ðr0 þ r1 Þ ¼ w  rP und uP;r ¼ dr r1 =dt ¼ w2;1  r1 sind. Dieses Ergebnis ergibt sich auch aus der reinen Drehung um M zu juP j ¼ w2  MP, wobei uP ? MPist (Bild 18 a). Die Beschleunigung von Punkt P folgt aus Gln. (37) bzw. (36) aP ¼ aP; F þ aP; r þ aP; C . Dabei ist aP; F ¼ aP; Fn þ aP; Ft mit aP; Fn ¼ w21 rP und aP; Ft ¼ a1 rP ; aP; r ¼ aP; rn þ aP; rt mit aP; rn ¼ w22;1 r1 und sowie aP; C ¼ 2w1  uP; r mit dem Betrag aP; rt ¼ a2;1 r1 aP; C ¼ 2w1 uP; r ¼ 2w1 w2;1 r1 . Die geometrische Zusammensetzung liefert dann aP (Bild 18 b ).

Bild 16. Bewegung im rotierenden Rohr Beispiel: Umlaufgetriebe (Bild 17). Die mit der Winkelgeschwindigkeit w1 rotierende Kurbel f
hrt das Planetenrad, das sich mit w2;1 gegen
ber der Kurbel dreht, auf dem feststehenden Sonnenrad. – Nach Gl. (37) wird uP ¼ uF þ ur mit der Grße uP ¼ w1 ðl þ rÞ þ w2;1 r und entsprechend uP0 ¼ w1 ðl
rÞ
w2;1 r. Da das Sonnenrad feststeht, ist uP0 ¼ 0, woraus w2;1 ¼ w1 ðl
rÞ=r und uP ¼ w1 ðl þ rÞ þ w1 ðl
rÞ ¼ 2w1 l folgen. Die Bewegung des Planetenrads l
ßt sich deuten als eine Drehung mit w2 ¼ w1 þ w2;1 ¼ w1 l=r um sein Momentanzentrum P0 (Berhrungspunkt von Planeten- mit Sonnenrad), woraus ebenfalls uP ¼ w2 2r ¼ 2w1 l folgt. Hieraus ergibt sich allgemein, daß die Resultierende zweier Winkelgeschwindigkeiten w1 und w2 um parallele Achsen im Abstand L so wie bei zwei Krften (Hebelgesetz) gefunden wird, nmlich zu wres ¼ w1 þ w2 im Abstand l1 ¼ Lw2 =ðw1 þ w2 Þ von der Achse von w1 . Bild 18 a, b. Rotation zweier Scheiben. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen Beispiel: Drehung um zwei einander schneidende Achsen (Bild 19). Eine abgewinkelte Achse rotiert mit w1 und f
hrt ein Kegelrad, das sich mit w2;1 relativ zu dieser Achse dreht und auf einem festen Kegel abrollt. Nach Gl. (35) ist dann

Bild 17. Umlaufgetriebe Beispiel: Rotation zweier Scheiben um parallele Achsen (Bild 18). Ein um das feste Lager B rotierender Stab hat die Winkelgeschwindigkeit w1 und die Winkelbeschleunigung a1 . In seinem Punkt O ist eine Scheibe gelagert, die sich im selben Moment ihm gegen
ber mit w2;1 > w1 und a2;1 dreht. Gesucht sind die momentanen Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren eines beliebigen Punkts P. – F
r Punkt A ist nach Gl. (37) uA ¼ uA; F þ uA; r mit uA; r ¼ w2;1  OA und uA; F ¼ w1  BA ¼ w1  BO þ w1  OA ¼ u0 þ w1  OA;

uP ¼ uF þ ur ¼ ðu0 þ w1  r1 Þ þ w2;1  r1 ¼ ðw1  r0 þ w1  r1 Þ þ w2;1  r1 mit dem Betrag uP ¼ w1 r0 sin b þ w1 r1 sinð90°
bÞ þ w2;1 r1 ¼ w1 r0 sin b þ w1 r1 cos b þ w2;1 r1 und entsprechend uP0 ¼ w1 r0 sin b
w1 r1 cos b
w2;1 r1 : Aus uP0 ¼ 0 folgt mit cot g ¼ r0 =r1 der Zusammenhang zwischen den Winkelgeschwindigkeiten (Zwanglauf) w2;1 ¼ w1 ðcot g sin b
cos bÞ ¼ w1 sinðb
gÞ= sin g: Das bedeutet, daß man die Winkelgeschwindigkeiten w1 und w2;1 zu einer Resultierenden w2 gem
ß w2 ¼ w1 þ w2;1 zusammensetzen darf (Bild 19), denn der Sinussatz f
r das Vektoreneck liefert das vorstehende Ergebnis. Die Bewegung des Kegelrads kann also als reine Drehung mit w2 um die Ber
hrungslinie als Momentanachse be-

B

B 26

Mechanik – 3 Kinetik

Beispiel: Umlaufende Kurbelschleife (Bild 20). Die Kurbel (r ¼ 150 mm) dreht sich mit wK ¼ 4 s
1 ¼ const. F
r die Stellung j ¼ 75
sind Winkelgeschwindigkeit wS und -beschleunigung aS der Schleife zu ermitteln. – Der Kulissenstein P f
hrt gegen
ber der Schleife eine Relativbewegung aus. Seine Absolutbewegung ist durch die Kurbelbewegung gegeben: v ¼ wK r ¼ 0;60 m=s, a ¼ an ¼ w2K r ¼ 2;40 m=s2 , da wegen wK ¼ const, also aK ¼ 0, at ¼ aK r ¼ 0 ist. Da die Relativbewegung geradlinig ist, haben Relativgeschwin-

digkeit ur und -beschleunigung ar die Richtung der Relativbahn, also die der Schleife. Gemß Gl. (37) u ¼ uF þ ur folgt mit bekanntem Vektor u und den bekannten Richtungen von uF ( ? Schleife) und ur (// Schleife) aus dem Geschwindigkeits-Eck (Bild 20) ur ¼ 0;29 m=s und uF ¼ 0;52 m=s. Mit lðj ¼ 75
Þ  460 mm wird die Winkelgeschwindigkeit der Schleife wS ¼ uF =l ¼ 1;13 s
1 und somit aFn ¼ lw2S ¼ 0;59 m=s2 (Richtung k Schleife). Die Coriolisbeschleunigung aC ¼ 2wS ur ¼ 0;66 m=s2 steht senkrecht auf der Schleife, so daß bei bekanntem Vektor a und den bekannten Richtungen von aFt ( ? Schleife) und ar (k Schleife) gemß Gl. (37) a ¼ aFn þ aFt þ ar þ aC aus dem Beschleunigungs-Eck (Bild 20) ar ¼ 1;45 m=s2 und aFt ¼ 0;50 m=s2 zu erhalten ist, woraus dann aS ¼ aFt =l ¼ 1;09 s
2 folgt.

Bild 19. Kegelrad

Bild 20. Umlaufende Kurbelschleife

3 Kinetik. Dynamics

Haben Krfte ein Potential, d. h., ist ¶U ¶U ¶U F ¼
grad U ¼
ex
ey
ez ; ¶x ¶y ¶z so folgt  ZðP2 Þ
¶U ¶U ¶U dx þ dy þ dz W ¼
¶x ¶y ¶z

schrieben werden. Zwei Winkelgeschwindigkeiten w1 und w2 um zwei einander schneidende Achsen ergeben allgemein eine Resultierende wres ¼ w1 þ w2 .

B

Die Kinetik untersucht die Bewegung von Massenpunkten, Massenpunktsystemen, Krpern und Krpersystemen als Folge der auf sie wirkenden Krfte und Momente unter Ber
cksichtigung der Gesetze der Kinematik.

ðP1 Þ

3.1 Energetische Grundbegriffe – Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad Basic terms of energy, work, power, efficiency Arbeit. Das Arbeitsdifferential ist definiert als Skalarprodukt aus Kraftvektor und Vektor des Wegelements (Bild 1 a). dW ¼ Fdr ¼ Fds cos b ¼ Ft ds. Demnach verrichtet nur die Tangentialkomponente einer Kraft Arbeit. Die Gesamtarbeit ergibt sich mit dW ¼ Fx dx þ Fy dy þ Fz dz zu Zs2 Zs2 ZðP2 Þ W ¼ FðsÞdr ¼ Ft ðsÞds ¼ ðFx dx þ Fy dy þ Fz dzÞ: ð1Þ s1

s1

ðP1 Þ

Sie ist gleich dem Inhalt des Tangentialkraft-Weg-Diagramms (Bild 1 b). F
r F ¼ F0 ¼ const folgt W ¼ F0 ðs2
s1 Þ.

ð2Þ

ZðP2 Þ ¼


dU ¼ U1
U2 : ðP1 Þ

Die Arbeit ist dann vom Integrationsweg unabhngig und gleich der Differenz der Potentiale zwischen Anfangspunkt P1 und Endpunkt P2 . Krfte mit Potential sind Schwerkrfte und Federkrfte (elastische Formnderungskrfte). Spezielle Arbeiten (Bild 2 a–d) a) Schwerkraft. Potential (potentielle Energie) U ¼ FG z, Arbeit WG ¼ U1
U2 ¼ FG ðz1
z2 Þ:

ð3Þ

b) Federkraft. Potential (potentielle Federenergie) U ¼ cs2 =2, Federkraft Fc ¼
gradU ¼
¶U bzw. ¶s e ¼
cse jFc j ¼ F ¼ cs (c Federrate), Zs2 ð4Þ Arbeit Wc ¼ cs ds ¼ cðs22
s21 Þ=2: s1

c) Reibungskraft. Kein Potential, da Reibungsarbeit in Form von Wrme verlorengeht. Zs2 Zs2 Arbeit Wr ¼ Fr ðsÞ dr ¼ Fr ðsÞ cos 180
ds s1

¼
Bild 1. a Arbeit einer Kraft; b Tangentialkraft-Weg-Diagramm

s1

Zs2 Fr ðsÞ ds: s1

ð5Þ

I3.2

Kinetik des Massenpunkts und des translatorisch bewegten Krpers

B 27

Wirkungsgrad ist das Verhltnis von Nutzarbeit zu zugef
hrter Arbeit, wobei letztere aus Nutz- und Verlustarbeit besteht: ð10Þ hm ¼ Wn =Wz ¼ Wn =ðWn þ Wv Þ hm mittlerer Wirkungsgrad (Arbeit ist mit der Zeit vernderlich). Augenblicklicher Wirkungsgrad
dWn dWn dWz ¼ Pn =Pz ¼ Pn =ðPn þ Pv Þ: ¼ ð11Þ h¼ dWz dt dt Sind mehrere Teile am Prozeß beteiligt, so gilt h ¼ h1 h2 h3 . . .

3.2 Kinetik des Massenpunkts und des translatorisch bewegten K
rpers Particle dynamics, straight line motion of rigid bodies

Bild 2 a – d. Arbeiten. a Schwerkraft; b Federkraft; c Reibungskraft; d Drehmoment

F
r Fr ¼ const ¼ Fr0 wird Wr ¼
Fr0 ðs2
s1 Þ. d) Drehmoment. Zj2 Zj2 Arbeit WM ¼ MðjÞdj ¼ MðjÞ cos g dj j1

j1

Zj2 ¼

ð6Þ

Mt ðjÞdj; j1

d. h., nur die zur Drehachse parallele Momentkomponente Mt verrichtet Arbeit. F
r M ¼ const ¼ M0 gilt WM ¼ M0 cos gðj2
j1 Þ ¼ Mt0 ðj2
j1 Þ: Gesamtarbeit. Wirken an einem Krper Krfte und Momente, so gilt Zs2 X Zj2 X ð Fi dri Þ þ ð M i dji Þ

W¼

s1

3.2.1 Dynamisches Grundgesetz von Newton (2. Newtonsches Axiom) Newton's law of motion Wirken auf einen freigemachten Massenpunkt (Massenelement, translatorisch bewegten Krper) eine Anzahl ußerer Krfte, so ist die resultierende Kraft FR gleich der zeitlichen nderung des Impulsvektors p ¼ mu bzw., wenn die Masse m konstant ist, gleich dem Produkt aus Masse m und Beschleunigungsvektor a ( Bild 3 a): X d ðaÞ ðaÞ ð12Þ Fi ¼ ðmuÞ; FRes ¼ FR ¼ dt X ðaÞ ð13Þ Fi ¼ ma ¼ m du=dt: FR ¼ Die Komponenten in nat
rlichen bzw. kartesischen Koordinaten (Bild 3 b, c) sind 9 X X ðaÞ ðaÞ FRt ¼ Fit ¼ mat , FRn ¼ Fin ¼ man bzw: > > > > X X > = ðaÞ ðaÞ FRx ¼ Fix ¼ max , FRy ¼ Fiy ¼ may , ð14Þ X > ðaÞ > > FRz ¼ Fiz ¼ maz : > > ;

j1

Zs2 X Zj2 X ¼ ð Fi cos bi dsi Þ þ ð Mi cos gi dji Þ s1

ð7Þ

j1

Zs2 X Zj2 X ð Fti dsi Þ þ ð Mti dji Þ

¼

s1

j1

const = Fi0 und MiX = const = Mi0 bzw. f
r Fi = X Arbeit W ¼ ½Fi0 ðsi2
si1 Þ þ ½Mi0 ðji2
ji1 Þ. Leistung ist Arbeit pro Zeiteinheit. X X X X M i wi ¼ Fti ui þ Mti wi PðtÞ ¼ dW=dt ¼ Fi ui þ X ð8Þ ¼ ðFxi uxi þ Fyi uyi þ Fzi uzi Þ X þ ðMxi wxi þ Myi wyi þ Mzi wzi Þ: Also ist f
r eine Kraft P ¼ Ft u und f
r ein Moment P ¼ Mw. Integration
ber die Zeit ergibt die Arbeit Zt2 Zt2 W¼ dW ¼ PðtÞ dt ¼ Pm ðt2
t1 Þ: t1

t1

Mittlere Leistung: Zt2 Pm ¼

PðtÞ dt=ðt2
t1 Þ ¼ W=ðt2
t1 Þ: t1

ð9Þ

Bild 3 a – d. Dynamisches Grundgesetz. a Vektoriell; b in nat
rlichen Koordinaten; c in kartesischen Koordinaten; d Massenpunkt auf schiefer Ebene

B

B 28

B

Mechanik – 3 Kinetik

Bei der L
sung von Aufgaben mit dem Newtonschen Grundgesetz muß der Massenpunkt bzw. translatorisch bewegte K
rper freigemacht werden, d. h., alle eingeprgten Krfte und alle Reaktionskrfte sind als ußere Krfte anzubringen. Beispiel: Massenpunkt auf schiefer Ebene (Bild 3 d). Die Masse m ¼ 2;5 kg wird aus der Ruhelage 1 von der Kraft F1 ¼ 50 N ðg ¼ 15
Þ die schiefe Ebene ðb ¼ 25
Þ hinaufbewegt (Gleitreibungszahl m ¼ 0;3Þ. Zu bestimmen sind Beschleunigung, Zeit und Geschwindigkeit beim Erreichen der Lage 2 ðs2 ¼ 4 mÞ. – Da die Bewegung geradlinig ist, X ðaÞ Fin ¼ 0; also muß an ¼ 0 sein. Nach Gl. (14) gilt FRn ¼ Fn ¼ m g cos b þ F1 sinðb þ gÞ ¼ 54;37 N sowie X ðaÞ mat ¼ FRt ¼ Fit ¼ F1 cosðb þ gÞ
FG sin b
Fr ; woraus mit Fr ¼ mFn ¼ 16;31 N at ¼ 4;65 m=s2 folgen.

dann

mat ¼ 11;63 N

und

Mit den Gesetzen der gleichm
ßig beschleunigten Bewegung aus der Ruhelage (s. B 2.1.1) ergeben sich pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t2 ¼ 2s2 =at ¼ 1;31 s und u2 ¼ 2at s2 ¼ 6;10 m=s:

dW ¼ ðFe þ Fz þ Fr
maÞdr ¼ 0: Hierbei ist dr eine mit der Fhrung geometrisch vertrgliche Verrckung tangential zur Bahn. Da die Fhrungskrfte Fz normal zur Bahn stehen und somit keine Arbeit verrichten, gilt ð19Þ dW ¼ ðFe þ Fr
maÞd r ¼ 0 bzw. in kartesischen Koordinaten dW ¼ ðFex þ Frx
max Þd x þ ðFey þ Fry
may Þdy þ ðFez þ Frz
maz Þd z ¼ 0 bzw. in natrlichen Koordinaten dW ¼ ðFet
Fr
mat Þd s ¼ 0

ð20Þ ð21Þ

(entsprechend in Zylinderkoordinaten usw.; s. folgendes Beispiel). Die Gln. (19) bis (21) stellen das dAlembertsche Prinzip in der Lagrangeschen Fassung dar. Das Prinzip eignet sich besonders fr Aufgaben ohne Reibung, da es die Berechnung der Zwangskrfte erspart. Beispiel: Massenpunkt auf Schraubenlinie (s. B 2 Bild 7). Die Masse m bewege sich reibungsfrei infolge ihrer Gewichtskraft eine zylindrische Schraubenlinie hinunter, die durch Zylinderkoordinaten r0 ðtÞ ¼ r0 ¼ const; jðtÞ und zðtÞ ¼ ðh=2pÞjðtÞ

3.2.2 Arbeits- und Energiesatz. Energy equation Aus Gl. (13) folgt nach Multiplikation mit dr und Integration der Arbeitssatz Zðr2 Þ W1; 2 ¼

Zðr2 Þ FR dr ¼

ðr1 Þ

m ðr 1 Þ

du dr ¼ dt

m m ¼ u22
u21 ¼ E2
E1 ; 2 2

v1

ð15Þ

ð16Þ

Beispiel: Massenpunkt auf schiefer Ebene (Bild 3 d). Fr das Beispiel in B 3.2.1 ist die Geschwindigkeit u2 nach dem Arbeitssatz zu ermitteln. – Mit u1 ¼ 0, d. h. E1 ¼ 0, wird mu22 =2 ¼ W1; 2

€ dj
m€ jðh=2pÞdz ¼ 0 dW ¼ ðFe
maÞdr ¼
mg dz
mr02 j und mit dz ¼ ðh=2pÞdj

d. h., die Arbeit ist gleich der Differenz der kinetischen Energien. Haben alle am Vorgang beteiligten Krfte ein Potential, verluft der Vorgang also ohne Energieverluste, so gilt W1; 2 ¼ U1
U2 (s. B 3.1), und aus Gl. (15) folgt der Energiesatz U1 þ E1 ¼ U2 þ E2 ¼ const:

rðtÞ ¼ r0 er þ 0  ej þ zðtÞez folgt dr ¼ r0 dj ej þ dzez : € r0 ej þ j € ðh=2pÞez Mit Fe ¼ FG ¼
mgez sowie aðtÞ ¼
j_ 2 r0 er þ j gem
ß B 2.1.3 wird nach Gl. (19)

Zv2 mu du

beschrieben ist (s. B 2.1.3). – Aus

¼ F1 cosðb þ gÞs2
Fr s2
FG h ¼ 46;51 Nm:

€ þ h2 =ð2pÞ2  j € ¼ 0; m dj½gh=2p þ r02 j gh=ð2pr02 Þ ¼ const ¼
A folgt. Die Integration er1 þ h2 =ð2pr0 Þ2 gibt j_ ðtÞ ¼
At þ C1 und jðtÞ ¼
At2 =2 þ C1 t þ C2 , wobei die Integrationskonstanten aus Anfangsbedingungen zu ermitteln sind. Die Gln. in B 2.1.3 liefern dann mit b ¼ arctan½h=ð2pr0 Þ die Bewegungsgesetze des Massenpunkts: €¼
woraus j

sðtÞ ¼ r0 ð
At2 =2 þ C1 t þ C2 Þ= cos b; vðtÞ ¼ r0 ð
At þ C1 Þ= cos b; an ðtÞ ¼ r0 ð
At þ C1 Þ2 ; at ðtÞ ¼
r0 A= cos b ¼ const; also eine gleichm
ßig beschleunigte (rckl
ufige) Bewegung.

Somit ist pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u2 ¼ 2  46;51 Nm=2;5 kg ¼ 6;10 m=s:

3.2.3 Impulssatz. Momentum equation Aus Gl. (13) folgt nach Multiplikation mit dt und Integration fr konstante Masse m Zt2 Zv2 p1;2 ¼ FR dt ¼ m du ¼ mu2
mu1 ¼ p2
p1 : ð17Þ t1

v1

Das Zeitintegral der Kraft, der sog. Antrieb, ist also gleich der Differenz der Impulse. 3.2.4 Prinzip von d
Alembert und gefhrte Bewegungen DAlemberts principle Aus dem Newtonschen Grundgesetz folgt fr den Massenpunkt FR
ma ¼ 0, d. h., ußere Krfte und Trgheitskraft (negative Massenbeschleunigung, dAlembertsche Hilfskraft) bilden einen „Gleichgewichtszustand“. Im Fall der gefhrten Bewegung setzt sich die Resultierende FR aus den eingeprgten Krften Fe , den Zwangskrften Fz und den Reibungskrften Fr zusammen: Fe þ Fz þ Fr
ma ¼ 0:

ð18Þ

Wird auf dieses „Gleichgewichtssystem“ das Prinzip der virtuellen Arbeiten (s. B 1.4.3 ) angewendet, so folgt (Bild 4)

Bild 4. Zum Prinzip von dAlembert

3.2.5 Impulsmomenten- (Flchen-) und Drehimpulssatz Angular momentum equation Nach vektorieller Multiplikation mit einem Radiusvektor r folgt aus Gl. (13) r  FR ¼ M R ¼ r  ma: Wegen u  mu ¼ 0 gilt MR ¼

d dD ðr  muÞ ¼ dt dt

ð22Þ

Impulsmomentensatz: Die zeitliche nderung des Impulsmoments D ¼ r  mu (auch Drehimpuls oder Drall genannt) ist gleich dem resultierenden Moment. Nun ist r  mu ¼ mðr  dr=dtÞ und r  dr ¼ 2dA ein Vektor, dessen Betrag gleich ist dem doppelten Flcheninhalt der vom Vektor r berstrichenen Flche (Bild 5). Damit nimmt Gl. (22) die Form an   d dA d2 A ð23Þ 2m ¼ 2m 2 MR ¼ dt dt dt

I3.3

B 29

Kinetik des Massenpunktsystems

3.3.1 Schwerpunktsatz. Motion of the centroid Das Newtonsche Grundgesetz fr freigemachte Massenpunkte und die Summation ber den gesamten Verband liefert n X i¼1

Fl
chensatz: Das resultierende Moment ist gleich dem Produkt aus doppelter Masse und der Ableitung der Fl
chengeschwindigkeit dA=dt. Ist FR eine Zentralkraft, d. h. stets in Richtung von r gerichtet, so wird M R ¼ r
FR ¼ 0 und damit nach Gl. (23) dA=dt ¼ const, d. h., die Fl
chengeschwindigkeit ist konstant, der Radiusvektor berstreicht in gleichen Zeiten gleiche Fl
chen (2. Keplersches Gesetz). Aus Gl. (22) folgt Zt2 M R dt ¼ t1

Zt2 dðr
muÞ ¼

t1

dD ¼ D2  D1

ð24Þ

3.3 Kinetik des Massenpunktsystems Dynamics of systems of particles Ein Massenpunktsystem ist ein aufgrund innerer Kr
fte (z. B. Massenanziehung, Federkr
fte, Stabkr
fte) zusammengehaltener Verband von n Massenpunkten (Bild 6 a). Fr die inneren Kr
fte gilt das 3. Newtonsche Axiom von actio ¼ reactio, ðiÞ

mi ai :

ð25Þ

i¼1

X

ðiÞ

Fik ¼ 0 und nach B 1 Gl. (25)

ð26Þ

Schwerpunktsatz: Der Massenmittelpunkt (Schwerpunkt) eines Massenpunktsystems bewegt sich so, als ob die Gesamtmasse in ihm vereinigt w
re und alle
ußeren Kr
fte an ihm angreifen wrden. 3.3.2 Arbeits- und Energiesatz. Energy equation Aus Gl. (25) folgt nach Multiplikation mit dri (differentiell kleiner Verschiebungsvektor des i-ten Massenpunkts) und nach Integration zwischen zwei Zeitpunkten 1 und 2 ð2Þ

XZ

Drehimpulssatz: Das Zeitintegral ber das Moment ist gleich der Differenz der Drehimpulse. Ist M R ¼ 0, so gilt D1 ¼ D2 ¼ const:

ðiÞ

n X

ðiÞ

Fik ¼

i¼1

t1

d. h. Fik ¼ Fki .

i; k¼1

Da fr die inneren Kr
fte X €rS m ¼ mi€ri ist, folgt n X ðaÞ FRi ¼ maS

Bild 5. Impulsmomentensatz (Fl
chensatz)

Zt2

n X

ðaÞ

FRi þ

ð2Þ

ðaÞ

FRi dri þ

ð1Þ ðaÞ

ðiÞ

W1;2 þ W1;2 ¼

XZ

X

ð2Þ

ðiÞ

Fik dri ¼

XZ

ð1Þ

ð1Þ

mi ui dui bzw: ð27Þ

ðmi =2Þðu2i2  u2i1 Þ

Arbeitssatz: Die Arbeit der
ußeren und inneren Kr
fte am Massenpunktsystem (wobei die der Zwangskr
fte wieder null ist) ist gleich der Differenz der kinetischen Energien. Die inneren Kr
fte verrichten bei starren Verbindungen der Massenpunkte keine Arbeit. Haben alle beteiligten Kr
fte ein Potential, so gilt der Energiesatz Gl. (16). Beispiel: Punktmassen auf schiefen Ebenen (Bild 6 b). Die beiden ber ein nichtdehnbares Seil verbundenen Massen werden aus der Ruhelage von der Kraft F die schiefen Ebenen entlang gezogen. Gesucht sind ihre Geschwindigkeiten nach Zurcklegen einer Strecke s1 . – Nach dem Freimachen ergeben sich die Normaldruckkr
fte (Zwangskr
fte) zu Fn2 ¼ FG2 cos b2 und Fn1 ¼ FG1 cos b1  F sin b1 , wobei als Voraussetzung des Nichtabhebens F % FG1 cot b1 sein muß. Damit sind die Reibungskr
fte Fr2 ¼ m2 Fn2 und Fr1 ¼ m1 Fn1 : Der Arbeitssatz Gl. (27) liefert F cos b1 s1 þ FG1 h1  Fr1 s1  FS s1 þ FS s2  FG2 h2  Fr2 s2 ¼ m1 v21 =2 þ m2 v22 =2; und mit s2 ¼ s1 ; u2 ¼ u1 (nichtdehnbares Seil!) sowie mit h1 ¼ s1 sin b1 und h2 ¼ s2 sin b2 ist dann u21 ¼2s1 ½F cos b1 þ FG1 sin b1  m1 ðFG1 cos b1  F sin b1 Þ  FG2 sin b2  m2 FG2 cos b2 =ðm1 þ m2 Þ:

3.3.3 Impulssatz. Momentum equation Aus Gl. (25) folgt nach Multiplikation mit dt und Integration XZ

t2

XZ

t2

ðaÞ

FRi dt þ

t

¼

1 X

XZ

XZ

t2

ðiÞ

Fik dt ¼

t1

t1

mi

dui dt dt

mi ðui2  ui1 Þ ¼ p2  p1 :

t2

Da

ðiÞ

Fik dt ¼ 0 und nach B 1 Gl. (25) muS ¼

X

mi ui ist,

t1

ergibt sich XZ

t2

p2  p1 ¼ Bild 6 a, b. Massenpunktsystem. a Allgemein; b zwei Massen

t1

ðaÞ

FRi dt ¼

X

mi ðui2  ui1 Þ ¼ mðuS2  uS1 Þ ð28Þ

B

B 30

B

Mechanik – 3 Kinetik

Impulssatz: Das Zeitintegral
ber die ußeren Krfte des Systems ist gleich der Differenz aller Impulse bzw. gleich der Differenz der Schwerpunktimpulse. – Sind keine ußeren Krfte vorhanden, so folgt aus Gl. (28) X X mi ui2 ¼ const bzw: mi ui1 ¼ ð29Þ muS1 ¼ muS2 ¼ const; d. h., der Gesamtimpuls bleibt erhalten. Beispiel: Massenpunktsystem und Impulssatz (Bild 7). Eine Feder (Federrate c), die um den Betrag s1 vorgespannt war, schleudert die Massen m1 und m2 auseinander. Zu ermitteln sind deren Geschwindigkeiten. – Unter Vernachlssigung von Reibungskrften whrend des Entspannungsvorgangs der Feder wirken am System keine ußeren Krfte in Bewegungsrichtung, so daß mit u11 ¼ 0 und u21 ¼ 0 aus Gl. (29) m1 u12
m2 u22 ¼ 0; also m1 u12 ¼ m2 u22 ; folgt. Hiermit liefert der Energiesatz, Gl. (16), cs21 =2 ¼ þm1 u212 =2 þ m2 u222 =2 dann qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u12 ¼ cs21 =ðm1 þ m21 =m2 Þ und u22 ¼ cs21 =ðm2 þ m22 =m1 Þ:

Bild 7. Zum Impuls- und Energiesatz

3.3.4 Prinzip von d
Alembert und gefhrte Bewegungen DAlemberts principle, constrained motion X ðaÞ X X ðiÞ Aus Gl. (25) folgt FRi þ ð
mi ai Þ ¼
Fik : WeX ðiÞ gen Fik ¼ 0 sind die verlorenen Krfte, das ist die Gesamtheit der ußeren Krfte zuz
glich der Trgheitskrfte (negative Massenbeschleunigungen), am Massenpunktsystem im Gleichgewicht: X X ðaÞ mi ai Þ ¼ 0: ð30Þ FRi þ ð
Das Prinzip eignet sich in dieser Fassung besonders zur Berechnung der Schnittlasten dynamisch beanspruchter Systeme, wobei man die Schnittlasten als ußere Krfte einf
hrt. Im Fall gef
hrter Bewegungen setzt sich die Resultierende der ußeren Krfte an den einzelnen Massenpunkten aus den ðeÞ

eingeprgten Krften Fi ; den F
hrungs- oder Zwangskrften ðzÞ Fi

ðrÞ

und den Reibungskrften Fi zusammen. F
r starre Systeme erhlt man mit dem Gleichgewichtsprinzip der virtuellen Arbeiten (s. B 1.4.3), indem man jedem Massenpunkt eine mit den geometrischen Bindungen vertrgliche Verr
ckung dri erteilt, dann aus Gl. (30) X ðeÞ ðzÞ ðrÞ ½FRi þ FRi þ FRi þ ð
mi ai Þdri ¼ 0:

Da die Zwangskrfte bei Verr
ckungen keine Arbeit verrichten, folgt das dAlembertsche Prinzip in Lagrangescher Fassung: X ðeÞ ðrÞ ð31Þ ½FRi þ FRi þ ð
mi ai Þdri ¼ 0: In kartesischen bzw. nat
rlichen Koordinaten lautet Gl. (31) entsprechend den Gln. (20) und (21) f
r den Massenpunkt. Dieses Prinzip ist besonders zur Berechnung des Beschleunigungszustands von gef
hrten Bewegungen ohne Reibung geeignet, da es die Berechnung der Zwangskrfte erspart. Beispiel: Physikalisches Pendel (Bild 8). – F
r das aus zwei punktfrmigen Massen m1 und m2 an „masselosen“ Stangen (gegeben r1 ; r2 ; h und somit b ¼ arc sinðh=r2 ÞÞ bestehende Pendel wird die Schwingungsdifferentialgleichung aufgestellt. Bei fehlenden Reibungskrften nimmt das d'Alembertsche Prinzip in Lagrangescher Fassung in nat
rlichen Koordinaten analog Gl. (21) die Form X ðeÞ dW ¼ ðFti
mi ati Þdsi ¼ 0 an; damit wird dW ¼ð
FG1 sin j
m1 at1 Þds1 þ ð
FG2 sinðb þ jÞ
m2 at2 Þds2 ¼ 0:

Bild 8. Physikalisches Pendel € , at2 ¼ r2 j € erh
lt man Mit ds1 ¼ r1 dj, ds2 ¼ r2 dj sowie at1 ¼ r1 j €Þ þ m2 ðgr2 sinðb þ jÞ þ r22 j €Þdj ¼ 0; woraus die ½m1 ðgr1 sin j þ r12 j nichtlineare Differentialgleichung dieser Pendelschwingung folgt: € ðm1 r12 þ m2 r22 Þ þ m1 gr1 sin j þ m2 gr2 sinðj þ bÞ ¼ 0: Fr kleine j Auslenkungen j nimmt sie wegen sin j  j und sinðj þ bÞ  €ðm1 r12 þ m2 r22 Þ þ jðm1 gr1 þ j cos b þ sin b die Form j m2 gr2 cos bÞ ¼
m2 gr2 sin b an, deren Lsung in B 4 beschrieben wird.

3.3.5 Impulsmomenten- und Drehimpulssatz Angular momentum equation ðaÞ

ðiÞ

Aus dem Newtonschen Grundgesetz FRi þ Fik ¼ mi ai folgt nach vektorieller Multiplikation mit einem Radiusvektor ri und Summation
ber das gesamte Massenpunktsystem X X X ðaÞ ðiÞ ðri  Fik Þ ¼ ðri  mi ai Þ: ðri  FRi Þ þ Hieraus folgt analog der Ableitung von Gl. (22) X dX dD ðaÞ ðaÞ MR ¼ ðri  FRi Þ ¼ ðri  mi ui Þ ¼ dt dt

ð32Þ

Impulsmomenten- oder Drallsatz: X Die zeitliche nderung des Dralls (Drehimpulses) D ¼ ðri  mi ui Þ ist gleich dem resultierenden Moment der ußeren Krfte am Massenpunktsystem. Gleichung (32) gilt bez
glich eines raumfesten Punkts oder bez
glich des beliebig bewegten Schwerpunkts. Aus ihr folgt nach Integration
ber die Zeit der Drehimpulssatz analog Gl. (24). 3.3.6 Lagrangesche Gleichungen. Lagrange's equations Sie liefern durch Differentiationsprozesse
ber die kinetische Energie die Bewegungsgleichungen des Systems. Ein System mit n Massenpunkten kann zwar 3n Freiheitsgrade haben, jedoch bestehen hufig zwischen einigen Koordinaten aufgrund mechanischer Bindungen Abhngigkeiten, wodurch die Zahl der Freiheitsgrade auf m (im Grenzfall bis auf m=1) reduziert wird. Handelt es sich um holonome Systeme, bei denen die Beziehungen zwischen den Koordinaten in endlicher Form und nicht in Differentialform darstellbar sind, dann gelten die Lagrangeschen Gleichungen (2. Art):   d ¶E ¶E ¼ Qk ðk ¼ 1; 2; . . . ; mÞ: ð33Þ
dt ¶q_ k ¶qk Hierbei ist E die gesamte kinetische Energie des Systems, qk sind die generalisierten Koordinaten der m Freiheitsgrade, Qk die generalisierten Krfte. Ist qk eine Lnge, so ist das zugehrige Qk eine Kraft; ist qk ein Winkel, so ist das dazu gehrige Qk ein Moment. Die Lagrangesche Kraft Qk erhlt man aus X ðaÞ X ðaÞ Qk dqk ¼ Fi dsi bzw: Qk ¼ ð Fi dsi Þ=dqk ; ð34Þ

I3.4 wobei dsi Verschiebungen des Systems infolge alleiniger
nderung (Variation) der Koordinate qk sind ðdqi ¼ 0; i 6¼ kÞ: ¶U Haben die beteiligten Krfte ein Potential, so gilt Qk ¼
¶qk ¶U und ¼ 0: Damit folgt aus Gl. (33) ¶q_ k
 d ¶E ¶E ¶U ¼
bzw:
dt ¶q_ k ¶qk ¶qk
 ð35Þ d ¶L ¶L ¼ 0;
dt ¶q_ k ¶qk wobei L ¼ E
U ¼ Lðq1 . . . qm ; q_ 1 . . . q_ m Þ die Lagrangesche Funktion ist. Beispiel: Schwinger mit einem Freiheitsgrad (Bild 9). Die Schwingung wird fr kleine Auslenkungen j, d. h. fr x ¼ l1 j und y ¼ l2 j; und unter Vernachlssigung der Stangen- und Federmassen untersucht. – Es gilt E ¼ m1 x_ 2 =2 þ m2 y_ 2 =2 ¼ m1 l21 j_ 2 =2 þ m2 l22 j_ 2 =2; also
 ¶E ¶E d ¶E j: ¼ ðm1 l21 þ m2 l22 Þ€ ¼ 0 und ¼ ðm1 l21 þ m2 l22 Þj_ ; d. h. ¶j ¶j_ dt ¶j_ Ferner ist U ¼ m1 gðl1 þ l2 Þ þ m2 gl2 ð1
cos jÞ þ cðl2 jÞ2 =2; d. h. ¶U ¶U ¼ m2 gl2 sin j þ cl22 j: Mit sin j  j wird ¼ ðm2 gl2 þ cl22 Þj: Aus ¶j ¶j Gl. (35) folgt dann mit qk ¼ j € ðm1 l21 þ m2 l22 Þ þ jðm2 gl2 þ cl22 Þ ¼ 0 ðL¨osung s: B 4Þ j

B 31

Kinetik starrer Krper

Nun ist m_ ðtÞuðtÞ ¼
m_ ðtÞur ðtÞ (die Masse nimmt ab) und ðaÞ bzw. mðtÞaðtÞ ¼ somit FR ¼ mðtÞaðtÞ
m_ ðtÞur ðtÞ ðaÞ

ðaÞ

FR þ m_ ðtÞur ðtÞ: Wirken keine ußeren Krfte ðFR ¼ 0Þ; so gilt mðtÞaðtÞ ¼ m_ ðtÞur ðtÞ ¼ FS ðtÞ;

ð36Þ

d. h., a ist parallel zu ur ; und FS ðtÞ ist der Schub der Rakete. Ist ferner m_ ¼ m_ 0 ¼ const; ur ¼ ur0 ¼ const und ur parallel zu u, so wird die Bahn eine Gerade. Dann gilt mðtÞat ðtÞ ¼ m_ 0 ur0 ¼ FS0 : Die verlorene Masse bis zur Zeit t ist mðtÞ ¼ m_ 0 t und somit mðtÞ ¼ m0
m_ 0 t: Mit at ¼ dv=dt wird dann m_ ur0 m_ 0 ur0 du ¼ : ¼ 0 dt m0
m_ 0 t m0 ½1
ðm_ 0 =m0 Þt Die Integration mit den Anfangsbedingungen uðt ¼ 0Þ ¼ 0 und sðt ¼ 0Þ ¼ 0 liefert
 m_ uðtÞ ¼
ur0 ln 1
0 t und m0 

  m_ m_ m_ m0 ur0 sðtÞ ¼ 1
0 t ln 1
0 t þ 0 t : m_ 0 m0 m0 m0

3.4 Kinetik starrer Krper Dynamics of rigid bodies Ein starrer Krper ist ein kontinuierliches Massenpunktsystem mit unendlich vielen starr miteinander verbundenen Massenelementen. Die kinematischen Grundlagen sind in B 2.2 beschrieben. Ein starrer Krper kann eine Translation, eine Rotation oder eine allgemeine ebene bzw. rumliche Bewegung ausfhren. 3.4.1 Rotation eines starren Krpers um eine feste Achse Rigid body rotation about a fixed axis Entsprechend Gl. (26) fr das Massenpunktsystem gilt hier bei Integration ber den ganzen Krper der Schwerpunktsatz X ðaÞ ðaÞ ðeÞ ðzÞ Fi ¼ maS ð37Þ FR ¼ FR þ FR ¼

Bild 9. Schwinger

3.3.7 Prinzip von Hamilton. Hamiltons principle Whrend die Lagrangeschen Gleichungen ein Differentialprinzip darstellen, handelt es sich hier um ein Integralprinzip (aus dem sich auch die Lagrangeschen Gleichungen herleiten lassen). Es lautet Zt2

ðdW ðeÞ þ dEÞ dt ¼ 0:

t1

Haben die eingeprgten Krfte ein Potential, ist also dW
dU ein totales Differential, so wird daraus Zt2

Zt2 ðdE
dUÞ dt ¼ d t1

¼

mit aSx ¼
w2z xS
az yS und aSy ¼ az xS
w2z yS [s. B 2, Gl. (25 b)].

Zt2 ðE
UÞ dt ¼ d

t1

ðeÞ

bzw. in Komponenten (bei Drehung um die z-Achse, Bild 10 a) 9 X ðeÞ ðeÞ ðzÞ FRx þFRx ¼ Fix þ FAx þ FBx ¼ maSx , > > > = X ðeÞ ðzÞ ðeÞ ð38 a
cÞ Fiy þ FAy þ FBy ¼ maSy , FRy þFRy ¼ > > X > ðeÞ ðzÞ ðeÞ ; Fiz þ FAz ¼0 FRz þFRz ¼

Ldt ¼ 0; t1

d. h., die Variation des Zeitintegrals ber die Lagrangesche Funktion wird null, das Zeitintegral nimmt einen Extremwert an. 3.3.8 Systeme mit ver
nderlicher Masse Systems with variable mass Grundgleichung des Raketenantriebs: Infolge des ausgestoßenen Massenstroms m_ ðtÞ mit der Relativgeschwindigkeit ur ðtÞ (Relativbewegung) ist die Raketenmasse m(t) vernderlich. Aus dem dynamischen Grundgesetz, Gl. (12), folgt dann d ðaÞ FR ¼ ½mðtÞuðtÞ ¼ m_ ðtÞuðtÞ þ mðtÞu_ ðtÞ: dt

Bild 10 a, b. Kinetische Lagerdrcke. a Allgemein; b Welle mit schiefsitzender Scheibe

B

B 32

B

Mechanik – 3 Kinetik

Diese Gleichungen gelten sowohl f
r ein raumfestes als auch f
r ein mitdrehendes (krperfestes) System mit Nullpunkt auf der Drehachse. Ferner gilt analog dem Massenpunktsystem der Drallsatz Z d dD ðaÞ ðeÞ ðzÞ ðr
uÞdm ¼ : ð39Þ MR ¼ MR þ MR ¼ dt dt Gemß B 2 Gl. (23) gilt in kartesischen Koordinaten (bei Drehung um die z-Achse, d. h. mit wx ¼ wy ¼ 0Þ ux ¼ ðwy z  wz yÞ ¼ wz y; uy ¼ ðwz x  wx zÞ ¼ wz x; uz ¼ ðwx y  wy xÞ ¼ 0:

ð40Þ

Aus Gl. (39) wird hiermit

"Z Z
ex ey ez

d

d
ðeÞ ðzÞ y z
dm ¼ MR þ MR ¼ wz xz dmex
x
dt
dt
ux uy 0
# Z Z þ wz yz dmey þ wz ðx2 þ y2 Þ dmez d ½wz Jxz ex  wz Jyz ey þ wz Jz ez ; ð41Þ dt Z Z Jxz ¼ xz dm, Jyz ¼ yz dm Deviations- oder ZentrifugalZ Z momente, Jz ¼ ðx2 þ y2 Þ dm ¼ rz2 dm axiales Massentrg¼

heitsmoment. In Komponenten 9 X ðeÞ ðeÞ ðzÞ > MRx þ MRx ¼ Mix þ FAy l1  FBy l2 > > > 2 > ¼X dðwz Jxz Þ=dt ¼ Jxz az þ wz Jyz , > = ðeÞ ðzÞ ðeÞ ð42 acÞ Miy þ FBx l2  FAx l1 MRy þ MRy ¼ > > ¼X dðwz Jyz Þ=dt ¼ Jyz az  w2z Jxz , > > > > ðeÞ ðeÞ MRz ¼ Miz ¼ dðwz Jz Þ=dt ¼ Jz az : ; Diese Gleichungen gelten sowohl f
r ein raumfestes als auch f
r ein mitdrehendes Koordinatensystem x, y, z mit Nullpunkt auf der Drehachse. Im ersten Fall sind Jxz und Jyz zeitlich vernderlich, im zweiten Fall konstant. Die Gln. (38 a–c) und (42 a, b) liefern die unbekannten f
nf Auflagerreaktionen, wobei az und wz aus Gl. (42 c) folgen. Dabei ergeben die einðeÞ

ðeÞ

ðeÞ

geprgten Krfte Fi und Momente Mix und Miy die rein statischen Auflagerreaktionen, whrend die kinetischen AuflaðeÞ

ðeÞ

ðeÞ

gerreaktionen sich mit Fi ¼ 0, Mix ¼ Miy ¼ 0 aus ðkÞ

ðkÞ

ðkÞ

ðkÞ

ðkÞ

FAx þ FBx ¼ maSx ; FAy þ FBy ¼ maSy ; FAz ¼ 0; ðkÞ FAy l1

ðkÞ  FBy l2

ðkÞ

¼ Jxz az þ w2z Jyz ;

ðkÞ

FBx l2  FAx l1 ¼ Jyz az  w2z Jxz

ð43Þ ð44Þ

berechnen lassen. Nach diesen Gleichungen verschwinden sie, wenn aS ¼ 0 wird, also die Drehachse durch den Schwerpunkt geht und wenn sie eine Haupttrgheitsachse ist, d. h., die Zentrifugalmomente Jxz und Jyz null werden. Die Drehachse heißt dann freie Achse. F
r sie gehen die Gln. (38 a–c) sowie (42 a, b) in die bekannten Gleichgewichtsbedingungen
ber, whrend das dynamische Grundgesetz f
r die Drehbewegung nach Gl. (42 c) lautet X ðeÞ ðeÞ Mi ¼ Ja ð45Þ MR ¼ Z J ¼ r 2 dm; wobei r der Abstand senkrecht zur Drehachse

Zt2 D2  D1 ¼

ðeÞ

Zt2

MR dt ¼ t1

J t1

Zw2 ¼J

dw ¼ Jðw2  w1 Þ:

Beispiel: Welle mit schiefsitzender Scheibe (Bild 10 b). Auf einer mit wz ¼ const ¼ w0 rotierenden Welle ist eine vollzylindrische Scheibe (Radius r, Dicke h, Masse m) unter dem Winkel y geneigt aufgekeilt. Zu ermitteln sind die Auflagerkrfte. – Als einzige eingeprgte Kraft erzeugt die zentrische Gewichtskraft FG ¼ m g keine Momente, so daß die Gln. (38 a–c) und (42 a, b) mit aSx ¼ aSy ¼ 0 und (wegen wz ¼ constÞ az ¼ 0 FAx þ FBx ¼ 0; FAy þ FBy ¼ 0, FG þ FAz ¼ 0, FAy l1  FBy l2 ¼ w20 Jyz , FBx l2  FAx l1 ¼ w20 Jxz ergeben. Mit den Richtungswinkeln der x-Achse gegen
ber den Hauptachsen x, h, z (s. B 3.4.2) a1 ¼ 0, b1 ¼ 90°, g1 ¼ 90°; mit denen der yAchse a2 ¼ 90°, b2 ¼ y; g2 ¼ 90° þ y und denen der z-Achse a3 ¼ 90°, b3 ¼ 90°  y, g3 ¼ y erhlt man gemß Gl. (52) Jyz ¼ J1 cos a2 cos a3  J2 cos b2 cos b3  J3 cos g2 cos g3 ¼ J2 cos y sin y þ J3 sin y cos y und entsprechend Jxz ¼ 0: Nach Tab. 1 ist J2 ¼ Jh ¼ mð3r 2 þ h2 Þ=12; J3 ¼ Jz ¼ mr 2 =2 und somit Jyz ¼ ½mð3r 2  h2 Þ=24 sin 2y; so daß sich die Auflagerkrfte FAx ¼ FBx ¼ 0; FAz ¼ FG ; FAy ¼ FBy ¼ fw20 mð3r 2  h2 Þ=½24ðl1 þ l2 Þg sin 2y ergeben.

3.4.2 Allgemeines
ber Massentrgheitsmomente (Bild 11). Moment of inertia Axiale Trgheitsmomente: Z Z 9 Jx ¼ ðy2 þ z2 Þdm ¼ rx2 dm; > > > > > Z Z = 2 2 2 Jy ¼ ðx þ z Þdm ¼ ry dm; > > Z Z > > > Jz ¼ ðx2 þ y2 Þdm ¼ rz2 dm: ;

ðeÞ

Zj2

MR dj ¼ j1

J j1

Zw2

Die Trgheitsmomente lassen sich mit Jx ¼ Jxx , Jy ¼ Jyy und Jz ¼ Jzz zum Trgheitstensor, einem symmetrischen Tensor 2. Stufe, zusammenfassen. In Matrixschreibweise gilt 0 1 Jxx Jxy Jxz @ Jyy Jyz A: J ¼ Jyx Jzx Jzy Jzz

¼J w1

dw dj dt

J w dw ¼ ðw22  w21 Þ; 2

ð48Þ

Polares Trgheitsmoment sowie Deviations- oder Zentrifugalmomente: Z Z Jp ¼ r 2 dm ¼ ðx2 þ y2 þ z2 Þ dm ¼ ðJx þ Jy þ Jz Þ=2; Z Z Z ð49Þ Jxy ¼ xy dm; Jxz ¼ xz dm; Jyz ¼ yz dm:

Arbeits- und Drehimpulssatz. Aus Gl. (45) folgen Zj2

ð47Þ

w1

ist.

W1;2 ¼

dw dt dt

ð46Þ Bild 11. Massentrgheitsmomente

I3.4

Kinetik starrer Krper

B 33

Tabelle 1. Massentr
gheitsmomente homogener Krper

B

Hauptachsen. Wird Jxh ¼ Jxz ¼ Jhz ¼ 0, so liegen Haupttr
gheitsachsen x, h, z vor. Die zugehrigen axialen Haupttr
gheitsmomente J1 , J2 , J3 verhalten sich so, daß eins das absolute Maximum und ein anderes das absolute Minimum aller Tr
gheitsmomente des Krpers ist. Hat ein Krper eine Symmetrieebene, so ist jede dazu senkrechte Achse eine Hauptachse. Allgemein erh
lt man die Haupttr
gheitsmomente als Extremalwerte der Gl. (50) mit der Nebenbedingung h ¼ cos2 a þ cos2 b þ cos2 g
1 ¼ 0. Mit den Abkrzungen cos a ¼ l, cos b ¼ m, cos g ¼ n folgen mit J¼ Jx l2 þ Jy m2 þ Jz n2
2Jxy lm
2Jyz mn
2Jxz ln und f ¼ J
ch aus df =dl ¼ 0 usw. drei homogene lineare Gleichungen fr l, m, n, die nur dann eine nichttriviale Lsung haben, wenn ihre Koeffizientendeterminante null wird. Daraus erh
lt man die kubische Gleichung fr c mit den Lsungen c1 ¼ J1 , c2 ¼ J2 und c3 ¼ J3 . Tr
gheitsellipsoid. Tr
gt man in Richtung der Achsen x, y, z pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi pffiffiffiffi die Grßen 1= Jx , 1= Jy , 1= Jz ab, so liegen die End-

punkte auf dem Tr
gheitsellipsoid mit den Hauptachsen pffiffiffiffiffi 1= J1 usw. und der Gleichung J1 x2 þ J2 h2 þ J3 z2 ¼ 1: Liegt hierbei der Koordinatenanfangspunkt im Schwerpunkt, spricht man vom Zentralellipsoid; die zugehrigen Hauptachsen sind dann freie Achsen. Tr
gheitsmomente bezglich gedrehter Achsen. Fr eine unter den Winkeln a, b, g gegen x, y, z geneigte Achse
x folgt mit e
x ¼ ðcos a; cos b; cos g) aus J
x ¼ e
x JeT
x (s. A bzw. DUBBEL interaktiv) sowie mit Jxy ¼ Jyx usw. J
x ¼ Jx cos2 a þ Jy cos2 b þ Jz cos2 g
2Jxy cos a cos b
2Jyz cos b cos g
2Jxz cos a cos g:

ð50Þ

Sind dagegen a1 , b1 , g1 die Richtungswinkel der x-Achse gegenber den Hauptachsen x, h, z, so gilt fr das axiale Tr
gheitsmoment Jx ¼ J1 cos2 a1 þ J2 cos2 b1 þ J3 cos2 g1 ;

ð51Þ

B 34

B

Mechanik – 3 Kinetik

Jy ; Jz entsprechend mit den Richtungswinkeln a2 , b2 , g2 bzw. a3 , b3 , g3 der y- bzw. z-Achse gegen
ber den Hauptachsen. Die zugehrigen Deviationsmomente sind (f
r Jxz und Jyz entsprechend) Jxy ¼
J1 cos a1 cos a2
J2 cos b1 cos b2
J3 cos g1 cos g2 :

ð52Þ

Satz von Steiner. F
r parallele Achsen gilt Jx ¼ J
x þ ðy2S þ z2S Þm, Jy ¼ J
y þ ðz2S þ x2S Þm, ð53Þ Jz ¼ J
z þ ðx2S þ y2S Þm, Jxy ¼ J
x
y þ xS yS m, Jyz ¼ J
y
z þ yS zS m; Jxz ¼ J
x
z þ xS zS m,
x,
y,
z sind zu x, y, z parallele Achsen durch den Schwerpunkt. Tr
gheitsradius. Wird die Gesamtmasse in Entfernung i von der Drehachse (bei gegebenem J und m) vereinigt, so gilt pffiffiffiffiffiffiffiffiffi J ¼ i2 m bzw. i ¼ J=m. Reduzierte Masse. Denkt man sich die Masse mred in beliebiger Entfernung d von der Drehachse angebracht (bei gegebenem J), so gilt J ¼ d2 mred bzw. mred ¼ J=d 2 . Berechnung der Massentr
gheitsmomente. F
r Einzelkrper mittels Integrale Z dreifacher Z Z Z Jx ¼

rx2 dm ¼

ðaÞ

Arbeitssatz:   Z Z m 2 JS ðaÞ ðaÞ W1;2 ¼ FR dr þ M RS dj ¼ uS2 þ w22 2 2   m 2 JS uS1 þ w21 ¼ E2
E1
2 2

þh=2 Z

Jx ¼

rr ðr dj dr dzÞ 2

r¼0 j¼0 z¼
h=2

¼ rðra4 =4Þ2ph ¼ mra2 =2: F
r zusammengesetzte Krper gilt mit dem Satz von Steiner X Jx ¼ ½Jxi þ ðy2Si þ z2Si Þmi  usw. (s. C 2.4.5 Flchenmomente 2. Ordnung). 3.4.3 Allgemeine ebene Bewegung starrer Krper. General plane motion of a rigid body Ebene Bewegung bedeutet z ¼ const bzw. uz ¼ wx ¼ wy ¼ 0 und az ¼ ax ¼ ay ¼ 0. Wie beim Massenpunktsystem gelten Schwerpunktsatz und Drallsatz (Momentensatz) X ðaÞ ðaÞ FR ¼ Fi ¼ maS ; ð54Þ Z X d ðaÞ ðaÞ MR ¼ Mi ¼ ðr  uÞdm dt    e e ez  Z x y ð55Þ d  dD  ¼ y z dm ¼ : x  dt  dt  x_ y_ 0 (Der Momentensatz gilt bez
glich eines raumfesten Punkts oder des beliebig bewegten Schwerpunkts.) In kartesischen Koordinaten X ðaÞ X ðaÞ 9 ðaÞ ðaÞ FRx ¼ Fix ¼ maSx ; FRy ¼ Fiy ¼ maSy ; > > > > X > ðaÞ ðaÞ > > FRz ¼ Fiz ¼ 0; > > > > Z > 2 Z 2 > d Jyz > d d ðaÞ MRx ¼
z_y dm ¼
2 zy dm ¼
2 ; = dt dt dt ð56Þ > Z Z > > > d d2 d2 Jxz ðaÞ > > MRy ¼ z_x dm ¼ 2 zx dm ¼ 2 ; > > dt dt dt > > > Z > > d > ðaÞ ; MRz ¼ ðx_y
x_ yÞ dm dt bzw. mit Gl. (40) und wz ¼ w Z Z d d d ðaÞ wðx2 þ y2 Þ dm ¼ wrz2 dm ¼ ðwJz Þ: MRz ¼ dt dt dt

ð58Þ

Haben die ußeren Krfte und Momente ein Potential, so gilt der Energiesatz U1 þ E1 ¼ U2 þ E2 ¼ const : Impuls- und Drehimpulssatz: Zt2 p2
p1 ¼

ðaÞ

FR dt ¼ mðuS2
uS1 Þ

ð59Þ

t1

rðy2 þ z2 Þ dx dy dz:

Je nach Krperform verwendet man auch Zylinder- oder Kugelkoordinaten. Zum Beispiel wird f
r den vollen Kreiszylinder (s. Tab. 1) Zra Z2p

ðaÞ

MRx und MRy sind die zur Erzwingung der ebenen Bewegung ntigen ußeren Momente, wenn z keine Haupttrgheitsachse ist. Ist z eine Haupttrgheitsachse (Jyz ¼ Jxz ¼ 0), so folgen d ðaÞ ðaÞ ðaÞ MRx ¼ 0, MRy ¼ 0, MRz ¼ ðwJz Þ bzw. bez
glich des krdt perfesten Schwerpunkts mit JS ¼ const X ðaÞ ðaÞ MRS ¼ MiS ¼ JS a: ð57Þ

Zt2 D2
D1 ¼

ðaÞ

M RS dt ¼ JS ðw2
w1 Þ

ð60Þ

t1

DAlembertsches Prinzip. Die verlorenen Krfte, d. h. die Summe aus eingeprgten Krften und Trgheitskrften, halten sich am Gesamtkrper das Gleichgewicht. Mit dem Gleichgewichtsprinzip der virtuellen Verr
ckungen gilt dann in Lagrangescher Fassung ðeÞ

ðeÞ

ðFR
maS Þ drS þ ðM RS
JS aÞ dj ¼ 0:

ð61Þ

Beispiel: Rollbewegung auf schiefer Ebene (Bild 12). Aus der Ruhelage soll ein zylindrischer Krper (r; m; JS ) von der Kraft F die schiefe Ebene (Neigungswinkel b) hinaufgerollt werden ohne zu gleiten. Zu ermitteln sind seine Schwerpunktbeschleunigung sowie Zeit und Geschwindigkeit bei Erreichen der Lage 2 nach Zur
cklegen des Wegs s2 . – Da der Schwerpunkt eine geradlinige Bewegung ausf
hrt, fllt sein Beschleunigungsvektor in die Bewegungsrichtung. Schwerpunktsatz, Gl. (54), und Momentensatz, Gl. (57), liefern (Bild 12 a) maS ¼ F cos b
FG sin b
Fr und JS a ¼ Fr r, woraus mit a ¼ aS =r wegen des reinen Rollens aS ¼ ðF cos b
FG sin bÞ=ðm þ JS =r 2 Þ folgt. Mit den Gesetzen der gleichm
ßig beschleunigten Bewegung pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aus der Ruhelage (s. B 2.1.1) ergeben sich uS2 ¼ 2aS s2 und t2 ¼ uS2 =aS . Der Arbeitssatz, Gl. (58), ðF cos b
FG sin bÞs2 ¼ mu2S2 =2 þ JS w22 =2 liefert mit w2 ¼ uS2 =r wiederum pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi uS2 ¼ 2ðF cos b
FG sin bÞs2 =ðm þ JS =r 2 Þ:

Bild 12 a, b. Rollbewegung auf schiefer Ebene

Impulssatz und Drehimpulssatz, Gln. (59) und (60), ðF cos b
FG sin b
Fr Þt2 ¼ muS2 und Fr rt2 ¼ JS w2 ergeben ebenfalls t2 ¼ uS2 ðm þ JS =r 2 Þ=ðF cos b
FG sin bÞ ¼ uS2 =aS :

I3.4 Das d’Alembertsche Prinzip in der Lagrangeschen Fassung nach Gl. (61) f
hrt zu (Bild 12 b) ðF cos b
FG sin b
maS Þ ds þ ð0
JS aÞ dj ¼ 0; mit a ¼ aS =r, dj ¼ ds=r folgt ds½F cos b
FG sin b
maS
JS aS =r 2  ¼ 0; also wieder aS ¼ ðF cos b
FG sin bÞ=ðm þ JS =r 2 Þ:

Ebene Starrk
rpersysteme. Die Bewegung l
ßt sich auf verschiedene Weise berechnen: – Freimachen jedes Einzelkrpers und Ansatz von Schwerpunktsatz, Gl. (54), und Momentensatz, Gl. (57), wenn z Haupttr
gheitsachse ist; – Anwenden des dAlembertschen Prinzips, Gl. (61), auf das aus n Krpern bestehende System X ðeÞ X ðeÞ ðM Ri
JiS ai Þ dji ¼ 0; ð62Þ ðFRi
mi aiS Þ driS þ

Kinetik starrer Krper

B 35

Der Momentensatz gilt bezglich eines raumfesten Punkts oder des beliebig bewegten Schwerpunkts. In kartesischen Koordinaten mit u gem
ß B 2 Gl:ð23Þ wird

ey ez
Z
ex
d


ðaÞ y z
dm MR ¼
x
dt

u uy uz
x ð65Þ d ¼ ½ðwx Jx
wy Jxy
wz Jxz Þex dt þðwy Jy
wx Jxy
wz Jyz Þey þðwz Jz
wx Jxz
wy Jyz Þez : Diese Gleichung bezieht sich auf ein raumfestes Koordinatensystem x, y, z (Bild 14), dessen Koordinatenanfangspunkt auch im Schwerpunkt liegen kann, d. h., die Grßen Jx , Jxy usw. sind zeitabh
ngig, da sich die Lage des Krpers
ndert.

– Anwenden der Lagrangeschen Bewegungsgleichungen Gln. (33)–(35). Beispiel: Beschleunigungen eines Starrkrpersystems (Bild 13). Das System bewege sich in den angedeuteten Richtungen, wobei in der Fhrung von m1 die Reibkraft Fr1 wirkt und die Walze eine reine Rollbewegung ausfhrt. – Das d'Alembertsche Prinzip in der Lagrangeschen Fassung, Gl. (62), liefert ðFG1
Fr1
m1 a1 Þ dz
J2 a2 dj
ðFG3 sin b þ m3 a3S Þ ds
J3S a3 dy ¼ 0: Bild 14. Allgemeine r
umliche Bewegung

Wird nach Euler ein krperfestes, mitbewegtes Koordinatensystem x, h, z eingefhrt (der Einfachheit halber in Richtung der Haupttr
gheitsachsen des Krpers) und der Winkelgeschwindigkeitsvektor in diesem Koordinatensystem in seine Komponenten w ¼ w1 e1 þ w2 e2 þ w3 e3 zerlegt, so nimmt Gl. (65) die Form d ðaÞ ð66Þ M R ¼ ½w1 J1 e1 þ w2 J2 e2 þ w3 J3 e3  dt an, wobei jetzt J1 , J2 , J3 konstant und w1 J1 usw. die Komponenten des Drallvektors D im bewegten Koordinatensystem sind. Mit der Regel fr die Ableitung eines Vektors im bewegten Koordinatensystem (s. B 2 Gl. (35)) wird dD=dt ¼ dr D=dt þ w  D, wobei dr D=dt die Ableitung des Vektors D relativ zum mitbewegten Koordinatensystem ist. Aus Gl. (66) folgt in Komponenten 9 ðaÞ MRx ¼ ½w_ 1 J1 þ w2 w3 ðJ3
J2 Þ; > > > = ðaÞ ð67Þ MRh ¼ ½w_ 2 J2 þ w1 w3 ðJ1
J3 Þ; > > > ; ðaÞ MRz ¼ ½w_ 3 J3 þ w1 w2 ðJ2
J1 Þ:

Bild 13. Starrkrpersystem Mit dz ¼ ra dj; ds ¼ ri dj und dy ¼ ds=r3 ¼ djri =r3 bzw. € ¼ ra a2 ; a3S ¼ €s ¼ ri j € ¼ ri a2 und a1 ¼ €z ¼ ra j € ¼ €s=r3 ¼ a2 ri =r3 a3 ¼ y wird dj½ðFG1
Fr1 Þra
m1 ra2 a2
J2 a2
FG3 ri sin b
m3 ri2 a2
J3S ðri =r3 Þ2 a2  ¼ 0: Die Winkelbeschleunigung der Seilscheibe ist also a2 ¼ ½ðFG1
Fr1 Þra
FG3 ri sin b=½m1 ra2 þ J2 þ m3 ri2 þ J3S ðri =r3 Þ2 ; womit auch a1 ¼ ra a2 , a3S ¼ ri a2 und a3 ¼ a2 ri =r3 bestimmt sind.

3.4.4 Allgemeine rumliche Bewegung General motion in space Bewegungsgleichungen sind mit dem Schwerpunktsatz und dem Drall- oder Momentensatz gegeben: X ðaÞ ðaÞ Fi ¼ maS ð63Þ FR ¼ ðaÞ

MR ¼

X

ðaÞ

Mi ¼

dD d ¼ dt dt

Z ðr  uÞ dm

(Erl
uterungen s. Gln. (26) und (32)).

ð64Þ

Das sind die Eulerschen Bewegungsgleichungen eines Krpers im Raum bezglich der Hauptachsen mit einem raumfesten Punkt oder dem beliebig bewegten Schwerpunkt als Ursprung. Aus den drei gekoppelten Differentialgleichungen ergeben sich jedoch nur die Winkelgeschwindigkeiten w1 ðtÞ, w2 ðtÞ, w3 ðtÞ bezglich des mitbewegten Koordinatensystems, nicht aber die Lage des Krpers gegenber den raumfesten Richtungen x, y, z. Hierzu ist die Einfhrung der Eulerschen Winkel j, y, J erforderlich [1]. Die Lage des Schwerpunkts eines im Raum frei bewegten Krpers ist aus dem Schwerpunktsatz, Gl. (63), wie fr einen Massenpunkt (s. B 3.2) berechenbar. Zt2 Zt2 ðaÞ Drehimpulssatz : M R dt ¼ dD ¼ D2
D1 t1 ðaÞ

t1

Fr M R ¼ 0 wird D2 ¼ D1 , d. h., ohne Einwirkung
ußerer Momente beh
lt der Drallvektor seine Richtung im Raum bei.

B

B 36

Mechanik – 3 Kinetik

B

Bild 15 a–c. Kreisel. a Kr
ftefreier; b schwerer; c gefhrter

Energiesatz: Haben die einwirkenden Kr
fte ein Potential, so gilt U1 þ E1 ¼ U2 þ E2 ¼ const : Kinetische Energie E ¼ mv2S =2 þ ðJ1 w21 þ J2 w22 þ J3 w23 Þ=2 Kreiselbewegung (Bild 15). Hierunter versteht man die Drehung eines starren Krpers um einen festen Punkt. Es gelten die Eulerschen Bewegungsgleichungen, Gl. (67). Kr
ftefreier Kreisel. Sind alle Momente der
ußeren Kr
fte null, d. h. Lagerung im Schwerpunkt (Bild 15 a), und wirken sonst keine Kr
fte und Momente, so ist die Bewegung kr
ftefrei; der Drallvektor beh
lt seine Richtung und Grße im Raum bei. Dabei ergeben sich die mglichen Bewegungsformen des Kreisels aus J1 w_ 1 ¼ ðJ2
J3 Þw2 w3 ; J2 w_ 2 ¼ ðJ3
J1 Þw1 w3 ; J3 w_ 3 ¼ ðJ1
J2 Þw1 w2 ; also entweder w1 ¼ const; w2 ¼ w3 ¼ 0 oder w2 ¼ const; w1 ¼ w3 ¼ 0 oder w3 ¼ const; w1 ¼ w2 ¼ 0;

Pr
zession des Kreisels. Wegen wP f
llt der Drallvektor nicht genau in die Figurenachse, daher berlagert sich der Pr
zession noch die Nutation [2, 3]. Gefhrter Kreisel. Er ist ein umlaufender, in der Regel rotationssymmetrischer Krper, dem Fhrungskr
fte eine nderung des Drallvektors aufzwingen, wodurch das Moment der Kreiselwirkung und damit verbunden zum Teil erhebliche Auflagerkr
fte entstehen (Kollergang, Schwenken von Rads
tzen und Schiffswellen usw.). Fr ein Fahrzeug in der Kurve liefert die Kreiselwirkung der R
der ein zus
tzliches Kippmoment. Umgekehrt finden gefhrte Kreisel als Stabilisierungselemente fr Schiffe, Einschienenbahnen usw. Verwendung. Beim horizontal schwimmend angeordneten Kreiselkompaß wird die Drallachse durch die Erddrehung in NordSd-Richtung gezwungen. Fr den in (Bild 15 c) dargestellten und mit wF gefhrten Rotationskrper gilt ex eh ez dD 0 wF ¼ wF w1 J1 eh M ðaÞ ¼ ¼ wF  D ¼ 0 dt w1 J 1 0 wF J 3 ðkÞ

ðkÞ

bzw. M ðaÞ ¼ FA l ¼ wF w1 J1 , d. h. FA ¼ wF w1 J1 =l. Das Mo-

d. h. jeweils Drehung um eine Haupttr
gheitsachse (Bewegung stabil, falls Drehung um die Achse des grßten oder kleinsten Tr
gheitsmoments). Fr den symmetrischen Kreisel folgen mit J1 ¼ J2 die Gleichungen, s. [2, 3], € 1 þ l2 w1 ¼ 0 und w € 2 þ l 2 w2 ¼ 0 w3 ¼ const; w mit den Lsungen w1 ¼ c sinðlt
aÞ und w2 ¼ c cosðlt
aÞ; wobei l ¼ ðJ3 =J1
1Þw3 . Mit w21 þ w22 ¼ c2 ¼ const folgt, daß der Winkelgeschwindigkeitsvektor w ¼ w1 ex þ w2 eh þ w3 ez (die momentane Drehachse) einen Kreiskegel im krperfesten System, den Gangpolkegel, beschreibt, der auf dem Rastpolkegel, dessen Achse der feste Drallvektor ist, abrollt (Bild 15 a). Die Figurenachse z beschreibt dabei den Pr
zessionskegel (regul
re Pr
zession). Schwerer Kreisel. Hier sei speziell der schnell umlaufende symmetrische Kreisel unter Eigengewicht betrachtet (Bild 15 b). Beim schnellen Kreisel ist D  w3 J3 ez , d. h., Drallvektor und Figurenachse fallen n
herungsweise zusamðaÞ

men. Aus dem Drallsatz folgt dD ¼ M R dt ¼ ðr  FG Þ dt, d. h., der Kreisel trachtet, seine Figurenachse parallel und gleichsinnig zu dem auf ihn wirkenden Moment einzustellen (Satz von Poinsot). Nach Bild 15 b gilt M ¼ FG r sin J, dD ¼ D sin J  dj. Aus dD ¼ Mdt folgt wP ¼ dj=dt ¼ FG r=D  FG r=ðJ3 w3 Þ. wP ist die Winkelgeschwindigkeit der

ðkÞ

ment der Kreiselwirkung erzeugt in den Lagern die zu FA entgegengesetzten Auflagerdrcke.

3.5 Kinetik der Relativbewegung Dynamics of relative motion Bei einer gefhrten Relativbewegung gilt fr die Beschleunigung nach B2 Gl. (36) und damit fr das Newtonsche Grundgesetz ðaÞ

FR ¼ maF þ mar þ maC :

ð68Þ

Fr einen auf dem Fahrzeug befindlichen Beobachter ist nur die Relativbeschleunigung wahrnehmbar ðaÞ

ðaÞ

mar ¼ FR
maF
maC ¼ FR þ FF þ FC ;

ð69Þ

d. h., den
ußeren Kr
ften sind die Fhrungskraft und die Corioliskraft hinzuzufgen. Beispiel: Bewegung in rotierendem Rohr (Bild 16). In einem Rohr, das um eine vertikale Achse mit aF ðtÞ und wF ðtÞ rotiert, wird mittels eines Fadens die Masse m mit der Relativbeschleunigung ar ðtÞ und der Relativgeschwindigkeit ur ðtÞ reibungsfrei nach innen gezogen. Fr eine beliebige Lage r(t) sind die Fadenkraft sowie die Normalkraft zwischen Masse und Rohr zu bestimmen. – Mit aF ¼ aFn þ aFt ðaFn ¼ rw2F ; aFt ¼ raF Þ und aC ¼ 2wF ur erh
lt man an der freigemachten Masse nach Gl. (68) FS ¼ mðar þ aFn Þ ¼ mðar þ rw2F Þ und Fn ¼ mðaC
aFt Þ ¼ mð2wF ur
raF Þ:

I3.6

Stoß

B 37

Sonderflle: m1 ¼ m2 , k ¼ 1 : m1 ¼ m2 , k ¼ 0 : m2 ! 1, u2 ¼ 0, k ¼ 1 : m2 ! 1, u2 ¼ 0, k ¼ 0 :

Ermittlung der Stoßziffer: Bei freiem Fall gegen unendlich pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi große Masse m2 gilt k ¼ ðc2
c1 Þ=ðu1
u2 Þ ¼ h2 =h1 ; h1 Fallh
he vor dem Stoß, h2 Steigh
he nach dem Stoß. k abhngig von Auftreffgeschwindigkeit, bei v  2;8 m=s fr Elfenbein k ¼ 8=9, Stahl k ¼ 5=9, Glas k ¼ 15=16, Holz k ¼ 1=2.

Bild 16. Relativbewegung

3.6 Stoß. Impact Beim Stoß zweier K
rper gegeneinander werden in kurzer Zeit relativ große Krfte wirksam, denen gegenber andere Krfte wie Gewichtskraft und Reibung vernachlssigbar sind. Die Normale der Berhrungsflchen heißt Stoßnormale. Geht sie durch die Schwerpunkte beider K
rper, so nennt man den Stoß zentrisch, sonst exzentrisch. Liegen die Geschwindigkeiten in Richtung der Stoßnormalen, so ist es ein gerader, sonst ein schiefer Stoß. ber die whrend des Stoßes in der Berhrungsflche bertragene Kraft und die Stoßdauer liegen nur wenige Ergebnisse vor [4, 5]. Der Stoßvorgang wird unterteilt in die Kompressionsperiode K, whrend der die Stoßkraft zunimmt, bis beide K
rper die gemeinsame Geschwindigkeit u erreicht haben, und in die Restitutionsperiode R, in der die Stoßkraft abnimmt und die K
rper ihre unterschiedlichen Endgeschwindigkeiten c1 und c2 erreichen (Bild 17). Stoßimpulse oder Kraftst
ße in der Kompressionsperiode und in der Restitutionsperiode ergeben sich zu: Zt2 pK ¼

Zt3 FK ðtÞdt; pR ¼

t1

u ¼ ðu1 þ u2 Þ=2, c1 ¼ u2 , c2 ¼ u1 ; u ¼ c1 ¼ c2 ¼ ðu1 þ u2 Þ=2; u ¼ 0, c1 ¼
u1 , c2 ¼ 0; u ¼ 0, c1 ¼ 0, c2 ¼ 0:

FR ðtÞdt

ð70Þ

t2

Stoßkraft und Stoßdauer. Fr den rein elastischen Stoß zweier Kugeln mit den Radien r1 und r2 hat Hertz [4] max F ¼ k1 u6=5 abgeleitet, wobei u die relative Geschwindig2=5

keit und k1 ¼ ½1;25  m1 m2 =ðm1 þ m2 Þ3=5 c1 ist, mit pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c1 ¼ ð16=3Þ=½ 1=r1 þ 1=r2 ðJ1 þ J2 Þ; J ¼ ð2=GÞð1
nÞ; G Schubmodul, n Querdehnzahl. Ferner fr die Stoßdauer   pffiffiffi 5 m1 m2 2=5 T ¼ k2 = 5 u mit k2 ¼ 2;943 . 4c1 m1 þ m2 3.6.2 Schiefer zentraler Stoß. Oblique impact Mit den Bezeichnungen nach Bild 18 a gelten die Gleichungen u1 sin a ¼ c1 sin a0 ; u2 sin b ¼ c2 sin b0 ; c1 cos a0 ¼ u1 cos a
½ðu1 cos a
u2 cos bÞð1 þ kÞ=ð1 þ m1 =m2 Þ; c2 cos b0 ¼ u2 cos b
½ðu2 cos b
u1 cos aÞð1 þ kÞ=ð1 þ m2 =m1 Þ; aus denen man a0 , b0 , c1 und c2 erhlt. Beispiel: Stoß einer Kugel gegen eine Wand (Bild 18 b). – Mit u2 ¼ c2 ¼ 0 und m2 ! 1 folgt aus den vorstehenden Gleichungen c1 cos a0 ¼
ku1 cos a;
tan a0 ¼ tan a00 ¼ ðtan aÞ=k sowie pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c1 ¼
ku1 cos a= cos a0 ¼
u1 cos a k2 þ tan2 a: F
r k ¼ 1 wird a0 ¼ p
a bzw. a00 ¼ a und c1 ¼ u1 , d. h. Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel (Reflexionsgesetz) bei gleichbleibender Geschwindigkeit.

Bild 17. Kraftverlauf beim Stoß

pK und pR werden mittels der Newtonschen Stoßhypothese zueinander in Beziehung gesetzt: pR ¼ kpK ; ð71Þ < wobei k ¼ 1 die Stoßziffer ist. Vollelastischer Stoß: k ¼ 1, teilelastischer Stoß: k < 1, unelastischer oder plastischer Stoß: k ¼ 0. Mittlere Stoßkraft Fm ¼ ðpK þ pR Þ=Dt. 3.6.1 Gerader zentraler Stoß. Normal impact Mit u1 und u2 als Geschwindigkeiten beider K
rper vor dem Stoß (Bild 17), u und c1 bzw. c2 wie erlutert, folgt aus den Gln. (70) und (71) u ¼ ðm1 u1 þ m2 u2 Þ=ðm1 þ m2 Þ; c1 ¼ ½m1 u1 þ m2 u2
km2 ðu1
u2 Þ=ðm1 þ m2 Þ; c2 ¼ ½m1 u1 þ m2 u2 þ km1 ðu1
u2 Þ=ðm1 þ m2 Þ; k ¼ pR =pK ¼ ðc2
c1 Þ=ðu1
u2 Þ: Energieverlust beim Stoß m1 m2 DE ¼ ðu1
u2 Þ2 ð1
k2 Þ: 2ðm1 þ m2 Þ

Bild 18 a–d. Stoß. a Schiefer zentraler Stoß; b Reflexionsgesetz; c exzentrischer Stoß; d Drehstoß

B

B 38

Mechanik – 4 Schwingungslehre

3.6.3 Exzentrischer Stoß. Eccentric impact

B

St
ßt eine Masse m1 gegen einen pendelnd aufgehngten K
rper (Bild 18 c) mit dem Trgheitsmoment J0 um den Drehpunkt 0, so gelten alle Formeln fr den geraden zentralen Stoß, wenn dort m2 durch die reduzierte Masse m2red ¼ J0 =l2 ersetzt wird. Ferner gelten die kinematischen Beziehungen u2 ¼ w2 l usw. Fr den Kraftstoß auf den Aufhngepunkt gilt (wenn w2 ¼ 0) p0 ¼ ð1 þ kÞm1 u1 ðJ0
m2 lrS Þ=ðJ0 þ m1 l2 Þ:

lr oder rSr geben die Lage des Stoßmittelpunkts an, der beim Stoß kraftfrei bleibt bzw. um den sich (Momentanzentrum) ein freier angestoßener K
rper dreht. lr ist gleichzeitig die reduzierte Pendellnge bei Ersatz durch ein mathematisches Fadenpendel.

3.6.4 Drehstoß. Rotary impact Fr zwei rotierende zusammenstoßende K
rper (Bild 18 d) setzt man m1 ¼ J1 =l21 , m2 ¼ J2 =l22 , u1 ¼ w1 l1 , u2 ¼ w2 l2 usw. und fhrt damit das Problem auf den geraden zentralen Stoß zurck. Dann gelten die Formeln in B 3.6.1.

Dieser Impuls wird null fr l ¼ lr ¼ J0 =ðm2 rS Þ bzw: rS ¼ rSr ¼ JS =ðm2 bÞ:


sst ¼ FG =c; die Schwingung findet also um die statische Ruhelage statt:

4 Schwingungslehre Mechanical vibrations

sðtÞ ¼
sðtÞ

sst ðtÞ ¼ C1 cos w1 t þ C2 sin w1 t ¼ A sinðw1 t þ bÞ:

4.1 Systeme mit einem Freiheitsgrad Systems with one degree of freedom (DOF) Beispiele hierfr sind das Feder-Masse-System, das physikalische Pendel, ein durch Bindungen auf einen Freiheitsgrad reduziertes Starrk
rpersystem (Bild 1). Zunchst werden nur lineare Systeme untersucht; bei ihnen sind die Differentialgleichungen selbst und die Koeffizienten linear. Voraussetzung dafr ist eine lineare Federkennlinie Fc ¼ cs (Bild 2 b). 4.1.1 Freie unged
mpfte Schwingungen Free undamped vibrations Feder-Masse-System (Bild 1 a). Aus dem dynamischen Grundgesetz folgt mit der Auslenkung
s aus der Nullage und der Federrate c die Differentialgleichung €s bzw:
€s þ w21
s ¼ g mit w21 ¼ c=m: FG
c
s ¼ m


ð2Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 Dabei ist die Amplitude der Schwingung A ¼ C1 þ C2 und die Phasenverschiebung b ¼ arctanðC1 =C2 Þ. C1 und C2 bzw. A und b sind aus den Anfangsbedingungen zu bestimmen; z. B. sðt ¼ 0Þ ¼ s1 und s_ ðt ¼ 0Þ ¼ 0 liefern C2 ¼ 0 und C1 ¼ s1 bzw. A ¼ s1 und b ¼ p=2. Die Schwingung ist eine harmonische Bewegung mit der Eigen- bzw. Kreisfrequenz (Anzahl der Schwingungen in 2p Sepffiffiffiffiffiffiffiffi kunden) w1 ¼ c=m ðmit c ¼ Federrate, m ¼ EinzelmasseÞ bzw. der Hertzschen Frequenz n1 ¼ w1 =2p und der Schwingungsdauer T ¼ 1=n1 ¼ 2p=w1 (Bild 2 c). Gr
ßtwerte: Geschwindigkeit v ¼ Aw1 , Beschleunigung a ¼ Aw21 , Federkraft Fc ¼ cA. Fr die Eigenkreisfrequenz gilt mit der statischen Auslenkung pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sst ¼ FG =c, d. h. c ¼ mg=
sst , auch w1 ¼ g=
sst (mit FG ¼ Gewichtskraft, g ¼ ErdbeschleunigungÞ.

ð1Þ

Bestimmung der Federrate. Jedes elastische System stellt eine Feder dar. Die Federrate ist c=F/f, wenn f die Auslenkung der Masse infolge der Kraft F ist. Fr die Federn nach Bild 1 e–g ist c ¼ F=ðFl3 =3EIy Þ ¼ 3EIy =l3 , c ¼ 48EIy =l3 und c ¼ 192EIy =l3 (mit c=Federrate, l=Balkenlnge, Iy ¼ Flchenmoment 2. Ordnung, E=Elastizittsmodul).

Die L
sung ist
sðtÞ ¼ C1 cos w1 t þ C2 sin w1 t þ mg=c. Die partikulre L
sung mg=c entspricht der statischen Auslenkung

Schaltungen von Federn. Parallelschaltung (Bild 3 a, b): X ci ; ð3Þ c ¼ c1 þ c2 þ c3 þ . . . ¼

Sie ergibt sich auch aus dem Energiesatz U þ E ¼ const d dh c m i bzw: aus ðU þ EÞ ¼ mgðh

sÞ þ
s2 þ
s_ 2 ¼ 0; dt dt 2 2 €s ¼ 0, also d. h.
mg
s_ þ c
s
s_ þ m
s_

€s þ ðc=mÞ
s ¼ g:

Bild 1 a–h. Schwinger mit einem Freiheitsgrad. a Feder-Masse-System; b physikalisches Pendel; c Starrk
rpersystem; d schwingende Wassersule; e einseitig eingespannter, f gelenkig gelagerter und g beidseitig eingespannter Balken mit Einzelmasse; h Drehschwinger

I4.1

Systeme mit einem Freiheitsgrad

B 39

4.1.2 Freie gedmpfte Schwingungen Free damped vibrations Dmpfung durch konstante Reibungskraft (Coulombsche Reibkraft). F
r das Feder-Masse-System gilt €s þ w21 s ¼  Fr =m:

Bild 2 a–c. Harmonische Schwingung. a Schwinger; b Federkennlinie; c Weg-Zeit-Funktion

(Minus bei Hingang und Plus bei R
ckgang.) Die Lsung f
r den ersten R
ckgang mit den Anfangsbedingungen sðt0 ¼ 0Þ ¼ s0 ; s_ ðt0 ¼ 0Þ ¼ 0 lautet sðtÞ ¼ ðs0
Fr =cÞ cos w1 t þ Fr =c. Erste Umkehr f
r w1 t1 ¼ p an der Stelle s1 ¼
ðs0
2Fr =cÞ, entsprechend folgen s2 ¼ þðs0
4Fr =cÞ und jsn j ¼ s0
n  2Fr =c. Die Schwingung bleibt erhalten, solange cjsn j ^ Fr ist, d. h. f
r n % ðcs0
Fr Þ=ð2Fr Þ. Die Schwingungsamplituden nehmen linear mit der Zeit ab, also An
An
1 ¼ 2Fr =c ¼ const; die Amplituden bilden eine arithmetische Reihe. Geschwindigkeitsproportionale Dmpfung. In Schwingungsdmpfern (Gas- oder Fl
ssigkeitsdmpfern) tritt eine Reibungskraft Fr ¼ ku ¼ k_s auf. F
r das Feder-Masse-System gilt (Bild 4 a) €s þ ðk=mÞ_s þ ðc=mÞs ¼ 0 bzw: €s þ 2d_s þ w21 s ¼ 0

Bild 3 a–c. Federn. a, b Parallelschaltung; c Reihenschaltung

Reihen- oder Hintereinanderschaltung (Bild 3 c): X 1=ci : 1=c ¼ 1=c1 þ 1=c2 þ . . . ¼

ð4Þ

ð5Þ

k Dmpfungskonstante, d ¼ k=ð2mÞ Abklingkonstante. Lsung f
r schwache D
mpfung, also f
r l2 ¼ w21
d2 > 0: sðtÞ ¼ Ae
dt sinðlt þ bÞ, d. h. eine Schwingung mit gemß e
dt abklingender Amplitude und der Eigenkreisfrequenz des qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi gedmpften Systems l ¼ w21
d2 (Bild 4 b). Die Eigen-

Ber
cksichtigung der Federmasse. Unter der Annahme, daß die Verschiebungen denen bei statischer Auslenkung gleich sind, d. h. uðxÞ ¼ ðs=lÞx (Bild 2 a), folgt mit dm ¼ ðmF =lÞdx durch Gleichsetzen der kinetischen Energien Zl Z ðx2 =l3 ÞmF dx ð1=2Þ u_ 2 dm ¼ ð1=2Þ_s2 x¼0

¼ ð_s2 =2ÞðmF =3Þ ¼ kmF s_ 2 =2 also k ¼ 1=3; d. h., ein Drittel der Federmasse ist der schwingenden Masse m zuzuschlagen. F
r die Federn nach Bild 1 e und f ist k ¼ 33=140 und k ¼ 17=35. Pendelschwingung. F
r das physikalische Pendel (Bild 1 b) liefert das dynamische Grundgesetz der Drehbewegung bez
glich des Nullpunkts € ¼
FG rS sin j bzw: j € þ ðmgrS =J0 Þ sin j ¼ 0: J0 j € þ w21 j ¼ 0 mit F
r kleine Ausschlge ist sin j  j, d. h. j w21 ¼ g=lr und lr ¼ J0 =ðmrS Þ (lr reduzierte Pendellnge). F
r das mathematische Fadenpendel mit der Masse m am Ende wird rS ¼ l, J0 ¼ ml2 und w21 ¼ g=l. Drehschwingung. F
r die Scheibe gemß Bild 1 h liefert B 3 € ¼
Mt ¼
ðGIt =lÞj bzw. j € þ w21 j ¼ 0 mit Gl. (45) JS j pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w1 ¼ GIt =ðlJS Þ. Hierbei ist It das Torsionsflchenmoment des Torsionsstabs. Die Drehtrgheit der Torsionsfeder wird mit einem Zuschlag von JF =3 zu JS der Scheibe ber
cksichtigt. Starrkrpersysteme (z. B. Bild 1 c). E þ U ¼ m_s2 =2 þ JS j_ 2 =2 þ cs2 =2 þ mgðh
sÞ ¼ const; € þ cs_s
mg_s ¼ 0: dðE þ UÞ=dt ¼ m_s€s þ JS j_ j € ¼ €s=r Hieraus ergibt sich mit j ¼ s=r, j_ ¼ s_ =r und j €s þ w21 s ¼ mg=ðm þ JS =r2 Þ; wobei w21 ¼ c=ðm þ JS =r 2 Þ ist. Weitere Lsung wie beim Feder-Masse-System.

Bild 4 a–d. Gedmpfte freie Schwingung. a Schwinger; b schwache und c starke Dmpfung; d Verhltnis Eigenkreisfrequenz gedmpft zu ungedmpft

B

B 40

B

Mechanik – 4 Schwingungslehre

kreisfrequenz wird mit zunehmender D
mpfung kleiner, die Schwingungsdauer T ¼ 2p=l entsprechend grßer. Nullstellen von s(t) bei t ¼ ðnp
bÞ=l, Extremwerte bei tn ¼ ½arctanðl=dÞ þ np
b=l, Berhrungspunkte bei tn0 ¼ ½ð2n þ 1Þp=2
b=l, tn0
tn ¼ const ¼ ½arctanðd=lÞ=l: Verh
ltnis der Amplituden jsn
1 j=jsn j ¼ const ¼ edp=l ¼ edT=2 ¼ q: Logarithmisches Dekrement J ¼ lnq ¼ dT=2 liefert d=2J/T bzw. k=2m d aus Messung der Schwingungsdauer. Bei starker D
mpfung, also l2 ¼ d2
w21 ^ 0, stellt sich eine aperiodische Bewegung ein mit den Lsungen sðtÞ ¼ e
dt ðC1 elt þ C2 e
lt Þ f
r l2 > 0 und sðtÞ ¼ e
dt ðC1 þ C2 tÞ f
r l2 ¼ 0: Gem
ß den jeweiligen Anfangsbedingungen ðs0 ; u0 Þ ergeben sich unterschiedliche Bewegungsabl
ufe (Bild 4 c). 4.1.3 Unged
mpfte erzwungene Schwingungen Forced undamped vibrations Erzwungene Schwingungen haben ihre Ursache in kinematischer Fremderregung (z. B. Bewegung des Aufh
ngepunkts) oder dynamischer Fremderregung (Unwuchtkr
fte an der Masse). Bei kinematischer Erregung (z. B. nach Bild 5 a ) gilt m€s þ cðs
r sin wtÞ ¼ 0; d: h: €s þ w21 s ¼ w21 r sin wt;

ð6Þ

bei dynamischer Erregung (z. B. nach Bild 5 b) ðm þ 2m1 Þ€s þ cs ¼ 2m1 ew2 sin wt; d: h: €s þ w21 s ¼ w2 R sin wt;

ð7Þ

mit w21 ¼ c=ðm þ 2m1 Þ; R ¼ 2m1 e=ðm þ 2m1 Þ. Die beiden Gleichungen unterscheiden sich nur durch den Faktor auf der rechten Seite. Fr beliebige periodische Erregungen f(t) gilt €s þ w21 s ¼ f ðtÞ;

d. h., die Ausschl
ge gehen im Resonanzfall mit der Zeit gegen unendlich (Bild 5 d). Wirkt die Erregerfunktion gem
ß Gl. (9), so tritt auch Resonanz ein fr w1 ¼ 2w; 3w . . . .

ð8Þ

wobei f(t) durch eine Fourierreihe (harmonische Entwicklung) darstellbar ist (s. A bzw. DUBBEL interaktiv): X ð9Þ f ðtÞ ¼ ðaj cos jwt þ bj sin jwtÞ; w ¼ 2p=T; ZT mit den Fourierkoeffizienten aj ¼ ð2=TÞ f ðtÞ cos jwt dt, bj ¼ ZT 0 ð2=TÞ f ðtÞ sin jwt dt: Ist sj ðtÞ eine Lsung der Differential0

gleichung €sj þ w21 sj ¼ aj cos jwt þ bj sin jwt, so ist die GesamtX lsung sðtÞ ¼ sj ðtÞ. Die Untersuchung des Grundfalls €s þ w21 s ¼ b sin wt zeigt, daß sich die Lsung aus einem homogenen und einem partikul
ren Anteil zusammensetzt (s. A bzw. DUBBEL interaktiv), sðtÞ ¼ sh ðtÞ þ sp ðtÞ ¼ A sinðw1 t þ bÞ þ ½b=ðw21
w2 Þ sin wt: Fr die Anfangsbedingungen sðt ¼ 0Þ ¼ 0 und s_ ðt ¼ 0Þ ¼ 0 ergibt sich sðtÞ ¼ ½b=ðw21

Bild 5 a–e. Erzwungene Schwingung. a Kinematische und b dynamische Erregung; c Schwebung; d Resonanzverhalten; e Einschwingvorgang


w Þ½sin wt
ðw=w1 Þ sin w1 t; 2

d. h. die berlagerung der harmonischen Eigenschwingung mit der harmonischen Erregerschwingung. Fr w  w1 stellt der Verlauf von s(t) eine Schwebung (Bild 5 c) dar. Diese Lsung versagt im Resonanzfall w ¼ w1 . Sie lautet dann sðtÞ ¼ A sinðwt þ bÞ
ðb=wÞt cos wt bzw. fr sðt ¼ 0Þ ¼ 0 und s_ ðt ¼ 0Þ ¼ 0 sðtÞ ¼ ðb=w2 Þðsin wt
wt cos wtÞ;

4.1.4 Ged
mpfte erzwungene Schwingungen. Forced damped vibrations Bei geschwindigkeitsproportionaler D
mpfung und harmonischer Erregung (s. B 4.1.3) gilt €s þ 2d_s þ w21 s ¼ b sin wt bzw: sðtÞ ¼ Ae
dt sinðlt þ bÞ þ C sinðwt
yÞ:

ð10Þ

Der erste Teil, die ged
mpfte Eigenschwingung, klingt mit der Zeit ab (Einschwingvorgang). Danach hat die erzwungene Schwingung dieselbe Frequenz wie die Erregung (Bild 5 e). Faktor C und Phasenverschiebung y im zweiten Teil (erregte Schwingung bzw. partikul
re Lsung) ergeben sich nach Einsetzen in die Differentialgleichung und Koeffizientenvergleich zu qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi C ¼ b= ðw21
w2 Þ2 þ 4d2 w2 und ð11Þ y ¼ arctan½2dw=ðw21
w2 Þ: Mit b ¼ w21 r bei kinematischer und b ¼ w2 R bei dynamischer Erregung ergeben sich die Vergrßerungsfaktoren (Bild 6 a, b) qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Vk ¼ 1=

ð1
w2 =w21 Þ2 þ ð2dw=w21 Þ2 und

Vd ¼ Vk ðw=w1 Þ2 : Aus dVk =dw ¼ 0 folgt fr die Resonanzstellen w bei kinemaqffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi tischer Erregung w=w1 ¼ 1
2d2 =w21 bzw. bei dynamiqffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi scher Erregung w=w1 ¼ 1= 1
2d2 =w21 . Die Resonanz-

I4.2

Systeme mit mehreren Freiheitsgraden (Koppelschwingungen)

B 41

B

Bild 6 a–c. Gedmpfte erzwungene Schwingung. a Vergrßerungsfaktor bei kinematischer und b dynamischer Erregung; c Phasenwinkel y

punkte liegen also bei kinematischer Erregung im unterkritischen, bei dynamischer Erregung im
berkritischen Bereich (Bild 6 a, b). Die Resonanzamplitude ist C
¼ ðb=2dÞ= qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w21  d2 . F
r den Phasenwinkel y nach Gl. (11) gilt f
r beide Erregungsarten Bild 6 c. F
r w < w1 ist y < p=2, f
r w > w1 ist y > p=2. Ohne Reibung ðd ¼ 0Þ sind f
r w < w1 Erregung und Ausschlag in Phase, f
r w > w1 sind sie entgegengesetzt gerichtet. 4.1.5 Kritische Drehzahl und Biegeschwingung der einfach besetzten Welle. Critical speed of shafts, whirling Kritische Drehzahl und (Hertzsche) Biegeeigenfrequenz sind identisch (wenn die Kreiselwirkung bei nicht in der Mitte der St
tzweite sitzender Scheibe (Bild 7 a) und die Federungseigenschaft der Lager vernachlssigt wird [1, 2]). F
r die Biepffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi geeigenfrequenz gilt w1 ¼ c=m1 (bei Vernachlssigung der Wellenmasse) mit c ¼ 3EIy l=ða2 b2 Þ (s. B 4.1.1 und C 2 Tab. 5 a). Ist e die Exzentrizitt der Scheibe und w1 die elastische Verformung infolge der Fliehkrfte, so folgt aus dem Gleichgewicht zwischen elastischer R
ckstell- und Fliehkraft

cw1 ¼ m1 w2 ðe þ w1 Þ; w1 ¼ e

ðw=w1 Þ2 1  ðw=w1 Þ2

:

ð12Þ

F
r w ¼ w1 folgt w1 ! 1, also Resonanz (Bild 7 b). Dagegen stellt sich f
r w=w1 ! 1 der Wert w1 ¼ e ein, d. h., die Welle zentriert sich oberhalb w1 selbst, der Schwerpunkt liegt f
r w ! 1 genau auf der Verbindungslinie der Auflager. F
r e ¼ 0 folgt aus Gl. (12) w1 ðc  m1 w2 Þ ¼ 0, d. h. w1 6¼ 0 f
r pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w ¼ c=m1 ¼ w1 , also kritische Drehzahl n ¼ w=ð2pÞ ¼ w1 =ð2pÞ ¼ n1 . F
r andere Lagerungsarten ist ein entsprechendes c einzusetzen (s. B 4.1.1). Die Dmpfung ist in der Regel f
r umlaufende Wellen sehr gering und hat kaum Einfluß auf die kritische Drehzahl.

4.2 Systeme mit mehreren Freiheitsgraden (Koppelschwingungen). Multi-degree-of-freedom systems (coupled vibrations) Auf Bild 8 a–e sind ein Ein-Massensystem mit drei Freiheitsgraden in der Ebene und mehrere Zwei-Massensysteme mit zwei Freiheitsgraden dargestellt, die elastisch usw. verbunden bzw. gekoppelt sind. Ein System mit n Freiheitsgraden hat n Eigenfrequenzen. Die Herleitung der n gekoppelten Differentialgleichungen erfolgt bei mehreren Freiheitsgraden zweckmßig mit Hilfe der Lagrangeschen Gleichungen (s. B 3.3.6). 4.2.1 Freie Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden. Free vibrations with two and multi-DOFs F
r ein ungedmpftes System nach Bild 8 b gilt m1€s1 ¼ c1 s1 þ c2 ðs2  s1 Þ; m2€s2 ¼ c2 ðs2  s1 Þ bzw: m1€s1 þ ðc1 þ c2 Þs1  c2 s2 ¼ 0; m2€s2 þ c2 s2  c2 s1 ¼ 0; ð13Þ s1 ; s2 Auslenkungen aus der statischen Ruhelage. Der Lsungsansatz (s. B 4.1.1) s1 ¼ A sinðwt þ bÞ und s2 ¼ B sinðwt þ bÞ liefert mit c ¼ c1 þ c2 Aðm1 w2  cÞ þ Bc2 ¼ 0 und Ac2 þ Bðm2 w2  c2 Þ ¼ 0:

Bild 7 a, b. Kritische Drehzahl. a Einfach besetzte Welle; b Resonanzbild

ð14Þ

ð15 a; bÞ

Dieses lineare homogene Gleichungssystem f
r A und B hat nur dann von null verschiedene Lsungen, wenn die Nennerdeterminante verschwindet (s. A bzw. DUBBEL interaktiv), d. h. m1 m2 w4  ðm1 c2 þ m2 cÞw2 þ ðcc2  c22 Þ ¼ 0

B 42

Mechanik – 4 Schwingungslehre

B

Bild 8 a–f. Koppelschwingungen. a Grundsystem, b bis e analoge Systeme; f Resonanzkurven bei zwei Freiheitsgraden

wird. Die beiden L
sungen w1 und w2 dieser charakteristischen Gleichung sind die Eigenkreisfrequenzen des Systems. Da die Differentialgleichungen linear sind, gilt das Superpositionsgesetz, und die Gesamtl
sung lautet s1 ¼ A1 sinðw1 t þ b1 Þ þ A2 sinðw2 t þ b2 Þ; s2 ¼ B1 sinðw1 t þ b1 Þ þ B2 sinðw2 t þ b2 Þ:

ð16 a; bÞ

Nach Gl. (15 a) gilt A1 =B1 ¼ c2 ðc
m1 w21 Þ ¼ 1=k1 bzw. A2 =B2 ¼ c2 =ðc
m1 w22 Þ ¼ 1=k2 und damit aus Gl. (16 b) s2 ¼ k1 A1 sinðw1 t þ b1 Þ þ k2 A2 sinðw2 t þ b2 Þ:

ð16 cÞ

Die Gln. (16 a und c) enthalten vier Konstanten A1 , A2 , b1 , b2 zur Anpassung an die vier Anfangsbedingungen. Der Schwingungsvorgang ist nur dann periodisch, wenn w1 und w2 in einem rationalen Verhltnis zueinander stehen. Wenn w1  w2 ist, treten Schwebungen auf. Bei mehr als zwei Freiheitsgraden ist fr jeden ein Ansatz gemß Gl. (14) zu machen. Aus der gleich Null gesetzten Koeffizientendeterminante ergibt sich eine charakteristische Gleichung n-ten Grads, aus der die n Eigenkreisfrequenzen folgen. Fr die gedmpfte Schwingung lauten die Differentialgleichungen bei zwei Freiheitsgraden fr das System nach Bild 8 b m1€s1 þ k1 s_ 1 þ ðc1 þ c2 Þs1
c2 s2 ¼ 0; m2€s2 þ k2 s_ 2 þ c2 s2
c2 s1 ¼ 0:
ekt und s2 ¼ B
ekt ergibt sich wieder Mit dem Ansatz s1 ¼ A eine Gleichung vierten Grads mit paarweise konjugiert komplexen Wurzeln k1 ¼
r1 þ iw1 usw. und damit die endgltige L
sung s1 ðtÞ ¼ e
r1 t A1 sinðw1 t þ b1 Þ þ e
r2 t A2 sinðw2 t þ b2 Þ; s2 ðtÞ ¼ e
r1 t B1 sinðw1 t þ b1 Þ þ e
r2 t B2 sinðw2 t þ b2 Þ: Zwischen A1 und B1 bzw. A2 und B2 besteht wieder ein linearer Zusammenhang analog zur ungedmpften Schwingung.

4.2.2 Erzwungene Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden Forced vibrations with two and multi-DOFs Fr ein unged
mpftes System nach Bild 8 b mit kinematischer oder dynamischer Erregung b1 sin wt der Masse m1 gilt m1€s1 þ ðc1 þ c2 Þs1
c2 s2 ¼ b1 sin wt; m2€s2 þ c2 s2
c2 s1 ¼ 0:

ð17Þ

Da der homogene L
sungsanteil infolge der stets vorhandenen schwachen Dmpfung whrend des Einschwingvorgangs abklingt, gengt die Betrachtung der partikulren L
sung. Hierfr folgen mit dem Ansatz s1 ¼ C1 sinðwt
y1 Þ; s2 ¼ C2 sinðwt
y2 Þ

ð18Þ

durch Einsetzen in Gl. (17) und Koeffizientenvergleich y1 ¼ 0, y2 ¼ 0 sowie mit c1 þ c2 ¼ c C1 ðm1 w2
cÞ þ C2 c2 ¼
b1 ; C1 c2 þ C2 ðm2 w2
c2 Þ ¼ 0:

ð19Þ

Hieraus C1 ¼ Z1 =N und C2 ¼ Z2 =N, wobei die Nennerdeterminante N ¼ m1 m2 w4
ðm1 c2 þ m2 cÞw2 þ ðcc2
c22 Þ mit der in der charakteristischen Gleichung in B 4.2.1 bereinstimmt. Resonanz tritt auf, wenn N ¼ 0 wird, d. h. fr Eigenkreisfrequenzen w1 und w2 des freien Schwingers. Die Zhlerdeterminanten sind Z1 ¼ b1 ðc2
m2 w2 Þ, Z2 ¼ b1 c2 . Fr kinematische Erregung ðb1 ¼ w21 rÞ sind in Bild 8 f die Amplituden C1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi und C2 als Funktion von w dargestellt. Fr w ¼ c2 =m2 wird C1 ¼ 0 und C2 relativ klein, d. h., die Masse m1 ist in Ruhe (Masse m2 wirkt als Schwingungstilger). Bei n Massen treten Resonanzen bei den n Eigenfrequenzen auf. Dabei mssen die Ausschlge nicht immer gegen unendlich gehen, einige k
nnen auch endlich bleiben (Scheinresonanz [1]). Fr die ged
mpfte erzwungene Schwingung nimmt z. B. die Gl. (17) die Form m1€s1 þ k_s1 þ cs1
c2 s2 ¼ b1 sin wt; m2€s2 þ k2 s_ 2 þ c2 s2
c2 s1 ¼ 0

ð20Þ

I4.2

Systeme mit mehreren Freiheitsgraden (Koppelschwingungen)

an ðc ¼ c1 þ c2 Þ. Ohne den Einschwingvorgang, d. h. den homogenen L
sungsteil, und mit dem erzwungenen (partikulren) Teil der L
sung nach Gl. (18) folgen nach Einsetzen in Gl. (20) und Koeffizientenvergleich die Werte fr die Amplituden C1 , C2 und die Phasenwinkel y1 , y2 . Resonanz ist vorhanden, wenn C1
C2 ¼ Extr:, d. h. w1 und w2 folgen aus dðC1
C2 Þ=dt ¼ 0. Bei einem System von n Massen wird der Rechenaufwand sehr groß. Daher begngt man sich bei schwacher Dmpfung mit der Ermittlung der Eigenfrequenzen fr das ungedmpfte System. 4.2.3 Eigenfrequenzen unged
mpfter Systeme Natural frequency of undamped systems Biegeschwingungen und kritische Drehzahlen mehrfach besetzter Wellen. Hertzsche Frequenzen der Biegeeigenschwingungen und kritische Drehzahlen (ohne Kreiselwirkung) sind identisch. Mit si ¼ wi sin wt folgt unter Bercksichtigung der Trgheitskrfte
mi€si ¼ mi w2 wi sin wt fr die Biegeschwingung (Bild 8 e) s1 ¼
a11 m1€s1
a12 m2€s2 ; ð21Þ s2 ¼
a21 m1€s1
a22 m2€s2 bzw. w1 ¼ a11 m1 w2 w1 þ a12 m2 w2 w2 ; w2 ¼ a21 m1 w2 w1 þ a22 m2 w2 w2 :

ð22Þ

Gleichung (22) entsteht auch fr die umlaufende Welle mit den Zentrifugalkrften mi w2 wi : Die aik sind Einflußzahlen; sie sind gleich der Durchbiegung wi infolge einer Kraft Fk ¼ 1. Ihre Berechnung erfolgt zweckmßig mit dem Prinzip der Z virtuellen Verrckungen fr elastische K
rper aus aik ¼ Mi Mk dx=EIy oder nach dem Mohrschen Verfahren oder anderen Methoden (Tabellenwerte, Integration usw.; s. C 2.4.8). Es gilt aik ¼ aki (Satz von Maxwell). Aus Gl. (22) folgt w1 ða11 m1
1=w2 Þ þ w2 a12 m2 ¼ 0; w1 a21 m1 þ w2 ða22 m2
1=w2 Þ ¼ 0:

ð23Þ

Sie haben nur nichttriviale L
sungen, wenn die Determinante null wird, d. h. (mit 1=w2 ¼ W), wenn W2
ðm1 a11 þ m2 a22 ÞW þ ða11 a22
a12 a21 Þm1 m2 ¼ 0 ist. Hieraus folgen zwei L
sungen W1;2 bzw. w1;2 fr die Eigenkreisfrequenzen. Fr das Verhltnis der Amplituden ergibt sich aus Gl. (23) w2 =w1 ¼ ð1=w2
a11 m1 Þ=ða12 m2 Þ. Fr die n-fach besetzte Welle erhlt man analog n Eigenfrequenzen aus einer Gleichung n-ten Grades. N
herungswerte mit dem Rayleighschen Quotienten.Aus
max folgt der Rayleighsche Quotient Umax ¼ Emax ¼ w2 E
max : R ¼ w2 ¼ Umax =E Z Umax ¼ ð1=2Þ Mb2 ðxÞ dx=ðEIy Þ; Z X
max ¼ ð1=2Þ w2 ðxÞ dm þ ð1=2Þ E mi w2i :


max ¼ ð1=2Þ I ¼ Umax
w2 E

B 43

Z

½EIy w002 ðxÞ X
w2 w2 ðxÞrAdx
ð1=2Þw2 mi w2i ¼ Extr:;

d. h. ¶I=¶cj ¼ 0 ðj ¼ 1; 2; . . . ; nÞ; n homogene lineare Gleichungen und durch Nullsetzen der Determinante eine Gleichung n-ten Grades fr die n Eigenkreisfrequenzen als Nherung. M
glich ist auch, die Eigenfunktion fr jeden h
heren Eigenwert fr sich zu schtzen, ihn aus Gl. (24) direkt zu ermitteln und gegebenenfalls schrittweise zu verbessern [1–3]. Drehschwingungen der mehrfach besetzten Welle. Verfgbar sind hnliche Verfahren wie bei Biegeschwingungen (s. O 2.7). 4.2.4 Schwingungen der Kontinua Vibration of continuous systems Ein massebehaftetes Kontinuum hat unendlich viele Eigenkreisfrequenzen. Als Bewegungsgleichungen erhlt man aus den dynamischen Grundgesetzen partielle Differentialgleichungen. Die Befriedigung der Randbedingungen liefert transzendente Eigenwertgleichungen. Fr Nherungsl
sungen geht man vom Rayleighschen Quotienten und vom Ritzschen Verfahren (B 4.2.3) aus. Biegeschwingungen von St
ben. Die Differentialgleichung
 ¶2 w ¶2 ¶2 w bzw. fr freie lautet rA 2 ¼
pðx; tÞ
2 EIy 2 ¶x ¶t ¶x Schwingung und konstanten Querschnitt ¶2 w=¶t2 ¼
c2 ¶4 w=¶x4 ; c2 ¼ EIy =ðrAÞ:

ð25Þ

Der Produktansatz von Bernoulli (s. A bzw. DUBBEL interaktiv) wðx; tÞ ¼ XðxÞTðtÞ eingesetzt in Gl. (25) liefert X T€ ¼
c2 X ð4Þ T bzw: T€ =T ¼
c2 X ð4Þ =X ¼
w2 ; d. h. T€ þ w2 T ¼ 0 und X ð4Þ
ðw2 =c2 Þ X ¼ 0. Mit l4 ¼ ðw2 =c2 Þl4 lautet die L
sung wðx; tÞ ¼ A sinðwt þ bÞ½C1 cosðlx=lÞ þ C2 sinðlx=lÞ þ C3 coshðlx=lÞ þ C4 sinhðlx=lÞ:

ð26Þ

Fr den Stab nach Bild 9 a lauten die Randbedingungen Xð0Þ ¼ 0, X 0 ð0Þ ¼ 0, X 00 ðlÞ ¼ 0, X 000 ðlÞ ¼ 0. Damit folgt aus Gl. (26) die Eigenwertgleichung cosh l cos l ¼
1 mit den Eigenwerten l1 ¼ 1;875; l2 ¼ 4;694; l3 ¼ 7;855 usw. Fr die Stbe nach Bild 9 b–d ergeben sich die ersten drei Eigenwerte zu l1 ¼ p; 3;927; 4;730; l2 ¼ 2p; 7;069; 7;853; l3 ¼ 3p; 10;210; 10;996.

ð24Þ

w(x) und Mb ðxÞ ¼ EIy w00 ðxÞ sind Biegelinie und Biegemomentenlinie bei Schwingung. Fr die wirkliche Biegelinie (Eigenfunktion) wird R zum Minimum. Fr eine die Randbedingungen befriedigende Vergleichsfunktion (z. B. Biegelinie und Biegemomentenlinie infolge Eigengewichts) ergeben sich gute Nherungen fr R1 bzw. w1 (erste Eigenkreisfrequenz). Der Nherungswert ist stets gr
ßer als der wirkliche Wert. Durch einen Ritzschen Ansatz mehrerer Funktionen wðxÞ ¼ X ck uk ðxÞ folgen aus

Bild 9 a–d. Biegeschwingung von Stben. a Einseitig eingespannt; b gelenkig gelagert; c gelenkig gelagert und eingespannt; d beidseitig eingespannt

Fr Stbe mit zustzlichen Einzelmassen ist die L
sung Gl. (26) fr jeden Abschnitt anzusetzen. Nach Erfllen der bergangsbedingungen usw. erhlt man die Frequenzgleichung. Da der Aufwand groß ist, wird die Nherung mit dem Rayleighschen Quotienten und dem Ritzschen Verfahren (s. B 4.2.3 und folgendes Beispiel) verwendet.

B

B 44

Mechanik – 4 Schwingungslehre f(x) ist eine die Randbedingungen befriedigende Vergleichsfunktion (s. auch B 4.2.3). Schwingungen von Membranen. F
r die Rechteckmembran gilt

B

Sð¶2 w=¶x2 þ ¶2 w=¶y2 Þ ¼ m ¶2 w=¶t2


2 1 1 ½ f ðxÞ
2 d x þ mk f x ¼ l 2 2 0     F l3 x 2 x3 Ansatz: wðxÞ ¼ 3 4 (s. C 2.4.8, Tab. 5 b, 48 E Iy l l      x 2 x 3 Belastungsfall 6) ) f ðxÞ ¼ 3 4 und Ausnutzen l l vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u Umax uE Iy 192 der Symmetrie w1 ¼ ¼t 3  mit ms ¼ l 13 Emax ms þ mk 35 Masse des Stabes. W
rde man die Masse ms des Stabes konzentriert zustzlich an der Stelle l/2 anbringen und den Stab selbst als Feder ausf
hren, ergibt sich wegen rffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c E Iy 192  . ¼ l3 ðms þ mk Þ m Zl=2

Emax ¼ r A

L
ngsschwingungen von St
ben. Die Differentialgleichung   ¶2 u ¶ ¶u lautet rA 2 ¼ EA bzw. f
r A ¼ const ¶t ¶x ¶x ¶2 u=¶t2 ¼ c2 ¶2 u=¶x2 ; c2 ¼ ðEAÞ=ðr AÞ ¼ E=r;

ð27Þ

mit der Lsung uðx; tÞ ¼ A sinðwt þ bÞ½C1 cosðwx=cÞ þ C2 sinðwx=cÞ
: ð28Þ Nach Erf
llen der Randbedingungen ergeben sich folgende Eigenkreisfrequenzen: Stab an einem Ende fest, am anderen frei: wk ¼ ðk  1=2Þpc=l ðk ¼ 1; 2; . . .Þ; Stab an beiden Enden fest: wk ¼ kpc=l ðk ¼ 1; 2; . . .Þ; Stab an beiden Enden frei: wk ¼ kpc=l ðk ¼ 1; 2; . . .Þ: Bei zustzlich mit Einzelmassen besetztem Stab gelten die f
r Biegeschwingungen gemachten Bemerkungen entsprechend. Der Rayleighsche Quotient ist
max mit R ¼ w2 ¼ Umax =E Z Z
¼ ð1=2Þ rAf 2 ðxÞ dx; Umax ¼ ð1=2Þ EAf 02 ðxÞ dx; E wenn f(x) eine die Randbedingungen erf
llende Vergleichsfunktion ist (s. auch B 4.2.3). Torsionsschwingungen von St
ben. Hier gilt   ¶2 j ¶ ¶j J 2 ¼ GIt ¶t ¶x ¶x bzw. f
r It ¼ const ¶2 j=¶t2 ¼ c2 ¶2 j=¶x2 ; c2 ¼ ðGIt Þ=ðJ=lÞ:

ð29Þ

Lsung und Eigenwerte wie bei Lngsschwingungen. Bei zustzlich mit Drehmassen besetzten Stben gelten entsprechende Bemerkungen wie bei Biegeschwingungen. Der Rayleigh
max mit sche Quotient ist R ¼ w2 ¼ Umax =E Z Z
¼ ð1=2Þ ðJ=lÞ f 2 ðxÞ dx: Umax ¼ ð1=2Þ GIt f 02 ðxÞ dx; E Schwingungen von Saiten (straff gespannte Seile). Hier gilt ¶2 w=¶t2 ¼ c2 ¶2 w=¶x2 ; c2 ¼ S=m

ð30Þ

(S Spannkraft, m Masse pro Lngeneinheit). Lsung von Gl. (30) s. Gl. (28). Eigenfrequenzen wk ¼ kpc=l ðk ¼ 1; 2; . . .Þ, l
max Saitenlnge. Rayleighscher Quotient R ¼ w2 ¼ Z Umax =E Z mit

Umax ¼ ð1=2ÞS

f 02 ðxÞ dx;


max ¼ ð1=2Þm E

f 2 ðxÞdx.

ð31Þ

(S Spannkraft je Lngeneinheit, m Masse je Flcheneinheit) mit der Lsung wðx; y; tÞ ¼ A sinðwt þ bÞ½C1 cos lx þ C2 sin lx
ð32Þ  ½D1 cos ky þ D2 sin ky
: Mit a und b als Seitenlngen gilt f
r Eigenwerte lj ¼ jp=a, kk ¼ kp=b ðj; k ¼ 1; 2; . . .Þ. Eigenkreisfrequenzen: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi wjk ¼ p ðS=mÞ½j2 =a2 þ k2 =b2
ðj; k ¼ 1;2; . . .Þ:
max mit Rayleighscher Quotient: R ¼ w2 ¼ Umax =E ZZ "
2
2 # ¶f ¶f þ Umax ¼ ðS=2Þ dx dy; ¶x ¶y ZZ
max ¼ ðm=2Þ f 2 ðx; yÞdx dy: E f (x, y) ist eine die Randbedingungen erf
llende Vergleichsfunktion (s. auch B 4.2.3). F
r die Kreismembran gilt in Polarkoordinaten mit c2 ¼ S=m
2  ¶2 w ¶ w 1 ¶w 1 ¶2 w ¼ c2 þ þ ð33Þ ¶t2 ¶r 2 r ¶r r 2 ¶j2 mit der Lsung wðr; j; tÞ ¼ A sinðwt þ bÞðC cos nj þ D sin njÞ  Jn ðwr=cÞ ð34Þ ðn ¼ 0; 1; 2; . . .Þ: Jn ðwr=cÞ sind Besselsche Funktionen erster Art [4]. (F
r rotationssymmetrische Schwingungen ist n ¼ 0.) Eigenwerte wnj ¼ ðc=aÞxnj (a Radius der Membran, xnj Nullstellen der Besselschen Funktionen): x01 ¼ 2;405; x02 ¼ 5;520; x11 ¼ 3;832; x12 ¼ 7;016; x21 ¼ 5;135 usw.
max . Rayleighscher Quotient: R ¼ w2 ¼ Umax =E F
r rotationssymmetrische Schwingungen ist Z
2 df Umax ¼ ðS=2Þ 2pr dr und dr Z
max ¼ ðm=2Þ f 2 ðrÞ2pr dr: E Biegeschwingungen von Platten. Die Differentialgleichung lautet mit der Plattensteifigkeit N ¼ Eh3 =½12ð1  n2 Þ
f
r die Rechteckplatte
 ¶2 w N N ¶4 w ¶4 w ¶4 w ð35Þ ¼  DDw ¼  þ2 2 2 þ 4 : ¶t2 rh rh ¶x4 ¶x ¶y ¶y Mit a und b als Seitenlngen gilt f
r die gelenkig gelagerte Platte wðx; y; tÞ ¼ A sinðwt þ bÞ sinðjpx=aÞ sinðkpy=bÞ: ð36Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Eigenwerte: wjk ¼ ðj2 =a2 þ k2 =b2 Þp2 N=ðrhÞ ðj; k ¼ 1; 2; . . .Þ.
max mit Rayleighscher Quotient: R ¼ w2 ¼ Umax =E 2 ZZ "
2 ¶ f ¶2 f Umax ¼ ðN=2Þ þ ¶x2 ¶y2
2 2 !# ¶2 f ¶2 f ¶ f   2ð1  nÞ dx dy und ¶x2 ¶y2 ¶x ¶y ZZ
max ¼ ðrh=2Þ f 2 ðx, yÞ dx dy: E f (x, y) ist eine die Randbedingungen befriedigende Vergleichsfunktion (s. B 4.2.3). F
r die Kreisplatte ist bei rotationssymmetrischer Schwingung w ¼ wðr; tÞ ¼ f ðrÞ sinðwt þ bÞ und somit nach Gl. (35) ðw2 rh=NÞ f ðrÞ ¼ l4 f ðrÞ ¼ DD f ðrÞ, d. h. DDf  l4 f ¼ 0 bzw.

I4.3 ðD þ l2 ÞðD
l2 Þ½ f  ¼ 0. Hieraus folgen die Differentialgleichungen ð37Þ Df þ l2 f ¼ 0 und Df
l2 f ¼ 0 bzw: d2 f =dr 2 þ ð1=rÞ df =dr þ l2 f ¼ 0 und

d2 f =dr 2 þ ð1=rÞ df =dr
l2 f ¼ 0:

Superponierte L
sungen der Besselschen Differentialgln. (37) sind f ðrÞ ¼ C1 J0 ðlrÞ þ C2 N0 ðlrÞ þ C3 I0 ðlrÞ þ C4 K0 ðlrÞ

ð38Þ

(N0 Neumannsche Funktion, I0 und K0 modifizierte Besselsche Funktionen [8]). Fr die gelenkig gelagerte Platte mit Radius a folgt aus Gl. (38) die Eigenwertgleichung

 I1 ðlaÞ J1 ðlaÞ J0 ðlaÞ I0 ðlaÞ
þ I0 ðlaÞ J0 ðlaÞ
¼ 0 ð39Þ la la mit den L
sungen l1 a ¼ 2;108; l2 a ¼ 5;42; l3 a ¼ 8;59. Hierpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aus w ¼ l2 N=ðrhÞ. Fr die eingespannte Kreisplatte folgt aus Gl. (38) die Eigenwertgleichung J0 ðlaÞI1 ðlaÞ þ I0 ðlaÞJ1 ðlaÞ ¼ 0 mit den L
sungen l1 a ¼ 3;190; l2 a ¼ 6;306; l3 a ¼ 9;425. Hieraus pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w ¼ l2 N=ðrhÞ.
max . Fr rotationsRayleighscher Quotient R ¼ w2 ¼ Umax =E symmetrische Schwingung ist 2 Z " 2 d f 1 df Umax ¼ ðN=2Þ þ dr 2 r dr  1 df d2 f
2ð1
nÞ 2pr dr und 2 r dr dr Z
max ¼ ðrh=2Þ f 2 ðrÞ2pr dr: E

4.3 Nichtlineare Schwingungen Non-linear vibrations Schwingungsprobleme dieser Art fhren auf nichtlineare Differentialgleichungen. Nichtlineare Schwingungen entstehen z. B. durch nichtlineare Federkennlinien oder Rckstellkrfte (physikalisches Pendel mit großen Ausschlgen) oder durch nicht nur vom Ausschlag, sondern auch von der Zeit abhngige Rckstellkrfte (z. B. Pendel mit bewegtem Aufhngepunkt).

Nichtlineare Schwingungen

B 45

4.3.1 Schwinger mit nichtlinearer Federkennlinie oder R
ckstellkraft Systems with non-linear spring characteristics

B

Es gilt m€s ¼ FðsÞ (Bild 10 a), nherungsweise FðsÞ ¼
csð1 þ es2 Þ (e > 0 berlineare, e < 0 unterlineare Kennlinie). Freie ungedmpfte Schwingungen. Die Differentialgleichung lautet €s þ w21 sð1 þ es2 Þ ¼ 0 bzw: €s þ w21 s þ w21 es3 ¼ 0:

ð40Þ

s_ €s þ w21 s_ s þ w21 e_ss3

Multiplikation mit s_ liefert ¼ 0 und hieraus nach Integration mit den Anfangsbedingungen sðt ¼ 0Þ ¼ s0 , s_ ðt ¼ 0Þ ¼ u0 und Trennen der Variablen s_ 2 þ w21 ðs2 þ e s4 =2Þ ¼ u20 þ w21 ðs20 þ e s40 =2Þ ¼ C2 ; Zs tðsÞ ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ds= C2
w21 s2
w21 es4 =2:

ð41Þ ð42Þ

s0

Das Integral ergibt nach Umformung [5, 6] ein elliptisches Integral 1. Gattung [7]. Schwingungsdauer und Frequenz werden abhngig vom Gr
ßtausschlag. Fr kleine Ausschlge ergibt sich durch schrittweise Nherung [1] fr die Frequenz pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w ¼ w21 ð1 þ 0;75eA2 Þ; A Amplitude des Schwingungsausschlags. Das physikalische Pendel lßt sich mit der reduzierten Pendellnge l ¼ J0 =ðmrS Þ (s. B 3.6.3) auf ein mathematisches mit € þ ðg=lÞ sin j ¼ 0 zurckfhren. Die L
sung fhrt wieder auf j ein elliptisches Integral 1. Gattung mit der Schwingungsdauer pffiffiffiffiffiffiffi T ¼ l=gFðp=2; kÞ fr das hin- und herschwingende Pendel 2 ðk ¼ w21 l=ð4gÞ < 1Þ. Fr kleinere Ausschlge ergibt sich die pffiffiffiffiffiffiffi Nherungsl
sung [1] T ¼ 2p l=gð1 þ A2 =16Þ. Erzwungene Schwingungen. Die Differentialgleichung lautet €s þ 2d_s þ w21 ð1 þ es2 Þs ¼ a0 cosðwt þ bÞ

ð43Þ

fr geschwindigkeitsproportionale Dmpfung und periodische Erregerkraft. Mit s ¼ A cos wt folgt aus Gl. (43) nach Koeffizientenvergleich ½ðw21
w2 þ 0;75w21 eA2 Þ2 þ 4d2 w2 A2 ¼ a20 :

Bild 10 a–c. Nichtlineare Schwingungen. a Federkennlinien; b Resonanzdiagramme; c Struttsche Karte (schraffierte L
sungsgebiete sind stabil)

ð44Þ

B 46

B

Mechanik – 5 Hydrostatik (Statik der Fl
ssigkeiten)

Bild 10 b zeigt Amplituden als Funktion der Erregerfrequenz w (Resonanzkurven) f
r e > 0 und e < 0. In bestimmten Bereichen gibt es mehrdeutige Lsungen. Der mittlere gestrichelte Ast ist nicht stabil und wird nicht durchlaufen. Je nachdem, ob w grßer oder kleiner wird, tritt in den Punkten P, Q, R, S ein Sprung in der Amplitude (Kippung) ein [5]. 4.3.2 Schwingungen mit periodischen Koeffizienten (rheolineare Schwingungen) Vibration of systems with periodically varying parameters (Parametrically excited vibrations) Hier ist die R
ckstellkraft nicht nur vom Ausschlag abhngig, sondern auch von einem vernderlichen Koeffizienten c ¼ cðtÞ (z. B. Pendel mit bewegter Aufhngung, Lokomotivstangenschwingung [1]). F
r die ungedmpfte Schwingung

5 Hydrostatik (Statik der Fl
ssigkeiten) Hydrostatics Fl
ssigkeiten und Gase unterscheiden sich im wesentlichen durch ihre geringe bzw. starke Kompressibilitt. Sie haben viele gemeinsame Eigenschaften und werden einheitlich als Fluide bezeichnet. Sie sind leicht verschieblich und nehmen jede ußere Form ohne wesentlichen Widerstand an; meist knnen sie als homogenes Kontinuum angesehen werden. Druck. p ¼ dF=dA ist in ruhenden Fl
ssigkeiten richtungsunabhngig, d. h. eine skalare Ortsfunktion, da aus dem Newtonschen Schubspannungsansatz txy ¼ hð¶ux =¶y þ ¶uy =¶xÞ f
r ux ¼ uy ¼ 0 sich txy ¼ 0 und entsprechend txz ¼ tyz ¼ 0 ergibt. Damit folgt aus den Gleichgewichtsbedingungen px ¼ py ¼ pz ¼ pðx; y; zÞ. An den Begrenzungsflchen steht p wegen t ¼ 0 senkrecht zur Flche. Dichte. r ¼ dm=dV. Fl
ssigkeiten sind geringf
gig kompressibel; es gilt dV=V ¼ dp=E bzw. r ¼ r0 =ð1
Dp=EÞ. Elastizittsmodul E bei 0 C: f
r Wasser 2;1  105 N=cm2 , f
r Benzol 1;2  105 N=cm2 , f
r Quecksilber 2;9  106 N=cm2 (dagegen f
r Stahl 2;1  107 N=cm2 ). F
r die meisten Probleme knnen Fl
ssigkeiten als inkompressibel angesehen werden. Gase sind kompressibel, d. h., die Dichte ndert sich gemß r ¼ p=ðRTÞ (s. D 6.1.1). Kapillaritt und Oberflchenspannung. Fl
ssigkeiten steigen oder sinken in Kapillaren als Folge der Molekularkrfte zwischen Fl
ssigkeit und Wand bzw. zwischen Fl
ssigkeit und Luft. Molekularkrfte erzeugen Oberflchenspannungen

gilt m€s þ ½c
f ðtÞs ¼ 0 bzw. €s þ ½l þ gFðtÞs=0. Diese Gleichung heißt Hillsche Differentialgleichung, wenn F(t) periodisch ist [8]. Eine Sonderform dieser Gleichung ist die Mathieusche Differentialgleichung [1, 5, 8] €s þ ðl
2h cos 2tÞs ¼ 0:

ð45Þ

(Sie gilt z. B. f
r Pendelschwingungen mit periodisch bewegtem Aufhngepunkt oder f
r Biegeschwingungen eines Stabs unter pulsierender Axiallast.) Lsungen mit Mathieuschen Funktionen usw. s. [8]. s(t) zeigt als Funktion von l und h Gebiete stabilen und instabilen Verhaltens, d. h., ob Ausschlge kleiner oder grßer werden. Stabile und instabile Gebiete wurden von Strutt ermittelt und in der nach ihm benannten Struttschen Karte dargestellt (Bild 10 c).

s (z. B. bei 20 C f
r Wasser gegen Luft 0,073 N/m, f
r Alkohol gegen Luft 0,025 N/m und f
r Quecksilber gegen Luft 0,47 N/m). Die kapillare Steighhe betrgt h ¼ 4s=ðdr gÞ ðd Kapillarendurchmesser). Bei nicht benetzenden Fl
ssigkeiten (z. B. Quecksilber) sinkt der Spiegel in der Kapillare. Druckverteilung in der Fl
ssigkeit. Wegen des Gleichgewichts f
r ein Element (Bild 1 a) gilt p dA þ r g dA dz
ðp þ dpÞ dA ¼ 0; d: h: dp=dz ¼ r g bzw. nach Integration p ¼ pðx; y; zÞ ¼ r gz þ C: Mit pðz ¼ 0Þ ¼ p0 folgt p ¼ pðzÞ ¼ p0 þ r g z;

ð1Þ

d. h., der Druck hngt linear von der Tiefe z ab und ist von x und y unabhngig. F
r r g ¼ 0, d. h. ohne Ber
cksichtigung des Gewichts, folgt aus Gl. (1) pðx; y; zÞ ¼ p0 , d. h., der Preßdruck p0 pflanzt sich nach allen Orten hin gleich groß fort (Gesetz von Pascal). Druck auf ebene Wnde. F
r einen Behlter mit berdruck p€u (Bild 1 b) berechnet man zunchst die Ersatzspiegelhhe h€u ¼ p€u =ðr gÞ. Von ihr werden die Koordinaten z und h gezhlt ðz ¼ h sin bÞ. Die resultierende Druckkraft Z F ¼ r gz dA ¼ r gAzS ð2Þ greift im Druckmittelpunkt M an. Die Lage des Druckmittelpunkts ist gegeben durch e
y ¼ I
x =ðAhS Þ; e
x ¼ I
x
y =ðAhS Þ;

ð3Þ

I
x axiales Flchenmoment 2. Ordnung, I
x
y zentrifugales oder gemischtes Flchenmoment 2. Ordnung,
x und
y Achsen

Bild 1 a–c. Hydrostatischer Druck. a Verteilung; b auf geneigte und c auf vertikale Wnde

I5 durch den Fl
chenschwerpunkt. Fr symmetrische Fl
chen ist Ix

y¼0 . Fr F
lle nach Bild 1 c gilt mit b ¼ 90
– Wand: I
x ¼ bh3 =12; F ¼ r gbh2 =2; e
y ¼ h=6; – Rechteckklappe: Ix
¼ bh3 =12; F ¼ % gbhzS ; ey
¼ h2 =ð12zS Þ; – Kreisklappe: I
x ¼ pd 4 =64; F ¼ r gzS pd2 =4; e
y ¼ d 2 =ð16zS Þ: Beispiel: Beh
lter mit Ablaßklappe. Gegeben: p€u ¼ 0; 5 bar; H ¼ 2 m, b ¼ 60
. Zu berechnen ist die Grße und Lage der resultierenden Druckkraft auf eine kreisfrmige Klappe vom Durchmesser d = 500 mm. – Mit h€u ¼ p€u =ðr gÞ ¼ ð0;5
105 N=m2 Þ=ð1 000 kg=m3
9;81 m=s2 Þ ¼ 5;097 m wird zS ¼ H þ h€u ¼ 7;097 m, nach Gl. (2) F ¼ r gðpd2 =4ÞzS ¼ 13;67 kN und gem
ß Gl. (3) ey ¼ ðpd4 =64Þ=½ðpd 2 =4ÞzS = sin b ¼ 1;9 mm.

Hydrostatik (Statik der Flssigkeiten)

B 47

richtung stehende projizierte ebene Fl
che. Der Angriffspunkt der Druckkr
fte ergibt sich gem
ß Gl. (3) zu ex und ey , wenn
x und
y die Achsen durch den Schwerpunkt der jeweiligen Projektionsfl
che sind. Bei Kugel- und Kreiszylinderfl
chen geht die Resultierende FR stets durch den Krmmungsmittelpunkt. Auftrieb (Bild 3 a). Fr einen ganz (oder teilweise) eingetauchten Krper wirkt auf ein oben liegendes Fl
chenelement die Kraft dF ¼ po dAx ex þ po dAy ey þ po dAz ez . Da sich die Komponenten dFx und dFy am geschlossenen Krper das Gleichgewicht halten, d. h. Fx ¼ 0 und Fy ¼ 0 ist, bleibt nur eine Kraft in z-Richtung: Z Z FA ¼ Fz ¼ dFz ¼ ðpu  po ÞdAz Z ð5Þ ¼ r gðzu  zo ÞdAz ¼ r gV:

Druck auf gekr
mmte Wnde (Bild 2 a). Die Kraftkomponenten sind Z Z Fx ¼ r g z dAx ¼ r gzSx Ax ; Fy ¼ r g z dAy ¼ r gzSy Ay ; Z Z ð4Þ Fz ¼ r g z dAz ¼ r g dV ¼ r gV:

Bild 3. a Auftrieb; b Schwimmstabilit
t

Diese Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der verdr
ngten Flssigkeit. Sie greift im Volumenschwerpunkt der verdr
ngten Flssigkeit an (und nicht im Krperschwerpunkt; bei homogenen Krpern fallen beide Schwerpunkte zusammen).

Bild 2a, b Druck auf gekrmmte W
nde. a Allgemein; b Zylinderund Kugelfl
chen

Hierbei sind Ax und Ay die Projektionsfl
chen der gekrmmten Fl
che auf die y , z- bzw. x, z-Ebene. Fz ist die Gewichtskraft, die im Volumenschwerpunkt angreift. Die drei Kr
fte gehen bei beliebigen Fl
chen nicht durch einen Punkt. Bei Kugel- oder Zylinderfl
chen gengt die Projektion auf die y, z-Ebene. Fx und Fz liegen dann in einer Ebene und haben die pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Resultierende FR ¼ Fx2 þ Fz2 (Bild 2 b). Gem
ß Gl. (4) ist die horizontale Druckkraft auf eine gekrmmte Fl
che in beliebiger Richtung so groß wie auf eine senkrecht zur Kraft-

Stabilitt schwimmender Krper (Bild 3 b). Ein eingetauchter Krper schwimmt, wenn FG ¼ FA ist. Er schwimmt stabil, wenn das Metazentrum M ber dem Krperschwerpunkt SK liegt, labil, wenn es darunter liegt, und indifferent, wenn beide zusammenfallen. Fr die metazentrische Hhe gilt hM ¼ ðIx =VÞ  e: Hierbei ist Ix das Fl
chenmoment 2. Ordnung der Schwimmfl
che (Wasserlinienquerschnitt) um die L
ngsachse, V das verdr
ngte Volumen und e der Abstand zwischen Krperund Volumenschwerpunkt. Bei schwebenden Krpern (UBoot) ist Ix ¼ 0 und hM ¼ e. Wird e negativ, d. h., liegt der Krperschwerpunkt unter dem Volumenschwerpunkt, so folgt hM > 0, und der schwebende Krper schwimmt stabil.

B

B 48

B

Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Str
mungslehre, Dynamik der Fluide)

6 Hydro- und Aerodynamik (Str
mungslehre, Dynamik der Fluide) Hydrodynamics and aerodynamics (dynamics of fluids)

und u als konstant anzusehen sind, bilden einen Stromfaden. Bei Rohrstr
mungen idealer Flssigkeiten sind p und u ber den Gesamtquerschnitt A nherungsweise konstant, d. h., der gesamte Rohrinhalt bildet einen Stromfaden.

Aufgabe der Str
mungslehre ist die Untersuchung der Gr
ßen Geschwindigkeit, Druck und Dichte eines Fluids als Funktion der Ortskoordinaten x, y, z bzw. bei eindimensionalen Problemen (z. B. Rohrstr
mungen) als Funktion der Bogenlnge s. Bei vielen Str
mungsvorgngen ist die Kompression auch bei gasf
rmigen Fluiden vernachlssigbar (z. B., wenn K
rper von Luft normaler Temperatur und weniger als 0,5facher Schallgeschwindigkeit umstr
mt werden). Dann gelten auch dafr die Gesetze inkompressibler Medien (Str
mungen mit nderung des Volumens s. D 7.2).

6.1 Eindimensionale Str
mungen idealer Flssigkeiten One-dimensional flow of ideal fluids

Ideale und nichtideale Flssigkeit. Eine ideale Flssigkeit ist inkompressibel und reibungsfrei, d. h., es treten keine Schubspannungen auf ðtxy ¼ 0Þ. Der Druck an einem Element ist nach allen Richtungen gleich groß (s. B 5). Bei nichtidealer oder zher Flssigkeit treten vom Geschwindigkeitsgeflle abhngige Schubspannungen auf, und die Drcke px , py , pz sind unterschiedlich. Hngen die Schubspannungen linear vom Geschwindigkeitsgeflle senkrecht zur Str
mungsrichtung ab (Bild 1), gilt also t ¼ hðdu=dzÞ, so liegt eine Newtonsche Flssigkeit vor (z. B. Wasser, Luft und l). Hierbei ist h die absolute oder dynamische Zhigkeit. Nicht-Newtonsche Flssigkeiten mit nichtlinearem Fließgesetz sind z. B. Suspensionen, Pasten und thixotrope Flssigkeiten.

Eulersche Gleichung fr den Stromfaden. Fr ein Element dm lngs der in Bild 3 a skizzierten Stromlinie lautet die Eulersche Bewegungsgleichung (in Tangentialrichtung) du ¶u ¶u ds ¶z 1 ¶p ds ¼
g
bzw: mit ¼u at ¼ ¼ þ dt ¶t ¶s dt ¶s r ¶s dt
2  ð1Þ ¶ u p ¶u þ þ gz þ ¼ 0: ¶s 2 r ¶t

Bild 3 a, b. Stromfaden. a Element; b Bernoullische H
hen

Bild 1

Bild 2

Bild 1. Schubspannung in einer Flssigkeit Bild 2. Stromr
hre und Stromfaden

Stationre und nichtstationre Str
mung. Bei stationrer Str
mung hngen die Gr
ßen Geschwindigkeit u, Druck p und Dichte r nur von den Ortskoordinaten ab, d. h., es ist u ¼ u(x, y, z) usw. Bei instationrer Str
mung ndert sich die Str
mung an einem Ort auch mit der Zeit, d. h., es ist u ¼ u(x, y, z, t) usw. Stromlinie, Stromr
hre, Stromfaden. Die Stromlinie ist die Linie, die in einem bestimmten Augenblick an jeder Stelle von den Geschwindigkeitsvektoren tangiert wird (Bild 2); es gilt ux : uy : uz ¼ dx : dy : dz. Bei stationren Str
mungen ist die Stromlinie eine ortsfeste Raumkurve; sie ist außerdem mit der Bahnkurve des einzelnen Teilchens identisch. Bei instationren Str
mungen ndern die Stromlinien ihre Lage im Raum mit der Zeit; sie sind nicht mit den Bahnkurven der Teilchen identisch. Ein Bndel von Stromlinien, das von einer geschlossenen Kurve umschlungen wird, heißt Stromr
hre (Bild 2). Teile der Stromr
hre mit Querschnitt dA, ber die p

Im Fall stationrer Str
mung ist ¶u=¶t ¼ 0. Fr die Normalenrichtung gilt an ¼

u2 1 ¶p ¶z ¶p u2 ¶z ¼

g oder ¼
r
r g r r r ¶n ¶n ¶n ¶n

bzw. bei Vernachlssigung des Eigengewichts ¶p=¶n ¼
ru2 =r. Der Druck nimmt also von der konkaven zur konvexen Seite des Stromfadens zu. Bernoullische Gleichung fr den Stromfaden. Aus Gl. (1) lngs des Stromfadens folgt fr die instationre Str
mung Z ¶u r u2 =2 þ p þ r gz þ r ds ¼ const ð2 aÞ ¶t bzw. s 2 Z ¶u r u21 =2 þ p1 þ r gz1 ¼ r u22 =2 þ p2 þ r gz2 þ r ds: ð2 bÞ ¶t Fr den stationren Fall (¶v=¶t ¼ 0) gilt

s1

ru21 =2 þ p1 þ r gz1 ¼ ru22 =2 þ p2 þ r gz2 ¼ const :

ð3Þ

Danach bleibt die Gesamtenergie, bestehend aus kinetischer, Druck- und potentieller Energie, fr die Masseneinheit lngs des Stromfadens bzw. der Stromlinie erhalten. Aus Gl. (3) ergibt sich nach Division durch r g

I6.2

Eindimensionale Str
mungen zher Newtonscher Flssigkeiten (Rohrhydraulik)

u21 =ð2gÞ þ p1 =ðr gÞ þ z1 ¼ u22 =ð2gÞ þ p2 =ðr gÞ þ z2 ¼ const ¼ H;

B 49

ð4Þ

d. h., die gesamte Energieh
he H, bestehend aus Geschwindigkeits-, Druck- und Ortsh
he, bleibt konstant (Bernoullische Gleichung; Bild 3 b).

B

Kontinuit
tsgleichung. Fr einen Stromfaden muß die durch jeden Querschnitt str
mende Masse pro Zeiteinheit (Massenstrom) konstant sein: dm_ ¼ ru dA ¼ r1 u1 dA1 ¼ r2 u2 dA2 ¼ const :

ð5Þ

Bei inkompressiblen Medien ðr ¼ constÞ muß der Volumenstrom konstant sein: dV_ ¼ u dA ¼ u1 dA1 ¼ u2 dA2 ¼ const :

ð6Þ

Bei Stromr
hren mit ber dem Querschnitt A konstanter mittlerer Geschwindigkeit u folgt aus Gln. (5) und (6) m_ ¼ ruA ¼ const bzw: V_ ¼ uA ¼ const :

Bild 6. Instationrer Ausfluß

bzw. mit Dp ¼ ðrM
rÞgh qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u1 ¼ 2ghðrM =r
1Þ=½ðA1 =A2 Þ2
1: In Wirklichkeit ist zwischen den Stellen 1 und 2 noch der Druckverlust infolge Reibung zu bercksichtigen (s. B 6.2 ff.). 6.1.2 Anwendung der Bernoullischen Gleichung fr den instation
ren Fall Use of Bernoulli's equation for unsteady flow problems

6.1.1 Anwendungen der Bernoullischen Gleichung fr den station
ren Fall Use of Bernoullis equation for steady flow problems Staudruck. Beim Auftreffen einer Str
mung auf ein festes Hindernis entsteht der Staudruck (Bild 4 a). Die Bernoullische Gl. (3) hat ohne H
henglied die Form ru21 =2 þ p1 ¼ ru22 =2 þ p2 :

Bild 5. Venturirohr

ð7Þ

Untersucht wird der Ausfluß aus einem Behlter bei abnehmender Spiegelh
he unter Vernachlssigung der Reibung (Bild 6). L
sung: Aus den Gln. (2) und (6) folgt vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1, u 0 Zs2 u 1 ¶u A u ½ðA1 =A2 Þ2
1: u1 ¼ t2g@z
ds g ¶t s1

Mit u1 ¼
dz=dt; A1 =A2 ¼ a und Vernachlssigung des Integrals (klein im Vergleich zu z) folgt aus Gl. (2 b) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u1 ¼
dz=dt ¼ 2gz=ða2
1Þ und hieraus nach Integration pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 t ¼
2ða
1Þz=g þ C. Fr zðt ¼ 0Þ ¼ H wird C ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2ða2
1ÞH=g und somit pffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t ¼ ð1
z=H Þ 2ða2
1ÞH=g oder pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi z ¼ Hf1
t g=½2Hða2
1Þg2 : Hieraus folgen fr z=0 die Ausflußzeit pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi T ¼ 2ða2
1ÞH=g; Bild 4 a–c. Staudruck. a Staupunkt; b Pitotrohr fr Flssigkeiten und c Gase

p2 ¼ p1 þ ru21 =2.

die Geschwindigkeit u1 ¼
dz=dt ¼ f1
t

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi g=½2Hða2
1Þg 2gH=ða2
1Þ

Hieraus folgt mit u2 ¼ 0 In einem Staupunkt setzt sich der Druck zusammen aus dem statischen Druck pst ¼ p1 und dem (dynamischen) Staudruck pdyn ¼ ru21 =2.

und die Ausflußgeschwindigkeit u2 ¼ u1 A1 =A2 . Die Geschwindigkeiten nehmen linear mit der Zeit ab.

Beispiel: Staudruck bei Wind gegen eine Wand. – Bei der Windgeschwindigkeit u ¼ 100 km=h ¼ 27;8 m=s ergibt sich mit rLuft ¼ 1;2 kg=m3 der Staudruck pdyn ¼ ru2 =2 ¼ 464 N=m2 .

6.2 Eindimensionale Strmungen z
her Newtonscher Flssigkeiten (Rohrhydraulik) One-dimensional flow of viscous Newtonian fluids

Pitotrohr. Zur Messung der Str
mungsgeschwindigkeit in offenen Gerinnen eignet sich das Pitotrohr (Bild 4 b). Fr Punkt 1 gilt gemß B 5 Gl. (1) p1 ¼ pL þ rgz1 . Fr die Stromlinie 1–2 gilt p1 þ rv21 =2 ¼ p2 , also p2 ¼ pL þ r gz1 þ ru21 =2. Der hydrostatische Druck im Pitotrohr ist p2 ¼ pL þ r gðz1 þ hÞ pffiffiffiffiffiffiffiffi und so ist ru21 =2 ¼ r ghoder u1 ¼ 2gh. Die Steigh
he h ist ein Maß fr die Str
mungsgeschwindigkeit. Fr die Messung der Luftgeschwindigkeit ist die Anordnung auf Bild 4 c geeignet. Ist rM die Dichte der Manometerflssigkeit, so gilt fr pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Punkt 2 pdyn ¼ ru21 =2 ¼ rM gh, also u1 ¼ 2ðrM =rÞgh.

Bei laminarer Str
mung bewegen sich die Teilchen in parallelen Bahnen (Schichten), bei turbulenter Str
mung berlagern sich der Hauptstr
mung zustzliche Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung (Wirbelbewegung). bergang von laminarer zu turbulenter Str
mung tritt ein, wenn die Reynoldssche Zahl Re ¼ ud=n den kritischen Wert erreicht (z. B. Rek ¼ 2 320 fr Rohre mit Kreisquerschnitt). Bei laminarer Str
mung gilt fr die Schubspannung zwischen den Teilchen der Newtonsche Ansatz

Venturirohr. Es dient zur Messung der Str
mungsgeschwindigkeit in Rohrleitungen (Bild 5). Die Bernoullische Gl. (7) zwischen den Stellen 1 und 2 lautet ru21 =2 þ p1 ¼ ru22 =2 þ p2 und die Kontinuittsgleichung u1 A1 ¼ u2 A2 . Hieraus ergibt sich Dp ¼ p2
p1 ¼ ðrv21 =2Þ½ðA1 =A2 Þ2
1

t ¼ hðdu=dzÞ

ð8Þ

(Bild 1). Hierbei ist h die dynamische Zhigkeit oder Viskositt. Sie ist temperaturabhngig, bei Gasen auch druckabhngig (was jedoch vernachlssigbar ist, solange nicht gr
ßere Dichtenderungen auftreten). Bei turbulenter Str
mung gilt nach Prandtl und v. Ka´rma´n [1, 11, 12] angenhert der Schubspannungsansatz

B 50

B

Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)

t ¼ h du=dz þ rl2 ðdu=dzÞ2 . l ist dabei die freie Wegl
nge eines Teilchens. Infolge der Schubspannungen treten Druckverluste (Energieverluste) l
ngs des Stromfadens auf. Kinematische Z
higkeit. Sie ist n ¼ h=r. Fr Wasser von 20
C ist h ¼ 103 Ns=m2 und n ¼ 106 m2 =s (weitere Werte s. Anh. D 10 Tab. 2 und Anh. E 5 Bild 1 und 2). Bernoullische Gleichung mit Verlustglied. Findet zwischen zwei Punkten 1 und 2 keine Energiezufuhr oder -abfuhr statt (z. B. durch Pumpe oder Turbine), so lautet die Bernoullische Gleichung ru21 =2 þ p1 þ r gz1

Zs2

¼ ru22 =2 þ p2 þ r gz2 þ DpV þ r s1

¶u ds: ¶t

ð9Þ

Fr den station
ren Fall ist ¶u=¶ t ¼ 0, und das letzte Glied entf
llt. Hierbei ist DpV der Druckverlust zwischen den Stellen 1 und 2 infolge von Rohrreibung, Einbauwiderst
nden usw. Dividiert man Gl. (9) durch r g, so ergibt sich u21 =ð2gÞ þ p1 =ðr gÞ þ z1 ¼ u22 =ð2gÞ þ p2 =ðr gÞ þ z2 þ hV : ð10Þ Darin bedeuten die einzelnen Glieder Energiehhen und hV ¼ DpV =ðr gÞ die Verlusthhe. Druckverlust und Verlusthhe (Bild 16). Zwischen zwei Stellen 1 und 2 sei der Rohrdurchmesser d konstant. Dann gilt X zru2 =2 bzw: DpV ¼ ðll=dÞru2 =2 þ X ð11 a; bÞ 2 zu2 =ð2gÞ; hV ¼ ðll=dÞu =ð2gÞ þ l Rohrreibungszahl, z Widerstandsbeiwerte fr Einbauten. Fr kompressible Fluide, die sich infolge Druckabnahme von 1 nach 2 ausdehnen, folgt aus der Kontinuit
tsgleichung (5) sowie aus dem Ansatz dp ¼ ðl=dÞ dx ru2 =2 fr den isothermen Fall, p1 =r1 ¼ p=r ¼ const, p21  p22 ¼ lu21 r1 p1 l=d, d. h. fr den Druckverlust aufgrund von Rohrreibung qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi DpV ¼ p1  p2 ¼ p1 ½1  1  lu21 r1 l=ðp1 dÞ: ð12Þ Bei geringen Druckverlusten ist die Expansion vernachl
ssigbar, und man kann Gl. (11 a) auch fr kompressible Fluide verwenden. Der dabei auftretende Fehler ist f  0;5  DpV =p1 [6, 13]. 6.2.1 Station
re laminare Strmung in Rohren mit Kreisquerschnitt Steady laminar flow in pipes of circular cross-section X Gem
ß Bild 7 a folgt aus Fix ¼ 0 ¼ ðp1  p2 Þpr2  t  2prl mit t ¼ h du=dr und der Haftungsbedingung uðr ¼ d=2Þ ¼ 0 nach Integration uðrÞ ¼ DpV ðd 2 =4  r 2 Þ=ð4hlÞ: Die Geschwindigkeitsverteilung ist also parabolisch (Gesetz von Stokes).Fr die Schubspannungen ergibt sich tðrÞ ¼ h du=dr ¼ DpV r=ð2lÞ; sie nehmen also linear nach außen zu. Fr den Volumenstrom gilt V_ ¼

Zd=2 uðrÞ2pr dr ¼ DpV pd 4 =ð128hlÞ r¼0

(Formel von Hagen-Poiseuille) und damit fr die mittlere Geschwindigkeit und den Druckverlust um ¼ u ¼ V_ =A ¼ DpV d 2 =ð32hlÞ und DpV ¼ um 32hl=d 2 . Der Druckverlust und somit auch die Schubspannungen nehmen also linear mit der Geschwindigkeit zu. Mit der Reynoldsschen Zahl Re ¼ ud=n und hV ¼ ergibt sich DpV ¼ ð64=ReÞðl=dÞðru2 =2Þ ð64=ReÞðl=dÞðu2 =2gÞ. Demnach ist nach Gl. (11 a, b) die Rohrreibungszahl l ¼ 64=Re, d. h. bei laminarer Strmung unabh
ngig von der Rauhigkeit der Rohrwand.

Bild 7 a, b. Rohrstrmung. a Laminar; b turbulent

6.2.2 Station
re turbulente Strmung in Rohren mit Kreisquerschnitt Steady turbulent flow in pipes of circular cross-section Bei Re > 2 320 erfolgt bergang in turbulente Strmung. Die Rohrreibungszahl l h
ngt von der Rohrrauhigkeit k (Wanderhebungen in mm, s. Tab. 1) und von Re ab. Das Geschwindigkeitsprofil ist wesentlich flacher (Bild 7 b) als bei laminarer Strmung. Es besteht im Randbereich aus einer laminaren Grenzschicht der Dicke d ¼ 34;2d=ð0;5ReÞ0;875 (nach Prandtl). Die Geschwindigkeitsverteilung h
ngt ebenfalls von Re und k ab; sie ist nach Nikuradse mittels uðrÞ ¼ umax ð1  2r=dÞn darstellbar (z. B. n =1/7 fr Re ¼ 105 ). Exponent n nimmt mit der Rohrrauhigkeit zu. Das Verh
ltnis u=umax ¼ 2=½ð1 þ nÞ  ð2 þ nÞ ist im Mittel etwa 0,84. Ermittlung der Rohrreibungszahl Hydraulisch glatte Rohre liegen vor, wenn die Grenzschichtdicke grßer als die Wanderhebung ist, d. h. fr d=k ^ 1 bzw. Re < 65d=k. Formel von Blasius (gltig fr 2 320 < Re < 105 Þ : pffiffiffiffiffiffi l ¼ 0;3164= 4 Re: Formel von Nikuradse (gltig fr 105 < Re < 108 Þ : l ¼ 0;0032 þ 0;221=Re0;237 : Formel von Prandtl und v. Ka´rma´n (gltig fr den gesamten turbulenten Bereich, aber wegen impliziter Form umst
ndpffiffiffi lich): l ¼ 1=½2 lgðRe l=2;51Þ2 . An ihrer Stelle kann die N
herungsformel l ¼ 0;309=½lgðRe=7Þ2 verwendet werden. Hydraulisch rauhe Rohre liegen vor, wenn die Wanderhebungen grßer als die Grenzschichtdicke sind, d. h. fr d/ k1 300 d/k. Die Rohrreibungszahl l ist nur abh
ngig von der relativen Rauhigkeit d/k, und es gilt die Formel von Nikuradse l ¼ 1=½2 lgð3;71d=kÞ2 fr den oberhalb der Grenzkurve liegenden Bereich (Bild 8). Die Grenzkurve ist mittels l ¼ ½ð200d=kÞ=Re2 festgelegt. Rohre im
bergangsgebiet liegen vor, wenn 65d=k < Re < 1300 d=k, d. h. in dem auf Bild 8 unter der Grenzkurve liegenden Bereich. Die Rohrreibungszahl l ist von Re und d/k abh
ngig. Als gute N
herung gilt ,   2;51 0;27 2 pffiffiffi þ l¼1 2 lg d=k Re l (Formel von Colebrook). Sie bezieht sich auf Rohre mit technischer Rauhigkeit. Fr Rohre mit aufgeklebten Sandkrnern

I6.2

Eindimensionale Str
mungen zher Newtonscher Flssigkeiten (Rohrhydraulik)

B 51

B

Bild 8. Rohrreibungszahl l nach Colebrook und (gestrichelt) nach Nikuradse

Tabelle 1. Anhaltswerte fr Wandrauhigkeiten [2]

gleicher K
rnung wurden von Nikuradse die in Bild 8 gestrichelt eingetragenen Kurven gemessen. Diagramm von Colebrook-Nikuradse. Die vorstehenden Formeln sind graphisch in Bild 8 dargestellt, so daß l als Funktion von Re und d/k abgelesen und bei Bedarf nachgerechnet bzw. verbessert werden kann (weitere Verfeinerungen s. [1, 3]). Ist l bekannt, berechnet man den Druckverlust bzw. die Verlusth
he nach Gl. (11) bzw. (12) und anschließend den zu untersuchenden Rohrleitungsabschnitt mit der Bernoullischen Gleichung mit Verlustglied gemß Gl. (9) oder (10). Beispiel: Durch ein Stahlrohr (gebraucht, k ¼ 0;15 mm) vom Durchmesser d ¼ 150 mm und der Lnge l ¼ 1 400 m werden V_ ¼ 400 m3 =h Preßluft gef
rdert. Druck und Dichte im Kessel: p1 ¼ 6 bar; r1 ¼ 6;75 kg=m3 . Zu ermitteln ist der Druckverlust am Ende der Leitung. – Mit der F
rdergeschwindigkeit u ¼ V_ =A ¼ V_ =ðpd 2 =4Þ ¼ 6;29 m=s und n ¼ h=r ¼ ð2
105 Ns=m2 Þ=ð6;75 kg=m3 Þ ¼ 2;963
106 m2 =s wird Re ¼ ud=n ¼ 318 427: Mit d=k ¼ 150=0;15 ¼ 1 000 ergibt sich aus Bild 8 bzw. der Formel von Colebrook l ¼ 0;0205: Aus Gl. (12) folgt fr den Druckverlust am Ende der Leitung h pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffii DpV ¼ p1 1  1  lu2 r1 l=ðp1 dÞ ¼ 0;261 bar: Bei Vernachl
ssigung der Expansion infolge der Druckabnahme ergibt Gl. (11 a) DpV ¼ ðll=dÞru2 =2 ¼ 25 550 N=m2 ¼ 0;256 bar; d. h. einen Fehler f ¼ ð0;261  0;256Þ=0;261 ¼ 1;92%, der auch mit der Absch
tzformel f ¼ 0;5
DpV =p1 ¼ 2;13% gut bereinstimmt. Die Dichte
nderung der Preßluft hat also kaum Einfluß.

6.2.3 Str
mung in Leitungen mit nicht vollkreisf
rmigen Querschnitten Flow in pipes of non-circular cross-section Nach Einfhren des hydraulischen Durchmessers dh ¼ 4A=U (A Querschnittsflche, U benetzter Umfang) wird wie in B 6.2.1 und B 6.2.2 gerechnet. Allerdings ist bei laminarer Str
mung l ¼ j
64=Re zu setzen [5]. Fr Kreisring- und Rechteckquerschnitt gilt

B 52

Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)

6.2.4 Str
mungsverluste durch spezielle Rohrleitungselemente und Einbauten Loss factors for pipe fittings and bends

B

Zus
tzlich zu den Wandreibungsverlusten der Rohrleitungselemente gilt fr den Druckverlust bzw. die Verlusthhe

Rohrverzweigungen und -vereinigungen [6] V_ Gesamtstrom, V_ a ab- bzw. zufließender Strom, zd Widerstand im Hauptrohr, za Widerstand im Abzweigrohr. Minuszeichen bedeutet Druckgewinn.

DpV ¼ zru2 =2 bzw: hV ¼ zu2 =ð2gÞ: Widerstandsbeiwerte z fr Krmmer (Bild 9) [5]

Bild 10 a–d. Rohrverzweigungen und -vereinigungen Bild 9 a–i. Krmmer

a) Kreiskrmmer: j ¼ 90


j 6¼ 90
: z ¼ k z90


Dehnungsausgleicher (Bild 11) [5] a) Wellrohrkompensator: z ¼ 0;20 pro Welle (kann bei Einbau eines Leitrohrs fast zu Null gemacht werden). b) U-Bogen:

c) Lyrabogen: Glattrohrbogen z ¼ 0;7; Faltrohrbogen z ¼ 1;4. b) Segmentkrmmer:

c) Graugußkrmmer 90

Bild 11 a–c. Dehnungsausgleicher

d) Faltrohrkrmmer: z ¼ 0;4 e) Krmmer mit Umlenkschaufeln: z ¼ 0;15 . . . 0;20 [1] f) Doppelkrmmer: z ¼ 2 z90
g) Raumkrmmer: z ¼ 3 z90
h) Etagenkrmmer: z ¼ 4 z90
i) Krmmer mit Rechteckquerschnitt: Fr h=b < 1 ist pffiffiffiffiffiffiffiffi z ¼ z0 h=b; fr h=b > 1 ist z ¼ z0 h=b: z0 wie fr Krmmer mit Kreisquerschnitt, wenn fr d der Wert dh ¼ 2bh=ðb þ hÞ eingesetzt wird. Kniestcke [5] (d Abknickwinkel): mit Kreisquerschnitt

Rohreinlufe (Bild 12 a–e) a) scharfkantig z ¼ 0;5; gebrochen z ¼ 0;25: b) und c) scharfkantig z ¼ 3;0; gebrochen z ¼ 0;6 . . . 1;0: d) je nach Wandrauhigkeit z ¼ 0;01 . . . 0;05: e)

mit Rechteckquerschnitt:

Bild 12 a–e. Rohreinl
ufe

I6.2

Eindimensionale Strmungen z
her Newtonscher Flssigkeiten (Rohrhydraulik)

B 53

B Bild 14. a Rundstabgitter; b Sieb

Bild 15. Festkrperschttung

Rundstabgitter, Siebe und Saugkrbe [5] 0;8s=t Rundstabgitter gem
ß Bild 14 a : z ¼ ð1
s=tÞ2 Siebe gem
ß Bild 14 b:

Saugkrbe: fr handelsbliche Saugkrbe mit Fußventil am Anfang einer Rohrleitung z ¼ 4 . . . 5: Festkrperschttungen [5]. Fr die Durchstrmung der Schttung gem
ß Bild 15 gilt z ¼ lF lk =dk : Bis zu Rek ¼ udk =u ¼ 10 (u mittlere Geschwindigkeit im leeren Rohr) liegt laminare Strmung vor, und es ist lF ¼ 2 000=Rek : Fr Rek > 10 (turbulente Strmung) h
ngt lF nur noch von d=dk ab:

Bild 13 a–d. Querschnitts
nderungen

Querschnitts
nderung von A1 auf A2 (Bild 13) a) Unstetige Erweiterung. Der Verlustbeiwert l
ßt sich aus der Bernoullischen Gleichung und dem Impulssatz (s. B 6.4) herleiten: z ¼ ðA2 =A1
1Þ2 : b) Stetige Erweiterung (Diffusor). Der Verlustbeiwert fr durchschnittlich rauhe Rohre kann dem Diagramm Bild 13 b entnommen werden [5]. c) Unstetige Verengung. Aus der Bernoullischen Gleichung und dem Impulssatz folgt z ¼ ðA2 =A0
1Þ2 . Da der eingeschnrte Querschnitt A0 unbekannt ist, entnimmt man z dem Diagramm Bild 13 c fr das Verh
ltnis A2 =A1 bei scharfkantigem Anschluß [5]. d) Stetige Verengung (Konfusor, Dse). Die Energieverluste aus Reibung sind gering. Im Mittel z ¼ 0;05. Absperr- und Regelorgane Schieber, offen, ohne Leitrohr: z ¼ 0;2 . . . 0;3; mit Leitrohr: z  0;1: Schieber bei verschiedenen ffnungsverh
ltnissen s. [5]. Ventile: Die Widerstandsbeiwerte schwanken je nach Ventilbauart zwischen z ¼ 0;6 (Freiflußventil) und z ¼ 4;8 (DINVentil). Die Angaben in der Literatur sind unterschiedlich [1, 2, 4–6]. Bei teilweise geffneten Ventilen sind die Widerstandsbeiwerte grßer. Rckschlagklappen, Drosselklappen, H
hne: Der Widerstandsbeiwert von Rckschlagklappen betr
gt nach [5] z ¼ 0;8 bei NW 200 und z ¼ 1;4 bei NW 50. Bei Drosselklappen treten Werte von z ¼ 0;5 in fast voll geffnetem Zustand (j ¼ 10
) und von z ¼ 4;0 bei j ¼ 30
auf. Bei H
hnen ist z ¼ 0;3 ðj ¼ 10
Þ und z ¼ 5;5 ðj ¼ 30
Þ [5]. Drosselger
te dienen zur Messung von Geschwindigkeit und Volumenstrom und sind als Normblende, Normdse und Normventuridse genormt (DIN 1952). Widerstandsziffern s. [2].

Beispiel: Rohrleitung mit speziellen Widerst
nden (Bild 16). Durch eine Rohrleitung sollen V_ ¼ 8 l=s Wasser gefrdert werden. Zu ermitteln ist der erforderliche Druck p0 im Druckbeh
lter. Gegeben: h1 ¼ 7 m; h2 ¼ 5 m; l1 ¼ 35 m; l2 ¼ 25 m; l3 ¼ 13 m; l4 ¼ 25 m; d1 ¼ d6 ¼ 80 mm; d2 ¼ 60 mm; Wandrauhigkeit k ¼ 0;04 mm (neues, l
ngsgeschweißtes Stahlrohr). Widerstandsbeiwerte: Rohreinlauf z1 ¼ 0;5; Konfusor z2 ¼ 0;05; Kniestcke ðd ¼ 22;5
Þ z3 ¼ z4 ¼ 0;11; Diffusor z5 ¼ 0;3: Kinematische Z
higkeit bei 20
C: n ¼ 10
6 m2 =s. Luftdruck: pL ¼ 1 bar:– Aus der Kontinuit
tsgleichung (6) folgt fr die Strmungsgeschwindigkeiten u1 ¼ u6 ¼ V_ =A1 ¼ V_ =ðpd12 =4Þ ¼ 1;59 m=s und u2 ¼ V_ =A2 ¼ V_ =ðpd22 =4Þ ¼ 2;83 m=s: Mit den Reynoldsschen Zahlen Re1 ¼ u1 d1 =n ¼ 127 200; Re2 ¼ u2 d2 =n ¼ 169 800 und den relativen Rauhigkeiten d1 =k ¼ 2 000, d2 =k ¼ 1 500 folgen aus der Formel bzw. dem Diagramm von Colebrook (Bild 8) die Rohrreibungszahlen l1 ¼ 0;0197 und l2 ¼ 0;0200: Hiermit ergeben sich nach Gl. (11 b) die Verlusthhen hV1 ¼ z1 u21 =ð2 gÞ ¼ 0;06 m; hV2 ¼ hV1 þ ðl1 l1 =d1 Þu21 =ð2 gÞ þ z2 u22 =ð2 gÞ ¼ ð0;06 þ 1;11 þ 0;02Þ m ¼ 1;19 m; hV3 ¼ hV2 þ ðl2 l2 =d2 Þu22 =ð2 gÞ þ z3 u22 =ð2 gÞ ¼ ð1;19 þ 3;40 þ 0;04Þ m ¼ 4;63 m; hV4 ¼ hV3 þ ðl2 l3 =d2 Þu22 =ð2 gÞ þ z4 u22 =ð2 gÞ ¼ ð4;63 þ 1;77 þ 0;04Þ m ¼ 6;44 m; hV5 ¼ hV4 þ ðl2 l4 =d2 Þu22 =ð2 gÞ ¼ ð6;44 þ 3;40Þ m ¼ 9;84 m; hV6 ¼ hV5 þ z5 u26 =ð2 gÞ ¼ ð9;84 þ 0;04Þ m ¼ 9;88 m: Die Bernoullische Gl. (10) zwischen den Punkten 0 und 6 ergibt dann mit u0  0 (wegen A0  A6 Þ p0 =ðr gÞ þ h1 ¼ u26 =ð2 gÞ þ pL =ðr gÞ þ h2 þ hV6 ; also p0 ¼ pL þ ru26 =2 þ r gðh2 þ hV6
h1 Þ ¼ pL þ 1 264N=m2 þ77 303N=m2 ¼ 1;786 bar: Mit den Geschwindigkeitsh
hen u21 =ð2 gÞ ¼ u26 =ð2 gÞ ¼ 0;13 m; u22 =ð2 gÞ ¼ 0;41 m und den Druckh
hen p0 =ðr gÞ ¼ 18;21 m; pL =ðr gÞ ¼ 10;19 m lassen sich dann die Bernoullischen H
hen zeichnen (Bild 16).

B 54

Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)

B

Bild 16. Rohrleitung

Bild 17. Ausfluß der Behlter

6.2.5 Station
rer Ausfluß aus Beh
ltern Steady flow from vessels

6.2.6 Station
re Strmung durch offene Gerinne Steady flow in open channels

Aus der Bernoullischen Gl. (10) zwischen den Punkten 1 und 2 (Bild 17) folgt mit Gl. (11 b) f
r die Ausflußgeschwindigpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi keit v ¼ ½2gh þ 2ðp1
p2 Þ=r=ð1 þ zÞ. Bei Behltern ist die Schreibweise pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u ¼ j 2gh þ 2ðp1
p2 Þ=r ð13Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
blich, wobei j ¼ 1=ð1 þ zÞdie Geschwindigkeitsziffer ist. F
r den Volumenstrom V_ ist noch die Strahleinschn
rung zu ber
cksichtigen. Mit der Kontraktionszahl a ¼ Ae =Aa ergibt sich pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi V_ ¼ ajAa 2gh þ 2ðp1
p2 Þ=r ð14Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ mAa 2gh þ 2ðp1
p2 Þ=r:

Bei stationrer Strmung sind Spiegel- und Sohlengeflle parallel. Aus der Bernoullischen Gl. (10) folgt

m ¼ aj ist die Ausflußzahl. F
r j, a und m gelten folgende Werte (Bild 18 ): a) scharfkantige M
ndung: j ¼ 0;97; a ¼ 0;61 . . . 0;64; m ¼ 0;59 . . . 0;62;

6.2.7 Instation
re Strmung z
her Newtonscher Flssigkeiten. Non-steady flow of viscous Newtonian fluids

b) abgerundete M
ndung: j ¼ 0;97 . . . 0;99; a ¼ 1; m ¼ 0;97 . . . 0;99; c) zylindrisches Ansatzrohr: l=d ¼ 2 . . . 3 : j ¼ 0;82; a ¼ 1; m ¼ 0;82; d) konisches Ansatzrohr: ’ ¼ 0;95 . . . 0;97;

Die Gln. (13) und (14) gelten f
r kleine Ausflußquerschnitte, bei denen u
ber den Querschnitt konstant ist. Bei großen ffnungen ist f
r einen Stromfaden in der Tiefe z (ohne pffiffiffiffiffiffiffi berdruck) u ¼ 2gz; der Volumenstrom ist V_ ¼ Zz2 pffiffiffiffiffiffiffi m bðzÞ 2gz dz; z. B. f
r eine Rechteckffnung V_ ¼

z1
z2 ¼ hV bzw: ðz1
z2 Þ=l ¼ sin a ¼ ðl=dh Þu2 =ð2gÞ:

ð15Þ

Ist hierbei dh der hydraulische Durchmesser gemß B 6.2.3, so gelten die Formeln der Rohrstrmung gemß B 6.2.1, B 6.2.2, B 6.2.3, B 6.2.4 u ist die mittlere Geschwindigkeit, d. h., es gilt V_ ¼ uA bzw. u ¼ V_ =A: Sind V_ bzw. u bekannt, so folgt aus Gl. (15) das erforderliche Geflle bzw. bei bekanntem Geflle die Strmungsgeschwindigkeit u (Anhaltswerte f
r k s. Tab. 1).

Die f
r diesen Fall g
ltigen Gleichungen sind mit der Bernoullischen Gleichung in Form von Gl. (9) unter Beachtung von Gl. (11 a) und der Kontinuittsgleichung in Form von Gl. (5) oder (6) gegeben. 6.2.8 Freier Strahl. Free jet Strmt ein Strahl mit konstantem Geschwindigkeitsprofil aus einer ffnung in ein umgebendes, ruhendes Fluid gleicher Art aus (Bild 19), so werden an den Rndern Teilchen der Umgebung aufgrund der Reibung mitgerissen. Mit der Strahllnge nimmt also der Volumenstrom zu und die Geschwindigkeit ab. Dabei tritt eine Strahlausbreitung ein. Der Druck im Inneren des Strahls ist gleich dem Umgebungsdruck, d. h., der Impuls ist in jedem Strahlquerschnitt konstant: Zþ1 ru2 dA ¼ const:

I¼
1

pffiffiffiffiffi 3=2 3=2 2mb 2gðz2
z1 Þ=3: Die Ausflußziffer liegt bei m ¼ 0;60 f
r scharfkantige und bei m ¼ 0;75 f
r abgerundete ffnungen.

Der kegelfrmige Strahlkern, in dem u ¼ const ist, lst sich lngs des Wegs x0 auf. Danach sind die Geschwindigkeitsprofile zueinander affin. Ergebnisse f
r den runden Strahl [1]: Kernlnge x0 ¼ d=m mit m ¼ 0;1 f
r laminaren und m ¼ 0;3

Bild 18a–d. M
ndungsformen

Bild 19. Freier Strahl

z1

I6.4

Kraftwirkungen strmender inkompressibler Fl
ssigkeiten

B 55

f
r vollstndig turbulenten Strahl ð0;1 < m < 0;3Þ. MittenEnergieabnahme E¼ geschwindigkeit um ¼ u0 x0 =x: 0;667E0 x0 =x (E0 kinetische Energie am Austritt). Strahlausbreitung pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ra ¼ m 0;5 ln2
x ¼ 0;5887mx;

Elastoviskose Stoffe (Maxwell-Medium). Sie haben sowohl die Eigenschaften zher Fl
ssigkeiten als auch elastischer Krper (z. B. Teig, Polyethylen-Harze). Die Schubspannung ist zeitabhngig, also auch dann noch vorhanden, wenn g_ bereits Null ist. g_ ¼ du=dz ¼ ðt=hÞ þ ð1=GÞðdt=dtÞ (Gesetz von Maxwell).

wobei am Ausbreitungsrand ux ¼ 0;5um ist. Strahlausbreitungswinkel pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi da ¼ arctan½0;707m lnðum =ux Þ;

Thixotrope und rheopexe Flssigkeiten. Auch hier sind die Schubspannungen zeitabhngig, außerdem verndert sich das Fließverhalten mit der mechanischen Beanspruchung. Bei thixotropen Fl
ssigkeiten steigt das Fließvermgen mit der Dauer (z. B. beim R
hren oder Streichen), bei rheopexen Fl
ssigkeiten verringert es sich mit der Grße der mechanischen Beanspruchung (z. B. Gipsbrei). Fließgesetze sind bisher nicht bekannt.

d. h., f
r ux =um ¼ 0;5 und m ¼ 0;3 ergibt sich da ¼ 10
. Der Volumenstrom ist V_ ¼ 2mV_ 0 x=d [1, 3].

6.3 Eindimensionale Str
mung NichtNewtonscher Flssigkeiten One-dimensional flow of non-Newtonian fluids Bei Nicht-Newtonschen Fl
ssigkeiten ist kein linearer Zusammenhang zwischen der Schubspannung t und der Schergeschwindigkeit du=dz gemß Gl. (8) gegeben [9]. F
r diese rheologischen Stoffe unterscheidet man folgende Fließgesetze (Bild 20):

Berechnung von Rohrstr
mungen F
r dilatante und strukturviskose Fl
ssigkeiten lßt sich der Druckabfall gemß Gl. (11 a) nach Metzner [7] wie f
r Newtonsche Fl
ssigkeiten mit der verallgemeinerten Reynoldsschen Zahl berechnen: Re ¼ uð2m1Þ=m d1=m r=h; h ¼ 8ð1mÞ=m ð1=km Þ½ð3 þ mÞ=41=m : Im laminaren Bereich ðRe < 2 300Þ gilt l ¼ 64=Re, im turbulenten Bereich ðRe > 3 000Þ l ¼ 0;0056 þ 0;5=ðReÞ0;32 : F
r Bingham-Medien ergibt sich der Druckabfall aus Gl. (11 a) mit der Rohrreibungszahl [7]   64 32 He 4 096 1 He 4 l¼ þ  ; 3 2 Re 3 Re 3 l Re2 wobei der Einfluß der Fließgrenze in der Hedstrmzahl He zum Ausdruck kommt: He ¼ tF rd 2 =h2 ¼ tF d 2 =ðrn2 Þ.

Bild 20. Fließkurven. a Dilatante, b Newtonsche und c strukturviskose Fl
ssigkeit, d Bingham-Medium

Dilatante Flssigkeiten. Die Zhigkeit nimmt mit steigender Schergeschwindigkeit g_ zu (z. B. Anstrichfarben, Glasurmassen). g_ ¼ dv=dz ¼ ktm , m < 1 (Formel von Ostwald-de Waele [7]). k ist der Fluidittsfaktor und m der Fließbeiwert. Dilatante Fl
ssigkeiten lassen sich auch mit der Formel von Prandtl-Eyring erfassen: g_ ¼ du=dz ¼ c sinhðt=aÞ; wobei c und a stoffabhngige Konstanten sind. Strukturviskose Flssigkeiten. Die Zhigkeit nimmt mit wachsender Schergeschwindigkeit ab (z. B. Silikone, Spinnlsungen, Staufferfett). Es gelten die vorstehenden Gesetze, aber mit m > 1 sowie entsprechenden Konstanten c und a. Bingham-Medium. Das Material beginnt erst bei berschreiten der Fließgrenze tF zu fließen. Unterhalb von tF verhlt es sich wie ein elastischer Krper, dar
ber wie eine Newtonsche Fl
ssigkeit (z. B. Zahnpasta, Abwasserschlamm, krnige Suspensionen). g_ ¼ du=dz ¼ kðt  tF Þ (Gesetz von Bingham).

Bild 21 a–d. Kraftwirkung einer strmenden Fl
ssigkeit

6.4 Kraftwirkungen str
mender inkompressibler Flssigkeiten Forces due to the flow of incompressible fluids 6.4.1 Impulssatz. Equation of momentum Aus dem Newtonschen Grundgesetz folgt f
r das Massenelement dm ¼ rA ds der Stromrhre aus Bild 21 a d dðdmÞ du ðdmuÞ ¼ u þ dm : dt dt dt F
r inkompressible Fl
ssigkeiten ist dðdmÞ=dt ¼ 0; und mit u ¼ uðs; tÞ gilt f
r die instationre Strmung   ¶u ¶u ds þ dF ¼ dm ¶t ¶s dt dF ¼

bzw. f
r die stationre Strmung mit ¶u=¶t ¼ 0 ¶u dF ¼ dm u ¼ rAu du ¼ rV_ du: ¶s

B

B 56

B

Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)

F
r den gesamten Kontrollraum zwischen 1 und 2 folgt nach Integration ð16Þ F1;2 ¼ rV_ ðu2
u1 Þ: Hierbei ist F1;2 die auf die im Kontrollraum eingeschlossene Fl
ssigkeit wirksame Kraft. Sie setzt sich zusammen aus den Anteilen gemß Bild 21 b, wobei die Resultierende des Luftdrucks Null ist. Mit
FW1;2 als Resultierender des berdrucks p€u ðsÞ gilt F1;2 ¼
FW1;2 þ FG1;2 þ p1€u A1 e1
p2€u A2 e2 : Daraus folgt f
r die von der Fl
ssigkeit auf die „Wand“ ausge
bte Kraft mit Gl. (16) FW1;2 ¼ FG1;2 þ ðp1€u A1 e1
p2€u A2 e2 Þ þ ðrV_ u1 e1
rV_ u2 e2 Þ ð17Þ ¼ FG1;2 þ ðFp1 þ Fp2 Þ þ ðFv1 þ Fv2 Þ ¼ FG1;2 þ Fp1;2 þ Fv1;2 : Die Wandkraft setzt sich aus Gewichtsanteil FG1;2 ; Druckanteil Fp1;2 und Geschwindigkeitsanteil Fv1;2 zusammen (Bild 21 c und d). 6.4.2 Anwendungen (Bild 22). Applications a) Strahlstoßkraft gegen W
nde. Unter Vernachlssigung des Eigengewichts und unter Beachtung, daß im Innern des Strahls der Druck
berall gleich dem Luftdruck ist (also p€u ¼ 0; s. B 6.2.8), folgt aus Gl. (17) f
r die x-Richtung und den Kontrollraum 1-2-3 FWx ¼ ðrV_ u1 e1
rV_ 2 u2 e2
rV_ 3 u3 e3 Þex ¼ rV_ u1 cos b: F
r die y-Richtung folgt aus Gl. (17) FWy ¼ 0 ¼ ðrV_ u1 e1
rV_ 2 u2 e2
rV_ 3 u3 e3 Þey ; d. h. V_ u1 sin b
V_ 2 u2 þ V_ 3 u3 ¼ 0: Mit u1 ¼ u2 ¼ u3 aus der Bernoullischen Gleichung und V_ ¼ V_ 2 þ V_ 3 aus der Kontinuittsgleichung ergibt sich V_ 2 =V_ 3 ¼ ð1 þ sin bÞ=ð1
sin bÞ: F
r b ¼ 0 (Stoß gegen senkrechte Wand) gilt FWx ¼ rV_ u1 ¼ rA1 u21 und V_ 2 =V_ 3 ¼ 1: Bewegt sich die senkrechte Wand mit der Geschwindigkeit u in x-Richtung, so wird FWx ¼ rV_ ðu1
uÞ ¼ rA1 u1 ðu1
uÞ: F
r die gewlbte Platte lßt sich entsprechend FWx ¼ rV_ u1 ð1 þ cos bÞ ableiten. Bewegt sich die gewlbte Platte mit

Bild 22 a–f. Anwendungen zur Kraftwirkung

der Geschwindigkeit u (Freistrahlturbine), so gilt FWx ¼ rV_ ðu1
uÞð1 þ cos bÞ: b) Kraft auf Rohrkrmmer. Aus Gl. (17) folgt bei Vernachlssigung des Eigengewichts und mit A1 ¼ A2 ¼ A bzw. u1 ¼ u2 ¼ v bzw. p1€u ¼ p2€u ¼ p€u FW1;2 ¼ ðp€u A þ rV_ uÞe1
ðp€u A þ rV_ uÞe2 und jFW1;2 j ¼ FW1;2 ¼ Fx ¼ 2ðp€u A þ rV_ uÞ cosðb=2Þ: Als Reaktionskrfte wirken Zugkrfte in den Flanschverschraubungen. c) Kraft auf Dse. Mit p2€u ¼ 0 sowie u2 ¼ u1 A1 =A2 ¼ u1 a und p1€u ¼ rðu22
u21 Þ=2 folgt aus Gl. (17) FW1;2 ¼ ðr=2Þu21 A1 ða
1Þ2 ex : Als Reaktionskrfte wirken Zugkrfte in der Flanschverschraubung. d) Kraft bei pltzlicher Rohrerweiterung. Nach Carnot wird die Wandkraft dadurch festgelegt, daß der Druck p
ber den Querschnitt 1 konstant gleich p1 (wie im engeren Querschnitt) gesetzt wird: FW ¼
p1 ðA2
A1 Þex : Dann gilt f
r den Kontrollbereich 1-2 entsprechend Gl. (17) FW1;2 ¼
p1 ðA2
A1 Þex ¼ ðp1 A1 þ ru21 A1
p2 A2
ru22 A2 Þ ex : Mit u1 ¼ u2 A2 =A1 ¼ u2 a folgt hieraus p1 ¼
ru22 a þ p2 þ ru22 . Aus Gl. (9) ergibt sich f
r den stationren Fall mit z1 ¼ z2 und DpV ¼ zru2 =2 f
r den Verlustbeiwert z ¼ ða
1Þ2 (Borda-Carnotsche Gleichung). e) Raketenschubkraft. Mit den Relativgeschwindigkeiten ur1 ¼ 0 und ur2 ¼ ur folgt aus Gl. (17) f
r die Schubkraft FW ¼ rV_ ð0
ur2 Þ ¼
rV_ ur ex ¼
rA2 u2r ex : f) Propellerschubkraft. Bei Drehung eines Propellers oder einer Schraube wird das Fluid angesaugt und beschleunigt. Die Stromrhre wird so gewhlt, daß v1 A1 ¼ v3 A3 ¼ v5 A5 wird. v1 ist die Fahrzeuggeschwindigkeit und damit die Zustrmgeschwindigkeit des Fluids. Aus dem Impulssatz (17) ergibt sich die Schubkraft FS ¼ rV_ ðu5
u1 Þ ¼ rA3 u3 ðu5
u1 Þ: Aus der Bernoullischen Gleichung f
r die Bereiche 1-2 und 4-5 folgt mit p1 ¼ p5 (Freistrahl) der Druckunterschied p4
p2 ¼ rðu25
u21 Þ=2 und damit FS ¼ rA3 ðu25
u21 Þ=2: Gleichsetzen der Ausdr
cke f
r FS f
hrt zu u3 ¼ ðu1 þ u5 Þ=2 und da-

I6.5 mit zu FS ¼ cS rv21 A3 =2; wobei cS ¼ ðu5 =u1 Þ2
1 der Schubbelastungsgrad ist. Ist die zugef
hrte Leistung Pz ¼ FS u3 und die Nutzleistung Pn ¼ FS u1 ; so ist der theoretische Wirkungsgrad des Propellers h ¼ Pn =Pz ¼ u1 =u3 : Ferner gilt mit k ¼ 2Pz =ðrv31 A3 Þ die Gleichung k ¼ 4ð1
hÞ=h3 sowie h ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2=ð1 þ 1 þ cS Þ: Hieraus ergeben sich bei gegebenem Pz und u1 die Grßen k, h, FS usw.

6.5 Mehrdimensionale Str
mung idealer Flssigkeiten. Multidimensional flow of ideal fluids 6.5.1 Allgemeine Grundgleichungen. Fundamentals Eulersche Bewegungsgleichungen. Sie folgen aus dem Newtonschen Grundgesetz in x-Richtung (analog f
r y- und zRichtung) mit der auf das Element bezogenen Massenkraft F ¼ ðX; Y; ZÞ zu dux ¶ux ¶ux ¶ux ¶ux 1 ¶p ¼ þ ux þ uy þ uz ¼X
: ð18Þ dt ¶t ¶x ¶y ¶z r ¶x Die Geschwindigkeitsnderung ¶ux =¶t mit der Zeit an einem festen Ort heißt lokal, diejenige ðux ¶ux =¶x þ uy ¶ux =¶y þ uz ¶ux =¶zÞ zu einer bestimmten Zeit bei Ortsnderung konvektiv. Vektoriell gilt du ¶u F
1 ¼ þ ðurÞu ¼ grad p; ð19Þ dt ¶t r wobei mit dem Nablaoperator r und rot u ¼ r  u (s. A bzw. DUBBEL interaktiv) ðurÞu ¼ grad u2 =2
u  rot u ist. Dabei ist ð1=2Þ rot u ¼ w die Winkelgeschwindigkeit, mit der einzelne Fl
ssigkeitsteilchen rotieren (wirbeln). Ist eine Strmung rotorfrei, d. h. rot u ¼ 0, so liegt eine Potentialstrmung vor. Linien, die von rot u tangiert werden, heißen Wirbellinien, mehrere dieser Linien bilden die Wirbelrhre. Zirkulation einer Str
mung. Sie ist das Linienintegral
ber das Skalarprodukt u dr lngs einer geschlossenen Kurve: I I u dr ¼ ðux dx þ uy dy þ uz dzÞ: G¼ ðCÞ

ðCÞ

Diese Gleichung lßt sich mit dem Satz von Stokes auch ZZ I u dr ¼ rot u da ð20Þ G¼ ðCÞ

ðAÞ

schreiben, wobei A eine
ber C aufgespannte Flche ist. Bei Potentialstrmungen ist rot u ¼ 0, d. h. G ¼ 0. Helmholtzsche Wirbelstze. Wird Gl. (20) auf Wirbelrhren umschließende Kurven angewendet, so folgt I I G1 ¼ u dr ¼ G2 ¼ u dr ¼ const : ðC 1 Þ

ðC2 Þ

1. Helmholtzscher Satz: Die Zirkulation hat f
r jede eine Wirbelrhre umschließende Kurve denselben Wert, d. h., Wirbelrhren knnen im Innern eines Fl
ssigkeitsbereichs weder beginnen noch enden (sie bilden also entweder geschlossene Rhren – sogenannte Ringwirbel – oder gehen bis ans Ende des Fl
ssigkeitsbereichs). F
r F ¼
grad U und barotrope Fl
ssigkeit r ¼ r(p) folgt aus den Gln. (19) und (20) I ZZ dG du du ¼ dr ¼ rot da ¼ 0: dt dt dt 2. Helmholtzscher Satz: Die Zirkulation hat einen zeitlich unvernderlichen Wert, wenn die Massenkrfte ein Potential haben und das Fluid barotrop ist (d. h., z. B. Potentialstrmungen bleiben stets Potentialstrmungen; s. A bzw. DUBBEL interaktiv).

Mehrdimensionale Strmung idealer Fl
ssigkeiten

B 57

Kontinuittsgleichung. Die in ein Element dx dy dz einstrmende Masse muß gleich der lokalen Dichtenderung zuz
glich der ausstrmenden Masse sein:

B

¶r ¶ðrux Þ ¶ðruy Þ ¶ðruz Þ þ þ þ ¼0 ¶y ¶t ¶x ¶z bzw. in vektorieller Form ¶r ¶r þ rðruÞ ¼ þ divðruÞ ¼ 0: ¶t ¶t F
r inkompressible Fl
ssigkeiten ðr ¼ constÞ folgt ¶ux ¶uy ¶uz þ þ ¼ div u ¼ 0: ¶x ¶y ¶z

ð21Þ

Die Gln. (19) und (21) bilden vier gekoppelte partielle Differentialgleichungen zur Berechnung der vier Unbekannten ux , uy , uz und p einer Strmung. Lsungen lassen sich im allgemeinen nur f
r Potentialstrmungen angeben, d. h., wenn rot u ¼ 0 ist. 6.5.2 Potentialstr
mungen. Potential flows Die Eulerschen Gleichungen lassen sich integrieren, wenn der Vektor u ein Geschwindigkeitspotential F(x, y, z) hat, d. h., wenn ¶F ¶F ¶F ex þ ey þ ez u ¼ grad F ¼ ¶x ¶y ¶z ist und F ebenfalls ein Potential hat, also ¶U ¶U ¶U F ¼
grad U ¼
ex
ey
ez ¶x ¶y ¶z ist. Somit folgt f
r die Potentialstrmung rot u ¼ rot grad F ¼ r  rF ¼ 0 und aus Gl. (19) nach Integration   ¶F u2 p grad þ þ þ U ¼ 0 und 2 r ¶t ¶F u2 p þ þ þ U ¼ CðtÞ 2 r ¶t bzw. f
r die stationre Strmung u2 =2 þ p=r þ U ¼ C ¼ const:

ð22Þ

Das ist die verallgemeinerte Bernoullische Gleichung f
r die Potentialstrmung, die f
r das gesamte Strmungsfeld dieselbe Konstante C hat. Aus der Kontinuittsgleichung (21) folgt div u ¼ div grad F ð23Þ ¶2 F ¶2 F ¶2 F ¼ rrF ¼ DF ¼ 2 þ 2 þ 2 ¼ 0 ¶x ¶y ¶z (Laplacesche Potentialgleichung). Die Gln. (22) und (23) dienen zur Berechnung von p und u. Letztere hat unendlich viele Lsungen; daher werden bekannte Lsungen untersucht und als Strmungen interpretiert. Zum Beispiel ist pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Fðx; y; zÞ ¼ C=r ¼ C= x2 þ y2 þ z2 eine Lsung. Hieraus erpffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi hlt man ux ¼ ¶F=¶x ¼
Cx= r3 , uy ¼ ¶F=¶y ¼
Cy= r3 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi und uz ¼ ¶F=¶z ¼
Cz= r 3 sowie u ¼ u2x þ u2y þ u2z ¼ C=r. Es handelt sich um eine radial zum Mittelpunkt gerichtete Strmung, also eine Senke (bzw. Quelle, wenn man C durch – C ersetzt). Ebene Potentialstr
mung. Hier bilden alle analytischen (komplexen) Funktionen Lsungen, denn w ¼ f ðzÞ ¼ f ðx þ iyÞ ¼ Fðx; yÞ þ iYðx; yÞ

ð24Þ

gen
gen als analytische Funktionen den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ¶F=¶x ¼ ¶Y=¶y und ¶F=¶y ¼
¶Y=¶x

ð25Þ

und somit auch den Potentialgleichungen ¶2 F ¶2 F ¶2 Y ¶2 Y þ ¼ 0 und þ ¼ 0: ¶x2 ¶y2 ¶x2 ¶y2

ð26Þ

B 58

Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)

u ¼ juj ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u2x þ u2y ¼ C2 ðx2 þ y2 Þ=r4 ¼ C=r:

Trotz des vorhandenen Potentials existiert eine Zirkulation I I G ¼ udr ¼ u ds cos b ¼
ðC=rÞ2pr ¼
2pC:

B

c) Dipolstr
mung Bild 23. Potential- und Stromlinien

m mx
my þi 2 ¼ F þ iY: w¼ ¼ 2 z x þ y2 x þ y2

Fðx; yÞ ¼ const sind die Potentiallinien, auf denen der Geschwindigkeitsvektor senkrecht steht, und Yðx; yÞ ¼ const die Stromlinien, die vom Geschwindigkeitsvektor tangiert werden, d. h., beide Kurvenscharen stehen senkrecht zueinander. Aus den Gln. (24) und (25) folgt dw ¶F ¶Y ð27 aÞ ¼ þ i ¼ ux
i uy ¼
u d: h: f 0 ðzÞ ¼ dz ¶x ¶x u

¼ f 0 ðzÞ ¼ ¶F=¶x
i ¶Y=¶x ¼ ux þ i uy :

ð27 bÞ

Der Querstrich oben bedeutet den konjugiert komplexen Wert. w ¼ f ðzÞ wird komplexes Geschwindigkeitspotential genannt. Wenn s und n Koordinaten tangential und senkrecht zur Potentiallinie F sind (Bild 23), ist der Volumenstrom V_ ¼

Zð2Þ

Zð2Þ un ds ¼

ð1Þ

ð1Þ

¶F ds ¼ ¶n

Zð2Þ ð1Þ

¶Y ds ¼ Y2
Y1 ; ¶s

er ist also gleich der Differenz der Stromlinienwerte. Die Geschwindigkeit ist umgekehrt proportional dem Abstand der Stromlinien. Einige Beispiele f
r komplexe Geschwindigkeitspontentiale zeigt Bild 24: a) Parallelstr
mung. Aus dem Geschwindigkeitspontential w ¼ u0 z ¼ u0 x þ i u0 y ¼ F þ iY folgen die Potentiallinien zu F ¼ u0 x ¼ const, d. h. x ¼ const; die Potentiallinien sind also Geraden parallel zur y-Achse. Die Stromlinien sind wegen Y ¼ u0 y ¼ const, d. h. y ¼ const, Geraden parallel zur x-Achse. Ferner gilt ux ¼ ¶F=¶x ¼ u0 und uy ¼ ¶F=¶y ¼ 0. b) Wirbellinienstr
mung (Potentialwirbel). C sei reell. w ¼ iC log z ¼
C arctanðy=xÞ þ iðC=2Þ lnðx2 þ y2 Þ ¼ F þ iY bzw. F ¼
C arctanðy=xÞ ¼ const ergibt y ¼ cx; die Potentiallinien sind also Geraden. Y ¼ ð1=2ÞC lnðx2 þ y2 Þ ¼ const liefert x2 þ y2 ¼ c; die Stromlinien sind also Kreise. iC iC iCðx
iyÞ y x ¼C 2 þ iC 2 ¼ ¼ 2 z x þ iy x þ y2 x þ y2 x þ y2 Cy Cx ¼ 2 þ i 2 ¼ u x
i uy ; r r

f 0 ðzÞ ¼

d. h., ux ist im ersten Quadranten positiv und uy negativ. Die Strmung luft also im Uhrzeigersinn um.

Bild 24 a–e. Potentialstrmungen

F ¼ mx=ðx2 þ y2 Þ ¼ const ergibt x2 þ y2 ¼ cx bzw. ðx
c=2Þ2 þ y2 ¼ ðc=2Þ2 ; die Potentiallinien sind also Kreise mit Mittelpunkt auf der x-Achse. Y ¼
my=ðx2 þ y2 Þ ¼ const ergibt x2 þ y2 ¼ cy bzw. x2 þ ðy
c=2Þ2 ¼ ðc=2Þ2 ; die Stromlinien sind also Kreise mit Mittelpunkt auf der y-Achse. Alle Kreise gehen durch den Nullpunkt. Der Betrag der Geschwindigkeit u ¼ jw0 ðzÞj ¼ m=z2 ¼ m=ðx2 þ y2 Þ ¼ m=r 2 nimmt nach außen mit 1=r 2 ab. d) Parallelanstr
mung eines Kreiszylinders. Bei berlagerung der Parallel- und Dipolstrmung ergibt sich f
r den Zylinder mit Radius aw ¼ f ðzÞ ¼ u0 ðz þ a2 =zÞ. F
r z ! 1 ergibt sich die Parallelstrmung. Weiter gilt     u0 a2 x u0 a2 y F þ iY ¼ u0 x þ 2 þ i u0 y
2 : 2 2 x þy x þy F
r Y ¼ 0 wird u0 y½1
a2 =ðx2 þ y2 Þ ¼ 0, d. h., y ¼ 0 (x-Achse) und x2 þ y2 ¼ a2 (Berandung des Zylinders) bilden eine Stromlinie. Die Geschwindigkeit der Strmung folgt aus f 0 ðzÞ ¼ u0 ð1
a2 =z2 Þ ¼ ux
i uy zu u ¼ j f 0 ðzÞj ¼ ju0 ð1
a2 =z2 Þj: F
r z ¼ a wird u ¼ 0 (Staupunkte) und f
r z ¼  ia wird u ¼ 2u0 (Scheitelpunkte); die Geschwindigkeit ist also zur Vertikalachse symmetrisch. Dann folgt aus Gl. (22) auch eine zur Vertikalachse symmetrische Druckverteilung, d. h., die auf den Krper bei Umstrmung durch eine ideale Fl
ssigkeit in Strmungsrichtung wirkende Kraft ist gleich Null (dAlembertsches hydrodynamisches Paradoxon). Strmungskrfte entstehen nur durch die Reibung der Fl
ssigkeiten. e) Unsymmetrische Umstr
mung eines Kreiszylinders. berlagert man der Umstrmung gemß d) den Potentialwirbel gemß b), so erhlt man w ¼ f ðzÞ ¼ u0 ðz þ a2 =zÞ þ iC log z;   a2 C þ lnðx2 þ y2 Þ; Y ¼ u0 y 1
2 x þ y2 2   a2 F ¼ u0 x 1 þ 2
C arctanðy=xÞ: x þ y2 Die Stromfunkion ist symmetrisch zur y-Achse, nicht aber zur x-Achse, d. h., durch Integration des Drucks lngs des

I6.6 Umrisses ergibt sich eine Kraft in y-Richtung. Diese „Auftriebskraft“ l
ßt sich berechnen zu FA ¼ ru0 G ¼ ru0 2pC (Satz von Kutta-Joukowski); sie ist nur abh
ngig von der Anstrmgeschwindigkeit und der Zirkulation, nicht aber von der Kontur des Zylinders. Konforme Abbildung des Kreises. Mit der Methode der konformen Abbildung kann man den Kreis auf beliebige andere, einfach zusammenh
ngende Konturen abbilden und umgekehrt und damit, da die beliebige Strmung um den Kreis bekannt ist, die Strmung um diese Konturen ermitteln [3].

6.6 Mehrdimensionale Str
mung zher Flssigkeiten Multidimensional flow of viscous fluids

Mehrdimensionale Strmung z
her Flssigkeiten

B 59

6.6.2 Einige L
sungen fr kleine Reynoldssche Zahlen (laminare Str
mung) Some solutions at low Reynold's number (laminar flow) Bild 25 a–c [10] a) Couette-Str
mung. Um einen ruhenden Kern dreht sich ein
ußerer Zylinder gleichfrmig, angetrieben durch ein
ußeres Drehmoment M. Die Navier-Stokessche Gl. (31) nimmt in hier zweckm
ßigen Polarkoordinaten in r- und j-Richtung (mit ur ¼ 0, uj ¼ uðrÞ, p=p( r) aus Symmetriegrnden und   u2 1 ¶p h d2 u 1 du u F ¼ 0) die Form  ¼  þ und  2 ¼ 2 r r ¶r r dr r dr r   hd 1d ðruÞ ¼ 0 an. r dr r dr

6.6.1 Bewegungsgleichungen von Navier-Stokes Navier Stokes equations

Hieraus ergibt sich nach Integration u ¼ C1 r=2 þ C2 =r. Die Konstanten C1 und C2 erh
lt man aus uðri Þ ¼ 0 und uðra Þ ¼ wra zu C2 ¼ C1 ri2 =2 und C1 ¼ 2wra2 =ðra2  ri2 Þ; damit ist   wr 2 r2 u¼ 2 a 2 r i . r ra  ri

Bei r
umlicher Strmung Newtonscher Flssigkeiten gelten fr die infolge Reibung auftretenden Zusatzspannungen als Verallgemeinerung des Newtonschen Schubspannungsansatzes die Gleichungen (mit der zus
tzlichen Z
higkeitskonstante h
[3])

Fr die Schubspannungen gilt Gl. (28) analog in Polarkoordinaten:     1 ¶ur ¶uj uj du u 2hwr 2 r2 þ   t¼h ¼h ¼ 2 a2 i2 ; r r ¶j ¶r dr r ra  ri r tðr ¼ ra Þ ¼ 2hwri2 =ðra2  ri2 Þ:

¶uy ¶ux þ h
div u, sy ¼ 2h þ h
div u, ¶x ¶y ¶uz sz ¼ 2h þ h
div u; ¶z

ð28 aÞ

    ¶ux ¶uy ¶ux ¶uz þ þ txy ¼ h ; txz ¼ h ; ¶y ¶x ¶z ¶x   ¶uy ¶uz þ tyz ¼ h : ¶z ¶y

ð28 bÞ

sx ¼ 2h

Das Newtonsche Grundgesetz fr ein Flssigkeitselement lautet fr die x-Richtung dux ¶ux ¶ux ¶ux ¶ux ¼ þ ux þ uy þ uz dt ¶t ¶x ¶y ¶z   1 ¶p 1 ¶sx ¶txy ¶txz þ þ ¼X þ : ¶y ¶z r ¶x r ¶x

ð29Þ

Aus den Gln. (28) und (29) folgen fr inkompressible Flssigkeiten ðdiv u ¼ 0Þ die Bewegungsgleichungen von NavierStokes (fr die y- und z-Richtung gelten analoge Gleichungen):   dux 1 ¶p h ¶2 ux ¶2 ux ¶2 ux ¼X þ 2 þ 2 þ 2 dt ¶y ¶z r ¶x r ¶x ð30Þ 1 ¶p h ¼X þ D ux r ¶x r

Fr das am Zylinder erforderliche
ußere Moment M ¼ t  2pra lra folgt M ¼ 4phwlra2 ri2 =ðra2  ri2 Þ. Durch Messung von M l
ßt sich hieraus die Viskosit
t h bestimmen (Couette-Viskosimeter). b) Schmiermittelreibung. Bewegt sich eine schwach gekrmmte (oder ebene) Platte bei kleinem Zwischenraum parallel zu einer anderen, so entsteht ein Strmungsdruck, der eine Berhrung der beiden Fl
chen und deren Reibung aufeinander verhindert. Mit uy  0, ¶uy =¶y  0, ux ¼ u folgt aus der Kontinuit
tsgleichung (21) ¶u=¶x ¼ ¶uy =¶y ¼ 0, d. h. ¶2 u=¶x2 ¼ 0. Wegen ¶ux =¶t ¼ 0 ergibt sich aus Gln. (29) und (30) ¶p=¶x ¼ 1 ¶p y2 þ C1 y þ C2 . Mit C1 h ¶2 u=¶y2 mit der Lsung uðyÞ ¼ h ¶x 2 und C2 aus der Bedingung, daß die Flssigkeit an den Platten haftet, ergibt sich  1 ¶p y y uðyÞ ¼ ðy  hÞ þ u0 1  : h ¶x 2 h

bzw. in vektorieller Form du ¶u F1 h ¼ þ ðurÞu ¼ grad p þ D u: dt ¶t r r

ð31Þ

Dabei ist p der mittlere Druck, denn aus div u ¼ 0 folgt sx þ sy þ sz ¼ 0, d. h., die Summe der Zusatzspannungen sx , sy , sz zum mittleren Druck p ist Null. Die Gln. (28) bis (31) gelten fr laminare Strmung; fr den turbulenten Fall ist als weiteres Glied die Turbulenzkraft einzufhren [3]. Lsungen der Navier-Stokesschen Gleichungen liegen nur fr wenige Spezialf
lle (s. B 6.6.2) fr kleine Reynoldssche Zahlen vor. Bei großen Reynoldsschen Zahlen, also kleinen Z
higkeiten, werden viele Probleme mit der „Grenzschichttheorie“ gelst, deren Ursprung auf Prandtl zurckgeht. Dabei wird die stets am Krper der Haftbedingung unterworfene, strmende z
he Flssigkeit nur in einer dnnen Grenzschicht als reibungsbehaftet, sonst aber als ideal angesehen.

Bild 25a–c. Strmungen z
her Flssigkeiten

B

B 60 Z

¶p 6h ¼ u0 ðh
h0 Þ mit ¶p/ ¶x h3 ¶x ¼ 0 f
r h ¼ h0 . F
r die Schubspannung bei y ¼ 0 gilt t ¼ hu0 ð3h0
4hÞ=h2 . c) Stokessche Widerstandsformel f
r die Kugel. Bei kleiner Reynoldsscher Zahl (Re  1), d. h. schleichender Strmung, werde eine Kugel umstrmt. Die Widerstandskraft ergibt sich nach Stokes zu ð32Þ FW ¼ 3ph du0 :

Aus V_ ¼

B

Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)

u dy ¼ const folgt

Diese Formel wurde von Oseen unter Ber
cksichtigung der Beschleunigungsanteile verbessert zu FW ¼ 3ph du0 ½1 þ ð3=8ÞRe: Beispiel: Viskosittsbestimmung. – Fllt eine Kugel mit u ¼ const durch eine zhe Fl
ssigkeit, so gilt FG
FW
FA ¼ 0, d. h. rK gpd3 =6
3ph du
rF gpd 3 =6 ¼ 0 und hieraus

6.6.4 Str
mungswiderstand von K
rpern Drag of solid bodies Der aus den Schubspannungen lngs der Grenzschicht entstehende Widerstand wird Reibungswiderstand, der infolge des durch Strmungsablsung und Wirbelbildung hinter dem Krper verursachten Unterdrucks entstehende Widerstand wird Druckwiderstand genannt. Beide zusammen ergeben den Gesamtwiderstand. Whrend der Reibungswiderstand mit Hilfe der Grenzschichttheorie weitgehend berechenbar ist, muß der theoretisch schwierig erfaßbare Druckwiderstand im wesentlichen experimentell bestimmt werden. Je nach Krperform
berwiegt der Reibungs- oder der Druckwiderstand. F
r die Krper auf Bild 27 betrgt deren Verhltnis a) 100 : 0, b) 90 : 10, c) 10 : 90 bzw. d) 0 : 100 in Prozent.

h ¼ gd2 ðrK
rF Þ=ð18uÞ:

6.6.3 Grenzschichttheorie. Boundary layer theory Umstrmt ein Stoff kleiner Zhigkeit (Luft, Wasser) einen Krper, so bildet sich aufgrund des Haftens des Fluids an der Krperoberflche eine Grenzschicht von der Dicke d(x), in der ein starkes Geschwindigkeitsgeflle und somit große Schubspannungen vorhanden sind. Außerhalb dieser Schicht ist das Geschwindigkeitsgeflle klein, somit sind bei kleinem h die Schubspannungen vernachlssigbar, d. h. die Fl
ssigkeit als ideal anzusehen. In der Regel ist der Anfangsbereich der Grenzschicht laminar und geht dann im Umschlagpunkt in turbulente Strmung mit erhhten Schubspannungen
ber. Nherungsweise liegt der Umschlagpunkt an der Stelle des Druckminimums der Außenstrmung [8]. Aus der NavierStokesschen Gl. (31) folgt f
r den ebenen Fall, bei stationrer Strmung und ohne Massenkrfte mit der Kontinuittsgleichung (21) und den Vereinfachungen uy  ux ; ¶uy =¶x  ¶uy =¶y; ¶ux =¶x  ¶ux =¶y; ¶p/¶y  0 ¶ux dp ¶2 ux ¼
þh 2 : rux ¶x ¶y dx

ð33Þ

Bei einem schwach gekr
mmten Profil (Bild 26) folgt f
r die Wand y ¼ 0 mit ux ¼ 0 (Haftung) aus Gl. (33)
2  dp ¶ ux : ð34Þ ¼h ¶y2 y¼0 dx

Bild 26. Grenzschicht

Ist dp=dx < 0 (Anfangsbereich Bild 26), so folgt aus Gl. (34) ¶2 ux =¶y2 < 0; das Geschwindigkeitsprofil ist also konvex. F
r dp=dx ¼ 0 wird ¶2 ux =¶y2 ¼ 0; das Geschwindigkeitsprofil hat also keine Kr
mmung. F
r dp=dx > 0 wird ¶2 ux =¶y2 > 0; das Profil ist also konkav gekr
mmt, und es wird eine Stelle erreicht, wo ¶ux =¶y ¼ 0 ist. Anschließend wird ux negativ, d. h., es setzt eine r
cklufige Strmung ein, die in Einzelwirbel
bergeht. Wegen der Wirbel entsteht hinter dem Krper ein Unterdruck, der zusammen mit den Schubspannungen lngs der Grenzschicht den Gesamtstrmungswiderstand des Krpers ergibt [3, 8, 10].

Bild 27 a–d. Strmungswiderstnde

Reibungswiderstand. Bei sehr schlanken und stromlinienfrmigen Krpern umh
llt die Grenzschicht den ganzen Krper, d. h., es gibt keine Wirbel und keinen Druckwiderstand, sondern nur einen Reibungswiderstand. Fr ¼ cr ðrv20 =2ÞA0 (A0 Oberflche des umstrmten Krpers). F
r den Reibungsbeiwert cr gelten hnliche Abhngigkeiten wie bei durchstrmten Rohren. Zugrunde gelegt werden die Ergebnisse f
r die umstrmte d
nne Platte der Lnge l (Bild 27 a): Der bergang von laminarer zu turbulenter Strmung tritt bei Rek ¼ 5  105 ein. Hierbei ist Re ¼ u0 l=n. Der Umschlagpunkt von laminarer in turbulente Strmung auf der Platte liegt also bei xu ¼ nRek =u0 . Die Dicke der laminaren Grenzschicht bepffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi trgt d ¼ 5  nx=u0 , die der turbulenten Grenzschicht ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p pffiffiffiffiffiffi 5 4 d ¼ 0;37 nx =u0 . Reibungsbeiwerte cr ¼ 1;327= Re f
r lap ffiffiffiffiffiffi 5 minare Strmung, cr ¼ 0;074= Re f
r turbulente Strmungglatte Platte, cr ¼ 0;418=½2 þ lgðl=kÞ2;53 f
r turbulente Strmung-rauhe Platte (k ¼ 0;001 mm f
r polierte Oberflche, k ¼ 0;05 mm f
r gegossene Oberflche). F
r k % 100 l=Re ist die Platte als hydraulisch glatt anzusehen Diagramm s. [3]. Druckwiderstand (Formwiderstand). Er ergibt sich durch Integration
ber die Druckkomponenten in Strmungsrichtung vor und hinter dem Krper. Man faßt ihn zusammen zu Fd ¼ cd ðru20 =2ÞAp (Ap Projektionsflche des Krpers, auch Schattenflche genannt). cd ist durch Messung der Druckverteilung bestimmbar. In der Regel f
hren die Messungen jedoch sofort zum Gesamtwiderstand. Gesamtwiderstand. Er setzt sich aus Reibungs- und Druckwiderstand zusammen: FW ¼ cw ðru20 =2ÞAp :

ð35Þ

F
r Krper mit rascher Strahlablsung (praktisch reiner Druckwiderstand) hngt cw nur von der Krperform, f
r alle

I6.6

Mehrdimensionale Str
mung zher Flssigkeiten

B 61

Tabelle 2. Widerstandszahlen cw angestr
mter K
rper

B

anderen K
rper von der Reynoldsschen Zahl ab. Fr einige K
rper k
nnen die Widerstandszahlen cw Tab. 2 entnommen werden. Winddruck auf Bauwerke. Die maßgebenden Windgeschwindigkeiten sowie Beiwerte cw sind DIN 1055 Blatt 4 zu entnehmen. Luftwiderstand von Kraftfahrzeugen. Der Widerstand wird aus Gl. (35) berechnet, wobei die Widerstandszahlen cw Tabellen zu entnehmen sind (s. Q 1.2.1). Schwebegeschwindigkeit von Teilchen. Wird ein fallendes Teilchen von unten nach oben mit Luft der Geschwindigkeit u angeblasen, so tritt Schweben ein (Bild 28), wenn FG ¼ FA þ FW , d. h. rK Vg ¼ rVg þ cw ðrF u2 =2ÞAp und hierpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aus u ¼ 4dðrK
rF Þg=ð3cw rF Þ ist.

Fr den Drehmomentenbeiwert cM gilt in Abhngigkeit von der Reynoldsschen Zahl Re ¼ wd2 =ð4uÞ nach [1] bei: ausgedehnten ruhenden Fl
ssigkeiten pffiffiffiffiffiffi f
r Re < 5  105 ðlaminare Str
mungÞ cM ¼ 5;2= Re; pffiffiffiffiffiffiffi 5 f
r Re > 5  10 ðturbulente Str
mungÞ cM ¼ 0;168= 5 Re; Fl
ssigkeiten in Gehusen (hier ist s der Abstand zwischen Scheibe und Gehusewand) f
r Re < 3  104 f
r 3  104 < Re < 6  105 f
r Re > 6  105

cM ¼ 2pd=ðsReÞ; pffiffiffiffiffiffi cM ¼ 3;78= Re; pffiffiffiffiffiffi cM ¼ 0;0714= 5 Re:

Reibungswiderstand an rotierenden Scheiben. Bewegt sich eine rotierende dnne Scheibe mit der Winkelgeschwindigkeit w in einer Flssigkeit, so bildet sich eine Grenzschicht aus, deren Teilchen an der Oberflche der Scheibe haften. Die an beiden Seiten auftretenden Reibungskrfte erzeugen ein der Bewegung entgegengesetzt wirkendes Drehmoment (Bild 29): Zd=2 Z Z ru2 dA ¼ rcF rw2 r2 2pr dr M ¼ 2 r dFr ¼ 2 rcF 2 0

  5   4pcF rw2 d rw2 d 5 ¼ cM : ¼ 5 2 2 2 2

Bild 28. Schwebezustand

Bild 29. Radscheibenreibung

B 62

Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Str
mungslehre, Dynamik der Fluide)

B

Bild 30 a – f. Tragflgel. a Gew
lbtes Profil; b Tropfenprofil; c Kraftzerlegung; d Druckverteilung; e und f dnnwandige Profile

6.6.5 Tragfl
gel und Schaufeln. Aerofoils and blades Ein unter dem Anstellwinkel a mit u0 angestr
mter Tragflgel erfhrt eine Auftriebskraft FA senkrecht zur Anstr
mrichtung und eine Widerstandskraft FW parallel zur Str
mungsrichtung (Bild 30 a, b): FA ¼ ca ðru20 =2ÞA; FW ¼ cw ðru20 =2ÞA:

ð36 a, bÞ

Hierbei ist ca der Auftriebsbeiwert und A die senkrecht auf die Sehne l projizierte Flgelflche. Angestrebt wird eine m
glichst gnstige Gleitzahl e ¼ cw =ca . pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 sowie b ¼ Aus der Resultierenden FR ¼ FA2 þ FW arctanðFW =FA Þ folgen die Krfte normal und tangential zur Sehne (Bild 30 c): Fn ¼ FR cosðb
aÞ; Ft ¼ FR sinðb
aÞ: Die Lage des Angriffspunkts der Resultierenden auf der Sehne (Druckpunkt D) wird durch die Entfernung s vom Anfangspunkt der Sehne bzw. durch den Momentenbeiwert cm festgelegt: Fn s ¼ Fn0 l ¼ cm ðru20 =2ÞAl (Fn0 ist eine gedachte, an der Hinterkante wirksame Kraft). Mit Fn  FA ¼ ca ðru20 =2ÞA ergibt sich s ¼ ðcm =ca Þl. Auftrieb. Allein maßgebend fr den Auftrieb ist nach dem Satz von Kutta-Joukowski (s. B 6.5.2) die Zirkulation G: FA ¼ ru0 G ¼ ru0 2pC ¼ ca ðru20 =2ÞA:

ð37Þ

Die Konstante C wird so bestimmt, daß die Str
mung an der Hinterkante glatt abfließt (Kuttasche Abflußbedingung; die Hinterkante wird nicht umstr
mt). Infolge der Zirkulation wird die Str
mung auf der Oberseite (Saugseite) schneller und auf der Unterseite (Druckseite) langsamer, d. h., entsprechend der Bernoullischen Gleichung ru2 =2 þ p ¼ const wird der Druck oben kleiner und unten gr
ßer. Unterdruck Dp1 und berdruck Dp2 sind in Bild 30 d lngs des Profilumfangs aufgetragen. Der Auftrieb lßt sich ber die Zirkulation nach Gl. (37) oder durch Integration ber den Druck Dp mit demselben Ergebnis ermitteln. Die Berechnung ber die Zirkulation kann fr einen unendlich langen Tragflgel auf zweierlei Art geschehen: entweder durch konforme Abbildung des Profils auf einen Kreis, da fr ihn die Potentialstr
mung mit Zirkulation bekannt ist (s. B 6.5.2), oder nach der Singularittenmethode (Nherungsverfahren), wobei das umstr
mte Profil durch eine Reihe von Wirbeln, Quellen, Senken und Dipolen angenhert wird [3]. Mit diesen Methoden ergibt sich fr ein Kreisbogenprofil der W
lbung f (Bild 30 e) der Auftriebsbeiwert ca ¼ 2p sinða þ b=2Þ  2pða þ 2 f =lÞ und fr ein beliebig gekrmmtes Profil mit den Endwinkeln y und j (Bild 30 f)

ca ¼ 2p sinða þ y=8 þ 3j=8Þ. Das Ergebnis fr das Kreisbogenprofil kann als gute Nherung fr alle Profile verwendet werden, wenn der Anstellwinkel nicht zu groß ist. Der Auftrieb wchst also linear mit dem Anstellwinkel und der relativen W
lbung f/l. Fr a0 ¼
2 f =l wird der Auftrieb Null. Bei Tragflgeln endlicher Lnge erzwingt der Druckunterschied zwischen Unter- und Oberseite eine Str
mung zu den Flgelenden hin, da dort der Druckunterschied Null sein muß (Bild 31), d. h., es liegt eine rumliche Str
mung vor, die nicht mehr mit den Methoden der ebenen Potentialtheorie erfaßbar ist. Dabei nimmt der Auftrieb (und damit die Zirkulation) von der Mitte zu den Enden hin stetig auf Null ab und zwar angenhert ellipsenf
rmig. Am Flgelende entsteht dabei dauernd eine Zirkulation, die in Form freier Wirbel abschwimmt und aufgrund ihres Energieverbrauchs den „induzierten Widerstand“ hervorruft.

Bild 31. Querstr
mung am Tragflgel

Widerstandskraft. Der Gesamtwiderstand nach Gl. (36 b) setzt sich aus dem Reibungs- und Druckwiderstand (s. B 6.6.4) sowie dem induzierten Widerstand infolge Wirbelbildung an den Flgelenden zusammen: FW ¼ FWo þ FWi , cw ¼ cwo þ cwi . Fr den Beiwert des induzierten Widerstands gilt bei elliptischer Auftriebsverteilung nach Prandtl cwi ¼ lc2a =p;

ð38Þ

wobei l ¼ A=b das sogenannte Seitenverhltnis und b die Spannweite des Flgels ist. Der induzierte Widerstand nimmt also quadratisch mit dem Auftrieb bzw. linear mit dem Seitenverhltnis zu. Der Profilwiderstandsbeiwert cwo ist unabhngig von l und ndert sich nur geringfgig mit ca bzw. a. 2

Polardiagramm. Die errechneten oder gemessenen Werte ca , cw und cm werden im Polardiagramm aufgetragen, in Bild 32 a z. B. fr das G
ttinger Profil 593 mit l ¼ 1 : 5. Hierbei bilden die Koeffizienten cw und cm die Abszisse und der Koeffizient ca die Ordinate. Die zu den einzelnen Werten geh
renden Anstellwinkel a sind ebenfalls eingetragen. Strichpunktiert ist die Parabel des induzierten Widerstands nach Gl. (38) dargestellt. Die Gerade g zu einem Punkt der cw -Kurve hat die Steigung tang ¼ cw =ca ¼ e. Der Winkel g kann als Gleitwinkel eines antriebslosen Flugzeugs (Bild 32 b) gedeutet werden. Bild 32 c zeigt fr dasselbe Profil die Werte ca und cw als Funktion des Anstellwinkels a. Bis etwa 13  nimmt der Auftrieb linear mit dem Anstellwinkel zu, er er-

I6.6

Mehrdimensionale Strmung zher Flssigkeiten

B 63

reicht bei 15
seinen Hhepunkt und nimmt dann wieder ab. Die Ursache fr diese Abnahme ist im Abreißen der Strmung auf der Oberseite des Profils zu finden, das einer Verkleinerung des Anstellwinkels gleichzusetzen ist. Der Widerstandskoeffizient cw ist fr den Anstellwinkel a ¼
4
minimal; er nimmt nach beiden Seiten quadratisch zu.

bulente. Bei geeigneter Formgebung wird der Umschlagpunkt mglichst weit ans Ende des Profils verlegt (Laminarflgel), z. B. indem die dickste Stelle des Profils nach hinten verschoben und die Grenzschicht abgesaugt wird. Hierdurch lßt sich der cw -Wert um 50% und mehr vermindern.

Allgemeine Ergebnisse. Vergleicht man geometrisch hnliche Profile, so gelten fr ca , cw und a

6.6.6 Schaufeln und Profile im Gitterverband Blade rows (cascades)

ca2 ¼ ca1 ¼ ca ; cw2 ¼ cw1 þ ðc2a =pÞðA2 =b22
A1 =b21 Þ; a2 ¼ a1 þ ðca =pÞðA2 =b22


A1 =b21 Þ:

ð39Þ

Der Auftrieb, aber auch der Profilwiderstand, nehmen bei gleichem Skelett mit wachsender Profildicke zu. Bei gleicher Dicke wird der Auftrieb mit zunehmender Wlbung grßer. Unterhalb Re ¼ ul=n ¼ 60 000 . . . 80 000 (unterkritischer Bereich) sind Profile wesentlich ungnstiger als Schaufeln. Der Auftrieb nimmt bis maximal ca ¼ 0;3 . . . 0;4 ab, je nach Dicke der Profile, whrend der Widerstand stark zunimmt. Im berkritischen Bereich wird der Auftrieb mit Re bei mßig gewlbten Profilen grßer, bei stark gewlbten Profilen kleiner. Klappen am hinteren Ende und Vorflgel vergrßern den Auftrieb erheblich, ebenso Absaugen der Luft oder Ausblasen von Gasstrahlen am Flgelende. Bei großen Re-Zahlen ist der laminare Reibungswiderstand wesentlich kleiner als der tur-

Im Gitterverband (Bild 33 a–c) spielen die Reibungsverluste eine entscheidende Rolle. Bei zu enger Schaufelteilung wird die Flchenreibung zu groß, und bei zu weiter Teilung treten Ablsungsverluste auf. In beiden Fllen wird der Wirkungsgrad verschlechtert. Die gnstigste Schaufelteilung wird nach den Ergebnissen von Zweifel [1] ermittelt. Nachfolgend werden Gitter ohne Reibungsverluste betrachtet: a) ruhendes Gitter mit unendlicher Schaufelzahl. Aus der Kontinuittsgleichung folgt um ¼ u1 cos a1 ¼ u2 cos a2 ¼ const, und aus dem Impulssatz und der Bernoullischen Gleichung folgen Fy ¼ btrum ðu1u
u2u Þ; Fx ¼ btrðu21u
u22u Þ=2

(b Gittertiefe senkrecht zur Zeichenebene). Ferner gilt qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
u þ u . 1u 2u tan a1 ¼ Fx =Fy ¼ um ; FA ¼ Fx2 þ Fy2 : ð41Þ 2

Bild 32 a – c. Tragflgel-Theorie. a Polardiagramm; b Gleitwinkel; c Auftriebs- und Widerstandsbeiwert

Bild 33 a–c. Schaufelgitter

ð40Þ

B

B 64

B

Mechanik – 7 hnlichkeitsmechanik

b) bewegtes Gitter mit unendlicher Schaufelzahl. Bewegt sich das Gitter mit der Geschwindigkeit u, so gelten die Gln. (40) und (41), wenn man dort die Absolutgeschwindigkeiten u durch die Relativgeschwindigkeiten w ersetzt. Die Kraft Fy erbringt die Leistung P ¼ Fy u ¼ btrwm uðw1u
w2u Þ: c) Gitter mit endlicher Schaufelzahl. Die Ablenkung von a1 nach a2 ist nur m
glich, wenn die Schaufelenden aufgewinkelt oder so ausgebildet werden, daß a1 < a01 und a2 > a02 . Die Gln. (40) und (41) gelten fr die ausgeglichene Str
mung, d. h. fr die Ersatzgitterbreite a0 . Die auf eine Schaufel wirkende Kraft FA steht auf a1 senkrecht und kann nach der Profiltheorie aus qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FA ¼ ca ðru21 =2Þbl und u1 ¼

berechnet werden. Entsprechend gilt fr die Widerstandskraft FW ¼ cw ðru21 =2Þbl. Fr das bewegte Gitter, welches Arbeit aufnimmt (Turbine) oder Arbeit abgibt (Pumpe), gilt mit Dp ¼ ðp2 þ ru22 =2Þ
ðp1 þ ru21 =2Þ ca ¼ 2t Dp=ðuw1 rlÞ. Fr die optimale Schaufelteilung sind die Untersuchungen von Zweifel [1] maßgebend: Mit FA ¼ yA ðrw22 =2Þl und yA ¼ ð2 sin2 a2 = sin a1 Þðcot a2
cot a1 Þt=l ergibt sich die gnstigste Schaufelteilung und ein optimaler Wirkungsgrad Fr Fy gilt entsprechend fr 0,9 < yA < 1,0. Fy ¼ yT ðrw22 =2Þa mit yT ¼ 2 sin2 a2 ðcot a2
cot a1 Þt=a. Fr optimale Schaufelteilung gilt 0;9 < yT < 1;0.

u2m þ ½ðu1u þ u2u Þ=22

7
hnlichkeitsmechanik Similarity mechanics 7.1 Allgemeines. General Die hnlichkeitsmechanik hat die Aufgabe, Gesetze aufzustellen, nach denen am (in der Regel verkleinerten) Modell gewonnene Versuchsergebnise auf die wirkliche Ausfhrung (Hauptausfhrung) bertragen werden k
nnen. Modellversuche sind erforderlich, wenn eine exakte mathematisch-physikalische L
sung eines technischen Problems nicht m
glich ist, oder wenn es gilt, theoretische Grundlagen und Arbeitshypothesen in Versuchen zu besttigen. Die Modellgesetze der hnlichkeitsmechanik bilden somit die Grundlage fr das umfangreiche Versuchswesen in der Statik, Festigkeitslehre, Schwingungslehre, Str
mungslehre, dem Schiffs- und Schiffsmaschinenbau, Flugzeugbau, Wasser- und Wasserturbinenbau, fr wrmetechnische Probleme usw. Physikalische
hnlichkeit [1]. Voraussetzung ist die geometrisch hnliche, d. h. winkeltreue (formtreue) Ausfhrung des Modells (Winkel haben keine Einheit, daher ist ihr bertragungsmaßstab stets gleich 1). Vollkommene mechanische hnlichkeit liegt vor, wenn alle am physikalischen Prozeß beteiligten Gr
ßen wie Wege, Zeiten, Krfte, Spannungen, Geschwindigkeiten, Drcke, Arbeiten usw. entsprechend den physikalischen Gesetzen hnlich bertragen werden. Dies ist jedoch im allgemeinen nicht m
glich, da zur bertragung nur die SI-Basiseinheiten m, kg, s und K bzw. deren Maßstabsfaktoren zur Verfgung stehen, ergnzt durch Stoffparameter wie Dichte r, Elastizittsmodul E usw. Daraus folgt, daß nur eine beschrnkte Anzahl physikalischer Grundgleichungen hnlich bertragbar ist, d. h., nur unvollkommene hnlichkeit ist in der Regel realisierbar. Maßstabsfaktoren. Fr die Grundgr
ßen Lnge l, Zeit t, Kraft F und Temperatur T besteht zwischen der wirklichen Ausfhrung (H) und dem Modell (M) geometrische, zeitliche, dynamische oder thermische hnlichkeit, wenn lM =lH ¼ lV ; tM =tH ¼ tV ; FM =FH ¼ FV oder TM =TH ¼ TV fr alle Punkte des Systems eingehalten wird (lV ; tV ; FV und TV sind Verhltniszahlen, die sog. Maßstabsfaktoren). Einheiten. Hat eine physikalische Gr
ße B ¼ F n1 ln2 tn3 T n4 die Einheit Nn1 mn2 sn3 Kn4 , so folgt der bertragungsmaßstab BV ¼ BM =BH direkt aus der Einheit zu BV ¼ FVn1 lnV2 tVn3 TVn4 . Zum Beispiel ergibt sich das bertragungsgesetz fr die me-

chanische Arbeit W direkt aus der Einheit Nm zu WM =WH ¼ FV lV anstelle der umstndlicheren Form WM =WH ¼ ðFM lM Þ=ðFH lH Þ ¼ FV lV . Kennzahlen. Die an einem Vorgang maßgeblich beteiligten, mit Einheiten behafteten Einflußgr
ßen lassen sich in Form von Potenzprodukten zu Kennzahlen zusammenfassen, die keine Einheit haben (z. B. Froudesche Kennzahl, Reynoldssche Kennzahl). Dadurch wird die Zahl der Vernderlichen reduziert, und jede maßgebliche, einen Vorgang bestimmende Gleichung bzw. Differentialgleichung lßt sich in eine Funktion der einheitenlosen Kennzahlen umformen. Dabei gilt nach [1]: Das Verhltnis zweier Gr
ßen beliebiger Art lßt sich ersetzen durch das Verhltnis beliebiger anderer Gr
ßen, sofern die neuen Gr
ßen auf dieselben Einheiten fhren wie die ersten. Erweiterte
hnlichkeit. Hufig lßt sich strenge hnlichkeit wegen der großen Zahl der Einflußgr
ßen nicht erzielen. Man beschrnkt sich dann (auch aus Ersparnisgrnden) auf die hnlichkeit der bei einem Vorgang dominierenden Gr
ßen und verfgt ber die restlichen frei.

7.2
hnlichkeitsgesetze (Modellgesetze) Similarity laws 7.2.1 Statische
hnlichkeit. Static similarity Maßstabsfaktor fr Gewichtskrfte. Fr Gewichtskrfte FM ¼ rM VM gM am Modell und FH ¼ rH VH gH an der Hauptausfhrung (V Volumen, g Erdbeschleunigung) folgt das bertragungsgesetz FM =FH ¼ rM VM gM =ðrH VH gH Þ; d:h: FV1 ¼ ðrM =rH Þl3V

ð1Þ

(da auf der Erde gM ¼ gH ist). Bei freier Wahl von rM ; rH und lV legt diese Gleichung also den Krftemaßstab fest. Beispiel: Von der wirklichen Ausfhrung einer Stahlkonstruktion soll ein Modell aus Aluminium (rH ¼ 7 850 kg=m3 ) (rM ¼ 2 700 kg=m3 ) im Maßstab lV ¼ lM =lH ¼ 1 : 10 hergestellt werden, welches die Eigengewichtskrfte mechanisch hnlich wiedergibt. In welchem Verhltnis stehen dann die Eigengewichtskrfte bzw. mssen sonstige eingeprgte Krfte stehen? In welchem Verhltnis werden die Spannungen und (Hookeschen) Formnderungen bertragen (EH ¼ 210 kN=mm2 , EM ¼ 70 kN=mm2 )? – Nach Gl. (1) wird FV1 ¼ ð2;70=7;85Þ=103 ¼ 1=2 907 ¼ FM =FH , d. h., die Krfte am Modell sind 2 907mal kleiner. Fr die Spannungen folgt sM =sH ¼ FV =l2V ¼ 100=2 907 ¼ 1=29 ¼ sV . Fr die Formnderungen ergibt sich aus Dl ¼ ls=E das Verhltnis DlM =DlH ¼ DlV ¼ lV sV EH =EM ¼ ð1=10Þð1=29Þ210=70 ¼ 1=96;7:

I7.2 Maßstabsfaktor f
r gleiche Dehnungen (f
r sog. elastische Krfte). Sollen die elastischen (Hookeschen) Dehnungen am Modell und an der Hauptausf
hrung gleich sein, folgt f
r die Krfte aus der Bedingung eM ¼ FM =ðEM AM Þ ¼ eH ¼ FH =ðEH AH Þ ð2Þ FM =FH ¼ EM AM =ðEH AH Þ; d: h: FV2 ¼ ðEM =EH Þl2V : Hookesches Modellgesetz: Zwei Krper sind bez
glich der elastischen Dehnungen mechanisch hnlich, wenn die Hookeschen Kennzahlen Ho
bereinstimmen: Ho ¼ FM =ðEM l2M Þ ¼ FH =ðEH l2H Þ:

ð3Þ

Beispiel: Von einem Knickstab aus Stahl wird ein maßstabgetreues Modell im Verhltnis lV ¼ 1 : 8 aus Aluminium hergestellt (EH ¼ 210 kN=mm2 , EM ¼ 70 kN=mm2 ) und am Modell eine Knickkraft von 1;2 kN gemessen. Wie groß ist die Knickkraft FK der wirklichen Ausf
hrung, und in welchem Verhltnis stehen die Spannungen sowie Deformationen zueinander? – FV ¼ ð70=210Þ=64 ¼ 1=192; sV ¼ sM =sH ¼ FV =l2V ¼ 1=3;0; FK ¼ 192
1;2 kN ¼ 230;4 kN; DlM =DlH ¼ lV sV EH =EM ¼ 1=8;0.

Gleichzeitige Ber
cksichtigung von Gewichts- und elastischen Krften. Sollen gleichzeitig Gewichtskrfte und elastische Dehnungen mechanisch hnlich
bertragen werden, so m
ssen die Krftemaßstbe nach Gl. (1) und Gl. (2) gleich sein. Aus FV1 ¼ FV2 folgt ðrM =rH Þl3V ¼ ðEM =EH Þl2V ; d: h: lV ¼ ðEM =EH ÞðrH =rM Þ:

ð4Þ

Der Lngenmaßstab ist nicht mehr frei whlbar; er hngt nur noch von den Stoffparametern ab. Beispiel: F
r das erste Beispiel in B 7.2.1 wird f
r mechanische hnlichkeit von Gewichtskrften und Dehnungen der Maßstabsfaktor gesucht. – lV ¼ ð70=210Þð7 850=2 700Þ ¼ 1 : 1;03, d. h., eine gleichzeitige Ber
cksichtigung von Gewichtskrften und Dehnungen ist nur an der wirklichen Ausf
hrung mglich. Deshalb beschrnkt man sich auf die erweiterte hnlichkeit, indem f
r den Maßstab 1 : 10 die hnlichkeit der elastischen Krfte erf
llt wird. Dann ergibt sich nach Gl. (2) FV ¼ ð70=210Þ=100 ¼ 1=300 ¼ FM =FH , whrend die Gewichtskrfte wie im ersten Beispiel im Verhltnis 1/2 907
bertragen werden. Die Differenz der Gewichtskrfte [(1/300)–(1/2 907)]
FGH lßt sich als ußere Zusatzlast am Modell anbringen.

7.2.2 Dynamische hnlichkeit. Dynamic similarity hnlichkeitsgesetz von Newton-Bertrand. Beschleunigte Bewegungsvorgnge gen
gen dem Newtonschen Grundgesetz F ¼ ma. Daraus folgt f
r den Krftemaßstab bei mechanischer hnlichkeit der Trgheitskrfte an Modell und Hauptausf
hrung mit aV ¼ lV =tV2 FM =FH ¼ rM VM aM =ðrH VH aH Þ; d: h: FV3 ¼ ðrM =rH Þðl4V =tV2 Þ:

ð5Þ

Bei alleiniger Wirkung der Trgheitskrfte sowie freier Wahl von rM ; rH ; lV und tV legt Gl. (5) den Krftemaßstab fest. Daraus folgt FM =½rM ðlM =tM Þ2 l2M  ¼ FH =½rH ðlH =tH Þ2 l2H  und mit lM =tM ¼ uM und lH =tH ¼ uH Ne ¼ FM =ðrM u2M l2M Þ ¼ FH =ðrH u2H l2H Þ:

ð6Þ

Newtonsches hnlichkeitsgesetz: Zwei Vorgnge sind bez
glich der Trgheitskrfte hnlich, wenn die Newtonschen Kennzahlen Ne
bereinstimmen. Beispiel: F
r einen auf horizontaler Bahn bewegten Wagen aus Stahl (rH ¼ 7 850 kg=m3 , VH ¼ 1 m3 , FH ¼ 10 kN) soll ein Modell aus Holz ðrM ¼ 600 kg=m3 Þ im Maßstab 1 : 20 hergestellt werden. Welche Krfte m
ssen am Modell angreifen, wenn der Zeitmaßstab tV ¼ tM =tH ¼ 1 : 100 sein soll? In welchem Verhltnis werden Geschwindigkeiten und Beschleunigungen
bersetzt? – FV3 ¼

hnlichkeitsgesetze (Modellgesetze)

B 65

ð600=7 850Þð1002 =204 Þ ¼ 1=209;3; FM ¼ FH FV3 ¼ 47;8 N; uM =uH ¼ lV =tV ¼ 100=20 ¼ 5; aM =aH ¼ lV =tV2 ¼ 1002 =20 ¼ 500.

hnlichkeitsgesetz von Cauchy. Sind bei einem Bewegungsvorgang Trgheitskrfte und elastische Krfte maßgeblich beteiligt, so folgt aus FV3 ¼ FV2 nach den Gln. (5) und (2) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi tV ¼ lV ðEH =EM ÞðrM =rH Þ; ð7Þ d. h., nur der Lngenmaßstab (oder der Zeitmaßstab) ist noch frei whlbar. Mit tV ¼ tM =tH und lV ¼ lM =lH folgt daraus pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi uM =uH ¼ ðEM =EH ÞðrH =rM Þ bzw. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Ca ¼ uM = EM =rM ¼ uH = EH =rH : ð8Þ Cauchys hnlichkeitsgesetz: Zwei Vorgnge, die
berwiegend unter Einfluß von Trgheits- und elastischen Krften stehen, sind mechanisch hnlich, wenn ihre Cauchyschen Kennzahlen Ca
bereinstimmen. hnlichkeitsgesetz von Froude. Sind bei einem Bewegungsvorgang Trgheitskrfte und Gewichtskrfte
berwiegend beteiligt, so folgt aus FV1 ¼ FV3 nach den Gln. (1) und (5) pffiffiffiffiffi ð9Þ tV ¼ lV ; d. h., nur der Lngenmaßstab (oder der Zeitmaßstab) ist noch 2 2 frei whlbar. Daraus folgt tM =tH2 ¼ lM =lH bzw. l2M =ðlM tM Þ¼ l2H =ðlH tH2 Þ und somit Fr ¼ u2M =ðlM gM Þ ¼ u2H =ðlH gH Þ:

ð10Þ

Froudesches Modellgesetz: Zwei Vorgnge sind hinsichtlich der Trgheitskrfte und der Gewichtskrfte mechanisch hnlich, wenn die Froudeschen Kennzahlen Fr
bereinstimmen. Beispiel: Von einem physikalischen Pendel aus Stahl (rH ¼ 7 850 kg=m3 ) soll ein Modell aus Holz (rM ¼ 600 kg=m3 ) im Maßstab 1 : 4 hergestellt werden. Wie groß ist der bertragungsmaßstab tV , wie verhalten sich Krfte, Spannungen, Frequenzen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen zueinander? – tV ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffi 1=4 ¼ 1=2; FV ¼ FM =FH ¼ ð600=7 850Þ=64 ¼ 1=837; sM =sH ¼ FV =l2V ¼ 1=52; wM =wH ¼ tH =tM ¼ 1=tV ¼ 2;0; uM =uH ¼ lV =tV ¼ 2=4 ¼ 1=2; aM =aH ¼ lV =tV2 ¼ 4=4 ¼ 1;0:

hnlichkeitsgesetz von Reynolds. Sind bei einem Bewegungsvorgang Trgheitskrfte und Reibungskrfte Newtonscher Fl
ssigkeiten
berwiegend beteiligt, so folgt f
r letztere mit F ¼ hðdu=dzÞA nach B 6.2 Gl. (8) der Krftemaßstab FM hM duM =dzM AM h l2 ¼

; d: h: FV4 ¼ M
V FH hH duH =dzH AH hH tV

ð11Þ

und damit aus FV4 ¼ FV3 nach den Gln. (11) und (5) tV ¼ ðrM =rH ÞðhH =hM Þl2V ¼ ðnH =nM Þl2V ;

ð12Þ

h absolute, u ¼ h=r kinematische Zhigkeit. Nur der Lngenmaßstab ist noch frei whlbar und im Rahmen der zur Verf
gung stehenden Medien der Stoffparameter nM . Aus Gl. (12) folgt tM =tH ¼ ðnH =nM Þl2M =l2H , d. h. Re ¼ uM lM =nM ¼ uH lH =nH :

ð13Þ

Reynoldssches hnlichkeitsgesetz: Zwei Strmungen zher Newtonscher Fl
ssigkeiten sind unter
berwiegendem Einfluß der Trgheits- und Reibungskrfte mechanisch hnlich, wenn die Reynoldsschen Zahlen Re
bereinstimmen. Beispiel: Der Strmungswiderstand eines Einbauteils in einer lleitung soll im Modellversuch im Maßstab 1 : 10 mittels Messung des Druckabfalls bestimmt werden, wobei Wasser als Modellmedium vorgesehen ist. Wie verhalten sich die Strmungsgeschwindigkeiten und die Krfte bzw. der Druckabfall (uM ¼ 106 m2 =s; uH ¼ 1;1
104 m2 =s; hM ¼ 103 Ns=m2 ; hH ¼ 101 Ns=m2 Þ? – lV ¼ lM =lH ¼ 1=10; uV ¼ uM =uH ¼ ðnM =nH Þ=lV ¼ ð106 =1;1
104 Þ= ð1=10Þ ¼ 1=11; FV ¼ FM =FH ¼ ðhM =hH Þl2V =tV ¼ ðhM =hH ÞuV lV ¼ ð103 =101 Þð1=11Þð1=10Þ ¼ 1=11 000; DpM =DpH ¼ ðFM =FH Þ=l2V ¼ 100=11000 ¼ 1=110.

B

B 66

B

Mechanik – 7 hnlichkeitsmechanik


hnlichkeitsgesetz von Weber Sind an einem Vorgang neben den Tr
gheitskr
ften die Oberfl
chenspannungen s, d. h. die Oberfl
chenkr
fte Fs ¼ sl, berwiegend beteiligt (wobei s als Materialkonstante aufzufassen ist), so folgt als bertragungsmaßstab fr die Oberfl
chenkr
fte FsM =FsH ¼ sM lM =ðsH lH Þ; d: h: FV5 ¼ ðsM =sH ÞlV

ð14Þ

und damit aus FV5 ¼ FV3 gem
ß den Gln. (14) und (5) 2 ðrM =sM Þl3M =tM ¼ ðrH =sH Þl3H =tH2 bzw:

We ¼ rM u2M lM =sM ¼ rH u2H lH =sH :

ð15Þ

Weitere
hnlichkeitsgesetze fr Strmungsprobleme. Eulersche Kennzahl: Bei Strmungsproblemen, bei denen die Reibung vernachl
ssigt werden kann, d. h. bei denen Druckund Tr
gheitskr
fte berwiegen (z. B. bei der Messung des Staudrucks Dp), liegt mechanische hnlichkeit vor, wenn die Eulerschen Kennzahlen Eu gleich sind: ð16Þ

Machsche Kennzahl: Bei gasfrmigen Fluiden, deren Strmungsgeschwindigkeit nahe der Schallgeschwindigkeit c liegt, herrscht mechanische hnlichkeit, wenn die Machschen Kennzahlen Ma gleich sind: Ma ¼ uM =cM ¼ uH =cH :

ð17Þ

7.2.3 Thermische
hnlichkeit. Thermal similarity
hnlichkeitsgesetz von Fourier. Fr den instation
ren W
rmeleitungsvorgang gilt die Fouriersche Differentialgleichung  2  ¶T ¶ T ¶2 T ¶2 T ð18Þ þ 2þ 2 ; ¼b 2 ¶t ¶x ¶y ¶z b ¼ lðcrÞ Temperaturleitf
higkeit, l W
rmeleitf
higkeit, c spezifische W
rmekapazit
t, r Dichte. Nach der Regel ber die Einheiten folgt TV =tV ¼ ðbM =bH ÞðTV =l2V Þ bzw: tV ¼ ðbH =bM Þl2V

ð19Þ

und hieraus Fo ¼ tM bM =l2M ¼ tH bH =l2H :

ð20Þ

Fouriersches hnlichkeitsgesetz: Zwei W
rmeleitungsvorg
nge sind
hnlich, wenn die Fourierschen Kennzahlen Fo bereinstimmen (s. D 10.4). Beispiel: Fr ein Modell im Maßstab 1: 10 folgt bei gleichem Material ðbM ¼ bH Þ : tM ¼ ðlM =lH Þ2 tH ¼ ð1=100ÞtH , d. h., die Temperaturverteilung im Modell ist bei 1/100 der Zeit in der Hauptausfhrung erreicht.


hnlichkeitsgesetz von Pe´clet. Sollen zwei Strmungsvorg
nge hinsichtlich der W
rmeleitung thermisch bereinstimmen, so mssen die Pe´cletschen Kennzahlen Pe gleich sein: Pe ¼ uM lM =bM ¼ uH lH =bH :

ð21Þ


hnlichkeitsgesetz von Prandtl. Sollen zwei Strmungsvorg
nge hinsichtlich der W
rmeleitung und W
rmekonvektion bereinstimmen, so mssen die Reynoldsschen und die Pe´cletschen Kennzahlen bereinstimmen. Daraus ergibt sich eine Gleichheit der Prandtlschen Kennzahlen Pr: Pr ¼ Pe=Re ¼ nM =bM ¼ nH =bH :

Nu ¼ aM lM =lM ¼ aH lH =lH ;

ð23Þ

a W
rmebergangskoeffizient, l W
rmeleitf
higkeit. 7.2.4 Analyse der Einheiten (Dimensionsanalyse) und P-Theorem. Dimensional analysis and P-theorem

Webersches hnlichkeitsgesetz: Vorg
nge unter berwiegendem Einfluß von Tr
gheits- und Oberfl
chenkr
ften sind mechanisch
hnlich, wenn die Weberschen Kennzahlen We bereinstimmen.

Eu ¼ DpM =ðrM u2M Þ ¼ DpH =ðrH u2H Þ:


hnlichkeitsgesetz von Nußelt. Fr den W
rmebergang zwischen zwei Stoffen besteht hnlichkeit, wenn die Nußeltschen Kennzahlen Nu bereinstimmen:

ð22Þ

Sind die mit Einheiten behafteten Einflußgrßen eines Vorgangs bekannt, so lassen sich aus ihnen Potenzprodukte in Form einheitenloser Kennzahlen bilden. Die zur Darstellung eines Problems erforderlichen Kennzahlen bilden einen vollst
ndigen Satz. Jede physikalisch richtige Grßengleichung l
ßt sich als Funktion der Kennzahlen eines vollst
ndigen Satzes darstellen (P-Theorem von Buckingham). Zum Beispiel kann man die Bernoullische Gleichung fr die reibungsfreie Strmung ru2 =2 þ p þ rgz ¼ const bzw. 1=2þ p=ðru2 Þ þ gz=u2 ¼ const auch schreiben als 1=2 þ Eu þ1=Fr ¼ const, d. h., die Eulersche und die Froudesche Kennzahl bilden fr die reibungsfreie und temperaturunabh
ngige Strmung einen vollst
ndigen Satz. Die fnf Einflußgrßen r, u, p, g, z lassen sich also durch zwei einheitenlose Kennzahlen ersetzen, die zur vollst
ndigen Beschreibung des Problems ausreichen. Eine Methode zur Ermittlung des vollst
ndigen Satzes von Kennzahlen eines Problems – auch in F
llen, wo die physikalischen Grundgleichungen nicht bekannt sind – ist die Analyse der Einheiten unter Zugrundelegung des BuckinghamTheorems [2]. Es besagt: Gilt fr n einheitenbehaftete Einflußgrßen xi die Beziehung f ðx1 ; x2 ; . . . ; xn Þ ¼ 0, so l
ßt sie sich stets in der Form f
ðP1 ; P2 ; . . . ; Pm Þ ¼ 0 schreiben, wobei Pj die m einheitenlosen Kennzahlen sind und m ¼ n  q ist. Hierbei ist q die Anzahl der beteiligten Basiseinheiten. Fr m, kg, s wird q ¼ 3 bei mechanischen, und fr m, kg, s, K gilt q ¼ 4 bei thermischen Problemen. Mit einem Produktansatz P ¼ xa1 xb2 xc3 xd4 . . .

ð24Þ

und nach Einsetzen der Einheiten fr xi muß die Summe der Exponenten der Basiseinheiten m, kg, s und K jeweils null werden, da wegen der linken Seite auch die rechte einheitenlos sein muß. Zum Beispiel sind an der vorstehend zitierten reibungsfreien Strmung die Grßen r, u, z, g, p beteiligt. Dann gilt P ¼ ðkg=m3 Þa ðm=sÞb ðmÞc ðm=s2 Þd ðkg=m s2 Þe :

ð25Þ

Fr die Exponenten von kg, m, s folgt dann a þ e ¼ 0;  3a þ b þ c þ d  e ¼ 0;  b  2d  2e ¼ 0:

ð26Þ

Zwei Exponenten knnen frei gew
hlt werden. Zum Beispiel sollen p und g Leitgrßen, d und e frei w
hlbar sein. Dann folgt aus Gl. (26) a ¼ e, b ¼ 2d  2e und c ¼ d und somit P ¼ ra ub zc gd pe ¼ re u2d2e zd gd pe ¼ ðzg=u2 Þd ðp=ru2 Þe bzw. mit d ¼ 1d und e ¼ 1 P ¼ ð1=FrÞEu; d: h: P1 ¼ Fr; P2 ¼ Eu:

ð27Þ

Also ist das Problem der reibungsfreien Strmung mit m ¼ n  q ¼ 5  3 ¼ 2 Kennzahlen beschreibbar, n
mlich mit der Froudeschen und der Eulerschen Kennzahl. Ein funktionaler Zusammenhang in Form der Bernoullischen Gleichung l
ßt sich mit diesem Verfahren natrlich nicht herleiten (weitere Ausfhrungen s. [1–5]).

