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Mathematik Mechanik Festigkeitslehre Thermodynamik Werkstofftechnik Grundlagen der Konstruktionstechnik Mechanische Konstruktionselemente Fluidische Antriebe Mechatronische Systeme Komponenten des thermischen Apparatebaus Energietechnik Klimatechnik Grundlagen der Verfahrenstechnik Maschinendynamik Kolbenmaschinen Fahr- und Flugzeugtechnik Strmungsmaschinen Fertigungsverfahren Fertigungsmittel Frdertechnik Elektrotechnik Meßtechnik und Sensorik Regelungstechnik Elektronische Datenverarbeitung Allgemeine Tabellen Sachverzeichnis
A B C D E F G H I K L M N O P Q R S T U V W X Y Z S
Dubbel Taschenbuch fr den Maschinenbau
Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau
Einundzwanzigste, neubearbeitete und erweiterte Auflage Auflage Herausgegeben von
K.-H. Grote und J. Feldhusen
Mit Mit mehr mehr als als 3000 3000 Abbildungen Abbildungen und und Tabellen Tabellen
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4y Springer
Herausgeber Professor Dr.-Ing. Karl-Heinrich Grote Otto-von-Guericke-Universitt Magdeburg California State University, Long Beach, USA Professor Dr.-Ing. Jrg Feldhusen Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen
Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet ber aufrufbar.
ISBN 3-540-22142-5 21. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 3-540-67777-1 20. Aufl. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschtzt. Die dadurch begrndeten Rechte, insbesondere die der bersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulssig. Sie ist grundstzlich vergtungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science + Business Media springer.de Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1929, 1935, 1940, 1941, 1943, 1953, 1961, 1970, 1974, 1981, 1983, 1986, 1987, 1990, 1995, 1997, 2001 and 2005 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wren und daher von jedermann benutzt werden drften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z.B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewhr fr Richtigkeit, Vollstndigkeit oder Aktualitt bernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls fr die eigenen Arbeiten die vollstndigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gltigen Fassung hinzuzuziehen. Einbandgestaltung: Friedhelm Steinen-Broo, Estudio Calamar, Pau/Spanien Herstellung: Birgit Mnch, Berlin Satz, Druck und Verarbeitung: Strtz AG, Wrzburg Anzeigen: Renate Birkenstock, Springer, Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Tel. 0 30 / 8 27 87-7 32, Fax: 0 30 / 8 27 87-3 00, e-mail: [email protected] Gedruckt auf surefreiem Papier
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Mitarbeiter der 21. Auflage
Wegen der durch die Hochschulgesetzgebung der Bundeslnder vorliegenden unterschiedlichen Regelungen zur Titelgebung werden die Professorentitel der Autoren undifferenziert angegeben. Anderl, R., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Darmstadt Berger, C., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Darmstadt Bohnet, M., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Braunschweig Bttcher, C., Dipl.-Ing., IWS Ingenieur-Consult GmbH, Kln Bruns, R., Dr.-Ing., Prof., Universitt der Bundeswehr, Hamburg Burr, A., Dr.-Ing., Prof., Fachhochschule Heilbronn Czichos, H., Dr.-Ing. Dr. h.c., Prof., Bundesanstalt fr Materialforschung und -prfung (BAM), Berlin Daum, W., Dr.-Ing., Prof., Bundesanstalt fr Materialforschung und -prfung (BAM), Berlin Deters, L., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt Magdeburg Dibelius, G., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Dietz, P., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Clausthal Dorn, L., Dr.-Ing. Dr. h.c., Prof., Technische Universitt Berlin Feldhusen, J., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Feldmann, D.G., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Hamburg-Harburg Fischer, C., Dipl.-Ing., Berliner Kraft- und Licht AG – Bewag, Berlin Flemming, M., Dr.-Ing., Dr. Ing. E.h., Prof., Eidgenssische Technische Hochschule Zrich/Schweiz Gelbe, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Gevatter, H.-J., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Gold, P.W., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Goldhahn, H., Dr.-Ing. habil., Prof., Technische Universitt Dresden Grabowski, H., Dr.-Ing., Dr. h.c., Prof., Universitt Karlsruhe Grote, K.-H., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt Magdeburg Grnhaupt, U., Dr.-Ing., Prof., Fachhochschule Karlsruhe Gugau, M., Dr.-Ing., Technische Universitt Darmstadt Gnthner, W., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Mnchen Habig, K.-H., Dr.-Ing., Prof., Bundesanstalt fr Materialforschung und -prfung (BAM), Berlin Hager, M., Dr.-Ing., Prof., Universitt Hannover Hainbach, C., Dr.-Ing., Institut fr Klte-, Klima-, und Energietechnik (IKET) GmbH, Essen Harsch, G., Dipl.-Ing., Prof., Fachhochschule Heilbronn Hecht, M., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Hempel, D.C., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Braunschweig Herfurth, K., Dr.-Ing. habil., Prof., Verein Deutscher Gießereifachleute VDG, Dsseldorf Hhn, B.-R., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Mnchen Hlz, H., Dipl.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Kaßner, M., Dipl.-Ing., Technische Universitt Braunschweig Kerle, H., Dr.-Ing., Technische Universitt Braunschweig
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Autoren
Kiesewetter, L., Dr.-Ing., Prof., Brandenburgische Technische Universitt Cottbus Krmer, E., Dipl.-Ing., ABB Kraftwerke AG, Baden/Schweiz Krause, F., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt Magdeburg Lackmann, J., Dr.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Lehr, H., Dr. rer. nat., Prof., Technische Universitt Berlin Ldtke, K., Dipl.-Ing., MAN Turbomaschinen AG, Oberhausen/Berlin Mareske, A., Dr.-Ing., Bewag, Berlin Mersmann, A., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Mnchen Mertens, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Mollenhauer, K., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Mrl, L., Dr.-Ing., Prof., Fachhochschule Karlsruhe Motz, H.D., Dr. rer. sec., Dipl.-Ing., Prof., Bergische Universitt Wuppertal Nordmann, R., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Darmstadt Pahl, G., Dr.-Ing., Dr. h.c., Dr.-Ing. E.h., Prof., Technische Universitt Darmstadt Poll, G., Dr.-Ing., Prof., Universitt Hannover Poppy, W., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt Magdeburg Pritschow, G., Dr.-Ing. Dr. h.c., Prof., Universitt Stuttgart Pucher, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Rkczy, T., Dr.-Ing., Prof., Brandi-IGH Ingenieure GmbH, Kln Reinhardt, H., Dr.-Ing. habil., Prof., Fachhochschule Kln Ruge, P., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Dresden Schwedes, J., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Braunschweig Seidel-Morgenstern, A., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt Magdeburg Seiffert, U., Dr.-Ing., Prof., WiTech Engineering GmbH, Braunschweig Seliger, G., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Severin, D., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Siegert, K., Dr.-Ing., Dr. h.c., Universitt Stuttgart Siekmann, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Spur, G., Dr.-Ing. Dr. h.c. mult., Prof., Technische Universitt Berlin Stephan, K., Dr.-Ing. Dr. h.c. mult., Prof., Universitt Stuttgart Stephan, P., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Darmstadt Stiebler, M., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Stoff, H., Dr.s sc. techn. (EPFL), Prof., Ruhr-Universitt Bochum Thamsen, P.U., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Thomas, K., Dipl.-Ing., Technische Universitt Braunschweig Tnshoff, H.K., Dr.-Ing. Dr. h.c. mult., Prof., Universitt Hannover Tschke, H., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt Magdeburg Uhlmann, E., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Voit-Nitschmann, R., Dipl.-Ing., Prof., Universitt Stuttgart Wagner, G., Dr.-Ing., Prof., Ruhr-Universitt Bochum Weck, M., Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h., Prof., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Westkmper, E., Dr.-Ing., Dr. h.c. mult., Universitt Stuttgart Wohlfahrt, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Braunschweig Wsle, H., Dipl.-Ing., Technische Universitt Braunschweig Ziegmann, G., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Clausthal Die Mitarbeiter von zurckliegenden Auflagen des DUBBEL (ab der 14. Auflage) sind auf den Folgeseiten genannt. Damit werden diese Autoren gewrdigt und deren Beitrge, die fr die vorliegende und fr vorherige Auflagen kontinuierlich auch durch neue Autoren weiterentwickelt wurden.
Mitarbeiter der 14. bis 20. Auflagen Mitarbeiter Behr, B., Dipl.-Ing., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Beitz, W., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Berger, C., Dr.-Ing., Prof., Technische Hochschule Darmstadt Blaich, M., Dipl.-Ing., Stuttgart Bohnet, M., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Braunschweig Bothe, A., Dr., Prof., Fachhochschule Gelsenkirchen Bttcher, C., Dipl.-Ing., Brandi Ingenieure GmbH bzw. IWS Ing. Consult, Kln Bretthauer, K., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Clausthal Brockmann, H.-J., Dr.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Burr, A., Dr.-Ing., Prof., Fachhochschule Heilbronn Busse, L., Dr.-Ing., ASEA Brown Boveri, Mannheim Czichos, H., Dr.-Ing., Prof., Bundesanstalt fr Materialforschung und -prfung, Berlin Dannenmann, E., Dipl.-Ing., Universitt Stuttgart Deters, L., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt, Magdeburg Dibelius, G., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Diehl, H., Dr.-Ing., Hochtemperatur-Reaktorbau GmbH, Mannheim Dietz, P., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Clausthal-Zellerfeld Dorn, L., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Dssler, W., Obering., Ratingen Ebert, K.-A., Dr.-Ing., Hattersheim Ehrlenspiel, K., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Mnchen Engel, G., Dr.-Ing., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Federn, K., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Feldmann, D.G., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Hamburg-Harburg Fiala, E., Dr. techn., Prof., Volkswagenwerk AG, Wolfsburg Fischer, C., Dipl.-Ing., BEWAG, Berlin Flemming, M., Dr.-Ing., Prof., ETH Zrich, Schweiz Fller, D., Dr.-Ing., Prof., Battelle-Institut e.V., Frankfurt a.M. Gasˇparovic´, N., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Gast, Th., Dr.-Ing. habil., Prof., Technische Universitt Berlin Geiger, M., Dr.-Ing., Prof., Universitt Erlangen-Nrnberg Geiger, R., Dr.-Ing., Preß- und Stanzwerk Eschen, Liechtenstein Gelbe, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Gevatter, H.-J., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Gold, P. W., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Goldhahn, H., Dr.-Ing. habil., Prof., Technische Universitt Dresden Grabowski, H., Dr.-Ing., Prof., Universitt Karlsruhe Grote, K.-H., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt Magdeburg Gugau, M., Dr.-Ing., Technische Universitt Darmstadt Habig, K.-H., Dr.-Ing., Prof., Bundesanstalt fr Materialforschung und -prfung, Berlin Hager, M., Dr.-Ing., Prof., Universitt Hannover Hain, K., Dr.-Ing. E.h., Braunschweig Harsch, G., Dipl.-Ing., Prof., Fachhochschule Heilbronn Hecht, M., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Hempel, D.C., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Braunschweig Herfurth, K., Dr.-Ing. habil., VDG, Dsseldorf bzw. Technische Universitt Chemnitz Hhn, B.-R., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Mnchen Hlz, H., Dipl.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Hner, K.E., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Jger, B., Dr.-Ing., Prof., Kraftwerk Union bzw. Siemens AG, Berlin Jarecki, U., Dipl.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Jnemann, R., Dr.-Ing., Prof., Universitt Dortmund Kerle, H., Dr.-Ing., Technische Universitt Braunschweig Kiesewetter, L., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Klapp, E., Dr.-Ing., Prof., Universitt Erlangen-Nrnberg Klepper, H., Dr.-Ing., ASEA Brown Boveri, Mannheim Kloos, K.H., Dr.-Ing., Prof., Technische Hochschule Darmstadt Koch, E., Dipl.-Ing., BBC, Mannheim Krmer, E., Dr. rer. nat., Prof., Technische Hochschule Darmstadt Krmer, E., Dipl.-Ing., Alstom Power, Baden/Schweiz Kttner, K.-H., Dipl.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Lackmann, J., Dr.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Ladwig, J., Dipl.-Ing., Universitt Stuttgart Lambrecht, D., Dr.-Ing., Universitt Erlangen-Nrnberg
mitgearbeitet bei Auflage 17 18 14 15 16 17 18 19 20 14 15 16 17 18 19 20 19 20 14 15 16 17 18 19 20 14 15 16 14 15 16 17 18 19 20 17 18 19 17 18 19 20 14 15 16 17 18 19 20 14 15 16 17 18 19 14 15 16 19 14 15 16 17 18 19 14 15 16 14 15 16 17 18 14 15 16 17 18 14 15 16 14 15 16 19 14 15 16
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Mitarbeiter der 14. bis 20. Auflagen
Mitarbeiter
mitgearbeitet bei Auflage
Lange, K., Dr.-Ing., Prof., Universitt Stuttgart Lehr, H., Dr. rer. nat., Prof., Technische Universitt Berlin Lenz, H., Dipl.-Ing., Kln Lenz, W., Dr.-Ing., Daisendorf Liedtke, G., Ing., Borsig GmbH, Berlin Ldtke, K., Dipl.-Ing., Deutsche Babcock Borsig AG, Berlin Mareske, A., Dr.-Ing., BEWAG, Berlin Mauer, G., Dipl.-Ing., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Mersmann, A., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Mnchen Mertens, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Mollenhauer, K., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Motz, H.D., Dr., Prof., Bergische Universitt Wuppertal Mller, H.W., Dr.-Ing., Prof., Technische Hochschule Darmstadt Nieth, F., Dr.-Ing., Technische Hochschule Darmstadt Nordmann, R., Dr.-Ing., Prof., Universitt Kaiserslautern bzw. Technische Hochschule Darmstadt Oehmen, H., Dr.-Ing., Prof., Universitt Hannover Opitz, W., Dr. techn., Graz Pahl, G., Dr.-Ing., Prof., Technische Hochschule Darmstadt Peeken, H., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Poll, G., Dr.-Ing., Prof., Universitt Hannover Poppy, W., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Pritschow, G., Dr.-Ing., Prof., Universitt Stuttgart Pucher, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Rkczy, T., Dr.-Ing., Brandi Ingenieure GmbH, Kln Reinhardt, H., Dr.-Ing., Prof., Fachhochschule Kln Reuter, W., Dipl.-Ing., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Rper, R., Dr.-Ing., Prof., Universitt Dortmund Ruge, J., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Braunschweig Ruge, P., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Dresden Rulla, P., Dipl.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Rumpel, G., Dr.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Schriefer, H., Dipl.-Ing., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Schulz, H.-J., Dr.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Schwedes, J., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Braunschweig Seidel-Morgenstern, A., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt, Magdeburg Seiffert, U., Dr.-Ing., Prof., Witech Engineering Braunschweig Seliger, G., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Severin, D., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Siegert, K., Dr.-Ing., Prof., Universitt Stuttgart Siekmann, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Sondershausen, H.D., Dipl.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Speckhardt, H., Dr., Prof., Technische Hochschule Darmstadt Spur, G., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Stephan, K., Dr.-Ing., Prof., Universitt Stuttgart Stiebler, M., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Stoff, H., Dr.s.sc. techn. Prof., Ruhr-Universitt, Bochum Stute, G., Dr.-Ing., Prof., Universitt Stuttgart Thomala, W., Dr.-Ing., Richard Bergner GmbH, Schwabach Thomas, K., Dipl.-Ing., Technische Universitt Braunschweig Tnshoff, H.K., Dr.-Ing., Prof., Universitt Hannover Uhlmann, E., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Victor, H., Dr.-Ing., Prof., Universitt Karlsruhe Vierling, A., Dr.-Ing., Prof., Universitt Hannover Voit-Nitschmann, R., Dipl.-Ing., Prof., Universitt Stuttgart Warnecke, H.-J., Dr.-Ing., Prof., Universitt Stuttgart Weber, R., Dr.-Ing., Prof., Universitt Hannover Weck, M., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Weißbrod, G., Dipl.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Werle, T., Dipl.-Ing., Universitt Stuttgart Westkmper, E., Dr.-Ing., Prof., Universitt Stuttgart Wilhelm, H., Dr.-Ing., MTU Mnchen Winter, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Mnchen Wohlfahrt, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Braunschweig Wsle, H., Dipl.-Ing., Technische Universitt Braunschweig Zuppke, B., Dipl.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin
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Vorwort zur 21. Auflage
Der DUBBEL ist seit 1914 fr Generationen von Studenten und in der Praxis ttigen Ingenieuren das Standardwerk fr die produkt- und fertigungsorientierten Fachgebiete des Maschinenbaus. Er dient gleichermaßen als Lehrbuch und Nachschlagewerk fr alle Technischen Hochschulen und andere Technik orientierte Aus- und Weiterbildungsinstitute sowie als Arbeitsunterlage fr die Praxis zur Lsung konkreter Ingenieuraufgaben. Diese Breite des Leserkreises spiegelt sich auch in den Erfahrungen der Herausgeber und Autoren wider, die ausgewogen aus einer Lehr- und Forschungsttigkeit oder verantwortlichen Industriettigkeit kommen. ber eine Million verkaufte Exemplare des DUBBEL sind Beweis der großen Bedeutung dieses Werkes fr den Maschinenbau. Die Vielfalt des Maschinenbaus hinsichtlich Ingenieurttigkeiten und Fachgebieten, der enorme Erkenntniszuwachs sowie das Erfllen der vielschichtigen Zielsetzung des Buches erforderten bei der Stoffzusammenstellung eine enge Zusammenarbeit zwischen Herausgebern und Autoren. Hierbei mussten die wesentlichen Grundlagen und die unbedingt erforderlichen, allgemein anwendbaren und gesicherten Aussagen der einzelnen Fachgebiete ausgewhlt werden. Trotz der im Hinblick auf die Umfangsbeschrnkung erforderlichen Konzentration auf das Wesentliche und Allgemeingltige, werden auch neueste Forschungsergebnisse und Entwicklungen behandelt ohne die eine umfassende Anwendung eines solchen Buches in Praxis und Lehre nicht mehr auskommt. Die Stoffauswahl wurde so getroffen, dass die Studierenden in der Lage sind, sich problemlos ein erforderliches Mindestwissen von der gesamten Breite des Maschinenbaus anzueignen. Die Ingenieure der Praxis sollen darber hinaus ein weitgehend vollstndiges Arbeitsmittel zur Lsung von Ingenieuraufgaben erhalten. Ihnen soll auch ein schneller Einblick vor allem in solche Fachgebiete gegeben werden, in denen sie kein Spezialist sind. So sind zum Beispiel die Ausfhrungen ber Fertigungstechnik nicht in erster Linie fr den Betriebsingenieur gedacht, sondern beispielsweise fr den Konstrukteur, der fertigungsorientiert gestalten muss; die Frdertechnik soll nicht nur den Konstrukteur fr Hebezeuge ansprechen, sondern vor allem auch den Betriebsingenieur, der seine Frdermittel mitgestalten und auswhlen muss. Das Buch will allen Bereichen der Herstellung und Anwendung maschinenbaulicher Produkte (Anlagen, Maschinen, Apparate und Gerte) bei der Lsung ihrer Probleme helfen: Angefangen bei der Produktplanung, Forschung, Entwicklung, Konstruktion, Arbeitsvorbereitung, Normung, Materialwirtschaft, Fertigung, Montage und Qualittssicherung ber den technischen Vertrieb bis zur Bedienung, berwachung, Instandsetzung und zum Recycling. Der DUBBEL wird laufend berarbeitet und damit auf dem aktuellen Stand der Technik gehalten. Mit der vorliegenden ergnzten und berarbeiteten 21. Auflage wird zugleich ein neuer Mitherausgeber, Herr Dr.-Ing. Jrg Feldhusen, Professor und Institutsleiter an der Fakultt fr Maschinenwesen der RWTH Aachen, vorgestellt. Mit der 21. Auflage wurde auch der Generationswechsel bei den Autoren auf bewhrte Art fortgesetzt: Die neu hinzugekommenen ca. 20 Autoren haben in beispielhafter Kooperation die jeweiligen Kapitel mit den langjhrigen DUBBEL-Autoren bearbeitet, korrigiert und auch erweitert oder neu geschrieben, um so fr weitere Auflagen des DUBBEL gerstet zu sein. Die parallel zum Buch (20. Aufl.) auf CD-ROM erhltliche zweite elektronische Ausgabe des DUBBEL, der DUBBEL interaktiv 2.0, bietet mit ber 3000 interaktiven Gleichungen und einem vollstndigen Bereich zur Mathematik eine komplementierende Basis fr die Lsung ingenieurwissenschaftlicher und mathematischer Probleme als ideale Ergnzung zum vorliegenden Buch. Die Gliederung der letzten Auflage wurde beibehalten, ebenso die Form der in einem Anhang am Schluss jeden Hauptkapitels aufgefhrten quantitativen Arbeitsunterlagen in Form von Tabellen, Diagrammen und Normenauszgen (Stoff- und Richtwerte). Am Schluss des DUBBEL enthlt wiederum der Teil Z „Allgemeine Tabellen“ die wichtigsten physikalischen Konstanten, die Einheiten mit ihren Umrechnungsfaktoren, die
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Vorwort zur 21. Auflage
Grundgrßen der Kern-, Licht-, Schall- und Umwelttechnik sowie Bezugsquellen fr Technische Regelwerke und internationale Normen auch mit Angaben der Web-Adressen. Die Literaturangaben wurden wiederum als „allgemeine“ Literatur den Teilen vorangestellt und als „spezielle“ Literatur, geordnet nach den Kapiteln, am Schluss der Teile zusammengefasst. Dabei soll die allgemeine Literatur dem Leser eine Zusammenstellung von Grundlagen-, bersichts- und Standardwerken des jeweiligen Fachgebietes geben und der spezielle Teil inhaltlich dieses Gebiet vervollstndigen. Die Literaturangaben werden jedoch zum Gebrauch dieses Arbeitsbuches, insbesondere zur Anwendung von Berechnungsverfahren, nicht bentigt; sie sollen vielmehr fr Studierende eine umfassende Information ber den Erkenntnisstand des jeweiligen Fachgebietes geben. Die englischen bersetzungen der nummerierten berschriften mgen dem studierenden Leser und dem Praktiker eine Hilfe beim Verstehen englischsprachiger Literatur sein sowie dem auslndischen Leser die Benutzung des DUBBEL erleichtern. Die Benutzungsanleitung soll helfen, die zahlreichen Hinweise und Querverweise zwischen den einzelnen Teilen und Kapiteln zu nutzen sowie die Abkrzungen und die gewhlte Buchstruktur einschließlich des Anhanges zu verstehen. Infolge der Uneinheitlichkeit nationaler und internationaler Normen sowie der Gewohnheiten einzelner Fachgebiete ließen sich in wenigen Fllen unterschiedliche Bezeichnungen fr gleiche Begriffe nicht vermeiden. Zwischen den Teilen und am Ende des Taschenbuches befinden sich „Informationen aus der Industrie" mit technisch relevanten Anzeigen bekannter Firmen. Hier werden industrielle Ausfhrungsformen gezeigt und auf Bezugsquellen hingewiesen. Hinweise, Vorschlge und konstruktive Kritik unserer Leser wurden dankbar verwertet. Wir sind auch weiterhin sehr an Anregungen und Hinweisen interessiert. Die Herausgeber danken allen am Werk Beteiligten: den Autoren fr ihr Engagement und ihre Kompromissbereitschaft bei der Abfassung ihrer Beitrge unter den starken Restriktionen hinsichtlich Umfang und Abstimmung mit anderen Kapiteln, Frau B. Mnch vom Springer-Verlag fr die engagierte und sachkundige Zusammenarbeit bei der redaktionellen Bearbeitung der schwierigen Text- und Bildvorlagen sowie dem Springer-Verlag fr die Ausstattung des Buches, Frau Dr.-Ing. G. Mller fr die vorbereitende, formelle Durchsicht der Beitrge, der Druckerei Strtz fr die Sorgfalt in den einzelnen Phasen der Herstellung. Abschließend sei auch den vorangegangenen Generationen von Herausgebern und Autoren gedankt, siehe Verzeichnis am Anfang dieser Auflage, die durch ihre gewissenhafte Arbeit die Anerkennung des DUBBEL begrndet haben, die mit der jetzt vorliegenden 21. Auflage gefestigt und ausgebaut werden soll. Magdeburg und Aachen im August 2004
Karl-Heinrich Grote und Jrg Feldhusen
IInhaltsverzeichnis
XI
Inhaltsverzeichnis
Hinweise zur Benutzung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XLIII Chronik des Taschenbuches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XLV
A
Mathematik
1
Mathematik fr Ingenieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 3
2
Ergnzungen zur Mathematik fr Ingenieure . . . . . . . . . . . . . . . A 3
3
Numerische Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 4
3.1 Numerisch-analytische Lsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 4 3.2 Standardaufgaben der linearen Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 4 3.3 Interpolation, Integration
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A5
3.4 Rand- und Anfangswertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 6
B
Mechanik
1
Statik starrer Krper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 1
1.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 1 1.2 Zusammensetzen und Zerlegen von Krften mit gemeinsamem Angriffspunkt . . . B 2 1.2.1 Ebene Krftegruppe B 2. – 1.2.2 Rumliche Krftegruppe B 3.
1.3 Zusammensetzen und Zerlegen von Krften mit verschiedenen Angriffspunkten . . B 4 1.3.1 Krfte in der Ebene B 4. – 1.3.2 Krfte im Raum B 4.
1.4 Gleichgewicht und Gleichgewichtsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . B 5 1.4.1 Krftesystem im Raum B 5. – 1.4.2 Krftesystem in der Ebene B 5. – 1.4.3 Prinzip der virtuellen Arbeiten B 6. – 1.4.4 Arten des Gleichgewichts B 6. – 1.4.5 Standsicherheit B 7.
1.5 Lagerungsarten, Freimachungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 7 1.6 Auflagerreaktionen an Krpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 7 1.6.1 Krper in der Ebene B 7. – 1.6.2 Krper im Raum B 9.
1.7 Systeme starrer Krper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 9 1.8 Fachwerke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B 10
1.9 Seile und Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B 12
1.10 Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B 13
1.11 Haftung und Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B 14
1.8.1 Ebene Fachwerke B 10. – 1.8.2 Rumliche Fachwerke B 11.
1.9.1 Seil unter Eigengewicht (Kettenlinie) B 12. – 1.9.2 Seil unter konstanter Streckenlast B 12. – 1.9.3 Seil mit Einzellast B 13.
Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B 18
2.1 Bewegung eines Punkts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B 18
2.2 Bewegung starrer Krper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B 21
Kinetik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B 26
3.1 Energetische Grundbegriffe – Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad . . . . . . . .
B 26
2
2.1.1 Allgemeines B 18. – 2.1.2 Ebene Bewegung B 20. – 2.1.3 Rumliche Bewegung B 21.
2.2.1 Translation (Parallelverschiebung, Schiebung) B 21. – 2.2.2 Rotation (Drehbewegung, Drehung) B 22. – 2.2.3 Allgemeine Bewegung des starren Krpers B 22.
3
XII
Inhaltsverzeichnis
3.2 Kinetik des Massenpunkts und des translatorisch bewegten Krpers. . . . . . . . B 27 3.2.1 Dynamisches Grundgesetz von Newton (2. Newtonsches Axiom) B 27. – 3.2.2 Arbeits- und Energiesatz B 28. – 3.2.3 Impulssatz B 28. – 3.2.4 Prinzip von dAlembert und gefhrte Bewegungen B 28. – 3.2.5 Impulsmomenten- (Flchen-) und Drehimpulssatz B 28.
3.3 Kinetik des Massenpunktsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 29 3.3.1 Schwerpunktsatz B 29. – 3.3.2 Arbeits- und Energiesatz B 29. – 3.3.3 Impulssatz B 29. – 3.3.4 Prinzip von dAlembert und gefhrte Bewegungen B 30. – 3.3.5 Impulsmomenten- und Drehimpulssatz B 30. – 3.3.6 Lagrangesche Gleichungen B 30. – 3.3.7 Prinzip von Hamilton B 31. – 3.3.8 Systeme mit vernderlicher Masse B 31.
3.4 Kinetik starrer Krper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 31 3.4.1 Rotation eines starren Krpers um eine feste Achse B 31. – 3.4.2 Allgemeines ber Massentrgheitsmomente B 32. – 3.4.3 Allgemeine ebene Bewegung starrer Krper. B 34. – 3.4.4 Allgemeine rumliche Bewegung B 35.
3.5 Kinetik der Relativbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 36 3.6 Stoß
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 37
3.6.1 Gerader zentraler Stoß B 37. – 3.6.2 Schiefer zentraler Stoß B 37. – 3.6.3 Exzentrischer Stoß B 38. – 3.6.4 Drehstoß B 38.
4
Schwingungslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 38
4.1 Systeme mit einem Freiheitsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 38 4.1.1 Freie ungedmpfte Schwingungen B 38. – 4.1.2 Freie gedmpfte Schwingungen B 39. – 4.1.3 Ungedmpfte erzwungene Schwingungen B 40. – 4.1.4 Gedmpfte erzwungene Schwingungen. B 40. – 4.1.5 Kritische Drehzahl und Biegeschwingung der einfach besetzten Welle B 41.
4.2 Systeme mit mehreren Freiheitsgraden (Koppelschwingungen) . . . . . . . . . . B 41 4.2.1 Freie Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden B 41. – 4.2.2 Erzwungene Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden B 42. – 4.2.3 Eigenfrequenzen ungedmpfter Systeme B 43. – 4.2.4 Schwingungen der Kontinua B 43.
4.3 Nichtlineare Schwingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 45 4.3.1 Schwinger mit nichtlinearer Federkennlinie oder Rckstellkraft B 45. – 4.3.2 Schwingungen mit periodischen Koeffizienten (rheolineare Schwingungen) B 46.
5
Hydrostatik (Statik der Flssigkeiten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 46
6
Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide). . . . . . . B 48
6.1 Eindimensionale Strmungen idealer Flssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . B 48 6.1.1 Anwendungen der Bernoullischen Gleichung fr den stationren Fall B 49. – 6.1.2 Anwendung der Bernoullischen Gleichung fr den instationren Fall B 49.
6.2 Eindimensionale Strmungen zher Newtonscher Flssigkeiten (Rohrhydraulik) . . B 49 6.2.1 Stationre laminare Strmung in Rohren mit Kreisquerschnitt B 50. – 6.2.2 Stationre turbulente Strmung in Rohren mit Kreisquerschnitt B 50. – 6.2.3 Strmung in Leitungen mit nicht vollkreisfrmigen Querschnitten B 51. – 6.2.4 Strmungsverluste durch spezielle Rohrleitungselemente und Einbauten B 52. – 6.2.5 Stationrer Ausfluß aus Behltern B 54. – 6.2.6 Stationre Strmung durch offene Gerinne B 54. – 6.2.7 Instationre Strmung zher Newtonscher Flssigkeiten B 54. – 6.2.8 Freier Strahl B 54.
6.3 Eindimensionale Strmung Nicht-Newtonscher Flssigkeiten . . . . . . . . . . B 55 6.4 Kraftwirkungen strmender inkompressibler Flssigkeiten . . . . . . . . . . . . B 55 6.4.1 Impulssatz B 55. – 6.4.2 Anwendungen B 56.
6.5 Mehrdimensionale Strmung idealer Flssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . B 57 6.5.1 Allgemeine Grundgleichungen B 57. – 6.5.2 Potentialstrmungen B 57.
6.6 Mehrdimensionale Strmung zher Flssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . B 59 6.6.1 Bewegungsgleichungen von Navier-Stokes B 59. – 6.6.2 Einige Lsungen fr kleine Reynoldssche Zahlen (laminare Strmung) B 59. – 6.6.3 Grenzschichttheorie B 60. – 6.6.4 Strmungswiderstand von Krpern B 60. – 6.6.5 Tragflgel und Schaufeln B 62. – 6.6.6 Schaufeln und Profile im Gitterverband B 63.
7
hnlichkeitsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 64
7.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 64 7.2 hnlichkeitsgesetze (Modellgesetze) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 64 7.2.1 Statische hnlichkeit B 64. – 7.2.2 Dynamische hnlichkeit B 65. – 7.2.3 Thermische hnlichkeit B 66. – 7.2.4 Analyse der Einheiten (Dimensionsanalyse) und -Theorem B 66.
8
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 67
IInhaltsverzeichnis
XIII
C
Festigkeitslehre
1
Allgemeine Grundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 1
1.1 Spannungen und Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 1 1.1.1 Spannungen C 1. – 1.1.2 Verformungen C 3. – 1.1.3 Formnderungsarbeit C 4.
1.2 Festigkeitsverhalten der Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 4 1.3 Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen. . . . . . . . . . . . . . . C 5 1.3.1 Normalspannungshypothese C 5. – 1.3.2 Schubspannungshypothese C 6. – 1.3.3 Gestaltnderungsenergiehypothese C 6. – 1.3.4 Erweiterte Schubspannungshypothese C 6. – 1.3.5 Anstrengungsverhltnis nach Bach C 6.
2
Beanspruchung stabfrmiger Bauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 7
2.1 Zug- und Druckbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 7 2.1.1 Stbe mit konstantem Querschnitt und konstanter Lngskraft C 7. – 2.1.2 Stbe mit vernderlicher Lngskraft C 7. – 2.1.3 Stbe mit vernderlichem Querschnitt C 7. – 2.1.4 Stbe mit Kerben C 7. – 2.1.5 Stbe unter Temperatureinfluß C 7.
2.2 Abscherbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 7 2.3 Flchenpressung und Lochleibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 7 2.3.1 Ebene Flchen C 8. – 2.3.2 Gewlbte Flchen C 8.
2.4 Biegebeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 8 2.4.1 Schnittlasten: Normalkraft, Querkraft, Biegemoment C 8. – 2.4.2 Schnittlasten am geraden Trger in der Ebene C 9. – 2.4.3 Schnittlasten an abgewinkelten und gekrmmten ebenen Trgern C 11. – 2.4.4 Schnittlasten an rumlichen Trgern C 12. – 2.4.5 Biegespannungen in geraden Balken C 12. – 2.4.6 Schubspannungen und Schubmittelpunkt am geraden Trger C 16. – 2.4.7 Biegespannungen in stark gekrmmten Trgern C 19. – 2.4.8 Durchbiegung von Trgern C 20. – 2.4.9 Formnderungsarbeit bei Biegung und Energiemethoden zur Berechnung von Einzeldurchbiegungen C 23.
2.5 Torsionsbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 27
2.6 Zusammengesetzte Beanspruchung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 31
2.7 Statisch unbestimmte Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 32
2.5.1 Stbe mit Kreisquerschnitt und konstantem Durchmesser C 27. – 2.5.2 Stbe mit Kreisquerschnitt und vernderlichem Durchmesser C 30. – 2.5.3 Dnnwandige Hohlquerschnitte (Bredtsche Formeln) C 30. – 2.5.4 Stbe mit beliebigem Querschnitt C 30. – 2.5.5 Wlbkrafttorsion C 30. 2.6.1 Biegung und Lngskraft C 31. – 2.6.2 Biegung und Schub C 31. – 2.6.3 Biegung und Torsion C 31. – 2.6.4 Lngskraft und Torsion C 32. – 2.6.5 Schub und Torsion C 32. – 2.6.6 Biegung mit Lngskraft sowie Schub und Torsion C 32.
Elastizittstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 35
3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 35
3
3.2 Rotationssymmetrischer Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . .
C 35
3.3 Ebener Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 36
Beanspruchung bei Berhrung zweier Krper (Hertzsche Formeln). . . . .
C 37
4.1 Kugel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 37
4.2 Zylinder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 37
4.3 Beliebig gewlbte Flche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 37
4
Flchentragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 38
5.1 Platten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 38
5.2 Scheiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 39
5.3 Schalen
C 40
5
5.1.1 Rechteckplatten C 38. – 5.1.2 Kreisplatten C 38. – 5.1.3 Elliptische Platten C 39. – 5.1.4 Gleichseitige Dreieckplatte C 39. – 5.1.5 Temperaturspannungen in Platten C 39. 5.2.1 Kreisscheibe C 39. – 5.2.2 Ringfrmige Scheibe C 40. – 5.2.3 Unendlich ausgedehnte Scheibe mit Bohrung C 40. – 5.2.4 Keilfrmige Scheibe unter Einzelkrften C 40.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Biegeschlaffe Rotationsschalen und Membrantheorie fr Innendruck C 40. – 5.3.2 Biegesteife Schalen C 41.
Dynamische Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkrfte . . . .
C 42
6.1 Umlaufender Stab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 42
6.2 Umlaufender dnnwandiger Ring oder Hohlzylinder. . . . . . . . . . . . .
C 42
6
XIV
Inhaltsverzeichnis
6.3 Umlaufende Scheiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 42 6.3.1 Vollscheibe konstanter Dicke C 42. – 6.3.2 Ringfrmige Scheibe konstanter Dicke C 42. – 6.3.3 Scheiben gleicher Festigkeit C 42. – 6.3.4 Scheiben vernderlicher Dicke C 43. – 6.3.5 Umlaufender dickwandiger Hohlzylinder C 43.
7
Stabilittsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 43
7.1 Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 43 7.1.1 Knicken im elastischen (Euler-)Bereich C 43. – 7.1.2 Knicken im unelastischen (Tetmajer-) Bereich C 44. – 7.1.3 Nherungsverfahren zur Knicklastberechnung C 44. – 7.1.4 Stbe bei nderung des Querschnitts bzw. der Lngskraft C 45. – 7.1.5 Knicken von Ringen, Rahmen und Stabsystemen C 45. – 7.1.6 Biegedrillknicken C 45.
7.2 Kippen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 45 7.2.1 Trger mit Rechteckquerschnitt C 45. – 7.2.2 Trger mit I-Querschnitt C 46.
7.3 Beulung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 46 7.3.1 Beulen von Platten C 46. – 7.3.2 Beulen von Schalen C 47. – 7.3.3 Beulspannungen im unelastischen (plastischen) Bereich C 48.
8
Finite Berechnungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 48
8.1 Finite Elemente Methode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 48 8.2 Randelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 50 8.3 Finite Differenzen Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 52 9
Plastizittstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 53
9.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 53 9.2 Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 54 9.2.1 Biegung des Rechteckbalkens C 54. – 9.2.2 Rumlicher und ebener Spannungszustand C 54.
10
Festigkeitsnachweis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 55
10.1 Berechnungs- und Bewertungskonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 55 10.2 Nennspannungskonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 56 10.3 Kerbgrundkonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 57 Anhang C: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 59 12
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 69
D
Thermodynamik
1
Thermodynamik. Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D1
1.1 Systeme, Systemgrenzen, Umgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D1
1.2 Beschreibung des Zustands eines Systems. Thermodynamische Prozesse . . . . .
D1
Temperaturen. Gleichgewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D2
2.1 Thermisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D2
2.2 Nullter Hauptsatz und empirische Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . .
D2
2.3 Temperaturskalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D2
2
2.3.1 Die Internationale Praktische Temperaturskala D 3.
Erster Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D4
3.1 Allgemeine Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D4
3.2 Die verschiedenen Energieformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D4
3
3.2.1 Arbeit D 4. – 3.2.2 Innere Energie D 4. – 3.2.3 Wrme D 4.
3.3 Anwendung auf geschlossene Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D5
3.4 Anwendung auf offene Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D5
Zweiter Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D6
4.1 Das Prinzip der Irreversibilitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D6
3.4.1 Stationre Prozesse D 5. – 3.4.2 Instationre Prozesse D 6.
4
IInhaltsverzeichnis
XV
4.2 Allgemeine Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 7 4.3 Spezielle Formulierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 7 4.3.1 Adiabate, geschlossene Systeme D 7. – 4.3.2 Systeme mit Wrmezufuhr D 7.
5
Exergie und Anergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 8
5.1 Exergie eines geschlossenen Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 8 5.2 Exergie eines offenen Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 8 5.3 Exergie einer Wrme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 8 5.4 Anergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 9 5.5 Exergieverluste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 9 6
Stoffthermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 9
6.1 Thermische Zustandsgrßen von Gasen und Dmpfen . . . . . . . . . . . . . D 9 6.1.1 Ideale Gase D 10. – 6.1.2 Gaskonstante und das Gesetz von Avogadro D 10. – 6.1.3 Reale Gase D 10. – 6.1.4 Dmpfe D 10.
6.2 Kalorische Zustandsgrßen von Gasen und Dmpfen . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Ideale Gase D 12. – 6.2.2 Reale Gase und Dmpfe D 12.
D 12
6.3 Inkompressible Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 13
6.4 Feste Stoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 13
6.5 Mischtemperatur. Messung von spezifischen Wrmekapazitten . . . . . . . .
D 14
6.4.1 Wrmedehnung D 13. – 6.4.2 Schmelz- und Sublimationsdruckkurve D 14. – 6.4.3 Kalorische Zustandsgrßen D 14.
Zustandsnderungen von Gasen und Dmpfen . . . . . . . . . . . . . .
D 14
7.1 Zustandsnderungen ruhender Gase und Dmpfe . . . . . . . . . . . . . .
D 14
7.2 Zustandsnderungen strmender Gase und Dmpfe . . . . . . . . . . . . .
D 16
7
7.2.1 Strmung idealer Gase D 16. – 7.2.2 Dsen- und Diffusorstrmung D 17.
Thermodynamische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 17
8.1 Verbrennungsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 17
8.2 Verbrennungskraftanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 18
8.3 Kreisprozesse, Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 20
8.4 Wrmekraftanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 21
8.5 Klteanlagen und Wrmepumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 23
8.6 Kraft-Wrme-Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 24
Gemische idealer Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 24
8
8.1.1 Reaktionsgleichungen D 17. – 8.1.2 Heizwert und Brennwert D 18. – 8.1.3 Verbrennungstemperatur D 18.
8.2.1 Offene Gasturbinenanlage D 18. – 8.2.2 Ottomotor D 19. – 8.2.3 Dieselmotor D 19. – 8.2.4 Brennstoffzellen D 20. 8.3.1 Carnot-Prozess D 20.
8.5.1 Kompressionsklteanlage D 23. – 8.5.2 Kompressionswrmepumpe D 24.
9
9.1 Gesetz von Dalton. Thermische und kalorische Zustandsgrßen . . . . . . . .
D 24
9.2 Gas-Dampf-Gemische. Feuchte Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 25
9.2.1 Mollier-Diagramm der feuchten Luft D 26. – 9.2.2 Zustandsnderungen feuchter Luft D 26.
Wrmebertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 27
10.1 Stationre Wrmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 28
10.2 Wrmebergang und Wrmedurchgang . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 28
10.3 Nichtstationre Wrmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 29
10.4 Wrmebergang durch Konvektion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 31
10
10.3.1 Der halbunendliche Krper D 30. – 10.3.2 Zwei halbunendliche Krper in thermischem Kontakt D 30. – 10.3.3 Temperaturausgleich in einfachen Krpern D 30. 10.4.1 Wrmebergang ohne Phasenumwandlung D 32. – 10.4.2 Wrmebergang beim Kondensieren und beim Sieden D 33.
XVI
Inhaltsverzeichnis
10.5 Wrmebertragung durch Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 34 10.5.1 Gesetz von Stefan-Boltzmann D 34. – 10.5.2 Kirchhoffsches Gesetz D 34. – 10.5.3 Wrmeaustausch durch Strahlung D 35. – 10.5.4 Gasstrahlung D 35.
11
Anhang D: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 35
12
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 50
E
Werkstofftechnik
1
Werkstoff- und Bauteileigenschaften. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E2
1.1 Beanspruchungs- und Versagensarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E2
1.2 Grundlegende Konzepte fr den Festigkeitsnachweis . . . . . . . . . . . . . .
E6
1.1.1 Belastungs- und Beanspruchungsflle E 2. – 1.1.2 Versagen durch mechanische Beanspruchung E 3. – 1.1.3 Versagen durch komplexe Beanspruchungen E 4. 1.2.1 Festigkeitshypothesen E 6. – 1.2.2 Nennspannungskonzept E 7. – 1.2.3 rtliches Konzept E 7. – 1.2.4 Plastisches Grenzlastkonzept E 8. – 1.2.5 Bruchmechanikkonzepte E 8.
1.3 Werkstoffkennwerte fr die Bauteildimensionierung . . . . . . . . . . . . . . E 10 1.3.1 Statische Festigkeit E 10. – 1.3.2 Schwingfestigkeit E 10. – 1.3.3 Bruchmechanische Werkstoffkennwerte bei statischer Beanspruchung E 12. – 1.3.4 Bruchmechanische Werkstoffkennwerte bei zyklischer Beanspruchung E 14.
1.4 Einflsse auf die Werkstoffeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 15 1.4.1 Werkstoffphysikalische Grundlagen der Festigkeit und Zhigkeit metallischer Werkstoffe E 15. – 1.4.2 Metallurgische Einflsse E 15. – 1.4.3 Technologische Einflsse E 16. – 1.4.4 Oberflcheneinflsse E 17. – 1.4.5 Umgebungseinflsse E 18. – 1.4.6 Gestalteinfluss auf statische Festigkeitseigenschaften E 18. – 1.4.7 Gestalteinfluss auf Schwingfestigkeitseigenschaften E 19.
1.5 Festigkeitsnachweis von Bauteilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 20 1.5.1 Festigkeitsnachweis bei statischer Beanspruchung E 21. – 1.5.2 Festigkeitsnachweis unter EinstufenSchwingbeanspruchung E 21. – 1.5.3 Betriebsfestigkeitsnachweis E 21. – 1.5.4 Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis unter statischer Beanspruchung E 24. – 1.5.5 Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis unter zyklischer Beanspruchung E 24. – 1.5.6 Festigkeitsnachweis unter Zeitstand- und Kriechermdungsbeanspruchung E 25.
2
Werkstoffprfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 26
2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 26 2.1.1 Probenentnahme E 26. – 2.1.2 Versuchsauswertung E 27.
2.2 Prfverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 28 2.2.1 Zugversuch E 28. – 2.2.2 Druckversuch E 29. – 2.2.3 Biegeversuch E 29. – 2.2.4 Hrteprfverfahren E 29. – 2.2.5 Kerbschlag-Biegeversuch E 30. – 2.2.6 Bruchmechanische Prfungen E 31. – 2.2.7 Chemische und physikalische Analysemethoden E 32. – 2.2.8 Metallographische Untersuchungen E 33. – 2.2.9 Technologische Prfungen E 34. – 2.2.10 Zerstrungsfreie Werkstoffprfung E 34. – 2.2.11 Dauerversuche E 35.
3
Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . E 36
3.1 Eisenwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 36 3.1.1 Das Zustandsschaubild Eisen-Kohlenstoff E 36. – 3.1.2 Stahlerzeugung E 38. – 3.1.3 Wrmebehandlung E 39. – 3.1.4 Sthle E 43. – 3.1.5 Gusseisenwerkstoffe E 56.
3.2 Nichteisenmetalle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 59
3.2.1 Kupfer und seine Legierungen E 59. – 3.2.2 Aluminium und seine Legierungen E 61. – 3.2.3 Magnesiumlegierungen E 63. – 3.2.4 Titanlegierungen E 64. – 3.2.5 Nickel und seine Legierungen E 64. – 3.2.6 Zink und seine Legierungen E 65. – 3.2.7 Blei E 65. – 3.2.8 Zinn E 66. – 3.2.9 berzge auf Metallen E 66.
3.3 Nichtmetallische anorganische Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 68 3.3.1 Keramische Werkstoffe E 68. – 3.3.2 Glas E 69. – 3.3.3 Beton E 70. – 3.3.4 Holz E 71.
3.4 Werkstoffauswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 75 3.4.1 Systematik der Werkstoffauswahl E 75.
4
Kunststoffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 76
4.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 76 4.2 Aufbau und Verhalten von Kunststoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 76 4.3 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 77 4.4 Wichtige Thermoplaste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 77 4.5 Fluorhaltige Kunststoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 79 4.6 Duroplaste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 79
IInhaltsverzeichnis
XVII
4.7 Kunststoffschume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E 80
4.8 Elastomere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E 80
4.9 Prfung von Kunststoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E 81
4.10 Verarbeiten von Kunststoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E 84
4.9.1 Kennwertermittlung an Probekrpern E 81. – 4.9.2 Prfung von Fertigteilen E 84.
4.10.1 Urformen von Kunststoffen E 85. – 4.10.2 Umformen von Kunststoffen E 87. – 4.10.3 Fgen von Kunststoffen E 87.
4.11 Gestalten und Fertigungsgenauigkeit von Kunststoff-Formteilen . . . . . . . .
E 88
4.12 Nachbehandlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E 89
Tribologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E 90
5.1 Reibung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E 90
5
5.2 Reibungszustnde lgeschmierter Gleitpaarungen . . . . . . . . . . . . . .
E 91
5.3 Elastohydrodynamische Schmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E 91
5.4 Verschleiß. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E 92
5.5 Systemanalyse von Reibungs- und Verschleißvorgngen . . . . . . . . . . .
E 94
5.6 Schmierstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E 96
5.5.1 Funktion von Tribosystemen E 94. – 5.5.2 Beanspruchungskollektiv E 94. – 5.5.3 Struktur tribologischer Systeme E 94. – 5.5.4 Tribologische Kenngrßen E 95. – 5.5.5 Checkliste zur Erfassung der wichtigsten tribologisch relevanten Grßen E 95. 5.6.1 Schmierle E 96. – 5.6.2 Schmierfette E 98. – 5.6.3 Festschmierstoffe E 98.
. . . . . . . . . . . . .
E 99
6.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E 99
6.2 Mechanismen der Korrosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E 99
6
Korrosion und Korrosionsschutz von Metallen
6.3 Korrosionserscheinungen („Korrosionsarten“) . . . . . . . . . . . . . . . E 100 6.4 berlagerung von Korrosion und mechanischer Beanspruchung . . . . . . . . E 103 6.4.1 Spannungsrisskorrosion E 103. – 6.4.2 Schwingungsrisskorrosion (Bild 13) E 104. – 6.4.3 Korrosionsverschleiß E 104. – 6.4.4 Reibkorrosion, auch als Schwingverschleiß bezeichnet E 104. – 6.4.5 Erosionskorrosion E 105. – 6.4.6 Kavitationskorrosion E 105. – 6.4.7 Wasserstoffinduzierte Rissbildung E 105.
6.5 Korrosionsschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 106 6.5.1 Allgemeines E 106. – 6.5.2 Werkstoffreinheit E 106. – 6.5.3 Legierungstechnische Maßnahmen E 106. – 6.5.4 Erzeugung von Diffusionsschichten E 106. – 6.5.5 Schutz durch metallische berzge E 106. – 6.5.6 Kathodischer Schutz E 106. – 6.5.7 Korrosionsschutz durch Inhibitoren E 107. – 6.5.8 Korrosionsschutzgerechte Konstruktion E 107. – 6.5.9 Korrosionsschutzgerechte Fertigung E 107.
6.6 Korrosionsprfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 107 6.6.1 Allgemeines E 107. – 6.6.2 Hinweise zu den einzelnen Gruppen von Prfverfahren E 107.
7
Anhang E: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 109
8
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 142
F
Grundlage der Konstruktionstechnik
1
Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens . . . . . .
F1
1.1 Technische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F1
1.2 Methodisches Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F4
1.1.1 Energie-, Stoff- und Signalumsatz F 1. – 1.1.2 Funktionszusammenhang F 2. – 1.1.3 Wirkzusammenhang F 3. – 1.1.4 Bauzusammenhang F 3. – 1.1.5 Systemzusammenhang F 3. – 1.1.6 Generelle Zielsetzung und Bedingungen F 3.
1.2.1 Allgemeine Arbeitsmethodik F 4. – 1.2.2 Allgemeiner Lsungsprozeß F 4. – 1.2.3 Abstrahieren zum Erkennen der Funktionen F 5. – 1.2.4 Suche nach Lsungsprinzipien F 5. – 1.2.5 Beurteilen von Lsungen F 7.
1.3 Konstruktionsprozeß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F 11
1.4 Gestaltung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F 15
1.3.1 Klren der Aufgabenstellung F 11. – 1.3.2 Konzipieren F 12. – 1.3.3 Entwerfen F 12. – 1.3.4 Ausarbeiten F 12. – 1.3.5 Effektive Organisationsformen F 13. – 1.3.6 Rapid Prototyping F 14. – 1.3.7 Konstruktionsarten F 15.
XVIII
Inhaltsverzeichnis
1.4.1 Grundregeln F 15. – 1.4.2 Gestaltungsprinzipien F 15. – 1.4.3 Gestaltungsrichtlinien F 18. – 1.4.4 Faserverbundbauweisen F 21.
1.5 Baureihen- und Baukastenentwicklung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F 26 1.5.1 hnlichkeitsbeziehungen F 27. – 1.5.2 Dezimalgeometrische Normzahlreihen F 27. – 1.5.3 Geometrisch hnliche Baureihe F 28. – 1.5.4 Halbhnliche Baureihen F 28. – 1.5.5 Anwenden von Exponentengleichungen F 28. – 1.5.6 Baukasten F 29.
1.6 Normen- und Zeichnungswesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F 30 1.6.1 Normenwerk F 30. – 1.6.2 Grundnormen F 31. – 1.6.3 Zeichnungen und Stcklisten F 35. – 1.6.4 Sachnummernsysteme F 37.
2
Anwendung fr Maschinensysteme der Stoffverarbeitung . . . . . . . . . . F 38
2.1 Aufgabe und Einordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F 38 2.2 Struktur von Verarbeitungsmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F 38 2.2.1 Verarbeitungssystem F 39. – 2.2.2 Antriebs- und Steuerungssystem F 41. – 2.2.3 Raumsystem F 45.
2.3 Verarbeitungsanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F 47 3
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F 49
G Mechanische Konstruktionselemente Bauteilverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G3
1.1 Schweißen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G3
1
1.1.1 Schweißverfahren G 3. – 1.1.2 Schweißbarkeit der Werkstoffe G 3. – 1.1.3 Stoß- und Nahtarten G 10. – 1.1.4 Darstellung der Schweißnhte G 12. – 1.1.5 Festigkeit von Schweißverbindungen G 13. – 1.1.6 Thermisches Abtragen G 23.
1.2 Lten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 24 1.2.1 Vorgang G 24. – 1.2.2 Weichlten G 25. – 1.2.3 Hartlten und Schweißlten (Fugenlten) G 25. – 1.2.4 Hochtemperaturlten G 26.
1.3 Kleben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 27 1.3.1 Anwendung und Vorgang G 27. – 1.3.2 Klebstoffe G 27. – 1.3.3 Tragfhigkeit G 28.
1.4 Reibschlußverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 29 1.4.1 Formen, Anwendungen G 29. – 1.4.2 Preßverbnde G 29. – 1.4.3 Klemmverbindungen G 32.
1.5 Formschlußverbindungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 33 1.5.1 Formen, Anwendungen G 33. – 1.5.2 Stiftverbindungen G 33. – 1.5.3 Bolzenverbindungen G 35. – 1.5.4 Keilverbindungen G 35. – 1.5.5 Paß- und Scheibenfeder-Verbindungen G 36. – 1.5.6 Zahn- und Keilwellenverbindungen G 37. – 1.5.7 Polygonwellenverbindungen G 37. – 1.5.8 Vorgespannte WelleNabe-Verbindungen G 37. – 1.5.9 Axiale Sicherungselemente G 37. – 1.5.10 Nietverbindungen G 38.
1.6 Schraubenverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 40 1.6.1 Aufgaben G 40. – 1.6.2 Kenngrßen der Schraubenbewegung G 40. – 1.6.3 Gewindearten G 40. – 1.6.4 Schrauben- und Mutterarten G 41. – 1.6.5 Schrauben- und Mutternwerkstoffe G 43. – 1.6.6 Krfte und Verformungen beim Anziehen von Schraubenverbindungen G 43. – 1.6.7 berlagerung von Vorspannkraft und Betriebslast G 45. – 1.6.8 Auslegung und Dauerfestigkeitsberechnung von Schraubenverbindungen G 48. – 1.6.9 Sicherung von Schraubenverbindungen G 51.
2
Federnde Verbindungen (Federn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 52
2.1 Aufgaben, Eigenschaften, Kenngrßen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 52 2.1.1 Aufgaben G 52. – 2.1.2 Federkennlinie, Federsteifigkeit, Federnachgiebigkeit G 52. – 2.1.3 Arbeitsaufnahmefhigkeit, Nutzungsgrad, Dmpfungsvermgen, Dmpfungsfaktor G 53.
2.2 Metallfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 53 2.2.1 Zug/Druck-beanspruchte Zug- oder Druckfedern G 53. – 2.2.2 Einfache und geschichtete Blattfedern (gerade oder schwachgekrmmte, biegebeanspruchte Federn) G 55. – 2.2.3 Spiralfedern (ebene gewundene, biegebeanspruchte Federn) und Schenkelfedern (biegebeanspruchte Schraubenfedern) G 56. – 2.2.4 Tellerfedern (scheibenfrmige, biegebeanspruchte Federn) G 57. – 2.2.5 Drehstabfedern (gerade, drehbeanspruchte Federn) G 58. – 2.2.6 Zylindrische Schraubendruckfedern und Schraubenzugfedern G 59.
2.3 Gummifedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 61 2.3.1 Der Werkstoff „Gummi“ und seine Eigenschaften G 61. – 2.3.2 Gummifederelemente G 62.
2.4 Faserverstrkte Kunststoffedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 64 2.5 Gasfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 64 2.6 Industrie-Stoßdmpfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 64 2.6.1 Anwendungsgebiete G 64. – 2.6.2 Funktionsweise des Industrie-Stoßdmpfers G 65. – 2.6.3 Aufbau eines Industrie-Stoßdmpfers G 65. – 2.6.4 Berechnung und Auswahl G 65.
3
Kupplungen und Bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 65
IInhaltsverzeichnis
XIX
3.1 berblick, Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 65
3.2 Drehstarre, nicht schaltbare Kupplungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 66
3.3 Elastische, nicht schaltbare Kupplungen. . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 69
3.4 Drehnachgiebige, nicht schaltbare Kupplungen . . . . . . . . . . . . . . .
G 72
3.5 Fremdgeschaltete Kupplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 73
3.6 Selbstttig schaltende Kupplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 79
Wlzlager. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 81
3.2.1 Starre Kupplungen G 66. – 3.2.2 Drehstarre Ausgleichskupplungen G 67.
3.3.1 Feder- und Dmpfungsverhalten G 69. – 3.3.2 Auslegungsgesichtspunkte, Schwingungsverhalten G 70. – 3.3.3 Bauarten G 71. – 3.3.4 Auswahlgesichtspunkte G 72.
3.5.1 Formschlssige Schaltkupplungen G 73. – 3.5.2 Kraft-(Reib-)schlssige Schaltkupplungen G 74. – 3.5.3 Der Schaltvorgang bei reibschlssigen Schaltkupplungen G 75. – 3.5.4 Auslegung einer reibschlssigen Schaltkupplung G 76. – 3.5.5 Auswahl einer Kupplungsgrße G 77. – 3.5.6 Allgemeine Auswahlkriterien G 77. – 3.5.7 Bremsen G 78. 3.6.1 Drehmomentgeschaltete Kupplungen G 79. – 3.6.2 Drehzahlgeschaltete Kupplungen G 79. – 3.6.3 Richtungsgeschaltete Kupplungen (Freilufe) G 80.
4
4.1 Kennzeichen und Eigenschaften der Wlzlager . . . . . . . . . . . . . . .
G 81
4.2 Bauarten der Wlzlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 82
4.3 Wlzlagerkfige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 86
4.4 Wlzlagerwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 86
4.5 Bezeichnungen fr Wlzlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 86
4.6 Konstruktive Ausfhrung von Lagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 87
4.7 Wlzlagerschmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 89
4.8 Wlzlagerdichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 92
4.9 Belastbarkeit und Lebensdauer der Wlzlager . . . . . . . . . . . . . . .
G 93
4.10 Bewegungswiderstand und Referenzdrehzahlen der Wlzlager . . . . . . . .
G 96
4.2.1 Lager fr rotierende Bewegungen G 82. – 4.2.2 Linearwlzlager G 86.
4.6.1 Fest-Loslager-Anordnung G 87. – 4.6.2 Schwimmende oder Sttz-Traglagerung und angestellte Lagerung G 87. – 4.6.3 Lagersitze, axiale und radiale Festlegung der Lagerringe G 88. – 4.6.4 Lagerluft G 89. 4.7.1 Allgemeines G 89. – 4.7.2 Fettschmierung G 90. – 4.7.3 lschmierung G 91. – 4.7.4 Feststoffschmierung G 92.
4.9.1 Grundlagen G 93. – 4.9.2 Statische bzw. dynamische Tragfhigkeit und Lebensdauerberechnung G 94.
Gleitlagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 97
5.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 97
5.2 Berechnung hydrodynamischer Gleitlager . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 97
5
5.1.1 Hydrodynamische Schmierung G 97. – 5.1.2 Reibungszustnde G 97.
5.2.1 Stationr belastete Radialgleitlager G 97. – 5.2.2 Radialgleitlager im instationren Betrieb G 100. – 5.2.3 Stationr belastete Axialgleitlager G 100. – 5.2.4 Mehrgleitflchenlager G 104.
5.3 Hydrostatische Anfahrhilfen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 104 5.4 Berechnung hydrostatischer Gleitlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 104 5.4.1 Hydrostatische Radialgleitlager G 104. – 5.4.2 Hydrostatische Axialgleitlager G 105.
5.5 Dichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 106 5.6 Wartungsfreie Gleitlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 106 5.7 Konstruktive Gestaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 106 5.7.1 Konstruktion und Schmierspaltausbildung G 106. – 5.7.2 Lagerschmierung G 107. – 5.7.3 Lagerkhlung G 108. – 5.7.4 Lagerwerkstoffe G 108. – 5.7.5 Lagerbauformen G 108.
6
Zugmittelgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 109
6.1 Bauarten, Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 109 6.2 Flachriemengetriebe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 109 6.2.1 Krfte am Flachriemengetriebe G 109. – 6.2.2 Beanspruchungen G 110. – 6.2.3 Geometrische Beziehungen G 110. – 6.2.4 Kinematik, Leistung, Wirkungsgrad G 111. – 6.2.5 Riemenlauf und Vorspannung G 111. – 6.2.6 Riemenwerkstoffe G 113. – 6.2.7 Entwurfsberechnung G 113.
6.3 Keilriemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 114
XX
Inhaltsverzeichnis 6.3.1 Anwendungen und Eigenschaften G 114. – 6.3.2 Typen und Bauarten von Keilriemen G 115. – 6.3.3 Entwurfsberechnung G 116.
6.4 Synchronriemen (Zahnriemen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 116
6.5 Kettengetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 117
6.4.1 Aufbau, Eigenschaften, Anwendung G 116. – 6.4.2 Gestaltungshinweise G 116. – 6.4.3 Entwurfsberechnung G 116.
6.5.1 Bauarten, Eigenschaften, Anwendung G 117. – 6.5.2 Gestaltungshinweise G 117. – 6.5.3 Entwurfsberechnung G 117.
Reibradgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 118
7.1 Wirkungsweise, Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 118
7.2 Bauarten, Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 118
7.3 Berechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 121
7.4 Hinweise fr Anwendung und Betrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 124
7
7.2.1 Reibradgetriebe mit festem bersetzungsverhltnis G 118. – 7.2.2 Wlzgetriebe mit stufenlos einstellbarer bersetzung G 119. 7.3.1 Bohrbewegung G 121. – 7.3.2 Schlupf G 122. – 7.3.3 bertragbare Leistung und Wirkungsgrad G 123. – 7.3.4 Gebruchliche Werkstoffpaarungen G 124.
Zahnradgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 124
8.1 Stirnrder – Verzahnungsgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 125
8.2 Verzahnungsabweichungen und -toleranzen, Flankenspiel . . . . . . . . . . .
G 132
8.3 Schmierung und Khlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 132
8.4 Werkstoffe und Wrmebehandlung –Verzahnungsherstellung . . . . . . . . .
G 134
8.5 Tragfhigkeit von Gerad- und Schrgstirnrdern . . . . . . . . . . . . . . .
G 135
8.6 Kegelrder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 143
8.7 Stirnschraubrder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 145
8.8 Schneckengetriebe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 145
8.9 Umlaufgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 151
8.10 Gestaltung der Zahnradgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 159
8
8.1.1 Verzahnungsgesetz G 125. – 8.1.2 bersetzung, Zhnezahlverhltnis, Momentenverhltnis G 125. – 8.1.3 Konstruktion von Eingriffslinie und Gegenflanke G 125. – 8.1.4 Flankenlinien und Formen der Verzahnung G 125. – 8.1.5 Allgemeine Verzahnungsgrßen G 126. – 8.1.6 Gleit- und Rollbewegung G 127. – 8.1.7 Evolventenverzahnung G 128. – 8.1.8 Sonstige Verzahnungen (außer Evolventen) und ungleichmßig bersetzende Zahnrder G 131.
8.5.1 Zahnschden und Abhilfen G 135. – 8.5.2 Pflichtenheft G 136. – 8.5.3 Anhaltswerte fr die Dimensionierung G 136. – 8.5.4 Nachrechnung der Tragfhigkeit G 138. 8.6.1 8.6.3 8.6.6 8.6.8
Geradzahn-Kegelrder G 143. – 8.6.2 Kegelrder mit Schrg- oder Bogenverzahnung G 143. – Zahnform G 143. – 8.6.4 Kegelrad-Geometrie G 143. – 8.6.5 Tragfhigkeit G 144. – Lagerkrfte G 144. – 8.6.7 Hinweise zur Konstruktion von Kegelrdern G 144. – Sondergetriebe G 145.
8.8.1 Zylinderschnecken-Geometrie G 145. – 8.8.2 Auslegung G 146. – 8.8.3 Zahnkrfte, Lagerkrfte G 146. – 8.8.4 Geschwindigkeiten, Beanspruchungskennwerte G 147. – 8.8.5 Reibungszahl, Wirkungsgrad G 148. – 8.8.6 Nachrechnung der Tragfhigkeit G 148. – 8.8.7 Gestaltung, Werkstoffe, Lagerung, Genauigkeit, Schmierung, Montage G 150. 8.9.1 Kinematische Grundlagen, Bezeichnungen G 151. – 8.9.2 Allgemeingltigkeit der Berechnungsgleichungen G 152. – 8.9.3 Vorzeichenregeln G 152. – 8.9.4 Drehmomente, Leistungen, Wirkungsgrade G 153. – 8.9.5 Selbsthemmung und Teilhemmung G 155. – 8.9.6 Konstruktive Hinweise G 155. – 8.9.7 Auslegung einfacher Planetengetriebe G 155. – 8.9.8 Zusammengesetzte Planetengetriebe G 157.
8.10.1 Bauarten G 159. – 8.10.2 Anschluß an Motor und Arbeitsmaschine G 160. – 8.10.3 Gestalten und Bemaßen der Zahnrder G 160. – 8.10.4 Gestalten der Gehuse G 161. – 8.10.5 Lagerung G 163.
Getriebetechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 163
9.1 Getriebesystematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 163
9.2 Getriebeanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 167
9.3 Getriebesynthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 172
9.4 Sondergetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 174
9
9.1.1 Grundlagen G 163. – 9.1.2 Arten ebener Getriebe G 164.
9.2.1 Kinematische Analyse ebener Getriebe G 167. – 9.2.2 Kinetostatische Analyse ebener Getriebe G 170. – 9.2.3 Kinematische Analyse rumlicher Getriebe G 171. – 9.2.4 Laufgte der Getriebe G 171. 9.3.1 Viergelenkgetriebe G 172. – 9.3.2 Kurvengetriebe G 173.
IInhaltsverzeichnis
XXI
10
Anhang G: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 175
11
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 192
H Fluidische Antriebe 1
Grundlagen der fluidischen Energiebertragung . . . . . . . . . . . . . . H 1
1.1 Der Fließprozeß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H 1 1.1.1 Energiebertragung durch Flssigkeiten H 1. – 1.1.2 Energiebertragung durch Gase H 3.
1.2 Hydraulikflssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H 3 1.3 Systematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H 4 1.3.1 Aufbau und Funktion der Hydrogetriebe H 4. – 1.3.2 Ordnung der Fluidgetriebe H 4. – 1.3.3 Gliederung der Getriebebauweisen H 4.
2
Bauelemente hydrostatischer Getriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . H 5
2.1 Verdrngermaschinen mit rotierender Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . H 5 2.1.1 Zahnradpumpen und Zahnring-(Gerotor-)pumpen H 6. – 2.1.2 Flgelzellenpumpen H 8. – 2.1.3 Kolbenpumpen H 8. – 2.1.4 Andere Pumpenbauarten H 9. – 2.1.5 Hydromotoren in Umlaufverdrngerbauart H 9. – 2.1.6 Hydromotoren in Hubverdrnger-(Kolben-)bauart H 10.
2.2 Verdrngermaschinen mit translatorischem (Ein- und) Ausgang . . . . . . . .
H 11
2.3 Hydroventile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H 12
2.4 Hydraulikzubehr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H 15
Aufbau und Funktion der Hydrogetriebe . . . . . . . . . . . . . . . .
H 15
3.1 Hydrokreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H 15
3.2 Funktion der Hydrogetriebe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H 16
3.3 Steuerung der Getriebebersetzung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H 16
2.3.1 Wegeventile H 12. – 2.3.2 Sperrventile H 13. – 2.3.3 Druckventile H 13. – 2.3.4 Stromventile H 14. – 2.3.5 Proportionalventile H 14.
3
3.1.1 Offener Kreislauf H 15. – 3.1.2 Geschlossener Kreislauf H 16. – 3.1.3 Halboffene Kreislufe H 16. 3.2.1 Berechnung des stationren Betriebsverhaltens H 16. – 3.2.2 Dynamisches Betriebsverhalten H 16. 3.3.1 Getriebe mit Verstelleinheiten H 16. – 3.3.2 Selbstttig arbeitende Regler und Verstellungen an Verstellmaschinen H 17. – 3.3.3 Stromteilgetriebe H 18.
Ausfhrung und Auslegung von Hydrogetrieben . . . . . . . . . . . . .
H 18
4.1 Getriebeschaltung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H 18
4.2 Auslegung von Hydrokreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H 19
4
Pneumatische Antriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H 20
5.1 Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H 20
5.2 Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H 21
6
Anhang H: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H 22
7
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H 26
I
Mechatronische Systeme
1
5
Mechatronik: Methodik und Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . .
I1
1.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I1
1.2 Basisdisziplinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I1
1.3 Modellbildung und Entwurf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I2
1.4 Komponenten mechatronischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I3
Elektronische Konstruktionskomponenten. . . . . . . . . . . . . . . . .
I6
2.1 Passive Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I6
1.4.1 Sensoren I 3. – 1.4.2 Aktoren I 3. – 1.4.3 Prozeßdatenverarbeitung und Bussysteme I 5.
2
2.1.1 Aufbau elektronischer Schaltungen I 6. – 2.1.2 Widerstnde I 7. – 2.1.3 Kapazitten I 7. – 2.1.4 Induktivitten I 8.
XXII
Inhaltsverzeichnis
2.2 Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 8 2.2.1 Diodenkennlinien und Daten I 8. – 2.2.2 Schottky-Dioden I 8. – 2.2.3 Kapazittsdioden I 8. – 2.2.4 Z-Dioden I 9. – 2.2.5 Leistungsdioden I 9.
2.3 Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 9 2.3.1 Bipolartransistoren I 9. – 2.3.2 Feldeffekttransistoren I 11. – 2.3.3 IGB-Transistoren I 12.
2.4 Thyristoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I 12
2.5 Operationsverstrker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I 14
2.6 Optoelektronische Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I 15
2.4.1 Thyristorkennlinien und Daten I 12. – 2.4.2 Steuerung des Thyristors I 13. – 2.4.3 Triacs, Diacs I 14. – 2.4.4 Abschaltbare Thyristoren I 14.
2.6.1 Optoelektronische Empfnger I 15. – 2.6.2 Optoelektronische Sender I 16. – 2.6.3 Optokoppler I 17.
Aufbau mechatronischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I 17
3.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I 17
3.2 Beispiele mechatronischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I 17
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I 19
3
4
K Komponenten des thermischen Apparatebaus 1
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
K1
1.1 Unterscheidungsmerkmale von wrmebertragenden Apparaten . . . . . . . . .
K1
1.2 Wrme- und strmungstechnische Auslegung. . . . . . . . . . . . . . . . . .
K1
1.3 Stromfhrung und Betriebscharakteristik wrmebertragender Apparate. . . . . .
K4
1.4 Wirkungsgrade, Exergieverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
K4
1.2.1 Wrmetechnische Auslegung von Rekuperatoren K 1. – 1.2.2 Wrmetechnische Auslegung von Regeneratoren K 3. – 1.2.3 Druckverlustberechnung K 3.
1.4.1 Wirkungsgrade K 4. – 1.4.2 Exergieverluste K 5.
Konstruktionselemente von Apparaten und Rohrleitungen . . . . . . . . . .
K5
2.1 Berechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
K5
2
2.2 Zylindrische Mntel und Rohre unter innerem berdruck . . . . . . . . . . . .
K5
2.3 Zylindrische Mntel unter ußerem berdruck
. . . . . . . . . . . . . . . .
K6
2.4 Ebene Bden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
K7
2.5 Gewlbte Bden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
K9
2.6 Ausschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 10 2.7 Flanschverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 11 2.7.1 Schrauben K 11. – 2.7.2 Flansche K 13.
2.8 Rohrleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 15 2.8.1 Rohrdurchmesser K 15. – 2.8.2 Strmungsverluste K 16. – 2.8.3 Rohrarten, Normen, Werkstoffe K 16. – 2.8.4 Rohrverbindungen K 16. – 2.8.5 Dehnungsausgleicher K 17. – 2.8.6 Rohrhalterungen K 18.
2.9 Absperr- und Regelorgane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 19 2.9.1 Allgemeines K 19. – 2.9.2 Ventile K 20. – 2.9.3 Schieber K 21. – 2.9.4 Hhne (Drehschieber) K 22. – 2.9.5 Klappen K 22.
2.10 Dichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 22 2.10.1 Berhrungsdichtungen an ruhenden Flchen K 22. – 2.10.2 Berhrungsdichtungen an gleitenden Flchen K 23.
3
Bauarten von Wrmebertragern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 24
3.1 Rohrbndelapparate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 24 3.2 Sonstige Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 25 4
Kondensation und Rckkhlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 27
4.1 Grundbegriffe der Kondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 27
IInhaltsverzeichnis 4.2 Oberflchenkondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Wrmetechnische Berechnung K 28. – 4.2.2 Kondensatoren in Dampfkraftanlagen K 28. – 4.2.3 Kondensatoren in der chemischen Industrie K 28. – 4.2.4 Konstruktive Gesichtspunkte K 28.
XXIII K 28
4.3 Einspritz-(Misch-)Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
K 29
4.4 Luftgekhlte Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
K 29
4.5 Hilfsmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
K 30
4.6 Indirekte Luftkhlung und Rckkhlanlagen . . . . . . . . . . . . . . . .
K 31
5
Anhang K: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
K 33
6
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
K 35
L
Energietechnik
1
Grundstze der Energieversorgung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 1
4.5.1 Trockenluftpumpen K 30. – 4.5.2 Khlwasser- und Kondensatpumpen K 30. 4.6.1 Bauarten K 31. – 4.6.2 Berechnung K 32.
1.1 Planung und Investitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 2 1.2 Elektrizittswirtschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 3 1.3 Gaswirtschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 5 1.4 Fernwrmewirtschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 6 2
Primrenergien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 7
2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 7 2.2 Feste Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 7 2.3 Flssige Brennstoffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 9 2.4 Gasfrmige Brennstoffe oder Brenngase . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 11
2.5 Kernbrennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 12
2.6 Regenerative Energien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 15
Wandlung von Primrenergie in Nutzenergie . . . . . . . . . . . . . .
L 17
3.1 Erzeugung elektrischer Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 17
3.2 Kraft-Wrme-Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 25
3.3 Wandlung regenerativer Energien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 26
3
3.1.1 Wrmekraftwerke L 17. – 3.1.2 Kernkraftwerke L 22. – 3.1.3 Kombi-Kraftwerke L 22. – 3.1.4 Motorkraftwerke L 23. – 3.1.5 Brennstoffzelle L 24.
3.3.1 Windkraftanlagen L 26. – 3.3.2 Anlagen zur Nutzung der Sonnenenergie L 28. – 3.3.3 Wrmepumpen L 30.
Verteilen und Speicherung von Nutzenergie . . . . . . . . . . . . . . .
L 30
4.1 Energietransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 30
4.2 Energiespeicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 33
4
4.1.1 Mineralltransporte L 30. – 4.1.2 Erdgastransporte L 31. – 4.1.3 Elektrische Verbundnetze L 32. – 4.1.4 Fernwrmetransporte L 32.
Feuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 35
5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 35
5.2 Feuerungen fr feste Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 37
5.3 Feuerungen fr flssige Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 43
5.4 Feuerungen fr gasfrmige Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 44
5.5 Allgemeines Feuerungszubehr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 44
5
5.1.1 Verbrennungsvorgang L 35. – 5.1.2 Kennzahlen L 35. – 5.1.3 Druckzustnde L 36. – 5.1.4 Emissionen L 36.
5.2.1 Rostfeuerungen L 37. – 5.2.2 Kohlenstaubfeuerung L 38. – 5.2.3 Wirbelschichtfeuerung L 41. 5.3.1 Besondere Eigenschaften L 43. – 5.3.2 Brenner L 43. – 5.3.3 Gesamtanlage L 44. 5.4.1 Verbrennung und Brennereinteilung L 44. – 5.4.2 Brennerbauarten L 44.
XXIV
Inhaltsverzeichnis
5.5.1 Geblse L 44. – 5.5.2 Schornstein L 45.
5.6 Umweltschutztechnologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 45 5.6.1 Rauchgasentstaubung L 45. – 5.6.2 Rauchgasentschwefelung L 46. – 5.6.3 Rauchgasentstickung L 48. – 5.6.4 Entsorgung der Kraftwerksnebenprodukte L 48.
6
Dampferzeuger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 49
6.1 Angaben zum System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 49 6.1.1 Bauarten L 49. – 6.1.2 Dampferzeugersysteme L 49. – 6.1.3 Drcke L 50. – 6.1.4 Temperaturen L 50. – 6.1.5 Leistung L 50. – 6.1.6 Sicherheit L 50.
6.2 Ausgefhrte Dampferzeuger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 50 6.2.1 Großwasserraumkessel L 50. – 6.2.2 Naturumlaufkessel fr fossile Brennstoffe L 51. – 6.2.3 Zwanglaufkessel fr fossile Brennstoffe L 52. – 6.2.4 Dampferzeuger fr Kernreaktoren L 55.
6.3 Teile und Bauelemente von Dampferzeugern . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 56 6.3.1 Verdampfer L 56. – 6.3.2 berhitzer und Zwischenberhitzer L 56. – 6.3.3 Speisewasservorwrmer (Eco) L 57. – 6.3.4 Luftvorwrmer (Luvo) L 57. – 6.3.5 Speisewasseraufbereitung L 58.
6.4 Wrmetechnische Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 58 6.4.1 Energiebilanz und Wirkungsgrad L 58. – 6.4.2 Ermittlung der Heizflche L 59. – 6.4.3 Strmungswiderstnde L 59. – 6.4.4 Festigkeitsberechnung L 59.
7
Kernreaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 60
7.1 Bauteile des Reaktors und Reaktorgebude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 60 7.2 Sicherheitstechnik von Kernreaktoren
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 60
7.3 Funktionsbedingungen fr Kernreaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 61 7.4 Bauarten von Kernreaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 62 7.4.1 Leichtwasserreaktoren (LWR) L 62. – 7.4.2 Weiterentwicklung der Leichtwasserreaktortechnik L 65. – 7.4.3 Schwerwasserreaktoren L 65. – 7.4.4 Gasgekhlte thermische Reaktoren L 65. – 7.4.5 Schnelle Brutreaktoren (SNR) L 66. – 7.4.6 Kennwerte von Reaktortypen L 66.
7.5 Kernfusion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 66
8
Anhang L: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 68
9
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 72
M Klimatechnik Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M1
1.1 Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M1
1.2 Meteorologische Grundlagen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M2
1.3 Hygienische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M4
1.4 Kltetechnische Verfahren
M6
1
1.2.1 Lufttemperatur M 2. – 1.2.2 Luftfeuchte M 2. – 1.2.3 Wind M 3. – 1.2.4 Sonnenstrahlung M 3. 1.3.1 Raumklima M 4. – 1.3.2 Lufterneuerung in Rumen M 4. – 1.3.3 Behagliches Raumklima in Aufenthalts- und Arbeitsrumen M 4. – 1.3.4 Ertrgliches Raumklima in Arbeitsrumen und Industriebetrieben M 5.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Allgemeines M 6. – 1.4.2 Kaltdampf-Kompressionsklteanlage M 7. – 1.4.3 Absorptionsklteanlage M 8. – 1.4.4 Verdunstungskhlverfahren M 9. – 1.4.5 Kltemittel, Kltemaschinen-le und Khlsolen M 10.
1.5 Heiztechnische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 14
1.6 Raumlufttechnische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 15
Berechnungs- und Bemessungsgrundlagen der Heiz- und Raumlufttechnik .
M 16
2.1 Wrmebedarf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 16
2.2 Khllast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 17
2.3 Luftbedarf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 21
2.4 Leitungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 22
2
2.1.1 Transmissionswrmebedarf M 16. – 2.1.2 Lftungswrmebedarf M 17. – 2.1.3 Sonderflle M 17. 2.2.1 Innere Khllast M 18. – 2.2.2 ußere Khllast M 19.
2.3.1 Luftheizung M 21. – 2.3.2 Lftung M 21. – 2.3.3 Luftkhlung M 21. – 2.3.4 Klimaanlagen M 22.
2.4.1 Rohrnetz fr Warm- und Heißwasserleitungen M 22. – 2.4.2 Rohrnetz fr Dampfheizungen M 23. – 2.4.3 Kanalnetz fr raumlufttechnische Anlagen M 23. – 2.4.4 Luftfhrung im Raum M 23.
IInhaltsverzeichnis
XXV
Systeme und Bauteile der Heizungstechnik . . . . . . . . . . . . . . .
M 25
3.1 Einzelheizung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 25
3.2 Zentralheizung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 26
Systeme und Bauteile der Raumlufttechnik . . . . . . . . . . . . . . .
M 38
4.1 Einrichtungen zur freien Lftung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 38
4.2 Raumlufttechnische Anlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 39
3
3.1.1 Einzelheizgerte fr Wohnrume M 25. – 3.1.2 Einzelheizgerte fr grßere Rume und Hallen M 25. 3.2.1 Heizungssysteme M 26. – 3.2.2 Raum-Heizkrper, -Heizflchen M 26. – 3.2.3 Rohrnetz M 28. – 3.2.4 Armaturen M 30. – 3.2.5 Umwlzpumpen M 31. – 3.2.6 Wrmeerzeugung M 31. – 3.2.7 Heizzentrale M 34. – 3.2.8 Regelung und Steuerung M 36. – 3.2.9 Wrmeverbrauchsermittlung M 37.
4
4.1.1 Fensterlftung M 38. – 4.1.2 Schachtlftung M 39. – 4.1.3 Dachaufsatzlftung M 39. – 4.1.4 Freie Lftung, verstrkt durch Ventilatoren M 39. 4.2.1 Raumlufttechnische Systeme M 39. – 4.2.2 Luftfhrung und Luftdurchlaß M 43. – 4.2.3 Kanalnetz M 47. – 4.2.4 Luftverteilung M 50. – 4.2.5 Lftungs- und Klimazentralen M 51. – 4.2.6 Ventilatoren M 53. – 4.2.7 Filter M 57. – 4.2.8 Lufterhitzer, -khler M 59. – 4.2.9 Luftbefeuchter M 59. – 4.2.10 Luftentfeuchter M 60. – 4.2.11 Schalldmpfer M 61. – 4.2.12 Nachbehandlungsgerte mit Luftfrderung M 61. – 4.2.13 Wrmerckgewinnung M 62. – 4.2.14 Schaltung und Regelung M 63.
Systeme und Bauteile der kltetechnischen Anlagen. . . . . . . . . . . .
M 65
5.1 Anwendungen und Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 65
5.2 Bauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 66
5.3 Direktverdampfer-Anlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 70
5.4 Kaltwasserstze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 71
5.5 Rckkhlwerke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 74
5.6 Kaltwasserverteilsysteme fr RLT-Anlagen . . . . . . . . . . . . . . . .
M 76
5
5.2.1 Kltemittelverdichter M 66. – 5.2.2 Verdampfer M 67. – 5.2.3 Verflssiger M 68. – 5.2.4 Kltemittelkreislufe M 68. – 5.2.5 Wasserkreislufe M 69.
5.3.1 Verflssigersstze, Splitgerte fr Klimaanlagen M 71. – 5.3.2 Direktverdampfer-Anlagen fr EDVKlimagerte M 71. 5.4.1 Kaltwassersatz mit Kolbenverdichter M 71. – 5.4.2 Kaltwassersatz mit Schraubenverdichter M 72. – 5.4.3 Kaltwassersatz mit Turboverdichter M 72. – 5.4.4 Absorptions- Kaltwassersatz M 72. 5.5.1 Bauarten und Zubehr M 74. – 5.5.2 Rckkhlsysteme M 74. – 5.5.3 Khlwassertemperaturen im Jahresverlauf M 74. – 5.5.4 Wasserbehandlung M 75.
5.7 Systeme fr ganzjhrigen Khlbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 76
5.8 Speichersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 77
Systeme und Bauteile der Wrmepumpenanlagen . . . . . . . . . . . .
M 80
6.1 Anwendungen und Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 80
6.2 Bauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 81
6.3 Kleinwrmepumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 82
6.4 Kaltdampfkompressions-Wrmepumpen grßerer Leistung . . . . . . . . . .
M 83
6.5 Absorptionswrmepumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 84
6.6 Wrmepumpensysteme nur fr Heizbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . .
M 84
6.7 Systeme fr gleichzeitigen Khl- und Heizbetrieb. . . . . . . . . . . . . .
M 84
6
Sonderklima- und Khlanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 86
7.1 Grubenkhlanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 86
7.2 Fahrzeuganlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 87
7.3 Klimaprfschrnke und -kammern
M 89
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wirtschaftlichkeit und Energieverbrauch . . . . . . . . . . . . . . . .
M 90
8.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 90
8.2 Klte- und Wrmepumpentechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 90
8
8.2.1 Kosten- und energiesparender Betrieb M 90. – 8.2.2 Grundstzliche Wirtschaftlichkeitsfragen M 91.
XXVI
Inhaltsverzeichnis
8.3 Heiz- und Raumlufttechnik
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 93
9
Anhang M: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 97
10
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M 108
N
Grundlagen der Verfahrenstechnik
1
Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Mechanische Verfahrenstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Energieverbrauch M 93. – 8.3.2 Bedienung und Instandhaltung M 96.
2.1 Einfhrung
N2 N3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N3
2.2 Zerkleinern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N3
2.3 Agglomerieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N5
2.4 Trennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N6
2.5 Mischen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N8
2.6 Bunkern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N9
2.2.1 Bruchphysik; Zerkleinerungstechnische Stoffeigenschaften N 3. – 2.2.2 Zerkleinerungsmaschinen N 4. 2.3.1 Bindemechanismen, Agglomeratfestigkeit N 5. – 2.3.2 Agglomerationstechnik N 5.
2.4.1 Abscheiden von Partikeln aus Gasen N 6. – 2.4.2 Abscheiden von Feststoffpartikeln aus Flssigkeiten N 7. – 2.4.3 Klassieren in Gasen N 8. 2.5.1 Rhren N 9. – 2.5.2 Mischen von Feststoffen N 9.
2.6.1 Fließverhalten von Schttgtern N 9. – 2.6.2 Dimensionierung von Bunkern N 10.
3
Thermische Verfahrenstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 11
3.1 Absorbieren, Rektifizieren, Flssig-flssig-Extrahieren . . . . . . . . . . . . . N 11 3.1.1 Durchsatz N 11. – 3.1.2 Stofftrennung N 11.
3.2 Verdampfen und Kristallisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 14 3.3 Adsorbieren, Trocknen, Fest-flssig-Extrahieren . . . . . . . . . . . . . . . . N 16 3.4 Membrantrennverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 19 4
Chemische Verfahrenstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 20
4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 20 4.2 Stchiometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 20 4.3 Chemische Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 21 4.4 Kinetik chemischer Reaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 22 4.5 Ideale isotherme Reaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 23 4.6 Reale Reaktoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 25 5
Mehrphasenstrmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 28
5.1 Einphasenstrmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 28 5.2 Widerstand fester und fluider Partikel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 28
5.3 Feststoff/Fluidstrmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 29 5.3.1 Pneumatische Frderung N 29. – 5.3.2 Hydraulische Frderung N 33. – 5.3.3 Wirbelschicht N 34.
5.4 Gas-/Flssigkeitsstrmung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 35
5.4.1 Strmungsform N 35. – 5.4.2 Druckverlust N 35. – 5.4.3 Filmstrmung N 36.
6
Bioverfahrenstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 36
6.1 Mikroorganismen mit technischer Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 37 6.1.1 Bakterien N 37. – 6.1.2 Pilze N 37. – 6.1.3 Hefen N 38. – 6.1.4 Algen N 38. – 6.1.5 Viren N 38. – 6.1.6 Pflanzliche und tierische Zellen (Gewebe) N 38.
6.2 Kultivierungsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 39 6.2.1 Wachstumsbedingungen N 39. – 6.2.2 Phnomenologie des Wachstums N 40. – 6.2.3 Ablauf technischer Fermentationen N 41.
6.3 Sterilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 42 6.3.1 Hitzesterilisation N 42. – 6.3.2 Sterilfiltration N 44.
IInhaltsverzeichnis 6.4 Bioreaktoren
XXVII
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Oberflchenkultivierung N 44. – 6.4.2 Submerskultivierung N 45. – 6.4.3 Meß- und Regelungstechnik N 48. – 6.4.4 Schaumzerstrung N 48. – 6.4.5 Steriler Betrieb N 48.
6.5 Kinetik enzymatischer Reaktionen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N 49
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
N 51
6.5.1 Katalytische Wirkung der Enzyme N 49. – 6.5.2 Michaelis-Menten-Kinetik N 49. – 6.5.3 Transformationen der Michaelis-Menten-Gleichung N 50. – 6.5.4 Einfluß von Temperatur, pH-Wert, Inhibitoren und Aktivatoren N 50.
6.6 Kinetik des mikrobiellen Wachstums
N 44
6.6.1 Substratlimitiertes Wachstum N 51. – 6.6.2 Wachstumshemmung N 52. – 6.6.3 Wachstum mit Transportlimitierung N 52. – 6.6.4 Wachstum in kontinuierlicher Kultivierung N 53. – 6.6.5 Fed-BatchKultivierung N 55. – 6.6.6 Zellerhaltung N 55.
O Maschinendynamik 1
Kurbeltrieb, Massenkrfte und -momente, Schwungradberechnung. . . . . . O 1
1.1 Drehkraftdiagramm von Mehrzylindermaschinen . . . . . . . . . . . . . . . O 1 1.2 Massenkrfte und Momente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O 3 1.2.1 Analytische Verfahren O 3. – 1.2.2 Ausgleich der Krfte und Momente O 8.
2
Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O 8
2.1 Problematik der Maschinenschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . O 8 2.2 Einige Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O 9 2.2.1 Mechanisches Ersatzsystem O 9. – 2.2.2 Bewegungsgleichungen, Systemmatrizen O 9. – 2.2.3 Modale Parameter: Eigenfrequenzen, modale Dmpfungen, Eigenvektoren O 10. – 2.2.4 Modale Analyse O 11. – 2.2.5 Frequenzgangfunktionen mechanischer Systeme, Amplituden- und Phasengang O 11.
2.3 Grundaufgaben der Maschinendynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O 12
2.4 Darstellung von Schwingungen im Zeit- und Frequenzbereich . . . . . . . . .
O 14
2.5 Entstehung von Maschinenschwingungen, Erregerkrfte FðtÞ . . . . . . . . .
O 16
2.6 Mechanische Ersatzsysteme, Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . .
O 19
2.7 Anwendungsbeispiele fr Maschinenschwingungen . . . . . . . . . . . . .
O 23
Maschinenakustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O 27
3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O 27
3.2 Entstehung von Maschinengeruschen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O 29
3.3 Abschtzverfahren zur Bestimmung des Schalleistungspegels . . . . . . . . .
O 29
3.4 Mglichkeiten zur Verminderung von Maschinengeruschen . . . . . . . . .
O 31
3.5 Maschinenakustische Berechnungen mit der Finite-Elemente-Methode/ Boundary-Elemente-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O 33
2.3.1 Direktes Problem O 12. – 2.3.2 Eingangsproblem O 13. – 2.3.3 Identifikationsproblem O 13. – 2.3.4 Entwurfsproblem O 13. – 2.3.5 Verbesserung des Schwingungszustands einer Maschine O 13.
2.4.1 Darstellung von Schwingungen im Zeitbereich O 14. – 2.4.2 Darstellung von Schwingungen im Frequenzbereich O 15. 2.5.1 Freie Schwingungen (Eigenschwingungen) O 16. – 2.5.2 Selbsterregte Schwingungen O 16. – 2.5.3 Parametererregte Schwingungen O 16. – 2.5.4 Erzwungene Schwingungen O 16.
2.6.1 Strukturfestlegung O 20. – 2.6.2 Parameterermittlung O 20. – 2.6.3 Beispiele fr mechanische Ersatzsysteme: Feder-Masse-Dmpfer-Modelle O 20. – 2.6.4 Beispiele fr mechanische Ersatzsysteme: Finite-Elemente-Modelle O 21.
2.7.1 Drehschwinger mit zwei Drehmassen O 23. – 2.7.2 Torsionsschwingungen einer Turbogruppe O 24. – 2.7.3 Biegeschwingungen einer Welle mit Laufrad O 25. – 2.7.4 Biegeschwingungen einer mehrstufigen Kreiselpumpe O 26.
3
3.4.1 Verminderung des Kraftpegels (Maßnahmen an der Krafterregung) O 31. – 3.4.2 Verminderung von Krperschallmaß und Abstrahlmaß (Maßnahmen am Maschinengehuse) O 31.
3.6 Maschinenakustische Berechnungen mit der Statistischen Energieanalyse (SEA) .
O 35
3.7 Messung des akustischen Verhaltens von Maschinen . . . . . . . . . . . .
O 36
4
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O 36
P
Kolbenmaschinen
1
Allgemeine Grundlagen der Kolbenmaschinen . . . . . . . . . . . . . . .
P2
XXVIII
Inhaltsverzeichnis
1.1 Definition und Einteilung der Kolbenmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . .
P2
1.2 Vollkommene und reale Kolbenmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P2
1.3 Hubkolbenmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P5
1.4 Elemente der Kolbenmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P8
1.2.1 Die vollkommene Maschine P 2. – 1.2.2 Die reale Maschine P 3.
1.3.1 Triebwerksbauarten P 5. – 1.3.2 Kinematik des Kurbeltriebs P 5. – 1.3.3 Krfte am Kurbeltrieb P 6.
1.4.1 Kurbeltrieb P 8. – 1.4.2 Abdichten des Arbeitsraumes P 11. – 1.4.3 Zylinderanordnung und -zahl P 12. – 1.4.4 Lagerung und Schmierung P 12. – 1.4.5 Khlung P 13.
2
Verdrngerpumpen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 14
2.1 Bauarten und Anwendungsgebiete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 14 2.2 Berechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 15 2.2.1 Frderhhen, Geschwindigkeiten und Drcke P 15. – 2.2.2 Frderleistung, Antriebsleistung, Gesamtwirkungsgrad P 16. – 2.2.3 Instationre Strmung P 16. – 2.2.4 Kavitation P 16. – 2.2.5 Pulsationsdmpfung P 17.
2.3 Verlustteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 18 2.3.1 Betriebsverhalten der verlustfreien Verdrngerpumpe P 18. – 2.3.2 Definition von Wirkungsgraden P 18. – 2.3.3 Volumetrische Verluste P 19. – 2.3.4 Mechanisch-hydraulische Verluste P 19. – 2.3.5 Nutzliefergrad und Gesamtwirkungsgrad P 19.
2.4 Auslegung und Hauptabmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 21 2.4.1 Oszillierende Verdrngerpumpen P 21. – 2.4.2 Rotierende Verdrngerpumpen P 21.
2.5 Baugruppen und konstruktive Gestaltung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 22 2.5.1 Baugruppen zur Ein- und Auslaßsteuerung P 22. – 2.5.2 Verstellung und Regelung P 23. – 2.5.3 Verwendungsbedingte Gestaltung P 24.
3
Kompressoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 28
3.1 Bauarten und Anwendungsgebiete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 28 3.2 Grundlagen und Vergleichsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 29 3.2.1 Volumenstrom, Eintrittspunkt, Austrittspunkt P 29. – 3.2.2 Verdichtung idealer und realer Gase P 29. – 3.2.3 Vergleichsprozesse fr einstufige Verdichtung P 30. – 3.2.4 Definition von Wirkungsgraden P 31. – 3.2.5 Mehrstufige Verdichtung P 31. – 3.2.6 Verdichtung feuchter Gase P 32.
3.3 Arbeitszyklus, Liefergrade und Druckverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . P 32 3.3.1 Arbeitszyklus P 32. – 3.3.2 Liefergrade P 33. – 3.3.3 Druckverluste P 34.
3.4 Auslegung und Hauptabmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 35 3.4.1 Hubkolbenverdichter P 35. – 3.4.2 Schraubenverdichter P 36. – 3.4.3 Rotationsverdichter P 37. – 3.4.4 Flssigkeitsringverdichter P 37. – 3.4.5 Roots-Geblse P 38.
3.5 Ein- und Auslaßsteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 38 3.5.1 Aufbau selbstttiger Ventile P 39. – 3.5.2 Ventileinbau P 39. – 3.5.3 Ventilauslegung P 40.
3.6 Regelung und Betriebsverhalten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 41 3.6.1 Regelung P 41. – 3.6.2 Betriebsverhalten P 43.
3.7 Bauformen und Baugruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 43 3.7.1 Hubkolbenverdichter P 43. – 3.7.2 Membranverdichter P 47. – 3.7.3 Schraubenverdichter P 47. – 3.7.4 Rotationsverdichter P 49.
4
Verbrennungsmotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 49
4.1 Einteilung und Verwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 49 4.2 Arbeitsverfahren und Arbeitsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 50 4.2.1 Arbeitsverfahren P 50. – 4.2.2 Vergleichsprozesse P 50. – 4.2.3 Wirklicher Arbeitsprozeß P 52.
4.3 Ladungswechsel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 55 4.3.1 Kenngrßen des Ladungswechsels P 55. – 4.3.2 Steuerorgane fr den Ladungswechsel P 56. – 4.3.3 Ladungswechsel des Viertaktmotors P 58. – 4.3.4 Ladungswechsel des Zweitaktmotors P 59. – 4.3.5 Aufladung von Motoren P 60.
4.4 Verbrennung im Motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 63 4.4.1 Motoren-Kraftstoffe P 63. – 4.4.2 Gemischbildung und Verbrennung im Ottomotor P 64. – 4.4.3 Gemischbildung und Verbrennung im Dieselmotor P 65. – 4.4.4 Gemischbildung und Verbrennung in Hybridmotoren P 67.
4.5 Verfahren zur Gemischbildung und Zndung bei Ottomotoren . . . . . . . . . . P 67 4.5.1 Anforderungen an Gemischbildung P 67. – 4.5.2 Vergaser P 67. – 4.5.3 Saugrohr-BenzinEinspritzung P 68. – 4.5.4 Direkte Benzin-Einspritzung P 68. – 4.5.5 Zndausrstung P 70.
4.6 Einrichtungen zur Gemischbildung und Zndung bei Dieselmotoren . . . . . . . P 71 4.6.1 Konventionelle Einspritzsysteme P 71. – 4.6.2 Unkonventionelle Einspritzsysteme P 73. – 4.6.3 Einspritzdse P 73. – 4.6.4 Start- und Zndhilfen P 74.
IInhaltsverzeichnis
XXIX
4.7 Betriebsverhalten und Kenngrßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P 74
4.8 Konstruktion von Motoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P 82
4.9 Philips-Stirling-Motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P 91
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P 92
4.7.1 Leistung, Drehmoment und Verbrauch P 74. – 4.7.2 Kenngrßen P 75. – 4.7.3 Umweltverhalten P 76. – 4.7.4 Verbrennungsmotor als Antriebsaggregat P 80. 4.8.1 hnlichkeitsbeziehungen und Beanspruchung P 82. – 4.8.2 Motorbauarten P 83. – 4.8.3 Motorbauteile P 84. – 4.8.4 Ausgefhrte Motorkonstruktionen P 87.
5
Q Fahr- und Flugzeugtechnik 1
Kraftfahrzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q 2
1.1 Definition und allgemeine Anforderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q 2 1.1.1 Definition Q 2. – 1.1.2 Allgemeine Anforderungen Q 2.
1.2 Fahrwiderstand und Antrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q 3 1.2.1 Gesamtwiderstand Q 3. – 1.2.2 Zugkraftdiagramm Q 5. – 1.2.3 Kraftstoffverbrauch beeinflussende Maßnahmen Q 5. – 1.2.4 Dynamische Krfte Q 5.
1.3 Antriebsstrang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q 5 1.3.1 Bauformen Q 5. – 1.3.2 Kennungswandler Q 6. – 1.3.3 Gelenkwellen Q 10. – 1.3.4 Antriebsschlupfregelung ASR Q 10. – 1.3.5 Alternative Antriebsformen Q 10.
1.4 Bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 11
1.5 Fahrwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 18
1.6 Querdynamik und Fahrverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 32
1.7 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 37
1.8 Schwingungen und Komfort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 40
1.9 Kraftrder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 43
1.10 Fahrzeugelektrik, -elektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 45
1.11 Automobil und Umwelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 47
1.12 Entwicklungsmethodik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 49
1.4.1 Gesetzliche Anforderungen Q 11. – 1.4.2 Physikalische Grundlagen Q 12. – 1.4.3 Bremsregelung Q 13. – 1.4.4 Bremsenbauarten Q 13. – 1.4.5 Bremsanlagen fr Nkw Q 15. – 1.4.6 Dauer-Bremsanlagen Q 15. 1.5.1 Reifen und Felgen Q 18. – 1.5.2 Radaufhngung und Radfhrung Q 23. – 1.5.3 Federn Q 25. – 1.5.4 Dmpfung Q 28. – 1.5.5 Geregelte Feder-/Dmpfersysteme im Fahrwerk Q 29. – 1.5.6 Lenkungen Q 30. 1.6.1 Offene und geschlossene Regelkreise Q 34. – 1.6.2 Bewertungskriterien Q 34. – 1.6.3 Simulationsmethoden Q 35.
1.7.1 Fahrgastzelle Q 37. – 1.7.2 Innenraumgestaltung Q 38. – 1.7.3 Sicherheitsbestimmungen Q 38. 1.8.1 Vertikaldynamik Q 40. – 1.8.2 Komfortbewertung Q 41. – 1.8.3 Innengerusch Q 42. 1.9.1 Bauarten Q 43. – 1.9.2 Fahrdynamik Q 44.
1.11.1 Fahrzeugabgase Q 47. – 1.11.2 Kraftstoffverbrauch Q 48. – 1.11.3 Materialeinsatz Q 48. – 1.11.4 Gerusch Q 49. – 1.11.5 Flchenverbrauch Q 49.
Schienenfahrzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 50
2.1 Generelle Anforderungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 50
2.2 Fahrwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 52
2.3 Aufbau, Fahrzeugarten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 61
2.4 Antriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 72
2.5 Elektrische/Elektronische Ausrstung/Diagnose . . . . . . . . . . . . . .
Q 73
2.6 Sicherheitstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 75
2
2.1.1 Fahrzeugbegrenzungsprofil Q 51. – 2.1.2 Fahrgastwechselzeiten Q 51. – 2.1.3 Lebenszykluskosten LCC Q 52. 2.2.1 Grundbegriffe der Spurfhrungstechnik Q 52. – 2.2.2 Radbauarten Q 54. – 2.2.3 Radsatz Q 54. – 2.2.4 Rad-Schiene-Kontakt Q 54. – 2.2.5 Fahrwerke Q 57. – 2.2.6 Neigetechnik Q 58. 2.3.1 Rohbau Q 61. – 2.3.2 Klimaanlage Q 61. – 2.3.3 Tren Q 64. – 2.3.4 Fenster Q 64. – 2.3.5 Fhrerrume Q 65. – 2.3.6 Zug-Stoßeinrichtungen Q 67. – 2.3.7 Fahrzeugarten Q 70. 2.4.1 Fahrwiderstand Q 72. – 2.4.2 Konstruktionen Q 72.
2.5.1 Leistungselektrik Q 73. – 2.5.2 Diagnosetechnik Q 75.
2.6.1 Aktive Sicherheitstechnik/Bremse, Bremsbauarten Q 75. – 2.6.2 Passive Sicherheit Q 80.
XXX
Inhaltsverzeichnis
2.7 Entwicklungsmethodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q 83 2.7.1 Modelle Q 83. – 2.7.2 Fahrkomfort Q 83. – 2.7.3 Rad-Schiene-Krfte Q 86.
3
Luftfahrzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q 87
3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q 87 3.1.1 Luftverkehr Q 87. – 3.1.2 Anforderungen an den Luftverkehr und an Luftfahrzeuge Q 87. – 3.1.3 Einordnung und Konstruktionsgruppen von Luftfahrzeugen Q 88. – 3.1.4 Einordnung von Luftfahrzeugen nach Vorschriften Q 89.
3.2 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q 90 3.2.1 Die internationale Standardatmosphre (ISA) Q 91. – 3.2.2 Achsenkreuze Q 92. – 3.2.3 Winkel Q 93. – 3.2.4 Gewichte Q 94. – 3.2.5 Fluggeschwindigkeiten Q 94. – 3.2.6 Geometrische Beschreibung des Luftfahrzeuges Q 95. – 3.2.7 Krfte und Winkel im Flug Q 98. – 3.2.8 Flugsteuerung Q 99. – 3.2.9 Flugstabilitten Q 99.
3.3 Grundlagen der Flugphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 100
3.4 Zelle, Struktur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 110
4
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 121
R
Strmungsmaschinen
1
3.3.1 Einfhrung Q 100. – 3.3.2 Flugzeugpolare Q 102. – 3.3.3 Flugleistungen Q 103.
3.4.1 Konstruktionsphilosophien und -prinzipien Q 110. – 3.4.2 Lasten, Lastannahmen Q 112. – 3.4.3 Leichtbau Q 113. – 3.4.4 Werkstoffe und Bauweisen Q 114. – 3.4.5 Rumpf Q 116. – 3.4.6 Tragflgel Q 117. – 3.4.7 Wartung und Instandhaltung Q 120.
Gemeinsame Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R1
1.1 Strmungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R1
1.2 Thermodynamik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R4
1.3 Arbeitsfluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R6
1.4 Schaufelgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R8
1.1.1 Einleitung und Definitionen R 1. – 1.1.2 Wirkungsweise R 1. – 1.1.3 Strmungsgesetze R 2. – 1.1.4 Absolute und relative Strmung R 3. – 1.1.5 Schaufelanordnung fr Pumpen und Verdichter R 3. – 1.1.6 Schaufelanordnung fr Turbinen R 3. – 1.1.7 Schaufelgitter, Stufe, Maschine, Anlage R 4.
1.2.1 Thermodynamische Gesetze R 4. – 1.2.2 Zustandsnderung R 4. – 1.2.3 Totaler Wirkungsgrad R 5. – 1.2.4 Statischer Wirkungsgrad R 5. – 1.2.5 Polytroper und isentroper Wirkungsgrad R 5. – 1.2.6 Mechanische Verluste R 6. 1.3.1 Allgemeiner Zusammenhang zwischen thermischen und kalorischen Zustandsgrßen R 6. – 1.3.2 Ideale Flssigkeit R 6. – 1.3.3 Ideales Gas R 7. – 1.3.4 Reales Fluid R 7. – 1.3.5 Kavitation bei Flssigkeiten R 8. – 1.3.6 Kondensation bei Dmpfen R 8.
1.4.1 Anordnung der Schaufeln im Gitter R 8. – 1.4.2 Leit- und Laufgitter R 9. – 1.4.3 Einteilung nach Geschwindigkeits- und Drucknderung R 9. – 1.4.4 Reale Strmung durch Gitter R 10. – 1.4.5 Gitterauslegung R 10. – 1.4.6 Gitter-Kenngrßen R 11. – 1.4.7 Kriterien fr die zweckmßige Stellung der Schaufeln im Gitter R 13. – 1.4.8 Profilverluste R 14. – 1.4.9 Verluste an den Schaufelenden R 14.
1.5 Stufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 14 1.5.1 Zusammensetzen von Gittern zu Stufen R 14. – 1.5.2 Gegenseitige Beeinflussung der Lauf- und Leitgitter R 15. – 1.5.3 Stufenkenngrßen R 16. – 1.5.4 Axiale Repetierstufe eines vielstufigen Verdichters R 17. – 1.5.5 Radiale Repetierstufe eines Verdichters R 17. – 1.5.6 Kenngrßen-Bereiche fr Verdichterstufen R 18. – 1.5.7 Axiale Repetierstufe einer Turbine R 18. – 1.5.8 Radiale Turbinenstufe R 19. – 1.5.9 Kenngrßen-Bereiche fr Turbinenstufen R 19.
1.6 Maschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 20 1.6.1 Beschaufelung, Ein- und Austrittsgehuse R 20. – 1.6.2 Maschinenkenngrßen R 20. – 1.6.3 Wahl der Bauweise R 21.
1.7 Betriebsverhalten und Regelmglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 22 1.7.1 Maschinencharakteristiken R 22. – 1.7.2 Instabiler Betriebsbereich bei Verdichtern R 23. – 1.7.3 Anlagencharakteristik R 23. – 1.7.4 Zusammenarbeit von Maschine und Anlage R 23. – 1.7.5 Regelung von Verdichtern R 24. – 1.7.6 Regelung von Turbinen R 24.
1.8 Beanspruchung und Festigkeit der wichtigsten Bauteile . . . . . . . . . . . . . R 25 1.8.1 Rotierende Scheibe, rotierender Zylinder R 25. – 1.8.2 Durchbiegung, kritische Drehzahlen von Rotoren R 26. – 1.8.3 Beanspruchung der Schaufeln durch Fliehkrfte R 26. – 1.8.4 Beanspruchung der Schaufeln durch stationre Strmungskrfte R 27. – 1.8.5 Schaufelschwingungen R 27. – 1.8.6 Gehuse R 28. – 1.8.7 Thermische Beanspruchung R 29. – 1.8.8 Werkstoffeigenschaften R 30.
2
Wasserturbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 30
2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 30 2.1.1 Kennzeichen R 30. – 2.1.2 Wasserkraftwerke R 31. – 2.1.3 Wirtschaftliches R 31.
2.2 Gleichdruckturbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 31 2.2.1 Peltonturbinen R 31. – 2.2.2 Ossbergerturbinen R 32.
IInhaltsverzeichnis
XXXI
2.3 berdruckturbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 32
2.4 Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 34
2.3.1 Francisturbinen R 32. – 2.3.2 Kaplanturbinen R 33. – 2.3.3 De´riazturbinen R 34.
2.5 Kennliniendarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 34
2.6 Extreme Betriebsverhltnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 34
2.7 Laufwasser- und Speicherkraftwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 35
Kreiselpumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 36
3
3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 36
3.2 Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 36
3.3 Betriebsverhalten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 39
3.4 Ausgefhrte Pumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 43
3.2.1 Laufrad R 36. – 3.2.2 Gehuse R 38. – 3.2.3 Fluid R 38. – 3.2.4 Werkstoff R 38. – 3.2.5 Antrieb R 38. 3.3.1 Kavitation R 39. – 3.3.2 Kennlinien R 40. – 3.3.3 Anpassung der Kreiselpumpe an den Leistungsbedarf R 40. – 3.3.4 Achsschubausgleich R 43.
Propeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 49
4.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 49
4.2 Schiffspropeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 49
4.3 Flugzeugpropeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 50
4.4 Hubschrauberrotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 50
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 51
4
5
Fttinger-Getriebe
5.1 Prinzip und Bauformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 51
5.2 Auslegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 53
5.3 Fttinger-Kupplungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 53
5.4 Bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 54
5.5 Fttinger-Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 55
Dampfturbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 57
6
6.1 Benennungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 57
6.2 Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 57
6.3 Konstruktionselemente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 65
6.4 Anfahren und Betrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 68
6.2.1 Kraftwerksturbinen R 57. – 6.2.2 Industrieturbinen R 62. – 6.2.3 Kleinturbinen R 65. 6.3.1 Gehuse R 65. – 6.3.2 Ventile und Klappen R 65. – 6.3.3 Beschaufelung R 66. – 6.3.4 Wellendichtungen R 67. – 6.3.5 Lufer-Dreheinrichtung R 67. – 6.3.6 Lager R 68.
6.5 Regelung, Sicherheits- und Schutzeinrichtungen . . . . . . . . . . . . . .
R 68
6.6 Berechnungsverfahren
R 69
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.1 Allgemeines R 69. – 6.6.2 Auslegung von Industrieturbinen R 69.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 70
7.1 Einteilung und Einsatzbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 70
7.2 Radiale Laufradbauarten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 72
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 74
7.4 Regelungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 78
7
Turboverdichter
7.1.1 Ventilatoren R 70. – 7.1.2 Axialverdichter R 70. – 7.1.3 Radialverdichter R 71.
7.2.1 Das geschlossene 2 D-Laufrad R 73. – 7.2.2 Das geschlossene 3 D-Laufrad R 73. – 7.2.3 Das offene Laufrad R 73. – 7.2.4 Laufradverwendung R 73. – 7.2.5 Laufradherstellung R 73. – 7.2.6 Laufradfestigkeit R 74.
7.3 Radiale Verdichterbauarten
7.3.1 Einwellenverdichter R 74. – 7.3.2 Mehrwellen-Getriebeverdichter R 76. – 7.3.3 Bauartmerkmale, zusammengefaßt R 77.
7.4.1 Drehzahlregelung R 78. – 7.4.2 Saugdrosselregelung R 79. – 7.4.3 Eintrittsleitschaufelregelung R 79. – 7.4.4 Nachleitschaufelregelung R 79. – 7.4.5 Bypass-Regelung R 80.
XXXII
Inhaltsverzeichnis
7.5 Beispiel einer Radialverdichterauslegung nach vereinfachtem Verfahren . . . . . R 80 7.5.1 Betriebsbedingungen (vorgegeben) R 80. – 7.5.2 Gasdaten R 80. – 7.5.3 Volumenstrom, Laufraddurchmesser, Drehzahl R 81. – 7.5.4 Endtemperatur, spezifische polytrope Arbeit R 81. – 7.5.5 Wirkungsgrad, Stufenzahl R 81. – 7.5.6 Leistung R 81.
8
Gasturbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 82
8.1 Einteilung und Verwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 82 8.2 Thermodynamische Grundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 82 8.2.1 Idealisierte Kreisprozesse R 82. – 8.2.2 Reale Gasturbinenprozesse R 84.
8.3 Baugruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 85 8.3.1 Verdichter R 85. – 8.3.2 Turbine R 86. – 8.3.3 Brennkammer R 86. – 8.3.4 Wrmetauscher R 87.
8.4 Hilfssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 88 8.4.1 Drehzahlregelung R 88. – 8.4.2 Brennstoffsystem R 88. – 8.4.3 Schmierlsystem R 89. – 8.4.4 Weitere Hilfssysteme R 90.
8.5 Gasturbine im Kraftwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 91 8.5.1 Allgemeines und Bauweise R 91. – 8.5.2 Gas- und Dampf-Anlagen R 91. – 8.5.3 LuftspeicherKraftwerk R 91.
8.6 Gasturbine fr Verkehrsfahrzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 92 8.6.1 Luftfahrt R 92. – 8.6.2 Schiffahrt R 93. – 8.6.3 Straßenfahrzeuge R 93. – 8.6.4 Abgasturbolader R 93.
8.7 Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 94 8.8 Beanspruchungen und Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 94 8.9 Betriebsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 95 8.9.1 hnlichkeitskennfelder R 95. – 8.9.2 Teillastbetrieb R 95.
8.10 Abgasemission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 96 9
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 97
S
Fertigungsverfahren
1
bersicht ber die Fertigungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S3
1.1 Definition und Kriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S3
1.2 Systematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S3
Urformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S4
2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S4
2.2 Formgebung bei metallischen Werkstoffen durch Gießen . . . . . . . . . . . .
S5
2
2.2.1 Herstellung von Halbzeugen S 5. – 2.2.2 Herstellung von Formteilen (Gußteilen). S 7. – 2.2.3 CAD/ CAM-Einsatz S 15. – 2.2.4 Vorbereitende und nachbehandelnde Arbeitsvorgnge S 17.
2.3 Formgebung bei Kunststoffen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 17 2.3.1 Foliengießen. S 17. – 2.3.2 Strangpressen (Extrudieren). S 17. – 2.3.3 Kalandrieren S 18. – 2.3.4 Schichtpressen. S 18. – 2.3.5 Spritzgießverfahren. S 18. – 2.3.6 Formpressen. S 18. – 2.3.7 Spritzpressen S 19. – 2.3.8 Schumen S 19.
2.4 Formgebung bei metallischen und keramischen Werkstoffen durch Sintern (Pulvermetallurgie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 19 2.4.1 Allgemeines S 19. – 2.4.2 Anwendung S 19. – 2.4.3 Technologie S 20.
2.5 Weitere Urformverfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 22 2.5.1 Galvanoformung S 22.
3
Umformen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 23
3.1 Systematik und Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 23 2.5.2 Chemoformung S 23.
3.2 Grundlagen der Umformtechnik S 24
3.2.1 Fließspannung S 24. – 3.2.2 Formnderungsgrßen S 24. – 3.2.3 Fließkriterien. Flow criteria S 24. – 3.2.4 Fließkurve S 25. – 3.2.5 Anisotropie S 26. – 3.2.6 Formnderungsvermgen S 26. – 3.2.7 Grenzformnderungsdiagramm. S 26.
3.3 Modellvorstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 27 3.4 Spannungen und Krfte bei ausgewhlten Verfahren der Umformtechnik . . . . . S 29 3.4.1 Stauchen zylindrischer Krper S 29. – 3.4.2 Stauchen rechteckiger Krper S 29. – 3.4.3 Drahtziehen S 29. – 3.4.4 Durchdrcken S 30. – 3.4.5 Tiefziehen S 31.
IInhaltsverzeichnis
XXXIII
3.5 Technologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 32
Trennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 39
4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 39
4.2 Spanen mit geometrisch bestimmten Schneiden. . . . . . . . . . . . . . .
S 39
4.3 Spanen mit geometrisch unbestimmter Schneide . . . . . . . . . . . . . .
S 53
4.4 Abtragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 60
4.5 Scheren und Schneiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 64
Sonderverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 70
5.1 Gewindefertigung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 70
5.2 Verzahnen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 74
5.3 Fertigungsverfahren der Feinwerk- und Mikrotechnik . . . . . . . . . . . .
S 84
3.5.1 Streckziehen S 32. – 3.5.2 Tiefziehen S 32. – 3.5.3 Biegen S 33. – 3.5.4 Superplastisches Umformen von Blechen S 35. – 3.5.5 Stauchen S 35. – 3.5.6 Schmieden S 35. – 3.5.7 Strangpressen S 37.
4
4.2.1 Grundlagen S 39. – 4.2.2 Drehen S 41. – 4.2.3 Bohren S 45. – 4.2.4 Frsen S 47. – 4.2.5 Sonstige Verfahren: Hobeln und Stoßen, Rumen, Sgen S 50. – 4.2.6 Schneidstoffe S 52.
4.3.1 Grundlagen S 53. – 4.3.2 Schleifen mit rotierendem Werkzeug S 55. – 4.3.3 Bandschleifen S 57. – 4.3.4 Honen S 58. – 4.3.5 Sonstige Verfahren: Lppen, Innendurchmesser-Trennschleifen S 59. 4.4.1 Gliederung S 60. – 4.4.2 Thermisches Abtragen mit Funken (Funkenerosives Abtragen) S 60. – 4.4.3 Lasertrennen S 62. – 4.4.4 Elektrochemisches Abtragen S 64. – 4.4.5 Chemisches Abtragen S 64. 4.5.1 Systematik S 64. – 4.5.2 Technologie S 65. – 4.5.3 Krfte und Arbeiten S 66. – 4.5.4 Werkstckeigenschaften S 67. – 4.5.5 Werkzeuge S 67. – 4.5.6 Sonderschneidverfahren S 69.
5
5.1.1 Gewindedrehen S 70. – 5.1.2 Gewindestrehlen S 70. – 5.1.3 Gewindeschneiden S 71. – 5.1.4 Gewindebohren S 71. – 5.1.5 Gewindefrsen S 71. – 5.1.6 Gewindeschleifen S 72. – 5.1.7 Gewindeerodieren S 73. – 5.1.8 Gewindewalzen S 73. – 5.1.9 Gewindefurchen S 73. – 5.1.10 Gewindedrcken S 73.
5.2.1 Verzahnen von Stirnrdern S 74. – 5.2.2 Verzahnen von Schnecken S 81. – 5.2.3 Verzahnen von Schneckenrdern S 82. – 5.2.4 Verzahnen von Kegelrdern S 82.
5.3.1 Einfhrung S 84. – 5.3.2 Laserstrahlverfahren S 85. – 5.3.3 Elektronenstrahlverfahren S 86. – 5.3.4 Ultraschallverfahren S 87. – 5.3.5 Funkenerosion, Elysieren, Metalltzen S 87. – 5.3.6 Herstellen von Schichten S 88. – 5.3.7 Herstellen planarer Strukturen S 89. – 5.3.8 Verfahren der Mikrotechnik S 90.
5.4 Beschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 93
5.5 Rapid Prototyping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 94
Montage und Demontage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 96
6.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 96
6.2 Aufgaben der Montage und Demontage . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 97
6.3 Durchfhrung der Montage und Demontage . . . . . . . . . . . . . . . .
S 98
6
Fertigungs- und Fabrikbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 102
7.1 Management der Produktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 102
7.2 Qualittsmanagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 102
7.3 Organisation der Produktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 104
7.4 Arbeitsvorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 105
7.5 Fertigungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 108
7.6 Betriebliche Kostenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 112
7
7.2.1 Aufgaben des Qualittsmanagements S 102. – 7.2.2 Qualittsmanagement-System S 103. – 7.2.3 Umfassendes Qualittsmanagement S 103. – 7.2.4 Werkzeuge und Methoden S 103. – 7.2.5 CAQSysteme S 104. 7.3.1 Formen der Organisation S 104. – 7.3.2 Bereiche der Produktion S 104. 7.4.1 Arbeitsplanung S 105. – 7.4.2 Arbeitssteuerung S 107.
7.5.1 Das System „Fertigung“ S 108. – 7.5.2 Einteilung von Fertigungsystemen S 109. – 7.5.3 Automatisierung von Handhabungsfunktionen S 110. – 7.5.4 Transferstraßen und automatische Fertigungslinien S 110. – 7.5.5 Flexible Fertigungssysteme S 111. – 7.5.6 Wandlungsfhige Fertigungssysteme S 112.
7.6.1 Grundlagen der betrieblichen Kostenrechnung S 112. – 7.6.2 Kostenartenrechnung S 113. – 7.6.3 Kostenstellenrechnung und Betriebsabrechnungsbgen S 113. – 7.6.4 Maschinenstundensatzrechnung S 114. – 7.6.5 Kalkulation S 114. – 7.6.6 Prozeßkostenrechnung/ -kalkulation S 114.
XXXIV
Inhaltsverzeichnis
7.7 Arbeitswissenschaftliche Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 115
8
Anhang S: Diagramme und Tabellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 117
9
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 123
T
Fertigungsmittel
1
Elemente der Werkzeugmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T1
1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T1
1.2 Antriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T5
1.1.1 Funktionsgliederung T 1. – 1.1.2 Mechanisches Verhalten T 3.
1.2.1 Motoren T 5. – 1.2.2 Getriebe T 12. – 1.2.3 Mechanische Vorschub-bertragungselemente T 16.
1.3 Gestelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 22 1.3.1 Anforderungen, Bauformen T 22. – 1.3.2 Werkstoffe fr Gestellbauteile T 24. – 1.3.3 Gestaltung der Gestellbauteile T 25. – 1.3.4 Berechnung und Optimierung T 25.
1.4 Fhrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 27 1.4.1 Linearfhrungen T 28. – 1.4.2 Drehfhrungen, Lagerungen T 33.
2
Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 35
2.1 Steuerungstechnische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 35 2.1.1 Zum Begriff Steuerung T 35. – 2.1.2 Informationsdarstellung T 35. – 2.1.3 Programmsteuerung und Funktionssteuerung T 35. – 2.1.4 Signaleingabe und -ausgabe T 36. – 2.1.5 Signalbildung T 36. – 2.1.6 Signalverarbeitung T 36. – 2.1.7 Steuerungsprogramme T 37. – 2.1.8 Aufbauorganisation von Steuerungen T 38. – 2.1.9 Aufbau von Steuerungssystemen T 38. – 2.1.10 Dezentralisierung durch den Einsatz industrieller Kommunikationssysteme T 40. – 2.1.11 Offene Steuerungssysteme T 41. – 2.1.12 Datenquellen und Verbindungsstrukturen in der Fertigung T 43. – 2.1.13 Sicherheitsbestimmungen T 44.
2.2 Steuerungsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 45 2.2.1 Mechanische Speicher und Steuerungen T 45. – 2.2.2 Fluidische Steuerungen T 45. – 2.2.3 Elektrische Steuerungen T 46.
2.3 Speicherprogrammierbare Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 46 2.3.1 Aufbau T 46. – 2.3.2 Arbeitsweise T 47. – 2.3.3 Programmierung T 47.
2.4 Numerische Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 49 2.4.1 Zum Begriff T 49. – 2.4.2 NC-Programmierung T 49. – 2.4.3 Datenschnittstellen T 50. – 2.4.4 Steuerdatenverarbeitung T 51. – 2.4.5 Numerische Grundfunktionen T 52. – 2.4.6 Lageeinstellung T 54.
2.5 Einrichtungen zur Positionsmessung bei NC-Maschinen . . . . . . . . . . . . . T 56 2.5.1 Arten der Positionswerterfassung T 56. – 2.5.2 Meßort und Meßwertabnahme T 56. – 2.5.3 Digitale Meßwerterfassung T 56. – 2.5.4 Analoge Meßwerterfassung T 57.
2.6 Einrichtungen zur Geschwindigkeitserfassung bei NC-Maschinen . . . . . . . . T 58 2.6.1 Direkte Geschwindigkeitsmessung T 58. – 2.6.2 Messen von Beschleunigungen T 58.
3
Maschinen zum Scheren und Schneiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 59
3.1 Maschinen zum Scheren 3.2 Maschinen zum Schneiden
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 60
3.3 Blechbearbeitungszentren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 61 3.4 Maschinen zum Strahlschneiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 61 4
Werkzeugmaschinen zum Umformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 62
4.1 Kenngrßen von Preßmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 62 4.2 Weggebundene Preßmaschinen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 64
4.2.1 Bauarten T 64. – 4.2.2 Baugruppen T 65. – 4.2.3 Kinetik und Kinematik T 65. – 4.2.4 Anwendung, Ausfhrungsbeispiele T 66.
4.3 Kraftgebundene Preßmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 67 4.3.1 Bauarten T 67. – 4.3.2 Baugruppen T 67. – 4.3.3 Anwendung, Ausfhrungsbeispiele T 67.
4.4 Arbeitgebundene Preßmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 67 4.4.1 Hmmer T 67. – 4.4.2 Spindelpressen T 71.
IInhaltsverzeichnis
XXXV
4.5 Arbeitssicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T 72
Spanende Werkzeugmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T 74
5.1 Drehmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T 74
5.2 Bohrmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T 80
5.3 Frsmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T 85
5.4 Bearbeitungszentren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T 90
5.5 Hobel- und Stoßmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T 91
5.6 Rummaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T 93
5.7 Sge- und Feilmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T 94
5.8 Schleifmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T 95
5.9 Honmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T 98
5
5.1.1 Allgemeines T 74. – 5.1.2 Universaldrehmaschinen T 74. – 5.1.3 Frontdrehmaschinen T 76. – 5.1.4 Drehautomaten T 76. – 5.1.5 Großdrehmaschinen T 78. – 5.1.6 Sonderdrehmaschinen T 78. – 5.1.7 Flexible Drehbearbeitungszentren T 79.
5.2.1 Allgemeines T 80. – 5.2.2 Tischbohrmaschinen T 81. – 5.2.3 Sulenbohrmaschinen T 81. – 5.2.4 Stnderbohrmaschinen T 81. – 5.2.5 Mehrspindelbohrmaschinen T 82. – 5.2.6 Schwenkbohrmaschinen T 82. – 5.2.7 Koordinatenbohrmaschinen T 82. – 5.2.8 Revolverbohrmaschinen T 84. – 5.2.9 Feinbohrmaschinen T 84. – 5.2.10 Tiefbohrmaschinen T 85. – 5.2.11 Sonderbohrmaschinen T 85. 5.3.1 Allgemeines T 85. – 5.3.2 Konsolfrsmaschinen T 86. – 5.3.3 Bettfrsmaschinen T 87. – 5.3.4 Nachformfrsmaschinen T 88. – 5.3.5 Rundfrsmaschinen T 88. – 5.3.6 UniversalWerkzeugfrsmaschinen T 88. – 5.3.7 Waagerecht-Bohr- und -Frsmaschinen T 88. – 5.3.8 Hochgeschwindigkeitsfrsmaschinen T 89. – 5.3.9 Frsmaschinen mit Parallelkinematiken T 89. – 5.3.10 Sonderfrsmaschinen T 89.
5.5.1 Hobelmaschinen T 91. – 5.5.2 Stoßmaschinen T 92.
5.7.1 Allgemeines T 94. – 5.7.2 Kaltkreissgemaschinen T 94. – 5.7.3 Bandsge- und Bandfeilmaschinen T 94. – 5.7.4 Hubsge- und Hubfeilmaschinen T 95. 5.8.1 5.8.4 5.8.6 5.8.8
Allgemeines T 95. – 5.8.2 Planschleifmaschinen T 95. – 5.8.3 Rundschleifmaschinen T 95. – Schraubflchenschleifmaschinen T 97. – 5.8.5 Verzahnungsschleifmaschinen T 97. – Profilschleifmaschinen T 97. – 5.8.7 Bandschleifmaschinen T 97. – Entwicklungstendenzen T 98.
5.9.1 Langhubhonmaschinen T 98. – 5.9.2 Kurzhubhonmaschinen T 99.
5.10 Lppmaschinen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 100 5.10.1 Allgemeines T 100. – 5.10.2 Einscheiben-Lppmaschinen T 100. – 5.10.3 ZweischeibenLppmaschinen T 101. – 5.10.4 Kugellppmaschinen T 102.
5.11 Mehrmaschinensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 102 6
Schweiß- und Ltmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 103
6.1 Lichtbogenschweißmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 103 6.2 Widerstandsschweißmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 105 6.3 Laserstrahl-Schweiß- und Lteinrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . T 106 6.4 Lteinrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 106 7
Industrieroboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 106
7.1 Einteilung von Handhabungseinrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . T 106 7.2 Komponenten des Roboters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 107 7.3 Kinematisches und dynamisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . T 108 7.3.1 Kinematisches Modell T 108. – 7.3.2 Dynamisches Modell T 108.
7.4 Genauigkeit, Kenngrßen, Kalibrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 108 7.5 Steuerungssystem eines Industrieroboters . . . . . . . . . . . . . . . . . T 109 7.6 Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 110 7.6.1 Programmierverfahren T 110. – 7.6.2 Off-line-Programmiersysteme T 111.
7.7 Anwendungsgebiete und Auswahl von Industrierobotern . . . . . . . . . . . T 112 8
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 112
XXXVI
Inhaltsverzeichnis
U
Frdertechnik
1
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U2
1.1 Begriffsbestimmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U2
1.2 Frdergter und Frdermittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U2
1.3 Stromstrke und Durchsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U2
Hebezeuge und Krane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U3
2.1 Ketten und Kettentriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U3
2.2 Seile und Seiltriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U4
2
2.1.1 Rundstahlketten U 3. – 2.1.2 Stahlgelenkketten U 4.
2.2.1 Faserseile U 4. – 2.2.2 Drahtseile U 4. – 2.2.3 Seilrollen und Seiltrommeln U 9. – 2.2.4 Treibscheiben und Treibtrommeln U 10.
2.3 Tragmittel und Lastaufnahmemittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 11 2.3.1 Lasthaken U 11. – 2.3.2 Lastaufnahmemittel fr Stckgter U 12. – 2.3.3 Lastaufnahmemittel fr Schttgter U 13.
2.4 Mechanische Elemente der Antriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 14 2.4.1 Getriebe U 14. – 2.4.2 Motorkupplungen U 15. – 2.4.3 Mechanische Bremsen U 15.
2.5 Hubwerke und Winden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 19 2.5.1 Antriebsleistung U 19. – 2.5.2 Serienhebezeuge U 19. – 2.5.3 Stckguthubwerke U 20. – 2.5.4 Greiferhubwerke U 21. – 2.5.5 Freifallwinden U 22.
2.6 Fahrbahnen und Fahrwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 22 2.6.1 Kranschienen U 22. – 2.6.2 Laufrder und ihre Lagerung U 23. – 2.6.3 Berechnung der Laufrder U 23. – 2.6.4 Spurfhrung U 24. – 2.6.5 Antriebssysteme U 24.
2.7 Antriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 26 2.7.1 Elektromotorische Antriebe U 26. – 2.7.2 Dieselmotorisch getriebene Antriebe U 28.
2.8 Krantragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 28 2.8.1 Berechnung U 28. – 2.8.2 Puffer U 30. – 2.8.3 Schraubenverbindungen U 31. – 2.8.4 Standsicherheit und Sicherheit gegen Abtreiben durch Wind U 32. – 2.8.5 Abnahmeprfung von Kranen U 32.
2.9 Kranarten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 32 2.9.1 Hngebahnen U 32. – 2.9.2 Hngekrane U 33. – 2.9.3 Brckenkrane U 33. – 2.9.4 Verladebrcken U 36. – 2.9.5 Drehkrane U 37. – 2.9.6 Autokrane U 42.
3
Stetigfrderer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 43
3.1 Frderprinzip, Einteilung, Leistungsfhigkeiten. . . . . . . . . . . . . . . . . U 43 3.2 Stetigfrderer, Zug- und Tragorgan vereinigt (Gurtfrderer)
. . . . . . . . . . U 43
3.2.1 Gurtarten U 44. – 3.2.2 Berechnungsgrundlagen U 45. – 3.2.3 Konstruktionselemente und Baugruppen U 48.
3.3 Stetigfrderer, Zug- und Tragorgan getrennt . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 52 3.3.1 Gliederfrderer U 52. – 3.3.2 Schneckenfrderer U 57.
3.4 Stetigfrderer ohne Zugorgan, mit Energiezufuhr (Schwingfrderer) . . . . . . . U 58 3.5 Stetigfrderer ohne Zugorgan und ohne Energiezufuhr (Schwerkraftfrderer) . . . U 59 3.5.1 Rutschen U 59. – 3.5.2 Rollenbahnen U 59.
3.6 Strmungsfrderer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 60 3.6.1 Frderung im Luftstrom U 60. – 3.6.2 Frderung im Wasserstrom U 60. – 3.6.3 Frderung nach dem Lufthebeverfahren U 61. – 3.6.4 Berechnungsgrundlagen zur Strmungsfrderung U 61.
4
Flurfrderer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 61
4.1 Hand-Flurfrderzeuge
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 61
4.1.1 Karren U 61. – 4.1.2 Wagen U 61. – 4.1.3 Roller U 61. – 4.1.4 Hubwagen U 61.
4.2 Motorisch angetriebene Stckgutfrderer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 61 4.2.1 Wagen W U 62. – 4.2.2 Schlepper Z U 63. – 4.2.3 Gabelstapler U 63. – 4.2.4 Portalhubwagen und -stapler U 67. – 4.2.5 Fahrerlose Flurfrderzeuge U 68. – 4.2.6 Fahrwiderstnde und Fahrmotorleistung U 68.
4.3 Motorisch angetriebene Schttgut-Flurfrderer . . . . . . . . . . . . . . . . . U 68 5
Frderelemente und Frdersysteme fr den innerbetrieblichen Materialfluß . U 69
5.1 Aufbau und Arbeitsweise von Materialflußsystemen (MFS) . . . . . . . . . . . U 69 5.2 Theoretische Behandlung der Materialflußsysteme . . . . . . . . . . . . . . . U 70
IInhaltsverzeichnis 5.3 Transporteinheit (TE) und Transporthilfsmittel (TPH)
XXXVII
. . . . . . . . . . .
U 72
5.4 Frderelemente fr den innerbetrieblichen Materialfluß . . . . . . . . . . .
U 72
5.5 Lagertechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U 78
Baumaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U 84
6.1 Einteilung und Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U 84
6.2 Hochbaumaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U 84
6.3 Erdbaumaschinen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U 87
7
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U 94
V
Elektrotechnik
1
Grundlagen
5.4.1 Elemente zur Frderung auf freier Strecke U 73. – 5.4.2 Elemente zum Zusammenfhren und Verteilen von Transportstrmen U 74. – 5.4.3 Sortiersysteme U 75. – 5.4.4 Kreisfrdersysteme U 76. 5.5.1 5.5.3 5.5.5 5.5.7 5.5.9
6
Aufgabe, Struktur und Funktion eines Lagersystems U 78. – 5.5.2 Lagerungsmglichkeiten U 78. – Abmessungen von Regalen in Palettenlagern U 79. – 5.5.4 Das Hochregallager (HRL) U 79. – Das Kanalregallager fr Paletten U 80. – 5.5.6 Das Paletten-Kommissionierlager (PKL) U 80. – Automatisierte Kleinteilelger (AKL) U 82. – 5.5.8 Durchsatz in Lagersystemen U 82. – Steuerung automatisierter Lagersysteme U 83.
6.2.1 Turmdrehkrane U 84. – 6.2.2 Betonmischanlagen U 84. – 6.2.3 Transportbetonmischer U 85. – 6.2.4 Betonpumpen. U 86. – 6.2.5 Verteilermasten U 86. 6.3.1 Bagger U 88. – 6.3.2 Schaufellader U 89. – 6.3.3 Planiermaschinen U 90. – 6.3.4 Transportfahrzeuge U 92.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V1
1.1 Grundgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 2 1.1.1 Feldgrßen und -gleichungen V 2. – 1.1.2 Elektrostatisches Feld V 2. – 1.1.3 Stationres Strmungsfeld V 2. – 1.1.4 Stationres magnetisches Feld V 3. – 1.1.5 Quasistationres elektromagnetisches Feld V 3.
1.2 Elektrische Stromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 3 1.2.1 Gleichstromkreise V 3. – 1.2.2 Kirchhoffsche Stze V 4. – 1.2.3 Kapazitten V 5. – 1.2.4 Induktionsgesetz V 5. – 1.2.5 Induktivitten V 5. – 1.2.6 Magnetische Materialien V 6. – 1.2.7 Kraftwirkungen im elektromagnetischen Feld V 6.
1.3 Wechselstromtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 8 1.3.1 Wechselstromgrßen V 8. – 1.3.2 Leistung V 9. – 1.3.3 Drehstrom V 9. – 1.3.4 Schwingkreise und Filter V 11.
1.4 Netzwerke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 12
1.5 Werkstoffe und Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 14
1.4.1 Ausgleichsvorgnge V 12. – 1.4.2 Netzwerkberechnung V 13.
1.5.1 Leiter, Halbleiter, Isolatoren V 14. – 1.5.2 Besondere Eigenschaften bei Leitern V 14. – 1.5.3 Stoffe im elektrischen Feld V 15. – 1.5.4 Stoffe im Magnetfeld V 15. – 1.5.5 Elektrolyte V 16.
Transformatoren und Wandler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 16
2.1 Einphasentransformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 16
2.2 Meßwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 18
2.3 Drehstromtransformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 18
2
2.1.1 Wirkungsweise und Ersatzschaltbilder V 16. – 2.1.2 Spannungsinduktion V 17. – 2.1.3 Leerlauf und Kurzschluß V 17. – 2.1.4 Zeigerdiagramm V 17. 2.2.1 Stromwandler V 18. – 2.2.2 Spannungswandler V 18.
Elektrische Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 19
3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 19
3.2 Asynchronmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 24
3.3 Synchronmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 26
3.4 Gleichstrommaschinen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 29
3
3.1.1 Maschinenarten V 19. – 3.1.2 Bauformen und Achshhen V 20. – 3.1.3 Schutzarten V 20. – 3.1.4 Verluste und Wirkungsgrad V 21. – 3.1.5 Erwrmung und Khlung V 21. – 3.1.6 Betriebsarten V 22. – 3.1.7 Schwingungen und Gerusche V 22. – 3.1.8 Drehfelder in Drehstrommaschinen V 22. 3.2.1 Ausfhrungen V 24. – 3.2.2 Ersatzschaltbild und Kreisdiagramm V 24. – 3.2.3 Betriebskennlinien V 25. – 3.2.4 Einfluß der Stromverdrngung V 26. – 3.2.5 Einphasenmotoren V 26. 3.3.1 Ausfhrungen V 26. – 3.3.2 Betriebsverhalten V 27. – 3.3.3 Kurzschlußverhalten V 28. 3.4.1 Ausfhrungen V 29. – 3.4.2 Stationres Betriebsverhalten V 29. – 3.4.3 Instationres Betriebsverhalten V 29.
XXXVIII
Inhaltsverzeichnis
3.5 Kleinmotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 30 3.6 Linearmotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 33 4
Leistungselektronik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 34
4.1 Grundlagen und Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 34 4.1.1 Allgemeines V 34. – 4.1.2 Ausfhrungen von Halbleiterventilen V 34. – 4.1.3 Leistungsmerkmale der Ventile V 35. – 4.1.4 Einteilung der Stromrichter V 36.
4.2 Wechselstrom- und Drehstromsteller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 36 4.3 Netzgefhrte Stromrichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 37 4.3.1 Netzgefhrte Gleich- und Wechselrichter V 37. – 4.3.2 Steuerkennlinien V 37. – 4.3.3 Umkehrstromrichter V 38. – 4.3.4 Netzrckwirkungen V 39. – 4.3.5 Direktumrichter V 39.
4.4 Selbstgefhrte Stromrichter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 40 4.4.1 Gleichstromsteller V 40. – 4.4.2 Selbstgefhrte Wechselrichter und Umrichter V 40. – 4.4.3 Blindleistungskompensation V 42.
5
Elektrische Antriebstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 42
5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 42 5.1.1 Aufgaben V 42. – 5.1.2 Stationrer Betrieb V 42. – 5.1.3 Anfahren V 43. – 5.1.4 Drehzahlverstellung V 43. – 5.1.5 Drehschwingungen V 44. – 5.1.6 Elektrische Bremsung V 45. – 5.1.7 Elektromagnetische Vertrglichkeit V 45.
5.2 Gleichstromantriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 45 5.2.1 Gleichstromantriebe mit netzgefhrten Stromrichtern V 45. – 5.2.2 Regelung in der Antriebstechnik V 46. – 5.2.3 Drehzahlregelung V 47.
5.3 Drehstromantriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 49 5.3.1 Antriebe mit Drehstromsteller V 49. – 5.3.2 Stromrichterkaskaden V 49. – 5.3.3 Stromrichtermotor V 50. – 5.3.4 Umrichterantriebe mit selbstgefhrtem Wechselrichter V 50. – 5.3.5 Regelung von Drehstromantrieben V 50.
6
Energieverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 54
6.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 54 6.2 Kabel und Leitungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 55 6.2.1 Leitungsnachbildung V 55. – 6.2.2 Kenngrßen der Leitungen V 55.
6.3 Schaltgerte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 56 6.3.1 Schaltanlagen V 56. – 6.3.2 Hochspannungsschaltgerte V 56. – 6.3.3 Niederspannungsschaltgerte V 56.
6.4 Schutzeinrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 56 6.4.1 Kurzschlußschutz V 56. – 6.4.2 Schutzschalter V 56. – 6.4.3 Thermischer berstromschutz V 57. – 6.4.4 Kurzschlußstrme V 57. – 6.4.5 Selektiver Netzschutz V 58. – 6.4.6 Berhrungsschutz V 58.
6.5 Energiespeicherung (s. L 4.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 59 6.5.1 Speicherkraftwerke V 59. – 6.5.2 Batterien V 59. – 6.5.3 Andere Energiespeicher V 60.
6.6 Elektrische Energie aus erneuerbaren Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . V 60 6.6.1 Solarenergie V 60. – 6.6.2 Windenergie V 61.
7
Elektrowrme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 62
7.1 Widerstandserwrmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 63 7.2 Lichtbogenerwrmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 63 7.2.1 Lichtbogenofen V 63. – 7.2.2 Lichtbogenschweißen V 64.
7.3 Induktive Erwrmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 64 7.3.1 Stromverdrngung, Eindringtiefe V 64. – 7.3.2 Aufwlbung und Bewegungen im Schmelzgut V 64. – 7.3.3 Oberflchenerwrmung V 64. – 7.3.4 Stromversorgung V 65.
7.4 Dielektrische Erwrmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 65 8
Informationselektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 66
8.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 66 8.2 Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 66 8.3 Analoge Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 67 8.4 Digitale Schaltungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 67 9
Anhang V: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 70
IInhaltsverzeichnis 10
XXXIX
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 72
W Meßtechnik und Sensorik Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W1
1.1 Aufgabe der Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W1
1.2 Strukturen der Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W1
1.3 Planung von Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W4
1.4 Auswertung von Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W4
Meßgrßen und Meßverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W6
2.1 Einheitensystem und Gliederung der Meßgrßen der Technik . . . . . . . . .
W6
2.2 Sensoren und Aktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W6
2.3 Geometrische Meßgrßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W7
2.4 Kinematische und schwingungstechnische Meßgrßen . . . . . . . . . . . .
W 11
2.5 Mechanische Beanspruchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 14
2.6 Strmungstechnische Meßgrßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 18
2.7 Thermische Meßgrßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 19
2.8 Optische Meßgrßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 21
2.9 Umweltmeßgrßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 22
2.10 Stoffmeßgrßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 24
1
1.2.1 Meßkette W 1. – 1.2.2 Kenngrßen von Meßgliedern W 1. – 1.2.3 Meßabweichung von Meßgliedern W 2. – 1.2.4 Dynamische bertragungseigenschaften von Meßgliedern W 3.
2
2.1.1 Internationales Einheitensystem W 6. – 2.1.2 Gliederung der Meßgrßen W 6.
2.2.1 Meßgrßenumformung W 6. – 2.2.2 Zerstrungsfreie Bauteil- und Maschinendiagnostik W 6. 2.3.1 Lngenmeßtechnik W 7. – 2.3.2 Gewinde- und Zahnradmeßtechnik W 9. – 2.3.3 Oberflchenmeßtechnik W 10. – 2.3.4 Mustererkennung und Bildverarbeitung W 11. 2.4.1 Wegmeßtechnik W 12. – 2.4.2 Geschwindigkeits- und Drehzahlmeßtechnik W 12. – 2.4.3 Beschleunigungsmeßtechnik W 13. 2.5.1 Kraftmeßtechnik W 14. – 2.5.2 Dehnungsmeßtechnik W 14. – 2.5.3 Experimentelle Spannungsanalyse W 16. – 2.5.4 Druckmeßtechnik W 17.
2.6.1 Flssigkeitsstand W 18. – 2.6.2 Volumen, Durchfluß, Strmungsgeschwindigkeit W 18. – 2.6.3 Viskosimetrie W 19. 2.7.1 Temperaturmeßtechnik W 20. – 2.7.2 Kalorimetrie W 20.
2.8.1 Licht- und Farbmeßtechnik W 21. – 2.8.2 Refraktometrie W 22. – 2.8.3 Polarimetrie W 22.
2.9.1 Strahlungsmeßtechnik W 22. – 2.9.2 Akustische Meßtechnik W 23. – 2.9.3 Klimameßtechnik W 24. 2.10.1 Anorganisch-chemische Analytik W 24. – 2.10.2 Organisch-chemische Analytik W 25. – 2.10.3 Oberflchenanalytik W 25.
Meßsignalverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 26
3.1 Signalarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 26
3.2 Analoge elektrische Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 26
3.3 Digitale elektrische Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 29
3.4 Rechneruntersttzte Meßsignalverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . .
W 30
3
3.2.1 Strom-, Spannungs- und Widerstandsmeßtechnik W 26. – 3.2.2 Kompensatoren und Meßbrcken W 27. – 3.2.3 Meßverstrker W 28. – 3.2.4 Funktionsbausteine W 29. 3.3.1 Digitale Meßsignaldarstellung W 29. – 3.3.2 Analog-Digital-Umsetzer W 30.
Meßwertausgabe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 32
4.1 Meßwertanzeige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 32
4.2 Meßwertregistrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 34
4.3 Ergebnisdarstellung und Dokumentation . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 34
5
Anhang W: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 35
6
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 37
4
4.1.1 Meßwerke W 32. – 4.1.2 Digitalvoltmeter, Digitalmultimeter W 33. – 4.1.3 Oszilloskope W 33. 4.2.1 Schreiber W 34. – 4.2.2 Drucker W 34. – 4.2.3 Meßwertspeicherung W 34.
XL
Inhaltsverzeichnis
X
Regelungstechnik
1
Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
X2
Lineare bertragungsglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X3
2.1 Statisches Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X3
2.2 Dynamisches Verhalten linearer zeitinvarianter bertragungsglieder . . . . . . .
X4
2.3 Lineare Grundglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X5
2.4 Grundstrukturen des Wirkungsplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X7
Regelstrecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X8
3.1 Struktur und Grßen des Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X8
3.2 Regelstrecken mit Ausgleich (P-Strecken) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X9
2.1.1 Lineare Kennlinie X 3. – 2.1.2 Nichtlinearitten X 3.
2.2.1 Sprungantwort und bergangsfunktion X 4. – 2.2.2 Frequenzgang und Ortskurve X 4. – 2.2.3 Differentialgleichung und bertragungsfunktion X 5.
2.3.1 P-Glied X 6. – 2.3.2 I-Glied X 6. – 2.3.3 D-Glied X 6. – 2.3.4 Tt-Glied X 6. – 2.3.5 T1-Glied X 6. – 2.3.6 T2/n-Glied X 7. 2.4.1 Reihenstruktur X 7. – 2.4.2 Parallelstruktur X 7. – 2.4.3 Kreisstruktur X 7.
3
3.1.1 Funktionsblcke des Eingrßen-Regelkreises X 8. – 3.1.2 Grßen des Regelkreises X 9. – 3.1.3 Stellund Strverhalten der Strecke X 9.
3.2.1 P-Strecke 0. Ordnung (P–T0) X 9. – 3.2.2 P-Strecke 1. Ordnung (P–T1) X 9. – 3.2.3 P-Strecke 2. und hherer Ordnung (P–Tn) X 9. – 3.2.4 P-Strecke mit Totzeit (P–Tt) X 9. – 3.2.5 Strecke mit Ausgleich i-ter Ordnung und Totzeit (P–Ti–Tt) X 9.
3.3 Regelstrecken ohne Ausgleich (I-Strecken). . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 11 3.3.1 I-Strecke 0. Ordnung (I–T0) X 11. – 3.3.2 I-Strecke 1. Ordnung (I–T1) X 11. – 3.3.3 I-Strecke i-ter Ordnung und Totzeit (I–Ti–Tt) X 11.
4
Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 12
4.1 Arten linearer Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 12 4.1.1 P-Anteil, P-Regler X 12. – 4.1.2 I-Anteil, I-Regler X 12. – 4.1.3 PI-Regler X 12. – 4.1.4 PDRegler X 12. – 4.1.5 PID-Regler X 12.
4.2 Technische Ausfhrung der Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 13 4.2.1 Verstrker mit Rckfhrung X 13. – 4.2.2 Rechnergesttzter Regler X 13. – 4.2.3 Entwicklungstendenzen. X 14.
5
Linearer Regelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 14
5.1 Fhrungs- und Strungsverhalten des Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . . X 14 5.1.1 Fhrungsverhalten des Regelkreises X 15. – 5.1.2 Strungsverhalten des Regelkreises X 15.
5.2 Stabilitt des Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 16 5.3 Optimierung von Regelkreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 17 5.3.1 Gte der Regelung X 17. – 5.3.2 Einstellregeln fr Regelkreise X 18.
6
Spezielle Formen der Eingrßen-Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 18
6.1 Mehrschleifige Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 18 6.1.1 Regelung mit Strgrßenaufschaltung X 18. – 6.1.2 Kaskadenregelung X 19.
6.2 Zweipunkt-Regelung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 19 6.3 Adaptive Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 19 7
Regelung und Steuerung von Mehrgrßensystemen . . . . . . . . . . . . . X 20
7.1 Mehrgrßensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 20 7.1.1 Beispiele X 20. – 7.1.2 Definition X 20. – 7.1.3 Mathematische Beschreibung von Mehrgrßensystemen X 21.
7.2 Leittechnik fr Mehrgrßensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 21 7.2.1 Regelung von Mehrgrßensystemen X 22. – 7.2.2 Steuerung von Mehrgrßensystemen X 22. – 7.2.3 Kombinierte Steuerung und Regelung von Mehrgrßensystemen X 22.
IInhaltsverzeichnis
XLI
Y
Elektronische Datenverarbeitung
1
Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 1
2
Informationstechnologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 1
2.1 Grundlagen und Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 1 2.1.1 Zahlendarstellungen und arithmetische Operationen X 2. – 2.1.1 Datenstrukturen und Datentypen X 3. – 2.1.3 Algorithmen X 4. – 2.1.4 Numerische Berechnungsverfahren X 4. – 2.1.5 Programmiermethoden X 5. – 2.1.6 Programmiersprachen X 7. – 2.1.7 Objektorientierte Programmierung X 8. – 2.1.8 Softwareentwicklung X 8.
2.2 Digitalrechnertechnologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 8 2.2.1 Hardwarekomponenten X 8. – 2.2.2 Hardwarearchitekturen X 9. – 2.2.3 Rechnernetze X 10. – 2.2.4 Client-/Serverarchitekturen X 11. – 2.2.5 Betriebssysteme X 11.
2.3 Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X 13
2.4 Sicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X 13
Virtuelle Produktentstehung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X 14
3.1 Produktentstehungsprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X 14
3.2 Basismethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X 14
3
3.2.1 Geometrische Modellierung X 14. – 3.2.2 Featuretechnologie X 19. – 3.2.3 Parametrik X 19. – 3.2.4 Wissensbasierte Modellierung X 19. – 3.2.5 Strukturmodellierung X 20. – 3.2.6 Erstellung von Dokumenten X 21.
3.3 Systeme der rechneruntersttzten Produktentstehung . . . . . . . . . . . .
X 22
3.4 Produktdatenmanagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X 23
3.5 Schnittstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X 24
4
Anhang Y: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X 25
5
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X 28
Z
Allgemeine Tabellen 1. Basiseinheiten des SI-Systems Z 1. – 2. Abgeleitete Einheiten des SI-Systems Z 1. – 3. Vorstze fr Einheiten Z 1. – 4. Einheiten außerhalb des SI-Systems Z 1. – 5. berschlagswerte zur Umrechnung von m kp s- in das SI-System Z 2. – 6. Namen und Abkrzungen englischer Einheiten Z 2. – 7. Umrechnung der wichtigsten Einheiten des f p sin das SI-System Z 2. – 8. Rmisches Zahlensystem Z 2. – 9. Große Zahlenwerte Z 2. – 10. Raum und Zeit Z 3. – 11. Mechanik Z 3. – 12. Wrme Z 4. – 13. Elektrizitt Z 4. – 14. Magnetismus Z 4. – 15. Lichtstrahlung Z 5. – 16. Physikalische Konstanten Z 5. – 17. Grundbegriffe und Grundgrßen der Kernphysik Z 6. – 18. Grundgrßen der Lichttechnik Z 7. – 19. Die wichtigsten Grßen der Schalltechnik Z 8. – 20. Angenherte akustische Wirkungsgrade Z 8. – 21. Periodisches System der Elemente mit Ordnungszahl, Symbol, Namen und relativer Atommasse Z 9. – 22. Die wichtigsten Schadstoffe und ihre Kennwerte Z 10. – 23. Umrechnung von dB in Druck- oder Leistungs-(Druckquadrat-) verhltnisse und umgekehrt Z 11. – Bezugsquellen fr Technische Regelwerke, die in den Textteilen und in den Anhngen auszugsweise als Hinweise enthalten sind Z 12. – Die wichtigsten auslndischen Normen und ihre Bezugsquellen Z 13.
Sachverzeichnis Inserenten
1 63
IInhaltsverzeichnis
XLIII
Hinweise zur Benutzung
Gliederung. Das Werk umfaßt 25 Teile, die in Kapitel, Abschnitte und Unterabschnitte gegliedert sind. Die Teile sind durch Großbuchstaben gekennzeichnet und ihre Seiten werden, jeweils mit eins beginnend, getrennt durchgezhlt. Bei den Untergliederungen bezeichnet die erste Ziffer das Kapitel, die zweite den Abschnitt und die dritte den Unterabschnitt. Sie stehen jeweils vor ihrer berschrift, die auch ins Englische bersetzt ist. Weitere Unterteilungen werden durch fette (unnumerierte) berschriften sowie fette und kursive Zeilenanfnge (sog. Spitzmarken) vorgenommen. Sie sollen dem Leser das schnelle Auffinden spezieller Themen erleichtern. Kolumnentitel oder Seitenberschriften enthalten auf den linken Seiten (gerade Endziffern) die Namen der Teile und Kapitel, auf den rechten die Abschnitte. Kleindruck. Er wurde fr Bildunterschriften und Tabellenberschriften sowie fr Beispiele und lngere Bildbeschreibungen angewandt, um diese Teile besser vom brigen Text abzuheben und Druckraum zu sparen. Inhalts- und Sachverzeichnis sind zur Erleichterung der Benutzung des Werkes ausfhrlich gestaltet. Sie enthalten ebenfalls die Seitenbezeichnung nach Teilen. Kapitel. Es bildet die Grundeinheit, in der Gleichungen, Bilder und Tabellen jeweils wieder von 1 ab numeriert sind. Fett gesetzte Bild- und Tabellenbezeichnungen sollen ein schnelles Erkennen der Zuordnung von Bildern und Tabellen zum Text ermglichen. Anhang. Am Ende fast aller Teile befinden sich die Kapitel „Anhang: Diagramme und Tabellen“ und „Spezielle Literatur“. Sie enthalten die fr die praktische Zahlenrechnung notwendigen Kenn- und Stoffwerte sowie Sinnbilder und Normenauszge des betreffenden Fachgebietes und das im Text angezogene Schrifttum. Am Ende des Werkes liegt der Teil Z „Allgemeine Tabellen“. Er enthlt die wichtigsten physikalischen Konstanten, die Umrechnungsfaktoren fr die Einheiten, das periodische System der Elemente sowie ein Verzeichnis von Bezugsquellen fr Technische Regelwerke und Normen. Außerdem sind die Grundgrßen von Gebieten, deren ausfhrliche Behandlung den Rahmen des Buches sprengen wrden, aufgefhrt. Hierzu zhlen die Kern-, Licht-, Schall- und Umwelttechnik. Numerierung und Verweise. Die Numerierung der Bilder, Tabellen, Gleichungen und Literatur gilt fr das jeweilige Kapitel. Gleichungsnummern stehen in runden ( ), Literaturziffern in eckigen [ ] Klammern. Bei Verweisen auf ein anderes Kapitel stehen vor den Bezeichnungen zustzlich der Buchstabe des Teils und die Nummer des Kapitels, z.B. C 2 Tab. 1, G 1 Bild 6, Anh. X 5 Tab. 1, B 3 Gl. (22) bzw. B 1.7 bei Textabschnitten, fr die „Allgemeinen Tabellen“ am Buchende z. B. Z Tab. 3. Bilder. Hierzu gehren konstruktive und Funktionsdarstellungen, Diagramme, Flußbilder und Schaltplne. Bildgruppen. Sie sind, soweit notwendig, in Teilbilder untergliedert, die zustzlich zur Bildnummer mit kleinen Buchstaben a, b, c usw. bezeichnet sind (z. B. U 2 Bild 2). Sind diese nicht in der Bildunterschrift erlutert, so befinden sich die betreffenden Erluterungen im Text (z. B. B 6 Bild 12 a–e). Kompliziertere Bauteile oder Plne enthalten Positionen, die entweder im Text (z. B. P 2 Bild 26) oder in der Unterschrift erlutert sind (z. B. L 5 Bild 5). Sinnbilder fr Schaltplne von Leitungen, Schaltern, Maschinen und ihren Teilen sowie fr Aggregate sind nach Mglichkeit den zugeordneten DIN-Normen oder den Richtlinien entnommen. In Einzelfllen wurde von den Zeichnungsnormen abgewichen, um die bersicht der Bilder zu verbessern. Tabellen. Sie ermglichen es, Zahlenwerte mathematischer und physikalischer Funktionen schnell aufzufinden. In den Beispielen sollen sie den Rechnungsgang einprgsam erlutern und die Ergebnisse bersichtlich darstellen. Aber auch Gleichungen, Sinnbilder und Diagramme sind zum besseren Vergleich bestimmter Verfahren tabellarisch zusammengefaßt. Hinweis: Die CD DUBBEL interaktiv ermglicht die Nutzung von vielen interaktiven Tabellen und eine interaktive Nutzung vieler Diagramme.
XLIV
Hinweise zur Benutzung
Literatur. Spezielle Literatur. Sie ist auf das Sachgebiet eines Kapitels bezogen, eine Ziffer in ekkiger [ ] Klammer weist im Text auf das entsprechende Zitat hin. Diese Verzeichnisse, die hufig auch grundlegende Normen, Richtlinien und Sicherheitsbestimmungen enthalten, befinden sich am Ende der Teile nach Kapiteln geordnet. Allgemeine Literatur. Sie steht am Anfang des Teils in der Reihenfolge der Kapitel und enthlt die betreffenden Grundlagenwerke. Sachverzeichnis. Nach wichtigen Einzelstichwrtern sind die Stichworte fr allgemeine, mehrere Kapitel umfassende Begriffe wie z. B. „Arbeit“, „Federn“ und „Steuerungen“ zusammengefaßt. Zur besseren bersicht ersetzt ein Querstrich nur ein Wort. In diesen Gruppen sind nur die wichtigsten Begriffe auch als Einzelstichwrter aufgefhrt. Dieses raumsparende Verfahren lßt natrlich immer einige berechtigte Wnsche der Leser offen, vermeidet aber ein zu langes und daher unbersichtliches Verzeichnis. Hinweis: Die CD DUBBEL interaktiv ermglicht eine Schlagwortsuche im gesamten Buch. Gleichungen. Sie sind der Vorteile wegen als Grßengleichungen geschrieben. Sind Zahlenwertgleichungen, wie z. B. bei empirischen Gesetzen oder bei sehr hufig vorkommenden Berechnungen erforderlich, so erhalten sie den Zusatz „Zgl.“ und die gesondert aufgefhrten Einheiten den Zusatz „in“. Fr einfachere Zahlenwertgleichungen werden gelegentlich auch zugeschnittene Grßengleichungen benutzt. Exponentialfunktionen sind meist in der Form „exp(x)“ geschrieben. Wo mglich, wurden aus Platzgrnden schrge statt waagerechte Bruchstriche verwendet. Hinweis: Die CD DUBBEL interaktiv 2.0 ermglicht die Nutzung von ber 3000 interaktiven Gleichungen, die in eine mathematische Arbeitsumgebung, basierend auf MUPAD, bertragen werden. Formelzeichen. Sie wurden in der Regel nach DIN 1304 gewhlt. Dies ließ sich aber nicht konsequent durchfhren, da die einzelnen Fachnormenausschsse unabhngig sind und eine laufende Anpassung an die internationale Normung erfolgt. Daher mußten in einzelnen Fachgebieten gleiche Grßen mit verschiedenen Buchstaben gekennzeichnet werden. Aus diesen Grnden, aber auch um lstiges Umblttern zu ersparen, wurden die in jeder Gleichung vorkommenden Grßen meist in ihrer unmittelbaren Nhe erlutert. Bei Verweisen werden innerhalb eines Kapitels die in den angezogenen Gleichungen erfolgten Erluterungen nicht wiederholt. Wurden Kompromisse bei Formelzeichen der einzelnen Normen notwendig, so ist dies an den betreffenden Stellen vermerkt. Zeichen, die sich auf die Zeiteinheit beziehen, tragen einen Punkt. Beispiel: B 6 Gl. (5). Variable sind kursiv, Vektoren und Matrizen fett kursiv und Einheiten steil gesetzt. Einheiten. In diesem Werk ist das Internationale bzw. das SI-Einheitensystem (Systme international) verbindlich. Eingefhrt ist es durch das „Gesetz ber Einheiten im Meßwesen“ vom 2. 7. 1969 mit seiner Ausfhrungsverordnung vom 26. 6. 1970. Außer seinen sechs Basiseinheiten m, kg, s, A, K und cd werden auch die abgeleiteten Einheiten N, Pa, J, W und Pa s benutzt. Unzweckmßige Zahlenwerte knnen dabei nach DIN 1301 durch Vorstze fr dezimale Vielfache und Teile nach Z Tab. 3 ersetzt werden. Hierzu lßt auch die Ausfhrungsverordnung folgende Einheiten bzw. Namen zu: Masse Volumen Druck
1 t = 1000 kg 1 l = 10–3 m3 1 bar = 105 Pa
Zeit Temperaturdifferenz Winkel
1 h = 60 min = 3600 s 1 C = 1 K 1 = p rad/180
Fr die Einheit 1 rad = 1 m/m darf nach DIN 1301 bei Zahlenrechnungen auch 1 stehen. Da ltere Urkunden, Vertrge und lteres Schrifttum noch die frheren Einheitensysteme enthalten, sind ihre Umrechnungsfaktoren fr das internationale Maßsystem in Z Tab. 5 aufgefhrt. Druck. Nach DIN 1314 wird der Druck p meist in der Einheit bar angegeben und zhlt vom Nullpunkt aus. Druckdifferenzen werden durch die Formelzeichen, nicht aber durch die Einheit gekennzeichnet. Dies gilt besonders fr die Manometerablesung bzw. atmosphrischen Druckdifferenzen. DIN-Normen. Hier sind die bei Abschluß der Manuskripte gltigen Ausgaben maßgebend. Dies gilt auch fr die dort gegebenen Definitionen und fr die angezogenen Richtlinien.
IChronik des Taschenbuchs – Biographische Daten
Chronik des Taschenbuchs Der Plan eines Taschenbuchs fr den Maschinenbau geht auf eine Anregung von Heinrich Dubbel, Dozent und spter Professor an der Berliner Beuth-Schule, der namhaftesten deutschen Ingenieurschule, im Jahre 1912 zurck. Die Diskussion mit Julius Springer, dem fr die technische Literatur zustndigen Teilhaber der „Verlagsbuchhandlung Julius Springer“ (wie die Firma damals hieß), dem Dubbel bereits durch mehrere Fachverffentlichungen verbunden war, fhrte rasch zu einem positiven Ergebnis. Dubbel bernahm die Herausgeberschaft, stellte die – in ihren Grundzgen bis heute unverndert gebliebene – Gliederung auf und gewann, soweit er die Bearbeitung nicht selbst durchfhrte, geeignete Autoren, zum erheblichen Teil Kollegen aus der Beuth-Schule. Bereits Mitte 1914 konnte die 1. Auflage erscheinen. Zunchst war der Absatz unbefriedigend, da der 1. Weltkrieg ausbrach. Das besserte sich aber nach Kriegsende und schon im Jahre 1919 erschien die 2. Auflage, dicht gefolgt von weiteren in den Jahren 1920, 1924, 1929, 1934, 1939, 1941 und 1943. Am 1. 3. 1933 wurde das Taschenbuch als „Lehrbuch an den Preußischen Ingenieurschulen“ anerkannt. H. Dubbel bearbeitete sein Taschenbuch bis zur 9. Auflage im Jahre 1943 selbst. Die 10. Auflage, die Dubbel noch vorbereitete, deren Erscheinen er aber nicht mehr erlebte, war im wesentlichen ein Nachdruck der 9. Auflage. Nach dem Krieg ergab sich bei der Planung der 11. Auflage der Wunsch, das Taschenbuch gleichermaßen bei den Technischen Hochschulen und den Ingenieurschulen zu verankern. In diesem Sinn wurden gemeinsam Prof. Dr.-Ing. Fr. Sass, Ordinarius fr Dieselmaschinen an der Technischen Universitt Berlin, und Baudirektor Dipl.-Ing. Charles Bouch, Direktor der Beuth-Schule, unter Mitwirkung des Oberingenieurs Dr.-Ing. Alois Leitner, als Herausgeber gewonnen. Durch Spezialwerke standen Sass und Bouch schon mit dem Springer-Verlag in Verbindung; Fr. Sass durch seine „Dieselmaschinen“, Ch. Bouch durch seine „Kolbenverdichter“. Das gesamte Taschenbuch wurde nach der bewhrten Disposition H. Dubbels neu bearbeitet und mehrere Fachgebiete neu eingefhrt: hnlichkeitsmechanik, Gasdynamik, Gaserzeuger und Kltetechnik. So gelang es, den technischen Fortschritt zu bercksichtigen und eine breitere Absatzbasis fr das Taschenbuch zu schaffen. In der 13. Auflage wurden im Vorgriff auf das Einheitengesetz das technische und das internationale Maßsystem nebeneinander benutzt. In dieser Auflage wurde Prof. Dr.-Ing. Egon Martyrer von der Technischen Universitt Hannover als Mitherausgeber herangezogen. Am 26. 2. 1968 verstarb Fr. Sass, am 5. 11. 1975 E. Martyrer, am 6. 2. 1978 Ch. Bouch. Die 14. Auflage wurde von den Herausgebern W. Beitz und K.-H. Kttner und den Autoren vollstndig neubearbeitet und erschien 1981, also 67 Jahre nach der ersten. Auch hier wurde im Prinzip die Disposition und die Art der Auswahl der Autoren und Herausgeber beibehalten. Inzwischen haben aber besonders die Computertechnik, die Elektronik, die Regelung und die Statistik den Maschinenbau beeinflußt. So wurden
XLV
umfangreichere Berechnungs- und Steuerverfahren entwickelt, und es entstanden sogar neue Spezialgebiete. Eine Auswahl unter der erforderlichen Bercksichtigung des klassischen Maschinenbaus und bei der notwendigen Beschrnkung der Seitenzahl zu treffen, die der Kritik standhlt, ist eine außerordentlich schwierige Aufgabe. Der Umfang des unbedingt ntigen Stoffes fhrte zu zweispaltiger Darstellung bei grßerem Satzspiegel. So ist wohl die unvernderte Bezeichnung „Taschenbuch“ in der Tradition und nicht im Format begrndet. Das Ansehen, dessen sich das Taschenbuch berall erfreute, fhrte im Lauf der Jahre auch zu verschiedenen bersetzungen in fremde Sprachen. Eine erste russische Ausgabe gab in den zwanziger Jahren der Springer-Verlag selbst heraus, eine weitere erschien unautorisiert. Nach dem 2. Weltkrieg wurden Lizenzen fr griechische, italienische, jugoslawische, portugiesische, spanische und tschechische Ausgaben erteilt. Von der Neubearbeitung (14. Auflage) erschienen 1984 eine italienische, 1991 eine chinesische und 1994 eine englische bersetzung. Der DUBBEL, wie er kurz und respektvoll von seinen Benutzern genannt wird, erwies sich aufgrund seiner klaren praxisnahen Darstellung und der Zuverlssigkeit der gebrachten Daten von der 1. Auflage an als hervorragendes Ausbildungsbuch und Nachschlagewerk fr die Maschinenbauer. Die jetzt vorliegende 20. Auflage des DUBBEL wird die Marke von 1 000 000 verkauften Exemplaren seit dem Erscheinen der 1. Auflage im Jahre 1914 berschreiten. Dieses Ergebnis war mglich durch den Einsatz der Herausgeber und Autoren, der sorgfltigen Bearbeitung im Verlag und der exakten drucktechnischen Herstellung.
Biographische Daten ber H. Dubbel Heinrich Dubbel, der Schpfer des Taschenbuches, wurde am 8. 4. 1873 als Sohn eines Ingenieurs in Aachen geboren. Dort studierte er an der Technischen Hochschule Maschinenbau und arbeitete in der vterlichen Fabrik als Konstrukteur, nachdem er in Ohio/USA Auslandserfahrungen gesammelt hatte. Vom Jahre 1899 ab lehrte er an den Maschinenbau-Schulen in Kln, Aachen und Essen. Im Jahre 1911 ging er an die Berliner Beuth-Schule, wo er nach fnf Jahren den Titel Professor erhielt. 1934 trat er wegen politischer Differenzen mit den Behrden aus dem ffentlichen Dienst aus und widmete sich in den folgenden Jahren vorwiegend der Beratung des Springer-Verlages auf dem Gebiet des Maschinenbaus. Er starb am 24. 5. 1947 in Berlin. Dubbel hat sich in hohem Maße auf literarischem Gebiet bettigt. Seine Aufstze und Bcher, insbesondere ber Dampfmaschinen und ihre Steuerungen, Dampfturbinen, l- und Gasmaschinen und Fabrikbetrieb genossen großes Ansehen. Durch das „Taschenbuch fr den Maschinenbau“ wird sein Name noch bei mancher Ingenieurgeneration in wohlverdienter Erinnerung bleiben.
I
A
A1
Mathematik Mathematics P. Ruge, Dresden
Allgemeine Literatur Umfassende Darstellungen Aumann, G.: Hhere Mathematik I–III. Mannheim: Bibliogr. Inst. 1970–1971. – Baule, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, 2 Bde. Frankfurt: Deutsch 1979. – Bhme, G.: Anwendungsorientierte Mathematik, 4 Bde. Berlin: Springer 1989, 1990, 1991, 1992. – Brauch; Dreyer; Haacke: Mathematik fr Ingenieure, 9. Aufl. Stuttgart: Teubner 1995. – Brenner, J.; Lesky, P.: Mathematik fr Ingenieure und Naturwissenschaftler, Bd. I: 4. Aufl. 1989; Bd. II: 4. Aufl. 1989; Bd. III: 4. Aufl. 1989; Bd. IV: 3. Aufl. 1989. Wiesbaden: Aula. – Burg, K.; Haf, H.; Wille, F.: Hhere Mathematik fr Ingenieure. 5 Bde. Stuttgart: Teubner 1992–1997. – Dirschmidt, H. J.: Mathematische Grundlagen der Elektrotechnik. Braunschweig: Vieweg 1990. – Fetzer, A.; Frnkel, H.: Mathematik. Lehrbuch fr Fachhochschulen, Bd. 1: 3. Aufl. 1986; Bd. 2: 2. Aufl. 1985; Bd. 3: 2. Aufl. 1985. Dsseldorf: VDI. – Gnter, N. M.; Kusmin, R. O.: Aufgabensammlungen zur Hheren Mathematik I, II. Berlin: Dt. Verlag der Wissenschaften 1980. – Laugwitz, D.: Ingenieurmathematik, 2 Bde. Mannheim: Bibliogr. Inst. 1983, 1984. – Mangoldt, H. v.; Knopp, K.: Hhere Mathematik. Rev. von Lsch, F. 4 Bde. Stuttgart: Hirzel 1990. – Meyberg, K.; Vachenauer, P.: Hhere Mathematik, Bd. 1: 5. Aufl. 1999; Bd. 2: 2. Aufl. 1997. Berlin: Springer. – Papula, L.: Mathematik fr Ingenieure und Naturwissenschaftler, Bd. 1: 7. Aufl. 1996; Bd. 2: 8. Aufl. 1996; Bd. 3: 2. Aufl. 1997. Braunschweig: Vieweg. – Sauer, R.; Szabo, I.: Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs, Teile I–IV. Berlin: Springer 1967–1970. – Smirnow, W. I.: Lehrgang der hheren Mathematik, 5 Teile. Berlin: Dt. Verlag der Wissenschaften 1990–1995. – Strubecker, K.: Einfhrung in die Hhere Mathematik I–IV. Mnchen: Oldenbourg 1966–1984. – Trinkaus, H. L.: Probleme? Hhere Mathematik (Aufgabensammlung). Berlin: Springer 1988. – Wrle, H.; Rumpf, H. J.: Ingenieurmathematik in Beispielen, Bd. 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Mathematik
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I2 Ergnzungen zur Hheren Mathematik
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Physiker, Bd. 1: Numerische Methoden der Algebra, 2. Aufl. Berlin: Springer 1988. – Trnig, W.; Spellucci, P.: Numerische Mathematik fr Ingenieure und Physiker, Bd. 2: Numerische Methoden der Analysis, 2. Aufl. Berlin: Springer 1990. – Varga, R. S.: Matrix iterative analysis, 3. Ed. Berlin: Springer 1999. – Wilkinson, J. H.: The algebraic eigenvalue problem. Oxford: Clarendon Press 1965. – Young, D. M.: Iterative solution of large linear systems. New York: Academic Press 1971. – Young, D. M.; Gregory, R. T.: A survey of numerical mathematics, Vols. I+II. Reading: Addison-Wesley 1973. – Zienkiewicz, O. C.: Methode der finiten Elemente, 2. Aufl. Mnchen: Hanser 1984. – Zurmhl, R.; Falk, S.: Matrizen und ihre Anwendungen, Teil 1: Grundlagen, 5. Aufl. Berlin: Springer 1984. – Zurmhl, R.; Falk, S.: Matrizen und ihre Anwendungen, Teil 2: Numerische Methoden, 5. Aufl. Berlin: Springer 1986.