I8

Spezielle Literatur

B 67

8 Spezielle Literatur Special bibliography

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B

I1.1

C

Spannungen und Verformungen

C1

Festigkeitslehre Strength of materials J. Lackmann (Kap. C 1–C 9) und H. Mertens (Kap. C 10), Berlin Kapitel C 1–C 9 basieren auf den Ausf
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1 Allgemeine Grundlagen General fundamentals Die Festigkeitslehre soll Spannungen und Verformungen in einem Bauteil ermitteln und nachweisen, daß sie mit ausreichender Sicherheit gegen Versagen des Bauteils aufgenommen werden. Ein Versagen kann in unzulssig großen Verformungen oder Dehnungen, im Auftreten eines Bruchs oder im Instabilwerden (z. B. Knicken oder Beulen) des Bauteils bestehen. Die hierf
r maßgebenden Werkstoffkennwerte sind abhngig vom Spannungszustand (ein-, zwei- oder dreiachsig), von den Spannungsarten (Zug-, Druck-, Schubspannungen), vom Belastungszustand (statisch oder dynamisch), von der Betriebstemperatur sowie von der Grße und der Oberflchenbeschaffenheit des Bauteils.

1.1 Spannungen und Verformungen Stresses and strains

Bild 1 a–c. Spannungen. a, b Definition; c Tensor

1.1.1 Spannungen. Stresses Den ußeren Krften und Momenten an einem Krper (sowie den Trgheitskrften bzw. den negativen Massenbeschleunigungen bei beschleunigter Bewegung) halten im Innern eines Krpers entsprechende Reaktionskrfte das Gleichgewicht. Bei homogen angenommener Massenverteilung des Krpers treten die inneren Reaktionskrfte flchenhaft verteilt auf. Durch jeden Punkt eines Krpers lassen sich unter unendlich vielen Richtungen elementare ebene Schnittflchen dA legen, deren Richtung durch den Normalenvektor n gekennzeichnet wird (Bild 1 a). Der Spannungsvektor s ¼ dF=dA lßt sich in eine Normalspannung s ¼ dFn =dA und in eine Tangentialoder Schubspannung t ¼ dFt =dA zerlegen. In kartesischen Koordinaten ( Bild 1 b) ergeben sich eine Normalspannung sz ¼ dFn =dA und zwei Schubspannungen tzx ¼ dFtx =dA bzw. tzy ¼ dFty =dA. Die Beschreibung des vollstndigen Spannungszustands in einem Punkt erfordert drei Ebenen bzw. ein quaderfrmiges Element (Bild 1 c) mit drei Spannungsvektoren bzw. dem Spannungstensor 1 0 txy txz sx sx ¼ sx ex þ txy ey þ txz ez , C B sy tyz A: ð1Þ sy ¼ tyx ex þ sy ey þ tyz ez , S ¼ @ tyx sz ¼ tzx ex þ tzy ey þ sz ez ;

tzx

tzy

sz

Bild 2 a–d. Einachsiger Spannungszustand. a Spannungen am Element; b Mohrscher Spannungskreis; c, d Trajektorien der Hauptnormal- und Hauptschubspannungen

Aus den Momentengleichgewichtsbedingungen um die Koordinatenachsen f
r das Element nach Bild 1 c folgt txy ¼ tyx , txz ¼ tzx , tyz ¼ tzy (Satz von der Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen), d. h., zur vollstndigen Beschreibung des Spannungszustands in einem Punkt sind drei Normalspannungen und drei Schubspannungen erforderlich. Der einachsige Spannungszustand. Er liegt vor, wenn am quaderfrmigen Element (Bild 2 a) eine Normalspannung

C

C2

C

Festigkeitslehre – 1 Allgemeine Grundlagen

angreift, z. B. sx ¼ dF=dA, sy ¼ sz ¼ 0, txy ¼ txz ¼ tyz ¼ 0. F
r ein unter dem Winkel j liegendes Flchenelement folgen die zugehrigen Spannungen s und t aus den Gleichgewichtsbedingungen in n- und t-Richtung zu s ¼ ðsx =2Þ
ð1 þ cos 2 jÞ und t ¼  ðsx =2Þ sin 2 j. Hieraus folgt ðs  sx =2Þ2 þ t2 ¼ ðsx =2Þ2 , die Gleichung des Mohrschen Spannungskreises (Bild 2 b). F
r 2j ¼ 90° bzw. j ¼ 45° ergibt sich die grßte Schubspannung zu t ¼ sx =2, die zugehrige Normalspannung ebenfalls zu s ¼ sx =2. Die grßte und kleinste Normalspannung (hier s1 ¼ sx und s2 ¼ 0) und die grßte Schubspannung (hier t1 ¼ sx =2) werden Hauptnormal- und Hauptschubspannung genannt. Linien, die
berall von den Hauptnormal- bzw. Hauptschubspannungen tangiert werden, heißen Hauptnormalspannungs- bzw. Hauptschubspannungstrajektorien (Bild 2 c, d). Der zweiachsige (ebene) Spannungszustand. Treten lediglich in einer Ebene (z. B. der x, y-Ebene) Spannungen auf, so liegt ein ebener Spannungszustand vor (Bild 3 a). F
r die in der unter dem Winkel j geneigten Schnittflche liegenden Spannungen s und t folgen aus den Gleichgewichtsbedingungen in n- und t-Richtung mit txy ¼ tyx 9 > s ¼ sx cos2 j þ sy sin2 j þ 2 txy sin j cos j > > > 1 1 ¼ 2ðsx þ sy Þ þ 2ðsx  sy Þ cos 2 j þ txy sin 2 j, = ð2Þ 2 2 t ¼ ðsy  sx Þ sin j cos j þ txy ðcos j  sin jÞ > > > > ; ¼ 12ðsx  sy Þ sin 2 j þ txy cos 2 j: Hieraus folgt nach Quadrieren und Addieren die Gleichung des Mohrschen Spannungskreises (Bild 3 b) mit dem Radius r: 9
 sx þ sy 2 2 sx  sy 2 2 > > s þt ¼ þtxy , > = 2 2 ð3Þ ffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s  s 2 > > x y > ; r¼ þt2xy : 2 Der Kreismittelpunkt liegt an der Stelle ðsx þ sy Þ=2: Die Hauptnormalspannungen ergeben sich mit t ¼ 0 aus Gl. (2) unter den Winkeln j01 und j02 ¼ j01 þ 90°, die aus ð4Þ tan 2 j0 ¼ 2 txy =ðsx  sy Þ folgen, zu s1,2 ¼ ðsx þ sy Þ=2 

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ½ðsx  sy Þ=22 þ t2xy :

ð5Þ

Die grßten Schubspannungen folgen gemß Gl. (2) aus dt=dj ¼ 0 unter den Winkeln j11 und j12 ¼ j11 þ 90°, die sich aus ð6Þ tan 2 j1 ¼ ðsy  sx Þ=ð2 txy Þ ergeben, wobei j11 ¼ j01 þ 45° und j12 ¼ j02 þ 45° ist (Bild 3 c). Die Grße dieser Hauptschubspannungen entspricht dem Radius des Mohrschen Spannungskreises, d. h. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð7Þ t1,2 ¼  ½ðsx  sy Þ=22 þ t2xy : Die zugehrigen Normalspannungen sind f
r beide Winkel gleich groß, nmlich sM ¼ ðsx þ sy Þ=2:

Die Richtung der Hauptnormalspannungstrajektorien folgt aus Gl. (4) 2 txy 2 tan j0 2y0 ¼ ¼ 1  tan2 j0 1  y 0 2 sx  sy sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
 sy  sx sy  sx 2 y10 ,2 ¼  þ1, 2 txy 2 txy

tan 2 j0 ¼

zu

die Richtung der dazu um 45 gedrehten Hauptschubspannungstrajektorien aus Gl. (6) 2 tan j1 2y 0 sy  sx ¼ ¼ 1  tan2 j1 1  y 0 2 2 txy sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 ffi 2 txy 2 txy  þ1: y30 ,4 ¼ sx  sy sx  sy

tan 2 j1 ¼

zu

Der dreiachsige (r
umliche) Spannungszustand. Treten in drei senkrecht zueinander liegenden Ebenen Spannungen auf, so besteht ein rumlicher Spannungszustand (Bild 1 c). Er wird von den sechs Spannungskomponenten sx ; sy ; sz ; txy ¼ tyx ; txz ¼ tzx und tyz ¼ tzy bestimmt. F
r eine beliebige Tetraederschnittflche, deren Stellung mit dem Normalenvektor n ¼ cos a ex þ cos b ey þ cos g ez ¼ nx ex þ ny ey þ nz ez festgelegt ist (Bild 4), ergibt sich der Spannungsvektor s ¼ sx ex þ sy ey þ sz ez bzw. seine Komponenten aus den Gleichgewichtsbedingungen in x-, y-, z-Richtung zu sx ¼ nx sx þ ny tyx þ nz tzx , sy ¼ nx txy þ ny sy þ nz tzy , s ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s2x þ s2y þ s2z :

ð8Þ

sz ¼ nx txz þ ny tyz þ nz sz ; Die zur Tetraederschnittflche senkrecht stehende Normalspannung ist s ¼ sn ¼ sx nx þ sy ny þ sz nz ¼ n2x sx þ n2y sy þ n2z sz þ 2ðnx ny txy þ nx nz txz þ ny nz tyz Þ: F
r die resultierende Schubspannung (Bild 4) gilt pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t ¼ s2  s2 . Die Hauptnormalspannungen treten in den drei zueinander senkrecht stehenden Flchen auf, in denen t zu Null wird. Der Spannungstensor hat dann die Form 1 0 0 0 s1 C B s2 S ¼ @0 0 A, 0 0 s3 und f
r die Spannungsvektoren gilt si ¼ ni si ði ¼ 1; 2; 3Þ, d. h. six ¼ nix si , siy ¼ niy si , siz ¼ niz si :

ð9Þ

Die Gln. (8) und (9) gleichgesetzt ergibt ðsx  si Þ nix þ tyx niy

þ tzx niz

¼ 0,

txy nix

þ ðsy  si Þ niy þ tzy niz

¼ 0,

txz nix

þ tyz niy

þ ðsz  si Þ niz ¼ 0:

Bild 3 a–c. Ebener Spannungszustand. a Spannungen am Element; b Mohrscher Spannungskreis; c Hauptspannungen

ð10Þ

I1.1

Bild 4. R
umlicher Spannungszustand

Dieses lineare homogene Gleichungssystem fr die Komponenten nix ; niy und niz der Hauptnormalenvektoren hat nur dann eine nichttriviale Lsung, wenn die Koeffizientendeterminante null wird. Daraus folgt eine kubische Gleichung fr si der Form s3i
J1 s2i þ J2 si
J3 ¼ 0

ð11Þ

mit

Spannungen und Verformungen

C3

Die Spannungen fr beliebige Normalenwinkel liegen stets in dem in Bild 5 b schraffierten Bereich. Die grßte Hauptschubspannung betr
gt t2 ¼ ðs1
s3 Þ=2. Sie liegt in der x, zEbene in einem Fl
chenelement, dessen Normale unter 45 zur x- und z-Achse steht (Bild 5 c). Entsprechend sind t1 ¼ ðs2
s3 Þ=2 und t3 ¼ ðs1
s2 Þ=2. Die Ebenen der Hauptschubspannungen stehen nicht aufeinander senkrecht, sondern bilden die Seitenfl
chen eines regul
ren Dodekaeders [4]. Fr die Beurteilung komplizierter r
umlicher Spannungszust
nde sind die Oktaederschub- und -normalspannung von großer Bedeutung. Sie gehren zu den acht Schnittebenen, deren Normalen mit den drei Hauptachsen gleiche Winkel bilden und ein regul
res Oktaeder darstellen (Bild 6). Ihre Grße ist [4] s0 ¼ ðs1 þ s2 þ s3 Þ=3 ¼ ðsx þ sy þ sz Þ=3, qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t0 ¼ ð1=3Þ ðs1
s2 Þ2 þ ðs2
s3 Þ2 þ ðs1
s3 Þ2 , qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 13 ðsx
sy Þ2 þ ðsy
sz Þ2 þ ðsz
sx Þ2 þ 6ðt2xy þ t2yz þ t2xz Þ:

J1 ¼ sx þ sy þ sz , J2 ¼ sx sy þ sx sz þ sy sz
t2xy
t2xz
t2yz , J3 ¼ sx sy sz
sx t2yz
sy t2zx
sz t2xy þ 2 txy tyz tzx : J1 , J2 , J3 sind Invariante des Spannungstensors, da sie fr alle Bezugssysteme denselben Wert annehmen, d. h., fr die Hauptrichtungen gilt J1 ¼ s1 þ s2 þ s3 , J2 ¼ s1 s2 þ s1 s3 þs2 s3 , J3 ¼ s1 s2 s3 . Sind aus Gl. (11) die si ði ¼ 1; 2; 3Þ ermittelt, so folgen aus Gl. (10) nach Einsetzen der si ði ¼ 1; 2; 3Þ jeweils drei lineare Gleichungen fr die Komponenten nix ; niy ; niz einer Hauptnormalenrichtung. Da jeweils zwei der drei Gleichungen linear voneinander abh
ngig sind, muß die stets gltige Beziehung n2ix þ n2iy þ n2iz ¼ 1 mitbenutzt werden. Sind hieraus die Hauptnormalenvektoren ni ði ¼ 1; 2; 3Þ bestimmt, so sind Grße und Richtung der Hauptnormalspannungen bekannt. Fr das Spannungshauptachsensystem x, h, z (Richtungen i=1, 2, 3; Bild 5 a) ergibt sich mit s3 ¼ 0 ein ebener Spannungszustand mit den Hauptspannungen s1 und s2 und der Gleichung fr den Mohrschen Spannungskreis analog Gl. (3)

s
s 2 s1 þ s2  1 2 þ t2 ¼ : s
2 2 Entsprechende Kreise ergeben sich fr s2 ¼ 0 bzw. s1 ¼ 0 (Bild 5 b). Die Komponenten s und t des Spannungsvektors s fr ein durch n ¼ ðcos a; cos b; cos gÞ gegebenes beliebiges Fl
chenelement (Bild 5 a) folgen aus den Mohrschen Kreisen (Bild 5 b), indem von s1 der Winkel a und von s3 der Winkel g abgetragen wird und durch die Schnittpunkte A und B auf dem Hauptkreis zu den Nebenkreisen konzentrische Kreise eingezeichnet werden. Der Schnittpunkt C liefert die zugehrige Grße von s und t [1–5].

1.1.2 Verformungen. Strains Jeder Krper erf
hrt unter Einwirkung
ußerer Kr
fte und Momente Verformungen. Der Eckpunkt P eines quaderfrmigen Elements mit den Kantenl
ngen dx; dy; dz (auf Bild 7 ist nur die x, y-Ebene dargestellt) erf
hrt eine Verschiebung f ¼ uex þ uey þ wez mit den Komponenten u, u, w. Gleichzeitig wird das Element gedehnt, d. h., die Kantenl
ngen vergrßern (oder verkleinern) sich auf dx0 , dy0 , dz0 , und es wird zu einem Parallelepiped verformt, wobei die Gleitwinkel g1 , g2 usw. auftreten. Bei kleinen Verformungen (Bild 7) gilt fr Dehnungen e und Gleitungen g ex ¼

¶u dx dx0
dx ¶x ¶u ¶u ¶w ¼ ¼ , ey ¼ , ez ¼ , dx ¶x ¶y ¶z dx

gxy ¼ g1 þ g2 ¼

gxz ¼

ð12Þ

¶u ¶u dy dx ¶u ¶u ¶y ¶x þ ¼ þ , ¶u ¶u ¶x ¶y dx þ dx dy þ dy ¶x ¶y

¶w ¶u ¶w ¶u þ , gyz ¼ þ ¶x ¶z ¶y ¶z

Mit     ¶u ¶u ¶w ¶u þ þ 2, exz ¼ 2, ¶x ¶y ¶x ¶z   ¶w ¶u þ eyz ¼ 2 ¶y ¶z

exy ¼

Bild 5 a–c. R
umlicher Spannungszustand. a Spannungshauptachsen; b Mohrsche Spannungskreise; c Hauptschubspannung

ð13Þ

C

C4

Festigkeitslehre – 1 Allgemeine Grundlagen Unter Volumendehnung versteht man dV 0
dV dx0 dy0 dz0
1 ¼ dx dy dz dV ð1 þ ex Þ dxð1 þ ey Þ dyð1 þ ez Þ dz ¼
1 dx dy dz ¼ ex þ ey þ ez þ ex ey þ ex ez þ ey ez þ ex ey ez

e¼

C

bzw. bei Vernachl
ssigung der kleinen Grßen hherer Ordnung e ¼ ex þ ey þ ez :

Bild 6. Oktaederspannungen

ð16Þ

1.1.3 Form
nderungsarbeit. Strain energy An einem Volumenelement dx dy dz mit den Dehnungen ¶u usw. verrichtet z. B. die Spannung sx die Arbeit ¶x
 Zex Z ¶u dW ¼ sx dy dz d dx ¼ sx dex dV: ¶x

ex ¼

0

Als Folge aller Normal- und Schubspannungen entsteht also nach Integration ber den ganzen Krper die Form
nderungsarbeit 2 Z Zex Zey Zez Zgxy 4 sx dex þ sy dey þ sz dez þ txy dgxy W¼

Bild 7. Verzerrungszustand

ðVÞ

l
ßt sich der Verzerrungszustand mit dem Verzerrungstensor 1 0 ex exy exz C B ey eyz A V ¼ @ eyx ezx ezy ez beschreiben, fr den
hnliche Eigenschaften und Berechnungsmethoden gelten wie fr den Spannungstensor, Gl. (8). Fr die Hauptdehnungen e1 , e2 , e3 ergibt sich aus ðex
ei Þ nix þ exy niy

þ exz niz

¼ 0,

exy nix

þ ðey
ei Þniy þ eyz niz

¼ 0,

exz nix

þ eyz niy

ð14Þ

þ ðez
ei Þ niz ¼ 0

durch Nullsetzen der Koeffizientendeterminante die charakteristische Gleichung 3. Grades e3i
J4 e2i þ J5 ei
J6 ¼ 0,

annimmt. Die Invarianten lauten J 4 ¼ e1 þ e2 þ e3 ; J 5 ¼ e1 e2 þ e2 e3 þ e1 e3 ; J 6 ¼ e1 e2 e3 : Fr den r
umlichen und ebenen Fall lassen sich wie bei den Spannungen (Mohrsche) Verzerrungskreise fr die Dehnungen und Gleitungen als Funktion der Winkel a, b, g entwikkeln. Fr homogenes isotropes Material, das im folgenden stets vorausgesetzt wird, fallen Hauptspannungs- und Hauptdehnungsrichtungen zusammen, d. h., Spannungs- und Verformungstensor sind koaxial.

0

Zgyz txz dgxz þ

þ 0

3

0

0

ðVÞ

ð17Þ

tyz dgyz 5dV:

0

Fr die Hauptachsen 1, 2, 3 ist 2 3 Z Ze1 Ze2 Ze3 4 s1 de1 þ s2 de2 þ s3 de3 5dV: W¼ 0

0

ð18Þ

0

Im Fall Hookeschen Materials, d. h. bei Proportionalit
t zwischen Spannungen s bzw. t und Dehnungen e bzw. Gleitungen g, gilt Z W ¼ ð1=2Þ ðsx ex þ sy ey þ sz ez ð19Þ ðVÞ þ txy gxy þ txz gxz þ tyz gyz Þ dV

ð15Þ

wobei J4 ¼ ex þ ey þ ez , J5 ¼ ex ey þ ey ez þ ez ex
e2xy
e2yz
e2zx und J6 ¼ ex ey ez
ex e2yz
ey e2zx
ez e2xy þ 2 exy eyz ezx wieder Invarianten sind. Hat man die ei aus Gl. (15) berechnet, so erh
lt man aus Gl. (14) (von denen wieder zwei linear abh
ngig sind) mit n2ix þ n2iy þ n2iz ¼ 1 die Komponenten nix , niy , niz (i ¼ 1; 2; 3) der drei Hauptdehnungsrichtungen, d. h. der Richtungen, fr die es nur Dehnungen, aber keine Gleitungen gibt, und fr die der Verformungstensor die Form 1 0 e1 0 0 C B V ¼ @0 0 A e2 0 0 e3

0

Zgxz

bzw.

Z

W ¼ ð1=2Þ

ðs1 e1 þ s2 e2 þ s3 e3 Þ dV:

ð20Þ

ðVÞ

1.2 Festigkeitsverhalten der Werkstoffe Strength of materials Erl
uterungen zu den Werkstoffkenngrßen wie Proportionalit
tsgrenze, Streck- oder Fließgrenze und Bruchgrenze, die der Spannungs-Dehnungs-Linie eines Werkstoffs entnehmbar sind, s. E 2.2. Hookesches Gesetz. Fr die Normalspannungen gilt im Proportionalit
tsbereich der Spannungs-Dehnungs-Linie fr einen einaxial gezogenen Stab (Bild 8 a) das Gesetz s ¼ Ee:

ð21Þ

Hierbei ist s ¼ F=A0 die Spannung, e ¼ Dl=l0 die Dehnung (Dl Verl
ngerung des Stabs) und E der Elastizit
tsmodul. Bei Verl
ngerung erf
hrt der Stab eine Verringerung des Durchmessers um Dd ¼ d
d0 . Dann ist eq ¼ Dd=d0 die Querdehnung. Zwischen der L
ngs- und Querdehnung besteht die Be-

I1.3

Bild 8 a, b. Hookesches Gesetz. a f
r Dehnung; b f
r Gleitung

ziehung eq ¼
ne, wobei n die Querdehnungs- bzw. Poissonzahl nach (DIN 1304) ist ðnStahl ¼ 0;30Þ. In der neueren Literatur wird der Reziprokwert m ¼ 1=n als Poissonsche Zahl bezeichnet. F
r die Schubspannungen lautet das quivalente Hookesche Gesetz (Bild 8 b) t ¼ Gg,

ð22Þ

wobei g ¼ du=dy die Gleitung und G der Gleit-(Schub-)modul ist. Es besteht die Beziehung G ¼ E=½2ð1 þ nÞ. Werte f
r E, G und n (s. Anh. E 3), erweiterte Hookesche Gesetze f
r beliebige Spannungszustnde s. C 3. Sicherheit und zul
ssige Spannung bei ruhender Beanspruchung. Versagt eine Konstruktion aufgrund unzulssig großer Verformungen (bei Werkstoffen mit Streckgrenze), Bruch (bei sprdem Material) oder Instabilwerden (infolge Knickung, Kippung, Beulung) und tritt das Versagen bei einer Spannung s ¼ K (K Werkstoffkennwert) ein, so ergibt sich die vorhandene Sicherheit bzw. die zulssige Spannung aus K K , szul ¼ : ð23Þ S¼ svorh S Gleichm
ßige Spannungsverteilung. Sind die Spannungen gleichmßig
ber den Querschnitt verteilt (Bild 9 a), so ist bei zhen Werkstoffen K ¼ Re und bei sprden K ¼ Rm bzw. sdB zu setzen. Als Sicherheit gegen Verformen wird SF ¼ 1;2 . . . 2;0 gegen Bruch SB ¼ 2;0 . . . 4;0 und gegen Instabilitt SK ¼ 1;5 . . . 4;0 angenommen. Ungleichm
ßige Spannungsverteilung. Bei spr
den Werkstoffen und ungleichmßig
ber den Querschnitt verteilten Spannungen (Bild 9 b) ist im Fall von Biegung in Gl. (23) (Biegebruchfestigkeit) zu setzen ðsbB  K ¼ sbB 1;6 . . . 2;0Rm Þ. Im Fall der Torsionsbeanspruchung gilt tzul ¼ K=S mit K ¼ 1;0 . . . 1;1Rm . Bei zusammengesetzten Beanspruchungen ist K aus den Formeln f
r Vergleichsspannungen (s. C 1.3) zu ermitteln. Bei zhen Werkstoffen kann im Fall von Biegung in Gl. (23) K ¼ Re gesetzt werden; man sieht also in erster Nherung die Verformungen bereits als unzulssig an, wenn die Faser mit der grßten Spannung zu fließen beginnt. Da jedoch alle anderen Fasern noch im elastischen Bereich liegen, wird die Außenfaser aufgrund der St
tzwirkung der Innenfasern am aus-

Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen

C5

geprgten Fließen gehindert, d. h., es treten noch keine unzulssig großen Verformungen auf. Man lßt daher zur besseren Ausnutzung des Querschnitts eine weitere Ausbreitung der Fließspannungen
ber den Querschnitt zu, bis die Randfaser eine bleibende Dehnung von 0,2% erreicht hat (Bild 9 c; Formdehngrenzenverfahren [6–10]). Erst bei Ausdehnung der Fließspannungen
ber den gesamten Querschnitt setzen wirklich unzulssig große Verformungen ein (Bild 9 d). Zum Beispiel betrgt das gerade noch elastisch aufnehmbare Biegemoment nach Bild 9 b bei Rechteckquerschnitt Mb1 ¼ sF bh2 =6, whrend das Tragmoment im vollplastischen Zustand nach Bild 9 b Mb3 ¼ sF bh2 =4 ist, d. h. Mb3 ¼ 1;5  Mb1 . In Wirklichkeit ist das
bertragbare Moment bis zum Bruch infolge des Verfestigungsbereichs noch grßer – allerdings bei unzulssig großen Verformungen. Das Verhltnis von nvpl ¼ Mb3 =Mb1 wird vollplastische St
tzziffer genannt und ist Grundlage des Traglastverfahrens im Stahlbau. Nach dem Formdehngrenzenverfahren kann man in Gl. (23) den Wert K ¼ K 0,2 setzen. Dabei ist der Formdehngrenzwert K ¼ K 0,2 eine fiktive Ersatzspannung nach der Elastizittstheorie, die (z. B. im Fall von Biegung) dasselbe Tragmoment liefert wie die wirklichen Spannungen bei einer bleibenden Dehnung der Randfaser von 0,2%. Hierbei wird das Ebenbleiben der Querschnitte auch im plastischen Bereich vorausgesetzt. F
r den Rechteckquerschnitt folgt z. B. bei einer idealelastisch-plastischen Spannungs-Dehnungs-Linie nach Bild 10 a mit sF ¼ 210 N=mm2 , d. h. eel ¼ 210=210 000 ¼ 0;1%, bei epl ¼ 0;2% eine Gesamtdehnung e ¼ eel þ epl ¼ 0;3%. Damit liegt die Dehnung der Fasern unterhalb der Hhe h/6 im elastischen, dar
ber im plastischen Bereich (Bild 10 b), womit sich die Spannungsverteilung nach Bild 10 c ergibt. Das Tragmoment ist M b, el ¼ K 0,2 bh2 =6; Mb, pl ¼ Mb2 ¼ sF

bh 2 bh 2 h þ sF h 3 3 12 9

13 bh2 bh2 ¼ 1,44  sF : 6 9 6   Aus Mb; pl ¼ M b, el folgt K 0,2 ¼ 1;44  sF . Die Formdehngrenzspannung K 0,2 ist von der Hhe der Fließgrenze und von der Form der Spannungs-Dehnungs-Linie abhngig. Das Dehngrenzenverhltnis d0;2 ¼ K 0,2 =sF bzw. d0;2 ¼ K 0,2 =Rp 0;2 , auch St
tzziffer n0;2 [5] genannt, ist dagegen weitgehend von der Grße der Streck- bzw. Fließgrenze unabhngig und nur noch von der Form der Spannungs-Dehnungs-Linie abhngig. In Tab. 1 sind die St
tzziffern d0;2 f
r verschiedene Querschnitte und f
r zwei typische Spannungs-Dehnungs-Linien angegeben (nach [9]). F
r den Festigkeitswert K in Gl. (23) gilt dann K ¼ K 0,2 ¼ d0;2 sF ¼ d0;2 Rp 0;2 . Sicherheit und zul
ssige Spannung bei dynamischer Beanspruchung s. E 1.6.5. ¼ sF

1.3 Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Failure criteria, equivalent stresses Bei mehrachsigen Spannungszustnden ist die Zur
ckf
hrung auf eine einachsige Vergleichsspannung sv erforderlich, da Werkstoffkennwerte f
r mehrachsige Zustnde i. allg. nicht vorliegen. Die folgenden Festigkeitshypothesen ber
cksichtigen die Art der Ursache des Versagens infolge unterschiedlichen Werkstoffverhaltens. 1.3.1 Normalspannungshypothese Maximum principal stress criterion

Bild 9 a–d. Spannungsverteilung. a gleichmßig; b ungleichmßig; c teilplastisch; d vollplastisch

Sie ist anzuwenden, wenn mit einem Trennbruch senkrecht zur Hauptzugspannung zu rechnen ist, d. h. bei sprden Werkstoffen (z. B. Grauguß, aber auch bei Schweißnhten), oder

C

C6

Festigkeitslehre – 1 Allgemeine Grundlagen sehen werden. Die Vergleichsspannung sv ist dann fr den dreiachsigen (rumlichen) Spannungszustand sv ¼ 2tmax ¼ s3
s1

C Bild 10 a–c. Formdehngrenze. a Idealisiertes Spannungs-DehnungsDiagramm; b Dehnungen; c Spannungen

Tabelle 1. Dehngrenzenverhltnisse d0;2

(wobei s1 > s2 > s3 , s. Bild 5 b; Bestimmung von s1 und s3 nach C 1.1.1). Fr den zweiachsigen (ebenen) Spannungszustand gilt qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sv ¼ 2tmax ¼ ðsx
sy Þ2 þ 4t2 :

1.3.3 Gestalt
nderungsenergiehypothese Maximum shear strain energy criterion Die GE-Hypothese, auch v. Mises-Hypothese genannt, vergleicht die zur Gestaltnderung (nicht Volumennderung!) aufgrund von Gleitungen zu Beginn des Fließens erforderlichen Arbeiten beim mehrachsigen und einachsigen Spannungszustand und liefert daraus die Vergleichsspannung sv . Sie gilt fr verformbare Werkstoffe, die bei Auftreten plastischer Deformation versagen, aber auch bei schwingender Beanspruchung mit Versagen durch Dauerbruch. Fr den dreiachsigen (rumlichen) Spannungszustand gilt pffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sv ¼ ð1= 2Þ ðs1
s2 Þ2 þ ðs2
s3 Þ2 þ ðs3
s1 Þ2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ s2x þ s2y þ s2z
ðsx sy þ sy sz þ sx sz Þ þ 3ðt2xy þ t2yz þ t2xz Þ (Bestimmung von s1 ; s2 ; s3 gemß C 1.1.1) und fr den zweiachsigen (ebenen) Spannungszustand qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sv ¼ s21 þ s22
s1 s2 ¼ s2x þ s2y
sx sy þ 3t2 : Erwhnt sei, daß die Hypothese auch durch Gleichsetzen der Oktaederschubspannungen (s. C 1.1.1) herleitbar ist.

1.3.4 Erweiterte Schubspannungshypothese Mohrs criterion Sie geht nach Mohr von verschiedenen gemessenen Grenzspannungszustnden aus. Die Einhllende der zugeh
rigen Mohrschen Spannungskreise ist dann die Grenzfestigkeitskurve t ¼ f ðsÞ und stellt eine umfassende Werkstoffcharakteristik dar. Da meist nicht gengend Werkstoffkennwerte (besonders fr rumliche Spannungszustnde) vorliegen, ersetzt man die Einhllende durch drei Geraden (Bild 11).

1.3.5 Anstrengungsverh
ltnis nach Bach Bachs correction factor wenn der Spannungszustand die Verformungsm
glichkeit des Werkstoffs einschrnkt (z. B. bei dreiachsigem Zug oder stoßartiger Beanspruchung). Fr den dreiachsigen (rumlichen) Spannungszustand gilt sv ¼ s1 (Bestimmung von s1 nach C 1.1.1) und fr den zweiachsigen (ebenen) Spannungszustand (s. C 1.1.1) qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sv ¼ s1 ¼ 0,5½sx þ sy þ ðsx
sy Þ2 þ 4t2 :

1.3.2 Schubspannungshypothese Maximum shear stress (Tresca) criterion Fhrt Gleitbruch zum Versagen (z. B. bei statischer Zug- und Druckbeanspruchung verformbarer Werkstoffe und bei Druckbeanspruchung spr
der Werkstoffe), so k
nnen nach Mohr dafr die Hauptschubspannungen als maßgebend ange-

Da s und t hufig verschiedenen Belastungsfllen (s. E 1.1) unterliegen, wird t auf den Belastungsfall von s umgerechnet. Dazu wird t durch a0 t ersetzt. Das Anstrengungsverhltnis ist a0 ¼ sGrenz =ðjtGrenz Þ. Der Faktor j ergibt sich fr die jeweilige Festigkeitshypothese, wenn s ¼ 0 gesetzt wird, d. h. aus sv ¼ t zu j ¼ 1 f
r die Normalspannungshypothese; f
r die Schubspannungshypothese; sv ¼ 2t pffiffiffiffiffi zu j ¼ 2 sv ¼ 3t zu j ¼ 1; 73 f
r die GE-Hypothese Fr den wichtigen Beanspruchungsfall der gleichzeitigen Biegung und Torsion eines Stabs folgt fr das Anstrengungsverhltnis aus den Grenzspannungen des Werkstoffs Stahl angenhert bei Biegung wechselnd, Torsion ruhend bei Biegung wechselnd, Torsion wechselnd bei Biegung ruhend, Torsion wechselnd whrend die Vergleichsspannungen die Form

a0  0,7, a0 ¼ 1,0, a0  1,5,

I2.3

Fl
chenpressung und Lochleibung

C7

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 s2b þ 4ða0 tt Þ2
ðNormalspannungs-> > > > > > > hypotheseÞ, > > = qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 sv ¼ s2b þ 4ða0 tt Þ ðSchubspannungs- > ð24Þ > > > > hypotheseÞ, > > qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi > > ; 2 2 sv ¼ sb þ 3ða0 tt Þ ðGE-HypotheseÞ

sv ¼ 0,5½sb þ

C

annehmen.

Bild 11. Grenzfestigkeit nach Mohr

2 Beanspruchung stabf
rmiger Bauteile. Stresses in bars and beams

VDI 2226, Bilder 7 bis 12). Bei dynamischer Belastung ist die wirksame Spannung smax; wirks: ¼ bk sn . (Werte bk oder Berechnung mit bezogenem Spannungsgef
lle s. E 1.5.2.)

2.1 Zug- und Druckbeanspruchung Tension and compression

2.1.5 Stbe unter Temperatureinfluß Bars with variation of temperature

2.1.1 Stbe mit konstantem Querschnitt und konstanter Lngskraft. Uniform bars under constant axial load Im Bereich konstanter L
ngs- oder Normalkraft FN ¼ F gilt fr Spannung, Dehnung und Verschiebung (Bild 1 a) s ¼ FN =A; e ¼ du=dx ¼ Dl=l ¼ s=E; u(x)=(s/E)x uðlÞ ¼ Dl ¼ el ¼ ðs=EÞl. Das Hookesche Gesetz wird hier und im folgenden immer als gltig vorausgesetzt. Nach C 1.1.3 ist die Form
nderungsarbeit Z W ¼ ð1=2Þ se dV ¼ s2 Al=ð2EÞ ¼ FN2 l=ð2EAÞ: Diese Gleichungen gelten fr Zug- und Druckkr
fte. Bei Druckkr
ften ist der Nachweis gegen Knicken zus
tzlich erforderlich (s. C 7). 2.1.2 Stbe mit vernderlicher Lngskraft Bars with variable axial loads Ver
nderliche L
ngskraft FN tritt z. B. infolge Eigengewicht (Dichte r) auf (Bild 1 a ). Fr Querschnitt A ¼ const folgt FN ðxÞ ¼ rgV ¼ rgAðl  xÞ, sðxÞ ¼ rgðl  xÞ, Z Z Z   1 uðxÞ ¼ du ¼ eðxÞdx ¼ rgðl  xÞdx E rg ðlx  x2 =2Þ þ C; ¼ E C ¼ 0 aus u(x = 0), d. h. Dl ¼ uðlÞ ¼ rgl2 =ð2EÞ; Form
nderungsarbeit Z Zl 2 1 1 s F2 l W¼ A dx ¼ G : se dV ¼ E 2 2 6 EA x¼0

2.1.3 Stbe mit vernderlichem Querschnitt Bars of variable cross section Die L
ngskraft FN ¼ F sei konstant (Bild 1 b). Z Z F sðxÞ ¼ F=AðxÞ, uðxÞ ¼ eðxÞdx ¼ dx; EAðxÞ l Z Z 1 1 F2 dx: se dV ¼ W¼ EAðxÞ 2 2

Das Hookesche GesetzZ nimmt die Form eðxÞ ¼ sðxÞ=E þ at Dt an. Hieraus uðxÞ ¼

eðxÞdx bzw. fr s ¼ const: uðlÞ ¼

Dl ¼ ðs=E þ at DtÞl; at Temperaturausdehnungskoeffizient: (Stahl 1;2  105 ; Gußeisen 1;05  105 , Aluminium 2;4  105 , Kupfer 1;65  105 K1 Þ. Wird die L
ngsausdehnung behindert (z. B. bei Einspannung zwischen starren W
nden, Festhalten durch den Unterbau einer unendlich langen Eisenbahnschiene), so ergibt sich aus u(l)=0 die zugehrige Spannung. Ist A ¼ const und damit auch s ¼ const l
ngs des Stabs, so folgt aus Dl ¼ 0 die W
rmespannung s ¼ Eat Dt: Zum Beispiel wird die Fließgrenze fr St 37 mit sF ¼ 240 N=mm2 , E ¼ 2;1  105 N=mm2 und at ¼ 1;2  105 K1 erreicht bei Dt ¼ sF =ðEat Þ ¼ 95;2 K:

2.2 Abscherbeanspruchung Transverse shear stresses Scherbeanspruchung entsteht aufgrund zweier gleich großer, wenig gegeneinander versetzter Kr
fte in Bolzen, Stiften, Schrauben, Nieten, Schweißn
hten usw. (Bild 2 a–d). Dabei sind im Fall von Preßpassungen bei Niet-, Stift- und sonstigen Verbindungen die im Niet, Stift usw. auftretenden Biegemomente vernachl
ssigbar klein, da das umgebende Material die Krmmung der Verbindungselemente verhindert. Es stellt sich ein schwer berechenbarer r
umlicher Spannungszustand ein. Bei Bolzen oder Schrauben, die mit Spiel eingebaut werden, ist ein zus
tzlicher Nachweis auf Biegung erforderlich. Der Nachweis auf Abscheren erfolgt unter Annahme einer gleichm
ßigen Verteilung der Schubspannungen (die bei Erreichen des vollplastischen Zustands bei z
hen Werkstoffen auch vorhanden ist; Bild 2 e): ta ¼ F=ðnmAÞ n ¼ 1; 2 ; 3 . . . ein-, zwei- oder mehrschnittige Verbindung, m ¼ 1; 2; 3 . . . Anzahl der Niete, Schrauben usw. Die zul
ssige Scherspannung ist im Maschinenbau fr z
he Werkstoffe pffiffiffi ta; zul ¼ sS = 3S mit S  1;5 bei statischer, S  2;0 bei schwellender und wechselnder Beanspruchung.

x¼0

2.1.4 Stbe mit Kerben. Bars with notches

2.3 Flchenpressung und Lochleibung Contact stresses and bearing pressure

Hier gelten zun
chst die prinzipiellen Ausfhrungen ber Gestaltfestigkeit und Kerbwirkung (s. E 1.5). Nennspannung sn ¼ F=An , max. Spannung smax ¼ ak sn (Werte ak s.

Zwei gegeneinander gedrckte und einander fl
chenhaft berhrende Teile stehen unter Fl
chenpressung (punktfrmige Berhrung s. C 4).

C8

Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile

C Bild 1 a, b. Stab mit a konstantem Querschnitt; b ver
nderlichem Querschnitt

sp; zul  sdF =2;0 bei schwellender Beanspruchung, fr sprde Werkstoffe sp; zul  sdB =2;0 bei ruhender und sp; zul  sdB =3;0 bei schwellender Beanspruchung. Im brigen ist sp; zul von Betriebsbedingungen wie Gleitgeschwindigkeit und Temperatur abh
ngig (s. G 1.5.2). 2.3.2 Gewlbte Fl
chen. Curved surfaces Wellenzapfen. Die ber den Umfang ver
nderliche Pressung wird rechnerisch ersetzt durch die mittlere Pressung auf die Projektionsfl
che (Bild 3 b): Bild 2 a–e. Abscherbeanspruchungen

2.3.1 Ebene Fl
chen. Plane surfaces Die Verteilung der Pressung h
ngt von der Steifigkeit der einander berhrenden Krper ab. N
herungsweise wird mit dem Mittelwert (Bild 3 a) sp ¼ Fn =A bzw: sp ¼ Fn =Aproj gerechnet. Aproj ist die auf die Senkrechte zur Kraftrichtung projizierte Fl
che. So gilt fr den Keil nach Bild 3 a sp1 ¼ F1 =A1 ¼ F1 =ðA= sin aÞ und wegen F1 =Fn ¼ sin b= sinða þ bÞ somit sp1 ¼ Fn sin a sin b=½A sinða þ bÞ
¼ Fn =½Aðcot a þ cot bÞ
¼ Fn =ðA1proj þ A2proj Þ ¼ Fn =Aproj ; entsprechend gilt auch sp2 ¼ F2 =A2 ¼ Fn =Aproj : Die zul
ssige Fl
chenpressung ist stark vom Belastungsfall (statisch, schwellend, wechselnd) abh
ngig. Maßgebend ist die Festigkeit des schw
cheren Teils. Anhaltswerte fr sp; zul : fr z
he Werkstoffe sp; zul  sdF =1;2 bei ruhender und

Bild 3 a, b. Fl
chenpressung. a Ebene Fl
chen; b Wellenzapfen

sp ¼ F=Aproj ¼ F=ðdlÞ sp; zul je nach Betriebsbedingungen (z. B. 2 bis 30 N=mm2 fr große Diesel- bzw. kleine Otto-Motoren, vgl. G 5). Bolzen, Stifte, Niete, Schrauben. Fl
chenpressung wird bei Nieten und Schrauben auch als Lochleibung bezeichnet. Es gilt (Bild 2 b, c, e), wiederum bezogen auf die Projektionsfl
che, sp ¼ s1 ¼ F=A ¼ F=ðdsÞ F auf die bertragungsfl
che A entfallender Kraftanteil, s Dicke des Materials. Im Maschinenbau sp; zul wie bei ebenen Fl
chen.

2.4 Biegebeanspruchung. Bending 2.4.1 Schnittlasten: Normalkraft, Querkraft, Biegemoment. Axial force, shear force, bending moment Stabfrmige Krper, wie Balken oder Tr
ger mit gerader, gekrmmter oder abgewinkelter Achse, die von Auflagerreaktionen im Gleichgewicht gehalten werden (s. B 1.6), tragen die
ußere Belastungen (Einzelkr
fte, Streckenlasten, Einzelmomente) durch innere Normal- und Schubspannungen zu den Auflagern hin ab (in Bild 4 a, b fr den ebenen Fall). Die Resultierenden dieser Spannungen ergeben in der Ebene die drei Schnittlasten Mb , FQ , FN ; d. h. ein Biegemoment, dessen Momentenvektor in y-Richtung gerichtet ist, eine Querkraft senkrecht und eine Normal- oder L
ngskraft tangential zur Balkenachse. Querkr
fte und Biegemomente sind positiv,

Bild 4 a, b. Schnittlasten

I2.4 wenn am linken Schnittufer ihre Vektoren entgegengesetzt zu den positiven Koordinatenrichtungen y und z gerichtet sind; Normalkraft (und Torsionsmoment), wenn ihre Vektoren in positiver Koordinatenrichtung x gerichtet sind. Nach dem Newtonsches Axiom von „actio ¼ reactio“ sind die positiven Schnittlasten am rechten Schnittufer entgegengesetzt zu denen am linken Schnittufer anzusetzen (Bild 4 b). In der Ebene werden die drei Schnittlasten aus den drei Gleichgewichtsbedingungen am freigemachten Teiltr
ger berechnet: X X X Fiz ¼ 0, Mi ¼ 0: ð1Þ Fix ¼ 0, X In der Regel wird hierbei Mi ¼ 0 bezglich der Schnittstelle gebildet, damit die Unbekannten FQ und FN nicht in diese Gleichung eingehen. Im Raum stehen sechs Gleichgewichtsbedingungen fr sechs Schnittlasten zur Verfgung (s. C 2.4.4). Voraussetzung fr die einfache Berechnung ist die statische Bestimmtheit der Systeme (s. B 1.7). 2.4.2 Schnittlasten am geraden Tr
ger in der Ebene Forces and moments in straight beams Zun
chst werden am Gesamttr
ger (Bild 5 a) aus den drei Gleichgewichtsbedingungen die Auflagerreaktionen FAx , FAz und FB bestimmt und anschließend aus den Gln. (1) die Schnittlasten berechnet (Standardf
lle s. Tab. 1). Tr
ger mit Einzellasten (Bild 5 a–e). Zur Berechnung der Schnittlasten ist eine Einteilung des Tr
gers in Abschnitte erforderlich, da an den Kraftangriffspunkten Querkr
fte, L
ngskr
fte und Biegemomente Unstetigkeiten aufweisen. Schnitte in jedem Abschnitt liefern die entsprechenden Schnittlasten; z. B. gilt fr Abschnitt III gem
ß Bild 5 b X Fix ¼ 0, FN ðxÞ ¼
FAx
F1x ; X Fiz ¼ 0, FQ ðxÞ ¼ FAz
F1z
F2z ; X Mi ¼ 0, Mb ðxÞ ¼ FAz ðx
a1 Þ
F1z x
F2z ðx
a2 Þ:

Biegebeanspruchung

Dieses Ergebnis gilt allgemein, d. h., die erste Ableitung des Biegemoments ist gleich der Querkraft. Da eine Funktion dort, wo ihre erste Ableitung null wird, Extrema hat, liegen die Extremwerte der Biegemomente an den Nullstellen der Querkraftlinie. Da bei Belastung durch Einzellasten die Biegemomentenlinie aus Geradenstcken besteht, gengt es, die Werte Mb ðx ¼ a1 Þ, Mb ðx ¼ a2 Þ usw. zu berechnen und sie durch Geraden miteinander zu verbinden. Beispiel: Fr die Kettenradwelle (Bild X 6 a) ist die Querkraft- und Momentenlinie zu ermitteln. – Aus MiB ¼ 0 folgt zun
chst FAz ¼ X 17 250 N und aus MiA ¼ 0 die Auflagerkraft FB ¼ 27 750 N. Ein X Schnitt im Bereich II (Bild 6 b) liefert aus Fiz ¼ 0 ¼ FAz
F1
FQ die Querkraft FQ ¼
12 750 N. Durch entsprechende Schnitte folgt im Bereich I der Wert FQ ¼ 17 250 N und im Bereich III der Wert FQ ¼
27 750 N: Querkraftlinie FQ ðxÞ („Treppenkurve”) s. Bild 6 c. Biegemomente an denXStellen 1 und 2 erh
lt man durch Schnitt in diesen Stellen aus Mi1 ¼ 0 ¼
FAz  0;5 m þ Mb1 zu X Mb1 ¼ 8 625 Nm und aus Mi2 ¼ 0 ¼
FAz  0;85 m þ F1  0;35 mþ Mb2 zu Mb2 ¼ 4 162;5 Nm: Die geradlinigen Verbindungen dieser Werte untereinander und mit den Nullstellen an den Auflagern ergeben die Biegemomentenlinie Mb ðxÞ (Bild 6 d).

Tr
ger mit Einzelmomenten. Fr einen Tr
ger, der mit einem Einzelmoment M (s. Tab. 1, Fall Nr. 9) belastet ist, hat die Biegemomentenlinie wegen Mb0 ðxÞ ¼ FQ ðxÞ ¼ const berall denselben Anstieg. Sie springt aber am Angriffspunkt des Moments M um dessen Betrag. Tr
ger mit Streckenlasten (Bild 7). Wie beim Tr
ger mit Einzellasten ist – abgesehen vom Einfeldtr
ger mit durchgehender Streckenlast – die Einteilung in Abschnitte erforder-

Die Normal- und Querkr
fte sind abschnittsweise konstant, die Biegemomente lineare Funktionen von x, d. h. Geraden. Die graphische Darstellung der Schnittlasten ergibt die Normalkraft-, die Querkraft- und die Biegemomentenlinie (Bild 5 c–e). Aus der ersten Ableitung von Mb ðxÞ folgt dMb =dx ¼ Mb0 ðxÞ ¼ FAz
F1z
F2z ¼ FQ :

ð2Þ

Bild 6 a–d. Kettenradwelle, Schnittlasten

Bild 5 a–e. Tr
ger mit Einzelkr
ften, Schnittlasten

C9

Bild 7 a, b. Tr
ger mit Streckenlasten. a beliebig; b linear

C

C 10

Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabf
rmiger Bauteile

Tabelle 1. Biegemomenten- und Querkraftlinien fr Standardflle

C

I2.4

Biegebeanspruchung

C 11

lich. Legt man in jedem Abschnitt einen Schnitt, so folgt z. B. f
r Abschnitt II (Bild 7 a) aus X

Zx Fiz ¼ 0 ¼


qðxÞdx þ FAz
FQII ðxÞ 0

ð3Þ

FQII ðxÞ ¼ FAz
f ðxÞ und hieraus wegen Mb0 ðxÞ ¼ FQ ðxÞ Z Z MbII ðxÞ ¼ FQII ðxÞdx ¼ FAz x
f ðxÞdx þ C:

C ð4Þ

Die Konstante C folgt aus MbII ðx ¼ aÞ ¼ MbA ; wobei MbA aus Berechnung des Abschnitts I bekannt ist. Das Biegemoment ist gleich dem Inhalt der Querkraftflche zuz
glich dem Anfangswert MbA : Aus Gl. (3) folgt durch Differentiation und anschließende Integration 0

00

dFQ =dx ¼ FQ ðxÞ ¼ MbZðxÞ ¼
qðxÞ, FQ ðxÞ ¼ Mb0 ðxÞ ¼
qðxÞdx ¼ f ðxÞ þ C1 , Z Mb ðxÞ ¼ FQ ðxÞdx ¼ gðxÞ þ C1 x þ C2 :

ð5Þ

Gleichung (5) erlaubt anstelle der Gln. (3) und (4) die Querkraft FQ ðxÞ und das Biegemoment Mb ðxÞ zu berechnen. Die Konstanten C1 und C2 folgen aus

Bild 8 a–e. Beliebig belasteter Trger, Schnittlasten

FQII ðx ¼ aÞ ¼ FQI ðx ¼ aÞ þ FAz und MbII ðx ¼ aÞ ¼ MbI ðx ¼ aÞ, wobei FQI ðx ¼ aÞ und MbI ðx ¼ aÞ aus der Berechnung des Abschnitts I bekannt sind. Sind die Streckenlasten konstante oder linear steigende Geraden (Bild 7 b), so gilt z. B. f
r Abschnitt II q2
q1 q2
q1 x2 qðxÞ ¼ q1 þ x, FQII ðxÞ ¼ FAz
q1 x
, ða þ bÞ ða þ bÞ 2 x2 q2
q1 x3 MbII ðxÞ ¼ FAz ðx
aÞ
q1
: 2 ða þ bÞ 6 Bei linear zunehmender bzw. konstanter Streckenlast sind die Biegemomentenlinien Parabeln 3. bzw. 2. Grades (s. Tab. 1). Beliebig belastete gerade Tr
ger (Bild 8). Zunchst X werden aus den drei Gleichgewichtsbedingungen Fix ¼ 0; X X MiA ¼ 0 die Auflagerkrfte zu MiB ¼ 0, FAx ¼
3;5 kN, FAz ¼ 3;68 kN und FB ¼ 2;17 kN ermittelt. Die Querkrfte werden zweckmßig unmittelbar links und rechts einer Abschnittsgrenze, die Biegemomente f
r die Abschnittsgrenze selbst berechnet. Zum Beispiel gilt f
r einen Schnitt durch Abschnitt II an der linken Bereichsgrenze, d. h. rechts vom Auflager A, X Fix ¼ 0, FNAr ¼
FAx ¼ þ3,5 kN; X Fiz ¼ 0, FQAr ¼ FAz
F1 ¼ 1,68 kN; X Mi ¼ 0, MbA ¼
F1 a ¼
2,0 kNm: F
r die rechte Bereichsgrenze von Abschnitt II folgt entsprechend X FNII ¼ þ3,5 kN; Fix ¼ 0 ¼ FAx þ FNII X Fiz ¼ 0 ¼
F1 þ FAz
qb
FQII FQII ¼
1,32 kN; X Mi ¼ 0 ¼ F1 ða þ bÞ
FAz b þ qb2 =2 þ Mb1 Mb1

¼
1,64 kN m:

Die Querkraftnullstelle im Bereich II folgt aus FQ ðxÞ ¼ 0 zu x0 ¼ 2;12 m mit dem Moment Mb ðx0 Þ ¼
1;06 kN m: Nach Ermittlung der Schnittlasten f
r die anderen Bereiche ergeben sich die in Bild 8 dargestellten Schnittlastlinien. Graphische Ermittlung der Biegemomente. Nach Ersatz der Streckenlasten (Bild 9 a, b) durch Einzellasten FE ¼ qc wird das Poleck (Krftemaßstab 1 cm =k kN, Lngenmaß-

Bild 9 a, b. Biegemomentenlinie, graphische Ermittlung

stab 1 cm =l cm) gezeichnet. bertragen der Polstrahlen in den Lageplan (Seileck) und Zeichnen der Schlußlinie nach B 1.6.1 in Lage- und Polplan liefert die Auflagerkrfte FA und FB . F
r die Schnittstelle x sind die Krfte FA und F1 durch die Krfte FS und FS2 des Polplans zu ersetzen, die sich in horizontale und vertikale Komponenten zerlegen lassen (Bild 9 b). Das Biegemoment ist dann Mb ðxÞ ¼ FH mðxÞ; wobei FH ¼ const gemß Polplan ist; die Werte m(x) reprsentieren also die Momentenflche. Werden FH und m(x) in cm abgelesen, so gilt Mb ðxÞ ¼ klFH mðxÞ in kN cm:

ð6Þ

2.4.3 Schnittlasten an abgewinkelten und gekrmmten ebenen Tr
gern. Forces and moments in plane curved beams Abgewinkelte ebene Tr
ger. Als Beispiel werde die Hngekonstruktion einer Laufkatze nach Bild 10 a betrachtet. Das System wird in einzelne gerade Abschnitte (aus Symmetriegr
nden gen
gt die Betrachtung einer Hlfte) eingeteilt, und im mitlaufenden x, y, z werden aus X Koordinatensystem X X Fizz ¼ 0 und Mi ¼ 0 die Schnittlasten Fix ¼ 0, ermittelt. So folgt z. B. f
r Abschnitt II (Bild 10 b) aus

C 12

Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile

C

Bild 10 a–c. H
ngekonstruktion, Schnittlasten

X Fizz ¼ 0 ¼
FQ : Fi
x ¼ 0 ¼ FN
F=2: FN ¼ F=2; aus X Mi ¼ 0 ¼
ðF=2Þa þ Mb : Mb ¼ Fa=2: FQ ¼ 0 und aus Vollst
ndige Ergebnisse s. Bild 10 c.

X

Gekr
mmte ebene Trger. Beim geschlitzten Kreisringtr
ger (Kolbenring) unter konstanter Radialbelastung q (Bild 11 a) liefert ein Schnitt unter dem Winkel j im mitlaufenden Koordinatensystem
x,
y,
z gem
ß Bild 11 b. X

Zj Fi
x ¼ 0 ¼

qr sinðj
yÞdy þ FN ðjÞ, 0

X

FN ðjÞ ¼
qrð1
cos jÞ; Zj Fi
z ¼ 0 ¼
qr cosðj
yÞdy
FQ ðjÞ, 0

FQ ðjÞ ¼
qr sin j; X

Zj Mi ¼ 0 ¼

qr 2 sinðj
yÞdy þ Mb ðjÞ, 0

Mb ðjÞ ¼
qr 2 ð1
cos jÞ: Graphische Darstellung der Schnittlasten s. Bild 11 c.

2.4.4 Schnittlasten an rumlichen Trgern Forces and moments at beams of space Bei statischer Bestimmtheit stehen im Raum sechs Gleichgewichtsbedingungen zur Verfgung. Daraus ergeben sich die sechs Schnittlasten FN , FQyy , FQzz , Mbyy , Mbzz , Mt : Beim r
umlichen Kragtr
ger nach Bild 12 a, b folgt z. B. fr Bereich III aus X X Fiy ¼ 0 FQy ¼ 0; Fix ¼ 0 FN ¼ 0; X X Fiz ¼ 0 FQz ¼ F; Mix ¼ 0 Mt ¼
Fa; X X Miz ¼ 0 Mbz ¼ 0: Miy ¼ 0 Mby ¼
Fðl
xÞ; Die Schnittlasten verlaufen
hnlich wie in Bild 10 c. 2.4.5 Biegespannungen in geraden Balken Bending stresses in straight beams Einfache Biegung. Hierunter versteht man die Wirkung aller Lasten parallel zu einer Querschnittsachse, die gleichzeitig Hauptachse – s. Gl. (17) – ist. Handelt es sich um die z-Achse, so gibt es infolge der Lasten in z-Richtung nur Biegemomente Mby (Bild 13 a). Unter den Voraussetzungen, daß die Lastebene durch den Schubmittelpunkt M geht (s. C 2.4.6), das Hookesche Gesetz s ¼ Ee gilt und die Querschnitte eben bleiben, d. h. die Verwlbungen der Querschnitte infolge der Schubspannungen vernachl
ssigbar klein sind (Bernoullische Hypothese), folgt s ¼ Ee ¼ mz und damit aus den Gleichgewichtsbedingungen Z Z Z X Fix ¼ 0 ¼ s dA ¼ mz dA, z dA ¼ 0,

Bild 11 a–c. Kolbenring, Schnittlasten

Bild 12 a, b. R
umliche Schnittlasten

ð7Þ

I2.4

Biegebeanspruchung

C 13

Die axialen Fl
chenmomente Iy , Iz und das polare Fl
chenmoment Ip sind stets positiv, das biaxiale Fl
chenmoment (Zentrifugalmoment) Iyz kann positiv, negativ oder Null sein. Tr
gheitsradien: qffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi iy ¼ Iy =A, iz ¼ Iz =A, ip ¼ Ip =A:

Bild 13 a, b. Biegespannungen

d. h., die Spannungsnullinie geht durch den Schwerpunkt, und Z Z Z X yz dA ¼ Iyz ¼ 0, Miz ¼ 0 ¼ sy dA ¼ myz dA, d. h., das biaxiale Fl
chenmoment Iyz muß Null, bzw. y und z mssen Hauptachsen sein. Ferner gilt Z Z Mby ¼ Mb ¼
sz dA ¼
mz2 dA Z ¼
m z2 dA ¼
mIy ; Iy axiales Fl
chenmoment 2. Grades. Mit m ¼
Mb =Iy folgt aus Gl. (7) s ¼
ðMb =Iy Þz:

ð8Þ

Die Biegespannungen nehmen also linear mit dem Abstand von der Nullinie zu. Die Extremalspannungen ergeben sich fr z ¼ e1 und z ¼
e2 (Bild 13 b) zu s1 ¼
Mb =Wy1 und s2 ¼ þMb =Wy2 : Wy1 ¼ Wb1 ¼ Iy =e1 und Wy2 ¼ Wb2 ¼ Iy =e2

ð9Þ ð10Þ

sind die (axialen) Widerstandsmomente gegen Biegung (s. Tabelle 2). Die absolut grßte Biegespannung folgt fr Wy min zu ð11Þ smax ¼ jMb j=Wy min : Bei zur y-Achse symmetrischen Querschnitten ist e1 ¼ e2 und Wy1 ¼ Wy2 ¼ Wy : Fl
chenmomente 2. Grades. In der allgemeinen Balkenbiegungstheorie werden folgende Fl
chenmomente 2. Grades bentigt (Bild 14 a): Z Z Z Iy ¼ z2 dA, Iz ¼ y2 dA; Iyz ¼ yz dA; Z Z ð12Þ Ip ¼ r 2 dA ¼ ðy2 þ z2 ÞdA ¼ Iy þ Iz :

ð13Þ

S
tze von Steiner: Fr zueinander parallele Achsensysteme y, z und y; z (Bild 14 a) gilt Z Z Iy ¼ z2 dA ¼ ðz þ aÞ2 dA Z Z Z ð14Þ ¼ z2 dA þ 2a z dA þ a2 dA ¼ Iz þ 2aSy þ a2 A: Wenn die Achsen y und z durch den Schwerpunkt gehen, wird das statische Moment Sy (und ebenso Sz ) zu Null, und es folgen (fr die anderen Fl
chenmomente analog) die Steinerschen S
tze Iy ¼ Iy þ a2 A,

Iz ¼ Iz þ b2 A,

Iyz ¼ Iyz þ abA, Ip ¼ Ip þ c2 A:

ð15Þ

Fr a ¼ b ¼ c ¼ 0 gehen die Achsen y und z durch den Schwerpunkt, und die axialen und polaren Fl
chenmomente 2. Grades werden zu einem Minimum. Diese Gleichungen dienen zur Berechnung der Fl
chenmomente zusammengesetzter Querschnitte mit bekannten Einzelfl
chenmomenten. Drehung des Koordinatensystems. Fr ein gedrehtes Koordinatensystem h, z (Bild 14 b) gilt 9 h ¼ y cos j þ z sin j, z ¼ z cos j
y sin j, > > Z > > > > > Ih ¼ z2 dA ¼ ðIy þ Iz Þ=2 > > > > > > > þ½ðIy
Iz Þ=2 cos 2 j
Iyz sin 2 j, = Z ð16Þ 2 > Iz ¼ h dA ¼ ðIy þ Iz Þ=2 > > > > > > >
½ðIy
Iz Þ=2 cos 2 j þ Iyz sin 2 j, > > Z > > > ; Ihz ¼ hzdA ¼ ½ðIy
Iz Þ=2 sin 2 j þ Iyz cos 2 j: > Diese Gleichungen lassen sich in Form des Mohrschen Tr
gheitskreises graphisch darstellen [1]. Hieraus folgen ferner die von j unabh
ngigen invarianten Beziehungen 2 2 Ih þ Iz ¼ Iy þ Iz , Ih Iz
Ihz ¼ Iy Iz
Iyz : Hauptachsen und Hauptfl
chenmomente 2. Grades. Achsen, fr die das biaxiale Moment Ihz zu Null wird, heißen Hauptachsen 1 und 2. Ihr Stellungswinkel j0 ergibt sich fr Ihz ¼ 0 gem
ß Gl. (16) aus tan 2 j0 ¼ 2 Iyz =ðIz
Iy Þ:

ð17Þ

Die zugehrigen Hauptfl
chenmomente I1 und I2 folgen mit j0 aus Gl. (16) oder direkt aus qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 : ð18Þ I1,2 ¼ ð1=2Þ½Iy þ Iz  ðIy
Iz Þ2 þ 4 Iyz I1 und I2 sind das grßte und kleinste Fl
chenmoment 2. Grades eines Querschnitts. Jede Symmetrieachse eines Querschnitts und alle zu ihr senkrechten Achsen sind stets Hauptachsen. Bei Drehung eines Hauptachsensystems um den Winkel b gilt nach Gl. (16) 9 Ih ¼ ðI1 þ I2 Þ=2 þ ½ðI1
I2 Þ=2 cos 2b, > = Iz ¼ ðI1 þ I2 Þ=2
½ðI1
I2 Þ=2 cos 2b, ð19Þ > ; Ihz ¼ ½ðI1
I2 Þ=2 sin 2b:

Bild 14 a–c. Fl
chenmomente fr a parallele Achsen; b gedrehte Achsen; c Rechteckquerschnitt

Ist fr einen Querschnitt I1 ¼ I2 , so folgt aus Gl. (19) Ihz ¼ 0 unabh
ngig von b, d. h., s
mtliche Achsen durch den Bezugspunkt sind Hauptachsen, wobei Ih ¼ Iz ¼ I1 ¼ I2 ¼ const : Die nderung von Ih und Iz gem
ß Gl. (19) l
ßt sich graphisch durch die Tr
gheitsellipse darstellen [1].

C

C 14

Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabf
rmiger Bauteile

Tabelle 2. Axiale Flchenmomente 2. Grades und Widerstandsmomente

C

I2.4

Biegebeanspruchung

C 15

C

Bild 15 a–c. Zusammengesetzte Querschnitte

Berechnung der Fl
chenmomente F
r einfache Flchen, deren Berandung mathematisch erfaßbar ist, erfolgt die Berechnung durch Integration. Zum Beispiel gilt f
r den Rechteckquerschnitt nach Bild 14 c þh=2 Z

Iy ¼ z¼
h=2

Tab. 2 enthlt die Flchenmomente 2. Grades wichtiger Querschnitte (s. Anh. C 2 Tab. 1 bis 17 ). F
r zusammengesetzte Querschnitte (Bild 15) folgt mit den Steinerschen Stzen nach Gl. (15) X X ðIyi þ a2i Ai Þ, Iz ¼ ðIzi þ b2i Ai Þ, Iy ¼ X ð20Þ Iyz ¼ ðIyz, i þ ai bi Ai Þ: Hohlrume in Flchen (z. B. Flche A4 in Bild 15 a) sind durch negatives I und negatives A zu ber
cksichtigen. 1. Beispiel: F
r den Querschnitt nach Bild 15 b, bestehend aus Profilen U 240 und I 200 (mit Bohrung d ¼ 30 mm) berechne man die Schwerpunkthhe zs und das Flchenmoment 2. Grades Iy : – Aus Profiltabellen entnimmt man die Flchen A1 ¼ 4 230 mm2 und A2 ¼ 3 340 mm2 , sowie das Maß e1 ¼ 22;3 mm. Dann ergibt sich f
r die Schwerpunkthhe gemß B 1.10 X zs ¼ð zi Ai Þ=A ¼ ð4 230  222,3 þ 3 340  100
7,5  30  70Þ mm3 =7 345 mm2 ¼ 171,4 mm: Damit ergeben sich die Abst
nde ai zu a1 ¼ ð222,3
171,4Þ mm ¼ 50,9 mm, a2 ¼ ð100
171,4Þ mm ¼
71,4 mm, a3 ¼ ð70
171,4Þ mm ¼
101,4 mm: Nach den Profiltabellen (s. Anh. C2 Tab. 13 und Anh. C2 Tab. 1) ist Iy1 ¼ 248  10 mm

4

und Iy2 ¼ 2 140  10 mm , 4

4

womit aus Gl. (20) folgt Iy ¼ ½248  104 þ 50,92  4 230 þ 2 140  104 þ 71,42  3 340
7,5  303 =12
101,42  ð7,5  30Þ mm4 ¼ 4 954  104 mm4 : 2. Beispiel: F
r den Winkelquerschnitt nach Bild 15 c sind Iy , Iz , Iyz , I1 , I2 , j0 , i1 , i2 zu berechnen. – Aufteilung in zwei Flchen A1 ¼ 10  100 mm2 ¼ 1 000 mm2 und A2 ¼ 50  20 mm2 ¼ 1 000 mm2 mit a1 ¼ 30 mm, b1 ¼
10 mm, a2 ¼
30 mm, b2 ¼ 10 mm ergibt nach Gl. (20) mit Iy ¼ bh3 =12 nach Tab. 2 f
r den Rechteckquerschnitt Iy ¼ ð10  1003 =12 þ 302  1 000 þ 50  203 =12 þ 302  1 000Þ mm4 ¼ 266,7  104 mm4 , Iz ¼ ð100  103 =12 þ 102  1 000 þ 20  503 =12 þ 102  1 000Þ mm4 ¼ 41,7  104 mm4 :

¼
60  104 mm4 : Hauptfl
chenmomente nach Gl. (18)

þh=2

bz2 dz ¼ ½bz3 =3
h=2 ¼ bh3 =12:

4

Fr die Einzelrechtecke ist Iyz ¼ 0, da fr sie y und z Hauptachsen sind. Damit ist nach Gl. (20) X ai bi Ai ¼ ½30  ð
10Þ  1 000 þ ð
30Þ  10  1 000 mm4 Iyz ¼

I1,2 ¼ 0,5  ½ð266,7 þ 41,7Þ  104 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  ð266,7
41,7Þ2  108 þ 4  602  108  mm4 ¼ ð154,2  104  127,5  104 Þ mm4 ; I1

¼ 281,7  104 mm4 ; I2 ¼ 26,7  104 mm4 :

Stellungswinkel der Hauptachsen nach Gl. (17) j0 ¼ 0,5  arctan


2  60  104 mm4 ¼ 14,04°: ð41,7
266,7Þ  104 mm4

Tr
gheitsradien nach Gl. (13) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi i1 ¼ 281,7  104 =2 000 mm ¼ 37,5 mm; pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi i2 ¼ 26,7  104 =2 000 mm ¼ 11,6 mm:

Schiefe Biegung. Liegt die Lastebene nicht parallel zu einer Hauptachse, bzw. wirken Lasten in Richtung beider Hauptachsen (Bild 16 a, b), so spricht man von schiefer Biegung. Aus der Belastung je Lastebene ergeben sich Biegemomente, deren zugeordnete Vektoren im Sinne einer Rechtsschraube senkrecht zur Lastebene stehen. Sie sind positiv, wenn sie am linken Schnittufer entgegengesetzt zur positiven Koordinatenrichtung gerichtet sind (Bild 16 c, d). Bei nichtsymmetrischen Querschnitten ist die Ermittlung der Biegemomentenvektoren in Richtung der Hauptachsen h, z erforderlich. Sind Mby und Mbz bekannt, so gilt (Bild 17) Mbh ¼ Mby cos j0 þ Mbz sin j0 , Mbz ¼
Mby sin j0 þ Mbz cos j0 :

ð21Þ

Unter Voraussetzung linearen Hookeschen Materialgesetzes s ¼ Ee und Ebenbleiben der Querschnitte gilt f
r die Spannungen der Ansatz einer linearen Verteilung s ¼ ah þ bz und damit f
r dieZBiegemomente Z Mbh ¼
Mbz ¼ þ

Z

sz dA ¼
sh dA ¼ þ

Z

ðahz þ bz2 ÞdA ¼
bIh , ðah2 þ bhzÞdA ¼ aIz

und somit f
r die Spannungen s ¼
ðMbh =Ih Þz þ ðMbz =Iz Þh:

ð22Þ

F
r die Spannungs-Nullinie (neutrale Faser) bzw. ihre Steigung folgt aus s ¼ 0 z ¼ ðMbz =Mbh ÞðIh =IzÞh bzw: tan a ¼ ðMbz =Mbh ÞðIh =IzÞ:

ð23Þ

C 16

Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabf
rmiger Bauteile a ¼ arctanð562;5=562;5Þ ¼ 45
und mit Wh ¼ pd3 =32 ¼ 12 272 mm3 dann sextr ¼ ð795 400=12 272Þ N=mm2 ¼ 64;8 N=mm2 .

Tr
ger gleicher Biegebeanspruchung. Mit dem Ziel, Gewicht zu sparen, erhalten Trger eine Form, bei der an jeder Stelle in den Randfasern die zulssige Biegebeanspruchung szul vorhanden ist. Zum Beispiel gilt fr den beidseitig gelagerten Trger nach Bild 20 mit konstanter H
he h0 und vernderlicher Breite b(x) sowie der Lnge l0 ¼ 2l (bzw. fr einen Kragtrger der Lnge l)

C

s ¼ Mb ðxÞ=Wy ðxÞ ¼ Fx=½bðxÞ h20 =6 ¼ szul ¼ const , bðxÞ ¼ 6Fx=ðh20 szul Þ, b0 ¼ bðlÞ ¼ 6Fl=ðh20 szul Þ: Die Breite nimmt also linear mit x zu. Weitere Flle s. Tab. 3. Als angenherte Form wird hufig die geradlinige, gestrichelt eingezeichnete Begrenzung durch die Tangenten gewhlt. 2.4.6 Schubspannungen und Schubmittelpunkt am geraden Tr
ger Shear stresses and shear centre in straight beams

Bild 16 a–d. Schiefe Biegung

Schubspannungen. Bei Querkraftbiegung eines Trgers treten in jedem Querschnitt Schubspannungen auf. Ihre Resultierende ist die Querkraft FQ (Bild 21). Die Schubspannungen verlaufen am Rand tangential zur Berandung, da wegen txn ¼ tnx (Satz von den zugeordneten Schubspannungen) bei schubbelastungsfreier Oberflche tnx ¼ txn ¼ 0 gilt. Unter der Annahme, daß alle Schubspannungen einer H
he z durch denselben Punkt P gehen und die Komponenten txz ber die Breite b(z) konstant sind (Bild 21), folgt aus der Gleichgewichtsbedingung fr ein Trgerelement der Lnge dx wegen tzx ¼ txz ( Bild 22) X

Ze1 Fix ¼ 0 ¼ txz bðzÞdx þ

ð¶s=¶xÞdx dA z

Bild 17. Momentenvektoren in Hauptachsenrichtungen

und mit s ¼
ðMb =Iy Þz nach Gl. (8) sowie dMb =dx ¼ FQ gemß Gl. (2), wenn Iy ¼ const ist,

Bild 18 a, b. Spannungen bei a schiefer Biegung; b doppelter Biegung

Die maximale Spannung ergibt sich in jedem Punkt P, der den gr
ßten Abstand von der Nullinie hat (Bild 18 a). y und z sind dabei mit den Hauptachsen h und z identisch.

Bild 19. Welle mit doppelter Biegung

Doppelte Biegung liegt vor fr den Sonderfall des kreisf
rmigen Querschnitts. Da beim Kreis jede Achse Hauptachse ist, qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 þ M 2 stets in Richtung einer Hauptachse fllt Mb; res ¼ Mby bz (Bild 18 b). Fr die Spannungen und ihre Nullinie gilt dann s ¼
ðMb, res =Ih Þz, tan a ¼ Mbz =Mby :

ð24Þ

Die extremalen Biegespannungen ergeben sich fr z= R zu sextr ¼ Mb, res =Wh mit Wh ¼ Ih =R:

ð25Þ

Beispiel: Fr die Seilrollenachse nach Bild 19 mit F ¼ 7 500 N, l ¼ 300 mm und d ¼ 50 mm berechne man Mby , Mbz , Mb; res , a und sextr : – Die Momente ergeben sich gemß Tab. 2 zu Mby ¼ Mbz ¼ Fl=4 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 562;5 Nm: Also wird Mb; res ¼ 562;52 þ 562;52 Nm ¼ 795;4 Nm,

Bild 20. Trger gleicher Biegebeanspruchung

I2.4

Biegebeanspruchung

C 17

Tabelle 3. Trger gleicher Biegebeanspruchung

C

txz ¼

FQ Iy bðzÞ

Ze1 z dA ¼ z¼z

Ze1 Sy ðzÞ ¼

ð26Þ

Ze1 z dA ¼

z

FQ Sy ðzÞ mit Iy bðzÞ

zbðzÞdz: z

Sy ist hierbei das statische Moment des
ber der Hhe z liegenden Querschnittsteils in bezug auf die y-Achse. Die grßte Schubspannung am Rand (Bild 21) ist dann jeweils txr ¼ txz = cos y. In Wirklichkeit sind allerdings die Schubspannungen txz
ber die Breite b infolge der Querdehnung usw. nicht konstant [1, 2]. Im folgenden werden die Schubspannungsverteilungen f
r verschiedene Querschnitte ermittelt.

Bild 22. Spannungen am Trgerelement

Rechteckquerschnitt (Bild 23 a).

Bild 21. Schubspannungen bei Querkraftbiegung

Bild 23 a, b. Schubspannungsverteilung bei a Rechteckquerschnitt; b Kreisquerschnitt

C 18

Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile

"

 # b h2 bh2 z 2
z2 ¼ 1
; 8 2 4 h=2 z "
 # 3 FQ z 2 3 FQ , max t ¼ txz ðz ¼ 0Þ ¼ txz ¼ 1
, 2 bh h=2 2 bh Zh=2

Sy ðzÞ ¼

C

zb dz ¼

txz ðz ¼ h=2Þ ¼ 0: Die Schubspannungen verteilen sich parabolisch
ber die Hhe, die maximale Schubspannung ist max t ¼ 1;5  FQ =A ¼ 1;5  tm ; d. h. 50% grßer als bei gleichfrmiger Verteilung. Eine genauere Theorie ergibt eine Zunahme der Schubspannungen am Rand und eine Abnahme in der Mitte. Die maximale Randschubspannung f
r z=0 folgt aus max 3FQ mit f gemß txz ðz ¼ 0Þ ¼ f 2A

Zr Kreisquerschnitt (Bild 23 b). Mit Sy ðzÞ ¼

zbðzÞdz, z

bðzÞ ¼ 2r cos j, z ¼ r sin j, dz ¼ r cos j dj folgen Zp=2 Sy ðzÞ ¼

p=2

2r 3 sin j cos2 j dj ¼ ½
23 r3 cos3 jy y

¼ 23 r 3 cos3 y, FQ 2 4FQ cos2 y  r3 cos3 y ¼ ðp r 4 =4Þ  2r cos y 3 3 p r2  z2  4 FQ ¼ 1
, 3 p r2 r rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi z2ffi 4FQ 4FQ txr ¼ txz = cos y ¼ cos y ¼ 1
: 3 p r2 3 p r2 r

txz ¼

Beim [-Profil wird entsprechend max txy ¼ txz2 ðt2 =t1 Þ  txz2 , wenn t2  t1 ist. In der Praxis gen
gt meist der Nachweis der maximalen Schubspannungen im Steg nach der Nherungsformel max txz ¼ FQ =ASteg : Schubspannungen in Verbindungsmitteln bei zusammengesetzten Tr
gern. Sollen Profile mittels Gurtplatten oder anderen Profilen verstrkt werden, so sind sie durch Schweißnhte oder Niete bzw. Schrauben miteinander zu verbinden (Bild 25). F
r den Schubfluß T 0 ðxÞ je Lngeneinheit gilt nach Gl. (26): T 0 ðxÞ ¼ tðxÞbðz1 Þ ¼ FQ Sy ðz1 Þ=Iy : Hierbei ist Sy ðz1 Þ das statische Moment des
ber der Trennflche liegenden Querschnittsteils bez
glich der Schwerachse des Gesamtquerschnitts und Iy das axiale Flchenmoment 2. Grades des Gesamtquerschnitts. Die Scherspannungen betragen in den Schweißnhten der Dicke a bzw. in Nieten oder Schrauben mit der Teilung e und der Scherflche A. ta ¼ T 0 =ð2aÞ bzw: ta ¼ T 0 e=ð2AÞ:

txz verluft nach einer Parabel
ber die Hhe, txr nach einer Ellipse lngs des Rands (Bild 23 b). F
r z ¼ 0 folgt max txz ¼

4 FQ 4 FQ 4 ¼ tm : ¼ 3 p r2 3 A 3

Kreisringquerschnitt. Mit Innen- bzw. Außenradius ri und ra gilt FQ max txz ¼ txz ðz ¼ 0Þ ¼ k A mit
 2 2 4 ri þ ri ra þ ra : k¼ 3 ri2 þ ra2 F
r d
nnwandige Querschnitte wird mit ri  ra  r der Wert k ¼ 2;0: I-Querschnitt, [-Querschnitt und
hnliche dnnwandige Profile (Bild 24). Mit A1 ¼ b1 t1 , A2 ¼ b2 t2 und A ¼ 2A1 þ A2 wird

Bild 24. Schubspannungen in d
nnwandigen Profilen

Bild 25. Zusammengesetzte Profile

2

Iy ¼ 2b1 t13 =12 þ 2A1 ðb2 =2 þ t1 =2Þ þ t2 b32 =12: Sy1 ¼ A1 ðb2 þ t1 Þ=2, txz1 ¼ FQ Sy1 =ðIy b1 Þ; Sy2 ¼ A1 ðb2 þ t1 Þ=2 ¼ Sy1 , txz2 ¼ FQ Sy1 =ðIy t2 Þ ¼ txz1 ðb1 =t2 Þ; Sy3 ¼ Sy1 þ A2 b2 =8, txz3 ¼ FQ Sy3 =ðIy t2 Þ ¼ max txz : Verlauf der Schubspannungen txz s. Bild 24. Whrend txz in den Flanschen sehr klein ist, erreicht txy dort beachtliche Grßenordnungen. F
r Schnitt 4
4 gilt Sy4 ¼ ðb1 =2
yÞ t1 ðb2 þ t1 Þ=2, txy4 ¼ FQ Sy4 =ðIy t1 Þ: txy erreicht sein Maximum f
r y ¼ 0: max Sy4 ¼ b1 t1 ðb2 þ t1 Þ=4 ¼ A1 ðb2 þ t1 Þ=4 ¼ Sy1 =2, max txy ¼ FQ Sy1 =ð2Iy t1 Þ ¼ txz2 ðt2 =t1 Þ=2  txz2 =2:

ð27Þ

Schubmittelpunkt. Voraussetzung f
r eine drillungsfreie Querkraftbiegung ist, daß die Lastebene durch den Angriffspunkt der Resultierenden der Schubspannung, d. h. durch den Schubmittelpunkt M, geht (z. B. f
r Belastung in Richtung der Hauptachse z durch den Punkt im Abstand yM gemß Bild 26). Berechnung der Koordinaten yM und zM des Schubmittelpunkts: Da das Moment der Schubflußkrfte gleich dem der Querkraft FQz um den Schwerpunkt sein muß, gilt

Bild 26. Schubmittelpunkt

I2.4

Biegebeanspruchung

C 19

C Bild 27. Schubmittelpunkt d
nnwandiger Querschnitte

Zl FQz yM ¼

0

T ðsÞhðsÞds 0

Zl ¼

½T 0 ðsÞz cos j ds þ T 0 ðsÞy sin j ds
,

0

T 0 ðsÞ ¼ FQz Sy ðsÞ=Iy , Sy ðsÞ ¼ ¼

yM

1 Iy

Zs

Zs z dA ¼

0

Zl Sy ðsÞ hðsÞ ds ¼ 0

1 Iy

zt ds, 0

Zl

Sy ðsÞðy sin j þ z cos jÞds: 0

Hierbei ist Sy ðsÞ das statische Moment des
ber der Schnittstelle s liegenden Querschnittsteils. Entsprechend ergibt sich bei Kraftwirkung in Richtung der Hauptachse y zM

¼

¼

1 Iz 1 Iz

Zs Sz ðsÞ ¼

Zl Sz ðsÞ hðsÞ ds 0

Zl Sz ðsÞðy sin j þ z cos jÞ ds, 0

Zs

y dA ¼ 0

y t ds: 0

Hat ein Querschnitt eine Symmetrieachse, so liegt der Schubmittelpunkt auf dieser Achse, hat er zwei Symmetrieachsen, so fllt der Schubmittelpunkt in den Symmetriepunkt, d. h. in den Schwerpunkt. Bei aus zwei Rechtecken zusammengesetzten Querschnitten liegt er im Schnittpunkt der Mittellinien der Rechtecke (Bild 27). Beispiel: [-Profil nach 27. – Lage des Schwerpunkts folgt zu e ¼ 4;214 cm und damit Iy ¼ 10 909 cm4 . F
r den oberen Flansch gilt Sy ðs1 Þ ¼ 3 cm  11;5 cm  s1 ¼ 34;5 cm2  s1 ; Sy ðs1 ¼ 11 cmÞ ¼ 379;5 cm3 ; f
r den Steg bis zur Mitte gilt Sy ðs2 Þ ¼ 379,5 cm3 þ 2 cm  s2 ð11,5 cm  s2 =2Þ ¼ 379,5 cm3 þ 23 cm2  s2  1 cm  s22 ; Sy ðs2 ¼ 11,5 cmÞ ¼ 511,75 cm3 : Der Querschnitt ist zur y-Achse symmetrisch, d. h., f
r die untere Hlfte ergeben sich analoge Werte. Somit wird 2 11 cm 11Z,5 cm Z 2 34,5 cm2  s1  11,5 cm  ds1 þ ð379,5 cm3 yM ¼ 4 Iy 0 0 3

R  d, die unterschiedliche Lnge der Außen- und Innenfasern zu ber
cksichtigen. Dies f
hrt zu einer hyperbolischen Spannungsverteilung f
r s; die Spannungen werden gegen
ber der linearen Spannungsverteilung außen kleiner und innen grßer. Bei Einwirkung einer Normalkraft FN und eines Biegemoments Mb gilt (Bild 28) unter der Voraussetzung des Ebenbleibens der Querschnitte
 Dds1 Dds  zDdj Ddj z ¼ ¼ e0 þ e0  : eðzÞ ¼ ds1 ðR  zÞdj dj R  z Hierbei ist e0 ¼ Dds=ds ¼ Dds=ðR djÞ die Dehnung in der Schwerachse. Weiter gilt 
  Ddj z sðzÞ ¼ EeðzÞ ¼ E e0 þ e0  , ð28Þ dj R  z d. h., Dehnungen und Biegespannungen verteilen sich nach einem hyperbolischen Gesetz (Bild 28). e0 und Ddj=dj folgen aus
Z Z Ddj z FN ¼ sðzÞdA ¼ e0 EA þ E e0  dA, ð29Þ dj Rz
Z Z Ddj z2 ð30Þ dA:  Mb ¼ sðzÞz dA ¼ E e0  Rz dj Z z Mit dA ¼ kA und Rz  Z
Z Z 2 z Rz z dA ¼  z dA ¼ R dA ¼ RkA Rz Rz Rz folgt aus Gl. (30) bzw. (29) Ddj Mb bzw: ¼ ERkA dj
 FN Ddj FN Mb  e0 þ e0 ¼ k¼ EA EA ERA dj e0 

und damit aus Gl. (28)
 FN Mb 1 z sðzÞ ¼ þ 1 : A RA k Rz

z0 ¼

FN R þ Mb kR : ¼ Mb FN R þ Mb 1 þ kþ kR R 1 þ FN R=Mb

þ 23 cm2  s2  1 cm  s22 Þ  3,214 cm  ds2 5 ¼

2  41 289 cm5 ¼ 7,57 cm: 10 909 cm4

2.4.7 Biegespannungen in stark gekr
mmten Trgern Bending stresses in highly curved beams Whrend f
r schwach gekr
mmte Stbe, d. h. f
r R > d, die Formeln der Biegespannungen des geraden Stabs (Gln. (8) bis (11)) gelten, ist f
r stark gekr
mmte Stbe, d. h. f
r

ð31Þ

Die Spannungen in den Randfasern folgen hieraus f
r z ¼ ei und z ¼ ea . Die Spannungsnullinie folgt aus sðzÞ ¼ 0 zu

Bild 28. Biegung des stark gekr
mmten Trgers

C 20

C

Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile

F
r Mb ¼
FN R wird z0 ¼ 0, d. h., die neutrale Faser liegt in der Schwerachse, wenn die Einzelkraft F ¼ FN im Kr
mmungsmittelpunkt wirkt. F
r reine Biegung ðFN ¼ 0Þ folgt z0 ¼ kR=ð1 þ kÞ < R, und f
r reine Normalkraft ðMb ¼ 0Þ ist z0 ¼ R, d. h., die Nullinie liegt im Kr
mmungsmittelpunkt. Formbeiwert k f
r verschiedene Querschnitte: Rechteck: Mit y ¼ e=R ¼ h=ð2RÞ gilt k ¼
1 þ

1 1 þ y y2 y4 y6 ln  þ þ : 5 7 2y 1
y 3

Kreis, Ellipse: Mit y ¼ e=R (e Halbachse in Kr
mmungsebene) gilt Bild 29. Durchbiegung eines geraden Trgers

k  y2 =4 þ y4 =8 þ 5y6 =64: Dreieck (gleichschenklig): Mit y ¼ ei =R ¼ h=ð3RÞ gilt 
  2 0;33 1þ 2y k ¼
1 þ 0;67 þ
1 : ln 3y y 1
y Die Maximalspannung aus dem Biegemoment tritt stets an der Innenseite des gekr
mmten Stabs auf. Der Vergleich mit der Nennspannung sn ¼ Mb =Wyi bei geradliniger Spannungsverteilung liefert si ¼ max sb ¼ aki sn :

ð32Þ

Die Formziffer aki ¼ si =sn ist von Querschnittsform und Kr
mmung abhngig (Tab. 4). Tabelle 4. Formziffern aki

Da die Formziffer von der Querschnittsform nur wenig abhngt, sind diese Werte auch f
r andere Querschnittsformen quivalent zu verwenden. 2.4.8 Durchbiegung von Tr
gern. Deflection of beams Elastische Linie des geraden Tr
gers. Unter der Annahme des Ebenbleibens der Querschnitte (Vernachlssigung der Schubspannung) gilt gemß Bild 29 ds1
ds ðr
zÞ da
r da z ¼ ¼
ds r da r und hieraus mit dem Hookeschen Gesetz e ¼ s=E sowie der Gl. (8) 1 Mb ðxÞ ; ð33Þ k¼ ¼ r EIy ðxÞ e¼

d. h., die Kr
mmung ist proportional dem Biegemoment Mb ðxÞ und umgekehrt proportional zur Biegesteifigkeit EIy ðxÞ. Mit der Kr
mmungsformel einer Kurve, k ¼ da=ds ¼  w 00 ðxÞ=ð1 þ w0 2 ðxÞÞ3=2 (s. A bzw. DUBBEL interaktiv), folgt aus Gl. (33) die Differentialgleichung der Biegelinie der Balkenachse (Eulersche Elastika) w 00 ðxÞ Mb ðxÞ : ¼
EIy ðxÞ ð1 þ w 0 2 ðxÞÞ3=2

Z 1 Mb ðxÞ dx w 0 ðxÞ  aðxÞ ¼
EI0 1 ¼
f ðxÞ þ C1 , EI0  Z  1 f ðxÞ þ C1 dx
EI0 1 ¼
gðxÞ þ C1 x þ C2 : EI0

wðxÞ ¼

w 00 ðxÞ ¼
Mb ðxÞ=ðEIy ðxÞÞ:

ð35 bÞ

Die Konstanten C1 und C2 werden aus den Randbedingungen bestimmt (Bild 30 a, b): f
r den beidseitig gelenkig gelagerten Trger wðx ¼ 0Þ ¼ 0 und wðx ¼ lÞ ¼ 0, sowie f
r den einseitig eingespannten Trger wðx ¼ 0Þ ¼ 0 und w 0 ðx ¼ 0Þ ¼ 0 (bzw. wðx ¼ lÞ ¼ 0 und w 0 ðx ¼ lÞ ¼ 0 bei rechtsseitiger Einspannung). Nach dieser Methode wurden die Standardflle (Tab. 5) berechnet. Erweiterte Differentialgleichung. Gemß den Gln. (2) und (5) gilt dMb =dx ¼ FQ ðxÞ und dFQ =dx ¼
qðxÞ. Damit folgt aus Gl. (34) d dMb ¼
FQ ðxÞ, ½EIy ðxÞw 00 ðxÞ ¼
dx dx 2 2 d d M dFQ b ¼ qðxÞ: ½EIy ðxÞw 00 ðxÞ ¼ ¼
dx2 dx2 dx F
r Iy ¼ I0 ¼ const wird EI0 w 0000 ðxÞ ¼ qðxÞ: Durch viermalige Integration ergibt sich hieraus Z EI0 w 000 ðxÞ ¼
FQ ðxÞ ¼ qðxÞ dx ¼ f1 ðxÞ þ C1 , Z EI0 w 00 ðxÞ ¼
Mb ðxÞ ¼
FQ ðxÞ dx ¼ f2 ðxÞ þ C1 x þ C2 , Z EI0 w ðxÞ  EI0 aðxÞ ¼
Mb ðxÞ dx 0

¼ f3 ðxÞ þ C1 x2 =2 þ C2 x þ C3 , EI0 wðxÞ ¼ f4 ðxÞ þ C1 x3 =6 þ C2 x2 =2 þ C3 x þ C4 :

ð36Þ 9 > > > > > > > > > > > > > > = > > > > > > > > > > > > > > ;

ð37Þ

C1 . . . C4 werden aus den Randbedingungen gemß Bild 30 a, b bestimmt. Greift am freien Ende des Trgers nach Bild 30 b ein Moment M bzw. eine Kraft F an, so lautet die entsprechende Randbedingung EI0 w 00 ðx ¼ lÞ ¼ M bzw: EI0 w 000 ðx ¼ lÞ ¼ F:

F
r kleine Durchbiegungen, d. h. w02 ðxÞ  1, folgt hieraus die linearisierte Differentialgleichung der technischen Balkenbiegungslehre ð34Þ

F
r den Sonderfall konstanten axialen Flchenmoments 2. Grades, Iy ðxÞ ¼ I0 , folgt dann durch Integration

ð35 aÞ

Bild 30 a, b. Randbedingungen

I2.4

Biegebeanspruchung

C 21

Superpositionsmethode. Durch geeignete
berlagerung der in Tab. 5 niedergelegten Ergebnisse erhlt man fr Trger mit mehreren Einzellasten sowieX Momenten und Streckenlasten die Verformungen aus w ¼ wi ¼ w1 þ w2 þ w3 þ . . . X bzw. a ¼ ai ¼ a1 þ a2 þ a3 þ . . ., wobei der Index i jeweils einem in Tab. 5 niedergelegten Fall entspricht. Beispiel: Trger mit Kragarm (Bild 31). Gegeben sei I1 ¼ 30 cm4 , I2 ¼ 12 cm4 , E ¼ 2;1
105 N=mm2 , l ¼ 600 mm, a ¼ 300 mm und F ¼ 2 kN, gesucht die Durchbiegung des Kragarms. – Nach Bild 31 b gilt f1 ¼ a tan aB1  a aB1 ¼ Ml=ð3EI1 Þ gemß Tab. 5 a, Fall 3 d. Die Durchbiegung f2 infolge Kragarmkrmmung (Bild 31 c) folgt aus Tab. 5 a, Fall 6, zu f2 ¼ Fa3 =ð3EI2 Þ. Somit ist f ¼ f1 þ f2 ¼ Fa2 l=ð3EI1 Þ þ Fa3 =ð3EI2 Þ ¼ ð0;057 þ 0;071Þ cm ¼ 0;128 cm.

C Bild 32 a, b. Schubdurchsenkung

folgt C=(a/GA)Fl und somit wS ðxÞ ¼ ða=GAÞ
Fðl  xÞ bzw. wS ðx ¼ 0Þ ¼ ða=GAÞFl. Der entsprechende Wert aus Biegung ist wðx ¼ 0Þ ¼ Fl3 =ð3EIy Þ. Fr einen Rechteckquerschnitt ergibt sich wS =w ¼ ð0;3
E=GÞðh=lÞ2 . Nun ist 0;3
E=G  1 und somit wS =w  ðh=lÞ2 . Fr h/l=1/5 wird wS  0;04
w, d. h., die Schubverformungen fr niedrige Trger sind gegenber den Biegeverformungen vernachlssigbar. Durchbiegung schwach gekr
mmter Trger. Entsprechend dem Ergebnis beim geraden Trger, s. Gl. (33), wird hier die nderung der Krmmung (Bild 33 a) 1 1 Mb :  ¼ EIy r R

Bild 31 a–c. Superpositionsmethode

Durchbiegung bei schiefer Biegung. Sind Mbh ðxÞ und Mbz ðxÞ die Biegemomente um die Hauptachsen h und z (s. C 2.4.5), so ergeben sich die Durchbiegungen u(x) und w(x) in Richtung h und z nach einem der angegebenen Verfahren. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Die resultierende Verschiebung folgt aus f ðxÞ ¼ u2 þ w2 und stellt eine Raumkurve dar. f(x) steht an jeder Stelle senkrecht zur entsprechenden neutralen Faser [1]. Einfluß der Schubverformungen auf die Biegelinie. Infolge der Querkrfte FQ ergeben sich die ber die Hhe eines Trgers vernderlichen Schubspannungen t nach Gl. (26). Aus dem Hookeschen Gesetz (s. C 1 Gl. (22)) und Bild 32 a folgt fr die Gleitungen g ¼ g1 þ g2 ¼ t=G. Sie sind ebenfalls ber die Hhe vernderlich, d. h., die Querschnitte verwlben sich. Als Nherung dient eine gemittelte Schubspannung
t ¼ aFQ =A, fr die der Faktor a aus der Gleichheit der Formnderungsarbeiten am wirklichen und am gemittelten Spannungszustand folgt: Z 1 1 t2 dV, also FQ dwS ¼ 2 2G   Z 1 1 FQ Sy 2 dA dx, d: h: FQ
g dx ¼ Iy b 2 2G  2 2 Z  FQ
t Sy 2 1 1 FQ a¼ dA FQ ¼ 2G Iy b 2 2 AG G Z  2 Sy und somit a ¼ A dA. Iy b Fr einen Rechteckquerschnitt ergibt sich a=1, 2, fr einen Kreisquerschnitt a ¼ 10=9  1;1. Fr die Grße der Schubdurchsenkung gilt dann (Bild 32 b)

Hieraus folgt fr die Radialverschiebung w eines ursprnglich kreisfrmigen Trgers [3, 4] die Differentialgleichung d2 w R2 þw ¼ Mb ðjÞ: EIy d j2

ð38Þ

Die Tangentialverschiebung u folgt zu Z uðjÞ ¼ wðjÞdj: Beispiel: Fr den Viertelkreistrger (Bild 34 b) berechne man die Verschiebungen des Kraftangriffspunkts. – Mit Mb ðjÞ ¼ FR cos j erhlt man die Differentialgleichung w 00 ðjÞ þ wðjÞ ¼ ðFR3 =EIy Þ cos j mit der L
sung wðjÞ ¼ C1 sin j þ C2 cos j  ðFR3 =2EIy Þ j sin j: Aus den Randbedingungen w(0)=0 und w 0 ð0Þ ¼ 0 folgen C1 ¼ C2 ¼ 0 und damit wðjÞ ¼ ðFR3 =2EIy Þj sin j mit wðp=2Þ ¼ pFR3 =ð4EIy Þ.

Bild 33 a, b. Mohrsches Verfahren, rechnerisch

dwS =dx ¼
g ¼
t=G ¼ a FQ =ðGAÞ bzw: Z a a wS ðxÞ ¼ FQ ðxÞ dx ¼ Mb ðxÞ þ C: GA GA Zum Beispiel gilt fr einen einseitig (rechts) eingespannten Stab mit einer Einzelkraft am (linken) freien Ende Mb ðxÞ ¼  Fx und damit wS ðxÞ ¼ ða=GAÞFx þ C. Aus wS ðx ¼ lÞ ¼ 0

Bild 34 a, b. Satz von Castigliano. a Allgemein; b Viertelkreistrger

C 22

Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabf
rmiger Bauteile

Tabelle 5a. Biegelinien von statisch bestimmten Trgern mit konstantem Querschnitt

C

I2.4

Biegebeanspruchung

C 23

Tabelle 5a. (Fortsetzung)

C

und uðp=2Þ ¼ FR3 =ð2EIy Þ:

Stelle des Angriffspunkts. (Sind Verschiebungen an Stellen oder in Richtungen gesucht, an denen keine Einzelkraft wirkt,  angebracht und nach Durchf
hrung so wird eine Hilfskraft F der Rechnung wieder gleich Null gesetzt; entsprechend bei Drehwinkel und Momenten.)

2.4.9 Form
nderungsarbeit bei Biegung und Energiemethoden zur Berechnung von Einzeldurchbiegungen Bending strain energy, energy methods for deflection analysis

Beispiel: F
r den Viertelkreistrger nach Bild 34 b ist die Horizontalverschiebung u des Kraftangriffspunkts zu berechnen. – Mit der Hilfs in Horizontalrichtung (Bild 34 b) gilt f
r das Biegemoment kraft F  Rð1
sin jÞ sowie f
r die FormnderungsarMb ðjÞ ¼
FR cos j
F beit und die Verschiebung

Mit u(0)=0 wird dann uðjÞ ¼ ðFR3 =2EIy Þ

Z j sin j dj ¼ ðFR3 =2EIy Þðsin j
j cos jÞ

Form
nderungsarbeit. Z Z 1 1 Mb2 Wb ¼ ds: Mb dj ¼ 2 2 EIy

W¼

ð39Þ

Satz von Castigliano. F
r Systeme aus Hookeschem Material gilt ( Bild 34 a) ¶W ¶W wF ¼ ; aM ¼ : ¶F ¶M

ð40Þ

Die Ableitung der Formnderungsarbeit nach einer Einzelkraft gibt die Verschiebung in Richtung der Einzelkraft, die Ableitung nach einem Moment ergibt den Drehwinkel an der

1 2 EIy

Zp=2

 Rð1
sin jÞ2 R dj, ½
FR cos j
F

0

¶W 1 u ¼  ¼
¶F EIy  ¼0 bzw. mit F u¼þ ¼

1 EIy

Zp=2

 Rð1
sin jÞð1
sin jÞ R2 dj ½
FR cos j
F

0

Zp=2 FR cos jð1
sin jÞ R2 dj 0


p=2 FR3 1 FR3 sin j
sin2 j ¼ : EIy 2 EIy 2 0

C 24

Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabf
rmiger Bauteile

Tabelle 5b. Biegemomente und Biegelinien von statisch unbestimmten Trgern mit konstantem Querschnitt

C

I2.4

Biegebeanspruchung

C 25

Tabelle 5b. (Fortsetzung)

C

Beispiel: abgesetzte Welle (Bild 35). Gesucht ist die Durchbiegung an der Stelle der Krafteinleitung. Gegeben: F ¼ 2000 N, ESt ¼ 2; 1
105 N=mm2 , ‘ ¼ 100 mm, D1 ¼ 20 mm, D2 ¼ 30 mm , D3 ¼ 40 mm. Die Form
nderungsarbeit lautet nach Gl. (39): W¼

1 2

Z5‘ 0

Mb2 dx: EIy

Bercksichtigt man die Symmetrieachse, folgt:

 1 5 5 4W Wges ¼ 2W ¼ F w x ¼ ‘ ) w x ¼ ‘ ¼ ; 2 2 2 F 0 1 B1 Wges ¼ 2 @ 2E Iy1

Z‘

1 ð1Þ dx þ Iy2

Z‘

2

0

1 ð2Þ dx þ Iy3

1=2 ‘ Z

2

0

Die Auswertung der Integrale mit Tab. 6 ergibt:

Bild 35. Abgesetzte Welle und Biegemomentverlauf

1 C ð3Þ dxA: 2

0



  1 1 1 1 ‘ lik þ ð2i1 k1 þ i1 k2 þ i2 k1 þ 2i2 k2 Þ E Iy1 3 Iy2 6
 1 ‘ þ ð2i1 k1 þ i1 k2 þ i2 k1 þ 2i2 k2 Þ : Iy3 6

Wges ¼

C 26

Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile

C

Bild 37. Verformungen eines Kragtr
gers

M ¼ 1 und als Verrckung wiederum die wirklichen Verschiebungen gew
hlt, so gilt (Bild 36 b) Z Z M b Mb Ma ¼ 1  a ¼ M b dj ¼ ds: ð42Þ EIy

Bild 36 a, b. Prinzip der virtuellen Arbeiten

Es folgt mit: 1 1 ð1Þ: ‘ ¼ ‘; i ¼ F‘ ¼ k; ð2Þ: ‘ ¼ ‘; i1 ¼ k1 ¼ F‘; k2 ¼ i2 ; 2 2 ‘ 5 ð3Þ: ‘ ¼ ; i1 ¼ k1 ¼ F‘; i2 k2 ¼ F‘: 2 4

 5 1 F‘3 1 7 61 1 þ þ
0;578 mm: w x¼ ‘ ¼ 2 6 E Iy1 Iy2 8 Iy3
 5 F‘3 (entWenn Iy1 ¼ Iy2 ¼ Iy3 ¼ Iy ; ist w x ¼ ‘ ¼ 125 48 EI 2 y spricht Lastfall 1 in Tab. 5 a). Prinzip der virtuellen Arbeiten. Wird einem elastischen System eine beliebige (virtuelle), d. h. mit den geometrischen Gegebenheiten vertr
gliche Verrckung erteilt, so ist im Gleichgewichtsfall die Summe aus
ußerer und innerer virtueller Arbeit gleich Null: dW

ðaÞ

þ dW

ðiÞ

¼ 0:

W
hlt man als
ußere Kraft lediglich eine virtuelle Hilfskraft F ¼ 1 und als Verrckung die wirklichen Verschiebungen (Prinzip der virtuellen Kr
fte) (Bild 36 a), so folgt aus dW ðaÞ ¼  dW ðiÞZ Fw

¼ 1w ¼

Z M b dj ¼

M b Mb ds: EIy

ð41Þ

Hieraus folgt die Verschiebung w in Richtung der Hilfskraft F ¼ 1: Dabei sind M b die Biegemomente infolge dieser Hilfskraft und Mb die Biegemomente infolge der wirklichen Belastung. Werden als
ußere Last ein virtuelles Hilfsmoment Z Tabelle 6. Werte fr

MMds

Hieraus folgt der Drehwinkel an der Angriffsstelle des Hilfsmoments. Die Integrale in den Gln. (41) und (42) sind fr Tr
ger mit EIy ¼ const nur fr das Produkt M b Mb zu bilden und fr die wichtigsten Grundf
lle in Tab. 6 zusammengestellt. Beispiel: Kragtr
ger mit Streckenlast (Bild 37). Gesucht sind die Durchbiegung und der Neigungswinkel am freien Ende. – Fr die Durchbiegung folgt nach Tab. 6, Spalte 8, Zeile b mit i ¼ q l2 =2 und k= l Zl dx 1 1 q l4 1  f ¼ M b Mb ¼  lik ¼ 8 EIy EIy EIy 4 0

und f
r den Neigungswinkel nach Zeile a mit i ¼ ql2 =2 und k ¼ 1 Zl M b Mb

1a ¼ 0

dx 1 1 q l3 ¼  lik ¼ 6 EIy EIy EIy 3

(vgl. Tab. 5 a, Fall 8).

Prinzip der virtuellen Verr
ckungen fr schubstarre Biegebalken. Das Prinzip der virtuellen Verrckungen ist
quivalent einer Gleichgewichtsaussage. Dazu wird die Biegedifferentialgleichung des Balkens mit einer virtuellen Verschiebung dw multipliziert und ber die Balkenl
nge integriert.  ‘ Z Z‘ Z‘  M 00 ¼ p  dw dx )  M 00 dw dx ¼ p dw dx;  0

0

0

‘ Z ‘ Z‘  ½M 0 dw  Mdw0   Mdw00 dx ¼ p dw dx: 0

0

0

Dabei mssen die virtuellen Verrckungen dw geometrisch vertr
glich sein, d. h. den Verformungsaussagen db ¼  dw0 ,

I2.5

Torsionsbeanspruchung

C 27

C

Bild 39. Torsion eines Stabs mit Kreisquerschnitt

Bild 38. Biegebalken, Kr
mmungsverlauf infolge F und dw

dk ¼
dw00 gen
gen. Beachtet man weiter, daß auch die wirklichen Zustandsgrßen statisch vertrglich sein m
ssen M 0 ¼ Q, dann kann geschrieben werden: Z‘ dWa ¼ 0


‘ Z‘
p dw dx þ ½Q dw þ Mdb

¼ dWi ¼ Mdw dx: 0

0

In Worten: Wenn die virtuellen Verr
ckungen dw geometrisch vertrglich sind, oder mit anderen Worten, die verformungsgeometrischen Aussagen erf
llen, besagt die vorstehende Gleichung, daß die Arbeit der wirklichen ußeren Krfte (einschließlich der Randkrfte und Momente) an den virtuellen Verr
ckungen gleich der Arbeit der wirklichen Momente an den virtuellen Kr
mmungen ist. Mit dem Prinzip der virtuellen Verr
ckungen lassen sich Zwangskrfte Fz (Federkrfte, Auflagereaktionen) infolge bekannter Verformungszustnde berechnen. Dazu wird eine virtuelle Verr
kkung dw ¼ 1 an der gew
nschten Stelle aufgebracht. Die entZ stehende ußere Arbeit ist dann dWa ¼ Fz 1 þ

p dw dx und

damit die gesuchte Zwangskraft Fz und die Arbeit der ußeren Lasten. Wenn man in der zugehrigen inneren Arbeit Z dWi ¼

Mdk dx das Elastizittsgesetz M ¼ EIc einsetzt, er-

gibt sich aus der Forderung, ußere gleich innere Arbeit, der Z Z Zusammenhang: Fz ¼ EIk dk dx
p dw dx: Wenn die gesuchte Grße ein Moment ist, muß an der betreffenden Stelle analog zu dw ¼ 1 ein Winkel dj ¼ 1 aufgezwungen werden. Es ergibt sich dann das Zwangsmoment plus die ußere Arbeit der Lasten. Beispiel: F
r den in Bild 38 skizzierten Balken ist die Auflagerkraft Az zu berechnen. Es gilt dWA ¼ dWi :

2.5 Torsionsbeanspruchung. Torsion 2.5.1 St
be mit Kreisquerschnitt und konstantem Durchmesser Bars of circular cross section and constant diameter Bei der Torsion von Stben mit Kreisquerschnitt tritt keine Verwlbung ein, d. h., die Querschnitte bleiben eben. Ferner bleiben die Radien der Kreisquerschnitte geradlinig, d. h., die Querschnitte verdrehen sich als starres Ganzes. Geradlinige Mantellinien auf der Oberflche werden zu Schraubenlinien,

Bild 40. Torsion eines Stabs mit d
nnwandigem Hohlquerschnitt

die aber wegen der kleinen Verformungen (Bild 39) als geradlinig aufgefaßt werden knnen. Mit g l ¼ j r und dem Hookeschen Gesetz g ¼ t=G ergibt sich t ¼ ðGj=lÞr;

ð43Þ

d. h., die Torsionsspannungen t nehmen linear mit dem Radius r zu (Bild 39). Das Moment aller Torsionsspannungen um den Kreismittelpunkt muß gleich dem Torsionsmoment sein: Zd=2 Mt ¼

Zd=2 t r dA ¼ ðGj=lÞ

0

ð44Þ

0

Zd=2 Ip ¼

r 2 dA ¼ ðGj=lÞIp ;

Zd=2 r 2 dA ¼

0

r2 2p r dr ¼ p d 4 =32:

ð45Þ

0

Ip ist das polare Flchenmoment 2. Grades des Kreisquerschnitts. Aus den Gln. (44) und (43) folgt f
r die Torsionsspannungen und mit dem polaren Widerstandsmoment Wp ¼ Ip =ðd=2Þ ¼ p d 3 =16 des Kreisquerschnitts tðrÞ ¼ ðMt =Ip Þr bzw: tmax ¼ ðMt =Ip Þðd=2Þ ¼ Mt =Wp :

ð46Þ

F
r den Verdrehungswinkel und die Drillung (Verdrehung pro Lngeneinheit) gilt nach Gl. (44) j¼

Mt l j Mt und J ¼ ¼ : GIp l GIp

ð47Þ

Die Formnderungsarbeit ist 1 1 Mt2 l W ¼ Mt j ¼ : 2 2 GIp

ð48Þ

Wirken am StabZ kontinuierlich verteilte Drehmomente md ðxÞ; so gilt Mt ðxÞ ¼

md ðxÞ dx;

Z dj Mt ðxÞ 1 , jðxÞ ¼ Mt ðxÞ dx, ¼ dx GIp GIp Z Z 1 1 W¼ Mt2 ðxÞ dx: Mt ðxÞ dj ¼ 2 2 GIp

JðxÞ ¼

Die Gleichungen gelten auch f
r kreisfrmige Hohlquerschnitte mit Ip ¼ pðda4
di4 Þ=32 und Wp ¼ Ip =ðda =2Þ (s. Tab. 7).

C 28

Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabf
rmiger Bauteile

Tabelle 7. Torsionsflchenmomente It und -widerstandsmomente Wt

C

I2.5

Torsionsbeanspruchung

C 29

Tabelle 7. (Fortsetzung)

C

Beispiel: F
r die Welle nach Bild 41 a mit G ¼ 81 kN=mm2 ; tzul ¼ 12 N=mm2 und Drehzahl n ¼ 1000 1=min sind gesucht: a) das eingeleitete bzw. die abgegebenen Drehmomente, b) die Torsionsmomentenlinie, c) die je Abschnitt erforderlichen Durchmesser, d) Drillung und Drehwinkel je Abschnitt sowie Gesamtdrehwinkel. – a) Das eingeleitete Drehmoment Md1 ergibt sich mit der
bertragenen Leistung P1 ¼ 4;4 kW aus P ¼ Md w mit w ¼ 2p n ¼ 2p
16;67 1=s ¼ 104;7 1=s zu Md1 ¼ P1 =w ¼ ð4 400 Nm=sÞ=ð104;7 1=sÞ ¼ 42;0 Nm, die abgenommenen Drehmomente zu Md2 ¼ ð1 470 WÞ=ð104;71=sÞ ¼ 14;0 Nm und Md3 ¼ ð2 930 WÞ=ð104;7 1=sÞ ¼ 28;0 Nm: b) Die Torsionsmomente werden damit Mt1;2 ¼ Md1 ¼ 42;0 Nm bzw. Mt2;3 ¼ Md1  Md2 ¼ Md3 ¼ 28;0 Nm (Bild 41 b). c) Die Durchmesser folgen aus Wp; erf ¼ p d3 =16 ¼ Mt =tzul zu d1 ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 16Mt1;2 =ðptzu1 Þ ¼ 26;1 mm (gewhlt 27 mm) und d2 ¼ 22;8 mm (gewhlt 23 mm). d) Drillung J1;2 ¼ Mt1;2 =ðGIp1 Þ ¼ Mt1;2 =ðGpd14 =32Þ ¼ 0;99
105 1=mm; Verdrehwinkel j1;2 ¼ J1;2 l1;2 ¼ 0;00495 = 0;284
; entsprechend J2;3 ¼ 1;26
105 1=mm, j2;3 ¼ 1;26
105
250 ¼ 0;00315= 0;180
: Der Gesamtdrehwinkel (Bild 41 c) ist dann j1;3 ¼ j1;2 þ j2;3 ¼ 0;284
þ 0;180
¼ 0;464
:

Bild 41 a–c. Torsion einer Welle

C 30

Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile

2.5.2 St
be mit Kreisquerschnitt und ver
nderlichem Durchmesser Bars of circular cross section and variable diameter

C

Mit Ip ðxÞ ¼ pd4 ðxÞ=32 gilt f
r die Drillung und den Drehwinkel nherungsweise Z Mt ðxÞ Mt ðxÞ JðxÞ ¼ ; jðxÞ ¼ dx: GIp ðxÞ GIp ðxÞ Die Spannungen werden wieder aus tðrÞ ¼ ðMt =Ip Þr bzw. tmax ¼ Mt =Wp berechnet. Bei abgesetzten Wellen treten Spannungsspitzen (Kerbspannungen) auf, die mit der Formzahl ak gemß t ¼ ak Mt =Wp ber
cksichtigt werden (s. C 2.1.4). 2.5.3 Dnnwandige Hohlquerschnitte (Bredtsche Formeln). Thin-walled tubes (Bredt-Batho theory) Unter der Annahme, daß die Torsionsspannung t
ber die Wanddicke t konstant ist, ergibt sich aus dem Gleichgewicht ¶ am Element in x-Richtung
t t dx þ t t dx þ ðt t dxÞds ¼ 0; ¶s also t t ¼ T ¼ const, d. h., der Schubfluß T ist lngs des Umfangs konstant (Bild 40). Der Zusammenhang zwischen Torsionsspannung I I und Torsionsmoment folgt aus Mt ¼ t t h ds ¼ t t

h ds ¼ t t  2Am und liefert

t ¼ Mt =ð2Am tÞ ð1: Bredtsche FormelÞ: Am ist hierbei die von der Mittellinie eingeschlossene Flche des Hohlquerschnitts. F
r den Verdrehungswinkel gilt j¼

Mt l 4A2 mit It ¼ I m : ds GIt t ðsÞ

It ist das Torsionsflchenmoment (2. Bredtsche Formel). Bei der Verdrehung bleibt der Querschnitt nicht eben, sondern es tritt eine Verwlbung in x-Richtung (Lngsrichtung) auf. Die Bredtschen Formeln gelten nur f
r unbehinderte Verwlbung, bei der die Drehachse mit dem Schubmittelpunkt (s. C 2.4.6) zusammenfllt. Bei behinderter Verwlbung treten zustzlich Normalspannungen s und damit vernderte Schubspannungen und Drehwinkel auf (s. C 2.5.5). 2.5.4 St
be mit beliebigem Querschnitt Bars of arbitrary cross section Hier treten bei Verdrehung grundstzlich Verwlbungen des Querschnitts auf. Im Fall unbehinderter Verwlbung gilt die Theorie von de Saint-Ve´nant [4]. Die Lsung des Problems wird auf eine Verwlbungsfunktion y(y, z) oder eine Spannungsfunktion Y(y, z) zur
ckgef
hrt, wobei y(y, z) die Potentialgleichung Dy ¼ 0 bzw. Y(y, z) die Poissonsche Gleichung DY ¼ 1 befriedigen muß. Exakte Lsungen liegen nur f
r wenige Querschnitte (z. B. Ellipse, Dreieck, Rechteck) vor. F
r Verdrehungswinkel und maximale Schubspannung gilt

j¼

Mt l Mt ; tmax ¼ : Wt GIt

ð49Þ

Hierbei ist It das Torsionsflchenmoment. Es ist  Z
Z ¶y ¶y It ¼ y2 þ z2 þ y
z dA ¼
4 Yðy; zÞ dA; ¶z ¶y d. h., It ist proportional dem Volumen des
ber dem Querschnitt aufgewlbten Spannungsh
gels. Wt ist das Torsionswiderstandsmoment. Es gilt 
  ¶Y 2 Wt ¼ I t ; ¶n max wobei ð¶Y=¶nÞmax das grßte vorhandene Geflle des Spannungsh
gels ist. Senkrecht auf der dazugehrigen Schnittebene durch den Spannungsh
gel steht dann die entsprechende Schubspannung (Bild 42 a). Ergebnisse f
r It und Wt s. Tab. 7. Die Abschtzung der Lage der grßten Schubspannungen bzw. die experimentelle Ermittlung der Schubspannungen erlauben folgende Gleichnisse: Prandtlsches Seifenhautgleichnis. Da die Differentialgleichungen f
r die Spannungsfunktion und eine unter berdruck stehende Seifenhaut quivalent sind und auch die Randbedingungen mit Y ¼ 0 bzw. w ¼ 0
bereinstimmen, entspricht das Geflle der
ber einem Querschnitt gespannten Seifenhaut bzw. die Dichte der Hhenlinien der Grße der Schubspannungen, deren zugeordnete Richtung senkrecht zum Geflle steht (Bild 42 b). Strmungsgleichnis. Aufgrund der Analogien der Differentialgleichungen entspricht der Stromlinienverlauf einer Potentialstrmung konstanter Zirkulation in einem Gefß gleichen Querschnitts wie dem des tordierten Stabs der Richtung der resultierenden Schubspannung. Die Dichte der Stromlinien ist dabei ein Maß f
r die Grße der Schubspannungen (Bild 42 c).

2.5.5 Wlbkrafttorsion. Torsion with warping constraints Ist bei Stben nach C 2.5.3 und C 2.5.4 die Verwlbung in irgendeinem Querschnitt (z. B. durch Einspannung) behindert, so treten in Lngsrichtung Normalspannungen sx und damit verbunden zustzlich Schubspannungen txy und txz auf. Der Drehwinkel wird kleiner als bei wlbunbehinderter Torsion. F
r d
nnwandige offene bzw. einfach und mehrfach geschlossene Querschnitte ist das Problem weitgehend gelst [5]. Bemerkt sei, daß u. a. die Querschnitte nach Bild 43, d. h. alle Kreistangentenpolygone konstanter Wanddicke und alle sternfrmigen Querschnitte, wlbfrei sind, also eben bleiben, so daß keine Wlbkrafttorsion auftritt. F
r Vollquerschnitte liegen nur f
r wenige Flle Nherungslsungen vor [4], die Wirkung der Wlbbehinderung kann hier jedoch meist vernachlssigt werden.

Bild 42 a–c. Beliebiger Querschnitt. a Torsionsfunktion; b Seifenhautgleichnis; c Strmungsgleichnis

Bild 43. Wlbfreie Querschnitte

I2.6 2.6 Zusammengesetzte Beanspruchung Combined stresses 2.6.1 Biegung und L
ngskraft. Bending and axial load In Bild 44 a ist ein abgewinkelter Tr
ger dargestellt, dessen vertikaler Teil durch L
ngs-(Normal-)kr
fte und Biegemomente beansprucht wird, wie der Verlauf der Schnittlasten nach Bild 44 b–d zeigt. Bei Biegung um eine Querschnittshauptachse gilt fr die Normalspannung bzw. fr die extremalen Spannungen in den Randfasern (Bild 44 a) s ¼ sN þ sM ¼ FN =A
Mb z=Iy bzw: s1;2 ¼ FN =A  Mb =Wy1;2 :

ð50Þ

Die Lage der Nullinie folgt aus dieser Gleichung mit s ¼ 0 zu z0 ¼ FN Iy =ðMb AÞ: Im Fall schiefer Biegung, d. h. Belastung in beiden Hauptachsenebenen, gilt mit Gl. (22) fr Spannung und Nullinie 9 FN Mby Mbz > s¼
zþ y> A Iy Iz = : ð51Þ Mby Iz FN Iz > > ; z
y¼ Mbz Iy Mbz A Die extremalen Spannungen treten in den senkrecht zur Nulllinie an weitest entfernt liegenden Punkten mit den Koordinaten ðy1 ; z1 Þ und ðy2 ; z2 Þ auf, diese werden am einfachsten graphisch-rechnerisch ermittelt. Kern eines Querschnitts. Sollen die Spannungen im Querschnitt einerlei Vorzeichens, d. h. im Grenzfall am Rand null sein, so muß die Kraft F (Bild 44 a) im Fall einfacher Biegung mit L
ngskraft und Mb ¼ Fa gem
ß Gl. (50) in einer Entfernung a1;2 % Iy =ðA  e1;2 Þ ¼ Wy =A angreifen. Bei schiefer Biegung mit L
ngskraft muß sie innerhalb des Kerns (Bild 45) liegen. Bestimmung des Kerns [6].

Zusammengesetzte Beanspruchung

C 31

s am Rand extremal, dort aber die Schubspannungen t null sind (Bild 46 a), muß die Vergleichsspannung sV in verschiedenen Hhen nach einer der Formeln gem
ß C 1.3 ermittelt werden. s und t ergeben sich aus den Gln. (8) und (26). Zum Beispiel sei fr einen I-Querschnitt sV am oberen Rand, am bergang zwischen Flansch und Steg sowie in der Mitte zu berechnen: Nach der GE-Hypothese (s. C 1.3.3) ergibt sich pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dann sV ¼ sRand bzw. sV ¼ s2
þ 3t2
bzw. sV ¼ 1;73 tMitte ; und es muß max sV % szul sein. Meist ist die genaue Ermittlung von sV jedoch entbehrlich, und es werden Normal- und Schubspannungen getrennt ermittelt und mit szul bzw. tzul verglichen. Bei langen Tr
gern ðl ^ 4 . . . 5hÞ sind nur noch die Normalspannungen, bei kurzen Tr
gern (l  h) nur noch die Schubspannungen maßgebend. 2.6.3 Biegung und Torsion. Bending and torsion Bei gleichzeitiger Wirkung von Biegenormalspannungen s und Torsionsspannungen t (Bild 46 b) liegt ein ebener Spannungszustand vor. Die Extremalwerte von s und t treten in der Randfaser auf. Sie werden nach den Gln. (9) und (46) bzw. (49) berechnet. Man ermittelt damit die Vergleichsspannung sV nach einer der Hypothesen gem
ß C 1.3. Beispiel: Die Welle nach Bild 41 a bzw. zugehrigem Beispiel habe im Bereich 1 . . . 2 ein grßtes Biegemoment Mb ¼ 75 Nm zu bertragen. Man berechne sV . – Mit s ¼ Mb =Wy und t ¼ Mt =Wp sowie Wy ¼ p d3 =32 und Wp ¼ 2Wy ¼ p d3 =16 folgt aus C 1 Gl. (24) fr sV nach der GE-Hypothese qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð52Þ sV ¼ Mb2 þ 0;75 a20 Mt2 =Wy ¼ MV =Wy : Bei wechselnder Belastung f
r Biegung und schwellender f
r Torsion ist a0  0;85: F
r d ¼ 27 mm wird Wy ¼ p d 3 =32 ¼ 1 932 mm3 und pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sV ¼ 75 0002 þ 0;75  0;852  42 0002 Nmm=1 932 mm3 ¼ 42 N=mm2 :

2.6.2 Biegung und Schub. Bending and shear Biegung und Schub treten in der Regel in den meisten Querschnitten von Tr
gern, Wellen, Achsen usw. gleichzeitig auf (ebener Spannungszustand). Da die Biegenormalspannungen

Bild 44 a–d. Biegung und L
ngskraft

Bild 45. Kern des Querschnitts

Bild 46 a–d. Zusammengesetzte Beanspruchung. a Biegung und Schub; b Biegung und Torsion; c L
ngskraft und Torsion; d Schub und Torsion

C

C 32

Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile

2.6.4 L
ngskraft und Torsion. Axial load and torsion

C

Diese z. B. bei Dehnschrauben und Spindeln vorkommende Beanspruchung durch s und t entspricht einem ebenen Spannungszustand (Bild 46 c). Die Extremalspannungen treten in der Randfaser auf, und dort wird die Vergleichsspannung sV nach einer der Hypothesen gem
ß C 1.3 berechnet. 2.6.5 Schub und Torsion. Shear and torsion Diese z. B. am kurzen Wellenzapfen auftretende Beanspruchung (Bild 46 d) liefert lediglich eine resultierende maximale Schubspannung mit tQ nach Gl. (26) und tt nach den Gln. (46) bzw. (49): im Punkt A im Punkt B im Punkt C

tres ¼ tt , tres ¼ tQ
tt , tres ¼ tQ þ tt :

Die Umrechnung z. B. nach der GE-Hypothese auf sV ergibt sV ¼ 1;73  a0 tres : 2.6.6 Biegung mit L
ngskraft sowie Schub und Torsion Combined bending, axial load, shear and torsion In diesem Fall ergibt sich fr die Punkte A, B, C nach Bild 46 d sA ¼ sN þ sM , tA ¼ tt ; sB ¼ sN , tB ¼ tQ
tt ; sC ¼ sN , tC ¼ tQ þ tt : Dabei bilden sA , tA usw. jeweils einen ebenen Spannungszustand und sind nach C 1.3 zur Vergleichsspannung sV zusammenzufassen.

2.7 Statisch unbestimmte Systeme Statically indeterminate systems Man unterscheidet
ußerlich und innerlich statisch unbestimmte Systeme, wobei ein System auch gleichzeitig
ußerlich und innerlich unbestimmt sein kann. ußerlich statisch unbestimmt sind Systeme, die in der Ebene durch mehr als drei bzw. im Raum durch mehr als sechs Auflagerreaktionen abgesttzt werden. Ein n-fach abgesttztes System ist in der Ebene m ¼ ðn
3Þ-fach, im Raum m ¼ ðn
6Þ-fach
ußerlich statisch unbestimmt. Ein geschlossener Rahmen ist als ebenes System (Bild 47 a) 3fach innerlich, als r
umliches System (Bild 47 b) 6fach innerlich statisch unbestimmt. Die wichtigste Methode zur Berechnung statisch unbestimmter Systeme ist das Kraftgr
ßenverfahren. Das System wird durch Entfernen von Auflagerreaktionen (Kr
ften oder Momenten) oder durch Schnittfhrung z. B. nach Bild 48 auf ein statisch bestimmtes Grundsystem zurckgefhrt (zu jedem unbestimmten System gibt es mehrere mgliche Grundsysteme, von denen eines auszuw
hlen ist). Die entfernten Grßen bezeichnet man als statisch Unbestimmte X1 ; X2 . . . Xm : Der Lsung liegt folgendes Superpositionsverfahren zugrunde: 1. Berechnung der Verformungsdifferenzen d10 ; d20 ; d30 . . . zwischen beiden Schnittufern am Grundsystem in Richtung von X1 ; X2 ; X3 . . . durch die
ußere Belastung (0). (Die Verformungen sind in Richtung der statisch

Bild 48. Kraftgrßenmethode

Bild 47. Geschlossener Rahmen. a eben; b r
umlich

unbestimmten Grßen positiv.) 2. Berechnung der Verformungsdifferenzen dik ði; k ¼ 1; 2; 3 . . .Þ am Grundsystem, wobei i die Richtung von X1 ; X2 ; X3 . . . und k ¼ 1; 2; 3 . . . die Belastung X1 ¼ 1, X2 ¼ 1, X3 ¼ 1 . . . kennzeichnet. 3. Am wirklichen System mssen die Verformungsdifferenzen null sein, d. h., bei z. B. drei Unbekannten gilt 9 X1 d11 þ X2 d12 þ X3 d13 þ d10 ¼ 0; = ð53Þ X1 d21 þ X2 d22 þ X3 d23 þ d20 ¼ 0; ; X1 d31 þ X2 d32 þ X3 d33 þ d30 ¼ 0: Aus diesem linearen Gleichungssystem berechnet man die drei Unbekannten X1 ; X2 ; X3 (beim m-fach unbestimmten System die Unbekannten X1 ; . . . ; Xm ). 4. Nach berlagerung der
ußeren Lasten und der statisch Unbestimmten am Grundsystem berechnet man die endgltigen Auflagerreaktionen, Biegemomente usw. Zu bemerken ist noch, daß stets dik ¼ dki gilt, wenn i 6¼ k (Satz von Maxwell), wodurch die Anzahl der zu berechnenden dik erheblich reduziert wird. Die Verformungsgrßen werden nach einem der in C 2.4.8 und C 2.4.9 angegebenen Verfahren berechnet. In einfachen, anschaulichen F
llen verwendet man die Ergebnisse nach Tab. 5 a, bei komplizierten, unanschaulichen F
llen die Methoden nach C 2.4.9. Letztere haben den Vorteil, daß sie automatisch auch die richtigen Vorzeichen der dik -Glieder liefern. Beispiel: Berechnung der beiden statisch Unbestimmten am beidseitig eingespannten Tr
ger (Bild 49 a). – Als statisch bestimmtes Grundsystem wird der einseitig eingespannte Tr
ger gew
hlt (Bild 49 b). Die Ermittlung der Verformungsgrßen dik soll auf zwei Wegen, n
mlich anschaulich nach Tab. 5 a und allgemein mit dem Prinzip der virtuellen Arbeiten nach C 2.4.9 erfolgen. Nach Tab. 5 a wird (Bild 49 c–e) d10 ¼ f10 ¼
ql4 =ð8 EIy Þ,

d20 ¼ a20 ¼
q l3 =ð6 EIy Þ,

d11 ¼ f11 ¼ l3 =ð3 EIy Þ,

d21 ¼ a21 ¼ l2 =ð2 EIy Þ ¼ d12 ,

d22 ¼ a22 ¼ l=ðEIy Þ: Mit dem Prinzip der virtuellen Kr
fte gem
ß den Gln. (41) und (42) sowie Tab. 6 folgen Z d10 ¼ M1 M0 dx=ðEIy Þ ¼ lik=ð4 EIy Þ ¼
ql4 =ð8 EIy Þ,

I2.7

Statisch unbestimmte Systeme

C 33

C Bild 49 a–e. Beidseitig eingespannter Trger

Bild 50. Durchlauftrger

Z d20 ¼

Z

M2 M0 dx=ðEIy Þ ¼ lik=ð3 EIy Þ ¼
ql3 =ð6 EIy Þ,

FAz ¼ FBz ¼ F=2,

d11 ¼

M1 M1 dx=ðEIy Þ ¼ lik=ð3 EIy Þ ¼ l3 =ð3 EIy Þ, Z d21 ¼ d12 ¼ M1 M2 dx=ðEIy Þ ¼ lik=ð2 EIy Þ ¼ l2 =ð2 EIy Þ, Z d22 ¼ M2 M2 dx=ðEIy Þ ¼ lik=ðEIy Þ ¼ l=ðEIy Þ:

3 Fl Ms ¼
, 8ð2 k þ 3Þ

Beide Verfahren ergeben also die gleichen Verformungen. Aus den zwei linearen Gleichungen, entsprechend Gl. (53), folgen X1 ¼ ð
d10 d22 þ d20 d12 Þ=ðd11 d22
d212 Þ ¼ q l=2, X2 ¼ ð
d11 d20 þ d21 d10 Þ=ðd11 d22
d212 Þ ¼
q l2 =12:

3 Fl ; 8 hð2 k þ 3Þ Flð4 k þ 3Þ Mf ¼ : 8ð2 k þ 3Þ FAx ¼ FBx ¼

Eingespannter Rahmen (Bild 52 b). Mit k ¼ hI2 =ðlI1 Þ gilt 3 Fl FAz ¼ FBz ¼ F=2, FAx ¼ FBx ¼ ; 8 hðk þ 2Þ Fl Fl , Ms ¼ , MA ¼ MB ¼ 8ðk þ 2Þ 4ðk þ 2Þ Flðk þ 1Þ Mf ¼ 4ðk þ 2Þ

Anschließend werden am Grundsystem infolge
ußerer Last sowie infolge X1 und X2 die endgltigen Auflagerreaktionen zu FA ¼ ql
X1 ¼ ql=2 ¼ FB ; MEA ¼
ql2 =2 þ X1 l þ X2 ¼
ql2 =12 ¼ MEB und das maximale Feldmoment zu MF ¼ Mb ðl=2Þ ¼ ql2 =24 berechnet.

Die Ergebnisse f
r einfache statisch unbestimmte Trger sind in Tab. 5 b zusammengefaßt. Im folgenden werden f
r einige wichtige statisch unbestimmte Systeme die Ergebnisse dargestellt: Durchlaufender Tr
ger (Bild 50). Mit den St
tzmomenten als statisch Unbestimmten Xi gilt f
r die Stelle i, da die Winkeldifferenz (Winkelsprung) am wirklichen Trger null sein muß und da infolge Xi ¼ 1 an der Momentenangriffsstelle der Winkelsprung dii ¼ ai; i
1 þ ai; iþ1 sowie infolge Xi
1 ¼ 1 an der Stelle i der Winkel bi; i
1 auftritt usw. die Gleichung Xi
1 bi, i
1 þ Xi ðai, i
1 þ ai, iþ1 Þ þ Xiþ1 bi, iþ1 þ ðai 0, l þ ai 0, r Þ ¼ 0:

ð54Þ

F
r jedes Innenlager des m-fach unbestimmten Trgers ergibt sich eine solche Dreimomentengleichung (in etwas anderer Schreibweise als Clapeyronsche Dreimomentengleichung bezeichnet). Aus dem linearen Gleichungssystem lassen sich dann die m Unbekannten X1 . . . Xm berechnen. Die Winkel a und b zhlen positiv in Richtung der Xi und knnen Tab. 5 a entnommen oder mit einem der in C 2.4.8 und C 2.4.9 behandelten Verfahren ermittelt werden.

Bild 51 a, b. Geschlossener Rechteckrahmen mit a Einzelkrften; b Streckenlasten

Geschlossener Rechteckrahmen. F
r St
tzmomente Ms und Feldmomente Mf ergibt sich mit k ¼ l1 I2 =ðl2 I1 Þ f
r Einzelkrfte (Bild 51 a) Ms ¼


Fl2 Fl2 Fl2 ð2k þ 1Þ , Mf ¼ þ Ms ¼ ; 8ðk þ 1Þ 4 8ðk þ 1Þ

f
r Streckenlasten (Bild 51 b) q1 l21 k þ q2 l22 q1 l21 , Mf1 ¼ þ Ms , 12ðk þ 1Þ 8 2 q2 l2 þ Ms : Mf2 ¼ 8 Ms ¼


Zweigelenkrahmen (Bild 52 a). Mit k ¼ hI2 =ðlI1 Þ gilt

Bild 52 a–c. Rahmen mit Einzelkraft

C 34

Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile

Zweigelenkrahmen (Bild 52 c). Mit k ¼ h I2 =ðl I1 Þ gilt Fð8 k þ 11Þ Fð8 k þ 5Þ , FBz ¼ , 16ðk þ 1Þ 16ðk þ 1Þ 3 Fl FAx ¼ FBx ¼ ; 16 hðk þ 1Þ 3Fl Flð8 k þ 5Þ Ms ¼
, Mf ¼ : 16ðk þ 1Þ 32ðk þ 1Þ FAz ¼

C

Rahmen (Bild 53). Mit j ¼ a E I1 =ðl G It Þ gilt FAz ¼ FBz ¼ F=2, Fl MAt ¼ MBt ¼ ; 8ð1 þ 2 jÞ Fl Ms ¼
, 8ð1 þ 2 jÞ

MAb ¼ MBb ¼ Fa=2,

Mf ¼

Bild 53. Rahmentrger

Flð1 þ 4 jÞ : 8ð1 þ 2 jÞ

Tr
gerrost (Bild 54). Mit k ¼ l31 I2 =ðl32 I1 Þ folgt f
r die St
tzkraft X1 zwischen beiden Trgern (mit positiver Richtung am Trger 2 nach unten, am Trger 1 nach oben) sowie f
r die endg
ltigen Auflagerkrfte und Biegemomente 5ðq1 l1 k
q2 l2 Þ 8ðk þ 1Þ q1 l1
X1 q2 l2 þ X1 , FC ¼ FD ¼ , FA ¼ FB ¼ 2 2 X1 ¼

min M1 ¼
X1 l1 =4 þ q1 l21 =8, max M1 ¼ FA2 =ð2 q1 Þ, max M2 ¼ X1 l2 =4 þ q2 l22 =8:

Bild 54. Trgerrost

Kreisringrahmen mit Einzelkrften belastet (Bild 55 a)
 1 1 Mb ðjÞ ¼ Fr
sin j ð0
% j % 180
Þ, p 2 M1 ¼ M3 ¼ 0,318  Fr, M2 ¼
0,182  Fr; mit Fl
ssigkeitsf
llung bis zum Scheitel (Bild 55 b) mit F ¼ r g p r2 Mb ðjÞ ¼ ð2
cos j
2j sin jÞ Fr=ð4pÞ ð0
% j % 180
Þ, M1 ¼ 0,75  Fr=p, M2 ¼
0,285  Fr=p, M3 ¼ 0,25  Fr=p, Mmin ¼
0,321  Fr=p bei j0 ¼ 105,2
: Kreisringtr
ger. Bei n St
tzen in gleichem Abstand gilt f
r Auflagerkrfte, Biegemomente (Feld und St
tze) sowie Torsionsmomente mit a ¼ p=n f
r Einzellasten (Bild 56) ¼ F, Mf ¼
Ms ¼ ðFr=2Þ  tanða=2Þ,   1 Mtmax ¼ Mt ðj ¼ a=2Þ ¼ ðFr=2Þ
1 ; cosða=2Þ

FA

Bild 55 a, b. Kreisringrahmen mit a Einzelkrften; b Fl
ssigkeitsf
llung

f
r konstante Streckenlast q lngs des Umfangs FA ¼ q  2pr=n, Mf ¼ qr 2 ða= sin a
1Þ,   a Ms ¼
qr2 ð1
a= tan aÞ, Mt ðjÞ ¼ qr 2 j
sin j , sin a
 sin a Extremwert f
r j0 ¼ arccos : a Rahmen mit Halbkreisbgen (Bild 57). F
r konstanten Innendruck gilt "
3
2 q a2 q a3 1 b p b
M1 ¼
1 þ
1 2 2 b þ ðp
2Þ a 3 a 2 a
  b p þ3
1 þ , a 2 "
3
2 q b2 qa3 1 b p b

1 þ
1 M2 ¼ 2 2 b þ ðp
2Þ a 3 a 2 a
  b p þ3
1 þ ; a 2 z. B. bei a=b ¼ 0; 5:M1 ¼
0;76  qa2 ; M2 ¼ þ 0;74  qa2 :

Bild 56. Kreisringtrger

Bild 57. Rahmen mit Halbkreisbgen

I3.2

Rotationssymmetrischer Spannungszustand

C 35

3 Elastizit
tstheorie Theory of elasticity 3.1 Allgemeines. General Aufgabe der Elastizit
tstheorie ist es, den Spannungs- und Verformungszustand eines Krpers unter Beachtung der gegebenen Randbedingungen zu berechnen, d. h. die Grßen sx ; sy ; sz ; txy ; txz ; tyz ; ex ; ey ; ez ; gxy ; gxz ; gyz ; u; u; w zu ermitteln. Fr diese 15 Unbekannten stehen zun
chst die Gleichungen C 1 Gl. (12) und C 1 Gl. (13) zur Verfgung. Hinzu kommen drei Gleichgewichtsbedingungen (Bild 1) mit den Volumenkr
ften X , Y, Z. 9 ¶sx ¶tyx tzx þ þ þ X ¼ 0; > > > > ¶x ¶y ¶z > > = ¶txy ¶sy ¶tzy þ þ þ Y ¼ 0; > ¶x ¶y ¶z > > > > ¶txz ¶tyz ¶sz ; þ þ þ Z ¼ 0; > ¶x ¶y ¶z

ð1Þ

sowie fr isotrope Krper die sechs verallgemeinerten Hookeschen Gesetze 9 ex ¼ ½sx
nðsy þ sz Þ=E; ey ¼ ½sy
nðsx þ sz Þ=E; > = ez ¼ ½sz
nðsx þ sy Þ=E; ð2Þ > ; g ¼ t =G; g ¼ t =G; g ¼ t =G: xy

xy

xz

xz

yz

yz

Damit stehen 15 Gleichungen fr 15 Unbekannte zur Verfgung. Eliminiert man aus ihnen alle Spannungen, so erh
lt man drei partielle Differentialgleichungen fr die unbekannten Verschiebungen:
 9 1 ¶e > G Du þ þ X ¼ 0, > > > 1
2n ¶x > > >
 = 1 ¶e G Du þ þ Y ¼ 0, > 1
2n ¶y > >
 > > > 1 ¶e ; G Dw þ þZ ¼0 > 1
2n ¶z

ð3Þ

Bild 1. Gleichgewicht am Element

3.2 Rotationssymmetrischer Spannungszustand Axisymmetric stresses Setzt man Symmetrie zur z-Achse voraus, so treten lediglich die Spannungen sr ; st ; sz ; trz ¼ tzr ¼ t auf (Bild 2). Die Gleichgewichtsbedingungen in r- und z-Richtung lauten 9 ¶ ¶ > ðrsr Þ þ ðr tÞ
st þ rR ¼ 0, > = ¶r ¶z ð5Þ ¶ ¶ > > ; ðr tÞ þ ðrsz Þ þ rZ ¼ 0: ¶r ¶z Die Hookeschen Gesetze haben die Form er ¼ ¶u=¶r ¼ ½sr
nðst þ sz Þ=E, et ¼ u=r ¼ ½st
nðsr þ sz Þ=E, ez ¼ ¶w=¶z ¼ ½sz
nðsr þ st Þ=E, grz ¼ ¶u=¶z þ ¶w=¶r ¼ t=G ¼ 2ð1 þ nÞ t=E:

Die Navierschen Gln. (3) eignen sich zur Lsung von Problemen, bei denen als Randbedingungen Verschiebungen vorgegeben sind. Eliminiert man aus den zitierten 15 Gleichungen alle Verschiebungen und deren Ableitungen, so bleiben sechs Gleichungen fr die unbekannten Spannungen:

ð6Þ

gengen. Lsungen der Bipotentialgleichung sind z. B. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F ¼ r2 ; ln r; r 2 ln r; z, z2 und r 2 þ z2 sowie Linearkombinationen hiervon [1, 3]. Die Verschiebungen und Spannungen folgen dann aus

(entsprechend fr die y- und z-Richtung) und 1 ¶2 s ¶X ¶Y þ þ ¼0 1 þ n ¶x ¶y ¶y ¶x

> > > ;

Ihre Auflsung nach den Spannungen liefert
 u 9 ¶u n n > > sr ¼ 2G þ e , st ¼ 2G þ e ,> ¶r 1
2 n r 1
2n =

 ð7Þ > ¶w n ¶u ¶w > > þ e , t ¼G þ sz ¼ 2G , ; ¶z 1
2 n ¶z ¶r wobei ¶u u ¶w e ¼ er þ et þ ez ¼ þ þ : ð8Þ ¶r r ¶z


 1 ¶2 s ¶X n ¶X ¶Y ¶Z þ2 þ þ þ ¼ 0 ð4 aÞ 2 1 þ n ¶x ¶x 1
n ¶x ¶y ¶z

Dtxy þ

9 > > > =

Wird die Lovesche Verschiebungsfunktion F eingefhrt, so muß sie der Bipotentialgleichung
2 
2  ¶ ¶2 1 ¶ ¶ F ¶2 F 1 ¶F þ þ þ þ ¼ DDF ¼ 0 ð9Þ ¶z2 ¶r 2 r ¶r ¶z2 ¶r 2 r ¶r

mit Du ¼ ¶2 u=¶x2 þ ¶2 u=¶y2 þ ¶2 u=¶z2 usw. und e ¼ ex þ ey þ ez ¼ ¶u=¶x þ ¶u=¶y þ ¶w=¶z.

Dsx þ

C

ð4 bÞ

(entsprechend fr die y- und z-Richtung). Hierbei ist s ¼ sx þ sy þ sz . Die Beltramischen Gln. (4) eignen sich zur Lsung von Problemen, bei denen als Randbedingungen Spannungen vorgegeben sind. Bei gemischten Randbedingungen sind beide Gleichungssysteme zu benutzen. Lsungen der Differentialgleichungen (3) und (4) liegen im wesentlichen fr rotationssymmetrische und ebene Probleme vor.

Bild 2. Rotationssymmetrischer Spannungszustand

C 36

Festigkeitslehre – 3 Elastizittstheorie Die Hookeschen Gesetze haben die Form ex ¼ ðsx
n sy Þ=E; ey ¼ ðsy
n sx Þ=E; gxy ¼ txy =G; und f
r die Formnderungen gilt ¶u ¶v ¶u ¶v ¼ ex ; ¼ ey ; þ ¼ gxy : ¶x ¶y ¶y ¶x

C u ¼


1 ¶ F , 1
2 n ¶r ¶z

9 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > =

2ð1
nÞ 1 ¶2 F w ¼ , DF
1
2n 1
2 n ¶z2
 2 2 Gn ¶ 1¶ F sr ¼ DF
, 1
2 n ¶z n ¶r 2
 2ð2
nÞ G ¶ 1 ¶2 F > > > DF
sz ¼ ,> > 1
2 n ¶z 2
n ¶z2 > > >
 > > > 2Gn ¶ 1 1 ¶F > > DF
st ¼ , > > > 1
2 n ¶z n r ¶r > >
 > 2 > 2ð1
nÞ G ¶ 1 ¶ F > > > DF
: t ¼ ; 1
2 n ¶r 1
n ¶z2

¶2 ex ¶2 ey ¶2 gxy ; þ 2 ¼ ¶y2 ¶x ¶x ¶y und durch Einsetzen von Gln. (13) in (15) ergibt sich
 1 ¶2 s x ¶2 sy ¶2 sy ¶2 sx 1 ¶2 txy :
n 2 þ 2
n 2 ¼ ¶y ¶x ¶x E ¶y2 G ¶x ¶y ð10Þ

¶2 F ¶2 F ¶2 F ; sy ¼ 2 ; txy ¼
X0 y
Y0 x ¶y2 ¶x ¶x ¶y

¶4 F ¶4 F ¶4 F þ 2 2 2 þ 4 ¼ DDF ¼ 0; ¶x4 ¶x ¶y ¶y

W
hrend die erste Randbedingung automatisch befriedigt ist, folgt 1
2n 3G z3 . aus der zweiten C2 ¼ C1 und damit sz ¼
C1 2n nð1
2 nÞR5 Z1 sz 2 p r dr ergibt sich dann C1 ¼ F nð1
2 nÞ=ð2 p GÞ r¼0

und damit aus den Gln. (10)

ð17Þ

Beispiel: Halbebene unter Einzelkraft. – Zur Lsung werden Polarkoordinaten verwendet (Bild 4 a). Dann gilt f
r die Airysche Spannungsfunktion
2 
2  ¶ 1 ¶ 1 ¶2 ¶ F 1 ¶F 1 ¶2 F þ þ ¼0 DDF ¼ þ þ ¶r 2 r ¶r r 2 ¶j2 ¶r 2 r ¶r r 2 ¶j2
 1 ¶F 1 ¶2 F ¶2 F ¶ 1 ¶F ; st ¼ 2 ; trt ¼
þ : r ¶r r 2 ¶j2 ¶r ¶r r ¶j Die Randbedingungen lauten sr ¼

ð11Þ

st ðr, j ¼ 0Þ ¼ 0, st ðr, j ¼ pÞ ¼ 0, trt ðr, j ¼ 0Þ ¼ 0, trt ðr, j ¼ pÞ ¼ 0: Mit dem Ansatz Fðr; jÞ ¼ Crj cos j folgt DDF ¼ 0; sr ¼
Cð2=rÞ sin j; st ¼ 0; trt ¼ 0:

Wegen sz =t ¼ z=r lassen sich sz und t zum Spannungsvektor pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sR ¼ s2z þ t2 ¼ 3Fz2 =ð2pR4 Þ zusammenfassen, der stets in Richtung R zeigt. F
r sr ergeben sich gemß sr ¼ 0 Nullstellen aus sin2 b cos bð1 þ cos bÞ ¼ ð1
2 nÞ=3 im Fall n ¼ 0;3 zu b1 ¼ 15;4
und b2 ¼ 83
. Zwischen den durch 2b1 ¼ 30;8
und 2b2 ¼ 166
bestimmten Kreiskegeln wird sr negativ (Druckspannung), außerhalb ist sie positiv (Zugspannung). Aus st ¼ 0 folgt cos2 b þ cos b ¼ 1, d. h. b ¼ 52
, f
r b < 52
wird st positiv (Zugspannung), f
r b > 52
negativ (Druckspannung).

3.3 Ebener Spannungszustand. Plane stresses Er liegt vor, wenn sz ¼ 0; Z ¼ 0, txz ¼ tyz ¼ 0, d. h., wenn Spannungen nur in der x, y-Ebene auftreten. Die Gleichgewichtsbedingungen lauten f
r konstante Volumenkrfte ð12Þ

ð18Þ

d. h., die Airysche Spannungsfunktion muß der Bipotentialgleichung gen
gen. Die Bipotentialgleichung hat unendlich viele Lsungen, z. B. F ¼ x, x2 ; x3 ; y, y2 ; y3 ; xy, x2 y; x3 y; xy2 ; xy3 ; cos lx  cosh y; x cos lx  cosh ly usw., ferner biharmonische Polynome [2] sowie die Real- und Imaginrteile von analytischen Funktionen f ðzÞ ¼ f ðx  iyÞ usw. [1]. Mit dem Ansatz geeigneter Linearkombinationen dieser Lsungen versucht man die gegebenen Randbedingungen zu befriedigen und damit das ebene Problem zu lsen.

und fr die Spannungen (mit X ¼ Y ¼ 0)

u ¼

¶sx ¶tyx ¶sy ¶txy þ þ X0 ¼ 0; þ þ Y0 ¼ 0: ¶x ¶y ¶y ¶x

ð16Þ

ist, so folgt aus Gl. (16) f
r F(x, y)

sz ðz ¼ 0; r 6¼ 0Þ ¼ 0; tðz ¼ 0; r 6¼ 0Þ ¼ 0: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Mit dem Ansatz F ¼ C1 R þ C2 z lnðz þ RÞ, wobei R ¼ r 2 þ z2 ist, folgt aus den Gln. (10) 
  2n z 3 z3 sz ¼
2G C1
þ C2 ðC1 þ C2 Þ 5 und 1
2n R3 1
2n R 
  2n r 3 r z2 þ C2 ðC1 þ C2 Þ 5 : t ¼
2G C1
3 1
2n R 1
2n R

9   F rz r > > >
ð1
2 nÞ , > > 4 p G R3 Rðz þ RÞ > > >   > 2 > F 1 z > > > 2ð1
nÞ þ 3 , w ¼ = 4pG R R   3F z3 F 1 zr 2 > > , sr ¼ sz ¼
ð1
2 nÞ
3 5 ,> > > R > 2 p R5 2p Rðz þ RÞ > >   > > 2 > F z 1 3F r z > : > ð1
2 nÞ 3
st ¼ , t¼
; 5 2p R Rðz þ RÞ 2p R

ð15Þ

Werden nun die Gleichgewichtsbedingungen (12) durch Einf
hrung der Airyschen Spannungsfunktion F ¼ Fðx; yÞ derart befriedigt, daß sx ¼

Beispiel: Einzelkraft auf Halbraum (Formeln von Boussinesq) Bild 3. – Die Randbedingungen lauten

Aus F ¼


ð14Þ

Dies sind acht Gleichungen f
r acht Unbekannte. Aus Gl. (14) folgt die Kompatibilittsbedingung

Bild 3. Einzelkraft auf Halbraum 2

ð13Þ

Bild 4 a–c. Halbebene unter Einzelkraft

I4.3 Die L
sung erfllt die Randbedingungen. Mit der Scheibendicke h X folgt die Konstante C aus der Gleichgewichtsbedingung Fiy ¼ 0 ¼ p Z sr sin j
hr dj þ F0 ¼ 0 zu C ¼ F0 =ðphÞ. Wegen trt ¼ 0 sind die sr 0

Beliebig gew
lbte Flche

C 37

sind Geraden durch den Nullpunkt bzw. die dazu senkrechten Kreise um den Nullpunkt (Bild 4 b). Die Hauptschubspannungstrajektorien liegen dazu unter 45 (s. C 1.1.1). Der Verlauf der Spannungen sr ergibt sich fr r ¼ R ¼ const zu sr ¼ 2F0 =ðp hRÞ
sin j bzw. fr j ¼ p=2 zu sr ¼ ½2F0 =ðp hÞ=r (Bild 4 c).

und st Hauptnormalspannungen, d. h., die zugeh
rigen Trajektorien

C 4 Beanspruchung bei Ber
hrung zweier Krper (Hertzsche Formeln) Hertzian contact stresses (Formulas of Hertz) Berhren zwei K
rper einander punkt- oder linienf
rmig, so ergeben sich unter Einfluß von Druckkrften Verformungen und Spannungen nach der Theorie von Hertz [1, 2]. Ausgangspunkt fr die L
sungen von Hertz sind die Boussinesqschen Formeln C 3 Gl. (11). Vorausgesetzt wird dabei homogenes, isotropes Material und Gltigkeit des Hookeschen Gesetzes, ferner alleinige Wirkung von Normalspannungen in der Berhrungsflche. Außerdem muß die Deformation, d. h. das Maß w0 der Annherung (auch Abplattung genannt), beider K
rper (Bild 1 a) im Verhltnis zu den K
rperabmessungen klein sein. Bei unterschiedlichem Material der berhrenden K
rper gilt E ¼ 2E1 E2 =ðE1 þ E2 Þ. Fr die Querkontraktionszahl wird einheitlich n ¼ 0;3 angesetzt.

4.1 Kugel. Spheres Gegen Kugel (Bild 1 b). Mit 1=r ¼ 1=r1 þ 1=r2 gilt sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 3 1,5
FE2 max sz ¼ s0 ¼  , p r 2 ð1  n2 Þ2 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 3 2,25
ð1  n2 Þ F 2 : w0 ¼ 2 E r Die Druckspannung verteilt sich halbkugelf
rmig ber der Druckflche. Die Projektion der Druckflche ist ein Kreis pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi vom Radius a ¼ 3 1;5
ð1  n2 Þ Fr=E. Die Spannungen sr und st am mittleren Volumenelement der Druckflche sind in der Mitte sr ¼ st ¼ s0 ð1 þ 2 nÞ=2 ¼ 0;8
s0 und am Rand sr ¼ st ¼ 0;133
s0 . Umschließt die gr
ßere Kugel (als Hohlkugel) die kleinere, so ist r2 negativ einzusetzen. Gegen Ebene. Mit r2 ! 1, d. h. r ¼ r1 , gelten diese Ergebnisse ebenfalls. Der Spannungsverlauf in z-Richtung [3] liefert die gr
ßte Schubspannung fr z ¼ 0;47a zu max t ¼ 0;31
s0 und die zugeh
rigen Werte sz ¼ 0;8
s0 ; sr ¼ st ¼ 0;18
s0 . Wie F
ppl [3] gezeigt hat, entwickeln sich Fließlinien von der Stelle der max t aus. Man begngt sich jedoch blicherweise mit dem Nachweis von max sz ¼ s0 .

4.2 Zylinder. Cylinders Gegen Zylinder (Bild 1 b). Die Projektion der Druckflche ist ein Rechteck von der Breite 2 a und der Zylinderlnge l. Die Druckspannungen verteilen sich ber die Breite 2 a halbkreisf
rmig. Mit 1=r ¼ 1=r1 þ 1=r2 gilt sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FE 8 F rð1  n2 Þ max sz ¼ s0 ¼  , a ¼ : 2 p r lð1  n2 Þ pEl Hierbei wird vorausgesetzt, daß sich q ¼ F=l als Linienlast gleichf
rmig ber die Lnge verteilt. Die Abplattung wurde

Bild 1 a–d. Hertzsche Formeln

von Hertz nicht berechnet, da die begrenzte Lnge des Zylinders die Probleml
sung erschwert. Die Spannungen sx und sy an einem Element der Druckflche (x in Lngsrichtung, y in Querrichtung) sind in Zylindermitte sx ¼ 2 n sz ¼ 0;6
s0 ; sy ¼ sz ¼ s0 . Der Spannungsverlauf in z-Richtung [3] liefert die gr
ßte Schubspannung in der Tiefe z ¼ 0;78
a zu max t ¼ 0;30
s0 . Am mittleren Volumenelement der Berhrungsflche ist in der Mitte des Zylinders max t ¼ 0;5ðs1  s3 Þ ¼ 0;5ðs0  0;6
s0 Þ ¼ 0;2
s0 und am Zylinderende max t ¼ 0;5
s0 . Dabei liegt max t in Flchenelementen schrg zur Oberflche, da voraussetzungsgemß in den Oberflchenelementen selbst und damit nach dem Satz von den zugeordneten Schubspannungen auch in Flchenelementen senkrecht dazu t ¼ 0 ist, d. h. die Oberflchenspannungen Hauptspannungen sind. Gegen Ebene. Mit r2 ! 1 gelten die entsprechenden Ergebnisse.

4.3 Beliebig gewlbte Flche Arbitrarily curved surfaces Gegen Ebene (Bild 1 c). Sind die Hauptkrmmungsradien im Berhrungspunkt r und r 0 , so bildet sich als Projektion der Druckflche eine Ellipse mit den Halbachsen a und b in Richtung der Hauptkrmmungsebenen aus. Die Druckspannungen verteilen sich nach einem Ellipsoid. Es gilt max sz ¼ s0 ¼ 1,5
F=ðp a bÞ, qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 a ¼ 3 x3 ð1  n2 Þ F=½Eð1=r þ 1=r 0 Þ, ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p b ¼ 3 3 h3 ð1  n2 Þ F=½Eð1=r þ 1=r 0 Þ, w0

¼ 1,5
yð1  n2 Þ F=E a:

C 38

Festigkeitslehre – 5 Fl
chentragwerke

Tabelle 1.

C

1=r 0 þ 1=r ¼ 1=r 01 þ 1=r1 þ 1=r 02 þ 1=r2 ;

1 1
¼ 0 r r ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi ð2Þ s       1 1 2 1 1 2 1 1 1 1
þ 0
þ2 0

cos 2j: 0 0 r 1 r1 r 2 r2 r 1 r1 r 2 r2

Die Werte x, h, y sind abh
ngig von dem Hilfswinkel

Projektion der Druckfl
che ist wiederum Ellipse mit den Halbachsen a und b. Achse a liegt zwischen den Ebenen von r1 und r2 . Winkel j0 aus

J ¼ arccos½ð1=r 0
1=rÞ=ð1=r 0 þ 1=rÞ; s. Tab. 1. Gegen beliebig gew
lbte Flche (Bild 1 d). Gegeben: Hauptkrmmungsradien r1 und r10 ;r2 und r20 ferner Winkel j zwischen den Ebenen von r1 und r2 [4]. Zurckfhrung auf den vorstehenden Fall unter Voraussetzung von r1 > r10 und r2 > r2 0 durch Einfhrung von

5 Flchentragwerke. Plates and shells

Unter der Voraussetzung, daß die Plattendicke h klein zur Fl
chenabmessung und die Durchbiegung w ebenfalls klein ist, ergibt sich mit der Fl
chenbelastung p(x, y) und der Plattensteifigkeit N ¼ Eh3 =½12ð1
n2 Þ fr die Durchbiegungen w(x, y) die Bipotentialgleichung ¶4 w ¶4 w ¶4 w pðx, yÞ þ2 2 2 þ 4 ¼ : dx4 ¶x ¶y ¶y N

ð1Þ

Die Biegemomente Mx und My sowie das Torsionsmoment Mxy folgen aus Mx ¼
Nð¶2 w=¶x2 þ n ¶2 w=¶y2 Þ, My ¼
Nð¶2 w=¶y2 þ n ¶2 w=¶x2 Þ, Mxy ¼
ð1
nÞ N ¶2 w=ð¶x ¶yÞ:

ð1=r 0 þ 1=rÞ sin 2j0 ¼ ð1=r 01
1=r1 Þ sin 2j: Umschließt ein grßerer Krper (Hohlprofil) den kleineren, so sind entsprechende Radien negativ einzufhren. Wert nach Gl. (2) darf dabei nicht grßer werden als Wert nach Gl. (1).

Ringsum eingespannter Rand. Neben den Spannungen und Durchbiegungen in Plattenmitte nach Gl. (7) treten maximale Biegespannungen in der Mitte des langen Rands auf (ci -Werte s. Tab 1):

5.1 Platten. Plates

DDw ¼

ð1Þ

ð2Þ

sy ¼ c5 p b2 =h2 , zugehrig sx ¼ 0,3 sy : Abhebende Auflagerkr
fte in den Ecken in Form von Einzelkr
ften treten nicht auf. Ausfhrliche Darstellung aller Schnittlasten und Auflagerreaktionen in [4, 7]. Gleichmßig belastete, unendlich ausgedehnte Platte auf Einzelsttzen (Bild 2). Mit der Sttzkraft F ¼ 4a2 p sowie 2b  h ergibt sich fr Spannungen und Durchbiegungen sxA ¼ syA ¼ 0,861  p a2 =h2 , sxB ¼ syB ¼
0,62  F½lnða=bÞ
0,12=h2 , fA ¼ 0,092  p a4 =N, fC ¼ 0,069  p a4 =N:

Die Extremalspannungen an Plattenober- oder -unterseite ergeben sich aus sx ¼ Mx =W; sy ¼ My =W; t ¼ Mxy =W;

ð3Þ

wobei das Widerstandsmoment W ¼ h2 =6 ist. Bei rotationssymmetrisch belasteten Kreisplatten wird w ¼ wðrÞ, und Gl. (1) geht in die gewhnliche Eulersche Differentialgleichung 2 1 1 pðrÞ w 0000 ðrÞ þ w 000 ðrÞ
2 w 00 ðrÞ þ 3 w 0 ðrÞ ¼ ð4Þ r r r N ber. Ferner gilt    n  1 Mr ¼
N w 00 þ w 0 , Mt ¼
N n w 00 þ w 0 , ð5Þ r r sr ¼ Mr =W, st ¼ Mt =W mit W ¼ h2 =6:

Bild 1. Rechteckplatte Tabelle 1.

ð6Þ

Torsionsmomente treten wegen der Rotationssymmetrie nicht auf. Im folgenden sind die wichtigsten Ergebnisse fr verschiedene Plattentypen zusammengestellt (Querdehnungszahl n ¼ 0;3).

5.1.1 Rechteckplatten. Rectangular plates Gleichmßig belastete Platte (Bild 1) Ringsum gelenkig gelagerter Rand [1–3]. Die maximalen Spannungen und Durchbiegungen treten in Plattenmitte auf: sx ¼ c1 p b2 =h2 , sy ¼ c2 p b2 =h2 , f ¼ c3 p b4 =Eh3 :

ð7Þ

In den Ecken ergeben sich abhebende Einzelkr
fte F ¼ c4 p b2 , die zu verankern sind (Beiwerte ci s. Tab. 1).

5.1.2 Kreisplatten. Circular plates Gleichmßig belastete Platte Gelenkig gelagerter Rand (Bild 3 a). Die maximalen Spannungen und Durchbiegungen treten in Plattenmitte auf: sr ¼ st ¼ 1;24  p R2 =h2 , f ¼ 0;696  p R4 =ðE h3 Þ.

I5.2

Scheiben

C 39

am Ende der großen Achse sx ¼  0,75
c1 p b4 =ða2 h2 Þ, sy ¼ n sx : 5.1.4 Gleichseitige Dreieckplatte. Triangular plate Gleichm
ßig mit p belastet Ringsum gelenkig gelagert (Bild 4). F
r den Plattenschwerpunkt S gilt mit der Plattensteifigkeit N ¼ Eh3 =½12ð1  n2 Þ

Bild 2. Platte auf Einzelst
tzen

sx ¼ sy ¼ 0,145
p a2 =h2 , f ¼ 0,00103
p a4 =N: Die Maximalspannung tritt bei x ¼ 0;129a und y ¼ 0 auf und ist sy ¼ 0;155
p a2 =h2 .

Bild 3 a, b. Kreisplatte mit a Flchenlast; b Einzellast

Bild 4. Dreieckplatte

Eingespannter Rand. In der Mitte sr ¼ st ¼ 0,488
p R =h , f ¼ 0,171
p R =ðE h Þ; 2

2

4

3

am Rand sr ¼ 0,75
p R2 =h2 , st ¼ n sr ¼ 0,225
p R2 =h2 : Platte mit Einzellast (Bild 3 b) F
r eine Kraft F ¼ pb2 p in der Mitte, die gleichmßig auf einer Kreisflche vom Radius b verteilt ist, gilt bei gelenkig gelagertem Rand: Maximale Spannungen und Durchbiegung treten in der Mitte auf sr ¼ st ¼ 1;95ðb=RÞ2 ½0;77  0;135ðb=RÞ2  lnðb=RÞpR2 =h2 ; f ¼ 0;682ðb=RÞ2 ½2;54  ðb=RÞ2 ð1;52  lnðb=RÞÞpR4 =ðEh3 Þ; eingespanntem Rand: In der Mitte sr ¼ st ¼ 1;95ðb=RÞ2 ½0;25ðb=RÞ2  lnðb=RÞpR2 =h2 ; f ¼ 0;682ðb=RÞ2 ½1  ðb=RÞ2
ð0;75  lnðb=RÞÞpR4 =ðEh3 Þ; am Rand sr ¼  0,75ðb=RÞ2 ½2  ðb=RÞ2  p R2 =h2 , st ¼ n sr : Weitere ausf
hrliche Ergebnisse f
r Kreis- und Kreisringplatten unter verschiedenen Belastungen in [5].

5.1.3 Elliptische Platten. Elliptical plates Gleichm
ßig mit p belastet Halbachsen a > b (a in x-, b in y-Richtung).

5.1.5 Temperaturspannungen in Platten Thermal stresses in plates Bei einer Temperaturdifferenz Dt zwischen Ober- und Unterseite ergeben sich bei Platten mit allseits freien Rndern keine Spannungen, bei allseits gelenkig gelagerten Platten nach der Plattentheorie [6]. Bei allseits eingespannten Platten wird sx ¼ sy ¼ at Dt E=½2ð1  nÞ ¼ sr ¼ st :

5.2 Scheiben. Discs Hierbei handelt es sich um ebene Flchentragwerke, die in ihrer Ebene belastet sind. Zur theoretischen Ermittlung der Spannungen mit der Airyschen Spannungsfunktion s. C 3.3. Im folgenden werden f
r einige technisch wichtige Flle die Spannungen angegeben. Die Dicke der Scheiben sei h. 5.2.1 Kreisscheibe. Circular discs Radiale gleichm
ßige Streckenlast q (Bild 5). sr ¼ st ¼ q=h; trt ¼ 0: Gleichm
ßige Erw
rmung D t. Bei einer Scheibe mit verschieblichem Rand ergeben sich nur Radialverschiebungen uðrÞ ¼ at Dt r, aber keine Spannungen. Bei unverschieblichem Rand ( u ¼ 0) gilt sr ¼ st ¼ E at Dt=ð1  nÞ; trt ¼ 0:

Gelenkig gelagerter Rand. Maximale Biegespannung in der Mitte sy  ð3,24  2 b=aÞ p b2 =h2 . Eingespannter Rand. Mit c1 ¼ 8=½3 þ 2ðb=aÞ2 þ 3ðb=aÞ4  gilt in der Mitte sx ¼ 3c1 p b2 ½ðb=aÞ2 þ 0,3=ð8 h2 Þ, sy ¼ 3c1 p b2 ½1 þ 0,3ðb=aÞ2 =ð8 h2 Þ, f ¼ 0,171
c1 p b4 =ðE h3 Þ; am Ende der kleinen Achse min s ¼ sy ¼  0;75
c1 p b2 =h2 ; sx ¼ n sy ;

Bild 5. Kreisscheibe

C

C 40

Festigkeitslehre – 5 Fl
chentragwerke

C Bild 6 a, b. Kreisringscheibe

5.2.2 Ringf
rmige Scheibe. Annular discs Radiale Streckenlast innen und außen (Bild 6 a).
2 
 qi r 2 ra qa ra2 ri2 sr ¼
2 i 2
1
1
, r2 hðra
ri Þ r 2 hðra2
ri2 Þ
2 
 2 2 2 qi r ra qa r r st ¼ þ 2 i 2 þ 1
2 a 2 1 þ i2 , r hðra
ri Þ r 2 hðra
ri Þ trt ¼ 0: Gleichmßige Erwrmung Dt. Bei einer Scheibe mit verschieblichen R
ndern ergeben sich nur Radialverschiebungen uðrÞ ¼ at Dt r, aber keine Spannungen. Bei unverschieblichem
ußeren Rand ( u=0) gilt
 ra2 r2 sr ¼
E at Dt 1
i2 , r ð1
nÞ ra2 þ ð1 þ nÞ ri2
 ra2 r2 st ¼
E at Dt 1 þ i2 , trt ¼ 0: r ð1
nÞ ra2 þ ð1 þ nÞ ri2 Ringf
rmige Schublast (Bild 6 b). Sind ti und ta ¼ ti ri2 =ra2 die einwirkenden Schubspannungen, so gilt trt ¼ ti ri2 =r 2 ; sr ¼ st ¼ 0:

Membranspannungszustand genannt, da Membranen (Seifenblasen, Luftballons, dnne Metallfolien usw.), d. h. biegeschlaffe Schalen, nur auf diese Weise Belastungen aufnehmen knnen (Bild 9 a, b). Dnnwandige Metallkonstruktionen gengen in der Regel in weiten Bereichen dem Membranspannungszustand. Bei gewissen Schalenformen, an Strstellen (z. B. bergang von der Wand zum Boden) und in allen dickwandigen Schalen treten zus
tzlich Biegemomente und Querkr
fte auf, d. h. Biegenormal- und Querkraftschubspannungen (wie bei Platten), die zu bercksichtigen sind. Dann handelt es sich um biegesteife Schalen und den Biegespannungszustand. Dieser, d. h. die Strung des Membranspannungszustands, klingt in der Regel sehr rasch mit der Entfernung von der Strstelle ab. 5.3.1 Biegeschlaffe Rotationsschalen und Membrantheorie fr Innendruck Shells under internal pressure, membrane stress theory Die Gleichgewichtsbedingungen am Element (Bild 9 a) in Richtung der Normalen und am Schalenabschnitt (Bild 9 b) in Vertikalrichtung liefern sj =R1 þ sJ =R2 ¼ p=h, sJ ¼ F=ð2 p R1 h sin2 JÞ: Hierbei ist sJ die Spannung in Meridianrichtung, sj die in Breitenkreisrichtung und h die Schalendicke. F ist die resultierende
ußere Kraft in Vertikalrichtung, d. h. ZJ pðJÞ R2 ðJÞ  2 p R1 ðJÞ  sin J cos J dJ:

F¼ J¼0

Bei konstantem Innendruck ist F gleich der Kraft auf die Projektionsfl
che, d. h. F ¼ p p r2 ¼ p pðR1 sin JÞ2 . Kreiszylinderschale unter konstantem Innendruck. sj ¼ p r=h ¼ p d=ð2 hÞ; sJ ¼ sx ¼ 0:

5.2.3 Unendlich ausgedehnte Scheibe mit Bohrung (Bild 7). Infinite plate with a hole Infolge Innendrucks p ¼ q=h entstehen die Spannungen sr ¼
p ri2 =r 2 ; st ¼ þp ri2 =r 2 ; trt ¼ 0: 5.2.4 Keilf
rmige Scheibe unter Einzelkrften (Bild 8) Wedge-shaped plate under point load

Kugelschale unter konstantem Innendruck. sj ¼ sJ ¼ p r=ð2 hÞ ¼ p d=ð4 hÞ: Zylinderschale mit Halbkugelb
den unter konstantem Innendruck (Bild 10). Im Zylinder sj ¼ p r=h ¼ p d=ð2 hÞ, sx ¼ p r=ð2 hÞ ¼ p d=ð4 hÞ, in der Kugelschale sj ¼ sJ ¼ p r=ð2 hÞ ¼ p d=ð4 hÞ:

Fr die Spannungen gilt 2 F1 cos j 2 F2 sin j sr ¼
þ , r hð2 b þ sin 2 bÞ r hð2 b
sin 2 bÞ st ¼ 0, trt ¼ 0:

5.3 Schalen. Shells Hierbei handelt es sich um r
umlich gekrmmte Bauteile, welche die Belastungen im wesentlichen durch Normalspannungen sx und sy sowie Schubspannungen txy (bzw. bei Rotationsschalen durch sj und sJ sowie tjJ ), die alle in der Schalenfl
che liegen, abtragen. Diese Lastabtragung wird

Bild 9 a, b. Membranspannungszustand

Bild 7. Scheibe mit Bohrung

Bild 10. Geschlossene Zylinderschale

Bild 8. Keilfrmige Scheibe

I5.3 5.3.2 Biegesteife Schalen. Bending rigid shells

Schalen

C 41

Tabelle 2

Elliptischer Hohlzylinder unter Innendruck (Bild 11).
berlagert man den Membranspannungen die Biegespannungen, so ergibt sich fr die Punkte A und B sA ¼ p a=h þ c1 p a2 =h2 , sB ¼ p b=h þ c2 p a2 =h2 (s. Tab. 2). Umschn
rter Hohlzylinder (Bild 12). Infolge Schneidenlast q entstehen Umfangsspannungen  x p qr qr sj ðxÞ ¼
pffiffiffi e
x=L sin þ , sj ðx ¼ 0Þ ¼
L 4 2Lh 2Lh sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r 2 h2 4 mit L ¼ und Biegespannungen in x-Richtung 3ð1
n2 Þ  x p 3qL sx ðxÞ ¼ pffiffiffi e
x=L cos þ , L 4 2 h2

Tabelle 3

sx ðx ¼ 0Þ ¼ max sx ¼ 1,5 q L=h2 : Rohrbogen unter Innendruck (Bild 13). In Lngsrichtung des Bogens ergeben sich die Spannungen sx ¼ p r=ð2hÞ ¼ p d=ð4 hÞ, d. h. dieselben Spannungen wie beim abgeschlossenen geraden Rohr. In Umfangsrichtung gilt sj ¼

Bild 11. Elliptischer Hohlzylinder

pd R=d þ 0;25 sin j  : 2h R=d þ 0;5 sin j

Fr Bogenober- und Bogenunterseite (j ¼ 0 bzw. 180) folgt sj ð0Þ ¼ pd=ð2hÞ, d. h. Spannung wie beim kreiszylindrischen Rohr. Fr Bogenaußen- bzw. Bogeninnenseite ist p d R=d þ 0,25  bzw: 2 h R=d þ 0,50 p d R=d
0,25 sj ð
90
Þ ¼  , 2 h R=d
0,50 sj ð90
Þ ¼

Bild 12. Umschnrter Hohlzylinder

d. h., sj ð90
Þ ist kleiner, sj ð
90
Þ grßer als sj ð0Þ. Gewlbter Boden unter Innendruck (Bild 14). Fr die Spannungen in der kugeligen Wlbung gilt (wie bei der Kugelschale) sj ¼ sJ ¼ p rB =ð2hÞ. Fr die (maximalen) Meridianspannungen in der Krempe gilt sJ ¼ c1 p rZ =ð2 hÞ ¼ c1 p dZ =ð4 hÞ; s. Tab. 3.

Bild 13. Rohrbogen

Dickwandiger Kreiszylinder unter Innen- und Außendruck (Bild 15). Es liegt ein rumlicher Spannungszustand vor mit den Spannungen (im mittleren Zylinderbereich) ri2 r2
pa 2 a 2 , ra2
ri2 ra
ri  2    r2 r r2 r2 sj ¼ pi 2 i 2 a2 þ 1
pa 2 a 2 1 þ i2 , r ra
ri r ra
ri  2    ri2 ra ra2 r2 sr ¼
pi 2
1
pa 2 1
i2 : 2 r2 2 r ra
ri ra
ri sx ¼ pi

Bild 14. Gewlbter Boden

Bei alleinigem Innen- oder Außendruck tritt die grßte Spannung an der Innenseite als sj ðr ¼ ri Þ auf. Die Biegeeinspannung des Zylinders in den Boden ist hierbei nicht bercksichtigt. Dickwandige Hohlkugel unter Innen- und Außendruck. Es liegt ein rumlicher Spannungszustand vor mit den Spannungen     r3 r3 r3 r3 sj ¼ sJ ¼ pi 3 i 3 1 þ a 3
pa 3 a 3 1 þ i 3 , 2r 2r ra
ri ra
ri  3    ri3 ra ra3 ri3 sr ¼
pi 3
1
pa 3 1
3 : r ra
ri3 r 3 ra
ri3 Die Maximalspannung ergibt sich aus sj ðr ¼ ri Þ.

Bild 15. Dickwandiger Kreiszylinder

C

C 42

Festigkeitslehre – 6 Dynamische Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkr
fte

6 Dynamische Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkr
fte Centrifugal stresses in rotating components

C

Spannungen und Verformungen mit der Winkelgeschwindigkeit w umlaufender Bauteile lassen sich nach den Regeln der Statik und Festigkeitslehre ermitteln, wenn man im Sinne des d'Alembertschen Prinzips die Fliehkr
fte (Tr
gheitskr
fte, negative Massenbeschleunigungen) w2 r dm ¼ w2 rr dA dr (r Dichte) als
ußere Kr
fte an den Massenelementen ansetzt. Im folgenden werden lediglich die Ergebnisse fr die Spannungen (bei Scheiben fr die Querdehnungszahl n ¼ 0;3) und fr Radialverschiebungen angegeben.

Bild 1. Umlaufender Stab

Bild 2. Umlaufender Ring

Bild 3. Umlaufende Vollscheibe

Bild 4. Umlaufende Ringscheibe

6.1 Umlaufender Stab (Bild 1). Rotating bars Mit dem Stabquerschnitt A und dem Elastizit
tsmodul E gelten sr ðrÞ

¼ r w2 ðl2
r 2 Þ=2 þ m1 w2 l1 =A,

max sr ¼ sr ðr ¼ 0Þ ¼ r w2 l2 =2 þ m1 w2 l1 =A, ¼ r w2 ð3 l2 r
r 3 Þ=ð6 EÞ þ m1 w2 l1 r=ðA EÞ,

uðrÞ

uðr ¼ lÞ ¼ r w2 l3 =ð3 EÞ þ m1 w2 l1 l=ðA EÞ: Fr beliebige si und sa wird

6.2 Umlaufender dnnwandiger Ring oder Hohlzylinder (Bild 2). Rotating thin rings 2 3

A2 ¼
ðsa
si Þ ra2 ri2 =ðra2
ri2 Þ
c1 r w2 ra2 ri2 ;

6.3 Umlaufende Scheiben. Rotating discs

Verschiebungen u(r) sowie c1 und c2 wie vorher. Bei Scheiben mit Kranz und Nabe sind si und sa statisch unbestimmte Grßen, die aus den Bedingungen gleicher Verschiebung an den Stellen r ¼ ri und r ¼ ra bestimmt werden knnen [1].

6.3.1 Vollscheibe konstanter Dicke (Bild 3) Discs of uniform thickness sr ðrÞ

¼ c1 r w2 R2 ð1
r 2 =R2 Þ,

max sr ¼ sr ðr ¼ 0Þ ¼ c1 r w2 R2 , st ðrÞ

¼ c1 r w2 R2 ð1
c3 r 2 =R2 Þ,

6.3.3 Scheiben gleicher Festigkeit (Bild 5) Discs of constant strength

max st ¼ st ðr ¼ 0Þ ¼ c1 r w2 R2 , ¼ r½st ðrÞ
nsr ðrÞ=E,

uðrÞ

Aus den Differentialgleichungen der rotierenden Scheiben [1] folgt fr den Fall, daß sr ¼ st ¼ s berall gleich ist, die

uðr ¼ RÞ ¼ r w2 R3 ð1
nÞ=ð4EÞ; wobei c1 ¼

3þn 1 þ 3n und c3 ¼ . 8 3þn

2

6.3.2 Ringfrmige Scheibe konstanter Dicke (Bild 4) Annular discs of uniform thickness Fr si ¼ sa ¼ 0 ist sr ðrÞ

st ðrÞ ¼ A1
A2 =r 2
c2 r w2 r 2 , wobei A1 ¼ ðsa ra2
si ri2 Þ=ðra2
ri2 Þ þ c1 r w2 ðra2 þ ri2 Þ,

st ¼ r w R ; u ¼ r w R =E: 2 2

sr ðrÞ ¼ A1 þ A2 =r 2
c1 r w2 r 2 ,

¼ c1 r w2 ra2 ð1 þ ri2 =ra2
ri2 =r2
r 2 =ra2 Þ,

sr ðr ¼ ri Þ¼ sr ðr ¼ ra Þ ¼ 0, st ðrÞ

¼ c1 r w2 ra2 ð1 þ ri2 =ra2 þ ri2 =r2
c3 r 2 =ra2 Þ,

max st

¼ st ðr ¼ ri Þ ¼ 2  c1 r w2 ra2 ð1 þ c4 ri2 =ra2 Þ:

Fr ri ! 0; d. h. bei sehr kleiner Bohrung, wird max st ¼ 0;825rw2 R2 doppelt so groß wie bei der Vollscheibe!

Scheibendicke hðrÞ ¼ h0 e
rðwrÞ =ð2sÞ (de Lavalsche Scheibe gleicher Festigkeit, ohne Mittelbohrung). h0 ist die Scheibendicke bei r ¼ 0. Die Profilkurve hat einen Wendepunkt fr pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r ¼ s=ðrw2 Þ. Die radiale Verschiebung ist uðrÞ ¼ ð1
nÞsr=E; uðr ¼ ra Þ ¼ ð1
nÞsra =E: Die Scheibendicke hðr ¼ ra Þ ¼ ha ergibt sich aus dem Einfluß der Schaufeln (Gesamtmasse mS ) und des Kranzes (Querschnitt AK ), an dem die Schaufeln befestigt sind, zu [1]     w2 1 mS rS ra ha ¼ þ rrK2 AK
AK n þ ð1
nÞ 2p s rK ra und damit wird h0 ¼ ha erðwra Þ

2

=ð2sÞ

uðrÞ ¼ r½st ðrÞ
nsr ðrÞ=E, ui

¼ uðr ¼ ri Þ ¼ r w2 ri ½2 c1 ra2 þ ðc1
c2 Þ ri2 =E,

ua

¼ uðr ¼ ra Þ ¼ r w2 ra ½2 c1 ri2 þ ðc1
c2 Þ ra2 =E,

wobei c1 ¼ ð3 þ nÞ=8, c2 ¼ ð1 þ 3nÞ=8, c3 ¼ c4 ¼

1
n . 3þn

1 þ 3n und 3þn Bild 5. Scheibe gleicher Festigkeit

.

I7.1 6.3.4 Scheiben ver
nderlicher Dicke Discs with varying thickness F
r Scheiben mit hyperbolischen oder konischen Profilen findet man Lsungen in [1]. Dort sind auch Nherungsverfahren f
r beliebige Profile dargestellt. 6.3.5 Umlaufender dickwandiger Hohlzylinder Rotating thick-walled cylinder Neben den Spannungen sr und st in Radial- und Tangentialrichtung treten zustzlich infolge der behinderten Querdeh-

Knickung

C 43

nung Spannungen sx in Lngsrichtung auf (rumlicher Spannungszustand):
 3
2n r 2 r 2 r2 sr ðrÞ ¼ r w2 ra2 1 þ i2
i2
2 , ra r ra 8ð1
nÞ
 3
2n r 2 r 2 ð1 þ 2 nÞ r2 1 þ i2 þ i2
, st ðrÞ ¼ r w2 ra2 ra r ð3
2 nÞ ra2 8ð1
nÞ
 2 2 2n r r sx ðrÞ ¼ r w2 ra2 1 þ i2
2 2 : ra ra 8ð1
nÞ

7 Stabilit
tsprobleme Stability problems 7.1 Knickung. Buckling of bars Schlanke Stbe oder Stabsysteme gehen unter Druckbeanspruchung bei Erreichen der kritischen Spannung oder Last aus der nicht ausgebogenen (instabilen) Gleichgewichtslage in eine benachbarte gebogene (stabile) Lage
ber. Weicht der Stab in Richtung einer Symmetrieachse aus, so liegt (Biege-)knicken vor, andernfalls handelt es sich um Biegedrillknicken (s. C 7.1.6).

Bild 2. Die vier Eulerschen Knickflle

7.1.1 Knicken im elastischen (Euler-)Bereich Elastic (Euler) buckling Betrachtet man die verformte Gleichgewichtslage des Stabs nach Bild 1, so lautet die Differentialgleichung f
r Knickung um die Querschnittshauptachse y (mit Iy als kleinerem Flchenmoment 2. Grades) im Fall kleiner Auslenkungen EIy w00 ðxÞ ¼
Mb ðxÞ ¼
FwðxÞ bzw: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w00 ðxÞ þ a2 wðxÞ ¼ 0 mit a ¼ F=ðEIy Þ

ð1Þ

und der Lsung wðxÞ ¼ C1 sin ax þ C2 cos ax:

ð2Þ

Aus den Randbedingungen wðx ¼ 0Þ ¼ 0 und wðx ¼ lÞ ¼ 0 folgen C2 ¼ 0 und sin al ¼ 0 (Eigenwertgleichung) mit den Eigenwerten aK ¼ np=‘; n ¼ 1; 2; 3; . . . : Somit ist nach den Gln. (1) und (2) FK ¼ a2K EIy ¼ n2 p2 EIy =l2 ; wðxÞ ¼ C1 sinðnpx=lÞ:

ð3Þ

Die kleinste (Eulersche) Knicklast ergibt sich f
r n ¼ 1 zu FK ¼ p2 EIy =l2 : F
r andere Lagerungsflle ergeben sich entsprechende Eigenwerte, die sich jedoch alle mit der reduzierten oder wirksamen Knicklnge lK (Bild 2) auf die Form aK ¼ np=lK zur
ckf
hren lassen. Dann gilt allgemein f
r die Eulersche Knicklast FK ¼ p2 EIy =l2K :

ð4Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffi Mit dem Trgheitsradius iy ¼ Iy =A und der Schlankheit l ¼ lK =iy folgt als Knickspannung sK ¼ FK =A ¼ p2 E=l2 :

ð5Þ

Die Funktion sK ðlÞ stellt die Euler-Hyperbel dar (Linie 1 auf Bild 3).

Bild 1. Knickung eines Stabs

Bild 3. Knickspannungsdiagramm f
r St 37. 1 Euler-Hyperbel, 2 Tetmajer-Gerade, 3 Engesser-v. Ka´rma´n-Kurve , 4 v. Ka´rma´n-Geraden , 5 Traglast-Kurve nach Jger

Diese Gleichungen gelten nur im linearen, elastischen Werkstoffbereich, also solange pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sK ¼ p2 E=l2 % sP bzw: l ^ p2 E=sP ist: Der bergang aus dem elastischen in den unelastischen (plastischen) Bereich findet statt bei der Grenzschlankheit pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi l0 ¼ p2 E=sP : ð6Þ Zum Beispiel wird f
r St 37 mit Re ¼ 240 N=mm2 ; sP  0;8Re ¼ 192 N=mm2 und E ¼ 2;1  105 N=mm2 die Grenzschlankheit l0 ¼ 104. Weitere Grenzschlankheiten s. Tab. 1. Tabelle 1. Werte a und b nach Tetmajer

C

C 44

Festigkeitslehre – 7 Stabilittsprobleme

Knicksicherheit SK ¼ FK =Fvorh bzw: SK ¼ sK =svorh :

Im Fall b) wird unter dieser Annahme

ð7Þ

Im allgemeinen Maschinenbau ist im elastischen Bereich SK
5 . . . 10, im unelastischen Bereich SK
3 . . . 8.

C

Ausbiegung beim Knicken. Die L
sung der linearisierten Differentialgleichung (1) liefert zwar die Form der Biegelinie, Gl. (3), aber nicht die Gr
ße der Auslenkung (Biegepfeil). Setzt man in Gl. (1) an Stelle von w00 den wirklichen Ausdruck fr die Krmmung ein, so erhlt man eine nichtlineare Differentialgleichung. Ihre Nherungsl
sung liefert als Biegepfeil den Wert [1] qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi f ¼ 8ðFl2  p2 EIy Þ=ðp2 FÞ; d. h. f ðF ¼ FK Þ ¼ 0 und f ðF ¼ 1;01  FK Þ
0;09l; 1% berschreitung der Knicklast liefert also bereits 9% der Stablnge als Auslenkung! 7.1.2 Knicken im unelastischen (Tetmajer-)Bereich Inelastic buckling (Tetmajer's method) Der Einfluß der Form (Krmmung) der Spannungs-Dehnungs-Linie in diesem Bereich wird nach der Theorie von Engesser und v. Ka´rma´n mit der Einfhrung des Knickmoduls TK < E bercksichtigt: pffiffiffiffi pffiffiffiffi sK ¼ p2 TK =l2 ; TK ¼ 4TE=ð T þ EÞ2 ð8Þ T ¼ TðsÞ ¼ ds=de ist der Tangentenmodul und entspricht dem Anstieg der Spannungs-Dehnungs-Linie. TK gilt fr Rechteckquerschnitt, kann aber mit geringem Fehler auch fr andere Querschnitte verwendet werden. Vorzugehen ist in der Weise, daß T fr verschiedene s aus der Spannungs-Dehnungs-Linie bestimmt und damit TK ðsÞ und lðsK Þ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p2 TK =sK gemß Gl. (8) berechnet werden. Die Umkehrfunktion sK ðlÞ ist dann die Knickspannungslinie 3 nach Engesser-v. Ka´rma´n auf Bild 3. Th. v. Ka´rma´n ersetzte die Linie durch zwei tangierende Geraden, von denen die Horizontale durch die Streckgrenze geht (Linie 4 auf Bild 3). Shanley [2] hat gezeigt, daß bereits erste Auslenkungen fr den Wert sK ¼ p2 T=l2 (1. Engesser-Formel) bei weiterer Laststeigerung m
glich sind. Dieser Wert stellt somit die unterste, der Wert nach Gl. (8) die oberste Grenze der Knickspannungen im unelastischen Bereich dar. Praktische Berechnung nach Tetmajer: Aufgrund von Versuchen erfaßte Tetmajer die Knickspannungen durch eine Gerade, die auch heute noch im Maschinenbau Verwendung findet (Linie 2 auf Bild 3): sK ¼ a  bl:

ð9Þ

Die Werte a, b fr verschiedene Werkstoffe sind Tab. 1 zu entnehmen. Beispiel: Dimensionierung einer Schubstange. Man bestimme den erforderlichen Durchmesser einer Schubstange aus St 37 der Lnge l ¼ 2 000 mm a) fr die Druckkraft F ¼ 96 kN bei einer Knicksicherheit SK ¼ 8; b) fr F ¼ 300 kN bei SK ¼ 5. – Ist die Schubstange beidseitig gelenkig angeschlossen, so liegt der 2. Euler-Fall vor, d. h. lK ¼ l ¼ 2 000 mm. Bei Annahme elastischer Knickung folgt aus den Gln. (4) und (7) im Fall a)

erf Iy ¼ FSK l2K =ðp2 EÞ ¼ 289;5  104 mm4 und erf d ¼ 88 mm; also l ¼ lK =iy ¼ 91 < l0 , d. h. Knickung im unelastischen Bereich. Nach Tetmajer, Gl. (9), wird f
r diese Schlankheit gemß Tab. 1 sK ¼ ð310  1;14  91Þ N=mm2 ¼ 206 N=mm2 und mit svorh ¼ F=A ¼ 300  103 N=ðp  882 =4Þ mm2 ¼ 49;3 N=mm2 die Knicksicherheit SK ¼ sK =svorh ¼ 206=49;3 ¼ 4;2 < 5: F
r d ¼ 95 mm wird l ¼ lK =iy ¼ 84 und sK ¼ a  bl ¼ 214 N=mm2 , und mit svorh ¼ F=ðpd 2 =4Þ ¼ 42;3 N=mm2 ist dann SK ¼ sK =svorh ¼ 5;06
5:

7.1.3 N
herungsverfahren zur Knicklastberechnung Approximate methods for estimating critical loads Energiemethode: Da im Fall des Ausknickens der Stab eine stabile benachbarte Gleichgewichtslage annimmt, muß die ußere Arbeit gleich der Formnderungsarbeit sein (Bild 4 a). Mit C 2 Gl. (39) und C 2 Gl. (34) folgen Zl Zl 1 dx 1 W ðaÞ ¼ FK u ¼ W ¼ Mb2 ¼ EIy w 002 dx und 2 EIy 2 0 0 ð10Þ Zl Z l pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Zl 1 u ¼ ðds  dxÞ ¼ ð 1 þ w 02  1Þdx
w 02 dx: 2 0

0

Somit wird der Rayleighsche Quotient Zl EIy ðxÞ w 002 ðxÞ dx 2W 0 FK ¼ ¼ : Zl 2u 02 w ðxÞ dx

0

ð11Þ

0

Mit der exakten Biegelinie w(x) folgt aus dieser Gleichung die exakte Knickkraft fr den elastischen Bereich. Bei Stben mit vernderlichem Querschnitt ergibt der Vergleich mit der Knickkraft FK ¼ p2 EIy0 =l2K des entsprechenden Eulerfalls eines Stabs mit konstantem Querschnitt das Ersatzflchenmoment Iy0 ¼ FK l2K =ðp2 EÞ: Dieses gilt dann nherungsweise auch fr den Knicknachweis im unelastischen Bereich. In Wirklichkeit ist die exakte Biegelinie (Eigenfunktion) des Knickvorgangs unbekannt. In Gl. (11) wird daher nach Ritz eine die Randbedingungen befriedigende Vergleichsfunktion w(x) eingesetzt. Fr FK ergibt sich ein Nherungswert, der stets gr
ßer ist als die exakte Knicklast, da fr die exakte Eigenfunktion die Formnderungsarbeit zum Minimum, fr die Vergleichsfunktion also stets etwas zu groß wird. Als Vergleichsfunktionen kommen u. a. die Biegelinien des zugeh
rigen Trgers bei beliebiger Belastung in Betracht. Weitere und verbesserte Nherungsverfahren s. [1–5].

erf Iy ¼ FSK l2K =ðp2 EÞ ¼ 96  103 N  8  2 0002 mm2 =ðp2  2,1  105 N=mm2 Þ ¼ 148,2  104 mm4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi und mit Iy ¼ pd 4 =64 dann erf d ¼ 4 64  148;2  104 mm4 =p ¼ 74 mm. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Mit iy ¼ Iy =A ¼ d=4 ¼ 18;5 mm wird die Schlankheit l ¼ lK =iy ¼ 2 000 mm=18;5 mm ¼ 108 > 104 ¼ l0 ; so daß die Annahme von elastischer Knickung berechtigt war.

Bild 4 a–c. Knickung. a Energiemethode; b Kreisringtrger; c Rahmen

I7.2 Beispiel: Vergleichsberechnung der Knicklast f
r einen Stab konstanten Querschnitts und Lagerung nach Eulerfall 2 mit der Energiemethode. – Als Vergleichsfunktion wird die Biegelinie unter Einzellast gemß C 2, Tab. 5 a, Fall 1, gewhlt: wðxÞ ¼ c1 ð3l2 x
4x3 Þ f
r 0  x  l=2. Mit w0 ðxÞ ¼ c1 ð3l2
12x2 Þ und w00 ðxÞ ¼
24c1 x folgt nach Integration gemß Gl. (11) 2W ¼ c21  48EIy l3 , 2v ¼ c21 l5  4;8 und daraus FK ¼ 10;0EIy =l2 : Dieser Wert ist um 1,3% grßer als das exakte Ergebnis p2 EIy =l2 :

Kippen

C 45

C

Bild 5. Biegedrillknicken

7.1.4 St
be bei nderung des Querschnitts bzw. der L
ngskraft. Bars with variable cross section or axial load Ihre Berechnung kann nach C 7.1.3 vorgenommen werden. In DIN 4114 Blatt 2 sind in Tafel 4 die Ersatzflchenmomente Im f
r I-Querschnitte, in Tafel 5 die Ersatzknicklngen f
r linear und parabolisch vernderliche Lngskraft angegeben. Weitere Flle s. [4]. 7.1.5 Knicken von Ringen, Rahmen und Stabsystemen Buckling of rings, frames and systems of bars Geschlossener Kreisringtr
ger unter Außenbelastung q ¼ const (Bild 4 b). F
r Knicken in der Belastungsebene gilt [4], wenn die Last stets senkrecht zur Stabachse steht, qK ¼ 3EIy =R3 , und, wenn die Last ihre urspr
ngliche Richtung beibehlt, qK ¼ 4EIy =R3 . Ausknicken senkrecht zur Trgerebene erfolgt f
r qK ¼ 9EIz GIt =½R3 ð4GIt þ EIz Þ: Geschlossener Rahmen (Bild 4 c). F
r das Ausknicken in der Rahmenebene ergibt sich die kritische Last FK ¼ a2 EI1 aus der Eigenwertgleichung [4] f
r a: al1 l1 ða2 l22 I12
36I22 Þ
¼ 0: tanðal1 Þ 12l2 I1 I2 Weitere Ergebnisse, auch f
r Stabsysteme, s. [2, 4]. 7.1.6 Biegedrillknicken. Torsional buckling Neben dem reinen Biegeknicken kann beim Stab unter Belastung von Lngskraft (und Torsionsmoment) eine rumlich gekr
mmte und tordierte Gleichgewichtslage, das Biegedrillknicken, eintreten. Auch alleiniges Drillknicken (ohne Ausbiegungen) infolge Lngskraft ist mglich. St
be mit Kreisquerschnitt (Wellen) Dem Problem zugeordnete Differentialgleichungen s. [3]. Biegedrillknicken infolge Torsionsmoments tritt ein f
r MtK1 ¼ 2pEIy =l: Es ist nur von Bedeutung f
r sehr schlanke Wellen und Drhte. Wirken Lngskraft F und Torsionsmoment Mt gemeinsam, so gilt f
r den beidseitig gelenkig gelagerten Stab sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
 p2 EIy M2 Fl2 1
2t ; MtK ¼ MtK1 1
2 : FK ¼ 2 l p EIy MtK1 St
be mit beliebigem Querschnitt unter L
ngskraft Doppelt symmetrische Querschnitte. Schubmittelpunkt und Schwerpunkt fallen zusammen, und es gelten die drei Differentialgleichungen  EIy w0000 þ Fw00 ¼ 0; EIz u0000 þ Fu00 ¼ 0; ð12Þ ECM j0000 þ ðFi2p
GIt Þj00 ¼ 0: Die ersten beiden liefern die bekannten Eulerschen Knicklasten; die dritte besagt, daß reines Drillknicken (ohne Durchbiegungen) mglich ist und liefert f
r beidseitig gelenkige Lagerung aus jðxÞ ¼ C sinðpx=lÞ; d. h. bei j ¼ 0 an den Enden, die Knicklast FKt ¼ ðGIt þ p2 ECM =l2 Þ=i2p :

ð13Þ

Bild 6 a, b. Kippung eines Trgers. a Eingespannt; b mit Gabellagerung

CM ist der Wlbwiderstand infolge behinderter Verwlbung [2], z. B. f
r einen IPB-Querschnitt ist CM ¼ Iz h2 =4 (h Abstand der Flanschmitten). F
r Vollquerschnitte ist CM  0. Nur f
r kleine Knicklngen l kann FKt maßgebend werden. F
r I-Normalprofile ist stets Iz , d. h. Knicken in y-Richtung, und nicht Drillknicken maßgebend. Einfach symmetrische Querschnitte (Bild 5). Ist z die Symmetrieachse, so treten hier die zweite und dritte der Gln. (12) in gekoppelter Form auf [2, 5], d. h., Biegedrillknicken ist mglich. F
r Knicken um die y-Achse (in z-Richtung) gilt die normale Eulersche Knicklast FKy ¼ p2 EIy =l2 . Die beiden anderen kritischen Lasten folgen f
r Gabellagerung an den Enden aus 2 3 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

2ffi 1 1 1 1 1 1 2 4 zM 5 ; ¼ 4 þ 
þ FK 2 FKz FKt FKz FKt FKz FKt iM FKt nach Gl. (13), FKz ¼ p2 EIz =l2 ; iM polarer Trgheitsradius bez
glich Schubmittelpunkt, zM Abstand des Schubmittelpunkts vom Schwerpunkt.

7.2 Kippen. Lateral buckling of beams Schmale hohe Trger nehmen bei Erreichen der kritischen Last eine durch Biegung und Verdrehung gekennzeichnete benachbarte Gleichgewichtslage ein (Bild 6 a). Die zugehrige Differentialgleichung lautet f
r doppeltsymmetrische Querschnitte ECM j0000
GIt j00
ðMy2 =EIz
My00 zF Þj ¼ 0;

ð14Þ

j Torsionswinkel, zF Hhenlage des Kraftangriffspunkts
ber dem Schubmittelpunkt (hier Schwerpunkt), CM Wlbwiderstand. Die nichtlineare Differentialgleichung ist i. allg. nicht geschlossen lsbar. Nherungslsungen s. [1, 4, 5]. F
r Vollquerschnitte ist CM  0: 7.2.1 Tr
ger mit Rechteckquerschnitt Beams with rectangular cross section a) Gabellagerung und Angriff zweier gleich großer Momente MK an den Enden (Bild 6 b). Hier geht Gl. (14)
ber in MK2 j00 ðxÞ þ jðxÞ ¼ 0: Mit der die Randbedingungen beEIz GIt

C 46

Festigkeitslehre – 7 Stabilittsprobleme

C Bild 7 a–c. Beulung einer Rechteckplatte

friedigenden L
sung jðxÞ ¼ C sinðpx=lÞ folgt fr das kritische Kippmoment pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi MK ¼ ðp=lÞ EIz GIt ¼ ðp=lÞK: Bei Bercksichtigung der Verformungen des Grundzustands pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [4] ergibt sich genauer K ¼ EIz GIt ðIy
Iz Þ=Iy : b) Gabellagerung und Einzelkraft FK in Tr
germitte (Lastangriffspunkt in H
he zF ) rffiffiffiffiffiffiffi  16;93 3;48 EIz FK ¼ 2 K 1
zF  : GIt l l

 2 2 m n2 m2 þ 2 ¼ hsx 2 bzw: 2 a b a  2 p2 N b n2 a sx ¼ 2 m þ : b h a mb

p2 N

Hieraus folgen die (minimalen) kritischen Beulspannungen:   p2 N b a 2 F
r a < b; m ¼ n ¼ 1 : sxK ¼ 2 : þ b h a b

c) Kragtr
ger mit Einzelkraft FK am Ende (Lastangriffspunkt in H
he zF ) gemß Bild 6 a rffiffiffiffiffiffiffi  4;013 zF EIz FK ¼ 2 K 1
: l GIt l

4p2 N : b2 h Fr a > b: Bei ganzzahligem Seitenverhltnis a/b teilt sich die Platte durch Knotenlinien in einzelne Quadrate, und es gilt wiederum sxK ¼ 4p2 N=ðb2 hÞ: Dieser Wert wird auch fr nicht ganzzahlige Seitenverhltnisse verwendet, da die wahren Werte nur geringfgig darber liegen.

7.2.2 Tr
ger mit I-Querschnitt. I-beams

b) Allseits gelenkig gelagerte Platte unter L
ngsspannungen
x und
y . Mit dem Ansatz wie unter a) folgt

Zu bercksichtigen ist der W
lbwiderstand CM  Iz h2 =4: Mit   EIz h 2 der Abkrzung c ¼ gilt fr die in C 7.2.1 angefhrGIt 2l ten Flle analog (h Abstand der Flanschmitten) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a) MK ¼ ðp=lÞKb1 ; b1 ¼ 1 þ p2 c: b) Bei Lastangriff in Schwerpunkth
he ðzF ¼ 0Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FK ¼ ð16;93=l2 ÞKb1 ; b1 ¼ 1 þ 10;2c; bei Lastangriff am oberen oder unteren Flansch qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FK ¼ ð16;93=l2 ÞKb1 ð 1 þ 3;24c=b21  1;80 c=b21 Þ: c) Bei Lastangriff in Schwerpunkth
he ðzF ¼ 0Þ  pffiffiffi 1 þ 1;61 c 2 FK ¼ ð4;013=l2 ÞKb1 ; b1 ¼ pffiffiffi : 1 þ 0;32 c

7.3 Beulung. Buckling of plates and shells Platten und Schalen gehen bei Erreichen der kritischen Belastung in eine benachbarte (ausgebeulte) stabile Gleichgewichtslage ber. 7.3.1 Beulen von Platten. Buckling of plates Rechteckplatten (Bild 7 a–c). Mit der Plattendicke h und der Plattensteifigkeit N ¼ Eh3 =½12ð1
n2 Þ lautet unter Voraussetzung der Gltigkeit des Hookeschen Gesetzes die Differentialgleichung des Problems   ¶2 w ¶2 w ¶2 w NDDw þ h sx 2 þ sy 2 þ t ¼ 0: ð15Þ ¶x ¶y ¶x ¶y

F
r a ¼ b; m ¼ n ¼ 1 : sxK ¼

sx ¼

p2 N ðm2 b2 =a2 þ n2 Þ2 : b2 h m2 b2 =a2 þ n2 sy =sx

Die (ganzzahligen) Werte m und n sind bei gegebenem Seitenverhltnis b/a und Spannungsverhltnis sy =sx so zu whlen, daß sx zum Minimum sxK wird. Fr den Sonderfall allseitig gleichen Drucks sx ¼ sy ¼ s folgt   p2 N b2 m2 2 þ n2 s¼ 2 a b h mit dem Minimum fr m ¼ n ¼ 1   p2 N b2 sK ¼ 2 þ 1 : b h a2 c) Allseitig gelenkig gelagerte Platte unter Schubspannungen. Eine exakte L
sung liegt nicht vor. Mit einem 5gliedrigen Ritz-Ansatz erhlt man ber die Energiemethode, d. h. aus
¼ W
W ðaÞ ¼ Min; die Nherungsformeln (s. [4, 6]):   p2 N b2 Fr a  b: tK ¼ 2 4;00 þ 5;34 2 ; a b h   p2 N b2 Fr a  b: tK ¼ 2 5;34 þ 4;00 2 : a b h d) Unendlich langer, gelenkig gelagerter Plattenstreifen unter 8b p2 N 8pN Einzellasten (Bild 8). FK ¼ ¼ . p b2 b Weitere Ergebnisse fr Rechteckplatten s. [4].

a) Allseits gelenkig gelagerte Platte unter L
ngsspannungen sx . Mit dem die Randbedingungen befriedigenden Produktansatz wðx; yÞ ¼ cmn sinðmpx=aÞ sinðnpy=bÞ folgt durch Einsetzen in die Differentialgleichung (15)

Bild 8. Beulen des Plattenstreifens

I7.3 Kreisplatten (Bild 9 a–c)

Beulung

C 47

Tabelle 2. Beiwerte c1 und c2 fr n ¼ 0;3

a) Kreisplatte mit konstantem Radialdruck s. Dieses Problem l
ßt sich relativ einfach exakt lsen [1]. Fr den Scheibenspannungszustand gilt nach C 5.2.1 sr ¼ st ¼ s und trt ¼ 0: Damit nimmt die Differentialgleichung (15) die Form NDDw þ hsDw ¼ 0 bzw: DðD þ a2 Þw ¼ 0; a2 ¼ hs=N

C

an. Sie wird erfllt, wenn ðD þ a2 Þw ¼ 0 und Dw ¼ 0 bzw. wegen D ¼ d2 =dr2 þ ð1=rÞd=dr, wenn d2 w 1 dw d2 w 1 dw þ þ þ a2 w ¼ 0 und ¼ 0: dr 2 r dr dr 2 r dr Die Lsung dieser Gleichungen lautet wðrÞ ¼ C1 J0 ðarÞ þ C2 N0 ðarÞ þ C3 þ C4 ln r

Bild 9 a–c. Beulung von Kreis- und Kreisringplatte

(J0 und N0 sind die Besselsche und die Neumannsche Funktion nullter Ordnung). Die Erfllung der Randbedingungen wðRÞ ¼ 0 und Mr ðRÞ ¼ 0 (fr die gelenkig gelagerte Platte) bzw. wðRÞ ¼ 0 und w0 ðRÞ ¼ 0 (fr die eingespannte Platte) sowie der Zusatzbedingungen w0 ð0Þ ¼ 0 und endliches wð0Þ fhren auf die Eigenwertgleichungen aRJ0 ðaRÞ
ð1
nÞJ1 ðaRÞ ¼ 0 ðgelenkig gelagerte PlatteÞ und J1 ðaRÞ ¼ 0 ðeingespannte PlatteÞ: Hieraus ergeben sich die Beulspannungen sK ¼ 4;20N=ðR2 hÞ ðgelenkig gelagerte Platte; n ¼ 0;3Þ und sK ¼ 14;67N=ðR2 hÞ ðeingespannte PlatteÞ: b) Kreisringplatte mit konstantem Radialdruck. Die mathematische Lsung ist komplizierter als unter a) (s. [3]). Es ergeben sich bei freiem Innenrand sK ¼ c1 N=ðra2 hÞ sK ¼ c2 N=ðra2 hÞ

ðgelenkig gelagerte PlatteÞ und ðeingespannte PlatteÞ

(Tab. 2). c) Kreisringplatte mit Schubbeanspruchungen. Sind ta und ti ¼ ta ra2 =ri2 die einwirkenden Schubspannungen, so gilt fr eingespannte R
nder taK ¼ c3 N=ðra2 hÞ: Fr n ¼ 0;3 und ri =ra ¼ 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 ist c3  17,8; 37,0; 61,0; 109,0. Weitere Ergebnisse fr Kreis- und Kreisringplatten s. [4]. 7.3.2 Beulen von Schalen. Buckling of shells Kugelschale unter konstantem Außendruck p. Die komplizierten Differentialgleichungen findet man u. a. in [7] und [8]. Der kleinste kritische Beuldruck (nach dieser Theorie als Verzweigungsproblem) ergibt sich zu pK ¼

R2

Bild 10 a–c. Beulung der Kreiszylinderschale

Kreiszylinderschalen (Bild 10 a–c) a) Unter konstantem radialen Außendruck p. Fr die unendlich lange Schale ergibt sich pK ¼ 0;25Eh3 =½R3 ð1
n2 Þ: Ergebnisse fr kurze Schalen s. [4]. b) Unter axialer L
ngsspannung
. Herleitung der exakten Differentialgleichungen s. [8] und [9]. N
herungsweise gilt fr die kleinste kritische L
ngsspannung [9] pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sK ¼ Eh=½R 3ð1
n2 Þ; wenn sich eine gengende Anzahl von Biegewellen in L
ngspffiffiffiffiffiffi richtung einstellen kann. Dies ist der Fall, wenn l ^ 1;73 hR (fr Stoffe mit n ¼ 0;3). Bei geringeren L
ngen ist die Schale als am Umfang gelagerter Schalenstreifen auffaßbar (Lsung s. unten). Außerdem ist bei Zylinderschalen auch das Durchschlagproblem zu beachten, das zu kleineren Beulspannungen fhrt. Nach [9] gilt hierfr die N
herungsformel sK ¼

0;605 þ 0;000369R=h Eh  : 1 þ 0;00622R=h R

Ausknicken der Schale als Ganzes, d. h. wie ein Stab großer L
nge, tritt ein fr sK ¼ p2 ER2 =ð2l2 Þ: c) Unter Torsionsschubspannungen t. Nach [9] gilt fr die  3=2 Eh2 l : Dieser Wert ist zur Beulspannung tK ¼ 0;747 2 pffiffiffiffiffiffi l Rh Bercksichtigung von Vorbeulen mit dem Faktor 0,7 zu multiplizieren.

2Eh2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi : 3ð1
n2 Þ

Schalen knnen jedoch auch durchschlagen, d. h. bei endlich großen Form
nderungen benachbarte stabile Gleichgewichtslagen annehmen. Nach [9] gilt dann pK ¼ 0;365Eh2 =R2 ; d. h. diese Beullast ist nur rund ein Drittel der des Verzweigungsproblems!

Bild 11 a, b. Beulung des Schalenstreifens

C 48

C

Festigkeitslehre – 8 Finite Berechnungsverfahren

Zylindrische Schalenstreifen (Bild 11 a, b) a) Unter L
ngsspannung s bei gelenkig gelagerten L
ngsr
ndern. pffiffiffiffiffiffi p2 Eh2 Eb2 þ ; F
r b= Rh % 3;456: sK ¼ 3ð1
n2 Þb2 4p2 R2 pffiffiffiffiffiffi 2E h f
r b= Rh ^ 3;456: sK ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi : 12ð1
n2 Þ R b) Unter Schubspannung t bei gelenkig gelagerten L
ngsr
ndern. Die kritischen Schubspannungen ergeben sich aus  2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi h 4 b4 tK ¼ 4;82 E 1 þ 0;0146 2 2 : R h b

7.3.3 Beulspannungen im unelastischen (plastischen) Bereich. Inelastic (plastic) buckling Die unter C 7.3.1 und C 7.3.2 angegebenen Formeln liefern Beulspannungen unter der Voraussetzung elastischen Materialverhaltens. Sie k
nnen nherungsweise auch fr den unelastischen Bereich zugrunde gelegt werden, wenn man sie im selben Verhltnis mindert, wie es sich fr Knickspannungen von Stben aus der Eulerkurve und der Engesser-v. Ka´rma´nkurve (nherungsweise Tetmajer-Gerade) ergibt. Fr St 37 und St 52 s. hierzu DIN 4114 Blatt 1, Tafel 7.

8 Finite Berechnungsverfahren Finite analysis methods Die Theorien zur Formulierung physikalischer Sachverhalte fhren in der Regel auf mehrdimensionale Randwert- bzw. Anfangswertaufgaben, die durch ein System von Differentialgleichungen bzw. Integralgleichungen beschrieben werden [10]. Finite Berechnungsverfahren sind Verfahren, mit denen diese Differential- bzw. Integralgleichungen numerisch gel
st werden k
nnen. Zum Einsatz kommen drei finite Berechnungsverfahren: Finite Element Methode (FEM), Finite Differenzen Methode (FDM), Boundary Element Methode (BEM).

Bild 1 a, b. Kolben. a CAD-Modell; b FE-Netz

8.1 Finite Elemente Methode Finite element method Die Finite Elemente Methode ist ein Gebietsverfahren. Die zu untersuchende Struktur (Bauteil) wird in finite Elemente zerlegt (z. B. Kolben in Bild 1). Ein Stab, Balken wird in 1DElemente, eine Scheibe, Platte oder Schale in 2D-Elemente, ein Volumen in 3D-Elemente unterteilt (Bild 2). Fr das einzelne Element wird der mechanische Sachverhalt formuliert, ber die Knoten wird die Kopplung zu den angrenzenden Elementen durchgefhrt. Pro Element baut sich somit eine Gleichungszeile des Gleichungssystems auf, welches je nach Problemstellung den Rand- bzw. Anfangsbedingungen anzupassen ist. Bei der Verschiebungsmethode werden die Knotenverschiebungen, bei der Kraftgrßenmethode die Spannungen als Unbekannte eingefhrt. Fr jedes Element ergibt sich infolge der Einheitsverschiebungen seiner Knoten unter Beachtung des maßgeblichen Materialgesetzes (z. B. Hookesches Gesetz) die Steifigkeitsmatrix (verallgemeinerter Federkennwert), mit der aus den Gleichgewichtsbedingungen fr alle Knoten das Gleichungssystem fr die unbekannten Verschiebungen folgt [1–4]. Verschiebungen sind in erster Nherung linear fr die Elementrnder und das Elementinnere. Fr die Einheitsverschiebung u1 ¼ 1 ist dann die Verschiebungsfunktion (Bild 3) f1 ðx, yÞ ¼

1 ½xðy3
y2 Þ þ yðx2
x3 Þ þ x3 y2
x2 y3 , ð1Þ 2A

A Flcheninhalt des Elements (s. A bzw. DUBBEL interaktiv). Dieselbe Funktion entsteht fr u1 ¼ 1. Entsprechende Funktionen f2 ðx; yÞ und f3 ðx; yÞ folgen fr u2 ¼ 1 und u2 ¼ 1 bzw. u3 ¼ 1 und u3 ¼ 1 : 1 ½xðy1
y3 Þ þ yðx3
x1 Þ þ x1 y3
x3 y1 ; 2A 1 f3 ðx; yÞ ¼ ½xðy2
y1 Þ þ yðx1
x2 Þ þ x2 y1
x1 y2 : 2A

f2 ðx; yÞ ¼

Bild 2 a–g. Standardelemente. a 3D-; b Schalen-; c Scheiben-; d Platten-; e Axialsymmetrisches; f Stab-; g Balkenelement [16]; (Freiheits
c ) grade: Translation


c ; Rotation


c

I8.1

Finite Elemente Methode

C 49

Hierbei ist F ¼ Fk ¼ fFkx ; Fky g der Vektor der Knotenkrfte eines Elements, T die transponierte Matrix und h die Elementdicke. Mit den Gln. (5) und (6) folgt dann ZZ Eguk gT duTk h dx dy FduTk ¼ ðAÞ

bzw., da uk und duk unabhngig von x und y sind und ebenso E; g und gT elementweise konstant sind, ergibt sich T

F ¼ Egg hAuk ¼ k uk :

Bild 3. Ebenes Dreieckelement mit Verschiebungszustand u1 ¼ 1

F
r die Gesamtverschiebung im Elementinnern (und auf dem Rand) infolge der Einheitsverschiebungen gilt dann ) uðx, yÞ ¼ f1 ðx, yÞ u1 þ f2 ðx, yÞ u2 þ f3 ðx, yÞ u3 , ð2Þ uðx, yÞ ¼ f1 u1 þ f2 u2 þ f3 u3 : u und u bilden den Verschiebungsvektor u. In Matrizen0 1 schreibweise u1 B C B u2 C

B u f f2 f3 0 0 0 B u3 C C ð3Þ ¼ 1 C f2 f3 B u 0 0 0 f1 B u1 C @ u2 A u3 bzw. in abgek
rzter Form uðx; yÞ ¼ f uk ðk ¼ 1; 2; 3Þ:

ð4Þ

Dehnungen und Gleitungen. Aus Gl. (2) folgt f
r die elementweise konstanten Dehnungen und Gleitungen ex ; ey ; gxy ðs: C 1 Gln: ð12; 13ÞÞ ¶u 1 ¼ ½ðy3
y2 Þ u1 þ ðy1
y3 Þ u2 þ ðy2
y1 Þ u3  ¶x 2 A ¼ g1 u1 þ g2 u2 þ g3 u3 , ¶u 1 ey ¼ ¼ ½ðx2
x3 Þ u1 þ ðx3
x1 Þ u2 þ ðx1
x2 Þ u3  ¶y 2 A ¼ g4 u1 þ g5 u2 þ g6 u3 , ¶u ¶u gxy ¼ þ ¼ g4 u1 þ g5 u2 þ g6 u3 þ g1 u1 þ g2 u2 þ g3 u3 ¶y ¶x

ex ¼

bzw. in Matrizenschreibweise (s. A bzw. DUBBEL interaktiv) 0 1 u1 0 1 0 1B u2 l C C ex g1 g2 g3 0 0 0 B B C @ ey A ¼ 1 @ 0 0 0 g4 g5 g6 AB u3 C, B u1 C 2A C gxy g4 g5 g6 g1 g2 g3 B @ u2 A u3 in abgek
rzter Form e ¼ g uk :

ð5Þ

Spannungen. Mit einem Materialgesetz (Abhngigkeit zwischen Dehnungen und Spannungen), z. B. dem Hookeschen Gesetz (s. C 3 Gl. (13)), gilt in Matrizenform und mit Gl. (5) s ¼ Ee ¼ Eg uk : Hierbei ist mit der Querdehnungszahl n 0 1 1 n 0 E @ A: E¼ n 1 0 1
n2 0 0 ð1
nÞ=2

ð6Þ

ð7Þ

Knotenkr
fte ergeben sich als Funktion der Verschiebungen uk
ber das Gleichgewichtsprinzip der virtuellen Arbeiten (s. C 2.4.9) in Matrizenschreibweise [1 bis 7] ZZ sdeT h dx dy: ð8Þ FduTk ¼ ðAÞ

ð9Þ

A ist der Flcheninhalt des Elements. Mit k ist die Steifigkeitsmatrix des Elements gefunden. Hieran schließt sich das Zusammensetzen der Elemente zur Gesamtstruktur unter Herstellung des Gleichgewichts an jedem Knoten. Dies geschieht entweder nach der direkten Methode durch berlagern der Elementsteifigkeitsmatrizen, die einen Knoten betreffen, oder mathematisch durch Transformation
ber eine Boolesche Matrix [5]. Mit FðaÞ als Vektor der ußeren Krfte folgt FðaÞ ¼ Ku;

ð10Þ

eine Matrizengleichung f
r n vorhandene Knotenpunkte mit 2 n Verschiebungen, wobei K die Systemsteifigkeitsmatrix ist. Unter Ber
cksichtigung von m vorhandenen Verschiebungsrandbedingungen stellt Gl. (10) ein System von 2 n – m linearen Gleichungen f
r die Verschiebungen der Knoten dar. Sind diese berechnet, so folgen aus Gl. (7) die zugehrigen Spannungen in den Knotenpunkten. F
r die Durchf
hrung der umfangreichen Berechnungen stehen f
r viele Computer Programmsysteme zur Verf
gung. Einige einf
hrende Beispiele s. [3, 4, 7], theoretische Weiterentwicklungen der FEM s. [5, 6]. Anwendungen 1. Balkenelemente (Bild 4): Gesucht: Maximale Durchbiegung an der Stelle x ¼ 0. Gegeben: F ¼ 100 N; ‘ ¼ 120 mm; B ¼ 10 mm; H ¼ 20 mm: N BH 3  6 666;7 mm4 und ; Iy ¼ Mit E ¼ 2;1  105 12 mm2 wðx ¼ 0Þ ¼

F‘3  0; 0412 mm ðs: C 2:4:8 Tab: 5 a; Fall 6Þ: 3EIy

Die Finite-Element-Rechnung ergibt bei 5 Elementen mit linearer Approximation: wðx ¼ 0Þ  0; 0411 mm. Die bei der FE-Rechnung ermittelten Reaktionskrfte (Momente) werden zur Berechnung der maximalen Spannung an der Einspannstelle herangezogen. 2. Scheibenelemente: Scheibe mit Loch unter einachsiger Zugbelastung (Bild 5 a). Gegeben: l ¼ 100 mm; d ¼ 20 mm, Scheibendicke h ¼ 1 mm, Zugbeanspruchung s ¼ 80 N=mm2 . Durch Ausnutzen der Symmetrieeigenschaften ergibt sich die in (Bild 5 b) dargestellte Struktur. Diese wurde mit 40 Scheibenelementen (quadratischer Ansatz) aufgebaut (Bild 5 c). Die FE-Berechnung lieferte den Deformations- und Spannungszustand der Scheibe. Die grßte Verschiebung ergibt sich am Rand x ¼ l=2 zu ux  0;021 mm. Die aus den Verschiebungen berechneten Spannungen aller Elemente haben ihren Grßtwert in dem Knotenpunkt 38 mit sx ¼ 240;7 N=mm2 , whrend in dem Knoten 28 die Spannung sx ¼ 77;2 N=mm2 ist. Mit der Nennspannung sn ¼ s  l=ðl
dÞ ¼ 100 N=mm2 folgt somit nach der FEM die Formzahl ak ¼ sx =sn ¼ 240;7=100 ¼ 2;41, whrend sich aus dem herkmmlichen Formzahl-Diagramm nach Wellinger-Dietmann [8] f
r d=l ¼ 20=100 ¼ 0;2 der Wert ak ¼ 2;53 ergibt. Die Verlngerung des Stabs nach dem Hookeschen Gesetz betrgt Dl ¼ l  s=E ¼ 100 mm  80 N=mm2 =ð2;1  105 N=mm2 Þ ¼ 0; 038 mm, wobei der Unterschied zum FEM-Ergebnis den Einfluß der Bohrung wiedergibt. Rechnet man nherungswei-

C

C 50

Festigkeitslehre – 8 Finite Berechnungsverfahren

C Bild 4. Biegebalken und FE-Struktur

Bild 7 a–c. Dickwandiges Rohr („unendlich lang“). a Bauteil mit Belastung; b Struktur (Axialsymmetrische Elemente); c Struktur (3D Elemente) Bild 5 a–c. Scheibe mit Loch. a Struktur und Belastung; b Viertelscheibe; c FE-Struktur

Bild 6 a, b. Kreisringplatte. a Aufbau und Belastung; b FE-Struktur

se l
ngs der Bohrung mit dem Nennquerschnitt, so ergibt sich u ¼ ðl
dÞ  s=E þ d  sn =E ¼ 0; 04 mm. Diese N
herung liefert gegenber dem sicherlich genaueren FEM-Resultat nur noch eine Abweichung von 4,8%. 3. Plattenelemente: Eingespannte Deckplatte mit Einf
llffnung (Kreisringplatte) (Bild 6 a). Gegeben: d1 ¼ 2400 mm; d2 ¼ 600 mm; h ¼ 10 mm, Fl
chenlast p ¼ 5 kN=m2 . Nach Aufteilung der Struktur in 216 Plattenelemente mit 240 Knoten (Bild 6 b) lieferte das Rechnerprogramm aus 1 296 Gleichungen die Verschiebungen (Durchbiegungen) aller Knotenpunkte und daraus die Spannungen an allen Elementen. Danach ergibt sich am freien Innenrand (Knoten 1) die maximale Durchbiegung zu f ¼ 8; 02 mm sowie die grßte Tangentialspannung zu st ¼ 40; 7 N=mm2 und an der Einspannung (Knoten 10) die grßte Radialspannung sr ¼ 54; 2 N=mm2 . Die Plattentheorie (s. C 5 [5]) liefert fr die Durchbiegung des Innenrands denselben Wert 8,02 mm und fr die Spannungen am freien Rand st ¼ 40;9 N=mm2 sowie am eingespannten Rand sr ¼ 51;1 N=mm2 , so daß fr letztere die Abweichung des FEM-Ergebnisses von dem der Plattentheorie 6,1% betr
gt. 4. Axial- und 3D-Elemente: Dickwandiges Rohr unter Innenund Außendruck (Bild 7 a). Gegeben: Innendurchmesser di ¼ 40 mm, Außendurchmesser da ¼ 120 mm, Innendruck

pi ¼ 6 bar, Außendruck pa ¼ 1 bar, gew
hlte Breite b ¼ 20 mm. Zu berechnen sind die Tangential- bzw. Radialspannungen st , sr . Da es sich um einen rotationssymmetrischen Spannungszustand handelt, ist st ¼ st ðrÞ, sr ¼ sr ðrÞ. Die analytische Rechnung (Formeln s. C 5.3.2) ergibt am Innenrand st ¼ 0;525 N=mm2 und sr ¼
0;6 N=mm2 , am Außenrand st ¼ 0;025 N=mm2 und sr ¼
0;1 N=mm2 . Die numerischen Ergebnisse, gerechnet mit quadratischen Elementen, sind in der folgenden tabellarischen bersicht dem analytischen Ergebnis gegenbergestellt. Weitere Beispiele und Berechnungen zur Rohrleitungsstatik in [9].

8.2 Randelemente. Boundary elements Die Randelementmethode (REM) bzw. Boundary-ElementMethod (BEM) ist eine Integralgleichungsmethode, die in ihrem Ursprung auf die Tatsache zurckgeht, daß man die Lsung einer Differentialgleichung auf eine Integralgleichung ber die Greensche Funktion und die Belastungsfunktion zurckfhren kann. Die Greensche Funktion (Einflußfunktion) ist eine die Randbedingungen und die Differentialgleichung befriedigende Funktion infolge einer Einzellast F ¼ 1. Tr
ger: Fr den bekannten Fall der Balkenbiegung (s. C 2.4.8) lautet die Differentialgleichung fr die Durchbiegungen w0000 ðxÞ ¼
qðxÞ=EIy : Im Falle eines an den Enden gelenkig gelagerten Tr
gers mit den Randbedingungen wðx ¼ 0Þ ¼ w00 ðx ¼ 0Þ ¼ wðx ¼ lÞ ¼ w00 ðx ¼ lÞ ¼ 0 (Bild 8 a) gilt die Lsung fr die Durchbiegungen in Integralgleichungsform: Zl Zl wðxÞ ¼ G0 ðx; xÞq  ðxÞdx ¼ h0 ðx; xÞq ðxÞdx ð11Þ 0

0

I8.2

Randelemente

C 51

Gl. (12) nach der ersten Ableitung die Neigungswinkellinie a(y, x), nach der zweiten Ableitung die Biegemomentenlinie Mb ðyÞ ¼ EIy ¶2 h0 =¶y2 und nach der dritten Ableitung nach y die Querkraftlinie FQ ðyÞ: Zusammenfassung: Kennt man f
r Differentialgleichungsprobleme die Greensche Funktion, d. h. eine die Randbedingungen befriedigende Lsung infolge einer Wanderlast F ¼ 1, die auch die Differentialgleichung erf
llt, so ist nach Gl. (11) die Lsung des Problems f
r jede beliebige Lastfunktion gegeben. Bild 8 a, b. Einfeldtrger: a mit Streckenlast; b mit Wanderlast

mit q
ðxÞ ¼ qðxÞ=EIy , wobei G(x, x) die Greensche Funktion (Einflußfunktion) f
r die Durchbiegung an der Stelle x infolge einer Wanderlast F ¼ 1 an der Stelle x ist (Bild 8 b). An Stelle des griechischen Buchstaben x wird in der modernen Literatur f
r die Laufvariable y verwendet, so auch nachfolgend. Da f
r F ¼ 1 die Dgl. w0000 ðxÞ ¼ 0 gilt, folgt durch viermalige Integration f
r die Greensche Funktion eine Parabel 3. Grades, die aber auch die Randbedingungen erf
llen muß. Eine solche Funktion ist bereits nach C 2 Tab. 5 a, Fall 2 bekannt, wenn man dort a ¼ x, b ¼ ðl  xÞ und x ¼ y sowie F ¼ 1 setzt. Sie lautet G0 ðx, yÞ ¼ h0 ðx, yÞ ¼
xðl  xÞð2 l  xÞ y  ðl  xÞ y3 f
r 0 % y % x, ð12Þ 1 6 EIy l xðl2  x2 Þðl  yÞ þ xðl  yÞ3 f
r x % y % l: Einsetzen der Einflußfunktion (12) in Gl. (11) liefert die Biegelinie w(x) f
r jede Lastfunktion q(x). Ferner erhlt man aus der Greenschen Funktion (12) durch einmalige Differentiation nach der Aufpunktkoordinate x die Einflußlinie f
r die Biegewinkel ha ðx; yÞ ¼ ¶h0 =¶x, durch zweimalige Differentiation nach x die Einflußlinie f
r die Biegemomente hM ðx; yÞ ¼ EIy ¶2 h0 =¶x2 und durch dreimalige Differentiation nach x die Einflußlinie f
r die Querkrfte hQ ðx; yÞ ¼ EIy ¶2 h0 =¶x2 . Andererseits erhlt man f
r festen Lastort y ¼ x durch Ableitung nach der Laufvariablen y aus

Scheiben, Platten und Schalen. Hier sind nur in den seltensten Fllen die Greenschen Funktionen, d. h. die Lsung z. B. f
r eine Platte mit einer Einzellast an beliebiger Stelle ðy1 ; y2 Þ f
r jeden Ort ðx1 ; x2 Þ, welche die Randbedingungen erf
llt, bekannt. Dagegen sind stets sogenannte Grund- oder Fundamentallsungen f
r wðx1 ; x2 ; y1 ; y2 Þ infolge einer Einzelkraft F ¼ 1 in ðy1 ; y2 Þ f
r Scheiben, Platten und Schalen bekannt [11], die als Lsung f
r eine unendlich ausgedehnte Scheibe, Platte oder Schale angesehen werden knnen. Hier setzt zur Lsung des wirklichen Randwertproblems die Randelementmethode REM bzw. Boundary Element Method BEM wie folgt ein: Man denkt sich z. B. die wirkliche Platte aus dem unendlichen Gebiet herausgeschnitten, bringt einmal die wirkliche Belastung qðy1 ; y2 Þ und das andere Mal die Einzel^ ðx1 ; x2 Þ ¼ 1 sowie jeweils alle Randschnittgrßen und kraft F Randverformungen auf (Bild 9 a, b) und verwendet den Satz von Betti: F
r 2 Gleichgewichtszustnde eines Systems (F, ^; M ^ Þ mit den zugehrigen Verformungen (w, a) M) und (F ^ Þ gilt f
r die Arbeiten: und ð^ w; a X X X X ^w þ ^ =a ¼ ^þ F M Fw M^ a; d:h: W1; 2 ¼ W2; 1 : Wendet man den Satz von Betti f
r die Platten nach Bild 9 a, b an, so folgt: Z X ^n w þ M ^ n an Þ ds þ ^ e we ¼ W1,2 ¼ 1  wðx1 ,x2 Þ þ ðV F Z W2 , 1 ¼

p^ w dW þ W

ZG ð13 aÞ X ^ n Þ ds þ ðVn w ^ þ Mn a Fe w ^e G

und damit folgt f
r die gesuchte Durchbiegung (Einflußfunktion): Z Z X ^ na ^ n Þ ds þ ^ þM ^e w dW þ ðVn w Fe w wðx1 , x2 Þ ¼ p^ W

Z

 bzw.

G

^n w þ M ^ n an Þ ds  ðV

X

^ e we F

ð13 bÞ

G

Z

wðx1 , x2 Þ ¼

p^ w dW þ WRand 2; 1  WRand 1; 2 :

ð13 cÞ

W

Hierbei bedeutet das Integral
ber ein Gebietsintegral und die Integrale
ber sind Randintegrale. Dabei ist n die Rich-

^ ¼ 1; c Randelemente mit Dachfunktion Bild 9 a–c. Rechteckplatte: a unter Flchenlast; b unter der Hilfskraft F

C

C 52

Festigkeitslehre – 8 Finite Berechnungsverfahren

tung der Normalen am Rand und Vn bzw. Mn die Kirchhoffsche Randscherkraft (Ersatzquerkraft) und das Biegemoment in einer zu n senkrechten Randfl
che.

C

Unendlich ausgedehnte Platte. Da die Gebietslsung infolge ^ ¼ 1 im Punkt ðx1 ; x2 Þ fr die Durchbiegung F wðx1 ; x2 ; y1 ; y2 Þ bekannt ist und nach [11, 12] lautet (sog. Grund- oder Fundamentallsung): 1 ð14Þ
r 2 ln r, 8pN qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi wobei r ¼ ðy1  x1 Þ2 þ ðy2  x2 Þ2 den Abstand des Lastpunktes ðx1 ; x2 Þ z. B. von einem Randpunkt ðy1 ; y2 Þ bedeutet und N ¼ Eh3 =12ð1  n2 Þ die sog. Plattensteifigkeit ist (s. C 5.1), sind durch entsprechende Differentiationen auch alle Neigungswinkel, Biegemomente und Querkr
fte, d. h. auch alle in Gl. (13) mit einem „Dach“ versehenen Randgrßen be^ 0 n und V ^0 n . ^0 n ; M ^ 0; a kannt, wie w ^ 0 ðrÞ ¼ ^ g0 ðrÞ ¼ w

Wirkliche Platte. Unbekannt sind hier von den 4 Randfunktionen w, an ; Mn ; Vn jeweils 2, w
hrend 2 durch die Randbedingungen der Platte vorgegeben sind. Z. B. sind im Falle einer allseits gelenkig gelagerten Platte die Werte an und Vn unbekannt, w
hrend w ¼ 0 und Mn ¼ 0 l
ngs des Randes vorgegeben sind. Die unbekannten Funktionen an und Vn werden nun nach der Randelementmethode numerisch fr m diskrete Randknoten, die durch m Randelemente verbunden sind, ermittelt, in dem man in jedem Knoten selbst, d. h. m-mal die Einzelkraft Fi ¼ 1 anbringt und m-mal den Satz von Betti anschreibt entsprechend Gl. (13 b) und dadurch m lineare Gleichungen fr die 2m Unbekannten ani und Vni bekommt ði ¼ 1 . . . mÞ. Weitere m Gleichungen erh
lt man dadurch, daß man in je^ ¼ 1 anbringt, zu dem die dem Knoten ein Randmoment M Grundlsung gehrt: ^g1 ðrÞ ¼

¶ 1 ¶r ^ g0 ðrÞ ¼ rð1 þ 2 ln rÞ : ¶r 8pN ¶n

ð15Þ

^ 1n ; V ^1n bekannt ^ 1n ; M womit wiederum die Randgrßen w ^ 1; a sind, und daß man auch dafr m-mal den Satz von Betti anschreibt. Um ber den Rand numerisch integrieren zu knnen, werden die Unbekannten ani und Vni mit Elementfunktionen ani ðsÞ ¼ ani jðsÞ bzw. Vni ðsÞ ¼ Vni yðsÞ verknpft, wofr in der Regel lineare „Dachfunktionen“ nach Bild 9 c ausreichen (fr Platten mit freien Elementr
ndern sind fr wi Hermitesche Polynome erforderlich, s. [12–14]). Sind alle Integrationen durchgefhrt, hat man 2 m Gleichungen fr die 2 m Unbekannten. Nach Lsung (unter Zusatzbetrachtungen fr die Eckkr
fte) und Einsetzen in Gl. (13 b) erh
lt man die Durchbiegungen wðx1 ; x2 Þ fr beliebige Punkte ðx1 ; x2 Þ und durch Differentiation die Neigungswinkel und Schnittlasten. Einzelheiten der Durchfhrung s. [12–14]. Beispiel: Fr eine gelenkig gelagerte quadratische Stahlplatte von 10 mm Dicke ðE ¼ 2;1
108 kN/m2 ) mit konstanter Fl
chenlast p ¼ 10 kN=m2 und den Kantenl
ngen 2a ¼ 2b ¼ 1;0 m sollen die Durchbiegung und die Biegemomente bzw. Biegespannungen in Plattenmitte nach der REM (BEM) ermittelt werden (Bild 10 a). L
sung: Die R
nder werden in m ¼ 8 Randelemente mit m ¼ 8 Knoten unterteilt und die Berechnung mit einem BEM -Programm durchgefhrt. Als Ergebnis erh
lt man fr die Plattenmitte M (Bild 10 b) die Durchbiegung w ¼ 2;19 mm und die Biegemomente mx1 ¼ mx2 ¼ 0;48 kNm/m und aus letzterem die Biegespannungen s ¼ 28;8 N/ mm2 . Zum Vergleich werden die Formeln nach C 5.1.1 herangezogen: w ¼ f ¼ c3 pb4 =Eh3 und s ¼ c1 pb2 =h2 , woraus mit den Koeffizienten c3 ¼ 0;71 und c1 ¼ 1;15 nach C 5 Tab. 1 die Werte w ¼ 2;11 mm und s ¼ 28;8 N/mm2 folgen, d. h. das Ergebnis nach REM weicht fr w um 3,8% und fr s um 0% von den Tafelwerten ab und stellt somit bei der groben Randeinteilung ein sehr gutes Ergebnis dar.

Bild 10 a, b Allseits gelenkig gelagerte Stahlplatte a mit konst. Fl
chenlast; b Randelemente mit 8 Knoten

8.3 Finite Differenzen Methode Finite difference method Die FD-Methode ist wie die FE-Methode ein Gebietsverfahren. Die finiten Gleichungen werden fr einen Zentralpunkt aufgestellt. Um den mechanischen Bezug zum Problem zu gew
hrleisten, werden die finiten Ausdrcke mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit aufgebaut. Dieses Vorgehen wird fr einen Biegebalken mit dem Prinzip der virtuellen Verrckungen (s. C 2.4.9) gezeigt. Dazu wird die Gleichgewichtsaussage des Biegebalkens M 00 ¼ p mit einer virtuellen Verrkkung dw und zweimal partiell integriert. Das Z ¼ 1 multipliziert Z ergibt:

Mdw00 dx þ

p dw dx ¼ 0:

In diesem Fall arbeiten die Momente wie
ußere Kr
fte an der virtuellen Verrckung d w. Die
ußere Arbeit ist: Z M þ p dw dx ¼ 0; s: a: Bild 11: dWa ¼ 1 -- 2 1 h Das Integral wird berechnet unter der Annahme, daß p(x) parabolisch verl
uft (Bild 12). Mit C 2 Tab. 6 ergibt sich: Z Z Z p dw dx ¼ ð1Þð5Þ dx þ ð2Þð5Þ dxþ Z Z 1 ph ð3Þð6Þ dx þ ð4Þð6Þ dx ¼ 1 10 1 12 Die gesamte Arbeit lautet:

h2 p¼0 12 Man kommt zum gleichen Ergebnis, wenn der Ausdruck Z Mdw00 dx als innere Arbeit gedeutet wird. An Stelle der GedWa ¼ 1  2 1 M þ 1 10 1

lenke sind konzentrierte Krmmungen (im Sinne einer DiracFunktion) aufzugeben.

Bild 11. Eigenkraftgruppe

I9.1

Allgemeines

i ¼ 2: M1
2 M2 þ M3 þ ðp1 þ 10 p2 þ p3 Þ Es ist: M0 ¼ M3 ¼ 0; p0 ¼ p1 ¼ p2 ¼ p3 ¼ p

C 53

h2 ¼0 12

Lsung: M1 ¼ M2 ¼ ph2 . Das Verfahren zum Aufstellen der finiten Gleichungen lßt sich problemlos auf Scheiben, Platten und Schalen
bertragen [15]. Bild 12. v. V. dw ¼ 1 Beispiel: Biegebalken mit Streckenlast (Bild 13). Gesucht sind die Schnittlastmomente in den Punkten 1 und 2. Die Gleichung f
r den Innenpunkt lautet: 1 --2 1 M þ 1 10 1

h2 p ¼ 0: 12

Es entsteht ein Gleichungsystem mit 2 Unbekannten h2 ¼0 i ¼ 1: M0
2 M1 þ M2 þ ðp0 þ 10 p1 þ p2 Þ 12

Bild 13. v. V. dw ¼ 1

9 Plastizit
tstheorie Theory of plasticity 9.1 Allgemeines. Introduction Wird bei der Beanspruchung eines Werkstoffs die Elastizittsgrenze
berschritten und treten nach Entlastung bleibende Dehnungen eb (Bild 1) auf, so handelt es sich um Beanspruchungen im plastischen (unelastischen) Bereich. Bei erneuter Belastung verhlt sich der Werkstoff elastisch, die Spannungs-Dehnungs-Linie besteht aus der zur Hookeschen Geraden OP Parallelen AP1 , d. h., als Folge der Kaltreckung wird die Streckgrenze erhht. Weitere Belastung bis zur Spannung sP2 erhht die Streckgrenze auf diesen Wert. Damit verbunden ist eine Versprdung des Materials, also eine Verringerung der Dehnbarkeit bis zum Eintreten des Bruchs. Unterwirft man einen Versuchsstab anschließend einer Druckbeanspruchung, so ergibt sich im Druckbereich eine erhebliche Herabsetzung der Fließgrenze, d. h., die Kr
mmung der Spannungs-Dehnungs-Linie setzt sehr fr
h ein, und bei anschließender Wiederbelastung bildet sich die HysteresisSchleife (Bild 2). Ihr Flcheninhalt stellt die bei einem Zyklus verlorengehende Formnderungsarbeit dar. Wird er mehrmals durchlaufen, so wird jedes Mal diese Arbeit verbraucht. Derartige dynamische Vorgnge f
hren hufig zum baldigen Bruch des Bauteils (Bauschinger-Effekt) und gehren zur Zeitfestigkeit. Die Plastizittstheorie behandelt vorwiegend das Verhalten unter statischer Belastung. Nur sie ist im folgenden zugrunde gelegt. Unterschieden wird:

Bild 2. Hysteresis-Schleife bei Beanspruchung im plastischen Bereich

ideal-elastisch-plastisches Material (unlegierte Konstruktionssthle), Kurve 1 auf Bild 1, hierf
r gilt s ¼ Ee f
r
eF % e % eF , s ¼ sF f
r e ^ eF ; elastisch verfestigendes Material (verg
tete Sthle), Kurve 2 auf Bild 1, hierf
r gilt s ¼ Ee f
r
eF % e % eF , s ¼ Ajejk f
r e ^ eF oder nherungsweise bei Ersatz der Kurve 2 durch eine Gerade 3 mit dem Verfestigungsmodul E2 ¼ tan a2 s ¼ sF þ E2 ðe
eF Þ: Weitere Materialgesetze s. [2, 3], f
r Kunststoffe [4]. Bei Entlastung des Werkstoffs gilt stets das lineare (Hookesche) Gesetz s ¼ Eðe
eb Þ ¼ sP1
EðeP1
eÞ: Weitere Informationen siehe [6 – 8]. Kriechen. Oberhalb der Kristallerholungstemperatur, bei der die Verfestigung infolge Kaltverformung aufgehoben wird (f
r Stahl bei TK ^ 400 C), tritt unter konstanter Last eine mit der Zeit zunehmende Verformung, das Kriechen, ein (bei Kunststoffen schon bei normalen Temperaturen). Als Festigkeitswerte sind dann die Zeitstandfestigkeit Rm=t=T und die Zeitdehngrenze RP1=t=T , die zum Bruch bzw. zur Dehnung von 1% nach t ¼ 100 000 h bei der Temperatur T f
hren, zu ermitteln (s. E 1.6.4). Relaxation. Wird bei Stahl unter hohen Temperaturen ðT^ 400 KÞ die Dehnung konstant gehalten, so werden vorhandene Zwangsspannungen mit der Zeit (durch Kriechen) abgebaut (bei Kunststoffen schon bei normalen Temperaturen).

Bild 1. Spannungs-Dehnungs-Linien im plastischen Bereich

Umformtechnik. Hierbei handelt es sich um die Vorgnge bei der spanlosen Formgebung (Walzen, Pressen, Schmie-

C

C 54

Festigkeitslehre – 9 Plastizittstheorie

den). Die plastischen Verformungen sind hier so groß, daß die elastischen in der Theorie [3] nicht ber
cksichtigt werden (s. S 3).

C

Viskoelastizit
tstheorie. Sie befaßt sich mit dem elastischplastischen Verhalten der Kunststoffe unter besonderer Beachtung der Zeitabhngigkeit von Deformationen und Spannungen (Kriechen und Relaxation). Grundlagen sind die Materialgesetze von Maxwell und Kelvin [4].

9.2 Anwendungen. Applications 9.2.1 Biegung des Rechteckbalkens Bending of rectangular beams Unter der Annahme ideal-plastischen Materials (die Ergebnisse f
r verfestigendes Material weichen im plastischen Anfangsdehnungsbereich nur unwesentlich ab) gilt nach Bild 3 a bei Voraussetzung, daß die Querschnitte auch im plastischen Bereich eben bleiben (Bernoullische Hypothese), mit der Hhe h und der Breite b des Balkens Zh=2 sðzÞ zb dz mit sðzÞ ¼ sF z=a MbF ¼ 2 0

f
r 0
z
a und sðzÞ ¼ sF f
r a
z
h=2, d. h. Za Zh=2 MbF ¼ 2 sF ðz2 =aÞ b dz þ 2 sF zb dz 0

a

¼ 2sF ba2 =3 þ sF b½ðh=2Þ2  a2  ¼ sF ðbh2 =6Þð3=2  2 a2 =h2 Þ ¼ sF Wb ½1,5  ð2 a2 =h2 Þ ¼ MbE npl : MbE ist das Tragmoment des Rechteckquerschnitts bei Verlassen des elastischen Bereichs, npl die St
tzziffer, die angibt, in welchem Verhltnis sich das Tragmoment als Funktion des plastischen Ausdehnungsbereichs vergrßert. F
r a ¼ 0 (vollplastischer Querschnitt) wird npl ¼ 1; 5, d. h., die Tragfhigkeit ist um 50% grßer als beim Verlassen des elastischen Bereichs. F
r die Dehnung gilt eðzÞ ¼ ðeF =aÞz ¼ ðsF zÞ=ðEaÞ; emax ¼ sF h=ð2EaÞ; d. h., f
r a ¼ 0 (vollplastischer Querschnitt) wird emax unendlich, die volle Ausschpfung der Tragfhigkeit setzt also sehr große Deformationen voraus (an der Stelle des grßten Moments bildet sich ein sog. plastisches Gelenk). Deshalb wird in der Praxis die Dehnung ep auf 0,2% begrenzt. F
r St 37 mit sF ¼ 240 N=mm2 und E ¼ 2; 1  105 N=mm2 wird eF ¼ sF =E ¼ 0; 114%, also emax ¼ ep þ eF ¼ 0; 314% und damit a ¼ sF h=ð2emax EÞ ¼ 0; 182h. Hiermit folgt f
r die St
tzziffer npl ¼ 1; 5  2ða=hÞ2 ¼ 1; 43. F
r diesen Fall, also f
r ep ¼ 0; 2%, wird npl sF ¼ K 0;2 , also gleich dem Formdehngrenzwert nach C 1.2. Ergebnisse f
r verschiedene andere Querschnitte und Grundbeanspruchungsarten s. [1, 2].

Restspannung. Wird das am Querschnitt wirkende Moment MbF entfernt, so ist dies gleichwertig mit dem Aufbringen eines entgegengesetzt wirkenden Moments MbF (Bild 3 b). Da der Werkstoff bei Entlastung der Hookeschen Geraden AP1 (Bild 1) folgt, entstehen Spannungen se ðzÞ ¼ MbF z=Iy mit linearer Verteilung und dem Maximalwert se; max ¼ MbF =Wb . Die berlagerung mit den Spannungen s(z) nach Bild 3 a ergibt die Restspannungen sr ðzÞ ¼ sðzÞ  se ðzÞ nach Bild 3 c, die bei ungleichfrmigen Spannungszustnden nach jeder Dehnung
ber die Fließgrenze hinaus und anschließender Entlastung
brig bleiben.

9.2.2 R
umlicher und ebener Spannungszustand Three-dimensional and plane stresses Fließbedingungen. F
r ideal-elastisch-plastisches Material gilt nach Tresca ½ðs1  s2 Þ2  s2F  ½ðs2  s3 Þ2  s2F  ½ðs3  s1 Þ2  s2F  ¼ 0: Hiernach setzt Fließen ein, wenn die grßte Hauptspannungsdifferenz den Wert sF erreicht. Sind s1 und s3 die grßte und kleinste Hauptspannung, so folgt s1  s3 ¼ 2tmax ¼ sF . Wird sv ¼ sF als einachsige Vergleichsspannung angesehen, so ist das Tresca-Gesetz identisch mit der Schubspannungshypothese (s. C 1.3.2). v. Mises setzt an ðs1  s2 Þ2 þ ðs2  s3 Þ2 þ ðs3  s1 Þ2 ¼ 2 s2F : Hiernach setzt Fließen ein f
r pffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sV ¼ ð1= 2Þ ðs1  s2 Þ2 þ ðs2  s3 Þ2 þ ðs3  s1 Þ2 ¼ sF : Dieses Gesetz ist identisch mit der Gestaltungsnderungsenergiehypothese (s. C 1.3.3). Spannungs-Deformations-Gesetze Gesetz von Prandtl-Reuß. Es hat die infinite (differentielle) Form dV D ¼ dV D; e þ dV D; p ¼ ðdSD þ SD dlÞ=ð2GÞ bzw. nach Einf
hrung der Verzerrungsgeschwindigkeiten V_ D ¼ ðS_ D þ SD  l_ Þ=ð2GÞ: Hierbei ist V D der sog. Deviator des Verzerrungstensors V (s. C 1.1.2), d. h., es gilt V D ¼ V  e  I, wobei e ¼ ðex þ ey þ ez Þ=3 und I den Einheitskugeltensor darstellt. Der Verzerrungsdeviator gibt die Gestaltnderung bei gleichbleibendem Volumen wieder. SD ist der Deviator des Spannungstensors [5]. G ist der Schubmodul und dl bzw. l_ ist ein skalarer Proportionalittsfaktor, der sich durch Gleichsetzung der Gestaltnderungsenergien des rumlichen und des einach3 dsv sigen Vergleichszustandes zu dl ¼ ergibt, wobei 2 Tp ðsv Þ sv Tp ¼ dsv =devp der plastische Tangentenmodul (Anstieg der sv  evp -Linie) ist. Gesetz von Hencky. Dieses hat die finite Form   1 1 þ V D ¼ V D; e þ V D; p ¼ SD : 2G 2Gp Gp ist der variable Plastizittsmodul, der sich durch Anwendung des Gesetzes auf den einachsigen Vergleichszustand aus 1 sv 1 sv  zu Gp ðevp Þ ¼ , d. h. aus der entsprechenden evp ¼ 2Gp 3 3 evp Spannungs-Dehnungs-Linie ergibt.