1 Mathematik fr Ingenieure Mathematics for engineers Die hauptschlichen Grundlagen der Ingenieurwissenschaften und damit auch die Mathematik im Maschinenbau liegen in dem Kompendium „HTTE – Die Grundlagen der Ingenieurwissenschaften“ aus gleichem Hause in einer relativ ausfhrlichen Zusammenfassung vor. Eine wichtige Untersttzung stellt die CD DUBBEL interaktiv des Springer-Verlags dar. Basierend auf der 19. Auflage des DUBBEL mit dem umfangreichen Teil zur Mathematik im Maschinenbau nutzt sie die Mglichkeiten des Softwarepakets MuPAD. Deshalb sollen hier Hinweise zur Literatur und einige Anmerkungen zu neueren Entwicklungen und wesentlichen Aspekten ausreichen. Mathematik fr Ingenieure, hufig auch Ingenieurmathematik genannt, ist keine Mathematik mit abgeminderten Qualittsansprchen, sondern eine Mathematik, von der man konkrete Lsungen fr konkrete Probleme erwartet. Konkrete Lsungen sind hufig nur nherungsweise darstellbar; das ist kein grundstzlicher Mangel, falls gesicherte Abschtzungen ber den Fehler mglich sind. Die rasante Entwicklung der Leistungsfhigkeit moderner Computer erffnet die Analyse immer komplexerer Problemfelder auch und gerade in den Ingenieurwissenschaften. Im interdisziplinren Spannungsfeld von Mathematik, Informatik, Ingenieur- und Naturwissenschaften entstanden neue Fachgebiete wie das Scientific Computing. Im Kern dieser Bemhungen stehen zum einen die Entwicklung leistungsfhiger numerischer Algorithmen, zum anderen aber auch Aussagen ber Genauigkeit, Konvergenz und numerische Stabilitt. Dies sind zutiefst mathematische Begriffe, die bis in die Funktionalanalysis fhren. Aus diesen wenigen Aussagen wird die stetige Fortentwicklung auch der Ingenieurmathematik deutlich. So wie die Theorie
2 Ergnzungen zur Mathematik fr Ingenieure Complements for engineering mathematics Klarere Definitionen alter mathematischer Begriffe, neue Ingenieuranwendungen auf der Basis der klassischen Analysis und die Einfhrung verallgemeinerter Zahlendarstellungen ergnzen immer wieder die mathematischen Hilfsmittel des Ingenieurs. Beispiele gibt es hierfr in der Beschreibung von Stoffgesetzen mit Gedchtnis ber fraktionale Ableitungen, in der Zuschrfung des Dirac-Delta Formalismus ber integral formulierte Distributionen oder in der bereichsweisen Einfhrung von Wichtungs- oder Projektionsfunktionen in der Theorie der Wavelet-Integraltransformationen. Damit wird in der Signalanalyse eine Entwicklung nachgeholt, die in der Strukturanalyse schon seit langem durch den bergang von globa-
und Anwendung der Integraltransformationen, der Tensoren und Matrizen in die Ingenieurwelt Eingang gefunden haben, wird auch die Funktionalanalysis allmhlich an Bedeutung gewinnen. Zugenommen hat auch die Verfgbarkeit von Mathematik in Form von Softwarepaketen wie zum Beispiel Mathematica, Maple, Mathcad oder Matlab – um nur einige zu nennen. ber das klassische mathematische Rstzeug des Ingenieurs herrscht weitgehende bereinstimmung, wie ein Blick in die allgemeine Lehrbuchliteratur ausweist. Neben typischen Klassikern von Autoren wie Baule, Mangoldt/Knoop sowie Smirnow erfreuen sich in letzter Zeit insbesondere die Werke von Meyberg/Vachenauer sowie von Burg/Haf/Wille einer besonderen Nachfrage. Auch unter den Handbchern und Formelsammlungen gibt es neben Bewhrtem solche Klassiker wie „den Bronstein“ von Bronstein/Semendjajew und „die Htte“ mit ihrem Mathematikteil. Eine viel beachtete relativ neue Formelsammlung von Rde/Westergren enthlt tabellarische bersichten auch zu mehr abstrakten Objekten der Mathematik. Klassisches Nachschlagewerk fr spezielle Funktionen ist das Handbuch von Abramowitz/Stegun. Wesentliche Bedeutung fr die Anwendungen im Maschinenbau haben neben den elementaren Grundlagen die Matrizen und Tensoren, die Geometrie einschließlich der Projektion auf Ebenen, die Integraltransformationen, die Variationsrechnung einschließlich verallgemeinerter Optimierungsstrategien und schließlich alle numerischen Verfahren. Dazu gehren sowohl die Diskretisierung kontinuierlicher Probleme in Ort und Zeit in Verbindung mit effektiven Integrationsverfahren als auch die anschließende Lsung der algebraischen Gleichungen. Daneben gibt es das eigenstndige Fachgebiet der Statistik mit der weiterfhrenden Wahrscheinlichkeitslehre. Zu allen Themenkreisen sind im Vorspann spezielle Literaturstellen aufgelistet.
len Ritz-Anstzen zu lokalen FEM-Diskretisierungen gekennzeichnet ist. Selbst in der Algebra gibt es neue fr den Ingenieur interessante Entwicklungen; so die Einfhrung der Intervallrechnung und die Weiterentwicklung zur Fuzzy-Algebra. In der Intervallarithmetik wird eine Zahl z nicht mehr nur durch einen einzigen diskreten Wert dargestellt, sondern durch ein Intervall mit einer unteren Schranke z und einer oberen Schranke z. z ¼ ½z, z; z z z: ð1Þ Auf dieser Menge werden Verknpfungen definiert; so zum Beispiel die Subtraktion u u : u; u ¼ ½u; u; u u ¼ ½u u; u u: ð2Þ u ¼ ½u; Die Bewertung der Zahlen z im Intervall ½z; z hinsichtlich ihrer Zugehrigkeit zum Intervall durch eine sogenannte Zugehrigkeitsfunktion m (memoryfunction) mit Werten zwischen
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Mathematik – 3 Numerische Methoden
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Bild 1 a–c. Differenz u u von Fuzzy-Zahlen
0 (mit Sicherheit keine Zugehrigkeit) und 1 (mit Sicherheit volle Zugehrigkeit) beschreibt den bergang von bewertungsneutralen Zahlenintervallen zu Fuzzy-Zahlen. Eine Aussage wie: die Verschiebung u liegt berwiegend zwischen 7,4 cm und 7,6 cm und fllt gelegentlich bis auf 7,0 cm ab oder steigt bis auf maximal 8,0 cm, lßt sich durch die Zugehrigkeitsfunktion in Bild 1 b darstellen.
Eine weitere Aussage wie: die Verschiebung u betrgt ungefhr 3,0 cm und liegt garantiert nicht unter 2,5 cm oder ber 3,5 cm, ist in Bild 1 a veranschaulicht. Die Differenz u u folgt aus einfacher Anwendung der Regel in Gl. (2) angewandt auf jedes m-Niveau, wie in Bild 1 c fr m ¼ 0; 5 eingetragen.
3 Numerische Methoden Numerical methods
zu beurteilen, eignen sich Testaufgaben, deren Lsungen mit Hilfe nicht numerischer Methoden vollkommen unabhngig dargestellt werden knnen. Quellen hierfr sind die Grundlagen-HTTE im Mathematikteil und das Internet; so zum Beispiel die Website des National Institute of Standards: http://math.nist.gov. Selbst eine so vermeintlich elementare Aufgabe wie die Lsung eines Gleichungssystems mit reeller symmetrischer Koeffizientenmatrix A bedarf klrender Hinweise. Das Verfahren der Wahl ist die vorweggezogene Cholesky-Zerlegung von A mit A ¼ CCT . Dabei ist C oberhalb der Hauptdiagonalen mit den Elementen Cjj von vorneherein nur mit Nullen belegt. Diese Elemente pffiffiffi Cjj ergeben sich typischerweise als Wurzeln C jj ¼ R, wobei der Radikand R negativ sein kann und damit Cjj imaginr – eine Eigenschaft, die dem reellen Problem nicht angemessen ist. Folgerichtig reagieren manche Softwarepakete mit einer Fehlermeldung und brechen ab. Konzipiert man hingegen die ! Zerlegung mit vorgegebenen Elementen Cjj ¼ 1 und einer zwischengeschalteten Diagonalmatrix D,
3.1 Numerisch-analytische Lsung Numerical-analytical solutions Von allen Teildisziplinen der Mathematik hatte in den letzten 30 Jahren die numerische Mathematik mit ihrer Realisierung auf programmierbaren Rechnern den mit Abstand grßten Einfluß auf die Ingenieurwissenschaften. Universelle Lsungsstrategien wie die Finite-Element-Methode und hocheffektive Algorithmen erlauben die Behandlung von Problemen mit einigen Zehntausend Freiheitsgraden. Analytische Verfahren treten dabei fast ganz in den Hintergrund und doch haben sie eine wesentliche Funktion bei der Kontrolle von Nherungsergebnissen. So knnen die Biegeeigenfrequenzen f ½Hz eines beidseitig frei drehbar unverschieblich gelagerten Bernoullibalkens nach Bild 1 als analytische Funktion der Ordnungszahl k angegeben werden. sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k2 p EI ; k ¼ 1, . . . , 1: ð1Þ f¼ 2 l3 rAl EI Biegesteifigkeit, l Balkenlnge, r Spezifische Masse pro Volumen, A Querschnittsflche.
3.2 Standardaufgaben der linearen Algebra Standard problems of linear algebra Zwei Standardaufgaben beherrschen die lineare Algebra und damit die Diskretisierung von Ingenieurproblemen: Das Gleichungssystem und das nichtlineare Eigenwertproblem: Ax ¼ r; A, r gegeben; x gesucht: Ax ¼ lBx; A, B gegeben; l, x gesucht: Um das reichlich vorhandene Softwareangebot hinsichtlich seiner Leistungsfhigkeit und insbesondere Zuverlssigkeit
!
A ¼ CDCT , Cjj ¼ 1, D ¼ diagfd1 ; . . . ; d n g,
ist das Wurzelproblem beseitigt, wie folgendes Beispiel zeigt 2 3 2 3 2 3 1 2 3 1 0 0 1 0 0 A ¼ 4 2 3 5 5, C ¼ 4 2 1 0 5, D ¼ 4 0 1 0 5: 3 5 10 3 1 1 0 0 2 Die Lsung eines Gleichungssystems Ax ¼ r ber die Invertierung der Matrix A mit x ¼ A1 r ist absolut ungeeignet wegen des unntig hohen Rechenaufwands und der Zerstrung der gerade bei Ingenieurproblemen hufig vorhandenen Bandstruktur von A. Gleichungssysteme Ax ¼ r mit regulrer, aber unsymmetrischer Koeffizientenmatrix A 6¼ AT werden im Rahmen des Gaußschen Algorithmus durch die Produktzerlegung A ¼ LR in eine Linksdreiecksmatrix L und eine Rechtsdreiecksmatrix R gelst. Formal kann ein Gleichungssystem mit unsymmetrischem A durch Multiplikation von links mit AT in ein System mit symmetrischer Matrix AT A berfhrt werden. Ax ¼ r mit A 6¼ AT : ! ðAT AÞ x ¼ AT r:
Bild 1. Bernoullibalken
ð2Þ
ð3Þ
Damit erschließen sich zwar alle Methoden fr symmetrische Matrizen – neben der Cholesky-Zerlegung gibt es das Vorgehen ber die Minimierung zugeordneter quadratischer For-
I3.3 Interpolation, Integration
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men –, doch ist bereits der Aufwand zur Ausfhrung des Produktes AT A unsinnig hoch und zudem sind die Lsungseigenschaften der quasi „quadrierten“ Matrix ausgesprochen schlecht. Rein anschaulich wird dies offenbar bei der Berechnung des Schnittpunktes zweier Geraden x þ 20 y ¼ 20 und x þ 10 y ¼ 9 wie in Bild 2 skizziert. Das zugeordnete Gleichungssystem ist unsymmetrisch. 1 20 x 20 x 2,0 Ax ¼ r: ¼ ! ¼ : 1 10 y 9 y 1,1
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Das entsprechende System mit symmetrischer Matrix liefert dieselbe Lsung, AT Ax ¼ AT r: 2,0 x 29 2 30 x , ¼ ! ¼ 1,1 y 490 30 500 y
Bild 2. Schleifender Schnitt der inneren Geraden
doch stellt sich der Lsungspunkt als Schnittpunkt der beiden inneren Geraden jetzt als „schleifender Schnitt“ heraus, was auch der numerischen Lsungsdarstellung abtrglich ist. Die Berechnung der Eigenwerte l und Eigenvektoren x des algebraischen Eigenwertproblems Ax ¼ lBx
ð4Þ
ist ungleich aufwendiger als die Lsung eines Gleichungssystems, so daß hier nur auf die Literatur verwiesen werden kann. Notwendige Bedingung fr nichttriviale Lsungen x der Aufgabe (4) ist das Verschwinden der Koeffizientendeterminante ! 0: detðA lBÞ¼
ð5Þ
Gngige numerische Verfahren basieren entweder auf Vektoriterationsverfahren oder sukzessiven Umformungen von A und B zu Matrizen LAR, LBR einfacherer Struktur. Ax ¼ lBx: x ¼ Ry ! LAR y ¼ l LBR y:
ð6Þ
Die Eigenwerte l bleiben dabei unverndert. Der hufige Sonderfall symmetrischer Matrizen A ¼ AT , B ¼ BT fhrt nicht zwangslufig zu reellen Eigenwerten und -vektoren, wie das folgende Beispiel zeigt. 2 1 6 4 A¼ , B¼ : 1 0 4 1 3i 1 Ax ¼ lBx: ! l ¼ , x¼ : 1 i 10 Bedingung fr reelle Eigenwerte bei symmetrischen Matrizen ist die Definitheit wenigstens einer der beteiligten Matrizen A oder B. Definitheit liegt dann vor, wenn die Elemente Djj der Matrix D der Cholesky-Zerlegung A ¼ CDCT alle gleiches Vorzeichen haben. Das ist in obigem Beispiel weder fr A noch fr B der Fall. 1 0 2 0 1 1=2 A¼ : 1=2 1 0 1=2 0 1 1 0 6 0 1 2=3 B¼ : 2=3 1 0 5=3 0 1 Viele Eigenwertlser fordern bei symmetrischem Paar A; B unabhngig von A eine positiv definite Matrix B. Leistet B dieses nicht, wohl aber die Matrix A, hilft ein Austausch der Matrizen mit einem Hilfseigenwert m: 1 Ax ¼ lBx ! Bx ¼ mAx; m ¼ : l
ð7Þ
Bei singulrer Matrix B ist diese Maßnahme ebenso hilfreich. Ist auch nur eine der beteiligten Matrizen unsymmetrisch, sind grundstzlich nur solche Eigenwertlser geeignet, die im Komplexen arbeiten.
Neben dem in l linearen algebraischen Eigenwertproblem Ax ¼ lBx gibt es das in l nichtlineare Eigenwertproblem PðlÞ x ¼ 0, PðlÞ ¼ A0 þ lA1 þ l2 A2 þ . . . þ lp Ap
ð8Þ
mit einer Polynommatrix P. Durch die Einfhrung zustzlicher Unbekannter x1 ¼ l x0 mit x0 ¼ x, x2 ¼ l x1 , .. . xp1 ¼ l xp2
ð9Þ
gelingt eine formale Darstellung als lineares Eigenwertproblem und damit die Nutzung von Standardsoftware, z. B. fr p ¼ 4: 32 3 32 3 2 2 x x 0 1 0 0 1 0 0 0 6 0 0 1 0 76 x1 7 6 0 1 0 0 76 x1 7 76 7 ¼ l6 76 7: ð10Þ 6 4 0 0 0 1 54 x2 5 4 0 0 1 0 54 x2 5 x3 x3 A0 A1 A2 A3 0 0 0 A4 Ist P in Gl. (8) nicht wie dort algebraisch, sondern eine Matrix mit transzendenten Elementen wie Pij ¼ sin2 l, sind verallgemeinerte Taylor-Entwicklungen heranzuziehen, wie z. B. in Falk/Zurmhl beschrieben. Mehrgitterverfahren Im Rahmen der iterativen Lsung von Gleichungssystemen und Eigenwertproblemen ber zugeordnete quadratische Formen hat das Mehrgitterverfahren (Multigrid Method) eine gewisse Bedeutung erlangt. Dabei werden Diskretisierungen mit verschiedenen finiten Elementnetzen so miteinander verquickt, daß der Fehler auf dem groben Gitter berechnet wird, die entsprechende Verbesserung der aktuellen Nherung hingegen auf dem feinen Gitter stattfindet.
3.3 Interpolation, Integration Interpolation, Integration Bei der Interpolation wird eine Menge von k ¼ 1 bis n diskreten Werten f k ðxk Þ an Sttzstellen xk auf einen kontinuierlichen Bereich abgebildet. Dadurch ist man in der Lage zu differenzieren, zu integrieren und beliebige Zwischenwerte f ð xÞ in der Zeit oder im Raum zu berechnen. Zur Interpolation nichtperiodischer Punktmengen eignen sich insbesondere Polynome. Daneben sind gebrochen rationale Funktionen a0 þ a1 x þ . . . þ ap xp ð11Þ fpq ðxÞ ¼ b0 þ b1 x þ . . . þ bq xq besonders geeignet, Polstellen und asymptotisches Verhalten wiederzugeben. 8 falls p < q q So gibt es fr die Exponentialfunktion f ðxÞ ¼ expðxÞ verschie-
A6
A
Mathematik – 3 Numerische Methoden
Tabelle 1. Pade´-Entwicklungen Pp q ðxÞ fr expðxÞ
Simpson: I 26 ½1 0 þ 4 0 þ 1 0 ¼ 0: Gauß (n=2):
pffiffiffiffiffiffi 8 5 0,6ð0,6 1Þ 0,6 þ 2 þ 18 0 I 2 ½ 18 p ffiffiffiffiffiffi 5 8 þ 18 0,6ð0,6 1Þ þ 0,6 þ 2 ¼ 15 :
Tabelle 2. Sttzstellen x1 bis xn der Gauß-Integration Zh n X I¼ f ðxÞ dx 2 h wk f ðxk Þ
3.4 Rand- und Anfangswertprobleme Boundary and initial value problems
k¼1
h
Anfangswertprobleme in der Regel im Zeitbereich, z_ ðtÞ ¼ f ðz, tÞ, z0 ¼ zðt0 Þ,
dene sogenannte Pade´-Entwicklungen Pp q ðxÞ mit globalen Eigenschaften nach Gl. (12), die in Tab. 1 angegeben sind. Fr periodische Punktmengen ist die globale Fourierinterpolation das klassische numerische Werkzeug. Die Interpolation dient nicht nur zur Verstetigung diskreter Punktmengen, sondern auch zur Abbildung komplizierter Integranden f ðxÞ auf einfach zu integrierende Ersatzfunktionen; vorzugsweise Polynome. Man spricht auch von „interpolatorischer Quadratur“. Alle numerischen Integrationsverfahren basieren auf einer linearen Entwicklung des Integranden in den Funktionswerten f k ¼ f ðxk Þ an gewissen Sttzstellen xk . Gibt man diese Sttzstellen vor, z. B. an den Stellen x1 ¼ h; x2 ¼ 0; x3 ¼ þh eines Integrationsintervalls ½h, h, Zh I¼
f ðxÞ dx,
ð13Þ
mit den Funktionswerten f1 ; f2 ; f3 , so wird dadurch eine quadratische Interpolation mit dem Integralwert I¼
2h ð f1 þ 4 f2 þ f3 Þ 6
ð14Þ
begrndet; das ist die Simpson-Regel. Allgemein formuliert, gehen die Funktionswerte fk mit gewissen Wichtungsfaktoren wk in den Wert des Integrals ein: n X I¼ 2 h wk fk : ð15Þ k¼1
Der entscheidende Aufwand steckt in der Berechnung der n Funktionswerte f k ; bei n vorgegebenen Sttzstellen xk wird der Integrand durch ein Polynom ðn 1Þ. Grades interpoliert. Lßt man hingegen die n Sttzstellen zunchst frei, so lassen sie sich aus der Forderung bestimmen, daß ein Polynom ð2n 1Þ. Grades exakt integriert wird. Dieses Vorgehen geht auf Gauß zurck und kann als optimal bezeichnet werden. Sttzstellen sind in Tab. 2 aufgelistet. Ein einfaches Beispiel verdeutlicht die Qualitt der Gauß-Integration gegenber der Simpson-Formel mit jeweils n ¼ 2 Sttzstellen und h ¼ 1. Exakt: Z1 8 x2 ðx2 1Þ ðx þ 2Þ dx ¼ : I¼ 15 1
fj ¼ f ðtk þ tj h, Zj Þ, Zj ¼ Zðtk þ tj hÞ; 0 tj 1: Die Sttzstellen tj und die Wichtungsfaktoren wj werden fr eine konkrete Entwicklungsstufe m so berechnet, daß der lokale Fehler im Zeitschritt h mglichst klein wird. Entwicklungen nach Gl. (17) nennt man pauschal Runge-Kutta-Verfahren. Im Zusammenhang mit linearisierten Anfangswertproblemen z_ ðtÞ ¼ SzðtÞ, z0 ¼ zðt0 Þ
ð18Þ
vorgegeben, definieren die Eigenwerte l des zugeordneten Eigenwertproblems ðS l1Þ x ¼ 0 die Steifheit S. S¼
h
ð16Þ
zeichnen sich durch vorgegebene Anfangswerte z0 im Anfangszeitpunkt t0 aus. Eine numerische Lsung im Zeitintervall tk t tk þ h mit Approximationen Zk fr zk gelingt durch numerische Integration der rechten Seite f in Gl. (16). Z m X f ðz, tÞ dt: ! Zkþ1 ¼ Zk þ h wj fj ; zkþ1 zk ¼ j¼1 ð17Þ tk þh
jljmax : jljmin
ð19Þ
Fr große Werte von S spricht man von steifen Differentialgleichungen; hierfr eignen sich nur implizite Runge-KuttaVerfahren. Bewhrt haben sich fr lineare Probleme wie in Gl. (18) Pade´-Darstellungen Ppq der Exponentiallsung nach gl. (11) mit Tab. 1. z_ ¼ S z ! zðtÞ ¼ expðS tÞ z0 z1 ¼ zðt ¼ hÞ ¼ expðS hÞ z0:
ð20Þ
Bei gleichen Potenzen p ¼ q, z. B. p ¼ q ¼ 1, ist die Stabilitt der bertragungsgleichung h h ð21Þ 1 S z1 ¼ 1 þ S z0 2 2 a priori gesichert. Randwertprobleme in der Regel im Ortsbereich werden durch Vorgaben an allen Rndern des Problemfeldes charakterisiert. Fr Nherungslsungen eignen sich insbesondere lokale Anstze mit normierten Ansatzfunktionen; dies sind die FiniteElement-Methoden, kurz FEM. Im Rahmen des Konzepts gewichteter Residuen kann es durch die Wahl geeigneter Wichtungs- oder Projektionsfunktionen gelingen, die Integraldarstellung des Problems ausschließlich auf den Problemrand zu reduzieren: Dieses Vorgehen begrndet die Randelementmethode oder kurz BEM: Boundary Element Method.
I1.1
B
B1
Allgemeines
Mechanik Mechanics
B
J. Lackmann, Berlin Dieser Teil basiert auf den Ausfhrungen von G. Rumpel und H.D. Sondershausen (bis 18. Auflage) Allgemeine Literatur zu B 1 bis B 7 Bcher: Falk, S.: Lehrbuch der Technischen Mechanik, Band 1–3. Berlin: Springer 1967, 1968, 1969. – Gross, D.; Hauger, W.: Technische Mechanik, Bd. 1–3. Heidelberger Taschenbcher Bd. 215–217. Berlin: Springer 1986. – Gummert, P.; Recklinger, K.-A.: Mechanik, Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg & Sohn 1986. – Holzmann, Meyer, Schumpich: Technische Mechanik, Teil 1– 3, 5. bzw. 6. Aufl. Stuttgart: Teubner 1986. – Marguerre, K.: Technische Mechanik, Teil I–III. Berlin: Springer 1967, 1968. – Neuber H.: Technische Mechanik, Teil I–III. Berlin: Springer 1967, 1971, 1974. – Pestel, E.: Technische Mechanik, Teil 1–3. Mannheim: Bibliographisches Institut, 1969, 1971. – Szabo´, I.: Einfhrung in die Technische Mechanik, 8. Aufl. Berlin: Springer 1975, Nachdruck 1984. – Szabo´, I.: Hhere Technische Mechanik, 5. Aufl. Berlin: Springer 1972, Nachdruck 1985. – Szabo´, I.: Repertorium zur Technischen Mechanik, 3. Aufl. Berlin: Springer 1972, Nachdruck 1985. – Ziegler, F.: Technische Mechanik der festen und flssigen Krper, Wien: Springer 1985. Normen und Richtlinien: – (DIN 1305) Masse, Gewicht, Gewichtskraft, Fallbeschleunigung, Begriffe. – (DIN 1311) Schwingungslehre. – (DIN 1342) Viskositt Newtonscher Flssigkeiten. – (DIN 5492) Formelzeichen der Strmungsmechanik. – (DIN 5497) Mechanik; starre Krper; Formelzeichen.
wobei
1 Statik starrer Krper Statics of rigid bodies
F ¼ jFj ¼
1.1 Allgemeines. Introduction Statik ist die Lehre vom Gleichgewicht am starren Krper oder an Systemen von starren Krpern. Gleichgewicht herrscht, wenn sich ein Gebilde in Ruhe oder in gleichfrmiger geradliniger Bewegung befindet. Starre Krper im Sinne der Statik sind Gebilde, deren Deformationen so klein sind, daß die Kraftangriffspunkte vernachlssigbar kleine Verschiebungen erfahren. Krfte sind linienflchtige, auf ihrer Wirkungslinie verschiebbare Vektoren (s. A bzw. DUBBEL interaktiv), die Bewegungs- oder Formnderungen von Krpern bewirken. Ihre Bestimmungsstcke sind Grße, Richtung und Lage (Bild 1 a). F ¼ Fx þ Fy þ Fz ¼ Fx ex þ Fy ey þ Fz ez ¼ ðF cos aÞex þ ðF cos bÞey þ ðF cos gÞez ;
ð1Þ
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Fx2 þ Fy2 þ Fz2 :
ð2Þ
Fr die Richtungskosinusse der Kraft gilt cos a ¼ Fx =F, cos b ¼ Fy =F, cos g ¼ Fz =F sowie cos2 a þ cos2 bþ cos2 g ¼ 1. Es gibt eingeprgte Krfte und Reaktionskrfte sowie ußere und innere Krfte. ußere Krfte sind alle von außen auf einen freigemachten Krper (s. B 1.5) einwirkende Krfte (Belastungen und Auflagerkrfte). Innere Krfte sind alle im Inneren eines Systems auftretende Schnitt- und Verbindungskrfte. Momente oder Krftepaare bestehen aus zwei gleich großen, entgegengesetzt gerichteten Krften mit parallelen Wirkungslinien (Bild 1 b) oder einem Vektor, der auf ihrer Wirkungsebene senkrecht steht. Dabei bilden r, F, M eine Rechtsschraube (Rechtssystem). Krftepaare sind in ihrer Wirkungsebene und senkrecht zu dieser beliebig verschiebbar, d. h. der Momentenvektor ist ein freier Vektor, festgelegt durch das Vektorprodukt M ¼ r F ¼ M x þ M y þ M z ¼ Mx e x þ My e y þ Mz e z ¼ ðM cos aÞe þ ðM cos bÞe þ ðM cos gÞe : x
M ¼ jMj ¼ jrj jFj sin j ¼ Fh ¼
Bild 1 a–c. Vektordarstellung. a Kraft; b Krftepaar; c Moment
y
z
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Mx2 þ My2 þ Mz2 :
ð3Þ
ð4Þ
M heißt Grße oder Betrag des Moments und bedeutet anschaulich den Flcheninhalt des von r und F gebildeten Parallelogramms. Dabei ist h der senkrecht zu F stehende Hebelarm. Fr die Richtungskosinusse gilt (Bild 1 c) cos a ¼ Mx =M, cos b ¼ My =M, cos g ¼ Mz =M: Moment einer Kraft bezglich eines Punktes (Versetzungsmoment). Die Wirkung einer Einzelkraft mit beliebigem Angriffspunkt bezglich eines Punkts O wird mit dem Hinzufgen eines Nullvektors, d. h. zweier gleich großer, entgegengesetzt gerichteter Krfte F und F im Punkt O (Bild 2 a) deutlich. Es ergibt sich eine Einzelkraft F im Punkt O und ein Krftepaar bzw. Moment M (Versetzungsmoment), dessen Vektor auf der von r und F gebildeten Ebene senkrecht steht. Sind r und F in Komponenten x, y, z bzw. Fx , Fy , Fz gegeben (Bild 2 b), so gilt
B2
Mechanik – 1 Statik starrer Krper
B
Bild 4 a, b. Zusammensetzen mehrerer Krfte in der Ebene. a Lageplan; b Krftepolygon Bild 2 a – c. Kraft und Moment. a und b Kraftversetzung; c Moment in der Ebene
ex M ¼ rF¼ x Fx
ey y Fy
ez z Fz
FR ¼ ð5Þ
¼ ðFz y Fy zÞex þ ðFx z Fz xÞey þ ðFy x Fx yÞez Fr die Komponenten, den Betrag des Momentenvektors und die Richtungskosinusse gilt M
¼ Fz y Fy z; My ¼ Fx z Fz x;qM z ¼ Fy x Fx y; ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi ¼ jMj ¼ jrj jFj sin j ¼ Fh ¼
n X i¼1
¼ Mx ex þ My ey þ Mz ez :
Mx
Die rechnerische Lsung lautet
Mx2 þ My2 þ Mz2 ;
cos a ¼ Mx =M; cos b ¼ My =M; cos g ¼ Mz =M:
Fi ¼
n X
Fix ex þ
i¼1
n X
Fiy ey
i¼1
ð6Þ
¼ FRx ex þ FRy ey mit Fix ¼ Fi cos ai ; Fiy ¼ Fi sin ai . Grße und Richtung der Resultierenden: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 þ F 2 ; tan a ¼ F =F : ð7Þ FR ¼ FRx R Ry Rx Ry Zerlegen einer Kraft ist in der Ebene eindeutig nur nach zwei Richtungen mglich, nach drei und mehr Richtungen ist die Lsung vieldeutig (statisch unbestimmt). Graphische Lsung s. Bild 5 a, b.
Liegt der Kraftvektor in der x, y-Ebene, d. h., sind z und Fz gleich null, so folgt (Bild 2 c) M ¼ M z ¼ ðFy x Fx yÞez ; M ¼ jMj ¼ Mz ¼ Fy x Fx y ¼ Fr sin j ¼ Fh: Projektion eines Momentenvektors auf eine gegebene Achse (Richtung): Ist y der Winkel zwischen Vektor und Achse und e1 der Einheitsvektor der Achse, so ergibt sich aus dem Skalarprodukt: M1 ¼ Me1 ¼ M cos y.
1.2 Zusammensetzen und Zerlegen von Krften mit gemeinsamem Angriffspunkt Combination and resolution of concurrent forces 1.2.1 Ebene Krftegruppe. Systems of coplanar forces Zusammensetzen von Krften zu einer Resultierenden. Krfte werden geometrisch (vektoriell) addiert, und zwar zwei Krfte mit dem Krfteparallelogramm oder Krftedreieck (Bild 3), mehrere Krfte mit dem Krftepolygon oder Krafteck (Bild 4, Krftemaßstab 1 cm =k N).
Bild 5 a – c. Zerlegen einer Kraft in der Ebene. a In zwei Richtungen (eindeutig); b in drei Richtungen (vieldeutig); c rechnerisch
Rechnerische Lsung (Bild 5 c): F ¼ F1 þ F2 bzw. in Komponenten F cos a ¼ F1 cos a1 þ F2 cos a2 ; F sin a ¼ F1 sin a1 þ F2 sin a2 ; d. h. F2 ¼ ðF sin a F1 sin a1 Þ= sin a2 und somit F cos a ¼ F1 cos a1 þ cos a2 ðF sin a F1 sin a1 Þ= sin a2 : F cos a sin a2 F sin a cos a2 ¼ F1 cos a1 sin a2 F1 sin a1 cos a2 ; Bild 3 a, b. Zusammensetzen zweier Krfte in der Ebene. a Mit Krfteparallelogramm; b mit Krftedreieck
also F1 ¼ F sinða2 aÞ= sinða2 a1 Þ und entsprechend F2 ¼ F sinða1 aÞ= sinða2 a1 Þ: Diese Gleichungen entsprechen dem Sinussatz am schiefwinkligen Dreieck (Bild 5 c).
I1.2
Zusammensetzen und Zerlegen von Krften mit gemeinsamem Angriffspunkt
B3
1.2.2 Rumliche Krftegruppe 3-dimensional force systems Zusammensetzen von Krften zu einer Resultierenden. Krfte werden geometrisch (vektoriell) addiert, indem das rumliche Krafteck (Bild 6 a) gezeichnet wird. Dazu werden sie auf zwei Ebenen projiziert, d. h., die Aufgabe wird im Grund- und Aufriß gelst (Bild 6 a). In der x, y-Ebene (Grundrißebene) ergibt die Vektoraddition die Projektion F0R der Resultierenden FR , in der y, z-Ebene (Aufrißebene) F00R (Bild 6 b). Die Projektion von F00R in z-Richtung ergibt die wirkliche Komponente FRz der Resultierenden. FRz wird mit F0R in der von beiden Komponenten aufgespannten Ebene zur Resultierenden FR zusammengesetzt (Bild 6 c).
B
Bild 7 a – c. Zerlegen einer Kraft im Raum. a Lageplan; b Krafteck; c endgltige Krfte
Bild 6 a – c. Zusammensetzen von Krften im Raum. a Lageplan; b Krafteck; c Gesamtresultierende
Damit folgt
Die rechnerische Lsung lautet FR ¼
n X i¼1
Fi ¼
n X i¼1
Fix ex þ
n X i¼1
menden Kraft F01 in der von diesen beiden Krften aufgespannten Ebene zusammensetzt. Entsprechendes gilt fr F2 und F3 (Bild 7 c). Die rechnerische Lsung lautet F1 þ F2 þ F3 ¼ F; F1x þ F2x þF3x ¼ Fx ; F1y þ F2y þ F3y ¼ Fy ; F1z þ F2z þ F3z ¼ Fz . Gemß Bild 8 gilt fr die Richtungskosinusse der drei gegebenen Richtungen qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos ai ¼ xi = x2i þ y2i þ z2i ; cos bi ¼ yi = x2i þ y2i þ z2i ; qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos gi ¼ zi = x2i þ y2i þ z2i :
Fiy ey þ
n X i¼1
Fiz ez
ð8Þ
¼ FRx ex þ FRy ey þ FRz ez ; mit Fix ¼ Fi cos ai , Fiy ¼ Fi cos bi , Fiz ¼ Fi cos gi . Grße und Richtung der Resultierenden: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 þ F2 þ F2 ; F ¼ FRx Ry Rz ð9Þ cos aR ¼ FRx =F; cos bR ¼ FRy =F; cos gR ¼ FRz =F: Zerlegen einer Kraft ist im Raum eindeutig nur nach drei Richtungen mglich; nach vier und mehr Richtungen ist die Lsung vieldeutig (statisch unbestimmt). Bei der graphischen Lsung (Bild 7 a, b) bestimmt man zunchst den Spurpunkt E der Kraft F (Wirkungslinie O) im Aufriß und Grundriß und damit im Grundriß die von O und 1 aufgespannte Ebene A0 D0 E0 . Sie schneidet die von 2 und 3 gebildete Ebene B0 C0 D0 im Grundriß in der Schnittgeraden c0 mit dem Spurpunkt G0 . Die Projektion von G0 in den Aufriß liefert G00 und damit c00 . Nun zerlegt man die Kraft F im Grundriß und Aufriß in die Richtungen 1 und c, die in zwei verschiedenen Ebenen, nmlich in ABD und BCD, liegen. Fc ist die sogenannte Culmannsche Hilfskraft, die anschließend in die Richtungen 2 und 3 im Grundriß und Aufriß zerlegt wird. Die endgltige Grße von F1 erhlt man, indem man die aus dem Aufriß zu entnehmende Komponente F1z mit der aus dem Grundriß zu entneh-
F1 cos a1 þ F2 cos a2 þ F3 cos a3 ¼ F cos a; F1 cos b1 þ F2 cos b2 þ F3 cos b3 ¼ F cos b; F1 cos g1 þ F2 cos g2 þ F3 cos g3 ¼ F cos g: Diese drei linearen Gleichungen fr die drei unbekannten Krfte F1 , F2 und F3 haben nur dann eine eindeutige Lsung, wenn ihre Systemdeterminante nicht null wird (s. A bzw. DUBBEL interaktiv), d. h., wenn die drei Richtungsvektoren nicht in einer Ebene liegen. Gemß Bild 8 gilt F1 e1 þ F2 e2 þ F3 e3 ¼ F und nach Multiplikation mit e2 e3 F1 e1 ðe2 e3 Þ þ F2 e2 ðe2 e3 Þ þ F3 e3 ðe2 e3 Þ ¼ Fðe2 e3 Þ:
Bild 8. Rechnerische Zerlegung einer Kraft im Raum
B4
Mechanik – 1 Statik starrer Krper
Da der Vektor ðe2 e3 Þ sowohl auf e2 als auch auf e3 senkrecht steht, werden die Skalarprodukte null, und es folgt
B
F1 e1 ðe2 e3 Þ ¼ Fðe2 e3 Þ bzw: F1 ¼ Fe2 e3 =ðe1 e2 e3 Þ;
ð10Þ
F2 ¼ e1 Fe3 =ðe1 e2 e3 Þ; F3 ¼ e1 e2 F=ðe1 e2 e3 Þ: Fe2 e3 ; e1 e2 e3 usw. sind Spatprodukte, d. h. Skalare, deren Grße der Rauminhalt des von drei Vektoren gebildeten Spats festlegt. Die Lsung ist eindeutig, wenn das Spatprodukt e1 e2 e3 6¼ 0 ist, d. h., die drei Vektoren drfen nicht in einer Ebene liegen (s. A bzw. DUBBEL interaktiv). Mit ei ¼ cos ai ex þ cos bi ey þ cos gi ez wird F cos a cos a2 cos a3 cos a1 cos a2 cos a3 F1 ¼ F cos b cos b2 cos b3 : cos b1 cos b2 cos b3 :ð11Þ F cos g cos g cos g cos g cos g cos g 2
3
1
2
3
Entsprechend F2 und F3 .
Fr einen beliebigen Punkt ist die Wirkung der Krftegruppe gleich der ihrer Resultierenden. Wird die Resultierende parallel aus dem Nullpunkt soweit verschoben, daß MR null wird, so folgt fr ihre Lage aus MR ¼ FR hR usw. (Bild 10 b) hR ¼ MR =FR bzw: xR ¼ MR =FRy bzw: yR ¼ MR =FRx : Zerlegen einer Kraft. Die Zerlegung einer Kraft ist in der Ebene eindeutig mglich nach drei gegebenen Richtungen, die sich nicht in einem Punkt schneiden und von denen hchstens zwei parallel sein drfen. Graphisch zerlegt man eine Kraft mit Hilfe der Culmannschen Hilfsgeraden (Bild 11 a, b). Dazu sind die Kraft F mit einer der drei Wirkungslinien und die beiden anderen Wirkungslinien untereinander zum Schnitt zu bringen. Die Verbindungslinie der Schnittpunkte A und B ist die sogenannte Culmannsche Hilfsgerade c. Nach Zerlegen der Kraft F im Krafteck in die Richtungen 3 und c ergeben sich F3 und Fc . Die Kraft Fc wird dann weiter zerlegt in die Richtungen 1 und 2, was zu F1 und F2 fhrt.
1.3 Zusammensetzen und Zerlegen von Krften mit verschiedenen Angriffspunkten Combination and resolution of non-concurrent forces 1.3.1 Krfte in der Ebene. Coplanar forces Zusammensetzen mehrerer Krfte zu einer Resultierenden. Graphisches Verfahren mit Kraft- und Seileck: die Krfte werden im Krafteck (Bild 9 b) geometrisch zur Resultierenden addiert, ein beliebiger Pol P gewhlt und die Polstrahlen 1 bis n gezogen. Die Parallelen hierzu werden als Seilstrahlen 10 bis n0 in den Lageplan (Bild 9 a) bertragen, und zwar so, daß die Krfte eines Krftedreiecks des Polecks sich im Lageplan in einem Punkt schneiden (Punkt-Dreieck-Regel). Der Schnittpunkt des ersten und letzten Seilstrahls liefert den Angriffspunkt der Resultierenden, deren Grße und Richtung aus dem Krafteck zu entnehmen ist. Rechnerisches Verfahren: Bezglich des Nullpunkts ergibt die ebene Krftegruppe eine resultierende Kraft und ein resultierendes (Versetzungs-)Moment (Bild 10 a) FR ¼ FRy ¼
n X i¼1 n X i¼1
Fi ; M R ¼ Fiy ; MR ¼
n X
M i bzw: FRx ¼
n X
i¼1 n X
i¼1 n X
i¼1
i¼1
ðFiy xi Fix yi Þ ¼
Fix ;
Fi hi :
Bild 11 a – c. Zerlegen einer Kraft in der Ebene. a Lageplan mit Culmannscher Geraden c; b Krafteck; c rechnerische Lsung
Die rechnerische Lsung folgt aus der Bedingung, daß Kraftund Momentenwirkung der Einzelkrfte Fi und der Kraft F bezglich des Nullpunktes gleich sein mssen (Bild 11 c): n n X X Fi ¼ F; ðri Fi Þ ¼ r F; d: h: i¼1
i¼1
F1 cos a1 þ F2 cos a2 þ F3 cos a3 ¼ F cos a; F1 sin a1 þ F2 sin a2 þ F3 sin a3 ¼ F sin a; F1 ðx1 sin a1 y1 cos a1 Þ þ F2 ðx2 sin a2 y2 cos a2 Þ þ F3 ðx3 sin a3 y3 cos a3 Þ ¼ Fðx sin a y cos aÞ
Bild 9 a, b. Zusammensetzen mehrerer Krfte in der Ebene. a Lageplan (Seileck); b Krafteck (Poleck)
oder an Stelle der letzten Gleichung F1 h1 þ F2 h2 þF3 h3 ¼ Fh, wobei entgegen dem Uhrzeigersinn drehende Momente positiv sind. Das sind drei Gleichungen fr die drei Unbekannten F1 , F2 , F3 . Ihre Nennerdeterminante darf nicht null werden, d. h., es mssen die bei der graphischen Lsung angefhrten Bedingungen bezglich der Lage der Wirkungslinien der Krfte erfllt sein, wenn die Lsung eindeutig sein soll. 1.3.2 Krfte im Raum. Forces in space
Bild 10. Resultierende von Krften in der Ebene
Krftezusammenfassung (Reduktion). Eine rumliche Krftegruppe, bestehend aus den Krften Fi ¼ ðFix ; Fiy ; Fiz Þ; deren Angriffspunkte durch die Radiusvektoren ri ¼ ðxi ; yi ; zi Þ gegeben sind, kann bezglich eines beliebigen Punkts zu einer resultierenden Kraft FR und zu einem resultierenden Moment M R zusammengefaßt (reduziert) werden. Die umstndliche graphische Lsung erfolgt in drei Projek-
I1.4
Gleichgewicht und Gleichgewichtsbedingungen
B5
B Bild 12 a – c. Rumliche Krftereduktion. a Lageplan; b Kraft- und Momentenresultierende; c Kraft- und Momentenkomponenten
tionsebenen [1]. Die rechnerische Lsung (Bild 12) lautet, bezogen auf den Nullpunkt FR ¼
n X
Fi ;
i¼1
n n ex X X xi MR ¼ ðri Fi Þ ¼ i¼1 i¼1 Fix FRx ¼ MRx ¼
n X
Fix ; FRy ¼
i¼1 n X
n X
ey yi Fiy
ez zi bzw: Fiz
Fiy ; FRz ¼
i¼1
i¼1
Fiz ;
i¼1
ðFiz yi Fiy zi Þ; MRy ¼
n X MRz ¼ ðFiy xi Fix yi Þ:
n X
n X ðFix zi Fiz xi Þ; i¼1
i¼1
Kraftschraube oder Dyname. Eine weitere Vereinfachung des reduzierten Krftesystems ist insofern mglich, als es eine Achse mit bestimmter Lage gibt, auf der Kraftvektor und Momentvektor parallel zueinander liegen (Bild 13). Diese Achse heißt Zentralachse. Sie ergibt sich durch Zerlegen von M R in der durch M R und FR gebildeten Ebene E in die Komponenten MF ¼ MR cos j (parallel zu FR ) und MS ¼ MR sin j (senkrecht zu FR ). Hierbei folgt j aus dem Skalarprodukt M R FR ¼ MR FR cos j, d. h. cos j ¼ M R FR =ðMR FR Þ: Anschließend wird MS durch Versetzen von FR senkrecht zur Ebene E um den Betrag a ¼ MS =FR zu null gemacht. Der dazu gehrige Vektor ist a ¼ ðFR M R Þ=FR2 , da sein Betrag jaj ¼ a ¼ FR MR sin j=FR2 ¼ MS =FR ist. Die Vektorgleichung der Zentralachse, in deren Richtung FR und M F wirken, lautet dann mit t als Parameter rðtÞ ¼ a þ FR t: Kraftzerlegung im Raum. Eine Kraft lßt sich im Raum nach sechs gegebenen Richtungen eindeutig zerlegen. Sind die Richtungen durch ihre Richtungskosinusse gegeben und heißen die Krfte F1 . . . F6 , so gilt 6 X
Fi cos ai ¼ F cos a;
i¼1 6 X i¼1 6 X i¼1 6 X i¼1 6 X i¼1
6 X i¼1
Fi cos bi ¼ F cos b;
Fi cos gi ¼ F cos g; Fi ðyi cos gi zi cos bi Þ ¼ Fðy cos g z cos bÞ; Fi ðzi cos ai xi cos gi Þ ¼ Fðz cos a x cos gÞ; Fi ðxi cos bi yi cos ai Þ ¼ Fðx cos b y cos aÞ:
Aus diesen sechs linearen Gleichungen erhlt man eine eindeutige Lsung, wenn die Nennerdeterminante ungleich null ist (s. A bzw. DUBBEL interaktiv).
Bild 13. Kraftschraube (Dyname)
1.4 Gleichgewicht und Gleichgewichtsbedingungen Conditions of equilibrium Ein Krper ist im Gleichgewicht, wenn er sich in Ruhe oder in gleichfrmiger geradliniger Bewegung befindet. Da dann alle Beschleunigungen null sind, folgt aus den Grundgesetzen der Dynamik, daß am Krper keine resultierende Kraft und kein resultierendes Moment auftreten. 1.4.1 Krftesystem im Raum. System of forces in space Die Gleichgewichtsbedingungen lauten X X FR ¼ Fi ¼ 0 und M R ¼ Mi ¼ 0 bzw. in Komponenten X X X Fiy ¼ 0; Fiz ¼ 0; Fix ¼ 0; X X X Mix ¼ 0; Miy ¼ 0; Miz ¼ 0:
ð12Þ
ð13Þ
Jede der drei Gleichgewichtsbedingungen fr die Krfte kann durch eine weitere fr die Momente um eine beliebige andere Achse, die nicht durch den Ursprung O gehen darf, ersetzt werden. Aus den sechs Gleichgewichtsbedingungen lassen sich sechs unbekannte Grßen (Krfte oder Momente) berechnen. Sind mehr als sechs Unbekannte vorhanden, nennt man das Problem statisch unbestimmt. Seine Lsung ist nur unter Heranziehung der Verformungen mglich (s. C 2.7). Liegen Krfte mit gemeinsamem Angriffspunkt vor, so sind die Momentenbedingungen von Gl. (13) bezglich des Schnittpunkts (und damit auch fr alle anderen Punkte, da M R ein freier Vektor ist) identisch erfllt. Dann gelten nur die Krftegleichgewichtsbedingungen von Gl. (13), aus denen drei unbekannte Krfte ermittelt werden knnen. Fr die Xgraphische Lsung Fi ¼ 0 das rumlimuß sich in diesem Fall wegen FR ¼ che Krafteck schließen (Durchfhrung in Grund- und Aufriß entsprechend Bild 7). 1.4.2 Krftesystem in der Ebene Systems of coplanar forces Das Gleichungssystem (13) reduziert sich auf drei Gleichgewichtsbedingungen: X X X Fix ¼ 0; Fiy ¼ 0; Miz ¼ 0: ð14Þ Die beiden Krftegleichgewichtsbedingungen knnen durch zwei weitere Momentenbedingungen ersetzt werden. Die drei Bezugspunkte fr die drei Momentengleichungen drfen nicht auf einer Geraden liegen. Aus den drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene lassen sich drei unbekannte Grßen (Krfte oder Momente) ermitteln. Sind mehr Unbekannte vorhanden, so ist das ebene Problem statisch unbestimmt. Die graphische Lsung fr das Gleichgewicht in der Ebene folgt aus dem Satz, daß sich Kraft- und Seileck schließen mssen (Bild 14). Schließt sich das Krafteck, das Seileck aber nicht, so herrscht kein Gleichgewicht; ein Krftepaar
B6
B
Mechanik – 1 Statik starrer Krper
bleibt brig (s. Bild 14, Kraft F40 und Krftepaar, bestehend aus Seilkrften 1 und 50 ). Sonderflle: Zwei Krfte sind im Gleichgewicht, wenn sie auf gleicher Wirkungslinie liegen, gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sind. Drei Krfte mssen sich in einem Punkt schneiden, und das Krafteck muß sich schließen. Bei vier Krften muß sich das Krafteck schließen, und die Resultierenden von je zweien mssen auf derselben Wirkungslinie liegen, gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sein (Bild 15).
Bild 17. Prinzip virtueller Verrckungen Bild 18. Zeichenmaschine
In natrlichen Koordinaten nimmt das Prinzip die Form X ðeÞ X ðeÞ dW ðeÞ ¼ Fis dsi þ Mij dji ¼ 0 ð17Þ ðeÞ
an, wobei Fis die in die Richtung der Verschiebung zeigenBild 14. Graphische Gleichgewichtsbedingungen
ðeÞ
den Kraftkomponenten und Mij die um die Drehachse wirksamen Komponenten der Momente sind. Das Prinzip dient unter anderem in der Statik zur Untersuchung des Gleichgewichts an verschieblichen Systemen und zur Berechnung des Einflusses von Wanderlasten auf Schnitt- und Auflagerkrfte (Einflußlinien). 1.4.4 Arten des Gleichgewichts. Types of equilibrium Beispiel: Bei einer Zeichenmaschine sind Gegengewicht FQ und sein Hebelarm l so zu bestimmen, daß sich die Zeichenmaschine vom Eigengewicht FG in jeder Lage im Gleichgewicht befindet (Bild 18). – Das System hat zwei verschiedene Freiheitsgrade j und y.
Bild 15
Bild 16
rG ¼ ðc sin j þ b sin y; b cos y c cos jÞ; rQ ¼ ðl sin j a sin y; a cos y þ l cos jÞ; drG ¼ ðc cos j dj þ b cos y dy; b sin y dy þ c sin j djÞ; drQ ¼ ðl cos j dj a cos y dy; a sin y dy l sin j djÞ:
Bild 15. Gleichgewicht von vier Krften in der Ebene Bild 16. Gleichgewicht von Krften mit gemeinsamem Angriffspunkt
Fr Krfte mit gemeinsamem Angriffspunkt in der Ebene ist die Momentenbedingung in Gl. (14) identisch erfllt, es bleiben nur die beiden Krftebedingungen X X Fiy ¼ 0: ð15Þ Fix ¼ 0; Die graphische Lsung folgt aus der Vektorgleichung FR ¼ 0, d. h., das Krafteck muß sich schließen (Bild 16). 1.4.3 Prinzip der virtuellen Arbeiten Principle of virtual work Das Prinzip tritt an die Stelle der Gleichgewichtsbedingungen und lautet: Erteilt man einem starren Krper eine mit seinen geometrischen Bindungen vertrgliche kleine (virtuelle) Verrckung, und ist der Krper im Gleichgewicht (Bild 17), so ist die virtuelle Gesamtarbeit aller eingeprgten ußeren Krfte und Momente – durch (e) hochgestellt gekennzeichnet – gleich null: X ðeÞ X ðeÞ dW ðeÞ ¼ Fi dri þ M i dji ¼ 0 ð16Þ bzw. in Komponenten X ðeÞ ðeÞ ðeÞ dW ðeÞ ¼ ðFix dxi þ Fiy dyi þ Fiz dzi Þ X ðeÞ ðeÞ ðeÞ þ ðMix djix þ Miy djiy þ Miz djiz Þ ¼ 0; ri ¼ ðxi ; yi ; zi Þ Ortsvektoren zu den Kraftangriffspunkten; dri ¼ ðdxi ; dyi ; dzi Þ Variationen (mathematisch ausgedrckt Vektordifferentiale) der Ortsvektoren, die sich durch Bildung der ersten Ableitung ergeben; dji Drehwinkeldifferentiale der Verdrehungen ji .
Mit FG ¼ ð0; FG Þ und FQ ¼ ð0; FQ Þ wird X ðeÞ dW ðeÞ ¼ Fi dri ¼ FG ðb sin y dy þ c sin j djÞ FQ ða sin y dy l sin j djÞ ¼ sin y dyðFG b FQ aÞ þ sin j djðFG c þ FQ lÞ: Aus dW ðeÞ ¼ 0 folgt wegen der Beliebigkeit von j und y FG b FQ a ¼ 0 und FG c þ FQ l ¼ 0 und damit FQ ¼ FG b=a und l ¼ c FG =FQ ¼ ca=b: Ferner wird d2 W ðeÞ ¼ cos y dy2 ðFG b FQ aÞ þ cos j dj2 ðFG c þ FQ lÞ: Hieraus folgt mit den ermittelten Lsungswerten d2 W ðeÞ ¼ 0; d. h., es liegt indifferentes Gleichgewicht vor.
Man unterscheidet stabiles, labiles und indifferentes Gleichgewicht (s. Bild 19). Stabiles Gleichgewicht herrscht, wenn ein Krper bei einer mit seinen geometrischen Bindungen vertrglichen Verschiebung in seine Ausgangslage zurckzukehren trachtet, labiles Gleichgewicht, wenn er sie zu verlassen sucht, und indifferentes Gleichgewicht, wenn jede benachbarte Lage eine neue Gleichgewichtslage ist. Wird entsprechend B 1.4.3 die kleine Verschiebung als virtuelle aufgefaßt, so gilt nach dem Prinzip der virtuellen Arbeiten fr die Gleichgewichtslage dW ðeÞ ¼ 0. Bewegt man den Krper gemß Bild 19 a aus einer Lage 1 in eine Lage 2 ber die Gleichgewichtslage 0 hinweg, so ist im Bereich 1 bis 0 die Arbeit dW ðeÞ ¼ Fs ds > 0; d. h. positiv, im Bereich 0 bis 2 dW ðeÞ < 0; d. h. negativ. Aus der Funktion dW ðeÞ ¼ f ðsÞ geht hervor, daß die Steigung von dW ðeÞ negativ ist, d. h. d2 W ðeÞ < 0, wenn stabiles Gleichgewicht. Allgemein gilt fr das Gleichgewicht: stabil d2 W ðeÞ < 0; labil d2 W ðeÞ > 0; indifferent d2 W ðeÞ ¼ 0:
I1.6
Auflagerreaktionen an Krpern
B7
B Bild 21 a, b. Freimachungsprinzip. a Gesttzter Krper mit geschlossener Schnittlinie; b freigemachter Krper
Bild 19 a – c. Gleichgewichtsarten. a Stabil; b labil; c indifferent
Handelt es sich um Probleme, bei denen nur Gewichtskrfte eine Rolle spielen, dann gilt mit dem Potential U ¼ FG z bzw. dU ¼ FG dz dW ðeÞ ¼ FðeÞ dr ¼ ð0; 0; FG Þðdx; dy; dzÞ ¼ FG dz ¼ dU und d2 W ðeÞ ¼ d2 U; d. h., bei stabilem Gleichgewicht ist d2 U > 0 und somit die potentielle Energie U ein Minimum, bei labilem Gleichgewicht d2 U < 0 und die potentielle Energie ein Maximum. 1.4.5 Standsicherheit. Stability Bei Krpern, deren Auflagerungen nur Druckkrfte aufnehmen knnen, besteht die Gefahr des Umkippens. Es wird verhindert, wenn um die mglichen Kippkanten A oder B (Bild 20) die Summe der Standmomente grßer ist als die Summe der Kippmomente, d. h., wenn die Resultierende des Krftesystems innerhalb der Kippkanten die Standflche schneidet. Standsicherheit ist das Verhltnis der Summe aller Standmomente zur X Summe X aller Kippmomente bezglich eiMK . Fr S 1 herrscht Standner Kippkante: S ¼ MS = sicherheit und Gleichgewicht.
Bild 22. Lagerungsarten
Lager wirken dann nach „actio = reactio“ (3. Newtonsches Axiom) gleich große, entgegengesetzt gerichtete Krfte. Je nach Bauart und Anzahl der Reaktionsgrßen eines Lagers unterscheidet man ein- bis sechswertige Lager (Bild 22). Bild 20. Standsicherheit
1.6 Auflagerreaktionen an Krpern Support reactions
1.5 Lagerungsarten, Freimachungsprinzip Types of support, the „free body“
1.6.1 Krper in der Ebene. Plane problems
Krper werden durch sog. Lager abgesttzt. Die Sttzkrfte wirken als Reaktionskrfte zu den ußeren eingeprgten Krften auf den Krper. Je nach Bauart der Lager knnen im rumlichen Fall maximal drei Krfte und maximal drei Momente bertragen werden. Die Reaktionskrfte und -momente werden durch das sogenannte „Freimachen“ eines Krpers zu ußeren Krften. Ein Krper wird freigemacht, indem man ihn mittels eines geschlossenen Schnitts durch alle Lager von seiner Umgebung trennt und die Lagerkrfte als ußere Krfte am Krper anbringt (Bild 21, Freimachungsprinzip). Auf die
In der Ebene hat ein Krper drei Freiheitsgrade hinsichtlich seiner Bewegungsmglichkeiten (Verschiebung in x- und yRichtung, Drehung um die z-Achse). Er bentigt daher eine insgesamt 3wertige Lagerung fr eine stabile und statisch bestimmte Festhaltung. Diese kann aus einer festen Einspannung oder aus einem Fest- und einem Loslager oder aus drei Loslagern (Gleitlagern) bestehen (im letzten Fall drfen sich die drei Wirkungslinien der Reaktionskrfte nicht in einem Punkt schneiden). Ist die Lagerung n-wertig (n > 3), so ist das System (n 3)fach statisch unbestimmt gelagert. Ist die Lagerung weniger als 3wertig, so ist das System statisch un-
B8
Mechanik – 1 Statik starrer Krper
terbestimmt, d. h. instabil und beweglich. Die Berechnung der Auflagerreaktionen erfolgt durch Freimachen und Ansetzen der Gleichgewichtsbedingungen.
B
Beispiel: Welle (Bild 23 a). Gesucht werden die Auflagerkrfte in A und B infolge der gegebenen Krfte F1 und F2 .
Bild 23 a – c. Welle. a System; b Freimachung; c graphische Lsung Rechnerische Lsung: An der freigemachten Welle (Bild 23 b) gilt X MiA ¼ 0 ¼ F1 a þ FB l F2 ðl þ cÞ also FB ¼ ½F1 a þ F2 ðl þ cÞ=l; X X
MiB ¼ 0 ¼ FAy l þ F1 b F2 c, also FAy ¼ ðF1 b F2 cÞ=l; Fix ¼ 0 ¼ FAx :
X Die Gleichgewichtsbedingung Fiy ¼ 0 muß ebenfalls erfllt sein und kann als Kontrollgleichung benutzt werden. X Fiy ¼ FAy F1 þ FB F2
Bild 24 a – c. Abgewinkelter Trger. a System; b Freimachung; c graphische Lsung
mit der (bekannten) Wirkungslinie von FS liefert die Schlußlinie s0 , die das Seileck schließt. Ihre bertragung in das Poleck liefert – unter Einhaltung der Punkt-Dreieck-Regel (s. B 1.3.1) – zunchst FS und dann durch Schließen des Kraftecks die Kraft FA . Beispiel: Wagen auf schiefer Ebene (Bild 25 a–c). Der durch die Gewichtskraft FG und die Anhngerzugkraft FZ belastete Wagen wird von einer Seilwinde auf der schiefen Ebene im Gleichgewicht gehalten. Zu bestimmen sind die Zugkraft im Halteseil sowie die Sttzkrfte an den Rdern, wobei Reibkrfte außer acht gelassen werden sollen.
¼ ðF1 b F2 cÞ=l F1 þ ½F1 a þ F2 ðl þ cÞ=l F2 ¼ F1 ða þ b lÞ=l þ F2 ðc þ l þ c lÞ=l ¼ 0: Graphische Lsung (Bild 23 c): Mit den Krften F1 und F2 lßt sich das Kraft- und Poleck sowie das zugehrige Seileck zeichnen. Die Schnittpunkte der beiden ußeren Seilstrahlen 10 und 30 mit den bekannten Wirkungslinien beider Auflagerkrfte (da hier FAx ¼ 0 ist) liefert die Schlußlinie s0 , die das Seileck zum „Schließen“ bringt. Ihre Parallelbertragung in das Poleck ergibt die beiden Auflagerkrfte FA und FB unter Einhaltung der Punkt-Dreieck-Regel (s. B 1.3.1). Damit sind dann Seileck und Krafteck geschlossen, d. h., es herrscht Gleichgewicht unter den Krften F1 , F2 , FB , FA . Beispiel: Abgewinkelter Trger (Bild 24 a). Fr den durch zwei Einzelkrfte F1 und F2 und die konstante Streckenlast q belasteten abgewinkelten Trger ist die Auflagerkraft im Festlager A und die Kraft im Pendelstab bei B zu bestimmen. Rechnerische Lsung: Mit der Resultierenden der Streckenlast Fq ¼ qc wird (Bild 24 b) X MiA ¼ 0 ¼ F1 sin a1 a qcða þ b þ c=2Þ F2 e þ FS cos aS l þ FS sin aS h und daraus FS ¼ ½F1 sin a1 a þ qcða þ b þ c=2Þ þ F2 e=ðl cos aS þ h sin aS Þ: Aus
X X
Fix ¼ 0 ¼ FAx þ F1 cos a1 þ F2 FS sin aS und
Bild 25 a–c. Wagen auf schiefer Ebene. a System; b Freimachung; c graphische Lsung
Rechnerische Lsung: Am freigemachten Wagen (Bild 25 b) ergeben die Gleichgewichtsbedingungen X Fix ¼ 0 ¼ FZ FG sin a þ FS cos a; also X
Fiy ¼ 0 ¼ FAy F1 sin a1 qc þ FS cos aS
folgen FAx ¼ F1 cos a1 F2 þ FS sin aS und FAy ¼ F1 sin a1 þ qc FS cos aS ; wobei der vorstehend errechnete Wert fr FS einzusetzen ist. Graphische Lsung (Bild 24 c): Nach Zeichnen des Kraftecks aus den gegebenen Krften F1 ; F2 und Fq und des Polecks wird das zugehrige Seileck konstruiert, wobei der erste Seilstrahl 10 durch das Festlager A gelegt werden muß, da es der einzige bekannte Punkt der Wirkungslinie von FA ist. Der Schnittpunkt des letzten Seilstrahls 40
X
FS ¼ FG tan a þ FZ = cos a; MiA ¼ 0 ¼ FZ h=4 þ FG ðh=2Þ sin a FG b cos a þ 2Fn2 b FS ðh=2Þ cos a FS ða þ 2bÞ sin a; MiB ¼ 0 ¼ FZ h=4 2Fn1 b þ FG ðh=2Þ sin a þ FG b cos a FS ðh=2Þ cos a FS a sin a:
Hieraus folgen Fn2 ¼ FZ h=ð8bÞ FG ½ðh=2Þ sin a b cos a=ð2bÞ þ FS ½ðh=2Þ cos a þ ða þ 2bÞ sin a=ð2bÞ und Fn1 ¼ FZ h=ð8bÞ þ FG ½ðh=2Þ sin a þ b cos a=ð2bÞ FS ½ðh=2Þ cos a þ a sin a=ð2bÞ;
I1.7 wobei X der errechnete Wert von FS einzusetzen ist. Die Bedingung Fiy ¼ 0 ¼ Fn1 þ Fn2 FG cos a FS sin a kann dann als Kontrollgleichung benutzt werden.
X X X X
Graphische Lsung (Bild 25 c): Die eingeprgten Krfte FG und FZ werden zur resultierenden eingeprgten Kraft FR zusammengesetzt, deren Lage mit dem Schnittpunkt der Wirkungslinien von FG und FZ gegeben ist. Das Gleichgewicht zwischen den vier Krften FR ; FS ; Fn1 ; Fn2 erfordert, daß die Resultierenden je zweier Krfte (z. B. FR und Fn1 bzw. Fn2 und FS ) Gegenkrfte sein mssen (s. B 1.4.2). Die Schnittpunkte der Wirkungslinien von FR und Fn1 bzw. von Fn2 und FS ergeben die Culmannsche Hilfsgerade c, in der die beiden Resultierenden als Gegenkrfte liegen mssen. Im Krafteck lßt sich FR mit Fn1 zu Fc zusammensetzen und anschließend die Gegenkraft Fc in Fn2 und FS zerlegen. Beispiel: Trger unter Wanderlast. Einflußlinie (Bild 26 a). Die Auflagerkraft FX A fr eine Kraft F in einer beliebigen Laststellung x ergibt sich aus MiB ¼ 0 ¼ FA l þ Fðl xÞ zu FA ¼ Fðl xÞ=l ¼ FhðxÞ: Fr F=1 folgt FA ¼ hðxÞ ¼ ðl xÞ=l: Diese Funktion ist eine Gerade (Bild 26 b), deren Ordinaten den Einfluß der Wanderlast F=1 auf die Auflagerkraft FA darstellen. Sie heißt Einflußlinie der Auflagerkraft FA . Steht z. B. eine Kraft F1 = 300 N an der Stelle x1 ¼ 3l=4, so ergibt sich FA ¼ F1 hðx1 Þ ¼ 300 Nð1=4Þ ¼ 75 N. Fr mehrere X Einzelkrfte Fi an den Stellen xi folgt demgemß FA ¼ Fi hðxi Þ. Bei einer Streckenlast q(x) im Bereich a % x % b ist Zb FA ¼ qðxÞhðxÞ dx. Fr konstante Streckenlast q0 auf der gesamten
X X
Fiy
Systeme starrer Krper
B9
¼ 0 ergibt F3 ¼ Fy = cos a;
MiBz ¼ 0 ergibt F1 ¼ ðFx Fy Þ=ð2 cos aÞ; Fix
¼ 0 ergibt F5 ¼ ðFx þ Fy Þ=ð2 cos aÞ;
MiBx ¼ 0 ergibt F2 ¼ Fz =2 ½ðFx Fy Þ tan a=2; MiAy ¼ 0 ergibt F6 ¼ Fz =2:
Mi; AC ¼ 0 ¼ F4 l sin 45° þ F3 l sin a sin 45° þ F5 l sin a sin 45°; ergibt F4 ¼ ½ðFx þ 3Fy Þ tan a=2: Kontrolle: X Fiz ¼ F1 sin a F2 F3 sin a F4 F5 sin a F6 þ Fz ¼ . . . ¼ 0: Beispiel: Welle mit Schrgverzahnung (Bild 28). Die Auflagerkrfte der Welle sind Xzu berechnen. – Die Welle kann sich um die x-Achse drehen, d. h. Mix ¼ 0 entfllt. Die restlichen fnf Gleichgewichtsbedingungen lauten: X Fix ¼ 0 ergibt FAx ¼ F1x F2x ; X M ¼ 0 ergibt FAy ¼ ðF1x r1 þ F1y b þ F2x r2 þ F2y cÞ=l; X iBz M ¼ 0 ergibt FAz ¼ ðF1z b F2z cÞ=l; X iBy M ¼ 0 ergibt FBy ¼ ½F1x r1 F1y a þ F2x r2 þ F2y ðl þ cÞ=l; X iAz MiAy ¼ 0 ergibt FBz ¼ ½F1z a þ F2z ðl þ cÞ=l: X X Fiz ¼ 0 knnen als Kontrollen Die Bedingungen Fiy ¼ 0 und verwendet werden.
x¼a
Trgerlnge folgt Zl
Zl FA ¼ q0
hðxÞdx ¼ ðq0 =lÞ x¼0
ðl xÞdx x¼0
¼ ðq0 =lÞ½lx x2 =2lx¼0 ¼ q0 l=2: Die maximale Ordinate der Einflußlinie gibt die ungnstigste Laststellung fr die Auflagerkraft an.
Bild 28. Welle mit Schrgverzahnung
1.6.2 Krper im Raum. Body in space Im Raum hat ein Krper sechs Freiheitsgrade (drei Verschiebungen und drei Drehungen). Er bentigt daher fr eine stabile Festhaltung eine insgesamt 6wertige Lagerung. Ist die Lagerung n-wertig (n > 6), so ist das System (n 6)fach statisch unbestimmt gelagert. Ist n < 6, so ist es statisch unterbestimmt, also beweglich und instabil. Beispiel: Rumlich durch sechs Stbe abgesttzte Platte. Die Stabkrfte F1 bis F6 sind rechnerisch zu bestimmen (Bild 27). Die Gleichgewichtsbedingungen werden in Form von Krfte- oder Momentengleichungen mglichst so angesetzt, daß nur eine Unbekannte enthalten ist.
Bild 26
1.7 Systeme starrer Krper Systems of rigid bodies Sie bestehen aus mehreren Krpern, die durch Verbindungselemente, d. h. Gelenke a oder Fhrungen b oder auch durch gelenkig angeschlossene Fhrungen c, miteinander verbunden sind (Bild 29). Ein Gelenk bertrgt Krfte in zwei Richtungen, aber kein Moment; eine Fhrung bertrgt eine Kraft quer zur Fhrung und ein Moment, aber keine Kraft parallel zur Fhrung; eine gelenkige Fhrung bertrgt eine Kraft quer zur Fhrung, aber keine Kraft parallel zur Fhrung und kein Moment. Man spricht daher von zweiwertigen oder einwertigen Verbindungselementen. Ist i die Summe der Wertigkeiten der Auflager und j die Summe der Wertigkeiten der Verbindungselemente, so muß bei einem System aus k Krpern mit 3k Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene die Bedingung i þ j ¼ 3 k erfllt sein, wenn ein stabiles System statisch bestimmt sein soll. Ist i þ j > 3 k, so ist das System statisch unbestimmt, d. h., wenn i þ j ¼ 3 k þ n, ist es n-fach statisch unbestimmt. Ist
Bild 27
Bild 26 a, b. Trger mit Wanderlast. a System; b Einflußlinie Bild 27. Rumlich durch sechs Stbe abgesttzte Platte
Bild 29. System aus starren Krpern
B
B 10
Mechanik – 1 Statik starrer Krper
B Bild 30 a – c. Dreigelenkrahmen. a System; b Freimachung; c graphische Lsung
i þ j < 3 k, so ist das System statisch unterbestimmt und auf jeden Fall labil. Fr das stabile System nach Bild 29 ist i þ j ¼ 7 þ 5 ¼ 12 und 3 k ¼ 3 4 ¼ 12, d. h., das System ist statisch bestimmt. Bei statisch bestimmten Systemen werden die Auflagerreaktionen und Reaktionen in den Verbindungselementen ermittelt, indem die Gleichgewichtsbedingungen fr die freigemachten Einzelkrper erfllt werden. Beispiel: Dreigelenkrahmen oder Dreigelenkbogen (Bild 30 a). Rechnerische Lsung: Nach Freimachen der beiden Einzelkrper (Bild 30 b) Gleichgewichtsbedingungen fr Krper I: X Fix ¼ 0 ergibt FAx ¼ FCx F1x ; ð18 aÞ X ð18 bÞ Fiy ¼ 0 ergibt FAy ¼ F1y þ F2 FCy ; X ð18 cÞ MiA ¼ 0 ¼ FCx H þ FCy a F1x y1 F1y x1 F2 x2 ; und fr Krper II: X Fix ¼ 0 ergibt FBx ¼ FCx F3x ; X Fiy ¼ 0 ergibt FBy ¼ FCy þ F3y ; X MiB ¼ 0 ¼ FCx h þ FCy b þ F3x ½y3 ðH hÞ þ F3y ðl x3 Þ:
ð18 dÞ ð18 eÞ ð18 fÞ
Aus den Gln. (18‚c und f) ergeben sich die Gelenkkrfte FCx und FCy , eingesetzt in die Gln. (18a, b, d und e) dann dieX Auflagerkrfte MiC ¼ 0 am FAx ; FAy ; FBx ; FBy . Zur Kontrolle verwendet man Gesamtsystem. Graphische Lsung (Bild 30 c): Fr jeden Krper werden die Resultierenden FR1 und FR2 der eingeprgten Krfte gebildet und deren Wirkung nacheinander untersucht. FR1 muß mit den Krften FA1 und FB1 in den Lagern A und B im Gleichgewicht stehen. Dabei muß die Wirkungslinie von FB1 durch die Punkte B und C gehen, da am zunchst noch als lastfrei betrachteten Krper II Momentengleichgewicht fr beliebige Punkte herrschen muß. Durch den Schnittpunkt D dieser Wirkungslinie mit FR1 muß aber auch die Wirkungslinie von FA1 gehen, wenn zwischen den drei Krften FR1 , FA1 und FB1 Gleichgewicht bestehen soll (s. B 1.4.2). Aus dem nun zu zeichnenden Krafteck ergeben sich die Grßen von FA1 und FB1 . Anschließend folgen aus der analogen Konstruktion fr FR2 (wobei im Krafteck FR2 zweckmßig an FR1 angetragen wird) die Krfte FA2 und FB2 . Die vektorielle Addition von FA1 und FA2 liefert FA , die von FB1 und FB2 liefert FB . Am Ende ist im Krafteck die Gleichgewichtsbedingung F1 þ F2 þ F3 þ FB þ FA ¼ 0 wie erforderlich erfllt.
Bild 31 a – c. Fachwerk. a Statisch bestimmt; b statisch unterbestimmt; c statisch unbestimmt
da es fr jeden Knoten zwei Gleichgewichtsbedingungen gibt, fr ein statisch bestimmtes und stabiles Fachwerk (Bild 31 a) 2n ¼ s þ 3, s ¼ 2n 3, d. h., aus den 2n 3 Gleichgewichtsbedingungen sind s unbekannte Stabkrfte berechenbar. Ein Fachwerk mit s < 2n 3 Stben ist statisch unterbestimmt und kinematisch instabil (Bild 31 b), ein Fachwerk mit s > 2n 3 Stben ist innerlich statisch unbestimmt (Bild 31 c). Fr die Bildung statisch bestimmter und stabiler Fachwerke gelten folgende Bildungsgesetze: – Ausgehend von einem stabilen Grunddreieck werden nacheinander neue Knotenpunkte mit zwei Stben angeschlossen Bilder 31 a, 32 a. – Aus zwei statisch bestimmten Fachwerken wird ein neues gebildet durch drei Verbindungsstbe, deren Wirkungslinien keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben (Bild 32 b). Dabei knnen zwei Stbe durch einen den beiden Fachwerken gemeinsamen Knoten ersetzt werden (Bild 32 b, rechts). – Durch Stabvertauschung kann jedes nach diesen Regeln gebildete Fachwerk in ein anderes statisch bestimmtes und stabiles umgebildet werden, wenn der Tauschstab zwischen zwei Punkte eingebaut wird, die sich nach seiner Entfernung gegeneinander bewegen knnten (Bild 32 c). – Aus mehreren stabilen Fachwerken knnen nach den Regeln der Starrkrpersysteme gemß Bild 32 c B 1.7 neue stabile Fachwerksysteme gebildet werden (Bild 32 d). Ermittlung der Stabkrfte Knotenschnittverfahren. Allgemein ergeben sich die s Stabkrfte und die drei Auflagerkrfte fr ein statisch bestimmtes Fachwerk nach Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen
1.8 Fachwerke. Pin-jointed frames 1.8.1 Ebene Fachwerke. Plane frames Fachwerke bestehen aus Stben, die in den Knotenpunkten als gelenkig miteinander verbunden angesehen werden. Die Gelenke werden als reibungsfrei angenommen, d. h., es werden nur Krfte in Stabrichtung bertragen. Die in Wirklichkeit in den Knotenpunkten vorhandenen Reibungsmomente und biegesteifen Anschlsse fhren zu Nebenspannungen, die in der Regel vernachlssigbar sind. Die ußeren Krfte greifen in den Knotenpunkten an oder werden nach dem Hebelgesetz am Stab auf diese verteilt. Hat ein Fachwerk n Knoten und s Stbe und ist es ußerlich statisch bestimmt mit drei Auflagerkrften gelagert, so gilt,
Bild 32 a – d. Fachwerke. a bis d zum 1. bis 4. Bildungsgesetz
I1.8 X Fiy ¼ 0 an allen durch Rundschnitt freigeFix ¼ 0 und machten n Knoten. Man erhlt 2n lineare Gleichungen. Ist die Nennerdeterminante des Gleichungssystems ungleich null, so ist das Fachwerk stabil, ist sie gleich null, so ist es instabil (verschieblich) [1]. Hufig gibt es (z. B. nachdem man vorher die Auflagerkrfte aus den Gleichgewichtsbedingungen am Gesamtsystem ermittelt) einen Ausgangsknoten mit nur zwei unbekannten Stabkrften, dem sich weitere Knoten mit nur jeweils zwei Unbekannten anschließen, so daß sie nacheinander aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden knnen, ohne ein Gleichungssystem lsen zu mssen. Bei der graphischen Lsung fhrt dies zum sogenannten
X
Cremonaplan. Gibt es von Knoten zu Knoten fortschreitend nur zwei Unbekannte, so werden diese aus dem sich schließenden Krafteck graphisch bestimmt. Die Aneinanderreihung der Kraftecke ergibt den Cremonaplan, indem man alle Knoten im selben Drehsinn nacheinander umfhrt. Dabei liefern Stabkrfte, die an einem Knoten angreifen, im Krfteplan ein geschlossenes Krafteck (s. Beispiel). Rittersches Schnittverfahren. Ein analytisches Verfahren, bei dem durch Schnitt dreier Stbe ein ganzer Fachwerkteil freigemacht wird und nach Ansatz der drei Gleichgewichtsbedingungen fr diesen Teil die drei unbekannten Stabkrfte berechnet werden (s. Beispiel). Stabvertauschungsverfahren nach Henneberg. Kompliziert aufgebaute Fachwerke lassen sich durch Stabvertauschung auf einfache zurckfhren. Die Stabkraft im Ersatzstab infolge ußerer Last und die Kraft im Vertauschungsstab muß insgesamt null sein; daraus ergibt sich die Kraft im Vertauschungsstab. Die Methode ist auch gut geeignet zur Feststellung der Stabilitt eines Fachwerks, da im Fall der Labilitt die Kraft im Vertauschungsstab gegen unendlich geht. Einflußlinien infolge von Wanderlasten Die Berechnung einer Stabkraft FSi als Funktion von x infolge einer Wanderlast F ¼ 1 liefert die Einflußfunktion h(x); ihre graphische Darstellung heißt Einflußlinie. Die Auswertung fr mehrere Einzellasten Fj liefert die Stabkraft FSi ¼ X Fj hðxj Þ (s. Beispiel). Beispiel: Fachwerkausleger (Bild 33 a). Gegeben: F1 ¼ 5 kN , F2 ¼ 10 kN, F3 ¼ 20 kN, a ¼ 2 m, b ¼ 3 m, h ¼ 2 m, a ¼ 45 , b ¼ 33;69 . Gesucht: Stabkrfte. Knotenschnittverfahren. Die unbekannten Stabkrfte FSi werden als Zugkrfte positiv angesetzt (Bild 33 b). Fr Knoten E gilt: X Fiy ¼ 0 ergibt FS2 ¼ F2 = sin a ¼ 14;14 kN; also Druck; X Fix ¼ 0 ergibt FS1 ¼ F1 FS2 cos a ¼ þ15;00 kN; also Zug:
Fachwerke
B 11
Fr Knoten C gilt: X Fix ¼ 0 ergibt FS4 ¼ FS1 ¼ þ 15;00 kN ðZugÞ; X Fiy ¼ 0 ergibt FS3 ¼ F3 ¼ 20;00 kN ðDruckÞ: Fr Knoten D gilt: X Fiy ¼ 0 ergibt FS5 ¼ ðFS2 sin a þ FS3 Þ= sin b X
¼ þ 54;08 kN ðZugÞ; Fix ¼ 0 ergibt FS6 ¼ FS2 cos a FS5 cos b ¼ 55;00 kN ðDruckÞ:
Fr Knoten B gilt: X Fiy ¼ 0 ergibt FS7 ¼ 0; X Fix ¼ 0 ergibt FB ¼ FS6 ¼ 55;00 kN: Fr Knoten A gilt: X Fix ¼ 0 ergibt FAx ¼ FS4 þ FS5 cos b ¼ 60;00 kN; X Fiy ¼ 0 ergibt FAy ¼ FS5 sin b þ FS7 ¼ 30;00 kN: Diese Auflagerkrfte folgen auch aus den Gleichgewichtsbedingungen am (ungeschnittenen) Gesamtsystem. Cremonaplan (Bild 33 c). Umfahren im Uhrzeigersinn. Ritterscher Schnitt. Die Stabkrfte FS4 ; FS5 und FS6 werden durch einen Ritterschen Schnitt (Bild 33 d) ermittelt. X X X
MiD ¼ 0 ergibt FS4 ¼ ðF2 a þ F1 hÞ=h ¼ þ 15;00 kN; MiA ¼ 0 ergibt FS6 ¼ ½F2 ða þ bÞ þ F3 b=h ¼ 55;00 kN; Fiy ¼ 0 ergibt FS5 ¼ ðF2 þ F3 Þ= sin b ¼ þ 54;08 kN:
Einflußlinie fr Stabkraft FS6 . Untersucht wird der Einfluß einer vertikalen Wanderlast Fy (in beliebiger Stellung x auf dem Obergurt) auf die Stabkraft FS6 (Bild 33 e ). Aus X MiA ¼ 0 ¼ Fy ða þ b xÞ þ FS6 h folgt mit Fy ¼ 1 hðxÞ ¼ 1 ða þ b xÞ=h ¼ 5=2 þ x=ð2 mÞ also eine Gerade (Bild 33 f). Ihre Auswertung fr Xdie gegebenen Lasten liefert, da F1 keinen Einfluß auf FS6 hat (s. MiA ¼ 0), FS6 ¼ F2 hðx ¼ 0Þ þ F3 hðx ¼ aÞ ¼ 10 kNð 5=2Þ þ 20 kNð 3=2Þ ¼ 55 kN:
1.8.2 Rumliche Fachwerke. Space frames Da im Raum pro Knoten drei Gleichgewichtsbedingungen bestehen und sechs Lagerkrfte zur stabilen, statisch bestimmten Lagerung des Gesamtfachwerks erforderlich sind, gilt das Abzhlkriterium 3n ¼ s þ 6 bzw. s ¼ 3n 6. Im brigen gelten den ebenen Fachwerken analoge Methoden fr die Stabkraftberechnung usw. [2].
Bild 33 a – f. Fachwerkausleger. a System; b Knotenschnitte; c Cremonaplan; d Ritterscher Schnitt; e Wanderlast; f Einflußlinie
B
B 12
B
Mechanik – 1 Statik starrer Krper
1.9 Seile und Ketten. Cables and chains
yðx ¼ Z x2 Þ ¼ yZ2
Seile und Ketten werden als biegeweich angesehen, d. h., sie knnen nur Zugkrfte bertragen. Vernachlssigt man die Lngsdehnungen der einzelnen Elemente (Theorie 1. Ordnung), so folgt fr das ebene Problem infolge vertikaler Streckenlast aus den Gleichgewichtsbedingungen am Seilelement (Bild 34 a)
L¼
bei X gegebener Belastung q(s):X Fiy ¼ 0, d. h. FV ¼ qðsÞ ds; Fix ¼ 0, d. h. dFH ¼ 0, also FH ¼ const und dFV =ds ¼ qðsÞ. Gemß Bild 34 a gilt ferner tan j ¼ y0 ¼ FV =FH ; d: h: FV ¼ FH y0 bzw: FV0 ¼ dFV =dx ¼ FH y00 . pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Mit ds ¼ 1 þ y02 dx wird hieraus pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dFV =ds ¼ ðdFV =dxÞðdx=dsÞ ¼ FH y00 = 1 þ y02 ¼ qðsÞ: Folglich ist
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y00 ¼ ½qðsÞ=FH 1 þ y02 ;
ð19Þ
bei gegebener Belastung q(x): gemß Bild 34 a gilt qðsÞ ds ¼ qðxÞ dx, d. h. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qðsÞ ¼ qðxÞ dx=ds ¼ qðxÞ cos j ¼ qðxÞ= 1 þ y02
sowie aus pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ y02 dx.
der
gegebenen
Seillnge
1.9.1 Seil unter Eigengewicht (Kettenlinie) The catenary Fr ein Seil konstanten Querschnitts folgt mit qðsÞ ¼ const ¼ q aus Gl. (19) mit a ¼ FH =q nach Trennung der Variablen und Integration arsinh y0 ¼ ðx x0 Þ=a bzw. y0 ¼ sinh½ðx x0 Þ=a und somit die Kettenlinie yðxÞ ¼ y0 þ a cosh½ðx x0 Þ=a:
ð21Þ
Der Extremwert von y(x) folgt aus y0 ¼ 0 an der Stelle x ¼ x0 zu ymin ¼ y0 þ a. Die unbekannten Konstanten x0 ; y0 und a ¼ FH =q ergeben sich aus den drei Bedingungen (Bild 34 b) yðx1 ¼ 0Þ ¼ 0 ¼ y0 þ a coshðx0 =aÞ; yðx ¼ x2 Þ ¼ y2 ¼ y0 þ a cosh½ðx2 x0 Þ=a; Zx2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi L ¼ 1 þ sinh2 ½ðx x0 Þ=adx x¼0
¼ a sinh½ðx2 x0 Þ=a þ a sinhðx0 =aÞ:
und damit nach Gl. (19) y00 ¼ qðxÞ=FH :
ds ¼
ð20Þ
Die Lsungen dieser Differentialgleichungen ergeben die Seilkurve y(x). Die dabei auftretenden zwei Integrationskonstanten sowie der unbekannte (konstante) Horizontalzug FH folgen aus den Randbedingungen yðx ¼ x1 Þ ¼ y1 und
Hieraus ergeben sich y0 ¼ a coshðx0 =aÞ; x0 ¼ x2 =2 a artanhðy2 =LÞ und qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sinhðx2 =2aÞ ¼ L2 y22 =ð2aÞ: Aus der letzten (transzendenten) Gleichung kann a, anschließend knnen x0 und y0 berechnet werden. Der maximale Durchhang f gegenber der Sehne folgt an der Stelle xm ¼ x0 þ a arsinhðy2 =x2 Þ zu f ¼ y2 xm =x2 yðxm Þ. Fr die Krfte gilt FH ¼ aq ¼ const; FV ðxÞ ¼ FH y0 ðxÞ;
ð22Þ
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FS ðxÞ ¼ FH2 þ FV2 ðxÞ: Die grßte Seilkraft tritt an der Stelle auf, wo y0 zum Maximum wird, d. h. in einem der Befestigungspunkte. Beispiel: Kettenlinie. Befestigungspunkte P1 (0; 0) und P2 (300 m; 50 m). Seillnge L ¼ 340 m, Belastung qðsÞ ¼ 30 N=m. – Aus der transzendenten Gleichung ergibt sich nach iterativer Rechnung a ¼ 179; 2 m und damit x0 ¼ 176; 5 m und y0 ¼ 273;4 m, womit nach Gl. (21) die Kettenlinie bestimmt ist. Der maximale Durchhang gegenber der Sehne tritt an der Stelle xm ¼ 146; 8 m auf und hat die Grße f ¼ 67; 3 m. Der Horizontalzug betrgt FH ¼ aq ¼ 5;375 kN ¼ const. Die grßte Seilkraft tritt im Punkt P1 auf: FV ðx ¼ 0Þ ¼ FH jy0 ðx ¼ 0Þj ¼ 6;192 kN und somit FS; max ¼ FS ðx ¼ 0Þ ¼ 8;20 kN.
1.9.2 Seil unter konstanter Streckenlast Cable with uniform load over the span
Bild 34 a – c. Seil. a Element; b Seil unter Eigengewicht; c Seil unter Einzellast
Hierunter fallen neben Seilen mit angehngter konstanter Streckenlast qðxÞ ¼ const auch solche mit flachem Durchhang unter Eigengewicht, da bei qðsÞ ¼ q0 ¼ const wegen pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qðsÞ 1 þ y02 ¼ q0 = cos j ¼ qðxÞ mit cos j cos a ¼ const auch qðxÞ ¼ const ¼ q wird. Zweimalige Integration der Gl. (20) liefert yðxÞ ¼ ðq=FH Þx2 =2 þ C1 x þ C2 ; Randbedingungen mit gegebenem Durchhang f in der Mitte: yðx1 ¼ 0Þ ¼ 0, yðx ¼ x2 Þ ¼ y2 , yðx ¼ x2 =2Þ ¼ y2 =2 f . Hieraus C2 ¼ 0, C1 ¼ ðy2 4f Þ=x2 , FH ¼ qx22 =ð8f Þ und damit yðxÞ ¼ ðy2 =x2 Þx ð4f =x22 Þðx2 x x2 Þ ¼ ðy2 =x2 Þx f ðxÞ, wobei f(x) der Durchhang gegenber der Sehne ist (Bild 34 b). Ferpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ner gilt FV ðxÞ ¼ FH y0 ðxÞ und FS ðxÞ ¼ FH2 þ FV2 ðxÞ; FS; max an der Stelle der maximalen Steigung.
I1.10
Schwerpunkt (Massenmittelpunkt)
B 13
Zx2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Die Lnge L des Seils folgt aus L ¼ 1 þ y02 dxmit a ¼ FH =q zu x¼0 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi L ¼ ða=2Þ½ðC1 þ x2 =aÞ 1 þ ðC1 þ x2 =aÞ2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ lnðC1 þ x2 =a þ 1 þ ðC1 þ x2 =aÞ2 Þ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi C1 1 þ C12 lnðC1 þ 1 þ C12 Þ:
B
Fr Seile mit flachem Durchhang gilt mit der Sehnenlnge pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi l ¼ x22 þ y22 die Nherungsformel L l½1 þ 8x22 f 2 =ð3l4 Þ:
ð23Þ
Beispiel: Seil mit flachem Durchhang. Das Beispiel aus B 1.9.1 werde nherungsweise als flach durchhngendes Seil berechnet. Gegeben: P1 (0; 0), P2 (300 m; – 50 m), f ¼ 67; 3 m, q0 ¼ 30 N=m. – Aus tan a ¼ 50=300 folgt a ¼ 9;46° und cos a ¼ 0;9864, so daß q q0 = cos a ¼ 30;41 N=m wird. Es folgen C1 ¼ 1;064 und FH ¼ 5;083 kN. Somit ist die Seillinie yðxÞ ¼ 0;1667 x 0;003 m1 ð300 m x x2 Þ ¼ 1;064 x þ 0;003 m1 x2 : An der Stelle x ¼ 0 wird y0max ¼ jy0 ð0Þj ¼ 1;064, also FV; max ¼ FH y0max ¼ 5;408 kN und somit FS; max ¼ 7;42 kN. Die Nherungsformel Gl. (23) fr die Seillnge liefert dann mit l ¼ 304; 1 m den Wert L 342; 7m. Die Ergebnise zeigen, daß die Nherungslsung von den exakten Werten (B 1.9.1) nicht erheblich abweicht, obwohl der „flache“ Durchhang hier nur in geringem Maße zutrifft.
1.9.3 Seil mit Einzellast. Cable with point load Betrachtet wird nur das Seil mit flachen Durchhngen gegenber den Sehnen (Bild 34 c, links). Sind x2 , y2 , x3 , y3 gegeben, so gelten mit FHI ¼ FHII ¼ FH die Beziehungen q1 ¼ q0 = cos aI ; qII ¼ q0 = cos aII ; fI ¼ qI x22 =ð8FH Þ; fII ¼ qII x22 =ð8FH Þ; yðxÞ ¼ ðy2 =x2 Þx ðqI =2FH Þðx2 x x2 Þ; yðxÞ ¼ ðy2 =x2 Þx ðqII =2FH Þðx2 x x2 Þ; y0 ðxÞ ¼ ðy2 =x2 Þ ðqI =2FH Þðx2 2xÞ; y0 ðxÞ ¼ ðy2 =x2 Þ ðqII =2FH Þðx2 2xÞ:
X Aus der Gleichgewichtsbedingung Fiy ¼ 0 ¼ FVl þ F FVr am Knoten P2 (Bild 34 c, rechts) folgt mit FV ¼ FH jy0 j unter Beachtung, daß y0 negativ ist und somit jy0 j ¼ y0 ; FH y2 =x2 þ qI x2 =2 þ F þ FH y2 =x2 þ qII x2 =2 ¼ 0; d: h: FH ¼ ½qI x2 qII x2 2F=½2ðy2 =x2 þ y2 =x2 Þ: Hiermit knnen fI und fII , wie angegeben, FV ðxÞ und FS ðxÞ nach Gl. (22) sowie LI und LII nach Gl. (23) berechnet werden.
Bild 35 a, b. Schwerpunkt. a Eines Krpers; b eines Trgerquerschnitts
Z rS FG ¼ r dFG bzw: mit dFG ¼ dFG e Z rS FG r dFG e ¼ 0; d: h: Z rS ¼ r dFG =FG bzw: in Komponenten Z Z xS ¼ ð1=FG Þ x dFG ; yS ¼ ð1=FG Þ y dFG ; Z zS ¼ ð1=FG Þ z dFG :
Analog gilt bei konstanter Fallbeschleunigung g fr den Massenmittelpunkt, bei konstanter Dichte r fr den Volumenschwerpunkt sowie fr den Flchen- und Linienschwerpunkt in vektorieller Form Z Z rS ¼ ð1=mÞ r dm; rS ¼ ð1=VÞ r dV; Z rS ¼ ð1=AÞ r dA und ð25Þ Z rS ¼ ð1=sÞ r ds: Bestehen die Gebilde aus endlich vielen Teilen mit bekannten Teilschwerpunkten, so gilt in Komponenten z. B. fr den Flchenschwerpunkt X xi Ai ; xS ¼ ð1=AÞ X ð26Þ yi Ai ; yS ¼ ð1=AÞ X zi Ai : zS ¼ ð1=AÞ Z
1.10 Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) Center of gravity An einem Krper der Masse m wirken an den Massenelementen dm die Gewichtskrfte dFG ¼ dmg, die alle zueinander parallel Z sind. Den Angriffspunkt ihrer Resultierenden FG ¼
dFG nennt man den Schwerpunkt (Bild 35 a). Seine
Lage ist festgelegt durch die Bedingung, daß das Moment der Resultierenden gleich dem der Einzelkrfte sein muß, d. h.
ð24Þ
Die Grßen
x dA bzw.
X
xi Ai usw. bezeichnet man als
statische Momente. Sind sie null, so folgt auch xS ¼ 0 usw., d. h., das statische Moment bezglich einer Achse durch den Schwerpunkt (Schwerlinie) ist stets gleich null. Alle Symmetrieachsen erfllen diese Bedingung, d. h., sie sind stets Schwerlinien. Die durch Integration ermittelten Schwerpunkte von homogenen Krpern sowie von Flchen und Linien sind in den Tab. 1, 2, 3 angegeben.
B 14
Mechanik – 1 Statik starrer Krper
Tabelle 1. Schwerpunkte von homogenen Krpern
B
Beispiel: Schwerpunkt eines Trgerquerschnitts. Fr den zusammengesetzten Trgerquerschnitt ist der Flchenschwerpunkt zu ermitteln (Bild 35 b). – Der Schwerpunkt liegt aufder Symmetrieachse. Ermittlung von yS tabellarisch, wobei die Bohrung als negative Flche angesetzt wird.
1.11 Haftung und Reibung. Friction Haftung. Bleibt ein Krper unter Einwirkung einer resultierenden Kraft F, die ihn gegen eine Unterlage preßt, in Ruhe, so liegt Haftung vor (Bild 36). Die Verteilung der Flchenpressung zwischen Krper und Unterlage ist meist unbekannt und wird durch die Reaktionskraft Fn ersetzt. Aus Gleichgewichtsgrnden ist Fn ¼ Fs ¼ F cos a und Fr ¼ Ft ¼ F sin a, d. h. Fr ¼ Fn tan a. Der Krper bleibt so lange in Ruhe, bis die Reaktionskraft Fr den Grenzwert Fr0 ¼ Fn tan r0 ¼ Fn m0 erreicht, d. h. solange F – rumlich betrachtet – innerhalb des sogenannten Reibungskegels mit dem ffnungswinkel 2r0 liegt. Fr die Reaktionskraft Fr gilt die Ungleichung Fr % Fn tan r0 ¼ Fn m0 :
ð27Þ
Die Haftzahl m0 hngt ab von den aneinander gepreßten Werkstoffen, deren Oberflchenbeschaffenheit, von einer Fremdschicht (Schmierschicht), von Temperatur und Feuchtigkeit, von der Flchenpressung und von der Grße der Normalkraft; m0 schwankt daher zwischen bestimmten Grenzen
I1.11
Haftung und Reibung
B 15
Tabelle 2. Schwerpunkte von Flchen
B
Tabelle 3. Schwerpunkte von Linien
B 16
Mechanik – 1 Statik starrer Krper
B
Bild 36. Haftung
Bild 37. Gleitreibung Bild 38. Leiter mit Reibungskegeln
Tabelle 4. Haft- und Gleitreibungswerte.
wert ist erreicht, wenn FQ durch Punkt A geht (Bild 38). Die Ergebnisse folgen aus der Abbildung (wegen des rechten Winkels zwischen oberer und linker Mantellinie). a ¼ l cosðb þ r0 Þ; x ¼ a cos r0 ¼ l cos r0 cosðb þ r0 Þ: Aus dem Krafteck liest man ab Fo ¼ FQ sin r0 ; Fno ¼ FQ sin r0 cos r0 ; Fro ¼ FQ sin2 r0 ; Fu ¼ FQ cos r0 ; Fnu ¼ FQ cos2 r0 ;
Fru ¼ FQ sin r0 cos r0 :
Anwendungen zur Haftung und Gleitreibung Reibung am Keil. Gesucht wird die Kraft F, die zum Heben und Senken einer Last mit konstanter Geschwindigkeit erforderlich ist. Die Lsung folgt am einfachsten aus dem Sinussatz am Krafteck, z. B. fr das Heben der Last nach Bild 39 F2 sinð90° þ r3 Þ F sinða þ r1 þ r2 Þ ¼ ¼ ; ; FQ sin½90° ða þ r2 þ r3 Þ F2 sinð90° r1 Þ hieraus tanða þ r2 Þ þ tan r1 : Entsprechend 1 tanða þ r2 Þ tan r3 tanða r2 Þ tan r1 F ¼ FQ 1 þ tanða r2 Þ tan r3
F ¼ FQ
und ist gegebenenfalls experimentell zu bestimmen [3]. Anhaltswerte fr m0 s. Tab. 4. Gleitreibung (Reibung der Bewegung). Wird die Haftung berwunden, und setzt sich der Krper in Bewegung, so gilt fr die Reibkraft das Coulombsche Gleitreibungsgesetz (Bild 37) Fr =Fn ¼ const ¼ tan r ¼ m bzw: Fr ¼ mFn :
ð28Þ
fr das Senken der Last. Wird F 0, so tritt Selbsthemmung auf; dann ist tanða r2 Þ % tan r1 bzw: a % r1 þ r2 : Der Keil muß dann herausgezogen bzw. von der anderen Seite hinausgedrckt werden. Der Wirkungsgrad des Keilgetriebes beim Heben der Last ist h ¼ F0 =F; hierbei ist F0 ¼ FQ tan a die erforderliche Kraft ohne Reibung.
Die Gleitreibungskraft ist eine eingeprgte Kraft, die dem Geschwindigkeits- bzw. Verschiebungsvektor entgegengesetzt gerichtet ist. Der Gleitreibungskoeffizient m (bzw. Gleitreibungswinkel r) hngt neben den unter Haftung beschriebenen Einflssen vornehmlich von den Schmierungsverhltnissen (Trockenreibung, Mischreibung, Flssigkeitsreibung; s. E 5.1) ab, zum Teil aber auch von der Gleitgeschwindigkeit [4, 5]. Anhaltswerte fr m s. Tab. 4. Beispiel: Standsicherheit einer Leiter (Bild 38). Wie weit darf eine Person (Gewichtskraft FQ ) eine Leiter (Lnge l, Neigungswinkel b, Gewicht vernachlssigbar) besteigen, ohne daß diese abrutscht, wenn der Haftungswinkel zwischen Leiter und Wand bzw. Boden r0 ist? Wie groß sind dann die Krfte im oberen und unteren Berhrungspunkt? – An Kopf- und Fußpunkt wird der Reibungskegel eingezeichnet. Solange die Kraft FQ innerhalb der schraffierten Flche liegt, kann sie auf unendlich vielfache Weise so zerlegt werden, daß die Krfte Fo und Fu an Kopf- und Fußpunkt innerhalb des Reibungskegels liegen, so daß Gleichgewicht herrscht (d. h., das Problem ist statisch unbestimmt, die Krfte sind so nicht bestimmbar). Der Grenz-
ð29Þ
Bild 39. Reibung am Keil
I1.11 Fr r1 ¼ r2 ¼ r3 ¼ r gilt F ¼ FQ tanða 2rÞ; Selbsthemmung fr a 2 r, Wirkungsgrad h ¼ tan a= tanða þ 2rÞ. Bei Selbsthemmung wird h ¼ tan 2r= tan 4r ¼ 0;5 0;5 tan2 2r < 0;5. Schraube (Bewegungsschraube). Rechteckgewinde (flachgngige Schraube, Bild 40 a). Gesucht ist das Drehmoment M zum gleichfrmigen Heben und Senken der Last. Z X Fiz ¼ 0 ¼ dF cosða þ rÞ FQ ; F ¼ FQ = cosða þ rÞ; Z X Miz ¼ 0 ¼ M dF sinða þ rÞrm ; M ¼ FQ rm tanða þ rÞ Wirkungsgrad beim Heben h ¼ M0 =M ¼ tan a= tanða þ rÞ; M0 erforderliches Moment ohne Reibung. Beim Senken tritt r an Stelle von r; M ¼ FQ rm tanða rÞ. Selbsthemmung fr M % 0, d. h. tanða rÞ % 0; also a % r. Dann ist zum Senken der Last ein negatives Moment erforderlich. Fr a ¼ r folgt h ¼ tan r= tan 2r ¼ 0;5 0;5 tan2 r < 0;5. Trapez- und Dreieckgewinde (scharfgngige Schraube) (Bild 40 b). Es gelten dieselben Gleichungen wie fr Rechteckgewinde, wenn anstelle von m ¼ tan r die Reibzahl m0 ¼ tan r0 ¼ m= cosðb=2Þ, d. h. anstelle von r der Reibwinkel r0 ¼ arctan½m= cosðb=2Þ eingesetzt wird. Beweis gemß Bild 40 b, da anstelle von dFn die Kraft dFn0 ¼ dFn = cosðb=2Þ und anstelle von dFr ¼ m dFn die Kraft dFr0 ¼ m dFn0 ¼ ½m= cosðb=2ÞdFn ¼ m0 dFn tritt. Hierbei ist b der Flankenwinkel des Gewindes. Bemerkung: Fr Befestigungsschrauben ist Selbsthemmung, d. h. a % r00 , erforderlich. Seilreibung (Haftung zwischen Seil und Seilrolle) (Bild 41). Gleitreibung tritt auf bei relativer Bewegung zwischen Seil und Scheibe (Bandbremse, Schiffspoller bei laufendem Seil). Bei Haftung zwischen Seil und Scheibe (Riementrieb, Band-
Haftung und Reibung
B 17
bremse als Haltebremse, Schiffspoller bei ruhendem Seil) tritt Gleichgewicht in Normal- und Tangentialrichtung am Seilelement auf. Damit ergibt sich dFn ¼ FS dj, dFS ¼ dFr ; mit dFr ¼ m dFn folgt dFS ¼ m0 FS dj. Nach Integration ber den Umschlingungswinkel a folgt die Eulersche Seilreibungsformel: FS2 ¼ FS1 em0 a bzw. FS2 =FS1 ¼ em0 a . Die Haftkraft ergibt sich aus Fr ¼ FS2 FS1 und das Haftmoment aus Mr ¼ Fr r. Bei nicht vernachlssigbarer Geschwindigkeit des Seiles (z. B. beim Riementrieb) treten Fliehkrfte qF ¼ mn2 =r (m: Masse pro Lngeneinheit des Seiles) am Seil auf. Dann ist FS durch FS mn2 zu ersetzen. Beim Schiffspoller (Bild 41 c) mit a=2p und m0 ¼ 0,1 ergibt sich ein Verhltnis FS2 =FS1 1,87. Rollwiderstand Rollt ein zylindrischer o.. Krper auf einer Unterlage (Bild 42 a), so ergibt sich wegen der Verformung der Unterlage und des Krpers eine schrg gerichtete Resultierende, deren Horizontalkomponente die Widerstandskraft Fw ist. Ihr muß bei gleichfrmiger Bewegung die Antriebskraft Fa das Gleichgewicht halten. Mit Fn ¼ FQ und f r, d. h. tan a sin a ¼ f =r, folgt Fw ¼ FQ f =r ¼ FQ mr und als sog. Moment der rollenden Reibung Mw ¼ Fw r ¼ mr FQ r ¼ FQ f , wobei mr ¼ f =r der Koeffizient der Rollreibung ist. Der Hebelarm f der Rollreibung ist empirisch zu ermitteln. Fr Stahlrder auf Schienen ist f 0;05 cm, fr Wlzlager f 0;0005 . . . 0;001 cm. Als Fahrwiderstand (Bild 42 b) bezeichnet man die Summe aus Rollwiderstand und Lagerreibungswiderstand, Fw; ges ¼ ðFQ þ FG Þf =r þ FQ mz r1 =r (FG Gewichtskraft des Rads, mz Zapfenreibungszahl s. Q 2.1.1). Widerstand an Seilrollen Infolge Biegesteifigkeit der Seile erfolgt an der Auflaufstelle ein „Abheben“ um a2 (s. Bild 42 c) und an der Ablaufstelle ein „Anschmiegen“ um a1 . Unter gleichzeitiger Bercksichtigung der Lagerreibung folgt bei gleichmßiger Geschwindigkeit fr die
Bild 40 a, b. Reibung an a flachgngiger und b scharfgngiger Schraube
Bild 41 a – c. Seilreibung. a Krfte; b Element; c Schiffspoller
Bild 42 a – e. Widerstnde. a Rollwiderstand; b Fahrwiderstand; c feste und d lose Seilrolle; e Flaschenzug
B
B 18
Mechanik – 2 Kinematik
Feste Rolle (Bild 42 c): Beim Heben X MA ¼ 0 ¼ Fðr a1 Þ FQ ðr þ a2 Þ ðF þ FQ Þrz ; d: h:
B
F ¼ FQ ðr þ a2 þ rz Þ=ðr a1 rz Þ ¼ FQ =h: h ist der Wirkungsgrad der festen Rolle beim Heben ðh 0;95Þ. Beim Senken ist h durch 1/h zu ersetzen. (rz Radius der Zapfenreibung.) Lose Rolle (Bild 42 d): Beim Heben X MA ¼ 0 ¼ Fð2r þ a2 a1 Þ FQ ðr þ a2 þ rz Þ; d: h: F ¼ ðFQ =2Þðr þ a2 þ rz Þ=ðr þ a2 =2 a1 =2Þ ¼ ðFQ =2Þ=h: h = Nutzarbeit/zugefhrte Arbeit = ðFQ s=2Þ=ðFsÞ. Nherungsweise wird ebenfalls h 0;95 gesetzt. Beim Senken ist h durch 1/h zu ersetzen.
2 Kinematik. Kinematics
1 þ h þ h2 þ h3 ¼ ð1 h4 Þ=ð1 hÞ folgt F ¼ FQ =½hð1 h4 Þ=ð1 hÞ: Bei n tragenden Seilstrngen werden die Kraft und der Gesamtwirkungsgrad fr das Heben F ¼ FQ =½hð1 hn Þ=ð1 hÞ und hges ¼ Wn =Wz ¼ ðFQ s=nÞ=ðFsÞ ¼ hð1 hn Þ=½ð1 hÞn: Beim Senken ist h wieder durch 1/h zu ersetzen.
drðtÞ dr ds ¼ ¼ et u dt ds dt
ð3Þ
gilt (et Tangenteneinheitsvektor). Der Betrag der Geschwindigkeit ist qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi juj ¼ u ¼ ds=dt ¼ s_ ¼ u2x þ u2y þ u2z ¼ x_ 2 þ y_ 2 þ z_ 2 : ð4Þ Beschleunigung. Der Beschleunigungsvektor ergibt sich durch Ableitung des Geschwindigkeitsvektors nach der Zeit:
2.1 Bewegung eines Punkts The motion of a particle
du d2 r ¼ €rðtÞ ¼ €xðtÞex þ €yðtÞey þ €zðtÞez ¼ dt dt2 ¼ ð€xðtÞ;€yðtÞ;€zðtÞÞ ¼ ðax ; ay ; az Þ
aðtÞ ¼
2.1.1 Allgemeines. Introduction Bahnkurve. Ein Punkt bewegt sich in Abhngigkeit von der Zeit im Raum lngs einer Bahnkurve. Die Ortskoordinate des Punkts ist durch den Ortsvektor (Bild 1 a)
Geschwindigkeit. Der Geschwindigkeitsvektor ergibt sich durch Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit: ð2Þ
Der Geschwindigkeitsvektor tangiert stets die Bahnkurve, da in natrlichen Koordinaten t, n, b (begleitendes Dreibein, wobei t die Tangentenrichtung in der sog. Schmiegungsebene, n die Normalenrichtung in der Schmiegungsebene und b die Binormalenrichtung senkrecht zu t und n ist; s. Bild 1 a)
ð5Þ
bzw. in natrlichen Koordinaten aðtÞ ¼
ð1Þ
festgelegt. Ein Punkt hat im Raum drei Freiheitsgrade, bei gefhrter Bewegung lngs einer Flche zwei und lngs einer Linie einen Freiheitsgrad.
uðtÞ ¼ dr=dt ¼ r_ ðtÞ ¼ x_ ðtÞex þ y_ ðtÞey þ z_ ðtÞez ¼ ð_xðtÞ; y_ ðtÞ; z_ ðtÞÞ ¼ ðux ; uy ; uz Þ:
Fðh þ h2 þ h3 þ h4 Þ ¼ FQ : Mit
uðtÞ ¼
Die Kinematik ist die Lehre von der geometrischen und analytischen Beschreibung der Bewegungszustnde von Punkten und Krpern. Sie bercksichtigt nicht die Krfte und Momente als Ursachen der Bewegung.
rðtÞ ¼ xðtÞex þ yðtÞey þ zðtÞez ¼ ðxðtÞ; yðtÞ; zðtÞÞ
Rollenzug (Bild 42 e): Mit den Ergebnissen fr die feste und die lose Rolle ist F1 ¼ hF; F2 ¼ hF1 ¼ h2 F usw. Gleichgewicht fr die freigemachte untere Flasche fhrt zu X Fy ¼ 0 ¼ F1 þ F2 þ F3 þ F4 FQ ; d: h:
Mit
d du det ðuet Þ ¼ et þ u : dt dt dt
det det ds dj en 1 ¼ u ¼ en u ¼ dt ds dt ds R
aðtÞ ¼ u_ et þ ðu2 =RÞen ¼ at þ an ;
(s. Bild 1 b) folgt ð6Þ
d. h., der Beschleunigungsvektor liegt stets in der Schmiegungsebene (Bild 1 a). Seine Komponenten in Tangentialund Normalenrichtung heißen Tangential- und Normalbeschleunigung at ¼ du=dt ¼ u_ ðtÞ ¼ €sðtÞ
ð7Þ
und an ¼ u2 =R;
ð8Þ
wobei R der Krmmungsradius der Bahnkurve ist. Die Normalbeschleunigung ist stets zum Krmmungsmittelpunkt M gerichtet, also immer eine Zentripetalbeschleunigung. Fr die Grße des (resultierenden) Beschleunigungsvektors gilt qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a ¼ jaj ¼ a2x þ a2y þ a2z ¼ a2t þ a2n : ð9Þ Gleichfrmige Bewegung liegt vor, wenn uðtÞ ¼ s_ ðtÞ ¼ u0 ¼ const ist. Durch Integration folgt Z sðtÞ ¼ s_ ðtÞ dt ¼ u0 t þ C1 bzw. mit der Anfangsbedingung sðt ¼ t1 Þ ¼ s1 hieraus C1 ¼ s1 u0 t1 und somit sðtÞ ¼ u0 ðt t1 Þ þ s1 :
Bild 1. Punktbewegung. a Bahnkurve, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor; b Differentiation des Tangenteneinheitsvektors
Graphische Darstellungen von uðtÞ und s(t) liefern das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm und das Weg-Zeit-Diagramm (Bild 2). Aus s(t) folgt umgekehrt durch Differentiation uðtÞ.
I2.1
Bewegung eines Punkts
B 19
Die mittlere Geschwindigkeit ergibt sich zu Zt2 um ¼
uðtÞdt=ðt2 t1 Þ t1
¼ ðs2 s1 Þ=ðt2 t1 Þ ¼ ðu1 þ u2 Þ=2: Bild 2. Gleichfrmige Bewegung, Bewegungsdiagramme
Gleichmßig beschleunigte (und verzgerte) Bewegung (Bild 3) liegt vor, wenn at ðtÞ ¼ u_ ðtÞ ¼ €sðtÞ ¼ at0 ¼ const; d: h: uðtÞ ¼ at0 t þ C1 und sðtÞ ¼ at0 t2 =2 þ C1 t þ C2 : Hieraus folgen mit den Anfangsbedingungen uðt ¼ t1 Þ ¼ u1 und sðt ¼ t1 Þ ¼ s1 die Konstanten C1 ¼ u1 at0 t1 und C2 ¼ s1 u1 t1 þ at0 t12 =2 und somit at ðtÞ ¼ at0 ¼ const; uðtÞ ¼ at0 ðt t1 Þ þ u1 ; sðtÞ ¼ at0 ðt t1 Þ2 =2 þ u1 ðt t1 Þ þ s1 : Nach Elimination von ðt t1 Þ ergeben sich die Beziehungen t t1 ¼ ðv u1 Þ=at0 ; at0 ¼ ðu2 u21 Þ=½2ðs s1 Þ; qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u ¼ u21 þ 2at0 ðs s1 Þ; s ¼ ðu2 u21 Þ=ð2at0 Þ þ s1 : Fr den Sonderfall t1 ¼ 0, u1 ¼ 0, s1 ¼ 0 folgen uðtÞ ¼ at0 t; sðtÞ ¼ at0 t2 =2; t ¼ u=at0 ; pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi at0 ¼ u2 =ð2sÞ; u ¼ 2at0 s; s ¼ u2 =ð2at0 Þ:
In allen Gleichungen kann at positiv oder negativ sein: Positives at bedeutet Beschleunigung bei Bewegung eines Punkts in positiver s-Richtung, aber Verzgerung bei Bewegung in negativer s-Richtung; negatives at bedeutet Verzgerung bei Bewegung in positiver s-Richtung, aber Beschleunigung bei Bewegung in negativer s-Richtung. Ist s(t) gegeben, so erhlt man durch Differentiation uðtÞ und at ðtÞ. Ungleichmßig beschleunigte (und verzgerte) Bewegung liegt vor, wenn at ðtÞ ¼ f1 ðtÞ ist (Bild 3 b). Integration fhrt zu Z Z uðtÞ ¼ at ðtÞdt ¼ f1 ðtÞdt ¼ f2 ðtÞ þ C1 und Z Z sðtÞ ¼ uðtÞdt ¼ ½ f2 ðtÞ þ C1 dt ¼ f3 ðtÞ þ C1 t þ C2 : Die Konstanten werden aus den Anfangsbedingungen uðt ¼ t1 Þ ¼ u1 und sðt ¼ t1 Þ ¼ s1 oder quivalenten Bedingungen ermittelt. Aus u_ ðtÞ ¼ at ðtÞ folgt, daß dort, wo uðtÞ einen Extremwert annimmt (wo u_ ¼ 0 wird), im at ; t-Diagramm die Funktion at ðtÞ durch Null geht. Analog folgt aus s_ ðtÞ ¼ uðtÞ, daß s(t) dort ein Extremum hat, wo uðtÞ im u, t-Diagramm durch Null geht. Die mittlere Geschwindigkeit ergibt sich zu um ¼ ðs2 s1 Þ=ðt2 t1 Þ. Entsprechend der anschaulichen Deutung des Integrals als Flcheninhalt lassen sich bei gegebenem at ðtÞ die Grßen uðtÞ und s(t) auch mit den Methoden der graphischen oder numerischen Integration (s. A bzw. DUBBEL interaktiv) bestimmen.
Bild 3 a, b. Bewegungsdiagramme. a gleichmßig beschleunigte, b ungleichmßig beschleunigte Bewegung
B
B 20
Mechanik – 2 Kinematik
2.1.2 Ebene Bewegung. Plane motion
B
Bahnkurve (Weg), Geschwindigkeit, Beschleunigung. Es gelten die Formeln von B 2.1.1, reduziert auf die beiden Komponenten x und y (Bild 4 a): rðtÞ ¼ xðtÞex þ yðtÞey ¼ ðxðtÞ; yðtÞÞ; uðtÞ ¼ x_ ðtÞex þ y_ ðtÞey ¼ ð_xðtÞ; y_ ðtÞÞ ¼ ðux ; uy Þ; aðtÞ ¼ €xðtÞex þ €yðtÞey ¼ ð€xðtÞ; €yðtÞÞ ¼ ðax ; ay Þ bzw. in natrlichen Koordinaten t und n: aðtÞ ¼ u_ ðtÞet þ ðu2 =RÞen ¼ ð_uðtÞ; u2 =RÞ ¼ ðat ; an Þ:
sowie uy ðtÞ ¼ gt þ C3 ; yðtÞ ¼ gt2 =2 þ C3 t þ C4 : Anfangsbedingungen xð0Þ ¼ 0; yð0Þ ¼ 0; ux ð0Þ ¼ u1 cos b; uy ð0Þ ¼ u1 sin b ergeben C2 ¼ 0, C4 ¼ 0, C1 ¼ u1 cos b, C3 ¼ u1 sin b und somit xðtÞ ¼ u1 t cos b; yðtÞ ¼ u1 t sin b gt2 =2 (Bahnkurve in Parameterdarstellung). Elimination von t ergibt Bahnkurve y ¼ f ðxÞ: yðxÞ ¼ x tan b x2 g=ð2u21 cos2 bÞ ðWurfparabelÞ: Geschwindigkeit ux ðtÞ ¼ x_ ðtÞ ¼ u1 cos b; uy ðtÞ ¼ y_ ðtÞ ¼ u1 sin b gt; qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi uðtÞ ¼ ðu1 cos bÞ2 þ ðu1 sin b gtÞ2 : Beschleunigung ax ðtÞ ¼ €xðtÞ ¼ 0; ay ðtÞ ¼ €yðtÞ ¼ g; pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aðtÞ ¼ 0 þ g2 ¼ g ¼ const :
Bild 4 a, b. Ebene Bewegung. a Allgemein; b Kreis
Ist die Bahnkurve mit y(x) und die Lage des Punkts mit s(t) gegeben, so ergibt sich ein Zusammenhang Z pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi zwischen t und x ber die Bogenlnge sðxÞ ¼ 1 þ y0 2 dx aus sðxÞ ¼ sðtÞ. Hieraus ist t(x) bzw. x(t) nur in einfachen Fllen explizit berechenbar (s. nchstes Beispiel). Beispiel: Bewegung auf einer Bahnkurve y(x) (Bild 4 b). Untersucht pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi wird die Bewegung eines Punkts auf der Kreisbahn yðxÞ ¼ r 2 x2 gemß dem Weg-Zeit-Gesetz sðtÞ ¼ At2 . – Nach den Gln. (4), (7) und (8) ergeben sich uðtÞ ¼ s_ ðtÞ ¼ 2At; at ðtÞ ¼ u_ ðtÞ ¼ €sðtÞ ¼ 2A und an ðtÞ ¼ u2 =R ¼ 4A2 t2 =r pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi und somit aðtÞ ¼ a2t þ a2n ¼ 2A 1 þ 4A2 t4 =r 2 . Fr die Kreisbahn pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 0 2 2 ergibt sich mit y ¼ x= r x die Bogenlnge zu sðxÞ ¼
Z r pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Z r pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ y02 dx ¼ r 2 =ðr 2 x2 Þdx ¼ r arccosðx=rÞ; x¼x
x
woraus mit sðxÞ ¼ sðtÞ ¼ At2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi tðxÞ ¼ r arccosðx=rÞ=A bzw: xðtÞ ¼ r cosðAt2 =rÞ folgt. Damit wird
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Ar arccosðx=rÞ; at ðxÞ ¼ 2A; qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi an ðxÞ ¼ 4A arccosðx=rÞ; aðxÞ ¼ 2A 1 þ 4½arccosðx=rÞ2 : sðxÞ ¼ r arccosðx=rÞ; uðxÞ ¼ 2
Bild 5. Schiefer Wurf, Wurfbahn Aus uy =ux ¼ tan jðtÞ erhlt man die Steigung der Bahnkurve und damit die natrlichen Komponenten der Beschleunigung (s. Bild 5): an ðtÞ ¼ g cos jðtÞ und at ðtÞ ¼ g sin jðtÞ 6¼ const ! Steigzeit und Wurfhhe aus uy ðt2 Þ ¼ 0: t2 ¼ u1 sin b=g; yðt2 Þ ¼ u21 sin2 b=ð2gÞ: Wurfdauer und Wurfweite aus yðt3 Þ ¼ 0: t3 ¼ 2u1 sin b=g ¼ 2t2 ; xðt3 Þ ¼ u21 sin 2b=g: Wegen sinð180° 2bÞ ¼ sin 2b ergibt sich dieselbe Wurfweite fr die Abwurfwinkel b und ð90° bÞ. Die grßte Wurfweite bei gegebenem u1 wird mit dem Abwurfwinkel b ¼ 45° erzielt.
Ebene Bewegung in Polarkoordinaten. Bahn und Lage eines Punkts werden durch r(t) und j(t) festgelegt. Mit den begleitenden Einheitsvektoren er und ej (Bild 6 a) gilt rðtÞ ¼ rðtÞer :
ð10Þ
Hieraus folgt durch Ableitung der Geschwindigkeitsvektor uðtÞ ¼ r_ ðtÞ ¼ r_ ðtÞer þ rðtÞ_er ¼ r_ er þ j_ rej ¼ ur þ uj ;
ð11Þ
da gemß Bild 6 c e_ r ¼ der =dt ¼ 1 dj ej =dt ¼ j_ ej ist. Hierbei ist j_ ¼ dj=dt die Drehgeschwindigkeit des Radiusvektors r, genannt Winkelgeschwindigkeit w.
Lsung dieser Aufgabe in Parameterdarstellung: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xðtÞ ¼ r cosðAt2 =rÞ; yðtÞ ¼ r 2 x2 ¼ r sinðAt2 =rÞ; ux ðtÞ ¼ x_ ðtÞ ¼ 2At sinðAt2 =rÞ; uy ðtÞ ¼ y_ ðtÞ ¼ 2At cosðAt2 =rÞ; somit ist uðtÞ ¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u2x þ u2y ¼ 2At sin2 ðAt2 =rÞ þ cos2 ðAt2 =rÞ ¼ 2At;
ax ðtÞ ¼ u_ x ðtÞ ¼ €xðtÞ ¼ 2A½sinðAt2 =rÞ þ ð2t2 A=rÞ cosðAt2 =rÞ; ay ðtÞ ¼ u_ y ðtÞ ¼ €yðtÞ ¼ 2A½cosðAt2 =rÞ ð2t2 A=rÞ sinðAt2 =rÞ; woraus aðtÞ ¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2x þ a2y ¼ 2A 1 þ ð2t2 A=rÞ2 folgt:
Beispiel: Der schiefe Wurf (Bild 5). Ungleichmßig beschleunigte Bewegung. Abwurfgeschwindigkeit u1 unter Abwurfwinkel b. – Unter Vernachlssigung des Luftwiderstands ist die Schwerkraft die einzige wirkende Kraft. Deshalb wird ax ðtÞ ¼ 0 und ay ðtÞ ¼ g ¼ const. Integration liefert ux ðtÞ ¼ C1 ; xðtÞ ¼ C1 t þ C2
Bild 6 a – c. Polarkoordinaten. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen; c Differentiation der Einheitsvektoren
I2.2
Bewegung starrer Krper
B 21
Die Ableitung des Geschwindigkeitsvektors ergibt die Beschleunigung (Bild 6 b): € rÞej aðtÞ ¼ u_ ðtÞ ¼ €rðtÞ ¼ r_ e_ r þ €r er þ j_ r e_ j þ ðj_ r_ þ j ð12Þ ¼ ð€r j_ 2 rÞer þ ð€ jr þ 2_rj_ Þej ¼ ar þ aj
Mit r0 ðtÞ ¼ r0 ¼ const, einer beliebigen Funktion j(t) sowie zðtÞ ¼ jðtÞh=2p wird rðtÞ ¼ r0 er þ zðtÞez . Hieraus folgt analog Gl. (11) bzw. (12) mit r_ 0 ¼ 0, €r0 ¼ 0
mit e_ j ¼ dej =dt ¼ 1 dj er =dt ¼ j_ er gemß Bild 6 c. € ¼ w_ die nderung der Winkelgeschwindigkeit Hierbei ist j des Radiusvektors r mit der Zeit, genannt Winkelbeschleunigung a. Ebene Bewegung in kartesischen Koordinaten (Bild 6 a, b):
bzw.
rðtÞ ¼ r cos jex þ r sin jey ¼ xðtÞex þ yðtÞey ;
ð13Þ
uðtÞ ¼ r_ ðtÞ ¼ ð_r cos j r j_ sin jÞex þ ð_r sin j þ r j_ cos jÞey ð14Þ ¼ ux e x þ uy e y ; j sin jÞex aðtÞ ¼ u_ ðtÞ ¼ ð€r cos j 2_r j_ sin j r j_ 2 cos j r€ þ ð€r sin j þ 2_r j_ cos j r j_ 2 sin j þ r€ j cos jÞey
ð15Þ
¼ ax ex þ ay ey : Zusammenhang zwischen Komponenten in r, j- und x, yRichtung (Bild 6 b): ur ¼ ux cos j þ uy sin j; uj ¼ ux sin j þ uy cos j; ux ¼ ur cos j uj sin j; uy ¼ ur sin j þ uj cos j: Analoge Gleichungen gelten fr die Beschleunigung a. Resultierende Geschwindigkeit und Beschleunigung: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u ¼ u2r þ v2j ¼ u2x þ u2y ; a ¼ a2r þ a2j ¼ a2x þ a2y : Der Beschleunigungsvektor a lßt sich auch in die natrlichen Komponenten at und an zerlegen, da die Richtung t durch den Geschwindigkeitsvektor und die Richtung n als Senkrechte dazu gegeben sind (Bild 6 b). Ebene Kreisbewegung (Bild 4 b). Aus der Darstellung in Polarkoordinaten folgen mit r ¼ const, also mit r_ ¼ €r ¼ 0 und, da jetzt die ej - und er -Richtung mit der et - und der negativen en -Richtung zusammenfallen, uðtÞ ¼ j_ ret ¼ wret und aðtÞ ¼ j_ 2 rer þ r€ jej ¼ w2 ren þ raet :
ð16Þ
u
¼ wr;
ð17Þ
at
€ r ¼ w_ r ¼ ar; ¼j
ð18Þ
an ¼ j_ 2 r ¼ w2 r; qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a ¼ jaj ¼ a2t þ a2n ¼ r a2 þ w4 :
ð19Þ ð20Þ
2.1.3 Rumliche Bewegung. Motion in space Es gelten die Gleichungen von B 2.1.1. Als Anwendung wird die Bewegung auf einer zylindrischen Schraubenlinie behandelt (Bild 7 a; s. hierzu auch Beispiel in B 3.2.4). Lsung in Zylinderkoordinaten: r0 ðtÞ; jðtÞ; zðtÞ.
uðtÞ ¼ ur þ uj þ uz ¼ j_ r0 ej þ z_ ez ¼ j_ r0 ej þ ðj_ h=2pÞez
€r0 ej þ €zez aðtÞ ¼ ar þ aj þ az ¼ j_ 2 r0 er þ j € r0 ej þ ð€ ¼ j_ 2 r0 er þ j jh=2pÞez : Fr die Grßen von Geschwindigkeit, Weg und Beschleunigung ergibt sich mit dem Steigungswinkel b ¼ arctan½h=ð2pr0 Þ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u2r þ u2j þ u2z ¼ r0 j_ 1 þ h2 =ð2pr0 Þ2
uðtÞ ¼ juj ¼
¼ r0 j_ = cos b; sðtÞ ¼ r0 j= cos b; qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi € 2 ½1 þ h2 =ð2pr0 Þ2 aðtÞ ¼ jaj ¼ a2r þ a2j þ a2z ¼ r0 j_ 4 þ j qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi j= cos bÞ2 : ¼ r0 j_ 4 þ ð€ Natrliche Komponenten der Beschleunigung: Fr die Komponente senkrecht zur Steigung der Schraubenlinie (Bild 7 b) gilt jr0 sin b þ ð€ jh=2pÞ cos b aj sin b þ az cos b ¼ € € r0 tan b cos b ¼ 0: ¼ € jr0 sin b þ j In dieser Richtung liegt demnach die Binormale eb , in der es gemß B 2.1.1 keine Beschleunigung gibt. Also muß en ¼ er und damit an ¼ ar ¼ r0 j_ 2 sein. Ferner wird (s. Bild 7 b) € r0 cos b þ j € r0 tan b sin b at ¼ aj cos b þ az sin b ¼ j qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi € = cos b ¼ r0 j € 1 þ h2 =ð2pr0 Þ2 : ¼ r0 j Lsung in kartesischen Koordinaten: rðtÞ ¼ xðtÞex þ yðtÞey þ zðtÞez ¼ r0 cos jex þ r0 sin jey þ ðjh=2pÞez : Analog den Gln. (14) und (15) gilt uðtÞ ¼ ux ex þ uy ey þ uz ez ¼ r0 j_ sin jex þ r0 j_ cos jey þ ðj_ h=2pÞez ; € sin jÞex aðtÞ ¼ ax ex þ ay ey þ az ez ¼ ðr0 j_ 2 cos j þ r0 j € cos j r0 j_ 2 sin jÞey þ ð€ þ ðr0 j jh=2pÞez ; woraus wieder qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u ¼ juj ¼ u2x þ u2y þ u2z ¼ r0 j_ 1 þ h2 =ð2pr0 Þ2 und qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi € 2 ½1 þ h2 =ð2pr0 Þ2 a ¼ jaj ¼ a2x þ a2y þ a2z ¼ r0 j_ 4 þ j folgen.
2.2 Bewegung starrer Krper Motion of rigid bodies 2.2.1 Translation (Parallelverschiebung, Schiebung) Translation
Bild 7 a, b. Massenpunkt auf Schraubenlinie
Alle Punkte beschreiben kongruente Bahnen (Bild 8 a), d. h., der Krper fhrt keinerlei Drehung aus. Die Gesetze und Gleichungen der Punktbewegung nach B 2.1 gelten auch fr die Translation, da die Bewegung eines Krperpunkts zur Beschreibung ausreicht.
B
B 22
Mechanik – 2 Kinematik Da bei Rotation alle Punkte Kreisbahnen in Ebenen senkrecht zur Drehachse beschreiben, gengt die Ebene Darstellung (Bild 8 c). Hierbei geht die Drehachse senkrecht zur Zeichenebene durch den Punkt O. Es gilt
B
sðtÞ ¼ rjðtÞ; uðtÞ ¼ rj_ ðtÞ ¼ rwðtÞ; jðtÞ ¼ r w_ ðtÞ ¼ raðtÞ; an ðtÞ ¼ r j_ 2 ðtÞ ¼ rw2 ðtÞ; at ðtÞ ¼ r€
ð26Þ
d. h., alle Grßen nehmen linear mit r zu, so daß zur Beschreibung der Drehbewegung (Rotation) eines starren Krpers der Drehwinkel j(t), die Winkelgeschwindigkeit wðtÞ ¼ j_ ðtÞ und € ðtÞ ausreichen. In die Winkelbeschleunigung aðtÞ ¼ w_ ðtÞ ¼ j den Anwendungen wird hufig mit der Drehzahl n gerechnet; dann ist w ¼ 2pn und u ¼ 2prn. Fr die Umlaufzeit bei w ¼ const gilt T ¼ 2p=w. Fr die gleichfrmige und ungleichfrmige Rotation gelten die Gesetze der Punktbewegung und die zugehrigen Diagramme gemß B 2.1.1, wenn dort at durch a, u durch w und s durch j ersetzt wird.
Bild 8 a – c. Bewegung starrer Krper. a Translation; b Rotation im Raum; c Rotation in der Ebene
2.2.2 Rotation (Drehbewegung, Drehung) Rotation Unter Rotation versteht man die Drehung eines starren Krpers um eine raumfeste Achse (Bild 8 b). Vektorielle Darstellung. Wird der Winkelgeschwindigkeit der Vektor w ¼ we zugeordnet, d. h., dreht sich die Ebene OPO0 mit w, so beschreiben der Punkt P und somit alle Punkte Kreisbahnen. Der Vektor der Umfangsgeschwindigkeit u ergibt sich aus dem Vektorprodukt u ¼ r_ P ¼ we rP mit juj ¼ u ¼ wrP sin b ¼ wr; ð21Þ u ist ein im Sinne einer Rechtsschraube auf e und rP senkrecht stehender Vektor. Mit rP ¼ r0 þ r folgt u ¼ we ðr0 þ rÞ ¼ we r0 þ we r: Da e und r0 zueinander parallel sind, gilt e r0 ¼ 0; d. h. u ¼ we r mit juj ¼ u ¼ wr sin 90 ¼ wr: Damit ist ð22Þ u ¼ wret : In kartesischen Koordinaten ist ex ey ez u ¼ we rP ¼ w rP ¼ wx wy wz x y z
ð23Þ
¼ ðwy z wz yÞex þ ðwz x wx zÞey þ ðwx y wy xÞez ¼ ux e x þ uy e y þ uz e z : Beschleunigung von Punkt P: a ¼ u_ ¼ €rP ¼ ðwe r_ P Þ þ ðw_ e rP Þ ¼ ðwe uÞ þ ðw_ e rP Þ:
ð24 aÞ
Mit w_ ¼ a (Winkelbeschleunigung) ist in natrlichen Koordinaten a ¼ wuer þ arP sin bet ¼ w2 rer þ aret ¼ an er þ at et :
ð24 bÞ
In kartesischen Koordinaten ergibt sich aus Gl. (23) durch Differentiation a ¼½ðw2y þ w2z Þx þ ðwx wy az Þy þ ðwx wz þ ay Þzex þ ½ðwx wy þ az Þx ðw2x þ w2z Þy þ ðwy wz ax Þzey þ ½ðwx wz ay Þx þ ðwy wz þ ax Þy ðw2x þ w2y Þzez
ð25 aÞ
bzw. bei alleiniger Drehung um die z-Achse a ¼ ðw2z x az yÞex þ ðaz x w2z yÞey :
ð25 bÞ
2.2.3 Allgemeine Bewegung des starren Krpers General motion of a rigid body Rumliche Bewegung. Ein Krper hat im Raum sechs Freiheitsgrade: drei der Translation (Verschiebung in x-, y- und zRichtung) und drei der Rotation (Drehung um die x-, y- und z-Achse). Die beliebige Bewegung jedes Krperpunkts lßt sich daher aus Translation und Rotation zusammensetzen (zusammengesetzte Bewegung). Fr die Translation gengt die Kenntnis der Bahnkurve eines einzigen krperfesten Punkts, z. B. des Schwerpunkts (s. B 2.2.1) zur ausreichenden Beschreibung, d. h. die Kenntnis des Ortsvektors r0 ðtÞ. Fr die Rotation gengt die Beschreibung der Drehung durch den Winkelgeschwindigkeitsvektor w um den krperfesten Punkt (s. B 2.2.2), d. h., w ist ein freier Vektor. Es gelten (Bild 9 a) rP ðtÞ ¼ r0 ðtÞ þ r1 ðtÞ; uðtÞ ¼ r_ P ðtÞ ¼ r_ 0 þ r_ 1 ¼ r_ 0 þ wðtÞe r1 ¼ u0 ðtÞ þ wrej ¼ u0 ðtÞ þ u1 ðtÞ:
ð27Þ ð28Þ
Hierbei ist u0 der aus der Translation herrhrende, u1 der aus der Rotation herrhrende Anteil (Eulersche Geschwindigkeitsformel). Aus Gl. (28) folgt nach Multiplikation mit dt drP ¼ dr0 þ dje r1 ¼ dr0 þ r djej :
ð29Þ
Diese Gleichung (Eulersche Formel) besagt, daß eine sehr kleine Lagenderung eines Punkts sich aus einer Verschiebung dr0 und aus einer mit dem Betrag ds ¼ r dj (entstehend aus Drehung um die w-Achse) zusammensetzen lßt. Fr die Beschleunigung des Punkts P des Krpers folgt aus Gl. (28) 9 aðtÞ ¼ u_ ðtÞ ¼ €rP ðtÞ > > > > ¼ €r0 ðtÞ þ wðtÞe r_ 1 þ ðw_ e þ w_eÞ r1 > > = ¼ a0 ðtÞ þ we ðwe r1 Þ þ w_ e r1 þ w_e r1 ð30Þ ¼ a0 ðtÞ þ we wrej þ w_ rej þ w_e r1 > > > > ¼ a0 w2 rer þ arej þ w_e r1 > > ; ¼ a0 þ aPA;n þ aPA;t þ ðw_e r1 Þ; d. h., die Gesamtbeschleunigung setzt sich zusammen aus dem Translationsanteil a0 , dem Normalbeschleunigungsanteil aPA;n bei Drehung um O, dem Tangentialbeschleunigungsanteil aPA;t bei Drehung um O und dem Anteil aus der Richtungsnderung der Drehachse (Bild 9 b). Drehung um einen Punkt (sphrische Bewegung). In diesem Fall hat der Krper nur drei Rotationsfreiheitsgrade, d. h., in den Gln. (27) bis (30) entfallen r0 ; u0 und a0 , wenn man den Punkt O in Bild 9 als Bezugspunkt whlt. Der Winkelgeschwindigkeitsvektor ist jetzt ein linienflchtiger Vektor, d. h. nur in seiner Wirkungslinie verschiebbar. Die augenblickliche Drehachse (Momentanachse OM) beschreibt bei der Bewegung des Krpers bezglich eines raumfesten Koordinatensy-
I2.2
Bewegung starrer Krper
B 23
B
Bild 9 a, b. Rumliche Bewegung. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen
stems den Rastpolkegel (Spurkegel) und bezglich des krperfesten Koordinatensystems den Gangpolkegel (Rollkegel), der auf dem Rastpolkegel abrollt. Fr die Winkelgeschwindigkeit bezglich der Momentanachse gilt w ¼ w1 þ w2 (Bild 10). Ebene Bewegung. Ein Krper hat bei der ebenen Bewegung drei Freiheitsgrade: zwei der Translation (Verschiebung in xund y-Richtung) und einen der Rotation (Drehung um die zAchse senkrecht zur Zeichenebene). Wie bei der rumlichen Bewegung erhlt man die beliebige ebene Bewegung durch berlagerung von Translation und Rotation. Da bei der ebenen Bewegung der Vektor e stets senkrecht zur Zeichenebene steht und seine Richtung nicht ndert, folgt aus den Gln. (27) bis (30) mit e_ ¼ 0 und den Bezeichnungen gemß Bild 11 rB ðtÞ ¼ rA ðtÞ þ rAB ðtÞ,
ð31Þ
uB
¼ r_ B ¼ r_ A þ wez rAB ¼ uA þ wrAB et ¼ uA þ uBA ,
ð32Þ
aB
¼ €rB ¼ aA w rAB er þ arAB et ¼ aA þ aBA, n þ aBA, t :
ð33Þ
2
Die Gln. (32) und (33) sind der Eulersche Geschwindigkeitssatz und der Eulersche Beschleunigungssatz. Danach ergibt sich die Geschwindigkeit der Punkte einer eben bewegten Scheibe gemß Gl. (32), wenn man die Geschwindigkeit eines Punkts A und die Winkelgeschwindigkeit w der Scheibe kennt, und die Beschleunigung gemß Gl. (33), wenn die Beschleunigung eines Punkts A sowie die Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung a der Scheibe bekannt sind. Die Vektoren uB und aB werden hufig graphisch bestimmt, da die rechnerische Lsung kompliziert ist.
Bild 10. Sphrische Bewegung keits- und Beschleunigungsvektor des Kurbelzapfens B, die Winkelgeschwindigkeiten und -beschleunigungen von Kurbel K und Schubstange S sowie der Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor eines beliebigen Punkts C der Schubstange. – Geschwindigkeiten (Bild 12 a ): Von den Vektoren der Gl. (32) sind uA nach Grße und Richtung, uB und uBA der Richtung nach ðuB ? r, uBA ? lÞ bekannt. Aus dem Geschwindigkeits-Eck folgen uB ¼ 1;4 m=s; uBA ¼ 1;2 m=s und hieraus wK ¼ uB =r ¼ 14 s1 ; wS ¼ uBA =l ¼ 2;4 s1 . Die Geschwindigkeit des Punkts C wird dann gemß Gl. (32) zu uC ¼ uA þ uCA , wobei uCA ¼ wS AC ¼ uBA AC=l ist und sich geometrisch aus dem Strahlensatz ergibt. Beschleunigungen (Bild 12 b): Der Eulersche Beschleunigungssatz Gl. (33) nimmt, da sich B auf einer Kreisbahn bewegt, die Form aB; n þ aB; t ¼ aA þ aBA; n þ aBA; t an. Davon sind bekannt aB; n nach Grße ðaB; n ¼ rw2K ¼ 19;6 m=s2 Þ und Richtung (in Richtung von r), von aB; t die Richtung ð? rÞ; aA nach Grße und Richtung (aA ¼ 20 m=s2 gegeben), aBA; n nach Grße ðaBA; n ¼ lw2S ¼ 2;88 m=s2 Þ und Richtung (in Richtung von l), von aBA; t die Richtung ( ? l). Aus dem Beschleunigungs-Eck erhlt man aB; t ¼ 5;3 m=s2 , aBA; t ¼ 6;5 m=s2 und damit aK ¼ aB; t =r ¼ 53 s2 , aS ¼ aBA; t =l ¼ 13 s2 . Die Beschleunigung des Punkts C ist aC ¼ aA þ aCA; n þ aCA; t , wobei aCA; n ¼ w2S AC und aCA; t ¼ aS AC jeweils linear mit AC wachsen, so daß auch aCA ¼ aCA; n þ aCA; t linear mit AC zunimmt und parallel zum Vektor aBA sein muß. Nach dem Strahlensatz erhlt man aCA , und die geometrische Zusammensetzung mit aA ergibt aC .
Beispiel: Kurbeltrieb (Bild 12). Der Kolben A des Kurbeltriebs (l ¼ 500 mm; r ¼ 100 mm) hat in der skizzierten Lage ðj ¼ 35°Þ die Geschwindigkeit uA ¼ 1;2 m=s und die Beschleunigung aA ¼ 20 m=s2 . Fr diese Stellung sind zu ermitteln: der Geschwindig-
Bild 11 a, b. Allgemeine ebene Bewegung. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen
Bild 12 a, b. Kurbeltrieb. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen
B 24
B
Mechanik – 2 Kinematik
Momentanzentrum. Es gibt stets einen Punkt, um den die ebene Bewegung momentan als reine Drehung aufgefaßt werden kann (Momentanzentrum oder Geschwindigkeitspol), d. h. einen Punkt, der momentan in Ruhe ist. Man erhlt ihn als Schnittpunkt der Normalen zweier Geschwindigkeitsrichtungen (Bild 13 a). Ist neben den zwei Geschwindigkeitsrichtungen die Grße einer Geschwindigkeit gegeben (z. B. uA ), so ist die momentane Winkelgeschwindigkeit w ¼ uA =rMA , ferner uB ¼ wrMB ¼ uA rMB =rMA und uC ¼ wrMC ¼ uA rMC =rMA usw. Graphisch erhlt man die Grße der Geschwindigkeiten mit der Methode der „gedrehten“ Geschwindigkeiten, d. h., man dreht uA um 90° in Richtung rMA und zieht die Parallele zur Strecke AB. Die auf den Radien rMB und rMC abgeschnittenen Strecken BB0 und CC0 liefern die Grßen der Geschwindigkeiten uB und uC (Strahlensatz).
Bild 14. Beschleunigungspol
Bild 15 a, b. Relativbewegung. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen
gung durch Translation des krperfesten Punkts O und die Rotation um diesen Punkt (s. rumliche Bewegung, Bild 9) festgelegt ist, so unterscheidet sich das Problem von dem der Krperbewegung dadurch, daß jetzt der Vektor r1 ðtÞ nicht nur infolge Fahrzeugdrehung seine Richtung, sondern zustzlich infolge Relativbewegung seine Richtung und Grße ndert. Entsprechend der Darstellung fr die rumliche Krperbewegung gemß den Gln. (27) bis (30) gilt hier (Bild 15 a)
Bild 13 a – c. Momentanzentrum. a „Gedrehte“ Geschwindigkeiten; b Kurbeltrieb; c Polkurven Als Anwendung werden die Geschwindigkeiten des Beispiels Kurbeltrieb untersucht: Aus Bild 13 b erhlt man bei gegebenen Richtungen von uA und uB das Momentanzentrum M zu rMA ¼ 495 mm, damit wS ¼ uA =rMA ¼ ð1;2 m=sÞ=0;495 m ¼ 2;42 s1 und mit rMB ¼ 580 mm dann uB ¼ wS rMB ¼ 1;40 m=s. Die graphische Konstruktion mittels der gedrehten Geschwindigkeiten liefert dieselben Ergebnisse.
Das Momentanzentrum beschreibt bei der Bewegung bezglich eines raumfesten Koordinatensystems die Rastpolkurve (Spurkurve, Polhodie) und bezglich eines krperfesten Koordinatensystems die Gangpolkurve (Rollkurve, Herpolhodie). Bei der Bewegung rollt die Gangpolkurve auf der Rastpolkurve ab. Bild 13 c zeigt einen abrutschenden Stab. Im raumfesten Koordinatensystem lautet die Gleichung der Rastpolkurve (R) x2 þ y2 ¼ l2 und im krperfesten x, h-System die der Gangpolkurve (G) x2 þ h2 ¼ ðl=2Þ2 , d. h., die beiden Polbahnen sind Kreise. Beschleunigungspol. Es ist der Punkt P, der momentan keine Beschleunigung hat. Dann gilt fr andere Punkte A und B (Bild 14) aA ¼ aAP; t þ aAP; n mit aAP; t ¼ arPA und aAP; n ¼ w2 rPA sowie aAP; t =aAP; n ¼ a=w2 ¼ tan b, ferner aB ¼ aBP; t þ aBP; n mit aBP; t ¼ arPB und aBP; n ¼ w2 rPB sowie aBP; t =aBP; n ¼ a=w2 ¼ tan b. Der Beschleunigungspol ist also der Schnittpunkt zweier Radien, die unter dem Winkel b zu zwei gegebenen Beschleunigungsvektoren stehen. Relativbewegung. Bewegt sich ein Punkt P mit der Relativgeschwindigkeit ur bzw. Relativbeschleunigung ar auf gegebener Bahn relativ zu einem Krper, dessen rumliche Bewe-
rP ðtÞ ¼ r0 ðtÞ þ r1 ðtÞ;
ð34Þ
uðtÞ ¼ r_ P ðtÞ ¼ r_ 0 ðtÞ þ r_ 1 ðtÞ ¼ r_ 0 ðtÞ þ wðtÞe r1 þ dr r1 =dt ¼ uF þ ur :
ð35Þ
Hierbei ist dr r1 =dt ¼ ur die Relativgeschwindigkeit des Punkts gegenber dem Fahrzeug und r_ 0 þ we r1 ¼ uF die Fhrungs- oder Fahrzeuggeschwindigkeit. Gleichung (35) enthlt die Regel: Die Ableitung r_ 1 einen Vektors im krperfesten System nach der Zeit enthlt den Anteil we r1 von der Drehung des Systems und die sogenannte relative Ableitung im System selbst. Entsprechend ergibt sich fr die Beschleunigung (Bild 15 b) d d ðwe r1 Þ þ ur dt dt ¼ €r0 þ ½ðw_ e þ w_eÞ r1 þ we r_ 1 þ u_ r :
aðtÞ ¼ u_ ðtÞ ¼ u_ F þ u_ r ¼ €r0 þ
Mit r_ 1 aus Gl. (35) und u_ r ¼ we ur þ dr ur =dt ¼ we ur þ dr2 r1 =dt2 ¼ we ur þ ar folgt aðtÞ ¼€r0 þ ½ðw_ e þ w_eÞ r1 þ we ðwe r1 Þ þ dr2 r1 =dt2 þ 2we ur ¼ aF þ ar þ aC :
ð36Þ
Die ersten drei Glieder dieser Gleichung stimmen mit denen der rumlichen Bewegung des starren Krpers gemß Gl. (30) berein, stellen also die Fhrungs- oder Fahrzeugbeschleunigung aF dar. Das vierte Glied ist die Relativbeschleunigung ar , und das letzte Glied ist die sogenannte Coriolisbeschleunigung aC , die sich infolge Relativbewegung zustzlich ergibt. Sie wird zu null, wenn w=0 ist (d. h., wenn das Fahrzeug eine reine Translation ausfhrt) oder e und ur parallel zueinander sind (Relativgeschwindigkeit in Richtung der momentanen Drehachse) oder wenn ur ¼ 0 ist. Sie hat die Grße aC ¼ 2wur sin b, wobei b der Winkel zwischen w und ur ist,
I2.2 und sie steht im Sinne einer Rechtsschraube senkrecht zu den Vektoren e und ur . Bei der ebenen Bewegung (Bewegung eines Punkts auf einer ebenen Scheibe) stehen die Vektoren e und ur senkrecht zueinander, d. h., sin b ¼ 1 und somit aC ¼ 2wur . Im brigen gelten auch hier u ¼ uF þ ur und a ¼ aF þ ar þ aC ;
ð37Þ
wobei dann alle Vektoren in der Scheibenebene liegen. Beispiel: Bewegung im rotierenden Rohr (Bild 16). In einem Rohr, das sich nach dem (beliebig) vorgegebenen j(t)-Gesetz dreht, bewegt sich relativ ein Massenpunkt nach dem ebenfalls gegebenen WegZeit-Gesetz sr ðtÞ nach außen. Fr einen beliebigen Zeitpunkt t sind Absolutgeschwindigkeit und -beschleunigung des Massenpunkts zu ermitteln. – Aus sr ðtÞ erhlt man fr Relativgeschwindigkeit und -beschleunigung ur ðtÞ ¼ s_ r und ar ðtÞ ¼ €sr , whrend die Fhrungsbewegung mit uF ðtÞ ¼ sr ðtÞwðtÞ sowie aFt ðtÞ ¼ sr ðtÞaðtÞ, € beschrieben wird. Die aFn ðtÞ ¼ sr ðtÞw2 ðtÞ mit wðtÞ ¼ j_ und aðtÞ ¼ j Coriolisbeschleunigung wird dann aC ¼ 2wðtÞur ðtÞ mit der Richtung senkrecht ur . Absolutgeschwindigkeit und -beschleunigung werden gemß Gl. (37) durch geometrische Zusammensetzung erhalten (Bild 16).
Bewegung starrer Krper
B 25
so daß uA ¼ uA; F uA; r ¼ u0 ðw2;1 w1 Þ OA wird. Mit w2;1 w1 ¼ w2 sowie u0 =w2 ¼ l2 ¼ OM wird uA ¼ w2 ðOM OAÞ ¼ w2 MA; d. h. eine reine Drehgeschwindigkeit um das Momentanzentrum M (Bild 18 a). Da u0 ¼ r0 w1 und somit l2 ¼ r0 w1 =ðw2;1 w1 Þ gilt, ist das eine Besttigung des Satzes ber die Zusammensetzung von Winkelgeschwindigkeiten fr parallele Achsen, wobei im Fall gegenlufiger Drehungen fr wres die Differenz der beiden Winkelgeschwindigkeiten anzusetzen ist und ihre Achse außerhalb der beiden gegebenen Achsen liegt. Sind beide Winkelgeschwindigkeiten entgegengesetzt gleich groß, wird wres ¼ 0, die Scheibe fhrt eine reine Translation (hier mit u0 ) aus. Fr den beliebigen Punkt P gilt nach Gl. (37) uP ¼ uP; F þ uP; r , wobei gemß Gl. (35) uP; F ¼ r_ 0 þ w1 r1 ¼ u0 þ w1 r1 bzw. auch uP; F ¼ w ðr0 þ r1 Þ ¼ w rP und uP;r ¼ dr r1 =dt ¼ w2;1 r1 sind. Dieses Ergebnis ergibt sich auch aus der reinen Drehung um M zu juP j ¼ w2 MP, wobei uP ? MPist (Bild 18 a). Die Beschleunigung von Punkt P folgt aus Gln. (37) bzw. (36) aP ¼ aP; F þ aP; r þ aP; C . Dabei ist aP; F ¼ aP; Fn þ aP; Ft mit aP; Fn ¼ w21 rP und aP; Ft ¼ a1 rP ; aP; r ¼ aP; rn þ aP; rt mit aP; rn ¼ w22;1 r1 und sowie aP; C ¼ 2w1 uP; r mit dem Betrag aP; rt ¼ a2;1 r1 aP; C ¼ 2w1 uP; r ¼ 2w1 w2;1 r1 . Die geometrische Zusammensetzung liefert dann aP (Bild 18 b ).
Bild 16. Bewegung im rotierenden Rohr Beispiel: Umlaufgetriebe (Bild 17). Die mit der Winkelgeschwindigkeit w1 rotierende Kurbel fhrt das Planetenrad, das sich mit w2;1 gegenber der Kurbel dreht, auf dem feststehenden Sonnenrad. – Nach Gl. (37) wird uP ¼ uF þ ur mit der Grße uP ¼ w1 ðl þ rÞ þ w2;1 r und entsprechend uP0 ¼ w1 ðl rÞ w2;1 r. Da das Sonnenrad feststeht, ist uP0 ¼ 0, woraus w2;1 ¼ w1 ðl rÞ=r und uP ¼ w1 ðl þ rÞ þ w1 ðl rÞ ¼ 2w1 l folgen. Die Bewegung des Planetenrads lßt sich deuten als eine Drehung mit w2 ¼ w1 þ w2;1 ¼ w1 l=r um sein Momentanzentrum P0 (Berhrungspunkt von Planeten- mit Sonnenrad), woraus ebenfalls uP ¼ w2 2r ¼ 2w1 l folgt. Hieraus ergibt sich allgemein, daß die Resultierende zweier Winkelgeschwindigkeiten w1 und w2 um parallele Achsen im Abstand L so wie bei zwei Krften (Hebelgesetz) gefunden wird, nmlich zu wres ¼ w1 þ w2 im Abstand l1 ¼ Lw2 =ðw1 þ w2 Þ von der Achse von w1 . Bild 18 a, b. Rotation zweier Scheiben. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen Beispiel: Drehung um zwei einander schneidende Achsen (Bild 19). Eine abgewinkelte Achse rotiert mit w1 und fhrt ein Kegelrad, das sich mit w2;1 relativ zu dieser Achse dreht und auf einem festen Kegel abrollt. Nach Gl. (35) ist dann
Bild 17. Umlaufgetriebe Beispiel: Rotation zweier Scheiben um parallele Achsen (Bild 18). Ein um das feste Lager B rotierender Stab hat die Winkelgeschwindigkeit w1 und die Winkelbeschleunigung a1 . In seinem Punkt O ist eine Scheibe gelagert, die sich im selben Moment ihm gegenber mit w2;1 > w1 und a2;1 dreht. Gesucht sind die momentanen Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren eines beliebigen Punkts P. – Fr Punkt A ist nach Gl. (37) uA ¼ uA; F þ uA; r mit uA; r ¼ w2;1 OA und uA; F ¼ w1 BA ¼ w1 BO þ w1 OA ¼ u0 þ w1 OA;
uP ¼ uF þ ur ¼ ðu0 þ w1 r1 Þ þ w2;1 r1 ¼ ðw1 r0 þ w1 r1 Þ þ w2;1 r1 mit dem Betrag uP ¼ w1 r0 sin b þ w1 r1 sinð90° bÞ þ w2;1 r1 ¼ w1 r0 sin b þ w1 r1 cos b þ w2;1 r1 und entsprechend uP0 ¼ w1 r0 sin b w1 r1 cos b w2;1 r1 : Aus uP0 ¼ 0 folgt mit cot g ¼ r0 =r1 der Zusammenhang zwischen den Winkelgeschwindigkeiten (Zwanglauf) w2;1 ¼ w1 ðcot g sin b cos bÞ ¼ w1 sinðb gÞ= sin g: Das bedeutet, daß man die Winkelgeschwindigkeiten w1 und w2;1 zu einer Resultierenden w2 gemß w2 ¼ w1 þ w2;1 zusammensetzen darf (Bild 19), denn der Sinussatz fr das Vektoreneck liefert das vorstehende Ergebnis. Die Bewegung des Kegelrads kann also als reine Drehung mit w2 um die Berhrungslinie als Momentanachse be-
B
B 26
Mechanik – 3 Kinetik
Beispiel: Umlaufende Kurbelschleife (Bild 20). Die Kurbel (r ¼ 150 mm) dreht sich mit wK ¼ 4 s1 ¼ const. Fr die Stellung j ¼ 75 sind Winkelgeschwindigkeit wS und -beschleunigung aS der Schleife zu ermitteln. – Der Kulissenstein P fhrt gegenber der Schleife eine Relativbewegung aus. Seine Absolutbewegung ist durch die Kurbelbewegung gegeben: v ¼ wK r ¼ 0;60 m=s, a ¼ an ¼ w2K r ¼ 2;40 m=s2 , da wegen wK ¼ const, also aK ¼ 0, at ¼ aK r ¼ 0 ist. Da die Relativbewegung geradlinig ist, haben Relativgeschwin-
digkeit ur und -beschleunigung ar die Richtung der Relativbahn, also die der Schleife. Gemß Gl. (37) u ¼ uF þ ur folgt mit bekanntem Vektor u und den bekannten Richtungen von uF ( ? Schleife) und ur (// Schleife) aus dem Geschwindigkeits-Eck (Bild 20) ur ¼ 0;29 m=s und uF ¼ 0;52 m=s. Mit lðj ¼ 75Þ 460 mm wird die Winkelgeschwindigkeit der Schleife wS ¼ uF =l ¼ 1;13 s1 und somit aFn ¼ lw2S ¼ 0;59 m=s2 (Richtung k Schleife). Die Coriolisbeschleunigung aC ¼ 2wS ur ¼ 0;66 m=s2 steht senkrecht auf der Schleife, so daß bei bekanntem Vektor a und den bekannten Richtungen von aFt ( ? Schleife) und ar (k Schleife) gemß Gl. (37) a ¼ aFn þ aFt þ ar þ aC aus dem Beschleunigungs-Eck (Bild 20) ar ¼ 1;45 m=s2 und aFt ¼ 0;50 m=s2 zu erhalten ist, woraus dann aS ¼ aFt =l ¼ 1;09 s2 folgt.
Bild 19. Kegelrad
Bild 20. Umlaufende Kurbelschleife
3 Kinetik. Dynamics
Haben Krfte ein Potential, d. h., ist ¶U ¶U ¶U F ¼ grad U ¼ ex ey ez ; ¶x ¶y ¶z so folgt ZðP2 Þ ¶U ¶U ¶U dx þ dy þ dz W ¼ ¶x ¶y ¶z
schrieben werden. Zwei Winkelgeschwindigkeiten w1 und w2 um zwei einander schneidende Achsen ergeben allgemein eine Resultierende wres ¼ w1 þ w2 .
B
Die Kinetik untersucht die Bewegung von Massenpunkten, Massenpunktsystemen, Krpern und Krpersystemen als Folge der auf sie wirkenden Krfte und Momente unter Bercksichtigung der Gesetze der Kinematik.
ðP1 Þ
3.1 Energetische Grundbegriffe – Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad Basic terms of energy, work, power, efficiency Arbeit. Das Arbeitsdifferential ist definiert als Skalarprodukt aus Kraftvektor und Vektor des Wegelements (Bild 1 a). dW ¼ Fdr ¼ Fds cos b ¼ Ft ds. Demnach verrichtet nur die Tangentialkomponente einer Kraft Arbeit. Die Gesamtarbeit ergibt sich mit dW ¼ Fx dx þ Fy dy þ Fz dz zu Zs2 Zs2 ZðP2 Þ W ¼ FðsÞdr ¼ Ft ðsÞds ¼ ðFx dx þ Fy dy þ Fz dzÞ: ð1Þ s1
s1
ðP1 Þ
Sie ist gleich dem Inhalt des Tangentialkraft-Weg-Diagramms (Bild 1 b). Fr F ¼ F0 ¼ const folgt W ¼ F0 ðs2 s1 Þ.
ð2Þ
ZðP2 Þ ¼
dU ¼ U1 U2 : ðP1 Þ
Die Arbeit ist dann vom Integrationsweg unabhngig und gleich der Differenz der Potentiale zwischen Anfangspunkt P1 und Endpunkt P2 . Krfte mit Potential sind Schwerkrfte und Federkrfte (elastische Formnderungskrfte). Spezielle Arbeiten (Bild 2 a–d) a) Schwerkraft. Potential (potentielle Energie) U ¼ FG z, Arbeit WG ¼ U1 U2 ¼ FG ðz1 z2 Þ:
ð3Þ
b) Federkraft. Potential (potentielle Federenergie) U ¼ cs2 =2, Federkraft Fc ¼ gradU ¼ ¶U bzw. ¶s e ¼ cse jFc j ¼ F ¼ cs (c Federrate), Zs2 ð4Þ Arbeit Wc ¼ cs ds ¼ cðs22 s21 Þ=2: s1
c) Reibungskraft. Kein Potential, da Reibungsarbeit in Form von Wrme verlorengeht. Zs2 Zs2 Arbeit Wr ¼ Fr ðsÞ dr ¼ Fr ðsÞ cos 180ds s1
¼ Bild 1. a Arbeit einer Kraft; b Tangentialkraft-Weg-Diagramm
s1
Zs2 Fr ðsÞ ds: s1
ð5Þ
I3.2
Kinetik des Massenpunkts und des translatorisch bewegten Krpers
B 27
Wirkungsgrad ist das Verhltnis von Nutzarbeit zu zugefhrter Arbeit, wobei letztere aus Nutz- und Verlustarbeit besteht: ð10Þ hm ¼ Wn =Wz ¼ Wn =ðWn þ Wv Þ hm mittlerer Wirkungsgrad (Arbeit ist mit der Zeit vernderlich). Augenblicklicher Wirkungsgrad dWn dWn dWz ¼ Pn =Pz ¼ Pn =ðPn þ Pv Þ: ¼ ð11Þ h¼ dWz dt dt Sind mehrere Teile am Prozeß beteiligt, so gilt h ¼ h1 h2 h3 . . .
3.2 Kinetik des Massenpunkts und des translatorisch bewegten Krpers Particle dynamics, straight line motion of rigid bodies
Bild 2 a – d. Arbeiten. a Schwerkraft; b Federkraft; c Reibungskraft; d Drehmoment
Fr Fr ¼ const ¼ Fr0 wird Wr ¼ Fr0 ðs2 s1 Þ. d) Drehmoment. Zj2 Zj2 Arbeit WM ¼ MðjÞdj ¼ MðjÞ cos g dj j1
j1
Zj2 ¼
ð6Þ
Mt ðjÞdj; j1
d. h., nur die zur Drehachse parallele Momentkomponente Mt verrichtet Arbeit. Fr M ¼ const ¼ M0 gilt WM ¼ M0 cos gðj2 j1 Þ ¼ Mt0 ðj2 j1 Þ: Gesamtarbeit. Wirken an einem Krper Krfte und Momente, so gilt Zs2 X Zj2 X ð Fi dri Þ þ ð M i dji Þ
W¼
s1
3.2.1 Dynamisches Grundgesetz von Newton (2. Newtonsches Axiom) Newton's law of motion Wirken auf einen freigemachten Massenpunkt (Massenelement, translatorisch bewegten Krper) eine Anzahl ußerer Krfte, so ist die resultierende Kraft FR gleich der zeitlichen nderung des Impulsvektors p ¼ mu bzw., wenn die Masse m konstant ist, gleich dem Produkt aus Masse m und Beschleunigungsvektor a ( Bild 3 a): X d ðaÞ ðaÞ ð12Þ Fi ¼ ðmuÞ; FRes ¼ FR ¼ dt X ðaÞ ð13Þ Fi ¼ ma ¼ m du=dt: FR ¼ Die Komponenten in natrlichen bzw. kartesischen Koordinaten (Bild 3 b, c) sind 9 X X ðaÞ ðaÞ FRt ¼ Fit ¼ mat , FRn ¼ Fin ¼ man bzw: > > > > X X > = ðaÞ ðaÞ FRx ¼ Fix ¼ max , FRy ¼ Fiy ¼ may , ð14Þ X > ðaÞ > > FRz ¼ Fiz ¼ maz : > > ;
j1
Zs2 X Zj2 X ¼ ð Fi cos bi dsi Þ þ ð Mi cos gi dji Þ s1
ð7Þ
j1
Zs2 X Zj2 X ð Fti dsi Þ þ ð Mti dji Þ
¼
s1
j1
const = Fi0 und MiX = const = Mi0 bzw. fr Fi = X Arbeit W ¼ ½Fi0 ðsi2 si1 Þ þ ½Mi0 ðji2 ji1 Þ. Leistung ist Arbeit pro Zeiteinheit. X X X X M i wi ¼ Fti ui þ Mti wi PðtÞ ¼ dW=dt ¼ Fi ui þ X ð8Þ ¼ ðFxi uxi þ Fyi uyi þ Fzi uzi Þ X þ ðMxi wxi þ Myi wyi þ Mzi wzi Þ: Also ist fr eine Kraft P ¼ Ft u und fr ein Moment P ¼ Mw. Integration ber die Zeit ergibt die Arbeit Zt2 Zt2 W¼ dW ¼ PðtÞ dt ¼ Pm ðt2 t1 Þ: t1
t1
Mittlere Leistung: Zt2 Pm ¼
PðtÞ dt=ðt2 t1 Þ ¼ W=ðt2 t1 Þ: t1
ð9Þ
Bild 3 a – d. Dynamisches Grundgesetz. a Vektoriell; b in natrlichen Koordinaten; c in kartesischen Koordinaten; d Massenpunkt auf schiefer Ebene
B
B 28
B
Mechanik – 3 Kinetik
Bei der Lsung von Aufgaben mit dem Newtonschen Grundgesetz muß der Massenpunkt bzw. translatorisch bewegte Krper freigemacht werden, d. h., alle eingeprgten Krfte und alle Reaktionskrfte sind als ußere Krfte anzubringen. Beispiel: Massenpunkt auf schiefer Ebene (Bild 3 d). Die Masse m ¼ 2;5 kg wird aus der Ruhelage 1 von der Kraft F1 ¼ 50 N ðg ¼ 15Þ die schiefe Ebene ðb ¼ 25Þ hinaufbewegt (Gleitreibungszahl m ¼ 0;3Þ. Zu bestimmen sind Beschleunigung, Zeit und Geschwindigkeit beim Erreichen der Lage 2 ðs2 ¼ 4 mÞ. – Da die Bewegung geradlinig ist, X ðaÞ Fin ¼ 0; also muß an ¼ 0 sein. Nach Gl. (14) gilt FRn ¼ Fn ¼ m g cos b þ F1 sinðb þ gÞ ¼ 54;37 N sowie X ðaÞ mat ¼ FRt ¼ Fit ¼ F1 cosðb þ gÞ FG sin b Fr ; woraus mit Fr ¼ mFn ¼ 16;31 N at ¼ 4;65 m=s2 folgen.
dann
mat ¼ 11;63 N
und
Mit den Gesetzen der gleichmßig beschleunigten Bewegung aus der Ruhelage (s. B 2.1.1) ergeben sich pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t2 ¼ 2s2 =at ¼ 1;31 s und u2 ¼ 2at s2 ¼ 6;10 m=s:
dW ¼ ðFe þ Fz þ Fr maÞdr ¼ 0: Hierbei ist dr eine mit der Fhrung geometrisch vertrgliche Verrckung tangential zur Bahn. Da die Fhrungskrfte Fz normal zur Bahn stehen und somit keine Arbeit verrichten, gilt ð19Þ dW ¼ ðFe þ Fr maÞd r ¼ 0 bzw. in kartesischen Koordinaten dW ¼ ðFex þ Frx max Þd x þ ðFey þ Fry may Þdy þ ðFez þ Frz maz Þd z ¼ 0 bzw. in natrlichen Koordinaten dW ¼ ðFet Fr mat Þd s ¼ 0
ð20Þ ð21Þ
(entsprechend in Zylinderkoordinaten usw.; s. folgendes Beispiel). Die Gln. (19) bis (21) stellen das dAlembertsche Prinzip in der Lagrangeschen Fassung dar. Das Prinzip eignet sich besonders fr Aufgaben ohne Reibung, da es die Berechnung der Zwangskrfte erspart. Beispiel: Massenpunkt auf Schraubenlinie (s. B 2 Bild 7). Die Masse m bewege sich reibungsfrei infolge ihrer Gewichtskraft eine zylindrische Schraubenlinie hinunter, die durch Zylinderkoordinaten r0 ðtÞ ¼ r0 ¼ const; jðtÞ und zðtÞ ¼ ðh=2pÞjðtÞ
3.2.2 Arbeits- und Energiesatz. Energy equation Aus Gl. (13) folgt nach Multiplikation mit dr und Integration der Arbeitssatz Zðr2 Þ W1; 2 ¼
Zðr2 Þ FR dr ¼
ðr1 Þ
m ðr 1 Þ
du dr ¼ dt
m m ¼ u22 u21 ¼ E2 E1 ; 2 2
v1
ð15Þ
ð16Þ
Beispiel: Massenpunkt auf schiefer Ebene (Bild 3 d). Fr das Beispiel in B 3.2.1 ist die Geschwindigkeit u2 nach dem Arbeitssatz zu ermitteln. – Mit u1 ¼ 0, d. h. E1 ¼ 0, wird mu22 =2 ¼ W1; 2
€ dj m€ jðh=2pÞdz ¼ 0 dW ¼ ðFe maÞdr ¼ mg dz mr02 j und mit dz ¼ ðh=2pÞdj
d. h., die Arbeit ist gleich der Differenz der kinetischen Energien. Haben alle am Vorgang beteiligten Krfte ein Potential, verluft der Vorgang also ohne Energieverluste, so gilt W1; 2 ¼ U1 U2 (s. B 3.1), und aus Gl. (15) folgt der Energiesatz U1 þ E1 ¼ U2 þ E2 ¼ const:
rðtÞ ¼ r0 er þ 0 ej þ zðtÞez folgt dr ¼ r0 dj ej þ dzez : € r0 ej þ j € ðh=2pÞez Mit Fe ¼ FG ¼ mgez sowie aðtÞ ¼ j_ 2 r0 er þ j gemß B 2.1.3 wird nach Gl. (19)
Zv2 mu du
beschrieben ist (s. B 2.1.3). – Aus
¼ F1 cosðb þ gÞs2 Fr s2 FG h ¼ 46;51 Nm:
€ þ h2 =ð2pÞ2 j € ¼ 0; m dj½gh=2p þ r02 j gh=ð2pr02 Þ ¼ const ¼ A folgt. Die Integration er1 þ h2 =ð2pr0 Þ2 gibt j_ ðtÞ ¼ At þ C1 und jðtÞ ¼ At2 =2 þ C1 t þ C2 , wobei die Integrationskonstanten aus Anfangsbedingungen zu ermitteln sind. Die Gln. in B 2.1.3 liefern dann mit b ¼ arctan½h=ð2pr0 Þ die Bewegungsgesetze des Massenpunkts: €¼ woraus j
sðtÞ ¼ r0 ðAt2 =2 þ C1 t þ C2 Þ= cos b; vðtÞ ¼ r0 ðAt þ C1 Þ= cos b; an ðtÞ ¼ r0 ðAt þ C1 Þ2 ; at ðtÞ ¼ r0 A= cos b ¼ const; also eine gleichmßig beschleunigte (rcklufige) Bewegung.
Somit ist pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u2 ¼ 2 46;51 Nm=2;5 kg ¼ 6;10 m=s:
3.2.3 Impulssatz. Momentum equation Aus Gl. (13) folgt nach Multiplikation mit dt und Integration fr konstante Masse m Zt2 Zv2 p1;2 ¼ FR dt ¼ m du ¼ mu2 mu1 ¼ p2 p1 : ð17Þ t1
v1
Das Zeitintegral der Kraft, der sog. Antrieb, ist also gleich der Differenz der Impulse. 3.2.4 Prinzip von dAlembert und gefhrte Bewegungen DAlemberts principle Aus dem Newtonschen Grundgesetz folgt fr den Massenpunkt FR ma ¼ 0, d. h., ußere Krfte und Trgheitskraft (negative Massenbeschleunigung, dAlembertsche Hilfskraft) bilden einen „Gleichgewichtszustand“. Im Fall der gefhrten Bewegung setzt sich die Resultierende FR aus den eingeprgten Krften Fe , den Zwangskrften Fz und den Reibungskrften Fr zusammen: Fe þ Fz þ Fr ma ¼ 0:
ð18Þ
Wird auf dieses „Gleichgewichtssystem“ das Prinzip der virtuellen Arbeiten (s. B 1.4.3 ) angewendet, so folgt (Bild 4)
Bild 4. Zum Prinzip von dAlembert
3.2.5 Impulsmomenten- (Flchen-) und Drehimpulssatz Angular momentum equation Nach vektorieller Multiplikation mit einem Radiusvektor r folgt aus Gl. (13) r FR ¼ M R ¼ r ma: Wegen u mu ¼ 0 gilt MR ¼
d dD ðr muÞ ¼ dt dt
ð22Þ
Impulsmomentensatz: Die zeitliche nderung des Impulsmoments D ¼ r mu (auch Drehimpuls oder Drall genannt) ist gleich dem resultierenden Moment. Nun ist r mu ¼ mðr dr=dtÞ und r dr ¼ 2dA ein Vektor, dessen Betrag gleich ist dem doppelten Flcheninhalt der vom Vektor r berstrichenen Flche (Bild 5). Damit nimmt Gl. (22) die Form an d dA d2 A ð23Þ 2m ¼ 2m 2 MR ¼ dt dt dt
I3.3
B 29
Kinetik des Massenpunktsystems
3.3.1 Schwerpunktsatz. Motion of the centroid Das Newtonsche Grundgesetz fr freigemachte Massenpunkte und die Summation ber den gesamten Verband liefert n X i¼1
Flchensatz: Das resultierende Moment ist gleich dem Produkt aus doppelter Masse und der Ableitung der Flchengeschwindigkeit dA=dt. Ist FR eine Zentralkraft, d. h. stets in Richtung von r gerichtet, so wird M R ¼ r FR ¼ 0 und damit nach Gl. (23) dA=dt ¼ const, d. h., die Flchengeschwindigkeit ist konstant, der Radiusvektor berstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flchen (2. Keplersches Gesetz). Aus Gl. (22) folgt Zt2 M R dt ¼ t1
Zt2 dðr muÞ ¼
t1
dD ¼ D2 D1
ð24Þ
3.3 Kinetik des Massenpunktsystems Dynamics of systems of particles Ein Massenpunktsystem ist ein aufgrund innerer Krfte (z. B. Massenanziehung, Federkrfte, Stabkrfte) zusammengehaltener Verband von n Massenpunkten (Bild 6 a). Fr die inneren Krfte gilt das 3. Newtonsche Axiom von actio ¼ reactio, ðiÞ
mi ai :
ð25Þ
i¼1
X
ðiÞ
Fik ¼ 0 und nach B 1 Gl. (25)
ð26Þ
Schwerpunktsatz: Der Massenmittelpunkt (Schwerpunkt) eines Massenpunktsystems bewegt sich so, als ob die Gesamtmasse in ihm vereinigt wre und alle ußeren Krfte an ihm angreifen wrden. 3.3.2 Arbeits- und Energiesatz. Energy equation Aus Gl. (25) folgt nach Multiplikation mit dri (differentiell kleiner Verschiebungsvektor des i-ten Massenpunkts) und nach Integration zwischen zwei Zeitpunkten 1 und 2 ð2Þ
XZ
Drehimpulssatz: Das Zeitintegral ber das Moment ist gleich der Differenz der Drehimpulse. Ist M R ¼ 0, so gilt D1 ¼ D2 ¼ const:
ðiÞ
n X
ðiÞ
Fik ¼
i¼1
t1
d. h. Fik ¼ Fki .
i; k¼1
Da fr die inneren Krfte X €rS m ¼ mi€ri ist, folgt n X ðaÞ FRi ¼ maS
Bild 5. Impulsmomentensatz (Flchensatz)
Zt2
n X
ðaÞ
FRi þ
ð2Þ
ðaÞ
FRi dri þ
ð1Þ ðaÞ
ðiÞ
W1;2 þ W1;2 ¼
XZ
X
ð2Þ
ðiÞ
Fik dri ¼
XZ
ð1Þ
ð1Þ
mi ui dui bzw: ð27Þ
ðmi =2Þðu2i2 u2i1 Þ
Arbeitssatz: Die Arbeit der ußeren und inneren Krfte am Massenpunktsystem (wobei die der Zwangskrfte wieder null ist) ist gleich der Differenz der kinetischen Energien. Die inneren Krfte verrichten bei starren Verbindungen der Massenpunkte keine Arbeit. Haben alle beteiligten Krfte ein Potential, so gilt der Energiesatz Gl. (16). Beispiel: Punktmassen auf schiefen Ebenen (Bild 6 b). Die beiden ber ein nichtdehnbares Seil verbundenen Massen werden aus der Ruhelage von der Kraft F die schiefen Ebenen entlang gezogen. Gesucht sind ihre Geschwindigkeiten nach Zurcklegen einer Strecke s1 . – Nach dem Freimachen ergeben sich die Normaldruckkrfte (Zwangskrfte) zu Fn2 ¼ FG2 cos b2 und Fn1 ¼ FG1 cos b1 F sin b1 , wobei als Voraussetzung des Nichtabhebens F % FG1 cot b1 sein muß. Damit sind die Reibungskrfte Fr2 ¼ m2 Fn2 und Fr1 ¼ m1 Fn1 : Der Arbeitssatz Gl. (27) liefert F cos b1 s1 þ FG1 h1 Fr1 s1 FS s1 þ FS s2 FG2 h2 Fr2 s2 ¼ m1 v21 =2 þ m2 v22 =2; und mit s2 ¼ s1 ; u2 ¼ u1 (nichtdehnbares Seil!) sowie mit h1 ¼ s1 sin b1 und h2 ¼ s2 sin b2 ist dann u21 ¼2s1 ½F cos b1 þ FG1 sin b1 m1 ðFG1 cos b1 F sin b1 Þ FG2 sin b2 m2 FG2 cos b2 =ðm1 þ m2 Þ:
3.3.3 Impulssatz. Momentum equation Aus Gl. (25) folgt nach Multiplikation mit dt und Integration XZ
t2
XZ
t2
ðaÞ
FRi dt þ
t
¼
1 X
XZ
XZ
t2
ðiÞ
Fik dt ¼
t1
t1
mi
dui dt dt
mi ðui2 ui1 Þ ¼ p2 p1 :
t2
Da
ðiÞ
Fik dt ¼ 0 und nach B 1 Gl. (25) muS ¼
X
mi ui ist,
t1
ergibt sich XZ
t2
p2 p1 ¼ Bild 6 a, b. Massenpunktsystem. a Allgemein; b zwei Massen
t1
ðaÞ
FRi dt ¼
X
mi ðui2 ui1 Þ ¼ mðuS2 uS1 Þ ð28Þ
B
B 30
B
Mechanik – 3 Kinetik
Impulssatz: Das Zeitintegral ber die ußeren Krfte des Systems ist gleich der Differenz aller Impulse bzw. gleich der Differenz der Schwerpunktimpulse. – Sind keine ußeren Krfte vorhanden, so folgt aus Gl. (28) X X mi ui2 ¼ const bzw: mi ui1 ¼ ð29Þ muS1 ¼ muS2 ¼ const; d. h., der Gesamtimpuls bleibt erhalten. Beispiel: Massenpunktsystem und Impulssatz (Bild 7). Eine Feder (Federrate c), die um den Betrag s1 vorgespannt war, schleudert die Massen m1 und m2 auseinander. Zu ermitteln sind deren Geschwindigkeiten. – Unter Vernachlssigung von Reibungskrften whrend des Entspannungsvorgangs der Feder wirken am System keine ußeren Krfte in Bewegungsrichtung, so daß mit u11 ¼ 0 und u21 ¼ 0 aus Gl. (29) m1 u12 m2 u22 ¼ 0; also m1 u12 ¼ m2 u22 ; folgt. Hiermit liefert der Energiesatz, Gl. (16), cs21 =2 ¼ þm1 u212 =2 þ m2 u222 =2 dann qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u12 ¼ cs21 =ðm1 þ m21 =m2 Þ und u22 ¼ cs21 =ðm2 þ m22 =m1 Þ:
Bild 7. Zum Impuls- und Energiesatz
3.3.4 Prinzip von dAlembert und gefhrte Bewegungen DAlemberts principle, constrained motion X ðaÞ X X ðiÞ Aus Gl. (25) folgt FRi þ ð mi ai Þ ¼ Fik : WeX ðiÞ gen Fik ¼ 0 sind die verlorenen Krfte, das ist die Gesamtheit der ußeren Krfte zuzglich der Trgheitskrfte (negative Massenbeschleunigungen), am Massenpunktsystem im Gleichgewicht: X X ðaÞ mi ai Þ ¼ 0: ð30Þ FRi þ ð Das Prinzip eignet sich in dieser Fassung besonders zur Berechnung der Schnittlasten dynamisch beanspruchter Systeme, wobei man die Schnittlasten als ußere Krfte einfhrt. Im Fall gefhrter Bewegungen setzt sich die Resultierende der ußeren Krfte an den einzelnen Massenpunkten aus den ðeÞ
eingeprgten Krften Fi ; den Fhrungs- oder Zwangskrften ðzÞ Fi
ðrÞ
und den Reibungskrften Fi zusammen. Fr starre Systeme erhlt man mit dem Gleichgewichtsprinzip der virtuellen Arbeiten (s. B 1.4.3), indem man jedem Massenpunkt eine mit den geometrischen Bindungen vertrgliche Verrckung dri erteilt, dann aus Gl. (30) X ðeÞ ðzÞ ðrÞ ½FRi þ FRi þ FRi þ ðmi ai Þdri ¼ 0:
Da die Zwangskrfte bei Verrckungen keine Arbeit verrichten, folgt das dAlembertsche Prinzip in Lagrangescher Fassung: X ðeÞ ðrÞ ð31Þ ½FRi þ FRi þ ðmi ai Þdri ¼ 0: In kartesischen bzw. natrlichen Koordinaten lautet Gl. (31) entsprechend den Gln. (20) und (21) fr den Massenpunkt. Dieses Prinzip ist besonders zur Berechnung des Beschleunigungszustands von gefhrten Bewegungen ohne Reibung geeignet, da es die Berechnung der Zwangskrfte erspart. Beispiel: Physikalisches Pendel (Bild 8). – Fr das aus zwei punktfrmigen Massen m1 und m2 an „masselosen“ Stangen (gegeben r1 ; r2 ; h und somit b ¼ arc sinðh=r2 ÞÞ bestehende Pendel wird die Schwingungsdifferentialgleichung aufgestellt. Bei fehlenden Reibungskrften nimmt das d'Alembertsche Prinzip in Lagrangescher Fassung in natrlichen Koordinaten analog Gl. (21) die Form X ðeÞ dW ¼ ðFti mi ati Þdsi ¼ 0 an; damit wird dW ¼ðFG1 sin j m1 at1 Þds1 þ ðFG2 sinðb þ jÞ m2 at2 Þds2 ¼ 0:
Bild 8. Physikalisches Pendel € , at2 ¼ r2 j € erhlt man Mit ds1 ¼ r1 dj, ds2 ¼ r2 dj sowie at1 ¼ r1 j €Þ þ m2 ðgr2 sinðb þ jÞ þ r22 j €Þdj ¼ 0; woraus die ½m1 ðgr1 sin j þ r12 j nichtlineare Differentialgleichung dieser Pendelschwingung folgt: € ðm1 r12 þ m2 r22 Þ þ m1 gr1 sin j þ m2 gr2 sinðj þ bÞ ¼ 0: Fr kleine j Auslenkungen j nimmt sie wegen sin j j und sinðj þ bÞ €ðm1 r12 þ m2 r22 Þ þ jðm1 gr1 þ j cos b þ sin b die Form j m2 gr2 cos bÞ ¼ m2 gr2 sin b an, deren Lsung in B 4 beschrieben wird.