Bild 3 a–c. Biegespannungen im plastischen Bereich. a Teilplastischer Querschnitt; b Spannungs
berlagerung bei Entlastung; c Restspannungen nach Entlastung

Geschlossenes dickwandiges Rohr unter Innendruck. Es wird der Spannungszustand im Rohr bei Beginn der Plastifizierung an der Innenfaser (d. h. Rohr gerade noch im elastischen Bereich), bei Plastifizierung bis zur Wandmitte und bei voller Plastifizierung der Wand untersucht. Voll elastischer

I10.1 Zustand. Aus C 3 Gl: ð5Þ folgt mit trz ¼ tzr ¼ t ¼ 0 und R ¼ 0 die Gleichgewichtsbedingung d dsr þ sr
st ¼ 0: ðr sr Þ
st ¼ r dr dr Hieraus ergeben sich die Spannungen zu 9
2  r2 r > > sr ¼
p  2 i 2 a2
1 , > = ra
ri r
 > ri2 ra2 > st ¼ p  2 þ 1 , sz ¼ p  ri2 =ðra2
ri2 Þ: > ; ra
ri2 r 2

ð1Þ

C 55


 sF r2 p1 ¼ pffiffiffi 1
i2 : ra 3 F
r die volle Plastifizierung folgt mit rp ¼ ra der Innendruck zu 2sF ra p2 ¼ pffiffiffi ln : ri 3

ð2Þ

Teilweise plastischer Zustand. F
r ideal elastisch-plastisches Material folgt aus der v. Mises-Fließbedingung mit s1 ¼ sr ; s2 ¼ st ; s3 ¼ sz ¼ 0;5ðsr þ st Þ die Fließbedingung pffiffiffi st
sr ¼ 2sF = 3:

Berechnungs- und Bewertungskonzepte

ð3Þ

F
r einen bis zum Radius rp plastifizierten Zylinder lauten die Spannungsformeln f
r den elastischen Bereich ðr ^ rp Þ gemß Gln. (2)
 sF rp2 r 2 sr ¼
pffiffiffi 2 a2
1 , 3 ra r ð4Þ
 sF rp2 ra2 sF rp2 st ¼ pffiffiffi 2 2 þ 1 , sz ¼ pffiffiffi 2 : 3 ra r 3 ra

Damit folgt als Steigerung der Tragfhigkeit vom elastischen zum vollplastischen Zustand f
r ein Rohr mit ra =ri ¼ 2 p2 =p1 ¼ 2 ln 2=0;75 ¼ 1;85: In Bild 4 ist der Verlauf der Spannungen f
r ein Rohr mit ra =ri ¼ 2;0 und gerade noch elastischem Spannungszustand (d. h. rp ¼ ri , p ¼ p1 ¼ 0;43 sF ) bzw. mit halber Plastifizierung ðrp ¼ 1;5 ri , p ¼ 0;72 sF Þ bzw. mit voller Plastifizierung ðrp ¼ ra , p ¼ p2 ¼ 0;80 sF Þ dargestellt. Man erkennt die starken Spannungsumlagerungen zwischen dem elastischen und plastischen Zustand f
r st und sz , dagegen nur geringe f
r sr .

F
r den plastischen Bereich ðr % rp Þ folgt aus Gl. (1) mit Gl. (3) die Gleichgewichtsbedingung r

dsr 2 sF
pffiffiffi ¼ 0 dr 3

ð5Þ

und hieraus die Spannungen

! rp2 sF rp sr ¼
pffiffiffi 1
2 þ 2 ln , ra r 3

ð6 aÞ

! ! rp2 sF rp sF rp2 rp st ¼ pffiffiffi 1 þ 2
2 ln , sz ¼ pffiffiffi 2
2 ln : ð6 bÞ ra r r 3 3 ra F
r den Innendruck folgt mit sr ðri Þ ¼
p aus Gl. (6 a, b) ! rp2 rp sF p ¼ pffiffiffi 1
2 þ 2 ln : ð7Þ ra ri 3 Hieraus kann der Plastifizierungsradius rp als Funktion des Innendrucks ermittelt werden und umgekehrt. Bei Beginn der Plastifizierung am Innenrand des Zylinders, d. h. f
r rp ¼ ri , folgt aus Gl. (7) der zugehrige Innendruck zu

10 Festigkeitsnachweis Structural integrity assessment H. Mertens, Berlin Der Festigkeitsnachweis hat im Rahmen des Produktentstehungsprozesses die Aufgabe, alle mglichen Versagensarten eines Bauteils whrend der Produktlebensdauer auszuschließen. Grundstzlich kann dieser Nachweis durch umfassende Bauteilversuche mit anwendungsspezifischen Belastungen an fertigen Bauteilen auf statistischer Grundlage erbracht werden. Der zeitliche und finanzielle Aufwand f
r solche betriebsnahen Versuche ist nicht unerheblich, andererseits aus Gr
nden der Produkthaftung nicht immer zu vermeiden. Zur Verringerung des Aufwandes knnen rechnerische Festigkeitsnachweise dienen, wenn die zugehrigen Berechnungen

Bild 4. Spannungen im Rohr mit ra =ri ¼ 2;0

und Bewertungen alle relevanten Einflußgrßen in angemessener Weise ber
cksichtigen und Unsicherheiten durch problemangepaßte Sicherheitsabstnde ausgeglichen werden.

10.1 Berechnungs- und Bewertungskonzepte Design calculation and integrity assessment Grundlegend f
r jeden aussagefhigen Festigkeitsnachweis sind Kenntnisse bzw. begr
ndete Annahmen
ber die whrend der Produktlebensdauer auftretenden Bauteilbelastungen, wobei neben den planmßig zu erwartenden Betriebsbelastungen auch solche aus denkbaren Sonderereignissen zu beachten sind. Auch die auf das jeweilige Bauteil einwirkenden, eventuell zeitlich vernderlichen Umgebungseinfl
sse (Temperatur, Korrosionsmedien, energiereiche Strahlen), die zum Bauteilversagen beitragen knnen, sind f
r eine Bewer-

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C 56

C

Festigkeitslehre – 10 Festigkeitsnachweis

tung unerl
ßlich. Das Bauteil selbst wird vor allem durch seine Gestalt (Bauteilgeometrie) und die verwendeten Werkstoffe gekennzeichnet. In bestimmten F
llen sind aber auch die Oberfl
chenstruktur (Rauhigkeit, Verfestigungen und Eigenspannungen aus dem Fertigungsprozeß, siehe E 1.4) und Fertigmaßtoleranzen (Imperfektionen bei Stabilit
tsproblemen, C 7) versagensrelevant. Mit diesen Informationen l
ßt sich ein Festigkeitsnachweis nach Bild 1 aufbauen, wenn zur Bewertung geeignete, miteinander verknpfbare Wissensbasen zum Verhalten
hnlicher Bauteile mit vergleichbaren Belastungsarten und Umwelteinflssen vorliegen. Durch die Wissensbasen werden das anzuwendende Berechnungsmodell und das zugehrige Bewertungsmodell festgelegt. Der Festigkeitsnachweis vergleicht die rechnerischen mit den zul
ssigen Bauteilbeanspruchungen. Auf gleiche Weise lassen sich auch Bauteilverzerrungen (Dehnungen, Gleitungen) bewerten. Durch wissensbasierte Berechnungs- und Bewertungsmodelle soll eine ausreichend genaue Beurteilung der in einem Maschinen- oder Anlagenteil ablaufenden sch
digenden Vorg
nge unter Beachtung der Wechselwirkungen mit der Umgebung ermglicht werden. Werden mit dem Berechnungsmodell zur Kennzeichnung der Beanspruchungen Nennspannungen ermittelt und mit dem Festigkeitsnachweis bewertet, so spricht man von einem Festigkeitsnachweis nach dem Nennspannungskonzept; werden Kerbgrundspannungen und/oder Kerbgrundverzerrungen beurteilt, so wird der Nachweis nach einem Kerbgrundkonzept gefhrt [1]. Darber hinaus werden zunehmend Bruchmechanikkonzepte angewendet, wenn Bauteilung
nzen (z. B. ausgeschmiedete kleine Lunker) in die Bewertung einzubeziehen sind [8].

die blichen Stabilit
tsberechnungen nach C 7 sind hier einzuordnen. Charakteristische Rechenvorschriften haben die Schreibweise szn ¼ F=An oder sbn ¼ Mb =Wb oder ttn ¼ Mt =Wt ð1Þ mit der Zugnennspannung szn (neuerdings auch Sz ), der Biegenennspannung sbn (auch Sb ), der Torsionsnennspannung ttn (auch Tt ), dem Nennquerschnitt An , dem Biegewiderstandsmoment Wb sowie dem Torsionswiderstandsmoment Wt (siehe C 2.1.4, C 2.4.5, C 2.5.4). Die Bewertung erfolgt bei einachsiger Belastung beispielsweise mit den Festigkeitsbedingungen szn
szn; zul oder sbn
sbn; zul oder ttn
ttn; zul

ð2Þ

und den zul
ssigen Werten der Zugnennspannung szn; zul ; der Biegenennspannung sbn; zul oder Torsionsnennspannungen ttn; zul aus Versuchen an weitgehend
hnlichen Bauteilen sowie Belastungen und Sicherheitszuschl
gen aus Betriebserfahrungen. Bei mehrachsiger Belastung kommen zweckm
ßigerweise Interaktionsformeln zur Anwendung; beispielsweise beim Festigkeitsnachweis von Wellen und Achsen nach DIN 743

 szn sbn 2 ttn 2 þ þ
1: ð3Þ szn; zul sbn; zul ttn; zul Alternativ hierzu bewertet man Vergleichsnennspannungen mit sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
 szn; zul szn; zul 2 2 svn ¼ szn þ sbn þ  ttn
szn; zul :ð4Þ sbn; zul ttn; zul Gl. (4) entspricht formal der Schubspannungshypothese nach C 1.3.2 fr ðszn; zul =ttn; zul Þ2 ¼ 4 oder der v. MISES-Hypothese nach C 1.3.3, wenn lediglich Zugspannungen sx und Schubspannungen t wirken. Die „Ellipsengleichung“ (3) kann im Einzelfall von den tats
chlichen Versuchsergebnissen abweichen. Zur Anpassung verwendet man dann beispielsweise statt Gl. (4) Interaktionsformeln mit den Exponenten s, t und Kombinationsfaktoren ks , kt      szn  ttn t sbn s 
1: ks  þ þkt  ð5Þ  szn; zul sbn; zul ttn; zul  Die „Geradengleichung“ mit ks ¼ kt ¼ s ¼ t ¼ 1 wurde teilweise bei Reibkorrosionsproblemen [2] und bei starken Frequenzunterschieden zwischen Normal- und Schubspannungen [3] beobachtet. Sofern weitere mehrachsige Nennspannungen in einer Bauteilzone berechnet werden knnen, wie beispielsweise in Schweißn
hten, sind die Interaktionsformeln oder Vergleichsnennspannungs-Formeln zu erweitern; siehe hierzu G 1.1.5; allerdings kann dann die formale hnlichkeit zu den Festigkeitshypothesen nach C 1.3 nicht mehr in vollem Umfang gewahrt werden!

Bild 1. Konzept eines Festigkeitsnachweises

10.2 Nennspannungskonzepte Nominal stress approach Berechnungsmodelle zur Nennspannungsbestimmung beruhen meist auf stark vereinfachenden Annahmen zur Spannungsermittlung, wobei Spannungskonzentrationen an Bauteilkerben, Fgestellen und Einspannungen bewußt nicht beachtet werden. Deshalb mssen die Einflsse dieser jedoch schadensrelevanten Spannungskonzentrationen in den zul
ssigen Nennspannungen bercksichtigt werden. Die Berechnungen werden damit einfach, die Bewertungssicherheit h
ngt von den zum Vergleich verfgbaren Versuchsergebnissen ab. Zur Berechnung werden vorwiegend Stab- und Balkenmodelle nach C 2 oder Fl
chentragwerke nach C 5 benutzt; auch

Anwendungsnormen und -richtlinien. Da Nennspannungskonzepte im Grunde Versuchsumrechnungskonzepte sind, mssen bei ihrer Anwendung die bei der Versuchsauswertung und Dokumentation angewandten Strategien dem Anwender in praxistauglicher Form vermittelt werden. Ein anschauliches Beispiel bietet die Berechnung von Schweißn
hten fr die verschiedenen Anwendungsgebiete mit den zugehrigen Normen und Vorschriften nach Anh. G 1 Tabelle 2. Einen Einblick in die Struktur dieser Nennspannungskonzepte bringt G 1.1.5. Aus den Belastungen werden statische und dynamische Nennbeanspruchungen in den kritischen Bauteilquerschnitten berechnet. Fr den Maschinenbau ist dabei die Beschreibung der dynamischen Beanspruchungen durch Beanspruchungsgruppen B 1 bis B 6 nach der DIN 15 018, die durch Spannungs-(Lastspiel-)bereiche N 1 bis N 4 und Spannungskollektive S0 bis S3 bestimmt sind, sehr hilfreich. Die

I10.3 Angabe der zul
ssigen Spannungen erfolgt dann hinreichend genau in Abh
ngigkeit von diesen Beanspruchungsgruppen durch Bezug auf charakteristische Naht- und Anordnungsformen (Kerbf
lle) K 1 bis K 4; berblick in G 1.1.5 mit Tab. 4 bis 6 und Bildern 22 und 23. Dieser Ermdungsfestigkeitsnachweis – auch Betriebsfestigkeitsnachweis genannt – schließt mit dem Spannungskollektiv S 3 (mit konstanter Beanspruchungsamplitude) und dem Spannungsspielbereich N 4 (mit ber 2
106 Lastwechseln) den Dauerfestigkeitsnachweis mit ein. Die Bercksichtigung von Mittel-(Nenn-)Spannungen erfolgt mit dem Dauerfestigkeitsschaubild (Smith-Diagramm) nach Bild 23. Der Nachweis fr vorwiegend statische Beanspruchungen (bis 104 Schwingspiele) – der statische Festigkeitsnachweis – wird getrennt gefhrt. Hinweise zu Anwendungsnormen und Richtlinien weiterer Bauteilverbindungen siehe G 1. Die FKM-Richtlinie zum Festigkeitsnachweis fr Maschinenbauteile, in die umfangreiches Wissen aus frheren TGL-Standards eingeflossen ist [4], wurde inzwischen auf Bauteile aus Al-Legierungen erweitert [7]. Auch die Dimensionierung von Zahnradgetrieben nach G 8 erfolgt teilweise nach einem Nennspannungskonzept. Kerbwirkungszahl. Die vielf
ltigen Einflsse auf die Bauteilfestigkeit erschweren eine einfache bertragbarkeit der zul
ssigen bzw. ertragbaren Beanspruchungen von Prfkrpern auf andersartig gestaltete, gefertigte und belastete Bauteile. Eine erfolgreiche bertragung von Versuchsergebnissen auf Bauteile kann nur erwartet werden, wenn die dominanten Sch
digungsmechanismen, die zum Versagen des Prfkrpers fhrten, in vergleichbarer Weise auch bei dem zu beurteilenden Bauteilverhalten wirksam werden. Die sicherste bertragbarkeit wird dann erreicht, wenn Prfkrper und Bauteil derselben Bauteilgruppe angehren; deshalb knnen beispielsweise errechnete Beanspruchungen in Zahnr
dern mit Versuchen an Standard-Referenz-Prfr
dern unter StandardPrfbedingungen mit hoher Aussagesicherheit beurteilt werden. Weichen Prfkrper und Bauteil st
rker voneinander ab oder sind die Belastungs- oder Umgebungseinwirkungen nicht gleichartig, dann werden die rechnerischen Vorhersagen st
rker von dem sp
teren realen Bauteilverhalten abweichen. Die in der Praxis h
ufig verwendeten Kerbwirkungszahlen bk (auch Kf ), die das Verh
ltnis von ertragbaren Nennbeanspruchungen an glatten, ungekerbten Werkstoffproben (beispielsweise der Dauerfestigkeit sD ) zu ertragbaren Nennspannungen an gekerbten Proben (beispielsweise der Bauteildauerfestigkeit sDk ) angeben, ð6Þ bk ¼ sD =sDk ; knnen folglich nur dann zur sicheren bertragung von Versuchsergebnissen genutzt werden, wenn ein ausreichend genaues Umrechnungsverfahren fr Kerbwirkungszahlen auf der Grundlage der wirksamen Sch
digungsmechanismen vorliegt. Einen Ansatz fr solche Umrechnungsverfahren bieten bei Bauteilen mit kr
ftefreien Oberfl
chen die Kerbgrundkonzepte, bei reib- und kraftschlssigen Bauteilverbindungen mssen auch tribologische Kenngrßen in die Bewertung einfließen (siehe E 5).

10.3 Kerbgrundkonzepte Local stress or strain approach Kerbgrundkonzepte fr Bauteile mit kr
ftefreien Oberfl
chen erfordern die Kenntnis der Beanspruchungen (Spannungen, Dehnungen, Gleitungen) im Bereich der anrißgef
hrdeten Bauteilstellen. Diese Beanspruchungen knnen grunds
tzlich bei Kenntnis der statischen und zyklischen Werkstoffgesetze nach E 1 (z. B. Bild 22) mit nichtlinearen Berechnungen nach der Methode der Finiten Elemente (FEM) entsprechend C 8 einschließlich einer geeigneten Plastizit
tstheorie nach C 9 berechnet werden. Da die Rechenzeiten fr solche Berech-

Kerbgrundkonzepte

C 57

nungen mit derzeitigen Rechnern immens hoch sind, wird man sich im allgemeinen auf lineare FEM-Berechnungen beschr
nken und den Einfluß der Nichtlinearit
ten durch erfahrungsgesttzte Konzepte f
r Mikro- und Makrost
tzwirkung bercksichtigen. Werden die durch Spannungsumlagerungen bedingten Sttzwirkungen nicht in die Beurteilung einbezogen, erh
lt man bei sonst gleichen Annahmen Aussagen mit erhhter Sicherheit; das zugehrige Konzept wird als elastisches Kerbgrundkonzept bezeichnet. Die Grundlagen dieses Konzepts mit rtlichen, elastischen Spannungen bilden die Bausteine fr die g
ngigen erweiterten Konzepte mit Sttzwirkung. Elastische Formzahl (Spannungsformzahl). Durch das Verh
ltnis der errechneten, hchsten elastischen Kerbgrundspan^ bzw. ^t zu einer einfach zu ermittelnden Nennspannung s nung sn bzw. tn , werden elastische Formzahlen ak definiert, die fr die praktische Berechnung wegen ihrer N
he zur Kerbwirkungszahl bk (nach Gl. (6))
ußerst ntzlich sind. Oft gilt ^ =sn bzw: ak ¼ ^t=tn ð7Þ ak ¼ s mit einer Nennspannung, die auf den engsten Bauteilquerschnitt bezogen wird; beispielsweise Anh. E 1 Tab. 4. Abweichend hierzu kann bei durchbohrten St
ben auch die Definiti^ =tn o.
. notwendig werden, wenn die schadensreleon ak ¼ s vante Zugspannung am Bohrungsrand durch eine Torsionsnennbelastung hervorgerufen wird! Vereinzelt werden auch Vergleichsspannungen nach der MISES-Hypothese auf Nennspannungen bezogen, die Formzahlen sollten dann mit einem Index gekennzeichnet werden (akv statt ak ). Mikrost
tzwirkung. Das Verh
ltnis nc der Formzahl ak zur Kerbwirkungszahl bk bei Dauerfestigkeit wird neben dem Werkstoff vor allem vom Kerbradius r beeinflußt. In E 1 Bild 34, wird dieser Zusammenhang verdeutlicht. Bei kleineren Kerbradien, die stets zu einer Formzahlerhhung fhren, ist danach die Sttzwirkung grßer als bei grßeren Radien. In der Praxis des Maschinenbaus sind alternativ verschiedene Umrechnungsverfahren zur Bestimmung der relevanten St
tzzahlen ns ¼ aks =bks bzw: nt ¼ akt =bkt

ð8Þ

bei Normalspannungen bzw. Schubspannungen blich. Grundlage dieser Verfahren ist meist das Spannungsgeflle G in Richtung der Oberfl
chennormalen n ðGs ¼ d s=d n bzw. Gt ¼ d t=d n) an der hchstbeanspruchten Stelle der betrachteten Bauteilkerbe (s. E 1 Bild 32). Die Sttzwirkung bei Dauerfestigkeit wird dann ber das auf die Spannungsampli^ a bzw. ^ta bezogene Spannungsgeflle Gs ¼ Gs =^ sa tuden s bzw. Gt ¼ Gt =^ta unter Beachtung einer Mikrost
tzlnge rs bzw. rt berechnet. H
ufig werden die Sttzzahlen nach qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð9Þ ns ¼ 1 þ
rs
Gs bzw: nt ¼ 1 þ
rt
Gt bestimmt. In erster N
herung gilt bei Zug-Druck und Biegung Gs ¼ 2=r und bei Schub Gt ¼ 1=r mit dem Kerbradius r sowie bei Wellenst
hlen sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 55 N=mm2 G ð10Þ ns  nt ¼ 1 þ Rp 0;2 ½mm1  mit der Dehngrenze Rp 0;2 [3]. Genauere Sch
tzformeln siehe FKM-Richtlinie [7] oder DIN 743. Die Berechnung der Sttzzahlen aus ns und nt ermglicht rckwirkend die Vorhersage der zu erwartenden Kerbwirkungszahlen und damit nach Gl. (8) und dann nach Gl. (6) die Berechnung der dauernd ertragbaren Nennspannungsamplituden in Bauteilen mit kr
ftefreien Oberfl
chen bei Kenntnis der Werkstoff-Dauerfestigkeiten – zun
chst fr den Fall reiner Wechselbeanspruchungen. Unter Beachtung der erforderlichen Sicherheiten folgen die zul
ssigen Nennspannungs-

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C 58

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Festigkeitslehre – 10 Festigkeitsnachweis

amplituden, die in Gl. (3) oder Gl. (4) ben
tigt werden. Treten zustzlich zu den Wechselbeanspruchungen Mittelspannungen auf oder sollen Zeitfestigkeitsberechnungen durchgefhrt werden, so ist es ntzlich, neben der mindestens erreichbaren Mikrosttzwirkung auch die ber gr
ßere Bauteilbereiche wirkende Makrosttzwirkung durch plastische Umlagerung der Spannungen und Dehnungen zu bercksichtigen. Makrost
tzwirkung. Der Einfluß der Mittelspannungen (Mittelspannungsempfindlichkeit s. E 1 Bild 21) wird in der Werkstofftechnik durch Dauerfestigkeitsschaubilder nach Smith oder Haigh nach E 1 Bild 20 oder Anh. E 1 Bilder 1 und 2, dokumentiert, die sich oft auf Probendurchmesser 7,5 mm beziehen. Fr die praktische Anwendung ben
tigt man dann Gr
ßeneinflußfaktoren zur Umrechnung der ertragbaren Beanspruchungen auf andere Durchmesser. Gr
ßeneinflußfaktoren sind im wesentlichen von der durchmesserabhngigen Werkstoffzugfestigkeit Rm und/oder der Dehngrenze Rp 0;2 abhngig. Umrechnungsverfahren siehe u. a. FKMRichtlinie [7] oder DIN 743. Die tatschlichen wirksamen Zug-Mittelspannungen sind vor allem bei fließfhigen Bauteilen erheblich niedriger als die mit linearen FEM-Berechnungen oder elastischen Formzahlen ak errechenbaren Zug-Mittelspannungen, da sich durch Fließen und zyklisches Kriechen die h
chstbeanspruchten Stellen des gefhrdeten Bauteilbereichs zu Lasten der Nachbarbezirke entlasten. Dieser Sachverhalt erklrt, warum bei verformungsfhigen Werkstoffen und bei Vermeidung von extremer Mehrachsigkeit des Spannungszustands hufig lediglich die Nenn-Mittelspannungen bercksichtigt werden; vergleiche hierzu Schweißnahtberechnungen nach DIN 15 018 u. . Die Makrosttzwirkung lßt sich formal mit der Makrosttzzahl m in den Festigkeitsnachweis einbeziehen. Bei einachsiger Beanspruchung gilt fr die wirksame Mittelspannung ^ m =ðns
mÞ bzw: tm ¼ ^tm =ðnt
mÞ: sm ¼ s

ð11Þ

^ m ¼ aks
smn und verformungsfhigem BauteilquerBei s schnitt kann die Makrosttzzahl m ¼ aks =ns betragen, so daß sm ¼ smn folgt; analoges gilt fr Schubspannungen. Da Eigenspannungen wie Mittelspannungen wirken und sofern „Nenneigenspannungen“ der Wert Null zugewiesen werden kann, beispielsweise in statisch bestimmten Bauteilen, relaxieren Eigenspannung bei Vermeidung von Spannungsverspr
dung im Kerbgrund tendenziell gegen Null. Ist die Verformbarkeit des Werkstoffs eingeschrnkt, dann gelten diese einfachen Regeln nicht. Methoden zur Berechnung der Makrosttzzahl siehe E 1 Bild 41 oder genauer [3, 6]. Bei mehrachsiger Beanspruchung und Verformungsfhigkeit gilt fr Wellen und Achsen (DIN 743) als Vergleichs-Nennmittelspannung qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð12Þ svm ¼ ðszm þ sbm Þ2 þ 3 t2m entsprechend der v. MISES-Hypothese, wobei keinesfalls alle Reserven – besonders bei Druckspannungen – genutzt werden. Verbesserte Gleichungen fr synchrone und auch phasenverschobene Beanspruchungen siehe [3, 5]. Dort k
nnen auch Zeitfestigkeitsberechnungen fr nahezu beliebige Beanspruchungsverlufe gefunden werden.

Bild 2. Knotenblech mit Bohrung sowie zeitlich vernderlichen Nennbeanspruchungen

Realittsnahe Zeitfestigkeitsberechnungen mit hoher Aussagegte erfordern auch fr Spannungsamplituden die Anwendung von Makrosttzzahlen ma : Hinweis: Bei mehrachsiger Zugbelastung, beispielsweise nach Bild 2, k
nnen an den Kerbstellen einachsige Beanspruchungsverhltnisse entstehen. Dieses ist bei der Aufstellung von Interaktionsformeln fr solche Anwendungsflle zu beachten. Die formale bertragung von Vergleichsspannungshypothesen als Leitidee zur Formulierung von Interaktionsformeln – wie in der FKM-Richtlinie [7] – kann bei nicht sachgerechter Vorgehensweise zu Fehlinterpretationen fhren. Im vorliegenden Beispiel wre die an die Interaktionsformel der DIN 15 018 anknpfende Formel fr die Nennspannungsamplituden        sya 2  sxa   sya  sxa 2 þ    sxa; zul sya; zul sxa; zul sya; zul    tta 2  1; 0 þ tta; zul

ð13Þ

nicht sachgerecht. Notwendig ist wegen der vorliegenden Einachsigkeit der Kerbgrundbeanspruchungen und der Phasenverschiebung der zeitlich vernderlichen Nennspannungen – getrennt fr die Außenkerben und die Bohrung – je eine Interaktionsformel entsprechend     kx sxa þ ky sya   1; 0 ð14Þ  s sya; zul  xa; zul mit von der Phasenverschiebung der Nennspannungen abhngigen Kombinationsfaktoren kx und ky (hnlich Gl. (5)). Deshalb ist bei Bauteilen mit mehreren nichtsynchronen Belastungsgruppen der Einsatz von Interaktionsformeln m
glichst experimentell abzusichern oder – sofern realisierbar – ein abgesichertes Kerbgrundkonzept anzuwenden.

I11

Anhang C: Diagramme und Tabellen

C 59

11 Anhang C: Diagramme und Tabellen Appendix C: Diagrams and Tables Anh. C 2 Tabelle 1. Warmgewalzte I-Tr
ger, schmale I-Tr
ger, I-Reihe nach DIN 1025 Blatt 1 (Auszug)

C

C 60

Festigkeitslehre – 11 Anhang C: Diagramme und Tabellen

Anh. C 2 Tabelle 2. Warmgewalzte I-Tr
ger, breite I-Tr
ger, leichte Ausfhrung, IPBl-Reihe nach DIN 1025 Blatt 3 (Auszug)

C

Anh. C 2 Tabelle 3. Warmgewalzte I-Tr
ger, mittelbreite I-Tr
ger, IPE-Reihe nach DIN 1025 Blatt 5 (Auszug)

I11

Anhang C: Diagramme und Tabellen

C 61

Anh. C 2 Tabelle 4. Warmgewalzte I-Tr
ger, breite I-Tr
ger, IPB-Reihe nach DIN 1025 Blatt 2 (Auszug)

C

Anh. C 2 Tabelle 5. Blanker Rundstahl: Zul
ssige Abweichungen nach ISO-Toleranzfeld h 8 nach DIN 670 (Auszug)
bliche Ausfhrungen: d < 45 mm kaltgezogen (K) und anschließend geschliffen, d  45  150 mm geschlt (SH) und anschließend geschliffen

Anh. C 2 Tabelle 6. Blanker Rundstahl: Zul
ssige Abweichungen nach ISO-Toleranzfeld h 11 nach DIN 668 (Auszug)
bliche Ausfhrungen: d < 45 mm kaltgezogen (K), d  45  200 mm geschlt (SH)

C 62

Festigkeitslehre – 11 Anhang C: Diagramme und Tabellen

Anh. C 2 Tabelle 7. Warmgewalzte I-Tr
ger, verst
rkte Ausfhrung, IPBv-Reihe nach DIN 1025 Blatt 4 (Auszug)

C

Anh. C 2 Tabelle 8. Warmgewalzter rundkantiger, hochstegiger T-Stahl nach DIN 1024 (Auszug)

I11

Anhang C: Diagramme und Tabellen

C 63

Anh. C 2 Tabelle 9. Warmgewalzter rundkantiger, breitf
ßiger T-Stahl nach DIN 1024 (Auszug)

C

Anh. C 2 Tabelle 10. Warmgewalzter rundkantiger Z-Stahl nach DIN 1027 (Auszug)

Anh. C 2 Tabelle 11. Warmgewalzter ungleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl nach DIN 1029 (Auszug)

C 64

C Festigkeitslehre – 11 Anhang C: Diagramme und Tabellen

I11

Anhang C: Diagramme und Tabellen

C 65

Anh. C 2 Tabelle 12. Warmgewalzter gleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl nach DIN 1028 (Auszug)

C

Anh. C 2 Tabelle 13. Warmgewalzter rundkantiger U-Stahl nach DIN 1026 (Auszug)

C 66

Festigkeitslehre – 11 Anhang C: Diagramme und Tabellen

Anh. C 2 Tabelle 14. Warmgewalzter Flachstahl f
r allgemeine Verwendung nach DIN 1017 (Auszug)

C

Anh. C 2 Tabelle 15. Warmgewalzter Rundstahl f
r allgemeine Verwendung nach DIN 1013 (Auszug)

Anh. C 2 Tabelle 16. Nahtlose Stahlrohre nach DIN 2448 (Auszug). Fettdruck weist Rohre der Reihe 1 in Vorzugswanddicken aus

I11 Anhang C: Diagramme und Tabellen

C 67

C

Anh. C 2 Tabelle 17. Geschweißte Rohre nach DIN 2458 (Auszug). Fettdruck weist Rohre der Reihe 1 in Vorzugswanddicken aus

C 68

C Festigkeitslehre – 11 Anhang C: Diagramme und Tabellen

I12

12 Spezielle Literatur Special bibliography zu C 1 Allgemeine Grundlagen [1] Leipholz, H.: Einf
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C 69

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nchen: Hanser 1975. – [2] Gallagher, R. H.: Finite-ElementAnalysis. Berlin: Springer 1976. – [3] Schwarz, H. R.: Methode der finiten Elemente. Stuttgart: Teubner 1980. – [4] Link, M.: Finite Elemente in der Statik und Dynamik. Stuttgart: Teubner 1984. – [5] Argyris, J.; Mlejnek, H.-P.: Die Methode der finiten Elemente. Bd. I–III. Braunschweig: Vieweg 1986–1988. – [6] Bathe, K.-J.: Finite-Element-Methoden. Berlin: Springer 1986. – [7] Oldenburg, W.: Die Finite-Elemente-Methode auf dem PC. Braunschweig: Vieweg 1989. – [8] Wellinger, K.; Dietmann, H.: Festigkeitsberechnung, Grundlagen und technische Anwendung. 3. Aufl. Stuttgart: Krner 1976. – [9] Hampel, H.: Rohrleitungsstatik, Grundlagen, Gebrauchsformeln, Beispiele. Berlin: Springer 1972. – [10] Collatz, L.: Numerische Behandlung von Differentialgleichungen, 2. Aufl. Berlin: Springer 1955. – [11] Girkmann, K.: Flchentragwerke, 3. Aufl. Wien: Springer 1954. – [12] Hartmann, F.: Methode der Randelemente. Berlin: Springer 1987. – [13] Brebbia, C. A.; Telles, J. C. F.; Wrobel, L. C.: Boundary Element Techniques, Berlin: Springer 1987. – [14] Zotemantel, R.: Berechnung von Platten nach der Methode der Randelemente, Dissertation 1985: Universitt Dortmund. – [15] Giencke, E; Petersen, J.: Ein finites Verfahren zur Berechnung schubweicher orthotroper Platten. Der Stahlbau 6/ 1970. – [16] M
ller, G.; Rehfeld, J.; Katheder, W.: FEM f
r Praktiker, 2. Aufl. Grafenau: expert verlag 1995. zu C 9 Plastizittstheorie [1] Wellinger, K.; Dietmann, H.: Festigkeitsberechnung. Grundlagen und technische Anwendung, 3. Aufl. Stuttgart: Krner 1976. – [2] Reckling, K. A.: Plastizittstheorie und ihre Anwendung auf Festigkeitsprobleme. Berlin: Springer 1967. – [3] Lippmann, H.; Mahrenholtz, O.: Plastomechanik der Umformung metallischer Werkstoffe. Berlin: Springer 1967. – [4] Schreyer, G.: Konstruieren mit Kunststoffen. M
nchen: Hanser 1972. – [5] Szabo´, I.: Hhere Technische Mechanik. Korrigierter Nachdruck der 5. Aufl. Berlin: Springer 1977. – [6] Ismar, H.; Mahrenholtz, O.: Technische Plastomechanik, Braunschweig: Vieweg 1979. – [7] Kreißig, R.; Drey, K.-D., Naumann, J.: Methoden der Plastizitt. M
nchen: Hanser 1980. – [8] Lippmann, H.: Mechanik des plastischen Fließens. Berlin: Springer 1980. zu C 10 Festigkeitsnachweis [1] Mertens, H.: Kerbgrund- und Nennspannungskonzept zur Dauerfestigkeitsberechnung – Weiterentwicklung des Konzepts der Richtlinie VDI 2226. In VDI-Berichte 661: Dauerfestigkeit und Zeitfestigkeit – Zeitgemße Berechnungskonzepte. Tagung Bad Soden, 1988. D
sseldorf: VDI-Verlag, 1988. – [2] Gerber, H. W.: Statisch
berbestimmte Flanschverbindungen mit Reib- und Formschlußelementen unter Tor-

C

C 70

C

Festigkeitslehre – 12 Spezielle Literatur

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tzung fr Bauteile unter mehrachsig schwingender Beanspruchung. Dissertation TU Berlin 1995. Berlin: Wissenschaft und Technik Verlag Dr. Jrgen Groß, 1995. – [4] FKM-Richtlinie: Rechnerischer Festigkeitsnachweis fr Maschinenbauteile. 3., vollst
ndig berarbeitete und erweiterte Ausgabe. Forschungskuratorium Maschinenbau e. V., Frankfurt 1998. – [5] Mertens, H.; Hahn, M.: Vergleichspannungshypothese zur Schwingfestigkeit bei zweiachsiger Beanspruchung ohne und mit Phasenverschiebung. Konstruktion 45 (1993) 192–202. – [6] Mertens, H.; Hahn, M.: Vorhersage

von Bauteil-Whlerlinien fr Nennspannungskonzepte. Konstruktion 49 (1997) 31–37. – [7] FKM-Richtlinie: Rechnerischer Festigkeitsnachweis fr Maschinenbauteile aus Stahl, Eisenguss- und Aluminiumwerkstoffen. 4., erweiterte Ausgabe, Forschungskuratorium Maschinenbau e. V., VDMA-Verlag Frankfurt am Main 2002. – [8] FKM-Richtlinie: Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis fr Maschinenbauteile. 1. Ausgabe, Forschungskuratorium Maschinenbau e. V., VDMA-Verlag GmbH Frankfurt am Main 2001. – Normen: DIN 743: Tragf
higkeitsberechnung von Wellen und Achsen. – DIN 15 018, Teil 1 – 3: Krane, Stahltragwerke, Berechnung und Ausfhrung.

I1.2 Beschreibung des Zustands eines Systems. Thermodynamische Prozesse

D

D1

Thermodynamik Thermodynamics K. Stephan, Stuttgart, und P. Stephan, Darmstadt

Allgemeine Literatur zu D 1 bis D 10 B
cher: Baehr, H. D.: Mollier-i, x-Diagramm f
r feuchte Luft in den Einheiten des Internationalen Einheitensystems. Berlin: Springer 1961. – Baehr, H. D.: Thermodynamik. Grundlagen und technische Anwendungen. 11. Aufl. Berlin: Springer 2002. – Baehr, H. D.; Stephan, K.: Wrme- und Stoff
bertragung. 4. Aufl. Berlin: Springer 2003. – Bosˇnjakovic´, F.; Knoche, K. F.: Technische Thermodynamik, Teil 1, 8. Aufl. 1998, Darmstadt: Steinkopff, Teil 2, 6. Aufl. 1997. Darmstadt: Steinkopff. – Brandt, F.: Brennstoffe und Verbrennungsrechnung. Fachverband Dampfkessel-Behlter- und Rohrleitungsbau. Fachbuchreihe, Bd. 1, 3. Aufl. 1999. Essen: Vulkan. – Brandt, F.: Wrme
bertragung in Dampferzeugern und Wrmetauschern. Fachverband Dampfkessel-Behlter- und Rohrleitungsbau. Fachbuchreihe, Bd. 2, 2. Aufl. 1995 Essen: Vulkan. – Cammerer, J. S.: Der Wrme- und Klteschutz in der Industrie. 5. Aufl. Berlin: Springer 1995. – Cerbe, G.; Hoffmann, H.-J.: Einf
hrung in die Thermodynamik. 15. Aufl. M
nchen: Hanser 2002. – Grigull, U.: Technische Thermodynamik. 3. Aufl. Berlin: de Gruyter 1977. – Wagner, W.; Kruse, A.: Properties of water and steam. Zustandsgrßen von Wasser und Wasserdampf. Berlin: Springer 1998. – Hausen, H.: Wrme
bertragung im Gegenstrom, Gleichstrom und Kreuzstrom. 2. Aufl. Berlin: Springer 1976. – Langeheinecke, K. (Hrsg).; Jany, P.; Sapper, E.: Thermodynamik f
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bergang beim Kondensieren und beim Sieden. Berlin: Springer 1988. – Stephan, K.; Mayinger, F.: Thermodynamik, Bd. 1: Einstoffsysteme. 15. Aufl. Bd. 2: Mehrstoffsysteme und chemische Reaktionen. 14. Aufl. Berlin: Springer 1998 und 1999.

1 Thermodynamik. Grundbegriffe Scope of Thermodynamics. Definitions Die Thermodynamik ist als Teilgebiet der Physik eine allgemeine Energielehre. Sie befasst sich mit den verschiedenen Erscheinungsformen der Energie und deren Umwandlung ineinander. Sie stellt die allgemeinen Gesetze bereit, die jeder Energieumwandlung zugrunde liegen.

1.1 Systeme, Systemgrenzen, Umgebung Systems, boundaries of systems, surroundings Unter einem thermodynamischen System, kurz auch System genannt, versteht man dasjenige materielle Gebilde oder Gebiet, das Gegenstand der thermodynamischen Untersuchung sein soll. Beispiele f
r Systeme sind eine Gasmenge, eine Fl
ssigkeit und ihr Dampf, ein Gemisch mehrerer Fl
ssigkeiten, ein Kristall oder eine energietechnische Anlage. Das System wird durch eine materielle oder gedachte Systemgrenze von seiner Umwelt, der sog. Umgebung getrennt. Eine Systemgrenze darf sich whrend des zu untersuchenden Vorgangs verschieben, beispielsweise wenn sich eine Gasmenge ausdehnt, und sie darf außerdem f
r Energie und Materie durchlssig sein. Energie kann
ber eine Systemgrenze mit einer ein- oder austretenden Materie sowie in Form von Wrme (D 3.2.3) und Arbeit (D 3.2.1) transportiert werden. Das System mit seiner Systemgrenze dient bei der Betrachtung und Berechnung von Energieumwandlungsprozessen als Bilanzraum mit seiner Bilanzgrenze. Stellt man z. B. eine Energiebilanz (D 3 Erster Hauptsatz) f
r das System auf, so werden die
ber die Systemgrenze ein- und austretenden Energien und die Energienderungen und Eigenschaften im System in Form einer Bilanzgleichung miteinander verkn
pft. Ein System heißt geschlossen, wenn die Systemgrenze f
r Materie undurchlssig und offen, wenn sie f
r Materie durchlssig ist. Whrend die Masse eines geschlossenen Systems unvernderlich ist, ndert sich die Masse eines offenen Systems, wenn die whrend einer bestimmten Zeit in das

System einstrmende Masse von der ausstrmenden verschieden ist. Sind einstrmende und ausstrmende Masse gleich, so bleibt auch die Masse des offenen Systems konstant. Beispiele f
r geschlossene Systeme sind feste Krper oder Massenelemente in der Mechanik, Beispiele f
r offene Systeme sind Turbinen, Strahltriebwerke, strmende Fluide (Gase oder Fl
ssigkeiten) in Kanlen. Ist ein System gegen
ber seiner Umgebung vollkommen thermisch isoliert, kann also keine Wrme
ber die Systemgrenze transportiert werden, so spricht man von einem adiabaten System. Abgeschlossen nennt man ein System, das von allen Einwirkungen seiner Umgebung isoliert ist, sodass weder Energie in Form von Wrme oder Arbeit noch Materie mit der Umgebung ausgetauscht werden. Die Unterscheidung zwischen geschlossenem und offenem System entspricht der Unterscheidung zwischen Lagrangeschem und Eulerschem Bezugssystem in der Strmungsmechanik. Im Lagrangeschen Bezugssystem, das dem geschlossenen System entspricht, untersucht man die Bewegung eines Fluids, indem man dieses in kleine Elemente von unvernderlicher Masse zerlegt und deren Bewegungsgleichung ableitet. Im Eulerschen Bezugssystem, das dem offenen System entspricht, denkt man sich im Raum ein festes Volumenelement aufgespannt und untersucht die Strmung des Fluids durch das Volumenelement hindurch. Beide Arten der Beschreibung sind einander quivalent, und es ist oft nur eine Frage der Zweckmßigkeit, ob man ein geschlossenes oder offenes System der Betrachtung zugrunde legt.

1.2 Beschreibung des Zustands eines Systems. Thermodynamische Prozesse Description of the state of a system. Thermodynamic processes Ein System wird durch bestimmte physikalische Grßen charakterisiert, die man messen kann, beispielsweise Druck, Temperatur, Dichte, elektrische Leitfhigkeit, Brechungsindex und andere. Der Zustand eines Systems ist dadurch bestimmt, dass alle diese physikalischen Grßen, die sog. Zu-

D

D2

Thermodynamik – 2 Temperaturen. Gleichgewichte

standsgr
ßen, feste Werte annehmen. Den
bergang eines Systems von einem Zustand in einen anderen nennt man Zustandsnderung.

D

Beispiel: Ein Ballon ist mit Gas gefllt. Thermodynamisches System sei das Gas. Die Masse des Gases ist, wie die Messung zeigt, durch Volumen, Druck und Temperatur bestimmt. Zustandsgrßen des Systems sind also Volumen, Druck und Temperatur, und der Zustand des Systems (Gases) ist durch ein festes Wertetripel von Volumen, Druck und Temperatur gekennzeichnet. Den
bergang zu einem anderen festen Wertetripel, beispielsweise wenn eine gewisse Gasmasse ausstrmt, nennt man Zustandsnderung.

Den mathematischen Zusammenhang zwischen Zustandsgrßen nennt man Zustandsgleichung . Beispiel: Das Volumen des Gases in einem Ballon erweist sich als eine Funktion von Druck und Temperatur. Der mathematische Zusammenhang zwischen diesen Zustandsgrßen ist eine solche Zustandsgleichung.

Zustandsgr
ßen unterteilt man in drei Klassen: Intensive Zustandsgrßen sind unabhngig von der Grße des Systems und behalten somit bei einer Teilung des Systems in Untersysteme ihre Werte bei. Beispiel: Unterteilt man einen mit Gas von einheitlicher Temperatur gefllten Raum in kleinere Rume, so bleibt die Temperatur unverndert. Sie ist eine intensive Zustandsgrße.

2 Temperaturen. Gleichgewichte Temperatures. Equilibria 2.1 Thermisches Gleichgewicht Thermal equilibrium Hufig sprechen wir von „heißen“ oder „kalten“ Krpern, ohne solche Zustnde zunchst genau durch eine Zustandsgrße zu quantifizieren. Bringt man nun ein solches geschlossenes heißes System A mit einem geschlossenen kalten System B in Kontakt, so wird ber die Kontaktflche Energie in Form von Wrme transportiert. Dabei ndern sich die Zustandsgrßen beider Systeme mit der Zeit bis sich nach hinreichend langer Zeit neue feste Werte einstellen und der Energietransport zum Stillstand kommt. In diesem Endzustand herrscht thermisches Gleichgewicht zwischen den Systemen. Die Geschwindigkeit, mit der die Systeme diesen Gleichgewichtszustand erreichen, hngt von der Art des Kontakts der Systeme sowie ihrer thermischen Eigenschaften ab. Sind die Systeme z. B. nur durch eine dnne Metallwand voneinander getrennt, so wird sich das Gleichgewicht schneller einstellen, als wenn sie durch eine dicke Wand aus Polystyrolschaum getrennt sind. Eine Trennwand, die lediglich jeden Stoffaustausch und auch jede mechanische, magnetische oder elektrische Wechselwirkung verhindert, den Transport von Wrme jedoch zulsst, nennt man diatherm. Eine diatherme Wand ist „thermisch“ leitend. Eine thermisch vollkommen isolierende Wand, nennt man adiabat.

2.2 Nullter Hauptsatz und empirische Temperatur Zeroth law and empirical temperature Herrscht thermisches Gleichgewicht zwischen den Systemen A und C und den Systemen B und C, dann befinden sich erfahrungsgemß auch die Systeme A und B im thermischen Gleichgewicht, wenn man sie ber eine diatherme Wand mit-

Zustandsgrßen, die proportional zur Masse des Systems sind, heißen extensive Zustandsgrßen. Beispiel: Das Volumen, die Energie oder die Masse selbst.

Dividiert man eine extensive Zustandsgrße X durch die Masse m des Systems, so erhlt man eine spezifische Zustandsgrße x ¼ X=m. Beispiel: Extensive Zustandsgrße sei das Volumen eines Gases, spezifische Zustandsgrße ist dann das spezifische Volumen u=V/m, wenn m die Masse des Gases ist. SI-Einheit des spez. Volumens ist m3 =kg.

Zustandsnderungen kommen durch Wechselwirkungen mit der Umgebung des Systems zustande, beispielsweise dadurch, dass Energie ber die Systemgrenze zu- oder abgefhrt wird. Zur Beschreibung einer Zustandsnderung gengt es, allein den zeitlichen Verlauf der Zustandsgrßen anzugeben. Die Beschreibung eines Prozesses erfordert zustzlich Angaben ber Grße und Art der Wechselwirkungen mit der Umgebung. Unter einem Prozess versteht man somit die durch bestimmte ußere Einwirkungen hervorgerufenen Zustandsnderungen. Der Begriff Prozess ist also weiter gefasst als der Begriff Zustandsnderung. So kann z. B. ein und dieselbe Zustandsnderung durch verschiedene Prozesse hervorgerufen werden.

einander in Kontakt bringt. Diesen Erfahrungssatz bezeichnet man als „nullten Hauptsatz der Thermodynamik“. Er lautet: Zwei Systeme im thermischen Gleichgewicht mit einem dritten befinden sich auch untereinander im thermischen Gleichgewicht. Um festzustellen, ob sich zwei Systeme A und B im thermischen Gleichgewicht befinden, bringt man sie nacheinander in Kontakt mit einem System C, dessen Masse klein sei im Vergleich zu derjenigen der Systeme A und B, damit Zustandsnderungen in den Systemen A und B whrend der Gleichgewichtseinstellung vernachlssigbar sind. Bringt man C erst mit A in Kontakt, so ndern sich bestimmte Zustandsgrßen von C, beispielsweise sein elektrischer Widerstand. Diese Zustandsgrßen bleiben beim anschließenden Kontakt zwischen B und C unverndert, wenn zuvor thermisches Gleichgewicht zwischen A und B herrschte. Mit C kann man so prfen, ob zwischen A und B thermisches Gleichgewicht herrscht. Den Zustandsgrßen von C nach Einstellung des Gleichgewichts kann man beliebige feste Zahlen zuordnen. Diese nennt man empirische Temperaturen, das Messgert selbst ist ein Thermometer.

2.3 Temperaturskalen. Temperature scales Zur Konstruktion und Definition der empirischen Temperaturskalen dient das Gasthermometer (Bild 1), mit dem man den Druck p misst, der vom Gasvolumen V ausgebt wird. Das Gasthermometer wird nun mit Systemen in Kontakt gebracht, deren thermischer Zustand konstant ist, z. B. ein Gemisch aus Eis und Wasser bei festgelegtem Druck. Nach hinreichend langer Zeit wird das Gasthermometer im thermischen Gleichgewicht mit dem in Kontakt befindlichen System sein. Das Gasvolumen V wird dabei durch Verndern der Hhe Dz der Quecksilbersule konstant gehalten. Der durch die Quecksilbersule und die Umgebung ausgebte Druck p wird gemessen und das Produkt pV gebildet. Messungen bei verschiedenen hinreichend geringen Drcken ergeben durch Extrapolation einen Grenzwert lim pV ¼ A. Diesem aus den p!0

I2.3 Temperaturskalen

D3

2.3.1 Die Internationale Praktische Temperaturskala The international practical temperature scale

Bild 1. Gasthermometer mit Gasvolumen V im Kolben bis zur Quecksilbersule

Messungen ermittelten Wert A ordnet man eine empirische Temperatur zu durch den linearen Ansatz T ¼ const
A:

ð1Þ

Nach Festlegung der Konstanten „const“ braucht man nur jeweils den Wert A aus den Messungen zu ermitteln und kann dann aus Gl. (1) die empirische Temperatur T berechnen. Dem zur Festlegung der empirischen Temperaturskala ben
tigten „Fixpunkt“ hat die 10. Generalkonferenz fr Maße und Gewichte in Paris 1954 den Tripelpunkt des Wassers mit der Temperatur Ttr ¼ 273,16 Kelvin (abgekrzt 273,16 K) zugeordnet. Am Tripelpunkt des Wassers stehen Dampf, flssiges Wasser und Eis miteinander im Gleichgewicht bei einem Druck von (611; 657  0; 010) Pa. Die so eingefhrte Temperaturskala bezeichnet man als Kelvin-Skala. Sie ist identisch mit der thermodynamischen Temperaturskala. Es ist T ¼ Ttr A=Atr ;

ð1 aÞ

wenn Atr der mit einem Gasthermometer am Tripelpunkt des Wassers gemessene Wert der Gr
ße A ist. Auf der Celsius-Skala, deren Temperatur t man in C angibt, wurde der Eispunkt des Wassers beim Druck von 0,101325 MPa mit t0 ¼ 0 °C und der Siedepunkt beim gleichen Druck mit tl ¼ 100 °C festgelegt. In absoluten Temperaturen entspricht dies recht genau T0 ¼ 273; 15 K bzw. Tl ¼ 373; 15 K. Die Temperatur Ttr ¼ 273; 16 K am Tripelpunkt des Wassers liegt um rund 0,01 K h
her als die Temperatur am Eispunkt. Die Umrechnung der Temperaturen erfolgt entsprechend der Zahlenwertgleichung T ¼ t þ 273; 15

ð2Þ

mit t in C und T in K. Im Angelschsischen ist noch die Fahrenheit-Skala blich mit der Temperatur am Eispunkt des Wassers bei 32 F und der am Siedepunkt bei 212 F (Druck jeweils 0,101325 MPa). Zur Umrechnung einer in F angegebenen Temperatur tF in die Celsius-Temperatur t in C gilt t ¼ 59 ðtF  32Þ:

ð3Þ

Die vom absoluten Nullpunkt in F gezhlte Skala bezeichnet man als Rankine-Skala ( R). Es ist TR ¼ 95 T;

ð4Þ

TR in R, T in K. Der Eispunkt des Wassers liegt bei 491,67 R.

Da die genaue Messung von Temperaturen mit Hilfe des Gasthermometers schwierig und zeitraubend ist, hat man die Internationale Praktische Temperaturskala durch Gesetz eingefhrt. Sie wird vom internationalen Komitee fr Maß und Gewicht so festgelegt, dass die Temperatur in ihr m
glichst genau die thermodynamische Temperatur bestimmter Stoffe annhert. Die Internationale Praktische Temperaturskala ist durch die Schmelz- und Siedepunkte dieser Stoffe festgelegt, die so genau wie m
glich mit Hilfe des Gasthermometers in den wissenschaftlichen Staatsinstituten der verschiedenen Lnder bestimmt wurden. Zwischen diesen Festpunkten wird durch Widerstandsthermometer, Thermoelemente und Strahlungsmessgerte interpoliert, wobei bestimmte Vorschriften fr die Beziehungen zwischen den unmittelbar gemessenen Gr
ßen und der Temperatur gegeben werden. Die wesentlichen, in allen Staaten gleichen Bestimmungen ber die Internationale Temperaturskala lauten: 1. In der Internationalen Temperaturskala von 1948 werden die Temperaturen mit „
C“ oder „
C (Int. 1948)“ bezeichnet und durch das Formelzeichen t dargestellt. 2. Die Skala beruht einerseits auf einer Anzahl fester und stets wieder herstellbarer Gleichgewichtstemperaturen (Fixpunkte), denen bestimmte Zahlenwerte zugeordnet werden, andererseits auf genau festgelegten Formeln, die die Beziehungen zwischen der Temperatur und den Anzeigen von Messinstrumenten, die bei diesen Fixpunkten kalibriert werden, herstellen. 3. Die Fixpunkte und die ihnen zugeordneten Zahlenwerte sind in Tabellen (s. Anh. D 2 Tab. 1) zusammengestellt. Mit Ausnahme der Tripelpunkte entsprechen die zugeordneten Temperaturen Gleichgewichtszustnden bei dem Druck der physikalischen Normalatmosphre, d. h. per definitionem bei 0,101325 MPa. 4. Zwischen den Fixpunkttemperaturen wird mit Hilfe von Formeln interpoliert, die ebenfalls durch internationale Vereinbarungen festgelegt sind. Dadurch werden Anzeigen der sog. Normalgerte, mit denen die Temperaturen zu messen sind, Zahlenwerte der Internationalen Praktischen Temperatur zugeordnet.

Zur Erleichterung von Temperaturmessungen hat man eine Reihe weiterer thermometrischer Festpunkte von leicht gengend rein herstellbaren Stoffen so genau wie m
glich an die gesetzliche Temperaturskala angeschlossen. Die wichtigsten sind im Anh. D 2 Tab. 2 zusammengestellt. Als Normalgert wird zwischen dem Tripelpunkt von 13,8033 K (=–259,3467 C) des Gleichgewichtswasserstoffs und dem Erstarrungspunkt des Silbers bei 1 234,93 K (=961,78 C) das Platinwiderstandsthermometer verwendet. Zwischen dem Erstarrungspunkt des Silbers und dem Erstarrungspunkt des Goldes von 1 337,33 K (=1 064,18 C) benutzt man als Normalgert ein Platinrhodium (10% Rhodium)/Platin-Thermopaar. Oberhalb des Erstarrungspunkts von Gold wird die Internationale Praktische Temperatur durch das Plancksche Strahlungsgesetz h i 2 exp lðtAucþT 1 Jt 0Þ h i ð5Þ ¼ c2 JAu exp 1 lðtþT0 Þ

definiert; Jt und JAu bedeuten die Strahlungsenergien, die ein schwarzer K
rper bei der Wellenlnge l je Flche, Zeit und Wellenlngenintervall bei der Temperatur t und beim Goldpunkt tAu aussendet; c2 ist der als 0,014388 Meterkelvin festgesetzte Wert der Konstante c2 ; T0 ¼ 273; 15 K ist der Zahlenwert der Temperatur des Eisschmelzpunkts; l ist der Zahlenwert einer Wellenlnge des sichtbaren Spektralgebiets in m. Praktische Temperaturmessung s. W 2.7 und [1].

D

D4

Thermodynamik – 3 Erster Hauptsatz

3 Erster Hauptsatz. First law 3.1 Allgemeine Formulierung. General formulation

D

Der erste Hauptsatz ist ein Erfahrungssatz. Er kann nicht bewiesen werden und gilt nur deshalb, weil alle Schlussfolgerungen, die man aus ihm zieht, mit der Erfahrung in Einklang stehen. Er besagt allgemein, dass Energie nicht verloren geht und nicht aus dem Nichts entsteht. Energie ist also eine Erhaltungsgr
ße. Das bedeutet, dass die Energie eines Systems E nur durch Austausch von Energie mit der Umgebung gendert werden kann, wobei man vereinbart, dass eine dem System zugefhrte Energie positiv, eine abgefhrte negativ ist. Eine grundlegende Formulierung des ersten Hauptsatzes lautet: Jedes System besitzt eine extensive Zustandsgr
ße Energie. Sie ist in einem abgeschlossenen System konstant.

3.2 Die verschiedenen Energieformen The different forms of energy Um den ersten Hauptsatz mathematisch formulieren zu k
nnen, muss man zwischen den verschiedenen Energieformen unterscheiden und diese definieren. 3.2.1 Arbeit. Work In der Thermodynamik bernimmt man den Begriff der Arbeit aus der Mechanik und definiert: Greift an einem System eine Kraft an, so ist die an dem System verrichtete Arbeit gleich dem Produkt aus der Kraft und der Verschiebung des Angriffspunkts der Kraft. Es ist die lngs eines Wegs z zwischen den Punkten 1 und 2 von der Kraft F verrichtete Arbeit Z2 W12 ¼

F
dz:

ð1Þ

1

Unter mechanischer Arbeit Wm12 versteht man die Arbeit der Krfte, die ein geschlossenes System der Masse m von der Geschwindigkeit w1 auf w2 beschleunigen und es im Schwerefeld gegen die Fallbeschleunigung g von der H
he z1 auf z2 anheben. Das heißt die kinetische Energie m w2 =2 und die potentielle Energie des Systems mgz werden verndert. Es gilt
2  w w2 Wm12 ¼ m 2  1 þ mgðz2  z1 Þ: ð2Þ 2 2 Gleichung (2) ist bekannt als der Energiesatz der Mechanik. Volumenarbeit ist die Arbeit, die man verrichten muss, um das Volumen eines Systems zu ndern. In einem System vom Volumen V, das den vernderlichen Druck p besitzt, verschiebt sich dabei ein Element dA der Oberflche um die Strecke dz. Die verrichtete Arbeit ist Z ð3Þ dWv ¼ p dA
dz ¼ pdV; A

und es ist

1

Die stets positive Dissipationsarbeit erh
ht die Energie des Systems und bewirkt einen anderen Zustandsverlauf p(V) als im reversiblen Fall. Voraussetzung fr die Berechnung des Integrals in Gl. (5) ist, dass p eine eindeutige Funktion von V ist. Die Gl. (5) gilt also beispielsweise nicht mehr in einem Systembereich, durch den eine Schallwelle luft. Allgemein lsst sich Arbeit als Produkt aus einer generalisierten Kraft Fk und einer generalisierten Verschiebung dXk herleiten. Hinzuzufgen ist bei wirklichen Prozessen die dissipierte Arbeit X dW ¼ Fk dXk þ dWdiss : ð6Þ Man erkennt: In irreversiblen Prozessen, Wdiss > 0, ist mehr Arbeit aufzuwenden, oder es wird weniger Arbeit gewonnen als in reversiblen, Wdiss ¼ 0: In Tab. 1 sind verschiedene Formen der Arbeit aufgefhrt. Unter technischer Arbeit versteht man die von einer Maschine – Verdichter, Turbine, Strahltriebwerk u. a. – an einem Stoffstrom verrichtete Arbeit. Erfhrt eine Masse m lngs eines Wegs dz durch eine Maschine eine Druckerh
hung dp, so ist die technische Arbeit dWt ¼ m u dp þ dWdiss : Werden außerdem kinetische und potentielle Energie des Stoffstroms gendert, so wird noch eine mechanische Arbeit verrichtet. Die lngs des Wegs 1–2 verrichtete technische Arbeit ist Z2 Wt12 ¼

Vdp þ ðWdiss Þ12 þ Wm12 ;

p dV:

ð7Þ

1

mit Wm12 nach Gl. (2). 3.2.2 Innere Energie. Internal energy Außer der kinetischen und potentiellen Energie besitzt jedes System noch in seinem Inneren gespeicherte Energie in Form von Translations-, Rotations- und Schwingungsenergie der Elementarteilchen. Man nennt diese die innere Energie U des Systems. Sie ist eine extensive Zustandsgr
ße. Die gesamte Energie E eines Systems der Masse m besteht aus innerer Energie, kinetischer Energie Ekin und potentieller Energie Epot E ¼ U þ Ekin þ Epot :

Z2 Wv 12 ¼ 

beliebig kleines „bergewicht“ gengt, um sie in der einen oder anderen Richtung ablaufen zu lassen, als reversibel. Gleichung (4) ist daher die Volumenarbeit bei reversibler Zustandsnderung. In wirklichen Prozessen bedarf es zur berwindung der Reibung im Inneren des Systems eines endlichen berdrucks der Umgebung. Solche Zustandsnderungen sind irreversibel. Die zugefhrte Arbeit ist um den dissipierten Anteil ðWdiss Þ12 gr
ßer. Die Volumenarbeit bei irreversibler Zustandsnderung ist Z2 Wv 12 ¼  p dV þ ðWdiss Þ12 : ð5Þ

ð8Þ

ð4Þ

1

Das Minuszeichen kommt dadurch zustande, dass eine zugefhrte Arbeit vereinbarungsgemß positiv ist und zu einer Volumenverkleinerung fhrt. Gleichung (4) gilt nur, wenn der Druck p im Inneren des Systems in jedem Augenblick der Zustandsnderung eine eindeutige Funktion des Volumens und gleich dem von der Umgebung ausgebten Druck ist. Ein kleiner ber- oder Unterdruck der Umgebung bewirkt dann entweder eine Volumenabnahme oder -zunahme des Systems. Man bezeichnet solche Zustandsnderungen, bei denen ein

3.2.3 W
rme. Heat Die innere Energie eines Systems kann man ndern, indem man an ihm Arbeit verrichtet oder Materie zu- oder abfhrt. Man kann sie aber auch ndern, indem man das System mit seiner Umgebung, die eine andere Temperatur aufweist, in Kontakt bringt. Als Folge wird Energie ber die Systemgrenze transportiert, um dem thermischen Gleichgewicht zwischen System und Umgebung zuzustreben. Diese Energie nennt man Wrme.

I3.4 Anwendung auf offene Systeme

D5

Tabelle 1. Verschiedene Formen der Arbeit. Einheiten im Internationalen Einheitensystem sind in Klammern angegeben

D

W
rme l
sst sich demnach allgemein als diejenige Energie definieren, die ein System mit seiner Umgebung austauscht und die nicht als Arbeit oder mit Materie die Systemgrenze berschreitet. Man schreibt hierfr Q12 , wenn das System durch W
rme vom Zustand 1 in den Zustand 2 berfhrt wird. Vereinbarungsgem
ß ist eine zugefhrte W
rme positiv, eine abgefhrte negativ .

3.3 Anwendung auf geschlossene Systeme Application to closed systems

W12 ¼ Wt12 þ Dmðp1 u1
p2 u2 Þ:

Die einem geschlossenen System w
hrend einer Zustands
nderung von 1 nach 2 zugefhrte W
rme Q12 und Arbeit W12 bewirken eine nderung der Energie E des Systems um E2
E1 ¼ Q12 þ W12 :

den Weg einer konstanten Masse Dm durch das System s, so wrde ein mitbewegter Beobachter die Masse Dm als geschlossenes System ansehen. Dies entspricht der Lagrangeschen Betrachtungsweise in der Strmungslehre. Entsprechend gilt hierfr der erste Hauptsatz, Gl. (9) fr geschlossene Systeme. Die an Dm verrichtete Arbeit setzt sich zusammen aus Dm p1 u1 , um Dm aus der Umgebung ber die Systemgrenze zu schieben, aus der technischen Arbeit Wt12 und der Arbeit – Dm p2 u2 , um Dm ber die Systemgrenze wieder in die Umgebung zu bringen. Es ist somit die am geschlossenen System verrichtete Arbeit

ð9Þ

W12 umfasst alle am System verrichteten Arbeiten. Wird keine mechanische Arbeit verrichtet, so wird nur die innere Energie ge
ndert, nach Gl. (8) ist dann E ¼ U. Setzt man weiter voraus, dass am System nur Volumenarbeit verrichtet wird, so lautet Gl. (9)

Den Term Dmðp1 u1
p2 u2 Þ nennt man Verschiebearbeit. Um sie unterscheidet sich die technische Arbeit Wt12 von der Arbeit am geschlossenen System. Der erste Hauptsatz fr das geschlossene System, Gl. (9) lautet damit E2
E1 ¼ Q12 þ Wt12 þ Dmðp1 u1
p2 u2 Þ

Z2 U2
U1 ¼ Q12


p dV þ ðWdiss Þ12 :

ð11Þ

ð10Þ

1

3.4 Anwendung auf offene Systeme Application to open systems 3.4.1 Station
re Prozesse. Steady state processes

Bild 1. Arbeit am offenen System

In der Technik wird meistens von einem stetig durch eine Maschine fließenden Stoffstrom Arbeit verrichtet. Ist die zeitlich verrichtete Arbeit konstant, so bezeichnet man den Prozess als station
ren Fließprozess. Ein typisches Beispiel zeigt Bild 1: Ein Stoffstrom eines Fluids (Gas oder Flssigkeit) vom Druck p1 und der Temperatur T1 strme mit der Geschwindigkeit w1 in das System s ein. In einer Maschine wird Arbeit verrichtet, die als technische Arbeit Wt12 an der Welle zugefhrt wird. Das Fluid durchstrmt einen W
rmebertrager, in dem mit der Umgebung eine W
rme Q12 ausgetauscht wird, und verl
sst dann das System s bei einem Druck p2 , der Temperatur T2 und der Geschwindigkeit w2 . Verfolgt man

Bild 2. Adiabate Drosselung

ð12Þ

D6

Thermodynamik – 4 Zweiter Hauptsatz

mit E nach Gl. (8). Man definiert die Zustandsgr
ße Enthalpie H durch H ¼ U þ pV bzw: h ¼ u þ pu ð13Þ

D

und kann damit Gl. (12) schreiben   w2 0 ¼ Q12 þ Wt12 þ D m h1 þ 1 þ gz1 2 ð14Þ   w2
D m h2 þ 2 þ gz2 : 2 In dieser Form verwendet man den ersten Hauptsatz fr stationre Fließprozesse offener Systeme. Man erkennt aus Gl. (14), dass die Summe der ber die Systemgrenze s (Bild 1) transportierten Energien gleich null ist, da es sich um einen stationren Prozess handelt. Diese Energien sind die Wrme Q12 , die technische Arbeit W12 sowie die mit dem   w2 Massenelement Dm zugefhrte Energie Dm h1 þ 21 þ gz1   w2 und die mit ihm abgefhrte Energie Dm h2 þ 22 þ gz2 : In differenzieller Form kann man Gl. (14) wie folgt schreiben   w2 0 ¼ dQ þ dWt þ dm h1 þ 1 þ gz1 2   w2
dm h2 þ 2 þ gz2 : 2 Betrachtet man einen kontinuierlich ablaufenden Prozess, so whlt man anstatt Gl. (14) besser folgende Form der Bilanzgleichung     w2 w2 0 ¼ Q_ þ P þ m_ h1 þ 1 þ gz1
m_ h2 þ 2 þ gz2 , 2 2 wobei Q_ ¼ dQ=dt der Wrmestrom, P ¼ dWt =dt die technische Leistung und m_ der Massenstrom sind. Hufig sind nderungen von kinetischer und potentieller Energie vernachlssigbar. Dann vereinfacht sich Gl. (14) zu ð15Þ 0 ¼ Q12 þ Wt12 þ H1
H2 : Sonderf
lle hiervon sind: a) Adiabate Zustandsnderungen, wie sie in Verdichtern, Turbinen und Triebwerken nherungsweise auftreten 0 ¼ Wt12 þ H1
H2 :

ð16Þ

b) Die Drosselung einer Str
mung in einer adiabaten Rohrleitung durch eingebaute Hindernisse, Bild 2. Diese bewirken eine Druckabsenkung. Es ist H1 ¼ H2

ð17Þ

4 Zweiter Hauptsatz. Second law 4.1 Das Prinzip der Irreversibilit
t The principle of irreversibility Bringt man zwei Systeme A und B miteinander in Kontakt, so laufen Austauschvorgnge ab, und es stellt sich nach hinreichend langer Zeit ein neuer Gleichgewichtszustand ein. Als Beispiel sei ein System A mit einem System B verschiedener Temperatur in Kontakt gebracht. Im Endzustand besitzen die Systeme gleiche Temperatur. Es hat sich thermisches Gleichgewicht eingestellt. Bis zum Erreichen des Gleichgewichts werden in kontinuierlicher Folge Nichtgleichgewichtszustnde durchlaufen. Unsere Erfahrung lehrt uns, dass dieser Prozess nicht von selbst, d. h. ohne Austausch mit der Umgebung, in umgekehr-

vor und nach der Drosselstelle. Bei der Drosselung bleibt die Enthalpie konstant. Man beachte, dass die nderung der kinetischen und der potentiellen Energie vernachlssigt wurde.

3.4.2 Instation
re Prozesse. Unsteady state processes Ist im System nach Bild 1 die whrend einer bestimmten Zeit zugefhrte Materie Dm1 von der whrend der gleichen Zeit abgefhrten Materie Dm2 verschieden, so wird Materie im Inneren des Systems gespeichert, was zu einer zeitlichen nderung von dessen innerer Energie und u. U. auch der kinetischen und potentiellen Energie fhrt. Die Energie des Systems ndert sich whrend einer Zustandsnderung 1–2 um E2
E1 , sodass an Stelle von Gl. (14) folgende Form des ersten Hauptsatzes tritt   w2 E2
E1 ¼ Q12 þ Wt12 þ Dm1 h1 þ 1 þ gz1 2 ð18Þ   w2
Dm2 h2 þ 2 þ gz2 : 2 Sind die Fluidzustnde 1 beim Einstr
men und 2 beim Ausstr
men zeitlich vernderlich, so geht man zweckmßigerweise zur differentiellen Schreibweise ber:   w2 dE ¼ dQ þ dWt þ dm1 h1 þ 1 þ gz1 2 ð19Þ   w22
dm2 h2 þ þ gz2 : 2 Um das Fllen oder Entleeren von Behltern zu untersuchen, kann man meistens die nderungen von kinetischer und potentieller Energie vernachlssigen, außerdem wird oft keine technische Arbeit verrichtet, sodass sich Gl. (19) verkrzt zu dU ¼ dQ þ h1 dm1
h2 dm2

ð20Þ

mit der (zeitlich vernderlichen) inneren Energie U=um des im Behlter eingeschlossenen Stoffs. Vereinbarungsgemß ist hierin dm1 die dem System zugefhrte, dm2 die abgefhrte Stoffmenge; wird nur Materie zugefhrt, so ist dm2 ¼ 0, wird nur Materie abgefhrt, so ist dm1 ¼ 0. Untersucht man einen kontinuierlich ablaufenden Prozess, so whlt man anstatt Gl. (18) besser folgende Form der Bilanzgleichung   w2 dE=dt ¼ Q_ þ P þ m_ 1 h1 þ 1 þ gz1 2 ð21Þ   w2
m_ 2 h2 þ 2 þ gz2 : 2

ter Richtung abluft. Solche Prozesse nennt man irreversibel oder nicht umkehrbar. Austauschprozesse, bei denen Nichtgleichgewichtszustnde durchlaufen werden, sind grundstzlich irreversibel. Ein Prozess aus einer kontinuierlichen Folge von Gleichgewichtszustnden ist hingegen reversibel oder umkehrbar. Beispielhaft sei die reibungsfreie adiabate Kompression eines Gases genannt. Dem System Gas kann man Volumenarbeit zufhren, indem man eine Kraft, z.B. durch einen berdruck der Umgebung, auf die Systemgrenze ausbt. Wird diese Kraft sehr langsam erh
ht, so wird das Volumen des Gases ab- und seine Temperatur zunehmen, wobei sich das Gas zu jeder Zeit in einem Gleichgewichtszustand befindet. Reduziert man die Kraft langsam wieder auf null, so gelangt das Gas wieder in seinen Ausgangszustand. Dieser Vorgang ist also reversibel oder umkehrbar.

I4.3 Spezielle Formulierungen Reversible Prozesse sind idealisierte Grenzf
lle der wirklichen Prozesse und kommen in der Natur nicht vor. Alle nat
rlichen Prozesse sind irreversibel, weil es einer endlichen „Kraft“ bedarf, um einen Prozess auszulsen, beispielsweise einer endlichen Kraft, um einen Krper bei Reibung zu verschieben oder einer endlichen Temperaturdifferenz, um ihm W
rme zuzufhren. Sie laufen, bedingt durch die endliche Kraft, in einer bestimmten Richtung ab. Diese Erfahrungstatsache fhrt zu folgenden Formulierungen des zweiten Hauptsatzes: – Alle natrlichen Prozesse sind irreversibel. – Alle Prozesse mit Reibung sind irreversibel. – W
rme kann nie von selbst von einem Krper niederer auf einen Krper hherer Temperatur bergehen. „Von selbst“ bedeutet hierbei, dass man den genannten Vorgang nicht ausfhren kann, ohne dass nderungen in der Natur zurckbleiben. Neben den oben genannten gibt es noch viele fr andere spezielle Prozesse gltige Formulierungen.

4.2 Allgemeine Formulierung. General formulation Die mathematische Formulierung des zweiten Hauptsatzes gelingt mit dem Begriff der Entropie als weiterer Zustandsgrße eines Systems. Dass es zweckm
ßig ist, eine solche Zustandsgrße einzufhren, kann man sich am Beispiel der W
rmebertragung zwischen einem System und seiner Umgebung verst
ndlich machen. Nach dem ersten Hauptsatz kann ein System mit seiner Umgebung Arbeit und W
rme austauschen. Die Zufuhr von Arbeit bewirkt eine nderung der inneren Energie dadurch, dass beispielsweise das Volumen des Systems auf Kosten des Volumens der Umgebung ge
ndert wird. Somit ist U ¼ U ðV, . . .Þ. Das Volumen ist eine Austauschvariable: Es ist eine extensive Zustandsgrße, die zwischen System und Umgebung „ausgetauscht“ wird. Auch die W
rmezufuhr zwischen einem System und seiner Umgebung kann man sich so vorstellen, dass eine extensive Zustandsgrße zwischen System und Umgebung ausgetauscht wird. Damit wird lediglich die Existenz einer solchen Zustandsgrße postuliert, deren Einfhrung allein dadurch gerechtfertigt ist, dass alle Aussagen, die man mit dieser Grße gewinnt, mit der Erfahrung in Einklang stehen. Man nennt die neue extensive Zustandsgrße Entropie und bezeichnet sie mit S. Somit ist U ¼ U ðV, S; . . .Þ. Wenn nur Volumenarbeit verrichtet und W
rme zugefhrt wird, ist U ¼ U ðV; SÞ: Durch Differenziation folgt hieraus die Gibbssche Fundamentalgleichung dU ¼ TdS
p dV ð1Þ mit der thermodynamischen Temperatur ð2Þ T ¼ ð¶U=¶SÞ V und dem Druck p ¼
ð¶U=¶VÞ S : ð3Þ Eine der Gl. (1)
quivalente Beziehung ergibt sich, wenn man U eliminiert und durch die Enthalpie H ¼ U þ pV ersetzt dH ¼ TdS þ Vdp: ð4Þ Man kann zeigen, dass die thermodynamische Temperatur identisch ist mit der mit dem Gasthermometer (s. D 2.3) gemessenen Temperatur. Das Studium der Eigenschaften der Entropie ergibt, dass in einem abgeschlossenen System, das sich zun
chst im inneren Ungleichgewicht befindet (beispielsweise durch eine inhomogene Temperaturverteilung) und dann dem Gleichgewichtszustand zustrebt, die Entropie stets zunimmt. Im Grenzfall des Gleichgewichts wird ein Maximum der Entropie erreicht. Die Entropiezunahme im Innern bezeichnen wir als dSi . Fr den betrachteten Fall des abgeschlossenen Systems gilt dann dS ¼ dSi ; mit dSi > 0.

D7

In einem nicht abgeschlossenen System
ndert sich die Systementropie auch durch W
rmeaustausch mit der Umgebung um dSQ und mit Materieaustausch mit der Umgebung um dSm . Die Systementropie
ndert sich jedoch nicht mit dem Austausch von Arbeit mit der Umgebung. Es gilt also allgemein dS ¼ dSQ þ dSm þ dSi :

ð5Þ

Betrachtet man die zeitliche nderung der Systementropie S_ ¼ dS=dt S_ ¼ S_ Q þ S_ m þ S_ i ; wobei S_ i die zeitliche Entropieerzeugung durch irreversible Vorg
nge im Innern ist. S_ Q þ S_ m bezeichnet man als Entropiestrmung. Man fasst diese ber die Systemgrenze ausgetauschten Grßen auch zusammen zu S_ a ¼ S_ Q þ S_ m :

ð7Þ

Die zeitliche nderung der Systemtropie S setzt sich also aus Entropiestrmung S_ a und Entropieerzeugung S_ i zusammen, S_ ¼ S_ a þ S_ i :

ð8Þ

Fr die Entropieerzeugung gilt: S_ i ¼ 0 f
r reversible Prozesse; S_ i > 0 f
r irreversible Prozesse; S_ i < 0 nicht mglich:

ð9Þ

4.3 Spezielle Formulierungen. Special formulations 4.3.1 Adiabate, geschlossene Systeme Adiabatic, closed systems Fr adiabate Systeme ist S_ Q ¼ 0, fr geschlossene Systeme ist S_ m ¼ 0, und daher folgt S_ ¼ S_ i . Es gilt also: In adiabaten, geschlossenen Systemen kann die Entropie niemals abnehmen, sie kann nur zunehmen bei irreversiblen oder konstant bleiben bei reversiblen Prozessen. Setzt sich ein adiabates, geschlossenes System aus a Untersystemen zusammen, so gilt fr die Summe der Entropie
nderungen DSðaÞ der Untersysteme X DSðaÞ  0: ð10Þ a

In einem adiabaten, geschlossenen System ist nach Gl. (1) mit dS ¼ dSi dU ¼ TdSi
p dV: Andererseits folgt aus dem ersten Hauptsatz nach D 3 Gl. (10) dU ¼ dWdiss
p dV und daher dWdiss ¼ TdSi ¼ dY

ð11Þ

oder ðWdiss Þ12 ¼ TðSi Þ12 ¼ Y12 : Man nennt Y12 die w
hrend einer Zustands
nderung 1–2 dissipierte Energie. Es gilt: Die dissipierte Energie ist stets positiv. Diese Aussage gilt nicht nur fr adiabate Systeme, sondern ganz allgemein, da die Entropieerzeugung definitionsgem
ß der Anteil der Entropie
nderung ist, der auftritt, wenn das System adiabat und geschlossen ist, also S_ a ¼ 0 gilt. 4.3.2 Systeme mit W
rmezufuhr Systems with heat addition Fr geschlossene Systeme mit W
rmezufuhr kann man Gl. (1) schreiben

D

D8

Thermodynamik – 5 Exergie und Anergie

dU ¼ T dSQ þ T dSi
p dV ¼ T dSQ þ dWdiss
p dV: ð12Þ Ein Vergleich mit dem ersten Hauptsatz, D 3 Gl. (10), ergibt dQ ¼ T dSQ :

D

ð13Þ

W
rme ist demnach Energie, die mit Entropie ber die Systemgrenze strmt, w
hrend Arbeit ohne Entropieaustausch bertragen wird. Addiert man in Gl. (13) auf der rechten Seite den stets positiven Term Td Si , so folgt die Clausiussche Ungleichung

1

dQ : T

ð14Þ

In irreversiblen Prozessen ist die Entropie
nderung grßer als das Integral ber alle dQ=T, nur bei reversiblen gilt das Gleichheitszeichen. Fr offene Systeme mit W
rmezufuhr hat man in Gl. (12) dSQ durch dSa ¼ dSQ þ dSm zu ersetzen.

zweiten Hauptsatz, D4 Gl. (13),

5 Exergie und Anergie Exergy and anergy

Q12 ¼ Tu ðS2
S1 Þ:

Nach dem ersten Hauptsatz bleibt die Energie in einem abgeschlossenen System konstant. Da man jedes nicht abgeschlossene System durch Hinzunahme der Umgebung in ein abgeschlossenes verwandeln kann, ist es stets mglich, ein System zu bilden, in dem w
hrend eines thermodynamischen Prozesses die Energie konstant bleibt. Ein Energieverlust ist daher nicht mglich. In einem thermodynamischen Prozeß wird lediglich Energie umgewandelt. Wie viel von der in einem System gespeicherten Energie umgewandelt wird, h
ngt vom Zustand der Umgebung ab. Befindet sich diese im Gleichgewicht mit dem System, so wird keine Energie umgewandelt, je st
rker die Abweichung vom Gleichgewicht ist, desto mehr Energie des Systems kann umgewandelt werden. Viele thermodynamische Prozesse laufen in der irdischen Atmosph
re ab, die somit die Umgebung der meisten thermodynamischen Systeme darstellt. Die irdische Atmosph
re kann man im Vergleich zu den sehr viel kleineren thermodynamischen Systemen als ein unendlich großes System ansehen, dessen intensive Zustandsgrßen Druck, Temperatur und Zusammensetzung sich w
hrend eines Prozesses nicht
ndern, wenn man die t
glich und jahreszeitlich bedingten Schwankungen der intensiven Zustandsgrßen außer Acht l
sst. In vielen technischen Prozessen wird Arbeit gewonnen, indem man ein System von gegebenem Anfangszustand mit der Umgebung ins Gleichgewicht bringt. Das Maximum an Arbeit wird dann gewonnen, wenn alle Zustands
nderungen reversibel sind. Man bezeichnet die bei Einstellung des Gleichgewichts mit der Umgebung maximal gewinnbare Arbeit als Exergie Wex .

5.1 Exergie eines geschlossenen Systems Exergy of a closed system Um die Exergie eines geschlossenen Systems, das sich im Zustand 1 befindet, zu berechnen, betrachtet man einen Prozess, bei dem das System reversibel mit seiner Umgebung ins thermische und mechanische Gleichgewicht gebracht wird. Gleichgewicht liegt vor, wenn die Temperatur des Systems im Endzustand 2 gleich der Temperatur in der Umgebung, T2 ¼ Tu , und der Druck des Systems im Zustand 2 gleich dem Druck der Umgebung, p2 ¼ pu , sind. Unter Vernachl
ssigung der kinetischen und potentiellen Energie des Systems gilt nach dem ersten Hauptsatz, D3 Gl. (9), U2
U1 ¼ Q12 þ W12 :

Z2 dQ  TdS oder DS 

ð1Þ

Damit der Prozess reversibel verl
uft, muss das System zun
chst reversibel adiabat auf Umgebungstemperatur gebracht und dann W
rme reversibel bei der konstanten Temperatur Tu bertragen werden. Fr den W
rmetransport folgt aus dem

ð2Þ

Die Arbeit W12 , die am System verrichtet wird, setzt sich zusammen aus der maximalen Arbeit, die man nutzbar machen kann und der Volumenarbeit
pu ðV2
V1 Þ, die zur berwindung des Druckes der Umgebung aufgewendet werden muss. Die maximal nutzbare Arbeit ist die Exergie Wex . Es folgt W12 ¼ Wex
pu ðV2
V1 Þ:

ð3Þ

Setzt man Gln. (3) und (2) in Gl. (1) ein, so ergibt sich U2
U1 ¼ Tu ðS2
S1 Þ þ Wex
pu ðV2
V1 Þ:

ð4Þ

Im Zustand 2 ist das System im Gleichgewicht mit der Umgebung, gekennzeichnet durch den Index u. Die Exergie des geschlossenen Systems ist somit
Wex ¼ U1
Uu
Tu ðS1
Su Þ þ pu ðV1
Vu Þ:

ð5Þ

Hat das System starre W
nde, so ist V1 ¼ Vu und der letzte Term entf
llt. Ist das System bereits im Ausgangszustand im Gleichgewicht mit der Umgebung, Zustand 1=Zustand u, so kann nach Gl. (5) keine Arbeit gewonnen werden. Es gilt also: Die innere Energie der Umgebung kann nicht in Exergie umgewandelt werden. Die gewaltigen in der uns umgebenden Atmosph
re gespeicherten Energien knnen somit nicht zum Antrieb von Fahrzeugen gentzt werden.

5.2 Exergie eines offenen Systems Exergy of an open system Die maximale technische Arbeit oder die Exergie eines Stoffstroms erh
lt man dadurch, daß der Stoffstrom auf reversiblem Weg durch Verrichten von Arbeit und durch W
rmezu- oder -abfuhr mit der Umgebung ins Gleichgewicht gebracht wird. Aus dem ersten Hauptsatz fr station
re Prozesse offener Systeme, unter Vernachl
ssigung der nderung von kinetischer und potentieller Energie, D 3 Gl. (15), folgt dann
Wex ¼ H1
Hu
Tu ðS1
Su Þ:

ð6Þ

Von der Enthalpie H1 wird somit nur der um Hu þ Tu ðS1
Su Þ verminderte Anteil in technische Arbeit umgewandelt. Wird einem Stoffstrom W
rme aus der Umgebung zugefhrt, so ist Tu ðS1
Su Þ negativ und die Exergie um den Anteil dieser zugefhrten W
rme grßer als die nderung der Enthalpie.

5.3 Exergie einer W
rme. Exergy and heat Einer Maschine soll W
rme Q12 aus einem Energiespeicher der Temperatur T zugefhrt und in Arbeit W12 verwandelt werden, Bild 1. Die nicht in Arbeit umwandelbare W
rme

I6.1 Thermische Zustandsgrßen von Gasen und Dmpfen

D9

Jede Energie setzt sich aus Exergie Wex und Anergie B zusammen, d. h. E ¼ Wex þ B: ð9Þ Somit gilt f
r – ein geschlossenes System nach Gl. (5) mit E ¼ U1 B ¼ Uu þ Tu ðS1
Su Þ
pu ðV1
Vu Þ;

ð10Þ

– ein offenes System nach Gl. (6) mit E ¼ H1 B ¼ Hu þ Tu ðS1
Su Þ;

ð11Þ

– eine Wrme nach Gl. (8) mit dE ¼ dQ Z2 B¼

Bild 1. Zur Umwandlung von Wrme in Arbeit

1

ðQu Þ12 wird an die Umgebung abgef
hrt. Das Maximum an Arbeit gewinnt man, wenn alle Zustandsnderungen reversibel ablaufen. Dieses Maximum an Arbeit ist gleich der Exergie der Wrme. Alle Zustandsnderungen sind reversibel, wenn Z2 1

dQ þ T

Z2 1

dQu ¼0 Tu

mit dQ þ dQu þ dWex ¼ 0 nach dem ersten Hauptsatz. Daraus ergibt sich die Exergie der den Maschinen und Apparaten zugef
hrten Wrmen
Wex ¼

 Z2
Tu 1
dQ T

ð7Þ

1

oder in differenzieller Schreibweise
 Tu dQ:
dWex ¼ 1
T

ð8Þ

In einem reversiblen Prozess ist nur der mit dem sog. CarnotFaktor 1
ðTu =TÞ multiplizierte Anteil der zugef
hrten Wrme dQ in Arbeit umwandelbar. Der Anteil dQu ¼
Tu ðdQ=TÞ wird wieder an die Umgebung abgegeben und kann nicht als Arbeit gewonnen werden. Man erkennt außerdem: Wrme, die bei Umgebungstemperatur zur Verf
gung steht, kann nicht in Exergie umgewandelt werden.

5.4 Anergie. Anergy Als Anergie B bezeichnet man diejenige Energie, die sich nicht in Exergie Wex umwandeln lsst.

6 Stoffthermodynamik Thermodynamics of substances Um mit den allgemeinen f
r beliebige Stoffe g
ltigen Hauptstzen der Thermodynamik umgehen und um Exergien und Anergien berechnen zu knnen, muss man Zahlenwerte f
r die Zustandsgrßen U, H, S, p, V, T ermitteln. Hiervon bezeichnet man die Grßen U, H, S als kalorische und p, V, T als thermische Zustandsgrßen. Die Zusammenhnge zwischen ihnen sind stoffspezifisch. Gleichungen, die Zusammenhnge zwischen Zustandsgrßen angeben, bezeichnet man als Zustandsgleichungen.

Tu dQ: T

ð12Þ

5.5 Exergieverluste. Exergy losses Die in einem Prozess dissipierte Energie ist nicht vollstndig verloren. Sie erhht die Entropie und damit wegen U(S, V) auch die innere Energie eines Systems. Die dissipierte Energie kann man sich auch in einem reversiblen Ersatzprozess als Wrme vorstellen, die von außen zugef
hrt wird (dY ¼ dQ) und die gleiche Entropieerhhung bewirkt wie in dem irreversiblen Prozess. Da man die zugef
hrte Wrme d Q, Gl. (8), zum Teil in Arbeit umwandeln kann, ist auch der Anteil
 Tu
dWex ¼ 1
dY ð13Þ T der dissipierten Energie dY als Arbeit (Exergie) gewinnbar. Der restliche Anteil Tu dY=T der zugef
hrten Dissipationsenergie muss als Wrme an die Umgebung abgef
hrt werden und ist nicht in Arbeit umwandelbar. Man bezeichnet ihn als Exergieverlust: Dieser ist gleich der Anergie der Dissipationsenergie und nach Gl. (12) gegeben durch Z2 Z2 Tu dY ¼ Tu dSi : ð14Þ ðWVerlust Þ12 ¼ T 1

1

F
r einen geschlossenen, adiabaten Prozess ist wegen dSi ¼ dS Z2 ð15Þ ðWVerlust Þ12 ¼ Tu dS ¼ Tu ðS2
S1 Þ: 1

F
r die Exergie gilt im Gegensatz zur Energie kein Erhaltungssatz. Die einem System zugef
hrten Exergien sind gleich den abgef
hrten und den Exergieverlusten. Verluste durch Nichtumkehrbarkeiten wirken sich thermodynamisch um so ung
nstiger aus je tiefer die Temperatur T ist, bei der ein Prozess abluft, vgl. Gl. (14).

6.1 Thermische Zustandsgr
ßen von Gasen und Dmpfen Thermal properties of gases and vapours Eine thermische Zustandsgleichung reiner Stoffe ist von der Form Fðp; u; TÞ ¼ 0

ð1Þ

oder p ¼ pðu; TÞ; u ¼ uðp; TÞ und T ¼ Tðp; uÞ. F
r technische Berechnungen bevorzugt man Zustandsgleichungen der Form u ¼ uðp; TÞ, da Druck und Temperatur meistens als unabhngige Variablen vorgegeben sind.

D

D 10

Thermodynamik – 6 Stoffthermodynamik

6.1.1 Ideale Gase. Ideal gases Von besonders einfacher Art ist die thermische Zustandsgleichung idealer Gase pV ¼ mRT oder pu ¼ RT;

D

ð2Þ

mit: p absoluter Druck, V Volumen, u spezifisches Volumen, R individuelle Gaskonstante, T thermodynamische Temperatur. Gase verhalten sich nur dann n
herungsweise ideal, wenn ihr Druck hinreichend klein ist, p ! 0. 6.1.2 Gaskonstante und das Gesetz von Avogadro Gas constant and the law of Avogadro Als Einheit der Stoffmenge definiert man das Mol mit dem Einheitensymbol mol. Die Zahl der Teilchen (Molekle, Atome, Elementarteilchen) eines Stoffs nennt man dann 1 Mol, wenn dieser Stoff aus ebenso vielen unter sich gleichen Teilchen besteht wie in genau 12 g reinen atomaren Kohlenstoffs des Nuklids 12 C enthalten sind. Man bezeichnet die in einem Mol enthaltene Anzahl von unter sich gleichen Teilchen als Avogadro-Konstante (in der deutschsprachigen Literatur oftmals als Loschmidt-Zahl). Sie ist eine universelle Naturkonstante und hat den Zahlenwert NA ¼ ð6; 02214199
4; 7  107 Þ 1026 =kmol: Die Masse eines Mols, also von NA unter sich gleichen Teilchen, ist eine stoffspezifische Grße und wird Molmasse genannt (Werte s. Anh. D 6 Tab. 1): M ¼ m=n

ð3Þ

(SI-Einheit kg/kmol, m Masse in kg, n Molmenge in kmol). Nach Avogadro (1831) gilt: Ideale Gase enthalten bei gleichem Druck und gleicher Temperatur in gleichen R
umen gleich viel Molekle. Daraus folgt nach Einfhren der Molmasse in die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases, Gl. (2), dass pV=nT ¼ MR eine fr alle Gase feste Grße ist MR ¼ R:

Bild 1. Realgasfaktor von Wasserdampf

–15 bis 200 C erreichen die Abweichungen in Z bei Drcken von 20 bar etwa 1% vom Wert eins. Bei atmosph
rischen Drcken sind bei fast allen Gasen die Abweichungen vom Gesetz des idealen Gases zu vernachl
ssigen. Zur Beschreibung des Zustandsverhaltens realer Gase haben sich verschiedene Arten von Zustandsgleichungen bew
hrt. Eine davon besteht darin, dass man den Realgasfaktor Z in Form einer Reihe darstellt und additiv an den Wert 1 fr das ideale Gas Korrekturglieder anfgt Z¼

ð4Þ

BðTÞ CðTÞ þ 2 u u  g aa c  g þ 5 þ 3 2 1 þ 2 exp  2 ; u RT u RT u u

Z ¼1þ

ð5Þ

Beispiel: In einer Stahlflasche von V1 ¼ 200 l Inhalt befindet sich Wasserstoff von p1 ¼ 120 bar und t1 ¼ 10 C. Welchen Raum nimmt der Wasserstoff bei p2 ¼ 1 bar und t2 =0 C ein, wenn man die geringen Abweichungen des Wasserstoffs vom Verhalten des idealen Gases vernachl
ssigt? Nach Gl. (5) ist p1 V1 ¼ n RT1 ; p2 V2 ¼ n RT2 und somit V2 ¼

ð7Þ

mit

Die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases lautet mit ihr pV ¼ n RT:

ð6Þ

Man nennt B den zweiten, C den dritten und D den vierten Virialkoeffizienten. Eine Zusammenstellung von zweiten Virialkoeffizienten vieler Gase findet man in Tabellenwerken [2, 3]. Die Virialgleichung mit zwei oder drei Virialkoeffizienten ist nur im Bereich m
ßiger Drcke gltig. Zur Beschreibung des Zustandsverhaltens dichter Gase stellt die Zustandsgleichung von Benedict-Webb-Rubin [4] einen ausgewogenen Kompromiss zwischen rechnerischem Aufwand und erzielbarer Genauigkeit dar. Sie lautet

Man nennt R die universelle Gaskonstante. Sie ist eine Naturkonstante. Es ist R ¼ 8; 314472
1; 5  105 kJ=kmolK:

pu BðTÞ CðTÞ DðTÞ ¼ 1þ þ 2 þ 3 : RT u u u

p1 T2 120 bar  273; 15 K V1 ¼ 0; 2 m3 ¼ 23; 15 m3 : p2 T1 1 bar  283; 15 K

6.1.3 Reale Gase. Real gases Die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases gilt fr wirkliche Gase und D
mpfe nur als Grenzgesetz bei unendlich kleinen Drcken. Die Abweichung des Verhaltens des gasfrmigen Wassers von der Zustandsgleichung der idealen Gase zeigt Bild 1, in dem pu/RT ber t fr verschiedene Drcke dargestellt ist. Der Realgasfaktor Z=pu/RT ist fr ideale Gase gleich eins, weicht aber fr reale Gase hiervon ab. Bei Luft zwischen 0 und 200 C und fr Wasserstoff von

BðTÞ ¼ B0 

A0 C0 a  und CðTÞ ¼ b  : RT RT 3 RT

Die Gleichung enth
lt die acht Konstanten A0 ; B0 ; C0 ; a; b; c, a, g, die fr viele Stoffe vertafelt sind [4]. Hochgenaue Zustandsgleichungen bentigt man fr die in W
rmekraft- und K
lteanlagen verwendeten Arbeitsstoffe Wasser [5], Luft [6] und die K
ltemittel [7]. Die Gleichungen fr diese Stoffe sind aufwendiger, enthalten mehr Konstanten und sind nur mit einer elektronischen Rechenanlage auszuwerten. 6.1.4 D
mpfe. Vapours D
mpfe sind Gase in der N
he ihrer Verflssigung. Man nennt einen Dampf ges
ttigt, wenn schon eine beliebig kleine Temperatursenkung ihn verflssigt, er heißt berhitzt, wenn es dazu einer endlichen Temperatursenkung bedarf. Fhrt man einer Flssigkeit bei konstantem Druck W
rme zu, so beginnt sich von einer bestimmten Temperatur an Dampf von gleicher Temperatur zu bilden. Dampf und Flssigkeit befinden sich im Gleichgewicht. Man nennt diesen Zustand S
ttigungszustand; er ist durch zueinander gehrende Werte von S
ttigungstemperatur und S
ttigungsdruck gekennzeichnet, deren Abh
ngigkeit voneinander durch die Dampfdruckkurve

I6.1 Thermische Zustandsgrßen von Gasen und Dmpfen dargestellt wird, Bild 2. Sie beginnt am Tripelpunkt und endet am kritischen Punkt K eines Stoffs. Darunter versteht man den Zustandspunkt pk ; Tk oberhalb dessen Dampf und Fl
ssigkeit nicht mehr durch eine deutlich wahrnehmbare Grenze getrennt sind, sondern kontinuierlich ineinander
bergehen (s. Anh. D 6 Tab. 1). Der kritische Punkt ist ebenso wie der Tripelpunkt, an dem Dampf, Fl
ssigkeit und feste Phase eines Stoffs miteinander im Gleichgewicht stehen, ein f
r jeden Stoff charakteristischer Punkt. Den Dampfdruck vieler Stoffe kann man vom Tripelpunkt bis zum Siedepunkt bei Atmosphrendruck durch die Antoine-Gleichung darstellen ln p ¼ A
B=ðC þ TÞ;

ð8Þ

in der die Grßen A, B, C stoffabhngige Konstanten sind (s. Anh. D 6 Tab. 2 ). Verdichtet man
berhitzten Dampf bei konstanter Temperatur durch Verkleinern des Volumens, so nimmt der Druck hnlich wie bei einem idealen Gas nahezu nach einer Hyperbel zu, s. z. B. die Isotherme 300 C in Bild 3. Die Kondensation beginnt, sobald der Sttigungsdruck erreicht ist, und das Volumen verkleinert sich ohne Steigen des Drucks so lange, bis aller Dampf verfl
ssigt ist. Bei weiterer Volumenverkleinerung steigt der Druck stark an. Die Kurvenschar von Bild 3 ist als graphische Darstellung einer Zustandsgleichung f
r viele Stoffe charakteristisch. Verbindet man die spezifischen Volu-

Bild 2. Dampfdruckkurven einiger Stoffe

Bild 3. p, u-Diagramm des Wassers

D 11

mina der Fl
ssigkeit bei Sttigungstemperaturen vor der Verdampfung und des gesttigten Dampfes, u0 und u00 , so erhlt man zwei Kurven a und b , die linke und die rechte Grenzkurve genannt, die sich im kritischen Punkt K treffen. Ist x der Dampfgehalt, definiert als Masse des gesttigten Dampfes m00 bezogen auf die Gesamtmasse von gesttigtem Dampf m00 und siedender Fl
ssigkeit m0 ; u0 das spezifische Volumen von siedender Fl
ssigkeit und u00 das von Sattdampf, so gilt f
r Nassdampf u ¼ x u00 þ ð1
xÞ u0 :

ð9Þ

Linien x=const zeigt Bild 3. Beispiel: In einem Kessel von 2 m3 =kg Inhalt befinden sich 1 000 kg Wasser und Dampf von 121 bar im Sttigungszustand. Welches spez. Volumen hat der Dampf? Aus der Dampftafel (Anh. D 6 Tab. 5) findet man durch Interpolieren bei 121 bar das spez. Volumen des Dampfes v00 ¼ 0; 01410 m3 =kg, das der Fl
ssigkeit u0 = 0,001530 m3 . Das mittlere spez. Volumen u= V/m ist u=2 m3 /1 000 kg =0,002 m3 =kg: Mit Gl. (9) folgt x ¼ ðu
u0 Þ=ðu00
u0 Þ ¼ ð0; 002
0; 001530Þ=ð0; 01410
0; 001530Þ ¼ 0; 03739 ¼ m00 =m, also m00 ¼ 1 000  0; 03739 kg ¼ 37,39 kg, m0 ¼ 1 000 – 37,39 kg ¼ 962,61 kg.

Man kann die Zustandsgleichung auch als eine Flche im Raum mit den Koordinaten p, u, t darstellen, Bild 4. Die Projektion der Grenzkurve in die p, T-Ebene ergibt die Dampf-

D

D 12

Thermodynamik – 6 Stoffthermodynamik u2
u1 ¼ ½cv tt21 ðt2
t1 Þ ¼ ½cv t02 t2
½cv t01 t1

ð14Þ

und h2
h1 ¼ ½cp tt21 ðt2
t1 Þ ¼ ½cp t02 t2
½cp t01 t1 : ½cv t0

ð15Þ

½cp t0

und ermittelt man aus den im Zahlenwerte von Anh. D 6 Tab. 4 angegebenen mittleren Molw
rmen. Die spezifische Entropie ergibt sich aus D 4 Gl. (1) unter Beachtung von Gl. (10) und Gl. (2)

D

ds ¼

du þ p du dT du ¼ cv þ R T T u

durch Integration mit cv =const zu s2
s1 ¼ cv ln

T2 u2 þ R ln : T1 u1

ð16Þ

Einen
quivalenten Ausdruck erh
lt man durch Integration von D 4 Gl. (4) mit cp =const s2
s1 ¼ cp ln

Bild 4. Zustandsfl
che des Wassers in perspektivischer Darstellung

druckkurve, die Projektion der Fl
che in die p, u-Ebene liefert die Darstellung nach Bild 3.

6.2 Kalorische Zustandsgr
ßen von Gasen und Dmpfen Caloric properties of gases and vapours 6.2.1 Ideale Gase. Ideal gases

ð10Þ

du=dT ¼ cv die spez. W
rmekapazit
t bei konstantem Volumen und dh=dT ¼ cp

ð11Þ

die spez. W
rmekapazit
t bei konstantem Druck. Die Ableitung von h
u ¼ RT ergibt cp
cv ¼ R:

ð12Þ

Die Differenz der molaren W
rmekapazit
ten oder Molw
r
p ¼ Mcp ; C
v ¼ Mcv ist gleich der universellen Gaskonmen C stanten
p
C
v ¼ R: C Das Verh
ltnis k ¼ cp =cv spielt bei reversiblen adiabaten Zustands
nderungen eine wichtige Rolle und wird daher Adiabatenexponent oder Isentropenexponent genannt. Fr einatomige Gase ist recht genau k=1,66, fr zweiatomige k=1,40 und fr dreiatomige k=1,30. Die mittlere spezifische W
rmekapazit
t ist der integrale Mittelwert definiert durch 1 t2
t1

Zt2 t1

cp dt; ½cv tt21 ¼

1 t2
t1

Zt2 cv dt:

ð13Þ

t1

Aus Gln. (10) und (11) folgen fr die nderungen von innerer Energie und Enthalpie

ð17Þ

6.2.2 Reale Gase und Dmpfe. Real gases and vapours Die kalorischen Zustandsgrßen realer Gase und D
mpfe werden i. Allg. aus Messungen bestimmt, knnen aber bis auf einen Anfangswert auch aus der thermischen Zustandsgleichung abgeleitet werden. Sie werden in Tabellen oder Diagrammen in folgender Weise dargestellt u=u(u, T), h=h(p, T), s=s(p, T), cv ¼ cv ðu; TÞ, cp ¼ cp ðp; TÞ. H
ufig erfordert die Auswertung von Zustandsgleichungen einen Computer. Fr D
mpfe gilt: Die Enthalpie h00 des ges
ttigten Dampfes unterscheidet sich von der Enthalpie h0 der Flssigkeit im S
ttigungszustand bei p, T=const um die Verdampfungsenthalpie r ¼ h00
h0 ;

Die innere Energie idealer Gase h
ngt nur von der Temperatur ab, u=u(T), infolgedessen ist auch die Enthalpie h=u+pu=u+RT eine reine Temperaturfunktion h=h(T). Die Ableitungen von u und h nach der Temperatur nennt man spezifische W
rmekapazit
ten. Sie steigen mit der Temperatur (s. Anh. D 6 Tab. 3 mit Werten fr Luft). Es ist

½cp tt21 ¼

T2 p2
R ln : T1 p1

ð18Þ

die mit steigender Temperatur abnimmt und am kritischen Punkt, wo h00 ¼ h0 ist, zu null wird. Die Enthalpie von Nassdampf ist h ¼ ð1
xÞh0 þ xh00 ¼ h0 þ xr:

ð19Þ

Entsprechend ist die innere Energie u ¼ ð1
xÞu0 þ xu00 ¼ u0 þ xðu00
u0 Þ

ð20Þ

und die Entropie s ¼ ð1
xÞs0 þ xs00 ¼ s0 þ xr=T;

ð21Þ

da Verdampfungsenthalpie und Verdampfungsentropie s00
s0 zusammenh
ngen durch r ¼ Tðs00
s0 Þ:

ð22Þ

Nach Clausius-Clapeyron ist die Verdampfungsenthalpie mit der Steigung dp=dT der Dampfdruckkurve p(T) verknpft durch r ¼ Tðu00
u0 Þ

dp ; dT

ð23Þ

wenn T die Siedetemperatur beim Druck p ist. Man kann diese Beziehung verwenden, um aus zwei der drei Grßen r; u00
u0 und dp=dT die dritte zu berechnen. Wenn nicht h
ufig Zustandsgrßen zu berechnen sind oder keine leistungsf
higen Rechner zu Verfgung stehen, verwendet man fr praktische Rechnungen Dampftafeln, in denen die Ergebnisse theoretischer und experimenteller Untersuchungen der Zustandsgrßen zusammengefasst sind. Fr die in der Technik wichtigen Arbeitsstoffe findet man Dampftafeln in Anh. D 6 Tab. 5 bis 10. Zur Ermittlung von Anhaltswerten und zur Darstellung von Zustands
nderungen sind Dia-

I6.4 Feste Stoffe

D 13

D

Bild 5. t, s-Diagramm des Wassers mit Kurven p=const (ausgezogen), =const (gestrichelt) und Kurven gleicher Enthalpie (strichpunktiert)

Bild 6. h, s-Diagramm des Wassers mit Kurven p=const (ausgezogen), t=const (gestrichelt) und x=const (strichpunktiert). Der fr die Zwecke der Dampftechnik interessante Bereich ist durch die schraffierte Umrandung abgegrenzt

gramme vorteilhaft, z. B. ein t, s-Diagramm wie Bild 5. Am h
ufigsten verwendet man in der Praxis Mollier-Diagramme. Das sind solche Diagramme, welche die Enthalpie als eine der Koordinaten enthalten, Bild 6. Die spezifische W
rmekapazit
t cp ¼ ð¶h=¶TÞp eines Dampfes h
ngt außer von der Temperatur in erheblichem Maße vom Druck ab, ebenso h
ngt cv ¼ ð¶u=¶TÞv außer von der Temperatur noch vom spez. Volumen ab. Bei Ann
herung an die Grenzkurve w
chst cp des berhitzten Dampfes mit abnehmender Temperatur stark an und wird im kritischen Punkt sogar unendlich. Bei D
mpfen ist cp
cv keine konstante Grße mehr wie bei idealen Gasen.

6.3 Inkompressible Fluide. Incompressible fluids Ein inkompressibles Fluid ist ein Fluid, dessen spez. Volumen u weder von der Temperatur noch vom Druck abh
ngt. Die thermische Zustandsgleichung lautet u ¼ const. Flssigkeiten und Feststoffe knnen im Allgemeinen in guter N
herung als inkompressibel betrachtet werden.

Die spez. W
rmekapazit
ten cp und cv unterscheiden sich bei inkompressiblen Fluiden nicht voneinander, cp ¼ cv ¼ c. Daher gelten die kalorischen Zustandsgleichungen du ¼ c dT

ð24Þ

und dh ¼ c dT þ u dp

ð25Þ

sowie ds ¼ c

dT : T

ð26Þ

6.4 Feste Stoffe. Solid materials 6.4.1 W
rmedehnung. Thermal expansion In der Zustandsgleichung V=V(p, T) fester Stoffe ist der Einfluss des Drucks auf das Volumen ebenso wie bei Flssigkeiten meistens vernachl
ssigbar gering. Fast alle Feststoffe dehnen sich wie die Flssigkeiten mit zunehmender Temperatur

D 14

Thermodynamik – 7 Zustandsnderungen von Gasen und Dmpfen

aus und schrumpfen bei Temperaturabnahme, ausgenommen Wasser, das bei 4
C seine grßte Dichte hat und sich sowohl bei hheren als auch bei geringeren Temperaturen als 4
C ausdehnt. Entwickelt man die Zustandsgleichung in eine Taylorreihe nach der Temperatur und bricht nach dem linearen Glied ab, so erhlt man die Volumendehnung mit dem kubischen Volumendehnungskoeffizienten gv (SI-Einheit 1/K)

D

V ¼ V0 ½1 þ gv ðt
t0 Þ: Entsprechend ist die Flchendehnung A ¼ A0 ½1 þ gA ðt
t0 Þ und die Lngendehnung l ¼ l0 ½1 þ gL ðt
t0 Þ: Es ist gA ¼ ð2=3Þgv und gL ¼ ð1=3Þgv . Mittelwerte fr gL im Temperaturintervall zwischen 0
C und t
C findet man fr einige Feststoffe aus den Werten im Anh. D 6 Tab. 11, indem man die dort angegebene Lngennderung ðl
l0 Þ=l0 noch durch das Temperaturintervall ðt
0Þ
C dividiert. 6.4.2 Schmelz- und Sublimationsdruckkurve Melting and sublimation curve Innerhalb gewisser Grenzen gibt es zu jedem Druck einer Flssigkeit eine Temperatur, bei der sie mit ihrem Feststoff im Gleichgewicht steht. Dieser Zusammenhang p(T) wird durch die Schmelzdruckkurve (Bild 7) festgelegt, whrend die Sublimationsdruckkurve das Gleichgewicht zwischen Gas und Feststoff wiedergibt. In Bild 7 ist außerdem noch die Dampfdruckkurve eingezeichnet. Alle drei Kurven treffen sich im Tripelpunkt, in dem die feste, die flssige und die gasfrmige Phase eines Stoffs miteinander im Gleichgewicht ste-

hen. Der Tripelpunkt des Wassers liegt definitionsgemß bei 273,16 K, der Druck betrgt am Tripelpunkt 611,657 Pa. 6.4.3 Kalorische Zustandsgr
ßen. Caloric properties Beim Gefrieren einer Flssigkeit wird die Schmelzenthalpie DhE (E=Erstarren) abgefhrt (Anh. D 6 Tab. 12). Dabei erfhrt die Flssigkeit eine Entropieabnahme DsE ¼ DhE =TE , wenn TE die Schmelz- oder Erstarrungstemperatur ist. Nach der Dulong-Petitschen Regel hat oberhalb der Umgebungstemperatur die molare Wrmekapazitt geteilt durch die Anzahl der Atome im Molekl ungefhr den Wert 25,9 kJ/ (kmol K). Bei Annherung an den absoluten Nullpunkt gilt diese grobe Regel nicht mehr. Dort ist die molare Wrmekapazitt bei konstantem Volumen fr alle festen Stoffe
¼ aðT=QÞ3 ; f
r T=Q < 0; 1 C worin a=472,5 J/(mol K) und Q die Debye-Temperatur ist (Anh. D 6 Tab. 13).

6.5 Mischtemperatur. Messung von spezifischen Wrmekapazitten Mixing temperature. Measurement of specific heat capacities Mischt man bei konstantem Druck und ohne ußere Wrmezufuhr mehrere Stoffe verschiedener Massen mi , Temperaturen ti und spez. Wrmekapazitten cpi ði ¼ 1; 2 . . .Þ, so stellt sich nach hinreichend langer Zeit eine Mischtemperatur tm ein. Es ist X mi cpi ti tm ¼ X ; mi cpi worin die cpi die mittleren spez. Wrmekapazitten zwischen 0
C und ti
C sind. Durch Messen von tm lsst sich eine unbekannte spez. Wrmekapazitt berechnen, wenn alle brigen bekannt sind. Beispiel: In ein vollkommen gegen Wrmeverlust geschtztes Kalorimeter, das mit 0,8 kg Wasser von 15
C, cp ¼ 4; 186 kJ/kgK gefllt ist und das aus 0,25 kg Silber cpS ¼ 0; 234 kJ/kgK besteht, werden ma ¼ 0; 2 kg Aluminium von ta =100
C geworfen. Nach dem Ausgleich misst man eine Mischungstemperatur von 19,24
C. Wie groß ist die spez. Wrmekapazitt von Aluminium? Es ist tm ¼ ½ðmcp þ mS cpS Þt þ ma cpa ta =½mcp þ mS cpS þ ma cpa ; aufgelst nach

Bild 7. p, T-Diagramm mit den drei Grenzkurven der Phasen. (Die Steigung der Schmelzdruckkurve von Wasser ist negativ, gestrichelte Kurve.)

7 Zustandsnderungen von Gasen und Dmpfen Changes of state of gases and vapours 7.1 Zustandsnderungen ruhender Gase und Dmpfe Change of state of quiescent gases and vapours Das geschlossene thermodynamische System habe die Masse Dm, die als Ganzes nicht bewegt wird. Man unterscheidet folgende Zustandsnderungen als idealisierte Grenzflle der wirklichen Zustandsnderungen.

cpa ¼ ½ðmcp þ mS cpS Þðt
tm Þ=½ma ðtm
ta Þ; ð0,8 kg  4,186 kJ=kgK þ 0,25 kg  0,234 kJ=kgKÞð15  C
19,24  CÞ cpa ¼ 0,2 kgð19,24  C
100  CÞ ¼ 0,894 kJ=kgK:

Zustandsnderungen bei konstantem Volumen oder isochore Zustands
nderungen. Hierbei bleibt das Gasvolumen unverndert; z. B. wenn sich ein Gasvolumen in einem Behlter mit starren Wnden befindet. Es wird keine Arbeit verrichtet. Die zugefhrte Wrme dient zur nderung der inneren Energie. Zustandsnderungen bei konstantem Druck oder isobare Zustands
nderungen. Um den Druck konstant zu halten, muss ein Gas bei Wrmezufuhr sein Volumen ausreichend vergrßern. Die zugefhrte Wrme bewirkt bei reversibler Zustandsnderung eine Erhhung der Enthalpie. Zustandsnderungen bei konstanter Temperatur oder isotherme Zustands
nderungen. Damit bei der Expansion eines

I7.1 Zustands
nderungen ruhender Gase und D
mpfe Gases die Temperatur konstant bleibt, muss man W
rme zufhren, bei der Kompression W
rme abfhren (von einigen wenigen Ausnahmen abgesehen). Im Fall des idealen Gases ist UðTÞ ¼ const, und daher nach dem ersten Hauptsatz ðdQ þ dW ¼ 0Þ die zugefhrte W
rme gleich der abgegebenen Arbeit. Die Isotherme des idealen Gases ðpV ¼ mRT ¼ constÞ stellt sich im p, V-Diagramm als Hyperbel dar. Adiabate Zustands
nderungen sind gekennzeichnet durch w
rmedichten Abschluss des Systems von seiner Umgebung. Sie werden n
herungsweise in Verdichtern und Entspannungsmaschinen verwirklicht, weil dort Verdichtung und Entspannung der Gase so rasch ablaufen, dass w
hrend einer Zustands
nderung wenig W
rme mit der Umgebung ausgetauscht wird. Nach dem zweiten Hauptsatz (s. D 4.3.1) wird die gesamte Entropie
nderung durch Irreversibilit
ten im Inneren des Systems bewirkt, S_ ¼ S_ i . Eine reversible Adiabate verl
uft bei konstanter Entropie S_ ¼ 0. Man nennt eine solche Zustands
nderung isentrop. Eine reversible Adiabate ist daher gleichzeitig Isentrope. Die Isentrope braucht aber keine Adiabate zu sein (da S_ ¼ S_ Q þ S_ i ¼ 0 nicht auch S_ Q ¼ 0 zur Folge hat). In Bild 1 sind die verschiedenen Zustands
nderungen im p, V- und T, S-Diagramm dargestellt und die wichtigsten Zusammenh
nge fr Zustandsgrßen idealer Gase angegeben.

D 15

sich beides nicht vllig erreichen. Man fhrt daher eine polytrope Zustands
nderung ein durch die Gleichung pV n ¼ const;

ð1Þ

wobei n in praktischen F
llen meist zwischen 1 und k liegt. Isochore, Isobare, Isotherme und reversible Adiabate sind Sonderf
lle der Polytrope mit folgenden Exponenten (Bild 2): Isochore: n= 1 , Isobare: n=0, Isotherme: n=1, reversible Adiabate: n=k. Es gilt weiter u2 =u1 ¼ ðp1 =p2 Þ1=n ¼ ðT1 =T2 Þ1=ðn
1Þ ;

ð2Þ

W12 ¼ mRðT2
T1 Þ=ðn
1Þ ¼ ðp2 V2
p1 V1 Þ=ðn
1Þ ¼ p1 V1 ½ðp2 =p1 Þðn
1Þ=n
1=ðn
1Þ und Wt12 ¼ nW12 :

ð3Þ

Die ausgetauschte W
rme ist Q12 ¼ mcv ðn
kÞðT2
T1 Þ=ðn
1Þ:

ð4Þ

Polytrope Zustands
nderungen. W
hrend die isotherme Zustands
nderung vollkommenen W
rmeaustausch voraussetzt, ist bei der adiabaten Zustands
nderung jeder W
rmeaustausch mit der Umgebung unterbunden. In Wirklichkeit l
sst

Bild 2. Polytropen mit verschiedenen Exponenten

Beispiel: Eine Druckluftanlage soll stndlich 1000 m3n Druckluft von 15 bar liefern (Anmerkung: 1 m3n =1 Normkubikmeter ist das Gasvolumen umgerechnet auf 0 C und 1,01325 bar), die bei einem Druck von p1 ¼ 1 bar und einer Temperatur von t1 ¼ 20  C angesaugt wird. Fr Luft ist k=1,4. Welche Leistung ist erforderlich, wenn die Verdichtung polytrop mit n=1,3 erfolgt? Welcher W
rmestrom muss dabei abgefhrt werden? Der angesaugte Luftvolumenstrom betr
gt nach Aufgabenstellung 1000 m3 bei 0 C und 1,01325 bar, p0 T1 _ 1; 01325  293; 15 m m ¼ 1087; 44 : V_ 1 ¼ V0 ¼ 1000 p1 T0 h h 1  273; 15 3

Bei polytroper Zustands
nderung ist nach Gln. (3) und (2) 2 3
n
1 _ n _ t ¼ n p1 V1 4 p2 P¼W
15 n
1 p1 ¼

1,3  105

N m3 1087,44 1,3
1 h ½15 1,3
1 ¼ 113,6 kW: m2 1,3
1

Nach Gln. (4) und (3) ist Q12 Q_ n
k ¼ ¼ cv Wt12 P nR oder da R ¼ cp
cv und k ¼ cp =cv : Q_ 1 n
k ¼ : P n k
1 Bild 1. Zustands
nderungen idealer Gase. Der Zusatz (rev.) zeigt an, dass die Zustands
nderung reversibel sein soll

Somit ist Q_ ¼

1 1,3
1,4  113,6 kW ¼
21,85 kW: 1,3 1,4
1

3

D

D 16

Thermodynamik – 7 Zustandsnderungen von Gasen und Dmpfen

7.2 Zustands
nderungen strmender Gase und D
mpfe Changes of state of flowing gases and vapours

D

Zur Kennzeichnung der Str
mung einer Fluidmasse Dm braucht man neben den thermodynamischen Zustandsgr
ßen noch Gr
ße und Richtung der Geschwindigkeit an jeder Stelle des Felds. Wir beschrnken uns hier auf stationre Str
mungen in Kanlen, deren Querschnitt konstant, erweitert oder verjngt sein kann. Neben dem ersten und dem zweiten Hauptsatz gilt zustzlich der Satz von der Erhaltung der Masse m_ ¼ Awr ¼ const:

ð5Þ

In einer Str
mung, die keine Arbeit an die Umgebung abgibt, Wt12 ¼ 0, geht der erste Hauptsatz D 3 Gl. (14) ber in
2  w w2 Dmðh2
h1 Þ þ Dm 2
1 þ Dmgðz2
z1 Þ ¼ Q12 ; ð6Þ 2 2 gleichgltig, ob es sich um reversible oder irreversible Str
mungsvorgnge handelt. Lsst man die meist vernachlssigbare Hubarbeit weg, so gilt fr eine adiabate Str
mung h2
h1 þ

w22 w21
¼ 0: 2 2

ð7Þ

Eine Zunahme der kinetischen Energie ist gleich der Abnahme der Enthalpie des Fluids. In einer adiabaten Drossel und unter der Voraussetzung A; r ¼ const folgt aus Gl. (5) w ¼ const und somit aus Gl. (7) fr die adiabate Drossel h1 ¼ h2 ¼ const. Der Druckabbau in einer adiabaten Drossel ist mit einer Entropiezunahme verbunden, der Vorgang ist irreversibel. Nach D 4 Gl. (4) wird bei der reversibel adiabaten Str
mung die Enthalpienderung durch eine Drucknderung hervorgerufen, dh ¼ u dp.

mit der Ausflussfunktion ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s

ðkþ1Þ=k k p 2=k p
: Y¼ k
1 p0 p0

ð10Þ

Sie ist eine Funktion des Adiabatenexponenten k und des Druckverhltnisses p=p0 (Bild 4) und besitzt ein Maximum Ymax , das man aus dY=dðp=p0 Þ ¼ 0 erhlt. Das Maximum liegt bei einem bestimmten Druckverhltnis, das man LavalDruckverh
ltnis nennt
k=ðk
1Þ pS 2 ¼ : ð11Þ p0 kþ1 Bei diesem Druckverhltnis ist
1=ðk
1Þ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 k Ymax ¼ : kþ1 kþ1

ð12Þ

Zum Druckverhltnis pS =p0 geh
rt nach Gl. (8) mit pe =p0 ¼ pS =p0 eine Geschwindigkeit we ¼ wS . Es ist rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi wS ¼ 2 ð13Þ p0 v0 ¼ kpS vS ¼ kRTS : kþ1 Diese ist gleich der Schallgeschwindigkeit im Zustand pS ; uS : Allgemein ist die Schallgeschwindigkeit diejenige Geschwindigkeit, mit der sich Druck und Dichteschwankungen fortpflanzen, und bei reversibler adiabater Zustandsnderung gegeben durch qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi wS ¼ ð¶p=¶rÞS ; pffiffiffiffiffiffiffiffiffi woraus fr ideale Gase wS ¼ kRT folgt. Die Schallgeschwindigkeit ist eine Zustandsgr
ße.

7.2.1 Strmung idealer Gase. Flow of ideal gases Anwendung von Gl. (7) auf ein ideales Gas, das aus einem Behlter ausstr
mt (Bild 3), in dem das Gas den konstanten Zustand p0 ; u0 ; T0 hat und w0 ¼ 0 ist, ergibt wegen he
h0 ¼ cp ðTe
T0 Þ und w0 ¼ 0 :
 w2e Te ¼ cp ðT0
Te Þ ¼ cp T0 1
: 2 T0 Bei reversibel adiabater Zustandsnderung ist nach Gl. (2) Te =T0 ¼ ðpe =p0 Þðk
1Þ=k , außerdem gilt T0 ¼ p0 u0 =R nach D 6 Gl. (2) und cp =R ¼ k=ðk
1Þ nach D 6 Gl. (12). Die Austrittsgeschwindigkeit ist somit ffi vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi " u
ðk
1Þ=k # u k pe t we ¼ 2 p0 v0 1
: ð8Þ p0 k
1 Der ausstr
mende Mengenstrom m_ ¼ Ae we =ue folgt unter Beachtung von p0 uk0 ¼ pe uke zu pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð9Þ m_ ¼ AY 2p0 =u0

Bild 3. Ausstr
men aus einem Druckbehlter

Bild 4. Ausflussfunktion
Beispiel: Ein Dampfkessel erzeugt stndlich 10 t Sattdampf von p0 ¼ 15 bar. Den Dampf kann man als ideales Gas (k=1,3) behandeln; wie groß muss der freie Querschnitt des Sicherheitsventils mindestens sein? Das Sicherheitsventil muss den ganzen Massenstrom des erzeugten Dampfes abf
hren knnen. Da beim Ausstrmen m_ in jedem Querschnitt konstant ist, ist nach Gl. (9) auch AY ¼ const: Da sich die Strmung einschn
rt, A also abnimmt, nimmt Y zu. Es kann h
chstens den Wert Ymax erreichen. Dann ist der Gegendruck kleiner oder gleich dem Lavaldruck. Im vorliegenden Fall ist der Gegendruck der Atmosphre von p ¼ 1 bar kleiner als der Lavaldruck, den man nach Gl. (11) zu 8,186 bar errechnet. Damit ergibt sich der notwendige Querschnitt aus Gl. (9), wenn man dort Y ¼ Ymax ¼ 0; 472 nach Gl. (12) einsetzt. 1 Man erhlt mit m_ ¼ 10  103 kg=s ¼ 2; 7778 kg=s und u0 ¼ 3 600 00 3 u ¼ 0; 1317 m =kg (nach Anh. D 6 Tab. 5 bei p0 ¼ 15 bar) aus Gl. (9) A=12,33 cm2 . Wegen der Strahleinschnrung, deren Gr
ße von der Formgebung des Ventils abhngt, muss man hierauf noch einen Zuschlag machen.

I8.1 Verbrennungsprozesse

D 17

7.2.2 D
sen- und Diffusorstrmung. Jet and diffusion flow Nach Bild 4 geh
rt bei vorgegebenem Adiabatenexponenten k zu einem bestimmten Druckverhltnis p=p0 ein bestimmter Wert der Ausflussfunktion Y. Da der Massenstrom m_ in jedem Querschnitt konstant ist, gilt nach Gl. (9) auch AY ¼ const: Jedem Druckverhltnis kann man somit einen bestimmten Querschnitt A zuordnen, Bild 5. Es sind zwei Flle zu unterscheiden: a: Der Druck sinkt in Str
mungsrichtung. Die Kurven Y, A, w werden in Bild 5 von rechts nach links durchlaufen. Der Querschnitt A nimmt zunchst ab, dann wieder zu. Die Geschwindigkeit steigt von Unterschall auf berschall. Die kinetische Energie der Str
mung nimmt zu. Man bezeichnet einen solchen Apparat als Dse. In einer Dse, die nur im Unterschallbereich arbeitet, nimmt der Querschnitt stets ab, im berschallbereich nimmt er stetig zu. In einer in Richtung der Str
mung verjngten Dse kann der Druck im Austrittsquerschnitt nicht unter den Lavaldruck sinken, auch wenn man den Druck im Außenraum beliebig klein macht. Dies folgt aus AY ¼ const: Da A in Str
mungsrichtung abnimmt, kann Y nur zunehmen. Es kann h
chstens den Wert Ymax erreichen, wozu das Lavaldruckverhltnis geh
rt. Senkt man den Druck am Austrittsquerschnitt einer Dse unter den zum Austrittsquerschnitt geh
renden Wert des Drucks, so expandiert der Strahl nach Verlassen der Dse. Erh
ht man den Gegendruck ber den richtigen Wert, so luft die Druckerh
hung stromaufwrts falls das Gas mit Unterschallgeschwindigkeit ausstr
mt. Str
mt das Gas mit Schall-

8 Thermodynamische Prozesse Thermodynamic processes 8.1 Verbrennungsprozesse. Combustion processes Wrme in technischen Prozessen wird heute noch gr
ßtenteils durch Verbrennung gewonnen. Verbrennung ist die chemische Reaktion eines Stoffs, i. Allg. Kohlenstoff, Wasserstoff und Kohlenwasserstoffe, mit Sauerstoff, die stark exotherm, also unter Wrmefreisetzung abluft. Die Brennstoffe k
nnen fest, flssig oder gasf
rmig sein, und als Sauerstofftrger dient meistens die atmosphrische Luft. Zur Einleitung der Verbrennung muss der Brennstoff erst auf Zndtemperatur gebracht werden, die von der Art des Brennstoffs abhngt. Hauptbestandteil aller technisch wichtigen Brennstoffe sind Kohlenstoff C und Wasserstoff H, daneben ist hufig auch noch Sauerstoff O und, mit Ausnahme von Erdgas, noch eine gewisse Menge Schwefel S vorhanden, aus dem bei Verbrennung das unerwnschte Schwefeldioxid SO2 entsteht. 8.1.1 Reaktionsgleichungen. Equations of reactions Die in den Brennstoffen vorkommenden Elemente H, C und S werden bei vollstndiger Verbrennung zu CO2 , H2 O und SO2 verbrannt. Aus den Reaktionsgleichungen erhlt man den Sauerstoffbedarf und die Stoffmenge im Rauchgas. Es gilt fr die Verbrennung von Kohlenstoff C ¼ CO2 C þ O2 1 kmol C þ 1 kmol O2 ¼ 1 kmol CO2 12 kg C þ 32 kg O2 ¼ 44 kg CO2 : Daraus folgen der Mindestsauerstoffbedarf, den man zur vollstndigen Verbrennung ben
tigt, zu omin ¼ ð1=12Þ kmol=kg C oder

D Bild 5. Dsen- und Diffusorstr
mung

geschwindigkeit oder in einer erweiterten Dse mit berschallgeschwindigkeit aus, so entsteht an der Mndung der Dse ein Verdichtungsstoß, in dem der Druck auf den Wert der Umgebung springt. b: Der Druck nimmt in Str
mungsrichtung zu. Die Kurven Y, A, w werden in Bild 4 von links nach rechts durchlaufen. Der Querschnitt nimmt ebenfalls zunchst ab, dann wieder zu. Die Geschwindigkeit sinkt von berschall auf Unterschall. Die kinetische Energie nimmt ab und der Druck zu. Man bezeichnet einen solchen Apparat als Diffusor. In einem Diffusor, der nur im Unterschallbereich arbeitet, nimmt der Querschnitt stetig zu, im berschallbereich nimmt er stetig ab.

Omin ¼ 1 kmol=kmol C: Der Mindestluftbedarf ergibt sich aus dem Sauerstoffanteil von 21 Mol-% in der Luft zu lmin ¼ ðomin =0; 21Þ kmol Luft=kg C oder Lmin ¼ ðOmin =0; 21Þ kmol Luft=kmol C und die CO2 -Menge im Rauchgas zu (1/12) kmol/kg C. Entsprechend gelten die folgenden Reaktionsgleichungen fr die Verbrennung von Wasserstoff H2 und Schwefel S: H2 þ 12 O2 ¼ H2 O 1 kmol H2 þ 12 kmol O2 ¼ 1 kmol H2 O þ 16 kg O2 ¼ 18 kg H2 O 2 kg H2 S þ O2 ¼ SO2 1 kmol S þ 1 kmol O2 ¼ 1 kmol SO2 32 kg S þ 32 kg O2 ¼ 64 kg SO2 : Bezeichnen c, h, s, o die Kohlenstoff-, Wasserstoff-, Schwefel- und Sauerstoffgehalte in kg je kg Brennstoff, so ist der Mindestsauerstoffbedarf entsprechend der obigen Rechnung   c h s o omin ¼ þ þ
kmol=kg: ð1Þ 12 4 32 32 Man schreibt abkrzend 1 cs kmol=kg; omin ¼ 12

ð2Þ

worin s eine Kennzahl des Brennstoffs ist ðO2 -Bedarf in kmol bezogen auf die kmol C im Brennstoff). Der tats
chliche Luftbedarf (bezogen auf 1 kg Brennstoff) ist l ¼ llmin ¼ ðlomin =0; 21Þ kmol Luft=kg;

ð3Þ

l ist die Luftberschusszahl. In den Rauchgasen treten außer den Verbrennungsprodukten CO2 , H2 O, SO2 noch der Wassergehalt w/18 (SI-Einheit

D 18

D

Thermodynamik – 8 Thermodynamische Prozesse

kmol je kg Brennstoff) und die zugef
hrte Verbrennungsluft l abz
glich der verbrauchten Sauerstoffmenge omin auf. Hierbei wird angenommen, dass die zugef
hrte Verbrennungsluft trocken oder deren Wasserdampfgehalt vernachlssigbar gering ist. Es entstehen folgende auf 1 kg Brennstoff bezogene Abgasmengen c h w s nCO2 ¼ ; nH2 O ¼ þ ; nSO2 ¼ 12 2 18 32 nO2 ¼ ðl
1Þ omin ; nN2 ¼ 0; 79  l:

nung, wenn keine Dissoziation auftritt. Die bei der Verbrennung frei werdende Wrme dient der Erhhung der inneren Energie und damit der Temperatur der Gase sowie zur Verrichtung der Verschiebearbeit. Die theoretische Verbrennungstemperatur berechnet sich aus der Bedingung, dass die Enthalpie aller dem Brennraum zugef
hrten Stoffe gleich der Enthalpie des abgef
hrten Rauchgases sein muss.   B
tL Dhu þ ½cB t25
C  ðtB
25
CÞ þ l CpL 25
C  ðtL
25
CÞ ð6Þ  t
pR ¼ nR C  ðt
25
CÞ:

Die Summe ergibt die gesamte Rauchgasmenge c h w s nR ¼ þ þ þ þ ðl
1Þ omin þ 0; 79  l kmol=kg: 12 2 18 32 Dies lsst sich mit den Gln. (1) und (3) vereinfachen zu

Es bedeuten tB die Temperatur des Brennstoffs, tL die der Luft, und t die theoretische Verbrennungstemperatur, ½ct25B
C ist die mittlere spez. Wrmekapazitt des Brennstoffs,
pL tL
die mittlere molare Wrmekapazitt der Luft und ½C 25 C
pR t
die des Rauchgases. Diese setzt sich aus den mittle½C 25 C ren molaren Wrmekapazitten der einzelnen Bestandteile zusammen:   c
h w

pR t ½CpCO2 t25
C þ þ nR ½C ½CpH2 O t25
C 25
C ¼ 12 2 18 ð7Þ s
t t t

þ ½C pSO2 25
C þ ðl
1Þomin ½CpO2 25
C þ 0; 79  l½CpN2 25
C 32

1 nR ¼ l þ 12 ð3h þ 38 o þ 23 wÞ kmol=kg:

ð4Þ

Beispiel: In einer Feuerung werden st
ndlich 500 kg Kohle von der Zusammensetzung c=0,78, h=0,05, o=0,08, s=0,01, w=0,02 und einem Aschegehalt a=0,06 mit einem Luft
berschuss l=1,4 vollkommen verbrannt. Wie viel Luft muss der Feuerung zugef
hrt werden, wie viel Rauchgas entsteht und wie ist seine Zusammensetzung? Der Mindestsauerstoffbedarf ist nach Gl. (1) omin ¼ 0; 78=12þ 0; 05=4 þ 0; 01=32
0; 08=32 kmol=kg ¼ 0; 0753 kmol=kg: Der Mindestluftbedarf ist lmin ¼ omin =0; 21 ¼ 0; 3586 kmol=kg; die zuzuf
hrende Luftmenge l ¼ llmin ¼ 1; 4  0; 3586 ¼ 0; 502 kmol=kg; also 0,502 kmol/kg  500 kg/h = 251 kmol/h. Das ergibt mit der Molmasse M=28,953 kg/kmol der Luft einen Luftbedarf von 0,502  28,953 kg/ kg=14,54 kg/kg, also 14,54 kg/kg  500 kg/h=7 270 kg/h. Die 1 Rauchgasmenge ist nach Gl. (4) nR ¼ 0; 502 þ 12 ð3  0; 05 þ 38  0; 08 þ 23  0; 02Þ kmol=kg ¼ 0; 518 kmol=kg; also 0,518 kmol/kg  500 kg/h =259 kmol/h mit 0,065 kmol CO2 /kg, 0,0261 kmol H2 O/kg, 0,0003 kmol SO2 /kg, 0,3966 kmol N2 /kg und 0,0301 kmol O2 /kg.

8.1.2 Heizwert und Brennwert Net calorific value and gros calorific value Heizwert ist die bei der Verbrennung frei werdende Wrme, wenn die Verbrennungsgase bis auf die Temperatur abgek
hlt werden, mit der Brennstoff und Luft zugef
hrt werden. Das Wasser ist in den Rauchgasen als Gas enthalten. Wird der Wasserdampf kondensiert, so bezeichnet man die frei werdende Wrme als Brennwert. Nach DIN 51 900 gelten Heiz- und Brennwertangaben f
r die Verbrennung bei Atmosphrendruck, wenn die beteiligten Stoffe vor und nach der Verbrennung eine Temperatur von 25 C haben. Heiz- und Brennwert (s. Anh. D 8 Tab. 1 bis 4) sind unabhngig von dem Luft
berschuss und nur eine Eigenschaft des Brennstoffs. Der Brennwert Dh0 ist um die Verdampfungsenthalpie r des im Rauchgas enthaltenen Wassers grßer als der Heizwert Dhu , Dh0 ¼ Dhu þ ð8; 937 h þ wÞ r: Da das Wasser technische Feuerungen meistens als Dampf verlsst, kann hufig nur der Heizwert nutzbar gemacht werden. Der Heizwert von Heizlen lßt sich erfahrungsgemß [8] gut wiedergeben durch die Zahlenwertgleichung Dhu ¼ 54; 04
13; 29 r
29; 31 s MJ=kg;

ð5Þ

in der r die Dichte des Heizls in kg/dm3 bei 15 C und s der Schwefelgehalt in kg/kg sind. Heizwerte fester Brennstoffe: s. Anh. L 2 Tab. 2 bis 4. Beispiel: Wie groß ist der Heizwert eines leichten Heizls der Dichte r ¼ 0; 86 kg=dm3 , dessen Schwefelgehalt s ¼ 0; 8 Gew.-% betrgt? Nach Gl. (5) ist Dhu ¼ 54; 04
13; 29  0; 86
29; 31  0; 8  10
2 ¼ 42; 38 MJ=kg:

8.1.3 Verbrennungstemperatur. Combustion temperature Die theoretische Verbrennungstemperatur ist die Temperatur des Rauchgases bei vollkommener isobar-adiabater Verbren-

25
C

Die theoretische Verbrennungstemperatur muss man iterativ aus Gln. (6) und (7) ermitteln. Die wirkliche Verbrennungstemperatur ist auch bei vollkommener Verbrennung des Brennstoffs niedriger als die theoretische wegen der Wrmeabgabe an die Umgebung, hauptschlich durch Strahlung, dem
ber 1 500 C beginnenden Zerfall der Molek
le und der ab 2 000 C merklichen Dissoziation. Die Dissoziationswrme wird bei Unterschreiten der Dissoziationstemperatur wieder frei.

8.2 Verbrennungskraftanlagen Internal combustion engines In der Verbrennungskraftanlage dient das Brenngas als Arbeitsstoff. Er durchluft keinen in sich geschlossenen Prozess, sondern wird als Abgas an die Umgebung abgef
hrt, nachdem er in einer Turbine oder einem Kolbenmotor Arbeit verrichtet hat. Zu den Verbrennungskraftanlagen gehren die offenen Gasturbinenanlagen und die Verbrennungsmotoren (Ottound Dieselmotor) sowie Brennstoffzellen. Zur Kennzeichnung der Effektivitt der Energieumwandlung dient der energetische Gesamtwirkungsgrad h ¼
P=ðm_ B Dhu Þ: P ist die Nutzleistung der Anlage, m_ B der Massenstrom des zugef
hrten Brennstoffs, Dhu dessen Heizwert. Der exergetische Gesamtwirkungsgrad z ¼
P=ðm_ B ðwex ÞB Þ gibt an, welcher Teil des mit dem Brennstoff zugef
hrten Exergiestroms in Nutzleistung umgewandelt wird. wex ist i. Allg. nur wenig grßer als der Heizwert, sodass sich h und z zahlenmßig kaum unterscheiden. F
r Großmotoren (Diesel) ist der Gesamtwirkungsgrad etwa 42%, f
r Kraftfahrzeugmotoren etwa 25% und f
r offene Gasturbinen 20 bis 30%. 8.2.1 Offene Gasturbinenanlage. Open gas turbine cycle In der offenen Gasturbinenanlage (s. R 8) wird die angesaugte Luft in einem Verdichter auf hohen Druck gebracht, vorgewrmt und in einer Brennkammer durch Verbrennen des eingespritzten Brennstoffs erhitzt. Die Brenngase werden in einer Turbine unter Arbeitsleistung entspannt, geben in einem Wrme
bertrager einen Teil ihrer Restwrme zur Luftvorwrmung ab und treten ins Freie aus. Verdichter und Turbine sind auf einer Welle angeordnet. In einem an die Welle angeschlossenen Generator wird die Nutzarbeit in elektrische Energie verwandelt (s. R 8 Bild 1 a).

I8.2 Verbrennungskraftanlagen 8.2.2 Ottomotor. Otto engine Im Ottomotor (s. P 4.2) befindet sich der Zylinder am Ende des Saughubs im Zustandspunkt 1 (Bild 1); er ist mit dem brennbaren Gemisch von Umgebungstemperatur und Atmosph
rendruck gefllt. Das Gemisch wird l
ngs der Adiabaten 1 2 vom Anfangsvolumen Vk þ Vh auf das Kompressionsvolumen Vk verdichtet. Vh ist das Hubvolumen. Am oberen Totpunkt 2 erfolgt durch elektrische Zndung die Verbrennung, wodurch der Druck von Punkt 2 auf Punkt 3 ansteigt. Dieser Vorgang l
uft so schnell ab, dass er als isochor angenommen werden kann. Im Bild 1 ist dabei vereinfachend angenommen, dass das Gas unver
ndert bleibt und dass die bei der Verbrennung freiwerdende W
rme Q23 ¼ Q von außen zugefhrt ist. Beim Zurckgehen des Kolbens expandiert das Gas l
ngs der Adiabaten 3 4 400 40 . Der in 4 beginnende Auspuff ist durch Entzug einer W
rme jQ0 j bei konstantem Volumen ersetzt, wobei der Druck von Punkt 4 nach Punkt 1 sinkt. In Punkt 1 mssen die Verbrennungsgase durch neues Gemisch ersetzt werden, wozu beim 4-Takt-Ottomotor ein nicht dargestellter Doppelhub erforderlich ist. Die zugefhrte W
rme ist Q ¼ Q23 ¼ mcv ðT3
T2 Þ;

ð8Þ

die abgefhrte jQ0 j ¼ jQ41 j ¼ mcv ðT4
T1 Þ;

ð9Þ

die verrichtete Arbeit jWt j ¼ Q
jQ0 j

ð10Þ

und der thermische Wirkungsgrad  ðk
1Þ=k jWt j T4
T1 T1 p1 h¼ ¼ 1
¼ 1
¼1
T3
T2 T2 p2 Q 1 ¼ 1
k
1 : e

ßer vom Adiabatenexponenten k nur vom Druckverh
ltnis p2 =p1 bzw. dem Verdichtungsverh
ltnis e und nicht von der Grße der W
rmezufuhr ab. Je hher man verdichtet, desto besser ist die W
rme ausgenutzt. Das Verdichtungsverh
ltnis wird durch die Selbstzndungstemperaturen des BrennstoffLuftgemisches begrenzt. 8.2.3 Dieselmotor. Diesel engine Die Beschr
nkung auf moderate Verdichtungsverh
ltnisse und Drcke entf
llt beim Dieselmotor (s. P 4.2), in dem die Verbrennungsluft durch hohe Verdichtung ber die Selbstzndungstemperatur des Brennstoffs erhitzt, und dieser in die heiße Luft eingespritzt wird. Den vereinfachten Prozess des Dieselmotors zeigt Bild 2. Er besteht aus adiabater Verdichtung 1 2 der Verbrennungsluft, isobarer Verbrennung 2 30 nach Einspritzen des Brennstoffs in die heiße, verdichtete Verbrennungsluft, adiabater Entspannung 30 4 und Auspuffen 4 1, das durch eine Isochore mit W
rmeabfuhr jQ0 j in Bild 2 ersetzt ist. Die zugefhrte W
rme ist Q023 ¼ Q ¼ mcp ðT30
T2 Þ;

Das Verdichtungsverh
ltnis e ¼ V1 =V2 ¼ ðVK þ Vh Þ=VK gibt den Grad der Verdichtung bei der adiabaten Kompression des Gemisches an. Der thermische Wirkungsgrad h
ngt also au-

Bild 1. Theoretischer Prozess des Ottomotors im p, V- und T, S-Diagramm

ð12Þ

die l
ngs der Isochore 4 1 abgefhrt gedachte Auspuffw
rme ist jQ41 j ¼ jQ0 j ¼ mcv ðT4
T1 Þ;

ð13Þ

die verrichtete Arbeit jWt j ¼ Q
jQ0 j und der thermische Wirkungsgrad h¼

ð11Þ

D 19

jWt j 1 T4
T1 1 ¼ 1
¼ 1
Q k T30
T2 k

T4 T3 T1 T3 T2
T2 : T30 T2
1

ð14Þ

Mit dem Verdichtungsverh
ltnis e ¼ V1 =V2 ¼ ðVk þ Vh Þ=Vk und dem Einspritzverh
ltnis j ¼ ðVk þ Ve Þ=Vk folgt fr den thermischen Wirkungsgrad h¼ 1


1 jk
1 : kek
1 j
1

ð15Þ

Bild 2. Theoretischer Prozess des Dieselmotors im p, V- und im T, SDiagramm

D

D 20

Thermodynamik – 8 Thermodynamische Prozesse

Der thermische Wirkungsgrad des Dieselprozesses h
ngt außer vom Adiabatenexponenten k nur vom Verdichtungsverh
ltnis e und vom Einspritzverh
ltnis j ab, das sich mit steigender Belastung vergrßert. 8.2.4 Brennstoffzellen. Fuel Cells

D

In der Brennstoffzelle reagiert Wasserstoff mit Sauerstoff elektrochemisch zu Wasser: 1 H2 þ O2 ! H2 O: 2 Bei dieser so genannten kalten Verbrennung wird die chemische Bindungsenergie direkt in elektrische Energie umgewandelt. Bild 3 zeigt beispielhaft eine Brennstoffzelle mit protonenleitendem Elektrolyten. Wasserstoff H2 wird an der Anodenseite zugefhrt. Mit Hilfe eines Katalysators spaltet er sich dort in zwei Protonen (Hþ ) und zwei Elektronen (e
). Die Elektronen wandern ber eine Last, z. B. einen Motor, zur Kathode. Die Protonen wandern durch den Elektrolyten zur Kathode, wo sie untersttzt durch einen Katalysator mit dem zugefhrten Sauerstoff O2 und den Elektronen zu Wasser H2 O reagieren. Zwischen Anode und Kathode besteht eine Spannung U, und es fließt ein elektrischer Strom I ¼ F n_ El mit n_ El ¼ 2 n_ H2 . F ist die Faraday Konstante F ¼ 96 485; 3 As=mol, n_ El der Stoffmengenstrom der Elektronen (SI-Einheit mol/s) und n_ H2 der Stoffmengenstrom des zugefhrten Wasserstoffs (SI-Einheit mol/s). Verluste durch Energiedissipation in der Zelle fhren dazu, dass die wirkliche Klemmenspannung geringer ist als die reversible Klemmenspannung. Die elektrische Leistung P der Brennstoffzelle errechnet sich aus Q_ þ P ¼ n_ H2  DHHR2 mit n_ H2 dem Mengenstrom des zugefhrten Wasserstoffs und DHHR2 seiner molaren Reaktionsenthalpie (SI-Einheit J/mol). Sie ist gleich dem negativen molaren Heizwert D Hmu ¼ MH2 D hu , s. D 8.1.2. In Analogie zu anderen Verbrennungskraftanlagen ist der Wirkungsgrad der Brennstoffzelle definiert zu hBZ ¼


P : n_ H2  DHmu

Er betr
gt im Allgemeinen etwa 50 %.

8.3 Kreisprozesse, Grundlagen Cyclic processes, principles Ein Prozess, der ein System wieder in seinen Ausgangszustand zurckbringt, heißt Kreisprozess. Nachdem er durchlaufen ist, nehmen alle Zustandsgrßen des Systems wie Druck, Temperatur, Volumen, innere Energie und Enthalpie die Werte an, die sie im Ausgangszustand hatten. Nach dem ersten Hauptsatz, D 3 Gl. (9), ist nach Durchlaufen des Prozesses die Energie des Systems wieder gleich der Energie im Ausgangszustand und daher X X Wik ¼ 0: ð16Þ Qik þ X X Die gesamte verrichtete Arbeit ist
W ¼
Wik ¼ Qik . Maschinen, in denen ein Fluid einen Kreisprozess durchl
uft, dienen der Umwandlung von W
rme in Arbeit oder umgekehrt der Umwandlung von Arbeit in W
rme. Nach dem zweiten Hauptsatz kann die zugefhrte W
rme nicht vollst
ndig in Arbeit verwandelt werden. Ist die zugefhrte W
rme grßer als die abgegebene, so arbeitet der Prozess als W
rmekraftanlage oder W
rmekraftmaschine, deren Zweck darin besteht, Arbeit zu liefern. Ist die abgefhrte W
rme grßer als die zugefhrte, so muss man Arbeit zufhren. Mit einem derartigen Prozess kann man einem Stoff bei tiefer Temperatur W
rme entziehen und sie bei hherer Temperatur, z. B. der Umgebungstemperatur, zusammen mit der zugefhrten Arbeit wieder abgeben. Ein solcher Prozess arbeitet als K
lteprozess. In einem W
rmepumpenprozess wird die W
rme der Umgebung entzogen und zusammen mit der zugefhrten Arbeit bei hherer Temperatur abgegeben. 8.3.1 Carnot-Prozess. Carnot cycle In der historischen Entwicklung, wenn auch nicht fr die Praxis, hat der 1824 von Carnot eingefhrte Kreisprozess eine entscheidende Rolle gespielt, Bild 4 und 5. Er besteht aus folgenden Zustands
nderungen (hier rechtsl
ufiger Prozess fr eine W
rmekraftmaschine): 1–2: Isotherme Expansion bei der Temperatur T unter Zufuhr der W
rme Q. 2–3: Reversibel adiabate Expansion vom Druck p2 auf den Druck p3 . 3–4: Isotherme Kompression bei der Temperatur T0 unter Abfuhr der W
rme jQ0 j. 4–1: Reversibel adiabate Kompression vom Druck p4 auf den Druck p1 . Die zugefhrte W
rme ist Q ¼ m RT ln V2 =V1 ¼ TðS2
S1 Þ

ð17Þ

und die abgefhrte W
rme jQ0 j ¼ m RT0 ln V3 =V4 ¼ T0 ðS3
S4 Þ ¼ T0 ðS2
S1 Þ: ð18Þ

Bild 3 Schema einer Brennstoffzelle mit protonenleitenden Elektrolyten

Bild 4. Schaltschema einer nach dem Carnot-Prozess arbeitenden W
rmekraftmaschine

I8.4 W
rmekraftanlagen

D 21

D

Bild 6. Ackeret-Keller-Prozess im p, v- und im T, s-Diagramm Bild 5. Carnot-Prozess der W
rmekraftmaschine im p, V- und im T, S-Diagramm

Die verrichtete technische Arbeit ist
Wt ¼ Q
jQ0 j und der thermische Wirkungsgrad h ¼ jWt j=Q ¼ 1
ðT0 =TÞ:

ð19Þ

Bei umgekehrter Reihenfolge 4–3–2–1 der Zustands
nderungen wird unter Zufuhr von technischer Arbeit Wt einem Krper der niedrigen Temperatur T0 die W
rme Q0 entzogen und bei hherer Temperatur T die W
rme Q abgegeben. Ein solcher linksl
ufig ausgefhrter Carnotprozess kann zum Zweck haben, einem zu khlenden Gut die W
rme Q0 bei der tiefen Temperatur T0 zu entziehen, also als K
ltemaschine zu arbeiten, und die W
rme jQj ¼ Wt þ Q0 bei hherer Temperatur T wieder an die Umgebung abzugeben. Besteht der Zweck des Prozesses darin, die W
rme | Q| bei der hheren Temperatur T zu Heizzwecken abzugeben, so arbeitet der Prozess als W
rmepumpe. Die W
rme Q0 wird dann von der Umgebung bei der niederen Temperatur T0 aufgenommen. Carnotprozesse haben keine praktische Bedeutung erlangt, weil ihre Leistung bezogen auf das Bauvolumen sehr gering ist. Als idealer, weil reversibler, Prozess wird der Carnot-Prozess jedoch h
ufig zu Vergleichszwecken fr die Beurteilung anderer Kreisprozesse herangezogen.

8.4 W
rmekraftanlagen. Thermal power plants In W
rmekraftanlagen wird dem Arbeitsstoff von den Verbrennungsgasen Energie als W
rme zugefhrt. Der Arbeitsstoff durchl
uft einen Kreisprozess. Der Ackeret-Keller-Prozess besteht aus folgenden Zustands
nderungen, die im p, u- und T, s-Diagramm dargestellt sind; Bild 6: 1–2: Isotherme Kompression bei der Temperatur T0 vom Druck p0 auf den Druck p. 2–3: Isobare W
rmezufuhr beim Druck p. 3–4: Isotherme Expansion bei der Temperatur T vom Druck p auf den Druck p0 . 4–1: Isobare W
rmeabfuhr beim Druck p0 . Der Prozess geht auf einen Vorschlag des schwedischen Ingenieurs J. Ericson (1803–1899) zurck und wird daher auch als Ericson-Prozess bezeichnet. Er wurde jedoch zuerst von

Ackeret und Keller 1941 als Vergleichsprozess fr Gasturbinenanlagen verwendet. Die zur isobaren Erw
rmung 2–3 des verdichteten Arbeitsstoffs erforderliche W
rme wird durch isobare Abkhlung 4–1 des entspannten Arbeitsstoffs bereitgestellt, Q23 ¼ jQ41 j. Der thermische Wirkungsgrad stimmt mit dem des CarnotProzesses berein, denn es ist
Wt ¼ Q34
jQ21 j

ð20Þ

und h¼ 1


jQ21 j T0 ¼ 1
: T Q34

ð21Þ

Die technische Realisierung des Prozesses ist jedoch schwierig, weil isotherme Verdichtung und Entspannung kaum zu verwirklichen sind, da man diese nur durch mehrstufige adiabate Verdichtung mit Zwischenkhlung ann
hern kann. Der Ackeret-Keller-Prozess dient vor allem als Vergleichsprozess fr den Gasturbinenprozess mit mehrstufiger Verdichtung und Entspannung. In einer geschlossenen Gasturbinenanlage (Bild 7) wird ein Gas im Verdichter komprimiert, im W
rmebertrager und Gaserhitzer auf eine hohe Temperatur erw
rmt, dann in einer Turbine unter Verrichtung von Arbeit entspannt und im W
rmebertrager und dem sich anschließenden Khler wieder auf die Anfangstemperatur gekhlt, worauf das Gas erneut vom Verdichter angesaugt wird. Als Arbeitsstoffe kommen Luft, aber auch andere Gase wie Helium oder Stickstoff infrage. Die geschlossene Gasturbinenanlage ist gut regelbar, und eine Verschmutzung der Turbinenschaufeln kann durch Verwendung geeigneter Gase vermieden werden. Von Nachteil sind die im Vergleich zu offenen Anlagen hheren Energiekosten, da ein Khler bentigt wird und fr den Erhitzer hochwertige St
hle erforderlich sind. Bild 8 zeigt den Prozess im p, u- und T, s-Diagramm. Der aus zwei Isobaren und zwei Isentropen bestehende reversible Kreisprozess wird Joule-Prozess genannt (Zustandspunkte 1, 2, 3, 4). Der zugefhrte W
rmestrom ist Q_ ¼ m_ cp ðT3
T2 Þ;

ð22Þ

der abgefhrte jQ_ 0 j ¼ m_ cp ðT4
T1 Þ:

ð23Þ

D 22

Thermodynamik – 8 Thermodynamische Prozesse w
chst rascher mit dem Druckverh
ltnis als die Turbinenleistung, sodass die gewonnene Nutzleistung nach Gl. (24) unter Beachtung von Gl. (26) ! !  k
1  k
1 T3 p k p0 k 1
ð28Þ

P ¼ m_ cp T1 T1 p p0 bei einem bestimmten Druckverh
ltnis fr vorgegebene Werte der hchsten Temperatur T3 und der niedrigsten Temperatur T1 ein Maximum erreicht. Dieses optimale Druckverh
ltnis folgt durch Differentiation aus Gl. (28) zu
ðk
1Þ=k pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ¼ ðT3 =T1 Þ; ð29Þ p0 opt

D Bild 7. Gasturbinenprozess mit geschlossenem Kreislauf. a Generator, b Turbine, c Verdichter, d Khler, e W
rmebertrager, f Gaserhitzer

was wegen Gl. (26) gleichbedeutend mit T4 ¼ T2 ist. Unter Bercksichtigung des Wirkungsgrads hT fr die Turbine, hV des Verdichters und des mechanischen Wirkungsgrads hm fr die Energiebertragung zwischen Turbine und Verdichter ergibt sich das optimale Druckverh
ltnis zu
ðk
1Þ=k pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ¼ hm hT hV ðT3 =T1 Þ: ð30Þ p0 opt Mehr als die H
lfte der Turbinenleistung einer Gasturbinenanlage wird zum Antrieb des Verdichters bentigt. Die insgesamt installierte Leistung ist daher das Vier- bis Sechsfache der Nutzleistung. Dampfkraftanlagen werden mit einem Arbeitsstoff – meistens Wasser – betrieben, der w
hrend des Prozesses verdampft und wieder kondensiert wird. Mit ihnen wird der weitaus grßte Teil der elektrischen Energie unserer Stromnetze erzeugt. Der Arbeitsprozess in seiner einfachsten Form (Bild 9) ist folgender: Im Kessel a wird der Arbeitsstoff bei hohem Druck isobar bis zum Siedepunkt erw
rmt, verdampft und anschließend im berhitzer b noch berhitzt. Der Dampf wird dann in der Turbine c unter Verrichtung von Arbeit adiabat entspannt und im Kondensator d unter W
rmeabgabe verflssigt. Die Flssigkeit wird von der Speisewasserpumpe e auf Kesseldruck gebracht und wieder in den Kessel gefrdert. Der reversible Kreisprozess 010 230 0 (Bild 10), bestehend aus zwei Isobaren und zwei Isentropen, wird Clausius-RankineProzess genannt. Der wirkliche Kreisprozess folgt den Zustands
nderungen 01230 in Bild 10. Die W
rmeaufnahme im Dampferzeuger ist

Bild 8. Gasturbinenprozess im p, v- und T, s-Diagramm. Das p, v-Diagramm zeigt nur den reversiblen Prozess (Joule-Prozess) 1, 2, 3, 4

Q_ zu ¼ m_ ðh2
h1 Þ; jPT j ¼ jm_ wt23 j ¼ m_ ðh2
h3 Þ ¼ m_ hT ðh2
h03 Þ

Die verrichtete Leistung betr
gt


 T4
T1
P ¼
m_ wt ¼ Q_
jQ_ 0 j ¼ m_ cp ðT3
T2 Þ 1
ð24Þ T3
T2

und der thermische Wirkungsgrad
 jPj T4
T1 h¼ ¼ 1
: T3
T2 Q_

ð31Þ

die Leistung der adiabaten Turbine ð32Þ

mit dem isentropen Turbinenwirkungsgrad hT . Der im Kondensator abgefhrte W
rmestrom ist
Q_ ab ¼ m_ ðh3
h0 Þ:

ð33Þ

ð25Þ

Wegen der Isentropengleichung
ðk
1Þ=k
ðk
1Þ p0 T1 T4 T4
T1 T1 p0 k ¼ ¼ ist ¼ ¼ ð26Þ p T2 T3 T3
T2 T2 p ist der thermische Wirkungsgrad
ðk
1Þ=k jPj p0 h¼ ¼1
p Q_

ð27Þ

nur vom Druckverh
ltnis p=p0 oder dem Temperaturverh
ltnis T2 =T1 der Verdichtung abh
ngig. Die Verdichterleistung

Bild 9. Dampfkraftanlage. a Kessel; b berhitzer; c Turbine; d Kondensator; e Speisewasserpumpe

I8.5 Klteanlagen und Wrmepumpen

D 23

abgegeben wird. Zur Klteerzeugung bei Temperaturen bis etwa
100 C dienen vorwiegend Kompressionskltemaschinen. Das Schaltbild einer Kompressionsk
ltemaschine zeigt Bild 11. Der Verdichter a, der f
r kleine Leistungen meist als Kolben-, f
r große Leistungen als Turboverdichter ausgebildet ist, saugt Dampf aus dem Verdampfer b beim Druck p0 und der zugehrigen Sttigungstemperatur T0 an und verdichtet ihn lngs der Adiabaten 1 2 (Bild 12) auf den Druck p. Der Dampf wird dann im Kondensator c beim Druck p verfl
ssigt. Das fl
ssige Kltemittel wird im Drosselventil d entspannt und gelangt dann wieder in den Verdampfer, wo ihm Wrme zugef
hrt wird. Die Kltemaschine entzieht dem K
hlgut eine Wrme Q0 , die dem Verdampfer b zugef
hrt wird. Im Kondensator c gibt sie die Wrme jQj ¼ Q0 þ Wt an die Umgebung ab. Da Wasser bei 0 C gefriert und Wasserdampf ein unbequem großes spezifisches Volumen hat, verwendet man als Kltemittel andere Fluide wie Ammoniak NH3 , Kohlendioxid CO2 , Propan C3 H8 , Butan C4 H10 , Tetrafluorethan C2 H2 F4 , Difluormonochlormethan CHF2 Cl. Dampftafeln von Kltemitteln enthlt Anh. D 6 Tab. 7 bis 10. Mit m_ als dem Mas-

Bild 10. Zustandsnderung des Wassers beim Kreisprozess der einfachen Dampfkraftanlage im T, s- und im h, s-Diagramm

Die Nutzleistung des Kreisprozesses ist
P ¼
m_ wt ¼
PT
PP ;

ð34Þ

mit der Pumpenleistung PP ¼ m_ ðh1
h0 Þ ¼ m_

1 ðh10
h0 Þ; hV

ð35Þ

Bild 11. Schaltbild einer Kaltdampfmaschine, Erluterungen im Text

worin hV der Wirkungsgrad der Speisewasserpumpe ist. Die Nutzleistung unterscheidet sich nur geringf
gig von der Leistung der Turbine. Der thermische Wirkungsgrad ist h¼


m_ wt ðh2
h3 Þ
ðh1
h0 Þ ¼ : h2
h1 Q_ zu

ð36Þ

Thermische Wirkungsgrade erreichen bei einem Gegendruck p0 ¼ 0; 05 bar, einem Frischdampfdruck von 150 bar und einer Dampftemperatur von 500 C Werte von h  0,42. Deutlich grßere thermische Wirkungsgrade von derzeit bis zu h  0; 58 erreicht man in kombinierten Gas-Dampfkraftwerken, so genannten GuD-Kraftwerken (s. R 6.2.1). In ihnen wird das Verbrennungsgas zuerst in einer Gasturbine unter Arbeitsleistung entspannt und anschließend zur Dampferzeugung einem Dampfkraftwerk zugef
hrt.

8.5 K
lteanlagen und W
rmepumpen Refrigeration plants and heat pumps 8.5.1 Kompressionsk
lteanlage Compression refrigeration plant In Kltemaschinen (s. M 5) verwendet man ebenso wie in den Wrmekraftanlagen Gase oder Dmpfe als Arbeitsstoffe. Man bezeichnet sie als K
ltemittel. Zweck einer Kltemaschine ist es, einem K
hlgut Wrme zu entziehen. Dazu muss eine Arbeit verrichtet werden, die in Form von Wrme zusammen mit der dem K
hlgut entzogenen Wrme an die Umgebung

Bild 12. Kreisprozess des Kltemittels einer Kaltdampfmaschine im T, s- und im Mollier-p, h-Diagramm

D

D 24

Thermodynamik – 9 Gemische idealer Gase

senstrom des umlaufenden K
ltemittels ist die K
lteleistung Q_ 0 ¼ m_ q0 ¼ m_ ðh1
h4 Þ ¼ m_ ðh00 ðp0 Þ
h0 ðpÞÞ;

ð37Þ

weil h4 ¼ h3 ¼ h0 ðpÞ ist. Die Antriebsleistung des Verdichters ist 1 PV ¼ m_ wt12 ¼ m_ ðh2
h1 Þ ¼ m_ ðh20
h00 ðp0 ÞÞ; ð38Þ hV

D

worin hV sein isentroper Wirkungsgrad ist. Der vom Kondensator abgefhrte W
rmestrom ist jQ_ j ¼ m_ jqj ¼ m_ ðh2
h3 Þ ¼ m_ ðh2
h0 ðpÞÞ:

ð39Þ

Die Leistungszahl einer K
ltemaschine ist definiert als das Verh
ltnis von K
lteleistung Q_ 0 zur Leistungsaufnahme P des Verdichters Q_ 0 q0 h00 ðp0 Þ
h0 ðpÞ : ð40Þ ¼ ¼ hV eKM ¼ PV wt12 h20
h00 ðp0 Þ Sie h
ngt außer vom isentropen Verdichtungswirkungsgrad nur noch von den beiden Drcken p und p0 ab. 8.5.2 Kompressionsw
rmepumpe. Compression heat pump Sie arbeitet nach dem gleichen Prozess wie die in Bild 11 und Bild 12 dargestellte Kompressionsk
lteanlage (s. M 6). Ihr Zweck besteht darin, einem Krper W
rme zuzufhren. Dazu wird der Umgebung W
rme Q0 (Anergie) entzogen und zusammen mit der verrichteten Arbeit Wt (Exergie) als W
rme dem zu erw
rmenden Krper zugefhrt jQj ¼ Q0 þ Wt . Die Leistungszahl einer W
rmepumpe ist definiert als Verh
ltnis der von der W
rmepumpe abgegebenen Heizleistung jQ_ j zur Leistungsaufnahme P des Verdichters eWP ¼

jQ_ j jqj h2
h0 ðpÞ : ¼ ¼ hV P wt h20
h00 ðp0 Þ

tet die W
rmepumpe bei zu tiefen Außentemperaturen unter rund 3 C ab und heizt dann konventionell. Motorgetriebene W
rmepumpen mit Abw
rmenutzung nutzen ebenso wie Sorptionsw
rmepumpen die Prim
renergie besser als elektrisch angetriebene W
rmepumpen.

8.6 Kraft-W
rme-Kopplung Combined power and heat generation (co-generation) Die gleichzeitige Erzeugung von Heizw
rme und elektrischer Energie in Heizkraftwerken bezeichnet man als Kraft-W
rme-Kopplung (s. L 3.2). Dabei wird die ohnehin in großer Menge anfallende Kraftwerksabw
rme zu Heizzwecken genutzt. Da die zur Heizung bentigte W
rme berwiegend und zwar zu mehr als 90% aus Anergie besteht, wird weniger Prim
renergie, die ja berwiegend aus Exergie besteht, als bei konventioneller Heizung in Heizw
rme umgewandelt. Man fhrt aus der Dampfturbine Niederdruckdampf ab, der neben Anergie noch soviel Exergie enth
lt, dass die Heizenergie und die Exergieverluste in der W
rmeverteilung – in der Regel ein Fernheiznetz – gedeckt werden knnen. Gegenber dem reinen Kraftwerksbetrieb bßt man durch die Dampfentnahme zwar Arbeit ein, der Prim
renergieumsatz zur gleichzeitigen Erzeugung von Arbeit und Heizw
rme ist aber geringer als zur getrennten Gewinnung der Arbeit im Kraftwerk und der Heizw
rme im konventionellen Heizsystem. Eine vereinfachte Schaltung zeigt Bild 13. Je nach Art der Schaltung sind Heizzahlen z ¼ jQ_ j=PPr bis rund 2,2 erreichbar [9], wobei PPr der nur auf die Heizung entfallende Anteil der Prim
renergie ist. Die Heizzahlen liegen deutlich ber denen der meisten W
rmepumpen-Heizsysteme.

ð41Þ

Wie das T, s-Diagramm (Bild 12) zeigt, wird die Fl
che wt bei hoher Umgebungstemperatur T0 und bei niedriger Heiztemperatur T  kleiner. Es wird weniger Antriebsleistung fr den Verdichter bentigt. Die Leistungszahl w
chst. Um W
rmepumpen zur Beheizung von Wohnr
umen wirtschaftlich betreiben zu knnen, muss man die Heiztemperatur niedrig halten, beispielsweise durch eine Fußbodenheizung, bei der t/29 C ist. Die W
rmepumpe wird außerdem bei zu tiefen Umgebungstemperaturen unwirtschaftlich. Sinkt die Leistungszahl eWP unter Werte von rund 2,3, so spart man im Vergleich mit der konventionellen Heizung keine Prim
renergie mehr ein, denn Wirkungsgrade der Umwandlung von Prim
renergie PPr im Kraftwerk in elektrische Energie P zum Antrieb der W
rmepumpe hel ¼ P=PPr liegen in Deutschland im Mittel bei 0,4. Damit ist die Heizzahl z ¼ jQ_ j=PPr mit 0,92 etwa gleich dem Wirkungsgrad einer konventionellen Heizung. Heutige elektrisch angetriebene W
rmepumpen erreichen im Jahresmittel selten Heizzahlen von 2,3, es sei denn man schal-

9 Gemische idealer Gase Ideal gas mixtures 9.1 Gesetz von Dalton. Thermische und kalorische Zustandsgrßen Daltons law. Thermal and caloric properties Ein Gemisch von idealen Gasen, die miteinander nicht chemisch reagieren, verh
lt sich ebenfalls wie ein ideales Gas. Es gilt die thermische Zustandsgleichung

Bild 13. Schema der Kraft-W
rme-Kopplung im Entnahme-Gegendruck-Betrieb. a Dampferzeuger, b berhitzer, c Drossel, d Turbine, G Generator, e Kondensator (W
rmeerzeuger), f W
rmeverbraucher, g Pumpe, h Speicher

pV ¼ n RT:

ð1Þ

Jedes einzelne Gas, Komponente genannt, verteilt sich auf den gesamten Raum V so, als ob andere Gase nicht vorhanden w
ren. Fr jede Komponente i gilt daher pi V ¼ ni RT;

ð2Þ

wobei pi der von jedem einzelnen Gas ausgebte Druck ist, den man als Partialdruck bezeichnet. Summiert man X X ber alle Einzelgase, so folgt pi V ¼ ni RT oder

I9.2 Gas-Dampf-Gemische. Feuchte Luft V

X

pi ¼ RT X p¼ pi

X

ni . Der Vergleich mit Gl. (1) zeigt, dass ð3Þ

gilt: Der Gesamtdruck p des Gasgemisches ist gleich der Summe der Partialdr
cke der Einzelgase, wenn diese bei der Temperatur T das Volumen V des Gemisches einnehmen (Gesetz von Dalton). Die thermische Zustandsgleichung Gl. (1) eines idealen Gasgemisches kann man auch schreiben pV ¼ m RT; mit der Gaskonstante R des Gemisches X R¼ Ri mi =m:

ð4Þ

ð5Þ

Spezifische, auf die Masse in kg bezogene kalorische Zustandsgrßen eines Gemisches vom Druck p und der Temperatur T ergeben sich durch Addition der kalorischen Zustandsgrßen bei gleichen Werten p, T der Einzelgase entsprechend ihrer Massenanteile. Es ist 1X 1X mi cvi ; cp ¼ mi cpi ; cv ¼ m m ð6Þ X X 1 1 u¼ h¼ mi ui ; mi h i : m m Eine Ausnahme bildet die Entropie, da bei der Mischung von Einzelgasen vom Zustand p, T zu einem Gemisch vom gleichen Zustand, eine Entropiezunahme auftritt. Es ist X 1
X ni  s¼ ð7Þ mi Ri ln ; mi si
n m wenn ni die Molmengen der Einzelgase X und n die des Gemisches sind. Es sind ni ¼ mi =Mi und n ¼ ni , mit der Masse mi und der Molmasse Mi der Einzelgase. Mischungen realer Gase und Fl
ssigkeiten weichen besonders bei hheren Dr
cken von vorstehenden Beziehungen ab.

Mischungen von Gasen und leicht kondensierenden Dmpfen kommen in Physik und Technik hufig vor. Die atmosphrische Luft besteht im wesentlichen aus trockener Luft und Wasserdampf. Trocknungs- und Klimatisierungsvorgnge werden durch die Anwendung der Gesetze der Dampf-Luftgemische bestimmt, ebenso die Bildung der BrennstoffdampfLuftgemische im Verbrennungsmotor. Im Folgenden beschrnken wir uns auf die Betrachtung atmosphrischer Luft. Trockene Luft besteht aus 78,04 Mol-% Stickstoff, 21,00 Mol-% Sauerstoff, 0,93 Mol-% Argon und 0,03 Mol-% Kohlendioxid. Die atmosphrische Luft kann man als Zweistoffgemisch betrachten, bestehend aus trockener Luft und Wasser, das in dampffrmiger, fl
ssiger oder fester Form vorliegen kann. Man bezeichnet das Gemisch auch als feuchte Luft. Die trockene Luft betrachtet man als einheitlichen Stoff. Da der Gesamtdruck bei Zustandsnderungen fast immer in der Nhe des Atmosphrendrucks liegt, kann man die feuchte Luft aus trockener Luft und Wasserdampf als ein Gemisch idealer Gase ansehen. Es ist dann f
r die trockene Luft bzw. f
r den Wasserdampf ð8Þ

Mit p ¼ pL þ pD folgt aus den vorstehenden Gleichungen die Wasserdampfmasse, die 1 kg trockener Luft beigemischt ist. xD ¼

mD RL pD : ¼ mL RD ðp
pD Þ

Man bezeichnet die Grße xD ¼ mD =mL als Wasserdampfbeladung der feuchten Luft, im Folgenden kurz Dampfbeladung genannt und nicht zu verwechseln mit dem Dampfgehalt von Gemischen aus dampffrmigen und fl
ssigen Wasser. Ist Wasser in der Luft nicht nur in Form von Dampf, sondern auch in fl
ssiger oder fester Form vorhanden, so ist die Wasserbeladung x von der Dampfbeladung xD zu unterscheiden. Die Wasserbeladung ist definiert zu x¼

mW mD þ mFl þ mE ¼ ¼ xD þ xFl þ xE mL mL

ð10Þ

wobei mD die Dampfmasse, mFl die Fl
ssigkeitsmasse und mE die Eismasse in der trockenen Luftmasse mL bedeuten. xD , xFl und xE sind die Dampf-, Fl
ssigkeits- und Eisbeladung. Die Wasserbeladung x kann zwischen 0 (trockene Luft) und 1 (reines Wasser) liegen. Ist feuchte Luft der Temperatur T mit Wasserdampf gesttigt, so wird der Partialdruck des Wasserdampfes gleich dem Sttigungsdruck pD ¼ pDS bei der Temperatur T und die Dampfbeladung wird xS ¼

RL pDS : RD ðp
pDS Þ

ð11Þ

Beispiel: Man berechne die Dampfbeladung xS von gesttigter feuchter Luft bei einer Temperatur von 20 C und einem Gesamtdruck von 1 000 mbar. Es ist RL ¼ 0; 2872 kJ/kg K, RD ¼ 0; 4615 kJ/kg K. Aus der Wasserdampftafel Anh. D 6 Tab. 5 findet man den Dampfdruck pDS (20 C)=23,39 mbar. Damit wird xS ¼

0; 2872  23; 39 g  103 ¼ 14; 905 g=kg: 0; 4615ð1 000
23; 39Þ kg

Weitere Werte xS in Anh. D 9 Tab. 1.

Feuchtegrad, relative Feuchte. Als relatives Maß f
r die Dampfbeladung definiert man den Feuchtegrad y ¼ xD =xS . In der Meteorologie wird dagegen meistens mit der relativen Feuchte j ¼ pD ðtÞ=pDS ðtÞ gerechnet. Beide Werte weichen in der Nhe der Sttigung nur wenig voneinander ab, denn es ist xD pD ðp
pDS Þ ðp
pDS Þ oder y ¼ j : ¼ xS pDS ðp
pD Þ ðp
pD Þ

9.2 Gas-Dampf-Gemische. Feuchte Luft Mixtures of gas and vapour. Humid air

pL V ¼ mL RL T bzw: pD V ¼ mD RD T:

D 25

ð9Þ

Bei Sttigung ist y=j=1. Erhht man den Druck oder senkt man die Temperatur gesttigter feuchter Luft, so kondensiert der
bersch
ssige Wasserdampf. Der kondensierte Dampf fllt als Nebel oder Niederschlag (Regen) aus; bei Temperaturen unter 0 C bilden sich Eiskristalle (Schnee). Die Wasserbeladung ist in diesem Fall grßer als die Dampfbeladung x > xD ¼ xS . Die relative Luftfeuchte kann mit direkt anzeigenden Gerten (z. B. Haarhygrometern) oder mit Hilfe des Aspirationspsychrometers nach Assmann bestimmt werden (s. W 2.9). Enthalpie feuchter Luft. Da bei Zustandsnderungen feuchter Luft die beteiligte Luftmenge dieselbe bleibt und sich nur die zugemischte Wassermenge durch Tauen oder Verdunsten ndert, bezieht man alle Zustandsgrßen auf 1 kg trockene Luft. Diese enthlt dann x ¼ mW =mL kg Wasser wovon xD ¼ mD =mL dampffrmig sind. F
r die Enthalpie h1þx des ungesttigten (x ¼ xD < xS ) Gemisches aus 1 kg trockener Luft und x kg Dampf gilt h1þx ¼ cpL t þ xD ðcpD t þ rÞ:

ð12Þ

Es sind cpL ¼ 1; 005 kJ/kg K die isobare spez. Wrmekapazitt der Luft, cpD ¼ 1; 86 kJ/kg K die des Wasserdampfes und r=2 500,5 kJ/kg die Verdampfungsenthalpie des Wassers bei 0 C. In dem interessierenden Temperaturbereich von –60 bis +100 C kann man konstante Werte cp annehmen. Bei Sttigung wird xD ¼ xS und h1þx ¼ ðh1þx ÞS . Ist die Wasserbeladung x grßer als die Sttigungsbeladung xS so fllt bei Temperaturen t > 0 ° C der Wasseranteil x
xS ¼ xFl in Form von

D

D 26

Thermodynamik – 9 Gemische idealer Gase

Nebel oder auch als Bodenk
rper in dem Gemisch aus, und es wird h1þx ¼ ðh1þx ÞS þ ðx
xS ÞcW t: ð13Þ Bei Temperaturen t < 0
C fllt der Wasseranteil x
xS ¼ xE als Schnee oder Eis aus, und es ist ð14Þ h1þx ¼ ðh1þx ÞS
ðx
xS ÞðDhE
cE tÞ:

D

Es ist cW =4,19 kJ/kg K die spez. Wrmekapazitt des Wassers, cE =2,04 kJ/kg K die des Eises und DhE =333,5 kJ/kg die Schmelzenthalpie des Eises. In Anh. D 9 Tab. 1 sind die Sttigungsdrcke, die Dampfbeladungen und die Enthalpien gesttigter feuchter Luft bei Temperaturen zwischen –20 und +100 C fr einen Gesamtdruck von 1 000 mbar angegeben. Bei t ¼ 0
C kann Wasser gleichzeitig in allen drei Aggregatszustnden vorliegen. Fr die Enthalpie h1þx des Gemisches gilt dann h1þx ¼ xS  r
xE  DhE :

ð15Þ

9.2.1 Mollier-Diagramm der feuchten Luft Mollier-diagram of humid air Fr die graphische Darstellung von Zustandsnderungen feuchter Luft hat Mollier ein h1þx , x-Diagramm angegeben, Bild 1 a. Darin ist die Enthalpie h1þx von (1+x) kg feuchter Luft in einem schiefwinkligen Koordinatensystem ber der Wasserbeladung aufgetragen. Die Achse h=0, entsprechend feuchter Luft von 0 C ist schrg nach unten rechts gelegt, derart, dass die 0 C Isotherme der feuchten ungesttigten Luft waagrecht verluft. Bild 1 b zeigt die Konstruktion der Isothermen nach Gl. (12) und Gl. (13). Die Linien x=const sind senkrechte, die Linien h=const zur Achse h1þx ¼ 0 parallele Geraden. In Bild 1 a ist die Grenzkurve j=1 fr den Gesamtdruck 1 000 mbar eingezeichnet. Sie trennt das Gebiet der ungesttigten Gemische (oben) von dem Nebelgebiet (unten), in dem die Feuchtigkeit teils als Dampf, teils in flssiger (Nebel, Niederschlag) oder fester Form (Eisnebel, Schnee)

Bild 1 a, b. h1þx , x-Diagramm der feuchten Luft nach Mollier

im Gemisch enthalten ist. Isothermen im ungesttigten Gebiet nach Gl. (12) sind nach rechts schwach ansteigende Geraden, die an der Grenzkurve nach unten abknicken und im Nebelgebiet den Geraden konstanter Enthalpie nahezu parallel verlaufen entsprechend Gl. (13). Fr einen Punkt im Nebelgebiet mit der Temperatur t und der Wasserbeladung x findet man den dampff
rmigen Anteil, indem man die Isotherme t bis zum Schnitt mit der Grenzkurve j ¼ 1 verfolgt. Der im Schnittpunkt abgelesene Anteil xS ist als Dampf und damit der Anteil x
xS als Flssigkeit und/oder Eis im Gemisch enthalten. Die schrgen, strahlenartigen Geradenstcke Dh1þx =Dx legen zusammen mit dem Nullpunkt die Richtung fest, in der man sich von einem beliebigen Diagrammpunkt aus bewegt, wenn man dem Gemisch Wasser oder Wasserdampf zusetzt, dessen Enthalpie in kJ/kg gleich den Zahlen an den Randstrahlen ist. Um die Richtung der Zustandsnderung zu finden, hat man durch den Zustandspunkt der feuchten Luft eine Parallele zur Geraden zu zeichnen, die durch den Nullpunkt ( h=0, x=0) und den Randstrahl festgelegt ist. 9.2.2 Zustands
nderungen feuchter Luft Changes of state of humid air Erw
rmung oder Abkhlung. Wird ein gegebenes Gemisch erwrmt, so bewegt man sich auf einer Senkrechten nach oben (1–2 in Bild 2 a), wird es abgekhlt, so bewegt man sich auf einer Senkrechten nach unten ( 2–1). Solange sich die Zustnde 1 und 2 im ungesttigten Gebiet befinden, ist die senkrechte Entfernung zweier Zustandspunkte gemessen im Enthalpiemaßstab gleich der ausgetauschten Wrme bezogen auf 1 kg trockene Luft: Q12 ¼ mL ðcpL þ cpD xÞðt2
t1 Þ;

ð16Þ

mit cpL ¼ 1; 005 kJ/kg K und cpD ¼ 1; 852 kJ/kg K. Bei Abkhlung feuchter Luft unter den Taupunkt des Wassers (1–2 in Bild 2 b) fllt ein Niederschlag aus. Die abgefhrte Wrme ist

I10 W
rmebertragung Q12 ¼ mL ððh1þx Þ2
ðh1þx Þ1 Þ;

D 27

ð17Þ

worin ðh1þx Þ1 durch Gl. (12) und ðh1þx Þ2 durch Gl. (13) gegeben ist. Es f
llt eine Wassermenge mW ¼ mL ðx1
x3 Þ

ð18Þ

aus. Beispiel: 1 000 kg feuchte Luft von t1 ¼ 30 C, j1 =0,6 und p=1 000 mbar werden auf 15 C abgekhlt. Wie viel Kondensat entsteht? Die Dampfbeladung x1 erh
lt man aus Gl. (9) mit pD ¼ j1 pDS . Nach Anh. D 9 Tab. 1 ist pDS (30 C)=42,46 mbar. Damit wird x1 ¼

D

RL ðj1 pDS Þ 0; 2872  0; 6  42; 46 ¼ RD ðp
j1 pDS Þ 0; 4615ð1 000
0; 6  42; 46Þ

¼ 16; 25  10
3 kg=kg ¼ 16; 25 g=kg:

Die 1 000 kg feuchte Luft bestehen aus 1000=ð1 þ x1 Þ ¼ 1000=1; 01625 kg ¼ 984,01 kg trockener Luft und 1000
984,01 ¼ 15,99 kg Wasserdampf. Die Wasserbeladung im Punkt 3, x3 ¼ xS , folgt aus Anh. D 9 Tab. 1 bei t3 ¼ 15 C zu x3 ¼ 10; 79 g/kg. Damit wird mFl ¼ 984; 01  ð16; 25
10; 80Þ  10
3 kg=5,36 kg.

Mischung zweier Luftmengen. Mischt man zwei Luftmengen vom Zustand 1 und 2 (Bild 2 c) und sorgt dafr, dass mit der Umgebung keine W
rme ausgetauscht wird, so liegt der Zustand m (Punkt 3 in Bild 2 c) nach der Mischung auf der Verbindungsgeraden 1–2. Den Punkt m erh
lt man durch Unterteilen der Geraden 1–2 im Verh
ltnis der Trockenluftmengen mL2 =mL1 . Es ist xm ¼ ðmL1 x1 þ mL2 x2 Þ=ðmL1 þ mL2 Þ:

ð19Þ

Mischen von ges
ttigten Luftmengen verschiedener Temperaturen liefert stets Nebel unter Ausscheiden der Wassermenge xm
xS , wobei xS der S
ttigungsgehalt auf der Nebelisotherme durch den Mischungspunkt ist. Beispiel: 1 000 kg feuchte Luft von t1 =30 C und j1 ¼ 0; 6 werden mit 1 500 kg ges
ttigter feuchter Luft von t2 =10 C bei 1 000 mbar gemischt. Wie groß ist die Temperatur nach der Mischung? Wie im vorigen Beispiel schon berechnet, ist x1 ¼ 16; 25 g/kg. Aus Anh. D 9 Tab. 1 entnimmt man bei t2 ¼ 10 C die Wasserbeladung x2s =7,7377 g/kg. Die Trockenluftmengen sind mL1 ¼ 1 000=ð1 þ x1 Þ kg ¼ 1 000=ð1 þ 16; 25  10
3 Þ kg=984,01 kg und mL2 ¼ 1 500= ð1 þ x2s Þ kg ¼ 1 500=ð1 þ 7; 7377  10
3 Þ kg=1 488,5 kg. Damit wird xm ¼ ð984; 01  16; 25 þ 1 488; 5  7; 7377Þ=ð984; 01 þ 1 488; 5Þ g=kg ¼ 11; 12 g=kg: Die Enthalpie berechnet man nach Gl. (12). Es ist ðh1þx Þ1 ¼ ð1; 005  30 þ 16; 25  10
3  ð1; 86  30 þ 2 500; 5ÞÞ kJ=kg ¼ 71; 69 kJ=kg;
3

ðh1þx Þ2 ¼ ð1; 005  10 þ 7; 7377  10 ¼ 29; 54 kJ=kg:

 ð1; 86  10 þ 2 500; 5ÞÞ kJ=kg

Die Enthalpie des Gemisches ist ðh1þx Þm ¼ ðmL1 ðh1þx Þ1 þ mL2 ðh1þx Þ2 Þ=ðmL1 þ mL2 Þ ¼ ð984; 01  71; 69 þ 1 488; 5  29; 54Þ= ð984; 01 þ 1 488; 5Þ kJ=kg ¼ 46; 31 kJ=kg:

10 Wrme
bertragung. Heat transfer Bestehen zwischen verschiedenen, nicht voneinander isolierten Krpern oder innerhalb verschiedener Bereiche eines Krpers Temperaturunterschiede, so fließt W
rme so lange von der h
heren zur tieferen Temperatur, bis sich die verschiedenen Temperaturen angeglichen haben. Man bezeichnet diesen Vorgang als W
rmebertragung. Es sind drei F
lle der W
rmebertragung zu unterscheiden:

Bild 2 a–d. Zustands
nderungen feuchter Luft. a Erw
rmung und Abkhlung; b Abkhlung unter den Taupunkt; c Mischung; d Zusatz von Wasser oder Wasserdampf

Andererseits ist nach Gl. (12) ðh1þx Þm ¼ ð1; 005 tm þ 11; 12  10
3 ð1; 86 tm þ 2 500; 5ÞÞ kJ=kg: Daraus folgt tm =18
C.

Zusatz von Wasser oder Wasserdampf. Mischt man Luft mit mW kg Wasser oder Wasserdampf, so betr
gt der Wassergehalt nach der Mischung xm ¼ ðmL1 x1 þ mW Þ=mL1 . Die Enthalpie ist ðh1þx Þm ¼ ðmL1 ðh1þx Þ1 þ mW hW Þ=mL1 :

ð20Þ

Im Mollier-Diagramm fr feuchte Luft (Bild 2 d) liegt der Endzustand nach der Mischung auf derjenigen Geraden durch den Anfangszustand 1 der feuchten Luft, die parallel zu der durch den Koordinatenursprung gehenden Geraden mit der Steigung hW verl
uft, wobei hW ¼ Dh1þx =Dx durch die Geradenstcke des Randmaßstabs gegeben ist. K
hlgrenztemperatur. Streicht unges
ttigte feuchte Luft vom Zustand t1 ; x1 ber eine Wasser- oder Eisoberfl
che, so verdunstet bzw. sublimiert Wasser und wird von der Luft aufgenommen, wodurch deren Wassergehalt zunimmt. Hierbei sinkt die Temperatur des Wassers bzw. des Eises und erreicht nach hinreichend langer Zeit einen station
ren Endwert, den man Khlgrenztemperatur nennt. Man findet die Khlgrenztemperatur tg mit Hilfe des Mollier-Diagramms, indem man diejenige Nebelisotherme tg sucht, deren Verl
ngerung durch den Zustandspunkt 1 geht.

– Die W
rmebertragung durch Leitung in festen oder in unbewegten flssigen und gasfrmigen Krpern. Dabei wird kinetische Energie von einem Molekl oder von Elementarteilchen auf seine Nachbarn bertragen. – Die W
rmebertragung durch Mitfhrung oder Konvektion in bewegten flssigen oder gasfrmigen Krpern. – Die W
rmebertragung durch Strahlung, die sich ohne materiellen Tr
ger mit Hilfe der elektromagnetischen Wellen vollzieht.

D 28

Thermodynamik – 10 W
rmebertragung

In der Technik wirken oft alle drei Arten der W
rmebertragung zusammen.

Ti
Ta Q_ ¼ lAm d

10.1 Station
re W
rmeleitung Steady state heat conduction

D

Um formale bereinstimmung mit Gl. (1) zu erreichen, kann man auch

Station
re W
rmeleitung durch eine ebene Wand. Werden die beiden Oberfl
chen einer ebenen Wand der Dicke d auf verschiedenen Temperaturen T1 und T2 gehalten, so strmt durch die Fl
che A in der Zeit t nach dem Fourierschen Gesetz die W
rme T1
T2 t: d Darin ist l ein Stoffwert (SI-Einheit W/(Km)), den man W
rmeleitf
higkeit nennt (s. Anh. D 10 Tab. 1). Man bezeichnet Q=t ¼ Q_ als W
rmestrom (SI-Einheit W) und Q=ðtAÞ ¼ q_ (SI-Einheit W/m2 ) als W
rmestromdichte. Es ist

ð5Þ

Aa
Ai mit d ¼ ra
ri und Am ¼ schreiben, wenn Aa ¼ ln ðAa =Ai Þ 2pra l die
ußere und Ai ¼ 2pri l die innere Oberfl
che des Rohrs ist. Am ist das logarithmische Mittel zwischen
ußerer und innerer Rohroberfl
che. Der „W
rmeleitwiderstand“ des Rohrs RW ¼ d=ðlAm Þ (SI-Einheit K/W) muss durch eine Temperaturdifferenz berwunden werden, damit ein W
rmestrom fließen kann.

Q ¼ lA

T1
T2 T1
T2 Q_ ¼ lA und q_ ¼ l : ð1Þ d d hnlich wie bei der Elektrizit
tsleitung ein Strom I nur fließt, wenn man eine Spannung U anlegt, um den Widerstand R zu berwinden (I= U/R), fließt ein W
rmestrom Q_ nur dann, wenn eine Temperaturdifferenz DT ¼ T1
T2 vorhanden ist: lA Q_ ¼ DT: d In Analogie zum Ohmschen Gesetz nennt man RW ¼ d=ðlAÞ einen W
rmeleitwiderstand (SI-Einheit K/W). Fouriersches Gesetz. Betrachtet man statt der Wand der endlichen Dicke d eine aus ihr senkrecht zum W
rmestrom herausgeschnittene Scheibe der Dicke dx, so erh
lt man das Fouriersche Gesetz in der Form dT dT Q_ ¼
lA und q_ ¼
l ; ð2Þ dx dx wobei das negative Vorzeichen ausdrckt, dass die W
rme in Richtung abnehmender Temperatur strmt. Q_ ist hierbei der W
rmestrom in Richtung der x-Achse, Entsprechendes gilt fr q_ . Der W
rmestrom in Richtung der drei Koordinaten x, y, z ist ein Vektor   ¶T ¶T ¶T q_ ¼
l ð3Þ ex þ ey þ ez ¶x ¶y ¶z mit den Einheitsvektoren ex ; ey ; ez . Gl. (3) ist zugleich die allgemeine Form des Fourierschen Gesetzes. Es gilt in dieser Form fr isotrope Krper, d. h. solche, deren W
rmeleitf
higkeit in Richtung der drei Koordinatenachsen gleich groß ist. Station
re W
rmeleitung durch eine Rohrwand. Nach dem Fourierschen Gesetz wird durch eine Zylinderfl
che vom Radius r und der L
nge l ein W
rmestrom Q_ ¼
l2prlðdT=drÞ bertragen. Bei station
rer W
rmeleitung ist der W
rmestrom fr alle Radien gleich, Q_ ¼ const; sodass man die Ver
nderlichen T und r trennen und von der inneren Oberfl
che bei r ¼ ri des Zylinders mit der Temperatur Ti bis zu einer beliebigen Stelle r mit der Temperatur T integrieren kann. Man erh
lt als Temperaturverlauf in einer Rohrschale der Dicke r
ri : Ti
T ¼

10.2 W
rmebergang und W
rmedurchgang Heat transfer and heat transmission Geht von einem Fluid W
rme an eine Wand ber, wird darin fortgeleitet und auf der anderen Seite an ein zweites Fluid bertragen, so spricht man von W
rmedurchgang. Dabei sind zwei W
rmeberg
nge und ein W
rmeleitvorgang hintereinander geschaltet. Die Temperatur f
llt in einer Schicht unmittelbar an der Wand steil ab (Bild 1), w
hrend sich die Temperaturen in einiger Entfernung von der Wand nur wenig unterscheiden. Man kann vereinfachend annehmen, dass an der Wand eine dnne ruhende Fluidgrenzschicht von der Filmdicke di bzw. da haftet, w
hrend das Fluid außerhalb Temperaturunterschiede ausgleicht. In dem dnnen Fluidfilm wird W
rme durch Leitung bertragen, und es gilt nach Fourier fr den an die linke Wandseite bertragenen W
rmestrom Ti
T1 Q_ ¼ lA ; di worin l die W
rmeleitf
higkeit des Fluids ist. Die Filmdicke di h
ngt von vielen Grßen ab, wie Geschwindigkeit des Fluids entlang der Wand, Form und Oberfl
chenbeschaffenheit der Wand. Es hat sich als zweckm
ßig erwiesen, statt mit der Filmdicke di mit dem Quotienten l=di ¼ a zu rechnen. Man kommt zu dem Newtonschen Ansatz fr den W
rmebergang eines Fluids an einer festen Oberfl
che Q_ ¼ aAðTf
T0 Þ;

Q_ r ln : l2pl ri

Mit der Temperatur Ta der
ußeren Oberfl
che vom Radius ra erh
lt man den W
rmestrom in einem Rohr der Dicke ra
ri und der L
nge l: Ti
Ta Q_ ¼ l2pl : ln ra =ri

ð4Þ

ð6Þ

in dem allgemein Tf die Fluidtemperatur und T0 die Oberfl
chentemperatur bedeuten. Die Grße a nennt man W
rmebergangskoeffizient (SI-Einheit W/(m2 K)). Grßenordnungen von W
rmebergangskoeffizienten gibt Tab. 1. Grundlagen zur Berechnung von a findet man in D 10.4. In Anlehnung an das Ohmsche Gesetz I=(1/R)U nennt man 1/a A=RW den W
rmebergangswiderstand (SI-Einheit K/ W). Er muss durch die Temperaturdifferenz DT ¼ Tf
T0 berwunden werden, damit der W
rmestrom Q_ fließen kann. In Bild 1 sind vom W
rmestrom drei hintereinanderliegende Einzelwiderst
nde zu berwinden. Diese summieren sich zum Gesamtwiderstand.

Bild 1. W
rmedurchgang durch eine ebene Wand

I10.3 Nichtstation
re W
rmeleitung

D 29

Besteht das Rohr aus mehreren homogenen Einzelrohren mit der Dicke d1 ; d2 ; . . . und den W
rmeleitf
higkeiten l1 ; l2 ; . . ., so gilt wieder Gl. (7), jedoch ist jetzt der gesamte W
rmewiderstand X dj 1 1 1 ¼ þ þ ; ð11Þ lj Amj aa Aa kAa ai Ai

Tabelle 1. W
rmebergangskoeffizienten a in W/(m2 K)

wobei die Summe ber alle Einzelrohre zu bilden ist und Amj die mittlere logarithmische Fl
che des Einzelrohrs j Amj ¼ ðAaj
Aij Þ= lnðAaj =Aij Þ ist.

W
rmedurchgang durch ebene W
nde. Der durch eine ebene Wand (Bild 1) durchtretende W
rmestrom ist Q_ ¼ kAðTi
Ta Þ

ð7Þ

mit dem gesamten W
rmewiderstand 1/(kA), der sich additiv aus den Einzelwiderst
nden zusammensetzt: 1 1 d 1 þ þ : ¼ kA ai A lA aa A

ð8Þ

Die durch Gl. (7) definierte Grße k nennt man den W
rmedurchgangskoeffizienten (SI-Einheit W/(m2 K)). Besteht die Wand aus mehreren homogenen Schichten (Bild 2) mit den Dicken d1 ; d2 ; . . . und den W
rmeleitf
higkeiten l1 ; l2 ; . . . ; so gilt ebenfalls Gl. (7), jedoch ist jetzt der gesamte W
rmewiderstand X dj 1 1 1 þ þ : ð9Þ ¼ l j A aa A kA ai A Beispiel: Die Wand eines Khlhauses besteht aus einer 5 cm dicken inneren Betonschicht ðl ¼ 1 W=ðKmÞÞ, einer 10 cm dicken Korksteinisolierung ðl ¼ 0; 04 W=ðKmÞÞ und einer 50 cm dicken
ußeren Ziegelmauer ðl ¼ 0; 75 W=ðKmÞÞ. Der W
rmebergangskoeffizient auf der Innenseite ist ai ¼ 7 W=ðm2 KÞ, der auf der Außenseite aa ¼ 20 W=ðm2 KÞ. Wie viel W
rme strmt durch 1 m2 Wand bei einer Innentemperatur von
5 C und einer Außentemperatur von 25 C? Nach Gl. (9) ist der W
rmedurchgangswiderstand
 1 1 0; 05 0; 1 0; 5 1 K ¼ þ þ þ þ kA 7  1 1  1 0; 04  1 0; 75  1 20  1 W ¼ 3; 41 K=W: 1 Der W
rmestrom ist Q_ ¼ ð
5
25ÞW; jQ_ j ¼ 8; 8 W. 3; 41

W
rmedurchgang durch Rohre. Es gilt wiederum die Gl. (7) fr den W
rmedurchgang durch ein Rohr. Der W
rmewiderstand setzt sich additiv aus den Einzelwiderst
nden zu1 1 d 1 sammen þ þ . ¼ kA ai Ai lAm aa Aa Es ist blich, den W
rmedurchgangskoeffizienten k auf die meist leicht zu ermittelnde
ußere Rohroberfl
che A ¼ Aa zu beziehen, sodass der gesamte W
rmewiderstand gegeben ist durch 1 1 d 1 ¼ þ þ kAa ai Ai lAm aa Aa

ð10Þ

mit Am ¼ ðAa
Ai Þ=lnðAa =Ai Þ:

10.3 Nichtstation
re W
rmeleitung Transient heat conduction Bei nichtstation
rer W
rmeleitung
ndern sich die Temperaturen zeitabh
ngig. In einer ebenen Wand mit fest vorgegebenen Oberfl
chentemperaturen ist der Temperaturverlauf nicht mehr geradlinig, da die in eine Scheibe einstrmende W
rme von der ausstrmenden verschieden ist. Der Unterschied zwischen ein- und austretendem W
rmestrom erhht (oder erniedrigt) die innere Energie in der Scheibe und damit deren Temperatur als Funktion der Zeit. Fr ebene W
nde mit einem W
rmestrom in Richtung der x-Achse gilt die Fouriersche W
rmeleitgleichung ¶T ¶2 T ¼a 2 : ¶t ¶x Bei mehrdimensionaler W
rmeleitung ist
2  ¶T ¶ T ¶2 T ¶2 T þ 2þ 2 : ¼a 2 ¶t ¶x ¶y ¶z

ð12Þ

ð13Þ

Beide Gleichungen setzen in dieser Form konstante W
rmeleitf
higkeit l voraus (Isotropie). Die Grße a=l/(rc ) ist die Temperaturleitf
higkeit (SI-Einheit m2 /s), Zahlenwerte Anh. D 10 Tab. 2. Zur Lsung der Fourierschen W
rmeleitgleichung ist es zweckm
ßig, wie bei anderen Problemen der W
rmebertragung dimensionslose Grßen einfhren, weil sich dadurch die Zahl der Variablen verringern l
sst. Um das Grunds
tzliche zu zeigen, wird Gl. (12) betrachtet. Gesetzt wird Q ¼ ðT
Tc Þ=ðT0
Tc Þ, worin Tc eine charakteristische konstante Temperatur, T0 eine Bezugstemperatur ist. Zum Beispiel kann Tc bei der Abkhlung einer Platte von anf
nglich konstanter Temperatur T0 in einer kalten Umgebung die Umgebungstemperatur Tc ¼ Tu bedeuten. Alle L
ngen bezieht man auf eine charakteristische L
nge X, z. B. die halbe Plattendicke. Es ist weiter zweckm
ßig, durch Fo ¼ at=X 2 eine dimensionslose Zeit einzufhren, die man die Fourier-Zahl nennt. Lsungen der W
rmeleitgleichung sind dann von der Form Q ¼ f ðx=X; FoÞ: In vielen Problemen wird die durch Leitung an die Oberfl
che eines Krpers gelangende W
rme durch Konvektion an das umgebende Fluid der Temperatur Tu abgegeben. Es gilt dann die Energiebilanz an der Oberfl
che (Index w=Wand)

 ¶T 1 ¶Q aX ¼ aðTw
Tu Þ oder ¼

l ¶x w Qw ¶z w l mit z=x/X, Q ¼ ðT
Tu Þ=ðT0
Tu Þ und Qw ¼ ðTw
Tu Þ= ðT0
Tu Þ. Die Lsung ist auch eine Funktion der dimensionslosen Grße a X / l: Man nennt a X / l die Biot-Zahl Bi, in ihr ist l die als konstant vorausgesetzte W
rmeleitf
higkeit des Krpers und a der W
rmebergangskoeffizient an das umgebende Fluid. Lsungen der Gl. (12) sind von der Form

Bild 2. W
rmedurchgang durch eine ebene, mehrschichtige Wand

Q ¼ f ðx=X; Fo; BiÞ:

ð14Þ

D

D 30

Thermodynamik – 10 W
rmebertragung

10.3.1 Der halbunendliche K
rper. The semi-infinite body

D

Die Temperatur
nderungen sollen sich in einer im Vergleich zur Grße des Krpers dnnen Randzone abspielen. Man nennt einen solchen Krper halbunendlich. Betrachtet wird eine halbunendliche ebene Wand (Bild 3) der konstanten Anfangstemperatur T0 . Die Oberfl
chentemperatur der Wand werde zur Zeit t=0 auf Tðx ¼ 0Þ ¼ Tu abgesenkt und bleibe anschließend konstant. Man erh
lt fr verschiedene Zeiten t1 ; t2 ; . . . Temperaturprofile. Sie sind gegeben durch   T
Tu x ¼ f pffiffiffiffiffi ð15Þ T0
Tu 2 at pffiffiffiffiffi mit der Gaußschen Fehlerfunktion f ðx=ð2 atÞÞ, Bild 4. Die W
rmestromdichte an der Oberfl
che erh
lt man durch Differentiation q_ ¼
lð¶T=¶xÞx¼0 zu b q_ ¼ pffiffiffiffiffi ðTu
T0 Þ pt

ð16Þ

pffiffiffiffiffiffiffi mit dem W
rmeeindringkoeffizienten b ¼ lrc (SI-Einheit 1 2 Ws2 =ðm K)) (Tab. 2), der ein Maß fr die Grße des W
rmestroms ist, der zu einer bestimmten Zeit in den Krper eingedrungen ist, wenn die Oberfl
chentemperatur pltzlich um einen bestimmten Betrag Tu
T0 gegenber der Anfangstemperatur T0 erhht wurde. Beispiel: Bei einem pltzlichen Wetterwechsel f
llt die Temperatur an der Erdoberfl
che von +5 auf
5 C. Wie tief sinkt die Temperatur in 1 m Tiefe nach 20 Tagen? Die Temperaturleitf
higkeit des Erdreichs betr
gt a ¼ 6; 94  10
7 m2 =s: Nach Gl. (15) ist ! T
ð
5Þ 1 ¼ f ð0; 456Þ: ¼f 1
7 5
ð
5Þ 2 2ð6; 94  10  20  24  3 600Þ

Endlicher Wrmebergang an der Oberflche. Wird an der Oberfl
che des Krpers nach Bild 3 W
rme durch Konvektion an die Umgebung bertragen, sodass an der Oberfl
che q_ ¼
lð¶T=¶xÞ ¼ aðTw
Tu Þ gilt, wobei Tu die Umgebungstemperatur und Tw ¼ Tðx ¼ 0Þ die zeitlich ver
nderliche Wandtemperatur ist, so gilt Gl. (15) nicht mehr, sondern es ist b q_ ¼ pffiffiffiffiffi ðTu
T0 Þ FðzÞ pt

ð17Þ

1 13 1  3 . . . ð2 n
3Þ FðzÞ ¼ 1
2 þ 2 4
. . . þ ð
1Þn
1 2 z 2n
1 z2n
2 pffiffiffiffiffi 2 z worin z ¼ a at=l ist. mit

10.3.2 Zwei halbunendliche K
rper in thermischem Kontakt Two semi-infinite bodies in thermal contact Zwei halbunendliche Krper verschiedener, aber anf
nglich konstanter Temperatur T1 und T2 mit den thermischen Eigenschaften l1 ; a1 und l2 ; a2 werden zur Zeit t=0 pltzlich in Kontakt gebracht, Bild 5. Nach sehr kurzer Zeit stellt sich zu beiden Seiten der Kontaktfl
che eine Temperatur Tm ein, die konstant bleibt. Es ist Tm
T1 b2 ¼ : T2
T1 b1 þ b2 Die Kontakttemperatur Tm liegt n
her bei der Temperatur des Krpers mit dem grßeren W
rmeeindringkoeffizienten b. Durch Messen von Tm kann man einen der Werte b ermitteln, wenn der andere bekannt ist.

In Bild 4 liest man ab f (0,456)=0,48. Damit wird T ¼
0; 2  C:

Bild 5. Kontakttemperatur Tm zwischen zwei halbunendlichen Krpern Bild 3. Halbunendlicher Krper

10.3.3 Temperaturausgleich in einfachen K
rpern Temperature equalization in simple bodies Ein einfacher Krper, worunter man eine Platte, einen Zylinder oder eine Kugel versteht, befinde sich zur Zeit t=0 auf einer einheitlichen Temperatur T0 und werde anschließend fr t>0 durch W
rmebertragung an ein den Krper umgebendes Fluid von der Temperatur Tu gem
ß der Randbedingung
lð¶T=¶nÞw ¼ aðTw
Tu Þ abgekhlt oder erw
rmt (n sei die Koordinate normal zur Oberfl
che des Krpers).

Bild 4. Temperaturverlauf in einem halbunendlichen Krper Tabelle 2. W
rmeeindringkoeffizienten b ¼

pffiffiffiffiffiffiffi 1 lrc in Ws2 =ðm2 K)

Ebene Platte. Es gelten die Bezeichnungen in Bild 6, in das auch ein Temperaturprofil eingezeichnet ist. Das Temperaturprofil wird durch eine unendliche Reihe beschrieben, kann aber fr at=X 2 ^ 0; 24 (a=l/(r c) ist die Temperaturleitf
higkeit) mit einem Fehler in der Temperatur unter 1% angen
hert werden durch  x  T
Tu at  ¼ C exp
d2 2 cos d : ð18Þ T0
Tu X X Die Konstanten C und d h
ngen gem
ß Tab. 3 von der BiotZahl Bi=aX/l ab.

I10.4 W
rmebergang durch Konvektion

D 31

10.4 W
rmebergang durch Konvektion Heat transfer by convection Bei der W
rmebertragung in strmenden Fluiden tritt zur (molekularen) W
rmeleitung noch der Energietransport durch Konvektion hinzu. Jedes Volumenelement des Fluids ist Tr
ger von innerer Energie, die es durch Strmung weitertransportiert und im vorliegenden Fall des W
rmebergangs durch Konvektion als W
rme an einen festen Krper bertr
gt.

Bild 6. Abkhlung einer ebenen Platte

Die Oberfl
chentemperatur der Wand Tw erh
lt man aus Gl. (18), indem man x=X setzt. Der W
rmestrom folgt aus Q_ ¼
lAð¶T=¶xÞx¼X : Zylinder. Anstelle der Ortskoordinate x in Bild 6 tritt die radiale Koordinate r. Der Radius des Zylinders ist R. Das Temperaturprofil wird wieder durch eine unendliche Reihe beschrieben, die sich fr at=R2  0; 21 mit einem Fehler unter 1% ann
hern l
sst durch  at   r  T
Tu ð19Þ ¼ C exp
d 2 I0 d : T0
Tu R R I0 ist eine Besselfunktion nullter Ordnung, deren Werte man in Tabellenwerken findet, z. B. [10]. Die Konstanten C und d h
ngen gem
ß Tab. 4 von der Biot-Zahl ab. Die Oberfl
chentemperatur der Wand ergibt sich aus Gl. (19), wenn man r = R setzt und der W
rmestrom aus Q_ ¼
lAð¶T=¶rÞr¼R . Dabei tritt die Ableitung der Besselfunktion I00 ¼
I1 auf. Die Besselfunktion erster Ordnung I1 ist ebenfalls vertafelt [10]. Kugel. Die Abkhlung oder Erw
rmung einer Kugel vom Radius R wird ebenfalls durch eine unendliche Reihe beschrieben. Sie l
sst sich fr at=R2  0; 18 mit einem Fehler unter 2% ann
hern durch  a t sinðdr=RÞ T
Tu ¼ C exp
d 2 : ð20Þ T0
Tu R dr=R Die Konstanten C und d h
ngen gem
ß Tab. 5 von der BiotZahl ab. Tabelle 3. Konstanten C und d in Gl. (18)

Tabelle 4. Konstanten C und d in Gl. (19)

Tabelle 5. Konstanten C und d in Gl. (20)

Dimensionslose Kenngrßen. Grundlagen fr die Darstellung von Vorg
ngen des konvektiven bergangs bildet die hnlichkeitsmechanik (s. B 7). Sie erlaubt es, die Zahl der Einflussgrssen deutlich zu mindern, und man kann W
rmebergangsgesetze allgemein fr geometrisch
hnliche Krper und die verschiedensten Stoffe einheitlich formulieren. Es sind folgende dimensionslose Kennzahlen von Bedeutung: Nußelt-Zahl Reynolds-Zahl Prandtl-Zahl P´eclet-Zahl Grashof-Zahl Stanton-Zahl geometrische Kenngrßen

Nu ¼ al=l Re ¼ wl=v Pr ¼ v=a Pe ¼ wl=a ¼ Re Pr Gr ¼ l3 gbDT=v2 St ¼ a=ðrwcp Þ ¼ Nu=ðRe PrÞ ln =l; n ¼ 1; 2; . . .

Es bedeuten: l W
rmeleitf
higkeit des Fluids, l eine charakteristische Abmessung des Strmungsraums l1 ; l2 ; . . . ; v die kinematische Viskosit
t des Fluids, r seine Dichte, a ¼ l=ðrcp Þ seine Temperaturleitf
higkeit, cp die spez. W
rmekapazit
t des Fluids bei konstantem Druck, g die Fallbeschleunigung, DT ¼ Tw
Tf die Differenz zwischen Wandtemperatur Tw eines gekhlten oder erw
rmten Krpers und Tf der mittleren Temperatur des an ihm entlang strmenden Fluids, b der thermische Ausdehnungskoeffizient bei Wandtemperatur, mit b ¼ 1=Tw bei idealen Gasen. Die Prandtl-Zahl ist ein Stoffwert (s. Anh. D 10 Tab. 2). Man unterscheidet erzwungene und freie Konvektion. Bei der erzwungenen Konvektion wird die Strmung des Fluids durch
ußere Kr
fte hervorgerufen, z. B. durch eine Druckerhhung in einer Pumpe. Bei der freien Konvektion wird die Strmung des Fluids durch Dichteunterschiede in einem Schwerefeld hervorgerufen, die im Allgemeinen durch Temperaturunterschiede, seltener durch Druckunterschiede, entstehen. Bei Gemischen werden Dichteunterschiede auch durch Konzentrationsunterschiede hervorgerufen. Der W
rmebergang bei erzwungener Konvektion wird durch Gleichungen der Form Nu ¼ f1 ðRe; Pr; ln =lÞ

ð21Þ

D

D 32

Thermodynamik – 10 W
rmebertragung

und der bei freier Konvektion durch Nu ¼ f2 ðGr; Pr; ln =lÞ

D

ð22Þ

beschrieben. Den gesuchten W
rmebergangskoeffizienten erh
lt man aus der Nußelt-Zahl zu a ¼ Nul=l. Die Funktionen f1 und f2 kann man nur in seltenen F
llen theoretisch ermitteln, sie mssen i. Allg. durch Experimente bestimmt werden und h
ngen von der Form der Heiz- und Khlfl
che (eben oder gewlbt; glatt, rau oder berippt), der Strmungsfhrung und, in wenn auch meistens geringem Umfang, von der Richtung des W
rmestroms (Erw
rmung oder Khlung des strmenden Fluids) ab. 10.4.1 W
rmebergang ohne Phasenumwandlung Heat transfer without change of phase Erzwungene Konvektion L
ngsangestrmte ebene Platte bei Laminarstrmung. Fr die mittlere Nußelt-Zahl einer Platte der L
nge l gilt nach Pohlhausen Nu ¼ 0; 664 Re1=2 Pr 1=3

ð23Þ

mit Nu=al/l, Re ¼ wl=v < 105 und 0,6
Pr
2 000. Die Stoffwerte sind bei mittlerer Fluidtemperatur Tm ¼ ðTw þ T1 Þ=2 einzusetzen. Tw ist die Wandtemperatur, T1 die Temperatur in großer Entfernung von der Wand. L
ngsangestrmte ebene Platte bei turbulenter Strmung. Etwa von Re ¼ 5  105 an wird die Grenzschicht turbulent. Die mittlere Nußelt-Zahl einer Platte der L
nge l ist Nu ¼

0; 037 Re0;8 Pr 1 þ 2; 443 Re0;1 ðPr 2=3  1Þ

ð24Þ

mit Nu=al/l, Re ¼ wl=v, 5  10 < Re < 10 und 0,6
Pr
2 000. Die Stoffwerte sind bei mittlerer Fluidtemperatur Tm ¼ ðTw þ T1 Þ=2 zu bilden. Tw ist die Wandtemperatur, T1 die Temperatur in großer Entfernung von der Wand. 5

7

W
rmebergang bei der Strmung durch Rohre (Allgemeines). Unterhalb einer Reynolds-Zahl Re=2 300 (Re ¼ wd=v; w ist die mittlere Geschwindigkeit in einem Querschnitt, d der Rohrdurchmesser) ist die Strmung stets laminar, oberhalb von Re ¼ 104 ist sie turbulent. Im Bereich 2 300< Re 20 kW; L % 400 mmÞ: – W
nsche (mit unterschiedlicher Bedeutung) sollten nach Mglichkeit ber
cksichtigt werden, eventuell mit dem Zugestndnis, daß ein begrenzter Mehraufwand dabei zulssig ist. Ohne bereits eine bestimmte Lsung festzulegen, sind die Forderungen und W
nsche mit Angaben zur Quantitt (Anzahl, St
ckzahl, Losgrße usw.) und Qualitt (zulssige Abweichungen, tropenfest usw.) zu versehen. Erst dadurch ergibt sich eine ausreichende Information. Zweckmßigerweise wird auch die Quelle angegeben, aufgrund der die Forderungen oder W
nsche entstanden sind.

F 11

nderungen und Ergnzungen der Aufgabenstellung, wie sie sich im Laufe der Entwicklung nach besserer Kenntnis der Lsungsmglichkeiten oder infolge zeitbedingter Verschiebung der Schwerpunkte ergeben knnen, m
ssen stets in der Anforderungsliste nachgetragen werden. Aufstellung der Anforderungen Als Hilfe zum Erkennen von Anforderungen wird eine Hauptmerkmalliste (Tab. 7) empfohlen. Sie bewirkt beim Bearbeiter eine Assoziation, indem er die dort angegebenen Begriffe auf die vorliegende konkrete Problemstellung
bertrgt und Fragen stellt, zu denen er eine Antwort bentigt. Die notwendigen Funktionen und die spezifischen Bedingungen werden im Zusammenhang mit dem Energie-, Stoff- und Signalumsatz erfaßt (Merkmale Geometrie, Kinematik, Krfte, Energie, Stoff, Signal). Die anderen Merkmale ber
cksichtigen die sonst noch bestehenden allgemeinen und spezifischen Bedingungen. Die Begriffszusammenstellung hilft, Wesentliches nicht zu vergessen. Die nachfolgend dargestellte Struktur von Arbeitsschritten ist als ein idealtypischer Leitfaden zum zielf
hrenden Handeln zu verstehen, der sicherstellt, daß prinzipiell folgerichtig vorgegangen wird und keine wesentlichen Schritte unber
cksichtigt bleiben. Der wirkliche Arbeitsablauf wird immer von der Tabelle 7. Leitlinie mit Hauptmerkmalen zum Aufstellen einer Anforderungsliste

F

F 12

F

Grundlagen der Konstruktionstechnik – 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens

jeweiligen Problem- und Ausgangslage bestimmt und ist entsprechend anzupassen. So k
nnen bestimmte Arbeitsschritte entfallen oder in anderer Reihenfolge zweckmßiger sein. Wie in den Bildern angedeutet, sind Vor- oder Rcksprnge oder/und iterative Schleifen innerhalb eines Ablaufs notwendig oder zweckmßig. Auch k
nnen erzielte Arbeitsergebnisse oder unvorhersehbare Ereignisse zu einer nderung des Vorgehens zwingen. Der Denkprozeß des Konstrukteurs wird mit dieser Struktur nicht abgebildet. Er ist viel komplexer und lebt von Anregungen und Assoziationen sowie von bewußten und unbewußten Denkschritten, die von der Erfahrung und einer stndigen Reflexion der Teilergebnisse beeinflußt werden. Ungeachtet dessen ist die Beachtung des vorgestellten Vorgehens immer ein wichtiger Anhalt und zielfhrend, wenn nicht branchen- oder problemspezifische Aufgaben in einer festgelegten Organisation einen anderen Weg nahelegen.

F 1.1.2) wird dann unter Bezug auf den Energie-, Stoff- und Signalumsatz m
glichst konkret mit den beteiligten Eingangs- und Ausgangsgr
ßen l
sungsneutral definiert und in erkennbare Teilfunktionen aufgel
st (Funktionsstruktur). Danach folgt die Suche nach den die einzelnen Teilfunktionen erfllenden Wirkprinzipien (s. F 1.1.3 u. F 1.1.4). Diese werden dann anhand der Funktionsstruktur so kombiniert, daß sie vertrglich sind, die Forderungen der Anforderungsliste erfllen und einen noch zulssigen Aufwand erwarten lassen. Die Auswahl erfolgt mit einem Auswahlverfahren (s. F 1.2.5). Die am geeignetsten erscheinenden Kombinationen werden anschließend so weit zu prinzipiellen L
sungsvarianten konkretisiert, daß sie beurteilbar und bewertbar werden (s. F 1.2.5). Dabei mssen ihre wesentlichen technischen und wirtschaftlichen Eigenschaften offenbar werden. 1.3.3 Entwerfen. Embodiment design

1.3.2 Konzipieren. Conceptual design Konzipieren (Bild 11) ist der Teil des Konstruierens, der nach Klren der Aufgabenstellung durch Abstrahieren, Aufstellen von Funktionsstrukturen und Suchen nach geeigneten L
sungsprinzipien und deren Kombination den grundstzlichen L
sungsweg mit dem Erarbeiten eines L
sungskonzepts festlegt. Das Abstrahieren zum Erkennen der wesentlichen Probleme dient dazu, den Wesenskern der Aufgabe hervortreten zu lassen und sich von festen Vorstellungen sowie konventionellen L
sungen zu befreien, damit neue und zweckmßigere L
sungswege erkennbar werden. Die Gesamtfunktion (s.

Unter Entwerfen wird der Teil des Konstruierens verstanden, der fr ein technisches Gebilde von der Wirkstruktur bzw. prinzipiellen L
sung ausgehend die Baustruktur nach technischen und wirtschaftlichen Gesichtspunkten eindeutig und vollstndig erarbeitet. Die Ttigkeit des Entwerfens erfordert neben kreativen auch sehr viele korrektive Arbeitsschritte, wobei Vorgnge der Analyse und Synthese einander abwechseln. Auch hier geht man vom Qualitativen zum Quantitativen, d. h. von der Grobgestaltung zur Feingestaltung. Bild 12 zeigt Arbeitsschritte, die je nach Komplexitt des L
sungskonzepts mehr oder weniger vollstndig zu durchlaufen sind. Das Gestalten ist von einem berlegungs- und berprfungsvorgang gekennzeichnet, der durch Befolgen der Leitlinie Tab. 8 wirksam untersttzt wird. Das jeweils vorhergehende Hauptmerkmal sollte in der Regel erst beachtet sein, bevor das folgende intensiver bearbeitet oder berprft wird. Diese Reihenfolge hat nichts mit der Bedeutung der Merkmale zu tun, sondern dient arbeitssparendem Vorgehen. 1.3.4 Ausarbeiten. Detail design

Bild 11. Arbeitsschritte beim Konzipieren

Unter Ausarbeiten wird der Teil des Konstruierens verstanden, der den Entwurf eines technischen Gebildes durch endgltige Vorschriften fr Anordnung, Form, Bemessung und Oberflchenbeschaffenheit aller Einzelteile, Festlegen aller Werkstoffe, berprfung der Herstellungsm
glichkeiten sowie der Kosten ergnzt und die verbindlichen zeichnerischen und sonstigen Unterlagen fr seine stoffliche Verwirklichung und Nutzung schafft [42]. Schwerpunkt ist das Erarbeiten der Fertigungsunterlagen, besonders der Einzelteil-Zeichnungen, ferner von Gruppen- und Gesamt-Zeichnungen sowie der Stckliste. Daneben k
nnen Vorschriften fr Fertigung, Montage und Gebrauch notwendig werden. Eine Kontrolle auf Vollstndigkeit und Richtigkeit sowie auf interne und externe Normenanwendung schließen diese Phase ab (Bild 13). Mit zunehmendem CAD-Einsatz, insbesondere von 3D-Modellen, ist nicht immer die Erstellung von klassischen technischen Zeichnungen erforderlich. Die produktdefinierenden Daten k
nnen auch nur im rechnerinternen Modell gespeichert sein. Je nach Notwendigkeit werden dann nur Teilinformationen, zweckdienliche Bilder und/oder angepaßte Darstellungen ausgegeben bzw. aufgerufen. In absehbarer Zeit werden hiervon auch die Zeichnungsnormen betroffen sein und an ihrer Stelle rechnerspezifische Prsentationsarten Platz greifen. Die Handhabung in der Industrie ist im Fluß und daher nicht einheitlich beschreibbar. Wie zwischen Konzept- und Entwurfphase berschneiden sich auch oft Arbeitsschritte der Entwurfs- und Ausarbeitungsphase.

I1.3 Konstruktionsprozeß

F 13

Tabelle 8. Leitlinie mit Hauptmerkmalen beim Gestalten

F

1.3.5 Effektive Organisationsformen Effective types of organisation

Bild 12. Arbeitsschritte beim Entwerfen. Hauptfunktionstr
ger: Einzelteile und Baugruppen, die eine Hauptfunktion erfllen; Nebenfunktionstr
ger: Einzelteile und Baugruppen, die eine untersttzende Nebenfunktion erfllen

Der Prozeß des Planes und Konstruierens wird als ein integrierter und interdisziplin
rer Produktentwicklungsprozeß verstanden (vgl. [38, 39]). Die Schlagworte dazu heißen: Simultaneous Engineering oder Concurrent Engineering. Hierunter wird eine zielgerichtete, interdisziplin
re (abteilungsbergreifende) Zusammen- und Parallelarbeit in der gesamten Produkt-, Produktions- und Vertriebsentwicklung fr den vollst
ndigen Produktlebenslauf verstanden. Die Aktivit
ten der einzelnen Bereiche verlaufen weitgehend parallel oder berlappen sich mindestens mit intensiven Kontakten zum Kunden unter Einbeziehung der Zulieferer. Darber hinaus erfolgt eine Produktberwachung bis zum Lebensende des

F 14

Grundlagen der Konstruktionstechnik – 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens cherung, Montage, Steuerung und Regelung, dem Recycling und der Umweltproblematik u.., die nur zeit- oder abschnittsweise im Team mitarbeiten. Die Zusammenarbeit des Teams muß geplant vor sich gehen und richtet sich zweckmßigerweise nach dem zuvor beschriebenen methodischen Konstruieren. Viele der eingesetzten Einzelmethoden erfordern ohnehin die Bildung von interdisziplinren Gruppen. Die Teamarbeit konzentriert sich damit auf die Hauptarbeitsschritte mit gruppendynamischen Effekten, wie solche der Aufgabenklrung, der Lsungssuche (Brainstorming, Galeriemethode u. a.), der Lsungsbeurteilung mittels Auswahl- und Bewertungsverfahren, der Fehlerbaumanalyse, der Risikoabschtzung sowie dem Festlegen von Ablufen und Terminen. Der
berwiegende Zeitanteil der Konstruktions- und Entwicklungsarbeit wird weiterhin in Einzelarbeit geleistet, wie z. B. Berechnen und das Erstellen von Festigkeitsnachweisen, Untersuchung von bestimmten Sachverhalten, Ausarbeitung und Darstellung von Lsungsvorschlgen und Details, Informationsgewinnung, Normenanwendung und -pr
fung, Vorbereitung von Teamsitzungen und von Kundenbesprechungen. Probleme der F
hrung und des Teamverhaltens vgl. [37, 39].

F

1.3.6 Rapid Prototyping

Bild 13. Arbeitsschritte beim Ausarbeiten

Produkts (vgl. Bild 14). Ziele sind k
rzere Entwicklungszeiten, schnellere Produkterstellung, Kostenreduktion am Produkt und in der Produktentwicklung sowie eine Qualittsverbesserung. Ein Entwicklungsteam, das zeitlich befristet zusammengesetzt ist, arbeitet unter der Leitung eines Projektmanagers selbstndig und verantwortet seine Entscheidungen gegen
ber der technischen Entwicklungsleitung selbst. Die Abteilungsgrenzen werden dadurch
berwunden. Zweckmßigerweise wird ein kleineres Kernteam gebildet, das verantwortliche Fachleute aus der Konstruktion, Arbeitsvorbereitung, Marketing und Vertrieb umfaßt. Die Zusammensetzung ist von der Problemstellung und von der Produktart abhngig. Ergnzt wird das Kernteam je nach Bedarf durch Fachleute aus der Qualittssi-

Zwecks Verk
rzung von Entwicklungszeiten und rascherer Markteinf
hrung (Rapid Product Development RPD) beginnt sich parallel zum Konstruktionsprozeß die mitlaufende und schnelle Herstellung von Modellen zur Anschauung und Variation, zur Funktions- und Maß
berpr
fung sowie als Urmodell f
r nachfolgende Abgießverfahren durchzusetzen. Rapid Prototyping (RP) als ein generatives Herstellverfahren von freigeformten Krpern (Solid Freeform Manufacturing SFM) ist eine hervorragende Ergnzung von abteilungs
bergreifenden Entwicklungen, wie sie z. B. unter Simultaneous Engineering ablaufen (vgl. F 1.3.5). Voraussetzungen f
r RP ist ein vollstndiges und konsistentes 3 D-CAD-Modell auf einem leistungsfhigen Rechner, die exakte Beherrschung numerischer Steuerungstechnik und die Anwendung von Lasertechnologie sowie die Auswahl geeigneter Materialien f
r das Modell. Als Modellmaterial kommen z. Z. unter Temperatur aushrtbare Kunststoffe in Form von Fl
ssigkeiten, Pulver, Folien, getrnktem Papier oder Strangmaterial in Frage. Entwicklungstrends gehen auch dahin, direkt Metallmodelle zu erzeugen. Allen Verfahren ist gemeinsam, daß aus dem rechnerinternen 3 D-Modell senkrecht zur Herstellebene d
nne Querschnitte

Bild 14. Produktentstehungs- und -verfolgungsprozeß unter Simultaneous Engineering mit mindestens
berlappenden Bereichsaktivitten, Bildung eines Projektteams und engen Kontakten zu Kunden und Zulieferern

I1.4 Gestaltung (Schnitte) abgerufen werden, die von einem Laserstrahl nachgefahren und im jeweiligen Kunststoffmaterial durch Aush
rtung unter Temperatur schichtweise den Krper aufbauen. Je nach Verfahren sind Schichtdicken zwischen 0,05 bis 0,3 mm und Spurbreiten zwischen 0,25 bis 2,5 mm mglich. Die Maßgenauigkeit und Oberfl
chengte des entstandenen Modells reicht an die Qualit
t konventionell gefertigter Verfahren heran. Unter entsprechenden Umst
nden (Festigkeit, Temperatur) kann das Modell auch als Fertigteil eingesetzt werden (vgl. S 5.5 und [40, 41]). 1.3.7 Konstruktionsarten. Types of engineering design Nicht immer ist das Durchlaufen aller Hauptphasen fr das gesamte technische System erforderlich. Vielfach ergibt sich eine Neukonstruktion nur fr bestimmte Baugruppen oder Anlagenteile. In anderen F
llen gengt eine Anpassung an andere Gegebenheiten, ohne das Lsungsprinzip
ndern zu mssen, oder innerhalb eines vorausgedachten Systems nur Abmessungen oder Anordnungen zu variieren. Hieraus leiten sich drei Konstruktionsarten ab, deren Grenzen hinsichtlich der Bearbeitung einer Aufgabe fließend sein knnen: – Neukonstruktion. Erarbeiten eines neuen Lsungsprinzips bei gleicher, ver
nderter oder neuer Aufgabenstellung fr ein System (Anlage, Apparat, Maschine oder Baugruppe). – Anpassungskonstruktion. Anpassen der Gestaltung (Gestalt und Werkstoff) eines bekannten Systems (Lsungsprinzip bleibt gleich) an eine ver
nderte Aufgabenstellung; dabei auch Hinausschieben bisheriger Grenzen. Neukonstruktion einzelner Baugruppen oder -teile oft ntig. – Variantenkonstruktion. Variieren von Grße und/oder Anordnung innerhalb der Grenzen vorausgedachter Systeme. Funktion, Lsungsprinzip und Gestaltung bleiben im wesentlichen erhalten.

1.4 Gestaltung Fundamentals of embodiment design 1.4.1 Grundregeln. Basic rules of embodiment design Die Grundregeln eindeutig, einfach und sicher sind Anweisungen zur Gestaltung und leiten sich aus der generellen Zielsetzung ab (s. F 1.1.5, vgl. auch VDI-Richtlinie 2223: Methodisches Entwerfen technischer Produkte). Eindeutig: Wirkung, Verhalten klar und gut erkennbar voraussagen (Erfllung der technischen Funktion). Einfach: Gestaltung durch wenig zusammengesetzte, bersichtlich gestaltete Formen anstreben und den Fertigungsaufwand klein halten (wirtschaftliche Realisierung). Sicher: Haltbarkeit, Zuverl
ssigkeit, Unfallfreiheit und Umweltschutz beim Gestaltungsvorgang gemeinsam erfassen (Sicherheit fr Mensch und Umgebung). Werden diese Grundregeln bei der Gestaltung zusammen beachtet, ist eine gute Realisierung zu erwarten. Die Verknpfung der Leitlinie (s. Tab. 8) mit den Grundregeln gibt Anregungen fr Fragestellungen und ist eine Hilfe, Wichtiges nicht unbeachtet zu lassen und ein gutes Ergebnis zu erzielen.

F 15

Funktionstr
gern: Welche Teilfunktionen knnen gemeinsam mit nur einem Funktionstr
ger erfllt werden und welche Teilfunktionen mssen mit einem jeweils zugeordneten, also getrennten Funktionstr
ger erfllt werden? Allgemein wird angestrebt, viele Funktionen mit nur wenigen Funktionstr
gern zu verwirklichen. Funktionsanalysen, Schwachstellen- und Fehlersuche knnen jedoch Hinweise geben, ob Einschr
nkungen oder gegenseitige Behinderungen bzw. Strungen entstehen. Das ist meist der Fall, wenn Grenzleistungen angestrebt werden oder das Verhalten des Funktionstr
gers hinsichtlich wichtiger Bedingungen eindeutig und unbeeinflußt bleiben muß. In solchen F
llen ist eine Aufgabenteilung zweckm
ßig, bei der die jeweilige Funktion von einem eigenen darauf abgestimmten Funktionstr
ger erfllt wird. Das Prinzip der Aufgabenteilung, nach dem jeder Funktion ein besonderer Funktionstr
ger zugeordnet wird, ergibt eine bessere Ausnutzung aufgrund eindeutiger Berechenbarkeit (bersichtlichkeit), eine hhere Leistungsf
higkeit durch Erreichen absoluter Grenzen, wenn diese allein maßgebend sind, ein eindeutiges Verhalten im Betrieb (Funktionserfllung, Eigenschaften, Lebensdauer usw.) und einen besseren Fertigungs- und Montageablauf (einfacher, parallel). Von Nachteil ist, daß der bauliche Aufwand meist grßer wird, was eine hhere Wirtschaftlichkeit oder Sicherheit ausgleichen muß. Beispiel: (Bild 15) Gestaltung des Rotorkopfs eines Hubschraubers. – Die Zentrifugalkraft wird allein ber das torsionsnachgiebige Glied Z vom Rotorblatt auf das mittige Herzstck geleitet. Das aus der aerodynamischen Belastung herrhrende Biegemoment wird allein ber Teil B auf die Rollenlager im Rotorkopf abgesttzt. Damit konnte jedes Bauteil seiner Aufgabe entsprechend optimal gestaltet werden. Weitere Beispiele sind die Trennung der Radial- und Axialkraftaufnahme bei Festlagern; die Ausf
hrung von Behltern der Verfahrenstechnik mit austenitischem Futterrohr gegen Korrosion, kombiniert mit einer ferritischen Behlterwand zur Druckaufnahme; Keilriemen mit inneren Zugstrngen zur Zugkraftaufnahme, die in Gummi eingebettet sind und bei denen die Oberflche dieser Schicht einen hohen Reibwert zur Leistungs
bertragung aufweist.

Prinzip der Selbsthilfe Nach diesem Prinzip wird versucht, im System selbst eine sich gegenseitig untersttzende Wirkung zu erzielen, die die Funktion besser zu erfllen und bei berlast Sch
den zu vermeiden hilft. Das Prinzip gewinnt die erforderliche Gesamtwirkung aus einer Ursprungswirkung und einer Hilfswirkung (Beispiel: Bild 16). Gleiche konstruktive Mittel knnen je nach Anordnung selbsthelfend oder selbstschadend wirken. Solange in dem Beh
lter ein gegenber dem Außendruck hherer Druck herrscht, ist die linke Anordnung selbsthelfend. Herrscht dagegen im Beh
lter Unterdruck, ist die linke Anordnung selbstschadend, die rechte selbsthelfend. Man unterscheidet: Selbstverst
rkende Lsungen. Bei Normallast ergibt sich die Hilfswirkung in fester Zuordnung aus der Haupt- oder Ne-

1.4.2 Gestaltungsprinzipien Principles of embodiment design Gestaltungsprinzipien stellen Strategien dar, die nicht total anwendbar sind. Prinzip der Aufgabenteilung Beim Gestalten ergibt sich fr die zu erfllenden Funktionen die Frage nach der zweckm
ßigen Wahl und Zuordnung von

Bild 15. Rotorblattbefestigung eines Hubschraubers nach dem Prinzip der Aufgabenteilung (Bauart Messerschmitt-Blkow)

F

F 16

Grundlagen der Konstruktionstechnik – 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens

Bild 16. Anordnung eines Mannlochdeckels. U Ursprungswirkung, H Hilfswirkung, G Gesamtwirkung, p Innendruck

F

Bild 17 a, b. Lagerabsttzung eines zweistufigen offenen Getriebes nach Leyer. a Extrem falsch, lange Kraftleitungswege, hohe Biegeanteile, schlechte Gußgestaltung; b gute L
sung, Lagerkrfte direkt im Verbund aufgenommen, steife Absttzung mit vorwiegender Zugund Druckbeanspruchung

bengr
ße, wobei sich eine verst
rkende Gesamtwirkung aus Hilfs- und Ursprungswirkung einstellt. Selbstausgleichende L
sungen. Bei Normallast ergibt sich die Hilfswirkung aus einer begleitenden Nebengr
ße in fester Zuordnung zu einer Hauptgr
ße, wobei die Hilfswirkung der Ursprungswirkung entgegenwirkt und damit einen Ausgleich erzielt, der eine h
here Gesamtwirkung erm
glicht. Selbstschtzende L
sungen. Bei berlast ergibt sich die Hilfswirkung aus einem neuen, meist zus
tzlichen Kraftleitungsweg fr die belastende Hauptgr
ße. Das fhrt zu einer Umverteilung und anderen Beanspruchungsart, bei der die betreffenden Teile tragfhiger sind. Prinzipien der Kraft- und Energieleitung

Bild 18 a, b. Welle-Nabe-Verbindung. a Mit starker Kraftflußumlenkung, hier entgegengerichtete Torsionsverformung bei A zwischen Welle und Nabe (y Verdrehwinkel); b mit allmhlicher Kraftflußumlenkung, hier gleichgerichtete Torsionsverformung ber der ganzen Nabenlnge (y Verdrehwinkel)

Kraftleitung soll das Leiten von Biege- und Drehmomenten einschließen. Sie ist von Verformungen begleitet. Kraftflußgerechte Gestaltung. Der Kraftfluß ist eine physikalisch nicht begrndbare, aber anschauliche Vorstellung fr das Leiten von Krften. Im Querschnitt des betrachteten Bauteils stellt man sich die hindurch geleiteten Krfte und Momente als Fluß vor. Aus diesem Modell werden folgende prinzipiellen Forderungen fr eine kraftflußgerechte Gestaltung abgeleitet: Der Kraftfluß muß stets geschlossen sein (actio = reactio), scharfe Umlenkungen des Kraftflusses und schroffe nderungen der Kraftflußdichte infolge bergangsloser Querschnittsnderungen sind zu vermeiden (Auftreten von Kerbwirkung). Prinzip der gleichen Gestaltfestigkeit. Gleiche Ausnutzung der Festigkeit durch geeignete Wahl von Werkstoff und Form anstreben, sofern wirtschaftliche Grnde nicht dagegen sprechen (s. C 2 Tab. 3 und E 1.5). Prinzip der direkten und kurzen Kraftleitung. Krfte und Momente sind von einer Stelle zu einer anderen bei m
glichst geringem Werkstoffaufwand zu leiten. Kleine Verformung fordert kurzen und direkten Weg sowie m
glichst nur Zugund Druckbeanspruchung in den beteiligten Bauteilen (Beispiel: Bild 17). Große elastische Verformung fordert lange Kraftleitungswege sowie vorzugsweise Biege- und/oder Torsionsbeanspruchung (Beispiele: Schraubendruckfeder, Rohrleitung mit biege- und torsionsbeanspruchten Ausgleichsb
gen). Prinzip der abgestimmten Verformung. Die beteiligten Komponenten sind so zu gestalten, daß unter Last eine weitgehende Anpassung mit gleichgerichteter Verformung bei m
glichst kleiner Relativverformung entsteht. Ziel ist es, Spannungsberh
hungen und Reibkorrosion zu vermeiden oder zu mildern sowie Funktionsst
rungen infolge Verformungen zu beseitigen. Durch Lage, Form, Abmessung und Werkstoffwahl (E-Modul) kann eine Abstimmung erreicht werden (Bild 18).

Prinzip des Kraftausgleichs. Funktionsbedingte Hauptgr
ßen wie aufzunehmende Last, Antriebsmoment und Umfangskraft sind hufig mit begleitenden Nebengr
ßen wie Axialschub, Spann-, Massen- und Str
mungskrften in fester Zuordnung verbunden. Diese Nebengr
ßen belasten die Kraftleitungszonen zustzlich und k
nnen eine entsprechend aufwendigere Auslegung erfordern. Nach dem Prinzip des Kraftausgleichs werden Ausgleichelemente bei vorwiegend relativ mittleren Krften und symmetrische Anordnung bei vorwiegend relativ großen Krften empfohlen (Bild 19). Prinzipien der Sicherheitstechnik Nach DIN 31 000 unterscheidet man zwischen unmittelbarer, mittelbarer und hinweisender Sicherheitstechnik. Grundstzlich wird die unmittelbare Sicherheit angestrebt, bei der von vornherein und aus sich heraus keine Gefhrdung besteht. Dann folgt die mittelbare Sicherheit mit dem Aufbau von Schutzsystemen und der Anordnung von Schutzeinrichtungen. Eine hinweisende Sicherheitstechnik, die nur vor Gefahren warnen und den Gefhrdungsbereich kenntlich machen kann, l
st kein Sicherheitsproblem. Das Prinzip der Aufgabenteilung (s. F 1.4.2) und die Grundregel „eindeutig“ (s. F 1.4.1) tragen zum Erreichen eines sicheren Verhaltens bei. Prinzip des sicheren Bestehens (safe-life-Verhalten). Es geht davon aus, daß alle Bauteile und ihr Zusammenhang die vorgesehene Einsatzzeit bei allen wahrscheinlichen oder m
glichen Vorkommnissen ohne ein Versagen oder eine St
rung berstehen. Prinzip des beschrnkten Versagens (fail-safe-Verhalten). Es lßt whrend der Einsatzzeit eine Funktionsst
rung und/ oder einen Bruch zu, ohne daß es dabei zu schwerwiegenden Folgen kommen darf. In diesem Fall muß – eine wenn auch eingeschrnkte Funktion oder Fhigkeit erhalten bleiben, die einen gefhrlichen Zustand vermeidet,

I1.4 Gestaltung

F 17

F

Bild 19. Grunds
tzliche Lsungen fr Kraftausgleich am Beispiel einer Strmungsmaschine, eines Getriebes und einer Kupplung

– die eingeschr
nkte Funktion vom versagenden Teil oder einem anderen bernommen und solange ausgebt werden, bis die Anlage oder Maschine gefahrlos außer Betrieb genommen werden kann, – der Fehler oder das Versagen erkennbar werden, – die Versagensstelle ein Beurteilen ihres fr die Gesamtsicherheit maßgebenden Zustands ermglichen. Prinzip der Mehrfach- oder redundanten Anordnung. Es bedeutet eine Erhhung der Sicherheit, solange das ausfallende Systemelement von sich aus keine Gef
hrdung hervorruft und die parallel oder in Serie angeordneten Systemelemente die volle oder wenigstens eingeschr
nkte Funktion bernehmen. Bei aktiver Redundanz (Bild 20) beteiligen sich alle Systemelemente aktiv an der Aufgabe, bei passiver Redundanz stehen sie in Reserve, und ihre Aktivierung macht einen Schaltungsvorgang ntig. Prinzipredundanz liegt vor, wenn die Funktion gleich, aber das Wirkprinzip unterschiedlich ist. Die Systemelemente selbst mssen aber einem der vorstehenden Prinzipien folgen. Mittelbare Sicherheit. Zur mittelbaren Sicherheitstechnik gehren Schutzsysteme und Schutzeinrichtungen [43]. Letztere dienen zur Sicherung von Gefahrenstellen (z. B. Verkleidung, Verdeckung, Umwehrung) im Zusammenhang mit der Arbeitssicherheit (s. F 1.4.3). Schutzsysteme dienen dazu, eine Anlage oder Maschine bei Gefahr selbstt
tig aus dem Gefahrenzustand zu bringen, den Energie- bzw. Stofffluß zu begrenzen oder bei Vorliegen eines Gefahrenzustands das Inbetriebnehmen zu verhindern. Zur Auslegung von Schutzsystemen sind folgende Forderungen zu beachten: – Warnung oder Meldung. Bevor ein Schutzsystem eine nderung des Betriebszustands einleitet, ist eine Warnung zu geben, damit seitens der Bedienung und berwachung wenn mglich noch eine Beseitigung des Gefahrenzustands, wenigstens aber notwendige Folgemaßnahmen, ein-

geleitet werden knnen. Wenn ein Schutzsystem eine Inbetriebnahme verhindert, soll es den Grund der Verhinderung anzeigen. – Selbst
berwachung. Ein Schutzsystem muß sich hinsichtlich seiner steten Verfgbarkeit selbst berwachen, d. h., nicht nur der eintretende Gefahrenfall, gegen den geschtzt werden soll, hat das System zum Auslsen zu bringen, sondern auch ein Fehler im Schutzsystem selbst. Am besten stellt das Ruhestromprinzip diese Forderung sicher, weil in einem solchen System stets Energie zur Sicherheitsbet
ti-

Bild 20. Redundante Anordnungen (Schaltungen von Systemelementen)

F 18

–

–

F – –

Grundlagen der Konstruktionstechnik – 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens

gung gespeichert ist und eine St
rung bzw. ein Fehler im System diese Energie zur Schutzausl
sung freigibt und dabei die Maschine oder Anlage abschaltet. Das Ruhestromprinzip kann nicht nur in elektrischen Schutzsystemen, sondern auch in Systemen anderer Energiearten angewandt werden. Mehrfache, prinzipverschiedene und unabh
ngige Schutzsysteme. Sind Menschenleben in Gefahr oder Schden gr
ßeren Ausmaßes zu erwarten, mssen die Schutzsysteme mindestens zweifach, prinzipverschieden und unabhngig voneinander vorgesehen werden (primrer und sekundrer Schutzkreis). Bistabilit
t. Schutzsysteme mssen auf einen definierten Ansprechwert ausgelegt werden. Die Ausl
sung hat unverzglich zu erfolgen, ohne daß ein Verharren in Zwischenzustnden auftritt. Wiederanlaufsperre. Anlagen drfen nach Beseitigen einer Gefahr nicht von selbst wieder in Betrieb gehen. Sie bedrfen einer neuen geordneten Inbetriebsetzung. Prfbarkeit. Schutzsysteme mssen prfbar sein. Dabei muß die Schutzfunktion erhalten bleiben.

1.4.3 Gestaltungsrichtlinien Guidelines for embodiment design Die Gestaltungsrichtlinien ergeben sich aus den allgemeinen Bedingungen (s. F 1.1.5 u. F 1.1.6), aus der Leitlinie beim Gestalten (s. Tab. 8) und nicht zuletzt aus den Gesetzmßigkeiten und Aussagen im Zusammenhang mit den Maschinenelementen (s. G). Beanspruchungsgerecht Zu beachten sind die Aussagen der Festigkeitslehre (s. C), der Werkstofftechnik (s. E 1) und die Prinzipien der Kraftleitung (s. F 1.4.2). In Bau- und Anlageteilen ist eine m
glichst hohe und gleichmßige Ausnutzung anzustreben (Prinzip der gleichen Gestaltfestigkeit), sofern wirtschaftliche Grnde nicht dagegen sprechen. Unter Ausnutzung wird das Verhltnis berechnete zu zulssige Beanspruchung verstanden. Form
nderungsgerecht Beanspruchungen sind stets von mehr oder weniger großen Formnderungen begleitet (s. F 1.4.2). Form
nderungen k
nnen auch aus funktionellen Grnden begrenzt sein (z. B. begrenzte Wellendurchbiegung bei Getrieben, Elektromotoren oder Str
mungsmaschinen). Im Betriebszustand drfen Formnderungen nicht zu Funktionsst
rungen fhren, da sonst Eindeutigkeit des Kraftflusses oder der Ausdehnung nicht mehr sichergestellt sind und berlastungen bzw. Bruch die Folge sein k
nnen. Zu beachten sind die die Beanspruchung begleitenden Verformungen und gegebenenfalls auch die aus der Querdehnung (Querkontraktion) sich ergebenden Betrge sowie das Prinzip der abgestimmten Verformung (s. F 1.4.2). Stabilit
ts- und resonanzgerecht Mit Stabilit
t werden alle Probleme der Standsicherheit und Kippgefahr sowie der Knick- und Beulgefahr (s. C 7) aber auch die des stabilen Betriebs einer Maschine oder Anlage angesprochen. St
rungen sollen durch ein stabiles Verhalten, d. h. selbstttige Rckkehr in die Ausgangs- bzw. Normallage, vermieden werden. Es ist darauf zu achten, daß indifferentes oder gar labiles Verhalten St
rungen nicht verstrkt, aufschaukelt oder sie außer Kontrolle bringt. Resonanzen haben erh
hte, nicht sicher abschtzbare Beanspruchungen zur Folge. Sie sind daher zu vermeiden, wenn die Ausschlge nicht hinreichend gedmpft werden k
nnen (s. B 4). Dabei soll nicht nur an die Festigkeitsprobleme gedacht werden, sondern auch an Begleiterscheinungen wie Gerusche und Schwingungsausschlge.