3.3.5 Impulsmomenten- und Drehimpulssatz Angular momentum equation ðaÞ
ðiÞ
Aus dem Newtonschen Grundgesetz FRi þ Fik ¼ mi ai folgt nach vektorieller Multiplikation mit einem Radiusvektor ri und Summation ber das gesamte Massenpunktsystem X X X ðaÞ ðiÞ ðri Fik Þ ¼ ðri mi ai Þ: ðri FRi Þ þ Hieraus folgt analog der Ableitung von Gl. (22) X dX dD ðaÞ ðaÞ MR ¼ ðri FRi Þ ¼ ðri mi ui Þ ¼ dt dt
ð32Þ
Impulsmomenten- oder Drallsatz: X Die zeitliche nderung des Dralls (Drehimpulses) D ¼ ðri mi ui Þ ist gleich dem resultierenden Moment der ußeren Krfte am Massenpunktsystem. Gleichung (32) gilt bezglich eines raumfesten Punkts oder bezglich des beliebig bewegten Schwerpunkts. Aus ihr folgt nach Integration ber die Zeit der Drehimpulssatz analog Gl. (24). 3.3.6 Lagrangesche Gleichungen. Lagrange's equations Sie liefern durch Differentiationsprozesse ber die kinetische Energie die Bewegungsgleichungen des Systems. Ein System mit n Massenpunkten kann zwar 3n Freiheitsgrade haben, jedoch bestehen hufig zwischen einigen Koordinaten aufgrund mechanischer Bindungen Abhngigkeiten, wodurch die Zahl der Freiheitsgrade auf m (im Grenzfall bis auf m=1) reduziert wird. Handelt es sich um holonome Systeme, bei denen die Beziehungen zwischen den Koordinaten in endlicher Form und nicht in Differentialform darstellbar sind, dann gelten die Lagrangeschen Gleichungen (2. Art): d ¶E ¶E ¼ Qk ðk ¼ 1; 2; . . . ; mÞ: ð33Þ dt ¶q_ k ¶qk Hierbei ist E die gesamte kinetische Energie des Systems, qk sind die generalisierten Koordinaten der m Freiheitsgrade, Qk die generalisierten Krfte. Ist qk eine Lnge, so ist das zugehrige Qk eine Kraft; ist qk ein Winkel, so ist das dazu gehrige Qk ein Moment. Die Lagrangesche Kraft Qk erhlt man aus X ðaÞ X ðaÞ Qk dqk ¼ Fi dsi bzw: Qk ¼ ð Fi dsi Þ=dqk ; ð34Þ
I3.4 wobei dsi Verschiebungen des Systems infolge alleiniger nderung (Variation) der Koordinate qk sind ðdqi ¼ 0; i 6¼ kÞ: ¶U Haben die beteiligten Krfte ein Potential, so gilt Qk ¼ ¶qk ¶U und ¼ 0: Damit folgt aus Gl. (33) ¶q_ k d ¶E ¶E ¶U ¼ bzw: dt ¶q_ k ¶qk ¶qk ð35Þ d ¶L ¶L ¼ 0; dt ¶q_ k ¶qk wobei L ¼ E U ¼ Lðq1 . . . qm ; q_ 1 . . . q_ m Þ die Lagrangesche Funktion ist. Beispiel: Schwinger mit einem Freiheitsgrad (Bild 9). Die Schwingung wird fr kleine Auslenkungen j, d. h. fr x ¼ l1 j und y ¼ l2 j; und unter Vernachlssigung der Stangen- und Federmassen untersucht. – Es gilt E ¼ m1 x_ 2 =2 þ m2 y_ 2 =2 ¼ m1 l21 j_ 2 =2 þ m2 l22 j_ 2 =2; also ¶E ¶E d ¶E j: ¼ ðm1 l21 þ m2 l22 Þ€ ¼ 0 und ¼ ðm1 l21 þ m2 l22 Þj_ ; d. h. ¶j ¶j_ dt ¶j_ Ferner ist U ¼ m1 gðl1 þ l2 Þ þ m2 gl2 ð1 cos jÞ þ cðl2 jÞ2 =2; d. h. ¶U ¶U ¼ m2 gl2 sin j þ cl22 j: Mit sin j j wird ¼ ðm2 gl2 þ cl22 Þj: Aus ¶j ¶j Gl. (35) folgt dann mit qk ¼ j € ðm1 l21 þ m2 l22 Þ þ jðm2 gl2 þ cl22 Þ ¼ 0 ðL¨osung s: B 4Þ j
B 31
Kinetik starrer Krper
Nun ist m_ ðtÞuðtÞ ¼ m_ ðtÞur ðtÞ (die Masse nimmt ab) und ðaÞ bzw. mðtÞaðtÞ ¼ somit FR ¼ mðtÞaðtÞ m_ ðtÞur ðtÞ ðaÞ
ðaÞ
FR þ m_ ðtÞur ðtÞ: Wirken keine ußeren Krfte ðFR ¼ 0Þ; so gilt mðtÞaðtÞ ¼ m_ ðtÞur ðtÞ ¼ FS ðtÞ;
ð36Þ
d. h., a ist parallel zu ur ; und FS ðtÞ ist der Schub der Rakete. Ist ferner m_ ¼ m_ 0 ¼ const; ur ¼ ur0 ¼ const und ur parallel zu u, so wird die Bahn eine Gerade. Dann gilt mðtÞat ðtÞ ¼ m_ 0 ur0 ¼ FS0 : Die verlorene Masse bis zur Zeit t ist mðtÞ ¼ m_ 0 t und somit mðtÞ ¼ m0 m_ 0 t: Mit at ¼ dv=dt wird dann m_ ur0 m_ 0 ur0 du ¼ : ¼ 0 dt m0 m_ 0 t m0 ½1 ðm_ 0 =m0 Þt Die Integration mit den Anfangsbedingungen uðt ¼ 0Þ ¼ 0 und sðt ¼ 0Þ ¼ 0 liefert m_ uðtÞ ¼ ur0 ln 1 0 t und m0 m_ m_ m_ m0 ur0 sðtÞ ¼ 1 0 t ln 1 0 t þ 0 t : m_ 0 m0 m0 m0
3.4 Kinetik starrer Krper Dynamics of rigid bodies Ein starrer Krper ist ein kontinuierliches Massenpunktsystem mit unendlich vielen starr miteinander verbundenen Massenelementen. Die kinematischen Grundlagen sind in B 2.2 beschrieben. Ein starrer Krper kann eine Translation, eine Rotation oder eine allgemeine ebene bzw. rumliche Bewegung ausfhren. 3.4.1 Rotation eines starren Krpers um eine feste Achse Rigid body rotation about a fixed axis Entsprechend Gl. (26) fr das Massenpunktsystem gilt hier bei Integration ber den ganzen Krper der Schwerpunktsatz X ðaÞ ðaÞ ðeÞ ðzÞ Fi ¼ maS ð37Þ FR ¼ FR þ FR ¼
Bild 9. Schwinger
3.3.7 Prinzip von Hamilton. Hamiltons principle Whrend die Lagrangeschen Gleichungen ein Differentialprinzip darstellen, handelt es sich hier um ein Integralprinzip (aus dem sich auch die Lagrangeschen Gleichungen herleiten lassen). Es lautet Zt2
ðdW ðeÞ þ dEÞ dt ¼ 0:
t1
Haben die eingeprgten Krfte ein Potential, ist also dW dU ein totales Differential, so wird daraus Zt2
Zt2 ðdE dUÞ dt ¼ d t1
¼
mit aSx ¼ w2z xS az yS und aSy ¼ az xS w2z yS [s. B 2, Gl. (25 b)].
Zt2 ðE UÞ dt ¼ d
t1
ðeÞ
bzw. in Komponenten (bei Drehung um die z-Achse, Bild 10 a) 9 X ðeÞ ðeÞ ðzÞ FRx þFRx ¼ Fix þ FAx þ FBx ¼ maSx , > > > = X ðeÞ ðzÞ ðeÞ ð38 acÞ Fiy þ FAy þ FBy ¼ maSy , FRy þFRy ¼ > > X > ðeÞ ðzÞ ðeÞ ; Fiz þ FAz ¼0 FRz þFRz ¼
Ldt ¼ 0; t1
d. h., die Variation des Zeitintegrals ber die Lagrangesche Funktion wird null, das Zeitintegral nimmt einen Extremwert an. 3.3.8 Systeme mit vernderlicher Masse Systems with variable mass Grundgleichung des Raketenantriebs: Infolge des ausgestoßenen Massenstroms m_ ðtÞ mit der Relativgeschwindigkeit ur ðtÞ (Relativbewegung) ist die Raketenmasse m(t) vernderlich. Aus dem dynamischen Grundgesetz, Gl. (12), folgt dann d ðaÞ FR ¼ ½mðtÞuðtÞ ¼ m_ ðtÞuðtÞ þ mðtÞu_ ðtÞ: dt
Bild 10 a, b. Kinetische Lagerdrcke. a Allgemein; b Welle mit schiefsitzender Scheibe
B
B 32
B
Mechanik – 3 Kinetik
Diese Gleichungen gelten sowohl fr ein raumfestes als auch fr ein mitdrehendes (krperfestes) System mit Nullpunkt auf der Drehachse. Ferner gilt analog dem Massenpunktsystem der Drallsatz Z d dD ðaÞ ðeÞ ðzÞ ðr uÞdm ¼ : ð39Þ MR ¼ MR þ MR ¼ dt dt Gemß B 2 Gl. (23) gilt in kartesischen Koordinaten (bei Drehung um die z-Achse, d. h. mit wx ¼ wy ¼ 0Þ ux ¼ ðwy z wz yÞ ¼ wz y; uy ¼ ðwz x wx zÞ ¼ wz x; uz ¼ ðwx y wy xÞ ¼ 0:
ð40Þ
Aus Gl. (39) wird hiermit "Z Z ex ey ez d d ðeÞ ðzÞ y z dm ¼ MR þ MR ¼ wz xz dmex x dt dt ux uy 0 # Z Z þ wz yz dmey þ wz ðx2 þ y2 Þ dmez d ½wz Jxz ex wz Jyz ey þ wz Jz ez ; ð41Þ dt Z Z Jxz ¼ xz dm, Jyz ¼ yz dm Deviations- oder ZentrifugalZ Z momente, Jz ¼ ðx2 þ y2 Þ dm ¼ rz2 dm axiales Massentrg¼
heitsmoment. In Komponenten 9 X ðeÞ ðeÞ ðzÞ > MRx þ MRx ¼ Mix þ FAy l1 FBy l2 > > > 2 > ¼X dðwz Jxz Þ=dt ¼ Jxz az þ wz Jyz , > = ðeÞ ðzÞ ðeÞ ð42 acÞ Miy þ FBx l2 FAx l1 MRy þ MRy ¼ > > ¼X dðwz Jyz Þ=dt ¼ Jyz az w2z Jxz , > > > > ðeÞ ðeÞ MRz ¼ Miz ¼ dðwz Jz Þ=dt ¼ Jz az : ; Diese Gleichungen gelten sowohl fr ein raumfestes als auch fr ein mitdrehendes Koordinatensystem x, y, z mit Nullpunkt auf der Drehachse. Im ersten Fall sind Jxz und Jyz zeitlich vernderlich, im zweiten Fall konstant. Die Gln. (38 a–c) und (42 a, b) liefern die unbekannten fnf Auflagerreaktionen, wobei az und wz aus Gl. (42 c) folgen. Dabei ergeben die einðeÞ
ðeÞ
ðeÞ
geprgten Krfte Fi und Momente Mix und Miy die rein statischen Auflagerreaktionen, whrend die kinetischen AuflaðeÞ
ðeÞ
ðeÞ
gerreaktionen sich mit Fi ¼ 0, Mix ¼ Miy ¼ 0 aus ðkÞ
ðkÞ
ðkÞ
ðkÞ
ðkÞ
FAx þ FBx ¼ maSx ; FAy þ FBy ¼ maSy ; FAz ¼ 0; ðkÞ FAy l1
ðkÞ FBy l2
ðkÞ
¼ Jxz az þ w2z Jyz ;
ðkÞ
FBx l2 FAx l1 ¼ Jyz az w2z Jxz
ð43Þ ð44Þ
berechnen lassen. Nach diesen Gleichungen verschwinden sie, wenn aS ¼ 0 wird, also die Drehachse durch den Schwerpunkt geht und wenn sie eine Haupttrgheitsachse ist, d. h., die Zentrifugalmomente Jxz und Jyz null werden. Die Drehachse heißt dann freie Achse. Fr sie gehen die Gln. (38 a–c) sowie (42 a, b) in die bekannten Gleichgewichtsbedingungen ber, whrend das dynamische Grundgesetz fr die Drehbewegung nach Gl. (42 c) lautet X ðeÞ ðeÞ Mi ¼ Ja ð45Þ MR ¼ Z J ¼ r 2 dm; wobei r der Abstand senkrecht zur Drehachse
Zt2 D2 D1 ¼
ðeÞ
Zt2
MR dt ¼ t1
J t1
Zw2 ¼J
dw ¼ Jðw2 w1 Þ:
Beispiel: Welle mit schiefsitzender Scheibe (Bild 10 b). Auf einer mit wz ¼ const ¼ w0 rotierenden Welle ist eine vollzylindrische Scheibe (Radius r, Dicke h, Masse m) unter dem Winkel y geneigt aufgekeilt. Zu ermitteln sind die Auflagerkrfte. – Als einzige eingeprgte Kraft erzeugt die zentrische Gewichtskraft FG ¼ m g keine Momente, so daß die Gln. (38 a–c) und (42 a, b) mit aSx ¼ aSy ¼ 0 und (wegen wz ¼ constÞ az ¼ 0 FAx þ FBx ¼ 0; FAy þ FBy ¼ 0, FG þ FAz ¼ 0, FAy l1 FBy l2 ¼ w20 Jyz , FBx l2 FAx l1 ¼ w20 Jxz ergeben. Mit den Richtungswinkeln der x-Achse gegenber den Hauptachsen x, h, z (s. B 3.4.2) a1 ¼ 0, b1 ¼ 90°, g1 ¼ 90°; mit denen der yAchse a2 ¼ 90°, b2 ¼ y; g2 ¼ 90° þ y und denen der z-Achse a3 ¼ 90°, b3 ¼ 90° y, g3 ¼ y erhlt man gemß Gl. (52) Jyz ¼ J1 cos a2 cos a3 J2 cos b2 cos b3 J3 cos g2 cos g3 ¼ J2 cos y sin y þ J3 sin y cos y und entsprechend Jxz ¼ 0: Nach Tab. 1 ist J2 ¼ Jh ¼ mð3r 2 þ h2 Þ=12; J3 ¼ Jz ¼ mr 2 =2 und somit Jyz ¼ ½mð3r 2 h2 Þ=24 sin 2y; so daß sich die Auflagerkrfte FAx ¼ FBx ¼ 0; FAz ¼ FG ; FAy ¼ FBy ¼ fw20 mð3r 2 h2 Þ=½24ðl1 þ l2 Þg sin 2y ergeben.
3.4.2 Allgemeines ber Massentrgheitsmomente (Bild 11). Moment of inertia Axiale Trgheitsmomente: Z Z 9 Jx ¼ ðy2 þ z2 Þdm ¼ rx2 dm; > > > > > Z Z = 2 2 2 Jy ¼ ðx þ z Þdm ¼ ry dm; > > Z Z > > > Jz ¼ ðx2 þ y2 Þdm ¼ rz2 dm: ;
ðeÞ
Zj2
MR dj ¼ j1
J j1
Zw2
Die Trgheitsmomente lassen sich mit Jx ¼ Jxx , Jy ¼ Jyy und Jz ¼ Jzz zum Trgheitstensor, einem symmetrischen Tensor 2. Stufe, zusammenfassen. In Matrixschreibweise gilt 0 1 Jxx Jxy Jxz @ Jyy Jyz A: J ¼ Jyx Jzx Jzy Jzz
¼J w1
dw dj dt
J w dw ¼ ðw22 w21 Þ; 2
ð48Þ
Polares Trgheitsmoment sowie Deviations- oder Zentrifugalmomente: Z Z Jp ¼ r 2 dm ¼ ðx2 þ y2 þ z2 Þ dm ¼ ðJx þ Jy þ Jz Þ=2; Z Z Z ð49Þ Jxy ¼ xy dm; Jxz ¼ xz dm; Jyz ¼ yz dm:
Arbeits- und Drehimpulssatz. Aus Gl. (45) folgen Zj2
ð47Þ
w1
ist.
W1;2 ¼
dw dt dt
ð46Þ Bild 11. Massentrgheitsmomente
I3.4
Kinetik starrer Krper
B 33
Tabelle 1. Massentrgheitsmomente homogener Krper
B
Hauptachsen. Wird Jxh ¼ Jxz ¼ Jhz ¼ 0, so liegen Haupttrgheitsachsen x, h, z vor. Die zugehrigen axialen Haupttrgheitsmomente J1 , J2 , J3 verhalten sich so, daß eins das absolute Maximum und ein anderes das absolute Minimum aller Trgheitsmomente des Krpers ist. Hat ein Krper eine Symmetrieebene, so ist jede dazu senkrechte Achse eine Hauptachse. Allgemein erhlt man die Haupttrgheitsmomente als Extremalwerte der Gl. (50) mit der Nebenbedingung h ¼ cos2 a þ cos2 b þ cos2 g 1 ¼ 0. Mit den Abkrzungen cos a ¼ l, cos b ¼ m, cos g ¼ n folgen mit J¼ Jx l2 þ Jy m2 þ Jz n2 2Jxy lm 2Jyz mn 2Jxz ln und f ¼ J ch aus df =dl ¼ 0 usw. drei homogene lineare Gleichungen fr l, m, n, die nur dann eine nichttriviale Lsung haben, wenn ihre Koeffizientendeterminante null wird. Daraus erhlt man die kubische Gleichung fr c mit den Lsungen c1 ¼ J1 , c2 ¼ J2 und c3 ¼ J3 . Trgheitsellipsoid. Trgt man in Richtung der Achsen x, y, z pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi pffiffiffiffi die Grßen 1= Jx , 1= Jy , 1= Jz ab, so liegen die End-
punkte auf dem Trgheitsellipsoid mit den Hauptachsen pffiffiffiffiffi 1= J1 usw. und der Gleichung J1 x2 þ J2 h2 þ J3 z2 ¼ 1: Liegt hierbei der Koordinatenanfangspunkt im Schwerpunkt, spricht man vom Zentralellipsoid; die zugehrigen Hauptachsen sind dann freie Achsen. Trgheitsmomente bezglich gedrehter Achsen. Fr eine unter den Winkeln a, b, g gegen x, y, z geneigte Achse x folgt mit ex ¼ ðcos a; cos b; cos g) aus Jx ¼ ex JeTx (s. A bzw. DUBBEL interaktiv) sowie mit Jxy ¼ Jyx usw. Jx ¼ Jx cos2 a þ Jy cos2 b þ Jz cos2 g 2Jxy cos a cos b 2Jyz cos b cos g 2Jxz cos a cos g:
ð50Þ
Sind dagegen a1 , b1 , g1 die Richtungswinkel der x-Achse gegenber den Hauptachsen x, h, z, so gilt fr das axiale Trgheitsmoment Jx ¼ J1 cos2 a1 þ J2 cos2 b1 þ J3 cos2 g1 ;
ð51Þ
B 34
B
Mechanik – 3 Kinetik
Jy ; Jz entsprechend mit den Richtungswinkeln a2 , b2 , g2 bzw. a3 , b3 , g3 der y- bzw. z-Achse gegenber den Hauptachsen. Die zugehrigen Deviationsmomente sind (fr Jxz und Jyz entsprechend) Jxy ¼ J1 cos a1 cos a2 J2 cos b1 cos b2 J3 cos g1 cos g2 :
ð52Þ
Satz von Steiner. Fr parallele Achsen gilt Jx ¼ Jx þ ðy2S þ z2S Þm, Jy ¼ Jy þ ðz2S þ x2S Þm, ð53Þ Jz ¼ Jz þ ðx2S þ y2S Þm, Jxy ¼ Jxy þ xS yS m, Jyz ¼ Jyz þ yS zS m; Jxz ¼ Jxz þ xS zS m, x, y, z sind zu x, y, z parallele Achsen durch den Schwerpunkt. Trgheitsradius. Wird die Gesamtmasse in Entfernung i von der Drehachse (bei gegebenem J und m) vereinigt, so gilt pffiffiffiffiffiffiffiffiffi J ¼ i2 m bzw. i ¼ J=m. Reduzierte Masse. Denkt man sich die Masse mred in beliebiger Entfernung d von der Drehachse angebracht (bei gegebenem J), so gilt J ¼ d2 mred bzw. mred ¼ J=d 2 . Berechnung der Massentrgheitsmomente. Fr Einzelkrper mittels Integrale Z dreifacher Z Z Z Jx ¼
rx2 dm ¼
ðaÞ
Arbeitssatz: Z Z m 2 JS ðaÞ ðaÞ W1;2 ¼ FR dr þ M RS dj ¼ uS2 þ w22 2 2 m 2 JS uS1 þ w21 ¼ E2 E1 2 2
þh=2 Z
Jx ¼
rr ðr dj dr dzÞ 2
r¼0 j¼0 z¼h=2
¼ rðra4 =4Þ2ph ¼ mra2 =2: Fr zusammengesetzte Krper gilt mit dem Satz von Steiner X Jx ¼ ½Jxi þ ðy2Si þ z2Si Þmi usw. (s. C 2.4.5 Flchenmomente 2. Ordnung). 3.4.3 Allgemeine ebene Bewegung starrer Krper. General plane motion of a rigid body Ebene Bewegung bedeutet z ¼ const bzw. uz ¼ wx ¼ wy ¼ 0 und az ¼ ax ¼ ay ¼ 0. Wie beim Massenpunktsystem gelten Schwerpunktsatz und Drallsatz (Momentensatz) X ðaÞ ðaÞ FR ¼ Fi ¼ maS ; ð54Þ Z X d ðaÞ ðaÞ MR ¼ Mi ¼ ðr uÞdm dt e e ez Z x y ð55Þ d dD ¼ y z dm ¼ : x dt dt x_ y_ 0 (Der Momentensatz gilt bezglich eines raumfesten Punkts oder des beliebig bewegten Schwerpunkts.) In kartesischen Koordinaten X ðaÞ X ðaÞ 9 ðaÞ ðaÞ FRx ¼ Fix ¼ maSx ; FRy ¼ Fiy ¼ maSy ; > > > > X > ðaÞ ðaÞ > > FRz ¼ Fiz ¼ 0; > > > > Z > 2 Z 2 > d Jyz > d d ðaÞ MRx ¼ z_y dm ¼ 2 zy dm ¼ 2 ; = dt dt dt ð56Þ > Z Z > > > d d2 d2 Jxz ðaÞ > > MRy ¼ z_x dm ¼ 2 zx dm ¼ 2 ; > > dt dt dt > > > Z > > d > ðaÞ ; MRz ¼ ðx_y x_ yÞ dm dt bzw. mit Gl. (40) und wz ¼ w Z Z d d d ðaÞ wðx2 þ y2 Þ dm ¼ wrz2 dm ¼ ðwJz Þ: MRz ¼ dt dt dt
ð58Þ
Haben die ußeren Krfte und Momente ein Potential, so gilt der Energiesatz U1 þ E1 ¼ U2 þ E2 ¼ const : Impuls- und Drehimpulssatz: Zt2 p2 p1 ¼
ðaÞ
FR dt ¼ mðuS2 uS1 Þ
ð59Þ
t1
rðy2 þ z2 Þ dx dy dz:
Je nach Krperform verwendet man auch Zylinder- oder Kugelkoordinaten. Zum Beispiel wird fr den vollen Kreiszylinder (s. Tab. 1) Zra Z2p
ðaÞ
MRx und MRy sind die zur Erzwingung der ebenen Bewegung ntigen ußeren Momente, wenn z keine Haupttrgheitsachse ist. Ist z eine Haupttrgheitsachse (Jyz ¼ Jxz ¼ 0), so folgen d ðaÞ ðaÞ ðaÞ MRx ¼ 0, MRy ¼ 0, MRz ¼ ðwJz Þ bzw. bezglich des krdt perfesten Schwerpunkts mit JS ¼ const X ðaÞ ðaÞ MRS ¼ MiS ¼ JS a: ð57Þ
Zt2 D2 D1 ¼
ðaÞ
M RS dt ¼ JS ðw2 w1 Þ
ð60Þ
t1
DAlembertsches Prinzip. Die verlorenen Krfte, d. h. die Summe aus eingeprgten Krften und Trgheitskrften, halten sich am Gesamtkrper das Gleichgewicht. Mit dem Gleichgewichtsprinzip der virtuellen Verrckungen gilt dann in Lagrangescher Fassung ðeÞ
ðeÞ
ðFR maS Þ drS þ ðM RS JS aÞ dj ¼ 0:
ð61Þ
Beispiel: Rollbewegung auf schiefer Ebene (Bild 12). Aus der Ruhelage soll ein zylindrischer Krper (r; m; JS ) von der Kraft F die schiefe Ebene (Neigungswinkel b) hinaufgerollt werden ohne zu gleiten. Zu ermitteln sind seine Schwerpunktbeschleunigung sowie Zeit und Geschwindigkeit bei Erreichen der Lage 2 nach Zurcklegen des Wegs s2 . – Da der Schwerpunkt eine geradlinige Bewegung ausfhrt, fllt sein Beschleunigungsvektor in die Bewegungsrichtung. Schwerpunktsatz, Gl. (54), und Momentensatz, Gl. (57), liefern (Bild 12 a) maS ¼ F cos b FG sin b Fr und JS a ¼ Fr r, woraus mit a ¼ aS =r wegen des reinen Rollens aS ¼ ðF cos b FG sin bÞ=ðm þ JS =r 2 Þ folgt. Mit den Gesetzen der gleichmßig beschleunigten Bewegung pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aus der Ruhelage (s. B 2.1.1) ergeben sich uS2 ¼ 2aS s2 und t2 ¼ uS2 =aS . Der Arbeitssatz, Gl. (58), ðF cos b FG sin bÞs2 ¼ mu2S2 =2 þ JS w22 =2 liefert mit w2 ¼ uS2 =r wiederum pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi uS2 ¼ 2ðF cos b FG sin bÞs2 =ðm þ JS =r 2 Þ:
Bild 12 a, b. Rollbewegung auf schiefer Ebene
Impulssatz und Drehimpulssatz, Gln. (59) und (60), ðF cos b FG sin b Fr Þt2 ¼ muS2 und Fr rt2 ¼ JS w2 ergeben ebenfalls t2 ¼ uS2 ðm þ JS =r 2 Þ=ðF cos b FG sin bÞ ¼ uS2 =aS :
I3.4 Das d’Alembertsche Prinzip in der Lagrangeschen Fassung nach Gl. (61) fhrt zu (Bild 12 b) ðF cos b FG sin b maS Þ ds þ ð0 JS aÞ dj ¼ 0; mit a ¼ aS =r, dj ¼ ds=r folgt ds½F cos b FG sin b maS JS aS =r 2 ¼ 0; also wieder aS ¼ ðF cos b FG sin bÞ=ðm þ JS =r 2 Þ:
Ebene Starrkrpersysteme. Die Bewegung lßt sich auf verschiedene Weise berechnen: – Freimachen jedes Einzelkrpers und Ansatz von Schwerpunktsatz, Gl. (54), und Momentensatz, Gl. (57), wenn z Haupttrgheitsachse ist; – Anwenden des dAlembertschen Prinzips, Gl. (61), auf das aus n Krpern bestehende System X ðeÞ X ðeÞ ðM Ri JiS ai Þ dji ¼ 0; ð62Þ ðFRi mi aiS Þ driS þ
Kinetik starrer Krper
B 35
Der Momentensatz gilt bezglich eines raumfesten Punkts oder des beliebig bewegten Schwerpunkts. In kartesischen Koordinaten mit u gemß B 2 Gl:ð23Þ wird ey ez Z ex d ðaÞ y z dm MR ¼ x dt u uy uz x ð65Þ d ¼ ½ðwx Jx wy Jxy wz Jxz Þex dt þðwy Jy wx Jxy wz Jyz Þey þðwz Jz wx Jxz wy Jyz Þez : Diese Gleichung bezieht sich auf ein raumfestes Koordinatensystem x, y, z (Bild 14), dessen Koordinatenanfangspunkt auch im Schwerpunkt liegen kann, d. h., die Grßen Jx , Jxy usw. sind zeitabhngig, da sich die Lage des Krpers ndert.
– Anwenden der Lagrangeschen Bewegungsgleichungen Gln. (33)–(35). Beispiel: Beschleunigungen eines Starrkrpersystems (Bild 13). Das System bewege sich in den angedeuteten Richtungen, wobei in der Fhrung von m1 die Reibkraft Fr1 wirkt und die Walze eine reine Rollbewegung ausfhrt. – Das d'Alembertsche Prinzip in der Lagrangeschen Fassung, Gl. (62), liefert ðFG1 Fr1 m1 a1 Þ dz J2 a2 dj ðFG3 sin b þ m3 a3S Þ ds J3S a3 dy ¼ 0: Bild 14. Allgemeine rumliche Bewegung
Wird nach Euler ein krperfestes, mitbewegtes Koordinatensystem x, h, z eingefhrt (der Einfachheit halber in Richtung der Haupttrgheitsachsen des Krpers) und der Winkelgeschwindigkeitsvektor in diesem Koordinatensystem in seine Komponenten w ¼ w1 e1 þ w2 e2 þ w3 e3 zerlegt, so nimmt Gl. (65) die Form d ðaÞ ð66Þ M R ¼ ½w1 J1 e1 þ w2 J2 e2 þ w3 J3 e3 dt an, wobei jetzt J1 , J2 , J3 konstant und w1 J1 usw. die Komponenten des Drallvektors D im bewegten Koordinatensystem sind. Mit der Regel fr die Ableitung eines Vektors im bewegten Koordinatensystem (s. B 2 Gl. (35)) wird dD=dt ¼ dr D=dt þ w D, wobei dr D=dt die Ableitung des Vektors D relativ zum mitbewegten Koordinatensystem ist. Aus Gl. (66) folgt in Komponenten 9 ðaÞ MRx ¼ ½w_ 1 J1 þ w2 w3 ðJ3 J2 Þ; > > > = ðaÞ ð67Þ MRh ¼ ½w_ 2 J2 þ w1 w3 ðJ1 J3 Þ; > > > ; ðaÞ MRz ¼ ½w_ 3 J3 þ w1 w2 ðJ2 J1 Þ:
Bild 13. Starrkrpersystem Mit dz ¼ ra dj; ds ¼ ri dj und dy ¼ ds=r3 ¼ djri =r3 bzw. € ¼ ra a2 ; a3S ¼ €s ¼ ri j € ¼ ri a2 und a1 ¼ €z ¼ ra j € ¼ €s=r3 ¼ a2 ri =r3 a3 ¼ y wird dj½ðFG1 Fr1 Þra m1 ra2 a2 J2 a2 FG3 ri sin b m3 ri2 a2 J3S ðri =r3 Þ2 a2 ¼ 0: Die Winkelbeschleunigung der Seilscheibe ist also a2 ¼ ½ðFG1 Fr1 Þra FG3 ri sin b=½m1 ra2 þ J2 þ m3 ri2 þ J3S ðri =r3 Þ2 ; womit auch a1 ¼ ra a2 , a3S ¼ ri a2 und a3 ¼ a2 ri =r3 bestimmt sind.
3.4.4 Allgemeine rumliche Bewegung General motion in space Bewegungsgleichungen sind mit dem Schwerpunktsatz und dem Drall- oder Momentensatz gegeben: X ðaÞ ðaÞ Fi ¼ maS ð63Þ FR ¼ ðaÞ
MR ¼
X
ðaÞ
Mi ¼
dD d ¼ dt dt
Z ðr uÞ dm
(Erluterungen s. Gln. (26) und (32)).
ð64Þ
Das sind die Eulerschen Bewegungsgleichungen eines Krpers im Raum bezglich der Hauptachsen mit einem raumfesten Punkt oder dem beliebig bewegten Schwerpunkt als Ursprung. Aus den drei gekoppelten Differentialgleichungen ergeben sich jedoch nur die Winkelgeschwindigkeiten w1 ðtÞ, w2 ðtÞ, w3 ðtÞ bezglich des mitbewegten Koordinatensystems, nicht aber die Lage des Krpers gegenber den raumfesten Richtungen x, y, z. Hierzu ist die Einfhrung der Eulerschen Winkel j, y, J erforderlich [1]. Die Lage des Schwerpunkts eines im Raum frei bewegten Krpers ist aus dem Schwerpunktsatz, Gl. (63), wie fr einen Massenpunkt (s. B 3.2) berechenbar. Zt2 Zt2 ðaÞ Drehimpulssatz : M R dt ¼ dD ¼ D2 D1 t1 ðaÞ
t1
Fr M R ¼ 0 wird D2 ¼ D1 , d. h., ohne Einwirkung ußerer Momente behlt der Drallvektor seine Richtung im Raum bei.
B
B 36
Mechanik – 3 Kinetik
B
Bild 15 a–c. Kreisel. a Krftefreier; b schwerer; c gefhrter
Energiesatz: Haben die einwirkenden Krfte ein Potential, so gilt U1 þ E1 ¼ U2 þ E2 ¼ const : Kinetische Energie E ¼ mv2S =2 þ ðJ1 w21 þ J2 w22 þ J3 w23 Þ=2 Kreiselbewegung (Bild 15). Hierunter versteht man die Drehung eines starren Krpers um einen festen Punkt. Es gelten die Eulerschen Bewegungsgleichungen, Gl. (67). Krftefreier Kreisel. Sind alle Momente der ußeren Krfte null, d. h. Lagerung im Schwerpunkt (Bild 15 a), und wirken sonst keine Krfte und Momente, so ist die Bewegung krftefrei; der Drallvektor behlt seine Richtung und Grße im Raum bei. Dabei ergeben sich die mglichen Bewegungsformen des Kreisels aus J1 w_ 1 ¼ ðJ2 J3 Þw2 w3 ; J2 w_ 2 ¼ ðJ3 J1 Þw1 w3 ; J3 w_ 3 ¼ ðJ1 J2 Þw1 w2 ; also entweder w1 ¼ const; w2 ¼ w3 ¼ 0 oder w2 ¼ const; w1 ¼ w3 ¼ 0 oder w3 ¼ const; w1 ¼ w2 ¼ 0;
Przession des Kreisels. Wegen wP fllt der Drallvektor nicht genau in die Figurenachse, daher berlagert sich der Przession noch die Nutation [2, 3]. Gefhrter Kreisel. Er ist ein umlaufender, in der Regel rotationssymmetrischer Krper, dem Fhrungskrfte eine nderung des Drallvektors aufzwingen, wodurch das Moment der Kreiselwirkung und damit verbunden zum Teil erhebliche Auflagerkrfte entstehen (Kollergang, Schwenken von Radstzen und Schiffswellen usw.). Fr ein Fahrzeug in der Kurve liefert die Kreiselwirkung der Rder ein zustzliches Kippmoment. Umgekehrt finden gefhrte Kreisel als Stabilisierungselemente fr Schiffe, Einschienenbahnen usw. Verwendung. Beim horizontal schwimmend angeordneten Kreiselkompaß wird die Drallachse durch die Erddrehung in NordSd-Richtung gezwungen. Fr den in (Bild 15 c) dargestellten und mit wF gefhrten Rotationskrper gilt ex eh ez dD 0 wF ¼ wF w1 J1 eh M ðaÞ ¼ ¼ wF D ¼ 0 dt w1 J 1 0 wF J 3 ðkÞ
ðkÞ
bzw. M ðaÞ ¼ FA l ¼ wF w1 J1 , d. h. FA ¼ wF w1 J1 =l. Das Mo-
d. h. jeweils Drehung um eine Haupttrgheitsachse (Bewegung stabil, falls Drehung um die Achse des grßten oder kleinsten Trgheitsmoments). Fr den symmetrischen Kreisel folgen mit J1 ¼ J2 die Gleichungen, s. [2, 3], € 1 þ l2 w1 ¼ 0 und w € 2 þ l 2 w2 ¼ 0 w3 ¼ const; w mit den Lsungen w1 ¼ c sinðlt aÞ und w2 ¼ c cosðlt aÞ; wobei l ¼ ðJ3 =J1 1Þw3 . Mit w21 þ w22 ¼ c2 ¼ const folgt, daß der Winkelgeschwindigkeitsvektor w ¼ w1 ex þ w2 eh þ w3 ez (die momentane Drehachse) einen Kreiskegel im krperfesten System, den Gangpolkegel, beschreibt, der auf dem Rastpolkegel, dessen Achse der feste Drallvektor ist, abrollt (Bild 15 a). Die Figurenachse z beschreibt dabei den Przessionskegel (regulre Przession). Schwerer Kreisel. Hier sei speziell der schnell umlaufende symmetrische Kreisel unter Eigengewicht betrachtet (Bild 15 b). Beim schnellen Kreisel ist D w3 J3 ez , d. h., Drallvektor und Figurenachse fallen nherungsweise zusamðaÞ
men. Aus dem Drallsatz folgt dD ¼ M R dt ¼ ðr FG Þ dt, d. h., der Kreisel trachtet, seine Figurenachse parallel und gleichsinnig zu dem auf ihn wirkenden Moment einzustellen (Satz von Poinsot). Nach Bild 15 b gilt M ¼ FG r sin J, dD ¼ D sin J dj. Aus dD ¼ Mdt folgt wP ¼ dj=dt ¼ FG r=D FG r=ðJ3 w3 Þ. wP ist die Winkelgeschwindigkeit der
ðkÞ
ment der Kreiselwirkung erzeugt in den Lagern die zu FA entgegengesetzten Auflagerdrcke.
3.5 Kinetik der Relativbewegung Dynamics of relative motion Bei einer gefhrten Relativbewegung gilt fr die Beschleunigung nach B2 Gl. (36) und damit fr das Newtonsche Grundgesetz ðaÞ
FR ¼ maF þ mar þ maC :
ð68Þ
Fr einen auf dem Fahrzeug befindlichen Beobachter ist nur die Relativbeschleunigung wahrnehmbar ðaÞ
ðaÞ
mar ¼ FR maF maC ¼ FR þ FF þ FC ;
ð69Þ
d. h., den ußeren Krften sind die Fhrungskraft und die Corioliskraft hinzuzufgen. Beispiel: Bewegung in rotierendem Rohr (Bild 16). In einem Rohr, das um eine vertikale Achse mit aF ðtÞ und wF ðtÞ rotiert, wird mittels eines Fadens die Masse m mit der Relativbeschleunigung ar ðtÞ und der Relativgeschwindigkeit ur ðtÞ reibungsfrei nach innen gezogen. Fr eine beliebige Lage r(t) sind die Fadenkraft sowie die Normalkraft zwischen Masse und Rohr zu bestimmen. – Mit aF ¼ aFn þ aFt ðaFn ¼ rw2F ; aFt ¼ raF Þ und aC ¼ 2wF ur erhlt man an der freigemachten Masse nach Gl. (68) FS ¼ mðar þ aFn Þ ¼ mðar þ rw2F Þ und Fn ¼ mðaC aFt Þ ¼ mð2wF ur raF Þ:
I3.6
Stoß
B 37
Sonderflle: m1 ¼ m2 , k ¼ 1 : m1 ¼ m2 , k ¼ 0 : m2 ! 1, u2 ¼ 0, k ¼ 1 : m2 ! 1, u2 ¼ 0, k ¼ 0 :
Ermittlung der Stoßziffer: Bei freiem Fall gegen unendlich pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi große Masse m2 gilt k ¼ ðc2 c1 Þ=ðu1 u2 Þ ¼ h2 =h1 ; h1 Fallhhe vor dem Stoß, h2 Steighhe nach dem Stoß. k abhngig von Auftreffgeschwindigkeit, bei v 2;8 m=s fr Elfenbein k ¼ 8=9, Stahl k ¼ 5=9, Glas k ¼ 15=16, Holz k ¼ 1=2.
Bild 16. Relativbewegung
3.6 Stoß. Impact Beim Stoß zweier Krper gegeneinander werden in kurzer Zeit relativ große Krfte wirksam, denen gegenber andere Krfte wie Gewichtskraft und Reibung vernachlssigbar sind. Die Normale der Berhrungsflchen heißt Stoßnormale. Geht sie durch die Schwerpunkte beider Krper, so nennt man den Stoß zentrisch, sonst exzentrisch. Liegen die Geschwindigkeiten in Richtung der Stoßnormalen, so ist es ein gerader, sonst ein schiefer Stoß. ber die whrend des Stoßes in der Berhrungsflche bertragene Kraft und die Stoßdauer liegen nur wenige Ergebnisse vor [4, 5]. Der Stoßvorgang wird unterteilt in die Kompressionsperiode K, whrend der die Stoßkraft zunimmt, bis beide Krper die gemeinsame Geschwindigkeit u erreicht haben, und in die Restitutionsperiode R, in der die Stoßkraft abnimmt und die Krper ihre unterschiedlichen Endgeschwindigkeiten c1 und c2 erreichen (Bild 17). Stoßimpulse oder Kraftstße in der Kompressionsperiode und in der Restitutionsperiode ergeben sich zu: Zt2 pK ¼
Zt3 FK ðtÞdt; pR ¼
t1
u ¼ ðu1 þ u2 Þ=2, c1 ¼ u2 , c2 ¼ u1 ; u ¼ c1 ¼ c2 ¼ ðu1 þ u2 Þ=2; u ¼ 0, c1 ¼ u1 , c2 ¼ 0; u ¼ 0, c1 ¼ 0, c2 ¼ 0:
FR ðtÞdt
ð70Þ
t2
Stoßkraft und Stoßdauer. Fr den rein elastischen Stoß zweier Kugeln mit den Radien r1 und r2 hat Hertz [4] max F ¼ k1 u6=5 abgeleitet, wobei u die relative Geschwindig2=5
keit und k1 ¼ ½1;25 m1 m2 =ðm1 þ m2 Þ3=5 c1 ist, mit pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c1 ¼ ð16=3Þ=½ 1=r1 þ 1=r2 ðJ1 þ J2 Þ; J ¼ ð2=GÞð1 nÞ; G Schubmodul, n Querdehnzahl. Ferner fr die Stoßdauer pffiffiffi 5 m1 m2 2=5 T ¼ k2 = 5 u mit k2 ¼ 2;943 . 4c1 m1 þ m2 3.6.2 Schiefer zentraler Stoß. Oblique impact Mit den Bezeichnungen nach Bild 18 a gelten die Gleichungen u1 sin a ¼ c1 sin a0 ; u2 sin b ¼ c2 sin b0 ; c1 cos a0 ¼ u1 cos a ½ðu1 cos a u2 cos bÞð1 þ kÞ=ð1 þ m1 =m2 Þ; c2 cos b0 ¼ u2 cos b ½ðu2 cos b u1 cos aÞð1 þ kÞ=ð1 þ m2 =m1 Þ; aus denen man a0 , b0 , c1 und c2 erhlt. Beispiel: Stoß einer Kugel gegen eine Wand (Bild 18 b). – Mit u2 ¼ c2 ¼ 0 und m2 ! 1 folgt aus den vorstehenden Gleichungen c1 cos a0 ¼ ku1 cos a; tan a0 ¼ tan a00 ¼ ðtan aÞ=k sowie pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c1 ¼ ku1 cos a= cos a0 ¼ u1 cos a k2 þ tan2 a: Fr k ¼ 1 wird a0 ¼ p a bzw. a00 ¼ a und c1 ¼ u1 , d. h. Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel (Reflexionsgesetz) bei gleichbleibender Geschwindigkeit.
Bild 17. Kraftverlauf beim Stoß
pK und pR werden mittels der Newtonschen Stoßhypothese zueinander in Beziehung gesetzt: pR ¼ kpK ; ð71Þ < wobei k ¼ 1 die Stoßziffer ist. Vollelastischer Stoß: k ¼ 1, teilelastischer Stoß: k < 1, unelastischer oder plastischer Stoß: k ¼ 0. Mittlere Stoßkraft Fm ¼ ðpK þ pR Þ=Dt. 3.6.1 Gerader zentraler Stoß. Normal impact Mit u1 und u2 als Geschwindigkeiten beider Krper vor dem Stoß (Bild 17), u und c1 bzw. c2 wie erlutert, folgt aus den Gln. (70) und (71) u ¼ ðm1 u1 þ m2 u2 Þ=ðm1 þ m2 Þ; c1 ¼ ½m1 u1 þ m2 u2 km2 ðu1 u2 Þ=ðm1 þ m2 Þ; c2 ¼ ½m1 u1 þ m2 u2 þ km1 ðu1 u2 Þ=ðm1 þ m2 Þ; k ¼ pR =pK ¼ ðc2 c1 Þ=ðu1 u2 Þ: Energieverlust beim Stoß m1 m2 DE ¼ ðu1 u2 Þ2 ð1 k2 Þ: 2ðm1 þ m2 Þ
Bild 18 a–d. Stoß. a Schiefer zentraler Stoß; b Reflexionsgesetz; c exzentrischer Stoß; d Drehstoß
B
B 38
Mechanik – 4 Schwingungslehre
3.6.3 Exzentrischer Stoß. Eccentric impact
B
Stßt eine Masse m1 gegen einen pendelnd aufgehngten Krper (Bild 18 c) mit dem Trgheitsmoment J0 um den Drehpunkt 0, so gelten alle Formeln fr den geraden zentralen Stoß, wenn dort m2 durch die reduzierte Masse m2red ¼ J0 =l2 ersetzt wird. Ferner gelten die kinematischen Beziehungen u2 ¼ w2 l usw. Fr den Kraftstoß auf den Aufhngepunkt gilt (wenn w2 ¼ 0) p0 ¼ ð1 þ kÞm1 u1 ðJ0 m2 lrS Þ=ðJ0 þ m1 l2 Þ:
lr oder rSr geben die Lage des Stoßmittelpunkts an, der beim Stoß kraftfrei bleibt bzw. um den sich (Momentanzentrum) ein freier angestoßener Krper dreht. lr ist gleichzeitig die reduzierte Pendellnge bei Ersatz durch ein mathematisches Fadenpendel.
3.6.4 Drehstoß. Rotary impact Fr zwei rotierende zusammenstoßende Krper (Bild 18 d) setzt man m1 ¼ J1 =l21 , m2 ¼ J2 =l22 , u1 ¼ w1 l1 , u2 ¼ w2 l2 usw. und fhrt damit das Problem auf den geraden zentralen Stoß zurck. Dann gelten die Formeln in B 3.6.1.
Dieser Impuls wird null fr l ¼ lr ¼ J0 =ðm2 rS Þ bzw: rS ¼ rSr ¼ JS =ðm2 bÞ:
sst ¼ FG =c; die Schwingung findet also um die statische Ruhelage statt:
4 Schwingungslehre Mechanical vibrations
sðtÞ ¼ sðtÞ sst ðtÞ ¼ C1 cos w1 t þ C2 sin w1 t ¼ A sinðw1 t þ bÞ:
4.1 Systeme mit einem Freiheitsgrad Systems with one degree of freedom (DOF) Beispiele hierfr sind das Feder-Masse-System, das physikalische Pendel, ein durch Bindungen auf einen Freiheitsgrad reduziertes Starrkrpersystem (Bild 1). Zunchst werden nur lineare Systeme untersucht; bei ihnen sind die Differentialgleichungen selbst und die Koeffizienten linear. Voraussetzung dafr ist eine lineare Federkennlinie Fc ¼ cs (Bild 2 b). 4.1.1 Freie ungedmpfte Schwingungen Free undamped vibrations Feder-Masse-System (Bild 1 a). Aus dem dynamischen Grundgesetz folgt mit der Auslenkung s aus der Nullage und der Federrate c die Differentialgleichung €s bzw: €s þ w21s ¼ g mit w21 ¼ c=m: FG cs ¼ m
ð2Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 Dabei ist die Amplitude der Schwingung A ¼ C1 þ C2 und die Phasenverschiebung b ¼ arctanðC1 =C2 Þ. C1 und C2 bzw. A und b sind aus den Anfangsbedingungen zu bestimmen; z. B. sðt ¼ 0Þ ¼ s1 und s_ ðt ¼ 0Þ ¼ 0 liefern C2 ¼ 0 und C1 ¼ s1 bzw. A ¼ s1 und b ¼ p=2. Die Schwingung ist eine harmonische Bewegung mit der Eigen- bzw. Kreisfrequenz (Anzahl der Schwingungen in 2p Sepffiffiffiffiffiffiffiffi kunden) w1 ¼ c=m ðmit c ¼ Federrate, m ¼ EinzelmasseÞ bzw. der Hertzschen Frequenz n1 ¼ w1 =2p und der Schwingungsdauer T ¼ 1=n1 ¼ 2p=w1 (Bild 2 c). Grßtwerte: Geschwindigkeit v ¼ Aw1 , Beschleunigung a ¼ Aw21 , Federkraft Fc ¼ cA. Fr die Eigenkreisfrequenz gilt mit der statischen Auslenkung pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sst ¼ FG =c, d. h. c ¼ mg=sst , auch w1 ¼ g=sst (mit FG ¼ Gewichtskraft, g ¼ ErdbeschleunigungÞ.
ð1Þ
Bestimmung der Federrate. Jedes elastische System stellt eine Feder dar. Die Federrate ist c=F/f, wenn f die Auslenkung der Masse infolge der Kraft F ist. Fr die Federn nach Bild 1 e–g ist c ¼ F=ðFl3 =3EIy Þ ¼ 3EIy =l3 , c ¼ 48EIy =l3 und c ¼ 192EIy =l3 (mit c=Federrate, l=Balkenlnge, Iy ¼ Flchenmoment 2. Ordnung, E=Elastizittsmodul).
Die Lsung ist sðtÞ ¼ C1 cos w1 t þ C2 sin w1 t þ mg=c. Die partikulre Lsung mg=c entspricht der statischen Auslenkung
Schaltungen von Federn. Parallelschaltung (Bild 3 a, b): X ci ; ð3Þ c ¼ c1 þ c2 þ c3 þ . . . ¼
Sie ergibt sich auch aus dem Energiesatz U þ E ¼ const d dh c m i bzw: aus ðU þ EÞ ¼ mgðh sÞ þ s2 þ s_ 2 ¼ 0; dt dt 2 2 €s ¼ 0, also d. h. mgs_ þ css_ þ ms_ €s þ ðc=mÞs ¼ g:
Bild 1 a–h. Schwinger mit einem Freiheitsgrad. a Feder-Masse-System; b physikalisches Pendel; c Starrkrpersystem; d schwingende Wassersule; e einseitig eingespannter, f gelenkig gelagerter und g beidseitig eingespannter Balken mit Einzelmasse; h Drehschwinger
I4.1
Systeme mit einem Freiheitsgrad
B 39
4.1.2 Freie gedmpfte Schwingungen Free damped vibrations Dmpfung durch konstante Reibungskraft (Coulombsche Reibkraft). Fr das Feder-Masse-System gilt €s þ w21 s ¼ Fr =m:
Bild 2 a–c. Harmonische Schwingung. a Schwinger; b Federkennlinie; c Weg-Zeit-Funktion
(Minus bei Hingang und Plus bei Rckgang.) Die Lsung fr den ersten Rckgang mit den Anfangsbedingungen sðt0 ¼ 0Þ ¼ s0 ; s_ ðt0 ¼ 0Þ ¼ 0 lautet sðtÞ ¼ ðs0 Fr =cÞ cos w1 t þ Fr =c. Erste Umkehr fr w1 t1 ¼ p an der Stelle s1 ¼ ðs0 2Fr =cÞ, entsprechend folgen s2 ¼ þðs0 4Fr =cÞ und jsn j ¼ s0 n 2Fr =c. Die Schwingung bleibt erhalten, solange cjsn j ^ Fr ist, d. h. fr n % ðcs0 Fr Þ=ð2Fr Þ. Die Schwingungsamplituden nehmen linear mit der Zeit ab, also An An1 ¼ 2Fr =c ¼ const; die Amplituden bilden eine arithmetische Reihe. Geschwindigkeitsproportionale Dmpfung. In Schwingungsdmpfern (Gas- oder Flssigkeitsdmpfern) tritt eine Reibungskraft Fr ¼ ku ¼ k_s auf. Fr das Feder-Masse-System gilt (Bild 4 a) €s þ ðk=mÞ_s þ ðc=mÞs ¼ 0 bzw: €s þ 2d_s þ w21 s ¼ 0
Bild 3 a–c. Federn. a, b Parallelschaltung; c Reihenschaltung
Reihen- oder Hintereinanderschaltung (Bild 3 c): X 1=ci : 1=c ¼ 1=c1 þ 1=c2 þ . . . ¼
ð4Þ
ð5Þ
k Dmpfungskonstante, d ¼ k=ð2mÞ Abklingkonstante. Lsung fr schwache Dmpfung, also fr l2 ¼ w21 d2 > 0: sðtÞ ¼ Aedt sinðlt þ bÞ, d. h. eine Schwingung mit gemß edt abklingender Amplitude und der Eigenkreisfrequenz des qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi gedmpften Systems l ¼ w21 d2 (Bild 4 b). Die Eigen-
Bercksichtigung der Federmasse. Unter der Annahme, daß die Verschiebungen denen bei statischer Auslenkung gleich sind, d. h. uðxÞ ¼ ðs=lÞx (Bild 2 a), folgt mit dm ¼ ðmF =lÞdx durch Gleichsetzen der kinetischen Energien Zl Z ðx2 =l3 ÞmF dx ð1=2Þ u_ 2 dm ¼ ð1=2Þ_s2 x¼0
¼ ð_s2 =2ÞðmF =3Þ ¼ kmF s_ 2 =2 also k ¼ 1=3; d. h., ein Drittel der Federmasse ist der schwingenden Masse m zuzuschlagen. Fr die Federn nach Bild 1 e und f ist k ¼ 33=140 und k ¼ 17=35. Pendelschwingung. Fr das physikalische Pendel (Bild 1 b) liefert das dynamische Grundgesetz der Drehbewegung bezglich des Nullpunkts € ¼ FG rS sin j bzw: j € þ ðmgrS =J0 Þ sin j ¼ 0: J0 j € þ w21 j ¼ 0 mit Fr kleine Ausschlge ist sin j j, d. h. j w21 ¼ g=lr und lr ¼ J0 =ðmrS Þ (lr reduzierte Pendellnge). Fr das mathematische Fadenpendel mit der Masse m am Ende wird rS ¼ l, J0 ¼ ml2 und w21 ¼ g=l. Drehschwingung. Fr die Scheibe gemß Bild 1 h liefert B 3 € ¼ Mt ¼ ðGIt =lÞj bzw. j € þ w21 j ¼ 0 mit Gl. (45) JS j pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w1 ¼ GIt =ðlJS Þ. Hierbei ist It das Torsionsflchenmoment des Torsionsstabs. Die Drehtrgheit der Torsionsfeder wird mit einem Zuschlag von JF =3 zu JS der Scheibe bercksichtigt. Starrkrpersysteme (z. B. Bild 1 c). E þ U ¼ m_s2 =2 þ JS j_ 2 =2 þ cs2 =2 þ mgðh sÞ ¼ const; € þ cs_s mg_s ¼ 0: dðE þ UÞ=dt ¼ m_s€s þ JS j_ j € ¼ €s=r Hieraus ergibt sich mit j ¼ s=r, j_ ¼ s_ =r und j €s þ w21 s ¼ mg=ðm þ JS =r2 Þ; wobei w21 ¼ c=ðm þ JS =r 2 Þ ist. Weitere Lsung wie beim Feder-Masse-System.
Bild 4 a–d. Gedmpfte freie Schwingung. a Schwinger; b schwache und c starke Dmpfung; d Verhltnis Eigenkreisfrequenz gedmpft zu ungedmpft
B
B 40
B
Mechanik – 4 Schwingungslehre
kreisfrequenz wird mit zunehmender Dmpfung kleiner, die Schwingungsdauer T ¼ 2p=l entsprechend grßer. Nullstellen von s(t) bei t ¼ ðnp bÞ=l, Extremwerte bei tn ¼ ½arctanðl=dÞ þ np b=l, Berhrungspunkte bei tn0 ¼ ½ð2n þ 1Þp=2 b=l, tn0 tn ¼ const ¼ ½arctanðd=lÞ=l: Verhltnis der Amplituden jsn1 j=jsn j ¼ const ¼ edp=l ¼ edT=2 ¼ q: Logarithmisches Dekrement J ¼ lnq ¼ dT=2 liefert d=2J/T bzw. k=2m d aus Messung der Schwingungsdauer. Bei starker Dmpfung, also l2 ¼ d2 w21 ^ 0, stellt sich eine aperiodische Bewegung ein mit den Lsungen sðtÞ ¼ edt ðC1 elt þ C2 elt Þ fr l2 > 0 und sðtÞ ¼ edt ðC1 þ C2 tÞ fr l2 ¼ 0: Gemß den jeweiligen Anfangsbedingungen ðs0 ; u0 Þ ergeben sich unterschiedliche Bewegungsablufe (Bild 4 c). 4.1.3 Ungedmpfte erzwungene Schwingungen Forced undamped vibrations Erzwungene Schwingungen haben ihre Ursache in kinematischer Fremderregung (z. B. Bewegung des Aufhngepunkts) oder dynamischer Fremderregung (Unwuchtkrfte an der Masse). Bei kinematischer Erregung (z. B. nach Bild 5 a ) gilt m€s þ cðs r sin wtÞ ¼ 0; d: h: €s þ w21 s ¼ w21 r sin wt;
ð6Þ
bei dynamischer Erregung (z. B. nach Bild 5 b) ðm þ 2m1 Þ€s þ cs ¼ 2m1 ew2 sin wt; d: h: €s þ w21 s ¼ w2 R sin wt;
ð7Þ
mit w21 ¼ c=ðm þ 2m1 Þ; R ¼ 2m1 e=ðm þ 2m1 Þ. Die beiden Gleichungen unterscheiden sich nur durch den Faktor auf der rechten Seite. Fr beliebige periodische Erregungen f(t) gilt €s þ w21 s ¼ f ðtÞ;
d. h., die Ausschlge gehen im Resonanzfall mit der Zeit gegen unendlich (Bild 5 d). Wirkt die Erregerfunktion gemß Gl. (9), so tritt auch Resonanz ein fr w1 ¼ 2w; 3w . . . .
ð8Þ
wobei f(t) durch eine Fourierreihe (harmonische Entwicklung) darstellbar ist (s. A bzw. DUBBEL interaktiv): X ð9Þ f ðtÞ ¼ ðaj cos jwt þ bj sin jwtÞ; w ¼ 2p=T; ZT mit den Fourierkoeffizienten aj ¼ ð2=TÞ f ðtÞ cos jwt dt, bj ¼ ZT 0 ð2=TÞ f ðtÞ sin jwt dt: Ist sj ðtÞ eine Lsung der Differential0
gleichung €sj þ w21 sj ¼ aj cos jwt þ bj sin jwt, so ist die GesamtX lsung sðtÞ ¼ sj ðtÞ. Die Untersuchung des Grundfalls €s þ w21 s ¼ b sin wt zeigt, daß sich die Lsung aus einem homogenen und einem partikulren Anteil zusammensetzt (s. A bzw. DUBBEL interaktiv), sðtÞ ¼ sh ðtÞ þ sp ðtÞ ¼ A sinðw1 t þ bÞ þ ½b=ðw21 w2 Þ sin wt: Fr die Anfangsbedingungen sðt ¼ 0Þ ¼ 0 und s_ ðt ¼ 0Þ ¼ 0 ergibt sich sðtÞ ¼ ½b=ðw21
Bild 5 a–e. Erzwungene Schwingung. a Kinematische und b dynamische Erregung; c Schwebung; d Resonanzverhalten; e Einschwingvorgang
w Þ½sin wt ðw=w1 Þ sin w1 t; 2
d. h. die berlagerung der harmonischen Eigenschwingung mit der harmonischen Erregerschwingung. Fr w w1 stellt der Verlauf von s(t) eine Schwebung (Bild 5 c) dar. Diese Lsung versagt im Resonanzfall w ¼ w1 . Sie lautet dann sðtÞ ¼ A sinðwt þ bÞ ðb=wÞt cos wt bzw. fr sðt ¼ 0Þ ¼ 0 und s_ ðt ¼ 0Þ ¼ 0 sðtÞ ¼ ðb=w2 Þðsin wt wt cos wtÞ;
4.1.4 Gedmpfte erzwungene Schwingungen. Forced damped vibrations Bei geschwindigkeitsproportionaler Dmpfung und harmonischer Erregung (s. B 4.1.3) gilt €s þ 2d_s þ w21 s ¼ b sin wt bzw: sðtÞ ¼ Aedt sinðlt þ bÞ þ C sinðwt yÞ:
ð10Þ
Der erste Teil, die gedmpfte Eigenschwingung, klingt mit der Zeit ab (Einschwingvorgang). Danach hat die erzwungene Schwingung dieselbe Frequenz wie die Erregung (Bild 5 e). Faktor C und Phasenverschiebung y im zweiten Teil (erregte Schwingung bzw. partikulre Lsung) ergeben sich nach Einsetzen in die Differentialgleichung und Koeffizientenvergleich zu qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi C ¼ b= ðw21 w2 Þ2 þ 4d2 w2 und ð11Þ y ¼ arctan½2dw=ðw21 w2 Þ: Mit b ¼ w21 r bei kinematischer und b ¼ w2 R bei dynamischer Erregung ergeben sich die Vergrßerungsfaktoren (Bild 6 a, b) qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Vk ¼ 1=
ð1 w2 =w21 Þ2 þ ð2dw=w21 Þ2 und
Vd ¼ Vk ðw=w1 Þ2 : Aus dVk =dw ¼ 0 folgt fr die Resonanzstellen w bei kinemaqffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi tischer Erregung w=w1 ¼ 1 2d2 =w21 bzw. bei dynamiqffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi scher Erregung w=w1 ¼ 1= 1 2d2 =w21 . Die Resonanz-
I4.2
Systeme mit mehreren Freiheitsgraden (Koppelschwingungen)
B 41
B
Bild 6 a–c. Gedmpfte erzwungene Schwingung. a Vergrßerungsfaktor bei kinematischer und b dynamischer Erregung; c Phasenwinkel y
punkte liegen also bei kinematischer Erregung im unterkritischen, bei dynamischer Erregung im berkritischen Bereich (Bild 6 a, b). Die Resonanzamplitude ist C ¼ ðb=2dÞ= qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w21 d2 . Fr den Phasenwinkel y nach Gl. (11) gilt fr beide Erregungsarten Bild 6 c. Fr w < w1 ist y < p=2, fr w > w1 ist y > p=2. Ohne Reibung ðd ¼ 0Þ sind fr w < w1 Erregung und Ausschlag in Phase, fr w > w1 sind sie entgegengesetzt gerichtet. 4.1.5 Kritische Drehzahl und Biegeschwingung der einfach besetzten Welle. Critical speed of shafts, whirling Kritische Drehzahl und (Hertzsche) Biegeeigenfrequenz sind identisch (wenn die Kreiselwirkung bei nicht in der Mitte der Sttzweite sitzender Scheibe (Bild 7 a) und die Federungseigenschaft der Lager vernachlssigt wird [1, 2]). Fr die Biepffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi geeigenfrequenz gilt w1 ¼ c=m1 (bei Vernachlssigung der Wellenmasse) mit c ¼ 3EIy l=ða2 b2 Þ (s. B 4.1.1 und C 2 Tab. 5 a). Ist e die Exzentrizitt der Scheibe und w1 die elastische Verformung infolge der Fliehkrfte, so folgt aus dem Gleichgewicht zwischen elastischer Rckstell- und Fliehkraft
cw1 ¼ m1 w2 ðe þ w1 Þ; w1 ¼ e
ðw=w1 Þ2 1 ðw=w1 Þ2
:
ð12Þ
Fr w ¼ w1 folgt w1 ! 1, also Resonanz (Bild 7 b). Dagegen stellt sich fr w=w1 ! 1 der Wert w1 ¼ e ein, d. h., die Welle zentriert sich oberhalb w1 selbst, der Schwerpunkt liegt fr w ! 1 genau auf der Verbindungslinie der Auflager. Fr e ¼ 0 folgt aus Gl. (12) w1 ðc m1 w2 Þ ¼ 0, d. h. w1 6¼ 0 fr pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w ¼ c=m1 ¼ w1 , also kritische Drehzahl n ¼ w=ð2pÞ ¼ w1 =ð2pÞ ¼ n1 . Fr andere Lagerungsarten ist ein entsprechendes c einzusetzen (s. B 4.1.1). Die Dmpfung ist in der Regel fr umlaufende Wellen sehr gering und hat kaum Einfluß auf die kritische Drehzahl.
4.2 Systeme mit mehreren Freiheitsgraden (Koppelschwingungen). Multi-degree-of-freedom systems (coupled vibrations) Auf Bild 8 a–e sind ein Ein-Massensystem mit drei Freiheitsgraden in der Ebene und mehrere Zwei-Massensysteme mit zwei Freiheitsgraden dargestellt, die elastisch usw. verbunden bzw. gekoppelt sind. Ein System mit n Freiheitsgraden hat n Eigenfrequenzen. Die Herleitung der n gekoppelten Differentialgleichungen erfolgt bei mehreren Freiheitsgraden zweckmßig mit Hilfe der Lagrangeschen Gleichungen (s. B 3.3.6). 4.2.1 Freie Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden. Free vibrations with two and multi-DOFs Fr ein ungedmpftes System nach Bild 8 b gilt m1€s1 ¼ c1 s1 þ c2 ðs2 s1 Þ; m2€s2 ¼ c2 ðs2 s1 Þ bzw: m1€s1 þ ðc1 þ c2 Þs1 c2 s2 ¼ 0; m2€s2 þ c2 s2 c2 s1 ¼ 0; ð13Þ s1 ; s2 Auslenkungen aus der statischen Ruhelage. Der Lsungsansatz (s. B 4.1.1) s1 ¼ A sinðwt þ bÞ und s2 ¼ B sinðwt þ bÞ liefert mit c ¼ c1 þ c2 Aðm1 w2 cÞ þ Bc2 ¼ 0 und Ac2 þ Bðm2 w2 c2 Þ ¼ 0:
Bild 7 a, b. Kritische Drehzahl. a Einfach besetzte Welle; b Resonanzbild
ð14Þ
ð15 a; bÞ
Dieses lineare homogene Gleichungssystem fr A und B hat nur dann von null verschiedene Lsungen, wenn die Nennerdeterminante verschwindet (s. A bzw. DUBBEL interaktiv), d. h. m1 m2 w4 ðm1 c2 þ m2 cÞw2 þ ðcc2 c22 Þ ¼ 0
B 42
Mechanik – 4 Schwingungslehre
B
Bild 8 a–f. Koppelschwingungen. a Grundsystem, b bis e analoge Systeme; f Resonanzkurven bei zwei Freiheitsgraden
wird. Die beiden Lsungen w1 und w2 dieser charakteristischen Gleichung sind die Eigenkreisfrequenzen des Systems. Da die Differentialgleichungen linear sind, gilt das Superpositionsgesetz, und die Gesamtlsung lautet s1 ¼ A1 sinðw1 t þ b1 Þ þ A2 sinðw2 t þ b2 Þ; s2 ¼ B1 sinðw1 t þ b1 Þ þ B2 sinðw2 t þ b2 Þ:
ð16 a; bÞ
Nach Gl. (15 a) gilt A1 =B1 ¼ c2 ðc m1 w21 Þ ¼ 1=k1 bzw. A2 =B2 ¼ c2 =ðc m1 w22 Þ ¼ 1=k2 und damit aus Gl. (16 b) s2 ¼ k1 A1 sinðw1 t þ b1 Þ þ k2 A2 sinðw2 t þ b2 Þ:
ð16 cÞ
Die Gln. (16 a und c) enthalten vier Konstanten A1 , A2 , b1 , b2 zur Anpassung an die vier Anfangsbedingungen. Der Schwingungsvorgang ist nur dann periodisch, wenn w1 und w2 in einem rationalen Verhltnis zueinander stehen. Wenn w1 w2 ist, treten Schwebungen auf. Bei mehr als zwei Freiheitsgraden ist fr jeden ein Ansatz gemß Gl. (14) zu machen. Aus der gleich Null gesetzten Koeffizientendeterminante ergibt sich eine charakteristische Gleichung n-ten Grads, aus der die n Eigenkreisfrequenzen folgen. Fr die gedmpfte Schwingung lauten die Differentialgleichungen bei zwei Freiheitsgraden fr das System nach Bild 8 b m1€s1 þ k1 s_ 1 þ ðc1 þ c2 Þs1 c2 s2 ¼ 0; m2€s2 þ k2 s_ 2 þ c2 s2 c2 s1 ¼ 0: ekt und s2 ¼ B ekt ergibt sich wieder Mit dem Ansatz s1 ¼ A eine Gleichung vierten Grads mit paarweise konjugiert komplexen Wurzeln k1 ¼ r1 þ iw1 usw. und damit die endgltige Lsung s1 ðtÞ ¼ er1 t A1 sinðw1 t þ b1 Þ þ er2 t A2 sinðw2 t þ b2 Þ; s2 ðtÞ ¼ er1 t B1 sinðw1 t þ b1 Þ þ er2 t B2 sinðw2 t þ b2 Þ: Zwischen A1 und B1 bzw. A2 und B2 besteht wieder ein linearer Zusammenhang analog zur ungedmpften Schwingung.
4.2.2 Erzwungene Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden Forced vibrations with two and multi-DOFs Fr ein ungedmpftes System nach Bild 8 b mit kinematischer oder dynamischer Erregung b1 sin wt der Masse m1 gilt m1€s1 þ ðc1 þ c2 Þs1 c2 s2 ¼ b1 sin wt; m2€s2 þ c2 s2 c2 s1 ¼ 0:
ð17Þ
Da der homogene Lsungsanteil infolge der stets vorhandenen schwachen Dmpfung whrend des Einschwingvorgangs abklingt, gengt die Betrachtung der partikulren Lsung. Hierfr folgen mit dem Ansatz s1 ¼ C1 sinðwt y1 Þ; s2 ¼ C2 sinðwt y2 Þ
ð18Þ
durch Einsetzen in Gl. (17) und Koeffizientenvergleich y1 ¼ 0, y2 ¼ 0 sowie mit c1 þ c2 ¼ c C1 ðm1 w2 cÞ þ C2 c2 ¼ b1 ; C1 c2 þ C2 ðm2 w2 c2 Þ ¼ 0:
ð19Þ
Hieraus C1 ¼ Z1 =N und C2 ¼ Z2 =N, wobei die Nennerdeterminante N ¼ m1 m2 w4 ðm1 c2 þ m2 cÞw2 þ ðcc2 c22 Þ mit der in der charakteristischen Gleichung in B 4.2.1 bereinstimmt. Resonanz tritt auf, wenn N ¼ 0 wird, d. h. fr Eigenkreisfrequenzen w1 und w2 des freien Schwingers. Die Zhlerdeterminanten sind Z1 ¼ b1 ðc2 m2 w2 Þ, Z2 ¼ b1 c2 . Fr kinematische Erregung ðb1 ¼ w21 rÞ sind in Bild 8 f die Amplituden C1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi und C2 als Funktion von w dargestellt. Fr w ¼ c2 =m2 wird C1 ¼ 0 und C2 relativ klein, d. h., die Masse m1 ist in Ruhe (Masse m2 wirkt als Schwingungstilger). Bei n Massen treten Resonanzen bei den n Eigenfrequenzen auf. Dabei mssen die Ausschlge nicht immer gegen unendlich gehen, einige knnen auch endlich bleiben (Scheinresonanz [1]). Fr die gedmpfte erzwungene Schwingung nimmt z. B. die Gl. (17) die Form m1€s1 þ k_s1 þ cs1 c2 s2 ¼ b1 sin wt; m2€s2 þ k2 s_ 2 þ c2 s2 c2 s1 ¼ 0
ð20Þ
I4.2
Systeme mit mehreren Freiheitsgraden (Koppelschwingungen)
an ðc ¼ c1 þ c2 Þ. Ohne den Einschwingvorgang, d. h. den homogenen Lsungsteil, und mit dem erzwungenen (partikulren) Teil der Lsung nach Gl. (18) folgen nach Einsetzen in Gl. (20) und Koeffizientenvergleich die Werte fr die Amplituden C1 , C2 und die Phasenwinkel y1 , y2 . Resonanz ist vorhanden, wenn C1 C2 ¼ Extr:, d. h. w1 und w2 folgen aus dðC1 C2 Þ=dt ¼ 0. Bei einem System von n Massen wird der Rechenaufwand sehr groß. Daher begngt man sich bei schwacher Dmpfung mit der Ermittlung der Eigenfrequenzen fr das ungedmpfte System. 4.2.3 Eigenfrequenzen ungedmpfter Systeme Natural frequency of undamped systems Biegeschwingungen und kritische Drehzahlen mehrfach besetzter Wellen. Hertzsche Frequenzen der Biegeeigenschwingungen und kritische Drehzahlen (ohne Kreiselwirkung) sind identisch. Mit si ¼ wi sin wt folgt unter Bercksichtigung der Trgheitskrfte mi€si ¼ mi w2 wi sin wt fr die Biegeschwingung (Bild 8 e) s1 ¼ a11 m1€s1 a12 m2€s2 ; ð21Þ s2 ¼ a21 m1€s1 a22 m2€s2 bzw. w1 ¼ a11 m1 w2 w1 þ a12 m2 w2 w2 ; w2 ¼ a21 m1 w2 w1 þ a22 m2 w2 w2 :
ð22Þ
Gleichung (22) entsteht auch fr die umlaufende Welle mit den Zentrifugalkrften mi w2 wi : Die aik sind Einflußzahlen; sie sind gleich der Durchbiegung wi infolge einer Kraft Fk ¼ 1. Ihre Berechnung erfolgt zweckmßig mit dem Prinzip der Z virtuellen Verrckungen fr elastische Krper aus aik ¼ Mi Mk dx=EIy oder nach dem Mohrschen Verfahren oder anderen Methoden (Tabellenwerte, Integration usw.; s. C 2.4.8). Es gilt aik ¼ aki (Satz von Maxwell). Aus Gl. (22) folgt w1 ða11 m1 1=w2 Þ þ w2 a12 m2 ¼ 0; w1 a21 m1 þ w2 ða22 m2 1=w2 Þ ¼ 0:
ð23Þ
Sie haben nur nichttriviale Lsungen, wenn die Determinante null wird, d. h. (mit 1=w2 ¼ W), wenn W2 ðm1 a11 þ m2 a22 ÞW þ ða11 a22 a12 a21 Þm1 m2 ¼ 0 ist. Hieraus folgen zwei Lsungen W1;2 bzw. w1;2 fr die Eigenkreisfrequenzen. Fr das Verhltnis der Amplituden ergibt sich aus Gl. (23) w2 =w1 ¼ ð1=w2 a11 m1 Þ=ða12 m2 Þ. Fr die n-fach besetzte Welle erhlt man analog n Eigenfrequenzen aus einer Gleichung n-ten Grades. Nherungswerte mit dem Rayleighschen Quotienten.Aus max folgt der Rayleighsche Quotient Umax ¼ Emax ¼ w2 E max : R ¼ w2 ¼ Umax =E Z Umax ¼ ð1=2Þ Mb2 ðxÞ dx=ðEIy Þ; Z X max ¼ ð1=2Þ w2 ðxÞ dm þ ð1=2Þ E mi w2i :
max ¼ ð1=2Þ I ¼ Umax w2 E
B 43
Z
½EIy w002 ðxÞ X w2 w2 ðxÞrAdx ð1=2Þw2 mi w2i ¼ Extr:;
d. h. ¶I=¶cj ¼ 0 ðj ¼ 1; 2; . . . ; nÞ; n homogene lineare Gleichungen und durch Nullsetzen der Determinante eine Gleichung n-ten Grades fr die n Eigenkreisfrequenzen als Nherung. Mglich ist auch, die Eigenfunktion fr jeden hheren Eigenwert fr sich zu schtzen, ihn aus Gl. (24) direkt zu ermitteln und gegebenenfalls schrittweise zu verbessern [1–3]. Drehschwingungen der mehrfach besetzten Welle. Verfgbar sind hnliche Verfahren wie bei Biegeschwingungen (s. O 2.7). 4.2.4 Schwingungen der Kontinua Vibration of continuous systems Ein massebehaftetes Kontinuum hat unendlich viele Eigenkreisfrequenzen. Als Bewegungsgleichungen erhlt man aus den dynamischen Grundgesetzen partielle Differentialgleichungen. Die Befriedigung der Randbedingungen liefert transzendente Eigenwertgleichungen. Fr Nherungslsungen geht man vom Rayleighschen Quotienten und vom Ritzschen Verfahren (B 4.2.3) aus. Biegeschwingungen von Stben. Die Differentialgleichung ¶2 w ¶2 ¶2 w bzw. fr freie lautet rA 2 ¼ pðx; tÞ 2 EIy 2 ¶x ¶t ¶x Schwingung und konstanten Querschnitt ¶2 w=¶t2 ¼ c2 ¶4 w=¶x4 ; c2 ¼ EIy =ðrAÞ:
ð25Þ
Der Produktansatz von Bernoulli (s. A bzw. DUBBEL interaktiv) wðx; tÞ ¼ XðxÞTðtÞ eingesetzt in Gl. (25) liefert X T€ ¼ c2 X ð4Þ T bzw: T€ =T ¼ c2 X ð4Þ =X ¼ w2 ; d. h. T€ þ w2 T ¼ 0 und X ð4Þ ðw2 =c2 Þ X ¼ 0. Mit l4 ¼ ðw2 =c2 Þl4 lautet die Lsung wðx; tÞ ¼ A sinðwt þ bÞ½C1 cosðlx=lÞ þ C2 sinðlx=lÞ þ C3 coshðlx=lÞ þ C4 sinhðlx=lÞ:
ð26Þ
Fr den Stab nach Bild 9 a lauten die Randbedingungen Xð0Þ ¼ 0, X 0 ð0Þ ¼ 0, X 00 ðlÞ ¼ 0, X 000 ðlÞ ¼ 0. Damit folgt aus Gl. (26) die Eigenwertgleichung cosh l cos l ¼ 1 mit den Eigenwerten l1 ¼ 1;875; l2 ¼ 4;694; l3 ¼ 7;855 usw. Fr die Stbe nach Bild 9 b–d ergeben sich die ersten drei Eigenwerte zu l1 ¼ p; 3;927; 4;730; l2 ¼ 2p; 7;069; 7;853; l3 ¼ 3p; 10;210; 10;996.
ð24Þ
w(x) und Mb ðxÞ ¼ EIy w00 ðxÞ sind Biegelinie und Biegemomentenlinie bei Schwingung. Fr die wirkliche Biegelinie (Eigenfunktion) wird R zum Minimum. Fr eine die Randbedingungen befriedigende Vergleichsfunktion (z. B. Biegelinie und Biegemomentenlinie infolge Eigengewichts) ergeben sich gute Nherungen fr R1 bzw. w1 (erste Eigenkreisfrequenz). Der Nherungswert ist stets grßer als der wirkliche Wert. Durch einen Ritzschen Ansatz mehrerer Funktionen wðxÞ ¼ X ck uk ðxÞ folgen aus
Bild 9 a–d. Biegeschwingung von Stben. a Einseitig eingespannt; b gelenkig gelagert; c gelenkig gelagert und eingespannt; d beidseitig eingespannt
Fr Stbe mit zustzlichen Einzelmassen ist die Lsung Gl. (26) fr jeden Abschnitt anzusetzen. Nach Erfllen der bergangsbedingungen usw. erhlt man die Frequenzgleichung. Da der Aufwand groß ist, wird die Nherung mit dem Rayleighschen Quotienten und dem Ritzschen Verfahren (s. B 4.2.3 und folgendes Beispiel) verwendet.
B
B 44
Mechanik – 4 Schwingungslehre f(x) ist eine die Randbedingungen befriedigende Vergleichsfunktion (s. auch B 4.2.3). Schwingungen von Membranen. Fr die Rechteckmembran gilt
B
Sð¶2 w=¶x2 þ ¶2 w=¶y2 Þ ¼ m ¶2 w=¶t2
2 1 1 ½ f ðxÞ2 d x þ mk f x ¼ l 2 2 0 F l3 x 2 x3 Ansatz: wðxÞ ¼ 3 4 (s. C 2.4.8, Tab. 5 b, 48 E Iy l l x 2 x 3 Belastungsfall 6) ) f ðxÞ ¼ 3 4 und Ausnutzen l l vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u Umax uE Iy 192 der Symmetrie w1 ¼ ¼t 3 mit ms ¼ l 13 Emax ms þ mk 35 Masse des Stabes. Wrde man die Masse ms des Stabes konzentriert zustzlich an der Stelle l/2 anbringen und den Stab selbst als Feder ausfhren, ergibt sich wegen rffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c E Iy 192 . ¼ l3 ðms þ mk Þ m Zl=2
Emax ¼ r A
Lngsschwingungen von Stben. Die Differentialgleichung ¶2 u ¶ ¶u lautet rA 2 ¼ EA bzw. fr A ¼ const ¶t ¶x ¶x ¶2 u=¶t2 ¼ c2 ¶2 u=¶x2 ; c2 ¼ ðEAÞ=ðr AÞ ¼ E=r;
ð27Þ
mit der Lsung uðx; tÞ ¼ A sinðwt þ bÞ½C1 cosðwx=cÞ þ C2 sinðwx=cÞ: ð28Þ Nach Erfllen der Randbedingungen ergeben sich folgende Eigenkreisfrequenzen: Stab an einem Ende fest, am anderen frei: wk ¼ ðk 1=2Þpc=l ðk ¼ 1; 2; . . .Þ; Stab an beiden Enden fest: wk ¼ kpc=l ðk ¼ 1; 2; . . .Þ; Stab an beiden Enden frei: wk ¼ kpc=l ðk ¼ 1; 2; . . .Þ: Bei zustzlich mit Einzelmassen besetztem Stab gelten die fr Biegeschwingungen gemachten Bemerkungen entsprechend. Der Rayleighsche Quotient ist max mit R ¼ w2 ¼ Umax =E Z Z ¼ ð1=2Þ rAf 2 ðxÞ dx; Umax ¼ ð1=2Þ EAf 02 ðxÞ dx; E wenn f(x) eine die Randbedingungen erfllende Vergleichsfunktion ist (s. auch B 4.2.3). Torsionsschwingungen von Stben. Hier gilt ¶2 j ¶ ¶j J 2 ¼ GIt ¶t ¶x ¶x bzw. fr It ¼ const ¶2 j=¶t2 ¼ c2 ¶2 j=¶x2 ; c2 ¼ ðGIt Þ=ðJ=lÞ:
ð29Þ
Lsung und Eigenwerte wie bei Lngsschwingungen. Bei zustzlich mit Drehmassen besetzten Stben gelten entsprechende Bemerkungen wie bei Biegeschwingungen. Der Rayleigh max mit sche Quotient ist R ¼ w2 ¼ Umax =E Z Z ¼ ð1=2Þ ðJ=lÞ f 2 ðxÞ dx: Umax ¼ ð1=2Þ GIt f 02 ðxÞ dx; E Schwingungen von Saiten (straff gespannte Seile). Hier gilt ¶2 w=¶t2 ¼ c2 ¶2 w=¶x2 ; c2 ¼ S=m
ð30Þ
(S Spannkraft, m Masse pro Lngeneinheit). Lsung von Gl. (30) s. Gl. (28). Eigenfrequenzen wk ¼ kpc=l ðk ¼ 1; 2; . . .Þ, l max Saitenlnge. Rayleighscher Quotient R ¼ w2 ¼ Z Umax =E Z mit
Umax ¼ ð1=2ÞS
f 02 ðxÞ dx;
max ¼ ð1=2Þm E
f 2 ðxÞdx.
ð31Þ
(S Spannkraft je Lngeneinheit, m Masse je Flcheneinheit) mit der Lsung wðx; y; tÞ ¼ A sinðwt þ bÞ½C1 cos lx þ C2 sin lx ð32Þ ½D1 cos ky þ D2 sin ky: Mit a und b als Seitenlngen gilt fr Eigenwerte lj ¼ jp=a, kk ¼ kp=b ðj; k ¼ 1; 2; . . .Þ. Eigenkreisfrequenzen: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi wjk ¼ p ðS=mÞ½j2 =a2 þ k2 =b2 ðj; k ¼ 1;2; . . .Þ: max mit Rayleighscher Quotient: R ¼ w2 ¼ Umax =E ZZ " 2 2 # ¶f ¶f þ Umax ¼ ðS=2Þ dx dy; ¶x ¶y ZZ max ¼ ðm=2Þ f 2 ðx; yÞdx dy: E f (x, y) ist eine die Randbedingungen erfllende Vergleichsfunktion (s. auch B 4.2.3). Fr die Kreismembran gilt in Polarkoordinaten mit c2 ¼ S=m 2 ¶2 w ¶ w 1 ¶w 1 ¶2 w ¼ c2 þ þ ð33Þ ¶t2 ¶r 2 r ¶r r 2 ¶j2 mit der Lsung wðr; j; tÞ ¼ A sinðwt þ bÞðC cos nj þ D sin njÞ Jn ðwr=cÞ ð34Þ ðn ¼ 0; 1; 2; . . .Þ: Jn ðwr=cÞ sind Besselsche Funktionen erster Art [4]. (Fr rotationssymmetrische Schwingungen ist n ¼ 0.) Eigenwerte wnj ¼ ðc=aÞxnj (a Radius der Membran, xnj Nullstellen der Besselschen Funktionen): x01 ¼ 2;405; x02 ¼ 5;520; x11 ¼ 3;832; x12 ¼ 7;016; x21 ¼ 5;135 usw. max . Rayleighscher Quotient: R ¼ w2 ¼ Umax =E Fr rotationssymmetrische Schwingungen ist Z 2 df Umax ¼ ðS=2Þ 2pr dr und dr Z max ¼ ðm=2Þ f 2 ðrÞ2pr dr: E Biegeschwingungen von Platten. Die Differentialgleichung lautet mit der Plattensteifigkeit N ¼ Eh3 =½12ð1 n2 Þ fr die Rechteckplatte ¶2 w N N ¶4 w ¶4 w ¶4 w ð35Þ ¼ DDw ¼ þ2 2 2 þ 4 : ¶t2 rh rh ¶x4 ¶x ¶y ¶y Mit a und b als Seitenlngen gilt fr die gelenkig gelagerte Platte wðx; y; tÞ ¼ A sinðwt þ bÞ sinðjpx=aÞ sinðkpy=bÞ: ð36Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Eigenwerte: wjk ¼ ðj2 =a2 þ k2 =b2 Þp2 N=ðrhÞ ðj; k ¼ 1; 2; . . .Þ. max mit Rayleighscher Quotient: R ¼ w2 ¼ Umax =E 2 ZZ " 2 ¶ f ¶2 f Umax ¼ ðN=2Þ þ ¶x2 ¶y2 2 2 !# ¶2 f ¶2 f ¶ f 2ð1 nÞ dx dy und ¶x2 ¶y2 ¶x ¶y ZZ max ¼ ðrh=2Þ f 2 ðx, yÞ dx dy: E f (x, y) ist eine die Randbedingungen befriedigende Vergleichsfunktion (s. B 4.2.3). Fr die Kreisplatte ist bei rotationssymmetrischer Schwingung w ¼ wðr; tÞ ¼ f ðrÞ sinðwt þ bÞ und somit nach Gl. (35) ðw2 rh=NÞ f ðrÞ ¼ l4 f ðrÞ ¼ DD f ðrÞ, d. h. DDf l4 f ¼ 0 bzw.
I4.3 ðD þ l2 ÞðD l2 Þ½ f ¼ 0. Hieraus folgen die Differentialgleichungen ð37Þ Df þ l2 f ¼ 0 und Df l2 f ¼ 0 bzw: d2 f =dr 2 þ ð1=rÞ df =dr þ l2 f ¼ 0 und
d2 f =dr 2 þ ð1=rÞ df =dr l2 f ¼ 0:
Superponierte Lsungen der Besselschen Differentialgln. (37) sind f ðrÞ ¼ C1 J0 ðlrÞ þ C2 N0 ðlrÞ þ C3 I0 ðlrÞ þ C4 K0 ðlrÞ
ð38Þ
(N0 Neumannsche Funktion, I0 und K0 modifizierte Besselsche Funktionen [8]). Fr die gelenkig gelagerte Platte mit Radius a folgt aus Gl. (38) die Eigenwertgleichung I1 ðlaÞ J1 ðlaÞ J0 ðlaÞ I0 ðlaÞ þ I0 ðlaÞ J0 ðlaÞ ¼ 0 ð39Þ la la mit den Lsungen l1 a ¼ 2;108; l2 a ¼ 5;42; l3 a ¼ 8;59. Hierpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aus w ¼ l2 N=ðrhÞ. Fr die eingespannte Kreisplatte folgt aus Gl. (38) die Eigenwertgleichung J0 ðlaÞI1 ðlaÞ þ I0 ðlaÞJ1 ðlaÞ ¼ 0 mit den Lsungen l1 a ¼ 3;190; l2 a ¼ 6;306; l3 a ¼ 9;425. Hieraus pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w ¼ l2 N=ðrhÞ. max . Fr rotationsRayleighscher Quotient R ¼ w2 ¼ Umax =E symmetrische Schwingung ist 2 Z " 2 d f 1 df Umax ¼ ðN=2Þ þ dr 2 r dr 1 df d2 f 2ð1 nÞ 2pr dr und 2 r dr dr Z max ¼ ðrh=2Þ f 2 ðrÞ2pr dr: E
4.3 Nichtlineare Schwingungen Non-linear vibrations Schwingungsprobleme dieser Art fhren auf nichtlineare Differentialgleichungen. Nichtlineare Schwingungen entstehen z. B. durch nichtlineare Federkennlinien oder Rckstellkrfte (physikalisches Pendel mit großen Ausschlgen) oder durch nicht nur vom Ausschlag, sondern auch von der Zeit abhngige Rckstellkrfte (z. B. Pendel mit bewegtem Aufhngepunkt).
Nichtlineare Schwingungen
B 45
4.3.1 Schwinger mit nichtlinearer Federkennlinie oder Rckstellkraft Systems with non-linear spring characteristics
B
Es gilt m€s ¼ FðsÞ (Bild 10 a), nherungsweise FðsÞ ¼ csð1 þ es2 Þ (e > 0 berlineare, e < 0 unterlineare Kennlinie). Freie ungedmpfte Schwingungen. Die Differentialgleichung lautet €s þ w21 sð1 þ es2 Þ ¼ 0 bzw: €s þ w21 s þ w21 es3 ¼ 0:
ð40Þ
s_ €s þ w21 s_ s þ w21 e_ss3
Multiplikation mit s_ liefert ¼ 0 und hieraus nach Integration mit den Anfangsbedingungen sðt ¼ 0Þ ¼ s0 , s_ ðt ¼ 0Þ ¼ u0 und Trennen der Variablen s_ 2 þ w21 ðs2 þ e s4 =2Þ ¼ u20 þ w21 ðs20 þ e s40 =2Þ ¼ C2 ; Zs tðsÞ ¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ds= C2 w21 s2 w21 es4 =2:
ð41Þ ð42Þ
s0
Das Integral ergibt nach Umformung [5, 6] ein elliptisches Integral 1. Gattung [7]. Schwingungsdauer und Frequenz werden abhngig vom Grßtausschlag. Fr kleine Ausschlge ergibt sich durch schrittweise Nherung [1] fr die Frequenz pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w ¼ w21 ð1 þ 0;75eA2 Þ; A Amplitude des Schwingungsausschlags. Das physikalische Pendel lßt sich mit der reduzierten Pendellnge l ¼ J0 =ðmrS Þ (s. B 3.6.3) auf ein mathematisches mit € þ ðg=lÞ sin j ¼ 0 zurckfhren. Die Lsung fhrt wieder auf j ein elliptisches Integral 1. Gattung mit der Schwingungsdauer pffiffiffiffiffiffiffi T ¼ l=gFðp=2; kÞ fr das hin- und herschwingende Pendel 2 ðk ¼ w21 l=ð4gÞ < 1Þ. Fr kleinere Ausschlge ergibt sich die pffiffiffiffiffiffiffi Nherungslsung [1] T ¼ 2p l=gð1 þ A2 =16Þ. Erzwungene Schwingungen. Die Differentialgleichung lautet €s þ 2d_s þ w21 ð1 þ es2 Þs ¼ a0 cosðwt þ bÞ
ð43Þ
fr geschwindigkeitsproportionale Dmpfung und periodische Erregerkraft. Mit s ¼ A cos wt folgt aus Gl. (43) nach Koeffizientenvergleich ½ðw21 w2 þ 0;75w21 eA2 Þ2 þ 4d2 w2 A2 ¼ a20 :
Bild 10 a–c. Nichtlineare Schwingungen. a Federkennlinien; b Resonanzdiagramme; c Struttsche Karte (schraffierte Lsungsgebiete sind stabil)
ð44Þ
B 46
B
Mechanik – 5 Hydrostatik (Statik der Flssigkeiten)
Bild 10 b zeigt Amplituden als Funktion der Erregerfrequenz w (Resonanzkurven) fr e > 0 und e < 0. In bestimmten Bereichen gibt es mehrdeutige Lsungen. Der mittlere gestrichelte Ast ist nicht stabil und wird nicht durchlaufen. Je nachdem, ob w grßer oder kleiner wird, tritt in den Punkten P, Q, R, S ein Sprung in der Amplitude (Kippung) ein [5]. 4.3.2 Schwingungen mit periodischen Koeffizienten (rheolineare Schwingungen) Vibration of systems with periodically varying parameters (Parametrically excited vibrations) Hier ist die Rckstellkraft nicht nur vom Ausschlag abhngig, sondern auch von einem vernderlichen Koeffizienten c ¼ cðtÞ (z. B. Pendel mit bewegter Aufhngung, Lokomotivstangenschwingung [1]). Fr die ungedmpfte Schwingung
5 Hydrostatik (Statik der Flssigkeiten) Hydrostatics Flssigkeiten und Gase unterscheiden sich im wesentlichen durch ihre geringe bzw. starke Kompressibilitt. Sie haben viele gemeinsame Eigenschaften und werden einheitlich als Fluide bezeichnet. Sie sind leicht verschieblich und nehmen jede ußere Form ohne wesentlichen Widerstand an; meist knnen sie als homogenes Kontinuum angesehen werden. Druck. p ¼ dF=dA ist in ruhenden Flssigkeiten richtungsunabhngig, d. h. eine skalare Ortsfunktion, da aus dem Newtonschen Schubspannungsansatz txy ¼ hð¶ux =¶y þ ¶uy =¶xÞ fr ux ¼ uy ¼ 0 sich txy ¼ 0 und entsprechend txz ¼ tyz ¼ 0 ergibt. Damit folgt aus den Gleichgewichtsbedingungen px ¼ py ¼ pz ¼ pðx; y; zÞ. An den Begrenzungsflchen steht p wegen t ¼ 0 senkrecht zur Flche. Dichte. r ¼ dm=dV. Flssigkeiten sind geringfgig kompressibel; es gilt dV=V ¼ dp=E bzw. r ¼ r0 =ð1 Dp=EÞ. Elastizittsmodul E bei 0 C: fr Wasser 2;1 105 N=cm2 , fr Benzol 1;2 105 N=cm2 , fr Quecksilber 2;9 106 N=cm2 (dagegen fr Stahl 2;1 107 N=cm2 ). Fr die meisten Probleme knnen Flssigkeiten als inkompressibel angesehen werden. Gase sind kompressibel, d. h., die Dichte ndert sich gemß r ¼ p=ðRTÞ (s. D 6.1.1). Kapillaritt und Oberflchenspannung. Flssigkeiten steigen oder sinken in Kapillaren als Folge der Molekularkrfte zwischen Flssigkeit und Wand bzw. zwischen Flssigkeit und Luft. Molekularkrfte erzeugen Oberflchenspannungen
gilt m€s þ ½c f ðtÞs ¼ 0 bzw. €s þ ½l þ gFðtÞs=0. Diese Gleichung heißt Hillsche Differentialgleichung, wenn F(t) periodisch ist [8]. Eine Sonderform dieser Gleichung ist die Mathieusche Differentialgleichung [1, 5, 8] €s þ ðl 2h cos 2tÞs ¼ 0:
ð45Þ
(Sie gilt z. B. fr Pendelschwingungen mit periodisch bewegtem Aufhngepunkt oder fr Biegeschwingungen eines Stabs unter pulsierender Axiallast.) Lsungen mit Mathieuschen Funktionen usw. s. [8]. s(t) zeigt als Funktion von l und h Gebiete stabilen und instabilen Verhaltens, d. h., ob Ausschlge kleiner oder grßer werden. Stabile und instabile Gebiete wurden von Strutt ermittelt und in der nach ihm benannten Struttschen Karte dargestellt (Bild 10 c).
s (z. B. bei 20 C fr Wasser gegen Luft 0,073 N/m, fr Alkohol gegen Luft 0,025 N/m und fr Quecksilber gegen Luft 0,47 N/m). Die kapillare Steighhe betrgt h ¼ 4s=ðdr gÞ ðd Kapillarendurchmesser). Bei nicht benetzenden Flssigkeiten (z. B. Quecksilber) sinkt der Spiegel in der Kapillare. Druckverteilung in der Flssigkeit. Wegen des Gleichgewichts fr ein Element (Bild 1 a) gilt p dA þ r g dA dz ðp þ dpÞ dA ¼ 0; d: h: dp=dz ¼ r g bzw. nach Integration p ¼ pðx; y; zÞ ¼ r gz þ C: Mit pðz ¼ 0Þ ¼ p0 folgt p ¼ pðzÞ ¼ p0 þ r g z;
ð1Þ
d. h., der Druck hngt linear von der Tiefe z ab und ist von x und y unabhngig. Fr r g ¼ 0, d. h. ohne Bercksichtigung des Gewichts, folgt aus Gl. (1) pðx; y; zÞ ¼ p0 , d. h., der Preßdruck p0 pflanzt sich nach allen Orten hin gleich groß fort (Gesetz von Pascal). Druck auf ebene Wnde. Fr einen Behlter mit berdruck p€u (Bild 1 b) berechnet man zunchst die Ersatzspiegelhhe h€u ¼ p€u =ðr gÞ. Von ihr werden die Koordinaten z und h gezhlt ðz ¼ h sin bÞ. Die resultierende Druckkraft Z F ¼ r gz dA ¼ r gAzS ð2Þ greift im Druckmittelpunkt M an. Die Lage des Druckmittelpunkts ist gegeben durch ey ¼ Ix =ðAhS Þ; ex ¼ Ix y =ðAhS Þ;
ð3Þ
Ix axiales Flchenmoment 2. Ordnung, Ixy zentrifugales oder gemischtes Flchenmoment 2. Ordnung, x und y Achsen
Bild 1 a–c. Hydrostatischer Druck. a Verteilung; b auf geneigte und c auf vertikale Wnde
I5 durch den Flchenschwerpunkt. Fr symmetrische Flchen ist Ixy¼0 . Fr Flle nach Bild 1 c gilt mit b ¼ 90 – Wand: Ix ¼ bh3 =12; F ¼ r gbh2 =2; ey ¼ h=6; – Rechteckklappe: Ix ¼ bh3 =12; F ¼ % gbhzS ; ey ¼ h2 =ð12zS Þ; – Kreisklappe: Ix ¼ pd 4 =64; F ¼ r gzS pd2 =4; ey ¼ d 2 =ð16zS Þ: Beispiel: Behlter mit Ablaßklappe. Gegeben: p€u ¼ 0; 5 bar; H ¼ 2 m, b ¼ 60 . Zu berechnen ist die Grße und Lage der resultierenden Druckkraft auf eine kreisfrmige Klappe vom Durchmesser d = 500 mm. – Mit h€u ¼ p€u =ðr gÞ ¼ ð0;5 105 N=m2 Þ=ð1 000 kg=m3 9;81 m=s2 Þ ¼ 5;097 m wird zS ¼ H þ h€u ¼ 7;097 m, nach Gl. (2) F ¼ r gðpd2 =4ÞzS ¼ 13;67 kN und gemß Gl. (3) ey ¼ ðpd4 =64Þ=½ðpd 2 =4ÞzS = sin b ¼ 1;9 mm.
Hydrostatik (Statik der Flssigkeiten)
B 47
richtung stehende projizierte ebene Flche. Der Angriffspunkt der Druckkrfte ergibt sich gemß Gl. (3) zu ex und ey , wenn x und y die Achsen durch den Schwerpunkt der jeweiligen Projektionsflche sind. Bei Kugel- und Kreiszylinderflchen geht die Resultierende FR stets durch den Krmmungsmittelpunkt. Auftrieb (Bild 3 a). Fr einen ganz (oder teilweise) eingetauchten Krper wirkt auf ein oben liegendes Flchenelement die Kraft dF ¼ po dAx ex þ po dAy ey þ po dAz ez . Da sich die Komponenten dFx und dFy am geschlossenen Krper das Gleichgewicht halten, d. h. Fx ¼ 0 und Fy ¼ 0 ist, bleibt nur eine Kraft in z-Richtung: Z Z FA ¼ Fz ¼ dFz ¼ ðpu po ÞdAz Z ð5Þ ¼ r gðzu zo ÞdAz ¼ r gV:
Druck auf gekrmmte Wnde (Bild 2 a). Die Kraftkomponenten sind Z Z Fx ¼ r g z dAx ¼ r gzSx Ax ; Fy ¼ r g z dAy ¼ r gzSy Ay ; Z Z ð4Þ Fz ¼ r g z dAz ¼ r g dV ¼ r gV:
Bild 3. a Auftrieb; b Schwimmstabilitt
Diese Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der verdrngten Flssigkeit. Sie greift im Volumenschwerpunkt der verdrngten Flssigkeit an (und nicht im Krperschwerpunkt; bei homogenen Krpern fallen beide Schwerpunkte zusammen).
Bild 2a, b Druck auf gekrmmte Wnde. a Allgemein; b Zylinderund Kugelflchen
Hierbei sind Ax und Ay die Projektionsflchen der gekrmmten Flche auf die y , z- bzw. x, z-Ebene. Fz ist die Gewichtskraft, die im Volumenschwerpunkt angreift. Die drei Krfte gehen bei beliebigen Flchen nicht durch einen Punkt. Bei Kugel- oder Zylinderflchen gengt die Projektion auf die y, z-Ebene. Fx und Fz liegen dann in einer Ebene und haben die pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Resultierende FR ¼ Fx2 þ Fz2 (Bild 2 b). Gemß Gl. (4) ist die horizontale Druckkraft auf eine gekrmmte Flche in beliebiger Richtung so groß wie auf eine senkrecht zur Kraft-
Stabilitt schwimmender Krper (Bild 3 b). Ein eingetauchter Krper schwimmt, wenn FG ¼ FA ist. Er schwimmt stabil, wenn das Metazentrum M ber dem Krperschwerpunkt SK liegt, labil, wenn es darunter liegt, und indifferent, wenn beide zusammenfallen. Fr die metazentrische Hhe gilt hM ¼ ðIx =VÞ e: Hierbei ist Ix das Flchenmoment 2. Ordnung der Schwimmflche (Wasserlinienquerschnitt) um die Lngsachse, V das verdrngte Volumen und e der Abstand zwischen Krperund Volumenschwerpunkt. Bei schwebenden Krpern (UBoot) ist Ix ¼ 0 und hM ¼ e. Wird e negativ, d. h., liegt der Krperschwerpunkt unter dem Volumenschwerpunkt, so folgt hM > 0, und der schwebende Krper schwimmt stabil.
B
B 48
B
Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)
6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide) Hydrodynamics and aerodynamics (dynamics of fluids)
und u als konstant anzusehen sind, bilden einen Stromfaden. Bei Rohrstrmungen idealer Flssigkeiten sind p und u ber den Gesamtquerschnitt A nherungsweise konstant, d. h., der gesamte Rohrinhalt bildet einen Stromfaden.
Aufgabe der Strmungslehre ist die Untersuchung der Grßen Geschwindigkeit, Druck und Dichte eines Fluids als Funktion der Ortskoordinaten x, y, z bzw. bei eindimensionalen Problemen (z. B. Rohrstrmungen) als Funktion der Bogenlnge s. Bei vielen Strmungsvorgngen ist die Kompression auch bei gasfrmigen Fluiden vernachlssigbar (z. B., wenn Krper von Luft normaler Temperatur und weniger als 0,5facher Schallgeschwindigkeit umstrmt werden). Dann gelten auch dafr die Gesetze inkompressibler Medien (Strmungen mit nderung des Volumens s. D 7.2).
6.1 Eindimensionale Strmungen idealer Flssigkeiten One-dimensional flow of ideal fluids
Ideale und nichtideale Flssigkeit. Eine ideale Flssigkeit ist inkompressibel und reibungsfrei, d. h., es treten keine Schubspannungen auf ðtxy ¼ 0Þ. Der Druck an einem Element ist nach allen Richtungen gleich groß (s. B 5). Bei nichtidealer oder zher Flssigkeit treten vom Geschwindigkeitsgeflle abhngige Schubspannungen auf, und die Drcke px , py , pz sind unterschiedlich. Hngen die Schubspannungen linear vom Geschwindigkeitsgeflle senkrecht zur Strmungsrichtung ab (Bild 1), gilt also t ¼ hðdu=dzÞ, so liegt eine Newtonsche Flssigkeit vor (z. B. Wasser, Luft und l). Hierbei ist h die absolute oder dynamische Zhigkeit. Nicht-Newtonsche Flssigkeiten mit nichtlinearem Fließgesetz sind z. B. Suspensionen, Pasten und thixotrope Flssigkeiten.
Eulersche Gleichung fr den Stromfaden. Fr ein Element dm lngs der in Bild 3 a skizzierten Stromlinie lautet die Eulersche Bewegungsgleichung (in Tangentialrichtung) du ¶u ¶u ds ¶z 1 ¶p ds ¼ g bzw: mit ¼u at ¼ ¼ þ dt ¶t ¶s dt ¶s r ¶s dt 2 ð1Þ ¶ u p ¶u þ þ gz þ ¼ 0: ¶s 2 r ¶t
Bild 3 a, b. Stromfaden. a Element; b Bernoullische Hhen
Bild 1
Bild 2
Bild 1. Schubspannung in einer Flssigkeit Bild 2. Stromrhre und Stromfaden
Stationre und nichtstationre Strmung. Bei stationrer Strmung hngen die Grßen Geschwindigkeit u, Druck p und Dichte r nur von den Ortskoordinaten ab, d. h., es ist u ¼ u(x, y, z) usw. Bei instationrer Strmung ndert sich die Strmung an einem Ort auch mit der Zeit, d. h., es ist u ¼ u(x, y, z, t) usw. Stromlinie, Stromrhre, Stromfaden. Die Stromlinie ist die Linie, die in einem bestimmten Augenblick an jeder Stelle von den Geschwindigkeitsvektoren tangiert wird (Bild 2); es gilt ux : uy : uz ¼ dx : dy : dz. Bei stationren Strmungen ist die Stromlinie eine ortsfeste Raumkurve; sie ist außerdem mit der Bahnkurve des einzelnen Teilchens identisch. Bei instationren Strmungen ndern die Stromlinien ihre Lage im Raum mit der Zeit; sie sind nicht mit den Bahnkurven der Teilchen identisch. Ein Bndel von Stromlinien, das von einer geschlossenen Kurve umschlungen wird, heißt Stromrhre (Bild 2). Teile der Stromrhre mit Querschnitt dA, ber die p
Im Fall stationrer Strmung ist ¶u=¶t ¼ 0. Fr die Normalenrichtung gilt an ¼
u2 1 ¶p ¶z ¶p u2 ¶z ¼ g oder ¼ r r g r r r ¶n ¶n ¶n ¶n
bzw. bei Vernachlssigung des Eigengewichts ¶p=¶n ¼ ru2 =r. Der Druck nimmt also von der konkaven zur konvexen Seite des Stromfadens zu. Bernoullische Gleichung fr den Stromfaden. Aus Gl. (1) lngs des Stromfadens folgt fr die instationre Strmung Z ¶u r u2 =2 þ p þ r gz þ r ds ¼ const ð2 aÞ ¶t bzw. s 2 Z ¶u r u21 =2 þ p1 þ r gz1 ¼ r u22 =2 þ p2 þ r gz2 þ r ds: ð2 bÞ ¶t Fr den stationren Fall (¶v=¶t ¼ 0) gilt
s1
ru21 =2 þ p1 þ r gz1 ¼ ru22 =2 þ p2 þ r gz2 ¼ const :
ð3Þ
Danach bleibt die Gesamtenergie, bestehend aus kinetischer, Druck- und potentieller Energie, fr die Masseneinheit lngs des Stromfadens bzw. der Stromlinie erhalten. Aus Gl. (3) ergibt sich nach Division durch r g
I6.2
Eindimensionale Strmungen zher Newtonscher Flssigkeiten (Rohrhydraulik)
u21 =ð2gÞ þ p1 =ðr gÞ þ z1 ¼ u22 =ð2gÞ þ p2 =ðr gÞ þ z2 ¼ const ¼ H;
B 49
ð4Þ
d. h., die gesamte Energiehhe H, bestehend aus Geschwindigkeits-, Druck- und Ortshhe, bleibt konstant (Bernoullische Gleichung; Bild 3 b).
B
Kontinuittsgleichung. Fr einen Stromfaden muß die durch jeden Querschnitt strmende Masse pro Zeiteinheit (Massenstrom) konstant sein: dm_ ¼ ru dA ¼ r1 u1 dA1 ¼ r2 u2 dA2 ¼ const :
ð5Þ
Bei inkompressiblen Medien ðr ¼ constÞ muß der Volumenstrom konstant sein: dV_ ¼ u dA ¼ u1 dA1 ¼ u2 dA2 ¼ const :
ð6Þ
Bei Stromrhren mit ber dem Querschnitt A konstanter mittlerer Geschwindigkeit u folgt aus Gln. (5) und (6) m_ ¼ ruA ¼ const bzw: V_ ¼ uA ¼ const :
Bild 6. Instationrer Ausfluß
bzw. mit Dp ¼ ðrM rÞgh qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u1 ¼ 2ghðrM =r 1Þ=½ðA1 =A2 Þ2 1: In Wirklichkeit ist zwischen den Stellen 1 und 2 noch der Druckverlust infolge Reibung zu bercksichtigen (s. B 6.2 ff.). 6.1.2 Anwendung der Bernoullischen Gleichung fr den instationren Fall Use of Bernoulli's equation for unsteady flow problems
6.1.1 Anwendungen der Bernoullischen Gleichung fr den stationren Fall Use of Bernoullis equation for steady flow problems Staudruck. Beim Auftreffen einer Strmung auf ein festes Hindernis entsteht der Staudruck (Bild 4 a). Die Bernoullische Gl. (3) hat ohne Hhenglied die Form ru21 =2 þ p1 ¼ ru22 =2 þ p2 :
Bild 5. Venturirohr
ð7Þ
Untersucht wird der Ausfluß aus einem Behlter bei abnehmender Spiegelhhe unter Vernachlssigung der Reibung (Bild 6). Lsung: Aus den Gln. (2) und (6) folgt vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1, u 0 Zs2 u 1 ¶u A u ½ðA1 =A2 Þ2 1: u1 ¼ t2g@z ds g ¶t s1
Mit u1 ¼ dz=dt; A1 =A2 ¼ a und Vernachlssigung des Integrals (klein im Vergleich zu z) folgt aus Gl. (2 b) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u1 ¼ dz=dt ¼ 2gz=ða2 1Þ und hieraus nach Integration pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 t ¼ 2ða 1Þz=g þ C. Fr zðt ¼ 0Þ ¼ H wird C ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2ða2 1ÞH=g und somit pffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t ¼ ð1 z=H Þ 2ða2 1ÞH=g oder pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi z ¼ Hf1 t g=½2Hða2 1Þg2 : Hieraus folgen fr z=0 die Ausflußzeit pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi T ¼ 2ða2 1ÞH=g; Bild 4 a–c. Staudruck. a Staupunkt; b Pitotrohr fr Flssigkeiten und c Gase
p2 ¼ p1 þ ru21 =2.
die Geschwindigkeit u1 ¼ dz=dt ¼ f1 t
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi g=½2Hða2 1Þg 2gH=ða2 1Þ
Hieraus folgt mit u2 ¼ 0 In einem Staupunkt setzt sich der Druck zusammen aus dem statischen Druck pst ¼ p1 und dem (dynamischen) Staudruck pdyn ¼ ru21 =2.
und die Ausflußgeschwindigkeit u2 ¼ u1 A1 =A2 . Die Geschwindigkeiten nehmen linear mit der Zeit ab.
Beispiel: Staudruck bei Wind gegen eine Wand. – Bei der Windgeschwindigkeit u ¼ 100 km=h ¼ 27;8 m=s ergibt sich mit rLuft ¼ 1;2 kg=m3 der Staudruck pdyn ¼ ru2 =2 ¼ 464 N=m2 .
6.2 Eindimensionale Strmungen zher Newtonscher Flssigkeiten (Rohrhydraulik) One-dimensional flow of viscous Newtonian fluids
Pitotrohr. Zur Messung der Strmungsgeschwindigkeit in offenen Gerinnen eignet sich das Pitotrohr (Bild 4 b). Fr Punkt 1 gilt gemß B 5 Gl. (1) p1 ¼ pL þ rgz1 . Fr die Stromlinie 1–2 gilt p1 þ rv21 =2 ¼ p2 , also p2 ¼ pL þ r gz1 þ ru21 =2. Der hydrostatische Druck im Pitotrohr ist p2 ¼ pL þ r gðz1 þ hÞ pffiffiffiffiffiffiffiffi und so ist ru21 =2 ¼ r ghoder u1 ¼ 2gh. Die Steighhe h ist ein Maß fr die Strmungsgeschwindigkeit. Fr die Messung der Luftgeschwindigkeit ist die Anordnung auf Bild 4 c geeignet. Ist rM die Dichte der Manometerflssigkeit, so gilt fr pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Punkt 2 pdyn ¼ ru21 =2 ¼ rM gh, also u1 ¼ 2ðrM =rÞgh.
Bei laminarer Strmung bewegen sich die Teilchen in parallelen Bahnen (Schichten), bei turbulenter Strmung berlagern sich der Hauptstrmung zustzliche Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung (Wirbelbewegung). bergang von laminarer zu turbulenter Strmung tritt ein, wenn die Reynoldssche Zahl Re ¼ ud=n den kritischen Wert erreicht (z. B. Rek ¼ 2 320 fr Rohre mit Kreisquerschnitt). Bei laminarer Strmung gilt fr die Schubspannung zwischen den Teilchen der Newtonsche Ansatz
Venturirohr. Es dient zur Messung der Strmungsgeschwindigkeit in Rohrleitungen (Bild 5). Die Bernoullische Gl. (7) zwischen den Stellen 1 und 2 lautet ru21 =2 þ p1 ¼ ru22 =2 þ p2 und die Kontinuittsgleichung u1 A1 ¼ u2 A2 . Hieraus ergibt sich Dp ¼ p2 p1 ¼ ðrv21 =2Þ½ðA1 =A2 Þ2 1
t ¼ hðdu=dzÞ
ð8Þ
(Bild 1). Hierbei ist h die dynamische Zhigkeit oder Viskositt. Sie ist temperaturabhngig, bei Gasen auch druckabhngig (was jedoch vernachlssigbar ist, solange nicht grßere Dichtenderungen auftreten). Bei turbulenter Strmung gilt nach Prandtl und v. Ka´rma´n [1, 11, 12] angenhert der Schubspannungsansatz
B 50
B
Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)
t ¼ h du=dz þ rl2 ðdu=dzÞ2 . l ist dabei die freie Weglnge eines Teilchens. Infolge der Schubspannungen treten Druckverluste (Energieverluste) lngs des Stromfadens auf. Kinematische Zhigkeit. Sie ist n ¼ h=r. Fr Wasser von 20 C ist h ¼ 103 Ns=m2 und n ¼ 106 m2 =s (weitere Werte s. Anh. D 10 Tab. 2 und Anh. E 5 Bild 1 und 2). Bernoullische Gleichung mit Verlustglied. Findet zwischen zwei Punkten 1 und 2 keine Energiezufuhr oder -abfuhr statt (z. B. durch Pumpe oder Turbine), so lautet die Bernoullische Gleichung ru21 =2 þ p1 þ r gz1
Zs2
¼ ru22 =2 þ p2 þ r gz2 þ DpV þ r s1
¶u ds: ¶t
ð9Þ
Fr den stationren Fall ist ¶u=¶ t ¼ 0, und das letzte Glied entfllt. Hierbei ist DpV der Druckverlust zwischen den Stellen 1 und 2 infolge von Rohrreibung, Einbauwiderstnden usw. Dividiert man Gl. (9) durch r g, so ergibt sich u21 =ð2gÞ þ p1 =ðr gÞ þ z1 ¼ u22 =ð2gÞ þ p2 =ðr gÞ þ z2 þ hV : ð10Þ Darin bedeuten die einzelnen Glieder Energiehhen und hV ¼ DpV =ðr gÞ die Verlusthhe. Druckverlust und Verlusthhe (Bild 16). Zwischen zwei Stellen 1 und 2 sei der Rohrdurchmesser d konstant. Dann gilt X zru2 =2 bzw: DpV ¼ ðll=dÞru2 =2 þ X ð11 a; bÞ 2 zu2 =ð2gÞ; hV ¼ ðll=dÞu =ð2gÞ þ l Rohrreibungszahl, z Widerstandsbeiwerte fr Einbauten. Fr kompressible Fluide, die sich infolge Druckabnahme von 1 nach 2 ausdehnen, folgt aus der Kontinuittsgleichung (5) sowie aus dem Ansatz dp ¼ ðl=dÞ dx ru2 =2 fr den isothermen Fall, p1 =r1 ¼ p=r ¼ const, p21 p22 ¼ lu21 r1 p1 l=d, d. h. fr den Druckverlust aufgrund von Rohrreibung qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi DpV ¼ p1 p2 ¼ p1 ½1 1 lu21 r1 l=ðp1 dÞ: ð12Þ Bei geringen Druckverlusten ist die Expansion vernachlssigbar, und man kann Gl. (11 a) auch fr kompressible Fluide verwenden. Der dabei auftretende Fehler ist f 0;5 DpV =p1 [6, 13]. 6.2.1 Stationre laminare Strmung in Rohren mit Kreisquerschnitt Steady laminar flow in pipes of circular cross-section X Gemß Bild 7 a folgt aus Fix ¼ 0 ¼ ðp1 p2 Þpr2 t 2prl mit t ¼ h du=dr und der Haftungsbedingung uðr ¼ d=2Þ ¼ 0 nach Integration uðrÞ ¼ DpV ðd 2 =4 r 2 Þ=ð4hlÞ: Die Geschwindigkeitsverteilung ist also parabolisch (Gesetz von Stokes).Fr die Schubspannungen ergibt sich tðrÞ ¼ h du=dr ¼ DpV r=ð2lÞ; sie nehmen also linear nach außen zu. Fr den Volumenstrom gilt V_ ¼
Zd=2 uðrÞ2pr dr ¼ DpV pd 4 =ð128hlÞ r¼0
(Formel von Hagen-Poiseuille) und damit fr die mittlere Geschwindigkeit und den Druckverlust um ¼ u ¼ V_ =A ¼ DpV d 2 =ð32hlÞ und DpV ¼ um 32hl=d 2 . Der Druckverlust und somit auch die Schubspannungen nehmen also linear mit der Geschwindigkeit zu. Mit der Reynoldsschen Zahl Re ¼ ud=n und hV ¼ ergibt sich DpV ¼ ð64=ReÞðl=dÞðru2 =2Þ ð64=ReÞðl=dÞðu2 =2gÞ. Demnach ist nach Gl. (11 a, b) die Rohrreibungszahl l ¼ 64=Re, d. h. bei laminarer Strmung unabhngig von der Rauhigkeit der Rohrwand.
Bild 7 a, b. Rohrstrmung. a Laminar; b turbulent
6.2.2 Stationre turbulente Strmung in Rohren mit Kreisquerschnitt Steady turbulent flow in pipes of circular cross-section Bei Re > 2 320 erfolgt bergang in turbulente Strmung. Die Rohrreibungszahl l hngt von der Rohrrauhigkeit k (Wanderhebungen in mm, s. Tab. 1) und von Re ab. Das Geschwindigkeitsprofil ist wesentlich flacher (Bild 7 b) als bei laminarer Strmung. Es besteht im Randbereich aus einer laminaren Grenzschicht der Dicke d ¼ 34;2d=ð0;5ReÞ0;875 (nach Prandtl). Die Geschwindigkeitsverteilung hngt ebenfalls von Re und k ab; sie ist nach Nikuradse mittels uðrÞ ¼ umax ð1 2r=dÞn darstellbar (z. B. n =1/7 fr Re ¼ 105 ). Exponent n nimmt mit der Rohrrauhigkeit zu. Das Verhltnis u=umax ¼ 2=½ð1 þ nÞ ð2 þ nÞ ist im Mittel etwa 0,84. Ermittlung der Rohrreibungszahl Hydraulisch glatte Rohre liegen vor, wenn die Grenzschichtdicke grßer als die Wanderhebung ist, d. h. fr d=k ^ 1 bzw. Re < 65d=k. Formel von Blasius (gltig fr 2 320 < Re < 105 Þ : pffiffiffiffiffiffi l ¼ 0;3164= 4 Re: Formel von Nikuradse (gltig fr 105 < Re < 108 Þ : l ¼ 0;0032 þ 0;221=Re0;237 : Formel von Prandtl und v. Ka´rma´n (gltig fr den gesamten turbulenten Bereich, aber wegen impliziter Form umstndpffiffiffi lich): l ¼ 1=½2 lgðRe l=2;51Þ2 . An ihrer Stelle kann die Nherungsformel l ¼ 0;309=½lgðRe=7Þ2 verwendet werden. Hydraulisch rauhe Rohre liegen vor, wenn die Wanderhebungen grßer als die Grenzschichtdicke sind, d. h. fr d/ k1 300 d/k. Die Rohrreibungszahl l ist nur abhngig von der relativen Rauhigkeit d/k, und es gilt die Formel von Nikuradse l ¼ 1=½2 lgð3;71d=kÞ2 fr den oberhalb der Grenzkurve liegenden Bereich (Bild 8). Die Grenzkurve ist mittels l ¼ ½ð200d=kÞ=Re2 festgelegt. Rohre im bergangsgebiet liegen vor, wenn 65d=k < Re < 1300 d=k, d. h. in dem auf Bild 8 unter der Grenzkurve liegenden Bereich. Die Rohrreibungszahl l ist von Re und d/k abhngig. Als gute Nherung gilt , 2;51 0;27 2 pffiffiffi þ l¼1 2 lg d=k Re l (Formel von Colebrook). Sie bezieht sich auf Rohre mit technischer Rauhigkeit. Fr Rohre mit aufgeklebten Sandkrnern
I6.2
Eindimensionale Strmungen zher Newtonscher Flssigkeiten (Rohrhydraulik)
B 51
B
Bild 8. Rohrreibungszahl l nach Colebrook und (gestrichelt) nach Nikuradse
Tabelle 1. Anhaltswerte fr Wandrauhigkeiten [2]
gleicher Krnung wurden von Nikuradse die in Bild 8 gestrichelt eingetragenen Kurven gemessen. Diagramm von Colebrook-Nikuradse. Die vorstehenden Formeln sind graphisch in Bild 8 dargestellt, so daß l als Funktion von Re und d/k abgelesen und bei Bedarf nachgerechnet bzw. verbessert werden kann (weitere Verfeinerungen s. [1, 3]). Ist l bekannt, berechnet man den Druckverlust bzw. die Verlusthhe nach Gl. (11) bzw. (12) und anschließend den zu untersuchenden Rohrleitungsabschnitt mit der Bernoullischen Gleichung mit Verlustglied gemß Gl. (9) oder (10). Beispiel: Durch ein Stahlrohr (gebraucht, k ¼ 0;15 mm) vom Durchmesser d ¼ 150 mm und der Lnge l ¼ 1 400 m werden V_ ¼ 400 m3 =h Preßluft gefrdert. Druck und Dichte im Kessel: p1 ¼ 6 bar; r1 ¼ 6;75 kg=m3 . Zu ermitteln ist der Druckverlust am Ende der Leitung. – Mit der Frdergeschwindigkeit u ¼ V_ =A ¼ V_ =ðpd 2 =4Þ ¼ 6;29 m=s und n ¼ h=r ¼ ð2 105 Ns=m2 Þ=ð6;75 kg=m3 Þ ¼ 2;963 106 m2 =s wird Re ¼ ud=n ¼ 318 427: Mit d=k ¼ 150=0;15 ¼ 1 000 ergibt sich aus Bild 8 bzw. der Formel von Colebrook l ¼ 0;0205: Aus Gl. (12) folgt fr den Druckverlust am Ende der Leitung h pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffii DpV ¼ p1 1 1 lu2 r1 l=ðp1 dÞ ¼ 0;261 bar: Bei Vernachlssigung der Expansion infolge der Druckabnahme ergibt Gl. (11 a) DpV ¼ ðll=dÞru2 =2 ¼ 25 550 N=m2 ¼ 0;256 bar; d. h. einen Fehler f ¼ ð0;261 0;256Þ=0;261 ¼ 1;92%, der auch mit der Abschtzformel f ¼ 0;5 DpV =p1 ¼ 2;13% gut bereinstimmt. Die Dichtenderung der Preßluft hat also kaum Einfluß.
6.2.3 Strmung in Leitungen mit nicht vollkreisfrmigen Querschnitten Flow in pipes of non-circular cross-section Nach Einfhren des hydraulischen Durchmessers dh ¼ 4A=U (A Querschnittsflche, U benetzter Umfang) wird wie in B 6.2.1 und B 6.2.2 gerechnet. Allerdings ist bei laminarer Strmung l ¼ j 64=Re zu setzen [5]. Fr Kreisring- und Rechteckquerschnitt gilt
B 52
Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)
6.2.4 Strmungsverluste durch spezielle Rohrleitungselemente und Einbauten Loss factors for pipe fittings and bends
B
Zustzlich zu den Wandreibungsverlusten der Rohrleitungselemente gilt fr den Druckverlust bzw. die Verlusthhe
Rohrverzweigungen und -vereinigungen [6] V_ Gesamtstrom, V_ a ab- bzw. zufließender Strom, zd Widerstand im Hauptrohr, za Widerstand im Abzweigrohr. Minuszeichen bedeutet Druckgewinn.
DpV ¼ zru2 =2 bzw: hV ¼ zu2 =ð2gÞ: Widerstandsbeiwerte z fr Krmmer (Bild 9) [5]
Bild 10 a–d. Rohrverzweigungen und -vereinigungen Bild 9 a–i. Krmmer
a) Kreiskrmmer: j ¼ 90
j 6¼ 90 : z ¼ k z90
Dehnungsausgleicher (Bild 11) [5] a) Wellrohrkompensator: z ¼ 0;20 pro Welle (kann bei Einbau eines Leitrohrs fast zu Null gemacht werden). b) U-Bogen:
c) Lyrabogen: Glattrohrbogen z ¼ 0;7; Faltrohrbogen z ¼ 1;4. b) Segmentkrmmer:
c) Graugußkrmmer 90
Bild 11 a–c. Dehnungsausgleicher
d) Faltrohrkrmmer: z ¼ 0;4 e) Krmmer mit Umlenkschaufeln: z ¼ 0;15 . . . 0;20 [1] f) Doppelkrmmer: z ¼ 2 z90 g) Raumkrmmer: z ¼ 3 z90 h) Etagenkrmmer: z ¼ 4 z90 i) Krmmer mit Rechteckquerschnitt: Fr h=b < 1 ist pffiffiffiffiffiffiffiffi z ¼ z0 h=b; fr h=b > 1 ist z ¼ z0 h=b: z0 wie fr Krmmer mit Kreisquerschnitt, wenn fr d der Wert dh ¼ 2bh=ðb þ hÞ eingesetzt wird. Kniestcke [5] (d Abknickwinkel): mit Kreisquerschnitt
Rohreinlufe (Bild 12 a–e) a) scharfkantig z ¼ 0;5; gebrochen z ¼ 0;25: b) und c) scharfkantig z ¼ 3;0; gebrochen z ¼ 0;6 . . . 1;0: d) je nach Wandrauhigkeit z ¼ 0;01 . . . 0;05: e)
mit Rechteckquerschnitt:
Bild 12 a–e. Rohreinlufe
I6.2
Eindimensionale Strmungen zher Newtonscher Flssigkeiten (Rohrhydraulik)
B 53
B Bild 14. a Rundstabgitter; b Sieb
Bild 15. Festkrperschttung
Rundstabgitter, Siebe und Saugkrbe [5] 0;8s=t Rundstabgitter gemß Bild 14 a : z ¼ ð1 s=tÞ2 Siebe gemß Bild 14 b:
Saugkrbe: fr handelsbliche Saugkrbe mit Fußventil am Anfang einer Rohrleitung z ¼ 4 . . . 5: Festkrperschttungen [5]. Fr die Durchstrmung der Schttung gemß Bild 15 gilt z ¼ lF lk =dk : Bis zu Rek ¼ udk =u ¼ 10 (u mittlere Geschwindigkeit im leeren Rohr) liegt laminare Strmung vor, und es ist lF ¼ 2 000=Rek : Fr Rek > 10 (turbulente Strmung) hngt lF nur noch von d=dk ab:
Bild 13 a–d. Querschnittsnderungen
Querschnittsnderung von A1 auf A2 (Bild 13) a) Unstetige Erweiterung. Der Verlustbeiwert lßt sich aus der Bernoullischen Gleichung und dem Impulssatz (s. B 6.4) herleiten: z ¼ ðA2 =A1 1Þ2 : b) Stetige Erweiterung (Diffusor). Der Verlustbeiwert fr durchschnittlich rauhe Rohre kann dem Diagramm Bild 13 b entnommen werden [5]. c) Unstetige Verengung. Aus der Bernoullischen Gleichung und dem Impulssatz folgt z ¼ ðA2 =A0 1Þ2 . Da der eingeschnrte Querschnitt A0 unbekannt ist, entnimmt man z dem Diagramm Bild 13 c fr das Verhltnis A2 =A1 bei scharfkantigem Anschluß [5]. d) Stetige Verengung (Konfusor, Dse). Die Energieverluste aus Reibung sind gering. Im Mittel z ¼ 0;05. Absperr- und Regelorgane Schieber, offen, ohne Leitrohr: z ¼ 0;2 . . . 0;3; mit Leitrohr: z 0;1: Schieber bei verschiedenen ffnungsverhltnissen s. [5]. Ventile: Die Widerstandsbeiwerte schwanken je nach Ventilbauart zwischen z ¼ 0;6 (Freiflußventil) und z ¼ 4;8 (DINVentil). Die Angaben in der Literatur sind unterschiedlich [1, 2, 4–6]. Bei teilweise geffneten Ventilen sind die Widerstandsbeiwerte grßer. Rckschlagklappen, Drosselklappen, Hhne: Der Widerstandsbeiwert von Rckschlagklappen betrgt nach [5] z ¼ 0;8 bei NW 200 und z ¼ 1;4 bei NW 50. Bei Drosselklappen treten Werte von z ¼ 0;5 in fast voll geffnetem Zustand (j ¼ 10) und von z ¼ 4;0 bei j ¼ 30 auf. Bei Hhnen ist z ¼ 0;3 ðj ¼ 10Þ und z ¼ 5;5 ðj ¼ 30Þ [5]. Drosselgerte dienen zur Messung von Geschwindigkeit und Volumenstrom und sind als Normblende, Normdse und Normventuridse genormt (DIN 1952). Widerstandsziffern s. [2].
Beispiel: Rohrleitung mit speziellen Widerstnden (Bild 16). Durch eine Rohrleitung sollen V_ ¼ 8 l=s Wasser gefrdert werden. Zu ermitteln ist der erforderliche Druck p0 im Druckbehlter. Gegeben: h1 ¼ 7 m; h2 ¼ 5 m; l1 ¼ 35 m; l2 ¼ 25 m; l3 ¼ 13 m; l4 ¼ 25 m; d1 ¼ d6 ¼ 80 mm; d2 ¼ 60 mm; Wandrauhigkeit k ¼ 0;04 mm (neues, lngsgeschweißtes Stahlrohr). Widerstandsbeiwerte: Rohreinlauf z1 ¼ 0;5; Konfusor z2 ¼ 0;05; Kniestcke ðd ¼ 22;5Þ z3 ¼ z4 ¼ 0;11; Diffusor z5 ¼ 0;3: Kinematische Zhigkeit bei 20C: n ¼ 106 m2 =s. Luftdruck: pL ¼ 1 bar:– Aus der Kontinuittsgleichung (6) folgt fr die Strmungsgeschwindigkeiten u1 ¼ u6 ¼ V_ =A1 ¼ V_ =ðpd12 =4Þ ¼ 1;59 m=s und u2 ¼ V_ =A2 ¼ V_ =ðpd22 =4Þ ¼ 2;83 m=s: Mit den Reynoldsschen Zahlen Re1 ¼ u1 d1 =n ¼ 127 200; Re2 ¼ u2 d2 =n ¼ 169 800 und den relativen Rauhigkeiten d1 =k ¼ 2 000, d2 =k ¼ 1 500 folgen aus der Formel bzw. dem Diagramm von Colebrook (Bild 8) die Rohrreibungszahlen l1 ¼ 0;0197 und l2 ¼ 0;0200: Hiermit ergeben sich nach Gl. (11 b) die Verlusthhen hV1 ¼ z1 u21 =ð2 gÞ ¼ 0;06 m; hV2 ¼ hV1 þ ðl1 l1 =d1 Þu21 =ð2 gÞ þ z2 u22 =ð2 gÞ ¼ ð0;06 þ 1;11 þ 0;02Þ m ¼ 1;19 m; hV3 ¼ hV2 þ ðl2 l2 =d2 Þu22 =ð2 gÞ þ z3 u22 =ð2 gÞ ¼ ð1;19 þ 3;40 þ 0;04Þ m ¼ 4;63 m; hV4 ¼ hV3 þ ðl2 l3 =d2 Þu22 =ð2 gÞ þ z4 u22 =ð2 gÞ ¼ ð4;63 þ 1;77 þ 0;04Þ m ¼ 6;44 m; hV5 ¼ hV4 þ ðl2 l4 =d2 Þu22 =ð2 gÞ ¼ ð6;44 þ 3;40Þ m ¼ 9;84 m; hV6 ¼ hV5 þ z5 u26 =ð2 gÞ ¼ ð9;84 þ 0;04Þ m ¼ 9;88 m: Die Bernoullische Gl. (10) zwischen den Punkten 0 und 6 ergibt dann mit u0 0 (wegen A0 A6 Þ p0 =ðr gÞ þ h1 ¼ u26 =ð2 gÞ þ pL =ðr gÞ þ h2 þ hV6 ; also p0 ¼ pL þ ru26 =2 þ r gðh2 þ hV6 h1 Þ ¼ pL þ 1 264N=m2 þ77 303N=m2 ¼ 1;786 bar: Mit den Geschwindigkeitshhen u21 =ð2 gÞ ¼ u26 =ð2 gÞ ¼ 0;13 m; u22 =ð2 gÞ ¼ 0;41 m und den Druckhhen p0 =ðr gÞ ¼ 18;21 m; pL =ðr gÞ ¼ 10;19 m lassen sich dann die Bernoullischen Hhen zeichnen (Bild 16).
B 54
Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)
B
Bild 16. Rohrleitung
Bild 17. Ausfluß der Behlter
6.2.5 Stationrer Ausfluß aus Behltern Steady flow from vessels
6.2.6 Stationre Strmung durch offene Gerinne Steady flow in open channels
Aus der Bernoullischen Gl. (10) zwischen den Punkten 1 und 2 (Bild 17) folgt mit Gl. (11 b) fr die Ausflußgeschwindigpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi keit v ¼ ½2gh þ 2ðp1 p2 Þ=r=ð1 þ zÞ. Bei Behltern ist die Schreibweise pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u ¼ j 2gh þ 2ðp1 p2 Þ=r ð13Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi blich, wobei j ¼ 1=ð1 þ zÞdie Geschwindigkeitsziffer ist. Fr den Volumenstrom V_ ist noch die Strahleinschnrung zu bercksichtigen. Mit der Kontraktionszahl a ¼ Ae =Aa ergibt sich pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi V_ ¼ ajAa 2gh þ 2ðp1 p2 Þ=r ð14Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ mAa 2gh þ 2ðp1 p2 Þ=r:
Bei stationrer Strmung sind Spiegel- und Sohlengeflle parallel. Aus der Bernoullischen Gl. (10) folgt
m ¼ aj ist die Ausflußzahl. Fr j, a und m gelten folgende Werte (Bild 18 ): a) scharfkantige Mndung: j ¼ 0;97; a ¼ 0;61 . . . 0;64; m ¼ 0;59 . . . 0;62;
6.2.7 Instationre Strmung zher Newtonscher Flssigkeiten. Non-steady flow of viscous Newtonian fluids
b) abgerundete Mndung: j ¼ 0;97 . . . 0;99; a ¼ 1; m ¼ 0;97 . . . 0;99; c) zylindrisches Ansatzrohr: l=d ¼ 2 . . . 3 : j ¼ 0;82; a ¼ 1; m ¼ 0;82; d) konisches Ansatzrohr: ’ ¼ 0;95 . . . 0;97;
Die Gln. (13) und (14) gelten fr kleine Ausflußquerschnitte, bei denen u ber den Querschnitt konstant ist. Bei großen ffnungen ist fr einen Stromfaden in der Tiefe z (ohne pffiffiffiffiffiffiffi berdruck) u ¼ 2gz; der Volumenstrom ist V_ ¼ Zz2 pffiffiffiffiffiffiffi m bðzÞ 2gz dz; z. B. fr eine Rechteckffnung V_ ¼
z1 z2 ¼ hV bzw: ðz1 z2 Þ=l ¼ sin a ¼ ðl=dh Þu2 =ð2gÞ:
ð15Þ
Ist hierbei dh der hydraulische Durchmesser gemß B 6.2.3, so gelten die Formeln der Rohrstrmung gemß B 6.2.1, B 6.2.2, B 6.2.3, B 6.2.4 u ist die mittlere Geschwindigkeit, d. h., es gilt V_ ¼ uA bzw. u ¼ V_ =A: Sind V_ bzw. u bekannt, so folgt aus Gl. (15) das erforderliche Geflle bzw. bei bekanntem Geflle die Strmungsgeschwindigkeit u (Anhaltswerte fr k s. Tab. 1).
Die fr diesen Fall gltigen Gleichungen sind mit der Bernoullischen Gleichung in Form von Gl. (9) unter Beachtung von Gl. (11 a) und der Kontinuittsgleichung in Form von Gl. (5) oder (6) gegeben. 6.2.8 Freier Strahl. Free jet Strmt ein Strahl mit konstantem Geschwindigkeitsprofil aus einer ffnung in ein umgebendes, ruhendes Fluid gleicher Art aus (Bild 19), so werden an den Rndern Teilchen der Umgebung aufgrund der Reibung mitgerissen. Mit der Strahllnge nimmt also der Volumenstrom zu und die Geschwindigkeit ab. Dabei tritt eine Strahlausbreitung ein. Der Druck im Inneren des Strahls ist gleich dem Umgebungsdruck, d. h., der Impuls ist in jedem Strahlquerschnitt konstant: Zþ1 ru2 dA ¼ const:
I¼ 1
pffiffiffiffiffi 3=2 3=2 2mb 2gðz2 z1 Þ=3: Die Ausflußziffer liegt bei m ¼ 0;60 fr scharfkantige und bei m ¼ 0;75 fr abgerundete ffnungen.
Der kegelfrmige Strahlkern, in dem u ¼ const ist, lst sich lngs des Wegs x0 auf. Danach sind die Geschwindigkeitsprofile zueinander affin. Ergebnisse fr den runden Strahl [1]: Kernlnge x0 ¼ d=m mit m ¼ 0;1 fr laminaren und m ¼ 0;3
Bild 18a–d. Mndungsformen
Bild 19. Freier Strahl
z1
I6.4
Kraftwirkungen strmender inkompressibler Flssigkeiten
B 55
fr vollstndig turbulenten Strahl ð0;1 < m < 0;3Þ. MittenEnergieabnahme E¼ geschwindigkeit um ¼ u0 x0 =x: 0;667E0 x0 =x (E0 kinetische Energie am Austritt). Strahlausbreitung pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ra ¼ m 0;5 ln2 x ¼ 0;5887mx;
Elastoviskose Stoffe (Maxwell-Medium). Sie haben sowohl die Eigenschaften zher Flssigkeiten als auch elastischer Krper (z. B. Teig, Polyethylen-Harze). Die Schubspannung ist zeitabhngig, also auch dann noch vorhanden, wenn g_ bereits Null ist. g_ ¼ du=dz ¼ ðt=hÞ þ ð1=GÞðdt=dtÞ (Gesetz von Maxwell).
wobei am Ausbreitungsrand ux ¼ 0;5um ist. Strahlausbreitungswinkel pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi da ¼ arctan½0;707m lnðum =ux Þ;
Thixotrope und rheopexe Flssigkeiten. Auch hier sind die Schubspannungen zeitabhngig, außerdem verndert sich das Fließverhalten mit der mechanischen Beanspruchung. Bei thixotropen Flssigkeiten steigt das Fließvermgen mit der Dauer (z. B. beim Rhren oder Streichen), bei rheopexen Flssigkeiten verringert es sich mit der Grße der mechanischen Beanspruchung (z. B. Gipsbrei). Fließgesetze sind bisher nicht bekannt.
d. h., fr ux =um ¼ 0;5 und m ¼ 0;3 ergibt sich da ¼ 10. Der Volumenstrom ist V_ ¼ 2mV_ 0 x=d [1, 3].
6.3 Eindimensionale Strmung NichtNewtonscher Flssigkeiten One-dimensional flow of non-Newtonian fluids Bei Nicht-Newtonschen Flssigkeiten ist kein linearer Zusammenhang zwischen der Schubspannung t und der Schergeschwindigkeit du=dz gemß Gl. (8) gegeben [9]. Fr diese rheologischen Stoffe unterscheidet man folgende Fließgesetze (Bild 20):
Berechnung von Rohrstrmungen Fr dilatante und strukturviskose Flssigkeiten lßt sich der Druckabfall gemß Gl. (11 a) nach Metzner [7] wie fr Newtonsche Flssigkeiten mit der verallgemeinerten Reynoldsschen Zahl berechnen: Re ¼ uð2m1Þ=m d1=m r=h; h ¼ 8ð1mÞ=m ð1=km Þ½ð3 þ mÞ=41=m : Im laminaren Bereich ðRe < 2 300Þ gilt l ¼ 64=Re, im turbulenten Bereich ðRe > 3 000Þ l ¼ 0;0056 þ 0;5=ðReÞ0;32 : Fr Bingham-Medien ergibt sich der Druckabfall aus Gl. (11 a) mit der Rohrreibungszahl [7] 64 32 He 4 096 1 He 4 l¼ þ ; 3 2 Re 3 Re 3 l Re2 wobei der Einfluß der Fließgrenze in der Hedstrmzahl He zum Ausdruck kommt: He ¼ tF rd 2 =h2 ¼ tF d 2 =ðrn2 Þ.
Bild 20. Fließkurven. a Dilatante, b Newtonsche und c strukturviskose Flssigkeit, d Bingham-Medium
Dilatante Flssigkeiten. Die Zhigkeit nimmt mit steigender Schergeschwindigkeit g_ zu (z. B. Anstrichfarben, Glasurmassen). g_ ¼ dv=dz ¼ ktm , m < 1 (Formel von Ostwald-de Waele [7]). k ist der Fluidittsfaktor und m der Fließbeiwert. Dilatante Flssigkeiten lassen sich auch mit der Formel von Prandtl-Eyring erfassen: g_ ¼ du=dz ¼ c sinhðt=aÞ; wobei c und a stoffabhngige Konstanten sind. Strukturviskose Flssigkeiten. Die Zhigkeit nimmt mit wachsender Schergeschwindigkeit ab (z. B. Silikone, Spinnlsungen, Staufferfett). Es gelten die vorstehenden Gesetze, aber mit m > 1 sowie entsprechenden Konstanten c und a. Bingham-Medium. Das Material beginnt erst bei berschreiten der Fließgrenze tF zu fließen. Unterhalb von tF verhlt es sich wie ein elastischer Krper, darber wie eine Newtonsche Flssigkeit (z. B. Zahnpasta, Abwasserschlamm, krnige Suspensionen). g_ ¼ du=dz ¼ kðt tF Þ (Gesetz von Bingham).
Bild 21 a–d. Kraftwirkung einer strmenden Flssigkeit
6.4 Kraftwirkungen strmender inkompressibler Flssigkeiten Forces due to the flow of incompressible fluids 6.4.1 Impulssatz. Equation of momentum Aus dem Newtonschen Grundgesetz folgt fr das Massenelement dm ¼ rA ds der Stromrhre aus Bild 21 a d dðdmÞ du ðdmuÞ ¼ u þ dm : dt dt dt Fr inkompressible Flssigkeiten ist dðdmÞ=dt ¼ 0; und mit u ¼ uðs; tÞ gilt fr die instationre Strmung ¶u ¶u ds þ dF ¼ dm ¶t ¶s dt dF ¼
bzw. fr die stationre Strmung mit ¶u=¶t ¼ 0 ¶u dF ¼ dm u ¼ rAu du ¼ rV_ du: ¶s
B
B 56
B
Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)
Fr den gesamten Kontrollraum zwischen 1 und 2 folgt nach Integration ð16Þ F1;2 ¼ rV_ ðu2 u1 Þ: Hierbei ist F1;2 die auf die im Kontrollraum eingeschlossene Flssigkeit wirksame Kraft. Sie setzt sich zusammen aus den Anteilen gemß Bild 21 b, wobei die Resultierende des Luftdrucks Null ist. Mit FW1;2 als Resultierender des berdrucks p€u ðsÞ gilt F1;2 ¼ FW1;2 þ FG1;2 þ p1€u A1 e1 p2€u A2 e2 : Daraus folgt fr die von der Flssigkeit auf die „Wand“ ausgebte Kraft mit Gl. (16) FW1;2 ¼ FG1;2 þ ðp1€u A1 e1 p2€u A2 e2 Þ þ ðrV_ u1 e1 rV_ u2 e2 Þ ð17Þ ¼ FG1;2 þ ðFp1 þ Fp2 Þ þ ðFv1 þ Fv2 Þ ¼ FG1;2 þ Fp1;2 þ Fv1;2 : Die Wandkraft setzt sich aus Gewichtsanteil FG1;2 ; Druckanteil Fp1;2 und Geschwindigkeitsanteil Fv1;2 zusammen (Bild 21 c und d). 6.4.2 Anwendungen (Bild 22). Applications a) Strahlstoßkraft gegen Wnde. Unter Vernachlssigung des Eigengewichts und unter Beachtung, daß im Innern des Strahls der Druck berall gleich dem Luftdruck ist (also p€u ¼ 0; s. B 6.2.8), folgt aus Gl. (17) fr die x-Richtung und den Kontrollraum 1-2-3 FWx ¼ ðrV_ u1 e1 rV_ 2 u2 e2 rV_ 3 u3 e3 Þex ¼ rV_ u1 cos b: Fr die y-Richtung folgt aus Gl. (17) FWy ¼ 0 ¼ ðrV_ u1 e1 rV_ 2 u2 e2 rV_ 3 u3 e3 Þey ; d. h. V_ u1 sin b V_ 2 u2 þ V_ 3 u3 ¼ 0: Mit u1 ¼ u2 ¼ u3 aus der Bernoullischen Gleichung und V_ ¼ V_ 2 þ V_ 3 aus der Kontinuittsgleichung ergibt sich V_ 2 =V_ 3 ¼ ð1 þ sin bÞ=ð1 sin bÞ: Fr b ¼ 0 (Stoß gegen senkrechte Wand) gilt FWx ¼ rV_ u1 ¼ rA1 u21 und V_ 2 =V_ 3 ¼ 1: Bewegt sich die senkrechte Wand mit der Geschwindigkeit u in x-Richtung, so wird FWx ¼ rV_ ðu1 uÞ ¼ rA1 u1 ðu1 uÞ: Fr die gewlbte Platte lßt sich entsprechend FWx ¼ rV_ u1 ð1 þ cos bÞ ableiten. Bewegt sich die gewlbte Platte mit
Bild 22 a–f. Anwendungen zur Kraftwirkung
der Geschwindigkeit u (Freistrahlturbine), so gilt FWx ¼ rV_ ðu1 uÞð1 þ cos bÞ: b) Kraft auf Rohrkrmmer. Aus Gl. (17) folgt bei Vernachlssigung des Eigengewichts und mit A1 ¼ A2 ¼ A bzw. u1 ¼ u2 ¼ v bzw. p1€u ¼ p2€u ¼ p€u FW1;2 ¼ ðp€u A þ rV_ uÞe1 ðp€u A þ rV_ uÞe2 und jFW1;2 j ¼ FW1;2 ¼ Fx ¼ 2ðp€u A þ rV_ uÞ cosðb=2Þ: Als Reaktionskrfte wirken Zugkrfte in den Flanschverschraubungen. c) Kraft auf Dse. Mit p2€u ¼ 0 sowie u2 ¼ u1 A1 =A2 ¼ u1 a und p1€u ¼ rðu22 u21 Þ=2 folgt aus Gl. (17) FW1;2 ¼ ðr=2Þu21 A1 ða 1Þ2 ex : Als Reaktionskrfte wirken Zugkrfte in der Flanschverschraubung. d) Kraft bei pltzlicher Rohrerweiterung. Nach Carnot wird die Wandkraft dadurch festgelegt, daß der Druck p ber den Querschnitt 1 konstant gleich p1 (wie im engeren Querschnitt) gesetzt wird: FW ¼ p1 ðA2 A1 Þex : Dann gilt fr den Kontrollbereich 1-2 entsprechend Gl. (17) FW1;2 ¼ p1 ðA2 A1 Þex ¼ ðp1 A1 þ ru21 A1 p2 A2 ru22 A2 Þ ex : Mit u1 ¼ u2 A2 =A1 ¼ u2 a folgt hieraus p1 ¼ ru22 a þ p2 þ ru22 . Aus Gl. (9) ergibt sich fr den stationren Fall mit z1 ¼ z2 und DpV ¼ zru2 =2 fr den Verlustbeiwert z ¼ ða 1Þ2 (Borda-Carnotsche Gleichung). e) Raketenschubkraft. Mit den Relativgeschwindigkeiten ur1 ¼ 0 und ur2 ¼ ur folgt aus Gl. (17) fr die Schubkraft FW ¼ rV_ ð0 ur2 Þ ¼ rV_ ur ex ¼ rA2 u2r ex : f) Propellerschubkraft. Bei Drehung eines Propellers oder einer Schraube wird das Fluid angesaugt und beschleunigt. Die Stromrhre wird so gewhlt, daß v1 A1 ¼ v3 A3 ¼ v5 A5 wird. v1 ist die Fahrzeuggeschwindigkeit und damit die Zustrmgeschwindigkeit des Fluids. Aus dem Impulssatz (17) ergibt sich die Schubkraft FS ¼ rV_ ðu5 u1 Þ ¼ rA3 u3 ðu5 u1 Þ: Aus der Bernoullischen Gleichung fr die Bereiche 1-2 und 4-5 folgt mit p1 ¼ p5 (Freistrahl) der Druckunterschied p4 p2 ¼ rðu25 u21 Þ=2 und damit FS ¼ rA3 ðu25 u21 Þ=2: Gleichsetzen der Ausdrcke fr FS fhrt zu u3 ¼ ðu1 þ u5 Þ=2 und da-
I6.5 mit zu FS ¼ cS rv21 A3 =2; wobei cS ¼ ðu5 =u1 Þ2 1 der Schubbelastungsgrad ist. Ist die zugefhrte Leistung Pz ¼ FS u3 und die Nutzleistung Pn ¼ FS u1 ; so ist der theoretische Wirkungsgrad des Propellers h ¼ Pn =Pz ¼ u1 =u3 : Ferner gilt mit k ¼ 2Pz =ðrv31 A3 Þ die Gleichung k ¼ 4ð1 hÞ=h3 sowie h ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2=ð1 þ 1 þ cS Þ: Hieraus ergeben sich bei gegebenem Pz und u1 die Grßen k, h, FS usw.
6.5 Mehrdimensionale Strmung idealer Flssigkeiten. Multidimensional flow of ideal fluids 6.5.1 Allgemeine Grundgleichungen. Fundamentals Eulersche Bewegungsgleichungen. Sie folgen aus dem Newtonschen Grundgesetz in x-Richtung (analog fr y- und zRichtung) mit der auf das Element bezogenen Massenkraft F ¼ ðX; Y; ZÞ zu dux ¶ux ¶ux ¶ux ¶ux 1 ¶p ¼ þ ux þ uy þ uz ¼X : ð18Þ dt ¶t ¶x ¶y ¶z r ¶x Die Geschwindigkeitsnderung ¶ux =¶t mit der Zeit an einem festen Ort heißt lokal, diejenige ðux ¶ux =¶x þ uy ¶ux =¶y þ uz ¶ux =¶zÞ zu einer bestimmten Zeit bei Ortsnderung konvektiv. Vektoriell gilt du ¶u F1 ¼ þ ðurÞu ¼ grad p; ð19Þ dt ¶t r wobei mit dem Nablaoperator r und rot u ¼ r u (s. A bzw. DUBBEL interaktiv) ðurÞu ¼ grad u2 =2 u rot u ist. Dabei ist ð1=2Þ rot u ¼ w die Winkelgeschwindigkeit, mit der einzelne Flssigkeitsteilchen rotieren (wirbeln). Ist eine Strmung rotorfrei, d. h. rot u ¼ 0, so liegt eine Potentialstrmung vor. Linien, die von rot u tangiert werden, heißen Wirbellinien, mehrere dieser Linien bilden die Wirbelrhre. Zirkulation einer Strmung. Sie ist das Linienintegral ber das Skalarprodukt u dr lngs einer geschlossenen Kurve: I I u dr ¼ ðux dx þ uy dy þ uz dzÞ: G¼ ðCÞ
ðCÞ
Diese Gleichung lßt sich mit dem Satz von Stokes auch ZZ I u dr ¼ rot u da ð20Þ G¼ ðCÞ
ðAÞ
schreiben, wobei A eine ber C aufgespannte Flche ist. Bei Potentialstrmungen ist rot u ¼ 0, d. h. G ¼ 0. Helmholtzsche Wirbelstze. Wird Gl. (20) auf Wirbelrhren umschließende Kurven angewendet, so folgt I I G1 ¼ u dr ¼ G2 ¼ u dr ¼ const : ðC 1 Þ
ðC2 Þ
1. Helmholtzscher Satz: Die Zirkulation hat fr jede eine Wirbelrhre umschließende Kurve denselben Wert, d. h., Wirbelrhren knnen im Innern eines Flssigkeitsbereichs weder beginnen noch enden (sie bilden also entweder geschlossene Rhren – sogenannte Ringwirbel – oder gehen bis ans Ende des Flssigkeitsbereichs). Fr F ¼ grad U und barotrope Flssigkeit r ¼ r(p) folgt aus den Gln. (19) und (20) I ZZ dG du du ¼ dr ¼ rot da ¼ 0: dt dt dt 2. Helmholtzscher Satz: Die Zirkulation hat einen zeitlich unvernderlichen Wert, wenn die Massenkrfte ein Potential haben und das Fluid barotrop ist (d. h., z. B. Potentialstrmungen bleiben stets Potentialstrmungen; s. A bzw. DUBBEL interaktiv).
Mehrdimensionale Strmung idealer Flssigkeiten
B 57
Kontinuittsgleichung. Die in ein Element dx dy dz einstrmende Masse muß gleich der lokalen Dichtenderung zuzglich der ausstrmenden Masse sein:
B
¶r ¶ðrux Þ ¶ðruy Þ ¶ðruz Þ þ þ þ ¼0 ¶y ¶t ¶x ¶z bzw. in vektorieller Form ¶r ¶r þ rðruÞ ¼ þ divðruÞ ¼ 0: ¶t ¶t Fr inkompressible Flssigkeiten ðr ¼ constÞ folgt ¶ux ¶uy ¶uz þ þ ¼ div u ¼ 0: ¶x ¶y ¶z
ð21Þ
Die Gln. (19) und (21) bilden vier gekoppelte partielle Differentialgleichungen zur Berechnung der vier Unbekannten ux , uy , uz und p einer Strmung. Lsungen lassen sich im allgemeinen nur fr Potentialstrmungen angeben, d. h., wenn rot u ¼ 0 ist. 6.5.2 Potentialstrmungen. Potential flows Die Eulerschen Gleichungen lassen sich integrieren, wenn der Vektor u ein Geschwindigkeitspotential F(x, y, z) hat, d. h., wenn ¶F ¶F ¶F ex þ ey þ ez u ¼ grad F ¼ ¶x ¶y ¶z ist und F ebenfalls ein Potential hat, also ¶U ¶U ¶U F ¼ grad U ¼ ex ey ez ¶x ¶y ¶z ist. Somit folgt fr die Potentialstrmung rot u ¼ rot grad F ¼ r rF ¼ 0 und aus Gl. (19) nach Integration ¶F u2 p grad þ þ þ U ¼ 0 und 2 r ¶t ¶F u2 p þ þ þ U ¼ CðtÞ 2 r ¶t bzw. fr die stationre Strmung u2 =2 þ p=r þ U ¼ C ¼ const:
ð22Þ
Das ist die verallgemeinerte Bernoullische Gleichung fr die Potentialstrmung, die fr das gesamte Strmungsfeld dieselbe Konstante C hat. Aus der Kontinuittsgleichung (21) folgt div u ¼ div grad F ð23Þ ¶2 F ¶2 F ¶2 F ¼ rrF ¼ DF ¼ 2 þ 2 þ 2 ¼ 0 ¶x ¶y ¶z (Laplacesche Potentialgleichung). Die Gln. (22) und (23) dienen zur Berechnung von p und u. Letztere hat unendlich viele Lsungen; daher werden bekannte Lsungen untersucht und als Strmungen interpretiert. Zum Beispiel ist pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Fðx; y; zÞ ¼ C=r ¼ C= x2 þ y2 þ z2 eine Lsung. Hieraus erpffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi hlt man ux ¼ ¶F=¶x ¼ Cx= r3 , uy ¼ ¶F=¶y ¼ Cy= r3 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi und uz ¼ ¶F=¶z ¼ Cz= r 3 sowie u ¼ u2x þ u2y þ u2z ¼ C=r. Es handelt sich um eine radial zum Mittelpunkt gerichtete Strmung, also eine Senke (bzw. Quelle, wenn man C durch – C ersetzt). Ebene Potentialstrmung. Hier bilden alle analytischen (komplexen) Funktionen Lsungen, denn w ¼ f ðzÞ ¼ f ðx þ iyÞ ¼ Fðx; yÞ þ iYðx; yÞ
ð24Þ
gengen als analytische Funktionen den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ¶F=¶x ¼ ¶Y=¶y und ¶F=¶y ¼ ¶Y=¶x
ð25Þ
und somit auch den Potentialgleichungen ¶2 F ¶2 F ¶2 Y ¶2 Y þ ¼ 0 und þ ¼ 0: ¶x2 ¶y2 ¶x2 ¶y2
ð26Þ
B 58
Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)
u ¼ juj ¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u2x þ u2y ¼ C2 ðx2 þ y2 Þ=r4 ¼ C=r:
Trotz des vorhandenen Potentials existiert eine Zirkulation I I G ¼ udr ¼ u ds cos b ¼ ðC=rÞ2pr ¼ 2pC:
B
c) Dipolstrmung Bild 23. Potential- und Stromlinien
m mx my þi 2 ¼ F þ iY: w¼ ¼ 2 z x þ y2 x þ y2
Fðx; yÞ ¼ const sind die Potentiallinien, auf denen der Geschwindigkeitsvektor senkrecht steht, und Yðx; yÞ ¼ const die Stromlinien, die vom Geschwindigkeitsvektor tangiert werden, d. h., beide Kurvenscharen stehen senkrecht zueinander. Aus den Gln. (24) und (25) folgt dw ¶F ¶Y ð27 aÞ ¼ þ i ¼ ux i uy ¼ u d: h: f 0 ðzÞ ¼ dz ¶x ¶x u
¼ f 0 ðzÞ ¼ ¶F=¶x i ¶Y=¶x ¼ ux þ i uy :
ð27 bÞ
Der Querstrich oben bedeutet den konjugiert komplexen Wert. w ¼ f ðzÞ wird komplexes Geschwindigkeitspotential genannt. Wenn s und n Koordinaten tangential und senkrecht zur Potentiallinie F sind (Bild 23), ist der Volumenstrom V_ ¼
Zð2Þ
Zð2Þ un ds ¼
ð1Þ
ð1Þ
¶F ds ¼ ¶n
Zð2Þ ð1Þ
¶Y ds ¼ Y2 Y1 ; ¶s
er ist also gleich der Differenz der Stromlinienwerte. Die Geschwindigkeit ist umgekehrt proportional dem Abstand der Stromlinien. Einige Beispiele fr komplexe Geschwindigkeitspontentiale zeigt Bild 24: a) Parallelstrmung. Aus dem Geschwindigkeitspontential w ¼ u0 z ¼ u0 x þ i u0 y ¼ F þ iY folgen die Potentiallinien zu F ¼ u0 x ¼ const, d. h. x ¼ const; die Potentiallinien sind also Geraden parallel zur y-Achse. Die Stromlinien sind wegen Y ¼ u0 y ¼ const, d. h. y ¼ const, Geraden parallel zur x-Achse. Ferner gilt ux ¼ ¶F=¶x ¼ u0 und uy ¼ ¶F=¶y ¼ 0. b) Wirbellinienstrmung (Potentialwirbel). C sei reell. w ¼ iC log z ¼ C arctanðy=xÞ þ iðC=2Þ lnðx2 þ y2 Þ ¼ F þ iY bzw. F ¼ C arctanðy=xÞ ¼ const ergibt y ¼ cx; die Potentiallinien sind also Geraden. Y ¼ ð1=2ÞC lnðx2 þ y2 Þ ¼ const liefert x2 þ y2 ¼ c; die Stromlinien sind also Kreise. iC iC iCðx iyÞ y x ¼C 2 þ iC 2 ¼ ¼ 2 z x þ iy x þ y2 x þ y2 x þ y2 Cy Cx ¼ 2 þ i 2 ¼ u x i uy ; r r
f 0 ðzÞ ¼
d. h., ux ist im ersten Quadranten positiv und uy negativ. Die Strmung luft also im Uhrzeigersinn um.
Bild 24 a–e. Potentialstrmungen
F ¼ mx=ðx2 þ y2 Þ ¼ const ergibt x2 þ y2 ¼ cx bzw. ðx c=2Þ2 þ y2 ¼ ðc=2Þ2 ; die Potentiallinien sind also Kreise mit Mittelpunkt auf der x-Achse. Y ¼ my=ðx2 þ y2 Þ ¼ const ergibt x2 þ y2 ¼ cy bzw. x2 þ ðy c=2Þ2 ¼ ðc=2Þ2 ; die Stromlinien sind also Kreise mit Mittelpunkt auf der y-Achse. Alle Kreise gehen durch den Nullpunkt. Der Betrag der Geschwindigkeit u ¼ jw0 ðzÞj ¼ m=z2 ¼ m=ðx2 þ y2 Þ ¼ m=r 2 nimmt nach außen mit 1=r 2 ab. d) Parallelanstrmung eines Kreiszylinders. Bei berlagerung der Parallel- und Dipolstrmung ergibt sich fr den Zylinder mit Radius aw ¼ f ðzÞ ¼ u0 ðz þ a2 =zÞ. Fr z ! 1 ergibt sich die Parallelstrmung. Weiter gilt u0 a2 x u0 a2 y F þ iY ¼ u0 x þ 2 þ i u0 y 2 : 2 2 x þy x þy Fr Y ¼ 0 wird u0 y½1 a2 =ðx2 þ y2 Þ ¼ 0, d. h., y ¼ 0 (x-Achse) und x2 þ y2 ¼ a2 (Berandung des Zylinders) bilden eine Stromlinie. Die Geschwindigkeit der Strmung folgt aus f 0 ðzÞ ¼ u0 ð1 a2 =z2 Þ ¼ ux i uy zu u ¼ j f 0 ðzÞj ¼ ju0 ð1 a2 =z2 Þj: Fr z ¼ a wird u ¼ 0 (Staupunkte) und fr z ¼ ia wird u ¼ 2u0 (Scheitelpunkte); die Geschwindigkeit ist also zur Vertikalachse symmetrisch. Dann folgt aus Gl. (22) auch eine zur Vertikalachse symmetrische Druckverteilung, d. h., die auf den Krper bei Umstrmung durch eine ideale Flssigkeit in Strmungsrichtung wirkende Kraft ist gleich Null (dAlembertsches hydrodynamisches Paradoxon). Strmungskrfte entstehen nur durch die Reibung der Flssigkeiten. e) Unsymmetrische Umstrmung eines Kreiszylinders. berlagert man der Umstrmung gemß d) den Potentialwirbel gemß b), so erhlt man w ¼ f ðzÞ ¼ u0 ðz þ a2 =zÞ þ iC log z; a2 C þ lnðx2 þ y2 Þ; Y ¼ u0 y 1 2 x þ y2 2 a2 F ¼ u0 x 1 þ 2 C arctanðy=xÞ: x þ y2 Die Stromfunkion ist symmetrisch zur y-Achse, nicht aber zur x-Achse, d. h., durch Integration des Drucks lngs des
I6.6 Umrisses ergibt sich eine Kraft in y-Richtung. Diese „Auftriebskraft“ lßt sich berechnen zu FA ¼ ru0 G ¼ ru0 2pC (Satz von Kutta-Joukowski); sie ist nur abhngig von der Anstrmgeschwindigkeit und der Zirkulation, nicht aber von der Kontur des Zylinders. Konforme Abbildung des Kreises. Mit der Methode der konformen Abbildung kann man den Kreis auf beliebige andere, einfach zusammenhngende Konturen abbilden und umgekehrt und damit, da die beliebige Strmung um den Kreis bekannt ist, die Strmung um diese Konturen ermitteln [3].
6.6 Mehrdimensionale Strmung zher Flssigkeiten Multidimensional flow of viscous fluids
Mehrdimensionale Strmung zher Flssigkeiten
B 59
6.6.2 Einige Lsungen fr kleine Reynoldssche Zahlen (laminare Strmung) Some solutions at low Reynold's number (laminar flow) Bild 25 a–c [10] a) Couette-Strmung. Um einen ruhenden Kern dreht sich ein ußerer Zylinder gleichfrmig, angetrieben durch ein ußeres Drehmoment M. Die Navier-Stokessche Gl. (31) nimmt in hier zweckmßigen Polarkoordinaten in r- und j-Richtung (mit ur ¼ 0, uj ¼ uðrÞ, p=p( r) aus Symmetriegrnden und u2 1 ¶p h d2 u 1 du u F ¼ 0) die Form ¼ þ und 2 ¼ 2 r r ¶r r dr r dr r hd 1d ðruÞ ¼ 0 an. r dr r dr
6.6.1 Bewegungsgleichungen von Navier-Stokes Navier Stokes equations
Hieraus ergibt sich nach Integration u ¼ C1 r=2 þ C2 =r. Die Konstanten C1 und C2 erhlt man aus uðri Þ ¼ 0 und uðra Þ ¼ wra zu C2 ¼ C1 ri2 =2 und C1 ¼ 2wra2 =ðra2 ri2 Þ; damit ist wr 2 r2 u¼ 2 a 2 r i . r ra ri
Bei rumlicher Strmung Newtonscher Flssigkeiten gelten fr die infolge Reibung auftretenden Zusatzspannungen als Verallgemeinerung des Newtonschen Schubspannungsansatzes die Gleichungen (mit der zustzlichen Zhigkeitskonstante h [3])
Fr die Schubspannungen gilt Gl. (28) analog in Polarkoordinaten: 1 ¶ur ¶uj uj du u 2hwr 2 r2 þ t¼h ¼h ¼ 2 a2 i2 ; r r ¶j ¶r dr r ra ri r tðr ¼ ra Þ ¼ 2hwri2 =ðra2 ri2 Þ:
¶uy ¶ux þ hdiv u, sy ¼ 2h þ hdiv u, ¶x ¶y ¶uz sz ¼ 2h þ hdiv u; ¶z
ð28 aÞ
¶ux ¶uy ¶ux ¶uz þ þ txy ¼ h ; txz ¼ h ; ¶y ¶x ¶z ¶x ¶uy ¶uz þ tyz ¼ h : ¶z ¶y
ð28 bÞ
sx ¼ 2h
Das Newtonsche Grundgesetz fr ein Flssigkeitselement lautet fr die x-Richtung dux ¶ux ¶ux ¶ux ¶ux ¼ þ ux þ uy þ uz dt ¶t ¶x ¶y ¶z 1 ¶p 1 ¶sx ¶txy ¶txz þ þ ¼X þ : ¶y ¶z r ¶x r ¶x
ð29Þ
Aus den Gln. (28) und (29) folgen fr inkompressible Flssigkeiten ðdiv u ¼ 0Þ die Bewegungsgleichungen von NavierStokes (fr die y- und z-Richtung gelten analoge Gleichungen): dux 1 ¶p h ¶2 ux ¶2 ux ¶2 ux ¼X þ 2 þ 2 þ 2 dt ¶y ¶z r ¶x r ¶x ð30Þ 1 ¶p h ¼X þ D ux r ¶x r
Fr das am Zylinder erforderliche ußere Moment M ¼ t 2pra lra folgt M ¼ 4phwlra2 ri2 =ðra2 ri2 Þ. Durch Messung von M lßt sich hieraus die Viskositt h bestimmen (Couette-Viskosimeter). b) Schmiermittelreibung. Bewegt sich eine schwach gekrmmte (oder ebene) Platte bei kleinem Zwischenraum parallel zu einer anderen, so entsteht ein Strmungsdruck, der eine Berhrung der beiden Flchen und deren Reibung aufeinander verhindert. Mit uy 0, ¶uy =¶y 0, ux ¼ u folgt aus der Kontinuittsgleichung (21) ¶u=¶x ¼ ¶uy =¶y ¼ 0, d. h. ¶2 u=¶x2 ¼ 0. Wegen ¶ux =¶t ¼ 0 ergibt sich aus Gln. (29) und (30) ¶p=¶x ¼ 1 ¶p y2 þ C1 y þ C2 . Mit C1 h ¶2 u=¶y2 mit der Lsung uðyÞ ¼ h ¶x 2 und C2 aus der Bedingung, daß die Flssigkeit an den Platten haftet, ergibt sich 1 ¶p y y uðyÞ ¼ ðy hÞ þ u0 1 : h ¶x 2 h
bzw. in vektorieller Form du ¶u F1 h ¼ þ ðurÞu ¼ grad p þ D u: dt ¶t r r
ð31Þ
Dabei ist p der mittlere Druck, denn aus div u ¼ 0 folgt sx þ sy þ sz ¼ 0, d. h., die Summe der Zusatzspannungen sx , sy , sz zum mittleren Druck p ist Null. Die Gln. (28) bis (31) gelten fr laminare Strmung; fr den turbulenten Fall ist als weiteres Glied die Turbulenzkraft einzufhren [3]. Lsungen der Navier-Stokesschen Gleichungen liegen nur fr wenige Spezialflle (s. B 6.6.2) fr kleine Reynoldssche Zahlen vor. Bei großen Reynoldsschen Zahlen, also kleinen Zhigkeiten, werden viele Probleme mit der „Grenzschichttheorie“ gelst, deren Ursprung auf Prandtl zurckgeht. Dabei wird die stets am Krper der Haftbedingung unterworfene, strmende zhe Flssigkeit nur in einer dnnen Grenzschicht als reibungsbehaftet, sonst aber als ideal angesehen.
Bild 25a–c. Strmungen zher Flssigkeiten
B
B 60 Z
¶p 6h ¼ u0 ðh h0 Þ mit ¶p/ ¶x h3 ¶x ¼ 0 fr h ¼ h0 . Fr die Schubspannung bei y ¼ 0 gilt t ¼ hu0 ð3h0 4hÞ=h2 . c) Stokessche Widerstandsformel fr die Kugel. Bei kleiner Reynoldsscher Zahl (Re 1), d. h. schleichender Strmung, werde eine Kugel umstrmt. Die Widerstandskraft ergibt sich nach Stokes zu ð32Þ FW ¼ 3ph du0 :
Aus V_ ¼
B
Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)
u dy ¼ const folgt
Diese Formel wurde von Oseen unter Bercksichtigung der Beschleunigungsanteile verbessert zu FW ¼ 3ph du0 ½1 þ ð3=8ÞRe: Beispiel: Viskosittsbestimmung. – Fllt eine Kugel mit u ¼ const durch eine zhe Flssigkeit, so gilt FG FW FA ¼ 0, d. h. rK gpd3 =6 3ph du rF gpd 3 =6 ¼ 0 und hieraus
6.6.4 Strmungswiderstand von Krpern Drag of solid bodies Der aus den Schubspannungen lngs der Grenzschicht entstehende Widerstand wird Reibungswiderstand, der infolge des durch Strmungsablsung und Wirbelbildung hinter dem Krper verursachten Unterdrucks entstehende Widerstand wird Druckwiderstand genannt. Beide zusammen ergeben den Gesamtwiderstand. Whrend der Reibungswiderstand mit Hilfe der Grenzschichttheorie weitgehend berechenbar ist, muß der theoretisch schwierig erfaßbare Druckwiderstand im wesentlichen experimentell bestimmt werden. Je nach Krperform berwiegt der Reibungs- oder der Druckwiderstand. Fr die Krper auf Bild 27 betrgt deren Verhltnis a) 100 : 0, b) 90 : 10, c) 10 : 90 bzw. d) 0 : 100 in Prozent.
h ¼ gd2 ðrK rF Þ=ð18uÞ:
6.6.3 Grenzschichttheorie. Boundary layer theory Umstrmt ein Stoff kleiner Zhigkeit (Luft, Wasser) einen Krper, so bildet sich aufgrund des Haftens des Fluids an der Krperoberflche eine Grenzschicht von der Dicke d(x), in der ein starkes Geschwindigkeitsgeflle und somit große Schubspannungen vorhanden sind. Außerhalb dieser Schicht ist das Geschwindigkeitsgeflle klein, somit sind bei kleinem h die Schubspannungen vernachlssigbar, d. h. die Flssigkeit als ideal anzusehen. In der Regel ist der Anfangsbereich der Grenzschicht laminar und geht dann im Umschlagpunkt in turbulente Strmung mit erhhten Schubspannungen ber. Nherungsweise liegt der Umschlagpunkt an der Stelle des Druckminimums der Außenstrmung [8]. Aus der NavierStokesschen Gl. (31) folgt fr den ebenen Fall, bei stationrer Strmung und ohne Massenkrfte mit der Kontinuittsgleichung (21) und den Vereinfachungen uy ux ; ¶uy =¶x ¶uy =¶y; ¶ux =¶x ¶ux =¶y; ¶p/¶y 0 ¶ux dp ¶2 ux ¼ þh 2 : rux ¶x ¶y dx
ð33Þ
Bei einem schwach gekrmmten Profil (Bild 26) folgt fr die Wand y ¼ 0 mit ux ¼ 0 (Haftung) aus Gl. (33) 2 dp ¶ ux : ð34Þ ¼h ¶y2 y¼0 dx
Bild 26. Grenzschicht
Ist dp=dx < 0 (Anfangsbereich Bild 26), so folgt aus Gl. (34) ¶2 ux =¶y2 < 0; das Geschwindigkeitsprofil ist also konvex. Fr dp=dx ¼ 0 wird ¶2 ux =¶y2 ¼ 0; das Geschwindigkeitsprofil hat also keine Krmmung. Fr dp=dx > 0 wird ¶2 ux =¶y2 > 0; das Profil ist also konkav gekrmmt, und es wird eine Stelle erreicht, wo ¶ux =¶y ¼ 0 ist. Anschließend wird ux negativ, d. h., es setzt eine rcklufige Strmung ein, die in Einzelwirbel bergeht. Wegen der Wirbel entsteht hinter dem Krper ein Unterdruck, der zusammen mit den Schubspannungen lngs der Grenzschicht den Gesamtstrmungswiderstand des Krpers ergibt [3, 8, 10].
Bild 27 a–d. Strmungswiderstnde
Reibungswiderstand. Bei sehr schlanken und stromlinienfrmigen Krpern umhllt die Grenzschicht den ganzen Krper, d. h., es gibt keine Wirbel und keinen Druckwiderstand, sondern nur einen Reibungswiderstand. Fr ¼ cr ðrv20 =2ÞA0 (A0 Oberflche des umstrmten Krpers). Fr den Reibungsbeiwert cr gelten hnliche Abhngigkeiten wie bei durchstrmten Rohren. Zugrunde gelegt werden die Ergebnisse fr die umstrmte dnne Platte der Lnge l (Bild 27 a): Der bergang von laminarer zu turbulenter Strmung tritt bei Rek ¼ 5 105 ein. Hierbei ist Re ¼ u0 l=n. Der Umschlagpunkt von laminarer in turbulente Strmung auf der Platte liegt also bei xu ¼ nRek =u0 . Die Dicke der laminaren Grenzschicht bepffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi trgt d ¼ 5 nx=u0 , die der turbulenten Grenzschicht ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p pffiffiffiffiffiffi 5 4 d ¼ 0;37 nx =u0 . Reibungsbeiwerte cr ¼ 1;327= Re fr lap ffiffiffiffiffiffi 5 minare Strmung, cr ¼ 0;074= Re fr turbulente Strmungglatte Platte, cr ¼ 0;418=½2 þ lgðl=kÞ2;53 fr turbulente Strmung-rauhe Platte (k ¼ 0;001 mm fr polierte Oberflche, k ¼ 0;05 mm fr gegossene Oberflche). Fr k % 100 l=Re ist die Platte als hydraulisch glatt anzusehen Diagramm s. [3]. Druckwiderstand (Formwiderstand). Er ergibt sich durch Integration ber die Druckkomponenten in Strmungsrichtung vor und hinter dem Krper. Man faßt ihn zusammen zu Fd ¼ cd ðru20 =2ÞAp (Ap Projektionsflche des Krpers, auch Schattenflche genannt). cd ist durch Messung der Druckverteilung bestimmbar. In der Regel fhren die Messungen jedoch sofort zum Gesamtwiderstand. Gesamtwiderstand. Er setzt sich aus Reibungs- und Druckwiderstand zusammen: FW ¼ cw ðru20 =2ÞAp :
ð35Þ
Fr Krper mit rascher Strahlablsung (praktisch reiner Druckwiderstand) hngt cw nur von der Krperform, fr alle
I6.6
Mehrdimensionale Strmung zher Flssigkeiten
B 61
Tabelle 2. Widerstandszahlen cw angestrmter Krper
B
anderen Krper von der Reynoldsschen Zahl ab. Fr einige Krper knnen die Widerstandszahlen cw Tab. 2 entnommen werden. Winddruck auf Bauwerke. Die maßgebenden Windgeschwindigkeiten sowie Beiwerte cw sind DIN 1055 Blatt 4 zu entnehmen. Luftwiderstand von Kraftfahrzeugen. Der Widerstand wird aus Gl. (35) berechnet, wobei die Widerstandszahlen cw Tabellen zu entnehmen sind (s. Q 1.2.1). Schwebegeschwindigkeit von Teilchen. Wird ein fallendes Teilchen von unten nach oben mit Luft der Geschwindigkeit u angeblasen, so tritt Schweben ein (Bild 28), wenn FG ¼ FA þ FW , d. h. rK Vg ¼ rVg þ cw ðrF u2 =2ÞAp und hierpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aus u ¼ 4dðrK rF Þg=ð3cw rF Þ ist.
Fr den Drehmomentenbeiwert cM gilt in Abhngigkeit von der Reynoldsschen Zahl Re ¼ wd2 =ð4uÞ nach [1] bei: ausgedehnten ruhenden Flssigkeiten pffiffiffiffiffiffi fr Re < 5 105 ðlaminare StrmungÞ cM ¼ 5;2= Re; pffiffiffiffiffiffiffi 5 fr Re > 5 10 ðturbulente StrmungÞ cM ¼ 0;168= 5 Re; Flssigkeiten in Gehusen (hier ist s der Abstand zwischen Scheibe und Gehusewand) fr Re < 3 104 fr 3 104 < Re < 6 105 fr Re > 6 105
cM ¼ 2pd=ðsReÞ; pffiffiffiffiffiffi cM ¼ 3;78= Re; pffiffiffiffiffiffi cM ¼ 0;0714= 5 Re:
Reibungswiderstand an rotierenden Scheiben. Bewegt sich eine rotierende dnne Scheibe mit der Winkelgeschwindigkeit w in einer Flssigkeit, so bildet sich eine Grenzschicht aus, deren Teilchen an der Oberflche der Scheibe haften. Die an beiden Seiten auftretenden Reibungskrfte erzeugen ein der Bewegung entgegengesetzt wirkendes Drehmoment (Bild 29): Zd=2 Z Z ru2 dA ¼ rcF rw2 r2 2pr dr M ¼ 2 r dFr ¼ 2 rcF 2 0
5 4pcF rw2 d rw2 d 5 ¼ cM : ¼ 5 2 2 2 2
Bild 28. Schwebezustand
Bild 29. Radscheibenreibung
B 62
Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)
B
Bild 30 a – f. Tragflgel. a Gewlbtes Profil; b Tropfenprofil; c Kraftzerlegung; d Druckverteilung; e und f dnnwandige Profile
6.6.5 Tragflgel und Schaufeln. Aerofoils and blades Ein unter dem Anstellwinkel a mit u0 angestrmter Tragflgel erfhrt eine Auftriebskraft FA senkrecht zur Anstrmrichtung und eine Widerstandskraft FW parallel zur Strmungsrichtung (Bild 30 a, b): FA ¼ ca ðru20 =2ÞA; FW ¼ cw ðru20 =2ÞA:
ð36 a, bÞ
Hierbei ist ca der Auftriebsbeiwert und A die senkrecht auf die Sehne l projizierte Flgelflche. Angestrebt wird eine mglichst gnstige Gleitzahl e ¼ cw =ca . pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 sowie b ¼ Aus der Resultierenden FR ¼ FA2 þ FW arctanðFW =FA Þ folgen die Krfte normal und tangential zur Sehne (Bild 30 c): Fn ¼ FR cosðb aÞ; Ft ¼ FR sinðb aÞ: Die Lage des Angriffspunkts der Resultierenden auf der Sehne (Druckpunkt D) wird durch die Entfernung s vom Anfangspunkt der Sehne bzw. durch den Momentenbeiwert cm festgelegt: Fn s ¼ Fn0 l ¼ cm ðru20 =2ÞAl (Fn0 ist eine gedachte, an der Hinterkante wirksame Kraft). Mit Fn FA ¼ ca ðru20 =2ÞA ergibt sich s ¼ ðcm =ca Þl. Auftrieb. Allein maßgebend fr den Auftrieb ist nach dem Satz von Kutta-Joukowski (s. B 6.5.2) die Zirkulation G: FA ¼ ru0 G ¼ ru0 2pC ¼ ca ðru20 =2ÞA:
ð37Þ
Die Konstante C wird so bestimmt, daß die Strmung an der Hinterkante glatt abfließt (Kuttasche Abflußbedingung; die Hinterkante wird nicht umstrmt). Infolge der Zirkulation wird die Strmung auf der Oberseite (Saugseite) schneller und auf der Unterseite (Druckseite) langsamer, d. h., entsprechend der Bernoullischen Gleichung ru2 =2 þ p ¼ const wird der Druck oben kleiner und unten grßer. Unterdruck Dp1 und berdruck Dp2 sind in Bild 30 d lngs des Profilumfangs aufgetragen. Der Auftrieb lßt sich ber die Zirkulation nach Gl. (37) oder durch Integration ber den Druck Dp mit demselben Ergebnis ermitteln. Die Berechnung ber die Zirkulation kann fr einen unendlich langen Tragflgel auf zweierlei Art geschehen: entweder durch konforme Abbildung des Profils auf einen Kreis, da fr ihn die Potentialstrmung mit Zirkulation bekannt ist (s. B 6.5.2), oder nach der Singularittenmethode (Nherungsverfahren), wobei das umstrmte Profil durch eine Reihe von Wirbeln, Quellen, Senken und Dipolen angenhert wird [3]. Mit diesen Methoden ergibt sich fr ein Kreisbogenprofil der Wlbung f (Bild 30 e) der Auftriebsbeiwert ca ¼ 2p sinða þ b=2Þ 2pða þ 2 f =lÞ und fr ein beliebig gekrmmtes Profil mit den Endwinkeln y und j (Bild 30 f)
ca ¼ 2p sinða þ y=8 þ 3j=8Þ. Das Ergebnis fr das Kreisbogenprofil kann als gute Nherung fr alle Profile verwendet werden, wenn der Anstellwinkel nicht zu groß ist. Der Auftrieb wchst also linear mit dem Anstellwinkel und der relativen Wlbung f/l. Fr a0 ¼ 2 f =l wird der Auftrieb Null. Bei Tragflgeln endlicher Lnge erzwingt der Druckunterschied zwischen Unter- und Oberseite eine Strmung zu den Flgelenden hin, da dort der Druckunterschied Null sein muß (Bild 31), d. h., es liegt eine rumliche Strmung vor, die nicht mehr mit den Methoden der ebenen Potentialtheorie erfaßbar ist. Dabei nimmt der Auftrieb (und damit die Zirkulation) von der Mitte zu den Enden hin stetig auf Null ab und zwar angenhert ellipsenfrmig. Am Flgelende entsteht dabei dauernd eine Zirkulation, die in Form freier Wirbel abschwimmt und aufgrund ihres Energieverbrauchs den „induzierten Widerstand“ hervorruft.
Bild 31. Querstrmung am Tragflgel
Widerstandskraft. Der Gesamtwiderstand nach Gl. (36 b) setzt sich aus dem Reibungs- und Druckwiderstand (s. B 6.6.4) sowie dem induzierten Widerstand infolge Wirbelbildung an den Flgelenden zusammen: FW ¼ FWo þ FWi , cw ¼ cwo þ cwi . Fr den Beiwert des induzierten Widerstands gilt bei elliptischer Auftriebsverteilung nach Prandtl cwi ¼ lc2a =p;
ð38Þ
wobei l ¼ A=b das sogenannte Seitenverhltnis und b die Spannweite des Flgels ist. Der induzierte Widerstand nimmt also quadratisch mit dem Auftrieb bzw. linear mit dem Seitenverhltnis zu. Der Profilwiderstandsbeiwert cwo ist unabhngig von l und ndert sich nur geringfgig mit ca bzw. a. 2
Polardiagramm. Die errechneten oder gemessenen Werte ca , cw und cm werden im Polardiagramm aufgetragen, in Bild 32 a z. B. fr das Gttinger Profil 593 mit l ¼ 1 : 5. Hierbei bilden die Koeffizienten cw und cm die Abszisse und der Koeffizient ca die Ordinate. Die zu den einzelnen Werten gehrenden Anstellwinkel a sind ebenfalls eingetragen. Strichpunktiert ist die Parabel des induzierten Widerstands nach Gl. (38) dargestellt. Die Gerade g zu einem Punkt der cw -Kurve hat die Steigung tang ¼ cw =ca ¼ e. Der Winkel g kann als Gleitwinkel eines antriebslosen Flugzeugs (Bild 32 b) gedeutet werden. Bild 32 c zeigt fr dasselbe Profil die Werte ca und cw als Funktion des Anstellwinkels a. Bis etwa 13 nimmt der Auftrieb linear mit dem Anstellwinkel zu, er er-
I6.6
Mehrdimensionale Strmung zher Flssigkeiten
B 63
reicht bei 15 seinen Hhepunkt und nimmt dann wieder ab. Die Ursache fr diese Abnahme ist im Abreißen der Strmung auf der Oberseite des Profils zu finden, das einer Verkleinerung des Anstellwinkels gleichzusetzen ist. Der Widerstandskoeffizient cw ist fr den Anstellwinkel a ¼ 4 minimal; er nimmt nach beiden Seiten quadratisch zu.
bulente. Bei geeigneter Formgebung wird der Umschlagpunkt mglichst weit ans Ende des Profils verlegt (Laminarflgel), z. B. indem die dickste Stelle des Profils nach hinten verschoben und die Grenzschicht abgesaugt wird. Hierdurch lßt sich der cw -Wert um 50% und mehr vermindern.
Allgemeine Ergebnisse. Vergleicht man geometrisch hnliche Profile, so gelten fr ca , cw und a
6.6.6 Schaufeln und Profile im Gitterverband Blade rows (cascades)
ca2 ¼ ca1 ¼ ca ; cw2 ¼ cw1 þ ðc2a =pÞðA2 =b22 A1 =b21 Þ; a2 ¼ a1 þ ðca =pÞðA2 =b22
A1 =b21 Þ:
ð39Þ
Der Auftrieb, aber auch der Profilwiderstand, nehmen bei gleichem Skelett mit wachsender Profildicke zu. Bei gleicher Dicke wird der Auftrieb mit zunehmender Wlbung grßer. Unterhalb Re ¼ ul=n ¼ 60 000 . . . 80 000 (unterkritischer Bereich) sind Profile wesentlich ungnstiger als Schaufeln. Der Auftrieb nimmt bis maximal ca ¼ 0;3 . . . 0;4 ab, je nach Dicke der Profile, whrend der Widerstand stark zunimmt. Im berkritischen Bereich wird der Auftrieb mit Re bei mßig gewlbten Profilen grßer, bei stark gewlbten Profilen kleiner. Klappen am hinteren Ende und Vorflgel vergrßern den Auftrieb erheblich, ebenso Absaugen der Luft oder Ausblasen von Gasstrahlen am Flgelende. Bei großen Re-Zahlen ist der laminare Reibungswiderstand wesentlich kleiner als der tur-
Im Gitterverband (Bild 33 a–c) spielen die Reibungsverluste eine entscheidende Rolle. Bei zu enger Schaufelteilung wird die Flchenreibung zu groß, und bei zu weiter Teilung treten Ablsungsverluste auf. In beiden Fllen wird der Wirkungsgrad verschlechtert. Die gnstigste Schaufelteilung wird nach den Ergebnissen von Zweifel [1] ermittelt. Nachfolgend werden Gitter ohne Reibungsverluste betrachtet: a) ruhendes Gitter mit unendlicher Schaufelzahl. Aus der Kontinuittsgleichung folgt um ¼ u1 cos a1 ¼ u2 cos a2 ¼ const, und aus dem Impulssatz und der Bernoullischen Gleichung folgen Fy ¼ btrum ðu1u u2u Þ; Fx ¼ btrðu21u u22u Þ=2
(b Gittertiefe senkrecht zur Zeichenebene). Ferner gilt qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u þ u . 1u 2u tan a1 ¼ Fx =Fy ¼ um ; FA ¼ Fx2 þ Fy2 : ð41Þ 2
Bild 32 a – c. Tragflgel-Theorie. a Polardiagramm; b Gleitwinkel; c Auftriebs- und Widerstandsbeiwert
Bild 33 a–c. Schaufelgitter
ð40Þ
B
B 64
B
Mechanik – 7 hnlichkeitsmechanik
b) bewegtes Gitter mit unendlicher Schaufelzahl. Bewegt sich das Gitter mit der Geschwindigkeit u, so gelten die Gln. (40) und (41), wenn man dort die Absolutgeschwindigkeiten u durch die Relativgeschwindigkeiten w ersetzt. Die Kraft Fy erbringt die Leistung P ¼ Fy u ¼ btrwm uðw1u w2u Þ: c) Gitter mit endlicher Schaufelzahl. Die Ablenkung von a1 nach a2 ist nur mglich, wenn die Schaufelenden aufgewinkelt oder so ausgebildet werden, daß a1 < a01 und a2 > a02 . Die Gln. (40) und (41) gelten fr die ausgeglichene Strmung, d. h. fr die Ersatzgitterbreite a0 . Die auf eine Schaufel wirkende Kraft FA steht auf a1 senkrecht und kann nach der Profiltheorie aus qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FA ¼ ca ðru21 =2Þbl und u1 ¼
berechnet werden. Entsprechend gilt fr die Widerstandskraft FW ¼ cw ðru21 =2Þbl. Fr das bewegte Gitter, welches Arbeit aufnimmt (Turbine) oder Arbeit abgibt (Pumpe), gilt mit Dp ¼ ðp2 þ ru22 =2Þ ðp1 þ ru21 =2Þ ca ¼ 2t Dp=ðuw1 rlÞ. Fr die optimale Schaufelteilung sind die Untersuchungen von Zweifel [1] maßgebend: Mit FA ¼ yA ðrw22 =2Þl und yA ¼ ð2 sin2 a2 = sin a1 Þðcot a2 cot a1 Þt=l ergibt sich die gnstigste Schaufelteilung und ein optimaler Wirkungsgrad Fr Fy gilt entsprechend fr 0,9 < yA < 1,0. Fy ¼ yT ðrw22 =2Þa mit yT ¼ 2 sin2 a2 ðcot a2 cot a1 Þt=a. Fr optimale Schaufelteilung gilt 0;9 < yT < 1;0.
u2m þ ½ðu1u þ u2u Þ=22
7 hnlichkeitsmechanik Similarity mechanics 7.1 Allgemeines. General Die hnlichkeitsmechanik hat die Aufgabe, Gesetze aufzustellen, nach denen am (in der Regel verkleinerten) Modell gewonnene Versuchsergebnise auf die wirkliche Ausfhrung (Hauptausfhrung) bertragen werden knnen. Modellversuche sind erforderlich, wenn eine exakte mathematisch-physikalische Lsung eines technischen Problems nicht mglich ist, oder wenn es gilt, theoretische Grundlagen und Arbeitshypothesen in Versuchen zu besttigen. Die Modellgesetze der hnlichkeitsmechanik bilden somit die Grundlage fr das umfangreiche Versuchswesen in der Statik, Festigkeitslehre, Schwingungslehre, Strmungslehre, dem Schiffs- und Schiffsmaschinenbau, Flugzeugbau, Wasser- und Wasserturbinenbau, fr wrmetechnische Probleme usw. Physikalische hnlichkeit [1]. Voraussetzung ist die geometrisch hnliche, d. h. winkeltreue (formtreue) Ausfhrung des Modells (Winkel haben keine Einheit, daher ist ihr bertragungsmaßstab stets gleich 1). Vollkommene mechanische hnlichkeit liegt vor, wenn alle am physikalischen Prozeß beteiligten Grßen wie Wege, Zeiten, Krfte, Spannungen, Geschwindigkeiten, Drcke, Arbeiten usw. entsprechend den physikalischen Gesetzen hnlich bertragen werden. Dies ist jedoch im allgemeinen nicht mglich, da zur bertragung nur die SI-Basiseinheiten m, kg, s und K bzw. deren Maßstabsfaktoren zur Verfgung stehen, ergnzt durch Stoffparameter wie Dichte r, Elastizittsmodul E usw. Daraus folgt, daß nur eine beschrnkte Anzahl physikalischer Grundgleichungen hnlich bertragbar ist, d. h., nur unvollkommene hnlichkeit ist in der Regel realisierbar. Maßstabsfaktoren. Fr die Grundgrßen Lnge l, Zeit t, Kraft F und Temperatur T besteht zwischen der wirklichen Ausfhrung (H) und dem Modell (M) geometrische, zeitliche, dynamische oder thermische hnlichkeit, wenn lM =lH ¼ lV ; tM =tH ¼ tV ; FM =FH ¼ FV oder TM =TH ¼ TV fr alle Punkte des Systems eingehalten wird (lV ; tV ; FV und TV sind Verhltniszahlen, die sog. Maßstabsfaktoren). Einheiten. Hat eine physikalische Grße B ¼ F n1 ln2 tn3 T n4 die Einheit Nn1 mn2 sn3 Kn4 , so folgt der bertragungsmaßstab BV ¼ BM =BH direkt aus der Einheit zu BV ¼ FVn1 lnV2 tVn3 TVn4 . Zum Beispiel ergibt sich das bertragungsgesetz fr die me-
chanische Arbeit W direkt aus der Einheit Nm zu WM =WH ¼ FV lV anstelle der umstndlicheren Form WM =WH ¼ ðFM lM Þ=ðFH lH Þ ¼ FV lV . Kennzahlen. Die an einem Vorgang maßgeblich beteiligten, mit Einheiten behafteten Einflußgrßen lassen sich in Form von Potenzprodukten zu Kennzahlen zusammenfassen, die keine Einheit haben (z. B. Froudesche Kennzahl, Reynoldssche Kennzahl). Dadurch wird die Zahl der Vernderlichen reduziert, und jede maßgebliche, einen Vorgang bestimmende Gleichung bzw. Differentialgleichung lßt sich in eine Funktion der einheitenlosen Kennzahlen umformen. Dabei gilt nach [1]: Das Verhltnis zweier Grßen beliebiger Art lßt sich ersetzen durch das Verhltnis beliebiger anderer Grßen, sofern die neuen Grßen auf dieselben Einheiten fhren wie die ersten. Erweiterte hnlichkeit. Hufig lßt sich strenge hnlichkeit wegen der großen Zahl der Einflußgrßen nicht erzielen. Man beschrnkt sich dann (auch aus Ersparnisgrnden) auf die hnlichkeit der bei einem Vorgang dominierenden Grßen und verfgt ber die restlichen frei.
7.2 hnlichkeitsgesetze (Modellgesetze) Similarity laws 7.2.1 Statische hnlichkeit. Static similarity Maßstabsfaktor fr Gewichtskrfte. Fr Gewichtskrfte FM ¼ rM VM gM am Modell und FH ¼ rH VH gH an der Hauptausfhrung (V Volumen, g Erdbeschleunigung) folgt das bertragungsgesetz FM =FH ¼ rM VM gM =ðrH VH gH Þ; d:h: FV1 ¼ ðrM =rH Þl3V
ð1Þ
(da auf der Erde gM ¼ gH ist). Bei freier Wahl von rM ; rH und lV legt diese Gleichung also den Krftemaßstab fest. Beispiel: Von der wirklichen Ausfhrung einer Stahlkonstruktion soll ein Modell aus Aluminium (rH ¼ 7 850 kg=m3 ) (rM ¼ 2 700 kg=m3 ) im Maßstab lV ¼ lM =lH ¼ 1 : 10 hergestellt werden, welches die Eigengewichtskrfte mechanisch hnlich wiedergibt. In welchem Verhltnis stehen dann die Eigengewichtskrfte bzw. mssen sonstige eingeprgte Krfte stehen? In welchem Verhltnis werden die Spannungen und (Hookeschen) Formnderungen bertragen (EH ¼ 210 kN=mm2 , EM ¼ 70 kN=mm2 )? – Nach Gl. (1) wird FV1 ¼ ð2;70=7;85Þ=103 ¼ 1=2 907 ¼ FM =FH , d. h., die Krfte am Modell sind 2 907mal kleiner. Fr die Spannungen folgt sM =sH ¼ FV =l2V ¼ 100=2 907 ¼ 1=29 ¼ sV . Fr die Formnderungen ergibt sich aus Dl ¼ ls=E das Verhltnis DlM =DlH ¼ DlV ¼ lV sV EH =EM ¼ ð1=10Þð1=29Þ210=70 ¼ 1=96;7:
I7.2 Maßstabsfaktor fr gleiche Dehnungen (fr sog. elastische Krfte). Sollen die elastischen (Hookeschen) Dehnungen am Modell und an der Hauptausfhrung gleich sein, folgt fr die Krfte aus der Bedingung eM ¼ FM =ðEM AM Þ ¼ eH ¼ FH =ðEH AH Þ ð2Þ FM =FH ¼ EM AM =ðEH AH Þ; d: h: FV2 ¼ ðEM =EH Þl2V : Hookesches Modellgesetz: Zwei Krper sind bezglich der elastischen Dehnungen mechanisch hnlich, wenn die Hookeschen Kennzahlen Ho bereinstimmen: Ho ¼ FM =ðEM l2M Þ ¼ FH =ðEH l2H Þ:
ð3Þ
Beispiel: Von einem Knickstab aus Stahl wird ein maßstabgetreues Modell im Verhltnis lV ¼ 1 : 8 aus Aluminium hergestellt (EH ¼ 210 kN=mm2 , EM ¼ 70 kN=mm2 ) und am Modell eine Knickkraft von 1;2 kN gemessen. Wie groß ist die Knickkraft FK der wirklichen Ausfhrung, und in welchem Verhltnis stehen die Spannungen sowie Deformationen zueinander? – FV ¼ ð70=210Þ=64 ¼ 1=192; sV ¼ sM =sH ¼ FV =l2V ¼ 1=3;0; FK ¼ 192 1;2 kN ¼ 230;4 kN; DlM =DlH ¼ lV sV EH =EM ¼ 1=8;0.
Gleichzeitige Bercksichtigung von Gewichts- und elastischen Krften. Sollen gleichzeitig Gewichtskrfte und elastische Dehnungen mechanisch hnlich bertragen werden, so mssen die Krftemaßstbe nach Gl. (1) und Gl. (2) gleich sein. Aus FV1 ¼ FV2 folgt ðrM =rH Þl3V ¼ ðEM =EH Þl2V ; d: h: lV ¼ ðEM =EH ÞðrH =rM Þ:
ð4Þ
Der Lngenmaßstab ist nicht mehr frei whlbar; er hngt nur noch von den Stoffparametern ab. Beispiel: Fr das erste Beispiel in B 7.2.1 wird fr mechanische hnlichkeit von Gewichtskrften und Dehnungen der Maßstabsfaktor gesucht. – lV ¼ ð70=210Þð7 850=2 700Þ ¼ 1 : 1;03, d. h., eine gleichzeitige Bercksichtigung von Gewichtskrften und Dehnungen ist nur an der wirklichen Ausfhrung mglich. Deshalb beschrnkt man sich auf die erweiterte hnlichkeit, indem fr den Maßstab 1 : 10 die hnlichkeit der elastischen Krfte erfllt wird. Dann ergibt sich nach Gl. (2) FV ¼ ð70=210Þ=100 ¼ 1=300 ¼ FM =FH , whrend die Gewichtskrfte wie im ersten Beispiel im Verhltnis 1/2 907 bertragen werden. Die Differenz der Gewichtskrfte [(1/300)–(1/2 907)] FGH lßt sich als ußere Zusatzlast am Modell anbringen.
7.2.2 Dynamische hnlichkeit. Dynamic similarity hnlichkeitsgesetz von Newton-Bertrand. Beschleunigte Bewegungsvorgnge gengen dem Newtonschen Grundgesetz F ¼ ma. Daraus folgt fr den Krftemaßstab bei mechanischer hnlichkeit der Trgheitskrfte an Modell und Hauptausfhrung mit aV ¼ lV =tV2 FM =FH ¼ rM VM aM =ðrH VH aH Þ; d: h: FV3 ¼ ðrM =rH Þðl4V =tV2 Þ:
ð5Þ
Bei alleiniger Wirkung der Trgheitskrfte sowie freier Wahl von rM ; rH ; lV und tV legt Gl. (5) den Krftemaßstab fest. Daraus folgt FM =½rM ðlM =tM Þ2 l2M ¼ FH =½rH ðlH =tH Þ2 l2H und mit lM =tM ¼ uM und lH =tH ¼ uH Ne ¼ FM =ðrM u2M l2M Þ ¼ FH =ðrH u2H l2H Þ:
ð6Þ
Newtonsches hnlichkeitsgesetz: Zwei Vorgnge sind bezglich der Trgheitskrfte hnlich, wenn die Newtonschen Kennzahlen Ne bereinstimmen. Beispiel: Fr einen auf horizontaler Bahn bewegten Wagen aus Stahl (rH ¼ 7 850 kg=m3 , VH ¼ 1 m3 , FH ¼ 10 kN) soll ein Modell aus Holz ðrM ¼ 600 kg=m3 Þ im Maßstab 1 : 20 hergestellt werden. Welche Krfte mssen am Modell angreifen, wenn der Zeitmaßstab tV ¼ tM =tH ¼ 1 : 100 sein soll? In welchem Verhltnis werden Geschwindigkeiten und Beschleunigungen bersetzt? – FV3 ¼
hnlichkeitsgesetze (Modellgesetze)
B 65
ð600=7 850Þð1002 =204 Þ ¼ 1=209;3; FM ¼ FH FV3 ¼ 47;8 N; uM =uH ¼ lV =tV ¼ 100=20 ¼ 5; aM =aH ¼ lV =tV2 ¼ 1002 =20 ¼ 500.
hnlichkeitsgesetz von Cauchy. Sind bei einem Bewegungsvorgang Trgheitskrfte und elastische Krfte maßgeblich beteiligt, so folgt aus FV3 ¼ FV2 nach den Gln. (5) und (2) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi tV ¼ lV ðEH =EM ÞðrM =rH Þ; ð7Þ d. h., nur der Lngenmaßstab (oder der Zeitmaßstab) ist noch frei whlbar. Mit tV ¼ tM =tH und lV ¼ lM =lH folgt daraus pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi uM =uH ¼ ðEM =EH ÞðrH =rM Þ bzw. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Ca ¼ uM = EM =rM ¼ uH = EH =rH : ð8Þ Cauchys hnlichkeitsgesetz: Zwei Vorgnge, die berwiegend unter Einfluß von Trgheits- und elastischen Krften stehen, sind mechanisch hnlich, wenn ihre Cauchyschen Kennzahlen Ca bereinstimmen. hnlichkeitsgesetz von Froude. Sind bei einem Bewegungsvorgang Trgheitskrfte und Gewichtskrfte berwiegend beteiligt, so folgt aus FV1 ¼ FV3 nach den Gln. (1) und (5) pffiffiffiffiffi ð9Þ tV ¼ lV ; d. h., nur der Lngenmaßstab (oder der Zeitmaßstab) ist noch 2 2 frei whlbar. Daraus folgt tM =tH2 ¼ lM =lH bzw. l2M =ðlM tM Þ¼ l2H =ðlH tH2 Þ und somit Fr ¼ u2M =ðlM gM Þ ¼ u2H =ðlH gH Þ:
ð10Þ
Froudesches Modellgesetz: Zwei Vorgnge sind hinsichtlich der Trgheitskrfte und der Gewichtskrfte mechanisch hnlich, wenn die Froudeschen Kennzahlen Fr bereinstimmen. Beispiel: Von einem physikalischen Pendel aus Stahl (rH ¼ 7 850 kg=m3 ) soll ein Modell aus Holz (rM ¼ 600 kg=m3 ) im Maßstab 1 : 4 hergestellt werden. Wie groß ist der bertragungsmaßstab tV , wie verhalten sich Krfte, Spannungen, Frequenzen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen zueinander? – tV ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffi 1=4 ¼ 1=2; FV ¼ FM =FH ¼ ð600=7 850Þ=64 ¼ 1=837; sM =sH ¼ FV =l2V ¼ 1=52; wM =wH ¼ tH =tM ¼ 1=tV ¼ 2;0; uM =uH ¼ lV =tV ¼ 2=4 ¼ 1=2; aM =aH ¼ lV =tV2 ¼ 4=4 ¼ 1;0:
hnlichkeitsgesetz von Reynolds. Sind bei einem Bewegungsvorgang Trgheitskrfte und Reibungskrfte Newtonscher Flssigkeiten berwiegend beteiligt, so folgt fr letztere mit F ¼ hðdu=dzÞA nach B 6.2 Gl. (8) der Krftemaßstab FM hM duM =dzM AM h l2 ¼ ; d: h: FV4 ¼ M V FH hH duH =dzH AH hH tV
ð11Þ
und damit aus FV4 ¼ FV3 nach den Gln. (11) und (5) tV ¼ ðrM =rH ÞðhH =hM Þl2V ¼ ðnH =nM Þl2V ;
ð12Þ
h absolute, u ¼ h=r kinematische Zhigkeit. Nur der Lngenmaßstab ist noch frei whlbar und im Rahmen der zur Verfgung stehenden Medien der Stoffparameter nM . Aus Gl. (12) folgt tM =tH ¼ ðnH =nM Þl2M =l2H , d. h. Re ¼ uM lM =nM ¼ uH lH =nH :
ð13Þ
Reynoldssches hnlichkeitsgesetz: Zwei Strmungen zher Newtonscher Flssigkeiten sind unter berwiegendem Einfluß der Trgheits- und Reibungskrfte mechanisch hnlich, wenn die Reynoldsschen Zahlen Re bereinstimmen. Beispiel: Der Strmungswiderstand eines Einbauteils in einer lleitung soll im Modellversuch im Maßstab 1 : 10 mittels Messung des Druckabfalls bestimmt werden, wobei Wasser als Modellmedium vorgesehen ist. Wie verhalten sich die Strmungsgeschwindigkeiten und die Krfte bzw. der Druckabfall (uM ¼ 106 m2 =s; uH ¼ 1;1 104 m2 =s; hM ¼ 103 Ns=m2 ; hH ¼ 101 Ns=m2 Þ? – lV ¼ lM =lH ¼ 1=10; uV ¼ uM =uH ¼ ðnM =nH Þ=lV ¼ ð106 =1;1 104 Þ= ð1=10Þ ¼ 1=11; FV ¼ FM =FH ¼ ðhM =hH Þl2V =tV ¼ ðhM =hH ÞuV lV ¼ ð103 =101 Þð1=11Þð1=10Þ ¼ 1=11 000; DpM =DpH ¼ ðFM =FH Þ=l2V ¼ 100=11000 ¼ 1=110.
B
B 66
B
Mechanik – 7 hnlichkeitsmechanik
hnlichkeitsgesetz von Weber Sind an einem Vorgang neben den Trgheitskrften die Oberflchenspannungen s, d. h. die Oberflchenkrfte Fs ¼ sl, berwiegend beteiligt (wobei s als Materialkonstante aufzufassen ist), so folgt als bertragungsmaßstab fr die Oberflchenkrfte FsM =FsH ¼ sM lM =ðsH lH Þ; d: h: FV5 ¼ ðsM =sH ÞlV
ð14Þ
und damit aus FV5 ¼ FV3 gemß den Gln. (14) und (5) 2 ðrM =sM Þl3M =tM ¼ ðrH =sH Þl3H =tH2 bzw:
We ¼ rM u2M lM =sM ¼ rH u2H lH =sH :
ð15Þ
Weitere hnlichkeitsgesetze fr Strmungsprobleme. Eulersche Kennzahl: Bei Strmungsproblemen, bei denen die Reibung vernachlssigt werden kann, d. h. bei denen Druckund Trgheitskrfte berwiegen (z. B. bei der Messung des Staudrucks Dp), liegt mechanische hnlichkeit vor, wenn die Eulerschen Kennzahlen Eu gleich sind: ð16Þ
Machsche Kennzahl: Bei gasfrmigen Fluiden, deren Strmungsgeschwindigkeit nahe der Schallgeschwindigkeit c liegt, herrscht mechanische hnlichkeit, wenn die Machschen Kennzahlen Ma gleich sind: Ma ¼ uM =cM ¼ uH =cH :
ð17Þ
7.2.3 Thermische hnlichkeit. Thermal similarity hnlichkeitsgesetz von Fourier. Fr den instationren Wrmeleitungsvorgang gilt die Fouriersche Differentialgleichung 2 ¶T ¶ T ¶2 T ¶2 T ð18Þ þ 2þ 2 ; ¼b 2 ¶t ¶x ¶y ¶z b ¼ lðcrÞ Temperaturleitfhigkeit, l Wrmeleitfhigkeit, c spezifische Wrmekapazitt, r Dichte. Nach der Regel ber die Einheiten folgt TV =tV ¼ ðbM =bH ÞðTV =l2V Þ bzw: tV ¼ ðbH =bM Þl2V
ð19Þ
und hieraus Fo ¼ tM bM =l2M ¼ tH bH =l2H :
ð20Þ
Fouriersches hnlichkeitsgesetz: Zwei Wrmeleitungsvorgnge sind hnlich, wenn die Fourierschen Kennzahlen Fo bereinstimmen (s. D 10.4). Beispiel: Fr ein Modell im Maßstab 1: 10 folgt bei gleichem Material ðbM ¼ bH Þ : tM ¼ ðlM =lH Þ2 tH ¼ ð1=100ÞtH , d. h., die Temperaturverteilung im Modell ist bei 1/100 der Zeit in der Hauptausfhrung erreicht.
hnlichkeitsgesetz von Pe´clet. Sollen zwei Strmungsvorgnge hinsichtlich der Wrmeleitung thermisch bereinstimmen, so mssen die Pe´cletschen Kennzahlen Pe gleich sein: Pe ¼ uM lM =bM ¼ uH lH =bH :
ð21Þ
hnlichkeitsgesetz von Prandtl. Sollen zwei Strmungsvorgnge hinsichtlich der Wrmeleitung und Wrmekonvektion bereinstimmen, so mssen die Reynoldsschen und die Pe´cletschen Kennzahlen bereinstimmen. Daraus ergibt sich eine Gleichheit der Prandtlschen Kennzahlen Pr: Pr ¼ Pe=Re ¼ nM =bM ¼ nH =bH :
Nu ¼ aM lM =lM ¼ aH lH =lH ;
ð23Þ
a Wrmebergangskoeffizient, l Wrmeleitfhigkeit. 7.2.4 Analyse der Einheiten (Dimensionsanalyse) und P-Theorem. Dimensional analysis and P-theorem
Webersches hnlichkeitsgesetz: Vorgnge unter berwiegendem Einfluß von Trgheits- und Oberflchenkrften sind mechanisch hnlich, wenn die Weberschen Kennzahlen We bereinstimmen.
Eu ¼ DpM =ðrM u2M Þ ¼ DpH =ðrH u2H Þ:
hnlichkeitsgesetz von Nußelt. Fr den Wrmebergang zwischen zwei Stoffen besteht hnlichkeit, wenn die Nußeltschen Kennzahlen Nu bereinstimmen:
ð22Þ
Sind die mit Einheiten behafteten Einflußgrßen eines Vorgangs bekannt, so lassen sich aus ihnen Potenzprodukte in Form einheitenloser Kennzahlen bilden. Die zur Darstellung eines Problems erforderlichen Kennzahlen bilden einen vollstndigen Satz. Jede physikalisch richtige Grßengleichung lßt sich als Funktion der Kennzahlen eines vollstndigen Satzes darstellen (P-Theorem von Buckingham). Zum Beispiel kann man die Bernoullische Gleichung fr die reibungsfreie Strmung ru2 =2 þ p þ rgz ¼ const bzw. 1=2þ p=ðru2 Þ þ gz=u2 ¼ const auch schreiben als 1=2 þ Eu þ1=Fr ¼ const, d. h., die Eulersche und die Froudesche Kennzahl bilden fr die reibungsfreie und temperaturunabhngige Strmung einen vollstndigen Satz. Die fnf Einflußgrßen r, u, p, g, z lassen sich also durch zwei einheitenlose Kennzahlen ersetzen, die zur vollstndigen Beschreibung des Problems ausreichen. Eine Methode zur Ermittlung des vollstndigen Satzes von Kennzahlen eines Problems – auch in Fllen, wo die physikalischen Grundgleichungen nicht bekannt sind – ist die Analyse der Einheiten unter Zugrundelegung des BuckinghamTheorems [2]. Es besagt: Gilt fr n einheitenbehaftete Einflußgrßen xi die Beziehung f ðx1 ; x2 ; . . . ; xn Þ ¼ 0, so lßt sie sich stets in der Form f ðP1 ; P2 ; . . . ; Pm Þ ¼ 0 schreiben, wobei Pj die m einheitenlosen Kennzahlen sind und m ¼ n q ist. Hierbei ist q die Anzahl der beteiligten Basiseinheiten. Fr m, kg, s wird q ¼ 3 bei mechanischen, und fr m, kg, s, K gilt q ¼ 4 bei thermischen Problemen. Mit einem Produktansatz P ¼ xa1 xb2 xc3 xd4 . . .
ð24Þ
und nach Einsetzen der Einheiten fr xi muß die Summe der Exponenten der Basiseinheiten m, kg, s und K jeweils null werden, da wegen der linken Seite auch die rechte einheitenlos sein muß. Zum Beispiel sind an der vorstehend zitierten reibungsfreien Strmung die Grßen r, u, z, g, p beteiligt. Dann gilt P ¼ ðkg=m3 Þa ðm=sÞb ðmÞc ðm=s2 Þd ðkg=m s2 Þe :
ð25Þ
Fr die Exponenten von kg, m, s folgt dann a þ e ¼ 0; 3a þ b þ c þ d e ¼ 0; b 2d 2e ¼ 0:
ð26Þ
Zwei Exponenten knnen frei gewhlt werden. Zum Beispiel sollen p und g Leitgrßen, d und e frei whlbar sein. Dann folgt aus Gl. (26) a ¼ e, b ¼ 2d 2e und c ¼ d und somit P ¼ ra ub zc gd pe ¼ re u2d2e zd gd pe ¼ ðzg=u2 Þd ðp=ru2 Þe bzw. mit d ¼ 1d und e ¼ 1 P ¼ ð1=FrÞEu; d: h: P1 ¼ Fr; P2 ¼ Eu:
ð27Þ
Also ist das Problem der reibungsfreien Strmung mit m ¼ n q ¼ 5 3 ¼ 2 Kennzahlen beschreibbar, nmlich mit der Froudeschen und der Eulerschen Kennzahl. Ein funktionaler Zusammenhang in Form der Bernoullischen Gleichung lßt sich mit diesem Verfahren natrlich nicht herleiten (weitere Ausfhrungen s. [1–5]).
I8
Spezielle Literatur
B 67
8 Spezielle Literatur Special bibliography
Szabo´: Hhere Mathematik, Teil VI, 2. Aufl. Stuttgart: Teubner 1958.
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B
I1.1
C
Spannungen und Verformungen
C1
Festigkeitslehre Strength of materials J. Lackmann (Kap. C 1–C 9) und H. Mertens (Kap. C 10), Berlin Kapitel C 1–C 9 basieren auf den Ausfhrungen von G. Rumpel und H.D. Sondershausen (bis 18. Auflage)
Allgemeine Literatur zu C 1 bis C 10 Bcher: Gross, D.; Hauger, W.; Schnell, W.: Technische Mechanik, Band 1 u. 2, Heidelberger Taschenbcher Band 215 u. 216. Berlin: Springer 1986. – Gummert, P.; Reckling, K. A.: Mechanik. Braunschweig: Vieweg 1986. – Holzmann, G.; Mayer, H.; Schumpich, G.: Technische Mechanik, Teil I u. III, 6. Aufl. Stuttgart: Teubner 1986. – Issler, L.; Ruoß, H.; Hfele, P.: Festigkeitslehre – Grundlagen, 2. Auflg. Berlin: Springer 1997. – Leipholz, H.: Festigkeitslehre fr den Konstrukteur. Berlin: Springer 1969. – Marguerre, K.: Technische Mechanik, Teil I u. II. Berlin: Springer 1967. – Neuber, H.: Technische Mechanik, Teil II. Berlin: Springer 1971. – Roark, Young: Formulas for Stress and Strain, 5th ed. Singapore: McGraw-Hill 1986. – Szabo´, I.: Einfhrung in die Technische Mechanik, 8. Aufl. Berlin: Springer 1975. – Szabo´, I.: Hhere Technische Mechanik, 5. Aufl. Berlin: Springer 1977, Nachdruck 1985. – Szabo´, I.: Repertorium und bungsbuch der Technischen Mechanik, 3. Aufl. Berlin: Springer 1972, Nachdruck 1985. – Wellinger, K.; Dietmann, H.: Festigkeitsberechnung. Grundlagen und technische Anwendung, 3. Aufl. Stuttgart: Krner 1976. – Ziegler, F.: Technische Mechanik der festen und flssigen Krper. Wien: Springer 1985. – Zurmhl, R.: Praktische Mathematik fr Ingenieure und Physiker. Berlin: Springer 1957, 5. Aufl. 1965, Nachdruck 1984.
1 Allgemeine Grundlagen General fundamentals Die Festigkeitslehre soll Spannungen und Verformungen in einem Bauteil ermitteln und nachweisen, daß sie mit ausreichender Sicherheit gegen Versagen des Bauteils aufgenommen werden. Ein Versagen kann in unzulssig großen Verformungen oder Dehnungen, im Auftreten eines Bruchs oder im Instabilwerden (z. B. Knicken oder Beulen) des Bauteils bestehen. Die hierfr maßgebenden Werkstoffkennwerte sind abhngig vom Spannungszustand (ein-, zwei- oder dreiachsig), von den Spannungsarten (Zug-, Druck-, Schubspannungen), vom Belastungszustand (statisch oder dynamisch), von der Betriebstemperatur sowie von der Grße und der Oberflchenbeschaffenheit des Bauteils.
1.1 Spannungen und Verformungen Stresses and strains
Bild 1 a–c. Spannungen. a, b Definition; c Tensor
1.1.1 Spannungen. Stresses Den ußeren Krften und Momenten an einem Krper (sowie den Trgheitskrften bzw. den negativen Massenbeschleunigungen bei beschleunigter Bewegung) halten im Innern eines Krpers entsprechende Reaktionskrfte das Gleichgewicht. Bei homogen angenommener Massenverteilung des Krpers treten die inneren Reaktionskrfte flchenhaft verteilt auf. Durch jeden Punkt eines Krpers lassen sich unter unendlich vielen Richtungen elementare ebene Schnittflchen dA legen, deren Richtung durch den Normalenvektor n gekennzeichnet wird (Bild 1 a). Der Spannungsvektor s ¼ dF=dA lßt sich in eine Normalspannung s ¼ dFn =dA und in eine Tangentialoder Schubspannung t ¼ dFt =dA zerlegen. In kartesischen Koordinaten ( Bild 1 b) ergeben sich eine Normalspannung sz ¼ dFn =dA und zwei Schubspannungen tzx ¼ dFtx =dA bzw. tzy ¼ dFty =dA. Die Beschreibung des vollstndigen Spannungszustands in einem Punkt erfordert drei Ebenen bzw. ein quaderfrmiges Element (Bild 1 c) mit drei Spannungsvektoren bzw. dem Spannungstensor 1 0 txy txz sx sx ¼ sx ex þ txy ey þ txz ez , C B sy tyz A: ð1Þ sy ¼ tyx ex þ sy ey þ tyz ez , S ¼ @ tyx sz ¼ tzx ex þ tzy ey þ sz ez ;
tzx
tzy
sz
Bild 2 a–d. Einachsiger Spannungszustand. a Spannungen am Element; b Mohrscher Spannungskreis; c, d Trajektorien der Hauptnormal- und Hauptschubspannungen
Aus den Momentengleichgewichtsbedingungen um die Koordinatenachsen fr das Element nach Bild 1 c folgt txy ¼ tyx , txz ¼ tzx , tyz ¼ tzy (Satz von der Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen), d. h., zur vollstndigen Beschreibung des Spannungszustands in einem Punkt sind drei Normalspannungen und drei Schubspannungen erforderlich. Der einachsige Spannungszustand. Er liegt vor, wenn am quaderfrmigen Element (Bild 2 a) eine Normalspannung
C
C2
C
Festigkeitslehre – 1 Allgemeine Grundlagen
angreift, z. B. sx ¼ dF=dA, sy ¼ sz ¼ 0, txy ¼ txz ¼ tyz ¼ 0. Fr ein unter dem Winkel j liegendes Flchenelement folgen die zugehrigen Spannungen s und t aus den Gleichgewichtsbedingungen in n- und t-Richtung zu s ¼ ðsx =2Þ ð1 þ cos 2 jÞ und t ¼ ðsx =2Þ sin 2 j. Hieraus folgt ðs sx =2Þ2 þ t2 ¼ ðsx =2Þ2 , die Gleichung des Mohrschen Spannungskreises (Bild 2 b). Fr 2j ¼ 90° bzw. j ¼ 45° ergibt sich die grßte Schubspannung zu t ¼ sx =2, die zugehrige Normalspannung ebenfalls zu s ¼ sx =2. Die grßte und kleinste Normalspannung (hier s1 ¼ sx und s2 ¼ 0) und die grßte Schubspannung (hier t1 ¼ sx =2) werden Hauptnormal- und Hauptschubspannung genannt. Linien, die berall von den Hauptnormal- bzw. Hauptschubspannungen tangiert werden, heißen Hauptnormalspannungs- bzw. Hauptschubspannungstrajektorien (Bild 2 c, d). Der zweiachsige (ebene) Spannungszustand. Treten lediglich in einer Ebene (z. B. der x, y-Ebene) Spannungen auf, so liegt ein ebener Spannungszustand vor (Bild 3 a). Fr die in der unter dem Winkel j geneigten Schnittflche liegenden Spannungen s und t folgen aus den Gleichgewichtsbedingungen in n- und t-Richtung mit txy ¼ tyx 9 > s ¼ sx cos2 j þ sy sin2 j þ 2 txy sin j cos j > > > 1 1 ¼ 2ðsx þ sy Þ þ 2ðsx sy Þ cos 2 j þ txy sin 2 j, = ð2Þ 2 2 t ¼ ðsy sx Þ sin j cos j þ txy ðcos j sin jÞ > > > > ; ¼ 12ðsx sy Þ sin 2 j þ txy cos 2 j: Hieraus folgt nach Quadrieren und Addieren die Gleichung des Mohrschen Spannungskreises (Bild 3 b) mit dem Radius r: 9 sx þ sy 2 2 sx sy 2 2 > > s þt ¼ þtxy , > = 2 2 ð3Þ ffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s s 2 > > x y > ; r¼ þt2xy : 2 Der Kreismittelpunkt liegt an der Stelle ðsx þ sy Þ=2: Die Hauptnormalspannungen ergeben sich mit t ¼ 0 aus Gl. (2) unter den Winkeln j01 und j02 ¼ j01 þ 90°, die aus ð4Þ tan 2 j0 ¼ 2 txy =ðsx sy Þ folgen, zu s1,2 ¼ ðsx þ sy Þ=2
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ½ðsx sy Þ=22 þ t2xy :
ð5Þ
Die grßten Schubspannungen folgen gemß Gl. (2) aus dt=dj ¼ 0 unter den Winkeln j11 und j12 ¼ j11 þ 90°, die sich aus ð6Þ tan 2 j1 ¼ ðsy sx Þ=ð2 txy Þ ergeben, wobei j11 ¼ j01 þ 45° und j12 ¼ j02 þ 45° ist (Bild 3 c). Die Grße dieser Hauptschubspannungen entspricht dem Radius des Mohrschen Spannungskreises, d. h. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð7Þ t1,2 ¼ ½ðsx sy Þ=22 þ t2xy : Die zugehrigen Normalspannungen sind fr beide Winkel gleich groß, nmlich sM ¼ ðsx þ sy Þ=2:
Die Richtung der Hauptnormalspannungstrajektorien folgt aus Gl. (4) 2 txy 2 tan j0 2y0 ¼ ¼ 1 tan2 j0 1 y 0 2 sx sy sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi sy sx sy sx 2 y10 ,2 ¼ þ1, 2 txy 2 txy
tan 2 j0 ¼
zu
die Richtung der dazu um 45 gedrehten Hauptschubspannungstrajektorien aus Gl. (6) 2 tan j1 2y 0 sy sx ¼ ¼ 1 tan2 j1 1 y 0 2 2 txy sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 ffi 2 txy 2 txy þ1: y30 ,4 ¼ sx sy sx sy
tan 2 j1 ¼
zu
Der dreiachsige (rumliche) Spannungszustand. Treten in drei senkrecht zueinander liegenden Ebenen Spannungen auf, so besteht ein rumlicher Spannungszustand (Bild 1 c). Er wird von den sechs Spannungskomponenten sx ; sy ; sz ; txy ¼ tyx ; txz ¼ tzx und tyz ¼ tzy bestimmt. Fr eine beliebige Tetraederschnittflche, deren Stellung mit dem Normalenvektor n ¼ cos a ex þ cos b ey þ cos g ez ¼ nx ex þ ny ey þ nz ez festgelegt ist (Bild 4), ergibt sich der Spannungsvektor s ¼ sx ex þ sy ey þ sz ez bzw. seine Komponenten aus den Gleichgewichtsbedingungen in x-, y-, z-Richtung zu sx ¼ nx sx þ ny tyx þ nz tzx , sy ¼ nx txy þ ny sy þ nz tzy , s ¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s2x þ s2y þ s2z :
ð8Þ
sz ¼ nx txz þ ny tyz þ nz sz ; Die zur Tetraederschnittflche senkrecht stehende Normalspannung ist s ¼ sn ¼ sx nx þ sy ny þ sz nz ¼ n2x sx þ n2y sy þ n2z sz þ 2ðnx ny txy þ nx nz txz þ ny nz tyz Þ: Fr die resultierende Schubspannung (Bild 4) gilt pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t ¼ s2 s2 . Die Hauptnormalspannungen treten in den drei zueinander senkrecht stehenden Flchen auf, in denen t zu Null wird. Der Spannungstensor hat dann die Form 1 0 0 0 s1 C B s2 S ¼ @0 0 A, 0 0 s3 und fr die Spannungsvektoren gilt si ¼ ni si ði ¼ 1; 2; 3Þ, d. h. six ¼ nix si , siy ¼ niy si , siz ¼ niz si :
ð9Þ
Die Gln. (8) und (9) gleichgesetzt ergibt ðsx si Þ nix þ tyx niy
þ tzx niz
¼ 0,
txy nix
þ ðsy si Þ niy þ tzy niz
¼ 0,
txz nix
þ tyz niy
þ ðsz si Þ niz ¼ 0:
Bild 3 a–c. Ebener Spannungszustand. a Spannungen am Element; b Mohrscher Spannungskreis; c Hauptspannungen
ð10Þ
I1.1
Bild 4. Rumlicher Spannungszustand
Dieses lineare homogene Gleichungssystem fr die Komponenten nix ; niy und niz der Hauptnormalenvektoren hat nur dann eine nichttriviale Lsung, wenn die Koeffizientendeterminante null wird. Daraus folgt eine kubische Gleichung fr si der Form s3i J1 s2i þ J2 si J3 ¼ 0
ð11Þ
mit
Spannungen und Verformungen
C3
Die Spannungen fr beliebige Normalenwinkel liegen stets in dem in Bild 5 b schraffierten Bereich. Die grßte Hauptschubspannung betrgt t2 ¼ ðs1 s3 Þ=2. Sie liegt in der x, zEbene in einem Flchenelement, dessen Normale unter 45 zur x- und z-Achse steht (Bild 5 c). Entsprechend sind t1 ¼ ðs2 s3 Þ=2 und t3 ¼ ðs1 s2 Þ=2. Die Ebenen der Hauptschubspannungen stehen nicht aufeinander senkrecht, sondern bilden die Seitenflchen eines regulren Dodekaeders [4]. Fr die Beurteilung komplizierter rumlicher Spannungszustnde sind die Oktaederschub- und -normalspannung von großer Bedeutung. Sie gehren zu den acht Schnittebenen, deren Normalen mit den drei Hauptachsen gleiche Winkel bilden und ein regulres Oktaeder darstellen (Bild 6). Ihre Grße ist [4] s0 ¼ ðs1 þ s2 þ s3 Þ=3 ¼ ðsx þ sy þ sz Þ=3, qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t0 ¼ ð1=3Þ ðs1 s2 Þ2 þ ðs2 s3 Þ2 þ ðs1 s3 Þ2 , qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 13 ðsx sy Þ2 þ ðsy sz Þ2 þ ðsz sx Þ2 þ 6ðt2xy þ t2yz þ t2xz Þ:
J1 ¼ sx þ sy þ sz , J2 ¼ sx sy þ sx sz þ sy sz t2xy t2xz t2yz , J3 ¼ sx sy sz sx t2yz sy t2zx sz t2xy þ 2 txy tyz tzx : J1 , J2 , J3 sind Invariante des Spannungstensors, da sie fr alle Bezugssysteme denselben Wert annehmen, d. h., fr die Hauptrichtungen gilt J1 ¼ s1 þ s2 þ s3 , J2 ¼ s1 s2 þ s1 s3 þs2 s3 , J3 ¼ s1 s2 s3 . Sind aus Gl. (11) die si ði ¼ 1; 2; 3Þ ermittelt, so folgen aus Gl. (10) nach Einsetzen der si ði ¼ 1; 2; 3Þ jeweils drei lineare Gleichungen fr die Komponenten nix ; niy ; niz einer Hauptnormalenrichtung. Da jeweils zwei der drei Gleichungen linear voneinander abhngig sind, muß die stets gltige Beziehung n2ix þ n2iy þ n2iz ¼ 1 mitbenutzt werden. Sind hieraus die Hauptnormalenvektoren ni ði ¼ 1; 2; 3Þ bestimmt, so sind Grße und Richtung der Hauptnormalspannungen bekannt. Fr das Spannungshauptachsensystem x, h, z (Richtungen i=1, 2, 3; Bild 5 a) ergibt sich mit s3 ¼ 0 ein ebener Spannungszustand mit den Hauptspannungen s1 und s2 und der Gleichung fr den Mohrschen Spannungskreis analog Gl. (3) s s 2 s1 þ s2 1 2 þ t2 ¼ : s 2 2 Entsprechende Kreise ergeben sich fr s2 ¼ 0 bzw. s1 ¼ 0 (Bild 5 b). Die Komponenten s und t des Spannungsvektors s fr ein durch n ¼ ðcos a; cos b; cos gÞ gegebenes beliebiges Flchenelement (Bild 5 a) folgen aus den Mohrschen Kreisen (Bild 5 b), indem von s1 der Winkel a und von s3 der Winkel g abgetragen wird und durch die Schnittpunkte A und B auf dem Hauptkreis zu den Nebenkreisen konzentrische Kreise eingezeichnet werden. Der Schnittpunkt C liefert die zugehrige Grße von s und t [1–5].
1.1.2 Verformungen. Strains Jeder Krper erfhrt unter Einwirkung ußerer Krfte und Momente Verformungen. Der Eckpunkt P eines quaderfrmigen Elements mit den Kantenlngen dx; dy; dz (auf Bild 7 ist nur die x, y-Ebene dargestellt) erfhrt eine Verschiebung f ¼ uex þ uey þ wez mit den Komponenten u, u, w. Gleichzeitig wird das Element gedehnt, d. h., die Kantenlngen vergrßern (oder verkleinern) sich auf dx0 , dy0 , dz0 , und es wird zu einem Parallelepiped verformt, wobei die Gleitwinkel g1 , g2 usw. auftreten. Bei kleinen Verformungen (Bild 7) gilt fr Dehnungen e und Gleitungen g ex ¼
¶u dx dx0 dx ¶x ¶u ¶u ¶w ¼ ¼ , ey ¼ , ez ¼ , dx ¶x ¶y ¶z dx
gxy ¼ g1 þ g2 ¼
gxz ¼
ð12Þ
¶u ¶u dy dx ¶u ¶u ¶y ¶x þ ¼ þ , ¶u ¶u ¶x ¶y dx þ dx dy þ dy ¶x ¶y
¶w ¶u ¶w ¶u þ , gyz ¼ þ ¶x ¶z ¶y ¶z
Mit ¶u ¶u ¶w ¶u þ þ 2, exz ¼ 2, ¶x ¶y ¶x ¶z ¶w ¶u þ eyz ¼ 2 ¶y ¶z
exy ¼
Bild 5 a–c. Rumlicher Spannungszustand. a Spannungshauptachsen; b Mohrsche Spannungskreise; c Hauptschubspannung
ð13Þ
C
C4
Festigkeitslehre – 1 Allgemeine Grundlagen Unter Volumendehnung versteht man dV 0 dV dx0 dy0 dz0 1 ¼ dx dy dz dV ð1 þ ex Þ dxð1 þ ey Þ dyð1 þ ez Þ dz ¼ 1 dx dy dz ¼ ex þ ey þ ez þ ex ey þ ex ez þ ey ez þ ex ey ez
e¼
C
bzw. bei Vernachlssigung der kleinen Grßen hherer Ordnung e ¼ ex þ ey þ ez :
Bild 6. Oktaederspannungen
ð16Þ
1.1.3 Formnderungsarbeit. Strain energy An einem Volumenelement dx dy dz mit den Dehnungen ¶u usw. verrichtet z. B. die Spannung sx die Arbeit ¶x Zex Z ¶u dW ¼ sx dy dz d dx ¼ sx dex dV: ¶x
ex ¼
0
Als Folge aller Normal- und Schubspannungen entsteht also nach Integration ber den ganzen Krper die Formnderungsarbeit 2 Z Zex Zey Zez Zgxy 4 sx dex þ sy dey þ sz dez þ txy dgxy W¼
Bild 7. Verzerrungszustand
ðVÞ
lßt sich der Verzerrungszustand mit dem Verzerrungstensor 1 0 ex exy exz C B ey eyz A V ¼ @ eyx ezx ezy ez beschreiben, fr den hnliche Eigenschaften und Berechnungsmethoden gelten wie fr den Spannungstensor, Gl. (8). Fr die Hauptdehnungen e1 , e2 , e3 ergibt sich aus ðex ei Þ nix þ exy niy
þ exz niz
¼ 0,
exy nix
þ ðey ei Þniy þ eyz niz
¼ 0,
exz nix
þ eyz niy
ð14Þ
þ ðez ei Þ niz ¼ 0
durch Nullsetzen der Koeffizientendeterminante die charakteristische Gleichung 3. Grades e3i J4 e2i þ J5 ei J6 ¼ 0,
annimmt. Die Invarianten lauten J 4 ¼ e1 þ e2 þ e3 ; J 5 ¼ e1 e2 þ e2 e3 þ e1 e3 ; J 6 ¼ e1 e2 e3 : Fr den rumlichen und ebenen Fall lassen sich wie bei den Spannungen (Mohrsche) Verzerrungskreise fr die Dehnungen und Gleitungen als Funktion der Winkel a, b, g entwikkeln. Fr homogenes isotropes Material, das im folgenden stets vorausgesetzt wird, fallen Hauptspannungs- und Hauptdehnungsrichtungen zusammen, d. h., Spannungs- und Verformungstensor sind koaxial.
0
Zgyz txz dgxz þ
þ 0
3
0
0
ðVÞ
ð17Þ
tyz dgyz 5dV:
0
Fr die Hauptachsen 1, 2, 3 ist 2 3 Z Ze1 Ze2 Ze3 4 s1 de1 þ s2 de2 þ s3 de3 5dV: W¼ 0
0
ð18Þ
0
Im Fall Hookeschen Materials, d. h. bei Proportionalitt zwischen Spannungen s bzw. t und Dehnungen e bzw. Gleitungen g, gilt Z W ¼ ð1=2Þ ðsx ex þ sy ey þ sz ez ð19Þ ðVÞ þ txy gxy þ txz gxz þ tyz gyz Þ dV
ð15Þ
wobei J4 ¼ ex þ ey þ ez , J5 ¼ ex ey þ ey ez þ ez ex e2xy e2yz e2zx und J6 ¼ ex ey ez ex e2yz ey e2zx ez e2xy þ 2 exy eyz ezx wieder Invarianten sind. Hat man die ei aus Gl. (15) berechnet, so erhlt man aus Gl. (14) (von denen wieder zwei linear abhngig sind) mit n2ix þ n2iy þ n2iz ¼ 1 die Komponenten nix , niy , niz (i ¼ 1; 2; 3) der drei Hauptdehnungsrichtungen, d. h. der Richtungen, fr die es nur Dehnungen, aber keine Gleitungen gibt, und fr die der Verformungstensor die Form 1 0 e1 0 0 C B V ¼ @0 0 A e2 0 0 e3
0
Zgxz
bzw.
Z
W ¼ ð1=2Þ
ðs1 e1 þ s2 e2 þ s3 e3 Þ dV:
ð20Þ
ðVÞ
1.2 Festigkeitsverhalten der Werkstoffe Strength of materials Erluterungen zu den Werkstoffkenngrßen wie Proportionalittsgrenze, Streck- oder Fließgrenze und Bruchgrenze, die der Spannungs-Dehnungs-Linie eines Werkstoffs entnehmbar sind, s. E 2.2. Hookesches Gesetz. Fr die Normalspannungen gilt im Proportionalittsbereich der Spannungs-Dehnungs-Linie fr einen einaxial gezogenen Stab (Bild 8 a) das Gesetz s ¼ Ee:
ð21Þ
Hierbei ist s ¼ F=A0 die Spannung, e ¼ Dl=l0 die Dehnung (Dl Verlngerung des Stabs) und E der Elastizittsmodul. Bei Verlngerung erfhrt der Stab eine Verringerung des Durchmessers um Dd ¼ d d0 . Dann ist eq ¼ Dd=d0 die Querdehnung. Zwischen der Lngs- und Querdehnung besteht die Be-
I1.3
Bild 8 a, b. Hookesches Gesetz. a fr Dehnung; b fr Gleitung
ziehung eq ¼ ne, wobei n die Querdehnungs- bzw. Poissonzahl nach (DIN 1304) ist ðnStahl ¼ 0;30Þ. In der neueren Literatur wird der Reziprokwert m ¼ 1=n als Poissonsche Zahl bezeichnet. Fr die Schubspannungen lautet das quivalente Hookesche Gesetz (Bild 8 b) t ¼ Gg,
ð22Þ
wobei g ¼ du=dy die Gleitung und G der Gleit-(Schub-)modul ist. Es besteht die Beziehung G ¼ E=½2ð1 þ nÞ. Werte fr E, G und n (s. Anh. E 3), erweiterte Hookesche Gesetze fr beliebige Spannungszustnde s. C 3. Sicherheit und zulssige Spannung bei ruhender Beanspruchung. Versagt eine Konstruktion aufgrund unzulssig großer Verformungen (bei Werkstoffen mit Streckgrenze), Bruch (bei sprdem Material) oder Instabilwerden (infolge Knickung, Kippung, Beulung) und tritt das Versagen bei einer Spannung s ¼ K (K Werkstoffkennwert) ein, so ergibt sich die vorhandene Sicherheit bzw. die zulssige Spannung aus K K , szul ¼ : ð23Þ S¼ svorh S Gleichmßige Spannungsverteilung. Sind die Spannungen gleichmßig ber den Querschnitt verteilt (Bild 9 a), so ist bei zhen Werkstoffen K ¼ Re und bei sprden K ¼ Rm bzw. sdB zu setzen. Als Sicherheit gegen Verformen wird SF ¼ 1;2 . . . 2;0 gegen Bruch SB ¼ 2;0 . . . 4;0 und gegen Instabilitt SK ¼ 1;5 . . . 4;0 angenommen. Ungleichmßige Spannungsverteilung. Bei sprden Werkstoffen und ungleichmßig ber den Querschnitt verteilten Spannungen (Bild 9 b) ist im Fall von Biegung in Gl. (23) (Biegebruchfestigkeit) zu setzen ðsbB K ¼ sbB 1;6 . . . 2;0Rm Þ. Im Fall der Torsionsbeanspruchung gilt tzul ¼ K=S mit K ¼ 1;0 . . . 1;1Rm . Bei zusammengesetzten Beanspruchungen ist K aus den Formeln fr Vergleichsspannungen (s. C 1.3) zu ermitteln. Bei zhen Werkstoffen kann im Fall von Biegung in Gl. (23) K ¼ Re gesetzt werden; man sieht also in erster Nherung die Verformungen bereits als unzulssig an, wenn die Faser mit der grßten Spannung zu fließen beginnt. Da jedoch alle anderen Fasern noch im elastischen Bereich liegen, wird die Außenfaser aufgrund der Sttzwirkung der Innenfasern am aus-
Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen
C5
geprgten Fließen gehindert, d. h., es treten noch keine unzulssig großen Verformungen auf. Man lßt daher zur besseren Ausnutzung des Querschnitts eine weitere Ausbreitung der Fließspannungen ber den Querschnitt zu, bis die Randfaser eine bleibende Dehnung von 0,2% erreicht hat (Bild 9 c; Formdehngrenzenverfahren [6–10]). Erst bei Ausdehnung der Fließspannungen ber den gesamten Querschnitt setzen wirklich unzulssig große Verformungen ein (Bild 9 d). Zum Beispiel betrgt das gerade noch elastisch aufnehmbare Biegemoment nach Bild 9 b bei Rechteckquerschnitt Mb1 ¼ sF bh2 =6, whrend das Tragmoment im vollplastischen Zustand nach Bild 9 b Mb3 ¼ sF bh2 =4 ist, d. h. Mb3 ¼ 1;5 Mb1 . In Wirklichkeit ist das bertragbare Moment bis zum Bruch infolge des Verfestigungsbereichs noch grßer – allerdings bei unzulssig großen Verformungen. Das Verhltnis von nvpl ¼ Mb3 =Mb1 wird vollplastische Sttzziffer genannt und ist Grundlage des Traglastverfahrens im Stahlbau. Nach dem Formdehngrenzenverfahren kann man in Gl. (23) den Wert K ¼ K 0,2 setzen. Dabei ist der Formdehngrenzwert K ¼ K 0,2 eine fiktive Ersatzspannung nach der Elastizittstheorie, die (z. B. im Fall von Biegung) dasselbe Tragmoment liefert wie die wirklichen Spannungen bei einer bleibenden Dehnung der Randfaser von 0,2%. Hierbei wird das Ebenbleiben der Querschnitte auch im plastischen Bereich vorausgesetzt. Fr den Rechteckquerschnitt folgt z. B. bei einer idealelastisch-plastischen Spannungs-Dehnungs-Linie nach Bild 10 a mit sF ¼ 210 N=mm2 , d. h. eel ¼ 210=210 000 ¼ 0;1%, bei epl ¼ 0;2% eine Gesamtdehnung e ¼ eel þ epl ¼ 0;3%. Damit liegt die Dehnung der Fasern unterhalb der Hhe h/6 im elastischen, darber im plastischen Bereich (Bild 10 b), womit sich die Spannungsverteilung nach Bild 10 c ergibt. Das Tragmoment ist M b, el ¼ K 0,2 bh2 =6; Mb, pl ¼ Mb2 ¼ sF
bh 2 bh 2 h þ sF h 3 3 12 9
13 bh2 bh2 ¼ 1,44 sF : 6 9 6 Aus Mb; pl ¼ M b, el folgt K 0,2 ¼ 1;44 sF . Die Formdehngrenzspannung K 0,2 ist von der Hhe der Fließgrenze und von der Form der Spannungs-Dehnungs-Linie abhngig. Das Dehngrenzenverhltnis d0;2 ¼ K 0,2 =sF bzw. d0;2 ¼ K 0,2 =Rp 0;2 , auch Sttzziffer n0;2 [5] genannt, ist dagegen weitgehend von der Grße der Streck- bzw. Fließgrenze unabhngig und nur noch von der Form der Spannungs-Dehnungs-Linie abhngig. In Tab. 1 sind die Sttzziffern d0;2 fr verschiedene Querschnitte und fr zwei typische Spannungs-Dehnungs-Linien angegeben (nach [9]). Fr den Festigkeitswert K in Gl. (23) gilt dann K ¼ K 0,2 ¼ d0;2 sF ¼ d0;2 Rp 0;2 . Sicherheit und zulssige Spannung bei dynamischer Beanspruchung s. E 1.6.5. ¼ sF
1.3 Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Failure criteria, equivalent stresses Bei mehrachsigen Spannungszustnden ist die Zurckfhrung auf eine einachsige Vergleichsspannung sv erforderlich, da Werkstoffkennwerte fr mehrachsige Zustnde i. allg. nicht vorliegen. Die folgenden Festigkeitshypothesen bercksichtigen die Art der Ursache des Versagens infolge unterschiedlichen Werkstoffverhaltens. 1.3.1 Normalspannungshypothese Maximum principal stress criterion
Bild 9 a–d. Spannungsverteilung. a gleichmßig; b ungleichmßig; c teilplastisch; d vollplastisch
Sie ist anzuwenden, wenn mit einem Trennbruch senkrecht zur Hauptzugspannung zu rechnen ist, d. h. bei sprden Werkstoffen (z. B. Grauguß, aber auch bei Schweißnhten), oder
C
C6
Festigkeitslehre – 1 Allgemeine Grundlagen sehen werden. Die Vergleichsspannung sv ist dann fr den dreiachsigen (rumlichen) Spannungszustand sv ¼ 2tmax ¼ s3 s1
C Bild 10 a–c. Formdehngrenze. a Idealisiertes Spannungs-DehnungsDiagramm; b Dehnungen; c Spannungen
Tabelle 1. Dehngrenzenverhltnisse d0;2
(wobei s1 > s2 > s3 , s. Bild 5 b; Bestimmung von s1 und s3 nach C 1.1.1). Fr den zweiachsigen (ebenen) Spannungszustand gilt qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sv ¼ 2tmax ¼ ðsx sy Þ2 þ 4t2 :
1.3.3 Gestaltnderungsenergiehypothese Maximum shear strain energy criterion Die GE-Hypothese, auch v. Mises-Hypothese genannt, vergleicht die zur Gestaltnderung (nicht Volumennderung!) aufgrund von Gleitungen zu Beginn des Fließens erforderlichen Arbeiten beim mehrachsigen und einachsigen Spannungszustand und liefert daraus die Vergleichsspannung sv . Sie gilt fr verformbare Werkstoffe, die bei Auftreten plastischer Deformation versagen, aber auch bei schwingender Beanspruchung mit Versagen durch Dauerbruch. Fr den dreiachsigen (rumlichen) Spannungszustand gilt pffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sv ¼ ð1= 2Þ ðs1 s2 Þ2 þ ðs2 s3 Þ2 þ ðs3 s1 Þ2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ s2x þ s2y þ s2z ðsx sy þ sy sz þ sx sz Þ þ 3ðt2xy þ t2yz þ t2xz Þ (Bestimmung von s1 ; s2 ; s3 gemß C 1.1.1) und fr den zweiachsigen (ebenen) Spannungszustand qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sv ¼ s21 þ s22 s1 s2 ¼ s2x þ s2y sx sy þ 3t2 : Erwhnt sei, daß die Hypothese auch durch Gleichsetzen der Oktaederschubspannungen (s. C 1.1.1) herleitbar ist.
1.3.4 Erweiterte Schubspannungshypothese Mohrs criterion Sie geht nach Mohr von verschiedenen gemessenen Grenzspannungszustnden aus. Die Einhllende der zugehrigen Mohrschen Spannungskreise ist dann die Grenzfestigkeitskurve t ¼ f ðsÞ und stellt eine umfassende Werkstoffcharakteristik dar. Da meist nicht gengend Werkstoffkennwerte (besonders fr rumliche Spannungszustnde) vorliegen, ersetzt man die Einhllende durch drei Geraden (Bild 11).
1.3.5 Anstrengungsverhltnis nach Bach Bachs correction factor wenn der Spannungszustand die Verformungsmglichkeit des Werkstoffs einschrnkt (z. B. bei dreiachsigem Zug oder stoßartiger Beanspruchung). Fr den dreiachsigen (rumlichen) Spannungszustand gilt sv ¼ s1 (Bestimmung von s1 nach C 1.1.1) und fr den zweiachsigen (ebenen) Spannungszustand (s. C 1.1.1) qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sv ¼ s1 ¼ 0,5½sx þ sy þ ðsx sy Þ2 þ 4t2 :
1.3.2 Schubspannungshypothese Maximum shear stress (Tresca) criterion Fhrt Gleitbruch zum Versagen (z. B. bei statischer Zug- und Druckbeanspruchung verformbarer Werkstoffe und bei Druckbeanspruchung sprder Werkstoffe), so knnen nach Mohr dafr die Hauptschubspannungen als maßgebend ange-
Da s und t hufig verschiedenen Belastungsfllen (s. E 1.1) unterliegen, wird t auf den Belastungsfall von s umgerechnet. Dazu wird t durch a0 t ersetzt. Das Anstrengungsverhltnis ist a0 ¼ sGrenz =ðjtGrenz Þ. Der Faktor j ergibt sich fr die jeweilige Festigkeitshypothese, wenn s ¼ 0 gesetzt wird, d. h. aus sv ¼ t zu j ¼ 1 fr die Normalspannungshypothese; fr die Schubspannungshypothese; sv ¼ 2t pffiffiffiffiffi zu j ¼ 2 sv ¼ 3t zu j ¼ 1; 73 fr die GE-Hypothese Fr den wichtigen Beanspruchungsfall der gleichzeitigen Biegung und Torsion eines Stabs folgt fr das Anstrengungsverhltnis aus den Grenzspannungen des Werkstoffs Stahl angenhert bei Biegung wechselnd, Torsion ruhend bei Biegung wechselnd, Torsion wechselnd bei Biegung ruhend, Torsion wechselnd whrend die Vergleichsspannungen die Form
a0 0,7, a0 ¼ 1,0, a0 1,5,
I2.3
Flchenpressung und Lochleibung
C7
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 s2b þ 4ða0 tt Þ2 ðNormalspannungs-> > > > > > > hypotheseÞ, > > = qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 sv ¼ s2b þ 4ða0 tt Þ ðSchubspannungs- > ð24Þ > > > > hypotheseÞ, > > qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi > > ; 2 2 sv ¼ sb þ 3ða0 tt Þ ðGE-HypotheseÞ
sv ¼ 0,5½sb þ
C
annehmen.
Bild 11. Grenzfestigkeit nach Mohr
2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile. Stresses in bars and beams
VDI 2226, Bilder 7 bis 12). Bei dynamischer Belastung ist die wirksame Spannung smax; wirks: ¼ bk sn . (Werte bk oder Berechnung mit bezogenem Spannungsgeflle s. E 1.5.2.)
2.1 Zug- und Druckbeanspruchung Tension and compression
2.1.5 Stbe unter Temperatureinfluß Bars with variation of temperature
2.1.1 Stbe mit konstantem Querschnitt und konstanter Lngskraft. Uniform bars under constant axial load Im Bereich konstanter Lngs- oder Normalkraft FN ¼ F gilt fr Spannung, Dehnung und Verschiebung (Bild 1 a) s ¼ FN =A; e ¼ du=dx ¼ Dl=l ¼ s=E; u(x)=(s/E)x uðlÞ ¼ Dl ¼ el ¼ ðs=EÞl. Das Hookesche Gesetz wird hier und im folgenden immer als gltig vorausgesetzt. Nach C 1.1.3 ist die Formnderungsarbeit Z W ¼ ð1=2Þ se dV ¼ s2 Al=ð2EÞ ¼ FN2 l=ð2EAÞ: Diese Gleichungen gelten fr Zug- und Druckkrfte. Bei Druckkrften ist der Nachweis gegen Knicken zustzlich erforderlich (s. C 7). 2.1.2 Stbe mit vernderlicher Lngskraft Bars with variable axial loads Vernderliche Lngskraft FN tritt z. B. infolge Eigengewicht (Dichte r) auf (Bild 1 a ). Fr Querschnitt A ¼ const folgt FN ðxÞ ¼ rgV ¼ rgAðl xÞ, sðxÞ ¼ rgðl xÞ, Z Z Z 1 uðxÞ ¼ du ¼ eðxÞdx ¼ rgðl xÞdx E rg ðlx x2 =2Þ þ C; ¼ E C ¼ 0 aus u(x = 0), d. h. Dl ¼ uðlÞ ¼ rgl2 =ð2EÞ; Formnderungsarbeit Z Zl 2 1 1 s F2 l W¼ A dx ¼ G : se dV ¼ E 2 2 6 EA x¼0
2.1.3 Stbe mit vernderlichem Querschnitt Bars of variable cross section Die Lngskraft FN ¼ F sei konstant (Bild 1 b). Z Z F sðxÞ ¼ F=AðxÞ, uðxÞ ¼ eðxÞdx ¼ dx; EAðxÞ l Z Z 1 1 F2 dx: se dV ¼ W¼ EAðxÞ 2 2
Das Hookesche GesetzZ nimmt die Form eðxÞ ¼ sðxÞ=E þ at Dt an. Hieraus uðxÞ ¼
eðxÞdx bzw. fr s ¼ const: uðlÞ ¼
Dl ¼ ðs=E þ at DtÞl; at Temperaturausdehnungskoeffizient: (Stahl 1;2 105 ; Gußeisen 1;05 105 , Aluminium 2;4 105 , Kupfer 1;65 105 K1 Þ. Wird die Lngsausdehnung behindert (z. B. bei Einspannung zwischen starren Wnden, Festhalten durch den Unterbau einer unendlich langen Eisenbahnschiene), so ergibt sich aus u(l)=0 die zugehrige Spannung. Ist A ¼ const und damit auch s ¼ const lngs des Stabs, so folgt aus Dl ¼ 0 die Wrmespannung s ¼ Eat Dt: Zum Beispiel wird die Fließgrenze fr St 37 mit sF ¼ 240 N=mm2 , E ¼ 2;1 105 N=mm2 und at ¼ 1;2 105 K1 erreicht bei Dt ¼ sF =ðEat Þ ¼ 95;2 K:
2.2 Abscherbeanspruchung Transverse shear stresses Scherbeanspruchung entsteht aufgrund zweier gleich großer, wenig gegeneinander versetzter Krfte in Bolzen, Stiften, Schrauben, Nieten, Schweißnhten usw. (Bild 2 a–d). Dabei sind im Fall von Preßpassungen bei Niet-, Stift- und sonstigen Verbindungen die im Niet, Stift usw. auftretenden Biegemomente vernachlssigbar klein, da das umgebende Material die Krmmung der Verbindungselemente verhindert. Es stellt sich ein schwer berechenbarer rumlicher Spannungszustand ein. Bei Bolzen oder Schrauben, die mit Spiel eingebaut werden, ist ein zustzlicher Nachweis auf Biegung erforderlich. Der Nachweis auf Abscheren erfolgt unter Annahme einer gleichmßigen Verteilung der Schubspannungen (die bei Erreichen des vollplastischen Zustands bei zhen Werkstoffen auch vorhanden ist; Bild 2 e): ta ¼ F=ðnmAÞ n ¼ 1; 2 ; 3 . . . ein-, zwei- oder mehrschnittige Verbindung, m ¼ 1; 2; 3 . . . Anzahl der Niete, Schrauben usw. Die zulssige Scherspannung ist im Maschinenbau fr zhe Werkstoffe pffiffiffi ta; zul ¼ sS = 3S mit S 1;5 bei statischer, S 2;0 bei schwellender und wechselnder Beanspruchung.
x¼0
2.1.4 Stbe mit Kerben. Bars with notches
2.3 Flchenpressung und Lochleibung Contact stresses and bearing pressure
Hier gelten zunchst die prinzipiellen Ausfhrungen ber Gestaltfestigkeit und Kerbwirkung (s. E 1.5). Nennspannung sn ¼ F=An , max. Spannung smax ¼ ak sn (Werte ak s.
Zwei gegeneinander gedrckte und einander flchenhaft berhrende Teile stehen unter Flchenpressung (punktfrmige Berhrung s. C 4).
C8
Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile
C Bild 1 a, b. Stab mit a konstantem Querschnitt; b vernderlichem Querschnitt
sp; zul sdF =2;0 bei schwellender Beanspruchung, fr sprde Werkstoffe sp; zul sdB =2;0 bei ruhender und sp; zul sdB =3;0 bei schwellender Beanspruchung. Im brigen ist sp; zul von Betriebsbedingungen wie Gleitgeschwindigkeit und Temperatur abhngig (s. G 1.5.2). 2.3.2 Gewlbte Flchen. Curved surfaces Wellenzapfen. Die ber den Umfang vernderliche Pressung wird rechnerisch ersetzt durch die mittlere Pressung auf die Projektionsflche (Bild 3 b): Bild 2 a–e. Abscherbeanspruchungen
2.3.1 Ebene Flchen. Plane surfaces Die Verteilung der Pressung hngt von der Steifigkeit der einander berhrenden Krper ab. Nherungsweise wird mit dem Mittelwert (Bild 3 a) sp ¼ Fn =A bzw: sp ¼ Fn =Aproj gerechnet. Aproj ist die auf die Senkrechte zur Kraftrichtung projizierte Flche. So gilt fr den Keil nach Bild 3 a sp1 ¼ F1 =A1 ¼ F1 =ðA= sin aÞ und wegen F1 =Fn ¼ sin b= sinða þ bÞ somit sp1 ¼ Fn sin a sin b=½A sinða þ bÞ ¼ Fn =½Aðcot a þ cot bÞ ¼ Fn =ðA1proj þ A2proj Þ ¼ Fn =Aproj ; entsprechend gilt auch sp2 ¼ F2 =A2 ¼ Fn =Aproj : Die zulssige Flchenpressung ist stark vom Belastungsfall (statisch, schwellend, wechselnd) abhngig. Maßgebend ist die Festigkeit des schwcheren Teils. Anhaltswerte fr sp; zul : fr zhe Werkstoffe sp; zul sdF =1;2 bei ruhender und
Bild 3 a, b. Flchenpressung. a Ebene Flchen; b Wellenzapfen
sp ¼ F=Aproj ¼ F=ðdlÞ sp; zul je nach Betriebsbedingungen (z. B. 2 bis 30 N=mm2 fr große Diesel- bzw. kleine Otto-Motoren, vgl. G 5). Bolzen, Stifte, Niete, Schrauben. Flchenpressung wird bei Nieten und Schrauben auch als Lochleibung bezeichnet. Es gilt (Bild 2 b, c, e), wiederum bezogen auf die Projektionsflche, sp ¼ s1 ¼ F=A ¼ F=ðdsÞ F auf die bertragungsflche A entfallender Kraftanteil, s Dicke des Materials. Im Maschinenbau sp; zul wie bei ebenen Flchen.
2.4 Biegebeanspruchung. Bending 2.4.1 Schnittlasten: Normalkraft, Querkraft, Biegemoment. Axial force, shear force, bending moment Stabfrmige Krper, wie Balken oder Trger mit gerader, gekrmmter oder abgewinkelter Achse, die von Auflagerreaktionen im Gleichgewicht gehalten werden (s. B 1.6), tragen die ußere Belastungen (Einzelkrfte, Streckenlasten, Einzelmomente) durch innere Normal- und Schubspannungen zu den Auflagern hin ab (in Bild 4 a, b fr den ebenen Fall). Die Resultierenden dieser Spannungen ergeben in der Ebene die drei Schnittlasten Mb , FQ , FN ; d. h. ein Biegemoment, dessen Momentenvektor in y-Richtung gerichtet ist, eine Querkraft senkrecht und eine Normal- oder Lngskraft tangential zur Balkenachse. Querkrfte und Biegemomente sind positiv,
Bild 4 a, b. Schnittlasten
I2.4 wenn am linken Schnittufer ihre Vektoren entgegengesetzt zu den positiven Koordinatenrichtungen y und z gerichtet sind; Normalkraft (und Torsionsmoment), wenn ihre Vektoren in positiver Koordinatenrichtung x gerichtet sind. Nach dem Newtonsches Axiom von „actio ¼ reactio“ sind die positiven Schnittlasten am rechten Schnittufer entgegengesetzt zu denen am linken Schnittufer anzusetzen (Bild 4 b). In der Ebene werden die drei Schnittlasten aus den drei Gleichgewichtsbedingungen am freigemachten Teiltrger berechnet: X X X Fiz ¼ 0, Mi ¼ 0: ð1Þ Fix ¼ 0, X In der Regel wird hierbei Mi ¼ 0 bezglich der Schnittstelle gebildet, damit die Unbekannten FQ und FN nicht in diese Gleichung eingehen. Im Raum stehen sechs Gleichgewichtsbedingungen fr sechs Schnittlasten zur Verfgung (s. C 2.4.4). Voraussetzung fr die einfache Berechnung ist die statische Bestimmtheit der Systeme (s. B 1.7). 2.4.2 Schnittlasten am geraden Trger in der Ebene Forces and moments in straight beams Zunchst werden am Gesamttrger (Bild 5 a) aus den drei Gleichgewichtsbedingungen die Auflagerreaktionen FAx , FAz und FB bestimmt und anschließend aus den Gln. (1) die Schnittlasten berechnet (Standardflle s. Tab. 1). Trger mit Einzellasten (Bild 5 a–e). Zur Berechnung der Schnittlasten ist eine Einteilung des Trgers in Abschnitte erforderlich, da an den Kraftangriffspunkten Querkrfte, Lngskrfte und Biegemomente Unstetigkeiten aufweisen. Schnitte in jedem Abschnitt liefern die entsprechenden Schnittlasten; z. B. gilt fr Abschnitt III gemß Bild 5 b X Fix ¼ 0, FN ðxÞ ¼ FAx F1x ; X Fiz ¼ 0, FQ ðxÞ ¼ FAz F1z F2z ; X Mi ¼ 0, Mb ðxÞ ¼ FAz ðx a1 Þ F1z x F2z ðx a2 Þ:
Biegebeanspruchung
Dieses Ergebnis gilt allgemein, d. h., die erste Ableitung des Biegemoments ist gleich der Querkraft. Da eine Funktion dort, wo ihre erste Ableitung null wird, Extrema hat, liegen die Extremwerte der Biegemomente an den Nullstellen der Querkraftlinie. Da bei Belastung durch Einzellasten die Biegemomentenlinie aus Geradenstcken besteht, gengt es, die Werte Mb ðx ¼ a1 Þ, Mb ðx ¼ a2 Þ usw. zu berechnen und sie durch Geraden miteinander zu verbinden. Beispiel: Fr die Kettenradwelle (Bild X 6 a) ist die Querkraft- und Momentenlinie zu ermitteln. – Aus MiB ¼ 0 folgt zunchst FAz ¼ X 17 250 N und aus MiA ¼ 0 die Auflagerkraft FB ¼ 27 750 N. Ein X Schnitt im Bereich II (Bild 6 b) liefert aus Fiz ¼ 0 ¼ FAz F1 FQ die Querkraft FQ ¼ 12 750 N. Durch entsprechende Schnitte folgt im Bereich I der Wert FQ ¼ 17 250 N und im Bereich III der Wert FQ ¼ 27 750 N: Querkraftlinie FQ ðxÞ („Treppenkurve”) s. Bild 6 c. Biegemomente an denXStellen 1 und 2 erhlt man durch Schnitt in diesen Stellen aus Mi1 ¼ 0 ¼ FAz 0;5 m þ Mb1 zu X Mb1 ¼ 8 625 Nm und aus Mi2 ¼ 0 ¼ FAz 0;85 m þ F1 0;35 mþ Mb2 zu Mb2 ¼ 4 162;5 Nm: Die geradlinigen Verbindungen dieser Werte untereinander und mit den Nullstellen an den Auflagern ergeben die Biegemomentenlinie Mb ðxÞ (Bild 6 d).
Trger mit Einzelmomenten. Fr einen Trger, der mit einem Einzelmoment M (s. Tab. 1, Fall Nr. 9) belastet ist, hat die Biegemomentenlinie wegen Mb0 ðxÞ ¼ FQ ðxÞ ¼ const berall denselben Anstieg. Sie springt aber am Angriffspunkt des Moments M um dessen Betrag. Trger mit Streckenlasten (Bild 7). Wie beim Trger mit Einzellasten ist – abgesehen vom Einfeldtrger mit durchgehender Streckenlast – die Einteilung in Abschnitte erforder-
Die Normal- und Querkrfte sind abschnittsweise konstant, die Biegemomente lineare Funktionen von x, d. h. Geraden. Die graphische Darstellung der Schnittlasten ergibt die Normalkraft-, die Querkraft- und die Biegemomentenlinie (Bild 5 c–e). Aus der ersten Ableitung von Mb ðxÞ folgt dMb =dx ¼ Mb0 ðxÞ ¼ FAz F1z F2z ¼ FQ :
ð2Þ
Bild 6 a–d. Kettenradwelle, Schnittlasten
Bild 5 a–e. Trger mit Einzelkrften, Schnittlasten
C9
Bild 7 a, b. Trger mit Streckenlasten. a beliebig; b linear
C
C 10
Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile
Tabelle 1. Biegemomenten- und Querkraftlinien fr Standardflle
C
I2.4
Biegebeanspruchung
C 11
lich. Legt man in jedem Abschnitt einen Schnitt, so folgt z. B. fr Abschnitt II (Bild 7 a) aus X
Zx Fiz ¼ 0 ¼
qðxÞdx þ FAz FQII ðxÞ 0
ð3Þ
FQII ðxÞ ¼ FAz f ðxÞ und hieraus wegen Mb0 ðxÞ ¼ FQ ðxÞ Z Z MbII ðxÞ ¼ FQII ðxÞdx ¼ FAz x f ðxÞdx þ C:
C ð4Þ
Die Konstante C folgt aus MbII ðx ¼ aÞ ¼ MbA ; wobei MbA aus Berechnung des Abschnitts I bekannt ist. Das Biegemoment ist gleich dem Inhalt der Querkraftflche zuzglich dem Anfangswert MbA : Aus Gl. (3) folgt durch Differentiation und anschließende Integration 0
00
dFQ =dx ¼ FQ ðxÞ ¼ MbZðxÞ ¼ qðxÞ, FQ ðxÞ ¼ Mb0 ðxÞ ¼ qðxÞdx ¼ f ðxÞ þ C1 , Z Mb ðxÞ ¼ FQ ðxÞdx ¼ gðxÞ þ C1 x þ C2 :
ð5Þ
Gleichung (5) erlaubt anstelle der Gln. (3) und (4) die Querkraft FQ ðxÞ und das Biegemoment Mb ðxÞ zu berechnen. Die Konstanten C1 und C2 folgen aus
Bild 8 a–e. Beliebig belasteter Trger, Schnittlasten
FQII ðx ¼ aÞ ¼ FQI ðx ¼ aÞ þ FAz und MbII ðx ¼ aÞ ¼ MbI ðx ¼ aÞ, wobei FQI ðx ¼ aÞ und MbI ðx ¼ aÞ aus der Berechnung des Abschnitts I bekannt sind. Sind die Streckenlasten konstante oder linear steigende Geraden (Bild 7 b), so gilt z. B. fr Abschnitt II q2 q1 q2 q1 x2 qðxÞ ¼ q1 þ x, FQII ðxÞ ¼ FAz q1 x , ða þ bÞ ða þ bÞ 2 x2 q2 q1 x3 MbII ðxÞ ¼ FAz ðx aÞ q1 : 2 ða þ bÞ 6 Bei linear zunehmender bzw. konstanter Streckenlast sind die Biegemomentenlinien Parabeln 3. bzw. 2. Grades (s. Tab. 1). Beliebig belastete gerade Trger (Bild 8). Zunchst X werden aus den drei Gleichgewichtsbedingungen Fix ¼ 0; X X MiA ¼ 0 die Auflagerkrfte zu MiB ¼ 0, FAx ¼ 3;5 kN, FAz ¼ 3;68 kN und FB ¼ 2;17 kN ermittelt. Die Querkrfte werden zweckmßig unmittelbar links und rechts einer Abschnittsgrenze, die Biegemomente fr die Abschnittsgrenze selbst berechnet. Zum Beispiel gilt fr einen Schnitt durch Abschnitt II an der linken Bereichsgrenze, d. h. rechts vom Auflager A, X Fix ¼ 0, FNAr ¼ FAx ¼ þ3,5 kN; X Fiz ¼ 0, FQAr ¼ FAz F1 ¼ 1,68 kN; X Mi ¼ 0, MbA ¼ F1 a ¼ 2,0 kNm: Fr die rechte Bereichsgrenze von Abschnitt II folgt entsprechend X FNII ¼ þ3,5 kN; Fix ¼ 0 ¼ FAx þ FNII X Fiz ¼ 0 ¼ F1 þ FAz qb FQII FQII ¼ 1,32 kN; X Mi ¼ 0 ¼ F1 ða þ bÞ FAz b þ qb2 =2 þ Mb1 Mb1
¼ 1,64 kN m:
Die Querkraftnullstelle im Bereich II folgt aus FQ ðxÞ ¼ 0 zu x0 ¼ 2;12 m mit dem Moment Mb ðx0 Þ ¼ 1;06 kN m: Nach Ermittlung der Schnittlasten fr die anderen Bereiche ergeben sich die in Bild 8 dargestellten Schnittlastlinien. Graphische Ermittlung der Biegemomente. Nach Ersatz der Streckenlasten (Bild 9 a, b) durch Einzellasten FE ¼ qc wird das Poleck (Krftemaßstab 1 cm =k kN, Lngenmaß-
Bild 9 a, b. Biegemomentenlinie, graphische Ermittlung
stab 1 cm =l cm) gezeichnet. bertragen der Polstrahlen in den Lageplan (Seileck) und Zeichnen der Schlußlinie nach B 1.6.1 in Lage- und Polplan liefert die Auflagerkrfte FA und FB . Fr die Schnittstelle x sind die Krfte FA und F1 durch die Krfte FS und FS2 des Polplans zu ersetzen, die sich in horizontale und vertikale Komponenten zerlegen lassen (Bild 9 b). Das Biegemoment ist dann Mb ðxÞ ¼ FH mðxÞ; wobei FH ¼ const gemß Polplan ist; die Werte m(x) reprsentieren also die Momentenflche. Werden FH und m(x) in cm abgelesen, so gilt Mb ðxÞ ¼ klFH mðxÞ in kN cm:
ð6Þ
2.4.3 Schnittlasten an abgewinkelten und gekrmmten ebenen Trgern. Forces and moments in plane curved beams Abgewinkelte ebene Trger. Als Beispiel werde die Hngekonstruktion einer Laufkatze nach Bild 10 a betrachtet. Das System wird in einzelne gerade Abschnitte (aus Symmetriegrnden gengt die Betrachtung einer Hlfte) eingeteilt, und im mitlaufenden x, y, z werden aus X Koordinatensystem X X Fizz ¼ 0 und Mi ¼ 0 die Schnittlasten Fix ¼ 0, ermittelt. So folgt z. B. fr Abschnitt II (Bild 10 b) aus
C 12
Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile
C
Bild 10 a–c. Hngekonstruktion, Schnittlasten
X Fizz ¼ 0 ¼ FQ : Fix ¼ 0 ¼ FN F=2: FN ¼ F=2; aus X Mi ¼ 0 ¼ ðF=2Þa þ Mb : Mb ¼ Fa=2: FQ ¼ 0 und aus Vollstndige Ergebnisse s. Bild 10 c.
X
Gekrmmte ebene Trger. Beim geschlitzten Kreisringtrger (Kolbenring) unter konstanter Radialbelastung q (Bild 11 a) liefert ein Schnitt unter dem Winkel j im mitlaufenden Koordinatensystem x, y, z gemß Bild 11 b. X
Zj Fix ¼ 0 ¼
qr sinðj yÞdy þ FN ðjÞ, 0
X
FN ðjÞ ¼ qrð1 cos jÞ; Zj Fiz ¼ 0 ¼ qr cosðj yÞdy FQ ðjÞ, 0
FQ ðjÞ ¼ qr sin j; X
Zj Mi ¼ 0 ¼
qr 2 sinðj yÞdy þ Mb ðjÞ, 0
Mb ðjÞ ¼ qr 2 ð1 cos jÞ: Graphische Darstellung der Schnittlasten s. Bild 11 c.
2.4.4 Schnittlasten an rumlichen Trgern Forces and moments at beams of space Bei statischer Bestimmtheit stehen im Raum sechs Gleichgewichtsbedingungen zur Verfgung. Daraus ergeben sich die sechs Schnittlasten FN , FQyy , FQzz , Mbyy , Mbzz , Mt : Beim rumlichen Kragtrger nach Bild 12 a, b folgt z. B. fr Bereich III aus X X Fiy ¼ 0 FQy ¼ 0; Fix ¼ 0 FN ¼ 0; X X Fiz ¼ 0 FQz ¼ F; Mix ¼ 0 Mt ¼ Fa; X X Miz ¼ 0 Mbz ¼ 0: Miy ¼ 0 Mby ¼ Fðl xÞ; Die Schnittlasten verlaufen hnlich wie in Bild 10 c. 2.4.5 Biegespannungen in geraden Balken Bending stresses in straight beams Einfache Biegung. Hierunter versteht man die Wirkung aller Lasten parallel zu einer Querschnittsachse, die gleichzeitig Hauptachse – s. Gl. (17) – ist. Handelt es sich um die z-Achse, so gibt es infolge der Lasten in z-Richtung nur Biegemomente Mby (Bild 13 a). Unter den Voraussetzungen, daß die Lastebene durch den Schubmittelpunkt M geht (s. C 2.4.6), das Hookesche Gesetz s ¼ Ee gilt und die Querschnitte eben bleiben, d. h. die Verwlbungen der Querschnitte infolge der Schubspannungen vernachlssigbar klein sind (Bernoullische Hypothese), folgt s ¼ Ee ¼ mz und damit aus den Gleichgewichtsbedingungen Z Z Z X Fix ¼ 0 ¼ s dA ¼ mz dA, z dA ¼ 0,
Bild 11 a–c. Kolbenring, Schnittlasten
Bild 12 a, b. Rumliche Schnittlasten
ð7Þ
I2.4
Biegebeanspruchung
C 13
Die axialen Flchenmomente Iy , Iz und das polare Flchenmoment Ip sind stets positiv, das biaxiale Flchenmoment (Zentrifugalmoment) Iyz kann positiv, negativ oder Null sein. Trgheitsradien: qffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi iy ¼ Iy =A, iz ¼ Iz =A, ip ¼ Ip =A:
Bild 13 a, b. Biegespannungen
d. h., die Spannungsnullinie geht durch den Schwerpunkt, und Z Z Z X yz dA ¼ Iyz ¼ 0, Miz ¼ 0 ¼ sy dA ¼ myz dA, d. h., das biaxiale Flchenmoment Iyz muß Null, bzw. y und z mssen Hauptachsen sein. Ferner gilt Z Z Mby ¼ Mb ¼ sz dA ¼ mz2 dA Z ¼ m z2 dA ¼ mIy ; Iy axiales Flchenmoment 2. Grades. Mit m ¼ Mb =Iy folgt aus Gl. (7) s ¼ ðMb =Iy Þz:
ð8Þ
Die Biegespannungen nehmen also linear mit dem Abstand von der Nullinie zu. Die Extremalspannungen ergeben sich fr z ¼ e1 und z ¼ e2 (Bild 13 b) zu s1 ¼ Mb =Wy1 und s2 ¼ þMb =Wy2 : Wy1 ¼ Wb1 ¼ Iy =e1 und Wy2 ¼ Wb2 ¼ Iy =e2
ð9Þ ð10Þ
sind die (axialen) Widerstandsmomente gegen Biegung (s. Tabelle 2). Die absolut grßte Biegespannung folgt fr Wy min zu ð11Þ smax ¼ jMb j=Wy min : Bei zur y-Achse symmetrischen Querschnitten ist e1 ¼ e2 und Wy1 ¼ Wy2 ¼ Wy : Flchenmomente 2. Grades. In der allgemeinen Balkenbiegungstheorie werden folgende Flchenmomente 2. Grades bentigt (Bild 14 a): Z Z Z Iy ¼ z2 dA, Iz ¼ y2 dA; Iyz ¼ yz dA; Z Z ð12Þ Ip ¼ r 2 dA ¼ ðy2 þ z2 ÞdA ¼ Iy þ Iz :
ð13Þ
Stze von Steiner: Fr zueinander parallele Achsensysteme y, z und y; z (Bild 14 a) gilt Z Z Iy ¼ z2 dA ¼ ðz þ aÞ2 dA Z Z Z ð14Þ ¼ z2 dA þ 2a z dA þ a2 dA ¼ Iz þ 2aSy þ a2 A: Wenn die Achsen y und z durch den Schwerpunkt gehen, wird das statische Moment Sy (und ebenso Sz ) zu Null, und es folgen (fr die anderen Flchenmomente analog) die Steinerschen Stze Iy ¼ Iy þ a2 A,
Iz ¼ Iz þ b2 A,
Iyz ¼ Iyz þ abA, Ip ¼ Ip þ c2 A:
ð15Þ
Fr a ¼ b ¼ c ¼ 0 gehen die Achsen y und z durch den Schwerpunkt, und die axialen und polaren Flchenmomente 2. Grades werden zu einem Minimum. Diese Gleichungen dienen zur Berechnung der Flchenmomente zusammengesetzter Querschnitte mit bekannten Einzelflchenmomenten. Drehung des Koordinatensystems. Fr ein gedrehtes Koordinatensystem h, z (Bild 14 b) gilt 9 h ¼ y cos j þ z sin j, z ¼ z cos j y sin j, > > Z > > > > > Ih ¼ z2 dA ¼ ðIy þ Iz Þ=2 > > > > > > > þ½ðIy Iz Þ=2 cos 2 j Iyz sin 2 j, = Z ð16Þ 2 > Iz ¼ h dA ¼ ðIy þ Iz Þ=2 > > > > > > > ½ðIy Iz Þ=2 cos 2 j þ Iyz sin 2 j, > > Z > > > ; Ihz ¼ hzdA ¼ ½ðIy Iz Þ=2 sin 2 j þ Iyz cos 2 j: > Diese Gleichungen lassen sich in Form des Mohrschen Trgheitskreises graphisch darstellen [1]. Hieraus folgen ferner die von j unabhngigen invarianten Beziehungen 2 2 Ih þ Iz ¼ Iy þ Iz , Ih Iz Ihz ¼ Iy Iz Iyz : Hauptachsen und Hauptflchenmomente 2. Grades. Achsen, fr die das biaxiale Moment Ihz zu Null wird, heißen Hauptachsen 1 und 2. Ihr Stellungswinkel j0 ergibt sich fr Ihz ¼ 0 gemß Gl. (16) aus tan 2 j0 ¼ 2 Iyz =ðIz Iy Þ:
ð17Þ
Die zugehrigen Hauptflchenmomente I1 und I2 folgen mit j0 aus Gl. (16) oder direkt aus qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 : ð18Þ I1,2 ¼ ð1=2Þ½Iy þ Iz ðIy Iz Þ2 þ 4 Iyz I1 und I2 sind das grßte und kleinste Flchenmoment 2. Grades eines Querschnitts. Jede Symmetrieachse eines Querschnitts und alle zu ihr senkrechten Achsen sind stets Hauptachsen. Bei Drehung eines Hauptachsensystems um den Winkel b gilt nach Gl. (16) 9 Ih ¼ ðI1 þ I2 Þ=2 þ ½ðI1 I2 Þ=2 cos 2b, > = Iz ¼ ðI1 þ I2 Þ=2 ½ðI1 I2 Þ=2 cos 2b, ð19Þ > ; Ihz ¼ ½ðI1 I2 Þ=2 sin 2b:
Bild 14 a–c. Flchenmomente fr a parallele Achsen; b gedrehte Achsen; c Rechteckquerschnitt
Ist fr einen Querschnitt I1 ¼ I2 , so folgt aus Gl. (19) Ihz ¼ 0 unabhngig von b, d. h., smtliche Achsen durch den Bezugspunkt sind Hauptachsen, wobei Ih ¼ Iz ¼ I1 ¼ I2 ¼ const : Die nderung von Ih und Iz gemß Gl. (19) lßt sich graphisch durch die Trgheitsellipse darstellen [1].
C
C 14
Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile
Tabelle 2. Axiale Flchenmomente 2. Grades und Widerstandsmomente
C
I2.4
Biegebeanspruchung
C 15
C
Bild 15 a–c. Zusammengesetzte Querschnitte
Berechnung der Flchenmomente Fr einfache Flchen, deren Berandung mathematisch erfaßbar ist, erfolgt die Berechnung durch Integration. Zum Beispiel gilt fr den Rechteckquerschnitt nach Bild 14 c þh=2 Z
Iy ¼ z¼h=2
Tab. 2 enthlt die Flchenmomente 2. Grades wichtiger Querschnitte (s. Anh. C 2 Tab. 1 bis 17 ). Fr zusammengesetzte Querschnitte (Bild 15) folgt mit den Steinerschen Stzen nach Gl. (15) X X ðIyi þ a2i Ai Þ, Iz ¼ ðIzi þ b2i Ai Þ, Iy ¼ X ð20Þ Iyz ¼ ðIyz, i þ ai bi Ai Þ: Hohlrume in Flchen (z. B. Flche A4 in Bild 15 a) sind durch negatives I und negatives A zu bercksichtigen. 1. Beispiel: Fr den Querschnitt nach Bild 15 b, bestehend aus Profilen U 240 und I 200 (mit Bohrung d ¼ 30 mm) berechne man die Schwerpunkthhe zs und das Flchenmoment 2. Grades Iy : – Aus Profiltabellen entnimmt man die Flchen A1 ¼ 4 230 mm2 und A2 ¼ 3 340 mm2 , sowie das Maß e1 ¼ 22;3 mm. Dann ergibt sich fr die Schwerpunkthhe gemß B 1.10 X zs ¼ð zi Ai Þ=A ¼ ð4 230 222,3 þ 3 340 100 7,5 30 70Þ mm3 =7 345 mm2 ¼ 171,4 mm: Damit ergeben sich die Abstnde ai zu a1 ¼ ð222,3 171,4Þ mm ¼ 50,9 mm, a2 ¼ ð100 171,4Þ mm ¼ 71,4 mm, a3 ¼ ð70 171,4Þ mm ¼ 101,4 mm: Nach den Profiltabellen (s. Anh. C2 Tab. 13 und Anh. C2 Tab. 1) ist Iy1 ¼ 248 10 mm
4
und Iy2 ¼ 2 140 10 mm , 4
4
womit aus Gl. (20) folgt Iy ¼ ½248 104 þ 50,92 4 230 þ 2 140 104 þ 71,42 3 340 7,5 303 =12 101,42 ð7,5 30Þ mm4 ¼ 4 954 104 mm4 : 2. Beispiel: Fr den Winkelquerschnitt nach Bild 15 c sind Iy , Iz , Iyz , I1 , I2 , j0 , i1 , i2 zu berechnen. – Aufteilung in zwei Flchen A1 ¼ 10 100 mm2 ¼ 1 000 mm2 und A2 ¼ 50 20 mm2 ¼ 1 000 mm2 mit a1 ¼ 30 mm, b1 ¼ 10 mm, a2 ¼ 30 mm, b2 ¼ 10 mm ergibt nach Gl. (20) mit Iy ¼ bh3 =12 nach Tab. 2 fr den Rechteckquerschnitt Iy ¼ ð10 1003 =12 þ 302 1 000 þ 50 203 =12 þ 302 1 000Þ mm4 ¼ 266,7 104 mm4 , Iz ¼ ð100 103 =12 þ 102 1 000 þ 20 503 =12 þ 102 1 000Þ mm4 ¼ 41,7 104 mm4 :
¼ 60 104 mm4 : Hauptflchenmomente nach Gl. (18)
þh=2
bz2 dz ¼ ½bz3 =3h=2 ¼ bh3 =12:
4
Fr die Einzelrechtecke ist Iyz ¼ 0, da fr sie y und z Hauptachsen sind. Damit ist nach Gl. (20) X ai bi Ai ¼ ½30 ð10Þ 1 000 þ ð30Þ 10 1 000 mm4 Iyz ¼
I1,2 ¼ 0,5 ½ð266,7 þ 41,7Þ 104 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð266,7 41,7Þ2 108 þ 4 602 108 mm4 ¼ ð154,2 104 127,5 104 Þ mm4 ; I1
¼ 281,7 104 mm4 ; I2 ¼ 26,7 104 mm4 :
Stellungswinkel der Hauptachsen nach Gl. (17) j0 ¼ 0,5 arctan
2 60 104 mm4 ¼ 14,04°: ð41,7 266,7Þ 104 mm4
Trgheitsradien nach Gl. (13) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi i1 ¼ 281,7 104 =2 000 mm ¼ 37,5 mm; pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi i2 ¼ 26,7 104 =2 000 mm ¼ 11,6 mm:
Schiefe Biegung. Liegt die Lastebene nicht parallel zu einer Hauptachse, bzw. wirken Lasten in Richtung beider Hauptachsen (Bild 16 a, b), so spricht man von schiefer Biegung. Aus der Belastung je Lastebene ergeben sich Biegemomente, deren zugeordnete Vektoren im Sinne einer Rechtsschraube senkrecht zur Lastebene stehen. Sie sind positiv, wenn sie am linken Schnittufer entgegengesetzt zur positiven Koordinatenrichtung gerichtet sind (Bild 16 c, d). Bei nichtsymmetrischen Querschnitten ist die Ermittlung der Biegemomentenvektoren in Richtung der Hauptachsen h, z erforderlich. Sind Mby und Mbz bekannt, so gilt (Bild 17) Mbh ¼ Mby cos j0 þ Mbz sin j0 , Mbz ¼ Mby sin j0 þ Mbz cos j0 :
ð21Þ
Unter Voraussetzung linearen Hookeschen Materialgesetzes s ¼ Ee und Ebenbleiben der Querschnitte gilt fr die Spannungen der Ansatz einer linearen Verteilung s ¼ ah þ bz und damit fr dieZBiegemomente Z Mbh ¼ Mbz ¼ þ
Z
sz dA ¼ sh dA ¼ þ
Z
ðahz þ bz2 ÞdA ¼ bIh , ðah2 þ bhzÞdA ¼ aIz
und somit fr die Spannungen s ¼ ðMbh =Ih Þz þ ðMbz =Iz Þh:
ð22Þ
Fr die Spannungs-Nullinie (neutrale Faser) bzw. ihre Steigung folgt aus s ¼ 0 z ¼ ðMbz =Mbh ÞðIh =IzÞh bzw: tan a ¼ ðMbz =Mbh ÞðIh =IzÞ:
ð23Þ
C 16
Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile a ¼ arctanð562;5=562;5Þ ¼ 45 und mit Wh ¼ pd3 =32 ¼ 12 272 mm3 dann sextr ¼ ð795 400=12 272Þ N=mm2 ¼ 64;8 N=mm2 .
Trger gleicher Biegebeanspruchung. Mit dem Ziel, Gewicht zu sparen, erhalten Trger eine Form, bei der an jeder Stelle in den Randfasern die zulssige Biegebeanspruchung szul vorhanden ist. Zum Beispiel gilt fr den beidseitig gelagerten Trger nach Bild 20 mit konstanter Hhe h0 und vernderlicher Breite b(x) sowie der Lnge l0 ¼ 2l (bzw. fr einen Kragtrger der Lnge l)
C
s ¼ Mb ðxÞ=Wy ðxÞ ¼ Fx=½bðxÞ h20 =6 ¼ szul ¼ const , bðxÞ ¼ 6Fx=ðh20 szul Þ, b0 ¼ bðlÞ ¼ 6Fl=ðh20 szul Þ: Die Breite nimmt also linear mit x zu. Weitere Flle s. Tab. 3. Als angenherte Form wird hufig die geradlinige, gestrichelt eingezeichnete Begrenzung durch die Tangenten gewhlt. 2.4.6 Schubspannungen und Schubmittelpunkt am geraden Trger Shear stresses and shear centre in straight beams
Bild 16 a–d. Schiefe Biegung
Schubspannungen. Bei Querkraftbiegung eines Trgers treten in jedem Querschnitt Schubspannungen auf. Ihre Resultierende ist die Querkraft FQ (Bild 21). Die Schubspannungen verlaufen am Rand tangential zur Berandung, da wegen txn ¼ tnx (Satz von den zugeordneten Schubspannungen) bei schubbelastungsfreier Oberflche tnx ¼ txn ¼ 0 gilt. Unter der Annahme, daß alle Schubspannungen einer Hhe z durch denselben Punkt P gehen und die Komponenten txz ber die Breite b(z) konstant sind (Bild 21), folgt aus der Gleichgewichtsbedingung fr ein Trgerelement der Lnge dx wegen tzx ¼ txz ( Bild 22) X
Ze1 Fix ¼ 0 ¼ txz bðzÞdx þ
ð¶s=¶xÞdx dA z
Bild 17. Momentenvektoren in Hauptachsenrichtungen
und mit s ¼ ðMb =Iy Þz nach Gl. (8) sowie dMb =dx ¼ FQ gemß Gl. (2), wenn Iy ¼ const ist,
Bild 18 a, b. Spannungen bei a schiefer Biegung; b doppelter Biegung
Die maximale Spannung ergibt sich in jedem Punkt P, der den grßten Abstand von der Nullinie hat (Bild 18 a). y und z sind dabei mit den Hauptachsen h und z identisch.
Bild 19. Welle mit doppelter Biegung
Doppelte Biegung liegt vor fr den Sonderfall des kreisfrmigen Querschnitts. Da beim Kreis jede Achse Hauptachse ist, qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 þ M 2 stets in Richtung einer Hauptachse fllt Mb; res ¼ Mby bz (Bild 18 b). Fr die Spannungen und ihre Nullinie gilt dann s ¼ ðMb, res =Ih Þz, tan a ¼ Mbz =Mby :
ð24Þ
Die extremalen Biegespannungen ergeben sich fr z= R zu sextr ¼ Mb, res =Wh mit Wh ¼ Ih =R:
ð25Þ
Beispiel: Fr die Seilrollenachse nach Bild 19 mit F ¼ 7 500 N, l ¼ 300 mm und d ¼ 50 mm berechne man Mby , Mbz , Mb; res , a und sextr : – Die Momente ergeben sich gemß Tab. 2 zu Mby ¼ Mbz ¼ Fl=4 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 562;5 Nm: Also wird Mb; res ¼ 562;52 þ 562;52 Nm ¼ 795;4 Nm,
Bild 20. Trger gleicher Biegebeanspruchung
I2.4
Biegebeanspruchung
C 17
Tabelle 3. Trger gleicher Biegebeanspruchung
C
txz ¼
FQ Iy bðzÞ
Ze1 z dA ¼ z¼z
Ze1 Sy ðzÞ ¼
ð26Þ
Ze1 z dA ¼
z
FQ Sy ðzÞ mit Iy bðzÞ
zbðzÞdz: z
Sy ist hierbei das statische Moment des ber der Hhe z liegenden Querschnittsteils in bezug auf die y-Achse. Die grßte Schubspannung am Rand (Bild 21) ist dann jeweils txr ¼ txz = cos y. In Wirklichkeit sind allerdings die Schubspannungen txz ber die Breite b infolge der Querdehnung usw. nicht konstant [1, 2]. Im folgenden werden die Schubspannungsverteilungen fr verschiedene Querschnitte ermittelt.
Bild 22. Spannungen am Trgerelement
Rechteckquerschnitt (Bild 23 a).
Bild 21. Schubspannungen bei Querkraftbiegung
Bild 23 a, b. Schubspannungsverteilung bei a Rechteckquerschnitt; b Kreisquerschnitt
C 18
Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile
" # b h2 bh2 z 2 z2 ¼ 1 ; 8 2 4 h=2 z " # 3 FQ z 2 3 FQ , max t ¼ txz ðz ¼ 0Þ ¼ txz ¼ 1 , 2 bh h=2 2 bh Zh=2
Sy ðzÞ ¼
C
zb dz ¼
txz ðz ¼ h=2Þ ¼ 0: Die Schubspannungen verteilen sich parabolisch ber die Hhe, die maximale Schubspannung ist max t ¼ 1;5 FQ =A ¼ 1;5 tm ; d. h. 50% grßer als bei gleichfrmiger Verteilung. Eine genauere Theorie ergibt eine Zunahme der Schubspannungen am Rand und eine Abnahme in der Mitte. Die maximale Randschubspannung fr z=0 folgt aus max 3FQ mit f gemß txz ðz ¼ 0Þ ¼ f 2A
Zr Kreisquerschnitt (Bild 23 b). Mit Sy ðzÞ ¼
zbðzÞdz, z
bðzÞ ¼ 2r cos j, z ¼ r sin j, dz ¼ r cos j dj folgen Zp=2 Sy ðzÞ ¼
p=2
2r 3 sin j cos2 j dj ¼ ½23 r3 cos3 jy y
¼ 23 r 3 cos3 y, FQ 2 4FQ cos2 y r3 cos3 y ¼ ðp r 4 =4Þ 2r cos y 3 3 p r2 z2 4 FQ ¼ 1 , 3 p r2 r rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi z2ffi 4FQ 4FQ txr ¼ txz = cos y ¼ cos y ¼ 1 : 3 p r2 3 p r2 r
txz ¼
Beim [-Profil wird entsprechend max txy ¼ txz2 ðt2 =t1 Þ txz2 , wenn t2 t1 ist. In der Praxis gengt meist der Nachweis der maximalen Schubspannungen im Steg nach der Nherungsformel max txz ¼ FQ =ASteg : Schubspannungen in Verbindungsmitteln bei zusammengesetzten Trgern. Sollen Profile mittels Gurtplatten oder anderen Profilen verstrkt werden, so sind sie durch Schweißnhte oder Niete bzw. Schrauben miteinander zu verbinden (Bild 25). Fr den Schubfluß T 0 ðxÞ je Lngeneinheit gilt nach Gl. (26): T 0 ðxÞ ¼ tðxÞbðz1 Þ ¼ FQ Sy ðz1 Þ=Iy : Hierbei ist Sy ðz1 Þ das statische Moment des ber der Trennflche liegenden Querschnittsteils bezglich der Schwerachse des Gesamtquerschnitts und Iy das axiale Flchenmoment 2. Grades des Gesamtquerschnitts. Die Scherspannungen betragen in den Schweißnhten der Dicke a bzw. in Nieten oder Schrauben mit der Teilung e und der Scherflche A. ta ¼ T 0 =ð2aÞ bzw: ta ¼ T 0 e=ð2AÞ:
txz verluft nach einer Parabel ber die Hhe, txr nach einer Ellipse lngs des Rands (Bild 23 b). Fr z ¼ 0 folgt max txz ¼
4 FQ 4 FQ 4 ¼ tm : ¼ 3 p r2 3 A 3
Kreisringquerschnitt. Mit Innen- bzw. Außenradius ri und ra gilt FQ max txz ¼ txz ðz ¼ 0Þ ¼ k A mit 2 2 4 ri þ ri ra þ ra : k¼ 3 ri2 þ ra2 Fr dnnwandige Querschnitte wird mit ri ra r der Wert k ¼ 2;0: I-Querschnitt, [-Querschnitt und hnliche dnnwandige Profile (Bild 24). Mit A1 ¼ b1 t1 , A2 ¼ b2 t2 und A ¼ 2A1 þ A2 wird
Bild 24. Schubspannungen in dnnwandigen Profilen
Bild 25. Zusammengesetzte Profile
2
Iy ¼ 2b1 t13 =12 þ 2A1 ðb2 =2 þ t1 =2Þ þ t2 b32 =12: Sy1 ¼ A1 ðb2 þ t1 Þ=2, txz1 ¼ FQ Sy1 =ðIy b1 Þ; Sy2 ¼ A1 ðb2 þ t1 Þ=2 ¼ Sy1 , txz2 ¼ FQ Sy1 =ðIy t2 Þ ¼ txz1 ðb1 =t2 Þ; Sy3 ¼ Sy1 þ A2 b2 =8, txz3 ¼ FQ Sy3 =ðIy t2 Þ ¼ max txz : Verlauf der Schubspannungen txz s. Bild 24. Whrend txz in den Flanschen sehr klein ist, erreicht txy dort beachtliche Grßenordnungen. Fr Schnitt 4 4 gilt Sy4 ¼ ðb1 =2 yÞ t1 ðb2 þ t1 Þ=2, txy4 ¼ FQ Sy4 =ðIy t1 Þ: txy erreicht sein Maximum fr y ¼ 0: max Sy4 ¼ b1 t1 ðb2 þ t1 Þ=4 ¼ A1 ðb2 þ t1 Þ=4 ¼ Sy1 =2, max txy ¼ FQ Sy1 =ð2Iy t1 Þ ¼ txz2 ðt2 =t1 Þ=2 txz2 =2:
ð27Þ
Schubmittelpunkt. Voraussetzung fr eine drillungsfreie Querkraftbiegung ist, daß die Lastebene durch den Angriffspunkt der Resultierenden der Schubspannung, d. h. durch den Schubmittelpunkt M, geht (z. B. fr Belastung in Richtung der Hauptachse z durch den Punkt im Abstand yM gemß Bild 26). Berechnung der Koordinaten yM und zM des Schubmittelpunkts: Da das Moment der Schubflußkrfte gleich dem der Querkraft FQz um den Schwerpunkt sein muß, gilt
Bild 26. Schubmittelpunkt
I2.4
Biegebeanspruchung
C 19
C Bild 27. Schubmittelpunkt dnnwandiger Querschnitte
Zl FQz yM ¼
0
T ðsÞhðsÞds 0
Zl ¼
½T 0 ðsÞz cos j ds þ T 0 ðsÞy sin j ds,
0
T 0 ðsÞ ¼ FQz Sy ðsÞ=Iy , Sy ðsÞ ¼ ¼
yM
1 Iy
Zs
Zs z dA ¼
0
Zl Sy ðsÞ hðsÞ ds ¼ 0
1 Iy
zt ds, 0
Zl
Sy ðsÞðy sin j þ z cos jÞds: 0
Hierbei ist Sy ðsÞ das statische Moment des ber der Schnittstelle s liegenden Querschnittsteils. Entsprechend ergibt sich bei Kraftwirkung in Richtung der Hauptachse y zM
¼
¼
1 Iz 1 Iz
Zs Sz ðsÞ ¼
Zl Sz ðsÞ hðsÞ ds 0
Zl Sz ðsÞðy sin j þ z cos jÞ ds, 0
Zs
y dA ¼ 0
y t ds: 0
Hat ein Querschnitt eine Symmetrieachse, so liegt der Schubmittelpunkt auf dieser Achse, hat er zwei Symmetrieachsen, so fllt der Schubmittelpunkt in den Symmetriepunkt, d. h. in den Schwerpunkt. Bei aus zwei Rechtecken zusammengesetzten Querschnitten liegt er im Schnittpunkt der Mittellinien der Rechtecke (Bild 27). Beispiel: [-Profil nach 27. – Lage des Schwerpunkts folgt zu e ¼ 4;214 cm und damit Iy ¼ 10 909 cm4 . Fr den oberen Flansch gilt Sy ðs1 Þ ¼ 3 cm 11;5 cm s1 ¼ 34;5 cm2 s1 ; Sy ðs1 ¼ 11 cmÞ ¼ 379;5 cm3 ; fr den Steg bis zur Mitte gilt Sy ðs2 Þ ¼ 379,5 cm3 þ 2 cm s2 ð11,5 cm s2 =2Þ ¼ 379,5 cm3 þ 23 cm2 s2 1 cm s22 ; Sy ðs2 ¼ 11,5 cmÞ ¼ 511,75 cm3 : Der Querschnitt ist zur y-Achse symmetrisch, d. h., fr die untere Hlfte ergeben sich analoge Werte. Somit wird 2 11 cm 11Z,5 cm Z 2 34,5 cm2 s1 11,5 cm ds1 þ ð379,5 cm3 yM ¼ 4 Iy 0 0 3
R d, die unterschiedliche Lnge der Außen- und Innenfasern zu bercksichtigen. Dies fhrt zu einer hyperbolischen Spannungsverteilung fr s; die Spannungen werden gegenber der linearen Spannungsverteilung außen kleiner und innen grßer. Bei Einwirkung einer Normalkraft FN und eines Biegemoments Mb gilt (Bild 28) unter der Voraussetzung des Ebenbleibens der Querschnitte Dds1 Dds zDdj Ddj z ¼ ¼ e0 þ e0 : eðzÞ ¼ ds1 ðR zÞdj dj R z Hierbei ist e0 ¼ Dds=ds ¼ Dds=ðR djÞ die Dehnung in der Schwerachse. Weiter gilt Ddj z sðzÞ ¼ EeðzÞ ¼ E e0 þ e0 , ð28Þ dj R z d. h., Dehnungen und Biegespannungen verteilen sich nach einem hyperbolischen Gesetz (Bild 28). e0 und Ddj=dj folgen aus Z Z Ddj z FN ¼ sðzÞdA ¼ e0 EA þ E e0 dA, ð29Þ dj Rz Z Z Ddj z2 ð30Þ dA: Mb ¼ sðzÞz dA ¼ E e0 Rz dj Z z Mit dA ¼ kA und Rz Z Z Z 2 z Rz z dA ¼ z dA ¼ R dA ¼ RkA Rz Rz Rz folgt aus Gl. (30) bzw. (29) Ddj Mb bzw: ¼ ERkA dj FN Ddj FN Mb e0 þ e0 ¼ k¼ EA EA ERA dj e0
und damit aus Gl. (28) FN Mb 1 z sðzÞ ¼ þ 1 : A RA k Rz
z0 ¼
FN R þ Mb kR : ¼ Mb FN R þ Mb 1 þ kþ kR R 1 þ FN R=Mb
þ 23 cm2 s2 1 cm s22 Þ 3,214 cm ds2 5 ¼
2 41 289 cm5 ¼ 7,57 cm: 10 909 cm4
2.4.7 Biegespannungen in stark gekrmmten Trgern Bending stresses in highly curved beams Whrend fr schwach gekrmmte Stbe, d. h. fr R > d, die Formeln der Biegespannungen des geraden Stabs (Gln. (8) bis (11)) gelten, ist fr stark gekrmmte Stbe, d. h. fr
ð31Þ
Die Spannungen in den Randfasern folgen hieraus fr z ¼ ei und z ¼ ea . Die Spannungsnullinie folgt aus sðzÞ ¼ 0 zu
Bild 28. Biegung des stark gekrmmten Trgers
C 20
C
Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile
Fr Mb ¼ FN R wird z0 ¼ 0, d. h., die neutrale Faser liegt in der Schwerachse, wenn die Einzelkraft F ¼ FN im Krmmungsmittelpunkt wirkt. Fr reine Biegung ðFN ¼ 0Þ folgt z0 ¼ kR=ð1 þ kÞ < R, und fr reine Normalkraft ðMb ¼ 0Þ ist z0 ¼ R, d. h., die Nullinie liegt im Krmmungsmittelpunkt. Formbeiwert k fr verschiedene Querschnitte: Rechteck: Mit y ¼ e=R ¼ h=ð2RÞ gilt k ¼ 1 þ
1 1 þ y y2 y4 y6 ln þ þ : 5 7 2y 1 y 3
Kreis, Ellipse: Mit y ¼ e=R (e Halbachse in Krmmungsebene) gilt Bild 29. Durchbiegung eines geraden Trgers
k y2 =4 þ y4 =8 þ 5y6 =64: Dreieck (gleichschenklig): Mit y ¼ ei =R ¼ h=ð3RÞ gilt 2 0;33 1þ 2y k ¼ 1 þ 0;67 þ 1 : ln 3y y 1y Die Maximalspannung aus dem Biegemoment tritt stets an der Innenseite des gekrmmten Stabs auf. Der Vergleich mit der Nennspannung sn ¼ Mb =Wyi bei geradliniger Spannungsverteilung liefert si ¼ max sb ¼ aki sn :
ð32Þ
Die Formziffer aki ¼ si =sn ist von Querschnittsform und Krmmung abhngig (Tab. 4). Tabelle 4. Formziffern aki
Da die Formziffer von der Querschnittsform nur wenig abhngt, sind diese Werte auch fr andere Querschnittsformen quivalent zu verwenden. 2.4.8 Durchbiegung von Trgern. Deflection of beams Elastische Linie des geraden Trgers. Unter der Annahme des Ebenbleibens der Querschnitte (Vernachlssigung der Schubspannung) gilt gemß Bild 29 ds1 ds ðr zÞ da r da z ¼ ¼ ds r da r und hieraus mit dem Hookeschen Gesetz e ¼ s=E sowie der Gl. (8) 1 Mb ðxÞ ; ð33Þ k¼ ¼ r EIy ðxÞ e¼
d. h., die Krmmung ist proportional dem Biegemoment Mb ðxÞ und umgekehrt proportional zur Biegesteifigkeit EIy ðxÞ. Mit der Krmmungsformel einer Kurve, k ¼ da=ds ¼ w 00 ðxÞ=ð1 þ w0 2 ðxÞÞ3=2 (s. A bzw. DUBBEL interaktiv), folgt aus Gl. (33) die Differentialgleichung der Biegelinie der Balkenachse (Eulersche Elastika) w 00 ðxÞ Mb ðxÞ : ¼ EIy ðxÞ ð1 þ w 0 2 ðxÞÞ3=2
Z 1 Mb ðxÞ dx w 0 ðxÞ aðxÞ ¼ EI0 1 ¼ f ðxÞ þ C1 , EI0 Z 1 f ðxÞ þ C1 dx EI0 1 ¼ gðxÞ þ C1 x þ C2 : EI0
wðxÞ ¼
w 00 ðxÞ ¼ Mb ðxÞ=ðEIy ðxÞÞ:
ð35 bÞ
Die Konstanten C1 und C2 werden aus den Randbedingungen bestimmt (Bild 30 a, b): fr den beidseitig gelenkig gelagerten Trger wðx ¼ 0Þ ¼ 0 und wðx ¼ lÞ ¼ 0, sowie fr den einseitig eingespannten Trger wðx ¼ 0Þ ¼ 0 und w 0 ðx ¼ 0Þ ¼ 0 (bzw. wðx ¼ lÞ ¼ 0 und w 0 ðx ¼ lÞ ¼ 0 bei rechtsseitiger Einspannung). Nach dieser Methode wurden die Standardflle (Tab. 5) berechnet. Erweiterte Differentialgleichung. Gemß den Gln. (2) und (5) gilt dMb =dx ¼ FQ ðxÞ und dFQ =dx ¼ qðxÞ. Damit folgt aus Gl. (34) d dMb ¼ FQ ðxÞ, ½EIy ðxÞw 00 ðxÞ ¼ dx dx 2 2 d d M dFQ b ¼ qðxÞ: ½EIy ðxÞw 00 ðxÞ ¼ ¼ dx2 dx2 dx Fr Iy ¼ I0 ¼ const wird EI0 w 0000 ðxÞ ¼ qðxÞ: Durch viermalige Integration ergibt sich hieraus Z EI0 w 000 ðxÞ ¼ FQ ðxÞ ¼ qðxÞ dx ¼ f1 ðxÞ þ C1 , Z EI0 w 00 ðxÞ ¼ Mb ðxÞ ¼ FQ ðxÞ dx ¼ f2 ðxÞ þ C1 x þ C2 , Z EI0 w ðxÞ EI0 aðxÞ ¼ Mb ðxÞ dx 0
¼ f3 ðxÞ þ C1 x2 =2 þ C2 x þ C3 , EI0 wðxÞ ¼ f4 ðxÞ þ C1 x3 =6 þ C2 x2 =2 þ C3 x þ C4 :
ð36Þ 9 > > > > > > > > > > > > > > = > > > > > > > > > > > > > > ;
ð37Þ
C1 . . . C4 werden aus den Randbedingungen gemß Bild 30 a, b bestimmt. Greift am freien Ende des Trgers nach Bild 30 b ein Moment M bzw. eine Kraft F an, so lautet die entsprechende Randbedingung EI0 w 00 ðx ¼ lÞ ¼ M bzw: EI0 w 000 ðx ¼ lÞ ¼ F:
Fr kleine Durchbiegungen, d. h. w02 ðxÞ 1, folgt hieraus die linearisierte Differentialgleichung der technischen Balkenbiegungslehre ð34Þ
Fr den Sonderfall konstanten axialen Flchenmoments 2. Grades, Iy ðxÞ ¼ I0 , folgt dann durch Integration
ð35 aÞ
Bild 30 a, b. Randbedingungen
I2.4
Biegebeanspruchung
C 21
Superpositionsmethode. Durch geeignete berlagerung der in Tab. 5 niedergelegten Ergebnisse erhlt man fr Trger mit mehreren Einzellasten sowieX Momenten und Streckenlasten die Verformungen aus w ¼ wi ¼ w1 þ w2 þ w3 þ . . . X bzw. a ¼ ai ¼ a1 þ a2 þ a3 þ . . ., wobei der Index i jeweils einem in Tab. 5 niedergelegten Fall entspricht. Beispiel: Trger mit Kragarm (Bild 31). Gegeben sei I1 ¼ 30 cm4 , I2 ¼ 12 cm4 , E ¼ 2;1 105 N=mm2 , l ¼ 600 mm, a ¼ 300 mm und F ¼ 2 kN, gesucht die Durchbiegung des Kragarms. – Nach Bild 31 b gilt f1 ¼ a tan aB1 a aB1 ¼ Ml=ð3EI1 Þ gemß Tab. 5 a, Fall 3 d. Die Durchbiegung f2 infolge Kragarmkrmmung (Bild 31 c) folgt aus Tab. 5 a, Fall 6, zu f2 ¼ Fa3 =ð3EI2 Þ. Somit ist f ¼ f1 þ f2 ¼ Fa2 l=ð3EI1 Þ þ Fa3 =ð3EI2 Þ ¼ ð0;057 þ 0;071Þ cm ¼ 0;128 cm.
C Bild 32 a, b. Schubdurchsenkung
folgt C=(a/GA)Fl und somit wS ðxÞ ¼ ða=GAÞ Fðl xÞ bzw. wS ðx ¼ 0Þ ¼ ða=GAÞFl. Der entsprechende Wert aus Biegung ist wðx ¼ 0Þ ¼ Fl3 =ð3EIy Þ. Fr einen Rechteckquerschnitt ergibt sich wS =w ¼ ð0;3 E=GÞðh=lÞ2 . Nun ist 0;3 E=G 1 und somit wS =w ðh=lÞ2 . Fr h/l=1/5 wird wS 0;04 w, d. h., die Schubverformungen fr niedrige Trger sind gegenber den Biegeverformungen vernachlssigbar. Durchbiegung schwach gekrmmter Trger. Entsprechend dem Ergebnis beim geraden Trger, s. Gl. (33), wird hier die nderung der Krmmung (Bild 33 a) 1 1 Mb : ¼ EIy r R
Bild 31 a–c. Superpositionsmethode
Durchbiegung bei schiefer Biegung. Sind Mbh ðxÞ und Mbz ðxÞ die Biegemomente um die Hauptachsen h und z (s. C 2.4.5), so ergeben sich die Durchbiegungen u(x) und w(x) in Richtung h und z nach einem der angegebenen Verfahren. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Die resultierende Verschiebung folgt aus f ðxÞ ¼ u2 þ w2 und stellt eine Raumkurve dar. f(x) steht an jeder Stelle senkrecht zur entsprechenden neutralen Faser [1]. Einfluß der Schubverformungen auf die Biegelinie. Infolge der Querkrfte FQ ergeben sich die ber die Hhe eines Trgers vernderlichen Schubspannungen t nach Gl. (26). Aus dem Hookeschen Gesetz (s. C 1 Gl. (22)) und Bild 32 a folgt fr die Gleitungen g ¼ g1 þ g2 ¼ t=G. Sie sind ebenfalls ber die Hhe vernderlich, d. h., die Querschnitte verwlben sich. Als Nherung dient eine gemittelte Schubspannung t ¼ aFQ =A, fr die der Faktor a aus der Gleichheit der Formnderungsarbeiten am wirklichen und am gemittelten Spannungszustand folgt: Z 1 1 t2 dV, also FQ dwS ¼ 2 2G Z 1 1 FQ Sy 2 dA dx, d: h: FQ g dx ¼ Iy b 2 2G 2 2 Z FQ t Sy 2 1 1 FQ a¼ dA FQ ¼ 2G Iy b 2 2 AG G Z 2 Sy und somit a ¼ A dA. Iy b Fr einen Rechteckquerschnitt ergibt sich a=1, 2, fr einen Kreisquerschnitt a ¼ 10=9 1;1. Fr die Grße der Schubdurchsenkung gilt dann (Bild 32 b)
Hieraus folgt fr die Radialverschiebung w eines ursprnglich kreisfrmigen Trgers [3, 4] die Differentialgleichung d2 w R2 þw ¼ Mb ðjÞ: EIy d j2
ð38Þ
Die Tangentialverschiebung u folgt zu Z uðjÞ ¼ wðjÞdj: Beispiel: Fr den Viertelkreistrger (Bild 34 b) berechne man die Verschiebungen des Kraftangriffspunkts. – Mit Mb ðjÞ ¼ FR cos j erhlt man die Differentialgleichung w 00 ðjÞ þ wðjÞ ¼ ðFR3 =EIy Þ cos j mit der Lsung wðjÞ ¼ C1 sin j þ C2 cos j ðFR3 =2EIy Þ j sin j: Aus den Randbedingungen w(0)=0 und w 0 ð0Þ ¼ 0 folgen C1 ¼ C2 ¼ 0 und damit wðjÞ ¼ ðFR3 =2EIy Þj sin j mit wðp=2Þ ¼ pFR3 =ð4EIy Þ.
Bild 33 a, b. Mohrsches Verfahren, rechnerisch
dwS =dx ¼ g ¼ t=G ¼ a FQ =ðGAÞ bzw: Z a a wS ðxÞ ¼ FQ ðxÞ dx ¼ Mb ðxÞ þ C: GA GA Zum Beispiel gilt fr einen einseitig (rechts) eingespannten Stab mit einer Einzelkraft am (linken) freien Ende Mb ðxÞ ¼ Fx und damit wS ðxÞ ¼ ða=GAÞFx þ C. Aus wS ðx ¼ lÞ ¼ 0
Bild 34 a, b. Satz von Castigliano. a Allgemein; b Viertelkreistrger
C 22
Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile
Tabelle 5a. Biegelinien von statisch bestimmten Trgern mit konstantem Querschnitt
C
I2.4
Biegebeanspruchung
C 23
Tabelle 5a. (Fortsetzung)
C
und uðp=2Þ ¼ FR3 =ð2EIy Þ:
Stelle des Angriffspunkts. (Sind Verschiebungen an Stellen oder in Richtungen gesucht, an denen keine Einzelkraft wirkt, angebracht und nach Durchfhrung so wird eine Hilfskraft F der Rechnung wieder gleich Null gesetzt; entsprechend bei Drehwinkel und Momenten.)
2.4.9 Formnderungsarbeit bei Biegung und Energiemethoden zur Berechnung von Einzeldurchbiegungen Bending strain energy, energy methods for deflection analysis
Beispiel: Fr den Viertelkreistrger nach Bild 34 b ist die Horizontalverschiebung u des Kraftangriffspunkts zu berechnen. – Mit der Hilfs in Horizontalrichtung (Bild 34 b) gilt fr das Biegemoment kraft F Rð1 sin jÞ sowie fr die FormnderungsarMb ðjÞ ¼ FR cos j F beit und die Verschiebung
Mit u(0)=0 wird dann uðjÞ ¼ ðFR3 =2EIy Þ
Z j sin j dj ¼ ðFR3 =2EIy Þðsin j j cos jÞ
Formnderungsarbeit. Z Z 1 1 Mb2 Wb ¼ ds: Mb dj ¼ 2 2 EIy
W¼
ð39Þ
Satz von Castigliano. Fr Systeme aus Hookeschem Material gilt ( Bild 34 a) ¶W ¶W wF ¼ ; aM ¼ : ¶F ¶M
ð40Þ
Die Ableitung der Formnderungsarbeit nach einer Einzelkraft gibt die Verschiebung in Richtung der Einzelkraft, die Ableitung nach einem Moment ergibt den Drehwinkel an der
1 2 EIy
Zp=2
Rð1 sin jÞ2 R dj, ½FR cos j F
0
¶W 1 u ¼ ¼ ¶F EIy ¼0 bzw. mit F u¼þ ¼
1 EIy
Zp=2
Rð1 sin jÞð1 sin jÞ R2 dj ½FR cos j F
0
Zp=2 FR cos jð1 sin jÞ R2 dj 0
p=2 FR3 1 FR3 sin j sin2 j ¼ : EIy 2 EIy 2 0
C 24
Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile
Tabelle 5b. Biegemomente und Biegelinien von statisch unbestimmten Trgern mit konstantem Querschnitt
C
I2.4
Biegebeanspruchung
C 25
Tabelle 5b. (Fortsetzung)
C
Beispiel: abgesetzte Welle (Bild 35). Gesucht ist die Durchbiegung an der Stelle der Krafteinleitung. Gegeben: F ¼ 2000 N, ESt ¼ 2; 1 105 N=mm2 , ‘ ¼ 100 mm, D1 ¼ 20 mm, D2 ¼ 30 mm , D3 ¼ 40 mm. Die Formnderungsarbeit lautet nach Gl. (39): W¼
1 2
Z5‘ 0
Mb2 dx: EIy
Bercksichtigt man die Symmetrieachse, folgt: 1 5 5 4W Wges ¼ 2W ¼ F w x ¼ ‘ ) w x ¼ ‘ ¼ ; 2 2 2 F 0 1 B1 Wges ¼ 2 @ 2E Iy1
Z‘
1 ð1Þ dx þ Iy2
Z‘
2
0
1 ð2Þ dx þ Iy3
1=2 ‘ Z
2
0
Die Auswertung der Integrale mit Tab. 6 ergibt:
Bild 35. Abgesetzte Welle und Biegemomentverlauf
1 C ð3Þ dxA: 2
0
1 1 1 1 ‘ lik þ ð2i1 k1 þ i1 k2 þ i2 k1 þ 2i2 k2 Þ E Iy1 3 Iy2 6 1 ‘ þ ð2i1 k1 þ i1 k2 þ i2 k1 þ 2i2 k2 Þ : Iy3 6
Wges ¼
C 26
Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile
C
Bild 37. Verformungen eines Kragtrgers
M ¼ 1 und als Verrckung wiederum die wirklichen Verschiebungen gewhlt, so gilt (Bild 36 b) Z Z M b Mb Ma ¼ 1 a ¼ M b dj ¼ ds: ð42Þ EIy
Bild 36 a, b. Prinzip der virtuellen Arbeiten
Es folgt mit: 1 1 ð1Þ: ‘ ¼ ‘; i ¼ F‘ ¼ k; ð2Þ: ‘ ¼ ‘; i1 ¼ k1 ¼ F‘; k2 ¼ i2 ; 2 2 ‘ 5 ð3Þ: ‘ ¼ ; i1 ¼ k1 ¼ F‘; i2 k2 ¼ F‘: 2 4 5 1 F‘3 1 7 61 1 þ þ 0;578 mm: w x¼ ‘ ¼ 2 6 E Iy1 Iy2 8 Iy3 5 F‘3 (entWenn Iy1 ¼ Iy2 ¼ Iy3 ¼ Iy ; ist w x ¼ ‘ ¼ 125 48 EI 2 y spricht Lastfall 1 in Tab. 5 a). Prinzip der virtuellen Arbeiten. Wird einem elastischen System eine beliebige (virtuelle), d. h. mit den geometrischen Gegebenheiten vertrgliche Verrckung erteilt, so ist im Gleichgewichtsfall die Summe aus ußerer und innerer virtueller Arbeit gleich Null: dW
ðaÞ
þ dW
ðiÞ
¼ 0:
Whlt man als ußere Kraft lediglich eine virtuelle Hilfskraft F ¼ 1 und als Verrckung die wirklichen Verschiebungen (Prinzip der virtuellen Krfte) (Bild 36 a), so folgt aus dW ðaÞ ¼ dW ðiÞZ Fw
¼ 1w ¼
Z M b dj ¼
M b Mb ds: EIy
ð41Þ
Hieraus folgt die Verschiebung w in Richtung der Hilfskraft F ¼ 1: Dabei sind M b die Biegemomente infolge dieser Hilfskraft und Mb die Biegemomente infolge der wirklichen Belastung. Werden als ußere Last ein virtuelles Hilfsmoment Z Tabelle 6. Werte fr
MMds
Hieraus folgt der Drehwinkel an der Angriffsstelle des Hilfsmoments. Die Integrale in den Gln. (41) und (42) sind fr Trger mit EIy ¼ const nur fr das Produkt M b Mb zu bilden und fr die wichtigsten Grundflle in Tab. 6 zusammengestellt. Beispiel: Kragtrger mit Streckenlast (Bild 37). Gesucht sind die Durchbiegung und der Neigungswinkel am freien Ende. – Fr die Durchbiegung folgt nach Tab. 6, Spalte 8, Zeile b mit i ¼ q l2 =2 und k= l Zl dx 1 1 q l4 1 f ¼ M b Mb ¼ lik ¼ 8 EIy EIy EIy 4 0
und fr den Neigungswinkel nach Zeile a mit i ¼ ql2 =2 und k ¼ 1 Zl M b Mb
1a ¼ 0
dx 1 1 q l3 ¼ lik ¼ 6 EIy EIy EIy 3
(vgl. Tab. 5 a, Fall 8).
Prinzip der virtuellen Verrckungen fr schubstarre Biegebalken. Das Prinzip der virtuellen Verrckungen ist quivalent einer Gleichgewichtsaussage. Dazu wird die Biegedifferentialgleichung des Balkens mit einer virtuellen Verschiebung dw multipliziert und ber die Balkenlnge integriert. ‘ Z Z‘ Z‘ M 00 ¼ p dw dx ) M 00 dw dx ¼ p dw dx; 0
0
0
‘ Z ‘ Z‘ ½M 0 dw Mdw0 Mdw00 dx ¼ p dw dx: 0
0
0
Dabei mssen die virtuellen Verrckungen dw geometrisch vertrglich sein, d. h. den Verformungsaussagen db ¼ dw0 ,
I2.5
Torsionsbeanspruchung
C 27
C
Bild 39. Torsion eines Stabs mit Kreisquerschnitt
Bild 38. Biegebalken, Krmmungsverlauf infolge F und dw
dk ¼ dw00 gengen. Beachtet man weiter, daß auch die wirklichen Zustandsgrßen statisch vertrglich sein mssen M 0 ¼ Q, dann kann geschrieben werden: Z‘ dWa ¼ 0
‘ Z‘ p dw dx þ ½Q dw þ Mdb ¼ dWi ¼ Mdw dx: 0
0
In Worten: Wenn die virtuellen Verrckungen dw geometrisch vertrglich sind, oder mit anderen Worten, die verformungsgeometrischen Aussagen erfllen, besagt die vorstehende Gleichung, daß die Arbeit der wirklichen ußeren Krfte (einschließlich der Randkrfte und Momente) an den virtuellen Verrckungen gleich der Arbeit der wirklichen Momente an den virtuellen Krmmungen ist. Mit dem Prinzip der virtuellen Verrckungen lassen sich Zwangskrfte Fz (Federkrfte, Auflagereaktionen) infolge bekannter Verformungszustnde berechnen. Dazu wird eine virtuelle Verrkkung dw ¼ 1 an der gewnschten Stelle aufgebracht. Die entZ stehende ußere Arbeit ist dann dWa ¼ Fz 1 þ
p dw dx und
damit die gesuchte Zwangskraft Fz und die Arbeit der ußeren Lasten. Wenn man in der zugehrigen inneren Arbeit Z dWi ¼
Mdk dx das Elastizittsgesetz M ¼ EIc einsetzt, er-
gibt sich aus der Forderung, ußere gleich innere Arbeit, der Z Z Zusammenhang: Fz ¼ EIk dk dx p dw dx: Wenn die gesuchte Grße ein Moment ist, muß an der betreffenden Stelle analog zu dw ¼ 1 ein Winkel dj ¼ 1 aufgezwungen werden. Es ergibt sich dann das Zwangsmoment plus die ußere Arbeit der Lasten. Beispiel: Fr den in Bild 38 skizzierten Balken ist die Auflagerkraft Az zu berechnen. Es gilt dWA ¼ dWi :
2.5 Torsionsbeanspruchung. Torsion 2.5.1 Stbe mit Kreisquerschnitt und konstantem Durchmesser Bars of circular cross section and constant diameter Bei der Torsion von Stben mit Kreisquerschnitt tritt keine Verwlbung ein, d. h., die Querschnitte bleiben eben. Ferner bleiben die Radien der Kreisquerschnitte geradlinig, d. h., die Querschnitte verdrehen sich als starres Ganzes. Geradlinige Mantellinien auf der Oberflche werden zu Schraubenlinien,
Bild 40. Torsion eines Stabs mit dnnwandigem Hohlquerschnitt
die aber wegen der kleinen Verformungen (Bild 39) als geradlinig aufgefaßt werden knnen. Mit g l ¼ j r und dem Hookeschen Gesetz g ¼ t=G ergibt sich t ¼ ðGj=lÞr;
ð43Þ
d. h., die Torsionsspannungen t nehmen linear mit dem Radius r zu (Bild 39). Das Moment aller Torsionsspannungen um den Kreismittelpunkt muß gleich dem Torsionsmoment sein: Zd=2 Mt ¼
Zd=2 t r dA ¼ ðGj=lÞ
0
ð44Þ
0
Zd=2 Ip ¼
r 2 dA ¼ ðGj=lÞIp ;
Zd=2 r 2 dA ¼
0
r2 2p r dr ¼ p d 4 =32:
ð45Þ
0
Ip ist das polare Flchenmoment 2. Grades des Kreisquerschnitts. Aus den Gln. (44) und (43) folgt fr die Torsionsspannungen und mit dem polaren Widerstandsmoment Wp ¼ Ip =ðd=2Þ ¼ p d 3 =16 des Kreisquerschnitts tðrÞ ¼ ðMt =Ip Þr bzw: tmax ¼ ðMt =Ip Þðd=2Þ ¼ Mt =Wp :
ð46Þ
Fr den Verdrehungswinkel und die Drillung (Verdrehung pro Lngeneinheit) gilt nach Gl. (44) j¼
Mt l j Mt und J ¼ ¼ : GIp l GIp
ð47Þ
Die Formnderungsarbeit ist 1 1 Mt2 l W ¼ Mt j ¼ : 2 2 GIp
ð48Þ
Wirken am StabZ kontinuierlich verteilte Drehmomente md ðxÞ; so gilt Mt ðxÞ ¼
md ðxÞ dx;
Z dj Mt ðxÞ 1 , jðxÞ ¼ Mt ðxÞ dx, ¼ dx GIp GIp Z Z 1 1 W¼ Mt2 ðxÞ dx: Mt ðxÞ dj ¼ 2 2 GIp
JðxÞ ¼
Die Gleichungen gelten auch fr kreisfrmige Hohlquerschnitte mit Ip ¼ pðda4 di4 Þ=32 und Wp ¼ Ip =ðda =2Þ (s. Tab. 7).
C 28
Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile
Tabelle 7. Torsionsflchenmomente It und -widerstandsmomente Wt
C
I2.5
Torsionsbeanspruchung
C 29
Tabelle 7. (Fortsetzung)
C
Beispiel: Fr die Welle nach Bild 41 a mit G ¼ 81 kN=mm2 ; tzul ¼ 12 N=mm2 und Drehzahl n ¼ 1000 1=min sind gesucht: a) das eingeleitete bzw. die abgegebenen Drehmomente, b) die Torsionsmomentenlinie, c) die je Abschnitt erforderlichen Durchmesser, d) Drillung und Drehwinkel je Abschnitt sowie Gesamtdrehwinkel. – a) Das eingeleitete Drehmoment Md1 ergibt sich mit der bertragenen Leistung P1 ¼ 4;4 kW aus P ¼ Md w mit w ¼ 2p n ¼ 2p 16;67 1=s ¼ 104;7 1=s zu Md1 ¼ P1 =w ¼ ð4 400 Nm=sÞ=ð104;7 1=sÞ ¼ 42;0 Nm, die abgenommenen Drehmomente zu Md2 ¼ ð1 470 WÞ=ð104;71=sÞ ¼ 14;0 Nm und Md3 ¼ ð2 930 WÞ=ð104;7 1=sÞ ¼ 28;0 Nm: b) Die Torsionsmomente werden damit Mt1;2 ¼ Md1 ¼ 42;0 Nm bzw. Mt2;3 ¼ Md1 Md2 ¼ Md3 ¼ 28;0 Nm (Bild 41 b). c) Die Durchmesser folgen aus Wp; erf ¼ p d3 =16 ¼ Mt =tzul zu d1 ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 16Mt1;2 =ðptzu1 Þ ¼ 26;1 mm (gewhlt 27 mm) und d2 ¼ 22;8 mm (gewhlt 23 mm). d) Drillung J1;2 ¼ Mt1;2 =ðGIp1 Þ ¼ Mt1;2 =ðGpd14 =32Þ ¼ 0;99 105 1=mm; Verdrehwinkel j1;2 ¼ J1;2 l1;2 ¼ 0;00495 = 0;284; entsprechend J2;3 ¼ 1;26 105 1=mm, j2;3 ¼ 1;26 105 250 ¼ 0;00315= 0;180: Der Gesamtdrehwinkel (Bild 41 c) ist dann j1;3 ¼ j1;2 þ j2;3 ¼ 0;284 þ 0;180 ¼ 0;464:
Bild 41 a–c. Torsion einer Welle
C 30
Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile
2.5.2 Stbe mit Kreisquerschnitt und vernderlichem Durchmesser Bars of circular cross section and variable diameter
C
Mit Ip ðxÞ ¼ pd4 ðxÞ=32 gilt fr die Drillung und den Drehwinkel nherungsweise Z Mt ðxÞ Mt ðxÞ JðxÞ ¼ ; jðxÞ ¼ dx: GIp ðxÞ GIp ðxÞ Die Spannungen werden wieder aus tðrÞ ¼ ðMt =Ip Þr bzw. tmax ¼ Mt =Wp berechnet. Bei abgesetzten Wellen treten Spannungsspitzen (Kerbspannungen) auf, die mit der Formzahl ak gemß t ¼ ak Mt =Wp bercksichtigt werden (s. C 2.1.4). 2.5.3 Dnnwandige Hohlquerschnitte (Bredtsche Formeln). Thin-walled tubes (Bredt-Batho theory) Unter der Annahme, daß die Torsionsspannung t ber die Wanddicke t konstant ist, ergibt sich aus dem Gleichgewicht ¶ am Element in x-Richtung t t dx þ t t dx þ ðt t dxÞds ¼ 0; ¶s also t t ¼ T ¼ const, d. h., der Schubfluß T ist lngs des Umfangs konstant (Bild 40). Der Zusammenhang zwischen Torsionsspannung I I und Torsionsmoment folgt aus Mt ¼ t t h ds ¼ t t
h ds ¼ t t 2Am und liefert
t ¼ Mt =ð2Am tÞ ð1: Bredtsche FormelÞ: Am ist hierbei die von der Mittellinie eingeschlossene Flche des Hohlquerschnitts. Fr den Verdrehungswinkel gilt j¼
Mt l 4A2 mit It ¼ I m : ds GIt t ðsÞ
It ist das Torsionsflchenmoment (2. Bredtsche Formel). Bei der Verdrehung bleibt der Querschnitt nicht eben, sondern es tritt eine Verwlbung in x-Richtung (Lngsrichtung) auf. Die Bredtschen Formeln gelten nur fr unbehinderte Verwlbung, bei der die Drehachse mit dem Schubmittelpunkt (s. C 2.4.6) zusammenfllt. Bei behinderter Verwlbung treten zustzlich Normalspannungen s und damit vernderte Schubspannungen und Drehwinkel auf (s. C 2.5.5). 2.5.4 Stbe mit beliebigem Querschnitt Bars of arbitrary cross section Hier treten bei Verdrehung grundstzlich Verwlbungen des Querschnitts auf. Im Fall unbehinderter Verwlbung gilt die Theorie von de Saint-Ve´nant [4]. Die Lsung des Problems wird auf eine Verwlbungsfunktion y(y, z) oder eine Spannungsfunktion Y(y, z) zurckgefhrt, wobei y(y, z) die Potentialgleichung Dy ¼ 0 bzw. Y(y, z) die Poissonsche Gleichung DY ¼ 1 befriedigen muß. Exakte Lsungen liegen nur fr wenige Querschnitte (z. B. Ellipse, Dreieck, Rechteck) vor. Fr Verdrehungswinkel und maximale Schubspannung gilt
j¼
Mt l Mt ; tmax ¼ : Wt GIt
ð49Þ
Hierbei ist It das Torsionsflchenmoment. Es ist Z Z ¶y ¶y It ¼ y2 þ z2 þ y z dA ¼ 4 Yðy; zÞ dA; ¶z ¶y d. h., It ist proportional dem Volumen des ber dem Querschnitt aufgewlbten Spannungshgels. Wt ist das Torsionswiderstandsmoment. Es gilt ¶Y 2 Wt ¼ I t ; ¶n max wobei ð¶Y=¶nÞmax das grßte vorhandene Geflle des Spannungshgels ist. Senkrecht auf der dazugehrigen Schnittebene durch den Spannungshgel steht dann die entsprechende Schubspannung (Bild 42 a). Ergebnisse fr It und Wt s. Tab. 7. Die Abschtzung der Lage der grßten Schubspannungen bzw. die experimentelle Ermittlung der Schubspannungen erlauben folgende Gleichnisse: Prandtlsches Seifenhautgleichnis. Da die Differentialgleichungen fr die Spannungsfunktion und eine unter berdruck stehende Seifenhaut quivalent sind und auch die Randbedingungen mit Y ¼ 0 bzw. w ¼ 0 bereinstimmen, entspricht das Geflle der ber einem Querschnitt gespannten Seifenhaut bzw. die Dichte der Hhenlinien der Grße der Schubspannungen, deren zugeordnete Richtung senkrecht zum Geflle steht (Bild 42 b). Strmungsgleichnis. Aufgrund der Analogien der Differentialgleichungen entspricht der Stromlinienverlauf einer Potentialstrmung konstanter Zirkulation in einem Gefß gleichen Querschnitts wie dem des tordierten Stabs der Richtung der resultierenden Schubspannung. Die Dichte der Stromlinien ist dabei ein Maß fr die Grße der Schubspannungen (Bild 42 c).
2.5.5 Wlbkrafttorsion. Torsion with warping constraints Ist bei Stben nach C 2.5.3 und C 2.5.4 die Verwlbung in irgendeinem Querschnitt (z. B. durch Einspannung) behindert, so treten in Lngsrichtung Normalspannungen sx und damit verbunden zustzlich Schubspannungen txy und txz auf. Der Drehwinkel wird kleiner als bei wlbunbehinderter Torsion. Fr dnnwandige offene bzw. einfach und mehrfach geschlossene Querschnitte ist das Problem weitgehend gelst [5]. Bemerkt sei, daß u. a. die Querschnitte nach Bild 43, d. h. alle Kreistangentenpolygone konstanter Wanddicke und alle sternfrmigen Querschnitte, wlbfrei sind, also eben bleiben, so daß keine Wlbkrafttorsion auftritt. Fr Vollquerschnitte liegen nur fr wenige Flle Nherungslsungen vor [4], die Wirkung der Wlbbehinderung kann hier jedoch meist vernachlssigt werden.
Bild 42 a–c. Beliebiger Querschnitt. a Torsionsfunktion; b Seifenhautgleichnis; c Strmungsgleichnis
Bild 43. Wlbfreie Querschnitte
I2.6 2.6 Zusammengesetzte Beanspruchung Combined stresses 2.6.1 Biegung und Lngskraft. Bending and axial load In Bild 44 a ist ein abgewinkelter Trger dargestellt, dessen vertikaler Teil durch Lngs-(Normal-)krfte und Biegemomente beansprucht wird, wie der Verlauf der Schnittlasten nach Bild 44 b–d zeigt. Bei Biegung um eine Querschnittshauptachse gilt fr die Normalspannung bzw. fr die extremalen Spannungen in den Randfasern (Bild 44 a) s ¼ sN þ sM ¼ FN =A Mb z=Iy bzw: s1;2 ¼ FN =A Mb =Wy1;2 :
ð50Þ
Die Lage der Nullinie folgt aus dieser Gleichung mit s ¼ 0 zu z0 ¼ FN Iy =ðMb AÞ: Im Fall schiefer Biegung, d. h. Belastung in beiden Hauptachsenebenen, gilt mit Gl. (22) fr Spannung und Nullinie 9 FN Mby Mbz > s¼ zþ y> A Iy Iz = : ð51Þ Mby Iz FN Iz > > ; z y¼ Mbz Iy Mbz A Die extremalen Spannungen treten in den senkrecht zur Nulllinie an weitest entfernt liegenden Punkten mit den Koordinaten ðy1 ; z1 Þ und ðy2 ; z2 Þ auf, diese werden am einfachsten graphisch-rechnerisch ermittelt. Kern eines Querschnitts. Sollen die Spannungen im Querschnitt einerlei Vorzeichens, d. h. im Grenzfall am Rand null sein, so muß die Kraft F (Bild 44 a) im Fall einfacher Biegung mit Lngskraft und Mb ¼ Fa gemß Gl. (50) in einer Entfernung a1;2 % Iy =ðA e1;2 Þ ¼ Wy =A angreifen. Bei schiefer Biegung mit Lngskraft muß sie innerhalb des Kerns (Bild 45) liegen. Bestimmung des Kerns [6].
Zusammengesetzte Beanspruchung
C 31
s am Rand extremal, dort aber die Schubspannungen t null sind (Bild 46 a), muß die Vergleichsspannung sV in verschiedenen Hhen nach einer der Formeln gemß C 1.3 ermittelt werden. s und t ergeben sich aus den Gln. (8) und (26). Zum Beispiel sei fr einen I-Querschnitt sV am oberen Rand, am bergang zwischen Flansch und Steg sowie in der Mitte zu berechnen: Nach der GE-Hypothese (s. C 1.3.3) ergibt sich pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dann sV ¼ sRand bzw. sV ¼ s2 þ 3t2 bzw. sV ¼ 1;73 tMitte ; und es muß max sV % szul sein. Meist ist die genaue Ermittlung von sV jedoch entbehrlich, und es werden Normal- und Schubspannungen getrennt ermittelt und mit szul bzw. tzul verglichen. Bei langen Trgern ðl ^ 4 . . . 5hÞ sind nur noch die Normalspannungen, bei kurzen Trgern (l h) nur noch die Schubspannungen maßgebend. 2.6.3 Biegung und Torsion. Bending and torsion Bei gleichzeitiger Wirkung von Biegenormalspannungen s und Torsionsspannungen t (Bild 46 b) liegt ein ebener Spannungszustand vor. Die Extremalwerte von s und t treten in der Randfaser auf. Sie werden nach den Gln. (9) und (46) bzw. (49) berechnet. Man ermittelt damit die Vergleichsspannung sV nach einer der Hypothesen gemß C 1.3. Beispiel: Die Welle nach Bild 41 a bzw. zugehrigem Beispiel habe im Bereich 1 . . . 2 ein grßtes Biegemoment Mb ¼ 75 Nm zu bertragen. Man berechne sV . – Mit s ¼ Mb =Wy und t ¼ Mt =Wp sowie Wy ¼ p d3 =32 und Wp ¼ 2Wy ¼ p d3 =16 folgt aus C 1 Gl. (24) fr sV nach der GE-Hypothese qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð52Þ sV ¼ Mb2 þ 0;75 a20 Mt2 =Wy ¼ MV =Wy : Bei wechselnder Belastung fr Biegung und schwellender fr Torsion ist a0 0;85: Fr d ¼ 27 mm wird Wy ¼ p d 3 =32 ¼ 1 932 mm3 und pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sV ¼ 75 0002 þ 0;75 0;852 42 0002 Nmm=1 932 mm3 ¼ 42 N=mm2 :
2.6.2 Biegung und Schub. Bending and shear Biegung und Schub treten in der Regel in den meisten Querschnitten von Trgern, Wellen, Achsen usw. gleichzeitig auf (ebener Spannungszustand). Da die Biegenormalspannungen
Bild 44 a–d. Biegung und Lngskraft
Bild 45. Kern des Querschnitts
Bild 46 a–d. Zusammengesetzte Beanspruchung. a Biegung und Schub; b Biegung und Torsion; c Lngskraft und Torsion; d Schub und Torsion
C
C 32
Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile
2.6.4 Lngskraft und Torsion. Axial load and torsion
C
Diese z. B. bei Dehnschrauben und Spindeln vorkommende Beanspruchung durch s und t entspricht einem ebenen Spannungszustand (Bild 46 c). Die Extremalspannungen treten in der Randfaser auf, und dort wird die Vergleichsspannung sV nach einer der Hypothesen gemß C 1.3 berechnet. 2.6.5 Schub und Torsion. Shear and torsion Diese z. B. am kurzen Wellenzapfen auftretende Beanspruchung (Bild 46 d) liefert lediglich eine resultierende maximale Schubspannung mit tQ nach Gl. (26) und tt nach den Gln. (46) bzw. (49): im Punkt A im Punkt B im Punkt C
tres ¼ tt , tres ¼ tQ tt , tres ¼ tQ þ tt :
Die Umrechnung z. B. nach der GE-Hypothese auf sV ergibt sV ¼ 1;73 a0 tres : 2.6.6 Biegung mit Lngskraft sowie Schub und Torsion Combined bending, axial load, shear and torsion In diesem Fall ergibt sich fr die Punkte A, B, C nach Bild 46 d sA ¼ sN þ sM , tA ¼ tt ; sB ¼ sN , tB ¼ tQ tt ; sC ¼ sN , tC ¼ tQ þ tt : Dabei bilden sA , tA usw. jeweils einen ebenen Spannungszustand und sind nach C 1.3 zur Vergleichsspannung sV zusammenzufassen.
2.7 Statisch unbestimmte Systeme Statically indeterminate systems Man unterscheidet ußerlich und innerlich statisch unbestimmte Systeme, wobei ein System auch gleichzeitig ußerlich und innerlich unbestimmt sein kann. ußerlich statisch unbestimmt sind Systeme, die in der Ebene durch mehr als drei bzw. im Raum durch mehr als sechs Auflagerreaktionen abgesttzt werden. Ein n-fach abgesttztes System ist in der Ebene m ¼ ðn 3Þ-fach, im Raum m ¼ ðn 6Þ-fach ußerlich statisch unbestimmt. Ein geschlossener Rahmen ist als ebenes System (Bild 47 a) 3fach innerlich, als rumliches System (Bild 47 b) 6fach innerlich statisch unbestimmt. Die wichtigste Methode zur Berechnung statisch unbestimmter Systeme ist das Kraftgrßenverfahren. Das System wird durch Entfernen von Auflagerreaktionen (Krften oder Momenten) oder durch Schnittfhrung z. B. nach Bild 48 auf ein statisch bestimmtes Grundsystem zurckgefhrt (zu jedem unbestimmten System gibt es mehrere mgliche Grundsysteme, von denen eines auszuwhlen ist). Die entfernten Grßen bezeichnet man als statisch Unbestimmte X1 ; X2 . . . Xm : Der Lsung liegt folgendes Superpositionsverfahren zugrunde: 1. Berechnung der Verformungsdifferenzen d10 ; d20 ; d30 . . . zwischen beiden Schnittufern am Grundsystem in Richtung von X1 ; X2 ; X3 . . . durch die ußere Belastung (0). (Die Verformungen sind in Richtung der statisch
Bild 48. Kraftgrßenmethode
Bild 47. Geschlossener Rahmen. a eben; b rumlich
unbestimmten Grßen positiv.) 2. Berechnung der Verformungsdifferenzen dik ði; k ¼ 1; 2; 3 . . .Þ am Grundsystem, wobei i die Richtung von X1 ; X2 ; X3 . . . und k ¼ 1; 2; 3 . . . die Belastung X1 ¼ 1, X2 ¼ 1, X3 ¼ 1 . . . kennzeichnet. 3. Am wirklichen System mssen die Verformungsdifferenzen null sein, d. h., bei z. B. drei Unbekannten gilt 9 X1 d11 þ X2 d12 þ X3 d13 þ d10 ¼ 0; = ð53Þ X1 d21 þ X2 d22 þ X3 d23 þ d20 ¼ 0; ; X1 d31 þ X2 d32 þ X3 d33 þ d30 ¼ 0: Aus diesem linearen Gleichungssystem berechnet man die drei Unbekannten X1 ; X2 ; X3 (beim m-fach unbestimmten System die Unbekannten X1 ; . . . ; Xm ). 4. Nach berlagerung der ußeren Lasten und der statisch Unbestimmten am Grundsystem berechnet man die endgltigen Auflagerreaktionen, Biegemomente usw. Zu bemerken ist noch, daß stets dik ¼ dki gilt, wenn i 6¼ k (Satz von Maxwell), wodurch die Anzahl der zu berechnenden dik erheblich reduziert wird. Die Verformungsgrßen werden nach einem der in C 2.4.8 und C 2.4.9 angegebenen Verfahren berechnet. In einfachen, anschaulichen Fllen verwendet man die Ergebnisse nach Tab. 5 a, bei komplizierten, unanschaulichen Fllen die Methoden nach C 2.4.9. Letztere haben den Vorteil, daß sie automatisch auch die richtigen Vorzeichen der dik -Glieder liefern. Beispiel: Berechnung der beiden statisch Unbestimmten am beidseitig eingespannten Trger (Bild 49 a). – Als statisch bestimmtes Grundsystem wird der einseitig eingespannte Trger gewhlt (Bild 49 b). Die Ermittlung der Verformungsgrßen dik soll auf zwei Wegen, nmlich anschaulich nach Tab. 5 a und allgemein mit dem Prinzip der virtuellen Arbeiten nach C 2.4.9 erfolgen. Nach Tab. 5 a wird (Bild 49 c–e) d10 ¼ f10 ¼ ql4 =ð8 EIy Þ,
d20 ¼ a20 ¼ q l3 =ð6 EIy Þ,
d11 ¼ f11 ¼ l3 =ð3 EIy Þ,
d21 ¼ a21 ¼ l2 =ð2 EIy Þ ¼ d12 ,
d22 ¼ a22 ¼ l=ðEIy Þ: Mit dem Prinzip der virtuellen Krfte gemß den Gln. (41) und (42) sowie Tab. 6 folgen Z d10 ¼ M1 M0 dx=ðEIy Þ ¼ lik=ð4 EIy Þ ¼ ql4 =ð8 EIy Þ,
I2.7
Statisch unbestimmte Systeme
C 33
C Bild 49 a–e. Beidseitig eingespannter Trger
Bild 50. Durchlauftrger
Z d20 ¼
Z
M2 M0 dx=ðEIy Þ ¼ lik=ð3 EIy Þ ¼ ql3 =ð6 EIy Þ,
FAz ¼ FBz ¼ F=2,
d11 ¼
M1 M1 dx=ðEIy Þ ¼ lik=ð3 EIy Þ ¼ l3 =ð3 EIy Þ, Z d21 ¼ d12 ¼ M1 M2 dx=ðEIy Þ ¼ lik=ð2 EIy Þ ¼ l2 =ð2 EIy Þ, Z d22 ¼ M2 M2 dx=ðEIy Þ ¼ lik=ðEIy Þ ¼ l=ðEIy Þ:
3 Fl Ms ¼ , 8ð2 k þ 3Þ
Beide Verfahren ergeben also die gleichen Verformungen. Aus den zwei linearen Gleichungen, entsprechend Gl. (53), folgen X1 ¼ ð d10 d22 þ d20 d12 Þ=ðd11 d22 d212 Þ ¼ q l=2, X2 ¼ ð d11 d20 þ d21 d10 Þ=ðd11 d22 d212 Þ ¼ q l2 =12:
3 Fl ; 8 hð2 k þ 3Þ Flð4 k þ 3Þ Mf ¼ : 8ð2 k þ 3Þ FAx ¼ FBx ¼
Eingespannter Rahmen (Bild 52 b). Mit k ¼ hI2 =ðlI1 Þ gilt 3 Fl FAz ¼ FBz ¼ F=2, FAx ¼ FBx ¼ ; 8 hðk þ 2Þ Fl Fl , Ms ¼ , MA ¼ MB ¼ 8ðk þ 2Þ 4ðk þ 2Þ Flðk þ 1Þ Mf ¼ 4ðk þ 2Þ
Anschließend werden am Grundsystem infolge ußerer Last sowie infolge X1 und X2 die endgltigen Auflagerreaktionen zu FA ¼ ql X1 ¼ ql=2 ¼ FB ; MEA ¼ ql2 =2 þ X1 l þ X2 ¼ ql2 =12 ¼ MEB und das maximale Feldmoment zu MF ¼ Mb ðl=2Þ ¼ ql2 =24 berechnet.
Die Ergebnisse fr einfache statisch unbestimmte Trger sind in Tab. 5 b zusammengefaßt. Im folgenden werden fr einige wichtige statisch unbestimmte Systeme die Ergebnisse dargestellt: Durchlaufender Trger (Bild 50). Mit den Sttzmomenten als statisch Unbestimmten Xi gilt fr die Stelle i, da die Winkeldifferenz (Winkelsprung) am wirklichen Trger null sein muß und da infolge Xi ¼ 1 an der Momentenangriffsstelle der Winkelsprung dii ¼ ai; i1 þ ai; iþ1 sowie infolge Xi1 ¼ 1 an der Stelle i der Winkel bi; i1 auftritt usw. die Gleichung Xi1 bi, i1 þ Xi ðai, i1 þ ai, iþ1 Þ þ Xiþ1 bi, iþ1 þ ðai 0, l þ ai 0, r Þ ¼ 0:
ð54Þ
Fr jedes Innenlager des m-fach unbestimmten Trgers ergibt sich eine solche Dreimomentengleichung (in etwas anderer Schreibweise als Clapeyronsche Dreimomentengleichung bezeichnet). Aus dem linearen Gleichungssystem lassen sich dann die m Unbekannten X1 . . . Xm berechnen. Die Winkel a und b zhlen positiv in Richtung der Xi und knnen Tab. 5 a entnommen oder mit einem der in C 2.4.8 und C 2.4.9 behandelten Verfahren ermittelt werden.