Ausdehnungsgerecht Maschinen, Apparate und Gerte arbeiten nur ordnungsgemß, wenn der Effekt der Ausdehnung bercksichtigt worden ist. Ausdehnung von Bauteilen. Die Ausdehnungszahl ist als Mittelwert ber den jeweils durchlaufenden Temperaturbereich zu verstehen; sie ist werkstoff- und temperaturabhngig (s. D 6.3.1). Die Ausdehnung der Bauteile hngt ab von der Lngenausdehnungszahl b, der betrachteten Lnge l des Bauteils und der mittleren Temperaturnderung DJm dieser Lnge. Die Ausdehnung hat Gestaltungsmaßnahmen zur Folge. Jedes Bauteil muß in seiner Lage eindeutig festgelegt werden und darf nur so viele Freiheitsgrade erhalten, wie es zur ordnungsgemßen Funktionserfllung ben
tigt. Im allgemeinen bestimmt man einen Festpunkt und ordnet dann fr die gewnschten Bewegungsrichtungen entsprechende Fhrungen an. Diese drfen nur einen Freiheitsgrad haben; sie sind auf einem Strahl durch den Festpunkt anzuordnen, wobei der Strahl Symmetrielinie des Verzerrungszustands sein muß. Der Verzerrungszustand kann durch die Ausdehnung sowie von last- und temperaturabhngigen Spannungen hervorgerufen werden. Da Spannungs- und Temperaturverteilung auch von der Form des Bauteils abhngen, ist die Symmetrielinie des Verzerrungszustands zunchst auf der Symmetrielinie des Bauteils und der des aufgeprgten Temperaturfelds zu suchen. Relativausdehnung zwischen Bauteilen. Sie ergibt sich aus dRel ¼ b1 l1 DJm1ðtÞ
b2 l2 DJm2ðtÞ . Station
re Relativausdehnung. Ist die jeweilige mittlere Temperaturdifferenz zeitlich unabhngig, konzentrieren sich die Maßnahmen bei gleichen Lngenausdehnungszahlen auf ein Angleichen der Temperaturen und/oder bei unterschiedlichen Temperaturen auf ein Anpassen mittels Wahl von Werkstoffen unterschiedlicher Ausdehnungszahlen. Instation
re Relativausdehnung. ndert sich der Temperaturverlauf mit der Zeit (z. B. bei Aufheiz- oder Abkhlvorgngen), ergibt sich oft eine Relativausdehnung, die viel gr
ßer ist als im stationren Endzustand, weil die Temperaturen in den einzelnen Bauteilen sehr unterschiedlich sein k
nnen. Fr den hufigen Fall, Bauteile gleicher Lnge und gleicher Ausdehnungszahl, gilt dRel ¼ blðDJm1ðtÞ
DJm2ðtÞ Þ. Die Erwrmungskurve ist in ihrem zeitlichen Verlauf durch die Aufheizzeitkonstante charakterisiert. Betrachtet man beispielsweise die Erwrmung DJm eines Bauteils bei einem pl
tzlichen Temperaturanstieg DJ des aufheizenden Mediums, so ergibt sich unter der allerdings groben Annahme, daß Oberflchen- und mittlere Bauteiltemperatur gleich seien, was praktisch nur fr relativ dnne Wanddicken und hohe Wrmeleitzahlen annhernd zutrifft, der in Bild 21 gezeigte Verlauf, der der Beziehung DJm ¼ DJð1
e
t=T Þ folgt. Hierbei bedeutet t die Zeit und T die Zeitkonstante mit T ¼ cm=ða AÞ; c spezifische Wrme des Bauteilwerkstoffs, m ¼ rV Masse des Bauteils, a Wrmebergangszahl an der beheizten Oberflche des Bauteils, A beheizte Oberflche am Bauteil. Bei unterschiedlichen Zeitkonstanten der Bauteile 1 und 2 ergeben sich verschiedene Temperaturverlufe, die zu einer bestimmten kritischen Zeit eine gr
ßte Differenz haben. Wenn es gelingt, die Zeitkonstanten der beteiligten Bauteile gleich groß zu machen, findet eine Relativausdehnung nicht statt. Zur Annherung der Zeitkonstanten bieten sich konstruktiv zwei Wege an: die Angleichung der Verhltnisse V/A (Volumen zur beheizten Oberflche) oder die Korrektur ber die Beeinflussung der Wrmebergangszahl a mit Hilfe von z. B. Schutzhemden oder anderen Anstr
mungsgeschwindigkeiten.

I1.4 Gestaltung

F 19

– Spannungsrißkorrosion: empfindliche Werkstoffe vermeiden; Zugspannung an der angegriffenen Oberflche massiv herabsetzen oder ganz vermeiden; Druckspannung in die Oberflche einbringen (z. B. Schrumpfbandagen, vorgespannte Mehrschalenbauweise, Kugelstrahlen); Eigenzugspannungen durch Spannungsarmgl
hen abbauen; kathodisch wirkende berz
ge aufbringen; Agenzien vermeiden oder mildern durch Erniedrigung der Konzentration und der Temperatur. Bild 21. Zeitliche Temperaturnderung bei einem Temperatursprung DJ des aufheizenden Mediums in zwei Bauteilen mit unterschiedlicher Zeitkonstante

Generell ist so zu gestalten, daß auch unter Korrosionsangriff eine mglichst lange und gleiche Lebensdauer aller beteiligten Komponenten erreicht wird. Lßt sich diese Forderung mit entsprechender Werkstoffwahl und Auslegung wirtschaftlich nicht erreichen, muß so konstruiert werden, daß die besonders korrosionsgefhrdeten Zonen und Bauteile
berwacht und ausgewechselt werden knnen [46].

Korrosionsgerecht

Verschleißgerecht

Korrosionserscheinungen lassen sich nicht vermeiden, sondern nur mindern, weil die Ursache f
r die Korrosion nicht beseitigt werden kann. Die Verwendung korrosionsfreier Werkstoffe ist oft unwirtschaftlich. Korrosionserscheinungen ist mit einem entsprechenden Konzept und zweckmßigerer Gestaltung entgegenzuwirken. Die Maßnahmen hngen von der Art der Korrosionserscheinungen ab (s. E 6 und [44, 45]).

Unter Verschleiß versteht man das unerw
nschte Lsen von Teilchen infolge mechanischer Ursachen, wobei auch chemische Effekte beteiligt sein knnen (s. E 5.4). Ebenso wie Korrosion ist Verschleiß nicht immer vermeidbar. Aus konstruktiver Sicht sind Verschleißerscheinungen immer als Ergebnis eines tribologischen Systems zu sehen, das sich aus den die Funktion erf
llenden Elementen, deren Eigenschaften und ihrer Umgebung sowie der gewhlten Zwischenschichten (Schmiermittel) als Wechselwirkung ergibt. Daraus folgt, daß allein die Wahl des Schmierstoffs nicht ausreichend sein kann, sondern stets konstruktive Merkmale entscheidend das Geschehen bestimmen. Dementsprechend ist zunchst zu sorgen f
r: – eine ertragbare, eindeutige und rtlich gleichm
ßige Beanspruchung (u. a. mittels elastisch nachgiebiger oder sich selbst einstellender Elemente), – eine einen Schmierfilm aufbauende oder unterst
tzende Bewegung der Kontaktflchen, – eine auch unter Temperatur- oder sonstigen Einfl
ssen definiert erhalten bleibende Geometrie der Bauteile (z. B. Spaltgeometrie, Einlaufzone), – eine funktionsgerechte Oberfl
che (Gestalt und Rauhigkeit), die sich auch whrend des Verschleißvorgangs nicht grundstzlich verschlechtert, – eine zweckmßige Werkstoffwahl, die aufgrund der Paarung adhsiven oder abrasiven Verschleiß mildert.

Ebenm
ßig abtragende Korrosion. Ursache und Erscheinung: Auftreten von Feuchtigkeit (schwach basischer oder saurer Elektrolyt) unter gleichzeitiger Anwesenheit von Sauerstoff aus der Luft oder dem Medium, insbesondere Taupunktunterschreitung. Weitgehend gleichmßig abtragende Korrosion an der Oberflche (bei Stahl z. B. etwa 0,1 mm/ Jahr in normaler Atmosphre). Abhilfe: Wanddickenzuschlag und Werkstoff; Verfahrensf
hrung, die Korrosion vermeidet bzw. wirtschaftlich tragbar macht; kleine und glatte Oberflchen mit einem Maximum des Verhltnisses Inhalt zu Oberflche; keine Feuchtigkeitssammelstellen; keine unterschiedlichen Temperaturen, also gute Isolierung und Verhinderung von Wrme- bzw. Kltebr
cken. Lokal angreifende Korrosion. Sie ist besonders gefhrlich, weil sie eine sehr große Kerbwirkung zur Folge hat und oft nicht leicht vorhersehbar ist. Korrosionsarten: Spaltkorrosion, Kontaktkorrosion, Schwingungsrißkorrosion, Spannungsrißkorrosion. Ursachen und Abhilfe s. E 6 und [44, 45]. Folgende Maßnahmen helfen bei – Spaltkorrosion: glatte, spaltenlose Oberflchen auch an bergangsstellen; Schweißnhte ohne verbleibenden Wurzelspalt, Stumpfnhte oder durchgeschweißte Kehlnhte vorsehen; Spalt abdichten, Feuchtigkeitsschutz durch Muffen oder berz
ge; Spalte so groß machen, daß infolge Durchstrmung oder Austausch keine Anreicherung mglich ist. – Kontaktkorrosion: Metallkombinationen mit geringem Potentialunterschied und daher kleinem Kontaktkorrosionsstrom verwenden; Einwirkung des Elektrolyten auf die Kontaktstelle verhindern, indem die beiden Metalle rtlich isoliert werden; Elektrolyt
berhaupt vermeiden; notfalls gesteuerte Korrosion durch gezielten Abtrag an elektrochemisch noch unedlerem „Freßmaterial“, sogenannten Opferanoden, vorsehen. – Schwingungsrißkorrosion: mechanische oder thermische Wechselbeanspruchung klein halten, Resonanzerscheinungen vermeiden; Spannungs
berhhung infolge von Kerben vermeiden; Druckvorspannung durch Kugelstrahlen, Prgepolieren, Nitrieren usw. erhhen (lngere Lebensdauer); korrosives Medium (Elektrolyt) fernhalten; Oberflchenschutz
berz
ge (z. B. Gummierung, Einbrennlackierung, galvanische berz
ge mit Druckspannung) vorsehen.

Folgende Abhilfemaßnahmen knnen f
r die in E 5.4 und [46] behandelten Grundmechanismen (Verschleißarten) zweckmßig sein: – Adh
siver Verschleiß. Die Wahl anderer Werkstoffe und das Einbringen andersartiger Zwischenschichten (z. B. Feststoffschmierstoffe) bringen grundstzlich Abhilfe. – Abrasiver Verschleiß. Hrte des weicheren Partners erhhen (z. B. Nitrieren, Hartmetallauflage [47]). – Ermdungsverschleiß. rtliche Beanspruchung mindern, verteilen. – Schichtverschleiß. Da dieser Vorgang in der Regel bei funktionell nicht schdlichen Verschleißvorgngen in der sogenannten Tieflage entsteht (Abtrag pro Zeit- oder Wegeinheit gering), ist er solange ertragbar, bis die Bauteildicke z. B. den Festigkeitsanforderungen nicht mehr gen
gt. – Reibkorrosion. Dieser Vorgang ist komplexer Natur (mechanisch-chemisch) und f
hrt zur Absonderung harter Oxidationsprodukte, die die Funktion gefhrden, whrend die Scheuerstelle selbst unter vielfach schdlicher Kerbwirkung leidet. Abhilfe: Vermeiden von Relativbewegungen an F
gestellen durch Verstrken des Bauteils, andere Lastein- und -ableitung, Entlastungsnuten.

F

F 20

Grundlagen der Konstruktionstechnik – 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens

Arbeitssicherheits- und ergonomiegerecht

F

Arbeitssicherheitstechnische Gestaltung. Der arbeitende Mensch und seine Umgebung sind vor sch
dlichen Einwirkungen zu schtzen. DIN 31 000 weist auf Grundforderungen fr sicherheitsgerechtes Gestalten technischer Erzeugnisse hin. DIN 31 001 Teil 1, 2 und 10 gibt Anweisungen fr Schutzeinrichtungen. Vorschriften der Berufsgenossenschaften, der Gewerbeaufsichts
mter und der Technischen berwachungsvereine sind branchen- und produktabh
ngig zu befolgen. Aber auch das Ger
tesicherheitsgesetz verpflichtet den Konstrukteur zum verantwortungsvollen Handeln. In einer allgemeinen Verwaltungsvorschrift sowie Verzeichnissen zu diesem Gesetz sind inl
ndische Normen und sonstige Regeln bzw. Vorschriften mit sicherheitstechnischem Inhalt zusammengestellt [48, 49]. Der mgliche Unverstand und die Ermdung des Menschen mssen ebenfalls bercksichtigt werden. Tab. 9 gibt Mindestanforderungen fr eine arbeitssichere Gestaltung mechanischer Gebilde an. Ergonomiegerecht. Die VDI-Richtlinie 2242 [50] gibt Anleitung zum Konstruieren ergonomiegerechter Erzeugnisse. Sie greift dabei auf Suchlisten fr Objekte und Wirkungen zurck und verweist auf die entsprechende Literatur. Auszugsweise knnen nur einige fr den Konstrukteur wichtige Hinweise gegeben werden: krpergerechte Bedienung und Handhabung s. DIN 33 400 bis DIN 33 402 sowie [51, 52], Beleuchtung am Arbeitsplatz s. [53], Klima am Arbeitsplatz s. DIN 33 403, berwachungs- und Steuerungst
tigkeiten s. DIN 3304, 33 413, 33 414 und [54], L
rmreduzierung s. [55, 56].

Fertigungsgerechte Baustruktur. Sie kann unter den Gesichtspunkten einer Differential-, Integral- und Verbundbauweise vorgenommen werden. Unter Differentialbauweise wird die Auflsung eines Einzelteils (Tr
ger einer oder mehrerer Funktionen) in mehrere fertigungstechnisch gnstige Werkstcke verstanden. Unter Integralbauweise wird das Vereinigen mehrere Einzelteile zu einem Werkstck verstanden. Typische Beispiele hierfr sind Guß- statt Schweißkonstruktionen, Strangpreß- statt gefgter Normprofile sowie angeschmiedete statt gefgte Flansche. Unter Verbundbauweise soll verstanden werden die unlsbare Verbindung mehrerer unterschiedlich gefertigter Rohteile zu einem weiter zu bearbeitenden Werkstck (z. B. die Verbindung urgeformter und umgeformter Teile), die gleichzeitige Anwendung mehrerer Fgeverfahren zur Verbindung von Werkstcken und die Kombination mehrerer Werkstoffe zur optimalen Nutzung ihrer Eigenschaften. Beispiele sind die Kombination von Stahlgußstcken mit Schweißkonstruktionen sowie Gummi-Metallelemente. Fertigungsgerechte Werkst
ckgestaltung. Sie beeinflußt die Form, Abmessungen, Oberfl
chenqualit
t, Toleranzen und Fgepassungen, Fertigungsverfahren, Werkzeuge und Qualit
tskontrollen. Ziel der Werkstckgestaltung ist es, unter Beachten der verschiedenen Fertigungsverfahren mit ihren einzelnen Verfahrensschritten den Aufwand in der Fertigung zu verringern und die Qualit
t des Werkstcks zu verbessern. Vgl.: Urformen s. S 2, Umformen s. S 3, Fgen s. G 1 und Trennen s. S 4. Montagegerecht

Fertigungs- und kontrollgerecht

Entscheidend ist eine montagegerechte Baustruktur, montagegerechte Gestaltung der Fgestellen und Fgeteile [61], wobei die automatische Montage an Bedeutung gewinnt (s. S 6). Bei der Montage lassen sich folgende Teiloperationen in unterschiedlicher Vollst
ndigkeit, Reihenfolge und H
ufigkeit erkennen [58–60]: Speichern – Werkstck handhaben (Erkennen, Ergreifen, Bewegen) – Positionieren – Fgen – Einstellen (Justieren) – Sichern – Kontrollieren.

Beim Entwerfen und Ausarbeiten ist sowohl auf eine fertigungsgerechte Baustruktur als auch auf eine fertigungs- und kontrollgerechte Werkstckgestaltung zu achten, die mit einer auf die Fertigung abgestimmten Werkstoffwahl einhergeht.

Allgemeine Richtlinien zur Montage. Anzustreben sind einheitliche Montagearten, wenige, einfache und zwangsl
ufige Montageoperationen sowie parallele Montagen von Baugruppen.

Formgebungsgerecht In der VDI-Richtlinie 2224 (mit instruktiven Bildbeispielen) sind Empfehlungen fr den Konstrukteur zur Formgebung technischer Erzeugnisse zusammengestellt [57]. Außerdem ist in [61] eine systematische Betrachtung zu Form, Farbe und Graphik unter Verwendung von [62] zu finden.

Verbesserung einzelner Montageoperationen Tabelle 9. Allgemeine Mindestanforderungen der Arbeitssicherheit bei mechanischen Gebilden

Speichern wird durch stapelbare Werkstcke mit ausreichenden Auflagefl
chen und Konturen zur eindeutigen Lageorientierung bei nichtsymmetrischen Teilen erleichert. Werkstck handhaben. Beim Erkennen ist ein Verwechseln
hnlicher Teile auszuschließen. Das einwandfreie und sichere Ergreifen ist besonders fr automatische Montageverfahren wichtig. Grunds
tzlich sind beim Bewegen kurze Wege anzustreben, ergonomische Erkenntnisse und Sicherheitsaspekte zu beachten sowie eine einfache Handhabung der Werkstcke zu gew
hrleisten. Positionieren. Gnstig ist, Symmetrie anzustreben, wenn keine Vorzugslage gefordert wird (bei geforderter Vorzugslage ist diese durch die Form zu kennzeichnen), das selbstt
tige Ausrichten der Fgeteile zu erzwingen oder, wenn das nicht mglich ist, einstellbare Verbindungen vorzusehen. Fgen. Oft zu lsende Fgestellen (z. B. zum Austausch von Verschleißteilen) mit leicht lsbaren Verbindungen ausrsten. Fr selten oder nach der Erstmontage berhaupt nicht mehr zu lsende Fgestellen knnen aufwendig lsbare Verbindungen vorgesehen werden. Gleichzeitiges Verbinden und Positionieren ist anzustreben. Zum Ermglichen wirtschaftlich vertretbarer Toleranzen ist ein Toleranzausgleich von Werkstcken mit hoher Federsteifigkeit mittels federnder Zwi-

I1.4 Gestaltung schenelemente oder Ausgleichst
cke vorzusehen (toleranzgerecht). Das Einf
gen, d. h. Einf
hren eines Teils zu den F
geflchen, wird erleichtert durch gute Zugnglichkeit f
r Montagewerkzeuge, Sichtkontrollen, einfache Bewegungen an den F
geflchen, Vorsehen von Einf
hrungserleichterungen, Vermeiden gleichzeitiger F
geoperationen und Vermeiden von Doppelpassungen. Einstellen. Feinf
hliges, reproduzierbares Einstellen ermglichen. R
ckwirkung auf andere Einstelloperationen vermeiden. Einstellergebnis meß- und kontrollierbar machen. Sichern. Gegen selbstndiges Verndern ist anzustreben, selbstsichernde Verbindungen zu whlen oder form- bzw. stoffschl
ssige Zusatzsicherungen vorzusehen, die ohne großen Aufwand montierbar sind. Kontrollieren. Mit gestalterischen Maßnahmen ist eine einfache Kontrolle (Messen) der funktionsbedingten Forderungen zu ermglichen. Kontrollieren und weitere Einstellungen m
ssen ohne Demontage bereits montierter Teile durchf
hrbar sein. Gebrauchs- und instandhaltungsgerecht Die Gestaltung hat auf die Erfordernisse des Betriebs und der Instandhaltung, die sich in Wartung, Inspektion und Instandsetzung gliedert, R
cksicht zu nehmen. Generell soll der Gebrauch oder die Inbetriebnahme sicher und einfach mglich sein. Betriebsergebnisse in Form von Meldungen, berwachungsdaten und Meßgrßen sollen
bersichtlich anfallen. Der Betrieb darf keine gravierende Belstigung der Umgebung verursachen. Wartungen sollen einfach und kontrollierbar durchgef
hrt werden knnen, Inspektionen m
ssen kritische Zustnde erkennen lassen, und die Instandsetzung soll mglichst ohne zeitraubende Montageoperationen mglich sein. Recyclinggerecht Der Einsparung und Wiedergewinnung von Rohstoffen kommt zunehmende Bedeutung zu. VDI-Richtlinie 2243 [63] weist auf Verfahren zum Recycling hin und gibt konstruktive Hinweise: Wirtschaftliche Demontage, leichte Werkstofftrennung, geeignete vertrgliche Werkstoffwahl und -kennzeichnung. 1.4.4 Faserverbundbauweisen Fibre reinforced construction methods (composites) M. Flemming, Niederrohrdorf und G. Ziegmann, Clausthal-Zellerfeld Definitionen

F 21

Integralbauweise. Die Integralbauweise ist von dem Bestreben geprgt, mglichst viele Strukturelemente einer Baugruppe in einem einzigen Fertigungsvorgang herzustellen. Die Anzahl der Einzelteile und die Anzahl der F
gungen und damit die Montagekosten werden durch diese Bauweise drastisch reduziert. Die Aufwendungen f
r Werkzeuge, aber auch die Fertigungsvorgnge werden aufwendiger und teurer [64, 73]. Diese durch Gestalten neuer Fertigungs- und Werkzeugkonzepte zu optimieren ist eine der wichtigsten Aufgaben moderner Konstruktionstechnik. Die Integralbauweise setzt sich mit Hilfe neuer computergesteuerter Fertigungstechniken immer mehr durch. Beispiele siehe [64, 73]. Mischbauweise. Große komplexe Strukturen bestehen in den wenigsten Fllen aus nur einer Bauweise, sie stellen eine Mischung von Differential- und Integralbauweise dar. Sandwichbauweise. Eine Sandwichstruktur besteht aus hochsteifen und hochfesten Deckschichten, die mit einem schubsteifen Kern verbunden sind. Durch konstruktive Maßnahmen knnen beispielsweise folgende Eigenschaften kombiniert werden: Hohe Steifigkeit, geringes Gewicht, Wrme- und Schalldmmung, Schlag- und Splitterschutz, Brandschutz. Als Kernmaterial werden Schume, Waben und sulenfrmige Abstandhalter verwendet [64, 70]. Bei den Sandwichbauweisen unterscheidet man in der Faserverbundtechnik grundstzlich auch in Differential- und Integralbauweise. Bild 22 zeigt eine Waggonstruktur [65, 73] in FaserverbundSandwichbauweise. Als Fertigungsverfahren wurde die Wikkeltechnik verwendet, ein hochautomatisiertes Fertigungsverfahren f
r Faserverbunde [73, 80, 81]. Passive und aktive Bauweisen. Bei der passiven Bauweise sind die Eigenschaften der Struktur nach der Fertigung fest definiert. Es sind die aus Material und Konstruktion unvernderlich entstandenen Kennwerte wie z. B. Steifigkeit, Festigkeit, Wrmeausdehnung, Crashverhalten. Die aktiven Bauweisen sind dadurch gekennzeichnet, daß bei der Konstruktion und Fertigung Funktionsmglichkeiten, z. B. Aktuator-Sensorwerkstoffe, integriert werden, mit denen man weitere Eigenschaften auslsen kann [66], z. B. Bewegungen, Verformungen. Faserverbunde eignen sich wegen ihres schichtweisen Aufbaus hierf
r besonders gut (Bild 23). Gestaltungsgrundlagen Schichtverbunde. Faserverbundstrukturen mit gerichteten langen Fasern sind schichtweise aufgebaut (Bild 24). Das unterscheidet sie bez
glich der Berechnung, der Konstruktion

Der Begriff Bauweisen [64] erstreckt sich auf das optimierte Zusammenwirken der f
r die Entwicklung eines Bauteils oder eines Systems erforderlichen Fachdisziplinen wie:  Werkstoffe, Werkstoffverbunde,  Entwicklung und Konstruktion,  Berechnung und Auslegung,  Fertigungsverfahren,  Umwelt-Aspekte,  Kosten/Nutzen-Aspekte. Diese Kombination macht deutlich, daß in vielen Entwicklungen die einzelnen Fachdisziplinen nicht aufteilbar sind, d. h. interdisziplinr wirken m
ssen. Bei den Metall- und Faserverbundbauweisen unterscheidet man: Differentialbauweise. Bei der Differentialbauweise wird eine Struktur in einzelne, meist einfach zu fertigende Bauelemente aufgeteilt, die in anschließenden Montageschritten durch F
gevorgnge zur Gesamtstruktur zusammengesetzt werden. Die Fertigungskosten zur Herstellung der einzelnen Komponenten sind meist gering, der Aufwand f
r die Montage der Einzelteile zur Gesamtstruktur ist hoch (s. F 1.4.3) [64, 73].

Bild 22. Prinzipieller Aufbau der gewickelten Sandwichrhre eines Waggons (Schindler). 1 Ringspant, 2 innere Laminatschicht, 3 innerer Schaumkern, 4 mittlere Laminatschicht, 5 ußerer Schaumkern, 6 ußere Laminatschicht, 7 Fensterrahmen, 8 Wandkanal, 9 Deckenkanal

F

F 22

Grundlagen der Konstruktionstechnik – 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens

F Bild 25. Versagensarten

Bild 23. Integration aktiver Elemente in Faserverbunde [66]. 1 Druckplatte, 2 Maske mit Ausschnitt, 3 Kupferfolie, 4 Aluminiumfolie, 5 aktives Element, 6 Isolation, 7 0 /90  Schicht, 8 +45 /– 45  Schicht, 9 –45 /+45  Schicht, 10 90 /0  Schicht, 11 Druckplatte

Bild 24. Schematische Darstellung der Faserschichten

und der Fertigung wesentlich von den Metallen. Die Schichten bestehen aus zwei Werkstoffen: den Fasern – meist Glas-, Synthese- oder Kohlefasern – und dem die Fasern verbindenden Material – genannt die Matrix –, das im allgemeinen ein Duroplast oder ein Thermoplast darstellt (s. E 4.10) [67]. Dimensionierung. Jede Schicht ist orthotrop, der Faserschichtverbund ergibt eine anisotrope Struktur. Im Gegensatz zu den Metallen m
ssen bei Faserverbundstrukturen die Werkstoffeigenschaften vom Konstrukteur festgelegt werden. Smtliche Werkstoffkonstanten, also der E-Modul, der G-Modul und die Querkontraktionszahl u, knnen stark variiert werden. In jeder Schicht kann die Faserrichtung gendert werden. blicherweise werden die Fasern so gelegt, daß sie optimale Festigkeiten und Steifigkeiten ergeben [68, 70]. Die Grundlage f
r die Spannungsberechnung stellt die sogenannte Mehrschichttheorie [68] dar, in der die schichtweisen Orthotropien ber
cksichtigt sind. Wenn die Faserrichtung sich schichtweise
ber die Wandstrke ndert, so variiert die Spannung sprunghaft
ber den Querschnitt [70] entsprechend der Faserrichtung. F
r die Dimensionierung der Bauteile gibt es unterschiedliche Versagenskriterien: den Zwischenfaserbruch, den Faserbruch und die Delamination (Bild 25). Die Spannungshypothesen unterscheiden sich stark von jenen f
r die Metalle [69, 70].

Bild 26. Ausschnitt aus Konstruktionszeichnung (Quelle: Breiing, Sauer)

Technische Zeichnung. Die berechneten Faserrichtungen m
ssen in der Zeichnung angegeben werden (Bild 26). Ansonsten unterscheiden sich die Zeichnungen nicht von jenen in der Metalltechnik. Werkstoffe. Die einzelnen Schichten bestehen – die Fasern betreffend – aus unidirektionalen Fasern oder aus Geweben verschiedenster Art bzw. aus Gestricken. Der Matrixwerkstoff wird nachtrglich eingebracht oder er ist als Thermoplast bzw. Duroplast bereits in der Schicht vorhanden. Im letztgenannten Fall spricht man von einem Prepreg. Der Konstrukteur hat mit den unterschiedlichen Fasern, Matrizes, Faserrichtungen, Fasergehalten und Faserhalbzeugen [64, 67] eine umfangreiche Palette zur optimalen Gestaltung der geforderten Eigenschaften [70]. Die wichtigsten Eigenschaften der Faserwerkstoffe sind ebenfalls in [64, 67, 70] angegeben. Konstruktionen werden meist

I1.4 Gestaltung

F 23

S
mtliche Faserverbunde knnen bessere Energiebilanzen ergeben, je mehr Fasern abh
ngig von der Dimensionierung in nur eine Richtung gelegt werden drfen. Fertigungsverfahren Es werden hier nur Verfahren behandelt, die sich fr Konstruktionen mit gerichteten Langfasern eignen. Sie sind teilweise auch bertragbar auf Laminate mit gerichteten Kurzfasern. Die hier gegebene bersicht enth
lt einige wichtige Verfahren, weitere sind in Abschnitt E 4.10 angegeben. Diese beziehen sich grßtenteils auf Faserverbunde mit ungerichteter, also willkrlicher Faserverteilung. Naßlaminiertechnik. ber eine Positivform aus Metall, Faserverbund oder Formmassen werden Schichten aus Geweben oder Gestricken gelegt, die anschließend mit einem Pinsel oder anderen dafr geeigneten Ger
ten mit flssigen Duroplastwerkstoffen getr
nkt werden. Das Gelege h
rtet bei Raumtemperatur oder – je nach Matrixwerkstoff – in einem Ofen bzw. Autoklaven aus [73].

Bild 27. Spezifische Zugfestigkeit und spezifischer E-Modul in Abh
ngigkeit vom Laminataufbau. Fasergehalt in Laminat 60 Vol.-%

auf Festigkeit und/oder Steifigkeit dimensioniert. Soweit es sich um bewegte Teile oder Maschinen handelt, kann der Energieverbrauch mit geringerer Masse optimiert werden. Zu erg
nzen ist diese Dimensionierung durch weitere Forderungen, z. B. der Crashsicherheit [70]. Bezieht man die Bruchfestigkeit s und den Elastizit
tsmodul E auf die Dichte g, so erh
lt man eine Aussage ber die Energieeinsparungsmglichkeiten, denn fr das Energiesparen bentigt man feste und steife Werkstoffe mit geringerer Dichte [64, 72]. In Bild 27 sind diese Parameter fr einige Metalle und Faserverbundwerkstoffe aufgetragen, auf der Abszisse das Verh
ltnis E/g und auf der Ordinate szug =g ; die sogenannte Reißl
nge. Die Metalle liegen in diesem Diagramm in einem relativ kleinen Bereich, w
hrend die Faserverbunde große Unterschiede zeigen [84]. Die Glasfaserverbunde (GFK) zeigen eine wesentlich bessere spezifische Festigkeit als Metalle, aber einen schlechteren spezifischen E-Modul und damit eine niedrigere gewichtsbezogene Steifigkeit. Es gibt Konstruktionen, fr die eine geringe Steifigkeit erwnscht ist. Hierfr sind Glasfaserverbunde bestens geeignet, wobei darauf zu achten ist, daß die Bruchdehnung der Matrix nicht berschritten werden darf. Außerdem sind sie fr niedrig belastete Strukturen von Vorteil [67, 70, 84]. Die Synthetik- (z. B. Kevlar-) Faserverbunde (AFK) sind bezglich der spezifischen Zugfestigkeit und der Steifigkeit den Metallen weit berlegen. Betrachtet man hingegen ihre spezifische Druckfestigkeit, so ist dieser Vorteil nicht mehr vorhanden [67, 70, 84]. Die Kohlefaserverbunde (CFK) gibt es inzwischen in vielen Varianten mit C-Fasern als hochfesten (HT) und hochsteifen (HM) Typ. Sie haben sehr gute Zug- und Druckfestigkeitseigenschaften und sind relativ einfach herstellbar und verarbeitbar. Mit ihnen knnen somit fr zuknftige Konstruktionen die bestgeeignetsten Faserverbundbauteile entwickelt werden. Sie haben auch weitere Verbesserungspotentiale hinsichtlich fast aller wichtigen Eigenschaften wie Festigkeit, Steifigkeit, Bruchdehnung und Preis [67, 70, 71, 84].

Autoklav-Prepreg-Technik. Mit Epoxidharz vorimpr
gnierte und mit unidirektionalen Fasern, Geweben oder Gestricken versehene Prepregs werden in bestimmten Richtungen von Hand oder maschinell bereinander gelegt und durch Umformen um ein Werkzeug und anschließender Aush
rtung im Autoklaven zu einem hochfesten, steifen und leichtem Bauteil gefertigt (Bild 28) [73]. Wickeltechnik. Die Wickeltechnologie ist das bisher am meisten automatisierte Fertigungsverfahren der Faserverbundtechnik. Es eignet sich nur fr Bauteile, die eine gewisse Symmetrie aufweisen. Beim Wickelverfahren werden die Fasern als Roving ber Walzen durch ein Tr
nkbad gefhrt und somit impr
gniert und dann durch ein Fadenfhrungsauge auf einen sich drehenden Wickelkern abgelegt. Die Ablagewinkel knnen ber den Vorschub eines Schlittens oder Roboters und der Wickelkerndrehgeschwindigkeit genau definiert werden. Somit kann Schicht fr Schicht mit unterschiedlichen Faserrichtungen abgelegt werden. Neuerdings wird dieses Verfahren auch fr Thermoplaste in modifizierter Technik angewendet. Das Wickeln wird nicht nur mit Faserrovings, sondern auch mit Gewebeb
ndern durchgefhrt (Bild 29) [73, 81]. Harzinjektionstechnik ¼ Resin-Transfer-Moulding-Technik (RTM). Die RTM-Technik erlaubt es, Bauteile in beliebiger Gestalt herzustellen. Zwischen zwei mit hochentwickelter CAM-Technik (komplizierte Freiformfl
chen) gefr
sten Formh
lften, die das Negativ des Bauteils darstellen, wird das aus Gewebe und evtl. Schaumstoff bestehende Preform gelegt. Die zwei Formh
lften werden automatisch geschlossen. Danach wird Harz und H
rter unter Druck injiziert und bei recht kurzer Aush
rtezeit (Spezialharze) und vorgegebener Temperatur die chemische Vernetzung erstens des Harzes und zweitens des Harzes mit den Fasern durchgefhrt. Nach dem Entformen des fertigen Bauteils ist noch eine geringfgige Nachbearbeitung erforderlich (Bild 30) [73, 77, 78]. Fr das Verfahren sind diesbezglich besonders optimierte Matrixwerkstoffe erforderlich. Diese mssen w
hrend des Fließvorganges eine sehr geringe Viskosit
t aufweisen und danach schnell aush
rten. Die RTM-Technik eignet sich fr relativ kurze Taktzeiten. Es lassen sich komplizierte Teile mit integrierten Metallinserts kostengnstig herstellen. Eine fr den Konstrukteur wichtige Simulation am Bildschirm ist prinzipiell mglich [78]. Dem Verfahren wird fr die Serienfertigung in der Zukunft große Bedeutung beigemessen [73]. Diaphragmatechnik [74–76]. Ein ebenes Gelege mit Thermoplastmatrix wird zwischen zwei elastische und temperaturbest
ndige Folien gelegt und in einen Rahmen so einge-

F

F 24

Grundlagen der Konstruktionstechnik – 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens

F

Bild 28. Darstellung der prinzipiellen Arbeitsfolge im Autoklavprozeß

Bild 29. Darstellung des Wickelprozesses

I1.4 Gestaltung

F 25

F

Bild 30. Die Prozeßschritte der RTM-Technik

klemmt, daß ein Vakuum zwischen den Folien erzeugt werden kann. Der Rahmen wird in einen speziell f
r dieses Verfahren vorgesehenen Autoklaven eingebracht (Bild 31). Das Gelege wird samt den Folien von beiden Seiten aufgeheizt. Danach wird der Autoklav unter weiterer Aufheizung geschlossen und im oberen Raum mit Druck, im unteren mit Vakuum beaufschlagt, so daß das Gelege um die Form drapiert wird. Danach erfolgt die Konsolidierungsphase. Zum Schluß wird der Autoklav geffnet und das Bauteil entformt. Das Verfahren eignet sich f
r kurze Taktzeiten [74–76]. Umform-Preßtechnik. Ein Faserverbundthermoplastgelege wird vorgeheizt und danach in eine Kalt- oder Heißpresse transportiert. In dieser wird das ebene erhitzte Gelege
ber eine Form umgeformt. Der Festhalter-Rahmen um das Gelege muß sehr elastisch gestaltet sein. Das Verfahren erlaubt f
r Faserverbunde mit langen Fasern keine zu großen rumlichen Umformgrade. Das Verfahren ist f
r kurze Taktzeiten geeignet. Eigenschaften von Faserverbunden Bei den Faserverbunden unterscheidet man im wesentlichen zwischen mechanischen, thermischen, chemischen und elektrischen Eigenschaften [70].

Bild 31. Diaphragmatechnik

Sie lassen sich mit einer großen Varianz ndern und kombinieren. Der Konstrukteur hat dadurch sehr viele Mglichkeiten, die Forderungen f
r ein bestimmtes Produkt zu erf
llen. In [75, 67, 69, 70] sind die mechanischen Eigenschaften sehr ausf
hrlich erklrt (s.a. „Gestaltungsgrundlagen“ in diesem Abschnitt). Die thermischen Eigenschaften sind in [67] und [70] zusammenfassend behandelt. Auf die chemischen Eigenschaften wurde ebenfalls in [67] und [70] eingegangen. Die elektrischen Eigenschaften sind in [70] und [82] einer ausf
hrlichen Betrachtung unterzogen. Bei dem Einsatz von Faserverbundwerkstoffen als Konstruktionswerkstoff m
ssen sie hufig den Forderungen angepaßt werden. Die elektrischen Anforderungen reichen dabei von guter Isolation
ber gute Absorption bis hin zu guter Leitfhigkeit. Neben einer geeigneten Auswahl an Fasern erlaubt es die Harzmatrix, durch den Zusatz geeigneter F
llstoffe wie beispielsweise Kohlenstoff oder Kohlekurzfasern, die resistiven und frequenzabhngigen, kapazitiven Eigenschaften zu ndern (Bild 32). Um die mechanischen Eigenschaften weitestgehend unbeeintrchtigt zu lassen, sollten die F
llungsgrade 10 Vol.-% nicht
berschreiten. Bei F
llgraden dieser Grßenordunug ist hauptschlich die elektrische Permittivitt beeinflußbar, nicht aber die Permeabilitt, da sich hier noch kein durchgngiger, magnetischer Pfad ausbilden kann. Das Einstellen der elektrischen Permittivitt beeinflußt wesentlich das Verhalten des Werkstoffes als Reflektor oder Absorber. Modifizierte Werkstoffe dieser Art werden k
nftig dort eingesetzt werden, wo speziell Probleme der elektromagnetischen Vertrglichkeit zu beachten sind. Zu den Eigenschaften der Faserverbunde gehrt auch deren Mglichkeit zur Wiederverwertbarkeit, Recyklierbarkeit und deren Zuf
hrbarkeit zur R
ckgewinnung von Energie. Diese sehr unterschiedlichen Mglichkeiten sind in [70] und [83] umfassend behandelt und zwar sowohl bez
glich der fa-

F 26

Grundlagen der Konstruktionstechnik – 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens

F Bild 32. Der Verlauf des Realteils der elektrischen Permittivit
t fr eine Kohlekurzfaser-Fllung

Bild 33. Die Wege des Recyclings von faserverst
rkten Kunststoffen [83]

serverst
rkten Duroplaste als auch der faserverst
rkten Thermoplaste. Bild 33 gibt einen berblick ber die diesbezglichen prinzipiellen Mglichkeiten.

1.5 Baureihen- und Baukastenentwicklung Fundamentals of development of series and modular design Unter einer Baureihe versteht man technische Gebilde (Maschinen, Baugruppen, Einzelteile), die dieselbe Funktion mit

I1.5 Baureihen- und Baukastenentwicklung der gleichen L
sung in mehreren Gr
ßenstufen bei m
glichst gleicher Fertigung in einem weiten Anwendungsbereich erfllen. Sind zustzlich zur Gr
ßenstufung auch andere zugeordnete Funktionen zu erfllen, ist neben der Baureihe ein Baukastensystem zu entwickeln (s. F 1.5.6). Fr die Entwicklung von Baureihen sind hnlichkeitsgesetze zwingend und dezimalgeometrische Normzahlen zweckmßig. 1.5.1
hnlichkeitsbeziehungen. Similarity laws Eine rein geometrische Vergr
ßerung ist nur statthaft, wenn hnlichkeitsgesetze es zulassen. Als Beurteilungskriterium bieten sich Gesetze an, wie sie in der Modelltechnik (s. B 7.2) blich sind. Es liegt nahe, diese Praxis auf die Entwicklung von Baureihen zu bertragen. Gedanklich kann man das „Modell“ dem ursprnglichen Entwurf, dem „Grundentwurf“, und die „Ausfhrung“ des Modells einem Glied der Baureihe als „Folgeentwurf“ gleichsetzen. Gegenber der Modelltechnik ergibt sich fr eine Baureihe eine andere Zielsetzung: gleich hohe Ausnutzung bei gleichen Werkstoffen und gleicher Technologie fr alle Glieder der Baureihe. Daraus folgt, daß bei gleich guter Erfllung der Funktion ber weite Gr
ßenbereiche die Beanspruchung gleich bleiben muß. In maschinenbaulichen Systemen treten Trgheitskrfte (Massenkrfte, Beschleunigungskrfte, Zentrifugalkrfte usw.) und sogenannte elastische Krfte aus dem SpannungsDehnungs-Zusammenhang am hufigsten auf. Eine gleichbleibende Beanspruchung lßt sich erreichen, wenn alle Geschwindigkeiten konstant bleiben. Definiert man mit jL ¼ L1 =L0 den Stufensprung (Maßstab) der Lnge zwischen Folge- und Grundentwurf, so lassen sich fr alle wichtigen Gr
ßen wie Leistung und Drehmoment unter der Bedingung jL ¼ jt ¼ const und mit jr ¼ jE ¼ js ¼ jv ¼ 1 entsprechende Stufensprnge bilden; sie sind in Tab. 10 zusammengestellt. Zu beachten ist, daß Werkstoffausnutzung und Sicherheit nur dann konstant sind, wenn innerhalb der Stufung der Gr
ßeneinfluß auf die Werkstoffgrenzwerte vernachlssigt werden kann. Gegebenenfalls muß er entsprechend bercksichtigt werden.

F 27

1.5.2 Dezimalgeometrische Normzahlreihen Geometric series of preferred numbers (Renard series) Eigenschaften der dezimalgeometrischen Reihe Die dezimalgeometrische Reihe entsteht durch Vervielfachung mit einem Konstanten Faktor j und wird jeweils innerhalb einer Dekade entwickelt. j ist der Stufensprung der Reihe und ergibt sich zu pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi j ¼ n an =a0 ¼ n 10, wobei n die Stufenzahl innerhalb einer Dekade ist. Fr z. B. zehn Stufen wrde die Reihe einen Stufensprung pffiffiffiffiffi j ¼ 10 10 ¼ 1;25 haben und R 10 genannt werden. Die Gliedzahl der Reihe ist z=n+1. In Tab. 11 ist ein Auszug aus DIN 323 wiedergegeben, in der die Hauptwerte der Grundreihen festgelegt sind. Abgeleitete Reihen. Hier wird nur jedes k-te Glied einer Grundreihe benutzt. Zur Kennzeichnung wird dann die Zahl k als Nenner hinter die Reihenbezeichnung und in Klammern die Zahl, mit der die Reihe beginnt, gesetzt, z. B. R 20=4ð1;4 . . .Þ 1;4 2;24 3;55 5;6 usw:; R 10=3ð1 . . .Þ 1 2 4 8 usw: Der Stufensprung ist dann immer das Verhltnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen oder j ¼ 10k=n . Wahl der Grßenstufung Die Gr
ßenstufung richtet sich nach den Bedarfserwartungen des Marktes (Vertriebs), bezogen auf die einzelnen Baugr
ßen, nach dem Marktverhalten bei Typbereinigung und den damit verbundenen Lcken, nach den Fertigungskosten und -zeiten bei unterschiedlichen Gr
ßenstufungen und den Eigenschaften der Produkte bei unterschiedlichen Gr
ßenstufungen. Nicht immer wird es zweckmßig sein, den geforderten Gr
ßenbereich einer Baureihe mit einem konstanten Stufensprung aufzuteilen. Aus technischen und wirtschaftlichen Grnden ist es hufig gnstiger, ihn in unterschiedliche

Tabelle 11. Hauptwerte von Normzahlen (Auszug aus DIN 323)

Tabelle 10. hnlichkeitsbeziehungen bei geometrischer hnlichkeit und gleicher Beanspruchung: Abhngigkeit hufiger Gr
ßen vom Stufensprung der Lnge (Ca: Cauchy-Zahl)

F

F 28

Grundlagen der Konstruktionstechnik – 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens Man beachte aber: Passungen und Toleranzen sind mit den Nennmaßen nicht geometrisch hnlich gestuft, sondern die Gr
ße einer Toleranzeinheit folgt der Beziehung i ¼ 0;45
D1=3 þ 0;001
D, d. h., der Stufensprung der Toleranzeinheit i folgt im wesent1=3

lichen ji ¼ ji . Technologische Einschr
nkungen fhren oft zu Abweichungen; z. B. kann eine Gußwanddicke nicht unterschritten, eine Wanddicke nicht durch und durch vergtet werden (Gr
ßeneinfluß). bergeordnete Normen basieren nicht immer konsequent auf Normzahlen. Von ihnen beeinflußte Bauteile sind entsprechend anzupassen.

F

bergeordnete hnlichkeitsgesetze oder andere Anforderungen k
nnen eine starke Abweichung von der geometrischen hnlichkeit erzwingen. Dann mssen halbhnliche Baureihen vorgesehen werden (s. F 1.5.4). Bild 34. Technische Beziehungen im NZ-Diagramm. n Stufenzahl der feinsten zugrundegelegten NZ-Reihe; jeder Rasterpunkt ist eine Normzahl dieser Reihe; jeder ganzzahlige Exponent fhrt wieder auf eine Normzahl

Gr
ßenabstnde zu gliedern, d. h. durch Springen innerhalb und/oder zwischen gr
beren und feineren Normalzahlreihen (R 5 bis R 40) aufzuteilen. Als Regel gilt, daß die Gr
ßenstufung um so feiner sein muß, je gr
ßer der Bedarf ist und je genauer bestimmte technische Eigenschaften einzuhalten sind. Darstellung im Normzahldiagramm Fast alle technischen Beziehungen lassen sich in die allgemeine Form y ¼ cxp bringen, deren logarithmische Form lg y=lg c+p lg x ist. Jede Normzahl (NZ) kann mit NZ ¼ 10m=n oder wieder mit lgðNZÞ ¼ m=n geschrieben werden, wobei m die jeweilige Stufe in der NZ-Reihe und n die Stufenzahl der NZ-Reihe innerhalb einer Dekade angibt. my =n ¼ mc =n þ pðmx =nÞ: Alle Abhngigkeiten k
nnen als Geraden in einem doppeltlogarithmischen Diagramm dargestellt werden, wobei die Steigung dieser Geraden jeweils dem Exponenten p der technischen Beziehung (Abhngigkeit) entspricht (Bild 34). Statt der Logarithmen werden die Normzahlen selbst an die Koordinaten geschrieben [74]. Der Grundentwurf erh
lt den Index 0, das erste n
chstfolgende Glied der Baureihe (Folgeentwurf) den Index 1, das k-te den Index k. Hat man auf der Abszisse die Nenngr
ße x aufgetragen, so ist der Stufensprung jx ¼ x1 =x0 . Bei einer geometrisch hnlichen Abmessungsreihe ist er zweckmßigerweise gleich dem Stufensprung jL der Lnge. Alle anderen Gr
ßen wie Abmessungen, Drehmomente, Leistungen und Drehzahlen ergeben sich bei Kenntnis des Grundentwurfs aus den bekannten Exponenten ihrer physikalischen bzw. technischen Beziehung (Tab. 10) und k
nnen als Gerade mit entsprechender Steigung (z. B. Gewicht jG ¼ j3L , also mit Steigerung 3 : 1) eingetragen werden. Beispiel: Bild 35.

1.5.3 Geometrisch
hnliche Baureihe Geometrically similar series Ausgehend von einem Grundentwurf prft man, ob im wesentlichen nur Trgheits- oder/und elastische Krfte einwirken. Ist das der Fall, so k
nnen bei konstanter Umfangsgeschwindigkeit ber der Reihe die in Tab. 10 abgeleiteten hnlichkeitsbeziehungen verwendet werden. Sie geben den Exponenten an, der die Steigung der Linien im Normzahldiagramm festlegt (s. F 1.5.2) und damit fr die anderen Nenngr
ßen der Folgeentwrfe die Auslegungsdaten abzulesen gestattet (Bild 35).

1.5.4 Halb
hnliche Baureihen. Semi-similar series Bedeutende Abweichungen von der geometrischen hnlichkeit k
nnen durch folgende Grnde erzwungen werden (sie erfordern fr die Baureihe ein anderes Wachstumsgesetz und fhren zu halbhnlichen Baureihen): bergeordnete hnlichkeitsgesetze durch Einfluß der Schwerkraft, Einfluß thermischer Vorgnge und/oder andere hnlichkeitsbeziehungen [86, 87]. bergeordnete Aufgabenstellung. Bauteile, mit denen der Mensch bei der Arbeit in Berhrung kommt, mssen den K
rperabmessungen entsprechen. Sie k
nnen sich im allgemeinen nicht mit den Baureihengliedern ndern. Eine bergeordnete Aufgabenstellung kann auch infolge technischer Bedingungen vorliegen, wenn Eingangs- oder Ausgangsprodukte keine geometrisch hnliche Abmessungen haben. bergeordnete wirtschaftliche Forderungen. In einer Baureihe k
nnen Einzelteile und Baugruppen, gr
ber gestuft, eine h
here Stckzahl ergeben und so eine noch wirtschaftlichere Fertigung erm
glichen. Fr die umgebenden oder anschließenden Bauteile erhlt man dann halbhnliche Baureihen. Aus diesen Beispielen geht hervor, daß nicht immer die geometrisch hnliche Baureihe eingehalten werden kann. Vielmehr muß man unter Beachten des physikalischen Vorgangs und sonstiger Anforderungen Maßstbe ableiten, die die Abmessungen oder sonstigen Kenngr
ßen bestimmen. Dabei ist es nicht mehr m
glich, eine gleich hohe Ausnutzung der Festigkeit sicherzustellen, sondern man wird dann ber der Baureihe die Gr
ße festhalten, die den insgesamt h
heren Nutzen bestimmt. Je nach physikalischem Geschehen kann diese Gr
ße sogar ber der Gr
ßenstufung wechseln. 1.5.5 Anwenden von Exponentengleichungen Use of exponent-equations Sie dienen als Hilfsmittel, die unter F 1.5.4 erluterten Bedingungen nach der Art von hnlichkeitsbeziehungen bei einer halbhnlichen Baureihe zu bercksichtigen. Fr das Wachstumsgesetz bei Potenzfunktionen ist unter Verwendung der Normzahldiagramme nur der Exponent wichtig, wenn man von einem Grundentwurf ausgehen kann. Die technische Beziehung fr das k-te Glied der Baureihe hat oft die Form yk ¼ ck xpkx zpkz : Diese abhngig Vernderliche y und die unabhngige Vernderlichen x und z lassen sich stets, vom Grundentwurf (Index 0) ausgehend, mit Normzahlen ausdrcken.

I1.5 Baureihen- und Baukastenentwicklung

F 29

F

Bild 35. Datenblatt einer Zahnkupplungsreihe ber dem Nenndurchmesser dt . Abmessungen geometrisch
hnlich; Ausnahmen: Hlsenaußendurchmesser D bei der kleinsten Baugrße (aus Steifigkeitsgrnden), nicht nach Normzahlen gestufte Moduln und die Forderung nach ganzen, geraden Z
hnezahlen (einige Teilkreisdurchmeser geringfgig angepaßt); unter der Abszisse angepaßte Passungsfestlegung

yk ¼ y0 jyLe k ; xk ¼ x0 jxLe k ; zk ¼ z0 jzLe k : xp0x zp0z

y0 jyLe k

ðx kp þz kp Þ ¼ y0 gL e x e z .

Mit y0 ¼ c und ck ¼ c wird Man erh
lt unabh
ngig von k durch Vergleich der Exponenten ye ¼ xe px þ ze pz : Hierin sind ye ; xe und ze die festzulegenden oder zu ermittelnden Stufenexponenten und px und pz die gegebenen physikalischen Exponenten von x und z. Nun ist jeweils der Exponent ye in Abh
ngigkeit von xe und ze zu bestimmen. Dazu stellt man die physikalischen Abh
ngigkeiten in Form einer Gleichung dar, fhrt die bestehenden besonderen Bedingungen ein und rechnet nur mit Exponentengleichungen [88]. Beispiel: Elektromotoren-Reihe. Die vom Motor abgegebene Leistung P ist proportional der Winkelgeschwindigkeit w, der Stromdichte G, der magnetischen Induktion B, den Leiterabmessungen b, h, t (Leitervolumen) sowie dem mittleren Abstand D/2 der Leiter von der Wellenmitte. D sei das Nennmaß der Reihe. – Wie w
chst die Leistung P? P
w  G  B  b  h  t  D. In Exponentenschreibweise Pe ¼ we þ Ge þ Be þ be þ he þ te þ De . w, G und B seien konstant, womit we ¼ Ge ¼ Be ¼ 0 werden. b, h, t und D mgen geometrisch
hnlich wachsen, womit be ¼ he ¼ te ¼ De ist. Der Exponent der Leistung in Abh
ngigkeit von D ist dann Pe ¼ 4De . Die Leistung w
chst mit der 4. Potenz von D bei geometrisch
hnlicher Vergrßerung.

Wie m
ßte sich der abtriebseitige Lagerzapfendurchmesser ndern, wenn die Torsionsbeanspruchung konstant bleiben soll? – tt ¼ Mt =Wt ¼ Mt =ðdL3 p=16Þ; Mt
P; P
D4 . In Exponentenschreibweise tte ¼ 0 ¼ 4De  4dLe oder dLe ¼ ð4=3ÞDe . Der Lagerzapfendurchmesser dL wchst mit dem Exponenten 4/3 gegen
ber dem 4=3 Nennmaß D ðjdL ¼ jD Þ.

1.5.6 Baukasten. Modular system Unter einem Baukasten versteht man Maschinen, Baugruppen und Einzelteile, die als Bausteine mit oft unterschiedlichen Lsungen durch Kombinationen entstehen und verschiedene Gesamtfunktionen erfllen. Bei mehreren Grßenstufen solcher Bausteine enthalten Bauk
sten oft auch Baureihen. Baukastensysteme sind aus Bausteinen aufgebaut. Es bietet sich an, sie nach wiederkehrenden Funktionsarten zu orientieren und zu definieren, die – als Teilfunktionen kombiniert – unterschiedliche Gesamtfunktionen (Gesamtfunktionsvarianten) erfllen. Auf Bild 36 wird deshalb eine Ordnung fr solche Funktionen vorgeschlagen. Aus ihr ergibt sich eine entsprechende Ordnung fr die Bausteinarten (Funktionstr
gerarten). Je nach dem, ob ein Baustein in allen Funktionsvarianten eines Bausteinsystems vorkommen muß oder nur kann, spricht man von Muß- oder Kann-Bausteinen [88].

F 30

Grundlagen der Konstruktionstechnik – 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens

F

Bild 36. Funktions- und Bausteinarten bei Baukasten und Mischsystemen

Nicht im Baukastensystem vorgesehene auftragsspezifische Funktionen werden
ber „Nichtbausteine“ verwirklicht, die f
r die konkrete Aufgabenstellung in Einzelkonstruktion entwickelt werden m
ssen. Ihre Verwendung f
hrt zu einem Mischsystem als Kombination von Bausteinen und Nichtbausteinen. Zur Baukastenabgrenzung definiert man Bauprogramme mit endlicher, vorhersehbarer Variantenzahl (geschlossene Baukastensysteme) und Baumusterpl
ne mit einer großen Vielfalt an Kombinationsmglichkeiten, die nicht im vollen Umfang geplant und dargestellt werden (offene Baukastensysteme). Produkte aus Baukastensystemen werden in der Regel nicht in allen Zonen gleich hoch ausgenutzt; sie sind daher oft schwerer und raumaufwendiger als eine spezielle Einzelanfertigung. Ihre Wirtschaftlichkeit ist in der Verwendung des Gesamtsystems zu suchen und nicht im Vergleich einer Kombination mit einer Einzelausf
hrung.

1.6 Normen- und Zeichnungswesen Fundamentals of standardisation and engineering drawing 1.6.1 Normenwerk. Standardisation
berbetriebliche Normen Nach DIN 820 ist Normung die planmßige, von interessierten Kreisen gemeinschaftlich durchgef
hrte Vereinheitlichung materieller und immaterieller Gegenstnde zum Nutzen der Allgemeinheit [89]. Normen-Herkunft: DIN-Normen des DIN (Deutsches Institut f
r Normung) einschließlich der VDE-Bestimmungen, europische Normen (EN-Normen) von CEN (Comite´ Europe´en de Normalisation) und CENELEC (Comite´ Europe´en de Normalisation Electrotechnique), Empfehlungen der IEC (International Electrotechnical Commission) und Empfehlungen, neuerdings auch Weltnormen, der ISO (International Organization for Standardization), sowie VDI-Richtlinien. Die Normung umfaßt Inhalt, Reichweite und Grad von Normen (DIN 820, EN 45 020). Nach dem Inhalt werden folgende Gebiete von der Normung erfaßt: Verstndigen, Sortieren, Typisieren, Planen, Maße,

Stoffe, Qualitt, Verfahren, Gebrauchstauglichkeit, Pr
fen, Liefern und Sicherheit. Nach der Reichweite unterscheidet man Grundnormen (Normen von allgemeiner, grundlegender und fach
bergreifender Bedeutung) und Fachnormen (Normen f
r ein bestimmtes Fachgebiet). Der Grad einer Norm wird hinsichtlich Breite, Tiefe und Umfang bestimmt. Eine Norm kann mehreren Bereichsgruppen angehren, was der Regelfall ist. Sie kann als Vollnorm alle Zusammenhnge in ihrer Breite und Tiefe umfassend darstellen, als Teilnorm Einzelheiten aussparen oder als Rahmennorm einen groben Rahmen f
r die behandelten Gegenstnde geben (damit die Normung die technische Entwicklung nicht behindert). Normen findet man im „DIN-Katalog f
r technische Regeln“, die wichtigsten davon in der „Einf
hrung in die DIN-Normen“. Neben den nationalen und internationalen Normen bestehen weitere
berbetriebliche Vorschriften und Richtlinien (vgl. DIN-Katalog): – VDE-Bestimmungen des Verbands Deutscher Elektrotechniker, die jetzt auch als DIN-Normen gelten. – Vorschriften der Vereinigung der Technischen berwachungsvereine, z. B. AD-Merkbltter (Arbeitsgemeinschaft Druckbehlter), die ebenfalls Normcharakter haben, – VDI-Richtlinien des Vereins Deutscher Ingenieure. Innerbetriebliche Normen Zur Erleichterung und Rationalisierung der Konstruktion und der Fertigung werden innerbetriebliche Normen aufgestellt. Sie sind zweckmßigerweise nach denselben Gesichtspunkten wie
berbetriebliche Normen zu gestalten (DIN 820). Innerbetriebliche Normen knnen erfassen: Normen-Zusammenstellungen als Auswahl aus
berbetrieblichen Normen bzw. Beschr
nkung nach firmenspezifischen Gesichtspunkten; Kataloge, Listen und Informationsschriften
ber Fremderzeugnisse; Kataloge oder Listen
ber Eigenteile; Informationsbltter zur technisch-wirtschaftlichen Optimierung (z. B.
ber Fertigungsmittel, Fertigungsverfahren, Kostenvergleiche); Vorschriften oder Richtlinien zur Berechnung und Gestaltung von Bauelementen, Baugruppen, Maschinen und

I1.6 Normen- und Zeichnungswesen Anlagen; Informationsbl
tter ber Lager- und Transportmittel; Festlegung zur Qualit
tssicherung (z. B. Fertigungsvorschriften, Prfanweisungen); Vorschriften und Richtlinien fr das Zeichnungs- und Stcklistenwesen, fr die Nummerungstechnik und die elektronische Datenverarbeitung. Normenanwendung Eine absolute Verbindlichkeit von Normen im juristischen Sinn gibt es nicht. Nationale und internationale Normen gelten aber als anerkannte Regeln der Technik, deren Beachtung in vielen F
llen vorteilhaft, zweckm
ßig und auch unerl
ßlich ist. Darber hinaus gelten vor allem aus wirtschaftlichen Erw
gungen alle Werknormen (bernommene berbetriebliche und innerbetriebliche Normen) innerhalb ihres Gltigkeitsbereichs als verbindlich, wobei der Anwendungszwang abgestuft sein kann. Die Anwendungsgrenze einer Norm ist im wesentlichen dadurch gegeben, daß eine Norm nur so lange gltig und auch verbindlich sein kann, als sie nicht mit technischen, wirtschaftlichen, sicherheitstechnischen, ethischen oder auch
sthetischen Anforderungen kollidiert. Empfehlungen und Hinweise zur Anwendung von Normen: Zun
chst sind die DIN-Grundnormen [79] einzuhalten, da sich auf ihnen die brigen Normen aufbauen. Ein Verlassen der Grundnormen hat zur Folge, daß die Konsequenzen vor allem langfristig nicht mehr bersehbar sind. Je nach Fachgebiet ist ferner in Normen- und Richtlinienverzeichnissen nach zutreffenden Normen bzw. Richtlinien, insbesondere nach Sicherheitsnormen (DIN 31 000/VDE 1000, [91, 92]), zu suchen. Normzahlen und Normzahlreihen zur Grßenstufung und Typisierung, vor allem bei Baureihen- und Baukastenentwicklungen, sind mglichst anzuwenden (s. F 1.5.2). 1.6.2 Grundnormen. Basic standards Grundnormen sind von allgemeiner, grundlegender Bedeutung [90]. Technische Oberfl
chen Grundbegriffe. Ein fester Krper wird gegenber dem umgebenden Raum von seiner wirklichen Oberfl
che begrenzt. Der geometrisch vollkommen gedachte Krper hat eine ideale, die geometrische Oberfl
che, die durch die geometrische Beschreibung, z. B. in einer Zeichnung oder in einem rechnerinternen Modell, definiert ist. Die geometrische Oberfl
che ist praktisch nicht zu erreichen. Bei der Fertigung entsteht eine

Bild 37. Lage von geometrischem und wirklichem Profil sowie Rauheitskennwerte senkrecht zur Mittellinie m

F 31

davon abweichende wirkliche Oberfl
che mit Gestaltabweichungen, wie Schieflagen, Welligkeiten und Rauheiten. Die Abweichungen knnen soweit beschrieben werden, als sie meßtechnisch feststellbar sind. Rauheitskenngrßen werden ausgehend von der Bezugsoberfl
che erfaßt, die im Regelfall die Form der geometrischen Oberfl
che hat und in ihrer Lage im Raum mit der Hauptrichtung der wirklichen Oberfl
che bereinstimmt. Durch senkrechte Schnitte erh
lt man jeweils das wirkliche oder geometrische Profil bzw. Bezugsprofil. Letzteres wird durch die Bezugslinie repr
sentiert, auf die die Rauheitskenngrßen bezogen sind. Nach DIN 4762 gilt: Die Profilabweichung y ist ein in Meßrichtung ermittelter Abstand eines Profilpunkts von der Bezugslinie (Bild 37). Die Bezugslinie ist eine Linie des geometrischen Profils innerhalb einer Bezugsstrecke l, die das wirkliche Profil so durchschneidet, daß die Summe der Quadrate der Profilabweichung von dieser Linie ein Minimum wird: Mittellinie m der kleinsten Abweichungsquadrate des Profils, kurz „Mittellinie“, genannt. Von der Mittellinie ausgehend werden folgende Senkrechtgrßen der Rauheit definiert: – Maximale Profilkuppenhhe Rp ist der Abstand des hchsten Punkts des Profils von der Mittellinie m innerhalb der Bezugsstrecke. – Maximale Profiltaltiefe Rm ist der Abstand des tiefsten Punkts des Profils von der Mittellinie m. – Maximale Profilhhe Ry ist der Abstand zwischen der Linie der Profilkuppen (obere Berhrlinie) und der der Profilt
ler (untere Berhrlinie). Ry ¼ Rp þ Rm . Ry entspricht der ehemaligen Kenngrße Rt sowie der maximalen Rauhtiefe nach DIN 4768. Die letzteren sollen so nicht mehr verwendet werden. – Arithmetischer Mittenrauhwert Ra ist der arithmetische Mittelwert der absoluten Werte der Profilabweichungen innerhalb der Bezugsstrecke. Er ist nach Bild 38 im Feld a des Symbols fr die Oberfl
chenbeschaffenheit einzutragen. – Zehnpunkthhe Rz (nach ISO) ist der Mittelwert der Absolutwerte der Hhen der fnf hchsten Profilkuppen und der Absolutwerte der Tiefen der fnf tiefsten T
ler innerhalb der Bezugsstrecke. – Gemittelte Rauhtiefe Rz (nach DIN 4768) ist der Mittelwert der Rauheitskenngrße von fnf Bezugstrecken innerhalb einer Auswertl
nge. Ein grßter zul
ssiger Wert fr die Zehnpunkthhe nach ISO gilt als eingehalten, wenn er nicht vom Rz -Wert nach DIN berschritten wird. Der Wert fr Rz ist im Feld (f) des Symbols einzutragen (vgl. Bild 38).

Bild 38. Kennzeichnung von Oberfl
chen in Zeichnungen durch Symbole, Rauheitsmaße und Zusatzangaben nach DIN ISO 1302, oder Rauheitsklasse N 1 bis N 12. a Mittenrauhwert Ra in mm, b Fertigungsverfahren, Behandlung, berzug usw., c Bezugsstrecke, Grenzwellenl
nge, d Rillenrichtung (Kennzeichnung s. DIN ISO 1302), e Bearbeitungszugabe, f andere Rauhigkeitsmeßgrßen z. B. Rz in mm

F

F 32

Grundlagen der Konstruktionstechnik – 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens

– Profiltraganteil tp ist das Verh
ltnis der tragenden L
nge eines Profils zur Bezugsstrecke. Er soll in Prozent angegeben werden. Der Fl
chentraganteil wird in DIN 4765 beschrieben. Festlegen der Rauhtiefe. Die zul
ssige Rauhtiefe einer Oberfl
che richtet sich nach der zu erfllenden Funktion (Traganteil, Setzmaß, Reibungsverhalten, Schichtgrund, Sichtfl
che, usw.; vgl. DIN 4764). Andererseits knnen nur bestimmte Fertigungsverfahren geringe Rauhtiefen erzielen, wobei die Herstellkosten zu bercksichtigen sind (Tab. 12 mit Rz nach DIN).

F

Zeichnungsangaben f
r Oberflchen. Die Oberfl
chenzeichen und die Zuordung von Rauhtiefen sind nach DIN ISO 1302 geregelt. Hiernach ist zu unterscheiden, ob das Fertigungsverfahren freigestellt ist, oder ob die Oberfl
che spanend bzw. nichtspanend hergestellt werden soll. Ferner ist der Mittenrauhwert Ra oder die Rauhigkeitsklasse N 1 bis N 12 bei Anforderungen an die Rauheit anzugeben (Bild 38). Zur Orientierung zeigt Tab. 13 einen Vergleich mit der frheren Festlegung nach DIN 3141 mit der ehemaligen Kenngrße Rt (max. Rauhtiefe). Im Maschinenbau wurde normalerweise die Reihe 3 bevorzugt. Grenzmaße und Passungen Toleranzen und Abmaße. Mit der bernahme der internationalen Norm ISO 286 haben sich einige Begriffe gegenber den bisherigen Normen DIN 7150 bis 7152, 7160, 7161, 7172, 7182 ge
ndert, die Inhalte sind jedoch im wesentlichen bestehen geblieben. Zur Grßenangabe wird in einer Zeichnung das Nennmaß angegeben. Es ist nicht mglich, das Werkstck auf dieses Maß absolut genau zu fertigen. Infolgedessen wird am Werkstck ein Istmaß meßtechnisch erfaßt, das je nach Anwendung innerhalb einer Maßtoleranz, n
mlich zwischen den Grenzmaßen, einem vorgegebenen H
chstmaß und einem Mindestmaß, liegen darf. Dabei sind die Toleranzen der Meßger
te zu bercksichtigen (s. W 4). Maßtoleranz ist die Differenz zwischen dem zul
ssigen Hchst- und Mindestmaß. Sie wird bestimmt durch Grße und Lage. Die Gr
ße einer Maßtoleranz wird von den Grundtoleranzen (IT=Internationale Toleranz, IT 1 bis IT 18) bestimmt, die einerseits nach Nennmaßbereichen und andererseits nach Grundtoleranzgraden (frher Qualit
t) bestimmt werden. Dazu wird ein Toleranzfaktor (frher Toleranzeinheit) errechnet mit i ¼ 0;45D1=3 þ 0;001D ( i in mm, D in mm als geometrisches Mittel des jeweiligen Nennmaßbereichs bis 500 mm) und dann ab IT 5 entsprechend den Toleranzgraden zu Grundtoleranzen multiplikativ erweitert wird (vgl. Tab. 14). Die Lage des Toleranzfeldes zum Nennmaß (Nullinie) wird durch das Grundabmaß bestimmt. Das Grundabmaß ist jenes obere oder untere Abmaß, das der Nullinie am n
chsten liegt. Bei Innenmaßen wird die Lage des Toleranzfeldes mit Großbuchstaben bezeichnet und von A bis H eine positive, bei K bis Z eine negative und mit J eine symmetrische Lage zum Nennmaß festgelegt. Bei Außenmaßen gilt entsprechend: Kleinbuchstaben a bis h fr eine negative, ab k fr eine positive und bei j wiederum fr eine symmetrische Lage. Als oberes Abmaß (ES, es) wird die algebraische Differenz zwischen dem Hchstmaß und dem Nennmaß, als unteres Abmaß (EI, ei) die zwischen dem Mindestmaß und Nennmaß verstanden. Ausgehend vom Grundabmaß gelangt man durch Hinzufgen der Grundtoleranz (Toleranzfeldbreite) zum entsprechenden anderen Abmaß (Bild 39). Als Toleranzklasse wird die Kombination eines Grundabmaßes mit dem Toleranzgrad bezeichnet, z. B.: f 7, D 13 usw. (Tab. 15).

Bild 39. Zuordnung von Nennmaß, Istmaß, Mindest- und Hchstmaß mit oberem (hier Grundabmaß) und unterem Abmaß in mm

Werden Maße ohne Toleranzfestlegung angegeben, gelten fr L
ngen- und Winkelmaße Allgemeintoleranzen (frher Freimaßtoleranzen) nach ISO 2768, Teil 1. Normalerweise wird die Toleranzklasse „ISO 2768-m“ (mittel) gew
hlt. Solche Festlegungen bedrfen der Angabe auf der Zeichnung. Zu beachten sind auch die Toleranzen und zul
ssigen Abweichungen fr Gußrohteile (DIN 1680) und Schmiedestcke aus Stahl (DIN 7526) sowie andere Normen. Schließlich besteht neben der Maßtolerierung noch die Formund Lagetolerierung nach ISO 1101, die angewendet wird, wenn eine solche im Einzelfall notwendig erscheint. Mit ihr knnen Form-, Richtungs- Orts- und Lauftoleranzen festgelegt werden. Den Eintrag von Form- und Lagetolerierung in technische Zeichnungen regelt ISO 5459. Ferner bestimmt ISO 2768, Teil 2 Toleranzen fr Form und Lage ohne einzelne Toleranzeintragung im Sinne von Allgemeintoleranzen. Passungen. Sie entstehen durch die Beziehung der Toleranzfelder gepaarter Teile zueinander und stellen bei gleichem Nennmaß eine bestimmte Funktion (z. B. Gleit- und Fhrungsaufgaben, Reibschluß in Schrumpfverbindungen) aber auch die Austauschbarkeit sicher. Passungsarten werden unterschieden entsprechend Tab. 15. Die Zuordnung von Toleranzfeldlage und -grße bestimmt, welche Passungsart mit welchem Spiel bzw. bermaß vorliegt. Dabei wird zwischen den Passungssystemen Einheitsbohrung und Einheitswelle unterschieden. Einheitsbohrung. Alle Innenmaße erhalten das untere Abmaß 0, also Toleranzfeldlage H. Die unterschiedlichen Passungen werden mit der Wahl der Toleranzfeldlage bei den Außenmaßen bestimmt (z. B. H7/f7, H7/g6, H7/h6, H7/k6, H7/s6). Zu bevorzugen bei geringen Stckzahlen, beschr
nkter Anzahl von Werkzeugen und Lehren fr Innenbearbeitung. Einheitswelle. Alle Außenmaße erhalten das obere Abmaß 0, also Toleranzfeldlage h (z. B. G7/h6, F8/h6, E9/h9). Zu bevorzugen bei gezogenem Halbzeug, nicht abgesetzten Wellen, Austauschgleitlagern. Eine gemischte Anwendung der Paßsysteme kann zweckm
ßig sein. ISO 286 empfiehlt eine beschr
nkte Passungsauswahl, um Werkzeuge und Lehren einzusparen. Tab. 15 gibt hierzu eine Anwendungsbersicht. Andere Passungen sind aus ISO 286 zu entnehmen. Wichtig ist dabei die Beachtung von Tolerierungsgrunds
tzen: International gilt das Unabhngigkeitsprinzip nach ISO 8015, nach dem jede einzelne Maß-, Form- oder Lagetoleranz nur fr sich allein geprft wird, ohne Rcksicht darauf, wie die jeweils anderen Abweichungen liegen. So sagt z. B. die Durchmessertoleranz einer Welle nichts ber deren Geradheit oder Rundheit aus. National gilt das Hllprinzip nach DIN 7167, nach dem die Maßtoleranz das „Maximum-Material-Maß (MMS)“ fr das jeweils idealisierte Formelement (Zylinder, parallele Fl
chen (Quader) oder Kugel) bestimmt, das das wirkliche Formelement umhllt und innerhalb dessen die wahren Konturen liegen mssen. Bei einer Welle w
re das MMS das Hchstmaß

I1.6 Normen- und Zeichnungswesen

F 33

Tabelle 12. Zuordnung erreichbarer Rauhtiefen zu Fertigungsverfahren nach DIN 4766

F

und bei einer Bohrung das Mindestmaß. Mit dem H
llprinzip sind die Formabweichungen insoweit mit erfaßt, als daß sie die H
lle nicht durchbrechen d
rfen. F
r Passungen muß generell das H
llprinzip angewendet werden, um immer eine funktionsgerechte Geometrie zu gewhrleisten. Wird im internationalen Verkehr das Unabhngigkeitsprinzip verfolgt, muß bei Passungen hinter dem Paßmaß E zustzlich eingetragen werden, um die die Kennzeichnung H
llbedingung sicherzustellen. Besonders t
ckisch sind sogenannte Gleichdickformen oder hnliche, wie sie durch elastisches Verformen beim Spannen, durch Schwingungen beim spitzenlosen Schleifen und beim Bohren entstehen knnen. Entsprechend Bild 40 a und b wre eine Welle nach einem tolerierten Zeichnungsmaß von bei-

spielsweise 20 0;2 mit einer entstandenen Gleichdickform nach dem Unabhngigkeitsprinzip zulssig, obwohl unter Einhaltung des Maximum-Maßes der Querschnitt an den „Dreiecksspitzen“ den H
llkreis mit dem Maximummaß von 20 mm deutlich
berschreitet. Das Teil wre in eine entsprechend tolerierte Bohrung nicht einpaßbar. Abhilfe ist unter dem Unabhngigkeitsprinzip nur durch Kennzeichnung des E nach Bild 40 c zu erreichen. Es gilt dann jeweils Maßes mit das H
llprinzip. Bild 40 d zeigt, daß eine Gleichdickform nach dem H
llprinzip nur zulssig ist, soweit sie nicht die H
lle des Maximum-Material-Maßes auch hinsichtlich axialer Formabweichung durchbricht und das Mindestmaß 19,8 mm
berall einhlt, was eine bedeutend schrfere Bedingung darstellt.

F 34

Grundlagen der Konstruktionstechnik – 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens

Tabelle 13. Vergleich der Symbole und Rauheitsangaben zwischen DIN ISO 1302 und der frheren Norm DIN 3141

F Bild 40. a Bemaßter Rundquerschnitt; b Nach Unabh
ngigkeitsprinzip zul
ssige Formabweichung, die bei einer Gleichdickform trotz vollst
ndiger Einhaltung des Hchstmaßes d= 20 mm den Kreis des maximal zul
ssigen Durchmessers (Hllkreis) berschreitet; c Abhilfe: Kennzeichnung des Maßes mit E ; d Nach dem Hllprinzip eingeschr
nkte, zul
ssige Formabweichung, die die Hlle des idealisierten Krpers mit dem Maximum-Material-Maß nirgends durchbricht

Lageabweichungen bzw. -toleranzen, z. B. Rechtwinkligkeit, Koaxialit
t, Symmetrie, sind, gleichgltig welcher Tolerierungsgrundsatz verfolgt wird, immer von den Maßtoleranzen unabh
ngig und mssen gegebenenfalls gesondert angegeben werden. Fr Allgemeintoleranzen, die vom Fertigungsverfahren abh
ngig sind, muß zur Kenntnis genommen werden, daß die Tabelle 14. ISO-Grundtoleranzen in mm nach ISO 286 (Auszug)

I1.6 Normen- und Zeichnungswesen

F 35

Tabelle 15. Passungsbeispiele in Anlehnung an [94] bei Bercksichtigung der nach ISO 286 empfohlenen Passungsauswahl. Mit * bezeichnete Passungen fr Einheitswelle, mit ( ) bezeichnete sind nur aus Reihe 2 gebildet

F

dortigen Festlegungen nicht immer vollst
ndig sind oder unterschiedliche Tolerierungsgrunds
tze zugrunde gelegt wurden. Gegebenenfalls mssen kl
rende Angaben ber zul
ssige Formabweichungen erg
nzt werden. Erl
uterungen und Beispiele vgl. [99]. 1.6.3 Zeichnungen und St
cklisten Engineering drawings and parts lists Zeichnungsarten DIN 199 unterscheidet technische Zeichnungen nach Art ihrer Darstellung, Art ihrer Anfertigung, ihrem Inhalt und ihrem Zweck.

Hinsichtlich der Darstellungsart wird unterschieden zwischen Skizzen, maßst
blichen Zeichnungen, Maßbildern, Pl
nen und sonstigen graphischen Darstellungen. Hinsichtlich der Anfertigungsart unterscheidet man zwischen Original- oder Stamm-Zeichnungen als Grundlage fr Vervielf
ltigungen sowie Vordruck-Zeichnungen, die oft unmaßst
blich sind. Es kann zweckm
ßig sein, Zeichnungen nach dem Baukastenprinzip aufzubauen. Bei diesem Vorgehen gliedert man Gesamt-Zeichnungen bausteinartig so in Zeichnungsteile, daß man aus diesen neue Gesamt-Zeichnungsvarianten zusammenstellen kann. Hinsichtlich des Inhalts gibt es viele Unterscheidungsmglichkeiten. Ein Gesichtspunkt ist die Vollst
ndigkeit eines Ge-

F 36

F

Grundlagen der Konstruktionstechnik – 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens

bildes in einer Zeichnung. Hier wird unterschieden zwischen Gesamt-, Gruppen-, Einzelteil-, Rohteil-, Gruppen-Teil-, Modell- und Schema-Zeichnungen. Zur Rationalisierung der Zeichnungsherstellung dienen ferner Sammel-Zeichnungen, die als Sorten-Zeichnungen (f
r Gestaltungsvarianten) mit aufgedruckter oder getrennter Maßtabelle oder als Satz-Zeichnungen (Zusammenfassung zusammengehrender Einzelteile) aufgebaut sein knnen. Beim Erarbeiten der Fertigungsunterlagen interessiert die geeignete Struktur eines Zeichnungssatzes. Entsprechend einer fertigungs- und montagegerechten Erzeugnisgliederung besteht der Zeichnungssatz grundstzlich zunchst aus einer Gesamt-Zeichnung als Zusammenstellungs-Zeichnung des Erzeugnisses, aus der sich mglicherweise noch weitere Zeichnungen (z. B. zum Versand, zur Aufstellung und Montage sowie zur Genehmigung) ableiten, aus mehreren Gruppen-Zeichnungen verschiedener Rangordnung (Komplexitt), die den Zusammenbau mehrerer Einzelteile zu einer Fertigungs- bzw. Montageeinheit zeigen, sowie aus Einzelteil-Zeichnungen, die noch f
r unterschiedliche Fertigungsstufen aufgegliedert sein knnen (z. B. Rohteil-Zeichnung, Modell-Zeichnung, Vorbearbeitungs-Zeichnung, Endbearbeitungs-Zeichnung). Zeichnungen sind so aufzubauen, daß sie auch f
r andere Anwendungsflle wiederverwendbar sind. Wiederholteile und Ersatzteile sind daher auf eigenen Zeichnungen darzustellen. Nach dem Zeichnungssatz ist auch der St
cklistensatz und das System der Zeichnungsnummern aufzubauen (s. „St
cklisten“ in diesem Abschnitt und F 1.6.4.

Formate, Linien und Schrift Zeichnungsformate sind in DIN 6771, Teil 2 festgelegt. A 4 wird als Hochformat, die
brigen als Querformat verwendet pffiffiffi (Tab. 16). Das Seitenverhltnis betrgt 2 : 1. Linienbreiten und Schrifth
hen sind den Bed
rfnissen der Mikroverfilmung angepaßt und folgen in ihrem Stufensprung pffiffiffi ebenfalls 2. Zu bevorzugen ist die Reihe 1 f
r Linienbreiten (DIN 15) sowie kursive und vertikale Normschrift (DIN 6776). Die Schrifthhe bezieht sich auf Großbuchstaben. Kleinbuchstaben werden bei der Form A mit 10/14 und bei der Form B mit 7/10 der Schrifthhe ausgef
hrt. Bevorzugte Schrifthhen sind 2,5; 3,5; 5 und 7 mm. Die Linienbreite der Mittelschrift soll 1/10 der Schrifthhe betragen.

Tabelle 16. Zeichnungsformate in mm nach DIN 6771, Teil 6

Bild 41. Anordnung der Ansichten und Schnitte bei Normalprojektion

Darstellung und Bemaßung DIN ISO 5455 schreibt folgende Maßstbe vor:

Ansichten und Schnitte werden gewhnlich in Normalprojektion angeordnet (Bild 41). Weitere Projektionsarten s. A bzw. DUBBEL interaktiv. Die Gegenstnde sind in Gesamt-Zeichnungen und GruppenZeichnungen in der Gebrauchslage, in Einzelteil-Zeichnungen bevorzugt in der Fertigungslage darzustellen. Dabei sind mglichst wenige, aber ausreichende Ansichten (DIN 6, Teil 1) oder Schnitte (DIN 6, Teil 2) zu whlen, aus der die Gestalt eindeutig ersichtlich ist. Schnitte machen Zeichnungen
bersichtlicher (Wegfall vieler unsichtbarer Kanten) und sind bei zylindrischen Hohlkrpern stets anzuwenden (sichtbare, umlaufende Kanten nicht vergessen). Das Klappen einfacher Querschnittsdarstellungen in die Zeichenebene senkt die Zahl notwendiger Ansichten. Oft vorkommende Teile werden nur einmal gezeichnet. Unsichtbare Kanten nur zeichnen, wenn dadurch Unklarheiten und einfache zustzliche Darstellungen vermieden werden knnen. Vereinfachte Darstellungen sind mglich, wenn dadurch die Erkennbarkeit von Funktion, rumlicher Vertrglichkeit und wesentlicher Bauteilgestalt im jeweiligen Einzelfall nicht beeintrchtigt wird (DIN 30, Teil 1). Die Bemaßung ist eindeutig und
bersichtlich vorzunehmen. Regeln sind in den Normen enthalten [93]. St
cklisten Zu jedem Zeichnungssatz gehrt eine St
ckliste bzw. ein St
cklistensatz, damit ein Erzeugnis vollstndig beschrieben werden kann. Eine St
ckliste enthlt in der Reihenfolge von links nach rechts Spalten f
r Positionsnummer, Menge, Einheit der Menge, Benennung der Gruppe oder des Teils (einschließlich Normteile, Fremdteile und Hilfsstoffe), Sachnummer und/oder Norm-Kurzbezeichnung zur Identifikation und Bemerkungen. Die Benennung ist nach der Bauform, nicht nach der Zweckbestimmung (Funktion), zu whlen. Eine

I1.6 Normen- und Zeichnungswesen St
ckliste ist generell aus einem Schriftfeld und einem St
cklistenfeld aufgebaut, deren formaler Aufbau in DIN 6771, Teil 1 und Teil 2, festgelegt ist.

F 37

Tabelle 18. Aufbau einer Struktur-St
ckliste f
r Erzeugnisgliederung

Mengen
bersichts-St
ckliste. Sie enthlt f
r das Erzeugnis (Bild 42 a) nur die Einzelteile mit ihren Mengenangaben. Mehrfach vorkommende Einzelteile erscheinen nur einmal, aber alle Teilenummern der Erzeugnisse sind angef
hrt. Funktions- und fertigungsorientierte Gruppen sind nicht zu erkennen. Diese einfachste Form einer St
ckliste reicht f
r einfache Erzeugnisse mit nur wenigen Fertigungsstufen aus (Tab. 17); Erzeugnisgliederung nach Bild 42 a. Struktur-St
ckliste. Sie gibt die Erzeugnisstruktur mit allen Baugruppen und Teilen wieder, wobei jede Gruppe sofort bis zur hchsten Stufe (Ordnung der Erzeugnisgliederung) gegliedert ist. Die Gliederung der Gruppen und Teile entspricht in der Regel dem Fertigungsablauf (Tab. 18). Die Mengenangaben beziehen sich auf das im St
cklistenkopf beschriebene Erzeugnis. Struktur-St
cklisten knnen sowohl f
r ein Ge-

F

samterzeugnis als auch nur f
r einzelne Gruppen aufgestellt werden. Ihr Vorteil ist, daß in ihnen die Gesamtstruktur eines Erzeugnisses bzw. einer Gruppe erkennbar ist. Allerdings werden St
cklisten mit vielen Positionsnummern un
bersichtlich, vor allem, wenn eine Reihe von Wiederholgruppen an jeweils verschiedenen Stellen wiederkehrt. Dadurch ergeben sich auch Nachteile im nderungsdienst. Baukasten-St
ckliste. Sie umfaßt zusammengehrende Gruppen und Teile, ohne zunchst auf ein bestimmtes Erzeugnis Bezug zu nehmen. Die Mengenangaben beziehen sich nur auf die im Kopf genannte Baugruppe. Mehrere solche Baukasten-St
cklisten m
ssen, gegebenenfalls mit anderen St
cklisten, zu einem St
cklistensatz eines Erzeugnisses zusammengestellt werden, z. B. entsprechend Bild 42 b. St
ckliste E1 besteht aus T1 und den St
cklisten G1, G2 und G3. Diese selbstndigen St
cklisten rufen ihrerseits andere ab, z. B. G11, G31 und G32. Ihre Verwendung empfiehlt sich dort, wo bei einem grßeren Erzeugnisspektrum Baugruppen lagermßig gef
hrt und als Wiederholgruppen in grßeren St
ckzahlen gefertigt werden. 1.6.4 Sachnummernsysteme. Numbering systems

Bild 42 a, b. Schema einer Erzeugnisgliederung. a Gliederung; b Baukasten-St
ckliste Tabelle 17. Aufbau einer Mengen
bersichts-St
ckliste f
r Erzeugnisgliederung (ME Einheit der Menge)

Als Sachnummernsysteme werden solche Systeme bezeichnet, die die Nummerung von Sachen und Sachverhalten umspannen. Dabei ist es zweckmßig, einer Einzelteil-Zeichnung, der Position in der dazugehrigen St
ckliste, dem betreffenden Arbeitsplan und dem Werkst
ck selbst (Fertigungsteil, Ersatzteil, Lagerteil oder Kaufteil) zur Identifizierung dieselbe Nummer zu geben. Sachnummern m
ssen eine Sache identifizieren, sie knnen sie dar
ber hinaus auch klassifizieren. Sachnummernsysteme knnen aus Parallelnummern und Verbundnummern aufgebaut sein. Unter einer Parallelnummer wird jede weitere Identnummer f
r dasselbe Nummerungsobjekt verstanden, z. B. haben ein Hersteller von Zukaufteilen und der Kunde f
r das gleiche Teil oft unterschiedliche Identnummern. Man spricht auch von einem Parallelnummernsystem, wenn eine Sachnummer (Identnummer) mit einer unabhngigen Klassifikationsnummer verbunden ist, Bild 43. Der Vorteil einer solchen Parallelverschl
sselung liegt in einer großen Flexibilitt und Erweiterungsmglichkeit, da beide Nummern unabhngig

F 38

F

Grundlagen der Konstruktionstechnik – 2 Anwendung f
r Maschinensysteme der Stoffverarbeitung

voneinander sind. Dieses System ist deshalb f
r die Mehrzahl von Einsatzfllen anzustreben und bietet Vorteile einer leichteren Daten-Verarbeitung, wenn nur die Identnummer bentigt wird [96, 97]. Unter einer Verbundnummer wird eine Nummer verstanden, die aus mehreren Nummernteilen besteht. So zeigt Bild 44 eine Sachnummer als Beispiel, bei der die identifizierende Sachnummer aus einem klassifizierenden Nummernteil und einer Zhl-Nr. besteht. Nachteilig ist ein schnelles „Platzen“ des Nummernsystems bei erforderlichen Erweiterungen. Vorteile liegen bei der Anschaulichkeit durch den Klassifikationsteil. Eine Klassifizierung von Sachen und Sachverhalten – sei es im Rahmen einer Sachnummer, sei es mittels eines eigenstndigen, von Identnummernsystemen unabhngigen Klassifizierungssystems – ist wichtig, damit Teile wiederholt verwendet und Sachaussagen wiedergefunden werden knnen. Im allgemeinen f
hrt man eine abgestufte Klassifizierung durch (Grob- und Feinklassifizierung). Zur Kennzeichnung von Teilen und Gruppen, insbesondere von Normteilen, haben sich Sachmerkmale eingef
hrt, die bestimmte Eigenschaften, die sich zum Beschreiben und Unterscheiden von Gegenstnden innerhalb einer Gegenstandsgruppe eignen, kennzeichnen (DIN 4000). Grundlagen und Anwendung s. [98].

2 Anwendung f
r Maschinensysteme der Stoffverarbeitung Fundamentals of Material Processing Machines H. Goldhahn, Dresden Energie- und signalverarbeitende Systeme vgl. Kap. P–R, T, U, X und Y

2.1 Aufgabe und Einordnung Task and Classification Maschinen und Maschinensysteme der Stoffverarbeitung realisieren die vielfltigen Funktionen zur Herstellung von Produkten des tglichen Bedarfs und werden als Verarbeitungsmaschinen und Verarbeitungsanlagen bezeichnet. Dazu gehren Kunststoff-, Glas-, Keramik-, Papier-, Papierverarbeitungs-, Nahrungsmittel-, Pharmazeutische, Druck-, Verpakkungs- und zahlreiche Sondermaschinen. Sehr komplexe technologische Ausr
stungen zur Stoffumwandlung vom ungeformten Stoff (Verarbeitungsgut) bis zum sammelverpackten Endprodukt bestehen aus verarbeitungstechnischen, verfahrenstechnischen, fertigungstechnischen und logistischen Komponenten, die entsprechend dem technologischen Verfahren zusammengeschaltet werden. Die Grenzen zwischen den einzelnen Gebieten sind nicht eindeutig zu ziehen. Der Maschinenkonstrukteur ist verantwortlich f
r die ganzheitliche Konzipierung und Gestaltung kompletter Ausr
stungen unter Beachtung von Kostenaspekten sowie der umweltpolitischen und -gesetzlichen Rahmenbedingungen. Gegenstand der Verarbeitung sind vorwiegend nichtmetallische Roh- und Naturstoffe, die von einem Anfangszustand
ber zahlreiche Zwischenzustnde zu einem verkaufsfhigen und verpackten Endprodukt verarbeitet werden. Zu beachten sind die sehr stark schwankenden Eigenschaften bei biogenen Rohstoffen, die von Wachstums- und Umgebungsbedingungen abhngen.

Bild 43. Verkn
pfen einer Identnummer mit einer Klassifikationsnummer zu einem Parallel-Nummernsystem nach [95]

Bild 44. Prinzipieller Aufbau einer Sachnummer als Verbund-Nummer nach [95]

Gekennzeichnet sind Verarbeitungsmaschinen und -anlagen durch ihre komplexen Funktionen, ihren hohen Verkn
pfungsgrad und ihre sehr hohe Produktivitt, z. B. Zigarettenherstellung (16 000 St
ck/min), S
ßwarenverpackung (2000 St
ck/min), Getrnkeabf
llung (1000 St
ck/min), Papierherstellung (1000 m/min). Die Stoffverarbeitungsfunktion (Verarbeitungsaufgabe) ist die zu realisierende Hauptaufgabe. Die anderen Teilsysteme wie Energiezuf
hrung, Steuerung und Gestell m
ssen dieses Ziel funktionell und unter Zuverlssigkeits- sowie Kostenaspekten optimal umsetzen. Das technologische Verfahren, nach dem ein bestimmtes Produkt herzustellen ist, wird durch die zweckmßige Zusammenschaltung von Verarbeitungsmaschinen zu Verarbeitungsanlagen nach einer bestimmten Struktur umgesetzt. Die Maschine oder Anlage hat deshalb stoffliche, energetische und informationstechnische Eingangsgrßen, die zu einer stofflichen Ausgangsgrße, dem Produkt mit bestimmten Quantitts- und Qualittsanforderungen zu verarbeiten sind. Stoffliche und energetische Ausgangsgrßen, die nicht dem Produkt zugeordnet werden knnen, sind als stoffliche und energetische Verluste auf ein Minimum zu reduzieren. Informationstechnische Ausgangsgrßen, wie Signale von Sensoren und aus Betriebsdatenerfassungssystemen (BDE), werden zur zentralen Steuerung von Maschinen und Anlagen bentigt. Die gesamte Verarbeitung erfolgt unter bestimmten Umweltbedingungen (Temperatur, Luftfeuchtigkeit, Aufstellungsort), die die Eigenschaften der zu verarbeitenden Stoffe beeinflussen. Andererseits werden durch Maschinen und Anlagen Nebenwirkungen auf die Umgebung und den Menschen erzeugt (Abflle, Lrm, Staub, Dmpfe u. a.), die minimal zu halten sind.

2.2 Struktur von Verarbeitungsmaschinen Structure of Processing Machines Die Gesamtfunktion der Verarbeitungsmaschine, die selbst ein Teilsystem einer Verarbeitungsanlage ist, wird allgemein von vier miteinander in Wechselwirkung stehenden Funkti-

I2.2 Struktur von Verarbeitungsmaschinen

F 39

F Bild 1. Teilsysteme einer Verarbeitungsmaschine

onsbereichen realisiert [1]. Diese vier Funktionsbereiche, die nicht immer k
rperlich abgrenzbar sind, erfllen durch ihre technische Struktur und den Aufbau des Teilsystems jeweils Teilfunktionen, die auf die optimale Erfllung der Gesamtfunktion gerichtet sind (Bild 1). Im Funktionsbereich Stoff wird durch das Verarbeitungssystem die Vernderung der Zustnde des Verarbeitungsgutes vom Anfangszustand (Rohstoff) ber verschiedene Zwischenzustnde bis zum Endzustand (Produkt) realisiert. Dabei werden sowohl Eigenschaftsnderungen als auch notwendige Operationen zur Gewhrleistung des Stoffflusses durchgefhrt. Im Funktionsbereich Energie wird durch das Antriebssystem die fr den Funktionsvollzug im Verarbeitungssystem ben
tigte Energie in der erforderlichen Art, Form und Menge als Funktion der Zeit bereitgestellt. Im Funktionsbereich Signal werden die aus den anderen Funktionsbereichen gewonnenen und von außen eingegebenen Informationen so verarbeitet, daß das Antriebssystem die erforderlichen Steuerungsgr
ßen fr die Energieeinleitung in das Verarbeitungssystem erhlt und Informationen an das Bedienpersonal bzw. das bergeordnete Rechnersystem gegeben werden k
nnen. Der Funktionsbereich Raum hat die Aufgabe, die rumliche Zuordnung der Elemente der anderen Funktionsbereiche zu sichern sowie die eventuell aus Arbeitsschutz- oder klimatischen/hygienischen Anforderungen notwendige rumliche Umhllung der einzelnen Teilsysteme zu gewhrleisten. In jedem der Teilsysteme gibt es Funktionsgruppen, die relativ selbstndig innerhalb des Teilsystems eine Funktion ausfhren und hufig als eine geschlossene Baugruppe ausgefhrt sind: – verarbeitungstechnische Funktionsgruppen: Wirkpaarungen; – antriebstechnische Funktionsgruppen: z. B. Energiewandler, Energieumformer; – steuerungstechnische Funktionsgruppen: z. B. Signalwandler, Rechner; – Funktionsgruppen des Raumsystems: z. B. Gestell, Gehuse, Lager. Die Funktionsgruppen bestehen aus Elementen, die allein keine Funktion im Sinne der Gesamtfunktion ausfhren, und in dem jeweiligen Teilsystem nach einer bestimmten Struktur, der Funktionsstruktur, zusammengeschaltet sind. Erst durch die Verknpfung der Elemente in der Funktionsstruktur erfl-

len sie die Gesamtfunktion der Maschine. nderungen in der Struktur oder den Elementen des Teilsystems haben Einfluß auf Funktion und Zuverlssigkeit der Maschine und k
nnen zur Optimierung genutzt werden.

2.2.1 Verarbeitungssystem. Processing System Das Verarbeitungssystem realisiert durch seine Elemente und Funktionsstruktur die Verarbeitungsaufgabe, die in der Vernderung des Zusammenhangs, der Form, der Lage, des Ordnungszustandes und der Menge des Verarbeitungsgutes besteht. Gleiche Verarbeitungsaufgaben k
nnen konstruktiv und maschinentechnisch unterschiedlich umgesetzt werden. Durch die Vielzahl zu verarbeitender Stoffe in den vielfltigsten Formen und Abmessungen sowie durch die große Zahl zu produzierender Endprodukte gibt es sehr viele differenzierte Verarbeitungsaufgaben. Fr die Herstellung eines Endproduktes werden meist mehrere Stoffe ben
tigt, z. B. gefllte Flasche bestehend aus Flasche, Fllgut, Etikett, Leim, Verschluß. Alle Stoffe, die in der Verarbeitungsmaschine einer Vernderung unterliegen, werden als Verarbeitungsgut bezeichnet, unabhngig davon, welche Bedeutung sie fr das Endprodukt haben. Um die große Vielfalt von Verarbeitungsgtern berschaubar gestalten zu k
nnen, sind sie nach hnlichem Verarbeitungsverhalten in der Maschine oder Anlage zu Gutgruppen zusammengefaßt worden [2, 3]: Strang- und Fadenformgut ist durch seine große bis unendliche Lnge im Verhltnis zu H
he und Breite des Querschnitts und seine Biegsamkeit um die Lngsachse (Flexibilitt) gekennzeichnet. Das Gut muß nicht im Querschnitt homogen sein. Beispiele: Textil-, Kunststofffaden, Seil, Draht, Teig-, Zigaretten-, Keramikstrang. Flachformgut ist durch seine große Flchenausdehnung im Verhltnis zur Dicke gekennzeichnet und hat bei Belastung normal zur Flche eine geringe Steifigkeit. Entsprechend seiner Lngenausdehnung wird es in blattf
rmiges und bahnf
rmiges Flachformgut unterteilt. Beispiele: Papier, Pappe, Folie (Kunststoff, Metall), Gewebe, Furnier, Teigbahn, Leder, Fell. St
ckgut hat in allen drei Dimensionen etwa gleiche Abmessungen und ist biegesteif. Seine Form kann quaderhnlich oder rotationsk
rperhnlich (rollfhig) sein. Beispiele: Obst, Eier, Seife, Bcher u. v. a.

F 40

Grundlagen der Konstruktionstechnik – 2 Anwendung fr Maschinensysteme der Stoffverarbeitung

Sch
ttgut ist ein disperser Feststoff aus einer Zusammenlagerung von Einzelteilchen, die selbst formbest
ndig sind. Es ist riesel- und schttf
hig und kann das Verhalten einer Flssigkeit aufweisen. Beispiele: Zucker, Mehl, Reis, Fasern, Tabletten u. v. a. Hochviskoses pastses Gut ist durch seine hohe Viskosit
t und durch sein mitunter plastisches, nicht-Newtonsches Fließverhalten gekennzeichnet und besitzt meist eine Fließgrenze, die eine gewisse Formbest
ndigkeit bewirkt. Beispiele: Schokolade (warm), Glas (heiß), Keramikmasse, Teig, Druckfarbe, Leim u. v. a.

F

Fl
ssiges Gut hat meist eine konstante geringe Viskosit
t und kann gelste Gase enthalten. Beispiele: Wein, Bier, Milch, l, Waschmittel u. v. a. Gase oder Aerosole sind reine Gase oder Gasgemische, die mit Feststoff- oder Flssigkeitsteilchen in geringer Konzentration versetzt sein knnen. Beispiele: Stickstoff, Kohlendioxid, Lacknebel u. v. a. In einer Maschine oder Anlage unterliegen die Verarbeitungsgter durch die an ihnen vollzogenen Zustands
nderungen vom Rohstoff bis zum Produkt einer fortlaufenden Wandlung der Gutgruppen, z. B. Schttgut wird mit einer Flssigkeit gemischt, ergibt ein pastses Gut, das in einer Formeinrichtung zu einem Stckgut geformt wird. Um die Teilfunktionen, die in einer Verarbeitungsmaschine realisiert werden, unabh
ngig von ihrer maschinellen Umsetzung erfassen zu knnen, ist die Zusammenfassung zu Vorgangsgruppen zweckm
ßig: Trennen ist das Zerlegen eines Stoffes oder Stoffgemisches unter Aufhebung der Koh
sions- und/oder Adh
sionskr
fte. F
gen ist das Zusammenbringen von zwei oder mehreren Komponenten und das Herstellen neuer Bindungskr
fte (stoff-, form-, kraftschlssig). Formen ist das Herstellen eines geformten Verarbeitungsgutes aus dem ungeformten oder vorgeformten Zustand ohne wesentliche Masse
nderung. Die Handhabungsfunktionen dienen der Manipulation und Mengen
nderung der Verarbeitungsgter, ver
ndern aber nicht deren Eigenschaften: Speichern ist das Herstellen eines Vorrates zum Ausgleich von unterschiedlichem Anfall und Bedarf (Eingabe-, Zwischen-, Ausgabespeicher). Dosieren ist das Herstellen vorbestimmter Mengen (Stckzahl, Volumen, Masse) oder Mengenflsse. Frdern ist das Bewegen des Verarbeitungsgutes innerhalb einer Maschine zwischen verschiedenen Wirkstellen. Ordnen ist das Ausw
hlen bzw. Gruppieren von Verarbeitungsgut nach bestimmten Ordnungsmerkmalen: Geometrie, Lage, Farbe, Festigkeit, Masse, Dichte u. a. Durch die Kombination der Gutvarianten mit den Vorgangsgruppen knnen die vielf
ltigen Funktionen in einer Maschine unabh
ngig von ihrer maschinentechnischen Umsetzung verallgemeinernd erfaßt werden und erlauben bertragungen des Wissens aus unterschiedlichen Industriebereichen. Das kleinste Teilsystem im Funktionsbereich Stoff, das eine Zustands
nderung des Verarbeitungsgutes bewirken kann, ist die Wirkpaarung (Bild 2), die aus den Elementen Verarbeitungsgut und Arbeitsorgan besteht. Die Elemente stehen strukturell ber Relationen so miteinander in Eingriff, daß die beabsichtigte Zustands
nderung (Funktionsvollzug) von Zustand 1 nach Zustand 2 durch die dosierte Zufhrung von Energie nach einem bestimmten zeitlichen Programm erzeugt wird. Der Eingriff des Arbeitsorgans kann durch direkten Kontakt mit dem Verarbeitungsgut (Messer-Papier) oder indirekt ber ein Wirkmedium (Wasserstrahl, Luft o.
.) oder eine Wirkenergie (z. B. Infrarotstrahlung, Hochfrequenzfeld o. a.) erfolgen.

Bild 2. Schema einer Wirkpaarung

Die Wirkpaarung ist das letzte Glied in der Energieleitungskette und stellt die Kreuzung zwischen Energie- und Stofffluß dar, so daß bei einer Optimierung sowohl energetische als auch stoffliche Parameter zu bercksichtigen sind. Der geometrische Ort, an dem der Eingriff des Arbeitsorgans stattfindet, wird als Wirkstelle bezeichnet, an der alle mit dem Verarbeitungsgut in Wechselwirkung stehenden Maschinenteile zusammengefaßt sind. Es knnen mehrere Arbeitsorgane an der gleichen Stelle aber zu einem unterschiedlichen Zeitpunkt im Eingriff sein, so daß die Zahl der Wirkpaarungen und Wirkstellen verschieden sein kann, z. B. ein dauerbeheiztes Schweißorgan mit integriertem Trennmesser. Zur systematischen Ordnung von Wirkpaarungen kann die Bewegung des Verarbeitungsgutes durch die Wirkstelle herangezogen werden [4]: I. Klasse von Wirkpaarungen: Das Verarbeitungsgut wird zyklisch aufgenommen und nach Funktionsvollzug abgegeben. Es bewegt sich nicht durch die Wirkstelle hindurch z. B. Rhrer, Mischer, Kneter. II. Klasse von Wirkpaarungen: Das Verarbeitungsgut bewegt sich durch die Wirkstelle hindurch, steht aber w
hrend des Verarbeitungsvorganges still und wird von Position zu Position bewegt (Mehrpositionsmaschinen). Die Stillstandszeit wird durch die notwendige Verarbeitungszeit bestimmt. III. Klasse von Wirkpaarungen: Das Verarbeitungsgut bewegt sich kontinuierlich durch die Wirkstelle, und der Funktionsvollzug erfolgt w
hrend der Gutbewegung, d. h. der Arbeitsorganeingriff ist auf die Bewegung des Verarbeitungsgutes abgestimmt. Durch die geringe Zu- und Abfhrzeit sowie minimale dynamische Beanspruchungen des Verarbeitungsgutes und der Maschine wird eine hohe Produktivit
t erzielt. Zur Erfllung der verarbeitungstechnischen Funktion sind die fr den Funktionsvollzug erforderlichen Wirkpaarungen zu einem innermaschinellen Verfahren zusammengeschaltet. Um die Funktionen im Stoffbereich in ihrer Komplexit
t und mit hoher Zuverl
ssigkeit realisieren zu knnen, werden folgende Grundschaltungsarten von Wirkpaarungen angewandt: Reihenschaltung verschiedener Wirkpaarungen, Parallelschaltung gleicher Wirkpaarungen mit direkter Kopplung (mehrbahnige Anordnung), Redundanzschaltung gleicher Wirkpaarungen, die nicht gekoppelt sind, zur Erhhung der Zuverl
ssigkeit, Zusammenf
hrung und Verzweigung des Verarbeitungsgutstromes. Das innermaschinelle Verfahren (Bild 3) ist die schematische Darstellung des Funktionsablaufes, w
hrend das Arbeitsprinzip einer Maschine (Bilder 4 und 5) das Zusammenwirken und die r
umliche Anordnung der Arbeitsorgane prinzipiell darstellt.

I2.2 Struktur von Verarbeitungsmaschinen

F 41

durch die Energieeinleitung den Verarbeitungsvorgang aus, z. B. Schweißvorgang, Trennvorgang, Formvorgang, Frdervorgang u. a. Der Vorgang ist die quantitative Formulierung des energetischen und kinematischen Ablaufs der Einwirkung des Arbeitsorgans auf das Verarbeitungsgut an der Wirkstelle in Abhngigkeit von der Zeit. Er wird durch die Eigenschaften des Verarbeitungsgutes, die Parameter des Arbeitsorgans und die Umgebungsbedingungen in seinem Ablauf beeinflußt. F
r die Modellierung des Verarbeitungsvorganges sind die unter dynamischen Beanspruchungsbedingungen ermittelten Eigenschaftskennwerte des Verarbeitungsgutes erforderlich, die den whrend der Verarbeitung auftretenden Beanspruchungen entsprechen. Zahlreiche Vorgnge lassen sich in Teilvorg
nge zerlegen, die durch unterschiedliche physikalische Prinzipe realisiert werden knnen (Bild 7). Ihre Kombination ergibt eine Vielzahl von Kombinationsmglichkeiten, Ausf
hrungsvarianten und Optimierungsanstzen. Die optimale Gestaltung des Verarbeitungsvorgangs ist eine grundlegende Voraussetzung f
r eine hochproduktive, zuverlssige und energetisch g
nstige Maschine. 2.2.2 Antriebs- und Steuerungssystem Motion and Control System Bild 3. Innermaschinelles Verfahren einer Hartkaramellen-Verpakkungsmaschine

Die Bewegungen der Arbeitsorgane, abgeleitet aus dem Zusammenwirken mit dem Verarbeitungsgut, werden in ihren kinematischen Anforderungen durch das Arbeitsdiagramm dargestellt (Bilder 6), das eine Grundlage f
r die Antriebsund Steuerungsauslegung ist. Verarbeitungsvorgang Die in der Wirkpaarung
ber Relationen in Verbindung stehenden Elemente Verarbeitungsgut und Arbeitsorgan f
hren

Das Antriebssystem stellt entsprechend seiner Aufgabe die f
r den Verarbeitungsvorgang erforderliche Energie dem Arbeitsorgan zum richtigen Zeitpunkt und in der richtigen Menge bereit. Dazu gehren Energiewandler, Energieumformer und Energieleitungen. Der Energiewandler wandelt die vom Netz bereitgestellte elektrische Energie in mechanische, hydraulische, pneumatische Energie um (z. B. Motor, Pumpe, Kompressor). Der Energieumformer formt die mechanische, hydraulische, pneumatische stetige Energieform entsprechend den aus der Wirkpaarung abgeleiteten Antriebsanforderungen in ein anderes Drehzahl- oder Energieniveau sowie in eine zeitlich vernderliche Form um (z. B. Getriebe, Mechanismus).

Bild 4. Arbeitsprinzip einer Hartkaramellen-Verpackungsmaschine. AO1 Zuf
hrteller, AO2 Unterstempel, AO3 Oberstempel, AO4 Abzugwalzen, AO5 Messer, AO6 Unterfalter, AO7 Greifer, AO8 Drehgreifer, AO9 Auswerfer

F

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Grundlagen der Konstruktionstechnik – 2 Anwendung f
r Maschinensysteme der Stoffverarbeitung

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Bild 5. Sch
ttgut-Verpackungsanlage. 1 Packstoffrolle, 2 Packstoffzuf
hrung, 3 Zuschnittherstellung, 4 Packstofformung (Faltdorn), 5 Mehrkopf-Abf
llwaage, 6 1. Kontrollwaage mit Tendenzsteuerung, 7 Nachdosierer, 8 2. Kontrollwaage (Fertigpackung), 9 Fehlpackungsausschleusung, 10 Verschließstation, 11 Verschlußanpressung

Die Energieleitung sorgt daf
r, daß die Antriebsenergie vom Energiewandler bis zum Arbeitsorgan gelangt (z. B. Welle, Riemen, Kette, Zahnradpaarung). Die Antriebsanforderungen werden aus dem Ablauf des Vorgangs abgeleitet und werden als kinematische oder kinetische Bedingungen formuliert. Die kinematischen Vorgaben knnen Weg-, Geschwindigkeits- oder Beschleunigungsvorgaben sein, die zu einem be-

stimmten Zeitpunkt oder
ber einen bestimmten Zeitbereich einzuhalten sind. Mitunter existieren diese Vorgaben auch als untere oder obere Grenzwerte (Bild 8), die durch die Belastbarkeit des Verarbeitungsgutes bestimmt sind. Weg- oder Geschwindigkeitsvorgaben ergeben sich aus dem zeitlichen und rumlichen Zusammenwirken mehrerer Arbeitsorgane oder aus der Koordinierung zwischen Verarbeitungsgut und Arbeitsorgan (Verarbeitungsgut
bergabe, Vor-

I2.2 Struktur von Verarbeitungsmaschinen

F 43

F

Bild 6 a–f. Arbeitsdiagramm einer Hartkaramellen-Verpackungsanlage (Auszug). a Zuf
hrteller (AO1 ); b Unterstempel (AO2 ); c Oberstempel (AO3 ); d Packmittel-Zuf
hrung (AO4 ); e Messer (AO5 ); f Unterfalter (AO6 )

Bild 7. Teilvorgnge des Folienschweißens

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Grundlagen der Konstruktionstechnik – 2 Anwendung fr Maschinensysteme der Stoffverarbeitung

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Bild 8. Verarbeitungstechnische Vorgaben fr das Arbeitsdiagramm

schub u. a.) und sind mit unterschiedlicher Genauigkeit einzuhalten. Aus diesen kinematischen Vorgaben entsteht bei mehreren Arbeitsorganen das Arbeitsdiagramm, das die zeitliche und r
umliche Zuordnung von Verarbeitungsgut und Arbeitsorgan kennzeichnet (Bild 6). Die kinetischen Vorgaben kennzeichnen den zeitlichen und betragsm
ßigen Verlauf des Energieeintrags in die Wirkpaarung. Es gibt im Wesentlichen drei charakteristische Verlaufsformen: – zeitlich konstanter Energieeintrag bei stetig angetriebenen Maschinen, z. B. Mischer, Rotationsmesser, Pumpe, Walze; – Energieeintrag mit sinoidem Verlauf bei periodisch hin und her gehenden Antrieben, z. B. Vorschubeinrichtung, Greifer, Faltorgan; – Energieeintrag mit einem sehr hohen Spitzenwert w
hrend einer relativ kurzen Zeit des gesamten Arbeitsspiels, z. B. Stanzmesser, Pr
geform, Preßstempel. Diese Verlaufsform stellt besondere Anforderungen an das Antriebssystem, weil der sehr hohe Drehmoment-Spitzenwert vom Antrieb aufgebracht werden muß.

Die Antriebssysteme werden nach dem Ort der Energiewandlung in zentrale und dezentrale (periphere) Antriebsstrukturen unterteilt. Beim Zentralantrieb erfolgt die Energiewandlung in mechanische Energie zentral durch einen Motor und durch Energieverzweigungen sowie durch Energieleitungen (Welle, Riemen, Zahnr
der) wird sie bis zu den Arbeitsorganen geleitet, die dadurch entsprechend dem Arbeitsdiagramm zwangsl
ufig miteinander verbunden sind (Bild 9 a). Die im Arbeitsdiagramm festgelegten zeitlichen und kinematischen Anforderungen werden durch Kurvenscheiben und Mechanismen, die von einer Programmwelle gesteuert werden, realisiert. Die Steuerungsinformationen werden dabei vom Antriebssystem mit bertragen, so daß mit geringem Steuerungsaufwand ein Zwanglauf der Arbeitsorgane erzielt wird. Die Anpassung des Antriebs der Arbeitsorgane an unterschiedliche Verarbeitungsaufgaben und -bedingungen (Formate, Eigenschaften der Verarbeitungsgter) ist dadurch erschwert. Beim peripheren Antrieb erfolgt die Leitung der elektrischen Energie bis zum Energiewandler, der direkt vor dem Arbeitsorgan angeordnet ist (Bild 9 b). Periphere Antriebe haben einen geringeren mechanischen Aufwand und werden bei Ma-

I2.2 Struktur von Verarbeitungsmaschinen

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F

Bild 9 a–c. Antriebsstrukturen. a Zentraler Antrieb ohne Programmwelle/Steuerung im elektrischen und/oder mechanischen Energiefluß; b peripherer (dezentraler) Antrieb mit elektromechanischem Energiewandler; c Antrieb eines Wirkpaares mit Steuerung im elektrischen Energiefluß. Est Eingangsgrße Stoff, EE Eingangsgrße Energie, ES Eingangsgrße Signal, Ast Ausgangsgrße Stoff, AE Ausgangsgrße Energie, As Ausgangsgrße Signal, WP Wirkpaar, EU Energieumformer, EW Energiewandler, SV Signalverarbeitung, e elektrisch, m mechanisch

schinen mit zahlreichen, weit voneinander entfernten Arbeitsorganen angewendet, weil der mechanische Aufwand zur Energieleitung geringer ist. Die Steuerungsinformation aus dem Signalbereich wird
ber Bussysteme direkt bis zum Energiewandler vor dem Arbeitsorgan geleitet. Die Bewegungssynchronisation zwischen den verschiedenen Arbeitsorganen muß durch erhhten steuerungstechnischen Aufwand gewhrleistet werden und f
r den Havariefall sind besondere Maßnahmen vorzusehen. Die Energieleitungskette wird vereinfacht und die Anpassung an andere Verarbeitungsbedingungen und Verarbeitungsguteigenschaften ist bei dezentralen Antrieben einfacher durchzuf
hren (Bild 9 c). Durch die zahlreichen Verarbeitungsvorgnge in einer Verarbeitungsmaschine wird besonders bei geringem Energiebedarf der Wirkpaarungen wegen der hheren Flexibilitt und dem geringeren maschinentechnischen Aufwand der periphere

Antrieb zunehmend angewendet. Der innere Energieausgleich durch Speicherung ist jedoch schwer mglich. 2.2.3 Raumsystem. Frame and Shell System Das Raumsystem hat die Aufgabe, die rumliche Zuordnung der einzelnen Arbeitsorgane untereinander und zu dem Verarbeitungsgut zu sichern und gegen
ber der Umgebung abzugrenzen (Arbeitsschutz, Klimaeinwirkung, Schadstoffemission) sowie alle Baueinheiten, Steuerungseinrichtungen und Bedienelemente aufzunehmen. Entsprechend den innermaschinellen Verfahren existieren verschiedene Bauweisen, die durch die rumliche Anordnung des Stoffdurchlaufes durch die Wirkpaarungen und Arbeitsorgane bestimmt sind. Karussell-/Trommelbauweise mit vertikaler oder horizontaler Achse wird angewendet, wenn bei langen Verarbeitungs-

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Grundlagen der Konstruktionstechnik – 2 Anwendung f
r Maschinensysteme der Stoffverarbeitung

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Bild 10 a–d. Bauweisen. a Karussell-/Trommelbauweise; b Linienbauweise; c Wandbauweise; d Tischbauweise (Rundtisch). VG Verarbeitungsgut

I2.3 Verarbeitungsanlagen zeiten mitlaufende Arbeitsorgane die lange Einwirkzeit sicherstellen (Bild 10 a). Linienbauweise in ein- und mehrbahniger Ausf
hrung wird bei geradlinigem Verarbeitungsgutdurchlauf besonders bei Stoffzuf
hrung von oben eingesetzt (Bild 10 b). Wandbauweise wird in den Fllen eingesetzt, in denen eine schmale Bahn zur Verarbeitung gelangt, der Stoffdurchlauf f
r den Bediener
bersichtlich angeordnet sein soll und die Antriebs- und Steuerungseinrichtungen vom Stofffluß getrennt gut zugnglich angebracht sein sollen (Bild 10 c). Tischbauweise wird besonders bei taktweise angetriebenen Maschinen mit einer geringen Anzahl von Stationen, die rumlich konzentriert angeordnet werden, angewendet (Bild 10 d). Die Bauweisen bestimmen die Bauformen der Maschinengestelle (Bild 11). Das Kastengestell (Bild 11 a) wird besonders in den Fllen verwendet, in denen hohe Krfte aufgebracht werden m
ssen (Presse, Stanze) oder in denen ein kurzer vertikaler Stofffluß vorhanden ist (Schlauchbeutelmaschine). Das Portal- oder Br
ckengestell (Bild 11 b) wird eingesetzt, wenn grßere Flchen oder Bahnbreiten vom Arbeitsorgan zu
berdecken sind (Br
ckenstanze, Querschneider u. a.). Das Einwandgestell (Bild 11 c) herrscht besonders bei der Verarbeitung von schmalen Bahnen vor, wenn ein ungehinderter Zugang zu den Arbeitsorganen angestrebt ist und unabhngig davon die Antriebs- und Steuerungseinrichtungen zugnglich sein sollen (Blistermaschinen, Kseverpackungsmaschinen

F 47

u. a.). Das Doppelwandgestell (Bild 11 d) wird besonders bei Maschinen in Linienbauweise, die Bahnen verarbeiten und bei denen eine stabile Lagerung der Arbeitsorgane (Walzen) sowie eine hohe Steifigkeit gewhrleistet werden muß, angewendet (Druckmaschine, Papierverarbeitungsmaschine, Durchlaufbackofen u. a.). Beide Seitenwnde des Gestells sind durch stabile Untergestelle sehr steif miteinander verbunden (Bild 12). Das offene Rahmengestell (Bild 11 e) wird bei Maschinen in Tischbauweise bzw. bei innermaschinellen Verfahren, die sehr verzweigt sind und geringe dynamische Massenkrfte haben, angewendet. Es wird meist aus Fertigprofilen hergestellt, die mit Blech oder Plexiglas verkleidet werden. Zur Erf
llung der Funktion Abgrenzung von der Umwelt aufgrund klimatischer, hygienischer oder umweltschutz- sowie arbeitsschutztechnischer Anforderungen kommt der Verkleidung eine weitere funktionelle Bedeutung zu (Luftf
hrung, Reinigung, Schutz vor unbefugtem Zugriff).

2.3 Verarbeitungsanlagen. Processing Plants Zur Realisierung eines komplexen technologischen Verfahrens von der Zuf
hrung und der Speicherung der Rohstoffe bis zur Bereitstellung des fertig verpackten Endproduktes auf der Palette sind zahlreiche verfahrenstechnische Apparate und verarbeitungstechnische Ausr
stungen erforderlich.

Bild 11 a–e. Maschinengestelle – Bauformen. a Kastengestell (offen und geschlossen); b Portal- oder Br
ckengestell; c Einwandgestell; d Doppelwandgestell; e offenes Rahmengestell. 1 Verarbeitungsraum, 2 Antriebs- und Steuerungsraum

Bild 12. F
nffarben-Bogenoffsetdruckmaschine. 1 Bogenanleger, 2 Farbwerk, 3 Druckzylinder, 4 Drucktrommel, 5 bergabetrommel, 6 Heizung, 7 Bogengreifer, 8 L
fter

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Grundlagen der Konstruktionstechnik – 2 Anwendung f
r Maschinensysteme der Stoffverarbeitung

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Bild 13. Struktur einer Getrnkef
llanlage nach [5]

Bild 14. Verpackungsanlage. 1 Form-, F
ll- und Verschließmaschine, 2 Sammelpackmaschine, 3 Palettiermaschine

I3 Spezielle Literatur Bei geringer Produktivit
t werden die einzelnen Apparate und Maschinen nach den r
umlichen Gegebenheiten und arbeitsorganisatorischen Anforderungen aufgestellt. Bei hheren Produktivit
tsanforderungen werden die Einzelmaschinen bereits in der Projektierungsphase entsprechend dem vorgesehenen Stoffdurchlauf nach dem technologischen Verfahren zu einer komplexen Anlage zusammengeschaltet und durch eine bergeordnete Anlagensteuerung berwacht (Bild 13). Da jede Einzelmaschine in Abh
ngigkeit von den zu verarbeitenden Stoffen und maschinentechnischen Parametern eine unterschiedliche Zuverl
ssigkeit aufweist, erhhen variable Strukturen, z. B. Parallelschaltung von Maschinen sowie durch Speicher und Verkettungseinrichtungen, die Gesamtzu-

F 49

verl
ssigkeit. Durch zielgerichtete Anwendung verschiedener Verkettungsarten wie Reihenverkettung, Parallelverkettung, starre Verkettung, lose Verkettung, Innenverkettung, Außenverkettung in Kombination mit Speichern, die als Durchlaufoder Hauptschlußspeicher bzw. als R
cklauf- oder Nebenschlußspeicher ausgefhrt sein knnen, wird das unterschiedliche Ausfallverhalten der einzelnen Maschinen teilweise kompensiert. Durch Simulation dieser Prozesse knnen bereits vor der Anlagenrealisierung die optimale Struktur und die zugehrigen Auslegungsparameter bestimmt werden [6]. Dadurch lassen sich sehr komplexe Anlagen bereits in der Projektierungsphase optimieren (Bild 14).

F 3 Spezielle Literatur Special bibliography zu F 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens [1] Pahl, G.; Beitz, W.; Feldhusen, J.; Grote, K.-H.: Konstruktionslehre, 5. Aufl. Berlin: Springer 2003. – [2] VDIRichtlinie 2221: Methodik zum Entwickeln und Konstruieren technischer Systeme und Produkte. Dsseldorf: VDI-Verlag 1993. – [3] Holliger, H.: Morphologie – Idee und Grundlage einer interdisziplin
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F

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chenbeschaffenheit in Zeichnungen. – DIN 4000 Teil 1: Sachmerkmal Leisten, Grunds
tze. – DIN 4760: Gestaltsabweichung; Begriffe, Ordnungssystem. – DIN 4761: Oberfl
chencharakter: Geometrische Oberfl
chentextur-Merkmale, Begriffe, Kurzzeichen. – DIN 4762: Oberfl
chenrauheit; Begriffe. – DIN 4763: Stufung der Zahlenwerte fr Rauheitsmeßgrßen. – DIN 4764: Oberfl
che an Teilen fr Maschinenbau und Feinwerktechnik; Begriffe nach der Beanspruchung. – DIN 4765: Bestimmen

I3 Spezielle Literatur des Fl
chentraganteils von Oberfl
chen; Begriffe. – DIN 4766: Herstellverfahren der Rauheit von Oberfl
chen. Erreichbare gemittelte Rauhtiefe Rz nach DIN 4768 Teil 1 und Mikrofl
chentraganteil tai : – DIN 6771 Teil 1: Schriftfelder fr Zeichnungen, Pl
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tstoleranzen (Hllbedingung ohne Zeichnungseintrag). – DIN 7521 bis 7527: Schmiedestcke aus Stahl. – ISO 8015: Tolerierungsgrundsatz. – DIN 7526: Schmiedestcke aus Stahl; Toleranzen und zul
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tze. – DIN 31 000/VDE 1000: Allgemeine Leits
tze fr das sicherheitsgerechte Gestalten technischer Erzeugnisse. – DIN/VDE 31 000 Teil 2: Allgemeine Leits
tze fr das sicherheitsgerechte Gestalten technischer Erzeugnisse, Begriffe der Sicherheitstechnik, Grundbegriffe. – DIN 31 001: Sicherheitsgerechtes Gestalten techni-

F 51

scher Erzeugnisse. (Teilweise ersetzt durch DIN EN 292 Teil 1 u. 2.) – DIN 31 051: Instandhaltung; Begriffe. – DIN 33 400: Gestalten von Arbeitssystemen nach arbeitswissenschaftlichen Erkenntnissen; Begriffe und allgemeine Leits
tze. – DIN 33 401: Stellteile; Begriffe Eignung, Gestaltungshinweise. – DIN 33 402: Krpermaße des Menschen; Begriffe. Meßverfahren. – DIN 33 403: Klima am Arbeitsplatz und in der Arbeitsumgebung. – DIN 33 404: Gefahrensignale fr Arbeitsst
tten. – DIN 33 413: Ergonomische Gesichtspunkte fr Anzeigeeinrichtungen. – DIN 33 414: Ergonomische Gestaltung von Warten. – DIN 69 910: Wertanalyse; Begriffe, Methode (1987). zu F 2 Anwendung fr Maschinensysteme der Stoffverarbeitung [1] Heidenreich, E. u. a.: Lehrwerk Verfahrenstechnik, Band Verarbeitungstechnik. Leipzig: Deutscher Verlag fr Grundstoffindustrie 1978. – [2] Goldhahn, H.: Beitrag zur Verallgemeinerung wirkpaarungstechnischer Zusammenh
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IMechanische Konstruktionselemente

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G1

Mechanische Konstruktionselemente Mechanical machine components L. Deters, Magdeburg; P. Dietz, Clausthal-Zellerfeld; B.-R. H
hn, M
nchen; M. Kaßner, Braunschweig; H. Kerle, Braunschweig; H. Mertens, Berlin; H.D. Motz, Solingen; H. Peeken, Aachen; G. Poll, Hannover; J. Ruge, M
nchen; K. Thomas, Braunschweig; H. Winter, M
nchen; H. Wohlfahrt, Braunschweig; H. W
sle, Braunschweig

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ber Schweißzustze, Fertigung, G
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sseldorf: Alu-Verlag 2002. – Probst, R.; Herold, H.: Kompendium der Schweißtechnik, Bd. 2: Schweißmetallurgie. Fachbuchreihe Schweißtechnik Bd. 128/2. D
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G2

Mechanische Konstruktionselemente

zu G 1.1.5 Berechnung von Schweißverbindungen B
cher: Haibach, E.: Betriebsfestigkeit – Verfahren und Daten zur Bauteilberechnung. D
sseldorf: VDI-Verlag 1989. – Neumann, A.: Schweißtechnisches Handbuch f
r Konstrukteure. 6. Aufl., Teil 1: Grundlagen, Tragfhigkeit, Gestaltung, 6. Aufl. Teil 2: Stahl-, Kessel- u. Rohrleitungsbau, 5. Aufl. Teil 3: Maschinen- u. Fahrzeugbau, 4. Aufl. Neumann, A.; Hobbacher, A.: Teil 4: Geschweißte Aluminiumkonstruktionen. Fachbuchreihe Schweißtechnik, Bd. 80/I bis 80/IV. D
sseldorf: DVS-Verlag 1990, 1988, 1986, 1993. – Sahmel, P.; Veit, H.-J.: Grundlagen der Gestaltung geschweißter Stahlkonstruktionen, 10. Aufl. Fachbuchreihe Schweißtechnik Bd. 12. D
sseldorf: DVS-Verlag 2002. – Ruge, J.: Handbuch der Schweißtechnik, Bd. III: Konstruktive Gestaltung der Bauteile. Berlin: Springer 1985 und Bd. IV: Berechnung von Schweißkonstruktionen. Berlin: Springer 1988. – Radaj, D.: Gestaltung und Berechnung von Schweißkonstruktionen. – Erm
dungsfestigkeit. Fachbuchreihe Schweißtechnik Bd. 82. D
sseldorf: DVS-Verlag 1985. – Aluminium-Zentrale D
sseldorf: Aluminium-Taschenbuch, 16. Aufl. D
sseldorf: Alu–Verlag 2002. – Leichtbau der Verkehrsfahrzeuge 7 (1963) Sonderheft. – Wiedemann, J.: Leichtbau Bd. 1: Elemente, Bd. 2: Konstruktion. Berlin: Springer 1986, 1989. – Neumann, A.; Neuhoff, R.: Kompendium der Schweißtechnik, Bd. 4: Berechnung und Gestaltung von Schweißkonstruktionen. Fachbuchreihe Schweißtechnik Bd. 128/4. 2. Aufl. D
sseldorf: DVS-Verlag 2002. – DASt-Richtlinie 014. Empfehlungen zum Vermeiden von Terrassenbr
chen in geschweißten Konstruktionen aus Baustahl. Kln: Stahlbauverlag 1981.

G

zu G 1.2 Lten B
cher: L
der, E.: Lten, Betriebsb
cher, Bd. 25. M
nchen: Hanser 1966. – M
ller, W.: Metallische Ltwerkstoffe – Arten – Eigenschaften – Verwendung. Fachbuchreihe Schweißtechnik, Bd. 108. D
sseldorf: DVS-Verlag 1990. – Zaremba, H.: Hart- und Hochtemperaturlten. Schweißtechnische Praxis, Bd. 20. D
sseldorf: DVS-Verlag 1989. Hart- und Hochtemperaturlten und Diffusionsschweißen. DVS-Berichte Bd. 125 und 148. D
sseldorf: DVS-Verlag 1989, 1992. – M
ller, W.; M
ller, J.-U.: Lttechnik – Leitfaden f
r die Praxis. Fachbuchreihe Schweißtechnik Bd. 127. D
sseldorf: DVS-Verlag 1995. – Lison, R.: Schweißen und Lten von Sondermetallen. Fachbuchreihe Schweißtechnik Band 118. D
sseldorf: DVS-Verlag 1996. Zeitschriften: Colbus, J.: Probleme der Lttechnik. Schweißen und Schneiden 6 (1954) 187–196. – Colbus, J.: Die Pr
fung von Loten und Ltverbindungen zum Hart- und Schweißlten. Schweißen und Schneiden 9 (1957) 110–116. – Colbus, J.: Versuche zur Deutung der Bindevorgnge. Schweißen und Schneiden 10 (1958) 50–54. – Erdmann-Jesnitzer, F.; Bogner, R.: Ltbruch bei Stahl. Industrieblatt 60 (1960) 133–143. – Klug, K. Th.: Untersuchungen
ber die Zeitstandfestigkeit von Weichltverbindungen. Beitrag zur Bestimmung der Warmfestigkeit von Weichloten. Schweißen und Schneiden 17 (1965) 200–206. – Spengler, H.: ber das Festigkeitsverhalten von Weichlotverbindungen. Metall 13 (1959) 1130–1132. Normen und Richtlinien: DIN-DVS-Taschenbuch 196: Schweißtechnik 5 – Lten, Hartlten, Weichlten, gedruckte Schaltungen. Berlin: Beuth 2001. zu G 1.3 Kleben B
cher: Matting, A.: Metallkleben. Berlin: Springer 1969. – Habenicht, G.: Kleben, 4. Aufl. Berlin: Springer 2003. – Saechtling, H.; Woebcken, W., Herausgeber: Kunststoff-Taschenbuch, 28. Aufl. M
nchen: Hanser 2001. – Kleben von Stahl und Edelstahl-Rostfrei. Stahl-Informations-Zentrum, Merkblatt 382, D
sseldorf. – Schmitz, B. H.: Auswirkungen der Feuchtigkeit auf das Alterungs- und Langzeitverhalten von Metallklebeverbindungen. Schweißtechnische Forschungsberichte, Bd. 28. D
sseldorf: DVS-Verlag 1989. – Taschenbuch: DVS-Merkbltter und DVS-Richtlinien Kunststoffe, Schweißen und Kleben. Fachbuchreihe Schweißtechnik, 9. Aufl., Bd. 68/IV. D
sseldorf: DVS-Verlag 2001. Normen und Richtlinien: VDI-Richtlinie 2229: Metallklebeverbindungen, Hinweise f
r Konstruktion und Fertigung. D
sseldorf: VDI. – DIN 53 281: Pr
fung von Metallklebstoffen und -klebungen. – DIN EN 26 922: Bestimmung der Zugfestigkeit von Stumpfklebungen. – DIN-Taschenbuch 205: Metallklebungen. Berlin: Beuth. zu G 8 Zahnradgetriebe B
cher: Buckingham, E.: Analytical Mechanics of Gears. New York: McGraw Hill 1949. – Drago, R. J.: Fundamentals of Gear Design. Boston: Butterworth 1988. – Dudley, D. W.: Gear Handbook. New York: McGraw Hill 1962. – Dudley, D. W.: Practical Gear Design. New York: McGraw Hill 1984. – Dudley, D. W.; Winter, H.: Zahnrder. Berlin: Springer 1961. – Henriot, G.: Engrenages. Paris: Dunod 1980. – Keck, K. F.: Die Zahnradpraxis, Teil 1 u. 2. M
nchen: Oldenbourg 1956 u. 1978. – Maag-Taschenbuch, Z
rich: MAAG AG 1985. – Merritt, H. E.: Gear Engineering. London: Pitman 1971. – Niemann, G.; Winter, H.: Maschinenelemente. Bd. II u. III. 2. Aufl. Berlin: Springer 1989/86. – Thomas, K. K.; Charchut, W.: Die Tragfhigkeit der Zahnrder. M
nchen: Hanser 1971. – Zimmer, H. W.: Verzahnungen I, Stirnrder mit geraden und schrgen Zhnen. Berlin: Springer 1968. Zeitschriften: Hofschneider, M.; Leube, H.; Schltermann, K.: Jahres
bersicht Zahnrder und Zahnradgetriebe, Schneckengetriebe. VDI-Z 123 (1981) 943–949 (erscheint jhrlich). – Niemann, G.; Richter, W.: Versuchsergebnisse zur Zahnflanken-Tragfhigkeit. Konstruktion 12 (1960) 185–194, 236–241, 269–278, 319–321, 360–364, 397–402. – Richter, W.: Auslegung profilverschobener Außenverzahnungen. Konstruktion 12 (1962) 189–196. – Winter, H.: Int. Konferenz Leitungs
bertragung und Getriebe. Chicago 1977, Themen
bersicht. Antriebstechnik. Paris 1977, Themen
bersicht. Antriebstechn. 16 (1977) 580–582. zu G 9 Getriebetechnik B
cher: Angeles, J.: Spatial kinematic chains. Berlin: Springer 1982. – Beyer, R.: Technische Raumkinematik. Berlin: Springer 1963. – Dijksman, E. A.: Motion geometry of mechanisms. Cambridge: University Press 1976. – Dittrich, G.; Braune, R.: Getriebetechnik in Beispielen. M
nchen: Oldenbourg 1978. – Dizioglu, B.: Getriebelehre. Bd. 1 Grundlagen (1965), Bd. 2 Maßbestimmung (1967), Bd. 3 Dynamik (1966). Braunschweig: Vieweg. – Erdman, A. G.; Sandor G. N.: Mechanism Design. Vol. 1 (1984), Advanced Mechanism Design. Vol. 2 (1984). Englewood Cliffs: Prentice-Hall. – Franke, R.: Vom Aufbau der Getriebe. Bd. I. 2. Aufl. (1958), Bd. II (1951). D
sseldorf: VDI-Verlag. – Hagedorn, L.; Thonfeld, W.; Rankers, A.: Konstruktive Getriebelehre. 5. Aufl. Berlin: Springer 1997. – Hain, K.: Angewandte Getriebelehre, 2. Aufl. D
sseldorf: VDI-Verlag 1961. – Hain, K.: Atlas f
r GetriebeKonstruktionen. Braunschweig: Vieweg 1972. – Hain, K.: Getriebebeispiel-Atlas. D
sseldorf: VDI-Verlag 1973. – Kerle, H.; Pittschellis, R. Einf
hrung in die Getriebelehre, 2. Aufl. Stuttgart: Teubner 2002. – Hunt, K. H.: Kinematic geometry of mechanisms. Oxford:

I1.1 Schweißen

G3

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rzburg: Vogel 1993. – Suh, C. H.; Radcliffe, C. W.: Kinematics mechanisms design. New York: Wiley 1978. – Volmer, J. (Hrsg.): Getriebetechnik – Lehrbuch. 3. Aufl. (1976), Koppelgetriebe (1979). Berlin (DDR): VEB Verlag Technik. – Volmer, J. (Hrsg.): Kurvengetriebe, 2. Aufl. Heidelberg: H
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sseldorf: VDI-Verlag.

1 Bauteilverbindungen Connections 1.1 Schweißen. Welding H. Wohlfahrt, K. Thomas und M. Kaßner, Braunschweig Der Beitrag entspricht in Teilen dem der 18. Auflage (Autoren: J. Ruge, H. Wsle) Beim Verbindungsschweißen werden die Teile durch Schweißnhte am Schweißstoß zum Schweißteil zusammengef
gt. Mehrere Schweißteile ergeben die Schweißgruppe und mehrere Schweißgruppen die Schweißkonstruktion. Damit ist das Schweißen zu einem die Gestaltung bestimmenden Fertigungsverfahren geworden. Durch Auftragschweißen knnen verschlissene Flchen von Werkst
cken neu aufgetragen, Oberflchen weniger verschleißfester Werkstoffe mit Schichten aus Verschleißwerkstoffen gepanzert (Schweißpanzern), korrosiv unbestndige Trgerwerkstoffe mit korrosionsbestndigen Werkstoffen „plattiert“ (Schweißplattieren) oder zwischen nichtartgleichen Werkstoffen kann durch den Auftragwerkstoff eine beanspruchungsgerechte Bindung erzielt werden (Puffern). Neben Metallen lassen sich auch viele Kunststoffe durch Schweißen miteinander verbinden. 1.1.1 Schweißverfahren. Welding processes Verbindungsm
glichkeiten. Beim Metallschweißen werden die metallischen Werkstoffe verbunden: Durch Erwrmen der Stoßstellen bis in den Schmelzbereich (Schmelzschweißen) meist unter Zusetzen von artgleichem Werkstoff (Zusatzwerkstoff) mit gleichem oder nahezu gleichem Schmelzbereich wie die zu verbindenden Werkstoffe. An der Stoßstelle ist also eine fl
ssige Zone vorhanden, die nach dem Erkalten Gußgef
ge aufweist. Durch Erwrmen der Stoßstellen (u. U. bis zum Schmelzen) und Anwenden von Druck (Preßschweißen). Soweit an der Verbindungsstelle kein Schmelzfluß, aber große plastische Verformung eingetreten ist, wird das Gef
ge nach dem Erkalten in der Regel feinkrnig. Durch Anwenden von Druck im kalten Zustand der Werkstoffe (Kaltpreßschweißen). Die Verbindung lßt sich nur durch große plastische Verformungen (oberhalb der Quetschgrenze) der oxidfreien Oberflchen an der Stoßstelle herstellen; das Gef
ge ist sehr stark kaltverformt. Durch Erwrmen der Schweißzone im Vakuum oder in einem Schutzgas unter Anwendung von geringem Druck ohne plastische Verformung an der Verbindungsstelle (Diffusionsschweißen). Die Temperatur an der Verbindungsstelle muß eine f
r die Diffusion der Metallatome ausreichende Hhe haben. Außerdem wird daf
r eine hinreichende Zeit bentigt. Wrmequellen. Gasflamme (Gasschweißen), elektrischer Lichtbogen (Lichtbogenschweißen), Joulesche Wrme im Werkst
ck (Widerstandsschweißen), Induktion (Induktions-

schweißen), Joulesche Wrme in der fl
ssigen Schweißschlacke (Elektro-Schlacke-Schweißen), Relativbewegung zwischen den Grenzflchen (Reibschweißen und Ultraschallschweißen), Energie hoch beschleunigter Elektronen (Elektronenstrahlschweißen), Lichtenergie extremer Fokussierung oder B
ndelung (Lichtstrahl-, Laserstrahlschweißen), exotherme chemische Reaktion (aluminothermisches Schweißen), fl
ssiger Wrmetrger (Gießschweißen) und Ofen (Feuerschweißen). Verfahren. Beim Gas- und Lichtbogenschweißen
berwiegen immer noch die Handschweißverfahren, bei denen die Wrmequelle, die Gasflamme oder der elektrische Lichtbogen, durch den Schweißer von Hand gef
hrt wird. Zur Erhhung der Schweißgeschwindigkeit kann der Schweißstelle der Zusatzwerkstoff von Spulen (Drahtelektrode) zugef
hrt werden – teilmechanische Verfahren –, wobei wegen der Stromzuf
hrung zur Elektrode in unmittelbarer Nhe des Lichtbogens eine wesentlich hhere Stromdichte als bei der Handschweißung mglich ist. Insbesondere im Behlterbau oder bei Auftragschweißungen kann auch das Fortschreiten der Wrmequelle entlang der Schweißnaht durch eine Fahrbewegung des Schweißkopfes oder durch Bewegen – Fahren oder Drehen – des Werkst
cks bewirkt werden – vollmechanische Schweißverfahren. In der Massenfertigung (Großserien) erfolgt das Schweißen in Spann- und Haltevorrichtungen mit automatischem – u. U. rechnergesteuertem – Ablauf des Schweißvorgangs – automatisches Schweißen –, u. U. unter Einsatz von Schweißrobotern. Die heute hufig anzutreffenden Verfahren sind mit ihren kennzeichnenden Merkmalen und den Hauptanwendungsgebieten in Tab. 1 zusammengestellt. Insgesamt werden weit
ber 200 Schweißverfahren gezhlt. Einem Teil kommt nur noch geschichtliche Bedeutung zu, andere haben sich nicht einf
hren knnen, manche unterscheiden sich von bekannten Verfahren nur durch geringf
gige Abwandlungen. Neben den bereits aufgef
hrten Merkmalen der Wrmequellen und dem Grad der Mechanisierung unterscheiden sich die Verfahren in den Anwendungsmglichkeiten. Bei manchen sind nur bestimmte Schweißpositionen mglich. Fugenform und Nahtart sind ebenfalls zum Teil oder ganz vom Schweißverfahren abhngig. Daneben bestehen beim Lichtbogenschweißen Unterschiede im Einbrandverhalten, unter dem die Aufschmelztiefe der Fugenflanken unter der Einwirkung des Lichtbogens zu verstehen ist. Die Auswahl des f
r die Fertigung optimalen Schweißverfahrens wird von einer Vielzahl sowohl technischer als auch wirtschaftlicher Faktoren bestimmt, so daß sich hierf
r keine allgemein g
ltigen Regeln aufstellen lassen. 1.1.2 Schweißbarkeit der Werkstoffe Weldability of materials Die Schweißbarkeit metallischer Werkstoffe wird nach DIN 8528 T1 in Schweißeignung (Verbindung kann aufgrund

G

G4

Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen

Tabelle 1.
bersicht ber die wichtigsten Schweißverfahren

G

I1.1 Schweißen

G5

Tabelle 1 (Fortsetzung)

G

G6

Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen

Tabelle 1 (Fortsetzung)

G

der Werkstoffeigenschaften hergestellt werden), Schweißm
glichkeit (fachgerechte Herstellbarkeit) und Schweißsicherheit (Betriebsbew
hrung des Bauteils) unterteilt. Bei Wahl eines zweckm
ßigen Schweißverfahrens und sachgerechter Ausfhrung sind nahezu alle Stahlsorten und Nichteisenmetalle schweißbar. Schweißeignung von Stahl Werkstoffbedingte Einfl
sse. Sie gliedern sich wie folgt: Erschmelzungsart. Massenst
hle (unlegierte St
hle) und niedriglegierte St
hle werden im Sauerstoff-Aufblaskonverter, Sonderst
hle vorwiegend im induktiven oder Kohlelichtbogen-Elektroofen (E-Stahl) erschmolzen.

Vergießungsart (Desoxidation). Seigerungszonen im Kern unberuhigt vergossener St
hle sollen beim Schweißen nicht aufgeschmolzen („angeschnitten“) werden (Bild 1), da sie Anreicherungen an Schwefel (Rotbruch), Phosphor (Kaltbruch), Stickstoff (Alterung) und Kohlenstoff (H
rtung) enthalten. Durch Beruhigen der Schmelze (Zugabe von 0,1 bis 0,3% Si oder doppeltes Beruhigen mit Silicium und Aluminium) werden die Entmischungsvorg
nge beim Erstarren vermieden. Alterung (Reckalterung). Wichtigstes Kennzeichen der Alterung von Stahl ist die Abnahme der Z
higkeit durch Lagern nach Kaltverformung, d. h. bergang vom z
hen zum sprden Bruch (im Kerbschlagversuch bereits nahe Raumtemperatur). Alterung steigert beim Zusammentreffen ungnstiger Umst
nde die Gefahr eines Sprdbruchs.

I1.1 Schweißen

G7

lierter Elektroden. Kaltzhe Ni-Sthle (vorwiegend 5 bis 9%) sind ebenfalls Verg
tungssthle, jedoch mit niedrigem C-Gehalt (unter 0,1%). Sie sind mit austenitischen oder hochnikkelhaltigen Zusatzwerkstoffen schweißbar. In austenitischen Cr-Ni-Sthlen wirkt Ni als Austenitbildner und beeinflußt in der Regel die Schweißbarkeit nicht nachteilig. Mo-Gehalt: Ist in hherfesten Feinkornsthlen (bis 0,5%) und in warmfesten Sthlen (bis 1%) ohne direkten Einfluß auf die Schweißbarkeit. In austenitischen Cr-Ni-Sthlen
ber etwa 3% besteht Versprdungsgefahr durch Frderung von Sigma- und Laves-Phase bei ung
nstigen Schweißbedingungen.

Bild 1 a–d. Nahtanordnungen bei Walzprofilen. a bei I-Trger Widerstandsmoment durch eingeschweißtes Stegblech vergrßert; b Schweißungen an seigerungsfreien Zonen zweier U-Profile; c Stegaussteifungen mit Aussparungen in den Walzprofilecken (unberuhigter Stahl); d Eigenspannungen in U-Profilen (+Zug, Druck)

Chemische Zusammensetzung. Außer Schwefel, Phosphor und Stickstoff seien einige weitere Elemente in ihrer Bedeutung f
r die Schweißeignung hervorgehoben: C-Gehalt: In unlegierten Sthlen ist bis zu 0,25% unter normalen Schweißbedingungen keine wesentliche Aufhrtung neben der Schweißnaht zu erwarten; sie tritt erst auf, wenn die kritische Abk
hlungsgeschwindigkeit verringert wird: durch hhere Kohlenstoffgehalte allein (
ber 0,25%) oder durch Kohlenstoff in Verbindung mit Legierungselementen wie Mangan, Molybdn, Chrom, Nickel u. a. Gut schweißbar sind solche legierte Stahlwerkstoffe, z. B. Mn-Sthle mit bis 4% Mn, wenn der C-Gehalt niedrig liegt. Mn-Gehalt: In unlegierten Sthlen wirkt Mangan bis etwa 4% g
nstig (Erhhung von Festigkeit und Kerbschlagzhigkeit), daher ist es Hauptelement (bis etwa 1,5%) in hherfesten Feinkornsthlen. Bei Gehalten
ber 12% (Mangan-Hartstahl) sind Sondermaßnahmen beim Schweißen (sehr schnelle Abk
hlung) wegen der Bildung von e-Martensit erforderlich. In austenitischen Cr-Ni-Sthlen setzt Mangan (bis etwa 6%) die Rißneigung herab. Si-Gehalt: Unlegierte Sthle oberhalb etwa 0,6% neigen zur Poren- und Rißbildung. In Drahtelektroden f
r das MetallAktivgas-Schweißen (z. B. CO2 ) sind jedoch etwa 1,1% f
r die Desoxidation des Schweißguts erforderlich. Cu-Gehalt: Liegt allgemein nur als Verunreinigung vor. Gehalte um 0,5% in witterungsbestndigen Sthlen knnen zusammen mit hheren C-Gehalten (
ber etwa 0,20%) Heißrißund Versprdungsgefahr bewirken. Cr-Gehalt: Liegt in unlegierten Sthlen nur als Verunreinigung (unter 0,2%) vor. In warmfesten Sthlen (bis 5%) starke Herabsetzung der kritischen Abk
hlungsgeschwindigkeit (Lufthrter), sie sind daher nur mit Vorwrmung (bis etwa 400 C) schweißbar. Ferritische und martensitische Cr-Sthle (9 bis 30% Cr) sind wegen Grobkorn- und Sigmaphasen-Bildung in und neben der Naht nur bedingt, evtl. mit austenitischen Zusatzwerkstoffen und mit Vorwrmung und Wrmenachbehandlung, schweißbar. In austenitischen Cr-Ni-Sthlen (16 bis 25% Cr) besteht bei ung
nstig hohen Cr-Gehalten und nicht zweckentsprechenden Schweißbedingungen die Gefahr einer Sigmaphasen-Versprdung. Ni-Gehalt: Vorwiegend in hochfesten Feinkorn- und Verg
tungssthlen (bis etwa 2%). Erfordert wegen Frderung der Durchverg
tbarkeit (Martensit) genaue Abstimmung der Schweißbedingungen und Verwendung wasserstoffkontrol-

Ti- und Nb-Gehalt: Ist in Feinkornsthlen (bis etwa 0,3%) ohne direkten Einfluß auf die Schweißbarkeit. In austenitischen Cr-Ni-Sthlen wird Ti zur Verhinderung des Kornzerfalls (Abbinden des Kohlenstoffs zu Sondercarbiden) zulegiert. Bei zu hohen Gehalten (
ber etwa 1%) besteht die Gefahr einer Versprdung der Grundmasse. Al-Gehalt: Liegt in Feinkornsthlen als Desoxidations- und Denitrierungsmittel mit gleichzeitiger Wirkung auf Feinkrnigkeit vor. Bei zu hohen Gehalten (
ber etwa 0,03%) wird eine Rißneigung durch Korngrenzenausscheidungen im Schweißgut und in der wrmebeeinflußten Zone beg
nstigt. Werkstoffbedingte Bruchgefahren. Hochbeanspruchte Schweißverbindungen sollen auf etwaige berlastung durch plastische Verformung und nicht durch verformungslosen Bruch (Sprdbruch) reagieren. Die Neigung zum Sprdbruch wchst mit fallender Temperatur, steigender Beanspruchungsgeschwindigkeit, zunehmender Mehrachsigkeit der Beanspruchung (z. B. Kerbwirkung von Anrissen, ung
nstige Gestaltung) und zunehmender Blechdicke. Weiter wird die Sprdbruchneigung durch solche Zustze im Stahl erhht, welche die Aufhrtung oder die Alterung beg
nstigen oder verstrken. Die Sprdbruchneigung nimmt vom Feinkornstahl (Alberuhigt)
ber den beruhigt vergossenen zum unberuhigt vergossenen Stahl zu (vgl. DIN EN 10 025). Die ausreichende Sicherheit gegen Sprdbr
che in geschweißten Bauteilen lßt sich durch die Werkstoffwahl nach DASt-Richtlinie 009 erreichen. Terrassenbruchgefahr besteht bei Walzerzeugnissen, wenn diese in Dickenrichtung beansprucht werden (Fertigungsbeanspruchung, z. B. durch Schweißeigenspannungen, oder Betriebsbelastung). Ursache sind zeilenfrmig angeordnete Sulfideinschl
sse. Die DASt-Richtlinie 014 enthlt Empfehlungen zum Vermeiden von Terrassenbr
chen in geschweißten Konstruktionen aus Baustahl. Die Schweißsicherheit Sie ist bei einer Konstruktion durch die konstruktive Gestaltung (Kraftfluß, Nahtanordnung, Werkst
ckdicke, Kerbwirkung, Steifigkeitsspr
nge) und den Beanspruchungszustand (Art und Grße der Spannungen, Mehrachsigkeitsgrad, Beanspruchungsgeschwindigkeit, Temperatur, Korrosion) bedingt. Grundregeln f
r Nahtanordnung. Zahl der Schweißnhte klein halten, Nhte mglichst nicht an Stellen hchster und ung
nstiger Beanspruchung anordnen, Nahtkreuzungen vermeiden, bei Nahtanordnung Kraftfluß beachten, bei Walzprofilen g
nstige Nahtlage vorsehen, z. B. bei eingeschweißtem Stegblech eines I-Trgers (Bild 1 a), Verschweißen von UProfilen (Bild 1 b), Stegaussteifungen (Bild 1 c) in unberuhigten Zonen vermeiden und an Profilenden schweißen. In Zug-Eigenspannungszonen (Bild 1 d) Schweißungen vermeiden. Bauteildicke. Bei d
nnen Blechen besteht nach dem Schweißen ein vorwiegend zweiachsiger Eigenspannungszustand in der Blechebene (Bild 2 a, b), die Spannung in der dritten Richtung steigt mit zunehmender Blechdicke an. Dreiachsiger Zugspannungszustand bedeutet erhhte Sprdbruchgefahr, da

G

G8

Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen

Bild 2 a, b. Schweißeigenspannungen. a In Nahtrichtung (L
ngsspannungen); b quer zur Nahtrichtung (Querspannungen)

G

die Zugspannung der dritten Richtung (Blechdicke) die plastische Verformung und damit den Spannungsabbau behindert. Mit zunehmender Blechdicke nimmt außerdem die Gefahr der Aufh
rtung neben der Schweißnaht (W
rmeeinflußzone) in Abh
ngigkeit von Schweißverfahren und Schweißbedingungen zu. Bei unlegierten St
hlen wird ab etwa 25 mm Blechdicke daher Vorw
rmen auf 100 bis 400 C je nach Werkstoff und Dicke und/oder Spannungsarmglhen z. B. bei 550 bis 650 C angewendet. Bei legierten St
hlen sind die Vorw
rmund W
rmenachbehandlungstemperaturen in Abh
ngigkeit von den Legierungselementen, den zu verschweißenden Querschnitten und dem Schweißverfahren festzulegen (Werkstoffbl
tter der Stahlwerke). Nach den Technischen Regeln fr Dampfkessel (TRD) und den Druckbeh
ltervorschriften (AD) ist Normalglhen oder Vergten nach dem Schweißen erforderlich, wenn die geforderten Eigenschaften der Schweißverbindungen nur dadurch erzielbar sind, wenn bei Kaltverformung die Reckung der
ußeren Faser 5% (Biegeradius R >10 mal Blechdicke s, Betriebstemperatur > 10 C) bzw. 2% (R >25 s, Betriebstemperatur < 10 C) berschreitet und wenn vor oder nach dem Schweißen Warmverformung bei einer Verformungstemperatur außerhalb des Normalglh-Temperaturbereichs erfolgt ist. Spannungsarmglhen bzw. Vergten wird je nach Werkstoffzusammensetzung, Wanddicke und Bauteilform gefordert (AD-Merkblatt HP 7/1 und HP 7/2). Nach den Normen fr geschweißte Stahlbauten mit vorwiegend ruhender Belastung (DIN 18 801) darf bei Stumpfstßen in Form- und Stabst
hlen unberuhigter Stahl (St 37-2 u. USt 37-2 bzw. S 235 JR u. S 235 JRG 1) nur fr Dicken bis hchstens 16 mm verwendet werden, anderenfalls sind die zul
ssigen Beanspruchungen auf die H
lfte herabzusetzen. Fr kaltverformte Baust
hle ist das Schweißen im Verformungsbereich einschließlich des Bereichs der anliegenden Fl
chen von der Breite 5 s nur bei einem Biegeradius R ^ 10 s an allen Blechdicken und bei R ^ 3; 0 s an Blechdicken s % 24 mm, bei R ^ 2 s an Blechdicken s % 12 mm, bei R ^ 1; 5 s an Blechdicken s % 8 mm und bei R ^ 1; 0 s an Blechdicken s % 4 mm zul
ssig. Fertigungsbedingte Schweißsicherheit. Sie wird durch die Vorbereitung zum Schweißen (Schweißverfahren, Zusatzwerkstoff, Stoßart, Fugenform, Vorw
rmung), die Ausfhrung der Arbeit (W
rmefhrung, W
rmeeinbringung, Schweißfolge) und die Nachbehandlung (W
rmebehandlung, Bearbeitung, Beizen) beeinflußt. Bei dicken Querschnitten sind Schweißverfahren mit großer W
rmezufuhr zu bevorzugen (Ausnahme: Feinkornst
hle, hochfeste vergtete Baust
hle, vollaustenitische St
hle, Chrom-St
hle). Die Fugenform soll so gew
hlt werden, daß die Schweißgutmenge bei sicherem Aufschmelzen der Fugenflanken mglichst klein gehalten wird. Die Mehr-Lagen-

Schweißung ist bei grßeren Schweißquerschnitten der EinLagen-Schweißung vorzuziehen, da die erstgeschweißten Lagen durch die nachfolgenden w
rmebehandelt (normalgeglht) werden. Die letzte Lage besitzt wie die Ein-LagenSchweißung Gußstruktur. Die Schrumpfung der Schweißn
hte bedeutet Maß- und Form
nderungen des Schweißteils oder Schweißeigenspannungen durch das Zusammenziehen des Schweißguts beim Abkhlen. Diese Wirkung wird dadurch verst
rkt, daß zuvor beim Erw
rmen der Schweißstelle der Werkstoff wegen der Behinderung durch den umgebenden kalten Werkstoff gestaucht wurde. Die Querschrumpfung ist abh
ngig von Schweißverfahren, Werkstckdicke und Anzahl der Schweißlagen (Bild 3 a), die Winkelschrumpfung tritt besonders bei N
hten mit unsymmetrischen Fugenformen auf, Bild 3 b. Die Maßund Winkel
nderungen sind durch Zugaben und Winkelvorgabe zu bercksichtigen. Die L
ngsschrumpfung fhrt bei kleineren Werkstckdicken und besonders bei Kehln
hten zu Verkrzungen (0,1 bis 0,3 mm/m), Krmmungen, Beulungen und Verwerfungen. Die verkrmmende Wirkung wird aber auch absichtlich und kontrolliert bei Brcken- und Krankonstruktionen genutzt. Knnen verschweißte Teile der Schrumpfung nicht ungehindert folgen, so entstehen die besonders gef
hrlichen „Reaktionsspannungen“, die eine rißfreie Wurzelschweißung erschweren oder unmglich machen. Richten von Konstruktionsteilen vor und nach dem Schweißen kann entweder unter Aufbringen
ußerer Kr
fte oder durch Schrumpfwirkung erkaltender Teile (Richten mit der Flamme) erfolgen. Kaltrichten ist wegen Rißgefahr mglichst zu vermeiden. Die Schweißfolge, d. h. die Reihenfolge der Schweißarbeiten innerhalb einer Naht und im ganzen Bauteil, beeinflußt die Maß- und Form
nderung wie auch die Schweißeigenspannungen. Beide knnen durch zweckentsprechendes Festlegen der einzelnen Schweißschritte in einem Schweißfolgeplan in Grenzen gehalten werden. Bei Trommeln werden z. B. erst die L
ngsn
hte, dann die Rundn
hte geschweißt; Schweißfolge bei L
ngs- und Quern
hten an Platten gem
ß Bild 4 a. Abschnittweises Schweißen im Pilgerschrittverfahren empfiehlt sich bei L
ngsn
hten, Bild 4 b. Der Schwierigkeitsgrad beim Schweißen w
chst in der Reihenfolge der Schweißpositionen (DIN EN ISO 6947) von Wannen- (PA), Horizontal-Vertikal (PB) ber Fall- (PG), Steig- (PF), Quer- (PC) zu berkopfposition (PE), Bild 5. Position (PG) ist nur mit bestimmten Elektroden (Fallnahtelektroden) und Schweißbedingungen (Kurzlichtbogen beim MIG/MAG-Schweißen) mglich. Muß bei Temperaturen unterhalb des Gefrierpunkts geschweißt werden, so ist der Schweißplatz auf mindestens +10 C zu erw
rmen und das Werkstck vorzuw
rmen (50 bis 100 C); bei Arbeiten in großer Hhe muß ein Windschutz angebracht werden. Zusatzwerkstoff. Er soll so ausgew
hlt werden, daß die Festigkeitswerte (Streckgrenze, Zugfestigkeit, Dehnung und Kerbschlagz
higkeit) der Schweißverbindung mindestens die Gew
hrleistungs- (Berechnungs-) oder Normwerte des Grundwerkstoffs erreichen. Ausreichende Verformungsf
higkeit des Schweißguts ist besonders dann von Bedeutung, wenn der Grundwerkstoff geringe Schweißeignung hat oder wenn aus anderen Grnden Sprdbruchgefahr besteht. In diesem Fall sind Elektroden mit wasserstoffkontrollierter basischer Umhllung und erhhtem Mn-Gehalt (1,0 bis 1,8%) oder gleichwertige Drahtelektroden zu bevorzugen. Normen: DIN EN 499: Umhllte Stabelektroden zum Lichtbogenhandschweißen von unlegierten St
hlen und Feinkornst
hlen. – DIN 8554 T3: Schweißst
be fr das Gasschweißen, unlegiert und niedriglegiert. – DIN 8555 T1: Schweißzus
tze zum Auftragschweißen. – DIN EN 12 072: Schweißzus
tze –

I1.1 Schweißen

G9

Bild 4 a, b. Schweißfolge. a Reihenfolge der Schweißschritte 1 bis 7 in den 6 L
ngsn
hten und Schweißschritte 1 bis 3 in den Quern
hten I bis XIII einer Plattenwand; b Pilgerschritt-Schweißung

Bild 5. Schweißpositionen (s. Text) PA ... PG nach DIN EN ISO 6947, ( ) frhere Bezeichnungen

die Gasschmelzschweißung, bei dickeren Querschnitten die Lichtbogen-Handschweißung mit besonders legierten Gußeisen-Schweißst
ben unter Anwendung eines Flußmittels bzw. von Elektroden bei teilweiser Verwendung eines Flußmittels und Vorw
rmen des Werkstcks auf 600 bis 700 C (Warmschweißung). Kaltschweißungen (Lichtbogen-Handschweißung) mit Nickel-, Nickel-Kupfer- (Monel-) oder Nikkel-Eisen-Stabelektroden werden mit einer Vorw
rmung von 100 bis 200 C ausgefhrt. Das Schweißgut ist gut, die W
rmeeinflußzone meist gut (abh
ngig von den Schweißbedingungen) bearbeitbar, dagegen nicht bei Verwendung normaler Stahlelektroden (B-Typ) oder Stahl-Sonderelektroden (erhhter C-Gehalt) ohne W
rmenachbehandlung. Bild 3 a, b. Schrumpfungen bei einem Stumpfstoß nach Malisius. a Querschrumpfung; b Winkelschrumpfung

Drahtelektroden, Dr
hte und St
be zum Lichtbogenschweißen von nichtrostenden und hitzebest
ndigen St
hlen. – DIN EN 756: Drahtelektroden und Draht-Pulver-Kombinationen zum Unterpulverschweißen von unlegierten St
hlen und Feinkornst
hlen. DIN EN 440: Drahtelektroden und Schweißgut zum Metall-Schutzgasschweißen von unlegierten St
hlen und Feinkornst
hlen. ber die Schweißeignung der einzelnen St
hle s. E 3.1. Schweißbarkeit von Gußeisen, Temperguß und Nichteisenmetallen Grauguß (frher GG-15 bis GG-35 jetzt EN-GJL-150 bis ENGJL-350) wird vorwiegend in Reparatur- und Ausbesserungsf
llen geschweißt. Bei kleineren Wanddicken empfiehlt sich

Schwarzer Temperguß (z.B. EN-GJMB-350-10) und weißer Temperguß (z.B. EN-GJMW-350-10) lassen sich stets weichlten. Schweißbarkeit muß mit dem Hersteller besonders vereinbart werden. Bei EN-GJMW-360-12 (frher GTW-S 3812) ist bis 8 mm Wanddicke dagegen stets Schweißeignung fr Konstruktionsschweißungen vorhanden (ohne W
rmenachbehandlung). Fr untergeordnete Zwecke knnen auch schwarzer Temperguß (Temperkohle ber den ganzen Querschnitt) und weißer Temperguß (entkohlte Randzone) mit normalen oder niedriglegierten Zusatzwerkstoffen geschweißt werden, wobei schwarzer Temperguß wegen des im Schweißgut zus
tzlich gelsten Kohlenstoffs (aufgeschmolzene Temperkohle) harte und rißgef
hrdete N
hte ergibt (Vorw
rmen auf 200 bis 250 C). Gußeisen mit Kugelgraphit (z.B. EN-GJS-350-10) kann mit Sonderelektroden (Ni-legiert) unter Vorw
rmung (500 C) und W
rmenachbehandlung (900 bis 950 C) sowie Anlassen (700 bis 750 C) geschweißt werden. Ohne W
rmebehandlung
hnliches Verhalten wie bei schwarzem Temperguß.

G

G 10

G

Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen

Aluminiumknetwerkstoffe sind unlegiert nahezu mit allen Verfahren schweißbar. Kaltverfestigung wird in der w
rmebeeinflußten Zone durch Kristallerholung und Rekristallisation aufgehoben. Bauteile aus Aluminiumdruckguß knnen mit verschiedenen Schmelz- und Preßschweißverfahren gefgt werden, wenn ihr Gasgehalt hinreichend niedrig ist [103].

genformen – Metall-Inertgasschweißen und Wolfram-Inertgasschweißen von Aluminium und Aluminiumlegierungen. – DIN 8552 T 3: Schweißnahtvorbereitung, Fugenformen an Kupfer und Kupferlegierungen, Gasschmelzschweißen und Schutzgasschweißen. – DIN 8553: Verbindungsschweißen plattierter St
hle, Gestaltung und Ausfhrung.

Aush
rtende Aluminiumknetlegierungen blicher Zusammensetzung als Kalt- oder Warmaush
rter lassen sich grßtenteils nach fast allen Verfahren schweißen. Im Schweißgut und in der w
rmebeeinflußten Zone ist keine Aush
rtung vorhanden, bzw. sie wurde durch die W
rmeeinwirkung aufgehoben. AlZnMg wird im ausgeh
rteten Zustand geschweißt. Anschließend ergibt sich ein Festigkeitsanstieg im Nahtbereich durch Kaltaush
rtung. Schweißverfahren mit schmaler W
rmeeinflußzone sind aus Festigkeitsgrnden zu bevorzugen. Bei gleichartigem Zusatzwerkstoff kann eine W
rmebehandlung nach dem Schweißen gleiche Festigkeiten wie im Grundwerkstoff ergeben.

Fugenvorbereitung. Durch mechanische Trennverfahren und vor allem Brennschneiden. Die Schneidbarkeit von St
hlen wird durch ihre Legierungsbestandteile bestimmt.

Nichtaush
rtende Aluminiumknetlegierungen lassen sich in der Regel gut mit allen Verfahren schweißen. Bei Magnesium als Legierungselement treten ber 5% Mg Schwierigkeiten auf, so daß diese Legierungen fr Schweißkonstruktionen nicht eingesetzt werden. Kupfer bereitet in den sauerstoffarmen Sorten keine Schwierigkeiten. Die Elektrotechnik verwendet aber viel sauerstoffhaltiges Kupfer, das beim Gasschweißen sch
umt. Mit Schutzgas-Schweißverfahren und u. U. besonders legierten Zusatzwerkstoffen lassen sich sowohl fr die Festigkeit als auch fr die Leitf
higkeit ausreichende Ergebnisse erzielen. Kupferlegierungen wie CuZn (Messing), CuSn (Bronze) und CuSnZn (Rotguß) lassen sich bei ausreichender Erfahrung zufriedenstellend schweißen. Aus dem Messing dampft bei Lichtbogen-Schweißverfahren jedoch Zink aus, so daß die Schweißnaht kupferreicher wird; bei verschiedenen Bronzen knnen Entmischungsvorg
nge eintreten. Nickel und Nickellegierungen sind gut schweißbar (Ausnahme: Nickel-Eisen-Legierungen). Die hohe Gasaufnahme (Sauerstoff, Wasserstoff) erfordert ebenso wie die Neigung zur Grobkrnigkeit besondere Maßnahmen beim Schweißen (geringe W
rmezufuhr, Schutzgas) und bei den Zusatzwerkstoffen (desoxidierende Bestandteile). Sauberkeit (Fettfreiheit) der Fgebereiche ist erforderlich. Lichtbogen-Schweißverfahren sind zu bevorzugen. Schweißzusatzwerkstoffe. Es gilt stets der Grundsatz der artgleichen Schweißung, von dem nur in begrndeten Ausnahmef
llen oder wenn eine artgleiche Schweißung schweißtechnisch nicht mglich ist, abgewichen werden sollte. Normen: DIN 1732 T1 bis T3: Schweißzusatzwerkstoffe fr Aluminium. – DIN 1733 T1: Schweißzus
tze fr Kupfer und Kupferlegierungen. – DIN 1736 T1: Schweißzus
tze fr Nikkel und Nickellegierungen. – DIN 8573 T1: Schweißzus
tze zum Schweißen unlegierter und niedriglegierter Gußeisenwerkstoffe. 1.1.3 Stoß- und Nahtarten. Types of weld and joint Die Stoßart ergibt sich aus der konstruktiven Anordnung der zu verschweißenden Teile. Sie ist mitbestimmend fr die Nahtart. Normen geben Richtlinien fr die Fugenformen in Abh
ngigkeit vom Schweißverfahren hinsichtlich Werkstckdickenbereich, ffnungswinkel, Stegabstand, Steg- und Flankenhhe. Normen: DIN EN 29 692: Lichtbogenschweißen, Schutzgasschweißen und Gasschweißen, Schweißnahtvorbereitung fr Stahl. – DIN EN ISO 9692 T2: Schweißnahtvorbereitung, Unterpulverschweißen von Stahl. – DIN EN ISO 9692 T3 Schweißen und verwandte Prozesse – Empfehlungen fr Fu-

Mit neuzeitlichen Dsen lassen sich an unlegierten St
hlen, z. B. bei 20 mm Blechdicke, Schnittgte I nach DIN 2310 T2, Schneidgeschwindigkeiten von 550 mm/min erreichen. Fr einwandfreie Schnittkanten ist eine maschinelle Fhrung des Brenners erforderlich. Die Steuerung kann hierbei von Hand (Fadenkreuz auf Zeichnung), durch Magnetrollen (Stahlschablone), lichtoptisch (Photozelle nach Zeichnungskontur, auch nach bis 1 : 100 verkleinerter Zeichnung) oder numerisch (rechnergesteuert) erfolgen. Fr eine rationelle Fertigung ist die Aufstellung eines Schneidplans mit Zuordnung der auszuschneidenden Teile in der Blechtafel zur Vermeidung unntigen Abfalls erforderlich. Nicht brennschneidbare Werkstoffe (z. B. Cr-Ni-St
hle, Kupfer, Nickel, Aluminium) lassen sich mit dem Plasma-Lichtbogen schneiden, wobei der durch die hohe Energie nur in einer schmalen Zone geschmolzene Werkstoff durch den Gasstrahl aus der Fuge herausgedrckt wird. Im Gegensatz zum Brennschneiden ist zwar meist eine nachtr
gliche Bearbeitung der Fugenfl
chen erforderlich, aber das Verfahren erspart die hohen Kosten des mechanischen Trennens. Bei unlegierten und niedriglegierten St
hlen wird das Plasmaschneiden auch ohne Nachbearbeitung mit bis zu vierfacher Schneidgeschwindigkeit gegenber dem blichen Brennschneiden angewendet. Unlegierte Stahlbleche bis 12 mm Dicke lassen sich sehr wirtschaftlich mit dem Laser schneiden. Das Ausfugen der Wurzel fr die wurzelseitige Gegenschweißung kann durch Meißeln (Preßlufth
mmer mit Formmeißeln), Schleifen (Handschleifmaschinen), Hobeln, autogenes Brennfugen (Sonderbrenner
hnlich dem beim Brennschneiden verwendeten, jedoch mit angen
hert tangentialer Schneidrichtung) oder Kohlelichtbogen-Brennfugen (durch Kohlelichtbogen geschmolzener Werkstoff wird mittels Preßluft aus der Fuge geschleudert) erfolgen. Die Anwendbarkeit dieser Verfahren richtet sich nach Werkstoff (vgl. Anwendungsgrenzen des Brennschneidens), Form der Naht (gerade, gekrmmt), konstruktiven Gegebenheiten und Zug
nglichkeit. Stumpfstoß. I-Naht: Einfachste Nahtart, fr hhere Belastung ist im allgemeinen ein Nachschweißen der Naht auf der Wurzelseite nach Ausfugen erforderlich. V-Naht (Bild 3 u. 6 a): Zum Herabsetzen der Winkelschrumpfung muß der ffnungswinkel klein ( 60°) gehalten werden. Kleinster ffnungswinkel fr noch einwandfreie Wurzelschweißung > 45 °. Bei den teil- und vollmechanischen

I1.1 Schweißen Schweißverfahren sind auch kleinere
ffnungswinkel mglich. Doppel-V-Naht (X-Naht) (Bild 6 c): Anwendung bei grßeren Blechdicken als V-Naht, da bei gleichem
ffnungswinkel nur die halbe Schweißgutmenge bentigt wird. Winkelschrumpfung kann weitgehend vermieden werden, wenn Lagen abwechselnd von beiden Seiten eingebracht werden. Die Wurzel soll (in Abhngigkeit vom Schweißverfahren) vor dem Schweißen der Gegenlage ausgefugt werden. Weitere Nahtarten: Brdelnaht, Steilflankennaht, Y-Naht, U(Tulpen-)Naht und Doppel-U-Naht. Die beiden letztgenannten sind wegen der meist hohen Herstellungskosten auf Sonderflle zu beschrnken. Stumpfstoß bei Werkst
cken ungleicher Dicke (Bild 6). Querschnitt mglichst in Kraftrichtung symmetrisch anordnen (Bild 6 c, f), bei Dickenunterschieden unter s1
s2 ¼ 10 mm und vorwiegend ruhender Beanspruchung kann auf Angleichung verzichtet werden, sonst abschrgen, Bild 6 d. Bei schwingender Beanspruchung schon oberhalb s1
s2 ¼ 3 mm anschrgen (Neigung 1 : 4 bis 1 : 5), um Steifigkeitssprung herabzusetzen. Bei hchster Beanspruchung dickeres Blech auf einer Lnge h ^ 2 s2 abarbeiten, Bild 6 g.
berlappstoß (Bild 7). Der Krfteverlauf in einer Kehlnaht ist bei einer Hohlkehlnaht (Bild 7 c) gnstiger als bei der Flachnaht (Bild 7 b); die Wlbnaht (Bild 7 a) ist am ungnstigsten. Allgemein ist bei schwingender Beanspruchung jede Kraftumlenkung nachteilig. Die rechnerische Nahtdicke a ergibt sich aus der Hhe des eingeschriebenen gleichschenkligen Dreiecks. Sie soll nicht strker als rechnerisch erforderlich, hchstens jedoch mit a=0,7 s ausgefhrt werden. Bei Stirnkehlnhten schreibt der Stahlbau im Fall vorwiegend ru-

G 11

hender Beanspruchung eine Kehlnahtdicke von mindestens a=0,5 s und Ausfhrung mit h : b=1 : 1 oder flacher vor, Bild 7 d. Bei schwingender Beanspruchung (Eisenbahnbrkkenbau) soll g % 25 und die Kehlnahtdicke a0 ¼ 0; 5 s betragen. Parallelstoß (Bild 8 a). Wegen entfallender Fugenvorbereitung sind mglichst Kehlnhte anzuwenden. Zum Vermeiden der Kantenanschmelzung wird als berstand g ^ 1;4 a þ3 mm empfohlen. Bei Walzprofilen richtet sich die Kehlnahtdicke a % 0;7t nach der Dicke t des dnnsten Teils, Bild 8 b. Die Nhte sollen auch hier nicht dicker und nicht lnger als rechnerisch erforderlich ausgefhrt werden. Im Stahlbau (DIN 18 800 T 1) gilt bei Stabanschlssen eine Kehlnahtmindestlnge ^ 6 a (mindestens 30 mm), Kehlnahthchstlnge ¼ 150 a, bei zustzlichen Nhten quer zur Stablngsachse und Rundumschweißungen wird fr jede Lngsnaht die Mindestlnge 10 a empfohlen. Als Kehlnahtdicke sind mindestens 2 mm bzw. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi max s
0;5 vorgeschrieben. Außerdem wendet man im Maschinenbau (nicht Brcken- oder Stahlhochbau) Loch- oder Schlitzschweißungen an, Bild 8 c, d. Fr die Dicke des oberen Blechs soll s % 15 mm eingehalten werden, fr die Abmessungen des Schlitzes werden b ^ 2;5 s (mindestens 25 mm) und l ^ 3 b (Behlterbau) oder l ^ 2 b (Maschinenbau) empfohlen. Das Ausfllen des Schlitzes mit Schweißgut unterbleibt wegen dadurch entstehender großer Schweißeigenspannungen; bei Korrosionsgefahr wird der Schlitz z. B. mit dauerelastischem Kunststoff ausgefllt. T-Stoß (Bild 9). Die einfachste Nahtart ist die Kehlnaht. Sie eignet sich besonders zum bertragen von Schubkrften. Die einseitige Kehlnaht (Bild 9 a, b) ist nur dann zu verwenden, wenn kleine Krfte zu bertragen sind. Bei der beidseitigen Kehlnaht, die mit einem Verfahren mit Tiefeinbrandwirkung (z. B. vollmechanisches MSG- oder UP-Schweißen) ausgefhrt ist, kann der Einbrand e (Bild 9 c) mit in die Berechnung eingesetzt werden (DIN 18 800 T 1). Die Bindungslcke mit Kerbwirkung an der Stoßstelle (Bild 9 d) entfllt, wenn

Bild 6 a–g. Ausfhrungsformen von Stumpfstßen bei ungleichen Querschnitten. a–d fr vorwiegend ruhende; e–g fr schwingende Beanspruchung

Bild 8 a–d. Blechverbindungen. a Parallelstoß; b Anschluß eines Walzprofils an ein Blech; c Lochschweißung; d Schlitzschweißung

Bild 7 a–d. Nahtformen und Kraftfluß. a Wlb-; b Flach-; c Hohlkehl-; d unsymmetrische Stirnkehlnaht

Bild 9 a–d. Kehlnhte am T-Stoß. a Einseitige Naht; b Bindebild und Kraftfluß; c Doppelnaht; d Bindebild und Kraftfluß

G

G 12

Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen

das Profil
hnlich Bild 10 durch Doppel-HV-(K-)Naht mit beidseitiger Kehlnahtabdeckung angeschlossen wird. Diese Nahtform wird fr hchste vorwiegend ruhende und schwingende Beanspruchung angewendet. Es ist t ¼ s1 þ 2h=3 mit ungleichschenkliger Kehlnaht. Einbrandkerben und unverschweißte Wurzelspalte mssen besonders bei schwingender Beanspruchung vermieden oder ausgeschliffen werden. Kreuzstoß (Bild 10). Nahtarten wie beim T-Stoß, jedoch muß bei Zugbeanspruchung an den angeschweißten Stegen das mittlere Querblech auf Doppelungen (z. B. mittels Ultraschall) untersucht werden und garantierte Querzugeignung haben (DASt 014-Empfehlungen zum Vermeiden von Terrassenbrchen in geschweißten Konstruktionen aus Stahl. Kln: Stahlbau-Verlag).

G

Schr
gstoß (Bild 11). Nahtarten wie bei T-Stoß. Die Gte der Schweißnaht ist vom Winkel g abh
ngig. H
ufig wird ohne Fugenvorbereitung geschweißt, wenn keine großen Kr
fte zu bertragen sind. Kehln
hte lassen sich nur einwandfrei ausfhren, wenn bei rechtwinkliger Stirnfl
che b % 2 mm und bei beidseitiger Schweißung g ^ 60° ist. N
hte mit kleineren Winkeln drfen nur dann in die Berechnung als tragend eingesetzt werden, wenn durch das angewendete Schweißverfahren die sichere Erfassung des Wurzelpunkts gew
hrleistet ist. Eine Ausfhrung nach Bild 11 b ist entweder zu vermeiden oder die Stirnfl
che des schr
g aufgesetzten Blechs muß bearbeitet werden (z. B. 60°-Abschr
gung herstellen). Eckstoß (Bild 12 a). Der Eckstoß ist ausfhrungsm
ßig ein T-Stoß. Allgemein gilt, daß an Stellen mit Kraftumlenkung nicht geschweißt werden soll. Bei Druckbeh
ltern wird daher die Schweißnaht außerhalb der Krmmung angeordnet, Bild 12 b. Der Mindestabstand der Schweißnaht von der Krmmung soll f ^ 5 s1 betragen.

Bild 10. DHV-(K-)Naht mit Doppel-Kehlnaht am Kreuzstoß

Beim Schweißen in kaltverformten Bereichen sind die Angaben unter Bauteildicke (s. in diesem Abschnitt) zu beachten. Bei Abweichungen von den dort angegebenen Maßen ist ein Mindestabstand f (Bild 12 b) einzuhalten oder das kaltverformte Teil normalzuglhen. Mehrfachstoß (Bild 13). Wegen der unsicheren Erfassung der unteren Bleche (Einbrand) beim Schweißen von einer Seite ist diese Stoßart nur bei sorgf
ltiger Herstellungsmglichkeit oder in festigkeitsm
ßig untergeordneten F
llen anzuwenden, bei beiderseitiger Zug
nglichkeit muß die Wurzel ausgefugt und gegengeschweißt werden. 1.1.4 Darstellung der Schweißn
hte Graphical symbols for welds Symbole und Darstellung: DIN EN 22 553. Nahtarten. Sie knnen symbolhaft (Bild 14 a, c) oder erl
uternd (Bild 14 b, d) dargestellt werden. Die symbolhafte Darstellung ist zu bevorzugen. Die Stellung des Symbols zur Bezugslinie kennzeichnet die Lage der Naht am Stoß. Anh. G 1 Tab. 1 enth
lt Grund- und Zusatzsymbole sowie erl
uternde Nahtdarstellungen. Schweißverfahren. Begriffe und Verfahrenskennzahlen nach DIN ISO 857 T1 und DIN EN ISO 4063. Die in frher gltigen Normen enthaltenen Abkrzungen sind weit verbreitet und werden hier nach der Verfahrenskennzahl eingeklammert aufgefhrt: Gasschweißen 3 (G) – Lichtbogenhandschweißen 111 (E), Unterpulverschweißen 12 (UP), Wolfram-InertgasSchweißen 141 (WIG), Metall-Inertgas-Schweißen 131 (MIG), Metall-Aktivgas-Schweißen 135 (MAG). Man unterscheidet zus
tzlich zwischen dem Handschweißen, dem teilmechanischen, vollmechanischen und automatischen Schweißen. Gte der Schweißverbindung. Nach Aufwand in Fertigung und Prfung werden in DIN EN 25 817 (Lichtbogenschweißverbindungen an Stahl, Richtlinie fr die Bewertungsgruppen von Unregelm
ßigkeiten) folgende Bewertungsgruppen unterschieden: Stumpfn
hte und Kehln
hte: D (niedrig), C (mittel), B (hoch). Die zu w
hlenden Bewertungsgruppen sind vom Konstrukteur mit Untersttzung der Fertigungsabteilungen, der Qualit
tsstellen, gegebenenfalls mit Aufsichtsbehrden und sonstigen Gremien festzulegen. Sie sind abh
ngig von der Belastungsart (vorwiegend ruhend, schwingend), den Umgebungseinflssen (chem. Angriffe, Temperatur) und zus
tzlichen Anforderungen (z. B. Dichtheit, Sicherheitsanforderungen). Zu gew
hrleisten sind sie durch: Schweißeignung des

Bild 11 a, b. Kehln
hte am Schr
gstoß. a Ohne Kantenvorbereitung; b mit ungnstiger Kantenvorbereitung

Bild 12 a, b. Konstruktive Ecken. a Eckstoß; b Eckenausbildung bei vorverformten Teilen, z. B. Kesselbden

Bild 13. Mehrfachstoß

Bild 14 a–d. Darstellungsformen. a Stumpfstoß symbolhaft; b Stumpfstoß erl
uternd; c Doppelkehlnaht symbolhaft; d Doppelkehlnaht erl
uternd

I1.1 Schweißen

G 13

(z. B. Martensit in der wrmebeeinflußten Zone) zu Rissen und Br
chen in dieser Zone f
hrt.

Bild 15 a, b. Zeichnerische Darstellung. a Stumpfnaht (V-U-Naht) mit zustzlichen Fertigungsangaben; b unterbrochene Kehlnaht mit Vormaß v und zustzlichen Fertigungsangaben

Werkstoffs f
r Verfahren und Anwendungszweck; fachgerechte und
berwachte Vorbereitung; Auswahl des Schweißverfahrens nach Werkstoff, Werkst
ckdicke und Beanspruchung der Schweißverbindung; auf den Werkstoff abgestimmten, gepr
ften und zugelassenen Zusatzwerkstoff; gepr
fte und bei der Arbeit durch Schweißaufsichtspersonal
berwachte Schweißer; Nachweis einwandfreier Ausf
hrung der Schweißarbeiten (z. B. Durchstrahlung); Sonderanforderungen (z. B. Vakuumdichtigkeit, allseitiges Schleifen der Nhte).

Schwingende Belastung. Bei dieser tritt der Schwingbruch auch bei allseitig bearbeiteten Proben am hufigsten im bergangsbereich von Grundwerkstoff und Schweißnaht ein. Die Dauerfestigkeiten geschweißter Konstruktionsteile sind niedriger als die Dauerfestigkeit des Grundwerkstoffs, bei unbearbeiteten Schweißnhten niedriger als bei bearbeiteten. F
r die meisten Werkstoffe, Nahtformen und Nahtanordnungen liegen Dauerfestigkeitsschaubilder vor (s. E 1.3). Beispiele: Bilder 16 und 17. In den Schaubildern sind nicht ber
cksichtigt: Statische Vorlasten durch Eigenspannungen, die die Mittelspannungen je nach den Vorzeichen erhhen oder erniedrigen. Im Normalfall werden diese Eigenspannungen im Betrieb jedoch im Verlauf der vernderlichen Beanspruchung abgebaut [98]. Der Grßeneinfluß. Zeitweilige berlastungen sind ohne Einfluß, wenn gewisse Grenzwerte der Schwingspielzahl und der Spannung (Schadenslinie) nicht
berschritten werden. Kleine Einschl
sse in der Naht (rundliche Poren oder Schlakken) setzen die Dauerfestigkeit unbearbeiteter Schweißnhte nicht oder nur unwesentlich herab. Risse und Oberflchenfehler, wie z. B. Einbrandkerben, Endkrater, unsaubere Ansatzstellen und vom Z
nden des Lichtbogens neben der Naht herr
hrende Z
ndstellen, knnen dagegen Ausgangspunkte f
r den Schwingbruch sein und setzen somit die Dauerfestigkeit herab. F
r Aluminiumlegierungen liegen gegenwrtig nur Werkstoffgrenzwerte f
r Legierungsbezeichnungen der zur
ckgezogenen Normen DIN 1745 bis 1749 vor (Bild 18 nach Aluminium-Zentrale, D
sseldorf). Die Zuordnung dieser lteren Be-

Schweißposition. Kurzbezeichnung s. Bild 5. Beispiele: Bild 15 a: V-U-Naht, V-Naht hergestellt mit Metall-Aktivgas-Schweißen (135), U-Naht hergestellt mit UP-Schweißen (12), geforderte Bewertungsgruppe C, Wannenposition PA. Bild 15 b: Unterbrochene Kehlnaht mit Kehlnahtdicke a, Vormaß v, Zwischenraum e, Lnge l und Anzahl n der Einzelnhte, hergestellt durch Lichtbogenhandschweißen (111), geforderte Bewertungsgruppe C, HorizontalVertikalposition PB.

Nach DIN EN ISO 30 042 lassen sich Lichtbogenschweißverbindungen aus Aluminium und Aluminiumlegierungen bewerten. F
r Elektronenstahl- und Laserschweißverbindungen aus Sthlen gilt T1, f
r strahlgeschweißte Verbindungen aus Aluminium und Aluminiumlegierungen T2 der DIN EN ISO 13 919.

Bild 16. Whlerschaubild; Grundwerkstoff St 52 (Gruppe S355J nach DIN EN 10 025); Beanspruchung senkrecht zur Naht

1.1.5 Festigkeit von Schweißverbindungen Strength calculations for welded joints Tragf
higkeit Sie ist bei Schweißverbindungen abhngig von den Eigenschaften des Grundwerkstoffs, der wrmebeeinflußten bergangszone und des Schweißguts, der Beanspruchungsart (Zug, Druck, Schub, statische oder schwingende Beanspruchung), der Nahtform, Nahtanordnung und Nahtbearbeitung, dem Zusammenwirken der Betriebsspannungen mit den Schweißeigenspannungen (insbesondere bei Stabilittsfllen, unter bestimmten Voraussetzungen auch bei schwingender Beanspruchung) und der Nahtg
te. Hchste Anforderungen an die Gestaltung und die Ausf
hrung sind bei schwingender Beanspruchung zu stellen. Vorwiegend ruhende Belastung. Bei vorwiegend ruhender Belastung einer senkrecht zur Zugrichtung gelegenen Stumpfnaht liegen die plastische Verformung und der Bruch in der Regel neben der Schweißnaht, bei Belastung parallel zur Schweißnaht haben Grundwerkstoff und Schweißgut gleiche Verformung, was bei Gef
gearten mit niedriger Zhigkeit

Bild 17. Dauerfestigkeitsschaubild; Grundwerkstoff St 37 (Gruppe S235J nach DIN EN 10 025); Beanspruchung senkrecht zur Naht

G

G 14

G

Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen

Bild 18 a–d. Werkstoffgrenzwerte fr AlZn 4,5 Mg 1, AlMgSi 1, AlMg 4,5 Mn und AlMgMn/AlMg 3, gltig fr Knethalbzeug (DIN 1746 bis 1749 und DIN EN 485), Oberfl
chen unbearbeitet (z. B. mit Walzhaut), Wanddicke (Durchmesser) s =10 mm. Zug–Druck, Biegung und Schub, Grenzschwingspielzahl N ¼ 107 . Durchgezogene Linie A: ungeschweißter Werkstoff. Gestrichelte Linie D: Stumpfnahtschweißverbindung MIG und WIG (mit Schweißraupe): a: gestrichelte Linie D gilt fr AlZn 4,5 Mg 1 F 36 und F 32; c: gestrichelte Linie D gilt fr AlMg 4,5 Mn F 28. Bei Biegung von Vollquerschnitten sind die Werte der Kurve A fr s=0 bis 50 mm mit 1,2 zu multiplizieren. Bei Schubbeanspruchung sind die Werte von Kurve A mit 0,65 zu multiplizieren

zeichnungen zu den nach europ
ischer Normung (DIN EN 485, DIN EN 515, DIN EN 573, DIN EN 755) jetzt gltigten Al-Werkstoffangaben ist fr jeden Anwendungsfall einzeln zu ermitteln (z. B. nach DIN EN 485-2, Beiblatt 1). Bei Wanddicken ber 10 mm erfolgt bis 70 mm eine Abminderung (Grßeneinfluß) mit dem Faktor 0,8, dann gleichbleibend (s. E 1.5). Den Werkstoffestigkeiten muß die auftretende Beanspruchung gegenbergestellt werden, um die Tragf
higkeit bzw. Tragsicherheit zu ermitteln. Weitere Hinweise: Literatur zu G 1.1.5 (Neumann/Hobbacher: Teil 4) und British Standard BS8118 Part 1 (1991): Structural use of aluminium – Code of Practice for Design. Berechnung Bei den in Vorschriften, Regelwerken oder Richtlinien enthaltenen Vorgehensweisen zur Festigkeitsberechnung von schmelzgeschweißten Verbindungen und zur Bemessung von Schweißn
hten (Anh. G 1 Tab. 2) wird zwischen dem Nennspannungskonzept und
rtlichen Konzepten unterschieden. Fr vorwiegend ruhend beanspruchte Schweißverbindungen erfolgt im allgemeinen der Festigkeitsnachweis mit Nennspannungen, wobei dafr zulssige Spannungen oder Grenzzustnde mit unterschiedlichen Teilsicherheitsbeiwerten fr die Beanspruchungen sowie fr die Beanspruchbarkeiten heranzuziehen sind. Die Bemessung nach Grenzzust
nden und mit Teilsicherheitsbeiwerten nach DIN 18 800 T 1 Ausgabe 1990 ist fr den Stahlbau ab 1996 vorgeschrieben. Bei vorwiegend ruhender Beanspruchung kann nach [105] der Festigkeitsnachweis von geschweißten Bauteilen auch auf der Grundlage von rtlichen Spannungen vorgenommen werden, die als Strukturspannungen auftreten [99, 100, 101, 107, 108]. Fr schwingend beanspruchte Verbindungen stehen fr den Nachweis der Ermdungsfestigkeit (Dauerschwing- und Betriebsfestigkeit) neben dem vor allem in Regelwerken aufgefhrten Nennspannungskonzept folgende lokale Berechnungskonzepte zur Verfgung, die in neueren Normen z. B. [110], in Richtlinien [104, 112, 113] und in Empfehlungen zur Schwingfestigkeitsbemessung [101] enthalten sind. Es sind dies das Strukturspannungskonzept, das Kerbspannungskonzept (Konzept der
rtlich elastischen Spannungen), das Kerbdehnungskonzept (rtliche Konzept) und bruchmechanische Konzepte. Die lokalen Beanspruchungen kann mit der Methode der Finiten Elemente und ausreichend feiner Elementierung des Verbindungsbereiches ermitteln. Die Anwendung und die Einsatzmglichkeiten dieser Konzepte sind in [99–

101, 104–106, 112, 113] angegeben, die auch Angaben fr die Absch
tzung der Lebensdauer nach verschiedenen Schadensakkumulationshypothesen beim Betriebsfestigkeitsnachweis enthalten. Bruchmechanische Ans
tze verwendet man außerdem zum Absch
tzen der Sprdbruchsicherheit und der Tragf
higkeit von Schweißverbindungen mit Unregelm
ßigkeiten [102, 112]. Nach dem Nennspannungskonzept mit zul
ssigen Spannungen erfolgt die Berechnung von Schweißverbindungen in nachstehender Reihenfolge: Ermitteln der angreifenden Belastungen. Fr Bauteile, die gesetzlichen oder vom Auftraggeber aufgestellten Vorschriften unterliegen, sind die darin enthaltenen Angaben fr die Festlegung zu den Lastannahmen, Stoß- und Sicherheitsbeiwerten anzuwenden, Anh. G 1 Tab. 2. In allen anderen F
llen knnen diese Vorschriften als Anhaltspunkte dienen. Unsicherheiten bei der Kraftermittlung werden durch entsprechendes Festlegen der zul
ssigen Spannung oder Wahl geeigneter Sicherheitsfaktoren bercksichtigt. Berechnen der Nennspannungen in den Schweißn
hten und Anschlußquerschnitten. Die Nennspannungen werden aus den Belastungen nach den Regeln der Festigkeitslehre (s. C bzw. DUBBEL interaktiv) berechnet. Zum Teil sind die anzuwendenden Gleichungen in Vorschriften festgelegt, Anh. G 1 Tab. 2. Bild 19 a enth
lt die Bezeichnungen fr die Normal- und Schubspannungen fr das Beispiel der Kehlnaht. Die in Stumpf- und Kehln
hten auftretenden Schnittgrßen sind Bild 19 b und Bild 19 c zu entnehmen. Im Bauteil treten h
ufig mehrere Beanspruchungsarten gleichzeitig auf, die dann entsprechend zusammenzufassen sind. Zug, Druck und Biegung haben Normalspannungen zur Folge, die bei gleicher Richtung arithmetisch zu addieren sind. Bei aufeinander senkrecht stehenden Richtungen muß aus den Spannungen ein Vergleichswert sv gebildet werden, den man bei vorwiegend ruhender Belastung mit der Streckgrenze bzw. zul s vergleicht. Bei schwingender Beanspruchung darf sv die Dauerschwingfestigkeit bzw. zul sD oder die Betriebsfestigkeit bzw. zul sBe nicht bersteigen. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sv ¼ s2? þ s2k
s? sk þ aðt2? þ t2k Þ mit a=1 bei vorwiegend ruhender sowie a=2 (DIN 15 018 T1) bei schwingender Belastung. Bei der Rechnung ist jeweils zu smax das zugehrige t und zu tmax das zugehrige s zu w
hlen. Außerdem ist getrennt hier-

I1.1 Schweißen

G 15

Bild 19 a–c. Spannungen in Schweißn
hten und Schnittgrßen an Schweißverbindungen sowie ihre Kennzeichnung. a Kehlnaht; b Stumpfstoß (VNaht); c T-Stoß

von nachzuweisen, daß die Schubspannung t allein den zul
ssigen Schubspannungswert nicht bersteigt. Fast alle Berechnungsvorschriften enthalten gleichlautende oder
hnliche Beziehungen fr den Vergleichswert. Bei der Berechnung von Stumpfst
ßen wird als Nahtdicke stets die Blechdicke s des dnneren Blechs eingesetzt (Bild 6). Die maßgebende Nahtl
nge ergibt sich aus l=b
2 a, wenn die Naht zwei Endkrater hat. Bei Verwendung von Vorsatzstcken (Bild 20) oder kraterfreier Ausfhrung gilt l=b. Bei Kehlnhten (Bild 19 a) ergibt sich die Kehlnahtdicke a aus der Hhe des eingeschriebenen gleichschenkligen Dreiecks. Die Spannung wird fr den in die Anschlußebene geklappten Querschnitt mit der Dicke a berechnet. Beim Schrgstoß drfen Kehln
hte mit kleineren ffnungswinkeln als g ¼ 60° nicht mehr als tragend in die Berechnung eingesetzt werden (Ausnahme: Das Schweißverfahren gew
hrleistet das sichere Erfassen des Wurzelpunkts). Bei zylindrischen Kesselschssen, Trommeln und Sammlern wird die notwendige Blechdicke nach der Kesselformel berechnet (s. K 2.2), wenn Da =Di % 1;2 (AD) bzw. % 1,7 (TRD) eingehalten wird. Bei Ankern, Ankerrohren und Stehbolzen muß der Abscherquerschnitt der Schweißn
hte mindestens 125% des Bolzen- und Ankerquerschnitts betragen. Die Anker sind auf beiden Seiten der zu verankernden Wandungen zu verschweißen. Festlegen der zul
ssigen Spannungen. Vorwiegend ruhende Beanspruchung. Fr den nicht geregelten Bereich des Maschinenbaus knnen Werte dem Anhang II der DS 952, Tab. 2, und der Norm fr den Kranbau DIN 15 018 T 1 entnommen werden. Die DS 952 wurde zurckgezogen mit Ausnahme des Anhangs II, der weiterhin fr die Berechnung der Schweißverbindung gilt. Die Wurzel von Stumpfn
hten muß ausgekreuzt und nachgeschweißt werden, oder es muß auf andere Weise fr einwandfreies Durchschweißen gesorgt werden. Tab. 2 gilt fr das Grenzspannungsverh
ltnis von S ¼ þ1. Fr den Kessel- und Rohrleitungsbau sind die Vorschriften und Merkbl
tter der Vereinigung der Technischen berwachungsvereine maßgebend. Der bliche Schweißfaktor (Schweißnahtwertigkeit) n ¼ 0;8 kann durch zus
tzliche Schweißer- und Arbeitsprfungen bis auf n ¼ 1;0 erhht wer-

Bild 20. Stumpfstoß mit Vorsatzstck fr Schweißnahtauslauf

Tabelle 2. Zul
ssige Spannungen nach Anhang II der DS 952 bei vorwiegend ruhender Belastung (S ¼ þ1)

den. Im Druckbeh
lterbau (AD) ist n ¼ 1;0 blich, bei verringertem Prfaufwand wird auf 0,85 abgemindert. Vergleich der Nennspannungen mit den zul
ssigen Spannungen. Vorwiegend ruhende Beanspruchung vorh. sw % zul sw (Tab. 2), vorh. tw % zul tw oder S ¼ Re =s bei Sicherheit gegen plastische Verformung. Im Kessel- und Rohrleitungsbau ist evtl. die Warm- oder Zeitstandfestigkeit zu bercksichtigen. Das Nennspannungskonzept nach Grenzzust
nden und mit Teilsicherheitsbeiwerten, DIN 18 800 T 1, Ausgabe 11/ 1990, ist fr die Bemessung von Schweißverbindungen des Stahlbaus vorgeschrieben. Diese Norm kann auch im allgemeinen Maschinenbau fr die Berechnung von vorwiegend ruhend beanspruchten Schweißn
hten herangezogen werden. Es ist zweckm
ßig, den Festigkeitsnachweis wie folgt zu erstellen: Ermitteln der vorhandenen Einwirkungen. Die charakteristischen der z. B. durch Belastungen gegebenen Einwirkungen F haben den Index k und sind den gesetzlichen oder den Vorgaben des Auftraggebers zu entnehmen, Anh. G 1 Tab. 2. Hieraus ergeben sich durch Multiplizieren mit dem maßgebenden Teilsicherheitsbeiwert gF die Bemessungswerte Fd , wobei F als Symbol fr alle Einwirkungen (G, Q) verwendet wird. Man erh
lt die Bemessungswerte der st
ndigen Einwirkungen Gd aus der Beziehung Gd ¼ gF  Gk mit gF ¼ 1; 35:

G

G 16

Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen

F
r die Bemessungswerte der verschiedenen vernderlichen Einwirkungen Qi gilt Qi; d ¼ gF
yi
Qi; k : Hierbei ist gF ¼ 1;5 und der Kombinationsbeiwert yi ¼ 0;9; mit dem das Auftreten aller ung
nstig wirkenden vernderlichen Einwirkungen ber
cksichtigt wird. Falls nur eine vernderliche Einwirkung vorliegt, ist yi ¼ 1,0: Schweißnahtspannungen. Sie ergeben sich aus den Bemessungswerten Gd und Qd nach den Regeln der Statik und Festigkeitslehre, wobei nur von elastischem Werkstoffverhalten ausgegangen wird. Dieser Berechnungsschritt unterscheidet sich von dem Nennspannungskonzept mit zulssigen Spannungswerten dadurch, daß die Bemessungswerte Gd und Qd Tabelle 3. Rechnerische Schweißnahtdicken a nach DIN 18 800 T 1

G

durch Multiplikation mit Teilsicherheitsbeiwerten grßer sind als die fr
her im Stahlbau angewendeten Haupt- und Zusatzlasten. F
r lichtbogengeschweißte Verbindungen ist die rechnerische Nahtdicke a Tab. 3 zu entnehmen. F
r Stumpfnhte stimmt die rechnerische Nahtlnge mit der geometrischen Lnge der Verbindung
berein. Es erfolgt mithin kein Abzug f
r den Nahtanfang und Endkrater. Kehlnhte gelten als tragend, wenn l  6 a ist und sie mindestens 30 mm lang sind. Die rechnerische Schweißnahtflche Aw ergibt sich aus Aw ¼ S a
l; wobei nur Nhte ber
cksichtigt werden d
rfen, die aufgrund ihrer Lage vorzugsweise die vorhandenen Schnittgrßen
bertragen.

I1.1 Schweißen

G 17

Tabelle 3 (Fortsetzung)

G

Bei unmittelbaren Laschen- und Stabanschl
ssen muß die Summe aller Kehlnahtlngen S l
150 a sein. F
r rechtwinklige Anschl
sse ergibt sich die rechnerische Schweißnahtlnge aus der ausgef
hrten Lnge der Naht am Stabanschluß. Dabei sind keine Endkrater zulssig. Bei schrgem Anschluß mit ringsumlaufender Kehlnaht, bei dem die Schwerachse des Profils nher zur lngeren Flankennaht als zur k
rzeren liegt, Bild 21, gilt S l ¼ l1 þ l2 þ 2 b: Befindet sich dagegen die Schwerachse des Profils nher zur k
rzeren Flankenkehlnaht (l1 Þ; ist S l ¼ 2 l1 þ 2 b: Bei Stabanschl
ssen ergeben sich Außermittigkeiten dadurch, daß die Schwerachse der Schweißnahtflchen von beiden Flankenkehlnhten nicht mit der Schwerachse des Stabes
bereinstimmt. Dies f
hrt zu zustzlichen Schweißnahtspannungen, die bei der Berechnung der genannten Anschl
sse vernachlssigt werden d
rfen. Die Norm DIN 18 800 T 1 enthlt weitere Festlegungen f
r Stabanschl
sse, auch f
r mittelbare Anschl
sse. Die Schweißnahtspannung sw in Stumpf- und Kehlnhten besteht aus den Normalspannungen sk und s? sowie den Schubspannungen tk und t? (Bild 19 a). F
r den Nachweis wird der Vergleichswert qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sw; v ¼ s2? þ t2? þ t2k

gibt sich aus dem charakteristischen Wert der Streckgrenze fy; k (Tab. 4) gemß sw; R; d ¼ aw  fy; k =gM mit dem Beiwert aw nach Tab. 5 und dem Teilsicherheitsbeiwert f
r den Werkstoff gM ¼ 1; 1. F
r zugbeanspruchte Stumpfstße aus Formsthlen der Werkstoffe St 37-2 und USt 37-2 (S235JR und S235JRG1) mit Wanddicken
ber 16 mm betrgt aw ¼ 0; 55, unabhngig von der Nahtg
te. Es ist nachzuweisen, daß sw; v =sw; R; d
1 f
r alle tragenden Schweißnhte erf
llt wird. [109] enthlt weitere Hinweise f
r die Bemessung von Schweißverbindungen aus Stahl. Geschweißte Aluminiumkonstruktionen unter vorwiegend ruhender Beanspruchung

ermittelt, wobei sk nicht ber
cksichtigt werden muß. Nachweis f
r Stumpf- und Kehlnhte. Die Grenzschweißnahtspannung sw; R; d (Index R, d f
r Beanspruchbarkeit) er-

Bild 21. Stabanschluß mit schrg angeschweißtem Profil nach DIN 18 800 T 1

G 18

Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen

Tabelle 4. Charakteristische Werte fr Walzstahl und Stahlguß nach DIN 18 800 T 1

G

Tabelle 5. aw -Werte fr Grenzschweißnahtspannungen nach DIN 18 800 T 1

k
nnen nach DIN 4113 T 1 und T 2 berechnet werden, Anh. G 1 Tab. 2. Schwingende Beanspruchung – Nennspannungskonzept. Die Berechnung der Spannungen erfolgt wie bei vorwiegend ruhender Beanspruchung nach den Regeln der Festigkeitslehre mit elastischem Stoffgesetz. Dauerfestigkeit. Fr geschweißte Eisenbahnbr
cken sind die zulssigen Spannungsdoppelamplituden fr Zug-, Druck- und

Schubbeanspruchung in der DS 804 fr die Sthle St 37 (Gruppe S235J nach DIN EN 10 025) und St 52 (Gruppe S355J nach DIN EN 10 025) festgelegt. Sie werden bestimmt in Abhngigkeit vom Kerbfall und Spannungsverhltnis k ¼ sign
min s= max s bzw. k ¼ sign
min t= max t mit den gleichen Beanspruchungsbereichen wie in DS 952 (dort wird die Bezeichnung S statt k benutzt, international ist dafr R blich). Die k- bzw. S-(R-) Werte kennzeichnen die Beanspruchungsbereiche: reine Wechselbeanspruchung (=  1),

I1.1 Schweißen

G 19

Tabelle 6. Zuordnung der Stoß- und Nahtformen zu den Linien in Bild 22.

G

Bild 22 a, b. Zulssige Spannungen (DS 952). a St 37 (Gruppe S235J nach DIN EN 10 025); b St 52 (Gruppe S355J nach DIN EN 10 025). Anmerkung: DS 952 weist im Gegensatz zur heute
blichen Auffassung unterschiedliche Schwingfestigkeitswerte f
r St 37 und St 52 auch bei S < 0;5 auf

Wechselbereich (0) und statische Zug- und Druckbeanspruchung (=1). F
r geschweißte Fahrzeuge, Maschinen und Gerte der Deutschen Bahn AG sind im Anhang II der DS 952 die zulssigen

Spannungen f
r St 37 (Gruppe S235J nach DIN EN 10 025) und St 52 (Gruppe S355J nach DIN EN 10 025 ) in Abhngigkeit vom Spannungsverhltnis S angegeben (Bild 22 und Tab. 6). Die Linien A bis H der zulssigen Spannungen sind verschiedenen Stoß- und Nahtarten zugeordnet.

G 20

Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen

Tabelle 7. Beanspruchungsgruppen nach Spannungsspielbereichen und Spannungskollektiven (DIN 15 018 T 1)

Tabelle 8. Kerbwirkungen von Naht- und Anordnungsformen (Kerbf
lle) (DIN 15 018 T 1, Auszug)

G Betriebsfestigkeit. Der Betriebsfestigkeitsnachweis auf Sicherheit gegen Bruch ist bei zeitlich sich h
ufig
ndernden Belastungsamplituden zu fhren. Bei st
hlernen Straßen- und Wegebrcken nach DIN 18 809 und Lastannahmen nach DIN 1072 werden die fr die Betriebsfestigkeit zul
ssigen Werte nach DS 804 herangezogen. Im Maschinenbau wendet man oftmals die DIN 15 018 T 1 und die DS 952 an. Nach DIN 15 018 T 1 h
ngen die zul
ssigen Oberspannungen der Normal- und Schubspannungen ab vom Spannungskollektiv (Bild 23), der Zahl der Spannungsspiele (Tab. 7), dem Kerbfall (Tab. 8), dem Werkstoff und dem Spannungsverh
ltnis k. Das durch Messungen ermittelte, aus dem Belastungsablauf errechnete oder anderweitig bekannte Spannungskollektiv wird mit dem idealisierten Spannungskollektiv von Bild 23 verglichen und einer Linie (S0 bis S3 ) zugeordnet. Spannungskollektiv und Spannungsspielbereich N1 bis N4 ergeben die Beanspruchungsgruppe B1 bis B6, Tab. 7. Dem an Bauteil oder Verbindungsstelle vorliegenden Kerbfall K0 bis K4 sind die in Tab. 9 enthaltenen zul
ssigen Spannungen fr die Werkstoffe St 37 (Gruppe S235J nach DIN EN 10 025) und St 52-3 (Gruppe S355J nach DIN EN 10 025) bei k =
1 zugeordnet. Die zul
ssige Spannung bei
1 < k  þ1 ergibt sich mit den in Tab. 10 angegebenen Gleichungen aufgrund der Zusammenh
nge in Bild 24.

Bild 23. Idealisierte bezogene Spannungskollektive. Dabei bedeuten: sm ¼ 12 ðmax s þ min sÞ Betrag der konstanten Mittelspannung; s0 ¼ Betrag der Oberspannung, die N-mal erreicht oder berschritten wird; ^ 0 ¼ Betrag der grßten Oberspannung des idealisierten Spannungss
0 ¼ Betrag der kleinsten Oberspannung des idealisierten kollektivs; s ^ ¼ 106 Umfang des idealisierten SpannungsSpannungskollektivs; N kollektivs

Schwingende Beanspruchung. S ¼ sA =sa bzw. ¼ tA =ta (sA ; tA dauerfester, sa ; ta vorhandener Spannungsausschlag). DS 804, DS 952 und DIN 15 018 T 1 legen zul
ssige Spannungen fest. Zusammengesetzte Beanspruchung. Bei dieser mssen zum Vergleich der Nennspannungen mit den zul
ssigen Spannungen die Werte der zul
ssigen Spannungen fr den betreffenden Beanspruchungs- und Berechnungsfall herangezogen werden (DIN 15 018 T 1, DS 804, Anhang II der DS 952 ).

I1.1 Schweißen

G 21

Tabelle 9. Zulssige Spannungen in N=mm2 beim Betriebsfestigkeitsnachweis (DIN 15 018 T 1, Auszug)

G Berechnungsbeispiel nach DIN 15 018 T 1: Mit StumpfnahtNormalg
te quer zur Kraftrichtung verbundene Teile ! Kerbfall K1 nach Tab. 8, Werkstoff St 37, smax ¼ ^ 0 ; smin ¼
60 N=mm2 ¼ s ^ u ! k ¼
0;4 und 150 N=mm2 ¼ s
0 ¼ sm ¼ 45 N=mm2 . Aus Beanspruchungsverlauf bekannt s
0
sm 2 s ^ 0 ¼ 75 N=mm , 0,5 s ¼ 0,286. Die zulssigen Schweiß^ 0
sm s naht- bzw. Grundwerkstoffspannungen am Naht
bergang werden tabellarisch f
r drei verschiedene Spannungsspiele ermittelt:

Tabelle 10. Gleichungen f
r zulssige Oberspannungen und Schubspannungen f
r Bauteile und Schweißnhte (DIN 15 018 T 1)

Schwingende Beanspruchung – Strukturspannungskonzept. Es ergnzt das in den Regelwerken enthaltene Nennspannungskonzept, f
hrt zu einer hheren Werkstoffausnutzung und zur treffsicheren Bemessung neuer Schweißkonstruktionen [100, 109, 112, 113, 115]. Das Strukturspannungskonzept darf nur angewendet werden, wenn die Normalspannungen vornehmlich senkrecht zur Schweißnaht wirken und sich der Schwingungsriß – sofern er auftritt – am Schweißnaht
bergang ausbildet. Es gilt nicht f
r von der Wurzel ausgehende Risse [99, 101]. Die Strukturspannung f
r den Ort des „hot spot“, die erwartete Rißausgangsstelle, ergibt sich aus Dehnungsmessungen, Bild 25, oder aus einer Finite-Elemente-Berechnung nach [101, 108]. Man extrapoliert auf die Stelle des „hot spot“ mit linearen Ansatz, z. B. ehs ¼ 1; 67eA
0; 67 eB ; und erhlt die Strukturspannung shs ¼ E ehs : Bei drei Meß- bzw. Berechnungspunkten wird ein quadratischer Ansatz verwendet. [100, 102, 114] enthalten Strukturspannungs-Whlerkurven f
r die verschiedenen Strukturde-

Bild 24. Zusammenhnge zwischen zul sDðkÞ und zul sDð
1Þ

G 22

Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen dicke t zutreffende Spannungsschwingbreite berechnet wird:  n tref : Dst; eff ¼ DsR; L teff

Bild 25. Aus dem Dehnungsmeßstellen A und B durch Extrapolieren berechnete Strukturspannung am Nahtrand

G

Hierin ist tref ¼ 25 mm, teff ¼ t, wenn L=t > 2 betrgt oder teff ¼ 0; 5 L, falls L=t
2. Das Maß L ist Bild 26 zu entnehmen. Vorstehende Formel gilt f
r t  10 mm In Bild 27 werden Strukturspannungs-Whlerkurven der Werkstoffe Stahl und Aluminium wiedergegeben. Alle Kurven f
r die Schwingfestigkeitsklassen (FAT-Klassen) haben bei doppeltlogarithmischer Auftragung die vom Werkstoff abhngige Neigung m. Die Zahl in der Bezeichnung einer FATKlasse stimmt mit der Spannungsschwingbreite der FATKlasse bei 2  106 Lastspielen
berein. Als dauerfest gilt f
r ferritischen Stahl der Bereich
ber 5  106 Lastspielen. Mit der Gleichung C ¼ NDsm

tails aus unlegiertem Baustahl und einigen Aluminiumlegierungen. Aus Tab. 11 sind f
r die unterschiedlichen Strukturdetails die FAT-Klasse, die dauerfest ertragbare Schwingbreite DsR; L und der Exponent n f
r den Dickenreduktionsfaktor zu entnehmen, mit dem die f
r die vorliegende Blech-

des geneigten Abschnitts der Whlerkurve lassen sich bei bekannter FAT-Klasse die zugehrige Spannungsschwingbreite der Dauerfestigkeit und im Zeitfestigkeitsbereich die Spannungsschwingbreiten f
r verschiedene Lastspielzahlen Nx berechnen:

Tabelle 11. Zuordnung von Strukturdetails zu den Klassen der Spannungsschwingbreite; Einfluß der Eigenspannungen ist einbezogen, Winkel- und Kantenversatz sind unber
cksichtigt und m
ssen bei der Spannungsermittlung erfaßt werden; g
ltig f
r Stahl und die gewhnlich konstruktiv verwendeten Aluminiumlegierungen; Blechdicke 25 mm.

I1.1 Schweißen

G 23

Tabelle 12. Richtwerte fr zulssige Spannungen von Preßstumpf-, Abbrennstumpf- und Reibschweißverbindungen

Bild 26. Maße L und t fr die Umrechnung der Schwingungsbreite von der Referenzblechdicke tref ¼ 25 mm auf die vorliegende Blechdicke teff

Dsx ¼

 1 2
106 m Ds2
106 : Nx

Die W
hlerkurven werden als weitgehend mittelspannungsunabhngig betrachtet. [101] empfiehlt, die Schwingungsbreite der FAT-Klassen mit einem von der Mittelspannung und den anfangs vorhandenen Eigenspannungen abhngigen „Bonusfaktor“ zu multiplizieren, wogegen jedoch Einwnde bestehen [111]. Einige Richtwerte fr Stahl nach Erker: 1. Vorwiegend ruhende Beanspruchung: Sicherheit gegen Streckgrenze Re des Werkstoffs S ¼ 1;5 . . . 2;0 (je nach Kerbschrfe), mittlerer Wert S ¼ 1;7. 2. Zeitfestigkeit (bis 500 000 Schwingspiele): Sicherheit gegen Schwingbruch S ¼ 1;0 . . . 1;8, mittlerer Wert S= 1;3 . . . 1;5. 3. Dauerfestigkeit (ber 500 000 Schwingspiele): Sicherheit gegen Dauerbruch S ¼ 1;5 . . . 3;0, mittlerer Wert S= 1;5 . . . 2;0, in Sonderfllen unterster Wert S ¼ 1;2: Preßschweißverbindungen Preßstumpf- und Abbrennstumpfschweißen. Berechnungsquerschnitt ist der kleinste Querschnitt in bzw. neben der Naht. Richtwerte fr zulssige Spannungen siehe Tab. 12. Bei Anwendungen im bauaufsichtlichen Bereich ist die Beanspruchbarkeit der Verbindungen durch Gutachten einer vom Deutschen Institut fr Bautechnik anerkannten Stelle nachzuweisen. Widerstandspunkt- und Widerstandsnahtschweißen. Diese Verbindungen werden i. allg. auf Abscheren beansprucht. Es ergibt sich eine niedrige Dauerfestigkeit wegen erheblicher

G Kerbwirkung. Da der Punktdurchmesser nicht bekannt ist und auch durch zerst
rungsfreie Prfverfahren kaum bestimmt werden kann, werden die ertragbaren Bruchlasten aus Versuchen bestimmt. Einzelheiten sind den Merkblttern DVS2902 T 3 „Widerstandspunktschweißen von Sthlen bis 3 mm Einzeldicke, Konstruktion und Berechnung“, DVS 2906 T 1 „Widerstands-Rollennahtschweißen – Verfahren und Grundlagen“, DVS 2916 „Prfen von Punktschweißverbindungen“ und DIN 18801 „Stahlhochbau“ zu entnehmen. 1.1.6 Thermisches Abtragen Removal by thermal operations Fertigen durch Entfernen von Werkstoffschichten oder Abtrennen von Werkstckteilen (DVS-Berichte Bd. 74. Dsseldorf: DVS-Verlag 1982). Verfahren der Autogentechnik Die zum Abtragen erforderliche Wrme entsteht aus Oxidation, der Werkstoffabtrag erfolgt im Sauerstoffstrahl. Brennschneiden. Das durch eine Brenngas-Sauerstoff-Flamme
rtlich auf Zndtemperatur erwrmte Werkstck verbrennt im Schneidsauerstoffstrahl, die Schneidschlacke (Oxide und Schmelze) wird vom O2 -Strahl aus der Fuge getrieben. Schneidbedingungen: Das Metall muß im O2 -Strom verbrennen, die Entzndungstemperatur muß unter der Schmelztemperatur liegen, die Oxidschmelztemperatur unter der

Bild 27. Strukturspannungs-W
hlerkurven fr Stahl (FAT-Klassen 112, 100, 90) und Aluminium (FAT-Klassen 45, 40, 36), Normalspannungen.

G 24

Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen

Schmelztemperatur des Werkstoffs. Die Bedingungen werden erf
llt bei un- und niedriglegierten Sthlen, Titan und Molybdn, nicht erf
llt bei Aluminium, Kupfer, Grauguß und i. allg. bei hochlegierten Sthlen. Vorwrmung ist bei Kohlenstoffgehalten > 0;3% erforderlich wegen Aufhrtung. Formteilgenauigkeit (A, B) und Schnittflcheng
te (I, II) sind nach DIN 2310 abhngig von Brennschneidmaschine, F
hrungseinrichtung, Schneidgeschwindigkeit und -bedingungen (Senkrecht-, Schrg-, Gerad-, Kurven-, Hand-, Maschinenschnitt mit Ein- oder Mehrfachbrenneranordnung). Maschinenformschnitte erfolgen nach Blechschablone mit Magnetrollenf
hrung, photoelektrischer Abtastung von Vorlagen im Maßstab 1 : 1 oder kleiner sowie auf NC-Maschinen.

G

Metallpulverbrennschneiden. Zufuhr von Metallpulver zur Reaktionsstelle, das zustzlich Wrme und d
nnfl
ssige Schlacke erzeugt. Geeignet zum Trennen von nichtrostendem Stahl, plattierten Werkstoffen, Gußeisen und Aluminium (nur noch selten angewendet). Metallpulverschmelzschneiden. Metallpulver verbrennt im Schneidsauerstoffstrom zu Metalloxid und verwandelt nicht brennbare, i. allg. mineralische Schmelze zu Schlacke (Lava). Geeignet zum Trennen aller metallischen, nichtmetallischen und mineralischen Werkstoffe (kaum angewendet). Mineralpulverschneiden (Brenn- und Schmelzschneiden). Dem Schneidsauerstoff zugesetzter Quarzsand unterst
tzt durch seine kinetische Energie das Austreiben der Schmelzschlacke (kaum angewendet). Brennfugen. (Fugenhobeln). Muldenfrmiges Abtragen von Werkst
ckflchen durch besonders geformte D
se, aus der zustzlich Sauerstoff zum „Hobeln“ austritt. Breite und Tiefe der Mulde werden durch Grße und Neigung der Hobeld
se beeinflußt. Hauptanwendungsgebiet ist das teilweise Ausarbeiten von Schweißnhten vor dem Gegenschweißen oder bei Reparaturen an brennschneidbaren Werkstoffen. Brennfl
mmen. Es dient mit schichtfrmigem Werkstoffabtrag zum Subern von Stahlblcken, Kn
ppeln und Rohrluppen vor der Weiterverarbeitung. Handflmmen eignet sich zur Beseitigung rtlicher Fehler, Maschinenflmmen zur großflchigen Bearbeitung. Brennbohren. Mit Sauerstoff- (SL), Sauerstoff-Pulver- (SPL) oder Sauerstoff-Kernlanze (SKL) ist es ein thermisches Lochstechen, das bevorzugt an mineralischen Stoffen (Beton, Stahlbeton) angewendet wird. Die SL arbeitet nur mit einem Rohr und ist weitgehend durch die SPL, die mit einem Rohr und zustzlichem Eisen- oder Eisen-Aluminiumpulver arbeitet, ersetzt. Bei der SKL wird ein Rohr, das mit Drhten gef
llt ist, verwendet. Das auf Weißglut erhitzte Rohrende wird in allen drei Fllen auf das Werkst
ck aufgesetzt und verbrennt unter Sauerstoffzugabe. Metallische Werkstoffe verbrennen, mineralische schmelzen und bilden mit Metalloxid d
nnfl
ssige Schlacke. Das Brennbohren ist bei allen Metallen, Nichtmetallen und mineralischen Werkstoffen anwendbar. Flammstrahlen. Es wird zum Abtragen (Verbrennen oder Umwandeln) von Schichten und Belgen, zur Reinigung oder Vorbehandlung metallischer oder mineralischer Werkst
cke herangezogen. Elektrische Gasentladung Lichtbogen-Sauerstoffschneiden. Der Lichtbogen brennt zwischen einer umh
llten Hohlelektrode und dem Werkst
ck. Sauerstoff wird der Schnittfuge durch die Bohrung der Elektrode zugef
hrt. Das Verfahren wird vorzugsweise beim Verschrotten von Stahlkonstruktionen eingesetzt. Lichtbogen-Druckluft-Fugen. Es dient zum Ausarbeiten von Schweißnhten und Rissen an metallischen Werkstoffen. rtliches Schmelzen des Grundwerkstoffs wird durch einen

Lichtbogen zwischen verkupferter Kohleelektrode und Werkst
ck erreicht. Parallel zur Elektrode zugef
hrte Preßluft dient zur teilweisen Verbrennung des aufgeschmolzenen Werkstoffs und treibt Schmelze und Schlacke aus der entstehenden Fuge. Plasma-Schmelzschneiden. Ein eingeschn
rter Lichtbogen f
hrt zur Dissoziation mehratomiger und zur Ionisation einatomiger Gase. Im Plasmastrahl hoher Temperatur und großer kinetischer Energie schmilzt der Werkstoff und verdampft teilweise. Durch die Werkst
ck- oder Brennerbewegung entsteht eine Schnittfuge. Plasmagase sind Argon, Wasserstoff oder deren Gemische, als Schneidgase kommen je nach Werkstoff Argon, Stickstoff, Wasserstoff oder deren Gemische, bei un- und niedriglegierten Sthlen auch Druckluft in Frage. Elektrisch leitende Werkstoffe werden mit
bertragenem, nichtleitende mit nicht
bertragenem Lichtbogen geschnitten. Hohe Schneidgeschwindigkeiten sind bei guter Schnittg
te erreichbar. Anwendbar ist das Verfahren f
r alle Sthle und NE-Metalle. Abtragen durch Strahl Verwendet wird ein energiereicher Strahl (Laser, Elektronen). Hohe Energiedichte des Nd:YAG-Festkrper- oder CO2 -Gaslaserstrahls f
hrt zum Schmelzen, zum Verdampfen oder Sublimieren (unmittelbarer bergang vom festen in den gasfrmigen Zustand) des Werkstoffs. Der Schneidvorgang wird bei leicht entz
ndlichen Werkstoffen durch inertes Gas und bei Metallen, insbesondere bei Stahl, durch Sauerstoff unterst
tzt: Laserbrennschneiden. Schmelzen des Werkstoffs und Verwendung inerten Gases: Laserschmelzschneiden. berf
hrung des Werkstoffs unmittelbar in den gasfrmigen Zustand: Laser-Sublimierschneiden. Vorteile des Laserschneidens sind geringe Wrmeeinwirkung, schmale Schnittfuge, geringer Verzug und hohe Schneidgeschwindigkeit. Schneidbar sind neben Metallen auch organische Stoffe und Kunststoffe, Holz, Leder, Gummi, Papier, Keramik, Quarzglas, Porzellan, Glimmer, Steine und Graphit. Der Elektronenstrahl mit erhhter Leistungsdichte im Brennfleck (bis 108 W/cm2, beim Schweißen 106 W/cm2) f
hrt zu einer großen Verdampfungsrate des Werkstoffs. Gen
gt ein Elektronenstrahlimpuls zum Durchstoßen des Werkst
cks, spricht man von Perforieren. Als Bohren bezeichnet man das Mehrimpulsschneiden mit dem Elektronenstrahl. Durch Perforationen lassen sich Bohrungen mit einem Durchmesser von 0,1 bis 1,2 mm und maximal 8 mm Tiefe herstellen. Bohrungen mit einem maximalen Durchmesser/Tiefe-Verhltnis von 1 : 30 knnen in bis zu 20 mm dicken Werkst
cken erzeugt werden. 10 Bohrungen mit 0,5 mm Durchmesser und 8 mm Tiefe bzw. 700 Bohrungen mit 0,2 mm Durchmesser und 0,5 mm Tiefe lassen sich in einer Sekunde herstellen. Anwendbar ist das Verfahren bei Metallen und einigen Nichtmetallen.

1.2 L
ten. Soldering and brazing H. Wohlfahrt, K. Thomas und M. Kaßner, Braunschweig 1.2.1 Vorgang. Procedure Unter Lten versteht man das Verbinden erwrmter, im festen Zustand verbleibender Metalle durch schmelzende metallische Zusatzwerkstoffe (Lote). Die Werkst
cke m
ssen an der Ltstelle mindestens die Arbeitstemperatur erreicht haben. Sie ist immer hher als der untere Schmelzpunkt (Soliduspunkt) des Lots und kann unterhalb des oberen Schmelzpunkts (Liquiduspunkt) liegen. Eine Bindung zwischen Werkst
ck und Lotmetall tritt auch auf, wenn das Werkst
ck zwar die Arbeitstemperatur nicht ganz erreicht, daf
r aber das Lotmetall eine wesentlich hhere Temperatur hat. Diese

I1.2 Lten Werkst
cktemperatur wird hufig mit Bindetemperatur oder Benetzungstemperatur bezeichnet. Sie ist stets niedriger als die Arbeitstemperatur und hat nur beim Fugenlten (Schweißlten) technische Bedeutung. Damit fl
ssige Lote benetzen und fließen knnen, m
ssen die Werkst
ckoberflchen metallisch rein sein. Dicke Oxidschichten werden mechanisch entfernt und d
nne Oxidschichten, die zum Teil noch whrend der Erwrmung auf Lttemperatur entstehen, durch Flußmittel gelst oder durch Flußmittel bzw. Gase reduziert. Die Bindung ist abhngig von den Reaktionen zwischen Lot und Grundwerkstoff und von der Verarbeitungstemperatur. Neben der reinen Oberflchenbindung im Fall fehlender Legierungsbildung zwischen Grundwerkstoff und Lot tritt in den meisten Fllen Diffusion einer oder mehrerer Komponenten des Lots in den Grundwerkstoff und umgekehrt ein. Beim Hartlten von weichem Stahl diffundiert hufig Kupfer entlang den Korngrenzen und f
hrt dadurch zur Ltbr
chigkeit. Die Festigkeit der Ltverbindung ist von der Spaltbreite abhngig. Unterhalb einer kleinsten Spaltbreite (etwa 0,02 mm) fllt die Festigkeit wegen zunehmender Bindefehler stark ab. Umgekehrt bringt auch zunehmende Spaltbreite eine Abnahme der Festigkeit mit sich. Der obere Grenzwert der Spaltbreite von etwa 0,5 mm sollte daher nicht
berschritten werden. Als besonders g
nstig haben sich Spalte von 0,05 bis 0,2 mm erwiesen. Bearbeitungsriefen vom Drehen oder Hobeln sollen, wenn ihre Tiefe 0,02 mm
bersteigt, mglichst in Flußrichtung des Lots liegen.

G 25

G Bild 28. Zeitstandscherfestigkeit von Ltverbindungen an E-Cu mit verschiedenen Sonderweichloten im Vergleich zu S-Pb50Sn50Sb [114]. 1 S-Pb97Ag3; 2 etwa S-Sn62Pb36Ag2; 3 S-Sn96Ag4; 4 SSn95Sb5; 5 etwa S-Sn50Pb32Cd18; 6 Cd 95%, Ag 5% (nicht genormt); 7 S-Cd82Zn16Ag2; 8 Sn 70%, Cd 52%, Zn 5% (nicht genormt), 9 etwa S-Cd68Zn22Ag10; 10 S-Pb50Sn50Sb

1.2.2 Weichl
ten. Soldering Weichlten wird bei einer Arbeitstemperatur unterhalb 450 C, vorwiegend bei Stahl, Kupfer und Cu-Legierungen, ausgef
hrt. Die Lote sind meistens Legierungen der Metalle Blei, Zinn, Antimon, Cadmium und Zink; f
r AluminiumWerkstoffe: Legierungen der Metalle Zink, Zinn und Cadmium, ggf. mit Zustzen von Aluminium; DIN 1707 T 100: Weichlote und DIN EN 29 453: Weichlote. Erwrmung der L
tstelle. Sie wird mit einem warmen Kupferkolben, einem Brenner, im Ofen, durch elektrischen Widerstand oder im Schmelzbad des Lotmetalls erwrmt. Der Beseitigung der Oxidschichten dienen bei Schwermetallen Flußmittel auf der Basis von Zink- u. a. Metallchloriden und/ oder Ammoniumchlorid, ferner organische Suren (Zitronen-, l-, Stearin-, Benzoesure) sowie Amine, Diamine und Harnstoff, Halogenverbindungen, nat
rliche oder modifizierte nat
rliche Harze mit Zustzen halogenhaltiger oder -freier Aktivierungszustze. Zu beachten ist, daß Flußmittelreste korrodierend wirken knnen. Auf geeigente Auswahl und Nacharbeit ist zu achten, DIN EN 29 454 T1: Flußmittel zum Weichlten. Festigkeit der L
tverbindung. Sie hngt von der chemischen Zusammensetzung der Lote, vom Grundwerkstoff und der Dauer der Belastung ab, weil die Weichlote bereits bei Raumtemperatur unter Last kriechen, Bild 28 und Bild 29. Der Einfluß der Temperatur auf die Festigkeit ist Bild 30 zu entnehmen.

1.2.3 Hartl
ten und Schweißl
ten (Fugenl
ten) Hard soldering and brazing Die Arbeitstemperaturen liegen
ber 450 C, Lotmetalle: Tab. 13. Normen: DIN EN 1044: Hartlten; Ltzustze. DIN EN 1045: Hartlten; Flußmittel zum Hartlten; DIN 65 169: Luft- und Raumfahrt; Hart- und hochtemperaturgeltete Bauteile; Konstruktionsrichtlinien.

Bild 29. Zeitstandscherfestigkeit von Ltverbindungen an Kupfer SDCu und Stahl S235JR bei Raumtemperatur [114]; Lot S-Pb50Sn50, Arbeitstemperatur 290 C, Ltflche 141 mm2 , Auslagerungszeit 1 Tag

Erwrmung der L
tstelle. Erwrmt wird vorwiegend mit der Flamme, im Schutzgasofen oder mittels Stromdurchgang. Als Flußmittel zur Beseitigung von Metalloxiden mit Wirktemperatur zwischen 550 und 800 C eignen sich Borverbindungen und komplexe Fluoride, zwischen 600 und 1000 C Chloride und Fluoride ohne Borverbindungen, zwischen 750 und 1100 C Borverbindungen und ab 1000 C Borverbindungen, Phosphate und Silicate. Festigkeit der L
tverbindung. Sie hngt stark von den Grund- und Lotwerkstoffen ab, sinkt je nach Lot unterschiedlich bei Langzeitbeanspruchung gegen
ber der Festigkeit des Kurzzeitversuchs und wird zudem maßgeblich von der Spaltbreite, Betriebstemperatur und, sofern schwingende Belastung vorliegt, von der Schwingspielzahl beeinflußt. Als Anhaltswert sei die Dauerumlaufbiegefestigkeit von 180 N=mm2

G 26

Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen

G Bild 30. Zeitstandscherfestigkeit von Weichl
tverbindungen an Stahl S235JR mit S-Pb50Sn50 bei verschiedenen Prftemperaturen [114]

einer aus unlegiertem Baustahl mit dem Lot AG 205 (Ag 25%, Cu 40%, Zn 35%) hergestellten Stumpfl
tung genannt. Die Zeitstandzugfestigkeit bei verschiedenen Prftemperaturen fr Verbindungen mit dem Lot AG 306 (Ag 30%, Cu 28%, Zn 21%, Cd 21%) enthlt Bild 31. 1.2.4 Hochtemperaturl
ten. High-temperature brazing Hochtemperaturgel
tet wird bei Arbeitstemperaturen ber 900 C im Vakuum oder im Ofen unter Schutzgas, mitunter Tabelle 13. Hartlote (DIN EN 1044, Auswahl)

Bild 31. Zeitstandzugfestigkeit von Hartl
tverbindungen mit dem Lot AG 306 (Ag 30%, Cu 28%, Zn 21%, Cd 21%) bei verschiedenen Prftemperaturen [114]

mit geringem Wasserstoffzusatz zur Reduktion von Oxiden, um teure Bauteile zu verbinden, die wegen ihrer Werkstoffkombination oder ihrer konstruktiven Ausbildung nicht schweißbar sind. Auch hohe Betriebstemperaturen k
nnen entscheidend sein. Als Lote dienen Legierungen, in denen Nickel, Kobalt, Gold oder ein anderes Edel- oder Sondermetall (Beryllium, Titan, Zirkonium, Hafnium, Vanadin, Niob, Tantal, Chrom, Molybdn, Wolfram) das maßgebliche Element ist. Gel
tet werden insbesondere hochwarmfeste Legie-

I1.3 Kleben

G 27

oder schweißen lassen, knnen durch Kleben miteinander gefgt werden. berdies kann das Metallkleben im Großreihenbau fertigungstechnische und wirtschaftliche Vorteile bieten. Nicht nur die Sandwichkonstruktionen werden im Flugzeugbau mit gutem Erfolg geklebt, sondern auch Flgel und andere Bauteile z. B. fr Schubumkehrer großer Maschinen. Im Karosserie-Leichtbau nimmt das Kleben stark zu. Vorteilhaft gegenber der herkmmlichen Bauweise ist der Steifigkeitsgewinn bei gleichzeitiger Gewichtsverminderung. Anwendungen sind z. B. Struktursch
ume in Hohlkrpern, spritzbare, heißh
rtende Versteifungsmaterialien auf Blechen, neue crashfeste Strukturklebstoffe, fl
chige Innen-Außenblechverklebungen sowie tragende Verbindungen zwischen Gl
sern und metallischen Strukturbauteilen. Beim Aufbringen und Dosieren der Klebstoffe sowie bei der Prfung der Verbindungen wurden Fortschritte erzielt.

Bild 32. Zeitstandzugfestigkeiten von NiCr20TiAl (Nimonic 80 A) und Hochtemperaturltungen aus diesem Werkstoff mit dem Lot Ni105 (Cr 19%, Si 10%, B bis 0,03%, C bis 0,06%, P bis 0,02%, Rest Ni) bei verschiedenen Prftemperaturen [114]; 1 Grundwerkstoff NiCr20TiAl nach W
rmebehandlung 8 h/1080 C; 2 Ltverbindung, gefertigt 15 min/1190 C, danach 20 h/1100 C+16 h / 710 C

rungen auf Eisen-, Nickel- oder Kobaltbasis sowie Sondermetalle. Auch Verbindungen zwischen Keramik und Hartmetallen sowie zwischen diesen Werkstoffen und metallischen Tr
gerwerkstoffen lassen sich herstellen. Da die hohe Arbeitstemperatur und die Gaszusammensetzung den Grundwerkstoff beeintr
chtigen knnen, z. B. durch Grobkornbildung oder eine ungnstige Ausscheidung, mssen die Verfahrensbedingungen sorgf
ltig gew
hlt werden. Die meisten Sondermetalle reagieren bereits bei m
ßig erhhten Temperaturen intensiv mit Sauerstoff, Stickstoff, Kohlenstoff und Wasserstoff. Deshalb drfen diese Stoffe nicht im Gas vorkommen und auch nicht aus Ofenbaustoffen entweichen. In den Verbindungen l
ßt sich die ungnstige Wirkung einiger sprder Zwischenschichten durch Lsungsglhen herabsetzen. Festigkeit der Hochtemperaturl
tungen. Sie h
ngt stark von den Grundwerkstoffen, der Bauteilgeometrie, der Oberfl
chenvorbehandlung, den Prozeßparametern und der sich meist anschließenden W
rmebehandlung ab. In der Regel liegen die Festigkeitswerte ber denen vergleichbarer Hartltungen. Aus Bild 32 sind die Zeitstandfestigkeiten einer Nickelbasislegierung und einer Ltverbindung aus diesem Werkstoff mit dem Lot Ni 105 (Cr 19%, Si 10%, B bis 0,03%, C bis 0,06%, P bis 0,02%, Rest Ni) ersichtlich.

1.3 Kleben. Adhesive bonding H. Wohlfahrt und K. Thomas, Braunschweig 1.3.1 Anwendung und Vorgang. Uses, procedures Anwendung. Das Kleben ermglicht ein Fgen auch nicht schweißbarer Werkstoffe ohne Verwendung von Nieten oder Schrauben. Es wird angewendet beim Verbinden von Metallen mit Nichtmetallen, wie z. B. Holz, Kunststoff, Gummi, Glas, Porzellan, oder in F
llen, in denen die zu fgenden Werkstoffe durch eine Schweißung nachteilige Ver
nderungen ihrer mechanisch-technologischen Eigenschaften erfahren (z. B. ausgeh
rtetes Duralumin). Vor allem dnne Werkstkke, die sich nur unter großem Aufwand oder gar nicht nieten

Bindung. Sie wird bei Klebstoffen auf Kunstharzbasis vorwiegend auf die Adh
sion zwischen Klebstoff und Metall zurckgefhrt. Der mechanischen Haftung infolge mechanischer Verankerung wird weitaus geringere Bedeutung zugemessen. Zur Herstellung einwandfreier Metallklebungen mssen folgende Bedingungen erfllt werden: Gute und gleichm
ßige Benetzbarkeit der Klebfl
chen durch den Klebstoff und mglichst geringe innere Spannungen nach dem Abbinden des Klebstoffs, d. h. geringe Neigung zum Schrumpfen beim Abbinden. Eigenspannungen knnen die Bindefestigkeit herabsetzen, besonders wenn eine ungengende Benetzbarkeit vorliegt. Weitere Bedingungen sind das Fehlen von Gasoder Lufteinschlssen in der Klebschicht und klebgerechte Sauberkeit der zu fgenden Teile, d. h. Freiheit von Schmutz, Fett und anderen Verunreinigungen. Oberfl
chenvorbehandlung der Fgeteile: Entfetten und mechanische Vorbehandlung durch Drehen, Hobeln, Fr
sen oder durch Strahlen mit fettfreiem feinkrnigen Sand, Korund oder Drahtkorn beim Verkleben von Eisen, Stahl und NE-Metallen. Chemische Verfahren wie Beizen mit nichtoxidierender S
ure, tzen mit oxidierender S
ure oder elektrochemische Behandlung ergeben bei Aluminium und Al-Legierungen, Magnesium und Mg-Legierungen, Kupfer und Cu-Legierungen hhere Bindefestigkeiten als die mechanischen Verfahren. Fr die Vorbereitung eignet sich auch eine Laser-Behandlung. Die zu verklebenden Fl
chen werden entfettet, mit einem Primer besprht und nach dem Ablften mit Laserlicht beaufschlagt. Sprhdse und Laseroptik lassen sich von einem Roboter handhaben.

1.3.2 Klebstoffe. Adhesive materials Fr Metallklebungen werden nichth
rtende Klebstoffe, durch physikalische Vorg
nge h
rtende und durch chemische Reaktionen warm oder kalt h
rtende Klebstoffe verwendet. Haftklebstoffe bestehen aus hochviskosen Polymeren. Sie verlieren die Eigenschaften einer Flssigkeit nicht vllig und passen sich deshalb an die Konturen der Fgeteiloberfl
chen vollst
ndig an, so daß Adh
sion eintritt. Zu den physikalisch h
rtenden Klebstoffen gehren die als Kontaktklebstoffe bezeichneten lsungsmittelhaltigen Systeme, die nach dem Auftrag auf die Fgefl
chen erstarren, wobei Lsungsmittel austritt. Danach werden die beschichteten Fgefl
chen zusammengepreßt. Durch Diffusion der Klebstoffmolekle beider Schichten verbinden sich diese. In
hnlicher Weise kommt die Bindung zwischen den aufgetragenen Schichten bei den Wasser und etwas Lsungsmittel enthaltenden Dispersionsklebstoffen zustande, die auch physikalisch h
rtende Klebstoffe sind. Zu dieser Gruppe gehren außerdem Plastisole. Sie bestehen aus einem in Lsungsmittel dispergierten Polymer, bevorzugt Polyvinylchlorid, das beim Verarbeiten das Lsungsmittel als Weichmacher aufnimmt. Eine Mischung mit Epoxydharzen ist mglich und ergibt Klebungen mit besserer W
rmebest
ndigkeit.

G

G 28

Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen

Tabelle 14. Basis-Kunststoffe fr das Kleben von Stahl (Stahl-Informations-Zentrum, Merkblatt 382)

G

Die chemisch h
rtenden Klebstoffe werden als niedrigmolekulare Substanzen geliefert. Bei der Verarbeitung entstehen durch Polykondensation, Polyaddition oder Polymerisation Stoffe, in denen Makromolekle mit großen Molekulargewichten vorliegen, wobei in einigen Klebstoffen die Molekle noch vernetzt werden. Chemisch h
rtend sind zum Beispiel Epoxidharze, Penolharze, Polyurthane, Silikonharze, Cyanacrylate und Diacyls
ure-Ester. Die Substanzen von Zweikomponentenklebstoffen mssen vor dem Verarbeiten in einem bestimmten Mengenverh
ltnis gemischt werden, damit die chemische Reaktion wie vorgesehen abl
uft. In Einkomponentenklebstoffen, die h
ufig aus mehreren, allerdings fertig gemischten Substanzen bestehen, beginnt die chemische Reaktion erst, wenn W
rme zugefhrt oder eine andere Bedingung erfllt wird. Polykondensationsklebstoffe werden kalt aufgebracht. Nach dem Zusammenfgen der Teile werden sie zum Abbinden einer meist kurzen W
rmeeinwirkung unter Druck ausgesetzt, w
hrend der die chemische Reaktion der Kondensation abl
uft. H
rtungstemperatur und Druck sind aus Versuchen zu ermitteln, soweit keine Herstellerangaben vorliegen. Durch Zugabe von H
rtern kann die Kondensation auch ohne W
rmezufuhr bewirkt werden. Polymerisationsklebstoffe sind lsungsmittelfreie reaktionsf
hige Systeme – W
rmezufuhr und Druckanwendung wirken beschleunigend und verbessern die Festigkeit.

Polyadditionsklebstoffe h
rten ohne Freiwerden von Spaltprodukten durch eine Additionsreaktion aus. Sie sind ohne Druck kalt und warm aush
rtbar. Zur Auswahl einiger Klebstoffe mit Verarbeitungsbedingungen siehe Tab. 14, Habenicht, G.: Kleben, 4. Aufl. (Literatur zu G 1.3) sowie Ruge, J.: Handbuch der Schweißtechnik, Bd. II, 3. Aufl. (Literatur zu G 1.1.1).

1.3.3 Tragf
higkeit. Strength of bonded joints Die Tragf
higkeit von Klebverbindungen wird beeinflußt durch die mechanisch-technologischen Eigenschaften der zu verklebenden Werkstoffe und des Klebstoffs, die Herstellungsbedingungen, die konstruktive Gestalt und die Beanspruchungsart. Besonders gut eignen sich fr Klebverbindungen die Leichtmetalle auf Aluminium- und Magnesiumbasis und Stahl, weniger gut die Buntmetalle. Die Scherzugfestigkeit, d. h. das Verh
ltnis der Bruchlast zur Klebfl
che einer einschnittigen Klebverbindung, nimmt mit wachsender Streckgrenze bzw. Dehngrenze des Metalls zu und mit steigender Klebfilmdicke ab, Bild 33. Die Festigkeit des Klebstoffs ist von seinem Aufbau und seinen Verarbeitungsbedingungen abh
ngig, Tab. 14. Die konstruktive Gestalt der Verbindung beeinflußt die Festigkeit erheblich. Die einschnittige Verbindung (Bild 34) ergibt durch die zus
tzliche Biegung und die damit verbundene

Bild 33 a, b. Scherzugfestigkeit von Klebverbindungen. a in Abh
ngigkeit von der Dehngrenze bei Leichtmetallen; b in Abh
ngigkeit von der Klebfilmdicke

I1.4 Reibschlußverbindungen

G 29

Bild 34. Nahtformen bei Klebverbindungen (Probest
be)

Neigung zum Absch
len niedrigere Scherzugfestigkeiten als die zweischnittige, w
hrend die Sch
ftung wegen der gleichm
ßigen Schubspannungsverteilung in der Klebfuge die hchsten Werte erzielt (Bild 35 a), die jedoch mit wachsender L
nge der berlappung abnehmen. Dagegen nimmt die Scherzugfestigkeit der einschnittigen Klebverbindung bei konstanter berlappungsl
nge l
mit wachsender Blechdicke bis zu einem Grenzwert zu, weil die Steifigkeit des Blechs gegen Biegung ebenfalls zunimmt, Bild 35 b. Die Scherzugfestigkeit ist ferner vom berlappungsverhltnis =berlappungsl
nge l
/Blechdicke s abh
ngig. Die Erhhung von  ber einen optimalen Wert hinaus bringt keine Vorteile mehr, was auf die an den Enden der berdeckung auftretenden Spannungsspitzen zurckzufhren ist. F
r die Bemessung gilt ¼ l
=s < 30: Richtwert: =20.

Die Scherzugfestigkeit sinkt bei einer Reihe von Klebstoffen nach 10 Wochen Lagerzeit auf etwa 70%, sie ist von der Temperatur erst ab etwa 80 C abh
ngig, darber f
llt sie stark ab. Klebverbindungen sind auch dynamisch beanspruchbar. Eine ausgesprochene Dauerfestigkeit wie bei Metallen gibt es bis zu 108 Schwingspielen nicht, Bild 36. Die Belastbarkeit h
ngt bei schwingender Beanspruchung außerdem von der Belastungsfrequenz ab.

1.4 Reibschlußverbindungen Connections with force transmission by friction H. Mertens, Berlin 1.4.1 Formen, Anwendungen. Types, applications Reibschlußverbindungen [1–39] mit zylindrischen oder kegeligen Wirkfl
chen werden in erster Linie als Welle-NabeVerbindungen zur Drehmomentbertragung zwischen Welle und Nabe mit und ohne Zwischenelemente (Bild 37) oder zum Einleiten von Axialkr
ften in Achsen oder Stangenkpfen (z. B. Bild 38) verwendet. Neben der Kraftbertragung – sicher bei Betrieb, durchrutschend bei berlastung mit

Bild 36. Scherzugschwellfestigkeit von Klebverbindungen

Grundlagen nach B 1.11 – spielen bei der Auswahl dieser Verbindungen die Selbstzentrierung, die Einstell- bzw. Nachstellbarkeit in Umfangsrichtung, der Fertigungs- und Montageaufwand, die notwendigen Fertigungstoleranzen, die Lsbzw. Wiederverwendbarkeit eine Rolle. Schwer lsbar sind zylindrische Preßverb
nde nach Bild 37 d, leichter lsbar Preßverb
nde mit kegeligen Wirkfl
chen nach Bild 37 e sowie leichter fg- und lsbar die Verbindungen mit Zwischenelementen. Nicht selbstzentrierend sind die Klemmverbindung nach Bild 37 b, die Verbindung mit Flach- oder Hohlkeil nach Bild 37 c, der Ringfederspannsatz nach Bild 37 i, die Verbindung mit Sternscheiben nach Bild 37 j und mit Wellenspannhlse nach Bild 37 m. Preßverb
nde (L
ngs-, Quer-, Kegel-Preßverb
nde) erfordern eine hohe Fertigungsgenauigkeit, etwas geringere die hydraulische Hohlmantelspannhlse [38]. Auswahl von Welle-Nabe-Verbindungen mit Konstruktionskatalogen s. [10], Hersteller [39]. Reibschlußverbindungen mit ebenen Wirkfl
chen werden heute h
ufig anstelle von Nietverbindungen zur Kraftbertragung zwischen Blechen im Stahl- und Kranbau als gleitfeste Verbindung mit hochfesten Schrauben (GV-Verbindungen) [4] verwendet. Reibschlssig erfolgt auch die bertragung von h
ufig auftretenden Betriebslasten in drehstarren, nichtschaltbaren Wellenflanschkupplungen [22]. 1.4.2 Preßverb
nde. Interference fits Entwurfsberechnung. Sie erfolgt nach DIN 7190 fr zylindrische Preßverb
nde fr das hchste sicher zu bertragende Drehmoment Mt oder die hchste sicher zu bertragende Axialkraft Fax zun
chst ohne Bercksichtigung von Fliehkr
ften fr zwei konzentrische Ringe mit gleicher axialer L
nge lF ; n
herungsweise kann diese Berechnung auch fr Klemmverbindungen nach Bild 38 angewendet werden. Durch die Berechnung soll sichergestellt werden, daß der  w j zwischen Wellendurch das kleinste wirksame bermaß jP durchmesser und Nabenbohrung erzeugte niedrigste Fugen-

Bild 35 a, b. Scherzugfestigkeit von Klebverbindungen in Abh
ngigkeit a von der berlappungsl
nge; b von der Blechdicke und berlappungsl
nge

G

G 30

Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen

G

Bild 37 a–m. Reibschlußverbindungen nach [53]. a Klemmverbindung mit geschlitzter Nabe; b mit geteilter Nabe; c mit Hohlkeil; d Zylindrischer Preßverband; e lpreßverband; f Preßverband mit kegeliger Spannbchse; g Kegelpreßverband; h Spannverbindung mit Kegelspannringen (nach Ringfeder); i Spannsatz (nach Ringfeder); j Sternscheiben (nach Ringspann); k Wellenspannhlse (nach Spieth); l Schrumpfscheiben-Verbindung (nach Stwe); m Wellenspannhlse (nach Deutsche Star)

druck
p die erforderliche Haftkraft (Reibkraft) aufbringt und ^ w j bewirkte Fugendruck ^p der durch das gr
ßte bermaß jP nicht zu einer berschreitung der zulssigen Bauteilbeanspruchungen bzw. -dehnungen fhrt; fr Fugendruck gilt damit
p % p % ^ p. Zum bertragen von Mt mindest erforderlicher Fugendruck pmin ¼ 2Mt Sr =ðpD2F lF mru Þ, pmin %
p, bei Axialbeanspruchung pmin ¼ Fax Sr =ðpDF lF mrl Þ, mit Soll-Sicherheit Sr gegen Rutschen, Haftbeiwert mru bzw. mrl bei Rutschen in Umfangsbzw. Lngsrichtung Tab. 15, Fugendurchmesser DF nach dem Fgen (Rechnung mit Nennmaß), Fugenlnge lF : Fr rein elastisch beanspruchte Preßverb
nde ohne Bercksichtigung von Kantenpressungen betrgt allgemein das bezogene wirksame bermaß xw ¼ jPw j=DF und gleichzeitig xw ¼ K p=EA mit der Hilfsgr
ße (Index A bzw. I fr Außenbzw. Innenteil):   EA 1 þ Q2I 1 þ Q2A K¼
nI þ þ nA : 2 E I 1
QI 1
Q2A Elastizittsmoduln EA und EI , Durchmesserverhltnisse QA ¼ DF =DaA und QI ¼ DiI =DF , Querdehnzahlen nA und nI (n  0;3 fr St; n  0;25 fr GG 20 bis GG 25).

Bild 38. (z=4)

Axial-(lngs-)belastete

zylindrische

Klemmverbindung

Das wirksame bermaß jPw j ist infolge Glttung von Rauheitsspitzen beim Fgen kleiner als die vor dem Fgen meßbare Istpassung jPi j, die aufgrund der Zeichnungsabmaße von Wellendurchmesser und Nabenbohrung zwischen den Gren
j und jP ^ j liegt; jP
j % jPi j % jP ^ j: Sofern keine experimenzen jP tellen Werte vorliegen, gilt fr Lngs- und Querpreßverbnde jPw j ¼ jPi j
0;8ðRzA þ RzI Þ mit den gemittelten Rauhtiefen der Fgeflchen RzA bzw. RzI . Sind die Mittenrauhwerte Ra vorgegeben, so k
nnen hierfr die nach Beiblatt 1 zu

Tabelle 15. Haftbeiwerte bei Querpreßverbnden in Lngs- und Umfangsrichtung beim Rutschen (nach DIN 7190) fr Entwurfsberechnung

I1.4 Reibschlußverbindungen DIN 4768 Teil 1 ermittelten Mittelwerte der gemittelten
w j=DF ¼ Rauhtiefe Rz eingesetzt werden. Wegen
xw ¼ jP
w j ¼ jP
j
0;8ðRzA þ RzI Þ ist bei gegebener PasK
p=EA und jP
j das wirksame
bermaß jP
w j und der Fugendruck
p sung jP bestimmt oder bei gegebenem Fugendruck
p das wirksame
j berechenbar, wenn die
w j bzw. die Passung jP
bermaß jP Hauptabmessungen von Außen- und Innenring festliegen. ^ w j=DF ¼ K^p=EA , so daß mit gegebener Analog gilt ^xw ¼ jP ^ j der hchste Fugendruck ^p bekannt ist. ErreichbaPassung jP re Rauhtiefen zu Fertigungsverfahren s. DIN 4766 s. F 1.6 Tab. 12. Die hchste Radialspannung sr ¼
^p tritt an der Fuge des Außen- und Innenteils auf (Bild 39), die hchste Umfangsspannung im Außenring betrgt wieder an der Fuge p=ð1
Q2A Þ, die hchste Tangentialspannung sjA ¼ ð1 þ Q2A Þ^ am Innenring betrgt sjI ¼
2^p=ð1
Q2I Þ fr QI > 0 und liegt am Innenrand bzw. sjI ¼
^p berall fr eine Vollwelle mit QI ¼ 0: Nach der Schubspannungshypothese (SH) ergeben sich damit die hchsten Vergleichsspannungen im Außenring zu sv ¼ 2^ p=ð1
Q2A Þ; im Innenring mit QI > 0 zu sv ¼ 2^ p=ð1
Q2I Þ bzw. der Vollwelle zu sv ¼ ^p. Diese Vergleichsspannungen werden nach DIN 7190 mit den Festigpffiffiffi pffiffiffi keitskennwerten (2ReLA = 3Þ bzw. ð2ReLI = 3Þ (modifizierte SH) verglichen, die mit den unteren Streckgrenzen ReL von Außenteil und Innenteil festliegen; z. B. 2^p=ð1
Q2A Þ% pffiffiffi pffiffiffi 2ReLA =ð 3  SPA Þ; ^ p % ð1
Q2A ÞReLA =ð 3  SPA Þ mit der SollSicherheit SP gegen plastische Dehnung. Analoge Bewertung fr Innenring oder Vollwelle. Flußplan fr elastische Auslegung [10]. Fr duktile Werkstoffe mit einer Bruchdehnung A ^ 10% und einer Brucheinschnrung ^30% wird in DIN 7190 fr Vollwellen und EA ¼ EI ¼ E sowie nA ¼ nI ¼ n ein einfaches Berechnungsverfahren fr elastisch-plastisch beanspruchte Preßverb
nde beschrieben. Dabei bildet sich im Außenteil eine innenliegende plastische Zone aus, die von einer außenliegenden elastischen Restzone durch eine Zylinderflche mit dem Plastizittsdurchmesser DPA getrennt wird (Bild 39). Der bezogene Plastizittsdurchmesser z ¼ DPA =DF wird durch Lsen der transzendenten Gleichung 2 ln z
ðQA zÞ2 pffiffiffi þ1
3  p=ReLA ¼ 0 bestimmt, wobei 1 % z % 1=QA gelten muß. Das fr den Fugendruck p erforderliche bezogene wirksame
bermaß xw ¼ jPw j=DF ergibt sich zu xw ¼ pffiffiffi 2z2 ReLA =ð 3  EÞ. Schließlich ist noch der Anteil der plastisch beanspruchten Ringflche qPA am gesamten Querschnitt qA des Außenteils zu berprfen, mit qPA =qA ¼ ðz2
1ÞQ2A =ð1
Q2A Þ % 0;3 fr hochbeanspruchte Preßverbnde im Maschinenbau. Kontrolle, ob Vollwelle rein elastisch unter Druck p bleibt, erfolgt wie bei elastisch beanspruchten Preßverbnden. Kontrolle gegen vollplastische Bepffiffiffi anspruchung des Außenteils mit p % 2ReLA =ð 3  SPA Þ fr pffiffiffi QA < 1=e ¼ 0;368 bzw. p %
2ReLA ðln QA Þ=ð 3  SPA Þ fr

G 31

QA > 0;368 mit Soll-Sicherheit SPA gegen vollplastische Beanspruchung. Flußdiagramme s. DIN 7190. Die Absch
tzung der Dauerfestigkeit von Welle-Nabe-Verbindungen erfolgt zweckmßig ber die Berechnung der Nennspannungsamplituden und der zugehrigen Mittelspannungen aus Biegung und Torsion in der Welle unter Bercksichtigung von Versuchsergebnissen an hnlichen Welle-Nabe-Verbindungen. Im DDR-Standard TGL 19 340 war hierfr ein Rechengang angegeben, der leicht modifiziert in [10] dargestellt ist. Zur Dokumentation der Versuchsergebnisse werden Kerbwirkungszahlen fr Biegung bkb und Torsion bkt eingefhrt (s. a. C 10). Einen ersten
berblick gibt Tab. 16. Weitere Hinweise s. DIN 743–2 mit Kerbwirkungszahlen zu Achsen und Wellen. hnliche Kerbwirkungszahlen mssen auch fr vergleichbare Kegelpreßverbnde und kommerziell erhltliche reibschlssige Welle-Nabe-Verbindungen mit Zwischenelementen [23– 39] (Bild 37 h bis m) angenommen werden. Zusammenstellung von Kerbwirkungszahlen [10, 12]. Grobgestaltung. In der Regel lF =DF % 1;5, wenn Auslegung auf statische Drehmomentbeanspruchung, da grßere Lngen kaum hhere Rutschmomente ergeben. Bei wechselnden oder umlaufenden Biegemomenten lF =DF ^ 0;5 sowie mglichst volle Innenteile, um axiales Auswandern der Welle aus der Nabe durch Mikrogleiten zu vermeiden. Um große Drehmomente bertragen zu knnen, soll mglichst eine volle Welle mit einer nicht zu dnnwandigen Nabe ðQA % 0;5Þ gepaart werden. Der grßtmgliche Gewinn an Fugendruck p gegenber der rein elastischen Auslegung ergibt sich im Bereich 0;3 % QA % 0;4. Optimal gestaltete Preßverbnde fr wechselnde oder umlaufende Biegemomente erzielt man durch Tabelle 16. Kerbwirkungszahlen fr Preßverbnde (nach TGL 19340) mit Fugendurchmesser DF ¼ 40 mm [10], modifiziert

Bild 39 a, b. Spannungsverteilung in elastischen Preßverbnden mit Hohlwelle. a vor dem Fgen; b nach dem Fgen. sj Umfangs-, sr Radialspannungen, p Fugendruck; Nabe nach Fgen elastisch oder teilplastisch

G

G 32

Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen

Verst
rkung des Wellendurchmessers DW auf Fugendurchmesser DF nach DF =DW
1;1 bis 1,15 mit bergangsradien r nach r=DF
0;22 bis 0,18, wobei fr hochfeste Wellenwerkstoffe der jeweils rechte Grenzwert zu w
hlen ist [11]. Sofern kein Wellenabsatz vorgesehen werden kann, knnen sinngem
ß kreisfrmige Welleneinstiche mit etwas berstehender Nabe eingesetzt werden. Keinesfalls sollen jedoch Nuten oder Einstiche innerhalb des Preßverbands, z. B. fr Paßfedern, vorgesehen werden. Falls Welle und Nabe aus Werkstoffen mit ungleichen elastischen Konstanten gefertigt werden, so soll die Welle den grßeren Elastizit
tsmodul aufweisen ðEI > EA Þ.

G

Hinweis: Hydraulisch gefgte Verb
nde drfen erst nach erfolgtem lfilmabbau (10 min bis 2 h) beansprucht werden. Fgetemperaturen fr Naben aus Baustahl niedriger Festigkeit, Stahlguß oder Gußeisen mit Kugelgraphit maximal 350 C, fr Naben aus hochvergtetem Baustahl oder einsatzgeh
rtetem Stahl maximal 200 C (DIN 7190). Grobgestaltung von Kegelpreßverb
nden. Bauart nach Bild 37 g. Die Kegelneigung (durchmesserbezogen nach DIN 254) ist auf jeden Fall [21] selbsthemmend zu w
hlen, bei Stahl/Stahl-Paarung also kleiner oder gleich 1 : 5. Da das Außenteil bei Erstbelastung durch Drehmoment eine schraubenfrmige Aufschubbewegung ausfhrt, wird die wirksame Reibungszahl in axialer Richtung praktisch aufgehoben. Deshalb sind Kegelpreßverb
nde, die grßere Drehmomente bertragen mssen, axial zu verspannen, da sich sonst bei berschreiten des maximal zul
ssigen Drehmomentes auch ein „selbsthemmender“ Preßverband augenblicklich lst. Paß- oder Scheibenfedern, die zur Lagesicherung in Umfangsrichtung in Kegelpreßsitzen eingesetzt werden, z. B. DIN 1448, DIN 1449, verhindern die schraubenfrmige Aufschubbewegung, womit der Fugendruck nicht voll zur Drehmomentbertragung genutzt werden kann: In hochbelasteten Kegelpreßverb
nden sollen damit keine Paß- oder Scheibenfedern vorgesehen werden. Zur Vermeidung der Aufschubbewegung und ver
nderlicher Umfangslage im Betrieb sind Montagevorg
nge, die Drehmomentbelastung und Anziehen kombinieren, vorgeschlagen worden [21]. berschl
gige Berechnung als zylindrischer Preßverband mit mittlerem Fugendurchmesser DFm und axialer Fugenl
nge lF . Der zum bertragen von Mt mindest erforderliche Fugendruck pmin ¼ 2Mt Sr =½pD2Fm ðlF = cos bÞ  mru  mit der Soll-Sicherheit Sr gegen Rutschen und dem Kegelwinkel a=2b. Die dafr notwendige Einpreßkraft Fe ^ pmin DFm plF ðtan b þ mrl Þ; die Lsekraft vor Belastung durch Drehmoment Mt folgt mit negativem mrl . Der erforderliche Aufschubweg wird durch das
w j und das grßte zul
ssige kleinste erforderliche bermaß jP ^ w j unter Bercksichtigung des Kegelwinkels bermaß jP a=2b bestimmt. Berechnungen unter Bercksichtigung der Winkelabweichung zwischen Innen- und Außenteil s. [10, 21]. Feingestaltung. Preßverb
nde werden im Betrieb h
ufig durch wechselnde bzw. schwellende Torsion und/oder umlaufende Biegung beansprucht. Die schwingenden Momente knnen in der Fuge Gleitbewegungen (Schlupf) mit wechselnden Richtungen hervorrufen. Mit zunehmendem Schlupf wird die Dauerhaltbarkeit von reibschlssig gepaarten Bauteilen zum Teil stark vermindert [14]. Entsprechend dem Prinzip der abgestimmten Verformung knnen z. B. bei Torsionsbelastung nach F 1.4 Bild 18 die Relativverschiebungen zwischen Nabe und Welle durch eine geeignete Kraftfhrung und Nabengestaltung vermindert werden. Genaue Ermittlung der Fugenpressung und der Relativverschiebung ist mit Finite Elemente Rechnungen nach [11] mglich. Preßverb
nde mit geringer Kerbwirkung und großer Tragf
higkeit entstehen, wenn Gestaltung ðDF =DW ^ 1;1Þ, Fertigung (Nabe elastisch-

plastisch) und W
rmebehandlung (induktives Randschichth
rten, Einsatzh
rten oder Gasnitrieren) zweckm
ßig gew
hlt bzw. aufeinander abgestimmt werden, wie in [10] anhand von statistisch gut abgesicherten Dauerfestigkeitsversuchen gezeigt wird. Die relativ geringe Kerbwirkung bei elastisch-plastisch gefgten biegebelasteten Querpreßverb
nden gegenber elastisch gefgten best
tigt den in [14, 15] beschriebenen Wirkmechanismus bei Reibdauerbeanspruchung, mit der Konsequenz, daß der Fugendruck zur Vermeidung von Relativverschiebungen mglichst hoch gew
hlt werden soll, was bei zus
tzlich wirkender Torsion Maßnahmen zur Anpassung der Torsionssteifigkeit nach F 1.4 Bild 18 einschr
nkt. Die optimale Gestaltung h
ngt dann vom Verh
ltnis der zu bertragenden Biegemoment-Amplitude Mba zur Torsionsmoment-Amplitude Mta ab. Zur Beurteilung kann bei Vermeidung von Reibkorrosion (vgl. C 10, Gl. (5)) die Interaktionsformel  2  2 Mba Mta 1 þ % SD ðMba Þertr ðMta Þertr genutzt werden [11], wenn die ertragbaren Biege- und Torsionsmoment-Amplituden ðMba Þertr und ðMta Þertr unter Beachtung der statischen Momentenanteile aus Versuchen bekannt sind; Sicherheit gegen Dauerbruch SD . Wegen des quadratischen Zusammenhangs dominiert in der Praxis h
ufig ein Belastungsanteil, so daß die konstruktiven Maßnahmen sich dann an der Hauptbelastungskomponente orientieren knnen. Wird ein Preßverband zus
tzlich durch Fliehkr
fte beansprucht, so sind wegen der zus
tzlichen Aufweitung besonders der Nabe, verfeinerte Berechnungen zur Ermittlung des Fugendrucks eventuell erforderlich. – Vereinfachte Absch
tzung nach DIN 7190 oder [20]. 1.4.3 Klemmverbindungen. Clamp joints Leicht lsbare Klemmverbindungen entstehen im einfachsten Fall dadurch, daß eben begrenzte Teile durch Schraubenkr
fte aufeinander gepreßt werden. Solche einfl
chigen, ebenen Klemmverbindungen werden auch zur Feststellung von Gleitfhrungen nach T 1 Bild 51 in vielf
ltigen Formen herangezogen. Im Stahl- und Kranbau werden Klemmverbindungen als gleitfeste Verbindungen mit hochfesten Schrauben (GV-Verbindungen) eingesetzt. In GV-Verbindungen nach DIN 18 800 sind die Schrauben planm
ßig nach Norm vorzuspannen. Damit lassen sich in besonders vorbehandelten Berhrungsfl
chen der zu verbindenden Bauteile Kr
fte senkrecht zu den Schraubenachsen durch Reibung bertragen. Bei Verwendung mit hochfesten Paßschrauben wird gleichzeitig die Kraftbertragung durch Abscheren und Lochleibungsdruck herangezogen (GVP-Verbindungen), s. G 1.5. Gleitfeste Verbindungen drfen mit einem Lochspiel Dd % 1 oder 2 mm (GV-Verbindungen) und mit einem Lochspiel Dd % 0;3 mm (GVP-Verbindungen) ausgefhrt werden. Fr den Festigkeitsnachweis wird die bertragbare Kraft zul. QGV je Reibfl
che senkrecht zur Schraubenachse fr Schraubengrßen bis M 36 in U 2 Tab. 20 bereitgestellt. Fr die Berechnung wird eine Reibungszahl m ¼ 0;5 bei einer Sicherheitszahl SG gegen Gleiten von 1,25 (Hauptlasten) mit vorgeschriebener Reibfl
chenbehandlung (Stahlgußkiesstrahlen oder zweimal Flammstrahlen oder Sandstrahlen oder Aufbringen eines gleitfesten Beschichtungsstoffs) angewendet. Fr die Bauteilquerschnitte mit Lochschw
chung darf beim allgemeinen Spannungsnachweis angenommen werden, daß 40% von zul. QGV derjenigen hochfesten Schrauben, die im betrachteten Querschnitt mit Lochabzug liegen, vor Beginn der Lochschw
chung durch Reibschluß angeschlossen sind (Kraftvorabzug). Außerdem ist der Vollquerschnitt mit der Gesamtkraft nachzuweisen.

I1.5 Formschlußverbindungen Klemmverbindungen mit zylindrischer Wirkfl
che nach Bild 38 oder Bild 40 (Bild 37 a) mit geschlitzter Nabe (Hebel) oder Bild 37 b mit geteilter Nabe bertragen Drehmomente Mt oder Axialkr
fte Fax
hnlich wie Preßverb
nde (G 1.4.2), wenn im noch ungeklemmten Zustand eine bergangspassung und keine Spielpassung vorliegt. Bei einer Spielpassung liegt dagegen eine Linienberhrung vor. Bei geteilter Nabe mssen die Schraubenkr
fte und die sich einstellenden Kontaktkr
fte im Gleichgewicht stehen, bei geschlitzter Nabe (Hebel) mssen dagegen die Schraubenkr
fte wegen der statisch unbestimmten Kraftaufteilung auf Kontaktkr
fte und Nabenverformung bei gleichen bertragbaren Kr
ften und Momenten grßer gew
hlt werden, was innerhalb der Entwurfsberechnung ber erhhte Sicherheitszahlen S gegenber der notwendigen Sicherheitszahl SG ðS > SG Þ bercksichtigt werden kann. Entwurfsberechnung Fr Klemmverbindung nach Bild 38 mit z Schrauben und Vorspannkraft Fs je Schraube und Linienberhrung. bertragbare L
ngskraft F ¼ 2mzFs =S. Wenn durch berlagerte Schwingbewegungen oder Stße die Reibungszahl m herabgesetzt werden kann, soll hierfr die Reibungszahl der Bewegung mr gew
hlt werden. Anhaltswerte Tab. 15. Darf man annehmen, daß statt der Linienberhrung sich bei spielfreier Passung eine gleichm
ßig verteilte Fl
chenpressung p ber den Bohrungsumfang pd und die Klemml
nge l einstellt, dann betr
gt die bertragbare L
ngskraft F ¼ pmzFs =S: Die Reibungszahl m kann durch geeignete Oberfl
chenbehandlung, durch Carborundum-Pulver in der Fuge, oder einseitig geklebte oder genietete nichtmetallische Beilagen erhht werden. Fr geschlitzte Hebel nach Bild 40. bertragbares Drehmoment Mt ¼ Fn mDF =S mit den rtlich konzentrierten Klemmkr
ften Fn an zwei diametralen Stellen der Preßfuge; Reibungszahl m und Sicherheitszahl S s. Klemmverbindung. In erster N
herung gilt Fn ¼ ðl2 =l1 Þ
SFS , wenn Hebel ausreichend geschlitzt ist. Der Querschnitt Amin am Hebel ist auf Biegung durch ein Biegemoment Mb  SFs ðl2  l1 Þ beansprucht. Diese Biegebeanspruchung und auch die am Schlitzende sowie die in den Klemmschrauben wird herabgesetzt, wenn der Abstand ðl2  l1 Þ mglichst kurz und in der Fuge im noch ungeklemmten Zustand eine bergangspassung und keine Spielpassung vorliegt. Solche Klemmverbindungen werden nur zur bertragung geringer und wenig schwankender Drehmomente verwendet. Sie haben den Vorteil, daß die

G 33

Bild 41. L
ngsbelastete Klemmverbindung mit exzentrischem Kraftangriff

Hebel- oder Nabenstellung leicht in L
ngs- und Umfangsrichtung ver
ndert werden kann. (Genaue Berechnung: [96, 97].) Fr Klemmverbindung mit exzentrischem Kraftangriff nach Bild 41. Zur Berechnung der Selbsthemmgrenze wird angenommen, daß das Biegemoment (kF) und die L
ngskraft F durch rtlich konzentrierte Kr
fte Fres in den ReibungskegelMantellinien an den Nabengrenzen im Abstand b aufgenommen werden. Bedingung fr sicheres Klemmen unter ruhender Kraft F: k ^ b=ð2mrl Þ, also mit mrl ¼ 0;07 fr St/St k ^ 7;0 b. Klemmen kann allerdings bei mrl ¼ 0;16 und Angriff des resultierenden Normalkr
ftepaars in der Bohrung im Abstand (2/3) b bereits bei k  2 b eintreten. Zur Berechnung der Fl
chenpressung wird eine lineare Fl
chenpressungsverteilung
hnlich Bild 43 angenommen. Als Richtwert fr zul
ssige Fl
chenpressungen gelten pzul ¼ 50 bis 90 N=mm2 fr Paarung St/St und pzul ¼ 32 bis 50 N=mm2 fr St/GG.

1.5 Formschlußverbindungen Positive connections H. Mertens, Berlin 1.5.1 Formen, Anwendungen. Types, applications Die einfachsten Verbindungselemente im Maschinenbau sind Stifte, Bolzen, Paßfedern, Scheibenfedern, Keile [40–71]. Sie dienen zur Lagesicherung von Bauteilen gegeneinander, zur gelenkigen Verbindung und Lagerung, zur Kraftbertragung. Die Verbindungen entstehen durch das Ineinandergreifen von Teilekonturen der Verbindungselemente. Werden die Verbindungselemente in Bauteile integriert, so entstehen fertigungstechnisch aufwendigere, aber meist genauere und hher belastbare Formschlußverbindungen, wie z. B. Keil- und Zahnwellen-Verbindungen zwischen Welle und Nabe oder Stirnkerbverzahnungen zur Verbindung zwischen Wellen und Naben oder zur Verbindung von Wellen untereinander. Eine Demontage dieser Verbindungen ist meist mit nur kleinem Kraftaufwand mglich, wobei Vorzugsrichtungen bestehen. Nicht vorgespannte Formschlußverbindungen besitzen wegen des ungnstigen Kraftflusses und relativ starker Kerben meist eine sehr niedrige dynamische Tragf
higkeit. Die statische Tragf
higkeit ist dagegen bei geeigneter Werkstoffwahl wesentlich gnstiger einzusch
tzen, so daß in der Praxis Kombinationen von Reibschlußverbindungen fr h
ufig auftretende Betriebslasten und Formschlußverbindungen fr seltene hohe Lasten vorkommen, z. B. starre Wellen-Flanschverbindungen mit Schrauben und Stiften. Als Sonderfall der Formschlußverbindungen knnen Nietverbindungen behandelt werden, deren Demontage z. B. durch Ausbohren der Niete mglich ist. 1.5.2 Stiftverbindungen. Pinned and taper-pinned joints

Bild 40. Momentenbelastete Klemmverbindung mit geschlitztem Hebel

Stifte zur formschlssigen Verbindung von Naben, Hebeln, Stellringen auf Wellen oder Achsen und zur Lagesicherung von Verschraubteilen und als Steckstifte (einseitig eingespannte Biegetr
ger zur Krafteinleitung in Schraubenfedern, Zugseile u. a.) werden mit L
ngs-Preßsitz und bermaß in Bohrungen eingeschlagen [55]. Bohrungen fr Zylinderstifte

G

G 34

Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen Tabelle 17. Richtwerte f
r zulssige Flchenpressungen bei Bolzenund Stiftverbindungen

G

Bild 42. Genormte Stifte (Auswahl)

Bild 43. Querkraftbelastete Steckverbindung mit linear angenommener Flchenpressungsverteilung

werden auf Paßmaß aufgerieben; Bohrungen f
r Spannstifte (Spannh
lsen) werden mit H 12 und f
r Kerbstifte i.allg. mit H 11 gefertigt. Kegelstifte in vor der Montage gemeinsam geriebenen Bohrungen geben beste Lagesicherung. Die Toleranzfelder der Zylinderstift-Durchmesser (DIN 7) werden durch

die Formen der Stiftenden unterschieden, Bild 42. Vergleichbare ISO-Normen s. DIN 918 Bl. 2. Firmendruckschriften [66]. Normen: DIN 1: Kegelstifte. – DIN 7: Zylinderstifte. – DIN 258: Kegelstifte, mit Gewindezapfen und konstanten Kegellngen. – DIN 1469: Paßkerbstifte mit Hals. – DIN 1470: Zylinderkerbstifte mit Einf
hr-Ende. – DIN 1471: Kegelkerbstifte. – DIN 1472: Paßkerbstifte. – DIN 1473: Zylinderkerbstifte. – DIN 1474: Steckkerbstifte. – DIN 1475: Knebelkerbstifte. – DIN 1476: Halbrundkerbngel. – DIN 1477: Senkkerbngel. – DIN 1481: Spannstifte (Spannh
lsen), schwere Ausf
hrung. – DIN 6325: Zylinderstifte, gehrtet, Toleranzfeld m6. – DIN 7343: Spiral-Spannstifte, Regelausf
hrung. – DIN 7344: Spiral-Spannstifte, schwere Ausf
hrung. – DIN 7346: Spannstifte (Spannh
lsen), leichte Ausf
hrung. – DIN 7977: Kegelstifte, mit Gewindezapfen und konstanten Zapfenlngen. – DIN 7978: Kegelstifte mit Innengewinde. – DIN 7979: Zylinderstifte mit Innengewinde. Steckstifte nach Bild 43 werden im Einspannquerschnitt vorwiegend auf Biegung mit Biegemoment Mb ¼ Fl beansprucht. Bei Annahme einer linearen Flchenpressungsverteilung zwischen Stift und Bohrung (starrer Stift) wird zustzlich zur Flchenpressung durch bermaß ein maximaler Druck pmax ¼ pd þ pb ¼ Fð4 þ 6l=tÞ=ðdtÞ errechnet. Genaueres Berechnungsmodell als gebetteter Balken mit Schubverformung [62]. Analoge berlegungen erlauben die Abschtzung der Flchenpressung pmax zwischen Querstift und Welle in einer Welle-Nabe-Verbindung unter Torsionsmoment Mt nach Bild 49 a zu pmax ¼ 6Mt =ðdD2 Þ. Richtwerte f
r zulssige Flchenpressungen von Stiftverbindungen Tab. 17 und Spannungen Tab. 18.

Tabelle 18. Richtwerte f
r zulssige Biege- und Schubnennspannungen f
r Bolzen und Stiftverbindungen

I1.5 Formschlußverbindungen 1.5.3 Bolzenverbindungen. Clevis joints and pivots Genormte Bolzen nach Bild 44 mit Durchmessern (3, 4, 5, 6), 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 24 . . . 100, dienen vielseitig als Achs- und Gelenkbolzen mit einem Freiheitsgrad, Bild 45. Vergleichbare ISO-Normen s. DIN 918 Bl. 2. Normen: DIN 1443: Bolzen ohne Kopf, Maße nach ISO. – DIN 1444: Bolzen mit Kopf, Maße nach ISO. – DIN 1445: Bolzen mit Kopf und Gewindezapfen. – Nicht mehr f
r Neukonstruktionen verwenden: DIN 1433: Bolzen ohne Kopf, Ausf
hrung m, DIN 1434: Bolzen mit kleinem Kopf, Ausf
hrung m, DIN 1435: Bolzen mit kleinem Kopf, Ausf
hrung mg, DIN 1436: Bolzen mit großem Kopf, Ausf
hrung mg. Entwurfsberechnung. F
r Bild 45: Bolzenbeanspruchung unter Biegemoment Mb ¼ ðF=2Þðb1 =2 þ b=4Þ; Flchenpressung innen p ¼ F=ðbdÞ, außen p ¼ F=ð2b1 dÞ; Schubspannung im Bolzen ts ¼ 2F=ðpd2 Þ wird meist vernachlssigt. Stangenund Gabelbeanspruchung aus Zugspannungen in Stangenoder Gabel-Restquerschnitten in Querebene durch Bolzenachse (Stangenkopfweite t, Laschenweite t1 ) sowie aus Schubspannungen in Stangenkopf- und Laschenenden in den durch Abscheren gefhrdeten Lngsflchen b(h
d/2) bzw. 2b1 ðh1
d=2Þ beiderseits des Bolzens. Richtwerte f
r Abmessungen: b=d ¼ 1;5 . . . 1;7; b1 =d ¼ 0;4 . . . 0;5; h1 =d  h=d ¼ 1;2 . . . 1;5; t1 =d  t=d ¼ 2 . . . 2;5. Richtwerte f
r zulssige Flchenpressungen Tab. 17 und Spannungen Tab. 18. Feingestaltung der Bolzenverbindung [65] – wie Passungswahl zwischen Bolzen, Lasche und Gabel – hat erheblichen Einfluß auf die angenommene Lastverteilung.

G 35

gen
tzt (s. B 1.11). In Bild 46 wird eine Formschlußverbindung mit Kerbverzahnung durch eine Befestigungsschraube vorgespannt. Mit solchen Verbindungen kann z. B. der Werkzeugwechsel bei Drehmaschinen erleichtert werden, weil sich neben dem Reibschluß in Richtung der Zhne in den dazu senkrechten Richtungen das Werkzeug spielfrei positionieren lßt. In hnlicher Weise wirken Stirnzahn-Kupplungen mit Hirth-Verzahnungen (s. G 3 Bild 2 c). Zum Verbinden von Stangen miteinander werden Keilverbindungen nach Bild 47, zum Verbinden von Stangen mit H
lsen (z. B. Kreuzkpfen) oder Stangen mit Traversen Keilverbindungen hnlich Bild 48 a mit Anschlagbund an der Stange oder Bild 48 b mit Kegelpassung verwendet. Sie blockieren alle Freiheitsgrade, die ein Gelenk haben w
rde. Entwurfsberechnung. F
r Bild 48 a werden zur
berschlgigen Auslegung wegen der statisch unbestimmten Lastaufteilung die maximalen Flchenpressungen p zwischen Querkeil und Stange und die maximalen Zugspannungen sz im Restquerschnitt der Stange aus dem 1,5fachen der aufzunehmenden Lngszugkraft FB gemß pd1 t ¼ 1;5FB bzw. sz ðd12 p=4
d1 tÞ ¼ 1;5FB berechnet. Werden Zug- und Druckkrfte FB
bertragen, dann folgt die Flchenpressung p in der ringfrmigen Ber
hrungsflche zwischen Stange und H
lse aus pðd 2
d12 Þp=4 ¼ 1;5FB . Außendurchmesser der

1.5.4 Keilverbindungen. Cottered joints Formschl
ssige Verbindungen bentigen zumindest bei wechselnden Belastungen geeignet eingesetzte Vorspannkrfte, um spielfrei zu sein. Zum Verspannen wird i. allg. die Keilwirkung mit Keilwinkeln im Bereich der Selbsthemmung

Bild 46. Formschlußverbindung mit Kerbverzahnung

Bild 44. Genormte Bolzen (Auswahl)

Bild 47. Querkeilverbindung zum Verbinden von Stangen unter Zugbelastung

Bild 45. Bolzenverbindung als Gelenk (mit vereinfachter Momentenverteilung als Berechnungsgrundlage). 1 Bolzen, 2 Gabel, 3 Stange, 4 Lasche

Bild 48 a, b. Flachkeilverbindung zum Verbinden von Stange und H
lse f
r Zug- oder Druckbelastung. a Stange mit Bund; b Stange mit Konus

G

G 36

G

Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen

H
lse ist so zu whlen, daß die maximalen Zugspannungen in den Restquerschnitten von H
lse und Stange den jeweiligen Werkstoff-Streckgrenzen angepaßt sind. Berechnung des Querkeils auf Biegebeanspruchung wie bei einem Bolzengelenk nach Bild 45; die Ber
cksichtigung der Scherbeanspruchung ist meist nicht erforderlich. Bei H
lsen mit Bund er
brigt sich auch meist die Nachrechnung der Flchenpressung zwischen Querkeil und H
lse. Zulssige Flchenpressungen unter Betriebskrften wie bei Stiftverbindungen, oft pzul ¼ 80 bis 100 N=mm2 bei wechselnden Betriebskrften FB mit Vorspannkraft FV > jFB j und Werkstoffen mit Rm ¼ 500 bis 700 N=mm2 . Soll in den Verbindungen nach Bild 48 eine Vorspannkraft FV erzeugt werden, dann ist der Flachkeil mit dem einseitigen Anzugswinkel a mit der Kraft FQ ¼ FV tanða þ 2rÞ einzutreiben. F
r den Reibungswinkel r und die Reibungszahl m gilt: tan r ¼ m (s. B 1.11). Bei geschmierten Stahlflchen kann m ¼ 0;12 angenommen werden. Der Keil sitzt selbsthemmend fest, sobald 2r>a. Zum Austreiben (Lsen) des Keils wird die Kraft FQL ¼ FV tanð2r
aÞ bentigt. F
r Keile, die selten gelst oder nachgezogen werden: tan a ¼ 1 : 15 bis 1 : 25; f
r dauernde Verbindungen: tan a ¼ 1 : 100: Stellkeile zum Nachstellen eines Spiels mit tan a ¼ 1 : 7 bentigen zu konternde Schrauben in Keillngsrichtung zwecks Einstellen und Aufrechterhalten der Verspannung. Entwurfsberechnung f
r Bild 47 analog. Die Querschnitte mit der Hhe h am Stangenende sind auf Abscherung nachzurechnen: Richtwert: h  h1  0;5 . . . 0;6H. Feingestaltung der Keilverbindung unter Ber
cksichtigung der Verformung der zu verbindenden Teile in Anlehnung an die bei der Auslegung von Schraubenverbindungen bekannten Verspannungsschaubilder (z. B. Bild 66) mit Dauerschwingfestigkeitsberechnung. 1.5.5 Paß- und Scheibenfeder-Verbindungen Parallel keys and woodruff keys Die Paßfederverbindung ist die bei einseitiger (schwellender) Belastung am hufigsten verwendete Welle-Nabe-Verbindung, Bild 49 c. Bei geeigneter Passungswahl sind axiale Relativverschiebungen zwischen Nabe und Welle mglich, Bild 49 d; die Paßfeder (Gleitfeder) wird in der Wellennut mit Zylinderschrauben festgelegt. Die billige Scheibenfeder (Bild 49 b) wird f
r kleine Drehmomente verwendet, besonders bei Werkzeugmaschinen und Kraftfahrzeugen. Normen: DIN 6885 Bl. 1: Paßfedern-Nuten, hohe Form. – DIN 6885 Bl. 2: Paßfedern-Nuten, hohe Form f
r Werkzeugmaschinen, Abmessungen und Anwendung. – DIN 6885

Bl. 3: Paßfedern – niedrige Form, Abmessungen und Anwendung. – DIN 6888: Scheibenfedern, Abmessungen und Anwendung. – DIN 6892: Paßfedern – Berechnung und Gestaltung. – Vergleichbare ISO-Normen s. DIN 918 Bl. 2. – DIN ISO 8821: Vereinbarung
ber die Paßfeder-Art beim Auswuchten. Entwurfsberechnung. F
r Paßfeder nach Bild 49 c: Flchenpressung p zwischen Paßfeder und Nabe: p ¼ 2Mt = ½Dðh
t1 Þltr  mit Torsionsmoment Mt , Wellendurchmesser D, Paßfederhhe h, Wellennuttiefe t1 und tragender Lnge ltr . Tragende Lnge ltr von Paßfederstirnform (geradestirnig, rundstirnig) abhngig. Wegen der Fertigungstoleranzen und zur Vermeidung von Doppelpassungen wird i. allg. nur eine Paßfeder eingesetzt. F
r seltene hohe Drehmomente und bei zhem Werkstoffverhalten wird manchmal auch eine zweite Paßfeder zugelassen und so gerechnet, als ob eineinhalb Paßfedern tragen w
rden. Richtwerte f
r zulssige Flchenpressungen nach [53]: F
r GG-Nabe pzul % 50 N=mm2 f
r ltr =D ¼ 1,6 . . . 2,1; St-Nabe pzul % 90 N=mm2 f
r ltr =D ¼ 1,1 . . . 1,4, wobei in Einzelfllen f
r seltene hohe Sonderlasten auch p ¼ 200 N=mm2 zulssig sind. Dauerfestigkeit der Welle mit Kerbwirkungszahlen bk nach Zusammenstellung in [54]. Anhaltswerte: Wellendurchmesser D=34 mm, Welle Ck 35/St 50; Biegung bkb ¼ 2,4 . . . 2,6, Torsion bkt ¼ 1,7 . . . 1,8, wobei die Nennspannungen mit dem Außendurchmesser der Welle berechnet werden. Mit wachsendem Durchmesser steigen die Kerbwirkungszahlen! Grobgestaltung. Passungen f
r Paßfedern mit Toleranzfeld h 9 nach DIN 6885: Gleitsitz (Nutenbreite H 9 f
r Welle, D 10 f
r Nabe; Nenndurchmesser g 6 f
r Welle, H 7 f
r Nabe);
bergangssitz, leicht montierbar (Nutenbreite N 9 f
r Welle, JS 9 f
r Nabe; Nenndurchmesser h 7 f
r Welle, H 8 f
r Nabe); fester Sitz, noch gut abziehbar, f
r niedrige wechselnde Momente (Nutenbreite P 9 f
r Welle und Nabe; Nenndurchmesser j 6 f
r Welle, H 7 f
r Nabe); fester Sitz, schwer abziehbar (Nutenbreite P 9 f
r Welle und Nabe; Nenndurchmesser f
r Welle k 6 und Nabe H 7). Wie bei den reibschl
ssigen WelleNabe-Verbindungen (s. F 1.4 Bild 18) kann durch einen g
nstigen Kraftfluß die Flchenpressung zwischen Paßfeder und Nabe vergleichmßigt werden, wenn bei relativ d
nnen Naben die Drehmomenteinleitung und -abnahme konstruktiv entkoppelt werden. Bei dickwandigen und normalen Naben (mit Di =Da % 0,6) hngt die maximale Flchenpressung kaum vom Ort der nabenseitigen Lastabnahme ab. Bei Gleitfedern sind zur Vermeidung von Verschleiß die Oberflchen von Welle und Paßfeder eventuell hrter auszuf
hren als die der Nabe.

Bild 49 a–l. Formschlußverbindungen nach [53]. a Querstift; b Scheibenfeder; c Paßfeder; d Gleitfeder; e Keilwelle (Zahnwelle); f Kerbzahnprofil; g Polygonprofil; h Kegelstift (Stirnkeil); i Scheibenkeil; j Flachkeil; k Nasenkeil; l Tangentkeile. h bis l vorgespannter Formschluß

I1.5 Formschlußverbindungen Feingestaltung. Verfeinerte Berechnungen der Lastverteilung nach [58] mit Bewertungsstrategie nach DIN 6892. Maßnahmen zur Dauerfestigkeitssteigerung durch Nuten mit gr
ßeren Kerbgrundradien sind nur sinnvoll, wenn nicht Schwingungsverschleiß aus Umlaufbiegung vorzeitig zum Bruch der Welle fhrt, s. DIN 6892, Anhang C. Entwurfsberechnung f
r Scheibenfeder nach Bild 49 b: Analog Paßfederverbindung, allerdings mit h
herer Wellenschwchung. Zuordnung von Scheibenfeder und Wellendurchmesser nach DIN 6888: Fr Scheibenfedern, die vorrangig zur Feststellung der Lage der Nabe gegenber Welle dienen, werden gr
ßere Wellendurchmesser vorgesehen als fr lediglich drehmomentbertragende Scheibenfedern. Werden Scheibenfedern in Verbindung mit Kegelpreßverbindungen eingesetzt, so sind sie grundstzlich fr das gesamte Drehmoment zu bemessen (s. auch G 1.4.2). 1.5.6 Zahn- und Keilwellenverbindungen. Splined joints Fr hohe wechselnde oder stoßende Drehmomentbelastungen sind Paßfeder- und Stiftverbindungen ungeeignet, außerdem bewirken diese i. allg. mehr oder weniger starke Unwuchten. H
here Drehmomente lassen sich mit Zahn- und Keilwellenverbindungen (Bild 49 e) oder Kerbverzahnungen (Bild 49 f) bertragen. Normen: DIN ISO 14: Keilwellen-Verbindungen mit geraden Flanken und Innenzentrierung (frhere Ausgaben DIN 5461, DIN 5462, DIN 5463). – DIN 5466 T 1: Tragfhigkeitsberechnung von Zahn- und Keilwellen-Verbindungen, Grundlagen. – DIN 5471 bis 5472: Werkzeugmaschinen; Keilwellenund Keilnabenprofile mit 4 bzw. 6 Keilen, Innenzentrierung, Maße. – DIN 5480: Zahnwellen-Verbindungen mit Evolventenflanken. – DIN 5481: Kerbzahnnaben- und Kerbzahnwellen-Profile (Kerbverzahnungen). Entwurfsberechnung. Flchenpressung p zwischen Zhnen und Nabe: p ¼ 2Mt =ðDm htr ltr zkÞ mit Torsionsmoment Mt , mittlerem Durchmesser Dm , tragender H
he htr , tragende Lnge ltr , Zhnezahl z, Tragfaktor k. Richtwerte fr zulssige Flchenpressung nach [53] fr stoßhaften (stoßfreien) Betrieb: Fr GG-Nabe pzul % 40ð60Þ N=mm2 ; fr St-Nabe pzul % 70ð100Þ N=mm2 , wobei in Einzelfllen fr seltene hohe Sonderlasten auch p ¼ 200 N=mm2 zulssig. Tragfaktor k
0;75 bei Innenzentrierung, k
0;75 bei flankenzentrierten Kerbverzahnungen und k
0;9 bei flankenzentrierten Keilverzahnungen vermutlich zu gnstig. Dauerfestigkeit der Welle mit Nennspannung ttwk fr Torsionswechselfestigkeit der Keilwelle bezogen auf den Profilaußendurchmesser D nach Zusammenstellung in [54]. Anhaltswerte: D
34 mm; 34CrNiMo6 vergtet auf Rm
1000 bis 1060 N=mm2 gibt ttwk
76 bis 90 N=mm2 und C35/St50 mit Rm
610 N=mm2 gibt ttwk
79 bis 84 N=mm2 bei Lnge von 60 mm und Keilwellenverbindungen. Bei Kerbverzahnung aus Werkstoff C35 wurde ttwk
160 N=mm2 fr D=34 mm und eine Biegedauerwechselfestigkeit von
69 N=mm2 bei einer Lnge l=30 mm gemessen. Feingestaltung. Tragfhigkeitsberechnung fr flankenzentrierte Zahn- und Keilwellenverbindungen mit Spiel- und bergangspassung nach DIN 5466 T 1 (Entwurf) einschließlich Abschtzung des Verschleißverhaltens. Nachrechnung der Nabe auf Aufweitung – insbesondere bei Kerbverzahnung. 1.5.7 Polygonwellenverbindungen Joints with polygonprofile Whrend bei den Keil- und Zahnwellen-Verbindungen ausgeprgte Formschlußelemente (Keile, Zhne) die Kerbwirkung

G 37

erh
hen, wird bei Wellen mit Polygonprofil (Bild 49 g) diese weitestgehend reduziert. Genauere Berechnungen nach Herstellerangaben [67]. In der Praxis werden vor allem die genormten P3G- und P4C-Profile nach DIN 32 711 und DIN 32 712 eingesetzt. Naben mit P4C-Profil lassen sich unter Drehmomentbelastung relativ zur Welle verschieben, was bei P3G-Profilen nicht m
glich ist. Da die Naben durch die Keilwirkung der Polygonflchen sehr hoch beansprucht werden, werden hufig gehrtete Stahlnaben eingesetzt; hierfr kommt nur das innenschleifbare P3G-Profil in Betracht. Normen: DIN 32 711: Antriebselemente; Polygonprofile P3G. – DIN 32 712: Antriebselemente; Polygonprofile P4C. 1.5.8 Vorgespannte Welle-Nabe-Verbindungen Prestressed shaft-hub connections Bauformen nach Bild 49 h bis l. Sie verbinden hnlich wie Keilverbindungen nach G 1.5.4 den Vorteil des Formschlusses mit der Vorspannung, neigen aber zur Exzentrizitt zwischen Welle und Nabe; auch als Hohlkeil ohne Nut in Welle mit nur Reibschluß (G 1.4). Normen: DIN 268: Tangentkeile und Tangentkeilnuten, fr stoßartige Wechselbeanspruchungen. – DIN 271: Tangentkeile und Tangentkeilnuten, fr gleichbleibende Beanspruchung. – DIN 6681: Hohlkeile, Abmessungen und Anwendung. – DIN 6883: Flachkeile, Abmessungen und Anwendungen. – DIN 6884: Nasenkeile, Abmessungen und Anwendung. – DIN 6886: Keile-Nuten, Abmessungen und Anwendung. – DIN 6887: Nasenkeile-Nuten, Abmessungen und Anwendung. – DIN 6889: Nasenhohlkeile, Abmessungen und Anwendung. – Vergleichbare ISO-Normen s. DIN 918 Bl. 2. Entwurfsberechnung. Das durch Reibschluß bertragbare Drehmoment ist von der Eintreibkraft des Keils abhngig und damit z. B. bei Hohlkeilen ungewiß. Formschlssige vorgespannte Verbindungen werden deshalb nur auf Formschluß nachgerechnet und die Spielfreiheit fr schwankende bzw. wechselnde Belastungen ber eine erfahrungsabhngige zulssige Flchenpressung bercksichtigt. Anhaltswerte: G 1.5.4. Mit Ausnahme der Tangentkeile eignen sich verspannte Welle-Nabe-Verbindungen nur zur bertragung kleinerer Drehmomente sowie zur axialen Fixierung. Sie sind nur bei verhltnismßig geringen Umfangsgeschwindigkeiten einsetzbar, da die einseitige Verspannung einerseits zu gr
ßeren Unwuchtbeitrgen fhrt, andererseits die Fliehkrfte der Nabe die Verspannung mindern. Bei Tangentkeilen ist zu beachten, daß im Rahmen der Entwurfsberechnung nur ein Keilpaar das Drehmoment aufnimmt und bei geteilten Naben die Trennfuge den 120 -Winkel halbiert. 1.5.9 Axiale Sicherungselemente. Axial locking devices Sicherungselemente auf Wellen oder Achsen dienen zur Lagesicherung oder zur Fhrung mit zum Teil erheblichen Axialkrften. Die gleiche Funktion bernehmen Wellenbunde, Wellenmuttern und Deckel. In Bild 50 sind Sicherungselemente mit Reib- und Formschluß zusammengestellt. Fr große Krfte werden vorzugsweise formschl
ssige Sicherungen eingesetzt. Normen: DIN 94: Splinte. – DIN 471: Sicherungsringe (Halteringe) fr Wellen, Regelausfhrung und schwere Ausfhrung. – DIN 472: Sicherungsringe (Halteringe) fr Bohrungen, Regelausfhrung und schwere Ausfhrung. – DIN 983: Sicherungsringe mit Lappen (Halteringe) fr Wellen. – DIN 984: Sicherungsringe mit Lappen (Halteringe) fr Bohrungen. – DIN 5417: Sprengringe fr Wlzlager mit Ringnut. – DIN 6799: Sicherungsscheiben (Haltescheiben) fr Wellen. – DIN 7993: Runddraht-Sprengringe und -Sprengringnuten fr Wellen und Bohrungen. – DIN 9045: Sprengringe. – DIN 15 058: Achshalter (Hebezeuge und F
rdermittel). –

G

G 38

Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen

G Bild 50 a–g. Axiale Sicherungselemente. a Splinte; b Sicherungsringe; c Achshalter; d Stellringe; e Klemmringe; f selbstsperrender Sicherungsring; g selbstsperrender Dreieckring

DIN 82 242: Achshalter (Schiffbau). F
r reibschl
ssige Sicherungen: DIN 703: Blanke Stellringe, schwere Reihe. – DIN 705: Blanke Stellringe, leichte Reihe. – Vergleichbare ISO-Normen s. DIN 918 Bl. 2. Entwurfsberechnung. Belastbarkeit der Sicherungselemente entweder nach entsprechenden Normen oder Firmenunterlagen [68]. Sicherungsringe nach DIN 471 erfordern getrennte Berechnungen f
r die Tragfhigkeiten von Nut und Sicherungsring [69] sowie die Kontrolle der vom Wellendurchmesser abhngigen Ablsedrehzahl. Die in der Norm angegebenen Tragfhigkeiten enthalten keine Sicherheiten gegen Fließen bei statischer Beanspruchung und gegen Dauerbruch bei schwellender Beanspruchung; gegen Bruch bei statischer Beanspruchung ist eine mindestens zweifache Sicherheit vorhanden. Es werden f
r die axiale Tragfhigkeit des Sicherungsrings Zahlenwerte f
r scharfkantige Anlage und Anlage mit Schrgung oder Rundung angegeben. F
r die Minderung der Dauerschwingfestigkeit der Wellen durch axialkraftbelastete Sicherungsringe liegen Untersuchungsergebnisse vor [70].

Nietverbindungselements erfolgen, Bild 52 und 53. Technische Zeichnungen f
r Metallbau DIN ISO 5261. Als dichte und kraft
bertragende Verbindung ist die Nietverbindung bei Kesseln, Behltern und Rohren mit hohem Innendruck in den letzten 50 Jahren weitgehend durch die Schweißverbindung ersetzt worden. Auch im Stahlbau ist die Bedeu-

1.5.10 Nietverbindungen. Riveted joints Nieten ist ein F
gen durch Umformen eines Verbindungselements, wobei eine i. allg. unlsbare und zumindest bei hohen Belastungen formschl
ssig tragende Verbindung der zu f
genden Teile entsteht [53]. Je nach Art des Niets und seiner Zugnglichkeit kann das Umformen durch axiales Stauchen (Schlagen) des Schafts eines Vollniets und Anstauchen eines Schließkopfes (Bild 51), durch Anbrdeln oder Aufweiten eines Bunds an einem Hohlniet sowie durch Stauchen eines Schließrings um den Schließringbolzen eines zweiteiligen

Bild 51. Schlagen einer einschnittigen Vollnietverbindung; 1 Dpper, 2 Niederhalter zum Blechschließen bei Maschinennietung, 3 Schließkopf (als Halbrundkopf nach DIN 124), 4 Setzkopf, 5 Gegenhalter

Bild 52. Genormte Nietformen (Auswahl)

Bild 53 a–d. Blindnietformen und Schließringbolzen-Verbindung. a DIN 7337 Blindniet; b POP-Becher-Blindniet; c Sprengniet; d Paßniet DIN 65 155. 1 Nietdorn, 2 Sollbruchstelle

I1.5 Formschlußverbindungen tung gegen
ber Schweißverbindungen und hochfesten HVSchraubenverbindungen (formschl
ssig und/oder reibschl
ssig) zur
ckgegangen [42, 44, 45]. Die klassische Niettechnik verursacht relativ hohe Zeitkosten und ein hohes Maß an Erfahrung, besonders beim Erzielen dichter berlappungsstße. Im Leichtmetallbau werden hochbeanspruchte Teile aus Leichtmetall-Legierungen vereinzelt statt durch Nieten durch Schmelzschweißen oder gar Kleben verbunden, wenngleich diese Verbindungen Nachteile aufweisen. Durch die hheren Temperaturen beim Schweißen knnen Gef
genderungen, Eigenspannungen und Verzug auftreten, beim Kleben muß der Temperatureinsatz und das Kriechverhalten beachtet werden. Bisweilen erhalten Klebeverbindungen zustzliche Niete zur Erhhung der Sicherheit gegen Schlen. Auch werden Nieten noch dort angewandt, wo z. B. die Verbindung von Stahl mit Aluminium ein Schweißen unmglich macht (f
r dichte Verbindungen in Blechschornsteinen oder Rohren ohne inneren berdruck) [52]. Wenn mglich werden Vollniete meist durch Hohlniete, Blindniete und Schließring-Bolzen-Verbindungen aus Stahl oder Aluminium ersetzt. Blindniete nach Bild 53 knnen von einer Seite aus gesteckt und angeschlossen werden. Die fr
her
blichen Sprengniete werden heute durch neue Systeme wie Hohlniete mit Durchzieh-Nietdorn, Becher-Blindniete (luftund wasserdicht aufgrund der becherfrmigen Nietschaftausf
hrung) oder Modifikationen abgelst [71]. Diese Nietsysteme bentigen geeignete Nietwerkzeuge, die ebenfalls von den Nietherstellern angeboten werden. SchließringbolzenVerbindungen nach Bild 53 setzen voraus, daß die zu verbindenden Teile von beiden Seiten zugnglich sind, whrend das Verarbeitungswerkzeug i. allg. nur von einer Seite angreift. Es packt den in die vorbereitete Bohrung eingef
hrten Bolzen außerhalb des Schließrings im geriffelten Zugteil E an,
bt eine Zugkraft auf den Bolzen aus, whrend es gleichzeitig eine Druckkraft auf den konischen Ansatz des Schließrings aus
bt. Dadurch werden bei Bettigung des Werkzeugs zunchst die zu verbindenden Teile mit der im Bolzen zulssigen Zugkraft zusammengedr
ckt und anschließend der Schließring in die Schließrillen im Teil C eingestaucht. Ist die Verformung des Schließrings beendet, reißt der Zugteil des Bolzens in der Sollbruchstelle D ab. Entwurfsberechnung. Zur Auslegung sind die jeweils g
ltigen Berechnungsvorschriften zu beachten. F
r den Kesselbau [50, 60], f
r Stahlbauten [45], f
r Krane [44], f
r sthlerne Straßenbr
cken [42], f
r Aluminiumkonstruktionen [43], f
r Luftfahrt [46, 47]. Nietverbindungen nach Bild 54 versagen bei statischer Belastung, wenn die Scherfestigkeit des Nietwerkstoffs oder die Lochleibungsfestigkeit des Bauteilwerkstoffs
berschritten werden, auch wenn die Lochleibungsverformung zu groß wird. Zur vereinfachten Auslegung werden in den Vorschriften Rand- und Lochabstnde e1 , e2 , e3 , e abhngig vom Lochdurchmesser dL und/oder der kleinsten zu verbindenden Materialdicke t angegeben. Es gilt z. B. in DIN 18 800 T 1 f
r die grßte Beanspruchbarkeit auf Lochlei-

Bild 54. Beispiel einer Doppellaschennietung (zweischnittig)

G 39

bung e1 ¼ 3; 0 dL , e2 ¼ 1; 5 dL , e3 ¼ 3; 0 dL , e=3,5 dL ; weiter werden folgende Kombinationen von Rohnietdurchmesser d1 und t – angegeben mit t [mm]/d1 [mm] – empfohlen: 4 . . . 5=10; 4 . . . 6=12; 6 . . . 8=16; 8 . . . 11=20; 10 . . . 14=22; 13 . . . 17=24; 16 . . . 21=27; 20 . . . 24=33. Dieselben Vorschriften gelten auch f
r HV-Verbindungen! Bei Stabanschl
ssen d
rfen in Kraftrichtung hchstens sechs Schrauben oder Nieten hintereinander angeordnet werden. Die zulssigen Werte der Scherspannung zul ta und der Lochleibungsspannung zul sl hngen davon ab, ob die Niete (nach DIN 124 und DIN 302) oder Paßschrauben (DIN 7968) einschnittig oder zweischnittig belastet werden und f
r die Belastung der Lastfall H (Hauptlast) oder HZ (Haupt- und Zusatzlasten) angenommen wird. F
r ersten berschlag kann f
r Bauteile aus St37 (Niete aus USt36) zul ta ¼ 84 N=mm2 und zul sl ¼ 210 N=mm2 f
r einschnittige Verbindungen und zul ta ¼ 113 N=mm2 und zul sl ¼ 280 N=mm2 f
r mehrschnittige Verbindungen gerechnet werden; f
r Bauteile aus St52 (Niete aus RSt44-2) gilt f
r einschnittige Verbindungen zul ta ¼ 126 N=mm2 und zul sl ¼ 315 N=mm2 sowie f
r mehrschnittige Verbindungen mit zul ta ¼ 168 N=mm2 und zul sl ¼ 420 N=mm2 entsprechend den Angaben in DIN 15 018 T 1, Tabelle 12. Gestaltungshinweise Normen
bersicht zu Nieten nach DIN 4000 T 9: Sachmerkmal-Leisten, Leiste Nr. 3; Auswahl: DIN 124: Halbrundniete. – DIN 302: Senkniete. – DIN 660: Halbrundniete. – DIN 661: Senkniete. – DIN 662: Linsenniete. – DIN 674: Flachrundniete. – DIN 675: Flachsenkniete. – DIN 6791: Halbhohlniete mit Flachrundkopf. – DIN 6792: Halbhohlniete mit Senkkopf. – DIN 7337: Blindniete mit Sollbruchdorn. – DIN 7338: Niete f
r Brems- und Kupplungsbelge. – DIN 7339: Hohlniete, einteilig. – DIN 7340: Rohrniete. – DIN 65 155: Paßniete. – DIN 65 156: Paßniete. – Vergleichbare ISO-Normen s. DIN 918 Bl. 2. Wo Stahlniete mit d1 > 10 mm verwendet werden, m
ssen sie i. allg. vor dem Nieten auf Hellrotglut erwrmt werden. Kleinere Stahlniete etwa bis 10 mm Durchmesser, Leichtmetall-, Messing- und Kupferniete werden kaltgeschlagen. Soll eine Nietverbindung ohne zustzliche Mittel dicht sein, m
ssen Vollniete warmgeschlagen werden, damit beim Schrumpfen whrend des Erkaltens Lngszugspannungen sz im Schaft zur
ckbleiben. Lngszugspannungen ermglichen einen gewissen Reibschluß mit m
0;3 bis 0,5 zwischen den Blechen. Stße und Anschl
sse sind gedrungen auszubilden. In Stßen ist deshalb unmittelbar Stoßdeckung und doppeltsymmetrische Verlaschung anzustreben, weil zustzliche Schlbeanspruchungen infolge der Biegebeanspruchungen im Blech oder Stab herabgesetzt werden. Im Stahlbau d
rfen Niet- und Schraubenlcher nur gebohrt, gestanzt oder maschinell mit G
te II nach DIN 2310 T 3 oder G
te I nach DIN 2310 T 4 gebrannt werden. In zugbeanspruchten Bauteilen
ber 16 mm Dicke ist das gestanzte Loch vor dem Zusammenbau im Durchmesser um mindestens 2 mm aufzureiben. Dieses ist in den Ausf
hrungsunterlagen festzulegen. Zusammengehrige Lcher m
ssen aufeinanderpassen, bei Versatz der Lcher ist der Durchgang f
r Niete und Schrauben aufzubohren oder aufzureiben, jedoch nicht aufzudornen. Bei nicht vorwiegend ruhend beanspruchten Bauteilen m
ssen die Lcher entgratet sein, außenliegende Lochrnder sind zu brechen; das Stanzen von Lchern ist nur zulssig, wenn die Lcher vor dem Zusammenbau im Durchmesser um mindestens 2 mm ausgerieben werden. Niete sind so einzuschlagen, daß die Nietlcher ausgef
llt werden. Der Schließkopf ist voll auszuschlagen; dabei d
rfen keine schdlichen Eindr
cke im Werkstoff entstehen. Die geschlagenen Niete sind auf festen Sitz zu
berpr
fen.

G

G 40

Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen

Tabelle 19. Zuordnung Niet- und F
geteilwerkstoffe [52]

Bild 56. Schraubenspindel mit zweigngigem Flachgewinde. Ph Steigung, P Teilung (Ph ¼ 2P), bm mittlerer Steigungswinkel

G

Nietwerkstoff und F
geteilwerkstoff m
ssen mit R
cksicht auf Korrosionsbestndigkeit aufeinander abgestimmt werden. Tab. 19 gibt eine Zuordnung Nietwerkstoff-F
geteilwerkstoff nach [52] wieder. Oft muß der Korrosionsschutz durch einen (abdichtenden) Anstrich verbessert werden. Besondere Vorschriften f
r Luftfahrt (LN 9198) [46, 47] und den Hochbau (DIN 18 801) sind zu beachten.

1.6 Schraubenverbindungen. Bolted connections H. Mertens, Berlin 1.6.1 Aufgaben. Applications Eine Schraubenverbindung [72–95] ist eine lsbare Verbindung von zwei oder mehreren Teilen durch eine oder mehrere Schrauben. Die wichtigsten Verbindungsarten zeigt Bild 55 [85]. Die Befestigungsschrauben dieser Schraubenverbindungen m
ssen die auf die Teile wirkenden ruhenden oder schwingenden Betriebskrfte ohne nennenswerte Relativbewegungen der Teile gegeneinander sicherstellen, sofern nicht Formschlußelemente nach G 1.5 oder Zentrierbunde teilweise diese Aufgabe
bernehmen. Sollen dagegen definierte Relativbewegungen zwischen den Teilen erzielt werden, so eignen sich daf
r Bewegungsschrauben, durch die Drehbewegungen in Lngsbewegungen umgesetzt werden; wie z. B. bei Werkzeugmaschinenspindeln oder Schraubstcken.

Bild 55. Einteilung der Verbindungsarten [85]

1.6.2 Kenngr
ßen der Schraubenbewegung Characteristics of screw motion Beim Anziehen oder Lsen von Befestigungsschrauben bzw. Bettigen von Bewegungsschrauben wird eine Schraubenbewegung (Schraubung) um und lngs einer festen Achse, der Schraubenachse, ausgef
hrt. Bei einer vollen Schraubenumdrehung entsteht lngs der Schraubenachse eine (relative) Axialverschiebung, die der Steigung Ph (flank lead) in Bild 56 entspricht. Die Abwicklung einer auf einem Zylinder mit dem Radius rm ¼ dm =2 liegenden Schraubenlinie ergibt eine ansteigende Gerade mit dem Steigungswinkel bm mit tan bm ¼ Ph =ðpdm Þ. Allgemein ergibt sich f
r den Radius r der Steigungswinkel b zu tan b ¼ ðrm =rÞ tan bm , er ist f
r kleinere Radien grßer als f
r grßere. Der achsparallele Abstand aufeinanderfolgender gleichgerichteter Flanken heißt Teilung P (flank pitch). Bei eingngigem Gewinde ist die Steigung Ph gleich der Teilung P. F
r n-gngiges Gewinde gilt Ph ¼ nP. 1.6.3 Gewindearten. Types of thread bersicht zu allgemein oder f
r grßere Sondergebiete angewendete Gewinde in DIN 202. F
r zylindrische Gewinde sind Begriffe und Definitionen in DIN 2244 festgelegt (Deutsch, Englisch, Franzsisch). Das Gewindeprofil ist der Umriß eines Gewindes im Achsschnitt, die Gewindeflanken sind in der Regel die geraden Teile des Gewindeprofils, die nicht zur Schraubenachse parallel sind.

I1.6 Schraubenverbindungen

G 41

Spitzgewinde f
r Befestigungsschrauben Das Metrische ISO-Gewinde nach DIN 13 Bl. 19 ist ein verbessertes und weltweit vereinheitlichtes Gewinde, das praktisch meist mit dem fr
heren Metrischen Gewinde austauschbar ist. Das Fertigungsprofil f
r Bolzen und Mutter (Nullprofil bei Gewindepassung ohne Flankenspiel) s. Bild 57. Der Außendurchmesser d des Bolzengewindes ist gleich dem Außendurchmesser D des Muttergewindes; er wird auch als Nenndurchmesser bezeichnet. Mit dem Kerndurchmesser d3 wird der Kernquerschnitt A3 ¼ pd32 =4 berechnet. Auf dem Flankendurchmesser d2 des Bolzens bzw. D2 der Mutter haben die Gewinderille und der Gewindezahn in Achsrichtung gleiche Breite. F
r den (mittleren) Steigungswinkel gilt: tan b ¼ P=ðpd2 Þ: H ist die Hhe des theoretischen, scharf geschnittenen Dreieckprofils mit dem Flankenwinkel a ¼ 60
. Die Flanken
berdeckung H1 wird auch Gewindetragtiefe genannt. Der gegen
ber dem fr
heren Metrischen Gewinde grßere Ausrundungsradius R im Gewindegrund des Bolzens f
hrt zusammen mit der Vergrßerung des Kernquerschnitts A3 zu einer Steigerung der Dauerfestigkeit, jedoch zu einer Verringerung der Tragtiefe. Der Ausrundungsradius am Außendurchmesser der Mutter ist nicht vorgeschrieben, da er sich aus der Fertigung zwangslufig ergibt und weil die Beanspruchungen dort nicht so groß sind. Als Bezugsquerschnitt f
r Festigkeitsberechnungen wird der Spannungsquerschnitt AS ¼ pðd2 þ d3 Þ2 =16 bentigt. In DIN 14 sind metrische ISOGewinde f
r Durchmesser unter 1 mm genormt. In Anh. G 1 Tab. 4 sind Nenndurchmesser d, Steigung P, Kernquerschnitt A3 und Spannungsquerschnitt AS f
r Auswahlreihen von (metrischen ISO-)Regel- und Feingewinden nach DIN 13 T 12 und T 28 zusammengestellt. Regelgewinde, d. h. Gewinde mit grßerer Steigung, sind hinsichtlich der Belastbarkeit gegen
ber Feingewinden zu bevorzugen. Das Whitworth-Rohrgewinde nach DIN 259 T 1 bis 5, DIN ISO 228, mit zylindrischem Innen- und Außengewinde wird noch f
r Rohre und Rohrverbindungen verwendet, es ist nicht selbstdichtend. Das Gewinde-Kurzzeichen (z. B. R 1 1/2) nach DIN 259 soll f
r Neukonstruktionen nicht mehr angewendet werden, um Verwechslungen mit gleichbezeichneten, kegeligen Außengewinden zu vermeiden. Statt dessen sind die Kurzzeichen (z. B. G 1 1/2) nach DIN ISO 228 zu verwenden. F
r selbstdichtende Verbindungen knnen bei Gewindedurchmessern bis 26 mm kegelige Außengewinde nach DIN 158, z. B. f
r Verschlußschrauben und Schmiernippel eingesetzt werden [79]. Whitworth-Rohrgewinde f
r Gewinderohre und Fittings auch nach DIN 2999 T 1 bis 6 bzw. ISO 7/I mit zylindrischem Innengewinde und kegeligem Außengewinde oder f
r Rohrverschraubungen nach DIN 3858. Flachgewinde f
r Bewegungsschrauben

Bild 58. Metrisches ISO-Trapezgewinde (DIN 103 T 1 und 2). D1 ¼ d
2 H1 ¼ d
P, H1 ¼ 0,5 P, H4 ¼ H1 þ ac ¼ 0,5 P þ ac , h3 ¼ H1 þ ac ¼ 0,5 P þ ac , z ¼ 0,25P ¼ H1 =2, D4 ¼ d þ 2 ac , d3 ¼ d
2 h3 , d2 ¼ D2 ¼ d
2z ¼ d
0,5 P, R1 ¼ max 0,5 ac , R2 ¼ max ac , ac ¼ Spiel ðIndex c von crest = SpitzeÞ

nungen s. Bild 58. Das Trapezgewinde ist flankenzentriert und sollte deshalb nur durch Lngskrfte (und Drehmomente) belastet werden; es sperrt bei Verkantung. Mehrgngige Trapezgewinde haben das gleiche Profil wie eingngige Gewinde mit der Steigung Ph ¼ Teilung P. Anh. G 1 Tab. 5 enthlt Nennmaße f
r Trapezgewinde. Das Metrische S
gengewinde nach DIN 513 T 1 mit asymmetrischem Gewindeprofil hat tragende Gewindeflanken mit Teilflankenwinkeln (Winkel zwischen Flanke und der Senkrechten zur Gewindeachse im Achsabschnitt) von 3  und Spiel im Kerndurchmesser und zwischen den nichttragenden Gewindeflanken. Rundgewinde, Wlzschraubtriebe Rundgewinde (allgemein DIN 405 oder mit großer Tragtiefe nach DIN 20 400) werden f
r Befestigungs- und Bewegungsschrauben bei Gefahr von Verschmutzung verwendet. Noch geringere Reibmomente als Sgengewinde weisen W
lzschraubtriebe mit Wlzkrpern zwischen den Schraubenflchen von Mutter und Spindel auf; die Erzeugenden der Schraubenflchen sind meist gekr
mmte Linien (z. B. Kreisbogen oder gotisches Profil) [92]. 1.6.4 Schrauben- und Mutterarten. Types of bolt and nut Die Benennung von Schrauben, Muttern und Zubehr ist in DIN ISO 1891 international festgelegt. DIN 918 Bl. 1 und 2 bringen bersichten sowie vergleichbare ISO- und DIN-Normen. Bild 59 zeigt Grund- und Sonderformen der Schraubenverbindungen. Kopfschrauben (Bild 59 a). Sie unterscheiden sich durch Kopfform, Schaftform und Schraubenenden. Die Kopfform wird durch die Antriebsart mitbestimmt; Beispiele: Sechs-

Das Trapez- und Sgengewinde f
hren zu geringerer Reibung zwischen Bolzen und Mutter als das Spitzgewinde. Die Nennprofile von Bolzen und Mutter eines Metrischen Trapezgewindes nach DIN 103 T 1 mit Spiel im Außen- und Kerndurchmesser und ohne Flankenspiel mit genormten Bezeich-

Bild 57. Metrisches ISO-Gewinde (DIN 13 T 19). D1 ¼ d
2H1 ; d2 ¼ D2 ¼ d
0;64952P; d3 ¼ d
1;22687P; H ¼ 0;86603P; H1 ¼ 0;54127P; h3 ¼ 0;61343P; R ¼ H=6 ¼ 0;14434P

Bild 59 a–c. Grundformen und Sonderformen der Schraubenverbindungen. a Zylinderschraube mit Innensechskant DIN 912 als Kopfschraube; b Stiftschraube DIN 939 in Gußgehuse, mit Sicherungsblech mit Lappen; c Durchsteckschraube in Sonderbauform f
r Pleuellagerdeckel-Verschraubung

G

G 42

G

Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen

kantschrauben (DIN EN 24 014, 24 017, 28 765, 28 676), Innensechskantschrauben (DIN 912, DIN 6912, DIN 7991, DIN 7984), Schlitz- und Kreuzschlitzschrauben (DIN 84, DIN 63, DIN 87, DIN 7987); auch mit Drei-, Vier-, Achtund Zw
lfkant, mit Flgel- oder Hammerkopf. In DIN 74 werden Senkungen genormt, fr Senkschrauben T 1, fr Schrauben mit Zylinderkopf T 2, fr Sechskantschrauben T 3. Senkdurchmesser fr zylindrische Senkungen nach DIN 974. Das Schraubenende wird u. a. durch die Schraubenfertigung oder Montage bestimmt. Schrauben zum automatisierten Montieren in Fertigungsstraßen ben
tigen Suchspitzen mit 90  Spitze; zum Aufnehmen von in das Muttergewinde eingedrungenen gewissen Lackmengen dienen Schabenuten. – Gewindeenden nach DIN 78, Gewindeauslufe und -freistiche auch fr Gewindegrundl
cher (Sackbohrungen) nach DIN 76 (DIN ISO 4753, 3508, 4755). Die Schaftform wird durch die Fertigung oder zustzliche Anforderungen festgelegt. Bei Dehnschaftschrauben (Dehnoder Taillenschrauben) mit hoher Nachgiebigkeit ist der Schaftdurchmesser kleiner als der Kerndurchmesser. Bei Paßschrauben (z. B. Sechskant-Paßschrauben nach DIN 609) wird der Schaftdurchmesser mit Paßsitz (z. B. k6) zur Lagesicherung ausgefhrt. Bei Vollschaftschrauben ist der Schaftdurchmesser gleich dem Gewindedurchmesser, bei D
nnschaftschrauben ungefhr gleich dem Flankendurchmesser (Durchmesser des Ausgangsmaterials fr gerolltes Gewinde).

DIN EN 24 035, 24 036, 28 675 eingesetzt werden. Hutmuttern (Bild 60 a) nach DIN 917 (niedrige Form) und DIN 1587 (hohe Form) bieten mitunter Verletzungsschutz, sie werden auch in Verbindung mit Dichtscheiben verwendet, um Aus- oder Eindringen von Flssigkeiten zu vermeiden. Zur axialen Lagesicherung von Naben und Ringen auf Wellen oder zur axialen Kraftbertragung werden fr den Werkzeugmaschinenbau entwickelte Muttersonderformen, wie Nutmuttern (Bild 60 b) nach DIN 1804 verwendet, die mit einem Hakenschlssel nach DIN 1810 anzuziehen sind, mitunter auch Kreuzlochmuttern (Bild 60 f) nach DIN 548 und DIN 1816. Fr geringe Vorspannkrfte kommen Rndelmuttern nach DIN 6303, Schlitzmuttern nach DIN 546 oder Fl
gelmuttern (Bild 60 c) nach DIN 315 in Frage. Bei Stahlkonstruktionen und im Karosseriebau verwendet man mitunter Vierkant-Schweißmuttern nach DIN 928 oder SechskantSchweißmuttern (Bild 60 e) nach DIN 929, die auf dem Grundmaterial durch Punktschweißen befestigt werden. Fr Schraubenverbindungen mit Dehnschaft wurden SechskantMuttern mit Zentrieransatz (Bild 60 g) nach DIN 2510 T 5 und Kapselmuttern (Bild 60 h) nach DIN 2510 T 6 entwickelt. Einen gleichmßigen bergang des Kraftflusses vom Zug im Bolzen auf Druck in der Mutternauflageflche verschaffen Zugmuttern. Fr hochfest vorzuspannende (HV-)Verbindungen im Stahlbau wurden Sechskantmuttern mit großen Schlsselweiten nach DIN 6915 fr M 12 bis M 36 entwickelt.

Stiftschrauben (Bild 59 b). Sie haben ein 2 d-langes Einschraubende nach DIN 835 zum Einschrauben vorwiegend in Aluminiumlegierungen, ein 1;25 d-langes Einschraubende nach DIN 939 zum Einschrauben in Gußeisen oder ein 1 dlanges Einschraubende nach DIN 938 zum Einschrauben vorwiegend in Stahl.

Unterlegscheiben. Sie mssen unter Schrauben und Muttern verwendet werden, wenn der Werkstoff der Unterlage zum Setzen neigt oder berbeansprucht wrde; Form z. B. nach DIN 125. Bei U- und I-Trgern mssen viereckige Unterlegscheiben zum Ausgleich der 8- bzw. 14%igen Neigung verwendet werden, DIN 434 bzw. DIN 435. Paßschrauben nach DIN 7968 erfordern i. allg. Unterlegscheiben nach DIN 7989. Sechskantschrauben mit großen Schlsselweiten (nach DIN 6914, DIN 7999) drfen nur mit Scheiben nach DIN 6916 eingesetzt werden.

Schraubenbolzen. DIN 2509. Sie dienen z. B. zum Verbinden von Teilen mit Hilfe beiderseits aufgeschraubter Muttern. Ein Zweikantzapfen an einem Gewindeende soll die M
glichkeit geben, ein Drehen des Schraubenbolzens bei der Montage zu verhindern. Schraubenbolzen und Durchsteckschrauben erfordern Durchgangslcher, die nach den jeweiligen konstruktiven Gegebenheiten festgelegt werden; Durchgangsl
cher nach DIN ISO 273 (fein, mittel, grob; z. B. dh = 10,5 mm, = 11 mm, = 12 mm fr M 10). Gewindestifte. Diese besitzen durchgehendes Gewinde, einen Schlitz oder Innen-Sechskant auf der einen Seite und Kegelkuppe (DIN 427, DIN 551 bzw. DIN 913), Zapfen (DIN 417 bzw. DIN 915), Ringscheibe (DIN 438 bzw. DIN 916) oder Spitze (DIN 553 bzw. DIN 914) auf der anderen Seite. Sie werden auch mit Druckzapfen nach DIN 6332 hergestellt und eignen sich als Bauelemente fr Spannschrauben mit Kreuzgriff nach DIN 6335, Sterngriff nach DIN 6336 und Kegelgriff nach DIN 99 (bis M 20) oder mit Druckstck nach DIN 6311. Schraubensonderformen (Bild 59 c). Sie haben z. B. Paßsitz und geriffelte Drehsicherung; s. auch DIN 4000 T 2 (Sachmerkmal-Leisten fr Schrauben und Muttern), DIN 6914 (Sechskantschrauben mit großen Schlsselweiten fr HVVerbindungen in Stahlkonstruktionen), DIN 7999 (Sechskant-Paßschrauben, hochfest, mit großen Schlsselweiten fr Stahlkonstruktionen). Muttern. Im Maschinenbau werden am hufigsten Sechskantmuttern verwendet; die frher bliche H
he von 0,8 d galt fr Muttern aus Stahl nach DIN 934. Fr Neukonstruktionen wird empfohlen, im Bereich von 5 bis 64 mm Gewindedurchmesser Sechskantmuttern nach DIN EN 24 032, 24 034 mit Regelgewinde und DIN EN 28 673, 28 674 mit Feingewinde zu verwenden, die Schlsselweite s wird stellenweise etwas reduziert, ihr Eckenmaß e betrgt etwa 2 d. Wird fr Sonderflle eine niedrigere Mutterh
he notwendig, dann kann eventuell

Bild 60 a–h. Genormte Mutter-Sonderformen. a Hutmutter DIN 917 und DIN 1587; b Nutmutter DIN 1804 und DIN 981 Feingewinde (M 6 bis M 200); c Flgelmutter DIN 315 (M 5 bis M 24); d Schlitzmutter DIN 546 (bis M 20); e Sechskant-Schweißmutter DIN 929 (bis M 16); f Kreuzlochmutter DIN 1816 (Feingewinde M 6 bis M 200); g Sechskantmutter mit Zentrieransatz DIN 2510 T 5; h Kapselmutter fr Schraubenverbindungen mit Dehnschaft DIN 2510 T 6

I1.6 Schraubenverbindungen

G 43

1.6.5 Schrauben- und Mutternwerkstoffe Material specification for bolts and nuts Nach DIN ISO 898 T 1 werden Schraubenwerkstoffe nach Festigkeitsklassen bezeichnet. Das Kennzeichen der Festigkeitsklasse besteht aus zwei Zahlen, die durch einen Punkt getrennt sind. Beispiel: 5.6, 6.8, 8.8, 9.8, 10.9, 12.9 . . . Die erste Zahl entspricht 1/100 der Nennzugfestigkeit Rm in N=mm2 ; die zweite Zahl gibt das 10fache des Verh
ltnisses der Nennstreckgrenze ReL bzw. Rp0;2 zur Nennzugfestigkeit Rm (Streckgrenzenverh
ltnis) an. Die Multiplikation beider Zahlen ergibt ein Zehntel der Nennstreckgrenze in N=mm2 . Muttern mit festgelegten Prfkr
ften werden nach DIN ISO 898 T 2 mit einer Festigkeitsklasse zwischen 4 und 12 gekennzeichnet. Die Kennzahl entspricht 1/100 der Mindestzugfestigkeit einer Schraube in N=mm2 , die bei Paarung mit der Mutter bis zu der Mindeststreckgrenze belastet werden kann. Beispiel: Schraube 8.8 – Mutter 8, bis zur Mindeststreckgrenze der Schraube belastbar. Die bisherigen Festigkeitsklassen nach DIN 267 T 3 geben nicht unbedingt die Sicherheit, daß beim Anziehen der Verbindung kein Gewindeabstreifen auftritt – insbesondere beim streckgrenzengesteuerten Anziehverfahren. Im allgemeinen knnen Muttern hherer Festigkeitsklassen anstelle von Muttern der niedrigen Festigkeitsklassen verwendet werden. Dies ist ratsam fr eine Schraube-Mutter-Verbindung mit Belastungen oberhalb der Streckgrenze oder oberhalb der Prfspannung. DIN ISO 898 gilt nicht fr spezielle Anforderungen wie Schweißbarkeit, Korrosionsbest
ndigkeit (s. ISO 3506 bzw. DIN 267 T 11), Warmfestigkeit ber +300 C und Kaltz
higkeit unter
50 C (s. DIN 267 T 13), Sicherungseigenschaften (s. ISO 2320 bzw. DIN 267 T 15). Die erforderliche Tiefe von Gewindebohrungen h
ngt vom Werkstoff des Muttergewindeteils ab. Empfohlene Einschraubtiefe fr Sacklochgewinde gibt Anh. G 1 Tab. 6. In Grauguß oder Leichtmetall sind Stiftschrauben mit Muttern anstelle von Kopfschrauben zu empfehlen [78]. 1.6.6 Kr
fte und Verformungen beim Anziehen von Schraubenverbindungen Forces and deformations in joints due to preload Anziehdrehmoment. Wird eine symmetrische DurchsteckSchraubenverbindung nach Bild 61 durch Drehen der Mutter angezogen, dann entsteht eine Zugkraft, genannt Vorspannkraft FV , im Schraubenbolzen und eine gleich hohe Druckkraft zwischen den Platten. Dadurch l
ngt sich der Schraubenbolzen um fS und die Platten werden um fP zusammengedrckt. Die Platten werden etwa im Bereich der R
tscher-Kegel zusammengepreßt, die sich von Kreisen unter Kopf bzw. Mutter mit jeweils Schlsselweiten-Durchmesser s, allgemeiner Kopfauflage- bzw. Mutterauflagedurchmesser (dw bzw. Dw ) unter 45  erstrecken. Beim Drehen der Mutter mssen das mit FV steigende Reibungsmoment im Gewinde MG und das Reibungsmoment in der Mutterauflage MK berwunden werden; Anziehdrehmoment MA ¼ MG þ MK . Nach B 1.11 wird MG ¼ FV ðd2 =2Þ tanðbm þ r0 Þ mit Flankendurchmesser d2 , mittlerem Steigungswinkel bm und Gewindereibungszahl m0 ¼ tan r0 ¼ mG = cosða=2Þ mit Flankenwinkel a und Reibungszahl mG im Gewinde. Fr Spitzgewinde mit a ¼ 60
ist m0 ¼ 1;155mG . Das Moment MK betr
gt MK ¼ FV mK Dkm =2 mit der Reibungszahl mK in der Mutterauflage und wirksamen Durchmesser Dkm fr das zugehrige Reibungsmoment. Reibungszahlen s. [75], z. B. Schraube aus Stahl, phosphatiert sowie Mutter aus Stahl, blank, trocken: mG ¼ mK ¼ 0;12 bis 0,18; gelt: mG ¼ mK ¼ 0;10 bis 0,16; MoS2 : 0,08 bis 0,12. Fr Spitzgewinde mit a ¼ 60
und Steigung P, also tan bm ¼ P=ðpd2 Þ, folgt vereinfacht wegen tanðbm þ r0 Þ 

G Bild 61. Durchsteckschraube zum Verspannen zweier Platten (Flansche) unter Anziehen der Mutter. (FV Vorspannkraft in der Schraubenverbindung bei fehlender
ußerer Betriebskraft FA )

tan bm þ tan r0 MA  FV ½0;159P þ mG 0;577d2 þ Dkm mK =2:

ð1Þ

Beispiel: Fr eine Sechskantschraube M 10 mit metrischem ISOSpitzgewinde (d2 ¼ 9;03 mm, P ¼ 1;5 mm) nach DIN 931, Mutter nach DIN 970 in Produktklasse A nach DIN ISO 4759 T 1 (dw ¼ 15;6 mm), Durchgangsloch nach DIN ISO 273 (mittel: dh ¼ 11 mm) ohne Ansenkung gilt ann
hernd: Dkm ¼ ðdw þ dh Þ=2 ¼ 13;3 mm. Mit z. B. mG ¼ mK ¼ 0;16 wird MA ¼ FV ð0; 236þ 0,834+1,064) mm. Die Summe der Reibungsmomente betr
gt dann etwa 90% des Gesamtanziehdrehmoments. Bei geschmierten Schrauben, meist auch bei galvanisch aufgebrachten berzgen, ist der Reibungsanteil geringer, so daß solche Schrauben bei gleichem Anzugsmoment eine hhere Vorspannung FV erhalten.

Das zum Lsen notwendige Reibmoment im Gewinde MGL betr
gt MGL ¼ FV ðd2 =2Þ tanðr0
bm Þ. Man spricht von Selbsthemmung, solange zum Lsen ein Moment MGL > 0 erforderlich ist. Selbsthemmung hrt auf, sobald MGL ¼ 0 wird, d. h. bm ¼ r0 , falls Reibmoment MK in der Mutter- bzw. Kopfauflage vernachl
ssigt wird. Das Gesamtmoment ML zum Lsen ist, sofern keine Erschtterungen die wirksame Reibungszahl m0 verringern, bei metrischem ISO-Spitzgewinde etwa gleich dem 0,7- bis 0,9fachen des Anziehdrehmoments MA . Vorspannkraft FV und Anziehmoment MA bewirken Zug- und Torsionsspannungen in der Schraube. Die Nenn-Zugspannung sz wird entweder mit dem Gewinde-Spannungsquerschnitt AS oder falls kleiner, mit dem Taillenquerschnitt AT berechnet, die Nenn-Torsionsspannung t analog mit den entsprechenden Widerstandsmomenten. Die Mises-Vergleichsspannung sV ergibt dann die Materialanstrengung. Wird eine 90%ige Ausnutzung der Schraubenwerkstoff-Mindeststreckgrenze als zul
ssig angesehen, dann lassen sich fr vorgegebene Reibungszahlen zulssige Montagevorspannkrfte Fsp und die zugehrigen Anziehdrehmomente Msp Tabellen wie in VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986, entnehmen oder mit den von Herstellerfirmen zu beziehenden Schraubenrechnern bestimmen. Einen Auszug aus solchen Tabellen gibt Anh. G 1 Tab. 7. Anziehverfahren. Erforderliche Anziehdrehmomente sind vom Anziehverfahren abh
ngig. Das Verh
ltnis der sich beim Anziehen praktisch ergebenden maximalen zur minimalen Vorspannkraft FM max =FM min wird als Anziehfaktor aA be-

G 44

G

Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen

zeichnet, die Spannweite betr
gt DFM ¼ FM max
FM min ¼ FM min ðaA
1Þ: Der allein auf die Streuung der Reibungszahlen entfallende Anteil liegt erfahrungsgem
ß in den Grenzen 1,25 : 1 bis 2 : 1. Fr die Dimensionierung von Schraubenverbindungen knnen in Anlehnung an VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986, Richtwerte fr aA (Werte in Klammern) angegeben werden [79]: Impulsgesteuertes Anziehen mit Schlagschrauber (2,5 bis 4) und drehmomentgesteuertes Anziehen mit Drehschrauber (1,7 bis 2,5), wobei das Einstellen des Schraubers entsprechend einem experimentell ermittelten Nachziehmoment erfolgt. Fr drehmomentgesteuertes Anziehen mit Drehmomentschl
ssel, signalgebendem Schl
ssel oder Przisionsdrehschrauber mit dynamischer Drehmomentmessung: (1,6 bis 1,8), wenn Sollanziehmoment durch Sch
tzen der aktuellen Reibungszahl oder (1,4 bis 1,6), wenn Sollanziehmoment durch Messung von FM an der Verschraubung bestimmt wird. Hydraulisches Anziehen durch Einstellen ber L
ngen- bzw. Druckmessung (1,2 bis 1,6), wobei die Vorspannkraft ber zus
tzliche Mutter auf dem verl
ngerten Gewinde und Beidrehen der Schraubenmutter erfolgt. Verlngerungsmessung der kalibrierten Schraube (1,2). Drehwinkelgesteuertes Anziehen , motorisch oder manuell (1,1 bis 1,3) mit versuchsm
ßig bestimmten Voranziehmoment und Drehwinkel; Streuung wird wesentlich durch Streuung der Streckgrenze im verbauten Schraubenlos bestimmt, so daß bei Dimensionierung entsprechend FM min formal der Wert aA ¼ 1 gesetzt werden kann. Streckgrenzengesteuertes Anziehen, motorisch oder manuell (1,1 bis 1,3, formal bei Dimensionierung fr FM min wieder aA ¼ 1). Thermisch kontrolliertes Anziehen wird im Turbinenbau angewendet und ist bezglich der Vor- und Nachteile mit dem hydraulischen Anziehen vergleichbar; die Schrauben zur Befestigung des Geh
usedeckels sind dabei mit einer Mittelbohrung zum Heizen und berwachen ihrer Temperatur ausgerstet. Neufassung der VDI-Richtlinie 2230 vom Okt. 2001 enth
lt detailliertere Angaben zu Anziehfaktor, Streuung und Einstellverfahren. Montagekraft. Kr
fte und Verformungen nach dem Anziehen richten sich nach der wirksamen Montagekraft FM . Unter der Annahme linearen Steifigkeitsverhaltens lassen sich die grafischen Einzeldarstellungen der Kraft-Verformungs-Kennlinien fr Schrauben und Platten in einem Geradlinien-Schaubild, dem sog. Verspannungsdreieck zusammenfassen, Bild 62. Mit den angegebenen Bezeichnungen gilt fr die Steifigkeit cS der Schrauben cS ¼ FS =fS ; fr die elastische Nachgiebigkeit dS der Schrauben dS ¼ 1=cS . Die Steifigkeit der Platten zwischen Schraubenkopf- und Mutternauflage ist cP ¼ FP =fP , die elastische Nachgiebigkeit dP ¼ 1=cP bei zentrischer Verspannung. Nach dem Anziehen der Mutter gilt fr die Montagekr
fte in Schraubenbolzen und Platten FSM ¼ FPM ¼ FM ; fr die Verformung gilt fSM þ fPM ¼ sM , mit sM als Axialverschiebung der Mutter auf dem Gewinde, vorausgesetzt, daß Kopf und Mutter vor dem Anziehen allseitig satt auf den ebenen Platten oder passenden Ansenkungen aufliegen. Nachgiebigkeit der Schraube. Die Schraube setzt sich aus einer Anzahl von Einzelelementen zusammen, die durch zylindrische Krper verschiedener L
ngen li und Querschnitte Ai gut ersetzbar sind, Bild 63. Die Nachgiebigkeit eines zylindrischen Einzelelements folgt zu di ¼ li =ðES Ai Þ mit dem Elastizit
tsmodul ES des Schraubenwerkstoffs. Die Nachgiebigkeit der Schraube dS insgesamt wird dS ¼ Sdi . Die elastische Nachgiebigkeit des Kopfes wird in VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986, fr genormte Sechskant- und Innensechskantschrauben mit dK ¼ 0;4d=ðES AN Þ bei AN ¼ pd2 =4 angegeben, fr die Nachgiebigkeit des eingeschraubten Gewindekerns gilt dG ¼ 0;5d=ðES A3 Þ mit Kernquerschnitt A3 ¼ pd32 =4 und fr

Bild 62. Verspannungsdreieck als grafische Darstellung der Kr
fte und Verformungen beim Anziehen. FS Zugkraft in Schraube FS ¼ FS ðfS Þ; fS L
ngung der Schraube, FP Druckkraft in den Platten, FP ¼ FP ðfP Þ; fP Zusammendrckung der Platten, FM Vorspannkraft bei Montage, sM Weg der Mutter auf dem Gewinde

Bild 63. Aufteilung einer Schraube in einzelne zylindrische Krper zur Berechnung ihrer elastischen Nachgiebigkeit (VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986)

die Nachgiebigkeit der Schrauben- und Mutterprofile dM ¼ 0;4d=ðES AN Þ fr Muttern nach DIN 934, fr das freiliegende Gewindeteil mit L
nge lf und Kernquerschnitt A3 gilt df ¼ lf =ðES A3 Þ. Fr Bild 63 gilt also dS ¼ dK þ d1 þ d2 þdf þ dG þ dM . Detailliertere Berechnungsvorschl
ge siehe Neufassung der VDI-Richtlinie 2230 vom Okt. 2001. Nachgiebigkeit zentrisch verspannter Platten. Die Nachgiebigkeit der Platten dP bei zentrischer Verspannung l
ßt sich nach Birger [83] n
herungsweise bestimmen, indem man die Nachgiebigkeit des unter einem Winkel jers (mit tan jers ¼ 0;5) unter Schraubenkopf und Mutter sich ausbreitenden Doppelkegels mit Bohrung dh und gleichm
ßig verteilter Druckspannung in den einzelnen Querschnitten ermittelt, Bild 61. Fr solche Platten gibt auch die VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986, N
herungsformeln; die Steifigkeit cP oder die Nachgiebigkeit dP der Platten werden aus Steifigkeit oder Nachgiebigkeit eines Ersatzzylinders mit einem Querschnitt Aers berechnet: Aers nach Bild 64; dP ¼ lK =ðAers EP Þ mit dem Elastizit
tsmodul EP der verspannten Platten. Streuungen beim Anziehen. Die beim Anziehen auftretenden Streuungen der Montagekraft FM zwischen FM min und FM max knnen nach Bild 65 bersichtlich im Verspannungsschaubild bercksichtigt werden. Die maximale Vorspannkraft FM max muß kleiner bleiben als die zul
ssige Schraubenkraft, die nach VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986, fr die nicht streckgrenzen- oder drehwinkelgesteuerten Anziehverfahren einer 90%igen Streckgrenzenausnutzung fr Schrauben bis M 39 entspricht – Grenze FM max ¼ FSp . Setzen. W
hrend des Anziehens bis zur Montagevorspannkraft FM im Bereich FM min bis FM max werden die Auflagefl
chen unter Kopf und Mutter sowie die Trennfugen zwischen den Platten eingeebnet. Aber auch danach wird durch zeitlich ver
nderliche Betriebskr
fte ein Setzen in den Trennfugen mit weiterem Einebnen von Oberfl
chenrauhigkeiten auftre-

I1.6 Schraubenverbindungen

G 45

verwendet werden. Auch sollen die Auflageflchen unter Schraubenkopf und Mutter stets gut bearbeitet sein und rechtwinklig zur Schraubenachse stehen [75, 78]. 1.6.7
berlagerung von Vorspannkraft und Betriebslast Superposition of preload and working loads

Bild 64 a–c. Ersatzdruckzylinder zur Berechnung der elastischen Nachgiebigkeit von verspannten Hlsen und Platten nach VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986 a Aers ¼ p4 ðD2A  dh2 Þ

2 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi !2 3 3 lK dw 15 þ 1 D2A

b Aers ¼ p4 ðdw2  dh2 Þ þ p8 dw ðDA  dw Þ4

FK ¼ cS =ðcS þ cP Þ ¼ dP =ðdS þ dP Þ:

2 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi !2 3 lK dw 15: c Aers ¼ p4 ðdw2  dh2 Þ þ p8 dw lK 4 3 þ 1 ðlK þ dw Þ2

ten. Die H
he des Setzbetrags fZ ist sowohl von der Anzahl der Trennfugen als auch von der Gr
ße der Rauhigkeit der Fugenflchen abhngig. Er wchst im Mittel mit dem Klemmlngenverhltnis (lK =d). Fr massive Verbindungen mit Schrauben nach DIN 931 (praktisch auch DIN 933) gilt fZ
3;29ðlK =dÞ0,34  103 mm:

Zentrische Verspannung und Belastung. Greift an einer symmetrisch gestalteten und (zentrisch) vorgespannten Schraubenverbindung nach Bild 61 eine axiale Zugkraft FA zentrisch unter Kopf und Mutter der Durchsteckschraube an, dann wird die Schraube um einen Betrag fSA zustzlich verlngert und die Zusammendrckung der Platten um den gleichen Betrag fPA vermindert; d. h. Schraube und Platte sind weggleich (parallel) bezglich der Zugkraft FA geschaltet, solange kein Klaffen der Schraubenverbindung in der Trennfuge auftritt. Es gilt fr die Schraubenzusatzkraft FSA ¼ cS fSA und fr FA ¼ ðcS þ cP Þ fSA ; die Klemmkraft in den Platten wird um FPA ¼ FA  FSA ¼ cP fSA vermindert. Die Krfte k
nnen zweckdienlich in das Verspannungsschaubild eingezeichnet werden, Bild 66. Weiter gilt FSA ¼ ðcS =ðcS þ cP ÞÞFA  FK FA mit dem Kraftverh
ltnis FK fr Angriff der ußeren Kraft FA direkt unter Kopf und Mutter. Mit dS ¼ 1=cS und dP ¼ 1=cP wird dann

ð2Þ

Detaillierte Angaben zu fZ siehe VDI-Richtlinie 2230, Neufassung 2001. Durch das Setzen der Verbindung um den Betrag fZ verringert sich die Montagevorspannkraft FM nochmals um den Betrag FZ . Von FM min bleibt damit nur die Vorspannkraft FV ¼ FM min FZ brig (Bild 65). FV muß mindestens gleich der erforderlichen Vorspannkraft FV erf sein. Der Setzbetrag bewirkt eine Verringerung der Schraubenlngung um FZ dS und der Plattenzusammendrckung um FZ dP ; es gilt also fZ ¼ FZ dS þ FZ dP und somit FZ ¼ fZ =ðdS þ dP Þ. Um das Setzen nicht unn
tig zu vergr
ßern, drfen bei hochfesten, stark vorgespannten Schrauben keine Sicherungsbleche, Unterlegscheiben oder Federringe unter Schraubenkopf oder Mutter

Bild 65. Verspannungschaubilder zur Ermittlung des Einflusses von Setzen und Vorspannkraftstreuung

ð3Þ

Die Restklemmkraft in der Trennfuge FKR nach Belastung und Setzen ist FKR ¼ FV  FPA ¼ FV  ð1  FK ÞFA ; sie muß mindestens gleich der erforderlichen Klemmkraft sein: FKR ^ FK erf . Damit ergibt sich fr die erforderliche Vorspannkraft FV erf ¼ FK erf þ FPA % FV und fr die minimale Montage-Vorspannkraft FM min ¼ FV erf þ FZ mit dem Vorspannkraftverlust FZ infolge Setzens. Mit dem Anziehfaktor aA wird die maximale Montage-Vorspannkraft FM max ¼ aA FM min ¼ aA ½FK erf þ ð1  FK ÞFA þ FZ :

ð4Þ

Wird nach dem Anziehvorgang eine 90%ige Streckgrenzenausnutzung zugelassen, dann darf FM max h
chstens FSp nach Anh. G 1 Tab. 7 bzw. VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986, erreichen. Damit nach Aufbringen der Betriebslast FA die Streckgrenze dann nicht berschritten wird, darf FSA nicht gr
ßer als etwa 13% der maximalen Montage-Vorspannkraft FM max sein, was m
glichst niedrige Werte des Kraftverhltnisses FK erfordert. Krafteinteilung ber die verspannten Teile. Im allgemeinen greift die ußere Axialkraft auch bei zentrischem Angriff nicht unmittelbar unter Kopf und Mutter an, sondern innerhalb der verspannten Teile. Nimmt man an, daß die Kraftangriffspunkte nicht die Entfernung lK zwischen Kopf- und Mutterauflage haben, sondern nur die Entfernung nlK (z. B.

Bild 66. Verspannungsschaubild zur Ermittlung der Schraubenzusatzkraft FSA , der max. Schraubenkraft FS max und der Restklemmkraft FKR mit tan gS ¼ cS und tan gP ¼ cP

G

G 46

Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen

n ¼ 0;5), dann werden nicht mehr alle Plattenbereiche durch die Axialkraft FA entlastet – die Steifigkeitsverh
ltnisse der be- und entlasteten Bereiche der Schraubenverbindung
ndern sich. Die Zusammenh
nge sind in Bild 67 dargestellt, wobei Setzen und Vorspannkraft-Streuungen nicht bercksichtigt wurden. Die Schraubenzusatzkraft FSA berechnet man nun mit FSA ¼ Fn FA mit dem Kraftverh
ltnis Fn fr zentrische Einleitung der Axialkraft FA in Ebenen im Abstand ðnlK Þ: Fn ¼ nFK ¼ ncS =ðcS þ cP Þ ¼ ndP =ðdS þ dP Þ:

G

ð5Þ

Schwingende
ußere Lasten. Bei schwingender
ußerer Last werden sowohl die maximale Betriebskraft FAo und die minimale Betriebskraft FAu unter Beachtung des Vorzeichens in das Verspannungsschaubild eingetragen (Bild 68 a) und hieraus die Schwingbelastung fr die Schraube abgeleitet. Bei wechselnder Betriebslast ist FAo ¼
FAu ; so daß der Wechselkraftanteil FSAa der Schraubenzusatzlast gleich FSAo ist. Bei schwellender Betriebslast ist FAo ¼ FA und FAu ¼ 0, womit der Wechselkraftanteil durch FSAa ¼ FK FA =2 bzw. FSAa ¼ Fn FA =2 gegeben ist, Bild 68 b. In Bild 68 c ist eine zentrisch angreifende statische Druckkraft FA eingezeichnet. Belastung bis in den plastischen Bereich. Wird eine Schraube durch eine zentrisch angreifende
ußere Zugkraft FA in den plastischen Bereich hinein beansprucht, dann folgt nderung des (gestrichelt dargestellten) Vorspanndreiecks nach Bild 69. Nach dem Entlasten, dem Entfernen der
ußeren Kraft FA , bleibt nur die um FZ verminderte Vorspannkraft zurck; FZ erh
lt man mit FZ ¼ fSpl =ðdS þ dP Þ mit fSpl als plastischem Verformungsanteil unter der gesamten Schraubenkraft FS max nach Aufbringen von FA . Analoge Betrachtungen sind bei Druckkr
ften und einem Setzen der verspannten Platten erforderlich. Exzentrische Verspannung und Belastung. Der bisher behandelte Fall einer zentrisch verspannten und zentrisch belasteten Schraubenverbindung ist konstruktiv nur selten exakt zu verwirklichen. Wenn die Schraubenachse und die Resultie-

Bild 67. Verspannungsschaubild fr innerhalb der verspannten Teile eingeleitete Betriebskraft FA (ohne Bercksichtigung von Setzen und Vorspannkraftstreuung)

rende der
ußeren Kraft FA nicht mit der Schwerlinie der verspannten Teile zusammenfallen, sondern nach Bild 70 parallel zu dieser liegen, wird die Schraubenzusatzlast dadurch u. U. wesentlich beeinflußt; zus
tzlich wird meist ein Biegemoment in der Trennfuge der Schraubenverbindung erzeugt, so daß die exzentrisch belastete Schraubenverbindung zum Abheben (Klaffen) in der Trennfuge neigt. Es ist anzustreben, das Klaffen der Schraubenverbindung durch geeignete Gestaltung zu verhindern; Gestaltungshinweise fr Einschraubenverbindungen nach Bild 71 (Zylinderverbindungen) und Bild 72 (Balkenverbindungen). Zur Berechnung der Kr
fte und Momente in exzentrisch belasteten Schraubenverbindungen sind in Tab. 20 die Ergebnisse verschiedener Modellrechnungen zusammengefaßt; vorausgesetzt wird, daß kein Klaffen in der Trennfuge auftritt und daß die Krafteinleitung ber die verspannten Teile im Abstand ðnlK Þ=2 von der Trennfuge der Schraubenverbindung erfolgt. Neben der Schrauben-(Zug-Druck-)Nachgiebigkeit dS ¼ 1=cS und der Platten-(Zug-Druck-)Nachgiebigkeit dP ¼ 1=cp nach Bild 62 werden die Schrauben-Biegenachgiebigkeit bS und eine Platten-Biegenachgiebigkeit bp bentigt. Fr prismatische Biegest
be gilt b ¼ lK =ðEIB Þ mit dem Elastizit
tsmodul E, der Klemml
nge lK und dem Tr
gheitsmoment des Biegekrpers IB . Der Abstand e der Kraft FA von der Schwerlinie der verspannten Teile nach Bild 70 a wurde mit e ¼ FK s sowie FK nach Gl. (3) so festgelegt, daß die Schraubenzusatz-

Bild 69. Verspannungsschaubild bei Beanspruchung der Schraube bis in den plastischen Bereich (unter Einfluß der Betriebskraft FA )

Bild 70 a–c. Vorgespannte und belastete prismatische Schraubenverbindung. a mit Zugkraft FA bei e ¼ FK s; b mit reiner Biegemomentbelastung MB ; c mit Zugkraft FA im Abstand a von der Schwerlinie des prismatischen Balkens mit Bohrung

Bild 68 a–c. Verspannungsschaubilder fr
ußere Betriebskr
fte FA . a als schwingende Zug-Druckkraft (FAu negativ!); b als schwellende Zugkraft; c als statische Druckkraft

I1.6 Schraubenverbindungen

G 47

G

Bild 71. Richtlinien fr die Gestaltung von Zylinderverbindungen nach [75, 85], erg
nzt

last FSA gleich der Schraubenzusatzlast einer zentrisch verspannten und belasteten Schraubenverbindung und das Zusatzbiegemoment in der Schraube MSb gleich Null wird; eine vorhandene Plattendruckkraft wird um die Plattenentlastung FPA vermindert und in der Trennfuge ein vorhandenes Biegemoment um MPb ver
ndert. Eine reine Biegemomentbelastung MB nach Bild 70 b erzeugt eine Schraubenzusatzlast FSA ¼ nFmK MB =s mit dem Kraftverh
ltnis FmK ¼

bS bP s =ðbS þ bP Þ bP s
dP þ dS þ ðbS bP s2 Þ=ðbS þ bP Þ dP þ dS þ ðbP s2 Þ ð6Þ 2

2

Bild 72. Richtlinien fr die Gestaltung von Balkenverbindungen nach [75, 85], erg
nzt

da meist bP  bS . Fr eine exzentrische Schraubenlast FA nach Bild 70 c ergibt sich dann durch berlagerung der Belastungen nach Bild 70 a, b mit MB ¼ FA ða  eÞ die Schraubenzusatzlast FSA ¼ nFeK FA mit FeK


dP þ ðbP a sÞ : dP þ dS þ ðbP s2 Þ

ð7Þ

Die Schraubenvorspannkraft FV (Zug) erzeugt in der Trennfuge der Schraubenverbindung eine gleich große Druckkraft FP , auch ein Schraubenbiegemoment MSb ¼ FV sbP = ðbS þ bP Þ  YK FV s und in der Trennfuge ein Biegemoment MPb ¼ FV sbS =ðbS þ bP Þ
FV s:

Tabelle 20. Schrauben- und Platten(zusatz)kr
fte bzw. -(zusatz)momente infolge
ußerer Belastung sowie Vorspannung

G 48

Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen

F
r prismatische Balken mit einer Ersatzflche Aers und einem Ersatztrgheitsmoment IB ers gilt bP =dP ¼ Aers =IB ers : In der VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986, werden als Beispiele die Berechnung einer Pleuellagerdeckelverschraubung und die Berechnung einer Zylinderdeckelverschraubung behandelt [75]. Die neuen Berechnungsvorschlge in der Neufassung der VDI-Richtlinie 2230 vom Okt. 2001 sind in der Praxis zu erproben; wegen der sehr niedrigen Werte f
r n sollten in kritischen Fllen eigene FEM-Berechnungen erfolgen!

G

Abhebegrenze. Zur Bestimmung der Grenzbelastung FAab bzw. MBab bei der in der Trennfuge der Schraubenverbindung gerade noch kein Klaffen auftritt, wird die Druckspannung aus der minimalen Vorspannkraft FV und den Betriebsbelastungen FA und MB in der Trennfuge berechnet. F
r NichtKlaffen ist erforderlich, daß diese Druckspannung an keiner Trennfugenstelle, z. B. an der Stelle U in Bild 70 c bei positivem FA , in den Zugbereich gelangt. St
lpen von Flanschen. Bei Flanschverbindungen mit d
nnen Flanschblttern knnen sich diese unter den ußeren Zugkrften wie Tellerfedern st
lpen oder unter ußeren Momenten wie Hutrnder krempeln. Konstruktive Gestaltungshinweise f
r Mehrschraubenverbindungen mit Flanschen s. Bild 73. Bei elastischen Dichtungen zwischen den Flanschen ist deren Nachgiebigkeit zur Nachgiebigkeit der Flansche zu addieren. 1.6.8 Auslegung und Dauerfestigkeitsberechnung von Schraubenverbindungen Static and fatigue strength of bolted connections Betriebsbelastungen. Zur Auslegung der Schraubenverbindung m
ssen die im Betrieb auftretenden ußeren Belastungen mglichst genau bekannt sein. F
r den Entwurf ist es zweckmßig zwischen selten auftretenden hohen Sonderlasten und hufig auftretenden Betriebslasten zu unterscheiden. Die seltenen, hohen Sonderlasten wird man im Sinne der Festigkeitsberechnung statisch bewerten, f
r die hufig auftretenden Betriebslasten wird man meist eine Dauerfestigkeitsbewertung zumindest in der Entwurfsphase anstreben. Ideal – aber nicht oft realisierbar – ist eine Schraubenverbindung, die die anschließenden Bauteilquerschnitte f
r die auftretenden Betriebs- und Sonderlasten vollwertig ersetzt. Einschraubenverbindung. Aus den ußeren Belastungen einer Mehrschraubenverbindung sind im ersten Schritt die Belastungen der hchstbeanspruchten Einschraubenverbindung abzuleiten. F
r diesen Schritt stehen vielfltige Rechnerprogramme zur Verf
gung, z. B. [86]. In einfachen Fllen lassen sich die auf die Einschraubenverbindungen wirkenden Betriebs- und Sonderlasten auch ohne Rechnereinsatz ermitteln, was aber bei der Abschtzung der Lasteinleitungshhe nlK erhebliche Erfahrung erfordert. Zur Auslegung der Einschraubenverbindung m
ssen danach die ußere Axialkraft FA , die gegebenenfalls
ber die Trennfuge zu
bertragenden Querkrfte Fx und Fy , sowie die Biegemomente Mx und My sowohl f
r die Sonderlasten als auch f
r Betriebslasten bekannt sein, Bild 74. Weiterhin sind zur Festlegung einer MindestRestklemmkraft die erforderliche Dichtpreßkraft und/oder qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi zur Aufnahme von Fugenreibungskrften FQ ¼ Fx2 þ Fy2

Bild 73. Richtlinien f
r die Gestaltung von Mehrschraubenverbindungen nach [75, 85], ergnzt

¼ mFN die erforderliche Normalkraft FN anzugeben und das voraussichtlich angewandte Anziehverfahren mit dem Anziehfaktor aA festzulegen. Vordimensionierung. Die maximale Schraubenkraft FSmax kann f
r eine erste
berschlgige Rechnung zu FSmax
aA ðFK erf þ FA Þ angenommen werden. Sie muß, wenn eine 90%ige Streckgrenzenauslastung beim Anziehen als zulssig angesehen wird, kleiner als FSp =0;9 nach Anh. G 1 Tab. 7 oder einer Tabelle der VDI-Richtlinie 2230,

Bild 74. Mgliche Belastungen einer Einschraubenverbindung. FA qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Axialkraft; FQ ¼ Fx2 þ Fy2 Querkraft; Mx ; My Biegemomente

I1.6 Schraubenverbindungen Ausgabe 1986, sein. F
r eine gew
nschte Festigkeitsklasse kann damit der erforderliche Schraubendurchmesser d gefunden werden oder f
r einen im ersten Entwurf zunchst festgelegten Schraubendurchmesser die notwendige Festigkeitsklasse der Schraube. Anhand des gegebenenfalls bereits hier zu korrigierenden Konstruktionsentwurfs ist die Klemmlnge lK festzulegen, deren Kenntnis f
r die Berechnung der Schraubennachgiebigkeit dS und der Plattennachgiebigkeit dP erforderlich ist. Falls die
berschlgig mit FS max ¼ FSp =0;9 bei elastischem Anziehen oder FS max ¼ 1;2FSp =0;9 f
r streckgrenz- bzw. streckgrenz
berschreitendes Anziehen zu berechnende Flchenpressung p unter Kopf und Mutter eine Klemmlngennderung wegen zustzlich erforderlicher hochfester Unterlegscheiben notwendig macht, ist auch dies zu ber
cksichtigen. Die Flchenpressung wird hierbei mit der Grße der Auflageflche AP nach der Formel p ¼ FS max =AP berechnet und darf nicht grßer als die Grenzflchenpressung pG nach Anh. G 1 Tab. 8 sein. F
r exzentrisch verspannte und exzentrisch belastete Schraubenverbindungen ist nun zu pr
fen, ob unter den ung
nstigsten Belastungen Klaffen in der Trennfuge oder zumindest im Bereich des Birger-Kegels nach Bild 61 verhindert werden kann und ob die erforderliche Mindestklemmkraft FK erf unter Ber
cksichtigung von Setzen und Exzentrizitt gewhrleistet ist. Es ist auf jeden Fall anzustreben, daß die hufig auftretenden Betriebslasten quer zur Schraubenachse reibschl
ssig
bertragen werden – zur bertragung von selten auftretenden hohen Sonderlasten knnen eventuell zustzliche Formschlußelemente (Stifte) eingesetzt werden [90]. Kraftverh
ltnisse. Die Zug-Druck-Nachgiebigkeiten dS und dP sind nach Bild 63 und Bild 64 zu bestimmen; die Biegenachgiebigkeiten bS und bP werden durch Aufsummieren der maßgebenden Teilnachgiebigkeiten bi ¼ li =ðEIBi Þ mit den Teillngen li , dem Elastizittsmodul E und den Flchentrgheitsmomenten IBi abgeschtzt. F
r eine Schraube nach Bild 63 gilt analog zur Ermittlung von dS sinngemß: bS
bk þ b1 þ b2 þ bf þ bG þ 8dM =d 2 mit den Flchentrgheitsmomenten IBi ¼ pdi4 =64 und der Nachgiebigkeit f
r die Mutterverschiebung dM . Die Biegenachgiebigkeit des Ersatzbiegebalkens ist wesentlich ungenauer zu berechnen. In erster Nherung gilt bP ¼ dP Aers =Iers mit Aers nach Bild 64 und Iers ¼ bh3B =12 mit geschtzten Werten f
r die Breite b und die Hhe hb eines Rechteck-Biegebalkens; f
r b und hB d
rfen hchstens Werte gewhlt werden, die den Durchmesser des Birger-Kegels (Bild 61) in der Trennfugenebene nicht
berschreiten. Schraubenbelastungen. F
r die Einschraubenverbindungen nach Bild 70 werden die Schraubenkrfte FS und SchraubenBiegemomente MSb mit Tab. 20 bestimmt. Richtwerte f
r den Faktor n s. Bild 71. Im Zweifelsfall ist jeweils der ung
nstigere Wert von n zu whlen. Die Formeln setzen planparallele Auflageflchen f
r Schraubenkopf und Mutter voraus. Die maximale Montage-Vorspannkraft wird mit Gl. (4) mit FK ! nFeK festgelegt, das Gewindereibungsmoment beim Anziehen nach G 1.6.6. Maximale Schraubenspannung. Unter der maximalen Montage-Vorspannkraft wird eine Vollschaftschraube im Bolzengewinde durch die Nenn-Zugspannung szM ¼FM max =AS und eine Nenn-Torsionsspannung ttM ¼MG =Wp (mit dem polaren Widerstandsmoment Wp des Spannungsquerschnitts AS ) belastet; das durch FM max in einer exzentrisch verspannten Schraubenverbindung erzeugte Biegemoment MSb darf meist unber
cksichtigt bleiben. Zustzlich wirkt die aus den axialen Betriebskrften und -momenten resultierende Zusatzkraft FSAo und deshalb z. B. bei exzentrischer Betriebskraft FAo die zustzliche Zugspannung sSAo ¼ nFeK FAo =AS . Die berlagerung dieser Spannungen nach der Mises-Hypothese ergibt die

G 49

Vergleichsspannung sz red , die nach VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986, bei elastischem Anziehen bis dicht an Rp 0;2 heranreichen, bei streckgrenz- bzw. streckgrenz
berschreitendem Anziehen Rp 0;2 sogar rechnerisch beschrnkt
berschreiten darf. Diese
berschlgige Betrachtungsweise setzt voraus, daß das Material auch im gekerbten Zustand ausreichend fließfhig bleibt, daß das Gewinde nicht abgestreift wird und daß die bei Betriebslast auftretenden Setzerscheinungen bei der Bestimmung der Restklemmkraft jeweils beachtet werden. Bei großen Schrauben reicht diese einfache Berechnungsmethode zur Beurteilung des Bauteilversagens nicht mehr aus [80, 88]. F
r Dehnschaft- und Taillenschrauben ist statt des Spannungsquerschnitts AS der engste Querschnitt AT zu ber
cksichtigen, analoges gilt f
r die Widerstandsmomente Wp . Fl
chenpressung unter Kopf und Mutter. Die Einhaltung der zulssigen Flchenpressung p in der Kopf- und Mutterauflage ist f
r eine maximale rechnerische Schraubenkraft FS max ¼ fa ðFM max þFFAo Þ nachzupr
fen, mit fa ¼ 1 f
r elastisches Anziehen und fa ¼ 1;2 f
r streckgrenz- bzw. streckgrenz
berschreitendes Anziehen sowie dem ung
nstigsten Kraftverhltnis F. Zulssige Flchenpressungen nach Anh. G 1 Tab. 8. Fl
chenpressung im Gewinde. F
r Schrauben-Mutter-Kombinationen mit festgelegten Pr
fkrften nach DIN ISO 898 ist die Flchenpressung im Gewinde bei z
giger Belastung nicht nachzurechnen. Bei Bewegungsschrauben bestimmt die Flchenpressung p im Gewinde die erforderliche Mutterhhe. Die tragende Flche eines Gewindegangs ergibt sich aus den Abmessungen nach Bild 57 und Bild 58. Mutterhhen mit h > 1;5d werden nicht ausgenutzt und sind nicht mehr zu ber
cksichtigen; als zulssige Flchenpressung kann dann unter der Annahme einer gleichmßigen Pressungsverteilung f
r Bewegungsschrauben mit Bronzemuttern angenommen werden: pzul ¼ 7;5 N=mm2 bei unlegierten Maschinenbausthlen, pzul ¼ 15 N=mm2 bei hochfestem Stahl. Abstreiffestigkeit von Schrauben- und Muttergewinde. Die Tragfhigkeit der Gewindeverbindung bei z
giger Belastung wird durch die Schubfestigkeit tB
0;6Rm von Schraube oder Mutter und durch die zugeordneten effektiven Scherflchen ASG , die wiederum von der Mutteraufweitung, der plastischen Gewindeverbiegung und den Fertigungstoleranzen abhngen, bestimmt. F
r Muttern mit einem Verhltnis von Schl
sselweite/Nenndurchmesser = 1,5 ist beispielsweise f
r Mutteraufweitung und plastische Gewindeverformung zustzlich eine Reduktion der geometrischen Scherflche um 25% anzunehmen; der Einfluß der Reibung beim Anziehen der Schraubenverbindung kann durch einen Abschlag von 10 bis 15% ber
cksichtigt werden [75], Ausgabe 1986. Dauerschwingbeanspruchung. Der maßgebende Spannungsausschlag sSa bei Dauerschwingbeanspruchung mit 106 oder mehr Lastspielen wird aus der Nennspannungsamplitude sza ¼ nFeK ðFAo  FAu Þ=ð2A3 Þ und der zugehrigen Biegenennspannungsamplitude sba ¼ ½ðMSb Þo  ðMSb Þu =ð2W3 Þ ermittelt – Bild 68 und Tab. 20, Kernquerschnitt A3 und zugehriges Biegewiderstandsmoment W3 ¼ pd33 =32. Spannungsausschlag sSa muß kleiner als der zulssige Wert sA zul bleiben, der mit der erforderlichen Sicherheitszahl SD nach sA zul ¼ sA =SD und Tab. 21 f
r Schrauben der Festigkeitsklassen 8.8, 10.9 und 12.9 nach VDI-Richtlinie 2230 abgeschtzt werden kann. Der Faktor 0,75 in der Formel f
r sASV ber
cksichtigt, daß die Streuung der Dauerhaltbarkeit um den Versuchsmittelwert 25% betragen kann [75, Ausgabe 1986; leicht modifizierte Vorschlge siehe Neufassung]. Die Dauerhaltbarkeit sA ist wegen der scharfen Kerben des Spitzgewindes und der Krafteinleitung
ber eine Druckmutter, z. B. nach Bild 61, sehr niedrig im Vergleich zur Dauer-

G

G 50

Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen

Tabelle 21. Dauerhaltbarkeit des Gewindes von Schrauben der Festigkeitsklassen 8.8, 10.9 und 12.9 (Anhaltswerte) mit Gewinde-Nenndurchmesser d bis 40 mm und Druckmuttern, Schraubenkraft an der 0,2%-Dehngrenze F0;2 , Vorspannkraft FV (nach VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986)

G

haltbarkeit eines glatten Stabes aus gleichem Werkstoff. Die Lasteinleitung
ber eine Druckmutter ist deshalb sehr ung
nstig, weil durch die Formnderung des belasteten Gewindes die Zugkraft im Bolzen nicht gleichmßig
ber alle Gewindegnge verteilt wird und durch die Kraftfluß-Umlenkung aus der Zugkraft im Bolzen eine Druckkraft in der Mutter wird. Man kann annehmen, daß bei einer
blichen Druckmutter im ersten Gang bereits bis zu 40% der Zugkraft FS
bertragen werden, wenn keine Lastumverteilung durch Fließvorgnge (Setzen) beim Anziehen der Schraube erfolgt. Schraubenverbindungen mit schlußverg
teten Schrauben bis d=40 mm erweisen sich wegen solcher plastischer Lastumverteilungsvorgnge als relativ mittelspannungsunempfindlich, Bild 75. Die erhhte Dauerhaltbarkeit schlußgewalzter Schrauben geht dagegen mit wachsender Vorspannung zur
ck. Gewindeauslauf und Kopf-Schaft-
bergang. Wird durch Verg
ten und Rollen die Dauerfestigkeit des Bolzengewindes erheblich gesteigert, so m
ssen auch Kerbstellen an anderen Stellen der Schrauben, wie z. B. der Gewindeauslauf nach DIN 76 T 1, auf Dauerhaltbarkeit nachgerechnet und wenn ntig konstruktiv verbessert werden. In Bild 76 ist der im Mittel ertragbare Spannungsausschlag in verschiedenen bergngen zwischen Gewinde und Schaft aufgef
hrt [77, 94]. Der bergangsradius f
r den Kopf-Schaft-bergang ist in den Normen f
r Schrauben festgelegt. Die Ausf
hrung als tolerierter bergangsradius reicht f
r Normschrauben mit relativ niedrigen Kpfen auch meist noch aus, wenn durch Kaltverfestigung das Gewinde auf hchste Dauerhaltbarkeitswerte gebracht wird. Durch Erhhung der bergangsradien auf 0;08d knnen besonders dauerhafte Schrauben, allerdings mit

geringer Vergrßerung des Kopfaußendurchmessers, konstruiert werden. Große Schrauben [80, 88, 89]. Der Erhhung der Dauerfestigkeit durch Rollen sind abmessungsseitig Grenzen gesetzt. F
r große Schrauben werden deshalb bei hohen dynamischen Belastungsanteilen weitere Maßnahmen zur Steigerung der Dauerhaltbarkeit angewendet. In Bild 77 werden die ersten Gewindegnge an der Mutter durch eine Verlagerung der Kraftflußumlenkung und am Sacklochgewinde durch den kegeligen bergangsradius zum Schaft mit
bergreifendem Gewinde entlastet. Die Dehnschraube ist biegeweich und wird mit einer Ansatzkuppe im Sacklochgrund verspannt. Die relativ biegeweiche Dehnschraube wird hydraulisch vorgespannt und durch eine Scherb
chse von hohen seltenen Querkrften entlastet, whrend die hufig auftretenden Betriebs-Querkrfte durch Reibschluß
bertragen werden. Die Vorspannkrfte beim Anziehen sind unter Beachtung bruchmechanischer Berechnungen festzulegen [80]. Schraubenverbindungen mit Sonderanforderungen. Sie werden bez
glich hherer oder tieferer Temperaturen und/ oder Korrosion z. B. in [77–79] behandelt.

Bild 76. Einfluß der Gestaltung von Gewindeauslufen auf den ertragenen Wechselspannungsausschlag sA am bergang vom Gewinde zum Schaft [94]

Bild 75. Dauerhaltbarkeitsgrenzen f
r schlußverg
tete Schrauben mit geschnittenem Gewinde und Druckmutter (Schraubengewinde werden heute vorzugsweise gerollt; Dauerhaltbarkeitswerte deshalb auf sicherer Seite)

Bild 77. Konstruktive Maßnahmen zur Steigerung der Dauerfestigkeit großer Schrauben

I1.6 Schraubenverbindungen 1.6.9 Sicherung von Schraubenverbindungen Thread locking devices

G 51

Tabelle 22. Einteilung der Sicherungselemente nach Funktion und Wirksamkeit nach [75, 77, 79]

Eine konstruktiv richtig ausgelegte Schraubenverbindung, die zuverl
ssig vorgespannt ist, braucht i. allg. keine zus
tzliche Schraubensicherung, insbesondere bei hochfesten Schraubenwerkstoffen, gengender Schraubennachgiebigkeit dS , gengender Klemml
nge ðlK ^ 5dÞ und einem Minimum von Trennfugen. Maßnahmen zur Vergrßerung der Klemml
nge oder zur Erhhung der Nachgiebigkeit dS (Bild 78) haben nicht nur den Vorteil, daß sie die Schraubenzusatzlast FSA herabsetzen, sondern auch den Vorteil erhhter Sicherheit gegen Losdrehen. Durch Lockern infolge Setzens bzw. Kriechens der Verbindungselemente oder durch selbstt
tiges Losdrehen als Folge von Relativbewegungen zwischen den Kontaktfl
chen kann in manchen F
llen die erforderliche Vorspannkraft jedoch unterschritten werden, so daß bereits bei der konstruktiven Auslegung geeignete Sicherungselemente vorzusehen sind. Kriechen kann z. B. beim Verspannen von niederfesten Kupferoder lackierten Stahl-Blechen selbst bei Raumtemperatur beobachtet werden, w
hrend Relativbewegungen zwischen den Kontaktfl
chen vor allem bei dnnen verspannten Teilen und Belastungen senkrecht zur Achsrichtung der Schraube bei unzureichender Vorspannkraft auftreten. Man unterscheidet zwischen „Setzsicherungen“ zur Kompensierung der Kriechund Setzbetr
ge und „Losdrehsicherungen“, die in der Lage sind, das bei Relativbewegung entstehende „innere“ Losdrehmoment zu blockieren oder zu verhindern; „Verliersicherungen“ knnen ein teilweises Losdrehen nicht verhindern, wohl aber ein vollst
ndiges Auseinanderfallen der Schraubenverbindung.

G

Tab. 22 gibt einen berblick ber die Funktion und Wirksamkeit verschiedener Sicherungselemente [75, 77–79], s. auch DIN 25 201. Mitverspannte federnde Elemente vermgen in der Regel Losdrehvorg
nge infolge wechselnder Querverschiebung nicht zu verhindern. Fr axialbeanspruchte sehr kurze Schrauben der unteren Festigkeitsklassen ( % 6.8) kann die Verwendung als Setzsicherung empfohlen werden. Die Federwirkung muß jedoch auch unter voller Vorspannkraft und hchster Betriebskraft vorhanden sein. Zu beachten ist die Gefahr von Spaltkorrosion in entsprechender Atmosph
re [75, 78, 82]. Formschl
ssige Elemente knnen ein begrenztes Losdrehmoment aufnehmen und sollten daher auch nur bei Schrauben im unteren Festigkeitsbereich ( % 6.8) eingesetzt werden. Da sie in der Regel nur eine geringe Restvorspannkraft aufrechterhalten, sichern sie die Verbindung insbesondere nach Setzen gegen Verlieren, Bild 79. Fr Nutmuttern nach DIN 1804 werden i. allg. und insbesondere im Werkzeugmaschinenbau Sicherungsbleche mit Innennase nach DIN 462 verwendet, Bild 79 d. Klemmende Elemente in „selbstsichernden“ Muttern nach DIN 980/982/985/986/6924/6925 z. B. Bild 80 a bieten einen

Bild 79 a–f. Formschlssige Schraubensicherungen. a Sicherungsblech mit Lappen DIN 93; b Sicherungsblech mit zwei Lappen DIN 463; c Sicherungsblech mit Außennase DIN 432; d Sicherungsblech mit Innennase DIN 462 fr Nutmutter DIN 1804; e Kronenmutter DIN 935 mit Splint DIN 94; f Drahtsicherung

Bild 78. Konstruktive Maßnahmen mit steigender Dauerhaltbarkeit und steigender Losdrehsicherheit der Schraubenverbindung

hohen Reibschluß und knnen zumindest als Verliersicherungen angesehen werden. Kontermutter (mit einer niedrigeren Mutter als untere Mutter) nach Bild 80 b und Sicherungsmut-

G 52

Mechanische Konstruktionselemente – 2 Federnde Verbindungen (Federn)

tern nach DIN 7967 nach Bild 80 c sch
tzen nicht zuverlssig gegen Losdrehen. Sperrende Elemente (Rippen oder Zhne) in der Auflageflche von Schraube oder Mutter nach Bild 80 d und Bild 80 e vermgen in den meisten Anwendungsfllen das innere Losdrehmoment zu blockieren und somit die Vorspannkraft in voller Hhe zu erhalten, da sie sich in nicht gehrtete Oberflchen eingraben [96]; allerdings ist die Kerbwirkung der Oberflchenverformung zu beachten [84].

G

Klebende Elemente bewirken einen Stoffschluß im Gewinde und verhindern damit Relativbewegungen zwischen Bolzenund Muttergewindeflanschen, so daß die inneren Losdrehmomente nicht wirksam werden [78]. Klebende Sicherungselemente sind insbesondere bei gehrteten Oberflchen geeignet, wo sperrende Elemente nicht mehr anwendbar sind. Zu beachten ist die zum Teil stark strende Gewindereibung beim Anziehen sowie die Anwendungsgrenze von etwa 90 C. Im Großmaschinenbau werden Schrauben und Muttern oft durch Kehl-Schweißnhte an einer oder zwei Sechskantflchen gegen Losdrehen gesichert.

2 Federnde Verbindungen (Federn) Elastic connections (springs) H. Mertens, Berlin; H.D. Motz, Solingen (Abschn. 2.6)

2.1 Aufgaben, Eigenschaften, Kenngr
ßen Applications, characteristics, properties 2.1.1 Aufgaben. Applications Eine Feder ist ein Konstruktionselement mit der Fhigkeit Arbeit auf einem verh
ltnism
ßig großen Weg aufzunehmen und diese ganz oder teilweise als Form
nderungsenergie zu speichern. Wird die Feder entlastet, so wird die gespeicherte Energie ganz oder teilweise wieder abgegeben. Eine Feder kann damit durch ihre energiespeichernden und -verzehrenden Eigenschaften (durch Speicher- und D
mpfungsvermgen) beschrieben werden. Hieraus knnen folgende Aufgaben abgeleitet werden: – Aufrechterhalten einer nahezu konstanten Kraft bei kleinen Wegnderungen durch Bewegung, Setzen und Verschleiß, z. B. Kontaktfedern, Ringspannscheiben zur Schraubensicherung, Andr
ckfedern in Rutschkupplungen; – Vermeiden hoher Krfte bei kleinen Relativverschiebungen zwischen Bauteilen durch Wrmedehnungen, Setzen oder andere eingeprgte Verformungen, z. B. Kompensatoren in Rohr- und Stromleitungen, Dehnfugenausgleich in Plattenkonstruktionen, Laschen oder Membranen in Kupplungen; – Belastungsausgleich oder rumlich gleichmßiges Verteilen von Krften, z. B. f
r Federung von Fahrzeugen, f
r Federkernmatratzen; – Spielfreies F
hren von Maschinenteilen, z. B. mit parallelen Blattfedern, mit Gummigelenken; – Speichern von Energie, z. B. Uhrenfedern oder Federmotoren f
r Spielzeuge; – R
ckf
hren eines Bauteils in seine Ausgangslage nach einer Auslenkung, z. B. Ventilfedern, R
ckstellfedern in hydraulischen Ventilen und Meßgerten – auch f
r R
ckschlagventile; – Messen von Krften und Momenten in Meß- und Regeleinrichtungen bei reproduzierbarem, gen
gend linearem Zusammenhang zwischen Kraft und Verformung, z. B. Federwaagen;

Bild 80 a–e. Reibschl
ssige und sperrende Schraubensicherungen. a Selbstsichernde Mutter DIN 982; b Kontermutter; c Sicherungsmutter DIN 7987; d Sperrzahnschraube; e Sperrzahnmutter

– Beeinflussen des Schwingungsverhaltens von Antriebsstrngen, insbesondere Tilgung oder Dmpfung angeregter Schwingungen bei stationrem oder instationrem Betrieb, aber auch umgekehrt zur Erzeugung von Resonanzschwingungen z. B. in Schwingfrderern oder Schwingpr
fmaschinen, s. B 4 und U 3.4; – Schwingungsisolierung, Schwingungsdmpfung, Verstimmung; aktive und passive Isolierung von Maschinen und Gerten, s. O 2.3; – Mildern von Stßen durch Auffangen der Stoßenergie auf lngeren Wegen, z. B. Fahrzeug-Gasfeder-Dmpfer, Pufferfedern, Stoßisolierung von Hammerfundamenten, s. Q 1.5.3. Eine vom Verwendungszweck unabhngige Einteilung der Federn kann
ber den Federwerkstoff: Metallfedern, Gummifedern, faserverstrkte Kunststoffedern, Gasfedern erfolgen. Bei Metallfedern ist die Werkstoffdmpfungsfhigkeit verhltnismßig gering, bei Federn aus Gummi oder Kunststoff technisch nutzbar. Die federnden Eigenschaften von Metallen lassen sich nur durch bestimmte Formgebung ausnutzen (Formfederung); auch Gummi ist noch relativ steif und praktisch inkompressibel. Nur bei Gasfedern kann die Volumenfederung ausgenutzt werden.

2.1.2 Federkennlinie, Federsteifigkeit, Federnachgiebigkeit Load-deformation diagrams, spring rate (stiffness), deformation rate (flexibility) Federkennlinie. Sie gibt die Abhngigkeit der auf die Feder wirkenden Federkraft F (oder des Federdrehmoments Mt ) vom Federweg s (bzw. dem Verdrehwinkel j), der Auslenkungsdifferenz zwischen den Kraftangriffsstellen, wieder, Bild 1. Die Steigung der Kennlinie dF=ds wird Federsteifigkeit c oder nach DIN 2089 Federrate R genannt. Solange der Federwerkstoff dem Hookeschen Gesetz gen
gt und die Federn reibungsfrei sind, knnen f
r kleine Federwege geradlinige Federkennlinien auftreten. Es gilt dann c ¼ d F=d s ¼ F=s ¼ Fmax =smax bzw. ct ¼ d Mt =d j ¼ Mt =j ¼ Mt max =jmax :

ð1Þ

I2.2 Metallfedern

Bild 1. Federkennlinien bei zgiger Belastung. 1 geradlinige Federkennlinie, 2 progressive Federkennlinie, 3 degressive Federkennlinie, Arbeitsaufnahmef
higeit W fr Kennlinie 1 schraffiert

Der Kehrwert der Federsteifigkeit (oft auch kurz Federsteife) heißt Federnachgiebigkeit d d ¼ 1=c ¼ d s=d F bzw: dt ¼ 1=ct ¼ d j=d Mt :

ð2Þ

2.1.3 Arbeitsaufnahmef
higkeit, Nutzungsgrad, D
mpfungsvermgen, D
mpfungsfaktor Energy storage, energy storage efficiency factor, damping capacity, damping factor

Zsmax

Zjmax F d s bzw: Wt ¼

0

Mt d j:

2 W ¼ Fmax smax =2 ¼ cs2max =2 ¼ Fmax =ð2cÞ

bzw. ð4Þ

Mit dem Hookeschen Gesetz s=Ee=E(s/ l) gilt fr die Arbeitsaufnahmef
higkeit eines Werkstoffs bei ber Federquerschnitt A und Federl
nge l gleichm
ßig verteilter Zug- oder Druckbeanspruchung sowie dem Volumen V=Al: Zsmax

Zsmax F ds ¼ 0

ðF=AÞðAlÞdðs=lÞ ¼ Vs2max =ð2EÞ 0

bzw. Wt ¼ Vt2max =ð2GÞ

ð5Þ

bei Schubbeanspruchung. Bei nicht gleichm
ßig verteilter Beanspruchung gilt W

¼ hA Vs2max =ð2EÞ

bzw. Wt ¼ hA Vt2max =ð2GÞ

ð7Þ

Erweiterung auf nichtlineares Verhalten bei zyklischer Verformung [15]. Zur Kennzeichnung des nichtlinearen Federverhaltens, insbesondere bei nichtstation
rer Beanspruchung, sind erweiterte Feder-D
mpfer-Simulations-Modelle [88] erforderlich, s. auch Q 1.8.

2.2 Metallfedern. Metal springs

Fr Federn mit geradliniger Kennlinie gilt zwischen s=0 und s ¼ smax

W¼

Verformungsamplitude ^s als Grundlinie und der zugehrigen Federkraftamplitude Fc als Hhe wieder; die Dreiecksfl
che ist ein Maß fr die in der Umkehrlage gespeicherte elastische Verformungsenergie Wpot :

ð3Þ

0

Wt ¼ Mtmax jmax =2 ¼ ct j2max =2 ¼ Mt2max =ð2ct Þ:

Bild 2 a, b. Federkennlinien bei schwingender Belastung. a Kennlinie bei schwellend beanspruchten, zweistufig geschichteten Blattfedern; b Hystereseschleife in Ellipsenform fr einen wechselbeanspruchten viskoelastischen Federwerkstoff mit geschwindigkeitsproportionaler D
mpfungskraft

y ¼ WD =Wpot :

Die Fl
che unter der Kennlinie (Bild 1) ist ein Maß fr die Arbeitsaufnahmef
higkeit oder das Arbeitsvermgen einer Feder (s. B 3.2), W¼

G 53

ð6Þ

mit dem Volumennutzungsgrad hA , der von der jeweiligen Federgestalt und der Belastungsart abh
ngt und einen ntzlichen Vergleich verschiedener Federarten hinsichtlich Werkstoffausnutzung gibt. Bei zyklischer Verformung, z. B. schwellendem Federweg nach Bild 2 a oder wechselndem Federweg nach Bild 2 b, ist die von der Kennlinie umschlossene Fl
che ein Maß fr die w
hrend eines Lastspiels dissipierte Energie WD . Fr linear viskoelastische Federwerkstoffe wird zur Kennzeichnung des hieraus resultierenden D
mpfungsvermgens der D
mpfungsfaktor y genutzt: Er gibt bei reiner Wechselverformung entsprechend Bild 2 b das Verh
ltnis der kennlinienumschlossenen, WD -proportionalen Fl
che zur Dreiecksfl
che mit der

Metallfedern [1–79] werden meist aus hochfesten Federwerkstoffen (s. E 3.1.4) hergestellt. Alle Normen ber Federst
hle enthalten Anforderungen zur Oberfl
chenbeschaffenheit, da die Zeit- und Dauerfestigkeit von Federn wesentlich von einer kerbfreien Oberfl
che abh
ngt. Diese Forderungen mssen auch auf gefertigte und montierte Federn bertragen werden, was bedeutet, daß Riß- und Scheuerstellen bei Montage und Betrieb zu vermeiden sind, Qualit
tssicherung ist unerl
ßlich. Auch durch Korrosionseinfluß kann die Lebensdauer stark herabgesetzt werden. Als Korrosionsschutz knnen organische oder anorganische Schutzberzge aufgebracht werden [73]. Bei galvanischen Schutzberzgen ist die Gefahr von Wasserstoffversprdung zu beachten [70]. Weiterhin knnen je nach Korrosionsbelastung verschiedene Chrom-NickelSt
hle oder NE-Metalle eingesetzt werden. Bei Berechnung und Gestaltung von Federn sind die in Tab. 1 aufgefhrten DIN-Normen zu beachten. In technischen Zeichnungen werden Federn nach DIN ISO 2162 dargestellt. 2.2.1 Zug/Druck-beanspruchte Zug- oder Druckfedern Axially loaded straight bars and ring springs Zugst
be, Druckst
be. Anwendung. Wegen hoher Federsteife nur in hochfrequenten Prfmaschinen und Schwingungserregern sowie als Einzelelemente in Schraubenverbindungen (s. G 1.6). Grundlagen. Fr Stab mit L
nge l, Querschnitt A und Elastizit
tsmodul E gilt fr Federsteife c ¼ EA=l. Der Nutzungsgrad des federnden Volumens ist hA ¼ 1; falls Einspannkerbwirkung durch entsprechende berg
nge vermieden wird: Schulterst
be. Ringfedern. Anwendung. Wegen hoher dissipierter Energie als Pufferfeder sowie als berlastsicherung und D
mpfungselement im Pressenbau [7, 18]. Bauform (Bild 3 a). Zug- und druckbeanspruchte Ringe mit konischen Wirkfl
chen; (Innenringquerschnitt Ai zu Außenringquerschnitt Aa )
0;8: (Außenring-Außendurchmesser da zu Ringbreite b)
5 bis 6.

G

G 54

Mechanische Konstruktionselemente – 2 Federnde Verbindungen (Federn)

Tabelle 1. Gestaltung und Berechnung von Stahlfedern nach Normen (bersicht)

G

Grundlagen. Zur Vermeidung von Selbsthemmung wird bei feinbearbeiteten Ringen mit Reibungswinkel r
7
der Neigungswinkel a
12
gew
hlt; bei unbearbeiteten grßeren,

im Gesenk geschlagenen Ringen mit r
9
der Neigungswinkel a
14
. Fr Belastung F" und Entlastung F# gilt analog zu Bewegungsschrauben (s. B 1.11): F "¼ Fc tanða þ rÞ= tan a
ð1;5 . . . 1;6ÞFc ;

ð8Þ

F #¼ Fc tanða  rÞ= tan a;

ð9Þ

mit der Federkraft Fc ohne Reibungsbercksichtigung nach Bild 3 b. Fr Arbeitsaufnahme W" bei Belastung gilt W"= (F")s/2, fr Arbeitsabgabe W# bei Entlastung W#=(F#)s/2, dissipierte Energie WD ¼ W " W #
3=4W ". Fr die Zugspannung sz im Außenring und die Druckspannung sd im Innenring gilt aus Gleichgewichtsgrnden sz Aa ¼ sd Ai . Die Fl
chenpressung p in der Reibfl
che wird damit p ¼ sz Aa =ðldm Þ, mit der berlappungsl
nge l einer Kegelpaarung. Die Tangentialkraft Ft im Außenring Ft ¼ sz Aa begrenzt die maximale Tragkraft Fmax , da gilt Bild 3 a, b. Ringfeder. a Querschnitt; b Kennlinie vor dem Blockieren

F "¼ Ft p tanða þ rÞ ¼ sz Aa p tanða þ rÞ:

ð10Þ

I2.2 Metallfedern Die Zusammendr
ckung s einer Ringfedersule mit insgesamt n Ringen, darunter je zwei halben Endringen wird s ¼ 0;5nðsz dma þ sd dmi Þ=ðE tan aÞ:

ð11Þ

Entwurfsberechnung. F
r bearbeitete Ringe aus gehrtetem und angelassenem Edelstahl und seltene Hchstbeanspruchung kann als zulssige Beanspruchung sz zul ¼ 1000 N=mm2 angenommen werden; zulssige Druckbeanspruchung sd zul etwa 20% hher ðE ¼ 2;1
105 N=mm2 Þ. Feingestaltung. Abhngig von Schmierung (auch Lebensdauerschmierung). Serienprodukte nach Herstellerangaben, Tab. 1. 2.2.2 Einfache und geschichtete Blattfedern (gerade oder schwachgekr
mmte, biegebeanspruchte Federn) Leaf springs and laminated leaf springs Einfache Blattfedern. Anwendung. Als Andr
ckfedern von Schiebern, Ankern, Klinken in Gesperren, als Kontaktfeder in Schaltern, als F
hrungsfedern. Grundformen (Tab. 2). Als Rechteckfeder (Tab. 2 a) mit einem
ber die Lnge gleichbleibenden Rechteckquerschnitt der Dicke t und der Breite b oder als Dreieck- (Tab. 2 b) oder Trapezfeder (Tab. 2 d) mit gleichbleibender Dicke t und linear vernderlicher Breite b(x) oder als Parabelfeder (Tab. 2 c) mit gleichbleibender Breite b und parabolischem Verlauf der Hhe h(x) oder als Rechteck-Parallelfeder (Tab. 2 e).

G 55

Entwurfberechnung. Formeln f
r die zulssige Querkraft Fzul , die Verformung s bzw. zulssige Verformung szul abhngig von der Querkraft F bzw. der zulssigen Biegenennspannung sb zul , die Federsteife c, die Federarbeit W und den Volumennutzungsgrad hA : Tab. 2. Ist die Breite b sehr groß gegen
ber der Dicke t, dann ist der E-Modul in den Formeln durch E=ð1  n2 Þ zu ersetzen, mit der Poissonschen Querkontraktionzahl n  0;3 (s. C 3). Die Dreieckfeder und die Parabelfeder sind Trger gleicher Rand-Biegebeanspruchung (s. C 2.4.5). Wird die Rechteck-Parallelfeder f
r die vertikale Abst
tzung eines Schwingtisches mit dem Gewicht G=mg verwendet, dann ist bei der Berechnung der Eigenkreisfrequenz we die astatische Pendelwirkung zu ber
cksichtigen: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi we ¼ c=m  g=lred , mit lred als Kr
mmungsradius der Bahnkurve der durch die st
tzenden Blattfedern parallel gef
hrten Masse, lred  0;82l; bei Aufhngung an senkrechten Blattfedern ist das Minuszeichen unter der Wurzel in ein Pluszeichen umzukehren. Feingestaltung. Um die Einspannkerbwirkung niedrig zu halten, m
ssen die Einspannkanten gerundet und Beilagen aus Papier, Kunststoff, Messing, Kupfer u. a. oder Verkupferung (oder Verzinkung) im Einspannbereich vorgesehen werden. Befestigungsbohrungen m
ssen von der Einspannkante der Federbltter um mindestens 3 t entfernt sein. Deckscheiben sollten mindestens 3t dick sein. Die Einspannkerbwirkung kann durch Dickenanpassung oder Breitenanpassung vermieden werden, Bild 4.

Tabelle 2. Grundformen und Berechnungsformeln zur Grobgestaltung von Blattfedern

G

G 56

Mechanische Konstruktionselemente – 2 Federnde Verbindungen (Federn) tung (B 4.1). In erster Nherung knnen weggleich geschaltete Federteile gleicher Blechdicke als nebeneinanderliegend (mit derselben neutralen Faser) betrachtet werden. Die rechnerisch nicht erfaßbare, stark von der Schmierung und der Oberflchenbeschaffenheit der Bltter abhngige Reibung hat den (begrenzten) Vorteil der Dmpfung, aber gegen
ber anderen Dmpfern den Nachteil, daß Krperschall ungedmmt weitergeleitet wird. Anhaltswerte f
r zulssige Beanspruchung nach DDR-Standard TGL 39 249. Feingestaltung. Gestaltungshinweise f
r Federenden und Lasteinleitungsstellen s. Normen, Tab. 1 sowie [10, 46]. Bild 5 zeigt eine beanspruchungsgerecht gestaltete Mehrblatt-Parabelfeder f
r G
terwagen [13]. Bei niedriger Belastung trgt alleine die Hauptfeder, nach einem bestimmten Federweg wird zustzlich die Zusatzfeder wirksam, was zu einer (geknickt) progressiven Kennlinie f
hrt. Die Kennlinie nimmt den in Bild 2 a gezeigten Verlauf an. Zur Steigerung der Dauerfestigkeit werden die aus lhrtenden Edelstahl 50 CrV4 bestehenden Federbltter so gestaltet, daß die geschichteten Federbltter sich nicht in hochbeanspruchten parabelfrmigen Bereichen ber
hren; die Federbltter werden auf Rm ¼ 1450 bis 1600 N=mm2 verg
tet, vorgesetzt, auf der Zugseite kugelgestrahlt und allseitig mit Zinkstaubfarbe gegen Korrosion gesch
tzt. Erzielte Dauerfestigkeitswerte im Versuch, s. [13].

G

Bild 4 a–c. Feingestaltung schwingend beanspruchter Blattfedern. a 1 Dreiecksfeder (mit auf 2b0 verbreiterter Einspannbreite), 2 Spannflche mit Anschlag, 3 Deckscheibe, 4 Schrauben (lackgesichert); b Dickenverlauf bei einer Br
ninghaus-Parabelfeder; c beiderseitig eingespannte Blattfeder (F
hrungsfeder), Einspannkerbwirkung durch beiderseitige Dickenreduzierung auf 2/3 t ber
cksichtigt

Geschichtete Blattfedern. Anwendung. Zur Federung und Radf
hrung in Land-, Schienen- und Straßenfahrzeugen. Bauformen. Als elliptisch vorverformte Blattfedern mit Rechteckquerschnitt und Lngsrippen nach DIN 11 747 f
r ein- und zweiachsige landwirtschaftliche Transportanhnger; als vorverformte Trapez- und Parabelfedern nach DIN 2094 f
r Straßenfahrzeuge nach DIN 70 010; als vorverformte Parabelfedern nach DIN 5544 T 1, 2 nach Bild 5 f
r Schienenfahrzeuge. Entwurfsberechnung. In Anlehnung an Tab. 2 unter Beachtung der eventuell von der Belastung abhngigen Federschal-

Bild 5 a–c. Zweistufige Parabelfeder f
r G
terwagen. a Ansicht; b Draufsicht; c Querschnitt in Mitte. 1 Federblatt, 2 Hauptfederblatt (Zugseite kugelgestrahlt), 3 Zusatzfeder, 4 Federbund, 5 Zwischenlage (verzinkt), 6 Nasenkeil, 7 Treibkeil

2.2.3 Spiralfedern (ebene gewundene, biegebeanspruchte Federn) und Schenkelfedern (biegebeanspruchte Schraubenfedern) Spiral springs and helical torsion springs Spiralfedern. Anwendung. Als Triebfedern f
r Uhren, als R
ckstellfedern in elektrischen Meßgerten nach DIN 43 801. Bauformen. Als archimedische Spirale nach Tab. 3 a mit rechteckigem Querschnitt und beidseitig fest eingespannten Federenden, als spiralfrmig um einen Federkern (Welle) gewickeltes Federband nach DIN 8287. Tabelle 3. Grundformen und Berechnungsformeln zur Grobgestaltung von Spiralfedern und Schenkelfedern mit gleichmßiger Biegebeanspruchung

I2.2 Metallfedern

G 57

Entwurfsberechnung (Tab. 3 a). In den Gleichungen ist die durch die Kr
mmung hervorgerufene Spannungserhhung innen im Federquerschnitt nicht ber
cksichtigt, da i. allg. das Wickelverhltnis w = Kr
mmungsradius/(halbe Banddicke) gen
gend groß ist und bei Beanspruchung im Wickelsinne dort eine Druckspannung mit hherer zulssiger Beanspruchung wirkt. Anhaltswerte f
r zulssige Beanspruchung wie f
r schraubenfrmig gewundene Biegefedern.

Entwurfsberechnung. Bei Krafteinleitung
ber die Kreislinien I und III nach Bild 6 gelten f
r h0 =t % 0;4 (Reihe A) die Nherungsformeln

Feingestaltung der Federn und der Befestigungsenden f
r Triebfedern s. DIN 8287.

f
r die Federkraft F, die Federsteife c, die Randspannung s, mit dem nach DIN 2092 f
r Edelsthle g
ltigen 4E=ð1
n2 Þ ¼ 905;5 kN=mm2 . F
r De =Di ¼ 2 sind die vom Durchmesserverhltnis abhngigen dimensionslosen Beiwerte: K1 ¼ 0; 69; K3 ¼ 1; 38. F
r h0 =t > 0; 4 knnen die Nichtlinearitten der Federn nicht mehr vernachlssigt werden; hierf
r sind die von Almen und La´szlo´ abgeleiteten Formeln [1] nach DIN 2092 bei Tellerfedern ohne Auflageflchen ausreichend genau. Die Auswertung dieser Gleichungen f
hrt zu den Federkennlinien nach Bild 7. Die in Bild 8 dargestellte typische Spannungsverteilung [43] zeigt, daß abhngig von der Lage des lastabhngigen Spannungspols die grßten rechnerischen Zugspannungen an der Tellerfederunterseite an den Stellen II oder III auftreten, die grßte Druckspannung ist an der Stelle I zu erwarten. Bei Tellerfedern nach DIN 2093, die nur statisch ohne Lastnderung oder mit gelegentlichen Lastnderungen in grßeren Zeitabstnden und weniger als 104 Lastspielen belastet werden, darf die rechnerische Druckspannung sI bei s ¼ 0; 75h0 bis zu sI ¼ 2 000 bis 2400 N=mm2 betragen, ohne daß wesentliche Setzerscheinungen zu bef
rchten sind.

Schraubenf
rmig gewundene Biegefedern. Anwendung. Zum R
ckf
hren oder Andr
cken von Hebeln, Deckeln und dergleichen („Mausefallenfeder“). Bauformen. Nach DIN 2088 mit festeingespannten Federschenkeln oder F
hrung des ruhenden Schenkels auf einem Dorn nach Tab. 3 b. Wickelverhltnis w ¼ Dm =d ¼ 4 bis 20. Entwurfsberechnung (Tab. 3 b). Wegen der Einspannbedingungen nahezu gleichmßige Biegebeanspruchung im Wikkelbereich. Bei ausnahmsweise nicht im Wickelsinne wirkender schwellender Belastung ist der die Spannungsvergrßerung am Innenrand ber
cksichtigende Faktor q f
r Rundfedern q ¼ ðw þ 0,07Þ=ðw
0,75Þ in die Rechnung einzubeziehen. Zulssige Beanspruchungen nach DIN 2088 oder vereinfacht mit um den Faktor 1,42 erhhten Werten f
r torsionsbeanspruchte Schraubendruckfedern. Auch die Spannungen in den Drahtabbiegestellen an den Schenkeln sind nachzurechnen. Feingestaltung. Wird auf Dorn nach Tab. 3 b gef
hrt, dann Spiel zwischen Feder und F
hrung notwendig (Dorndurchmesser  0;8 bis 0;9Di ), genauere Angaben, auch f
r die Federsteife, s. DIN 2088.

4E ðt3 sÞ 4E t3 oder c  ð1
n2 Þ K1 D2e ð1
n2 Þ K1 D2e

ð12Þ

sI; II  FK3 =t2 sowie sIII; IV 
ðDi =De ÞsI; II

ð13Þ

F

2.2.4 Tellerfedern (scheibenf
rmige, biegebeanspruchte Federn) Conical disk (Belleville) springs Anwendung. Wegen geringen Platzbedarfs (meist zu Sulen geschichtet) und/oder wegen großer Krfte bei kleinen Wegen als Spannelement in Vorrichtungen und Werkzeugen, zur Bettigung von Ventilen, f
r Puffer- und Stoßdmpferfedern, zur Abst
tzung von Maschinen und Fundamenten, f
r Lngsund Toleranzausgleich und dergleichen. Bauarten. Gebruchliche Tellerfedern nach DIN 2093 sind kegelschalenfrmig gestaltete, in Achsrichtung belastbare Ringscheiben. Sie werden mit und ohne Auflageflchen gefertigt, Bild 6. Grobgestaltung. De =Di  2; f
r Reihe A gilt De =t  18; h0 =t  0;4; f
r Reihe B gilt De =t  28; h0 =t  0;75; De und Di sind mit h12 bzw. H12 toleriert; Belastbarkeit im Bereich De ¼ 8 bis 250 mm z. B. f
r Reihe B normgemß mit Fmax  120 N bis 120 kN bei Federweg s  0;75h0 .

Bild 6 a, b. Einzeltellerfeder und Querschnittsstellen der nach AlmenLa´szlo´ zu berechnenden Spannungen (nach DIN 2092). a ohne Auflageflchen. Gruppe 1 (t 105 min1 Þ: Die Membrankupplung (Bild 3 m) gleicht axiale, radiale und winklige Wellenverlagerungen durch elastische Verformung von Blechringen aus, die jeweils am ußeren und inneren Durchmesser befestigt sind ðD Kw ¼ 0,5 bis 1
; D Ka ¼ 1 bis 5 mm). Die Kraftr
ckwirkungen sind berechenbar! Die berlastempfindlichkeit ist durch die Betriebsfestigkeit der Membranen gegeben und kann f
r bestimmte Einsatzflle gegen
ber Zahnkupplungen nachteilig sein [25].

3.3 Elastische, nicht schaltbare Kupplungen Permanent elastic couplings Elastische Kupplungen enthalten bertragungselemente aus metallischen oder nichtmetallischen Werkstoffen, die sich unter Kraft- oder Momentenbelastung elastisch verformen. Aufgrund ihrer biege- und drehelastischen Eigenschaften konzentriert sich ihr Einsatzfeld auf den Ausgleich von axialen, radialen und winkligen Fluchtungsfehlern (z. B. Wrmedehnung oder betriebsbedingte Verlagerungen der Wellen), die schlupffreie bertragung von Drehbewegungen und die Verringerung von Drehmomentschwankungen und Schwingungen (z. B. bei Kolbenmaschinen, Frdermaschinen usw.) sowie von Drehmomentstßen (z. B. Anfahrstße im Antriebsstrang, Havarie).

G 69

metallische Federn ein
berwiegend linearelastisches Verhalten aufweisen, werden viele Elastomere im Kurzzeitbereich durch ein nichtlineares, im Langzeitbereich durch ein viskoelastisches Materialverhalten beschrieben. Das dynamische Verformungsverhalten von Elastomerkupplungen ist eine Funktion von Geometrie, Frequenz, Amplitude, statischer Vorspannung, Temperatur, Belastungsdauer und Alter. Diese Parameter sind bei der dynamischen Auslegung entsprechend den Herstellerangaben zu ber
cksichtigen. Danach ergibt sich zumeist eine mit steigendem Drehmoment progressive Federkennlinie (Bild 5), die f
r metallelastische Ausf
hrungen besondere konstruktive Maßnahmen erfordert. Die dynamische Drehfedersteife von Elastomerkupplungen ist proportional zur Frequenz und zur statischen Vorlast und grßer als die statische Drehfedersteife CT dyn  1; 3 . . . 1; 4 CT (bei f=10 Hz und T=20
C). Sie verringert sich mit steigender Temperatur und Amplitude sowie mit zunehmendem Alter. Mit fallender Temperatur kommt es bei Elastomeren im Bereich der „Glasumwandlungstemperatur“ zur Kaltsprdigkeit, in deren Folge ein Anstieg des Elastizitts- und Schubmoduls sowie eine Abnahme der Bruchdehnung verzeichnet wird. Bei hheren Temperaturen stellt sich eine Beschleunigung der Alterungsprozesse durch Oxidation des Gummis mit Luftsauerstoff ein. Elastomere sind vor allem Natur- und Synthesegummi (Buna, Perbunan, Neoprene, Silikonkautschuk), Polyurethan (Vulkollan), Polyamid und Fluor-Elastomer (Viton). Synthetische Elastomere sind zur Verstrkung meist mit Gewebeeinlagen versehen, haben eine hhere Alterungsbestndigkeit und sind in aggressiver Umgebung bestndiger [27, 28]. Sie sollten auf Schub oder Druck, nicht auf Zug beansprucht werden. Die maximale Umgebungstemperatur ist bei Elastomerkupplungen mit 10 Hz : Sf ¼

Der Vergrßerungsfaktor Vfi fr einen zwangserregten Zweimassenschwinger gibt die Vergrßerung des mit der anregenden Frequenz fi wirkenden Drehmoments an vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2 u u y u 1 þ u 2p Vfi ¼ u 2  2 : u t f2 y 1  i2 þ fe 2p Die Eigenfrequenz fe berechnet sich aus den Tr
gheitsmomenten JA und JL der Antriebs- bzw. Lastseite sowie der Drehfedersteife CT dyn zu sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   1 1 1 : fe ¼ þ CT dyn 2p JA JL Sie soll nicht mit torsionserregenden Frequenzen fe wie z. B. der Betriebsfrequenz oder Vielfachen davon zusammenfallen (Abstand mindestens 20% fr alle Harmonischen der Erregerfrequenz). Zu beachten ist, daß Asynchronmotore beim Anfahren unabh
ngig von ihrer Nenndrehzahl mit der Netzfrequenz (50 Hz) erregen [5, 39, 40]. Manche Kupplungen (Kardan, Doppelzahn) knnen mit pffiffiffi zweifacher Betriebsfrequenz erregen. Ist fi < 2 fe ; so l
uft die elastisch angekuppelte Maschine ruhiger als die erregende. Beim Durchfahren der Resonanz wird das sich dabei einstellende Moment um so kleiner, je grßer die D
mpfung y ist. Fr 3. und 4. kann es notwendig sein, eine Frequenzanalyse der Anregungsmomente vorzunehmen, um Lage und Amplitude zu ermitteln. 5. Die zul
ssigen axialen, radialen und winkligen Verlagerungsmglichkeiten der Kupplung ðD Ka ; D Kr ; D KW vgl. Bild 3 m) mssen grßer sein als die tats
chlich auftretenden Wellenverlagerungen ðD Wa  Sq , D Wr  Sq  Sn , D WW  Sq  Sn Þ unter Beachtung des Drehzahlfaktors Sn, der die Walkarbeit bei großem Radial- oder Winkelversatz bercksichtigt. Durch Verlagerungen entstehen mit den Kupplungssteifigkeiten Ca ; Cr und CW Rckstellkr
fte und -momente auf die benachbarten Bauteile, die auf ihre Zul
ssigkeit zu berprfen sind [41, 42]. Eine gute Ausrichtung, besonders bei Dauerbetrieb und hoher Drehzahl, ist die wichtigste Maßnahme zur Verl
ngerung der Kupplungslebensdauer. 6. Durch die hohen D
mpfungswerte von Elastomeren wird verh
ltnism
ßig viel mechanische Leistung in W
rme umgewandelt, die bei periodischen Belastungen zu einer inneren Aufheizung des Gummikerns und schließlich zur chemischen Zersetzung fhren kann. Es ist sicherzustellen, daß die auftretende D
mpfungsleistung PWi kleiner als die zul
ssige W
rmeleistung PKW der Kupplung ist PKW 

2 pMWi fi : VR CT dyn

Die Mglichkeit c) zur Kupplungsauslegung ist die Anwendung hherer Berechnungsverfahren in Form von Drehschwingungsrechnungen unter Bercksichtigung von nichtlinearen Zusammenh
ngen und komplexeren Einflssen des Gesamtantriebsstrangs. Diese Berechnungsverfahren sind

G 71

nach DIN 740 Teil 2 bei Mehrmassensystemen, nichtlinearen (Feder-)Kennlinien, Spiel und Stoßanregungungen, die keine Rechtecksfunktionen darstellen, anzuwenden. Wenn bei Resonanzdurchl
ufen die Drehmomentberhhungen zu ermitteln sind, die D
mpfungsw
rme nicht mit einer harmonischen Anregung berechnet werden kann und Kennwerte fr transiente Betriebszust
nde gefordert sind, mssen ebenfalls Drehschwingungssimulationen im Zeitbereich durchgefhrt werden, um das dynamische Verhalten des Antriebsstrangs zu ermitteln und die Kupplungen auszulegen. 3.3.3 Bauarten. Types Metallelastische Kupplungen. Die Bauarten unterscheiden sich im wesentlichen durch die Verwendung unterschiedlicher Federarten (Verdrehwinkel j ¼ 2 . . . 25 Þ bei unterschiedlicher D
mpfung (Bild 7 a–d). Ferner kann durch konstruktive Mittel die an sich lineare Federkennlinie in eine meist progressive ge
ndert werden, z. B. bei der Schlangenfederkupplung durch sich axial verjngende „Z
hne“. Dadurch wird die freie Federl
nge bei steigendem Drehmoment verkrzt, D Kr einige mm, D KW ¼ 1 . . . 2 ; D Ka bis 20 mm. Elastomerkupplungen mittlerer Elastizit
t. Sie haben Verdrehwinkel j < 5 und sind entweder Bolzenkupplungen (Bild 8 a), die zylindrische, ballige oder gerillte Elastomerhlsen aufweisen, oder Klauenkupplungen (Bild 8 b) mit auf Biegung oder Druck beanspruchten Elementen. D Kr bewegt sich im Bereich von einigen mm, D KW zwischen 1 . . . 3 ; und D Ka bis 20 mm.

Bild 7 a–d. Metallelastische Kupplungen. a Schlangenfederkupplung (Malmedie-Bibby) mit konstruktiv erzwungener progressiver Kennlinie (j=1,2 ); b Schraubenfederkupplung (Cardeflex) mit tangentialen, vorgespannten Schraubendruckfedern (j bis 5 ); c GeislingerKupplung mit radial angeordneten Blattfederpaketen; Reibungs- und einstellbare ld
mpfung durch lverdr
ngung aus Federkammern (j bis 9 ); d Voith-Maurer-Kupplung mit linearer Kennlinie

G

G 72

Mechanische Konstruktionselemente – 3 Kupplungen und Bremsen entarten kann. Die Federkennlinien sind meist linear, wie auch bei den Scheibenkupplungen (Bild 8 d) mit anvulkanisierter Gummischeibe. Eine weitere Bauart ist die Rollenkupplung (Bild 8 f), bei der zylindrische Rollen, eingepreßt zwischen einer Nabe und einer dazu winklig versetzten Ausnehmung, das eingeleitete Drehmoment bertragen. Eine Mglichkeit zur Realisierung unterschiedlicher Kennlinienverlufe bieten Kombinationen aus Rollen- und Klauenkupplung (Bild 8 b und 8 f) oder die Kombination von Gummielementen in Parallel- oder Reihenschaltung (Bild 8 e). Sie weisen hinsichtlich des Torsionsverhaltens zum einen oft eine weiche Kennlinie fr das Einwirken von geringen Lasten und zum anderen eine harte Federkennlinie fr hohe Torsionsbelastungen auf. 3.3.4 Auswahlgesichtspunkte. Type selection

G

Einfache gleichf
rmige Antriebe (Elektromotoren, Kreiselpumpen, Ventilatoren u. a.) werden zum Ausgleich von Anfahrstßen und Wellenlagefehlern mit Elastomerkupplungen mittlerer Elastizitt ðj < 5
Þ gekuppelt, die zudem preisgnstig und wartungsfrei sind. Stark ungleichf
rmige Antriebe (Kolbenmaschinen, Brecher, Pressen, Walzwerke) oder die Verlegung der Resonanzdrehzahl erfordern hochelastische Kupplungen ðj ¼ 5 . . . 30
Þ; die auch fr große Wellenverlagerungen besonders gut geeignet sind. Große Axialverschiebungen sind vor allem mit Bolzen- und Klauenkupplungen gut beherrschbar. Da Elastomerkupplungen i. allg. das schwchste Glied im Antriebsstrang darstellen, bernehmen sie im Falle einer Havarie eine zustzliche Sicherheitsfunktion. Dennoch muß bei vielen Anwendungsfllen die Durchschlagsicherheit, d. h. die Fhigkeit, Drehmoment auch bei Zerstrung der elastischen Elemente zu bertragen, gewhrleistet sein (z. B. bei Aufzugsantrieben oder Schiffsantrieben). Diese Eigenschaft ist ohne konstruktiven Mehraufwand bei Bolzen- und Klauenkupplungen schon vorhanden. Die zulssigen Drehzahlen sind bei drehelastischen Kupplungen allgemein niedriger als bei drehstarren (z. B. Zahn- und Membrankupplungen).

3.4 Drehnachgiebige, nicht schaltbare Kupplungen Permanent rotary-flexible couplings Bild 8 a–f. Elastomerkupplungen. a Bolzenkupplung (ELCO-Kupplung, Renk), durch profilierte, vorgespannte Gummihlsen progressive Kennlinie j ¼ 2 . . . 3
[41]; b Klauenkupplung mit druckelastischen, ohne Axialverschiebung wechselbaren Elementen (TSCHAN), durchschlagsicher, Federkennlinie progressiv (j bis 2,5
); c hochelastische Wulstkupplung (Periflex, Stromag) mit ringfrmigem, senkrecht zur Umfangsrichtung aufgeschnittenem Gummireifen, Federkennlinie progressiv; d hochelastische Scheibenkupplung (KegelflexKupplung, Kauermann) mit anvulkanisierter Gummischeibe, lineare Federkennlinie vernderbar durch unterschiedliche Gummisorten (j bis 10
); e hochelastische Gummikupplung (TRI-Konzept, Stromag) mit einer Kombination aus Gummielementen fr hohe radiale und axiale Nachgiebigkeiten ðj ¼ 5 . . . 12
Þ; f hochelastische RollenKupplung (Centaflex-R) nach dem ROSTA-Prinzip mit leicht progressiver Kennlinie (j bis 15
)

Elastomerkupplungen hoher Elastizit
t. Dies sind Kupplungen mit Verdrehwinkeln von j ¼ 5 . . . 30
, typisch >10
bei Nenndrehmoment ðD Kr ¼ 6 . . . 10 mm, D Kw ¼ 8
; D Ka ¼ 10 . . . 15 mm). Diese Kupplungen fallen meist schon durch ihr großes Gummivolumen auf, z. B. die Wulstkupplungen (Bild 8 c) mit einem quergeschlitzten, reifenartigen Wulst, der bei Flanschkupplungen (Schwungradanbau) zur Scheibe

Drehnachgiebige, nicht schaltbare Kupplungen vereinen die Funktionen von Anlauf- und Sicherheitskupplung und dienen weiterhin zur Torsionsschwingungsdmpfung (vgl. G 3.3); durch zustzliche Einrichtungen knnen sie auch schaltbar ausgefhrt werden. Die bekannteste Bauart der drehnachgiebigen Kupplungen ist die hydrodynamische Kupplung [43–46, 84]. Ihre Hauptelemente sind Pumpenrad, Turbinenrad und viskoses Medium (Bild 9 a und 9 b). Beide Schaufelrder bilden zusammen mit der Gehuseschale einen Arbeitsraum, in dem das viskose Medium – angetrieben durch das Pumpenrad – umluft (Fliehkraftwirkung). Das Turbinenrad wird durch den Flssigkeitsstrom beaufschlagt und mitgenommen [43]. Das bertragbare Drehmoment MT ist proportional dem Quadrat der Antriebswinkelgeschwindigkeit wP und betrgt nach der hydrodynamischen Modellgleichung MT ¼ l  r  w2P  D5P (Durchmesser des Pumpenschaufelrades DP , Dichte des viskosen Mediums r). Weitere Hinweise zur Auslegung dieser Kupplungsart gibt die VDI-Richtlinie 2153 [83]. Das Betriebsverhalten einer hydrodynamischen Kupplung wird von der Leistungszahl l ¼ f ðvÞ und dem Drehzahlverhltnis v ¼ nT =nP (Abtriebsdrehzahl nT , Antriebsdrehzahl nP ) bestimmt. Beeinflußt durch Bauart und -form sowie durch unterschiedliche Fllungsgrade der Pumpe ergeben sich

I3.5 Fremdgeschaltete Kupplungen

G 73

G Bild 9 a, b. Hydrodynamische Schlupfkupplung. a Schematische Darstellung: 1 Geh
use, 2 Turbinenrad, 3 Pumpenrad; b Schnittdarstellung: 1 Geh
use mit Verzgerungskammer, 2 Turbinenrad, 3 Pumpenrad, 4 Einspritzdse (TSCHAN)

mentflusses bei den fremdgeschalteten Kupplungen auf ein externes Signal durch mechanische, hydraulische, pneumatische oder elektromagnetische Bet
tigung. Entsprechend dem zur Drehmomentbertragung verwendeten physikalischen Prinzip unterscheidet man mechanisch, hydrodynamisch und magnetisch wirkende Kupplungen. Mechanische Kupplungen, welche die grßte praktische Bedeutung besitzen, werden weiterhin nach der Verbindungsart in formschl
ssige und kraftschl
ssige Schaltkupplungen untergliedert. In der Regel erlauben Schaltkupplungen keine Wellenverlagerungen, sie werden deshalb oft mit Ausgleichskupplungen (drehstarre, drehelastische oder drehnachgiebige nichtschaltbare Kupplungen) kombiniert. Fremdgeschaltete Kupplungen knnen nach folgenden Kriterien eingeteilt werden [1, 4, 47–51]: Bild 10 a, b. Kennfelder hydrodynamischer Kupplungen. a Konstantfllungskupplung; b Stell- und Schaltkupplung

vielf
ltige Drehmoment-Drehzahl-Kennfelder M
lðv; F Þ (Bild 10 a, b). Damit ist es mglich, hydrodynamische Kupplungen fr unterschiedliche Charakteristiken auszulegen bzw. einzustellen. Im Gegensatz zu den bisher betrachteten Bauarten arbeiten drehnachgiebige Kupplungen immer mit einer Drehzahldifferenz zwischen An- und Abtriebsseite, dem sogenannten Schlupf s mit s ¼ 1  v, der durch die Betriebsbedingungen einstellbar ist. Bei der Induktionskupplung dienen magnetische Felder als bertragungsmedium. Die Magnetkr
fte werden durch die induktive Wirkung unterschiedlich schnell rotierender, aneinander vorbeilaufender Polpaare erzeugt. Diese Kupplungen arbeiten verschleißfrei, die Magnetisierung umgebender Bauteile und die Zufhrung des Stroms ber Schleifringe sind jedoch problematisch. Außerdem bauen sie groß im Vergleich zu allen anderen Kupplungsarten.

3.5 Fremdgeschaltete Kupplungen. Clutches Schaltbare Kupplungen werden eingesetzt, um Teile eines Antriebsstrangs wahlweise miteinander zu verbinden oder zu trennen. Dabei erfolgt das ffnen und Schließen des Drehmo-

Schaltprinzip. Schließende Kupplungen bertragen im eingeschalteten Zustand das Drehmoment, w
hrend ffnende Kupplungen beim Einschalten den Drehmomentfluß unterbrechen. Bei elektromagnetisch bet
tigten Kupplungen werden arbeitsstrombettigte Kupplungen schließend und ruhestrombettigte Kupplungen ffnend genannt. Bet
tigungsart. Im Maschinenbau werden berwiegend elektromagnetisch oder durch Druckmittel (hydraulisch, pneumatisch) bet
tigte Kupplungen eingesetzt, weil die Schaltvorg
nge im Vergleich zu mechanisch bet
tigten Kupplungen leichter automatisierbar sind (vgl. G 3.5.2). Mechanische Bet
tigungen ermglichen jedoch Direktschaltungen ohne zus
tzliche Energiebereitstellung (Kfz-Kupplung, Bootswendegetriebe). 3.5.1 Formschlssige Schaltkupplungen Positive (interlocking) clutches (dog clutches) Bei den formschlssigen Schaltkupplungen dienen Klauen, Z
hne oder andere Formschlußelemente zur Kraftbertragung. Sie sind deshalb nur im Stillstand oder im Synchronlauf der Wellen einschaltbar, einige Bauformen erlauben jedoch das Ausrcken unter Last und bei voller Drehzahl, sofern die Trennkr
fte nicht zu hoch sind. Die formschlssigen Schaltkupplungen bertragen, bezogen auf ihre Abmessungen, sehr hohe Drehmomente und sind vergleichsweise preisgnstig. In den meisten F
llen gestatten sie axiale Wellenverschiebungen bei oft hohen Verschiebekr
ften (Reibkr
ften).

G 74

Mechanische Konstruktionselemente – 3 Kupplungen und Bremsen durch den Reibschluß begrenzt ist, arbeiten sie gleichzeitig als Sicherheitskupplung. Nachteilig ist die beim Einschalten entstehende Reibungswrme (Rutschen) und der Verschleiß der Reibflchen.

G

Bild 11 a, b. Formschl
ssige Schaltkupplungen. a Mechanisch bettigte Zahnkupplung mit axial angeordneten Zhnen (Zahnradfabrik Friedrichshafen); b Schleifringlose Elektromagnet-Zahnkupplung mit radial angordneten Zhnen (Ortlinghaus)

Bauarten. Die ausr
ckbare Klauenkupplung (vgl. Bild 3 a) ist die einfachste und am hufigsten im allgemeinen Maschinenbau verwendete formschl
ssige Schaltkupplung. Schaltbare Zahnkupplungen werden vor allem im Getriebebau eingesetzt (Bild 11a), wobei das Schalten whrend des Betriebs durch Synchronisierungseinrichtungen erleichtert wird. Die elektromagnetisch bet
tigte Zahnkupplung [52] in Bild 11b verf
gt
ber zwei Planrder, die bei genau fluchtenden Achsen, zum Teil auch bei geringen Relativgeschwindigkeiten, durch Magnetkraft eingeschaltet und durch Federkraft ausgekuppelt werden. 3.5.2 Kraft-(Reib-)schl
ssige Schaltkupplungen Friction clutches Bei den reibschl
ssigen Kupplungen erfolgt die Drehmoment
bertragung durch das Aneinanderpressen von mindestens zwei Reibflchen [53–61]. Dabei muß die Anpreßkraft ein dem zu
bertragenden Drehmoment entsprechendes Reibmoment erzeugen. Reibungskupplungen bieten den Vorteil, daß sie unter Last und auch bei großen Drehzahlunterschieden ein- und ausschaltbar sind. Da das
bertragbare Drehmoment

Bauarten. Nach der Form (eben, zylindrisch, kegelig) und Anzahl der Reibflchen unterscheidet man Einfl
chenkupplungen (Bild 12 a), Zweifl
chen-(Einscheiben-)kupplungen (Bild 12 b), Mehrfl
chen-(Lamellen-)kupplungen (Bild 12 c), Zylinder- und Kegelkupplungen (Bild 12 d). Die Reibpaarungen dieser Kupplungen knnen entweder trocken- oder naßlaufend (lgeschmiert) ausgef
hrt werden [53]. F
r den Naßlauf kommen Reibpaarungen wie Stahl/Stahl, Stahl/Papier und Stahl/Sinterbronze zur Anwendung, f
r den Trockenlauf meist Stahl/Sinterbronze oder Stahl/organischer Belag [54]. Lamellenkupplungen (vgl. Bild 12 c)
bertragen durch Parallelschaltung mehrerer Reibflchen trotz ihrer kleinen Außenabmessungen hohe Drehmomente und sind preisg
nstig. Nachteilig sind die im nicht geschalteten Zustand auftretenden Leerlauf- und Schleppmomente, die zu Leistungsverlusten und zu einer
bermßigen Kupplungserwrmung f
hren knnen [55]. Da die Lamellenkupplungen wegen ihres geringen Bauvolumens nur geringe Wrmemengen speichern und abgeben knnen, sind sie i. d. R. naßlaufend. Dabei kommt der Bestimmung des erforderlichen K
hllstroms und der thermischen Nachrechnung besondere Bedeutung zu [56–59]. Im Vergleich zu Lamellenkupplungen kann bei Ein-, Zweiflchen-, Kegel- und Zylinderkupplungen (vgl. Bild 12 a, b, d) die Reibungswrme gut abgef
hrt werden, außerdem verf
gen sie
ber klar definierte Trennspalte, s. d. die Leerlaufdrehmomente vergleichsweise gering sind. Diese Kupplungen bauen jedoch bei vergleichbaren bertragungsmomenten grßer. Kupplungs-Brems-Kombinationen (Bild 13) stellen die Kombination einer Schaltkupplung mit einer Bremse in einer Baueinheit dar. Sie sind besonders geeignet f
r hohe Schaltfrequenzen und schnelle, positionsgenaue Schaltungen. Um k
rzeste Schaltintervalle zu erreichen, knnen bei der (getrennten) Schaltung von Kupplung und Bremse berschneidungen gewhlt werden.

Bild 12 a–d. Bauarten reibschl
ssiger Schaltkupplungen. a Schleifringlose elektromagnetisch bettigte Einflchenkupplung (Ortlinghaus); b mechanisch bettigte Einscheibenkupplung (Membranfederkupplung) f
r Nutzfahrzeuge (Sachs); c hydraulisch bettigte, naßlaufende Lamellenkupplung (Ortlinghaus); d mechanisch bettigte Kegelkupplung (Conax, Desch)

I3.5 Fremdgeschaltete Kupplungen

G 75

fuhr besonders fr die Automatisierung. Nachteilig sind u. a. die W
rmeentwicklung der Magnetspulen, Streustrme in der Zufhrung und die Magnetisierung der Umgebung. Mechanische Bet
tigungseinrichtungen werden im allgemeinen Maschinenbau selten eingesetzt, vorrangig dort, wo kleine Schaltkr
fte erforderlich sind, die Schaltgenauigkeit ausreichend und eine feinfhlige Bedienung vorgesehen ist (z. B. Kfz-Kupplung).

Bild 13. Hydraulisch bet
tigte Kupplungs-Brems-Kombination (Ortlinghaus). 1 Bremse hydraulisch gelftet, 2 Kupplung hydraulisch gegen Federvorspannung geschlossen, 3 Federvorspannung, 4 leinfhrung

Bild 14. Magnetpulverkupplung (AEG-EMG) mit eingetragenem Magnetfluß [49]. 1 Eisenkrper mit 2 Magnetringspule, 3 L
ufer, 4 Luftspalt mit Magnetpulver

Die Magnetpulverkupplung (Bild 14) ist eine elektromagnetisch bet
tigte Reibungskupplung. Das in einem Hohlraum zwischen An- und Abtrieb befindliche Magnetpulver wird durch Anlegen eines elektromagnetischen Feldes verdichtet, s. d. eine reibschlssige Verbindung der beiden Kupplungsseiten entsteht [60]. Dabei ist der Schlupf abh
ngig von der St
rke des Magnetfeldes, die zul
ssige Schlupfleistung wird von der realisierbaren W
rmeabfuhr begrenzt. Die Kupplung ermglicht ein weiches Anfahren und kann durch entsprechende Steuerung als berlastkupplung verwendet werden. Bet
tigungsarten. Hydraulisch bet
tigte Kupplungen besitzen geringe
ußere Abmessungen und ermglichen die bertragung hoher Drehmomente. Sie bentigen ein lversorgungssystem. Bei hydraulisch bet
tigten Kupplungen ist zu beachten, daß die Viskosit
t des Druckmittels Schaltverzgerungen verursachen kann. Die Masse des Druckmittels fhrt zu Fliehwirkungen, die bei der Druckberechnung bercksichtigt werden mssen und besondere Maßnahmen zum Trennen der Kupplungen erfordern. Fr Anwendungsf
lle, bei denen ein schnelles und genaues Schalten erforderlich ist, eignen sich besonders Kupplungen mit pneumatischer Bet
tigung. Generell zeichnen sich druckmittelbet
tigte Kupplungen durch Fernbedienbarkeit und Steuerbarkeit des Drehmomentes aus, sie erfordern im allgemeinen fr die Druckmittelzufuhr ein freies Wellenende. Elektromagnetisch bet
tigte Kupplungen eignen sich aufgrund der einfachen Energiezu-

Betriebsarten. Trockenlaufende Kupplungen werden mit maximal drei Reibscheiben ausgelegt, fr die ein Lftungsspiel von 0,5 mm bis 1 mm pro Reibfl
che blich ist [61]. Im normalen Betriebszustand ist deshalb das Leerlaufmoment vernachl
ssigbar klein. In Ausnahmef
llen knnen Taumelbewegungen der Reib- und Innenscheibe (durch Axialschwingungen im Antriebsstrang) oder auch die Sogwirkung zwischen schnell rotierenden Kupplungsscheiben (durch Unterdruck) zu einer betr
chtlichen Erhhung des Leerlaufmomentes fhren. Trockenlaufende Kupplungen haben kurze Ansprechzeiten. Nasse Kupplungen werden berwiegend dort eingesetzt, wo die Umgebung nicht lfrei gemacht werden kann (z. B. Getriebe) oder wenn hohe Schaltfrequenzen eine entsprechend hohe W
rmeabfuhr erfordern. Das l wird hierbei gezielt als Khlmittel eingesetzt (Innenlkhlung). Die Nachteile naßlaufender Reibsysteme sind niedrige Gleitreibungszahlen und ein relativ hohes Leerlaufmoment. Letzteres kann u. a. durch die Reibfl
chenausbildung (Nuten, Rillen) und eine gegebenenfalls eingesetzte Lamellenwellung beeinflußt werden. Reibwerkstoffe (Anh. G 3 Tab. 1) sollten mglichst geringe Unterschiede in den Reibungszahlen m0 und m aufweisen, da dann eher der Stick-Slip-Effekt (Rattern) vermieden werden kann. Dies ist besonders fr den Trockenlauf wichtig.

3.5.3 Der Schaltvorgang bei reibschlssigen Schaltkupplungen Transient slip in friction clutches during engagement Die Grundlagen der Kupplungsberechnung werden am vereinfachten Modell einer von w20 auf w11 zu beschleunigenden Last (z. B. Prallmhle, Pressenantrieb, Seiltrommel) erl
utert (Bild 15) [47, 49, 53, 62, 63]. Der Motor mit dem Antriebsmoment MA besitzt das Massentr
gheitsmoment JA und l
uft mit der Winkelgeschwindigkeit w10 um. Die Last (Lastmoment ML , Massentr
gheitsmoment JL , Winkelgeschwindigkeit w20 ) kann ber die Schaltkupplung (Kennmoment MK , Außenradius R und Innenradius r der Reibfl
chen, Anpreßkraft F) mit dem Antrieb verbunden werden. In Bild 16 ist der prinzipielle Schaltvorgang vereinfacht dargestellt. Vor Bet
tigung der Kupplung liegt im Antriebssystem das Leerlaufmoment Mr vor (z. B. unvollst
ndige Trennung von Lamellen). Nach Bet
tigung und dem Ansprechverzug t11 wird w
hrend der Anstiegszeit t12 die Drehmomentbertragung aufgebaut. Das nach der Anstiegszeit im Kupplungsstrang wirkende Schaltmoment MS setzt sich aus dem Lastmoment ML und einem zur berwindung der Massentr
gheiten notwendigen Beschleunigungsmoment Ma zusammen. Das

Bild 15. Ersatzmodell eines Antriebssystems

G

G 76

Mechanische Konstruktionselemente – 3 Kupplungen und Bremsen

Bild 17. Zulssige Schaltarbeit nach Gl. (4) als Funktion der Schalthufigkeit [47]

G

Bild 16. Schaltvorgang fremdbettigter Reibkupplungen (nach [47, 53])

Moment MS muß somit um Ma gr
ßer sein als ML , um die Drehzahl der Last erh
hen zu k
nnen (vgl. Bild 16). MS ist i. allg. nicht konstant und hngt u. a. von der Gleitgeschwindigkeit, der Reibfl
chentemperatur sowie von konstruktiven Randbedingungen ab. Bei der Differenzgeschwindigkeit Null bildet sich kurzzeitig das Synchronmoment Msyn aus, bevor beim Gleichlauf von An- und Abtrieb schließlich das in diesem Beispiel konstante Lastmoment ML vorliegt. Fr die Berechnung des Kennmoments der Kupplung wird der reale Drehmomentverlauf durch einen linearen Anstieg (in der Zeit t12 ) mit nachfolgend konstantem Moment angenhert. Das dadurch definierte Kennmoment MK kann somit nach Gl. (1) vereinfacht bestimmt werden [53]. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi MK ¼ C
C 2  B ð1Þ mit C ¼

ML  t3 þ JL  ðw10  w20 Þ t12  ML2 und B ¼ : 2  t3  t12 2  t3  t12

Gleichung (1) gilt fr ML ¼ const und w10 ¼ w11 ¼ const, d. h. die Motordrehzahl sinkt beim Kuppeln nicht ab. Die Anstiegszeit t12 ist eine kupplungs- bzw. bettigungsspezifische Gr
ße, whrend die Rutschzeit t3 u. a. von der Last abhngt   JL  ðw10  w20 Þ t12 ML t3 ¼ þ  1þ : ð2Þ 2 MK MK  ML Nach Gl. (2) steigt die Rutschzeit t3 mit gr
ßerer Last ðML ; JL Þ und gr
ßerer Anstiegszeit t12 ; whrend ein großes Kennmoment der Kupplung MK die Rutschzeit verringert. Die beim Einkuppeln in Wrme umgewandelte Schaltarbeit Q ergibt sich bei vorhandenem Kennmoment MK und der jeweiligen Differenz der Winkelgeschwindigkeiten zu D Q ¼ D w  MK  D t. Gemittelt ber die gesamte Rutschzeit t3 gilt D w  ðw10  w20 Þ=2. Mit den Vereinfachungen von Gl. (1) kann die Schaltarbeit nach Gl. (3) berechnet werden ðw10  w20 Þ2 Q¼  2

JL ðw10  w20 Þ þ  t12  ML : ML 2 1 MK

ð3Þ

Diese Schaltarbeit setzt sich aus der vom Lastmoment herrhrenden statischen Schaltarbeit Qstat und der dynamischen Schaltarbeit Qdyn zur berwindung der Massentrgheit JL zusammen (vgl. Bild 16 oben). Bei einer Beschleunigung von w2 ¼ w20 auf w2 ¼ w21 ¼ w11 wird also die Hlfte der whrend des Schaltens zugefhrten Energie in Wrme umgewandelt. Da die Motordrehzahl normalerweise absinkt und damit der Gleichlauf der Kupplungsscheiben frher erreicht wird, ergibt sich eine gegenber dieser vereinfachten Betrachtung verringerte Reibarbeit. Wenn MS nach dem Einschalten erst langsam ansteigt, vergr
ßert sich die Reibarbeit, weil bis zum Erreichen von MS ¼ ML kein Drehzahlanstieg auftritt. Ebenso steigt t3 an. Wenn die Reibarbeit minimiert werden soll, muß der Ausdruck 1  ðML =MK Þ m
glichst große Werte annehmen, d. h. es muß MK  ML gewhlt werden. Bei gegebenem ML besteht demnach die Forderung nach einer „harten“ Kupplung mit einer entsprechend kurzen Rutschzeit t3, um die Wrmebelastung klein zu halten. Eine derartige Kupplung kann aber u. U. starke Drehmomentstße erzeugen; der gesamte Antriebsstrang muß auf das Kupplungsmoment ausgelegt sein. Das andere Extrem einer zu „weichen“ Kupplung mit MK ! ML ergibt ein sanftes Einkuppeln, aber auch eine hohe Erwrmung der Reibflchen. Die Wrmebelastung kann bei großer Rutschzeit t3 und hufigem Schalten zur thermischen Zerst
rung der Kupplung fhren. Die beim einmaligen Kuppeln anfallende Wrme ist hauptschlich von der Winkelgeschwindigkeitsdifferenz und der Reibfl
chenpressung abhngig. Bei mehrmaligem Schalten steigt die Reibflchentemperatur mit der Schalthufigkeit an. Vom Kupplungshersteller werden Werte fr die maximal zulssige Wrmebelastung QE bei einmaliger Schaltung sowie Qzul bei mehrmaligem Schalten ermittelt. Dabei ist QE vom Reibfl
chenwerkstoff und der W
rmekapazit
t der Kupplung abhngig, Qzul wird hauptschlich von der Khlung und W
rmeabfuhr bestimmt. Empirisch oder ber aufwendige mathematische Anstze gewonnene Werte fr QE und Qzul k
nnen als Kennlinien fr bestimmte Kupplungen dargestellt werden (Bild 17). Hier wird die zulssige Schaltarbeit Qzul (pro Schaltvorgang) als Funktion der Schalth
ufigkeit Sh aufgetragen. Die bergangsschalth
ufigkeit Sh
bildet einen charakteristischen Wert der Kennlinie und wird vom Kupplungshersteller bestimmt. Mit den Kenngr
ßen QE und Sh
kann somit die zulssige Wrmebelastung Qzul nach Gl. (4) in Abhngigkeit von der Schalthufigkeit Sh bestimmt werden [47, 53] Qzul ¼ QE  ð1  eSh
=Sh Þ:

ð4Þ

3.5.4 Auslegung einer reibschl
ssigen Schaltkupplung Layout design of friction clutches Reibschlssige Kupplungen werden in Abhngigkeit der Belastungsart nach verschiedenen Kennwerten ausgelegt [49,

I3.5 Fremdgeschaltete Kupplungen 53, 64, 65]. Schaltkupplungen, die im wesentlichen das Anlagenmoment
bertragen m
ssen und lediglich zur Beschleunigung geringer Massen dienen, werden nach dem Schaltmoment MS ausgelegt. Schaltkupplungen, die bei einem definierten Drehmoment durchrutschen sollen (Sicherheitskupplungen), werden nach dem zu
bertragenden maximalen Moment M
dimensioniert. Kupplungen, die zur Beschleunigung großer Massen eingesetzt werden und die deshalb eine große Schaltarbeit aufnehmen m
ssen, werden nach der ertragbaren Wrmebelastung ausgelegt [61, 66–68]. Neue theoretische Anstze zielen darauf ab, durch die Vernderung des Kupplungsmomentes whrend der Rutschzeit die Reibtemperatur zu senken und somit die zulssige Schalthufigkeit zu erhhen [69]. Das zu
bertragende Moment M
richtet sich nach dem Nennmoment der Kraft- und Arbeitsmaschine, wobei Ungleichfrmigkeiten (z. B. bei Kolbenmaschinen) oder das Kippmoment ð2 . . . 3
MN Þ bei Kurzschlußlufermotoren zu ber
cksichtigen sind. Im allgemeinen ist das
bertragbare Moment M
, das sich im Synchronlauf der Reibflchen einstellt, grßer als das Schaltmoment MS der Kupplung, weil die Gleitreibungszahl m kleiner als die Haftreibungszahl m0 ist (vgl. Anh. G 3 Tab. 1). Dies gilt insbesondere f
r naßlaufende Kupplungen. F
r die praktische Auslegung einer Reibkupplung wird das geforderte Moment MK in Gl. (5) eingesetzt, so daß die notwendige Anpreßkraft F, die Reibflchenzahl z und der notwendige mittlere Halbmesser der Reibflchen rm ¼ ðR þ rÞ=2 iterativ festgelegt werden knnen (vgl. Bild 15). MK ¼ F
m
z
r m

ð5Þ

Ist beispielsweise ein kleiner Durchmesser der Kupplung gefordert, kann die Zahl der Reibbelge oder die Anpreßkraft (maximal zulssige Flchenpressung, vgl. Anh. G 3 Tab. 1) erhht werden. F
r die Berechnung der Schaltzeit tges ist nach Bild 16 der Ansprechverzug t11 zu beachten: tges ¼ t11 þ t3 : Im Sinne einer vereinfachten Auslegung kann die Anstiegszeit t12 vernachlssigt werden. Die Rutschzeit t3 (vgl. Gl. (2)) ergibt sich damit zu t3 ¼

JL
ðw10  w20 Þ MK  ML

ð6Þ

und die Schaltarbeit Q (vgl. Gl. (3)) kann wie folgt bestimmt werden Q¼

ðw10  w20 Þ2 JL :
 ML 2 1 MK

ð7Þ

F
r eine beanspruchungsgerechte Reibflchendimensionierung bietet sich der Vergleich mit reibpaarungsspezifischen Kennwerten, wie die zulssige, flchenbezogene Schaltarbeit bei einmaliger Schaltung qAE und die zulssige, flchenbezogene Reibleistung q_ A0 , an (vgl. Anh. G 3 Tab. 1). Die vorhandene flchenbezogene Schaltarbeit qA kann nach Gl. (8) berechnet werden, wobei ARg ¼ AR
z ¼ p
ðR2  r 2 Þ
z die gesamte Reibungsflche der Kupplung angibt (z, R, r Anzahl bzw. Amessungen der Reibflchen). qA ¼

Q < qAE ARg

ð8Þ

Bezogen auf die Rutschzeit t3 ergibt sich die vorhandene flchenbezogene Reibleistung q_ A zu qA q_ A ¼ ¼ pR
uR
m < q_ A0 , ð9Þ t3 wobei pR die Reibflchenpressung, uR die Gleitgeschwindigkeit und m die Gleitreibungszahl bezeichnet.

G 77

3.5.5 Auswahl einer Kupplungsgr
ße Size selection of friction clutches Bevor f
r einen Anwendungsfall eine passende Kupplung nach Herstellerangaben ausgewhlt werden kann, m
ssen zunchst die Anforderungen definiert werden. Eine Checkliste hierf
r wird in [48] vorgeschlagen. Ausgehend vom Lastmoment ML , der (reduzierten) Massentrgheit JL , der Winkelgeschwindigkeitsdifferenz w, der ungefhr geforderten Rutschzeit t3 und der Anstiegszeit t12 kann das erforderliche Kennmoment MK der Kupplung abgeschtzt werden (vgl. G 3.5.3, Gl. (1)). Damit erfolgt die Auswahl einer passenden Kupplungsgrße entsprechend den Angaben eines Herstellers. Anschließend kann mit den zugeordneten Katalogwerten f
r die Anstiegszeit t12 der gewhlten Kupplung die Rutschzeit t3 und die Schaltarbeit Q bestimmt werden (vgl. Gln. (2) und (3)). Sind keine Angaben
ber die Anstiegszeit verf
gbar, kann eine vereinfachte Berechnung nach Gl. (6) bzw. (7) durchgef
hrt werden. Soll das Abfallen der Antriebsdrehzahl beim Einkuppeln sowie die Massentrgheit des Antriebs (mit Getriebe) ber
cksichtigt werden, so ist weiterf
hrende Literatur [49, 53] heranzuziehen. Die berechnete Schaltarbeit Q kann mit den zulssigen Katalogwerten QE f
r die gewhlte Kupplung verglichen werden. Bei hufigem Schalten ðSh > Sh
Þ ist die zulssige Schaltarbeit mit Hilfe von Gl. (4) zu bestimmen und mit der tatschlich verrichteten Schaltarbeit zu vergleichen.

3.5.6 Allgemeine Auswahlkriterien General Selection criteria [6, 70] Eine bersicht marktgngiger Kupplungsausf
hrungen ist in Bild 18 dargestellt. Bei der Gegen
berstellung wurde ein Kennmoment MK ¼ 500 Nm und eine Drehzahl von n= 1500 min1 zugrundegelegt. Damit ermglicht die Darstellung einen Vergleich von Durchmesser und Lnge der verschiedenen Kupplungen sowie einen Vergleich der zulssigen Schaltarbeit QE bei einmaliger Schaltung und der Grenzwerte QE
Sh
bei sehr hoher Schalthufigkeit. Mit Ausnahme der Nutzfahrzeugkupplung (ffnende Kupplung) handelt es sich hier um schließende Kupplungen. In Anh. G 3 Bild 2 ist ferner der Schaltmomentbereich verschiedener fremdbettigter, reibschl
ssiger Schaltkupplungen zusammengefaßt. Betriebsarten und Bettigungssysteme, Eigenschaften Einflchenkupplungen. Um bei gegebenem Drehmoment mglichst kleine Durchmesser zu erlangen, werden trockenlaufende Reibpaarungen bevorzugt. Ein geschlossener Axialkraftfluß innerhalb der Kupplung ist nur unter Verwendung einer elektromagnetischen Bettigung mglich; schnelles Ansprechen bei kurzen L
ftwegen; geringes Leerlaufmoment. Einscheibenkupplungen. Ebenfalls Trockenlauf f
r grßere Drehmomente; smtliche Bettigungsarten kommen vor, die hydraulische Bettigung wird aber wegen der Gefahr der Leckverluste meist vermieden (Reibbelge werden lverschmiert); gute K
hlung (K
hlrippen), schnelles Ansprechen; geringes Leerlaufmoment; relativ ratterfrei (Werkstoffe mit degressiver m=vR -Charakteristik). Lamellenkupplungen [55–59]. Kleine Baugrße auch bei großen Drehmomenten, bei hoher Schaltarbeit (z. B. Schaltungen unter Last in Getrieben) ist eine wirksame K
hlung nur mit Hilfe eines lumlaufs zu erreichen, d. h. naßlaufend. Es sind alle Bettigungsarten mglich. Bei durchfluteten Lamellen (elektromagnetische Bettigung) knnen nur ferromagnetische Reibpaarungen gewhlt werden. Schnelles Ansprechen bei Naßlauf kann durch d
nnes l, lnebel oder Nuten in den Lamellen erreicht werden; vergleichsweise hohes Leerlaufmoment (kann u. a. durch gewellte Lamellen, Nuten und Ril-

G

G 78

Mechanische Konstruktionselemente – 3 Kupplungen und Bremsen

G

Bild 18. bersicht reibschlssiger Schaltkupplungen im Vergleich fr ein Kennmoment MK ¼ 500 Nm und eine Drehzahl n=1500 min
1 [48]

len in der Reibfl
che begrenzt werden); geringer Verschleiß bei Naßlauf, d. h. grßere Lebensdauer. Konuskupplung (Kegelkupplung). Geeignet fr hohe Drehmomente und hohe Schaltarbeiten im Trockenlauf; Bet
tigung meist mechanisch oder pneumatisch. 3.5.7 Bremsen. Brakes Bei Bremsen handelt es sich vom Funktionsprinzip her um Schaltkupplungen mit unbeweglichem Abtrieb und 100% Schlupf mit der Aufgabe, die Geschwindigkeit einer bewegten Masse zu verringern, eine Bewegung zu verhindern oder ein Lastmoment zu erzeugen. Im Vordergrund der Gestaltung steht deshalb eine mglichst rasche W
rmeabfuhr. Den physikalischen Wirkprinzipien der Schaltkupplungen entsprechend gibt es mechanische, hydraulische, pneumatische und elektromagnetische Bremsen. Nach dem Verwendungszweck unterscheidet man Sperren (Richtungskupplung), Haltebremsen (verhindert unbeabsichtigtes Anlaufen einer Welle aus dem Stillstand), Regelbremsen (Einhalten einer bestimmten Wellendrehzahl) und Leistungsbremsen (Leistungsumwandler). Weiterhin ist es mglich, Kupplung und Bremse zu einer konstruktiven Einheit – einer Kupplungs-Brems-Kombination – zusammenzufassen (vgl. Bild 13) [71]. Genauere Beschreibungen und Berechnungen knnen den Hauptanwendungsgebieten entsprechend Abschnitt Q, R bzw. U entnommen werden. Die Berechnung mechanischer, schaltbarer Bremsen erfolgt analog der Kupplungsberechnung, wobei das Kupplungsmoment MK durch das Bremsmoment und das Beschleunigungsmoment MA durch das Verzgerungsmoment ersetzt wird. Zu beachten ist der Einfluß und zeitliche Verlauf des Lastmoments, z. B. bei Leistungsbremsen, beim Abbremsen

gegen laufenden Antrieb und beim Abbremsen ablaufender Lasten in der Frdertechnik. Gestaltungsgrunds
tze fr Bremsen sind den Normen DIN 15 431 bis DIN 15 437 zu entnehmen. DIN 15 434-1 enth
lt Berechnungsgrunds
tze fr Trommel- und Scheibenbremsen. Weitere Hinweise enth
lt die VDI-Richtlinie 2241 [47, 48]. Bauarten. Bild 19 zeigt verschiedene Bremsenbauarten. Prinzipiell knnen alle Schaltkupplungsarten auch als Bremsen ausgefhrt werden (vgl. Bilder 12, 14 und 18), hinzu kommen spezielle Bauarten. Zu den mechanischen Bremsen z
hlen Backen-, Scheiben- und Bandbremsen. Backenbremsen lassen sich in Außen- und Innenbackenbremsen (Bilder 19 b und 19 c) unterteilen (Fahrzeuge, Hebezeuge). Bandbremsen (Bild 19 a) erfordern wegen der selbstverst
rkenden Wirkung der Umschlingungsreibung nur geringe Bet
tigungskr
fte bzw. knnen selbstverst
rkend ausgefhrt werden. Scheibenbremsen (Bild 19 d) weisen – insbesondere bei innenbelfteter Bauweise – gnstige Khlungsverh
ltnisse auf. Neue Systeme aus C/C-SiC-Faserkeramiken weisen eine hohe Temperaturstabilit
t, eine geringe W
rmedehnung sowie ein geringes Gewicht auf (Rennsport, Flugzeugbau) [72]. Scheibenbremsen – im Automobilbau schon lange bew
hrt – setzen sich auch in der Industrie aufgrund ihrer kompakten Bauweise und der Mglichkeit einer parallelen Anordnung immer st
rker durch. Pneumatisch bet
tigte, mechanische Bremsen eignen sich besonders zur Verzgerung großer Massen, z. B. bei Antrieben von Scheren und Pressen. Bei Bremsen mit elektromagnetischer Bet
tigung unterscheidet man die Bet
tigung gegen Federn oder Permanentmagneten (Industrieroboter). Durch die Verwendung temperaturstabiler Seltene-Erden-Magnete werden hohe, konstante Bremsmomente erreicht [73].

I3.6 Selbstttig schaltende Kupplungen

G 79

G

Bild 19 a–f. Bremsbauarten (Bettigungskraft FB teilweise eingetragen). a Bandbremse [49]; b Außenbackenbremse (doppelt) [49]; c Innenbackenbremse (Trommelbremse, Simplex); d pneumatisch bettigte Scheibenbremse (Ortlinghaus); e Induktionsbremse mit L
fterrad (Stromag); f Permanentmagnetbremse (Lenze)

Leistungsbremsen werden
berwiegend mit hydraulischem (Wasser oder l als Medium) oder elektromagnetischem Wirkprinzip (Generator- und Wirbelstrombremsen) ausgef
hrt (Bilder 19 e und 19 f). Generator- und elektrische Wirbelstrombremsen sind verschleißfrei und erlauben eine leichte Abfuhr der anfallenden Verlustenergie. Bei Generatorbremsen kann die gewonnene Bremsenergie in das Leitungsnetz zur
ckgespeist werden. Wirbelstrombremsen haben den Vorteil einer reibungsunabhngigen Bremswirkung (Schienenfahrzeuge, Hebezeuge). Das Bremsmoment zeigt bei Leistungsbremsen ein stark drehzahlabhngiges Verhalten [74]. Eine weitere Bremse mit elektromagnetischem Wirkprinzip ist die Magnetpulverbremse, die sich durch einfachen Aufbau, niedriges Gewicht und geringen Platzbedarf auszeichnet (vgl. G 3.5.2).

3.6 Selbstt
tig schaltende Kupplungen Automatic clutches Als selbstttig schaltende Kupplungen werden alle Kupplungen bezeichnet, deren Schaltvorgang durch einen der Betriebsparameter Drehzahl, Drehmoment oder Drehrichtung ausgelst wird [75]. 3.6.1 Drehmomentgeschaltete Kupplungen Torque-sensitive clutches (slip clutches) Drehmomentgeschaltete Kupplungen werden hauptschlich zur Drehmomentbegrenzung zwischen Antriebs- und Abtriebsseite verwendet. In dieser Funktion werden sie auch als Sicherheitskupplungen bezeichnet [76]. Die Dimensionierung aller Komponenten einer Anlage auf maximale Spitzenmomente des Gesamtsystems kann durch Einbau einer Sicherheitskupplung entfallen [77]. Bauarten. Rutschkupplungen (Bild 20 a) sind als reibschl
ssige Kupplungen mit fest einstellbarer Kupplungskraft auszuf
hren. Dabei ist darauf zu achten, daß sich die Vorspannkraft nur wenig mit dem Verschleißweg ndert, um einen war-

tungsarmen Betrieb sicherzustellen (flache Federkennlinien). Mittels Schlupfwchter knnen diese Kupplungen
berwacht werden, damit sie im Dauerschlupfbetrieb nicht
berhitzen. Hufiges Schalten dieser Kupplungen f
hrt zu starker Erwrmung, die bei der Auslegung ber
cksichtigt werden muß. Druck
lverbindungen (Bild 20 b)
bertragen in Abhngigkeit des anliegenden ldrucks das Drehmoment reibschl
ssig. Die radiale Anpreßkraft wird mit Druckl erzeugt, das sich in einer zylindrischen Druckkammer des Antriebsflansches befindet. Beim Rutschmoment setzt ein Abscherring das Druckl und somit die Drehmomentverbindung frei [78]. Sperrk
rperkupplungen verwenden Ausr
ckelemente (Bild 20 c), z. B. federkraftbelastete Kugeln oder Bolzen, die bei einem vorberechneten Grenzmoment aus der Einrastposition herausgleiten [79]. Bei einigen Ausf
hrungen koppeln die Elemente automatisch bei Unterschreiten des Grenzmoments wieder ein. Bei Brechbolzen-, Brechring- und Zugbolzenkupplungen (Bild 20 d) [80, 81] versagen die daf
r vorgesehenen Elemente beim Erreichen des Grenzmoments durch einen kontrollierten Bruch (Sollbruchstelle). Bedingt durch Unterschiede in den Werkstoffeigenschaften und durch Fertigungseinfl
sse kann das Bruchmoment der Sollbruchstelle schwanken. Alle drehmomentgeschalteten Kupplungen knnen elektromechanische oder elektronische Schalter zur Abschaltung des Antriebsmotors auslsen.

3.6.2 Drehzahlgeschaltete Kupplungen Speed-sensitive clutches (centrifugal clutches) Bei diesen Kupplungen wird meist ab einer bestimmten Drehzahl die Drehmoment
bertragung zwischen Antriebs- und Abtriebsseite zugeschaltet (Anlaufkupplungen); es gibt auch Bauformen, die bei Drehzahl
berschreitung ein Abschalten bewirken. Anlaufkupplungen ermglichen ein lastfreies Hochfahren der Antriebsmaschine (Elektro- oder Verbrennungsmotor) und ein Zuschalten der Arbeitsmaschine bei der gew
nschten Drehzahl. Damit knnen die Arbeitsmaschine entsprechend dem niedrigeren Arbeitsmoment und die An-

G 80

Mechanische Konstruktionselemente – 3 Kupplungen und Bremsen triebsmaschine f
r lastfreies Beschleunigen bzw. reines Arbeitsmoment ausgelegt werden. Bauarten. Bei Fliehkraftkupplungen nach Bild 21 a
bertragen federkraftbelastete Segmente [82] beim berschreiten einer Grenzdrehzahl das Drehmoment MK in Abhngigkeit des Reibfaktors m, der Anzahl der Segmente i, des Radius des Schwerpunkts der Segmente rm , ihrer Masse m, der Winkelgeschwindigkeit w und des Reibradius R nach der Beziehung MK ¼ m
i
ðm
rm
w2  FF Þ
R. Whrend des Schaltvorgangs wird durch die Zentrifugalkraft die R
ckhaltekraft der Federn FF
berwunden. Bei der Auslegung von reibschl
ssigen Kupplungen f
r eine hohe Schalthufigkeit (Dauerschaltung) bzw. lnger andauerndes Durchrutschen, z. B. bei der Nutzung dieser Kupplungsart als Sicherheitskupplung, ist eine Wrmebilanz aufzustellen (vgl. G 3.5). Statt Segmenten wird bei F
llgutkupplungen (Bild 21 b) von einem sternfrmigen Rotor F
llgut, wie Pulver, Kugeln oder Rollen, gegen die Mantelflche des Abtriebsteils geschleudert. Dadurch wird ein Reibschluß zwischen Antriebs- und Abtriebsseite hergestellt. Auch hier steigt das
bertragbare Moment mit dem Quadrat der Drehzahl. Bei Nenndrehzahl laufen diese Kupplungen schlupf- und damit verlustfrei. Diese Bauart wird hauptschlich bei hheren Drehzahlen eingesetzt.

G

3.6.3 Richtungsgeschaltete Kupplungen (Freil
ufe) Directional (one-way) clutches, overrun clutches

Bild 20 a–d. Drehmomentgeschaltete Kupplungen (Sicherheitskupplungen). a Zweiflchen-Rutschkupplung mit Federvorspannung (Ringspann); b Kupplung mit Druckl-Preßverband (Voith): 1 Drucklraum, 2 Abschergabel f
r vollstndige Entlastung im Rutschfall; c Sperrkrperkupplung mit Endschalter (Mayr); d Brechbolzenkupplung, 3 Bolzen am Umfang

Bild 21 a, b. Drehzahlgeschaltete Kupplungen. a Fliehkraftkupplung mit Segmenten [82]; b F
llgutkupplung [9]

Kupplungen, die durch die relative Drehrichtung der An- und Abtriebsseite geschaltet werden, gehren zu den richtungsbettigten Kupplungen [9, 85, 86]. Bei diesen Kupplungen werden in einer Drehrichtung die Antriebs- und Abtriebsseite reib- oder formschl
ssig gekoppelt (Sperrzustand), in der Gegendrehrichtung erfolgt eine Entkopplung der Antriebselemente (Freilaufzustand). Freilaufkupplungen werden im Maschinenbau z. B. als R
cklaufsperren (in Frdermitteln, Strmungsmaschinen, automatischen Kfz-Getrieben), berholkupplungen (in Mehr-Motor-Antrieben, Anlasserantrieben, Fahrradnaben und Schrittschaltfreilufen bei Vorschubeinrichtungen und Schaltwerkgetrieben) eingesetzt. Bauarten. Klinkenfreil
ufe (Sperrder und Ratschen) nehmen in einer Drehrichtung den Antrieb formschl
ssig mit. Bei Klemmfreil
ufen [4, 87] fassen hingegen die Elemente in jeder Stellung fast geruschlos, mit grßerer Schaltgeschwindigkeit und bei kleineren geometrischen Abmessungen. Bei der Bauform in Bild 22 a handelt es sich um Klemmrollenfreil
ufe mit Innenstern, bei denen einzeln gefederte Rollen in keilfrmige Taschen gedr
ckt werden. Klemmkrperfreil
ufe nach Bild 22 b [9, 88–92] besitzen unrunde Klemmkrper zwischen kreiszylindrischen Laufbahnen. Sie
bertragen bei gleicher Baugrße mehr Drehmoment und sind gegen Fertigungstoleranzen wie Rundlauffehler unempfindlicher. Den grßten Einfluß auf die Lebensdauer [93] und die Schaltgenauigkeit haben verschleißmindernde Additive im Schmierstoff [94]. Bei R
cklaufsperren in Fliehkraftausf
hrung lßt sich durch eine Fliehkraftentkopplung zwischen Antrieb und Abtrieb der Verschleiß herabsetzen [9] oder bei einer vlligen Fliehkraftabhebung sogar vermeiden. F
r eine einwandfreie Funktion ist eine exakte radiale und axiale Lagerung wichtig (Baueinheiten mit Wlzlagern) [4, 9]. In die Schaltung kann auch von außen eingegriffen werden: Abschaltung (vollkommener Freilaufzustand), Umschaltung, vollkommene Sperre, Zuschaltung nur whrend einer Umdrehung (Eintouren-Kupplung). Reibfreilufe sind Reibkupplungen mit Funktionsflchen in Scheiben- oder Kegelform, bei denen
ber Stellmechanismen die Elemente in einer Drehrichtung angepreßt werden. Bei Klauen- oder Zahnfreil
ufen (Bild 22 c) [46] werden Zhne zur Drehmoment
bertragung verwendet. Diese Zahnkupplung schaltet automatisch, wenn

I4.1 Kennzeichen und Eigenschaften der Wlzlager sich die Kupplungsmuffe axial auf dem Steilgewinde aufgrund einer Drehzahldifferenz zwischen Antriebs- und Abtriebsseite verschiebt. Allgemein wird diese Kupplungsart f
r wenige Schaltungen ausgelegt. Die rechnerische Auslegung

G 81

von Kupplungen als R
cklaufsperren [95] ist durch die hohe Dynamik der Krfte der Arbeitssysteme, z. B. Frderbnder, nur mittels Berechnung des Schwingungsverhaltens des Gesamtsystems mit hoher Genauigkeit mglich [96].

G

Bild 22 a–c. Freilufe. a Klemmrollenfreilauf mit Innenstern und Einzelfederung: 1 Wirkflche, 2 Feder, 3 Klemmrolle; b Klemmkrperfreilauf (Ringspann); c Zahnfreilauf: 1 Klinke, 2 Kupplungsverzahnung, 3 Kupplungsmuffe, 4 Steilgewinde, 5 Antrieb, 6 Abtrieb, 7 Klinkenverzahnung; A offen, B Schaltvorgang, C geschlossen

4 W
lzlager. Rolling bearings

4.1 Kennzeichen und Eigenschaften der W
lzlager. Characteristics of rolling bearings

– geringer K
hlungs- und Schmierstoffbedarf; Fettschmierung meist ausreichend, – radiale, axiale und kombinierte Belastbarkeit mit geringem Aufwand erzielbar, – annhernd spielfreier bzw. vorgespannter Betrieb mglich, – Wlzlager sind als einbaufertige Normteilbaureihen weltweit verf
gbar.

W
lzlager
bertragen – wie auch Gleitlager – Krfte zwischen relativ zueinander bewegten Maschinenteilen und f
hren sie. Durch Zwischenschaltung von W
lzkrpern wird das Gleiten durch ein Rollen mit kleinem Gleitanteil (W
lzen) ersetzt, Bild 1, mit den Vorteilen: – leichter Aufbau eines elastohydrodynamischen Schmierfilms, – geringer Bewegungswiderstand auch beim Anlauf aus dem Stillstand,

Nachteile sind: – radialer Raumbedarf der Wlzkrper (weniger bei Nadellagern und Dnnringlagern), – hohe Anforderungen an die Fertigungsgenauigkeit der Umbauteile, – Empfindlichkeit gegen
ber Stßen, Stillstandsersch
tterungen, oszillierenden Bewegungen kleiner Amplitude und Stromdurchgang,

G. Poll, Hannover

G 82

Mechanische Konstruktionselemente – 4 Wlzlager

Bild 1. Wirkprinzip eines Wlzlagers im Vergleich zum Gleitlager

G

– Ein- und Ausbau oft schwieriger als bei Gleitlagern, da nur in Sonderausf
hrung teilbar, – hohe Anforderungen an die Sauberkeit, – starke Streuung der Lebensdauer einzelner Lager. berlebenswahrscheinlichkeit nur f
r eine hinreichend große Gruppe gleichartiger Lagerungen berechenbar, – Schwingungsanregung (Gerusche) durch die bewegten Einzelkontakte, – begrenzte Drehzahl u. a. durch Fliehkraft der umlaufenden Wlzkrper.

4.2 Bauarten der W
lzlager. Rolling bearing types In allen Wlzlagern rollen kugel- oder rollenfrmige Wlzkrper, meist von einem K
fig gehalten, auf Laufbahnen hoher Festigkeit, Oberflcheng
te und Formtreue, die in den Innen- bzw. Außenring des Lagers oder in die anschließenden Bauteile eingearbeitet sind. 4.2.1 Lager fr rotierende Bewegungen Rotating motion rolling bearings

Entsprechend der Wlzkrpergeometrie unterscheidet man Kugel- und Rollenlager, Bild 3. Rollen knnen als Zylinderabschnitte, als Kegelst
mpfe oder als symmetrische bzw. asymmetrische Tonnen mit Kreisbogenprofil geformt sein. Theoretisch ergibt sich damit im unbelasteten Zustand eine Linienberhrung, whrend Kugellager Punktberhrung aufweisen, da der Kugelradius kleiner ist als die Laufbahnkr
mmungsradien. Infolge der grßeren Ber
hrflchen, die bei Belastung durch elastische Verformung entstehen, nehmen Rollenlager bei gleicher Werkstoffbeanspruchung hhere Krfte auf. Praktisch herrscht eine „modifizierte Linienberhrung“: Um die bei reiner Linienber
hrung unvermeidlichen Spannungsspitzen an den Enden abzubauen, erhielten Zylinderrollen zunchst zu den Stirnflchen hin ballige bergangszonen. Heute bevorzugt man f
r Zylinder- und Kegelrollen leicht konvexe (z. B. logarithmische) Profile, so daß auch bei mehreren Winkelminuten Schiefstellung zwischen Innen- und Außenring keine unstetigen Spannungsverlufe mit Spitzen auftreten. Sphrische Rollen haben hnlich Kugellagern einen geringf
gig kleineren Profilkr
mmungsradius als ihre Laufbahnen. Da Rollen anders als Kugeln eine definierte Rotationsachse haben, m
ssen besondere Maßnahmen einen Schrglauf („ Schr
nken“) verhindern. Kugellager sind daher i. allg. hinsichtlich der Schmierung weniger anspruchsvoll als Rollenlager, erreichen lngere Fettgebrauchsdauern und hhere Drehzahlen und neigen weniger zum katastrophalen Versagen. Rollen werden zwischen zwei Borden mit Spiel gef
hrt (Zylinderrollenlager, fr
here Bauformen von Pendelrollenlager und Tonnenlager), an einem festen Bord oder an einem losen F
hrungsring mit Spannfhrung (Kegelrollenlager, Pendelrollenlager), vorwiegend durch den Kfig (Nadellager) oder durch Reibungskrfte zwischen Rollen und Laufbahnen (Pendelrollen- und Toroidallager).

Rillenkugellager (DIN 625), Bild 2, sind am vielseitigsten einsetzbar, da sie besonders kosteng
nstig und leicht verf
gbar sind, als Einzellager sowohl Radial- als auch Axialkrfte in beiden Richtungen aufnehmen, hohe Drehzahlen bei geringen Laufgeruschen ertragen, geringe Anspr
che an die Schmierung stellen und den Schmierstoff wenig beanspruchen. Rillenkugellager werden in großer St
ckzahl auch als befettete und abgedichtete Einheiten gefertigt. Die Standardausf
hrung hat keine Einf
llnuten und daher eine beidseitig gleich hohe axiale Tragfhigkeit, allerdings weniger Kugeln. Sie nimmt auch geringe Kippmomente auf (daher z. B. in Spannrollen ein einzelnes Lager ausreichend). F
r hohe radiale Belastungen gibt es zweireihige Lager. Rillenkugellager sind nicht zerlegbar. Aufgrund der relativ großen Axialluft sind mehrere Winkelminuten Schiefstellung zwischen den Lagerringen zulssig.

Bild 2. Rillenkugellager

Bild 3. Punktber
hrung (Kugellager) und Linienber
hrung (Rollenlager)

I4.2 Bauarten der Wlzlager Entsprechend dem Druckwinkel a und damit der bevorzugten Lastrichtung unterscheidet man reine Radial- ða ¼ 0°Þ, reine Axial- ða ¼ 90°Þ und Schr
glager ð0° < a < 90°Þ. Der Druckwinkel gibt die Orientierung der Drucklinie an (die Senkrechte auf der Ber
hrtangente zwischen Wlzkrpern und bordloser Ringlaufbahn, Bilder 4, 6, 7 und 8). Der Schnittpunkt der Drucklinien mit der Lagerachse (der Druckmittelpunkt) ist gedachter Angriffspunkt der ußeren Krfte. Die axiale Tragfhigkeit nimmt mit dem Druckwinkel zu, die Eignung f
r hohe Drehzahlen jedoch ab (ung
nstigere Zerlegung von Fliehkrften, grßerer Bohrschlupf). Lager f
r ausschließlich oder
berwiegend radiale Belastung Zylinderrollenlager der Bauform NU mit F
hrungsborden am Außenring gestatten das kosteng
nstige Centerless-Schleifen der bordlosen Innenringlaufbahnen und deren visuelle Inspektion im Einbauzustand sowie die Demontage von Innenringen mit festem Sitz durch Erwrmen. Bei horizontaler Welle bilden die Borde ein lreservoir, das beim Anfahren aus dem Stillstand hilft. Die ltere Bauform N (heute z. B. bei zweireihigen Zylinderrollenlagern NN f
r Werkzeugmaschinenspindeln) mit F
hrungsborden am Innenring erreicht bei drehender Welle und niedrigen Belastungen hhere Drehzahlen und Winkelbeschleunigungen, da die Rollenstze durch die Reibung an den Borden nicht gebremst, sondern angetrieben werden und sich
bersch
ssiges l nicht zwischen den Borden staut. Vollrollige Zylinderrollenlager ohne Kfig ertragen hohe radiale Belastungen bei mßigen Drehzahlen. Nadellager haben eine große Zahl langer, d
nner Rollen (Lngen-Durchmesserverhltnis grßer oder gleich 2,5), so daß die Tragfhigkeit trotz geringer Bauhhe hoch ist, vorausgesetzt, die Laufbahnen fluchten sehr genau. Die Ursprungsbauform hat Wlzkrper mit abgerundeten Stirnflchen und f
hrt diese hauptschlich
ber den Kfig, der meist durch abnehmbare Borde gehalten wird; heutige Ausf
hrungen arbeiten auch mit Bordf
hrung.

Bild 4 a–f. Lager f
r ausschließlich radiale Belastung. a, b, d Zylinderrollenlager mit Borden an einem Ring: a Bauform NU; b Bauform N; d Bauform NN (zweireihig); c Nadellager; e Tonnenlager; f Toroidallager. . radiale Last

G 83

Zylinderrollenlager und Nadellager zeichnen sich durch folgende Vorteile aus: – hohe radiale Tragfhigkeit, – Eignung f
r hohe Drehzahlen (gilt f
r Zylinderrollenlager), – optimale Loslagerfunktion, da langsame Axialverschiebungen in den Wlzkontakten fast widerstandsfrei mglich sind, wenn die Lager umlaufen, – Zerlegbarkeit, so daß die Ringe einschließlich zugehriger Rollenstze getrennt montiert und demontiert werden knnen; feste Sitze beider Ringe sind damit mglich, ohne Ein- und Ausbaukrfte
ber die Wlzkontakte zu leiten, – bordlose Laufbahnen knnen auch vom Anwender in die Umbauteile integriert werden. Daf
r werden Einzelkomponenten (z. B. Nadelkrnze oder Nadelb
chsen) angeboten. Nachteilig sind die Empfindlichkeit gegen Schiefstellung und die kostspieligen engen Fertigungstoleranzen bei F
hrung der Rollen zwischen zwei Borden. Zylinderrollenlager mit F
hrungsborden an einem Ring und zustzlichen Halteborden bzw. Bordscheiben oder Winkelringen am anderen Ring, Bild 5, knnen bei ausreichender Radialbelastung auch dauernd geringe und kurzzeitig mittlere Axialkrfte aufnehmen und damit als Festlager oder Sttzlager dienen (Steigerung der Axialbelastbarkeit durch hydrodynamisch g
nstige „offene“ Bordgeometrien). Die Bauform NJ hat einen Haltebord am Innenring f
r Axialkrfte in einer Richtung und ggf. einen Winkelring (HJ) f
r die andere Richtung (zustzlicher axialer Bauraum!). Die Bauart NUP hat eine lose Bordscheibe und einen verk
rzten Innenring (dadurch Breite wie Standardlager NU, aber kein Auffdelkegel f
r die Wlzkrper). Entsprechende Varianten sind auch in der Grundbauform N mglich. F
r eine eindeutige F
hrung muß das Axialspiel zwischen den F
hrungsborden immer kleiner sein als zwischen den Halteborden und den Bordscheiben bzw. Winkelringen. Toroidallager und Tonnenlager (DIN 635) sind einreihige Radiallager mit hohlkugelfrmigen (sphrischen) Laufbahnen und tonnenfrmigen Rollen. Dadurch beeintrchtigen auch große Fluchtungsfehler und Schiefstellungen die Erm
dungslebensdauer und die Funktion nicht. Langsame Winkelnderungen erfolgen bei umlaufenden Lagern verschleißfrei und nahezu widerstandslos durch Querschlupf innerhalb der Wlzkontakte genauso wie bei Pendelkugellagern und Pendelrollenlagern, siehe Abschnitt „Lager f
r radiale und axiale Belastungen“ (Vorsicht jedoch bei schnellen Taumelbewegungen und großen Schiefstellungen bei umlaufendem Außenring!). Winkeleinstellbarkeit wird auch bei anderen Lagerbauarten erreicht, indem man die Außenringmantelflche sphrisch gestaltet und in hohlkugelige Gehuse einsetzt

Bild 5 a–c. Axial belastbare Zylinderrollenlager mit Borden innen und außen. a Bauform NJ (nur einseitig axial belastbar); b Bauform NJ + HJ; c Bauform NUP; . radiale Hauptlast; x mgliche axiale Zusatzlast

G

G 84

Mechanische Konstruktionselemente – 4 W
lzlager

(z. B. Y-Lager als Abart der Rillenkugellager und spezielle Nadellager) oder Standardlager in die Bohrung von sph
rischen Gelenkgleitlagern einbaut. (Nachteil: unvollkommene Einstellung bei Wellendurchbiegungen unter Last wegen Gleitreibung.) Im Gegensatz zu den
lteren Tonnenlagern werden die Rollen der Toroidallager nicht zwischen Borden, sondern durch Reibungskr
fte gefhrt. Aufgrund der inneren Lagergeometrie entspricht einem kleinen Radialspiel eine so große Axialluft, daß das Lager anstelle eines Zylinderrollenlagers als Loslager verwendet werden kann (jedoch weniger montagefreundlich, da nicht zerlegbar). Lager f
r ausschließlich oder
berwiegend axiale Belastung

G

Reine Axiallager (Bild 6) sind Axialrillenkugellager (DIN 711, DIN 715), Axialzylinderrollenlager (DIN 722), Axialnadellager und Axialkegelrollenlager. Axialpendelrollenlager (DIN 728) und Vierpunktlager (DIN 628) sind vom Druckwinkel her eigentlich Schr
glager, knnen aber nur bei berwiegender Axialbelastung zus
tzlich kleine Radialkr
fte aufnehmen (sonst bei Vierpunktlagern keine kinematisch einwandfreie Zweipunktberhrung und berm
ßiger Bohrschlupf). In Kombination mit Radiallagern werden Axiallager mit radialem Spiel zwischen Außenring und Geh
use eingebaut, um Radialkr
fte auszuschließen. Eine mit der Drehzahl zunehmende Mindestaxialbelastung ist erforderlich, damit die W
lzkrper trotz Fliehkr
ften und Kreiselmomenten kinematisch richtig abrollen. Nur Vierpunktlager knnen mit einer W
lzkrperreihe Axialkr
fte in beiden Richtungen und Kippmomente aufnehmen. Die brigen Axiallager wirken nur als zweireihige Ausfhrung oder als Lagerpaar zweiseitig. Axialpendelrollenlager sind in sich winkeleinstellbar, die brigen Axiallager reagieren empfindlich auf Schiefstellungen (ungleichm
ßige Lastverteilung auf die W
lzkrper; Abhilfe durch ballige Geh
usescheiben, in Bild 6 a fr Axialrillenkugellager dargestellt, Nachteil: Gleitreibung). Andererseits

Bild 6 a–g. Lager fr ausschließlich oder berwiegend axiale Belastung. a Einseitig wirkendes Axialrillenkugellager (hier winkeleinstellbar dank sph
rischer Geh
usescheibe); b doppelseitig wirkendes Axialrillenkugellager; c Vierpunktlager; d Axialzylinderrollenlager mit unterteilten Rollen; e Axialkegelrollenlager, symmetrische Bauform; f Axialkegelrollenlager, asymmetrische Bauform; g Axialpendelrollenlager; . axiale Hauptlast; x mgliche radiale Zusatzlast; [ { Kippmoment

gleichen Axialzylinderrollen-, Axialnadel- und asymmetrische Axialkegelrollenlager mit einer planen Scheibe radiale Verlagerungen der Welle durch Verschiebung im Lager reibungsfrei aus. Bohrschlupf tritt nur bei Axialkegelrollenlagern und Axialpendelrollenlagern nicht auf, dafr Gleitreibung an den Borden. Die grßte Bohrreibung haben Axialzylinderrollen- und Axialnadellager, weshalb die W
lzkrper h
ufig in Segmente mit unterschiedlichen Drehzahlen unterteilt werden. Lager f
r radiale und axiale Belastungen (Schrglager) Schr
glager sind fr radiale, axiale und kombinierte Belastungen geeignet, da die Drucklinien geneigt sind. Schr
glager mit festen Druckwinkeln sind Schulterkugellager (DIN 615), Schr
gkugellager (DIN 628), Kegelrollenlager (DIN 720), Kreuzkegel- und Kreuzzylinderrollenlager (Bild 7), Pendelkugellager (DIN 630) und Pendelrollenlager (DIN 635). Ril-

Bild 7 a–i. Lager fr radiale und axiale Belastungen (Schr
glager). a Schulterkugellager; b einreihiges Schr
gkugellager; c zweireihiges Schr
gkugellager; d einreihiges Kegelrollenlager; e Kreuzkegelrollenlager; f Kreuzzylinderrollenlager; g Pendelkugellager; h Pendelrollenlager mit festen Fhrungsborden; i Pendelrollenlager mit losem Fhrungsring. ., c radiale bzw. axiale Last; [ { Kippmoment

I4.2 Bauarten der W
lzlager

G 85

Bild 9. O-, X- und Tandemanordnung, hier z. B. mit Schr
gkugellagern

Bild 8. Radiale und axiale Lagerluft sowie Druckwinkel von Rillenkugellagern links bei radialer, rechts bei axialer Belastungsrichtung

lenkugellager haben je nach resultierender Lastrichtung ver
nderliche Druckwinkel und werden dadurch bei Axialbelastung zu Schr
glagern (Bild 8). Einreihige Schr
gkugellager und Kegelrollenlager nehmen Axialkr
fte nur in einer Richtung auf. Durch den Druckwinkel entsteht bei Radialbelastung eine innere Axialkraftkomponente. Bei wechselnder axialer Belastungsrichtung oder radialen Belastungen, deren innere Axialkraftkomponente nicht durch eine
ußere Axialkraft im Gleichgewicht gehalten wird, mssen Schr
glager daher zusammen mit einem Sttzlager, vorzugsweise einem weiteren Schr
glager, fr die jeweils andere Lastrichtung eingesetzt werden oder es sind zweireihige Schr
gkugellager (DIN 628-3), zweireihige Kegelrollenlager, Kreuzzylinderrollenlager oder Kreuzkegelrollenlager zu verwenden. Bei den Kreuzzylinder- und Kreuzkegelrollenlagern sind die Rollen, deren Durchmesser grßer ist als ihre L
nge, abwechselnd um 90° gegeneinander verschwenkt angeordnet, so daß die beiden W
lzkrperreihen
hnlich wie bei Vierpunktlagern in einer Ebene liegen. Sie bauen dadurch kompakt, haben aber bei axialer Belastung nur die halbe Tragf
higkeit echter zweireihiger Lager, da jeweils nur die H
lfte der W
lzkrper tr
gt. Zweireihige Schr
glager haben in der Regel O-Anordnung und eine fest vorgegebene Fertigungslagerluft. Sie werden zunehmend auch als befettete Lagerungseinheiten mit Dichtungen und teilweise auch integrierten Umbauteilen wie z. B. Flanschen gefertigt. Werden zwei einzelne Schr
glager eingebaut, ist eine O- oder X-Anordnung mglich, Bild 9. Dabei muß der Anwender das Axialspiel durch „Anstellen“ der Lager gegeneinander bei der Montage einstellen. H
ufig werden daher gepaarte Lager mit definierten Fertigungslagerluftwerten verschiedener Grßenklassen eingesetzt. Zusammen mit den Einbaupassungen ergibt sich bei Anordnung unmittelbar nebeneinander entweder ein positives Lagerspiel oder leichte, mittlere bzw. hohe Vorspannung. Solche Lager werden auch im Tandem verbaut, um hohe Axiallasten gleichm
ßig zu verteilen (Druckmittelpunkte beider Lager auf derselben Seite). Bei O-Anordnung liegen die Druckmittelpunkte in weitem Abstand voneinander auf den voneinander abgewandten Seiten der Lager, bei X-Anordnung in kleinerem Abstand auf den einander zugewandten. Die O-Anordnung nimmt daher beachtliche Kippmomente auf und reicht oft alleine als Lagerung einer Welle aus. Zusammen mit einem weiteren Lager entsteht ein statisch unbestimmtes

System (nur vorteilhaft, wenn hohe Biegesteifigkeit erforderlich). Schr
gkugellager werden mit einer Reihe unterschiedlicher Druckwinkel gefertigt (bis Druckwinkel a ¼ 45° Radial-, darber Axialschr
gkugellager). Lager mit kleinen Druckwinkeln sind radial steif und fr hohe Drehzahlen geeignet, Lager mit großen Druckwinkeln axial steif und fr hohe Drehzahlen weniger geeignet. Schr
gkugellager sind zumindest im eingebauten Zustand nicht zerlegbar, wohl aber Schulterkugellager (veraltet); sie erlauben wegen der zylindrischen Laufbahnabschnitte auch eine begrenzte Axialverschiebung im Lager bei verringerter Tragf
higkeit wegen schlechter Schmiegung (das Verh
ltnis des Laufbahn- zum W
lzkrperkrmmungsradius). Kegelrollenlager sind zerlegbar und damit montagefreundlich (wie Zylinderrollen- und Nadellager, jedoch keine Loslagerverschiebung im Lager mglich). Wegen der Spannfhrung an nur einem Bord sind Kegelrollenlager kostengnstiger (axiale L
ngentoleranzen unkritisch). Die kegelige Form der Rollen (fr ein bohrschlupffreies Abrollen Schnittpunkt aller W
lzkrpermantellinien in einem Punkt auf der Lagerachse) erzeugt immer eine Kraftkomponente mit entsprechendem Gleitreibungsanteil auf den Bord. Da alle Kr
fte prim
r als Normalkr
fte ber die Laufbahnen bertragen werden und im Gegensatz zu Zylinderrollenlagern NJ oder NUP nur ein Bruchteil einer
ußeren Axialkraft am Bord wirksam wird, sind Kegelrollenlager auch rein axial belastbar (um so hher, je grßer der Druckwinkel). Infolge der Neigung der Rollenachsen ist bei Kegelrollenlagern die Berhrgeometrie zwischen Rollen und Bord fr eine hydrodynamische Schmierung und genaue Fhrung der Rollen gnstig (bei
lteren Lagerausfhrungen erst nach Einlauf mit Verschleiß; dadurch anf
nglich hhere Reibung, aber automatisierte Lufteinstellung ber das Reibmoment leichter). Pendelkugellager und Pendelrollenlager sind zweireihige, nicht zerlegbare Schr
glager, bei denen die Druckmittelpunkte der beiden Reihen zusammenfallen und die Außenringlaufbahn hohlkugelig ausgebildet ist. Dadurch sind sie wie die Tonnenlager und Toroidallager (siehe Abschnitt „Lager fr ausschließlich oder berwiegend radiale Belastung“) in sich winkeleinstellbar. Im Gegensatz zu diesen sind Pendelkugellager und Pendelrollenlager – je nach Baureihe und Druckwinkel unterschiedlich hoch – axial belastbar. Wegen der ungnstigen Schmiegung zwischen Kugeln und Außenringlaufbahn sind Pendelkugellager weniger tragf
hig als Rillenkugellager. Dank der Tonnenform der W
lzkrper haben Pendelrollenlager hingegen eine gnstige Schmiegung und eine hohe Tragf
higkeit. ltere Ausfhrungen mit festen Borden und anf
nglich auch asymmetrischen Rollen sind heute durch symmetrische Rollen ohne festen Bord, teilweise mit losem Fhrungsring, verdr
ngt. Dadurch kann sich bei axialer Belastung selbstt
tig ein grßerer Druckwinkel einstellen. Eine berm
ßige Axialbelastung im Verh
ltnis zur Radialkraft ist jedoch bedenklich, da dann eine W
lzkrperreihe vllig entlastet wird.

G

G 86

Mechanische Konstruktionselemente – 4 W
lzlager und Stahl, in Sonderf
llen Leichtmetall. Aus ihnen werden entweder Massivkfige spanend gefertigt bzw. gegossen oder Blechkfige geformt. Stahlblechk
fige werden phosphatiert; bei selbstschmierenden K
figen fr Spezialanwendungen sind in die Matrix (z. B. Polyimid) Festschmierstoffe (z. B. MoS2 oder PTFE) eingelagert, die sich auf die W
lzkrper bertragen, oder man versilbert metallische K
fige.

4.4 W
lzlagerwerkstoffe Rolling bearing structural materials Die Tragf
higkeit der W
lzlager beruht darauf, daß die w
lzbeanspruchten Werkstoffe sehr rein und in den hochbeanspruchten Zonen ausreichend hart und z
h sind. Dies wird durch entsprechende Erschmelzungsverfahren und Vergten (H
rten und anschließendes Anlassen) auf 670 + 170 HV erreicht. Dazu mssen Standard-W
lzlagerst
hle durchhrtbar, einsatzhrtbar oder fr Flamm- und Induktionsh
rtung geeignet sein, z. B.:

G Bild 10 a–c. L
ngsfhrungen (s. Text)

– durchh
rtender Stahl 100 Cr 6 oder – Einsatzstahl 17 MnCr 5, beide nach DIN 17 230.

4.2.2 Linearw
lzlager. Linear motion rolling bearings

W
lzkrper werden meist durchgeh
rtet (mit Ausnahme hohlgebohrter Rollen z. B. im Verband mit Bolzenk
figen). W
lzlagerringe kleiner und mittlerer Durchmesser werden in Europa ebenfalls meist durchgeh
rtet; in USA (insbesondere bei Kegelrollenlagern) wird jedoch vorwiegend einsatzgeh
rtet. Bei Lagern mit geringen Anforderungen an die Tragf
higkeit werden auch naturharte Sthle eingesetzt, in Spezialanwendungen mit hohen Temperaturen, z. B. Triebwerkslagern, warmfeste Sthle. Hybridlager mit Stahlringen und Keramikw
lzkrpern (z. B. aus Siliziumnitrid) eignen sich wegen deren geringerer Dichte besonders fr hohe Drehzahlen und stellen geringere Ansprche an die Schmierung (vollst
ndig keramische Lager fr extrem hohe Temperaturen und aggressive Medien). Im Kontakt mit Lebensmitteln und korrosiven Medien bei niedrigen Belastungen setzt man Kunststofflager ein, bei hheren Belastungen korrosionsbestndige Sthle, von denen es auch h
rtbare oder nicht magnetisierbare Varianten gibt. Bei unzureichender Schmierung werden Beschichtungen aufgebracht, z. B. Wolframkarbid-Kohlenstoff im PVD-Verfahren. Weitere Informationen zu Lagerwerkstoffen siehe Abschnitt E 3.1.4.

Bei einfachen Kugelf
hrungen (Bild 10 a) und Flachf
hrungen (Bild 10 c) werden die W
lzkrper in hlsen- bzw. leiterfrmigen K
figen gehalten, die dem Hub ann
hernd mit der halben Geschwindigkeit folgen. Dadurch ist der Weg begrenzt und es besteht infolge unsymmetrischen Schlupfes die Gefahr eines allm
hlichen Auswanderns in L
ngsrichtung. Bei Kugelumlaufb
chsen (Bild 10 b) und Rollenumlaufschuhen wird dies vermieden, indem die W
lzkrper durch entsprechende Bahnen wieder zum Anfang des Kontaktbereiches zurckgefhrt werden. Die Bauformen mit Kugeln laufen auf geraden, runden Stangen mit entsprechend bearbeiteten Oberfl
chen. Die Bauformen mit Rollen eignen sich fr Flachfhrungen mit ebenen Gegenfl
chen.

4.3 W
lzlagerk
fige. Bearing cages Lagerk
fige haben je nach Lagerbauart unterschiedliche Aufgaben: – Weiterleitung von Massen- und Schlupfkr
ften, – Verhinderung einer unmittelbaren Berhrung der W
lzkrper, da sich dann wegen der einander entgegengerichteten, gleich großen Umfangsgeschwindigkeiten kein hydrodynamischer Schmierfilm aufbauen kann (nur bei niedrigen Geschwindigkeiten zul
ssig, siehe vollrollige Lager und Linearlager), – gleichm
ßige Verteilung der W
lzkrper bei teilgefllten Lagern (z. B. Rillenkugellager), – Fhrung von W
lzkrpern. Die Mehrzahl der K
fige ist wlzkrpergef
hrt, entweder ber Stege auf deren
ußeren Mantelfl
chen oder ber Bolzen in den Bohrungen hohler Rollen (dadurch grßere Rollenanzahl). Bei hohen Beschleunigungen werden bordgef
hrte Kfige eingesetzt. Dabei sind einteilige Fensterkfige mehrteiligen genieteten, geklammerten, geschweißten oder geschraubten Ausfhrungen vorzuziehen, da diese Verbindungen eine Schwachstelle darstellen. Kunststoffkfige (meist aus glasfaserverst
rktem Polyamid, fr hohe Temperaturen auch aus Polyimid, Polyethersulfon und Polyetheretherketon gespritzt, fr hohe Drehzahlen aus harzgetr
nkten gewickelten Textilfasern) sind auch bei Rillenkugellagern einteilig, da infolge ihrer Elastizit
t die W
lzkrper in die Taschen einschnappen. Sie bauen Zerrkr
fte elastisch ab und haben gute Notlaufeigenschaften (kein katastrophales Versagen mit Blockieren des Lagers). Weitere g
ngige K
figwerkstoffe sind Messing

4.5 Bezeichnungen fr W
lzlager Designation of standard rolling bearings Kurzzeichen fr W
lzlager setzen sich nach DIN 623 Teil 1 aus Vorsetzzeichen, Basiszeichen und Nachsetzzeichen zusammen. Vorsetzzeichen bezeichnen Teile von vollst
ndigen W
lzlagern (z. B.: L freier Ring eines nicht selbsthaltenden Lagers, R der dazu gehrige andere Ring mit dem Rollenkranz), Basiszeichen Art und Grße des Lagers, Tab. 1. Die Abmessungen (Bohrung d, Außendurchmesser D, Breite B) der W
lzlager sind so aufgebaut, daß jeder Lagerbohrung mehrere Breitenmaße und Außendurchmesser zugeordnet Tabelle 1. Basiszeichen fr W
lzlager

I4.6 Konstruktive Ausf
hrung von Lagerungen

G 87

Bild 11. Aufbau der Maßplne f
r Radiallager

sind, um einen großen Lastbereich abzudecken (DIN 616). Die Stufung erfolgt f
r Radiallager nach Breitenreihen (7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) und Durchmesserreihen (7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5). Durch Verbindung der beiden Kennzahlen (B vor D!) wird die Maßreihe gebildet, Bild 11. Daneben gelten Maßplne f
r Kegelrollenlager und Axiallager (Hhenreihe 7, 9, 1, 2; Durchmesserreihe 0, 1, 2, 3, 4, 5). F
r Bohrungsdurchmesser von 20 bis 480 mm wird die Bohrungskennzahl angegeben. Ausgenommen f
r die Lagergrßen bis d=17 mm Bohrung ergibt sich d in mm durch Multiplikation der Bohrungskennzahl mit 5. Zum Beispiel bedeutet das Basiskennzeichen 6204: Rillenkugellager einreihig (Lagerreihe 62), Maßreihe 02 (Breitenreihe 0 mit B=14 mm, sie wird bei Rillenkugellagern in der Bezeichnung weggelassen, und Durchmesserreihe 2 mit D=47 mm), Bohrung d=5  04=20 mm. Bei Bohrungsdurchmessern unter 20 und
ber 480 mm ersetzt die Millimeterangabe (teilweise durch Schrgstrich getrennt) die Bohrungskennzahl. F
r Kegelrollenlager sieht DIN ISO 355 eine neue Kennzeichnung vor: T f
r Kegelrollenlager (engl. taper), anschließend die Winkelreihe (2, 3, 4, 5, 7) f
r den Druckwinkel a, die Durchmesserreihe (B, C, D, E, F, G), die Breitenreihe (B, C, D, E) und der dreistellige Bohrungsdurchmesser in mm. Die Nachsetzzeichen kennzeichnen die Stabilisierungstemperatur, Dichtungs- und Kfigausf
hrung, Genauigkeit, Lagerluft etc.