Bild 51 a, b. Geschlossener Rechteckrahmen mit a Einzelkrften; b Streckenlasten
Geschlossener Rechteckrahmen. Fr Sttzmomente Ms und Feldmomente Mf ergibt sich mit k ¼ l1 I2 =ðl2 I1 Þ fr Einzelkrfte (Bild 51 a) Ms ¼
Fl2 Fl2 Fl2 ð2k þ 1Þ , Mf ¼ þ Ms ¼ ; 8ðk þ 1Þ 4 8ðk þ 1Þ
fr Streckenlasten (Bild 51 b) q1 l21 k þ q2 l22 q1 l21 , Mf1 ¼ þ Ms , 12ðk þ 1Þ 8 2 q2 l2 þ Ms : Mf2 ¼ 8 Ms ¼
Zweigelenkrahmen (Bild 52 a). Mit k ¼ hI2 =ðlI1 Þ gilt
Bild 52 a–c. Rahmen mit Einzelkraft
C 34
Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile
Zweigelenkrahmen (Bild 52 c). Mit k ¼ h I2 =ðl I1 Þ gilt Fð8 k þ 11Þ Fð8 k þ 5Þ , FBz ¼ , 16ðk þ 1Þ 16ðk þ 1Þ 3 Fl FAx ¼ FBx ¼ ; 16 hðk þ 1Þ 3Fl Flð8 k þ 5Þ Ms ¼ , Mf ¼ : 16ðk þ 1Þ 32ðk þ 1Þ FAz ¼
C
Rahmen (Bild 53). Mit j ¼ a E I1 =ðl G It Þ gilt FAz ¼ FBz ¼ F=2, Fl MAt ¼ MBt ¼ ; 8ð1 þ 2 jÞ Fl Ms ¼ , 8ð1 þ 2 jÞ
MAb ¼ MBb ¼ Fa=2,
Mf ¼
Bild 53. Rahmentrger
Flð1 þ 4 jÞ : 8ð1 þ 2 jÞ
Trgerrost (Bild 54). Mit k ¼ l31 I2 =ðl32 I1 Þ folgt fr die Sttzkraft X1 zwischen beiden Trgern (mit positiver Richtung am Trger 2 nach unten, am Trger 1 nach oben) sowie fr die endgltigen Auflagerkrfte und Biegemomente 5ðq1 l1 k q2 l2 Þ 8ðk þ 1Þ q1 l1 X1 q2 l2 þ X1 , FC ¼ FD ¼ , FA ¼ FB ¼ 2 2 X1 ¼
min M1 ¼ X1 l1 =4 þ q1 l21 =8, max M1 ¼ FA2 =ð2 q1 Þ, max M2 ¼ X1 l2 =4 þ q2 l22 =8:
Bild 54. Trgerrost
Kreisringrahmen mit Einzelkrften belastet (Bild 55 a) 1 1 Mb ðjÞ ¼ Fr sin j ð0 % j % 180Þ, p 2 M1 ¼ M3 ¼ 0,318 Fr, M2 ¼ 0,182 Fr; mit Flssigkeitsfllung bis zum Scheitel (Bild 55 b) mit F ¼ r g p r2 Mb ðjÞ ¼ ð2 cos j 2j sin jÞ Fr=ð4pÞ ð0 % j % 180Þ, M1 ¼ 0,75 Fr=p, M2 ¼ 0,285 Fr=p, M3 ¼ 0,25 Fr=p, Mmin ¼ 0,321 Fr=p bei j0 ¼ 105,2: Kreisringtrger. Bei n Sttzen in gleichem Abstand gilt fr Auflagerkrfte, Biegemomente (Feld und Sttze) sowie Torsionsmomente mit a ¼ p=n fr Einzellasten (Bild 56) ¼ F, Mf ¼ Ms ¼ ðFr=2Þ tanða=2Þ, 1 Mtmax ¼ Mt ðj ¼ a=2Þ ¼ ðFr=2Þ 1 ; cosða=2Þ
FA
Bild 55 a, b. Kreisringrahmen mit a Einzelkrften; b Flssigkeitsfllung
fr konstante Streckenlast q lngs des Umfangs FA ¼ q 2pr=n, Mf ¼ qr 2 ða= sin a 1Þ, a Ms ¼ qr2 ð1 a= tan aÞ, Mt ðjÞ ¼ qr 2 j sin j , sin a sin a Extremwert fr j0 ¼ arccos : a Rahmen mit Halbkreisbgen (Bild 57). Fr konstanten Innendruck gilt " 3 2 q a2 q a3 1 b p b M1 ¼ 1 þ 1 2 2 b þ ðp 2Þ a 3 a 2 a b p þ3 1 þ , a 2 " 3 2 q b2 qa3 1 b p b 1 þ 1 M2 ¼ 2 2 b þ ðp 2Þ a 3 a 2 a b p þ3 1 þ ; a 2 z. B. bei a=b ¼ 0; 5:M1 ¼ 0;76 qa2 ; M2 ¼ þ 0;74 qa2 :
Bild 56. Kreisringtrger
Bild 57. Rahmen mit Halbkreisbgen
I3.2
Rotationssymmetrischer Spannungszustand
C 35
3 Elastizittstheorie Theory of elasticity 3.1 Allgemeines. General Aufgabe der Elastizittstheorie ist es, den Spannungs- und Verformungszustand eines Krpers unter Beachtung der gegebenen Randbedingungen zu berechnen, d. h. die Grßen sx ; sy ; sz ; txy ; txz ; tyz ; ex ; ey ; ez ; gxy ; gxz ; gyz ; u; u; w zu ermitteln. Fr diese 15 Unbekannten stehen zunchst die Gleichungen C 1 Gl. (12) und C 1 Gl. (13) zur Verfgung. Hinzu kommen drei Gleichgewichtsbedingungen (Bild 1) mit den Volumenkrften X , Y, Z. 9 ¶sx ¶tyx tzx þ þ þ X ¼ 0; > > > > ¶x ¶y ¶z > > = ¶txy ¶sy ¶tzy þ þ þ Y ¼ 0; > ¶x ¶y ¶z > > > > ¶txz ¶tyz ¶sz ; þ þ þ Z ¼ 0; > ¶x ¶y ¶z
ð1Þ
sowie fr isotrope Krper die sechs verallgemeinerten Hookeschen Gesetze 9 ex ¼ ½sx nðsy þ sz Þ=E; ey ¼ ½sy nðsx þ sz Þ=E; > = ez ¼ ½sz nðsx þ sy Þ=E; ð2Þ > ; g ¼ t =G; g ¼ t =G; g ¼ t =G: xy
xy
xz
xz
yz
yz
Damit stehen 15 Gleichungen fr 15 Unbekannte zur Verfgung. Eliminiert man aus ihnen alle Spannungen, so erhlt man drei partielle Differentialgleichungen fr die unbekannten Verschiebungen: 9 1 ¶e > G Du þ þ X ¼ 0, > > > 1 2n ¶x > > > = 1 ¶e G Du þ þ Y ¼ 0, > 1 2n ¶y > > > > > 1 ¶e ; G Dw þ þZ ¼0 > 1 2n ¶z
ð3Þ
Bild 1. Gleichgewicht am Element
3.2 Rotationssymmetrischer Spannungszustand Axisymmetric stresses Setzt man Symmetrie zur z-Achse voraus, so treten lediglich die Spannungen sr ; st ; sz ; trz ¼ tzr ¼ t auf (Bild 2). Die Gleichgewichtsbedingungen in r- und z-Richtung lauten 9 ¶ ¶ > ðrsr Þ þ ðr tÞ st þ rR ¼ 0, > = ¶r ¶z ð5Þ ¶ ¶ > > ; ðr tÞ þ ðrsz Þ þ rZ ¼ 0: ¶r ¶z Die Hookeschen Gesetze haben die Form er ¼ ¶u=¶r ¼ ½sr nðst þ sz Þ=E, et ¼ u=r ¼ ½st nðsr þ sz Þ=E, ez ¼ ¶w=¶z ¼ ½sz nðsr þ st Þ=E, grz ¼ ¶u=¶z þ ¶w=¶r ¼ t=G ¼ 2ð1 þ nÞ t=E:
Die Navierschen Gln. (3) eignen sich zur Lsung von Problemen, bei denen als Randbedingungen Verschiebungen vorgegeben sind. Eliminiert man aus den zitierten 15 Gleichungen alle Verschiebungen und deren Ableitungen, so bleiben sechs Gleichungen fr die unbekannten Spannungen:
ð6Þ
gengen. Lsungen der Bipotentialgleichung sind z. B. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F ¼ r2 ; ln r; r 2 ln r; z, z2 und r 2 þ z2 sowie Linearkombinationen hiervon [1, 3]. Die Verschiebungen und Spannungen folgen dann aus
(entsprechend fr die y- und z-Richtung) und 1 ¶2 s ¶X ¶Y þ þ ¼0 1 þ n ¶x ¶y ¶y ¶x
> > > ;
Ihre Auflsung nach den Spannungen liefert u 9 ¶u n n > > sr ¼ 2G þ e , st ¼ 2G þ e ,> ¶r 1 2 n r 1 2n = ð7Þ > ¶w n ¶u ¶w > > þ e , t ¼G þ sz ¼ 2G , ; ¶z 1 2 n ¶z ¶r wobei ¶u u ¶w e ¼ er þ et þ ez ¼ þ þ : ð8Þ ¶r r ¶z
1 ¶2 s ¶X n ¶X ¶Y ¶Z þ2 þ þ þ ¼ 0 ð4 aÞ 2 1 þ n ¶x ¶x 1 n ¶x ¶y ¶z
Dtxy þ
9 > > > =
Wird die Lovesche Verschiebungsfunktion F eingefhrt, so muß sie der Bipotentialgleichung 2 2 ¶ ¶2 1 ¶ ¶ F ¶2 F 1 ¶F þ þ þ þ ¼ DDF ¼ 0 ð9Þ ¶z2 ¶r 2 r ¶r ¶z2 ¶r 2 r ¶r
mit Du ¼ ¶2 u=¶x2 þ ¶2 u=¶y2 þ ¶2 u=¶z2 usw. und e ¼ ex þ ey þ ez ¼ ¶u=¶x þ ¶u=¶y þ ¶w=¶z.
Dsx þ
C
ð4 bÞ
(entsprechend fr die y- und z-Richtung). Hierbei ist s ¼ sx þ sy þ sz . Die Beltramischen Gln. (4) eignen sich zur Lsung von Problemen, bei denen als Randbedingungen Spannungen vorgegeben sind. Bei gemischten Randbedingungen sind beide Gleichungssysteme zu benutzen. Lsungen der Differentialgleichungen (3) und (4) liegen im wesentlichen fr rotationssymmetrische und ebene Probleme vor.
Bild 2. Rotationssymmetrischer Spannungszustand
C 36
Festigkeitslehre – 3 Elastizittstheorie Die Hookeschen Gesetze haben die Form ex ¼ ðsx n sy Þ=E; ey ¼ ðsy n sx Þ=E; gxy ¼ txy =G; und fr die Formnderungen gilt ¶u ¶v ¶u ¶v ¼ ex ; ¼ ey ; þ ¼ gxy : ¶x ¶y ¶y ¶x
C u ¼
1 ¶ F , 1 2 n ¶r ¶z
9 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > =
2ð1 nÞ 1 ¶2 F w ¼ , DF 1 2n 1 2 n ¶z2 2 2 Gn ¶ 1¶ F sr ¼ DF , 1 2 n ¶z n ¶r 2 2ð2 nÞ G ¶ 1 ¶2 F > > > DF sz ¼ ,> > 1 2 n ¶z 2 n ¶z2 > > > > > > 2Gn ¶ 1 1 ¶F > > DF st ¼ , > > > 1 2 n ¶z n r ¶r > > > 2 > 2ð1 nÞ G ¶ 1 ¶ F > > > DF : t ¼ ; 1 2 n ¶r 1 n ¶z2
¶2 ex ¶2 ey ¶2 gxy ; þ 2 ¼ ¶y2 ¶x ¶x ¶y und durch Einsetzen von Gln. (13) in (15) ergibt sich 1 ¶2 s x ¶2 sy ¶2 sy ¶2 sx 1 ¶2 txy : n 2 þ 2 n 2 ¼ ¶y ¶x ¶x E ¶y2 G ¶x ¶y ð10Þ
¶2 F ¶2 F ¶2 F ; sy ¼ 2 ; txy ¼ X0 y Y0 x ¶y2 ¶x ¶x ¶y
¶4 F ¶4 F ¶4 F þ 2 2 2 þ 4 ¼ DDF ¼ 0; ¶x4 ¶x ¶y ¶y
Whrend die erste Randbedingung automatisch befriedigt ist, folgt 1 2n 3G z3 . aus der zweiten C2 ¼ C1 und damit sz ¼ C1 2n nð1 2 nÞR5 Z1 sz 2 p r dr ergibt sich dann C1 ¼ F nð1 2 nÞ=ð2 p GÞ r¼0
und damit aus den Gln. (10)
ð17Þ
Beispiel: Halbebene unter Einzelkraft. – Zur Lsung werden Polarkoordinaten verwendet (Bild 4 a). Dann gilt fr die Airysche Spannungsfunktion 2 2 ¶ 1 ¶ 1 ¶2 ¶ F 1 ¶F 1 ¶2 F þ þ ¼0 DDF ¼ þ þ ¶r 2 r ¶r r 2 ¶j2 ¶r 2 r ¶r r 2 ¶j2 1 ¶F 1 ¶2 F ¶2 F ¶ 1 ¶F ; st ¼ 2 ; trt ¼ þ : r ¶r r 2 ¶j2 ¶r ¶r r ¶j Die Randbedingungen lauten sr ¼
ð11Þ
st ðr, j ¼ 0Þ ¼ 0, st ðr, j ¼ pÞ ¼ 0, trt ðr, j ¼ 0Þ ¼ 0, trt ðr, j ¼ pÞ ¼ 0: Mit dem Ansatz Fðr; jÞ ¼ Crj cos j folgt DDF ¼ 0; sr ¼ Cð2=rÞ sin j; st ¼ 0; trt ¼ 0:
Wegen sz =t ¼ z=r lassen sich sz und t zum Spannungsvektor pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sR ¼ s2z þ t2 ¼ 3Fz2 =ð2pR4 Þ zusammenfassen, der stets in Richtung R zeigt. Fr sr ergeben sich gemß sr ¼ 0 Nullstellen aus sin2 b cos bð1 þ cos bÞ ¼ ð1 2 nÞ=3 im Fall n ¼ 0;3 zu b1 ¼ 15;4 und b2 ¼ 83. Zwischen den durch 2b1 ¼ 30;8 und 2b2 ¼ 166 bestimmten Kreiskegeln wird sr negativ (Druckspannung), außerhalb ist sie positiv (Zugspannung). Aus st ¼ 0 folgt cos2 b þ cos b ¼ 1, d. h. b ¼ 52, fr b < 52 wird st positiv (Zugspannung), fr b > 52 negativ (Druckspannung).
3.3 Ebener Spannungszustand. Plane stresses Er liegt vor, wenn sz ¼ 0; Z ¼ 0, txz ¼ tyz ¼ 0, d. h., wenn Spannungen nur in der x, y-Ebene auftreten. Die Gleichgewichtsbedingungen lauten fr konstante Volumenkrfte ð12Þ
ð18Þ
d. h., die Airysche Spannungsfunktion muß der Bipotentialgleichung gengen. Die Bipotentialgleichung hat unendlich viele Lsungen, z. B. F ¼ x, x2 ; x3 ; y, y2 ; y3 ; xy, x2 y; x3 y; xy2 ; xy3 ; cos lx cosh y; x cos lx cosh ly usw., ferner biharmonische Polynome [2] sowie die Real- und Imaginrteile von analytischen Funktionen f ðzÞ ¼ f ðx iyÞ usw. [1]. Mit dem Ansatz geeigneter Linearkombinationen dieser Lsungen versucht man die gegebenen Randbedingungen zu befriedigen und damit das ebene Problem zu lsen.
und fr die Spannungen (mit X ¼ Y ¼ 0)
u ¼
¶sx ¶tyx ¶sy ¶txy þ þ X0 ¼ 0; þ þ Y0 ¼ 0: ¶x ¶y ¶y ¶x
ð16Þ
ist, so folgt aus Gl. (16) fr F(x, y)
sz ðz ¼ 0; r 6¼ 0Þ ¼ 0; tðz ¼ 0; r 6¼ 0Þ ¼ 0: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Mit dem Ansatz F ¼ C1 R þ C2 z lnðz þ RÞ, wobei R ¼ r 2 þ z2 ist, folgt aus den Gln. (10) 2n z 3 z3 sz ¼ 2G C1 þ C2 ðC1 þ C2 Þ 5 und 1 2n R3 1 2n R 2n r 3 r z2 þ C2 ðC1 þ C2 Þ 5 : t ¼ 2G C1 3 1 2n R 1 2n R
9 F rz r > > > ð1 2 nÞ , > > 4 p G R3 Rðz þ RÞ > > > > 2 > F 1 z > > > 2ð1 nÞ þ 3 , w ¼ = 4pG R R 3F z3 F 1 zr 2 > > , sr ¼ sz ¼ ð1 2 nÞ 3 5 ,> > > R > 2 p R5 2p Rðz þ RÞ > > > > 2 > F z 1 3F r z > : > ð1 2 nÞ 3 st ¼ , t¼ ; 5 2p R Rðz þ RÞ 2p R
ð15Þ
Werden nun die Gleichgewichtsbedingungen (12) durch Einfhrung der Airyschen Spannungsfunktion F ¼ Fðx; yÞ derart befriedigt, daß sx ¼
Beispiel: Einzelkraft auf Halbraum (Formeln von Boussinesq) Bild 3. – Die Randbedingungen lauten
Aus F ¼
ð14Þ
Dies sind acht Gleichungen fr acht Unbekannte. Aus Gl. (14) folgt die Kompatibilittsbedingung
Bild 3. Einzelkraft auf Halbraum 2
ð13Þ
Bild 4 a–c. Halbebene unter Einzelkraft
I4.3 Die Lsung erfllt die Randbedingungen. Mit der Scheibendicke h X folgt die Konstante C aus der Gleichgewichtsbedingung Fiy ¼ 0 ¼ p Z sr sin j hr dj þ F0 ¼ 0 zu C ¼ F0 =ðphÞ. Wegen trt ¼ 0 sind die sr 0
Beliebig gewlbte Flche
C 37
sind Geraden durch den Nullpunkt bzw. die dazu senkrechten Kreise um den Nullpunkt (Bild 4 b). Die Hauptschubspannungstrajektorien liegen dazu unter 45 (s. C 1.1.1). Der Verlauf der Spannungen sr ergibt sich fr r ¼ R ¼ const zu sr ¼ 2F0 =ðp hRÞ sin j bzw. fr j ¼ p=2 zu sr ¼ ½2F0 =ðp hÞ=r (Bild 4 c).
und st Hauptnormalspannungen, d. h., die zugehrigen Trajektorien
C 4 Beanspruchung bei Berhrung zweier Krper (Hertzsche Formeln) Hertzian contact stresses (Formulas of Hertz) Berhren zwei Krper einander punkt- oder linienfrmig, so ergeben sich unter Einfluß von Druckkrften Verformungen und Spannungen nach der Theorie von Hertz [1, 2]. Ausgangspunkt fr die Lsungen von Hertz sind die Boussinesqschen Formeln C 3 Gl. (11). Vorausgesetzt wird dabei homogenes, isotropes Material und Gltigkeit des Hookeschen Gesetzes, ferner alleinige Wirkung von Normalspannungen in der Berhrungsflche. Außerdem muß die Deformation, d. h. das Maß w0 der Annherung (auch Abplattung genannt), beider Krper (Bild 1 a) im Verhltnis zu den Krperabmessungen klein sein. Bei unterschiedlichem Material der berhrenden Krper gilt E ¼ 2E1 E2 =ðE1 þ E2 Þ. Fr die Querkontraktionszahl wird einheitlich n ¼ 0;3 angesetzt.
4.1 Kugel. Spheres Gegen Kugel (Bild 1 b). Mit 1=r ¼ 1=r1 þ 1=r2 gilt sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 3 1,5 FE2 max sz ¼ s0 ¼ , p r 2 ð1 n2 Þ2 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 3 2,25 ð1 n2 Þ F 2 : w0 ¼ 2 E r Die Druckspannung verteilt sich halbkugelfrmig ber der Druckflche. Die Projektion der Druckflche ist ein Kreis pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi vom Radius a ¼ 3 1;5 ð1 n2 Þ Fr=E. Die Spannungen sr und st am mittleren Volumenelement der Druckflche sind in der Mitte sr ¼ st ¼ s0 ð1 þ 2 nÞ=2 ¼ 0;8 s0 und am Rand sr ¼ st ¼ 0;133 s0 . Umschließt die grßere Kugel (als Hohlkugel) die kleinere, so ist r2 negativ einzusetzen. Gegen Ebene. Mit r2 ! 1, d. h. r ¼ r1 , gelten diese Ergebnisse ebenfalls. Der Spannungsverlauf in z-Richtung [3] liefert die grßte Schubspannung fr z ¼ 0;47a zu max t ¼ 0;31 s0 und die zugehrigen Werte sz ¼ 0;8 s0 ; sr ¼ st ¼ 0;18 s0 . Wie Fppl [3] gezeigt hat, entwickeln sich Fließlinien von der Stelle der max t aus. Man begngt sich jedoch blicherweise mit dem Nachweis von max sz ¼ s0 .
4.2 Zylinder. Cylinders Gegen Zylinder (Bild 1 b). Die Projektion der Druckflche ist ein Rechteck von der Breite 2 a und der Zylinderlnge l. Die Druckspannungen verteilen sich ber die Breite 2 a halbkreisfrmig. Mit 1=r ¼ 1=r1 þ 1=r2 gilt sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FE 8 F rð1 n2 Þ max sz ¼ s0 ¼ , a ¼ : 2 p r lð1 n2 Þ pEl Hierbei wird vorausgesetzt, daß sich q ¼ F=l als Linienlast gleichfrmig ber die Lnge verteilt. Die Abplattung wurde
Bild 1 a–d. Hertzsche Formeln
von Hertz nicht berechnet, da die begrenzte Lnge des Zylinders die Problemlsung erschwert. Die Spannungen sx und sy an einem Element der Druckflche (x in Lngsrichtung, y in Querrichtung) sind in Zylindermitte sx ¼ 2 n sz ¼ 0;6 s0 ; sy ¼ sz ¼ s0 . Der Spannungsverlauf in z-Richtung [3] liefert die grßte Schubspannung in der Tiefe z ¼ 0;78 a zu max t ¼ 0;30 s0 . Am mittleren Volumenelement der Berhrungsflche ist in der Mitte des Zylinders max t ¼ 0;5ðs1 s3 Þ ¼ 0;5ðs0 0;6 s0 Þ ¼ 0;2 s0 und am Zylinderende max t ¼ 0;5 s0 . Dabei liegt max t in Flchenelementen schrg zur Oberflche, da voraussetzungsgemß in den Oberflchenelementen selbst und damit nach dem Satz von den zugeordneten Schubspannungen auch in Flchenelementen senkrecht dazu t ¼ 0 ist, d. h. die Oberflchenspannungen Hauptspannungen sind. Gegen Ebene. Mit r2 ! 1 gelten die entsprechenden Ergebnisse.
4.3 Beliebig gewlbte Flche Arbitrarily curved surfaces Gegen Ebene (Bild 1 c). Sind die Hauptkrmmungsradien im Berhrungspunkt r und r 0 , so bildet sich als Projektion der Druckflche eine Ellipse mit den Halbachsen a und b in Richtung der Hauptkrmmungsebenen aus. Die Druckspannungen verteilen sich nach einem Ellipsoid. Es gilt max sz ¼ s0 ¼ 1,5 F=ðp a bÞ, qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 a ¼ 3 x3 ð1 n2 Þ F=½Eð1=r þ 1=r 0 Þ, ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p b ¼ 3 3 h3 ð1 n2 Þ F=½Eð1=r þ 1=r 0 Þ, w0
¼ 1,5 yð1 n2 Þ F=E a:
C 38
Festigkeitslehre – 5 Flchentragwerke
Tabelle 1.
C
1=r 0 þ 1=r ¼ 1=r 01 þ 1=r1 þ 1=r 02 þ 1=r2 ;
1 1 ¼ 0 r r ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi ð2Þ s 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 þ 0 þ2 0 cos 2j: 0 0 r 1 r1 r 2 r2 r 1 r1 r 2 r2
Die Werte x, h, y sind abhngig von dem Hilfswinkel
Projektion der Druckflche ist wiederum Ellipse mit den Halbachsen a und b. Achse a liegt zwischen den Ebenen von r1 und r2 . Winkel j0 aus
J ¼ arccos½ð1=r 0 1=rÞ=ð1=r 0 þ 1=rÞ; s. Tab. 1. Gegen beliebig gewlbte Flche (Bild 1 d). Gegeben: Hauptkrmmungsradien r1 und r10 ;r2 und r20 ferner Winkel j zwischen den Ebenen von r1 und r2 [4]. Zurckfhrung auf den vorstehenden Fall unter Voraussetzung von r1 > r10 und r2 > r2 0 durch Einfhrung von
5 Flchentragwerke. Plates and shells
Unter der Voraussetzung, daß die Plattendicke h klein zur Flchenabmessung und die Durchbiegung w ebenfalls klein ist, ergibt sich mit der Flchenbelastung p(x, y) und der Plattensteifigkeit N ¼ Eh3 =½12ð1 n2 Þ fr die Durchbiegungen w(x, y) die Bipotentialgleichung ¶4 w ¶4 w ¶4 w pðx, yÞ þ2 2 2 þ 4 ¼ : dx4 ¶x ¶y ¶y N
ð1Þ
Die Biegemomente Mx und My sowie das Torsionsmoment Mxy folgen aus Mx ¼ Nð¶2 w=¶x2 þ n ¶2 w=¶y2 Þ, My ¼ Nð¶2 w=¶y2 þ n ¶2 w=¶x2 Þ, Mxy ¼ ð1 nÞ N ¶2 w=ð¶x ¶yÞ:
ð1=r 0 þ 1=rÞ sin 2j0 ¼ ð1=r 01 1=r1 Þ sin 2j: Umschließt ein grßerer Krper (Hohlprofil) den kleineren, so sind entsprechende Radien negativ einzufhren. Wert nach Gl. (2) darf dabei nicht grßer werden als Wert nach Gl. (1).
Ringsum eingespannter Rand. Neben den Spannungen und Durchbiegungen in Plattenmitte nach Gl. (7) treten maximale Biegespannungen in der Mitte des langen Rands auf (ci -Werte s. Tab 1):
5.1 Platten. Plates
DDw ¼
ð1Þ
ð2Þ
sy ¼ c5 p b2 =h2 , zugehrig sx ¼ 0,3 sy : Abhebende Auflagerkrfte in den Ecken in Form von Einzelkrften treten nicht auf. Ausfhrliche Darstellung aller Schnittlasten und Auflagerreaktionen in [4, 7]. Gleichmßig belastete, unendlich ausgedehnte Platte auf Einzelsttzen (Bild 2). Mit der Sttzkraft F ¼ 4a2 p sowie 2b h ergibt sich fr Spannungen und Durchbiegungen sxA ¼ syA ¼ 0,861 p a2 =h2 , sxB ¼ syB ¼ 0,62 F½lnða=bÞ 0,12=h2 , fA ¼ 0,092 p a4 =N, fC ¼ 0,069 p a4 =N:
Die Extremalspannungen an Plattenober- oder -unterseite ergeben sich aus sx ¼ Mx =W; sy ¼ My =W; t ¼ Mxy =W;
ð3Þ
wobei das Widerstandsmoment W ¼ h2 =6 ist. Bei rotationssymmetrisch belasteten Kreisplatten wird w ¼ wðrÞ, und Gl. (1) geht in die gewhnliche Eulersche Differentialgleichung 2 1 1 pðrÞ w 0000 ðrÞ þ w 000 ðrÞ 2 w 00 ðrÞ þ 3 w 0 ðrÞ ¼ ð4Þ r r r N ber. Ferner gilt n 1 Mr ¼ N w 00 þ w 0 , Mt ¼ N n w 00 þ w 0 , ð5Þ r r sr ¼ Mr =W, st ¼ Mt =W mit W ¼ h2 =6:
Bild 1. Rechteckplatte Tabelle 1.
ð6Þ
Torsionsmomente treten wegen der Rotationssymmetrie nicht auf. Im folgenden sind die wichtigsten Ergebnisse fr verschiedene Plattentypen zusammengestellt (Querdehnungszahl n ¼ 0;3).
5.1.1 Rechteckplatten. Rectangular plates Gleichmßig belastete Platte (Bild 1) Ringsum gelenkig gelagerter Rand [1–3]. Die maximalen Spannungen und Durchbiegungen treten in Plattenmitte auf: sx ¼ c1 p b2 =h2 , sy ¼ c2 p b2 =h2 , f ¼ c3 p b4 =Eh3 :
ð7Þ
In den Ecken ergeben sich abhebende Einzelkrfte F ¼ c4 p b2 , die zu verankern sind (Beiwerte ci s. Tab. 1).
5.1.2 Kreisplatten. Circular plates Gleichmßig belastete Platte Gelenkig gelagerter Rand (Bild 3 a). Die maximalen Spannungen und Durchbiegungen treten in Plattenmitte auf: sr ¼ st ¼ 1;24 p R2 =h2 , f ¼ 0;696 p R4 =ðE h3 Þ.
I5.2
Scheiben
C 39
am Ende der großen Achse sx ¼ 0,75 c1 p b4 =ða2 h2 Þ, sy ¼ n sx : 5.1.4 Gleichseitige Dreieckplatte. Triangular plate Gleichmßig mit p belastet Ringsum gelenkig gelagert (Bild 4). Fr den Plattenschwerpunkt S gilt mit der Plattensteifigkeit N ¼ Eh3 =½12ð1 n2 Þ
Bild 2. Platte auf Einzelsttzen
sx ¼ sy ¼ 0,145 p a2 =h2 , f ¼ 0,00103 p a4 =N: Die Maximalspannung tritt bei x ¼ 0;129a und y ¼ 0 auf und ist sy ¼ 0;155 p a2 =h2 .
Bild 3 a, b. Kreisplatte mit a Flchenlast; b Einzellast
Bild 4. Dreieckplatte
Eingespannter Rand. In der Mitte sr ¼ st ¼ 0,488 p R =h , f ¼ 0,171 p R =ðE h Þ; 2
2
4
3
am Rand sr ¼ 0,75 p R2 =h2 , st ¼ n sr ¼ 0,225 p R2 =h2 : Platte mit Einzellast (Bild 3 b) Fr eine Kraft F ¼ pb2 p in der Mitte, die gleichmßig auf einer Kreisflche vom Radius b verteilt ist, gilt bei gelenkig gelagertem Rand: Maximale Spannungen und Durchbiegung treten in der Mitte auf sr ¼ st ¼ 1;95ðb=RÞ2 ½0;77 0;135ðb=RÞ2 lnðb=RÞpR2 =h2 ; f ¼ 0;682ðb=RÞ2 ½2;54 ðb=RÞ2 ð1;52 lnðb=RÞÞpR4 =ðEh3 Þ; eingespanntem Rand: In der Mitte sr ¼ st ¼ 1;95ðb=RÞ2 ½0;25ðb=RÞ2 lnðb=RÞpR2 =h2 ; f ¼ 0;682ðb=RÞ2 ½1 ðb=RÞ2 ð0;75 lnðb=RÞÞpR4 =ðEh3 Þ; am Rand sr ¼ 0,75ðb=RÞ2 ½2 ðb=RÞ2 p R2 =h2 , st ¼ n sr : Weitere ausfhrliche Ergebnisse fr Kreis- und Kreisringplatten unter verschiedenen Belastungen in [5].
5.1.3 Elliptische Platten. Elliptical plates Gleichmßig mit p belastet Halbachsen a > b (a in x-, b in y-Richtung).
5.1.5 Temperaturspannungen in Platten Thermal stresses in plates Bei einer Temperaturdifferenz Dt zwischen Ober- und Unterseite ergeben sich bei Platten mit allseits freien Rndern keine Spannungen, bei allseits gelenkig gelagerten Platten nach der Plattentheorie [6]. Bei allseits eingespannten Platten wird sx ¼ sy ¼ at Dt E=½2ð1 nÞ ¼ sr ¼ st :
5.2 Scheiben. Discs Hierbei handelt es sich um ebene Flchentragwerke, die in ihrer Ebene belastet sind. Zur theoretischen Ermittlung der Spannungen mit der Airyschen Spannungsfunktion s. C 3.3. Im folgenden werden fr einige technisch wichtige Flle die Spannungen angegeben. Die Dicke der Scheiben sei h. 5.2.1 Kreisscheibe. Circular discs Radiale gleichmßige Streckenlast q (Bild 5). sr ¼ st ¼ q=h; trt ¼ 0: Gleichmßige Erwrmung D t. Bei einer Scheibe mit verschieblichem Rand ergeben sich nur Radialverschiebungen uðrÞ ¼ at Dt r, aber keine Spannungen. Bei unverschieblichem Rand ( u ¼ 0) gilt sr ¼ st ¼ E at Dt=ð1 nÞ; trt ¼ 0:
Gelenkig gelagerter Rand. Maximale Biegespannung in der Mitte sy ð3,24 2 b=aÞ p b2 =h2 . Eingespannter Rand. Mit c1 ¼ 8=½3 þ 2ðb=aÞ2 þ 3ðb=aÞ4 gilt in der Mitte sx ¼ 3c1 p b2 ½ðb=aÞ2 þ 0,3=ð8 h2 Þ, sy ¼ 3c1 p b2 ½1 þ 0,3ðb=aÞ2 =ð8 h2 Þ, f ¼ 0,171 c1 p b4 =ðE h3 Þ; am Ende der kleinen Achse min s ¼ sy ¼ 0;75 c1 p b2 =h2 ; sx ¼ n sy ;
Bild 5. Kreisscheibe
C
C 40
Festigkeitslehre – 5 Flchentragwerke
C Bild 6 a, b. Kreisringscheibe
5.2.2 Ringfrmige Scheibe. Annular discs Radiale Streckenlast innen und außen (Bild 6 a). 2 qi r 2 ra qa ra2 ri2 sr ¼ 2 i 2 1 1 , r2 hðra ri Þ r 2 hðra2 ri2 Þ 2 2 2 2 qi r ra qa r r st ¼ þ 2 i 2 þ 1 2 a 2 1 þ i2 , r hðra ri Þ r 2 hðra ri Þ trt ¼ 0: Gleichmßige Erwrmung Dt. Bei einer Scheibe mit verschieblichen Rndern ergeben sich nur Radialverschiebungen uðrÞ ¼ at Dt r, aber keine Spannungen. Bei unverschieblichem ußeren Rand ( u=0) gilt ra2 r2 sr ¼ E at Dt 1 i2 , r ð1 nÞ ra2 þ ð1 þ nÞ ri2 ra2 r2 st ¼ E at Dt 1 þ i2 , trt ¼ 0: r ð1 nÞ ra2 þ ð1 þ nÞ ri2 Ringfrmige Schublast (Bild 6 b). Sind ti und ta ¼ ti ri2 =ra2 die einwirkenden Schubspannungen, so gilt trt ¼ ti ri2 =r 2 ; sr ¼ st ¼ 0:
Membranspannungszustand genannt, da Membranen (Seifenblasen, Luftballons, dnne Metallfolien usw.), d. h. biegeschlaffe Schalen, nur auf diese Weise Belastungen aufnehmen knnen (Bild 9 a, b). Dnnwandige Metallkonstruktionen gengen in der Regel in weiten Bereichen dem Membranspannungszustand. Bei gewissen Schalenformen, an Strstellen (z. B. bergang von der Wand zum Boden) und in allen dickwandigen Schalen treten zustzlich Biegemomente und Querkrfte auf, d. h. Biegenormal- und Querkraftschubspannungen (wie bei Platten), die zu bercksichtigen sind. Dann handelt es sich um biegesteife Schalen und den Biegespannungszustand. Dieser, d. h. die Strung des Membranspannungszustands, klingt in der Regel sehr rasch mit der Entfernung von der Strstelle ab. 5.3.1 Biegeschlaffe Rotationsschalen und Membrantheorie fr Innendruck Shells under internal pressure, membrane stress theory Die Gleichgewichtsbedingungen am Element (Bild 9 a) in Richtung der Normalen und am Schalenabschnitt (Bild 9 b) in Vertikalrichtung liefern sj =R1 þ sJ =R2 ¼ p=h, sJ ¼ F=ð2 p R1 h sin2 JÞ: Hierbei ist sJ die Spannung in Meridianrichtung, sj die in Breitenkreisrichtung und h die Schalendicke. F ist die resultierende ußere Kraft in Vertikalrichtung, d. h. ZJ pðJÞ R2 ðJÞ 2 p R1 ðJÞ sin J cos J dJ:
F¼ J¼0
Bei konstantem Innendruck ist F gleich der Kraft auf die Projektionsflche, d. h. F ¼ p p r2 ¼ p pðR1 sin JÞ2 . Kreiszylinderschale unter konstantem Innendruck. sj ¼ p r=h ¼ p d=ð2 hÞ; sJ ¼ sx ¼ 0:
5.2.3 Unendlich ausgedehnte Scheibe mit Bohrung (Bild 7). Infinite plate with a hole Infolge Innendrucks p ¼ q=h entstehen die Spannungen sr ¼ p ri2 =r 2 ; st ¼ þp ri2 =r 2 ; trt ¼ 0: 5.2.4 Keilfrmige Scheibe unter Einzelkrften (Bild 8) Wedge-shaped plate under point load
Kugelschale unter konstantem Innendruck. sj ¼ sJ ¼ p r=ð2 hÞ ¼ p d=ð4 hÞ: Zylinderschale mit Halbkugelbden unter konstantem Innendruck (Bild 10). Im Zylinder sj ¼ p r=h ¼ p d=ð2 hÞ, sx ¼ p r=ð2 hÞ ¼ p d=ð4 hÞ, in der Kugelschale sj ¼ sJ ¼ p r=ð2 hÞ ¼ p d=ð4 hÞ:
Fr die Spannungen gilt 2 F1 cos j 2 F2 sin j sr ¼ þ , r hð2 b þ sin 2 bÞ r hð2 b sin 2 bÞ st ¼ 0, trt ¼ 0:
5.3 Schalen. Shells Hierbei handelt es sich um rumlich gekrmmte Bauteile, welche die Belastungen im wesentlichen durch Normalspannungen sx und sy sowie Schubspannungen txy (bzw. bei Rotationsschalen durch sj und sJ sowie tjJ ), die alle in der Schalenflche liegen, abtragen. Diese Lastabtragung wird
Bild 9 a, b. Membranspannungszustand
Bild 7. Scheibe mit Bohrung
Bild 10. Geschlossene Zylinderschale
Bild 8. Keilfrmige Scheibe
I5.3 5.3.2 Biegesteife Schalen. Bending rigid shells
Schalen
C 41
Tabelle 2
Elliptischer Hohlzylinder unter Innendruck (Bild 11). berlagert man den Membranspannungen die Biegespannungen, so ergibt sich fr die Punkte A und B sA ¼ p a=h þ c1 p a2 =h2 , sB ¼ p b=h þ c2 p a2 =h2 (s. Tab. 2). Umschnrter Hohlzylinder (Bild 12). Infolge Schneidenlast q entstehen Umfangsspannungen x p qr qr sj ðxÞ ¼ pffiffiffi ex=L sin þ , sj ðx ¼ 0Þ ¼ L 4 2Lh 2Lh sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r 2 h2 4 mit L ¼ und Biegespannungen in x-Richtung 3ð1 n2 Þ x p 3qL sx ðxÞ ¼ pffiffiffi ex=L cos þ , L 4 2 h2
Tabelle 3
sx ðx ¼ 0Þ ¼ max sx ¼ 1,5 q L=h2 : Rohrbogen unter Innendruck (Bild 13). In Lngsrichtung des Bogens ergeben sich die Spannungen sx ¼ p r=ð2hÞ ¼ p d=ð4 hÞ, d. h. dieselben Spannungen wie beim abgeschlossenen geraden Rohr. In Umfangsrichtung gilt sj ¼
Bild 11. Elliptischer Hohlzylinder
pd R=d þ 0;25 sin j : 2h R=d þ 0;5 sin j
Fr Bogenober- und Bogenunterseite (j ¼ 0 bzw. 180) folgt sj ð0Þ ¼ pd=ð2hÞ, d. h. Spannung wie beim kreiszylindrischen Rohr. Fr Bogenaußen- bzw. Bogeninnenseite ist p d R=d þ 0,25 bzw: 2 h R=d þ 0,50 p d R=d 0,25 sj ð90Þ ¼ , 2 h R=d 0,50 sj ð90Þ ¼
Bild 12. Umschnrter Hohlzylinder
d. h., sj ð90Þ ist kleiner, sj ð90Þ grßer als sj ð0Þ. Gewlbter Boden unter Innendruck (Bild 14). Fr die Spannungen in der kugeligen Wlbung gilt (wie bei der Kugelschale) sj ¼ sJ ¼ p rB =ð2hÞ. Fr die (maximalen) Meridianspannungen in der Krempe gilt sJ ¼ c1 p rZ =ð2 hÞ ¼ c1 p dZ =ð4 hÞ; s. Tab. 3.
Bild 13. Rohrbogen
Dickwandiger Kreiszylinder unter Innen- und Außendruck (Bild 15). Es liegt ein rumlicher Spannungszustand vor mit den Spannungen (im mittleren Zylinderbereich) ri2 r2 pa 2 a 2 , ra2 ri2 ra ri 2 r2 r r2 r2 sj ¼ pi 2 i 2 a2 þ 1 pa 2 a 2 1 þ i2 , r ra ri r ra ri 2 ri2 ra ra2 r2 sr ¼ pi 2 1 pa 2 1 i2 : 2 r2 2 r ra ri ra ri sx ¼ pi
Bild 14. Gewlbter Boden
Bei alleinigem Innen- oder Außendruck tritt die grßte Spannung an der Innenseite als sj ðr ¼ ri Þ auf. Die Biegeeinspannung des Zylinders in den Boden ist hierbei nicht bercksichtigt. Dickwandige Hohlkugel unter Innen- und Außendruck. Es liegt ein rumlicher Spannungszustand vor mit den Spannungen r3 r3 r3 r3 sj ¼ sJ ¼ pi 3 i 3 1 þ a 3 pa 3 a 3 1 þ i 3 , 2r 2r ra ri ra ri 3 ri3 ra ra3 ri3 sr ¼ pi 3 1 pa 3 1 3 : r ra ri3 r 3 ra ri3 Die Maximalspannung ergibt sich aus sj ðr ¼ ri Þ.
Bild 15. Dickwandiger Kreiszylinder
C
C 42
Festigkeitslehre – 6 Dynamische Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkrfte
6 Dynamische Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkrfte Centrifugal stresses in rotating components
C
Spannungen und Verformungen mit der Winkelgeschwindigkeit w umlaufender Bauteile lassen sich nach den Regeln der Statik und Festigkeitslehre ermitteln, wenn man im Sinne des d'Alembertschen Prinzips die Fliehkrfte (Trgheitskrfte, negative Massenbeschleunigungen) w2 r dm ¼ w2 rr dA dr (r Dichte) als ußere Krfte an den Massenelementen ansetzt. Im folgenden werden lediglich die Ergebnisse fr die Spannungen (bei Scheiben fr die Querdehnungszahl n ¼ 0;3) und fr Radialverschiebungen angegeben.
Bild 1. Umlaufender Stab
Bild 2. Umlaufender Ring
Bild 3. Umlaufende Vollscheibe
Bild 4. Umlaufende Ringscheibe
6.1 Umlaufender Stab (Bild 1). Rotating bars Mit dem Stabquerschnitt A und dem Elastizittsmodul E gelten sr ðrÞ
¼ r w2 ðl2 r 2 Þ=2 þ m1 w2 l1 =A,
max sr ¼ sr ðr ¼ 0Þ ¼ r w2 l2 =2 þ m1 w2 l1 =A, ¼ r w2 ð3 l2 r r 3 Þ=ð6 EÞ þ m1 w2 l1 r=ðA EÞ,
uðrÞ
uðr ¼ lÞ ¼ r w2 l3 =ð3 EÞ þ m1 w2 l1 l=ðA EÞ: Fr beliebige si und sa wird
6.2 Umlaufender dnnwandiger Ring oder Hohlzylinder (Bild 2). Rotating thin rings 2 3
A2 ¼ ðsa si Þ ra2 ri2 =ðra2 ri2 Þ c1 r w2 ra2 ri2 ;
6.3 Umlaufende Scheiben. Rotating discs
Verschiebungen u(r) sowie c1 und c2 wie vorher. Bei Scheiben mit Kranz und Nabe sind si und sa statisch unbestimmte Grßen, die aus den Bedingungen gleicher Verschiebung an den Stellen r ¼ ri und r ¼ ra bestimmt werden knnen [1].
6.3.1 Vollscheibe konstanter Dicke (Bild 3) Discs of uniform thickness sr ðrÞ
¼ c1 r w2 R2 ð1 r 2 =R2 Þ,
max sr ¼ sr ðr ¼ 0Þ ¼ c1 r w2 R2 , st ðrÞ
¼ c1 r w2 R2 ð1 c3 r 2 =R2 Þ,
6.3.3 Scheiben gleicher Festigkeit (Bild 5) Discs of constant strength
max st ¼ st ðr ¼ 0Þ ¼ c1 r w2 R2 , ¼ r½st ðrÞ nsr ðrÞ=E,
uðrÞ
Aus den Differentialgleichungen der rotierenden Scheiben [1] folgt fr den Fall, daß sr ¼ st ¼ s berall gleich ist, die
uðr ¼ RÞ ¼ r w2 R3 ð1 nÞ=ð4EÞ; wobei c1 ¼
3þn 1 þ 3n und c3 ¼ . 8 3þn
2
6.3.2 Ringfrmige Scheibe konstanter Dicke (Bild 4) Annular discs of uniform thickness Fr si ¼ sa ¼ 0 ist sr ðrÞ
st ðrÞ ¼ A1 A2 =r 2 c2 r w2 r 2 , wobei A1 ¼ ðsa ra2 si ri2 Þ=ðra2 ri2 Þ þ c1 r w2 ðra2 þ ri2 Þ,
st ¼ r w R ; u ¼ r w R =E: 2 2
sr ðrÞ ¼ A1 þ A2 =r 2 c1 r w2 r 2 ,
¼ c1 r w2 ra2 ð1 þ ri2 =ra2 ri2 =r2 r 2 =ra2 Þ,
sr ðr ¼ ri Þ¼ sr ðr ¼ ra Þ ¼ 0, st ðrÞ
¼ c1 r w2 ra2 ð1 þ ri2 =ra2 þ ri2 =r2 c3 r 2 =ra2 Þ,
max st
¼ st ðr ¼ ri Þ ¼ 2 c1 r w2 ra2 ð1 þ c4 ri2 =ra2 Þ:
Fr ri ! 0; d. h. bei sehr kleiner Bohrung, wird max st ¼ 0;825rw2 R2 doppelt so groß wie bei der Vollscheibe!
Scheibendicke hðrÞ ¼ h0 erðwrÞ =ð2sÞ (de Lavalsche Scheibe gleicher Festigkeit, ohne Mittelbohrung). h0 ist die Scheibendicke bei r ¼ 0. Die Profilkurve hat einen Wendepunkt fr pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r ¼ s=ðrw2 Þ. Die radiale Verschiebung ist uðrÞ ¼ ð1 nÞsr=E; uðr ¼ ra Þ ¼ ð1 nÞsra =E: Die Scheibendicke hðr ¼ ra Þ ¼ ha ergibt sich aus dem Einfluß der Schaufeln (Gesamtmasse mS ) und des Kranzes (Querschnitt AK ), an dem die Schaufeln befestigt sind, zu [1] w2 1 mS rS ra ha ¼ þ rrK2 AK AK n þ ð1 nÞ 2p s rK ra und damit wird h0 ¼ ha erðwra Þ
2
=ð2sÞ
uðrÞ ¼ r½st ðrÞ nsr ðrÞ=E, ui
¼ uðr ¼ ri Þ ¼ r w2 ri ½2 c1 ra2 þ ðc1 c2 Þ ri2 =E,
ua
¼ uðr ¼ ra Þ ¼ r w2 ra ½2 c1 ri2 þ ðc1 c2 Þ ra2 =E,
wobei c1 ¼ ð3 þ nÞ=8, c2 ¼ ð1 þ 3nÞ=8, c3 ¼ c4 ¼
1n . 3þn
1 þ 3n und 3þn Bild 5. Scheibe gleicher Festigkeit
.
I7.1 6.3.4 Scheiben vernderlicher Dicke Discs with varying thickness Fr Scheiben mit hyperbolischen oder konischen Profilen findet man Lsungen in [1]. Dort sind auch Nherungsverfahren fr beliebige Profile dargestellt. 6.3.5 Umlaufender dickwandiger Hohlzylinder Rotating thick-walled cylinder Neben den Spannungen sr und st in Radial- und Tangentialrichtung treten zustzlich infolge der behinderten Querdeh-
Knickung
C 43
nung Spannungen sx in Lngsrichtung auf (rumlicher Spannungszustand): 3 2n r 2 r 2 r2 sr ðrÞ ¼ r w2 ra2 1 þ i2 i2 2 , ra r ra 8ð1 nÞ 3 2n r 2 r 2 ð1 þ 2 nÞ r2 1 þ i2 þ i2 , st ðrÞ ¼ r w2 ra2 ra r ð3 2 nÞ ra2 8ð1 nÞ 2 2 2n r r sx ðrÞ ¼ r w2 ra2 1 þ i2 2 2 : ra ra 8ð1 nÞ
7 Stabilittsprobleme Stability problems 7.1 Knickung. Buckling of bars Schlanke Stbe oder Stabsysteme gehen unter Druckbeanspruchung bei Erreichen der kritischen Spannung oder Last aus der nicht ausgebogenen (instabilen) Gleichgewichtslage in eine benachbarte gebogene (stabile) Lage ber. Weicht der Stab in Richtung einer Symmetrieachse aus, so liegt (Biege-)knicken vor, andernfalls handelt es sich um Biegedrillknicken (s. C 7.1.6).
Bild 2. Die vier Eulerschen Knickflle
7.1.1 Knicken im elastischen (Euler-)Bereich Elastic (Euler) buckling Betrachtet man die verformte Gleichgewichtslage des Stabs nach Bild 1, so lautet die Differentialgleichung fr Knickung um die Querschnittshauptachse y (mit Iy als kleinerem Flchenmoment 2. Grades) im Fall kleiner Auslenkungen EIy w00 ðxÞ ¼ Mb ðxÞ ¼ FwðxÞ bzw: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w00 ðxÞ þ a2 wðxÞ ¼ 0 mit a ¼ F=ðEIy Þ
ð1Þ
und der Lsung wðxÞ ¼ C1 sin ax þ C2 cos ax:
ð2Þ
Aus den Randbedingungen wðx ¼ 0Þ ¼ 0 und wðx ¼ lÞ ¼ 0 folgen C2 ¼ 0 und sin al ¼ 0 (Eigenwertgleichung) mit den Eigenwerten aK ¼ np=‘; n ¼ 1; 2; 3; . . . : Somit ist nach den Gln. (1) und (2) FK ¼ a2K EIy ¼ n2 p2 EIy =l2 ; wðxÞ ¼ C1 sinðnpx=lÞ:
ð3Þ
Die kleinste (Eulersche) Knicklast ergibt sich fr n ¼ 1 zu FK ¼ p2 EIy =l2 : Fr andere Lagerungsflle ergeben sich entsprechende Eigenwerte, die sich jedoch alle mit der reduzierten oder wirksamen Knicklnge lK (Bild 2) auf die Form aK ¼ np=lK zurckfhren lassen. Dann gilt allgemein fr die Eulersche Knicklast FK ¼ p2 EIy =l2K :
ð4Þ
pffiffiffiffiffiffiffiffiffi Mit dem Trgheitsradius iy ¼ Iy =A und der Schlankheit l ¼ lK =iy folgt als Knickspannung sK ¼ FK =A ¼ p2 E=l2 :
ð5Þ
Die Funktion sK ðlÞ stellt die Euler-Hyperbel dar (Linie 1 auf Bild 3).
Bild 1. Knickung eines Stabs
Bild 3. Knickspannungsdiagramm fr St 37. 1 Euler-Hyperbel, 2 Tetmajer-Gerade, 3 Engesser-v. Ka´rma´n-Kurve , 4 v. Ka´rma´n-Geraden , 5 Traglast-Kurve nach Jger
Diese Gleichungen gelten nur im linearen, elastischen Werkstoffbereich, also solange pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sK ¼ p2 E=l2 % sP bzw: l ^ p2 E=sP ist: Der bergang aus dem elastischen in den unelastischen (plastischen) Bereich findet statt bei der Grenzschlankheit pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi l0 ¼ p2 E=sP : ð6Þ Zum Beispiel wird fr St 37 mit Re ¼ 240 N=mm2 ; sP 0;8Re ¼ 192 N=mm2 und E ¼ 2;1 105 N=mm2 die Grenzschlankheit l0 ¼ 104. Weitere Grenzschlankheiten s. Tab. 1. Tabelle 1. Werte a und b nach Tetmajer
C
C 44
Festigkeitslehre – 7 Stabilittsprobleme
Knicksicherheit SK ¼ FK =Fvorh bzw: SK ¼ sK =svorh :
Im Fall b) wird unter dieser Annahme
ð7Þ
Im allgemeinen Maschinenbau ist im elastischen Bereich SK 5 . . . 10, im unelastischen Bereich SK 3 . . . 8.
C
Ausbiegung beim Knicken. Die Lsung der linearisierten Differentialgleichung (1) liefert zwar die Form der Biegelinie, Gl. (3), aber nicht die Grße der Auslenkung (Biegepfeil). Setzt man in Gl. (1) an Stelle von w00 den wirklichen Ausdruck fr die Krmmung ein, so erhlt man eine nichtlineare Differentialgleichung. Ihre Nherungslsung liefert als Biegepfeil den Wert [1] qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi f ¼ 8ðFl2 p2 EIy Þ=ðp2 FÞ; d. h. f ðF ¼ FK Þ ¼ 0 und f ðF ¼ 1;01 FK Þ 0;09l; 1% berschreitung der Knicklast liefert also bereits 9% der Stablnge als Auslenkung! 7.1.2 Knicken im unelastischen (Tetmajer-)Bereich Inelastic buckling (Tetmajer's method) Der Einfluß der Form (Krmmung) der Spannungs-Dehnungs-Linie in diesem Bereich wird nach der Theorie von Engesser und v. Ka´rma´n mit der Einfhrung des Knickmoduls TK < E bercksichtigt: pffiffiffiffi pffiffiffiffi sK ¼ p2 TK =l2 ; TK ¼ 4TE=ð T þ EÞ2 ð8Þ T ¼ TðsÞ ¼ ds=de ist der Tangentenmodul und entspricht dem Anstieg der Spannungs-Dehnungs-Linie. TK gilt fr Rechteckquerschnitt, kann aber mit geringem Fehler auch fr andere Querschnitte verwendet werden. Vorzugehen ist in der Weise, daß T fr verschiedene s aus der Spannungs-Dehnungs-Linie bestimmt und damit TK ðsÞ und lðsK Þ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p2 TK =sK gemß Gl. (8) berechnet werden. Die Umkehrfunktion sK ðlÞ ist dann die Knickspannungslinie 3 nach Engesser-v. Ka´rma´n auf Bild 3. Th. v. Ka´rma´n ersetzte die Linie durch zwei tangierende Geraden, von denen die Horizontale durch die Streckgrenze geht (Linie 4 auf Bild 3). Shanley [2] hat gezeigt, daß bereits erste Auslenkungen fr den Wert sK ¼ p2 T=l2 (1. Engesser-Formel) bei weiterer Laststeigerung mglich sind. Dieser Wert stellt somit die unterste, der Wert nach Gl. (8) die oberste Grenze der Knickspannungen im unelastischen Bereich dar. Praktische Berechnung nach Tetmajer: Aufgrund von Versuchen erfaßte Tetmajer die Knickspannungen durch eine Gerade, die auch heute noch im Maschinenbau Verwendung findet (Linie 2 auf Bild 3): sK ¼ a bl:
ð9Þ
Die Werte a, b fr verschiedene Werkstoffe sind Tab. 1 zu entnehmen. Beispiel: Dimensionierung einer Schubstange. Man bestimme den erforderlichen Durchmesser einer Schubstange aus St 37 der Lnge l ¼ 2 000 mm a) fr die Druckkraft F ¼ 96 kN bei einer Knicksicherheit SK ¼ 8; b) fr F ¼ 300 kN bei SK ¼ 5. – Ist die Schubstange beidseitig gelenkig angeschlossen, so liegt der 2. Euler-Fall vor, d. h. lK ¼ l ¼ 2 000 mm. Bei Annahme elastischer Knickung folgt aus den Gln. (4) und (7) im Fall a)
erf Iy ¼ FSK l2K =ðp2 EÞ ¼ 289;5 104 mm4 und erf d ¼ 88 mm; also l ¼ lK =iy ¼ 91 < l0 , d. h. Knickung im unelastischen Bereich. Nach Tetmajer, Gl. (9), wird fr diese Schlankheit gemß Tab. 1 sK ¼ ð310 1;14 91Þ N=mm2 ¼ 206 N=mm2 und mit svorh ¼ F=A ¼ 300 103 N=ðp 882 =4Þ mm2 ¼ 49;3 N=mm2 die Knicksicherheit SK ¼ sK =svorh ¼ 206=49;3 ¼ 4;2 < 5: Fr d ¼ 95 mm wird l ¼ lK =iy ¼ 84 und sK ¼ a bl ¼ 214 N=mm2 , und mit svorh ¼ F=ðpd 2 =4Þ ¼ 42;3 N=mm2 ist dann SK ¼ sK =svorh ¼ 5;06 5:
7.1.3 Nherungsverfahren zur Knicklastberechnung Approximate methods for estimating critical loads Energiemethode: Da im Fall des Ausknickens der Stab eine stabile benachbarte Gleichgewichtslage annimmt, muß die ußere Arbeit gleich der Formnderungsarbeit sein (Bild 4 a). Mit C 2 Gl. (39) und C 2 Gl. (34) folgen Zl Zl 1 dx 1 W ðaÞ ¼ FK u ¼ W ¼ Mb2 ¼ EIy w 002 dx und 2 EIy 2 0 0 ð10Þ Zl Z l pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Zl 1 u ¼ ðds dxÞ ¼ ð 1 þ w 02 1Þdx w 02 dx: 2 0
0
Somit wird der Rayleighsche Quotient Zl EIy ðxÞ w 002 ðxÞ dx 2W 0 FK ¼ ¼ : Zl 2u 02 w ðxÞ dx
0
ð11Þ
0
Mit der exakten Biegelinie w(x) folgt aus dieser Gleichung die exakte Knickkraft fr den elastischen Bereich. Bei Stben mit vernderlichem Querschnitt ergibt der Vergleich mit der Knickkraft FK ¼ p2 EIy0 =l2K des entsprechenden Eulerfalls eines Stabs mit konstantem Querschnitt das Ersatzflchenmoment Iy0 ¼ FK l2K =ðp2 EÞ: Dieses gilt dann nherungsweise auch fr den Knicknachweis im unelastischen Bereich. In Wirklichkeit ist die exakte Biegelinie (Eigenfunktion) des Knickvorgangs unbekannt. In Gl. (11) wird daher nach Ritz eine die Randbedingungen befriedigende Vergleichsfunktion w(x) eingesetzt. Fr FK ergibt sich ein Nherungswert, der stets grßer ist als die exakte Knicklast, da fr die exakte Eigenfunktion die Formnderungsarbeit zum Minimum, fr die Vergleichsfunktion also stets etwas zu groß wird. Als Vergleichsfunktionen kommen u. a. die Biegelinien des zugehrigen Trgers bei beliebiger Belastung in Betracht. Weitere und verbesserte Nherungsverfahren s. [1–5].
erf Iy ¼ FSK l2K =ðp2 EÞ ¼ 96 103 N 8 2 0002 mm2 =ðp2 2,1 105 N=mm2 Þ ¼ 148,2 104 mm4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi und mit Iy ¼ pd 4 =64 dann erf d ¼ 4 64 148;2 104 mm4 =p ¼ 74 mm. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Mit iy ¼ Iy =A ¼ d=4 ¼ 18;5 mm wird die Schlankheit l ¼ lK =iy ¼ 2 000 mm=18;5 mm ¼ 108 > 104 ¼ l0 ; so daß die Annahme von elastischer Knickung berechtigt war.
Bild 4 a–c. Knickung. a Energiemethode; b Kreisringtrger; c Rahmen
I7.2 Beispiel: Vergleichsberechnung der Knicklast fr einen Stab konstanten Querschnitts und Lagerung nach Eulerfall 2 mit der Energiemethode. – Als Vergleichsfunktion wird die Biegelinie unter Einzellast gemß C 2, Tab. 5 a, Fall 1, gewhlt: wðxÞ ¼ c1 ð3l2 x 4x3 Þ fr 0 x l=2. Mit w0 ðxÞ ¼ c1 ð3l2 12x2 Þ und w00 ðxÞ ¼ 24c1 x folgt nach Integration gemß Gl. (11) 2W ¼ c21 48EIy l3 , 2v ¼ c21 l5 4;8 und daraus FK ¼ 10;0EIy =l2 : Dieser Wert ist um 1,3% grßer als das exakte Ergebnis p2 EIy =l2 :
Kippen
C 45
C
Bild 5. Biegedrillknicken
7.1.4 Stbe bei nderung des Querschnitts bzw. der Lngskraft. Bars with variable cross section or axial load Ihre Berechnung kann nach C 7.1.3 vorgenommen werden. In DIN 4114 Blatt 2 sind in Tafel 4 die Ersatzflchenmomente Im fr I-Querschnitte, in Tafel 5 die Ersatzknicklngen fr linear und parabolisch vernderliche Lngskraft angegeben. Weitere Flle s. [4]. 7.1.5 Knicken von Ringen, Rahmen und Stabsystemen Buckling of rings, frames and systems of bars Geschlossener Kreisringtrger unter Außenbelastung q ¼ const (Bild 4 b). Fr Knicken in der Belastungsebene gilt [4], wenn die Last stets senkrecht zur Stabachse steht, qK ¼ 3EIy =R3 , und, wenn die Last ihre ursprngliche Richtung beibehlt, qK ¼ 4EIy =R3 . Ausknicken senkrecht zur Trgerebene erfolgt fr qK ¼ 9EIz GIt =½R3 ð4GIt þ EIz Þ: Geschlossener Rahmen (Bild 4 c). Fr das Ausknicken in der Rahmenebene ergibt sich die kritische Last FK ¼ a2 EI1 aus der Eigenwertgleichung [4] fr a: al1 l1 ða2 l22 I12 36I22 Þ ¼ 0: tanðal1 Þ 12l2 I1 I2 Weitere Ergebnisse, auch fr Stabsysteme, s. [2, 4]. 7.1.6 Biegedrillknicken. Torsional buckling Neben dem reinen Biegeknicken kann beim Stab unter Belastung von Lngskraft (und Torsionsmoment) eine rumlich gekrmmte und tordierte Gleichgewichtslage, das Biegedrillknicken, eintreten. Auch alleiniges Drillknicken (ohne Ausbiegungen) infolge Lngskraft ist mglich. Stbe mit Kreisquerschnitt (Wellen) Dem Problem zugeordnete Differentialgleichungen s. [3]. Biegedrillknicken infolge Torsionsmoments tritt ein fr MtK1 ¼ 2pEIy =l: Es ist nur von Bedeutung fr sehr schlanke Wellen und Drhte. Wirken Lngskraft F und Torsionsmoment Mt gemeinsam, so gilt fr den beidseitig gelenkig gelagerten Stab sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p2 EIy M2 Fl2 1 2t ; MtK ¼ MtK1 1 2 : FK ¼ 2 l p EIy MtK1 Stbe mit beliebigem Querschnitt unter Lngskraft Doppelt symmetrische Querschnitte. Schubmittelpunkt und Schwerpunkt fallen zusammen, und es gelten die drei Differentialgleichungen EIy w0000 þ Fw00 ¼ 0; EIz u0000 þ Fu00 ¼ 0; ð12Þ ECM j0000 þ ðFi2p GIt Þj00 ¼ 0: Die ersten beiden liefern die bekannten Eulerschen Knicklasten; die dritte besagt, daß reines Drillknicken (ohne Durchbiegungen) mglich ist und liefert fr beidseitig gelenkige Lagerung aus jðxÞ ¼ C sinðpx=lÞ; d. h. bei j ¼ 0 an den Enden, die Knicklast FKt ¼ ðGIt þ p2 ECM =l2 Þ=i2p :
ð13Þ
Bild 6 a, b. Kippung eines Trgers. a Eingespannt; b mit Gabellagerung
CM ist der Wlbwiderstand infolge behinderter Verwlbung [2], z. B. fr einen IPB-Querschnitt ist CM ¼ Iz h2 =4 (h Abstand der Flanschmitten). Fr Vollquerschnitte ist CM 0. Nur fr kleine Knicklngen l kann FKt maßgebend werden. Fr I-Normalprofile ist stets Iz , d. h. Knicken in y-Richtung, und nicht Drillknicken maßgebend. Einfach symmetrische Querschnitte (Bild 5). Ist z die Symmetrieachse, so treten hier die zweite und dritte der Gln. (12) in gekoppelter Form auf [2, 5], d. h., Biegedrillknicken ist mglich. Fr Knicken um die y-Achse (in z-Richtung) gilt die normale Eulersche Knicklast FKy ¼ p2 EIy =l2 . Die beiden anderen kritischen Lasten folgen fr Gabellagerung an den Enden aus 2 3 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2ffi 1 1 1 1 1 1 2 4 zM 5 ; ¼ 4 þ þ FK 2 FKz FKt FKz FKt FKz FKt iM FKt nach Gl. (13), FKz ¼ p2 EIz =l2 ; iM polarer Trgheitsradius bezglich Schubmittelpunkt, zM Abstand des Schubmittelpunkts vom Schwerpunkt.
7.2 Kippen. Lateral buckling of beams Schmale hohe Trger nehmen bei Erreichen der kritischen Last eine durch Biegung und Verdrehung gekennzeichnete benachbarte Gleichgewichtslage ein (Bild 6 a). Die zugehrige Differentialgleichung lautet fr doppeltsymmetrische Querschnitte ECM j0000 GIt j00 ðMy2 =EIz My00 zF Þj ¼ 0;
ð14Þ
j Torsionswinkel, zF Hhenlage des Kraftangriffspunkts ber dem Schubmittelpunkt (hier Schwerpunkt), CM Wlbwiderstand. Die nichtlineare Differentialgleichung ist i. allg. nicht geschlossen lsbar. Nherungslsungen s. [1, 4, 5]. Fr Vollquerschnitte ist CM 0: 7.2.1 Trger mit Rechteckquerschnitt Beams with rectangular cross section a) Gabellagerung und Angriff zweier gleich großer Momente MK an den Enden (Bild 6 b). Hier geht Gl. (14) ber in MK2 j00 ðxÞ þ jðxÞ ¼ 0: Mit der die Randbedingungen beEIz GIt
C 46
Festigkeitslehre – 7 Stabilittsprobleme
C Bild 7 a–c. Beulung einer Rechteckplatte
friedigenden Lsung jðxÞ ¼ C sinðpx=lÞ folgt fr das kritische Kippmoment pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi MK ¼ ðp=lÞ EIz GIt ¼ ðp=lÞK: Bei Bercksichtigung der Verformungen des Grundzustands pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [4] ergibt sich genauer K ¼ EIz GIt ðIy Iz Þ=Iy : b) Gabellagerung und Einzelkraft FK in Trgermitte (Lastangriffspunkt in Hhe zF ) rffiffiffiffiffiffiffi 16;93 3;48 EIz FK ¼ 2 K 1 zF : GIt l l
2 2 m n2 m2 þ 2 ¼ hsx 2 bzw: 2 a b a 2 p2 N b n2 a sx ¼ 2 m þ : b h a mb
p2 N
Hieraus folgen die (minimalen) kritischen Beulspannungen: p2 N b a 2 Fr a < b; m ¼ n ¼ 1 : sxK ¼ 2 : þ b h a b
c) Kragtrger mit Einzelkraft FK am Ende (Lastangriffspunkt in Hhe zF ) gemß Bild 6 a rffiffiffiffiffiffiffi 4;013 zF EIz FK ¼ 2 K 1 : l GIt l
4p2 N : b2 h Fr a > b: Bei ganzzahligem Seitenverhltnis a/b teilt sich die Platte durch Knotenlinien in einzelne Quadrate, und es gilt wiederum sxK ¼ 4p2 N=ðb2 hÞ: Dieser Wert wird auch fr nicht ganzzahlige Seitenverhltnisse verwendet, da die wahren Werte nur geringfgig darber liegen.
7.2.2 Trger mit I-Querschnitt. I-beams
b) Allseits gelenkig gelagerte Platte unter Lngsspannungen x und y . Mit dem Ansatz wie unter a) folgt
Zu bercksichtigen ist der Wlbwiderstand CM Iz h2 =4: Mit EIz h 2 der Abkrzung c ¼ gilt fr die in C 7.2.1 angefhrGIt 2l ten Flle analog (h Abstand der Flanschmitten) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a) MK ¼ ðp=lÞKb1 ; b1 ¼ 1 þ p2 c: b) Bei Lastangriff in Schwerpunkthhe ðzF ¼ 0Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FK ¼ ð16;93=l2 ÞKb1 ; b1 ¼ 1 þ 10;2c; bei Lastangriff am oberen oder unteren Flansch qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FK ¼ ð16;93=l2 ÞKb1 ð 1 þ 3;24c=b21 1;80 c=b21 Þ: c) Bei Lastangriff in Schwerpunkthhe ðzF ¼ 0Þ pffiffiffi 1 þ 1;61 c 2 FK ¼ ð4;013=l2 ÞKb1 ; b1 ¼ pffiffiffi : 1 þ 0;32 c
7.3 Beulung. Buckling of plates and shells Platten und Schalen gehen bei Erreichen der kritischen Belastung in eine benachbarte (ausgebeulte) stabile Gleichgewichtslage ber. 7.3.1 Beulen von Platten. Buckling of plates Rechteckplatten (Bild 7 a–c). Mit der Plattendicke h und der Plattensteifigkeit N ¼ Eh3 =½12ð1 n2 Þ lautet unter Voraussetzung der Gltigkeit des Hookeschen Gesetzes die Differentialgleichung des Problems ¶2 w ¶2 w ¶2 w NDDw þ h sx 2 þ sy 2 þ t ¼ 0: ð15Þ ¶x ¶y ¶x ¶y
Fr a ¼ b; m ¼ n ¼ 1 : sxK ¼
sx ¼
p2 N ðm2 b2 =a2 þ n2 Þ2 : b2 h m2 b2 =a2 þ n2 sy =sx
Die (ganzzahligen) Werte m und n sind bei gegebenem Seitenverhltnis b/a und Spannungsverhltnis sy =sx so zu whlen, daß sx zum Minimum sxK wird. Fr den Sonderfall allseitig gleichen Drucks sx ¼ sy ¼ s folgt p2 N b2 m2 2 þ n2 s¼ 2 a b h mit dem Minimum fr m ¼ n ¼ 1 p2 N b2 sK ¼ 2 þ 1 : b h a2 c) Allseitig gelenkig gelagerte Platte unter Schubspannungen. Eine exakte Lsung liegt nicht vor. Mit einem 5gliedrigen Ritz-Ansatz erhlt man ber die Energiemethode, d. h. aus ¼ W W ðaÞ ¼ Min; die Nherungsformeln (s. [4, 6]): p2 N b2 Fr a b: tK ¼ 2 4;00 þ 5;34 2 ; a b h p2 N b2 Fr a b: tK ¼ 2 5;34 þ 4;00 2 : a b h d) Unendlich langer, gelenkig gelagerter Plattenstreifen unter 8b p2 N 8pN Einzellasten (Bild 8). FK ¼ ¼ . p b2 b Weitere Ergebnisse fr Rechteckplatten s. [4].
a) Allseits gelenkig gelagerte Platte unter Lngsspannungen sx . Mit dem die Randbedingungen befriedigenden Produktansatz wðx; yÞ ¼ cmn sinðmpx=aÞ sinðnpy=bÞ folgt durch Einsetzen in die Differentialgleichung (15)
Bild 8. Beulen des Plattenstreifens
I7.3 Kreisplatten (Bild 9 a–c)
Beulung
C 47
Tabelle 2. Beiwerte c1 und c2 fr n ¼ 0;3
a) Kreisplatte mit konstantem Radialdruck s. Dieses Problem lßt sich relativ einfach exakt lsen [1]. Fr den Scheibenspannungszustand gilt nach C 5.2.1 sr ¼ st ¼ s und trt ¼ 0: Damit nimmt die Differentialgleichung (15) die Form NDDw þ hsDw ¼ 0 bzw: DðD þ a2 Þw ¼ 0; a2 ¼ hs=N
C
an. Sie wird erfllt, wenn ðD þ a2 Þw ¼ 0 und Dw ¼ 0 bzw. wegen D ¼ d2 =dr2 þ ð1=rÞd=dr, wenn d2 w 1 dw d2 w 1 dw þ þ þ a2 w ¼ 0 und ¼ 0: dr 2 r dr dr 2 r dr Die Lsung dieser Gleichungen lautet wðrÞ ¼ C1 J0 ðarÞ þ C2 N0 ðarÞ þ C3 þ C4 ln r
Bild 9 a–c. Beulung von Kreis- und Kreisringplatte
(J0 und N0 sind die Besselsche und die Neumannsche Funktion nullter Ordnung). Die Erfllung der Randbedingungen wðRÞ ¼ 0 und Mr ðRÞ ¼ 0 (fr die gelenkig gelagerte Platte) bzw. wðRÞ ¼ 0 und w0 ðRÞ ¼ 0 (fr die eingespannte Platte) sowie der Zusatzbedingungen w0 ð0Þ ¼ 0 und endliches wð0Þ fhren auf die Eigenwertgleichungen aRJ0 ðaRÞ ð1 nÞJ1 ðaRÞ ¼ 0 ðgelenkig gelagerte PlatteÞ und J1 ðaRÞ ¼ 0 ðeingespannte PlatteÞ: Hieraus ergeben sich die Beulspannungen sK ¼ 4;20N=ðR2 hÞ ðgelenkig gelagerte Platte; n ¼ 0;3Þ und sK ¼ 14;67N=ðR2 hÞ ðeingespannte PlatteÞ: b) Kreisringplatte mit konstantem Radialdruck. Die mathematische Lsung ist komplizierter als unter a) (s. [3]). Es ergeben sich bei freiem Innenrand sK ¼ c1 N=ðra2 hÞ sK ¼ c2 N=ðra2 hÞ
ðgelenkig gelagerte PlatteÞ und ðeingespannte PlatteÞ
(Tab. 2). c) Kreisringplatte mit Schubbeanspruchungen. Sind ta und ti ¼ ta ra2 =ri2 die einwirkenden Schubspannungen, so gilt fr eingespannte Rnder taK ¼ c3 N=ðra2 hÞ: Fr n ¼ 0;3 und ri =ra ¼ 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 ist c3 17,8; 37,0; 61,0; 109,0. Weitere Ergebnisse fr Kreis- und Kreisringplatten s. [4]. 7.3.2 Beulen von Schalen. Buckling of shells Kugelschale unter konstantem Außendruck p. Die komplizierten Differentialgleichungen findet man u. a. in [7] und [8]. Der kleinste kritische Beuldruck (nach dieser Theorie als Verzweigungsproblem) ergibt sich zu pK ¼
R2
Bild 10 a–c. Beulung der Kreiszylinderschale
Kreiszylinderschalen (Bild 10 a–c) a) Unter konstantem radialen Außendruck p. Fr die unendlich lange Schale ergibt sich pK ¼ 0;25Eh3 =½R3 ð1 n2 Þ: Ergebnisse fr kurze Schalen s. [4]. b) Unter axialer Lngsspannung . Herleitung der exakten Differentialgleichungen s. [8] und [9]. Nherungsweise gilt fr die kleinste kritische Lngsspannung [9] pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sK ¼ Eh=½R 3ð1 n2 Þ; wenn sich eine gengende Anzahl von Biegewellen in Lngspffiffiffiffiffiffi richtung einstellen kann. Dies ist der Fall, wenn l ^ 1;73 hR (fr Stoffe mit n ¼ 0;3). Bei geringeren Lngen ist die Schale als am Umfang gelagerter Schalenstreifen auffaßbar (Lsung s. unten). Außerdem ist bei Zylinderschalen auch das Durchschlagproblem zu beachten, das zu kleineren Beulspannungen fhrt. Nach [9] gilt hierfr die Nherungsformel sK ¼
0;605 þ 0;000369R=h Eh : 1 þ 0;00622R=h R
Ausknicken der Schale als Ganzes, d. h. wie ein Stab großer Lnge, tritt ein fr sK ¼ p2 ER2 =ð2l2 Þ: c) Unter Torsionsschubspannungen t. Nach [9] gilt fr die 3=2 Eh2 l : Dieser Wert ist zur Beulspannung tK ¼ 0;747 2 pffiffiffiffiffiffi l Rh Bercksichtigung von Vorbeulen mit dem Faktor 0,7 zu multiplizieren.
2Eh2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi : 3ð1 n2 Þ
Schalen knnen jedoch auch durchschlagen, d. h. bei endlich großen Formnderungen benachbarte stabile Gleichgewichtslagen annehmen. Nach [9] gilt dann pK ¼ 0;365Eh2 =R2 ; d. h. diese Beullast ist nur rund ein Drittel der des Verzweigungsproblems!
Bild 11 a, b. Beulung des Schalenstreifens
C 48
C
Festigkeitslehre – 8 Finite Berechnungsverfahren
Zylindrische Schalenstreifen (Bild 11 a, b) a) Unter Lngsspannung s bei gelenkig gelagerten Lngsrndern. pffiffiffiffiffiffi p2 Eh2 Eb2 þ ; Fr b= Rh % 3;456: sK ¼ 3ð1 n2 Þb2 4p2 R2 pffiffiffiffiffiffi 2E h fr b= Rh ^ 3;456: sK ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi : 12ð1 n2 Þ R b) Unter Schubspannung t bei gelenkig gelagerten Lngsrndern. Die kritischen Schubspannungen ergeben sich aus 2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi h 4 b4 tK ¼ 4;82 E 1 þ 0;0146 2 2 : R h b
7.3.3 Beulspannungen im unelastischen (plastischen) Bereich. Inelastic (plastic) buckling Die unter C 7.3.1 und C 7.3.2 angegebenen Formeln liefern Beulspannungen unter der Voraussetzung elastischen Materialverhaltens. Sie knnen nherungsweise auch fr den unelastischen Bereich zugrunde gelegt werden, wenn man sie im selben Verhltnis mindert, wie es sich fr Knickspannungen von Stben aus der Eulerkurve und der Engesser-v. Ka´rma´nkurve (nherungsweise Tetmajer-Gerade) ergibt. Fr St 37 und St 52 s. hierzu DIN 4114 Blatt 1, Tafel 7.
8 Finite Berechnungsverfahren Finite analysis methods Die Theorien zur Formulierung physikalischer Sachverhalte fhren in der Regel auf mehrdimensionale Randwert- bzw. Anfangswertaufgaben, die durch ein System von Differentialgleichungen bzw. Integralgleichungen beschrieben werden [10]. Finite Berechnungsverfahren sind Verfahren, mit denen diese Differential- bzw. Integralgleichungen numerisch gelst werden knnen. Zum Einsatz kommen drei finite Berechnungsverfahren: Finite Element Methode (FEM), Finite Differenzen Methode (FDM), Boundary Element Methode (BEM).
Bild 1 a, b. Kolben. a CAD-Modell; b FE-Netz
8.1 Finite Elemente Methode Finite element method Die Finite Elemente Methode ist ein Gebietsverfahren. Die zu untersuchende Struktur (Bauteil) wird in finite Elemente zerlegt (z. B. Kolben in Bild 1). Ein Stab, Balken wird in 1DElemente, eine Scheibe, Platte oder Schale in 2D-Elemente, ein Volumen in 3D-Elemente unterteilt (Bild 2). Fr das einzelne Element wird der mechanische Sachverhalt formuliert, ber die Knoten wird die Kopplung zu den angrenzenden Elementen durchgefhrt. Pro Element baut sich somit eine Gleichungszeile des Gleichungssystems auf, welches je nach Problemstellung den Rand- bzw. Anfangsbedingungen anzupassen ist. Bei der Verschiebungsmethode werden die Knotenverschiebungen, bei der Kraftgrßenmethode die Spannungen als Unbekannte eingefhrt. Fr jedes Element ergibt sich infolge der Einheitsverschiebungen seiner Knoten unter Beachtung des maßgeblichen Materialgesetzes (z. B. Hookesches Gesetz) die Steifigkeitsmatrix (verallgemeinerter Federkennwert), mit der aus den Gleichgewichtsbedingungen fr alle Knoten das Gleichungssystem fr die unbekannten Verschiebungen folgt [1–4]. Verschiebungen sind in erster Nherung linear fr die Elementrnder und das Elementinnere. Fr die Einheitsverschiebung u1 ¼ 1 ist dann die Verschiebungsfunktion (Bild 3) f1 ðx, yÞ ¼
1 ½xðy3 y2 Þ þ yðx2 x3 Þ þ x3 y2 x2 y3 , ð1Þ 2A
A Flcheninhalt des Elements (s. A bzw. DUBBEL interaktiv). Dieselbe Funktion entsteht fr u1 ¼ 1. Entsprechende Funktionen f2 ðx; yÞ und f3 ðx; yÞ folgen fr u2 ¼ 1 und u2 ¼ 1 bzw. u3 ¼ 1 und u3 ¼ 1 : 1 ½xðy1 y3 Þ þ yðx3 x1 Þ þ x1 y3 x3 y1 ; 2A 1 f3 ðx; yÞ ¼ ½xðy2 y1 Þ þ yðx1 x2 Þ þ x2 y1 x1 y2 : 2A
f2 ðx; yÞ ¼
Bild 2 a–g. Standardelemente. a 3D-; b Schalen-; c Scheiben-; d Platten-; e Axialsymmetrisches; f Stab-; g Balkenelement [16]; (Freiheitsc ) grade: Translation c ; Rotation c
I8.1
Finite Elemente Methode
C 49
Hierbei ist F ¼ Fk ¼ fFkx ; Fky g der Vektor der Knotenkrfte eines Elements, T die transponierte Matrix und h die Elementdicke. Mit den Gln. (5) und (6) folgt dann ZZ Eguk gT duTk h dx dy FduTk ¼ ðAÞ
bzw., da uk und duk unabhngig von x und y sind und ebenso E; g und gT elementweise konstant sind, ergibt sich T
F ¼ Egg hAuk ¼ k uk :
Bild 3. Ebenes Dreieckelement mit Verschiebungszustand u1 ¼ 1
Fr die Gesamtverschiebung im Elementinnern (und auf dem Rand) infolge der Einheitsverschiebungen gilt dann ) uðx, yÞ ¼ f1 ðx, yÞ u1 þ f2 ðx, yÞ u2 þ f3 ðx, yÞ u3 , ð2Þ uðx, yÞ ¼ f1 u1 þ f2 u2 þ f3 u3 : u und u bilden den Verschiebungsvektor u. In Matrizen0 1 schreibweise u1 B C B u2 C B u f f2 f3 0 0 0 B u3 C C ð3Þ ¼ 1 C f2 f3 B u 0 0 0 f1 B u1 C @ u2 A u3 bzw. in abgekrzter Form uðx; yÞ ¼ f uk ðk ¼ 1; 2; 3Þ:
ð4Þ
Dehnungen und Gleitungen. Aus Gl. (2) folgt fr die elementweise konstanten Dehnungen und Gleitungen ex ; ey ; gxy ðs: C 1 Gln: ð12; 13ÞÞ ¶u 1 ¼ ½ðy3 y2 Þ u1 þ ðy1 y3 Þ u2 þ ðy2 y1 Þ u3 ¶x 2 A ¼ g1 u1 þ g2 u2 þ g3 u3 , ¶u 1 ey ¼ ¼ ½ðx2 x3 Þ u1 þ ðx3 x1 Þ u2 þ ðx1 x2 Þ u3 ¶y 2 A ¼ g4 u1 þ g5 u2 þ g6 u3 , ¶u ¶u gxy ¼ þ ¼ g4 u1 þ g5 u2 þ g6 u3 þ g1 u1 þ g2 u2 þ g3 u3 ¶y ¶x
ex ¼
bzw. in Matrizenschreibweise (s. A bzw. DUBBEL interaktiv) 0 1 u1 0 1 0 1B u2 l C C ex g1 g2 g3 0 0 0 B B C @ ey A ¼ 1 @ 0 0 0 g4 g5 g6 AB u3 C, B u1 C 2A C gxy g4 g5 g6 g1 g2 g3 B @ u2 A u3 in abgekrzter Form e ¼ g uk :
ð5Þ
Spannungen. Mit einem Materialgesetz (Abhngigkeit zwischen Dehnungen und Spannungen), z. B. dem Hookeschen Gesetz (s. C 3 Gl. (13)), gilt in Matrizenform und mit Gl. (5) s ¼ Ee ¼ Eg uk : Hierbei ist mit der Querdehnungszahl n 0 1 1 n 0 E @ A: E¼ n 1 0 1 n2 0 0 ð1 nÞ=2
ð6Þ
ð7Þ
Knotenkrfte ergeben sich als Funktion der Verschiebungen uk ber das Gleichgewichtsprinzip der virtuellen Arbeiten (s. C 2.4.9) in Matrizenschreibweise [1 bis 7] ZZ sdeT h dx dy: ð8Þ FduTk ¼ ðAÞ
ð9Þ
A ist der Flcheninhalt des Elements. Mit k ist die Steifigkeitsmatrix des Elements gefunden. Hieran schließt sich das Zusammensetzen der Elemente zur Gesamtstruktur unter Herstellung des Gleichgewichts an jedem Knoten. Dies geschieht entweder nach der direkten Methode durch berlagern der Elementsteifigkeitsmatrizen, die einen Knoten betreffen, oder mathematisch durch Transformation ber eine Boolesche Matrix [5]. Mit FðaÞ als Vektor der ußeren Krfte folgt FðaÞ ¼ Ku;
ð10Þ
eine Matrizengleichung fr n vorhandene Knotenpunkte mit 2 n Verschiebungen, wobei K die Systemsteifigkeitsmatrix ist. Unter Bercksichtigung von m vorhandenen Verschiebungsrandbedingungen stellt Gl. (10) ein System von 2 n – m linearen Gleichungen fr die Verschiebungen der Knoten dar. Sind diese berechnet, so folgen aus Gl. (7) die zugehrigen Spannungen in den Knotenpunkten. Fr die Durchfhrung der umfangreichen Berechnungen stehen fr viele Computer Programmsysteme zur Verfgung. Einige einfhrende Beispiele s. [3, 4, 7], theoretische Weiterentwicklungen der FEM s. [5, 6]. Anwendungen 1. Balkenelemente (Bild 4): Gesucht: Maximale Durchbiegung an der Stelle x ¼ 0. Gegeben: F ¼ 100 N; ‘ ¼ 120 mm; B ¼ 10 mm; H ¼ 20 mm: N BH 3 6 666;7 mm4 und ; Iy ¼ Mit E ¼ 2;1 105 12 mm2 wðx ¼ 0Þ ¼
F‘3 0; 0412 mm ðs: C 2:4:8 Tab: 5 a; Fall 6Þ: 3EIy
Die Finite-Element-Rechnung ergibt bei 5 Elementen mit linearer Approximation: wðx ¼ 0Þ 0; 0411 mm. Die bei der FE-Rechnung ermittelten Reaktionskrfte (Momente) werden zur Berechnung der maximalen Spannung an der Einspannstelle herangezogen. 2. Scheibenelemente: Scheibe mit Loch unter einachsiger Zugbelastung (Bild 5 a). Gegeben: l ¼ 100 mm; d ¼ 20 mm, Scheibendicke h ¼ 1 mm, Zugbeanspruchung s ¼ 80 N=mm2 . Durch Ausnutzen der Symmetrieeigenschaften ergibt sich die in (Bild 5 b) dargestellte Struktur. Diese wurde mit 40 Scheibenelementen (quadratischer Ansatz) aufgebaut (Bild 5 c). Die FE-Berechnung lieferte den Deformations- und Spannungszustand der Scheibe. Die grßte Verschiebung ergibt sich am Rand x ¼ l=2 zu ux 0;021 mm. Die aus den Verschiebungen berechneten Spannungen aller Elemente haben ihren Grßtwert in dem Knotenpunkt 38 mit sx ¼ 240;7 N=mm2 , whrend in dem Knoten 28 die Spannung sx ¼ 77;2 N=mm2 ist. Mit der Nennspannung sn ¼ s l=ðl dÞ ¼ 100 N=mm2 folgt somit nach der FEM die Formzahl ak ¼ sx =sn ¼ 240;7=100 ¼ 2;41, whrend sich aus dem herkmmlichen Formzahl-Diagramm nach Wellinger-Dietmann [8] fr d=l ¼ 20=100 ¼ 0;2 der Wert ak ¼ 2;53 ergibt. Die Verlngerung des Stabs nach dem Hookeschen Gesetz betrgt Dl ¼ l s=E ¼ 100 mm 80 N=mm2 =ð2;1 105 N=mm2 Þ ¼ 0; 038 mm, wobei der Unterschied zum FEM-Ergebnis den Einfluß der Bohrung wiedergibt. Rechnet man nherungswei-
C
C 50
Festigkeitslehre – 8 Finite Berechnungsverfahren
C Bild 4. Biegebalken und FE-Struktur
Bild 7 a–c. Dickwandiges Rohr („unendlich lang“). a Bauteil mit Belastung; b Struktur (Axialsymmetrische Elemente); c Struktur (3D Elemente) Bild 5 a–c. Scheibe mit Loch. a Struktur und Belastung; b Viertelscheibe; c FE-Struktur
Bild 6 a, b. Kreisringplatte. a Aufbau und Belastung; b FE-Struktur
se lngs der Bohrung mit dem Nennquerschnitt, so ergibt sich u ¼ ðl dÞ s=E þ d sn =E ¼ 0; 04 mm. Diese Nherung liefert gegenber dem sicherlich genaueren FEM-Resultat nur noch eine Abweichung von 4,8%. 3. Plattenelemente: Eingespannte Deckplatte mit Einfllffnung (Kreisringplatte) (Bild 6 a). Gegeben: d1 ¼ 2400 mm; d2 ¼ 600 mm; h ¼ 10 mm, Flchenlast p ¼ 5 kN=m2 . Nach Aufteilung der Struktur in 216 Plattenelemente mit 240 Knoten (Bild 6 b) lieferte das Rechnerprogramm aus 1 296 Gleichungen die Verschiebungen (Durchbiegungen) aller Knotenpunkte und daraus die Spannungen an allen Elementen. Danach ergibt sich am freien Innenrand (Knoten 1) die maximale Durchbiegung zu f ¼ 8; 02 mm sowie die grßte Tangentialspannung zu st ¼ 40; 7 N=mm2 und an der Einspannung (Knoten 10) die grßte Radialspannung sr ¼ 54; 2 N=mm2 . Die Plattentheorie (s. C 5 [5]) liefert fr die Durchbiegung des Innenrands denselben Wert 8,02 mm und fr die Spannungen am freien Rand st ¼ 40;9 N=mm2 sowie am eingespannten Rand sr ¼ 51;1 N=mm2 , so daß fr letztere die Abweichung des FEM-Ergebnisses von dem der Plattentheorie 6,1% betrgt. 4. Axial- und 3D-Elemente: Dickwandiges Rohr unter Innenund Außendruck (Bild 7 a). Gegeben: Innendurchmesser di ¼ 40 mm, Außendurchmesser da ¼ 120 mm, Innendruck
pi ¼ 6 bar, Außendruck pa ¼ 1 bar, gewhlte Breite b ¼ 20 mm. Zu berechnen sind die Tangential- bzw. Radialspannungen st , sr . Da es sich um einen rotationssymmetrischen Spannungszustand handelt, ist st ¼ st ðrÞ, sr ¼ sr ðrÞ. Die analytische Rechnung (Formeln s. C 5.3.2) ergibt am Innenrand st ¼ 0;525 N=mm2 und sr ¼ 0;6 N=mm2 , am Außenrand st ¼ 0;025 N=mm2 und sr ¼ 0;1 N=mm2 . Die numerischen Ergebnisse, gerechnet mit quadratischen Elementen, sind in der folgenden tabellarischen bersicht dem analytischen Ergebnis gegenbergestellt. Weitere Beispiele und Berechnungen zur Rohrleitungsstatik in [9].
8.2 Randelemente. Boundary elements Die Randelementmethode (REM) bzw. Boundary-ElementMethod (BEM) ist eine Integralgleichungsmethode, die in ihrem Ursprung auf die Tatsache zurckgeht, daß man die Lsung einer Differentialgleichung auf eine Integralgleichung ber die Greensche Funktion und die Belastungsfunktion zurckfhren kann. Die Greensche Funktion (Einflußfunktion) ist eine die Randbedingungen und die Differentialgleichung befriedigende Funktion infolge einer Einzellast F ¼ 1. Trger: Fr den bekannten Fall der Balkenbiegung (s. C 2.4.8) lautet die Differentialgleichung fr die Durchbiegungen w0000 ðxÞ ¼ qðxÞ=EIy : Im Falle eines an den Enden gelenkig gelagerten Trgers mit den Randbedingungen wðx ¼ 0Þ ¼ w00 ðx ¼ 0Þ ¼ wðx ¼ lÞ ¼ w00 ðx ¼ lÞ ¼ 0 (Bild 8 a) gilt die Lsung fr die Durchbiegungen in Integralgleichungsform: Zl Zl wðxÞ ¼ G0 ðx; xÞq ðxÞdx ¼ h0 ðx; xÞq ðxÞdx ð11Þ 0
0
I8.2
Randelemente
C 51
Gl. (12) nach der ersten Ableitung die Neigungswinkellinie a(y, x), nach der zweiten Ableitung die Biegemomentenlinie Mb ðyÞ ¼ EIy ¶2 h0 =¶y2 und nach der dritten Ableitung nach y die Querkraftlinie FQ ðyÞ: Zusammenfassung: Kennt man fr Differentialgleichungsprobleme die Greensche Funktion, d. h. eine die Randbedingungen befriedigende Lsung infolge einer Wanderlast F ¼ 1, die auch die Differentialgleichung erfllt, so ist nach Gl. (11) die Lsung des Problems fr jede beliebige Lastfunktion gegeben. Bild 8 a, b. Einfeldtrger: a mit Streckenlast; b mit Wanderlast
mit qðxÞ ¼ qðxÞ=EIy , wobei G(x, x) die Greensche Funktion (Einflußfunktion) fr die Durchbiegung an der Stelle x infolge einer Wanderlast F ¼ 1 an der Stelle x ist (Bild 8 b). An Stelle des griechischen Buchstaben x wird in der modernen Literatur fr die Laufvariable y verwendet, so auch nachfolgend. Da fr F ¼ 1 die Dgl. w0000 ðxÞ ¼ 0 gilt, folgt durch viermalige Integration fr die Greensche Funktion eine Parabel 3. Grades, die aber auch die Randbedingungen erfllen muß. Eine solche Funktion ist bereits nach C 2 Tab. 5 a, Fall 2 bekannt, wenn man dort a ¼ x, b ¼ ðl xÞ und x ¼ y sowie F ¼ 1 setzt. Sie lautet G0 ðx, yÞ ¼ h0 ðx, yÞ ¼ xðl xÞð2 l xÞ y ðl xÞ y3 fr 0 % y % x, ð12Þ 1 6 EIy l xðl2 x2 Þðl yÞ þ xðl yÞ3 fr x % y % l: Einsetzen der Einflußfunktion (12) in Gl. (11) liefert die Biegelinie w(x) fr jede Lastfunktion q(x). Ferner erhlt man aus der Greenschen Funktion (12) durch einmalige Differentiation nach der Aufpunktkoordinate x die Einflußlinie fr die Biegewinkel ha ðx; yÞ ¼ ¶h0 =¶x, durch zweimalige Differentiation nach x die Einflußlinie fr die Biegemomente hM ðx; yÞ ¼ EIy ¶2 h0 =¶x2 und durch dreimalige Differentiation nach x die Einflußlinie fr die Querkrfte hQ ðx; yÞ ¼ EIy ¶2 h0 =¶x2 . Andererseits erhlt man fr festen Lastort y ¼ x durch Ableitung nach der Laufvariablen y aus
Scheiben, Platten und Schalen. Hier sind nur in den seltensten Fllen die Greenschen Funktionen, d. h. die Lsung z. B. fr eine Platte mit einer Einzellast an beliebiger Stelle ðy1 ; y2 Þ fr jeden Ort ðx1 ; x2 Þ, welche die Randbedingungen erfllt, bekannt. Dagegen sind stets sogenannte Grund- oder Fundamentallsungen fr wðx1 ; x2 ; y1 ; y2 Þ infolge einer Einzelkraft F ¼ 1 in ðy1 ; y2 Þ fr Scheiben, Platten und Schalen bekannt [11], die als Lsung fr eine unendlich ausgedehnte Scheibe, Platte oder Schale angesehen werden knnen. Hier setzt zur Lsung des wirklichen Randwertproblems die Randelementmethode REM bzw. Boundary Element Method BEM wie folgt ein: Man denkt sich z. B. die wirkliche Platte aus dem unendlichen Gebiet herausgeschnitten, bringt einmal die wirkliche Belastung qðy1 ; y2 Þ und das andere Mal die Einzel^ ðx1 ; x2 Þ ¼ 1 sowie jeweils alle Randschnittgrßen und kraft F Randverformungen auf (Bild 9 a, b) und verwendet den Satz von Betti: Fr 2 Gleichgewichtszustnde eines Systems (F, ^; M ^ Þ mit den zugehrigen Verformungen (w, a) M) und (F ^ Þ gilt fr die Arbeiten: und ð^ w; a X X X X ^w þ ^ =a ¼ ^þ F M Fw M^ a; d:h: W1; 2 ¼ W2; 1 : Wendet man den Satz von Betti fr die Platten nach Bild 9 a, b an, so folgt: Z X ^n w þ M ^ n an Þ ds þ ^ e we ¼ W1,2 ¼ 1 wðx1 ,x2 Þ þ ðV F Z W2 , 1 ¼
p^ w dW þ W
ZG ð13 aÞ X ^ n Þ ds þ ðVn w ^ þ Mn a Fe w ^e G
und damit folgt fr die gesuchte Durchbiegung (Einflußfunktion): Z Z X ^ na ^ n Þ ds þ ^ þM ^e w dW þ ðVn w Fe w wðx1 , x2 Þ ¼ p^ W
Z
bzw.
G
^n w þ M ^ n an Þ ds ðV
X
^ e we F
ð13 bÞ
G
Z
wðx1 , x2 Þ ¼
p^ w dW þ WRand 2; 1 WRand 1; 2 :
ð13 cÞ
W
Hierbei bedeutet das Integral ber ein Gebietsintegral und die Integrale ber sind Randintegrale. Dabei ist n die Rich-
^ ¼ 1; c Randelemente mit Dachfunktion Bild 9 a–c. Rechteckplatte: a unter Flchenlast; b unter der Hilfskraft F
C
C 52
Festigkeitslehre – 8 Finite Berechnungsverfahren
tung der Normalen am Rand und Vn bzw. Mn die Kirchhoffsche Randscherkraft (Ersatzquerkraft) und das Biegemoment in einer zu n senkrechten Randflche.
C
Unendlich ausgedehnte Platte. Da die Gebietslsung infolge ^ ¼ 1 im Punkt ðx1 ; x2 Þ fr die Durchbiegung F wðx1 ; x2 ; y1 ; y2 Þ bekannt ist und nach [11, 12] lautet (sog. Grund- oder Fundamentallsung): 1 ð14Þ r 2 ln r, 8pN qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi wobei r ¼ ðy1 x1 Þ2 þ ðy2 x2 Þ2 den Abstand des Lastpunktes ðx1 ; x2 Þ z. B. von einem Randpunkt ðy1 ; y2 Þ bedeutet und N ¼ Eh3 =12ð1 n2 Þ die sog. Plattensteifigkeit ist (s. C 5.1), sind durch entsprechende Differentiationen auch alle Neigungswinkel, Biegemomente und Querkrfte, d. h. auch alle in Gl. (13) mit einem „Dach“ versehenen Randgrßen be^ 0 n und V ^0 n . ^0 n ; M ^ 0; a kannt, wie w ^ 0 ðrÞ ¼ ^ g0 ðrÞ ¼ w
Wirkliche Platte. Unbekannt sind hier von den 4 Randfunktionen w, an ; Mn ; Vn jeweils 2, whrend 2 durch die Randbedingungen der Platte vorgegeben sind. Z. B. sind im Falle einer allseits gelenkig gelagerten Platte die Werte an und Vn unbekannt, whrend w ¼ 0 und Mn ¼ 0 lngs des Randes vorgegeben sind. Die unbekannten Funktionen an und Vn werden nun nach der Randelementmethode numerisch fr m diskrete Randknoten, die durch m Randelemente verbunden sind, ermittelt, in dem man in jedem Knoten selbst, d. h. m-mal die Einzelkraft Fi ¼ 1 anbringt und m-mal den Satz von Betti anschreibt entsprechend Gl. (13 b) und dadurch m lineare Gleichungen fr die 2m Unbekannten ani und Vni bekommt ði ¼ 1 . . . mÞ. Weitere m Gleichungen erhlt man dadurch, daß man in je^ ¼ 1 anbringt, zu dem die dem Knoten ein Randmoment M Grundlsung gehrt: ^g1 ðrÞ ¼
¶ 1 ¶r ^ g0 ðrÞ ¼ rð1 þ 2 ln rÞ : ¶r 8pN ¶n
ð15Þ
^ 1n ; V ^1n bekannt ^ 1n ; M womit wiederum die Randgrßen w ^ 1; a sind, und daß man auch dafr m-mal den Satz von Betti anschreibt. Um ber den Rand numerisch integrieren zu knnen, werden die Unbekannten ani und Vni mit Elementfunktionen ani ðsÞ ¼ ani jðsÞ bzw. Vni ðsÞ ¼ Vni yðsÞ verknpft, wofr in der Regel lineare „Dachfunktionen“ nach Bild 9 c ausreichen (fr Platten mit freien Elementrndern sind fr wi Hermitesche Polynome erforderlich, s. [12–14]). Sind alle Integrationen durchgefhrt, hat man 2 m Gleichungen fr die 2 m Unbekannten. Nach Lsung (unter Zusatzbetrachtungen fr die Eckkrfte) und Einsetzen in Gl. (13 b) erhlt man die Durchbiegungen wðx1 ; x2 Þ fr beliebige Punkte ðx1 ; x2 Þ und durch Differentiation die Neigungswinkel und Schnittlasten. Einzelheiten der Durchfhrung s. [12–14]. Beispiel: Fr eine gelenkig gelagerte quadratische Stahlplatte von 10 mm Dicke ðE ¼ 2;1 108 kN/m2 ) mit konstanter Flchenlast p ¼ 10 kN=m2 und den Kantenlngen 2a ¼ 2b ¼ 1;0 m sollen die Durchbiegung und die Biegemomente bzw. Biegespannungen in Plattenmitte nach der REM (BEM) ermittelt werden (Bild 10 a). Lsung: Die Rnder werden in m ¼ 8 Randelemente mit m ¼ 8 Knoten unterteilt und die Berechnung mit einem BEM -Programm durchgefhrt. Als Ergebnis erhlt man fr die Plattenmitte M (Bild 10 b) die Durchbiegung w ¼ 2;19 mm und die Biegemomente mx1 ¼ mx2 ¼ 0;48 kNm/m und aus letzterem die Biegespannungen s ¼ 28;8 N/ mm2 . Zum Vergleich werden die Formeln nach C 5.1.1 herangezogen: w ¼ f ¼ c3 pb4 =Eh3 und s ¼ c1 pb2 =h2 , woraus mit den Koeffizienten c3 ¼ 0;71 und c1 ¼ 1;15 nach C 5 Tab. 1 die Werte w ¼ 2;11 mm und s ¼ 28;8 N/mm2 folgen, d. h. das Ergebnis nach REM weicht fr w um 3,8% und fr s um 0% von den Tafelwerten ab und stellt somit bei der groben Randeinteilung ein sehr gutes Ergebnis dar.
Bild 10 a, b Allseits gelenkig gelagerte Stahlplatte a mit konst. Flchenlast; b Randelemente mit 8 Knoten
8.3 Finite Differenzen Methode Finite difference method Die FD-Methode ist wie die FE-Methode ein Gebietsverfahren. Die finiten Gleichungen werden fr einen Zentralpunkt aufgestellt. Um den mechanischen Bezug zum Problem zu gewhrleisten, werden die finiten Ausdrcke mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit aufgebaut. Dieses Vorgehen wird fr einen Biegebalken mit dem Prinzip der virtuellen Verrckungen (s. C 2.4.9) gezeigt. Dazu wird die Gleichgewichtsaussage des Biegebalkens M 00 ¼ p mit einer virtuellen Verrkkung dw und zweimal partiell integriert. Das Z ¼ 1 multipliziert Z ergibt:
Mdw00 dx þ
p dw dx ¼ 0:
In diesem Fall arbeiten die Momente wie ußere Krfte an der virtuellen Verrckung d w. Die ußere Arbeit ist: Z M þ p dw dx ¼ 0; s: a: Bild 11: dWa ¼ 1 -- 2 1 h Das Integral wird berechnet unter der Annahme, daß p(x) parabolisch verluft (Bild 12). Mit C 2 Tab. 6 ergibt sich: Z Z Z p dw dx ¼ ð1Þð5Þ dx þ ð2Þð5Þ dxþ Z Z 1 ph ð3Þð6Þ dx þ ð4Þð6Þ dx ¼ 1 10 1 12 Die gesamte Arbeit lautet:
h2 p¼0 12 Man kommt zum gleichen Ergebnis, wenn der Ausdruck Z Mdw00 dx als innere Arbeit gedeutet wird. An Stelle der GedWa ¼ 1 2 1 M þ 1 10 1
lenke sind konzentrierte Krmmungen (im Sinne einer DiracFunktion) aufzugeben.
Bild 11. Eigenkraftgruppe
I9.1
Allgemeines
i ¼ 2: M1 2 M2 þ M3 þ ðp1 þ 10 p2 þ p3 Þ Es ist: M0 ¼ M3 ¼ 0; p0 ¼ p1 ¼ p2 ¼ p3 ¼ p
C 53
h2 ¼0 12
Lsung: M1 ¼ M2 ¼ ph2 . Das Verfahren zum Aufstellen der finiten Gleichungen lßt sich problemlos auf Scheiben, Platten und Schalen bertragen [15]. Bild 12. v. V. dw ¼ 1 Beispiel: Biegebalken mit Streckenlast (Bild 13). Gesucht sind die Schnittlastmomente in den Punkten 1 und 2. Die Gleichung fr den Innenpunkt lautet: 1 --2 1 M þ 1 10 1
h2 p ¼ 0: 12
Es entsteht ein Gleichungsystem mit 2 Unbekannten h2 ¼0 i ¼ 1: M0 2 M1 þ M2 þ ðp0 þ 10 p1 þ p2 Þ 12
Bild 13. v. V. dw ¼ 1
9 Plastizittstheorie Theory of plasticity 9.1 Allgemeines. Introduction Wird bei der Beanspruchung eines Werkstoffs die Elastizittsgrenze berschritten und treten nach Entlastung bleibende Dehnungen eb (Bild 1) auf, so handelt es sich um Beanspruchungen im plastischen (unelastischen) Bereich. Bei erneuter Belastung verhlt sich der Werkstoff elastisch, die Spannungs-Dehnungs-Linie besteht aus der zur Hookeschen Geraden OP Parallelen AP1 , d. h., als Folge der Kaltreckung wird die Streckgrenze erhht. Weitere Belastung bis zur Spannung sP2 erhht die Streckgrenze auf diesen Wert. Damit verbunden ist eine Versprdung des Materials, also eine Verringerung der Dehnbarkeit bis zum Eintreten des Bruchs. Unterwirft man einen Versuchsstab anschließend einer Druckbeanspruchung, so ergibt sich im Druckbereich eine erhebliche Herabsetzung der Fließgrenze, d. h., die Krmmung der Spannungs-Dehnungs-Linie setzt sehr frh ein, und bei anschließender Wiederbelastung bildet sich die HysteresisSchleife (Bild 2). Ihr Flcheninhalt stellt die bei einem Zyklus verlorengehende Formnderungsarbeit dar. Wird er mehrmals durchlaufen, so wird jedes Mal diese Arbeit verbraucht. Derartige dynamische Vorgnge fhren hufig zum baldigen Bruch des Bauteils (Bauschinger-Effekt) und gehren zur Zeitfestigkeit. Die Plastizittstheorie behandelt vorwiegend das Verhalten unter statischer Belastung. Nur sie ist im folgenden zugrunde gelegt. Unterschieden wird:
Bild 2. Hysteresis-Schleife bei Beanspruchung im plastischen Bereich
ideal-elastisch-plastisches Material (unlegierte Konstruktionssthle), Kurve 1 auf Bild 1, hierfr gilt s ¼ Ee fr eF % e % eF , s ¼ sF fr e ^ eF ; elastisch verfestigendes Material (vergtete Sthle), Kurve 2 auf Bild 1, hierfr gilt s ¼ Ee fr eF % e % eF , s ¼ Ajejk fr e ^ eF oder nherungsweise bei Ersatz der Kurve 2 durch eine Gerade 3 mit dem Verfestigungsmodul E2 ¼ tan a2 s ¼ sF þ E2 ðe eF Þ: Weitere Materialgesetze s. [2, 3], fr Kunststoffe [4]. Bei Entlastung des Werkstoffs gilt stets das lineare (Hookesche) Gesetz s ¼ Eðe eb Þ ¼ sP1 EðeP1 eÞ: Weitere Informationen siehe [6 – 8]. Kriechen. Oberhalb der Kristallerholungstemperatur, bei der die Verfestigung infolge Kaltverformung aufgehoben wird (fr Stahl bei TK ^ 400 C), tritt unter konstanter Last eine mit der Zeit zunehmende Verformung, das Kriechen, ein (bei Kunststoffen schon bei normalen Temperaturen). Als Festigkeitswerte sind dann die Zeitstandfestigkeit Rm=t=T und die Zeitdehngrenze RP1=t=T , die zum Bruch bzw. zur Dehnung von 1% nach t ¼ 100 000 h bei der Temperatur T fhren, zu ermitteln (s. E 1.6.4). Relaxation. Wird bei Stahl unter hohen Temperaturen ðT^ 400 KÞ die Dehnung konstant gehalten, so werden vorhandene Zwangsspannungen mit der Zeit (durch Kriechen) abgebaut (bei Kunststoffen schon bei normalen Temperaturen).
Bild 1. Spannungs-Dehnungs-Linien im plastischen Bereich
Umformtechnik. Hierbei handelt es sich um die Vorgnge bei der spanlosen Formgebung (Walzen, Pressen, Schmie-
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Festigkeitslehre – 9 Plastizittstheorie
den). Die plastischen Verformungen sind hier so groß, daß die elastischen in der Theorie [3] nicht bercksichtigt werden (s. S 3).
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Viskoelastizittstheorie. Sie befaßt sich mit dem elastischplastischen Verhalten der Kunststoffe unter besonderer Beachtung der Zeitabhngigkeit von Deformationen und Spannungen (Kriechen und Relaxation). Grundlagen sind die Materialgesetze von Maxwell und Kelvin [4].
9.2 Anwendungen. Applications 9.2.1 Biegung des Rechteckbalkens Bending of rectangular beams Unter der Annahme ideal-plastischen Materials (die Ergebnisse fr verfestigendes Material weichen im plastischen Anfangsdehnungsbereich nur unwesentlich ab) gilt nach Bild 3 a bei Voraussetzung, daß die Querschnitte auch im plastischen Bereich eben bleiben (Bernoullische Hypothese), mit der Hhe h und der Breite b des Balkens Zh=2 sðzÞ zb dz mit sðzÞ ¼ sF z=a MbF ¼ 2 0
fr 0 z a und sðzÞ ¼ sF fr a z h=2, d. h. Za Zh=2 MbF ¼ 2 sF ðz2 =aÞ b dz þ 2 sF zb dz 0
a
¼ 2sF ba2 =3 þ sF b½ðh=2Þ2 a2 ¼ sF ðbh2 =6Þð3=2 2 a2 =h2 Þ ¼ sF Wb ½1,5 ð2 a2 =h2 Þ ¼ MbE npl : MbE ist das Tragmoment des Rechteckquerschnitts bei Verlassen des elastischen Bereichs, npl die Sttzziffer, die angibt, in welchem Verhltnis sich das Tragmoment als Funktion des plastischen Ausdehnungsbereichs vergrßert. Fr a ¼ 0 (vollplastischer Querschnitt) wird npl ¼ 1; 5, d. h., die Tragfhigkeit ist um 50% grßer als beim Verlassen des elastischen Bereichs. Fr die Dehnung gilt eðzÞ ¼ ðeF =aÞz ¼ ðsF zÞ=ðEaÞ; emax ¼ sF h=ð2EaÞ; d. h., fr a ¼ 0 (vollplastischer Querschnitt) wird emax unendlich, die volle Ausschpfung der Tragfhigkeit setzt also sehr große Deformationen voraus (an der Stelle des grßten Moments bildet sich ein sog. plastisches Gelenk). Deshalb wird in der Praxis die Dehnung ep auf 0,2% begrenzt. Fr St 37 mit sF ¼ 240 N=mm2 und E ¼ 2; 1 105 N=mm2 wird eF ¼ sF =E ¼ 0; 114%, also emax ¼ ep þ eF ¼ 0; 314% und damit a ¼ sF h=ð2emax EÞ ¼ 0; 182h. Hiermit folgt fr die Sttzziffer npl ¼ 1; 5 2ða=hÞ2 ¼ 1; 43. Fr diesen Fall, also fr ep ¼ 0; 2%, wird npl sF ¼ K 0;2 , also gleich dem Formdehngrenzwert nach C 1.2. Ergebnisse fr verschiedene andere Querschnitte und Grundbeanspruchungsarten s. [1, 2].
Restspannung. Wird das am Querschnitt wirkende Moment MbF entfernt, so ist dies gleichwertig mit dem Aufbringen eines entgegengesetzt wirkenden Moments MbF (Bild 3 b). Da der Werkstoff bei Entlastung der Hookeschen Geraden AP1 (Bild 1) folgt, entstehen Spannungen se ðzÞ ¼ MbF z=Iy mit linearer Verteilung und dem Maximalwert se; max ¼ MbF =Wb . Die berlagerung mit den Spannungen s(z) nach Bild 3 a ergibt die Restspannungen sr ðzÞ ¼ sðzÞ se ðzÞ nach Bild 3 c, die bei ungleichfrmigen Spannungszustnden nach jeder Dehnung ber die Fließgrenze hinaus und anschließender Entlastung brig bleiben.
9.2.2 Rumlicher und ebener Spannungszustand Three-dimensional and plane stresses Fließbedingungen. Fr ideal-elastisch-plastisches Material gilt nach Tresca ½ðs1 s2 Þ2 s2F ½ðs2 s3 Þ2 s2F ½ðs3 s1 Þ2 s2F ¼ 0: Hiernach setzt Fließen ein, wenn die grßte Hauptspannungsdifferenz den Wert sF erreicht. Sind s1 und s3 die grßte und kleinste Hauptspannung, so folgt s1 s3 ¼ 2tmax ¼ sF . Wird sv ¼ sF als einachsige Vergleichsspannung angesehen, so ist das Tresca-Gesetz identisch mit der Schubspannungshypothese (s. C 1.3.2). v. Mises setzt an ðs1 s2 Þ2 þ ðs2 s3 Þ2 þ ðs3 s1 Þ2 ¼ 2 s2F : Hiernach setzt Fließen ein fr pffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sV ¼ ð1= 2Þ ðs1 s2 Þ2 þ ðs2 s3 Þ2 þ ðs3 s1 Þ2 ¼ sF : Dieses Gesetz ist identisch mit der Gestaltungsnderungsenergiehypothese (s. C 1.3.3). Spannungs-Deformations-Gesetze Gesetz von Prandtl-Reuß. Es hat die infinite (differentielle) Form dV D ¼ dV D; e þ dV D; p ¼ ðdSD þ SD dlÞ=ð2GÞ bzw. nach Einfhrung der Verzerrungsgeschwindigkeiten V_ D ¼ ðS_ D þ SD l_ Þ=ð2GÞ: Hierbei ist V D der sog. Deviator des Verzerrungstensors V (s. C 1.1.2), d. h., es gilt V D ¼ V e I, wobei e ¼ ðex þ ey þ ez Þ=3 und I den Einheitskugeltensor darstellt. Der Verzerrungsdeviator gibt die Gestaltnderung bei gleichbleibendem Volumen wieder. SD ist der Deviator des Spannungstensors [5]. G ist der Schubmodul und dl bzw. l_ ist ein skalarer Proportionalittsfaktor, der sich durch Gleichsetzung der Gestaltnderungsenergien des rumlichen und des einach3 dsv sigen Vergleichszustandes zu dl ¼ ergibt, wobei 2 Tp ðsv Þ sv Tp ¼ dsv =devp der plastische Tangentenmodul (Anstieg der sv evp -Linie) ist. Gesetz von Hencky. Dieses hat die finite Form 1 1 þ V D ¼ V D; e þ V D; p ¼ SD : 2G 2Gp Gp ist der variable Plastizittsmodul, der sich durch Anwendung des Gesetzes auf den einachsigen Vergleichszustand aus 1 sv 1 sv zu Gp ðevp Þ ¼ , d. h. aus der entsprechenden evp ¼ 2Gp 3 3 evp Spannungs-Dehnungs-Linie ergibt.
Bild 3 a–c. Biegespannungen im plastischen Bereich. a Teilplastischer Querschnitt; b Spannungsberlagerung bei Entlastung; c Restspannungen nach Entlastung
Geschlossenes dickwandiges Rohr unter Innendruck. Es wird der Spannungszustand im Rohr bei Beginn der Plastifizierung an der Innenfaser (d. h. Rohr gerade noch im elastischen Bereich), bei Plastifizierung bis zur Wandmitte und bei voller Plastifizierung der Wand untersucht. Voll elastischer
I10.1 Zustand. Aus C 3 Gl: ð5Þ folgt mit trz ¼ tzr ¼ t ¼ 0 und R ¼ 0 die Gleichgewichtsbedingung d dsr þ sr st ¼ 0: ðr sr Þ st ¼ r dr dr Hieraus ergeben sich die Spannungen zu 9 2 r2 r > > sr ¼ p 2 i 2 a2 1 , > = ra ri r > ri2 ra2 > st ¼ p 2 þ 1 , sz ¼ p ri2 =ðra2 ri2 Þ: > ; ra ri2 r 2
ð1Þ
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sF r2 p1 ¼ pffiffiffi 1 i2 : ra 3 Fr die volle Plastifizierung folgt mit rp ¼ ra der Innendruck zu 2sF ra p2 ¼ pffiffiffi ln : ri 3
ð2Þ
Teilweise plastischer Zustand. Fr ideal elastisch-plastisches Material folgt aus der v. Mises-Fließbedingung mit s1 ¼ sr ; s2 ¼ st ; s3 ¼ sz ¼ 0;5ðsr þ st Þ die Fließbedingung pffiffiffi st sr ¼ 2sF = 3:
Berechnungs- und Bewertungskonzepte
ð3Þ
Fr einen bis zum Radius rp plastifizierten Zylinder lauten die Spannungsformeln fr den elastischen Bereich ðr ^ rp Þ gemß Gln. (2) sF rp2 r 2 sr ¼ pffiffiffi 2 a2 1 , 3 ra r ð4Þ sF rp2 ra2 sF rp2 st ¼ pffiffiffi 2 2 þ 1 , sz ¼ pffiffiffi 2 : 3 ra r 3 ra
Damit folgt als Steigerung der Tragfhigkeit vom elastischen zum vollplastischen Zustand fr ein Rohr mit ra =ri ¼ 2 p2 =p1 ¼ 2 ln 2=0;75 ¼ 1;85: In Bild 4 ist der Verlauf der Spannungen fr ein Rohr mit ra =ri ¼ 2;0 und gerade noch elastischem Spannungszustand (d. h. rp ¼ ri , p ¼ p1 ¼ 0;43 sF ) bzw. mit halber Plastifizierung ðrp ¼ 1;5 ri , p ¼ 0;72 sF Þ bzw. mit voller Plastifizierung ðrp ¼ ra , p ¼ p2 ¼ 0;80 sF Þ dargestellt. Man erkennt die starken Spannungsumlagerungen zwischen dem elastischen und plastischen Zustand fr st und sz , dagegen nur geringe fr sr .
Fr den plastischen Bereich ðr % rp Þ folgt aus Gl. (1) mit Gl. (3) die Gleichgewichtsbedingung r
dsr 2 sF pffiffiffi ¼ 0 dr 3
ð5Þ
und hieraus die Spannungen
! rp2 sF rp sr ¼ pffiffiffi 1 2 þ 2 ln , ra r 3
ð6 aÞ
! ! rp2 sF rp sF rp2 rp st ¼ pffiffiffi 1 þ 2 2 ln , sz ¼ pffiffiffi 2 2 ln : ð6 bÞ ra r r 3 3 ra Fr den Innendruck folgt mit sr ðri Þ ¼ p aus Gl. (6 a, b) ! rp2 rp sF p ¼ pffiffiffi 1 2 þ 2 ln : ð7Þ ra ri 3 Hieraus kann der Plastifizierungsradius rp als Funktion des Innendrucks ermittelt werden und umgekehrt. Bei Beginn der Plastifizierung am Innenrand des Zylinders, d. h. fr rp ¼ ri , folgt aus Gl. (7) der zugehrige Innendruck zu
10 Festigkeitsnachweis Structural integrity assessment H. Mertens, Berlin Der Festigkeitsnachweis hat im Rahmen des Produktentstehungsprozesses die Aufgabe, alle mglichen Versagensarten eines Bauteils whrend der Produktlebensdauer auszuschließen. Grundstzlich kann dieser Nachweis durch umfassende Bauteilversuche mit anwendungsspezifischen Belastungen an fertigen Bauteilen auf statistischer Grundlage erbracht werden. Der zeitliche und finanzielle Aufwand fr solche betriebsnahen Versuche ist nicht unerheblich, andererseits aus Grnden der Produkthaftung nicht immer zu vermeiden. Zur Verringerung des Aufwandes knnen rechnerische Festigkeitsnachweise dienen, wenn die zugehrigen Berechnungen
Bild 4. Spannungen im Rohr mit ra =ri ¼ 2;0
und Bewertungen alle relevanten Einflußgrßen in angemessener Weise bercksichtigen und Unsicherheiten durch problemangepaßte Sicherheitsabstnde ausgeglichen werden.
10.1 Berechnungs- und Bewertungskonzepte Design calculation and integrity assessment Grundlegend fr jeden aussagefhigen Festigkeitsnachweis sind Kenntnisse bzw. begrndete Annahmen ber die whrend der Produktlebensdauer auftretenden Bauteilbelastungen, wobei neben den planmßig zu erwartenden Betriebsbelastungen auch solche aus denkbaren Sonderereignissen zu beachten sind. Auch die auf das jeweilige Bauteil einwirkenden, eventuell zeitlich vernderlichen Umgebungseinflsse (Temperatur, Korrosionsmedien, energiereiche Strahlen), die zum Bauteilversagen beitragen knnen, sind fr eine Bewer-
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Festigkeitslehre – 10 Festigkeitsnachweis
tung unerlßlich. Das Bauteil selbst wird vor allem durch seine Gestalt (Bauteilgeometrie) und die verwendeten Werkstoffe gekennzeichnet. In bestimmten Fllen sind aber auch die Oberflchenstruktur (Rauhigkeit, Verfestigungen und Eigenspannungen aus dem Fertigungsprozeß, siehe E 1.4) und Fertigmaßtoleranzen (Imperfektionen bei Stabilittsproblemen, C 7) versagensrelevant. Mit diesen Informationen lßt sich ein Festigkeitsnachweis nach Bild 1 aufbauen, wenn zur Bewertung geeignete, miteinander verknpfbare Wissensbasen zum Verhalten hnlicher Bauteile mit vergleichbaren Belastungsarten und Umwelteinflssen vorliegen. Durch die Wissensbasen werden das anzuwendende Berechnungsmodell und das zugehrige Bewertungsmodell festgelegt. Der Festigkeitsnachweis vergleicht die rechnerischen mit den zulssigen Bauteilbeanspruchungen. Auf gleiche Weise lassen sich auch Bauteilverzerrungen (Dehnungen, Gleitungen) bewerten. Durch wissensbasierte Berechnungs- und Bewertungsmodelle soll eine ausreichend genaue Beurteilung der in einem Maschinen- oder Anlagenteil ablaufenden schdigenden Vorgnge unter Beachtung der Wechselwirkungen mit der Umgebung ermglicht werden. Werden mit dem Berechnungsmodell zur Kennzeichnung der Beanspruchungen Nennspannungen ermittelt und mit dem Festigkeitsnachweis bewertet, so spricht man von einem Festigkeitsnachweis nach dem Nennspannungskonzept; werden Kerbgrundspannungen und/oder Kerbgrundverzerrungen beurteilt, so wird der Nachweis nach einem Kerbgrundkonzept gefhrt [1]. Darber hinaus werden zunehmend Bruchmechanikkonzepte angewendet, wenn Bauteilungnzen (z. B. ausgeschmiedete kleine Lunker) in die Bewertung einzubeziehen sind [8].
die blichen Stabilittsberechnungen nach C 7 sind hier einzuordnen. Charakteristische Rechenvorschriften haben die Schreibweise szn ¼ F=An oder sbn ¼ Mb =Wb oder ttn ¼ Mt =Wt ð1Þ mit der Zugnennspannung szn (neuerdings auch Sz ), der Biegenennspannung sbn (auch Sb ), der Torsionsnennspannung ttn (auch Tt ), dem Nennquerschnitt An , dem Biegewiderstandsmoment Wb sowie dem Torsionswiderstandsmoment Wt (siehe C 2.1.4, C 2.4.5, C 2.5.4). Die Bewertung erfolgt bei einachsiger Belastung beispielsweise mit den Festigkeitsbedingungen szn szn; zul oder sbn sbn; zul oder ttn ttn; zul
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und den zulssigen Werten der Zugnennspannung szn; zul ; der Biegenennspannung sbn; zul oder Torsionsnennspannungen ttn; zul aus Versuchen an weitgehend hnlichen Bauteilen sowie Belastungen und Sicherheitszuschlgen aus Betriebserfahrungen. Bei mehrachsiger Belastung kommen zweckmßigerweise Interaktionsformeln zur Anwendung; beispielsweise beim Festigkeitsnachweis von Wellen und Achsen nach DIN 743 szn sbn 2 ttn 2 þ þ 1: ð3Þ szn; zul sbn; zul ttn; zul Alternativ hierzu bewertet man Vergleichsnennspannungen mit sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 szn; zul szn; zul 2 2 svn ¼ szn þ sbn þ ttn szn; zul :ð4Þ sbn; zul ttn; zul Gl. (4) entspricht formal der Schubspannungshypothese nach C 1.3.2 fr ðszn; zul =ttn; zul Þ2 ¼ 4 oder der v. MISES-Hypothese nach C 1.3.3, wenn lediglich Zugspannungen sx und Schubspannungen t wirken. Die „Ellipsengleichung“ (3) kann im Einzelfall von den tatschlichen Versuchsergebnissen abweichen. Zur Anpassung verwendet man dann beispielsweise statt Gl. (4) Interaktionsformeln mit den Exponenten s, t und Kombinationsfaktoren ks , kt szn ttn t sbn s 1: ks þ þkt ð5Þ szn; zul sbn; zul ttn; zul Die „Geradengleichung“ mit ks ¼ kt ¼ s ¼ t ¼ 1 wurde teilweise bei Reibkorrosionsproblemen [2] und bei starken Frequenzunterschieden zwischen Normal- und Schubspannungen [3] beobachtet. Sofern weitere mehrachsige Nennspannungen in einer Bauteilzone berechnet werden knnen, wie beispielsweise in Schweißnhten, sind die Interaktionsformeln oder Vergleichsnennspannungs-Formeln zu erweitern; siehe hierzu G 1.1.5; allerdings kann dann die formale hnlichkeit zu den Festigkeitshypothesen nach C 1.3 nicht mehr in vollem Umfang gewahrt werden!
Bild 1. Konzept eines Festigkeitsnachweises
10.2 Nennspannungskonzepte Nominal stress approach Berechnungsmodelle zur Nennspannungsbestimmung beruhen meist auf stark vereinfachenden Annahmen zur Spannungsermittlung, wobei Spannungskonzentrationen an Bauteilkerben, Fgestellen und Einspannungen bewußt nicht beachtet werden. Deshalb mssen die Einflsse dieser jedoch schadensrelevanten Spannungskonzentrationen in den zulssigen Nennspannungen bercksichtigt werden. Die Berechnungen werden damit einfach, die Bewertungssicherheit hngt von den zum Vergleich verfgbaren Versuchsergebnissen ab. Zur Berechnung werden vorwiegend Stab- und Balkenmodelle nach C 2 oder Flchentragwerke nach C 5 benutzt; auch
Anwendungsnormen und -richtlinien. Da Nennspannungskonzepte im Grunde Versuchsumrechnungskonzepte sind, mssen bei ihrer Anwendung die bei der Versuchsauswertung und Dokumentation angewandten Strategien dem Anwender in praxistauglicher Form vermittelt werden. Ein anschauliches Beispiel bietet die Berechnung von Schweißnhten fr die verschiedenen Anwendungsgebiete mit den zugehrigen Normen und Vorschriften nach Anh. G 1 Tabelle 2. Einen Einblick in die Struktur dieser Nennspannungskonzepte bringt G 1.1.5. Aus den Belastungen werden statische und dynamische Nennbeanspruchungen in den kritischen Bauteilquerschnitten berechnet. Fr den Maschinenbau ist dabei die Beschreibung der dynamischen Beanspruchungen durch Beanspruchungsgruppen B 1 bis B 6 nach der DIN 15 018, die durch Spannungs-(Lastspiel-)bereiche N 1 bis N 4 und Spannungskollektive S0 bis S3 bestimmt sind, sehr hilfreich. Die
I10.3 Angabe der zulssigen Spannungen erfolgt dann hinreichend genau in Abhngigkeit von diesen Beanspruchungsgruppen durch Bezug auf charakteristische Naht- und Anordnungsformen (Kerbflle) K 1 bis K 4; berblick in G 1.1.5 mit Tab. 4 bis 6 und Bildern 22 und 23. Dieser Ermdungsfestigkeitsnachweis – auch Betriebsfestigkeitsnachweis genannt – schließt mit dem Spannungskollektiv S 3 (mit konstanter Beanspruchungsamplitude) und dem Spannungsspielbereich N 4 (mit ber 2 106 Lastwechseln) den Dauerfestigkeitsnachweis mit ein. Die Bercksichtigung von Mittel-(Nenn-)Spannungen erfolgt mit dem Dauerfestigkeitsschaubild (Smith-Diagramm) nach Bild 23. Der Nachweis fr vorwiegend statische Beanspruchungen (bis 104 Schwingspiele) – der statische Festigkeitsnachweis – wird getrennt gefhrt. Hinweise zu Anwendungsnormen und Richtlinien weiterer Bauteilverbindungen siehe G 1. Die FKM-Richtlinie zum Festigkeitsnachweis fr Maschinenbauteile, in die umfangreiches Wissen aus frheren TGL-Standards eingeflossen ist [4], wurde inzwischen auf Bauteile aus Al-Legierungen erweitert [7]. Auch die Dimensionierung von Zahnradgetrieben nach G 8 erfolgt teilweise nach einem Nennspannungskonzept. Kerbwirkungszahl. Die vielfltigen Einflsse auf die Bauteilfestigkeit erschweren eine einfache bertragbarkeit der zulssigen bzw. ertragbaren Beanspruchungen von Prfkrpern auf andersartig gestaltete, gefertigte und belastete Bauteile. Eine erfolgreiche bertragung von Versuchsergebnissen auf Bauteile kann nur erwartet werden, wenn die dominanten Schdigungsmechanismen, die zum Versagen des Prfkrpers fhrten, in vergleichbarer Weise auch bei dem zu beurteilenden Bauteilverhalten wirksam werden. Die sicherste bertragbarkeit wird dann erreicht, wenn Prfkrper und Bauteil derselben Bauteilgruppe angehren; deshalb knnen beispielsweise errechnete Beanspruchungen in Zahnrdern mit Versuchen an Standard-Referenz-Prfrdern unter StandardPrfbedingungen mit hoher Aussagesicherheit beurteilt werden. Weichen Prfkrper und Bauteil strker voneinander ab oder sind die Belastungs- oder Umgebungseinwirkungen nicht gleichartig, dann werden die rechnerischen Vorhersagen strker von dem spteren realen Bauteilverhalten abweichen. Die in der Praxis hufig verwendeten Kerbwirkungszahlen bk (auch Kf ), die das Verhltnis von ertragbaren Nennbeanspruchungen an glatten, ungekerbten Werkstoffproben (beispielsweise der Dauerfestigkeit sD ) zu ertragbaren Nennspannungen an gekerbten Proben (beispielsweise der Bauteildauerfestigkeit sDk ) angeben, ð6Þ bk ¼ sD =sDk ; knnen folglich nur dann zur sicheren bertragung von Versuchsergebnissen genutzt werden, wenn ein ausreichend genaues Umrechnungsverfahren fr Kerbwirkungszahlen auf der Grundlage der wirksamen Schdigungsmechanismen vorliegt. Einen Ansatz fr solche Umrechnungsverfahren bieten bei Bauteilen mit krftefreien Oberflchen die Kerbgrundkonzepte, bei reib- und kraftschlssigen Bauteilverbindungen mssen auch tribologische Kenngrßen in die Bewertung einfließen (siehe E 5).
10.3 Kerbgrundkonzepte Local stress or strain approach Kerbgrundkonzepte fr Bauteile mit krftefreien Oberflchen erfordern die Kenntnis der Beanspruchungen (Spannungen, Dehnungen, Gleitungen) im Bereich der anrißgefhrdeten Bauteilstellen. Diese Beanspruchungen knnen grundstzlich bei Kenntnis der statischen und zyklischen Werkstoffgesetze nach E 1 (z. B. Bild 22) mit nichtlinearen Berechnungen nach der Methode der Finiten Elemente (FEM) entsprechend C 8 einschließlich einer geeigneten Plastizittstheorie nach C 9 berechnet werden. Da die Rechenzeiten fr solche Berech-
Kerbgrundkonzepte
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nungen mit derzeitigen Rechnern immens hoch sind, wird man sich im allgemeinen auf lineare FEM-Berechnungen beschrnken und den Einfluß der Nichtlinearitten durch erfahrungsgesttzte Konzepte fr Mikro- und Makrosttzwirkung bercksichtigen. Werden die durch Spannungsumlagerungen bedingten Sttzwirkungen nicht in die Beurteilung einbezogen, erhlt man bei sonst gleichen Annahmen Aussagen mit erhhter Sicherheit; das zugehrige Konzept wird als elastisches Kerbgrundkonzept bezeichnet. Die Grundlagen dieses Konzepts mit rtlichen, elastischen Spannungen bilden die Bausteine fr die gngigen erweiterten Konzepte mit Sttzwirkung. Elastische Formzahl (Spannungsformzahl). Durch das Verhltnis der errechneten, hchsten elastischen Kerbgrundspan^ bzw. ^t zu einer einfach zu ermittelnden Nennspannung s nung sn bzw. tn , werden elastische Formzahlen ak definiert, die fr die praktische Berechnung wegen ihrer Nhe zur Kerbwirkungszahl bk (nach Gl. (6)) ußerst ntzlich sind. Oft gilt ^ =sn bzw: ak ¼ ^t=tn ð7Þ ak ¼ s mit einer Nennspannung, die auf den engsten Bauteilquerschnitt bezogen wird; beispielsweise Anh. E 1 Tab. 4. Abweichend hierzu kann bei durchbohrten Stben auch die Definiti^ =tn o. . notwendig werden, wenn die schadensreleon ak ¼ s vante Zugspannung am Bohrungsrand durch eine Torsionsnennbelastung hervorgerufen wird! Vereinzelt werden auch Vergleichsspannungen nach der MISES-Hypothese auf Nennspannungen bezogen, die Formzahlen sollten dann mit einem Index gekennzeichnet werden (akv statt ak ). Mikrosttzwirkung. Das Verhltnis nc der Formzahl ak zur Kerbwirkungszahl bk bei Dauerfestigkeit wird neben dem Werkstoff vor allem vom Kerbradius r beeinflußt. In E 1 Bild 34, wird dieser Zusammenhang verdeutlicht. Bei kleineren Kerbradien, die stets zu einer Formzahlerhhung fhren, ist danach die Sttzwirkung grßer als bei grßeren Radien. In der Praxis des Maschinenbaus sind alternativ verschiedene Umrechnungsverfahren zur Bestimmung der relevanten Sttzzahlen ns ¼ aks =bks bzw: nt ¼ akt =bkt
ð8Þ
bei Normalspannungen bzw. Schubspannungen blich. Grundlage dieser Verfahren ist meist das Spannungsgeflle G in Richtung der Oberflchennormalen n ðGs ¼ d s=d n bzw. Gt ¼ d t=d n) an der hchstbeanspruchten Stelle der betrachteten Bauteilkerbe (s. E 1 Bild 32). Die Sttzwirkung bei Dauerfestigkeit wird dann ber das auf die Spannungsampli^ a bzw. ^ta bezogene Spannungsgeflle Gs ¼ Gs =^ sa tuden s bzw. Gt ¼ Gt =^ta unter Beachtung einer Mikrosttzlnge rs bzw. rt berechnet. Hufig werden die Sttzzahlen nach qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð9Þ ns ¼ 1 þ rs Gs bzw: nt ¼ 1 þ rt Gt bestimmt. In erster Nherung gilt bei Zug-Druck und Biegung Gs ¼ 2=r und bei Schub Gt ¼ 1=r mit dem Kerbradius r sowie bei Wellensthlen sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 55 N=mm2 G ð10Þ ns nt ¼ 1 þ Rp 0;2 ½mm1 mit der Dehngrenze Rp 0;2 [3]. Genauere Schtzformeln siehe FKM-Richtlinie [7] oder DIN 743. Die Berechnung der Sttzzahlen aus ns und nt ermglicht rckwirkend die Vorhersage der zu erwartenden Kerbwirkungszahlen und damit nach Gl. (8) und dann nach Gl. (6) die Berechnung der dauernd ertragbaren Nennspannungsamplituden in Bauteilen mit krftefreien Oberflchen bei Kenntnis der Werkstoff-Dauerfestigkeiten – zunchst fr den Fall reiner Wechselbeanspruchungen. Unter Beachtung der erforderlichen Sicherheiten folgen die zulssigen Nennspannungs-
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Festigkeitslehre – 10 Festigkeitsnachweis
amplituden, die in Gl. (3) oder Gl. (4) bentigt werden. Treten zustzlich zu den Wechselbeanspruchungen Mittelspannungen auf oder sollen Zeitfestigkeitsberechnungen durchgefhrt werden, so ist es ntzlich, neben der mindestens erreichbaren Mikrosttzwirkung auch die ber grßere Bauteilbereiche wirkende Makrosttzwirkung durch plastische Umlagerung der Spannungen und Dehnungen zu bercksichtigen. Makrosttzwirkung. Der Einfluß der Mittelspannungen (Mittelspannungsempfindlichkeit s. E 1 Bild 21) wird in der Werkstofftechnik durch Dauerfestigkeitsschaubilder nach Smith oder Haigh nach E 1 Bild 20 oder Anh. E 1 Bilder 1 und 2, dokumentiert, die sich oft auf Probendurchmesser 7,5 mm beziehen. Fr die praktische Anwendung bentigt man dann Grßeneinflußfaktoren zur Umrechnung der ertragbaren Beanspruchungen auf andere Durchmesser. Grßeneinflußfaktoren sind im wesentlichen von der durchmesserabhngigen Werkstoffzugfestigkeit Rm und/oder der Dehngrenze Rp 0;2 abhngig. Umrechnungsverfahren siehe u. a. FKMRichtlinie [7] oder DIN 743. Die tatschlichen wirksamen Zug-Mittelspannungen sind vor allem bei fließfhigen Bauteilen erheblich niedriger als die mit linearen FEM-Berechnungen oder elastischen Formzahlen ak errechenbaren Zug-Mittelspannungen, da sich durch Fließen und zyklisches Kriechen die hchstbeanspruchten Stellen des gefhrdeten Bauteilbereichs zu Lasten der Nachbarbezirke entlasten. Dieser Sachverhalt erklrt, warum bei verformungsfhigen Werkstoffen und bei Vermeidung von extremer Mehrachsigkeit des Spannungszustands hufig lediglich die Nenn-Mittelspannungen bercksichtigt werden; vergleiche hierzu Schweißnahtberechnungen nach DIN 15 018 u. . Die Makrosttzwirkung lßt sich formal mit der Makrosttzzahl m in den Festigkeitsnachweis einbeziehen. Bei einachsiger Beanspruchung gilt fr die wirksame Mittelspannung ^ m =ðns mÞ bzw: tm ¼ ^tm =ðnt mÞ: sm ¼ s
ð11Þ
^ m ¼ aks smn und verformungsfhigem BauteilquerBei s schnitt kann die Makrosttzzahl m ¼ aks =ns betragen, so daß sm ¼ smn folgt; analoges gilt fr Schubspannungen. Da Eigenspannungen wie Mittelspannungen wirken und sofern „Nenneigenspannungen“ der Wert Null zugewiesen werden kann, beispielsweise in statisch bestimmten Bauteilen, relaxieren Eigenspannung bei Vermeidung von Spannungsversprdung im Kerbgrund tendenziell gegen Null. Ist die Verformbarkeit des Werkstoffs eingeschrnkt, dann gelten diese einfachen Regeln nicht. Methoden zur Berechnung der Makrosttzzahl siehe E 1 Bild 41 oder genauer [3, 6]. Bei mehrachsiger Beanspruchung und Verformungsfhigkeit gilt fr Wellen und Achsen (DIN 743) als Vergleichs-Nennmittelspannung qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð12Þ svm ¼ ðszm þ sbm Þ2 þ 3 t2m entsprechend der v. MISES-Hypothese, wobei keinesfalls alle Reserven – besonders bei Druckspannungen – genutzt werden. Verbesserte Gleichungen fr synchrone und auch phasenverschobene Beanspruchungen siehe [3, 5]. Dort knnen auch Zeitfestigkeitsberechnungen fr nahezu beliebige Beanspruchungsverlufe gefunden werden.
Bild 2. Knotenblech mit Bohrung sowie zeitlich vernderlichen Nennbeanspruchungen
Realittsnahe Zeitfestigkeitsberechnungen mit hoher Aussagegte erfordern auch fr Spannungsamplituden die Anwendung von Makrosttzzahlen ma : Hinweis: Bei mehrachsiger Zugbelastung, beispielsweise nach Bild 2, knnen an den Kerbstellen einachsige Beanspruchungsverhltnisse entstehen. Dieses ist bei der Aufstellung von Interaktionsformeln fr solche Anwendungsflle zu beachten. Die formale bertragung von Vergleichsspannungshypothesen als Leitidee zur Formulierung von Interaktionsformeln – wie in der FKM-Richtlinie [7] – kann bei nicht sachgerechter Vorgehensweise zu Fehlinterpretationen fhren. Im vorliegenden Beispiel wre die an die Interaktionsformel der DIN 15 018 anknpfende Formel fr die Nennspannungsamplituden sya 2 sxa sya sxa 2 þ sxa; zul sya; zul sxa; zul sya; zul tta 2 1; 0 þ tta; zul
ð13Þ
nicht sachgerecht. Notwendig ist wegen der vorliegenden Einachsigkeit der Kerbgrundbeanspruchungen und der Phasenverschiebung der zeitlich vernderlichen Nennspannungen – getrennt fr die Außenkerben und die Bohrung – je eine Interaktionsformel entsprechend kx sxa þ ky sya 1; 0 ð14Þ s sya; zul xa; zul mit von der Phasenverschiebung der Nennspannungen abhngigen Kombinationsfaktoren kx und ky (hnlich Gl. (5)). Deshalb ist bei Bauteilen mit mehreren nichtsynchronen Belastungsgruppen der Einsatz von Interaktionsformeln mglichst experimentell abzusichern oder – sofern realisierbar – ein abgesichertes Kerbgrundkonzept anzuwenden.
I11
Anhang C: Diagramme und Tabellen
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11 Anhang C: Diagramme und Tabellen Appendix C: Diagrams and Tables Anh. C 2 Tabelle 1. Warmgewalzte I-Trger, schmale I-Trger, I-Reihe nach DIN 1025 Blatt 1 (Auszug)
C
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Festigkeitslehre – 11 Anhang C: Diagramme und Tabellen
Anh. C 2 Tabelle 2. Warmgewalzte I-Trger, breite I-Trger, leichte Ausfhrung, IPBl-Reihe nach DIN 1025 Blatt 3 (Auszug)
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Anh. C 2 Tabelle 3. Warmgewalzte I-Trger, mittelbreite I-Trger, IPE-Reihe nach DIN 1025 Blatt 5 (Auszug)
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Anhang C: Diagramme und Tabellen
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Anh. C 2 Tabelle 4. Warmgewalzte I-Trger, breite I-Trger, IPB-Reihe nach DIN 1025 Blatt 2 (Auszug)
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Anh. C 2 Tabelle 5. Blanker Rundstahl: Zulssige Abweichungen nach ISO-Toleranzfeld h 8 nach DIN 670 (Auszug) bliche Ausfhrungen: d < 45 mm kaltgezogen (K) und anschließend geschliffen, d 45 150 mm geschlt (SH) und anschließend geschliffen
Anh. C 2 Tabelle 6. Blanker Rundstahl: Zulssige Abweichungen nach ISO-Toleranzfeld h 11 nach DIN 668 (Auszug) bliche Ausfhrungen: d < 45 mm kaltgezogen (K), d 45 200 mm geschlt (SH)
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Festigkeitslehre – 11 Anhang C: Diagramme und Tabellen
Anh. C 2 Tabelle 7. Warmgewalzte I-Trger, verstrkte Ausfhrung, IPBv-Reihe nach DIN 1025 Blatt 4 (Auszug)
C
Anh. C 2 Tabelle 8. Warmgewalzter rundkantiger, hochstegiger T-Stahl nach DIN 1024 (Auszug)
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Anhang C: Diagramme und Tabellen
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Anh. C 2 Tabelle 9. Warmgewalzter rundkantiger, breitfßiger T-Stahl nach DIN 1024 (Auszug)
C
Anh. C 2 Tabelle 10. Warmgewalzter rundkantiger Z-Stahl nach DIN 1027 (Auszug)
Anh. C 2 Tabelle 11. Warmgewalzter ungleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl nach DIN 1029 (Auszug)
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C Festigkeitslehre – 11 Anhang C: Diagramme und Tabellen
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Anhang C: Diagramme und Tabellen
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Anh. C 2 Tabelle 12. Warmgewalzter gleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl nach DIN 1028 (Auszug)
C
Anh. C 2 Tabelle 13. Warmgewalzter rundkantiger U-Stahl nach DIN 1026 (Auszug)
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Festigkeitslehre – 11 Anhang C: Diagramme und Tabellen
Anh. C 2 Tabelle 14. Warmgewalzter Flachstahl fr allgemeine Verwendung nach DIN 1017 (Auszug)
C
Anh. C 2 Tabelle 15. Warmgewalzter Rundstahl fr allgemeine Verwendung nach DIN 1013 (Auszug)
Anh. C 2 Tabelle 16. Nahtlose Stahlrohre nach DIN 2448 (Auszug). Fettdruck weist Rohre der Reihe 1 in Vorzugswanddicken aus
I11 Anhang C: Diagramme und Tabellen
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C
Anh. C 2 Tabelle 17. Geschweißte Rohre nach DIN 2458 (Auszug). Fettdruck weist Rohre der Reihe 1 in Vorzugswanddicken aus
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C Festigkeitslehre – 11 Anhang C: Diagramme und Tabellen
I12
12 Spezielle Literatur Special bibliography zu C 1 Allgemeine Grundlagen [1] Leipholz, H.: Einfhrung in die Elastizittstheorie. Karlsruhe: Braun 1968. – [2] Biezeno, C.; Grammel, R.: Technische Dynamik, 2. Aufl. Berlin: Springer 1971. – [3] Mller, W.: Theorie der elastischen Verformung. Leipzig: Akad. Verlagsgesell. Geest u. Portig 1959. – [4] Neuber, H.: Technische Mechanik, Teil II. Berlin: Springer 1971. – [5] Betten, J.: Elastizitts- und Plastizittstheorie, 2. Aufl. Braunschweig: Vieweg 1986. – [6] Siebel, E.: Neue Wege der Festigkeitsrechnung. VDI – Z. 90 (1948) 135–139. – [7] Siebel, E.; Rhl, K.: Formdehngrenzen fr die Festigkeitsberechnung. Die Technik 3 (1948) 218–223. – [8] Siebel, E.; Schwaigerer, S.: Das Rechnen mit Formdehngrenzen. VDI-Z: 90 (1948) 335– 341. – [9] Schwaigerer, S.: Werkstoffkennwert und Sicherheit bei der Festigkeitsberechnung. Konstruktion 3 (1951) 233– 239. – [10] Wellinger, K.; Dietmann, H.: Festigkeitsberechnung, 3. Aufl. Stuttgart: Krner 1976. zu C 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile [1] Szabo´, I.: Einfhrung in die Technische Mechanik, 8. Aufl. Berlin: Springer 1975. – [2] Weber, C.: Biegung und Schub in geraden Balken. Z. angew. Math. u. Mech. 4 (1924) 334–348. – [3] Schultz-Grunow, F.: Einfhrung in die Festigkeitslehre. Dsseldorf: Werner 1949. – [4] Szabo´, I.: Hhere Technische Mechanik, 5. Aufl. Berlin: Springer 1977. – [5] Neuber, H.: Technische Mechanik, Teil II. Berlin: Springer 1971. – [6] Leipholz, H.: Festigkeitslehre fr den Konstrukteur. Berlin: Springer 1969. – [7] Young, W. C.; Budynas, R. G.: Roarks Formulars for Stress und Stain, 7th ed. Singapore: McGraw-Hill 2002. zu C 3 Elastizittstheorie [1] Szabo´, I.: Hhere Technische Mechanik, 5. Aufl. Berlin: Springer 1977. – [2] Girkmann, K.: Flchentragwerke, 3. Aufl. Wien: Springer 1954. – [3] Timoshenko, S.; Goodier, J. N.: Theory of Elasticity, 3rd ed. Singapore: McGraw-Hill 1982. zu C 4 Beanspruchung bei Berhrung zweier Krper (Hertzsche Formeln) [1] Hertz, H.: ber die Berhrung fester elastischer Krper. Ges. Werke, Bd. I. Leipzig: Barth 1895. – [2] Szabo´, I.: Hhere Technische Mechanik, 5. Aufl. Berlin: Springer 1977. – [3] Fppl, L.: Der Spannungszustand und die Anstrengung der Werkstoffe bei der Berhrung zweier Krper. Forsch. Ing.Wes. 7 (1936) 209–221. – [4] Timoshenko, S.; Goodier, J. N.: Theory of elasticity, 3rd ed. Singapore: McGraw-Hill 1982. zu C 5 Flchentragwerke [1] Girkmann, K.: Flchentragwerke, 3. Aufl. Wien: Springer 1954. – [2] Na´dai, A.: Die elastischen Platten. Berlin: Springer 1925 (Nachdruck 1968). – [3] Wolmir, A. S.: Biegsame Platten und Schalen. Berlin: VEB Verlag f. Bauwesen 1962. – [4] Czerny, f.: Tafeln fr vierseitig und dreiseitig gelagerte Rechteckplatten. Betonkal. 1984, Bd. I. Berlin: Ernst 1984. – [5] Beyer, K.: Die Statik im Stahlbetonbau. Berlin: Springer 1948. – [6] Worch, G.: Elastische Platten. Betonkal 1960, Bdd. II. Berlin: Ernst 1960. – [7] Timoshenko, S.; Woinowsky-Krieger, S.: Theory of plates and shells, 2nd ed. Kogakusha: McGraw-Hill 1983. zu C 6 Dynamische Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkrfte [1] Biezeno, C.; Grammel, R.: Technische Dynamik, 2. Aufl. Berlin: Springer 1971.
Spezielle Literatur
C 69
zu C 7 Stabilittsprobleme [1] Szabo´, I.: Hhere Technische Mechanik, 5. Aufl. Berlin: Springer 1977. – [2] Kollbrunner, C. F.; Meister, M.: Knikken, Biegedrillknicken, Kippen, 2. Aufl. Berlin: Springer 1961. – [3] Biezeno, C.; Grammel, R.: Technische Dynamik, 2. Aufl. Berlin: Springer 1971. – [4] Pflger, A.: Stabilittsprobleme der Elastostatik. Berlin: Springer 1950. – [5] Brgermeister, G.; Steup, H.: Stabilittstheorie. Berlin: Akademie-Verlag 1959. – [6] Timoshenko, S.: Theory of elastic stability. New York: McGraw-Hill 1936. – [7] Wolmir, A. S.: Biegsame Platten und Schalen. Berlin: VEB Verlag f. Bauwesen 1962. – [8] Flgge, W.: Statik und Dynamik der Schalen, 2. Aufl. Berlin 1957. – [9] Schapitz, E.: Festigkeitslehre fr den Leichtbau, 2. Aufl. Dsseldorf: VDI-Verlag 1963. zu C 8 Methode der Finiten Elemente (FEM), der Randelemente (BEM) und der Finiten Differenzen (FDM) [1] Zienkiewicz, O. C.: Methoden der finiten Elemente. Mnchen: Hanser 1975. – [2] Gallagher, R. H.: Finite-ElementAnalysis. Berlin: Springer 1976. – [3] Schwarz, H. R.: Methode der finiten Elemente. Stuttgart: Teubner 1980. – [4] Link, M.: Finite Elemente in der Statik und Dynamik. Stuttgart: Teubner 1984. – [5] Argyris, J.; Mlejnek, H.-P.: Die Methode der finiten Elemente. Bd. I–III. Braunschweig: Vieweg 1986–1988. – [6] Bathe, K.-J.: Finite-Element-Methoden. Berlin: Springer 1986. – [7] Oldenburg, W.: Die Finite-Elemente-Methode auf dem PC. Braunschweig: Vieweg 1989. – [8] Wellinger, K.; Dietmann, H.: Festigkeitsberechnung, Grundlagen und technische Anwendung. 3. Aufl. Stuttgart: Krner 1976. – [9] Hampel, H.: Rohrleitungsstatik, Grundlagen, Gebrauchsformeln, Beispiele. Berlin: Springer 1972. – [10] Collatz, L.: Numerische Behandlung von Differentialgleichungen, 2. Aufl. Berlin: Springer 1955. – [11] Girkmann, K.: Flchentragwerke, 3. Aufl. Wien: Springer 1954. – [12] Hartmann, F.: Methode der Randelemente. Berlin: Springer 1987. – [13] Brebbia, C. A.; Telles, J. C. F.; Wrobel, L. C.: Boundary Element Techniques, Berlin: Springer 1987. – [14] Zotemantel, R.: Berechnung von Platten nach der Methode der Randelemente, Dissertation 1985: Universitt Dortmund. – [15] Giencke, E; Petersen, J.: Ein finites Verfahren zur Berechnung schubweicher orthotroper Platten. Der Stahlbau 6/ 1970. – [16] Mller, G.; Rehfeld, J.; Katheder, W.: FEM fr Praktiker, 2. Aufl. Grafenau: expert verlag 1995. zu C 9 Plastizittstheorie [1] Wellinger, K.; Dietmann, H.: Festigkeitsberechnung. Grundlagen und technische Anwendung, 3. Aufl. Stuttgart: Krner 1976. – [2] Reckling, K. A.: Plastizittstheorie und ihre Anwendung auf Festigkeitsprobleme. Berlin: Springer 1967. – [3] Lippmann, H.; Mahrenholtz, O.: Plastomechanik der Umformung metallischer Werkstoffe. Berlin: Springer 1967. – [4] Schreyer, G.: Konstruieren mit Kunststoffen. Mnchen: Hanser 1972. – [5] Szabo´, I.: Hhere Technische Mechanik. Korrigierter Nachdruck der 5. Aufl. Berlin: Springer 1977. – [6] Ismar, H.; Mahrenholtz, O.: Technische Plastomechanik, Braunschweig: Vieweg 1979. – [7] Kreißig, R.; Drey, K.-D., Naumann, J.: Methoden der Plastizitt. Mnchen: Hanser 1980. – [8] Lippmann, H.: Mechanik des plastischen Fließens. Berlin: Springer 1980. zu C 10 Festigkeitsnachweis [1] Mertens, H.: Kerbgrund- und Nennspannungskonzept zur Dauerfestigkeitsberechnung – Weiterentwicklung des Konzepts der Richtlinie VDI 2226. In VDI-Berichte 661: Dauerfestigkeit und Zeitfestigkeit – Zeitgemße Berechnungskonzepte. Tagung Bad Soden, 1988. Dsseldorf: VDI-Verlag, 1988. – [2] Gerber, H. W.: Statisch berbestimmte Flanschverbindungen mit Reib- und Formschlußelementen unter Tor-
C
C 70
C
Festigkeitslehre – 12 Spezielle Literatur
sions-, Biege- und Querkraftbelastung. Forschungsheft 356 der Forschungsvereinigung Antriebstechnik e. V., Frankfurt 1992. – [3] Hahn, M.: Festigkeitsberechnung und Lebensdauerabschtzung fr Bauteile unter mehrachsig schwingender Beanspruchung. Dissertation TU Berlin 1995. Berlin: Wissenschaft und Technik Verlag Dr. Jrgen Groß, 1995. – [4] FKM-Richtlinie: Rechnerischer Festigkeitsnachweis fr Maschinenbauteile. 3., vollstndig berarbeitete und erweiterte Ausgabe. Forschungskuratorium Maschinenbau e. V., Frankfurt 1998. – [5] Mertens, H.; Hahn, M.: Vergleichspannungshypothese zur Schwingfestigkeit bei zweiachsiger Beanspruchung ohne und mit Phasenverschiebung. Konstruktion 45 (1993) 192–202. – [6] Mertens, H.; Hahn, M.: Vorhersage
von Bauteil-Whlerlinien fr Nennspannungskonzepte. Konstruktion 49 (1997) 31–37. – [7] FKM-Richtlinie: Rechnerischer Festigkeitsnachweis fr Maschinenbauteile aus Stahl, Eisenguss- und Aluminiumwerkstoffen. 4., erweiterte Ausgabe, Forschungskuratorium Maschinenbau e. V., VDMA-Verlag Frankfurt am Main 2002. – [8] FKM-Richtlinie: Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis fr Maschinenbauteile. 1. Ausgabe, Forschungskuratorium Maschinenbau e. V., VDMA-Verlag GmbH Frankfurt am Main 2001. – Normen: DIN 743: Tragfhigkeitsberechnung von Wellen und Achsen. – DIN 15 018, Teil 1 – 3: Krane, Stahltragwerke, Berechnung und Ausfhrung.
I1.2 Beschreibung des Zustands eines Systems. Thermodynamische Prozesse
D
D1
Thermodynamik Thermodynamics K. Stephan, Stuttgart, und P. Stephan, Darmstadt
Allgemeine Literatur zu D 1 bis D 10 Bcher: Baehr, H. D.: Mollier-i, x-Diagramm fr feuchte Luft in den Einheiten des Internationalen Einheitensystems. Berlin: Springer 1961. – Baehr, H. D.: Thermodynamik. Grundlagen und technische Anwendungen. 11. Aufl. Berlin: Springer 2002. – Baehr, H. D.; Stephan, K.: Wrme- und Stoffbertragung. 4. Aufl. Berlin: Springer 2003. – Bosˇnjakovic´, F.; Knoche, K. F.: Technische Thermodynamik, Teil 1, 8. Aufl. 1998, Darmstadt: Steinkopff, Teil 2, 6. Aufl. 1997. Darmstadt: Steinkopff. – Brandt, F.: Brennstoffe und Verbrennungsrechnung. Fachverband Dampfkessel-Behlter- und Rohrleitungsbau. Fachbuchreihe, Bd. 1, 3. Aufl. 1999. Essen: Vulkan. – Brandt, F.: Wrmebertragung in Dampferzeugern und Wrmetauschern. Fachverband Dampfkessel-Behlter- und Rohrleitungsbau. Fachbuchreihe, Bd. 2, 2. Aufl. 1995 Essen: Vulkan. – Cammerer, J. S.: Der Wrme- und Klteschutz in der Industrie. 5. Aufl. Berlin: Springer 1995. – Cerbe, G.; Hoffmann, H.-J.: Einfhrung in die Thermodynamik. 15. Aufl. Mnchen: Hanser 2002. – Grigull, U.: Technische Thermodynamik. 3. Aufl. Berlin: de Gruyter 1977. – Wagner, W.; Kruse, A.: Properties of water and steam. Zustandsgrßen von Wasser und Wasserdampf. Berlin: Springer 1998. – Hausen, H.: Wrmebertragung im Gegenstrom, Gleichstrom und Kreuzstrom. 2. Aufl. Berlin: Springer 1976. – Langeheinecke, K. (Hrsg).; Jany, P.; Sapper, E.: Thermodynamik fr Ingenieure. 3. Aufl. Braunschweig: Vieweg 2001. – Lucas, K.: Thermodynamik. 3. Aufl. Berlin: Springer 2001. – Merker, G. P.; Baumgarten, C.: Fluid- und Wrmetransport, Strmungslehre. Stuttgart: Teubner 2000. – Stephan, K.: Wrmebergang beim Kondensieren und beim Sieden. Berlin: Springer 1988. – Stephan, K.; Mayinger, F.: Thermodynamik, Bd. 1: Einstoffsysteme. 15. Aufl. Bd. 2: Mehrstoffsysteme und chemische Reaktionen. 14. Aufl. Berlin: Springer 1998 und 1999.
1 Thermodynamik. Grundbegriffe Scope of Thermodynamics. Definitions Die Thermodynamik ist als Teilgebiet der Physik eine allgemeine Energielehre. Sie befasst sich mit den verschiedenen Erscheinungsformen der Energie und deren Umwandlung ineinander. Sie stellt die allgemeinen Gesetze bereit, die jeder Energieumwandlung zugrunde liegen.
1.1 Systeme, Systemgrenzen, Umgebung Systems, boundaries of systems, surroundings Unter einem thermodynamischen System, kurz auch System genannt, versteht man dasjenige materielle Gebilde oder Gebiet, das Gegenstand der thermodynamischen Untersuchung sein soll. Beispiele fr Systeme sind eine Gasmenge, eine Flssigkeit und ihr Dampf, ein Gemisch mehrerer Flssigkeiten, ein Kristall oder eine energietechnische Anlage. Das System wird durch eine materielle oder gedachte Systemgrenze von seiner Umwelt, der sog. Umgebung getrennt. Eine Systemgrenze darf sich whrend des zu untersuchenden Vorgangs verschieben, beispielsweise wenn sich eine Gasmenge ausdehnt, und sie darf außerdem fr Energie und Materie durchlssig sein. Energie kann ber eine Systemgrenze mit einer ein- oder austretenden Materie sowie in Form von Wrme (D 3.2.3) und Arbeit (D 3.2.1) transportiert werden. Das System mit seiner Systemgrenze dient bei der Betrachtung und Berechnung von Energieumwandlungsprozessen als Bilanzraum mit seiner Bilanzgrenze. Stellt man z. B. eine Energiebilanz (D 3 Erster Hauptsatz) fr das System auf, so werden die ber die Systemgrenze ein- und austretenden Energien und die Energienderungen und Eigenschaften im System in Form einer Bilanzgleichung miteinander verknpft. Ein System heißt geschlossen, wenn die Systemgrenze fr Materie undurchlssig und offen, wenn sie fr Materie durchlssig ist. Whrend die Masse eines geschlossenen Systems unvernderlich ist, ndert sich die Masse eines offenen Systems, wenn die whrend einer bestimmten Zeit in das
System einstrmende Masse von der ausstrmenden verschieden ist. Sind einstrmende und ausstrmende Masse gleich, so bleibt auch die Masse des offenen Systems konstant. Beispiele fr geschlossene Systeme sind feste Krper oder Massenelemente in der Mechanik, Beispiele fr offene Systeme sind Turbinen, Strahltriebwerke, strmende Fluide (Gase oder Flssigkeiten) in Kanlen. Ist ein System gegenber seiner Umgebung vollkommen thermisch isoliert, kann also keine Wrme ber die Systemgrenze transportiert werden, so spricht man von einem adiabaten System. Abgeschlossen nennt man ein System, das von allen Einwirkungen seiner Umgebung isoliert ist, sodass weder Energie in Form von Wrme oder Arbeit noch Materie mit der Umgebung ausgetauscht werden. Die Unterscheidung zwischen geschlossenem und offenem System entspricht der Unterscheidung zwischen Lagrangeschem und Eulerschem Bezugssystem in der Strmungsmechanik. Im Lagrangeschen Bezugssystem, das dem geschlossenen System entspricht, untersucht man die Bewegung eines Fluids, indem man dieses in kleine Elemente von unvernderlicher Masse zerlegt und deren Bewegungsgleichung ableitet. Im Eulerschen Bezugssystem, das dem offenen System entspricht, denkt man sich im Raum ein festes Volumenelement aufgespannt und untersucht die Strmung des Fluids durch das Volumenelement hindurch. Beide Arten der Beschreibung sind einander quivalent, und es ist oft nur eine Frage der Zweckmßigkeit, ob man ein geschlossenes oder offenes System der Betrachtung zugrunde legt.
1.2 Beschreibung des Zustands eines Systems. Thermodynamische Prozesse Description of the state of a system. Thermodynamic processes Ein System wird durch bestimmte physikalische Grßen charakterisiert, die man messen kann, beispielsweise Druck, Temperatur, Dichte, elektrische Leitfhigkeit, Brechungsindex und andere. Der Zustand eines Systems ist dadurch bestimmt, dass alle diese physikalischen Grßen, die sog. Zu-
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D2
Thermodynamik – 2 Temperaturen. Gleichgewichte
standsgrßen, feste Werte annehmen. Den bergang eines Systems von einem Zustand in einen anderen nennt man Zustandsnderung.
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Beispiel: Ein Ballon ist mit Gas gefllt. Thermodynamisches System sei das Gas. Die Masse des Gases ist, wie die Messung zeigt, durch Volumen, Druck und Temperatur bestimmt. Zustandsgrßen des Systems sind also Volumen, Druck und Temperatur, und der Zustand des Systems (Gases) ist durch ein festes Wertetripel von Volumen, Druck und Temperatur gekennzeichnet. Den bergang zu einem anderen festen Wertetripel, beispielsweise wenn eine gewisse Gasmasse ausstrmt, nennt man Zustandsnderung.
Den mathematischen Zusammenhang zwischen Zustandsgrßen nennt man Zustandsgleichung . Beispiel: Das Volumen des Gases in einem Ballon erweist sich als eine Funktion von Druck und Temperatur. Der mathematische Zusammenhang zwischen diesen Zustandsgrßen ist eine solche Zustandsgleichung.
Zustandsgrßen unterteilt man in drei Klassen: Intensive Zustandsgrßen sind unabhngig von der Grße des Systems und behalten somit bei einer Teilung des Systems in Untersysteme ihre Werte bei. Beispiel: Unterteilt man einen mit Gas von einheitlicher Temperatur gefllten Raum in kleinere Rume, so bleibt die Temperatur unverndert. Sie ist eine intensive Zustandsgrße.
2 Temperaturen. Gleichgewichte Temperatures. Equilibria 2.1 Thermisches Gleichgewicht Thermal equilibrium Hufig sprechen wir von „heißen“ oder „kalten“ Krpern, ohne solche Zustnde zunchst genau durch eine Zustandsgrße zu quantifizieren. Bringt man nun ein solches geschlossenes heißes System A mit einem geschlossenen kalten System B in Kontakt, so wird ber die Kontaktflche Energie in Form von Wrme transportiert. Dabei ndern sich die Zustandsgrßen beider Systeme mit der Zeit bis sich nach hinreichend langer Zeit neue feste Werte einstellen und der Energietransport zum Stillstand kommt. In diesem Endzustand herrscht thermisches Gleichgewicht zwischen den Systemen. Die Geschwindigkeit, mit der die Systeme diesen Gleichgewichtszustand erreichen, hngt von der Art des Kontakts der Systeme sowie ihrer thermischen Eigenschaften ab. Sind die Systeme z. B. nur durch eine dnne Metallwand voneinander getrennt, so wird sich das Gleichgewicht schneller einstellen, als wenn sie durch eine dicke Wand aus Polystyrolschaum getrennt sind. Eine Trennwand, die lediglich jeden Stoffaustausch und auch jede mechanische, magnetische oder elektrische Wechselwirkung verhindert, den Transport von Wrme jedoch zulsst, nennt man diatherm. Eine diatherme Wand ist „thermisch“ leitend. Eine thermisch vollkommen isolierende Wand, nennt man adiabat.
2.2 Nullter Hauptsatz und empirische Temperatur Zeroth law and empirical temperature Herrscht thermisches Gleichgewicht zwischen den Systemen A und C und den Systemen B und C, dann befinden sich erfahrungsgemß auch die Systeme A und B im thermischen Gleichgewicht, wenn man sie ber eine diatherme Wand mit-
Zustandsgrßen, die proportional zur Masse des Systems sind, heißen extensive Zustandsgrßen. Beispiel: Das Volumen, die Energie oder die Masse selbst.
Dividiert man eine extensive Zustandsgrße X durch die Masse m des Systems, so erhlt man eine spezifische Zustandsgrße x ¼ X=m. Beispiel: Extensive Zustandsgrße sei das Volumen eines Gases, spezifische Zustandsgrße ist dann das spezifische Volumen u=V/m, wenn m die Masse des Gases ist. SI-Einheit des spez. Volumens ist m3 =kg.
Zustandsnderungen kommen durch Wechselwirkungen mit der Umgebung des Systems zustande, beispielsweise dadurch, dass Energie ber die Systemgrenze zu- oder abgefhrt wird. Zur Beschreibung einer Zustandsnderung gengt es, allein den zeitlichen Verlauf der Zustandsgrßen anzugeben. Die Beschreibung eines Prozesses erfordert zustzlich Angaben ber Grße und Art der Wechselwirkungen mit der Umgebung. Unter einem Prozess versteht man somit die durch bestimmte ußere Einwirkungen hervorgerufenen Zustandsnderungen. Der Begriff Prozess ist also weiter gefasst als der Begriff Zustandsnderung. So kann z. B. ein und dieselbe Zustandsnderung durch verschiedene Prozesse hervorgerufen werden.
einander in Kontakt bringt. Diesen Erfahrungssatz bezeichnet man als „nullten Hauptsatz der Thermodynamik“. Er lautet: Zwei Systeme im thermischen Gleichgewicht mit einem dritten befinden sich auch untereinander im thermischen Gleichgewicht. Um festzustellen, ob sich zwei Systeme A und B im thermischen Gleichgewicht befinden, bringt man sie nacheinander in Kontakt mit einem System C, dessen Masse klein sei im Vergleich zu derjenigen der Systeme A und B, damit Zustandsnderungen in den Systemen A und B whrend der Gleichgewichtseinstellung vernachlssigbar sind. Bringt man C erst mit A in Kontakt, so ndern sich bestimmte Zustandsgrßen von C, beispielsweise sein elektrischer Widerstand. Diese Zustandsgrßen bleiben beim anschließenden Kontakt zwischen B und C unverndert, wenn zuvor thermisches Gleichgewicht zwischen A und B herrschte. Mit C kann man so prfen, ob zwischen A und B thermisches Gleichgewicht herrscht. Den Zustandsgrßen von C nach Einstellung des Gleichgewichts kann man beliebige feste Zahlen zuordnen. Diese nennt man empirische Temperaturen, das Messgert selbst ist ein Thermometer.
2.3 Temperaturskalen. Temperature scales Zur Konstruktion und Definition der empirischen Temperaturskalen dient das Gasthermometer (Bild 1), mit dem man den Druck p misst, der vom Gasvolumen V ausgebt wird. Das Gasthermometer wird nun mit Systemen in Kontakt gebracht, deren thermischer Zustand konstant ist, z. B. ein Gemisch aus Eis und Wasser bei festgelegtem Druck. Nach hinreichend langer Zeit wird das Gasthermometer im thermischen Gleichgewicht mit dem in Kontakt befindlichen System sein. Das Gasvolumen V wird dabei durch Verndern der Hhe Dz der Quecksilbersule konstant gehalten. Der durch die Quecksilbersule und die Umgebung ausgebte Druck p wird gemessen und das Produkt pV gebildet. Messungen bei verschiedenen hinreichend geringen Drcken ergeben durch Extrapolation einen Grenzwert lim pV ¼ A. Diesem aus den p!0
I2.3 Temperaturskalen
D3
2.3.1 Die Internationale Praktische Temperaturskala The international practical temperature scale
Bild 1. Gasthermometer mit Gasvolumen V im Kolben bis zur Quecksilbersule
Messungen ermittelten Wert A ordnet man eine empirische Temperatur zu durch den linearen Ansatz T ¼ const A:
ð1Þ
Nach Festlegung der Konstanten „const“ braucht man nur jeweils den Wert A aus den Messungen zu ermitteln und kann dann aus Gl. (1) die empirische Temperatur T berechnen. Dem zur Festlegung der empirischen Temperaturskala bentigten „Fixpunkt“ hat die 10. Generalkonferenz fr Maße und Gewichte in Paris 1954 den Tripelpunkt des Wassers mit der Temperatur Ttr ¼ 273,16 Kelvin (abgekrzt 273,16 K) zugeordnet. Am Tripelpunkt des Wassers stehen Dampf, flssiges Wasser und Eis miteinander im Gleichgewicht bei einem Druck von (611; 657 0; 010) Pa. Die so eingefhrte Temperaturskala bezeichnet man als Kelvin-Skala. Sie ist identisch mit der thermodynamischen Temperaturskala. Es ist T ¼ Ttr A=Atr ;
ð1 aÞ
wenn Atr der mit einem Gasthermometer am Tripelpunkt des Wassers gemessene Wert der Grße A ist. Auf der Celsius-Skala, deren Temperatur t man in C angibt, wurde der Eispunkt des Wassers beim Druck von 0,101325 MPa mit t0 ¼ 0 °C und der Siedepunkt beim gleichen Druck mit tl ¼ 100 °C festgelegt. In absoluten Temperaturen entspricht dies recht genau T0 ¼ 273; 15 K bzw. Tl ¼ 373; 15 K. Die Temperatur Ttr ¼ 273; 16 K am Tripelpunkt des Wassers liegt um rund 0,01 K hher als die Temperatur am Eispunkt. Die Umrechnung der Temperaturen erfolgt entsprechend der Zahlenwertgleichung T ¼ t þ 273; 15
ð2Þ
mit t in C und T in K. Im Angelschsischen ist noch die Fahrenheit-Skala blich mit der Temperatur am Eispunkt des Wassers bei 32 F und der am Siedepunkt bei 212 F (Druck jeweils 0,101325 MPa). Zur Umrechnung einer in F angegebenen Temperatur tF in die Celsius-Temperatur t in C gilt t ¼ 59 ðtF 32Þ:
ð3Þ
Die vom absoluten Nullpunkt in F gezhlte Skala bezeichnet man als Rankine-Skala ( R). Es ist TR ¼ 95 T;
ð4Þ
TR in R, T in K. Der Eispunkt des Wassers liegt bei 491,67 R.
Da die genaue Messung von Temperaturen mit Hilfe des Gasthermometers schwierig und zeitraubend ist, hat man die Internationale Praktische Temperaturskala durch Gesetz eingefhrt. Sie wird vom internationalen Komitee fr Maß und Gewicht so festgelegt, dass die Temperatur in ihr mglichst genau die thermodynamische Temperatur bestimmter Stoffe annhert. Die Internationale Praktische Temperaturskala ist durch die Schmelz- und Siedepunkte dieser Stoffe festgelegt, die so genau wie mglich mit Hilfe des Gasthermometers in den wissenschaftlichen Staatsinstituten der verschiedenen Lnder bestimmt wurden. Zwischen diesen Festpunkten wird durch Widerstandsthermometer, Thermoelemente und Strahlungsmessgerte interpoliert, wobei bestimmte Vorschriften fr die Beziehungen zwischen den unmittelbar gemessenen Grßen und der Temperatur gegeben werden. Die wesentlichen, in allen Staaten gleichen Bestimmungen ber die Internationale Temperaturskala lauten: 1. In der Internationalen Temperaturskala von 1948 werden die Temperaturen mit „ C“ oder „ C (Int. 1948)“ bezeichnet und durch das Formelzeichen t dargestellt. 2. Die Skala beruht einerseits auf einer Anzahl fester und stets wieder herstellbarer Gleichgewichtstemperaturen (Fixpunkte), denen bestimmte Zahlenwerte zugeordnet werden, andererseits auf genau festgelegten Formeln, die die Beziehungen zwischen der Temperatur und den Anzeigen von Messinstrumenten, die bei diesen Fixpunkten kalibriert werden, herstellen. 3. Die Fixpunkte und die ihnen zugeordneten Zahlenwerte sind in Tabellen (s. Anh. D 2 Tab. 1) zusammengestellt. Mit Ausnahme der Tripelpunkte entsprechen die zugeordneten Temperaturen Gleichgewichtszustnden bei dem Druck der physikalischen Normalatmosphre, d. h. per definitionem bei 0,101325 MPa. 4. Zwischen den Fixpunkttemperaturen wird mit Hilfe von Formeln interpoliert, die ebenfalls durch internationale Vereinbarungen festgelegt sind. Dadurch werden Anzeigen der sog. Normalgerte, mit denen die Temperaturen zu messen sind, Zahlenwerte der Internationalen Praktischen Temperatur zugeordnet.
Zur Erleichterung von Temperaturmessungen hat man eine Reihe weiterer thermometrischer Festpunkte von leicht gengend rein herstellbaren Stoffen so genau wie mglich an die gesetzliche Temperaturskala angeschlossen. Die wichtigsten sind im Anh. D 2 Tab. 2 zusammengestellt. Als Normalgert wird zwischen dem Tripelpunkt von 13,8033 K (=–259,3467 C) des Gleichgewichtswasserstoffs und dem Erstarrungspunkt des Silbers bei 1 234,93 K (=961,78 C) das Platinwiderstandsthermometer verwendet. Zwischen dem Erstarrungspunkt des Silbers und dem Erstarrungspunkt des Goldes von 1 337,33 K (=1 064,18 C) benutzt man als Normalgert ein Platinrhodium (10% Rhodium)/Platin-Thermopaar. Oberhalb des Erstarrungspunkts von Gold wird die Internationale Praktische Temperatur durch das Plancksche Strahlungsgesetz h i 2 exp lðtAucþT 1 Jt 0Þ h i ð5Þ ¼ c2 JAu exp 1 lðtþT0 Þ
definiert; Jt und JAu bedeuten die Strahlungsenergien, die ein schwarzer Krper bei der Wellenlnge l je Flche, Zeit und Wellenlngenintervall bei der Temperatur t und beim Goldpunkt tAu aussendet; c2 ist der als 0,014388 Meterkelvin festgesetzte Wert der Konstante c2 ; T0 ¼ 273; 15 K ist der Zahlenwert der Temperatur des Eisschmelzpunkts; l ist der Zahlenwert einer Wellenlnge des sichtbaren Spektralgebiets in m. Praktische Temperaturmessung s. W 2.7 und [1].
D
D4
Thermodynamik – 3 Erster Hauptsatz
3 Erster Hauptsatz. First law 3.1 Allgemeine Formulierung. General formulation
D
Der erste Hauptsatz ist ein Erfahrungssatz. Er kann nicht bewiesen werden und gilt nur deshalb, weil alle Schlussfolgerungen, die man aus ihm zieht, mit der Erfahrung in Einklang stehen. Er besagt allgemein, dass Energie nicht verloren geht und nicht aus dem Nichts entsteht. Energie ist also eine Erhaltungsgrße. Das bedeutet, dass die Energie eines Systems E nur durch Austausch von Energie mit der Umgebung gendert werden kann, wobei man vereinbart, dass eine dem System zugefhrte Energie positiv, eine abgefhrte negativ ist. Eine grundlegende Formulierung des ersten Hauptsatzes lautet: Jedes System besitzt eine extensive Zustandsgrße Energie. Sie ist in einem abgeschlossenen System konstant.