G

Bild 12 a, b. Fest-Los-Lagerungen (Prinzip) mit Loslagerverschiebung im Lager (a) und zwischen Außenring und Gehuse (b), hier f
r nicht umlaufende Lastrichtung (Punktlast) am Außenring und umlaufende (Umfangslast) am Innenring

4.6 Konstruktive Ausf
hrung von Lagerungen [1–5]. Bearing arrangements 4.6.1 Fest-Loslager-Anordnung Arrangements with a locating and a non-locating bearing Wellen m
ssen durch ein oder, je nach Lastrichtung abwechselnd, durch zwei Lager axial positioniert werden. Das jeweils nicht f
hrende Lager muß – außer bei Anstellung von Schrglagern – axial beweglich sein, um unzulssige Verspannungen aufgrund der Lngentoleranzen bzw. ungleicher Wrmedehnung der Welle und des Gehuses zu vermeiden. Bei FestLoslagerung, Bild 12, f
hrt das Festlager in beiden Richtungen. Daf
r eignen sich axial beidseitig belastbare Lager oder Lagerpaare, also Rillenkugellager, zweireihige oder gepaarte Schrglager in O- oder X-Anordnung, Bild 13, Pendelrollenlager und Pendelkugellager, doppelseitig wirkende Axiallager und Zylinderrollenlager mit Halteborden. Als Loslager knnen Rillenkugellager, alle Radiallager und zweireihige Schrglager bzw. Schrglagerpaare in O- oder X-Anordnung eingesetzt werden, Bild 12 und Bild 13, meist muß dann aber der Innenring auf der Welle oder der Außenring im Gehuse verschiebbar sein (Nachteil: Reibungswiderstand, Gefahr der Passungsrostbildung, des Verschleißes oder des Ausschlagens der Sitze; Abhilfe: auf Schneiden oder elastisch gelagerte Gehuse). Die g
nstigere Verschiebung in den Wlzkontakten des Lagers (bei rotierendem Lager annhernd widerstandslos, Preßsitz f
r beide Ringe erlaubt) ist bei Zylinderrollenlagern, Bild 12 a und Bild 13 b, Nadellagern und Toroidallagern mglich. Andererseits bieten Rillenkugellager

Bild 13 a, b. Zwei mgliche konstruktive Ausf
hrungen von FestLos-Lagerungen. a Mit Rillenkugellagern als Fest- und Loslager (mit Verschiebung zwischen Außenring und Gehuse f
r nicht umlaufende Lastrichtung am Außenring und umlaufende am Innenring); b mit gepaarten Schrgkugellagern als Festlager und einem Zylinderrollenlager als Loslager (mit innerer Verschiebung)

als Loslager den Vorteil, daß sie
ber Federn axial belastet werden knnen, siehe folgender Abschnitt. 4.6.2 Schwimmende oder St
tz-Traglagerung und angestellte Lagerung Axially floating bearing arrangements and clearance adjusted bearing pairs Eine wechselseitige F
hrung durch zwei Lager kann mit Axialspiel sals schwimmende bzw. St
tz-Traglagerung (Bild 14) oder ohne Axialspiel als angestellte Lagerung (Bild 15) ausgef
hrt werden (schwimmende Lagerungen mit Rillenkugellagern oder Zylinderrollenlagern mit einem Haltebord; bei Rillenkugellagern i. d. R. beide Lager mit Schiebe-

G 88

G

Mechanische Konstruktionselemente – 4 W
lzlager

Bild 14. Zwei Mglichkeiten der schwimmenden Lagerung

Bild 16 a, b. Zwei konstruktive Ausfhrungen angestellter Lagerungen (nicht umlaufende Lastrichtung fr die Außenringe und umlaufende fr die Innenringe). a Mit federnd angestellten Rillenkugellagern; b mit starr angestellten Schr
gkugellagern

steigt. Bei starrer Anstellung wird die Luft in der Einbausituation ber Muttern oder Schrauben eingestellt oder ber Paßscheiben bzw. zugepaßte Zwischenringe festgelegt, Bild 15 und Bild 16 b. Bei entsprechend genauer Fertigung der Lagersitze kann mit Hilfe der im Abschnitt „Lager fr radiale und axiale Belastungen“ beschriebenen gepaarten Lagers
tze die Lufteinstellung beim Einbau entfallen. Bei starrer Anstellung beeinflussen W
rmedehnungen im allgemeinen die Lagerluft; nur bei Schr
glagern in O-Anordnung gibt es einen optimalen Lagerabstand, bei dem sich radiale und axiale W
rmedehnungen genau kompensieren. 4.6.3 Lagersitze, axiale und radiale Festlegung der Lagerringe. Bearing seats, axial and radial positioning

Bild 15. Zwei Varianten einer starr angestellten Lagerung (Prinzip)

sitzen innen oder außen; starr angestellte Lagerungen i. d. R. mit Schr
glagern). Oft stellt man die Lager ber Federn axial gegeneinander an, Bild 16 a, um die Laufruhe zu erhhen bzw. eine Mindestbelastung sicherzustellen (bei h
ufigen Richtungswechseln der Axialkraft mit berschreitung der Federvorspannung Anlagewechsel mit Gleitbewegungen, dann Fest-Loslager-Anordnung mit federbelastetem Loslager besser, Bild 16 a gestrichelt). Federanstellung wird vorwiegend mit Rillenkugellagern ausgefhrt und hat den Vorteil eines zwanglosen Ausgleichs von Toleranzen und thermisch bedingten L
ngen
nderungen. Bei Schr
glagern ist die starre Anstellung funktionssicherer; bei Federanstellung knnen Innen- und Außenring unter unzul
ssiger Spielvergrßerung und ggf. Druckwinkel
nderung auseinandergleiten, wenn die innere Axialkraftkomponente die Federvorspannung ber-

Zur axialen Festlegung von Lagerringen dienen Geh
usedekkel, Achskappen, Muttern, Sprengringe, Spann- und Abziehhlsen. Eine radiale Absttzung ber feste Sitze ist mglichst vorzuziehen (Vermeidung von Relativbewegungen mit Passungsrostbildung, insbesondere bei Schwingungen z. B. in Fahrzeugen, gute Untersttzung der Lagerringe zur Vermeidung von Biegespannungen und zur Verteilung der Belastung auf mglichst viele W
lzkrper). Lose Passungen oder
bergangssitze sind aber h
ufig erforderlich, um Axiallager radial freizusetzen, nicht zerlegbare Lager einzubauen, ohne die W
lzkontakte zu besch
digen und in sich nicht verschiebbare Lager als Loslager einzusetzen. Sie sind nur bei nicht umlaufender radialer Lastrichtung (Punktlast) relativ zum betrachteten Lagerring zul
ssig. Das Grßtspiel ist mglichst klein zu halten, um den Lagerring ausreichend zu untersttzen. Eine umlaufende Lastrichtung (Umfangslast) erfordert in der Regel, eine unbestimmte meist einen Festsitz (sonst Passungsrost und Verschleiß). Eine berm
ßige Streuung der Einbaulagerluft bis hin zu unzul
ssigen Verspannungen, zu lose Sitze oder zu große Zugspannungen in den Ringen sind dabei durch enge Tolerierung zu vermeiden (Hinweise zur Wahl des Sitzcharakters bei verschiedenen Lastf
llen in Bild 17, detaillierte Empfehlungen zur Passungswahl in den Katalogen der W
lzlagerhersteller). Dabei ist zu beachten, daß nach DIN 620 Innen- und Außendurchmesser der Lager jeweils vom Nennmaß aus nach Minus toleriert sind, so daß sich mit einer Einheitsbohrung ein Schiebesitz und mit einer Einheitswelle ein bergangssitz ergibt, Bild 18, entsprechend dem h
ufigsten Lastfall mit Punktlast fr den Innenring und Umfangslast fr den Außenring. Die Außenringe von zur rei-

I4.7 Wlzlagerschmierung

G 89

der Einbaulagerluft und Luftnderungen durch Temperaturdifferenzen. Die Einbaulagerluft ergibt sich aus der Herstellagerluft und Durchmessernderungen der Laufbahnen infolge von Passungsbermaßen. Diese Einflsse mssen bei der Wahl der Herstellagerluft beachtet werden. Fr unterschiedliche Einsatzbedingungen werden die Luftklassen C1, C2, CN (frher C0: Normalluft, in der Lagerbezeichnung nicht angegeben), C3, C4 und C5 (in der Reihenfolge wachsender Luft) gefertigt. Die Einbaulagerluft muß ausreichen, um unzulssig hohe Verspannungen durch Temperaturunterschiede sicher zu vermeiden. Bei Rillenkugellagern ist zu beachten, daß die Druckwinkel und damit die axiale Belastbarkeit mit steigender Betriebslagerluft zunehmen. Bei Toroidallagern gilt dasselbe fr die mgliche Axialverschiebung im Lager. Ansonsten sollte die Betriebslagerluft aber in Hinblick auf eine mglichst gleichmßige Lastverteilung auf die Wlzkontakte im Lager, die Fhrungsgenauigkeit und die Steifigkeit im Idealfall gerade nur so groß sein, daß keine Funktionsstrung oder Verminderung der Lebensdauer eintritt. Mit zunehmender radialer Belastung verlagert sich das Optimum vom Wert Null in den Vorspannungsbereich. Bild 17. Passungswahl abhngig vom Lastfall

4.7 W
lzlagerschmierung Lubrication of rolling bearings 4.7.1 Allgemeines. General considerations Fette,
le und Festschmierstoffe erfllen im Wlzlager folgende Aufgaben: – Verhinderung oder Verminderung von Verschleiß an Kontaktstellen mit gleitenden Bewegungsanteilen, – Abbau von Spannungsspitzen und zustzlichen Reibungsschubspannungen an der Oberflche der Wlzkontakte, die zu vorzeitiger Ermdung fhren knnen, – Korrosionsschutz und – Khlung, indem sie die Abfuhr der Verlustleistung aus dem Lager untersttzen (nur mit len bei ausreichender Durchstrmung mglich).

Bild 18. Wlzlagertoleranzen und ISO-Toleranzen fr Wellen und Gehuse

nen Axialkraftaufnahme radial freigesetzten Lagern werden mit Haltenut und Stift am Mitdrehen gehindert, ebenso wie Außenringe, die trotz unbestimmter radialer Lastrichtung nur einen
bergangssitz erhalten (z. B. bei geteilten Gehusen); ein axiales Festklemmen von Lagerringen reicht grundstzlich nicht aus. Aufgrund der geringen Dicke der Lagerringe sind starre Lagersitze mit geringen Form- und Lageabweichungen vorgeschrieben. Fr die Lager selber sieht DIN 620 die Toleranzklassen P0 (Normaltoleranz) P6, P6X, P5, P4 und P2 (in der Reihenfolge steigender Genauigkeit) vor. Fr hochgenaue Lagerungen z. B. von Werkzeugmaschinenspindeln werden auch die Toleranzklassen SP (Spezial-Przision), UP (Ultra-Przision) und HG (hochgenau) verwendet. Zllige Kegelrollenlager gibt es in den Toleranzklassen Normal und Q3. 4.6.4 Lagerluft. Rolling bearing clearance Die Radial- bzw. Axialluft ist das Maß, um das sich die Lagerringe in radialer bzw. axialer Richtung von einer Endlage in die andere gegeneinander verschieben lassen, Bild 8. Außer bei Zylinderrollenlagern gibt es eine eindeutig durch die innere Lagergeometrie festgelegte Beziehung zwischen radialer und axialer Lagerluft. Die Betriebslagerluft resultiert aus

Die beiden ersten Aufgaben erfordern es, die metallischen Oberflchen durch einen hydrodynamischen Flssigkeitsfilm oder eine schtzende Reaktionsschicht zu trennen. Bei der hydrodynamischen Schmierfilmbildung spielen bei Punkt- und Linienberhrung die elastischen Verformungen eine wesentliche Rolle, so daß man von elastohydrodynamischer Schmierung spricht. Dadurch ergibt sich ein etwas anderer Druckverlauf als nach Hertz, Bild 19. Man kann nach der Theorie von Dowson und Higginson berechnen [6], ob die Schmierfilmdicke die Rauheiten der Oberflchen weit genug bersteigt oder berprfen, ob die tatschliche, bei Betriebstemperatur vorliegende, kinematische Viskositt n mindestens die erforderliche Viskositt n1 erreicht (d. h.: ein Viskosittsverhltnis k ¼ n=n1 grßer als eins). Die Bezugsviskositt n1 reicht bei gegebener Rollgeschwindigkeit im Wlzkontakt gerade zur vollstndigen Trennung der Oberflchen aus. Sie ist in Bild 20 abzulesen, wobei die Rollgeschwindigkeit durch die Drehzahl und den mittleren Durchmesser des Lagers gegeben ist, oder lßt sich nach folgenden Gleichungen berechnen:
0,5 f
r n < 1000 min
1 v1 ¼ 45 000 n
0,83 dm

ð1Þ


0,5 f
r n  1000 min
1 , mit : v1 ¼ 4 500 n
0,5 dm

ð2Þ

2

n1 [mm /s] kinematische Bezugsviskositt, dm ¼ ðd þ DÞ=2 [mm] mittlerer Lagerdurchmesser, d [mm] Bohrungsdurchmesser, D [mm] Außendurchmesser, n [min–1] Lagerdrehzahl. An die Stelle von k kann auch unmittelbar der Schmierfilmparameter l, das Verhltnis aus Schmierfilmdicke und Summenrauheit der Oberflchen, treten. Die Angaben von Bild 20

G

G 90

Mechanische Konstruktionselemente – 4 Wlzlager von bis zu 4000 MPa einen großen Einfluß auf die Schmierfilmausbildung. Bei Fetten wird nach heutigem Kenntnisstand mit der kinematischen Viskositt des Grundls gerechnet. 4.7.2 Fettschmierung. Grease lubrication

G

Bild 19. Elastohydrodynamischer Schmierfilm, Beispiel Rolle/Innenring [6, 8]. h0 ½mm kleinste Schmierfilmdicke im Rollkontakt, a [mm 2 /N] Druck-Viskositts-Koeffizient, h [mPa s] dynamische Viskositt, n ½m=s ¼ ðv1 þ v2 Þ=2 hydrodynamisch wirksame Geschwindigkeit, r1 [mm] Radius der Rolle, r2 [mm] Radius der Innenringlaufbahn, Q [N] Rollenbelastung, l [mm] Rollenlnge, E [N=mm2 ] Elastizittsmodul = 2,08  105 f
r Stahl, 1/m [–] Poissonsche Konstante=0,3 f
r Stahl

Fette bestehen aus einem Seifenger
st (Verdicker, dient als lspeicher) und einem Grundl. Fettschmierung ist die Standardlsung f
r
ber 90% aller Wlzlagerungen, da sie wenig konstruktiven Aufwand f
r die Versorgung der Lagerstellen und f
r die Dichtungen erfordert und eine Art Minimalmengenschmierung mit sehr geringen Reibungsverlusten darstellt. Neuerdings werden abgedichtete oder gedeckelte Lager mit Fettschmierung auch in ansonsten lgeschmierten Getrieben ohne Filtersystem eingesetzt, um sie vor Partikeln zu sch
tzen und dadurch ihre Erm
dungslebensdauer zu steigern. Fette verlieren ihre Gebrauchseigenschaften nach einem Zeitraum, der von den physikalisch-chemischen Fetteigenschaften, der Lagerbauart, der Drehzahl und der Temperatur abhngt. Bei offenen Lagern ist ein Fettwechsel oder Nachschmieren sinnvoll, wenn die Fettgebrauchsdauer deutlich unter der geforderten Erm
dungslebensdauer des Lagers liegt (bei Lagern mit integrierten Deck- oder Dichtscheiben unmglich, d. h. gleichzeitig Ende der Lagergebrauchsdauer). Beim Fettwechsel wird das Lager gereinigt und neu befettet (rechtzeitig vor Schdigung durch unzureichende Schmierung). Dagegen wird beim Nachschmieren die Lagerstelle nicht geffnet, sondern durch Bohrungen neues Fett bei betriebswarmem, sich drehendem Lager eingebracht und das gebrauchte Fett soweit wie mglich verdrngt. Es darf noch nicht verhrtet sein, weshalb die Nachschmierfristen wesentlich k
rzer anzusetzen sind als die Fettwechselfristen. Fettmengenregler (mit der Welle umlaufende Scheiben, die
bersch
ssiges Fett in seitliche Gehuserume oder nach außen abschleudern, kombiniert mit Stauscheiben, die eine ausreichende Fettmenge zur
ckhalten, Bild 21) erlauben dabei, grßere Mengen Neufett zuzuf
hren ohne das Lager dauerhaft zu
berf
llen. Bei Neubefettung oder einem Fettwechsel empfiehlt sich mit R
cksicht auf Gebrauchsdauer und Reibung eine F
llmenge von rund 30% des nicht von bewegten Teilen
berstrichenen freien Volumens f
r mittlere Drehzahlen (niedrige mehr, hhere weniger). Im Betrieb stellt sich im Lagerinnern drehzahlabhngig die notwendige Fettmenge selbstttig ein, wenn das
bersch
ssige Fett in seitliche Freirume ausweichen kann. Richtwerte f
r die Nachschmier- und Fettwechselfrist von Lithiumfett ergeben sich aus Bild 22, wobei die Beiwerte kf aus Tabelle 2 hervorgehen. Die Schmierfrist tf entspricht dabei der Fettgebrauchsdauer F10 (maximale Fettwechselfrist mit Ausfallwahrscheinlichkeit
10% bei Standardbedingungen, d. h. Temperaturen von bis zu +70 C am Lageraußenring, dar
ber Halbierung je 15 K Temperaturerhhung). Mit weiteren Minderungsfaktoren fn f
r Verunreinigungen, Schwingungen, Luftstrmungen durch das Lager, Zentrifugalkrfte, vertikale Einbaulage und hhere Lagerbelastungen ergibt sich die verminderte Schmierfrist: tfq ¼ tf f1 f2 f3 f4 f5 f6 ¼ tf q, mit q als dem Gesamtminderungsfaktor:

Bild 20. Zur vollstndigen hydrodynamischen Trennung der Oberflchen in den Wlzkontakten notwendige kinematische Bezugsviskositt n1 von Minerallen in Abhngigkeit des mittleren Lagerdurchmessers dm und der Lagerdrehzahl n

gelten f
r Mineralle; f
r andere le sind sie nur anwendbar, wenn sie das gleiche Druck-Viskositts-Verhalten haben. Es hat wegen der in Wlzkontakten herrschenden hohen Dr
cke

ð3Þ

Die lngsten Fristen bis zum Nachschmieren liegen erfahrungsgemß bei: tfn ¼ 0,5 . . . 0,7 tfq . Bei g
nstigen Betriebsbedingungen und speziellen Fetten knnen die Gebrauchsdauern und Schmierfristen auch erheblich hher liegen. Eine bersicht
ber Aufbau und Eigenschaften der wichtigsten Fettarten gibt Anh. G 4 Tab. 1. Zur Wlzlagerschmierung werden
berwiegend Schmierfette der Konsistenzklassen 1, 2 und 3 (NLGI-Werte) eingesetzt. Wenn – wie bei Wlzlagern in unsauberer Umgebung empfohlen – keine nach innen frdernden Dichtungen verwendet werden, m
ssen Fettverluste durch ausreichende Konsistenz (hher bei hohen

I4.7 Wlzlagerschmierung

G 91

Tabelle 2. Beiwerte kf zur Ber
cksichtigung der Wlzlagerbauart bei der Schmierfrist [8]

G Bild 21. Wlzlager mit Fettmengenregler

Bild 22. Schmierfrist tf f
r Standard-Lithiumseifenfette, g
ltig bei P/ C  0,1 und 70 C, ohne Minderungsfaktoren [7, 8]

Betriebstemperaturen, intensiven Schwingungen und vertikaler Welle) begrenzt werden. F
r geringe Anlaufreibung und die Fettfrderung in Nachschmieranlagen ist hingegen eine niedrige Konsistenz vorteilhaft. F
r viele Gebrauchseigenschaften der Fette, wie z. B. die Schmierfilmbildung und die Reibung im eingelaufenen Zustand, sind die Grundlviskositt und das labgabeverhalten wesentlich wichtiger als die Konsistenz (bei
bermßiger labgabe, z. B. infolge Schwingungen, „Ausbluten“; bei zu geringer, z. B. infolge niedriger Temperaturen, Mangelschmierung). Weitere Richtlinien f
r die Fettauswahl enthlt Anh. G 4 Tab. 2. Fetten hnlich sind Polymerschmierstoffe, deren schwammhnliche Matrix, z. B. aus Polyethylen, mit l gef
llt ist und aufgrund ihrer Formstabilitt im Lager verbleibt.

belschmierung oder
l-Luft-Schmierung). Bei
leinspritzschmierung (mit mindestens 15 m/s zwischen Kfig und einem Ring, ausreichende Ablaufkanle erforderlich) f
r hohe und
lumlaufschmierung (drucklos, ggf. mit Hilfe von Frderringen oder der Frderwirkung von Lagern mit unsymmetrischen Querschnitten) f
r mittlere Drehzahlen hingegen steht die Wrmeabfuhr im Vordergrund. Bei beiden kann man das umlaufende l filtern und so lebensdauermindernde Laufbahnbeschdigungen durch
berrollte Partikel bekmpfen. Richtwerte f
r die lmenge bei Umlaufschmierung in Abhngigkeit vom Wlzlageraußendurchmesser D enthlt Bild 23. Die
lbad- oder
ltauchschmierung ist f
r niedrige Drehzahlen geeignet (lstand i. allg. nur bis Mitte des untersten Wlzkrpers, sonst Schaumbildung bzw. hohe Planschverluste!). Bei normalen Bedingungen knnen unlegierte (Mindestanfor-

4.7.3
lschmierung. Oil lubrication
lschmierung herrscht vor, wo benachbarte Maschinenelemente ohnehin mit l versorgt werden, wo die Gebrauchsdauer von Fetten, z. B. wegen hoher Drehzahlen, zu kurz und hufiges Nachschmieren nicht mglich ist oder wo man z. B. wegen hoher Drehzahlen und Reibungsverlusten zustzlich Wrme abf
hren muß. Die Gebrauchsdauer von len ist ebenfalls begrenzt, jedoch wegen der grßeren Volumina i. allg. lnger als die der Fette; lwechsel sind außerdem leichter durchzuf
hren als Nachschmieren oder Fettwechsel. Zwei Wege verhelfen zu einer niedrigen Lagertemperatur: eine sparsame oder eine sehr reichliche lzufuhr. Bei hohen Drehzahlen bevorzugt man zwecks Minimierung der Scherverluste heute kleinste lmengen (Tropflschmierung,
lne-

Bild 23. lmenge bei Umlaufschmierung. a Zur Schmierung ausreichende lmenge; b obere Grenze f
r Lager symmetrischer Bauform; c obere Grenze f
r Lager unsymmetrischer Bauform

G 92

Mechanische Konstruktionselemente – 4 W
lzlager

derungen nach DIN 51 501), bevorzugt aber inhibierte Mineral
le (DIN 51 502, Kennbuchstabe L; verbesserte Alterungsbest
ndigkeit nach DIN 51 517) verwendet werden. Hohe Belastungen erfordern bei einem Viskosit
tsverh
ltnis k< 1 und/oder hohen Gleitreibungsanteilen le mit verschleißmindernden Zus
tzen (DIN 51 502: P bzw. EP-Additive). Synthetische le werden bei extrem hohen oder tiefen Temperaturen angewandt, Silikon
le nur bei geringen Belastungen. Kennwerte verschiedener le enth
lt Anh. G 4 Tab. 3. 4.7.4 Feststoffschmierung. Solid lubricants

G

Die sehr kleine nach außen gefrderte Grundlmenge schtzt berhrende Dichtungen vor Verschleiß und hilft, Verunreinigungen fernzuhalten. Bei berschmierung kann berschssiges Fett entweichen. H
ufig reichen berhrungsfreie Dichtungen aus; wirksamer sind berhrende Dichtungen, am besten mit vorgeschaltetem Labyrinth, Bild 24. Bei lschmierung ist es vordringlich, das l im Lagergeh
use zu halten. Es werden aktive Dichtelemente eingesetzt, die nach innen frdern, Bild 25, solange der lstand die Dichtfl
chen nicht erreicht auch Labyrinthdichtungen, bei hherem lstand i. allg. berhrende Dichtungen. Dem Schutz gegen

Festschmierstoffe, z. B. Graphit, Wolframdisulfid, Molybd
ndisulfid (MoS2), Polytetrafluorethylen (PTFE) und Weichmetallfilme, z. B. aus Silber, werden bei sehr hohen Temperaturen bzw. im Vakuum eingesetzt oder bei sehr langsamen bzw. oszillierenden Bewegungen (dabei kein trennender hydrodynamischer Flssigkeitsfilm und keine verschleißmindernden Grenzschichten durch Additivreaktionen). Sie sind
hnlich Reaktionsschichten aufgrund ihrer besonderen Struktur schmierwirksam (haftf
hig und gegen Normalbeanspruchung stabil, aber niedriger Scherwiderstand). Weiteres zur Wahl des Schmierverfahrens in Anh. G 4 Tab. 4.

4.8 W
lzlagerdichtungen [9, 10] Rolling bearing seals W
lzlager mssen vordringlich gegen Zutritt von festen und flssigen Verunreinigungen geschtzt werden (sonst Korrosion, Verschleiß und vorzeitige Ermdungssch
den; ohne hinreichende Sauberkeit keine Dauerwlzfestigkeit auch bei geringen Belastungen). Aktive Dichtelemente werden daher bei Fettschmierung bevorzugt nach außen frdernd eingebaut. Bei ausreichender Konsistenz des Fettes und normaler labgabe gengt dabei die Stauwirkung nicht berhrender Dichtungsteile, um ausreichend Schmierstoff im Lager zu halten.

Bild 24. Dichtungen gegen Zutritt von Verunreinigungen und Fettaustritt

Bild 25. Dichtungen gegen Austritt von l

I4.9 Belastbarkeit und Lebensdauer der W
lzlager

G 93

Verunreinigungen dienen
ußere Zusatzdichtungen oder zus
tzliche
ußere Schutzlippen (Fettreservoir als Schutz gegen Verschleiß vorteilhaft). Berhrende Dichtungen sind Filzringe, Radialwellendichtringe (die als Spezialbauform, z. B. Dichtscheiben, Nachsetzzeichen RS, auch in das Lager integriert werden knnen) und Gleitringdichtungen. Sie knnen nach einem Einlauf verschleißfrei arbeiten, solange eine mikro-elastohydrodynamische Schmierung vorliegt und der Werkstoff nicht altert oder die Kontaktfl
chen durch lkohlebildung gesch
digt werden. Dichtlippen aus Nitril-Butadien-Kautschuken (NBR) verh
rten und versprden um so schneller, je hher die Betriebstemperaturen sind; Fluorkautschuke (FKM) und Polytetrafluorethylen (PTFE) sind hingegen alterungsbest
ndig, haben aber infolge lkohlebildung ebenfalls eine begrenzte Lebensdauer. Bei allen diesen Werkstoffen baut sich die Anpreßkraft im Laufe der Zeit durch bleibende Form
nderungen ab, sofern nicht metallische Federn eingesetzt werden. Nicht berhrende Dichtungen sind in das Lager integrierte Deckscheiben (Nachsetzzeichen Z) oder
ußere Labyrinthe als anwendungsspezifische Konstruktion bzw. als Kaufteile wie Z-Lamellen und federnde Dichtscheiben (Nilosringe, nach Einlaufverschleiß berhrungsfrei). Sie erlauben wegen der geringeren Reibungsverluste hhere Drehzahlen als berhrende Dichtungen und verschleißen auch bei unzureichender Schmierung i. allg. nicht. ußere Labyrinthe, Z-Lamellen und Radialwellendichtringe (Pumpwirkung vom kleinen zum großen Kontaktwinkel) frdern je nach Einbaurichtung aktiv nach innen oder außen.

G

4.9 Belastbarkeit und Lebensdauer der W
lzlager Load rating and fatigue life of rolling bearings 4.9.1 Grundlagen. Basic considerations Werkstoffanstrengung und Ermdung im W
lzkontakt Bei ausreichender Schmierung und Sauberkeit und mittleren bis hohen Belastungen endet die Lagerlebensdauer durch Ermdungssch
den, die vom Werkstoffinnern bis zur Lauffl
che fortschreiten (Ausbrckelungen von Werkstoffpartikeln, Sch
len und Grbchenbildung bei Schmierung). Wahrscheinlich beginnt der Ermdungsprozeß an Werkstoffinhomogenit
ten durch berschreiten der Schubschwellfestigkeit. Bei reiner Normalbeanspruchung bestimmen die Druckfl
chenabmessungen und die hchste Fl
chenpressung p0 (in Kontaktfl
chenmitte) die r
umliche Verteilung und die Hhe der Werkstoffbeanspruchung (Bild 26 fr Linienberhrung nach verschiedenen Vergleichsspannungshypothesen). Sie folgen nach der Hertzschen Theorie (s. C 4; Annahmen: homogene und isotrope Krper, elastisches Verhalten, Druckfl
che eben und klein gegenber Krperabmessungen) aus der Berhrgeometrie (Schmiegung) und der W
lzkrperbelastung Q. Die grßte Schubspannung tmax ¼ 0,31 p0 (Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese sv ¼ 0,61 p0 , nach der Gestalt
nderungsenergiedichtehypothese sv ¼ 0; 56 p0 ) wirkt im Punkt x=0, bei Linienberhrung im Abstand von 0,78 b von der Oberfl
che (b: halbe Breite der rechteckigen Druckfl
che), bei Punktberhrung im Abstand 0,47 a (a: kleine Halbachse der Druckellipse). Schubspannungen infolge Gleitbewegungen erhhen das Spannungsmaximum, Bild 27, und verschieben es in Richtung Oberfl
che. Lastverteilung im W
lzlager Die i. allg. ungleichm
ßige Lastverteilung auf mehrere W
lzkontakte (W
lzkontaktbelastung Qy , Maximalwert Qmax ) ergibt sich ber deren elastische Form
nderungen aus dem Gleichgewicht mit den von außen am Lager angreifenden Kr
ften (Radialkraft Fr , Axialkraft Fa ), s. z. B. Bild 28 fr

Bild 26 a–c. Dimensionslose Vergleichsspannungen sv =p0 [11] in der Kontaktzone bei Linienberhrung und reiner Normalbelastung. a Hauptschubspannungshypothese; b Gestalt
nderungsenergiedichtehypothese; c Wechselschubspannungshypothese

Schr
glager. Die W
lzkontaktkr
fte Q wirken in Richtung des Druckwinkels a, w
hrend die radiale Lastkomponente Fr mit der Resultierenden F aus Fr und Fa den Winkel b bildet. Unterhalb eines Grenzwertes von Fa =Fr bzw. von b wird die Laufbahn nur ber einen Teil des Umfangs belastet, darber verteilt sich die Belastung gleichfrmiger auf immer mehr W
lzkrper (daher mit Fr zunehmende begrenzte axiale Vorspannung vorteilhaft). Eine vllig gleiche Belastung aller W
lzkrper ist nur bei reiner Axiallast ohne Schiefstellung mglich. Die Hertzsche Theorie ergibt fr Punktberhrung: Qy =Qmax ¼ ðdy =dmax Þ3=2 (Qy W
lzkontaktbelastung an der Stelle y, Qmax maximale W
lzkontaktbelastung, dy Verschiebung der Krper an der Stelle y, dmax maximale Verschiebung). Bei e ¼ 0;5 (Bild 28, halber Lagerumfang belastet)

G 94

Mechanische Konstruktionselemente – 4 Wlzlager griffe statisch und dynamisch beziehen sich somit nicht auf nderungen der ußeren Belastung. Die Tragzahlen ergeben sich nach DIN ISO 76 und DIN ISO 281, Teil 1, unter Ber
cksichtigung der Lastverteilung auf die Wlzkrper und ihrer Anzahl, der Schmiegung, der Grße des beanspruchten Volumens und der Werkstoffeigenschaften aus den zulssigen Spannungswerten. quivalente Lagerbelastung Zusammengesetzte Radial- und Axialbelastungen werden durch die
quivalenten Lagerbelastungen P0 (statisch) bzw. P (dynamisch) ersetzt, die im Lager die gleichen Beanspruchungen hervorrufen:

G Bild 27. Dimensionslose Vergleichsspannung sv =p0 in der Kontaktzone bei Linienber
hrung und
berlagerter Normal- und Tangentialbelastung [12]

quivalente statische Belastung P0 ¼ max ðX0 Fr þ Y0 Fa , Fr Þ

ð6Þ

quivalente dynamische Belastung P ¼ ðX Fr þ Y Fa Þ

ð7Þ

Hierin sind Fr die Radialkomponente der Belastung, Fa die Axialkomponente der Belastung, X, X0 die Radialfaktoren und Y, Y0 die Axialfaktoren des Lagers (Tab. 2 und 3 der DIN ISO 76, unterschiedlich entsprechend dem Druckwinkel je nach Lagerbauart und Grßenreihe). Statische Tragf
higkeit

Bild 28. Lastverteilung im einreihigen Schrgkugellager [13]. a Druckwinkel, dL Laufbahndurchmesser, Fa Axialkraft, Fr Radialkraft, b Richtungswinkel der Lagerbelastung F, Qy Wlzkrperbelastung, y Lagewinkel des Wlzkrpers, Qmax maximale Wlzkrperbelastung, e  dL Erstreckung der Laufbahnbelastung

gilt z. B.: Qmax ¼ 4,37Fr =ðz cos aÞ mit z Anzahl der W
lzkrper. ð4Þ Bei Linienber
hrung (z. B. einreihiges Kegelrollenlager) folgt die Lastverteilung zu Qr =Qmax ¼ ðdr =dmax Þ1;08 : F
r e ¼ 0;5 ist die maximale Wlzkrperbelastung Qmax ¼ 4;06Fr =ðz cos aÞ:

ð5Þ

Mit a ¼ 0° sind diese Gleichungen auch f
r spielfreie Radiallager und rein radial belastete Rillenkugellager g
ltig. Sie liegen der Berechnung der Tragzahlen zugrunde. 4.9.2 Statische bzw. dynamische Tragf
higkeit und Lebensdauerberechnung Static and dynamic capacity and computation of fatigue life Grundlagen Obwohl die Spannungen im Werkstoff unterhalb der Kontaktflche f
r die Beanspruchung des Werkstoffs maßgeblich sind, werden in der Praxis bei der Lagerberechnung Kennzahlen mit der Dimension einer Kraft verwendet: die
quivalente statische bzw. dynamische Belastung P0 bzw. P f
r die Beanspruchung und die statische bzw. dynamische Tragzahl C0 bzw. C als Maß f
r die Tragfhigkeit. Steht ein Lager still, schwenkt oder luft langsam um, so gilt es als statisch beansprucht. Auch wenn umlaufende Lager kurzzeitig starke Stße erleiden, ist die statische Tragsicherheit zu
berpr
fen. Die dynamische Tragzahl C gilt f
r umlaufende Lager. Die Be-

Bei statischer Beanspruchung entsprechen die zulssigen Spannungen und dementsprechend die statische Tragzahl C0 nach DIN ISO 76 einer bleibenden (plastischen) Form
nderung von 0,01% des Wlzkrperdurchmessers (entsprechend einer maximalen Hertzschen Pressung p0 von 4600 N=mm2 bei Pendelkugellagern, 4200 N=mm2 bei Kugellagern und 4000 N=mm2 bei Rollenlagern; sie kann bei geringen Anforderungen an die Laufruhe bzw. sehr langsam umlaufenden Lagern auch
berschritten werden; physikalisch begr
ndete Grenze ist das „Shakedown-Limit“ [14, 15], oberhalb dessen lokales Fließen bei jeder berrollung trotz Eigenspannungsaufbau und Verfestigung weiter fortschreitet). Forderung (statische Sicherheit S0 nach Anh. G 4 Tab. 5): P0
C0 =S0 :

ð8Þ

Dynamische Tragf
higkeit und Berechnung der Ermdungslebensdauer Bei dynamischer Beanspruchung geht die gegenwrtig in ISO 281:1990 genormte Berechnungsmethode davon aus, daß Wlzlager immer im Zeitfestigkeitsbereich arbeiten. Die Anzahl der Umdrehungen der Lagerringe oder der Lagerscheiben relativ zueinander bis zum Ausfall durch Werkstofferm
dung, die sogenannte Lagerlebensdauer, streut auch bei identischer Belastung betrchtlich (Ursache: Unregelmßigkeiten des Werkstoffgef
ges und der wlzbeanspruchten Funktionsflchen, die sich nach Grße, Anzahl und Lage von Lager zu Lager unterscheiden), so daß die Vorausberechnung einer Lebensdauer f
r ein bestimmtes Lager nicht mglich ist. Die dynamische Tragzahl wurde daher als diejenige quivalente Belastung definiert, bei der 90% einer grßeren Anzahl gleichartiger Lager unter Standardbedingungen eine Million Umdrehungen
berleben. Die Lebensdauer ist definitionsgemß erschpft, wenn die ersten Schden infolge Werkstofferm
dung an einer der wlzbeanspruchten Oberflchen erkennbar werden. Von der Ermdungslebensdauer ist die u. U. wesentlich k
rzere Gebrauchsdauer zu unterscheiden (die tatschliche funktionsfhige Einsatzzeit unter Einbezug aller Versagensmechanismen). Die Berechnung der sogenannten nominellen Lebensdauer (Ausfallwahrscheinlichkeit: 10%) f
r beliebige Belastungen erfolgt
ber das Verhltnis C/P der dynamischen Tragzahl zur tatschlich vorliegenden quivalenten dynamischen Belastung, potenziert mit einem Exponenten p (p be-

I4.9 Belastbarkeit und Lebensdauer der W
lzlager tr
gt nach Norm 3 fr Kugellager und 10/3 fr Rollenlager, wobei gewisse Abweichungen von einer gleichm
ßigen Spannungsverteilung entlang der Berhrlinie bereits eingerechnet sind; bei idealer Spannungsverteilung gilt p=4): L10 ¼ ðC=PÞp in 106 Umdrehungen des Lagers: Bei konstanter Drehzahl n des Lagers in min bensdauer L10 h in Stunden: L10 h ¼ 106 L10 =ð60 nÞ:

–1

ð9Þ

gilt fr die Leð10Þ

Die nominelle Lebensdauer dient h
ufig lediglich als hnlichkeitskennzahl (Vergleich der Lebenserwartung von Lagern bzw. Erfahrungswerte fr die notwendige nominelle Lebensdauer in verschiedenen Anwendungen s. Anh. G 4 Tab. 6). Die Hersteller erweitern aber die Berechnungsverfahren zunehmend mit dem Ziel genauerer quantitativer Angaben: die Lebensdauern fr von 90% abweichende Erlebenswahrscheinlichkeiten werden mit dem Faktor a1 berechnet; Werkstoffeigenschaften, die von Standard-W
lzlagerst
hlen abweichen, werden mit dem Faktor a2 und besondere Betriebsbedingungen, insbesondere Schmierungszust
nde mit einem Viskosit
tsverh
ltnis k 6¼ 1, ber den Faktor a3 bercksichtigt. So entsteht die modifizierte Lebensdauer Lna (der Index n steht fr die Ausfallwahrscheinlichkeit in %,
berlebenswahrscheinlichkeit S ¼ ð100
nÞ%): Lna ¼ a1 a2 a3 L10 ¼ a1 a2 a3 ðC=PÞp in 106

ð11Þ

Umdrehungen des Lagers. Tab. 3 gibt a1 in Abh
ngigkeit von n fr eine Weibull-Verteilung der Ausf
lle mit einem Exponenten e = 1,5 an; fr beliebige Werte von e gilt: 31 100 e 6 S 7 : a1 ¼ 4 100 5 ln 90 2

ln

ð12Þ

Eine Bercksichtigung des Werkstoffeinflusses an sich erfolgt nicht ber den Faktor a2 , sondern unmittelbar ber Beiwerte zu den Tragzahlen: – den Faktor bm fr die kontinuierliche Verbesserung der W
lzlagerst
hle, – den statischen Hrtefaktor (fH0 ; CH0 ¼ fH0 C0 ) und den dynamischen Hrtefaktor ðfH ; CH ¼ fH CÞ Hrtefaktor fr vom Standardwert HV ¼ 670 N=mm2 abweichende Oberfl
chenh
rten, Anh. G 4 Tab. 7 und – den Temperaturfaktor fT ðCT ¼ fT CÞ fr Betriebswerte ber 150 C, s. Anh. G 4 Tab. 8. Darber hinaus gibt es einen wechselseitigen Einfluß von Werkstoff und Schmierstoff, so daß die Faktoren a2 und a3 sinnvollerweise zum Beiwert a23 verschmelzen: Lna ¼ a1 a23 L10 ¼ a1 a23 ðC=PÞP

ð13Þ

in 10 Umdrehungen des Lagers. 6

Er bercksichtigt, daß die Schmierfilmdicke auch oberhalb k = 1 (gerade vollst
ndige Trennung der Oberfl
chen) die Werkstoffbeanspruchung beeinflußt, so daß die Lebensdauer bei k  1 (dicke Filme) bis zum 2,5-fachen ansteigen kann.

Tabelle 3. Lebensdauerbeiwert a1 fr die Erlebenswahrscheinlichkeit

G 95

Bei niedrigen Drehzahlen oder Viskosit
ten (k< 1), kann die Ermdungslebensdauer hingegen auf 1/10 des nominellen Wertes abfallen. Anh. G 4 Bild 1 und Anh. G 4 Bild 2 zeigen entsprechende Verl
ufe des Faktors a23 nach Angaben verschiedener Hersteller. Bei k< 1 knnen Lager statt durch W
lzermdung auch durch Verschleiß ausfallen; a23 bercksichtigt dies nicht. Die sch
dliche Wirkung von k< 1 wird bei ausreichender Sauberkeit durch geeignete Additivierung mit Hilfe verschleißschtzender und reibungsmindernder Reaktionsschichten gemildert. Bei ausreichend dicken Schmierfilmen und hoher Sauberkeit hingegen steigt nach neueren Erkenntnissen die Lebensdauer ber den Faktor 2,5 hinaus bis zur Dauerw
lzfestigkeit, wenn die
quivalente Belastung kleiner als die Ermdungsgrenzbelastung Pu oder Cu bleibt. Diese entspricht fr Standard-W
lzlagerst
hle und Fertigungstoleranzen ungef
hr einer maximalen Hertzschen Pressung p0 ¼ 1500 N=mm2 (ideale Bedingungen: p0  2200 N=mm2 ; schlechtere Fertigungsqualit
t und Werkstoffe: p0  2200 N=mm2 ). Sie kann aus der statischen Tragzahl C0 fr Lager mit einem Bohrungsdurchmesser dm < 150 mm wie folgt abgesch
tzt werden: Rollenlager

Pu , Cu  C0 =8,2;

Pendelkugellager :

Pu , Cu  C0 =35,5,


brige Kugellager :

Pu , Cu  C0 =27:

ð14Þ

Der Normvorschlag DIN ISO 281/A3 (1998) benutzt daher einen kombinierten Faktor axyz , der auf einer Systembetrachtung beruht, zur Berechnung der erweiterten Lebensdauer Lnm ¼ a1 axyz L10 ¼ a1 axyz ðC=PÞP

ð15Þ

in 106 Umdrehungen des Lagers. Die Buchstaben „xyz“ geben an, daß ein Hersteller oder eine Firma eine beliebige Buchstabenkombination w
hlen kann. Im Entwurf DIN UA8 AK8.2 geht axyz , hier aDIN genannt, bei Dauerfestigkeit gegen unendlich. Im Zeitfestigkeitsbereich wird axyz zur Korrektur der nominellen Lebensdauer dem Belastungsverh
ltnis Pu =P bzw. Cu =P, dem Viskosit
tsverh
ltnis x und einem Faktor ec oder hc fr die Verschmutzung entsprechend Anh. G 4 Bild 3 bis Anh. G 4 Bild 6 fr die unterschiedlichen Lagerhauptbauarten zugeordnet. Der Faktor hc bzw. ec erfaßt verschiedene Grade der Verunreinigung, Anh. G 4 Tab. 9. Beim berrollen von festen Partikeln mit einer Grße von mehr als 10 bis 20 m mit hinreichend hoher Streckgrenze und Duktilit
t werden die Oberfl
chen so verformt, daß von lokalen Spannungsberhhungen bei nachfolgenden berrollungen vorzeitige Ermdungssch
den ausgehen (weiche Partikel verformen sich im W
lzkontakt plastisch, w
hrend große sprde Partikel in kleine Teilchen zerbrechen; beide sind daher weniger sch
dlich). Fr k>4 ist jeweils die Kurve k=4 zu verwenden. Fr hc Pu =P gegen Null geht aDIN fr alle k-Werte gegen 0,1 (gilt fr Schmierstoffe ohne EP-Zus
tze, mit Additiven ggf. hher). Auch mit diesen Modifikationen knnen die herstellerspezifischen W
lzkrper- und Laufbahnprofile, die Lagerluft, Schiefstellungen, zus
tzliche Spannungen in den Ringen durch Preßsitze, Geh
useverformungen [16, 17] und Fliehkr
fte bei der Ermdungslebensdauer nicht ber das genormte Berechnungsverfahren mit
quivalenten Belastungen und Tragzahlen, sondern nur mit speziellen Berechnungsprogrammen der Lagerhersteller oder angen
hert mit Beiwerten erfaßt werden. Nicht bercksichtigt sind weitere, die Gebrauchsdauer mglicherweise begrenzende, Ausfallursachen: Verschleiß der Laufbahnen oder der K
fige, Ermdungsbrche von K
figbauteilen, Schmierstoff- oder Dichtungsversagen, Korrosion und W
lzkrperschlupf infolge zu niedriger Belastung. Die notwendige Mindestbelastung richtet sich unter anderem nach der Drehzahl und etwaigen Winkelbeschleunigungen.

G

G 96

Mechanische Konstruktionselemente – 4 W
lzlager

Lebensdauerberechnung bei zeitlich ver
nderlicher Belastung und Drehzahl

G

L
uft ein W
lzlager bei ver
nderlichen Drehzahlen und Belastungen, so kann man die Ermdungslebensdauer aus Gl. (9) nach der Palmgren-Miner-Regel mit der mittleren Drehzahl nm und der mittleren
quivalenten dynamischen Belastung Pm bestimmen. Beliebig ver
nderliche Drehzahl und Lagerbelastung: sind die Drehzahl und die Lagerbelastung im Zeitraum T eindeutig definierte Zeitfunktionen n ðtÞ und p ðtÞ, gilt: vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u T uZ u u nðtÞ
Pp ðtÞ dt u ZT p u 1 0 und n Pm ¼ u ¼ nðtÞ dt: ð16Þ m u ZT T u u 0 nðtÞ dt t 0

Bei stufenweise ver
nderlichen Beanspruchungsgrßen ni und Pi im Zeitraum T gilt fr Pm die aus (16) abgeleitete Summenformel ber z Zeitabschnitte D ti , wobei qi ¼ ðD ti =TÞ
100 die jeweiligen Zeitanteile der Wirkungsdauer in % sind: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p p p p q1
n1
P þ q2
n2
P þ . . . þ qz
nz
P z 1 2 Pm ¼ q1
n1 þ q2
n2 þ . . . þ qz
nz und nm ¼ q1
n1 þ q2
n2 þ . . . þ qz
nz :

ð17Þ

Referenzoberfl
che der Radiallager außer Kegelrollenlager:

4.10 Bewegungswiderstand und Referenzdrehzahlen der W
lzlager Friction and reference speeds of rolling bearings

Ar ¼ pðD þ dÞ B mit:

Der Bewegungswiderstand von W
lzlagern ergibt sich bei vollst
ndiger Trennung der Oberfl
chen durch einen Schmierfilm aus zwei Beitr
gen: Hystereseverluste im Werkstoff bei der zyklischen Verformung der W
lzkrper und der Ringe w
hrend jeder berrollung und Scherverluste im Schmierstoff im W
lzkontakt, zwischen K
fig und W
lzkrpern (bei bordgefhrten K
figen auch zwischen K
figen und Ringen) sowie durch Strmungen im Lager außerhalb der eigentlichen Kontakte. Diese Reibungskomponenten lassen sich formal ohne n
here Bercksichtigung der physikalischen Zusammenh
nge zu einem Ausdruck mit zwei Termen zusammensetzen [18]: MR ¼ M0 þ M1

ð18Þ

In den ersten Term gehen die Drehzahl und die Schmierstoffviskosit
t exponentiell sowie ein Beiwert f0 linear ein; der zweite Term ist der sogenannte lastabh
ngige Anteil, der linear von der fr das Reibungsmoment maßgebenden
quivalenten Lagerbelastung P1 (Berechnung siehe Kataloge der W
lzlagerhersteller) und einem Reibungskoeffizienten f1 abh
ngt: 3 MR ¼ 107 f0 ðv nÞ2=3 dm þ f1 P1 dm f
r v n  2000 bzw: ð19Þ 3 MR ¼ 107 f0 160 dm þ f1 P1 dm

f
r v n < 2000

spruchungen der Außenringlaufbahn und des K
figs, die Gefahr von W
lzkrperschlupf am Innenring, die Verlustleistung und damit die Lagertemperatur. Die W
lzfestigkeit des Lagerwerkstoffs und seine Dimensionsstabilit
t, die Zeitstandfestigkeit nichtmetallischer K
figwerkstoffe und Dichtungen und die Schmierstoffgebrauchsdauer bestimmen die zul
ssigen Betriebstemperaturen. Mit Rcksicht auf den Schmierstoff strebt man an, die sogenannte Referenztemperatur nicht zu berschreiten. Diejenige Drehzahl, bei der unter Referenzbedingungen (Erw
rmung des Lagers ausschließlich durch seine eigene Verlustleistung, natrliche W
rmeabfuhr mit der Referenzw
rmeflußdichte qr ber die Referenzoberfl
che ohne zus
tzliche Khlung) eine Temperaturerhhung von 50 C gegenber der Referenzumgebungstemperatur 20 C auf die Referenztemperatur 70 C eintritt, wird als thermische Referenzdrehzahl nq r bezeichnet. Die weiteren Referenzbedingungen nach ISO CD (Committee Draft) 513 12, Referenz-Nr. ISO/TC 4/SC 8 N224 sind: – Referenzbelastung fr Radiallager (0
 a  45
): P1r ¼ 0:05 C0 (reine Radialbelastung). – Referenzbelastung fr Axiallager (45
 a  90
): P1r ¼ 0:02 C0 (reine zentrische Axialbelastung), – Referenzviskosit
t eines Schmierles bei Referenztemperatur 70 C: nr = 12 mm 2/s fr Radiallager, nr =24 mm2/s fr Axiallager, – Referenz-Grundlviskosit
t eines Lithiumseifenfettes mit mineralischem Grundl bei 40 C: nr = 24 mm 2/s, Fettfllung: 30% des freien Volumens.

ð20Þ

mit: MR [Nmm] Reibmoment, n [mm2/s] kinematische Viskosit
t bei Betriebstemperatur, n [min–1] Lagerdrehzahl, dm ¼ ðd þ DÞ=2 [mm] mittlerer Lagerdurchmesser, d [mm] Lagerbohrungsdurchmesser, D [mm] Lageraußendurchmesser. Die Koeffizienten f0 und f1 sind von der Schmierungsart und von der Lagerbauart abh
ngig (f0r und f1r fr Referenzbedingungen in Anh. G 4 Tab. 10). Absolute Maximaldrehzahlen von W
lzlagern lassen sich nicht angeben. Mit zunehmender Drehzahl wachsen die Bean-

ð21Þ

Ar [mm2] Referenzoberfl
che, D [mm] Lageraußendurchmesser, d [mm] Lagerbohrungsdurchmesser, B [mm] Lagerbreite. brige Lagerbauarten s. Normentwurf. Fr Radiallager bzw. Axiallager betragen die Referenzw
rmeflußdichten qr : Ar  50 000 mm2 : qr ¼ 16 kW=m2 bzw: qr ¼ 20 kW=m2 ; Ar > 50 000 mm2 : qr ¼ 16 ðAr =50 000Þ0:34 kW=m2 bzw: qr ¼ 20 ðAr =50 000Þ0:16 kW=m2 :

ð22Þ

Im Referenzzustand fließt ber die Referenzoberfl
che der W
rmestrom Fr ¼ qr Ar ,

ð23Þ

der ohne zus
tzliche Khlung gleich der Lagerverlustleistung Nr bei Referenzdrehzahl nq r ist: Fr ¼Nr ¼ 2 p nqr ðM0r þ M1r Þ ¼ 3 þ f1r p1r dm Þ, s: Gl: ð19Þ 2 p nqr ð107 f0r ðv nÞ2=3 dm

ð24Þ

Die Referenzdrehzahl nq r ergibt sich als Lsung dieser Gleichungen. (Berechnung der Grenzdrehzahl fr eine Betriebstemperatur von 70 C bei beliebigen Betriebszust
nden durch Einsetzen der zugehrigen Werte). Bei lumlaufschmierung wird zus
tzlich ein W
rmestrom Fl ¼ V_ l c rðTA  TE Þ ber das l abgefhrt, daher im Referenzzustand: Nr ¼ Fr þ Fl

ð25Þ

mit: V_ l Volumenstrom, c spezifische W
rmekapazit
t (1,7 bis 2,4 kJ/(kg K)) und r Dichte des ls, TA laustritts- und TE leintrittstemperatur.

I5.2 Berechnung hydrodynamischer Gleitlager

5 Gleitlagerungen. Plain bearings L. Deters, Magdeburg

5.1 Grundlagen. Fundamentals 5.1.1 Hydrodynamische Schmierung Hydrodynamic lubrication F
r die hydrodynamische Schmierung sind konforme Oberflchen charakteristisch. Im Schmierfilm entwickelt sich ein Tragdruck, wenn ein sich verengender Schmierspalt vorliegt, ein viskoser Schmierstoff verwendet wird und eine Gleitbewegung in Richtung des sich verengenden Spaltes stattfindet. Wird gen
gend Schmierstoff in den konvergierenden Spalt gefrdert, kommt es zu einer vollkommenen Trennung der Oberflchen durch den Schmierstoff, was f
r Verschleißfreiheit und einen sicheren Betrieb entscheidend ist. Bei Radialgleitlagern wird der sich verengende Schmierspalt durch die Exzentrizitt der Welle im Lager erzeugt. Diese und der Verlagerungswinkel stellen sich in Abhngigkeit von Lagerkraft, Lagergeometrie, Viskositt und Geschwindigkeitsverhltnissen im Lager so ein, daß das Integral der Druckverteilung
ber der Lagerflche mit der ußeren Lagerkraft im Gleichgewicht steht, Bild 1. 5.1.2 Reibungszust
nde. Friction regimes Die im Bild 2 dargestellte Stribeck-Kurve gibt einen guten berblick
ber die in Gleitlagern vorkommenden Reibungszustnde. Es wird der Zusammenhang zwischen der Reibungszahl f und dem bezogenen Reibungsdruck hwJ =p gezeigt. Die Reibungszahl f ist definiert als f ¼ Ff =F mit Ff als Reibungskraft und F als Lagerkraft. Beim Anfahren aus dem Stillstand wird zunchst das Gebiet der Grenzreibung durchlaufen, da die Oberflchen in der Regel wenigstens mit einem molekularen, vom Schmierstoff stammenden Film bedeckt sind. Das Reibungsverhalten wird hier von den Werkstoffen und den Oberflchenrauhigkeiten der Reibpartner sowie von den molekularen Oberflchenfilmen bestimmt. Mit zunehmender Gleitgeschwindigkeit wird die Schmierung mehr und mehr wirksam. Bei Mischreibung liegen Festkrper- und Fl
ssigkeitsreibung nebeneinander

Bild 1. Radialgleitlager (schematisch) mit Druckverteilung. F Lagerkraft, wF Winkelgeschwindigkeit der Lagerkraft, wJ Winkelgeschwindigkeit der Welle, wB Winkelgeschwindigkeit des Lagers, DJ Wellendurchmesser, D Lager-Nenndurchmesser (Lagerinnendurchmesser), B Lagerbreite, h ðjÞ Schmierspalthhe, hmin kleinste Schmierspalthhe (minimale Schmierfilmdicke), e Exzentrizitt, p ðj; zÞ Druckverp spezifische teilung im Schmierfilm, pmax grßter Schmierfilmdruck,  Lagerbelastung, b Verlagerungswinkel (Winkel zwischen der Lage der Wellenzapfen – Exzentrizitt e und der Lastrichtung), j und z Koordinaten

G 97

vor. Die Reibungszahl f erreicht innerhalb des Mischreibungsbereichs bei A ein Minimum. Der bergang von der Mischreibung in den Zustand der Fl
ssigkeitsreibung erfolgt erst bei B. Nur bei Fl
ssigkeitsreibung findet eine vollkommene Trennung der Oberflchen durch den Schmierfilm statt, so daß kein Verschleiß auftritt. Der Betriebspunkt C sollte von B weit genug entfernt liegen, damit beim An- und Auslauf die zu Verschleiß f
hrenden Gebiete der Misch- und Grenzreibung mglichst schnell durchfahren werden und sich das Lager nicht zu stark erwrmt.

5.2 Berechnung hydrodynamischer Gleitlager Calculation of hydrodynamic bearings 5.2.1 Station
r belastete Radialgleitlager Plain journal bearings under steady-state conditions Die Berechnung basiert auf numerischen Lsungen der Reynoldsschen Differentialgleichung f
r ein vollumschlossenes Lager mit endlicher Lagerbreite

 1 ¶ ¶p ¶ ¶p ¶h h3 h3 ð1Þ þ ¼ 6heff weff 2 ¶j ¶j ¶z ¶z ¶j ðDJ =2Þ (Bezeichnungen nach Bild 1, ferner weff ¼ wJ þ wB
2wF als effektive Winkelgeschwindigkeit mit wF als Winkelgeschwindigkeit der konstanten Lagerlast und wJ und wB als Winkelgeschwindigkeiten von Welle und Lager, heff als effektive dynamische Viskositt des Schmierstoffs und h ¼ ðD=2Þyeff ð1 þ e cos jÞ als idealisierte Spalthhe ohne Ber
cksichtigung von Deformationen und Rauhigkeiten mit yeff als effektives relatives Lagerspiel und e ¼ 2e=ðD
DJ Þ als relative Exzentrizitt). Die Lsungen gelten f
r in Betrag und Richtung konstante Belastungen, wobei sowohl die Welle als auch das Lager mit gleichfrmiger Geschwindigkeit rotieren knnen. Außerdem knnen Flle berechnet werden, bei denen eine konstante Last mit der Winkelgeschwindigkeit wF umluft (z. B. Unwuchtkraft). Im Schmierfilm tritt Turbulenz auf, wenn die Reynoldszahl pffiffiffiffiffiffiffiffi Re ¼ rweff DJ ðD
DJ Þ=ð4heff Þ  41; 3= yeff ð2Þ ist mit r als der Dichte des Schmierstoffs [1]. Es entstehen dann hhere Reibungsverluste und infolgedessen hhere Lagertemperaturen. Andererseits kann die Tragfhigkeit steigen. Lager mit turbulenten Strmungsverhltnissen im Schmierfilm lassen sich mit dem nachfolgend aufgef
hrten Berechnungsverfahren nur nherungsweise auslegen.

Bild 2. Stribeck-Kurve (schematisch). f Reibungszahl, h Schmierstoffviskositt, wJ Winkelgeschwindigkeit der Welle,  p spezifische Lagerbelastung, ðhw= pÞ bezogener Reibungsdruck, ðhwJ = pÞtr bezogener Reibungsdruck beim bergang von Misch- zur Fl
ssigkeitsreibung

G

G 98

Mechanische Konstruktionselemente – 5 Gleitlagerungen

Spezifische Lagerbelastung, relative Lagerbreite, effektives relatives Lagerspiel und effektive dynamische Viskosit
t des Schmierstoffs

G

Zur Beurteilung der mechanischen Beanspruchung der Lagerwerkstoffe wird bei Radialgleitlagern die Lagerkraft F auf die projizierte Lagerfl
che BD bezogen und die spezifische Lagerbelastung
p ¼ F=ðBDÞ gebildet, die dann anhand der zul
ssigen spezifischen Lagerbelastung
plim aus Anh. G 5 Tab. 1 zu berprfen ist. Fr die relative Lagerbreite B
¼ B=D werden im allgemeinen Werte von B=D ¼ 0; 2 bis 1 gew
hlt. Bei Konstruktionen mit B=D > 1 sollte eine Einstellbarkeit der Lager vorgesehen werden, um der Gefahr von Kantenpressungen vorzubeugen. Das Lagerspiel CD ¼ D  DJ beeinflußt das Betriebsverhalten von Radialgleitlagern. Das im Betrieb erforderliche mittlere
D =D mit C
D als dem mittleren La
¼C relative Lagerspiel y gerspiel wird h
ufig berschlagsm
ßig nach [2] in Abh
ngigkeit von der Umfangsgeschwindigkeit der Welle UJ mit Hilfe pffiffiffiffiffiffi
¼ 0; 8 4 U J mit UJ in m/s und y
in ‰ abgeder Beziehung y
sind in Anh. G 5 Tab. 2 sch
tzt. Erfahrungsrichtwerte fr y zu finden. Das sich aufgrund von Passungen und Einbauverh
ltnissen nach dem Einbau ergebende mittlere relative La
kann berechnet werden aus gerpiel y
¼ 0; 5ðymax þ ymin Þ y

ð3Þ

mit dem maximalen relativen Lagerspiel ymax ¼   Dmax  DJ;min =D und dem minimalen relativen Lagerpiel   ymin ¼ Dmin  DJ; max =D. DJ; max und DJ; min beschreiben den maximalen und minimalen Wellendurchmesser aufgrund der Fertigungstoleranz. Dmax und Dmin repr
sentieren den maximalen und minimalen Innendurchmesser des Lagers, wobei die Werte gelten, die sich nach dem Einbau bei Umgebungstemperatur einstellen. Fr die Berechnung von Radialgleitlagern ist jedoch nicht das mittlere relative Lagerspiel im Einbauzustand, das sog. Kaltspiel, von Interesse, sondern das effektive relative Lagerspiel yeff , das sich bei der effektiven Schmierfilmtemperatur Teff im Betrieb ergibt. yeff kann aus
þ Dyth bestimmt werden, wenn die thermische nyeff ¼ y derung des relativen Lagerspiels Dyth bekannt ist. Knnen sich Welle und Lager frei ausdehnen, wird mit den linearen W
rmeausdehnungskoeffizienten al, J und al; B und den Temperaturen TJ und TB von Welle und Lager und der Umgebungstemperatur Tamb die thermische nderung des relativen Lagerspiels Dyth ermittelt aus Dyth ¼ al, B ðTB  Tamb Þ  al, J ðTJ  Tamb Þ:

ð4Þ

Es kann aber auch der Fall auftreten, daß sich der Wellendurchmesser infolge Erw
rmung vergrßert, w
hrend sich das Lager im k
lteren Maschinenrahmen nur nach innen ausdehnen kann und zuw
chst. Die nderung des relativen Lagerspiels ergibt sich dann mit der Lagerwanddicke s zu   Dyth ¼  2al, B ðs=DÞðTB  Tamb Þ þ al; J ðTJ  Tamb Þ : ð5Þ

angegeben: a ¼ h40 expðb=135Þ mit h40 ¼ 0,98375  106 r15  VG, b ¼ 159,55787 ln ðh40 =0,00018Þ; h40 ist die dynamische Viskosit
t in Pas bei T ¼ 40  C (Nennviskosit
t). Bei Gleitlagern kann die Abh
ngigkeit der Viskosit
t vom Druck im allgemeinen vernachl
ssigt werden. Tragf
higkeit Die Tragf
higkeit von hydrodynamischen Radialgleitlagern kann mit Hilfe der dimensionslosen Sommerfeldzahl So ¼
py2eff =ðheff weff Þ

ð7Þ

beschrieben werden. Wenn die relative Exzentrizit
t e mittels So und B=D anhand von Bild 3 bestimmt wird, kann anschließend die minimale Schmierfilmdicke hmin berechnet werden: hmin ¼ ðD=2Þyeff ð1  eÞ:

ð8Þ

Um Verschleiß zu vermeiden, sollte die im Betrieb auftretende minimale Schmierfilmdicke hmin grßer als die zul
ssige minimale Schmierfilmdicke im Betrieb hlim sein ðhmin > hlim Þ. Erfahrungsrichtwerte fr hlim knnen Anh. G 5 Tab. 3 oder der VDI-Richtlinie 2204 entnommen werden. Die Lage der kleinsten Schmierspalthhe im Lager wird durch den Verlagerungswinkel b angegeben, Bild 4. Die Verlagerung des Wellenmittelpunktes liegt angen
hert auf einem Halbkreis, dem sog. Gmbelschen Halbkreis. Reibung Die im Radialgleitlager anfallende Reibungsleistung wird berechnet mit der Gleichung Pf ¼ f F ðU J  UB Þ:

ð9Þ

Die auf das effektive relative Lagerspiel yeff bezogene Reibungszahl f ist im Anh. G 5 Bild 1 dargestellt. Sie l
ßt sich nach [4] auch n
herungsweise aus pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð10Þ f =yeff ¼ p=ðSo 1e2 Þ þ ðe=2Þ sinb bestimmen. Die im Lager entstehende Reibungsleistung ist eine Verlustleistung und wird nahezu vollst
ndig in W
rme umgewandelt. Schmierstoffdurchsatz Der Schmierstoff im Lager soll einen tragf
higen Schmierfilm bilden, der die beiden Gleitfl
chen mglichst vollst
ndig voneinander trennt. Infolge der Druckentwicklung im

N
herungsweise kann in Gl. (4) und (5) TJ  TB  Teff gesetzt werden. Neben den zuvor aufgefhrten geometrischen Lagerkenngrßen ist fr die Lagerberechnung auch die Kenntnis der im Betrieb auftretenden dynamischen Viskosit
t des Schmierstoffs erforderlich. Wenn der Schmierstoff gegeben ist und die effektive Temperatur entweder bekannt ist oder zun
chst gesch
tzt wird, kann die Schmierstoffviskosit
t nach der Beziehung h ¼ a exp ½b=ðT þ 95Þ

ð6Þ

von Vogel berechnet werden mit der Schmierstofftemperatur T in C. Fr die Konstanten werden in [3] unter Bercksichtigung der Dichte r15 (bei 15 C in kg/m 3) und des ISO-Viskosit
tsgrades VG nach DIN 51 519 folgende Beziehungen

Bild 3. Sommerfeldzahl So fr vollumschlossene Radialgleitlager in Abh
ngigkeit von B=D und e nach DIN 31652

I5.2 Berechnung hydrodynamischer Gleitlager

Bild 4. Verlagerungswinkel b f
r vollumschlossene Radialgleitlager in Abhngigkeit von B=D und e nach DIN 31 652

Schmierfilm fließt Schmierstoff an beiden Seiten des Lagers ab, der durch dem Spaltraum neu zugef
hrten Schmierstoff ersetzt werden muß. F
r diesen Anteil Q3 des Schmierstoffdurchsatzes gilt nach DIN 31 652: Q3 ¼ D3 yeff weff Q
3 :

ð11Þ

Die Schmierstoffdurchsatz-Kennzahl Q
3 f
r den durch den hydrodynamischen Druckaufbau bewirkten Seitenfluß ist Anh. G 5 Bild 2 zu entnehmen. Die Zufuhr von Q3 kann drucklos erfolgen. Wenn der Schmierstoff mit dem Druck pen zugef
hrt wird, erhht sich der Schmierstoffdurchsatz, was sich g
nstig auf den Wrmetransport aus dem Lager auswirkt. Dieser Anteil Qp des Schmierstoffdurchsatzes infolge Zuf
hrdrucks ergibt sich nach DIN 31 652 aus Qp ¼ D3 y3eff pen Q
p =heff

ð12Þ

mit der Schmierstoffdurchsatz-Kennzahl Q
p infolge Zuf
hrdrucks, die je nach Schmierstoff-Zuf
hrungselement (Schmierloch, Schmiernut oder Schmiertasche) mit Hilfe von Anh. G 5 Tab. 4 bestimmt werden kann. Der Schmierstoffzuf
hrdruck pen liegt
blicherweise zwischen 0,5 und 5 bar, damit hydrostatische Zusatzbelastungen vermieden werden. Bei Verwendung einer umlaufenden Ringnut entstehen zwei unabhngige Druckberge, Bild 5. Die Berechnung wird hier je Lagerhlfte mit der halben Belastung durchgef
hrt. Bei der Wrmebilanz ist von Q3 nur der halbe Wert einzusetzen, da der Schmierstoff, der in die Ringnut strmt, nicht an der Wrmeabfuhr teilnimmt. Bei Verwendung von Schmiertaschen sollte die relative Taschenbreite bP =B < 0; 7 bis 0; 8 sein. Der gesamte Schmierstoffdurchsatz betrgt bei druckloser Schmierung Q ¼ Q3 und bei Druckschmierung Q ¼ Q3 þ Qp . W
rmebilanz Zur Berechnung der Tragfhigkeit und der Reibung ist die im Betrieb auftretende effektive Schmierstoffviskositt erforderlich, die wiederum von der effektiven Schmierstofftemperatur abhngt. Diese resultiert aus der Wrmebilanz von im Lager erzeugter Reibungsleistung und den abfließenden Wrmestrmen. Bei drucklos geschmierten Lagern, z. B. bei Ringschmierung, wird die Wrme hauptschlich durch Konvektion an die Umgebung abgef
hrt. Lager mit Umlaufschmierung geben die Wrme vorwiegend durch den Schmierstoff ab. F
r die Lagertemperatur TB gilt bei reiner Konvektionsk
hlung TB ¼ ½Pf =ðkA AÞ þ Tamb

ð13Þ

G 99

Bild 5. Radialgleitlager (schematisch) mit Druckverteilung in Breitenrichtung bei Schmierstoffzufuhr durch eine umlaufende Schmiernut

mit dem der Flche A zugeordneten ußeren Wrmedurchgangskoeffizienten kA . Bei freier Konvektion (Luftgeschwindigkeit wamb < 1 m=s) betrgt kA ¼ ð15 bis 20Þ W=ðm2 K Þ, wobei der untere Wert f
r Lager im Maschinengehuse gilt [4]. Bei Anstrmung des Lagergehuses mit Luft (erzwungene Konvektion) mit einer Geschwindigkeit wamb gt; 1; 2 m=s pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi kann kA berechnet werden aus kA  7 þ 12 wamb mit wamb in m/s. Bei zylindrischen Lagergehusen kann die wrmeabgebende Oberflche A aus A  ðp=2ÞðD2H  D2 Þ þ pDH BH mit dem Gehusedurchmesser DH und der axialen Gehusebreite BH bestimmt werden, bei Stehlagern nherungsweise aus A ¼ pH ðBH þ H=2Þ mit der Stehlagergesamthhe H und bei Lagern im Maschinenverband
berschlagsmßig aus A = (15 bis 20) BD. Die effektive Schmierstofftemperatur Teff kann bei Wrmeabfuhr durch Konvektion angenhert gleich der Lagertemperatur gesetzt werden ðTeff ¼ TB Þ: Bei Umlaufschmierung werden i. allg. die Schmierstofftemperatur am Eintritt ins Lager Ten , der Schmierstoffzuf
hrdruck pen und die Art des Zuf
hrungselements mit der entsprechenden Geometrie vorgegeben. Bestimmt werden m
ssen der gesamte Schmierstoffdurchsatz durchs Lager Q ¼ Q3 þ Qp nach Gl. (11) und (12), die Schmierstofftemperatur beim Austritt aus dem Lager Tex und die effektive Schmierstofftemperatur Teff . Die beiden Temperaturen Tex und Teff werden ermittelt aus    Tex ¼ Pf = cp r Q þ Ten ð14Þ und Teff ¼ ðTen þ Tex Þ=2:

ð15Þ

Die volumenspezifische Wrmekapazitt des Schmierstoffs cp r weist f
r Minerall einen Wert von ungefhr cp r ¼ 1; 8  106 Nm=ðm3 KÞ auf. Bei hohen Umfangsgeschwindigkeiten empfiehlt es sich, anstelle des Mittelwertes f
r Teff einen Wert zu whlen, der nher an Tex liegt. Da bei steigender Lagertemperatur Hrte und Festigkeit der Lagerwerkstoffe abnehmen, was sich besonders stark bei Pb- und Sn-Legierungen bemerkbar macht, und bei Temperaturen
ber 80 C mit einer verstrkten Alterung der Schmierstoffe auf Minerallbasis zu rechnen ist, sollte sichergestellt werden, daß TB und Tex die hchstzulssige Lagertemperatur Tlim aus Anh. G 5 Tab. 5 nicht
berschreiten. Im Berechnungsablauf zur Bestimmung von Teff sind am Anfang hufig nur Tamb und Ten bekannt. Zunchst werden daher je nach Wrmeabgabebedingung TB oder Tex geschtzt (Empfehlung: TB ¼ Tamb þ 20  C und T ex ¼ T en þ 20 C). Aus der

G

G 100

Mechanische Konstruktionselemente – 5 Gleitlagerungen

W
rmebilanz ergibt sich dann ein neuer Werte fr TB bzw. Tex ; der durch Mittelwertbildung mit dem zuvor zugrunde gelegten Temperaturwert solange iterativ korrigiert wird, bis in der Rechnung die Differenz zwischen Ein- und Ausgangswert akzeptabel ist. Betriebssicherheit

G

Wird ein Radialgleitlager mit variierenden Betriebsparametern betrieben, so ist zu beachten, ob der Wechsel von einem Betriebszustand zum n
chsten allm
hlich oder innerhalb einer kurzen Zeitspanne stattfindet. Wenn beispielsweise auf einen Betriebszustand mit hoher thermischer Belastung unmittelbar ein anderer mit hohem  p und niedrigem weff folgt, sollte der neue Betriebspunkt auch mit den Viskosit
ts- und Lagerspieldaten des vorhergehenden Falls berechnet werden. Der bergang in die Mischreibung kann durch die mindestzul
ssige bergangsschmierfilmdicke hlim, tr gekennzeichnet werden. Diese kann nach DIN 31 652 aus den gemittelten Rauhtiefen von Welle und Lager, der Schiefstellung und der Krmmung von Welle und Lager innerhalb der Lagerbreite und der effektiven Welligkeitsamplitude ermittelt werden und h
ngt vom Einlaufzustand ab. Wenn Schiefstellungen, Krmmungen und Welligkeiten vernachl
ssigbar sind, l
ßt sich hlim, tr auch n
herungsweise aus qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð16Þ hlim, tr ¼ 3 R2q, J þ R2q, B mit den quadratischen Mittenrauhwerten Rq, J und Rq, B von Welle und Lager berechnen. Mit bekanntem hlim, tr kann dann nach [5] die Gleitgeschwindigkeit fr den bergang in die Mischreibung Utr n
herungsweise aus folgender Gleichung bestimmt werden:  pffiffiffiffiffiffiffiffih i2=3  pffiffiffi Utr ¼  pyeff hlim, tr heff 3=2 1 þ 2pD=ðErsl hlim, tr Þ ð17Þ mit dem resultierenden Elastizit
tsmodul Ersl aus      1=Ersl ¼ ð1=2Þ 1
v2J =EJ þ 1
v2B =EB , wobei EJ und EB die E-Module von Welle und Lager darstellen und vJ und vB die dazugehrigen Querkontraktionszahlen. Dabei wird bercksichtigt, daß sich infolge elastischer Deformationen die tragende Druckzone in Umfangsrichtung vergrßert und sich in diesem Bereich ebenfalls das effektive Lagerspiel verringert, was sich beides tragf
higkeitssteigernd auswirkt. Das Lager sollte so ausgelegt werden, daß Utr < Ulim, tr , die zul
ssige Gleitgeschwindigkeit fr den bergang in die Mischreibung, ist. Fr Ulim, tr gilt nach [6]: Ulim, tr ¼ 1 m/s fr U > 3 m/s und Ulim, tr ¼ U=3 fr U < 3 m/s. Um die Erw
rmung des Lagerwerkstoffs beim Durchfahren des Mischreibungsgebiets im zul
ssigen Bereich zu halten, sollte nach [5] fr den Bereich 0; 5 m=s < U tr < 1 m=s der Grenzwert ðpUtr Þlim ¼ 25  105 W=m2 nicht berschritten werden. Fr Utr < 0; 5 m=s sollte die Bedingung  p  5 N=mm2 eingehalten werden, weil sonst die Werkstoffestigkeit infolge zu großer spezifischer Lagerbelastung und zu hoher Reibfl
chentemperaturen bertroffen wird.

5.2.2 Radialgleitlager im instation
ren Betrieb Dynamically loaded plain journal bearings Bei instation
r belasteten Radialgleitlagern sind Lagerkraft (Betrag und Richtung) und effektive Winkelgeschwindigkeit weff von der Zeit abh
ngig. Demzufolge h
ngen auch Tragf
higkeit, Reibung, Schmierstoffdurchsatz und effektive Schmierstofftemperatur von der Zeit ab. Wenn sich Lagerkraft und effektive Winkelgeschwindigkeit periodisch
ndern, wie z. B. in Lagern von Kolbenmaschinen, zeigt die Verlage-

rungsbahn des Wellenmittelpunktes einen geschlossenen Verlauf. Zur Berechnung von instation
r belasteten Radialgleitlagern wird die Reynoldssche Differentialgleichung (Gl. (1)) auf der rechten Seite um das Glied 12¶ h=¶ t erweitert, denn neben den Drehbewegungen treten hier auch Verdr
ngungsbewegungen in radialer Richtung auf. Zur Lsung der Differentialgleichung kann z. B. das Verfahren der berlagerten Traganteile eingesetzt werden [7, 8]. Zur Berechnung der Wellenmittelpunktsbahn wird dabei h
ufig auf N
herungsfunktionen nach [9] fr die Sommerfeldzahl der Drehung SoD und die der Verdr
ngung SoV zurckgegriffen. Bei periodischer Lagerbelastung wird die Iteration solange durchgefhrt, bis sich eine geschlossene Verlagerungsbahn ergibt. 5.2.3 Station
r belastete Axialgleitlager Plain thrust bearings under steady state conditions Der zur hydrodynamischen Druckentwicklung erforderliche konvergierende Spalt wird bei Axialgleitlagern dadurch erzeugt, daß beispielsweise Keilfl
chen in feststehende Spurplatten eingearbeitet oder mehrere unabh
ngig voneinander kippbewegliche Gleitschuhe (segment- oder kreisfrmig) eingesetzt werden, bei denen sich, je nach Wahl der Untersttzungsstelle, der Lagerkonstruktion und der Betriebsbedingungen, die kleinste Schmierspalthhe am Schmierspaltaustritt oder kurz davor selbst
ndig einstellt, Bild 6, Bild 7 und Bild 8. Zwischen den Lagersegmenten angeordnete Freir
ume dienen der Schmierstoffzufuhr. Mittig untersttzte Gleitschuhe sind fr beide Drehrichtungen geeignet, weisen aber gegenber den im optimalen Bereich abgesttzten Gleitschuhen eine geringere Tragf
higkeit und eine hhere Reibung auf. Bei Kippsegmentlagern wirken sich im Betrieb auftretende Verformungen der Gleitschuhe aufgrund von Schmierfilmdrcken und Temperaturunterschieden zwischen Gleitschuhober- und -unterseite tragf
higkeitsmindernd, aber reibungssenkend aus. Die Auswahl der Lagerbauart h
ngt von den Betriebsbedingungen ab. Bei hohen Fl
chenpressungen und h
ufigem Anund Auslaufen unter Last sind Kippsegmentlager zu bevorzugen, da sich die Keilneigung, den Betriebsbedingungen entsprechend, selbst
ndig einstellt und die Segmente im Stillstand parallel zur Spurscheibe stehen. Um bei Segmentlagern mit fest eingearbeiteten Keilfl
chen im Stillstand das Gewicht des Rotors und eventuell eine zus
tzliche Lagerkraft aufnehmen zu knnen, sollte bei allen Lagersegmenten eine Rastfl
che vorgesehen werden. Nachfolgend werden Kippsegmentlager (Bild 7) und Segmentlager mit fest eingearbeiteten Keil- und Rastfl
chen (Bild 8) behandelt. Bei letzteren soll das Verh
ltnis von Keilfl
chenl
nge lwed zu Segmentl
nge L den optimalen Wert lwed =L ¼ 0; 75 aufweisen [10]. Es wird außerdem davon ausgegangen, daß die Oberfl
chen eben sind und sich im Betrieb nicht verformen. Wenn die Reynoldszahl Re ¼ rUhmin =heff fr Keilspalte mit hmin =Cwed ¼ 0; 8 Werte grßer als die kritische Reynoldszahl Recr ¼ 600 aufweist, liegen turbulente Strmungsverh
ltnisse vor. Das nachfolgend beschriebene Berechnungsverfahren ist fr turbulente Strmung im Schmierspalt nur begrenzt anwendbar. Untersttzungsstelle Bei Kippsegmentlagern werden durch die Wahl des relativen Abstands der Untersttzungsstelle aF ¼ aF =L vom Spalteintritt in Bewegungsrichtung und der relativen Lagerbreite B/L sowohl die bezogene minimale Schmierfilmdicke hmin =Cwed als auch die Tragf
higkeits-, Reibungs- und Schmierstoffdurchsatz-Kennzahl festgelegt. Diese Werte
ndern sich auch bei wechselnden Betriebsbedingungen nicht im Gegensatz zu Segmentlagern mit fest eingearbeiteten Keilfl
chen, bei de-

I5.2 Berechnung hydrodynamischer Gleitlager

G 101

G Bild 8. Axialsegmentlager mit fest eingearbeiteten Keil- und Rastflchen (schematisch) mit Druckverteilung. pðx; zÞ Druckverteilung im Schmierfilm, U Gleitgeschwindigkeit auf dem mittleren Gleitdurchmesser, D mittlerer Gleitdurchmesser (mittlerer Tragringdurchmesser), Do Tragringaußendurchmesser, Di Tragringinnendurchmesser, B Segmentbreite, L Segmentlnge in Umfangsrichtung, lwed Keillnge, Cwed Keiltiefe, hmin kleinste Schmierspalthhe, x; y und z Koordinaten

Bild 6 a–c. Ausf
hrungsvarianten f
r Axialgleitlager. a Kippbeweglicher segmentfrmiger Gleitschuh f
r eine Drehrichtung mit starrer kugelfrmiger Abst
tzung und Schmierlversorgung mittels Einspritzung zwischen den Gleitschuhen; b kippbeweglicher kreisfrmiger Gleitschuh f
r gleichbleibende und wechselnde Drehrichtung mit elastischer Abst
tzung
ber eine Tellerfeder (d Durchmesser des Kreisgleitschuhs); c kippbeweglicher segmentfrmiger Gleitschuh f
r gleichbleibende und wechselnde Drehrichtung mit elastischer Abst
tzung

Bild 9. Bezogene Unterst
tzungsstelle a
F f
r Axialkippsegmentlager in Abhngigkeit von B=L und hmin =Cwed nach DIN 31 654

nen sich neben der bezogenen minimalen Schmierfilmdicke (anderes hmin ) auch alle anderen Kennzahlen den wechselnden Bedingungen anpassen. Die Lage der Unterst
tzungsstelle a
F sollte anhand von Bild 9 so gewhlt werden, daß hmin =Cwed ¼ 0; 5 bis 1,2 (optimal 0,8) betrgt, wenn hohe Tragfhigkeit gew
nscht wird, oder daß hmin =Cwed Werte von 0,25 bis 0,4 aufweist, wenn hoher Schmierstoffdurchsatz zur K
hlung bentigt wird. Tragf
higkeit Die Tragfhigkeit von Axialkippsegmentlagern wird durch die dimensionslose Tragkraftkennzahl F
bestimmt: Bild 7. Axialkippsegmentlager (schematisch) mit Druckverteilung. pðx; zÞ Druckverteilung im Schmierfilm, U Gleitgeschwindigkeit auf dem mittleren Gleitdurchmesser, D mittlerer Gleitdurchmesser, Di Innendurchmesser der Gleitflche, Do Außendurchmesser der Gleitflche, B Segmentbreite, L Segmentlnge in Umfangsrichtung, aF Abstand der Unterst
tzungsstelle vom Spalteintritt in Umfangsrichtung, Cwed Keiltiefe, hmin kleinste Schmierspalthhe, x; y und z Koordinaten

F
¼  p h2min =ðheff ULÞ:

ð18Þ

Da bei Segmentlagern mit fest eingearbeiteten Keil- und Rastflchen zu Beginn der Auslegung weder hmin noch heff und F
bekannt sind und um eine zweifache Iteration
ber hmin und Teff zu vermeiden, wird F
nach DIN 31 653 zur Tragkraftkennzahl f
r Segmentlager FB
modifiziert:

G 102

Mechanische Konstruktionselemente – 5 Gleitlagerungen

FB
¼ F
ðCwed =hmin Þ2 ¼ pC2wed =ðheff ULÞ:


ð19Þ

FB


F und sind im Bild 10 bzw. Bild 11 dargestellt, und zwar abh
ngig von hmin =Cwed und dem Verh
ltnis von Segmentbreite zu Segmentl
nge B=L: Fr die Segmente werden Werte von B=L ¼ 0; 75 bis 1,5 (meist B=L  1; 0) gew
hlt. Grßere B=L-Werte wirken sich i. allg. gnstig auf das Temperaturniveau im Schmierfilm aus. Die spezifische Lagerbelastung p berechnet sich aus p ¼ F=ðZBLÞ mit der Segmentanzahl Z , wobei diese je nach Lagergrße i. allg. zwischen Z=4 und Z=12 liegt. p sollte kleiner als  plim aus Anh. G 5 Tab. 1 sein ðp < plim Þ: Sind die

G

Bild 10. Tragf
higkeitskennzahl F
fr Axialkippsegmentlager in Abh
ngigkeit von B=L und hmin =Cwed nach DIN 31 654

Lagerabmessungen bei der Auslegung noch frei w
hlbar, wird nach Festlegung von B=L und Z die Segmentl
nge L berpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi schlagsm
ßig mit L  F=½ plim Z ðB=LÞ dimensioniert. Der mittlere Gleitdurchmesser D ergibt sich aus D ¼ ZL=ðpfÞ mit dem Ausnutzungsgrad der Gleitfl
che f ¼ ZBL=ðpDBÞ  0; 8: Ausnutzungsgrade kleiner als f ¼ 0; 8 senken in der Regel die Lagertemperatur ab. Mit der Winkelgeschwindigkeit der Spurscheibe w wird die mittlere Gleitgeschwindigkeit U aus U ¼ ðD=2Þw bestimmt. Bei vorgegebenem Schmierstoff und bekannter oder gesch
tzter effektiver Schmierstofftemperatur im Schmierfilm Teff kann die effektive Schmierstoffviskosit
t heff mit Gl. (6) berechnet werden. Bei Wahl von a
F kann unter Bercksichtigung von B=L aus Bild 9 hmin =Cwed abgelesen und danach mit dieser Grße aus Bild 10 F
entnommen werden. Nun liegen alle Grßen vor, um fr Kippsegmentgleitlager die minimale Schmierfilmdicke hmin aus hmin ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ermitteln zu knnen. F
heff UL= Bei Segmentlagern mit eingearbeiteten Keil- und Rastfl
chen wird unter Vorgabe einer herzustellenden Keiltiefe Cwed mit den zuvor diskutierten Grßen zun
chst FB
mit Gl. (19) bestimmt und dann aus Bild 11 hmin =Cwed abgelesen, woraus hmin abgeleitet wird. Ein verschleißfreier Betrieb erfordert, daß hmin > hlim nach Anh. G 5 Tab. 6 ist. Richtwerte fr die mindestzul
ssige Schmierfilmdicke im Betrieb hlim knnen nach DIN 31 653 und DIN 31 654 auch aus der Beziehung pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi hlim ¼ C UDFst =F  105 gewonnen werden mit U in m/s, D in m und der im Stillstand auftretenden Belastung Fst in N. Wenn hlim  1; 25 hlim; tr wird, so ist die Beziehung hlim ¼ 1; 25 hlim; tr zu verwenden, wobei hlim, tr die minimale Schmierfilmdicke fr den bergang von Misch- zur Flssigpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi keitsreibung darstellt und aus hlim, tr ¼ C DRZ =12 000 berechnet wird mit dem mittleren Gleitdurchmesser D und der gemittelten Rauhtiefe der Spurscheibe Rz jeweils in m: In den Beziehungen fr hlim und hlim, tr ist fr Kippsegmentlager C ¼ 1 und fr Segmentlager C ¼ 2 zu setzen. Reibung Die Reibungsverluste von Axialkippsegmentlagern lassen sich mit Hilfe der Reibungskennzahl f
erfassen: f
¼ f p hmin =ðheff UÞ:

ð20Þ

Fr Segmentlager gilt entsprechend: fB
¼ f
ðC wed =hmin Þ ¼ f  pCwed =ðheff UÞ:

ð21Þ

Die Kennzahlen f
und fB
sind im Anh. G 5 Bild 3 bzw. Anh. G 5 Bild 4 aufgezeichnet. Fr die Reibungsleistung ergibt sich bei Kippsegmentlagern Pf ¼ f
heff U 2 ZBL=hmin und bei Segmentlagern Pf ¼ fB
heff U 2 ZBL=Cwed . Schmierstoffdurchsatz Von dem an jedem Segment mit der Temperatur T1 in den Schmierspalt eintretenden Schmierstoffstrom Q1 =Z wird an beiden Seiten der Segmente infolge des hydrodynamischen Druckaufbaus jeweils der Teil Q3 =ð2 ZÞ mit der Temperatur ðT1 þ T2 Þ=2 wieder herausgefrdert. Der Rest Q2 =Z verl
ßt den Spalt am Austritt mit der Temperatur T2 , Bild 12. Fr das gesamte Lager folgt daraus: Q1 ¼ Q2 þ Q3 mit Q1 ¼ Q
1 Q0 ; Q3 ¼ Q
3 Q0 , Q2 ¼ Q1 Q3 und Q0 ¼ ZBhmin U. Die bezogenen Grßen Q
1 und Q
3 knnen Anh. G 5 Bild 5 fr Kippsegmentlager und Anh. G 5 Bild 6 fr Segmentlager entnommen werden. Die zur hydrodynamischen Lastbertragung mindestens erforderliche Schmierstoffmenge fr das Lager ergibt sich aus Q1 : Bild 11. Tragf
higkeitskennzahl FB
fr Axialsegmentlager mit fest eingearbeiteten Keil- und Rastfl
chen in Abh
ngigkeit von B=L und hmin =Cwed nach DIN 31 653

W
rmebilanz Drucklos geschmierte Axialgleitlager leiten die im Schmierfilm durch Reibung entstehende W
rme berwiegend durch

I5.2 Berechnung hydrodynamischer Gleitlager

G 103

Konvektion ab. F
r die sich einstellende Lagertemperatur TB gilt damit TB ¼ Pf =ðkA
AÞ þ Tamb :

ð22Þ

Der ußere Wrme
bergangskoeffizient kA wird wie bei den Radiallagern berechnet. Die wrmeabgebende Flche A kann nach DIN 31 653 und DIN 31 654 bei Axiallagern mit zylindrischen Lagergehusen aus A  ðp=2ÞD2H þ pDH BH (Bezeichnungen wie bei den Radiallagern) und bei Lagern im Maschinenverband aus A  ð15 bis 20Þ ZBL bestimmt werden. Die effektive Schmierfilmtemperatur Teff entspricht bei K
hlung mit Konvektion der Lagertemperatur TB , d. h. Teff ¼ TB : Bei der Wrmeabfuhr durch Umlaufschmierung mit Schmierstoffr
ckk
hlung werden meistens die Erwrmung DT ¼ Ten  Tex und die Eintrittstemperatur Ten des zuzuf
hrenden frischen Schmierstoffs vorgegeben. Dabei sollte die Temperaturdifferenz DT zwischen der Schmierstofftemperatur am Eintritt ins Lager Ten und derjenigen am Austritt aus dem Lager Tex ungefhr DT ¼ 10 bis 30  C betragen. Bestimmt werden muß dann noch der erforderliche Durchsatz von frischem Schmierstoff durch das Lager Q, die effektive Schmierstofftemperatur im Schmierfilm Teff und die Schmierstofftemperatur am Austrittsspalt T2 , die der Lagertemperatur TB entspricht, d. h. T2 ¼ TB : Q kann ermittelt werden aus
Q ¼ Q Q0 ¼ Pf = cp rDT ð23Þ mit dem bezogenen Schmierstoffdurchsatz des Lagers
Q ¼ f   p= F  cp rDT f
r Kippsegmentlager und Q ¼ fB p= [FB cp rDT ðhmin =Cwed Þ] f
r Segmentlager mit fest eingearbeiteten Keil- und Rastflchen. F
r Teff und T2 folgen aus Bild 13: Teff ¼ Ten þ DT1 þ DT2 =2

ð24Þ

und T2 ¼ Ten þ DT1 þ DT2 :

ð25Þ

Mit Hilfe von Bild 12 kann nach [11] f
r die Temperaturerhhung des Schmierstoffs im Spalt DT2 die Beziehung
DT2 ¼ T2  T1 ¼ DTQ = Q1  0; 5Q3 abgeleitet werden und f
r die Temperaturdifferenz DT1 ¼ T1  Ten zwischen der Schmierstofftemperatur am Spalteintritt T1 und der Temperatur des frisch zugef
hrten Schmierstoffs Ten die Gleichung

Bild 12. Schmierstoffdurchsatz- und Wrmebilanz in Zwischenrumen und Schmierspalten (schematisch) von hydrodynamischen Axialgleitlagern mit Segmenten nach [11]. Z Anzahl der Segmente, Q Schmierstoffdurchsatz durchs Lager, Q1 Schmierstoffdurchsatz am Spalteintritt, Q2 Schmierstoffdurchsatz am Spaltaustritt, Q3 Schmierstoffdurchsatz an den Seitenrndern, M Mischungsfaktor, Ten Schmierstofftemperatur am Eintritt ins Lager, T1 Schmierstofftemperatur am Spalteintritt, T2 Schmierstofftemperatur am Spaltaustritt

Bild 13. Temperaturverlauf im Schmierfilm (schematisch) von Axialgleitlagern mit Segmenten. Ten Schmierstofftemperatur am Eintritt ins Lager, T1 Schmierstofftemperatur am Spalteintritt, T2 Schmierstofftemperatur am Spaltaustritt, Teff effektive Schmierstofftemperatur, DT1 Temperaturdifferenz zwischen T1 und T en , DT2 Temperaturdifferenz zwischen T2 und T1


  DT1 ¼ DT2 Q1  Q3 = MQ þ ð1  M ÞQ3 : Der Mischungsfaktor M, der zwischen M ¼ 0 (keine Mischung) und M ¼ 1 (vollkommene Mischung) variieren kann, ber
cksichtigt Mischungsvorgnge in den Zwischenrumen, Bild 12. Erfahrungsgemß liegt der Mischungsfaktor zwischen M ¼ 0; 4 und 0,6. Er hngt von den Betriebsbedingungen, den konstruktiven Gegebenheiten, dem Schmierstoff und der Art der Schmierstoffzufuhr ab [12]. Zum Schluß muß
berpr
ft werden, ob TB (bei Konvekton) bzw. T2 (bei Umlaufschmierung) kleiner als die hchstzulssige Lagertemperatur Tlim nach Anh. G 5 Tab. 5 ist. Wie bei den Radiallagern sind auch bei den Axiallagern im Berechnungsablauf zur Bestimmung von Teff am Anfang hufig nur Tamb und Ten bekannt. Zunchst wird daher je nach Wrmeab gabebedingung TB bzw. Teff geschtzt. Aus der Wrmebilanz ergibt sich dann ein neuer Wert f
r TB bzw. Teff , der durch Mittelwertbildung mit dem zuvor zugrunde gelegten Temperaturwert solange iterativ korrigiert wird, bis in der Rechnung die Differenz zwischen Ein- und Ausgabewert akzeptabel ist. Betriebssicherheit Betriebssicherheit wird erreicht, wenn die errechneten Bep die entsprechenden triebskennwerte hmin , TB bzw. T2 und  zulssigen Betriebsrichtwerte nicht unter- bzw.
berschreiten. Wenn hmin < hlim, tr wird, tritt Mischreibung auf und damit verbunden Verschleiß. Um das Mischreibungsgebiet beim An- und Auslaufen mglichst schadensfrei zu durchfahren, sollten f
r die mittlere Gleitgeschwindigkeit f
r den bergang in die Mischreibung Utr Werte grßer als Utr ¼ 1; 5 bis 2 m/s vermieden werden, da sonst unzulssig hohe Temperaturen im Schmierfilm und den Gleitflchen auftreten knnen. F
r Kippsegmentlager ergibt sich Utr aus Utr ¼ ph2min; tr =ðheff F  LÞ und f
r Segmentlager mit fest eingearbeitep C2wed = ðheff FB , tr LÞ, woten Keil- und Rastflchen aus Utr ¼  bei FB , tr aus Bild 11 mit hmin =Cwed ¼ hmin, tr =Cwed und B=L gewonnen wird. Bei Lagern mit konstanter Last sollte der Auslegungspunkt weit genug oberhalb von Utr liegen. Treten nur drehzahlabhngige Belastungen auf (z. B. Strmungskrfte beim Ventilator mit waagerechter Welle), kommt Mischreibung erst bei hohen Drehzahlen vor, da die Belastung schneller ansteigt als die Tragfhigkeit des Lagers. Hier sollte U < Utr sein. Ferner gibt es Anwendungsflle, bei denen neben einer konstanten Axialkraft noch ein drehzahlabhngiger Anteil dazu addiert werden muß (z. B. bei Wasserturbinen mit senkrechter Welle). Dann existieren ein unterer und ein oberer Mischreibungsbereich. U sollte weit genug entfernt von beiden liegen.

G

G 104

Mechanische Konstruktionselemente – 5 Gleitlagerungen

5.2.4 Mehrgleitfl
chenlager Multi-lobed and tilting pad journal bearings

G

Leichtbelastete und schnellaufende Wellen (z. B. in Schleifspindeln, Gas- und Dampfturbinen, Turboverdichtern, Turbogetrieben usw.) neigen in zylindrischen Radialgleitlagern zu instabilem Laufverhalten. Bei Mehrgleitfl
chenlagern mit drei und mehr Gleitfl
chen tritt dieses Problem i. allg. nicht auf, da sie selbst im unbelasteten Zustand bei zentrischer Wellenlage mehrere konvergierende Spalte am Umfang aufweisen, die bei Wellendrehung zur Bildung von ann
hernd gleichen stabilisierenden Druckverteilungen fhren. Die am Umfang verteilten Druckberge bleiben auch unter Last, allerdings in ge
nderter, an die Last angepaßter Form erhalten, wobei deren Tragkr
fte sich geometrisch addieren und der Lagerkraft das Gleichgewicht halten, Bild 14. Dadurch wird einerseits eine gute Fhrungsgenauigkeit erreicht, andererseits aber die Tragf
higkeit verringert und eine erhhte Reibungsleistung erzeugt. Eine umlaufende Lagerkraft kann bei Mehrgleitfl
chenlagern Schwingungen anregen, da die Lagersteifigkeit richtungsabh
ngig ist, Bild 14. Um bei hohen Umfangsgeschwindigkeiten die Lagertemperaturen von vollumschließenden Lagern im zul
ssigen Bereich zu halten, sind relativ große Spiele erforderlich, die jedoch den bergang zu turbulenter Strmung begnstigen. Mit Radial-Kippsegmentlagern (Bild 15) knnen die hohen Reibungsverluste und die Lagertemperaturen verringert werden, da sie die Welle nur teilweise umschließen und k
lterer Schmierstoff in den Schmierspalt gelangen kann. Außerdem sind sie bei punktfrmiger Absttzung unempfindlich gegen Schiefstellungen der Welle. Die Anwendung eines Radialgleitlagers mit Kippsegmenten bei vertikaler Wellenanordnung ist im Bild 16 zu sehen.

Bild 16. Vertikallager-Einsatz mit einem Radialgleitlager aus einzeln einstellbaren Kippsegmenten und einem Axiallager aus kippbeweglichen Kreisgleitschuhen (Renk, Hannover)

5.3 Hydrostatische Anfahrhilfen Hydrodynamic bearings with hydrostatic jacking systems Wenn bei hydrodynamischen Gleitlagern h
ufiges Anfahren unter hoher Startlast ð p > 2; 5 bis 3 N=mm2 Þ, Trudelbetrieb mit niedrigen Drehzahlen oder sehr lange Auslaufzeiten auftreten, kann der Einsatz von hydrostatischen Anfahrhilfen empfehlenswert sein. Hierzu werden eine oder gnstiger zwei Schmiertaschen (bessere radiale Wellenfhrung) in der unteren Lagerschale im Kontaktbereich mit der Welle eingebracht, die mit einem unter Druck stehenden Schmierstoff von einer externen Pumpe mit einem Pumpendruck von max. 200 bar beim Anheben und von ca. 100 bar beim Halten der Welle versorgt werden.

5.4 Berechnung hydrostatischer Gleitlager Calculation of hydrostatic bearings

Bild 14 a, b. Vollumschlossene Mehrgleitfl
chenlager mit Druckverteilungen und Kr
ftegleichgewichten (schematisch). a Kraftrichtung mittig auf die Gleitfl
che; b Kraftrichtung auf lversorgungsnut; F Lagerkraft, wJ Winkelgeschwindigkeit der Welle, e Exzentrizit
t, b Verlagerungswinkel (Winkel zwischen der Lage der WellenzapfenExzentrizit
t e und der Lastrichtung), p1 bis p3 Druckverteilungen an den entsprechenden Gleitfl
chen, F1 bis F3 Tragkr
fte aus den Druckverteilungen, Fres Tragkraft des Lagers

Bei hydrostatischen Gleitlagern wird der zum Tragen erforderliche Druck im Schmierspalt von einer externen Pumpe erzeugt. Der unter Druck stehende Schmierstoff kann den Schmiertaschen im Lager mit jeweils einer Pumpe pro Tasche oder mit einer Pumpe fr alle Schmiertaschen und jeweils einer Drossel (Kapillare, Blende usw.) vor jeder Tasche zugefhrt werden. Die Schmierspalthhe im Lager stellt sich entsprechend der Belastung ein. 5.4.1 Hydrostatische Radialgleitlager Hydrostatic journal bearings Es werden Lager mit und ohne Zwischennuten zwischen den Schmiertaschen hergestellt. Nachfolgend werden Lager mit Zwischennuten (Bild 17) behandelt, die z. B. bei schnelldrehenden Wellen eingesetzt werden. Fr die Berechnung, die sich an DIN 31 656 anlehnt, wird auf die Bezeichnungen in Bild 17 verwiesen. Es gelten folgende Voraussetzungen: Lastrichtung mittig auf Schmiertasche, konstanter Pumpendruck pen , Kapillare vor jeder Tasche, Drosselverh
ltnis x ¼ 1, relative Exzentrizit
t e < 0; 4: Fr die
gilt: effektive Tragkraftkennzahl Feff
Feff ¼ pF=ðZbc bax pen Þ

ð27Þ

mit Z als Anzahl der Schmiertaschen. Die minimale Schmierfilmdicke hmin kann berechnet werden aus Bild 15. Radialgleitlager mit Kippsegmenten (Sartorius, Gttingen)

hmin ¼ CR ð1  eÞ

ð28Þ

I5.4 Berechnung hydrostatischer Gleitlager

G 105

ð2=pÞfpðlax =BÞ þ Z ðlc =DÞ½1
2ðlax =BÞ
Z ðlax =BÞðbG =DÞg die bezogene Stegfl
che bedeutet. Fr die aufzubringende Gesamtleistung ptot gilt dann Ptot ¼ Pp þ Pf :

ð32Þ

Die Gesamtleistung l
ßt sich minimieren, wenn fr das Leistungsverh
ltnis P ¼ Pf =Pp ungef
hr P ¼ 2 gesetzt und die Bedingung qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  ffi
 pf ¼ hB w= pen y2 ¼ ð1=2Þ P Q = Pf ðB=DÞ eingehalten wird. So weist z. B. ein Lager mit Z ¼ 4; B=D ¼ 1; e ¼ 0; 4; hP ¼ 40 CR ; a ¼ 0; bG =D ¼ 0; 05; P ¼ 2 und lax =B ¼ 0; 1 eine optimierte Umfangsstegl
nge von lc =D ¼ 0; 1 auf und die dazugehrigen Kenngrßen lauten: Bild 17. Hydrostatisches Radialgleitlager mit Zwischennuten (schematisch). F Lagerkraft, wJ Winkelgeschwindigkeit der Welle, e Exzentrizit
t, b Verlagerungswinkel, Z Anzahl der Schmiertaschen, a Stellwinkel der 1. Tasche bezogen auf Taschenmitte, B Lagerbreite, D Lagerdurchmesser, DJ Wellendurchmesser, hmin kleinste Spalthhe, hP Schmiertaschentiefe, lax axiale Stegl
nge, lc Umfangsstegl
nge, bG Zwischennutbreite, jG ¼ lc =D þ bG =D halber Umfangswinkel von lc und bG ; bax ¼ ½ðp=Z Þ
jG D Abstrmbreite in axialer Richtung, bc ¼ B
lax Abstrmbreite in Umfangsrichtung

mit CR ¼ ðD
DJ Þ=2 als radiales Lagerspiel. Die relative Exzentrizit
t e folgt aus     =½ðFeff =Feff; e ¼ 0; 4 Feff 0 Þ ðe ¼ 0; 4Þ  Feff; 0 ðe ¼ 0; 4Þ  mit der effektiven Tragkraftkennzahl Feff , 0 ðe ¼ 0,4Þ fr wJ ¼ 0 aus Anh. G 5 Bild 7 und dem Tragkraftkennzahlenver  =Feff h
ltnis ðFeff , 0 Þ ðe ¼ 0; 4Þ aus Anh. G 5 Bild 8. Darin bedeuten k ¼ lax bc =ðlc bax Þ das Widerstandsverh
ltnis und Krot, nom ¼ ½k=ð1 þ kÞ x pf ðlc =DÞ die nominelle Dreheinflußkennzahl mit dem bezogenen Reibungsdruck pf ¼
 hB wJ = pen y2 , wobei die dynamische Schmierstoffviskosit
t im Lager hB aus Gl. (6) und das relative Lagerspiel aus y ¼ 2 CR =D berechnet werden. Der Schmierstoffdurchsatz Q l
ßt sich unter der Annahme, daß Q ðe < 0; 5Þ  Q ðe ¼ 0Þ ist, folgendermaßen bestimmen:

Q ¼ Q CR3 pen =hB mit

ð29Þ

 k ¼ 1; 416; Feff ¼ 0; 3927; pf ¼ 1; 288; Pf ¼ 1; 531; Q ¼ 5; 08

und Ptot ¼ Ptot =ðFwCR Þ ¼ 10; 349: 5.4.2 Hydrostatische Axialgleitlager Hydrostatic thrust bearings Es soll hier ein Mehrfl
chen-Axiallager mit Schmiertaschen und Kapillaren als Drosseln vorgestellt werden. Fr die Berechnung gelten die in Bild 18 angegebenen Bezeichnungen. Es wird angenommen, daß bei der Bestimmung der Tragkraft und des Schmierstoffdurchsatzes die Scher- gegenber der Druckstrmung vernachl
ssigt werden kann (gltig fr kleine Umfangsgeschwindigkeiten). Außerdem bleiben die Tragf
higkeit und die Reibung im Stegbereich zwischen den Schmiertaschen unbercksichtigt. Die Tragkraft F kann dann n
herungsweise bestimmt werden aus F ¼ðZjP =16Þ ½ pen =ð1 þ xÞ ½ðD21
D22 Þ = lnðD1 =D2 Þ
ðD23
D24 Þ=lnðD3 =D4 Þ

ð33Þ

mit dem Umfangswinkel der Schmiertasche jP ¼ ð2p=ZÞ
2 lc =D und dem mittleren Spurplattendurchmesser D ¼ ðD1 þ D4 Þ=2: Der Schmierstoffdurchsatz Q ergibt sich aus Q ¼ðZjP =12Þ ðh3min =hB Þ ½pen =ð1 þ xÞ ½1=lnðD1 =D2 Þ þ 1=lnðD3 =D4 Þ:

ð34Þ

Q ¼ðZ=6Þf½1=ð1 þ xÞ ðB=DÞ½ðk þ 1Þ=k  ½1
ðlax =BÞ=ðlc =DÞg als der Schmierstoffdurchsatzkennzahl. In dieser Gleichung ist 1=ð1 þ xÞ ¼ ðpP, 0 =pen Þ mit dem Taschendruck pP, 0 bei e ¼ 0 und dem Drosselverh
ltnis x ¼ Rcp =RP, 0 , wobei sich der Strmungswiderstand der Kapillare Rcp aus Rcp ¼ 128hcp lcp ð1 þ aÞ=ðpd4cp Þ mit der dynamischen Schmierstoffviskosit
t in der Kapillare hcp nach Gl. (6), der L
nge und dem Durchmesser der Kapillare lcp und dcp und dem Tr
gheitsanteil des Strmungswiderstandes a ¼ 0; 135 rQ=
 hcp lcp Z mit der Dichte r des zugefhrten Schmierstoffs berechnen l
ßt und der Strmungswiderstand einer Tasche
 RP, 0 bei e ¼ 0 der Gleichung RP, 0 ¼ 6hB lax = bax C3R ½1 þ k gengt. Die Pumpenleistung betr
gt ohne Bercksichtigung des Pumpenwirkungsgrades Pp ¼ Q pen ¼ Q p2en CR3 =hB :

ð30Þ

Die Reibungsleistung Pf folgt aus Pf ¼ Pf hB w2J BD3 =ð4CR Þ

ð31Þ

mit der Reibungsleistungskennzahl Pf aus der Beziehung Pf ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pAlan fð1= 1
e2 Þ þ ð4CR =hP Þ½ð1=Alan Þ
1g in der Alan¼

Bild 18. Hydrostatisches Mehrfl
chen-Axialgleitlager (schematisch). F Lagerkraft, w Winkelgeschwindigkeit der Spurscheibe, p Druckverteilung, pP Taschendruck, pen Zufhrdruck (Pumpendruck), jP Umfangswinkel der Schmiertasche, Z Anzahl der Schmiertaschen, Q Schmierstoffdurchsatz des Lagers, D1 Spurplattenaußendurchmesser, D2 Schmiertaschenaußendurchmesser, D3 Schmiertascheninnendurchmesser, D4 Spurplatteninnendurchmesser, lc Stegbreite in Umfangsrichtung auf dem mittleren Spurplattendurchmesser

G

G 106

Mechanische Konstruktionselemente – 5 Gleitlagerungen

F
r das Reibungsmoment Mf gilt
 Mf ¼ ðp=32ÞðhB w=hmin Þ D41
D42 þ D43
D44 :

ð35Þ

Die Reibungsleistung Pf folgt aus Pf ¼ Mf w und mit der Pumpenleistung Pp ¼ pen Q kann die Gesamtleistung Ptot ¼ Pf þ Pp ermittelt werden. Das Drosselverhltnis x sollte bei x ¼ 1 liegen und die Spaltweite hmin grßer als pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi hlim ¼ 1; 25 ðDRz Þ=3000 sein mit D als dem mittleren Spurplattendurchmesser und Rz als der gemittelten Rauhtiefe der Spurscheibe jeweils in m:

Bild 20. Aufbau eines wartungsfreien Gleitlagers aus Verbundwerkstoffen nach [13]

5.5 Dichtungen. Bearing seals

G

An Gleitlagern haben Wellendichtungen die Aufgabe, den Austritt von l und lnebel zu verhindern bzw. zu minimieren und das Eindringen von Fremdkrpern und Wasser in schdlichen Mengen zu verh
ten. Die Art der Dichtung richtet sich nach dem jeweiligen Anwendungsfall. Folgende Dichtungsarten werden serienmßig eingesetzt: Schneidendichtungen, schwimmende Schneiden- und Spaltdichtungen, einstellbare Kammerdichtungen, Schneidendichtungen mit Zusatzlabyrinth oder mit Zusatzkammer, Dralldichtungen, Weichdichtungen, Filzringe, fettgeschmierte Dichtungen, Spritzringdichtungen usw.

5.6 Wartungsfreie Gleitlager. Dry rubbing bearings Wartungsfreie Gleitlager zeigen ihre hchste Tragfhigkeit bei kleiner Gleitgeschwindigkeit. Hier knnen sie oft um ein Vielfaches hher belastet werden als hydrodynamische Gleitlager, die bei niedriger Gleitgeschwindigkeit im Mischreibungsgebiet laufen. Mit zunehmender Geschwindigkeit nimmt die ertragbare spezifische Belastung p jedoch ab   pU  ð pU Þzul , weil durch die zunehmende Reibungswrme die Lagertemperatur unzulssig hoch ansteigen w
rde. Typische Einsatzbereiche f
r unterschiedliche wartungsfreie Gleitlager sind in Bild 19 dargestellt. Als Lagerbauarten werden beispielsweise Sintergleitlager, metallkeramische Gleitlager, Vollkunststofflager aus Thermoplasten oder Duroplasten, Gleitlager aus Verbundwerkstoffen oder aus Kunstkohle eingesetzt. Der typische Aufbau eines Gleitlagers aus Verbundwerkstoffen ist im Bild 20 dargestellt.

Bild 19. Zulssige Betriebsbereiche f
r verschiedene wartungsfreie bzw. wartungsarme Gleitlager nach [13]. 1 Gleitlager aus Sinterbronze; 2 Gleitlager aus Sintereisen; 3 metallkeramische Gleitlager; 4 Verbundgleitlager mit Acetatharz; 5 Verbundgleitlager mit PTFESchicht; 6 Vollkunststoff-Gleitlager (Polyamid). (Der zulssige Einsatzbereich liegt jeweils unterhalb der Kurve.)

Wartungsfreie Gleitlager bentigen f
r die Funktion einen gewissen Verschleiß, um den Festschmierstoff (z. B. PTFE, Graphit) oder den Lagerwerkstoff selbst freizusetzen, wenn dieser als Schmierstoff wirken soll. Der Festschmierstoff wird besonders beim Einlauf auf den Gegenkrper
bertragen und setzt dort die Rauheitstler zu, so daß bei g
nstigen Bedingungen der Kontaktbereich zwischen Lager und Welle vollstndig mit Festschmierstoff ausgef
llt ist. Die Berechnung der wartungsfreien Gleitlager umfaßt die mechanische Belastbarkeit, die Lagertemperatur, wobei die richtige Erfassung der Wrmeabgabebedingungen entscheidend ist, den Verschleiß und damit die Lebensdauer [14]. Anwendung finden wartungsfreie Gleitlager vor allem da, wo ein hydrodynamischer Schmierfilmaufbau wegen niedriger Gleitgeschwindigkeiten nicht mglich, eine hydrostatische Lagerung zu aufwendig oder ein Einsatz von fl
ssigen Schmierstoffen unerw
nscht ist. F
r Lager mit oszillierenden Schwenkbewegungen werden in weiten Bereichen des Maschinenbaus auch Gelenklager eingesetzt, die am Innen- und Außenring sphrische Gleitflchen besitzen [15].

5.7 Konstruktive Gestaltung Design of plain bearings 5.7.1 Konstruktion und Schmierspaltausbildung Influence of the design on the form of the lubricated gap between bearing and shaft Die Berechnung hydrodynamischer Radialgleitlager legt eine in axialer Richtung parallele Schmierspaltform zugrunde, Bild 1. Durch die sich unter Belastung einstellende Verformung der Welle (Kr
mmung) und durch Fluchtungsfehler (Schiefstellung) wird in starr angeordneten Lagern die Parallelitt des Schmierspaltes gestrt, Bild 21. Das f
hrt zu Kantentragen (erhhte Kantenpressung) und zu Tragkraftminderungen, die bei Lagerbreiten B=D > 0; 3 deutlich sp
rbar werden. Durch konstruktive Maßnahmen zur Anpassung des Lagers an den Verformungszustand der Welle kann dem entgegengewirkt werden. Grundstzlich ist das mglich durch Anwendung mglichst kleiner Lagerbreiten. Bei Endlagern, die strker von Wellenschiefstellungen betroffen sind, kann eine Anpassung aber auch erreicht werden durch elastische Nachgiebigkeit des Lagerkrpers (Bild 22 a) oder durch eine kippbewegliche Anordnung, Bild 22 b. Bei Mittellagern, bei denen hufiger eine Wellenkr
mmung zu Problemen f
hrt, lßt sich das Kantentragen dadurch vermindern, indem die Lagerbohrungsenden leicht konisch erweitert werden (Bild 22 c) bzw. die Lagerschale nicht
ber die ganze Lnge im Lagerkrper abgest
tzt wird, Bild 22 d und e. Weitere Anpassungen zur Tragfhigkeitssteigerung werden
ber Einlaufvorgnge erreicht. Bei Axiallagern knnen Schiefstellungen der Spurplatte durch eine elastische Abst
tzung der Spurplatte oder der einzelnen Segmente ausgeglichen werden, Bild 6 b. Letzteres bewirkt auch ein gleichmßiges Tragen aller Segmente.

I5.7 Konstruktive Gestaltung

G 107

Bild 21 a, b. Kantentragen bei starren Lagerkrpern [16]. a Wellenschiefstellung in einem Endlager; b Wellenkrmmung in einem Mittellager

G

Bild 23 a–c. Ringschmierung. a Fester Schmierring mit Abstreifer fr beidseitige lversorgung; b fester Schmierring fr innere lbergabe und Abstreifer fr einseitige lversorgung (Gefahr des labschleuderns geringer als bei Variante a); c loser Schmierring Bild 22 a–e. Konstruktive Maßnahmen zur Minderung des Kantentragens. a Elastische Nachgiebigkeit [16]; b Kippbeweglichkeit des Lagerkrpers [17]; c konische Erweiterung der Lagerbohrungsenden [17]; d und e elastische Verformung der Lagerbuchse bei verringerter Sttzbreite im Lagerkrper [17]

5.7.2 Lagerschmierung. Lubricant supply Ein Lager muß so konstruiert sein, daß sich der Gleitraum hinreichend mit Schmierstoff versorgen l
ßt. Das kann geschehen durch feste oder lose Schmierringe (Bild 23) oder durch Umlaufschmierung (Bild 24). Feste Schmierringe mit Abstreifer (Bild 23 a) sind nach VDI 2204 fr Geschwindigkeiten von 10 m/s am Ringaußendurchmesser geeignet. Bei hheren Geschwindigkeiten schleudert das l ab, und es bildet sich Schaum im lvorrat. Bei festen Schmierringen im geschlossenen Ringkanal oder mit geeignetem Ringquerschnitt (Bild 23 b) nimmt dagegen die Frdermenge mit steigender Ringgeschwindigkeit zu. Hier liegt der Einsatzbereich nach VDI 2204 bei 14 bis 24 m/s. Bei losen Schmierringen (Bild 23 c) w
chst das Frdervolumen zun
chst mit steigender Ringgeschwindigkeit an, erreicht ein Maximum und f
llt dann wieder ab. Lose Schmierringe knnen nach VDI 2204 zwischen 10 und 20 m/s eingesetzt werden, wobei die Einsatzgrenze von der Ringform, der Schmierstoffviskosit
t, der Reibung zwischen Ring und Welle und der Eintauchtiefe abh
ngig ist. Sie knnen zwischen 1 und 4 l/min frdern. Die oberen Werte werden aber nur mit

Bild 24. lumlaufschmierung mit Khlung (schematisch)

profilierten Ringen erreicht. Bei dynamischer Belastung oder Stßen sind lose Ringe ungeeignet. lumlaufschmiersysteme, im wesentlichen bestehend aus Pumpe, lbeh
lter, Khler, Volumenstromregler, Filter, Zufhr- und Rcklaufleitungen und Mess- und Regeleinrichtungen fr ltemperatur und -druck versorgen meist mehrere Lager zentral mit gekhltem und gefiltertem l, wobei der Zufhrdruck zwischen 0,5 und 5 bar liegen kann. Die Geschwindigkeit in den Zufhrleitungen sollte 1,5 bis 2 m/s nicht berschreiten. Die Rohrdurchmesser der Rcklaufleitungen sollte 4- bis 6-mal so groß wie die der Zufhrleitungen sein und ein gleichm
ßiges Gef
lle von ca. 15  aufweisen. Die Schmierstoffzufuhr sollte in der unbelasteten Zone im Bereich des di-

G 108

G

Mechanische Konstruktionselemente – 5 Gleitlagerungen

vergierenden Spalts erfolgen, um in der belasteten Zone einen ungest
rten Druckaufbau mit maximaler Tragwirkung zu erzielen und die Verschumungsgefahr fr den Schmierstoff zu mindern. Bei instationr belasteten Radialgleitlagern kann die gnstigste Lage der Schmierstoffzufuhr aus der Wellenverlagerungsbahn ermittelt werden. Die gleichmßige Verteilung des Schmierstoffs ber der Lagerbreite erfolgt in der Regel entweder ber eine oder mehrere Taschen oder Bohrungen oder ber eine Ringnut. Letztere (ganz oder teilweise umlaufend) wird hufig bei rotierender oder unbestimmter Lastrichtung eingesetzt. Bei einem schmalen Lager wird i. allg. eine Bohrung eingebracht. Die axiale Breite von Schmiertaschen sollte weniger als 70% der Lagerbreite betragen, um den Seitenfluß klein zu halten. Abstreifer k
nnen verhindern, daß heiß austretender Schmierstoff wieder in den Gleitraum eintritt. Bei Axiallagern fr vertikal angeordnete Wellen ist darauf zu achten, daß trotz der Wirkung der Fliehkraft die innenliegenden Bereiche der Gleitflchen ausreichend mit Schmierstoff versorgt werden. 5.7.3 Lagerk
hlung. Bearing cooling Bei Lagern mit Ringschmierung wird die Reibungswrme berwiegend ber das Lagergehuse an die Umgebung abgegeben. Dabei hngt die Khlwirkung von den Umstr
mungsverhltnissen am Lagergehuse ab. Bei Umlaufschmierung wird die Wrme hauptschlich mit dem Schmierstoff abgefhrt. Ohne zustzliche Khlung des lvorrats sind dabei labkhlungen bis zu 10 K m
glich [18]. Durch den Einbau von Rohrschlangen, die von gekhltem Wasser oder Khl
l durchflossen werden, in den lsumpf oder -sammelbehlter (Bild 24) lßt sich eine lrckkhlung von 20 bis 30 K erzielen. 5.7.4 Lagerwerkstoffe. Bearing materials Neben ausreichender Festigkeit, Widerstandsfhigkeit gegen Korrosion und Kavitation und chemischer Bestndigkeit gegen den Schmierstoff und die sich darin befindlichen Stoffe (Additive) sollten die Lagerwerkstoffe auch besondere Gleiteigenschaften besitzen. Hierfr spielen eine gute Benetzbarkeit und eine hohe Kapillaritt durch den eingesetzten Schmierstoff, Notlaufeigenschaften und ausreichendes Einlauf-, Einbettungs- und Verschleißverhalten eine wichtige Rolle. Bei guter Benetzbbarkeit wird die Gleitlageroberflche vollstndig von einem Schmierfilm bedeckt, und bei hoher Kapillarit
t kann der Schmierstoff auch in den engen Spalt zwischen Welle und Lagerschale eindringen und dort fr einen Schmierfilmaufbau zur Verfgung stehen. Von Bedeutung sind diese Eigenschaften vor allem im Mischreibungsgebiet beim An- und Auslauf des Lagers, wenn nur wenig Schmierstoff in der Kontaktzone vorhanden ist. Der Lagerwerkstoff sollte auch Notlaufeigenschaft aufweisen, damit bei Versagen der Schmierung das Lager kurzzeitig ohne große Schdigung betriebsfhig gehalten werden kann. Dabei wirken noch Rest
lmengen sowie eventuell im Lagerwerkstoff vorhandene Festschmierstoffe (Graphit, Molybdndisulfid) mit. Hauptschlich werden die Notlaufeigenschaften aber durch die Eigenschaften der Lagermetalle bestimmt. Am besten eignen sich niedrig schmelzende Metalle geringer Hrte, die bei
rtlicher Erhitzung aufschmelzen und so die Reibung niedrig halten. Wichtig ist in diesem Zusammenhang auch die Unempfindlichkeit gegen Fressen, d. h. der Widerstand des Gleitlagerwerkstoffs gegen die Bildung von adhsiven Bindungen mit dem Gegenk
rper. Gnstig ist außerdem ein gutes Einlaufverhalten, um die Oberflchen und die Form der Laufflchen durch Abrieb und Verformung ohne merkliche Beeintrchtigung der Funktionen in kurzer Zeit so anzupassen, daß

die durch Fertigung, Montage und elastische Verformungen bedingten Abweichungen von der Sollform des Gleitraumes weitgehend ausgeglichen werden. In Verbindung mit Stahlwellen nehmen die Gleiteigenschaften und das Einlaufverhalten von Lagerwerkstoffen in folgender Reihenfolge ab: Weißmetall (WM) auf Bleibasis, WM auf Zinnbasis, Bleibronzen, Rotguß, Zinnbronzen, Sondermessing [19]. Durch das Einbettungsverhalten k
nnen Fremdk
rper (Schmutz- und/oder Verschleißpartikel) in die Gleitflche eingelagert und dadurch deren schdigende Wirkung gemildert werden. Dennoch verlangen auch einbettungsfhige Werkstoffe, die Lager vor Verschmutzung zu schtzen und den Schmierstoff durch Filterung sauber zu halten. Die Verschleißfestigkeit der Lagerwerkstoffe nimmt ausgehend von den Bronzen ber Messing, Al-Pb-Bronzen, Rotguß, Al-Zn- und Kadmiumlegierungen bis hin zu den Weißmetallen ab [19]. In Gleitlagern tritt Verschleiß dann auf, wenn sie bei Mischreibung (z. B. whrend des An- und Auslaufs) betrieben werden. Wegen der starken Abhngigkeit von den Betriebsbedingungen und den Eigenschaften der Reibpartner und des Schmierstoffs lassen sich allgemeingltige Aussagen zum Verschleiß kaum machen. Als metallische Lagerwerkstoffe werden Blei-, Zinn-, Kupferund Aluminium-Legierungen eingesetzt. Fr eine Auswahl von Lagerwerkstoffen sind im Anh. G 5 Tab. 1 Werte ber die h
chstzulssige spezifische Lagerbelastung angegeben. Fr bestimmte Anwendungsflle (Wasserschmierung, Trokkenlauf, chemisch aggressive Medien) werden auch nichtmetallische Werkstoffe, wie z. B. Gummi, Kunststoff und Keramik, verwendet. Dabei sind deren von den Metallen abweichende physikalische Eigenschaften (Festigkeit, Elastizitt, Wrmeleitfhigkeit, thermische Stabilitt) besonders zu beachten. 5.7.5 Lagerbauformen. Bearing liners Bei den Bauformen werden Massiv- und Verbundlager sowie Dick- und Dnnwandlager unterschieden. Kleine Massivlager werden aus Rohr, große im Schleudergußverfahren als Buchsen hergestellt und in Gehusebohrungen eingepreßt. In Verbundlagern wird auf eine Stahlsttzschale das Lagermetall in einer Dicke von 0,3 bis 0,5 mm in einem Bandaufgieß- oder Walzplattierverfahren aufgebracht (Zweischichtlager). Fr besonders hohe Beanspruchungen werden Mehrschichtlager hergestellt, Bild 25. Dabei wird auf die Lagermaterialschicht (Bronze oder Aluminium) mit einer Nickelzwischenschicht von 1 bis 2 mm Dicke eine maximal 20 mm dicke weiche Gleitschicht aufgetragen. Durch die Gleitschicht wird die Benetzungsfhigkeit der Gleitflche wesentlich erh
ht und die Korrosionsbestndigkeit verbessert. Diese Gleitschicht dient als Verschleißschicht, z. B. beim Einlaufen des Lagers [8].

Bild 25. Aufbau eines Verbundlagers (Dreischichtlager) nach [8]

I6.2 Flachriemengetriebe

G 109

6 Zugmittelgetriebe Belt and chain drives H. Mertens, Berlin

6.1 Bauarten, Anwendungen. Types, applications Zugmittelgetriebe dienen zur Wandlung von Drehzahlen und Drehmomenten zwischen zwei oder mehr nichtkoaxialen Wellen, auch mit gr
ßeren Wellenabstnden, bei geringem Bauaufwand. Als Zugmittel finden endlose Flachriemen, Keilriemen, Synchronriemen oder Ketten Verwendung, die die Riemenscheiben oder Kettenrder von An- und Abtriebswellen umschlingen und dabei Umfangsgeschwindigkeiten und Umfangskrfte bertragen [1, 16]. Reibschl
ssige Zugmittelgetriebe. Sie erfordern zur Aufrechterhaltung des Reibschlusses stets eine Mindestvorspannkraft. Die Drehzahlwandlung erfolgt bei richtiger Auslegung mit einem geringen, lastabhngigen Schlupf (Dehnschlupf) und nahezu konstanter (Bild 1) oder stufenlos verstellbarer (z. B. Bild 8 c) bersetzung. Formschl
ssige Zugmittelgetriebe. Sie erfordern zur Erzielung eines optimalen Laufverhaltens mit hoher Lebensdauer und/oder zur Vermeidung von bersetzungsfehlern (berspringen von Zhnen) ebenfalls eine bauartabhngige Mindestvorspannkraft, Bild 2. Sie erzeugen dann eine konstante bersetzung, wenn die meist geringe Ungleichf
rmigkeit der Drehbertragung mit der Frequenz der einlaufenden Zhne oder Kettenglieder (Polygoneffekt) vernachlssigt wird. Flachriemen, Keilriemen und Synchronriemen erm
glichen wegen ihrer leichten Tordierbarkeit den Aufbau rumlicher Antriebe mit nichtparallelen Wellen, Bild 3 d, e. Stahlketten sind nur fr Antriebe zwischen parallelen Wellen geeignet. Die mit wachsender Umfangsgeschwindigkeit u des Zugmittels wachsenden Fliehkrfte vermindern die bertragbaren Umfangskrfte. Die maximale Leistung wird daher bei einer, allerdings meist vom kleinsten Scheibendurchmesser abhngigen, optimalen Umfangsgeschwindigkeit uopt des Zugmittels bertragen.

G Bild 3 a–e. Ebene (a bis c) und rumliche (d und e) Antriebe. a offenes Riemengetriebe; b gekreuztes Riemengetriebe; c Vielwellenantrieb mit Flachriemen; d rumlicher Flachriementrieb mit drei Leitrollen L; e rumliches Synchronriemengetriebe

6.2 Flachriemengetriebe. Flat belt drives 6.2.1 Krfte am Flachriemengetriebe Forces in flat belt transmissions Die bertragung der Umfangskraft zwischen Riemen und Riemenscheibe erfolgt durch Schubspannungen. Fr den Grenzfall des Gleitens im gesamten Umschlingungsbogen (Gleitschlupf, s. B 1.11) gilt nach Eytelwein F10 =F20 ¼ emb mit den Trumkrften F10 und F20 ohne Fliehkraft und dem Umschlingungswinkel b ½rad
¼ ðp=180Þ  b ½Grad
(e=2,718) (Bild 4). Im normalen Betrieb durchluft der Riemen auf jeder Riemenscheibe zuerst einen Ruhebogen br , in dem der Riemen auf der Riemenscheibe nicht gleitet und dann den Wirkbogen bw ¼ b  br . Schubspannungen werden im Ruhebogen durch Haftreibung bertragen, im Wirkbogen durch Gleitreibung [2]. Vernachlssigt man die Schubspannungsbertragung im Ruhebogen, dann gilt nach Grashof fr das Trumkraftverhltnis F10 =F20 ¼ embw . In Entwurfsberechnungen wird der Bemessungslast der volle Umschlingungswinkel b der kleineren Scheibe zugeordnet F10 =F20 ¼ m ¼ emb :

Bild 1 a–c. Reibschlssige Zugmittel. a Flachriemen; b Keilriemen; c Rundriemen, jeweils mit Riemenscheibe

ð1Þ

Die in den Umschlingungsb
gen des Riemens wirkenden Fliehkrfte, die dort den Auflagedruck vermindern, werden durch die freien Trume abgesttzt und wirken daher als Fliehkraft Ff ¼ ru2 A ¼ qu2 gleichmßig im gesamten Riemen (r mittlere Dichte, A Querschnitt des Riemens, q Masse eines Zugmittels je Lngeneinheit). Nutzbare Trumkrfte F10 ¼ F1  Ff ¼ mF20 ; F20 ¼ F2  Ff ¼ F10 =m; Umfangskraft (Nutzkraft) Fu ¼ F1  F2 ¼ F10  F20 ¼ F10 ð1  1=mÞ, maximale Trumkraft Fmax ¼ F1 ¼ F10 þ Ff ¼ F20 þ Fu þ Ff :

Bild 2 a–c. Formschlssige Zugmittel. a Rollen- bzw. Hlsenkette auf Kettenrad; b Zahnkette auf Zahnrad; c Synchronriemen auf Synchronscheibe

Die Wellenspannkraft FW , die i. allg. nicht in Richtung der Winkelhalbierenden von b weist, die aber fr die Lagerbelastung maßgebend ist, betrgt nach Bild 5 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FW ¼ F102 þ F202  2F10 F20 cos b: ð2Þ Der Durchzugsgrad F kennzeichnet die zur Erzeugung der Umfangskraft mindestens erforderliche Wellenspannkraft in

G 110

Mechanische Konstruktionselemente – 6 Zugmittelgetriebe

Bild 4. Bezeichnungen am offenen Riemengetriebe mit Index 1 fr die kleinere Scheibe

ser im Riemen von Dicke und E-Modul der einzelnen Schichten ab. Bild 6 zeigt die Spannungsverteilung bei Zug- und Biegebeanspruchung qualitativ. Fr die praktische Auslegung auch von Mehrschichtriemen wird vereinfacht nur die fr den jeweiligen Riementyp zul
ssige Umfangskraft pro Riemenbreite Fu zugrundegelegt, die auch die ertragbare Wechselbiegebeanspruchung fr zul
ssige Mindestscheibendurchmesser dmin und die zugeordnete, maximal zul
ssige Biegefrequenz fB bercksichtigt. Die neutrale Faser bei Biegung wird in der Mitte der Riemendicke bei s/2 angenommen; die Dehnung e bei Zugbeanspruchung mit einem mittleren Zug-Modul ðEAÞ berechnet: e ¼ F =ðEAÞ.

G Bild 5. Auf eine Riemenscheibe wirkende Kr
fte

Abh
ngigkeit von Reibungszahl m und Umschlingungswinkel b pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð3Þ F ¼ Fu =FW ¼ ðm
1Þ= m2 þ 1
2m cos b: Die Ausbeute k kennzeichnet die mit der zul
ssigen Trumkraft F10 erzielbare Umfangskraft Fu in Abh
ngigkeit von m und b k ¼ Fu =F10 ¼ 1
ð1=mÞ:

ð4Þ

Die Verminderung der Ausbeute mit abnehmendem Umschlingungswinkel wird durch den Winkelfaktor cb ausgedrckt, der auf b ¼ p bzw. 180  bezogen ist. Winkelfaktor cb ¼ kb =kp bei m ¼ const; es gilt fr b > p: cb ^ b=p ¼ ðb ½GradÞ=180. 6.2.2 Beanspruchungen. Stresses Homogene Flachriemen. Aus den Kr
ften und dem Riemenquerschnitt A ¼ bs ergeben sich die Spannungen fr homogene Riemen. Fr Mehrschichtriemen sind diese Spannungen nur als fiktive, rechnerische Mittelwerte zu betrachten. Trumspannungen s1 ¼ F1 =A, s2 ¼ F2 =A; Nutzspannung sn ¼ Fu =A ¼ s1
s2 ; Fliehspannung sf ¼ Ff =A ¼ ru2 : Die Biegespannung ergibt sich aus der Biegedehnung im Umschlingungsbogen der kleineren Scheibe. Biegespannung sb ¼ Eb eb ¼ Eb s=dw1 (Eb Elastizit
tsmodul bei Biegung, eb Riemendehnung bei Biegung, s Riemendicke). Max. Beanspruchung smax ¼ s1 þ sb ¼ s2 þ sn þ sb :

Bild 6 a, b. Dehnungen und Spannungen in Mehrschichtriemen. a bei Zugbeanspruchung; b bei Biegebeanspruchung (n neutrale Faser)

ð5Þ

Bei halb gekreuzten (geschr
nkten) und gekreuzten Riemengetrieben erf
hrt der Riemen eine zus
tzliche Schr
nkspannung ss an seinen R
ndern, so daß hier smax; s ¼ s1 þ sb þ ss ist. Mehrschicht-Flachriemen. Bei Mehrschichtriemen (Bild 10), die aus einer hochfesten tragenden Zugschicht Z, einer Laufschicht L zur bertragung der Reibkraft auf der Innenseite und h
ufig noch aus einer Deckschicht D oder einer weiteren Laufschicht (fr Mehrscheiben-Antriebe) auf der Außenseite des Riemens zusammengesetzt sind, entstehen bei Dehnungen sehr unterschiedliche Spannungen in den einzelnen Schichten. Bei Biegung h
ngt die Lage der neutralen Biegefa-

6.2.3 Geometrische Beziehungen. Geometrical relations Der wirksame Laufdurchmesser dw eines Riemens ist durch die Lage seiner biegeneutralen Faser im Umschlingungsbogen gegeben. Fr berschl
gige Rechnungen kann man vereinfacht den Scheibendurchmesser d statt dw einsetzen. Fr homogene Riemen gilt: dw1 ¼ d1 þ s; dw2 ¼ d2 þ s; fr Schichtriemen gilt dies angen
hert. Offenes Riemengetriebe (Bild 4). Umschlingungswinkel b1 ¼ 2 arccos½ðd2
d1 Þ=2e; b2 ¼ 2 p
b1 ; Riemenl
nge (gestreckte L
nge der neutralen Biegefaser) Lw ¼ 2e sinðb1 =2Þ þ ðdw1 b1 þ dw2 b2 Þ=2: N
herungsformel fr Wellenmittenabstand e bei gegebener Riemenl
nge pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi e  ðp þ p2
qÞ mit p ¼ 0;25Lw
pðdw1 þ dw2 Þ=8 und q ¼ ðdw2
dw1 Þ2 =8. Die Vergrßerung De des Wellenabstands zum Vordehnen des Riemens um e0 ¼ DL=L ergibt sich aus je einer Rechnung fr Lw und ð1 þ e0 Þ Lw oder De  ðe0 Lw =2Þ= sinðb1 =2Þ. Gekreuztes Riemengetriebe. Bild 3 b mit Bezeichnungen nach Bild 4. Umschlingungswinkel b1 ¼ b2 ¼ bkr ¼ 2 p
bR mit bR ¼ 2 arccos½ðdw1 þ dw2 Þ=ð2eÞ: L
nge des gekreuzten Riemens (mittlere Faser) Lkr ¼ 2e sinðbR =2Þ þ ðdw1 þ dw2 Þbkr =2Þ: Wegen Schr
nkspannungen ss empfiehlt sich e ^ 20b. Lebensdauer wegen gegenl
ufiger Biegung geringer als bei offenem Riemengetriebe. Geschr
nktes Riemengetriebe (Bild 7). Kreuzungswinkel d 6¼ 0
. L
nge der mittleren Faser des halbgekreuzten Riemens mit d ¼ 90
: L90  2e þ dw1 ðp þ gÞ=2 þ dw2 ðp þ jÞ=2 mit tanðg=2Þ ¼ dw1 =ð2eÞ und tanðj=2Þ ¼ dw2 =ð2eÞ. Konstruktionsmaße e1 und e2 (%b=2) beachten, damit der Riemen in der richtigen Scheibenebene aufl
uft! Das ablaufende Trum darf im Winkel (bis 25
) zur Scheibenebene liegen, Laufrich-

I6.2 Flachriemengetriebe

G 111

schlingungsbogen nicht gleitendes Riemenstck muß die unterschiedlichen Geschwindigkeiten ber Dehnungen ausgleichen, es muß die Form eines Kegelstumpfmantels annehmen und gleichsam hochkant gebogen werden, Bild 8 b. Gleichgewicht tritt ein, wenn das durch diese Biegeverformung bei A entstehende Biegemoment durch Schr
gzug des Trums ausgeglichen wird, Bild 8 c. Axialversatz etwa 0;6  Riemenbreite, der genaue Versatz ergibt sich nach kurzer Einlaufzeit.

Bild 7 a, b. Riemengeometrie am geschr
nkten Riemengetriebe. a stumpfwinklig geschr
nkt; b rechtwinklig geschr
nkt

tung nicht umkehrbar. Wegen Schr
nkspannung ss empfiehlt sich e ^ 20b und e > 2ðdw Þmax . 6.2.4 Kinematik, Leistung, Wirkungsgrad Kinematics, power, efficiency Riemengeschwindigkeiten u1 ¼ pnan dw; an ; u2 ¼ pnab dw; ab :

ð6Þ

Infolge der grßeren Dehnung muß die Geschwindigkeit u1 des Lasttrums zum Aufrechterhalten eines station
ren Betriebs etwas grßer als die Geschwindigkeit u2 des Leertrums sein. Der Ausgleich zwischen den Dehnungen von Last- und Leertrums erfolgt praktisch durch Dehnschlupf in den Wirkbgen von Antriebs- und Abtriebsscheibe. Der Dehnschlupf y ergibt sich zu y ¼ e1
e2 ¼ ðs1
s2 Þ=E ¼ sn =E  ðu1
u2 Þ=u1 . Die
bersetzung i ist daher im normalen Betrieb geringfgig lastabh
ngig: i ¼ nan =nab ¼ dw, ab u1 =ðdw, an u2 Þ  dw, ab =½dw, an ð1
sn =EÞ:

ð7Þ

Bei Leerlauf gilt i  dab =dan : Biegefrequenz (Anzahl der Biegewechsel je s; zs Anzahl der Scheiben.) fB ¼ zs u=Lw ¼ ðzs pdw1 n1 Þ=Lw

ð8Þ

Die Drehmomente folgen aus den Trumkr
ften M1 ¼ Fu dw1 =2; M2 ¼ Fu dw2 =2: Leistungen: Pan ¼ 2pMan nan ; Pab ¼ 2pMab nab :

ð9Þ

Bemessungsleistung cB Pan mit Betriebsfaktor cB nach Tab. 1 fr ersten Entwurf ohne Schwingungsrechnung (in Anlehnung an DIN 2218 oder Richtlinie VDI 2758). Wirkungsgrad h ¼ Pab =Pan ¼ Mab =ðMan iÞ  ð1
sn =EÞ ¼ 1
y: Der Wirkungsgrad h
ngt bei Vernachl
ssigung von Lagerreibung und Ventilationsverlusten praktisch nur vom Schlupf ab, weil die Umfangskraft eines jeden Trums an beiden Scheiben als gleich groß anzunehmen ist. Wirkungsgrade im Bestpunkt h ¼ 0;96 (Chromleder) und h ¼ 0;98 (Elastomer-Laufschicht).

Flachriemengetriebe mit konstanten
bersetzungen. Die Scheiben blicher offener und gekreuzter Flachriemengetriebe werden mit leicht kreisfrmig gewlbten Lauffl
chen nach DIN 111 (ISO/R 100) ausgefhrt (Tab. 2), um den stets zum grßten Scheibendurchmesser strebenden Riemen axial zu fhren. Bei offenen Riemengetrieben mit waagerechten Wellen kann bei einer bersetzung i>3 die kleinere Scheibe zylindrisch ausgefhrt werden. Voraussetzungen fr guten Riemenlauf sind: Achsparallelit
t beider Wellen, zentrisch laufende Riemenscheiben, Ausrichten der grßten Durchmesser gewlbter Riemenscheiben fluchtend in einer Ebene, Riemenr
nder innerhalb der Scheibenbreite bs > b, glatte Scheibenlauffl
chen nach DIN 111. „Griffige“, porse oder wellige Oberfl
chen oder klebende Haftmittel behindern den natrlichen Dehnschlupf im Wirkbogen, erhhen den Verschleiß und knnen durch Stick-Slip-Effekte L
ngsschwingungen des Riemens anregen. Rumliche Riemengetriebe (Bild 3 d, e) erhalten zylindrische Riemenscheiben. Zur sicheren Riemenfhrung bei halbgekreuzten Riemengetrieben ðd ¼ 90
Þ werden empfohlen: Scheibenbreite bs ¼ 2b, axialer Abstand der Scheibenmittelebene vom jeweiligen Gegenrad e1 ; e2 ¼ ð0;2 . . . 0;5Þb (Bild 7 b), d2 =d1 ¼ 1 . . . 2;5, e ^ 20b. Erzeugung der Vorspannung. Die fr den Reibschluß mindestens erforderliche Wellenbelastung FW kann mit den Verfahren nach Bild 9 a bis d erzeugt werden durch: a. Auflegedehnung bei starrem Achsabstand. Hierbei wird die Riemenl
nge so bemessen, daß der Riemen beim Auflegen auf die Scheiben durch elastische Dehnung vorgespannt wird. Bei einstellbarem Achsabstand (z. B. Antriebsmotor auf Spannschienen) kann die Vorspannung auch nach dem Auflegen durch Vergrßerung des Achsabstands erzeugt werden. Bei starrem Achsabstand bleibt die Riemenl
nge bei allen Betriebszust
nden konstant. Deshalb werden die Trumkr
fte F 0 und die Wellenspannkr
fte FW durch die Fliehkraft vermindert. Die Auflegedehnung muß daher entsprechend sf grßer gew
hlt werden, um bei Betriebsdrehzahl den erforderlichen Reibschluß sicherzustellen. Die Wellenbelastung steigt schwach mit zunehmendem Drehmoment, sie wird durch die genaue Dehnungsverteilung festgelegt [2]. Da die Auflegedehnung ber lange Betriebszeiten aufrechterhalten werden soll, eignet sich dieses Spannverfahren vor allem fr Riemen mit hoher Maßstabilit
t, z. B. Mehrschichtriemen mit Poly-

6.2.5 Riemenlauf und Vorspannung Coming action of flat belts, tensioning Konusscheiben bei Verstellgetrieben. Auf einer konischen Scheibe nimmt der auf den grßeren Durchmesser auflaufende Riemenrand eine hhere Geschwindigkeit an als der andere, so daß das folgende Riemenstck zum grßeren Durchmesser hin gekippt wird und dadurch auf einen grßeren Laufdurchmesser dL auflaufen will, Bild 8 a. Ein im Um-

Bild 8. a Axiales Auflaufen des Riemens zum grßeren Durchmesser; b Gleichgewicht beim tangentialen Auflaufen des Riemens auf konische Scheibe; c Antrieb mit zwei konischen Scheiben fr stufenlos verstellbare bersetzung

G

G 112

Mechanische Konstruktionselemente – 6 Zugmittelgetriebe

Tabelle 1. Betriebsfaktor cB zur angenherten Ber
cksichtigung des dynamischen Verhaltens von Antriebs- und Arbeitsmaschine sowie der tglichen Betriebsdauer f
r offene Zugmittelgetriebe ohne Spannrolle

G

Tabelle 2. Empfohlene Wlbhhen h entsprechend DIN 111

amid- oder Polyester-Zugschichten; es ist das daf
r
berwiegend angewandte Spannverfahren.

b. Spannwelle. Die Wellenbelastung FW wird durch Gewichte oder (weiche) Federn auf die querbewegliche Welle aufgebracht, geeignet f
r Riemen mit zeitabhngiger Nachdehnung unter Belastung. Neben dem hheren Aufwand ist jedoch die Gefahr von Schwingungen zu beachten. c. Spannrolle am Leertrum. Die bewegliche feder- oder gewichtsbelastete Spannrolle erzeugt konstante Trumkraft F2 bei allen Betriebszustnden. Bei Anwendung der Spannrolle auf der Außenseite des Riemens wird zugleich der Umschlingungswinkel b erhht und dadurch der Winkelfaktor cb verbessert. Die zustzliche Spannrolle erhht jedoch die Biegefrequenz und mindert dadurch bei grßeren Riemengeschwindigkeiten die zulssige Nutzspannung. Ihr Durchmesser soll mit R
cksicht auf die Lebensdauer des Riemens grßer als d1, min , ihre Laufflche stets zylindrisch sein. Dieses Spannverfahren f
hrt bei kleinen Drehmomenten zu niedrigen Trum- und Wellenbelastungen, es ist daher geeignet f
r Antriebe mit
berwiegend Teillastbetrieb und Riemen mit zeitabhngiger Nachdehnung, wobei auch hier die Gefahr von

I6.2 Flachriemengetriebe Schwingungen zu beachten ist. Wird eine feste (einstellbare) Spannrolle am Leertrum zur Einstellung der Auflegedehnung und auch zur Vergr
ßerung von b benutzt, so stellt sich das gleiche Betriebsverhalten wie im Spannverfahren nach (Bild 9 a) ein. d. Selbstspannung mit Doppelspannrolle [3]. Die Spannrollen im Last- und Leertrum besitzen einen festen (einstellbaren) Achsabstand, sie werden auf einer Kreisbahn um eine Riemenscheibenlagerung reibungsarm gefhrt und mssen deshalb in jedem Betriebszustand jeweils gleiche Achsbelastungen besitzen, was aber unterschiedliche Umschlingungswinkel der Spannrollen bedingt und zur Selbstspannung fhrt. Bei Teillast stellen sich niedrige Trumkrfte F10 und F20 und damit niedrige Wellenbelastungen ein. Die Trumkrfte und die Wellenbelastungen steigen mit zunehmender Umfangskraft Fu . Es ist eine sorgfltige Anpassung der Spannrollengeometrie an Achsabstand, Scheibendurchmesser und Riemenelastizitt bei diesem auch fr wechselnde Antriebsrichtung (Bremsen) wirksamen Spannverfahren notwendig. Die relativ einfache Konstruktion ist geeignet fr Antriebe bis zu sehr hohen Leistungen mit vorwiegendem Teillastbetrieb und Riemen ohne nennenswerte zeitliche Nachdehnung, wenngleich auch hier die Neigung zu Querschwingungen gegenber Konstruktionen mit festen Spannelementen zunimmt. 6.2.6 Riemenwerkstoffe. Materials Frher bliche Riemen aus Leder wurden wegen ihrer geringeren Festigkeit, krzeren Lebensdauer und starken Nachdehnung im Betrieb von Kunststoff-Mehrschichtriemen (Verbundriemen) abgel
st. Die Riemen werden entweder in passender Lnge endlos hergestellt oder am Einsatzort an ihren schrg geschnittenen, zugeschrften Enden unter Erwrmung endlos geklebt. Bild 10 und Tab. 3 zeigen Aufbau und Werkstoffe gebruchlicher Riemenbauarten. Tab. 4 die Werkstoffkennwerte von Flachriemen-Zugschichten.

G 113

6.2.7 Entwurfsberechnung. Calculation Die zulssige Beanspruchung von Riemen wird nicht durch deren Zugfestigkeit, sondern durch Zerrttung (Zermrbung) und bei ungengender Vorspannung durch Verschleiß begrenzt. So betrgt die Zugfestigkeit Rm bei Flachriemen das 10- bis 20fache der zulssigen Betriebsbeanspruchung sn . Die Schdigung von Riemen wird beschleunigt durch h
here Temperaturen und h
here Walkarbeit, d. h. durch h
here Biegefrequenzen und kleinere Biegeradien. Die zulssige Betriebsbelastung wird aus Versuchen bestimmt. Die berschlgige Auslegung eines offenen Flachriemengetriebes der hufigsten Bauart nach Bild 10 d geht von der zulssigen auf 1 mm Riemenbreite bezogenen (Index
) Nennumfangskraft
bei einem zugeordneten kleinsten zulssigen ScheibenFuN durchmesser d1, min der kleineren Riemenscheibe nach Anh. G 6 Tab. 1 aus. Die Riemengeschwindigkeit umax und die Biegefrequenz fB; max nach Tab. 3 sollen nicht berschritten werden. Mit Durchmesser der kleinsten Scheibe d1 ; Umschlingungswinkel b1 ; Winkelfaktor cb ; Riemenbreite b und Antriebsdrehzahl nan ergeben sich fr Riemen nach Bild 10 d in Anlehnung an Herstellerangaben [4]:
ð2  d zul: bezogene Umfangskraft Fu;
zul  cb FuN 1, min =d1 Þ Bemessungsleistung c P % F
bd pn B an

u; zul

w; an

Riemenbreite b ^ cB Pan =ðFu;
zul dw; an pnan Þ:

an

Verbesserungen der Berechnung entsprechend Gl. (11) bei Keilriemen sind zu erwarten. Wird ein Riemengetriebe mit starrem Achsabstand nach Bild 9 a vorgesehen, muß der Riemen mit elastischer Auflegedehnung montiert werden. Whlt man bei Betrieb mit Fu;
zul die Summe ðF10 þ F20 Þ ¼ kv Fu;
zul b und bercksichtigt die Fliehkraft im Betrieb nach Bild 9 a, so errechnet sich die Auflegedehnung ea zu

Bild 9 a–d. Abhngigkeit der Trumkrfte und der Wellenbelastung FW von der Umfangskraft Fu bei konstanter Drehzahl mit verschiedenen Spannverfahren a bis d (fr b1 ¼ b2 ¼ 180
). Index 0: Krfte im Stillstand

Bild 10 a–d. Aufbau von Schichtriemen. a Einlagiger Textilriemen; b mehrlagiger Textilriemen; c Polyestercordriemen; d Bandriemen mit breiten Zugbndern, berwiegend verwendete Bauart; D Deckschicht, Z Zugschicht, L Laufschicht

G

G 114

Mechanische Konstruktionselemente – 6 Zugmittelgetriebe

Tabelle 3. Aufbau und Anwendung der Riemen nach Bild 10 (Richtwerte, maßgebend sind die Herstellerangaben)

G

Tabelle 4. Werkstoffkennwerte von Flachriemen-Zugschichten

ea ¼ DL=L ¼ e0 þ ef ¼ ½ðkv =2ÞFu;
zul þ Ff
=ðEA
Þ mit Ff
¼ r 0 u2 ; ðEA
Þ und r0 nach Anh. G 6 Tab. 1. Anhaltswerte f
r kv ¼ ðm þ 1Þ=ðm  1Þ mit m nach Gl. (1), z. B. f
r b1 ¼ p und m ¼ 0;51: kv ¼ ð5 þ 1Þ=ð5  1Þ ¼ 1;5 oder m ¼ 0;4: kv ¼ 1;8. Riemenlnge entspannt, d. h. um die Auflegedehnung kleiner:

sem kleineren Riementyp lassen sich unter Inkaufnahme hherer Wellenbelastungen die Riemenscheibendurchmesser d1 und d2 verkleinern. Maßgebend f
r eine abschließende Entscheidung ist auch das Schwingungsverhalten des Riementriebs mit Berechnungen in Anlehnung an DIN 740 f
r Nachgiebige Wellenkupplungen und f
r Saitenschwingungen. Die Erfahrungen der Riemenhersteller sollten im Einzelfall stets erfragt werden, Hersteller [11].

L ¼ Lw =ð1 þ ea Þ: Wellenbelastung durch Vorspannung im Stillstand mit Zuschlag Ff
und F1 ¼ F2 ¼ ½ðkv =2ÞFu
, zul þ Ff
 b ¼ ea ðEA
Þ b pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FW0 ¼ F1 2ð1  cos b1 Þ ¼ 2 F1 sinðb1 =2Þ:

ð10Þ

Vergleich der Biegefrequenz fB mit der zulssigen Biegefrequenz fB; max f
r kleinsten Riemenscheibendurchmesser d1, min nach Herstellerangaben. Beispiel. Offenes Riemengetriebe f
r Drehkolbengeblse mit d1 ¼ 315 mm, d2 ¼ 800 mm, e=870 mm, n1 ¼ 1 450 min1 , P1 ¼ Pan =90 kW. Mit dw  d wird mit Gl. (6) u ¼ 23;9 m/s, i  dab =dan ¼ d2 =d1 ¼ 2;54; b1 ¼ 147;6 ; b2 ¼ 214;4 ; Lw ¼ 3 559;5 mm. Riementyp f
r d1, min < d1 ¼ 315 mm nach Anh. G 6
¼ 35 N=mm2 . WinkelTab. 1: Typ 40 mit d1, min ¼ 280 mm und FuN faktor f
r Grobdimensionierung cb  b1 =180
¼ 0;82. Dann wird Fu
, zul ¼ 0; 82  35  ð2  280=315Þ ¼ 31; 89 N=mm2 und mit cB  1; 23 nach Tab. 1 wird b ¼ 1; 23  90  106 =ð31; 89  315  p  1 450=60Þ mm ¼ 145;1 mm  140 mm. Auflegedehnung (f
r kv ¼ 1;76) ea ¼ ½ð1; 76=2Þ  31; 89 þ 4; 5  23; 92  103 =2 000 = 0,0153, somit L= 3 559,5/1,0153 = 3 505,8 mm  3 505 mm. Wellenbelastung nach Gl. (10) FW0 ¼ 2  0; 0153  2 000  140  0; 9165 ¼ 7 860 N; f
r kv ¼ 2;11 wird FW0 ¼ 9 293 N. Biegefrequenz fB ¼ 2  24 000/3 559,5 = 13,5 s1 < fB; max ; Anhaltswert fB; max = 30 s1 f
r d1, min f
r berechneten Riemen. Die Aufgabe kann auch mit dem Riementyp 28 mit d1, min ¼ 200 mm und grßerer Riemenbreite gelst werden. Mit die-

6.3 Keilriemen. V-belts 6.3.1 Anwendungen und Eigenschaften Use and characteristics Keilriemen (Bild 1 b) dienen der reibschl
ssigen Bewegungs- und Leistungs
bertragung
ber mittlere Wellenabstnde [5]. Sie werden in den Keilriemenscheiben in allen Lagen sicher gef
hrt, auch bei kurzem Durchrutschen und bei Winkeltrieben. Fast alle Typen sind auch zum Kuppeln (Spannen des Keilriemens bei laufender Antriebsscheibe mittels radialbeweglicher Welle oder Spannrolle) geeignet. Abmessungen sind f
r die Grundtypen international genormt, s. Anh. G 6 Tab. 2. Weitere Typen f
r Sonderzwecke, Bild 12. Die reibschl
ssige bertragung der Umfangskraft erfolgt nur
ber die seitlichen Keilflchen des Riemenprofils. Aufliegen auf dem Rillengrund f
hrt zur Verminderung der
bertragbaren Umfangskraft, Gleitschlupf und Schdigung durch berhitzung. Verstellbarkeit des Wellenabstands um Betrge x nach ISO 155 oder Herstellerangaben ist vorzusehen;
berschlgig reicht meist x ^ þ 0; 03Lw zum Spannen und Nachspannen des Riemens und jxj ^ 0; 015Lw zum zwanglosen Auflegen des Riemens
ber den Scheibenrand hinweg. Die Wirkdurchmesser dw (Bild 1 b) und zugeordneten Wirkbreiten bw (Bild 12 a und Anh. G 6 Tab. 2) von Riemen und Keil-

I6.3 Keilriemen riemenscheibe kennzeichnen die Lage der biegeneutralen Zugschicht im Keilriemenprofil. Sie sollten mit dem entsprechenden Richtdurchmesser dr und der Richtbreite br der Keilriemenscheiben m
glichst bereinstimmen (gilt nicht fr Keilrippenriemen nach DIN 7867). Der Scheibenwinkel a wird wegen der Querdehnung des Riemens abhngig von dr vorgeschrieben. Hufige ðfB Þ und große ð1=dw Þ Biegeverformungen steigern die innere Erwrmung des Riemens und mindern bei gleicher Lebensdauer seine bertragbare Leistung, Bild 11 a. Voraussetzung fr hohe Lebensdauer sind: stndige Aufrechterhaltung (Kontrolle) der richtigen Vorspannung, genaue Ausrichtung sowie glatte Oberflchen der Rillenscheiben, dw; min und Wellenmittenabstand e nicht kleiner als n
tig, Gegenbiegung (Rckenspannrolle) vermeiden. Spannrollen, wenn unvermeidbar, als Keilriemenscheiben mit dw > dw; min ausbilden. Betriebsgrenzen. Umgebungstemperaturen =
30 bis 80 C (
55 bis 70 C); imax  10; e  ð0; 7 . . . 2Þðdw1 þ dw2 Þ; FW ¼ ð1; 5 . . . 2; 5ÞFu ; Leistungen bis Pmax >1 000 kW (bis zu 35 parallele Strnge), hmax ¼ 0; 97 fr Einzelriemen; hmax bis 0,95 fr Keilrippenriemen. 6.3.2 Typen und Bauarten von Keilriemen Types and Sizes Die Typen sind gekennzeichnet durch die geometrischen Abmessungen des Riemenprofils, die Bauarten durch den inneren Aufbau. Bild 12 a bis i zeigt die hufigsten Typen von Keilriemen: a. Endlose Keilriemen nach DIN 2215 (auch klassische Keilriemen). b0 =h  1; 5 . . . 1; 6; Profile bezeichnet nach Breite

G 115

b0 ; Keilriemenscheibenmaße und Werkstoffe s. DIN 2211 und DIN 2217. Anwendungsbeispiele: Typen 5 und 6 fr Laborgerte, Feinwerktechnik; 8 und 10 fr Haushaltsmaschinen; 13 bis 22 fr Maschinenbau (mittlere Drehzahlen) und Landmaschinen; 25 bis 40 fr schwere Antriebe mit großen Wellenabstnden, großen Scheibendurchmessern, niedrigen Drehzahlen und rauhem Betrieb. b. Endliche Keilriemen nach DIN 2216. Meterware, starke Gewebeeinlagen, vorgelocht fr Riemenschloß, fr mittlere Umfangsgeschwindigkeiten. Pmax bis zu 15% niedriger, dw; min bis zu 15% gr
ßer als bei endlosen Keilriemen nach DIN 2215 mit gleichem Profil. Gr
ßere bleibende Dehnung, daher
fteres Nachspannen oder Krzen erforderlich. Verbindung der Riemenenden nach dem Auflegen mittels Riemenschloß, einfache Montage schwieriger Antriebe auch dort, wo endlose Riemen nicht montierbar. Einfache Lagerhaltung. c. Endlose Schmalkeilriemen nach DIN 7753, b0 =h  1; 2 . . . 1; 4 mit Schmalkeilriemenscheiben nach DIN 2211 (Maße und Werkstoff). Sie bertragen h
here Leistung als Keilriemen gleicher Wirkbreite nach DIN 2215. Meistverwendeter Riementyp. d. Endlose Breitkeilriemen fr industrielle Drehzahlwandler nach DIN 7719. b0 =h ¼ 2; 8 . . . 3; 25. Rillenwinkel a=24 bis 30°. Kleinere Keilwinkel ergeben gr
ßeren Stellbereich, aber Gefahr der Selbsthemmung (Festklemmen des Keilriemens in der Scheibenrille). bertragbare Leistung etwa 20% geringer als bei Keilriemen gleicher Profilh
he nach DIN 2215. DIN 7719 gilt nicht fr Drehzahlwandler von Kraftfahrzeugen oder Landmaschinen. Stellbereich imax =imin ¼ 4 . . . 12 m
glich bei zwei Verstellscheiben. e. Gezahnte Keilriemen. Keilriemen nach a bis d mit Quernuten in der Profilinnenflche zur Erh
hung der Biegewilligkeit. Sie erm
glichen kleinere Scheibendurchmesser und kleineren Bauraum bei geringfgig verminderter Leistung. Nuten verursachen jedoch – sofern keine ungleiche Teilung der Quernutenabstnde gewhlt wird – periodische Einlaufst
ße und Gerusch.

Bild 11 a, b. bertragbare Leistung von Schmalkeilriemen nach DIN 7753 bei gleicher Lebensdauer [5, 8]. a ummantelte Keilriemen; b Verhltnis der Leistung Pfo flankenoffener zur Leistung Pum ummantelter Schmalkeilriemen. dw; min nach Anh. G 6 Tab. 2

Bild 12 a–i. Typen von Keilriemen. a bis i s. Text

f. Endlose Hexagonalriemen fr Landmaschinen (Doppelkeilriemen) nach DIN 7722. bmax =h  1; 3. Fr ebene Vielwellenantriebe mit gegenlufigen Scheiben. bertragbare Leistung etwa wie bei Keilriemen nach DIN 2215 mit gleicher maximaler Profilbreite. Anwendung bei mittelschweren Antrieben (Mhdrescher) bis leichten Arbeitsgerten (Gartengerte, Kehrmaschinen). g. Flankenoffene Keilriemen. Profile nach DIN 2215 und DIN 7753 Teil 1. Sie haben nur eine ußere Gewebedeckschicht, jedoch – im Gegensatz zu den brigen Bauarten – keine Gewebeummantelung an den tragenden Flanken und der „gezahnten“ Innenflche. Der Riemenunterbau aus einer Polychloroprene-Gummi-Mischung ist sehr biegeelastisch und durch quer zur Laufrichtung ausgerichtete Sttzfasern fr h
here Spreizkrfte (Vorspannung) verstrkt. Sie bertragen h
here Leistungen insbesondere bei kleinen Scheibendurchmessern und hohen Geschwindigkeiten (Bild 11 b), vertragen kleinere Scheibendurchmesser (etwa 0,7 bis 0,8 dw; min nach Anh. G 6 Tab. 2) als ummantelte Keilriemen, erfordern dadurch auch weniger Bauraum bei gleicher Leistung und sind weniger empfindlich gegen l, Wrme, Schlupf und Abrieb. h. Verbund-Schmalkeilriemen (Kraftbnder). Sie bestehen aus bis zu fnf gleich langen (satzkonstanten) Schmalkeilriemen oder klassischen Keilriemen, die durch ein Deckband fest miteinander verbunden sind. Deckband verhindert Verdrillen oder starkes Schwingen einzelner Riemen des Satzes. Rillenscheiben nach DIN ISO 5290.

G

G 116

Mechanische Konstruktionselemente – 6 Zugmittelgetriebe

i. Keilrippenriemen (Rippenb
nder) nach DIN 7867. Weiterentwicklung von Verbundkeilriemen in Richtung Flachriemen. Fnf Profile mit Rippenabstand in mm: PH 1,60; PJ 2,34; PK 3,56; PL 4,70; PM 9,40. PK vorzugsweise fr Kraftfahrzeugbau, PJ, PL, PM vorzugsweise fr industrielle Riemenantriebe, PH fr spezielle Anwendungen. Breite bis zu 60 Rippen aus Polychloroprene ohne Ummantelung, die die Rillen der zugehrigen Riemenscheiben vollst
ndig ausfllen. Zugstrang aus dehnungsarmen Polyester-Cordf
den. bertragbare Leistung mit bersetzungszuschlag pro Rippe nach Herstellerangaben. Umfangsgeschwindigkeiten je nach Profil bis u
60 m/s. Kleinere Scheibendurchmesser und hhere bersetzungen je Stufe als bei Keilriemen vermindern den erforderlichen Bauraum, Laufruhe und Gleichfrmigkeit der Bewegung sind grßer; Gegenbiegung mglich.

G

6.3.3 Entwurfsberechnung. Calculation Zur Berechnung der lebensdauerabh
ngigen Nennleistung PN offener Keilriemengetriebe wird eine in ISO 5292 angegebene, an Versuchsergebnisse anpaßbare Zahlenwertgleichung zunehmend verwendet. Durch Einfhrung von Bezugskenngrßen l
ßt sich diese Gleichung bersichtlicher gestalten: 
 u dw, min 1  PN ¼ cb P0   1 þ K2 1  dw1 Ki u0 "
2 #
# ð11Þ u u0 Lw  þ K3 1  þ K4 ln u L0 u0 mit dem Winkelfaktor cb ¼ 1;25  ð1  5b1 =p Þ; Umschlingungswinkel b1 der kleineren Scheibe; Nennleistung P0 bei Umfangsgeschwindigkeit u0 fr Mindest-Scheibendurchmesser dw; min bei bersetzung i=1 ðb1 ¼ 180
bzw: pÞ sowie Riemenl
nge L0 ; Nennleistung PN bei Umfangsgeschwindigkeit u fr Wirkdurchmesser der kleineren Scheibe dw1 bei bersetzung i 6¼ 0 ðb1 6¼ 180
bzw: pÞ sowie Riemenl
nge Lw ; Ki
1;124  0;124 expð3ði  1ÞÞ und i ^ 0. In Anh. G 6 Tab. 2 ist eine Auswertung der Katalogangaben eines Herstellers zur ersten Orientierung angegeben. Da im Einzelfall durchaus Abweichungen von den Herstellerangaben auftreten, sind fr Nachrechnungen die Angaben der Keilriemenhersteller verbindlich. Zur Orientierung knnen auch die Normen DIN 2218 und DIN 7753 genutzt werden. Die richtige Bemessung eines Riementriebs h
ngt von einer Reihe von Faktoren und Umweltbedingungen ab. – Es wird deshalb empfohlen, besonders bei schwierigen Antriebsproblemen die Erfahrungen der Firmen dieses Fachgebiets, d. h. Hersteller von Keilriemen und Antrieben zu bercksichtigen; Hersteller [11]. Die Bemessungsleistung cB Pan % zPN fr z parallellaufende Riemen wird mit Sch
tzwerten fr cB nach Tab. 1 bestimmt, so daß die erforderliche Riemenanzahl z ^ cB Pan =PN ist. Berechnung aller anderen Systemgrßen wie bei Flachriemen oder nach Richtlinie VDI 2758.

6.4 Synchronriemen (Zahnriemen) Synchronous belts 6.4.1 Aufbau, Eigenschaften, Anwendung Design, characteristic and use Synchronriemen (Bild 13) haben eine einseitige oder doppelseitige Verzahnung, mit der sie die Umfangskr
fte formschlssig ohne Schlupf bertragen, Bild 2 c. Der Riemenkrper besteht aus Neoprene oder Polyurethan mit Zugstr
ngen aus hochfesten Glasfasern oder Stahl-, Kevlar- bzw. Polyestercord, die bei den meist endlos in Norml
ngen hergestellten Riemen schraubenfrmig gewickelt sind. Der Zugstrang bestimmt die neutrale Biegeebene, seine L
nge ist zugleich

Bild 13 a–c. Profilformen von Zahnriemen. a, b einfach und doppelt verzahnt nach DIN 7721 mit metrischer und DIN/ISO 5296 mit ZollTeilung; c HTD-(High Torque Drive-)Profil

die Wirkl
nge Lw des Riemens, er l
uft auf den Wirkdurchmessern dw1; 2 ¼ z1, 2 pb =p um die Synchronscheiben (Zahnscheiben) mit den Z
hnezahlen z1 , z2 und der Zahnteilung pb . Synchronriemen (Zahnriemen) laufen bei richtiger Einstellung wartungsfrei, keine Schmierung erforderlich. Bei grßeren Geschwindigkeiten, Leistungen, Vorspannungen und Riemenbreiten entstehen Zahneingriffsger
usche, Grundfrequenz f0 ¼ n1 z1 . Synchronriemen eignen sich wegen der formschlssigen Bewegungsbertragung fr bersetzungstreue Antriebe (z. B. Ventilsteuerungen), bei beidseitiger Verzahnung auch fr Vielwellenantriebe mit gegenl
ufigen Scheiben, bei grßeren Achsabst
nden auch fr r
umliche Antriebe, Bild 3 e. Normen: DIN 7721 und DIN ISO 5296 zu Abmessungen und Messung der Wirkl
nge. Scheiben DIN ISO 5294. 6.4.2 Gestaltungshinweise. Design hints Bei ebenen Getrieben mssen die Synchronriemen durch seitliche Borde an mindestens einer Zahnscheibe beidseitig oder wechselseitig an zwei Zahnscheiben axial gefhrt werden. Zum Auflegen und Vorspannen sollte eine Welle oder Spannwelle radial beweglich sein. Bei festem Wellenabstand werden die Zahnscheiben gemeinsam mit dem aufgelegten Riemen montiert. Spannrollen mglichst als Zahnscheiben ðdw > dw1 Þ ausbilden und zur Vermeidung von Gegenbiegung am Leertrum innen anordnen, aber nicht federnd, weil keine Nachdehnung des Riemens bei richtiger Auslegung zu erwarten ist. Empfohlene Grenzwerte: e
ð0;5 bis 2Þðdw1 þ dw2 Þ, d1 =b ^ 1. Bei r
umlichen Synchronriementrieben muß die Gerade zwischen Auf- und Ablaufpunkten zugleich Schnittlinie der beiden mittleren Radebenen sein, so daß der Riemen nur verdrillt, nicht aber seitlich abgezogen wird (s. Bild 3 e); seitliche Borde knnen entfallen; Wellenabstand je 90  Verdrillung e90 ^ 12b. Betriebsgrenzen. Umgebungstemperatur =  40 bis 90 C; Pmax ¼ 400 kW; umax ¼ 40 (Typ T 20). . . 80 (T 5) m/s; fB; max
100 s1 ; imax
12; hmax
0;98. 6.4.3 Entwurfsberechnung. Calculation Berechnung von Lw (angen
hert), e und u wie fr Flachriemengetriebe; genau: Lw ¼ pb zb mit zb = Riemenz
hnezahl; Zahl der eingreifenden Z
hne ze1 ¼ z1 b1 =2 p (auf ganze Zahl abgerundet); bersetzung i ¼ z2 =z1 ; Wahl des Riemens nach der gegebenen Leistung und der Z
hnezahl z1 ^ z1, min mit Leistungsangaben fr Bezugsbreite bs0 nach Anh. G 6 Tab. 3 und Breitenfaktor kw ¼ ðbs =bs0 Þ1;14 nach ISO 5295 sowie Lasteinleitungsfaktor kz ¼ 1 fr ze1 ^ 6 bzw. kz ¼ 1  0;2ð6  ze1 Þ fr ze1 < 6. Mit der bertragbaren Leistung (

2 ) u bs bs 0;14 u 1;5 0;5 cB Pan % kz P0 bs0 u0 bs0 u0 und u ¼ n1 z1 pb ¼ n2 z2 pb ergibt sich die mindest erforderliche Riemenbreite bs . Maximale Riemenbreiten bs; max
ð4 . . . 10Þpb : Empfohlene Wellenvorspannkraft FW0
Fu : Der

I6.5 Kettengetriebe Betriebsfaktor cB ist bei
bersetzungen ins Schnelle fr 1=i
1;24 gegenber Tab. 1 nach Herstellerangabe zu erhhen. Hhere Leistungen sind mit HTD-(High Torque Drive-) Riemen [6] und RPP-Riemen (Riemen mit parabolischem Profil) [9] als weiterentwickelte Trapezzahnriemen sowie mit AT-Riemen [10] als verstrkte T-Typen bertragbar. Zustzliches Entscheidungskriterium bei der Riemenauswahl, insbesondere im Automobilbau, ist eine mglichst niedrige Geruschentwicklung, die durch modifizierte Trapezzahnformen angestrebt wird. Hersteller [11]. Rechengang fr Trapezprofil und kreisbogenfrmiges Profil s. Richtlinie VDI 2758.

6.5 Kettengetriebe. Chain drives 6.5.1 Bauarten, Eigenschaften, Anwendung Characteristics and use Kettengetriebe (Bild 2 a, b) bertragen formschlssig und schlupflos Leistungen bis 200 kW je Einzelkette mit niedrigen Umfangsgeschwindigkeiten zwischen parallelen Wellen, bei mehr als zwei Wellen auch gegenlufig. Leistungen bis ber 500 kW sind mit Mehrfachketten (ausgefhrt bis 12fach, berwiegend bis 3fach) mglich. Bei kleinen Zhnezahlen des kleineren Kettenrads wird die Drehbertragung wegen des rhythmisch vernderlichen Kettenab- bzw. -auflauforts, des sog. Polygoneffekts, ungleichmßig. Daraus folgen periodisch schwankende Trumgeschwindigkeiten, Anregung von Schwingungen und Geruschen bei hheren Kettengeschwindigkeiten. Milderung bei grßerer Zhnezahl und kleinerer Teilung. Andererseits mildert die Kette Betriebsstße aufgrund ihrer Lngselastizitt. Die Lebensdauer einer Kette wird begrenzt durch die maximal ertragbare Verschleißlngung und vermindert durch ungengende Schmierung, Verschmutzung, Stoß- und Schwingungsbeanspruchung. Hufigste Bauarten sind die Buchsenkette nach DIN 8154, Bild 14 a (im geschlossenen Getriebegehuse bei sehr guter Schmierung), die Rollenkette nach DIN 8187 und DIN 8188, Bild 14 b (meistverwendete Bauart, die geschmierte Rolle vermindert Verschleiß und Gerusch) und die Zahnkette nach DIN 8190 (Bild 2 b) (ruhiger Lauf bei hheren Umfangsgeschwindigkeiten). Weitere Stahlgelenkketten s. DIN 8194 mit Bauformen und Benennungen (deutsch, englisch, franzsisch). Stufenlos verstellbare Kettengetriebe (sogenannte CVT-Getriebe – Continuously Variable Transmission) werden entweder mit radialverzahnten Kegelscheiben und Ketten mit querbeweglichen, in die Zhne der Kegelscheiben eingreifenden Lamellen (berwiegend Formschluß) oder mit glatten Kegelscheiben und reibschlssig zwischen diesen laufenden Ketten (Zylinder- und Ringrollenketten, Wiegedruckstckketten, Keilketten) ausgefhrt [12, 13]. Als Alternative zur zugkraftbelasteten Stahlgelenkkette sind auch Schubgliederb
nder (Ganzmetall-Keilriemen) bekannt, deren Glieder im wesentlichen auf Druck beansprucht werden [14].

Bild 14 a, b. Getriebeketten. a einfache Buchsenkette; b einfache Rollenkette; 1 Innenglied mit eingepreßten Hlsen, 2 Außenglied mit Bolzen, 3 bewegliche Rolle

G 117

6.5.2 Gestaltungshinweise. Design hints Wellenabstnde mglichst fr eine gerade Zahl von Kettengliedern (Teilung p) bemessen, um gekrpfte Glieder zu vermeiden. Achsabstand so, daß Umschlingungswinkel mindestens 120
auf Kleinrad, normal: e ¼ 30 . . . 50 p. Der Durchhang im Leertrum soll etwa 1% des Achsabstands betragen. Die maximal zulssige Verschleißlngung der Kette Dl sollte i. allg. 3% der ursprnglichen Kettenlnge l nicht berschreiten, bei Kettenrdern mit mehr als 67 Zhnen nur Dl=l % 200=z2 in %, jedoch bei festem Wellenabstand ohne Spannvorrichtung nur Dl=l % ð0;6 . . . 1;5Þ% . Ausgleich des Kettenverschleißes durch querverschiebliche Wellen oder, bei festem Wellenabstand, durch zylindrische Spannrolle (bis u ¼ 1 m/s) oder verzahntes Spannrad, jeweils im Leertrum, durch Federn oder Gewicht gering belastet. Wegen des Polygoneffekts sollten Rder mit mindestens 17 Zhnen gewhlt werden. Fr mittlere bis hohe Geschwindigkeit oder hchstzulssige Belastung soll das Kleinrad gehrtete Zhne und mglichst 21 Zhne aufweisen. Kettenrder sollten normalerweise hchstens 150 Zhne besitzen. Bevorzugte Zhnezahlen: 17, 19, 21, 23, 25, 38, 57, 76, 95 und 114. Wenn Kettentrieb mit Neigung zur Waagerechten grßer als 60  angeordnet, dann notwendige Kettenspannung durch Spannrollen, Spannrder oder andere geeignete Hilfsmittel. Von Spannund Umlenkrdern sollen mindestens drei Zhne im Eingriff sein.
bersetzung i: 3 bis 7 gnstig, bis ber 10fach mglich. Erforderliche Schmierung ist abhngig vom Kettentyp und Kettengeschwindigkeit u. Hinweise zu Rollenketten s. DIN 8195: Fr Kette DIN 8188-08A-1 mit Teilung p ¼ 12;7 mm gilt z. B.: lzufuhr durch lkanne oder Pinsel bis u
0,7 m/s (unsicher, mindestens einmal tglich), Tropfschmierung bis u
3;9 m/s (Tropfl fr jede Laschenreihe mit je 2 bis 6 Tropfen pro Minute); lbad (lstand bis maximal zur untersten Rollenmitte) oder Schleuderscheibe bis u
8;4 m/s; Druckumlaufschmierung, gegebenenfalls mit Filter und lkhler bis umax
19 m/s (mit gleichmßigem lstrom auf Innenseite des Leertrums und auch Zugtrums; auch zur Kettenkhlung). Wirkungsgrad sinkt bei einmaliger Schmierung mit wachsender Betriebszeit schnell ab; hmax < 0;97. Maximale Leistungsbertragung bei uopt ¼ n0 z1 p, Anhaltswerte fr n0 mit z1 ¼ 19 und 15 000 Betriebsstunden mit
bersetzungsverhltnis i=3 bei 100 Kettengliedern nach DIN 8195 s. Anh. G 6 Tab. 4. Gestaltungs- und Berechnungshinweise siehe [13, 14]. Anwendungsgebiete s. Q 1.3.2 und T 1.2.2, meistens in Kombination mit nachgeschaltetem Zahnradgetriebe. Stellbereiche bis etwa 6, Leistungsbereiche fr formschlssige Lamellenketten bis 13,5 kW, fr reibschlssige Ketten bis 175 kW. 6.5.3 Entwurfsberechnung. Calculation Kettengeschwindigkeit u ¼ n1 z1 p ¼ n2 z2 p, Teilkreisdurchmesser (Rollenmitten) dw1; 2 ¼ p= sinðp=z1, 2 Þ, Kettenlnge l= Xp mit Gliederanzahl X (volle, gerade Anzahl), X ^ X0 mit X0 ¼ 2e=p þ ðz1 þ z2 Þ=2 þ pðz2  z1 Þ2 =ð4ep2 Þ, Achsabstand " rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi #
p
z1 þ z2  z1 þ z2 2
z2  z1 2 e
2 X : þ X 2 2 p 4 Die Teilung p der Rollenketten nach DIN 8187 (europische Bauart, Kennbuchstabe B) und DIN 8188 (amerikanische Bauart, Kennbuchstabe A) ist in Zollstufung genormt, s. Anh. G 6 Tab. 4. Zur Drehzahl n0 gehrt die Leistung P0 ; fr n1 % n0 , i % 7 gilt in Anlehnung an DIN 8195  0;9
z 1;073  i 0;18  e 0;26 n1 1 N 0;97 PN
P0 n0 19 3 40p

G

G 118

Mechanische Konstruktionselemente – 7 Reibradgetriebe

mit Bemessungsleistung cB Pan % PN , wobei der Betriebsfaktor in Anlehnung an Tab. 1 gesch
tzt werden kann oder auch nach DIN 8195; N=1 fr Einfachkette, N=2 fr Zweifach-

kette, N=3 fr Dreifachkette. Typisches Leistungsdiagramm zur Auslegung nach Herstellerunterlagen s. Anh. G 6 Bild 1. Hersteller [11].

7 Reibradgetriebe. Traction drives

welle angeordnet sind. Zur Verringerung der hohen Anpreßkr
fte, die in diesem Fall vollst
ndig von den Lagern aufgenommen werden mssen, bevorzugt man Paarungen mit grßeren Reibwerten (Bild 2). Besondere Eigenschaften lassen sich durch Konstruktionen mit Zwischengliedern erzielen, was mit dem Nachteil einer Reihenschaltung zweier Kontaktstellen im Leistungsfluß verbunden ist, jedoch eine Parallelschaltung mehrerer Zwischenglieder ermglicht, wodurch sich die Leistung erhhen und die Lagerbelastung verringern l
ßt (z. B. planetenartige Anordnung zur Verringerung der Radialkr
fte). Bei Verstellgetrieben knnen An- und Abtriebswelle dann raumfest angeordnet werden, und die Bohrbewegung l
ßt sich im gesamten Verstellbereich minimieren. Die Anpreßkraft Fn wird entweder durch Federkraft erzeugt, wodurch sie in der Regel konstant ist und ein Durchrutschen bei berlast ermglicht wird, oder sie w
chst mit zunehmender Belastung. Die Kraft ist dabei prinzipbedingt lastabh
ngig (Bild 5 b, d) oder sie wird durch drehmomentabh
ngige Anpreßvorrichtungen, wie z. B. in Bild 3 dargestellt, gezielt beeinflußt. Dadurch
ndert sich die bersetzung mit schwankender Belastung nur geringfgig, das Getriebe ist „drehmomentensteif“.

H. Peeken, Aachen; berarbeitet von G. Poll, Hannover

7.1 Wirkungsweise, Definitionen Mode of operation, definitions

G

Reibradgetriebe oder auch W
lzgetriebe sind gleichfrmig bersetzende Reibschlußgetriebe [1], bei denen im Gegensatz zu Zugmittelgetrieben keine großfl
chige Berhrung auftritt, sondern n
herungsweise punkt- oder linienfrmige Kontakte vorliegen. Die Grße der durch Abplattung entstehenden Berhrfl
che sowie die Pressungsverteilung lassen sich mit Hilfe der Hertzschen Gleichungen (s. C 4) bestimmen. Bei weichen nichtmetallischen Werkstoffen findet die Theorie der Stribeckschen W
lzpressung Anwendung. Die Momentenbertragung erfolgt durch Umfangskr
fte Ft , die zwischen den rotationssymmetrischen R
dern unter der Anpreßkraft Fn (Bild 1 a) wirken. Man definiert einen Kraftschlußbeiwert f bzw. Nutzreibwert (s. a. Tab. 2) mN ¼ f ¼ Ft =Fn ,

ð1Þ

der stets kleiner als der tats
chliche Reibwert m ist. Damit ist die Kraftschlußausnutzung bzw. der tangentiale Nutzungsgrad nt ¼ mN =m ¼ f =m:

ð2Þ

Die Drehachsen liegen zumeist in einer Ebene, um den bei windschiefen Achsen auftretenden Schr
glauf zu vermeiden. Bei Verstellgetrieben muß jedoch eine Bohrbewegung (s. G 7.3.1) in Kauf genommen werden. Nur wenn die Spitzen der beiden W
lzkegel in einem Punkt zusammenfallen, ist reines Rollen mglich (Bild 1 b). Die bersetzung ist definiert als Drehzahlverh
ltnis von Antriebs- (Index 1-) und Abtriebs(Index 2-)welle: i ¼ n1 =n2 ¼ d2 =d1 :

7.2.1 Reibradgetriebe mit festem
bersetzungsverhltnis Friction drives with fixed transmission ratio Bei allen Anwendungen, die keinen Synchronlauf erfordern, stehen Reibradgetriebe mit festem bersetzungsverh
ltnis in direkter Konkurrenz zu formschlssigen Getriebetypen wie z. B. Zahnradgetrieben. Sie zeichnen sich durch einfachen Aufbau aus, der kostengnstige Konstruktionen erlaubt und knnen gleichzeitig die Aufgabe einer berlastkupplung bernehmen. Eine zweifache Funktion erfllen sie auch bei Lagerung und Antrieb großer rohrfrmiger Beh
lter.

ð3Þ

In der Literatur findet man fr die bersetzung, insbesondere von Verstellgetrieben auch den u. U. vorzeichenbehafteten Kehrwert i ¼ n2 =n1 . Die in der Praxis oft konstante Antriebsdrehzahl n1 dient dabei als Bezugsgrße, mit der Folge, daß bei stillstehender Abtriebswelle ðn2 ¼ 0Þ nicht i= 1 wird.

7.2 Bauarten, Beispiele. Types, examples Reibradgetriebe bestehen in der einfachsten Ausfhrung aus zwei Rotationskrpern, die unmittelbar auf An- und Abtriebs-

Bild 1 a–c. Kr
fte und bersetzung bei Reibr
dern. a Mit parallelen Achsen; b mit einander schneidenden Achsen, ohne Bohrreibung; c mit einander schneidenden Achsen, mit Bohrschlupf in der Berhrlinie

Bild 2 a–c. Reibr
der mit Reibbel
gen, wobei B>b. a Harter organischer Reibbelag; b Reibring aus Gummi, aufvulkanisiert; c Reibring aus Gummi, aufgespannt

Bild 3. Vorrichtung zur Erzeugung einer drehmomentabh
ngigen Axialkraft Fa ¼ Ft tan a ¼ ðM=rÞ tan a

I7.2 Bauarten, Beispiele

Bild 4. Planeten-Reibradgetriebe nach [2]. 1 Antriebswelle fr geteiltes Sonnenrad, 2 feststehender Außenring, 3 ballige Planetenr
der, 4 Einrichtung zur drehmomentabh
ngigen Anpassung der beiden auf Welle 1 axial verschieb- und drehbaren Sonnenradh
lften (vgl. Bild 5). s Planetentr
ger als Abtrieb

Da die Geometrie der Kontaktzone zeitlich unver
nderlich ist, sind im Gegensatz zu Zahnradgetrieben keine periodischen Schwingungsanregungen (Eingriffsstoß, Zahnsteifigkeitsschwankung) zu befrchten. Es lassen sich daher sehr ger
uscharme Getriebe realisieren (Bild 4) und auch sehr hohe Drehzahlen (z. B. bis 16 000 1/s bei Texturiermaschinen) sind bei bersetzung ins Schnelle erreichbar. 7.2.2 W
lzgetriebe mit stufenlos einstellbarer bersetzung. Continuously variable traction drives Der fehlende Formschluß bei W
lzgetrieben ermglicht eine stufenlose Ver
nderung ihrer bersetzung in den Grenzen imin und imax . Diese Eigenschaft wird durch das Stellverh
ltnis j ¼ imax =imin gekennzeichnet. Durch Kombination mit einem Planetengetriebe zu einem Stellkoppelgetriebe (s. G 8.9) kann das Stellverh
ltnis beliebig erweitert oder eingeengt werden, wodurch z. B. mit jeder Bauart eine Drehrichtungsumkehr mglich ist. Verstellgetriebe oder auch kurz Stellgetriebe werden oft als komplette Antriebseinheiten mit anmontierten Asynchronmo-

G 119

toren angeboten, womit man durch Polumschaltung den Verstellbereich zus
tzlich vergrßern kann. In den meisten F
llen knnen abtriebsseitige Untersetzungsgetriebe montiert werden, mit deren Hilfe beliebige Drehzahlbereiche mglich sind. Bild 5 zeigt eine Auswahl gebr
uchlicher Funktionsprinzipien. (Getriebe nach Bild 5 a trockenlaufend mit Kunststoff-Reibring, alle brigen mit geschmierten W
lzkrpern aus Stahl.) Die große Vielfalt entsteht durch die unterschiedlichen Anforderungen, die an Reibradgetriebe gestellt werden, wie Wirtschaftlichkeit (Preis, Wirkungsgrad, Lebensdauer), Verstellung im Stillstand, Verstellung bis n2 ¼ 0 usw. Die Auswahl eines geeigneten Verstellgetriebes fr einen bestimmten Anwendungsfall erfolgt unter der Voraussetzung, daß der Antrieb den Drehmomentenbedarf der Arbeitsmaschine im gesamten Drehzahlbereich decken muß. Der als Abtriebskennlinie bezeichnete Verlauf des Abtriebsmoments ber der Drehzahl n2 ist somit eine wichtige Eigenschaft des Verstellantriebs. Bei konstanter Antriebsdrehzahl n1 l
ßt sich das Verhalten der Bauarten nach Bild 5 durch verschiedene Bereiche (Tab. 1) der schematischen Abtriebskennlinie nach Bild 6 darstellen. Das bei vielen Bauarten in einem gewissen Verstellbereich II konstante zul
ssige Drehmoment kann bei extremen bersetzungen (Bereiche I und III) oft nicht mehr bertragen werden, da dann z. B. die zul
ssigen Hertzschen Pressungen durch kleinere Krmmungsradien berschritten werden oder die Bohrbewegung zu erhhtem Verschleiß fhrt. Der h
ufig hyperbelfrmige Drehmomentabfall im Bereich wird zudem durch die begrenzte Antriebsleistung verursacht. Gegenw
rtig stehen drei Bauarten von Reibradgetrieben als stufenlose Fahrzeugantriebe (CVT) zur Diskussion [3–7]: – das Halbtoroidgetriebe, Bild 5 i, – das Volltoroidgetriebe, Bild 7 und – das Kegelringgetriebe, Bild 8. Es wird erwartet, daß sie hhere Leistungsdichten erreichen werden als die konkurrierenden Umschlingungsmittelgetriebe.

Tabelle 1. Kenndaten der W
lzgetriebe (Bild 5) nach Herstellerkatalogen (Stand 1989). Werte fr jeweils grßten und kleinsten Typ mit angeflanschtem Antriebsmotor, n1 ¼ 24 1/s

G

G 120

Mechanische Konstruktionselemente – 7 Reibradgetriebe

G

Bild 5 a–j. Schematische Darstellung einiger Wlzgetriebe (vgl. Tab. 1). 1 Antrieb, 2 Abtrieb, 3 Zwischenglied, 4 Einrichtung zur drehmomentenabhngigen Anpassung der Wlzk
rper

Bild 6. Schematische Abtriebskennlinie der Wlzgetriebe nach Bild 5. Die bei den einzelnen Bauarten vorhandenen Bereiche sind in Tab. 1 angegeben

Toroidgetriebe haben torusf
rmige An- und Abtriebsscheiben, zwischen denen Momente ber Zwischenrollen bertragen werden; sie befinden sich im Torusraum zwischen diesen Zentralscheiben und werden zur Einstellung der gewnschten bersetzung um Achsen geschwenkt, die den Torusmittenkreis tangieren. Meist werden zwei Halbgetriebe parallel geschaltet, um die fr die Leistungsbertragung n
tige axiale Vorspannung ohne verlustreiche Axiallager zu erzeugen und

Bild 7. Volltoroidgetriebe, schematische Darstellung [4]

eine h
here Leistung bertragen zu k
nnen. Die beiden Antriebsscheiben sitzen dabei auf der inneren, die zwei Abtriebsscheiben auf der ußeren Zentralwelle. Halbtoroidgetriebe (Bild 5 i) ntzen nur die innere Hlfte des Torusraumes aus (e< 180 ). Die Berhrflchennormalen der

I7.3 Berechnungsgrundlagen beiden Kontaktstellen schließen einen Winkel ein, so daß eine erhebliche Axialkraft auf die Zwischenrolle entsteht, die durch eine entsprechende Lagerung mit hohen Bohrschlupfverlusten abgefangen werden muß. Hingegen sind die Bohrschlupfverluste in den eigentlichen Traktionskontaktstellen gering (1% im optimalen Betriebspunkt bei 80% Kraftschlußausnutzung), da sich die Ber
hrtangenten und die Drehachsen annhernd in einem Punkt schneiden (Bohr/Wlzverhltnis i. allg. 0 bis 0,2, maximal bis 0,5). Bei Volltoroidgetrieben (Bild 7) durchstßt die Verbindungslinie zwischen den beiden Kontaktstellen einer Zwischenrolle den Mittenkreis des Torus (e=180 ), so daß keine Axialkraft auf die Rollen wirkt. Allerdings sind die Bohrschlupfverluste in den Traktionskontaktstellen hher (2 bis 3%, Bohr/Wlzverhltnis 0,8 bis 1,0). Das Kegelringgetriebe (Bild 8) besteht aus einem Ausgangsreibkegel und einem Eingangsreibkegel, um den ein Reibring angeordnet ist. Die Position dieses Reibrings bestimmt die aktuelle bersetzung. Die erforderliche Anpressung entsteht durch Verschieben des Ausgangsreibkegels. Mit entsprechend schlanken Kegeln knnen hnlich g
nstige Bohr/Wlzver-

G 121

hltnisse (
0,18) erzielt werden wie mit Halbtoroidgetrieben, jedoch bei geringen Axialkrften. Im Vergleich zu Kegelgetrieben mit zwischengeschalteten Rollen ist die spezifische Belastung der Kontaktstellen kleiner. Durch Aufprgen eines Schrglaufwinkels kann erreicht werden, daß Zwischenrollen und Reibringe mit geringem ußeren Kraftaufwand durch Querreibkrfte in Positionen mit genderten bersetzungen gelenkt werden.

7.3 Berechnungsgrundlagen. Computational basics 7.3.1 Bohrbewegung. Rolling with spin Zur Berechnung der Relativbewegung im Kontaktbereich werden die beteiligten Reibrder durch Kegel ersetzt, die die als eben angenommene Ber
hrflche tangieren. Im allgemeinen fallen die in der Ber
hrebene liegenden Spitzen dieser Wlzkegel nicht in einem Punkt zusammen, wie in Bild 9 dargestellt. Die Umfangsgeschwindigkeiten sind dann nur im Punkt P identisch, entlang der Mantellinien nimmt ihre Differenz zu. Diese dem reinen Abrollen
berlagerte Bewegung lßt sich durch eine Relativdrehung mit der Winkelgeschwindigkeit wb beschreiben, die normal zur Ber
hrebene gerichtet ist. Allgemein ergibt sich die Relativbewegung von Wlzkrper 2 gegen
ber 1 durch die Vektorgleichung ~ wrel ¼ ~ w2  ~ w1 . Durch Zerlegung in Anteile senkrecht und parallel zur Ber
hrflche lassen sich die gesuchten Bohr- und Wlzgeschwindigkeiten bestimmen: ~ wb þ ~ ww ¼ ~ w2  ~ w1 mit den Betrgen

Bild 8. Kegelringgetriebe, schematische Darstellung [7]

wb ¼ jw2 sin a2  w1 sin a1 j

ð4Þ

ww ¼ jw2 cos a2  w1 cos a1 j

ð5Þ

Pluszeichen, wenn P zwischen S1 und S2 liegt, Minuszeichen, wenn ein Wlzkegel Hohlkegel ist.

Bild 9 a–d. Wlzkontakt mit Bohrbewegung. a im Leerlauf; b unter Last; c vergrßerte Ber
hrellipse mit Reibkrften in Richtung der Gleitgeschwindigkeit, Verlagerung des Drehpols P um l bei Auftreten einer Umfangslast Ft ; d geklappte Schnittdarstellung von a mit Hauptkr
mmungsradien r01 und r02

G

G 122

Mechanische Konstruktionselemente – 7 Reibradgetriebe

Das Bohr/W
lzverh
ltnis wb =ww kennzeichnet das Ausmaß der Bohrbewegung und der damit verbundenen Verluste. Es wird durch die Bauart bestimmt und variiert im Verstellbereich (z. B. 0 bis 15 Bild 5 a und 0 bis 0,5 Bild 5 i). 7.3.2 Schlupf. Ratio of slip

G

Die Gr
ße und Form, d. h. die Halbachsen a und b der Hertzschen Berhrellipse werden u. a. durch die Hauptkrmmungsradien der Wlzk
rper im Berhrpunkt bestimmt. In der durch die Drehachsen aufgespannten Ebene sind das die Radien r1 und r2 . Die dazu und wiederum zur Berhrflche senkrechte Ebene erzeugt Kegelschnitte mit den Krmmungsradien r01 und r02 im Berhrpunkt. Bei vorhandener Bohrbewegung sind die Umfangsgeschwindigkeiten der Wlzk
rper nur in einem Punkt, dem Drehpol P, identisch. Seine Lage bestimmt infolgedessen die jeweilige bersetzung. Im Leerlauf liegt P in der Mitte M der Berhrellipse (Bild 9 a), womit das Drehzahlverhltnis w02 =w01 ¼ r01 =r02 festliegt. In Richtung der Gleitgeschwindigkeiten entstehen Reibkrfte, die zwar ein Moment um P erzeugen, jedoch aus Symmetriegrnden keine resultierende Umfangskraft ergeben. Bei Momentenbertragung und unvernderlicher Lage der Berhrflche muß der Drehpol demzufolge außerhalb der Mitte M liegen [8]. Die integrale Wirkung der Reibkrfte mp dA in Umfangsrichtung ergibt dann die gewnschte Tangentialkraft Ft . Weiterhin entsteht ein Bohrmoment Mb um P. Diese Schnittreaktionen lassen sich zu einer resultierenden Kraft Ft zusammenfassen, deren Wirkungslinie durch den fiktiven Kraftangriffspunkt K geht. Damit gilt Mb ¼ Ft lN . Um das Bohrmoment zu minimieren, sollte die Berhrflche m
glichst klein sein. Bei vorhandenen Bohrbewegungen bevorzugt man daher Punktberhrung. Die wiederum in P bereinstimmenden Umfangsgeschwindigkeiten beider Wlzk
rper liefern das Drehzahlverhltnis unter Last

setzen zumeist eine von Tangentialkrften unbeeinflußte Geometrie und Druckverteilung in der Hertzschen Berhrflche voraus. Fr den einfachsten Fall eines konstanten Reibwerts liegen Zustandsdiagramme vor [8, 12], die in anschaulicher Weise die gegenseitige Abhngigkeit der Einflußgr
ßen l, lN , a, b und nt darstellen. Aktuelle Theorien [13] bercksichtigen vom Schlupf bzw. von der Gleitgeschwindigkeit abhngige Schubspannungen in der Kontaktflche, speziell fr den hufigsten Fall geschmierter Hertzscher Kontaktflchen. Die gleichzeitige Berechnung elastischer Verformungen und hydrodynamischer Vorgnge charakterisiert diese EHD-(elasto-hydrodynamischen) Kontakte. Der Druckverlauf in der Kontaktzone hnelt der Hertzschen Pressungsverteilung mit Maximalwerten von einigen 1000 N=mm2 . Dadurch werden die Schmierstoffeigenschaften im Spalt stark verndert. Insbesondere spezielle Reibrad
le, sog. traction fluids [14], verfestigen sich dabei und erm
glichen eine Trennung der Oberflchen (Spaltweite < 1 m [15]) bei gleichzeitig hoher zulssiger Scherbeanspruchung in der Gr
ßenordnung von t ¼ 100 N=mm2 . Bild 10 zeigt gemessene Reibungszahlkurven fr ein herk
mmliches Mineral
l mit gnstigem, hohem Naphtengehalt und ein synthetisches Reibrad
l bei unterschiedlichen Bohr/Wlzverhltnissen. Unabhngig von dem hier untersuchten Wlzschlupf tritt bei unterschiedlichen elastischen Eigenschaften der Wlzk
rper eine bersetzungsnderung durch nderung der Reibradien infolge lastabhngiger elastischer Verformungen auf. Es sind

w2 =w1 ¼ r1 =r2 : Die relative bersetzungsnderung gegenber dem Leerlauf bezeichnet man als Wlzschlupf sw w02 =w01
w2 =w1 r1 =r2 ¼ 1
w02 =w01 r01 =r02 ðr01
l sin a1 Þ=ðr02 þ l sin a2 Þ ¼1
; r01 =r02 ðr01
l sin a1 Þ=r01 sw ¼ 1
ðr02 þ l sin a2 Þ=r02

sw ¼

ð6Þ

Bei konstanter Anpreßkraft Fn sowie unvernderlichem Reibwert m vergr
ßert sich der Schlupf demnach mit steigender Belastung, d. h. zunehmender Polauswanderung l. Große Raddurchmesser sowie kleine Kegelwinkel a und damit kleinerer Bohrschlupf wirken sich gnstig auf den Wirkungsgrad aus, da sie den Lngsschlupf verringern. Auch bei a1,2 ¼ 0, das heißt ohne Bohrschlupf (z. B. Bild 1 a, b), ist der Nutzreibwert mN bzw. der Kraftschlußbeiwert f vom Lngsschlupf in hnlicher Weise abhngig; allerdings ist der Kraftanstieg mit dem Schlupf steiler, da die Gleitgeschwindigkeitsvektoren in der Berhrflche nicht in die Richtung der gewnschten Kraftbertragung gedreht werden mssen, um den h
chstm
glichen Kraftschluß zu erzielen. Dies liegt daran, daß sowohl bei trocken laufenden als auch bei geschmierten Wlzkontakten elastischer Form
nderungsschlupf auftritt [9–11], dem sich bei geschmierten Kontakten zustzlich die Scherung im Fluidfilm berlagert. Der Wlzschlupf wird dann definiert als: sw ¼ ðr01 w1
r02 w2 Þ=r01 w1

ð7Þ

Berechnungsverfahren zur Bestimmung der bertragbaren Umfangskrfte und der die Kinematik bestimmenden Lnge l

Bild 10. Reibungszahlkurven nach [16] eines naphtenbasischen Mineral
ls und eines synthetischen Reibrad
ls (h
here
N -Werte) bei verschiedenen Bohr/Wlzverhltnissen

I7.3 Berechnungsgrundlagen

G 123

Konstruktionen denkbar, bei denen der W
lzschlupf dadurch sogar vollst
ndig kompensiert wird. Die Schlupfwerte sw ausgefhrter Stellgetriebe liegen bei Nennlast zwischen 1,5 und 5%, ausnahmsweise darber. 7.3.3
bertragbare Leistung und Wirkungsgrad Transmittable power and efficiency Tab. 1 gibt die Leistungsdaten der in Bild 5 gezeigten Getriebebauarten nach Herstellerkatalogen fr den jeweils grßten und kleinsten Typ wieder. Die angegebene Leistung ist die zur Verfgung stehende mechanische Leistung P2 an der Abtriebswelle. Der damit gebildete Gesamtwirkungsgrad berechnet sich unter Zugrundelegung der aufgenommenen elektrischen Leistung Pel . Neben der durch Werkstoffestigkeit und Reibungsverschleiß begrenzten Hertzschen Pressung bestimmen die bei zunehmender Baugrße infolge schlechter W
rmeabfuhr ansteigenden Temperaturen die Leistungsgrenze von W
lzgetrieben. Bei gleichem Gewicht und damit etwa gleicher Wellen- und Lagerbelastbarkeit ist die Nennleistung von W
lzgetrieben etwa eine Grßenordnung geringer als die von Zahnradgetrieben (Bild 11), weil diese bei gleicher Beanspruchung der Berhrfl
chen die volle Normalkraft Fn , reibschlssige Getriebe jedoch nur mFn als Umfangskraft bertragen knnen. Leistungsverluste treten vor allem in den Lagern und im Reibkontakt selbst auf. Nur bei W
lzpaarungen ohne Bohrbewegung kann die Reibleistung unmittelbar angegeben werden. Die Differenz der Umfangsgeschwindigkeiten in der Kontaktfl
che ist dabei n
herungsweise berall gleich und hat im Leerlaufberhrpunkt den Wert Du ¼ w1 r01
w2 r02 ¼ w1 r01 ð1
w2 r02 =w1 r01 Þ ¼ w1 r01 sw :

Tabelle 2. Eigenschaften einiger Werkstoffpaarungen

ð8Þ

Bild 11. Leistungsgewicht von W
lzgetrieben im Vergleich

Damit ist die Reibleistung PV ¼ Du mN Fn ¼ w1 r01 sw mN Fn :

ð9Þ

Zusammengehrige Reib- und Schlupfwerte mN und sw entnimmt man z. B. vorhandenen Reibungszahlkurven oder rechnet berschl
gig mit den in Tab. 2 angegebenen Daten. Bei vorhandener Bohrbewegung l
ßt sich die Reibleistung nach [17] folgendermaßen absch
tzen. Zun
chst ermittelt man den zu dem vorliegenden Kraftverh
ltnis mN ¼ Ft =Fn zugehrigen Schlupf aus der Kraftschluß-Schlupfkurve fr Bohrbewegung und setzt diesen in obige Gleichung ein. Den Nutzreibwert w
hlt man dann jedoch fr diesen Schlupf aus der Kurve ohne Bohrbewegung aus. Von diesem hohen Reibwert wird bei Bohrbewegung nur ein Teil fr die bertragung der Umfangskraft ausgenutzt, der Rest ist den Bohrreibungsverlusten zuzuordnen. Genauere Berechnungsverfahren findet man z. B. in [13].

G

G 124

Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe

7.3.4 Gebr
uchliche Werkstoffpaarungen Typical combinations of materials Tab. 2 zeigt eine Auswahl verwendeter Reibradwerkstoffe mit Richtwerten f
r die Berechnung. Bei metallischen Werkstoffen ist die zulssige Hertzsche Pressung pHzul angegeben, sonst die erlaubte Stribecksche Wlzpressung

G

kzul ¼ Fn =ðbd1 Þ; ð10Þ
¼ F =ðd bÞ mit d ¼ d d =ðd þ d Þ, vgl. Bild 2 b bzw. kzul n 0 0 1 2 1 2 Bild 2 a. Die angegebenen Nutzreibwerte mN enthalten eine gewisse,
bliche Sicherheit. Angaben nach [17], sonstige Quellen sind gekennzeichnet. Die an Reibpaarungen gestellten Anforderungen in bezug auf hohe Wlz- und Verschleißfestigkeit bei gleichzeitig hohem Reibwert sind nicht gleichzeitig optimal zu erf
llen. Wegen der bei Verstellgetrieben g
nstigen Punktber
hrung findet man dort fast ausschließlich Ganzstahlgetriebe. Reibradgetriebe mit festem bersetzungsverhltnis weisen demgegen
ber meist Linienber
hrung auf und lassen sich preisg
nstig mit Elastomer-Reibrdern gestalten, da die auftretenden Wellen- und Lagerbelastungen gering sind. Schmierstoffe und Schmutz m
ssen jedoch unbedingt von den Laufflchen ferngehalten werden, um den hohen Reibwert gewhrleisten zu knnen.

7.4 Hinweise fr Anwendung und Betrieb Application and operation Reibradgetriebe mit festem
bersetzungsverhltnis werden hufig in feinmechanischen Antrieben zur bertragung geringer Leistungen eingesetzt. Durch Abheben der Rder wirken sie als Schaltkupplung (Tonbandgerte). Bei weichem Gum-

8 Zahnradgetriebe. Gearing B.-R. Hhn und H. Winter, M
nchen Vorteile: Schlupflose bertragung von Bewegungen (Feingerte) sowie von Leistungen (bis 140 000 kW in einer Paarung). Relativ kleine Baugrße. Hoher Wirkungsgrad (beachte Bedingungen bei Schnecken- und Schraubradgetrieben).

mireibbelag sind sie besonders geruscharm, leise bei gehrteten, feingeschliffenen und geschmierten Stahlreibflchen, aber laut bei schnellaufenden trockenen metallischen Reibpaarungen. Verstell-Reibradgetriebe dienen zum Antrieb solcher Gerte und Maschinen, deren Antriebsgeschwindigkeit stufenlos einstellbar sein soll (Fahrzeuge, R
hrwerke, sanftanlaufende Frderbnder), aber auch zur Konstanthaltung einer Drehzahl durch manuelle bersetzungseinstellung oder automatische Regelung. Der Verstellbereich sollte so klein wie mglich gewhlt werden, um ihn voll auszunutzen. So wird rtlicher Verschleiß, d. h. Laufrillenbildung bei lngerer Laufzeit mit gleicher bersetzung vermieden. Eine Ausnahme stellt das Getriebe nach Bild 5 f dar, da die Kugelrollbahnen sich auch bei gleicher bersetzung mit jedem Umlauf ndern [19]. Bei langsam laufenden Antrieben ist die Verwendung einer kleinen Baugrße mit vorgeschalteter bersetzung ins Schnelle und nachgeschalteter bersetzung ins Langsame meist g
nstiger als eine schwere Baugrße ohne Zusatzgetriebe, da die Wirtschaftlichkeit von Reibradgetrieben mit steigendem Drehzahlniveau zunimmt [20]. Wenn f
r Feinregelungen nur ein geringes Stellverhltnis erforderlich ist, sollte ein Planeten-Stellkoppelgetriebe (s. G 8.9.8) verwendet werden, wodurch das Stellgetriebe nur einen Teil der Gesamtleistung
bertragen muß und entsprechend klein gewhlt werden kann. Bei den meisten ausgef
hrten Getrieben steigt die Anpreßkraft entweder bauartbedingt oder infolge drehmomentabhngiger Anpreßvorrichtungen mit steigender Belastung an. Im Teillastbereich erreicht man dadurch eine Entlastung der Wlzkrper und vermeidet bei Last
berschreitungen starken Verschleiß durch Rutschen. Zur Verringerung der bei großer berlastung drohenden Bruchgefahr bieten manche Hersteller ihre Getriebe mit zustzlichen Rutschkupplungen an.

Ger
uschverhalten (s. O 3). G
nstig sind hohe Gleitanteile: Schnekkengetriebe (bis 10 dB niedrigerer Geruschpegel als bei Stirnradgetrieben erreichbar), Hypoidgetriebe. Bei hochbelasteten Stirnradgetrieben feiner Qualitt lßt sich Geruschpegel nur durch bergang von Gerad- auf Schrgverzahnung (Gesamt
berdeckung >2,5) entscheidend senken. Bei niedrig belasteten Getrieben (Feingerte)
berwiegt Einfluß der Verzahnungsgenauigkeit. Bei kleinen Leistungen Kunststoffzahnrder (Ritzel aus Metall), Geruschminderung bis

Nachteile: Starre Kraft
bertragung (evtl. elastische Kupplung vorsehen), Schwingungen durch Zahneingriff, z. B. Rattermarken bei Zerspanprozessen; Gegenmaßnahmen: Feinere Verzahnungsqualitt, Schrgverzahnung, Stufe mit Riemengetriebe usw. R
derpaarungen (Bild 1), Parallele Wellen: Stirnrder, einfachste Herstellung, am sichersten beherrschbar, bis zu hchsten Leistungen und Drehzahlen; – Innenverzahnung teurer, eingeschrnkte Herstellmglichkeiten, u. U. „fliegende Ritzel“, hauptschlich f
r Planetengetriebe. – Sich schneidende Wellen (meist unter 90 ): Kegelrder. – Kleine Achsversetzung: Hypoidrder, wegen Lngsgleitens bei Punktber
hrung EP-Schmiermittel erforderlich [1]. – Große Achsversetzung (Achsabstand): Stirnschraubrder, f
r kleine Krfte (Punktber
hrung) außer bei kleinen Kreuzungswinkeln. Schneckengetriebe f
r hohe Tragkraft (Linienber
hrung) bei grßeren bersetzungen; bei Umkehr des Kraftflusses u. U. selbsthemmend.

Bild 1. Zahnradpaarungen

I8.1 Stirnrder – Verzahnungsgeometrie 6 dB; Paarung Kunststoff/Kunststoff bis 12 dB gegen
ber Stahl/Stahl [20]. Wirkungsgrad h . Bei voller Belastung einschließlich Plansch-, Lager-, Dichtungsverlusten bei lschmierung: Einstufiges Stirnradgetriebe mit Wlzlagern ca. 98% (1% Verlust je Welle) bei bester Qualitt (Turbogetriebe) bis 99%, langsam laufende, fettgeschmierte Stirnradstufe, gegossen h ¼ 93%, gefrst 95%; Kegelradgetriebe 97%; Hypoidgetriebe 85 bis 96%, Schneckengetriebe 30 bis 98% (s. G 8.8.5). Reibungszahl bei lgeschmierten Zahnflanken mm ¼ 0;02 . . . 0;07. Gesamtwirkungsgrad h ¼ h1 h2 . . . mit h1 Wirkungsgrad der 1. Stufe, usw. Bei Teillast und Anfahren (niedrigere Temperatur) Wirkungsgrad erheblich niedriger.

8.1 Stirnr
der – Verzahnungsgeometrie Spur and helical gears – gear tooth geometry Ein Zahnradpaar soll Drehbewegung gleichf
rmig von Welle
a auf Welle
b
bertragen: wa =wb ¼ const: Dies geschieht, wenn zwei gedachte Wlzzylinder aufeinander abrollen, Bild 2. Die Zahnformen m
ssen so beschaffen sein, daß diese Bedingung eingehalten wird. 8.1.1 Verzahnungsgesetz. Rule of the common normal Bild 3 gilt f
r ebene Verzahnung: Die Umfangsgeschwindigkeiten beider Wlzkreise m
ssen im Ber
hrpunkt – Wlzpunkt C – gleich sein. Statt Drehung um O1 und O2 lßt man Rad 2 (Wlzkreis 2) auf stillstehendem Rad 1 (Wlzkreis 1) abrollen. Jeder Punkt auf Rad 2 – auch der momentane Ber
hrpunkt Y2 – macht dabei eine Drehbewegung um den jeweiligen Momentanpol – den Wlzpunkt C. Damit sich Flanke 2 dabei weder von Flanke 1 abhebt noch in diese eindringt, muß gemeinsame Tangente TT in Y auch Tangente an Kreis mit Radius CY um C sein. Das heißt TT muß senkrecht auf YC stehen – f
r jede Wlzstellung: Die Berhrnormale muß stets durch den Wlzpunkt gehen. Rumliche Verzahnung. Die Bewegung wird demnach auch

G 125

gleichfrmig
bertragen, wenn das Verzahnungsgesetz nur f
r eine Eingriffsstellung im Stirnschnitt eingehalten ist und der Ber
hrpunkt bei der Drehbewegung
ber die Breite wandert. Schrgverzahnung mit Sprung
berdeckung Gl. (13) eb > 1. Wildhaber-Novikov-Verzahnung (s. G 8.1.8). 8.1.2 bersetzung, Z
hnezahlverh
ltnis, Momentenverh
ltnis Transmission ratio, gear ratio, torque ratio bersetzung (Bild 2) i ¼ w
a =w
b ¼ n
a =n
b ¼ r
b =r
a :

ð1Þ

Gesamt
bersetzung i ¼ i1
i2 . . . mit i1 bersetzung der 1. Stufe, usw. Z
hnezahlverh
ltnis (bei Stirnrdern = Radienverhltnis) u ¼ z2 =z1 ¼ r2 =r1 ¼ w1 =w2 stets > 1: ð2Þ u zur Berechnung der Ersatzkr
mmungsradien (s. G 8.1.7) erforderlich. bersetzung ins Langsame (Rad 1 treibt): i ¼ u. bersetzung ins Schnelle (Rad 2 treibt): i ¼ 1=u. Wlzpunkt C teilt demnach Achsabstand a im umgekehrten Verhltnis der Winkelgeschwindigkeiten, Gl. (6). Bei Verzahnungen mit nicht konstanter bersetzung (z. B. elliptischen Zahnrdern) muß C seine Lage auf Mittenlinie O1 O2 nach Gl. (1) ndern. Momentenverh
ltnis iM ¼ M
b =M
a :

ð3Þ

Bei Leistungsgetrieben mit hohem Wirkungsgrad praktisch iM ¼ i, nicht jedoch bei manchen Uhrenverzahnungen (s. G 8.1.8). 8.1.3 Konstruktion von Eingriffslinie und Gegenflanke Geometric construction for path of contact and conjugate tooth profile Flanke 1 und Wlzkreise gegeben, Bild 4. Normale in Punkt Y1 schneidet Wlzkreis 1 in C1 . Dreht man Rad 1 mit Dreieck Y1 C1 O1 bis C1 in C fllt, so ist Y ein Punkt der Eingriffslinie (geometrischer Ort aller Eingriffspunkte), da YC Flankennormale. Zur
ckdrehen des Dreiecks YCO2 um Bo_ _ genst
ck CC2 ¼ CC1 f
hrt Y in den Y1 zugeordneten Punkt der Gegenflanke Y2 .

Bild 2. Wlzzylinder mit gemeinsamer Wlzebene. 1 Achse des Kleinrades (Ritzel); 2 Achse des Großrades (Rad); Ritzel treibend: w1 ¼ w
a , w2 ¼ w
b ; Rad treibend: w2 ¼ w
a ; w1 ¼ w
b ; Gerade O1O2: Mittenlinie, Strecke O1 O2 : Achsabstand a

Bild 3. Zum Verzahnungsgesetz

8.1.4 Flankenlinien und Formen der Verzahnung Tooth traces and tooth profiles Flankenlinien (Bild 5). Geradverzahnung f
r kleine Umfangsgeschwindigkeiten; Vorteil: keine Axialkrfte, einfache Herstellung, geeignet f
r Schieberder; Nachteil: weniger laufruhig.

Bild 4. Punktweise Konstruktion von Eingriffslinie und Gegenflanke

G

G 126

Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe

Bild 5 a–c. Stirnrder. a Gerad-; b Schrg-; c Doppelschrgverzahnung

G

Schr
gverzahnung f
r hhere Tragfhigkeit und Umfangsgeschwindigkeit wegen gleichfrmiger bertragung unter Belastung, Laufruhe; Nachteil: Axialkrfte. Doppel-Schr
gverzahnung ermglicht Ausgleich der Axialkrfte. Nachteil: Spalt f
r Werkzeugauslauf, Lastaufteilung nicht immer sicher, u. U. Axialschwingungen. Beachte: Wlz– und Gleitbewegungen vollziehen sich auch bei Schrgverzahnung im Stirnschnitt. Einzelverzahnung. Einfaches Zahnprofil eines Rades vorgegeben. Profil des Gegenrades nach G 8.1.3 konstruieren bzw. gegebenes Profil wird beim Abwlzen durch Werkzeug nachgebildet [1]. Paarverzahnung. Erzeugen der Verzahnungen durch Abwlzen eines gemeinsamen Bezugsprofils der Planverzahnung: F
r Stirnrder ist dies die Verzahnung einer ebenen Platte – d. h. einer Zahnstange (z. B. Bild 10), f
r Kegelrder die eines ebenen Rades – des Planrades, Bezugsprofil und Gegenprofil sind nicht identisch, zwei Werkzeuge erforderlich [1]. Satzr
derverzahnung. Profil und Gegenprofil (Zahnstangen-Werkzeug f
r Rad und Gegenrad) der Planverzahnung sind hier identisch, so daß ein Werkzeug gen
gt, um smtliche Rder herzustellen, die auch smtlich miteinander kmmen knnen, wenn bei Herstellung Profilmittellinie = Wlzbahn ist. Evolventen-Satzrder [4]. 8.1.5 Allgemeine Verzahnungsgrßen General relationships for all tooth profiles Bild 6 und Bild 7. Die Gleichungen gelten auch f
r Schrgstirnrder (k
nftige Schreibweise f
r Schrgstirnrder: ==Schr: : . . . ==Þ: Stirnschnittwerte (Bild 5) werden mit Index t und Normalschnittwerte mit n gekennzeichnet. Bei Geradverzahnung knnen Indizes t und n wegfallen. Angaben zur Innenverzahnung s. G 8.1.7. Teilung p. Abstand zweier gleichliegender Flanken auf dem Wlzkreis. Wenn p durch genormten Modul m ¼ p=p bestimmt ist, wird zugehriger Kreis als Teilkreis bezeichnet. (Bei Evolventenverzahnung evtl. Teilkreis 6¼ Wlzkreis.)

Bild 7. Verzahnungsmaße der Stirnradpaarung (Evolventenverzahnung). B innerer Einzeleingriffspunkt: Vorauseilendes Zahnpaar tritt gerade außer Eingriff (Pkt. E). D ußerer Einzeleingriffspunkt: Nachfolgendes Zahnpaar tritt gerade in Eingriff. – F
r Rad 2 ist B der ußere Einzeleingriffspunkt

p ¼ pd=z ¼ pm,

ð4Þ

==Schr.: pn ¼ pt cos b ¼ pmn ; pt ¼ pmt ==: Teilungen von Ritzel und Rad m
ssen
bereinstimmen. Teilkreisdurchmesser d1 ¼ 2 r1 ¼ z1 p=p ¼ z1 m, d2 ¼ 2r2 ¼ z2 p=p ¼ z2 m, ==Schr.: d1 ¼ z1 pt =p ¼ z1 mt , d2 ¼ z2 pt =p ¼ z2 mt ==:

) ð5Þ

Achsabstand (Bild 2): a ¼ r1 þ r2 ¼ mðz1 þ z2 Þ=2 ¼ mz1 ð1 þ uÞ=2

)

==Schr.: mit m ¼ mt ==:

ð6Þ

Evolventenverz. s. Gl. (30, 33). Bei Innenverzahnung z2 ; d2 ; a negativ (s. G 8.1.7). Modul m. Wichtige Maßstabsgrße. Kopf- und Fußhhen meist abhngig von m gewhlt. Zur Beschrnkung der Werkzeuganzahl mn aus Normreihe whlen. Tab. 1. ==Schr.: mt ¼ mn = cos b==: (In England und USA Diametral Pitch
blich: Pd ¼ z=d: Mit d in Zoll: m in mm = 25,4/Pd .) Zahnhhen. Kopfhhe ha (normal=m), Fußhhe hf ðnormal ¼ 1,1 m . . . 1,3 mÞ: ==Schr.: mit m ¼ mn ==;

ð7Þ

Zahnhhe h ¼ ha þ hf ; gemeinsame Zahnhhe hw ¼ ha1 þ ha2 : Tabelle 1. Modulreihe (DIN 780 und ISO-Norm 54-1977). Ohne Zeichen: Vorzugsreihe I, mit Zeichen æ Æ: Reihe II

Bild 6. Bezeichnungen und Maße der Stirnradverzahnung

I8.1 Stirnrder – Verzahnungsgeometrie

G 127

Kopfkreisdurchmesser da ¼ d þ 2ha ¼ 2a
df Gegenrad
2c:

ð8Þ

Fußkreisdurchmesser df ¼ d
2hf :

ð9Þ

Kopfspiel c. Abstand des Kopfkreises vom Fußkreis des Gegenrades (normal = 0;1 m . . . 0;3 m), ==Schr.: mit m ¼ mn ==, ) c1 ¼ h1
hw ¼ a
ðda1 þ df2 Þ=2, ð10Þ c2 ¼ h2
hw ¼ a
ðda2 þ df1 Þ=2: Zahndicke im Teilkreis s¼p
e

ð11Þ

mit L
ckenweite e. s1 und s2 werden um Zahndickenabmaß AS kleiner als das Nennmaß ausgef
hrt. Dadurch entsteht Drehflankenspiel jt ¼ p
s1
s2 ;

ð12Þ

Normalflankenspiel jn ¼ jt  cos a; k
rzester Abstand zwischen den R
ckflanken; erforderlich, um Klemmen bei Erwrmung, Quellen (Kunststoffe!) oder infolge Fertigungstoleranzen zu vermeiden. ==Schr.: jn ¼ jt cos an  cos b==. Anhaltswerte f
r As nach Tab. 4. Eingriffsstrecke ga . F
r den Eingriff ausgenutzter Teil der Eingriffslinie. Normalerweise durch Kopfkreise begrenzt, bei unterschnittenen Zhnen schon vorher, Bild 7, 11. Eingriffsl
nge l. Von Beginn bis Ende des Eingriffs durchlaufener Drehweg A1 bis E1 auf Wlzkreis, Bild 7. Profilberdeckung ea . Verhltnis Eingriffslnge zu Teilung. F
r gleichfrmige Bewegungs
bertragung bei Geradverzahnung ea ¼ l=p > 1 erforderlich; meist 1;1 . . . 1;25 (auch f
r Schrgverzahnung) gefordert. ea bei Evolventenverzahnung s. G 8.1.7.

Bild 8. Sprung U und Schrgungswinkel b an einem Schrgstirnrad (DIN 3960)

Zus
tzliche Grßen fr Schr
gverzahnung: Sprung (bei Schrgverzahnung) U: Abstand der Endpunkte einer Flankenlinie
ber die Breite, gemessen auf dem Teilkreisbogen. U ¼ b tan b; Bild 8. Flankenrichtung. Rechtssteigend: b positiv, linkssteigend: b negativ. Bei Außenverzahnung m
ssen Flankenrichtungen von Ritzel und Rad entgegengesetzt, bei Innenverzahnungen gleich sein. Sprungberdeckung eb ¼ U=pt ¼ b sin b=ðmn pÞ:

ð13Þ

Auch bei kleinen Zahnhhen (Grenzfall Null) gleichfrmige Bewegungs
bertragung mglich, wenn eb > 1: Gesamtberdeckung eg ¼ ea þ eb :

ð14Þ

8.1.6 Gleit- und Rollbewegung. Sliding and rolling motion Nach Bewegungsgesetz (s. B 2.1.2) Absolutgeschwindigkeit in Richtung der Eingriffstangente TT (Bild 9) ) w
a ¼ w
a r
a ¼ ðut =r
a Þðr
a sin a  gy Þ ¼ ut ðsin a  gy =r
a Þ, ð15Þ w
b ¼ w
b r
b ¼ ðut =r
b Þðr
b sin a  gyÞ ¼ ut ðsin a  gy =r
b Þ: Oberes Vorzeichen f
r Eingriffspunkt auf Fußflanke
a oder Kopf
b, unteres Zeichen auf Kopfflanke
a oder Fuß
b. + am Kopf (
a oder
b);
am Fuß (
a oder
b).

Eingriffswinkel a. Winkel zwischen Tangente an Wlzkreis in C und jeweiliger Eingriffsnormalen YC (Bild 4 und 7); a bei Evolventenverzahnung s. G 8.1.7, ==Schr.: tan at ¼ tan an = cos b==, mit at Stirneingriffswinkel und an Normaleingriffswinkel.

Summengeschwindigkeit, wichtig f
r Schmierdruck (s. G 8.3), uS ¼ w
a þ w
b ¼ ut ½2 sin a  gy ð1=r
a þ 1=r
b Þ ¼ ut ½2 sin a  gy ð1 þ 1=iÞ=r
a ;

Eingriffsprofil, aktives Profil, Bild 7: Der f
r den Eingriff ausgenutzte Teil der Zahnflanke AK.

Minus-Zeichen am Fuß
a oder Kopf
b; Plus-Zeichen am Fuß
b oder Kopf
a.

Bild 9 a, b. Geschwindigkeiten an den Zahnflanken. a Maße zur Berechnung, Index
a: treibend,
b: getrieben; b Geschwindigkeiten der Flankenber
hrpunkte whrend des Eingriffs

G

G 128

Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe

Summenfaktor KS ¼ uS =ut ¼ ½2 sin a
gy ð1 þ 1=iÞ=r
a : ð16Þ Gleitgeschwindigkeit, wichtig f
r Erwrmung, Freßbeanspruchung (s. G 8.5.1), ugaa ¼ w
a  w
b ; ugbb ¼ w
b  w
a ¼ ugaa ; ug ¼
ut gy ð1=r
a þ 1=r
b Þ:

ð17Þ

Gleitfaktor Kg Kg ¼ ug =ut ¼
gy ð1=r
a þ 1=r
b Þ ¼
gy ð1 þ 1=iÞ=r
a :

ð18Þ

Minus-Zeichen an Fuß
a oder
b, Plus-Zeichen an Kopf
a oder
b. Das Vorzeichen kennzeichnet die Richtung der Reibkraft, Bild 9 b. 8.1.7 Evolventenverzahnung. Involute teeth

G

Im Maschinenbau fast ausschließlich verwendet: Einfaches genaues Herstellen im H
llschnittverfahren (geradflankiges Bezugsprofil, Bild 10), Satzrdereigenschaften, gleichfrmige Bewegungs
bertragung auch bei Achsabstandsabweichungen, unterschiedliche Zahnformen und Achsabstnde mit gleichen Werkzeug durch Profilverschiebung mglich, Richtung und Grße der Zahnnormalkraft (Lagerkraft) whrend des Eingriffs konstant (s. S 5.2). Besonderheiten der Evolventenverzahnung. Eingriffslinie ist Gerade unter Eingriffswinkel a, wirksame Profile der Zahnflanken sind Kreisevolventen, wobei die Zahnflanken der Planverzahnung (Zahnstange) gerade, die der Außenrder konvex und die der Hohlrder konkav sind. Kreisevolventen werden beschrieben von Punkten einer Geraden, der „Erzeugenden“, die sich auf einem Kreis, „Grundkreis“, abwlzt (s. A bzw. DUBBEL interaktiv). Das geradflankige Bezugsprofil ist f
r den Maschinenbau in DIN 867 genormt (Bild 10 a); entsprechende Werkzeugbezugsprofile I und II f
r Fertigbearbeitung sowie III und IV f
r Vorbearbeitung von Verzahnungen siehe (DIN 3972). F
r die meisten Anwendungsflle erhlt man hiermit geeignete und ausgewogene Verzahnungen. – Bezugsprofil f
r die Feinwerktechnik DIN 58 400.

Sonderf
lle. Protuberanzprofil (Bild 10 b), das Zahnfuß freischneidet, um Kerben durch Verzahnungsschleifen zu vermeiden. – Grßere Zahnhhe ðhw  2; 5 m statt 2 m) f
r besonders laufruhige Getriebe (Hochverzahnung, Freßgefahr beachten!). – Eingriffswinkel 15 bei verstellbaren Achsabstnden (grßere Profil
berdeckung). – ISO- und auslnd. Normen: ISO 53; AGMA 201.02, 207.06; und durch ISO 6336 ersetzen. Evolventenfunktion. Zur Berechnung zahlreicher Grßen der Evolventenverzahnung, z. B. der Zahndicke an beliebiger Stelle, benutzt man zweckmßig Evolventenfunktion „inv a“ (sprich „involut a“), die als Funktion von a tabelliert ist und in Rechnerprogrammen vorliegt (s. Anh. G 8 Tab. 1, alte Schreibweise „evolut a“). _ inv a ¼ tan a  a : ð19Þ Verzahnungsgr
ßen der Evolventenverzahnung. Es gelten die allgemeinen Beziehungen in G 8.1.5. Weitere Maße siehe Bild 7: Grundkreis: rb1 ¼ r1 cos a; rb2 ¼ urb1 ; ==Schr: : rb ¼ r cos at ==:

ð20Þ

Eingriffsteilung pe ¼ p cos a ¼ pb Grundkreisteilung, ==Schr.: Stirneingriffsteilung pet ¼ pt cos at Normaleingriffsteilungpen ¼ pn cos an ==: Krmmungsradien ==Schr.: Im Stirnschnitt == nach Bild 7 und 9 a: rC1 ¼ T1 C ¼ 0,5db1 tan aw ¼ 0,5d1 sin aw , 1=2

2 2 rC2 ¼ CT2 ¼ urC1 , rA2 ¼ AT2 ¼ 0,5ðda2  db2 Þ

2 2 1=2  db1 Þ , rB1 ¼ T1 B ¼ rE1  pet , rE1 ¼ 0,5ðda1

rB2 ¼ BT2 ¼ a sin aw  rB1 mit db ¼ 2rb ; da (Bild 6), aw Betriebseingriffswinkel, ==Schr.: aw ¼ awt ==. (r mit Index 2 bei Innenverzahnung negativ!) 9 Eingriffsstrecke: ga ¼ gf þ ga mit > > > > Fußeingriffsstrecke: gf ¼ AC ¼ rA2  rC2 und > > > > = Kopfeingriffsstrecke 1: ga ¼ CE ¼ rE1  rC1 , 2 1=2 > ga ¼ 0,5db1 ð½ðda1 =db1 Þ  1 > > > > > þ u½ðda2 =db2 Þ2  11=2  tan aw ½u þ 1Þ, > > ; ==Schr: : aw ¼ awt ==: Profil¨uberdeckung : ea ¼ ga =pe , ==Schr: : ea ¼ ga =pet :

9 Zahndicke am Radius ry ðStirnschnittwerteÞ: > > > > sy ¼ 2 ry ðs=2 r þ inva  invay Þ = mit ay aus cos ay ¼ rb =ry ¼ r cos a=ry > > bei gegebenem s und a am Radius r:  > > ; Am Kopf san > 0,2 mn , Bilder 13 und 14:

9 Achsabstand ay aus Zahndicken bei spielfreiem > > > Eingriff (Stirnschnittwerte): ay ¼ a cos a=cos ay > > > = mit a nach Gl: ð6Þ und ay aus inv ay ¼ inv a þ ½z1 ðs1 þ s2 Þ  2 p r1 =½2 r1 ðz1 þ z2 Þ > > > > mit s1 am Radius r1 , s2 und > > ; r2 ðGl: 27Þ: a bei r1 und r2 :

Bild 10 a–c. Bezugsprofile der Evolventenverzahnung. a BezugsZahnstange nach (DIN 867); b Protuberanz-Werkzeug nach [49], aprP0  ð0; 3 . . . 0; 6Þan (der Kopfhhe haP0 des Werkzeug-Bezugprofils entspricht die Fußhhe hfP des Verzahnungs-Bezugsprofils); c mit b erzeugte Zahlenflanke

9 > > > > > ,= > > > > > ;

ð22Þ

ð23Þ

ð24Þ

ð25Þ

ð26Þ

Unterschnitt (Bild 11). Bei kleinen Zhnezahlen unterschneidet die Kopfflanke der Zahnstange den Zahnfuß des Rades dann, wenn Schnittpunkt H unterhalb T1 liegt. Die Bahn des abgerundeten Zahnstangenkopfes (relative Kopfbahn) schneidet beim Abwlzen Evolvente in U; entsprechender Punkt auf Eingrifflinie: U0 . Unterschnitt kann berdeckung verringern, Bild 11 („schdlicher“ Unterschnitt) und schwcht den Zahnfuß. Grenzzhnezahl folgt aus Bedingung, daß H in T1 fllt.

I8.1 Stirnrder – Verzahnungsgeometrie

G 129

zG ¼ 2 cos bðhNaP0
xmn Þ=ðmn sin2 at Þ mit hNaP0 ¼ haP0
raP0 ð1
sin an Þ s. Bild 11. Durch Abr
cken des Werkzeuges (positive Profilverschiebung x), kleineres hNaP0 oder Schrgverzahnung kann man demnach Unterschnitt vermeiden, d. h. die Grenzzhnezahl verringern, Bilder 13 und 14. Profilverschobene Verzahnung (Normalfall der Evolventenverzahnung). Beim Herstellen wird Werkzeug-Bezugsprofil um Betrag xm vom Teilkreis (Radius r) abger
ckt (Profilverschiebung =+ xm) oder hineinger
ckt (– xm) und auf diesem abgewlzt. Grundkreisradien rb ¼ r cos a bleiben unverndert. – Hiermit Unterschnitt vermeidbar, grßere Kr
mmungsradien, dickerer Zahnfuß und Einhalten bestimmter Achsabstnde bei genormtem Modul mglich. berdeckung meist kleiner, Radialkraft grßer als Folge des grßeren Betriebseingriffswinkels. Nur geringe nderung der Zahnform bei großen Zhnezahlen. Maße profilverschobener R
der Zahndicke am Teilkreisradius r: s ¼ mðp=2 þ 2x tan aÞ þ As mit (negativem) Zahndickenabmaß As ; Anhaltswerte f
r As , Tab. 4 (s. G 8.2);

Bild 11. Unterschnitt: Beginn des Eingriffs erst bei U mglich; verbleibende Eingriffsstrecke: ga . „Schdlicher“ Unterschnitt, wenn Kopfkreisradius des Gegenrades > O2 U 0 .

mit ad (Achsabstand der Nullverzahnung) nach Gl. (33). F
r Bezugsprofil nach DIN 867: a ¼ 20 ; cos a ¼ 0;940; tan a ¼ 0;364; inv a ¼ 0;0149: Null-Verzahnung: x1 ¼ x2 ¼ 0; aw ¼ a; a ¼ ad ¼ 0;5mðz1 þ z2 Þ;

ð33Þ

==Schr: : sn ¼ st cos b ¼ mn ðp=2 þ 2x tan an Þ þ Asn ==:

ð27Þ

Fußkreisdurchmesser df ¼ d þ 2xm
2hfP ; ==Schr: : mit m ¼ mn ==:

ð28Þ

V-Null-Verzahnung: x1 ¼
x2 ; aw ¼ a, a ¼ ad . Zur Beseitigung des Unterschnitts und zur Verstrkung des Ritzels auf Kosten des Rads bei u 6¼ 1.

Kopfkreisdurchmesser da ¼ 2a
df gegen
2c da ¼ d þ 2xm þ 2haP þ 2km,

ð29Þ

V-Verzahnung: x1 þ x2 6¼ 0: Viele brauchbare Profilverschiebungssysteme [4, 5].

==Schr.: mit m ¼ mn ==; hfP ; haP ; c; s. Bild 10 a. k m Kopfhhennderung (= Zusammenschiebung, Bild 12), Gl. (32), zur Aufrechterhaltung des Kopfspiels negative Werte bei Außenradpaaren (positive bei Innenradpaaren, dann meist null gesetzt).

Beispiel 1: Radpaar mit Schrgverzahnung. Gewhlt: Summenlinie P 4 . . . 5; berechnet aus gerundetem Achsabstand: x1 þ x2 ¼ 0,242; Aufteilung f
r bersetzung ins Langsame; Bild b: (x1 þ x2 )/2 = 0,121 aufgetragen
ber (zn1 þ zn2 )/ 2 = 69,55, Punkt A; Paarungslinie durch A ergibt f
r zn1 = 23,5; x1 = 0,313; f
r zn2 = 115,6: x2 =–0,071.

Achsabstand: a ¼ 0; 5mðz1 þ z2 Þ cos a= cos aw ¼ ad cos a= cos aw ;

ð30Þ

==Schr.: mit m ¼ mt ¼ mn = cos b; a ¼ at ; aw ¼ awt ==, ad Achsabstand der Null-Verzahnung. Fertigungstoleranz ( Achsabstandsabweichung Aa ¼ Aa1 þ Aa2 ) vergrßert oder verkleinert Flankenspiel. Anhaltswerte f
r Aa1 ; Aa2 s. Tab. 4 (s. G 8.2). Betriebseingriffswinkel aw aus inv aw ¼ inv a þ 2 tan aðx1 þ x2 Þ=ðz1 þ z2 Þ;

ð31Þ

==Schr.: inv awt ¼ inv at þ 2 tan an ðx1 þ x2 Þ=ðz1 þ z2 Þ==. Kopfh
hennderung kmn ¼ a
ad
mn ðx1 þ x2 Þ

ð32Þ

==Schr.: awt ¼ at ==.

Beispiel 2: Radpaar mit Geradverzahnung f
r hohe Tragfhigkeit; z1=16, z2=38. Gewhlt: Summenlinie P7; in Bild a
ber z1 þ z2 ¼ 54 abgelesen: x1 þ x2 ¼ 0,85; Aufteilung f
r bersetzung ins Schnelle; Bild c: (x1 þ x2 )/2 = 0,425 aufgetragen
ber (z1 þ z2 )/2 = 27, Punkt B; Paarungslinie durch B ergibt f
r z1 = 16: x1 = 0,37; f
r z2 = 38: x2 = 0,48. Empfehlungen Flexible Regel, die zu ausgeglichenen Verzahnungen f
hrt, in DIN 3992. Wahl von (x1 þ x2 ) nach Bild 13 a: a nach Gl. (31) und (30), evtl. aufrunden und zugehriges (x1 þ x2 ) nach Gl. (30) und (31) oder aus gegebenem a bestimmen; (x1 þ x2 ) nach Paarungslinie aufteilen, Bild 13 b oder c.

Einfache Regel: 05-Verzahnung nach (DIN 3994 und 3995). x1 ¼ x2 ¼ þ0;5; Satzrderverzahnung; a ¼ Fðz1 þ z2 Þm; Zahl

Bild 12. Profilverschobene Verzahnung (V-Verzahnung). Links: Verzahnung von Rad und Gegenrad mit gemeinsamem Bezugsprofil (beachte: keine Flankenber
hrung!); rechts: Betriebsstellung der Verzahnung nach Zusammenschieben und Kopfhhennderung k m (beachte: kein gemeinsames Erzeugungs-Bezugsprofil)

G

G 130

Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe

G

Bild 13 a–c. Wahl der Profilverschiebung (DIN 3992). a Empfehlungen f
r die Summe der Profilverschiebungsfaktoren; b und c Empfehlungen f
r die Aufteilung einer Profilverschiebungssumme; b bersetzung ins Langsame; c bersetzung ins Schnelle. Gerasterte Felder: Gefahr von Eingriffsstrungen. F
r Aufteilung von x1 þ x2 bei z2 > 150 kann man z2 ¼ 150 setzen

I8.1 Stirnrder – Verzahnungsgeometrie F liegt mit ðz1 þ z2 Þ und b fest; F und wichtige Verzahnungsdaten k
nnen aus (DIN 3995) entnommen werden. Zus
tzliche Angaben fr Evolventen-Schr
gverzahnung. Die Berhrlinien sind auch hier Geraden, verlaufen jedoch schrg ber die Zahnflanken und wandern beim Eingriff ber die Zahnbreite. Die Profilverschiebung wird in Vielfachen des Normalmoduls angegeben; Wahl der Profilverschiebung s. Bild 13 entsprechend Ersatzzhnezahl znx nach Gl. (34). Im Normalschnitt ist die Zahnform der einer Evolventen-Geradverzahnung mit einer Ersatzz
hnezahl znx hnlich: znx ¼ z=ðcos2 bb cos bÞ
z=cos3 b;

ð34Þ

wird benutzt bei Wahl der Profilverschiebungen, fr Festlegung der geometrischen Grenzen (z. B. Kopfdicke) und fr die Festigkeitsberechnung. ) Grundschr a¨ gungswinkel bb aus tan bb ¼ tan b cos at ð35Þ oder sin bb ¼ sin b cos an : Sonderverzahnungen mit Ritzelzhnezahlen 1 bis 4 siehe [6]. Zus
tzliche Angaben fr Evolventen-Innenverzahnung. Man kann alle Gleichungen der Verzahnungsgeometrie ungendert anwenden, wenn die Zhnezahl des Hohlrades z2 negativ eingesetzt wird. Alle Rechenwerte der Durchmesser werden damit negativ, so auch Zhnezahlverhltnis und Achsabstand eines Innenradpaars. (In den Zeichnungen sind jedoch die Absolutwerte anzugeben!) Profilverschiebung zum Kopf hin – also bei Innenverzahnung nach innen wird als positiv bezeichnet. Lediglich der Fußkreisdurchmesser ergibt sich aus dem erzeugenden Werkzeug: df2 ¼ 2a0  da0 ; mit a0 Achsabstand beim Verzahnen, da0 Schneidrad-Kopfkreisdurchmesser. Wahl der Profilverschiebung. Gnstig: V-Null-Verzahnung mit x ¼  0; 5 . . . 0; 65: Bei z2 <  40 (extrem – 26), z1 ^ 14 (extrem 12) und z1 þ z2 %  10 Bedingungen fr Herstellung und Montage (radialer Zusammenbau) beachten. Andere VNull-Verzahnungen s. (DIN 3993). – V-Verzahnung ergibt keine wesentlich h
here Tragfhigkeit, jedoch gr
ßere Freiheit in der Gestaltung, erfordert allerdings Nachprfung auf Eingriffsst
rungen, Kopfdicken und Lckenweiten, Bild 14. Bei Planetengetrieben Planetenzhnezahl zP um 0,5 bis 1,5 kleiner whlen als sich aus zZ (Sonnenrad) und zH (Hohlrad) fr Nullverzahnung ergbe. Mit Gl. (30) und (31) bestimmt man xZ þ xP und teilt z. B. nach Bild 13 auf; xP þ xH % 0 anstreben. – Steigungsrichtung bei Schrgverzahnung s. G 8.1.5. Umfassende Darstellung der Geometrie-Beziehungen: (DIN 3993) [8–10].

G 131

8.1.8 Sonstige Verzahnungen (außer Evolventen) und ungleichm
ßig bersetzende Zahnr
der Other tooth profiles (besides involute) and gears for non-uniform transmission Zykloidenverzahnung. Flankenformen entstehen durch Abwlzen zweier Rollkreise auf den Wlzkreisen. Außer fr Kapselpumpen kaum noch angewendet, da genaue Herstellung schwierig (fr jede Zhnezahl eigener Wlzfrser), empfindlich gegen Achsabstandsabweichungen und nicht momententreu (s. G 8.1.2). Kreisbogenverzahnung. Anforderungen im Feingertebau (große bersetzung, konstantes Momentenverhltnis – Gl. (3), kleine Lagerkrfte, kaum Schmierung, großes Flankenspiel, d. h. kein Klemmen wegen Verschmutzung; nicht dagegen winkeltreue bertragung und hohe berdeckung) besser als bei Zykloide durch Kreisbogenverzahnung und Evolventenverzahnung (DIN 58 405) erreichbar. Da nicht winkeltreu, Profilberdeckung stets 1. Zahndicke am Ritzel (i. allg. Stahl) meist kleiner als am Rad (i. allg. Messing oder Kunststoff). Fr Tragfhigkeit meist Biegespannung am Fuß des Rades maßgebend. – Herstellung bei Metallen meist durch Wlzfrsen, z. T. Scheibenfrsen, bei Kunststoffen durch Spritzgießen [11]. Triebstockverzahnungen. Angewendet fr Drehkrnze bei großen Durchmessern und rauhem Betrieb, Zahnstangenwinden, Bild 15. Bei Abwlzen von W2 auf W1 beschreibt M Kurve Z; quidistante mit Bolzenradius ergibt Ritzelflanke. Anhaltswerte. Kleinste Ritzelzhnezahl min z1
8 . . . 12 fr Umfangsgeschwindigkeit ut ¼ 0; 2 . . . 1; 0 m/s; Bolzendurchmesser dB
1; 7 m; Zahnkopfh
he ha
mð1 þ 0; 03z1 Þ; Zahnbreite b
3,3 m, mittlere Auflagelnge des Bolzens l
b+m+5 mm; Lckenradius rL
0; 5dB +0,02 m; Abstand aL
0; 15 m; Flankenspiel jt
0; 04 m. – Tragkraft nach praktischen Erfahrungen: Tab. 2.

Wildhaber-Novikov-(W-N-)Verzahnung Zahnformen. In der Grundform besteht Ritzelflanke aus konvexem und Radflanke aus konkavem Kreisbogen mit Radius r1 ¼ r2 um Wlzpunkt C, Bild 16. Berhrung auf gesamtem Kreisbogen nur in dieser Eingriffsstellung, d. h. keine Profilberdeckung vorhanden. Gleichmßige Bewegungsbertragung nur durch Schrgverzahnung mit Sprungberdeckung eb > 1 m
glich. – Um Kantentragen an Kopf oder Fuß bei Achsabstandsabweichungen zu vermeiden, wird r2 etwas gr
ßer als r1 ausgefhrt – Punktberhrung. – Bei Drehbertragung wandert Berhrpunkt ber die Zahnbreite.

Bild 15. Triebstockverzahnung. Konstruktion von Eingriffslinie und Zahnflanke, Abmessungen Tabelle 2. Anhaltswerte fr Triebstockverzahnung von Krandrehwerken mit Ritzel aus St70 und Bolzen aus St60 bei schwerem Betrieb [51]Bild 14. Bereich der ausfhrbaren Profilverschiebungen nach DIN 3960 fr Evolventenverzahnungen mit Bezugsprofil nach DIN 867. 1 Mindest-Zahnkopfdicke; 2 Unterschnitt; 3, 4 Mindest-Kopfkreisdurchmesser; 5 Mindest-Lckenweite; E Empfohlener Bereich fr VNull-Verzahnung bei Innenradpaaren

G

G 132

Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe Tabelle 3. Absch
tzung der Flankenlinien-Winkelabweichung fHb . Genauwerte s. DIN 3961: fHb ¼ Hj  4;16b0;14 ; Tabellen: DIN 3962

Bild 16. W-N-Verzahnung. Ritzelflanke konvex, Radflanke konkav (links: Grundform; rechts: praktische Ausfhrung r2 > r1 )

G

Einheitliche Werkzeuge (je Modul und Schr
gungswinkel) fr Ritzel und Rad erh
lt man bei Verzahnung mit konvexem Kopf- und konkavem Fußprofil [1, 12, 13]. Tragf
higkeit. Hertzsche Abplattungsfl
che ist sph
rische Fl
che. Wegen der guten Anschmiegung in Breitenrichtung ist die entsprechende Ausdehnung grßer als die in Hhenrichtung. ber die Zahnbreite wandernde Druckfl
che gnstig fr Schmierdruckbildung; Reibleistung gering. Gleitgeschwindigkeit im Stirnschnitt fr jeden Flankenberhrpunkt gleich. Dadurch Verschleiß gleichm
ßig (gnstig fr Einlaufl
ppen). Flankentragf
higkeit (aus Vergleich der Hertzschen Pressung), Drehmoment ca. 2- bis 3mal so hoch wie bei Evolventenverzahnung. Zahnfußtragf
higkeit etwa gleich wie bei Evolventenverzahnung. Wegen des punktfrmigen Kraftangriffs Gefahr von Eckbrchen bei eb
1 und Ausbrchen in Zahnmitte (Einzeleingriff) bei eb > 1; 2. Betriebsverhalten. Bei genauer, steifer Ausfhrung gnstiges Ger
usch- und Schwingungsverhalten. Teilungs- und Flankenlinienabweichungen fhren zu Stßen bei Zahneingriffsbeginn. Achsabstands- und Achsneigungsabweichungen (auch durch Verformung) bewirken u. U. beachtliche Verlagerung des Eingriffs zu Kopf bzw. Fuß, d. h. Erhhung von Flanken- und Fußbeanspruchung sowie verst
rktes Laufger
usch. Exzentrische Zahnr
der [38–42, 52]. Unrunde Zahnr
der [53–57].

8.2 Verzahnungsabweichungen und -toleranzen, Flankenspiel Tooth errors and tolerances, backlash Verzahnungsgenauigkeit durch Angabe der Qualit
t nach DIN 3961 bis 67 vorschreiben! Qualit
t 1: Hchste Genauigkeit, Qualit
t 12 grbste. Beispiele: Lehrzahnr
der Q 2 bis 4; Schiffs- und Turbogetriebe Q 4 bis 6; Schwermaschinenbau Q 6 bis 7; kleinere Industriegetriebe, Kran- und Bandgetriebe Q 6 bis 8; langsame, offene Getriebe Q 10 bis 12; Drehkr
nze Q 9 (gegossen > Q 12). – Bei großen Zahnbreiten zus
tzlich Vorschrift eines Tragbildes erforderlich (kein Austauschbau!). Evtl. Flankenlinien- oder Profilkorrekturen, d. h. bewußte Abweichungen zum Ausgleich von Verformungen zweckm
ßig [1] (s. W 2.3). Toleranzen der Einzelabweichungen (Profil, Teilung, Rundlauf, Flankenlinien): DIN 3962, der W
lzabweichungen – frher: Sammelfehler – (Einflanken-, Zweiflanken-): DIN 3963. – H
ufig gengt Abnahme der Zahnr
der durch Ein- oder Zweiflankenw
lzprfung. – Toleranzen der Achsabst
nde DIN 3964, der Zahndicken DIN 3967. – fHb s. Tab. 3.

Bild 17. Verzahnungsqualit
t und Herstellverfahren (ungef
hre Zuordnung der DIN-, ISO- und AGMA-Qualit
ten nach der Einzelteilungs-Abweichung, m ¼ 6; d ¼ 75 . . . 150 mmÞ: Herstellverfahren s. S 5.2

Durch verschiedene Fertigungs- und W
rmebehandlungsverfahren erreichbare Genauigkeiten und Vergleich der DIN- mit den ISO- und AGMA-Qualit
ten s. Bild 17. Empfehlungen zur Wahl der Zahndicken-Abmaße Asne , Zahndicken-Toleranzen Tsn und Achsabstandsabmaße Aa : Tab. 4. Damit theoretisches Flankenspiel: jt ¼ ½ðAsn 1 þ Asn 2 Þ þ Aa tan an = cos b;

ð36Þ

max jt mit Asn ¼ Asne  Tsn und Aa max , min jt mit Asn ¼ Asne und Aa min . Theoretisches Verdreh-Flankenspiel jn ¼ jt = cos an cos b. Abnahme-Flankenspiel durch Fertigungsabweichungen meist kleiner. Betriebs-Flankenspiel z. B. beim Anlaufen durch schnellere Erw
rmung der R
der gegenber dem Geh
use u. U. wesentlich kleiner als jn, t ; s. Tab. 4, Fußnote a).

8.3 Schmierung und Khlung Lubrication and cooling Schmierfilmdicke: Zur Beurteilung des Schmierzustandes, insbesondere bezglich Gleitverschleiß, Kaltfressen und Grauflecken, eignet sich die minimale Schmierfilmdicke im

I8.3 Schmierung und Khlung Tabelle 4. Empfehlungena; b ) fr obere Zahndickenabmaße Asne und -toleranzen Tsn nach DIN 3967 (Mai 1977) und Achsabstandsabmaße Aa nach DIN 3964 (Febr. 1976)

G 133

J0 ¼ JL þ 7400½PVZ =ðabÞ
0,72  JL þ 2;2  104 ðea m=aÞ0,72 u0t ,576 p1C,73 in  C: Hierbei bedeuten: Achsabstand a und Breite b in mm, Umfangsgeschwindigkeit ut in m/s, Leerlauftemperatur JL  ltemp. in C, Zahnverlustleistung PVZ aus Gl. (38) in kW, Hertzsche Pressung im W
lzpunkt pC in N=mm2 (s. Gl. (37)) und ea die Profilberdeckung. Zur qualitativen Beurteilung dient die spezifische Schmierfilmdicke l¼

hc ; ðRa1 þ Ra2 Þ=2

l>2: berwiegend hydrodynamische Schmierung, kaum Verschleiß. l < 0;7: Bereich vieler Industriegetriebe, Grenzschmierung berwiegt. Graufleckenrisiko prfen!

G Schmierstoff und Schmierungsart Hinweise zur Auswahl: Tab. 5 Schmierstoffz
higkeit (DIN 51 502) bzw. Walkpenetration (DIN 51 804) je nach Temperatur: Handauftrag; Haftschmiermittel NLGI-Klasse 1 bis 3 (NLGI = National Lubricating Grease Institut). Zentralschmieranlagen: Schmierfette NLGI 1 bis 2 (frderbar); Spr
hauftrag: Fließfette NLGI 00-0 (sprhbar); Tauchschmierung: Fließfette NLGI 000-0 (fließf
hig); Schmierlzhigkeit: Anhaltswerte nach Bild 18. (Einfluß von Rauheit, Temperatur, Schmierungsart, Betriebsart [1]). EP-Zus
tze bei Freßgefahr; synthetische le (kleine Reibungszahl, hoher Viskosit
tsindex, teuer) bei extremen Betriebsbedingungen. Schmiereinrichtungen, Geh
useanschlsse s. G 8.10.4. W
lzpunkt nach der EHD-Theorie. Fr Stahlzahnr
der gilt nach Oster auf der Basis von [14] mit dem bei der Innenverzahnung negativen Z
hnezahlverh
ltnis u als N
herung die Zahlenwertgleichung hC ¼ 0;003½ðauÞ=ðu þ 1Þ2
0;3  ðn0 ut Þ0,7  ðpC =840Þ0;26 in mm rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   ð37Þ Ft u þ 1  nach Gl:ð48Þ : pC ¼ ZH ZE d1 b u Die Schmierfilmstoffz
higkeit n0 in mm2 /s ergibt sich aus der Massentemperatur Tabelle 5. Wahl von Schmierstoff und Schmierungsart

W
rmehaushalt. Verlustleistung PV soll Khlleistung PK nicht berschreiten. Fr kleine bis mittlere Getriebe meist Luftkhlung durch Geh
usew
nde (Khlfl
che A in m2 ) und Temperaturunterschied von Geh
use zur Umgebungsluft JG  J1 in K ausreichend. berschuß an Verlustleistung durch Wasserkhlung abfhren. PV ¼ PVZ þ PVL þ PVD :

ð38Þ

berschlgig. Verzahnungsverluste PVZ ¼ 0;5 . . . 1% der Nennleistung je Stufe (bei u > 20 m=s lastunabh
ngige Verzahnungsverluste PVZO zus
tzlich bercksichtigen [1]). Lagerverluste PVL (s. G 5.2). PVD sonstige Verluste, Dichtungen (s. G 5.5).

G 134

Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe

G

Bild 18. Wahl der Schmierl-Viskosit
t fr Stirn-, Kegel- und Schneckengetriebe. N
herungsweise Zuordnung der ISO- und SAE-Viskosit
tsklassen; Vorzugsklassen schraffiert. Tauchschmierung bei hheren ut auch mglich, wenn abgeschleudertes l durch Rippen oder lleitbleche dem Zahneingang zugefhrt wird

K
hlleistung (Wrmeabgabe) des Gehuses: PKG ¼ aAðJG
J1 Þ mit a ¼ 15 . . . 25 W=ðm2 KÞ

ð39Þ

f
r ruhende Luft und unbehinderte Konvektion (untere Grenze: hoher Schmutz- und Staubabfall, kleine Drehzahlen, große Getriebe). Bei L
fter auf schnellaufender Welle erhht sich a um Faktor fK : Stirnradgetriebe mit 1 L
fter fK  1;4; 2 L
fter fK  2;5; Kegelradgetriebe mit 1 L
fter fK  2;0. – Einfluß von Windgeschwindigkeit sowie Sonneneinstrahlung beachtlich.

8.4 Werkstoffe und W
rmebehandlung – Verzahnungsherstellung Materials and heat treatment – gear manufacture (Schneckengetriebe s. G 8.8). Tragf
higkeit der Werkstoffe und entsprechende Qualit
tsanforderungen s. Tab. 14. Daneben sind Kosten von Werkstoff und W
rmebehandlung, Zerspanbarkeit bzw. Verarbeitbarkeit, Ger
uschverhalten, Stckzahl (Herstellverfahren) entscheidend (in manchen Bereichen allein wichtig) fr die Auswahl. Typische Beispiele aus verschiedenen Anwendungsgebieten Zahnr
der fr Kleinger
te, Instrumente, Haushaltsger
te usw. (d. h. fr Bewegungsbertragung oder kleine Kr
fte):

Zn-, Ms-, Al-Legierungen. Thermoplaste (Spritzguß); Automatenst
hle, Baust
hle; Al-, Zn-, Cu-Knetlegierungen, Hartgewebe, Thermoplaste (Strangpressen, Kaltziehen, Pressen bzw. Stanzen, bzw. Fr
sen); Sintermetalle (Fertigsintern). Kraftfahrzeug-Zahnr
der. Legierte Einsatzst
hle – gefr
st oder gestoßen, geschabt – einsatzgeh
rtet – (evtl. geschliffen statt geschabt); niedrig legierte Vergtungsst
hle – gefr
st oder gestoßen, geschabt – carbonitriert. Turbogetriebe-, Schiffsgetriebe-Zahnr
der. Legierte Vergtungsst
hle – gefr
st evtl. geschabt; Al-freie Nitrierst
hle – gefr
st, geschabt (oder geschliffen) – gasnitriert (evtl. geschliffen); legierte Einsatzst
hle – gefr
st – einsatzgeh
rtet – geschliffen. Großzahnr
der, Drehkr
nze. Legierter Stahlguß (Ausschußrisiko durch Lunker beachten) legierter Vergtungsstahl (gewalzt) – gefr
st – evtl. Induktions- oder Flamm-Einzelzahnh
rtung. Industriegetriebe, Baukastengetriebe Unlegierte und legierte Vergtungsst
hle – w
lzgefr
st oder gestoßen oder -gehobelt. Legierte Einsatzst
hle – w
lzgefr
st o.
. – einsatzgeh
rtet – geschliffen (evtl. mit HartmetallW
lzfr
ser fertiggefr
st, evtl. gehont). Al-freie Nitrierst
hle – w
lzgefr
st o.
. (evtl. geschabt oder geschliffen, evtl. gel
ppt) – gasnitriert. Unlegierte und legierte Vergtungsst
hle – w
lzgefr
st o.
., geschabt – nitrocarburiert. Unlegierte und

I8.5 Tragfhigkeit von Gerad- und Schrgstirnrdern legierte Verg
tungssthle – wlzgefrst o. . – induktiv – oder flammumlaufgehrtet. Unlegierte und legierte Verg
tungssthle – wlzgefrst o. . – induktive oder Flamm-Einzelzahnhrtung – (evtl. geschliffen).

8.5 Tragf
higkeit von Gerad- und Schr
gstirnr
dern Load capacity of spur- and helical gears

Werkstoffe und W
rmebehandlung

8.5.1 Zahnsch
den und Abhilfen Types of tooth damage and remedies

Gesichtspunkte fr die Auswahl Grauguß GG, Sph
roguß GGG, Stahlguß GS – Hinweise siehe Tab. 14. Sondergußeisen bei geeigneter Wrmebehandlung den Verg
tungssthlen, gleichwertig (Zerspanbarkeit beachten!) [15]. Verg
tungssthle – ungehrtet. Die Zahnrder – damit auch die Getriebe – bauen grßer, schwerer, teurer als mit gehrteten Verzahnungen. Jedoch: Wrmebehandlung (vor dem Verzahnen) risikolos, keine Maßnderungen nach dem Verzahnen, meist kein Verzahnungsschleifen erforderlich; der relativ weiche Werkstoff gleicht Mngel in Konstruktion und Fertigung durch Einlaufen eher aus; Nacharbeiten der Zahnflanken von Hand mglich; meist berschuß an Bruchsicherheit. Einssatzsthle – einsatzgehrtet. Aufwendig, aber f
r kleine bis mittlere Radgrßen bis in Bereich hchster Hrte (HRC=58 . . . 62), Fuß- und Flankenfestigkeiten beherrschbar. Hrteverz
ge erfordern bei Einzelfertigung Verzahnungschleifen (normal: d % 900 mm; m % 25 mm; extrem d bis 3000 mm, m bis 36 mm). F
r grbere Qualitten ungeschliffen (s. Bild 17) (meist d % 250 mm; m % 6 mm; mit Einschrnkung d % 500 mm; m % 10 mm). H
rterisse sicher vermeidbar – zuverl
ssiges H
rteverfahren. Verg
tungssthle – Umlaufhrtung (Flamm- oder Induktion). Kosteng
nstig f
r kleine bis mittlere Radgrßen (normal: d % 200 mm; m % 6 mm; extrem d bis 1500 mm, m bis 18 mm), im mittleren Hrtebereich (HRC = 45 bis 56) sicher beherrschbar, dar
ber erhhte Rißgefahr. Gleichmßige Verzahnungsqualitt nur bei konstanten Werkstoffwerten und konstant gehaltener Wrmebehandlung [15]. Verg
tungssthle – Einzelzahn – Beidflankenhrtung (Flamm- oder Induktion). Kosteng
nstig f
r Großrder (d bis ca. 3000 mm, m>8 mm); im mittleren Hrtebereich (HRC=45 bis 56) beherrschbar. Sorgfltige Vorbereitung (Hrteprobest
cke), konstante d. h. laufend
berwachte Hrte-Einstelldaten erforderlich. Verzugsarm, Verzahnungsschleifen meist nicht erforderlich. Zahngrund ungehrtet, reduzierte Fußfestigkeit [16]. Verg
tungssthle – Einzelzahn – L
ckenhrtung (Flamm- oder Induktion). Zahngrund mitgehrtet. Kosteng
nstig f
r Großrder im mittleren Hrtebereich (wie bei Beidflankenhrtung, aber Flamme nur bei m > 16 mm) (HRC=45 bis 52, evtl. 56). Geringes Hrterisiko (Hrterisse) nur bei entsprechender Vorbereitung und berwachung, langjhrigen Erfahrungen, geeigneten Werkstoffen und optimalen Hrtebedingungen (Hrteprobest
cke). Verzugsarm, aber hufig Teilungsfehler bei Hrtebeginn; Verzahnungsschleifen oft erforderlich [16]. Al-freie Nitriersthle, Verg
tungssthle, Einsatzsthle – nitriert (Langzeitgasnitriert). Verzugsarmes, diffiziles Verfahren. Normal: Nitrierhrtetiefe Nht  0;3 mm; d < 300 mm; m % 6 mm; schwieriger: Nht 0;6 mm; d < 600mm; m < 10 mm. Bei Nitriersthlen f
r grßere d und m geringere Festigkeit ansetzen! Hierbei und bei d
nnwandigen Rdern wegen Verzug meist Verzahnungsschleifen nach dem Nitrieren. Hohe Festigkeit sicher erreichbar nur bei besonderer Werkstoffqualitt, langjhriger Erfahrungen, optimalen Fertigungs- und Kontrolleinrichtungen. Sonst starke Schwankungen der Festigkeit mglich. Besonders Nitriersthle sind empfindlich gegen Stße und Kantentragen. Verbindungsschicht < 15 m anstreben.

G 135

Definitionen und Ursachen s. DIN 3979, vgl. Bild 19. Gewaltbruch meist durch Unfall, Blockierungen o. .; Krfte kaum abschtzbar. Abhilfe: berlastschutz, Soll-Brechglieder. Dauerbruch. Erm
dungsbruch nach lngerer Laufzeit oberhalb der Dauerfestigkeit, meist ausgehend von Kerben, Hrterissen, Werkstoff- oder Wrmebehandlungsmngeln im Zahnfuß. – Abhilfe: grßere Moduln, Betriebseingriffswinkel (Profilverschiebung), Fußausrundung (Schleifkerben vermeiden), Oberflchenhrten (insbesondere Einsatzhrtung), Kugelstrahlen, genaue Verzahnung, Zahn-Endr
cknahme oder Breitenballigkeit zur Entlastung der Zahnenden. Grbchenbildung (pitting). Gr
bchenartige Ausbrckelungen insbesondere zwischen Fuß- und Wlzkreis infolge zu hoher Flankenpressung. Kleine Einlaufgr
bchen (initial pitting) bauen bei Verg
tungsstahl rtliche berlastungen ab und kommen zum Stillstand – daher unschdlich. Fortschreitende Gr
bchenbildung (progressive pitting) f
hrt zur Zerstrung der Zahnflanken. – Abhilfe: Große Kr
mmungsradien (Profilverschiebung), Oberflchenhrtung (insbesondere Einsatzhrtung) s. Bild 19, zhere le, genaue Verzahnung, kleine Flankenrauheit [72, 76, 79]. Grauflecken (micropitting). Vielzahl von mikroskopisch kleinen Anrissen und Ausbr
chen, optischer Eindruck eines grauen Flecks. Abhilfe durch verbesserte Schmierbedingung (auch Einfluß des Additivs) [57]. Warmfressen. Riefen und Freßmarken im Bereich hoher Gleitgeschwindigkeiten infolge einer durch Werkstoff und Schmierstoff bedingten Grenztemperatur. – Abhilfe durch kleinere Moduln, Kopf- und Fußr
cknahme, Nitrieren, kleine Flankenrauheit (Einlaufen), besonders wirksam: EP-le (le mit chemisch aktiven Zustzen). Kaltfressen. Riefenverschleiß mit starkem Materialabtrag bei niedrigen Umfangsgeschwindigkeiten. – Abhilfe durch bessere Verzahnungsgenauigkeit, glattere Zahnflanken, zheren Schmierstoff, Kopfr
cknahme. Abriebverschleiß. Flchenhafter Materialabtrag insbesondere an Kopf und Fuß, oft maßgebend bei kleinen Umfangsgeschwindigkeiten (ut < 0;5 m=s) infolge mangelnder Schmierdruckbildung. – Abhilfe durch hohe Schmierstoff-Zhigkeit,

Verg
tungssthle – nitrocarburiert (kurzzeit-gasnitriert). Neues verzugsarmes Verfahren, das viele Probleme des Kurzzeit-Badnitrierens vermeidet [17] und dieses weitgehend verdrngt hat. Nur wenig
berlastbar. Verg
tungssthle – nitrocarburiert (kurzzeit-badnitriert). Verzugsarmes Verfahren. Normal: d < 300 mm; m < 6 mm; schwieriger: d bis 600 mm, m bis 10 mm. Praktisch keine Diffusionszone, d. h. reduzierte Tragfhigkeit, wenn Verbindungsschicht (3000 min 1

G 138

Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe

Tabelle 10. Mindestwerte f
r den Modul

gen und Verformungen; Baugrßeneinfluß, Schmierung (Umfangsgeschwindigkeit; Viskositt, Rauheit); Fußausrundung usw. Die Wirkung dieser Abweichungen wird durch Einflußfaktoren erfaßt. Eingangsgrßen s. Rechenschema mit Beispiel. Umfangskraft Ft ¼ 2M=d ¼ 2P=ðdwÞ;

ð41Þ

Umfangsgeschwindigkeit ut ¼ 0;5dw ¼ pdn:

ð42Þ

Bis ut ¼ 2 m/s mit Q 10–12 ungeh
rtet, Q 7–8 geh
rtet,

Anwendungsbereich f
r vereinfachte Berechnung von Industriegetrieben: Bezugsprofil DIN 867: a0 ¼ 20
, ha0 =m ¼ 1,25  0,05, ra0 =m ¼ 0,25  0,05: Ritzelzhnezahl: 20 % z1 % 50: Mittlere bis hohe Belastung: KA Ft =b ’ 200 N=mm2 Zahnbreite. Betrieb im unterkritischen Bereich, s. Bild 21. Profil
berdeckung: 1,2 < ea < 1,9. ut > 1 m/s. Rauheit in der Fußausrundung Rz < 16 mm. Schmierstoff nach Tab. 5 und Bild 18. Dauergetriebe. Bei Schrgverzahnung eb ^ 1: Bei abweichenden Voraussetzungen Berechnung nach DIN 3990, [1].

bis ut ¼ 5 m/s mit Q 8–9 ungeh
rtet, Q 7–8 geh
rtet,

Kraftfaktoren

bis ut ¼ 20 m/s mit Q 6–7, ber ut = 40 m/s mit Q 4–5.

Sie dienen zur Bestimmung der maßgebenden Kraft pro mm Zahnbreite, g
ltig f
r alle Beanspruchungsgrenzen. Die Faktoren werden nherungsweise wie folgt berechnet: Kv mit Qualitt der Verzahnung und KHb oder KFb mit Umfangskraft Ft KA Kv =b. Manche Kraftfaktoren werden bei kleinen Fehlern und hohen ußeren Umfangskrften zu 1.

G Schr
gungswinkel. Einfache Schr
gverzahnung b=6 bis 15
(Begrenzung der Axialkraft). – Sprung
berdeckung Gl. (13) pr
fen: Bis ut = 20 m/s: eb ^ 1;0ð0;9Þ; eg ^ 2;2;
ber 40 m/s: eb ^ 1;2; eg ^ 2;5: Doppelschr
gverzahnung nur wenn Einfach-Schrgverzahnung zu breit oder Axialkrfte zu groß: b=20 bis 30
. Achtung: Nur eine Welle axial festlegen und pr
fen ob Axialkrfte von außen eingeleitet werden (dann ungleichmßige Kraftaufteilung!). – Pfeilspitze sollte i. allg. nacheilen. Grenzen der Herstellung (z. B. Frserauslauf) beachten (s. G 8.10.3). Bezugsprofil (s. Bild 10). Profilverschiebung (s. G 8.1.7). Lagerkr
fte (Bild 20). Zahnnormalkraft Ft = cos awt wirkt als Querkraft, Axialkraft Fx ¼ Ft tan b am Hebelarm r auf Welle. Hieraus Radial- und Axial-Lagerkrfte bei A und B entsprechend den Abstnden der Lager bestimmen. Bei Berechnung der Radiallagerkrfte Kippmoment der Axialkrfte beachten!

Anwendungsfaktor K A. Er ber
cksichtigt die von Antrieb oder Abtrieb eingeleiteten Zusatzkrfte. – Anhaltswerte siehe Tab. 11. – Rechnet man mit dem Maximalmoment (s. Tab. 11 c), so ist KA ¼ 1 zu setzen. Dynamikfaktor Kv ber
cksichtigt innere dynamische Zusatzkrfte: Bild 21. Breitenfaktor KHb (Flanke)  KFb (Fuß) ber
cksichtigt Einfluß von Herstelltoleranzen fma und Gesamt-Verformung fshg

8.5.4 Nachrechnung der Tragf
higkeit Evaluation of load capacity Man pr
ft, ob das Getriebe bei geforderter Lebensdauer ausreichende rechnerische Sicherheiten gegen alle Schadensgrenzen aufweist. Grundgedanke. Berechnung basiert auf der am Zahn angreifenden Nenn-Umfangskraft einer fehlerfreien, starren Verzahnung, mittleren Schmierbedingungen und auf Festigkeitswerten, die an Standard-Referenz-Pr
frdern bei Standard-Pr
fbedingungen ermittelt wurden. In Wirklichkeit liegen abweichende Voraussetzungen vor: ußere Zusatzkrfte durch Anfahrstße, Belastungsschwankungen; innere Zusatzkrfte durch Verzahnungsabweichun-

Bild 20. Zahnkraft-Komponenten zur Berechnung der Lagerkrfte

Bild 21 a, b. Dynamikfaktor Kv (DIN 3990/ISO 6336). a Geradstirnrder; b Schrgstirnrder mit eb ’1 (f
r eb < 1 s. DIN 3990, [1])

I8.5 Tragfhigkeit von Gerad- und Schrgstirnrdern Tabelle 11. Anwendungsfaktoren f
r Zahnradgetriebe

G 139

auf Kraftverteilung
ber die Zahnbreite: Man bestimmt Fby ¼ xb Fbx ¼ xb ðfma þ fshg Þ

ð43Þ

und entnimmt KHb ð
KFb Þ aus Bild 22. xb s. Tab. 12. fma
fHb eines Rades nach Tab. 3 oder nach Sondervorschrift einsetzen. fshg nach bewhrten Getrieben Tab. 13; die Konstruktion ist entsprechend steif auszuf
hren. Im Zweifelsfalle Verformung – insbesondere der Ritzelwelle – nachpr
fen. Kontrolle nach Tragbild unter Last mit lfestem Tragbildlack mglich (DIN 3990). Stirnfaktoren K Ha (Flanke) und K Fa (Fuß) ber
cksichtigen ungleichmßige Aufteilung der Umfangskraft auf die im Ein-

G

Bild 22. Breitenfaktor KHb ð
KFb Þ (DIN 3990/ISO 6336) Tabelle 12. Einlauf-Kennwert f
r Gl. (43)

Tabelle 13. Anhaltswerte f
r zulssige Flankenlinienabweichungen durch Gesamt-Verformung fshg in mm (f
r das Radpaar im Getriebe)

G 140

Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe

griff befindlichen Zahnpaare infolge von Teilungs- und Formabweichungen. F
r
berschlagsrechnungen oder grobe Verzahnung bei niedriger Belastung:

Geradverz.:

KH a ¼ 1=Ze2 ^ 1,2; KH a ¼ ean ^ 1,4: ) KF a ¼ 1=Ye ^ 1,2;

Schr
gverz.:

KF a ¼ ean ^ 1,4:

Geradverz.: Schr
gverz.:

G

ð44Þ ð45Þ

Man rechnet hiermit auf der sicheren Seite, Ze s. Gl. (50), Ye s. Gl. (54). F
r normalbelastete Getriebe (Dauerbruchsicherheit SF % 2, Gr
bchensicherheit SG % 1; 3) mit DIN Qualitt 8 oder feiner bei Geradverzahnung bzw. 7 oder feiner bei Schrgverzahnung: KHa ¼ KFa
1: ð46Þ Sicherheit gegen Gr
bchenbildung Die Flankenpressung (Hertzsche Pressung s. C 4.2) im Wlzpunkt muß kleiner als die zulssige Pressung sein; damit Bedingung f
r die Sicherheit: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi SH ¼ sH lim ZX =ðsH0 KA Kv KHb KHa Þ ^ SH min : ð47Þ Hierin ist sH lim die Dauer-Wlzfestigkeit nach Pr
fstandversuchen und Erfahrungen mit ausgef
hrten Getrieben Tab. 14. sH0 Nennwert der Flankenpressung: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi Ft u þ 1 sH0 ¼ ZH ZE Ze Zb ¼ ZH ZE K  Ze Zb : d1 b u |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}

Die am Zahnfuß auftretende rtliche Spannung (unter Ber
cksichtigung der Kerbwirkung) muß kleiner als die zulssige Spannung sein. Damit Bedingung f
r die Sicherheit: ð52Þ

Hierin ist sFE ¼ sF lim  2;0; sF lim die Biege-Nenn-Dauerfestigkeit des Standard-Referenz-Pr
frades mit Spannungskorrekturfaktor (
Kerbformzahl)=2,0; Anhaltswerte f
r sFE nach Pr
fstandsversuchen s. Tab. 14. YX Grßenfaktor f
r Zahnfußfestigkeit Bild 23. sF0 Nennwert der Grundspannung:

ð49Þ

ZE Elastizittsfaktor: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 St=St : ZE
190 N=mm ; St=GG : ZE
165 N=mm ; pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 GG=GG : ZE
145 N=mm : Ze berdeckungsfaktor, Zb Schrgenfaktor: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 Ze ¼ pð4 ffi ea Þ=3 fr Geradverzahnung, = ffiffiffiffiffiffiffiffiffi Ze ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1=ea fr Schr
gverzahnung ðeb ^ 1Þ,;ð50Þ Zb ¼ cos b: u Zhnezahlverhltnis z2 =z1 , bei Innenradpaaren negativ. Schmierfilmeinfluß: Bei anderen Schmierstoffen und Zhigkeiten als nach Tab. 5 und Bild 18: Einfluß auf sH lim nach DIN 3990 ber
cksichtigen. Bei gefrsten Zahnflanken 85% von sH lim einsetzen (Rauhigkeitseinfluß). Bei gehrteten, geschliffenen Gegenrdern kann sH lim verg
teter Rder um Werkstoffpaarungsfaktor ZW erhht werden: ZW ¼ 1; 2  ðHB  130Þ=1 700

Sicherheit gegen Dauerbruch

SF ¼ sFE YX =ðsF0 KA Kv KFb KFa Þ ^ SF min : ð48Þ

pC

pC : Hertzsche Pressung im Wlzpunkt ZX Grßenfaktor f
r Gr
bchenfestigkeit Bild 23. ZH Zonenfaktor, erfaßt Kr
mmung im Wlzpunkt: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 cos bb cos awt ZH ¼ : cos2 at sin awt

Bild 23. Grßenfaktor f
r Zahnfußfestigkeit (Index F). Grßenfaktor f
r Gr
bchentragfhigkeit (Index H) n. DIN 3990

ð51Þ

mit HB des verg
teten Rades. Gleichung (48) gilt f
r Schrgverzahnungen mit eb ^ 1; sie ist auch brauchbar f
r Schrgverzahnungen mit eb < 1 und Geradverzahnungen, sofern die Profilverschiebungen nach Bild 13 f
r hohe Fuß- und Flankentragfhigkeit gewhlt werden. Andernfalls s. DIN 3990. Bei zn1 < 20 : sH0 auf inneren Einzelgriffspunkt B (s. Bild 7) umrechnen (DIN 3390), [1]. Mindest-Sicherheit SH min : Anhaltswerte s. Tab. 15. Graufleckigkeit s. [24, 58], nherungsweise: lkrit
0;7: Bei l > lkrit ist nach bisherigen Erfahrungen nicht mit Grauflekken zu rechnen, l s. G 8.3.

sF0 ¼

Ft YFS Ye Yb : bmn

ð53Þ

YFS Kopffaktor, erfaßt Zahnform einschließlich Kerbform bei Kraftangriff am Kopf. F
r Bezugsprofil nach DIN 867 s. Bild 24. Ye berdeckungsfaktor erfaßt Umrechnung auf Kraftangriff im ußeren Einzeleingriffspunkt (bei Schrgverzahnung f
r die Ersatzverzahnung im Normalschnitt, Gl. (34)). Yb Schrgenfaktor. ) Ye ¼ 0,25 þ 0,75=ean ð54Þ Yb ¼ 1  b =120 ^ 0,75: Bei großen Fußausrundungen muß man die Kerbempfindlichkeit ber
cksichtigen (DIN 3990), [1]. Einfluß von grßerer Rauheit, Schleifkerben, Kugelstrahlen, Ausschleifen der Kerben [18, 77, 81]. Sicherheit gegen Warmfressen und Kaltfressen Oft nachtrgliche Abhilfemaßnahmen mglich (s. G 8.5.1) [1, 74, 80]. Berechnung s. [1] und DIN 3990. Sicherheit gegen Gleitverschleiß Notwendig bei Geschwindigkeiten unter 0,5 m/s. Nach [19] ist mit erhhtem Verschleiß zu rechnen, wenn die rechnerische Mindestschmierfilmdicke nach Gl. (37) 0,1 mm unterschreitet (Verschleißhochlage bei ca. 0,01 bis 0,02 mm. Abhilfemaßnahmen (s. G 8.5.1). Berechnung s. [1]. Berechnung von Zeitgetrieben, Getrieben mit selten auftretenden Belastungsspitzen oder mit Lastkollektiven: [1, 19].

Rechenschema mit Beispiel Nachrechnung der Tragf
higkeit der 1. Stirnradstufe eines Rhrwerks. Antrieb: E-Motor. h bedeutet Zeichnungsangabe.

I8.5 Tragf
higkeit von Gerad- und Schr
gstirnr
dern

G 141

Tabelle 14. bliche Zahnradwerkstoffe, Anwendung, Festigkeit

G

G 142

Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe

Tabelle 15. Anhaltswerte f
r Sicherheitsfaktoren

G

Gegeben: Motordrehzahl: n1 ¼ 1 000 min
1 , Leistung P= 51 kW; ruhiger Lauf gefordert, s. a. G 8.5.3. Achsabstand a vorgegeben h Verzahnungsqualit
t 6 nach DIN 3962 (s. a. Tab. 3), fHb ¼ 10 mm. h Bezugsprofil nach DIN 867, an ¼ 20 ; Bild 10. h Zahnradwerkstoff: Ritzel 16 Mn Cr 5 (Tab. 14, Nr. 30), Rad 42 CrMo 4 V (Tab. 14, Nr. 15). h H
rte: Ritzel 60 HRC, Rad 300 HB. h Flankenbearbeitung (Rauheit): geschliffen, Ra ¼ 0;5 mm (entsprechend Rz  3 mm). h Rauheit am Zahnfuß: Ra % 2 mm (entsprechend Rz  12 mm).

Umfangsgeschwindigkeit Gl. (42): ut ¼ 6;7 m/s. Schmier
lviskositt bei 40  C, Bild 18: v40  1;3  102 mm2 =s, ISOVG 220.

Kraftfaktoren Anwendungsfaktor: KA ¼ 1;3 angesetzt (s. auch Tab. 11). Dynamikfaktor: Kv  1;08 ½u2 =ð1 þ u2 Þ1=2 ¼ 2;1:

nach

Bild 21 b

mit

ðut  z1 =100Þ

Breitenfaktor, KHb ð KFb Þ:

Umfangskraft, Gl. (41), Ft ¼ 7561 N.

Einlauf-Kennwert nach Tab. 12 f
r sH lim ¼ 750 N=mm2 /eins. geh.: xb ¼ 0;55=0;85; fma  fHb ¼ 10 mm (Verzahnungsqualitt 6, s. oben), Flankenlinienabweichung durch Gesamtverformung: fshg ¼ 8 mm nach Tab. 13. Mit Gl. (43): Fby =12,6 mm.

K  -Faktor, Gl. (40) = 1,74 nach Tab. 7 ausreichend dimensioniert.

Aus Bild 22, mit Ft KA Kv =b ¼ 200 N=mm2 : KHb ð KFb Þ  1;6.

Nachrechnung der Tragf
higkeit

Bild 24. Kopffaktor (DIN 3990, ISO 6336). YFS ð¼ YFa  YSa Þ f
r Bezugsprofil: an ¼ 20
; ha =mn ¼ 1; ha0 =mn ¼ 1; 25; ra0 =mn ¼ 0; 25; f
r Zahnstange YFS ¼ 4; 62; f
r Innenstirnrder mit rF ¼ ra0 =2 : YFS ¼ 5; 79.

I8.6 Kegelr
der Stirnfaktor, KHa und KFa : Schr
gverzahnung, DIN Qualit
t % 7, Gl. (46): KHa ¼ KFa ¼ 1:

Sicherheit gegen Gr
bchenbildung Zonenfaktor, Gl. (49) mit bb nach Gl. (35), at ; awt : ZH
2;3: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 Elastizit
tsfaktor, fr St/St: ZE
190 N=mm .

G 143

schiedene Verfahren einsetzbar. Detaillierte Auslegung von Bogenverzahnungen nach Vorschriften der Maschinenhersteller. 8.6.3 Zahnform. Tooth profile

Grbchen-Dauerfestigkeit, Tab. 14 angesetzt fr Ritzel sH lim ¼ 1 500 N=mm2 , fr Rad 300 HB sH lim ¼ 750 N=mm2 .

Geradflankiges Bezugsplanrad, realisiert durch Werkzeuge mit geraden Schneiden (meist getrennt fr beide Flanken), fhrt zu Oktoiden-Verzahnung [3]. Deshalb Profilverschiebung nur als V-Null-Verzahnung (s. G 8.1.7), daneben Verst
rkung des Ritzels zu Lasten des Rades durch Zahndicken
nderung (Profil-Seitenverschiebung) und/oder unterschiedliche Flankenwinkel auf Vor- und Rckflanke mglich.

Werkstoffpaarungsfaktor (Rad) Gl. (51): ZW ¼ 1;1.

8.6.4 Kegelrad-Geometrie. Bevel gear geometry

Sicherheitsfaktor fr Grbchenbildung, Gl. (47): Ritzel SH ¼ 2;1, Rad SH ¼ 1;2: Nach Tab. 15 ausreichend.

Verzahnungsabmessungen (Bild 25). Maße am
ußeren Teilkegel (Rckenkegel): Index e. Die Zahnform ist (auf dem Rckenkegel RK) n
herungsweise gleich der einer Stirnradverzahnung mit den Radien rv1 und rv2 auf den Mantellinien der Rckenkegel. Fr Schr
g- und Bogenverzahnungen gelten die folgenden Beziehungen fr die Stirnschnittwerte der Kegelr
der und Ersatzstirnr
der, d. h. m = mt = mn/cos b. ð55Þ Achsenwinkel S ¼ d1 þ d2 , meist S ¼ 90 : ð56Þ Teilkegelwinkel d1 aus tan d1 ¼ sin S=ðu þ cos SÞ: fr S = 90 : tan d1 ¼ 1=u; tan d2 ¼ u: ð57Þ ð58Þ ußere Teilkegell
nge Re ¼ 0; 5 de =sin d pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð59Þ fr S = 90 : Re ¼ ðde1 =2Þ u2 þ 1: ußerer Teilkreisdurchmesser de1 ¼ z1 me ; de2 ¼ z2 me ð60Þ mit Modul am Rckenkegel me. Z
hnezahlverh
ltnis ð61Þ u ¼ z2 =z1 ¼ de2 =de1 ¼ sin d2 = sin d1 ; fr S = 90 , siehe Gl. (57). ð62Þ Kopfkreisdurchmesser dae1 ¼ de1 þ 2hae1 cos d1 ; ð63Þ dae2 ¼ de2 þ 2hae2 cos d2 ; ð64Þ normal: hae1 ¼ me ð1 þ xh Þ; hae2 ¼ me ð1  xh Þ: Maße am inneren Teilkegel: Index i statt e.

berdeckungs- und Schr
genfaktor Gl. (50): Ze Zb
0;8: Nennwert der Flankenpressung, Gl. (48): sH0 ¼ 466 N=mm2 . Grßenfaktor, Bild 23: ZX ¼ 1:

Sicherheit gegen Dauerbruch Kopffaktor, Bild 24: zn1 ¼ 38;3; zn2 ¼ 67).

YFS 1
4,32; YFS 2
4,35

(mit

Gl.

(34):

berdeckungs- und Schr
genfaktor, Gl. (54): Ye Yb
0,67: Nennwert der Grundspannung, Gl. (53): sF0 1 ¼ 157 N=mm2 ; sF0 2 ¼ 158 N=mm2 . Grunddauerfestigkeit, nach Tab. 14 angesetzt fr Ritzel sFE ¼ 900 N=mm2 , fr Rad sFE ¼ 600 N=mm2 . Grßenfaktor, Bild 23: YX ¼ 1: Sicherheitsfaktor fr Dauerbruch, Gl. (52): Ritzel SF 1 ¼ 3,4, Rad SF 2 ¼ 2,2. Nach Tab. 15 ausreichend.

8.6 Kegelrder. Bevel gears Eigenschaften (s. G 8, Einleitung). Gegenber Schneckengetrieben hherer Wirkungsgrad und bei grßeren Leistungen (oft als Kegel-Stirnradgetriebe, s. G 8.10.1) kostengnstiger. Gegenber Stirnr
dern schwieriger (Hhenversatz, Achsenwinkelabweichungen, starke H
rteverzge, axiale Lage von Rad und Ritzel, Ausbiegung bei fliegendem Ritzel). Gegenmaßnahmen: Beschr
nkung der Zahnbreite, breitenballige Verzahnung, Zusammen-L
ppen und -Paaren von Ritzel und Rad oder Schleifen bzw. Hartschneiden, axiales Einstellen des Ritzels, W
lzlager (kleines Lagerspiel), steife Geh
use (s. G 8.6.5).

Ersatz-Stirnr
der, bezogen auf Mitte Zahnbreite (Maße: Index m) – maßgebend fr die Tragf
higkeitsberechnung (unabh
ngig vom Zahnhhenverlauf), Bild 25. ð65Þ dm1 ¼ de1  b sin d1 ; dm2 ¼ udm1 ; pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð66Þ fr S = 90 : dm1 ¼ de1  ðb= u2 þ 1Þ:

8.6.1 Geradzahn-Kegelrder. Straight bevel gears Normal bis u=6 m/s, geschliffen bis 50 m/s (Flugzeugbau). Zahnhhe i. allg. zur Kegelspitze abnehmend (proportionaler Zahnhhenverlauf) [50]. Herstellung durch Fr
sen oder Hobeln, h
ufig auch durch Gesenkschmieden oder Gießen. Verwendung: Kegelrad-Differentiale, kleine Verstellantriebe. 8.6.2 Kegelrder mit Schrg- oder Bogenverzahnung Helical and spiral bevel gears Ger
uscharmer Lauf; gefr
st oder gehobelt und gel
ppt bis u=40 m/s; geschliffen oder hartgeschnitten bis 80 m/s (extrem bis 130 m/s); Axialkr
fte beachten! Verwendung: Industriegetriebe, Fahrzeuggetriebe. Schrgverzahnung. Konstanter Schr
gungswinkel ber die Breite, i. allg. proportionaler Zahnhhenverlauf. Herstellung durch Fr
sen oder Hobeln. Bogenverzahnung. Spiralwinkel (Schr
gungswinkel) ber die Breite ver
nderlich. Flankenlinienverlauf, Zahnhhenverlauf (proportional oder parallel = konst. Zahnhhe) und Spiralwinkel weitgehend durch Herstellverfahren bedingt, traditionell abh
ngig von einzelnen Maschinenherstellern (s. S 5.2). Moderne CNC-Maschinen sind zunehmend fr ver-

Bild 25. Kegelradpaar und Ersatzstirnr
der zur Berechnung der Tragf
higkeit. 1 Ferse, 2 Zehe

G

G 144

Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe

Tabelle 16. Anhaltswerte f
r die Wahl von Ritzelzhnezahla ), Zahnbreite und Profilverschiebungsfaktorb ) bei Kegelrdern mit S ¼ 90
und ohne Achsversetzung

Tabelle 17. Normale Flankenspiele f
r Kegel- und Schneckengetriebe

G dvm1 ¼ dm1 = cos d1 ; dvm2 ¼ dm2 = cos d2 ; ð67Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi f
r S = 90 : dvm1 ¼ dm1 ðu2 þ 1Þ=u2 ; ð68Þ dvm2 ¼ dvm1
u2 mm ¼ dm1 =z1 ¼ dm2 =z2 ¼ mvm ¼ dvm1 =zv1 ¼ dvm2 =zv2 : ð69Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi zv1 ¼ z1 ðu2 þ 1Þ=u2 ; zv2 ¼ zv1
u2 : ð70Þ Empfehlungen zur Wahl von Zhnezahl, Modul, Zahnbreite, Profilverschiebung, Tab. 16, Flankenspiel Tab. 17. Bezugsprofil f
r Geradzahn-Kegelrder s. Bild 10, ISO 677. 8.6.5 Tragf
higkeit. Load capacity Die Tragfhigkeit wird f
r alle Kegelrder unabhngig vom Herstellverfahren f
r die Ersatz-Stirnrder nach Gl. (65) bis (70) mit Ft ¼ 2M1 =dm1 bestimmt. Detaillierte Berechnungsverfahren nach DIN 3991, ISO 10 300 und [1, 73, 75, 82], hnlich der Tragfhigkeitsberechnung f
r Stirnrder (s. G 8.5.4), jedoch unter Ber
cksichtigung kegelradtypischer Besonderheiten. Anhaltswerte f
r Kba ¼ ðKHb KHa Þ  ðKFb KFa Þ nach Gl. (47) und (52) wegen begrenzten Tragbildes (breitenballige Verzahnung): Kba ¼ 2,0 bei beidseitiger Lagerung von Ritzel und Rad, Kba ¼ 2,2 bei fliegendem Ritzel und beidseitig gelagertem Tellerrad. Kba ¼ 2,5 bei fliegend gelagertem Ritzel und Tellerrad

Bild 26. Zahnkraft-Komponenten zur Berechnung der Lagerkrfte

Kontrolle: Tragbild darf bei keinem Betriebszustand an einem Zahnende liegen (s. G 8.6.7). 8.6.6 Lagerkr
fte. Bearing loads Berechnung der Kraftkomponenten nach Tab. 18 und Bild 26. Bei Berechnung der Radial-Lagerkrfte Kippmoment der Axialkrfte beachten. 8.6.7 Hinweise zur Konstruktion von Kegelr
dern Design hints for bevel gears Bei Ritzeln, auf Welle aufgesteckt: Zahnkranzdicke unter der Zehe  2 m (evtl. Nut beachten). – Abstand der Lager nach Bild 26: l1 ¼ ð1;2 . . . 2Þd1 bei u ¼ 1 . . . 2; l1 ¼ ð2 . . . 2;5Þd1 bei u ¼ 3 . . . 6; ein Lager mglichst dicht am Ritzelkopf; l2 > 0;7d2 : – Tragbild unter Vollast ca. 0;85b (Zahnenden frei) bei hoher Verzahnungs- und Gehusegenauigkeit und steifer Ausf
hrung, sonst kleiner (ca. 0;7b). – Schrgungsrichtung so whlen, daß Axialkraft das Ritzel vom Eingriff

Tabelle 18. Berechnung der Zahnkraft-Komponenten am Kegelrad. – Werte der Winkel b; a und d des Zahnrads verwenden, f
r das die Belastung bestimmt wird

I8.8 Schneckengetriebe weg dr
ckt (Sichern des Flankenspiels). – Lagerung muß axiales Verschieben von Ritzel und Rad gestatten (Einstellen von Tragbild und Flankenspiel). – Zahnbreiten von Ritzel und Rad mglichst gleich (Einlaufkanten!) – lzufuhr zum hinteren Ritzellager sicherstellen. Radkrper und Verzahnungstoleranzen DIN 3965, Verzahnungsangaben in Zeichnungen DIN 3966. 8.6.8 Sondergetriebe. Special gears Hypoidgetriebe. Kegelrder mit sich kreuzenden Achsen (Bild 1). Ausf
hrung durchweg mit Bogenverzahnung nach Angaben der Maschinenhersteller [25–28]. Verwendung insbesondere in Kfz-Hinterachsgetrieben. Tragfhigkeitsberechnung mit Hilfe von Ersatz-Kegelr
dern [1] und anschließender Vorgehensweise nach G 8.6.5. Kronenradgetriebe (Bild 27). Ritzel ist Gerad- oder Schrgstirnrad, Kronenrad wird durch Wlzstoßen mit Schneidrad, hnlich dem Ritzel, hergestellt; auch Achsversetzung des Ritzels ist mglich. Ritzel unempfindlich gegen Tragbildverlagerung, muß nicht axial eingestellt werden. Tragfhigkeit geringer als bei Kegelrdern gleicher Baugrße [2]. Kegelige Stirnr
der (Bild 28). Gerad- oder Schrgstirnrder mit
ber der Breite vernderlicher Profilverschiebung. Nach Bild 28 a geeignet zur Einstellung auf spielfreien Eingriff, nach Bild 28 b f
r kleine Teilkegelwinkel, die auf KegelradVerzahnmaschinen nicht eingestellt werden knnen [21–23].

8.7 Stirnschraubr
der. Crossed helical gears Eigenschaften (s. G 8, Einleitung), Verwendung: Tachoantriebe, kleine Gerte, Textilmaschinen, Zentrifugen u. . [1, 43–49].

G 145

Bild 29 a–c. Paarungsarten der Schneckengetriebe. a ZylinderSchneckengetriebe (Zylinderschnecke – Globoidrad); b StirnradSchneckengetriebe (Globoidschnecke – Stirnrad); c Globoid-Schnekkengetriebe (Globoidschnecke – Globoidrad)

8.8 Schneckengetriebe. Worm gears Eigenschaften (s. G 8, Einleitung): bliche bersetzung in einer Stufe 5 . . . 70 ins Langsame, 5 . . . 15 ins Schnelle. Selbsthemmung bei treibendem Rad (d. h. h0 % 0) bedingt Wirkungsgrad h < 50% bei treibender Schnecke! Jede nderung der Schnecke erfordert nderungen des Werkzeugs (Paarverzahnung, s. G 8.1.4). Hauptanwendung bis Achsabstand a % 160 mm, n1 bis 3 000 min
1 ; ausgef
hrt bis a=2 m und 1 000 kW Leistung. – Spielarme Duplex-Schnecken f
r Teilgetriebe [29]. Paarungsarten, Bild 29; am gebruchlichsten sind ZylinderSchneckengetriebe Bild 29 a. Globoid-Schneckengetriebe s. [30], Stirnrad-Schneckengetriebe [31]. Flankenform ergibt sich aus der Herstellung (s. S 5.2). ZA-, ZN-, ZK- und ZI-Schnecken unterscheiden sich nur wenig in Wirkungsgrad und Flankentragfhigkeit. ZC-(Hohlflanken-) Schnecken sind diesbez
glich etwas g
nstiger, jedoch empfindlicher gegen Belastungsschwankungen (Schneckendurchbiegungen). 8.8.1 Zylinderschnecken-Geometrie Cylindrical worm gear geometry F
r Achsenwinkel S ¼ 90 : Ausgangsgrßen sind Mittenkreisdurchmesser der Schnecke dm1 und Zahnprofil im Axialschnitt, Bild 30. Bei anderen Achsenwinkeln gelten die Beziehungen f
r zylindrische Schraubenrder sinngemß (s. G 8.7). Gleichungen folgen aus den Beziehungen zwischen Zahnstangenprofil der Schnecke (im Axialschnitt) und Schneckenrad (Zeichen: Z) oder aus Betrachtung der Schnecke als Schr
gstirnrad (Zeichen: S) oder als Gewindespindel (Zeichen: G).

Bild 27. Kronenradgetriebe mit Achsversetzung a

Bild 28 a, b. Kegelige Stirnrder. a als Stirnradpaar (parallele Achsen); b als Kegelradpaar (Achsenwinkel S)

G

G 146

Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe

G Bild 30. Bestimmungsgrßen eines Zylinderschneckengetriebes. Sk Kranzdicke, rK Kopfkehlhalbmesser, J Umfassungswinkel

z1
ð7 þ 2,4 a1=2 Þ=i;

ð85Þ

Zhnezahl z1 auf nchste ganze Zahl auf- oder abrunden; dann nach Gl. (72) z2 . Beachten: Nicht ganzzahliges Verhltnis z2 =z1 erleichtert Herstellen des Rades mit Schlagzahn und verringert schdliche Wirkung von Teilungsabweichungen. Mit der Radzhnezahl z2 wchst die Laufruhe; mglichst z2 ^ 30 bei ax ¼ 20 und normaler Zahnhhe. Wahl des Durchmesser-Achsabstands-Verh
ltnisses dm1 =a nach Bild 31. Tendenzen von SH ; Sd und hz beachten! Hinsichtlich eines mglichst hohen Wirkungsgrads strebt man also ein kleines dm1 =a an, jedoch ist die Durchbiegung zu beachten, Gefahr des Schneckenwellenbruchs. Dann dm1 ¼ a ðdm1 =aÞ und tan gm nach Gl. (83). Schließlich ist zu pr
fen, ob vorhandene Werkzeuge (insbesondere Wlzfrser) verwendet werden knnen. Damit liegt meist auch die Zahnform fest. Empfehlung fr Profilverschiebungsfaktor x – ZI-Schnecken: – 0,5 % x % +0,5, vorzugsweise: x
0; – ZC-Schnecken: 0 % x % 1,0, vorzugsweise: x
0,5. Weitere Grßen: nach Gln. (74)–(81). Anhaltswerte f
r weitere Maße (s. Bild 30): Ber
hrlinien (B-Linien) Ber
hrpunkte und Zahnform des Rads knnen aus gegebenem Achsschnittprofil A der Schnecke bei gegebenem Wlzkreis (= Teilkreis) des Rads nach dem Verzahnungsgesetz berechnet oder konstruiert werden (s. G 8.1.1). Dasselbe gilt f
r jeden Schnitt P parallel zum Schnecken-Achsschnitt. So erhlt man B-Linien; Beispiel s. Bild 30. Da das Zahnprofil der Schnecke im Schnitt P von dem im Achsschnitt abweicht, ergibt sich hier auch ein anderes Gegenprofil. Konstruktion s. [1, Berechnung 32, 33]. 8.8.2 Auslegung. Rating Vorab alle Anforderungen und Einfl
sse auf Beanspruchung und Funktion sorgfltig klren. Vergleiche Pflichtenheft f
r Stirnradgetriebe, Tab. 6. Man bestimmt Abmessungen und kontrolliert gemß DIN 3996 die Sicherheiten SH ; SF ; SW, Sd bei hohen Drehzahlen sowie die Temperatursicherheit ST und korrigiert – wenn ntig – die angenommenen Werte. Achsabstand a , bersetzung i und Leistung P1 gegeben Z
hnezahl z1 nach Erfahrung [BS 721] whlen (a in mm) Zahlenwertgleichung

b1
2 m ðz2 þ 1Þ1=2 ;

b2H
2 m ½0; 5 þ ðdm1 =m þ 1Þ1=2 :

ð86Þ

Schnecke ðdm1 ; z1 ; mÞ und bersetzung i gegeben Interessant, wenn Wlzfrser f
r das Verzahnen des Rades vorhanden sind. Weiter beachten, daß eine Schnecke (d. h. auch ein Wlzfrser) f
r verschiedene bersetzungen verwendbar ist und hierf
r unterschiedliche Achsabstnde ergibt. Zunchst z2 nach Gl. (72) bestimmen und x2 whlen, dm2 nach Gl. (78) und a nach Gl. (73). Weiter wie oben beschrieben. Radmoment T 2 , Drehzahl n2 , bersetzung i gegeben Achsabstand a aus Gl. (105) und den dort angegebenen Grßen berechnen. a auf nchsthheren Wert der Reihe nach (DIN 3976) aufrunden. Weiter wie oben beschrieben. 8.8.3 Zahnkrfte, Lagerkrfte. Tooth loads, bearing loads Berechnung der Umfangskraft Ft aus Drehmoment M, das sich mit Anwendungsfaktor KA aus dem Nennmoment MN bestimmt, s. Tab. 11. Auch die Zahnkrfte profilverschobener Rder werden f
r rm angegeben [1].

I8.8 Schneckengetriebe

G 147

G

Bild 31. Durchmesser-Achsabstands-Verh
ltnis dm1 =a; nach Gl. (83) mit x=0; (linke Ordinate), Einfluß (Tendenzen) auf Sicherheiten S
, SH , ST und Wirkungsgrad z . Verzahnungswirkungsgrad bei treibender Schnecke z nach Gl. (101) (rechte Ordinate). Schraffiertes Feld begrenzt Bereich industriell ausgefhrter Schneckengetriebe

Ftm1 ¼ Ftm2 tanðgm þ arctan mzm Þ ¼
Fxm2 :

ð87Þ

mzm nach Gl. (100) (s. G 8.8.5).

– Gleitgeschwindigkeit am Mittenkreis:

Ftm2 ¼
Fxm1 ;

ð88 aÞ

Frm1 ¼ Frm2 ¼ Ftm2 tan ax :

ð88 bÞ

Lagerkr
fte ergeben sich aus diesen Kraftkomponenten, Radien und Lagerabst
nden, Bild 32. Dabei Kippmomente beachten: MK1 ¼ Ftm2 rm1 ; MK2 ¼ Ftm1 rm2 :

8.8.4 Geschwindigkeiten, Beanspruchungskennwerte Velocities, loading parameters

ð89Þ

Ebenso evtl.
ußere Querkr
fte auf Eingangs- oder Ausgangswelle bercksichtigen.

ugm ¼ p dm1 n1 = cos gm :

ð90Þ

– Beanspruchungskennwerte: Zur Beurteilung der Tragf
higkeit von Schneckengetrieben sind dimensionslose Kennwerte (p*m fr die mittlere Flankenpressung sHm , h* fr die mittlere Schmierspaltdicke h, s* fr den mittleren Gleitweg sgm) eingefhrt, die nur von der Geometrie der verwendeten Verzahnung abh
ngen. Diese sind fr ZI-, ZA-, ZN- und ZK-Schneckengetriebe in Gl. (91) bis Gl. (93) als N
herungsgleichungen beschrieben.
x b2H p*m ¼ 1;03  0;4 þ þ 0;01  z2
0;083  mx u ð91Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2 q
1 q þ 50  ðu þ 1Þ=u þ þ ; 6;9 15; 9 þ 3; 75  q q 1 x u þ þ
7;86  ðq þ z2 Þ z2 110 36 300 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b2H 2q
1 ; þ
213;9 370;4  mx

h* ¼ 0;018 þ

s* ¼ 0;78 þ 0;21  u þ 5;6=tan gm :

Bild 32. Zahnkr
fte an einem Schneckengetriebe

ð92Þ

ð93Þ

Fr ZC-Schneckengetriebe sind Gl. (94) bis Gl. (96) relevant:
x b2H p*m ¼1; 03  0;31 þ 0;78  þ 0;008  z2
0;065  mx u pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2 q
1 q þ 50  ðu þ 1Þ=u þ þ ; ð94Þ 8;9 20;3 þ 47;9  q

G 148

Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe q 1 x u þ þ  5,83
ðq þ z2 Þ z2 81;6 26 920 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2q 1 b2H ; þ  158;6 274;7
mx

Gesamtwirkungsgrad

h* ¼ 0; 025 þ

ð95Þ

s* ¼ 0;94 þ 0;25
u þ 6;7=tan gm :

ð96Þ

– Mittlere Flankenpressung sHm :  0;5 4 p*m
M2
103
Ered sHm ¼
: 3 p a

ð97Þ

– Ersatz-E-Modul: Ered ¼

G

2 : ð1  v21 Þ=E1 þ ð1  v22 Þ=E2

ð98Þ

F
r verschiedene Werkstoffe ist der E-Modul sowie die Querkontraktionszahl v in Tab. 20 angegeben. – Mittlere Schmierspaltdicke: hmin m ¼ 21
h*


0;7 0;7 0;03 1;39 c0;6
Ered a
h0M
n1
a 0;13 TM 2

:

ð99Þ

Nherungswert f
r Druckviskosittsexponenten f
r Mineralle ca ¼ 1; 7
108 m2 =N, f
r Polyglykole ca ¼ 1; 3
108 m2 =N; h0M dynamische Viskositt bei Massentemperatur JM , s. DIN 3996.

ð103Þ

PV ¼ PVz þ PV0 þ PVLP þ PVD

ð104Þ

PV0 Leerlaufverlustleistung, PVLP Lagerverlustleistung infolge der Lagerbelastung und PVD Dichtungsverlustleistung nach DIN 3996. Anhaltswerte s. Bild 34. Tendenzen bezogen auf die dort angegebenen Werte decken einen Streubereich von  2 . . . 3 % ab: Radwerkstoff CuSn-Bronze g
nstiger als GG, Al-Bronze, Messing; Gehrtete, geschliffene Schnecke g
nstiger als verg
tete, gefrste Schnecke; ZC-Schnecke g
nstiger als
brige Zahnformen; Geeignete Synthesele g
nstiger als Mineralle (Einlaufeigenschaft beachten); Große Steigung (mehrgngige und d
nne Schnecken – Durchbiegung beachten) g
nstiger als kleine Steigung (eingngige und dicke Schnecken). 8.8.6 Nachrechnung der Tragf
higkeit Evaluation of load capacity Zahlenwertgleichung

– Mittlere Zahnreibungszahl:

SH ¼ sH lim
Zh
Zv
Zs
Zoil =sHm  SH lim ¼ 1;0 ð100Þ

Grundreibungszahl m0T ist aus Bild 33 zu bestimmen; Baugrßenfaktor YS ¼ ð100=aÞ0;5 im Bereich von a= 65 . . . 250 mm; Geometriefaktor YG ¼ ð0; 07=h Þ0;5 ; Werkstoffaktor YW nach Tab. 20; Rauheitsfaktor YR ¼ ðRa1 =0; 5Þ0;25 mit Ra1 als arithmetische Mittenrauheit der Schnecke. – Verzahnungswirkungsgrad hZ (Schnecke treibt): tan gm hz ¼ tan ðgm þ arc tan mzm Þ;

hges ¼ P2 =ðP2 þ PV Þ ¼ ðP1  PV Þ=P1

Nachrechnung der Sicherheit gegen Grbchenbildung SH

8.8.5 Reibungszahl, Wirkungsgrad Coefficient of friction, efficiency mzm ¼ m0T
YS
YG
YW
YR :

Gesamtwirkungsgrad h ist mittels Gesamtverlustleistung PV zu bestimmen:

ð105Þ

(Einheiten s. Tabellen). sH lim Gr
bchenfestigkeit s. Tab. 20, sHm mittlere Flankenpressung nach Gl. (97). – Lebensdauerfaktor Zh ¼ ð25 000=Lh Þ1=6  1; 6 mit Lh in h; Geschwindigkeitsfaktor Zv ¼ ½5=ð4 þ ugm Þ0;5 ; Baugrßenfaktor Zs ¼ ½3 000=ð2 900 þaÞ0;5 ; Schmierstoffaktor Zoil ¼ 1,0 f
r Polyglykole bzw. Zoil ¼ 0,89 f
r Mineralle. Nachrechnung der Verschleißsicherheit SW

ð101Þ

– Verzahnungsverlustleistung PVz bei treibender Schnecke:   0;1
M2
n1 1
1 : ð102Þ PVz ¼ u hz

Bild 33. Grundreibungszahl m0T des Standard-Referenzgetriebes

Gefhrdet sind in erster Linie die Flanken geringerer Hrte, d. h. meist die Radflanken. SW ¼ dW lim n
Ered =ðJ0
WML
s
sHm
a
NL Þ  SW min ¼ 11:

ð106Þ

dW lim n Grenzwert des Flankenabtrages – hierf
r sind diverse Kriterien ansetzbar, z. B. Flankenspielkriterium dW lim n ¼ 0; 3
mx
cos gm oder Spitzgrenze dW lim n ¼ mx
cos gm
ðp=2  2
tan a0 Þ. J0 Grundverschleißintensitt nach Bild 35;

Bild 34. Gesamtwirkungsgrade in % von Zylinderschneckengetrieben (Anhaltswerte), Wlzlagerung,
bliches Polyglykol. Unterer Wirkungsgradbereich f
r Achsabstnde a< 200 mm, oberer Bereich f
r a bis 500 mm. Bei Verwendung von Minerall sind die Werte um etwa 2% (niedrige bersetzung) bis 10% (hohe bersetzung) zu verringern. F
r Wirkungsgrade geringer als 50% besteht Selbsthemmung oder Gefahr der Selbsthemmung

I8.8 Schneckengetriebe

G 149

Tabelle 19. Werkstoff/Schmierstoffaktor WML

G tF lim Schubdauerfestigkeit s. Tab. 20, wenn Qualittsverschlechterung tolerierbar sind nach DIN 3996 hhere Werte zugelassen. – Lebensdauerfaktor YNL nach Bild 36; berdekkungsfaktor Yeps ¼0,5; Formfaktor YF ¼ 2; 74
mx =½ðmt2
p=2  D sÞ þ ðd m2  d f2 Þ
tan a0 =cos gm  mit s als Abnahme der Zahnfußdickensehne durch Verschleiß innerhalb der geforderten Lebensdauer; Steigungsfaktor Yg ¼ 1=cos gm ; Kranzdickenfaktor YK ¼1,0 f
r Kranzdicke sK  1; 5
mx , YK ¼1,25 f
r sK < 1; 5
mx ðsK s. Bild 30). Bild 35 a, b. Bezugsverschleißintensitt, Radwerkstoff GZ-CuSn12 Ni (Mittelwerte und Streubereich) [78]. a Schmierung mit Minerall; b Schmierung mit Polyglykol

Schmierfilmdickenkennwert KW ¼ hmin m
WS mit hmin m nach Gl. (99) und Schmierstoff-Strukturfaktor WS ¼ 1 f
r Minerall, WS ¼ 1=h0;35 0M f
r Polyglykole; die dynamische Viskositt h0M ist f
r die Radmassentemperatur JM einzusetzen, welche nach DIN 3996 zu bestimmen ist. Werkstoff/Schmierstoffaktor WML nach Tab. 19. s nach Gln. (93, 96); sHm nach Gl. (97); NL Lastspielzahl bis Lebensdauerende; Ered nach Gl. (98). Nachrechnung der Zahnbruchsicherheit SF Durch zu hohe Zahnfußspannungen knnen die Schneckenradzhne plastisch verformt werden oder ausbrechen. SF ¼ tF lim
YNL
b2H
mx =½Ftm2
Yeps
YF
Yg
YK  ð107Þ  SF min ¼ 1,1: Tabelle 20. Werkstoffkennwerte f
r Schneckengetriebe

Nachrechnung der Durchbiegesicherheit S Die Durchbiegung d der Schnecke muß begrenzt werden, um Strungen des Eingriffs (Verletzung des Verzahnungsgesetzes, s. G 8.1.1) und grßere Tragbildverlagerungen (rtliche Beanspruchungserhhung, ungleichmßiger Verschleiß) zu vermeiden. 4
ðlA þ lB Þ=½3;2
105
l2A
l2B
Ftm2 Sd ¼ dlim
dm1 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
tan2 ðgm þ arctan mzm Þ þ tan2 a0 =cos2 gm   Sd min ¼ 1;0 ð108Þ

dlim Grenzwert der Durchbiegung, nach Praxiserfahrungen dlim ¼ 0; 01
mx : Nachrechnung der Temperatursicherheit ST Mit steigender Temperatur sinkt die Schmierstofflebensdauer rapide, Radialwellendichtringe werden angegriffen. Bei Einspritzschmierung kann ST ¼ PK =PV durch Steigerung der K
hlleistung PK erhht werden. Bei Tauchschmierung ist die

G 150

Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe

8.8.7 Gestaltung, Werkstoffe, Lagerung, Genauigkeit, Schmierung, Montage Embodiment design, materials, bearings, accuracy, lubrication, assembly Gestaltung von Gehusen (s. G 8.10). Beispiel s. Bild 37. Lage der Schnecke bei Tauchschmierung mglichst unten, bei u1 < 10 m/s auch seitlich, bei u1 < 5 m/s auch oben; bei Einspritzschmierung Lage beliebig. Schnecke optimal aus Einsatzstahl ð58 . . . 62 HRC) oder legiertem Vergtungsstahl randgehrtet (HRC 0,5 m/s; Anhaltswert nach [83].

Genauigkeit, Flankenspiel. Qualitten nach DIN 3974, Einzel- und Sammelabweichungen: DIN-Qualitt 4 bis 5 fr genaue Teilgetriebe, Richtgerte u. .; DIN-Q. 5 bis 6 fr Aufzge und laufruhige Getriebe mit u1 < 5 m/s; DIN-Q. 8 bis 9 fr normale Industriegetriebe; DIN-Q. 10 bis 12 fr Nebenantriebe, Handantriebe u. . mit u1 < 3 m/s.

Bild 37. Schneckengetriebe (Flender, Bocholt). Nennleistung 24,5 kW, n1 ¼ 1500 min1 ; i ¼ 20. 1 ZC-Schnecke, 16 MnCr5 einsatzgehrtet, geschliffen; 2 Radkranz GZ – CuSn 12 Ni; 3 Nabe St 37; 4 Gehse GG 20 mit waagerechten Rippen; 5 Lfter; 6
lablaß 7 Schaulochdeckel mit Entlftung; 8 Radialdichtringe (nach innen dichtend); unterschiedliche Abdichtung der Schneckenwelle dargestellt; 9 zustzliche Dichtringe; 10 Schleuderscheibe; 11
lrcklauf (versetzt gezeichnet); 12 Schulterkugellager (fr leichten Betrieb); 13 Kegelrollenlager (fr schweren Betrieb); 14 Paßscheiben fr axiales Einstellen des Rads

I8.9 Umlaufgetriebe

G 151

Tragbild auf Auslaufseite einstellen (Schmierkeil!). Einlaufen (mit Nennmoment, niedriger Drehzahl, d
nnfl
ssigem l) erhht Wirkungsgrad und Flankentragfhigkeit, jedoch nur in Sonderfllen wirtschaftlich mglich. Flankenspiel etwa nach Tab. 17. Spielarme Getriebe [29]. Schmierung. Anhalt f
r die Wahl der lviskositt und Schmierungsart s. Bild 18. Fettschmierung nur bei u1 < 1 m/s oder Aussetzbetrieb (Wrmeabfuhr), Abrieb im Fett (schwierigen Fettwechsel beachten!). Mineralle mit milden EP-Zustzen erleichtern das Einlaufen. Synthesele ermglichen niedrige Reibungszahlen d. h. hohen Wirkungsgrad und hohe Wrmegrenzleistung; reduzieren Verschleiß, Einlaufverhalten daher meist ung
nstiger (gesteigerte Gefahr der Gr
bchenbildung). lwechsel nach Einlauf, dann nach ca. 3 000 h, dann etwa jhrlich [35]. Z. T. Lebensdauerschmierung
blich.

G

8.9 Umlaufgetriebe. Epicyclic gear systems basiert im wesentlichen auf der Fassung der 18. Auflage (Autor: H. W. M
ller) 8.9.1 Kinematische Grundlagen, Bezeichnungen Kinematic fundamentals, terminology Umlaufgetriebe unterscheiden sich nur in einem Punkt wesentlich von einfachen,
blichen bersetzungsgetrieben: Whrend bei bersetzungsgetrieben das Gehuse mitsamt den darin gelagerten Rdern fest mit einem Fundament verbunden ist, wird es bei Umlaufgetrieben drehbar mit einer zustzlichen (Hohl-)Welle im Fundament gelagert. Dadurch entsteht aus dem zwanglufigen bersetzungsgetriebe mit dem Laufgrad F=1 ein zwangloses Differential- oder
berlagerungsgetriebe mit dem Laufgrad F=2. (Der Laufgrad eines Getriebes gibt an, wie viele Bewegungen ihm beliebig vorgegeben werden knnen und m
ssen, um seinen Bewegungszustand eindeutig zu bestimmen.) Das urspr
ngliche Gehuse schrumpft dabei auf einen Steg s zusammen, der nur noch die Radlagerungen trgt. Schutz und ldichtheit werden durch ein neues Gehuse gewhrleistet, das aber jetzt kinematisch ein Teil des Fundaments ist. Das Drehmoment der neuen Stegwelle s ist identisch mit dem St
tzmoment des urspr
nglichen Getriebegehuses. Auf diese Weise entstehen Umlaufgetriebe aus Zahn- und Reibradgetrieben (Umlaufrdergetriebe), hydrostatischen Getrieben, Zugmittel-, Gelenk- und sonstigen Getrieben [59]. Umlaufrdergetriebe (hufigste Bauarten s. Bild 38) werden auch als „Planetengetriebe“ und ihre Rder mit umlaufenden Achsen als „Planetenrder“ oder „Planeten“ bezeichnet. Wird die neue Stegwelle s momentan oder stndig festgehalten oder stillstehend gedacht, so wird das Umlaufgetriebe wieder zum „Standgetriebe“ mit der „Standbersetzung“ i12 seiner beliebig mit 1 und 2 bezeichneten „Standgetriebewellen“ und den „Standwirkungsgraden“ h in den beiden bei Vertauschung von An- und Abtrieb mglichen Richtungen des Leistungsflusses (Lfl):   n1 Stand
bersetzung i12 ¼ n2 ðns ¼0Þ Standwirkungsgrad h12 bei Antrieb an Welle 1; Abtrieb bei 2 Standwirkungsgrad h21 bei Antrieb an Welle 2; Abtrieb bei 1: Die Indices 1, 2, s kennzeichnen jeweils die zugeordneten Wellen mit ihren Rdern bzw. dem Steg. Die Reihenfolge der Indices bedeutet bei Drehzahlverhltnissen oder -
bersetzungen: erster Index Zhler, zweiter Index Nenner, bei Wirkungsgraden: erster Index Antriebswelle, zweiter Index Ab-

Bild 38 a–g. Die hufigsten Bauarten von Planetengetrieben. a bis c Minusgetriebe; d bis f Plusgetriebe; g offenes Planetengetriebe. z Zhnezahlen; A: mglicher Bereich der Stand
bersetzung bei q=3 Planeten(stzen) am Umfang, etwa gleiche Zahnfußspannung aller Rder, zmin ¼ 17, zmax =300; B: Stand
bersetzung; C: h12 ¼ h21 mit hwa =0,99 einer Stirnradstufe, hwi ¼ 0;995 einer Hohlradstufe; D: Zhnezahlbedingungen f
r gleichmßige Anordnung von q Planeten(stzen) am Umfang,
g ganze Zahl, t grßter gemeinsamer Teiler von zp1 und zp2 eines Stufenplaneten

triebswelle. Planetenrder werden mit p und dem Index des Rads, mit dem sie jeweils kmmen, bezeichnet, Bild 38. Diese einheitliche Indizierung mit 1, 2 und s der Umlaufgetriebewellen vereinfacht und erleichtert die Berechnung und erlaubt z. B. das Betriebsverhalten aller Bauformen der Umlaufgetriebe mit einem einzigen, einfachen Rechenprogramm zu analysieren [60, 61]. Bei einem Zahnradstandgetriebe wird die Leistung ausschließlich als „Wlzleistung“ PW beim Abwlzen der Rder mit ihren „Wlzdrehzahlen“ nw1 und nw2
ber den Zahneingriff
bertragen. Dabei geht die Zahnreibungsverlustleistung Pvz als Verlustwrme verloren.

G 152

G

Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe

Werden bei einem zun
chst stillstehenden Standgetriebe der Steg s und die beiden Standgetriebewellen 1 und 2 mit gleichen Drehzahlen ns , n1 ¼ ns und n2 ¼ ns in Bewegung gesetzt, so rotiert das gesamte Getriebe einschließlich der beiden Standgetriebewellen ohne innere Relativbewegung, wie eine Kupplung. Es kann dabei „Kupplungsleistung“ Pk verlustlos mit der „Kupplungsdrehzahl“ ns bertragen. Wird eine Kupplungsdrehzahl ns einem laufenden Standgetriebe berlagert, so entsteht der typische Betriebszustand eines Umlaufgetriebes mit drei laufenden Wellen mit den Drehzahlen ns , n1 ¼ nw1 þ ns und n2 ¼ nw2 þ ns . Dabei berlagern sich zugleich auch die nur zwischen den Radwellen 1 und 2 bertragbare W
lzleistung Pw und die verlustfrei zwischen allen drei Wellen bertragene Kupplungsleistung Pk , vgl. G 8.9.4. Umgekehrt ergeben sich die W
lzdrehzahlen eines mit drei Wellen laufenden Getriebes zu nw1 ¼ n1
ns und nw2 ¼ n2
ns sowie die Standbersetzung nw1 n1
ns ¼ : ð110Þ i12 ¼ nw2 n2
ns

Tabelle 21. Allgemein gltige Umrechnung von freien Drehzahlverh
ltnissen k oder 1/k eines Getriebes mit einer bekannten Stand- oder Umlaufbersetzung iab . Fr a und b die Indices der bekannten bersetzung, fr c den Index der brigen Welle einsetzen

Umgeformt vereinfacht sich diese fr alle Umlaufgetriebebauarten gltige Drehzahl-Grundgleichung zu n1
n2 i12
ns ð1
i12 Þ ¼ 0:

ð111Þ

W
hrend die
bersetzung i12 eines zwangl
ufigen Standgetriebes durch seine geometrischen Daten, z. B. Raddurchmesser, unver
nderlich festgelegt ist, knnen beim dreiwelligen Umlaufgetriebe zwei beliebige Drehzahlen vorgegeben werden, die seinen Bewegungszustand bestimmen. Die mit solchen Drehzahlen gebildeten Drehzahlverh
ltnisse knnen nicht mehr als bauartabh
ngige „bersetzung“ i bezeichnet werden, sondern werden „freie Drehzahlverhltnisse“ k genannt. Diese Unterscheidung ist besonders zu beachten, weil beide Grßen in einer Gleichung vorkommen knnen. So ergibt sich z. B. aus Gl. (111) bei beliebig vorgegebenen freien Drehzahlen n1 und n2 : k1s ¼ n1 =ns ¼ ð1
i12 Þ=ð1
i12 =k12 Þ: Wird jedoch eine der drei Wellen festgehalten, z. B. n2 ¼ 0, oder n1 ¼ 0, so wird das Getriebe wieder zwangl
ufig und es ergeben sich mit Gl. (111) die „Umlaufbersetzungen“ i1s ¼ 1
i12 ;

i2s ¼ 1
1=i12

ð112Þ

sowie deren Reziprokwerte, bei denen Steg und Planetenr
der umlaufen. Die jeweils im Index einer bersetzung i nicht genannte Welle steht still. 8.9.2 Allgemeing
ltigkeit der Berechnungsgleichungen Generalization of calculations Kinematisch sind die beiden Standgetriebewellen und die Stegwelle eines Umlaufgetriebes gleichrangig. Daher kann Gl. (111) auch in allgemeiner Form geschrieben werden [58]: na
nb iab
nc ð1
iab Þ ¼ 0;

ð113Þ

wobei a, b und c in beliebiger Zuordnung durch 1, 2 oder s ersetzt werden knnen. Daraus folgt z. B. Tab. 21 zur unmittelbaren Berechnung eines beliebigen freien Drehzahlverh
ltnisses k oder 1/k, wenn eine beliebige Stand- oder Umlaufbersetzung i und ein beliebiges freies Drehzahlverh
ltnis k oder 1/ k eines Getriebes bekannt sind. Daraus folgt in weiterer Konsequenz, daß auch die Gleichungen aller Betriebsdaten, also auch fr Drehmomente, Leistungen und Wirkungsgrade, gltig bleiben, wenn die Indices der Wellen in beliebiger aber in allen Gleichungen in gleicher Weise vertauscht werden. Da diese Betriebsgrßen nur von einer Standbersetzung und den zugehrigen Standwirkungsgraden, nicht aber vom inneren Aufbau eines Umlaufgetriebes abh
ngen, gelten die fr einfache Umlaufgetriebe gegebenen Gleichungen auch fr beliebig zusammengesetzte Getriebe, solange diese mit drei
u-

Bild 39. Beispiel fr drei kinematisch gleichwertige Planetengetriebe

ßeren Anschlußwellen a, b und c den Laufgrad F=2 aufweisen und sofern ihre Drehzahlen und Drehmomente nicht gegenseitig voneinander anh
ngen, wie etwa bei hydrodynamischen Wandlern. Dabei ist es gleichgltig, welche drei aus einer Vielzahl von im Getriebe vorhandenen Gliedern bzw. Wellen als
ußere Anschlußwellen gew
hlt werden. Bei ungleichm
ßig bersetzenden Getrieben, z. B. Gelenkgetrieben, gelten die Gleichungen jeweils nur fr eine relative Gliedlage ihrer zwanglufigen kinematischen Kette [62] und die zugehrige momentane bersetzung zwischen zwei der drei Anschlußwellen. Aus der beliebigen Vertauschbarkeit der Indices folgt der fr die Getriebesynthese ntzliche Satz: Stimmt eine beliebige Stand- oder Umlaufbersetzung eines Umlaufgetriebes mit einer beliebigen Stand- oder Umlaufbersetzung eines anderen Umlaufgetriebes berein, so sind beide Getriebe kinematisch gleichwertig, d. h., beide haben dieselben sechs
bersetzungen, jedoch in der Regel unterschiedliche Wirkungsgrade. Beispiel fr kinematisch gleichwertige Getriebe s. Bild 39. 8.9.3 Vorzeichenregeln. Sign conventions Drehzahlen. Alle Drehzahlen paralleler Wellen mit gleicher Drehrichtung haben gleiche Vorzeichen. Die positive Drehrichtung (n>0) wird beliebig gew
hlt. Drehzahlen mit entgegengesetzter Drehrichtung sind dann negativ. Daraus folgt
bersetzungen i und freie Drehzahlverhltnisse k sind bei gleichsinnig laufenden Wellen positiv (i, k>0), bei gegenlufigen Wellen negativ (i, k0), wenn es in der positiv definierten Drehrichtung auf (!) das Getriebe wirkt; in der entgegengesetzten Wirkungsrichtung ist es negativ (M 0Þ, weil eine Antriebswelle stets die Drehrichtung im Drehsinn des antreibenden Drehmoments annimmt. Abtriebsleistungen sind dagegen negativ ðPab < 0Þ, weil das
ußere, auf das Getriebe bremsend wirkende Abtriebsmoment der Abtriebsdrehrichtung entgegengerichtet ist. Verlustleistungen sind als abgefhrte Leistungen negativ ðPv < 0Þ. 8.9.4 Drehmomente, Leistungen, Wirkungsgrade Torques, powers, efficiencies Drehmomente. Das Verh
ltnis der Drehmomente wird allein durch die Standbersetzung i12 und die Standwirkungsgrade h12 und h21 bestimmt. Es ver
ndert sich nicht, wenn einem laufenden Standgetriebe beliebige Kupplungsdrehzahlen ns (verlustfrei) berlagert werden. Aus den Gleichgewichtsbedingungen folgt das Momentengleichgewicht M1 þ M2 þ Ms ¼ 0:

ð114Þ

Fr das Standgetriebe folgt aus der Leistungsbilanz in den beiden Lfl.-Richtungen: Antrieb bei 1: M2 n2 ¼
M1 n1 h12 , Antrieb bei 2: M2 n2 ¼
M1 n1 =h21 . Durch Zusammenfassen der beiden Wirkungsgrade im Ausdruck hw1 0 lassen sich die Drehmomentverh
ltnisse unabh
ngig vom Leistungsfluß formulieren: M2 n1 ¼
hw1 ¼
i12 hw1 0 : M1 n2 0

ð115Þ

Mit Gln. (114) und (115) folgt Ms ¼ i12 hw1 0
1; M1

ð116Þ

Ms 1 ¼
1: M2 i12 hw1 0

ð117Þ

Dabei folgt der Exponent w1 aus dem Vorzeichen der W
lzleistung Pw1 der Welle 1 : Ist Pw1 > 0, fließt die W
lzleistung von Welle 1 nach 2, ist Pw1 < 0, von 2 nach 1. Daraus folgt die Definition von hw1 fr die Berechnung: 0  Ist Pw1 ¼ M1 ðn1
ns Þ  > 0 : w1 ¼ þ1 ! hw1 0 ¼ h12 2p ð118Þ < 0 : w1 ¼
1 ! hw1 0 ¼ 1=h21 wobei M1 das vorgegebene Drehmoment ist, oder bei Vorgabe von M2 oder Ms , mit hw1 0 ¼ 1 (!) aus Gl. (115) oder (116) berechnet wird. Die Gln. (115) bis (117) zeigen, daß die Verh
ltnisse der drei Wellenmomente zueinander nur von der Standbersetzung i12 und den Standwirkungsgraden hw1 0 bestimmt werden und somit bei jedem der beiden W
lzleistungsflsse konstant sind M1 : M2 : Ms ¼ f ði12 ; hw1 0 Þ ¼ const:

ð119Þ

Diese fr Differentialgetriebe charakteristische Gleichung gilt unabh
ngig von den jeweiligen Drehzahlen, auch wenn eine Welle stillgesetzt ist. Wird ber die drei Wellen eines Umlaufgetriebes Leistung zwischen drei Maschinen bertragen, so mssen Gl. (111) fr die Drehzahlen wie auch Gl. (114) und (119) fr die Drehmomente erfllt sein. Dabei regelt sich ein Betriebszustand ein, bei dem die noch freie gegenseitige Zuordnung von Drehzahlen und Drehmomenten durch die

G 153

Tabelle 22. Formeln fr die Drehmomente. Mit w1 ¼ þ1 : hw1 0 ¼ h12 oder w1=-1: hw1 0 ¼ 1=h21 , w1 aus Tab. 23 fr bersetzungsgetriebe, aus Tab. 24 fr berlagerungsgetriebe oder aus Gl. (102)

Kennlinien M=f(n) der angeschlossenen Maschinen erfolgt [59]. Ist damit kein stabiler Zustand erreichbar, geht die Anlage durch oder bleibt stehen. Ist eines der Drehmomente M=0 (z. B. Maschine abgekuppelt), so werden nach Gl. (119) auch die brigen Momente gleich Null, das Getriebe l
uft leer, Leistungsbertragung ist nicht mglich. Zusammenfassung der Drehmomentgleichungen s. Tab. 22. Nach Gl. (114) muß eines der drei Wellenmomente das entgegengesetzte Vorzeichen der beiden brigen haben und im Betrag gleich deren Summe sein. Diese Welle heißt Summenwelle, die anderen beiden Differenzwellen. Bei Umlaufgetrieben mit negativer Standbersetzung (Minusgetriebe) ist die Stegwelle stets Summenwelle, bei positiver Standbersetzung (Plusgetriebe) ist es die langsamer laufende Standgetriebewelle. Wird die Summenwelle stillgesetzt, entsteht an den beiden laufenden Differenzwellen wegen ihrer gleichsinnigen Drehmomente stets eine negative bersetzung, bei Stillsetzung einer Differenzwelle eine positive. Daher kann jedes einfache Umlaufgetriebe zwei reziproke negative und vier paarweise reziproke positive bersetzungen erzeugen. Leistungen. Mit M in Nm (kNm), n in s
1 , werden die Wellenleistungen und die Verlustleistung Pv : P1 ¼ M1 n1 2 p W ðkWÞ;

ð120Þ

P2 ¼ M2 n2 2 p W ðkWÞ;

ð121Þ

Ps ¼ Ms ns 2 p W ðkWÞ

ð122Þ

Pv ¼
M1 ðn1
ns Þ2 p ð1
hw1 0 Þ W ðkWÞ:

ð123Þ

Ein charakteristisches Merkmal der Umlaufgetriebe ist die Entstehung der Wellenleistungen P1 und P2 als Summe (berlagerung) von W
lz- und Kupplungsleistung. Mit w ¼ 2pn wird: Wellenleistung ¼ W a¨ lzleistungþ Kupplungsleistung P1 ¼ Pw1 þ Pk1 ¼ M1 ðw1
ws ÞþM 1 ws P2 ¼ Pw2 þ Pk2 ¼ M2 ðw2
ws Þþ M2 ws Ps ¼ Pks ¼ Ms ws : Je nach Wahl der Drehzahlen knnen W
lz- und Kupplungsleistung gleiche oder entgegengesetzte Vorzeichen, d. h. gleich- oder einander entgegengerichtete Leistungsflsse aufweisen. Daher knnen sich die Wellenleistungen P1 und P2 als Summe oder als Differenz dieser beiden Teilleistungen ergeben. Im ersten Fall bleibt die verlustbehaftete W
lzleistung kleiner als die Wellenleistung, dann wird der Gesamtwirkungsgrad hher als der Standwirkungsgrad. Bei entgegengerichteten Teilleistungsflssen kann die W
lzleistung aber beliebig grßer als die Wellenleistung werden; der Gesamtwirkungsgrad wird dann entsprechend niedriger als der Standwirkungsgrad. Er kann sogar negativ werden und dadurch zur Selbsthemmung des Getriebes fhren, s. G 8.9.5. Diese Betrachtung der Teilleistungen gibt Einblick in das Betriebsverhalten eines einfachen Planetengetriebes, sie ist aber zur Berechnung der Betriebsdaten nicht erforderlich. Durch berlagerung beliebiger W
lz- und Kupplungsleistungen kann bei jedem Umlaufgetriebe jeder der sechs mglichen Leistungsflsse erzeugt werden: je drei mit Welle 1, 2 oder s als alleiniger Antriebswelle und zwei Abtriebswellen (Leistungsteilung) oder 1, 2 oder s als alleiniger Abtriebswelle mit zwei Antriebswellen (Leistungssummierung). Welches die alleini-

G

G 154

Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe

ge An- oder Abtriebswelle (Gesamtleistungswelle GLW) ist, wird allein durch die Stand
bersetzung i12 und ein beliebiges freies Drehzahlverhltnis k bestimmt, s. Tab. 24. Soll ein berlagerungsgetriebe mit seiner GLW als einziger Antriebswelle (Motor) und zwei Abtriebswellen (Arbeitsmaschinen) laufen, so knnen die Drehzahlverhltnisse k12 , k1s bzw. k2s nur innerhalb der in Tab. 24 daf
r angegebenen Bereiche liegen. Werden einem berlagerungsgetriebe bei Anschluß von zwei Motoren und einer Arbeitsmaschine die Drehzahlen vorgegeben und ist dabei die Abtriebswelle zugleich GLW, so herrscht Leistungssummierung. Ist jedoch einer der beiden Motoren an die GLW angeschlossen, so treibt er allein das Getriebe an, whrend der andere Motor neben der Arbeitsmaschine einen Abtrieb bilden muß und
bersynchron als Bremse angetrieben wird, vgl. G 8.9.7.

Tabelle 23. Wirkungsgrade der Umlauf-bersetzungsgetriebe (F
r einfache Zahnradplanetengetriebe gilt: h12  h21 , f
r Planeten-Koppelgetriebe hI II und hII I getrennt bestimmen; erster Index Antriebswelle, zweiter Abtriebswelle.)

Wirkungsgrad. Mit den allgemeinen Definitionen

G

Wirkungsgrad h ¼
ðPab =Pan Þ ¼ 1
z

ð124Þ

Verlustgrad z ¼
ðPv =Pan Þ ¼ 1
h

ð125Þ

wird der Gesamtwirkungsgrad eines Planetengetriebes mit zwei oder drei laufenden Wellen hges ¼ 1 þ

Pv M1 ðn1
ns Þ2pð1
hw1 0 Þ ¼1
SPan SPan

ð126Þ

mit Pv nach Gl. (123) und der einen oder den beiden Wellenleistungen nach Gl. (120) bis (122), die sich durch ihr positives Vorzeichen als Antriebsleistungen Pan ausweisen. (Bei einem selbsthemmungsfhigen Getriebe darf jedoch eine Abtriebswelle, deren Leistung nur infolge von Selbsthemmung (s. G 8.9.5) ein positives Vorzeichen annimmt, jedoch ohne Sh. mit M aus Gln. (115)–(117) f
r hw1 0 =1 negativ wre, nicht ber
cksichtigt werden.) Die Minuszeichen in den Defi-

nitionsgleichungen (124) und (125) sind erforderlich, damit h und z, wie gewohnt, trotz der negativen Quotienten ðPv ; Pab < 0Þ einen positiven Wert annehmen. Der Wirkungsgrad lßt sich bei bersetzungsgetrieben auch allein durch Stand
bersetzung und Standwirkungsgrad, bei berlagerungsgetrieben zustzlich durch ein freies Drehzahlverhltnis, z. B. k12 , das die GLW bestimmt, ausdr
cken, Tab. 23, 24 [59], wobei die zutreffende Gleichung noch vom jeweils zugehrigen Leistungsfluß abhngt.

Tabelle 24. Wirkungsgrade der berlagerungsgetriebe und Zuordnung der Bereiche von k12 , k1s und k2s zur Lage der Gesamtleistungswelle GLW [59]; Lfl. Leistungsfluß

I8.9 Umlaufgetriebe Einfache Zahnrad-Planetengetriebe sind als Standgetriebe wie
bliche Zahnrad-bersetzungsgetriebe praktisch verlustsymmetrisch, d. h. h12 ¼ h21 . Bei Umlaufgetrieben, insbesondere bei Plusgetrieben, knnen die Wirkungsgrade in jeweils entgegengesetzten Leistungsflußrichtungen wegen der berlagerung von Wlz- und Kupplungsleistung jedoch sehr unterschiedlich sein. Bei Minusgetrieben sind die Umlaufwirkungsgrade stets hher als der Standwirkungsgrad. In Gl. (126) und Tab. 23, 24 wird – wie auch in der
brigen Literatur – angenommen, daß bei umlaufendem Steg die Zahnreibungs- und Planetenlagerverluste bei bertragung der Wlzleistung Pw der Last proportional und gleich groß wie beim Standgetriebe seien. Nur diese Verluste werden der Berechnung zugrunde gelegt. Bei mitrotierendem Steg auftretende zustzliche Plansch- und Ventilationsverluste, Verluste durch Dichtringreibung sowie Einfl
sse durch die Schmierlf
hrung knnen gegebenenfalls nach der Berechnung von hges zustzlich ber
cksichtigt werden. Bei der Bestimmung des Standwirkungsgrads d
rfen nur die genannten lastabh
ngigen Verluste herangezogen werden. Liegen genauere Angaben nicht vor, so gen
gt es f
r praktische Berechnungen, einen Wlzwirkungsgrad hwa
0;99 f
r eine außenverzahnte Stirnradpaarung und hwi =0,995 f
r eine Hohlradstufe mit einer Innenverzahnung anzunehmen, vgl. Bild 36; f
r genauere Wirkungsgradbestimmung s. [70]. 8.9.5 Selbsthemmung und Teilhemmung Selflocking and partial locking Bei Selbsthemmung (Sh) kann ein Getriebe auch mit beliebig großen Antriebsmomenten nicht bewegt werden; es wird durch den Antriebsmoment proportionale Reibkrfte innerlich blockiert. Seine Reibungsverlustleistung Pv wre grßer als die Antriebsleistung Pan . Es luft jedoch, wenn ihm die zur berwindung der Reibung noch fehlende Leistung bzw. das zum Lsen der Verklemmung erforderliche „Lsemoment“ durch Antreiben der Abtriebswelle in Abtriebsdrehrichtung zustzlich zugef
hrt wird. Beispiel: Selbsthemmende Hubwerke m
ssen zum Senken einer (antreibenden) Last am eigentlichen Abtrieb angetrieben werden.

Einfache Planetengetriebe mit zwei oder drei angeschlossenen Wellen sind bei einer Stand
bersetzung h12 < i12 < 1=h21 selbsthemmungsfhig. Selbsthemmung tritt jedoch nur ein, wenn Welle s einzige Abtriebswelle ist. Analog sind beliebig zusammengesetzte Planetengetriebe mit hab < iab < 1=hba und Laufgrad 2 selbsthemmungsfhig aber nur selbsthemmend, wenn Welle c die einzige Abtriebswelle bildet (vgl. G 8.9.2). Bei Leistungsfluß in Selbsthemmungsrichtung kehren das Drehmoment Mj der Abtriebswelle j und somit die „Abtriebsleistung“ Pj im Vergleich zu einem reibungsfreien Betrieb (h12 ¼ h21 ¼ 1) ihr Vorzeichen um. Die dabei positiv werdende „Abtriebsleistung“ Pj wird aber nicht zu einer „echten“ Antriebsleitung. So bleiben z. B. die tragenden Flanken dieselben wie wenn j eine Abtriebswelle wre, sie wechseln nicht auf die bei „echtem“ Antrieb tragende andere Seite. Deshalb darf die positiv gewordene „Abtriebsleistung“ nicht als Pan in Gln. (124) bis (126) eingesetzt, sondern nur als Pab gt; 0 in Gl. (124) ber
cksichtigt werden! Damit ergibt sich als Kriterium f
r Selbsthemmung ein negativer Wirkungsgrad f
r den Laufzustand mit Leistungsfluß in Selbsthemmungsrichtung. Ist Welle s (bzw. c) eines selbsthemmungsfhigen Getriebes nur eine von zwei Abtriebswellen, so tritt Teilhemmung ein, ausf
hrlich s. [59, 61]. Dabei kann die Welle s (bzw. c) hchstens ihr „Lsemoment“ ML in Antriebsrichtung auf die angeschlossene Maschine
bertragen und nimmt eine Drehzahl an von a) n=0, wenn die Maschine mit ML nicht zu bewegen ist,

G 155

b) n ¼ nan , wenn die Maschine nur M < ML fordert, c) 0 < n ¼ f ðML Þ nach Kennlinie der Maschine < nan . Der Wirkungsgrad wird dabei je nach Antriebsfall: ha ¼ h12 bzw. ha ¼ h21 ; h12 ; h21 < hb ; hc < 1: Die Gln. (114) bis (117) gelten auch f
r den Laufzustand in Selbsthemmungsrichtung. Das errechnete Drehmoment einer „gehemmten“ Welle ist dabei zugleich das erforderliche „Lsemoment“ zum Senken einer Last bzw. zum Bewegen dieser Welle bei Teilhemmung. Der den Wert 1 des Verlustgrades (Gl. (125))
bersteigende Betrag kennzeichnet die Sicherheit einer Selbsthemmung. Sh eines Planetengetriebes tritt auch auf, wenn sein Wlzleistungsfluß mit dem gehemmten Leistungsfluß eines selbsthemmungsfhigen Standgetriebes
bereinstimmt. 8.9.6 Konstruktive Hinweise. Hints for design Planetengetriebe weisen gegen
ber einfachen bersetzungsgetrieben einige konstruktive Besonderheiten auf [63]. Mittels Leistungsverzweigung
ber q am Umfang angeordnete Planetenrder oder Planetenradstze lßt sich die
bertragbare Leistung von Planetengetrieben oder gleichartig aufgebauten Standgetrieben, Verzweigungs- oder Sterngetriebe genannt, um den Faktor q steigern, wenn gleichmßiges Tragen aller Verzahnungen einer solchen statisch
berbestimmten Anordnung gesichert ist, z. B. dadurch, daß die elastische Nachgiebigkeit im Verzahnungsbereich grßer ist als die hier wirksamen Maßabweichungen. Bei q=3 Planeten(stzen) am Umfang ist das Getriebe statisch bestimmt , wenn eines der drei Getriebeglieder 1, 2 oder s, wie hufig ausgef
hrt, ohne Lagerung im Getriebegehuse nur durch die Zahneingriffe unter Last zentriert wird. Trotzdem sind dynamische Zusatzbelastungen vorhanden s. [64]. Alle vorstehenden Berechnungen werden von der Anzahl q dieser Planeten(stze) nicht beeinflußt. Eine gleichmßige Verteilung mehrerer Planeten am Unfang ist geometrisch nur mglich, wenn die Zhnezahlbedingungen nach Bild 38 (f
r andere Getriebebauformen s. [59]) ganzzahlig erf
llt sind. Bei „Stufenplaneten“, Bild 38 b, d, e ist zustzlich eine genaue gegenseitige Lagezuordnung ihrer beiden Planetenzahnkrnze und eine Markierung der in Montagestellung kmmenden Zahnpaare erforderlich. Getriebe mit Einfachplaneten sind deshalb einfacher zu fertigen. Bei der Lebensdauerberechnung der Planetenlager sind die Fliehkrfte der Planeten zu ber
cksichtigen und deren Relativdrehzahlen (np  ns ) gegen
ber dem Steg zugrunde zu legen [65]. F
r Getriebe nach Bild 38 sind diese ðnp1  ns Þ ¼ ðn1  ns Þz1 =zp1 ¼ ðnp2  ns Þ ¼ ðn2  ns Þz2 =zp2 : Bei Getrieben nach Bild 38 a, c, f ist zp1 ¼ zp2 ¼ zp und np1 ¼ np2 ¼ np zu setzen. 8.9.7 Auslegung einfacher Planetengetriebe Design of simple planetary trains
bersetzungsgetriebe Beispiel: isoll ¼ þ3, kleinste Zhnezahl zn ¼ 19, q=3 Planeten am Umfang. Es gibt drei mgliche Stand
bersetzungen nach Gl. (112), mit jeweils geeigneten Bauarten nach Bild 38: isoll ¼ i12 ¼ þ3, Bauarten d, f isoll ¼ i1s : i12 ¼ 1  i1s ¼ 1  3 ¼ 2, Bauarten a, b isoll ¼ is1 : i12 ¼ 1  1=is1 ¼ 1  1=3 ¼ 2=3, Bauarten d, e, f isoll ¼ i21 ; is2 ; i2s ergibt gleiche Getriebe mit vertauschten Bezeichnungen 1 und 2. Geeignete Bauart: Getriebe nach Bild 38 a mit i12 ¼ 2 f
hrt zur einfachsten Konstruktion, s. Bild 39. Bestimmung der Zhnezahlen: Zugleich m
ssen die Gleichungen B und D nach Bild 38 a sowie f
r die Achsabstnde a1p ¼ a2p erf
llt sein. F
r ein Nullgetriebe ðx1 ¼ x2 ¼ 0, G 8.1.5) folgt: z2 ¼ i12 z1 ¼ ð2Þ34 ¼ 68:

G

G 156

Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe

a1p ¼ a2p ¼ ðz1 þ zp Þm=2 ¼ ðjz2 j
zp Þm=2; somit werden zp ¼ ðjz2 j
z1 Þ=2 ¼ 17: ðz1 þ jz2 jÞ=q ¼ ð34 þ 68Þ=3 ¼ 34 ganzzahlig, Montagebedingung erf
llt. Falls sie nicht erf
llt ist, zmin variieren und Achsabstnde mittels Profilverschiebung angleichen, s. G 8.1.7. Abschließend die Berechnung des Moduls nach G 8.5 und den konstruktiven Entwurf unter Ber
cksichtigung der auf die Planetenradlager wirkenden Fliehkrfte ausf
hren.


berlagerungsgetriebe

G

Bei jedem berlagerungsgetriebe sind mit dessen Stand
bersetzung i12 und zwei Drehzahlen n oder einem freien Drehzahlverhltnis k die Gesamtleistungswelle bestimmt und durch ein Drehmoment zustzlich der Leistungsfluß (Lfl) und der Gesamtwirkungsgrad hges festgelegt. Daher kann die Zuordnung eines gewollten Lfl zu vorgegebenen Drehzahlen nur in begrenzten Bereichen der freien Drehzahlverhltnisse k realisiert werden, s. Tab. 24. Die Bereichsgrenzen sind jeweils durch Stillstand einer Welle bei einer Stand- oder Umlauf
bersetzung oder durch den „Kupplungspunkt“ ðn1 ¼ n2 ¼ ns Þ gekennzeichnet. Drehzahlen konstant. Werden drei konstante Drehzahlen na ; nb ; nc vorgegeben, so ergibt sich die dazu erforderliche Stand
bersetzung i12 ¼ isoll aus Gl. (110). Setzt man dabei na ; nb ; nc in den sechs mglichen Kombinationen als n1 ; n2 und ns ein, so erhlt man drei Paare von zueinander reziproken Stand
bersetzungen und damit drei verschiedene, kinematisch gleichwertige Getriebe, z. B. nach Bild 39, mit jeweils vertauschten Indices 1 und 2 der Standgetriebewellen. Aus der kinematischen Gleichwertigkeit dieser drei Getriebe folgt, daß bei jedem die Welle mit derselben Drehzahl na ; nb oder nc Gesamtleistungswelle ist. Somit liegt bei Vorgabe von drei Drehzahlen die Leistungsverteilung zwischen den zugehrigen Wellen fest und zwar unabhngig davon, wo und wie diese Wellen in der schließlich gewhlten Getriebebauart angeordnet sind, s. Tab. 24. Beispiel: na ; nb ; nc ¼ 18, 9, 12 s
1 . Mit z. B. n1 ¼ 9, n2 ¼ 12, ns ¼ 18 folgt mit Gl. (110): i12 ¼ 1;5, k12 ¼ 9=12, damit aus Tab. 24 unter i12 > 1 und k12 ¼ 0 . . . 1 ! GLW ist Welle 2, d. h. die Welle mit n=12 s
1 .

Werden zwei konstante Drehzahlverh
ltnisse, z. B. kab ; kcb vorgegeben, so errechnet man iab aus Tab. 21 und findet mit iab ¼ isoll drei Stand
bersetzungen sowie geeignete Bauarten wie im Abschnitt bersetzungsgetriebe. Drehzahlen stufenlos vernderlich. Bei einem berlagerungsgetriebe mit stufenlos vernderlichen Drehzahlen erfolgen die Berechnungen jeweils f
r dessen beide, beliebig mit  und * bezeichneten Drehzahl-Verstell grenzen wie bei konstanten Drehzahlen. Bei einer Anordnung nach Bild 40 seien den Getriebewellen a, b und c, Drehzahlen wie folgt zugeordnet: na variable Abtriebsdrehzahl ð127Þ j ¼ n =n ¼ k =k Stellverhltnis Welle a a

a

a

ab

ab

nb = konstant vorgegeben (Hauptmotor H) nc einstellbar vorgegeben (Nebenmotor N)  =kcb Stellverhltnis Welle c: jc ¼ nc =nc ¼ kcb

ð128Þ

Bei einer Drehzahlumkehr innerhalb eines Stellbereichs wird j|50| [60, 67]. Mit den

Bild 41. Abhngigkeit der Leistungsverhltnisse e0 von der Kombination der Stellverhltnisse ja und jc eines berlagerungsgetriebes nach Bild 40 sowie j ð¼ ja ) und j0 ð¼ jc ) eines Stellkoppelgetriebes nach (Bild 45) Beispiel mit L
sungen 1 und 2: gefordert na ¼ 66 . . . 40 s
1 , nb ¼ 25 s
1 , nc; 1 ¼ 33 . . .
50 s
1 , nc; 2 ¼
50 . . . 33 s
1 . Daraus ja ¼ na =na ¼ 66=40 ¼ 1;650, jc; 1 ¼ nc =nc ¼ 33=
50 ¼
0;660; jc; 2 ¼
50=33 ¼
1;515.

Bild 42 a–f. Symbole fr Umlaufgetriebe. a mit beliebiger oder unbekannter Lage der Stegwelle; b Welle 2 konstruktiv stillgesetzt; c Wellen 2 und s k
nnen an- oder abgekuppelt oder festgebremst werden; d Umlauf-Stellgetriebe mit stufenlos verstellbarer Standbersetzung, z. B. hydrostatisches Umlauf-Stellgetriebe; e einfaches bersetzungsgetriebe mit stillstehendem Gehuse und zwei Anschlußwellen, bezeichnet mit Ziffern >2; f einfaches Stellgetriebe mit stufenlos verstellbarer bersetzung, stillstehendem Gehuse und Wellenbezeichnungen >2, z. B. Keilriemen-Stellgetriebe

  L
sung 1: kab , soll ¼ 40/25 = 1,60, k cb; soll; 1 ¼ –50/25=–2, Gl. (129 a): iba, a1 ¼ ð1 þ 0;660Þ=½1;60ð1;650þ0; 660Þ ¼ 0; 449, Gl. (129 b): kcb; al ¼ ð1
0;449  1;60Þ=ð1
0;449Þ ¼ 0;511 6¼ kcb; soll; 1 , Ergnzungsgetriebe C: iCc; 1 ¼ 2;00=0;511 ¼
3;914. L
sung 2: kab; soll = 1,60, kcb; soll; 2 ¼ 33=25 ¼ 1;320, Gl. (129 a): iba, a2 ¼ ð1 þ 1;515Þ=½1;60 ð1;650 þ 1;515Þ ¼ 0;497, Gl. (129 b): kcb; a2 ¼ ð1
0;497  1; 60Þ=ð1
0;497Þ ¼ 0;407 6¼ kcb; soll; 2 , iCc; 2 ¼ 1;320= 0; 409 ¼ 3;243. Die beiden weiteren L
sungen mit Gln. (130) folgen aus Gl. (130 a): iba; c1 ¼ 1;141 bzw. iba; c2 ¼ 0;844, Gl. (130 b): kab, c1 ¼ 0;627 6¼ k 6¼ kab, soll bzw. kab, c2 ¼ 0;941 6¼ kab, soll , daraus iAa; 1 ¼ 1;60=0;629 ¼ 2;544; und iAa; 2 ¼ 1;60=0; 941 ¼ 1; 70. Gleiche Rechnung mit umgepoltem Hauptmotor, nb ¼
25, ergibt gleiche Leistungsverhltnisse e0 , gleich große aber negative Standbersetzungen iba aber andere Ergnzungsgetriebe. e0; 1 ¼ ð1
1;65Þ= ð1 þ 0;66Þ ¼
0;39 (Nebenmotor luft als Generator), e0; 1 ¼
0;66ð
0;39Þ=1;65 ¼ 0;16 (Nebenmotor luft mit geringer Antriebsleistung, wie erwnscht). e0; 2 ¼ ð1
1;65Þ=
0;258;

Bild 43. Beispiel eines dreistufigen Reihen-Planetengetriebes. a Schema; b Symbol mit den aus a bertragenen Wellenbezeichnungen, hier iAB ¼ i1s i10 s0 i100 s00 ; hAB ¼ h1s h10 s0 h100 s00 ; hBA ¼ hs00 100 hs0 10 hs1

e0; 2 ¼
1;52ð
0;258Þ=1; 65 ¼ 0;24.

8.9.8 Zusammengesetzte Planetengetriebe Compound planetary trains Getriebesymbole und Wellenbezeichnungen Getriebesymbole nach Bild 42, die nur noch die fr die Berechnung erforderlichen Informationen (Lage der Wellen und deren Koppelungen) enthalten, erleichtern die bersicht und vereinfachen die Analyse und Synthese zusammengesetzter Planetengetriebe erheblich. Die Wellen aller Teilgetriebe eines zusammengesetzten Planetengetriebes werden weiterhin mit 1, 2 und s bezeichnet, wobei fr die Wellen des zweiten Getriebes ein Strich (10 , 20 , s0 Þ und fr die Wellen eines etwa vorhandenen dritten Planetengetriebes zwei Striche (100 , 200 , s00 ) hinzugefgt werden usw. Bilder 43, 44. Damit k
nnen alle bisher angegebenen Gleichungen einschließlich der Tab. 21 bis 24 oder ein vorhandenes Rechenprogramm [60] unmittelbar fr jedes Teilgetriebe benutzt werden. Die zur

Bild 44 a–d. Beispiel eines Planeten-Koppelgetriebes als Turboprop. Reduktionsgetriebe [69]. a Schnittzeichnung; b Schema mit Wellenbezeichnungen; c Getriebesymbol mit lagegerecht aus b bernommenen Wellenbezeichnungen; d Symbol eines Planeten-Koppelgetriebes mit funktionsorientierter Bezeichnung seiner Wellen nach ihrer Lage: a; a0 angeschlossene Koppelwelle, f ; f 0 freie Koppelwelle, e; e0 Einzelwellen; I, II, S analog dem einfachen Umlaufgetriebe bezeichnete ußere Anschlußwellen

G

G 158

G

Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe


ußeren Anschlußwellen I, II und S nach Bild 44 b bis d hat ein Planeten-Koppelgetriebe drei Anschlußwellen mit dem Freiheitsgrad F=2, wie ein einfaches Planetengetriebe. Daher hat es als Gesamtgetriebe auch das gleiche Betriebsverhalten und l
ßt sich genau wie ein solches mit denselben Gleichungen und den Tab. 21 bis 24 berechnen, wenn man die Indices 1, 2 und s statt der analogen Wellenbezeichnungen I, II und S einsetzt [59]. Wird die angeschlossene Koppelwelle S festgehalten, so wirkt das Getriebe als Reihengetriebe wie ein Standgetriebe und seine „Reihen
bersetzung“ (analoge Standbersetzung) iI II sowie seine Reihenwirkungsgrade (analoge Standwirkungsgrade) hI II und hII I lassen sich wie fr Reihengetriebe, Bild 43, bestimmen, s. Beispiel. L
uft ein Planeten-Koppelgetriebe als berlagerungsgetriebe, so sind seine beiden Teilgetriebe in ihren Funktionen gleichwertig. Wird eine seiner Einzelwellen, z. B. Welle II, Bild 44 b, c, festgehalten, so l
uft das zugehrige Teilgetriebe als bersetzungsgetriebe und kann durch ein Planetengetriebe mit einer stillgesetzten Welle oder durch ein einfaches bersetzungsgetriebe mit stillstehendem Geh
use gebildet werden. Als „Nebengetriebe“ N hat es hier nur die Aufgabe, das Drehzahlverh
ltnis k2s ¼ i20 10 des mit den
ußeren Anschlußwellen verbundenen „Hauptgetriebes“ H vorzugeben. Die
ußere bersetzung des Planeten-Koppelgetriebes iIS ¼ kea l
ßt sich dann mit Tab. 21 berechnen. Ersetzt man die Funktionsorientierten Bezeichnungen nach Bild 44 d durch die allgemeinen Bezeichnungen (s. G 8.9.2), z. B. e ! a, a ! b, f ! c, so wird in Tab. 21, 1. Zeile, das gesuchte Drehzahlverh
ltnis kea ¼ kab ¼ kcb ð1
iab Þ þ iab und rcktransformiert zu den ursprnglichen Bezeichnungen nach Bild 44 d: iIS ¼ kea ¼ kfa ð1
iea Þ þ iea ;

ð133Þ

wobei iea die bersetzung des Hauptgetriebes bei stillstehend gedachter Welle f bedeutet. Beispiel: Fr das Getriebe nach Bild 44 gilt: i12 ¼
4;3, i10 20 ¼
0;36. Damit wird in vorstehender Gleichung kfa ¼ k2s ¼ i20 10 ¼ 1=
0;36 ¼
2;778 und iea ¼ i1s ¼ 1
i12 ¼ 1 þ 4;3 ¼ 5;3, somit Gl. (133) iIS ¼ kea ¼
2;778ð1
5;3Þ þ 5;3 ¼ 17;24. Gleiches Ergebnis und zus
tzlich die Wirkungsgrade erh
lt man, wenn man das einem einfachen Planetengetriebe analoge Planeten-Koppelgetriebe erzeugt: Nach Bild 44 d, c und Gl. (112) wird iI II ¼ ief  if 0 e0 ¼ i12  i20 s0 ¼ i12  ð1
1=i10 20 Þ ¼
4;3  ð1
1=
0;36Þ ¼
16;24. Daraus mit Gl. (112) iIS ¼ 1
iI II ¼ 1
ð
16;24Þ ¼ 17;24. Reihenwirkungsgrad: hI II ¼ hef  hf 0 e0 ¼ h12  h20 s0 ¼ 0;985  0;989 ¼ 0;974; mit h20 s0 ¼ ði10 20
h20 10 Þ=ði10 20
1Þ nach Tab. 23 und mit h12 ¼ h21 ¼ h10 20 ¼ h20 10 ¼ 0;985. Daraus nach Tab. 23 unter i12 < 0 : hIS ¼ ðiI II hI II
1Þ=ðiI II
1Þ ¼ ð
16;24  0;974
1Þ=ð
16;24
1Þ ¼ 0;976:

wird, Bild 45 c. Das Stellverh
ltnis j (Stellbereich) eines Stellkoppelgetriebes ist fr ein beliebiges Stellverh
ltnis j0 des Nebengetriebes N bei geeigneter Auslegung des Hauptgetriebes H beliebig w
hlbar. In der Regel wird als Nebengetriebe ein handelsbliches Stellgetriebe verwendet, dessen Geh
use als festgehaltene „Stegwelle“ der Einzelwelle e0 des Nebengetriebes entspricht. Die Berechnung erfolgt, wie fr Planeten-Koppelgetriebe mit konstanter bersetzung, je einmal fr die beiden bersetzungsgrenzen des Stellbereichs. Dabei werden alle einander zugeordneten Grßen an einer beliebigen der beiden bersetzungsgrenzen mit  , die entsprechenden Werte der anderen bersetzungsgrenze mit  bezeichnet. Damit werden die Stellverh
ltnisse j des Koppelgetriebes und j0 des Nebengetriebes wie folgt definiert: j ¼ iIS =iIS ; j0 ¼ if0 a0 =if 0 a0

ð135Þ

Bei Drehzahlumkehr innerhalb eines Stellbereichs werden j und/oder j0 negativ. Der durch das Nebengetriebe fließende Anteil e0 der
ußeren Leistung l
ßt sich bei reibungsfrei (Index o) gedachtem Betrieb bereits aus den Stellverh
ltnissen absch
tzen: Mit e0 nach Gl. (134) werden an den Stellgrenzen e0 ¼ ð1
jÞ=ð1
j0 Þ;

e0 ¼ e0 j0 =j:

Bild 41 zeigt die Bereiche fr e0 |0,5| fr die mglichen Kombinationen der Stellverh
ltnisse j und j0 . Zur Verwirklichung der vorgegebenen Stellverh
ltnisse j und j0 ist ein Planetengetriebe mit der bersetzung iea zwischen den Wellen e und a bei stillstehend gedachter Welle f auszulegen. Je nachdem, ob dabei von der bersetzungsgrenze iIS oder if 0 a0 ausgegangen wird, ergibt sich iea ¼ iIS ðj
j0 Þ=ð1
j0 Þ

ð136Þ

oder 1=iea ¼ 1 þ ð1
jÞ=½if 0 a0 ðj
j0 Þ:

ð137Þ

Die jeweils nicht vorgegebene bersetzungsgrenze if 0 a0 bzw. iIS ergibt sich dann mit kfa ¼ if 0 a0 aus Gl. (133). Sie weicht in der Regel von der gewollten Sollbersetzung isoll ab, so daß Erg
nzungsgetriebe III und/oder V nach Bild 45 a , b bei Auslegung mit Gl. (136) oder nach Bild 45 c, d mit Gl. (137) er-

Die durch das Nebengetriebe fließende Leistung h
ngt bei Vernachl
ssigung der Reibung (Index 0) nur von den bersetzungen ab und l
ßt sich mit Bezeichnungen nach Bild 44 d leicht absch
tzen: Mit der Definition des Leistungsverh
ltnisses e0 ¼ ¼

Antriebsleistung des Nebengetriebes Antriebsleistung des Koppelgetriebes Pf 0 Pa0 ¼ gilt½59 PI PS

ð134Þ

e0 ¼ 1
iea =kea ¼ 1
iea =iIS oder auch e0 ¼ ð1
1=iIS Þ=ð1
1=if 0 a0 Þ: Mit diesen Gleichungen wird fr das Beispiel zu Bild 44 e0 ¼ ð1
1=17; 24Þ=1
1=
2; 778Þ ¼ 0;693:

Stellkoppelgetriebe (Bild 45) sind Planeten-Koppelgetriebe, die als Nebengetriebe ein Stellgetriebe mit stufenlos verstellbarer bersetzung if 0 a0 enthalten und damit auch eine stufenlos verstellbare Gesamtbersetzung iIS bieten. Ihre Wirkungsweise entspricht derjenigen eines berlagerungsgetriebes mit stufenlos ver
nderlichen Drehzahlen, Bild 40, bei dem statt eines drehzahlver
nderlichen Nebenmotors N ein Nebengetriebe N mit stufenlos ver
nderlicher bersetzung eingesetzt

45 a–d. Stellkoppelgetriebe mit stufenlos verstellbarem Keilriemengetriebe [71]. a Symbol einer Ausfhrung mit zum Nebengetriebe z
hlenden Erg
nzungsgetrieben III und V; b R
derschema eines Stellkoppelgetriebes nach a mit Erg
nzungsgetriebe III; c symbolische Darstellung mit
ußeren Erg
nzungsgetrieben III und V; d R
derschema eines Getriebes nach c mit Erg
nzungsgetriebe V und einem zus
tzlichen zweistufigen Getriebe mit i=1 zur Achsabstandsberbrkkung

I8.10 Gestaltung der Zahnradgetriebe

G 159

mit I und II verbundenen Wellen der Teilgetriebe I, II und III mit y. Dann wird i12 oder i21 zu ixy . In Bild 46 sind die Summenwellen in den Symbolen durch Doppelstriche markiert. Kombination Bild 46 c erweist sich als das wirkungsgleiche Planeten-Koppelgetriebe, das nun stellvertretend fr das reduzierte Koppelgetriebe analysiert wird, wie es zum Bild 44 beschrieben wurde.

8.10 Gestaltung der Zahnradgetriebe Design of geared transmissions Die hier angegebenen Regeln und Anhaltswerte basieren auf vielen ausgefhrten Konstruktionen im Maschinenbau fr mittlere Verhltnisse. Die so ermittelten Maße sind sinnvoll aufzurunden. Andere Abmessungen sind nach Erfahrungen in bestimmten Bereichen oder nach Einzeluntersuchungen zweckmßig oder notwendig. Wenn mglich, sind Festigkeit und Steifigkeit nachzurechnen. 8.10.1 Bauarten. Types Stirnradgetriebe

Bild 46 a–d. Reduziertes Planeten-Koppelgetriebe. a Schema des reduzierten Koppelgetriebes; b bis d schematische Darstellung und Symbole (mit Doppelstrich fr Summenwelle) der drei davon herleitbaren kinematisch gleichwertigen einfachen Planeten-Koppelgetriebe mit c als dem wirkungsgleichen

forderlich sind. Die
bersetzungen dieser Ergnzungsgetriebe werden sinngemß wie in Unterabschnitt 8.9.7
berlagerungsgetriebe bestimmt. Die Zuordnung von iIS zu if 0 a0 ergibt sich fr beliebige Betriebspunkte innerhalb des Stellbereichs aus Gl. (133), ausfhrlicher s. [71]. Reduzierte Planeten-Koppelgetriebe sind Planeten-Koppelgetriebe, bei denen die Stege der beiden Teilgetriebe die freie Koppelwelle f f 0 (Bild 44 d) bilden und dadurch zu einem Bauteil zusammengefaßt werden knnen. Außerdem sind die auf der angeschlossenen Koppelwelle sitzenden Zahnrder der beiden Teilgetriebe und die mit ihnen kmmenden Planetenrder gleich groß; sie lassen sich deshalb auf ein einziges Rderpaar reduzieren [59, 68], Bild 46. Ein gegebenes reduziertes Koppelgetriebe lßt sich jedoch zu drei verschiedenen Planeten-Koppelgetrieben erweitern, je nachdem, ob Welle A, B oder C als dessen angeschlossene Koppelwelle S betrachtet wird. Alle drei haben bezglich der Wellen A, B und C das gleiche Drehzahlverhalten und sind deshalb kinematisch gleichwertig, jedoch knnen ihre Wirkungsgrade erheblich voneinander abweichen. Das einzige, dem reduzierten Koppelgetriebe „wirkungsgleiche“ einfache Koppelgetriebe ist dasjenige, bei dem die Drehmomente der zur angeschlossenen Koppelwelle gehrigen Zentralrder gleiche Wirkungsrichtungen haben und somit gleichgerichtete Leistungsflsse erzeugen. Sein Kennzeichen: Seine Einzelwellen I und II bilden je eine Differenz- und eine Summenwelle ihres Teilgetriebes, G 8.9.4 [59, 61]. Dieses hat zugleich den hchsten Wirkungsgrad. Seine Ermittlung geschieht durch einen einfachen Formalismus [61]: Ist eine Standbersetzung ixy > 1, so ist y Summenwelle, andernfalls, also auch bei negativer Standbersetzung, ist y eine Differenzwelle. Man bezeichne nacheinander die Welle S in Bild 46 b bis d mit x und die jeweils

Normalbauform nach Bild 47 a, b – einfach, betriebssicher, gut zugnglich. Fr grßere, mehrstufige Getriebe symmetrische Bauart nach Bild 47 c – grßere Gesamtzahnbreite, kompakt. Koaxialer An- und Abtrieb. Bei Bauart nach Bild 48 a erste Stufe schlecht ausgenutzt. Durch Leistungsverzweigung, z. B. nach Bild 48 b kleinere und leichtere Getriebe – (jedoch komplizierter, Lastausgleichselemente ntig); Planetengetriebe (s. G 8.9). Aufteilung der Gesamtbersetzung fr die Bedingung: Minimales Gesamtvolumen der Rder, freie Wahl von b/d oder b/a (berprfen nach Tab. 8); Index I erste Stufe usw. sH lim Werte siehe Tab. 14. Zweistufiges Getriebe: uI
0;8ðusH lim I =sH lim II Þ2=3 :

ð138Þ

Dreistufiges Getriebe: uI
0;6u4=7 ðsH lim I =sH lim II Þ2=7 ðsH lim I =sH lim II Þ4=7 ;

ð139Þ

uII
1;1u2=7 ðsH lim II =sH lim I Þ4=7 ðsH lim II =sH lim III Þ2=7 : ð140Þ Gesamt u ¼ uI uII . . .

ð141Þ

Bild 47 a–c. Getriebe mit seitlich versetztem An- und Abtrieb. a einstufig fr i 10 m : hA
m; bei b < m : hA
1 þ 0;1 m: P1 Richtfl
chen (innen oder außen) f
r Zahnrder, die nicht auf Welle oder Spanndorn verzahnt werden knnen, ab ca. 700 mm Durchmesser: hP
0;1 mm; bP
10 mm. 2. Richtflche P2 bei b>500 mm. Planlaufabweichung: N bei ut % 25 m/s, T bei ut > 25 m/s.

G

Transport-, Spann- und Erleichterungslcher, Anzahl n: da< 300: – (Spannen durch Bohrung) 300 < da< 500: n = 4, 500 < da 2;5 m; Einsatz-, Flamm-, Induktions-, Flanken-, oder L
ckenhrtung hR > 3;5 m; flamm- oder induktive Umlaufhrtung hR > 6 m (Lage der Paßfeder und Schrumpfspannung beachten).

Bei Oberfl
chenh
rtung angeben, welche Bereiche weich bleiben m
ssen, z. B. Gewindelcher, evtl. Bohrungen). Schnecken-Stirnradgetriebe Je nach Baugrße ab i>12 wirtschaftlich. Mglichst Schnekkengetriebe in 1. Stufe (Wirkungsgrad, Gerusch, Baugrße); Ausnahme: Wenn Stirnritzel direkt auf Motorwelle sitzt, z. B. bei Getriebemotoren (keine Kupplung, keine gesonderte Ritzellagerung erforderlich).

8.10.2 Anschluß an Motor und Arbeitsmaschine Connection to driving and driven machine Bei Getriebemotoren bis 50 kW (meist 0,4 bis 4 kW) E-Motor oft direkt am Getriebe angeflanscht (keine Kupplung, keine getrennte Aufstellung, kein Ausrichten). Bei grßeren Leistungen meist getrennte Aufstellung, Anschluß an Motor und Arbeitsmaschine durch Ausgleichkupplungen (s. G 3). Durch Quer- und Winkelversatz oder
berhngende Kupplungen, Axialbewegungen des Motorankers und des Abtriebs knnen – trotz Ausgleichkupplungen – erhebliche Krfte eingeleitet werden (bei Dimensionierung der Lager, Gehuse, Wellen und Kraftaufteilung auf zwei Pfeilhlften beachten!). Dies trifft bei Zapfen-(Aufsteck-)getrieben f
r die Abtriebswelle nicht zu, bei angeflanschtem Motor auch nicht f
r die Antriebsseite. Die Getriebe-Abtriebswelle ist fest mit der Welle der Arbeitsmaschine verbunden, das Getriebe reitet auf ihr. Getriebegewicht und Querkrfte aus dem Abst
tzmoment m
ssen von dieser Welle und einer Drehmomentst
tze aufgenommen werden.

8.10.3 Gestalten und Bemaßen der Zahnr
der Detail design and measures of gears Fertig – einschließlich Verzahnung – gegossene (auch Spritzguß-)Zahnrder bei kleinen Abmessungen, geringen Beanspruchungen und großen St
ckzahlen, evtl. mit angegossenen Nocken, Klauen usw., f
r hohe Belastungen auch fertiggeschmiedet (z. B. Differentialkegelrder). Im Maschinenbau f
r kleine und mittlere Abmessungen meist Voll- oder konturgedrehte Scheibenrder; bei grßeren Abmessungen haben geschweißte Rder (auch bei Legierungssthlen bis 300 HB evtl. 340 HB) Guß-, Schrumpf- und Schraubkonstruktionen weitgehend verdrngt (s. G 8.4). Zahnradbauarten Bei d 1 000 . . . 1 500 mm: Dreischeibenrder). – bergang bei den kleineren Werten bei hoher Beanspruchung, dicker Bandage, senkrechter Welle, wenn hohe axiale Steifigkeit ntig (großes b), bei feinerer Verzahnungsqualitt (Steifigkeit beim Verzahnen)!

Bild 49. Kegelstirnradgetriebe (Lohmann & Stolterfoht, Witten). Nennleistung P=280 kW, Tauchschmierung 35 l l, Gewicht ohne l 495 kg, lstandskontrolle durch Peilstab, Stirnrder einsatzgehrtet und geschliffen, Kegelrder einsatzgehrtet und gelppt. 1 Sprengringe als Anschlag f
r Kupplungsnaben, 2 Wellenmutter, Sicherungsring und Scheibe, 3 Einpaßtiefe der Deckel bei Montage angepaßt, 4 lzuf
hrung aus Fangtasche, 5 NUP Lager in Gehusebohrung H 7, 6 Paßstifte, 7 Axiallager, 8 Radiallager, 9 Sprengring mit scharfkantiger Beilegscheibe, 10 Schrumpfsitz H 6/u6, 11 Abdichtung der Dekkel durch Dichtpaste

Allgemeine Gestaltungsregeln. Bild 50. Wenn hR den hier angegebenen Grenzwert unterschreitet, muß die Verzahnung in die Welle geschnitten werden. Bei aufgeschrumpften, d
nnen Zahnkrnzen Schrumpfspannung und Zahnfußbeanspruchung beachten [37]. – Stets pr
fen, ob Spannen zum Verzahnen und Verzahnungschleifen mglich. Voll- und Scheibenrder s. Bild 51, geschweißte Rder s. Bild 52. Angaben f
r Verzahnungen und Radkrpermaße in Zeichnungen s. DIN 3966 und DIN 7184.

I8.10 Gestaltung der Zahnradgetriebe

Bild 50 a–c. Radkrperabmessungen – allgemein

G 161

Bild 51 a, b. Abmessungen von gedrehten oder geschmiedeten und gedrehten Radkrpern. – V Vorstehende Nabe vermeiden (Bearbeitung der Planfl
che, Paketspannung). a Normalform (sofern keine Gewichtsbeschr
nkung) aus geschmiedetem Rundstahl; seitliche Ausdrehung wegen Bearbeitungskosten und fr eindeutige Auflage auf Planscheibe nur bei ðdJ
dN Þ=2 > 25 mm. Kostengnstig fr ungeh
rtete und geh
rtete Zahnr
der (geringes Zerspanvolumen, wenig H
rteverzug). hJ ^ 3 m; bA ¼ 0;5 þ 0;1 m; max. 2 mm. Querlcher (Anzahl: Bild 50): dM  0;55ðdN þ dJ Þ; dH  da =20 ^ 30 mm, Randabstand zwischen Lchern ^0;8dH ; dN s. Bild 50. b Leichtbau-Ausfhrung (z. B. Luft- und Raumfahrzeuge, – kleine Schwungmasse, nach Prototyperprobung): hH > 2rS ; dH ¼ ð0;1 . . . 0;2Þda ; Lochzahl s. Bild 50; hJ ¼ hR ^ 1 m (nach Bild 50 c); rS  t nach Bild 50 b; dN s. Bild 50; dM s. Bild 51 a. Ungeh
rtet, nitriert, einsatzgeh
rtet (sehr leicht): bS = 1,5 m + 0,1 b. Flamm- oder induktiv geh
rtet, einsatzgeh
rtet (weniger leicht): hJ  hR nach Bild 50 c; bS ¼ 2 mþ0,15 b. Gesenk- oder freiformgeschmiedet: Mantel-Linien K: 5 bis 10 konisch

8.10.4 Gestalten der Geh
use Embodiment design of gear cases Meist Gesamtgeh
use als tragende Konstruktion, Beispiele s. Bilder 49 und 37. Bei grßeren Getrieben mitunter steifer Unterkasten mit aufgesetzten Lageroberteilen. Oberkasten hat dann nur Schutzfunktion, gute Inspizierbarkeit [1].

Allgemeine Gestaltungsregeln Gegossene Geh
use bei mehr als 3 Stck vorzugsweise aus GG 20, Großgetriebe GG 18 (leicht vergießbar, Schwund und Verzug gering, leicht zerspanbar), GGG 40, GS 38.1 (schweißbar!) (hhere Festigkeit, schwierigere Verarbei-

Bild 52 a–c. Abmessungen geschweißter Radkrper. Stegbleche und Rippen meist aus St 37.1 oder 2, Nabe aus St 52.3. Ausbildung der Nahtstße nach Beanspruchung und Fertigungsmglichkeiten. hJ ¼ hR nach Bild 50 c; dH ; dM ; hH nach Bild 51 b; Anzahl der Lcher bzw. Rohre s. Bild 50. a Einscheibenrad: bS  0;12 da þ ð5 . . . 10 mm) je nach Schwere des Betriebs evtl. dicker, wenn genaue Herstellung (Spannen) erschwert. Ohne seitliche Rippen, wenn b < 10 . Mit seitlichen Rippen allgemein, wenn b > 10 ; Dicke der seitlichen Rippen =0;6bS ; bB  1;5bS ; rS ¼ 1;5bS (mindestens 10 mm). Anzahl der Rippen: bei 10 < b < 20 ¼ Anzahl der Lcher, bei b > 20 ¼ doppelte Anzahl der Lcher. b, c Zweischeibenr
der: bS  0;08da þ ð5 . . . 10 mm) je nach Schwere des Betriebs; bE  b=7; hR > 40 mm; dR ¼ ð0;12 . . . 0;20ÞðdJ
dN Þ; mindestens 50 mm; sR ¼ ð0;3 . . . 0;5ÞbS fr kleine . . . große Rohrdurchmesser. Versteifungsrippen zwischen den Rohren ca. 0;8bS dick; hV  2bS ; rS und Anzahl der Rippen nach a. Sonstige Maße und Anzahl der Versteifungsrohre s. Bild 50. E Entlftungsloch ca. [ 6 mm, nach Spannungsarmglhen zuschweißen oder mit Schraube verschließen. b Ausfhrung fr da < 2000 mm. hR > 40 mm. Form b1) bei vor- oder zurckstehender Nabe (gestrichelt). Dann Auflage zum Verzahnen auf Radkranz und Rohr. Sichere, (teure) Ausfhrung der Schweißnahtanschlsse fr hohe dynamische Beanspruchungen. (Auch bei Bauarten nach Bild 52 a und Bild 52 c sinnvoll.); c Ausfhrung fr da > 2 000 mm. Kleineres Rohr nahe Zahnkranz ðhZ  40 mm; so klein wie mglich) zum Durchlaß der Spannschraube; grßeres Rohr zum Durchlaß des Spannpilzes. – brige Maße wie b

G

G 162

Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe

tung). Bei Leichtmetallen h
here Wrmedehnung und geringere Steifigkeit beachten. Geschweißte Gehuse erm
glichen Gewichtsersparnis (Versteifung durch Rippen oder Profile); geeignet fr Einzelfertigung und Stoßbeanspruchung. Werkstoff meist St 37-1 oder 2 (hochbeansprucht: St 52-3). Ungeteilte Gehuse bei Kleingetrieben bevorzugt; Einbau durch seitliche ffnungen. Im brigen waagerechte Teilfuge in Wellenebene gnstig fr Abdichtung, Montage, Inspektion.

G

Lagerschrauben entsprechend statischer Zahnfußtragfhigkeit auslegen. Anziehen auf 70 bis 80% Re . – Mindestens 2 Paßstifte (d
0;8 Flanschschraubendurchmesser) im Teilfugen-Flansch vorsehen, bei gr
ßeren Getrieben weitere nahe den Lagern. – Schrauben im Getriebeinneren mit Draht sichern. – Im Oberflansch mind. zwei gegenberliegende Gewinde fr Abdr
ckschrauben vorsehen. Fußschrauben aus Absttzmoment des Getriebes berechnen. – Bei Stahlrahmenfundamenten Paßstifte und Einstellschrauben (mit Feingewinde) im Getriebefuß zweckmßig. Abstand zwischen Rdern und Gehusewnden groß genug, um Einklemmen von Bruchstcken und Hochpumpen des ls zu vermeiden. Abstand zwischen Rdern sowie zwischen Rdern und Gehusewnden seitlich und am Durchmesser nach Zahlenwertgleichung sA
2 þ 3 m þ B mit B ¼ 0;65ðut  25Þ ^ 0; ðut in m=sÞ zum Boden etwa 2 sA , sofern der lvorrat ausreicht. Bei Einspritzschmierung große Ablauf
ffnung wichtig: Durchmesser ca. ð3 . . . 4ÞsA :

Bei Tauchschmierung lablaßschraube (evtl. mit Magnetkerze s. unten) an der tiefsten Stelle. Neigung des Getriebebodens zur Ablaß
ffnung 5 bis 10%. Ausrichtfl
chen bei gr
ßeren Getrieben an den Schmalseiten des Unterflansches ca. 120 mm  40 mm vorstehend, bei Großgetrieben auch an den ußeren Lagerstellen. Mit Wasserwaage kann Tragbild reproduzierbar eingestellt werden. Bearbeitung der Flanschflchen Rz ¼ 25 m, Lagersitze und Lagerstirnflchen Rz ¼ 16 mm, Schaulochdeckel, Fußflchen Rz ¼ 100 mm. Schaulochdeckel soll Inspektion aller Zahneingriffe ber die ganze Zahnbreite und der Schmier
lversorgung gestatten. Bei Verliergefahr Klappdeckel und -schrauben vorsehen (z. B. bei Krangetrieben). Durchgangsbohrungen zum Gehuseinneren vermeiden (ldichtigkeit). Hebenasen, Ringschrauben o. . zum Abheben des Oberkastens und zum Heben des Getriebes (am Unterkasten) vorsehen. Entlftung zum Druckausgleich mit Filter (gegen Schmutz und Feuchtigkeit) an der h
chsten Stelle (Spritzrichtung beachten!). – Bei Tauchschmierung Schauglas oder Peilstab erforderlich. Der Peilstab kann mit Magnetkerze versehen werden (Verschleißkontrolle). Bei Einspritzschmierung Anschlsse fr berwachung von ldruck, Durchflußmenge, Temperatur [1]. Geh
useabmessungen werden durch die Formsteifigkeit (nicht die Festigkeit) bestimmt. Anhaltswerte siehe Tab. 25.

Tabelle 25. Anhaltswerte fr die Maße von Getriebegehusen (L = gr
ßte Gehuselnge in mm)

I9.1 Getriebesystematik

G 163

8.10.5 Lagerung. Bearings

Vierpunktlager (auch bei Umkehr der Axialkraft),

W
lzlager durchweg bevorzugt (s. G 4). Gleitlager nur bei Schnellaufgetrieben (etwa ut > 30 m=s), sehr großen Abmessungen oder besonderer Laufruhe (s. G 5). Lager m
glichst dicht neben den Zahnrdern (Mindestabstand s. G 8.10.4), jedoch Mindest-Lagerabstand 0;7d2 (Auswirkung von Achsabstandsabweichungen, Lagersteifigkeit, Kippmoment aus Axialkraft).

Pendelrollenlager bis Fa =Fr ¼ 0;55; hierbei beachten: Bei Fa =Fr > 0;1 . . . 0;25 zentrieren die Lager ein, darunter nicht; evtl. Schiefstellung bei Umkehr der Axialkraft und relativ großes Axialspiel beachten. Zweireihige Kegelrollenlager fr hohe Axialkrfte und Richtungswechsel geeignet, Bild 37.

Fliegende Lagerung vermeiden. Gegebenenfalls Lagerabstand ca. 2- bis 3mal berhang whlen, Wellendurchmesser > berhang. Bei Doppelschr
gverzahnung nur eine Welle axial festlegen, i. allg. die Radwelle (mit den gr
ßeren Massen; ber die oft gr
ßere Axialkrfte von außen eingeleitet werden). Bei kleinen Getrieben meist Rillen-Kugellager, Fest-Los-Lagerung wirtschaftlich, bei mittleren Gr
ßen Rillenkugellager als Festlager, Zylinderrollenlager als Loslager oder Kegelrollenlager in 0-Anordnung (sofern Lagerabstand nicht zu groß). – Bei Gerad- oder Schr
gstirnrdern mit Fa =Fr % 0;3 Zylinderrollenlager m
glich. – Hohe Axialkr
fte in getrennten Axiallagern aufnehmen:

Einstellbare Lagerung z. B. durch Exzenterbchsen bei Großund Schnellaufgetrieben zum Einstellen des Tragbildes angewendet. Lagerschmierung bei Seriengetrieben durch Spritz
l oder durch lfangtaschen, von denen aus l oder Bohrungen (d
0;01Lageraußendurchmesser, mindestens 3 mm) hinter die Lager geleitet wird. Bei Groß- und Schnellaufgetrieben meist Einspritzschmierung (ldsendurchmesser ^2;5 mm wegen Verstopfungsgefahr, entsprechend ca. 3 l/min); lrcklauf aus dem Raum hinter dem Lager durch Bohrung (d
0;03Lageraußendurchmesser, mindestens 10 mm oder mehrere Bohrungen) sicherstellen (in der H
he der unteren Wlzk
rper, dadurch lvorrat fr Anfahren).

9 Getriebetechnik Mechanism-engineering, kinematics H. Kerle, Braunschweig

9.1 Getriebesystematik. Systematics of mechanisms 9.1.1 Grundlagen. Fundamentals Getriebedefinition. Getriebe sind mechanische Systeme zum Wandeln oder bertragen von Bewegungen und Krften (Drehmomenten). Sie bestehen mindestens aus drei Gliedern, eines davon muß als Gestell festgelegt sein [R3]. Hinsichtlich Vollstndigkeit unterscheidet man zwischen der kinematischen Kette, dem Mechanismus und dem Getriebe. Der Mechanismus entsteht aus der Kette, wenn von dieser ein Glied als Gestell gewhlt wird. Das Getriebe entsteht aus dem Mechanismus, wenn dieser an einem oder mehreren Gliedern angetrieben wird. Getriebeaufbau. Strukturelle Untersuchungen hinsichtlich der Art, Anzahl und Anordnung der Glieder und der sie verbindenden Gelenke beginnen meist bei der kinematischen Kette. Es gibt offene und geschlossene sowie offene verzweigte und geschlossene verzweigte kinematische Ketten, Bild 1. Punkte auf Gliedern ebener Getriebe bewegen sich auf Bahnen in zueinander parallelen Ebenen; Punkte auf Gliedern (allgemein) r
umlicher Getriebe bewegen sich auf Raumkurven oder auf Bahnen in nicht zueinander parallelen Ebenen; sph
rische Getriebe sind spezielle rumliche Getriebe mit Punktbahnen auf konzentrischen Kugeln, Bild 2. Ein Elementenpaar aus zwei sich berhrenden Elementen(teilen) bestimmt das Gelenk. Ebene Getriebe brauchen zum Aufbau ebene Gelenke mit bis zu zwei Gelenkfreiheiten (Drehungen und Schiebungen), rumliche Getriebe dagegen neben ebenen Gelenken sehr oft zustzlich rumliche Gelenke mit bis zu fnf Gelenkfreiheiten, Bild 3. Beispielsweise ist das Dreh- und das Drehschubgelenk durch Welle und Bohrung, das Schubgelenk durch Voll- und Hohlprisma, das Schraubgelenk durch Schraube und Mutter, das Kugelgelenk durch Vollkugel und Kugelpfanne gekennzeichnet. Niedere Ele-

Bild 1 a–d. Kinematische Ketten. a offen; b geschlossen; c offen verzweigt; d geschlossen verzweigt

Bild 2 a–c. Getriebebeispiele. a eben; b allgemein rumlich (Wellenkupplung); c sphrisch. 1 Gestell

G

G 164

Mechanische Konstruktionselemente – 9 Getriebetechnik

mentenpaare oder Gleitgelenke ber
hren einander in Flchen (z. B. Welle und Bohrung), h
here in Linien (z. B. Kurvenscheibe und Rolle) oder in Punkten (z. B. Kugel auf Platte). Formschlssige Gelenke sichern die Ber
hrung der Elemente durch angepaßte Formgebung; bei kraftschlssigen Gelenken bedarf es einer oder mehrerer zustzlicher ußerer Krfte, um die Ber
hrung dauernd aufrechtzuerhalten.

Bei ebenen Getrieben mit zumeist Dreh- und Schubgelenken ist es sinnvoll, die Getriebeglieder mit der Zahl der Elemententeile in binre (n2 -), ternre (n3 -) und quaternre (n4 -) Glieder zu unterteilen (Bild 4), zumal zustzlich ein ebenes Kurvengelenk kinematisch durch ein binres Glied ersetzt werden kann (vgl. G 9.1.2). Getriebe-Laufgrad (Getriebe-Freiheitsgrad). Der Laufgrad oder Freiheitsgrad F eines Getriebes ist von der Zahl n der Glieder (einschließlich Gestell), der Zahl g der Gelenke mit dem jeweiligen Gelenkfreiheitsgrad f (= Anzahl der Gelenkfreiheiten) und dem Bewegungsgrad b abhngig: F ¼ bðn
1Þ


g X

ðb
fi Þ:

ð1Þ

i¼1

F
r allgemein rumliche Getriebe ist b=6, f
r sphrische und ebene Getriebe b=3 einzusetzen. Wenn obendrein einzelne Glieder bewegt werden knnen, ohne daß das ganze Getriebe bewegt werden muß (z. B. drehbar gelagerte Rolle auf Kurvenscheibe), ist F um diese identischen Freiheiten zu verringern. F
r ebene Getriebe, die nur Dreh- und Schubgelenke mit f=1 besitzen, gilt die Grblersche Laufbedingung

G

F ¼ 3ðn
1Þ
2 g:

ð2Þ

F=1 bedeutet Zwanglauf nach der Definition von Reuleaux, z. B. f
r das viergliedrige Getriebe (Bild 5 a) mit n=4 und g=4. F
r ein f
nfgliedriges Getriebe (Bild 5 b) mit n=5 und g=5 gilt F=2. Der Laufgrad eines Getriebes gibt an, wieviel Antriebe bzw. Antriebsimpulse ein Getriebe mindestens erhalten muß, um eine im voraus berechenbare Funktion zu erf
llen. Bei F=2 m
ssen an zwei Stellen unabhngig voneinander Bewegungen eingeleitet werden (z. B. Haupt- und Verstellantrieb), oder es sind zwei voneinander unabhngige Krfte bzw. Momente als Abtriebsimpulse wirksam (Differentialgetriebe oder selbsteinstellende Getriebe). F
r F>2 gelten entsprechend hhere Mindestvoraussetzungen. 9.1.2 Arten ebener Getriebe. Types of planar mechanisms

Bild 3. Gelenke und Gelenksymbole

Bild 4 a–f. Gliedersymbole f
r ebene Getriebe. a binres (n2 -)Glied mit zwei Drehgelenkelementen; b binres (n2 -)Glied mit zwei Schubgelenkelementen; c ternres (n3 -)Glied mit drei Drehgelenkelementen; d quaternres (n4 -)Glied mit vier Drehgelenkelementen; e quaternres (n4 -)Glied mit zwei Drehgelenk- und zwei Schubgelenkelementen; f Gestellglied

Viergliedrige Drehgelenkgetriebe. Ein viergliedriges Drehgelenkgetriebe ist umlauffhig, wenn die Grashof-Bedingung erf
llt ist: Die Summe aus den Lngen des k
rzesten und des lngsten Glieds muß kleiner sein als die Summe aus den Lngen der beiden anderen Glieder. Es kann nur ein „k
rzestes“ (lmin Þ, aber bis zu drei „lngste“ Glieder (Lngengleichheit) geben. Je nach Zuordnung von lmin zu den vier Lngen a, b, c, d (Bild 5 a) entsteht die Kurbelschwinge (lmin ¼ a; c), die Doppelkurbel (lmin ¼ d) oder die Doppelschwinge (lmin ¼ b). Die nicht umlauffhigen viergliedrigen Drehgelenkgetriebe werden als Totalschwingen bezeichnet. Smtliche RelativSchwingbewegungen erfolgen symmetrisch zum benachbarten Glied. Es gibt Innen- und Außenschwingen. Totalschwingen knnen nur ein „lngstes“, aber bis zu drei „k
rzeste“ Glieder enthalten [1]. Als dritte Gruppe gibt es die durchschlagfhigen Getriebe mit Lngengleichheit je zweier Gliederpaare, z. B. Parallelkurbelgetriebe [R9].

Bild 5 a, b. Ebene Drehgelenkgetriebe. a viergliedriges Getriebe (F=1); b f
nfgliedriges Getriebe (F=2)

I9.1 Getriebesystematik Viergliedrige Schubgelenkgetriebe. Beim Ersatz von Drehgelenken durch Schubgelenke entstehen Schubgelenk-Ketten und -Getriebe. Schleifenbewegungen entstehen, wenn das Schubgelenk zwei bewegte Glieder verbindet. Aus dem Gelenkviereck (kinematische Kette jedes viergliedrigen Getriebes) kommen drei Ketten zustande (Bild 6): Kette I mit einem Schubgelenk, Kette II mit zwei benachbarten und Kette III mit zwei Diagonal-Schubgelenken. Die drei Ketten f
hren durch kinematische Umkehrung (Elementenumkehrung und Gestellwechsel) zu sechs viergliedrigen Schubgelenkgetrieben. Jedes Schubgelenk verursacht – unbeeinflußt von den Getriebeabmessungen – Winkelgeschwindigkeits-Gleichheiten, z. B. bei der Kette I w12 ¼ w13 und w24 ¼ w34 . Allgemein gilt: wij ¼
wji ist die Winkelgeschwindigkeit des Glieds i gegen
ber dem Glied j. Schubgelenkgetriebe sind deshalb teilweise gleichmßig
bersetzende Getriebe (konstante bersetzungsverhltnisse). Mehrgliedrige Gelenkgetriebe. F
r jede Gruppe kinematischer Ketten gleicher Gliederzahl und gleichen Laufgrads gibt es eine eindeutig bestimmbare Zahl unterschiedlicher Ketten und Getriebe. Bild 7 zeigt sechsgliedrige zwanglufige Ketten (F=1) auf der Grundlage der Wattschen und Stephensonschen Kette (Varianten durch Gestellwechsel) mit zwei Anwendungsbeispielen. Bei Verwendung von Doppelgelen-

G 165

ken kommen noch f
nf unterschiedliche Ketten hinzu. Die Aufbaugleichungen (Bild 8) f
hren zu achtgliedrigen zwanglufigen Ketten mit zwei quaternren und sechs binren, mit einer quaternren, zwei ternren und f
nf binren sowie mit vier ternren und vier binren Gliedern. Wenn auch Mehrfachgelenke ber
cksichtigt werden, gibt es nach Hain 60 unterschiedliche achtgliedrige zwanglufige Ketten, aus denen durch kinematische Umkehrung insgesamt 330 Getriebe entstehen. Kurvengetriebe. Die Standard-Kurvengetriebe sind dreigliedrige Kurvengetriebe, bestehend aus Kurvenglied, Eingriffsglied (Stßel bzw. Schieber oder Schwinge) und Steg. Kurvenglied und Eingriffsglied ber
hren einander im Kurvengelenk (Ber
hrpunkt K) – in vielen Fllen verbessert dort ein zustzliches Abtastglied, z. B. eine drehbar im Eingriffsglied gelagerte Rolle mit einer identischen Freiheit, die Laufeigenschaften, ohne die Kinematik zu verndern – ; der Steg verbindet Kurvenglied und Eingriffsglied [R10]. Im Normalfall ist der Steg das Gestell 1, das Kurvenglied das Antriebsglied 2 und das Eingriffsglied das Abtriebsglied 3. Alle dreigliedrigen Kurvengetriebe lassen sich durch Gestellwechsel aus der dreigliedrigen Kurvengelenkkette mit Drehund Schubgelenken ableiten, die wiederum aus einer entsprechenden viergliedrigen Kette (Ersatzkette) hervorgeht

Bild 6 a–f. Viergliedrige Schubgelenkgetriebe. a Kurbelschleife; b Schubkurbel; c Doppelschieber; d Kreuzschubkurbel; e Doppelschleife (OldhamKupplung); f Schubschleife

Bild 7 a–e. Sechsgliedrige zwanglufige kinematische Ketten und Getriebebeispiele (I: Wattsche, II: Stephensonsche Kette)

G

G 166

Mechanische Konstruktionselemente – 9 Getriebetechnik

(Bild 9) [2]. In dieser Ersatzkette verbindet ein bin
res Glied die augenblicklich im Berhrpunkt K zugeordneten Krmmungsmittelpunkte von Kurvenglied und Eingriffsglied bzw. Abtastglied. Der in der Getriebetechnik bekannte „Dreipolsatz“ sagt aus, daß die Relativbewegungen dreier Glieder i, j, k (beliebige Gliednummern) zueinander durch die drei auf einer Geraden (Polgerade) liegenden Momentan(dreh)pole ij, ik und jk festgelegt werden (Doppel- und Mehrfachgelenke stellen in einem Punkt entartete Polgeradenstcke dar). Gerade bei Kurvengetrieben hat dieser Satz sowohl fr die Systematik (Ersatzgetriebe, Gleit- oder W
lzkurvengetriebe) als auch fr die Analyse (Geschwindigkeitsermittlung) als auch

fr die Synthese (Ermittlung der Hauptabmessungen) besondere Bedeutung. Allgemein entstehen aus jeder Kette mit Drehgelenken und mindestens vier Gliedern Kurvengelenkketten, wenn je ein bin
res Glied durch ein Kurvengelenk ersetzt wird. Ist das Verbindungsgelenk dieses bin
ren Glieds zum Nachbarglied ein Umlaufgelenk [3, 4], so wird die zugehrige Kurve als geschlossene Kurve voll umrollt, ist ein Schwinggelenk vorhanden, so kann nur eine teilberollte Kurve (Kulisse) mit Hinund Rckgang des Abtastglieds in dieser Kulisse vorgesehen werden. Die Austauschbarkeit zwischen Ketten bzw. Getrieben mit Dreh- und Kurvengelenken (Theorie der Ersatzgetrie-

G

Bild 8 a–p. Achtgliedrige zwangl
ufige kinematische Ketten und Getriebebeispiele

Bild 9 a–r. Systematik dreigliedriger Kurvengetriebe mit Dreh- und Schubgelenken

I9.2 Getriebeanalyse be) reicht bis zur Beschleunigungsstufe bei den kinematischen Berechnungsmethoden, vgl. G 9.2. Im allgemeinen stellt sich im (ebenen) Kurvengelenk Gleiten und W
lzen (= Rollen) der sich ber
hrenden Glieder entsprechend den beiden Gelenkfreiheiten ein; die meisten Kurvengetriebe sind deshalb Gleitkurvengetriebe. Im speziellen Fall der W
lzkurvengetriebe findet im Kurvengelenk reines Rollen statt, weil der Momentanpol 23 in einem dreigliedrigen Kurvengetriebe (Bild 9) mit dem Ber
hrpunkt K zusammenfllt. Zahnradgetriebe mit zwei kmmenden Kurvenflanken ordnen sich als Gleitkurvengetriebe hier problemlos ein.

9.2 Getriebeanalyse. Analysis of mechanisms 9.2.1 Kinematische Analyse ebener Getriebe Kinematic analysis of planar mechanisms
bertragungsfunktionen der viergliedrigen Getriebe. Lagenbeziehungen. Bei Gelenkgetrieben im allgemeinen und bei viergliedrigen Getrieben im besonderen besteht eine wichtige Aufgabe darin, bestimmte Relativlagen zweier Getriebeglieder zueinander festzulegen. Diese Zuordnung wird als „bertragungsfunktion nullter Ordnung“ bezeichnet. Bei der Schubkurbel mit der kinematischen Versetzung e ist die augenblickliche Lage des Gleitsteins c als Abtriebsglied der Lage der Kurbel a als Antriebsglied in Abhngigkeit vom Kurbelwinkel j zuzuordnen (Bild 10 a): qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð3Þ s ¼ a cos j þ b2
ða sin j
eÞ2 : F
r die Kurbelschleife (Bild 10 b) kennzeichnet die Lage y des Schleifenhebels c die Beziehung zur Lage der Kurbel a: y ¼ y
arcsinðe=mÞ:

ð4Þ

Beim viergliedrigen Drehgelenkgetriebe gilt in bereinstimmung mit Bild 10 c  2  m þ c2
b2 y ¼ y
K arccos : ð5Þ  2m c K=+1 f
r y>y bzw. K ¼
1 f
r ya+e) und die umlaufende (d< a + e) Kurbelschleife sowie das viergliedrige Drehgelenkgetriebe als Kurbelschwinge und als Doppelkurbel zur Verf
gung. Die schwingende Kurbelschleife und die Kurbelschwinge werden f
r hin und her gehende Bewegungen verwendet, die umlaufende Kurbelschleife und die Doppelkurbel dienen zur Erzeugung ungleichmßiger Umlaufbewegungen, z. B. als Vorschaltgetriebe [5, R9]. Schleifen-Iterationsmethode Die Struktur des zu untersuchenden Getriebes wird in die komplexe (Gaußsche) Zahlenebene gelegt, Bild 11. Die komplexe Zahl pffiffiffiffiffiffiffi z ¼ x þ iy ¼ r expðijÞ; i ¼
1; ð11Þ

G

beschreibt dann die Verbindungsgerade zweier Gelenkpunkte. Zunchst geht man von einer vorgegebenen Anfangslage des Antriebsglieds (der Antriebsglieder) – r ¼ ran f
r einen Antriebsschieber und j ¼ jan f
r eine Antriebskurbel – und dazu passend geschtzten Lagegrßen (Wege rj und/oder Winkel jj im Bogenmaß) der
brigen Glieder aus: ð12Þ r  ¼ r þ Dr ; j ¼ j þ Dj : j

j

j

j

j

j

Die Abweichungen Drj und/oder Djj dieser Schtzwerte von den exakten Werten r j bzw. jj werden als Unbekannte in einem linearen Gleichungssystem so lange iterativ berechnet, bis sie vom Betrage her einen vorzuschreibenden kleinen positiven Wert nicht mehr
berschreiten. Dann wird ran bzw. jan um ein Inkrement erhht, wobei die zuvor iterierte Lage des Getriebes als neue Schtzlage dient, usw. [6, 46]. Grundlage der Iterationsrechnung bilden die „Geschlossenheitsbedingungen“ der das Getriebe ersetzenden Polygone oder Schleifen aus den komplexen Zahlen zj : ek ¼

m m X X ðzj Þ ¼ ½rj expðijj Þ ¼ 0; k ¼ 1ð1Þp j¼1

ð13Þ

j¼1

(Summation
ber m Gelenkabstnde). Die Gl. (13) ist p-mal auszuwerten. Die Anzahl p der voneinander unabhngigen Schleifen errechnet sich unabhngig vom Laufgrad F eines Getriebes mit n Gliedern und g Gelenken zu [7] p ¼ g
ðn
1Þ:

ð14Þ

F
r das Getriebe in Bild 11 ergibt sich p ¼ 7
ð6
1Þ ¼ 2 und folglich jan ¼ j2 ¼ j2

ðAntriebsgleichungÞ; r2 expðij2 Þ þ r3 expðij3 Þ
r8 expðij8 Þ
ir1
r6 ¼ 0; r7 expðij7 Þ þ r5 expðij5 Þ
r4 expðij4 Þ
ir1
r6 ¼ 0:

Mit den konstanten Winkeln b2 und b4 gilt j7 ¼ j2 þ b2 bzw. j8 ¼ j4 þ b4 . Die Lngen rj sind bis auf r6 ebenfalls konstant und wie jan vorgegeben.

Mit den Geschlossenheitsbedingungen stehen 2p (Real- und Imaginrteil) transzendente Gleichungen f
r die Ermittlung ebenso vieler Lagegrßen des Getriebes zur Verf
gung. Eine Taylorreihen-Entwicklung f
r zj ¼ zj þ Dzj ;

ð15Þ

die nur die Reihenglieder 1. Ordnung ber
cksichtigt, f
hrt nach dem Einsetzen in die Gl. (13) auf die Iterationsvorschrift Dran bzw: Djan ¼ 0 ðAntriebsgleichungÞ m X ½expðijj ÞDrj þ irj expðijj ÞDjj  ¼
ek ; j¼1

ð16 aÞ

ð16 bÞ

k ¼ 1ð1Þp: Aus Real- und Imaginrteil der Gl. (16 b) und aus Gl. (16 a) entsteht auf diese Weise ein lineares Gleichungssystem K D e ¼ bL

ð17Þ

mit einer (2p+1) · (2p+1)-Koeffizientenmatrix K f
r die Komponenten des Korrekturvektors De, der die Abweichungen Drj und/oder Djj enthlt, j=1(1) m. Nach jedem Iterationsschritt erfolgt eine Verbesserung des (Start-)Vektors bL – bestehend aus den Real- und Imaginrteilen der komplexen Summen ek in Gl. (13) – entsprechend Gl. (12). F
r die exakt berechnete Lage des Getriebes verschwinden die ek (Kontrollmglichkeit und Abbruchkriterium). Der Wert der Determinante der Koeffizientenmatrix K ist fortwhrend zu beobachten. Wenn das Gleichungssystem (17) keine Lsung besitzt, ist entweder eine Geschlossenheitsbedingung verletzt oder eine Sonderstellung des Getriebes mit schlechten bertragungseigenschaften hinsichtlich der Bewegungen und Krfte erreicht. Ein Vorzeichenwechsel der Determinante weist auf einen Wechsel der Einbaulage hin. Zur Ermittlung der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen werden die Geschlossenheitsbedingungen – Gl. (13) – einbzw. zweimal nach der Zeit abgeleitet. Das f
hrt auf zwei weitere lineare Gleichungssysteme mit der bekannten Koeffizientenmatrix K, die jetzt nur einmal zu lsen sind K e_ ¼ bV

ð18Þ

bzw. K€e ¼ bA :

ð19Þ

Die Vektoren e_ und €e enthalten die Geschwindigkeiten r_ j €j ; und/oder j_ j bzw. Beschleunigungen €rj und/oder j j=1(1)m; der Vektor bV enthlt bis auf die Antriebsgeschwindigkeit r_ an bzw. j_ an lauter Nullen; im Vektor bA treten im wesentlichen Normal- und Coriolisbeschleunigungsterme auf. Modul-Methode

Bild 11. Sechsgliedriges Getriebe mit Verzweigung (F=1). 2 Antriebskurbel, 6 Abtriebsschieber

Diese Methode erweist sich als besonders anwenderfreundlich f
r Gelenkgetriebe, die sich aus „Zweischl
gen“ (zwei gelenkig verbundene binre Glieder) mit Dreh- und Schubgelenken zusammensetzen. Voraussetzung ist ferner, daß die Antriebsgrßen (Weg oder Drehwinkel, bezogen auf das Gestell) als Zeitfunktionen vorliegen. Die in Bild 12 skizzierte Struktur eines zwanglufigen achtgliedrigen Gelenkgetriebes (Doppelpresse) enthlt die einfacheren Kinematikbaugruppen (Module) „Antriebskurbel (ANK)“ A0 A0 , „Zweischlag mit drei Drehgelenken (DDD)“ A0 C 0 C0 ; C0 C0 C00 ; A0 A0 A00 und „Zweischlag mit Abtriebsschieber (DDA)“ C00 D; A00 B [8, 9, R23]. Die Ausgabegrßen A (Koordinaten x, y eines Gliedpunkts P und Winkel w eines Glieds mit zeitlichen Ableitungen) eines Moduls sind entweder variable Eingabegrßen EV f
r das nachfolgende Modul oder Endergebnisse. Konstante Eingabe-

I9.2 Getriebeanalyse gr
ßen EK stellen z. B. Gelenkpunktabstnde l, Kurbelradien r, statische Versetzungen u und Lagekennwerte K dar. Ein ternres Glied mit drei Drehgelenken (Glieder 2 und 6 in Bild 12) lßt sich formal auf einen Zweischlag DDD zurckfhren. Modul „Antriebskurbel (ANK)“. Berechnung der Koordinaten x, y in m mit zeitlichen Ableitungen x_ ; y_ in m/s und €x; €y in m/s2 des Gelenkpunkts P bei Vorgabe der Koordinaten x0 ; y0 in m des Gestellpunkts P0 , des Kurbelradius r in m, der Winkellage w in Grad oder rad, der Winkelgeschwindigkeit w_ € in rad/s2 , Bild 13 a. in rad/s und der Winkelbeschleunigung w

ð22 bÞ

Modul „Zweischlag mit drei Drehgelenken (DDD)“. Berechnung der Koordinaten x, y in m mit zeitlichen Ableitungen x_ ; y_ in m/s und €x; €y in m/s2 des Gelenkpunkts P bei Vorgabe der Koordinaten x1 ; y1 ; x2 ; y2 in m mit zeitlichen Ableitungen x_ 1 ; y_ 1 ; x_ 2 ; y_ 2 in m/s und €x1 ; €y1 ; €x2 ; €y2 in m/s2 , der Abstnde l1 ; l2 in m der Gelenkpunkte P1 ; P2 und des Lagekennwerts K (K=+1, falls die Reihenfolge der Punkte P1 P2 P mathematisch positiv orientiert ist, sonst K ¼ 1), Bild 13 b. Eingabe: l1 ; l2 ; K; P1 ½x1 ; y1 ; x_ 1 ; y_ 1 ; €x1 ; €y1
; P2 ½x2 ; y2 ; x_ 2 ; y_ 2 ; €x2 ; €y2


Eingabe: r; P0 ½x0 ; y0
; W½w; w_ ; w €
Ausgabe: P½x; y; x_ ; y_ ; €x; €y


Ausgabe: P½x; y; x_ ; y_ ; €x; €y


Rechengang: x ¼ x0 þ r cosðwÞ; y ¼ y0 þ r sinðwÞ;

ð20Þ

x_ ¼ ðy0  yÞw_ ; y_ ¼ ðx  x0 Þw_ ;

ð21Þ

€x ¼ ðy0  yÞ€ w þ ðx0  xÞw_ 2 ;

€y ¼ ðx  x0 Þ€ w þ ðy0  yÞw_ 2 :

G 169

ð22 aÞ

Rechengang:

G

H1 ¼ x2  x1 , H2 ¼ y2  y1 , H3 ¼ H12 þ H22 , qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi H4 ¼ l21  l22 þ H3 , H5 ¼ K 4H3 l21  H42 , H6 ¼ ðH1 H4  H2 H5 Þ=ð2H3 Þ, H7 ¼ ðH2 H4 þ H1 H5 Þ=ð2H3 Þ, x ¼ x1 þ H6 , y ¼ y1 þ H7 ,

ð23Þ

H8 ¼ x_ 2  x_ 1 , H9 ¼ y_ 2  y_ 1 , H10 ¼ H6  H1 , H11 ¼ H7  H2 , H12 ¼ H8 H10 þ H9 H11 , H13 ¼ H7 H10  H6 H11 , H14 ¼ H7 H12 =H13 , H15 ¼ H6 H12 =H13 , x_ ¼ x_ 1 þ H14 , y_ ¼ y_ 1 þ H15 , Bild 12. Aus einfachen Modulen zusammengesetztes achtgliedriges Getriebe (F=1). 2 Antriebskurbel, 4 und 8 Abtriebsschieber

ð24Þ

H16 ¼ €x2  €x1 , H17 ¼ €y2  €y1 , H18 ¼ ðH14  H8 ÞH7 þ H10 H15  ðH15  H9 ÞH6  H11 H14 , H19 ¼ ðH14  H8 ÞH8 þ H10 H16 þ ðH15  H9 ÞH9 þ H11 H17 , €x ¼ €x1 þ ðH12 H15 þ H7 H19  H14 H18 Þ=H13 ,

ð25 aÞ

€y ¼ €y1  ðH12 H14 þ H6 H19 þ H15 H18 Þ=H13 :

ð25 bÞ

Modul „Zweischlag mit Abtriebsschieber (DDA)“. Berechnung der Koordinaten x, y in m mit zeitlichen Ableitungen x_ ; y_ in m/s und €x; €y in m/s2 des Gelenkpunkts P bei Vorgabe der Koordinaten x1 ; y1 in m mit zeitlichen Ableitungen x_ 1 ; y_ 1 in m/s und €x1 ; €y1 in m/s2 , der Schubgeraden mit Richtung durch die Koordinaten x3 ; y3 und x4 ; y4 in m zweier Punkte P3 ; P4 , des Abstands l in m der Gelenkpunkte P1 ; P, der statischen Versetzung u in m (u>0, falls die Reihenfolge der Punkte P3 P4 P mathematisch positiv orientiert ist, sonst u0) eingefhrt wird. Mit einem Vorleitrad mit drehbaren Schaufeln lassen sich ber den Vordrall Druckverh
ltnis und Durchfluß des Verdichters regeln (s. R 1.7.5). 1.5.5 Radiale Repetierstufe eines Verdichters Radial repeating stage of multistage compressor

Schluckkenngr
ße. Sie wird haupts
chlich fr Turbinenstufen angewendet qffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð59Þ mT
cm2 = 2 jyj ¼ j2 = jyy j

Umfangsgeschwindigkeits-Zunahme. Hier sind die Umfangsgeschwindigkeiten nicht gleich. Bei zentrifugaler Durchstrmung (Bild 31 a) wird u1/u2 u00a ¼ u2 . F
r das spezifische Volumen gilt u2 > u1 . Querschnittsverlauf. Die Strmungsquerschnitte (Bild 35 a) w
rden bei gleicher Schaufelbreite b in Durchflußrichtung mit dem Radius D/2 abnehmen, also wre A2/A1=D2b2/ (D1b1). Damit der Massenstrom bei etwa gleicher Meridian-Komponente durch den Querschnitt 2 fließt, muß nach der Kontinuittsgleichung (Gl. (2)) b2>b1 sein, b2 =b1 ¼ u2 D1 cm1 =ðu1 D2 cm2 Þ:

ð68Þ

R 19

gen, so ist nach Gl. (53) yhTð2Þ =2 ¼ DhT =u22 ¼
cu1 u1 =u22 ; sie wird durch den Bezug auf das Quadrat der kleineren Umfangsgeschwindigkeit besonders groß. Oft wird f
r Radialstufen auch die grßere Umfangsgeschwindigkeit u1 als Bezugsgrße gewhlt; denn sie ist mit R
cksicht auf die Festigkeit des Rads begrenzt. Dann ist die Enthalpie-Kenngrße yhTð1Þ =2 ¼ DhT =u21 ¼
cu1 =u1 : Sie hat dann einen kleineren Wert als j
cu1 =u2 j, ist aber je nach Durchmesserverhltnis immer noch grßer als f
r eine Axialstufe. Die Meridiankomponente kann auf die Umfangsgeschwindigkeit am Austritt bezogen werden j2(2)  cm2/u2. Der Vergleich dieser Kenngrße mit der von Axialstufen ist aber schlecht, weil die Bezugsgeschwindigkeit u2 klein ist. Deswegen wird die Form vorgezogen j1(1)  cm1/u1. Ihre kleineren Werte lassen sich besser mit Axialstufen vergleichen, weil sich ungefhr gleiche Bezugsgeschwindigkeiten in beiden Stufenarten verwirklichen lassen.

1.5.9 Kenngr
ßen-Bereiche fr Turbinenstufen Performance parameter range of turbine stages F
r Turbinenstufen ist aus den analogen Gr
nden wie f
r Verdichterstufen (s. R 1.5.6) der Enthalpieabbau und damit der Arbeitsumsatz in Radialstufen grßer als in Axialstufen. Das auf die Umfangsgeschwindigkeit am Eintritt bezogene Durchfluß-Geschwindigkeits-Verhltnis f
r Radialstufen ist kleiner als das
bliche auf die Umfangsgeschwindigkeit am Austritt bezogene Durchfluß-Geschwindigkeits-Verhltnis f
r Axialstufen (s. R 1.5.8). Die f
r verschiedene Radial- und Axialturbinenstufen
blichen Anwendungsbereiche s. Bild 36. Gegen
ber den Verdichterstufen (Bild 32) werden bei ungefhr gleichen Durchfluß-Geschwindigkeits-Verhltnissen in Turbinenstufen doppelt so große Enthalpie-Kenngrßen erreicht, da sich eine beschleunigte Strmung bei gutem Wirkungsgrad strker umlenken lßt als eine verzgerte. In Bild 36 sind auch die Bereiche f
r die
blichen Wasserturbinenbauarten angegeben: einstrahlig beaufschlagte Pelton-, Francis- und Kaplanturbine.

Die Radbreite am Eintritt b1 muß also klein gewhlt werden.

R

Bezugsgr
ße fr Enthalpie- und Durchfluß-Kenngr
ße. Mit u1/u2>1 ist bei etwa gleichem relativem Eintrittswinkel (Bild 35 b) in das Laufgitter b1 die absolute Eintrittsgeschwindigkeit strker zur Umfangsgeschwindigkeit geneigt als bei der Axialstufe; deshalb ist die Umfangs-Komponente cu1/u2 grßer. Wird die Enthalpie-Kenngrße wieder auf die Umfangsgeschwindigkeit am Austritt aus dem Laufrad bezo-

Bild 35 a, b. Radiale Repetierstufe einer Turbine. a Meridianschnitt; b normierte Geschwindigkeitsdreiecke

Bild 36. Bereiche der Enthalpie (y h)- und Durchfluß (j)-Kenngrßen f
r Radial- und Axialturbinenstufen

R 20

Strmungsmaschinen – 1 Gemeinsame Grundlagen

1.6 Maschine. Overall machine design

1.6.2 Maschinenkenngrßen Overall machine performance parameters

1.6.1 Beschaufelung, Ein- und Austrittsgeh
use Blading, inlet and exhaust casing Beschaufelung. Ihr muß das Arbeitsfluid vom einen Maschinenflansch in einem Eintrittsgeh
use zugefhrt werden, z. B. Bild 6. Dahinter fließt es im Austrittsgeh
use zum anderen Maschinenflansch, wobei noch mglichst viel kinetische Energie in Druck umgesetzt wird. Ein- und Austrittsgeh
use. Hier wird keine Arbeit zu- oder abgefhrt; der W
rmeaustausch mit der Umgebung ist vernachl
ssigbar, wenn entweder die Temperaturdifferenzen klein, oder die Geh
use ausreichend isoliert sind. Nach dem Energieerhaltungssatz (Gl. (12)) bleibt die Totalenthalpie beim Durchstrmen der Geh
use gleich; jedoch
ndern sich die Enthalpien und alle anderen Zustandsgrßen: ha
he ¼
ðc2a
c2e Þ=2
gðza
ze Þ: In Eintrittsgeh
usen sinkt die Enthalpie bei zunehmender und steigt in Austrittsgeh
usen bei abnehmender kinetischer Energie. In der gesamten Enthalpie
nderung der Maschine sind die Geh
use durch DhE und DhA (mit E fr EinX und A fr Austrittsgeh
use) und die Stufen durch Dhi (mit i ¼ I; II . . .Þ zu bercksichtigen (Bild 37) X X X DhM ¼ Dhi þ DhE þ DhA ¼ Dhi þ DhG : ð69Þ Die Dissipation in den Geh
usen (Index G) folgt aus Gl. (16) bei Vernachl
ssigung der nderung der potentiellen Energien g DzG ¼ 0
2  c c2 jG ¼ DhG
yG ¼
a
e
yG : 2 2 Bei kleinen Dichte
nderungen gilt yG ffi ðpa
pe Þ=
r: c2a =2 ffi ðpat
pa Þ=
r und c2e =2 ffi ðpet
pe Þ=
r (mit t fr den Totalzustand). Dann folgt pat
pet DptG 1 1 DptG ¼
, DsG ffi  jG ¼

r
r T T
r und DpG ¼
r  DhG þ DptG :

jG ffi


R

ð70Þ

Entsprechend gilt dann auch X X X X Dsi þ DsG , DpM ¼ Dpi þ DpG und DsM ¼ X X yi þ yG ffi yM , ð71Þ ySM ¼ wobei durch ySM angedeutet wird (s. R 1.5.1), daß als Integrationsweg die Aneinanderreihung der einzelnen Zustands
nderungen gew
hlt wurde. Dieser Weg kann n
herungsweise als yM fr eine Polytrope durch Ein- und Austrittszustand ersetzt werden.

Sie sind analog zu den Stufen-Kenngrßen definiert, aber auf andere Durchfluß- und Umfangs-Geschwindigkeiten bezogen, um dafr nur ein L
ngenmaß und ein Maß fr die Drehbewegung zu verwenden. Da sich strenggenommen alle Kenngrßen nur auf geometrisch
hnliche Maschinen bertragen lassen, gengen die beiden Bezugsgrßen, wenn sie nur in gleicher Art fr die ganze Familie verwendet werden. Bezugsgrßen. Fr die L
nge ist es der grßte Durchmesser DB des Rotors (des Laufgitters), fr die Drehbewegung die Umfangsgeschwindigkeit uB ¼ p n DB :

ð72Þ

Fr die fiktive Durchfluß-Geschwindigkeit wird der Volumenstrom V_ ¼ m_ =r auf den gesamten Querschnitt p D2B =4 bezogen: cD  4V_ =ðp D2B Þ:

ð73Þ

Enthalpie-Kenngrße. Mit der Enthalpiedifferenz fr die Maschine DhM (Gl. (69)) und der Umfangsgeschwindigkeit (Gl. (72)) ergibt sich yhM 

DhM 2DhM : ¼ u2B =2 p2 n2 D2B

ð74Þ

Druck-Kenngrße. Die Strmungsarbeit yM (Gl. (71)) wird ebenso bezogen yM 2yM yyM  2 ¼ 2 2 2 : ð75Þ uB =2 p n DB Wirkungsgrad. Fr einen Verdichter bzw. eine Turbine gilt: hMV ¼ yM =DhM ¼ yyM =yhM , hMT ¼ DhM =yM ¼ yhM =yyM :

ð76Þ

Durchfluß-Kenngrße. Sie ist das Verh
ltnis der fiktiven Durchflußgeschwindigkeit (Gl. (73)) zur Umfangsgeschwindigkeit (Gl. (72)) jM 

cD 4V_ ¼ : uB p2 n D3B

ð77Þ

Schluck-Kenngrße jM 4V_ ffi¼ pffiffiffiffiffiffiffiffi : mM  qffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2y p D M B yyM

ð78Þ

Momenten-Kenngrße tM 

yhM 1 DhM DB DhM m_ p DB p DB ¼ ¼   2 ¼M 2 : jM 2 w nV_ rV_ rV_

ð79Þ

Reibungseinfluß. Die neben Turbulenzgrad und Oberfl
chenbeschaffenheit maßgebende Reynoldszahl wird mit der Umfangsgeschwindigkeit (Gl. (72)) definiert ReM ¼ uB DB r=m:

ð80Þ

Kompressibilit
tseinfluß. Die Machzahl wird ebenfalls mit der Umfangsgeschwindigkeit (Gl. (72)) gebildet MaM ¼ uB =cs :

ð81Þ

Sie und die Eigenschaften des Fluids sind die Einflußgrßen der Kompressibilit
t (s. R 1.4.6). hnlichkeitsbedingungen. Analog zu den Kenngrßen fr Gitter (Gl. (40)) gilt auch fr die Maschinenkenngrßen oenverh:Þ: yhM ¼ yhM ðjM , ReM , Tu, MaM , k, a, b, geom: Gr€ Bild 37 a, b. Zustands
nderung in der Maschine. a Zweistufiger Verdichter; b zweistufige Turbine

Von den gleichen Kenngrßen h
ngen auch yyM, hM, mM und tM ab.

I1.6 Maschine 1.6.3 Wahl der Bauweise. Selection of machine type Mit den verschiedenen Maschinenbauarten lassen sich jeweils nur bestimmte Bereiche der Kenngr
ßen erreichen. Zur Auswahl der zweckmßigen Bauart werden die Kenngr
ßen folgendermaßen umgeformt. In den Kenngr
ßen yyM (Gl. (75)) und jM (Gl. (77)) kommen jeweils beide noch unbekannten Gr
ßen DB und n vor, die die Maschine charakterisieren, whrend nur jeweils eine der beiden Gr
ßen yM und V_ enthalten ist, die durch die Aufgabe vorgegeben sind. Zur Wahl der Bauweise wre es einfacher, je eine Kenngr
ße fr die beiden Unbekannten n und DB zu haben, wobei in jeder die durch die Aufgabe gegebenen Gr
ßen yM und V_ vorkommen k
nnen. Deswegen werden die beiden Kenngr
ßen yyM und jM durch zwei aus ihnen zweckmßig gebildeten Potenzprodukten ersetzt. Spezifische Drehzahl. Die Forderung, es solle nur n, nicht aber DB vorkommen, wrde mit den Gln. (75) und (77) das Potenzprodukt jM/|yyM|3/2 erfllen; soll die Drehzahl in der ersten Potenz enthalten sein, so ist aus diesem Verhltnis die Wurzel zu ziehen:

sM


pffiffiffiffi n V_ ¼ ð2 p2 Þ1=4 : jyyM j3=4 jyM j3=4 jjM j1=2

R 21

ð82Þ

Spezifischer Durchmesser. Das Potenzprodukt yyM/j2M gemß den Gln. (75) und (77) enthlt die Drehzahl nicht; daraus ist die vierte Wurzel zu ziehen, um den Bezugsdurchmesser DB in der ersten Potenz stehen zu lassen   jyyM j1=4 DB jyM j1=4 p2 1=4 dM
¼ pffiffiffiffi : ð83Þ 1=2 8 jjM j V_ Cordier-Diagramm. Fr einstufige Verdichter und Turbinen lassen sich sM und dM eindeutig einander zuordnen (Bild 38); dazu drfen nur Maschinen mit den unter den jeweiligen Verhltnissen besten aus Rechnung oder Messung erreichbaren Wirkungsgraden herangezogen werden, Optimalpunkte in den Bildern 32 und 36. Ist neben dem Volumenstrom V_ und der Str
mungsarbeit y eine der beiden Gr
ßen n oder DB vorgegeben, so lßt sich eine der beiden Kenngr
ßen berechnen, die andere folgt aus Bild 38 und damit die andere Auslegungsgr
ße [53].

R

Bild 38. Durchmesser-Kenngr
ße dM in Funktion der spezifischen Drehzahl sM fr einstufige Turbomaschinen (Cordier-Diagramm)

R 22

Strmungsmaschinen – 1 Gemeinsame Grundlagen

Zus
tzlich sind Netze mit Linien konstanter Druck- yyM und Durchfluß-Kenngrße jM eingetragen. Außerdem sind den einzelnen Bereichen von sM oder dM bestimmte Bauweisen (axial, diagonal, radial) zugeordnet, mit denen ein guter Wirkungsgrad zu erzielen ist. Mehrstufige Maschinen. Hier sind keine so einfachen Zusammenh
nge zu finden, da hier die Stufenzahl als zus
tzlicher Parameter hinzutritt; durch Hintereinanderreihung mehrerer Stufen lassen sich die fr die Stufen und die Geh
use aufsummierten Strmungsarbeiten fr alle Bauweisen in einem weiten Bereich
ndern. Nur bei Umrechnung vielstufiger Maschinen in einstufige lassen sich diese in den gleichen Zusammenhang einordnen. Hierbei spielen die Zustands
nderungen in den Geh
usen bei Maschinen mit sehr vielen Stufen nur eine untergeordnete Rolle.

1.7 Betriebsverhalten und Regelm
glichkeiten Operational behaviour and control 1.7.1 Maschinencharakteristiken Machine performance characteristics Turbomaschinen knnen nicht immer unter den Auslegungsbedingungen betrieben werden, Eintrittszustand und Austrittsdruck stellen sich nach dem Gleichgewicht zwischen Maschine und Anlage ein. Dies wird durch Eingriffe sowohl in die Anlage, wie auch in die Maschine beeinflußt. Solche Eingriffe knnen auf der Anlagenseite z. B. durch unterschiedliche Entnahme aus Wasser- oder Luftspeicherbeh
ltern, durch ffnen oder Schließen von Drossel- oder Beipaßventilen, durch Verstellen der Feuerung von Dampfkesseln oder von Gasturbinenbrennkammern geschehen; Beispiele fr Eingriffe an der Maschine sind: ndern der Drehzahl, Verstellen der Schaufeln (s. R 1.7.3–R 1.7.6). Maschine und Anlage ben also eine gegenseitige Wechselwirkung aufeinander aus, die fr den Betriebspunkt maßgebend ist.

R

Dimensionslose Charakteristiken. Sie geben die Eigenschaften bei allen mglichen Betriebspunkten der Maschine an, Bild 39. blicherweise werden sie als Verknpfungen zwischen yhM und jM oder pM und jM bei bestimmten Werten von MaM und ReM und fr ein bestimmtes Fluid angegeben (s. R 1.6.2). Ein auf ihnen gelegener Punkt enth
lt zwar alle dazu
hnlichen Betriebspunkte, von Punkt zu Punkt verzerren sich jedoch die Geschwindigkeitsdreiecke, und damit
ndern sich die Kenngrßen und ihre Beziehungen zueinander.

Gr
ßere Verz
gerung bedeutet gr
ßere Enthalpiezunahme, h
here Dichtesteigerung und deshalb Geschwindigkeitsabnahme, die sich in den folgenden Gittern in zunehmendem Maß bemerkbar machen. Dadurch verschieben sich auch die Betriebspunkte zunehmend von Gitter zu Gitter auf ihren Charakteristiken (Bild 21), und grßere Verluste entstehen. Fr die Maschine hat die Volumenfluß- bzw. jM-Abnahme eine y hM-Steigerung und einen Wirkungsgradabfall zum Ergebnis. Die Maschinencharakteristiken mssen deshalb von Gitter zu Gitter gerechnet oder an Modell- bzw. ausgefhrten Maschinen gemessen werden. Trotzdem lassen sich unter vereinfachenden Annahmen fr die Maschinencharakteristiken einige grunds
tzliche Tendenzen angeben.

Stufe. Fr einen Verdichter bzw. eine Turbine folgt aus den Gln. (52) bzw. (53) mit cu2=wu2+u2, wu2¼ cot b2 wm2, cu1¼ cot a1 cm1 die Enthalpie-Kenngrße:    u1 j1 Dðc2 Þ yh ¼ 2 1 þ j2 cot b2
cot a1 ð84Þ
2 : u2 j2 u2 Bei einer nicht zu großen Verschiebung des Betriebspunkts sind b2, a 1, j1/j2=cm1/cm2 und u1/u2 nahezu konstant und Dc2 ffi 0: Damit folgt aus Gl. (84) yh=2+j2K. Die negative Konstante K ist klein fr Turbinen und groß fr Verdichterstufen. In einer radialen Verdichterstufe ist bei a1 ¼ 90
und b2 ¼ 90
, d. h. bei rein radialer Abstrmung K=0 und yh=2. Maschine. Fr eine vielstufige Maschine ergibt sich eine
hnM Þ-Charakteristik (Bild 39), wenn in j M das liche ðyhM ; j zwischen Eintritt und Austritt gemittelte Frdervolumen eingesetzt wird. Der Wirkungsgrad hM f
llt i. allg. bei Abweichung vom Auslegungspunkt (mit dem besten Wirkungsgrad) und damit anderen Anstrmrichtungen zu den Gittern.  M ¼ f ðyhM Þ und von hM=f(yhM) ist Mit dem Verlauf von j  M ¼ f ðyyM Þ gegeben. auch der Verlauf von j Die gemessenen Charakteristiken eines zwlfstufigen Axialverdichters (Bild 40) best
tigen das unter vereinfachenden Annahmen bestimmte Verhalten. Anfahren. Das hierbei wichtige Drehmomentenverhalten wird durch die Momenten-Kenngrße tM nach Gl. (79) und durch das Drehzahl-Durchflußverh
ltnis 1= jM , den Kehrwert  M nach Gl. (77) dargestellt. der Durchfluß-Kenngrße j Unter den vereinfachenden Annahmen (Bild 41) gilt tM ¼

2
K: M j

ð85Þ

Das Steigungsmaß der Drehmomenten-Charakteristik ist ¼ tan a

Dð1= jM Þ 1 ¼ : Dt 2

Beispiel: Ein vielstufiger Verdichter muß einen kleineren Volumenfluß frdern als bei der Auslegung vorgesehen. Im ersten Laufgitter (Bild 30 b) hat die kleinere Geschwindigkeit c1 bei gleicher Umfangsgeschwindigkeit also auch kleinerem Verh
ltnis c1/u einen grßeren Zustrmwinkel b1 mit grßerem Umlenkungswinkel Db und Verzgerungs-Verh
ltnis zur Folge.

Bild 39. Maschinencharakteristiken (idealisiert) (fr bestimmte Werte von Reu, Mau, k, a, b). Verdichter y hM 100 m eignen sich zur Messung des Wirkungsgrads nach dem thermodynamischen Verfahren [1]. Wegen der relativ niedrigen Umfangsgeschwindigkeiten und Temperaturen sind die Zentrifugalbeanspruchungen leichter zu beherrschen als bei thermischen Strmungsmaschinen. Statt dessen besteht die Gefahr sch
dlicher Kavitation. Im Normalfall sind schalltechnische Fragen unbedeutend fr die Auslegung. Natrliche Wasserkr
fte. Sie sind in Europa nicht mehr wesentlich ausbauf
hig; die meisten Reserven befinden sich heute in Asien, Afrika und Sdamerika [1, 12]. In den Industriel
ndern kommt den Wasserturbinen beim Bau großer Pumpspeicherkraftwerke als Regel- und Spitzenkraftwerke in Erg
nzung zu den dominierenden thermischen Kraftwerken weiterhin große Bedeutung zu. Arbeitsweise. Wasserturbinen werden eingeteilt in: Gleichdruckturbinen (Bild 2 a, b). Die statischen Drcke sind am Laufradein- und -austritt gleich groß (daher Teilbeaufschlagung mglich);
berdruckturbinen (Bild 2 c–e). Der statische Druck ist am Eintritt in das Laufrad grßer als am Austritt. Daher sind nur vollbeaufschlagte Laufr
der mglich. Einsatzbereich (Bild 3). Der Leistungsbereich betr
gt i. d. R. 1 kW bis 1 000 MW; Wasserturbinen sind energiesparend

Bild 1 a–d. Wasserkraftwerke. a Niederdruckanlage im Seitenkanal im Francisturbine; b Niederdruckanlage im Fluß mit Kaplanturbine; c Hochdruckanlage an einer Talsperre mit Francisturbine; d Hochdruckanlage im Gebirge mit Peltonturbine. OW Oberwasser, UW Unterwasser, WS Wasserschloß

I2.2 Gleichdruckturbinen

R 31

flche, bessere Anpassung an schwankende Wasserstnde im UW) sein. Die Fallhhen betragen 2 bis 2 000 m, die Laufraddurchmesser 0,3 bis 11 m und mehr [1–5, 12]. Die wichtigsten Begriffe, Zeichen und Einheiten aus der Wasserturbinentechnik sind in [3, 10–12] festgelegt. 2.1.2 Wasserkraftwerke. Hydroelectric power plants Je nach der verf
gbaren statischen Fallhhe Hstat lassen sich Wasserkraftwerke in Mittel- bis Hochdruckkraftwerke (^ 50 m) und Niederdruckkraftwerke (< 50 m) einteilen. Hauptteile. Ein Wasserkraftwerk besteht in der Regel aus folgenden Hauptteilen (Bild 1): – Speicheranlage OW (See, Staustufe, Seitenkanal) – Entnahmeanlage (Rechen, berlauf, Sch
tze) – Leitung (bei lngeren Leitungen Druckstoßsicherung in Form eines offenen Wasserschlosses WS zur Aufnahme von Wassersulenschwingungen bis 20 m Hhe erforderlich, Druckleitung auf Gefllstrecke dennoch auf Festigkeit bei schnellen Regelvorgngen nachzurechnen) – Wasserturbine (Maschinenhaus) – R
ckgabeanlage UW (bei Niederdruckanlagen Fallhhenverlust durch Hochwasser mglich). Bild 2 a–e. Zur Arbeitsweise der Wasserturbinen. a Pelton-, b Ossberger-, c Francis-, d De´riaz- und e Kaplanturbine

Sonderformen. Verschiedene Wasserkraftwerke bentigen kein besonderes Maschinenhaus (Freiluftaufstellung); Wasserturbine und Druckleitungen werden sehr hufig in Felsen eingebaut (Kavernenkraftwerk), Zusammenfassung von Turbinen und Pumpen im gemeinsamen Maschinenhaus bei Pumpspeicheranlagen. Zusammenfassende Literatur in [1–2, 12]. 2.1.3 Wirtschaftliches. Economics Bei kleineren Wasserkraftwerken ( NPSHR: Die Gefahr, durch Kavitation Schden im Dauerbetrieb zu erleiden, ist offensichtlich um so geringer, je gr
ßer NPSHA gegenber NPSHR ist, so daß der Differenz NPSHA  NPSHR die Bedeutung einer Sicherheit gegenber Kavitation zukommt. 3.3.2 Kennlinien. Characteristic curves Die Kennlinien einer Kreiselpumpe sind Darstellungen folgender Gr
ßen in Abhngigkeit vom F
rderstrom V_ : F
rderh
he H oder spezifische F
rderarbeit Y=gH, Leistungsbedarf P, Pumpenwirkungsgrad h ¼ rV_ Y=P mit r Dichte des Fluids unter den Bedingungen am Saugstutzen, NPSHR-Wert und u. U. auch akustische und mechanische Schwingungsgr
ßen, u. a. Voraussetzungen fr die einzelne Kennlinie sind die Konstanz der Pumpendrehzahl n, der Pumpengeometrie (z. B. Schaufelwinkel) und der physikalischen Beschaffenheit des Fluids. Mit dem maximalen Wirkungsgrad hmax ist der Bestpunkt Hopt, Popt, NPSHRopt ber V_ opt bestimmt; der Nennbetriebspunkt sollte i. allg. m
glichst nah bei dem Bestpunkt liegen. Verlauf. In Bild 6 sind, bezogen auf die Bestwerte, die Kennlinien fr drei unterschiedliche Bauarten einstufiger Kreiselpumpen qualitativ dargestellt, in Bild 7 findet sich eine quantitative Darstellung.

R

Drosselkurven (F
rderh
henkurven). Die Steigung ist vorwiegend negativ; Kurvenstcke mit positiven Steigungen heißen nichtstabil wegen u. U. nicht eindeutig definierter Betriebspunkte. Die Nullf
rderh
he ðV_ ¼ 0Þ liegt, bezogen auf Hopt, um so h
her, je gr
ßer nq ist. Drosselkurven axialer und halbaxialer Kreiselpumpen zeigen – je h
her nq, um so ausgeprgter – einen Sattel im Teillastgebiet V_ =V_ opt < 1. Leistungskurven. Axialpumpen nehmen bei V_ ¼ 0 maximale, Radialpumpen dagegen minimale Leistung auf. Daher sind – um berlastung des Antriebs zu vermeiden – Axialpumpen bei ge
ffnetem und Radialpumpen bei geschlossenem Absperrorgan anzufahren. Wirkungsgradkurven. In Richtung Teillast und berlast fllt der Wirkungsgrad um so mehr, je h
her nq ist. Diesem Nachteil kann durch die gnstigeren Regelm
glichkeiten aufgrund von Schaufelverstellung begegnet werden. NPSH-Kurven. Der Verlauf wird von der Radialpumpe zur Axialpumpe ungnstiger (vgl. dazu die winkelabhngigen Unterdruckspitzen von Tragflgeln). In Richtung Teillast werden die meisten Kreiselpumpen zunchst unempfindlicher gegen Kavitation (um so mehr eingeschrnkt, je gr
ßer nq). Betriebspunkt. Er ist der Schnittpunkt zwischen Drosselkurve HðV_ Þ und Anlagenkennlinie (Rohrleitungskennlinie) HA ðV_ Þ fr die F
rderh
he H der Pumpe und F
rderh
he HA der Anlage (Bilder 8 und 9):

Bild 6. Einfluß der spezifischen Drehzahl nq auf die Kennlinien der Pumpen (ohne Viskosittseinflsse). a axial nq  200 min1 , h halbaxial n q  80 min1 , r radial nq  25 min1 [4]

p2  p1 u22  u21 þ , rg 2g 2 pII  pI uII  u2I HA ¼ zII  zI þ þ þ HJ:I,1 þ HJ:II,2 : rg 2g

H ¼ z2  z1 þ

ð5Þ ð6Þ

Whrend in Gl. (5) fr H nur pumpenspezifische Gr
ßen enthalten sind (Leistungsangebot), so gibt Gl. (6) fr HA den anlagenbedingten Leistungsbedarf wieder, um den F
rderstrom V_ zwischen dem Eintrittsquerschnitt AI und Austrittsquerschnitt AII aufrechtzuerhalten. Im Beharrungszustand der F
rderung, d. h. im Betriebspunkt, ist H=HA, Bilder 9 und 10. In der Regel kann nicht jeder Punkt der Drosselkurve ein Dauerbetriebspunkt sein. Meist ist der F
rderstrom nach oben durch nicht mehr ausreichenden NPSH-Wert der Anlage NPSHA, nach unten durch unzulssig starke wirbelerregte Schwingungen (Teillastwirbel), insbesondere bei Drosselkurven mit Sattel, begrenzt. 3.3.3 Anpassung der Kreiselpumpe an den Leistungsbedarf Matching of pump and system characteristics Die Anpassung an den Leistungsbedarf P ¼ r gV_ H=h kann durch nderung der Anlagenkennlinie oder der Drosselkurve geschehen. Anlagenkennlinie Drosselung. Da HA ðV_ Þ nur durch Vergr
ßern der Str
mungsverluste beeinflußt wird, ist sie hinsichtlich der Betriebskosten unwirtschaftlich; dagegen sind die Investitionskosten fr

I3.3 Betriebsverhalten

R 41

Bild 8. Schema einer Kreiselpumpe und Anlage [12]. BN Bezugsniveau, SS Saugspiegel, DS Druckspiegel, Pu Pumpe, S saugseitige Anlage, D druckseitige Anlage, Sy System. AI ; AII Eintritts-, Austrittsquerschnitte der Anlage; A1 ; A2 Eintritts-, Austrittsquerschnitte (Saug-, Druckstutzenquerschnitte) der Kreiselpumpe; z Hhenkoten zum Bezugsniveau BN; p berdruck (p>0) oder Unterdruck (p ns
bersynchron

R

R 54

Strmungsmaschinen – 5 Fttinger-Getriebe

Bild 9. Stellkupplung mit Schpfrohr (Voith Turbo). 1 Pumpenrad, 2 Turbinenrad, 3 Schale, 4 Schpfrohrgehuse, 5 lbehlter, 6 Betriebsmittelpumpe, 7 Schpfrohr, 8 Wrmeaustauscher, a Schpfrohrabstand vom Boden

typischen parabolischen Momentenverlufe. Der Betriebspunkt ist durch den Schnittpunkt von Bremskennlinie und F
llungsgradkennlinie f = konstant gegeben, wobei die Bremskennlinie durch eine F
llungssteuerung aufgeprgt wird [5].

R

Bild 10. Kennlinien einer Stellkupplung. F
llungsgrad f ist proportional zum Schpfrohrhubverhltnis a/amax (s. Bild 9). Stabile Schnittpunkte zwischen Betriebskennlinie und Kupplungskennlinie erlauben Drehzahlstellungsgenauigkeiten bis  0,1 %

Bild 11. Hydrodynamische Bremse (Voith Turbo). 1 Rotor, 2 Stator, 3 Retardergehuse, 4 lbehlter, 5 Ritzelwelle, 6 Antriebsrad, 7 Wrme
bertrager, 8 K
hlwasseranschl
sse

ist als Zahnradpumpe ausgef
hrt, die
ber einen Nebenantrieb von der Welle des Pumpenrades (1) angetrieben wird. Die Wellen sind wlzgelagert und mit Druckl geschmiert. Die zugehrigen Kennlinien sind im Bild 10 dargestellt [7].

5.4 Bremsen. Retarders Bild 11 zeigt eine hydrodynamische Bremse (Retarder) f
r den Einsatz in Omnibussen und Lastkraftwagen. In der Regel
bernehmen die Retarder ca. 90 % aller Bremsvorgnge. Der angetriebene Rotor (Pumpe) frdert die Fl
ssigkeit in den Stator (festgebremste Turbine). Die kinetische Energie wird dort in Wrme gewandelt, das Fahrzeug gebremst. Die anfallende Wrme wird
ber den Wrme
bertrager an die Fahrzeugk
hlanlage abgef
hrt (K
hlwasseranschl
sse). Bei der Konstruktion ist auf ein Minimum drehender Massen geachtet worden, um negative Einfl
sse auf den Gelenkwellenstrang zu vermeiden. In Bild 12 ist ein Bremsenkennfeld eines Retarders f
r Kraftfahrzeuge mit f
nf schaltbaren Bremsstufen dargestellt. Die angegebenen F
llungsgrade f ergeben die f
r Kreiselpumpen

Bild 12. Bremsenkennfeld qualitativ

I5.5 Fttinger-Wandler 5.5 F
ttinger-Wandler. Torque convertors Der Wandler (Bild 13) besteht aus dem Pumpenrad P, dem Turbinenrad T und dem Leitrad R, das feststehend oder – wie dargestellt –
ber einen Freilauf (Trilokprinzip) am feststehenden Gehuse abgest
tzt sein kann. Wesentliche Baugruppen hierbei sind in Blech konstruiert. Kennlinien Bild 14; bei Betrieb im Wandlungsbereich m > 1 (MT>MP) ist R stets mit dem Gehuse verbunden; bei m ¼ 1 (MP = MT) wirkt Wandler wie Kupplung, Leitrad ist wirkunglos (Freilauf). Zweiphasige Wandler. Die Leitradabst
tzung
ber Freilauf (Bild 4 a, 13) ermglicht also zwei Betriebsphasen. In der ersten st
tzt sich das Leitrad gegen das Gehuse ab, das An-

R 55

triebsdrehmoment wird gewandelt. Die zweite arbeitet mit
ber den Freilauf gelstem Leitrad, der Wandler arbeitet als hydraulische Kupplung. Die berbr
ckungskupplung verbindet Pumpen- und Turbinenrad mechanisch und wird immer dann bettigt, wenn der Wandler nicht mehr zur Zugkrafterhhung beitrgt. Damit wird der bertragungswirkungsgrad verbessert. Hauptanwendungsgebiete sind Automatik-Getriebe f
r Nutzkraftwagen (Bus, Lkw) und Arbeitsmaschinen mit
berwiegendem Fahreinsatz. Stellwandler. Sie besitzen verstellbare Leitschaufeln. Ihre große Bedeutung liegt im Ausgleich bei der Verbindung von Kraft- und Arbeitsmaschinen, z. B. beim Anfahren einer Gasturbine. Arbeitsweise. Der Wandler (Bild 15) enthlt die drei Hauptglieder Pumpe (2), Turbine (3), Leitrad (5) in jeweils radialer Bauart. Der Wandlerkreislauf ist stndig mit l gef
llt, durch eine Zahnradpumpe (primrseitig) auf Druck gehalten (Absicherung durch berdruckventil). Das feststehende Leitrad nimmt das Differenzendrehmoment MT
MP auf (Abst
tzung

Bild 13. Fttinger-Wandler mit Freilauf und berbr
ckungskupplung (Fichtel & Sachs). 1 Antrieb, 2 Abtrieb, 3 Freilauf, 4 Leitrad, 5 Pumpe, 6 Turbine, 7 Torsionsdmpfer, 8 berbr
ckungskupplung

Bild 14. Kennlinien eines einstufigen, zweiphasigen Wandlers (Bild 4 a)

R

Bild 15. Gasturbinen-Anfahrwandler (Voith Turbo). 1 Antriebswelle, 2 Pumpe, 3 Turbine, 4 Abtriebswelle, 5 Leitrad mit verstellbaren Leitschaufeln, 6 Verstelleinrichtung (Einleitung der Verstellkraft
ber Hydraulikkolben und elektrischen Stellantrieb), 7 Gleitlagerung Antriebseite, 8 Gleitlagerung Abtriebseite, 9 Gehuse, 10 elektrischer Stellantrieb

R 56

Strmungsmaschinen – 5 Fttinger-Getriebe

am Geh
use); die Leitradschaufeln sind in bezug auf die Anstrmrichtung verstellbar. Die dadurch ver
nderliche lichte Weite zwischen den Leitschaufeln, bezogen auf den Wert im Auslegungspunkt, dient als „relative Leitschaufelstellung“ Lx (in %) zur Beschreibung ihres Betriebsverhaltens. Kennfeld (Bild 16). Die Drehzahl des Antriebs ist konstant ðnp ¼ constÞ. Im oberen Teil sind die Abtriebdrehmomente des Stellwandlers bei verschiedenen Lx und das konstant verlaufende Aufnahmedrehmoment einer Kolbenpumpe (bei gleichen Frderdrcken) eingezeichnet – dicke durchgezeichnete Linie. Die Abtriebsdrehzahl wird ber Lx ge
ndert. Der untere Teil zeigt den Verlauf des Wandlerwirkungsgrads bei den verschiedenen Abtriebsdrehzahlen. Bei Drehzahlminderung ergeben sich wesentlich bessere Wirkungsgrade als bei Verwendung einer Kupplung (Schlupfregelung) – punktierte Linie. Die mittlere Kurvenschar gibt die Leistungsaufnahme des Wandlers bei den verschiedenen Abtriebsdrehzahlen wieder, die Punkte folgen aus MP ¼ ðMT =hw Þ n und PP ¼ MP wP : Neben dem gnstigen Wirkungsgradverlauf bei verringerten Abtriebsdrehzahlen ist auch die Reduzierung des Stoßfaktors (Maß fr die periodische Ungleichfrmigkeit in der Drehbewegung von Kolbenmaschinen) durch Fluidd
mpfung, Torsionsd
mpfung, Bild 13 (7) und die sehr kleinen Schwungmassen des Wandlers vorteilhaft [8]. Vollautomatisches Str
mungsgetriebe (Bild 17). Es wird bei Dieselantrieben von Schienenfahrzeugen verwendet. Das vom Motor abgegebene Drehmoment wird von der Eingangswelle 1 ber das Stirnradpaar 2/3 auf die Prim
rwelle 4 bertragen; nicht dargestellt: ein Teil der Eingangsleistung kann ber einen Nebenabtrieb fr den Antrieb des Getriebelkh-

Bild 16. Kennlinien eines Stellwandlers (Voith)

R

Bild 17. Schematischer L
ngsschnitt eines Turbogetriebes mit hydrodynamischer Bremse B (Voith) (s. Text). – Bewegliche Teile nicht schraffiert. 1 Eingangs-(Antriebs-)Welle, 2, 3 Stirnradpaar (Hochgang), 4 Prim
rwelle, 5 Sekund
rwelle, 6 Wendeschaltvorrichtung, 7 Zwischenwelle, 8 Abtriebswelle, 9 Fll- und Steuerpumpe, 10 Sekund
rschmierpumpe, B Bremse, W Wandler, K Kupplung, HTSD Hydrodynamischer Torsions-Schwingungs-D
mpfer, a Antriebsdrehzahl-Aufnehmer, b Abtriebsdrehzahl-Aufnehmer, c Endlagenerfassungs-Aufnehmer

I6.2 Bauarten

R 57

lers und/oder der Lichtmaschine abgezweigt werden. Die Turbinenr
der von Wandler (W) und Kupplung (K) treiben gemeinsam die Sekund
rwelle 5. Von hier wird die Leistung je nach Stellung des Kolbens in der Wendeschaltvorrichtung 6 direkt – Vorw
rtsgang, Fahrtrichtung I – oder ber die Zwischenwelle 7 – Rckw
rtsgang, Fahrtrichtung II – auf die Abtriebswelle 8 bertragen. Der Abtrieb erfolgt vom Turbogetriebe ber eine Gelenkwelle zu den Achsgetrieben des

Triebdrehgestelles der Lokomotive. Die Schmierung der Zahnr
der und W
lzlager des Turbogetriebes wird durch Getriebel vorgenommen, das von der Fll- und Steuerpumpe 9 gefrdert und in einem Spaltfilter gereinigt wird. Bei Fahrt mit abgestelltem Motor bzw. Schleppfahrt bernimmt eine Sekund
rschmierpumpe 10 die Schmierung der Zahnr
der und W
lzlager.

6 Dampfturbinen. Steam turbines

6.2 Bauarten. Types

E. Kr
mer, Baden

6.2.1 Kraftwerksturbinen. Power Plant Turbines

Der Beitrag basiert auf Ausfhrungen der 19. Auflage von L. Busse, Mannheim

6.1 Benennungen. Terminology, classification Nach DIN 4304 sind zu unterscheiden: Dampfturbine. Sie ist eine W
rmekraftmaschine mit rotierenden Laufteilen, in der das Enthalpiegef
lle stetig strmenden Dampfes in einer oder mehreren Stufen in mechanische Arbeit umgewandelt wird. Dampfturbosatz. Er besteht aus einer Dampfturbine mit angetriebener Arbeitsmaschine, auch mit Getriebe. Dampfturbinenanlage. Dies ist ein Dampfturbosatz einschließlich Kondensationsanlage, verbindender Rohrleitungen und Hilfseinrichtungen.

Turbinen fr konventionelle Dampfkraftwerke Der weltweite Erfolg der Dampfturbine – ber 70 % der Weltstromerzeugung stammen von Dampfturbos
tzen – beruht auf ihrer hohen Leistungsdichte bei gleichzeitiger Mglichkeit, große Einheiten zu bauen, ihrer sehr hohen Verfgbarkeit, ihrer langen Lebensdauer und auf ihrem guten thermischen Wirkungsgrad (s. D 8.3.2). Dieser l
ßt sich darstellen als hth=(Qzu Qab)/ Qzu, wobei Qzu die der Turbine zugefhrte, Qab die aus dem Kondensator abgefhrte W
rme bedeutet. W
rmezufuhr. Da sie haupts
chlich bei der Verdampfung erfolgt, ist der Frischdampfdruck und vor allem die Frischdampftemperatur fr den thermischen Wirkungsgrad maßgebend. Sie sind gekoppelt ber die Bedingung, daß die Dampfn
sse am Ende der Expansion bei der Kondensationsturbine den Wert von etwa 15 % nicht berschreiten darf. blicherweise wird die spezifische W
rmezufuhr und damit der thermische Wirkungsgrad durch die einfache Zwischenberhitzung des Dampfes erhht. Damit ergeben sich dann im h, s-Diagramm (Bild 1) die blichen Bereiche fr Frischdampftemperatur und -druck. Heute hat sich unter Vermeidung der

Weitere Benennungen. Hierfr ist der Zustand und das Verhalten des Dampfes in der Turbine maßgebend. Durchflußrichtung. Hiernach gibt es Axial- und Radialturbinen. Arbeitsverfahren. Hiernach gibt es Gleichdruckturbinen (Entspannung des Dampfes vorwiegend im Leitteil der Turbinenstufen) und berdruckturbinen (Entspannung etwa je zur H
lfte im Leit- und Laufteil).

R

Eintrittszustand. Es werden unterschieden Heißdampfturbinen, bei denen der Dampfeintrittszustand mindestens 50 K berhitzt ist, und Sattdampfturbinen (vorwiegend fr Leichtwasser-Kernkraftwerke) sowie Niederdruck-, Mitteldruck-, Hochdruck und Hchstdruckturbinen. Dampfzuf
hrung. Es werden Frischdampf-, Abdampf-, Speicherdampf und Zwei- oder Mehrdruckturbinen unterschieden. Dampfabf
hrung. Hiernach werden die Dampfturbinen meist benannt: Bei Kondensationsturbinen wird die Kondensationsw
rme des Abdampfes durch ein Khlmittel ohne weitere Ausnutzung an die Umgebung abgefhrt. Bei der Frischwasserkhlung an einen Fluß, See oder das Meer, bei der Rckkhlung durch im Kreislauf gefhrtes Khlwasser ber einen Naß- oder Trockenkhlturm an die Luft, bei der Luftkondensation direkt an die Luft. Bei Gegendruckturbinen wird die Abdampfenergie noch fr andere Zwecke – meist zur Heizung – ausgenutzt. Bei der Anzapfturbine wird ein Teil des Dampfes nach teilweiser Entspannung ungeregelt, bei der Entnahmeturbine geregelt entnommen. Damit bestimmt der weiterfließende Dampfstrom den Anzapfdruck, w
hrend der Entnahmedruck durch nachgeschaltete Drosselorgane, Regelstufen oder verstellbare Leitschaufeln konstantgehalten wird.

Bild 1. bliche Dampfzust
nde von Zwischenberhitzungsturbinen (1) und Kondensationsturbinen (2)

R 58

Strmungsmaschinen – 6 Dampfturbinen

teuren austenitischen Werkstoffe bei den Großturbinen die Frischdampf- und Zwischen
berhitzungstemperatur auf etwa 540 bis 565 C, der Frischdampfdruck weltweit auf etwa 160 bis 250 bar eingependelt. In Europa und Japan wird mit neu entwickelten ferritisch martensitischen Werkstoffen derzeit der Anwendungsbereich zu erhhten Dampfdaten mit 620 C und 300 bar ausgeweitet. Angesichts steigender kologischer Anforderungen wird an einer mittelfristigen Anhebung der Frischdampftemperatur auf 700 C gearbeitet, womit sich Netto-Wirkungsgrade von 50% erreichen lassen. W
rmeabfuhr. Um diese zu verringern, wird die untere Prozeßtemperatur mglichst tief, also nahe an die Umgebungs-

temperatur abgesenkt wie bei der Frischwasserk
hlung, die aber wegen der schon bestehenden Wrmebelastung unserer Gewsser kaum noch zu verwirklichen ist. So bleibt nur die Wrmeabfuhr
ber Naß- oder Trockenk
hlt
rme an die Luft (s. K 4.6). Die Vorwrmung des Speisewassers mit Anzapfdampf aus der Turbine verringert die Prozeßabwrme ebenfalls und hebt die mittlere Temperatur der Wrmezufuhr an. Die obere Grenze dieses Verfahrens ist dadurch gegeben, daß bei einer zu hohen SpeisewasserEndtemperatur die Kessel-Abgas-Temperatur trotz Luftvorwrmung nicht mehr auf dem Tiefstwert gehalten werden kann. Das Wrmeschaltbild (Bild 2) zeigt eine 350-MWDampfturbinenanlage mit unterkritischen Frischdampfzustn-

R

Bild 2. Wrmeschaltbild einer unterkritischen 350-MW-Zwischen
berhitzungs-Dampfturbinenanlage

I6.2 Bauarten den am Turbineneintritt und siebenstufiger Speisewasservorw
rmung, bestehend aus vier Niederdruckvorw
rmern, einem Mischvorw
rmer-Entgaser und zwei Hochdruckvorw
rmern. Damit wird ein thermischer Wirkungsgrad von 46 % erreicht, was einem Netto-Wirkungsgrad von 40 % entspricht. Im Vergleich dazu zeigt das n
chste W
rmeschaltbild (Bild 3) eine 350-MW-Dampfturbinenanlage mit berkritischen Frischdampfzust
nden am Turbineneintritt und neunstufiger Speisewasservorw
rmung. Durch die hheren Dampfzust
nde am Turbineneintritt, die bessere Vorw
rmung und eine tiefer liegende Khlwassertemperatur betr
gt der Netto-Wirkungsgrad ca. 47 %.

R 59

Das Ergebnis der rechnerischen Optimierung der Variabeln des Dampfturbinenprozesses ist stark abh
ngig von den standortspezifischen konomischen und kologischen Randbedingungen. Unter Bercksichtigung von Stromliefervertr
gen, Kraftwerksfinanzierung, Umweltauflagen, Brennstoffpreisen, Wasserverfgbarkeit und den klimatischen Verh
ltnissen werden Frischdampf- und Zwischenberhitzungszust
nde, Anzahl, Gtegrad und Anzapfdrcke der Vorw
rmer, Anzahl und Grße der Niederdruckbeschaufelungen, Grße und Ausfhrung des Kondensators und Khlturms optimal aufeinander abgestimmt. Konstruktiver Aufbau. Den vielf
ltigen Anforderungen werden am besten Baukastensysteme fr Ein- und Mehrge-

R

Bild 3. W
rmeschaltbild einer berkritischen 350-MW-Zwischenberhitzungs-Dampfturbinenanlage

R 60

Strmungsmaschinen – 6 Dampfturbinen

h
use-Turbinen gerecht. Bei den mehrgeh
usigen Großturbinen sind die Niederdruckteile und ihre Beschaufelung genormt, bei den Hochdruck- und Mitteldruckteilen werden Wellen und Beschaufelungen lediglich angepaßt. Ferner sind Konstruktionselemente wie Ventile, Schaufeln, besonders Endschaufeln, Lagergeh
use und Lager, Kupplungen, Wellendichtungen und L
ufer-Dreheinrichtungen durch Werknormen festgelegt. Der Aufbau der Großturbinen ist bei den verschiedenen Herstellern, bei Gleichdruck- und berdruckturbinen weitgehend
hnlich. In der 300-MW-Klasse sind Hochdruck- und Mitteldruckbeschaufelungen einflutig, die Niederdruckteile bei Khlturmbetrieb zweiflutig ausgefhrt. Zwischen 600 und 800 MW sind die Hochdruckteile einflutig, die Mitteldruckteile ein- oder zweiflutig und die Niederdruckteile meist vierflutig ausgelegt. Da bei den krzesten Schaufeln auch die Axialspiele und damit die Relativdehnungen zwischen L
ufern und Geh
usen am kleinsten sein mssen, sitzt das Axiallager immer zwischen Hochdruck- und Mitteldruckturbine und die Zudampfstutzen liegen neben dem Axiallager. Hoch-

druck- und Mitteldruckgeh
use sind in Topf- oder Doppelmantelbauweise, die Niederdruckteile mit geschweißten Außengeh
usen und teils gegossenen, teils geschweißten Innengeh
usen ausgefhrt. Das Hochdruck-Topfgeh
use einer 800-MW-Turbine in berdruckbauweise fr 50 1/s, 180 bar, 525 C (Bild 4), ein entsprechender Mitteldruckteil fr 50 1/s, 60 bar, 588 C in Gleichdruckbauart (Bild 5) sowie der Hochdruck-, Mitteldruck- und ein von drei Niederdruckteilen einer der grßten Einwellen-Anlagen mit 930 MW fr 50 1/s, gebaut fr 260 bar, 550 C (Bild 6) zeigen die konstruktive Gestaltung moderner Dampfturbinen. Turbinen f
r kombinierte Gas-Dampfkraftwerke Kombinierte Gas-Dampfkraftwerke (L 3.1.3) haben in den letzten Jahren enorm an Bedeutung gewonnen. Grnde sind: in vielen Gebieten gnstiges und in ausreichenden Mengen zur Verfgung stehendes Erdgas, die durch den Brennstoff, den hohen Wirkungsgrad und fortschrittliche Verbrennungstechnologie bedingten geringen Emissionen, die Entwicklung großer Gasturbinen (s. R 8) mit Leistungen bis 350 MW so-

Bild 4. Hochdruckteil einer 800-MW-Zwischenberhitzungsturbine (Siemens, UB KWU). 1 hydraulische Dreheinrichtung, 2 Lagergeh
use, 3 Hochdruckgeh
use in Topfbauweise, 4 Lagergeh
use mit Radial-Axiallager

R

Bild 5. Mitteldruckteil einer 850-MW-Zwischenberhitzungsturbine in Gleichdruckbauart (Alstom). 1 Innengeh
use, 2 Laufbeschaufelung, 3 Wellendichtung

I6.2 Bauarten

R 61

Bild 6. 930-MW-Zwischenberhitzungsturbine (Alstom). 1 L
ufer-Dreheinrichtung, 2 einflutige Hochdruckturbine, Innengeh
use mit Schrumpfringen, 3 geschweißte Welle, 4 Axiallager, 5 doppelflutige Mitteldruckturbine, 6 geschweißtes Niederdruckgeh
use

Bild 7. Dampfturbine fr Einwellenanordnung mit Gasturbine und Generator (Alstom). 1 Schaltbare Kupplung (SSS), 2 Hochdruckturbine mit 360  Einlaßspirale, 3 kombinierte Mittel- und Niederdruckturbine, 4 axiales Abstrmgeh
use

wie geringe spezifische Investitionen bei Neuanlagen im Vergleich zu anderen Technologien. Die in typischen GUD-Prozessen eingesetzten Dampfturbinen arbeiten mit Frischdampfzust
nden von 100 bis 160 bar und 540 bis 585 C je nach Abgastemperatur der Gasturbine. Im Vergleich zu Dampfkraftwerken wird zugunsten der Investitionskosten meist auf einfachere Vorw
rmkonzepte zurckgegriffen und teilweise auch auf die Zwischenberhitzung verzichtet. Statt dessen wird dem Abhitzekessel sogenannter Zweit-, manchmal auch Drittdampf auf tieferem Druck- und Temperaturniveau entnommen und der Dampfturbine zugefhrt. Neben den bisher blichen Aufstellungskonzepten, welche ein Zusammenschalten von 2 bis 3 Gasturbinen mit einer Dampfturbine vorsahen, setzt sich die Einwellenanordnung, d. h. Gasturbine, Generator und Dampfturbine in einem Wellenstrang, immer st
rker durch. Mittels einer schaltbaren Kupplung zwischen Generator und Dampfturbine ist es mglich, die Dampfturbine vom Rest des Wellenstranges ab- und anzukuppeln. Dadurch wird dem unterschiedlichen Anfahr-

und Auslaufverhalten von Dampf- und Gasturbine Rechnung getragen. Die bei Einwellenanordnungen derzeit resultierenden Dampfturbinenleistungen bis ca. 180 MW knnen berwiegend mit einflutigen Niederdruckteilen ausgefhrt werden. Mit einer separaten, einflutigen Hochdruckturbine und einer kombinierten, im Umkehrfluß ausgefhrten Mitteldruck-Niederdruckturbine mit axialem Abdampf (Bild 7) ergeben sich kompakte Anordnungen. Turbinen f
r nukleare Kraftwerke Der Frischdampfzustand bei Siedewasserreaktoren liegt nur bei etwa 70 bar, der S
ttigungstemperatur (etwa 285 C) und einer Dampffeuchte von etwa 0,3 %. Druckwasserreaktoren liefern um bis zu 30 K berhitzten Dampf. Die großen Volumenstrme und die Dampfn
sse in der Hochdruckteilturbine stellen besondere Anforderungen an die Konstruktion von Sattdampfturbinen. Um die Endn
sse in Grenzen zu halten, wird in der Rohrleitung nach der Hochdruckturbine ein Hochgeschwindigkeitsabscheider und dahinter ein mit Frischdampf

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R 62

Strmungsmaschinen – 6 Dampfturbinen

beheizter
berhitzer eingesetzt. Diese verbessern den thermischen Wirkungsgrad um 1,0 bis 1,5 %. Das optimale Druckniveau fr Wasserabscheidung und
berhitzung liegt bei 8 bis 12 bar. Abmessungen. Da die Anlagenkosten bei einem Kernkraftwerk mit zwei Dritteln in die Stromgestehungskosten eingehen, sind große Einheiten notwendig. Dazu kommt wegen der niedrigen Frischdampfdaten im Vergleich zu einer konventionellen Zwischenberhitzungsturbine gleicher Leistung ein vierfacher Volumenstrom am Eintritt und ein etwa 70 % grßerer Abdampfvolumenstrom. Dies fhrt bei frischwassergekhlten Anlagen zu sogenannten halbtourigen Turbinen, d. h. Drehzahlen mit halber Netzfrequenz (25 oder 30 1/s). Werden nmlich bei einer gegebenen volltourigen Endstufe alle geometrischen Abmessungen verdoppelt, so bleiben Strmungsverhltnisse, mechanische Beanspruchungen und relative Lage der Schaufeleigenfrequenzen bei halber Drehzahl konstant, der Abdampfvolumenstrom aber steigt um den Faktor vier. Die Sattdampfturbinen der heute blichen Leistungsklasse 1000 bis 1300 MW sind im Hochdruckteil zweiflutig und im Niederdruckteil, je nach Abdampfdruck, vier- oder sechsflutig ausgefhrt.

Bild 8. Leistungsbedarf von Speisepumpen-Antriebsturbinen. 1 Mgliche Leistung der Speisepumpen-Antriebsturbinen im Anzapfbetrieb, 2 Speisepumpenleistung im Festdruckbetrieb, 3 Speisepumpenleistung im Gleitdruckbetrieb. Leistungen: PSP Speisepumpe, PST Speisepumpenturbine, PHPHmax Hauptturbine

Erosion und Korrosion. Hierfr und fr die Abschaltsicherheit ist die Dampfnsse in der Hochdruckturbine maßgebend. Erosionskorrosion tritt im Bereich hoher Dampfdichte und hoher Dampfgeschwindigkeit, also in der Hochdruckturbine an allen Drosselstellen, im Wasserabscheider und in den Anzapf- und
berstrmleitungen an un- und niedriglegierten Werkstoffen auf. Abhilfe bringen Panzerung durch hochlegierte Schweiß- oder Spritzschichten bzw.
bergang zu hochlegierten Werkstoffen. Die Nachverdampfung des Kondensatfilms in der Beschaufelung und des Kondensats im Wasserabscheider bei einer Abschaltung erfordern zustzliche Maßnahmen – z. B. Abfang- oder Bypassklappen vor der Niederdruckturbine – um die Sattdampfturbinen abschaltsicher zu machen, also um ein Hochlaufen in die Schnellschlußdrehzahl zu vermeiden. Speisepumpen-Antriebsturbinen

R

Speisepumpen werden direkt von der Hauptturbine, von einem Elektromotor oder einer speziellen Dampfturbine angetrieben. Verwendet werden heute meist Turbinen mit eigenem Kondensator, die bei Normalbetrieb mit Dampf aus einer Anzapfung der Hauptturbine zwischen etwa 3 und 10 bar und im Niedriglast-Bereich bzw. Strfall aus der Leitung zum Zwischenberhitzer versorgt werden. Die Leistungen der Speisepumpe und der Antriebsturbine im Anzapfbetrieb stimmen ber dem Lastbereich relativ gut berein (Bild 8), so daß oft ein Regelrad entbehrlich ist. Andererseits verlangen hohe Pumpendrehzahlen und kleine Geflle meist eine zweiflutige Beschaufelung. 6.2.2 Industrieturbinen. Industrial turbines Leistungen von einigen Hundert kW bis ber 100 MW, einfache Gegendruckturbinen bis zu Doppelentnahme-Kondensationsturbinen, Drehzahlen zwischen 50 und 300 l/s bei niedrigen und hohen Dampfdaten, Antrieb von Generatoren, Pumpen, Geblsen und Kompressoren lassen sich hier mit Baukastensystemen bedienen. Mglich war dies durch Baugruppen auch fr die Gehuse, die durch Steckmodelle und Flansche weitgehend anpassungsfhig sind, Bild 9. Die Hauptabmessungen der Baugruppen sind meist nach einer Normzahlreihe abgestuft. Die Drehzahlen sind dann umgekehrt proportional zu den Bezugsdurchmessern der Beschaufelungen, z. B. den Regelraddurchmessern und stammen aus der gleichen Normzahlreihe. Dabei bleiben mit den Gefllen die Stufenzahlen, Durchfluß- und Druck-Kenngrßen (s. R 1.6.2) konstant. So ergeben sich auch bei kleinen Leistungen gute Wirkungsgra-

Bild 9. Industrieturbinen-Baukasten (Alstom). 1 Lagergehuse Einstrmseite, 2 Stellventilgehuseblock, 3 Gehuse-Einstrmteil, 4 Gehuse-Mittelteil, 5 Gehuse-Abdampfteil, 6 Lagergehuse Abdampfseite, 7 Gehuse-Abdampfteil fr hohen Gegendruck

de, fr den Generatorantrieb ist aber ein Getriebe erforderlich. Die bei Industrieturbinen blichen Frischdampfdaten reichen bis etwa 150 bar und 540 C, bei vorgeschalteten Gasturbinen sogar 565 C, die Gegen- und Entnahmedrcke bis etwa 55 bar. Von den Radialturbinen wird nur noch die auf dem Konstruktionsprinzip von K
hler beruhende, von außen nach innen durchstrmte Turbine (Bild 10) gebaut. Sie eignet sich nur fr relativ kleine Volumenstrme erreicht aber hohe Wirkungsgrade dank Deckplattenbeschaufelung und verlustarmer Abstrmung.

I6.2 Bauarten

R 63

durch das Geflle d. h. durch die Frischdampfdaten erreichen. Ist die bentigte Leistung grßer als die im Gegendruckbetrieb erzeugbare, bietet sich der Bezug aus dem ffentlichen Netz oder eine Entnahme-Kondensationsturbine an. Gegendruckturbinen werden im allgemeinen auf konstanten Gegendruck, also auf bentigten Wrmestrom geregelt, die Mehroder Minderleistung wird vom Netz
bernommen. Ist bei Netzstrungen ein Inselbetrieb erforderlich, so luft die Turbine leistungsgeregelt, fehlenden Dampf liefert eine Reduzierstation, fehlende Leistung muß durch Abschalten nicht lebensnotwendiger Verbraucher kompensiert oder durch Zuschalten eines Notkondensators erzeugt werden. Die Gegendruckturbine in berdruck-Bauart (Bild 11) aus einer Baukastenreihe ist f
r Frischdampf von 140 bar, 540 C, Gegendr
cke bis 16 bar, Drehzahlen bis 270 l/s und Leistungen bis 140 MW ausgelegt.

Bild 10. Gegendruck-Radialturbine (KKK). 450 C Frischdampftemperatur, 64 bar Frischdampfdruck und 4 MW Leistung

Kondensationsturbinen. Zur reinen Stromerzeugung sind sie in der Industrie meist nicht wirtschaftlich und daher relativ selten. Ausgenommen sind Turbinen f
r Entwicklungslnder und die Flle, in denen Dampf aus Abwrme erzeugt wird, wie bei bestimmten Prozessen in der Chemie, in M
llverbrennungsanlagen oder kombinierten Gas-Dampf-Anlagen (s. R 8.5.2). Meist dienen sie zum Antrieb von Geblsen, Verdichtern und Pumpen. Mit R
cksicht auf die Endnsse liegen die Frischdampfdr
cke oft unter 100 bar, maximal bei 130 bar. Auch hierf
r wurden Baukastenreihen mit einem Leistungsbereich von 0,5 bis
ber 150 MW und Drehzahlen bis 250 l/s entwickelt.

Gegendruckturbinen. Sie werden
berall dort eingesetzt, wo elektrische Energie und Wrme gebraucht wird. Da die Kondensationswrme des Gegendruckdampfes ausgenutzt wird, ist der Gegendruck durch das geforderte Temperaturniveau, der Dampfstrom durch den bentigten Wrmestrom gegeben. Die bentigte Leistung lßt sich dann in gewissen Grenzen

Anzapf- und Entnahmeturbinen. Es gibt zwei Mglichkeiten, Dampf aus einer oder mehreren Zwischenstufen der Beschaufelung zu entnehmen: Bei der Anzapfung ungeregelt, wobei der Druck an der Zwischenstufe vom Dampfstrom durch die nachfolgende Beschaufelung bestimmt wird und bei der Entnahme geregelt, wobei der Druck an der Zwischenstufe durch ein nachgeschaltetes Drosselorgan konstantgehalten

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Bild 11. Baukasten-Gegendruckturbine (Alstom). 1 Drehzahlwchter, 2 Axiallager, 3 Leitschaufeltrger

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Strmungsmaschinen – 6 Dampfturbinen

wird. Da, abgesehen von der Speisewasservorw
rmung, vom Dampfverbraucher meist ein konstanter Druck gefordert wird, muß bei der Anzapfung im Teillastbereich auf eine oder mehrere im Druck hher gelegene Anzapfungen umgeschaltet werden (Wanderanzapfung). Die Anzapfung ist einfacher und billiger als die Entnahme, hat aber dort ihre Grenzen, wo der geforderte Druck bei großen Anzapfmengen, also kleinen weiterstrmenden Dampfmengen nicht mehr gehalten werden kann. Anzapfdiagramm. Es zeigt den Fahrbereich einer Anzapfturbine mit Wanderanzapfung im Dampfstrom-Leistungsdiagramm m_ F ¼ f ðPK Þ mit dem relativen Wert A= m_ A =m_ Amax des Anzapfstroms m_ A , Bild 12. Seine Grenzkurven sind: Der Betrieb ohne Anzapfung a, die Linie minimalen Anzapfdrucks b an der Anzapfung 2, die maximale Anzapfmenge c – begrenzt durch die Dampfgeschwindigkeit im Stutzen und die Schaufelbeanspruchung –, die maximale Frischdampfmenge d und die maximale Leistung e, begrenzt durch den Generator. In dem Zwickel zwischen den Linien f und g, den Verbindungslinien der Umschaltpunkte von Anzapfung 1 auf Anzapfung 2 ist kein Betrieb mglich, da beim Umschalten bei konstanter Anzapfmenge die Leistung von f nach g oder umgekehrt springt.

ventile h, zu finden. Die Entnahme-Kondensationsturbine (Bild 14) gehrt zu einem Bausteinsystem fr einen Frischdampfzustand bis 130 bar 540 C, Entnahmedrcke bis 45 bar und Abdampfdrcke bis 0,2 bar. Die Regelstufe im Hochdruck ist einkr
nzig, im Niederdruck zweikr
nzig ausgefhrt. Die fr Baukastenturbinen typischen Leitschaufeltr
ger haben folgende Vorzge: Etwa gleich schnelle Erw
rmung von L
ufer und dampfumspltem Leitschaufeltr
ger, große zul
ssige Belastungs- und Temperatur
nderungen, Einhaltung kleiner Schaufelspiele, schnelle Reparaturmglichkeit im Schadensfall und die Unterbringung stark unterschiedlicher Beschaufelungen im gleichen Geh
use.

Entnahmediagramm. Bei einer Entnahmeturbine (Bild 13) mit dem relativen Entnahmestrom E ¼ m_ E =m_ Emax ist diese Unstetigkeit nicht vorhanden. Dafr ist hier eine weitere Grenzlinie, n
mlich die der Schluckf
higkeit der berstrm-

Zweidruckturbinen: Sie entsprechen im Aufbau der Entnahmeturbine. An einer Zwischenstufe wird Dampf einer niedrigeren Druckstufe zugefhrt. Bei der Entnahme-ZweidruckTurbine wird der Dampf zugefhrt oder entnommen. Eingesetzt werden Zweidruck-Turbinen dort, wo Abdampf aus einem industriellen Prozeß, meist mit stark schwankender Menge angeboten wird oder ein Abhitzekessel Dampf in zwei Druckstufen liefert. Die mittlere Temperaturdifferenz bei der W
rmebertragung im Abhitzekessel l
ßt sich dadurch erheblich verringern und damit der Gesamtprozeß verbessern. Zwei- oder Dreidruckturbinen heißen auch die Turbinen, die das Dampfangebot eines Gef
llespeichers ausnutzen. Da beim Entladevorgang der Dampfdruck stark sinkt, muß fr konstante Turbinenleistung der Speicherdampf stufenweise auf die Stufen niedrigeren Drucks umgeschaltet werden.

Bild 12. Anzapfdiagramm

Bild 13. Entnahmediagramm

R

Bild 14. Baukasten-Entnahme-Kondensationsturbine (GHH). 1 Hochdruck-Dsengeh
use, 2 Regelrad einkr
nzig, 3 berdruckstufen mit Leitschaufeltr
ger, 4 berstrm-Stellventil, 5 Regelrad zweikr
nzig

I6.3 Konstruktionselemente

R 65

Bild 16. Hochdruck-Dampfeinfhrung (Alstom). 1 Außengeh
use, 2 Druckring, 3 Kolbenring, 4 Innengeh
use, 5 Dampffhrungsgeh
use, 6 Dichtungstr
ger, 7 Dse

Bild 15. Einrad-Getriebeturbine (KKK). 1 Frischdampfstutzen, 2 Aktions-Rad verschraubt mit Hirth-Verzahnung, 3 Abdampfstutzen, 4 Entw
sserung, 5 Wellendichtung, 6 Spritzring, 7 labstreifer, 8 Radiallager, 9 Druckkamm

6.2.3 Kleinturbinen. Small turbines Sie werden in der Industrie und im Schiffbau als Haupt- und Hilfsantriebe vielfach verwendet. Meist sind es Einradturbinen mit ein- oder zweikr
nziger Gleichdruckbeschaufelung, oft mit einem Getriebe zusammengebaut. Sie sind einfach im Aufbau, robust und zuverl
ssig im Betrieb und unkompliziert in der Bedienung. Das ist, besonders bei nur zeitweisem Betrieb, wichtiger als bester Wirkungsgrad. Die einkr
nzige Getriebeturbine (Bild 15) ist mit einer radialen Wellendichtung ausgerstet. Diese Turbine kann maximal mit 4 000 kW, 215 l/s, 125 bar, 530 C und 20 bar Gegendruck betrieben werden.

6.3 Konstruktionselemente. Components 6.3.1 Geh
use. Casings Das Turbinengeh
use hat die Druck- und Temperaturdifferenz zwischen dem Dampf in der Beschaufelung und der Atmosph
re aufzunehmen. Einschalige Geh
use. Mit horizontaler Teilfuge werden sie nur bis zu einem Frischdampfzustand von etwa 140 bar und 565 C ausgefhrt. Hhere Druckdifferenzen sind wegen der Flanschabmessungen schwer zu realisieren, die mit ihren großen Massen auch die zul
ssigen Temperatur
nderungen bei instation
ren Betriebszust
nden begrenzen. Doppelmantelgeh
use. Bei hheren Dampfzust
nden wird deshalb die Gesamtdifferenz auf zwei Schalen aufgeteilt, wobei der Zwischendruck meist dem Abdampfdruck entspricht. Die Abdichtung des Innengeh
uses bernehmen verschraubte

Bild 17. Winkelringverbindung (Siemens, UB KWU). 1 Außengeh
use, 2 Winkelring, 3 Fhrungsring, 4 Innengeh
use

Teilflansche oder Schrumpfringe. Letztere ergeben kleinere Außengeh
use-Abmessungen, rotationssymmetrische Innengeh
use ohne Materialanh
ufungen und besseres Betriebsverhalten bei instation
ren Zust
nden. Topfgeh
use. Sein rohrfrmiger Mantel weist die kleinsten Zusatzspannungen auf und vermeidet die Schwierigkeiten des horizontalen Teilflansches. Die Abdichtung bernimmt hier ein stirnseitiger Deckel, der geflanscht oder mit einem selbstdichtenden Verschluß versehen sein kann. Die Vorteile des Topfgeh
uses werden mit einer schlechteren Zug
nglichkeit bei Revisionen und Reparaturen erkauft. Meist kann es nur im Herstellerwerk geffnet werden. Die Dampfeinfhrung in das Innengeh
use verlangt wegen der Relativdehnung zwischen Innen- und Außengeh
use eine axial und radial bewegliche Dichtung mit Kolbenringen (Bild 16) oder einem Winkelring, Bild 17. 6.3.2 Ventile und KlappenValves Eine Dampfturbine bentigt fr ihren sicheren Betrieb folgende Ventile: Auf der Frischdampfseite eine doppelte Absperrung durch Schnellschluß- und Frischdampfstellventile, nach der Zwischenberhitzung zur Ausschaltung des Zwischenberhitzervolumens eine doppelte Absperrung durch Abfang-Schnellschluß- und -Stellventile, fr die Entnahme

R

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Strmungsmaschinen – 6 Dampfturbinen


berstrm-Stellventile und Schnellschluß-Rckschlagventile. Dazu kommen Rckschlagklappen in den Anzapfleitungen zu den Vorwrmern, um das Rckstrmen von Wasser und Dampf in die Beschaufelung zu verhindern sowie Abfangklappen vor den Niederdruckteilen der Sattdampfturbinen. Alle Schnellschlußventile gehren zum Schutzkreis gegen
berdrehzahlen (s. R 6.5). Einsitzventile. Sie werden wegen ihrer guten Dichtheit und ihres kleinen Druckverlustes am hufigsten verwendet: Unentlastete Einsitzventile wegen ihrer großen Stellkrfte nur fr relativ kleine Sitzdurchmesser, sonst entlastete Einsitzventile mit Vorhubkegel oder Rohrventile. Beide Ventile bentigen nur kleine Stellkrfte, das Rohrventil ist allerdings nicht vllig dicht. Die Abfang-Schnellschlußklappe kombiniert mit dem entlasteten Stellventil hat einen besonders kleinen Druckverlust, Bild 18. Der Diffusor des Stellventils ist als Dampfdurchfhrung zum Innengehuse ausgestaltet. Doppelsitzventile. Sie haben kleine Stellkrfte, sind aber schwer dicht zu halten und kommen meist bei Industrieturbinen vor. Der Stellventil-Dsengehuseblock (Bild 19) einer Industrieturbine hat drei Doppelsitz-Stellventile, von denen nur das erste vom Stellantrieb direkt bettigt wird, whrend

Bild 20. Entnahme-Schnellschluß-Rckschlagventil (Alstom). 1 Ventilkolben, 2 Rckschlagteller

die beiden anderen durch das jeweils vorhergehende Ventil geffnet und durch eine Feder geschlossen werden. Wegen der kleinen Stellkrfte gengt ein Antrieb fr die drei Stellventile. Das mediumbettigte Entnahme-Schnellschluß-Rckschlagventil (Bild 20) besitzt einen frei beweglichen Rckschlagteller. Es wird durch Beaufschlagung des Kolbens mit dem Vordruck und durch Federkraft geschlossen und ffnet durch Absenken des Druckes im Kolbenraum.

6.3.3 Beschaufelung. Blading

R

Bild 18. Abfang-Schnellschlußklappe und Stellventil (Alstom). 1 Schnellschlußklappe, 2 Stellventil, 3 Entlastungsventil, 4 Dampfsieb

Sie soll den Wrmeinhalt des Dampfes mglichst verlustlos in Geschwindigkeitsenergie umwandeln und die dabei auftretenden Krfte auf die Welle und das Gehuse bertragen. Jedes Schaufelprofil ist infolgedessen ein Kompromiß zwischen strmungstechnischen, festigkeitsmßigen, schwingungstechnischen und wirtschaftlichen Forderungen. Die Schaufelprofile stehen mit meist geometrisch abgestuften Sehnenlngen zur Verfgung. Leit- und Laufschaufeln. In Hoch- und Mitteldruckteilturbinen werden fast ausnahmslos aus dem Vollen gefrste Deckplattenschaufeln verwendet, die gute Festigkeitseigenschaften mit hohen Wirkungsgraden verbinden, Bild 21 a und b. Nur im Bereich geringer Dampfdrcke und Temperaturen kommen Leitschaufeln aus gezogenen Profilstangen zum Einsatz, die mit aufgenieteten Deckbndern versehen werden (Bild 21 c). Regelstufen. Ihre Laufschaufeln sind besonders hoch beansprucht, da sie teilbeaufschlagt sind und bei Teillast große Geflle verarbeiten. Sie erhalten bei Großturbinen Steckfße, axiale Tannenbaumfße oder werden mit der Welle verschweißt, Bild 21 d.

Bild 19. Stellventil-Dsengehuseblock (Alstom). 1 Stellventil, 2 Dsen

Endschaufeln. Sie sind am hchsten beansprucht. Fr ihre Auslegung gilt in vermehrtem Maße der schon erwhnte Kompromiß zwischen Aerodynamik, Schaufelfestigkeit und Schwingungsverhalten. Die Modellgesetze erlauben die Bildung von Familien mit geometrisch hnlichen Schaufeln, wenn sich die Abmessungen umgekehrt proportional zu den Drehzahlen ndern. Bei konstanter Drehzahl trifft dies fr verschiedene Austrittsflchen nicht zu. Der Steck- und der Tannenbaumfuß (Bild 22) sind die heute allein blichen Befestigungsarten fr Endschaufeln von Großturbinen. Man unterscheidet ferner freistehende und gebundene Endschaufeln, wobei letztere im ußeren Profilbereich Bindelemente wie

I6.3 Konstruktionselemente

R 67

Bild 21 a–d. Stufenformen. a berdruckstufe mit integralen Fßen und Deckplatte und Spaltabdichtung in Noniusteilung (Siemens, UB KWU); b Gleichdruckstufe mit geschweißtem Leitrad und Laufschaufel mit Steckfuß und Deckplatte (Alstom); c Leitschaufeln aus gezogenen Profilstangen mit Fußzwischenstcken und aufgenietetem Deckband (Alstom); d aus dem Vollen erodierter und anschließend auf die Welle geschweißter Regelradschaufelkranz (Alstom)

eingelegte Dr
hte und Bolzen oder integrale Sttzflgel aufweisen. Der ausgepr
gt dreidimensionale Charakter der Strmung im Niederdruckstrmungskanal erfordert diesen Verh
ltnissen angepaßte Schaufelgeometrien. Durch die mechanischen Einschr
nkungen bei der hochbelasteten Laufschaufel kommt der aerodynamischen Gestaltung der letzten Leitreihen eine besondere Bedeutung zu. Sehr lange Endschaufeln knnen wegen der hohen Fliehkr
fte nicht mehr aus Stahl ausgefhrt werden. Endschaufeln bei Dampfturbinen mit einer Drehzahl 50 1/s werden ab einer Profill
nge von ca. 1100 mm in Titan ausgefhrt.

Bild 22 a, b. Endschaufeln von Großturbinen. a Leitreihe und freistehende Laufschaufel mit gebogenem Tannenbaumfuß; b gebundene Laufschaufel mit Steckfuß

6.3.4 Wellendichtungen. Shaft seals Berhrungsfreie Labyrinthdichtungen (Bild 23) sind heute allgemein blich. Form c wird an Niederdruckteilen mit ihren großen Relativdehnungen zwischen Welle und Geh
use verwendet. Alle Wellendichtungen von Großturbinen sind in einzelne Abschnitte mit dazwischenliegenden Ringkammern aufgeteilt und haben federnde Dichtsegmente. Die
ußerste Kammer besitzt eine Absaugung zur Vermeidung von Dampfaustritt an der Welle, die zweite Kammer ein Sperrdampfsystem. Hier herrscht ein leichter berdruck, um das Eindringen von Luft in die Niederdruckteile zu verhindern. Das System wird von den Wellendichtungen der Hochdruck- und Mitteldruckteile sowie von den Spindeldichtungen der Ventile und meist auch noch von einem Hilfsnetz gespeist. berschssiger Dampf wird in eine Niederdruckanzapfung abgefhrt. Ebenfalls in eine Anzapfung und zur Verringerung der Leckverluste geht der Dampf aus einer dritten Kammer der HochdruckWellendichtungen. Auch die Dichtungen der Ausgleichkolben haben meist eine Anzapfung zur Verringerung ihrer Leckverluste.

6.3.5 L
ufer-Dreheinrichtung. Turning gear Wenn beim Abstellen einer Turbine der L
ufer zum Stillstand gekommen ist, bildet sich in dem noch heißen Geh
use eine Temperaturschichtung aus, die zu einer Verkrmmung von L
ufer und Geh
use fhrt, so daß die Turbine erst wieder nach dem Erkalten angefahren werden kann. Alle grßeren Turbinen haben deshalb eine Dreheinrichtung mit einer Drehzahl von 0,1 bis 2 l/s. Als Antriebsenergie stehen Strom, Druckl oder Druckluft zur Verfgung, wobei letztere meist nur fr Hilfsantriebe verwendet wird. Meist treibt ein Elektrooder Hydraulikmotor ber Getriebe und Freilauf oder Schlingfeder den L
ufer an (Bild 6). Besonders einfach ist der Antrieb durch eine ein- oder zweikr
nzige lturbine. Zur Verringerung des Losbrechmoments und zur Vermeidung trockener Reibung in den Lagern wird bei Großturbinen unter die Lagerzapfen Hochdruckl eingespeist, das den gesamten L
uferstrang beim Anfahren aufschwimmen l
ßt und das auch im Drehbetrieb meist zugeschaltet bleibt.

R

R 68

Strmungsmaschinen – 6 Dampfturbinen

Bild 25 a, b. Segment-Axiallager. a Mit Ausgleichs-Federring; b mit Ausgleichhebeln. 1 Tragsegment, 2 Federring, 3 Ausgleichhebel, 4 Lagergehuse, 5 Wellenscheibe

chenlager, sonst meist Klotzlager, deren auf Kippkanten gelagerte Kltze zum Belastungsausgleich auf Federelementen oder Ausgleichhebeln (Bild 25) sitzen.

6.4 Anfahren und Betrieb. Start up and operation

Bild 23 a–c. Wellendichtungen. a Mit eingestemmten Streifen in der Welle; b mit federnden Dichtsegmenten; c mit glatter Welle

6.3.6 Lager. Bearings

R

Radiallager. Bei den Dampfturbinen sind fast alle im Maschinenbau vertretenen Gleitlager-Typen zu finden (s. G 6): Taschenlager (Bild 24), Mehrkeillager. Die Lager haben oft zur
berwachung eine eingebaute Temperaturmeßstelle und bei Großturbinen Anschlsse fr das Hochdruckl zur Luferanhebung. Axiallager. Sie nehmen den Restschub der Beschaufelung auf und sind bei Klein- und Industrieturbinen oft starre Mehrfl-

Anfahren. Hierbei treten an den vom Dampf umstrmten Bauteilen mit grßerer Wandstrke zustzliche Beanspruchungen auf, die die Lebensdauer verringern. Sie sind vom zeitlichen Ablauf des Anfahrvorgangs und den dabei gefahrenen Dampfdruck- und Temperaturtransienten abhngig. Mit der Finite-Element-Methode ist es heute mglich, diese Anfahrspannungen zu berechnen. Bei Großturbinen ermitteln Gerte aus Temperaturmessungen die Spannungen in den gefhrdeten Bauteilen und steuern den Anfahrvorgang automatisch so, daß die Turbine schnell und schonend hochfhrt und daß die kritischen Drehzahlbereiche so schnell wie mglich durchfahren werden. Schwingungsverhalten. Die Lage der biege- und torsionskritischen Drehzahlen der aus bis zu sieben Einzelwellen bestehenden Luferstrnge wird mit Hilfe moderner Rechenverfahren (s. O 2.7) bestimmt, die auch eine Aussage ber das Auftreten von Lauf-Instabilitten erlauben. Der Luferstrang wird mit Schwingungsaufnehmern an den Lagergehusen und/oder an den Lufern berwacht. Fehler an diesen Teilen knnen so rasch erkannt und vor dem Auftreten grßerer Schden beseitigt werden.

6.5 Regelung, Sicherheits- und Schutzeinrichtungen Control, safety and protection devices

Bild 24. Taschenlager (Alstom). 1 lzulauf, 2 Paßplatte, 3 HD-lanschluß

Regelkreis. Turbinen sind meist mit Drehzahlreglern ausgerstet. Regelgrße ist also die Drehzahl, Stellgrße der Dampfstrom. Strgrßen sind die Belastung, aber auch der Entnahmestrom, der Gegen- und der Vordruck, Stellglieder sind die Stellventile, Bild 19. Die Regelstrecken haben, vom Hochfahren abgesehen, einen Ausgleich. Die Regler wirken bei Netzbetrieb nach dem PI-, beim Inselbetrieb nach dem PVerfahren. Sie arbeiten entweder mechanisch mit Fliehgewichten, also Pendeln oder Stabfedern, hydraulisch mit einer lpumpe oder elektronisch mit einem Tachogenerator als Impulsgeber. Weiterhin werden noch weitere Grßen wie der Vor-, Gegen- und Entnahmedruck geregelt (s. X 6).

I6.6 Berechnungsverfahren

R 69

Schutzkreis. Schnellschluß- und Stellventile schließen, um Sch
den bei Ausfall der Regelung zu verhten. Auslsend wirken Drehzahlw
chter (bei 110 % der Nenndrehzahl), Druckw
chter (zu niedriger Schmierldruck, zu hoher Kondensatordruck, Gegendruck, Entnahmedruck), Temperaturw
chter (zu hohe Kondensatortemperatur, Lagertemperatur), Niveauw
chter (zu hoher Wasserstand in den Vorw
rmern), Wellenlagew
chter (zu große Axialschubkr
fte) und Schwingungsberwachung.

6.6 Berechnungsverfahren. Design calculations 6.6.1 Allgemeines. Introduction Seitdem die Wasserdampfgleichungen programmiert sind, werden selbst Kleinturbinen mit Rechenprogrammen ausgelegt. Die fr die Wirkungsgradberechnung der Schaufelprofile notwendigen Einzelverlust-Rechnungen sind auch so kompliziert geworden, daß sie nur noch auf elektronischen Rechenanlagen durchgefhrt werden knnen. Deshalb werden hier nur berschlagsrechnungen gebracht, deren Genauigkeit aber fr Projektierungsrechnungen vllig ausreicht. Fr den W
rmeverbrauch der Kraftwerksturbinen wird auf das VDI-Handbuch Energietechnik, Teil 2 W
rmetechnische Arbeitsmappe, Arbeitsbl
tter 6.4, 6.5 und 6.6 verwiesen.

6.6.2 Auslegung von Industrieturbinen Design of industrial turbines Gegendruckturbinen Gegeben sind i. allg. die Kupplungsleistung PK, der Frischdampfdruck pF, die Frischdampftemperatur tF, der Gegendruck pG. Kupplungswirkungsgrad. Aus der Dampftafel bzw. dem h, s-Diagramm folgen die Enthalpie hF und die Entropie sF des Frischdampfes. Durch Auftragen im h, s-Diagramm oder auch durch Interpolieren in der Dampftafel l
ßt sich die isentrope Enthalpiedifferenz ys zwischen dem Frischdampfzustand und dem Gegendruck (Index G) bestimmen, Bild 26. ys=hF
hGo. Mit dem inneren Wirkungsgrad hi=0,8 folgt yi=0,8ys. Damit wird vorl
ufig die Gegendruckenthalpie hG=hF
yi und der Frischdampfstrom m_ F ¼ PK =yi hmech . Hierbei ist der mechanische Wirkungsgrad h mech = 0,98. Fr den Frischdampf- und Abdampfzustand wird aus der Dampftafel das spezifische Volumen vF und vG abgelesen. Damit ergibt sich der Zudampf- und Abdampfvolumenstrom pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi V_ F ¼ m_ F vF und V_ G ¼ m_ F vG und ihr Mittelwert V_ m ¼ V_ F V_ G .

Bild 26. Gef
llebestimmung im h, s-Diagramm

Aus dem Bild 27 folgt damit hk=hi hmech. Mit diesem Wert wird m_ F und V_ m verbessert. Eine weitere Iteration ergibt meist den endgltigen Wirkungsgrad. Hhere Drehzahlen bei kleinem mittlerem Volumenstrom verbessern den Wirkungsgrad, Bild 27. Dabei verursacht aber das dann notwendige Getriebe einen Verlust von 2 bis 3 % und zus
tzliche Kosten. Stutzen und Ventile. Die Zudampf- und Abdampfstutzenabmessungen lassen sich aus V_ F und V_ G und den blichen Dampfgeschwindigkeiten c bestimmen: 30 bis 60 m/s fr Zudampf- und 50 bis 80 m/s fr Gegendruckstutzen. Die Druckverluste in den Schnellschluß- und Stellventilen sollen 1 bis 2 bzw. 3 bis 4 % nicht berschreiten. Die Durchmesser ergeben sich dann mit Dp ¼ zc2 r=2 (s. B 6.2). Die z-Werte betragen: Schnellschlußventil 1,5 bis 2,5, Einsitzstellventil 0,4 bis 0,8, Doppelsitzstellventil 1,0 bis 2,0. Kondensationsturbinen Gegeben sind i. allg. die Kupplungsleistung PK, der Frischdampfdruck pF, die Frischdampftemperatur tF, der Kondensatordruck pc oder die Khlwassertemperatur tKW. Ist nur tKW bekannt, l
ßt sich der Kondensatordruck pc ¼ fðts Þ mit der S
ttigungstemperatur des Kondensats ts ¼ tKW þ Dt absch
tzen. Hierbei ist D t ¼ 13 K (Khlwasseraufw
rmung=10 K, Gr
digkeit des Kondensators = 3 K). Kupplungswirkungsgrad. Zun
chst wird die Enthalpiedifferenz zwischen dem Frischdampfzustand und dem Kondensatordruck ys=hF
hc bestimmt. Mit den Wirkungsgraden hi=0,82 und hmech=0,99 und mit Bild 28 wird dann wie bei

Bild 27. Kupplungswirkungsgrad h K als Funktion des mittleren Volumenstroms V_ m von Gegendruckturbinen

R

R 70

Strmungsmaschinen – 7 Turboverdichter

der Gegendruckturbine weitergerechnet. (Abdampf-Dampfn
sse 15 % nicht berschreiten!)