3.2 Die verschiedenen Energieformen The different forms of energy Um den ersten Hauptsatz mathematisch formulieren zu knnen, muss man zwischen den verschiedenen Energieformen unterscheiden und diese definieren. 3.2.1 Arbeit. Work In der Thermodynamik bernimmt man den Begriff der Arbeit aus der Mechanik und definiert: Greift an einem System eine Kraft an, so ist die an dem System verrichtete Arbeit gleich dem Produkt aus der Kraft und der Verschiebung des Angriffspunkts der Kraft. Es ist die lngs eines Wegs z zwischen den Punkten 1 und 2 von der Kraft F verrichtete Arbeit Z2 W12 ¼
F dz:
ð1Þ
1
Unter mechanischer Arbeit Wm12 versteht man die Arbeit der Krfte, die ein geschlossenes System der Masse m von der Geschwindigkeit w1 auf w2 beschleunigen und es im Schwerefeld gegen die Fallbeschleunigung g von der Hhe z1 auf z2 anheben. Das heißt die kinetische Energie m w2 =2 und die potentielle Energie des Systems mgz werden verndert. Es gilt 2 w w2 Wm12 ¼ m 2 1 þ mgðz2 z1 Þ: ð2Þ 2 2 Gleichung (2) ist bekannt als der Energiesatz der Mechanik. Volumenarbeit ist die Arbeit, die man verrichten muss, um das Volumen eines Systems zu ndern. In einem System vom Volumen V, das den vernderlichen Druck p besitzt, verschiebt sich dabei ein Element dA der Oberflche um die Strecke dz. Die verrichtete Arbeit ist Z ð3Þ dWv ¼ p dA dz ¼ pdV; A
und es ist
1
Die stets positive Dissipationsarbeit erhht die Energie des Systems und bewirkt einen anderen Zustandsverlauf p(V) als im reversiblen Fall. Voraussetzung fr die Berechnung des Integrals in Gl. (5) ist, dass p eine eindeutige Funktion von V ist. Die Gl. (5) gilt also beispielsweise nicht mehr in einem Systembereich, durch den eine Schallwelle luft. Allgemein lsst sich Arbeit als Produkt aus einer generalisierten Kraft Fk und einer generalisierten Verschiebung dXk herleiten. Hinzuzufgen ist bei wirklichen Prozessen die dissipierte Arbeit X dW ¼ Fk dXk þ dWdiss : ð6Þ Man erkennt: In irreversiblen Prozessen, Wdiss > 0, ist mehr Arbeit aufzuwenden, oder es wird weniger Arbeit gewonnen als in reversiblen, Wdiss ¼ 0: In Tab. 1 sind verschiedene Formen der Arbeit aufgefhrt. Unter technischer Arbeit versteht man die von einer Maschine – Verdichter, Turbine, Strahltriebwerk u. a. – an einem Stoffstrom verrichtete Arbeit. Erfhrt eine Masse m lngs eines Wegs dz durch eine Maschine eine Druckerhhung dp, so ist die technische Arbeit dWt ¼ m u dp þ dWdiss : Werden außerdem kinetische und potentielle Energie des Stoffstroms gendert, so wird noch eine mechanische Arbeit verrichtet. Die lngs des Wegs 1–2 verrichtete technische Arbeit ist Z2 Wt12 ¼
Vdp þ ðWdiss Þ12 þ Wm12 ;
p dV:
ð7Þ
1
mit Wm12 nach Gl. (2). 3.2.2 Innere Energie. Internal energy Außer der kinetischen und potentiellen Energie besitzt jedes System noch in seinem Inneren gespeicherte Energie in Form von Translations-, Rotations- und Schwingungsenergie der Elementarteilchen. Man nennt diese die innere Energie U des Systems. Sie ist eine extensive Zustandsgrße. Die gesamte Energie E eines Systems der Masse m besteht aus innerer Energie, kinetischer Energie Ekin und potentieller Energie Epot E ¼ U þ Ekin þ Epot :
Z2 Wv 12 ¼
beliebig kleines „bergewicht“ gengt, um sie in der einen oder anderen Richtung ablaufen zu lassen, als reversibel. Gleichung (4) ist daher die Volumenarbeit bei reversibler Zustandsnderung. In wirklichen Prozessen bedarf es zur berwindung der Reibung im Inneren des Systems eines endlichen berdrucks der Umgebung. Solche Zustandsnderungen sind irreversibel. Die zugefhrte Arbeit ist um den dissipierten Anteil ðWdiss Þ12 grßer. Die Volumenarbeit bei irreversibler Zustandsnderung ist Z2 Wv 12 ¼ p dV þ ðWdiss Þ12 : ð5Þ
ð8Þ
ð4Þ
1
Das Minuszeichen kommt dadurch zustande, dass eine zugefhrte Arbeit vereinbarungsgemß positiv ist und zu einer Volumenverkleinerung fhrt. Gleichung (4) gilt nur, wenn der Druck p im Inneren des Systems in jedem Augenblick der Zustandsnderung eine eindeutige Funktion des Volumens und gleich dem von der Umgebung ausgebten Druck ist. Ein kleiner ber- oder Unterdruck der Umgebung bewirkt dann entweder eine Volumenabnahme oder -zunahme des Systems. Man bezeichnet solche Zustandsnderungen, bei denen ein
3.2.3 Wrme. Heat Die innere Energie eines Systems kann man ndern, indem man an ihm Arbeit verrichtet oder Materie zu- oder abfhrt. Man kann sie aber auch ndern, indem man das System mit seiner Umgebung, die eine andere Temperatur aufweist, in Kontakt bringt. Als Folge wird Energie ber die Systemgrenze transportiert, um dem thermischen Gleichgewicht zwischen System und Umgebung zuzustreben. Diese Energie nennt man Wrme.
I3.4 Anwendung auf offene Systeme
D5
Tabelle 1. Verschiedene Formen der Arbeit. Einheiten im Internationalen Einheitensystem sind in Klammern angegeben
D
Wrme lsst sich demnach allgemein als diejenige Energie definieren, die ein System mit seiner Umgebung austauscht und die nicht als Arbeit oder mit Materie die Systemgrenze berschreitet. Man schreibt hierfr Q12 , wenn das System durch Wrme vom Zustand 1 in den Zustand 2 berfhrt wird. Vereinbarungsgemß ist eine zugefhrte Wrme positiv, eine abgefhrte negativ .
3.3 Anwendung auf geschlossene Systeme Application to closed systems
W12 ¼ Wt12 þ Dmðp1 u1 p2 u2 Þ:
Die einem geschlossenen System whrend einer Zustandsnderung von 1 nach 2 zugefhrte Wrme Q12 und Arbeit W12 bewirken eine nderung der Energie E des Systems um E2 E1 ¼ Q12 þ W12 :
den Weg einer konstanten Masse Dm durch das System s, so wrde ein mitbewegter Beobachter die Masse Dm als geschlossenes System ansehen. Dies entspricht der Lagrangeschen Betrachtungsweise in der Strmungslehre. Entsprechend gilt hierfr der erste Hauptsatz, Gl. (9) fr geschlossene Systeme. Die an Dm verrichtete Arbeit setzt sich zusammen aus Dm p1 u1 , um Dm aus der Umgebung ber die Systemgrenze zu schieben, aus der technischen Arbeit Wt12 und der Arbeit – Dm p2 u2 , um Dm ber die Systemgrenze wieder in die Umgebung zu bringen. Es ist somit die am geschlossenen System verrichtete Arbeit
ð9Þ
W12 umfasst alle am System verrichteten Arbeiten. Wird keine mechanische Arbeit verrichtet, so wird nur die innere Energie gendert, nach Gl. (8) ist dann E ¼ U. Setzt man weiter voraus, dass am System nur Volumenarbeit verrichtet wird, so lautet Gl. (9)
Den Term Dmðp1 u1 p2 u2 Þ nennt man Verschiebearbeit. Um sie unterscheidet sich die technische Arbeit Wt12 von der Arbeit am geschlossenen System. Der erste Hauptsatz fr das geschlossene System, Gl. (9) lautet damit E2 E1 ¼ Q12 þ Wt12 þ Dmðp1 u1 p2 u2 Þ
Z2 U2 U1 ¼ Q12
p dV þ ðWdiss Þ12 :
ð11Þ
ð10Þ
1
3.4 Anwendung auf offene Systeme Application to open systems 3.4.1 Stationre Prozesse. Steady state processes
Bild 1. Arbeit am offenen System
In der Technik wird meistens von einem stetig durch eine Maschine fließenden Stoffstrom Arbeit verrichtet. Ist die zeitlich verrichtete Arbeit konstant, so bezeichnet man den Prozess als stationren Fließprozess. Ein typisches Beispiel zeigt Bild 1: Ein Stoffstrom eines Fluids (Gas oder Flssigkeit) vom Druck p1 und der Temperatur T1 strme mit der Geschwindigkeit w1 in das System s ein. In einer Maschine wird Arbeit verrichtet, die als technische Arbeit Wt12 an der Welle zugefhrt wird. Das Fluid durchstrmt einen Wrmebertrager, in dem mit der Umgebung eine Wrme Q12 ausgetauscht wird, und verlsst dann das System s bei einem Druck p2 , der Temperatur T2 und der Geschwindigkeit w2 . Verfolgt man
Bild 2. Adiabate Drosselung
ð12Þ
D6
Thermodynamik – 4 Zweiter Hauptsatz
mit E nach Gl. (8). Man definiert die Zustandsgrße Enthalpie H durch H ¼ U þ pV bzw: h ¼ u þ pu ð13Þ
D
und kann damit Gl. (12) schreiben w2 0 ¼ Q12 þ Wt12 þ D m h1 þ 1 þ gz1 2 ð14Þ w2 D m h2 þ 2 þ gz2 : 2 In dieser Form verwendet man den ersten Hauptsatz fr stationre Fließprozesse offener Systeme. Man erkennt aus Gl. (14), dass die Summe der ber die Systemgrenze s (Bild 1) transportierten Energien gleich null ist, da es sich um einen stationren Prozess handelt. Diese Energien sind die Wrme Q12 , die technische Arbeit W12 sowie die mit dem w2 Massenelement Dm zugefhrte Energie Dm h1 þ 21 þ gz1 w2 und die mit ihm abgefhrte Energie Dm h2 þ 22 þ gz2 : In differenzieller Form kann man Gl. (14) wie folgt schreiben w2 0 ¼ dQ þ dWt þ dm h1 þ 1 þ gz1 2 w2 dm h2 þ 2 þ gz2 : 2 Betrachtet man einen kontinuierlich ablaufenden Prozess, so whlt man anstatt Gl. (14) besser folgende Form der Bilanzgleichung w2 w2 0 ¼ Q_ þ P þ m_ h1 þ 1 þ gz1 m_ h2 þ 2 þ gz2 , 2 2 wobei Q_ ¼ dQ=dt der Wrmestrom, P ¼ dWt =dt die technische Leistung und m_ der Massenstrom sind. Hufig sind nderungen von kinetischer und potentieller Energie vernachlssigbar. Dann vereinfacht sich Gl. (14) zu ð15Þ 0 ¼ Q12 þ Wt12 þ H1 H2 : Sonderflle hiervon sind: a) Adiabate Zustandsnderungen, wie sie in Verdichtern, Turbinen und Triebwerken nherungsweise auftreten 0 ¼ Wt12 þ H1 H2 :
ð16Þ
b) Die Drosselung einer Strmung in einer adiabaten Rohrleitung durch eingebaute Hindernisse, Bild 2. Diese bewirken eine Druckabsenkung. Es ist H1 ¼ H2
ð17Þ
4 Zweiter Hauptsatz. Second law 4.1 Das Prinzip der Irreversibilitt The principle of irreversibility Bringt man zwei Systeme A und B miteinander in Kontakt, so laufen Austauschvorgnge ab, und es stellt sich nach hinreichend langer Zeit ein neuer Gleichgewichtszustand ein. Als Beispiel sei ein System A mit einem System B verschiedener Temperatur in Kontakt gebracht. Im Endzustand besitzen die Systeme gleiche Temperatur. Es hat sich thermisches Gleichgewicht eingestellt. Bis zum Erreichen des Gleichgewichts werden in kontinuierlicher Folge Nichtgleichgewichtszustnde durchlaufen. Unsere Erfahrung lehrt uns, dass dieser Prozess nicht von selbst, d. h. ohne Austausch mit der Umgebung, in umgekehr-
vor und nach der Drosselstelle. Bei der Drosselung bleibt die Enthalpie konstant. Man beachte, dass die nderung der kinetischen und der potentiellen Energie vernachlssigt wurde.
3.4.2 Instationre Prozesse. Unsteady state processes Ist im System nach Bild 1 die whrend einer bestimmten Zeit zugefhrte Materie Dm1 von der whrend der gleichen Zeit abgefhrten Materie Dm2 verschieden, so wird Materie im Inneren des Systems gespeichert, was zu einer zeitlichen nderung von dessen innerer Energie und u. U. auch der kinetischen und potentiellen Energie fhrt. Die Energie des Systems ndert sich whrend einer Zustandsnderung 1–2 um E2 E1 , sodass an Stelle von Gl. (14) folgende Form des ersten Hauptsatzes tritt w2 E2 E1 ¼ Q12 þ Wt12 þ Dm1 h1 þ 1 þ gz1 2 ð18Þ w2 Dm2 h2 þ 2 þ gz2 : 2 Sind die Fluidzustnde 1 beim Einstrmen und 2 beim Ausstrmen zeitlich vernderlich, so geht man zweckmßigerweise zur differentiellen Schreibweise ber: w2 dE ¼ dQ þ dWt þ dm1 h1 þ 1 þ gz1 2 ð19Þ w22 dm2 h2 þ þ gz2 : 2 Um das Fllen oder Entleeren von Behltern zu untersuchen, kann man meistens die nderungen von kinetischer und potentieller Energie vernachlssigen, außerdem wird oft keine technische Arbeit verrichtet, sodass sich Gl. (19) verkrzt zu dU ¼ dQ þ h1 dm1 h2 dm2
ð20Þ
mit der (zeitlich vernderlichen) inneren Energie U=um des im Behlter eingeschlossenen Stoffs. Vereinbarungsgemß ist hierin dm1 die dem System zugefhrte, dm2 die abgefhrte Stoffmenge; wird nur Materie zugefhrt, so ist dm2 ¼ 0, wird nur Materie abgefhrt, so ist dm1 ¼ 0. Untersucht man einen kontinuierlich ablaufenden Prozess, so whlt man anstatt Gl. (18) besser folgende Form der Bilanzgleichung w2 dE=dt ¼ Q_ þ P þ m_ 1 h1 þ 1 þ gz1 2 ð21Þ w2 m_ 2 h2 þ 2 þ gz2 : 2
ter Richtung abluft. Solche Prozesse nennt man irreversibel oder nicht umkehrbar. Austauschprozesse, bei denen Nichtgleichgewichtszustnde durchlaufen werden, sind grundstzlich irreversibel. Ein Prozess aus einer kontinuierlichen Folge von Gleichgewichtszustnden ist hingegen reversibel oder umkehrbar. Beispielhaft sei die reibungsfreie adiabate Kompression eines Gases genannt. Dem System Gas kann man Volumenarbeit zufhren, indem man eine Kraft, z.B. durch einen berdruck der Umgebung, auf die Systemgrenze ausbt. Wird diese Kraft sehr langsam erhht, so wird das Volumen des Gases ab- und seine Temperatur zunehmen, wobei sich das Gas zu jeder Zeit in einem Gleichgewichtszustand befindet. Reduziert man die Kraft langsam wieder auf null, so gelangt das Gas wieder in seinen Ausgangszustand. Dieser Vorgang ist also reversibel oder umkehrbar.
I4.3 Spezielle Formulierungen Reversible Prozesse sind idealisierte Grenzflle der wirklichen Prozesse und kommen in der Natur nicht vor. Alle natrlichen Prozesse sind irreversibel, weil es einer endlichen „Kraft“ bedarf, um einen Prozess auszulsen, beispielsweise einer endlichen Kraft, um einen Krper bei Reibung zu verschieben oder einer endlichen Temperaturdifferenz, um ihm Wrme zuzufhren. Sie laufen, bedingt durch die endliche Kraft, in einer bestimmten Richtung ab. Diese Erfahrungstatsache fhrt zu folgenden Formulierungen des zweiten Hauptsatzes: – Alle natrlichen Prozesse sind irreversibel. – Alle Prozesse mit Reibung sind irreversibel. – Wrme kann nie von selbst von einem Krper niederer auf einen Krper hherer Temperatur bergehen. „Von selbst“ bedeutet hierbei, dass man den genannten Vorgang nicht ausfhren kann, ohne dass nderungen in der Natur zurckbleiben. Neben den oben genannten gibt es noch viele fr andere spezielle Prozesse gltige Formulierungen.
4.2 Allgemeine Formulierung. General formulation Die mathematische Formulierung des zweiten Hauptsatzes gelingt mit dem Begriff der Entropie als weiterer Zustandsgrße eines Systems. Dass es zweckmßig ist, eine solche Zustandsgrße einzufhren, kann man sich am Beispiel der Wrmebertragung zwischen einem System und seiner Umgebung verstndlich machen. Nach dem ersten Hauptsatz kann ein System mit seiner Umgebung Arbeit und Wrme austauschen. Die Zufuhr von Arbeit bewirkt eine nderung der inneren Energie dadurch, dass beispielsweise das Volumen des Systems auf Kosten des Volumens der Umgebung gendert wird. Somit ist U ¼ U ðV, . . .Þ. Das Volumen ist eine Austauschvariable: Es ist eine extensive Zustandsgrße, die zwischen System und Umgebung „ausgetauscht“ wird. Auch die Wrmezufuhr zwischen einem System und seiner Umgebung kann man sich so vorstellen, dass eine extensive Zustandsgrße zwischen System und Umgebung ausgetauscht wird. Damit wird lediglich die Existenz einer solchen Zustandsgrße postuliert, deren Einfhrung allein dadurch gerechtfertigt ist, dass alle Aussagen, die man mit dieser Grße gewinnt, mit der Erfahrung in Einklang stehen. Man nennt die neue extensive Zustandsgrße Entropie und bezeichnet sie mit S. Somit ist U ¼ U ðV, S; . . .Þ. Wenn nur Volumenarbeit verrichtet und Wrme zugefhrt wird, ist U ¼ U ðV; SÞ: Durch Differenziation folgt hieraus die Gibbssche Fundamentalgleichung dU ¼ TdS p dV ð1Þ mit der thermodynamischen Temperatur ð2Þ T ¼ ð¶U=¶SÞ V und dem Druck p ¼ ð¶U=¶VÞ S : ð3Þ Eine der Gl. (1) quivalente Beziehung ergibt sich, wenn man U eliminiert und durch die Enthalpie H ¼ U þ pV ersetzt dH ¼ TdS þ Vdp: ð4Þ Man kann zeigen, dass die thermodynamische Temperatur identisch ist mit der mit dem Gasthermometer (s. D 2.3) gemessenen Temperatur. Das Studium der Eigenschaften der Entropie ergibt, dass in einem abgeschlossenen System, das sich zunchst im inneren Ungleichgewicht befindet (beispielsweise durch eine inhomogene Temperaturverteilung) und dann dem Gleichgewichtszustand zustrebt, die Entropie stets zunimmt. Im Grenzfall des Gleichgewichts wird ein Maximum der Entropie erreicht. Die Entropiezunahme im Innern bezeichnen wir als dSi . Fr den betrachteten Fall des abgeschlossenen Systems gilt dann dS ¼ dSi ; mit dSi > 0.
D7
In einem nicht abgeschlossenen System ndert sich die Systementropie auch durch Wrmeaustausch mit der Umgebung um dSQ und mit Materieaustausch mit der Umgebung um dSm . Die Systementropie ndert sich jedoch nicht mit dem Austausch von Arbeit mit der Umgebung. Es gilt also allgemein dS ¼ dSQ þ dSm þ dSi :
ð5Þ
Betrachtet man die zeitliche nderung der Systementropie S_ ¼ dS=dt S_ ¼ S_ Q þ S_ m þ S_ i ; wobei S_ i die zeitliche Entropieerzeugung durch irreversible Vorgnge im Innern ist. S_ Q þ S_ m bezeichnet man als Entropiestrmung. Man fasst diese ber die Systemgrenze ausgetauschten Grßen auch zusammen zu S_ a ¼ S_ Q þ S_ m :
ð7Þ
Die zeitliche nderung der Systemtropie S setzt sich also aus Entropiestrmung S_ a und Entropieerzeugung S_ i zusammen, S_ ¼ S_ a þ S_ i :
ð8Þ
Fr die Entropieerzeugung gilt: S_ i ¼ 0 f r reversible Prozesse; S_ i > 0 f r irreversible Prozesse; S_ i < 0 nicht mglich:
ð9Þ
4.3 Spezielle Formulierungen. Special formulations 4.3.1 Adiabate, geschlossene Systeme Adiabatic, closed systems Fr adiabate Systeme ist S_ Q ¼ 0, fr geschlossene Systeme ist S_ m ¼ 0, und daher folgt S_ ¼ S_ i . Es gilt also: In adiabaten, geschlossenen Systemen kann die Entropie niemals abnehmen, sie kann nur zunehmen bei irreversiblen oder konstant bleiben bei reversiblen Prozessen. Setzt sich ein adiabates, geschlossenes System aus a Untersystemen zusammen, so gilt fr die Summe der Entropienderungen DSðaÞ der Untersysteme X DSðaÞ 0: ð10Þ a
In einem adiabaten, geschlossenen System ist nach Gl. (1) mit dS ¼ dSi dU ¼ TdSi p dV: Andererseits folgt aus dem ersten Hauptsatz nach D 3 Gl. (10) dU ¼ dWdiss p dV und daher dWdiss ¼ TdSi ¼ dY
ð11Þ
oder ðWdiss Þ12 ¼ TðSi Þ12 ¼ Y12 : Man nennt Y12 die whrend einer Zustandsnderung 1–2 dissipierte Energie. Es gilt: Die dissipierte Energie ist stets positiv. Diese Aussage gilt nicht nur fr adiabate Systeme, sondern ganz allgemein, da die Entropieerzeugung definitionsgemß der Anteil der Entropienderung ist, der auftritt, wenn das System adiabat und geschlossen ist, also S_ a ¼ 0 gilt. 4.3.2 Systeme mit Wrmezufuhr Systems with heat addition Fr geschlossene Systeme mit Wrmezufuhr kann man Gl. (1) schreiben
D
D8
Thermodynamik – 5 Exergie und Anergie
dU ¼ T dSQ þ T dSi p dV ¼ T dSQ þ dWdiss p dV: ð12Þ Ein Vergleich mit dem ersten Hauptsatz, D 3 Gl. (10), ergibt dQ ¼ T dSQ :
D
ð13Þ
Wrme ist demnach Energie, die mit Entropie ber die Systemgrenze strmt, whrend Arbeit ohne Entropieaustausch bertragen wird. Addiert man in Gl. (13) auf der rechten Seite den stets positiven Term Td Si , so folgt die Clausiussche Ungleichung
1
dQ : T
ð14Þ
In irreversiblen Prozessen ist die Entropienderung grßer als das Integral ber alle dQ=T, nur bei reversiblen gilt das Gleichheitszeichen. Fr offene Systeme mit Wrmezufuhr hat man in Gl. (12) dSQ durch dSa ¼ dSQ þ dSm zu ersetzen.
zweiten Hauptsatz, D4 Gl. (13),
5 Exergie und Anergie Exergy and anergy
Q12 ¼ Tu ðS2 S1 Þ:
Nach dem ersten Hauptsatz bleibt die Energie in einem abgeschlossenen System konstant. Da man jedes nicht abgeschlossene System durch Hinzunahme der Umgebung in ein abgeschlossenes verwandeln kann, ist es stets mglich, ein System zu bilden, in dem whrend eines thermodynamischen Prozesses die Energie konstant bleibt. Ein Energieverlust ist daher nicht mglich. In einem thermodynamischen Prozeß wird lediglich Energie umgewandelt. Wie viel von der in einem System gespeicherten Energie umgewandelt wird, hngt vom Zustand der Umgebung ab. Befindet sich diese im Gleichgewicht mit dem System, so wird keine Energie umgewandelt, je strker die Abweichung vom Gleichgewicht ist, desto mehr Energie des Systems kann umgewandelt werden. Viele thermodynamische Prozesse laufen in der irdischen Atmosphre ab, die somit die Umgebung der meisten thermodynamischen Systeme darstellt. Die irdische Atmosphre kann man im Vergleich zu den sehr viel kleineren thermodynamischen Systemen als ein unendlich großes System ansehen, dessen intensive Zustandsgrßen Druck, Temperatur und Zusammensetzung sich whrend eines Prozesses nicht ndern, wenn man die tglich und jahreszeitlich bedingten Schwankungen der intensiven Zustandsgrßen außer Acht lsst. In vielen technischen Prozessen wird Arbeit gewonnen, indem man ein System von gegebenem Anfangszustand mit der Umgebung ins Gleichgewicht bringt. Das Maximum an Arbeit wird dann gewonnen, wenn alle Zustandsnderungen reversibel sind. Man bezeichnet die bei Einstellung des Gleichgewichts mit der Umgebung maximal gewinnbare Arbeit als Exergie Wex .
5.1 Exergie eines geschlossenen Systems Exergy of a closed system Um die Exergie eines geschlossenen Systems, das sich im Zustand 1 befindet, zu berechnen, betrachtet man einen Prozess, bei dem das System reversibel mit seiner Umgebung ins thermische und mechanische Gleichgewicht gebracht wird. Gleichgewicht liegt vor, wenn die Temperatur des Systems im Endzustand 2 gleich der Temperatur in der Umgebung, T2 ¼ Tu , und der Druck des Systems im Zustand 2 gleich dem Druck der Umgebung, p2 ¼ pu , sind. Unter Vernachlssigung der kinetischen und potentiellen Energie des Systems gilt nach dem ersten Hauptsatz, D3 Gl. (9), U2 U1 ¼ Q12 þ W12 :
Z2 dQ TdS oder DS
ð1Þ
Damit der Prozess reversibel verluft, muss das System zunchst reversibel adiabat auf Umgebungstemperatur gebracht und dann Wrme reversibel bei der konstanten Temperatur Tu bertragen werden. Fr den Wrmetransport folgt aus dem
ð2Þ
Die Arbeit W12 , die am System verrichtet wird, setzt sich zusammen aus der maximalen Arbeit, die man nutzbar machen kann und der Volumenarbeit pu ðV2 V1 Þ, die zur berwindung des Druckes der Umgebung aufgewendet werden muss. Die maximal nutzbare Arbeit ist die Exergie Wex . Es folgt W12 ¼ Wex pu ðV2 V1 Þ:
ð3Þ
Setzt man Gln. (3) und (2) in Gl. (1) ein, so ergibt sich U2 U1 ¼ Tu ðS2 S1 Þ þ Wex pu ðV2 V1 Þ:
ð4Þ
Im Zustand 2 ist das System im Gleichgewicht mit der Umgebung, gekennzeichnet durch den Index u. Die Exergie des geschlossenen Systems ist somit Wex ¼ U1 Uu Tu ðS1 Su Þ þ pu ðV1 Vu Þ:
ð5Þ
Hat das System starre Wnde, so ist V1 ¼ Vu und der letzte Term entfllt. Ist das System bereits im Ausgangszustand im Gleichgewicht mit der Umgebung, Zustand 1=Zustand u, so kann nach Gl. (5) keine Arbeit gewonnen werden. Es gilt also: Die innere Energie der Umgebung kann nicht in Exergie umgewandelt werden. Die gewaltigen in der uns umgebenden Atmosphre gespeicherten Energien knnen somit nicht zum Antrieb von Fahrzeugen gentzt werden.
5.2 Exergie eines offenen Systems Exergy of an open system Die maximale technische Arbeit oder die Exergie eines Stoffstroms erhlt man dadurch, daß der Stoffstrom auf reversiblem Weg durch Verrichten von Arbeit und durch Wrmezu- oder -abfuhr mit der Umgebung ins Gleichgewicht gebracht wird. Aus dem ersten Hauptsatz fr stationre Prozesse offener Systeme, unter Vernachlssigung der nderung von kinetischer und potentieller Energie, D 3 Gl. (15), folgt dann Wex ¼ H1 Hu Tu ðS1 Su Þ:
ð6Þ
Von der Enthalpie H1 wird somit nur der um Hu þ Tu ðS1 Su Þ verminderte Anteil in technische Arbeit umgewandelt. Wird einem Stoffstrom Wrme aus der Umgebung zugefhrt, so ist Tu ðS1 Su Þ negativ und die Exergie um den Anteil dieser zugefhrten Wrme grßer als die nderung der Enthalpie.
5.3 Exergie einer Wrme. Exergy and heat Einer Maschine soll Wrme Q12 aus einem Energiespeicher der Temperatur T zugefhrt und in Arbeit W12 verwandelt werden, Bild 1. Die nicht in Arbeit umwandelbare Wrme
I6.1 Thermische Zustandsgrßen von Gasen und Dmpfen
D9
Jede Energie setzt sich aus Exergie Wex und Anergie B zusammen, d. h. E ¼ Wex þ B: ð9Þ Somit gilt fr – ein geschlossenes System nach Gl. (5) mit E ¼ U1 B ¼ Uu þ Tu ðS1 Su Þ pu ðV1 Vu Þ;
ð10Þ
– ein offenes System nach Gl. (6) mit E ¼ H1 B ¼ Hu þ Tu ðS1 Su Þ;
ð11Þ
– eine Wrme nach Gl. (8) mit dE ¼ dQ Z2 B¼
Bild 1. Zur Umwandlung von Wrme in Arbeit
1
ðQu Þ12 wird an die Umgebung abgefhrt. Das Maximum an Arbeit gewinnt man, wenn alle Zustandsnderungen reversibel ablaufen. Dieses Maximum an Arbeit ist gleich der Exergie der Wrme. Alle Zustandsnderungen sind reversibel, wenn Z2 1
dQ þ T
Z2 1
dQu ¼0 Tu
mit dQ þ dQu þ dWex ¼ 0 nach dem ersten Hauptsatz. Daraus ergibt sich die Exergie der den Maschinen und Apparaten zugefhrten Wrmen Wex ¼
Z2 Tu 1 dQ T
ð7Þ
1
oder in differenzieller Schreibweise Tu dQ: dWex ¼ 1 T
ð8Þ
In einem reversiblen Prozess ist nur der mit dem sog. CarnotFaktor 1 ðTu =TÞ multiplizierte Anteil der zugefhrten Wrme dQ in Arbeit umwandelbar. Der Anteil dQu ¼ Tu ðdQ=TÞ wird wieder an die Umgebung abgegeben und kann nicht als Arbeit gewonnen werden. Man erkennt außerdem: Wrme, die bei Umgebungstemperatur zur Verfgung steht, kann nicht in Exergie umgewandelt werden.
5.4 Anergie. Anergy Als Anergie B bezeichnet man diejenige Energie, die sich nicht in Exergie Wex umwandeln lsst.
6 Stoffthermodynamik Thermodynamics of substances Um mit den allgemeinen fr beliebige Stoffe gltigen Hauptstzen der Thermodynamik umgehen und um Exergien und Anergien berechnen zu knnen, muss man Zahlenwerte fr die Zustandsgrßen U, H, S, p, V, T ermitteln. Hiervon bezeichnet man die Grßen U, H, S als kalorische und p, V, T als thermische Zustandsgrßen. Die Zusammenhnge zwischen ihnen sind stoffspezifisch. Gleichungen, die Zusammenhnge zwischen Zustandsgrßen angeben, bezeichnet man als Zustandsgleichungen.
Tu dQ: T
ð12Þ
5.5 Exergieverluste. Exergy losses Die in einem Prozess dissipierte Energie ist nicht vollstndig verloren. Sie erhht die Entropie und damit wegen U(S, V) auch die innere Energie eines Systems. Die dissipierte Energie kann man sich auch in einem reversiblen Ersatzprozess als Wrme vorstellen, die von außen zugefhrt wird (dY ¼ dQ) und die gleiche Entropieerhhung bewirkt wie in dem irreversiblen Prozess. Da man die zugefhrte Wrme d Q, Gl. (8), zum Teil in Arbeit umwandeln kann, ist auch der Anteil Tu dWex ¼ 1 dY ð13Þ T der dissipierten Energie dY als Arbeit (Exergie) gewinnbar. Der restliche Anteil Tu dY=T der zugefhrten Dissipationsenergie muss als Wrme an die Umgebung abgefhrt werden und ist nicht in Arbeit umwandelbar. Man bezeichnet ihn als Exergieverlust: Dieser ist gleich der Anergie der Dissipationsenergie und nach Gl. (12) gegeben durch Z2 Z2 Tu dY ¼ Tu dSi : ð14Þ ðWVerlust Þ12 ¼ T 1
1
Fr einen geschlossenen, adiabaten Prozess ist wegen dSi ¼ dS Z2 ð15Þ ðWVerlust Þ12 ¼ Tu dS ¼ Tu ðS2 S1 Þ: 1
Fr die Exergie gilt im Gegensatz zur Energie kein Erhaltungssatz. Die einem System zugefhrten Exergien sind gleich den abgefhrten und den Exergieverlusten. Verluste durch Nichtumkehrbarkeiten wirken sich thermodynamisch um so ungnstiger aus je tiefer die Temperatur T ist, bei der ein Prozess abluft, vgl. Gl. (14).
6.1 Thermische Zustandsgrßen von Gasen und Dmpfen Thermal properties of gases and vapours Eine thermische Zustandsgleichung reiner Stoffe ist von der Form Fðp; u; TÞ ¼ 0
ð1Þ
oder p ¼ pðu; TÞ; u ¼ uðp; TÞ und T ¼ Tðp; uÞ. Fr technische Berechnungen bevorzugt man Zustandsgleichungen der Form u ¼ uðp; TÞ, da Druck und Temperatur meistens als unabhngige Variablen vorgegeben sind.
D
D 10
Thermodynamik – 6 Stoffthermodynamik
6.1.1 Ideale Gase. Ideal gases Von besonders einfacher Art ist die thermische Zustandsgleichung idealer Gase pV ¼ mRT oder pu ¼ RT;
D
ð2Þ
mit: p absoluter Druck, V Volumen, u spezifisches Volumen, R individuelle Gaskonstante, T thermodynamische Temperatur. Gase verhalten sich nur dann nherungsweise ideal, wenn ihr Druck hinreichend klein ist, p ! 0. 6.1.2 Gaskonstante und das Gesetz von Avogadro Gas constant and the law of Avogadro Als Einheit der Stoffmenge definiert man das Mol mit dem Einheitensymbol mol. Die Zahl der Teilchen (Molekle, Atome, Elementarteilchen) eines Stoffs nennt man dann 1 Mol, wenn dieser Stoff aus ebenso vielen unter sich gleichen Teilchen besteht wie in genau 12 g reinen atomaren Kohlenstoffs des Nuklids 12 C enthalten sind. Man bezeichnet die in einem Mol enthaltene Anzahl von unter sich gleichen Teilchen als Avogadro-Konstante (in der deutschsprachigen Literatur oftmals als Loschmidt-Zahl). Sie ist eine universelle Naturkonstante und hat den Zahlenwert NA ¼ ð6; 02214199 4; 7 107 Þ 1026 =kmol: Die Masse eines Mols, also von NA unter sich gleichen Teilchen, ist eine stoffspezifische Grße und wird Molmasse genannt (Werte s. Anh. D 6 Tab. 1): M ¼ m=n
ð3Þ
(SI-Einheit kg/kmol, m Masse in kg, n Molmenge in kmol). Nach Avogadro (1831) gilt: Ideale Gase enthalten bei gleichem Druck und gleicher Temperatur in gleichen Rumen gleich viel Molekle. Daraus folgt nach Einfhren der Molmasse in die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases, Gl. (2), dass pV=nT ¼ MR eine fr alle Gase feste Grße ist MR ¼ R:
Bild 1. Realgasfaktor von Wasserdampf
–15 bis 200 C erreichen die Abweichungen in Z bei Drcken von 20 bar etwa 1% vom Wert eins. Bei atmosphrischen Drcken sind bei fast allen Gasen die Abweichungen vom Gesetz des idealen Gases zu vernachlssigen. Zur Beschreibung des Zustandsverhaltens realer Gase haben sich verschiedene Arten von Zustandsgleichungen bewhrt. Eine davon besteht darin, dass man den Realgasfaktor Z in Form einer Reihe darstellt und additiv an den Wert 1 fr das ideale Gas Korrekturglieder anfgt Z¼
ð4Þ
BðTÞ CðTÞ þ 2 u u g aa c g þ 5 þ 3 2 1 þ 2 exp 2 ; u RT u RT u u
Z ¼1þ
ð5Þ
Beispiel: In einer Stahlflasche von V1 ¼ 200 l Inhalt befindet sich Wasserstoff von p1 ¼ 120 bar und t1 ¼ 10 C. Welchen Raum nimmt der Wasserstoff bei p2 ¼ 1 bar und t2 =0 C ein, wenn man die geringen Abweichungen des Wasserstoffs vom Verhalten des idealen Gases vernachlssigt? Nach Gl. (5) ist p1 V1 ¼ n RT1 ; p2 V2 ¼ n RT2 und somit V2 ¼
ð7Þ
mit
Die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases lautet mit ihr pV ¼ n RT:
ð6Þ
Man nennt B den zweiten, C den dritten und D den vierten Virialkoeffizienten. Eine Zusammenstellung von zweiten Virialkoeffizienten vieler Gase findet man in Tabellenwerken [2, 3]. Die Virialgleichung mit zwei oder drei Virialkoeffizienten ist nur im Bereich mßiger Drcke gltig. Zur Beschreibung des Zustandsverhaltens dichter Gase stellt die Zustandsgleichung von Benedict-Webb-Rubin [4] einen ausgewogenen Kompromiss zwischen rechnerischem Aufwand und erzielbarer Genauigkeit dar. Sie lautet
Man nennt R die universelle Gaskonstante. Sie ist eine Naturkonstante. Es ist R ¼ 8; 314472 1; 5 105 kJ=kmolK:
pu BðTÞ CðTÞ DðTÞ ¼ 1þ þ 2 þ 3 : RT u u u
p1 T2 120 bar 273; 15 K V1 ¼ 0; 2 m3 ¼ 23; 15 m3 : p2 T1 1 bar 283; 15 K
6.1.3 Reale Gase. Real gases Die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases gilt fr wirkliche Gase und Dmpfe nur als Grenzgesetz bei unendlich kleinen Drcken. Die Abweichung des Verhaltens des gasfrmigen Wassers von der Zustandsgleichung der idealen Gase zeigt Bild 1, in dem pu/RT ber t fr verschiedene Drcke dargestellt ist. Der Realgasfaktor Z=pu/RT ist fr ideale Gase gleich eins, weicht aber fr reale Gase hiervon ab. Bei Luft zwischen 0 und 200 C und fr Wasserstoff von
BðTÞ ¼ B0
A0 C0 a und CðTÞ ¼ b : RT RT 3 RT
Die Gleichung enthlt die acht Konstanten A0 ; B0 ; C0 ; a; b; c, a, g, die fr viele Stoffe vertafelt sind [4]. Hochgenaue Zustandsgleichungen bentigt man fr die in Wrmekraft- und Klteanlagen verwendeten Arbeitsstoffe Wasser [5], Luft [6] und die Kltemittel [7]. Die Gleichungen fr diese Stoffe sind aufwendiger, enthalten mehr Konstanten und sind nur mit einer elektronischen Rechenanlage auszuwerten. 6.1.4 Dmpfe. Vapours Dmpfe sind Gase in der Nhe ihrer Verflssigung. Man nennt einen Dampf gesttigt, wenn schon eine beliebig kleine Temperatursenkung ihn verflssigt, er heißt berhitzt, wenn es dazu einer endlichen Temperatursenkung bedarf. Fhrt man einer Flssigkeit bei konstantem Druck Wrme zu, so beginnt sich von einer bestimmten Temperatur an Dampf von gleicher Temperatur zu bilden. Dampf und Flssigkeit befinden sich im Gleichgewicht. Man nennt diesen Zustand Sttigungszustand; er ist durch zueinander gehrende Werte von Sttigungstemperatur und Sttigungsdruck gekennzeichnet, deren Abhngigkeit voneinander durch die Dampfdruckkurve
I6.1 Thermische Zustandsgrßen von Gasen und Dmpfen dargestellt wird, Bild 2. Sie beginnt am Tripelpunkt und endet am kritischen Punkt K eines Stoffs. Darunter versteht man den Zustandspunkt pk ; Tk oberhalb dessen Dampf und Flssigkeit nicht mehr durch eine deutlich wahrnehmbare Grenze getrennt sind, sondern kontinuierlich ineinander bergehen (s. Anh. D 6 Tab. 1). Der kritische Punkt ist ebenso wie der Tripelpunkt, an dem Dampf, Flssigkeit und feste Phase eines Stoffs miteinander im Gleichgewicht stehen, ein fr jeden Stoff charakteristischer Punkt. Den Dampfdruck vieler Stoffe kann man vom Tripelpunkt bis zum Siedepunkt bei Atmosphrendruck durch die Antoine-Gleichung darstellen ln p ¼ A B=ðC þ TÞ;
ð8Þ
in der die Grßen A, B, C stoffabhngige Konstanten sind (s. Anh. D 6 Tab. 2 ). Verdichtet man berhitzten Dampf bei konstanter Temperatur durch Verkleinern des Volumens, so nimmt der Druck hnlich wie bei einem idealen Gas nahezu nach einer Hyperbel zu, s. z. B. die Isotherme 300 C in Bild 3. Die Kondensation beginnt, sobald der Sttigungsdruck erreicht ist, und das Volumen verkleinert sich ohne Steigen des Drucks so lange, bis aller Dampf verflssigt ist. Bei weiterer Volumenverkleinerung steigt der Druck stark an. Die Kurvenschar von Bild 3 ist als graphische Darstellung einer Zustandsgleichung fr viele Stoffe charakteristisch. Verbindet man die spezifischen Volu-
Bild 2. Dampfdruckkurven einiger Stoffe
Bild 3. p, u-Diagramm des Wassers
D 11
mina der Flssigkeit bei Sttigungstemperaturen vor der Verdampfung und des gesttigten Dampfes, u0 und u00 , so erhlt man zwei Kurven a und b , die linke und die rechte Grenzkurve genannt, die sich im kritischen Punkt K treffen. Ist x der Dampfgehalt, definiert als Masse des gesttigten Dampfes m00 bezogen auf die Gesamtmasse von gesttigtem Dampf m00 und siedender Flssigkeit m0 ; u0 das spezifische Volumen von siedender Flssigkeit und u00 das von Sattdampf, so gilt fr Nassdampf u ¼ x u00 þ ð1 xÞ u0 :
ð9Þ
Linien x=const zeigt Bild 3. Beispiel: In einem Kessel von 2 m3 =kg Inhalt befinden sich 1 000 kg Wasser und Dampf von 121 bar im Sttigungszustand. Welches spez. Volumen hat der Dampf? Aus der Dampftafel (Anh. D 6 Tab. 5) findet man durch Interpolieren bei 121 bar das spez. Volumen des Dampfes v00 ¼ 0; 01410 m3 =kg, das der Flssigkeit u0 = 0,001530 m3 . Das mittlere spez. Volumen u= V/m ist u=2 m3 /1 000 kg =0,002 m3 =kg: Mit Gl. (9) folgt x ¼ ðu u0 Þ=ðu00 u0 Þ ¼ ð0; 002 0; 001530Þ=ð0; 01410 0; 001530Þ ¼ 0; 03739 ¼ m00 =m, also m00 ¼ 1 000 0; 03739 kg ¼ 37,39 kg, m0 ¼ 1 000 – 37,39 kg ¼ 962,61 kg.
Man kann die Zustandsgleichung auch als eine Flche im Raum mit den Koordinaten p, u, t darstellen, Bild 4. Die Projektion der Grenzkurve in die p, T-Ebene ergibt die Dampf-
D
D 12
Thermodynamik – 6 Stoffthermodynamik u2 u1 ¼ ½cv tt21 ðt2 t1 Þ ¼ ½cv t02 t2 ½cv t01 t1
ð14Þ
und h2 h1 ¼ ½cp tt21 ðt2 t1 Þ ¼ ½cp t02 t2 ½cp t01 t1 : ½cv t0
ð15Þ
½cp t0
und ermittelt man aus den im Zahlenwerte von Anh. D 6 Tab. 4 angegebenen mittleren Molwrmen. Die spezifische Entropie ergibt sich aus D 4 Gl. (1) unter Beachtung von Gl. (10) und Gl. (2)
D
ds ¼
du þ p du dT du ¼ cv þ R T T u
durch Integration mit cv =const zu s2 s1 ¼ cv ln
T2 u2 þ R ln : T1 u1
ð16Þ
Einen quivalenten Ausdruck erhlt man durch Integration von D 4 Gl. (4) mit cp =const s2 s1 ¼ cp ln
Bild 4. Zustandsflche des Wassers in perspektivischer Darstellung
druckkurve, die Projektion der Flche in die p, u-Ebene liefert die Darstellung nach Bild 3.
6.2 Kalorische Zustandsgrßen von Gasen und Dmpfen Caloric properties of gases and vapours 6.2.1 Ideale Gase. Ideal gases
ð10Þ
du=dT ¼ cv die spez. Wrmekapazitt bei konstantem Volumen und dh=dT ¼ cp
ð11Þ
die spez. Wrmekapazitt bei konstantem Druck. Die Ableitung von h u ¼ RT ergibt cp cv ¼ R:
ð12Þ
Die Differenz der molaren Wrmekapazitten oder Molwr p ¼ Mcp ; C v ¼ Mcv ist gleich der universellen Gaskonmen C stanten p C v ¼ R: C Das Verhltnis k ¼ cp =cv spielt bei reversiblen adiabaten Zustandsnderungen eine wichtige Rolle und wird daher Adiabatenexponent oder Isentropenexponent genannt. Fr einatomige Gase ist recht genau k=1,66, fr zweiatomige k=1,40 und fr dreiatomige k=1,30. Die mittlere spezifische Wrmekapazitt ist der integrale Mittelwert definiert durch 1 t2 t1
Zt2 t1
cp dt; ½cv tt21 ¼
1 t2 t1
Zt2 cv dt:
ð13Þ
t1
Aus Gln. (10) und (11) folgen fr die nderungen von innerer Energie und Enthalpie
ð17Þ
6.2.2 Reale Gase und Dmpfe. Real gases and vapours Die kalorischen Zustandsgrßen realer Gase und Dmpfe werden i. Allg. aus Messungen bestimmt, knnen aber bis auf einen Anfangswert auch aus der thermischen Zustandsgleichung abgeleitet werden. Sie werden in Tabellen oder Diagrammen in folgender Weise dargestellt u=u(u, T), h=h(p, T), s=s(p, T), cv ¼ cv ðu; TÞ, cp ¼ cp ðp; TÞ. Hufig erfordert die Auswertung von Zustandsgleichungen einen Computer. Fr Dmpfe gilt: Die Enthalpie h00 des gesttigten Dampfes unterscheidet sich von der Enthalpie h0 der Flssigkeit im Sttigungszustand bei p, T=const um die Verdampfungsenthalpie r ¼ h00 h0 ;
Die innere Energie idealer Gase hngt nur von der Temperatur ab, u=u(T), infolgedessen ist auch die Enthalpie h=u+pu=u+RT eine reine Temperaturfunktion h=h(T). Die Ableitungen von u und h nach der Temperatur nennt man spezifische Wrmekapazitten. Sie steigen mit der Temperatur (s. Anh. D 6 Tab. 3 mit Werten fr Luft). Es ist
½cp tt21 ¼
T2 p2 R ln : T1 p1
ð18Þ
die mit steigender Temperatur abnimmt und am kritischen Punkt, wo h00 ¼ h0 ist, zu null wird. Die Enthalpie von Nassdampf ist h ¼ ð1 xÞh0 þ xh00 ¼ h0 þ xr:
ð19Þ
Entsprechend ist die innere Energie u ¼ ð1 xÞu0 þ xu00 ¼ u0 þ xðu00 u0 Þ
ð20Þ
und die Entropie s ¼ ð1 xÞs0 þ xs00 ¼ s0 þ xr=T;
ð21Þ
da Verdampfungsenthalpie und Verdampfungsentropie s00 s0 zusammenhngen durch r ¼ Tðs00 s0 Þ:
ð22Þ
Nach Clausius-Clapeyron ist die Verdampfungsenthalpie mit der Steigung dp=dT der Dampfdruckkurve p(T) verknpft durch r ¼ Tðu00 u0 Þ
dp ; dT
ð23Þ
wenn T die Siedetemperatur beim Druck p ist. Man kann diese Beziehung verwenden, um aus zwei der drei Grßen r; u00 u0 und dp=dT die dritte zu berechnen. Wenn nicht hufig Zustandsgrßen zu berechnen sind oder keine leistungsfhigen Rechner zu Verfgung stehen, verwendet man fr praktische Rechnungen Dampftafeln, in denen die Ergebnisse theoretischer und experimenteller Untersuchungen der Zustandsgrßen zusammengefasst sind. Fr die in der Technik wichtigen Arbeitsstoffe findet man Dampftafeln in Anh. D 6 Tab. 5 bis 10. Zur Ermittlung von Anhaltswerten und zur Darstellung von Zustandsnderungen sind Dia-
I6.4 Feste Stoffe
D 13
D
Bild 5. t, s-Diagramm des Wassers mit Kurven p=const (ausgezogen), =const (gestrichelt) und Kurven gleicher Enthalpie (strichpunktiert)
Bild 6. h, s-Diagramm des Wassers mit Kurven p=const (ausgezogen), t=const (gestrichelt) und x=const (strichpunktiert). Der fr die Zwecke der Dampftechnik interessante Bereich ist durch die schraffierte Umrandung abgegrenzt
gramme vorteilhaft, z. B. ein t, s-Diagramm wie Bild 5. Am hufigsten verwendet man in der Praxis Mollier-Diagramme. Das sind solche Diagramme, welche die Enthalpie als eine der Koordinaten enthalten, Bild 6. Die spezifische Wrmekapazitt cp ¼ ð¶h=¶TÞp eines Dampfes hngt außer von der Temperatur in erheblichem Maße vom Druck ab, ebenso hngt cv ¼ ð¶u=¶TÞv außer von der Temperatur noch vom spez. Volumen ab. Bei Annherung an die Grenzkurve wchst cp des berhitzten Dampfes mit abnehmender Temperatur stark an und wird im kritischen Punkt sogar unendlich. Bei Dmpfen ist cp cv keine konstante Grße mehr wie bei idealen Gasen.
6.3 Inkompressible Fluide. Incompressible fluids Ein inkompressibles Fluid ist ein Fluid, dessen spez. Volumen u weder von der Temperatur noch vom Druck abhngt. Die thermische Zustandsgleichung lautet u ¼ const. Flssigkeiten und Feststoffe knnen im Allgemeinen in guter Nherung als inkompressibel betrachtet werden.
Die spez. Wrmekapazitten cp und cv unterscheiden sich bei inkompressiblen Fluiden nicht voneinander, cp ¼ cv ¼ c. Daher gelten die kalorischen Zustandsgleichungen du ¼ c dT
ð24Þ
und dh ¼ c dT þ u dp
ð25Þ
sowie ds ¼ c
dT : T
ð26Þ
6.4 Feste Stoffe. Solid materials 6.4.1 Wrmedehnung. Thermal expansion In der Zustandsgleichung V=V(p, T) fester Stoffe ist der Einfluss des Drucks auf das Volumen ebenso wie bei Flssigkeiten meistens vernachlssigbar gering. Fast alle Feststoffe dehnen sich wie die Flssigkeiten mit zunehmender Temperatur
D 14
Thermodynamik – 7 Zustandsnderungen von Gasen und Dmpfen
aus und schrumpfen bei Temperaturabnahme, ausgenommen Wasser, das bei 4 C seine grßte Dichte hat und sich sowohl bei hheren als auch bei geringeren Temperaturen als 4 C ausdehnt. Entwickelt man die Zustandsgleichung in eine Taylorreihe nach der Temperatur und bricht nach dem linearen Glied ab, so erhlt man die Volumendehnung mit dem kubischen Volumendehnungskoeffizienten gv (SI-Einheit 1/K)
D
V ¼ V0 ½1 þ gv ðt t0 Þ: Entsprechend ist die Flchendehnung A ¼ A0 ½1 þ gA ðt t0 Þ und die Lngendehnung l ¼ l0 ½1 þ gL ðt t0 Þ: Es ist gA ¼ ð2=3Þgv und gL ¼ ð1=3Þgv . Mittelwerte fr gL im Temperaturintervall zwischen 0 C und t C findet man fr einige Feststoffe aus den Werten im Anh. D 6 Tab. 11, indem man die dort angegebene Lngennderung ðl l0 Þ=l0 noch durch das Temperaturintervall ðt 0Þ C dividiert. 6.4.2 Schmelz- und Sublimationsdruckkurve Melting and sublimation curve Innerhalb gewisser Grenzen gibt es zu jedem Druck einer Flssigkeit eine Temperatur, bei der sie mit ihrem Feststoff im Gleichgewicht steht. Dieser Zusammenhang p(T) wird durch die Schmelzdruckkurve (Bild 7) festgelegt, whrend die Sublimationsdruckkurve das Gleichgewicht zwischen Gas und Feststoff wiedergibt. In Bild 7 ist außerdem noch die Dampfdruckkurve eingezeichnet. Alle drei Kurven treffen sich im Tripelpunkt, in dem die feste, die flssige und die gasfrmige Phase eines Stoffs miteinander im Gleichgewicht ste-
hen. Der Tripelpunkt des Wassers liegt definitionsgemß bei 273,16 K, der Druck betrgt am Tripelpunkt 611,657 Pa. 6.4.3 Kalorische Zustandsgrßen. Caloric properties Beim Gefrieren einer Flssigkeit wird die Schmelzenthalpie DhE (E=Erstarren) abgefhrt (Anh. D 6 Tab. 12). Dabei erfhrt die Flssigkeit eine Entropieabnahme DsE ¼ DhE =TE , wenn TE die Schmelz- oder Erstarrungstemperatur ist. Nach der Dulong-Petitschen Regel hat oberhalb der Umgebungstemperatur die molare Wrmekapazitt geteilt durch die Anzahl der Atome im Molekl ungefhr den Wert 25,9 kJ/ (kmol K). Bei Annherung an den absoluten Nullpunkt gilt diese grobe Regel nicht mehr. Dort ist die molare Wrmekapazitt bei konstantem Volumen fr alle festen Stoffe ¼ aðT=QÞ3 ; fr T=Q < 0; 1 C worin a=472,5 J/(mol K) und Q die Debye-Temperatur ist (Anh. D 6 Tab. 13).
6.5 Mischtemperatur. Messung von spezifischen Wrmekapazitten Mixing temperature. Measurement of specific heat capacities Mischt man bei konstantem Druck und ohne ußere Wrmezufuhr mehrere Stoffe verschiedener Massen mi , Temperaturen ti und spez. Wrmekapazitten cpi ði ¼ 1; 2 . . .Þ, so stellt sich nach hinreichend langer Zeit eine Mischtemperatur tm ein. Es ist X mi cpi ti tm ¼ X ; mi cpi worin die cpi die mittleren spez. Wrmekapazitten zwischen 0 C und ti C sind. Durch Messen von tm lsst sich eine unbekannte spez. Wrmekapazitt berechnen, wenn alle brigen bekannt sind. Beispiel: In ein vollkommen gegen Wrmeverlust geschtztes Kalorimeter, das mit 0,8 kg Wasser von 15 C, cp ¼ 4; 186 kJ/kgK gefllt ist und das aus 0,25 kg Silber cpS ¼ 0; 234 kJ/kgK besteht, werden ma ¼ 0; 2 kg Aluminium von ta =100 C geworfen. Nach dem Ausgleich misst man eine Mischungstemperatur von 19,24 C. Wie groß ist die spez. Wrmekapazitt von Aluminium? Es ist tm ¼ ½ðmcp þ mS cpS Þt þ ma cpa ta =½mcp þ mS cpS þ ma cpa ; aufgelst nach
Bild 7. p, T-Diagramm mit den drei Grenzkurven der Phasen. (Die Steigung der Schmelzdruckkurve von Wasser ist negativ, gestrichelte Kurve.)
7 Zustandsnderungen von Gasen und Dmpfen Changes of state of gases and vapours 7.1 Zustandsnderungen ruhender Gase und Dmpfe Change of state of quiescent gases and vapours Das geschlossene thermodynamische System habe die Masse Dm, die als Ganzes nicht bewegt wird. Man unterscheidet folgende Zustandsnderungen als idealisierte Grenzflle der wirklichen Zustandsnderungen.
cpa ¼ ½ðmcp þ mS cpS Þðt tm Þ=½ma ðtm ta Þ; ð0,8 kg 4,186 kJ=kgK þ 0,25 kg 0,234 kJ=kgKÞð15 C 19,24 CÞ cpa ¼ 0,2 kgð19,24 C 100 CÞ ¼ 0,894 kJ=kgK:
Zustandsnderungen bei konstantem Volumen oder isochore Zustandsnderungen. Hierbei bleibt das Gasvolumen unverndert; z. B. wenn sich ein Gasvolumen in einem Behlter mit starren Wnden befindet. Es wird keine Arbeit verrichtet. Die zugefhrte Wrme dient zur nderung der inneren Energie. Zustandsnderungen bei konstantem Druck oder isobare Zustandsnderungen. Um den Druck konstant zu halten, muss ein Gas bei Wrmezufuhr sein Volumen ausreichend vergrßern. Die zugefhrte Wrme bewirkt bei reversibler Zustandsnderung eine Erhhung der Enthalpie. Zustandsnderungen bei konstanter Temperatur oder isotherme Zustandsnderungen. Damit bei der Expansion eines
I7.1 Zustandsnderungen ruhender Gase und Dmpfe Gases die Temperatur konstant bleibt, muss man Wrme zufhren, bei der Kompression Wrme abfhren (von einigen wenigen Ausnahmen abgesehen). Im Fall des idealen Gases ist UðTÞ ¼ const, und daher nach dem ersten Hauptsatz ðdQ þ dW ¼ 0Þ die zugefhrte Wrme gleich der abgegebenen Arbeit. Die Isotherme des idealen Gases ðpV ¼ mRT ¼ constÞ stellt sich im p, V-Diagramm als Hyperbel dar. Adiabate Zustandsnderungen sind gekennzeichnet durch wrmedichten Abschluss des Systems von seiner Umgebung. Sie werden nherungsweise in Verdichtern und Entspannungsmaschinen verwirklicht, weil dort Verdichtung und Entspannung der Gase so rasch ablaufen, dass whrend einer Zustandsnderung wenig Wrme mit der Umgebung ausgetauscht wird. Nach dem zweiten Hauptsatz (s. D 4.3.1) wird die gesamte Entropienderung durch Irreversibilitten im Inneren des Systems bewirkt, S_ ¼ S_ i . Eine reversible Adiabate verluft bei konstanter Entropie S_ ¼ 0. Man nennt eine solche Zustandsnderung isentrop. Eine reversible Adiabate ist daher gleichzeitig Isentrope. Die Isentrope braucht aber keine Adiabate zu sein (da S_ ¼ S_ Q þ S_ i ¼ 0 nicht auch S_ Q ¼ 0 zur Folge hat). In Bild 1 sind die verschiedenen Zustandsnderungen im p, V- und T, S-Diagramm dargestellt und die wichtigsten Zusammenhnge fr Zustandsgrßen idealer Gase angegeben.
D 15
sich beides nicht vllig erreichen. Man fhrt daher eine polytrope Zustandsnderung ein durch die Gleichung pV n ¼ const;
ð1Þ
wobei n in praktischen Fllen meist zwischen 1 und k liegt. Isochore, Isobare, Isotherme und reversible Adiabate sind Sonderflle der Polytrope mit folgenden Exponenten (Bild 2): Isochore: n= 1 , Isobare: n=0, Isotherme: n=1, reversible Adiabate: n=k. Es gilt weiter u2 =u1 ¼ ðp1 =p2 Þ1=n ¼ ðT1 =T2 Þ1=ðn1Þ ;
ð2Þ
W12 ¼ mRðT2 T1 Þ=ðn 1Þ ¼ ðp2 V2 p1 V1 Þ=ðn 1Þ ¼ p1 V1 ½ðp2 =p1 Þðn1Þ=n 1=ðn 1Þ und Wt12 ¼ nW12 :
ð3Þ
Die ausgetauschte Wrme ist Q12 ¼ mcv ðn kÞðT2 T1 Þ=ðn 1Þ:
ð4Þ
Polytrope Zustandsnderungen. Whrend die isotherme Zustandsnderung vollkommenen Wrmeaustausch voraussetzt, ist bei der adiabaten Zustandsnderung jeder Wrmeaustausch mit der Umgebung unterbunden. In Wirklichkeit lsst
Bild 2. Polytropen mit verschiedenen Exponenten
Beispiel: Eine Druckluftanlage soll stndlich 1000 m3n Druckluft von 15 bar liefern (Anmerkung: 1 m3n =1 Normkubikmeter ist das Gasvolumen umgerechnet auf 0 C und 1,01325 bar), die bei einem Druck von p1 ¼ 1 bar und einer Temperatur von t1 ¼ 20 C angesaugt wird. Fr Luft ist k=1,4. Welche Leistung ist erforderlich, wenn die Verdichtung polytrop mit n=1,3 erfolgt? Welcher Wrmestrom muss dabei abgefhrt werden? Der angesaugte Luftvolumenstrom betrgt nach Aufgabenstellung 1000 m3 bei 0 C und 1,01325 bar, p0 T1 _ 1; 01325 293; 15 m m ¼ 1087; 44 : V_ 1 ¼ V0 ¼ 1000 p1 T0 h h 1 273; 15 3
Bei polytroper Zustandsnderung ist nach Gln. (3) und (2) 2 3 n1 _ n _ t ¼ n p1 V1 4 p2 P¼W 15 n1 p1 ¼
1,3 105
N m3 1087,44 1,31 h ½15 1,3 1 ¼ 113,6 kW: m2 1,3 1
Nach Gln. (4) und (3) ist Q12 Q_ nk ¼ ¼ cv Wt12 P nR oder da R ¼ cp cv und k ¼ cp =cv : Q_ 1 n k ¼ : P n k1 Bild 1. Zustandsnderungen idealer Gase. Der Zusatz (rev.) zeigt an, dass die Zustandsnderung reversibel sein soll
Somit ist Q_ ¼
1 1,3 1,4 113,6 kW ¼ 21,85 kW: 1,3 1,4 1
3
D
D 16
Thermodynamik – 7 Zustandsnderungen von Gasen und Dmpfen
7.2 Zustandsnderungen strmender Gase und Dmpfe Changes of state of flowing gases and vapours
D
Zur Kennzeichnung der Strmung einer Fluidmasse Dm braucht man neben den thermodynamischen Zustandsgrßen noch Grße und Richtung der Geschwindigkeit an jeder Stelle des Felds. Wir beschrnken uns hier auf stationre Strmungen in Kanlen, deren Querschnitt konstant, erweitert oder verjngt sein kann. Neben dem ersten und dem zweiten Hauptsatz gilt zustzlich der Satz von der Erhaltung der Masse m_ ¼ Awr ¼ const:
ð5Þ
In einer Strmung, die keine Arbeit an die Umgebung abgibt, Wt12 ¼ 0, geht der erste Hauptsatz D 3 Gl. (14) ber in 2 w w2 Dmðh2 h1 Þ þ Dm 2 1 þ Dmgðz2 z1 Þ ¼ Q12 ; ð6Þ 2 2 gleichgltig, ob es sich um reversible oder irreversible Strmungsvorgnge handelt. Lsst man die meist vernachlssigbare Hubarbeit weg, so gilt fr eine adiabate Strmung h2 h1 þ
w22 w21 ¼ 0: 2 2
ð7Þ
Eine Zunahme der kinetischen Energie ist gleich der Abnahme der Enthalpie des Fluids. In einer adiabaten Drossel und unter der Voraussetzung A; r ¼ const folgt aus Gl. (5) w ¼ const und somit aus Gl. (7) fr die adiabate Drossel h1 ¼ h2 ¼ const. Der Druckabbau in einer adiabaten Drossel ist mit einer Entropiezunahme verbunden, der Vorgang ist irreversibel. Nach D 4 Gl. (4) wird bei der reversibel adiabaten Strmung die Enthalpienderung durch eine Drucknderung hervorgerufen, dh ¼ u dp.
mit der Ausflussfunktion ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s ðkþ1Þ=k k p 2=k p : Y¼ k1 p0 p0
ð10Þ
Sie ist eine Funktion des Adiabatenexponenten k und des Druckverhltnisses p=p0 (Bild 4) und besitzt ein Maximum Ymax , das man aus dY=dðp=p0 Þ ¼ 0 erhlt. Das Maximum liegt bei einem bestimmten Druckverhltnis, das man LavalDruckverhltnis nennt k=ðk1Þ pS 2 ¼ : ð11Þ p0 kþ1 Bei diesem Druckverhltnis ist 1=ðk1Þ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 k Ymax ¼ : kþ1 kþ1
ð12Þ
Zum Druckverhltnis pS =p0 gehrt nach Gl. (8) mit pe =p0 ¼ pS =p0 eine Geschwindigkeit we ¼ wS . Es ist rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi wS ¼ 2 ð13Þ p0 v0 ¼ kpS vS ¼ kRTS : kþ1 Diese ist gleich der Schallgeschwindigkeit im Zustand pS ; uS : Allgemein ist die Schallgeschwindigkeit diejenige Geschwindigkeit, mit der sich Druck und Dichteschwankungen fortpflanzen, und bei reversibler adiabater Zustandsnderung gegeben durch qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi wS ¼ ð¶p=¶rÞS ; pffiffiffiffiffiffiffiffiffi woraus fr ideale Gase wS ¼ kRT folgt. Die Schallgeschwindigkeit ist eine Zustandsgrße.
7.2.1 Strmung idealer Gase. Flow of ideal gases Anwendung von Gl. (7) auf ein ideales Gas, das aus einem Behlter ausstrmt (Bild 3), in dem das Gas den konstanten Zustand p0 ; u0 ; T0 hat und w0 ¼ 0 ist, ergibt wegen he h0 ¼ cp ðTe T0 Þ und w0 ¼ 0 : w2e Te ¼ cp ðT0 Te Þ ¼ cp T0 1 : 2 T0 Bei reversibel adiabater Zustandsnderung ist nach Gl. (2) Te =T0 ¼ ðpe =p0 Þðk1Þ=k , außerdem gilt T0 ¼ p0 u0 =R nach D 6 Gl. (2) und cp =R ¼ k=ðk 1Þ nach D 6 Gl. (12). Die Austrittsgeschwindigkeit ist somit ffi vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi " u ðk1Þ=k # u k pe t we ¼ 2 p0 v0 1 : ð8Þ p0 k1 Der ausstrmende Mengenstrom m_ ¼ Ae we =ue folgt unter Beachtung von p0 uk0 ¼ pe uke zu pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð9Þ m_ ¼ AY 2p0 =u0
Bild 3. Ausstrmen aus einem Druckbehlter
Bild 4. Ausflussfunktion Beispiel: Ein Dampfkessel erzeugt stndlich 10 t Sattdampf von p0 ¼ 15 bar. Den Dampf kann man als ideales Gas (k=1,3) behandeln; wie groß muss der freie Querschnitt des Sicherheitsventils mindestens sein? Das Sicherheitsventil muss den ganzen Massenstrom des erzeugten Dampfes abfhren knnen. Da beim Ausstrmen m_ in jedem Querschnitt konstant ist, ist nach Gl. (9) auch AY ¼ const: Da sich die Strmung einschnrt, A also abnimmt, nimmt Y zu. Es kann hchstens den Wert Ymax erreichen. Dann ist der Gegendruck kleiner oder gleich dem Lavaldruck. Im vorliegenden Fall ist der Gegendruck der Atmosphre von p ¼ 1 bar kleiner als der Lavaldruck, den man nach Gl. (11) zu 8,186 bar errechnet. Damit ergibt sich der notwendige Querschnitt aus Gl. (9), wenn man dort Y ¼ Ymax ¼ 0; 472 nach Gl. (12) einsetzt. 1 Man erhlt mit m_ ¼ 10 103 kg=s ¼ 2; 7778 kg=s und u0 ¼ 3 600 00 3 u ¼ 0; 1317 m =kg (nach Anh. D 6 Tab. 5 bei p0 ¼ 15 bar) aus Gl. (9) A=12,33 cm2 . Wegen der Strahleinschnrung, deren Grße von der Formgebung des Ventils abhngt, muss man hierauf noch einen Zuschlag machen.
I8.1 Verbrennungsprozesse
D 17
7.2.2 Dsen- und Diffusorstrmung. Jet and diffusion flow Nach Bild 4 gehrt bei vorgegebenem Adiabatenexponenten k zu einem bestimmten Druckverhltnis p=p0 ein bestimmter Wert der Ausflussfunktion Y. Da der Massenstrom m_ in jedem Querschnitt konstant ist, gilt nach Gl. (9) auch AY ¼ const: Jedem Druckverhltnis kann man somit einen bestimmten Querschnitt A zuordnen, Bild 5. Es sind zwei Flle zu unterscheiden: a: Der Druck sinkt in Strmungsrichtung. Die Kurven Y, A, w werden in Bild 5 von rechts nach links durchlaufen. Der Querschnitt A nimmt zunchst ab, dann wieder zu. Die Geschwindigkeit steigt von Unterschall auf berschall. Die kinetische Energie der Strmung nimmt zu. Man bezeichnet einen solchen Apparat als Dse. In einer Dse, die nur im Unterschallbereich arbeitet, nimmt der Querschnitt stets ab, im berschallbereich nimmt er stetig zu. In einer in Richtung der Strmung verjngten Dse kann der Druck im Austrittsquerschnitt nicht unter den Lavaldruck sinken, auch wenn man den Druck im Außenraum beliebig klein macht. Dies folgt aus AY ¼ const: Da A in Strmungsrichtung abnimmt, kann Y nur zunehmen. Es kann hchstens den Wert Ymax erreichen, wozu das Lavaldruckverhltnis gehrt. Senkt man den Druck am Austrittsquerschnitt einer Dse unter den zum Austrittsquerschnitt gehrenden Wert des Drucks, so expandiert der Strahl nach Verlassen der Dse. Erhht man den Gegendruck ber den richtigen Wert, so luft die Druckerhhung stromaufwrts falls das Gas mit Unterschallgeschwindigkeit ausstrmt. Strmt das Gas mit Schall-
8 Thermodynamische Prozesse Thermodynamic processes 8.1 Verbrennungsprozesse. Combustion processes Wrme in technischen Prozessen wird heute noch grßtenteils durch Verbrennung gewonnen. Verbrennung ist die chemische Reaktion eines Stoffs, i. Allg. Kohlenstoff, Wasserstoff und Kohlenwasserstoffe, mit Sauerstoff, die stark exotherm, also unter Wrmefreisetzung abluft. Die Brennstoffe knnen fest, flssig oder gasfrmig sein, und als Sauerstofftrger dient meistens die atmosphrische Luft. Zur Einleitung der Verbrennung muss der Brennstoff erst auf Zndtemperatur gebracht werden, die von der Art des Brennstoffs abhngt. Hauptbestandteil aller technisch wichtigen Brennstoffe sind Kohlenstoff C und Wasserstoff H, daneben ist hufig auch noch Sauerstoff O und, mit Ausnahme von Erdgas, noch eine gewisse Menge Schwefel S vorhanden, aus dem bei Verbrennung das unerwnschte Schwefeldioxid SO2 entsteht. 8.1.1 Reaktionsgleichungen. Equations of reactions Die in den Brennstoffen vorkommenden Elemente H, C und S werden bei vollstndiger Verbrennung zu CO2 , H2 O und SO2 verbrannt. Aus den Reaktionsgleichungen erhlt man den Sauerstoffbedarf und die Stoffmenge im Rauchgas. Es gilt fr die Verbrennung von Kohlenstoff C ¼ CO2 C þ O2 1 kmol C þ 1 kmol O2 ¼ 1 kmol CO2 12 kg C þ 32 kg O2 ¼ 44 kg CO2 : Daraus folgen der Mindestsauerstoffbedarf, den man zur vollstndigen Verbrennung bentigt, zu omin ¼ ð1=12Þ kmol=kg C oder
D Bild 5. Dsen- und Diffusorstrmung
geschwindigkeit oder in einer erweiterten Dse mit berschallgeschwindigkeit aus, so entsteht an der Mndung der Dse ein Verdichtungsstoß, in dem der Druck auf den Wert der Umgebung springt. b: Der Druck nimmt in Strmungsrichtung zu. Die Kurven Y, A, w werden in Bild 4 von links nach rechts durchlaufen. Der Querschnitt nimmt ebenfalls zunchst ab, dann wieder zu. Die Geschwindigkeit sinkt von berschall auf Unterschall. Die kinetische Energie nimmt ab und der Druck zu. Man bezeichnet einen solchen Apparat als Diffusor. In einem Diffusor, der nur im Unterschallbereich arbeitet, nimmt der Querschnitt stetig zu, im berschallbereich nimmt er stetig ab.
Omin ¼ 1 kmol=kmol C: Der Mindestluftbedarf ergibt sich aus dem Sauerstoffanteil von 21 Mol-% in der Luft zu lmin ¼ ðomin =0; 21Þ kmol Luft=kg C oder Lmin ¼ ðOmin =0; 21Þ kmol Luft=kmol C und die CO2 -Menge im Rauchgas zu (1/12) kmol/kg C. Entsprechend gelten die folgenden Reaktionsgleichungen fr die Verbrennung von Wasserstoff H2 und Schwefel S: H2 þ 12 O2 ¼ H2 O 1 kmol H2 þ 12 kmol O2 ¼ 1 kmol H2 O þ 16 kg O2 ¼ 18 kg H2 O 2 kg H2 S þ O2 ¼ SO2 1 kmol S þ 1 kmol O2 ¼ 1 kmol SO2 32 kg S þ 32 kg O2 ¼ 64 kg SO2 : Bezeichnen c, h, s, o die Kohlenstoff-, Wasserstoff-, Schwefel- und Sauerstoffgehalte in kg je kg Brennstoff, so ist der Mindestsauerstoffbedarf entsprechend der obigen Rechnung c h s o omin ¼ þ þ kmol=kg: ð1Þ 12 4 32 32 Man schreibt abkrzend 1 cs kmol=kg; omin ¼ 12
ð2Þ
worin s eine Kennzahl des Brennstoffs ist ðO2 -Bedarf in kmol bezogen auf die kmol C im Brennstoff). Der tatschliche Luftbedarf (bezogen auf 1 kg Brennstoff) ist l ¼ llmin ¼ ðlomin =0; 21Þ kmol Luft=kg;
ð3Þ
l ist die Luftberschusszahl. In den Rauchgasen treten außer den Verbrennungsprodukten CO2 , H2 O, SO2 noch der Wassergehalt w/18 (SI-Einheit
D 18
D
Thermodynamik – 8 Thermodynamische Prozesse
kmol je kg Brennstoff) und die zugefhrte Verbrennungsluft l abzglich der verbrauchten Sauerstoffmenge omin auf. Hierbei wird angenommen, dass die zugefhrte Verbrennungsluft trocken oder deren Wasserdampfgehalt vernachlssigbar gering ist. Es entstehen folgende auf 1 kg Brennstoff bezogene Abgasmengen c h w s nCO2 ¼ ; nH2 O ¼ þ ; nSO2 ¼ 12 2 18 32 nO2 ¼ ðl 1Þ omin ; nN2 ¼ 0; 79 l:
nung, wenn keine Dissoziation auftritt. Die bei der Verbrennung frei werdende Wrme dient der Erhhung der inneren Energie und damit der Temperatur der Gase sowie zur Verrichtung der Verschiebearbeit. Die theoretische Verbrennungstemperatur berechnet sich aus der Bedingung, dass die Enthalpie aller dem Brennraum zugefhrten Stoffe gleich der Enthalpie des abgefhrten Rauchgases sein muss. B tL Dhu þ ½cB t25 C ðtB 25 CÞ þ l CpL 25 C ðtL 25 CÞ ð6Þ t pR ¼ nR C ðt 25 CÞ:
Die Summe ergibt die gesamte Rauchgasmenge c h w s nR ¼ þ þ þ þ ðl 1Þ omin þ 0; 79 l kmol=kg: 12 2 18 32 Dies lsst sich mit den Gln. (1) und (3) vereinfachen zu
Es bedeuten tB die Temperatur des Brennstoffs, tL die der Luft, und t die theoretische Verbrennungstemperatur, ½ct25B C ist die mittlere spez. Wrmekapazitt des Brennstoffs, pL tL die mittlere molare Wrmekapazitt der Luft und ½C 25 C pR t die des Rauchgases. Diese setzt sich aus den mittle½C 25 C ren molaren Wrmekapazitten der einzelnen Bestandteile zusammen: c h w pR t ½CpCO2 t25 C þ þ nR ½C ½CpH2 O t25 C 25 C ¼ 12 2 18 ð7Þ s t t t þ ½C pSO2 25 C þ ðl 1Þomin ½CpO2 25 C þ 0; 79 l½CpN2 25 C 32
1 nR ¼ l þ 12 ð3h þ 38 o þ 23 wÞ kmol=kg:
ð4Þ
Beispiel: In einer Feuerung werden stndlich 500 kg Kohle von der Zusammensetzung c=0,78, h=0,05, o=0,08, s=0,01, w=0,02 und einem Aschegehalt a=0,06 mit einem Luftberschuss l=1,4 vollkommen verbrannt. Wie viel Luft muss der Feuerung zugefhrt werden, wie viel Rauchgas entsteht und wie ist seine Zusammensetzung? Der Mindestsauerstoffbedarf ist nach Gl. (1) omin ¼ 0; 78=12þ 0; 05=4 þ 0; 01=32 0; 08=32 kmol=kg ¼ 0; 0753 kmol=kg: Der Mindestluftbedarf ist lmin ¼ omin =0; 21 ¼ 0; 3586 kmol=kg; die zuzufhrende Luftmenge l ¼ llmin ¼ 1; 4 0; 3586 ¼ 0; 502 kmol=kg; also 0,502 kmol/kg 500 kg/h = 251 kmol/h. Das ergibt mit der Molmasse M=28,953 kg/kmol der Luft einen Luftbedarf von 0,502 28,953 kg/ kg=14,54 kg/kg, also 14,54 kg/kg 500 kg/h=7 270 kg/h. Die 1 Rauchgasmenge ist nach Gl. (4) nR ¼ 0; 502 þ 12 ð3 0; 05 þ 38 0; 08 þ 23 0; 02Þ kmol=kg ¼ 0; 518 kmol=kg; also 0,518 kmol/kg 500 kg/h =259 kmol/h mit 0,065 kmol CO2 /kg, 0,0261 kmol H2 O/kg, 0,0003 kmol SO2 /kg, 0,3966 kmol N2 /kg und 0,0301 kmol O2 /kg.
8.1.2 Heizwert und Brennwert Net calorific value and gros calorific value Heizwert ist die bei der Verbrennung frei werdende Wrme, wenn die Verbrennungsgase bis auf die Temperatur abgekhlt werden, mit der Brennstoff und Luft zugefhrt werden. Das Wasser ist in den Rauchgasen als Gas enthalten. Wird der Wasserdampf kondensiert, so bezeichnet man die frei werdende Wrme als Brennwert. Nach DIN 51 900 gelten Heiz- und Brennwertangaben fr die Verbrennung bei Atmosphrendruck, wenn die beteiligten Stoffe vor und nach der Verbrennung eine Temperatur von 25 C haben. Heiz- und Brennwert (s. Anh. D 8 Tab. 1 bis 4) sind unabhngig von dem Luftberschuss und nur eine Eigenschaft des Brennstoffs. Der Brennwert Dh0 ist um die Verdampfungsenthalpie r des im Rauchgas enthaltenen Wassers grßer als der Heizwert Dhu , Dh0 ¼ Dhu þ ð8; 937 h þ wÞ r: Da das Wasser technische Feuerungen meistens als Dampf verlsst, kann hufig nur der Heizwert nutzbar gemacht werden. Der Heizwert von Heizlen lßt sich erfahrungsgemß [8] gut wiedergeben durch die Zahlenwertgleichung Dhu ¼ 54; 04 13; 29 r 29; 31 s MJ=kg;
ð5Þ
in der r die Dichte des Heizls in kg/dm3 bei 15 C und s der Schwefelgehalt in kg/kg sind. Heizwerte fester Brennstoffe: s. Anh. L 2 Tab. 2 bis 4. Beispiel: Wie groß ist der Heizwert eines leichten Heizls der Dichte r ¼ 0; 86 kg=dm3 , dessen Schwefelgehalt s ¼ 0; 8 Gew.-% betrgt? Nach Gl. (5) ist Dhu ¼ 54; 04 13; 29 0; 86 29; 31 0; 8 102 ¼ 42; 38 MJ=kg:
8.1.3 Verbrennungstemperatur. Combustion temperature Die theoretische Verbrennungstemperatur ist die Temperatur des Rauchgases bei vollkommener isobar-adiabater Verbren-
25 C
Die theoretische Verbrennungstemperatur muss man iterativ aus Gln. (6) und (7) ermitteln. Die wirkliche Verbrennungstemperatur ist auch bei vollkommener Verbrennung des Brennstoffs niedriger als die theoretische wegen der Wrmeabgabe an die Umgebung, hauptschlich durch Strahlung, dem ber 1 500 C beginnenden Zerfall der Molekle und der ab 2 000 C merklichen Dissoziation. Die Dissoziationswrme wird bei Unterschreiten der Dissoziationstemperatur wieder frei.
8.2 Verbrennungskraftanlagen Internal combustion engines In der Verbrennungskraftanlage dient das Brenngas als Arbeitsstoff. Er durchluft keinen in sich geschlossenen Prozess, sondern wird als Abgas an die Umgebung abgefhrt, nachdem er in einer Turbine oder einem Kolbenmotor Arbeit verrichtet hat. Zu den Verbrennungskraftanlagen gehren die offenen Gasturbinenanlagen und die Verbrennungsmotoren (Ottound Dieselmotor) sowie Brennstoffzellen. Zur Kennzeichnung der Effektivitt der Energieumwandlung dient der energetische Gesamtwirkungsgrad h ¼ P=ðm_ B Dhu Þ: P ist die Nutzleistung der Anlage, m_ B der Massenstrom des zugefhrten Brennstoffs, Dhu dessen Heizwert. Der exergetische Gesamtwirkungsgrad z ¼ P=ðm_ B ðwex ÞB Þ gibt an, welcher Teil des mit dem Brennstoff zugefhrten Exergiestroms in Nutzleistung umgewandelt wird. wex ist i. Allg. nur wenig grßer als der Heizwert, sodass sich h und z zahlenmßig kaum unterscheiden. Fr Großmotoren (Diesel) ist der Gesamtwirkungsgrad etwa 42%, fr Kraftfahrzeugmotoren etwa 25% und fr offene Gasturbinen 20 bis 30%. 8.2.1 Offene Gasturbinenanlage. Open gas turbine cycle In der offenen Gasturbinenanlage (s. R 8) wird die angesaugte Luft in einem Verdichter auf hohen Druck gebracht, vorgewrmt und in einer Brennkammer durch Verbrennen des eingespritzten Brennstoffs erhitzt. Die Brenngase werden in einer Turbine unter Arbeitsleistung entspannt, geben in einem Wrmebertrager einen Teil ihrer Restwrme zur Luftvorwrmung ab und treten ins Freie aus. Verdichter und Turbine sind auf einer Welle angeordnet. In einem an die Welle angeschlossenen Generator wird die Nutzarbeit in elektrische Energie verwandelt (s. R 8 Bild 1 a).
I8.2 Verbrennungskraftanlagen 8.2.2 Ottomotor. Otto engine Im Ottomotor (s. P 4.2) befindet sich der Zylinder am Ende des Saughubs im Zustandspunkt 1 (Bild 1); er ist mit dem brennbaren Gemisch von Umgebungstemperatur und Atmosphrendruck gefllt. Das Gemisch wird lngs der Adiabaten 1 2 vom Anfangsvolumen Vk þ Vh auf das Kompressionsvolumen Vk verdichtet. Vh ist das Hubvolumen. Am oberen Totpunkt 2 erfolgt durch elektrische Zndung die Verbrennung, wodurch der Druck von Punkt 2 auf Punkt 3 ansteigt. Dieser Vorgang luft so schnell ab, dass er als isochor angenommen werden kann. Im Bild 1 ist dabei vereinfachend angenommen, dass das Gas unverndert bleibt und dass die bei der Verbrennung freiwerdende Wrme Q23 ¼ Q von außen zugefhrt ist. Beim Zurckgehen des Kolbens expandiert das Gas lngs der Adiabaten 3 4 400 40 . Der in 4 beginnende Auspuff ist durch Entzug einer Wrme jQ0 j bei konstantem Volumen ersetzt, wobei der Druck von Punkt 4 nach Punkt 1 sinkt. In Punkt 1 mssen die Verbrennungsgase durch neues Gemisch ersetzt werden, wozu beim 4-Takt-Ottomotor ein nicht dargestellter Doppelhub erforderlich ist. Die zugefhrte Wrme ist Q ¼ Q23 ¼ mcv ðT3 T2 Þ;
ð8Þ
die abgefhrte jQ0 j ¼ jQ41 j ¼ mcv ðT4 T1 Þ;
ð9Þ
die verrichtete Arbeit jWt j ¼ Q jQ0 j
ð10Þ
und der thermische Wirkungsgrad ðk1Þ=k jWt j T4 T1 T1 p1 h¼ ¼ 1 ¼ 1 ¼1 T3 T2 T2 p2 Q 1 ¼ 1 k1 : e
ßer vom Adiabatenexponenten k nur vom Druckverhltnis p2 =p1 bzw. dem Verdichtungsverhltnis e und nicht von der Grße der Wrmezufuhr ab. Je hher man verdichtet, desto besser ist die Wrme ausgenutzt. Das Verdichtungsverhltnis wird durch die Selbstzndungstemperaturen des BrennstoffLuftgemisches begrenzt. 8.2.3 Dieselmotor. Diesel engine Die Beschrnkung auf moderate Verdichtungsverhltnisse und Drcke entfllt beim Dieselmotor (s. P 4.2), in dem die Verbrennungsluft durch hohe Verdichtung ber die Selbstzndungstemperatur des Brennstoffs erhitzt, und dieser in die heiße Luft eingespritzt wird. Den vereinfachten Prozess des Dieselmotors zeigt Bild 2. Er besteht aus adiabater Verdichtung 1 2 der Verbrennungsluft, isobarer Verbrennung 2 30 nach Einspritzen des Brennstoffs in die heiße, verdichtete Verbrennungsluft, adiabater Entspannung 30 4 und Auspuffen 4 1, das durch eine Isochore mit Wrmeabfuhr jQ0 j in Bild 2 ersetzt ist. Die zugefhrte Wrme ist Q023 ¼ Q ¼ mcp ðT30 T2 Þ;
Das Verdichtungsverhltnis e ¼ V1 =V2 ¼ ðVK þ Vh Þ=VK gibt den Grad der Verdichtung bei der adiabaten Kompression des Gemisches an. Der thermische Wirkungsgrad hngt also au-
Bild 1. Theoretischer Prozess des Ottomotors im p, V- und T, S-Diagramm
ð12Þ
die lngs der Isochore 4 1 abgefhrt gedachte Auspuffwrme ist jQ41 j ¼ jQ0 j ¼ mcv ðT4 T1 Þ;
ð13Þ
die verrichtete Arbeit jWt j ¼ Q jQ0 j und der thermische Wirkungsgrad h¼
ð11Þ
D 19
jWt j 1 T4 T1 1 ¼ 1 ¼ 1 Q k T30 T2 k
T4 T3 T1 T3 T2 T2 : T30 T2 1
ð14Þ
Mit dem Verdichtungsverhltnis e ¼ V1 =V2 ¼ ðVk þ Vh Þ=Vk und dem Einspritzverhltnis j ¼ ðVk þ Ve Þ=Vk folgt fr den thermischen Wirkungsgrad h¼ 1
1 jk 1 : kek1 j 1
ð15Þ
Bild 2. Theoretischer Prozess des Dieselmotors im p, V- und im T, SDiagramm
D
D 20
Thermodynamik – 8 Thermodynamische Prozesse
Der thermische Wirkungsgrad des Dieselprozesses hngt außer vom Adiabatenexponenten k nur vom Verdichtungsverhltnis e und vom Einspritzverhltnis j ab, das sich mit steigender Belastung vergrßert. 8.2.4 Brennstoffzellen. Fuel Cells
D
In der Brennstoffzelle reagiert Wasserstoff mit Sauerstoff elektrochemisch zu Wasser: 1 H2 þ O2 ! H2 O: 2 Bei dieser so genannten kalten Verbrennung wird die chemische Bindungsenergie direkt in elektrische Energie umgewandelt. Bild 3 zeigt beispielhaft eine Brennstoffzelle mit protonenleitendem Elektrolyten. Wasserstoff H2 wird an der Anodenseite zugefhrt. Mit Hilfe eines Katalysators spaltet er sich dort in zwei Protonen (Hþ ) und zwei Elektronen (e ). Die Elektronen wandern ber eine Last, z. B. einen Motor, zur Kathode. Die Protonen wandern durch den Elektrolyten zur Kathode, wo sie untersttzt durch einen Katalysator mit dem zugefhrten Sauerstoff O2 und den Elektronen zu Wasser H2 O reagieren. Zwischen Anode und Kathode besteht eine Spannung U, und es fließt ein elektrischer Strom I ¼ F n_ El mit n_ El ¼ 2 n_ H2 . F ist die Faraday Konstante F ¼ 96 485; 3 As=mol, n_ El der Stoffmengenstrom der Elektronen (SI-Einheit mol/s) und n_ H2 der Stoffmengenstrom des zugefhrten Wasserstoffs (SI-Einheit mol/s). Verluste durch Energiedissipation in der Zelle fhren dazu, dass die wirkliche Klemmenspannung geringer ist als die reversible Klemmenspannung. Die elektrische Leistung P der Brennstoffzelle errechnet sich aus Q_ þ P ¼ n_ H2 DHHR2 mit n_ H2 dem Mengenstrom des zugefhrten Wasserstoffs und DHHR2 seiner molaren Reaktionsenthalpie (SI-Einheit J/mol). Sie ist gleich dem negativen molaren Heizwert D Hmu ¼ MH2 D hu , s. D 8.1.2. In Analogie zu anderen Verbrennungskraftanlagen ist der Wirkungsgrad der Brennstoffzelle definiert zu hBZ ¼
P : n_ H2 DHmu
Er betrgt im Allgemeinen etwa 50 %.
8.3 Kreisprozesse, Grundlagen Cyclic processes, principles Ein Prozess, der ein System wieder in seinen Ausgangszustand zurckbringt, heißt Kreisprozess. Nachdem er durchlaufen ist, nehmen alle Zustandsgrßen des Systems wie Druck, Temperatur, Volumen, innere Energie und Enthalpie die Werte an, die sie im Ausgangszustand hatten. Nach dem ersten Hauptsatz, D 3 Gl. (9), ist nach Durchlaufen des Prozesses die Energie des Systems wieder gleich der Energie im Ausgangszustand und daher X X Wik ¼ 0: ð16Þ Qik þ X X Die gesamte verrichtete Arbeit ist W ¼ Wik ¼ Qik . Maschinen, in denen ein Fluid einen Kreisprozess durchluft, dienen der Umwandlung von Wrme in Arbeit oder umgekehrt der Umwandlung von Arbeit in Wrme. Nach dem zweiten Hauptsatz kann die zugefhrte Wrme nicht vollstndig in Arbeit verwandelt werden. Ist die zugefhrte Wrme grßer als die abgegebene, so arbeitet der Prozess als Wrmekraftanlage oder Wrmekraftmaschine, deren Zweck darin besteht, Arbeit zu liefern. Ist die abgefhrte Wrme grßer als die zugefhrte, so muss man Arbeit zufhren. Mit einem derartigen Prozess kann man einem Stoff bei tiefer Temperatur Wrme entziehen und sie bei hherer Temperatur, z. B. der Umgebungstemperatur, zusammen mit der zugefhrten Arbeit wieder abgeben. Ein solcher Prozess arbeitet als Klteprozess. In einem Wrmepumpenprozess wird die Wrme der Umgebung entzogen und zusammen mit der zugefhrten Arbeit bei hherer Temperatur abgegeben. 8.3.1 Carnot-Prozess. Carnot cycle In der historischen Entwicklung, wenn auch nicht fr die Praxis, hat der 1824 von Carnot eingefhrte Kreisprozess eine entscheidende Rolle gespielt, Bild 4 und 5. Er besteht aus folgenden Zustandsnderungen (hier rechtslufiger Prozess fr eine Wrmekraftmaschine): 1–2: Isotherme Expansion bei der Temperatur T unter Zufuhr der Wrme Q. 2–3: Reversibel adiabate Expansion vom Druck p2 auf den Druck p3 . 3–4: Isotherme Kompression bei der Temperatur T0 unter Abfuhr der Wrme jQ0 j. 4–1: Reversibel adiabate Kompression vom Druck p4 auf den Druck p1 . Die zugefhrte Wrme ist Q ¼ m RT ln V2 =V1 ¼ TðS2 S1 Þ
ð17Þ
und die abgefhrte Wrme jQ0 j ¼ m RT0 ln V3 =V4 ¼ T0 ðS3 S4 Þ ¼ T0 ðS2 S1 Þ: ð18Þ
Bild 3 Schema einer Brennstoffzelle mit protonenleitenden Elektrolyten
Bild 4. Schaltschema einer nach dem Carnot-Prozess arbeitenden Wrmekraftmaschine
I8.4 Wrmekraftanlagen
D 21
D
Bild 6. Ackeret-Keller-Prozess im p, v- und im T, s-Diagramm Bild 5. Carnot-Prozess der Wrmekraftmaschine im p, V- und im T, S-Diagramm
Die verrichtete technische Arbeit ist Wt ¼ Q jQ0 j und der thermische Wirkungsgrad h ¼ jWt j=Q ¼ 1 ðT0 =TÞ:
ð19Þ
Bei umgekehrter Reihenfolge 4–3–2–1 der Zustandsnderungen wird unter Zufuhr von technischer Arbeit Wt einem Krper der niedrigen Temperatur T0 die Wrme Q0 entzogen und bei hherer Temperatur T die Wrme Q abgegeben. Ein solcher linkslufig ausgefhrter Carnotprozess kann zum Zweck haben, einem zu khlenden Gut die Wrme Q0 bei der tiefen Temperatur T0 zu entziehen, also als Kltemaschine zu arbeiten, und die Wrme jQj ¼ Wt þ Q0 bei hherer Temperatur T wieder an die Umgebung abzugeben. Besteht der Zweck des Prozesses darin, die Wrme | Q| bei der hheren Temperatur T zu Heizzwecken abzugeben, so arbeitet der Prozess als Wrmepumpe. Die Wrme Q0 wird dann von der Umgebung bei der niederen Temperatur T0 aufgenommen. Carnotprozesse haben keine praktische Bedeutung erlangt, weil ihre Leistung bezogen auf das Bauvolumen sehr gering ist. Als idealer, weil reversibler, Prozess wird der Carnot-Prozess jedoch hufig zu Vergleichszwecken fr die Beurteilung anderer Kreisprozesse herangezogen.
8.4 Wrmekraftanlagen. Thermal power plants In Wrmekraftanlagen wird dem Arbeitsstoff von den Verbrennungsgasen Energie als Wrme zugefhrt. Der Arbeitsstoff durchluft einen Kreisprozess. Der Ackeret-Keller-Prozess besteht aus folgenden Zustandsnderungen, die im p, u- und T, s-Diagramm dargestellt sind; Bild 6: 1–2: Isotherme Kompression bei der Temperatur T0 vom Druck p0 auf den Druck p. 2–3: Isobare Wrmezufuhr beim Druck p. 3–4: Isotherme Expansion bei der Temperatur T vom Druck p auf den Druck p0 . 4–1: Isobare Wrmeabfuhr beim Druck p0 . Der Prozess geht auf einen Vorschlag des schwedischen Ingenieurs J. Ericson (1803–1899) zurck und wird daher auch als Ericson-Prozess bezeichnet. Er wurde jedoch zuerst von
Ackeret und Keller 1941 als Vergleichsprozess fr Gasturbinenanlagen verwendet. Die zur isobaren Erwrmung 2–3 des verdichteten Arbeitsstoffs erforderliche Wrme wird durch isobare Abkhlung 4–1 des entspannten Arbeitsstoffs bereitgestellt, Q23 ¼ jQ41 j. Der thermische Wirkungsgrad stimmt mit dem des CarnotProzesses berein, denn es ist Wt ¼ Q34 jQ21 j
ð20Þ
und h¼ 1
jQ21 j T0 ¼ 1 : T Q34
ð21Þ
Die technische Realisierung des Prozesses ist jedoch schwierig, weil isotherme Verdichtung und Entspannung kaum zu verwirklichen sind, da man diese nur durch mehrstufige adiabate Verdichtung mit Zwischenkhlung annhern kann. Der Ackeret-Keller-Prozess dient vor allem als Vergleichsprozess fr den Gasturbinenprozess mit mehrstufiger Verdichtung und Entspannung. In einer geschlossenen Gasturbinenanlage (Bild 7) wird ein Gas im Verdichter komprimiert, im Wrmebertrager und Gaserhitzer auf eine hohe Temperatur erwrmt, dann in einer Turbine unter Verrichtung von Arbeit entspannt und im Wrmebertrager und dem sich anschließenden Khler wieder auf die Anfangstemperatur gekhlt, worauf das Gas erneut vom Verdichter angesaugt wird. Als Arbeitsstoffe kommen Luft, aber auch andere Gase wie Helium oder Stickstoff infrage. Die geschlossene Gasturbinenanlage ist gut regelbar, und eine Verschmutzung der Turbinenschaufeln kann durch Verwendung geeigneter Gase vermieden werden. Von Nachteil sind die im Vergleich zu offenen Anlagen hheren Energiekosten, da ein Khler bentigt wird und fr den Erhitzer hochwertige Sthle erforderlich sind. Bild 8 zeigt den Prozess im p, u- und T, s-Diagramm. Der aus zwei Isobaren und zwei Isentropen bestehende reversible Kreisprozess wird Joule-Prozess genannt (Zustandspunkte 1, 2, 3, 4). Der zugefhrte Wrmestrom ist Q_ ¼ m_ cp ðT3 T2 Þ;
ð22Þ
der abgefhrte jQ_ 0 j ¼ m_ cp ðT4 T1 Þ:
ð23Þ
D 22
Thermodynamik – 8 Thermodynamische Prozesse wchst rascher mit dem Druckverhltnis als die Turbinenleistung, sodass die gewonnene Nutzleistung nach Gl. (24) unter Beachtung von Gl. (26) ! ! k1 k1 T3 p k p0 k 1 ð28Þ P ¼ m_ cp T1 T1 p p0 bei einem bestimmten Druckverhltnis fr vorgegebene Werte der hchsten Temperatur T3 und der niedrigsten Temperatur T1 ein Maximum erreicht. Dieses optimale Druckverhltnis folgt durch Differentiation aus Gl. (28) zu ðk1Þ=k pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ¼ ðT3 =T1 Þ; ð29Þ p0 opt
D Bild 7. Gasturbinenprozess mit geschlossenem Kreislauf. a Generator, b Turbine, c Verdichter, d Khler, e Wrmebertrager, f Gaserhitzer
was wegen Gl. (26) gleichbedeutend mit T4 ¼ T2 ist. Unter Bercksichtigung des Wirkungsgrads hT fr die Turbine, hV des Verdichters und des mechanischen Wirkungsgrads hm fr die Energiebertragung zwischen Turbine und Verdichter ergibt sich das optimale Druckverhltnis zu ðk1Þ=k pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ¼ hm hT hV ðT3 =T1 Þ: ð30Þ p0 opt Mehr als die Hlfte der Turbinenleistung einer Gasturbinenanlage wird zum Antrieb des Verdichters bentigt. Die insgesamt installierte Leistung ist daher das Vier- bis Sechsfache der Nutzleistung. Dampfkraftanlagen werden mit einem Arbeitsstoff – meistens Wasser – betrieben, der whrend des Prozesses verdampft und wieder kondensiert wird. Mit ihnen wird der weitaus grßte Teil der elektrischen Energie unserer Stromnetze erzeugt. Der Arbeitsprozess in seiner einfachsten Form (Bild 9) ist folgender: Im Kessel a wird der Arbeitsstoff bei hohem Druck isobar bis zum Siedepunkt erwrmt, verdampft und anschließend im berhitzer b noch berhitzt. Der Dampf wird dann in der Turbine c unter Verrichtung von Arbeit adiabat entspannt und im Kondensator d unter Wrmeabgabe verflssigt. Die Flssigkeit wird von der Speisewasserpumpe e auf Kesseldruck gebracht und wieder in den Kessel gefrdert. Der reversible Kreisprozess 010 230 0 (Bild 10), bestehend aus zwei Isobaren und zwei Isentropen, wird Clausius-RankineProzess genannt. Der wirkliche Kreisprozess folgt den Zustandsnderungen 01230 in Bild 10. Die Wrmeaufnahme im Dampferzeuger ist
Bild 8. Gasturbinenprozess im p, v- und T, s-Diagramm. Das p, v-Diagramm zeigt nur den reversiblen Prozess (Joule-Prozess) 1, 2, 3, 4
Q_ zu ¼ m_ ðh2 h1 Þ; jPT j ¼ jm_ wt23 j ¼ m_ ðh2 h3 Þ ¼ m_ hT ðh2 h03 Þ
Die verrichtete Leistung betrgt
T4 T1 P ¼ m_ wt ¼ Q_ jQ_ 0 j ¼ m_ cp ðT3 T2 Þ 1 ð24Þ T3 T2
und der thermische Wirkungsgrad jPj T4 T1 h¼ ¼ 1 : T3 T2 Q_
ð31Þ
die Leistung der adiabaten Turbine ð32Þ
mit dem isentropen Turbinenwirkungsgrad hT . Der im Kondensator abgefhrte Wrmestrom ist Q_ ab ¼ m_ ðh3 h0 Þ:
ð33Þ
ð25Þ
Wegen der Isentropengleichung ðk1Þ=k ðk1Þ p0 T1 T4 T4 T1 T1 p0 k ¼ ¼ ist ¼ ¼ ð26Þ p T2 T3 T3 T2 T2 p ist der thermische Wirkungsgrad ðk1Þ=k jPj p0 h¼ ¼1 p Q_
ð27Þ
nur vom Druckverhltnis p=p0 oder dem Temperaturverhltnis T2 =T1 der Verdichtung abhngig. Die Verdichterleistung
Bild 9. Dampfkraftanlage. a Kessel; b berhitzer; c Turbine; d Kondensator; e Speisewasserpumpe
I8.5 Klteanlagen und Wrmepumpen
D 23
abgegeben wird. Zur Klteerzeugung bei Temperaturen bis etwa 100 C dienen vorwiegend Kompressionskltemaschinen. Das Schaltbild einer Kompressionskltemaschine zeigt Bild 11. Der Verdichter a, der fr kleine Leistungen meist als Kolben-, fr große Leistungen als Turboverdichter ausgebildet ist, saugt Dampf aus dem Verdampfer b beim Druck p0 und der zugehrigen Sttigungstemperatur T0 an und verdichtet ihn lngs der Adiabaten 1 2 (Bild 12) auf den Druck p. Der Dampf wird dann im Kondensator c beim Druck p verflssigt. Das flssige Kltemittel wird im Drosselventil d entspannt und gelangt dann wieder in den Verdampfer, wo ihm Wrme zugefhrt wird. Die Kltemaschine entzieht dem Khlgut eine Wrme Q0 , die dem Verdampfer b zugefhrt wird. Im Kondensator c gibt sie die Wrme jQj ¼ Q0 þ Wt an die Umgebung ab. Da Wasser bei 0 C gefriert und Wasserdampf ein unbequem großes spezifisches Volumen hat, verwendet man als Kltemittel andere Fluide wie Ammoniak NH3 , Kohlendioxid CO2 , Propan C3 H8 , Butan C4 H10 , Tetrafluorethan C2 H2 F4 , Difluormonochlormethan CHF2 Cl. Dampftafeln von Kltemitteln enthlt Anh. D 6 Tab. 7 bis 10. Mit m_ als dem Mas-
Bild 10. Zustandsnderung des Wassers beim Kreisprozess der einfachen Dampfkraftanlage im T, s- und im h, s-Diagramm
Die Nutzleistung des Kreisprozesses ist P ¼ m_ wt ¼ PT PP ;
ð34Þ
mit der Pumpenleistung PP ¼ m_ ðh1 h0 Þ ¼ m_
1 ðh10 h0 Þ; hV
ð35Þ
Bild 11. Schaltbild einer Kaltdampfmaschine, Erluterungen im Text
worin hV der Wirkungsgrad der Speisewasserpumpe ist. Die Nutzleistung unterscheidet sich nur geringfgig von der Leistung der Turbine. Der thermische Wirkungsgrad ist h¼
m_ wt ðh2 h3 Þ ðh1 h0 Þ ¼ : h2 h1 Q_ zu
ð36Þ
Thermische Wirkungsgrade erreichen bei einem Gegendruck p0 ¼ 0; 05 bar, einem Frischdampfdruck von 150 bar und einer Dampftemperatur von 500 C Werte von h 0,42. Deutlich grßere thermische Wirkungsgrade von derzeit bis zu h 0; 58 erreicht man in kombinierten Gas-Dampfkraftwerken, so genannten GuD-Kraftwerken (s. R 6.2.1). In ihnen wird das Verbrennungsgas zuerst in einer Gasturbine unter Arbeitsleistung entspannt und anschließend zur Dampferzeugung einem Dampfkraftwerk zugefhrt.
8.5 Klteanlagen und Wrmepumpen Refrigeration plants and heat pumps 8.5.1 Kompressionsklteanlage Compression refrigeration plant In Kltemaschinen (s. M 5) verwendet man ebenso wie in den Wrmekraftanlagen Gase oder Dmpfe als Arbeitsstoffe. Man bezeichnet sie als Kltemittel. Zweck einer Kltemaschine ist es, einem Khlgut Wrme zu entziehen. Dazu muss eine Arbeit verrichtet werden, die in Form von Wrme zusammen mit der dem Khlgut entzogenen Wrme an die Umgebung
Bild 12. Kreisprozess des Kltemittels einer Kaltdampfmaschine im T, s- und im Mollier-p, h-Diagramm
D
D 24
Thermodynamik – 9 Gemische idealer Gase
senstrom des umlaufenden Kltemittels ist die Klteleistung Q_ 0 ¼ m_ q0 ¼ m_ ðh1 h4 Þ ¼ m_ ðh00 ðp0 Þ h0 ðpÞÞ;
ð37Þ
weil h4 ¼ h3 ¼ h0 ðpÞ ist. Die Antriebsleistung des Verdichters ist 1 PV ¼ m_ wt12 ¼ m_ ðh2 h1 Þ ¼ m_ ðh20 h00 ðp0 ÞÞ; ð38Þ hV
D
worin hV sein isentroper Wirkungsgrad ist. Der vom Kondensator abgefhrte Wrmestrom ist jQ_ j ¼ m_ jqj ¼ m_ ðh2 h3 Þ ¼ m_ ðh2 h0 ðpÞÞ:
ð39Þ
Die Leistungszahl einer Kltemaschine ist definiert als das Verhltnis von Klteleistung Q_ 0 zur Leistungsaufnahme P des Verdichters Q_ 0 q0 h00 ðp0 Þ h0 ðpÞ : ð40Þ ¼ ¼ hV eKM ¼ PV wt12 h20 h00 ðp0 Þ Sie hngt außer vom isentropen Verdichtungswirkungsgrad nur noch von den beiden Drcken p und p0 ab. 8.5.2 Kompressionswrmepumpe. Compression heat pump Sie arbeitet nach dem gleichen Prozess wie die in Bild 11 und Bild 12 dargestellte Kompressionsklteanlage (s. M 6). Ihr Zweck besteht darin, einem Krper Wrme zuzufhren. Dazu wird der Umgebung Wrme Q0 (Anergie) entzogen und zusammen mit der verrichteten Arbeit Wt (Exergie) als Wrme dem zu erwrmenden Krper zugefhrt jQj ¼ Q0 þ Wt . Die Leistungszahl einer Wrmepumpe ist definiert als Verhltnis der von der Wrmepumpe abgegebenen Heizleistung jQ_ j zur Leistungsaufnahme P des Verdichters eWP ¼
jQ_ j jqj h2 h0 ðpÞ : ¼ ¼ hV P wt h20 h00 ðp0 Þ
tet die Wrmepumpe bei zu tiefen Außentemperaturen unter rund 3 C ab und heizt dann konventionell. Motorgetriebene Wrmepumpen mit Abwrmenutzung nutzen ebenso wie Sorptionswrmepumpen die Primrenergie besser als elektrisch angetriebene Wrmepumpen.
8.6 Kraft-Wrme-Kopplung Combined power and heat generation (co-generation) Die gleichzeitige Erzeugung von Heizwrme und elektrischer Energie in Heizkraftwerken bezeichnet man als Kraft-Wrme-Kopplung (s. L 3.2). Dabei wird die ohnehin in großer Menge anfallende Kraftwerksabwrme zu Heizzwecken genutzt. Da die zur Heizung bentigte Wrme berwiegend und zwar zu mehr als 90% aus Anergie besteht, wird weniger Primrenergie, die ja berwiegend aus Exergie besteht, als bei konventioneller Heizung in Heizwrme umgewandelt. Man fhrt aus der Dampfturbine Niederdruckdampf ab, der neben Anergie noch soviel Exergie enthlt, dass die Heizenergie und die Exergieverluste in der Wrmeverteilung – in der Regel ein Fernheiznetz – gedeckt werden knnen. Gegenber dem reinen Kraftwerksbetrieb bßt man durch die Dampfentnahme zwar Arbeit ein, der Primrenergieumsatz zur gleichzeitigen Erzeugung von Arbeit und Heizwrme ist aber geringer als zur getrennten Gewinnung der Arbeit im Kraftwerk und der Heizwrme im konventionellen Heizsystem. Eine vereinfachte Schaltung zeigt Bild 13. Je nach Art der Schaltung sind Heizzahlen z ¼ jQ_ j=PPr bis rund 2,2 erreichbar [9], wobei PPr der nur auf die Heizung entfallende Anteil der Primrenergie ist. Die Heizzahlen liegen deutlich ber denen der meisten Wrmepumpen-Heizsysteme.
ð41Þ
Wie das T, s-Diagramm (Bild 12) zeigt, wird die Flche wt bei hoher Umgebungstemperatur T0 und bei niedriger Heiztemperatur T kleiner. Es wird weniger Antriebsleistung fr den Verdichter bentigt. Die Leistungszahl wchst. Um Wrmepumpen zur Beheizung von Wohnrumen wirtschaftlich betreiben zu knnen, muss man die Heiztemperatur niedrig halten, beispielsweise durch eine Fußbodenheizung, bei der t/29 C ist. Die Wrmepumpe wird außerdem bei zu tiefen Umgebungstemperaturen unwirtschaftlich. Sinkt die Leistungszahl eWP unter Werte von rund 2,3, so spart man im Vergleich mit der konventionellen Heizung keine Primrenergie mehr ein, denn Wirkungsgrade der Umwandlung von Primrenergie PPr im Kraftwerk in elektrische Energie P zum Antrieb der Wrmepumpe hel ¼ P=PPr liegen in Deutschland im Mittel bei 0,4. Damit ist die Heizzahl z ¼ jQ_ j=PPr mit 0,92 etwa gleich dem Wirkungsgrad einer konventionellen Heizung. Heutige elektrisch angetriebene Wrmepumpen erreichen im Jahresmittel selten Heizzahlen von 2,3, es sei denn man schal-
9 Gemische idealer Gase Ideal gas mixtures 9.1 Gesetz von Dalton. Thermische und kalorische Zustandsgrßen Daltons law. Thermal and caloric properties Ein Gemisch von idealen Gasen, die miteinander nicht chemisch reagieren, verhlt sich ebenfalls wie ein ideales Gas. Es gilt die thermische Zustandsgleichung
Bild 13. Schema der Kraft-Wrme-Kopplung im Entnahme-Gegendruck-Betrieb. a Dampferzeuger, b berhitzer, c Drossel, d Turbine, G Generator, e Kondensator (Wrmeerzeuger), f Wrmeverbraucher, g Pumpe, h Speicher
pV ¼ n RT:
ð1Þ
Jedes einzelne Gas, Komponente genannt, verteilt sich auf den gesamten Raum V so, als ob andere Gase nicht vorhanden wren. Fr jede Komponente i gilt daher pi V ¼ ni RT;
ð2Þ
wobei pi der von jedem einzelnen Gas ausgebte Druck ist, den man als Partialdruck bezeichnet. Summiert man X X ber alle Einzelgase, so folgt pi V ¼ ni RT oder
I9.2 Gas-Dampf-Gemische. Feuchte Luft V
X
pi ¼ RT X p¼ pi
X
ni . Der Vergleich mit Gl. (1) zeigt, dass ð3Þ
gilt: Der Gesamtdruck p des Gasgemisches ist gleich der Summe der Partialdrcke der Einzelgase, wenn diese bei der Temperatur T das Volumen V des Gemisches einnehmen (Gesetz von Dalton). Die thermische Zustandsgleichung Gl. (1) eines idealen Gasgemisches kann man auch schreiben pV ¼ m RT; mit der Gaskonstante R des Gemisches X R¼ Ri mi =m:
ð4Þ
ð5Þ
Spezifische, auf die Masse in kg bezogene kalorische Zustandsgrßen eines Gemisches vom Druck p und der Temperatur T ergeben sich durch Addition der kalorischen Zustandsgrßen bei gleichen Werten p, T der Einzelgase entsprechend ihrer Massenanteile. Es ist 1X 1X mi cvi ; cp ¼ mi cpi ; cv ¼ m m ð6Þ X X 1 1 u¼ h¼ mi ui ; mi h i : m m Eine Ausnahme bildet die Entropie, da bei der Mischung von Einzelgasen vom Zustand p, T zu einem Gemisch vom gleichen Zustand, eine Entropiezunahme auftritt. Es ist X 1 X ni s¼ ð7Þ mi Ri ln ; mi si n m wenn ni die Molmengen der Einzelgase X und n die des Gemisches sind. Es sind ni ¼ mi =Mi und n ¼ ni , mit der Masse mi und der Molmasse Mi der Einzelgase. Mischungen realer Gase und Flssigkeiten weichen besonders bei hheren Drcken von vorstehenden Beziehungen ab.
Mischungen von Gasen und leicht kondensierenden Dmpfen kommen in Physik und Technik hufig vor. Die atmosphrische Luft besteht im wesentlichen aus trockener Luft und Wasserdampf. Trocknungs- und Klimatisierungsvorgnge werden durch die Anwendung der Gesetze der Dampf-Luftgemische bestimmt, ebenso die Bildung der BrennstoffdampfLuftgemische im Verbrennungsmotor. Im Folgenden beschrnken wir uns auf die Betrachtung atmosphrischer Luft. Trockene Luft besteht aus 78,04 Mol-% Stickstoff, 21,00 Mol-% Sauerstoff, 0,93 Mol-% Argon und 0,03 Mol-% Kohlendioxid. Die atmosphrische Luft kann man als Zweistoffgemisch betrachten, bestehend aus trockener Luft und Wasser, das in dampffrmiger, flssiger oder fester Form vorliegen kann. Man bezeichnet das Gemisch auch als feuchte Luft. Die trockene Luft betrachtet man als einheitlichen Stoff. Da der Gesamtdruck bei Zustandsnderungen fast immer in der Nhe des Atmosphrendrucks liegt, kann man die feuchte Luft aus trockener Luft und Wasserdampf als ein Gemisch idealer Gase ansehen. Es ist dann fr die trockene Luft bzw. fr den Wasserdampf ð8Þ
Mit p ¼ pL þ pD folgt aus den vorstehenden Gleichungen die Wasserdampfmasse, die 1 kg trockener Luft beigemischt ist. xD ¼
mD RL pD : ¼ mL RD ðp pD Þ
Man bezeichnet die Grße xD ¼ mD =mL als Wasserdampfbeladung der feuchten Luft, im Folgenden kurz Dampfbeladung genannt und nicht zu verwechseln mit dem Dampfgehalt von Gemischen aus dampffrmigen und flssigen Wasser. Ist Wasser in der Luft nicht nur in Form von Dampf, sondern auch in flssiger oder fester Form vorhanden, so ist die Wasserbeladung x von der Dampfbeladung xD zu unterscheiden. Die Wasserbeladung ist definiert zu x¼
mW mD þ mFl þ mE ¼ ¼ xD þ xFl þ xE mL mL
ð10Þ
wobei mD die Dampfmasse, mFl die Flssigkeitsmasse und mE die Eismasse in der trockenen Luftmasse mL bedeuten. xD , xFl und xE sind die Dampf-, Flssigkeits- und Eisbeladung. Die Wasserbeladung x kann zwischen 0 (trockene Luft) und 1 (reines Wasser) liegen. Ist feuchte Luft der Temperatur T mit Wasserdampf gesttigt, so wird der Partialdruck des Wasserdampfes gleich dem Sttigungsdruck pD ¼ pDS bei der Temperatur T und die Dampfbeladung wird xS ¼
RL pDS : RD ðp pDS Þ
ð11Þ
Beispiel: Man berechne die Dampfbeladung xS von gesttigter feuchter Luft bei einer Temperatur von 20 C und einem Gesamtdruck von 1 000 mbar. Es ist RL ¼ 0; 2872 kJ/kg K, RD ¼ 0; 4615 kJ/kg K. Aus der Wasserdampftafel Anh. D 6 Tab. 5 findet man den Dampfdruck pDS (20 C)=23,39 mbar. Damit wird xS ¼
0; 2872 23; 39 g 103 ¼ 14; 905 g=kg: 0; 4615ð1 000 23; 39Þ kg
Weitere Werte xS in Anh. D 9 Tab. 1.
Feuchtegrad, relative Feuchte. Als relatives Maß fr die Dampfbeladung definiert man den Feuchtegrad y ¼ xD =xS . In der Meteorologie wird dagegen meistens mit der relativen Feuchte j ¼ pD ðtÞ=pDS ðtÞ gerechnet. Beide Werte weichen in der Nhe der Sttigung nur wenig voneinander ab, denn es ist xD pD ðp pDS Þ ðp pDS Þ oder y ¼ j : ¼ xS pDS ðp pD Þ ðp pD Þ
9.2 Gas-Dampf-Gemische. Feuchte Luft Mixtures of gas and vapour. Humid air
pL V ¼ mL RL T bzw: pD V ¼ mD RD T:
D 25
ð9Þ
Bei Sttigung ist y=j=1. Erhht man den Druck oder senkt man die Temperatur gesttigter feuchter Luft, so kondensiert der berschssige Wasserdampf. Der kondensierte Dampf fllt als Nebel oder Niederschlag (Regen) aus; bei Temperaturen unter 0 C bilden sich Eiskristalle (Schnee). Die Wasserbeladung ist in diesem Fall grßer als die Dampfbeladung x > xD ¼ xS . Die relative Luftfeuchte kann mit direkt anzeigenden Gerten (z. B. Haarhygrometern) oder mit Hilfe des Aspirationspsychrometers nach Assmann bestimmt werden (s. W 2.9). Enthalpie feuchter Luft. Da bei Zustandsnderungen feuchter Luft die beteiligte Luftmenge dieselbe bleibt und sich nur die zugemischte Wassermenge durch Tauen oder Verdunsten ndert, bezieht man alle Zustandsgrßen auf 1 kg trockene Luft. Diese enthlt dann x ¼ mW =mL kg Wasser wovon xD ¼ mD =mL dampffrmig sind. Fr die Enthalpie h1þx des ungesttigten (x ¼ xD < xS ) Gemisches aus 1 kg trockener Luft und x kg Dampf gilt h1þx ¼ cpL t þ xD ðcpD t þ rÞ:
ð12Þ
Es sind cpL ¼ 1; 005 kJ/kg K die isobare spez. Wrmekapazitt der Luft, cpD ¼ 1; 86 kJ/kg K die des Wasserdampfes und r=2 500,5 kJ/kg die Verdampfungsenthalpie des Wassers bei 0 C. In dem interessierenden Temperaturbereich von –60 bis +100 C kann man konstante Werte cp annehmen. Bei Sttigung wird xD ¼ xS und h1þx ¼ ðh1þx ÞS . Ist die Wasserbeladung x grßer als die Sttigungsbeladung xS so fllt bei Temperaturen t > 0 ° C der Wasseranteil x xS ¼ xFl in Form von
D
D 26
Thermodynamik – 9 Gemische idealer Gase
Nebel oder auch als Bodenkrper in dem Gemisch aus, und es wird h1þx ¼ ðh1þx ÞS þ ðx xS ÞcW t: ð13Þ Bei Temperaturen t < 0 C fllt der Wasseranteil x xS ¼ xE als Schnee oder Eis aus, und es ist ð14Þ h1þx ¼ ðh1þx ÞS ðx xS ÞðDhE cE tÞ:
D
Es ist cW =4,19 kJ/kg K die spez. Wrmekapazitt des Wassers, cE =2,04 kJ/kg K die des Eises und DhE =333,5 kJ/kg die Schmelzenthalpie des Eises. In Anh. D 9 Tab. 1 sind die Sttigungsdrcke, die Dampfbeladungen und die Enthalpien gesttigter feuchter Luft bei Temperaturen zwischen –20 und +100 C fr einen Gesamtdruck von 1 000 mbar angegeben. Bei t ¼ 0 C kann Wasser gleichzeitig in allen drei Aggregatszustnden vorliegen. Fr die Enthalpie h1þx des Gemisches gilt dann h1þx ¼ xS r xE DhE :
ð15Þ
9.2.1 Mollier-Diagramm der feuchten Luft Mollier-diagram of humid air Fr die graphische Darstellung von Zustandsnderungen feuchter Luft hat Mollier ein h1þx , x-Diagramm angegeben, Bild 1 a. Darin ist die Enthalpie h1þx von (1+x) kg feuchter Luft in einem schiefwinkligen Koordinatensystem ber der Wasserbeladung aufgetragen. Die Achse h=0, entsprechend feuchter Luft von 0 C ist schrg nach unten rechts gelegt, derart, dass die 0 C Isotherme der feuchten ungesttigten Luft waagrecht verluft. Bild 1 b zeigt die Konstruktion der Isothermen nach Gl. (12) und Gl. (13). Die Linien x=const sind senkrechte, die Linien h=const zur Achse h1þx ¼ 0 parallele Geraden. In Bild 1 a ist die Grenzkurve j=1 fr den Gesamtdruck 1 000 mbar eingezeichnet. Sie trennt das Gebiet der ungesttigten Gemische (oben) von dem Nebelgebiet (unten), in dem die Feuchtigkeit teils als Dampf, teils in flssiger (Nebel, Niederschlag) oder fester Form (Eisnebel, Schnee)
Bild 1 a, b. h1þx , x-Diagramm der feuchten Luft nach Mollier
im Gemisch enthalten ist. Isothermen im ungesttigten Gebiet nach Gl. (12) sind nach rechts schwach ansteigende Geraden, die an der Grenzkurve nach unten abknicken und im Nebelgebiet den Geraden konstanter Enthalpie nahezu parallel verlaufen entsprechend Gl. (13). Fr einen Punkt im Nebelgebiet mit der Temperatur t und der Wasserbeladung x findet man den dampffrmigen Anteil, indem man die Isotherme t bis zum Schnitt mit der Grenzkurve j ¼ 1 verfolgt. Der im Schnittpunkt abgelesene Anteil xS ist als Dampf und damit der Anteil x xS als Flssigkeit und/oder Eis im Gemisch enthalten. Die schrgen, strahlenartigen Geradenstcke Dh1þx =Dx legen zusammen mit dem Nullpunkt die Richtung fest, in der man sich von einem beliebigen Diagrammpunkt aus bewegt, wenn man dem Gemisch Wasser oder Wasserdampf zusetzt, dessen Enthalpie in kJ/kg gleich den Zahlen an den Randstrahlen ist. Um die Richtung der Zustandsnderung zu finden, hat man durch den Zustandspunkt der feuchten Luft eine Parallele zur Geraden zu zeichnen, die durch den Nullpunkt ( h=0, x=0) und den Randstrahl festgelegt ist. 9.2.2 Zustandsnderungen feuchter Luft Changes of state of humid air Erwrmung oder Abkhlung. Wird ein gegebenes Gemisch erwrmt, so bewegt man sich auf einer Senkrechten nach oben (1–2 in Bild 2 a), wird es abgekhlt, so bewegt man sich auf einer Senkrechten nach unten ( 2–1). Solange sich die Zustnde 1 und 2 im ungesttigten Gebiet befinden, ist die senkrechte Entfernung zweier Zustandspunkte gemessen im Enthalpiemaßstab gleich der ausgetauschten Wrme bezogen auf 1 kg trockene Luft: Q12 ¼ mL ðcpL þ cpD xÞðt2 t1 Þ;
ð16Þ
mit cpL ¼ 1; 005 kJ/kg K und cpD ¼ 1; 852 kJ/kg K. Bei Abkhlung feuchter Luft unter den Taupunkt des Wassers (1–2 in Bild 2 b) fllt ein Niederschlag aus. Die abgefhrte Wrme ist
I10 Wrmebertragung Q12 ¼ mL ððh1þx Þ2 ðh1þx Þ1 Þ;
D 27
ð17Þ
worin ðh1þx Þ1 durch Gl. (12) und ðh1þx Þ2 durch Gl. (13) gegeben ist. Es fllt eine Wassermenge mW ¼ mL ðx1 x3 Þ
ð18Þ
aus. Beispiel: 1 000 kg feuchte Luft von t1 ¼ 30 C, j1 =0,6 und p=1 000 mbar werden auf 15 C abgekhlt. Wie viel Kondensat entsteht? Die Dampfbeladung x1 erhlt man aus Gl. (9) mit pD ¼ j1 pDS . Nach Anh. D 9 Tab. 1 ist pDS (30 C)=42,46 mbar. Damit wird x1 ¼
D
RL ðj1 pDS Þ 0; 2872 0; 6 42; 46 ¼ RD ðp j1 pDS Þ 0; 4615ð1 000 0; 6 42; 46Þ
¼ 16; 25 103 kg=kg ¼ 16; 25 g=kg:
Die 1 000 kg feuchte Luft bestehen aus 1000=ð1 þ x1 Þ ¼ 1000=1; 01625 kg ¼ 984,01 kg trockener Luft und 1000 984,01 ¼ 15,99 kg Wasserdampf. Die Wasserbeladung im Punkt 3, x3 ¼ xS , folgt aus Anh. D 9 Tab. 1 bei t3 ¼ 15 C zu x3 ¼ 10; 79 g/kg. Damit wird mFl ¼ 984; 01 ð16; 25 10; 80Þ 103 kg=5,36 kg.
Mischung zweier Luftmengen. Mischt man zwei Luftmengen vom Zustand 1 und 2 (Bild 2 c) und sorgt dafr, dass mit der Umgebung keine Wrme ausgetauscht wird, so liegt der Zustand m (Punkt 3 in Bild 2 c) nach der Mischung auf der Verbindungsgeraden 1–2. Den Punkt m erhlt man durch Unterteilen der Geraden 1–2 im Verhltnis der Trockenluftmengen mL2 =mL1 . Es ist xm ¼ ðmL1 x1 þ mL2 x2 Þ=ðmL1 þ mL2 Þ:
ð19Þ
Mischen von gesttigten Luftmengen verschiedener Temperaturen liefert stets Nebel unter Ausscheiden der Wassermenge xm xS , wobei xS der Sttigungsgehalt auf der Nebelisotherme durch den Mischungspunkt ist. Beispiel: 1 000 kg feuchte Luft von t1 =30 C und j1 ¼ 0; 6 werden mit 1 500 kg gesttigter feuchter Luft von t2 =10 C bei 1 000 mbar gemischt. Wie groß ist die Temperatur nach der Mischung? Wie im vorigen Beispiel schon berechnet, ist x1 ¼ 16; 25 g/kg. Aus Anh. D 9 Tab. 1 entnimmt man bei t2 ¼ 10 C die Wasserbeladung x2s =7,7377 g/kg. Die Trockenluftmengen sind mL1 ¼ 1 000=ð1 þ x1 Þ kg ¼ 1 000=ð1 þ 16; 25 103 Þ kg=984,01 kg und mL2 ¼ 1 500= ð1 þ x2s Þ kg ¼ 1 500=ð1 þ 7; 7377 103 Þ kg=1 488,5 kg. Damit wird xm ¼ ð984; 01 16; 25 þ 1 488; 5 7; 7377Þ=ð984; 01 þ 1 488; 5Þ g=kg ¼ 11; 12 g=kg: Die Enthalpie berechnet man nach Gl. (12). Es ist ðh1þx Þ1 ¼ ð1; 005 30 þ 16; 25 103 ð1; 86 30 þ 2 500; 5ÞÞ kJ=kg ¼ 71; 69 kJ=kg; 3
ðh1þx Þ2 ¼ ð1; 005 10 þ 7; 7377 10 ¼ 29; 54 kJ=kg:
ð1; 86 10 þ 2 500; 5ÞÞ kJ=kg
Die Enthalpie des Gemisches ist ðh1þx Þm ¼ ðmL1 ðh1þx Þ1 þ mL2 ðh1þx Þ2 Þ=ðmL1 þ mL2 Þ ¼ ð984; 01 71; 69 þ 1 488; 5 29; 54Þ= ð984; 01 þ 1 488; 5Þ kJ=kg ¼ 46; 31 kJ=kg:
10 Wrmebertragung. Heat transfer Bestehen zwischen verschiedenen, nicht voneinander isolierten Krpern oder innerhalb verschiedener Bereiche eines Krpers Temperaturunterschiede, so fließt Wrme so lange von der hheren zur tieferen Temperatur, bis sich die verschiedenen Temperaturen angeglichen haben. Man bezeichnet diesen Vorgang als Wrmebertragung. Es sind drei Flle der Wrmebertragung zu unterscheiden:
Bild 2 a–d. Zustandsnderungen feuchter Luft. a Erwrmung und Abkhlung; b Abkhlung unter den Taupunkt; c Mischung; d Zusatz von Wasser oder Wasserdampf
Andererseits ist nach Gl. (12) ðh1þx Þm ¼ ð1; 005 tm þ 11; 12 103 ð1; 86 tm þ 2 500; 5ÞÞ kJ=kg: Daraus folgt tm =18 C.
Zusatz von Wasser oder Wasserdampf. Mischt man Luft mit mW kg Wasser oder Wasserdampf, so betrgt der Wassergehalt nach der Mischung xm ¼ ðmL1 x1 þ mW Þ=mL1 . Die Enthalpie ist ðh1þx Þm ¼ ðmL1 ðh1þx Þ1 þ mW hW Þ=mL1 :
ð20Þ
Im Mollier-Diagramm fr feuchte Luft (Bild 2 d) liegt der Endzustand nach der Mischung auf derjenigen Geraden durch den Anfangszustand 1 der feuchten Luft, die parallel zu der durch den Koordinatenursprung gehenden Geraden mit der Steigung hW verluft, wobei hW ¼ Dh1þx =Dx durch die Geradenstcke des Randmaßstabs gegeben ist. Khlgrenztemperatur. Streicht ungesttigte feuchte Luft vom Zustand t1 ; x1 ber eine Wasser- oder Eisoberflche, so verdunstet bzw. sublimiert Wasser und wird von der Luft aufgenommen, wodurch deren Wassergehalt zunimmt. Hierbei sinkt die Temperatur des Wassers bzw. des Eises und erreicht nach hinreichend langer Zeit einen stationren Endwert, den man Khlgrenztemperatur nennt. Man findet die Khlgrenztemperatur tg mit Hilfe des Mollier-Diagramms, indem man diejenige Nebelisotherme tg sucht, deren Verlngerung durch den Zustandspunkt 1 geht.
– Die Wrmebertragung durch Leitung in festen oder in unbewegten flssigen und gasfrmigen Krpern. Dabei wird kinetische Energie von einem Molekl oder von Elementarteilchen auf seine Nachbarn bertragen. – Die Wrmebertragung durch Mitfhrung oder Konvektion in bewegten flssigen oder gasfrmigen Krpern. – Die Wrmebertragung durch Strahlung, die sich ohne materiellen Trger mit Hilfe der elektromagnetischen Wellen vollzieht.
D 28
Thermodynamik – 10 Wrmebertragung
In der Technik wirken oft alle drei Arten der Wrmebertragung zusammen.
Ti Ta Q_ ¼ lAm d
10.1 Stationre Wrmeleitung Steady state heat conduction
D
Um formale bereinstimmung mit Gl. (1) zu erreichen, kann man auch
Stationre Wrmeleitung durch eine ebene Wand. Werden die beiden Oberflchen einer ebenen Wand der Dicke d auf verschiedenen Temperaturen T1 und T2 gehalten, so strmt durch die Flche A in der Zeit t nach dem Fourierschen Gesetz die Wrme T1 T2 t: d Darin ist l ein Stoffwert (SI-Einheit W/(Km)), den man Wrmeleitfhigkeit nennt (s. Anh. D 10 Tab. 1). Man bezeichnet Q=t ¼ Q_ als Wrmestrom (SI-Einheit W) und Q=ðtAÞ ¼ q_ (SI-Einheit W/m2 ) als Wrmestromdichte. Es ist
ð5Þ
Aa Ai mit d ¼ ra ri und Am ¼ schreiben, wenn Aa ¼ ln ðAa =Ai Þ 2pra l die ußere und Ai ¼ 2pri l die innere Oberflche des Rohrs ist. Am ist das logarithmische Mittel zwischen ußerer und innerer Rohroberflche. Der „Wrmeleitwiderstand“ des Rohrs RW ¼ d=ðlAm Þ (SI-Einheit K/W) muss durch eine Temperaturdifferenz berwunden werden, damit ein Wrmestrom fließen kann.
Q ¼ lA
T1 T2 T1 T2 Q_ ¼ lA und q_ ¼ l : ð1Þ d d hnlich wie bei der Elektrizittsleitung ein Strom I nur fließt, wenn man eine Spannung U anlegt, um den Widerstand R zu berwinden (I= U/R), fließt ein Wrmestrom Q_ nur dann, wenn eine Temperaturdifferenz DT ¼ T1 T2 vorhanden ist: lA Q_ ¼ DT: d In Analogie zum Ohmschen Gesetz nennt man RW ¼ d=ðlAÞ einen Wrmeleitwiderstand (SI-Einheit K/W). Fouriersches Gesetz. Betrachtet man statt der Wand der endlichen Dicke d eine aus ihr senkrecht zum Wrmestrom herausgeschnittene Scheibe der Dicke dx, so erhlt man das Fouriersche Gesetz in der Form dT dT Q_ ¼ lA und q_ ¼ l ; ð2Þ dx dx wobei das negative Vorzeichen ausdrckt, dass die Wrme in Richtung abnehmender Temperatur strmt. Q_ ist hierbei der Wrmestrom in Richtung der x-Achse, Entsprechendes gilt fr q_ . Der Wrmestrom in Richtung der drei Koordinaten x, y, z ist ein Vektor ¶T ¶T ¶T q_ ¼ l ð3Þ ex þ ey þ ez ¶x ¶y ¶z mit den Einheitsvektoren ex ; ey ; ez . Gl. (3) ist zugleich die allgemeine Form des Fourierschen Gesetzes. Es gilt in dieser Form fr isotrope Krper, d. h. solche, deren Wrmeleitfhigkeit in Richtung der drei Koordinatenachsen gleich groß ist. Stationre Wrmeleitung durch eine Rohrwand. Nach dem Fourierschen Gesetz wird durch eine Zylinderflche vom Radius r und der Lnge l ein Wrmestrom Q_ ¼ l2prlðdT=drÞ bertragen. Bei stationrer Wrmeleitung ist der Wrmestrom fr alle Radien gleich, Q_ ¼ const; sodass man die Vernderlichen T und r trennen und von der inneren Oberflche bei r ¼ ri des Zylinders mit der Temperatur Ti bis zu einer beliebigen Stelle r mit der Temperatur T integrieren kann. Man erhlt als Temperaturverlauf in einer Rohrschale der Dicke r ri : Ti T ¼
10.2 Wrmebergang und Wrmedurchgang Heat transfer and heat transmission Geht von einem Fluid Wrme an eine Wand ber, wird darin fortgeleitet und auf der anderen Seite an ein zweites Fluid bertragen, so spricht man von Wrmedurchgang. Dabei sind zwei Wrmebergnge und ein Wrmeleitvorgang hintereinander geschaltet. Die Temperatur fllt in einer Schicht unmittelbar an der Wand steil ab (Bild 1), whrend sich die Temperaturen in einiger Entfernung von der Wand nur wenig unterscheiden. Man kann vereinfachend annehmen, dass an der Wand eine dnne ruhende Fluidgrenzschicht von der Filmdicke di bzw. da haftet, whrend das Fluid außerhalb Temperaturunterschiede ausgleicht. In dem dnnen Fluidfilm wird Wrme durch Leitung bertragen, und es gilt nach Fourier fr den an die linke Wandseite bertragenen Wrmestrom Ti T1 Q_ ¼ lA ; di worin l die Wrmeleitfhigkeit des Fluids ist. Die Filmdicke di hngt von vielen Grßen ab, wie Geschwindigkeit des Fluids entlang der Wand, Form und Oberflchenbeschaffenheit der Wand. Es hat sich als zweckmßig erwiesen, statt mit der Filmdicke di mit dem Quotienten l=di ¼ a zu rechnen. Man kommt zu dem Newtonschen Ansatz fr den Wrmebergang eines Fluids an einer festen Oberflche Q_ ¼ aAðTf T0 Þ;
Q_ r ln : l2pl ri
Mit der Temperatur Ta der ußeren Oberflche vom Radius ra erhlt man den Wrmestrom in einem Rohr der Dicke ra ri und der Lnge l: Ti Ta Q_ ¼ l2pl : ln ra =ri
ð4Þ
ð6Þ
in dem allgemein Tf die Fluidtemperatur und T0 die Oberflchentemperatur bedeuten. Die Grße a nennt man Wrmebergangskoeffizient (SI-Einheit W/(m2 K)). Grßenordnungen von Wrmebergangskoeffizienten gibt Tab. 1. Grundlagen zur Berechnung von a findet man in D 10.4. In Anlehnung an das Ohmsche Gesetz I=(1/R)U nennt man 1/a A=RW den Wrmebergangswiderstand (SI-Einheit K/ W). Er muss durch die Temperaturdifferenz DT ¼ Tf T0 berwunden werden, damit der Wrmestrom Q_ fließen kann. In Bild 1 sind vom Wrmestrom drei hintereinanderliegende Einzelwiderstnde zu berwinden. Diese summieren sich zum Gesamtwiderstand.
Bild 1. Wrmedurchgang durch eine ebene Wand
I10.3 Nichtstationre Wrmeleitung
D 29
Besteht das Rohr aus mehreren homogenen Einzelrohren mit der Dicke d1 ; d2 ; . . . und den Wrmeleitfhigkeiten l1 ; l2 ; . . ., so gilt wieder Gl. (7), jedoch ist jetzt der gesamte Wrmewiderstand X dj 1 1 1 ¼ þ þ ; ð11Þ lj Amj aa Aa kAa ai Ai
Tabelle 1. Wrmebergangskoeffizienten a in W/(m2 K)
wobei die Summe ber alle Einzelrohre zu bilden ist und Amj die mittlere logarithmische Flche des Einzelrohrs j Amj ¼ ðAaj Aij Þ= lnðAaj =Aij Þ ist.
Wrmedurchgang durch ebene Wnde. Der durch eine ebene Wand (Bild 1) durchtretende Wrmestrom ist Q_ ¼ kAðTi Ta Þ
ð7Þ
mit dem gesamten Wrmewiderstand 1/(kA), der sich additiv aus den Einzelwiderstnden zusammensetzt: 1 1 d 1 þ þ : ¼ kA ai A lA aa A
ð8Þ
Die durch Gl. (7) definierte Grße k nennt man den Wrmedurchgangskoeffizienten (SI-Einheit W/(m2 K)). Besteht die Wand aus mehreren homogenen Schichten (Bild 2) mit den Dicken d1 ; d2 ; . . . und den Wrmeleitfhigkeiten l1 ; l2 ; . . . ; so gilt ebenfalls Gl. (7), jedoch ist jetzt der gesamte Wrmewiderstand X dj 1 1 1 þ þ : ð9Þ ¼ l j A aa A kA ai A Beispiel: Die Wand eines Khlhauses besteht aus einer 5 cm dicken inneren Betonschicht ðl ¼ 1 W=ðKmÞÞ, einer 10 cm dicken Korksteinisolierung ðl ¼ 0; 04 W=ðKmÞÞ und einer 50 cm dicken ußeren Ziegelmauer ðl ¼ 0; 75 W=ðKmÞÞ. Der Wrmebergangskoeffizient auf der Innenseite ist ai ¼ 7 W=ðm2 KÞ, der auf der Außenseite aa ¼ 20 W=ðm2 KÞ. Wie viel Wrme strmt durch 1 m2 Wand bei einer Innentemperatur von 5 C und einer Außentemperatur von 25 C? Nach Gl. (9) ist der Wrmedurchgangswiderstand 1 1 0; 05 0; 1 0; 5 1 K ¼ þ þ þ þ kA 7 1 1 1 0; 04 1 0; 75 1 20 1 W ¼ 3; 41 K=W: 1 Der Wrmestrom ist Q_ ¼ ð5 25ÞW; jQ_ j ¼ 8; 8 W. 3; 41
Wrmedurchgang durch Rohre. Es gilt wiederum die Gl. (7) fr den Wrmedurchgang durch ein Rohr. Der Wrmewiderstand setzt sich additiv aus den Einzelwiderstnden zu1 1 d 1 sammen þ þ . ¼ kA ai Ai lAm aa Aa Es ist blich, den Wrmedurchgangskoeffizienten k auf die meist leicht zu ermittelnde ußere Rohroberflche A ¼ Aa zu beziehen, sodass der gesamte Wrmewiderstand gegeben ist durch 1 1 d 1 ¼ þ þ kAa ai Ai lAm aa Aa
ð10Þ
mit Am ¼ ðAa Ai Þ=lnðAa =Ai Þ:
10.3 Nichtstationre Wrmeleitung Transient heat conduction Bei nichtstationrer Wrmeleitung ndern sich die Temperaturen zeitabhngig. In einer ebenen Wand mit fest vorgegebenen Oberflchentemperaturen ist der Temperaturverlauf nicht mehr geradlinig, da die in eine Scheibe einstrmende Wrme von der ausstrmenden verschieden ist. Der Unterschied zwischen ein- und austretendem Wrmestrom erhht (oder erniedrigt) die innere Energie in der Scheibe und damit deren Temperatur als Funktion der Zeit. Fr ebene Wnde mit einem Wrmestrom in Richtung der x-Achse gilt die Fouriersche Wrmeleitgleichung ¶T ¶2 T ¼a 2 : ¶t ¶x Bei mehrdimensionaler Wrmeleitung ist 2 ¶T ¶ T ¶2 T ¶2 T þ 2þ 2 : ¼a 2 ¶t ¶x ¶y ¶z
ð12Þ
ð13Þ
Beide Gleichungen setzen in dieser Form konstante Wrmeleitfhigkeit l voraus (Isotropie). Die Grße a=l/(rc ) ist die Temperaturleitfhigkeit (SI-Einheit m2 /s), Zahlenwerte Anh. D 10 Tab. 2. Zur Lsung der Fourierschen Wrmeleitgleichung ist es zweckmßig, wie bei anderen Problemen der Wrmebertragung dimensionslose Grßen einfhren, weil sich dadurch die Zahl der Variablen verringern lsst. Um das Grundstzliche zu zeigen, wird Gl. (12) betrachtet. Gesetzt wird Q ¼ ðT Tc Þ=ðT0 Tc Þ, worin Tc eine charakteristische konstante Temperatur, T0 eine Bezugstemperatur ist. Zum Beispiel kann Tc bei der Abkhlung einer Platte von anfnglich konstanter Temperatur T0 in einer kalten Umgebung die Umgebungstemperatur Tc ¼ Tu bedeuten. Alle Lngen bezieht man auf eine charakteristische Lnge X, z. B. die halbe Plattendicke. Es ist weiter zweckmßig, durch Fo ¼ at=X 2 eine dimensionslose Zeit einzufhren, die man die Fourier-Zahl nennt. Lsungen der Wrmeleitgleichung sind dann von der Form Q ¼ f ðx=X; FoÞ: In vielen Problemen wird die durch Leitung an die Oberflche eines Krpers gelangende Wrme durch Konvektion an das umgebende Fluid der Temperatur Tu abgegeben. Es gilt dann die Energiebilanz an der Oberflche (Index w=Wand) ¶T 1 ¶Q aX ¼ aðTw Tu Þ oder ¼ l ¶x w Qw ¶z w l mit z=x/X, Q ¼ ðT Tu Þ=ðT0 Tu Þ und Qw ¼ ðTw Tu Þ= ðT0 Tu Þ. Die Lsung ist auch eine Funktion der dimensionslosen Grße a X / l: Man nennt a X / l die Biot-Zahl Bi, in ihr ist l die als konstant vorausgesetzte Wrmeleitfhigkeit des Krpers und a der Wrmebergangskoeffizient an das umgebende Fluid. Lsungen der Gl. (12) sind von der Form
Bild 2. Wrmedurchgang durch eine ebene, mehrschichtige Wand
Q ¼ f ðx=X; Fo; BiÞ:
ð14Þ
D
D 30
Thermodynamik – 10 Wrmebertragung
10.3.1 Der halbunendliche Krper. The semi-infinite body
D
Die Temperaturnderungen sollen sich in einer im Vergleich zur Grße des Krpers dnnen Randzone abspielen. Man nennt einen solchen Krper halbunendlich. Betrachtet wird eine halbunendliche ebene Wand (Bild 3) der konstanten Anfangstemperatur T0 . Die Oberflchentemperatur der Wand werde zur Zeit t=0 auf Tðx ¼ 0Þ ¼ Tu abgesenkt und bleibe anschließend konstant. Man erhlt fr verschiedene Zeiten t1 ; t2 ; . . . Temperaturprofile. Sie sind gegeben durch T Tu x ¼ f pffiffiffiffiffi ð15Þ T0 Tu 2 at pffiffiffiffiffi mit der Gaußschen Fehlerfunktion f ðx=ð2 atÞÞ, Bild 4. Die Wrmestromdichte an der Oberflche erhlt man durch Differentiation q_ ¼ lð¶T=¶xÞx¼0 zu b q_ ¼ pffiffiffiffiffi ðTu T0 Þ pt
ð16Þ
pffiffiffiffiffiffiffi mit dem Wrmeeindringkoeffizienten b ¼ lrc (SI-Einheit 1 2 Ws2 =ðm K)) (Tab. 2), der ein Maß fr die Grße des Wrmestroms ist, der zu einer bestimmten Zeit in den Krper eingedrungen ist, wenn die Oberflchentemperatur pltzlich um einen bestimmten Betrag Tu T0 gegenber der Anfangstemperatur T0 erhht wurde. Beispiel: Bei einem pltzlichen Wetterwechsel fllt die Temperatur an der Erdoberflche von +5 auf 5 C. Wie tief sinkt die Temperatur in 1 m Tiefe nach 20 Tagen? Die Temperaturleitfhigkeit des Erdreichs betrgt a ¼ 6; 94 107 m2 =s: Nach Gl. (15) ist ! T ð5Þ 1 ¼ f ð0; 456Þ: ¼f 1 7 5 ð5Þ 2 2ð6; 94 10 20 24 3 600Þ
Endlicher Wrmebergang an der Oberflche. Wird an der Oberflche des Krpers nach Bild 3 Wrme durch Konvektion an die Umgebung bertragen, sodass an der Oberflche q_ ¼ lð¶T=¶xÞ ¼ aðTw Tu Þ gilt, wobei Tu die Umgebungstemperatur und Tw ¼ Tðx ¼ 0Þ die zeitlich vernderliche Wandtemperatur ist, so gilt Gl. (15) nicht mehr, sondern es ist b q_ ¼ pffiffiffiffiffi ðTu T0 Þ FðzÞ pt
ð17Þ
1 13 1 3 . . . ð2 n 3Þ FðzÞ ¼ 1 2 þ 2 4 . . . þ ð1Þn1 2 z 2n1 z2n2 pffiffiffiffiffi 2 z worin z ¼ a at=l ist. mit
10.3.2 Zwei halbunendliche Krper in thermischem Kontakt Two semi-infinite bodies in thermal contact Zwei halbunendliche Krper verschiedener, aber anfnglich konstanter Temperatur T1 und T2 mit den thermischen Eigenschaften l1 ; a1 und l2 ; a2 werden zur Zeit t=0 pltzlich in Kontakt gebracht, Bild 5. Nach sehr kurzer Zeit stellt sich zu beiden Seiten der Kontaktflche eine Temperatur Tm ein, die konstant bleibt. Es ist Tm T1 b2 ¼ : T2 T1 b1 þ b2 Die Kontakttemperatur Tm liegt nher bei der Temperatur des Krpers mit dem grßeren Wrmeeindringkoeffizienten b. Durch Messen von Tm kann man einen der Werte b ermitteln, wenn der andere bekannt ist.
In Bild 4 liest man ab f (0,456)=0,48. Damit wird T ¼ 0; 2 C:
Bild 5. Kontakttemperatur Tm zwischen zwei halbunendlichen Krpern Bild 3. Halbunendlicher Krper
10.3.3 Temperaturausgleich in einfachen Krpern Temperature equalization in simple bodies Ein einfacher Krper, worunter man eine Platte, einen Zylinder oder eine Kugel versteht, befinde sich zur Zeit t=0 auf einer einheitlichen Temperatur T0 und werde anschließend fr t>0 durch Wrmebertragung an ein den Krper umgebendes Fluid von der Temperatur Tu gemß der Randbedingung lð¶T=¶nÞw ¼ aðTw Tu Þ abgekhlt oder erwrmt (n sei die Koordinate normal zur Oberflche des Krpers).
Bild 4. Temperaturverlauf in einem halbunendlichen Krper Tabelle 2. Wrmeeindringkoeffizienten b ¼
pffiffiffiffiffiffiffi 1 lrc in Ws2 =ðm2 K)
Ebene Platte. Es gelten die Bezeichnungen in Bild 6, in das auch ein Temperaturprofil eingezeichnet ist. Das Temperaturprofil wird durch eine unendliche Reihe beschrieben, kann aber fr at=X 2 ^ 0; 24 (a=l/(r c) ist die Temperaturleitfhigkeit) mit einem Fehler in der Temperatur unter 1% angenhert werden durch x T Tu at ¼ C exp d2 2 cos d : ð18Þ T0 Tu X X Die Konstanten C und d hngen gemß Tab. 3 von der BiotZahl Bi=aX/l ab.
I10.4 Wrmebergang durch Konvektion
D 31
10.4 Wrmebergang durch Konvektion Heat transfer by convection Bei der Wrmebertragung in strmenden Fluiden tritt zur (molekularen) Wrmeleitung noch der Energietransport durch Konvektion hinzu. Jedes Volumenelement des Fluids ist Trger von innerer Energie, die es durch Strmung weitertransportiert und im vorliegenden Fall des Wrmebergangs durch Konvektion als Wrme an einen festen Krper bertrgt.
Bild 6. Abkhlung einer ebenen Platte
Die Oberflchentemperatur der Wand Tw erhlt man aus Gl. (18), indem man x=X setzt. Der Wrmestrom folgt aus Q_ ¼ lAð¶T=¶xÞx¼X : Zylinder. Anstelle der Ortskoordinate x in Bild 6 tritt die radiale Koordinate r. Der Radius des Zylinders ist R. Das Temperaturprofil wird wieder durch eine unendliche Reihe beschrieben, die sich fr at=R2 0; 21 mit einem Fehler unter 1% annhern lsst durch at r T Tu ð19Þ ¼ C exp d 2 I0 d : T0 Tu R R I0 ist eine Besselfunktion nullter Ordnung, deren Werte man in Tabellenwerken findet, z. B. [10]. Die Konstanten C und d hngen gemß Tab. 4 von der Biot-Zahl ab. Die Oberflchentemperatur der Wand ergibt sich aus Gl. (19), wenn man r = R setzt und der Wrmestrom aus Q_ ¼ lAð¶T=¶rÞr¼R . Dabei tritt die Ableitung der Besselfunktion I00 ¼ I1 auf. Die Besselfunktion erster Ordnung I1 ist ebenfalls vertafelt [10]. Kugel. Die Abkhlung oder Erwrmung einer Kugel vom Radius R wird ebenfalls durch eine unendliche Reihe beschrieben. Sie lsst sich fr at=R2 0; 18 mit einem Fehler unter 2% annhern durch a t sinðdr=RÞ T Tu ¼ C exp d 2 : ð20Þ T0 Tu R dr=R Die Konstanten C und d hngen gemß Tab. 5 von der BiotZahl ab. Tabelle 3. Konstanten C und d in Gl. (18)
Tabelle 4. Konstanten C und d in Gl. (19)
Tabelle 5. Konstanten C und d in Gl. (20)
Dimensionslose Kenngrßen. Grundlagen fr die Darstellung von Vorgngen des konvektiven bergangs bildet die hnlichkeitsmechanik (s. B 7). Sie erlaubt es, die Zahl der Einflussgrssen deutlich zu mindern, und man kann Wrmebergangsgesetze allgemein fr geometrisch hnliche Krper und die verschiedensten Stoffe einheitlich formulieren. Es sind folgende dimensionslose Kennzahlen von Bedeutung: Nußelt-Zahl Reynolds-Zahl Prandtl-Zahl P´eclet-Zahl Grashof-Zahl Stanton-Zahl geometrische Kenngrßen
Nu ¼ al=l Re ¼ wl=v Pr ¼ v=a Pe ¼ wl=a ¼ Re Pr Gr ¼ l3 gbDT=v2 St ¼ a=ðrwcp Þ ¼ Nu=ðRe PrÞ ln =l; n ¼ 1; 2; . . .
Es bedeuten: l Wrmeleitfhigkeit des Fluids, l eine charakteristische Abmessung des Strmungsraums l1 ; l2 ; . . . ; v die kinematische Viskositt des Fluids, r seine Dichte, a ¼ l=ðrcp Þ seine Temperaturleitfhigkeit, cp die spez. Wrmekapazitt des Fluids bei konstantem Druck, g die Fallbeschleunigung, DT ¼ Tw Tf die Differenz zwischen Wandtemperatur Tw eines gekhlten oder erwrmten Krpers und Tf der mittleren Temperatur des an ihm entlang strmenden Fluids, b der thermische Ausdehnungskoeffizient bei Wandtemperatur, mit b ¼ 1=Tw bei idealen Gasen. Die Prandtl-Zahl ist ein Stoffwert (s. Anh. D 10 Tab. 2). Man unterscheidet erzwungene und freie Konvektion. Bei der erzwungenen Konvektion wird die Strmung des Fluids durch ußere Krfte hervorgerufen, z. B. durch eine Druckerhhung in einer Pumpe. Bei der freien Konvektion wird die Strmung des Fluids durch Dichteunterschiede in einem Schwerefeld hervorgerufen, die im Allgemeinen durch Temperaturunterschiede, seltener durch Druckunterschiede, entstehen. Bei Gemischen werden Dichteunterschiede auch durch Konzentrationsunterschiede hervorgerufen. Der Wrmebergang bei erzwungener Konvektion wird durch Gleichungen der Form Nu ¼ f1 ðRe; Pr; ln =lÞ
ð21Þ
D
D 32
Thermodynamik – 10 Wrmebertragung
und der bei freier Konvektion durch Nu ¼ f2 ðGr; Pr; ln =lÞ
D
ð22Þ
beschrieben. Den gesuchten Wrmebergangskoeffizienten erhlt man aus der Nußelt-Zahl zu a ¼ Nul=l. Die Funktionen f1 und f2 kann man nur in seltenen Fllen theoretisch ermitteln, sie mssen i. Allg. durch Experimente bestimmt werden und hngen von der Form der Heiz- und Khlflche (eben oder gewlbt; glatt, rau oder berippt), der Strmungsfhrung und, in wenn auch meistens geringem Umfang, von der Richtung des Wrmestroms (Erwrmung oder Khlung des strmenden Fluids) ab. 10.4.1 Wrmebergang ohne Phasenumwandlung Heat transfer without change of phase Erzwungene Konvektion Lngsangestrmte ebene Platte bei Laminarstrmung. Fr die mittlere Nußelt-Zahl einer Platte der Lnge l gilt nach Pohlhausen Nu ¼ 0; 664 Re1=2 Pr 1=3
ð23Þ
mit Nu=al/l, Re ¼ wl=v < 105 und 0,6 Pr 2 000. Die Stoffwerte sind bei mittlerer Fluidtemperatur Tm ¼ ðTw þ T1 Þ=2 einzusetzen. Tw ist die Wandtemperatur, T1 die Temperatur in großer Entfernung von der Wand. Lngsangestrmte ebene Platte bei turbulenter Strmung. Etwa von Re ¼ 5 105 an wird die Grenzschicht turbulent. Die mittlere Nußelt-Zahl einer Platte der Lnge l ist Nu ¼
0; 037 Re0;8 Pr 1 þ 2; 443 Re0;1 ðPr 2=3 1Þ
ð24Þ
mit Nu=al/l, Re ¼ wl=v, 5 10 < Re < 10 und 0,6 Pr 2 000. Die Stoffwerte sind bei mittlerer Fluidtemperatur Tm ¼ ðTw þ T1 Þ=2 zu bilden. Tw ist die Wandtemperatur, T1 die Temperatur in großer Entfernung von der Wand. 5
7
Wrmebergang bei der Strmung durch Rohre (Allgemeines). Unterhalb einer Reynolds-Zahl Re=2 300 (Re ¼ wd=v; w ist die mittlere Geschwindigkeit in einem Querschnitt, d der Rohrdurchmesser) ist die Strmung stets laminar, oberhalb von Re ¼ 104 ist sie turbulent. Im Bereich 2 300< Re 20 kW; L % 400 mmÞ: – Wnsche (mit unterschiedlicher Bedeutung) sollten nach Mglichkeit bercksichtigt werden, eventuell mit dem Zugestndnis, daß ein begrenzter Mehraufwand dabei zulssig ist. Ohne bereits eine bestimmte Lsung festzulegen, sind die Forderungen und Wnsche mit Angaben zur Quantitt (Anzahl, Stckzahl, Losgrße usw.) und Qualitt (zulssige Abweichungen, tropenfest usw.) zu versehen. Erst dadurch ergibt sich eine ausreichende Information. Zweckmßigerweise wird auch die Quelle angegeben, aufgrund der die Forderungen oder Wnsche entstanden sind.
F 11
nderungen und Ergnzungen der Aufgabenstellung, wie sie sich im Laufe der Entwicklung nach besserer Kenntnis der Lsungsmglichkeiten oder infolge zeitbedingter Verschiebung der Schwerpunkte ergeben knnen, mssen stets in der Anforderungsliste nachgetragen werden. Aufstellung der Anforderungen Als Hilfe zum Erkennen von Anforderungen wird eine Hauptmerkmalliste (Tab. 7) empfohlen. Sie bewirkt beim Bearbeiter eine Assoziation, indem er die dort angegebenen Begriffe auf die vorliegende konkrete Problemstellung bertrgt und Fragen stellt, zu denen er eine Antwort bentigt. Die notwendigen Funktionen und die spezifischen Bedingungen werden im Zusammenhang mit dem Energie-, Stoff- und Signalumsatz erfaßt (Merkmale Geometrie, Kinematik, Krfte, Energie, Stoff, Signal). Die anderen Merkmale bercksichtigen die sonst noch bestehenden allgemeinen und spezifischen Bedingungen. Die Begriffszusammenstellung hilft, Wesentliches nicht zu vergessen. Die nachfolgend dargestellte Struktur von Arbeitsschritten ist als ein idealtypischer Leitfaden zum zielfhrenden Handeln zu verstehen, der sicherstellt, daß prinzipiell folgerichtig vorgegangen wird und keine wesentlichen Schritte unbercksichtigt bleiben. Der wirkliche Arbeitsablauf wird immer von der Tabelle 7. Leitlinie mit Hauptmerkmalen zum Aufstellen einer Anforderungsliste
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Grundlagen der Konstruktionstechnik – 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens
jeweiligen Problem- und Ausgangslage bestimmt und ist entsprechend anzupassen. So knnen bestimmte Arbeitsschritte entfallen oder in anderer Reihenfolge zweckmßiger sein. Wie in den Bildern angedeutet, sind Vor- oder Rcksprnge oder/und iterative Schleifen innerhalb eines Ablaufs notwendig oder zweckmßig. Auch knnen erzielte Arbeitsergebnisse oder unvorhersehbare Ereignisse zu einer nderung des Vorgehens zwingen. Der Denkprozeß des Konstrukteurs wird mit dieser Struktur nicht abgebildet. Er ist viel komplexer und lebt von Anregungen und Assoziationen sowie von bewußten und unbewußten Denkschritten, die von der Erfahrung und einer stndigen Reflexion der Teilergebnisse beeinflußt werden. Ungeachtet dessen ist die Beachtung des vorgestellten Vorgehens immer ein wichtiger Anhalt und zielfhrend, wenn nicht branchen- oder problemspezifische Aufgaben in einer festgelegten Organisation einen anderen Weg nahelegen.
F 1.1.2) wird dann unter Bezug auf den Energie-, Stoff- und Signalumsatz mglichst konkret mit den beteiligten Eingangs- und Ausgangsgrßen lsungsneutral definiert und in erkennbare Teilfunktionen aufgelst (Funktionsstruktur). Danach folgt die Suche nach den die einzelnen Teilfunktionen erfllenden Wirkprinzipien (s. F 1.1.3 u. F 1.1.4). Diese werden dann anhand der Funktionsstruktur so kombiniert, daß sie vertrglich sind, die Forderungen der Anforderungsliste erfllen und einen noch zulssigen Aufwand erwarten lassen. Die Auswahl erfolgt mit einem Auswahlverfahren (s. F 1.2.5). Die am geeignetsten erscheinenden Kombinationen werden anschließend so weit zu prinzipiellen Lsungsvarianten konkretisiert, daß sie beurteilbar und bewertbar werden (s. F 1.2.5). Dabei mssen ihre wesentlichen technischen und wirtschaftlichen Eigenschaften offenbar werden. 1.3.3 Entwerfen. Embodiment design
1.3.2 Konzipieren. Conceptual design Konzipieren (Bild 11) ist der Teil des Konstruierens, der nach Klren der Aufgabenstellung durch Abstrahieren, Aufstellen von Funktionsstrukturen und Suchen nach geeigneten Lsungsprinzipien und deren Kombination den grundstzlichen Lsungsweg mit dem Erarbeiten eines Lsungskonzepts festlegt. Das Abstrahieren zum Erkennen der wesentlichen Probleme dient dazu, den Wesenskern der Aufgabe hervortreten zu lassen und sich von festen Vorstellungen sowie konventionellen Lsungen zu befreien, damit neue und zweckmßigere Lsungswege erkennbar werden. Die Gesamtfunktion (s.
Unter Entwerfen wird der Teil des Konstruierens verstanden, der fr ein technisches Gebilde von der Wirkstruktur bzw. prinzipiellen Lsung ausgehend die Baustruktur nach technischen und wirtschaftlichen Gesichtspunkten eindeutig und vollstndig erarbeitet. Die Ttigkeit des Entwerfens erfordert neben kreativen auch sehr viele korrektive Arbeitsschritte, wobei Vorgnge der Analyse und Synthese einander abwechseln. Auch hier geht man vom Qualitativen zum Quantitativen, d. h. von der Grobgestaltung zur Feingestaltung. Bild 12 zeigt Arbeitsschritte, die je nach Komplexitt des Lsungskonzepts mehr oder weniger vollstndig zu durchlaufen sind. Das Gestalten ist von einem berlegungs- und berprfungsvorgang gekennzeichnet, der durch Befolgen der Leitlinie Tab. 8 wirksam untersttzt wird. Das jeweils vorhergehende Hauptmerkmal sollte in der Regel erst beachtet sein, bevor das folgende intensiver bearbeitet oder berprft wird. Diese Reihenfolge hat nichts mit der Bedeutung der Merkmale zu tun, sondern dient arbeitssparendem Vorgehen. 1.3.4 Ausarbeiten. Detail design
Bild 11. Arbeitsschritte beim Konzipieren
Unter Ausarbeiten wird der Teil des Konstruierens verstanden, der den Entwurf eines technischen Gebildes durch endgltige Vorschriften fr Anordnung, Form, Bemessung und Oberflchenbeschaffenheit aller Einzelteile, Festlegen aller Werkstoffe, berprfung der Herstellungsmglichkeiten sowie der Kosten ergnzt und die verbindlichen zeichnerischen und sonstigen Unterlagen fr seine stoffliche Verwirklichung und Nutzung schafft [42]. Schwerpunkt ist das Erarbeiten der Fertigungsunterlagen, besonders der Einzelteil-Zeichnungen, ferner von Gruppen- und Gesamt-Zeichnungen sowie der Stckliste. Daneben knnen Vorschriften fr Fertigung, Montage und Gebrauch notwendig werden. Eine Kontrolle auf Vollstndigkeit und Richtigkeit sowie auf interne und externe Normenanwendung schließen diese Phase ab (Bild 13). Mit zunehmendem CAD-Einsatz, insbesondere von 3D-Modellen, ist nicht immer die Erstellung von klassischen technischen Zeichnungen erforderlich. Die produktdefinierenden Daten knnen auch nur im rechnerinternen Modell gespeichert sein. Je nach Notwendigkeit werden dann nur Teilinformationen, zweckdienliche Bilder und/oder angepaßte Darstellungen ausgegeben bzw. aufgerufen. In absehbarer Zeit werden hiervon auch die Zeichnungsnormen betroffen sein und an ihrer Stelle rechnerspezifische Prsentationsarten Platz greifen. Die Handhabung in der Industrie ist im Fluß und daher nicht einheitlich beschreibbar. Wie zwischen Konzept- und Entwurfphase berschneiden sich auch oft Arbeitsschritte der Entwurfs- und Ausarbeitungsphase.
I1.3 Konstruktionsprozeß
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Tabelle 8. Leitlinie mit Hauptmerkmalen beim Gestalten
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1.3.5 Effektive Organisationsformen Effective types of organisation
Bild 12. Arbeitsschritte beim Entwerfen. Hauptfunktionstrger: Einzelteile und Baugruppen, die eine Hauptfunktion erfllen; Nebenfunktionstrger: Einzelteile und Baugruppen, die eine untersttzende Nebenfunktion erfllen
Der Prozeß des Planes und Konstruierens wird als ein integrierter und interdisziplinrer Produktentwicklungsprozeß verstanden (vgl. [38, 39]). Die Schlagworte dazu heißen: Simultaneous Engineering oder Concurrent Engineering. Hierunter wird eine zielgerichtete, interdisziplinre (abteilungsbergreifende) Zusammen- und Parallelarbeit in der gesamten Produkt-, Produktions- und Vertriebsentwicklung fr den vollstndigen Produktlebenslauf verstanden. Die Aktivitten der einzelnen Bereiche verlaufen weitgehend parallel oder berlappen sich mindestens mit intensiven Kontakten zum Kunden unter Einbeziehung der Zulieferer. Darber hinaus erfolgt eine Produktberwachung bis zum Lebensende des
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Grundlagen der Konstruktionstechnik – 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens cherung, Montage, Steuerung und Regelung, dem Recycling und der Umweltproblematik u.., die nur zeit- oder abschnittsweise im Team mitarbeiten. Die Zusammenarbeit des Teams muß geplant vor sich gehen und richtet sich zweckmßigerweise nach dem zuvor beschriebenen methodischen Konstruieren. Viele der eingesetzten Einzelmethoden erfordern ohnehin die Bildung von interdisziplinren Gruppen. Die Teamarbeit konzentriert sich damit auf die Hauptarbeitsschritte mit gruppendynamischen Effekten, wie solche der Aufgabenklrung, der Lsungssuche (Brainstorming, Galeriemethode u. a.), der Lsungsbeurteilung mittels Auswahl- und Bewertungsverfahren, der Fehlerbaumanalyse, der Risikoabschtzung sowie dem Festlegen von Ablufen und Terminen. Der berwiegende Zeitanteil der Konstruktions- und Entwicklungsarbeit wird weiterhin in Einzelarbeit geleistet, wie z. B. Berechnen und das Erstellen von Festigkeitsnachweisen, Untersuchung von bestimmten Sachverhalten, Ausarbeitung und Darstellung von Lsungsvorschlgen und Details, Informationsgewinnung, Normenanwendung und -prfung, Vorbereitung von Teamsitzungen und von Kundenbesprechungen. Probleme der Fhrung und des Teamverhaltens vgl. [37, 39].
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1.3.6 Rapid Prototyping
Bild 13. Arbeitsschritte beim Ausarbeiten
Produkts (vgl. Bild 14). Ziele sind krzere Entwicklungszeiten, schnellere Produkterstellung, Kostenreduktion am Produkt und in der Produktentwicklung sowie eine Qualittsverbesserung. Ein Entwicklungsteam, das zeitlich befristet zusammengesetzt ist, arbeitet unter der Leitung eines Projektmanagers selbstndig und verantwortet seine Entscheidungen gegenber der technischen Entwicklungsleitung selbst. Die Abteilungsgrenzen werden dadurch berwunden. Zweckmßigerweise wird ein kleineres Kernteam gebildet, das verantwortliche Fachleute aus der Konstruktion, Arbeitsvorbereitung, Marketing und Vertrieb umfaßt. Die Zusammensetzung ist von der Problemstellung und von der Produktart abhngig. Ergnzt wird das Kernteam je nach Bedarf durch Fachleute aus der Qualittssi-
Zwecks Verkrzung von Entwicklungszeiten und rascherer Markteinfhrung (Rapid Product Development RPD) beginnt sich parallel zum Konstruktionsprozeß die mitlaufende und schnelle Herstellung von Modellen zur Anschauung und Variation, zur Funktions- und Maßberprfung sowie als Urmodell fr nachfolgende Abgießverfahren durchzusetzen. Rapid Prototyping (RP) als ein generatives Herstellverfahren von freigeformten Krpern (Solid Freeform Manufacturing SFM) ist eine hervorragende Ergnzung von abteilungsbergreifenden Entwicklungen, wie sie z. B. unter Simultaneous Engineering ablaufen (vgl. F 1.3.5). Voraussetzungen fr RP ist ein vollstndiges und konsistentes 3 D-CAD-Modell auf einem leistungsfhigen Rechner, die exakte Beherrschung numerischer Steuerungstechnik und die Anwendung von Lasertechnologie sowie die Auswahl geeigneter Materialien fr das Modell. Als Modellmaterial kommen z. Z. unter Temperatur aushrtbare Kunststoffe in Form von Flssigkeiten, Pulver, Folien, getrnktem Papier oder Strangmaterial in Frage. Entwicklungstrends gehen auch dahin, direkt Metallmodelle zu erzeugen. Allen Verfahren ist gemeinsam, daß aus dem rechnerinternen 3 D-Modell senkrecht zur Herstellebene dnne Querschnitte
Bild 14. Produktentstehungs- und -verfolgungsprozeß unter Simultaneous Engineering mit mindestens berlappenden Bereichsaktivitten, Bildung eines Projektteams und engen Kontakten zu Kunden und Zulieferern
I1.4 Gestaltung (Schnitte) abgerufen werden, die von einem Laserstrahl nachgefahren und im jeweiligen Kunststoffmaterial durch Aushrtung unter Temperatur schichtweise den Krper aufbauen. Je nach Verfahren sind Schichtdicken zwischen 0,05 bis 0,3 mm und Spurbreiten zwischen 0,25 bis 2,5 mm mglich. Die Maßgenauigkeit und Oberflchengte des entstandenen Modells reicht an die Qualitt konventionell gefertigter Verfahren heran. Unter entsprechenden Umstnden (Festigkeit, Temperatur) kann das Modell auch als Fertigteil eingesetzt werden (vgl. S 5.5 und [40, 41]). 1.3.7 Konstruktionsarten. Types of engineering design Nicht immer ist das Durchlaufen aller Hauptphasen fr das gesamte technische System erforderlich. Vielfach ergibt sich eine Neukonstruktion nur fr bestimmte Baugruppen oder Anlagenteile. In anderen Fllen gengt eine Anpassung an andere Gegebenheiten, ohne das Lsungsprinzip ndern zu mssen, oder innerhalb eines vorausgedachten Systems nur Abmessungen oder Anordnungen zu variieren. Hieraus leiten sich drei Konstruktionsarten ab, deren Grenzen hinsichtlich der Bearbeitung einer Aufgabe fließend sein knnen: – Neukonstruktion. Erarbeiten eines neuen Lsungsprinzips bei gleicher, vernderter oder neuer Aufgabenstellung fr ein System (Anlage, Apparat, Maschine oder Baugruppe). – Anpassungskonstruktion. Anpassen der Gestaltung (Gestalt und Werkstoff) eines bekannten Systems (Lsungsprinzip bleibt gleich) an eine vernderte Aufgabenstellung; dabei auch Hinausschieben bisheriger Grenzen. Neukonstruktion einzelner Baugruppen oder -teile oft ntig. – Variantenkonstruktion. Variieren von Grße und/oder Anordnung innerhalb der Grenzen vorausgedachter Systeme. Funktion, Lsungsprinzip und Gestaltung bleiben im wesentlichen erhalten.
1.4 Gestaltung Fundamentals of embodiment design 1.4.1 Grundregeln. Basic rules of embodiment design Die Grundregeln eindeutig, einfach und sicher sind Anweisungen zur Gestaltung und leiten sich aus der generellen Zielsetzung ab (s. F 1.1.5, vgl. auch VDI-Richtlinie 2223: Methodisches Entwerfen technischer Produkte). Eindeutig: Wirkung, Verhalten klar und gut erkennbar voraussagen (Erfllung der technischen Funktion). Einfach: Gestaltung durch wenig zusammengesetzte, bersichtlich gestaltete Formen anstreben und den Fertigungsaufwand klein halten (wirtschaftliche Realisierung). Sicher: Haltbarkeit, Zuverlssigkeit, Unfallfreiheit und Umweltschutz beim Gestaltungsvorgang gemeinsam erfassen (Sicherheit fr Mensch und Umgebung). Werden diese Grundregeln bei der Gestaltung zusammen beachtet, ist eine gute Realisierung zu erwarten. Die Verknpfung der Leitlinie (s. Tab. 8) mit den Grundregeln gibt Anregungen fr Fragestellungen und ist eine Hilfe, Wichtiges nicht unbeachtet zu lassen und ein gutes Ergebnis zu erzielen.
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Funktionstrgern: Welche Teilfunktionen knnen gemeinsam mit nur einem Funktionstrger erfllt werden und welche Teilfunktionen mssen mit einem jeweils zugeordneten, also getrennten Funktionstrger erfllt werden? Allgemein wird angestrebt, viele Funktionen mit nur wenigen Funktionstrgern zu verwirklichen. Funktionsanalysen, Schwachstellen- und Fehlersuche knnen jedoch Hinweise geben, ob Einschrnkungen oder gegenseitige Behinderungen bzw. Strungen entstehen. Das ist meist der Fall, wenn Grenzleistungen angestrebt werden oder das Verhalten des Funktionstrgers hinsichtlich wichtiger Bedingungen eindeutig und unbeeinflußt bleiben muß. In solchen Fllen ist eine Aufgabenteilung zweckmßig, bei der die jeweilige Funktion von einem eigenen darauf abgestimmten Funktionstrger erfllt wird. Das Prinzip der Aufgabenteilung, nach dem jeder Funktion ein besonderer Funktionstrger zugeordnet wird, ergibt eine bessere Ausnutzung aufgrund eindeutiger Berechenbarkeit (bersichtlichkeit), eine hhere Leistungsfhigkeit durch Erreichen absoluter Grenzen, wenn diese allein maßgebend sind, ein eindeutiges Verhalten im Betrieb (Funktionserfllung, Eigenschaften, Lebensdauer usw.) und einen besseren Fertigungs- und Montageablauf (einfacher, parallel). Von Nachteil ist, daß der bauliche Aufwand meist grßer wird, was eine hhere Wirtschaftlichkeit oder Sicherheit ausgleichen muß. Beispiel: (Bild 15) Gestaltung des Rotorkopfs eines Hubschraubers. – Die Zentrifugalkraft wird allein ber das torsionsnachgiebige Glied Z vom Rotorblatt auf das mittige Herzstck geleitet. Das aus der aerodynamischen Belastung herrhrende Biegemoment wird allein ber Teil B auf die Rollenlager im Rotorkopf abgesttzt. Damit konnte jedes Bauteil seiner Aufgabe entsprechend optimal gestaltet werden. Weitere Beispiele sind die Trennung der Radial- und Axialkraftaufnahme bei Festlagern; die Ausfhrung von Behltern der Verfahrenstechnik mit austenitischem Futterrohr gegen Korrosion, kombiniert mit einer ferritischen Behlterwand zur Druckaufnahme; Keilriemen mit inneren Zugstrngen zur Zugkraftaufnahme, die in Gummi eingebettet sind und bei denen die Oberflche dieser Schicht einen hohen Reibwert zur Leistungsbertragung aufweist.
Prinzip der Selbsthilfe Nach diesem Prinzip wird versucht, im System selbst eine sich gegenseitig untersttzende Wirkung zu erzielen, die die Funktion besser zu erfllen und bei berlast Schden zu vermeiden hilft. Das Prinzip gewinnt die erforderliche Gesamtwirkung aus einer Ursprungswirkung und einer Hilfswirkung (Beispiel: Bild 16). Gleiche konstruktive Mittel knnen je nach Anordnung selbsthelfend oder selbstschadend wirken. Solange in dem Behlter ein gegenber dem Außendruck hherer Druck herrscht, ist die linke Anordnung selbsthelfend. Herrscht dagegen im Behlter Unterdruck, ist die linke Anordnung selbstschadend, die rechte selbsthelfend. Man unterscheidet: Selbstverstrkende Lsungen. Bei Normallast ergibt sich die Hilfswirkung in fester Zuordnung aus der Haupt- oder Ne-
1.4.2 Gestaltungsprinzipien Principles of embodiment design Gestaltungsprinzipien stellen Strategien dar, die nicht total anwendbar sind. Prinzip der Aufgabenteilung Beim Gestalten ergibt sich fr die zu erfllenden Funktionen die Frage nach der zweckmßigen Wahl und Zuordnung von
Bild 15. Rotorblattbefestigung eines Hubschraubers nach dem Prinzip der Aufgabenteilung (Bauart Messerschmitt-Blkow)
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Grundlagen der Konstruktionstechnik – 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens
Bild 16. Anordnung eines Mannlochdeckels. U Ursprungswirkung, H Hilfswirkung, G Gesamtwirkung, p Innendruck
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Bild 17 a, b. Lagerabsttzung eines zweistufigen offenen Getriebes nach Leyer. a Extrem falsch, lange Kraftleitungswege, hohe Biegeanteile, schlechte Gußgestaltung; b gute Lsung, Lagerkrfte direkt im Verbund aufgenommen, steife Absttzung mit vorwiegender Zugund Druckbeanspruchung
bengrße, wobei sich eine verstrkende Gesamtwirkung aus Hilfs- und Ursprungswirkung einstellt. Selbstausgleichende Lsungen. Bei Normallast ergibt sich die Hilfswirkung aus einer begleitenden Nebengrße in fester Zuordnung zu einer Hauptgrße, wobei die Hilfswirkung der Ursprungswirkung entgegenwirkt und damit einen Ausgleich erzielt, der eine hhere Gesamtwirkung ermglicht. Selbstschtzende Lsungen. Bei berlast ergibt sich die Hilfswirkung aus einem neuen, meist zustzlichen Kraftleitungsweg fr die belastende Hauptgrße. Das fhrt zu einer Umverteilung und anderen Beanspruchungsart, bei der die betreffenden Teile tragfhiger sind. Prinzipien der Kraft- und Energieleitung
Bild 18 a, b. Welle-Nabe-Verbindung. a Mit starker Kraftflußumlenkung, hier entgegengerichtete Torsionsverformung bei A zwischen Welle und Nabe (y Verdrehwinkel); b mit allmhlicher Kraftflußumlenkung, hier gleichgerichtete Torsionsverformung ber der ganzen Nabenlnge (y Verdrehwinkel)
Kraftleitung soll das Leiten von Biege- und Drehmomenten einschließen. Sie ist von Verformungen begleitet. Kraftflußgerechte Gestaltung. Der Kraftfluß ist eine physikalisch nicht begrndbare, aber anschauliche Vorstellung fr das Leiten von Krften. Im Querschnitt des betrachteten Bauteils stellt man sich die hindurch geleiteten Krfte und Momente als Fluß vor. Aus diesem Modell werden folgende prinzipiellen Forderungen fr eine kraftflußgerechte Gestaltung abgeleitet: Der Kraftfluß muß stets geschlossen sein (actio = reactio), scharfe Umlenkungen des Kraftflusses und schroffe nderungen der Kraftflußdichte infolge bergangsloser Querschnittsnderungen sind zu vermeiden (Auftreten von Kerbwirkung). Prinzip der gleichen Gestaltfestigkeit. Gleiche Ausnutzung der Festigkeit durch geeignete Wahl von Werkstoff und Form anstreben, sofern wirtschaftliche Grnde nicht dagegen sprechen (s. C 2 Tab. 3 und E 1.5). Prinzip der direkten und kurzen Kraftleitung. Krfte und Momente sind von einer Stelle zu einer anderen bei mglichst geringem Werkstoffaufwand zu leiten. Kleine Verformung fordert kurzen und direkten Weg sowie mglichst nur Zugund Druckbeanspruchung in den beteiligten Bauteilen (Beispiel: Bild 17). Große elastische Verformung fordert lange Kraftleitungswege sowie vorzugsweise Biege- und/oder Torsionsbeanspruchung (Beispiele: Schraubendruckfeder, Rohrleitung mit biege- und torsionsbeanspruchten Ausgleichsbgen). Prinzip der abgestimmten Verformung. Die beteiligten Komponenten sind so zu gestalten, daß unter Last eine weitgehende Anpassung mit gleichgerichteter Verformung bei mglichst kleiner Relativverformung entsteht. Ziel ist es, Spannungsberhhungen und Reibkorrosion zu vermeiden oder zu mildern sowie Funktionsstrungen infolge Verformungen zu beseitigen. Durch Lage, Form, Abmessung und Werkstoffwahl (E-Modul) kann eine Abstimmung erreicht werden (Bild 18).