Stutzen und Ventile. Der Zudampfstutzen und die Ventile werden wie fr die Gegendruckturbinen ausgelegt. Der Abdampfstutzen sollte fr eine Geschwindigkeit von 100 bis 150 m/s bemessen werden. Entnahmeturbinen

Bild 28. Kupplungswirkungsgrad hK als Funktion des Frischdampfvolumenstromes V_ F von Kondensationsturbinen

Der Hochdruckteil wird wie eine Gegendruckturbine, der Niederdruckteil wie eine Gegendruck- oder Kondensationsturbine berechnet. Das Entnahmediagramm (Bild 13) entsteht, wenn der Dampfverbrauch der beiden Teilturbinen ber der Leistung aufgetragen wird und die Punkte gleichen Entnahmestroms miteinander verbunden werden. Beim Anzapfdiagramm (Bild 12) muß dabei, da der Anzapfdruck gleitet, fr jeden Punkt das Gef
lle neu bestimmt werden.

7 Turboverdichter Turbocompressors K. L
dtke, Berlin Turboverdichter sind Strmungsmaschinen zur Verdichtung von Gasen nach dem dynamischen Prinzip. Als Element der Energiebertragung auf das Gas dient das beschaufelte, kontinuierlich durchstrmte Laufrad. Druck, Temperatur und Geschwindigkeit des Gases sind nach dem Verlassen des Laufrads grßer als am Eintritt. Das dem Laufrad nachgeschaltete Leitteil sorgt fr weitere Druck- und Temperaturerhhung durch Verzgerung der Geschwindigkeit (s. R 1).

7.1 Einteilung und Einsatzbereiche Classification and rating ranges

R

Zur Unterteilung in Axial- und Radialmaschinen wird die Hauptstrmungsrichtung in der Meridianebene des Laufrads, d. h. einer Ebene, die die Drehachse enth
lt, herangezogen. Diese fr den Durchsatz maßgebende Meridianstrmung verl
uft bei der Strmungsmaschine axialer Bauart im wesentlichen axial, bei der radialen Bauart im wesentlichen radial von innen nach außen. Gelegentlich trifft man auch Mischbauarten, sog. Diagonalverdichter an. Eine andere Unterteilung in Verdichter und Ventilatoren basiert auf der Hhe der spezifischen Verdichtungsarbeit. Beim Ventilator bleibt sie so gering, so daß keine nennenswerten Dichte- und Temperatur
nderungen auftreten. Der bergang ist jedoch fließend.

7.1.1 Ventilatoren. Fans Die Auslegungsberechnung wird mit den Formeln fr inkompressible Medien durchgefhrt. Die niedrige Umfangsgeschwindigkeit des Laufrads und der Betrieb meist auf niedrigem Druckniveau fhren im Vergleich zum aufwendigen Turboverdichter zu einfachen, leichten, dnnwandigen Blechkonstruktionen. Der ungef
hre Einsatzbereich von Axial- und Radialventilatoren ist aus Bild 1 ersichtlich. Einsatzbereiche: Gruben- und Tunnelbelftung, Kesselluftversorgung, Klima-, Chemie-, Verbrennungs-, Entstaubungsanlagen, Zement-, Papier-, Glasindustrie u. a. Außer fr Luft auch fr erosive, korrosive, explosive, toxische und staubhaltige Gase.

Bild 1. N
herungsweise Arbeitsbereiche Verdichter und Ventilatoren. V_ Ansaugevolumenstrom, pd max maximaler Betriebsdruck, RV Radialverdichter, vertikal geteiltes Geh
use, RH Radialverdichter, horizontal geteiltes Geh
use, RG Radialverdichter, integriertes Getriebe, A Axialverdichter (Druckverh
ltnis > 8: 2geh
usig), VR Radialventilatoren (1- bis 2stufig), VA Axialventilatoren, a maximaler Betriebsdruck fr RV und RH fr Ansaugdruck 1 bar. b maximaler Betriebsdruck fr RG fr Ansaugedruck 1 bar. Bereichsgrenzen variieren erheblich je nach Hersteller

7.1.2 Axialverdichter. Axial compressors Die statische Druckerhhung im Laufrad erfolgt ausschließlich durch Strmungsumlenkung und die damit verbundene Verzgerung, weil durch die Abwesenheit jeglicher Radialstrmung die Arbeit des Fliehkraftfelds entf
llt. Somit bleibt die polytrope Arbeit je Stufe verh
ltnism
ßig gering, wodurch der Axialverdichter fr das gleiche Druckverh
ltnis wesentlich mehr Stufen bentigt als der Radialverdichter, w
hrend bei gleichem Volumenstrom die Drehzahl des Axialverdichters hher ist. Kennzeichen des Axialverdichters sind große Volumenstrme bei moderaten Druckverh
ltnissen (s. Bild 1) und vergleichsweise hohen Wirkungsgraden. Axialverdichter haben steilere Kennlinie und, bei festen Leitschaufeln, einen schmaleren Betriebsbereich. Bild 2 zeigt einen Axialverdichter als Industriemaschine, der hohe Wirtschaftlichkeit mit einem axialen Einlauf und einer radialen Endstufe erreicht. Ist der Antrieb nicht drehzahlregelbar, werden die vorderen Stufen mit verstellbaren Leitschaufeln versehen.

I7.1 Einteilung und Einsatzbereiche

R 71

Bild 2. Axialverdichter mit Leitschaufelregelung (MAN Turbo) fr Volumenstr
me bis zu 1,2 Mio. m3/h und Druckverhltnisse bis zu 8 (Luft). 1 Saugstutzen, 2 Druckstutzen, 3 Axialbeschaufelung, 4 Leitschaufelverstelleinrichtung, 5 radiale Endstufe, 6 Ausgleichskolben, 7 Axiallager, 8 Radiallager, 9 doppelschaliges Lagergehuse mit Sperrung

Die Abdeckung des in der Str
mung liegenden Lagers ist doppelwandig ausgefhrt. Der Zwischenraum wird so mit Sperrluft beaufschlagt, daß unter allen Betriebsbedingungen kein l in den Str
mungskanal dringen kann. Einsatzbereiche. Hochofenwinderzeugung, Luftzerlegungsanlagen und in chemischen und petrochemischen Prozessen zur Verdichtung von Luft und Gasen.

7.1.3 Radialverdichter. Centrifugal compressors Der radiale Prozeßverdichter in Einwellenbauweise ist im lund Gasfeldbetrieb, in der Erdgasverarbeitung, in der lraffinerie- und petrochemischen Verfahrenstechnik und in der chemischen Industrie weit verbreitet. – Er f
rdert Gas-Massenstr
me auf ein fr die Verarbeitung erforderliches Druckniveau. – Er stellt die Druckdifferenzen zur berwindung von Systemwiderstnden zur Verfgung und erm
glicht so den Gasdurchfluß in Reaktoren, Wrmetauschern und Rohrleitungen. – Als Teil von Industrieklteanlagen khlt oder verflssigt er Stoffstr
me. Die vom Radialverdichter gef
rderten Medien reichen vom H2 -Reichgas in der Kraftstoffherstellung mit der niedrigsten vorkommenden molaren Masse von M
2,5 und Drcken bis p=200 bar bis zum Kltemittel R 134A mit der h
chsten molaren Masse von M=102. Im unteren Feld liegen NH3 Synthesegas (M=8,5; pmax =180 bar), Methanolsynthesegas (M=11,3; pmax =85 bar) und NH3 (M=17; Saugtemperatur ts min =–40 C). Im Mittelfeld findet sich Erdgas, gemischt mit anderen Normal-Paraffinen (M=18–26) in GasliftingAnlagen bis 220 bar und Reinjections-Anlagen bis 600 bar. Atmosphrische Luft (M=28,8) wird bis maximal 50 bar in Ammoniak-, Terephthal- und Essigsure-Anlagen verdichtet.

thylen-Anlagen erfordern einen Rohgasverdichter (M=28; p=30 bar), einen thylen- (M=28; ts =–101 C) und einen Propylen-Verdichter (M=42; ts =– 43 C). Im Bereich schwerer Gase liegt auch die CO2 -Verdichtung in HarnstoffAnlagen (M=44; pmax =200 bar) und Chlor (M
70; pmax =13 bar). Die Stufenzahlen der Prozeß-Radialverdichter in Einwellenbauweise reichen von 1 bis 26 in bis zu drei hintereinandergeschalteten, bis zu fnfmal zwischengekhlten Gehusen. Maximale Stufenzahl je Gehuse: zehn; maximale Zwischenkhlungen je Gehuse: drei, d. h. maximal vier Stufengruppen und maximal acht Stutzen je Gehuse. Antrieb durch Elektromotore, Dampf- und Gasturbinen; Einwellenverdichter-Drehzahlen bis ca. 20 000 1/min; Getriebeverdichter-Ritzeldrehzahlen bis ca. 40 000 1/min; Leistungen bis ca. 30 MW, in seltenen Fllen auch darber. Da das Gas whrend der Energiebertragung im Laufrad von innen nach außen str
mt, unterliegt es der nderung des Zentrifugalfelds. Damit wird die statische Enthalpie um den Summanden ðu22  u21 Þ=2 erh
ht, wodurch die erzielbaren Druckverhltnisse wesentlich h
her als beim Axialverdichter werden. Die radiale Str
mungsrichtung im Laufrad erfordert wiederum radial angeordnete Diffusoren, die den Außendurchmesser des Gehuses auf etwa das Doppelte des Laufraddurchmessers erh
hen. Serpentinenartig wird das Gas der nchsten Stufe zugefhrt, nachdem es in der Rckfhrbeschaufelung vom Drall befreit wurde (drallbehaftete Eintrittsstr
mung wrde in dieser Stufe nach der Euler-Formel das Druckverhltnis vermindern). Die nach außen wachsenden Leitteile mit vielen Umlenkungen und langen Str
mungswegen erklren die gegenber dem Axialverdichter niedrigeren Wirkungsgrade und setzen dem Radialverdichter durch Anwachsen des Außendurchmessers und der Masse Volumenstromgrenzen, s. Bild 1. Einen 5stufigen Radialverdichter mit hintereinandergeschalteten Laufrdern zeigt Bild 3.

R

R 72

Str
mungsmaschinen – 7 Turboverdichter

Bild 3. Radialer Einwellenverdichter (MAN Turbo) mit horizontal geteiltem Schweiß-Gehuse, pd bis 70 bar, V_ bis 250 000m3 /h. 1, 2 Saug-, Druckstutzen, 3, 4 Radial-, Axiallager, 5 Labyrinthdichtung, 6 gasgeschmierte Gleitringdichtung, 7 Kupplung

Disziplinen bestimmt: Aero-Thermodynamik muß Volumenstrom, polytrope Arbeit, Wirkungsgrad und Betriebsbereich sicherstellen; Festigkeitsberechnung muß statische und dynamische Integritt nachweisen; Rotordynamik muß Laufruhe und Fertigungstechnik soll wirtschaftliche Herstellung gewhrleisten. Bild 4 zeigt schematisch die wichtigsten Parameter der verschiedenen Bauformen und, durch Pfeile angedeutet, deren fortschreitende Entwicklung.

7.2 Radiale Laufradbauarten Centrifugal impeller types Die aero-thermodynamischen und strukturmechanischen M
glichkeiten und Grenzen dieses schnellaufenden und daher hochbeanspruchten Bauteils bestimmen das Einsatzpotential des Verdichters. Die Auslegung des Laufrads, d. h. die Festlegung der Geometrie und der Drehzahl wird durch mehrere

R

Bild 4. Bauarten und Kenndaten von radialen Laufrdern.
max. Volumenstromzahl fr betreffenden Radtyp, pges Verdichterdruckverhltnis, i Stuu2 fenzahl, n Drehzahl, u2 Umfangsgeschwindigkeit 100 %  350 m/s, V_ ¼ j p d 22 u2 ; hP ¼ yP 2 ; j Volumenstromzahl; yP polytrope Druckzahl, hp spezi4

2

fische polytrope Arbeit. Die Pfeile kennzeichnen die Entwicklung whrend der letzten drei Jahrzehnte

I7.2 Radiale Laufradbauarten 7.2.1 Das geschlossene 2 D-Laufrad The shrouded 2 D-impeller Ausgangspunkt ist das traditionelle Laufrad des Industrieverdichters mit Deckscheibe und r
ckwrtsgekr
mmten Schaufeln, die
ber die ganze Schaufelbreite dieselbe Kr
mmung besitzen (2 D). Volumenstromzahl j bis ca. 0,06; Schaufelaustrittswinkel b2 meist 40
bis 50
(gemessen von Tangente). Je hher das Druckverhltnis je Gehuse, desto strker nehmen beim Einwellenverdichter die Volumenstromzahlen von Stufe zu Stufe ab. Das f
hrt zu 2 D-Laufrdern mit j-Werten bis unter 0,01 mit erheblich abgesenkten Stufenwirkungsgraden. Dadurch werden jedoch kleine Volumenstrme V_ , hohe Druckverhltnisse pges, niedrige Drehzahlen n und große Stufenzahlen je Gehuse i erst mglich gemacht. 7.2.2 Das geschlossene 3 D-Laufrad The shrouded 3 D-impeller Eine Erhhung des Volumenstroms bei gleichem Raddurchmesser f
hrt zu breiteren Schaufelkanlen und grßeren jWerten, derzeit bis ca. 0,15. Schaufelaustrittswinkel b2 meist 45 bis 60 . Zur Erzielung hoher Wirkungsgrade muß die Schaufeleintrittskante an die unterschiedlichen Strmungswinkel an Deck- und Nabenscheibe angepaßt und die Schaufellnge vergrßert werden. Diese Forderungen f
hren zu rumlich verwundenen Schaufeln mit vorgezogenen Eintrittskanten, mit unterschiedlichen Kr
mmungen
ber die Schaufelbreite (3 D), zu kleineren Nabenverhltnissen und vergrßerter axialer Baulnge (s. Bild 9). Geschlossene 3 D-Rder sind gekennzeichnet durch hohen Wirkungsgrad bei verringertem Außendurchmesser, weiten Betriebsbereich, hohe Drehzahl und eine reduzierte maximale Stufenzahl je Einwellenverdichtergehuse. 7.2.3 Das offene Laufrad. The semi-open impeller Eine hhere Umfangsgeschwindigkeit ist Voraussetzung f
r eine weitere Steigerung des Volumenstroms und der polytropen Arbeit. Dazu sind erforderlich: Weglassen der Deckscheibe, Gestaltoptimierung der Nabenscheibe, weiteres Vorziehen der Schaufeln in den Einlauf (daraus wird dann der axiale sog. „Vorsatzlufer“), Aufdrehen des Schaufelaustrittswinkels, konische Schaufeln mit schwingungsmindernder Dikkenverteilung. Die offenen Rder operieren mit engem Spalt zwischen Gehuse und Schaufelspitzen und haben rumlich verwundene Schaufeln. Das Rad mit r
ckwrtsgekr
mmten Schaufeln, deren Axialprojektion eine leichte S-Form erkennen lßt, sei hier der K
rze halber mit S-Rad bezeichnet. Der Austrittswinkel b2 betrgt meist 45 bis 65
. Das R-Rad, eine hier gewhlte Bezeichnungskurzform f
r radial endende Schaufeln, mit einem Austrittswinkel von 90
, ermglicht die hchste Umfangsgeschwindigkeit aller Laufrder bei merklich niedrigerem Wirkungsgrad, eingeschrnktem Betriebsbereich und flacher Kennlinie gegen
ber Rdern mit r
ckwrtsgekr
mmten Schaufeln, d. h. geringem Anstieg des Druckverhltnisses vom Normalpunkt zur Pumpgrenze. 7.2.4 Laufradverwendung. Impeller application Einwellenverdichter werden fast ausschließlich mit geschlossenen 2 D- und 3 D-Laufrdern best
ckt. In Einzelfllen war fr
her ein offenes Rad als erste Stufe in einem vielstufigen Verdichter anzutreffen. Offene Laufrder sind prdestiniert f
r den Einsatz als fliegend gelagerte Rder mit axialer Ansaugung, also in ein- und vielstufigen Getriebeverdichtern, weil die Vorteile hoher Umfangsgeschwindigkeiten durch die

R 73

Rotordynamik der kurzen Ritzelwellen nicht behindert und die Laufradspalte gut beherrscht werden. In vielen Anwendungsfllen werden Getriebeverdichter auch mit geschlossenen 3 D- und bei hohen Enddr
cken deren letzte Stufen auch mit 2 D-Rdern ausger
stet.

7.2.5 Laufradherstellung. Impeller manufacture Je nach Herstellerfirma, Anforderungen der Betreiber, Laufradgrße etc. kommen in Frage: Fr
sen der Schaufeln. Aus dem vollen Schmiedematerial der Nabenscheibe nach dem NC-Verfahren herausgefrste Schaufelkanle. 2 D-Rder erfordern 3 Achsen; Rder mit rumlich verwundenen Schaufeln erfordern 5 Achsen (drei translatorische, zwei rotatorische Bewegungen relativ zwischen Werkzeug und Werkst
ck). Da die Schaufeloberflchen aus erzeugenden Geraden, die keine Nachteile f
r die Aerodynamik darstellen, bestehen (s. Bild 4, Linienraster), ist Flankenfrsen entlang dieser Geraden mglich, wobei der Frser
ber die gesamte Schaufelhhe im Eingriff ist. Vakuum-Hochtemperatur-Lten der Deckscheibe. Bei geschlossenen Rdern wird die Deckscheibe vakuum-hochtemperatur-aufgeltet oder aufgeschweißt. Ltung f
r Laufraddurchmesser derzeit bis maximal ca. 1 000 mm. F
r grßere Durchmesser wird whrend der Aufheizung die absolute Verformung so groß, daß die Ltspaltweite die zulssigen Grenzen
ber- oder unterschreitet und eine einwandfreie Bindung entlang der ganzen Schaufellnge nicht gewhrleistet ist. Als Lot wird meist eine Gold-Nickel-Legierung gewhlt. Schweißen der Deckscheibe. Aufschweißen der Deckscheibe durch Einf
hren der Elektrode in den Strmungskanal vom Innen- oder Außendurchmesser her. Unterschreitet die Strmungskanalbreite am Austritt ca. 20 mm, wird die Deckscheibe mit den Schaufeln von außen durch gefrste Schlitze, die sich exakt der Schaufelgeometrie anpassen m
ssen, verschweißt (Schlitzschweißen). Separate Schaufelfertigung. Schaufeln knnen auch separat durch Gesenkschmieden, Freiverformung oder Gießen hergestellt und mit Deck- und Nabenscheibe verschweißt werden; meist f
r Laufraddurchmesser
ber ca. 1 300 mm. Gegossene Laufr
der. Sandguß f
r offene und geschlossene Rder aus einem St
ck f
r Laufrder
ber ca. 400 mm Durchmesser. Die durch Einschl
sse verringerte Integritt des Gußst
cks reduziert die maximale Umfangsgeschwindigkeit, Modellkosten erzwingen mehr als drei Abg
sse und verhindern geometrische Variation. Feinguß (Wachsausschmelzverfahren) f
r kleinere Laufraddurchmesser und grßere St
ckzahlen. Sehr hohe Modellkosten, keine geometrische Variationsmglichkeit bei gegebenem Modell. Ein in 1986 patentiertes, schnelles und relativ preiswertes Verfahren der Gußmodellherstellung ist das 3 D-Stereolithografie-Verfahren (auch „Rapid Prototyping“ genannt). Ein von den CAD-Daten des Werkst
cks gesteuerter UV-Laserstrahl „baut“ das positive Laufradmodell in einem lichtempfindlichen Kunstharzbad durch sukzessives Aushrten d
nner, horizontal
bereinanderliegender Schichten auf. Das Modell dient vielfach zunchst der Entwurfsverifikation oder als erster Prototyp und kann auch in einem Modellausschmelzverfahren zur Herstellung eines Gußrades verwendet werden. Genietete Laufr
der. Deckscheibe aufgenietet. Nabenscheibe, Schaufeln und Deckscheibe erhalten axial verlaufende Bohrungen zur Aufnahme der Durchsteckniete. Nur f
r 2 DSchaufeln geeignet, grßere erforderliche Schaufeldicke senkt den Wirkungsgrad, Nietfestigkeit reduziert maximale Umfangsgeschwindigkeit. Veraltete F
getechnik.

R

R 74

Str
mungsmaschinen – 7 Turboverdichter

Bild 5 a, b. Festigkeitsberechnung von Laufrdern. Verformung (gestrichelt in bertriebenem Maßstab) und Vergleichsspannung sv nach v. Mises in N/mm2 bei Umfangsgeschwindigkeit u2. a 2 D-Rad; b R-Rad

Elektroerodierte Laufr
der. Elektroerosion (EDM) der Str
mungskanle basiert auf Werkstoffabtrag durch Funkenentladung in einer dielektrischen Flssigkeit zwischen dem Werkstck und dem Werkzeug, das die Form eines Laufradkanals hat. Beschrnkt auf kleine Laufrder und sehr einfache Kanalformen. 7.2.6 Laufradfestigkeit. Impeller stress analysis

R

Spannungen und Dehnungen werden nach der Finite-Elemente-Methode (FEM) berechnet (s. C 8). Bild 5 zeigt als Ergebnis Linien gleicher Vergleichsspannungen, d. h. der nach der Schubspannungshypothese oder nach dem Verfahren von v. Mises kombinierten Axial-, Radial- und Tangentialspannungen. Die letzteren stellen bei solchen fliehkraftbelasteten Strukturen den Hauptanteil dar. Hier wurde eine vereinfachte zweidimensionale FEM-Methode angewandt. Bei breiten Rdern treten die Maximalspannungen meist am Innenrand der Deckscheibe auf (Stelle B), bei schmalen Rdern meist am hinteren Ende der Laufradbohrung (Stelle A). Das Rad verformt sich durch axiale Verkrzung, und Aufweitung smtlicher Durchmesser. Bei 2 D-Rdern Rckwrts-, bei 3 D-Rdern Vorwrtskippen des Radialteils. Bei offenen Rdern liegt die Maximalspannung normalerweise am hinteren Ende der Bohrung (Stelle C). Durch Materialentnahme an der Nabenrckseite (Stelle D) kann die Bohrungsspannung vermindert werden, wodurch gleichzeitig die Spannung an der Hohlkehle D erh
ht wird. Das Rad verformt sich durch Vorwrtskippen des Radialteils (Achtung: dadurch Spielverkleinerung zum Gehuse!).

7.3 Radiale Verdichterbauarten Centrifugal compressor types 7.3.1 Einwellenverdichter. Single shaft compressor Die berwiegend geschlossenen Laufrder sind auf einer Welle zwischen den beiden Lagern angeordnet (Rder haben durchgesteckte Welle). Befestigung meist mittels Schrumpfsitz; auch der aus Einzelabschnitten zusammengesetzte und mit Zugankern gehaltene Rad-Wellen-Verband ist anzutref-

fen. Die Eintrittsstutzen sind radial, die Austrittsstutzen meist tangential zum zylindrischen Gehusek
rper orientiert. Es werden Maschinen mit bis zu acht Stutzen, d. h. maximal vier Stufengruppen mit drei Zwischenkhlungen je Gehuse ausgefhrt. Eine Stufengruppe wird von den zwischen zwei aufeinanderfolgenden Stutzen liegenden Stufen gebildet. In der Prozeßtechnik wird die Stufengruppe oftmals mit Stufe bezeichnet. Horizontale und vertikale Teilfuge. Der wartungsfreundliche Verdichter mit horizontaler Gehuseteilfuge (Bild 3) wird bis zu einem maximalen Betriebsdruck von ca. 70 bar eingesetzt, bei H2-haltigen Gasen bis zu einem maximalen H2-Partialdruck von 14,8 bar [1]. Oberhalb dieser Grenze kommt der (Topf-)Verdichter mit vertikaler Teilfuge, die gr
ßere Dichtfhigkeit hat, zum Einsatz (Bild 6). Schaltung der Laufr
der. Sind keine Zwischenkhler vorhanden, werden die Laufrder hintereinandergeschaltet, d. h. das Gas wird der jeweils folgenden Stufe ber Rckfhrkanle rotationssymmetrisch verteilt zugefhrt; erst in der letzten Stufe wird es in der Spirale gesammelt und aus dem Gehuse geleitet (Bilder 7 a 1.1, a 2). Den Axialschubausgleich besorgt ein auf der Welle montierter, hinter dem letzten Rad sitzender Kolben. Bei Gegeneinanderschaltung, die hufig bei Zwischenkhlung angewandt wird, bernehmen die Rder selbst zum gr
ßten Teil den Schubausgleich (Bild 7 a 1.2). Die im mittleren Wellenlabyrinth berfließende Leckmenge ist kleiner und zirkuliert nur in der zweiten Stufengruppe. Die Leistung ist daher kleiner als bei Hintereinanderschaltung. Zwischenzufhrung und Doppelflutigkeit. Maschinen mit Zwischenzufhrung(en) haben eine spezielle Rckfhrbeschaufelung, die Zumischung eines Seitenstroms zwischen zwei Laufrdern gestattet, so wie sie bei Industrieklteverdichtern hufig ausgefhrt wird. Das Konzept der Doppelflutigkeit (Bild 7 a 1.3) erm
glicht durch Teilung des Massenstroms auf zwei spiegelbildliche Verdichterhlften die Reduzierung des Außendurchmessers um 30 %; bei Stufenzahlen ber drei jedoch wird wegen der Verdoppelung der Laufradzahl meist ein zweites Gehuse erforderlich.

I7.3 Radiale Verdichterbauarten

R 75

Bild 6. Radialer Einwellenverdichter (MAN Turbo) mit vertikal geteiltem Geh
use (Topfverdichter), pd bis 400 bar, V_ bis 200 000 m3/h. 1, 2 Saug-, Druckstutzen, 3, 4 Radial-, Axiallager, 5 Ausgleichskolben, 6 Einkammer-Labyrinthdichtung, 7 gasgeschmierte Gleitringdichtung, 8 Scherring-Verschluß, 9 Kupplung.

R

Bild 7 a, b. Radialverdichter. a Einwellenverdichter (Laufr
der beidseitig gelagert), a 1 horizontal geteilte Geh
use, a 1.1 und a 1.2 Laufr
der hinterbzw. gegeneinandergeschaltet, a 1.3 doppelflutig, a 2 Topfbauart, a 3 Zweigeh
usig mit Zwischengetriebe; b Getriebeverdichter (Laufr
der fliegend gelagert, ein- bis achtstufig), b 1 einstufig mit einer Ritzelwelle, b 2 vierstufig mit zwei Ritzelwellen, b 3 sechsstufig mit drei Ritzelwellen

R 76

Strmungsmaschinen – 7 Turboverdichter

Maximale Stufenzahl. Die maximale Stufenzahl je Geh
use wird berwiegend bestimmt durch das Stabilit
tsverhalten des L
ufers. Die Grenze der Stabilit
t ist erreicht, wenn bei steigendem Lagerabstand (Zunahme der Stufenzahl) und/ oder fallendem Wellendurchmesser (Zunahme der Volumenstromzahl) subsynchrone Wellenschwingungen hoher Amplitude einsetzen, die ein Betreiben des Verdichters unmglich machen. Rotorstabilit
t wird sichergestellt, wenn das Wellensteifigkeitsverh
ltnis, d. h. das Verh
ltnis von 1. kritischer Drehzahl in starr gesttzten Lagern und maximaler Drehzahl F ¼ n1 starr =nmax bestimmte Grenzwerte Fmin nicht unterschreitet. Die von Fulton [2] empirisch ermittelten Ergebnisse knnen durch die 1 beschrieben werden. F muß alFormel F
3,24  0,36 ln rm so um so hher sein, je hher die mittlere Gasdichte rm im Verdichter ist. Fr die Mehrzahl der Prozeßverdichter-Anwendungen ist Fmin =0,42 bis 0,45. Subsynchrone Schwingungen, deren Frequenz kleiner als die Drehfrequenz ist, knnen angeregt werden durch sog. Spalterregung im lfilm des Lagers, in den Labyrinthdichtungen der Welle und durch innere Reibung in den Schrumpfsitzen der Laufr
der. Bild 8 zeigt grobe Richtwerte der maximal im horizontal und vertikal geteilten Geh
use unterzubringenden Stufenzahl als Ergebnis statistischer Daten zahlreicher ausgefhrter Verdichter. Der Einfluß der Volumenstromzahl ist offensichtlich: mit j steigt die axiale Stufenl
nge und sinkt der Wellendurchmesser unter dem Laufrad, wodurch n1starr verringert wird. Dieser grundlegende Unterschied der Stufengeometrie ist in Bild 9 dargestellt. Mit steigender Umfangs-Machzahl steigt die Kompressibilit
t, d. h. die Volumenreduzierung des Gases von Stufe zu Stufe, so daß die Volumenstromzahl jedes folgenden Rads st
rker abnimmt. Die daraus resultierende Reduzierung der Baul
nge kommt der Erhhung der Stufenzahl zugute.

R

Bild 9 a, b. Stufengeometrie, Unterschiede. a mittlere, b kleine Volumenstromzahl L axiale L
nge, dW Wellendurchmesser d2 Laufraddurchmesser Tabelle 1. Korrektur des Grundwertes der max. Laufradzahl

So kann z. B. ein Verdichter, dessen 1. Stufe eine kleine Volumenstromzahl von 0,015 bei einer Umfangs-Machzahl von 0,5 hat, maximal 9 Laufr
der aufnehmen. Dagegen ist fr eine Maschine bei der gleichen Machzahl mit einem hochschluckf
higen ersten Laufrad (j ¼ 0; 13) die Aufnahmekapazit
t mit 4 Laufr
dern bereits ausgeschpft. Die maximale Laufradzahl/Welle aus Bild 8 muß noch korrigiert werden, um den Einfluß der Gasdichte, des Laufraddurchmessers, der Umfangsgeschwindigkeit und der Zahl der Zwischenkhler zu erfassen, Tab. 1. Aus Kostengrnden sollte stets angestrebt werden, den Verdichter eingeh
usig auszufhren. Dies ist prinzipiell mglich, wenn sich fr einen gegebenen Anwendungsfall eine Stufenzahl i  9 ergibt. Um die Wellensteifigkeit zu gew
hrleisten ist bei Stufenzahlen i
6 dann jedoch das Volumenstromzahl-Niveau abzusenken mit dem Resultat eines im Durchmesser grßeren Geh
uses und eines verringerten Wirkungsgrades (s. Bild 14). In diesem Fall werden also niedrigere Investitions- durch hhere Betriebskosten erkauft. Die volumetrische Schluckf
higkeit eines (im Durchmesser) vorgegebenen Geh
uses ist demnach um so grßer, je kleiner die Stufenzahl ist. 7.3.2 Mehrwellen-Getriebeverdichter Integrally geared compressor

Bild 8. Einwellenverdichter, angen
herte maximale Laufradzahl je Geh
use. Bezugswerte: mittl. Gasdichte 11 kg=m3 , Raddurchmesser 500 mm, mittl. Umfangsgeschwindigkeit 270 m/s. Tats
chliche max. Laufradzahl: imax ¼ imax 0 þ Di. a max. Machzahl fr L
ufer mit identischen R
dern, b max. Machzahl fr ungekhlte Verdichter

Der vielstufige Mehrwellenverdichter mit integriertem Getriebe, kurz auch Getriebeverdichter genannt (Bilder 7 und 10), besteht aus einzelnen am Getriebe angeflanschten und durch Rohrleitungen verbundenen Spiralgeh
usen. Die Eintrittsstutzen sind axial, die Austrittsstutzen tangential angeordnet. Die fliegend gelagerten Laufr
der sind meist paarweise auf die verl
ngerte Ritzelwelle mittels Hirthverzahnung oder Polygonsitz mit Dehnschraube montiert. Die maximale

I7.3 Radiale Verdichterbauarten

R 77

Bild 10. Mehrstufiger Getriebeturboverdichter (DEMAG DELAVAL), Stufenzahl 2 bis 8, V_ bis 450 000 m3/h, pd/ps bis 90, P bis 45 000 kW. 1, 2 Saug-, Druckstutzen, 3 verstellbare Eintrittsleitschaufeln, 4 1., 2. und 3. Stufe offene Laufr
der, 5 4. Stufe geschlossenes Laufrad, 6 Getriebegeh
use, 7 Zahnrad, 8 Ritzel, 9 Druckkamm zur Axialschubbertragung, 10 kombiniertes Axial/Radiallager, 11 Kupplung

Laufradzahl betr
gt derzeit acht auf vier Ritzelwellen mit maximal sieben Zwischenkhlern. Auch doppelflutige Ausfhrungen sowie Zwischenzufhrungen und Entnahmen sind mglich. Verdichter mit mehr als acht Stufen sind im Versuchs- und Prototypstadium. Da die Laufr
der meist paarweise gegeneinander geschaltet sind, wird ein Teil des Schubs dadurch bereits ausgeglichen. Der Restschub wird ber die Druckk
mme der Ritzel zu dem auf der langsamlaufenden Radwelle liegenden Axiallager geleitet. 7.3.3 Bauartmerkmale, zusammengefaßt Summary of design characteristics Einwellenverdichter F
rdermedium. Geeignet fr alle Prozeßgase, Luft, Erdgas und K
ltemittel bis ca. 800 bar Enddruck. Stufenzahl. Der mit bis zu zehn Laufr
dern bestckte Rotor ist unempfindlich gegen mechanisch und thermisch bedingte axiale Differenzbewegung, da die mit Deckscheiben versehenen R
der große Axialspiele zum Geh
use aufweisen. Wellendichtungen. Geeignet zur Unterbringung von Labyrinth-, Kohlering-, l- und gasgeschmierten Gleitring- sowie Sperrlschwimmringdichtungen in Verbindung mit Sperrgassystemen je nach Druck und Gasart. Prozeßverdichter werden heute fast ausschließlich mit gasgeschmierten Gleitringdichtungen („trockenen Gasdichtungen“) ausgerstet. Hierdurch wird der Druckraum am Durchtritt der Welle durch das Geh
use gegenber der Umgebung sicher abgedichtet, um Energieverlust und Emission von explosiven und toxischen Gasen zu vermeiden. Unabh
ngig von der Stufenzahl sind je Geh
use zwei Dichtungen gleichen Durchmessers, die auf

gleichen l- bzw. Sperrgasdruck geregelt werden, erforderlich. Mehrgehusigkeit. Bis zu drei in Serie geschaltete, direkt oder ber Zwischengetriebe gekuppelte Verdichtergeh
use sind ausfhrbar. Antriebe. Geeignet fr alle Antriebsarten. Antrieb durch Dampf- oder Gasturbine erfolgt direkt, E-Motorantrieb erfordert meist ein bersetzungsgetriebe. lfreie Ausfhrung. Verdichter knnen lfrei, d. h. mit Magnetlagern, gasgeschmierten Dichtungen und lfreien Kupplungen ausgerstet werden. Soll der gesamte Maschinenstrang vllig ohne lsystem auskommen, muß auch das Getriebe entfallen und der Motor durch einen Hochfrequenzmotor ersetzt werden. Getriebeverdichter F
rdermedium. Gut geeignet fr nichttoxische und nichtexplosive Gase, wie z. B. Wasserdampf, Luft, Stickstoff und Kohlendioxid bis ca. 80 bar. Bei Verwendung fr Kohlenwasserstoffe muß hoher Aufwand fr Wellenabdichtsysteme getrieben werden. Umbauter Raum. Die kompakte Anlage, bestehend aus der Verdichtergetriebeeinheit und den Khlern f
llt hinsichtlich Grundfl
che, Raumbedarf und Gewicht gnstiger aus als der Einwellenverdichter. Optimale Auslegung. Die Reduzierung der Laufraddurchmesser, gekoppelt mit einer Drehzahlerhhung nach jedem Stufenpaar ermglicht eine optimale Auslegung, so daß sich die Volumenstromzahlen um das Wirkungsgradmaximum gruppieren (s. Bild 14) und schmale verlustreiche Laufr
der meist vermieden werden knnen.

R

R 78

Strmungsmaschinen – 7 Turboverdichter

Hohe Stufenarbeit. Die Festigkeit der h
ufig verwendeten offenen Laufr
der, die Rotordynamik der kurzen Verdichterwellen und die Drehzahlerhhung fr jedes folgende Stufenpaar gestatten fr die genannten Gase hhere polytrope Stufenarbeiten als beim Einwellenverdichter. Dies fhrt zu weniger Stufen mit im Mittel kleineren Durchmessern. Wellendichtungen. Am Durchtritt der Welle durch das Spiralgeh
use wird zur Reduzierung von Energieverlusten der Druckraum durch Labyrinthe oder Kohleringe mit geringer L
ssigkeit abgedichtet. Im Gegensatz zum Einwellenverdichter ist die Zahl der Dichtungen gleich der Stufenzahl. Zwischenk
hler. Da das Gas ohnehin nach jeder Stufe den Verdichter verlassen muß, bietet sich die Einschaltung eines Zwischenkhlers nach jeder Stufe zur Leistungsreduzierung an. Regelbare Leitschaufeln. Jede einzelne Stufe kann mit regelbaren Vor- und/oder Nachleitschaufeln ausgerstet werden zur Verbesserung der Teillastwirkungsgrade und Erweiterung des Betriebsbereichs. Laufradwechsel. Die Befestigung der Laufr
der an den Wellenenden ermglicht zeitsparenden Austausch von Laufr
dern, wenn z. B. auf andere Betriebsbedingungen umgestellt werden soll.

7.4 Regelungsarten. Regulation methods

R

Wird der Verdichter mit einem vom Auslegungspunkt abweichenden Volumenstrom bzw. Druckverh
ltnis betrieben und geschieht das, ohne die Drehzahl, die Stufengeometrie oder die Gaszusammensetzung zu
ndern, erweitert sich der Betriebspunkt zur Kennlinie. Durch Drehzahlvariation, Saugdrosselung, Verstellung von Vor- und Nachleitschaufeln, sowie Bypassbetrieb entstehen weitere Kennlinien, die in ihrer Gesamtheit als Kennfeld bezeichnet werden. Dabei werden die Verstellorgane Saugdrosselklappe, Eintrittsleit-, Diffusorschaufeln und Bypassventil thermodynamisch als integrale Bestandteile des Verdichters betrachtet und deren Verluste dem Verdichterwirkungsgrad zugerechnet. blicherweise werden fr das gesamte Kennfeld Ansaugdruck, Ansaugtemperatur und Gasdaten konstant gehalten, obwohl sie im praktischen Betrieb mit der Entfernung vom Auslegungspunkt von diesen Bezugsgrßen abweichen knnen. Durch eine entsprechende Regelung, d. h. automatische Ver
nderung der Verstellparameter, kann jeder Punkt im Kennfeld angefahren werden. Auch Kombinationen von verschiedenen Regelungsmethoden sind mglich und blich. Die Merkmale der fnf wichtigsten Regelungsarten seien im folgenden charakterisiert. Dazu zeigt Bild 11 die typischen Kennfelder verschiedener Regelungsarten einzelner Stufen mit Laufr
dern mit rckw
rtsgekrmmten Schaufeln bei mittleren Umfangsmachzahlen. Hierbei bezeichnet der Punkt bei V_ =V_ 0 ¼ 1 und hp =hpo ¼ 1 den Auslegungspunkt und die gestrichelte Linie die Pumpgrenze, die den stabilen Arbeitsbereich abgrenzt. Bilder 11 a–c und 11 e gelten fr eine Einwellenverdichterstufe, Bild 11 d fr eine Getriebeverdichterstufe.

7.4.1 Drehzahlregelung. Speed regulation Entsprechend dem Strmungsmaschinengesetz V_ ¼ c1 n und hp ¼ c2 n2 , das auch fr kompressible Medien noch n
herungsweise gltig ist, werden durch Drehzahl
nderung der Volumenstrom linear und die polytrope Arbeit quadratisch mit der Drehzahl variiert (Bild 11 a).

Bild 11 a–e. Typische Einzelstufen-Kennfelder fr verschiedene Regelungarten. a Drehzahlregelung, n=n0 Drehzahlverh
ltnis; b Saugdrosselregelung, ps =ps0 Druckverh
ltnis an der Drosselklappe; c Eintrittsleitschaufel-Regelung, a1 Leitschaufelwinkel; d Nachleitschaufel-Regelung, a2 nderung des Schaufelwinkels; e Bypass-Regelung, Dm_ =m_ Bypassverh
ltnis; h=h0 bezogener Wirkungsgrad

I7.4 Regelungsarten

R 79

Merkmale. Hohe Teillastwirkungsgrade, da der Verdichter nur die ben
tigte polytrope Arbeit erzeugt (keine zustzliche Energiedissipation); volumetrische berlast durch berdrehzahl m
glich; wirkt auf alle Stufen des Verdichters; eignet sich fr alle Laufrad- und Verdichterbauarten, besonders aber fr parabolische Anlagenkennlinie; Antrieb mit vernderlicher Drehzahl oder Regelkupplung erforderlich. Die vergleichsweise h
chsten Wirkungsgrade im Kennfeld und die ausgezeichnete Betriebs-Flexibilitt machen die Drehzahlregelung zur ersten Wahl aller Regelungsarten. 7.4.2 Saugdrosselregelung. Suction throttling Wird eine in die Saugleitung eingebaute Drosselklappe als integraler Bestandteil des Verdichters betrachtet, ergibt sich das im Bild 11 b dargestellte Saugdrosselkennfeld. Der Verdichteransaugzustand ist vor der Klappe definiert und der Kurvenparameter ist das Druckverhltnis an der Klappe. Wird die Klappe aus der Offenstellung verdreht, erzeugt sie einen mit dem Verstellwinkel wachsenden Widerstand, der den Laufradansaugdruck absenkt. Dadurch werden der Massenstrom, der Enddruck und die Leistung reduziert. Merkmale. Sehr niedrige Teillastwirkungsgrade, da die nicht ben
tigte polytrope Arbeit zwar vom Laufrad erzeugt, aber in der Klappe dissipiert wird; bei konstanter polytroper Arbeit keine volumetrische berlast m
glich; wirkt auf alle Stufen des Verdichters; geeignet fr alle Laufrad- und Verdichterbauarten, besonders aber fr Anlagenkennlinie mit (nahezu) konstantem Enddruck; niedrige Investitionskosten, hohe spezifische Betriebskosten bei Betrieb mit stark abgesenktem Enddruck. In vielen Fllen nicht geeignet fr Verdichter mit atmosphrischem Ansaugdruck, da Unterdrcke im Verdichter bei entflammbaren Gasen wegen der Gefahr des Lufteinbruchs untersagt sind.

7.4.3 Eintrittsleitschaufelregelung Adjustable inlet guide vane regulation Eine vor dem Laufrad verstellbar angeordnete Schaufelreihe („Dralldrossel“) erzeugt positiven oder negativen Vordrall. Gemß der Euler-Gleichung hp ¼ ðcu2 u2
cu1 u1 Þ  hh wird damit durch Variation der Umfangskomponenten der Zustr
mgeschwindigkeit cu1 primr die Arbeit beeinflußt (F
rderh
henregelung) (Bild 12). Ein gegebener positiven Vordrall (Mitdrall) erzeugender Leitschaufelwinkel bewirkt jedoch keine gleichmßige Reduzierung der polytropen Arbeit entlang der Kennlinie: im volumetrischen berlastbereich ist die Wirkung sehr stark, da cu1 groß und im Teillastgebiet gering, da cu1 klein gegenber cu2 ist. Dadurch tritt bei Mitdrall de facto eine Linksverschiebung des gesamten Kennfelds ein (Bild 11 c). Die Pumpgrenze wird ebenfalls nach links versetzt, da der fr die Einleitung des Pumpens maßgebende kleinste Absolutwinkel a2 min erst bei kleinerem Volumenstrom erreicht wird. Der hydraulische Wirkungsgrad hh erfaßt alle inneren Stufenverluste außer Leck- und Scheibenreibungsverlusten. Merkmale. Mittlere Teillastwirkungsgrade; der Verdichter erzeugt nur die ben
tigte polytrope Arbeit; volumetrische berlast durch negativen Vordrall (Gegendrall); Verstellschaufeln wirken nur auf das nachgeschaltete Laufrad; fr Getriebeverdichter sehr gut geeignet, da vor jeder Stufe Platz zur Unterbringung vorhanden; mehrstufige Einwellenverdichter k
nnen jedoch in der Regel aus Platzgrnden nur mit ein bis zwei Vorleitapparaten bestckt werden; geeignet fr alle Laufradtypen; Wirkung bei rckwrtsgekrmmten Rdern strker, da

Bild 12. Verstellbare Eintrittsschlaufen, axiale Anordnung (Beispiel: Laufrad mit Vorsatzlufer). N Drehrichtung, mD Stromlinie mit Drall, oD ohne Drall

cu2 kleiner, besonders aber fr Anlagenkennlinie mit (nahezu) konstantem Enddruck; h
here Investitions- und niedrigere spezifische Teillast-Betriebskosten als mit Saugdrosselung.

7.4.4 Nachleitschaufelregelung Adjustable diffuser vane regulation Eine nach dem Laufrad im Diffusor angeordnete verstellbare Schaufelreihe sorgt im ganzen Betriebsbereich fr eine effizientere Umsetzung der kinetischen Energie in statische Enthalpie als es der schaufellose Diffusor vermag. Zudrehen der Schaufeln bedeutet Verkleinerung des Schaufelwinkels und der engsten Stelle zwischen zwei Schaufeln, womit die gesamte Durchstr
mflche verkleinert wird. Dies bedeutet eine verlustarme Anpassung an den bei reduziertem Volumenstrom ebenfalls kleiner werdenden Str
mungswinkel (Bild 13). Diese Beeinflussung des Volumenstroms ist also keine energiedissipative Drosselung wie bei der Saugklappe, sondern eine inzidenzarme (mit kleinem Anstellwinkel durchgefhrte) Flchenreduzierung durch Akkommodation des Diffusors an den viel weiteren Betriebsbereich des Laufrads. Die Stufe als

Bild 13. Verstellbare Diffusor-Schaufeln L Stellung bei berlast, TL bei Teillast, R Drehachse, a Stromlinie mit Schaufeln, b Stromlinie ohne Schaufeln

R

R 80

Strmungsmaschinen – 7 Turboverdichter

Ganzes erh
lt dadurch bei konstantem Druckverh
ltnis einen unverh
ltnism
ßig großen Betriebsbereich (Bild 11 d). Im Gegensatz zur Eintrittsleitschaufelregelung bleibt bei gegebenem Massenstrom durch Verstellung der Diffusorschaufeln die Leistung unver
ndert. Es wird lediglich der Druckrckgewinn im Diffusor ver
ndert. Merkmale. Weiter Betriebsbereich bei konstanter polytroper Arbeit durch sehr gute Pumpgrenze; sehr niedrige Wirkungsgrade bei reduzierter polytroper Arbeit; meist volumetrische berlast mglich durch Schaufelaufdrehung; Diffusorschaufeln wirken nur auf die betreffende Stufe, fr Getriebeverdichter sehr gut geeignet, da an jeder Stufe Platz fr den Verstellmechanismus vorhanden; fr mehrstufige Einwellenverdichter schlecht geeignet aus Platzmangel fr den Verstellmechanismus; geeignet fr alle Laufradtypen, besonders aber fr Konstant-Druck-Anlagenkennlinie; Investitionskosten vergleichbar mit Eintrittsleitschaufelregelung, niedrige spezifische Betriebskosten im Teillastbereich bei konstantem Enddruck, hohe spezifische Betriebskosten bei abgesenktem Enddruck.

sind. Die Differenz zwischen dem gewnschten Prozeß- und dem Verdichter-Massenstrom Dm_ bei dem Soll-Enddruck wird nach Durchstrmen eines Bypass-Khlers zur Saugleitung zurckgefhrt. Wenn die Umfhrungsleitung als interne Angelegenheit des Verdichters betrachtet wird, entsteht fr jedes Bypass-Verh
ltnis eine neue „Verdichter“Kennlinie und der prozeßrelevante Verdichter-Wirkungsgrad muß modifiziert werden gem
ß: h ¼ ð1
Dm_ =m_ Þ hu , wobei m_ der Verdichtermassenstrom und hu der eigentliche Verdichter-Wirkungsgrad sind. Merkmale. Hohe Energieverluste bei großem Unterschied zwischen Soll- und tats
chlichem Verdichter-Betriebspunkt; geeignet fr alle Laufrad- und Verdichterbauarten; am besten geeignet fr Anlagenkennlinie mit (nahezu) konstantem Enddruck; bei parabolischer Anlagenkennlinie sehr hohe Verluste.

7.4.5 Bypass-Regelung. Bypass regulation

7.5 Beispiel einer Radialverdichterauslegung nach vereinfachtem Verfahren Example: approximate centrifugal compressor sizing

Obwohl diese Methode allein auf Energie-Dissipation beruht, wird sie h
ufig in der l- und Gasindustrie angewandt, wenn andere Regelungsarten nicht mglich oder nicht angemessen

Vielstufiger Einwellenverdichter mit geschlossenen Laufr
dern mit rckw
rtsgekrmmten Schaufeln. Berechnung basiert auf Totalzust
nden fr Drcke und Temperaturen.

7.5.1 Betriebsbedingungen (vorgegeben) Operating conditions

R

7.5.2 Gasdaten. Gas data Gasgemisch-Kennwerte werden aus Zustandsgleichungen fr reale Gase berechnet, z. B. LKP (Lee-Kesler-Plcker) oder BWRS (Benedict-Webb-Rubin-Starling) oder RKS (Redlich-Kwong-Soave) [3, 4]. In dem hier benutzten N
herungsverfahren werden die Realgasfaktoren nach der generalisierten Methode von Nelson-Obert [5] als Funktion der reduzierten Werte fr Druck und Temperatur und ein mittlerer Isentropenexponent fr ideales Gasverhalten als Funktion der Temperatur ermittelt; spezifische isobare W
rmekapazit
t cp z. B. aus W
rmeatlas [6].

I7.5 Beispiel einer Radialverdichterauslegung nach vereinfachtem Verfahren

R 81

7.5.3 Volumenstrom, Laufraddurchmesser, Drehzahl Volume flow, impeller diameter, speed

7.5.4 Endtemperatur, spezifische polytrope Arbeit Discharge temperature, polytropic head

7.5.5 Wirkungsgrad, Stufenzahl Efficiency, number of stages

R

7.5.6 Leistung. Power consumption

R 82

Strmungsmaschinen – 8 Gasturbinen

Bild 14. Grobe Richtwerte f
r polytrope Druckzahl, polytropen Stufenwirkungsgrad und Arbeitszahl als Funktion der Volumenstromzahl (Grundwerte). F
r geschlossene Laufrder, b2 ¼ 40° . . . 50° , d2 ¼ 400 mm, Mu2 ¼ 0; 7, Reu2 ¼ 500 000 erforderliche h-Korrekturen: Grßeneinfluß, Mach-, Reynoldszahl, Diffusorverhltnis, Ein-, Austrittsverlust, Geometrievarianten, Rauhigkeit

8 Gasturbinen. Gas turbines H. Pucher, Berlin

8.1 Einteilung und Verwendung Classification and configurations Die Gasturbine zhlt zu den Wrmekraftmaschinen, weil sie, in der Regel durch Verbrennung von Brennstoff freigesetzte, Wrme in mechanische Energie (Wellenleistung) oder in Schubkraft (bei Luftfahrt-Triebwerken) umsetzt. Sie besteht im einfachsten Fall (Bild 1 a) aus einem Verdichter, einer Turbine und einer Brennkammer. Der Verdichter saugt einen bestimmten Luftmassenstrom aus der Umgebung an und bringt ihn auf einen erhhten Druck. Durch isobare Verbrennung eines bestimmten Brennstoffmassenstroms mit diesem Luftmassenstrom in der Brennkammer wird zustzlich die Temperatur des Arbeitsgasstroms erhht, so daß bei dessen anschließender Entspannung auf Umgebungsdruck in der Turbine diese mehr Leistung abgeben kann, als der von ihr angetriebene Verdichter aufnimmt. Der Leistungs
berschuß der Turbine steht als Nutzleistung (z. B. zum Antrieb des Generators G) zur Verf
gung.

R

Gasturbinenprozesse. Nach dem Weg des Arbeitsmediums unterscheidet man: – Offener Prozeß. Das Arbeitsmedium wird (als Luft) aus der Umgebung angesaugt und nach dem Durchstrmen aller Komponenten des Gasturbinenaggregats (in der Regel als Verbrennungsgas) wieder an die Umgebung abgegeben (Bild 1 a und c–e). – Geschlossener Prozeß. Das Arbeitsmedium luft geschlossen um und nimmt nicht an der Verbrennung teil. An die Stelle der Brennkammer im offenen Prozeß tritt ein Wrmetauscher (= Erhitzer). Zum Schließen des thermodynamischen Kreisprozesses ist zustzlich ein R
ckk
hler erforderlich (Bild 1 b). Außer Luft kommen auch andere Gase als Arbeitsmedium in Frage (z. B. Helium). Der geschlossene Kreislauf ermglicht es, den Ansaugdruck des Verdichters
ber den Umgebungsdruck und damit das Dichteniveau des Arbeitsmediums insgesamt anzuheben, was zur Verkleinerung der Aggregat-Abmessungen und zu einer wirkungsgradg
nstigen Leistungsregulierung (Druckpegelregelung) genutzt wird [4]. – Halboffener Prozeß. Dabei wird einer der beiden Teilkreislufe der aus einem Hochdruck- und einem Niederdruckkreislauf bestehenden Gasturbinenanlage offen, der andere geschlossen gef
hrt. Prozeßf
hrung. Man unterscheidet: – Einfache Prozesse. Sie bestehen nur aus einer Verdichtung, einer Erhitzung und einer Entspannung (beim offenen Prozeß); beim geschlossenen Prozeß tritt noch die R
ckk
h-

lung hinzu. Dabei ist es unerheblich, ob die Entspannung in nur einer Turbine (Bild 1 a) oder gemß Bild 1 c zum Teil in der Turbine des Gaserzeugersatzes (V+BK+T) und zum Rest in der Nutzturbine dieses zweiwelligen Aggregats erfolgt. – Prozeß mit Abgasw
rmetauscher (Bild 1 d). Die im Arbeitsmedium nach der Turbine (5) enthaltene Abgaswrme (Restexergie) wird zur Vorwrmung der verdichteten Luft vor der Brennkammer benutzt, womit der Brennstoffverbrauch reduziert wird. – Prozeß mit Zwischenkhlung bzw. Zwischenerhitzung (Bild 1 e). Durch R
ckk
hlung des Arbeitsmediums zwischen den Verdichtungsstufen und/oder Wiederaufheizung zwischen den Entspannungsstufen lßt sich bei gleichbleibender thermischer und mechanischer Belastung die Leistungsdichte des Gasturbinenaggregats erhhen. In der Praxis sind auch Kombinationen der unter Bild 1 c–e gezeigten Prozeßf
hrungen zu finden. Luftfahrttriebwerke. Die Gasturbine ist hier vertreten als – Turboluftstrahl-Triebwerk (Bild 2 a). Die am Austritt der Verdichterturbine im Arbeitsgas noch enthaltene Expansionsenergie wird in der Schubdse in kinetische Energie umgesetzt und als Schubleistung abgegeben. – Propeller-Turboluftstrahl-Triebwerk (Bild 2 c) und Zweistrom-Turboluftstrahl-Triebwerk (Bild 2 b). Ein Turboluftstrahl-Triebwerk treibt zustzlich einen Propeller bzw. ein Geblse (Fan) zur Erzeugung eines Zweitstroms. Der Zweitstrom wird einer zum Kernstrom konzentrischen Schubd
se zugef
hrt.

8.2 Thermodynamische Grundlagen Fundamental thermodynamics 8.2.1 Idealisierte Kreisprozesse Theoretical gas-turbine cycles Das Arbeitsmedium durchluft beim kontinuierlichen Durchstrmen der Komponenten des Gasturbinenaggregats einen thermodynamischen Kreisprozeß, der sich in einem h, s-, T, soder p, v-Diagramm darstellen lßt. Reale Gasturbinenprozesse werden bez
glich Wirkungsgrad und Arbeitsvermgen an idealisierten Kreisprozessen gemessen. F
r diese gelten folgende Voraussetzungen: – Das Arbeitsmedium ist ein ideales Gas, d. h. die kalorischen Stoffgrßen cp, cv, k und R sind Konstanten. – Das Arbeitsmedium luft geschlossen um und ndert seine Zusammensetzung nicht. – Die Zustandsnderungen in den Strmungsmaschinen (Verdichter, Turbine) sind reversibel. – Es treten keine Druckverluste und, außer in Wrmetauschern, auch keine Wrmeverluste auf.

I8.2 Thermodynamische Grundlagen

R 83

Bild 2 a–c. Luftfahrttriebwerke (schematisch). B Brennstoff, BK Brennkammer, E Einlauf, F Fan-Turbine, G Getriebe, L Luft, N Nutzturbine, P Propeller, T Turbine, V Verdichter, VG Verbrennungsgas

und einer isobaren W
rmeabfuhr 4–1. Der thermische Wirkungsgrad hth ¼ 1


1 p

k
1 k

h
ngt nur vom Druckverh
ltnis p ab und steigt mit diesem an. Die spezifische Nutzarbeit wt des Prozesses, mit cp  T1 dimensionslos gemacht,   wt T3 1 k
1 ¼ 1
k
1
ðp k
1Þ cp  T1 T1 pk h
ngt außer vom Druckverh
ltnis p auch noch, bei gegebener Ansaugtemperatur T1, von der Turbineneintrittstemperatur T3 ab (Bild 4), wobei fr jedes T3 ein anderes optimales Druckverh
ltnis p existiert. Im T, s-Diagramm (Bild 3 a) entspricht wt der vom Zustandsverlauf 1–2–3–4–1 eingeschlossenen Fl
che.

Bild 1 a–e. Beispiele fr Gasturbinenschaltungen. BK Brennkammer, E Erhitzer, G Generator bzw. angetriebene Maschine, HDT Hochdruckturbine, HDV Hochdruckverdichter, K Rckkhler, NDT Niederdruckturbine, NDV Niederdruckverdichter, NT Nutzturbine, T Turbine, V Verdichter, WT Abgas-W
rmetauscher, ZE Zwischenerhitzer, ZK Zwischenkhler, 1–6 Zust
nde des Arbeitsmediums

– Die Zustands
nderungen verlaufen unendlich langsam, so daß keine kinetischen Energieanteile zu bercksichtigen sind. a) Joule-Prozeß. Er bildet den theoretischen Vergleichsprozeß fr den einfachen Gasturbinenprozeß gem
ß Bild 1 a und b. Er besteht gem
ß Bild 3 a aus einer isentropen Verdichtung 1–2 um das Druckverh
ltnis p, einer isobaren W
rmezufuhr 2–3, einer isentropen Expansion 3–4, wobei p3/p4=p gilt,

Bild 3 a–c. Idealisierte Gasturbinenprozesse im Temperatur-EntropieðT; s
Þ Diagramm

R

R 84

Str
mungsmaschinen – 8 Gasturbinen c) Joule-Prozeß mit Abgasw
rmetauscher (Bild 3 c). Durch einen Abgaswrmetauscher gemß Bild 1 d lßt sich im Idealfall aus dem Abgas die spezifische Wrme qR entsprechend der Flche 5–6–a–b–5 entnehmen und auf die verdichtete Luft zur isobaren Temperaturerh
hung 2–3 bertragen. Bei gleicher spezifischer Nutzarbeit wie beim Joule-Prozeß gilt fr den thermischen Wirkungsgrad nunmehr hth ¼ 1


T1 k
1 p k : T4

Wie Bild 5 verdeutlicht, geht der Vorteil des Abgaswrmetauschers ab einem (von T4/T1 abhngigen) Wert von p jedoch in einen Nachteil ber, weil dann ein Wrmeaustausch in der umgekehrten Richtung erfolgt. Bei einer Kombination des Ericsson-Prozesses mit einem Abgaswrmetauscher kann die spezifische Wrme entsprechend der Flche 4–1–a–b in Bild 3 b getauscht, d. h. zur isobaren Aufheizung 2–3 verwendet werden, wodurch der thermische Wirkungsgrad gleich dem Carnot-Wirkungsgrad (Bild 4) wird. 8.2.2 Reale Gasturbinenprozesse. Real gas-turbine cycles Demonstriert am Beispiel des einfachen offenen Gasturbinenprozesses entsprechend der Schaltung in Bild 1 a unterscheidet sich der Ablauf des realen Prozesses von dem des Idealprozesses (Joule-Prozeß) gemß Bild 6. Polytrope Kompression und Expansion, Druckverluste Bild 4. Thermischer Wirkungsgrad hth und bezogene spezifische Nutzarbeit wt =ðcp  T1 Þ abhngig vom Druckverhltnis p fr Jouleund Ericsson-Prozeß

b) Ericsson-Prozeß (Bild 3 b). Im Unterschied zum JouleProzeß verlaufen die Verdichtung 1–2 und die Expansion 3–4 jeweils isotherm, was sich praktisch durch m
glichst viele Zwischenkhl- und Zwischenerhitzungsstufen (siehe Bild 1 e) annhern lßt. Fr gleiche Werte bezglich T3/T1 und p liegt im Vergleich zum Joule-Prozeß die spezifische Nutzarbeit h
her (Zugewinn entspricht schraffierten Teilflchen in Bild 3 b), der thermische Wirkungsgrad liegt jedoch niedriger und hngt außer von p auch von T3/T1 ab.

R

Durch den Ansaugverlust (Druckabfall p0
p1) nimmt schon die zum Erreichen des Verdichteraustrittsdrucks p2 ideal aufzubringende isentrope Enthalpiedifferenz von D hsV0 auf D hsV zu; die real aufzubringende Enthalpiedifferenz D hV ist infolge polytroper Verdichtung noch gr
ßer. Ohne den Druckverlust in der Brennkammer D pBK ¼ p2
p3 wrde die Expansion in der Turbine vom Punkt 30 aus erfolgen und im Idealfall bei isentroper Expansion auf den Umgebungsdruck p0 eine spezifische Turbinenarbeit entsprechend D hsT0 freisetzen. Real erfolgt die Expansion in der Turbine von 3 ausgehend auf den Druck p4, nicht isentrop nach 4 S, sondern polytrop nach 4, wodurch die reale spezifische Turbinenarbeit nur noch D hT betrgt. Die Druckdifferenz p4
p0 stellt den Auspuffdruckverlust dar. Druckverluste werden vielfach als jeweils relativer Druckverlust e ¼ D p=p angegeben, wobei der Druckabfall D p ber den betrachteten Abschnitt auf den Druck p vor diesem Abschnitt bezogen wird. Der Ausbrenngrad ha der Brennkammer ha ¼

ðm_ L þ m_ B Þ  h3
m_ L  h2 mit ha < 1 m_ B  Hu

bercksichtigt, daß infolge unvollstndiger Verbrennung des Brennstoffs und durch Wandwrmeverluste die Enthalpieerh
hung in der Brennkammer kleiner ausfllt, als sie aus der theoretischen Heizleistung m_ B Hu des zugefhrten Brennstoffs im Idealfall entstehen wrde. Das Arbeitsmedium ist ein reales Gas, d. h. die kalorischen Stoffgr
ßen sind mit Druck und Temperatur vernderlich. Im Falle des offenen Prozesses ndert sich zudem whrend des Durchlaufs auch die Zusammensetzung des Arbeitsmediums.

Bild 5. Thermischer Wirkungsgrad hth des idealen Gasturbinenprozesses mit Abgaswrmetauscher abhngig vom Druckverhltnis p fr unterschiedliche Turbineneintrittstemperaturen T4

Verluste durch Leckage-, Sperr- und Khlluft. Durch Lekkage von Luft an der berhrungslosen Verdichter-Wellenabdichtung und gegebenenfalls am regenerativen Abgaswrmetauscher sowie durch Entnahme verdichteter Luft zur Bereitstellung von Sperrluft fr die Turbinenwellenabdichtung und insbesondere fr die Turbinenschaufel-Khlung verringert

I8.3 Baugruppen

R 85

Bild 6. Vergleich von idealem und realem (verlustbehafteten) Gasturbinenprozeß im Enthalpie-Entropie-ðh; s-ÞDiagramm

sich der Gesamtwirkungsgrad der Gasturbine, weil diese Luft-Teilstr
me zwar zuvor die volle spezifische Verdichterarbeit aufnehmen, dann aber keine bzw. nur zu einem sehr geringen Anteil spezifische Turbinenarbeit erzeugen. Leistung und Wirkungsgrad Alle bislang aufgefhrten Verluste lassen sich im inneren Wirkungsgrad hi der Gasturbinenanlage zusammenfassend bercksichtigen. Mit diesem erhlt man aus der zugefhrten Brennstoffleistung m_ B
Hu die innere Leistung Pi Pi ¼ m_ B
Hu
hi : Unter Bercksichtigung der Reibleistung Pr, bestehend aus der Lagerreibung und eventuell zustzlich aus der Antriebsleistung fr Hilfsaggregate (z. B. Brennstoff- und Schmier
lpumpen) ergibt sich die effektive Leistung Pe an der Kupplung (Kupplungsleistung ) Pe ¼ Pi  Pr :

Bild 7. Effektiver Wirkungsgrad eines einfachen Gasturbinenprozesses ber dem Druckverhltnis fr verschiedene Turbineneintrittstemperaturen T3

Entsprechend gilt fr den mechanischen Wirkungsgrad hm ¼

Pe Pe ¼ Pi Pe þ Pr

und den effektiven Wirkungsgrad (= Kupplungswirkungsgrad) he ¼ hi
hm ¼

Pe : m_ B
Hu

Bild 7 zeigt, daß he des realen Gasturbinenprozesses sich insbesondere ber eine Anhebung der Turbineneintrittstemperatur steigern lßt, dabei aber das Druckverhltnis p mitanzuheben ist. In jedem Fall aber sollten die Str
mungsmaschinenwirkungsgrade hv und hT hoch sein.

8.3 Baugruppen. Components 8.3.1 Verdichter. Compressor In Gasturbinen finden sowohl Radialverdichter als auch Axialverdichter Anwendung. Der Radialverdichter kann schon in einstufiger Ausfhrung, bei dennoch relativ gutem Wirkungsgrad, ein Druckverhltnis bis p ¼ 4 erreichen. Noch h
here Werte (bis 6) sind durchaus realisierbar, allerdings unter Einbußen am Wirkungsgrad. Der Radialverdichter wird demgemß bevorzugt bei Kleingasturbinen eingesetzt, die normalerweise gar keine h
heren Verdichter-Druckverhltnisse ben
tigen, so auch bei Fahrzeug-Gasturbinen sowie bei den Abgasturboladern jeder Gr
ßenordnung. Aus Wirkungsgradgrnden werden die Laufrder heute berwiegend mit r
ckwrts gekr
mmten Schaufeln (b2 < 90
) gestaltet gegenber den frher aus Festigkeitsgrnden bevorzugten radial endenden Schaufeln (b2 ¼ 90
). Der Axialverdichter liefert in einer Stufe ein Druckverhltnis von p=1,2 bis 2,0 und wird daher in der Regel mehrstufig gebaut. Sein Wirkungsgrad liegt gnstiger als der des Radialverdichters. Wegen der zustzlich gnstigen Eigenschaft des großen Massenstroms relativ zu seinen radialen Abmessungen ist in Industriegasturbinen und Flugtriebwerken ausschließlich der mehrstufige Axialverdichter in Anwendung, mit Gesamtdruckverhltnissen von etwa 10 bis 16 bei schweren Industrie-Gasturbinen und bis zu 35 bei modernen Zweistrom-Luftfahrt-Triebwerken.

R

R 86

Str
mungsmaschinen – 8 Gasturbinen

Da die Leistung der Gasturbine dem durchgesetzten Massenstrom proportional ist, erfordert unter sonst gleichbleibenden Bedingungen (u. a. Turbineneintrittstemperatur) eine beabsichtigte Leistungssteigerung einen erh
hten Verdichtermassenstrom, dem jedoch nach oben Grenzen gesetzt sind. Nach Aussch
pfen der zulssigen Umfangsgeschwindigkeit (mechanische Belastung) bietet der bergang zu transonischen Schaufelprofilen eine Durchsatzsteigerung gegenber dem Unterschallverdichter. Isentrope Wirkungsgrade. Sie nehmen grundstzlich mit der Baugr
ße zu und erreichen Bestwerte von 87 bis 92 % (Axialstufe) bzw. 78 bis 85 % (Radialstufe). 8.3.2 Turbine. Turbine Wie der Verdichter ist auch die Turbine in axialer und radialer Bauart in Gasturbinen zu finden. Die isentropen Wirkungsgrade von Turbinenstufen liegen h
her als die der entsprechenden Verdichterstufen, weil die in den (konvergenten) Turbinen-Schaufelkanlen stattfindende D
senstrmung mit weniger Verlusten darstellbar ist als die Diffusorstrmung in den (divergenten) Verdichter-Schaufelkanlen. Ihre Bestwerte betragen 88 bis 93 % (Axialstufe) und 83 bis 88 % (Radialstufe), wobei eine zunehmende Baugr
ße sich wie bei allen Str
mungsmaschinen positiv auswirkt. Die Axialturbine berwiegt in den m
glichen Gasturbinenanwendungen und ist in Industriegasturbinen und Flugtriebwerken immer mehrstufig ausgefhrt. In Abgasturboladern von Großdieselmotoren ist sie in einstufiger Ausfhrung zu finden

(mit einem einstufigen Radialverdichter auf der gemeinsamen Welle). Die Axialturbinenstufe wird bei Gasturbinen aus Wirkungsgradgrnden als Reaktions-(=berdruck-)stufe mit einem Reaktionsgrad von etwa 50 % ausgefhrt, d. h. nicht als Aktions-(=Gleichdruck-)stufe, wie sie als Anfangsstufen (Regelstufen) von Dampfturbinen verwendet werden. Die Schaufellnge L nimmt entlang der Stufenreihe zu. Die auf den mittleren Stufendurchmesser Dm (Rotorkreis durch halbe Schaufelh
he) bezogene Schaufellnge sollte zur Vermeidung von Schaufel(biege)schwingungen L/Dm=0,25 jedoch nicht berschreiten. Schaufelk
hlung. Um bei immer weiter gesteigerter Turbineneintrittstemperatur zum Zweck der Erh
hung des Gesamtwirkungsgrades die thermische Belastung der Turbinenschaufeln beherrschbar zu halten, werden bei Flugtriebwerken und Kraftwerksturbinen zustzlich zur Verwendung extrem hochwarmfester Werkstoffe die Leit- und Laufschaufeln der Anfangsstufen gekhlt. Dazu wird Luft hinter dem Verdichter abgezweigt und – bei der Laufschaufel ber den hohlen Rotorinnenraum durch den Schaufelfuß, bei der Leitschaufel ber das Turbinengehuse – ins Innere der Schaufel geleitet. Nach Aufnahme der Khlwrme wird der Khlluftstrom wieder dem Arbeitsmedium zugemischt. Es wird unterschieden (s. Bild 8) in – Konvektionsk
hlung. ber eine m
glichst große wirksame innere Schaufeloberflche wird durch Konvektion Wrme aus dem Schaufelmaterial auf die Khlluft bertragen, die ber Bohrungen am Profilende austritt. – Filmk
hlung. Zustzlich zur Konvektionskhlung im Schaufelinneren lßt man ber kleine Bohrungen an thermisch besonders hochbelasteten Stellen der Schaufeloberflche Khlluft austreten, die dort einen Khlluftfilm bildet. – Transpirationsk
hlung. Die Khlluft gelangt ber eine por
se Außenhaut vom Inneren an die Oberflche der Schaufel. Der praktische Einsatz steht aus Werkstoffgrnden noch aus. Die Wirksamkeit der Schaufelkhlung lßt sich, hnlich wie bei einem Wrmetauscher, ber einen Rekuperationsgrad hR, Sch ¼

TG
TM TG
TK

beschreiben, wobei TG die Heißgastemperatur vor der Schaufel, TM die mittlere Schaufel-Materialtemperatur an der Oberflche und TK die Khlmitteleintrittstemperatur bedeuten. Durch Schaufelkhlung sind heute Turbineneintrittstemperaturen bei Industriegasturbinen bis 1 200 C und bei LuftfahrtTriebwerken (geringere Lebensdauer) bis 1 600 C m
glich. Der Gesamtwirkungsgrad steigt mit intensivierter Schaufelkhlung allerdings degressiv (Bild 8), weil die dazu erforderliche Erh
hung des Khlluftstroms ihrerseits der Wirkungsgradsteigerung entgegenwirkt. Die Radialturbine zeichnet sich analog dem Radialverdichter dadurch aus, daß sie bei relativ hohem Wirkungsgrad und geringen Abmessungen schon in einer einzigen Stufe ein relativ hohes Enthalpiegeflle bzw. Druckverhltnis abarbeiten kann. Sie ist dementsprechend bevorzugt in Kleingasturbinen zu finden, meist auf gemeinsamer Welle mit einem Radialverdichter, eine Bauform, die im Abgasturbolader von Fahrzeugmotoren die stckzahlmßig gr
ßte Anwendung gefunden hat.

R

8.3.3 Brennkammer. Combustion chamber (burner)

Bild 8. Einfluß der Schaufelkhlung auf den effektiven Wirkungsgrad

Energieumsatz. In der Brennkammer (Bild 9) findet die kontinuierliche isobare Verbrennung des Brennstoffmassenstroms m_ B , von der gegenber dem Heizwert Hu vernachlssigbar kleinen Enthalpie des unverbrannten Brennstoffs hB , mit dem

I8.3 Baugruppen

Bild 9. Energie- und Massenbilanz der adiabaten Brennkammer

Luftmassenstrom m_ L , von der Enthalpie hL(T2), zum Turbinenmassenstrom m_ T , von der Enthalpie hT( T3), statt. Aus der Energiebilanz m_ L
hL ðT2 Þ þ m_ B
ð hB þ Hu
ha Þ ¼ m_ T
hT ðT3 Þ |{z} 0

und der Massenbilanz m_ L þ m_ B ¼ m_ T ergibt sich das (massenm
ßige) Brennstoff/Luft-Verh
ltnis m_ B hT ðT3 Þ  hL ðT2 Þ : ¼ m_ L Hu
ha  hT ðT3 Þ Unter Verwendung der Luftverh
ltniszahl l, kurz Luftverh
ltnis genannt, m_ L l¼ Lmin
m_ B mit Lmin als dem Mindestluftbedarf des Brennstoffs, T2 als der Bezugstemperatur fr die Enthalpie und cp, BK als Mittelwert fr cp, L (T2) und cp, T (T3) ergibt sich fr die Temperaturerhhung in der Brennkammer Hu
ha : DTBK ¼ T3  T2 ¼ cp, BK
ðl
Lmin þ 1Þ Beispielsweise mit Dieselkraftstoff oder Heizl EL als Brennstoff (Hu=42 500 kJ/kg, Lmin=14,5 kg/kg) kann demnach die Temperaturerhhung in der Brennkammer maximal (fr ha=1,0, l=1,0, cp, BK=1,16 kJ/(kg K)) den Betrag DTBK =2 364 K erreichen. Aufbau und Funktionsprinzip (Bild 10). Die zustrmende Luft wird durch die Anordnung von Flammrohr und Geh
use in den Prim
r- und in den Sekund
rluftstrom aufgeteilt. Drallschaufeln pr
gen der Prim
rluft eine Rezirkulationsstrmung in der Prim
rzone auf. Der flssige Brennstoff wird ber eine Dralldse bei Drcken bis 100 bar in die Prim
rzone eingespritzt, zerst
ubt, verdampft, mit der Prim
rluft vermischt und mit dieser bei relativ kleinem l (1,2 bis 1,5) bei einer Temperatur von etwa 2 000 C verbrannt (Diffusionsbrenner). Die nachfolgend ber die Sekund
rluftbohrungen im Flammrohr zugemischte Sekund
rluft khlt Geh
use und Flammrohr, vervollst
ndigt die Verbrennung und ist mengenm
ßig so bemessen, daß die Brennkammeraustrittstemperatur die zul
ssige Turbineneintrittstemperatur nicht berschreitet,

R 87

wobei bei Vollast l-Werte von 3,5 bis 4 vorliegen, bei Teillast Werte bis l=15. Bei Vormischbrennern, fr gasfrmige oder zuvor verdampfte flssige Brennstoffe, werden (Prim
r-)Luft und Brennstoff bereits vor der Prim
rzone gemischt. Vormischbrenner ermglichen gegenber Diffusionsbrennern ein hheres l in der Prim
rzone, wodurch die Temperatur in der Prim
rzone sinkt und dementsprechend weniger NOx gebildet wird. Instabilit
t der Flamme infolge zu mageren Gemisches in der Prim
rzone kann durch eine (fett brennende) Pilotflamme zu hheren l-Werten verschoben werden. In katalytischen Brennkammern sorgen katalytisch beschichtete keramische oder metallische Wabenkrper (Oxidationskatalysatoren) dafr, daß das durchstrmende Brennstoff/ Luft-Gemisch auch noch bei l-Werten von 1,5 und grßer stabil brennt, was extrem niedrige NOx-Werte ermglicht. Bauarten. Hierbei wird unterschieden in 1. Gleichstrom- und Gegenstrombrennkammer, je nachdem ob die Sekund
rluft in Flammenrichtung (z. B. Bild 10) oder entgegengesetzt strmt (Bild 11). 2. Einzelrohr-Brennkammer, entsprechend Bild 11. Sie ist bei Kleingasturbinen und bei Gasturbinen in Schwerbauweise (auch in Mehrfachanordnung) zu finden. 3. Rohr-Ringbrennkammer. Auf einem Kreis um die L
ngsachse des Gasturbinenaggregats sind einzelne Flammrohre in einem gemeinsamen kreisringzylindrischen Geh
use angeordnet, von dem aus die Sekund
rluft zugefhrt wird. Diese Bauform ist bei Flugtriebwerken und davon abgeleiteten station
ren Gasturbinen anzutreffen. 4. Ringbrennkammer. Prim
r- und Sekund
rluftstrme werden in zur Triebwerksl
ngsachse konzentrischen Ringr
umen gefhrt, mit ber dem Umfang verteilten einzelnen Brennern (Bild 14 a). Anwendung wie bei 3. Belastung und Verluste. Die spezifische Brennkammerbelastung qBK ¼

m_ B
Hu VBK
pBK

mit VBK fr das Brennkammervolumen und pBK fr den Druck in der Brennkammer, liegt bei Flugtriebwerken bei 20 bis 50 MW/(m3 bar) am hchsten. Fr Industriegasturbinen kann sich dieser Wert bis auf ein Zehntel verringern, was an den mglichen grßeren Abmessungen und daran liegt, daß vielfach Abgasw
rmetauscher eingesetzt sind. Die Druckverluste betragen je nach Bauart zwischen 1 und 6 %. 8.3.4 W
rmetauscher. Heat exchangers Vor allem in der Anwendung als Abgasw
rmetauscher sind zu unterscheiden (s. K 1): Rekuperatoren. Sie werden als Platten- oder Rohr-W
rmetauscher von den w
rmetauschenden Medien (Luft, Abgas) im Gleichstrom, Gegenstrom oder Kreuzstrom durchstrmt, wobei der Gegenstrom am wirksamsten ist. Regeneratoren. Eine rotierende (W
rme-)Speichermatrix aus Metall oder Keramik wird abwechselnd vom heißen Abgas und von der verdichteten Luft durchstrmt. Sie erreichen sehr hohe W
rmeaustauschgrade und werden daher bevorzugt bei Fahrzeuggasturbinen eingesetzt (Bild 19), weisen jedoch relativ hohe (Luft-)Leckverluste auf. Der W
rmeaustauschgrad (=Rekuperationsgrad) ist mit den Indizes aus Bild 1 d definiert zu hR ¼

Bild 10. Gleichstrom-Brennkammer mit Diffusionsbrenner (schematisch)

T3  T2 T5  T2

und erreicht bei Rekuperatoren Werte bis zu 90 %, bei Regeneratoren sind Werte deutlich grßer als 90 % mglich.

R

R 88

Str
mungsmaschinen – 8 Gasturbinen

Bild 11. Gasturbine in Schwerbauweise (Niederdruck-(ND-)Turbine als Nutzleistungsturbine). 1 Vorderes Gehuse, 2 Gehuse fr vorderes Lager der Gaserzeugerwelle, 3, 4 Lager der Gaserzeugerwelle, 5 Lufer des Verdichters, 6, 7 Hlften des Verdichtergehuses, 8, 9 Hlften des Gaserzeugergehuses, 10 Einzelbrennkammer (zwei Stck), 11 Gaseintrittskanal, 12, 13 Hlften des Gehuses fr hinteres Lager der Gaserzeugerwelle, 14 Gehuse fr Leitschaufeln der Hochdruck- (HD-)Turbine, 15 Gehuse fr Leitschaufeln der ND-Turbine, 16, 17 Hlften des Gehuses fr ND-Turbine, 18, 19 Lager der ND-Turbine, 20, 21 Hlften des Gehuses fr Lager der ND-Turbine, 22 Abgaskanal, 23 Kupplungsflansch, 24 Welle der ND-Turbine, 25 ND-Turbine, 26 Abstandhalter, 27 HD-Turbine, 28 Antriebswelle fr Hilfsaggregate

8.4 Hilfssysteme. Auxiliary systems 8.4.1 Drehzahlregelung. Speed control Bei Gasturbinen im offenen Prozeß stellt die Drehzahl die Regelgr
ße, der Brennstoffstrom die Stellgr
ße dar. Als St
rgr
ßen treten neben Belastungsnderungen auch wechselnde Umgebungsbedingungen auf (s. X 1).

R

Regelstrecke. Infolge der komplexen Vorgnge in der Gasturbine, besonders wegen der verz
gerten Temperaturnderungen, erfordern die Regelstrecken h
herer Ordnung mit ausgeprgter Totzeit einen hohen regelungstechnischen Aufwand. Regler. Einfache Flle kommen mit P-Reglern aus. Drehzahlkonstanz erfordert PID-Regler, in besonderen Fllen sind St
rgr
ßen-Aufschaltungen erforderlich (hier die Belastung). Hufig wird ein Sollwertsteller fr die Fhrungsgr
ße W (s. X 4.1.5 und X 5.3) angebracht. Sicherheitseinrichtungen. Bei kleineren Turbinen sind sie mit dem Stellglied des Reglers verbunden und schalten die Turbine ab bei zu hoher Gasaustrittstemperatur, Ausfall der Schmierung oder der Khlung. 8.4.2 Brennstoffsystem. Fuel system Dieses hat die Aufgabe, den von der Regelung jeweils geforderten Brennstoffstrom mit dem entsprechenden Druck an der Brennkammer zur Verfgung zu stellen. Bild 12 zeigt ein Brennstoffsystem, das zwischen Brenngas- und Brenn
lbetrieb umgeschaltet werden kann. Gasbetrieb (hier Erdgas). Das Erdgas gelangt von der Druckminderstation ber den Gasabsperrschieber 1 und das Sieb 2 vor die Gashauptabschließung 3. Whrend des Stillstands ist der Absperrschieber 1 geschlossen und der Entlftungsschieber 4 offen. Beim Anfahren und im Betrieb ist die Hauptab-

schließung 3 ge
ffnet. Das Erdgas gelangt weiter ber die Rckschlagklappe 5 vor das Gasregelventil 6. Dieses dosiert den Brennstoff und steht unter dem Einfluß der Regelung oder Anfahrsteuerung. Das kombinierte Zndgas-Ausblaseventil 7 dient im Stillstand bzw. lbetrieb mit der Hauptabschließung 3 als Entlastungsorgan. Der Ausblaseteil ist ge
ffnet und Gasleckagen werden durch die Gasausblaseleitung b abgefhrt. Die Zndgasleitung e fhrt im Bypass um das noch geschlossene Gasregelventil 6 in die Hauptgasleitung c. Die Zndgasmenge wird durch die Blende 8 bestimmt. Im Gasbetrieb wird die Brennstoffdse gekhlt. Das Khlgas str
mt ebenfalls ber das Ventil 7 sowie die Dsenkhlgasleitung d und Blende 10 zur Brennstoffdse. Im Fall einer Verpuffung in der Brennkammer wird das Gasnetz mit Hilfe der Rckschlagklappen 5 und 9 geschtzt. Brenn
lbetrieb. Die Zubringerpumpe 14 f
rdert das l ber den umschaltbaren Filter 16 zur Hauptpumpe 18. Das Druckhalteventil 19 hlt den Brennstoffdruck konstant und steuert die berflssige Menge in den Behlter 11. ber das Umwlzventil 20, die Leitung f und das Brennstoffventil vor der Dse 21 gelangt das Brenn
l zum Hauptabsperrventil 23. Dieses Dreiwegeventil gibt den Weg zur Dse frei. Es soll im Schnellschlußfall die Brennstoffzufuhr zur Dse unterbrechen und das in der Brennstoffleitung vor der Dse verbleibende Brenn
l in den Behlter 24 ablaufen lassen. Die im Brenner angeordnete Brennstoffdse dosiert den Brennstoff. Besondere Betriebszustnde. Whrend des lbetriebs tritt an der Dse eine Leckage auf, die ber das Dreiwegeventil 25 in den Leckagetank 24 abgefhrt wird. Im Gasbetrieb wird diese Verbindung durch das Dreiwegeventil 25 geschlossen, damit die Gase nicht aus der Brennkammer in den Behlter 24 str
men. Hierbei wird auch die Brenn
l-Dse mit Erdgas gesplt. Das Splgas gelangt aus der Hauptgasleitung c ber das Dreiwegeventil 25 zur Dse. Im Mischbetrieb muß diese Verbindung geschlossen werden, um die beiden Systeme Erdgas und Brenn
l zu trennen. Die beiden Rckschlagklappen 22 erfl-

I8.4 Hilfssysteme

R 89

Bild 12. Brennstoffsystem fr Gas-, Brennl- und Mischbetrieb. 1 Gasabsperrschieber, 2 Sieb, 3 Gashauptabschließung, 4 Entlftungsschieber, 5 Rckschlagklappe, 6 Gasregelventil, 7 Zndgas-Ausblaseventil, 8 Blende in der Zndgasleitung, 9 Rckschlagklappe, 10 Blende in Dsen-Khlgasleitung, 11 Brennlbeh
lter, 12 Absperrorgan, 13 Filter, 14 Zubringerpumpe, 15 Druckhalteventil fr Zubringerpumpe, 16 umschaltbarer Filter, 17 Bypass, 18 Hauptpumpe, 19 Druckhalteventil fr Hauptpumpe, 20 Umw
lzventil, 21 Brennstoffventil vor Dse, 22 Rckschlagklappe, 23 Hauptabsperrventil, 24 Beh
lter, 25 Dreiwegeventil, 26 Pumpe zum Entleeren des Beh
lters, 24, 27 Druckhalteventil, a Entlftungsleitung, b Ausblaseleitung, c Hauptgasleitung, d Dsen-Khlgasleitung, e Zndgasleitung, f Hauptleitung fr Brennl, g Brennl-Entlastungsleitung, h Umw
lzleitung, i Entlftungsleitung, k Rckfhrleitung

len in Verbindung mit dem Hauptabsperrventil 23 und dem Dreiwegeventil 25 die Aufgabe, daß bei jedem Betriebszustand ein unter Druck stehendes System eine Absperrung mit anschließender Entlastung hat. W
hrend des Anfahrvorgangs, jedoch vor der Zndung, wird der Brennstoffstrom mit Hilfe des Umw
lzventils 20 in der Leitung k abgefhrt. ber die Umw
lzleitung h wird dabei das Brennstoffsystem unter Druck gebracht. 8.4.3 Schmier
lsystem. Lubrication system Es deckt den erforderlichen lbedarf sowohl fr die Schmierung und Khlung aller Lager der Gasturbinengruppe als auch denjenigen fr die Steuerung und Regelung.

Zentrale
lversorgung (Bild 13). Sie liefert das Schmierl a fr das verdichterseitige Traglager, das Drucklager der Turbogruppe, alle Lager des Stromerzeugers sowie das Zwischengetriebe, das Khll b fr das verdichter- und turbinenseitige Traglager, das Hochdruck-Kraftl c fr alle vorgesteuerten hydraulischen Stellorgane, das Niederdruck-Kraftl d fr die Signalbertragung, das Anhebe-l e fr die Traglager der Turbogruppe und des Stromerzeugers sowie gegebenenfalls fr l f fr die Wellendrehvorrichtung. Der Schmierlbeh
lter ist ausgerstet mit einem Niveauw
chter, einem Belftungsfilter, einer Stillstand-Heizung 2 mit Umw
lzpumpe 3 und einem ldunst-Absaugeventilator 4. Betrieb. Hierbei liefert die durch die Hauptwelle angetriebene zweistufige Hauptlpumpe 6 in der ersten Stufe das Schmier-

R

Bild 13. Schmier- und Kraftlsystem. 1 Schmierlbeh
lter, 2 Widerstandsheizung, 3 Umw
lzpumpe, 4 ldunst-Absaugeventilator, 5 labscheider, 6 Hauptlpumpe, 7 Hilfs-Schmierlpumpe, 8 Hilfs-Kraftlpumpe, 9 Khllpumpe, 10 Pumpe fr die Wellendrehvorrichtung, 11 Anhebe-lpumpe, 12 lkhler, 13 Filter, 14 Temperaturregler mit Dreiwege-Mischventil, 15, 17, 18, 27, 28 Druckhalteventil, 16 Druckminderventil, 19 bis 26 Rckschlagklappen, a Schmierl, b Khll, c Hochdruck-Kraftl, d Niederdruck-Kraftl, e Wellenanhebe-l, f lversorgung der Wellendrehvorrichtung, g lrcklauf, h lrcklauf von der Wellendrehvorrichtung

R 90

Str
mungsmaschinen – 8 Gasturbinen


l und in der zweiten Stufe das l mit h
herem Druck fr Steuerung und Regelung – und das oberhalb 80 % der Nenndrehzahl. Anfahrvorgang. Die lversorgung bernehmen die HilfsSchmier
lpumpe 7 und die Hilfs-Kraft
lpumpe 8, bis die erforderlichen ldrcke von der Haupt
lpumpe aufgebaut sind. Drehzahlabhngig schaltet sich nur die Hilfsschmier
lpumpe 7 automatisch ein, ebenso bei einem Sinken des Schmier
ldrucks whrend des Betriebs, wobei gleichzeitig die Maschine abgestellt wird. Um das Losbrechmoment fr die Anwurfeinrichtung klein zu halten, wird der Wellenstrang mittels Hochdruck
l der Anhebe-lpumpen 11 angehoben. Spannungsausfall. Hier sichert die von einem Gleichstrommotor angetriebene Khl
lpumpe 9 die lversorgung fr ein schadenfreies Auslaufen der Maschine sowie die Pumpe 10 fr das Wellendrehen mit der Wellendrehvorrichtung.

8.4.4 Weitere Hilfssysteme Further auxiliary systems K
hlsystem. Bei geschlossenen Anlagen ist es meist ein geschlossener Wasserkreislauf, der die Wrme des Schmier
lsystems und des elektrischen Generators aufnimmt und ber einen Oberflchen-Wrmetauscher an die Umgebungsluft abgibt. Zum Khlsystem zhlen ein Wasserbehlter, Rohrleitungen, Pumpen, Wrmetauscher, das Geblse des Wasser-LuftWrmetauschers, Schieber und die Temperatur-Regelung. Bei Luftfahrt-Triebwerken erfolgt die Schmier
lkhlung mit Luft oder Brennstoff. Anfahreinrichtung. Zum Anfahren der Gasturbine aus dem Ruhezustand muß die Anfahreinrichtung das Losbrechmoment berwinden und dann den Turbosatz weiter beschleunigen, bis die Zndung eingeleitet werden kann. Nach erfolgter Zndung bringt die Anfahreinrichtung den Turbosatz auf die

R

Bild 14. a Einwellige Kraftwerks-Gasturbine mit Hybrid-Vormischbrenner fr Erdgas oder Heiz
l (Siemens KWU V64.3A). 1 Verdichter-Sttze, 2 Gehuse, 3 Turbinen-Sttze, 4 Turbinen-Lagergehuse, 5 Abgasdiffusor, 6 Ansaugkanal, 7 Axial-Radial-Lager, 8 Vorleitgitter-Verstelleinrichtung, 9 Radscheibe, 10 Verdichter-Leitschaufeltrger, 11 Verdichter-Diffusor, 12 Brennkammer, 13 Khllufttrennrohre, 14 Turbinen-Leitschaufeltrger, 15 Radial-Lager, 16 Zuganker. b Vom Propeller-Turboluftstrahl-Triebwerk (PTL) abgeleitete Gasturbine fr mechanische Nutzleistungsabgabe. 1 Lufteintritt, 2 Verdichtereintritt, 3 Abblasleitung, 4 Ringbrennkammer, 5 Eintritt der Hochdruck-Turbine, 6 Eintritt der Niederdruck-Turbine (Nutzleistungsturbine), 7 Eintritt in Abgaskanal, 8 Austritt aus Abgaskanal, 9 Planetengetriebe, 10 Kupplungsflansch

I8.5 Gasturbine im Kraftwerk Freidrehzahl (etwa 55 % der Nenndrehzahl); ab dieser Drehzahl kann die Gasturbine aus eigener Kraft hochlaufen.

8.5 Gasturbine im Kraftwerk Gas turbines in power plants 8.5.1 Allgemeines und Bauweise General and configurations Basierend auf ihrer hohen Leistungsdichte und ihrem schnellen Lastannahmeverm
gen, dienten Gasturbinen im Kraftwerksbetrieb ber Jahrzehnte berwiegend zur Spitzenlastdeckung, fr Reservekraftwerke sowie als fahrbare Notstromaggregate. Die Abgaswrme wird gegebenenfalls nicht in einem Abgaswrmetauscher im Sinne von Bild 1 d genutzt, sondern zur Erzeugung von Nah- oder Fernwrme, fr Trocknungsprozesse oder zur Meerwasserentsalzung (Kraft-Wrme-Kopplung). Heute steht der Einsatz in Gas- und DampfAnlagen (s. R 8.5.2) im Vordergrund. Die h
chsten Einheitenleistungen von Gasturbinen in Schwerbauweise liegen derzeit bei 240 MW, wofr ein Luftmassenstrom von etwa 1 200 kg/s erforderlich ist. Die Kupplungswirkungsgrade reichen bis etwa 38 % (Bild 14 a). Fr Leistungen bis 25 MW werden auch aus Luftfahrt-Triebwerken abgeleitete Gasturbinen eingesetzt, wobei das hinter dem Gaserzeuger noch verfgbare Enthalpiegeflle eben nicht zur Schuberzeugung verwendet, sondern in einer Nutzturbine abgearbeitet wird, die den elektrischen Generator antreibt (Bild 14 b).

8.5.2 Gas- und Dampf-Anlagen Combined-cycle power plants Die im Abgas der Gasturbine enthaltene Restexergie wird einem Dampfkraftprozeß zugefhrt, der daraus zustzliche elektrische Energie liefert. Zwischen folgenden beiden Grundkonzepten ist zu unterscheiden [5]. Gasturbine mit Abhitzekessel (Bild 15). Die elektrische Leistung wird berwiegend von der Gasturbinenwelle abgegeben, ergnzt um die elektrische Zusatz-Leistung aus dem Dampfkraftprozeß, der entweder einzig aus der Abgaswrme

R 91

der Gasturbine gespeist wird oder im Falle des befeuerten Abhitzekessels eine entsprechend gr
ßere Zusatzleistung liefert. Gas- und Dampf-Kombiprozesse. Da die Gasturbine bei Vollast bei etwa l=4 betrieben wird, demnach 3 von 4 Teilen Luftsauerstoff nicht verbraucht werden, kann das Gasturbinenabgas als (bereits sehr heiße) „Ansaugluft“ einem Dampferzeuger zugefhrt und in diesem zustzlich noch das Dreifache der Gasturbinen-Brennstoff-Leistung an Brennstoff verbrannt werden (Bild 16). Die vom Dampfturbinensatz daraus erzeugte elektrische Leistung betrgt wegen des h
heren Dampfturbinenwirkungsgrades das rund Vierfache der Gasturbinenleistung. Der besondere Vorteil dieses ber zwei getrennte Feuerungen verfgenden Nicht-integrierten Kombiprozesses besteht darin, daß im Dampferzeuger auch relativ minderwertige Brennstoffe (Kohle, Schwer
l) verfeuert werden k
nnen. Demgegenber wird beim Integrierten Kombiprozeß in der Gasturbinen-Brennkammer praktisch der gesamte Luftsauerstoff zur Verbrennung genutzt und mit diesem Verbrennungsgas (l nahe bei 1) zunchst der Dampfkraftprozeß beheizt und anschließend die Turbine des Gasturbinensatzes beaufschlagt. Die Brennstoffauswahl hat sich dabei an den (anspruchsvolleren) Anforderungen der Gasturbine zu orientieren. Allerdings kann bei Einsatz einer Druck-Wirbelschichtfeuerung inzwischen auch schon Kohlestaub im offenen Gasturbinenprozeß verfeuert werden. In Kombianlagen werden Gesamtwirkungsgrade (elektrische Leistung/Brennstoffleistung) bis zu 58 % erzielt. Kombianlagen eignen sich außer fr Neuanlagen besonders auch zur Leistungsaufstockung bestehender Dampfturbinen-Kraftwerke (siehe L 3.1.3).

8.5.3 Luftspeicher-Kraftwerk (Bild 17) Air-storage gas-turbine power plant Analog zum Pumpspeicher-Wasserkraftwerk werden entsprechend große, natrliche Speichervolumina (z. B. ausgelaugter Salzstock) mit Luft (bis 75 bar, mit 2,5 bar/h) aufgepumpt, wobei die Verdichter mit billigem Nachtstrom betrieben werden. Tagsber wird zur Spitzenlastdeckung verdichtete Luft entnommen (von 75 auf 55 bar, mit 10 bar/h) und einem Gasturbinensatz zugefhrt, dessen gesamte Turbinenleistung

R

Bild 15. Gasturbinenanlage mit (unbefeuertem) Abhitzekessel

R 92

Strmungsmaschinen – 8 Gasturbinen

Bild 16. Nicht-integrierter Gas-Dampf-Kombiprozeß

R Bild 17. Luftspeicherkraftwerk

nunmehr als Nutzleistung verf
gbar ist, weil der Verdichter dabei abgekoppelt ist.

Geschwindigkeit des Flugzeugs relativ zur Geschwindigkeit der Umgebungsluft (Fluggeschwindigkeit), S ¼ ðm_ L þ m_ B Þ
cD  m_ L
c1

8.6 Gasturbine f
r Verkehrsfahrzeuge Gas-turbine propulsion systems 8.6.1 Luftfahrt. Aircrafts Hier hat sich die Gasturbine wegen ihrer hohen Leistungsdichte bez
glich Gewicht und Bauvolumen gegen
ber dem Verbrennungsmotor durchgesetzt, der als Flugantrieb nur noch in Sport- und Leichtflugzeugen zu finden ist [7–9, 11]. Neben Turbo- und Propeller-Turboluftstrahl-Triebwerken (TL bzw. PTL) sind in der Luftfahrt vor allem ZweistromTurboluftstrahl-Triebwerke (ZTL) in Anwendung (Bild 18). Der vom Triebwerk erzeugte Schub S, mit m_ L und m_ B als den Massenstrmen von Luft und Brennstoff, cD als der D
senaustrittsgeschwindigkeit relativ zum Flugzeug und c1 als der

lßt sich wegen m_ B  m_ L nherungsweise beschreiben mit S  m_ L ðcD  c1 Þ: Das Wirkprinzip des ZTL-Triebwerks baut darauf auf, daß mit sehr hohen Werten f
r cD der Vortriebswirkungsgrad hP ¼ 2 c1 =ðc1 þ cD Þ sehr niedrig wird, und realisiert deshalb die Schubsteigerung nicht
ber die Steigerung von cD, sondern von m_ L . Der
ber das Geblse (Fan) erzeugte Zweitluftstrom kann bei ZTL(= Fan-)Triebwerken bis zum Siebenfachen des Kernluftstroms betragen, wodurch diese
ber einen hohen StandSchub verf
gen.

I8.6 Gasturbine fr Verkehrsfahrzeuge

R 93

Bild 18. Dreiwelliges Zweistrom-Turboluftstrahltriebwerk mit dem Nebenstromverh
ltnis 6. a Nebenluftstrom, b Kernluftstrom, 1 Gebl
se fr Nebenluftstrom (gleichzeitig 1. Verdichterstufe des Kernluftstroms), 2 Verdichter des Kernluftstroms, 3 Brennkammer, 4 Turbinenstufen

8.6.2 Schiffahrt. Marine application In der milit
rischen Schiffahrt kommen Gasturbinen vornehmlich in Schnellbooten zum Einsatz, meist als von Flugtriebwerken abgeleitete Versionen. In der zivilen Schiffahrt werden Gasturbinen ebenfalls in schnellen Schiffen eingesetzt, wobei sie in vielen F
llen in CODOG-(combined diesel or gas turbine-)Anlagen zu finden sind, in denen die Gasturbine gemeinsam oder wechselweise mit einem Dieselmotor arbeitet. Der Antrieb von großen seegehenden Schiffen erfolgt heute weltweit praktisch ausschließlich ber Großdieselmotoren, weil hier der Vorteil der Gasturbine in Form einer hohen Leistungsdichte nicht von Bedeutung ist, der Dieselmotor jedoch den besseren Wirkungsgrad und zudem extreme Schwerltauglichkeit aufzuweisen hat.

Bild 19. Vollast-Drehmoment Md ber der Abtriebsdrehzahl n bei ein- und zweiwelliger Fahrzeuggasturbine (Md100 ; n100 . . . Werte bei Nennleistung als Referenz)

8.6.3 Straßenfahrzeuge. Road vehicles Als Antrieb fr Straßenfahrzeuge (PKW, LKW, Bus) ist die Gasturbine bislang nicht ber die prototypische Anwendung hinausgekommen, weil sie, zumindest bei metallischer Ausfhrung, dem Otto- und erst recht dem Dieselmotor wirkungsgradm
ßig weit unterlegen ist [12]. Ihren Vorteil der im Vergleich zum Verbrennungsmotor in jedem Fall gnstigeren Abgasqualit
t kann die Gasturbine erst dann ausspielen, wenn sie durch eine Steigerung der Turbineneintrittstemperatur bis zu 1 350 C wirkungsgradm
ßig an den Verbrennungsmotor heranreicht. Dies erfordert den Einsatz von Keramik ðSiC; Si3N4) fr die heißgasfhrenden Komponenten, woran weltweit mit wechselnder Intensit
t gearbeitet wird. Ebenfalls aus Wirkungsgradgrnden wird eine Fahrzeuggasturbine immer ber einen Abgasw
rmetauscher (Regenerator oder Rekuperator) verfgen. Folgende Bauweisen sind zu unterscheiden: Gasturbine als direkter Antrieb. Bei einwelliger Bauart ist wegen der dabei ungnstigen Drehmomentencharakteristik (Bild 19) unbedingt ein CVT-Getriebe erforderlich. Trotz des fr den Fahrzeugantrieb an sich gnstigen, steilen Drehmomentanstieges mit abfallender Nutzturbinen-Drehzahl im Falle der zwei- oder mehrwelligen Bauart (Bild 20), wird aus Wirkungsgradgrnden auch hier ber ein (mglichst CVT-) Getriebe dafr gesorgt, daß die Nutzturbine immer nahe ihrer Auslegungsdrehzahl laufen kann.

R Gasturbine im Hybridkonzept. In einer erfolgversprechenden Variante mglicher Hybridkonzepte wird das Fahrzeug von einem Elektromotor angetrieben, der von einer Batterie gespeist wird. Eine mglichst auf einer gemeinsamen Welle angeordnete Einheit aus (einwelliger) Gasturbine und elektrischem Generator sorgt dafr, daß die Batterie immer ausreichend geladen ist. Da die Fahrzeug-Beschleunigungsleistung aus der Batterie entnommen wird und diese als Energiespeicher fungiert, kann die Gasturbine fr eine relativ kleine Leistung ausgelegt und immer in ihrem Auslegungspunkt betrieben werden. Letzteres begnstigt den Gesamtwirkungsgrad bei einer in jedem Fall hervorragenden Abgasqualit
t. 8.6.4 Abgasturbolader (Bild 21) Exhaust-gas turbocharger Er stellt eine Sonderform der einwelligen Gasturbine dar. Anstelle der Brennkammer (in Bild 1 a) liefert ein Verbrennungsmotor sein Abgas an die Turbine und erh
lt dafr vom Verdichter vorverdichtete Luft (Aufladung). Entsprechend der Luftdichteerhhung kann die Motorleistung gegenber der des nicht-aufgeladenen Motors angehoben werden (s. P 4.3.5).

R 94

Strmungsmaschinen – 8 Gasturbinen

Bild 20. Kraftfahrzeug-Gasturbine. 1 Lufteintritt, 2 Verdichter, 3 Brennkammer, 4 Hochdruckturbine, 5 Niederdruck-Turbine (Nutzleistungsturbine), 6 Regenerator, 7 Untersetzungsgetriebe, 8 Antriebswelle

R Bild 21. Abgasturbolader eines Großdieselmotors, mit Axialturbine, Typ MAN B&W, NA/S

8.7 Brennstoffe. Fuels Gasturbinen im offenen Prozeß sind auf gute Brennstoffqualit
ten angewiesen, da Brennstoffaschen zu Schaufelerosion und Ablagerungen an den Schaufeln, Brennstoffgehalte an Schwefel, Natrium und Vanadium durch Bildung von Na2SO4 und V2O5 zu Sch
den durch Heißkorrosion fhren. Von den flssigen Brennstoffen kommen daher vor allem alle Destillatkraftstoffe (wie Heizl EL, Dieselkraftstoff, Kerosin, Benzine) und auch Alkoholkraftstoffe (Methanol, Ethanol) in Frage, von den gasfrmigen spielt vor allem Erdgas eine wichtige Rolle. An sich sind alle bekannten Brenngase (s. L 2.4) fr den Gasturbineneinsatz geeignet, sofern sie ausreichend schwefelfrei (H2S) und weitestgehend staubfrei ( FT 2) kommt noch ein asymmetrischer Anteil hinzu, der die Grße der Spannungen nur unwesentlich verndert, die Verteilungsfunktion aber etwas gegen FT 1 verschiebt. Die Stirnwnde werden als Kreiszylinderplatte berechnet. In radialer Richtung auftretende Biegespannung sr (Bild 14 b), ausgezogen bei h = const., strichpunktiert bei Turbinenboden. Bild 14 c gibt die Verformungen wieder; dort auch bernahme eines Teils MN des Biegemoments M der Welle durch die Stirnwand ersichtlich, der um so kleiner wird, je weicher die Stirnwand ist; zwischen den Naben verbleibt f
r die Welle der meist grßere Anteil MW [24] .

U

U 50

F
rdertechnik – 3 Stetigf
rderer Bild 15. Zweitrommelantrieb mit drei gleichen Kfiglufermotoren und fllungsverz
gerten Str
mungskupplungen fr waagerechte F
rderbandanlage 1 200 m Lnge, 1 400 m3/h bei 4 m/s Gurtgeschwindigkeit. Stahlseilgurt. Antriebstrommeln nur von sauberer Gurtseite berhrt. Vorspannkraft durch seitlich angebrachtes Spanngewicht. Zum raschen Stillsetzen Doppel-Backenbremse mit Bremslfter auf Antrieb II

Antriebs- und Spannstationen

Bild 16. Transportable Antriebsstation fr Massengutf
rderung im Tagebaubetrieb (4  2 000 kW) mit transportabler Umkehre (2  2 000 kW), 40 000 t/h bei 7,5 m/s Gurtgeschwindigkeit. 1 F
rdergurt St 4500, 2 Motor 2 000 kW (Schleifringlufer), 3 Scheibenbremse, 4 Zweistufiges Kegelstirnradgetriebe, 5 Antriebstrommel, 6 Spanntrommel, 7 Spannwinde, 8 Prallplatte, 9 Elektrische Einrichtungen, 10 Standponton, 11 Lngstrger zum Andocken der Transportraupe, 12 Transportraupe fr Masse von 700 t, 13 Umkehre mit 2 Antrieben, 14 Transportraupe fr Masse von 200 t, 15 Aufgabetrichter, 16 Schmutzfanggurt, 17 Auflaufbrcke (Krupp F
rdertechnik GmbH, Duisburg; Rheinbraun AG, K
ln)

Bild 16

U

Antriebsstationen. Bei kleinen ortsfesten, tragbaren oder fahrbaren Gurtf
rderern Antrieb durch Kfiglufermotor/ Keilriemen- und Zahnradvorgelege/Trommel. Vereinigung von Motor und Vorgelege innerhalb der Trommel: ElektroF
rdergurttrommel (serienmßig bis etwa 20 kW, Einzelfertigung bis 150 kW). Anordnung meist am Kopf der Anlage; bei fahrbaren Anlagen und Auslegern zum Vermeiden der Kopflastigkeit auch am Aufgabeende (hohe Gurtbeanspruchung auch im Untertrum). Mittlere und große Anlagen sind meist am Kopf angetrieben. Trommelantrieb durch ein oder zwei Antriebseinheiten: Motor/Kupplung (elastische oder Anlaufkupplung)/Getriebe/ Kupplung/Trommel (auf festem Rahmen) (Bild 15) oder Motor/Kupplung/Steckgetriebe/Trommel; Trommelwellenstumpf trgt hier die davorliegenden Antriebselemente, deren Tragrahmen mit Drehmomentensttze abgefangen ist: Tatzlagerung (Bild 13). Fr stark ansteigend f
rdernde Anlagen Anbau einer Rcklaufsperre an zweite Stufe eines Getriebes oder Schlingbandbremsen auf den Getriebeeingangswellen. Zur Bewltigung gr
ßter Massenstr
me (bis 40 000 t/h) im Tagebaubetrieb Einsatz von transportablen Antriebsstationen und -umkehren (Eigenmasse 700 t) (Bild 16). Mobilitt wird erreicht durch eigenverfahrbare Transportraupen oder durch anbaubare, hydraulisch bettigte Schreitwerke. Vorspannung von Seilwinde auf im Betrieb fest eingestellte Spanntrommel aufgebracht. Einsatz von Asynchronmaschinen mit Schleifringlufern (zur Begrenzung des Anfahrmoments), Kegelstirnradgetriebe ber Flanschkupplungen zur schnellen Montage an der Trommelwelle stirnseitig angeschraubt. Einzelantrieb 2 000 kW, vier Einheiten an der Station, zwei an der Umkehre, Gurtbreite 2 800 mm, Gurtgeschwindigkeit 7,5 m/s, Muldungswinkel 43, Mitteltragrolle lM =600 mm [17, 18, 29].

I3.2 Stetigfrderer, Zug- und Tragorgan vereinigt (Gurtfrderer)

U 51

Weitere Antriebsformen. Ein- oder Zweitrommelantrieb am Kopf und Eintrommelantrieb am Heck (f
r wenig abwrts frdernde Anlagen g
nstig; auch f
r schwere etwa waagerechte Anlagen) gegebenenfalls zustzlicher Mittelantrieb zur Verringerung der maximalen Gurtzugkrfte; reversierbare Anlagen, angetrieben in Mitte Untertrum oder an einem der Enden oder an beiden. Einleitung von Antriebskraft in den Gurt auch durch angetriebene Treibgurte, die durch Reibung das aufliegende Ober- oder angepreßte Untertrum mitnehmen [25]. Spannstationen. F
r trag- und fahrbare Gurtfrderer, auch f
r ortsfeste Kleinanlagen Spindelspannvorrichtungen (Bild 17 a); zum Begrenzen der Vorspannung auch gefedert (Bild 17 b). Bei grßeren Anlagen wird bewegliche Spannstation erforderlich. Spanntrommel auf Spannwagen gelagert dicht am Kopfantrieb (Bild 15) oder in senkrechten F
hrungen fahrend. Spannkraft durch Gewicht oder Winde. Gewichte erzeugen konstante Vorspannkraft; fest eingestellter Achsabstand bedingt im Ruhezustand grßere Vorspannkraft, damit im Betrieb die noch notwendige vorhanden ist (Bild 18). Einstellen der Windenzugkraft von Hand oder elektromotorisch nach Anzeige eines eingebauten Dynamometers. Elektrische Spannwinde gestattet auch Ausbildung selbstttiger Einstellung der Windenzugkraft zwischen zwei Grenzwerten oder Regelung auf konstante Grße (Bild 16). Vorzusehender Spannweg abhngig von Achsabstand und Betriebsdehnung der Gurtart. Wird zulssige Gurtzugkraft voll ausgenutzt, so kann gerechnet werden mit Betriebsdehnungen von etwa: 2 % bei Baumwoll-, 1,5 % bei Chemiefaser- und 0,15 % bei Stahlseil-Einlagen. F
rdergutaufgabe, -bergabe und -abgabestellen F
rdergutaufgabe. Mglichst in Laufrichtung und unter Vermeidung grßerer Fallhhen. Bei Sch
ttg
tern Anbringen von Trichtern und Zulaufschurren, deren Kanten mit Gummileisten gegen
ber dem laufenden Gurt abgedichtet werden. Schonende Aufgabe von Sch
ttg
tern mit verschiedener Krnung durch Anbringen eines Rosts, auch Rollenrosts (bei kohsivem Frdergut Verstopfungsgefahr!).

Bild 17 a, b. Spindelspannvorrichtungen. a Mit Druckschraube; b mit gefederter Zugschraube

Bild 19. Rechtwinklige bergabe mit Gurtbreite 2 800 mm (Rheinbraun AG, Kln)

F
rdergutbergabe. Winklig angeordnete bergabestellen erhalten einstellbare Prallplatten zum mittigen Beschicken des abfrdernden Gurts (Bild 19). Zur Vermeidung von Anbackungen bei kohsivem, klebrigem Frdergut Ausr
stung der Prallplatten mit profilierten Gummisch
rzen [26]. F
rdergutabwurf (-abgabe). Meist
ber Kopf am Anlagenende; auf der Frderstrecke durch einseitige oder pflugfrmige Abstreifer oder Abwurfwagen (Gurtschleifenwagen). Der lngs der Frderstrecke verfahrbare Gurtschleifenwagen gibt entweder in einen Trichter ab, von dem das Sch
ttgut seitlich durch ein oder zwei Rohre weitergeleitet wird, oder wirft es auf ein nachgeschaltetes Querband ab. Zum Beseitigen der nach dem Frdergutabwurf noch am Gurt haftenden Sch
ttgutreste Anordnung von gewichts- oder federbelasteten Abstreifern bestehend aus nachstellbaren Gummileisten; f
r breite Gurte und klebriges Sch
ttgut: Fcherabstreifer. Rotierende Abstreifer mit Gummilamellen oder Perlonborsten nur bei leichtem, wenig backendem Sch
ttgut. Pflugabstreifer auf dem Gurtuntertrum vor Trommeln. Zur Trommelreinigung bei blanken Trommeln Stahlabstreifer mit festen oder querbeweglichen Vorrichtungen: glatte oder kammartige Stahlschiene, Abstreiffinger. Gummibelge auf Trommelmnteln vermindern Anbackungen [9, 10]. Verschmutzung der Untergurt-Tragrollen und Schmutzansammlung unter dem Untertrum werden vermieden durch Wenden des Gurts im Untertrum hinter dem Antrieb und vor der Umkehre. Sttzkonstruktionen

Bild 18 a, b. Wirkung einer Gewichts- oder Winden-Vorspanneinrichtung auf die Gurtzugkraft. a Spannstation mit konstanter Vorspannkraft; b Spannstation mit fest einstellbarem Achsabstand

Die Tragger
ste bestehen aus Lngsholmen und St
tzen aus U-Normal- oder Abkantprofilen; Quersteifigkeit durch die aus U-Profilen, dachfrmig gestellten Winkeleisen oder Rohren gebildeten Trger der Muldenstze; zuweilen eingef
gte Diagonalverbnde verhindern Lngsverschiebungen, Abdeckbleche verhindern Untergurtverschmutzung (Bild 20). Bei umlegbaren und r
ckbaren Gurtfrderanlagen werden die Tragger
ste aus einzelnen Stßen gebildet, die auf Stahlschwellen gelagert sind (Bild 21). ber das deformierende R
cken von Gurtfrderanlagen s. [27]. Abgedeckte, leicht auf- und abbaubare Gurttragger
ste f
r unter Tage DIN 22 111. Stationre Anlagen dort zuweilen mit Tragger
sten, die mit nachstellbaren Ketten oder Seilen am Grubenausbau oder dem Gestein hngend befestigt sind.

U

U 52

F
rdertechnik – 3 Stetigf
rderer gebenen Berechnungsgrundlagen beziehen sich auf Plattenund Kastenband- sowie Trogbandf
rderer. Sinngemße Anwendung auch auf Kreisf
rderer. DIN 22 200 behandelt nur Berechnungsgrundstze von Gliederbandf
rderern.

Bild 20. Ortsfestes Traggerst. Tragrollen mit Festachse

Rollengirlanden k
nnen auch an lngs der F
rderstrecke ausgespannten, vielfach untersttzten Tragseilen angebracht werden: Tragseil-Gurtf
rderer. Gurtlenkkonstruktionen Zur Fhrung von Gurten fr die Steilf
rderung, z. B. Wellkantengurt mit Stollen (s. a. Bild 2 d), werden zur Erzielung sehr kleiner Vertikalradien Umlenkscheiben und eng gestellte, durchgehende Rollen eingesetzt. Aufgabe des F
rderguts auf horizontaler Strecke und Einstellung von Neigungen zwischen 0 und 90 m
glich (Bild 22). Bei vertikaler Lage angepaßt an die Eigenschaften des Festigkeitstrgers Drehen der beiden Trume um die vertikale Achse ohne Sttzung durch Rollen ausfhrbar [28]. Dadurch Einstellm
glichkeit einer vernderbaren, winkligen Lage zwischen den horizontalen Strecken (Aufgabe und Abgabe).

3.3 Stetigf
rderer, Zug- und Tragorgan getrennt Conveyors with separate components for hauling and carrying 3.3.1 Gliederf
rderer Conveyors with articulated links Gleichartige F
rderelemente (Platten, Tr
ge, Ksten, Becher, Gehnge, Kratzer) sind an einem endlosen Zugmittel (Rundstahlkette, Laschenkette, Sonderkette, Gurt, Drahtseil) in gleichen Abstnden aneinandergereiht. Die in DIN 22 200 ange-

Bild 22. Fhrung eines Wellkantengurtf
rderers (Scholtz GmbH, Hamburg)

U

Bild 21. Rckbarer Traggerststoß eines Langstreckengurtf
rderers. Rollengirlanden an festen Lngsholmen (oben), an einer Sttze (unten). F
rdergutstrom 17 000 t/h bei 6,5 m/s F
rdergeschwindigkeit (Rheinbraun AG, K
ln)

I3.3 Stetigfrderer, Zug- und Tragorgan getrennt Gliederbandf
rderer Je nach Ausbildung der Tragglieder: Platten-, Trog- und Kastenb
nder; sie
berdecken sich gelenkig; bei Plattenbndern f
r St
ckgut auch stumpf aneinanderstoßend. Zugmittel (s. G 6). Zerlegbare Gelenkketten oder Stahlbolzenketten mit ein- oder zweiseitigen Befestigungslappen; an Stelle der Tempergußausf
hrung Buchsenfrderketten mit gekrpften Stahllaschen; f
r schwereren Betrieb auch Stahlgelenkketten mit geraden Laschen (DIN 8165 und DIN 8175), oder als Buchsenketten mit glatten oder Bund-Laufrollen DIN 8166, Rundstahlketten DIN 764 auch in hochfester Sonderausf
hrung, hauptschlich f
r Trogbnder. Anordnung zwei- oder einstrngig; letztere erforderlich bei kurvengngigen Gliederbndern. Tragglieder. Leisten oder Platten aus Holz oder Stahl f
r St
ckgut-Plattenbnder. F
r Sch
ttgut sich
berdeckende Platten. Bei den Trogbndern
berdecken sich auch die hochgezogenen Seitenwnde schuppenfrmig (Bild 23). Kasten werden gebildet durch eingezogene Querwnde. Anordnung im Abstand von 1 bis zu 12 Kettenteilungen. Bei kurvengngigen Gliederbndern zustzlich F
hrungsrollen mit senkrechter Achse. Absttzung. Sie erfolgt beim Gliederband durch Laufrollen und F
hrungsschienen; selten schleifend oder auf St
tzrollen. Meist werden die mit Bund (Spurkranz) versehenen Laufrollen auf im Zugmittel befestigten Steck- oder durchgehenden Achsen fliegend mittels Wlzlagern gelagert (Bild 23 b–d). Antrieb und Umlenkung. Sie erfolgen durch Kettenrder oder Kettensterne (Turasse) aus Grau- oder Stahlguß. Frdergeschwindigkeiten 0,1 bis 1,2 m/s. Lange Trogbandfrderer

U 53

erfordern Anlaufkupplungen (z. B. Fl
ssigkeitskupplung); hier auch Zwischenantrieb anwendbar, bei dem kurze endlose Kette mit Mitnehmern in die Frderkette eingreift. An Umkehre gefederte Spindelspannvorrichtung (Bild 17 b). Anwendung. Holz- und Stahlplattenbnder f
r St
ckg
ter, insbesondere in der Fließfertigung. Trogbnder f
r schwere, grobst
ckige, stark schleißende, auch heiße St
ck- oder Sch
ttg
ter, z. B. kurze Bunker-Austragbnder, Frderbnder f
r Kohle und Berge unter Tage (Frdergutstrom bis 300 t/h, Frderlnge bis 400 m mit Antrieb am Kopf und Schluß des Bands; grßere Lngen mit Zwischenantrieben); bei Steigungen (bis 50) Kastenbnder (z. B. f
r Koksverladung). Becherwerke Senkrecht- oder Schr
gbecherwerke (Elevatoren) mit Bechern als Tragorgan, die am Zugorgan (Gurt, Ein- oder Zweistrangkette) befestigt sind. Selbstschpfend (Schpfbecherwerk) (Bild 24 a), oder durch Aufgabetrichter beschickt (Aufgabebecherwerk). Schnellaufende Gurt-Becherwerke bis 2,5 m/s Gurtgeschwindigkeit; Ketten-Becherwerke mit 1,0 bis 1,2 m/s oder langsam mit 0,3 bis 0,5 m/s Kettengeschwindigkeit. Die Becher sind in grßerem Abstand oder in dichter Folge angebracht (Vollbecherwerk) (Bild 24 b). Antrieb und Umlenkung (Spannung)
ber Trommeln, Rollen oder Kettenrder. Offen und fahrbar (Becherwerkslader) oder in geschlossenem Gehuse (Kastenschlot oder Doppelschlot). Abwurf
ber Kopf in Abgabeschurre unter Wirkung der Zentrifugalkraft (Bild 24 a, b) (ab 0,8 m/s); bei Vollbecherwerken Sch
ttgut durch Rinne am Becherr
cken gef
hrt (Bild 24 b). Langsame Becherwerke erfordern Ablenkung des Leertrums nach innen (Bild 24 c), oder sch
tten zwischen den Kettenstrngen aus, Mittenaustrag (Bild 24 d). Zugmittel und Tragglieder. Bei den Gurtbecherwerken werden die Becher am Textil-, Gummi- oder Drahtgurt mittels Tellerschrauben und Tellerscheiben angebracht: DIN 15 236 T 1 und DIN 15 237; auch Segment-Befestigung ausgef
hrt (Bild 25 a); bei Verwendung von Gummigurten mit Stahlseileinlagen f
r Hochleistungsbecherwerke Befestigung an aufgeklebten Gummiprofilleisten (Schwingmetall) (Bild 25 b). Befestigung der Becher an Stahlbolzenketten, Rundstahlketten (gemß DIN 15 236 T 4) oder Buchsenketten durch Schrauben. Becherformen (0,1 bis 140 l) je nach Sch
ttgut genormt (DIN 15 231/35) aus Blech, auch aus Leichtmetall oder Kunststoff (Tab. 5). Antrieb und Umlenkung. Antriebswelle im Becherwerkskopf trgt Antriebstrommel bzw. Antriebsrollen, Antriebskettenrder oder Turasse. Ungleichfrmige Kettengeschwindigkeit, die zustzlich Trgheitskrfte im Zugorgan ergibt, wird in Kauf genommen. Die Umkehre im Becherwerksfuß wird

U

Bild 23. a Plattenband mit seitlichen Borden, 1 Platten, 2 Borde, 3 Laufrollen, 4 Ketten; b Laufrolle mit Befestigung durch Steckachse; c Befestigung mit Mutter; d Lagerdichtung (Aumund, Rheinberg)

Bild 24 a–d. Becherwerke. a Schpfbecherwerk (Abwurf durch Zentrifugalkraft); b Vollbecherwerk (Abwurf durch Zentrifugalkraft); c Becherf
hrung bei Abwurf durch Schwerkraft; d Schwerkraftentleerung mit Mittenaustrag

U 54

Frdertechnik – 3 Stetigfrderer Leistungsbedarf und Krfte im Zugorgan. In Anlehnung an DIN 22 200 und [30] berechnet sich die Beharrungsleistung PU an der Antriebswelle zu PU ¼ Hubleistung þ Reibungsleistung þ Sch
pfleistung PU ¼ m_ gH þ PR þ PS ; z. B. mit P in kW fr m_ in kg/s, H in m und g in m/s2. Fr die Reibungsleistung kann bei Senkrecht-Kettenbecherwerken geschrieben werden

Bild 25 a, b. Becherbefestigung bei Gurtbecherwerken. a Segmentbefestigung bei Gurten mit Gewebeeinlagen; b Schwingmetallbefestigung bei Gurten mit Stahlseileinlagen

Tabelle 5. Senkrechtbecherwerke mit Bechern (DIN 15 234) (Beumer, Beckum)

durch Schraubenspindel (ohne oder mit Feder) oder gewichtsbelasteten Hebel gespannt. Bei Antrieb durch K
figl
ufermotor Turbokupplung als Anfahrhilfe. Anwendung. Zur Schr
g- und Senkrechtfrderung (ab etwa 50) auf Hhen bis 60 m (max. bis 120 m), Frdergutstrom bis 400 kg/s. Gurtbecherwerke fr Getreide und andere leichte Schttgter. Kettenbecherwerke in Kies-, Kohle-, ErzAufbereitungsanlagen, in der Industrie der Steine und Erden; als Bestandteil von Eimerketten-Naßbaggern. F
rdergutstrom. Er ergibt sich aus dem Becherinhalt ( Wasserinhalt) V, dem Fllungsgrad j, der Schttdichte r, der Frdergeschwindigkeit u und dem Becherabstand a zu V_ ¼ ðVj uÞ=a; m_ ¼ ðVj r uÞ=a; 3

ð11Þ 3

z. B. mit V in m , u in m/s, a in m und r in kg/m . Fllungsgrad j ¼ 0;6 . . . 0;8 bei kleinstckigem, 0;4 . . . 0;5 bei grobstckigem Schttgut; auch bei grßeren Frdergeschwindigkeiten kleinere Fllungsgrade.

PR ¼ Hg f ½m_ þ ð2 m0B þ 2FTV =HgÞ u
;

ð12Þ

mit H Frderhhe, f Gesamtverlustbeiwert (abh
ngig von Vorspannkraft FTV; f = 0,07 bei kleiner, 0,03 bei großer Vorspannkraft), m B0 Masse eines leeren Becherstrangs pro L
ngeneinheit. FTV Vorspannkraft je Becherstrang (herrhrend von Spanngewicht, Spannspindeln oder sonstigen Spanneinrichtungen, einschließlich Gewichtskraft der unteren Umlenktrommel). Der bei Gurtbecherwerken auftretende Umlenkwiderstand beim Biegen des Gurts um die Trommeln sowie der Trommellagerwiderstand knnen vernachl
ssigt werden. Die bei Becherwerken erforderliche Sch
pfleistung PS kann mit Hilfe der Diagramme Bild 26 und Bild 27 (aus [30]) ermittelt werden: Bild 26 zeigt die spezifische Schpfarbeit in Abh
ngigkeit von der Bechergeschwindigkeit u in m/s fr verschiedene Materialien. Die Kurven wurden experimentell an einem Becherwerk mit 400 mm Becherbreite, einer Becherausladung l von 0,224 m bei einer Becherfolge von mehreren Sekunden gewonnen. Bei anderer Becherausladung und anderen zeitlichen Becherfolgen sind die Diagrammwerte mit einem Minderungsfaktor K zu multiplizieren, der in Bild 27 ber der „relativen zeitlichen Becherfolge“ aufgetragen ist; diese betr
gt nach der Zahlenwertgleichung: tF ¼ 0;224 a=ðl uÞ, wobei a in m der Becherabstand und l in m die Becherausladung sind. Fr einen Frdergutstrom m_ in kg/s wird mit den Diagrammwerten AS in Nm/kg und K die Schpfleistung in W

PS ¼ KAS m_ :

ð13Þ

Die Motorleistung PMot ergibt sich aus PU durch Division durch den Getriebewirkungsgrad ha  0,90 und gegebenenfalls den der Turbokupplung hT  0,97. Die gr
ßte Zugkraft im Ketten- oder Gurtstrang fr den Beharrungszustand folgt aus der Umfangskraft an Antriebsr
dern (an der Antriebstrommel) und der Becherstrangmasse zu FT 1 ¼ PU =u þ m0B gH þ FTV :

ð14Þ

Bei schnellaufenden Becherwerken ist zu beachten, daß der Anteil der Zugkraft, der durch den Schpfwiderstand verursacht wird, beim Schpfen von Null ber einen Mittelwert FS bis zu einem Wert von 2FS etwa geradlinig ansteigt und eben-

U

Bild 26. Spez. Schpfarbeit AS als Funktion der Bechergeschwindigkeit u fr verschiedene Frdergter [30]

I3.3 Stetigfrderer, Zug- und Tragorgan getrennt

U 55

Bild 27. Minderfaktor K in Abh
ngigkeit von der relativen zeitlichen Becherfolge tF [30] Bild 28 a–c. Kreisfrderer. a Laufrollenpaar mit Steck-Kette auf I-Laufbahn; b Winkelschienen-Laufbahn; c Kastenprofil-Laufbahn

so wieder auf Null abf
llt. Der Hchstwert FS max ist aus der Schpfleistung zu ermitteln FS max ¼ 2FS ¼ 2
PS =u: Die hchste Zugkraft w
hrend des Anfahrens kann durch eine Turbokupplung zwischen Motor und Getriebe auf das 1,5fache der Kraft im Beharrungszustand begrenzt werden. Pendelbecherwerke. Die gegossenen, meist aber aus Stahlblech geschweißten Becher (30 bis 300 l) sind in gleichen Abst
nden an Achsen pendelnd zwischen zwei mit Laufrollen versehenen endlosen Laschen-Kettenstr
ngen aufgeh
ngt. Kettengeschwindigkeit 0,25 bis 0,5 m/s. Beschicken durch vom Becherstrang selbst get
tigte Flleinrichtungen z. B. Flltrommel mit Schlitzen, deren Entfernung voneinander dem Becherabstand entspricht). Schttgutabgabe durch Kippen der Becher um etwa 90. Die Becherstirnw
nde tragen hierfr Rollen oder Nocken, die gegen ein- und ausrckbare Kurvenbahnen der ortsfesten oder verschiebbaren Kippvorrichtung fahren. Fhrung des Becherstrangs waagerecht, schr
g, senkrecht; auch raumbewegliche Ausbildung mglich. Als Zugmittel dienen meist zweistr
ngige Frderketten (z. B. DIN 8165, mit Rollen DIN 8166); die Becher werden mittels Flanschlagern an den Kettenachsen aufgeh
ngt. Anwendung fr Bunkerbekohlung und Aschetransport in kleineren Kraft- und Gaswerken, aber auch fr andere Schttgter, wenn Frderweg von der Horizontalen in die Vertikale abgelenkt werden muß und Abgabeort wechselt. Kreisf
rderer An Laufrollenpaaren (einem oder zwei), die durch eine offene oder geschlossene Laufbahn gefhrt werden, sind angepaßte Tragglieder angeordnet, z. B. ein- oder mehrstckige Plattformen, Gestelle, Gabeln, Bgel, Haken, Mulden, Beh
lter. Sie sind durch eine endlose Kette verbunden, die ber ein Kettenrad angetrieben wird (bei l
ngeren Strecken mehrmals auch durch Mitnehmerketten): Ab- und Umlenkung durch Kettenr
der, Scheiben oder Rollenbatterien; Spannvorrichtung erforderlich. Beliebige Streckenfhrung mit raumbeweglicher Kette, Aufnahme und Abgabe des Frderguts von Hand oder selbstt
tig. Vorwahl der Abgabestellen durch rechnergesttzte Zielsteuerungen. Laufbahnen und -rollen. I-Schiene fr Einschienen-Kreisfrderer (Bild 28 a). Winkelstahlschienen fr Zweischienen-

Kreisfrderer (Bild 28 b); Rohr mit Schlitz (Tubusfrderer, Stotz AG, Stuttgart-Kornwestheim); Kastenprofil (Bild 28 c). Die Rollen (glatt oder mit Bund) laufen auf W
lz- oder Gleitlagern, DIN 8166. Zugmittel. Die Ketten, raumbewegliche Rundstahlketten DIN 762, Stahlbolzenketten, Frderketten DIN 8165 (ntigenfalls mit Kardangelenk), im Gesenk geschmiedete, zerlegbare Steck-Ketten (Bild 28 a) greifen an einem einfachen oder doppelten Zugbgel des Laufrollenpaars unterhalb der Laufbahn an. Am Zugbgel ist auch das Geh
nge beweglich befestigt. Bei rohrfrmiger Laufbahn Kettenangriff auch in Mitte Laufrollenachse; dann Rollenpaare abwechselnd mit um 90 versetzten Achsen an Kardankette befestigt. Drahtseile als Zugmittel selten. Antrieb und Umlenkung. Antriebsort gnstig hinter Strekken großen Bewegungswiderstands, z. B. hinter Steigungen und nach Gutabgabe. Antriebskettenrad in waagerechter Kurve; Mitnehmerkettenantrieb auf waagerechter gerader Strekke; Antriebs- und Umlenkkettenr
der der Kettenart angepaßt; Kettenumlenkung in waagerechter Ebene auch durch Rollenkurven. Kettenspannung mittels Spindel- oder Gewichtsspannvorrichtung, die an verschiebbarer 180-Umlenkung angreift. Umlenken des Frderstrangs in senkrechter Ebene (Vertikalbgen) durch Fhren der Rollenpaare in entsprechender Laufbahnkrmmung. Kettengeschwindigkeit u bis 0,4 m/s; oft stufenlos regelbar. Frdergutstrom m_ ¼ ðm uÞ=a; m Gutmasse in kg je Tragglied, a in m Abstand der Glieder. Zur Berechnung des Leistungsbedarfs und der Kettenzugkraft aus den Einzelwiderst
nden (Fahrwiderstand, Widerstand an Umlenkr
dern, Rollenkurven, Vertikalbgen, Steigungswiderstand) vgl. [31]. Anwendung. Als Zubringer und Verbindungsmittel fr Arbeitspl
tze in Werkst
tten (z. B. Montagestraßen), Abteilungen, Stockwerken; zum Fhren von Einzelteilen durch Behandlungsanlagen (B
der, Spritzkammern, Trockenr
ume); als bewegliches Zwischenlager, insbesondere wenn Geh
nge, die dann eigene Rollwagen besitzen, vom Frderstrang getrennt und auf Ausweichgleise geleitet werden knnen (Power and Free-System). Als Sortiereinrichtungen mit Einschleusb
ndern und Ausschleuseinrichtungen (Bild 29) in Warenverteilzentren und in der Fluggep
ckdistribution. Rechnergesttzte Steuerung der gezielten Ein- und Ausschleusung durch automatisch lesbare

U

U 56

Frdertechnik – 3 Stetigfrderer

Bild 29. Kippschalen-Sortierfrderer (Beumer, Beckum). 1 Taktband, 2 Beschleunigungsband, 3 Einschleusband, 4 Dreh-Kippelement mit Schale, 5 Rutsche zur Endstelle, 6 Dreh-Kippelement mit Schale (gekippt)

Bild 30. Kippschalen-Sortierfrderer (Beumer, Beckum). 1 Schale frdernd, 2 Schale gekippt zum Ausschleusen des St
ckguts, 3 DrehKippelement, 4 Rutsche zur Endstelle, 5 Kettenlaufger
st, 6 Kettenlaufrollen, 7 Ger
st

Zielcodierungen. Ausschleusung des St
ckguts von der frdernden Schale durch gef
hrtes Kippen (Bild 30). Frdergeschwindigkeit bis 2 m/s, abhngig von dem zu frdernden Gut. Kratzerf
rderer

U

In waagerechter oder wenig geneigter feststehender Holzoder Stahlblechrinne schieben Kratzerbleche oder -stege, die an Ein- oder Doppelstrangkette befestigt sind, kleine Sch
ttguthaufen vor sich her. St
tzung der Kratzer durch mitlaufende Rollen; R
ckf
hrung des Leertrums ober- oder unterhalb des Frdertrogs. Zum Erzielen niedriger Bauhhe f
r Bunkerabzug; Gleitst
tzung von Ketten und Stegen (Bild 31). Trotz einfacher Bauweise und hohen Leistungsbedarfs Anwendung als Bunkeraustragsorgan (z. B. f
r aggressive Sch
ttg
ter). Untertageausf
hrung ist hufigstes Strebfrdermittel im Steinkohlenbergbau. Kratzerfrderer f
r den Bergbau werden aus 1,5 m langen Rinnensch
ssen zusammengesetzt, deren Verbindung eine geringe Ablenkbarkeit in der Waagerechten und Senkrechten gestattet. Zugmittel: hochfeste Rundstahlketten DIN 22 252. Hufigste Bauart heute im Steinkohlenbergbau unter Tage mit Doppelmittelkette. Antrieb vom Elektromotor (mit Fl
ssigkeits- oder mechanischer Anlaufkupplung)
ber Untersetzungsgetriebe auf Kettensternrder. Frdergeschwindigkeit 0,6 bis 0,9 m/s. Kohlenstrom je nach Frderergrße 25 bis

Bild 31. Rinnen- und Kettenausf
hrung eines Doppelketten-Kratzerfrderers zum Bunkeraustrag (Aumund, Rheinberg). 1 Frderndes Trum, 2 R
cklaufendes Trum, 3 Bunkerinhalt, 4 Rundstahlkette, 5 Mitnehmer

85 kg/s. Frderlnge bis 200 m (mit Kopf- und Schlußantrieb). Rinnenkonstruktion gestattet, Gewinnungsmaschine (Schrmmaschine, Kohlenhobel) zu tragen und zu f
hren. Trogkettenf
rderer Im Gegensatz zum Kratzerfrderer wird hier eine Einstrangoder Zweistrangkette mit eng aufeinanderfolgenden Mitnehmern in einem geschlossenen Trog mit mßiger Geschwindigkeit (  0,3 m/s) vorwrtsbewegt. An der Aufgabestelle fllt das Frdergut (feinkrniges Gut oder Grobgut mit Feingut gemischt) auf das frdernde Kettentrum und wird zunchst durch die Querstege und dann durch die bereits in Bewegung befindliche Gutschicht mitgenommen. Die Bewegung der unteren Gutschichten wird bis zu einer bestimmten, sich selbst einstellenden Hhe auf die oberen
bertragen, so daß das gesamte Frdergut zusammen mit der Kette einen mit gleichmßiger Geschwindigkeit dahingleitenden Krper bildet. Frderung waagerecht und leicht geneigt (Bild 32); bei Vertikal-

Bild 32. Waagerechter Trogkettenfrderer mit Zweistrangkette. 1 Spannstelle, 2 Guteinlauf, 3 Antriebsstelle, 4 Gutauslauf

I3.3 Stetigf
rderer, Zug- und Tragorgan getrennt

U 57

Bild 34. Schneckenf
rderer mit Vollschnecke. 1 Antriebslager (fr Radial- und Axiallast), 2 Zwischenlager (pendelnd), 3 Endlager (fr Radiallast) Bild 33 a–c. Kettenformen fr Trogkettenf
rderer. a Einstrang-Gabelkette; b Zweistrang-Blockkette; c Kette Bauart Redler

Tabelle 6. Hauptdaten von Vollschnecken (DIN 15 262)

kurven und Senkrecht-F
rderung: besondere Ketten- und Trogausbildung. Mehrfach Auf- und Abgabe m
glich. Kettenformen. Fr waagerechte und leicht geneigte F
rderung (Bild 33 a, b); die U-f
rmige Ausbildung der Mitnehmer Bild 33 c ist auch fr senkrechte Linienfhrung geeignet. Antrieb und Umkehre ber Kettenrder oder -sterne. Kettenspannung an Umkehre mit ungefederter oder gefederter Spindelspannvorrichtung. Berechnungsgrundlagen. Der F
rdergutstrom V_ ergibt sich aus dem gefllten F
rdererquerschnitt b h0 abzglich der durch die Kette in Anspruch genommenen Flche m K0 =rK (m K0 Kettenmasse je Lngeneinheit, rK spez. Masse der Kette) und der Gutgeschwindigkeit (u Kettengeschwindigkeit, c Minderungsfaktor fr Zurckbleiben des Guts gegenber Kette: 0,6 bis 0,9 fr fein- bis grobk
rniges Gut und waagerechte oder wenig geneigte F
rderung, 0,5 bis 0,7 fr steiles oder senkrechtes F
rdern) zu V_ ¼ c uðb h0
m0K =rK Þ und mit der Schttdichte r der Massenstrom (s. Gl. (1)), z. B. mit V_ in m3/s, m K0 in kg/m, rK in kg/m3, u in m/s, r in kg/m3, b und h0 in m. Zum Zusammenhang zwischen Schttguth
he (ber Mitnehmer), Kettenteilung und Trogbreite bei verschiedenen Schttguteigenschaften und waagerechter sowie leicht geneigter F
rderung vgl. [32]. Leistungsbedarf. An Antriebswelle angenhert mit Gesamtverlustbeiwert f1 (0,75 bis 0,6 bei staubf
rmigem bis gr
berem Gut; Kette gleitet auf dnner Gutschicht): PU ¼ L f1 gðm_ þ 2 m0K  uÞ þ m_ gH; worin L F
rderlnge und H F
rderh
he in m, m_ in kg/s, m K0 in kg/m einzusetzen sind, um P in W zu erhalten. Anwendung. Fr Mehl, Zucker, Zement, Brikettierkohle, lsaaten, Getreide, Chemikalien, jedoch nicht fr klebriges, backendes und stark schleißendes Gut; Transport auf kurze und mittlere Entfernung, Silobeschickung und -abzug, Schiffsentladung. Den Vorteilen schonender Gutbehandlung und staubdichter F
rderung bei geringem Platzbedarf stehen Ketten- und Trogverschleiß nachteilig gegenber. 3.3.2 Schneckenf
rderer. Screw conveyors F
rderndes Element ist eine Schraubenflche aus Blech oder Bandstahl (selten Guß), die um ihre Achse gedreht wird und das F
rdergut in einem Trog oder Rohr vorwrtsschiebt [33]. Schneckenf
rderer mit umlaufender Welle Gelochte und lngs eines Radius aufgeschnittene Blechronden sind zu einem Schneckengang gepreßt und untereinander und mit einer Rohrwelle (seltener Vollwelle) verschweißt. Vollschnecke (Bild 34); Herstellung der Schraubenflche auch durch Walzen. Bei der Bandschnecke (fr stckiges Gut)

sttzt sich eine Wendel aus Flachstahl mit Armen gegen die Schneckenwelle ab. Besondere Misch- und Rhrwirkung durch einzeln auf die Welle aufgesetzte einstellbare Paletten, von denen jede den Teil einer Voll- oder Bandschnecke bildet: R
hrschnecke. In die Rohrwelle werden Antriebs- und Endlagerzapfen eingenietet; Lngen ber 2,5 bis 3,5 m erfordern Zwischenlagerzapfen oder Flanschkuppelstcke; die zugeh
rigen am Trog aufgehngten Lager bedingen Unterbrechung der Schraubenflche. Der Stahlblechtrog soll mit seiner Rundung eng an die Schraubenflche anschließen (sonst erh
hter Abrieb und Zermahlen) und hat gew
hnlich gerade Seitenwnde, die auf Abkantung oder Saumwinkel den Trogdeckel tragen. Verwendung von Gleit- oder Wlzlagern, wobei ein Lager auch Axialschub aufnehmen muß, der entgegen F
rderrichtung wirkt: Anordnung so, daß Schneckenwelle auf Zug beansprucht. Welle vor Endlager an Trog-Stirnwand durch Stopfbuchse gedichtet, whrend Antriebslager meist als Flanschlager ausgebildet ist. Antrieb durch Elektromotor ber Vorgelege; heute hufig Getriebemotor. Abmessungen (Tab. 6) und Berechnungsgrundstze nach DIN 15 261 und 15 262. Mit Schneckendurchmesser D, Gangh
he S, Drehzahl n, Schttdichte des F
rderguts r und Fllungsgrad j (von 0,15 bei schwerem, stark schleißendem F
rdergut bis 0,45 bei leichten, gut fließenden, nicht schleißenden Gtern) wird der F
rdergutstrom V_ bzw. m_ beim waagerechten und leicht geneigten (bis d = bdyn , dem dynamischen B
schungswinkel des F
rderguts) Schneckenf
rderer mit Vollschnecke V_ ¼ j p D2 Sn=4 bzw: m_ ¼ rV_ :

ð15Þ

Die Antriebsleistung PU an der Schneckenwelle besteht aus einem Anteil PR zur berwindung der Reibungswiderstnde (Verschiebewiderstandsbeiwert l zwischen 4 und 2, vgl. Tab. 2 in DIN 15 262) und der Hubleistung PH . Sie ergibt sich zu PU ¼ PR þ PH ¼ Lgl m_ cos d þ m_ gH:

ð16Þ

Steile und senkrechte F
rderung mit Vollschnecken in Rohrtrog bei hoher Drehzahl m
glich; hierfr gelten andere Berechnungsgrundlagen [34]. Anwendung. Schneckenf
rderer mit umlaufender Welle fr staubf
rmige, feink
rnige bis stckige F
rdergter ber verhltnismßig kurze Entfernungen (selten ber 40 m), vielfach als Zubringer oder Zwischenf
rderer; Verbindung von F
rder- und Mischvorgang. Schneckenrohrf
rderer Andere seltenere Ausfhrungsform des Schneckenf
rderers. In dem auf Rollen gesttzten, umlaufenden Rohr, meist gro-

U

U 58

F
rdertechnik – 3 Stetigf
rderer

ßen Durchmessers, ist ein Schraubengang aus Flachstahl innen angeschweißt. Gangh
he S gegenber Rohrdurchmesser D klein (S/D
0,5), ebenso Drehzahl, um Gutumlauf mit Rohr zu vermeiden; auch Fllungsgrad sinkt gegenber Schneckenf
rderer auf etwa die Hlfte. Dagegen gute Mischwirkung; außerdem einfache Heiz- und Khlm
glichkeit fr das Gut whrend des F
rdervorgangs.

3.4 Stetigf
rderer ohne Zugorgan, mit Energiezufuhr (Schwingf
rderer) Vibrating conveyors F
rderprinzip. Die trog- oder rohrf
rmige Rinne wird durch schnelle Schwingungen mit kleiner Amplitude vor-aufwrts und zurck-abwrts bewegt. Hin- und Rckgang der schrg gerichteten, im Idealfall sinusf
rmigen Schwingbewegung haben gleiche Zeitdauer. Das in der Rinne liegende Schttgut wird hierdurch in eine fließende Bewegung versetzt. Den Gutteilchen kann eine Mikro-Wurfbewegung zugeordnet werden (Bild 35), sie werden zunchst im Kontakt mit der Rinne bewegt und l
sen sich, wenn die Vertikalbeschleunigung die Fallbeschleunigung berwindet.

Bild 35. Schematische Darstellung der Mikro-Wurfbewegung bei Schwingrinnen. f Frequenz, r Amplitude, t Zeit, ts Abl
sezeitpunkt, ta Aufschlagzeitpunkt, sR Rinnenweg, sG Gutweg, b Anstellwinkel blich 25 bis 30

Rinnen- und Gutbewegung [35, 36]. Mit den in Bild 35 angegebenen Bezeichnungen wird bei sinusf
rmigem Schwingungsverlauf der Rinnenweg sR ¼ r½1  cosð2 p f tÞ und daraus (nach zweimaliger Differentiation) die Rinnenbeschleunigung €sR ¼ 4 p2 f 2 r cosð2 p f tÞ: Maßgebend fr den Mikrowurf ist die Vertikalkomponente der Rinnenbeschleunigung €yR ¼ €sR  sin b ¼ 4 p2 f 2 r cosð2 p f tÞ sin b:

Bild 36. Diagramm zur Ermittlung des Faktors n

Kennzeichnend fr die Gutbewegung ist das Verhltnis G der maximalen Vertikalbeschleunigung ðcosð2 p f tÞ ¼ 1Þ zur Fallbeschleunigung g, die Wurfkennziffer G ¼ ð4p2 f 2 r sin bÞ=g

ð17Þ

(G % 1 keine Wurfbewegung, G>1 Wurfbewegung (Schwingrinne)). Die F
rdergeschwindigkeit vtheor des Guts ergibt sich aus der mittleren horizontalen Rinnengeschwindigkeit whrend der Haftzeit ta bis ts und der horizontalen Gutgeschwindigkeit whrend der Wurfzeit ts bis ta zu vtheor = ( gn2cot b)/2 f. Der Faktor n bedeutet den Anteil der Wurfzeit an der gesamten Periodendauer T = 1/f, also n = (ta  ts)/T und ist mit dem Kennwert G verknpft durch s ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  ffi cos 2 p n þ 2 p2 n2  1 2 þ1: G¼ 2 p n  sinð2 p nÞ

U

Diese implizite Funktion ist fr die Berechnung von vtheor in Bild 36 graphisch dargestellt, so daß zu der aus den gewhlten Schwingrinnendaten f, r und b berechneten Wurfkennziffer G die Gr
ße n daraus entnommen werden kann. Die Geschwindigkeitsformel gilt fr den Bereich: 0 % n % 1, entsprechend: 1 % G % 3,3, d. h. bis zu einer Wurfzeit von einer Periodendauer. Die so errechnete theoretische F
rdergeschwindigkeit stimmt mit der praktisch auftretenden bei k
rnigem Schttgut und geringer Schtth
he gut berein; bei normaler Schtth
he wirkliche F
rdergeschwindigkeit 10 bis 20 % kleiner. Diese Minderung wird bedingt durch die Rckwirkung der Schttguteigenschaften, wie Korngr
ße, Schttdichte, Schtth
he auf der Rinne. Mit der Querschnittsflche A und der Schttdichte r des F
rderguts wird der F
rdergutstrom m_ ¼ A u r. Werte fr Frequenz und Amplitude sind durch die auftretenden Massenkrfte begrenzt. Gr
ßte Massenkraft (bei leerer Rinne) mit m als Masse der Rinne

Bild 37. Anstellwinkel b zur Erzielung einer hohen F
rdergeschwindigkeit als Funktion der Maschinenkennziffer K sowie die zugeh
rige Wurfkennziffer G

Fmax ¼ m€sR max ¼ mð4 p2 f 2 rÞ; 2

ð18Þ 3

z. B. mit F in N, A in m , u in m/s, r in kg/m , r in m, f in 1/s, m in kg. Verhltnis Fmax =mg ¼ K ¼ 4 p2 f 2 r=g; K heißt Maschinenkennziffer und gilt als Maß fr die Beanspruchung der Rinnenteile; normale Schwingrinne K = 3 bis 10 meist % 5 (mit b = 30 wird hierfr G = K sin b = 2,5). Masse des F
rderguts wird durch Erh
hung von m um bis 20 % bercksichtigt (Ankopplungsfaktor bis 0,2) [37, 38]. Bild 37 gibt den optimalen Anstellwinkel b zur Erzielung einer hohen F
rdergeschwindigkeit als Funktion der Maschinenkennziffer K an sowie die zugeh
rige Wurfkennziffer G. Antriebsarten [39] (s. G 10). Zwanglaufantrieb durch Kurbeltrieb mit kleinem Schubstangenverhltnis ðl ¼ r=l ¼ 0;1 . . . 0;01Þ, Amplituden von 15 bis 3 mm, dazu Frequenzen f von 5 bis 25 Hz. Sttzung der Rinne auf Lenkern

I3.5 Stetigfrderer ohne Zugorgan und ohne Energiezufuhr (Schwerkraftfrderer)

U 59

(Rinne oder Auskleidung aus nicht rostendem Stahl, Gummi, Kunststoff), auf kurze Entfernungen bis
30 m mit einer Einheit; grßere Frderstrecken durch Aneinanderreihen mehrerer Einzelrinnen; waagerecht und leicht geneigt. Frdergutstrom bis 250 kg/s; als Bunkerabzugsrinnen, Aufgabeund Dosierrinnen, Schttelsiebe. Das Frderverfahren ergibt geringen Rinnenverschleiß und Leistungsbedarf.

3.5 Stetigf
rderer ohne Zugorgan und ohne Energiezufuhr (Schwerkraftf
rderer) Gravity conveyors 3.5.1 Rutschen. Chutes

Bild 38 a–c. Schwingrinnenantriebe. a Schubkurbelantrieb, 1 Speicherfeder, 2 Koppelfeder; b Wuchtmassenantrieb, federnd aufgeh
ngt; c elektromagnetischer Vibrator

oder Blattfedern aus Stahl. Zus
tzliche Federelemente (Stahl oder Gummi), damit Eigenfrequenz des Systems nahe der Betriebsfrequenz, um Kraftbedarf zum Aufrechterhalten der Schwingung klein zu halten (Betriebsfrequenz
10 % kleiner als Resonanzfrequenz) (Bild 38 a). Erreichbare Frdergeschwindigkeit 0,4 m/s. Wuchtmassenantrieb mittels zweier um 180 versetzter, gegenl
ufiger, gleich großer Unwuchtmassen. Zum Antrieb verwendete gleiche Drehstrom-Asynchronmotoren laufen selbstt
tig synchron, wenn sie auf einer gemeinsamen, beweglichen Plattform befestigt sind. Blatt- oder Schraubenfedersttzung der Rinne, auch Gummifedersttzung oder gefederte Aufh
ngung der Rinne; Amplituden 5 bis 0,5 mm; Frequenz 15 bis 30 Hz (kleinere Ausfhrungen bis 50 Hz) (Bild 38 b). Frdergeschwindigkeit bis 0,25 m/s. Werden die Unwuchtmotoren nicht starr mit der Rinne verbunden, sondern ber Federn mit stark progressiver Kennlinie an die Rinne angeschlossen, so entsteht ein Zwei-MassenSchwingsystem, das in der N
he der Resonanz betrieben werden kann. Durch Schlupfregelung der Motoren ber Drehstrom-Stelltransformatoren oder Thyristoren ist eine einfache Regelung der Schwingweite und damit des Frdergutstroms w
hrend des Betriebs mglich. Antrieb durch elektromagnetischen Vibrator (Bild 38 c). Der Anker eines Elektromagneten ist mit der Rinne fest verbunden, w
hrend der mit einer Freimasse versehene Spulenkrper ber vorgespannte Druckfedern mit der Nutzmasse (Anker, Rinne, Schttgut) gekoppelt ist. Da die elektromagnetische Kraft dem Quadrat des Stroms proportional ist, erzeugt eine angelegte Wechselspannung von 50 Hz eine Rinnenfrequenz von 100 Hz, mit der kleinere Rinnen betrieben werden. Die grßeren Ausfhrungen werden ber Einweggleichrichter angeschlossen, so daß die Rinne mit 50 Hz schwingt. Amplituden von 0,05 bis 1 mm. Einfache nderung der Amplitude und damit der Frdergeschwindigkeit, auch w
hrend des Betriebs, mittels vorgeschalteten Spannungsreglers. Frdergeschwindigkeit bis 0,12 m/s. Zur Erzielung grßerer Frdergeschwindigkeiten, leiseren Laufs und kleinerer dynamischer Kr
fte Betrieb auch mit 25 Hz; Anschluß an das bliche Netz von 220 V/50 Hz ber Thyristor-Ger
te. Anwendung. Zur Frderung stckiger, grob-feinkrniger Schttgter, auch wenn mechanisch oder chemisch aggressiv

Offene oder geschlossene Rinnen (Rutschen, Schurren, Rohre) frdern in gerader oder gekrmmter Ein- oder Mehrwegbahn Schttgut oder Stckgter geneigt oder senkrecht abw
rts. Erforderliches Gef
lle d grßer als Reibungswinkel rr der Ruhe zwischen Rutsche und Gut ðtan rr ¼ mr Þ. Praktisch angewendete Gef
lle fr gerade Stahlblech-Rutschen: Getreide 30 bis 35, S
cke 25 bis 30, Kohle je nach Stckigkeit 30 bis 40, Erze
45, Salze
50, staubfrmige Gter
60. Die Austrittsgeschwindigkeit aus der Rutsche (Anfangsgeschwindigkeit gleich Null) bei Hhenunterschied h, Rutschenneigung d und Gleitreibungsbeiwert mgl zwischen Rutsche und Gut wird qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi va ¼ 2ghð1  mgl cot dÞ: Bei Kurven- und Wendelrutschen wird als Weg des Schwerpunkts der Frdergutstcke eine Schraubenlinie vorgesehen. Rutschenboden dabei in Kreis-, Ellipsen- oder Parabelform [40]. Offene Wendelrutschen mit Mittels
ule fr Pakete und S
cke; geschlossene, in Rohrschssen von 850 bis 1 450 mm Durchmesser eingebaute Wendeln fr Abw
rtsfrderung von Kohlen und Bergen unter Tage (1,5 m/s, bis 100 kg/s Kohle bei 1 250 mm Wendelaußendurchmesser). Teleskop-Fallrohre zum Niedertragen von Schttgut (auf Lagerpl
tze, in Schiffe). 3.5.2 Rollenbahnen. Roller conveyors In Flach- oder Winkelstahlrahmen sind eng aufeinander folgend Tragrollen mit fester Achse angeordnet. Notwendiges Gef
lle bei kugelgelagerten Rollen 2 bis 5 %. Die Rahmen von 1 bis 3 m L
nge, auf hhenverstellbaren Bcken oder fest gesttzt, werden zur Bahn zusammengesetzt. Kurvenweichen, Drehscheiben- und aufklappbare Durchgangsstcke, Senkrecht-Abw
rtsfrdern mit Wendelrollenbahn. Kurvenstcke knnen zwar mit zylindrischen Rollen in radialer Anordnung gebildet werden, ergeben aber teilweises Gleiten des Stckguts, das verringert wird durch Unterteilen der zylindrischen Rollen oder Verwenden kegeliger Tragrollen. Bei l
ngeren Frderstrecken Wiederanheben des Stckguts durch angetriebene Rollen (Kettentrieb). Leichte Rollenbahnbauart: Scheibenrollen- oder R
llchenbahnen. Sie bestehen aus kugelgelagerten Scheibenrollen, die auf dnnen, im Rahmen eingespannten Achsen laufen. Kugeltische zum leichten Verschieben von Stckgut von Hand in waagerechter Ebene. Kugeln sitzen in Kugeltpfen, auf kleinen Kugeln gesttzt. Vielseitige Anwendung fr Stckgut mit ebener Bodenfl
che, z. B. Pakete und Kisten beim Warenumschlag und in Lagern. In Werkst
tten, insbesondere Gießereien, fr Werkstcktransport.

U

U 60

Frdertechnik – 3 Stetigfrderer

3.6 Str
mungsf
rderer Fluid operated conveyors 3.6.1 F
rderung im Luftstrom. Pneumatic conveyors F
r den pneumatischen Transport der Gutteilchen von einer Einf
hrungs- zu einer Austragstelle ist in der Frderrohrleitung eine Mindestluftgeschwindigkeit erforderlich. Je nach Erzeugung des tragenden Luftstroms zwei Frderarten: Frderung im Saugluftstrom: Geblse am Ende der Frderstrekke; Frderung von mehreren Aufnahmestellen nach Sammelstelle. Frderung im Druckluftstrom: Drucklufteinf
hrung am Anfang der Frderstrecke; Frderung von einer Aufgabestelle nach mehreren Verteilerstellen. Saug- und Druckanlagen auch hintereinander schaltbar (Sonderflle). Beide Verfahren f
r staubfrmige, krnige, kleinst
ckige Sch
ttg
ter geeignet. Neben der pneumatischen Flugfrderung (D
nnstromfrderung) erlangt die pneumatische Dichtstromfrderung zunehmende Bedeutung. Saugluft-F
rderanlagen Bild 39. Aufnahme des Frderguts durch Saugd
se 1; Weiterf
hrung in Rohrleitung 2 (flexible Zwischenst
cke, Gelenke) zum Abscheider 3. Dort fllt das Frdergut infolge Richtungsnderung der Luftstrmung und erheblicher Querschnittsvergrßerung (Verringerung der Luftgeschwindigkeit) aus. Ausschleusen des Frderguts mittels Zellenrads (ohne Frderunterbrechnung). Reinigen der Trgerluft in Trocken-Staubabscheider 4 (3 und 4 auch in einem Rezipienten vereinigt). Erzeugen des Saugluftstroms durch Vakuum-Kolbenpumpe 5 (0,2 bis 0,5 bar Unterdruck). Anlagen ortsfest, verfahrbar, schwimmend.

Statt der Luftpumpe mit Scheibenkolben werden verwendet: Drehkolbenpumpen (Rotationsgeblse), Wasserringpumpen (unempfindlich gegen Staub, aber nur f
r kleinere Leistungen), Zentrifugalventilatoren; letztere dort, wo Frdergut durch Luftstromerzeuger hindurchtritt (z. B. Spneabsauganlage). F
r mehr oder minder gute Frderbarkeit eines Sch
ttguts im Luftstrom ist dessen Schwebegeschwindigkeit maßgebend, worunter die Luftgeschwindigkeit verstanden wird, bei der die Teilchen im senkrechten Luftstrom gerade in Schwebe gehalten werden (abhngig von Teilchenform und -grße, Dichte von Teilchen und Luft). Die f
r den Frdervorgang notwendige Luftgeschwindigkeit ist wesentlich grßer (20 bis 40 m/s). Der Energiebedarf ist hoch; er betrgt z. B. bei einem aus dem Vollen ansaugenden Getreideheber der 40 t/h durch ein Rohr von 120 mm Durchmesser auf 20 bis 25 m Hhe frdert (geringe waagerechte Frderstrecke) etwa 1 kWh/t an der Pumpenantriebswelle. Anwendung daher nur, wenn Vorteile des Verfahrens: große Anpassungsfhigkeit, bequeme Verlegung und geringer Raumbedarf der Rohrleitung, ruhiges staubfreies Arbeiten, Durchl
ftung (Getreide) und K
hlung

U

Bild 40 a, b. Aufgabevorrichtung f
r Druckluftfrderanlagen. a Diffusor-Aufgabe; b Preßschnecke und Zellenradaufgeber

des Frderguts (chemische Erzeugnisse), Wegfall von Trimmarbeit (Aufnahme von Restmengen mglich)
berwiegen. berbr
ckbare Frderstrecke bis 300 m; erreichbare Frderhhe 25 m; Frdergutstrom bei großen Getreidehebern 150 (bis 500) t/h je Einheit. Druckluft-F
rderanlagen An der Aufgabestelle wird das Frdergut einem Geblse- oder Druckluftstrom zugegeben. Abschluß gegen Außenluft durch Frdergut selbst (Bild 40 a) bzw. durch Zellenrad; bei staubfrmigem Gut unter Zwischenschalten einer raschlaufenden Preßschnecke (Bild 40 b). Gutzufuhr auch durch Mehrkammer-Schleusensystem. Abgabe aus der Frderleitung in Abscheider, die unten mit Gutaustrittsstutzen, oben mit Abluftffnung versehen sind. Drucklufterzeuger. Geblse bis 0,03 bar (Exhaustoren f
r Getreidefrderung auf Entfernungen bis 100 m); Drehkolbenverdichter 1,3 bis 1,8 bar (f
r normale Druckluftfrderanlagen bis 100 t/h
ber Entfernungen bis 500 m); bei staubfrmigem Gut und Preßschnecke: Preßluftdruck von 1,5 bis 4 bar je nach Entfernung (bis 1 500 m, bis 100 t/h); Entnahme aus Preßluftnetz, 5,5 bis 7 bar, unter Drosselung auf 3,5 bis 4,5 bar f
r Blasversatzanlagen. Anwendung. Innerhalb von Getreidesilos; in Zementfabriken, in Kraftwerken f
r Kohlenstaubtransport, in chemischen Fabriken. Unter Tage f
r Blasversatz. Rohrleitungen, insbesondere Kr
mmer, unterliegen starkem Verschleiß. Hoher Energieverbrauch. Pneumatische F
rderrinne. Pulvriges oder feingrießiges Frdergut wird durch Zufuhr von Geblseluft oder Inertgas durch porsen, schwach geneigten Rinnenboden zum Fließen gebracht. Rinnenneigung 2 bis 4 %; Luftdruck 0,01 bis 0,03 bar; Frdergutstrom 15 bis 100 t/h bei 125 bis 500 mm Rinnenbreite. 3.6.2 F
rderung im Wasserstrom. Hydraulic conveyors

Bild 39. Schema einer Saugluftfrderanlage (Erluterungen im Text)

Das Frdergut wird in offenen geneigten Rinnen in Wasser vorwrtsbewegt: Splverfahren; in geschlossener Rohrleitung beliebiger Streckenf
hrung durch Druckwasser getragen und gefrdert: Druckwasserf
rderung; mit dem Saugrohr einer Pumpe aufgenommen und durch das Druckrohr weitergeleitet: kombinierte Saug- und Druckwasserf
rderung. Die hydraulische Frderung von Erzen, Kohle und anderen Feststoffen wird auch
ber grßere Entfernungen eingesetzt [41, 42, 44].

I4.2 Motorisch angetriebene Stckgutf
rderer Druckwasserf
rderung von feiner bis kleinstckiger Kohle ber weite Entfernungen (z. Z. bis 450 km), in Schachtsteigleitungen. Einfhrung auch zum Transport von gemahlenem Rohkalk und Ton von Gewinnungs- zur Verarbeitungsstelle; wirtschaftlich unter Ausnutzung natrlichen Geflles. Feststoffzugabe bereits als Wasser-Gut-Gemisch in Saugleitung der F
rder-Kreiselpumpe oder Einschleusung in die Druckwasserleitung. Trennung von Gut und Wasser am Ziel in Absetzbecken. Saugbagger nehmen Baggergut durch Ansaugtrichter der auf den Baggergrund schrg abgesenkten Saugleitung auf (Wasser zu Gut 6 : 1 bis 3 : 1); Gemisch passiert F
rder-Kreiselpumpe und wird durch Druckrohr in Schuten oder an Land abgegeben. Gemischabgabe auch in eigene Schiffsbunker (Hopperbagger). 3.6.3 F
rderung nach dem Lufthebeverfahren Air-lift conveying of solid/liquid suspensions Unter Lufthebeverfahren (Synonyme: L
scherpumpe, Mammutpumpe, Airlift, Mischluftantrieb ) versteht man ein Pumpenprinzip, das speziell zur Vertikalf
rderung von WasserFeststoff-Gemischen verwendet wird [43]. Als Antriebsmedium dient Druckluft, die in das Innere des F
rderrohrs eingeblasen wird. Die Pumpwirkung entsteht durch Verringerung der Dichte des Luft-Wasser-Gemisches im Pumpenrohr, das unter Druck des umgebenden Wassers steht. 3.6.4 Berechnungsgrundlagen zur Str
mungsf
rderung Fundamentals of calculation for pneumatic and hydraulic conveyors

U 61

samtdrucknderung im F
rderrohr und dem Gesamtvolumenstrom zusammen [45] ð19Þ P ¼ ðDpges V_ ges Þ=hges : Der Gesamtvolumenstrom berechnet sich zu V_ ges ¼ V_ s þ V_ f ¼ ½cv vs þ ð1
cv Þ uf  A;

ð20Þ

mit V_ s Feststoffvolumenstrom, V_ f Volumenstrom des Trgermediums, A Querschnitt des Rohrs, cv Feststoffvolumenanteil, vs F
rdergeschwindigkeit des Feststoffs, vf Str
mungsgeschwindigkeit des Trgermediums, hges Gesamtwirkungsgrad. Die Gesamtdrucknderung setzt sich im stationren Zustand aus einer geodtisch bedingten Druckabnahme (bei Abwrtsf
rderung Druckzunahme) und dem dynamischen Druckverlust zusammen: Dpges ¼ Dpgeod þ Dpdyn , Dpgeod ¼ ½ð1
cv Þ rf g þ cv rs g sin dDl,  r u2 r u2 Dpdyn ¼ ð1
cv Þ lf f f þ cv lz s s 2d 2d  ws þ cv ðrs
rf Þ g cos2 d Dl, uf

ð21Þ

mit rf Dichte des Trgermediums, rs Dichte des F
rderguts, lf Rohrreibungsbeiwert des Trgermediums, lz Rohrreibungsbeiwert des Feststoffs, Dl F
rderstrecke, d Rohrdurchmesser, g Fallbeschleunigung, d Neigung der F
rderstrecke, ws Sinkgeschwindigkeit des Feststoffs. Fr die kompressible pneumatische F
rderung wird in die Gleichung das Mischungsverhltnis m eingefhrt m¼

c v r s us A m_ s ; ¼ m_ f ð1
cv Þ rf uf A

Die aufzubringende Leistung zur hydraulischen sowie pneumatischen F
rderung von Feststoffen setzt sich aus der Ge-

mit m_ s Massenstrom des Feststoffs, m_ f Massenstrom des Trgermediums.

4 Flurf
rderer. Industrial trucks

4.1.3 Roller. Dollies

M. Hager, Hannover, und R. Bruns, Hamburg

4.1 Hand-Flurf
rderzeuge. Hand trucks Fr kurze Entfernungen (bis 50 m F
rderweg), kleine Tragfhigkeiten (bis 1 t) und zeitlich unregelmßig anfallende Transporte finden gezogene oder geschobene Handfahrzeuge (Einteilung nach DIN 4902) und Hand-Hubwagen Verwendung. 4.1.1 Karren. Barrows Lastaufnahme im Stillstand durch ein oder zwei Rder und Sttzen, beim Verfahren durch Rder und Bedienungsmann. Einrdrige Karre mit Platten- oder Kastenaufbau. Zweirdrige Stechkarre fr Sack-, Faß- und Kistentransport. Sonderkarren mit zweckbedingtem Gerstaufbau fr Stahlflaschen, Tonnen usw. Fr geringe Anhebearbeit wird das Rad m
glichst unter Last angeordnet. 4.1.2 Wagen. Hand trolleys Last ruht auf drei oder vier Rdern. Gnstiger Kraftangriff zum Schieben in 90 cm, zum Ziehen, auch bei Deichsel, in 75 cm H
he. Je nach Aufbau Plattformwagen, Wandwagen mit Stirn- oder Seitenwnden, Kastenwagen. Bei Dreiradsttzung mindestens ein gelenktes Rad oder eine Lenkrolle, bei Vierradsttzung mindestens zwei; deichselgefhrte Handwagen auch mit vorderem Drehschemel.

Drei oder vier Lenkrollen kleinen Durchmessers sind durch Tragrahmen verbunden: Dreieckroller, Viereckroller; letztere auch mit festen Rollen. Sonderausfhrung Rollpritsche mit Heberoller: die auf zwei Rdern und zwei Sttzen ruhende Rollpritsche wird durch zweirdrige Deichsel mit Hebeleinrichtung unterfahren, angehoben, fortbewegt und wieder abgesetzt. 4.1.4 Hubwagen. Hand lift trucks Zum Unterfahren von Ladepritschen und zur Aufnahme von Flachpaletten usw. werden Hand-Hubwagen und Gabelhubwagen (ISO 509) eingesetzt (Bild 1). Hubeinrichtungen zumeist hydraulisch durch Deichsel bettigt. Fr gr
ßere Hubh
hen Hochhubwagen. Benennungen und Kurzzeichen nach VDI-Richtlinie 3586: Flurf
rderzeuge (H Handantrieb).

4.2 Motorisch angetriebene Stckgutf
rderer Power-driven unit load carriers Begriffe und Kurzzeichen gemß VDI-Richtline 3586: Flurf
rderzeuge. Die Kurzzeichen bestehen zumeist aus drei Buchstaben, von denen der erste den Antrieb, der zweite die Bedienung, der dritte die Bauform kennzeichnet: Erster Buchstabe (Fahr- und gegebenenfalls Hubantrieb). B Benzin, D Diesel, E Elektro (Batterie), N Netz, P Preßluft, T Treibgas, Y Hybrid (Verbrennungsmotor – Elektromotor);

U

U 62

F
rdertechnik – 4 Flurf
rderer

Bild 1. Gabelhubwagen 2 t Tragfhigkeit mit hydraulisch bettigter Hubeinrichtung (Still GmbH, Hamburg). 1 Stahlrohr-Deichsel, 2 Pumpengehuse enthlt lbehlter, Pumpenkolben und Steuerventile, 3 Hubgabel, 4 Lenkrder, 5 Tandem-Gabelrollen

Zweiter Buchstabe (Bedienung). G durch Gehenden, S vom Fahrerstand, F vom Fahrersitz, K vom hebbaren Fahrerplatz (Kommissionierf
rderzeuge), A fahrerlos (Automatik-Flurf
rderzeug); Dritter Buchstabe (Bauform). Wird im folgenden bei jeder behandelten Bauform angegeben. Bei zwangsgelenkten oder -gef
hrten Flurfrderzeugen zustzlich: Vierter Buchstabe (Leitlinienf
hrung). I induktiv zwangsgelenkt, R mechanisch zwangsgelenkt, Z mechanisch zwangsgefhrt, V virtuell zwangsgelenkt. Richtlinie f
r kraftbetriebene Flurfrderzeuge allgemein: VDI-Richtlinie 2198, Typenbltter f
r Flurfrderzeuge.

4.2.1 Wagen W. Trucks Elektrowagen EFW (ESW)

U

Sie werden eingesetzt fr regelmßige, schnelle F
rderung gr
ßerer Lasten (600, 1 000, 2 000, 3 000 kg und h
her) auf einer Plattform. Bedienung vom Fahrersitz (selten und nur noch bei Tragfhigkeiten bis 1 000 kg vom Fahrerstand). Absttzung auf vier Rdern, von denen zwei oder seltener alle vier gelenkt werden (Bild 2). Die Batterie (24, 48 oder 80 V), unter der Plattform zwischen den Achsen angeordnet, versorgt einen Gleichstrom-Reihenschlußmotor, der ein Rderpaar ber ein Ausgleichsgetriebe antreibt. Werden zwei Motoren verwendet, so treibt jeder ein Rad ber ein Zahnradvorgelege. Fahrgeschwindigkeiten 10 bis 25 km/h; Fahrbereich 30 bis 50 km mit einer Batterieladung. Auch hydraulische Spurhaltung, so daß beim berfahren von Bodenunebenheiten Lenkradstellung unbeeinflußt bleibt. Hydraulisch bettigte Allradbremsung und zustzliche elektrische Nutzbremsung mit Energierckspeisung. Bereifung mit Elastik- oder Luftreifen auf Stahlblech-Scheibenrdern. An Stelle einer Plattform k
nnen Sonderaufbauten treten: Pritsche, Kasten, Tank, Kippmulde, Schwenkkran usw. Wagen mit Verbrennungsmotor DFW (BFW, TFW) Fr Hoftransporte und Werkrundverkehr bietet ein Wagenantrieb mit Dieselmotor (seltener Benzin- oder Treibgasmotor) wirtschaftliche Vorteile. Tragfhigkeiten 3 bis 10 t (auch bis 30 t), Geschwindigkeiten bis 30 km/h. Der Verbrennungsmo-

Bild 2. Elektrofahrersitzwagen fr 2 t Tragfhigkeit mit Hinterradantrieb 4,5 kW – 80 V (Still GmbH, Hamburg). Hierzu Leistungsdiagramm zur Ermittlung der Zugkraft, Fahrgeschwindigkeit und pro Stunde zulssigen Fahrstrecke je nach Belastung und Steigung

tor wird an Stelle der Batterie unter der Plattform (oder ber den vorderen gelenkten Rdern) angeordnet. Bei schweren Fahrzeugen zumeist Antrieb ber hydraulischen Drehmomentwandler. Lenkung, Bremseinrichtungen, Federung wie bei Kraftfahrzeugen ausgebildet. Bei Anwendung einer hydrostatischen Kraftbertragung treibt der Dieselmotor eine stufenlos regelbare Axialkolbenpumpe an, die ihrerseits die Hydraulikmotoren an den angetriebenen Rdern mit Druck
l versorgt. Deichselgef
hrte Elektrowagen Bild 3. Fr kurze Transportwege, bei beengten Raumverhltnissen, insbesondere als Zubringerfahrzeuge, dienen mit

I4.2 Motorisch angetriebene St
ckgutfrderer

U 63

Bild 3. Deichselgef
hrter Elektro-Gabelhubwagen mit 2 t Tragfhigkeit (Jungheinrich AG, Hamburg). 1 Angetriebenes und gelenktes Rad, 2 gefedertes St
tzrad, 3 Lastrder, 4 Batterie, 5 Deichsel, 6 Hubgabel

Schrittgeschwindigkeit (4 bis 6 km/h) fahrende, deichselgef
hrte, dreiradgest
tzte Elektro-Niederhubwagen mit Gabeln (oder Plattform). Tragfhigkeit 1,2 bis 3 t (auch bis 10 t), Batterie 24 V 100 bis 200 (350) Ah. 4.2.2 Schlepper Z. Industrial tractors DIN 15 172: Schlepper und schleppende Flurf
rderzeuge, Zugkraft, Anhngelast. VDI-Richtlinie 3973: Schleppzge mit ungebremsten Anhngern.

Elektro-Schlepper EFZ Ausgef
hrt in Dreirad- und Vierradbauweise. Dreirad-Elektroschlepper sind kleine, wendige Fahrzeuge mit Fahrersitz f
r Zugkrfte ab 0,6 kN (bis 8,5 kN) mit 6 bis 15 km/h Fahrgeschwindigkeit in der Ebene; Fahrbereich mit einer Batterieladung 30 km. Motorleistungen 2 bis 8,5 kW; Batterie 24 oder 48 V, bis 600 Ah. blich sowohl Lenkung und Antrieb des Vorderrads als auch Vorderrad nur gelenkt, Einmotorenantrieb
ber Differential auf die beiden Hinterrder wirkend (Bild 4). Vierrad-Elektroschlepper mit Fahrersitz werden f
r grßere Zugkrfte (Anhngelasten bis 30 t) und zumeist hhere Fahrgeschwindigkeiten (bis 20 km/h) eingesetzt.

Entweder Einmotorenantrieb mit mechanischem Ausgleichsgetriebe auf Hinterachse wirkend oder Zweimotorenantrieb, wobei jeder Motor
ber eine Getriebestufe ein Hinterrad treibt. Batterie 24, 48 oder 80 V; Motorleistung bis 18 kW. Konstruktion der Lenk- und Bremseinrichtungen wie bei Elektrowagen. Schlepper mit Verbrennungsmotor DFZ (BFZ, TFZ) Sie werden bis zu grßten Zugkrften (
ber 300 kN) vorzugsweise mit Dieselmotor (seltener Benzin- oder Treibgasmotor) gebaut (Anhngelasten 14 bis 400 t). Lenkung und Bremsen werden wie bei Kraftfahrzeugen ausgebildet. Kraft
bertragung zumeist
ber hydraulischen Drehmomentwandler und Lastschaltgetriebe, nur bei kleineren Schleppern Kupplung und mechanisches Schaltgetriebe. Auch hydrostatische Kraft
bertragung. Sonderbauarten: Schlepper f
r den Einsatz im Roll on/Roll off-Verkehr, ausgebildet als Sattelschlepper mit hebbarer Sattelkupplung zum Anheben und Transportieren von Rollplattformen. Flughafenschlepper zum Bewegen von Flugzeugen. Schwerlastschlepper, z. B. auf Werften und in Fertigungsbetrieben. Schlepper mit Hybridantrieb YFZ Kombinierter Antrieb: batterieelektrisch und durch Verbrennungsmotor (Dieselmotor). Bei der Fahrt in geschlossenen Hallen erhlt der elektrische Fahrmotor seine Energie aus einer Batterie, im Freien treibt der Dieselmotor einen Gleichstromgenerator, dessen Strom je nach Leistungsbedarf des Schleppers sowohl den Fahrmotor versorgen als auch gleichzeitig die Batterie aufladen kann. Bei hohen erforderlichen Antriebsleistungen speisen Generator und Batterie gemeinsam den Fahrmotor. Einsatz z. B. auf Flughfen und in Flugzeughallen sowie in Fertigungsbetrieben. 4.2.3 Gabelstapler. Fork lift trucks

Bild 4. Elektroschlepper in Dreiradbauweise mit 6 t Schleppvermgen (1,2 kN Zugkraft am Haken), Fahrmotor 2,8 kW – 24 V; Fahrgeschwindigkeit horizontal mit (ohne) Last bis 6,5 (14,0) km/h (Still GmbH, Hamburg)

Frontgabelstapler G Hufigstes und universell einsetzbares motorisch getriebenes Flurfrderzeug. Einzelne oder zu Ladeeinheiten zusammengestellte St
ckg
ter werden aufgenommen (normalerweise

U

U 64

Frdertechnik – 4 Flurfrderer

Bild 6. Hubgerst im ausgefahrenen Zustand (Jungheinrich AG, Hamburg). 1 ußerer Hubrahmen, 2 mittlerer Hubrahmen, 3 innerer Hubrahmen, 4 Hubzylinder, 5 Hubketten, 6 Gabeltr
ger, 7 Gabelzinke

Bild 5. Diesel-Gabelstapler mit 2 t Tragf
higkeit (Steinbock Boss GmbH, Moosburg a. d. Isar). c Abstand des Lastschwerpunkts von der Lastanlage am Gabelrcken. Last 2 t und Lastschwerpunktabstand 500 mm in der Ansicht entsprechen dem im Diagramm hervorgehobenen Punkt (Nenntragf
higkeit). Vierradbauweise, Freisichthubgerst, hydrostatischer Fahrantrieb. Vier-Zylinder-Dieselmotor 26,2 kW – 2 500 1/min; Fahrgeschwindigkeit bis 18 km/h, Hubgeschwindigkeit mit Last 0,46 m/s, Senkgeschwindigkeit mit Last 0,50 m/s

auf Gabel), angehoben, verfahren und wieder abgesetzt oder gestapelt. Bei allen Arbeitsvorg
ngen befindet sich die Last außerhalb der Radbasis. An Stelle der Gabel auch andere Lastaufnahmemittel: Dorn, Klammer, Greifer, Kranausleger, Manipulator, Schaufel und Kippkbel fr Schttgut. Ausfhrung fr Tragf
higkeiten von 0,3 bis 90 t.

U

ISO 2328: Flurf
rderzeuge, Gabelzinken mit Gabelhaken und Gabeltrgern, Anschlußmaße; VDI-Richtlinie 3578: Anbaugerte fr Gabelstapler.

Der Gabelstapler besteht aus einem auf drei oder vier R
dern ungefedert gesttzten Fahrzeugkrper, einem zumeist unmittelbar an der Vorderachse neigbar gelagerten, durch zwei Hubzylinder teleskopartig ausfahrbaren Hubmast und dem in ihm gefhrten Hubschlitten mit Gabel (Bild 5). Der Fahrzeugkrper enth
lt den gesamten Fahrantrieb und den Hydraulikantrieb sowie Steuerorgane und Lenkung; zum Erzielen der Standsicherheit wird die Fahrzeugrckwand durch ein Gegengewicht gebildet. Als Energiequelle dienen batteriegespeiste Elektromotoren oder Verbrennungsmotoren. Dreiradbauweise Sie ergibt fr Fahrzeuge mit elektrischem Antrieb bis 3 t Tragf
higkeit sehr wendige Fahrzeuge. Die Batterie treibt zwei Fahrmotoren, die ber je ein Vorgelege auf die Vorder-

r
der wirken. Der Fahrzeugrahmen sttzt sich ber ein W
lzlager auf dem gelenkten, nicht angetriebenen Hinterrad und vorn auf den Antriebseinheiten ab. Weitere bliche Anordnung der Fahrantriebe: Einzelner Fahrmotor wirkt ber Differential und Vorgelege auf beide Vorderr
der oder drehbar angeordnet auf das gelenkte Hinterrad. Vierradbauweise Bei dieser (von etwa 1 t Tragf
higkeit aufw
rts) wird der Stahlblech-Fahrzeugrahmen vorn (lastseitig) von der Treibachse und hinten von der als Pendelachse ausgebildeten Lenkachse getragen. Bei Tragf
higkeiten ab etwa 6 t werden die R
der der Lastachse als Zwillingsr
der ausgefhrt, um die Bodenbelastung zu verringern (auch Dreifachanordnung der Lastr
der bei Schwergabelstaplern). Hubger
st Das Hubgerst – der Hubmast – besteht je nach Bauart (Einfach-, Zweifach-, Dreifach- oder Vierfachhubgerst) aus 1 bis 4 Hubrahmen. Die Hubrahmen sind Schweißkonstruktionen aus zwei parallel angeordneten Walzprofilen und mindestens 2 Quertr
gern zur Verbindung der Profile und zur Aufnahme der Hubzylinder. Die Hubrahmen sind ineinander geschachtelt und mittels Rollen gefhrt, damit das Hubgerst auch unter Last aus- und eingefahren werden kann (Bild 6). Der
ußere Hubrahmen ist drehbar an der Vorderachse oder vorn am Fahrzeugrahmen gelagert und kann durch die Neighydraulik (2 Neigezylinder) nach vorn und nach hinten geneigt werden. Der innere Hubrahmen des Zweifachhubgerstes und der mittlere Hubrahmen des Dreifachhubgerstes wird durch 2 Hubzylinder (einseitig wirkende Plungerzylinder) ausgefahren. Der innere Hubrahmen des Dreifachhubgerstes wird ber Hubketten (Laschenketten) bewegt. Im inneren Hubrahmen ist der Hubschlitten mittels Rollen gefhrt. Er besteht aus zwei senkrecht angeordneten Wangen,

I4.2 Motorisch angetriebene Stckgutfrderer

U 65

Bild 7. Schubmaststapler mit 1,6 t Tragf
higkeit (Jungheinrich AG, Hamburg). 1 Angetriebenes und gelenktes Rad, 2 Lastrad, 3 Hubgerst, 4 Schutzdach, 5 Radarm, 6 Fahrersitz quer zum Stapler

die durch die waagerecht verlaufenden Gabeltr
ger verbunden sind. An den Wangen sind die Fhrungsrollen befestigt. Die Gabeltr
ger nehmen die seitlich verschiebbaren Gabelzinken auf. Die Hubzylinder und die Hubketten sind mglichst nahe an den Hubrahmenprofilen angeordnet, um die Sicht des Fahrers auf die Fahrbahn und die Gabelzinken zu verbessern (Freisichthubgerst). Die Hydaulikanlage zur Bet
tigung der Hub- und Neigezylinder besteht aus einer Hochdruckzahnrad- oder einer Axialkolbenpumpen, den Steuerorganen (Ventile mit Bet
tigungshebeln), einem berdruck-Sicherheitsventil, einem Senkbremsventil und dem lbeh
lter besteht. ldruck zwischen 120 und 220 bar. Hubgeschwindigkeiten 0,2 bis 0,6 m/s. Die Senkgeschwindigkeit ist aus Sicherheitsgrnden auf 0,5 m/s beschr
nkt. Vierradgabelstapler mit Dieselmotor (auch Benzin- oder Treibgasmotor) werden luftbereift vorwiegend im Freien, auf Fahrbahnen mit hherem Fahrwiderstand oder grßerer Steigung eingesetzt. Fr Tragf
higkeiten ber 16 t werden Gabelstapler nur mit Verbrennungsmotor ausgerstet. Im Gel
nde eingesetzte Gabelstapler (z. B. im Forstbereich) besitzen Allradantrieb. Zur Kraftbertragung vom Verbrennungsmotor zu den Antriebsr
dern dienen Drehmomentwandler, Lastschaltgetriebe und Differential, hydrostatische Kreisl
ufe aus Verstellpumpe und hydraulischen Kolbenmotoren oder elektrische Getriebe, aus einem Generator und einem Elektromotor (Dieselelektrischer Antrieb). Weitere Bauarten von Gabelstaplern Sie sind durch die Optimierung auf spezielle Einsatzbereiche wie z. B. beengte Platzverh
ltnisse, hohe Hubhhen, ausschließliches Ein- und Ausstapeln in Palettenregallagern, Transport von Langgut usw. gekennzeichnet. Der Antrieb fr das Fahren und Heben erfolgt durch batteriegespeiste Elektromotoren. Lediglich der Quergabelstapler ist h
ufig mit einem verbrennungsmotorischen Antrieb ausgestattet. Gabelhochhubwagen V. Die Vorderr
der sind in festen Radarmen angeordnet, ber denen sich die Gabelzinken befinden.

Die aufzunehmende Last wird von den Radarmen und der Gabel unterfahren (z. B. Paletten ohne Bodenauflagen quer zur Fahrtrichtung). Spreizenstapler P. Hier ist der Fahrzeugrahmen so weit nach vorn offen, daß die vorderen in Pratzen gelagerten R
der jeweils seitlich an der Last vorbeirollen. Die Gabel kann bis auf Flur gesenkt werden. Gabelhochhubwagen und Spreizenstapler gehren zu den Radarmstaplern, die die Last innerhalb der Radbasis aufnehmen, transportieren und heben. Schubmaststapler M. Der gesamte Mast ist zwischen den Radarmen nach vorn verschiebbar angeordnet (Bild 7). Die Last wird außerhalb der Radbasis aufgenommen und innerhalb transportiert. Dreiseitenstapler (Schmalgangstapler, Hochregalstapler). Schmalgangstapler sind Flurfrderzeuge zum Ein- und Ausstapeln von Paletten in hohen Regallagern. Mittels eines speziellen Lastaufnahmemittels (Schwenkschubgabel oder Teleskopgabel) knnen sie Lasten seitlich ein- und ausstapeln. Dadurch bentigen sie nur schmale G
nge zwischen den Regalen. Außerdem erreichen sie sehr große Hubhhen (bis 14 m). Die Last wird außerhalb der Radbasis aufgenommen. Kommissionier-Flurf
rderzeuge sind spezielle Flurfrderzeuge zum Kommissionieren, d.h. zum auftragsbezogenen Zusammenstellen, von sortenunreinen Ladeeinheiten in Palettenregallagern. Zum Stapeln sind sie ungeeignet. Horizontalkommissionierer besitzen keine Hubvorrichtung, die es dem Fahrer ermglicht, Waren aus hher gelegenen Regalf
chern zu entnehmen. Erreichbar sind nur die erste und die zweite Regalzeile. Sie sind jedoch h
ufig mit sehr langen Hubgabeln zur Aufnahme mehrerer Paletten hintereinander ausgestattet. Die Bedienung erfolgt ber kurze klappbare Deichsel oder ber ein kleines Lenkrad. Vertikalkommissionierer sind mit einem Hubmast zum Heben einer Kabine und der zu beladenen Palette ausgestattet. Der Fahrer kann von der hebbaren Kabine aus alle Lagerf
cher erreichen.

U

U 66

Frdertechnik – 4 Flurfrderer

Bild 8. Quergabelstapler mit 6,5 t Tragf
higkeit. Hubhhe 4 000 mm; Dieselmotor 56 kW – 2 400 1/min; Fahrgeschwindigkeit horizontal bis 22 km/h (Kalmar LMV, Ljungby)

U Bild 9. Vierwegegabelstapler mit 3 t Tragf
higkeit. 80-V-Elektrobatterie-Antrieb, 5-kW-Fahrmotor, 8-kW-Hubmotor; Fahrgeschwindigkeit horizontal bis 8 km/h; Hubgeschwindigkeit mit (ohne) Last 0,16 (0,22) m/s (Kalmar LMV, Ljungby)

Quergabelstapler Q (Langgutgabelstapler). Der Hubmast mit Schlitten und Gabel ist in der Mitte eines Plattformfahrzeugs quer zur Fahrzeugl
ngsachse in einer Aussparung verschiebbar angeordnet. Bei Lastaufnahme und Stapeln steht der Hubmast bndig mit der Fahrzeugseitenwand. Fr das Verfahren der Last wird der Hubmast, z. B. durch diagonal angeordnete Hydraulikzylinder, in die Aussparung hineingezogen und die Last auf die Plattform abgesenkt (Bild 8). Mastneigung durch Neigen des gesamten Staplers ber Hydraulikzylinder zwischen Fahrzeugrahmen und Achsen auf der Fahrerseite.

Vierwegestapler Y. Eine Kombination aus Schubmast- und Quergabelstapler, die R
der sind um 90 verstellbar, so daß in Fahrzeugl
ngs- und -querrichtung gefahren werden kann (Bild 9). Der Hubmast ist bis zur Außenkante des Staplers verschiebbar; die Last wird je nach Fahrtrichtung entweder vor Kopf oder seitlich aufgenommen und bei zurckgezogenem Mast innerhalb der Radbasis transportiert. Je nach Tragf
higkeit (1 bis 15 t) sind ein, zwei oder alle vier schwenkbaren R
der angetrieben.

I4.2 Motorisch angetriebene Stckgutf
rderer

Bild 10. Versuchsbedingungen zur Ermittlung der Standsicherheit von Gabelstaplern bis 5 t Nennlast (ISO 1074)

U 67

Bild 11. Portalhubwagen mit 30 t Tragfhigkeit. Hubh
he 600 mm; Dieselmotor 144 kW – 2 400 1/min; Fahrgeschwindigkeit horizontal bis 30 km/h vor- und rckwrts; hydraulische Allradlenkung (Valmet, Tampere)

Standsicherheit

Portalstapler E

Allgemeine Angaben zur Standsicherheit von Flurf
rderzeugen enthalten DIN EN 1726-1 und DIN EN 1726-2. Fr Gabelstapler mit Tragfhigkeiten bis 50 t, ist die Standsicherheit auf einer neigbaren Plattform in Lngs- und Querrichtung, jeweils fr einen Typ, vom Hersteller nachzuweisen. Versuchsbedingungen in ISO 1074 (Bild 10).

Portalstapler nehmen Container mit einem Tragrahmen (Spreader) von oben auf. Dabei werden drehbare Bolzen in den Eckbeschlgen der Container automatisch verriegelt. Containerlnge bis 40 ft (12 192 mm), Containerh
hen bis 9 12 ft (2 896 mm). Zumeist Ausfhrung der Portalstapler fr Dreifachstapelung (Bild 12), damit an jeder Stelle eines Zweifachstapels ein Container aufgenommen und abtransportiert werden kann. Portalstapler fr zweifache Stapelung sind ebenfalls im Einsatz; in wenigen Fllen auch fr vierfache Stapelung. Bewegung des Tragrahmens durch horizontal angeordnete Hydraulikzylinder ber Ketten. Senkrechte Anordnung der Hubzylinder ist ebenfalls m
glich. Gleichlauf der Kettenstrnge wird durch querliegende Synchronisationswelle sichergestellt. Alternativ auch Aufhngung des Tragrahmens an Seilen, die von Seilwinden bewegt werden. Zur Erleichterung der Lastaufnahme ist der Tragrahmen um 2  300 mm seitlich verschiebbar und um 2  6 horizontal drehbar. Kraftbertragung zwischen Antriebsmotor und angetriebenen Rdern (wahlweise zwei oder vier) ber hydrodynamischen Drehmomentwandler, Lastschaltgetriebe und Gelenkwellen mit Winkelgetrieben. Alternativ zum Antrieb durch einen einzelnen Antriebsmotor auf dem Portal werden zwei getrennte Motoren auf den seitlichen Lngstrgern in Radnhe angeordnet, die jeweils zwei Rder einer Seite antreiben. Kraftbertragung zwischen Motor und angetriebenen Rdern auch hydrostatisch oder elektrisch (Dieselmotor-GeneratorElektromotoren). Gelenkt werden alle acht Rder, hydraulisch ber einen Lenkzylinder je Fahrzeugseite.

4.2.4 Portalhubwagen und -stapler Straddle carriers and van carriers Zum Transport von schweren Stckgtern, z. B. Langgut, Brammen, Unit Loads und Containern, werden Flurf
rderzeuge eingesetzt, die als portalartig hochgebaute Fahrzeuge die Last zwischen den Rdern aufnehmen. Der dieselmotorische Antrieb mit Getriebe, die Fahrerkabine und die Hubwerke sind zumeist oben auf dem Portal angeordnet. Portalhubwagen F Fr Lasten bis 30 t (Bild 11) werden zwei von vier Rdern ber vertikale Ketten angetrieben und alle Rder in Drehschemeln gelenkt. Die Last wird mit Lastschuhen beiderseits unten erfaßt und mit hydraulischen Zylindern um ca. 500 mm gehoben. Eine Horizontiereinrichtung sorgt fr gleichmßiges Heben auch fr den Fall, daß der Lastschwerpunkt außermittig liegt. Beim Transport von Containern wird ein Tragrahmen (Spreader) eingesetzt (s. Portalstapler). Portalhubwagen auch fr gr
ßere Tragfhigkeiten (bis 60 t) mit acht gelenkten Rdern, von denen die inneren vier angetrieben werden. Kraftbertragung zwischen Motor und angetriebenen Rdern auch hydrostatisch, oder ber Drehmomentwandler, Lastschaltgetriebe und Gelenkwellen.

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rdertechnik – 4 Flurf
rderer

Bild 12. Portalstapler mit 40 t Tragfhigkeit zum Stapeln von Containern bis 9 12 Fuß (2 896 mm) H
he dreifach aufeinander. Dieselmotor 223 kW, 2 300 1/min; Fahrgeschwindigkeit mit (ohne) Last bis 25 (27) km/h; Hubgeschwindigkeit mit (ohne) Last bis 12,5 (16) m/min; hydraulische Allradlenkung (Noell GmbH, Wrzburg)

4.2.5 Fahrerlose Flurf
rderzeuge Automatically guided vehicles (AGV) Auch als FTS-Fahrzeuge bezeichnet (FTS Fahrerloses Transportsystem). Fahrerlose Flurf
rderzeuge verkehren leitliniengefhrt auf vorgegebenen Fahrkursen und dienen zur Verknpfung von einzelnen Stationen in Lager, Fertigung und Montage. Einsatz auch fr Warenverteil- und Kommissionieraufgaben. Die batteriebetriebenen FTS-Fahrzeuge fahren mit Schrittgeschwindigkeit; Leitlinienfhrung zumeist induktiv. Dabei erfassen Tastspulen im Fahrzeug das elektromagnetische Feld eines stromdurchflossenen, im Boden verlegten Leitdrahts (Wechselstrom 5 bis 10 kHz) und veranlassen bei Fahrkursabweichungen Stellbewegungen des Lenkmotors. Leitlinienfhrung auch optisch (Abtasten einer Farbspur) oder induktiv mit passivem, auf dem Boden aufgeklebten Leitband. Ausfhrung der FTS-Fahrzeuge als Wagen, Schlepper, Gabelhubwagen, Gabelstapler oder mit besonderer Lastbergabeeinrichtung (z. B. Kettenf
rderer, Rollenbahn, Hubtisch) und als Werkstcktrger und fahrbarer Montagearbeitsplatz. VDI-Richtlinie 2510: Fahrerlose Transportsysteme (FTS)

U

Wa ¼ m
a
1 þ

! Qred
ic ; 2 m
rdyn

Wst ¼ m
g
sin a : Fr eine Fahrgeschwindigkeit u und einem Getriebewirkungsgrad h ist die erforderliche Fahrmotorleistung: PF ¼ ðWF uÞ=h: Die Auslegung des Fahrantriebs erfolgt nach den geforderten Werten fr die Steigfhigkeit, die Zugkraft und die maximale Fahrgeschwindigkeit gemß VDI 2198, welche im Typenblatt fr Flurf
rderzeuge angegeben werden. Bei elektrischem Antrieb wird auf Kurzzeitbetrieb S2 mit begrenzten, gemß VDI 2198 festgelegten Zeiten ausgelegt. Beispielsweise wird zwischen Zugkraft fr S2 60 min und maximaler Zugkraft fr S2 5 min unterschieden, um durch eine kurzzeitige zulssige berlastung der Elektromaschine eine kostengnstige Dimensionierung zu erm
glichen. Bei verbrennungsmotorischen Staplern ist neben der erforderlichen Fahrleistung auch die erforderliche Hubleistung fr die Auslegung des Antriebs maßgeblich.

4.2.6 Fahrwiderstnde und Fahrmotorleistung Resistance to motion and engine performance Der Fahrwiderstand von Flurf
rderern auf fester Fahrbahn besteht aus dem Rollwiderstand Wr (Zapfen- und Rollreibung) und dem Steigungswiderstand Wst , bei motorgetriebenen Fahrzeugen ist auch der Beschleunigungswiderstand Wa zu bercksichtigen. Der Luftwiderstand kann bei der kleinen Fahrgeschwindigkeit im allgemeinen vernachlssigt werden (s. Q 1.2.1). Fr die einzelnen Widerstnde und den Gesamtfahrwiderstand gilt: WF ¼ Wr þ Wst þ Wa ; Wr ¼ mr
m
g
cos a ;

4.3 Motorisch angetriebene SchttgutFlurf
rderer Power-driven mobile bulk handling equipment Schttgut-Flurf
rderer werden vorwiegend im Bau- und Bergwerksbetrieb eingesetzt. Sie k
nnen nach Art der Schttgutbewegung in F
rderer fr bodenfreien Transport, z. B. Schaufellader und Schrfmaschinen, und in F
rderer fr bodengebundenen Transport, z. B. Planiermaschinen und Grader, untergliedert werden. Entsprechend ihrem Haupteinsatzgebiet werden sie bei den Erdbaumaschinen (s. U 6.3) behandelt.

I5.1 Aufbau und Arbeitsweise von Materialflußsystemen (MFS)

5 F
rderelemente und F
rdersysteme fr den innerbetrieblichen Materialfluß Material handling Systems and Components W. Gnthner, Garching, und D. Severin, Berlin

5.1 Aufbau und Arbeitsweise von Materialflußsystemen (MFS) Construction and working method Struktur. Materialflußsysteme (MFS) in Fertigungsbetrieben, Versandh
usern, H
fen usw. sind u. a. wegen ihrer vom Menschen nicht mehr beherrschbaren Grße i. allg. automatisiert. Sie gliedern sich (Bild 1) in das administrative System und in das Transportsystem (TPS). Das TPS umfaßt die teils hintereinander geschalteten, teils vernetzten Transport- und Lagerelemente sowie die Prozeßsteuerung. Das administrative System plant und berwacht den Materialfluß. Es leitet seine Auftr
ge an das TPS und l
ßt sich die Erledigung best
tigen [1, 2, 3] . Die Steuerung der Prozesse erfolgt ber Materialflußrechner (Bild 2), die ber einen Feldbus mit den speicherprogrammierbaren Steuerungen (SPS) kommunizieren. Die untereinander vernetzten SPS steuern die Frderelemente. Sie lassen sich einfach der jeweiligen Aufgabenstellung (Messen, Schalten, Steuern, Regeln, Verriegeln, Verknpfen) anpassen und leicht programmieren. Dank ihrer Ausgangsleistung knnen sie die Schaltelemente der Frdersysteme direkt bet
tigen. Weiterentwickelte Feldbussysteme ermglichen die Verlagerung der Intelligenz zur Maschine und damit die Reduktion des Verkabelungsaufwands und ggf. die Einsparung der SPS. Funktionen (Operationen). Der strungsfreie Ablauf setzt die gleichzeitige Organisation von Materialfluß und Informationsfluß voraus. Notwendige Funktionen in automatisierten MFS sind Informieren, Steuern und berwachen. Weitere im TPS auszufhrende Operationen s. Bild 3 [4, 5]. Zielsteuerung. In automatisierten TPS bewegen sich die Transporteinheiten (TEs) von den Eing
ngen zu ihren Bestimmungsorten ohne Eingriff durch den Menschen. Zur Identifizierung tragen sie eine Kennung [6]. Gengt es, TEs durch
ußere Merkmale voneinander zu unterscheiden, knnen Ge-

U 69

wicht, Abmessungen, Form zur Identifizierung dienen. Im allgemeinen tragen die TEs eine objekteigene Kennung, die entweder das Ziel beschreibt (direkte Steuerung Bild 4 a) oder – heute gebr
uchlicher – eine der TE zugeordnete Identnummer. Diese wird an diskreten Orten gelesen, decodiert und dem Rechner zugefhrt, der entsprechende Operationen, wie Stellen einer Weiche, Zuweisung eines Lagerplatzes, veranlaßt. Diese sog. indirekte Steuerung (Bild 4 b) ermglicht eine schnelle Ver
nderung des Ziels durch den Rechner. Dieser hat ein virtuelles Bild ber den augenblicklichen Zustand im MFS gespeichert und kann jederzeit Auskunft geben ber die Position jeder TE, ber die Belegung von Lagerpl
tzen (permanente Inventur) und ferner, da er die Stammdatei fhrt, ber Eigenschaften einer TE (Gewicht, Abmessungen, Lieferant, Inhalt, Verfalldatum, Bestimmungsort usw.). Identifikationssysteme. Sie dienen der Erkennung einer TE anhand der ihr mitgegebenen objekteigenen verschlsselten Information [7, 8]. Diese kann mechanisch (z. B. durch Schaltnocken), magnetisch, durch OCR-Schriftzeichen oder durch den am h
ufigsten eingesetzten Strichcode verschlsselt sein. Der Strichcode (barcode) – auf den von der TE mitgefhrten Codetr
ger gedruckt – besteht aus nach einem bestimmten Bildungsgesetz (Codeart) angeordneten dicken und dnnen Balken und den dazwischenliegenden weißen Lcken. Bekannte Codearten sind: Code 2/5 (Bild 5) verschlsselt Ziffern 0–9 durch jeweils zwei dicke und drei dnne Balken, wobei der letzte Balken ein der Selbstberprfung dienendes Parit
tsbit ist. Die nach einem bestimmten Algorithmus (z. B. Modulo 10) aus den einzelnen Ziffern gebildete sog. Prfziffer berprft die Gesamtinformation in bezug auf Lesefehler. Jede aus mehreren Ziffern bestehende Information ist durch ein Start- und Stopzeichen begrenzt. Code 2/5 i (interleaved) nutzt zur Informationsbertragung auch die Lcken zwischen den Balken. Code 39 verschlsselt neben den zehn Ziffern 26 alphanumerische Zeichen und sieben Sonderzeichen durch zwei dicke und drei dnne Balken sowie eine dicke Lcke und drei dnne Lcken. Da selbstprfend, bentigt dieser Code weder Parit
tsbits noch Prfziffer. EAN Code (Europ. Artikel Nummer), Code 129 u. a. sind im Handel blich. Die Identifizierungsgte wird u. a. durch die Breite (b > 0,4 mm) und das Breitenverh
ltnis (gnstig 1: 3) der dnnen und dicken Balken bzw. Lcken, ihre Dickentoleranz, den Schw
rzungsgrad und die Kantensch
rfe der Balken be-

U

Bild 1. Aufbau automatisierter Materialflußsysteme (Erl
uterungen im Text)

Bild 2. Steuerung automatisierter Materialflußsysteme (Erl
uterungen im Text)

U 70

Frdertechnik – 5 Frderelemente und Frdersysteme fr den innerbetrieblichen Materialfluß

Bild 4 a, b. Funktionsweise einer Zielsteuerung (ZS). a Direkte ZS; b indirekte ZS (Erl
uterungen im Text)

Bild 5. Aufbau einer codierten Information am Beispiel des 2/5-Codes (Erl
uterungen im Text)

Programmierbare Datentr
ger (EEPROM, RAM) ermglichen der TE an bestimmten Stellen auf der Strecke Informationen abzugeben und aufzunehmen (z. B. Fertigungsinformationen, Prfdaten) und reduzieren damit stark den Datenfluß im TPS nach oben [9 – 11] .

U

Bild 3. Funktionen (Operationen) in Materialflußsystemen (Erl
uterungen im Text)

stimmt. Das Abtasten erfolgt i. allg. durch Laserscanner. Zwei im rechten Winkel zueinander stehende Scanner lesen, ebenso wie die teureren sog. omnidirektionalen Scanner oder die CCD-Kameras, die Information in jeder beliebigen Lage des Codetr
gers.

Abfertigungsstrategien vor Transportknoten. Bei gleichwertigen Materialstrmen erfolgt die Abfertigung in der Reihenfolge der ankommenden TEs. Bei schubweiser Abfertigung werden zwei oder mehr TEs gleichzeitig durch den Transportknoten bedient. Bei Vorfahrtberechtigung (Bild 6 a) wird eine nicht vorfahrtberechtigte TE nur dann abgefertigt, wenn keine vorfahrtberechtigte TE auf Abfertigung wartet, bei absoluter Vorfahrtberechtigung (Bild 6 b) nur, wenn dadurch eine TE aus dem vorfahrtberechtigten Strom nicht behindert wird. Die Vorfahrtberechtigung mindert den mglichen Gesamtdurchsatz in dem Transportknoten. Zur Vermeidung von Kollisionen oder zur Pufferbildung kann man den Frderweg in sog. Blockstrecken unterteilen. Solange sich eine TE in einer Blockstrecke befindet, ist der Zugang fr die nachfolgende gesperrt.

5.2 Theoretische Behandlung der Materialflußsysteme Theoretical treatment of material handling systems Ein MFS kann gedacht werden als eine Hintereinander- oder Parallelschaltung verschiedener Bediensysteme, die durch

I5.2 Theoretische Behandlung der Materialflußsysteme

U 71

Bild 6 a, b. Abfertigungsstrategien. a Bei Vorfahrtberechtigung; b bei absoluter Vorfahrtberechtigung (Erluterungen im Text)

Transportstrecken und Weichen miteinander verbunden sind. F
r das zunchst manuell geplante MFS muß durch Berechnung sicher gestellt werden, daß der mgliche Durchsatz in allen Transportstrecken und -knoten um ca. 10 % grßer ist als der gew
nschte Durchsatz und sich vor keiner Bedienstation eine unzulssig lange Warteschlange bildet. Bediensystem. hnlich wie bei der Post besteht das Bediensystem aus der Bedienstation (Schalter), in der eine TE (Kunde) unterschiedlich lange abgefertigt wird, und aus dem Warteraum (Schalterhalle), in dem andere TEs auf Abfertigung warten (Bild 7 a). Der zeitliche Abstand zweier nacheinander ankommender TEs ist die sog. Zwischenankunftszeit ta . Um Strungen im Gesamtsystem zu vermeiden, darf die Warteschlange in jedem Bediensystem nicht mehr Pltze belegen, als sie sein Warteraum bereit hlt [12]. Eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung zur Begrenzung der Warteschlangenlnge ist r = l/m < 1. Dabei sind: r der Auslastungsgrad, l = 1/ta der mittlere Durchsatz (z. B. St
ck/h) des ankommenden und m = 1/tb des abgefertigten Stroms, ta und tb die mittlere Zwischenankunftszeit bzw. Abfertigungszeit. Wegen der mit ungleichen Zwischenankunftszeiten ta ankommenden TEs und der unterschiedlich langen Bedienzeiten tb bestimmt man die mittlere und maximale Zahl der wartenden TEs mit Hilfe der Dichtefunktionen f (ta) und f (tb) (Bild 7 b und c). Dazu bildet man i. allg. das MFS auf dem Rechner ab und simuliert den geplanten G
terfluß [13, 14, 15]. F
r jedes Bediensystem bestimmt der Rechner aus f (ta) und f (tb) die Verteilungsfunktionen F(ta) und F(tb) (Bild 8) und dar
ber mittels eines Zufallszahlengenerators f
r jeden Simulationsschritt die zufllige Zwischenankunftszeit ta
und Abfertigungszeit tb
. Die Simulation luft so lange, bis sich abgesicherte Aussagen
ber die Zahl der wartenden TEs und deren zeitliche Verteilungen in den einzelnen Bediensystemen machen lassen (Bild 7 d). Zur mathematischen Beschreibung von f (ta) und f (tb) empfiehlt sich die Erlang-Verteilung (Bild 9). f ðtÞ ¼ ðl  kÞk 

tðk1Þ  el k t ðk  1Þ!

Bild 7. a Bediensystem; b Wahrscheinlichkeits-Dichtefunktion des ankommenden Stromes; c Wahrscheinlichkeits-Dichtefunktion des abgefertigten Stromes; d rel. Hufigkeit der belegten Pltze im Warteraum

Bild 8. a Dichtefunktion eines Ankunftprozesses; b daraus abgeleitete Verteilungsfunktion zur Bestimmung der nchsten Zwischenankunftszeit ta
mit Hilfe des Zufallsgenerators

U

ð1Þ

mit k ¼ ðt=sÞ , wobei t die mittlere Ankunfts- bzw. Abfertigungszeit und s die zugehrige Standardabweichung ist (s. A bzw. DUBBEL interaktiv). Durch Variation des k-Werts lßt sich die Form der Verteilungsfunktion verndern. Mit k = 1 ergibt sich der Dirac-Impuls (Kurzzeichen D, getakteter Betrieb), mit k=30 die Gaußverteilung und mit k = 1 die oft verwendete Exponentialverteilung f ðtÞ ¼ lel t (Kurzzeichen M, Markow-Prozeß), die eine relativ große Standardabweichung ðs ¼ tÞ besitzt und bei der TEs mit t = 0 am hufigsten auftreten. 2

Bild 9. Erlang-Verteilungen bei unterschiedlichen k-Werten (Erluterungen im Text)

U 72

F
rdertechnik – 5 F
rderelemente und F
rdersysteme fr den innerbetrieblichen Materialfluß

Bild 11. a Transportknoten; b Transportstrommatrix mit den von den Eingngen i zu den Ausgngen j fließenden Transportstr
men lij

Bild 10 a–c. Mindestabstand smin zwischen zwei benachbarten TEs auf der F
rderstrecke. a Bei festem Abstand der TEs auf dem F
rderer; b bei Stauf
rderern mit fester Stauplatzlnge; c bei selbstfahrenden TEs

Analytische L
sungen, und dann nur fr die mittlere Warte w ¼ l
tw der wartenden zeit tw bzw. die mittlere Anzahl N TEs, bestehen nur fr die Bediensysteme mit Dichtefunktions-Kombinationen von f (ta) und f (tb). Durchsatz auf freier Strecke. F
rdergeschwindigkeit v und Mindestabstand smin der aufeinander folgenden TEs bestimmen den m
glichen Durchsatz

Bild 12. a Verteilelement mit zwei Ausgngen; b Beziehung zwischen den Grenzstr
men m11 und m12 sowie den m
glichen Durchstzen l11 und l12

mij ist der sog. Grenzstrom, d. h. der max. m
gliche Durchsatz fr die jeweilige F
rderrichtung i j, wenn nur zwischen dem Eingang i und dem Ausgang j gef
rdert wrde [16, 17]. Bild 12 zeigt, wie sich bei einem Verteilelement mit einem Eingang (i = 1) und zwei Ausgngen (j = 2) und den Grenzstr
men m11 und m12 die Durchstze l11 und l12 gegenseitig beeinflussen (Bild 12 a). Vergr
ßert sich z. B. l11 , verkleinert sich l12 .

m ¼ u=smin ¼ 1=tmin ð2Þ

U

in Stck/Zeiteinheit. smin wird bestimmt durch die Breite b der TE und das F
rderprinzip. Liegen die TEs mit festen Abstnden zueinander auf dem F
rdermittel (z. B. Bandf
rderer) und drfen die TEs beim Anhalten auf die davor stehende TE auffahren (Stauen unter Staudruck), ist smin = b + s0 (Bild 10 a). Der Sicherheitsabstand s0 muß so groß sein, daß sich die TEs bei der Bef
rderung (z. B. bei Kurvenfahrt) nicht behindern. Drfen die TEs nicht auffahren (staudruckloses Stauen), teilt sich die F
rderstrecke in individuell ein- und abschaltbare Einzelf
rderer gleicher Lnge bmax+s0 , die durch die breiteste zu f
rdernde TE bestimmt wird (Bild 10 b). Werden die TEs durch selbstfahrende (aktive) Elemente (z. B. Elektrohngebahn) transportiert, ist smin = sr+ sa + b + s0 (Bild 10 c) mit: Reaktionsweg sr = u
tr , Reaktionszeit tr , Verz
gerungsweg sa = u2/2 a, Verz
gerung a. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Bei der F
rdergeschwindigkeit u ¼ uopt ¼ 2 a ðb þ s0 Þ ergibt sich der gr
ßtm
gliche Durchsatz mmax ¼ 1=ðtr þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 ðb þ s0 Þ=aÞ: Durchsatz in Transportknoten. Transportknoten (TPK) (Bild 11 a) wie z. B. Weichen, vereinen und/oder verteilen Transportstr
me lij . Der Durchsatz ist i. allg. kleiner als der auf freier Strecke, da die nchste TE erst in den TPK einfahren kann, wenn dieser die Vorgngerin abgefertigt hat und wieder aufnahmebereit ist (sog. eingeschrnkte Durchfahrt). Auch sich kreuzende Fahrwege von Flurf
rderzeugen bilden einen TPK. Der Gesamtdurchsatz X des TPK ist die Summe der Durchstze aller Teilstr
me lij (Bild 11 b), die durch das allgemeine X Grenzstromgesetz lij/mij  1 miteinander verknpft sind.

5.3 Transporteinheit (TE) und Transporthilfsmittel (TPH) Transportation unit and remedy Die Transporteinheit (TE) ist das zu f
rdernde einzelne Stckgut. Hufig faßt man mehrere Einzelstcke auf einem Transporthilfsmittel (TPH) zu einer gr
ßeren Transporteinheit zusammen [18]. Das TPH ist ein flacher oder behlterartiger Unterbau mit standardisierter Grundflche, der jeweils als Mittler zwischen dem F
rdergut einerseits und dem Lastaufnahmemittel, dem F
rdergert und dem Lagerregal andererseits wirkt und oft den besonderen Formen des Transportguts angepaßt ist. Hufig eingesetzte TPH sind Flachpaletten [19] und Behlter (Bild 13). Im innerbetrieblichen Materialfluß sind spezielle Kunststoffbehlter unterschiedlicher Gr
ße im Einsatz. Vielfach werden verpackte, relativ leichte Gter ohne TPH gef
rdert (Pakete in Versandhusern und Post). Vorteile des TPH-Einsatzes: Reduzierung der Transporte sowie der Ein- und Auslagervorgnge; betriebsbergreifende Standardisierung der Transport-, F
rder- und Lagermittel; optimale Nutzung der Laderume von Verkehrsmitteln. Ferner „Ladeeinheit = Transporteinheit = Lagereinheit“, deswegen kein Umpacken, daher Schonung des Gutes, einfachere Verpackung, schnellerer Transport.

5.4 F
rderelemente fr den innerbetrieblichen Materialfluß Components of material handling systems Transportsysteme (TPS) entstehen durch Verknpfung von aufgabenspezifisch arbeitenden F
rderelementen und Teil-

I5.4 Frderelemente fr den innerbetrieblichen Materialfluß

Bild 13 a–c. Ladungstr
ger. a Vierwege-Flachpalette (DIN 15 146) aus Holz, seltener aus Kunststoff mit Außenmaßen (a  b): 800 mm  1 000 mm; 800 mm  1 200 mm (Europ
ische Tauschpalette) ; 1 000 mm  1 200 mm; b Zweiwege-Flachpalette, erweitert mit Aufsteckrahmen 1, sonst wie a; c Gitterboxpalette (DIN 15 155) aus Stahl mit Vorderwandklappen, alternativ mit abnehmbarer geteilter Vorderwand (DIN 15 144), Grundfl
che wie a, stapelbar fnffach bereinander

systemen. Wegen der oft großen Zahl von parallel und hintereinander geschalteten Elementen wird von diesen eine große Zuverl
ssigkeit und Verfgbarkeit bei kleinstmglichen Kosten gefordert. Ihre Frderquerschnitte, Frdergeschwindigkeiten, Tragf
higkeiten, mglichen Durchs
tze und bergabestellen sind aufeinander abzustimmen. Zur Lastabsttzung und fr den Transport dienen w
lzgelagerte Kugeln, Rllchen, Rollen sowie Ketten und Gummi- oder Stahlgurtb
nder. Tragkonstruktion und Art des Antriebs werden durch die Gewichtsklasse (GK) bestimmt. GK 1 Lasten bis 50 kg fr leichte Frderger
te. Wegen der gewnschten manuellen Bewegungsmglichkeit wiegen die TEs mehrheitlich weniger als 15 kg. GK 2 Lasten von 50 bis 1500 kg fr schwere Frderger
te (i. allg. auf Paletten). Die Transportgewichte liegen mehrheitlich unter 800 kg. F
rdergeschwindigkeit. Sie wird begrenzt durch die Abfertigungskapazit
t zwischengeschalteter Transportknoten. Sie liegt bei einfachen Frderelementen zwischen 0,3 und 0,5 m/s, blicherweise bei 0,35 m/s. Fr Sortiersysteme, Schleppkreisfrderer, Elektroh
ngebahnen, Fahrerlose Transportsysteme siehe dort. 5.4.1 Elemente zur F
rderung auf freier Strecke Open line conveying components Kugeltische. Sie werden eingesetzt an Gutaufgabestationen, an Weichen oder Kreuzungen (Bild 14 a). Sie erlauben die gleichzeitige Frderung der TEs in zwei Richtungen und eine zus
tzliche Drehung um deren vertikale Achse. Sie bestehen aus ber die Frderebene verteilten w
lzgelagerten Kugelelementen 1 (Bild 14 b) oder aus parallel- und hintereinander geschalteten sog. Omni-Rollen (Bild 14 c), bei denen die Achsen 1 der drehbaren Rahmen 2 in die Hauptfrderrichtung weisen, und die Achsen der drei drehbar im Rahmen gelagerten tonnenfrmigen Rollen 3 dazu senkrecht stehen. R
llchenf
rderer (Bild 15 a). Mehrere w
lzgelagerte, nicht angetriebene Rllchen 1 sitzen auf einer Achse. Mehrere in einem Rahmen 2 hintereinander angeordnete rllchenbestckte Achsen bilden das Frderelement.

U 73

Bild 14. a Weiche mit Kugeltisch; b w
lzgelagertes Kugelelement; c sog. Omni-Frderrolle (INTERROLL)

Bild 15. a Rllchenfrderer und b Rollenfrderer fr GK 1 (Erl
uterungen im Text)

Rollenf
rderer. Er besteht aus hintereinander liegenden, w
lzgelagerten Rollen 1, die i. allg. angetrieben werden. Bei der leichten Ausfhrung fr GK 1 (Bild 15 b) werden einfach auswechselbare Rollen von oben in den Tragrahmen 2 gelegt. Den Antrieb bernimmt ein st
ndig umlaufender Flach-, Keiloder Rundriemen 3. Diesen drcken federnd gelagerte Rllchen 4 nur so leicht an die Frderrollen 1, daß sich diese bei ruhenden TEs (z. B. im Stau) nicht drehen. Rollenfrderer der schweren Ausfhrung fr GK 2 (Bild 16 a) transportieren vorzugsweise Paletten 1. Deren Bodenbretter 2 stehen mit den Frderrollen 3 in Kontakt. Zur Fhrung der Paletten auf den Rollen dienen kegelfrmige Abweisringe 4. Der Antrieb erfolgt zentral ber Kettenr
der 5 und Rollenketten, die je zwei benachbarte Rollen verbinden. Tragkettenf
rderer. Fr GK 2 (Bild 16 b). Zwei mit gleicher Geschwindigkeit parallellaufende, unten durch Kunststoffleisten 2 gesttzte endlose Rollenketten 3 tragen auf der Oberseite der Kettenglieder die Palette 1. Tragkettenfrderer arbeiten ger
uscharmer und palettenschonender als Rollenfrderer. Bandf
rderer (fr GK 1, siehe Bild 17). Sie erlauben grßere Frdergeschwindigkeiten als Rollenfrderer. Ein ber ein Schneckengetriebe oder direkt durch einen Trommelmotor 1 getriebenes Gurtband 2, das durch Tragrollen 3 (Bild 17 a) gesttzt wird, frdert die TEs. Zur Ger
uschminderung knnen die Sttzrollen durch ein Sttzblech 4 (Bild 17 b) ersetzt werden (gleitende Abtragung), wobei der Antrieb die Reibkr
fte zwischen Blech und Gurt berwinden muß. Kurvenf
rderer. Kurvenfahrt der TEs in GK 1 ist u. a. mglich durch Rollenfrderer mit ber Riemen 10 angetrie-

U

U 74

F
rdertechnik – 5 F
rderelemente und F
rdersysteme fr den innerbetrieblichen Materialfluß

Bild 19 a, b. Schwerkraftf
rderer; a mit R
llchenbahn fr GK 1; b mit Rollenbahn fr GK 1 und GK 2 (Erluterungen im Text)

Bild 16. Fr GK 2 a Rollenf
rderer und b Tragkettenf
rderer mit gegenber a um 90 gedrehter Palette (Erluterungen im Text)

Bild 17. Bandf
rderer fr GK 1 (Erluterungen im Text)

Bild 20. Staurollenf
rderer (Erluterungen im Text)

Abstandsweise eingesetzte Bremsrollen k
nnen die Geschwindigkeit begrenzen. Ungewollter Stillstand des Materialflusses ist m
glich, wenn Bewegungswiderstnde unplanmßig groß werden, z. B. beim Anlaufen der TEs an Seitenbegrenzungen.

Bild 18. Kurvenf
rderer fr GK 1 (Erluterungen im Text)

U

benen kegligen Rollen 9 (Bild 18 a) oder durch Bandf
rderer, bei denen das F
rderband 1 (Bild 18 b) ber zwei keglige Rollen 2 (eine davon angetrieben) luft und an der Außenkante ber ein aufvulkanisiertes Profilband 3 aus PUR und festgelagerte Sttzrollen 4 auf dem Gleitblech 5 gefhrt wird. Werden die Kegelrollen an den Enden durch mehrere zylindrische Sttzr
llchen 6 ersetzt (Bild 18 c), kann die Außenkantengurtfhrung entfallen. Den lose aufgelegten Gurt 7 treibt ein Reibrad 8. Die Lcken zum geradeauslaufenden Anschlußf
rderer k
nnen enger gestaltet werden als bei kegligen Endrollen (vgl. bergangsstelle X (Bild 18 a) und Y (Bild 18 c)). Schwerkraftf
rderer. Schurre, Wendelrutsche, leicht geneigte R
llchen- (Bild 19 a) und nicht angetriebene Rollenf
rderer (Bild 19 b), vorzugsweise fr GK 1, nutzen die Hangabtriebskraft auf der schiefen Ebene zur berwindung der Bewegungswiderstnde zwischen TE und Tragelementen.

Stauf
rderer erm
glichen das geplante Anhalten der TEs. Wenn die TEs dabei aufeinander auffahren drfen (Stauen unter Staudruck), k
nnen Schwerkraftf
rderer nach Bild 19 eingesetzt werden. Der gestaute Materialstrom setzt sich selbstttig in Bewegung, wenn Stopper 1 (Bild 19 b) abgesenkt wird. Bei empfindlichem Gut oder bei den TEs der GK 2 drfen sich die gestauten TEs nicht berhren (Bild 20). In diesem Fall ist die Staustrecke in abstandsgleiche Teilstrecken (Staupltze) mit eigenen Antrieben 1, z. B. Antriebsrolle nach Bild 21 und Riementrieb 2, unterteilt. Die Stauplatzlnge wird durch die lngste zu f
rdernde TE bestimmt. Staubildung erfolgt, indem nach Beladung eines Stauplatzes dessen Antrieb 1 abgeschaltet wird, wenn der Stauplatz davor durch eine TE besetzt ist. Wenn eine TE von ihrem Stauplatz abgezogen wurde, besetzt die nachfolgende den freigewordenen Platz, so daß auf diese Weise alle nachfolgend gestauten TEs sich zeitlich versetzt um je einen Platz vorbewegen. Die Steuerung erfolgt mechanisch durch Schaltnocken oder optisch durch Sensoren S. 5.4.2 Elemente zum Zusammenfhren und Verteilen von Transportstr
men Components for unification and operation of material flow Diese Elemente (z. B. Weichen) verteilen in Transportknoten (s. Bild 11) aus unterschiedlichen Richtungen ankommende TEs in andere Richtungen (Bild 22 und Bild 23). Am hufigsten sind Verteilelemente mit einem Eingang und zwei Ausgngen und Sammelelemente mit zwei Eingngen und einem Ausgang.

I5.4 Frderelemente f
r den innerbetrieblichen Materialfluß

U 75

Bild 21. Selbsttreibende Frderrolle, GK 1 f
r Staufrderer und Verschiebewagen (INTERROLL). 1 regelbarer Gleichstrommotor mit Permanentmagneterregung f
r 24 Volt, 2 zweistufiges Umlaufgetriebe, 3 reibschl
ssige Gummikupplung zwischen Getriebeausgang und Rollenkrper, 4 f
r die Montage verschiebbare Achse, 5 Vorspannfeder f
r Achse, 6 feste Achse mit Sechskantprofil als Drehmomentenst
tze, 7 Kollektor

Bild 22 a–e. Sammel- und Verteilelemente f
r leichtes St
ckgut (GK 1). a Sammelelement f
r Rollenfrderer. F
r ungehinderte Durchfahrt der TE entweder aus Richtung E1 oder E 2 nach A1 sorgt ein
ber optische Sensoren S1, S2 gesteuerter Schwenkarm 1, der jeweils eine Frderrichtung sperrt. Seitenf
hrungsrolle 2 erleichtert Umlenkung der TE. b Verteilelement f
r Rollenfrderer mit Schwenkarm 1 und Umlenkrolle 2. Sensor S identifiziert die TE und schaltet Schwenkarm 1 in die gew
nschte Richtung. c Zur schnelleren Umlenkung kann Schwenkarm 1 mit einem umlaufenden Band 3 ausger
stet werden. d Verteilelement f
r Gurtbandfrderer. Ein stets umlaufendes, schwenkbares,
ber Sensor S gesteuertes Transportband 1 verteilt die TEs in die alternativen Richtungen A1 , A2 , A3 . e Verteilelement mit mehreren Ausgngen. In chaotischer Reihenfolge ankommende TEs werden durch Sensor S identifiziert und mit Hilfe druckluftbettigter Zylinder 1 und verschiebbarer Mitnehmer 2 (Pusher) den einzelnen Ausgngen A1 , A2 , An zugef
hrt

Bild 23 a–c. Sammel- und Verteilelemente f
r schweres Gut (GK 2). Jedes der drei Elemente kann als Sammel- oder als Verteilelement arbeiten. a Mit Verschiebewagen 1, der auf Schienen 2 fhrt und mit einem angetriebenen Rollentisch 3 ausger
stet ist. Er nimmt die Last an einer Stelle auf, bringt sie zu dem gew
nschten Ausgang und gibt sie dort ab; b mit Drehweiche 1, die einen angetriebenen Rollentisch 2 besitzt; c mit integriertem Kettenfrderer 1, welcher auf einem zwischen den Rollen eingelassenen Rahmen 2 sitzt. Dieser wird bei gew
nschter nderung der Frderrichtung
ber Hydraulikzylinder 3 angehoben,
bernimmt die TE z. B. in Pos. A vom Rollenfrderer RF 1, frdert sie nach Pos. B und
bergibt sie dort durch Absenken dem RF 2

5.4.3 Sortiersysteme. Sorting systems Gegen
ber den Verteilelementen unter U 5.4.2 verteilen Sortiersysteme (Sorter) die TEs der GK 1 (i. allg. unter 15 kg, z. B. Postpakete) auf eine grßere Zahl von Ausgngen und dies bei wesentlich grßeren Frdergeschwindigkeiten und Durchstzen (5 000 bis 15 000 h–1) [20, 21] (Bild 24).

U

U 76

F
rdertechnik – 5 F
rderelemente und F
rdersysteme fr den innerbetrieblichen Materialfluß

Bild 24. Funktionsprinzip der Sortiersysteme fr leichtes Gut (GK 1) (Erluterungen im Text) Bild 27. Zip-Sorter (Erluterungen im Text)

Bild 28. Drehschub-Sorter (Erluterungen im Text)

Bild 25. Kippschalen-Sorter (Erluterungen im Text)

U

Bild 26. Quergurt-Sorter (Erluterungen im Text)

Kippschalen-Sorter (Bild 25). Eine Vielzahl gelenkig aneinander gekoppelter Wagen 1 werden durch ein Zugmittel 2 in einem Hohlprofil 3 auf einem geschlossenen Kurs mit m
glichen Vertikal- und Horizontalb
gen verfahren (u = 2,3 m/s). Jeder Wagen ist mit einem quer zur Hauptf
rderrichtung kippbaren Lastaufnahmemittel 4 ausgerstet, das die TE an dem durch das Identifizierungssystem vorgegebenen Ausgang abkippt. Quergurt-Sorter (Bild 26). hnlich aufgebaut wie der Kippschalensorter besitzt jeder Wagen 1 anstelle der Kippschale einen quer zur Hauptf
rderrichtung (u = 2,0 m/s) wirkenden Gurtbandf
rderer 2. Sein Antrieb 3 wird nur zum Ausschleusen der TE in den vorgesehenen Ausgang aktiviert.

Zip-Sorter (Bild 27). Zwei parallel umlaufende Ketten 1 (u = 2,8 m/s), die durch Platten 2 verbunden sind, tragen die TEs. Das Ausschleusen bernehmen Abschiebeschuhe 3, die zwischen zwei benachbarten Stben liegen und zur Ausschleusung der TE quer zur Hauptf
rderrichtung verschoben werden k
nnen. Zu diesem Zweck werden die Schuhe 3 zustzlich in Gleitschienen 4 gefhrt, die unterhalb und an beiden Seiten des Stabkettenf
rderers liegen und in Hauptf
rderrichtung weisen. Soll eine TE ausgeschleust werden, leitet eine Weiche 5 die Schuhe in eine im Winkel zur Hauptf
rderrichtung liegende Fhrungsbahn 6 um, so daß sich die mit den Stben umlaufenden Schuhe zustzlich quer verschieben und die TE abweisen. Je nachdem, wo die TE ausgeschleust werden sollen, mssen die ihr zugedachten Abschiebeschuhe bereits am Eingang des Zip-Sorters nach Identifizierung der TE der linken oder der rechten Fhrungsschiene zugeordnet werden. Die Anzahl der Schuhe wird durch die F
rdergutlnge bestimmt. Rotationspusher (Bild 28). Jeder Ausgang des Sortiersystems ist mit einem Drehschubarm ausgerstet, bestehend aus dem Dreharm 1, dem Abweiser 2, dessen Kontaktflchen 3 infolge einer im Dreharm eingebauten Parallelfhrungskinematik stets senkrecht zur F
rderrichtung bewegt werden, und dem Antrieb 4, der aktiviert wird, wenn eine auf dem Band 5 ankommende TE in den betreffenden Ausgang gef
rdert werden soll (z. B. TE 2 nach Ausgang 2). 5.4.4 Kreisf
rdersysteme. Circular conveying systems Sie bestehen aus einer Vielzahl gleichartiger lastentragender Rollenlaufwerke mit Gehnge, die sich i. allg. auf oder ber dem Flur auf geschlossenen Fahrkursen bewegen. Weichen k
nnen ihre Fahrwege verzweigen und zusammenfhren. Die Lastaufnahmemittel (Gehnge) k
nnen den individuellen Bedrfnissen angepaßt werden.

I5.4 Frderelemente f
r den innerbetrieblichen Materialfluß

U 77

Bild 31. Prinzip der Fahrerlosen Transportsysteme (FTS) (Erluterungen im Text)

Bild 29 a, b. Zugmittel f
r Kreisketten- und Schleppkreisfrderer. a Kreuzgelenkkette; b Steckkette nach VDI-Richtlinie 3614 (Erluterungen im Text)

Bild 30. Schleppkreisfrderer (Eisenmann) (Erluterung im Text)

Kreiskettenf
rderer. F
r leichtes Gut
bernimmt eine endlos umlaufende Kreuzgelenkkette den Transport der Lasten (Bild 29 a). Sie wird durch horizontale 1 und vertikale Rollen 2 in einem unten teilweise offenen Rechteckrohr 3 gef
hrt (u = 6 bis 30 m/min). Infolge des Kreuzgelenks 4 kann die Fahrbahn ansteigend, abfallend oder in der horizontalen Ebene gekr
mmt sein. Das beliebig gestaltbare Lastaufnahmemittel 5 ist drehbar zwischen zwei Kettengliedern 6 angeordnet. F
r schweres Gut wird die sog. Steckkette (Bild 29 b) nach VDI-Richtl. 3614 eingesetzt. Im entspannten Zustand lßt sie sich einfach in die drei Elemente Innenglied 1, Außenglied 2 und Bolzen 3 zerlegen. Die Kette wird durch Rollen aus Stahl auf den Flanschen eines I-Profils gef
hrt (s. U 3 Bild 28). Schleppkreisf
rderer (Power & Free F
rderer). Sie verwenden als Zugmittel die gleichen Elemente wie die Kreiskettenfrderer. Allerdings hngen die Lasten an eigenen Laufwagen (Bild 30). Diese knnen
ber einen Klinkenmechanismus 1 an die umlaufende Zugkette 2 angehngt werden (u = 6 bis 30 m/min) und sich von dieser wieder abkuppeln, wenn z. B. der die Klinke bedienende Hebel 3 auf die Gleitkurve 4 eines stehenden Laufwagens auffhrt. Dies ermglicht die automatische Pufferbildung. Der Laufwagen besteht aus den beiden Fahrwerken 5 und 6 und der sie gelenkig verbindenden Lasttraverse 7. Wird der vorderste Laufwagen 8

abgezogen, kuppeln sich die nachfolgenden Wagen taktweise an die stets umlaufende Schleppkette 2 an. Kurvenfahrt und ansteigende Frderung bis 45 sind mglich. Die bergabe der Transportwagen von einem Frderkreis auf einen anderen (Weiche) erfolgt durch Transfer-Frderer. Elektrohngebahn-System (EHB). Die Fahrbahn ist eine einseitig aufgehngte Schiene [22–24]. Jedes Fahrzeug (Aufbau und Funktion s. U 2 Bild 74) mit eigenem Antrieb und eigener Identnummer kann durch den Rechner einzeln angesteuert, an jeder beliebigen Stelle angehalten und bei frequenzgeregelten Motoren bei unterschiedlich großen Geschwindigkeiten (z. B. Reduzierung bei Kurvenfahrt) betrieben werden. Der Fahrweg ist in Blockstrecken unterteilt. Sobald ein Fahrzeug die Blockstrecke belegt, ist die Einfahrt durch das nachfolgende unterbunden. Pufferbildung ist mglich. Bei Steigungen
ber 5 % unterst
tzen Schlepptriebe die Bergauffahrt. Grßere Hhenunterschiede werden durch aufzughnliche Hub/Senkstationen
berbr
ckt, in die die Fahrzeuge einfahren. Verzweigung der Fahrwege erfolgt
ber einschiebbare Weichenelemente. Fahrgeschwindigkeiten zwischen 20 bis 50 m/min sind
blich, 120 m/min ist mglich. Fahrerloses Transportsystem (FTS). Batteriegetriebene, durch Rechner fernsteuerbare Flurfrderzeuge 1 bewegen sich mit bis zu 1 m/s entlang eines im Boden verlegten Leitdrahts 2, der ein elektrisches Wechselfeld bestimmter Frequenz um sich aufbaut (Bild 31) [25–27] . Zwei Hall-Sensoren 3 f
hren das Fahrzeug entlang des Leitdrahts, indem sie die Fahrantriebe 4 so regeln, daß die gemessenen Feldstrkewerte beider Sensoren stets gleich sind. Kurzzeitiges Verlassen des Leitdrahts ist mglich. An definierten Orten des Fahrkurses (z. B. vor Weichen) bestimmen die FTS ihre Position durch in den Boden eingelassene sog. Responder 5, die auf einen Anfrageimpuls mit einer dem Ort zugeordneten Frequenz antworten. Auf den Leitdraht kann verzichtet werden, wenn die Positionsbestimmung und Fahrzeugf
hrung
ber Laserstrahlen erfolgt, die die Winkelstellung und Entfernung des Fahrzeugs zu ortsfesten Reflektoren messen. Die Vorwrtsbewegung des in Bild 31 gezeigten FTS erfolgt durch zwei unabhngig voneinander um 360 um die vertikale Achse drehbare Antriebsrder 6 und zwei St
tzrder 7, so daß sich das Fahrzeug um jeden Punkt auf der Mittellinie YY drehen kann. Andere Radanordnungen sind mglich [28]. Die FTS knnen zum selbstttigen Aufnehmen von Lasten mit individuell angepaßten

U

U 78

Frdertechnik – 5 Frderelemente und Frdersysteme f
r den innerbetrieblichen Materialfluß

Lastaufnahmemitteln ausger
stet werden. Dem Vorteil des automatisierten Transports durch FTS stehen als Nachteil die relativ großen Systemkosten einschließlich Platzbedarf f
r Fahrwege, Bahnhof und Batterieladestation entgegen.

5.5 Lagertechnik. Warehouse technology 5.5.1 Aufgabe, Struktur und Funktion eines Lagersystems Structure and function of warehouse systems Ein Lager sorgt f
r den zeitlichen und mengenmßigen Warenausgleich zwischen Angebot (z. B. Hersteller) und Nachfrage (z. B. Verbraucher) (Bild 32). Es stellt damit einen unvermeidbaren Puffer dar. Wegen des gebundenen Kapitals und der Zinskosten sollen die Lagermenge so klein und die Lagerdauer so kurz wie mglich sein. Bild 33 erklrt den Aufbau und die Funktion eines automatisierten Lagersystems. Es gliedert sich in das Administrative, Dispositive und Technische System. Zu letzterem gehren die Frder- und Lagermittel. Die per Bahn oder LKW angelieferten TEs werden im Wareneingang (WE) entladen und dort nach bereinstimmungspr
fung mit der Bestellung i. allg. auf Staupltzen 1 zwischengespeichert. Frderer 2, wie Rollen-, Kettenfrderer oder Fahrerlose Transportsysteme, transportieren die TEs zur bergabestelle 3. Vorher erfolgt die berpr
fung der Konturenmaße der TEs sowie am sog. I-Punkt (Identifizierungspunkt) die Lagerplatzanweisung und damit die bergabe der TEs in den automatisierten Betrieb. An der bergabestelle 3
bernimmt das sog. Lagerbediengert 4 die TEs und bringt sie nacheinander auf die vorbestimmten Lagerpltze, z. B. in ein Hochregal 5. Aus der Transporteinheit (TE) wird die Lagereinheit (LE). Die Auslagerung erfolgt auf gleiche Weise
ber die bergabestelle 6. Frderer 7 transpor-

tieren die TEs in den Warenausgang (WA), wo sie vor dem Versand gegebenenfalls auf den Staupltzen 8 zwischengespeichert werden. Warenverteilzentren besitzen zustzlich ein dem Lagerbereich nachgeschaltetes Kommissioniersystem (Bild 33), in dem Artikel aus dem Lagersortiment entsprechend eines kundenspezifischen Auftrags zu einer TE (z. B. Postpaket) zusammengestellt werden [29, 30] (s. U 5.5.7). Oft wird direkt im Regalgang kommissioniert (s. U 5.5.6). Sog. Vorratslger z. B. in Fertigungsbetrieben verzichten i. allg. auf den Kommissionierbereich und besitzen keinen Warenausgang. Lger zwischen Produktion und Montage (sog. Zwischenlger) bestehen lediglich aus dem Lagermittel und dem Lagerbediengert. Ihre Steuerung ist eng mit der Produktion verkn
pft. 5.5.2 Lagerungsm
glichkeiten. Storage systems Die Lagerungsart hngt ab von der Art und Menge des Lagergutes sowie vom gew
nschten Automatisierungs- und Zugriffsgrad (ZG). Der ZG ist das Verhltnis der direkt erreichbaren LEs zur Gesamtzahl aller gelagerten LEs. Bodenlager. ZG < 1. Die TEs werden auf den Boden abgesetzt und zur bestmglichen Flchennutzung neben- und
bereinander in Form eines Blockes (Blocklager Bild 34 a) oder einer Zeile (Zeilenlager Bild 34 b) gestapelt. Lagerg
ter sind Kartons, Behlter z. B. in der Getrnkeindustrie, Scke, leere und beladene Paletten, Papierrollen usw. Regallager. Regale sind das am hufigsten eingesetzte Lagermittel. Die Lagerung erfolgt in Regalfchern. Die Regale und die LEs in ihnen stehen fest (statische Lagerung) oder die Regale, bzw. die LEs in ihnen, knnen verfahren (dynamische Lagerung). Das Ein- und Auslagern geschieht selten manuell, i. allg. teil- oder vollautomatisiert durch Bediengerte. Die dynamische Lagerung ermglichen Verschieberegale (Bild 35), Umlaufregale (Bild 36), Durchlaufregale (Bild 37) zur Lagerung eines großen Sortiments von Kleinteilen mit jeweils relativ kleiner St
ckzahl z. B. in Fertigungsbetrieben, im Einzelhandel, in der Getrnkeindustrie. Feststehende Regale mit Boden (Bild 38 a) oder mit Auflagetrgern (Bild 38 b) der unter-

Bild 32. Allgemeine Aufgabe eines Lagers (Erluterungen im Text)

Bild 34 a, b. Bodenlager. a Blocklager; b Zeilenlager (Erluterungen im Text)

U

Bild 33. Struktur eines automatisierten Lagersystems (Erluterungen im Text)

Bild 35 a, b. Verschieberegale. a Mit Querverschiebung; b mit Lngsverschiebung der Regale 1. Letztere werden einzeln oder im Pulk auf Schienen 2 durch Eigenantrieb so verfahren, daß jeweils der gew
nschte Gang 3 zur Entnahme der Ware frei wird

I5.5 Lagertechnik

U 79

Bild 36 a, b. Umlaufregale. a Vertikales Umlaufregal. Die Regalksten 1 sind beidseitig an vertikal umlaufenden Ketten 2 aufgehngt. Sie k
nnen durch Antrieb 3 nach Schalterbettigung in die gewnschte Arbeitsplatzh
he gefahren werden; b Horizontales Umlaufregal. Die Regalksten 1 hngen an einem umlaufenden Kettenf
rderer 2. Sie werden durch Antrieb 3 in die Entnahmeposition gefahren und dabei unten z. B. durch Rder 4 an einer Schiene 5 gefhrt

rer (Bild 30), Fahrzeuge der Elektrohngebahn (U 2 Bild 74) oder Fahrerlose Transportsysteme (Bild 31) zustzlich die Funktion eines Lagers bernehmen. Die beladenen F
rdermittel werden in einer Staustrecke abgestellt und bei Bedarf abgerufen. Vorteil: Kosten- und Zeitersparnis, da Lagermittel sowie das Aus- und Einlagern entfallen. 5.5.3 Abmessungen von Regalen in Palettenlagern Dimensions of pallet shelves Bild 37. Durchlaufregal. Die LEs 1 werden an einer Regalseite eingelagert und an der anderen ausgelagert. Sie bewegen sich dabei selbstttig durch Schwerkraft auf einem geneigten Rollenf
rderer 2 weiter, sobald die vorderste LE 3 z. B. nach Freigabe durch Stopper 4 ausgelagert wurde

blich ist die sog. Mehrplatz-Lngslagerung mit empfohlenen Systemmaßen nach Bild 39. Drei Paletten 1 lagern mit ihren kurzen Seiten nebeneinander in einem Regalfach. Sie werden durch je zwei in Regallngsrichtung laufende Trger 2 gesttzt. Sog. Steher 3 begrenzen das Fach und nehmen die Vertikallasten auf. Je zwei hintereinanderstehende Regale bilden eine Baueinheit. Fr die Stabilitt der Regalkonstruktion sorgen Lngs- und Querverbnde zwischen den Stehern. Bei der Einplatz-Querlagerung (Bild 40) liegt nur eine LE im Regalfach. Ihre lngere Seite liegt parallel zur Gangrichtung. Die LEs werden im Regal nur seitlich durch direkt an den Stehern 3 befestigte, vorne mit Einfhrungsbogen 1 versehene Kufen 2 gesttzt. Die Einplatz-Querlagerung wird vorzugsweise zur Lagerung von Behltern mit Grundflchen nach Bild 13 c, wegen des zu erwartenden Durchhangs seltener zur Lagerung von Paletten eingesetzt. 5.5.4 Das Hochregallager (HRL) High-rise storage system

Bild 38 a–c. Feststehende Regale. a Mit Boden 1; b mit Auflagetrgern 2; c mit Kragarmen 3 (Kragarmregal) (Erluterungen im Text)

schiedlichsten Bauart und Gr
ße dienen der Lagerung von Kleinteilen oft in Kleinbehltern oder auf Tablaren, Kartons, Paletten und Behltern (Bild 13) usw. Kragarmregale (Bild 38 c) lagern Halbzeuge relativ langer Abmessungen. Kanalregale (Bild 42 a) erm
glichen die Lagerung von fnf bis acht hintereinander stehenden Paletten oder Behltern bei guter Flchennutzung, aber ZG < 1 (s. U 5.5.5). Lagerung auf F
rdermitteln. Bei kurzer Lagerdauer und kleiner Stckzahl, z. B. in Puffern der Automobilindustrie, k
nnen F
rdermittel wie Tragketten- oder Schleppkreisf
rde-

Funktion (Bild 41). Das HRL (VDI-Richtl. 2697) dient der automatischen Lagerung großer Stckzahlen von Paletten und Behltern mit standardisierten Grundflchen nach Bild 13. Unbeschdigte Paletten sind die Voraussetzung fr einen st
rungsfreien Betrieb. Die Vielzahl zeilenf
rmig angeordneter Regale (bis zu 45 m hoch und 140 m lang) sind aus Walzoder Spezialprofilen gefertigt und in Fcher unterteilt (s. U 5.5.3). Im Gang zwischen je zwei Regalen fhrt das Regalbediengert 1. Es nimmt die LE am sog. Einlagerungsplatz 2 auf, bringt sie in das vorgewhlte Regalfach und fhrt entweder zurck, um die nchste LE aufzunehmen (Einfachspiel ES), oder es fhrt zu einem anderen Regalfach, um dort eine LE zu entnehmen und diese zum Auslagerungsplatz 3 zu transportieren (Doppelspiel DS). Durch zweckmßige Anordnung der bergabepltze 2 und 3, z. B. in zwei bereinander liegenden Ebenen 4 und 5, ist dafr zu sorgen, daß der ankommende und der abfließende Materialstrom sich nicht behindern. Vor dem Einlagerungsplatz 2 und gegebenenfalls

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Frdertechnik – 5 Frderelemente und Frdersysteme fr den innerbetrieblichen Materialfluß auch hinter dem Auslagerungsplatz 3 sind Staupl
tze 6 und 7 in ausreichender Zahl vorzusehen. Regalbedienger
te (RGB). (VDI-Richtl. 2361, Bl. 1), Kenngrßen s. Tab. 1. Die RGBs sind vollautomatisiert und mit Positioniereinrichtungen ausgerstet [31]. Sie fahren, durch Seitenrollen oder Spurkr
nze gefhrt (Bild 41), mit zwei R
dern auf einer Bodenschiene 8. Ein Rad, seltener beide R
der, werden durch geregelte Motoren 9 angetrieben [32]. Der Fahrbalken 10 ist biegesteif an den Mast 1 angeschlossen. Die Rolle 11 an seiner Spitze nimmt die Kr
fte infolge der exzentrischen Last auf. Ein am Mast durch Seil- oder Kettenhubwerk 12 verfahrbarer Hubwagen 13 tr
gt den Teleskoptisch 14 (Bild 45), auf dem die Palette oder der Beh
lter w
hrend der Fahrt steht. Seine teleskopierbare Gabel bedient die links und rechts des Ganges gelegenen F
cher. 5.5.5 Das Kanalregallager fr Paletten Channel shelf system for pallets

Bild 39 a, b. Regalmaße bei Mehrplatz-L
ngslagerung. a Fachhhe hF =Tr
gerhhe hT +Palettenhhe hP (150 mm)+Beladehhe hL +100 mm zum Anheben oder Absetzen der LE. Fachl
nge lF =Steherbreite bS +Abstand zwischen Steher 1 und LE (2  75 mm)+Abstand der LEs untereinander (2  100 mm)+ 3  LE-Breite bL (bL =Palettenbreite+2  50 mm berhang). b Doppelregalbreite bR =2 LE-L
nge lL (lL =Palettenl
nge+2  50 mm berhang) +250 mm Zwischenraum fr Querverband und Sprinkleranlage. Gangbreite bG (Tab. 1) ist der Abstand zwischen den beiden beladenen Regalen, die den Gang bilden. Auflagetr
ger 2 kann hinter oder vor (wie gezeichnet) den Stehern liegen. berstand s
 75 mm

Das Kanalregalsystem (Bild 42 a) [33] besteht aus den Regalen 1, in dessen kanalartigen, nach hinten erweiterten F
chern bis zu acht Paletten 2 eng hintereinander abgestellt werden knnen (dadurch grßerer Raumnutzungsgrad als das Hochregallager bei ZG