Prinzip des Kraftausgleichs. Funktionsbedingte Hauptgrßen wie aufzunehmende Last, Antriebsmoment und Umfangskraft sind hufig mit begleitenden Nebengrßen wie Axialschub, Spann-, Massen- und Strmungskrften in fester Zuordnung verbunden. Diese Nebengrßen belasten die Kraftleitungszonen zustzlich und knnen eine entsprechend aufwendigere Auslegung erfordern. Nach dem Prinzip des Kraftausgleichs werden Ausgleichelemente bei vorwiegend relativ mittleren Krften und symmetrische Anordnung bei vorwiegend relativ großen Krften empfohlen (Bild 19). Prinzipien der Sicherheitstechnik Nach DIN 31 000 unterscheidet man zwischen unmittelbarer, mittelbarer und hinweisender Sicherheitstechnik. Grundstzlich wird die unmittelbare Sicherheit angestrebt, bei der von vornherein und aus sich heraus keine Gefhrdung besteht. Dann folgt die mittelbare Sicherheit mit dem Aufbau von Schutzsystemen und der Anordnung von Schutzeinrichtungen. Eine hinweisende Sicherheitstechnik, die nur vor Gefahren warnen und den Gefhrdungsbereich kenntlich machen kann, lst kein Sicherheitsproblem. Das Prinzip der Aufgabenteilung (s. F 1.4.2) und die Grundregel „eindeutig“ (s. F 1.4.1) tragen zum Erreichen eines sicheren Verhaltens bei. Prinzip des sicheren Bestehens (safe-life-Verhalten). Es geht davon aus, daß alle Bauteile und ihr Zusammenhang die vorgesehene Einsatzzeit bei allen wahrscheinlichen oder mglichen Vorkommnissen ohne ein Versagen oder eine Strung berstehen. Prinzip des beschrnkten Versagens (fail-safe-Verhalten). Es lßt whrend der Einsatzzeit eine Funktionsstrung und/ oder einen Bruch zu, ohne daß es dabei zu schwerwiegenden Folgen kommen darf. In diesem Fall muß – eine wenn auch eingeschrnkte Funktion oder Fhigkeit erhalten bleiben, die einen gefhrlichen Zustand vermeidet,
I1.4 Gestaltung
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Bild 19. Grundstzliche Lsungen fr Kraftausgleich am Beispiel einer Strmungsmaschine, eines Getriebes und einer Kupplung
– die eingeschrnkte Funktion vom versagenden Teil oder einem anderen bernommen und solange ausgebt werden, bis die Anlage oder Maschine gefahrlos außer Betrieb genommen werden kann, – der Fehler oder das Versagen erkennbar werden, – die Versagensstelle ein Beurteilen ihres fr die Gesamtsicherheit maßgebenden Zustands ermglichen. Prinzip der Mehrfach- oder redundanten Anordnung. Es bedeutet eine Erhhung der Sicherheit, solange das ausfallende Systemelement von sich aus keine Gefhrdung hervorruft und die parallel oder in Serie angeordneten Systemelemente die volle oder wenigstens eingeschrnkte Funktion bernehmen. Bei aktiver Redundanz (Bild 20) beteiligen sich alle Systemelemente aktiv an der Aufgabe, bei passiver Redundanz stehen sie in Reserve, und ihre Aktivierung macht einen Schaltungsvorgang ntig. Prinzipredundanz liegt vor, wenn die Funktion gleich, aber das Wirkprinzip unterschiedlich ist. Die Systemelemente selbst mssen aber einem der vorstehenden Prinzipien folgen. Mittelbare Sicherheit. Zur mittelbaren Sicherheitstechnik gehren Schutzsysteme und Schutzeinrichtungen [43]. Letztere dienen zur Sicherung von Gefahrenstellen (z. B. Verkleidung, Verdeckung, Umwehrung) im Zusammenhang mit der Arbeitssicherheit (s. F 1.4.3). Schutzsysteme dienen dazu, eine Anlage oder Maschine bei Gefahr selbstttig aus dem Gefahrenzustand zu bringen, den Energie- bzw. Stofffluß zu begrenzen oder bei Vorliegen eines Gefahrenzustands das Inbetriebnehmen zu verhindern. Zur Auslegung von Schutzsystemen sind folgende Forderungen zu beachten: – Warnung oder Meldung. Bevor ein Schutzsystem eine nderung des Betriebszustands einleitet, ist eine Warnung zu geben, damit seitens der Bedienung und berwachung wenn mglich noch eine Beseitigung des Gefahrenzustands, wenigstens aber notwendige Folgemaßnahmen, ein-
geleitet werden knnen. Wenn ein Schutzsystem eine Inbetriebnahme verhindert, soll es den Grund der Verhinderung anzeigen. – Selbstberwachung. Ein Schutzsystem muß sich hinsichtlich seiner steten Verfgbarkeit selbst berwachen, d. h., nicht nur der eintretende Gefahrenfall, gegen den geschtzt werden soll, hat das System zum Auslsen zu bringen, sondern auch ein Fehler im Schutzsystem selbst. Am besten stellt das Ruhestromprinzip diese Forderung sicher, weil in einem solchen System stets Energie zur Sicherheitsbetti-
Bild 20. Redundante Anordnungen (Schaltungen von Systemelementen)
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gung gespeichert ist und eine Strung bzw. ein Fehler im System diese Energie zur Schutzauslsung freigibt und dabei die Maschine oder Anlage abschaltet. Das Ruhestromprinzip kann nicht nur in elektrischen Schutzsystemen, sondern auch in Systemen anderer Energiearten angewandt werden. Mehrfache, prinzipverschiedene und unabhngige Schutzsysteme. Sind Menschenleben in Gefahr oder Schden grßeren Ausmaßes zu erwarten, mssen die Schutzsysteme mindestens zweifach, prinzipverschieden und unabhngig voneinander vorgesehen werden (primrer und sekundrer Schutzkreis). Bistabilitt. Schutzsysteme mssen auf einen definierten Ansprechwert ausgelegt werden. Die Auslsung hat unverzglich zu erfolgen, ohne daß ein Verharren in Zwischenzustnden auftritt. Wiederanlaufsperre. Anlagen drfen nach Beseitigen einer Gefahr nicht von selbst wieder in Betrieb gehen. Sie bedrfen einer neuen geordneten Inbetriebsetzung. Prfbarkeit. Schutzsysteme mssen prfbar sein. Dabei muß die Schutzfunktion erhalten bleiben.
1.4.3 Gestaltungsrichtlinien Guidelines for embodiment design Die Gestaltungsrichtlinien ergeben sich aus den allgemeinen Bedingungen (s. F 1.1.5 u. F 1.1.6), aus der Leitlinie beim Gestalten (s. Tab. 8) und nicht zuletzt aus den Gesetzmßigkeiten und Aussagen im Zusammenhang mit den Maschinenelementen (s. G). Beanspruchungsgerecht Zu beachten sind die Aussagen der Festigkeitslehre (s. C), der Werkstofftechnik (s. E 1) und die Prinzipien der Kraftleitung (s. F 1.4.2). In Bau- und Anlageteilen ist eine mglichst hohe und gleichmßige Ausnutzung anzustreben (Prinzip der gleichen Gestaltfestigkeit), sofern wirtschaftliche Grnde nicht dagegen sprechen. Unter Ausnutzung wird das Verhltnis berechnete zu zulssige Beanspruchung verstanden. Formnderungsgerecht Beanspruchungen sind stets von mehr oder weniger großen Formnderungen begleitet (s. F 1.4.2). Formnderungen knnen auch aus funktionellen Grnden begrenzt sein (z. B. begrenzte Wellendurchbiegung bei Getrieben, Elektromotoren oder Strmungsmaschinen). Im Betriebszustand drfen Formnderungen nicht zu Funktionsstrungen fhren, da sonst Eindeutigkeit des Kraftflusses oder der Ausdehnung nicht mehr sichergestellt sind und berlastungen bzw. Bruch die Folge sein knnen. Zu beachten sind die die Beanspruchung begleitenden Verformungen und gegebenenfalls auch die aus der Querdehnung (Querkontraktion) sich ergebenden Betrge sowie das Prinzip der abgestimmten Verformung (s. F 1.4.2). Stabilitts- und resonanzgerecht Mit Stabilitt werden alle Probleme der Standsicherheit und Kippgefahr sowie der Knick- und Beulgefahr (s. C 7) aber auch die des stabilen Betriebs einer Maschine oder Anlage angesprochen. Strungen sollen durch ein stabiles Verhalten, d. h. selbstttige Rckkehr in die Ausgangs- bzw. Normallage, vermieden werden. Es ist darauf zu achten, daß indifferentes oder gar labiles Verhalten Strungen nicht verstrkt, aufschaukelt oder sie außer Kontrolle bringt. Resonanzen haben erhhte, nicht sicher abschtzbare Beanspruchungen zur Folge. Sie sind daher zu vermeiden, wenn die Ausschlge nicht hinreichend gedmpft werden knnen (s. B 4). Dabei soll nicht nur an die Festigkeitsprobleme gedacht werden, sondern auch an Begleiterscheinungen wie Gerusche und Schwingungsausschlge.
Ausdehnungsgerecht Maschinen, Apparate und Gerte arbeiten nur ordnungsgemß, wenn der Effekt der Ausdehnung bercksichtigt worden ist. Ausdehnung von Bauteilen. Die Ausdehnungszahl ist als Mittelwert ber den jeweils durchlaufenden Temperaturbereich zu verstehen; sie ist werkstoff- und temperaturabhngig (s. D 6.3.1). Die Ausdehnung der Bauteile hngt ab von der Lngenausdehnungszahl b, der betrachteten Lnge l des Bauteils und der mittleren Temperaturnderung DJm dieser Lnge. Die Ausdehnung hat Gestaltungsmaßnahmen zur Folge. Jedes Bauteil muß in seiner Lage eindeutig festgelegt werden und darf nur so viele Freiheitsgrade erhalten, wie es zur ordnungsgemßen Funktionserfllung bentigt. Im allgemeinen bestimmt man einen Festpunkt und ordnet dann fr die gewnschten Bewegungsrichtungen entsprechende Fhrungen an. Diese drfen nur einen Freiheitsgrad haben; sie sind auf einem Strahl durch den Festpunkt anzuordnen, wobei der Strahl Symmetrielinie des Verzerrungszustands sein muß. Der Verzerrungszustand kann durch die Ausdehnung sowie von last- und temperaturabhngigen Spannungen hervorgerufen werden. Da Spannungs- und Temperaturverteilung auch von der Form des Bauteils abhngen, ist die Symmetrielinie des Verzerrungszustands zunchst auf der Symmetrielinie des Bauteils und der des aufgeprgten Temperaturfelds zu suchen. Relativausdehnung zwischen Bauteilen. Sie ergibt sich aus dRel ¼ b1 l1 DJm1ðtÞ b2 l2 DJm2ðtÞ . Stationre Relativausdehnung. Ist die jeweilige mittlere Temperaturdifferenz zeitlich unabhngig, konzentrieren sich die Maßnahmen bei gleichen Lngenausdehnungszahlen auf ein Angleichen der Temperaturen und/oder bei unterschiedlichen Temperaturen auf ein Anpassen mittels Wahl von Werkstoffen unterschiedlicher Ausdehnungszahlen. Instationre Relativausdehnung. ndert sich der Temperaturverlauf mit der Zeit (z. B. bei Aufheiz- oder Abkhlvorgngen), ergibt sich oft eine Relativausdehnung, die viel grßer ist als im stationren Endzustand, weil die Temperaturen in den einzelnen Bauteilen sehr unterschiedlich sein knnen. Fr den hufigen Fall, Bauteile gleicher Lnge und gleicher Ausdehnungszahl, gilt dRel ¼ blðDJm1ðtÞ DJm2ðtÞ Þ. Die Erwrmungskurve ist in ihrem zeitlichen Verlauf durch die Aufheizzeitkonstante charakterisiert. Betrachtet man beispielsweise die Erwrmung DJm eines Bauteils bei einem pltzlichen Temperaturanstieg DJ des aufheizenden Mediums, so ergibt sich unter der allerdings groben Annahme, daß Oberflchen- und mittlere Bauteiltemperatur gleich seien, was praktisch nur fr relativ dnne Wanddicken und hohe Wrmeleitzahlen annhernd zutrifft, der in Bild 21 gezeigte Verlauf, der der Beziehung DJm ¼ DJð1 et=T Þ folgt. Hierbei bedeutet t die Zeit und T die Zeitkonstante mit T ¼ cm=ða AÞ; c spezifische Wrme des Bauteilwerkstoffs, m ¼ rV Masse des Bauteils, a Wrmebergangszahl an der beheizten Oberflche des Bauteils, A beheizte Oberflche am Bauteil. Bei unterschiedlichen Zeitkonstanten der Bauteile 1 und 2 ergeben sich verschiedene Temperaturverlufe, die zu einer bestimmten kritischen Zeit eine grßte Differenz haben. Wenn es gelingt, die Zeitkonstanten der beteiligten Bauteile gleich groß zu machen, findet eine Relativausdehnung nicht statt. Zur Annherung der Zeitkonstanten bieten sich konstruktiv zwei Wege an: die Angleichung der Verhltnisse V/A (Volumen zur beheizten Oberflche) oder die Korrektur ber die Beeinflussung der Wrmebergangszahl a mit Hilfe von z. B. Schutzhemden oder anderen Anstrmungsgeschwindigkeiten.
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– Spannungsrißkorrosion: empfindliche Werkstoffe vermeiden; Zugspannung an der angegriffenen Oberflche massiv herabsetzen oder ganz vermeiden; Druckspannung in die Oberflche einbringen (z. B. Schrumpfbandagen, vorgespannte Mehrschalenbauweise, Kugelstrahlen); Eigenzugspannungen durch Spannungsarmglhen abbauen; kathodisch wirkende berzge aufbringen; Agenzien vermeiden oder mildern durch Erniedrigung der Konzentration und der Temperatur. Bild 21. Zeitliche Temperaturnderung bei einem Temperatursprung DJ des aufheizenden Mediums in zwei Bauteilen mit unterschiedlicher Zeitkonstante
Generell ist so zu gestalten, daß auch unter Korrosionsangriff eine mglichst lange und gleiche Lebensdauer aller beteiligten Komponenten erreicht wird. Lßt sich diese Forderung mit entsprechender Werkstoffwahl und Auslegung wirtschaftlich nicht erreichen, muß so konstruiert werden, daß die besonders korrosionsgefhrdeten Zonen und Bauteile berwacht und ausgewechselt werden knnen [46].
Korrosionsgerecht
Verschleißgerecht
Korrosionserscheinungen lassen sich nicht vermeiden, sondern nur mindern, weil die Ursache fr die Korrosion nicht beseitigt werden kann. Die Verwendung korrosionsfreier Werkstoffe ist oft unwirtschaftlich. Korrosionserscheinungen ist mit einem entsprechenden Konzept und zweckmßigerer Gestaltung entgegenzuwirken. Die Maßnahmen hngen von der Art der Korrosionserscheinungen ab (s. E 6 und [44, 45]).
Unter Verschleiß versteht man das unerwnschte Lsen von Teilchen infolge mechanischer Ursachen, wobei auch chemische Effekte beteiligt sein knnen (s. E 5.4). Ebenso wie Korrosion ist Verschleiß nicht immer vermeidbar. Aus konstruktiver Sicht sind Verschleißerscheinungen immer als Ergebnis eines tribologischen Systems zu sehen, das sich aus den die Funktion erfllenden Elementen, deren Eigenschaften und ihrer Umgebung sowie der gewhlten Zwischenschichten (Schmiermittel) als Wechselwirkung ergibt. Daraus folgt, daß allein die Wahl des Schmierstoffs nicht ausreichend sein kann, sondern stets konstruktive Merkmale entscheidend das Geschehen bestimmen. Dementsprechend ist zunchst zu sorgen fr: – eine ertragbare, eindeutige und rtlich gleichmßige Beanspruchung (u. a. mittels elastisch nachgiebiger oder sich selbst einstellender Elemente), – eine einen Schmierfilm aufbauende oder untersttzende Bewegung der Kontaktflchen, – eine auch unter Temperatur- oder sonstigen Einflssen definiert erhalten bleibende Geometrie der Bauteile (z. B. Spaltgeometrie, Einlaufzone), – eine funktionsgerechte Oberflche (Gestalt und Rauhigkeit), die sich auch whrend des Verschleißvorgangs nicht grundstzlich verschlechtert, – eine zweckmßige Werkstoffwahl, die aufgrund der Paarung adhsiven oder abrasiven Verschleiß mildert.
Ebenmßig abtragende Korrosion. Ursache und Erscheinung: Auftreten von Feuchtigkeit (schwach basischer oder saurer Elektrolyt) unter gleichzeitiger Anwesenheit von Sauerstoff aus der Luft oder dem Medium, insbesondere Taupunktunterschreitung. Weitgehend gleichmßig abtragende Korrosion an der Oberflche (bei Stahl z. B. etwa 0,1 mm/ Jahr in normaler Atmosphre). Abhilfe: Wanddickenzuschlag und Werkstoff; Verfahrensfhrung, die Korrosion vermeidet bzw. wirtschaftlich tragbar macht; kleine und glatte Oberflchen mit einem Maximum des Verhltnisses Inhalt zu Oberflche; keine Feuchtigkeitssammelstellen; keine unterschiedlichen Temperaturen, also gute Isolierung und Verhinderung von Wrme- bzw. Kltebrcken. Lokal angreifende Korrosion. Sie ist besonders gefhrlich, weil sie eine sehr große Kerbwirkung zur Folge hat und oft nicht leicht vorhersehbar ist. Korrosionsarten: Spaltkorrosion, Kontaktkorrosion, Schwingungsrißkorrosion, Spannungsrißkorrosion. Ursachen und Abhilfe s. E 6 und [44, 45]. Folgende Maßnahmen helfen bei – Spaltkorrosion: glatte, spaltenlose Oberflchen auch an bergangsstellen; Schweißnhte ohne verbleibenden Wurzelspalt, Stumpfnhte oder durchgeschweißte Kehlnhte vorsehen; Spalt abdichten, Feuchtigkeitsschutz durch Muffen oder berzge; Spalte so groß machen, daß infolge Durchstrmung oder Austausch keine Anreicherung mglich ist. – Kontaktkorrosion: Metallkombinationen mit geringem Potentialunterschied und daher kleinem Kontaktkorrosionsstrom verwenden; Einwirkung des Elektrolyten auf die Kontaktstelle verhindern, indem die beiden Metalle rtlich isoliert werden; Elektrolyt berhaupt vermeiden; notfalls gesteuerte Korrosion durch gezielten Abtrag an elektrochemisch noch unedlerem „Freßmaterial“, sogenannten Opferanoden, vorsehen. – Schwingungsrißkorrosion: mechanische oder thermische Wechselbeanspruchung klein halten, Resonanzerscheinungen vermeiden; Spannungsberhhung infolge von Kerben vermeiden; Druckvorspannung durch Kugelstrahlen, Prgepolieren, Nitrieren usw. erhhen (lngere Lebensdauer); korrosives Medium (Elektrolyt) fernhalten; Oberflchenschutzberzge (z. B. Gummierung, Einbrennlackierung, galvanische berzge mit Druckspannung) vorsehen.
Folgende Abhilfemaßnahmen knnen fr die in E 5.4 und [46] behandelten Grundmechanismen (Verschleißarten) zweckmßig sein: – Adhsiver Verschleiß. Die Wahl anderer Werkstoffe und das Einbringen andersartiger Zwischenschichten (z. B. Feststoffschmierstoffe) bringen grundstzlich Abhilfe. – Abrasiver Verschleiß. Hrte des weicheren Partners erhhen (z. B. Nitrieren, Hartmetallauflage [47]). – Ermdungsverschleiß. rtliche Beanspruchung mindern, verteilen. – Schichtverschleiß. Da dieser Vorgang in der Regel bei funktionell nicht schdlichen Verschleißvorgngen in der sogenannten Tieflage entsteht (Abtrag pro Zeit- oder Wegeinheit gering), ist er solange ertragbar, bis die Bauteildicke z. B. den Festigkeitsanforderungen nicht mehr gengt. – Reibkorrosion. Dieser Vorgang ist komplexer Natur (mechanisch-chemisch) und fhrt zur Absonderung harter Oxidationsprodukte, die die Funktion gefhrden, whrend die Scheuerstelle selbst unter vielfach schdlicher Kerbwirkung leidet. Abhilfe: Vermeiden von Relativbewegungen an Fgestellen durch Verstrken des Bauteils, andere Lastein- und -ableitung, Entlastungsnuten.
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Grundlagen der Konstruktionstechnik – 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens
Arbeitssicherheits- und ergonomiegerecht
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Arbeitssicherheitstechnische Gestaltung. Der arbeitende Mensch und seine Umgebung sind vor schdlichen Einwirkungen zu schtzen. DIN 31 000 weist auf Grundforderungen fr sicherheitsgerechtes Gestalten technischer Erzeugnisse hin. DIN 31 001 Teil 1, 2 und 10 gibt Anweisungen fr Schutzeinrichtungen. Vorschriften der Berufsgenossenschaften, der Gewerbeaufsichtsmter und der Technischen berwachungsvereine sind branchen- und produktabhngig zu befolgen. Aber auch das Gertesicherheitsgesetz verpflichtet den Konstrukteur zum verantwortungsvollen Handeln. In einer allgemeinen Verwaltungsvorschrift sowie Verzeichnissen zu diesem Gesetz sind inlndische Normen und sonstige Regeln bzw. Vorschriften mit sicherheitstechnischem Inhalt zusammengestellt [48, 49]. Der mgliche Unverstand und die Ermdung des Menschen mssen ebenfalls bercksichtigt werden. Tab. 9 gibt Mindestanforderungen fr eine arbeitssichere Gestaltung mechanischer Gebilde an. Ergonomiegerecht. Die VDI-Richtlinie 2242 [50] gibt Anleitung zum Konstruieren ergonomiegerechter Erzeugnisse. Sie greift dabei auf Suchlisten fr Objekte und Wirkungen zurck und verweist auf die entsprechende Literatur. Auszugsweise knnen nur einige fr den Konstrukteur wichtige Hinweise gegeben werden: krpergerechte Bedienung und Handhabung s. DIN 33 400 bis DIN 33 402 sowie [51, 52], Beleuchtung am Arbeitsplatz s. [53], Klima am Arbeitsplatz s. DIN 33 403, berwachungs- und Steuerungsttigkeiten s. DIN 3304, 33 413, 33 414 und [54], Lrmreduzierung s. [55, 56].
Fertigungsgerechte Baustruktur. Sie kann unter den Gesichtspunkten einer Differential-, Integral- und Verbundbauweise vorgenommen werden. Unter Differentialbauweise wird die Auflsung eines Einzelteils (Trger einer oder mehrerer Funktionen) in mehrere fertigungstechnisch gnstige Werkstcke verstanden. Unter Integralbauweise wird das Vereinigen mehrere Einzelteile zu einem Werkstck verstanden. Typische Beispiele hierfr sind Guß- statt Schweißkonstruktionen, Strangpreß- statt gefgter Normprofile sowie angeschmiedete statt gefgte Flansche. Unter Verbundbauweise soll verstanden werden die unlsbare Verbindung mehrerer unterschiedlich gefertigter Rohteile zu einem weiter zu bearbeitenden Werkstck (z. B. die Verbindung urgeformter und umgeformter Teile), die gleichzeitige Anwendung mehrerer Fgeverfahren zur Verbindung von Werkstcken und die Kombination mehrerer Werkstoffe zur optimalen Nutzung ihrer Eigenschaften. Beispiele sind die Kombination von Stahlgußstcken mit Schweißkonstruktionen sowie Gummi-Metallelemente. Fertigungsgerechte Werkstckgestaltung. Sie beeinflußt die Form, Abmessungen, Oberflchenqualitt, Toleranzen und Fgepassungen, Fertigungsverfahren, Werkzeuge und Qualittskontrollen. Ziel der Werkstckgestaltung ist es, unter Beachten der verschiedenen Fertigungsverfahren mit ihren einzelnen Verfahrensschritten den Aufwand in der Fertigung zu verringern und die Qualitt des Werkstcks zu verbessern. Vgl.: Urformen s. S 2, Umformen s. S 3, Fgen s. G 1 und Trennen s. S 4. Montagegerecht
Fertigungs- und kontrollgerecht
Entscheidend ist eine montagegerechte Baustruktur, montagegerechte Gestaltung der Fgestellen und Fgeteile [61], wobei die automatische Montage an Bedeutung gewinnt (s. S 6). Bei der Montage lassen sich folgende Teiloperationen in unterschiedlicher Vollstndigkeit, Reihenfolge und Hufigkeit erkennen [58–60]: Speichern – Werkstck handhaben (Erkennen, Ergreifen, Bewegen) – Positionieren – Fgen – Einstellen (Justieren) – Sichern – Kontrollieren.
Beim Entwerfen und Ausarbeiten ist sowohl auf eine fertigungsgerechte Baustruktur als auch auf eine fertigungs- und kontrollgerechte Werkstckgestaltung zu achten, die mit einer auf die Fertigung abgestimmten Werkstoffwahl einhergeht.
Allgemeine Richtlinien zur Montage. Anzustreben sind einheitliche Montagearten, wenige, einfache und zwangslufige Montageoperationen sowie parallele Montagen von Baugruppen.
Formgebungsgerecht In der VDI-Richtlinie 2224 (mit instruktiven Bildbeispielen) sind Empfehlungen fr den Konstrukteur zur Formgebung technischer Erzeugnisse zusammengestellt [57]. Außerdem ist in [61] eine systematische Betrachtung zu Form, Farbe und Graphik unter Verwendung von [62] zu finden.
Verbesserung einzelner Montageoperationen Tabelle 9. Allgemeine Mindestanforderungen der Arbeitssicherheit bei mechanischen Gebilden
Speichern wird durch stapelbare Werkstcke mit ausreichenden Auflageflchen und Konturen zur eindeutigen Lageorientierung bei nichtsymmetrischen Teilen erleichert. Werkstck handhaben. Beim Erkennen ist ein Verwechseln hnlicher Teile auszuschließen. Das einwandfreie und sichere Ergreifen ist besonders fr automatische Montageverfahren wichtig. Grundstzlich sind beim Bewegen kurze Wege anzustreben, ergonomische Erkenntnisse und Sicherheitsaspekte zu beachten sowie eine einfache Handhabung der Werkstcke zu gewhrleisten. Positionieren. Gnstig ist, Symmetrie anzustreben, wenn keine Vorzugslage gefordert wird (bei geforderter Vorzugslage ist diese durch die Form zu kennzeichnen), das selbstttige Ausrichten der Fgeteile zu erzwingen oder, wenn das nicht mglich ist, einstellbare Verbindungen vorzusehen. Fgen. Oft zu lsende Fgestellen (z. B. zum Austausch von Verschleißteilen) mit leicht lsbaren Verbindungen ausrsten. Fr selten oder nach der Erstmontage berhaupt nicht mehr zu lsende Fgestellen knnen aufwendig lsbare Verbindungen vorgesehen werden. Gleichzeitiges Verbinden und Positionieren ist anzustreben. Zum Ermglichen wirtschaftlich vertretbarer Toleranzen ist ein Toleranzausgleich von Werkstcken mit hoher Federsteifigkeit mittels federnder Zwi-
I1.4 Gestaltung schenelemente oder Ausgleichstcke vorzusehen (toleranzgerecht). Das Einfgen, d. h. Einfhren eines Teils zu den Fgeflchen, wird erleichtert durch gute Zugnglichkeit fr Montagewerkzeuge, Sichtkontrollen, einfache Bewegungen an den Fgeflchen, Vorsehen von Einfhrungserleichterungen, Vermeiden gleichzeitiger Fgeoperationen und Vermeiden von Doppelpassungen. Einstellen. Feinfhliges, reproduzierbares Einstellen ermglichen. Rckwirkung auf andere Einstelloperationen vermeiden. Einstellergebnis meß- und kontrollierbar machen. Sichern. Gegen selbstndiges Verndern ist anzustreben, selbstsichernde Verbindungen zu whlen oder form- bzw. stoffschlssige Zusatzsicherungen vorzusehen, die ohne großen Aufwand montierbar sind. Kontrollieren. Mit gestalterischen Maßnahmen ist eine einfache Kontrolle (Messen) der funktionsbedingten Forderungen zu ermglichen. Kontrollieren und weitere Einstellungen mssen ohne Demontage bereits montierter Teile durchfhrbar sein. Gebrauchs- und instandhaltungsgerecht Die Gestaltung hat auf die Erfordernisse des Betriebs und der Instandhaltung, die sich in Wartung, Inspektion und Instandsetzung gliedert, Rcksicht zu nehmen. Generell soll der Gebrauch oder die Inbetriebnahme sicher und einfach mglich sein. Betriebsergebnisse in Form von Meldungen, berwachungsdaten und Meßgrßen sollen bersichtlich anfallen. Der Betrieb darf keine gravierende Belstigung der Umgebung verursachen. Wartungen sollen einfach und kontrollierbar durchgefhrt werden knnen, Inspektionen mssen kritische Zustnde erkennen lassen, und die Instandsetzung soll mglichst ohne zeitraubende Montageoperationen mglich sein. Recyclinggerecht Der Einsparung und Wiedergewinnung von Rohstoffen kommt zunehmende Bedeutung zu. VDI-Richtlinie 2243 [63] weist auf Verfahren zum Recycling hin und gibt konstruktive Hinweise: Wirtschaftliche Demontage, leichte Werkstofftrennung, geeignete vertrgliche Werkstoffwahl und -kennzeichnung. 1.4.4 Faserverbundbauweisen Fibre reinforced construction methods (composites) M. Flemming, Niederrohrdorf und G. Ziegmann, Clausthal-Zellerfeld Definitionen
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Integralbauweise. Die Integralbauweise ist von dem Bestreben geprgt, mglichst viele Strukturelemente einer Baugruppe in einem einzigen Fertigungsvorgang herzustellen. Die Anzahl der Einzelteile und die Anzahl der Fgungen und damit die Montagekosten werden durch diese Bauweise drastisch reduziert. Die Aufwendungen fr Werkzeuge, aber auch die Fertigungsvorgnge werden aufwendiger und teurer [64, 73]. Diese durch Gestalten neuer Fertigungs- und Werkzeugkonzepte zu optimieren ist eine der wichtigsten Aufgaben moderner Konstruktionstechnik. Die Integralbauweise setzt sich mit Hilfe neuer computergesteuerter Fertigungstechniken immer mehr durch. Beispiele siehe [64, 73]. Mischbauweise. Große komplexe Strukturen bestehen in den wenigsten Fllen aus nur einer Bauweise, sie stellen eine Mischung von Differential- und Integralbauweise dar. Sandwichbauweise. Eine Sandwichstruktur besteht aus hochsteifen und hochfesten Deckschichten, die mit einem schubsteifen Kern verbunden sind. Durch konstruktive Maßnahmen knnen beispielsweise folgende Eigenschaften kombiniert werden: Hohe Steifigkeit, geringes Gewicht, Wrme- und Schalldmmung, Schlag- und Splitterschutz, Brandschutz. Als Kernmaterial werden Schume, Waben und sulenfrmige Abstandhalter verwendet [64, 70]. Bei den Sandwichbauweisen unterscheidet man in der Faserverbundtechnik grundstzlich auch in Differential- und Integralbauweise. Bild 22 zeigt eine Waggonstruktur [65, 73] in FaserverbundSandwichbauweise. Als Fertigungsverfahren wurde die Wikkeltechnik verwendet, ein hochautomatisiertes Fertigungsverfahren fr Faserverbunde [73, 80, 81]. Passive und aktive Bauweisen. Bei der passiven Bauweise sind die Eigenschaften der Struktur nach der Fertigung fest definiert. Es sind die aus Material und Konstruktion unvernderlich entstandenen Kennwerte wie z. B. Steifigkeit, Festigkeit, Wrmeausdehnung, Crashverhalten. Die aktiven Bauweisen sind dadurch gekennzeichnet, daß bei der Konstruktion und Fertigung Funktionsmglichkeiten, z. B. Aktuator-Sensorwerkstoffe, integriert werden, mit denen man weitere Eigenschaften auslsen kann [66], z. B. Bewegungen, Verformungen. Faserverbunde eignen sich wegen ihres schichtweisen Aufbaus hierfr besonders gut (Bild 23). Gestaltungsgrundlagen Schichtverbunde. Faserverbundstrukturen mit gerichteten langen Fasern sind schichtweise aufgebaut (Bild 24). Das unterscheidet sie bezglich der Berechnung, der Konstruktion
Der Begriff Bauweisen [64] erstreckt sich auf das optimierte Zusammenwirken der fr die Entwicklung eines Bauteils oder eines Systems erforderlichen Fachdisziplinen wie: Werkstoffe, Werkstoffverbunde, Entwicklung und Konstruktion, Berechnung und Auslegung, Fertigungsverfahren, Umwelt-Aspekte, Kosten/Nutzen-Aspekte. Diese Kombination macht deutlich, daß in vielen Entwicklungen die einzelnen Fachdisziplinen nicht aufteilbar sind, d. h. interdisziplinr wirken mssen. Bei den Metall- und Faserverbundbauweisen unterscheidet man: Differentialbauweise. Bei der Differentialbauweise wird eine Struktur in einzelne, meist einfach zu fertigende Bauelemente aufgeteilt, die in anschließenden Montageschritten durch Fgevorgnge zur Gesamtstruktur zusammengesetzt werden. Die Fertigungskosten zur Herstellung der einzelnen Komponenten sind meist gering, der Aufwand fr die Montage der Einzelteile zur Gesamtstruktur ist hoch (s. F 1.4.3) [64, 73].
Bild 22. Prinzipieller Aufbau der gewickelten Sandwichrhre eines Waggons (Schindler). 1 Ringspant, 2 innere Laminatschicht, 3 innerer Schaumkern, 4 mittlere Laminatschicht, 5 ußerer Schaumkern, 6 ußere Laminatschicht, 7 Fensterrahmen, 8 Wandkanal, 9 Deckenkanal
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Grundlagen der Konstruktionstechnik – 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens
F Bild 25. Versagensarten
Bild 23. Integration aktiver Elemente in Faserverbunde [66]. 1 Druckplatte, 2 Maske mit Ausschnitt, 3 Kupferfolie, 4 Aluminiumfolie, 5 aktives Element, 6 Isolation, 7 0 /90 Schicht, 8 +45 /– 45 Schicht, 9 –45 /+45 Schicht, 10 90 /0 Schicht, 11 Druckplatte
Bild 24. Schematische Darstellung der Faserschichten
und der Fertigung wesentlich von den Metallen. Die Schichten bestehen aus zwei Werkstoffen: den Fasern – meist Glas-, Synthese- oder Kohlefasern – und dem die Fasern verbindenden Material – genannt die Matrix –, das im allgemeinen ein Duroplast oder ein Thermoplast darstellt (s. E 4.10) [67]. Dimensionierung. Jede Schicht ist orthotrop, der Faserschichtverbund ergibt eine anisotrope Struktur. Im Gegensatz zu den Metallen mssen bei Faserverbundstrukturen die Werkstoffeigenschaften vom Konstrukteur festgelegt werden. Smtliche Werkstoffkonstanten, also der E-Modul, der G-Modul und die Querkontraktionszahl u, knnen stark variiert werden. In jeder Schicht kann die Faserrichtung gendert werden. blicherweise werden die Fasern so gelegt, daß sie optimale Festigkeiten und Steifigkeiten ergeben [68, 70]. Die Grundlage fr die Spannungsberechnung stellt die sogenannte Mehrschichttheorie [68] dar, in der die schichtweisen Orthotropien bercksichtigt sind. Wenn die Faserrichtung sich schichtweise ber die Wandstrke ndert, so variiert die Spannung sprunghaft ber den Querschnitt [70] entsprechend der Faserrichtung. Fr die Dimensionierung der Bauteile gibt es unterschiedliche Versagenskriterien: den Zwischenfaserbruch, den Faserbruch und die Delamination (Bild 25). Die Spannungshypothesen unterscheiden sich stark von jenen fr die Metalle [69, 70].
Bild 26. Ausschnitt aus Konstruktionszeichnung (Quelle: Breiing, Sauer)
Technische Zeichnung. Die berechneten Faserrichtungen mssen in der Zeichnung angegeben werden (Bild 26). Ansonsten unterscheiden sich die Zeichnungen nicht von jenen in der Metalltechnik. Werkstoffe. Die einzelnen Schichten bestehen – die Fasern betreffend – aus unidirektionalen Fasern oder aus Geweben verschiedenster Art bzw. aus Gestricken. Der Matrixwerkstoff wird nachtrglich eingebracht oder er ist als Thermoplast bzw. Duroplast bereits in der Schicht vorhanden. Im letztgenannten Fall spricht man von einem Prepreg. Der Konstrukteur hat mit den unterschiedlichen Fasern, Matrizes, Faserrichtungen, Fasergehalten und Faserhalbzeugen [64, 67] eine umfangreiche Palette zur optimalen Gestaltung der geforderten Eigenschaften [70]. Die wichtigsten Eigenschaften der Faserwerkstoffe sind ebenfalls in [64, 67, 70] angegeben. Konstruktionen werden meist
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Smtliche Faserverbunde knnen bessere Energiebilanzen ergeben, je mehr Fasern abhngig von der Dimensionierung in nur eine Richtung gelegt werden drfen. Fertigungsverfahren Es werden hier nur Verfahren behandelt, die sich fr Konstruktionen mit gerichteten Langfasern eignen. Sie sind teilweise auch bertragbar auf Laminate mit gerichteten Kurzfasern. Die hier gegebene bersicht enthlt einige wichtige Verfahren, weitere sind in Abschnitt E 4.10 angegeben. Diese beziehen sich grßtenteils auf Faserverbunde mit ungerichteter, also willkrlicher Faserverteilung. Naßlaminiertechnik. ber eine Positivform aus Metall, Faserverbund oder Formmassen werden Schichten aus Geweben oder Gestricken gelegt, die anschließend mit einem Pinsel oder anderen dafr geeigneten Gerten mit flssigen Duroplastwerkstoffen getrnkt werden. Das Gelege hrtet bei Raumtemperatur oder – je nach Matrixwerkstoff – in einem Ofen bzw. Autoklaven aus [73].
Bild 27. Spezifische Zugfestigkeit und spezifischer E-Modul in Abhngigkeit vom Laminataufbau. Fasergehalt in Laminat 60 Vol.-%
auf Festigkeit und/oder Steifigkeit dimensioniert. Soweit es sich um bewegte Teile oder Maschinen handelt, kann der Energieverbrauch mit geringerer Masse optimiert werden. Zu ergnzen ist diese Dimensionierung durch weitere Forderungen, z. B. der Crashsicherheit [70]. Bezieht man die Bruchfestigkeit s und den Elastizittsmodul E auf die Dichte g, so erhlt man eine Aussage ber die Energieeinsparungsmglichkeiten, denn fr das Energiesparen bentigt man feste und steife Werkstoffe mit geringerer Dichte [64, 72]. In Bild 27 sind diese Parameter fr einige Metalle und Faserverbundwerkstoffe aufgetragen, auf der Abszisse das Verhltnis E/g und auf der Ordinate szug =g ; die sogenannte Reißlnge. Die Metalle liegen in diesem Diagramm in einem relativ kleinen Bereich, whrend die Faserverbunde große Unterschiede zeigen [84]. Die Glasfaserverbunde (GFK) zeigen eine wesentlich bessere spezifische Festigkeit als Metalle, aber einen schlechteren spezifischen E-Modul und damit eine niedrigere gewichtsbezogene Steifigkeit. Es gibt Konstruktionen, fr die eine geringe Steifigkeit erwnscht ist. Hierfr sind Glasfaserverbunde bestens geeignet, wobei darauf zu achten ist, daß die Bruchdehnung der Matrix nicht berschritten werden darf. Außerdem sind sie fr niedrig belastete Strukturen von Vorteil [67, 70, 84]. Die Synthetik- (z. B. Kevlar-) Faserverbunde (AFK) sind bezglich der spezifischen Zugfestigkeit und der Steifigkeit den Metallen weit berlegen. Betrachtet man hingegen ihre spezifische Druckfestigkeit, so ist dieser Vorteil nicht mehr vorhanden [67, 70, 84]. Die Kohlefaserverbunde (CFK) gibt es inzwischen in vielen Varianten mit C-Fasern als hochfesten (HT) und hochsteifen (HM) Typ. Sie haben sehr gute Zug- und Druckfestigkeitseigenschaften und sind relativ einfach herstellbar und verarbeitbar. Mit ihnen knnen somit fr zuknftige Konstruktionen die bestgeeignetsten Faserverbundbauteile entwickelt werden. Sie haben auch weitere Verbesserungspotentiale hinsichtlich fast aller wichtigen Eigenschaften wie Festigkeit, Steifigkeit, Bruchdehnung und Preis [67, 70, 71, 84].
Autoklav-Prepreg-Technik. Mit Epoxidharz vorimprgnierte und mit unidirektionalen Fasern, Geweben oder Gestricken versehene Prepregs werden in bestimmten Richtungen von Hand oder maschinell bereinander gelegt und durch Umformen um ein Werkzeug und anschließender Aushrtung im Autoklaven zu einem hochfesten, steifen und leichtem Bauteil gefertigt (Bild 28) [73]. Wickeltechnik. Die Wickeltechnologie ist das bisher am meisten automatisierte Fertigungsverfahren der Faserverbundtechnik. Es eignet sich nur fr Bauteile, die eine gewisse Symmetrie aufweisen. Beim Wickelverfahren werden die Fasern als Roving ber Walzen durch ein Trnkbad gefhrt und somit imprgniert und dann durch ein Fadenfhrungsauge auf einen sich drehenden Wickelkern abgelegt. Die Ablagewinkel knnen ber den Vorschub eines Schlittens oder Roboters und der Wickelkerndrehgeschwindigkeit genau definiert werden. Somit kann Schicht fr Schicht mit unterschiedlichen Faserrichtungen abgelegt werden. Neuerdings wird dieses Verfahren auch fr Thermoplaste in modifizierter Technik angewendet. Das Wickeln wird nicht nur mit Faserrovings, sondern auch mit Gewebebndern durchgefhrt (Bild 29) [73, 81]. Harzinjektionstechnik ¼ Resin-Transfer-Moulding-Technik (RTM). Die RTM-Technik erlaubt es, Bauteile in beliebiger Gestalt herzustellen. Zwischen zwei mit hochentwickelter CAM-Technik (komplizierte Freiformflchen) gefrsten Formhlften, die das Negativ des Bauteils darstellen, wird das aus Gewebe und evtl. Schaumstoff bestehende Preform gelegt. Die zwei Formhlften werden automatisch geschlossen. Danach wird Harz und Hrter unter Druck injiziert und bei recht kurzer Aushrtezeit (Spezialharze) und vorgegebener Temperatur die chemische Vernetzung erstens des Harzes und zweitens des Harzes mit den Fasern durchgefhrt. Nach dem Entformen des fertigen Bauteils ist noch eine geringfgige Nachbearbeitung erforderlich (Bild 30) [73, 77, 78]. Fr das Verfahren sind diesbezglich besonders optimierte Matrixwerkstoffe erforderlich. Diese mssen whrend des Fließvorganges eine sehr geringe Viskositt aufweisen und danach schnell aushrten. Die RTM-Technik eignet sich fr relativ kurze Taktzeiten. Es lassen sich komplizierte Teile mit integrierten Metallinserts kostengnstig herstellen. Eine fr den Konstrukteur wichtige Simulation am Bildschirm ist prinzipiell mglich [78]. Dem Verfahren wird fr die Serienfertigung in der Zukunft große Bedeutung beigemessen [73]. Diaphragmatechnik [74–76]. Ein ebenes Gelege mit Thermoplastmatrix wird zwischen zwei elastische und temperaturbestndige Folien gelegt und in einen Rahmen so einge-
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Bild 28. Darstellung der prinzipiellen Arbeitsfolge im Autoklavprozeß
Bild 29. Darstellung des Wickelprozesses
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Bild 30. Die Prozeßschritte der RTM-Technik
klemmt, daß ein Vakuum zwischen den Folien erzeugt werden kann. Der Rahmen wird in einen speziell fr dieses Verfahren vorgesehenen Autoklaven eingebracht (Bild 31). Das Gelege wird samt den Folien von beiden Seiten aufgeheizt. Danach wird der Autoklav unter weiterer Aufheizung geschlossen und im oberen Raum mit Druck, im unteren mit Vakuum beaufschlagt, so daß das Gelege um die Form drapiert wird. Danach erfolgt die Konsolidierungsphase. Zum Schluß wird der Autoklav geffnet und das Bauteil entformt. Das Verfahren eignet sich fr kurze Taktzeiten [74–76]. Umform-Preßtechnik. Ein Faserverbundthermoplastgelege wird vorgeheizt und danach in eine Kalt- oder Heißpresse transportiert. In dieser wird das ebene erhitzte Gelege ber eine Form umgeformt. Der Festhalter-Rahmen um das Gelege muß sehr elastisch gestaltet sein. Das Verfahren erlaubt fr Faserverbunde mit langen Fasern keine zu großen rumlichen Umformgrade. Das Verfahren ist fr kurze Taktzeiten geeignet. Eigenschaften von Faserverbunden Bei den Faserverbunden unterscheidet man im wesentlichen zwischen mechanischen, thermischen, chemischen und elektrischen Eigenschaften [70].
Bild 31. Diaphragmatechnik
Sie lassen sich mit einer großen Varianz ndern und kombinieren. Der Konstrukteur hat dadurch sehr viele Mglichkeiten, die Forderungen fr ein bestimmtes Produkt zu erfllen. In [75, 67, 69, 70] sind die mechanischen Eigenschaften sehr ausfhrlich erklrt (s.a. „Gestaltungsgrundlagen“ in diesem Abschnitt). Die thermischen Eigenschaften sind in [67] und [70] zusammenfassend behandelt. Auf die chemischen Eigenschaften wurde ebenfalls in [67] und [70] eingegangen. Die elektrischen Eigenschaften sind in [70] und [82] einer ausfhrlichen Betrachtung unterzogen. Bei dem Einsatz von Faserverbundwerkstoffen als Konstruktionswerkstoff mssen sie hufig den Forderungen angepaßt werden. Die elektrischen Anforderungen reichen dabei von guter Isolation ber gute Absorption bis hin zu guter Leitfhigkeit. Neben einer geeigneten Auswahl an Fasern erlaubt es die Harzmatrix, durch den Zusatz geeigneter Fllstoffe wie beispielsweise Kohlenstoff oder Kohlekurzfasern, die resistiven und frequenzabhngigen, kapazitiven Eigenschaften zu ndern (Bild 32). Um die mechanischen Eigenschaften weitestgehend unbeeintrchtigt zu lassen, sollten die Fllungsgrade 10 Vol.-% nicht berschreiten. Bei Fllgraden dieser Grßenordunug ist hauptschlich die elektrische Permittivitt beeinflußbar, nicht aber die Permeabilitt, da sich hier noch kein durchgngiger, magnetischer Pfad ausbilden kann. Das Einstellen der elektrischen Permittivitt beeinflußt wesentlich das Verhalten des Werkstoffes als Reflektor oder Absorber. Modifizierte Werkstoffe dieser Art werden knftig dort eingesetzt werden, wo speziell Probleme der elektromagnetischen Vertrglichkeit zu beachten sind. Zu den Eigenschaften der Faserverbunde gehrt auch deren Mglichkeit zur Wiederverwertbarkeit, Recyklierbarkeit und deren Zufhrbarkeit zur Rckgewinnung von Energie. Diese sehr unterschiedlichen Mglichkeiten sind in [70] und [83] umfassend behandelt und zwar sowohl bezglich der fa-
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F Bild 32. Der Verlauf des Realteils der elektrischen Permittivitt fr eine Kohlekurzfaser-Fllung
Bild 33. Die Wege des Recyclings von faserverstrkten Kunststoffen [83]
serverstrkten Duroplaste als auch der faserverstrkten Thermoplaste. Bild 33 gibt einen berblick ber die diesbezglichen prinzipiellen Mglichkeiten.
1.5 Baureihen- und Baukastenentwicklung Fundamentals of development of series and modular design Unter einer Baureihe versteht man technische Gebilde (Maschinen, Baugruppen, Einzelteile), die dieselbe Funktion mit
I1.5 Baureihen- und Baukastenentwicklung der gleichen Lsung in mehreren Grßenstufen bei mglichst gleicher Fertigung in einem weiten Anwendungsbereich erfllen. Sind zustzlich zur Grßenstufung auch andere zugeordnete Funktionen zu erfllen, ist neben der Baureihe ein Baukastensystem zu entwickeln (s. F 1.5.6). Fr die Entwicklung von Baureihen sind hnlichkeitsgesetze zwingend und dezimalgeometrische Normzahlen zweckmßig. 1.5.1 hnlichkeitsbeziehungen. Similarity laws Eine rein geometrische Vergrßerung ist nur statthaft, wenn hnlichkeitsgesetze es zulassen. Als Beurteilungskriterium bieten sich Gesetze an, wie sie in der Modelltechnik (s. B 7.2) blich sind. Es liegt nahe, diese Praxis auf die Entwicklung von Baureihen zu bertragen. Gedanklich kann man das „Modell“ dem ursprnglichen Entwurf, dem „Grundentwurf“, und die „Ausfhrung“ des Modells einem Glied der Baureihe als „Folgeentwurf“ gleichsetzen. Gegenber der Modelltechnik ergibt sich fr eine Baureihe eine andere Zielsetzung: gleich hohe Ausnutzung bei gleichen Werkstoffen und gleicher Technologie fr alle Glieder der Baureihe. Daraus folgt, daß bei gleich guter Erfllung der Funktion ber weite Grßenbereiche die Beanspruchung gleich bleiben muß. In maschinenbaulichen Systemen treten Trgheitskrfte (Massenkrfte, Beschleunigungskrfte, Zentrifugalkrfte usw.) und sogenannte elastische Krfte aus dem SpannungsDehnungs-Zusammenhang am hufigsten auf. Eine gleichbleibende Beanspruchung lßt sich erreichen, wenn alle Geschwindigkeiten konstant bleiben. Definiert man mit jL ¼ L1 =L0 den Stufensprung (Maßstab) der Lnge zwischen Folge- und Grundentwurf, so lassen sich fr alle wichtigen Grßen wie Leistung und Drehmoment unter der Bedingung jL ¼ jt ¼ const und mit jr ¼ jE ¼ js ¼ jv ¼ 1 entsprechende Stufensprnge bilden; sie sind in Tab. 10 zusammengestellt. Zu beachten ist, daß Werkstoffausnutzung und Sicherheit nur dann konstant sind, wenn innerhalb der Stufung der Grßeneinfluß auf die Werkstoffgrenzwerte vernachlssigt werden kann. Gegebenenfalls muß er entsprechend bercksichtigt werden.
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1.5.2 Dezimalgeometrische Normzahlreihen Geometric series of preferred numbers (Renard series) Eigenschaften der dezimalgeometrischen Reihe Die dezimalgeometrische Reihe entsteht durch Vervielfachung mit einem Konstanten Faktor j und wird jeweils innerhalb einer Dekade entwickelt. j ist der Stufensprung der Reihe und ergibt sich zu pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi j ¼ n an =a0 ¼ n 10, wobei n die Stufenzahl innerhalb einer Dekade ist. Fr z. B. zehn Stufen wrde die Reihe einen Stufensprung pffiffiffiffiffi j ¼ 10 10 ¼ 1;25 haben und R 10 genannt werden. Die Gliedzahl der Reihe ist z=n+1. In Tab. 11 ist ein Auszug aus DIN 323 wiedergegeben, in der die Hauptwerte der Grundreihen festgelegt sind. Abgeleitete Reihen. Hier wird nur jedes k-te Glied einer Grundreihe benutzt. Zur Kennzeichnung wird dann die Zahl k als Nenner hinter die Reihenbezeichnung und in Klammern die Zahl, mit der die Reihe beginnt, gesetzt, z. B. R 20=4ð1;4 . . .Þ 1;4 2;24 3;55 5;6 usw:; R 10=3ð1 . . .Þ 1 2 4 8 usw: Der Stufensprung ist dann immer das Verhltnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen oder j ¼ 10k=n . Wahl der Grßenstufung Die Grßenstufung richtet sich nach den Bedarfserwartungen des Marktes (Vertriebs), bezogen auf die einzelnen Baugrßen, nach dem Marktverhalten bei Typbereinigung und den damit verbundenen Lcken, nach den Fertigungskosten und -zeiten bei unterschiedlichen Grßenstufungen und den Eigenschaften der Produkte bei unterschiedlichen Grßenstufungen. Nicht immer wird es zweckmßig sein, den geforderten Grßenbereich einer Baureihe mit einem konstanten Stufensprung aufzuteilen. Aus technischen und wirtschaftlichen Grnden ist es hufig gnstiger, ihn in unterschiedliche
Tabelle 11. Hauptwerte von Normzahlen (Auszug aus DIN 323)
Tabelle 10. hnlichkeitsbeziehungen bei geometrischer hnlichkeit und gleicher Beanspruchung: Abhngigkeit hufiger Grßen vom Stufensprung der Lnge (Ca: Cauchy-Zahl)
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Grundlagen der Konstruktionstechnik – 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens Man beachte aber: Passungen und Toleranzen sind mit den Nennmaßen nicht geometrisch hnlich gestuft, sondern die Grße einer Toleranzeinheit folgt der Beziehung i ¼ 0;45 D1=3 þ 0;001 D, d. h., der Stufensprung der Toleranzeinheit i folgt im wesent1=3
lichen ji ¼ ji . Technologische Einschrnkungen fhren oft zu Abweichungen; z. B. kann eine Gußwanddicke nicht unterschritten, eine Wanddicke nicht durch und durch vergtet werden (Grßeneinfluß). bergeordnete Normen basieren nicht immer konsequent auf Normzahlen. Von ihnen beeinflußte Bauteile sind entsprechend anzupassen.
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bergeordnete hnlichkeitsgesetze oder andere Anforderungen knnen eine starke Abweichung von der geometrischen hnlichkeit erzwingen. Dann mssen halbhnliche Baureihen vorgesehen werden (s. F 1.5.4). Bild 34. Technische Beziehungen im NZ-Diagramm. n Stufenzahl der feinsten zugrundegelegten NZ-Reihe; jeder Rasterpunkt ist eine Normzahl dieser Reihe; jeder ganzzahlige Exponent fhrt wieder auf eine Normzahl
Grßenabstnde zu gliedern, d. h. durch Springen innerhalb und/oder zwischen grberen und feineren Normalzahlreihen (R 5 bis R 40) aufzuteilen. Als Regel gilt, daß die Grßenstufung um so feiner sein muß, je grßer der Bedarf ist und je genauer bestimmte technische Eigenschaften einzuhalten sind. Darstellung im Normzahldiagramm Fast alle technischen Beziehungen lassen sich in die allgemeine Form y ¼ cxp bringen, deren logarithmische Form lg y=lg c+p lg x ist. Jede Normzahl (NZ) kann mit NZ ¼ 10m=n oder wieder mit lgðNZÞ ¼ m=n geschrieben werden, wobei m die jeweilige Stufe in der NZ-Reihe und n die Stufenzahl der NZ-Reihe innerhalb einer Dekade angibt. my =n ¼ mc =n þ pðmx =nÞ: Alle Abhngigkeiten knnen als Geraden in einem doppeltlogarithmischen Diagramm dargestellt werden, wobei die Steigung dieser Geraden jeweils dem Exponenten p der technischen Beziehung (Abhngigkeit) entspricht (Bild 34). Statt der Logarithmen werden die Normzahlen selbst an die Koordinaten geschrieben [74]. Der Grundentwurf erhlt den Index 0, das erste nchstfolgende Glied der Baureihe (Folgeentwurf) den Index 1, das k-te den Index k. Hat man auf der Abszisse die Nenngrße x aufgetragen, so ist der Stufensprung jx ¼ x1 =x0 . Bei einer geometrisch hnlichen Abmessungsreihe ist er zweckmßigerweise gleich dem Stufensprung jL der Lnge. Alle anderen Grßen wie Abmessungen, Drehmomente, Leistungen und Drehzahlen ergeben sich bei Kenntnis des Grundentwurfs aus den bekannten Exponenten ihrer physikalischen bzw. technischen Beziehung (Tab. 10) und knnen als Gerade mit entsprechender Steigung (z. B. Gewicht jG ¼ j3L , also mit Steigerung 3 : 1) eingetragen werden. Beispiel: Bild 35.
1.5.3 Geometrisch hnliche Baureihe Geometrically similar series Ausgehend von einem Grundentwurf prft man, ob im wesentlichen nur Trgheits- oder/und elastische Krfte einwirken. Ist das der Fall, so knnen bei konstanter Umfangsgeschwindigkeit ber der Reihe die in Tab. 10 abgeleiteten hnlichkeitsbeziehungen verwendet werden. Sie geben den Exponenten an, der die Steigung der Linien im Normzahldiagramm festlegt (s. F 1.5.2) und damit fr die anderen Nenngrßen der Folgeentwrfe die Auslegungsdaten abzulesen gestattet (Bild 35).
1.5.4 Halbhnliche Baureihen. Semi-similar series Bedeutende Abweichungen von der geometrischen hnlichkeit knnen durch folgende Grnde erzwungen werden (sie erfordern fr die Baureihe ein anderes Wachstumsgesetz und fhren zu halbhnlichen Baureihen): bergeordnete hnlichkeitsgesetze durch Einfluß der Schwerkraft, Einfluß thermischer Vorgnge und/oder andere hnlichkeitsbeziehungen [86, 87]. bergeordnete Aufgabenstellung. Bauteile, mit denen der Mensch bei der Arbeit in Berhrung kommt, mssen den Krperabmessungen entsprechen. Sie knnen sich im allgemeinen nicht mit den Baureihengliedern ndern. Eine bergeordnete Aufgabenstellung kann auch infolge technischer Bedingungen vorliegen, wenn Eingangs- oder Ausgangsprodukte keine geometrisch hnliche Abmessungen haben. bergeordnete wirtschaftliche Forderungen. In einer Baureihe knnen Einzelteile und Baugruppen, grber gestuft, eine hhere Stckzahl ergeben und so eine noch wirtschaftlichere Fertigung ermglichen. Fr die umgebenden oder anschließenden Bauteile erhlt man dann halbhnliche Baureihen. Aus diesen Beispielen geht hervor, daß nicht immer die geometrisch hnliche Baureihe eingehalten werden kann. Vielmehr muß man unter Beachten des physikalischen Vorgangs und sonstiger Anforderungen Maßstbe ableiten, die die Abmessungen oder sonstigen Kenngrßen bestimmen. Dabei ist es nicht mehr mglich, eine gleich hohe Ausnutzung der Festigkeit sicherzustellen, sondern man wird dann ber der Baureihe die Grße festhalten, die den insgesamt hheren Nutzen bestimmt. Je nach physikalischem Geschehen kann diese Grße sogar ber der Grßenstufung wechseln. 1.5.5 Anwenden von Exponentengleichungen Use of exponent-equations Sie dienen als Hilfsmittel, die unter F 1.5.4 erluterten Bedingungen nach der Art von hnlichkeitsbeziehungen bei einer halbhnlichen Baureihe zu bercksichtigen. Fr das Wachstumsgesetz bei Potenzfunktionen ist unter Verwendung der Normzahldiagramme nur der Exponent wichtig, wenn man von einem Grundentwurf ausgehen kann. Die technische Beziehung fr das k-te Glied der Baureihe hat oft die Form yk ¼ ck xpkx zpkz : Diese abhngig Vernderliche y und die unabhngige Vernderlichen x und z lassen sich stets, vom Grundentwurf (Index 0) ausgehend, mit Normzahlen ausdrcken.
I1.5 Baureihen- und Baukastenentwicklung
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Bild 35. Datenblatt einer Zahnkupplungsreihe ber dem Nenndurchmesser dt . Abmessungen geometrisch hnlich; Ausnahmen: Hlsenaußendurchmesser D bei der kleinsten Baugrße (aus Steifigkeitsgrnden), nicht nach Normzahlen gestufte Moduln und die Forderung nach ganzen, geraden Zhnezahlen (einige Teilkreisdurchmeser geringfgig angepaßt); unter der Abszisse angepaßte Passungsfestlegung
yk ¼ y0 jyLe k ; xk ¼ x0 jxLe k ; zk ¼ z0 jzLe k : xp0x zp0z
y0 jyLe k
ðx kp þz kp Þ ¼ y0 gL e x e z .
Mit y0 ¼ c und ck ¼ c wird Man erhlt unabhngig von k durch Vergleich der Exponenten ye ¼ xe px þ ze pz : Hierin sind ye ; xe und ze die festzulegenden oder zu ermittelnden Stufenexponenten und px und pz die gegebenen physikalischen Exponenten von x und z. Nun ist jeweils der Exponent ye in Abhngigkeit von xe und ze zu bestimmen. Dazu stellt man die physikalischen Abhngigkeiten in Form einer Gleichung dar, fhrt die bestehenden besonderen Bedingungen ein und rechnet nur mit Exponentengleichungen [88]. Beispiel: Elektromotoren-Reihe. Die vom Motor abgegebene Leistung P ist proportional der Winkelgeschwindigkeit w, der Stromdichte G, der magnetischen Induktion B, den Leiterabmessungen b, h, t (Leitervolumen) sowie dem mittleren Abstand D/2 der Leiter von der Wellenmitte. D sei das Nennmaß der Reihe. – Wie wchst die Leistung P? P w G B b h t D. In Exponentenschreibweise Pe ¼ we þ Ge þ Be þ be þ he þ te þ De . w, G und B seien konstant, womit we ¼ Ge ¼ Be ¼ 0 werden. b, h, t und D mgen geometrisch hnlich wachsen, womit be ¼ he ¼ te ¼ De ist. Der Exponent der Leistung in Abhngigkeit von D ist dann Pe ¼ 4De . Die Leistung wchst mit der 4. Potenz von D bei geometrisch hnlicher Vergrßerung.
Wie mßte sich der abtriebseitige Lagerzapfendurchmesser ndern, wenn die Torsionsbeanspruchung konstant bleiben soll? – tt ¼ Mt =Wt ¼ Mt =ðdL3 p=16Þ; Mt P; P D4 . In Exponentenschreibweise tte ¼ 0 ¼ 4De 4dLe oder dLe ¼ ð4=3ÞDe . Der Lagerzapfendurchmesser dL wchst mit dem Exponenten 4/3 gegenber dem 4=3 Nennmaß D ðjdL ¼ jD Þ.
1.5.6 Baukasten. Modular system Unter einem Baukasten versteht man Maschinen, Baugruppen und Einzelteile, die als Bausteine mit oft unterschiedlichen Lsungen durch Kombinationen entstehen und verschiedene Gesamtfunktionen erfllen. Bei mehreren Grßenstufen solcher Bausteine enthalten Bauksten oft auch Baureihen. Baukastensysteme sind aus Bausteinen aufgebaut. Es bietet sich an, sie nach wiederkehrenden Funktionsarten zu orientieren und zu definieren, die – als Teilfunktionen kombiniert – unterschiedliche Gesamtfunktionen (Gesamtfunktionsvarianten) erfllen. Auf Bild 36 wird deshalb eine Ordnung fr solche Funktionen vorgeschlagen. Aus ihr ergibt sich eine entsprechende Ordnung fr die Bausteinarten (Funktionstrgerarten). Je nach dem, ob ein Baustein in allen Funktionsvarianten eines Bausteinsystems vorkommen muß oder nur kann, spricht man von Muß- oder Kann-Bausteinen [88].
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Grundlagen der Konstruktionstechnik – 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens
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Bild 36. Funktions- und Bausteinarten bei Baukasten und Mischsystemen
Nicht im Baukastensystem vorgesehene auftragsspezifische Funktionen werden ber „Nichtbausteine“ verwirklicht, die fr die konkrete Aufgabenstellung in Einzelkonstruktion entwickelt werden mssen. Ihre Verwendung fhrt zu einem Mischsystem als Kombination von Bausteinen und Nichtbausteinen. Zur Baukastenabgrenzung definiert man Bauprogramme mit endlicher, vorhersehbarer Variantenzahl (geschlossene Baukastensysteme) und Baumusterplne mit einer großen Vielfalt an Kombinationsmglichkeiten, die nicht im vollen Umfang geplant und dargestellt werden (offene Baukastensysteme). Produkte aus Baukastensystemen werden in der Regel nicht in allen Zonen gleich hoch ausgenutzt; sie sind daher oft schwerer und raumaufwendiger als eine spezielle Einzelanfertigung. Ihre Wirtschaftlichkeit ist in der Verwendung des Gesamtsystems zu suchen und nicht im Vergleich einer Kombination mit einer Einzelausfhrung.
1.6 Normen- und Zeichnungswesen Fundamentals of standardisation and engineering drawing 1.6.1 Normenwerk. Standardisation berbetriebliche Normen Nach DIN 820 ist Normung die planmßige, von interessierten Kreisen gemeinschaftlich durchgefhrte Vereinheitlichung materieller und immaterieller Gegenstnde zum Nutzen der Allgemeinheit [89]. Normen-Herkunft: DIN-Normen des DIN (Deutsches Institut fr Normung) einschließlich der VDE-Bestimmungen, europische Normen (EN-Normen) von CEN (Comite´ Europe´en de Normalisation) und CENELEC (Comite´ Europe´en de Normalisation Electrotechnique), Empfehlungen der IEC (International Electrotechnical Commission) und Empfehlungen, neuerdings auch Weltnormen, der ISO (International Organization for Standardization), sowie VDI-Richtlinien. Die Normung umfaßt Inhalt, Reichweite und Grad von Normen (DIN 820, EN 45 020). Nach dem Inhalt werden folgende Gebiete von der Normung erfaßt: Verstndigen, Sortieren, Typisieren, Planen, Maße,
Stoffe, Qualitt, Verfahren, Gebrauchstauglichkeit, Prfen, Liefern und Sicherheit. Nach der Reichweite unterscheidet man Grundnormen (Normen von allgemeiner, grundlegender und fachbergreifender Bedeutung) und Fachnormen (Normen fr ein bestimmtes Fachgebiet). Der Grad einer Norm wird hinsichtlich Breite, Tiefe und Umfang bestimmt. Eine Norm kann mehreren Bereichsgruppen angehren, was der Regelfall ist. Sie kann als Vollnorm alle Zusammenhnge in ihrer Breite und Tiefe umfassend darstellen, als Teilnorm Einzelheiten aussparen oder als Rahmennorm einen groben Rahmen fr die behandelten Gegenstnde geben (damit die Normung die technische Entwicklung nicht behindert). Normen findet man im „DIN-Katalog fr technische Regeln“, die wichtigsten davon in der „Einfhrung in die DIN-Normen“. Neben den nationalen und internationalen Normen bestehen weitere berbetriebliche Vorschriften und Richtlinien (vgl. DIN-Katalog): – VDE-Bestimmungen des Verbands Deutscher Elektrotechniker, die jetzt auch als DIN-Normen gelten. – Vorschriften der Vereinigung der Technischen berwachungsvereine, z. B. AD-Merkbltter (Arbeitsgemeinschaft Druckbehlter), die ebenfalls Normcharakter haben, – VDI-Richtlinien des Vereins Deutscher Ingenieure. Innerbetriebliche Normen Zur Erleichterung und Rationalisierung der Konstruktion und der Fertigung werden innerbetriebliche Normen aufgestellt. Sie sind zweckmßigerweise nach denselben Gesichtspunkten wie berbetriebliche Normen zu gestalten (DIN 820). Innerbetriebliche Normen knnen erfassen: Normen-Zusammenstellungen als Auswahl aus berbetrieblichen Normen bzw. Beschrnkung nach firmenspezifischen Gesichtspunkten; Kataloge, Listen und Informationsschriften ber Fremderzeugnisse; Kataloge oder Listen ber Eigenteile; Informationsbltter zur technisch-wirtschaftlichen Optimierung (z. B. ber Fertigungsmittel, Fertigungsverfahren, Kostenvergleiche); Vorschriften oder Richtlinien zur Berechnung und Gestaltung von Bauelementen, Baugruppen, Maschinen und
I1.6 Normen- und Zeichnungswesen Anlagen; Informationsbltter ber Lager- und Transportmittel; Festlegung zur Qualittssicherung (z. B. Fertigungsvorschriften, Prfanweisungen); Vorschriften und Richtlinien fr das Zeichnungs- und Stcklistenwesen, fr die Nummerungstechnik und die elektronische Datenverarbeitung. Normenanwendung Eine absolute Verbindlichkeit von Normen im juristischen Sinn gibt es nicht. Nationale und internationale Normen gelten aber als anerkannte Regeln der Technik, deren Beachtung in vielen Fllen vorteilhaft, zweckmßig und auch unerlßlich ist. Darber hinaus gelten vor allem aus wirtschaftlichen Erwgungen alle Werknormen (bernommene berbetriebliche und innerbetriebliche Normen) innerhalb ihres Gltigkeitsbereichs als verbindlich, wobei der Anwendungszwang abgestuft sein kann. Die Anwendungsgrenze einer Norm ist im wesentlichen dadurch gegeben, daß eine Norm nur so lange gltig und auch verbindlich sein kann, als sie nicht mit technischen, wirtschaftlichen, sicherheitstechnischen, ethischen oder auch sthetischen Anforderungen kollidiert. Empfehlungen und Hinweise zur Anwendung von Normen: Zunchst sind die DIN-Grundnormen [79] einzuhalten, da sich auf ihnen die brigen Normen aufbauen. Ein Verlassen der Grundnormen hat zur Folge, daß die Konsequenzen vor allem langfristig nicht mehr bersehbar sind. Je nach Fachgebiet ist ferner in Normen- und Richtlinienverzeichnissen nach zutreffenden Normen bzw. Richtlinien, insbesondere nach Sicherheitsnormen (DIN 31 000/VDE 1000, [91, 92]), zu suchen. Normzahlen und Normzahlreihen zur Grßenstufung und Typisierung, vor allem bei Baureihen- und Baukastenentwicklungen, sind mglichst anzuwenden (s. F 1.5.2). 1.6.2 Grundnormen. Basic standards Grundnormen sind von allgemeiner, grundlegender Bedeutung [90]. Technische Oberflchen Grundbegriffe. Ein fester Krper wird gegenber dem umgebenden Raum von seiner wirklichen Oberflche begrenzt. Der geometrisch vollkommen gedachte Krper hat eine ideale, die geometrische Oberflche, die durch die geometrische Beschreibung, z. B. in einer Zeichnung oder in einem rechnerinternen Modell, definiert ist. Die geometrische Oberflche ist praktisch nicht zu erreichen. Bei der Fertigung entsteht eine
Bild 37. Lage von geometrischem und wirklichem Profil sowie Rauheitskennwerte senkrecht zur Mittellinie m
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davon abweichende wirkliche Oberflche mit Gestaltabweichungen, wie Schieflagen, Welligkeiten und Rauheiten. Die Abweichungen knnen soweit beschrieben werden, als sie meßtechnisch feststellbar sind. Rauheitskenngrßen werden ausgehend von der Bezugsoberflche erfaßt, die im Regelfall die Form der geometrischen Oberflche hat und in ihrer Lage im Raum mit der Hauptrichtung der wirklichen Oberflche bereinstimmt. Durch senkrechte Schnitte erhlt man jeweils das wirkliche oder geometrische Profil bzw. Bezugsprofil. Letzteres wird durch die Bezugslinie reprsentiert, auf die die Rauheitskenngrßen bezogen sind. Nach DIN 4762 gilt: Die Profilabweichung y ist ein in Meßrichtung ermittelter Abstand eines Profilpunkts von der Bezugslinie (Bild 37). Die Bezugslinie ist eine Linie des geometrischen Profils innerhalb einer Bezugsstrecke l, die das wirkliche Profil so durchschneidet, daß die Summe der Quadrate der Profilabweichung von dieser Linie ein Minimum wird: Mittellinie m der kleinsten Abweichungsquadrate des Profils, kurz „Mittellinie“, genannt. Von der Mittellinie ausgehend werden folgende Senkrechtgrßen der Rauheit definiert: – Maximale Profilkuppenhhe Rp ist der Abstand des hchsten Punkts des Profils von der Mittellinie m innerhalb der Bezugsstrecke. – Maximale Profiltaltiefe Rm ist der Abstand des tiefsten Punkts des Profils von der Mittellinie m. – Maximale Profilhhe Ry ist der Abstand zwischen der Linie der Profilkuppen (obere Berhrlinie) und der der Profiltler (untere Berhrlinie). Ry ¼ Rp þ Rm . Ry entspricht der ehemaligen Kenngrße Rt sowie der maximalen Rauhtiefe nach DIN 4768. Die letzteren sollen so nicht mehr verwendet werden. – Arithmetischer Mittenrauhwert Ra ist der arithmetische Mittelwert der absoluten Werte der Profilabweichungen innerhalb der Bezugsstrecke. Er ist nach Bild 38 im Feld a des Symbols fr die Oberflchenbeschaffenheit einzutragen. – Zehnpunkthhe Rz (nach ISO) ist der Mittelwert der Absolutwerte der Hhen der fnf hchsten Profilkuppen und der Absolutwerte der Tiefen der fnf tiefsten Tler innerhalb der Bezugsstrecke. – Gemittelte Rauhtiefe Rz (nach DIN 4768) ist der Mittelwert der Rauheitskenngrße von fnf Bezugstrecken innerhalb einer Auswertlnge. Ein grßter zulssiger Wert fr die Zehnpunkthhe nach ISO gilt als eingehalten, wenn er nicht vom Rz -Wert nach DIN berschritten wird. Der Wert fr Rz ist im Feld (f) des Symbols einzutragen (vgl. Bild 38).
Bild 38. Kennzeichnung von Oberflchen in Zeichnungen durch Symbole, Rauheitsmaße und Zusatzangaben nach DIN ISO 1302, oder Rauheitsklasse N 1 bis N 12. a Mittenrauhwert Ra in mm, b Fertigungsverfahren, Behandlung, berzug usw., c Bezugsstrecke, Grenzwellenlnge, d Rillenrichtung (Kennzeichnung s. DIN ISO 1302), e Bearbeitungszugabe, f andere Rauhigkeitsmeßgrßen z. B. Rz in mm
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– Profiltraganteil tp ist das Verhltnis der tragenden Lnge eines Profils zur Bezugsstrecke. Er soll in Prozent angegeben werden. Der Flchentraganteil wird in DIN 4765 beschrieben. Festlegen der Rauhtiefe. Die zulssige Rauhtiefe einer Oberflche richtet sich nach der zu erfllenden Funktion (Traganteil, Setzmaß, Reibungsverhalten, Schichtgrund, Sichtflche, usw.; vgl. DIN 4764). Andererseits knnen nur bestimmte Fertigungsverfahren geringe Rauhtiefen erzielen, wobei die Herstellkosten zu bercksichtigen sind (Tab. 12 mit Rz nach DIN).
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Zeichnungsangaben fr Oberflchen. Die Oberflchenzeichen und die Zuordung von Rauhtiefen sind nach DIN ISO 1302 geregelt. Hiernach ist zu unterscheiden, ob das Fertigungsverfahren freigestellt ist, oder ob die Oberflche spanend bzw. nichtspanend hergestellt werden soll. Ferner ist der Mittenrauhwert Ra oder die Rauhigkeitsklasse N 1 bis N 12 bei Anforderungen an die Rauheit anzugeben (Bild 38). Zur Orientierung zeigt Tab. 13 einen Vergleich mit der frheren Festlegung nach DIN 3141 mit der ehemaligen Kenngrße Rt (max. Rauhtiefe). Im Maschinenbau wurde normalerweise die Reihe 3 bevorzugt. Grenzmaße und Passungen Toleranzen und Abmaße. Mit der bernahme der internationalen Norm ISO 286 haben sich einige Begriffe gegenber den bisherigen Normen DIN 7150 bis 7152, 7160, 7161, 7172, 7182 gendert, die Inhalte sind jedoch im wesentlichen bestehen geblieben. Zur Grßenangabe wird in einer Zeichnung das Nennmaß angegeben. Es ist nicht mglich, das Werkstck auf dieses Maß absolut genau zu fertigen. Infolgedessen wird am Werkstck ein Istmaß meßtechnisch erfaßt, das je nach Anwendung innerhalb einer Maßtoleranz, nmlich zwischen den Grenzmaßen, einem vorgegebenen Hchstmaß und einem Mindestmaß, liegen darf. Dabei sind die Toleranzen der Meßgerte zu bercksichtigen (s. W 4). Maßtoleranz ist die Differenz zwischen dem zulssigen Hchst- und Mindestmaß. Sie wird bestimmt durch Grße und Lage. Die Grße einer Maßtoleranz wird von den Grundtoleranzen (IT=Internationale Toleranz, IT 1 bis IT 18) bestimmt, die einerseits nach Nennmaßbereichen und andererseits nach Grundtoleranzgraden (frher Qualitt) bestimmt werden. Dazu wird ein Toleranzfaktor (frher Toleranzeinheit) errechnet mit i ¼ 0;45D1=3 þ 0;001D ( i in mm, D in mm als geometrisches Mittel des jeweiligen Nennmaßbereichs bis 500 mm) und dann ab IT 5 entsprechend den Toleranzgraden zu Grundtoleranzen multiplikativ erweitert wird (vgl. Tab. 14). Die Lage des Toleranzfeldes zum Nennmaß (Nullinie) wird durch das Grundabmaß bestimmt. Das Grundabmaß ist jenes obere oder untere Abmaß, das der Nullinie am nchsten liegt. Bei Innenmaßen wird die Lage des Toleranzfeldes mit Großbuchstaben bezeichnet und von A bis H eine positive, bei K bis Z eine negative und mit J eine symmetrische Lage zum Nennmaß festgelegt. Bei Außenmaßen gilt entsprechend: Kleinbuchstaben a bis h fr eine negative, ab k fr eine positive und bei j wiederum fr eine symmetrische Lage. Als oberes Abmaß (ES, es) wird die algebraische Differenz zwischen dem Hchstmaß und dem Nennmaß, als unteres Abmaß (EI, ei) die zwischen dem Mindestmaß und Nennmaß verstanden. Ausgehend vom Grundabmaß gelangt man durch Hinzufgen der Grundtoleranz (Toleranzfeldbreite) zum entsprechenden anderen Abmaß (Bild 39). Als Toleranzklasse wird die Kombination eines Grundabmaßes mit dem Toleranzgrad bezeichnet, z. B.: f 7, D 13 usw. (Tab. 15).
Bild 39. Zuordnung von Nennmaß, Istmaß, Mindest- und Hchstmaß mit oberem (hier Grundabmaß) und unterem Abmaß in mm
Werden Maße ohne Toleranzfestlegung angegeben, gelten fr Lngen- und Winkelmaße Allgemeintoleranzen (frher Freimaßtoleranzen) nach ISO 2768, Teil 1. Normalerweise wird die Toleranzklasse „ISO 2768-m“ (mittel) gewhlt. Solche Festlegungen bedrfen der Angabe auf der Zeichnung. Zu beachten sind auch die Toleranzen und zulssigen Abweichungen fr Gußrohteile (DIN 1680) und Schmiedestcke aus Stahl (DIN 7526) sowie andere Normen. Schließlich besteht neben der Maßtolerierung noch die Formund Lagetolerierung nach ISO 1101, die angewendet wird, wenn eine solche im Einzelfall notwendig erscheint. Mit ihr knnen Form-, Richtungs- Orts- und Lauftoleranzen festgelegt werden. Den Eintrag von Form- und Lagetolerierung in technische Zeichnungen regelt ISO 5459. Ferner bestimmt ISO 2768, Teil 2 Toleranzen fr Form und Lage ohne einzelne Toleranzeintragung im Sinne von Allgemeintoleranzen. Passungen. Sie entstehen durch die Beziehung der Toleranzfelder gepaarter Teile zueinander und stellen bei gleichem Nennmaß eine bestimmte Funktion (z. B. Gleit- und Fhrungsaufgaben, Reibschluß in Schrumpfverbindungen) aber auch die Austauschbarkeit sicher. Passungsarten werden unterschieden entsprechend Tab. 15. Die Zuordnung von Toleranzfeldlage und -grße bestimmt, welche Passungsart mit welchem Spiel bzw. bermaß vorliegt. Dabei wird zwischen den Passungssystemen Einheitsbohrung und Einheitswelle unterschieden. Einheitsbohrung. Alle Innenmaße erhalten das untere Abmaß 0, also Toleranzfeldlage H. Die unterschiedlichen Passungen werden mit der Wahl der Toleranzfeldlage bei den Außenmaßen bestimmt (z. B. H7/f7, H7/g6, H7/h6, H7/k6, H7/s6). Zu bevorzugen bei geringen Stckzahlen, beschrnkter Anzahl von Werkzeugen und Lehren fr Innenbearbeitung. Einheitswelle. Alle Außenmaße erhalten das obere Abmaß 0, also Toleranzfeldlage h (z. B. G7/h6, F8/h6, E9/h9). Zu bevorzugen bei gezogenem Halbzeug, nicht abgesetzten Wellen, Austauschgleitlagern. Eine gemischte Anwendung der Paßsysteme kann zweckmßig sein. ISO 286 empfiehlt eine beschrnkte Passungsauswahl, um Werkzeuge und Lehren einzusparen. Tab. 15 gibt hierzu eine Anwendungsbersicht. Andere Passungen sind aus ISO 286 zu entnehmen. Wichtig ist dabei die Beachtung von Tolerierungsgrundstzen: International gilt das Unabhngigkeitsprinzip nach ISO 8015, nach dem jede einzelne Maß-, Form- oder Lagetoleranz nur fr sich allein geprft wird, ohne Rcksicht darauf, wie die jeweils anderen Abweichungen liegen. So sagt z. B. die Durchmessertoleranz einer Welle nichts ber deren Geradheit oder Rundheit aus. National gilt das Hllprinzip nach DIN 7167, nach dem die Maßtoleranz das „Maximum-Material-Maß (MMS)“ fr das jeweils idealisierte Formelement (Zylinder, parallele Flchen (Quader) oder Kugel) bestimmt, das das wirkliche Formelement umhllt und innerhalb dessen die wahren Konturen liegen mssen. Bei einer Welle wre das MMS das Hchstmaß
I1.6 Normen- und Zeichnungswesen
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Tabelle 12. Zuordnung erreichbarer Rauhtiefen zu Fertigungsverfahren nach DIN 4766
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und bei einer Bohrung das Mindestmaß. Mit dem Hllprinzip sind die Formabweichungen insoweit mit erfaßt, als daß sie die Hlle nicht durchbrechen drfen. Fr Passungen muß generell das Hllprinzip angewendet werden, um immer eine funktionsgerechte Geometrie zu gewhrleisten. Wird im internationalen Verkehr das Unabhngigkeitsprinzip verfolgt, muß bei Passungen hinter dem Paßmaß E zustzlich eingetragen werden, um die die Kennzeichnung Hllbedingung sicherzustellen. Besonders tckisch sind sogenannte Gleichdickformen oder hnliche, wie sie durch elastisches Verformen beim Spannen, durch Schwingungen beim spitzenlosen Schleifen und beim Bohren entstehen knnen. Entsprechend Bild 40 a und b wre eine Welle nach einem tolerierten Zeichnungsmaß von bei-
spielsweise 20 0;2 mit einer entstandenen Gleichdickform nach dem Unabhngigkeitsprinzip zulssig, obwohl unter Einhaltung des Maximum-Maßes der Querschnitt an den „Dreiecksspitzen“ den Hllkreis mit dem Maximummaß von 20 mm deutlich berschreitet. Das Teil wre in eine entsprechend tolerierte Bohrung nicht einpaßbar. Abhilfe ist unter dem Unabhngigkeitsprinzip nur durch Kennzeichnung des E nach Bild 40 c zu erreichen. Es gilt dann jeweils Maßes mit das Hllprinzip. Bild 40 d zeigt, daß eine Gleichdickform nach dem Hllprinzip nur zulssig ist, soweit sie nicht die Hlle des Maximum-Material-Maßes auch hinsichtlich axialer Formabweichung durchbricht und das Mindestmaß 19,8 mm berall einhlt, was eine bedeutend schrfere Bedingung darstellt.
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Tabelle 13. Vergleich der Symbole und Rauheitsangaben zwischen DIN ISO 1302 und der frheren Norm DIN 3141
F Bild 40. a Bemaßter Rundquerschnitt; b Nach Unabhngigkeitsprinzip zulssige Formabweichung, die bei einer Gleichdickform trotz vollstndiger Einhaltung des Hchstmaßes d= 20 mm den Kreis des maximal zulssigen Durchmessers (Hllkreis) berschreitet; c Abhilfe: Kennzeichnung des Maßes mit E ; d Nach dem Hllprinzip eingeschrnkte, zulssige Formabweichung, die die Hlle des idealisierten Krpers mit dem Maximum-Material-Maß nirgends durchbricht
Lageabweichungen bzw. -toleranzen, z. B. Rechtwinkligkeit, Koaxialitt, Symmetrie, sind, gleichgltig welcher Tolerierungsgrundsatz verfolgt wird, immer von den Maßtoleranzen unabhngig und mssen gegebenenfalls gesondert angegeben werden. Fr Allgemeintoleranzen, die vom Fertigungsverfahren abhngig sind, muß zur Kenntnis genommen werden, daß die Tabelle 14. ISO-Grundtoleranzen in mm nach ISO 286 (Auszug)
I1.6 Normen- und Zeichnungswesen
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Tabelle 15. Passungsbeispiele in Anlehnung an [94] bei Bercksichtigung der nach ISO 286 empfohlenen Passungsauswahl. Mit * bezeichnete Passungen fr Einheitswelle, mit ( ) bezeichnete sind nur aus Reihe 2 gebildet
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dortigen Festlegungen nicht immer vollstndig sind oder unterschiedliche Tolerierungsgrundstze zugrunde gelegt wurden. Gegebenenfalls mssen klrende Angaben ber zulssige Formabweichungen ergnzt werden. Erluterungen und Beispiele vgl. [99]. 1.6.3 Zeichnungen und Stcklisten Engineering drawings and parts lists Zeichnungsarten DIN 199 unterscheidet technische Zeichnungen nach Art ihrer Darstellung, Art ihrer Anfertigung, ihrem Inhalt und ihrem Zweck.
Hinsichtlich der Darstellungsart wird unterschieden zwischen Skizzen, maßstblichen Zeichnungen, Maßbildern, Plnen und sonstigen graphischen Darstellungen. Hinsichtlich der Anfertigungsart unterscheidet man zwischen Original- oder Stamm-Zeichnungen als Grundlage fr Vervielfltigungen sowie Vordruck-Zeichnungen, die oft unmaßstblich sind. Es kann zweckmßig sein, Zeichnungen nach dem Baukastenprinzip aufzubauen. Bei diesem Vorgehen gliedert man Gesamt-Zeichnungen bausteinartig so in Zeichnungsteile, daß man aus diesen neue Gesamt-Zeichnungsvarianten zusammenstellen kann. Hinsichtlich des Inhalts gibt es viele Unterscheidungsmglichkeiten. Ein Gesichtspunkt ist die Vollstndigkeit eines Ge-
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bildes in einer Zeichnung. Hier wird unterschieden zwischen Gesamt-, Gruppen-, Einzelteil-, Rohteil-, Gruppen-Teil-, Modell- und Schema-Zeichnungen. Zur Rationalisierung der Zeichnungsherstellung dienen ferner Sammel-Zeichnungen, die als Sorten-Zeichnungen (fr Gestaltungsvarianten) mit aufgedruckter oder getrennter Maßtabelle oder als Satz-Zeichnungen (Zusammenfassung zusammengehrender Einzelteile) aufgebaut sein knnen. Beim Erarbeiten der Fertigungsunterlagen interessiert die geeignete Struktur eines Zeichnungssatzes. Entsprechend einer fertigungs- und montagegerechten Erzeugnisgliederung besteht der Zeichnungssatz grundstzlich zunchst aus einer Gesamt-Zeichnung als Zusammenstellungs-Zeichnung des Erzeugnisses, aus der sich mglicherweise noch weitere Zeichnungen (z. B. zum Versand, zur Aufstellung und Montage sowie zur Genehmigung) ableiten, aus mehreren Gruppen-Zeichnungen verschiedener Rangordnung (Komplexitt), die den Zusammenbau mehrerer Einzelteile zu einer Fertigungs- bzw. Montageeinheit zeigen, sowie aus Einzelteil-Zeichnungen, die noch fr unterschiedliche Fertigungsstufen aufgegliedert sein knnen (z. B. Rohteil-Zeichnung, Modell-Zeichnung, Vorbearbeitungs-Zeichnung, Endbearbeitungs-Zeichnung). Zeichnungen sind so aufzubauen, daß sie auch fr andere Anwendungsflle wiederverwendbar sind. Wiederholteile und Ersatzteile sind daher auf eigenen Zeichnungen darzustellen. Nach dem Zeichnungssatz ist auch der Stcklistensatz und das System der Zeichnungsnummern aufzubauen (s. „Stcklisten“ in diesem Abschnitt und F 1.6.4.
Formate, Linien und Schrift Zeichnungsformate sind in DIN 6771, Teil 2 festgelegt. A 4 wird als Hochformat, die brigen als Querformat verwendet pffiffiffi (Tab. 16). Das Seitenverhltnis betrgt 2 : 1. Linienbreiten und Schrifthhen sind den Bedrfnissen der Mikroverfilmung angepaßt und folgen in ihrem Stufensprung pffiffiffi ebenfalls 2. Zu bevorzugen ist die Reihe 1 fr Linienbreiten (DIN 15) sowie kursive und vertikale Normschrift (DIN 6776). Die Schrifthhe bezieht sich auf Großbuchstaben. Kleinbuchstaben werden bei der Form A mit 10/14 und bei der Form B mit 7/10 der Schrifthhe ausgefhrt. Bevorzugte Schrifthhen sind 2,5; 3,5; 5 und 7 mm. Die Linienbreite der Mittelschrift soll 1/10 der Schrifthhe betragen.
Tabelle 16. Zeichnungsformate in mm nach DIN 6771, Teil 6
Bild 41. Anordnung der Ansichten und Schnitte bei Normalprojektion
Darstellung und Bemaßung DIN ISO 5455 schreibt folgende Maßstbe vor:
Ansichten und Schnitte werden gewhnlich in Normalprojektion angeordnet (Bild 41). Weitere Projektionsarten s. A bzw. DUBBEL interaktiv. Die Gegenstnde sind in Gesamt-Zeichnungen und GruppenZeichnungen in der Gebrauchslage, in Einzelteil-Zeichnungen bevorzugt in der Fertigungslage darzustellen. Dabei sind mglichst wenige, aber ausreichende Ansichten (DIN 6, Teil 1) oder Schnitte (DIN 6, Teil 2) zu whlen, aus der die Gestalt eindeutig ersichtlich ist. Schnitte machen Zeichnungen bersichtlicher (Wegfall vieler unsichtbarer Kanten) und sind bei zylindrischen Hohlkrpern stets anzuwenden (sichtbare, umlaufende Kanten nicht vergessen). Das Klappen einfacher Querschnittsdarstellungen in die Zeichenebene senkt die Zahl notwendiger Ansichten. Oft vorkommende Teile werden nur einmal gezeichnet. Unsichtbare Kanten nur zeichnen, wenn dadurch Unklarheiten und einfache zustzliche Darstellungen vermieden werden knnen. Vereinfachte Darstellungen sind mglich, wenn dadurch die Erkennbarkeit von Funktion, rumlicher Vertrglichkeit und wesentlicher Bauteilgestalt im jeweiligen Einzelfall nicht beeintrchtigt wird (DIN 30, Teil 1). Die Bemaßung ist eindeutig und bersichtlich vorzunehmen. Regeln sind in den Normen enthalten [93]. Stcklisten Zu jedem Zeichnungssatz gehrt eine Stckliste bzw. ein Stcklistensatz, damit ein Erzeugnis vollstndig beschrieben werden kann. Eine Stckliste enthlt in der Reihenfolge von links nach rechts Spalten fr Positionsnummer, Menge, Einheit der Menge, Benennung der Gruppe oder des Teils (einschließlich Normteile, Fremdteile und Hilfsstoffe), Sachnummer und/oder Norm-Kurzbezeichnung zur Identifikation und Bemerkungen. Die Benennung ist nach der Bauform, nicht nach der Zweckbestimmung (Funktion), zu whlen. Eine
I1.6 Normen- und Zeichnungswesen Stckliste ist generell aus einem Schriftfeld und einem Stcklistenfeld aufgebaut, deren formaler Aufbau in DIN 6771, Teil 1 und Teil 2, festgelegt ist.
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Tabelle 18. Aufbau einer Struktur-Stckliste fr Erzeugnisgliederung
Mengenbersichts-Stckliste. Sie enthlt fr das Erzeugnis (Bild 42 a) nur die Einzelteile mit ihren Mengenangaben. Mehrfach vorkommende Einzelteile erscheinen nur einmal, aber alle Teilenummern der Erzeugnisse sind angefhrt. Funktions- und fertigungsorientierte Gruppen sind nicht zu erkennen. Diese einfachste Form einer Stckliste reicht fr einfache Erzeugnisse mit nur wenigen Fertigungsstufen aus (Tab. 17); Erzeugnisgliederung nach Bild 42 a. Struktur-Stckliste. Sie gibt die Erzeugnisstruktur mit allen Baugruppen und Teilen wieder, wobei jede Gruppe sofort bis zur hchsten Stufe (Ordnung der Erzeugnisgliederung) gegliedert ist. Die Gliederung der Gruppen und Teile entspricht in der Regel dem Fertigungsablauf (Tab. 18). Die Mengenangaben beziehen sich auf das im Stcklistenkopf beschriebene Erzeugnis. Struktur-Stcklisten knnen sowohl fr ein Ge-
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samterzeugnis als auch nur fr einzelne Gruppen aufgestellt werden. Ihr Vorteil ist, daß in ihnen die Gesamtstruktur eines Erzeugnisses bzw. einer Gruppe erkennbar ist. Allerdings werden Stcklisten mit vielen Positionsnummern unbersichtlich, vor allem, wenn eine Reihe von Wiederholgruppen an jeweils verschiedenen Stellen wiederkehrt. Dadurch ergeben sich auch Nachteile im nderungsdienst. Baukasten-Stckliste. Sie umfaßt zusammengehrende Gruppen und Teile, ohne zunchst auf ein bestimmtes Erzeugnis Bezug zu nehmen. Die Mengenangaben beziehen sich nur auf die im Kopf genannte Baugruppe. Mehrere solche Baukasten-Stcklisten mssen, gegebenenfalls mit anderen Stcklisten, zu einem Stcklistensatz eines Erzeugnisses zusammengestellt werden, z. B. entsprechend Bild 42 b. Stckliste E1 besteht aus T1 und den Stcklisten G1, G2 und G3. Diese selbstndigen Stcklisten rufen ihrerseits andere ab, z. B. G11, G31 und G32. Ihre Verwendung empfiehlt sich dort, wo bei einem grßeren Erzeugnisspektrum Baugruppen lagermßig gefhrt und als Wiederholgruppen in grßeren Stckzahlen gefertigt werden. 1.6.4 Sachnummernsysteme. Numbering systems
Bild 42 a, b. Schema einer Erzeugnisgliederung. a Gliederung; b Baukasten-Stckliste Tabelle 17. Aufbau einer Mengenbersichts-Stckliste fr Erzeugnisgliederung (ME Einheit der Menge)
Als Sachnummernsysteme werden solche Systeme bezeichnet, die die Nummerung von Sachen und Sachverhalten umspannen. Dabei ist es zweckmßig, einer Einzelteil-Zeichnung, der Position in der dazugehrigen Stckliste, dem betreffenden Arbeitsplan und dem Werkstck selbst (Fertigungsteil, Ersatzteil, Lagerteil oder Kaufteil) zur Identifizierung dieselbe Nummer zu geben. Sachnummern mssen eine Sache identifizieren, sie knnen sie darber hinaus auch klassifizieren. Sachnummernsysteme knnen aus Parallelnummern und Verbundnummern aufgebaut sein. Unter einer Parallelnummer wird jede weitere Identnummer fr dasselbe Nummerungsobjekt verstanden, z. B. haben ein Hersteller von Zukaufteilen und der Kunde fr das gleiche Teil oft unterschiedliche Identnummern. Man spricht auch von einem Parallelnummernsystem, wenn eine Sachnummer (Identnummer) mit einer unabhngigen Klassifikationsnummer verbunden ist, Bild 43. Der Vorteil einer solchen Parallelverschlsselung liegt in einer großen Flexibilitt und Erweiterungsmglichkeit, da beide Nummern unabhngig
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Grundlagen der Konstruktionstechnik – 2 Anwendung fr Maschinensysteme der Stoffverarbeitung
voneinander sind. Dieses System ist deshalb fr die Mehrzahl von Einsatzfllen anzustreben und bietet Vorteile einer leichteren Daten-Verarbeitung, wenn nur die Identnummer bentigt wird [96, 97]. Unter einer Verbundnummer wird eine Nummer verstanden, die aus mehreren Nummernteilen besteht. So zeigt Bild 44 eine Sachnummer als Beispiel, bei der die identifizierende Sachnummer aus einem klassifizierenden Nummernteil und einer Zhl-Nr. besteht. Nachteilig ist ein schnelles „Platzen“ des Nummernsystems bei erforderlichen Erweiterungen. Vorteile liegen bei der Anschaulichkeit durch den Klassifikationsteil. Eine Klassifizierung von Sachen und Sachverhalten – sei es im Rahmen einer Sachnummer, sei es mittels eines eigenstndigen, von Identnummernsystemen unabhngigen Klassifizierungssystems – ist wichtig, damit Teile wiederholt verwendet und Sachaussagen wiedergefunden werden knnen. Im allgemeinen fhrt man eine abgestufte Klassifizierung durch (Grob- und Feinklassifizierung). Zur Kennzeichnung von Teilen und Gruppen, insbesondere von Normteilen, haben sich Sachmerkmale eingefhrt, die bestimmte Eigenschaften, die sich zum Beschreiben und Unterscheiden von Gegenstnden innerhalb einer Gegenstandsgruppe eignen, kennzeichnen (DIN 4000). Grundlagen und Anwendung s. [98].
2 Anwendung fr Maschinensysteme der Stoffverarbeitung Fundamentals of Material Processing Machines H. Goldhahn, Dresden Energie- und signalverarbeitende Systeme vgl. Kap. P–R, T, U, X und Y
2.1 Aufgabe und Einordnung Task and Classification Maschinen und Maschinensysteme der Stoffverarbeitung realisieren die vielfltigen Funktionen zur Herstellung von Produkten des tglichen Bedarfs und werden als Verarbeitungsmaschinen und Verarbeitungsanlagen bezeichnet. Dazu gehren Kunststoff-, Glas-, Keramik-, Papier-, Papierverarbeitungs-, Nahrungsmittel-, Pharmazeutische, Druck-, Verpakkungs- und zahlreiche Sondermaschinen. Sehr komplexe technologische Ausrstungen zur Stoffumwandlung vom ungeformten Stoff (Verarbeitungsgut) bis zum sammelverpackten Endprodukt bestehen aus verarbeitungstechnischen, verfahrenstechnischen, fertigungstechnischen und logistischen Komponenten, die entsprechend dem technologischen Verfahren zusammengeschaltet werden. Die Grenzen zwischen den einzelnen Gebieten sind nicht eindeutig zu ziehen. Der Maschinenkonstrukteur ist verantwortlich fr die ganzheitliche Konzipierung und Gestaltung kompletter Ausrstungen unter Beachtung von Kostenaspekten sowie der umweltpolitischen und -gesetzlichen Rahmenbedingungen. Gegenstand der Verarbeitung sind vorwiegend nichtmetallische Roh- und Naturstoffe, die von einem Anfangszustand ber zahlreiche Zwischenzustnde zu einem verkaufsfhigen und verpackten Endprodukt verarbeitet werden. Zu beachten sind die sehr stark schwankenden Eigenschaften bei biogenen Rohstoffen, die von Wachstums- und Umgebungsbedingungen abhngen.
Bild 43. Verknpfen einer Identnummer mit einer Klassifikationsnummer zu einem Parallel-Nummernsystem nach [95]
Bild 44. Prinzipieller Aufbau einer Sachnummer als Verbund-Nummer nach [95]
Gekennzeichnet sind Verarbeitungsmaschinen und -anlagen durch ihre komplexen Funktionen, ihren hohen Verknpfungsgrad und ihre sehr hohe Produktivitt, z. B. Zigarettenherstellung (16 000 Stck/min), Sßwarenverpackung (2000 Stck/min), Getrnkeabfllung (1000 Stck/min), Papierherstellung (1000 m/min). Die Stoffverarbeitungsfunktion (Verarbeitungsaufgabe) ist die zu realisierende Hauptaufgabe. Die anderen Teilsysteme wie Energiezufhrung, Steuerung und Gestell mssen dieses Ziel funktionell und unter Zuverlssigkeits- sowie Kostenaspekten optimal umsetzen. Das technologische Verfahren, nach dem ein bestimmtes Produkt herzustellen ist, wird durch die zweckmßige Zusammenschaltung von Verarbeitungsmaschinen zu Verarbeitungsanlagen nach einer bestimmten Struktur umgesetzt. Die Maschine oder Anlage hat deshalb stoffliche, energetische und informationstechnische Eingangsgrßen, die zu einer stofflichen Ausgangsgrße, dem Produkt mit bestimmten Quantitts- und Qualittsanforderungen zu verarbeiten sind. Stoffliche und energetische Ausgangsgrßen, die nicht dem Produkt zugeordnet werden knnen, sind als stoffliche und energetische Verluste auf ein Minimum zu reduzieren. Informationstechnische Ausgangsgrßen, wie Signale von Sensoren und aus Betriebsdatenerfassungssystemen (BDE), werden zur zentralen Steuerung von Maschinen und Anlagen bentigt. Die gesamte Verarbeitung erfolgt unter bestimmten Umweltbedingungen (Temperatur, Luftfeuchtigkeit, Aufstellungsort), die die Eigenschaften der zu verarbeitenden Stoffe beeinflussen. Andererseits werden durch Maschinen und Anlagen Nebenwirkungen auf die Umgebung und den Menschen erzeugt (Abflle, Lrm, Staub, Dmpfe u. a.), die minimal zu halten sind.
2.2 Struktur von Verarbeitungsmaschinen Structure of Processing Machines Die Gesamtfunktion der Verarbeitungsmaschine, die selbst ein Teilsystem einer Verarbeitungsanlage ist, wird allgemein von vier miteinander in Wechselwirkung stehenden Funkti-
I2.2 Struktur von Verarbeitungsmaschinen
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F Bild 1. Teilsysteme einer Verarbeitungsmaschine
onsbereichen realisiert [1]. Diese vier Funktionsbereiche, die nicht immer krperlich abgrenzbar sind, erfllen durch ihre technische Struktur und den Aufbau des Teilsystems jeweils Teilfunktionen, die auf die optimale Erfllung der Gesamtfunktion gerichtet sind (Bild 1). Im Funktionsbereich Stoff wird durch das Verarbeitungssystem die Vernderung der Zustnde des Verarbeitungsgutes vom Anfangszustand (Rohstoff) ber verschiedene Zwischenzustnde bis zum Endzustand (Produkt) realisiert. Dabei werden sowohl Eigenschaftsnderungen als auch notwendige Operationen zur Gewhrleistung des Stoffflusses durchgefhrt. Im Funktionsbereich Energie wird durch das Antriebssystem die fr den Funktionsvollzug im Verarbeitungssystem bentigte Energie in der erforderlichen Art, Form und Menge als Funktion der Zeit bereitgestellt. Im Funktionsbereich Signal werden die aus den anderen Funktionsbereichen gewonnenen und von außen eingegebenen Informationen so verarbeitet, daß das Antriebssystem die erforderlichen Steuerungsgrßen fr die Energieeinleitung in das Verarbeitungssystem erhlt und Informationen an das Bedienpersonal bzw. das bergeordnete Rechnersystem gegeben werden knnen. Der Funktionsbereich Raum hat die Aufgabe, die rumliche Zuordnung der Elemente der anderen Funktionsbereiche zu sichern sowie die eventuell aus Arbeitsschutz- oder klimatischen/hygienischen Anforderungen notwendige rumliche Umhllung der einzelnen Teilsysteme zu gewhrleisten. In jedem der Teilsysteme gibt es Funktionsgruppen, die relativ selbstndig innerhalb des Teilsystems eine Funktion ausfhren und hufig als eine geschlossene Baugruppe ausgefhrt sind: – verarbeitungstechnische Funktionsgruppen: Wirkpaarungen; – antriebstechnische Funktionsgruppen: z. B. Energiewandler, Energieumformer; – steuerungstechnische Funktionsgruppen: z. B. Signalwandler, Rechner; – Funktionsgruppen des Raumsystems: z. B. Gestell, Gehuse, Lager. Die Funktionsgruppen bestehen aus Elementen, die allein keine Funktion im Sinne der Gesamtfunktion ausfhren, und in dem jeweiligen Teilsystem nach einer bestimmten Struktur, der Funktionsstruktur, zusammengeschaltet sind. Erst durch die Verknpfung der Elemente in der Funktionsstruktur erfl-
len sie die Gesamtfunktion der Maschine. nderungen in der Struktur oder den Elementen des Teilsystems haben Einfluß auf Funktion und Zuverlssigkeit der Maschine und knnen zur Optimierung genutzt werden.
2.2.1 Verarbeitungssystem. Processing System Das Verarbeitungssystem realisiert durch seine Elemente und Funktionsstruktur die Verarbeitungsaufgabe, die in der Vernderung des Zusammenhangs, der Form, der Lage, des Ordnungszustandes und der Menge des Verarbeitungsgutes besteht. Gleiche Verarbeitungsaufgaben knnen konstruktiv und maschinentechnisch unterschiedlich umgesetzt werden. Durch die Vielzahl zu verarbeitender Stoffe in den vielfltigsten Formen und Abmessungen sowie durch die große Zahl zu produzierender Endprodukte gibt es sehr viele differenzierte Verarbeitungsaufgaben. Fr die Herstellung eines Endproduktes werden meist mehrere Stoffe bentigt, z. B. gefllte Flasche bestehend aus Flasche, Fllgut, Etikett, Leim, Verschluß. Alle Stoffe, die in der Verarbeitungsmaschine einer Vernderung unterliegen, werden als Verarbeitungsgut bezeichnet, unabhngig davon, welche Bedeutung sie fr das Endprodukt haben. Um die große Vielfalt von Verarbeitungsgtern berschaubar gestalten zu knnen, sind sie nach hnlichem Verarbeitungsverhalten in der Maschine oder Anlage zu Gutgruppen zusammengefaßt worden [2, 3]: Strang- und Fadenformgut ist durch seine große bis unendliche Lnge im Verhltnis zu Hhe und Breite des Querschnitts und seine Biegsamkeit um die Lngsachse (Flexibilitt) gekennzeichnet. Das Gut muß nicht im Querschnitt homogen sein. Beispiele: Textil-, Kunststofffaden, Seil, Draht, Teig-, Zigaretten-, Keramikstrang. Flachformgut ist durch seine große Flchenausdehnung im Verhltnis zur Dicke gekennzeichnet und hat bei Belastung normal zur Flche eine geringe Steifigkeit. Entsprechend seiner Lngenausdehnung wird es in blattfrmiges und bahnfrmiges Flachformgut unterteilt. Beispiele: Papier, Pappe, Folie (Kunststoff, Metall), Gewebe, Furnier, Teigbahn, Leder, Fell. Stckgut hat in allen drei Dimensionen etwa gleiche Abmessungen und ist biegesteif. Seine Form kann quaderhnlich oder rotationskrperhnlich (rollfhig) sein. Beispiele: Obst, Eier, Seife, Bcher u. v. a.
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Schttgut ist ein disperser Feststoff aus einer Zusammenlagerung von Einzelteilchen, die selbst formbestndig sind. Es ist riesel- und schttfhig und kann das Verhalten einer Flssigkeit aufweisen. Beispiele: Zucker, Mehl, Reis, Fasern, Tabletten u. v. a. Hochviskoses pastses Gut ist durch seine hohe Viskositt und durch sein mitunter plastisches, nicht-Newtonsches Fließverhalten gekennzeichnet und besitzt meist eine Fließgrenze, die eine gewisse Formbestndigkeit bewirkt. Beispiele: Schokolade (warm), Glas (heiß), Keramikmasse, Teig, Druckfarbe, Leim u. v. a.
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Flssiges Gut hat meist eine konstante geringe Viskositt und kann gelste Gase enthalten. Beispiele: Wein, Bier, Milch, l, Waschmittel u. v. a. Gase oder Aerosole sind reine Gase oder Gasgemische, die mit Feststoff- oder Flssigkeitsteilchen in geringer Konzentration versetzt sein knnen. Beispiele: Stickstoff, Kohlendioxid, Lacknebel u. v. a. In einer Maschine oder Anlage unterliegen die Verarbeitungsgter durch die an ihnen vollzogenen Zustandsnderungen vom Rohstoff bis zum Produkt einer fortlaufenden Wandlung der Gutgruppen, z. B. Schttgut wird mit einer Flssigkeit gemischt, ergibt ein pastses Gut, das in einer Formeinrichtung zu einem Stckgut geformt wird. Um die Teilfunktionen, die in einer Verarbeitungsmaschine realisiert werden, unabhngig von ihrer maschinellen Umsetzung erfassen zu knnen, ist die Zusammenfassung zu Vorgangsgruppen zweckmßig: Trennen ist das Zerlegen eines Stoffes oder Stoffgemisches unter Aufhebung der Kohsions- und/oder Adhsionskrfte. Fgen ist das Zusammenbringen von zwei oder mehreren Komponenten und das Herstellen neuer Bindungskrfte (stoff-, form-, kraftschlssig). Formen ist das Herstellen eines geformten Verarbeitungsgutes aus dem ungeformten oder vorgeformten Zustand ohne wesentliche Massenderung. Die Handhabungsfunktionen dienen der Manipulation und Mengennderung der Verarbeitungsgter, verndern aber nicht deren Eigenschaften: Speichern ist das Herstellen eines Vorrates zum Ausgleich von unterschiedlichem Anfall und Bedarf (Eingabe-, Zwischen-, Ausgabespeicher). Dosieren ist das Herstellen vorbestimmter Mengen (Stckzahl, Volumen, Masse) oder Mengenflsse. Frdern ist das Bewegen des Verarbeitungsgutes innerhalb einer Maschine zwischen verschiedenen Wirkstellen. Ordnen ist das Auswhlen bzw. Gruppieren von Verarbeitungsgut nach bestimmten Ordnungsmerkmalen: Geometrie, Lage, Farbe, Festigkeit, Masse, Dichte u. a. Durch die Kombination der Gutvarianten mit den Vorgangsgruppen knnen die vielfltigen Funktionen in einer Maschine unabhngig von ihrer maschinentechnischen Umsetzung verallgemeinernd erfaßt werden und erlauben bertragungen des Wissens aus unterschiedlichen Industriebereichen. Das kleinste Teilsystem im Funktionsbereich Stoff, das eine Zustandsnderung des Verarbeitungsgutes bewirken kann, ist die Wirkpaarung (Bild 2), die aus den Elementen Verarbeitungsgut und Arbeitsorgan besteht. Die Elemente stehen strukturell ber Relationen so miteinander in Eingriff, daß die beabsichtigte Zustandsnderung (Funktionsvollzug) von Zustand 1 nach Zustand 2 durch die dosierte Zufhrung von Energie nach einem bestimmten zeitlichen Programm erzeugt wird. Der Eingriff des Arbeitsorgans kann durch direkten Kontakt mit dem Verarbeitungsgut (Messer-Papier) oder indirekt ber ein Wirkmedium (Wasserstrahl, Luft o. .) oder eine Wirkenergie (z. B. Infrarotstrahlung, Hochfrequenzfeld o. a.) erfolgen.
Bild 2. Schema einer Wirkpaarung
Die Wirkpaarung ist das letzte Glied in der Energieleitungskette und stellt die Kreuzung zwischen Energie- und Stofffluß dar, so daß bei einer Optimierung sowohl energetische als auch stoffliche Parameter zu bercksichtigen sind. Der geometrische Ort, an dem der Eingriff des Arbeitsorgans stattfindet, wird als Wirkstelle bezeichnet, an der alle mit dem Verarbeitungsgut in Wechselwirkung stehenden Maschinenteile zusammengefaßt sind. Es knnen mehrere Arbeitsorgane an der gleichen Stelle aber zu einem unterschiedlichen Zeitpunkt im Eingriff sein, so daß die Zahl der Wirkpaarungen und Wirkstellen verschieden sein kann, z. B. ein dauerbeheiztes Schweißorgan mit integriertem Trennmesser. Zur systematischen Ordnung von Wirkpaarungen kann die Bewegung des Verarbeitungsgutes durch die Wirkstelle herangezogen werden [4]: I. Klasse von Wirkpaarungen: Das Verarbeitungsgut wird zyklisch aufgenommen und nach Funktionsvollzug abgegeben. Es bewegt sich nicht durch die Wirkstelle hindurch z. B. Rhrer, Mischer, Kneter. II. Klasse von Wirkpaarungen: Das Verarbeitungsgut bewegt sich durch die Wirkstelle hindurch, steht aber whrend des Verarbeitungsvorganges still und wird von Position zu Position bewegt (Mehrpositionsmaschinen). Die Stillstandszeit wird durch die notwendige Verarbeitungszeit bestimmt. III. Klasse von Wirkpaarungen: Das Verarbeitungsgut bewegt sich kontinuierlich durch die Wirkstelle, und der Funktionsvollzug erfolgt whrend der Gutbewegung, d. h. der Arbeitsorganeingriff ist auf die Bewegung des Verarbeitungsgutes abgestimmt. Durch die geringe Zu- und Abfhrzeit sowie minimale dynamische Beanspruchungen des Verarbeitungsgutes und der Maschine wird eine hohe Produktivitt erzielt. Zur Erfllung der verarbeitungstechnischen Funktion sind die fr den Funktionsvollzug erforderlichen Wirkpaarungen zu einem innermaschinellen Verfahren zusammengeschaltet. Um die Funktionen im Stoffbereich in ihrer Komplexitt und mit hoher Zuverlssigkeit realisieren zu knnen, werden folgende Grundschaltungsarten von Wirkpaarungen angewandt: Reihenschaltung verschiedener Wirkpaarungen, Parallelschaltung gleicher Wirkpaarungen mit direkter Kopplung (mehrbahnige Anordnung), Redundanzschaltung gleicher Wirkpaarungen, die nicht gekoppelt sind, zur Erhhung der Zuverlssigkeit, Zusammenfhrung und Verzweigung des Verarbeitungsgutstromes. Das innermaschinelle Verfahren (Bild 3) ist die schematische Darstellung des Funktionsablaufes, whrend das Arbeitsprinzip einer Maschine (Bilder 4 und 5) das Zusammenwirken und die rumliche Anordnung der Arbeitsorgane prinzipiell darstellt.
I2.2 Struktur von Verarbeitungsmaschinen
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durch die Energieeinleitung den Verarbeitungsvorgang aus, z. B. Schweißvorgang, Trennvorgang, Formvorgang, Frdervorgang u. a. Der Vorgang ist die quantitative Formulierung des energetischen und kinematischen Ablaufs der Einwirkung des Arbeitsorgans auf das Verarbeitungsgut an der Wirkstelle in Abhngigkeit von der Zeit. Er wird durch die Eigenschaften des Verarbeitungsgutes, die Parameter des Arbeitsorgans und die Umgebungsbedingungen in seinem Ablauf beeinflußt. Fr die Modellierung des Verarbeitungsvorganges sind die unter dynamischen Beanspruchungsbedingungen ermittelten Eigenschaftskennwerte des Verarbeitungsgutes erforderlich, die den whrend der Verarbeitung auftretenden Beanspruchungen entsprechen. Zahlreiche Vorgnge lassen sich in Teilvorgnge zerlegen, die durch unterschiedliche physikalische Prinzipe realisiert werden knnen (Bild 7). Ihre Kombination ergibt eine Vielzahl von Kombinationsmglichkeiten, Ausfhrungsvarianten und Optimierungsanstzen. Die optimale Gestaltung des Verarbeitungsvorgangs ist eine grundlegende Voraussetzung fr eine hochproduktive, zuverlssige und energetisch gnstige Maschine. 2.2.2 Antriebs- und Steuerungssystem Motion and Control System Bild 3. Innermaschinelles Verfahren einer Hartkaramellen-Verpakkungsmaschine
Die Bewegungen der Arbeitsorgane, abgeleitet aus dem Zusammenwirken mit dem Verarbeitungsgut, werden in ihren kinematischen Anforderungen durch das Arbeitsdiagramm dargestellt (Bilder 6), das eine Grundlage fr die Antriebsund Steuerungsauslegung ist. Verarbeitungsvorgang Die in der Wirkpaarung ber Relationen in Verbindung stehenden Elemente Verarbeitungsgut und Arbeitsorgan fhren
Das Antriebssystem stellt entsprechend seiner Aufgabe die fr den Verarbeitungsvorgang erforderliche Energie dem Arbeitsorgan zum richtigen Zeitpunkt und in der richtigen Menge bereit. Dazu gehren Energiewandler, Energieumformer und Energieleitungen. Der Energiewandler wandelt die vom Netz bereitgestellte elektrische Energie in mechanische, hydraulische, pneumatische Energie um (z. B. Motor, Pumpe, Kompressor). Der Energieumformer formt die mechanische, hydraulische, pneumatische stetige Energieform entsprechend den aus der Wirkpaarung abgeleiteten Antriebsanforderungen in ein anderes Drehzahl- oder Energieniveau sowie in eine zeitlich vernderliche Form um (z. B. Getriebe, Mechanismus).
Bild 4. Arbeitsprinzip einer Hartkaramellen-Verpackungsmaschine. AO1 Zufhrteller, AO2 Unterstempel, AO3 Oberstempel, AO4 Abzugwalzen, AO5 Messer, AO6 Unterfalter, AO7 Greifer, AO8 Drehgreifer, AO9 Auswerfer
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Bild 5. Schttgut-Verpackungsanlage. 1 Packstoffrolle, 2 Packstoffzufhrung, 3 Zuschnittherstellung, 4 Packstofformung (Faltdorn), 5 Mehrkopf-Abfllwaage, 6 1. Kontrollwaage mit Tendenzsteuerung, 7 Nachdosierer, 8 2. Kontrollwaage (Fertigpackung), 9 Fehlpackungsausschleusung, 10 Verschließstation, 11 Verschlußanpressung
Die Energieleitung sorgt dafr, daß die Antriebsenergie vom Energiewandler bis zum Arbeitsorgan gelangt (z. B. Welle, Riemen, Kette, Zahnradpaarung). Die Antriebsanforderungen werden aus dem Ablauf des Vorgangs abgeleitet und werden als kinematische oder kinetische Bedingungen formuliert. Die kinematischen Vorgaben knnen Weg-, Geschwindigkeits- oder Beschleunigungsvorgaben sein, die zu einem be-
stimmten Zeitpunkt oder ber einen bestimmten Zeitbereich einzuhalten sind. Mitunter existieren diese Vorgaben auch als untere oder obere Grenzwerte (Bild 8), die durch die Belastbarkeit des Verarbeitungsgutes bestimmt sind. Weg- oder Geschwindigkeitsvorgaben ergeben sich aus dem zeitlichen und rumlichen Zusammenwirken mehrerer Arbeitsorgane oder aus der Koordinierung zwischen Verarbeitungsgut und Arbeitsorgan (Verarbeitungsgutbergabe, Vor-
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Bild 6 a–f. Arbeitsdiagramm einer Hartkaramellen-Verpackungsanlage (Auszug). a Zufhrteller (AO1 ); b Unterstempel (AO2 ); c Oberstempel (AO3 ); d Packmittel-Zufhrung (AO4 ); e Messer (AO5 ); f Unterfalter (AO6 )
Bild 7. Teilvorgnge des Folienschweißens
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Bild 8. Verarbeitungstechnische Vorgaben fr das Arbeitsdiagramm
schub u. a.) und sind mit unterschiedlicher Genauigkeit einzuhalten. Aus diesen kinematischen Vorgaben entsteht bei mehreren Arbeitsorganen das Arbeitsdiagramm, das die zeitliche und rumliche Zuordnung von Verarbeitungsgut und Arbeitsorgan kennzeichnet (Bild 6). Die kinetischen Vorgaben kennzeichnen den zeitlichen und betragsmßigen Verlauf des Energieeintrags in die Wirkpaarung. Es gibt im Wesentlichen drei charakteristische Verlaufsformen: – zeitlich konstanter Energieeintrag bei stetig angetriebenen Maschinen, z. B. Mischer, Rotationsmesser, Pumpe, Walze; – Energieeintrag mit sinoidem Verlauf bei periodisch hin und her gehenden Antrieben, z. B. Vorschubeinrichtung, Greifer, Faltorgan; – Energieeintrag mit einem sehr hohen Spitzenwert whrend einer relativ kurzen Zeit des gesamten Arbeitsspiels, z. B. Stanzmesser, Prgeform, Preßstempel. Diese Verlaufsform stellt besondere Anforderungen an das Antriebssystem, weil der sehr hohe Drehmoment-Spitzenwert vom Antrieb aufgebracht werden muß.
Die Antriebssysteme werden nach dem Ort der Energiewandlung in zentrale und dezentrale (periphere) Antriebsstrukturen unterteilt. Beim Zentralantrieb erfolgt die Energiewandlung in mechanische Energie zentral durch einen Motor und durch Energieverzweigungen sowie durch Energieleitungen (Welle, Riemen, Zahnrder) wird sie bis zu den Arbeitsorganen geleitet, die dadurch entsprechend dem Arbeitsdiagramm zwangslufig miteinander verbunden sind (Bild 9 a). Die im Arbeitsdiagramm festgelegten zeitlichen und kinematischen Anforderungen werden durch Kurvenscheiben und Mechanismen, die von einer Programmwelle gesteuert werden, realisiert. Die Steuerungsinformationen werden dabei vom Antriebssystem mit bertragen, so daß mit geringem Steuerungsaufwand ein Zwanglauf der Arbeitsorgane erzielt wird. Die Anpassung des Antriebs der Arbeitsorgane an unterschiedliche Verarbeitungsaufgaben und -bedingungen (Formate, Eigenschaften der Verarbeitungsgter) ist dadurch erschwert. Beim peripheren Antrieb erfolgt die Leitung der elektrischen Energie bis zum Energiewandler, der direkt vor dem Arbeitsorgan angeordnet ist (Bild 9 b). Periphere Antriebe haben einen geringeren mechanischen Aufwand und werden bei Ma-
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Bild 9 a–c. Antriebsstrukturen. a Zentraler Antrieb ohne Programmwelle/Steuerung im elektrischen und/oder mechanischen Energiefluß; b peripherer (dezentraler) Antrieb mit elektromechanischem Energiewandler; c Antrieb eines Wirkpaares mit Steuerung im elektrischen Energiefluß. Est Eingangsgrße Stoff, EE Eingangsgrße Energie, ES Eingangsgrße Signal, Ast Ausgangsgrße Stoff, AE Ausgangsgrße Energie, As Ausgangsgrße Signal, WP Wirkpaar, EU Energieumformer, EW Energiewandler, SV Signalverarbeitung, e elektrisch, m mechanisch
schinen mit zahlreichen, weit voneinander entfernten Arbeitsorganen angewendet, weil der mechanische Aufwand zur Energieleitung geringer ist. Die Steuerungsinformation aus dem Signalbereich wird ber Bussysteme direkt bis zum Energiewandler vor dem Arbeitsorgan geleitet. Die Bewegungssynchronisation zwischen den verschiedenen Arbeitsorganen muß durch erhhten steuerungstechnischen Aufwand gewhrleistet werden und fr den Havariefall sind besondere Maßnahmen vorzusehen. Die Energieleitungskette wird vereinfacht und die Anpassung an andere Verarbeitungsbedingungen und Verarbeitungsguteigenschaften ist bei dezentralen Antrieben einfacher durchzufhren (Bild 9 c). Durch die zahlreichen Verarbeitungsvorgnge in einer Verarbeitungsmaschine wird besonders bei geringem Energiebedarf der Wirkpaarungen wegen der hheren Flexibilitt und dem geringeren maschinentechnischen Aufwand der periphere
Antrieb zunehmend angewendet. Der innere Energieausgleich durch Speicherung ist jedoch schwer mglich. 2.2.3 Raumsystem. Frame and Shell System Das Raumsystem hat die Aufgabe, die rumliche Zuordnung der einzelnen Arbeitsorgane untereinander und zu dem Verarbeitungsgut zu sichern und gegenber der Umgebung abzugrenzen (Arbeitsschutz, Klimaeinwirkung, Schadstoffemission) sowie alle Baueinheiten, Steuerungseinrichtungen und Bedienelemente aufzunehmen. Entsprechend den innermaschinellen Verfahren existieren verschiedene Bauweisen, die durch die rumliche Anordnung des Stoffdurchlaufes durch die Wirkpaarungen und Arbeitsorgane bestimmt sind. Karussell-/Trommelbauweise mit vertikaler oder horizontaler Achse wird angewendet, wenn bei langen Verarbeitungs-
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Bild 10 a–d. Bauweisen. a Karussell-/Trommelbauweise; b Linienbauweise; c Wandbauweise; d Tischbauweise (Rundtisch). VG Verarbeitungsgut
I2.3 Verarbeitungsanlagen zeiten mitlaufende Arbeitsorgane die lange Einwirkzeit sicherstellen (Bild 10 a). Linienbauweise in ein- und mehrbahniger Ausfhrung wird bei geradlinigem Verarbeitungsgutdurchlauf besonders bei Stoffzufhrung von oben eingesetzt (Bild 10 b). Wandbauweise wird in den Fllen eingesetzt, in denen eine schmale Bahn zur Verarbeitung gelangt, der Stoffdurchlauf fr den Bediener bersichtlich angeordnet sein soll und die Antriebs- und Steuerungseinrichtungen vom Stofffluß getrennt gut zugnglich angebracht sein sollen (Bild 10 c). Tischbauweise wird besonders bei taktweise angetriebenen Maschinen mit einer geringen Anzahl von Stationen, die rumlich konzentriert angeordnet werden, angewendet (Bild 10 d). Die Bauweisen bestimmen die Bauformen der Maschinengestelle (Bild 11). Das Kastengestell (Bild 11 a) wird besonders in den Fllen verwendet, in denen hohe Krfte aufgebracht werden mssen (Presse, Stanze) oder in denen ein kurzer vertikaler Stofffluß vorhanden ist (Schlauchbeutelmaschine). Das Portal- oder Brckengestell (Bild 11 b) wird eingesetzt, wenn grßere Flchen oder Bahnbreiten vom Arbeitsorgan zu berdecken sind (Brckenstanze, Querschneider u. a.). Das Einwandgestell (Bild 11 c) herrscht besonders bei der Verarbeitung von schmalen Bahnen vor, wenn ein ungehinderter Zugang zu den Arbeitsorganen angestrebt ist und unabhngig davon die Antriebs- und Steuerungseinrichtungen zugnglich sein sollen (Blistermaschinen, Kseverpackungsmaschinen
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u. a.). Das Doppelwandgestell (Bild 11 d) wird besonders bei Maschinen in Linienbauweise, die Bahnen verarbeiten und bei denen eine stabile Lagerung der Arbeitsorgane (Walzen) sowie eine hohe Steifigkeit gewhrleistet werden muß, angewendet (Druckmaschine, Papierverarbeitungsmaschine, Durchlaufbackofen u. a.). Beide Seitenwnde des Gestells sind durch stabile Untergestelle sehr steif miteinander verbunden (Bild 12). Das offene Rahmengestell (Bild 11 e) wird bei Maschinen in Tischbauweise bzw. bei innermaschinellen Verfahren, die sehr verzweigt sind und geringe dynamische Massenkrfte haben, angewendet. Es wird meist aus Fertigprofilen hergestellt, die mit Blech oder Plexiglas verkleidet werden. Zur Erfllung der Funktion Abgrenzung von der Umwelt aufgrund klimatischer, hygienischer oder umweltschutz- sowie arbeitsschutztechnischer Anforderungen kommt der Verkleidung eine weitere funktionelle Bedeutung zu (Luftfhrung, Reinigung, Schutz vor unbefugtem Zugriff).
2.3 Verarbeitungsanlagen. Processing Plants Zur Realisierung eines komplexen technologischen Verfahrens von der Zufhrung und der Speicherung der Rohstoffe bis zur Bereitstellung des fertig verpackten Endproduktes auf der Palette sind zahlreiche verfahrenstechnische Apparate und verarbeitungstechnische Ausrstungen erforderlich.
Bild 11 a–e. Maschinengestelle – Bauformen. a Kastengestell (offen und geschlossen); b Portal- oder Brckengestell; c Einwandgestell; d Doppelwandgestell; e offenes Rahmengestell. 1 Verarbeitungsraum, 2 Antriebs- und Steuerungsraum
Bild 12. Fnffarben-Bogenoffsetdruckmaschine. 1 Bogenanleger, 2 Farbwerk, 3 Druckzylinder, 4 Drucktrommel, 5 bergabetrommel, 6 Heizung, 7 Bogengreifer, 8 Lfter
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Bild 13. Struktur einer Getrnkefllanlage nach [5]
Bild 14. Verpackungsanlage. 1 Form-, Fll- und Verschließmaschine, 2 Sammelpackmaschine, 3 Palettiermaschine
I3 Spezielle Literatur Bei geringer Produktivitt werden die einzelnen Apparate und Maschinen nach den rumlichen Gegebenheiten und arbeitsorganisatorischen Anforderungen aufgestellt. Bei hheren Produktivittsanforderungen werden die Einzelmaschinen bereits in der Projektierungsphase entsprechend dem vorgesehenen Stoffdurchlauf nach dem technologischen Verfahren zu einer komplexen Anlage zusammengeschaltet und durch eine bergeordnete Anlagensteuerung berwacht (Bild 13). Da jede Einzelmaschine in Abhngigkeit von den zu verarbeitenden Stoffen und maschinentechnischen Parametern eine unterschiedliche Zuverlssigkeit aufweist, erhhen variable Strukturen, z. B. Parallelschaltung von Maschinen sowie durch Speicher und Verkettungseinrichtungen, die Gesamtzu-
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verlssigkeit. Durch zielgerichtete Anwendung verschiedener Verkettungsarten wie Reihenverkettung, Parallelverkettung, starre Verkettung, lose Verkettung, Innenverkettung, Außenverkettung in Kombination mit Speichern, die als Durchlaufoder Hauptschlußspeicher bzw. als Rcklauf- oder Nebenschlußspeicher ausgefhrt sein knnen, wird das unterschiedliche Ausfallverhalten der einzelnen Maschinen teilweise kompensiert. Durch Simulation dieser Prozesse knnen bereits vor der Anlagenrealisierung die optimale Struktur und die zugehrigen Auslegungsparameter bestimmt werden [6]. Dadurch lassen sich sehr komplexe Anlagen bereits in der Projektierungsphase optimieren (Bild 14).
F 3 Spezielle Literatur Special bibliography zu F 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens [1] Pahl, G.; Beitz, W.; Feldhusen, J.; Grote, K.-H.: Konstruktionslehre, 5. Aufl. Berlin: Springer 2003. – [2] VDIRichtlinie 2221: Methodik zum Entwickeln und Konstruieren technischer Systeme und Produkte. Dsseldorf: VDI-Verlag 1993. – [3] Holliger, H.: Morphologie – Idee und Grundlage einer interdisziplinren Methodenlehre. Kommunikation 1. Bd. 1. Quickborn: Schnelle 1970. – [4] Osborn, A. F.: Applied imagination – principles and procedures of creative thinking. New York: Scribner 1957. – [5] Hellfritz, H.: Innovation via Galeriemethode. Knigstein/Taunus: Eigenverlag 1978. – [6] Gordon, W. J. J.: Synthetics, the development of creative capacity. New York: Harper 1961. – [7] Rohrbach, B.: Kreativ nach Regeln – Methode 645, eine neue Technik zum Lsen von Problemen. Absatzwirtschaft 12 (1969) 73–75. – [8] Dalkey, N. D.; Helmer, O.: An experimental application of the Delphi method to the use of experts. Management Sci. 9 (1963) 458–467. – [9] Rodenacker, W. G.: Methodisches Konstruieren, 4. Aufl. Konstruktionsbcher, Bd. 27. Berlin: Springer 1991. – [10] Roth, K.: Konstruieren mit Konstruktionskatalogen; Bd. 1: Konstruktionslehre, Bd. 2: Konstruktionskataloge, 2. Aufl. Berlin: Springer 1994; Bd. 3: Verbindungen und Verschlsse, Lsungsfindung. Berlin: Springer 1996. – [11] Zwicky, F.: Entdecken, Erfinden, Forschen im Morphologischen Weltbild. Mnchen: Droemer-Knaur 1966, 1971. – [12] VDI-Richtlinie 2222 Bl. 2: Konstruktionsmethodik. Erstellung und Anwendung von Konstruktionskatalogen. Dsseldorf: VDI-Verlag 1982. – [13] Kiper, G.: Katalog einfachster Getriebebauformen. Berlin: Springer 1982. – [14] Altschuller, G.: Erfinden – Wege zur Lsung technischer Probleme. Hrsg. Mhrle, M. Cottbus: BTU Cottbus 1998. – [15] Linde, H.; Hill, B.: Erfolgreich erfinden: widerspruchsorientierte Innovationsstrategie fr Entwickler und Konstrukteure. Darmstadt: Hoppenstedt 1993. – [16] Orloff, M: Ein Instrument fr innovatives Konstruieren: CROST. In: Klein, B. (Hrsg.): Konstruktionsmanagement. Augsburg: WEKA Fachverlag 1998. – [17] Orloff, M.: Grundlagen der klassischen TRIZ. Berlin: Springer 2002. – [18] Zangemeister, Ch.: Nutzwertanalyse in der Systemtechnik. Mnchen: Wittemannsche Buchhandlung 1970. – [19] Kesselring, F.: Bewertung von Konstruktionen, ein Mittel zur Steuerung von Konstruktionsarbeit. Dsseldorf: VDI-Verlag 1951. – [20] VDI-Richtlinie 2225: Technisch-wirtschaftliches Konstruieren. Dsseldorf: VDI-Verlag 1977, Blatt 3: 1990, Blatt 4: 1994. – [21] Breiing, A.; Knosala, R.: Bewerten technischer Systeme. Berlin: Springer 1997. – [22] Bhme, G: Fuzzy Logik – Einfh-
rung in die algebraischen und logischen Grundlagen. Berlin: Springer 1993. – [23] Haberfellner R.; Nagel P.; Becker M.; Bchel A.; von Massow H.: Systems Engineering, Methoden und Praxis. Zrich: Verlag Industrielle Organisation, 1992. – [24] REFA Bd. 3: Methodenlehre des Arbeitsstudiums, Kostenrechnung, Arbeitsgestaltung. Mnchen: Hanser 1971. – [25] VDI-Berichte Nr. 457: Konstrukteure senken Herstellkosten – Methoden und Hilfsmittel. Dsseldorf: VDI-Verlag 1982. – [26] VDI-Richtlinie 2235: Wirtschaftliche Entscheidungen beim Konstruieren, Methoden und Hilfen. Dsseldorf: VDI-Verlag 1982. – [27] Pahl, G.; Rieg, F.: Kostenwachstumsgesetze fr Baureihen. Mnchen: Hanser 1984. – [28] Pahl, G.; Beelich, K. H.: Kostenwachstumsgesetze nach hnlichkeitsbeziehungen fr Schweißverbindungen. VDI-Berichte Nr. 457. Dsseldorf: VDI-Verlag 1982. – [29] Ehrlenspiel, K.; Kiewert, A.; Lindemann, U.: Kostenfrherkennung im Konstruktionsprozeß. VDI-Berichte Nr. 347. Dsseldorf: VDI-Verlag 1979. – [30] VDI-Richtlinien 2801 u. 2802: Wertanalyse. Dsseldorf: VDI-Verlag 1970 u. 1971. – [31] VDI: Wertanalyse. VDI-Taschenbuch T 35. Dsseldorf: VDIVerlag 1972. – [32] VDI-Berichte Nr. 293: Wertanalyse 77. Dsseldorf: VDI-Verlag 1977 (mit umfangreichem Schrifttum). – [33] Trender, L.: Entwicklungsintegrierte Kalkulation von Produktlebenszykluskosten auf Basis der ressourcenorientierten Prozeßkostenrechnung. In: wbk Forschungsberichte aus dem Institut fr Werkzeugmaschinen und Betriebstechnik der Universitt Karlsruhe. Bd. 98, Karlsruhe 2000. – [34] Blanchard, B. S.: Design and manage to life cycle cost. Portland: MA Press 1978. – [35] Niemann, J.: Life Cycle Management – Das Paradigma der ganzheitlichen Produktlebenslaufbetrachtung, In: Bullinger, H.-J., Warnecke, H.-J., Westkmper, E. (Hrsg.), Neue Organisationsformen im Unternehmen. Ein Handbuch fr das moderne Management. Berlin: Springer 2002. – [36] Westkmper, E.; Niemann, J.: Life Cycle Controlling for Manufacturing systems in web-based environments. In: CIRP u.a.: CIRP Design Seminar : Proceedings, 16–18 May, Hong Kong 2002. – [37] Drner, D.: Gruppenverhalten im Konstruktionsprozeß. VDI-Berichte Nr. 1120, S. 27–37. Dsseldorf: VDI-Verlag 1994. – [38] Ehrlenspiel, K.: Integrierte Produktentwicklung – Methoden fr Prozeßorganisation, Produkterstellung und Konstruktion. Mnchen: Hanser Verlag 1995. – [39] Pahl, G.; Beitz, W.: Konstruktionslehre. 4. Aufl. Berlin: Springer 1997. – [40] Kochan, D.: Solid Freeform Manufacturing – Neue Verfahren mit vielfltigen Anwendungen und Effekten. wt-Produktion und Management 84 (1994) 325–329. – [41] Steger, W.; Geiger, M.: Schnelle Wege zu innovativen Produkten. VDI-Z. 136 (1994) Nr. 4, 38–45. – [42] VDI-Richtlinie 2223: Begriffe und Bezeichnungen im Konstruktionsbereich. Dsseldorf: VDI-Verlag 1969. – [43] Peters, U. H.; Meyna, A.: Handbuch der Sicherheitstechnik. Mnchen: Hanser 1985. – [44] Sphn,
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Grundlagen der Konstruktionstechnik – 3 Spezielle Literatur
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I3 Spezielle Literatur des Flchentraganteils von Oberflchen; Begriffe. – DIN 4766: Herstellverfahren der Rauheit von Oberflchen. Erreichbare gemittelte Rauhtiefe Rz nach DIN 4768 Teil 1 und Mikroflchentraganteil tai : – DIN 6771 Teil 1: Schriftfelder fr Zeichnungen, Plne und Listen; Teil 2: Vordrucke fr technische Unterlagen; Stckliste; DIN 6771 Teil 6: Vordrukke fr technische Unterlagen; Zeichnungen. – DIN 6776: Normschriften fr Zeichnungen. – DIN 7154: ISO-Passungen fr Einheitsbohrung. – DIN 7157: Passungsauswahl; Toleranzfelder, Abmaße, Paßtoleranzen. – DIN 7167: Zusammenhang zwischen Maß-, Form- und Parallelittstoleranzen (Hllbedingung ohne Zeichnungseintrag). – DIN 7521 bis 7527: Schmiedestcke aus Stahl. – ISO 8015: Tolerierungsgrundsatz. – DIN 7526: Schmiedestcke aus Stahl; Toleranzen und zulssige Abweichungen fr Gesenkschmiedestcke. – DIN 8570: Allgemeintoleranzen fr Schweißkonstruktionen, Teil 1 und 3. – DIN 8580: Fertigungsverfahren; Einteilung. – DIN 8588: Fertigungsverfahren Zerteilen; Einordnung, Unterteilung, Begriffe. – DIN 8593: Fertigungsverfahren Fgen; Einordnung, Unterteilung, Begriffe. – DIN 9005: Gesenkschmiedestcke aus Magnesium-Knetlegierungen. – DIN 31 000: Sicherheitsgerechtes Gestalten technischer Erzeugnisse; Allgemeine Leitstze. – DIN 31 000/VDE 1000: Allgemeine Leitstze fr das sicherheitsgerechte Gestalten technischer Erzeugnisse. – DIN/VDE 31 000 Teil 2: Allgemeine Leitstze fr das sicherheitsgerechte Gestalten technischer Erzeugnisse, Begriffe der Sicherheitstechnik, Grundbegriffe. – DIN 31 001: Sicherheitsgerechtes Gestalten techni-
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scher Erzeugnisse. (Teilweise ersetzt durch DIN EN 292 Teil 1 u. 2.) – DIN 31 051: Instandhaltung; Begriffe. – DIN 33 400: Gestalten von Arbeitssystemen nach arbeitswissenschaftlichen Erkenntnissen; Begriffe und allgemeine Leitstze. – DIN 33 401: Stellteile; Begriffe Eignung, Gestaltungshinweise. – DIN 33 402: Krpermaße des Menschen; Begriffe. Meßverfahren. – DIN 33 403: Klima am Arbeitsplatz und in der Arbeitsumgebung. – DIN 33 404: Gefahrensignale fr Arbeitssttten. – DIN 33 413: Ergonomische Gesichtspunkte fr Anzeigeeinrichtungen. – DIN 33 414: Ergonomische Gestaltung von Warten. – DIN 69 910: Wertanalyse; Begriffe, Methode (1987). zu F 2 Anwendung fr Maschinensysteme der Stoffverarbeitung [1] Heidenreich, E. u. a.: Lehrwerk Verfahrenstechnik, Band Verarbeitungstechnik. Leipzig: Deutscher Verlag fr Grundstoffindustrie 1978. – [2] Goldhahn, H.: Beitrag zur Verallgemeinerung wirkpaarungstechnischer Zusammenhnge. Diss. B, TU Dresden 1978. – [3] Majschak, J.-P.: Rechneruntersttzung fr die Suche nach verarbeitungstechnischen Prinziplsungen. Diss. A, TU Dresden 1997. – [4] Hennig, J.: Ein Beitrag zur Methodik der Verarbeitungsmaschinenlehre. Diss. B, TU Dresden 1976. – [5] Rmisch, P.: Methoden- und objekttheoretische Grundlagen zur rationelleren Projektierung von Verarbeitungsanlagen. Diss. B, TU Dresden 1989. – [6] Hennig, J.; Weiß, M.; Iltzsche, L.: Simulation des prozeßdynamischen Verhaltens von Verpackungsanlagen. Verpakkungsrundschau 5 (1996) 130–133.
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IMechanische Konstruktionselemente
G
G1
Mechanische Konstruktionselemente Mechanical machine components L. Deters, Magdeburg; P. Dietz, Clausthal-Zellerfeld; B.-R. Hhn, Mnchen; M. Kaßner, Braunschweig; H. Kerle, Braunschweig; H. Mertens, Berlin; H.D. Motz, Solingen; H. Peeken, Aachen; G. Poll, Hannover; J. Ruge, Mnchen; K. Thomas, Braunschweig; H. Winter, Mnchen; H. Wohlfahrt, Braunschweig; H. Wsle, Braunschweig
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Bd. 1: Grundlagen der Berechnung und Gestaltung, 4. Aufl. 1994; Bd. 2: Verbindungselemente, 3. Aufl. 1993; Bd. 3: Elastische Elemente, Achsen und Wellen, Dichtungstechnik, Reibung, Schmierung, Lagerung, 1. Aufl. 1994. Berlin: Springer. – Tochtermann, W.; Bodenstein, F.: Konstruktionselemente des Maschinenbaus, Teil 1 und 2. 9. Aufl. Berlin: Springer 1979. – VDI-Handbuch: Konstruktion. Berlin: Beuth. – Wchter, K.: Konstruktionslehre fr Maschinenbauingenieure. 2. Aufl. Berlin: VEB Verlag Technik 1989. Zeitschriften: Konstruktion, Produktentwicklung im Maschinen-, Apparate- und Gertebau (Herausgeber: Birkhofer, Feldhusen, Lindermann). Dsseldorf: Springer-VDI Verlag fr technische Zeitschriften. – antriebstechnik Mainz: Vereinigte Fachverlage. – DINMitteilungen. Berlin: Beuth. – Schweißen und Schneiden. Dsseldorf: DVS-Verlag. zu G 1.1.1 Schweißverfahren Bcher: Aus der Fachbuchreihe Schweißtechnik. Dsseldorf DVS-Verlag: Aichele, A.; Smith, A. A.: MAG-Schweißen. Bd. 65. 1975. – Bernard, P.; Schreiber, G.: Verfahren der Autogentechnik. Bd. 61. 1973. – Bhme, D.; Hermann, F.-D.: Handbuch der Schweißverfahren. Teil II: Autogenverfahren – Thermisches Schneiden – Elektronenstrahl- und Laserstrahlschweißen, Reib-, Ultraschallund Diffusionsschweißen. Bd. 76/II, 1992. – Killing, R.: Handbuch der Schweißverfahren. Teil I: Lichtbogenschweißverfahren, 3. Aufl., Bd. 76/I, 1999. – Koch, H. u. a.: Handbuch der Schweißtechnologie, Lichtbogenschweißen. Bd. 19, 1961. – Kulina, P.; Richter, R.; Ringelhan, H.; Weber, H.: Materialbearbeitung durch Laserstrahlen. Bd. 119, 1993. – Mller, P.; Wolff, L.: Handbuch des Unterpulverschweißens. Teil I: Verfahren, Einstellpraxis, Gerte, Wirtschaftlichkeit, Teil II: Schweißzustze und Schweißpulver, Teil III: Draht/Pulver-Kombinationen fr Sthle, Schweißergebnisse, Schweißparameter, Teil IV: Schweißen mit Bandelektroden. Teil V: Berechnung und Gestaltung von Schweißkonstruktionen – Schweißtechnologie – Anwendungsbeispiele. 63/I bis IV, 1983, 1983, 1978, 1976, 1979. – Munske, H.: Handbuch des Schutzgasschweißens. Bd. 30/II. Elektrotechnische Grundlagen – Schweißanlagen, Einstellpraxis, 2. Aufl., 1975. – Neumann, A.; Schober, D.: Reibschweißen von Metallen. Bd. 107, 1991. – N. N.: Die Verfahren der Schweißtechnik. Ringbuch. Bd. 55, 1974. – Schultz, H.: Elektronenstrahlschweißen. Bd. 93, 1989. – Taschenbuch DVSMerkbltter Widerstandsschweißen , Bd. 68/III, 5. Aufl. 2002. – Conn, W. M.: Die technische Physik der Lichtbogenschweißung. Technische Physik in Einzeldarstellungen. Bd. 13. Berlin: Springer 1959. – DIN-DVS-Taschenbuch 8: Schweißtechnik 1: Normen ber Schweißzustze, Fertigung, Gte und Prfung. Berlin: Beuth 2001. – DIN-DVS-Taschenbuch 65: Schweißtechnik 2: Autogenverfahren, Thermisches Schneiden, Thermisches Spritzen und Arbeitsschutz. Berlin: Beuth 2000. – DIN-DVS-Taschenbuch 145: Schweißtechnik 3: Begriffe, zeichnerische Darstellung. Berlin: Beuth 1997. – Hadick, Th.: Schweißen von Kunststoffen fr Praktiker und Konstrukteure. Schweißtechnische Praxis Bd. 6. Dsseldorf: DVS-Verlag 1969. – Krause, M.: Widerstandspreßschweißen. Schweißtechnische Praxis, Bd. 25. Dsseldorf: DVS-Verlag 1993. – Marchandis, H.: Plasmatechnologie – Grundlagen und Anwendung. DVS-Berichte. Bd. 8. Dsseldorf: DVS-Verlag 1970. – Ruge, J.: Handbuch der Schweißtechnik, Bd. I und II, 3. Aufl. Berlin: Springer 1991, 1993. – VDI-Gesellschaft Produktionstechnik (ADB): Materialbearbeitung mit dem Laserstrahl im Gerte- und Maschinenbau. Dsseldorf: VDI-Verlag 1990. – Killing, R.: Kompendium der Schweißtechnik, Bd. 1: Verfahren der Schweißtechnik. Fachbuchreihe Schweißtechnik Bd. 128/I. Dsseldorf: DVS-Verlag 1997. zu G 1.1.2 Schweißbarkeit der Werkstoffe Bcher: Aus der Fachbuchreihe Schweißtechnik. Dsseldorf DVS-Verlag: Koch, H.: Handbuch der Schweißtechnologie. Lichtbogenschweißen. Bd. 19, 1961. – Lohrmann, G. R.; Lueb, H.: Kleine Werkstoffkunde fr das Schweißen von Stahl und Eisen. Bd. 8, 8. Aufl. 1995. – Boese, U.; Werner, D.; Wirtz, H.: Das Verhalten der Sthle beim Schweißen T. I: Grundlagen, 4. Aufl. Bd. 44/I, 1995. Boese, U.; Ippendorf, F.: Teil II: Anwendung. Bd. 44/II, 4. Aufl. 2001. – Klock, H.; Schoer, H.: Schweißen und Lten von Aluminiumwerkstoffen. 2. Aufl., Bd. 70, 1995. – Matting, A., u. a.: Schweißen der Leichtmetalle u. seine Randgebiete. Bd. 14, 1959. – Strassburg, F. W.; Wehner, H.: Schweißen nichtrostender Sthle. Bd. 67, 3. Aufl. 2000. – DASt-Richtlinie 009. Empfehlungen zur Wahl der Stahlgtegruppen fr geschweißte Stahlbauten. Stahlbauverlag Entwurf 1998. – VDEh: Werkstoffkunde Stahl. Bd. 1: Grundlagen. Bd. 2: Anwendung. Berlin: Springer 1984, 1985. – Houdremont, E.: Handbuch der Sonderstahlkunde. Berlin: Springer 1956. – Ruge, J.: Handbuch der Schweißtechnik, 3. Aufl. Bd. I: Werkstoffe, Bd. II: Verfahren und Fertigung. Berlin: Springer 1991, 1993. – Rapatz, F.: Edelsthle, 5. Aufl. Berlin: Springer 1962. – Dampfkessel-Bestimmungen. Vorschriften fr Dampfkessel (TRD). Berlin: Beuth. – AD-Merkbltter (Ausschuß fr Druckbehlter). Berlin: Beuth. – Aluminium-Zentrale Dsseldorf: Aluminium-Taschenbuch, Bd. 1: Grundlagen und Werkstoffe. 16. Aufl. Dsseldorf: Alu-Verlag 2002. – Probst, R.; Herold, H.: Kompendium der Schweißtechnik, Bd. 2: Schweißmetallurgie. Fachbuchreihe Schweißtechnik Bd. 128/2. Dsseldorf: DVS-Verlag 1997. – Beckert, M.: Kompendium der Schweißtechnik, Bd. 3: Eignung metallischer Werkstoffe beim Schweißen. Fachbuchreihe Schweißtechnik Bd. 128/3. Dsseldorf: DVS-Verlag 1997.
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Mechanische Konstruktionselemente
zu G 1.1.5 Berechnung von Schweißverbindungen Bcher: Haibach, E.: Betriebsfestigkeit – Verfahren und Daten zur Bauteilberechnung. Dsseldorf: VDI-Verlag 1989. – Neumann, A.: Schweißtechnisches Handbuch fr Konstrukteure. 6. Aufl., Teil 1: Grundlagen, Tragfhigkeit, Gestaltung, 6. Aufl. Teil 2: Stahl-, Kessel- u. Rohrleitungsbau, 5. Aufl. Teil 3: Maschinen- u. Fahrzeugbau, 4. Aufl. Neumann, A.; Hobbacher, A.: Teil 4: Geschweißte Aluminiumkonstruktionen. Fachbuchreihe Schweißtechnik, Bd. 80/I bis 80/IV. Dsseldorf: DVS-Verlag 1990, 1988, 1986, 1993. – Sahmel, P.; Veit, H.-J.: Grundlagen der Gestaltung geschweißter Stahlkonstruktionen, 10. Aufl. Fachbuchreihe Schweißtechnik Bd. 12. Dsseldorf: DVS-Verlag 2002. – Ruge, J.: Handbuch der Schweißtechnik, Bd. III: Konstruktive Gestaltung der Bauteile. Berlin: Springer 1985 und Bd. IV: Berechnung von Schweißkonstruktionen. Berlin: Springer 1988. – Radaj, D.: Gestaltung und Berechnung von Schweißkonstruktionen. – Ermdungsfestigkeit. Fachbuchreihe Schweißtechnik Bd. 82. Dsseldorf: DVS-Verlag 1985. – Aluminium-Zentrale Dsseldorf: Aluminium-Taschenbuch, 16. Aufl. Dsseldorf: Alu–Verlag 2002. – Leichtbau der Verkehrsfahrzeuge 7 (1963) Sonderheft. – Wiedemann, J.: Leichtbau Bd. 1: Elemente, Bd. 2: Konstruktion. Berlin: Springer 1986, 1989. – Neumann, A.; Neuhoff, R.: Kompendium der Schweißtechnik, Bd. 4: Berechnung und Gestaltung von Schweißkonstruktionen. Fachbuchreihe Schweißtechnik Bd. 128/4. 2. Aufl. Dsseldorf: DVS-Verlag 2002. – DASt-Richtlinie 014. Empfehlungen zum Vermeiden von Terrassenbrchen in geschweißten Konstruktionen aus Baustahl. Kln: Stahlbauverlag 1981.
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zu G 1.2 Lten Bcher: Lder, E.: Lten, Betriebsbcher, Bd. 25. Mnchen: Hanser 1966. – Mller, W.: Metallische Ltwerkstoffe – Arten – Eigenschaften – Verwendung. Fachbuchreihe Schweißtechnik, Bd. 108. Dsseldorf: DVS-Verlag 1990. – Zaremba, H.: Hart- und Hochtemperaturlten. Schweißtechnische Praxis, Bd. 20. Dsseldorf: DVS-Verlag 1989. Hart- und Hochtemperaturlten und Diffusionsschweißen. DVS-Berichte Bd. 125 und 148. Dsseldorf: DVS-Verlag 1989, 1992. – Mller, W.; Mller, J.-U.: Lttechnik – Leitfaden fr die Praxis. Fachbuchreihe Schweißtechnik Bd. 127. Dsseldorf: DVS-Verlag 1995. – Lison, R.: Schweißen und Lten von Sondermetallen. Fachbuchreihe Schweißtechnik Band 118. Dsseldorf: DVS-Verlag 1996. Zeitschriften: Colbus, J.: Probleme der Lttechnik. Schweißen und Schneiden 6 (1954) 187–196. – Colbus, J.: Die Prfung von Loten und Ltverbindungen zum Hart- und Schweißlten. Schweißen und Schneiden 9 (1957) 110–116. – Colbus, J.: Versuche zur Deutung der Bindevorgnge. Schweißen und Schneiden 10 (1958) 50–54. – Erdmann-Jesnitzer, F.; Bogner, R.: Ltbruch bei Stahl. Industrieblatt 60 (1960) 133–143. – Klug, K. Th.: Untersuchungen ber die Zeitstandfestigkeit von Weichltverbindungen. Beitrag zur Bestimmung der Warmfestigkeit von Weichloten. Schweißen und Schneiden 17 (1965) 200–206. – Spengler, H.: ber das Festigkeitsverhalten von Weichlotverbindungen. Metall 13 (1959) 1130–1132. Normen und Richtlinien: DIN-DVS-Taschenbuch 196: Schweißtechnik 5 – Lten, Hartlten, Weichlten, gedruckte Schaltungen. Berlin: Beuth 2001. zu G 1.3 Kleben Bcher: Matting, A.: Metallkleben. Berlin: Springer 1969. – Habenicht, G.: Kleben, 4. Aufl. Berlin: Springer 2003. – Saechtling, H.; Woebcken, W., Herausgeber: Kunststoff-Taschenbuch, 28. Aufl. Mnchen: Hanser 2001. – Kleben von Stahl und Edelstahl-Rostfrei. Stahl-Informations-Zentrum, Merkblatt 382, Dsseldorf. – Schmitz, B. H.: Auswirkungen der Feuchtigkeit auf das Alterungs- und Langzeitverhalten von Metallklebeverbindungen. Schweißtechnische Forschungsberichte, Bd. 28. Dsseldorf: DVS-Verlag 1989. – Taschenbuch: DVS-Merkbltter und DVS-Richtlinien Kunststoffe, Schweißen und Kleben. Fachbuchreihe Schweißtechnik, 9. Aufl., Bd. 68/IV. Dsseldorf: DVS-Verlag 2001. Normen und Richtlinien: VDI-Richtlinie 2229: Metallklebeverbindungen, Hinweise fr Konstruktion und Fertigung. Dsseldorf: VDI. – DIN 53 281: Prfung von Metallklebstoffen und -klebungen. – DIN EN 26 922: Bestimmung der Zugfestigkeit von Stumpfklebungen. – DIN-Taschenbuch 205: Metallklebungen. Berlin: Beuth. zu G 8 Zahnradgetriebe Bcher: Buckingham, E.: Analytical Mechanics of Gears. New York: McGraw Hill 1949. – Drago, R. J.: Fundamentals of Gear Design. Boston: Butterworth 1988. – Dudley, D. W.: Gear Handbook. New York: McGraw Hill 1962. – Dudley, D. W.: Practical Gear Design. New York: McGraw Hill 1984. – Dudley, D. W.; Winter, H.: Zahnrder. Berlin: Springer 1961. – Henriot, G.: Engrenages. Paris: Dunod 1980. – Keck, K. 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Antriebstechn. 16 (1977) 580–582. zu G 9 Getriebetechnik Bcher: Angeles, J.: Spatial kinematic chains. Berlin: Springer 1982. – Beyer, R.: Technische Raumkinematik. Berlin: Springer 1963. – Dijksman, E. A.: Motion geometry of mechanisms. Cambridge: University Press 1976. – Dittrich, G.; Braune, R.: Getriebetechnik in Beispielen. Mnchen: Oldenbourg 1978. – Dizioglu, B.: Getriebelehre. Bd. 1 Grundlagen (1965), Bd. 2 Maßbestimmung (1967), Bd. 3 Dynamik (1966). Braunschweig: Vieweg. – Erdman, A. G.; Sandor G. N.: Mechanism Design. Vol. 1 (1984), Advanced Mechanism Design. Vol. 2 (1984). Englewood Cliffs: Prentice-Hall. – Franke, R.: Vom Aufbau der Getriebe. Bd. I. 2. Aufl. (1958), Bd. II (1951). Dsseldorf: VDI-Verlag. – Hagedorn, L.; Thonfeld, W.; Rankers, A.: Konstruktive Getriebelehre. 5. Aufl. Berlin: Springer 1997. – Hain, K.: Angewandte Getriebelehre, 2. Aufl. Dsseldorf: VDI-Verlag 1961. – Hain, K.: Atlas fr GetriebeKonstruktionen. 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University Press 1978. – Kiper, G.: Katalog einfachster Getriebebauformen. Berlin: Springer 1982. – Koloc, Z.; Va´clavk, M.: Cam mechanisms. Amsterdam: Elsevier 1993. – Kraemer, O.: Getriebelehre. 6. Aufl. Karlsruhe: Braun 1975. – Lichtenheldt, W.; Luck, K.: Konstruktionslehre der Getriebe. Berlin (DDR): Akademie-Verlag 1979. – Lohse, P.: Getriebesynthese. 4. Aufl. Berlin: Springer 1986. – Luck, K.; Modler, K.-H.: Getriebetechnik – Analyse, Synthese, Optimierung, 2. Aufl. Berlin: Springer 1995. – Paul, B.: Kinematics and dynamics of planar machinery. Englewood Cliffs: Prentice-Hall 1979. – Rauh, K.; Hagedorn, L.: Praktische Getriebelehre. Bd. 1. Die Viergelenkkette. 3. Aufl. Berlin: Springer 1965. – Steinhilper, W.; Hennerici, H.; Britz, S.: Kinematische Grundlagen ebener Mechanismen und Getriebe. Wrzburg: Vogel 1993. – Suh, C. H.; Radcliffe, C. W.: Kinematics mechanisms design. New York: Wiley 1978. – Volmer, J. (Hrsg.): Getriebetechnik – Lehrbuch. 3. Aufl. (1976), Koppelgetriebe (1979). Berlin (DDR): VEB Verlag Technik. – Volmer, J. (Hrsg.): Kurvengetriebe, 2. Aufl. Heidelberg: Hthig 1989. – Volmer, J. (Hrsg.): Getriebetechnik – Grundlagen, 2. Aufl. Berlin: Verlag Technik 1995. – VDI-Handbuch Getriebetechnik. Bd. I und II. Dsseldorf: VDI-Verlag.
1 Bauteilverbindungen Connections 1.1 Schweißen. Welding H. Wohlfahrt, K. Thomas und M. Kaßner, Braunschweig Der Beitrag entspricht in Teilen dem der 18. Auflage (Autoren: J. Ruge, H. Wsle) Beim Verbindungsschweißen werden die Teile durch Schweißnhte am Schweißstoß zum Schweißteil zusammengefgt. Mehrere Schweißteile ergeben die Schweißgruppe und mehrere Schweißgruppen die Schweißkonstruktion. Damit ist das Schweißen zu einem die Gestaltung bestimmenden Fertigungsverfahren geworden. Durch Auftragschweißen knnen verschlissene Flchen von Werkstcken neu aufgetragen, Oberflchen weniger verschleißfester Werkstoffe mit Schichten aus Verschleißwerkstoffen gepanzert (Schweißpanzern), korrosiv unbestndige Trgerwerkstoffe mit korrosionsbestndigen Werkstoffen „plattiert“ (Schweißplattieren) oder zwischen nichtartgleichen Werkstoffen kann durch den Auftragwerkstoff eine beanspruchungsgerechte Bindung erzielt werden (Puffern). Neben Metallen lassen sich auch viele Kunststoffe durch Schweißen miteinander verbinden. 1.1.1 Schweißverfahren. Welding processes Verbindungsmglichkeiten. Beim Metallschweißen werden die metallischen Werkstoffe verbunden: Durch Erwrmen der Stoßstellen bis in den Schmelzbereich (Schmelzschweißen) meist unter Zusetzen von artgleichem Werkstoff (Zusatzwerkstoff) mit gleichem oder nahezu gleichem Schmelzbereich wie die zu verbindenden Werkstoffe. An der Stoßstelle ist also eine flssige Zone vorhanden, die nach dem Erkalten Gußgefge aufweist. Durch Erwrmen der Stoßstellen (u. U. bis zum Schmelzen) und Anwenden von Druck (Preßschweißen). Soweit an der Verbindungsstelle kein Schmelzfluß, aber große plastische Verformung eingetreten ist, wird das Gefge nach dem Erkalten in der Regel feinkrnig. Durch Anwenden von Druck im kalten Zustand der Werkstoffe (Kaltpreßschweißen). Die Verbindung lßt sich nur durch große plastische Verformungen (oberhalb der Quetschgrenze) der oxidfreien Oberflchen an der Stoßstelle herstellen; das Gefge ist sehr stark kaltverformt. Durch Erwrmen der Schweißzone im Vakuum oder in einem Schutzgas unter Anwendung von geringem Druck ohne plastische Verformung an der Verbindungsstelle (Diffusionsschweißen). Die Temperatur an der Verbindungsstelle muß eine fr die Diffusion der Metallatome ausreichende Hhe haben. Außerdem wird dafr eine hinreichende Zeit bentigt. Wrmequellen. Gasflamme (Gasschweißen), elektrischer Lichtbogen (Lichtbogenschweißen), Joulesche Wrme im Werkstck (Widerstandsschweißen), Induktion (Induktions-
schweißen), Joulesche Wrme in der flssigen Schweißschlacke (Elektro-Schlacke-Schweißen), Relativbewegung zwischen den Grenzflchen (Reibschweißen und Ultraschallschweißen), Energie hoch beschleunigter Elektronen (Elektronenstrahlschweißen), Lichtenergie extremer Fokussierung oder Bndelung (Lichtstrahl-, Laserstrahlschweißen), exotherme chemische Reaktion (aluminothermisches Schweißen), flssiger Wrmetrger (Gießschweißen) und Ofen (Feuerschweißen). Verfahren. Beim Gas- und Lichtbogenschweißen berwiegen immer noch die Handschweißverfahren, bei denen die Wrmequelle, die Gasflamme oder der elektrische Lichtbogen, durch den Schweißer von Hand gefhrt wird. Zur Erhhung der Schweißgeschwindigkeit kann der Schweißstelle der Zusatzwerkstoff von Spulen (Drahtelektrode) zugefhrt werden – teilmechanische Verfahren –, wobei wegen der Stromzufhrung zur Elektrode in unmittelbarer Nhe des Lichtbogens eine wesentlich hhere Stromdichte als bei der Handschweißung mglich ist. Insbesondere im Behlterbau oder bei Auftragschweißungen kann auch das Fortschreiten der Wrmequelle entlang der Schweißnaht durch eine Fahrbewegung des Schweißkopfes oder durch Bewegen – Fahren oder Drehen – des Werkstcks bewirkt werden – vollmechanische Schweißverfahren. In der Massenfertigung (Großserien) erfolgt das Schweißen in Spann- und Haltevorrichtungen mit automatischem – u. U. rechnergesteuertem – Ablauf des Schweißvorgangs – automatisches Schweißen –, u. U. unter Einsatz von Schweißrobotern. Die heute hufig anzutreffenden Verfahren sind mit ihren kennzeichnenden Merkmalen und den Hauptanwendungsgebieten in Tab. 1 zusammengestellt. Insgesamt werden weit ber 200 Schweißverfahren gezhlt. Einem Teil kommt nur noch geschichtliche Bedeutung zu, andere haben sich nicht einfhren knnen, manche unterscheiden sich von bekannten Verfahren nur durch geringfgige Abwandlungen. Neben den bereits aufgefhrten Merkmalen der Wrmequellen und dem Grad der Mechanisierung unterscheiden sich die Verfahren in den Anwendungsmglichkeiten. Bei manchen sind nur bestimmte Schweißpositionen mglich. Fugenform und Nahtart sind ebenfalls zum Teil oder ganz vom Schweißverfahren abhngig. Daneben bestehen beim Lichtbogenschweißen Unterschiede im Einbrandverhalten, unter dem die Aufschmelztiefe der Fugenflanken unter der Einwirkung des Lichtbogens zu verstehen ist. Die Auswahl des fr die Fertigung optimalen Schweißverfahrens wird von einer Vielzahl sowohl technischer als auch wirtschaftlicher Faktoren bestimmt, so daß sich hierfr keine allgemein gltigen Regeln aufstellen lassen. 1.1.2 Schweißbarkeit der Werkstoffe Weldability of materials Die Schweißbarkeit metallischer Werkstoffe wird nach DIN 8528 T1 in Schweißeignung (Verbindung kann aufgrund
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Tabelle 1. bersicht ber die wichtigsten Schweißverfahren
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Tabelle 1 (Fortsetzung)
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Tabelle 1 (Fortsetzung)
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der Werkstoffeigenschaften hergestellt werden), Schweißmglichkeit (fachgerechte Herstellbarkeit) und Schweißsicherheit (Betriebsbewhrung des Bauteils) unterteilt. Bei Wahl eines zweckmßigen Schweißverfahrens und sachgerechter Ausfhrung sind nahezu alle Stahlsorten und Nichteisenmetalle schweißbar. Schweißeignung von Stahl Werkstoffbedingte Einflsse. Sie gliedern sich wie folgt: Erschmelzungsart. Massensthle (unlegierte Sthle) und niedriglegierte Sthle werden im Sauerstoff-Aufblaskonverter, Sondersthle vorwiegend im induktiven oder Kohlelichtbogen-Elektroofen (E-Stahl) erschmolzen.
Vergießungsart (Desoxidation). Seigerungszonen im Kern unberuhigt vergossener Sthle sollen beim Schweißen nicht aufgeschmolzen („angeschnitten“) werden (Bild 1), da sie Anreicherungen an Schwefel (Rotbruch), Phosphor (Kaltbruch), Stickstoff (Alterung) und Kohlenstoff (Hrtung) enthalten. Durch Beruhigen der Schmelze (Zugabe von 0,1 bis 0,3% Si oder doppeltes Beruhigen mit Silicium und Aluminium) werden die Entmischungsvorgnge beim Erstarren vermieden. Alterung (Reckalterung). Wichtigstes Kennzeichen der Alterung von Stahl ist die Abnahme der Zhigkeit durch Lagern nach Kaltverformung, d. h. bergang vom zhen zum sprden Bruch (im Kerbschlagversuch bereits nahe Raumtemperatur). Alterung steigert beim Zusammentreffen ungnstiger Umstnde die Gefahr eines Sprdbruchs.
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lierter Elektroden. Kaltzhe Ni-Sthle (vorwiegend 5 bis 9%) sind ebenfalls Vergtungssthle, jedoch mit niedrigem C-Gehalt (unter 0,1%). Sie sind mit austenitischen oder hochnikkelhaltigen Zusatzwerkstoffen schweißbar. In austenitischen Cr-Ni-Sthlen wirkt Ni als Austenitbildner und beeinflußt in der Regel die Schweißbarkeit nicht nachteilig. Mo-Gehalt: Ist in hherfesten Feinkornsthlen (bis 0,5%) und in warmfesten Sthlen (bis 1%) ohne direkten Einfluß auf die Schweißbarkeit. In austenitischen Cr-Ni-Sthlen ber etwa 3% besteht Versprdungsgefahr durch Frderung von Sigma- und Laves-Phase bei ungnstigen Schweißbedingungen.
Bild 1 a–d. Nahtanordnungen bei Walzprofilen. a bei I-Trger Widerstandsmoment durch eingeschweißtes Stegblech vergrßert; b Schweißungen an seigerungsfreien Zonen zweier U-Profile; c Stegaussteifungen mit Aussparungen in den Walzprofilecken (unberuhigter Stahl); d Eigenspannungen in U-Profilen (+Zug, Druck)
Chemische Zusammensetzung. Außer Schwefel, Phosphor und Stickstoff seien einige weitere Elemente in ihrer Bedeutung fr die Schweißeignung hervorgehoben: C-Gehalt: In unlegierten Sthlen ist bis zu 0,25% unter normalen Schweißbedingungen keine wesentliche Aufhrtung neben der Schweißnaht zu erwarten; sie tritt erst auf, wenn die kritische Abkhlungsgeschwindigkeit verringert wird: durch hhere Kohlenstoffgehalte allein (ber 0,25%) oder durch Kohlenstoff in Verbindung mit Legierungselementen wie Mangan, Molybdn, Chrom, Nickel u. a. Gut schweißbar sind solche legierte Stahlwerkstoffe, z. B. Mn-Sthle mit bis 4% Mn, wenn der C-Gehalt niedrig liegt. Mn-Gehalt: In unlegierten Sthlen wirkt Mangan bis etwa 4% gnstig (Erhhung von Festigkeit und Kerbschlagzhigkeit), daher ist es Hauptelement (bis etwa 1,5%) in hherfesten Feinkornsthlen. Bei Gehalten ber 12% (Mangan-Hartstahl) sind Sondermaßnahmen beim Schweißen (sehr schnelle Abkhlung) wegen der Bildung von e-Martensit erforderlich. In austenitischen Cr-Ni-Sthlen setzt Mangan (bis etwa 6%) die Rißneigung herab. Si-Gehalt: Unlegierte Sthle oberhalb etwa 0,6% neigen zur Poren- und Rißbildung. In Drahtelektroden fr das MetallAktivgas-Schweißen (z. B. CO2 ) sind jedoch etwa 1,1% fr die Desoxidation des Schweißguts erforderlich. Cu-Gehalt: Liegt allgemein nur als Verunreinigung vor. Gehalte um 0,5% in witterungsbestndigen Sthlen knnen zusammen mit hheren C-Gehalten (ber etwa 0,20%) Heißrißund Versprdungsgefahr bewirken. Cr-Gehalt: Liegt in unlegierten Sthlen nur als Verunreinigung (unter 0,2%) vor. In warmfesten Sthlen (bis 5%) starke Herabsetzung der kritischen Abkhlungsgeschwindigkeit (Lufthrter), sie sind daher nur mit Vorwrmung (bis etwa 400 C) schweißbar. Ferritische und martensitische Cr-Sthle (9 bis 30% Cr) sind wegen Grobkorn- und Sigmaphasen-Bildung in und neben der Naht nur bedingt, evtl. mit austenitischen Zusatzwerkstoffen und mit Vorwrmung und Wrmenachbehandlung, schweißbar. In austenitischen Cr-Ni-Sthlen (16 bis 25% Cr) besteht bei ungnstig hohen Cr-Gehalten und nicht zweckentsprechenden Schweißbedingungen die Gefahr einer Sigmaphasen-Versprdung. Ni-Gehalt: Vorwiegend in hochfesten Feinkorn- und Vergtungssthlen (bis etwa 2%). Erfordert wegen Frderung der Durchvergtbarkeit (Martensit) genaue Abstimmung der Schweißbedingungen und Verwendung wasserstoffkontrol-
Ti- und Nb-Gehalt: Ist in Feinkornsthlen (bis etwa 0,3%) ohne direkten Einfluß auf die Schweißbarkeit. In austenitischen Cr-Ni-Sthlen wird Ti zur Verhinderung des Kornzerfalls (Abbinden des Kohlenstoffs zu Sondercarbiden) zulegiert. Bei zu hohen Gehalten (ber etwa 1%) besteht die Gefahr einer Versprdung der Grundmasse. Al-Gehalt: Liegt in Feinkornsthlen als Desoxidations- und Denitrierungsmittel mit gleichzeitiger Wirkung auf Feinkrnigkeit vor. Bei zu hohen Gehalten (ber etwa 0,03%) wird eine Rißneigung durch Korngrenzenausscheidungen im Schweißgut und in der wrmebeeinflußten Zone begnstigt. Werkstoffbedingte Bruchgefahren. Hochbeanspruchte Schweißverbindungen sollen auf etwaige berlastung durch plastische Verformung und nicht durch verformungslosen Bruch (Sprdbruch) reagieren. Die Neigung zum Sprdbruch wchst mit fallender Temperatur, steigender Beanspruchungsgeschwindigkeit, zunehmender Mehrachsigkeit der Beanspruchung (z. B. Kerbwirkung von Anrissen, ungnstige Gestaltung) und zunehmender Blechdicke. Weiter wird die Sprdbruchneigung durch solche Zustze im Stahl erhht, welche die Aufhrtung oder die Alterung begnstigen oder verstrken. Die Sprdbruchneigung nimmt vom Feinkornstahl (Alberuhigt) ber den beruhigt vergossenen zum unberuhigt vergossenen Stahl zu (vgl. DIN EN 10 025). Die ausreichende Sicherheit gegen Sprdbrche in geschweißten Bauteilen lßt sich durch die Werkstoffwahl nach DASt-Richtlinie 009 erreichen. Terrassenbruchgefahr besteht bei Walzerzeugnissen, wenn diese in Dickenrichtung beansprucht werden (Fertigungsbeanspruchung, z. B. durch Schweißeigenspannungen, oder Betriebsbelastung). Ursache sind zeilenfrmig angeordnete Sulfideinschlsse. Die DASt-Richtlinie 014 enthlt Empfehlungen zum Vermeiden von Terrassenbrchen in geschweißten Konstruktionen aus Baustahl. Die Schweißsicherheit Sie ist bei einer Konstruktion durch die konstruktive Gestaltung (Kraftfluß, Nahtanordnung, Werkstckdicke, Kerbwirkung, Steifigkeitssprnge) und den Beanspruchungszustand (Art und Grße der Spannungen, Mehrachsigkeitsgrad, Beanspruchungsgeschwindigkeit, Temperatur, Korrosion) bedingt. Grundregeln fr Nahtanordnung. Zahl der Schweißnhte klein halten, Nhte mglichst nicht an Stellen hchster und ungnstiger Beanspruchung anordnen, Nahtkreuzungen vermeiden, bei Nahtanordnung Kraftfluß beachten, bei Walzprofilen gnstige Nahtlage vorsehen, z. B. bei eingeschweißtem Stegblech eines I-Trgers (Bild 1 a), Verschweißen von UProfilen (Bild 1 b), Stegaussteifungen (Bild 1 c) in unberuhigten Zonen vermeiden und an Profilenden schweißen. In Zug-Eigenspannungszonen (Bild 1 d) Schweißungen vermeiden. Bauteildicke. Bei dnnen Blechen besteht nach dem Schweißen ein vorwiegend zweiachsiger Eigenspannungszustand in der Blechebene (Bild 2 a, b), die Spannung in der dritten Richtung steigt mit zunehmender Blechdicke an. Dreiachsiger Zugspannungszustand bedeutet erhhte Sprdbruchgefahr, da
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Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
Bild 2 a, b. Schweißeigenspannungen. a In Nahtrichtung (Lngsspannungen); b quer zur Nahtrichtung (Querspannungen)
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die Zugspannung der dritten Richtung (Blechdicke) die plastische Verformung und damit den Spannungsabbau behindert. Mit zunehmender Blechdicke nimmt außerdem die Gefahr der Aufhrtung neben der Schweißnaht (Wrmeeinflußzone) in Abhngigkeit von Schweißverfahren und Schweißbedingungen zu. Bei unlegierten Sthlen wird ab etwa 25 mm Blechdicke daher Vorwrmen auf 100 bis 400 C je nach Werkstoff und Dicke und/oder Spannungsarmglhen z. B. bei 550 bis 650 C angewendet. Bei legierten Sthlen sind die Vorwrmund Wrmenachbehandlungstemperaturen in Abhngigkeit von den Legierungselementen, den zu verschweißenden Querschnitten und dem Schweißverfahren festzulegen (Werkstoffbltter der Stahlwerke). Nach den Technischen Regeln fr Dampfkessel (TRD) und den Druckbehltervorschriften (AD) ist Normalglhen oder Vergten nach dem Schweißen erforderlich, wenn die geforderten Eigenschaften der Schweißverbindungen nur dadurch erzielbar sind, wenn bei Kaltverformung die Reckung der ußeren Faser 5% (Biegeradius R >10 mal Blechdicke s, Betriebstemperatur > 10 C) bzw. 2% (R >25 s, Betriebstemperatur < 10 C) berschreitet und wenn vor oder nach dem Schweißen Warmverformung bei einer Verformungstemperatur außerhalb des Normalglh-Temperaturbereichs erfolgt ist. Spannungsarmglhen bzw. Vergten wird je nach Werkstoffzusammensetzung, Wanddicke und Bauteilform gefordert (AD-Merkblatt HP 7/1 und HP 7/2). Nach den Normen fr geschweißte Stahlbauten mit vorwiegend ruhender Belastung (DIN 18 801) darf bei Stumpfstßen in Form- und Stabsthlen unberuhigter Stahl (St 37-2 u. USt 37-2 bzw. S 235 JR u. S 235 JRG 1) nur fr Dicken bis hchstens 16 mm verwendet werden, anderenfalls sind die zulssigen Beanspruchungen auf die Hlfte herabzusetzen. Fr kaltverformte Bausthle ist das Schweißen im Verformungsbereich einschließlich des Bereichs der anliegenden Flchen von der Breite 5 s nur bei einem Biegeradius R ^ 10 s an allen Blechdicken und bei R ^ 3; 0 s an Blechdicken s % 24 mm, bei R ^ 2 s an Blechdicken s % 12 mm, bei R ^ 1; 5 s an Blechdicken s % 8 mm und bei R ^ 1; 0 s an Blechdicken s % 4 mm zulssig. Fertigungsbedingte Schweißsicherheit. Sie wird durch die Vorbereitung zum Schweißen (Schweißverfahren, Zusatzwerkstoff, Stoßart, Fugenform, Vorwrmung), die Ausfhrung der Arbeit (Wrmefhrung, Wrmeeinbringung, Schweißfolge) und die Nachbehandlung (Wrmebehandlung, Bearbeitung, Beizen) beeinflußt. Bei dicken Querschnitten sind Schweißverfahren mit großer Wrmezufuhr zu bevorzugen (Ausnahme: Feinkornsthle, hochfeste vergtete Bausthle, vollaustenitische Sthle, Chrom-Sthle). Die Fugenform soll so gewhlt werden, daß die Schweißgutmenge bei sicherem Aufschmelzen der Fugenflanken mglichst klein gehalten wird. Die Mehr-Lagen-
Schweißung ist bei grßeren Schweißquerschnitten der EinLagen-Schweißung vorzuziehen, da die erstgeschweißten Lagen durch die nachfolgenden wrmebehandelt (normalgeglht) werden. Die letzte Lage besitzt wie die Ein-LagenSchweißung Gußstruktur. Die Schrumpfung der Schweißnhte bedeutet Maß- und Formnderungen des Schweißteils oder Schweißeigenspannungen durch das Zusammenziehen des Schweißguts beim Abkhlen. Diese Wirkung wird dadurch verstrkt, daß zuvor beim Erwrmen der Schweißstelle der Werkstoff wegen der Behinderung durch den umgebenden kalten Werkstoff gestaucht wurde. Die Querschrumpfung ist abhngig von Schweißverfahren, Werkstckdicke und Anzahl der Schweißlagen (Bild 3 a), die Winkelschrumpfung tritt besonders bei Nhten mit unsymmetrischen Fugenformen auf, Bild 3 b. Die Maßund Winkelnderungen sind durch Zugaben und Winkelvorgabe zu bercksichtigen. Die Lngsschrumpfung fhrt bei kleineren Werkstckdicken und besonders bei Kehlnhten zu Verkrzungen (0,1 bis 0,3 mm/m), Krmmungen, Beulungen und Verwerfungen. Die verkrmmende Wirkung wird aber auch absichtlich und kontrolliert bei Brcken- und Krankonstruktionen genutzt. Knnen verschweißte Teile der Schrumpfung nicht ungehindert folgen, so entstehen die besonders gefhrlichen „Reaktionsspannungen“, die eine rißfreie Wurzelschweißung erschweren oder unmglich machen. Richten von Konstruktionsteilen vor und nach dem Schweißen kann entweder unter Aufbringen ußerer Krfte oder durch Schrumpfwirkung erkaltender Teile (Richten mit der Flamme) erfolgen. Kaltrichten ist wegen Rißgefahr mglichst zu vermeiden. Die Schweißfolge, d. h. die Reihenfolge der Schweißarbeiten innerhalb einer Naht und im ganzen Bauteil, beeinflußt die Maß- und Formnderung wie auch die Schweißeigenspannungen. Beide knnen durch zweckentsprechendes Festlegen der einzelnen Schweißschritte in einem Schweißfolgeplan in Grenzen gehalten werden. Bei Trommeln werden z. B. erst die Lngsnhte, dann die Rundnhte geschweißt; Schweißfolge bei Lngs- und Quernhten an Platten gemß Bild 4 a. Abschnittweises Schweißen im Pilgerschrittverfahren empfiehlt sich bei Lngsnhten, Bild 4 b. Der Schwierigkeitsgrad beim Schweißen wchst in der Reihenfolge der Schweißpositionen (DIN EN ISO 6947) von Wannen- (PA), Horizontal-Vertikal (PB) ber Fall- (PG), Steig- (PF), Quer- (PC) zu berkopfposition (PE), Bild 5. Position (PG) ist nur mit bestimmten Elektroden (Fallnahtelektroden) und Schweißbedingungen (Kurzlichtbogen beim MIG/MAG-Schweißen) mglich. Muß bei Temperaturen unterhalb des Gefrierpunkts geschweißt werden, so ist der Schweißplatz auf mindestens +10 C zu erwrmen und das Werkstck vorzuwrmen (50 bis 100 C); bei Arbeiten in großer Hhe muß ein Windschutz angebracht werden. Zusatzwerkstoff. Er soll so ausgewhlt werden, daß die Festigkeitswerte (Streckgrenze, Zugfestigkeit, Dehnung und Kerbschlagzhigkeit) der Schweißverbindung mindestens die Gewhrleistungs- (Berechnungs-) oder Normwerte des Grundwerkstoffs erreichen. Ausreichende Verformungsfhigkeit des Schweißguts ist besonders dann von Bedeutung, wenn der Grundwerkstoff geringe Schweißeignung hat oder wenn aus anderen Grnden Sprdbruchgefahr besteht. In diesem Fall sind Elektroden mit wasserstoffkontrollierter basischer Umhllung und erhhtem Mn-Gehalt (1,0 bis 1,8%) oder gleichwertige Drahtelektroden zu bevorzugen. Normen: DIN EN 499: Umhllte Stabelektroden zum Lichtbogenhandschweißen von unlegierten Sthlen und Feinkornsthlen. – DIN 8554 T3: Schweißstbe fr das Gasschweißen, unlegiert und niedriglegiert. – DIN 8555 T1: Schweißzustze zum Auftragschweißen. – DIN EN 12 072: Schweißzustze –
I1.1 Schweißen
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Bild 4 a, b. Schweißfolge. a Reihenfolge der Schweißschritte 1 bis 7 in den 6 Lngsnhten und Schweißschritte 1 bis 3 in den Quernhten I bis XIII einer Plattenwand; b Pilgerschritt-Schweißung
Bild 5. Schweißpositionen (s. Text) PA ... PG nach DIN EN ISO 6947, ( ) frhere Bezeichnungen
die Gasschmelzschweißung, bei dickeren Querschnitten die Lichtbogen-Handschweißung mit besonders legierten Gußeisen-Schweißstben unter Anwendung eines Flußmittels bzw. von Elektroden bei teilweiser Verwendung eines Flußmittels und Vorwrmen des Werkstcks auf 600 bis 700 C (Warmschweißung). Kaltschweißungen (Lichtbogen-Handschweißung) mit Nickel-, Nickel-Kupfer- (Monel-) oder Nikkel-Eisen-Stabelektroden werden mit einer Vorwrmung von 100 bis 200 C ausgefhrt. Das Schweißgut ist gut, die Wrmeeinflußzone meist gut (abhngig von den Schweißbedingungen) bearbeitbar, dagegen nicht bei Verwendung normaler Stahlelektroden (B-Typ) oder Stahl-Sonderelektroden (erhhter C-Gehalt) ohne Wrmenachbehandlung. Bild 3 a, b. Schrumpfungen bei einem Stumpfstoß nach Malisius. a Querschrumpfung; b Winkelschrumpfung
Drahtelektroden, Drhte und Stbe zum Lichtbogenschweißen von nichtrostenden und hitzebestndigen Sthlen. – DIN EN 756: Drahtelektroden und Draht-Pulver-Kombinationen zum Unterpulverschweißen von unlegierten Sthlen und Feinkornsthlen. DIN EN 440: Drahtelektroden und Schweißgut zum Metall-Schutzgasschweißen von unlegierten Sthlen und Feinkornsthlen. ber die Schweißeignung der einzelnen Sthle s. E 3.1. Schweißbarkeit von Gußeisen, Temperguß und Nichteisenmetallen Grauguß (frher GG-15 bis GG-35 jetzt EN-GJL-150 bis ENGJL-350) wird vorwiegend in Reparatur- und Ausbesserungsfllen geschweißt. Bei kleineren Wanddicken empfiehlt sich
Schwarzer Temperguß (z.B. EN-GJMB-350-10) und weißer Temperguß (z.B. EN-GJMW-350-10) lassen sich stets weichlten. Schweißbarkeit muß mit dem Hersteller besonders vereinbart werden. Bei EN-GJMW-360-12 (frher GTW-S 3812) ist bis 8 mm Wanddicke dagegen stets Schweißeignung fr Konstruktionsschweißungen vorhanden (ohne Wrmenachbehandlung). Fr untergeordnete Zwecke knnen auch schwarzer Temperguß (Temperkohle ber den ganzen Querschnitt) und weißer Temperguß (entkohlte Randzone) mit normalen oder niedriglegierten Zusatzwerkstoffen geschweißt werden, wobei schwarzer Temperguß wegen des im Schweißgut zustzlich gelsten Kohlenstoffs (aufgeschmolzene Temperkohle) harte und rißgefhrdete Nhte ergibt (Vorwrmen auf 200 bis 250 C). Gußeisen mit Kugelgraphit (z.B. EN-GJS-350-10) kann mit Sonderelektroden (Ni-legiert) unter Vorwrmung (500 C) und Wrmenachbehandlung (900 bis 950 C) sowie Anlassen (700 bis 750 C) geschweißt werden. Ohne Wrmebehandlung hnliches Verhalten wie bei schwarzem Temperguß.
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Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
Aluminiumknetwerkstoffe sind unlegiert nahezu mit allen Verfahren schweißbar. Kaltverfestigung wird in der wrmebeeinflußten Zone durch Kristallerholung und Rekristallisation aufgehoben. Bauteile aus Aluminiumdruckguß knnen mit verschiedenen Schmelz- und Preßschweißverfahren gefgt werden, wenn ihr Gasgehalt hinreichend niedrig ist [103].
genformen – Metall-Inertgasschweißen und Wolfram-Inertgasschweißen von Aluminium und Aluminiumlegierungen. – DIN 8552 T 3: Schweißnahtvorbereitung, Fugenformen an Kupfer und Kupferlegierungen, Gasschmelzschweißen und Schutzgasschweißen. – DIN 8553: Verbindungsschweißen plattierter Sthle, Gestaltung und Ausfhrung.
Aushrtende Aluminiumknetlegierungen blicher Zusammensetzung als Kalt- oder Warmaushrter lassen sich grßtenteils nach fast allen Verfahren schweißen. Im Schweißgut und in der wrmebeeinflußten Zone ist keine Aushrtung vorhanden, bzw. sie wurde durch die Wrmeeinwirkung aufgehoben. AlZnMg wird im ausgehrteten Zustand geschweißt. Anschließend ergibt sich ein Festigkeitsanstieg im Nahtbereich durch Kaltaushrtung. Schweißverfahren mit schmaler Wrmeeinflußzone sind aus Festigkeitsgrnden zu bevorzugen. Bei gleichartigem Zusatzwerkstoff kann eine Wrmebehandlung nach dem Schweißen gleiche Festigkeiten wie im Grundwerkstoff ergeben.
Fugenvorbereitung. Durch mechanische Trennverfahren und vor allem Brennschneiden. Die Schneidbarkeit von Sthlen wird durch ihre Legierungsbestandteile bestimmt.
Nichtaushrtende Aluminiumknetlegierungen lassen sich in der Regel gut mit allen Verfahren schweißen. Bei Magnesium als Legierungselement treten ber 5% Mg Schwierigkeiten auf, so daß diese Legierungen fr Schweißkonstruktionen nicht eingesetzt werden. Kupfer bereitet in den sauerstoffarmen Sorten keine Schwierigkeiten. Die Elektrotechnik verwendet aber viel sauerstoffhaltiges Kupfer, das beim Gasschweißen schumt. Mit Schutzgas-Schweißverfahren und u. U. besonders legierten Zusatzwerkstoffen lassen sich sowohl fr die Festigkeit als auch fr die Leitfhigkeit ausreichende Ergebnisse erzielen. Kupferlegierungen wie CuZn (Messing), CuSn (Bronze) und CuSnZn (Rotguß) lassen sich bei ausreichender Erfahrung zufriedenstellend schweißen. Aus dem Messing dampft bei Lichtbogen-Schweißverfahren jedoch Zink aus, so daß die Schweißnaht kupferreicher wird; bei verschiedenen Bronzen knnen Entmischungsvorgnge eintreten. Nickel und Nickellegierungen sind gut schweißbar (Ausnahme: Nickel-Eisen-Legierungen). Die hohe Gasaufnahme (Sauerstoff, Wasserstoff) erfordert ebenso wie die Neigung zur Grobkrnigkeit besondere Maßnahmen beim Schweißen (geringe Wrmezufuhr, Schutzgas) und bei den Zusatzwerkstoffen (desoxidierende Bestandteile). Sauberkeit (Fettfreiheit) der Fgebereiche ist erforderlich. Lichtbogen-Schweißverfahren sind zu bevorzugen. Schweißzusatzwerkstoffe. Es gilt stets der Grundsatz der artgleichen Schweißung, von dem nur in begrndeten Ausnahmefllen oder wenn eine artgleiche Schweißung schweißtechnisch nicht mglich ist, abgewichen werden sollte. Normen: DIN 1732 T1 bis T3: Schweißzusatzwerkstoffe fr Aluminium. – DIN 1733 T1: Schweißzustze fr Kupfer und Kupferlegierungen. – DIN 1736 T1: Schweißzustze fr Nikkel und Nickellegierungen. – DIN 8573 T1: Schweißzustze zum Schweißen unlegierter und niedriglegierter Gußeisenwerkstoffe. 1.1.3 Stoß- und Nahtarten. Types of weld and joint Die Stoßart ergibt sich aus der konstruktiven Anordnung der zu verschweißenden Teile. Sie ist mitbestimmend fr die Nahtart. Normen geben Richtlinien fr die Fugenformen in Abhngigkeit vom Schweißverfahren hinsichtlich Werkstckdickenbereich, ffnungswinkel, Stegabstand, Steg- und Flankenhhe. Normen: DIN EN 29 692: Lichtbogenschweißen, Schutzgasschweißen und Gasschweißen, Schweißnahtvorbereitung fr Stahl. – DIN EN ISO 9692 T2: Schweißnahtvorbereitung, Unterpulverschweißen von Stahl. – DIN EN ISO 9692 T3 Schweißen und verwandte Prozesse – Empfehlungen fr Fu-
Mit neuzeitlichen Dsen lassen sich an unlegierten Sthlen, z. B. bei 20 mm Blechdicke, Schnittgte I nach DIN 2310 T2, Schneidgeschwindigkeiten von 550 mm/min erreichen. Fr einwandfreie Schnittkanten ist eine maschinelle Fhrung des Brenners erforderlich. Die Steuerung kann hierbei von Hand (Fadenkreuz auf Zeichnung), durch Magnetrollen (Stahlschablone), lichtoptisch (Photozelle nach Zeichnungskontur, auch nach bis 1 : 100 verkleinerter Zeichnung) oder numerisch (rechnergesteuert) erfolgen. Fr eine rationelle Fertigung ist die Aufstellung eines Schneidplans mit Zuordnung der auszuschneidenden Teile in der Blechtafel zur Vermeidung unntigen Abfalls erforderlich. Nicht brennschneidbare Werkstoffe (z. B. Cr-Ni-Sthle, Kupfer, Nickel, Aluminium) lassen sich mit dem Plasma-Lichtbogen schneiden, wobei der durch die hohe Energie nur in einer schmalen Zone geschmolzene Werkstoff durch den Gasstrahl aus der Fuge herausgedrckt wird. Im Gegensatz zum Brennschneiden ist zwar meist eine nachtrgliche Bearbeitung der Fugenflchen erforderlich, aber das Verfahren erspart die hohen Kosten des mechanischen Trennens. Bei unlegierten und niedriglegierten Sthlen wird das Plasmaschneiden auch ohne Nachbearbeitung mit bis zu vierfacher Schneidgeschwindigkeit gegenber dem blichen Brennschneiden angewendet. Unlegierte Stahlbleche bis 12 mm Dicke lassen sich sehr wirtschaftlich mit dem Laser schneiden. Das Ausfugen der Wurzel fr die wurzelseitige Gegenschweißung kann durch Meißeln (Preßlufthmmer mit Formmeißeln), Schleifen (Handschleifmaschinen), Hobeln, autogenes Brennfugen (Sonderbrenner hnlich dem beim Brennschneiden verwendeten, jedoch mit angenhert tangentialer Schneidrichtung) oder Kohlelichtbogen-Brennfugen (durch Kohlelichtbogen geschmolzener Werkstoff wird mittels Preßluft aus der Fuge geschleudert) erfolgen. Die Anwendbarkeit dieser Verfahren richtet sich nach Werkstoff (vgl. Anwendungsgrenzen des Brennschneidens), Form der Naht (gerade, gekrmmt), konstruktiven Gegebenheiten und Zugnglichkeit. Stumpfstoß. I-Naht: Einfachste Nahtart, fr hhere Belastung ist im allgemeinen ein Nachschweißen der Naht auf der Wurzelseite nach Ausfugen erforderlich. V-Naht (Bild 3 u. 6 a): Zum Herabsetzen der Winkelschrumpfung muß der ffnungswinkel klein ( 60°) gehalten werden. Kleinster ffnungswinkel fr noch einwandfreie Wurzelschweißung > 45 °. Bei den teil- und vollmechanischen
I1.1 Schweißen Schweißverfahren sind auch kleinere ffnungswinkel mglich. Doppel-V-Naht (X-Naht) (Bild 6 c): Anwendung bei grßeren Blechdicken als V-Naht, da bei gleichem ffnungswinkel nur die halbe Schweißgutmenge bentigt wird. Winkelschrumpfung kann weitgehend vermieden werden, wenn Lagen abwechselnd von beiden Seiten eingebracht werden. Die Wurzel soll (in Abhngigkeit vom Schweißverfahren) vor dem Schweißen der Gegenlage ausgefugt werden. Weitere Nahtarten: Brdelnaht, Steilflankennaht, Y-Naht, U(Tulpen-)Naht und Doppel-U-Naht. Die beiden letztgenannten sind wegen der meist hohen Herstellungskosten auf Sonderflle zu beschrnken. Stumpfstoß bei Werkstcken ungleicher Dicke (Bild 6). Querschnitt mglichst in Kraftrichtung symmetrisch anordnen (Bild 6 c, f), bei Dickenunterschieden unter s1 s2 ¼ 10 mm und vorwiegend ruhender Beanspruchung kann auf Angleichung verzichtet werden, sonst abschrgen, Bild 6 d. Bei schwingender Beanspruchung schon oberhalb s1 s2 ¼ 3 mm anschrgen (Neigung 1 : 4 bis 1 : 5), um Steifigkeitssprung herabzusetzen. Bei hchster Beanspruchung dickeres Blech auf einer Lnge h ^ 2 s2 abarbeiten, Bild 6 g. berlappstoß (Bild 7). Der Krfteverlauf in einer Kehlnaht ist bei einer Hohlkehlnaht (Bild 7 c) gnstiger als bei der Flachnaht (Bild 7 b); die Wlbnaht (Bild 7 a) ist am ungnstigsten. Allgemein ist bei schwingender Beanspruchung jede Kraftumlenkung nachteilig. Die rechnerische Nahtdicke a ergibt sich aus der Hhe des eingeschriebenen gleichschenkligen Dreiecks. Sie soll nicht strker als rechnerisch erforderlich, hchstens jedoch mit a=0,7 s ausgefhrt werden. Bei Stirnkehlnhten schreibt der Stahlbau im Fall vorwiegend ru-
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hender Beanspruchung eine Kehlnahtdicke von mindestens a=0,5 s und Ausfhrung mit h : b=1 : 1 oder flacher vor, Bild 7 d. Bei schwingender Beanspruchung (Eisenbahnbrkkenbau) soll g % 25 und die Kehlnahtdicke a0 ¼ 0; 5 s betragen. Parallelstoß (Bild 8 a). Wegen entfallender Fugenvorbereitung sind mglichst Kehlnhte anzuwenden. Zum Vermeiden der Kantenanschmelzung wird als berstand g ^ 1;4 a þ3 mm empfohlen. Bei Walzprofilen richtet sich die Kehlnahtdicke a % 0;7t nach der Dicke t des dnnsten Teils, Bild 8 b. Die Nhte sollen auch hier nicht dicker und nicht lnger als rechnerisch erforderlich ausgefhrt werden. Im Stahlbau (DIN 18 800 T 1) gilt bei Stabanschlssen eine Kehlnahtmindestlnge ^ 6 a (mindestens 30 mm), Kehlnahthchstlnge ¼ 150 a, bei zustzlichen Nhten quer zur Stablngsachse und Rundumschweißungen wird fr jede Lngsnaht die Mindestlnge 10 a empfohlen. Als Kehlnahtdicke sind mindestens 2 mm bzw. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi max s 0;5 vorgeschrieben. Außerdem wendet man im Maschinenbau (nicht Brcken- oder Stahlhochbau) Loch- oder Schlitzschweißungen an, Bild 8 c, d. Fr die Dicke des oberen Blechs soll s % 15 mm eingehalten werden, fr die Abmessungen des Schlitzes werden b ^ 2;5 s (mindestens 25 mm) und l ^ 3 b (Behlterbau) oder l ^ 2 b (Maschinenbau) empfohlen. Das Ausfllen des Schlitzes mit Schweißgut unterbleibt wegen dadurch entstehender großer Schweißeigenspannungen; bei Korrosionsgefahr wird der Schlitz z. B. mit dauerelastischem Kunststoff ausgefllt. T-Stoß (Bild 9). Die einfachste Nahtart ist die Kehlnaht. Sie eignet sich besonders zum bertragen von Schubkrften. Die einseitige Kehlnaht (Bild 9 a, b) ist nur dann zu verwenden, wenn kleine Krfte zu bertragen sind. Bei der beidseitigen Kehlnaht, die mit einem Verfahren mit Tiefeinbrandwirkung (z. B. vollmechanisches MSG- oder UP-Schweißen) ausgefhrt ist, kann der Einbrand e (Bild 9 c) mit in die Berechnung eingesetzt werden (DIN 18 800 T 1). Die Bindungslcke mit Kerbwirkung an der Stoßstelle (Bild 9 d) entfllt, wenn
Bild 6 a–g. Ausfhrungsformen von Stumpfstßen bei ungleichen Querschnitten. a–d fr vorwiegend ruhende; e–g fr schwingende Beanspruchung
Bild 8 a–d. Blechverbindungen. a Parallelstoß; b Anschluß eines Walzprofils an ein Blech; c Lochschweißung; d Schlitzschweißung
Bild 7 a–d. Nahtformen und Kraftfluß. a Wlb-; b Flach-; c Hohlkehl-; d unsymmetrische Stirnkehlnaht
Bild 9 a–d. Kehlnhte am T-Stoß. a Einseitige Naht; b Bindebild und Kraftfluß; c Doppelnaht; d Bindebild und Kraftfluß
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das Profil hnlich Bild 10 durch Doppel-HV-(K-)Naht mit beidseitiger Kehlnahtabdeckung angeschlossen wird. Diese Nahtform wird fr hchste vorwiegend ruhende und schwingende Beanspruchung angewendet. Es ist t ¼ s1 þ 2h=3 mit ungleichschenkliger Kehlnaht. Einbrandkerben und unverschweißte Wurzelspalte mssen besonders bei schwingender Beanspruchung vermieden oder ausgeschliffen werden. Kreuzstoß (Bild 10). Nahtarten wie beim T-Stoß, jedoch muß bei Zugbeanspruchung an den angeschweißten Stegen das mittlere Querblech auf Doppelungen (z. B. mittels Ultraschall) untersucht werden und garantierte Querzugeignung haben (DASt 014-Empfehlungen zum Vermeiden von Terrassenbrchen in geschweißten Konstruktionen aus Stahl. Kln: Stahlbau-Verlag).
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Schrgstoß (Bild 11). Nahtarten wie bei T-Stoß. Die Gte der Schweißnaht ist vom Winkel g abhngig. Hufig wird ohne Fugenvorbereitung geschweißt, wenn keine großen Krfte zu bertragen sind. Kehlnhte lassen sich nur einwandfrei ausfhren, wenn bei rechtwinkliger Stirnflche b % 2 mm und bei beidseitiger Schweißung g ^ 60° ist. Nhte mit kleineren Winkeln drfen nur dann in die Berechnung als tragend eingesetzt werden, wenn durch das angewendete Schweißverfahren die sichere Erfassung des Wurzelpunkts gewhrleistet ist. Eine Ausfhrung nach Bild 11 b ist entweder zu vermeiden oder die Stirnflche des schrg aufgesetzten Blechs muß bearbeitet werden (z. B. 60°-Abschrgung herstellen). Eckstoß (Bild 12 a). Der Eckstoß ist ausfhrungsmßig ein T-Stoß. Allgemein gilt, daß an Stellen mit Kraftumlenkung nicht geschweißt werden soll. Bei Druckbehltern wird daher die Schweißnaht außerhalb der Krmmung angeordnet, Bild 12 b. Der Mindestabstand der Schweißnaht von der Krmmung soll f ^ 5 s1 betragen.
Bild 10. DHV-(K-)Naht mit Doppel-Kehlnaht am Kreuzstoß
Beim Schweißen in kaltverformten Bereichen sind die Angaben unter Bauteildicke (s. in diesem Abschnitt) zu beachten. Bei Abweichungen von den dort angegebenen Maßen ist ein Mindestabstand f (Bild 12 b) einzuhalten oder das kaltverformte Teil normalzuglhen. Mehrfachstoß (Bild 13). Wegen der unsicheren Erfassung der unteren Bleche (Einbrand) beim Schweißen von einer Seite ist diese Stoßart nur bei sorgfltiger Herstellungsmglichkeit oder in festigkeitsmßig untergeordneten Fllen anzuwenden, bei beiderseitiger Zugnglichkeit muß die Wurzel ausgefugt und gegengeschweißt werden. 1.1.4 Darstellung der Schweißnhte Graphical symbols for welds Symbole und Darstellung: DIN EN 22 553. Nahtarten. Sie knnen symbolhaft (Bild 14 a, c) oder erluternd (Bild 14 b, d) dargestellt werden. Die symbolhafte Darstellung ist zu bevorzugen. Die Stellung des Symbols zur Bezugslinie kennzeichnet die Lage der Naht am Stoß. Anh. G 1 Tab. 1 enthlt Grund- und Zusatzsymbole sowie erluternde Nahtdarstellungen. Schweißverfahren. Begriffe und Verfahrenskennzahlen nach DIN ISO 857 T1 und DIN EN ISO 4063. Die in frher gltigen Normen enthaltenen Abkrzungen sind weit verbreitet und werden hier nach der Verfahrenskennzahl eingeklammert aufgefhrt: Gasschweißen 3 (G) – Lichtbogenhandschweißen 111 (E), Unterpulverschweißen 12 (UP), Wolfram-InertgasSchweißen 141 (WIG), Metall-Inertgas-Schweißen 131 (MIG), Metall-Aktivgas-Schweißen 135 (MAG). Man unterscheidet zustzlich zwischen dem Handschweißen, dem teilmechanischen, vollmechanischen und automatischen Schweißen. Gte der Schweißverbindung. Nach Aufwand in Fertigung und Prfung werden in DIN EN 25 817 (Lichtbogenschweißverbindungen an Stahl, Richtlinie fr die Bewertungsgruppen von Unregelmßigkeiten) folgende Bewertungsgruppen unterschieden: Stumpfnhte und Kehlnhte: D (niedrig), C (mittel), B (hoch). Die zu whlenden Bewertungsgruppen sind vom Konstrukteur mit Untersttzung der Fertigungsabteilungen, der Qualittsstellen, gegebenenfalls mit Aufsichtsbehrden und sonstigen Gremien festzulegen. Sie sind abhngig von der Belastungsart (vorwiegend ruhend, schwingend), den Umgebungseinflssen (chem. Angriffe, Temperatur) und zustzlichen Anforderungen (z. B. Dichtheit, Sicherheitsanforderungen). Zu gewhrleisten sind sie durch: Schweißeignung des
Bild 11 a, b. Kehlnhte am Schrgstoß. a Ohne Kantenvorbereitung; b mit ungnstiger Kantenvorbereitung
Bild 12 a, b. Konstruktive Ecken. a Eckstoß; b Eckenausbildung bei vorverformten Teilen, z. B. Kesselbden
Bild 13. Mehrfachstoß
Bild 14 a–d. Darstellungsformen. a Stumpfstoß symbolhaft; b Stumpfstoß erluternd; c Doppelkehlnaht symbolhaft; d Doppelkehlnaht erluternd
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(z. B. Martensit in der wrmebeeinflußten Zone) zu Rissen und Brchen in dieser Zone fhrt.
Bild 15 a, b. Zeichnerische Darstellung. a Stumpfnaht (V-U-Naht) mit zustzlichen Fertigungsangaben; b unterbrochene Kehlnaht mit Vormaß v und zustzlichen Fertigungsangaben
Werkstoffs fr Verfahren und Anwendungszweck; fachgerechte und berwachte Vorbereitung; Auswahl des Schweißverfahrens nach Werkstoff, Werkstckdicke und Beanspruchung der Schweißverbindung; auf den Werkstoff abgestimmten, geprften und zugelassenen Zusatzwerkstoff; geprfte und bei der Arbeit durch Schweißaufsichtspersonal berwachte Schweißer; Nachweis einwandfreier Ausfhrung der Schweißarbeiten (z. B. Durchstrahlung); Sonderanforderungen (z. B. Vakuumdichtigkeit, allseitiges Schleifen der Nhte).
Schwingende Belastung. Bei dieser tritt der Schwingbruch auch bei allseitig bearbeiteten Proben am hufigsten im bergangsbereich von Grundwerkstoff und Schweißnaht ein. Die Dauerfestigkeiten geschweißter Konstruktionsteile sind niedriger als die Dauerfestigkeit des Grundwerkstoffs, bei unbearbeiteten Schweißnhten niedriger als bei bearbeiteten. Fr die meisten Werkstoffe, Nahtformen und Nahtanordnungen liegen Dauerfestigkeitsschaubilder vor (s. E 1.3). Beispiele: Bilder 16 und 17. In den Schaubildern sind nicht bercksichtigt: Statische Vorlasten durch Eigenspannungen, die die Mittelspannungen je nach den Vorzeichen erhhen oder erniedrigen. Im Normalfall werden diese Eigenspannungen im Betrieb jedoch im Verlauf der vernderlichen Beanspruchung abgebaut [98]. Der Grßeneinfluß. Zeitweilige berlastungen sind ohne Einfluß, wenn gewisse Grenzwerte der Schwingspielzahl und der Spannung (Schadenslinie) nicht berschritten werden. Kleine Einschlsse in der Naht (rundliche Poren oder Schlakken) setzen die Dauerfestigkeit unbearbeiteter Schweißnhte nicht oder nur unwesentlich herab. Risse und Oberflchenfehler, wie z. B. Einbrandkerben, Endkrater, unsaubere Ansatzstellen und vom Znden des Lichtbogens neben der Naht herrhrende Zndstellen, knnen dagegen Ausgangspunkte fr den Schwingbruch sein und setzen somit die Dauerfestigkeit herab. Fr Aluminiumlegierungen liegen gegenwrtig nur Werkstoffgrenzwerte fr Legierungsbezeichnungen der zurckgezogenen Normen DIN 1745 bis 1749 vor (Bild 18 nach Aluminium-Zentrale, Dsseldorf). Die Zuordnung dieser lteren Be-
Schweißposition. Kurzbezeichnung s. Bild 5. Beispiele: Bild 15 a: V-U-Naht, V-Naht hergestellt mit Metall-Aktivgas-Schweißen (135), U-Naht hergestellt mit UP-Schweißen (12), geforderte Bewertungsgruppe C, Wannenposition PA. Bild 15 b: Unterbrochene Kehlnaht mit Kehlnahtdicke a, Vormaß v, Zwischenraum e, Lnge l und Anzahl n der Einzelnhte, hergestellt durch Lichtbogenhandschweißen (111), geforderte Bewertungsgruppe C, HorizontalVertikalposition PB.
Nach DIN EN ISO 30 042 lassen sich Lichtbogenschweißverbindungen aus Aluminium und Aluminiumlegierungen bewerten. Fr Elektronenstahl- und Laserschweißverbindungen aus Sthlen gilt T1, fr strahlgeschweißte Verbindungen aus Aluminium und Aluminiumlegierungen T2 der DIN EN ISO 13 919.
Bild 16. Whlerschaubild; Grundwerkstoff St 52 (Gruppe S355J nach DIN EN 10 025); Beanspruchung senkrecht zur Naht
1.1.5 Festigkeit von Schweißverbindungen Strength calculations for welded joints Tragfhigkeit Sie ist bei Schweißverbindungen abhngig von den Eigenschaften des Grundwerkstoffs, der wrmebeeinflußten bergangszone und des Schweißguts, der Beanspruchungsart (Zug, Druck, Schub, statische oder schwingende Beanspruchung), der Nahtform, Nahtanordnung und Nahtbearbeitung, dem Zusammenwirken der Betriebsspannungen mit den Schweißeigenspannungen (insbesondere bei Stabilittsfllen, unter bestimmten Voraussetzungen auch bei schwingender Beanspruchung) und der Nahtgte. Hchste Anforderungen an die Gestaltung und die Ausfhrung sind bei schwingender Beanspruchung zu stellen. Vorwiegend ruhende Belastung. Bei vorwiegend ruhender Belastung einer senkrecht zur Zugrichtung gelegenen Stumpfnaht liegen die plastische Verformung und der Bruch in der Regel neben der Schweißnaht, bei Belastung parallel zur Schweißnaht haben Grundwerkstoff und Schweißgut gleiche Verformung, was bei Gefgearten mit niedriger Zhigkeit
Bild 17. Dauerfestigkeitsschaubild; Grundwerkstoff St 37 (Gruppe S235J nach DIN EN 10 025); Beanspruchung senkrecht zur Naht
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Bild 18 a–d. Werkstoffgrenzwerte fr AlZn 4,5 Mg 1, AlMgSi 1, AlMg 4,5 Mn und AlMgMn/AlMg 3, gltig fr Knethalbzeug (DIN 1746 bis 1749 und DIN EN 485), Oberflchen unbearbeitet (z. B. mit Walzhaut), Wanddicke (Durchmesser) s =10 mm. Zug–Druck, Biegung und Schub, Grenzschwingspielzahl N ¼ 107 . Durchgezogene Linie A: ungeschweißter Werkstoff. Gestrichelte Linie D: Stumpfnahtschweißverbindung MIG und WIG (mit Schweißraupe): a: gestrichelte Linie D gilt fr AlZn 4,5 Mg 1 F 36 und F 32; c: gestrichelte Linie D gilt fr AlMg 4,5 Mn F 28. Bei Biegung von Vollquerschnitten sind die Werte der Kurve A fr s=0 bis 50 mm mit 1,2 zu multiplizieren. Bei Schubbeanspruchung sind die Werte von Kurve A mit 0,65 zu multiplizieren
zeichnungen zu den nach europischer Normung (DIN EN 485, DIN EN 515, DIN EN 573, DIN EN 755) jetzt gltigten Al-Werkstoffangaben ist fr jeden Anwendungsfall einzeln zu ermitteln (z. B. nach DIN EN 485-2, Beiblatt 1). Bei Wanddicken ber 10 mm erfolgt bis 70 mm eine Abminderung (Grßeneinfluß) mit dem Faktor 0,8, dann gleichbleibend (s. E 1.5). Den Werkstoffestigkeiten muß die auftretende Beanspruchung gegenbergestellt werden, um die Tragfhigkeit bzw. Tragsicherheit zu ermitteln. Weitere Hinweise: Literatur zu G 1.1.5 (Neumann/Hobbacher: Teil 4) und British Standard BS8118 Part 1 (1991): Structural use of aluminium – Code of Practice for Design. Berechnung Bei den in Vorschriften, Regelwerken oder Richtlinien enthaltenen Vorgehensweisen zur Festigkeitsberechnung von schmelzgeschweißten Verbindungen und zur Bemessung von Schweißnhten (Anh. G 1 Tab. 2) wird zwischen dem Nennspannungskonzept und rtlichen Konzepten unterschieden. Fr vorwiegend ruhend beanspruchte Schweißverbindungen erfolgt im allgemeinen der Festigkeitsnachweis mit Nennspannungen, wobei dafr zulssige Spannungen oder Grenzzustnde mit unterschiedlichen Teilsicherheitsbeiwerten fr die Beanspruchungen sowie fr die Beanspruchbarkeiten heranzuziehen sind. Die Bemessung nach Grenzzustnden und mit Teilsicherheitsbeiwerten nach DIN 18 800 T 1 Ausgabe 1990 ist fr den Stahlbau ab 1996 vorgeschrieben. Bei vorwiegend ruhender Beanspruchung kann nach [105] der Festigkeitsnachweis von geschweißten Bauteilen auch auf der Grundlage von rtlichen Spannungen vorgenommen werden, die als Strukturspannungen auftreten [99, 100, 101, 107, 108]. Fr schwingend beanspruchte Verbindungen stehen fr den Nachweis der Ermdungsfestigkeit (Dauerschwing- und Betriebsfestigkeit) neben dem vor allem in Regelwerken aufgefhrten Nennspannungskonzept folgende lokale Berechnungskonzepte zur Verfgung, die in neueren Normen z. B. [110], in Richtlinien [104, 112, 113] und in Empfehlungen zur Schwingfestigkeitsbemessung [101] enthalten sind. Es sind dies das Strukturspannungskonzept, das Kerbspannungskonzept (Konzept der rtlich elastischen Spannungen), das Kerbdehnungskonzept (rtliche Konzept) und bruchmechanische Konzepte. Die lokalen Beanspruchungen kann mit der Methode der Finiten Elemente und ausreichend feiner Elementierung des Verbindungsbereiches ermitteln. Die Anwendung und die Einsatzmglichkeiten dieser Konzepte sind in [99–
101, 104–106, 112, 113] angegeben, die auch Angaben fr die Abschtzung der Lebensdauer nach verschiedenen Schadensakkumulationshypothesen beim Betriebsfestigkeitsnachweis enthalten. Bruchmechanische Anstze verwendet man außerdem zum Abschtzen der Sprdbruchsicherheit und der Tragfhigkeit von Schweißverbindungen mit Unregelmßigkeiten [102, 112]. Nach dem Nennspannungskonzept mit zulssigen Spannungen erfolgt die Berechnung von Schweißverbindungen in nachstehender Reihenfolge: Ermitteln der angreifenden Belastungen. Fr Bauteile, die gesetzlichen oder vom Auftraggeber aufgestellten Vorschriften unterliegen, sind die darin enthaltenen Angaben fr die Festlegung zu den Lastannahmen, Stoß- und Sicherheitsbeiwerten anzuwenden, Anh. G 1 Tab. 2. In allen anderen Fllen knnen diese Vorschriften als Anhaltspunkte dienen. Unsicherheiten bei der Kraftermittlung werden durch entsprechendes Festlegen der zulssigen Spannung oder Wahl geeigneter Sicherheitsfaktoren bercksichtigt. Berechnen der Nennspannungen in den Schweißnhten und Anschlußquerschnitten. Die Nennspannungen werden aus den Belastungen nach den Regeln der Festigkeitslehre (s. C bzw. DUBBEL interaktiv) berechnet. Zum Teil sind die anzuwendenden Gleichungen in Vorschriften festgelegt, Anh. G 1 Tab. 2. Bild 19 a enthlt die Bezeichnungen fr die Normal- und Schubspannungen fr das Beispiel der Kehlnaht. Die in Stumpf- und Kehlnhten auftretenden Schnittgrßen sind Bild 19 b und Bild 19 c zu entnehmen. Im Bauteil treten hufig mehrere Beanspruchungsarten gleichzeitig auf, die dann entsprechend zusammenzufassen sind. Zug, Druck und Biegung haben Normalspannungen zur Folge, die bei gleicher Richtung arithmetisch zu addieren sind. Bei aufeinander senkrecht stehenden Richtungen muß aus den Spannungen ein Vergleichswert sv gebildet werden, den man bei vorwiegend ruhender Belastung mit der Streckgrenze bzw. zul s vergleicht. Bei schwingender Beanspruchung darf sv die Dauerschwingfestigkeit bzw. zul sD oder die Betriebsfestigkeit bzw. zul sBe nicht bersteigen. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sv ¼ s2? þ s2k s? sk þ aðt2? þ t2k Þ mit a=1 bei vorwiegend ruhender sowie a=2 (DIN 15 018 T1) bei schwingender Belastung. Bei der Rechnung ist jeweils zu smax das zugehrige t und zu tmax das zugehrige s zu whlen. Außerdem ist getrennt hier-
I1.1 Schweißen
G 15
Bild 19 a–c. Spannungen in Schweißnhten und Schnittgrßen an Schweißverbindungen sowie ihre Kennzeichnung. a Kehlnaht; b Stumpfstoß (VNaht); c T-Stoß
von nachzuweisen, daß die Schubspannung t allein den zulssigen Schubspannungswert nicht bersteigt. Fast alle Berechnungsvorschriften enthalten gleichlautende oder hnliche Beziehungen fr den Vergleichswert. Bei der Berechnung von Stumpfstßen wird als Nahtdicke stets die Blechdicke s des dnneren Blechs eingesetzt (Bild 6). Die maßgebende Nahtlnge ergibt sich aus l=b 2 a, wenn die Naht zwei Endkrater hat. Bei Verwendung von Vorsatzstcken (Bild 20) oder kraterfreier Ausfhrung gilt l=b. Bei Kehlnhten (Bild 19 a) ergibt sich die Kehlnahtdicke a aus der Hhe des eingeschriebenen gleichschenkligen Dreiecks. Die Spannung wird fr den in die Anschlußebene geklappten Querschnitt mit der Dicke a berechnet. Beim Schrgstoß drfen Kehlnhte mit kleineren ffnungswinkeln als g ¼ 60° nicht mehr als tragend in die Berechnung eingesetzt werden (Ausnahme: Das Schweißverfahren gewhrleistet das sichere Erfassen des Wurzelpunkts). Bei zylindrischen Kesselschssen, Trommeln und Sammlern wird die notwendige Blechdicke nach der Kesselformel berechnet (s. K 2.2), wenn Da =Di % 1;2 (AD) bzw. % 1,7 (TRD) eingehalten wird. Bei Ankern, Ankerrohren und Stehbolzen muß der Abscherquerschnitt der Schweißnhte mindestens 125% des Bolzen- und Ankerquerschnitts betragen. Die Anker sind auf beiden Seiten der zu verankernden Wandungen zu verschweißen. Festlegen der zulssigen Spannungen. Vorwiegend ruhende Beanspruchung. Fr den nicht geregelten Bereich des Maschinenbaus knnen Werte dem Anhang II der DS 952, Tab. 2, und der Norm fr den Kranbau DIN 15 018 T 1 entnommen werden. Die DS 952 wurde zurckgezogen mit Ausnahme des Anhangs II, der weiterhin fr die Berechnung der Schweißverbindung gilt. Die Wurzel von Stumpfnhten muß ausgekreuzt und nachgeschweißt werden, oder es muß auf andere Weise fr einwandfreies Durchschweißen gesorgt werden. Tab. 2 gilt fr das Grenzspannungsverhltnis von S ¼ þ1. Fr den Kessel- und Rohrleitungsbau sind die Vorschriften und Merkbltter der Vereinigung der Technischen berwachungsvereine maßgebend. Der bliche Schweißfaktor (Schweißnahtwertigkeit) n ¼ 0;8 kann durch zustzliche Schweißer- und Arbeitsprfungen bis auf n ¼ 1;0 erhht wer-
Bild 20. Stumpfstoß mit Vorsatzstck fr Schweißnahtauslauf
Tabelle 2. Zulssige Spannungen nach Anhang II der DS 952 bei vorwiegend ruhender Belastung (S ¼ þ1)
den. Im Druckbehlterbau (AD) ist n ¼ 1;0 blich, bei verringertem Prfaufwand wird auf 0,85 abgemindert. Vergleich der Nennspannungen mit den zulssigen Spannungen. Vorwiegend ruhende Beanspruchung vorh. sw % zul sw (Tab. 2), vorh. tw % zul tw oder S ¼ Re =s bei Sicherheit gegen plastische Verformung. Im Kessel- und Rohrleitungsbau ist evtl. die Warm- oder Zeitstandfestigkeit zu bercksichtigen. Das Nennspannungskonzept nach Grenzzustnden und mit Teilsicherheitsbeiwerten, DIN 18 800 T 1, Ausgabe 11/ 1990, ist fr die Bemessung von Schweißverbindungen des Stahlbaus vorgeschrieben. Diese Norm kann auch im allgemeinen Maschinenbau fr die Berechnung von vorwiegend ruhend beanspruchten Schweißnhten herangezogen werden. Es ist zweckmßig, den Festigkeitsnachweis wie folgt zu erstellen: Ermitteln der vorhandenen Einwirkungen. Die charakteristischen der z. B. durch Belastungen gegebenen Einwirkungen F haben den Index k und sind den gesetzlichen oder den Vorgaben des Auftraggebers zu entnehmen, Anh. G 1 Tab. 2. Hieraus ergeben sich durch Multiplizieren mit dem maßgebenden Teilsicherheitsbeiwert gF die Bemessungswerte Fd , wobei F als Symbol fr alle Einwirkungen (G, Q) verwendet wird. Man erhlt die Bemessungswerte der stndigen Einwirkungen Gd aus der Beziehung Gd ¼ gF Gk mit gF ¼ 1; 35:
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Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
Fr die Bemessungswerte der verschiedenen vernderlichen Einwirkungen Qi gilt Qi; d ¼ gF yi Qi; k : Hierbei ist gF ¼ 1;5 und der Kombinationsbeiwert yi ¼ 0;9; mit dem das Auftreten aller ungnstig wirkenden vernderlichen Einwirkungen bercksichtigt wird. Falls nur eine vernderliche Einwirkung vorliegt, ist yi ¼ 1,0: Schweißnahtspannungen. Sie ergeben sich aus den Bemessungswerten Gd und Qd nach den Regeln der Statik und Festigkeitslehre, wobei nur von elastischem Werkstoffverhalten ausgegangen wird. Dieser Berechnungsschritt unterscheidet sich von dem Nennspannungskonzept mit zulssigen Spannungswerten dadurch, daß die Bemessungswerte Gd und Qd Tabelle 3. Rechnerische Schweißnahtdicken a nach DIN 18 800 T 1
G
durch Multiplikation mit Teilsicherheitsbeiwerten grßer sind als die frher im Stahlbau angewendeten Haupt- und Zusatzlasten. Fr lichtbogengeschweißte Verbindungen ist die rechnerische Nahtdicke a Tab. 3 zu entnehmen. Fr Stumpfnhte stimmt die rechnerische Nahtlnge mit der geometrischen Lnge der Verbindung berein. Es erfolgt mithin kein Abzug fr den Nahtanfang und Endkrater. Kehlnhte gelten als tragend, wenn l 6 a ist und sie mindestens 30 mm lang sind. Die rechnerische Schweißnahtflche Aw ergibt sich aus Aw ¼ S a l; wobei nur Nhte bercksichtigt werden drfen, die aufgrund ihrer Lage vorzugsweise die vorhandenen Schnittgrßen bertragen.
I1.1 Schweißen
G 17
Tabelle 3 (Fortsetzung)
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Bei unmittelbaren Laschen- und Stabanschlssen muß die Summe aller Kehlnahtlngen S l 150 a sein. Fr rechtwinklige Anschlsse ergibt sich die rechnerische Schweißnahtlnge aus der ausgefhrten Lnge der Naht am Stabanschluß. Dabei sind keine Endkrater zulssig. Bei schrgem Anschluß mit ringsumlaufender Kehlnaht, bei dem die Schwerachse des Profils nher zur lngeren Flankennaht als zur krzeren liegt, Bild 21, gilt S l ¼ l1 þ l2 þ 2 b: Befindet sich dagegen die Schwerachse des Profils nher zur krzeren Flankenkehlnaht (l1 Þ; ist S l ¼ 2 l1 þ 2 b: Bei Stabanschlssen ergeben sich Außermittigkeiten dadurch, daß die Schwerachse der Schweißnahtflchen von beiden Flankenkehlnhten nicht mit der Schwerachse des Stabes bereinstimmt. Dies fhrt zu zustzlichen Schweißnahtspannungen, die bei der Berechnung der genannten Anschlsse vernachlssigt werden drfen. Die Norm DIN 18 800 T 1 enthlt weitere Festlegungen fr Stabanschlsse, auch fr mittelbare Anschlsse. Die Schweißnahtspannung sw in Stumpf- und Kehlnhten besteht aus den Normalspannungen sk und s? sowie den Schubspannungen tk und t? (Bild 19 a). Fr den Nachweis wird der Vergleichswert qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sw; v ¼ s2? þ t2? þ t2k
gibt sich aus dem charakteristischen Wert der Streckgrenze fy; k (Tab. 4) gemß sw; R; d ¼ aw fy; k =gM mit dem Beiwert aw nach Tab. 5 und dem Teilsicherheitsbeiwert fr den Werkstoff gM ¼ 1; 1. Fr zugbeanspruchte Stumpfstße aus Formsthlen der Werkstoffe St 37-2 und USt 37-2 (S235JR und S235JRG1) mit Wanddicken ber 16 mm betrgt aw ¼ 0; 55, unabhngig von der Nahtgte. Es ist nachzuweisen, daß sw; v =sw; R; d 1 fr alle tragenden Schweißnhte erfllt wird. [109] enthlt weitere Hinweise fr die Bemessung von Schweißverbindungen aus Stahl. Geschweißte Aluminiumkonstruktionen unter vorwiegend ruhender Beanspruchung
ermittelt, wobei sk nicht bercksichtigt werden muß. Nachweis fr Stumpf- und Kehlnhte. Die Grenzschweißnahtspannung sw; R; d (Index R, d fr Beanspruchbarkeit) er-
Bild 21. Stabanschluß mit schrg angeschweißtem Profil nach DIN 18 800 T 1
G 18
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Tabelle 4. Charakteristische Werte fr Walzstahl und Stahlguß nach DIN 18 800 T 1
G
Tabelle 5. aw -Werte fr Grenzschweißnahtspannungen nach DIN 18 800 T 1
knnen nach DIN 4113 T 1 und T 2 berechnet werden, Anh. G 1 Tab. 2. Schwingende Beanspruchung – Nennspannungskonzept. Die Berechnung der Spannungen erfolgt wie bei vorwiegend ruhender Beanspruchung nach den Regeln der Festigkeitslehre mit elastischem Stoffgesetz. Dauerfestigkeit. Fr geschweißte Eisenbahnbrcken sind die zulssigen Spannungsdoppelamplituden fr Zug-, Druck- und
Schubbeanspruchung in der DS 804 fr die Sthle St 37 (Gruppe S235J nach DIN EN 10 025) und St 52 (Gruppe S355J nach DIN EN 10 025) festgelegt. Sie werden bestimmt in Abhngigkeit vom Kerbfall und Spannungsverhltnis k ¼ sign min s= max s bzw. k ¼ sign min t= max t mit den gleichen Beanspruchungsbereichen wie in DS 952 (dort wird die Bezeichnung S statt k benutzt, international ist dafr R blich). Die k- bzw. S-(R-) Werte kennzeichnen die Beanspruchungsbereiche: reine Wechselbeanspruchung (= 1),
I1.1 Schweißen
G 19
Tabelle 6. Zuordnung der Stoß- und Nahtformen zu den Linien in Bild 22.
G
Bild 22 a, b. Zulssige Spannungen (DS 952). a St 37 (Gruppe S235J nach DIN EN 10 025); b St 52 (Gruppe S355J nach DIN EN 10 025). Anmerkung: DS 952 weist im Gegensatz zur heute blichen Auffassung unterschiedliche Schwingfestigkeitswerte fr St 37 und St 52 auch bei S < 0;5 auf
Wechselbereich (0) und statische Zug- und Druckbeanspruchung (=1). Fr geschweißte Fahrzeuge, Maschinen und Gerte der Deutschen Bahn AG sind im Anhang II der DS 952 die zulssigen
Spannungen fr St 37 (Gruppe S235J nach DIN EN 10 025) und St 52 (Gruppe S355J nach DIN EN 10 025 ) in Abhngigkeit vom Spannungsverhltnis S angegeben (Bild 22 und Tab. 6). Die Linien A bis H der zulssigen Spannungen sind verschiedenen Stoß- und Nahtarten zugeordnet.
G 20
Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
Tabelle 7. Beanspruchungsgruppen nach Spannungsspielbereichen und Spannungskollektiven (DIN 15 018 T 1)
Tabelle 8. Kerbwirkungen von Naht- und Anordnungsformen (Kerbflle) (DIN 15 018 T 1, Auszug)
G Betriebsfestigkeit. Der Betriebsfestigkeitsnachweis auf Sicherheit gegen Bruch ist bei zeitlich sich hufig ndernden Belastungsamplituden zu fhren. Bei sthlernen Straßen- und Wegebrcken nach DIN 18 809 und Lastannahmen nach DIN 1072 werden die fr die Betriebsfestigkeit zulssigen Werte nach DS 804 herangezogen. Im Maschinenbau wendet man oftmals die DIN 15 018 T 1 und die DS 952 an. Nach DIN 15 018 T 1 hngen die zulssigen Oberspannungen der Normal- und Schubspannungen ab vom Spannungskollektiv (Bild 23), der Zahl der Spannungsspiele (Tab. 7), dem Kerbfall (Tab. 8), dem Werkstoff und dem Spannungsverhltnis k. Das durch Messungen ermittelte, aus dem Belastungsablauf errechnete oder anderweitig bekannte Spannungskollektiv wird mit dem idealisierten Spannungskollektiv von Bild 23 verglichen und einer Linie (S0 bis S3 ) zugeordnet. Spannungskollektiv und Spannungsspielbereich N1 bis N4 ergeben die Beanspruchungsgruppe B1 bis B6, Tab. 7. Dem an Bauteil oder Verbindungsstelle vorliegenden Kerbfall K0 bis K4 sind die in Tab. 9 enthaltenen zulssigen Spannungen fr die Werkstoffe St 37 (Gruppe S235J nach DIN EN 10 025) und St 52-3 (Gruppe S355J nach DIN EN 10 025) bei k = 1 zugeordnet. Die zulssige Spannung bei 1 < k þ1 ergibt sich mit den in Tab. 10 angegebenen Gleichungen aufgrund der Zusammenhnge in Bild 24.
Bild 23. Idealisierte bezogene Spannungskollektive. Dabei bedeuten: sm ¼ 12 ðmax s þ min sÞ Betrag der konstanten Mittelspannung; s0 ¼ Betrag der Oberspannung, die N-mal erreicht oder berschritten wird; ^ 0 ¼ Betrag der grßten Oberspannung des idealisierten Spannungss 0 ¼ Betrag der kleinsten Oberspannung des idealisierten kollektivs; s ^ ¼ 106 Umfang des idealisierten SpannungsSpannungskollektivs; N kollektivs
Schwingende Beanspruchung. S ¼ sA =sa bzw. ¼ tA =ta (sA ; tA dauerfester, sa ; ta vorhandener Spannungsausschlag). DS 804, DS 952 und DIN 15 018 T 1 legen zulssige Spannungen fest. Zusammengesetzte Beanspruchung. Bei dieser mssen zum Vergleich der Nennspannungen mit den zulssigen Spannungen die Werte der zulssigen Spannungen fr den betreffenden Beanspruchungs- und Berechnungsfall herangezogen werden (DIN 15 018 T 1, DS 804, Anhang II der DS 952 ).
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G 21
Tabelle 9. Zulssige Spannungen in N=mm2 beim Betriebsfestigkeitsnachweis (DIN 15 018 T 1, Auszug)
G Berechnungsbeispiel nach DIN 15 018 T 1: Mit StumpfnahtNormalgte quer zur Kraftrichtung verbundene Teile ! Kerbfall K1 nach Tab. 8, Werkstoff St 37, smax ¼ ^ 0 ; smin ¼ 60 N=mm2 ¼ s ^ u ! k ¼ 0;4 und 150 N=mm2 ¼ s 0 ¼ sm ¼ 45 N=mm2 . Aus Beanspruchungsverlauf bekannt s 0 sm 2 s ^ 0 ¼ 75 N=mm , 0,5 s ¼ 0,286. Die zulssigen Schweiß^ 0 sm s naht- bzw. Grundwerkstoffspannungen am Nahtbergang werden tabellarisch fr drei verschiedene Spannungsspiele ermittelt:
Tabelle 10. Gleichungen fr zulssige Oberspannungen und Schubspannungen fr Bauteile und Schweißnhte (DIN 15 018 T 1)
Schwingende Beanspruchung – Strukturspannungskonzept. Es ergnzt das in den Regelwerken enthaltene Nennspannungskonzept, fhrt zu einer hheren Werkstoffausnutzung und zur treffsicheren Bemessung neuer Schweißkonstruktionen [100, 109, 112, 113, 115]. Das Strukturspannungskonzept darf nur angewendet werden, wenn die Normalspannungen vornehmlich senkrecht zur Schweißnaht wirken und sich der Schwingungsriß – sofern er auftritt – am Schweißnahtbergang ausbildet. Es gilt nicht fr von der Wurzel ausgehende Risse [99, 101]. Die Strukturspannung fr den Ort des „hot spot“, die erwartete Rißausgangsstelle, ergibt sich aus Dehnungsmessungen, Bild 25, oder aus einer Finite-Elemente-Berechnung nach [101, 108]. Man extrapoliert auf die Stelle des „hot spot“ mit linearen Ansatz, z. B. ehs ¼ 1; 67eA 0; 67 eB ; und erhlt die Strukturspannung shs ¼ E ehs : Bei drei Meß- bzw. Berechnungspunkten wird ein quadratischer Ansatz verwendet. [100, 102, 114] enthalten Strukturspannungs-Whlerkurven fr die verschiedenen Strukturde-
Bild 24. Zusammenhnge zwischen zul sDðkÞ und zul sDð1Þ
G 22
Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen dicke t zutreffende Spannungsschwingbreite berechnet wird: n tref : Dst; eff ¼ DsR; L teff
Bild 25. Aus dem Dehnungsmeßstellen A und B durch Extrapolieren berechnete Strukturspannung am Nahtrand
G
Hierin ist tref ¼ 25 mm, teff ¼ t, wenn L=t > 2 betrgt oder teff ¼ 0; 5 L, falls L=t 2. Das Maß L ist Bild 26 zu entnehmen. Vorstehende Formel gilt fr t 10 mm In Bild 27 werden Strukturspannungs-Whlerkurven der Werkstoffe Stahl und Aluminium wiedergegeben. Alle Kurven fr die Schwingfestigkeitsklassen (FAT-Klassen) haben bei doppeltlogarithmischer Auftragung die vom Werkstoff abhngige Neigung m. Die Zahl in der Bezeichnung einer FATKlasse stimmt mit der Spannungsschwingbreite der FATKlasse bei 2 106 Lastspielen berein. Als dauerfest gilt fr ferritischen Stahl der Bereich ber 5 106 Lastspielen. Mit der Gleichung C ¼ NDsm
tails aus unlegiertem Baustahl und einigen Aluminiumlegierungen. Aus Tab. 11 sind fr die unterschiedlichen Strukturdetails die FAT-Klasse, die dauerfest ertragbare Schwingbreite DsR; L und der Exponent n fr den Dickenreduktionsfaktor zu entnehmen, mit dem die fr die vorliegende Blech-
des geneigten Abschnitts der Whlerkurve lassen sich bei bekannter FAT-Klasse die zugehrige Spannungsschwingbreite der Dauerfestigkeit und im Zeitfestigkeitsbereich die Spannungsschwingbreiten fr verschiedene Lastspielzahlen Nx berechnen:
Tabelle 11. Zuordnung von Strukturdetails zu den Klassen der Spannungsschwingbreite; Einfluß der Eigenspannungen ist einbezogen, Winkel- und Kantenversatz sind unbercksichtigt und mssen bei der Spannungsermittlung erfaßt werden; gltig fr Stahl und die gewhnlich konstruktiv verwendeten Aluminiumlegierungen; Blechdicke 25 mm.
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G 23
Tabelle 12. Richtwerte fr zulssige Spannungen von Preßstumpf-, Abbrennstumpf- und Reibschweißverbindungen
Bild 26. Maße L und t fr die Umrechnung der Schwingungsbreite von der Referenzblechdicke tref ¼ 25 mm auf die vorliegende Blechdicke teff
Dsx ¼
1 2 106 m Ds2106 : Nx
Die Whlerkurven werden als weitgehend mittelspannungsunabhngig betrachtet. [101] empfiehlt, die Schwingungsbreite der FAT-Klassen mit einem von der Mittelspannung und den anfangs vorhandenen Eigenspannungen abhngigen „Bonusfaktor“ zu multiplizieren, wogegen jedoch Einwnde bestehen [111]. Einige Richtwerte fr Stahl nach Erker: 1. Vorwiegend ruhende Beanspruchung: Sicherheit gegen Streckgrenze Re des Werkstoffs S ¼ 1;5 . . . 2;0 (je nach Kerbschrfe), mittlerer Wert S ¼ 1;7. 2. Zeitfestigkeit (bis 500 000 Schwingspiele): Sicherheit gegen Schwingbruch S ¼ 1;0 . . . 1;8, mittlerer Wert S= 1;3 . . . 1;5. 3. Dauerfestigkeit (ber 500 000 Schwingspiele): Sicherheit gegen Dauerbruch S ¼ 1;5 . . . 3;0, mittlerer Wert S= 1;5 . . . 2;0, in Sonderfllen unterster Wert S ¼ 1;2: Preßschweißverbindungen Preßstumpf- und Abbrennstumpfschweißen. Berechnungsquerschnitt ist der kleinste Querschnitt in bzw. neben der Naht. Richtwerte fr zulssige Spannungen siehe Tab. 12. Bei Anwendungen im bauaufsichtlichen Bereich ist die Beanspruchbarkeit der Verbindungen durch Gutachten einer vom Deutschen Institut fr Bautechnik anerkannten Stelle nachzuweisen. Widerstandspunkt- und Widerstandsnahtschweißen. Diese Verbindungen werden i. allg. auf Abscheren beansprucht. Es ergibt sich eine niedrige Dauerfestigkeit wegen erheblicher
G Kerbwirkung. Da der Punktdurchmesser nicht bekannt ist und auch durch zerstrungsfreie Prfverfahren kaum bestimmt werden kann, werden die ertragbaren Bruchlasten aus Versuchen bestimmt. Einzelheiten sind den Merkblttern DVS2902 T 3 „Widerstandspunktschweißen von Sthlen bis 3 mm Einzeldicke, Konstruktion und Berechnung“, DVS 2906 T 1 „Widerstands-Rollennahtschweißen – Verfahren und Grundlagen“, DVS 2916 „Prfen von Punktschweißverbindungen“ und DIN 18801 „Stahlhochbau“ zu entnehmen. 1.1.6 Thermisches Abtragen Removal by thermal operations Fertigen durch Entfernen von Werkstoffschichten oder Abtrennen von Werkstckteilen (DVS-Berichte Bd. 74. Dsseldorf: DVS-Verlag 1982). Verfahren der Autogentechnik Die zum Abtragen erforderliche Wrme entsteht aus Oxidation, der Werkstoffabtrag erfolgt im Sauerstoffstrahl. Brennschneiden. Das durch eine Brenngas-Sauerstoff-Flamme rtlich auf Zndtemperatur erwrmte Werkstck verbrennt im Schneidsauerstoffstrahl, die Schneidschlacke (Oxide und Schmelze) wird vom O2 -Strahl aus der Fuge getrieben. Schneidbedingungen: Das Metall muß im O2 -Strom verbrennen, die Entzndungstemperatur muß unter der Schmelztemperatur liegen, die Oxidschmelztemperatur unter der
Bild 27. Strukturspannungs-Whlerkurven fr Stahl (FAT-Klassen 112, 100, 90) und Aluminium (FAT-Klassen 45, 40, 36), Normalspannungen.
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Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
Schmelztemperatur des Werkstoffs. Die Bedingungen werden erfllt bei un- und niedriglegierten Sthlen, Titan und Molybdn, nicht erfllt bei Aluminium, Kupfer, Grauguß und i. allg. bei hochlegierten Sthlen. Vorwrmung ist bei Kohlenstoffgehalten > 0;3% erforderlich wegen Aufhrtung. Formteilgenauigkeit (A, B) und Schnittflchengte (I, II) sind nach DIN 2310 abhngig von Brennschneidmaschine, Fhrungseinrichtung, Schneidgeschwindigkeit und -bedingungen (Senkrecht-, Schrg-, Gerad-, Kurven-, Hand-, Maschinenschnitt mit Ein- oder Mehrfachbrenneranordnung). Maschinenformschnitte erfolgen nach Blechschablone mit Magnetrollenfhrung, photoelektrischer Abtastung von Vorlagen im Maßstab 1 : 1 oder kleiner sowie auf NC-Maschinen.
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Metallpulverbrennschneiden. Zufuhr von Metallpulver zur Reaktionsstelle, das zustzlich Wrme und dnnflssige Schlacke erzeugt. Geeignet zum Trennen von nichtrostendem Stahl, plattierten Werkstoffen, Gußeisen und Aluminium (nur noch selten angewendet). Metallpulverschmelzschneiden. Metallpulver verbrennt im Schneidsauerstoffstrom zu Metalloxid und verwandelt nicht brennbare, i. allg. mineralische Schmelze zu Schlacke (Lava). Geeignet zum Trennen aller metallischen, nichtmetallischen und mineralischen Werkstoffe (kaum angewendet). Mineralpulverschneiden (Brenn- und Schmelzschneiden). Dem Schneidsauerstoff zugesetzter Quarzsand untersttzt durch seine kinetische Energie das Austreiben der Schmelzschlacke (kaum angewendet). Brennfugen. (Fugenhobeln). Muldenfrmiges Abtragen von Werkstckflchen durch besonders geformte Dse, aus der zustzlich Sauerstoff zum „Hobeln“ austritt. Breite und Tiefe der Mulde werden durch Grße und Neigung der Hobeldse beeinflußt. Hauptanwendungsgebiet ist das teilweise Ausarbeiten von Schweißnhten vor dem Gegenschweißen oder bei Reparaturen an brennschneidbaren Werkstoffen. Brennflmmen. Es dient mit schichtfrmigem Werkstoffabtrag zum Subern von Stahlblcken, Knppeln und Rohrluppen vor der Weiterverarbeitung. Handflmmen eignet sich zur Beseitigung rtlicher Fehler, Maschinenflmmen zur großflchigen Bearbeitung. Brennbohren. Mit Sauerstoff- (SL), Sauerstoff-Pulver- (SPL) oder Sauerstoff-Kernlanze (SKL) ist es ein thermisches Lochstechen, das bevorzugt an mineralischen Stoffen (Beton, Stahlbeton) angewendet wird. Die SL arbeitet nur mit einem Rohr und ist weitgehend durch die SPL, die mit einem Rohr und zustzlichem Eisen- oder Eisen-Aluminiumpulver arbeitet, ersetzt. Bei der SKL wird ein Rohr, das mit Drhten gefllt ist, verwendet. Das auf Weißglut erhitzte Rohrende wird in allen drei Fllen auf das Werkstck aufgesetzt und verbrennt unter Sauerstoffzugabe. Metallische Werkstoffe verbrennen, mineralische schmelzen und bilden mit Metalloxid dnnflssige Schlacke. Das Brennbohren ist bei allen Metallen, Nichtmetallen und mineralischen Werkstoffen anwendbar. Flammstrahlen. Es wird zum Abtragen (Verbrennen oder Umwandeln) von Schichten und Belgen, zur Reinigung oder Vorbehandlung metallischer oder mineralischer Werkstcke herangezogen. Elektrische Gasentladung Lichtbogen-Sauerstoffschneiden. Der Lichtbogen brennt zwischen einer umhllten Hohlelektrode und dem Werkstck. Sauerstoff wird der Schnittfuge durch die Bohrung der Elektrode zugefhrt. Das Verfahren wird vorzugsweise beim Verschrotten von Stahlkonstruktionen eingesetzt. Lichtbogen-Druckluft-Fugen. Es dient zum Ausarbeiten von Schweißnhten und Rissen an metallischen Werkstoffen. rtliches Schmelzen des Grundwerkstoffs wird durch einen
Lichtbogen zwischen verkupferter Kohleelektrode und Werkstck erreicht. Parallel zur Elektrode zugefhrte Preßluft dient zur teilweisen Verbrennung des aufgeschmolzenen Werkstoffs und treibt Schmelze und Schlacke aus der entstehenden Fuge. Plasma-Schmelzschneiden. Ein eingeschnrter Lichtbogen fhrt zur Dissoziation mehratomiger und zur Ionisation einatomiger Gase. Im Plasmastrahl hoher Temperatur und großer kinetischer Energie schmilzt der Werkstoff und verdampft teilweise. Durch die Werkstck- oder Brennerbewegung entsteht eine Schnittfuge. Plasmagase sind Argon, Wasserstoff oder deren Gemische, als Schneidgase kommen je nach Werkstoff Argon, Stickstoff, Wasserstoff oder deren Gemische, bei un- und niedriglegierten Sthlen auch Druckluft in Frage. Elektrisch leitende Werkstoffe werden mit bertragenem, nichtleitende mit nicht bertragenem Lichtbogen geschnitten. Hohe Schneidgeschwindigkeiten sind bei guter Schnittgte erreichbar. Anwendbar ist das Verfahren fr alle Sthle und NE-Metalle. Abtragen durch Strahl Verwendet wird ein energiereicher Strahl (Laser, Elektronen). Hohe Energiedichte des Nd:YAG-Festkrper- oder CO2 -Gaslaserstrahls fhrt zum Schmelzen, zum Verdampfen oder Sublimieren (unmittelbarer bergang vom festen in den gasfrmigen Zustand) des Werkstoffs. Der Schneidvorgang wird bei leicht entzndlichen Werkstoffen durch inertes Gas und bei Metallen, insbesondere bei Stahl, durch Sauerstoff untersttzt: Laserbrennschneiden. Schmelzen des Werkstoffs und Verwendung inerten Gases: Laserschmelzschneiden. berfhrung des Werkstoffs unmittelbar in den gasfrmigen Zustand: Laser-Sublimierschneiden. Vorteile des Laserschneidens sind geringe Wrmeeinwirkung, schmale Schnittfuge, geringer Verzug und hohe Schneidgeschwindigkeit. Schneidbar sind neben Metallen auch organische Stoffe und Kunststoffe, Holz, Leder, Gummi, Papier, Keramik, Quarzglas, Porzellan, Glimmer, Steine und Graphit. Der Elektronenstrahl mit erhhter Leistungsdichte im Brennfleck (bis 108 W/cm2, beim Schweißen 106 W/cm2) fhrt zu einer großen Verdampfungsrate des Werkstoffs. Gengt ein Elektronenstrahlimpuls zum Durchstoßen des Werkstcks, spricht man von Perforieren. Als Bohren bezeichnet man das Mehrimpulsschneiden mit dem Elektronenstrahl. Durch Perforationen lassen sich Bohrungen mit einem Durchmesser von 0,1 bis 1,2 mm und maximal 8 mm Tiefe herstellen. Bohrungen mit einem maximalen Durchmesser/Tiefe-Verhltnis von 1 : 30 knnen in bis zu 20 mm dicken Werkstcken erzeugt werden. 10 Bohrungen mit 0,5 mm Durchmesser und 8 mm Tiefe bzw. 700 Bohrungen mit 0,2 mm Durchmesser und 0,5 mm Tiefe lassen sich in einer Sekunde herstellen. Anwendbar ist das Verfahren bei Metallen und einigen Nichtmetallen.
1.2 Lten. Soldering and brazing H. Wohlfahrt, K. Thomas und M. Kaßner, Braunschweig 1.2.1 Vorgang. Procedure Unter Lten versteht man das Verbinden erwrmter, im festen Zustand verbleibender Metalle durch schmelzende metallische Zusatzwerkstoffe (Lote). Die Werkstcke mssen an der Ltstelle mindestens die Arbeitstemperatur erreicht haben. Sie ist immer hher als der untere Schmelzpunkt (Soliduspunkt) des Lots und kann unterhalb des oberen Schmelzpunkts (Liquiduspunkt) liegen. Eine Bindung zwischen Werkstck und Lotmetall tritt auch auf, wenn das Werkstck zwar die Arbeitstemperatur nicht ganz erreicht, dafr aber das Lotmetall eine wesentlich hhere Temperatur hat. Diese
I1.2 Lten Werkstcktemperatur wird hufig mit Bindetemperatur oder Benetzungstemperatur bezeichnet. Sie ist stets niedriger als die Arbeitstemperatur und hat nur beim Fugenlten (Schweißlten) technische Bedeutung. Damit flssige Lote benetzen und fließen knnen, mssen die Werkstckoberflchen metallisch rein sein. Dicke Oxidschichten werden mechanisch entfernt und dnne Oxidschichten, die zum Teil noch whrend der Erwrmung auf Lttemperatur entstehen, durch Flußmittel gelst oder durch Flußmittel bzw. Gase reduziert. Die Bindung ist abhngig von den Reaktionen zwischen Lot und Grundwerkstoff und von der Verarbeitungstemperatur. Neben der reinen Oberflchenbindung im Fall fehlender Legierungsbildung zwischen Grundwerkstoff und Lot tritt in den meisten Fllen Diffusion einer oder mehrerer Komponenten des Lots in den Grundwerkstoff und umgekehrt ein. Beim Hartlten von weichem Stahl diffundiert hufig Kupfer entlang den Korngrenzen und fhrt dadurch zur Ltbrchigkeit. Die Festigkeit der Ltverbindung ist von der Spaltbreite abhngig. Unterhalb einer kleinsten Spaltbreite (etwa 0,02 mm) fllt die Festigkeit wegen zunehmender Bindefehler stark ab. Umgekehrt bringt auch zunehmende Spaltbreite eine Abnahme der Festigkeit mit sich. Der obere Grenzwert der Spaltbreite von etwa 0,5 mm sollte daher nicht berschritten werden. Als besonders gnstig haben sich Spalte von 0,05 bis 0,2 mm erwiesen. Bearbeitungsriefen vom Drehen oder Hobeln sollen, wenn ihre Tiefe 0,02 mm bersteigt, mglichst in Flußrichtung des Lots liegen.
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G Bild 28. Zeitstandscherfestigkeit von Ltverbindungen an E-Cu mit verschiedenen Sonderweichloten im Vergleich zu S-Pb50Sn50Sb [114]. 1 S-Pb97Ag3; 2 etwa S-Sn62Pb36Ag2; 3 S-Sn96Ag4; 4 SSn95Sb5; 5 etwa S-Sn50Pb32Cd18; 6 Cd 95%, Ag 5% (nicht genormt); 7 S-Cd82Zn16Ag2; 8 Sn 70%, Cd 52%, Zn 5% (nicht genormt), 9 etwa S-Cd68Zn22Ag10; 10 S-Pb50Sn50Sb
1.2.2 Weichlten. Soldering Weichlten wird bei einer Arbeitstemperatur unterhalb 450 C, vorwiegend bei Stahl, Kupfer und Cu-Legierungen, ausgefhrt. Die Lote sind meistens Legierungen der Metalle Blei, Zinn, Antimon, Cadmium und Zink; fr AluminiumWerkstoffe: Legierungen der Metalle Zink, Zinn und Cadmium, ggf. mit Zustzen von Aluminium; DIN 1707 T 100: Weichlote und DIN EN 29 453: Weichlote. Erwrmung der Ltstelle. Sie wird mit einem warmen Kupferkolben, einem Brenner, im Ofen, durch elektrischen Widerstand oder im Schmelzbad des Lotmetalls erwrmt. Der Beseitigung der Oxidschichten dienen bei Schwermetallen Flußmittel auf der Basis von Zink- u. a. Metallchloriden und/ oder Ammoniumchlorid, ferner organische Suren (Zitronen-, l-, Stearin-, Benzoesure) sowie Amine, Diamine und Harnstoff, Halogenverbindungen, natrliche oder modifizierte natrliche Harze mit Zustzen halogenhaltiger oder -freier Aktivierungszustze. Zu beachten ist, daß Flußmittelreste korrodierend wirken knnen. Auf geeigente Auswahl und Nacharbeit ist zu achten, DIN EN 29 454 T1: Flußmittel zum Weichlten. Festigkeit der Ltverbindung. Sie hngt von der chemischen Zusammensetzung der Lote, vom Grundwerkstoff und der Dauer der Belastung ab, weil die Weichlote bereits bei Raumtemperatur unter Last kriechen, Bild 28 und Bild 29. Der Einfluß der Temperatur auf die Festigkeit ist Bild 30 zu entnehmen.
1.2.3 Hartlten und Schweißlten (Fugenlten) Hard soldering and brazing Die Arbeitstemperaturen liegen ber 450 C, Lotmetalle: Tab. 13. Normen: DIN EN 1044: Hartlten; Ltzustze. DIN EN 1045: Hartlten; Flußmittel zum Hartlten; DIN 65 169: Luft- und Raumfahrt; Hart- und hochtemperaturgeltete Bauteile; Konstruktionsrichtlinien.
Bild 29. Zeitstandscherfestigkeit von Ltverbindungen an Kupfer SDCu und Stahl S235JR bei Raumtemperatur [114]; Lot S-Pb50Sn50, Arbeitstemperatur 290 C, Ltflche 141 mm2 , Auslagerungszeit 1 Tag
Erwrmung der Ltstelle. Erwrmt wird vorwiegend mit der Flamme, im Schutzgasofen oder mittels Stromdurchgang. Als Flußmittel zur Beseitigung von Metalloxiden mit Wirktemperatur zwischen 550 und 800 C eignen sich Borverbindungen und komplexe Fluoride, zwischen 600 und 1000 C Chloride und Fluoride ohne Borverbindungen, zwischen 750 und 1100 C Borverbindungen und ab 1000 C Borverbindungen, Phosphate und Silicate. Festigkeit der Ltverbindung. Sie hngt stark von den Grund- und Lotwerkstoffen ab, sinkt je nach Lot unterschiedlich bei Langzeitbeanspruchung gegenber der Festigkeit des Kurzzeitversuchs und wird zudem maßgeblich von der Spaltbreite, Betriebstemperatur und, sofern schwingende Belastung vorliegt, von der Schwingspielzahl beeinflußt. Als Anhaltswert sei die Dauerumlaufbiegefestigkeit von 180 N=mm2
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Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
G Bild 30. Zeitstandscherfestigkeit von Weichltverbindungen an Stahl S235JR mit S-Pb50Sn50 bei verschiedenen Prftemperaturen [114]
einer aus unlegiertem Baustahl mit dem Lot AG 205 (Ag 25%, Cu 40%, Zn 35%) hergestellten Stumpfltung genannt. Die Zeitstandzugfestigkeit bei verschiedenen Prftemperaturen fr Verbindungen mit dem Lot AG 306 (Ag 30%, Cu 28%, Zn 21%, Cd 21%) enthlt Bild 31. 1.2.4 Hochtemperaturlten. High-temperature brazing Hochtemperaturgeltet wird bei Arbeitstemperaturen ber 900 C im Vakuum oder im Ofen unter Schutzgas, mitunter Tabelle 13. Hartlote (DIN EN 1044, Auswahl)
Bild 31. Zeitstandzugfestigkeit von Hartltverbindungen mit dem Lot AG 306 (Ag 30%, Cu 28%, Zn 21%, Cd 21%) bei verschiedenen Prftemperaturen [114]
mit geringem Wasserstoffzusatz zur Reduktion von Oxiden, um teure Bauteile zu verbinden, die wegen ihrer Werkstoffkombination oder ihrer konstruktiven Ausbildung nicht schweißbar sind. Auch hohe Betriebstemperaturen knnen entscheidend sein. Als Lote dienen Legierungen, in denen Nickel, Kobalt, Gold oder ein anderes Edel- oder Sondermetall (Beryllium, Titan, Zirkonium, Hafnium, Vanadin, Niob, Tantal, Chrom, Molybdn, Wolfram) das maßgebliche Element ist. Geltet werden insbesondere hochwarmfeste Legie-
I1.3 Kleben
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oder schweißen lassen, knnen durch Kleben miteinander gefgt werden. berdies kann das Metallkleben im Großreihenbau fertigungstechnische und wirtschaftliche Vorteile bieten. Nicht nur die Sandwichkonstruktionen werden im Flugzeugbau mit gutem Erfolg geklebt, sondern auch Flgel und andere Bauteile z. B. fr Schubumkehrer großer Maschinen. Im Karosserie-Leichtbau nimmt das Kleben stark zu. Vorteilhaft gegenber der herkmmlichen Bauweise ist der Steifigkeitsgewinn bei gleichzeitiger Gewichtsverminderung. Anwendungen sind z. B. Strukturschume in Hohlkrpern, spritzbare, heißhrtende Versteifungsmaterialien auf Blechen, neue crashfeste Strukturklebstoffe, flchige Innen-Außenblechverklebungen sowie tragende Verbindungen zwischen Glsern und metallischen Strukturbauteilen. Beim Aufbringen und Dosieren der Klebstoffe sowie bei der Prfung der Verbindungen wurden Fortschritte erzielt.
Bild 32. Zeitstandzugfestigkeiten von NiCr20TiAl (Nimonic 80 A) und Hochtemperaturltungen aus diesem Werkstoff mit dem Lot Ni105 (Cr 19%, Si 10%, B bis 0,03%, C bis 0,06%, P bis 0,02%, Rest Ni) bei verschiedenen Prftemperaturen [114]; 1 Grundwerkstoff NiCr20TiAl nach Wrmebehandlung 8 h/1080 C; 2 Ltverbindung, gefertigt 15 min/1190 C, danach 20 h/1100 C+16 h / 710 C
rungen auf Eisen-, Nickel- oder Kobaltbasis sowie Sondermetalle. Auch Verbindungen zwischen Keramik und Hartmetallen sowie zwischen diesen Werkstoffen und metallischen Trgerwerkstoffen lassen sich herstellen. Da die hohe Arbeitstemperatur und die Gaszusammensetzung den Grundwerkstoff beeintrchtigen knnen, z. B. durch Grobkornbildung oder eine ungnstige Ausscheidung, mssen die Verfahrensbedingungen sorgfltig gewhlt werden. Die meisten Sondermetalle reagieren bereits bei mßig erhhten Temperaturen intensiv mit Sauerstoff, Stickstoff, Kohlenstoff und Wasserstoff. Deshalb drfen diese Stoffe nicht im Gas vorkommen und auch nicht aus Ofenbaustoffen entweichen. In den Verbindungen lßt sich die ungnstige Wirkung einiger sprder Zwischenschichten durch Lsungsglhen herabsetzen. Festigkeit der Hochtemperaturltungen. Sie hngt stark von den Grundwerkstoffen, der Bauteilgeometrie, der Oberflchenvorbehandlung, den Prozeßparametern und der sich meist anschließenden Wrmebehandlung ab. In der Regel liegen die Festigkeitswerte ber denen vergleichbarer Hartltungen. Aus Bild 32 sind die Zeitstandfestigkeiten einer Nickelbasislegierung und einer Ltverbindung aus diesem Werkstoff mit dem Lot Ni 105 (Cr 19%, Si 10%, B bis 0,03%, C bis 0,06%, P bis 0,02%, Rest Ni) ersichtlich.
1.3 Kleben. Adhesive bonding H. Wohlfahrt und K. Thomas, Braunschweig 1.3.1 Anwendung und Vorgang. Uses, procedures Anwendung. Das Kleben ermglicht ein Fgen auch nicht schweißbarer Werkstoffe ohne Verwendung von Nieten oder Schrauben. Es wird angewendet beim Verbinden von Metallen mit Nichtmetallen, wie z. B. Holz, Kunststoff, Gummi, Glas, Porzellan, oder in Fllen, in denen die zu fgenden Werkstoffe durch eine Schweißung nachteilige Vernderungen ihrer mechanisch-technologischen Eigenschaften erfahren (z. B. ausgehrtetes Duralumin). Vor allem dnne Werkstkke, die sich nur unter großem Aufwand oder gar nicht nieten
Bindung. Sie wird bei Klebstoffen auf Kunstharzbasis vorwiegend auf die Adhsion zwischen Klebstoff und Metall zurckgefhrt. Der mechanischen Haftung infolge mechanischer Verankerung wird weitaus geringere Bedeutung zugemessen. Zur Herstellung einwandfreier Metallklebungen mssen folgende Bedingungen erfllt werden: Gute und gleichmßige Benetzbarkeit der Klebflchen durch den Klebstoff und mglichst geringe innere Spannungen nach dem Abbinden des Klebstoffs, d. h. geringe Neigung zum Schrumpfen beim Abbinden. Eigenspannungen knnen die Bindefestigkeit herabsetzen, besonders wenn eine ungengende Benetzbarkeit vorliegt. Weitere Bedingungen sind das Fehlen von Gasoder Lufteinschlssen in der Klebschicht und klebgerechte Sauberkeit der zu fgenden Teile, d. h. Freiheit von Schmutz, Fett und anderen Verunreinigungen. Oberflchenvorbehandlung der Fgeteile: Entfetten und mechanische Vorbehandlung durch Drehen, Hobeln, Frsen oder durch Strahlen mit fettfreiem feinkrnigen Sand, Korund oder Drahtkorn beim Verkleben von Eisen, Stahl und NE-Metallen. Chemische Verfahren wie Beizen mit nichtoxidierender Sure, tzen mit oxidierender Sure oder elektrochemische Behandlung ergeben bei Aluminium und Al-Legierungen, Magnesium und Mg-Legierungen, Kupfer und Cu-Legierungen hhere Bindefestigkeiten als die mechanischen Verfahren. Fr die Vorbereitung eignet sich auch eine Laser-Behandlung. Die zu verklebenden Flchen werden entfettet, mit einem Primer besprht und nach dem Ablften mit Laserlicht beaufschlagt. Sprhdse und Laseroptik lassen sich von einem Roboter handhaben.
1.3.2 Klebstoffe. Adhesive materials Fr Metallklebungen werden nichthrtende Klebstoffe, durch physikalische Vorgnge hrtende und durch chemische Reaktionen warm oder kalt hrtende Klebstoffe verwendet. Haftklebstoffe bestehen aus hochviskosen Polymeren. Sie verlieren die Eigenschaften einer Flssigkeit nicht vllig und passen sich deshalb an die Konturen der Fgeteiloberflchen vollstndig an, so daß Adhsion eintritt. Zu den physikalisch hrtenden Klebstoffen gehren die als Kontaktklebstoffe bezeichneten lsungsmittelhaltigen Systeme, die nach dem Auftrag auf die Fgeflchen erstarren, wobei Lsungsmittel austritt. Danach werden die beschichteten Fgeflchen zusammengepreßt. Durch Diffusion der Klebstoffmolekle beider Schichten verbinden sich diese. In hnlicher Weise kommt die Bindung zwischen den aufgetragenen Schichten bei den Wasser und etwas Lsungsmittel enthaltenden Dispersionsklebstoffen zustande, die auch physikalisch hrtende Klebstoffe sind. Zu dieser Gruppe gehren außerdem Plastisole. Sie bestehen aus einem in Lsungsmittel dispergierten Polymer, bevorzugt Polyvinylchlorid, das beim Verarbeiten das Lsungsmittel als Weichmacher aufnimmt. Eine Mischung mit Epoxydharzen ist mglich und ergibt Klebungen mit besserer Wrmebestndigkeit.
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Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
Tabelle 14. Basis-Kunststoffe fr das Kleben von Stahl (Stahl-Informations-Zentrum, Merkblatt 382)
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Die chemisch hrtenden Klebstoffe werden als niedrigmolekulare Substanzen geliefert. Bei der Verarbeitung entstehen durch Polykondensation, Polyaddition oder Polymerisation Stoffe, in denen Makromolekle mit großen Molekulargewichten vorliegen, wobei in einigen Klebstoffen die Molekle noch vernetzt werden. Chemisch hrtend sind zum Beispiel Epoxidharze, Penolharze, Polyurthane, Silikonharze, Cyanacrylate und Diacylsure-Ester. Die Substanzen von Zweikomponentenklebstoffen mssen vor dem Verarbeiten in einem bestimmten Mengenverhltnis gemischt werden, damit die chemische Reaktion wie vorgesehen abluft. In Einkomponentenklebstoffen, die hufig aus mehreren, allerdings fertig gemischten Substanzen bestehen, beginnt die chemische Reaktion erst, wenn Wrme zugefhrt oder eine andere Bedingung erfllt wird. Polykondensationsklebstoffe werden kalt aufgebracht. Nach dem Zusammenfgen der Teile werden sie zum Abbinden einer meist kurzen Wrmeeinwirkung unter Druck ausgesetzt, whrend der die chemische Reaktion der Kondensation abluft. Hrtungstemperatur und Druck sind aus Versuchen zu ermitteln, soweit keine Herstellerangaben vorliegen. Durch Zugabe von Hrtern kann die Kondensation auch ohne Wrmezufuhr bewirkt werden. Polymerisationsklebstoffe sind lsungsmittelfreie reaktionsfhige Systeme – Wrmezufuhr und Druckanwendung wirken beschleunigend und verbessern die Festigkeit.
Polyadditionsklebstoffe hrten ohne Freiwerden von Spaltprodukten durch eine Additionsreaktion aus. Sie sind ohne Druck kalt und warm aushrtbar. Zur Auswahl einiger Klebstoffe mit Verarbeitungsbedingungen siehe Tab. 14, Habenicht, G.: Kleben, 4. Aufl. (Literatur zu G 1.3) sowie Ruge, J.: Handbuch der Schweißtechnik, Bd. II, 3. Aufl. (Literatur zu G 1.1.1).
1.3.3 Tragfhigkeit. Strength of bonded joints Die Tragfhigkeit von Klebverbindungen wird beeinflußt durch die mechanisch-technologischen Eigenschaften der zu verklebenden Werkstoffe und des Klebstoffs, die Herstellungsbedingungen, die konstruktive Gestalt und die Beanspruchungsart. Besonders gut eignen sich fr Klebverbindungen die Leichtmetalle auf Aluminium- und Magnesiumbasis und Stahl, weniger gut die Buntmetalle. Die Scherzugfestigkeit, d. h. das Verhltnis der Bruchlast zur Klebflche einer einschnittigen Klebverbindung, nimmt mit wachsender Streckgrenze bzw. Dehngrenze des Metalls zu und mit steigender Klebfilmdicke ab, Bild 33. Die Festigkeit des Klebstoffs ist von seinem Aufbau und seinen Verarbeitungsbedingungen abhngig, Tab. 14. Die konstruktive Gestalt der Verbindung beeinflußt die Festigkeit erheblich. Die einschnittige Verbindung (Bild 34) ergibt durch die zustzliche Biegung und die damit verbundene
Bild 33 a, b. Scherzugfestigkeit von Klebverbindungen. a in Abhngigkeit von der Dehngrenze bei Leichtmetallen; b in Abhngigkeit von der Klebfilmdicke
I1.4 Reibschlußverbindungen
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Bild 34. Nahtformen bei Klebverbindungen (Probestbe)
Neigung zum Abschlen niedrigere Scherzugfestigkeiten als die zweischnittige, whrend die Schftung wegen der gleichmßigen Schubspannungsverteilung in der Klebfuge die hchsten Werte erzielt (Bild 35 a), die jedoch mit wachsender Lnge der berlappung abnehmen. Dagegen nimmt die Scherzugfestigkeit der einschnittigen Klebverbindung bei konstanter berlappungslnge l mit wachsender Blechdicke bis zu einem Grenzwert zu, weil die Steifigkeit des Blechs gegen Biegung ebenfalls zunimmt, Bild 35 b. Die Scherzugfestigkeit ist ferner vom berlappungsverhltnis =berlappungslnge l /Blechdicke s abhngig. Die Erhhung von ber einen optimalen Wert hinaus bringt keine Vorteile mehr, was auf die an den Enden der berdeckung auftretenden Spannungsspitzen zurckzufhren ist. Fr die Bemessung gilt ¼ l =s < 30: Richtwert: =20.
Die Scherzugfestigkeit sinkt bei einer Reihe von Klebstoffen nach 10 Wochen Lagerzeit auf etwa 70%, sie ist von der Temperatur erst ab etwa 80 C abhngig, darber fllt sie stark ab. Klebverbindungen sind auch dynamisch beanspruchbar. Eine ausgesprochene Dauerfestigkeit wie bei Metallen gibt es bis zu 108 Schwingspielen nicht, Bild 36. Die Belastbarkeit hngt bei schwingender Beanspruchung außerdem von der Belastungsfrequenz ab.
1.4 Reibschlußverbindungen Connections with force transmission by friction H. Mertens, Berlin 1.4.1 Formen, Anwendungen. Types, applications Reibschlußverbindungen [1–39] mit zylindrischen oder kegeligen Wirkflchen werden in erster Linie als Welle-NabeVerbindungen zur Drehmomentbertragung zwischen Welle und Nabe mit und ohne Zwischenelemente (Bild 37) oder zum Einleiten von Axialkrften in Achsen oder Stangenkpfen (z. B. Bild 38) verwendet. Neben der Kraftbertragung – sicher bei Betrieb, durchrutschend bei berlastung mit
Bild 36. Scherzugschwellfestigkeit von Klebverbindungen
Grundlagen nach B 1.11 – spielen bei der Auswahl dieser Verbindungen die Selbstzentrierung, die Einstell- bzw. Nachstellbarkeit in Umfangsrichtung, der Fertigungs- und Montageaufwand, die notwendigen Fertigungstoleranzen, die Lsbzw. Wiederverwendbarkeit eine Rolle. Schwer lsbar sind zylindrische Preßverbnde nach Bild 37 d, leichter lsbar Preßverbnde mit kegeligen Wirkflchen nach Bild 37 e sowie leichter fg- und lsbar die Verbindungen mit Zwischenelementen. Nicht selbstzentrierend sind die Klemmverbindung nach Bild 37 b, die Verbindung mit Flach- oder Hohlkeil nach Bild 37 c, der Ringfederspannsatz nach Bild 37 i, die Verbindung mit Sternscheiben nach Bild 37 j und mit Wellenspannhlse nach Bild 37 m. Preßverbnde (Lngs-, Quer-, Kegel-Preßverbnde) erfordern eine hohe Fertigungsgenauigkeit, etwas geringere die hydraulische Hohlmantelspannhlse [38]. Auswahl von Welle-Nabe-Verbindungen mit Konstruktionskatalogen s. [10], Hersteller [39]. Reibschlußverbindungen mit ebenen Wirkflchen werden heute hufig anstelle von Nietverbindungen zur Kraftbertragung zwischen Blechen im Stahl- und Kranbau als gleitfeste Verbindung mit hochfesten Schrauben (GV-Verbindungen) [4] verwendet. Reibschlssig erfolgt auch die bertragung von hufig auftretenden Betriebslasten in drehstarren, nichtschaltbaren Wellenflanschkupplungen [22]. 1.4.2 Preßverbnde. Interference fits Entwurfsberechnung. Sie erfolgt nach DIN 7190 fr zylindrische Preßverbnde fr das hchste sicher zu bertragende Drehmoment Mt oder die hchste sicher zu bertragende Axialkraft Fax zunchst ohne Bercksichtigung von Fliehkrften fr zwei konzentrische Ringe mit gleicher axialer Lnge lF ; nherungsweise kann diese Berechnung auch fr Klemmverbindungen nach Bild 38 angewendet werden. Durch die Berechnung soll sichergestellt werden, daß der w j zwischen Wellendurch das kleinste wirksame bermaß jP durchmesser und Nabenbohrung erzeugte niedrigste Fugen-
Bild 35 a, b. Scherzugfestigkeit von Klebverbindungen in Abhngigkeit a von der berlappungslnge; b von der Blechdicke und berlappungslnge
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Bild 37 a–m. Reibschlußverbindungen nach [53]. a Klemmverbindung mit geschlitzter Nabe; b mit geteilter Nabe; c mit Hohlkeil; d Zylindrischer Preßverband; e lpreßverband; f Preßverband mit kegeliger Spannbchse; g Kegelpreßverband; h Spannverbindung mit Kegelspannringen (nach Ringfeder); i Spannsatz (nach Ringfeder); j Sternscheiben (nach Ringspann); k Wellenspannhlse (nach Spieth); l Schrumpfscheiben-Verbindung (nach Stwe); m Wellenspannhlse (nach Deutsche Star)
druck p die erforderliche Haftkraft (Reibkraft) aufbringt und ^ w j bewirkte Fugendruck ^p der durch das grßte bermaß jP nicht zu einer berschreitung der zulssigen Bauteilbeanspruchungen bzw. -dehnungen fhrt; fr Fugendruck gilt damit p % p % ^ p. Zum bertragen von Mt mindest erforderlicher Fugendruck pmin ¼ 2Mt Sr =ðpD2F lF mru Þ, pmin % p, bei Axialbeanspruchung pmin ¼ Fax Sr =ðpDF lF mrl Þ, mit Soll-Sicherheit Sr gegen Rutschen, Haftbeiwert mru bzw. mrl bei Rutschen in Umfangsbzw. Lngsrichtung Tab. 15, Fugendurchmesser DF nach dem Fgen (Rechnung mit Nennmaß), Fugenlnge lF : Fr rein elastisch beanspruchte Preßverbnde ohne Bercksichtigung von Kantenpressungen betrgt allgemein das bezogene wirksame bermaß xw ¼ jPw j=DF und gleichzeitig xw ¼ K p=EA mit der Hilfsgrße (Index A bzw. I fr Außenbzw. Innenteil): EA 1 þ Q2I 1 þ Q2A K¼ nI þ þ nA : 2 E I 1 QI 1 Q2A Elastizittsmoduln EA und EI , Durchmesserverhltnisse QA ¼ DF =DaA und QI ¼ DiI =DF , Querdehnzahlen nA und nI (n 0;3 fr St; n 0;25 fr GG 20 bis GG 25).
Bild 38. (z=4)
Axial-(lngs-)belastete
zylindrische
Klemmverbindung
Das wirksame bermaß jPw j ist infolge Glttung von Rauheitsspitzen beim Fgen kleiner als die vor dem Fgen meßbare Istpassung jPi j, die aufgrund der Zeichnungsabmaße von Wellendurchmesser und Nabenbohrung zwischen den Gren j und jP ^ j liegt; jP j % jPi j % jP ^ j: Sofern keine experimenzen jP tellen Werte vorliegen, gilt fr Lngs- und Querpreßverbnde jPw j ¼ jPi j 0;8ðRzA þ RzI Þ mit den gemittelten Rauhtiefen der Fgeflchen RzA bzw. RzI . Sind die Mittenrauhwerte Ra vorgegeben, so knnen hierfr die nach Beiblatt 1 zu
Tabelle 15. Haftbeiwerte bei Querpreßverbnden in Lngs- und Umfangsrichtung beim Rutschen (nach DIN 7190) fr Entwurfsberechnung
I1.4 Reibschlußverbindungen DIN 4768 Teil 1 ermittelten Mittelwerte der gemittelten w j=DF ¼ Rauhtiefe Rz eingesetzt werden. Wegen xw ¼ jP w j ¼ jP j 0;8ðRzA þ RzI Þ ist bei gegebener PasKp=EA und jP j das wirksame bermaß jP w j und der Fugendruck p sung jP bestimmt oder bei gegebenem Fugendruck p das wirksame j berechenbar, wenn die w j bzw. die Passung jP bermaß jP Hauptabmessungen von Außen- und Innenring festliegen. ^ w j=DF ¼ K^p=EA , so daß mit gegebener Analog gilt ^xw ¼ jP ^ j der hchste Fugendruck ^p bekannt ist. ErreichbaPassung jP re Rauhtiefen zu Fertigungsverfahren s. DIN 4766 s. F 1.6 Tab. 12. Die hchste Radialspannung sr ¼ ^p tritt an der Fuge des Außen- und Innenteils auf (Bild 39), die hchste Umfangsspannung im Außenring betrgt wieder an der Fuge p=ð1 Q2A Þ, die hchste Tangentialspannung sjA ¼ ð1 þ Q2A Þ^ am Innenring betrgt sjI ¼ 2^p=ð1 Q2I Þ fr QI > 0 und liegt am Innenrand bzw. sjI ¼ ^p berall fr eine Vollwelle mit QI ¼ 0: Nach der Schubspannungshypothese (SH) ergeben sich damit die hchsten Vergleichsspannungen im Außenring zu sv ¼ 2^ p=ð1 Q2A Þ; im Innenring mit QI > 0 zu sv ¼ 2^ p=ð1 Q2I Þ bzw. der Vollwelle zu sv ¼ ^p. Diese Vergleichsspannungen werden nach DIN 7190 mit den Festigpffiffiffi pffiffiffi keitskennwerten (2ReLA = 3Þ bzw. ð2ReLI = 3Þ (modifizierte SH) verglichen, die mit den unteren Streckgrenzen ReL von Außenteil und Innenteil festliegen; z. B. 2^p=ð1 Q2A Þ% pffiffiffi pffiffiffi 2ReLA =ð 3 SPA Þ; ^ p % ð1 Q2A ÞReLA =ð 3 SPA Þ mit der SollSicherheit SP gegen plastische Dehnung. Analoge Bewertung fr Innenring oder Vollwelle. Flußplan fr elastische Auslegung [10]. Fr duktile Werkstoffe mit einer Bruchdehnung A ^ 10% und einer Brucheinschnrung ^30% wird in DIN 7190 fr Vollwellen und EA ¼ EI ¼ E sowie nA ¼ nI ¼ n ein einfaches Berechnungsverfahren fr elastisch-plastisch beanspruchte Preßverbnde beschrieben. Dabei bildet sich im Außenteil eine innenliegende plastische Zone aus, die von einer außenliegenden elastischen Restzone durch eine Zylinderflche mit dem Plastizittsdurchmesser DPA getrennt wird (Bild 39). Der bezogene Plastizittsdurchmesser z ¼ DPA =DF wird durch Lsen der transzendenten Gleichung 2 ln z ðQA zÞ2 pffiffiffi þ1 3 p=ReLA ¼ 0 bestimmt, wobei 1 % z % 1=QA gelten muß. Das fr den Fugendruck p erforderliche bezogene wirksame bermaß xw ¼ jPw j=DF ergibt sich zu xw ¼ pffiffiffi 2z2 ReLA =ð 3 EÞ. Schließlich ist noch der Anteil der plastisch beanspruchten Ringflche qPA am gesamten Querschnitt qA des Außenteils zu berprfen, mit qPA =qA ¼ ðz2 1ÞQ2A =ð1 Q2A Þ % 0;3 fr hochbeanspruchte Preßverbnde im Maschinenbau. Kontrolle, ob Vollwelle rein elastisch unter Druck p bleibt, erfolgt wie bei elastisch beanspruchten Preßverbnden. Kontrolle gegen vollplastische Bepffiffiffi anspruchung des Außenteils mit p % 2ReLA =ð 3 SPA Þ fr pffiffiffi QA < 1=e ¼ 0;368 bzw. p % 2ReLA ðln QA Þ=ð 3 SPA Þ fr
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QA > 0;368 mit Soll-Sicherheit SPA gegen vollplastische Beanspruchung. Flußdiagramme s. DIN 7190. Die Abschtzung der Dauerfestigkeit von Welle-Nabe-Verbindungen erfolgt zweckmßig ber die Berechnung der Nennspannungsamplituden und der zugehrigen Mittelspannungen aus Biegung und Torsion in der Welle unter Bercksichtigung von Versuchsergebnissen an hnlichen Welle-Nabe-Verbindungen. Im DDR-Standard TGL 19 340 war hierfr ein Rechengang angegeben, der leicht modifiziert in [10] dargestellt ist. Zur Dokumentation der Versuchsergebnisse werden Kerbwirkungszahlen fr Biegung bkb und Torsion bkt eingefhrt (s. a. C 10). Einen ersten berblick gibt Tab. 16. Weitere Hinweise s. DIN 743–2 mit Kerbwirkungszahlen zu Achsen und Wellen. hnliche Kerbwirkungszahlen mssen auch fr vergleichbare Kegelpreßverbnde und kommerziell erhltliche reibschlssige Welle-Nabe-Verbindungen mit Zwischenelementen [23– 39] (Bild 37 h bis m) angenommen werden. Zusammenstellung von Kerbwirkungszahlen [10, 12]. Grobgestaltung. In der Regel lF =DF % 1;5, wenn Auslegung auf statische Drehmomentbeanspruchung, da grßere Lngen kaum hhere Rutschmomente ergeben. Bei wechselnden oder umlaufenden Biegemomenten lF =DF ^ 0;5 sowie mglichst volle Innenteile, um axiales Auswandern der Welle aus der Nabe durch Mikrogleiten zu vermeiden. Um große Drehmomente bertragen zu knnen, soll mglichst eine volle Welle mit einer nicht zu dnnwandigen Nabe ðQA % 0;5Þ gepaart werden. Der grßtmgliche Gewinn an Fugendruck p gegenber der rein elastischen Auslegung ergibt sich im Bereich 0;3 % QA % 0;4. Optimal gestaltete Preßverbnde fr wechselnde oder umlaufende Biegemomente erzielt man durch Tabelle 16. Kerbwirkungszahlen fr Preßverbnde (nach TGL 19340) mit Fugendurchmesser DF ¼ 40 mm [10], modifiziert
Bild 39 a, b. Spannungsverteilung in elastischen Preßverbnden mit Hohlwelle. a vor dem Fgen; b nach dem Fgen. sj Umfangs-, sr Radialspannungen, p Fugendruck; Nabe nach Fgen elastisch oder teilplastisch
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Verstrkung des Wellendurchmessers DW auf Fugendurchmesser DF nach DF =DW 1;1 bis 1,15 mit bergangsradien r nach r=DF 0;22 bis 0,18, wobei fr hochfeste Wellenwerkstoffe der jeweils rechte Grenzwert zu whlen ist [11]. Sofern kein Wellenabsatz vorgesehen werden kann, knnen sinngemß kreisfrmige Welleneinstiche mit etwas berstehender Nabe eingesetzt werden. Keinesfalls sollen jedoch Nuten oder Einstiche innerhalb des Preßverbands, z. B. fr Paßfedern, vorgesehen werden. Falls Welle und Nabe aus Werkstoffen mit ungleichen elastischen Konstanten gefertigt werden, so soll die Welle den grßeren Elastizittsmodul aufweisen ðEI > EA Þ.
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Hinweis: Hydraulisch gefgte Verbnde drfen erst nach erfolgtem lfilmabbau (10 min bis 2 h) beansprucht werden. Fgetemperaturen fr Naben aus Baustahl niedriger Festigkeit, Stahlguß oder Gußeisen mit Kugelgraphit maximal 350 C, fr Naben aus hochvergtetem Baustahl oder einsatzgehrtetem Stahl maximal 200 C (DIN 7190). Grobgestaltung von Kegelpreßverbnden. Bauart nach Bild 37 g. Die Kegelneigung (durchmesserbezogen nach DIN 254) ist auf jeden Fall [21] selbsthemmend zu whlen, bei Stahl/Stahl-Paarung also kleiner oder gleich 1 : 5. Da das Außenteil bei Erstbelastung durch Drehmoment eine schraubenfrmige Aufschubbewegung ausfhrt, wird die wirksame Reibungszahl in axialer Richtung praktisch aufgehoben. Deshalb sind Kegelpreßverbnde, die grßere Drehmomente bertragen mssen, axial zu verspannen, da sich sonst bei berschreiten des maximal zulssigen Drehmomentes auch ein „selbsthemmender“ Preßverband augenblicklich lst. Paß- oder Scheibenfedern, die zur Lagesicherung in Umfangsrichtung in Kegelpreßsitzen eingesetzt werden, z. B. DIN 1448, DIN 1449, verhindern die schraubenfrmige Aufschubbewegung, womit der Fugendruck nicht voll zur Drehmomentbertragung genutzt werden kann: In hochbelasteten Kegelpreßverbnden sollen damit keine Paß- oder Scheibenfedern vorgesehen werden. Zur Vermeidung der Aufschubbewegung und vernderlicher Umfangslage im Betrieb sind Montagevorgnge, die Drehmomentbelastung und Anziehen kombinieren, vorgeschlagen worden [21]. berschlgige Berechnung als zylindrischer Preßverband mit mittlerem Fugendurchmesser DFm und axialer Fugenlnge lF . Der zum bertragen von Mt mindest erforderliche Fugendruck pmin ¼ 2Mt Sr =½pD2Fm ðlF = cos bÞ mru mit der Soll-Sicherheit Sr gegen Rutschen und dem Kegelwinkel a=2b. Die dafr notwendige Einpreßkraft Fe ^ pmin DFm plF ðtan b þ mrl Þ; die Lsekraft vor Belastung durch Drehmoment Mt folgt mit negativem mrl . Der erforderliche Aufschubweg wird durch das w j und das grßte zulssige kleinste erforderliche bermaß jP ^ w j unter Bercksichtigung des Kegelwinkels bermaß jP a=2b bestimmt. Berechnungen unter Bercksichtigung der Winkelabweichung zwischen Innen- und Außenteil s. [10, 21]. Feingestaltung. Preßverbnde werden im Betrieb hufig durch wechselnde bzw. schwellende Torsion und/oder umlaufende Biegung beansprucht. Die schwingenden Momente knnen in der Fuge Gleitbewegungen (Schlupf) mit wechselnden Richtungen hervorrufen. Mit zunehmendem Schlupf wird die Dauerhaltbarkeit von reibschlssig gepaarten Bauteilen zum Teil stark vermindert [14]. Entsprechend dem Prinzip der abgestimmten Verformung knnen z. B. bei Torsionsbelastung nach F 1.4 Bild 18 die Relativverschiebungen zwischen Nabe und Welle durch eine geeignete Kraftfhrung und Nabengestaltung vermindert werden. Genaue Ermittlung der Fugenpressung und der Relativverschiebung ist mit Finite Elemente Rechnungen nach [11] mglich. Preßverbnde mit geringer Kerbwirkung und großer Tragfhigkeit entstehen, wenn Gestaltung ðDF =DW ^ 1;1Þ, Fertigung (Nabe elastisch-
plastisch) und Wrmebehandlung (induktives Randschichthrten, Einsatzhrten oder Gasnitrieren) zweckmßig gewhlt bzw. aufeinander abgestimmt werden, wie in [10] anhand von statistisch gut abgesicherten Dauerfestigkeitsversuchen gezeigt wird. Die relativ geringe Kerbwirkung bei elastisch-plastisch gefgten biegebelasteten Querpreßverbnden gegenber elastisch gefgten besttigt den in [14, 15] beschriebenen Wirkmechanismus bei Reibdauerbeanspruchung, mit der Konsequenz, daß der Fugendruck zur Vermeidung von Relativverschiebungen mglichst hoch gewhlt werden soll, was bei zustzlich wirkender Torsion Maßnahmen zur Anpassung der Torsionssteifigkeit nach F 1.4 Bild 18 einschrnkt. Die optimale Gestaltung hngt dann vom Verhltnis der zu bertragenden Biegemoment-Amplitude Mba zur Torsionsmoment-Amplitude Mta ab. Zur Beurteilung kann bei Vermeidung von Reibkorrosion (vgl. C 10, Gl. (5)) die Interaktionsformel 2 2 Mba Mta 1 þ % SD ðMba Þertr ðMta Þertr genutzt werden [11], wenn die ertragbaren Biege- und Torsionsmoment-Amplituden ðMba Þertr und ðMta Þertr unter Beachtung der statischen Momentenanteile aus Versuchen bekannt sind; Sicherheit gegen Dauerbruch SD . Wegen des quadratischen Zusammenhangs dominiert in der Praxis hufig ein Belastungsanteil, so daß die konstruktiven Maßnahmen sich dann an der Hauptbelastungskomponente orientieren knnen. Wird ein Preßverband zustzlich durch Fliehkrfte beansprucht, so sind wegen der zustzlichen Aufweitung besonders der Nabe, verfeinerte Berechnungen zur Ermittlung des Fugendrucks eventuell erforderlich. – Vereinfachte Abschtzung nach DIN 7190 oder [20]. 1.4.3 Klemmverbindungen. Clamp joints Leicht lsbare Klemmverbindungen entstehen im einfachsten Fall dadurch, daß eben begrenzte Teile durch Schraubenkrfte aufeinander gepreßt werden. Solche einflchigen, ebenen Klemmverbindungen werden auch zur Feststellung von Gleitfhrungen nach T 1 Bild 51 in vielfltigen Formen herangezogen. Im Stahl- und Kranbau werden Klemmverbindungen als gleitfeste Verbindungen mit hochfesten Schrauben (GV-Verbindungen) eingesetzt. In GV-Verbindungen nach DIN 18 800 sind die Schrauben planmßig nach Norm vorzuspannen. Damit lassen sich in besonders vorbehandelten Berhrungsflchen der zu verbindenden Bauteile Krfte senkrecht zu den Schraubenachsen durch Reibung bertragen. Bei Verwendung mit hochfesten Paßschrauben wird gleichzeitig die Kraftbertragung durch Abscheren und Lochleibungsdruck herangezogen (GVP-Verbindungen), s. G 1.5. Gleitfeste Verbindungen drfen mit einem Lochspiel Dd % 1 oder 2 mm (GV-Verbindungen) und mit einem Lochspiel Dd % 0;3 mm (GVP-Verbindungen) ausgefhrt werden. Fr den Festigkeitsnachweis wird die bertragbare Kraft zul. QGV je Reibflche senkrecht zur Schraubenachse fr Schraubengrßen bis M 36 in U 2 Tab. 20 bereitgestellt. Fr die Berechnung wird eine Reibungszahl m ¼ 0;5 bei einer Sicherheitszahl SG gegen Gleiten von 1,25 (Hauptlasten) mit vorgeschriebener Reibflchenbehandlung (Stahlgußkiesstrahlen oder zweimal Flammstrahlen oder Sandstrahlen oder Aufbringen eines gleitfesten Beschichtungsstoffs) angewendet. Fr die Bauteilquerschnitte mit Lochschwchung darf beim allgemeinen Spannungsnachweis angenommen werden, daß 40% von zul. QGV derjenigen hochfesten Schrauben, die im betrachteten Querschnitt mit Lochabzug liegen, vor Beginn der Lochschwchung durch Reibschluß angeschlossen sind (Kraftvorabzug). Außerdem ist der Vollquerschnitt mit der Gesamtkraft nachzuweisen.
I1.5 Formschlußverbindungen Klemmverbindungen mit zylindrischer Wirkflche nach Bild 38 oder Bild 40 (Bild 37 a) mit geschlitzter Nabe (Hebel) oder Bild 37 b mit geteilter Nabe bertragen Drehmomente Mt oder Axialkrfte Fax hnlich wie Preßverbnde (G 1.4.2), wenn im noch ungeklemmten Zustand eine bergangspassung und keine Spielpassung vorliegt. Bei einer Spielpassung liegt dagegen eine Linienberhrung vor. Bei geteilter Nabe mssen die Schraubenkrfte und die sich einstellenden Kontaktkrfte im Gleichgewicht stehen, bei geschlitzter Nabe (Hebel) mssen dagegen die Schraubenkrfte wegen der statisch unbestimmten Kraftaufteilung auf Kontaktkrfte und Nabenverformung bei gleichen bertragbaren Krften und Momenten grßer gewhlt werden, was innerhalb der Entwurfsberechnung ber erhhte Sicherheitszahlen S gegenber der notwendigen Sicherheitszahl SG ðS > SG Þ bercksichtigt werden kann. Entwurfsberechnung Fr Klemmverbindung nach Bild 38 mit z Schrauben und Vorspannkraft Fs je Schraube und Linienberhrung. bertragbare Lngskraft F ¼ 2mzFs =S. Wenn durch berlagerte Schwingbewegungen oder Stße die Reibungszahl m herabgesetzt werden kann, soll hierfr die Reibungszahl der Bewegung mr gewhlt werden. Anhaltswerte Tab. 15. Darf man annehmen, daß statt der Linienberhrung sich bei spielfreier Passung eine gleichmßig verteilte Flchenpressung p ber den Bohrungsumfang pd und die Klemmlnge l einstellt, dann betrgt die bertragbare Lngskraft F ¼ pmzFs =S: Die Reibungszahl m kann durch geeignete Oberflchenbehandlung, durch Carborundum-Pulver in der Fuge, oder einseitig geklebte oder genietete nichtmetallische Beilagen erhht werden. Fr geschlitzte Hebel nach Bild 40. bertragbares Drehmoment Mt ¼ Fn mDF =S mit den rtlich konzentrierten Klemmkrften Fn an zwei diametralen Stellen der Preßfuge; Reibungszahl m und Sicherheitszahl S s. Klemmverbindung. In erster Nherung gilt Fn ¼ ðl2 =l1 Þ SFS , wenn Hebel ausreichend geschlitzt ist. Der Querschnitt Amin am Hebel ist auf Biegung durch ein Biegemoment Mb SFs ðl2 l1 Þ beansprucht. Diese Biegebeanspruchung und auch die am Schlitzende sowie die in den Klemmschrauben wird herabgesetzt, wenn der Abstand ðl2 l1 Þ mglichst kurz und in der Fuge im noch ungeklemmten Zustand eine bergangspassung und keine Spielpassung vorliegt. Solche Klemmverbindungen werden nur zur bertragung geringer und wenig schwankender Drehmomente verwendet. Sie haben den Vorteil, daß die
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Bild 41. Lngsbelastete Klemmverbindung mit exzentrischem Kraftangriff
Hebel- oder Nabenstellung leicht in Lngs- und Umfangsrichtung verndert werden kann. (Genaue Berechnung: [96, 97].) Fr Klemmverbindung mit exzentrischem Kraftangriff nach Bild 41. Zur Berechnung der Selbsthemmgrenze wird angenommen, daß das Biegemoment (kF) und die Lngskraft F durch rtlich konzentrierte Krfte Fres in den ReibungskegelMantellinien an den Nabengrenzen im Abstand b aufgenommen werden. Bedingung fr sicheres Klemmen unter ruhender Kraft F: k ^ b=ð2mrl Þ, also mit mrl ¼ 0;07 fr St/St k ^ 7;0 b. Klemmen kann allerdings bei mrl ¼ 0;16 und Angriff des resultierenden Normalkrftepaars in der Bohrung im Abstand (2/3) b bereits bei k 2 b eintreten. Zur Berechnung der Flchenpressung wird eine lineare Flchenpressungsverteilung hnlich Bild 43 angenommen. Als Richtwert fr zulssige Flchenpressungen gelten pzul ¼ 50 bis 90 N=mm2 fr Paarung St/St und pzul ¼ 32 bis 50 N=mm2 fr St/GG.
1.5 Formschlußverbindungen Positive connections H. Mertens, Berlin 1.5.1 Formen, Anwendungen. Types, applications Die einfachsten Verbindungselemente im Maschinenbau sind Stifte, Bolzen, Paßfedern, Scheibenfedern, Keile [40–71]. Sie dienen zur Lagesicherung von Bauteilen gegeneinander, zur gelenkigen Verbindung und Lagerung, zur Kraftbertragung. Die Verbindungen entstehen durch das Ineinandergreifen von Teilekonturen der Verbindungselemente. Werden die Verbindungselemente in Bauteile integriert, so entstehen fertigungstechnisch aufwendigere, aber meist genauere und hher belastbare Formschlußverbindungen, wie z. B. Keil- und Zahnwellen-Verbindungen zwischen Welle und Nabe oder Stirnkerbverzahnungen zur Verbindung zwischen Wellen und Naben oder zur Verbindung von Wellen untereinander. Eine Demontage dieser Verbindungen ist meist mit nur kleinem Kraftaufwand mglich, wobei Vorzugsrichtungen bestehen. Nicht vorgespannte Formschlußverbindungen besitzen wegen des ungnstigen Kraftflusses und relativ starker Kerben meist eine sehr niedrige dynamische Tragfhigkeit. Die statische Tragfhigkeit ist dagegen bei geeigneter Werkstoffwahl wesentlich gnstiger einzuschtzen, so daß in der Praxis Kombinationen von Reibschlußverbindungen fr hufig auftretende Betriebslasten und Formschlußverbindungen fr seltene hohe Lasten vorkommen, z. B. starre Wellen-Flanschverbindungen mit Schrauben und Stiften. Als Sonderfall der Formschlußverbindungen knnen Nietverbindungen behandelt werden, deren Demontage z. B. durch Ausbohren der Niete mglich ist. 1.5.2 Stiftverbindungen. Pinned and taper-pinned joints
Bild 40. Momentenbelastete Klemmverbindung mit geschlitztem Hebel
Stifte zur formschlssigen Verbindung von Naben, Hebeln, Stellringen auf Wellen oder Achsen und zur Lagesicherung von Verschraubteilen und als Steckstifte (einseitig eingespannte Biegetrger zur Krafteinleitung in Schraubenfedern, Zugseile u. a.) werden mit Lngs-Preßsitz und bermaß in Bohrungen eingeschlagen [55]. Bohrungen fr Zylinderstifte
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Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen Tabelle 17. Richtwerte fr zulssige Flchenpressungen bei Bolzenund Stiftverbindungen
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Bild 42. Genormte Stifte (Auswahl)
Bild 43. Querkraftbelastete Steckverbindung mit linear angenommener Flchenpressungsverteilung
werden auf Paßmaß aufgerieben; Bohrungen fr Spannstifte (Spannhlsen) werden mit H 12 und fr Kerbstifte i.allg. mit H 11 gefertigt. Kegelstifte in vor der Montage gemeinsam geriebenen Bohrungen geben beste Lagesicherung. Die Toleranzfelder der Zylinderstift-Durchmesser (DIN 7) werden durch
die Formen der Stiftenden unterschieden, Bild 42. Vergleichbare ISO-Normen s. DIN 918 Bl. 2. Firmendruckschriften [66]. Normen: DIN 1: Kegelstifte. – DIN 7: Zylinderstifte. – DIN 258: Kegelstifte, mit Gewindezapfen und konstanten Kegellngen. – DIN 1469: Paßkerbstifte mit Hals. – DIN 1470: Zylinderkerbstifte mit Einfhr-Ende. – DIN 1471: Kegelkerbstifte. – DIN 1472: Paßkerbstifte. – DIN 1473: Zylinderkerbstifte. – DIN 1474: Steckkerbstifte. – DIN 1475: Knebelkerbstifte. – DIN 1476: Halbrundkerbngel. – DIN 1477: Senkkerbngel. – DIN 1481: Spannstifte (Spannhlsen), schwere Ausfhrung. – DIN 6325: Zylinderstifte, gehrtet, Toleranzfeld m6. – DIN 7343: Spiral-Spannstifte, Regelausfhrung. – DIN 7344: Spiral-Spannstifte, schwere Ausfhrung. – DIN 7346: Spannstifte (Spannhlsen), leichte Ausfhrung. – DIN 7977: Kegelstifte, mit Gewindezapfen und konstanten Zapfenlngen. – DIN 7978: Kegelstifte mit Innengewinde. – DIN 7979: Zylinderstifte mit Innengewinde. Steckstifte nach Bild 43 werden im Einspannquerschnitt vorwiegend auf Biegung mit Biegemoment Mb ¼ Fl beansprucht. Bei Annahme einer linearen Flchenpressungsverteilung zwischen Stift und Bohrung (starrer Stift) wird zustzlich zur Flchenpressung durch bermaß ein maximaler Druck pmax ¼ pd þ pb ¼ Fð4 þ 6l=tÞ=ðdtÞ errechnet. Genaueres Berechnungsmodell als gebetteter Balken mit Schubverformung [62]. Analoge berlegungen erlauben die Abschtzung der Flchenpressung pmax zwischen Querstift und Welle in einer Welle-Nabe-Verbindung unter Torsionsmoment Mt nach Bild 49 a zu pmax ¼ 6Mt =ðdD2 Þ. Richtwerte fr zulssige Flchenpressungen von Stiftverbindungen Tab. 17 und Spannungen Tab. 18.
Tabelle 18. Richtwerte fr zulssige Biege- und Schubnennspannungen fr Bolzen und Stiftverbindungen
I1.5 Formschlußverbindungen 1.5.3 Bolzenverbindungen. Clevis joints and pivots Genormte Bolzen nach Bild 44 mit Durchmessern (3, 4, 5, 6), 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 24 . . . 100, dienen vielseitig als Achs- und Gelenkbolzen mit einem Freiheitsgrad, Bild 45. Vergleichbare ISO-Normen s. DIN 918 Bl. 2. Normen: DIN 1443: Bolzen ohne Kopf, Maße nach ISO. – DIN 1444: Bolzen mit Kopf, Maße nach ISO. – DIN 1445: Bolzen mit Kopf und Gewindezapfen. – Nicht mehr fr Neukonstruktionen verwenden: DIN 1433: Bolzen ohne Kopf, Ausfhrung m, DIN 1434: Bolzen mit kleinem Kopf, Ausfhrung m, DIN 1435: Bolzen mit kleinem Kopf, Ausfhrung mg, DIN 1436: Bolzen mit großem Kopf, Ausfhrung mg. Entwurfsberechnung. Fr Bild 45: Bolzenbeanspruchung unter Biegemoment Mb ¼ ðF=2Þðb1 =2 þ b=4Þ; Flchenpressung innen p ¼ F=ðbdÞ, außen p ¼ F=ð2b1 dÞ; Schubspannung im Bolzen ts ¼ 2F=ðpd2 Þ wird meist vernachlssigt. Stangenund Gabelbeanspruchung aus Zugspannungen in Stangenoder Gabel-Restquerschnitten in Querebene durch Bolzenachse (Stangenkopfweite t, Laschenweite t1 ) sowie aus Schubspannungen in Stangenkopf- und Laschenenden in den durch Abscheren gefhrdeten Lngsflchen b(h d/2) bzw. 2b1 ðh1 d=2Þ beiderseits des Bolzens. Richtwerte fr Abmessungen: b=d ¼ 1;5 . . . 1;7; b1 =d ¼ 0;4 . . . 0;5; h1 =d h=d ¼ 1;2 . . . 1;5; t1 =d t=d ¼ 2 . . . 2;5. Richtwerte fr zulssige Flchenpressungen Tab. 17 und Spannungen Tab. 18. Feingestaltung der Bolzenverbindung [65] – wie Passungswahl zwischen Bolzen, Lasche und Gabel – hat erheblichen Einfluß auf die angenommene Lastverteilung.
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gentzt (s. B 1.11). In Bild 46 wird eine Formschlußverbindung mit Kerbverzahnung durch eine Befestigungsschraube vorgespannt. Mit solchen Verbindungen kann z. B. der Werkzeugwechsel bei Drehmaschinen erleichtert werden, weil sich neben dem Reibschluß in Richtung der Zhne in den dazu senkrechten Richtungen das Werkzeug spielfrei positionieren lßt. In hnlicher Weise wirken Stirnzahn-Kupplungen mit Hirth-Verzahnungen (s. G 3 Bild 2 c). Zum Verbinden von Stangen miteinander werden Keilverbindungen nach Bild 47, zum Verbinden von Stangen mit Hlsen (z. B. Kreuzkpfen) oder Stangen mit Traversen Keilverbindungen hnlich Bild 48 a mit Anschlagbund an der Stange oder Bild 48 b mit Kegelpassung verwendet. Sie blockieren alle Freiheitsgrade, die ein Gelenk haben wrde. Entwurfsberechnung. Fr Bild 48 a werden zur berschlgigen Auslegung wegen der statisch unbestimmten Lastaufteilung die maximalen Flchenpressungen p zwischen Querkeil und Stange und die maximalen Zugspannungen sz im Restquerschnitt der Stange aus dem 1,5fachen der aufzunehmenden Lngszugkraft FB gemß pd1 t ¼ 1;5FB bzw. sz ðd12 p=4 d1 tÞ ¼ 1;5FB berechnet. Werden Zug- und Druckkrfte FB bertragen, dann folgt die Flchenpressung p in der ringfrmigen Berhrungsflche zwischen Stange und Hlse aus pðd 2 d12 Þp=4 ¼ 1;5FB . Außendurchmesser der
1.5.4 Keilverbindungen. Cottered joints Formschlssige Verbindungen bentigen zumindest bei wechselnden Belastungen geeignet eingesetzte Vorspannkrfte, um spielfrei zu sein. Zum Verspannen wird i. allg. die Keilwirkung mit Keilwinkeln im Bereich der Selbsthemmung
Bild 46. Formschlußverbindung mit Kerbverzahnung
Bild 44. Genormte Bolzen (Auswahl)
Bild 47. Querkeilverbindung zum Verbinden von Stangen unter Zugbelastung
Bild 45. Bolzenverbindung als Gelenk (mit vereinfachter Momentenverteilung als Berechnungsgrundlage). 1 Bolzen, 2 Gabel, 3 Stange, 4 Lasche
Bild 48 a, b. Flachkeilverbindung zum Verbinden von Stange und Hlse fr Zug- oder Druckbelastung. a Stange mit Bund; b Stange mit Konus
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Hlse ist so zu whlen, daß die maximalen Zugspannungen in den Restquerschnitten von Hlse und Stange den jeweiligen Werkstoff-Streckgrenzen angepaßt sind. Berechnung des Querkeils auf Biegebeanspruchung wie bei einem Bolzengelenk nach Bild 45; die Bercksichtigung der Scherbeanspruchung ist meist nicht erforderlich. Bei Hlsen mit Bund erbrigt sich auch meist die Nachrechnung der Flchenpressung zwischen Querkeil und Hlse. Zulssige Flchenpressungen unter Betriebskrften wie bei Stiftverbindungen, oft pzul ¼ 80 bis 100 N=mm2 bei wechselnden Betriebskrften FB mit Vorspannkraft FV > jFB j und Werkstoffen mit Rm ¼ 500 bis 700 N=mm2 . Soll in den Verbindungen nach Bild 48 eine Vorspannkraft FV erzeugt werden, dann ist der Flachkeil mit dem einseitigen Anzugswinkel a mit der Kraft FQ ¼ FV tanða þ 2rÞ einzutreiben. Fr den Reibungswinkel r und die Reibungszahl m gilt: tan r ¼ m (s. B 1.11). Bei geschmierten Stahlflchen kann m ¼ 0;12 angenommen werden. Der Keil sitzt selbsthemmend fest, sobald 2r>a. Zum Austreiben (Lsen) des Keils wird die Kraft FQL ¼ FV tanð2r aÞ bentigt. Fr Keile, die selten gelst oder nachgezogen werden: tan a ¼ 1 : 15 bis 1 : 25; fr dauernde Verbindungen: tan a ¼ 1 : 100: Stellkeile zum Nachstellen eines Spiels mit tan a ¼ 1 : 7 bentigen zu konternde Schrauben in Keillngsrichtung zwecks Einstellen und Aufrechterhalten der Verspannung. Entwurfsberechnung fr Bild 47 analog. Die Querschnitte mit der Hhe h am Stangenende sind auf Abscherung nachzurechnen: Richtwert: h h1 0;5 . . . 0;6H. Feingestaltung der Keilverbindung unter Bercksichtigung der Verformung der zu verbindenden Teile in Anlehnung an die bei der Auslegung von Schraubenverbindungen bekannten Verspannungsschaubilder (z. B. Bild 66) mit Dauerschwingfestigkeitsberechnung. 1.5.5 Paß- und Scheibenfeder-Verbindungen Parallel keys and woodruff keys Die Paßfederverbindung ist die bei einseitiger (schwellender) Belastung am hufigsten verwendete Welle-Nabe-Verbindung, Bild 49 c. Bei geeigneter Passungswahl sind axiale Relativverschiebungen zwischen Nabe und Welle mglich, Bild 49 d; die Paßfeder (Gleitfeder) wird in der Wellennut mit Zylinderschrauben festgelegt. Die billige Scheibenfeder (Bild 49 b) wird fr kleine Drehmomente verwendet, besonders bei Werkzeugmaschinen und Kraftfahrzeugen. Normen: DIN 6885 Bl. 1: Paßfedern-Nuten, hohe Form. – DIN 6885 Bl. 2: Paßfedern-Nuten, hohe Form fr Werkzeugmaschinen, Abmessungen und Anwendung. – DIN 6885
Bl. 3: Paßfedern – niedrige Form, Abmessungen und Anwendung. – DIN 6888: Scheibenfedern, Abmessungen und Anwendung. – DIN 6892: Paßfedern – Berechnung und Gestaltung. – Vergleichbare ISO-Normen s. DIN 918 Bl. 2. – DIN ISO 8821: Vereinbarung ber die Paßfeder-Art beim Auswuchten. Entwurfsberechnung. Fr Paßfeder nach Bild 49 c: Flchenpressung p zwischen Paßfeder und Nabe: p ¼ 2Mt = ½Dðh t1 Þltr mit Torsionsmoment Mt , Wellendurchmesser D, Paßfederhhe h, Wellennuttiefe t1 und tragender Lnge ltr . Tragende Lnge ltr von Paßfederstirnform (geradestirnig, rundstirnig) abhngig. Wegen der Fertigungstoleranzen und zur Vermeidung von Doppelpassungen wird i. allg. nur eine Paßfeder eingesetzt. Fr seltene hohe Drehmomente und bei zhem Werkstoffverhalten wird manchmal auch eine zweite Paßfeder zugelassen und so gerechnet, als ob eineinhalb Paßfedern tragen wrden. Richtwerte fr zulssige Flchenpressungen nach [53]: Fr GG-Nabe pzul % 50 N=mm2 fr ltr =D ¼ 1,6 . . . 2,1; St-Nabe pzul % 90 N=mm2 fr ltr =D ¼ 1,1 . . . 1,4, wobei in Einzelfllen fr seltene hohe Sonderlasten auch p ¼ 200 N=mm2 zulssig sind. Dauerfestigkeit der Welle mit Kerbwirkungszahlen bk nach Zusammenstellung in [54]. Anhaltswerte: Wellendurchmesser D=34 mm, Welle Ck 35/St 50; Biegung bkb ¼ 2,4 . . . 2,6, Torsion bkt ¼ 1,7 . . . 1,8, wobei die Nennspannungen mit dem Außendurchmesser der Welle berechnet werden. Mit wachsendem Durchmesser steigen die Kerbwirkungszahlen! Grobgestaltung. Passungen fr Paßfedern mit Toleranzfeld h 9 nach DIN 6885: Gleitsitz (Nutenbreite H 9 fr Welle, D 10 fr Nabe; Nenndurchmesser g 6 fr Welle, H 7 fr Nabe); bergangssitz, leicht montierbar (Nutenbreite N 9 fr Welle, JS 9 fr Nabe; Nenndurchmesser h 7 fr Welle, H 8 fr Nabe); fester Sitz, noch gut abziehbar, fr niedrige wechselnde Momente (Nutenbreite P 9 fr Welle und Nabe; Nenndurchmesser j 6 fr Welle, H 7 fr Nabe); fester Sitz, schwer abziehbar (Nutenbreite P 9 fr Welle und Nabe; Nenndurchmesser fr Welle k 6 und Nabe H 7). Wie bei den reibschlssigen WelleNabe-Verbindungen (s. F 1.4 Bild 18) kann durch einen gnstigen Kraftfluß die Flchenpressung zwischen Paßfeder und Nabe vergleichmßigt werden, wenn bei relativ dnnen Naben die Drehmomenteinleitung und -abnahme konstruktiv entkoppelt werden. Bei dickwandigen und normalen Naben (mit Di =Da % 0,6) hngt die maximale Flchenpressung kaum vom Ort der nabenseitigen Lastabnahme ab. Bei Gleitfedern sind zur Vermeidung von Verschleiß die Oberflchen von Welle und Paßfeder eventuell hrter auszufhren als die der Nabe.
Bild 49 a–l. Formschlußverbindungen nach [53]. a Querstift; b Scheibenfeder; c Paßfeder; d Gleitfeder; e Keilwelle (Zahnwelle); f Kerbzahnprofil; g Polygonprofil; h Kegelstift (Stirnkeil); i Scheibenkeil; j Flachkeil; k Nasenkeil; l Tangentkeile. h bis l vorgespannter Formschluß
I1.5 Formschlußverbindungen Feingestaltung. Verfeinerte Berechnungen der Lastverteilung nach [58] mit Bewertungsstrategie nach DIN 6892. Maßnahmen zur Dauerfestigkeitssteigerung durch Nuten mit grßeren Kerbgrundradien sind nur sinnvoll, wenn nicht Schwingungsverschleiß aus Umlaufbiegung vorzeitig zum Bruch der Welle fhrt, s. DIN 6892, Anhang C. Entwurfsberechnung fr Scheibenfeder nach Bild 49 b: Analog Paßfederverbindung, allerdings mit hherer Wellenschwchung. Zuordnung von Scheibenfeder und Wellendurchmesser nach DIN 6888: Fr Scheibenfedern, die vorrangig zur Feststellung der Lage der Nabe gegenber Welle dienen, werden grßere Wellendurchmesser vorgesehen als fr lediglich drehmomentbertragende Scheibenfedern. Werden Scheibenfedern in Verbindung mit Kegelpreßverbindungen eingesetzt, so sind sie grundstzlich fr das gesamte Drehmoment zu bemessen (s. auch G 1.4.2). 1.5.6 Zahn- und Keilwellenverbindungen. Splined joints Fr hohe wechselnde oder stoßende Drehmomentbelastungen sind Paßfeder- und Stiftverbindungen ungeeignet, außerdem bewirken diese i. allg. mehr oder weniger starke Unwuchten. Hhere Drehmomente lassen sich mit Zahn- und Keilwellenverbindungen (Bild 49 e) oder Kerbverzahnungen (Bild 49 f) bertragen. Normen: DIN ISO 14: Keilwellen-Verbindungen mit geraden Flanken und Innenzentrierung (frhere Ausgaben DIN 5461, DIN 5462, DIN 5463). – DIN 5466 T 1: Tragfhigkeitsberechnung von Zahn- und Keilwellen-Verbindungen, Grundlagen. – DIN 5471 bis 5472: Werkzeugmaschinen; Keilwellenund Keilnabenprofile mit 4 bzw. 6 Keilen, Innenzentrierung, Maße. – DIN 5480: Zahnwellen-Verbindungen mit Evolventenflanken. – DIN 5481: Kerbzahnnaben- und Kerbzahnwellen-Profile (Kerbverzahnungen). Entwurfsberechnung. Flchenpressung p zwischen Zhnen und Nabe: p ¼ 2Mt =ðDm htr ltr zkÞ mit Torsionsmoment Mt , mittlerem Durchmesser Dm , tragender Hhe htr , tragende Lnge ltr , Zhnezahl z, Tragfaktor k. Richtwerte fr zulssige Flchenpressung nach [53] fr stoßhaften (stoßfreien) Betrieb: Fr GG-Nabe pzul % 40ð60Þ N=mm2 ; fr St-Nabe pzul % 70ð100Þ N=mm2 , wobei in Einzelfllen fr seltene hohe Sonderlasten auch p ¼ 200 N=mm2 zulssig. Tragfaktor k 0;75 bei Innenzentrierung, k 0;75 bei flankenzentrierten Kerbverzahnungen und k 0;9 bei flankenzentrierten Keilverzahnungen vermutlich zu gnstig. Dauerfestigkeit der Welle mit Nennspannung ttwk fr Torsionswechselfestigkeit der Keilwelle bezogen auf den Profilaußendurchmesser D nach Zusammenstellung in [54]. Anhaltswerte: D 34 mm; 34CrNiMo6 vergtet auf Rm 1000 bis 1060 N=mm2 gibt ttwk 76 bis 90 N=mm2 und C35/St50 mit Rm 610 N=mm2 gibt ttwk 79 bis 84 N=mm2 bei Lnge von 60 mm und Keilwellenverbindungen. Bei Kerbverzahnung aus Werkstoff C35 wurde ttwk 160 N=mm2 fr D=34 mm und eine Biegedauerwechselfestigkeit von 69 N=mm2 bei einer Lnge l=30 mm gemessen. Feingestaltung. Tragfhigkeitsberechnung fr flankenzentrierte Zahn- und Keilwellenverbindungen mit Spiel- und bergangspassung nach DIN 5466 T 1 (Entwurf) einschließlich Abschtzung des Verschleißverhaltens. Nachrechnung der Nabe auf Aufweitung – insbesondere bei Kerbverzahnung. 1.5.7 Polygonwellenverbindungen Joints with polygonprofile Whrend bei den Keil- und Zahnwellen-Verbindungen ausgeprgte Formschlußelemente (Keile, Zhne) die Kerbwirkung
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erhhen, wird bei Wellen mit Polygonprofil (Bild 49 g) diese weitestgehend reduziert. Genauere Berechnungen nach Herstellerangaben [67]. In der Praxis werden vor allem die genormten P3G- und P4C-Profile nach DIN 32 711 und DIN 32 712 eingesetzt. Naben mit P4C-Profil lassen sich unter Drehmomentbelastung relativ zur Welle verschieben, was bei P3G-Profilen nicht mglich ist. Da die Naben durch die Keilwirkung der Polygonflchen sehr hoch beansprucht werden, werden hufig gehrtete Stahlnaben eingesetzt; hierfr kommt nur das innenschleifbare P3G-Profil in Betracht. Normen: DIN 32 711: Antriebselemente; Polygonprofile P3G. – DIN 32 712: Antriebselemente; Polygonprofile P4C. 1.5.8 Vorgespannte Welle-Nabe-Verbindungen Prestressed shaft-hub connections Bauformen nach Bild 49 h bis l. Sie verbinden hnlich wie Keilverbindungen nach G 1.5.4 den Vorteil des Formschlusses mit der Vorspannung, neigen aber zur Exzentrizitt zwischen Welle und Nabe; auch als Hohlkeil ohne Nut in Welle mit nur Reibschluß (G 1.4). Normen: DIN 268: Tangentkeile und Tangentkeilnuten, fr stoßartige Wechselbeanspruchungen. – DIN 271: Tangentkeile und Tangentkeilnuten, fr gleichbleibende Beanspruchung. – DIN 6681: Hohlkeile, Abmessungen und Anwendung. – DIN 6883: Flachkeile, Abmessungen und Anwendungen. – DIN 6884: Nasenkeile, Abmessungen und Anwendung. – DIN 6886: Keile-Nuten, Abmessungen und Anwendung. – DIN 6887: Nasenkeile-Nuten, Abmessungen und Anwendung. – DIN 6889: Nasenhohlkeile, Abmessungen und Anwendung. – Vergleichbare ISO-Normen s. DIN 918 Bl. 2. Entwurfsberechnung. Das durch Reibschluß bertragbare Drehmoment ist von der Eintreibkraft des Keils abhngig und damit z. B. bei Hohlkeilen ungewiß. Formschlssige vorgespannte Verbindungen werden deshalb nur auf Formschluß nachgerechnet und die Spielfreiheit fr schwankende bzw. wechselnde Belastungen ber eine erfahrungsabhngige zulssige Flchenpressung bercksichtigt. Anhaltswerte: G 1.5.4. Mit Ausnahme der Tangentkeile eignen sich verspannte Welle-Nabe-Verbindungen nur zur bertragung kleinerer Drehmomente sowie zur axialen Fixierung. Sie sind nur bei verhltnismßig geringen Umfangsgeschwindigkeiten einsetzbar, da die einseitige Verspannung einerseits zu grßeren Unwuchtbeitrgen fhrt, andererseits die Fliehkrfte der Nabe die Verspannung mindern. Bei Tangentkeilen ist zu beachten, daß im Rahmen der Entwurfsberechnung nur ein Keilpaar das Drehmoment aufnimmt und bei geteilten Naben die Trennfuge den 120 -Winkel halbiert. 1.5.9 Axiale Sicherungselemente. Axial locking devices Sicherungselemente auf Wellen oder Achsen dienen zur Lagesicherung oder zur Fhrung mit zum Teil erheblichen Axialkrften. Die gleiche Funktion bernehmen Wellenbunde, Wellenmuttern und Deckel. In Bild 50 sind Sicherungselemente mit Reib- und Formschluß zusammengestellt. Fr große Krfte werden vorzugsweise formschlssige Sicherungen eingesetzt. Normen: DIN 94: Splinte. – DIN 471: Sicherungsringe (Halteringe) fr Wellen, Regelausfhrung und schwere Ausfhrung. – DIN 472: Sicherungsringe (Halteringe) fr Bohrungen, Regelausfhrung und schwere Ausfhrung. – DIN 983: Sicherungsringe mit Lappen (Halteringe) fr Wellen. – DIN 984: Sicherungsringe mit Lappen (Halteringe) fr Bohrungen. – DIN 5417: Sprengringe fr Wlzlager mit Ringnut. – DIN 6799: Sicherungsscheiben (Haltescheiben) fr Wellen. – DIN 7993: Runddraht-Sprengringe und -Sprengringnuten fr Wellen und Bohrungen. – DIN 9045: Sprengringe. – DIN 15 058: Achshalter (Hebezeuge und Frdermittel). –
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Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
G Bild 50 a–g. Axiale Sicherungselemente. a Splinte; b Sicherungsringe; c Achshalter; d Stellringe; e Klemmringe; f selbstsperrender Sicherungsring; g selbstsperrender Dreieckring
DIN 82 242: Achshalter (Schiffbau). Fr reibschlssige Sicherungen: DIN 703: Blanke Stellringe, schwere Reihe. – DIN 705: Blanke Stellringe, leichte Reihe. – Vergleichbare ISO-Normen s. DIN 918 Bl. 2. Entwurfsberechnung. Belastbarkeit der Sicherungselemente entweder nach entsprechenden Normen oder Firmenunterlagen [68]. Sicherungsringe nach DIN 471 erfordern getrennte Berechnungen fr die Tragfhigkeiten von Nut und Sicherungsring [69] sowie die Kontrolle der vom Wellendurchmesser abhngigen Ablsedrehzahl. Die in der Norm angegebenen Tragfhigkeiten enthalten keine Sicherheiten gegen Fließen bei statischer Beanspruchung und gegen Dauerbruch bei schwellender Beanspruchung; gegen Bruch bei statischer Beanspruchung ist eine mindestens zweifache Sicherheit vorhanden. Es werden fr die axiale Tragfhigkeit des Sicherungsrings Zahlenwerte fr scharfkantige Anlage und Anlage mit Schrgung oder Rundung angegeben. Fr die Minderung der Dauerschwingfestigkeit der Wellen durch axialkraftbelastete Sicherungsringe liegen Untersuchungsergebnisse vor [70].
Nietverbindungselements erfolgen, Bild 52 und 53. Technische Zeichnungen fr Metallbau DIN ISO 5261. Als dichte und kraftbertragende Verbindung ist die Nietverbindung bei Kesseln, Behltern und Rohren mit hohem Innendruck in den letzten 50 Jahren weitgehend durch die Schweißverbindung ersetzt worden. Auch im Stahlbau ist die Bedeu-
1.5.10 Nietverbindungen. Riveted joints Nieten ist ein Fgen durch Umformen eines Verbindungselements, wobei eine i. allg. unlsbare und zumindest bei hohen Belastungen formschlssig tragende Verbindung der zu fgenden Teile entsteht [53]. Je nach Art des Niets und seiner Zugnglichkeit kann das Umformen durch axiales Stauchen (Schlagen) des Schafts eines Vollniets und Anstauchen eines Schließkopfes (Bild 51), durch Anbrdeln oder Aufweiten eines Bunds an einem Hohlniet sowie durch Stauchen eines Schließrings um den Schließringbolzen eines zweiteiligen
Bild 51. Schlagen einer einschnittigen Vollnietverbindung; 1 Dpper, 2 Niederhalter zum Blechschließen bei Maschinennietung, 3 Schließkopf (als Halbrundkopf nach DIN 124), 4 Setzkopf, 5 Gegenhalter
Bild 52. Genormte Nietformen (Auswahl)
Bild 53 a–d. Blindnietformen und Schließringbolzen-Verbindung. a DIN 7337 Blindniet; b POP-Becher-Blindniet; c Sprengniet; d Paßniet DIN 65 155. 1 Nietdorn, 2 Sollbruchstelle
I1.5 Formschlußverbindungen tung gegenber Schweißverbindungen und hochfesten HVSchraubenverbindungen (formschlssig und/oder reibschlssig) zurckgegangen [42, 44, 45]. Die klassische Niettechnik verursacht relativ hohe Zeitkosten und ein hohes Maß an Erfahrung, besonders beim Erzielen dichter berlappungsstße. Im Leichtmetallbau werden hochbeanspruchte Teile aus Leichtmetall-Legierungen vereinzelt statt durch Nieten durch Schmelzschweißen oder gar Kleben verbunden, wenngleich diese Verbindungen Nachteile aufweisen. Durch die hheren Temperaturen beim Schweißen knnen Gefgenderungen, Eigenspannungen und Verzug auftreten, beim Kleben muß der Temperatureinsatz und das Kriechverhalten beachtet werden. Bisweilen erhalten Klebeverbindungen zustzliche Niete zur Erhhung der Sicherheit gegen Schlen. Auch werden Nieten noch dort angewandt, wo z. B. die Verbindung von Stahl mit Aluminium ein Schweißen unmglich macht (fr dichte Verbindungen in Blechschornsteinen oder Rohren ohne inneren berdruck) [52]. Wenn mglich werden Vollniete meist durch Hohlniete, Blindniete und Schließring-Bolzen-Verbindungen aus Stahl oder Aluminium ersetzt. Blindniete nach Bild 53 knnen von einer Seite aus gesteckt und angeschlossen werden. Die frher blichen Sprengniete werden heute durch neue Systeme wie Hohlniete mit Durchzieh-Nietdorn, Becher-Blindniete (luftund wasserdicht aufgrund der becherfrmigen Nietschaftausfhrung) oder Modifikationen abgelst [71]. Diese Nietsysteme bentigen geeignete Nietwerkzeuge, die ebenfalls von den Nietherstellern angeboten werden. SchließringbolzenVerbindungen nach Bild 53 setzen voraus, daß die zu verbindenden Teile von beiden Seiten zugnglich sind, whrend das Verarbeitungswerkzeug i. allg. nur von einer Seite angreift. Es packt den in die vorbereitete Bohrung eingefhrten Bolzen außerhalb des Schließrings im geriffelten Zugteil E an, bt eine Zugkraft auf den Bolzen aus, whrend es gleichzeitig eine Druckkraft auf den konischen Ansatz des Schließrings ausbt. Dadurch werden bei Bettigung des Werkzeugs zunchst die zu verbindenden Teile mit der im Bolzen zulssigen Zugkraft zusammengedrckt und anschließend der Schließring in die Schließrillen im Teil C eingestaucht. Ist die Verformung des Schließrings beendet, reißt der Zugteil des Bolzens in der Sollbruchstelle D ab. Entwurfsberechnung. Zur Auslegung sind die jeweils gltigen Berechnungsvorschriften zu beachten. Fr den Kesselbau [50, 60], fr Stahlbauten [45], fr Krane [44], fr sthlerne Straßenbrcken [42], fr Aluminiumkonstruktionen [43], fr Luftfahrt [46, 47]. Nietverbindungen nach Bild 54 versagen bei statischer Belastung, wenn die Scherfestigkeit des Nietwerkstoffs oder die Lochleibungsfestigkeit des Bauteilwerkstoffs berschritten werden, auch wenn die Lochleibungsverformung zu groß wird. Zur vereinfachten Auslegung werden in den Vorschriften Rand- und Lochabstnde e1 , e2 , e3 , e abhngig vom Lochdurchmesser dL und/oder der kleinsten zu verbindenden Materialdicke t angegeben. Es gilt z. B. in DIN 18 800 T 1 fr die grßte Beanspruchbarkeit auf Lochlei-
Bild 54. Beispiel einer Doppellaschennietung (zweischnittig)
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bung e1 ¼ 3; 0 dL , e2 ¼ 1; 5 dL , e3 ¼ 3; 0 dL , e=3,5 dL ; weiter werden folgende Kombinationen von Rohnietdurchmesser d1 und t – angegeben mit t [mm]/d1 [mm] – empfohlen: 4 . . . 5=10; 4 . . . 6=12; 6 . . . 8=16; 8 . . . 11=20; 10 . . . 14=22; 13 . . . 17=24; 16 . . . 21=27; 20 . . . 24=33. Dieselben Vorschriften gelten auch fr HV-Verbindungen! Bei Stabanschlssen drfen in Kraftrichtung hchstens sechs Schrauben oder Nieten hintereinander angeordnet werden. Die zulssigen Werte der Scherspannung zul ta und der Lochleibungsspannung zul sl hngen davon ab, ob die Niete (nach DIN 124 und DIN 302) oder Paßschrauben (DIN 7968) einschnittig oder zweischnittig belastet werden und fr die Belastung der Lastfall H (Hauptlast) oder HZ (Haupt- und Zusatzlasten) angenommen wird. Fr ersten berschlag kann fr Bauteile aus St37 (Niete aus USt36) zul ta ¼ 84 N=mm2 und zul sl ¼ 210 N=mm2 fr einschnittige Verbindungen und zul ta ¼ 113 N=mm2 und zul sl ¼ 280 N=mm2 fr mehrschnittige Verbindungen gerechnet werden; fr Bauteile aus St52 (Niete aus RSt44-2) gilt fr einschnittige Verbindungen zul ta ¼ 126 N=mm2 und zul sl ¼ 315 N=mm2 sowie fr mehrschnittige Verbindungen mit zul ta ¼ 168 N=mm2 und zul sl ¼ 420 N=mm2 entsprechend den Angaben in DIN 15 018 T 1, Tabelle 12. Gestaltungshinweise Normenbersicht zu Nieten nach DIN 4000 T 9: Sachmerkmal-Leisten, Leiste Nr. 3; Auswahl: DIN 124: Halbrundniete. – DIN 302: Senkniete. – DIN 660: Halbrundniete. – DIN 661: Senkniete. – DIN 662: Linsenniete. – DIN 674: Flachrundniete. – DIN 675: Flachsenkniete. – DIN 6791: Halbhohlniete mit Flachrundkopf. – DIN 6792: Halbhohlniete mit Senkkopf. – DIN 7337: Blindniete mit Sollbruchdorn. – DIN 7338: Niete fr Brems- und Kupplungsbelge. – DIN 7339: Hohlniete, einteilig. – DIN 7340: Rohrniete. – DIN 65 155: Paßniete. – DIN 65 156: Paßniete. – Vergleichbare ISO-Normen s. DIN 918 Bl. 2. Wo Stahlniete mit d1 > 10 mm verwendet werden, mssen sie i. allg. vor dem Nieten auf Hellrotglut erwrmt werden. Kleinere Stahlniete etwa bis 10 mm Durchmesser, Leichtmetall-, Messing- und Kupferniete werden kaltgeschlagen. Soll eine Nietverbindung ohne zustzliche Mittel dicht sein, mssen Vollniete warmgeschlagen werden, damit beim Schrumpfen whrend des Erkaltens Lngszugspannungen sz im Schaft zurckbleiben. Lngszugspannungen ermglichen einen gewissen Reibschluß mit m 0;3 bis 0,5 zwischen den Blechen. Stße und Anschlsse sind gedrungen auszubilden. In Stßen ist deshalb unmittelbar Stoßdeckung und doppeltsymmetrische Verlaschung anzustreben, weil zustzliche Schlbeanspruchungen infolge der Biegebeanspruchungen im Blech oder Stab herabgesetzt werden. Im Stahlbau drfen Niet- und Schraubenlcher nur gebohrt, gestanzt oder maschinell mit Gte II nach DIN 2310 T 3 oder Gte I nach DIN 2310 T 4 gebrannt werden. In zugbeanspruchten Bauteilen ber 16 mm Dicke ist das gestanzte Loch vor dem Zusammenbau im Durchmesser um mindestens 2 mm aufzureiben. Dieses ist in den Ausfhrungsunterlagen festzulegen. Zusammengehrige Lcher mssen aufeinanderpassen, bei Versatz der Lcher ist der Durchgang fr Niete und Schrauben aufzubohren oder aufzureiben, jedoch nicht aufzudornen. Bei nicht vorwiegend ruhend beanspruchten Bauteilen mssen die Lcher entgratet sein, außenliegende Lochrnder sind zu brechen; das Stanzen von Lchern ist nur zulssig, wenn die Lcher vor dem Zusammenbau im Durchmesser um mindestens 2 mm ausgerieben werden. Niete sind so einzuschlagen, daß die Nietlcher ausgefllt werden. Der Schließkopf ist voll auszuschlagen; dabei drfen keine schdlichen Eindrcke im Werkstoff entstehen. Die geschlagenen Niete sind auf festen Sitz zu berprfen.
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Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
Tabelle 19. Zuordnung Niet- und Fgeteilwerkstoffe [52]
Bild 56. Schraubenspindel mit zweigngigem Flachgewinde. Ph Steigung, P Teilung (Ph ¼ 2P), bm mittlerer Steigungswinkel
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Nietwerkstoff und Fgeteilwerkstoff mssen mit Rcksicht auf Korrosionsbestndigkeit aufeinander abgestimmt werden. Tab. 19 gibt eine Zuordnung Nietwerkstoff-Fgeteilwerkstoff nach [52] wieder. Oft muß der Korrosionsschutz durch einen (abdichtenden) Anstrich verbessert werden. Besondere Vorschriften fr Luftfahrt (LN 9198) [46, 47] und den Hochbau (DIN 18 801) sind zu beachten.
1.6 Schraubenverbindungen. Bolted connections H. Mertens, Berlin 1.6.1 Aufgaben. Applications Eine Schraubenverbindung [72–95] ist eine lsbare Verbindung von zwei oder mehreren Teilen durch eine oder mehrere Schrauben. Die wichtigsten Verbindungsarten zeigt Bild 55 [85]. Die Befestigungsschrauben dieser Schraubenverbindungen mssen die auf die Teile wirkenden ruhenden oder schwingenden Betriebskrfte ohne nennenswerte Relativbewegungen der Teile gegeneinander sicherstellen, sofern nicht Formschlußelemente nach G 1.5 oder Zentrierbunde teilweise diese Aufgabe bernehmen. Sollen dagegen definierte Relativbewegungen zwischen den Teilen erzielt werden, so eignen sich dafr Bewegungsschrauben, durch die Drehbewegungen in Lngsbewegungen umgesetzt werden; wie z. B. bei Werkzeugmaschinenspindeln oder Schraubstcken.
Bild 55. Einteilung der Verbindungsarten [85]
1.6.2 Kenngrßen der Schraubenbewegung Characteristics of screw motion Beim Anziehen oder Lsen von Befestigungsschrauben bzw. Bettigen von Bewegungsschrauben wird eine Schraubenbewegung (Schraubung) um und lngs einer festen Achse, der Schraubenachse, ausgefhrt. Bei einer vollen Schraubenumdrehung entsteht lngs der Schraubenachse eine (relative) Axialverschiebung, die der Steigung Ph (flank lead) in Bild 56 entspricht. Die Abwicklung einer auf einem Zylinder mit dem Radius rm ¼ dm =2 liegenden Schraubenlinie ergibt eine ansteigende Gerade mit dem Steigungswinkel bm mit tan bm ¼ Ph =ðpdm Þ. Allgemein ergibt sich fr den Radius r der Steigungswinkel b zu tan b ¼ ðrm =rÞ tan bm , er ist fr kleinere Radien grßer als fr grßere. Der achsparallele Abstand aufeinanderfolgender gleichgerichteter Flanken heißt Teilung P (flank pitch). Bei eingngigem Gewinde ist die Steigung Ph gleich der Teilung P. Fr n-gngiges Gewinde gilt Ph ¼ nP. 1.6.3 Gewindearten. Types of thread bersicht zu allgemein oder fr grßere Sondergebiete angewendete Gewinde in DIN 202. Fr zylindrische Gewinde sind Begriffe und Definitionen in DIN 2244 festgelegt (Deutsch, Englisch, Franzsisch). Das Gewindeprofil ist der Umriß eines Gewindes im Achsschnitt, die Gewindeflanken sind in der Regel die geraden Teile des Gewindeprofils, die nicht zur Schraubenachse parallel sind.
I1.6 Schraubenverbindungen
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Spitzgewinde fr Befestigungsschrauben Das Metrische ISO-Gewinde nach DIN 13 Bl. 19 ist ein verbessertes und weltweit vereinheitlichtes Gewinde, das praktisch meist mit dem frheren Metrischen Gewinde austauschbar ist. Das Fertigungsprofil fr Bolzen und Mutter (Nullprofil bei Gewindepassung ohne Flankenspiel) s. Bild 57. Der Außendurchmesser d des Bolzengewindes ist gleich dem Außendurchmesser D des Muttergewindes; er wird auch als Nenndurchmesser bezeichnet. Mit dem Kerndurchmesser d3 wird der Kernquerschnitt A3 ¼ pd32 =4 berechnet. Auf dem Flankendurchmesser d2 des Bolzens bzw. D2 der Mutter haben die Gewinderille und der Gewindezahn in Achsrichtung gleiche Breite. Fr den (mittleren) Steigungswinkel gilt: tan b ¼ P=ðpd2 Þ: H ist die Hhe des theoretischen, scharf geschnittenen Dreieckprofils mit dem Flankenwinkel a ¼ 60. Die Flankenberdeckung H1 wird auch Gewindetragtiefe genannt. Der gegenber dem frheren Metrischen Gewinde grßere Ausrundungsradius R im Gewindegrund des Bolzens fhrt zusammen mit der Vergrßerung des Kernquerschnitts A3 zu einer Steigerung der Dauerfestigkeit, jedoch zu einer Verringerung der Tragtiefe. Der Ausrundungsradius am Außendurchmesser der Mutter ist nicht vorgeschrieben, da er sich aus der Fertigung zwangslufig ergibt und weil die Beanspruchungen dort nicht so groß sind. Als Bezugsquerschnitt fr Festigkeitsberechnungen wird der Spannungsquerschnitt AS ¼ pðd2 þ d3 Þ2 =16 bentigt. In DIN 14 sind metrische ISOGewinde fr Durchmesser unter 1 mm genormt. In Anh. G 1 Tab. 4 sind Nenndurchmesser d, Steigung P, Kernquerschnitt A3 und Spannungsquerschnitt AS fr Auswahlreihen von (metrischen ISO-)Regel- und Feingewinden nach DIN 13 T 12 und T 28 zusammengestellt. Regelgewinde, d. h. Gewinde mit grßerer Steigung, sind hinsichtlich der Belastbarkeit gegenber Feingewinden zu bevorzugen. Das Whitworth-Rohrgewinde nach DIN 259 T 1 bis 5, DIN ISO 228, mit zylindrischem Innen- und Außengewinde wird noch fr Rohre und Rohrverbindungen verwendet, es ist nicht selbstdichtend. Das Gewinde-Kurzzeichen (z. B. R 1 1/2) nach DIN 259 soll fr Neukonstruktionen nicht mehr angewendet werden, um Verwechslungen mit gleichbezeichneten, kegeligen Außengewinden zu vermeiden. Statt dessen sind die Kurzzeichen (z. B. G 1 1/2) nach DIN ISO 228 zu verwenden. Fr selbstdichtende Verbindungen knnen bei Gewindedurchmessern bis 26 mm kegelige Außengewinde nach DIN 158, z. B. fr Verschlußschrauben und Schmiernippel eingesetzt werden [79]. Whitworth-Rohrgewinde fr Gewinderohre und Fittings auch nach DIN 2999 T 1 bis 6 bzw. ISO 7/I mit zylindrischem Innengewinde und kegeligem Außengewinde oder fr Rohrverschraubungen nach DIN 3858. Flachgewinde fr Bewegungsschrauben
Bild 58. Metrisches ISO-Trapezgewinde (DIN 103 T 1 und 2). D1 ¼ d 2 H1 ¼ d P, H1 ¼ 0,5 P, H4 ¼ H1 þ ac ¼ 0,5 P þ ac , h3 ¼ H1 þ ac ¼ 0,5 P þ ac , z ¼ 0,25P ¼ H1 =2, D4 ¼ d þ 2 ac , d3 ¼ d 2 h3 , d2 ¼ D2 ¼ d 2z ¼ d 0,5 P, R1 ¼ max 0,5 ac , R2 ¼ max ac , ac ¼ Spiel ðIndex c von crest = SpitzeÞ
nungen s. Bild 58. Das Trapezgewinde ist flankenzentriert und sollte deshalb nur durch Lngskrfte (und Drehmomente) belastet werden; es sperrt bei Verkantung. Mehrgngige Trapezgewinde haben das gleiche Profil wie eingngige Gewinde mit der Steigung Ph ¼ Teilung P. Anh. G 1 Tab. 5 enthlt Nennmaße fr Trapezgewinde. Das Metrische Sgengewinde nach DIN 513 T 1 mit asymmetrischem Gewindeprofil hat tragende Gewindeflanken mit Teilflankenwinkeln (Winkel zwischen Flanke und der Senkrechten zur Gewindeachse im Achsabschnitt) von 3 und Spiel im Kerndurchmesser und zwischen den nichttragenden Gewindeflanken. Rundgewinde, Wlzschraubtriebe Rundgewinde (allgemein DIN 405 oder mit großer Tragtiefe nach DIN 20 400) werden fr Befestigungs- und Bewegungsschrauben bei Gefahr von Verschmutzung verwendet. Noch geringere Reibmomente als Sgengewinde weisen Wlzschraubtriebe mit Wlzkrpern zwischen den Schraubenflchen von Mutter und Spindel auf; die Erzeugenden der Schraubenflchen sind meist gekrmmte Linien (z. B. Kreisbogen oder gotisches Profil) [92]. 1.6.4 Schrauben- und Mutterarten. Types of bolt and nut Die Benennung von Schrauben, Muttern und Zubehr ist in DIN ISO 1891 international festgelegt. DIN 918 Bl. 1 und 2 bringen bersichten sowie vergleichbare ISO- und DIN-Normen. Bild 59 zeigt Grund- und Sonderformen der Schraubenverbindungen. Kopfschrauben (Bild 59 a). Sie unterscheiden sich durch Kopfform, Schaftform und Schraubenenden. Die Kopfform wird durch die Antriebsart mitbestimmt; Beispiele: Sechs-
Das Trapez- und Sgengewinde fhren zu geringerer Reibung zwischen Bolzen und Mutter als das Spitzgewinde. Die Nennprofile von Bolzen und Mutter eines Metrischen Trapezgewindes nach DIN 103 T 1 mit Spiel im Außen- und Kerndurchmesser und ohne Flankenspiel mit genormten Bezeich-
Bild 57. Metrisches ISO-Gewinde (DIN 13 T 19). D1 ¼ d 2H1 ; d2 ¼ D2 ¼ d 0;64952P; d3 ¼ d 1;22687P; H ¼ 0;86603P; H1 ¼ 0;54127P; h3 ¼ 0;61343P; R ¼ H=6 ¼ 0;14434P
Bild 59 a–c. Grundformen und Sonderformen der Schraubenverbindungen. a Zylinderschraube mit Innensechskant DIN 912 als Kopfschraube; b Stiftschraube DIN 939 in Gußgehuse, mit Sicherungsblech mit Lappen; c Durchsteckschraube in Sonderbauform fr Pleuellagerdeckel-Verschraubung
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kantschrauben (DIN EN 24 014, 24 017, 28 765, 28 676), Innensechskantschrauben (DIN 912, DIN 6912, DIN 7991, DIN 7984), Schlitz- und Kreuzschlitzschrauben (DIN 84, DIN 63, DIN 87, DIN 7987); auch mit Drei-, Vier-, Achtund Zwlfkant, mit Flgel- oder Hammerkopf. In DIN 74 werden Senkungen genormt, fr Senkschrauben T 1, fr Schrauben mit Zylinderkopf T 2, fr Sechskantschrauben T 3. Senkdurchmesser fr zylindrische Senkungen nach DIN 974. Das Schraubenende wird u. a. durch die Schraubenfertigung oder Montage bestimmt. Schrauben zum automatisierten Montieren in Fertigungsstraßen bentigen Suchspitzen mit 90 Spitze; zum Aufnehmen von in das Muttergewinde eingedrungenen gewissen Lackmengen dienen Schabenuten. – Gewindeenden nach DIN 78, Gewindeauslufe und -freistiche auch fr Gewindegrundlcher (Sackbohrungen) nach DIN 76 (DIN ISO 4753, 3508, 4755). Die Schaftform wird durch die Fertigung oder zustzliche Anforderungen festgelegt. Bei Dehnschaftschrauben (Dehnoder Taillenschrauben) mit hoher Nachgiebigkeit ist der Schaftdurchmesser kleiner als der Kerndurchmesser. Bei Paßschrauben (z. B. Sechskant-Paßschrauben nach DIN 609) wird der Schaftdurchmesser mit Paßsitz (z. B. k6) zur Lagesicherung ausgefhrt. Bei Vollschaftschrauben ist der Schaftdurchmesser gleich dem Gewindedurchmesser, bei Dnnschaftschrauben ungefhr gleich dem Flankendurchmesser (Durchmesser des Ausgangsmaterials fr gerolltes Gewinde).
DIN EN 24 035, 24 036, 28 675 eingesetzt werden. Hutmuttern (Bild 60 a) nach DIN 917 (niedrige Form) und DIN 1587 (hohe Form) bieten mitunter Verletzungsschutz, sie werden auch in Verbindung mit Dichtscheiben verwendet, um Aus- oder Eindringen von Flssigkeiten zu vermeiden. Zur axialen Lagesicherung von Naben und Ringen auf Wellen oder zur axialen Kraftbertragung werden fr den Werkzeugmaschinenbau entwickelte Muttersonderformen, wie Nutmuttern (Bild 60 b) nach DIN 1804 verwendet, die mit einem Hakenschlssel nach DIN 1810 anzuziehen sind, mitunter auch Kreuzlochmuttern (Bild 60 f) nach DIN 548 und DIN 1816. Fr geringe Vorspannkrfte kommen Rndelmuttern nach DIN 6303, Schlitzmuttern nach DIN 546 oder Flgelmuttern (Bild 60 c) nach DIN 315 in Frage. Bei Stahlkonstruktionen und im Karosseriebau verwendet man mitunter Vierkant-Schweißmuttern nach DIN 928 oder SechskantSchweißmuttern (Bild 60 e) nach DIN 929, die auf dem Grundmaterial durch Punktschweißen befestigt werden. Fr Schraubenverbindungen mit Dehnschaft wurden SechskantMuttern mit Zentrieransatz (Bild 60 g) nach DIN 2510 T 5 und Kapselmuttern (Bild 60 h) nach DIN 2510 T 6 entwickelt. Einen gleichmßigen bergang des Kraftflusses vom Zug im Bolzen auf Druck in der Mutternauflageflche verschaffen Zugmuttern. Fr hochfest vorzuspannende (HV-)Verbindungen im Stahlbau wurden Sechskantmuttern mit großen Schlsselweiten nach DIN 6915 fr M 12 bis M 36 entwickelt.
Stiftschrauben (Bild 59 b). Sie haben ein 2 d-langes Einschraubende nach DIN 835 zum Einschrauben vorwiegend in Aluminiumlegierungen, ein 1;25 d-langes Einschraubende nach DIN 939 zum Einschrauben in Gußeisen oder ein 1 dlanges Einschraubende nach DIN 938 zum Einschrauben vorwiegend in Stahl.
Unterlegscheiben. Sie mssen unter Schrauben und Muttern verwendet werden, wenn der Werkstoff der Unterlage zum Setzen neigt oder berbeansprucht wrde; Form z. B. nach DIN 125. Bei U- und I-Trgern mssen viereckige Unterlegscheiben zum Ausgleich der 8- bzw. 14%igen Neigung verwendet werden, DIN 434 bzw. DIN 435. Paßschrauben nach DIN 7968 erfordern i. allg. Unterlegscheiben nach DIN 7989. Sechskantschrauben mit großen Schlsselweiten (nach DIN 6914, DIN 7999) drfen nur mit Scheiben nach DIN 6916 eingesetzt werden.
Schraubenbolzen. DIN 2509. Sie dienen z. B. zum Verbinden von Teilen mit Hilfe beiderseits aufgeschraubter Muttern. Ein Zweikantzapfen an einem Gewindeende soll die Mglichkeit geben, ein Drehen des Schraubenbolzens bei der Montage zu verhindern. Schraubenbolzen und Durchsteckschrauben erfordern Durchgangslcher, die nach den jeweiligen konstruktiven Gegebenheiten festgelegt werden; Durchgangslcher nach DIN ISO 273 (fein, mittel, grob; z. B. dh = 10,5 mm, = 11 mm, = 12 mm fr M 10). Gewindestifte. Diese besitzen durchgehendes Gewinde, einen Schlitz oder Innen-Sechskant auf der einen Seite und Kegelkuppe (DIN 427, DIN 551 bzw. DIN 913), Zapfen (DIN 417 bzw. DIN 915), Ringscheibe (DIN 438 bzw. DIN 916) oder Spitze (DIN 553 bzw. DIN 914) auf der anderen Seite. Sie werden auch mit Druckzapfen nach DIN 6332 hergestellt und eignen sich als Bauelemente fr Spannschrauben mit Kreuzgriff nach DIN 6335, Sterngriff nach DIN 6336 und Kegelgriff nach DIN 99 (bis M 20) oder mit Druckstck nach DIN 6311. Schraubensonderformen (Bild 59 c). Sie haben z. B. Paßsitz und geriffelte Drehsicherung; s. auch DIN 4000 T 2 (Sachmerkmal-Leisten fr Schrauben und Muttern), DIN 6914 (Sechskantschrauben mit großen Schlsselweiten fr HVVerbindungen in Stahlkonstruktionen), DIN 7999 (Sechskant-Paßschrauben, hochfest, mit großen Schlsselweiten fr Stahlkonstruktionen). Muttern. Im Maschinenbau werden am hufigsten Sechskantmuttern verwendet; die frher bliche Hhe von 0,8 d galt fr Muttern aus Stahl nach DIN 934. Fr Neukonstruktionen wird empfohlen, im Bereich von 5 bis 64 mm Gewindedurchmesser Sechskantmuttern nach DIN EN 24 032, 24 034 mit Regelgewinde und DIN EN 28 673, 28 674 mit Feingewinde zu verwenden, die Schlsselweite s wird stellenweise etwas reduziert, ihr Eckenmaß e betrgt etwa 2 d. Wird fr Sonderflle eine niedrigere Mutterhhe notwendig, dann kann eventuell
Bild 60 a–h. Genormte Mutter-Sonderformen. a Hutmutter DIN 917 und DIN 1587; b Nutmutter DIN 1804 und DIN 981 Feingewinde (M 6 bis M 200); c Flgelmutter DIN 315 (M 5 bis M 24); d Schlitzmutter DIN 546 (bis M 20); e Sechskant-Schweißmutter DIN 929 (bis M 16); f Kreuzlochmutter DIN 1816 (Feingewinde M 6 bis M 200); g Sechskantmutter mit Zentrieransatz DIN 2510 T 5; h Kapselmutter fr Schraubenverbindungen mit Dehnschaft DIN 2510 T 6
I1.6 Schraubenverbindungen
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1.6.5 Schrauben- und Mutternwerkstoffe Material specification for bolts and nuts Nach DIN ISO 898 T 1 werden Schraubenwerkstoffe nach Festigkeitsklassen bezeichnet. Das Kennzeichen der Festigkeitsklasse besteht aus zwei Zahlen, die durch einen Punkt getrennt sind. Beispiel: 5.6, 6.8, 8.8, 9.8, 10.9, 12.9 . . . Die erste Zahl entspricht 1/100 der Nennzugfestigkeit Rm in N=mm2 ; die zweite Zahl gibt das 10fache des Verhltnisses der Nennstreckgrenze ReL bzw. Rp0;2 zur Nennzugfestigkeit Rm (Streckgrenzenverhltnis) an. Die Multiplikation beider Zahlen ergibt ein Zehntel der Nennstreckgrenze in N=mm2 . Muttern mit festgelegten Prfkrften werden nach DIN ISO 898 T 2 mit einer Festigkeitsklasse zwischen 4 und 12 gekennzeichnet. Die Kennzahl entspricht 1/100 der Mindestzugfestigkeit einer Schraube in N=mm2 , die bei Paarung mit der Mutter bis zu der Mindeststreckgrenze belastet werden kann. Beispiel: Schraube 8.8 – Mutter 8, bis zur Mindeststreckgrenze der Schraube belastbar. Die bisherigen Festigkeitsklassen nach DIN 267 T 3 geben nicht unbedingt die Sicherheit, daß beim Anziehen der Verbindung kein Gewindeabstreifen auftritt – insbesondere beim streckgrenzengesteuerten Anziehverfahren. Im allgemeinen knnen Muttern hherer Festigkeitsklassen anstelle von Muttern der niedrigen Festigkeitsklassen verwendet werden. Dies ist ratsam fr eine Schraube-Mutter-Verbindung mit Belastungen oberhalb der Streckgrenze oder oberhalb der Prfspannung. DIN ISO 898 gilt nicht fr spezielle Anforderungen wie Schweißbarkeit, Korrosionsbestndigkeit (s. ISO 3506 bzw. DIN 267 T 11), Warmfestigkeit ber +300 C und Kaltzhigkeit unter 50 C (s. DIN 267 T 13), Sicherungseigenschaften (s. ISO 2320 bzw. DIN 267 T 15). Die erforderliche Tiefe von Gewindebohrungen hngt vom Werkstoff des Muttergewindeteils ab. Empfohlene Einschraubtiefe fr Sacklochgewinde gibt Anh. G 1 Tab. 6. In Grauguß oder Leichtmetall sind Stiftschrauben mit Muttern anstelle von Kopfschrauben zu empfehlen [78]. 1.6.6 Krfte und Verformungen beim Anziehen von Schraubenverbindungen Forces and deformations in joints due to preload Anziehdrehmoment. Wird eine symmetrische DurchsteckSchraubenverbindung nach Bild 61 durch Drehen der Mutter angezogen, dann entsteht eine Zugkraft, genannt Vorspannkraft FV , im Schraubenbolzen und eine gleich hohe Druckkraft zwischen den Platten. Dadurch lngt sich der Schraubenbolzen um fS und die Platten werden um fP zusammengedrckt. Die Platten werden etwa im Bereich der Rtscher-Kegel zusammengepreßt, die sich von Kreisen unter Kopf bzw. Mutter mit jeweils Schlsselweiten-Durchmesser s, allgemeiner Kopfauflage- bzw. Mutterauflagedurchmesser (dw bzw. Dw ) unter 45 erstrecken. Beim Drehen der Mutter mssen das mit FV steigende Reibungsmoment im Gewinde MG und das Reibungsmoment in der Mutterauflage MK berwunden werden; Anziehdrehmoment MA ¼ MG þ MK . Nach B 1.11 wird MG ¼ FV ðd2 =2Þ tanðbm þ r0 Þ mit Flankendurchmesser d2 , mittlerem Steigungswinkel bm und Gewindereibungszahl m0 ¼ tan r0 ¼ mG = cosða=2Þ mit Flankenwinkel a und Reibungszahl mG im Gewinde. Fr Spitzgewinde mit a ¼ 60 ist m0 ¼ 1;155mG . Das Moment MK betrgt MK ¼ FV mK Dkm =2 mit der Reibungszahl mK in der Mutterauflage und wirksamen Durchmesser Dkm fr das zugehrige Reibungsmoment. Reibungszahlen s. [75], z. B. Schraube aus Stahl, phosphatiert sowie Mutter aus Stahl, blank, trocken: mG ¼ mK ¼ 0;12 bis 0,18; gelt: mG ¼ mK ¼ 0;10 bis 0,16; MoS2 : 0,08 bis 0,12. Fr Spitzgewinde mit a ¼ 60 und Steigung P, also tan bm ¼ P=ðpd2 Þ, folgt vereinfacht wegen tanðbm þ r0 Þ
G Bild 61. Durchsteckschraube zum Verspannen zweier Platten (Flansche) unter Anziehen der Mutter. (FV Vorspannkraft in der Schraubenverbindung bei fehlender ußerer Betriebskraft FA )
tan bm þ tan r0 MA FV ½0;159P þ mG 0;577d2 þ Dkm mK =2:
ð1Þ
Beispiel: Fr eine Sechskantschraube M 10 mit metrischem ISOSpitzgewinde (d2 ¼ 9;03 mm, P ¼ 1;5 mm) nach DIN 931, Mutter nach DIN 970 in Produktklasse A nach DIN ISO 4759 T 1 (dw ¼ 15;6 mm), Durchgangsloch nach DIN ISO 273 (mittel: dh ¼ 11 mm) ohne Ansenkung gilt annhernd: Dkm ¼ ðdw þ dh Þ=2 ¼ 13;3 mm. Mit z. B. mG ¼ mK ¼ 0;16 wird MA ¼ FV ð0; 236þ 0,834+1,064) mm. Die Summe der Reibungsmomente betrgt dann etwa 90% des Gesamtanziehdrehmoments. Bei geschmierten Schrauben, meist auch bei galvanisch aufgebrachten berzgen, ist der Reibungsanteil geringer, so daß solche Schrauben bei gleichem Anzugsmoment eine hhere Vorspannung FV erhalten.
Das zum Lsen notwendige Reibmoment im Gewinde MGL betrgt MGL ¼ FV ðd2 =2Þ tanðr0 bm Þ. Man spricht von Selbsthemmung, solange zum Lsen ein Moment MGL > 0 erforderlich ist. Selbsthemmung hrt auf, sobald MGL ¼ 0 wird, d. h. bm ¼ r0 , falls Reibmoment MK in der Mutter- bzw. Kopfauflage vernachlssigt wird. Das Gesamtmoment ML zum Lsen ist, sofern keine Erschtterungen die wirksame Reibungszahl m0 verringern, bei metrischem ISO-Spitzgewinde etwa gleich dem 0,7- bis 0,9fachen des Anziehdrehmoments MA . Vorspannkraft FV und Anziehmoment MA bewirken Zug- und Torsionsspannungen in der Schraube. Die Nenn-Zugspannung sz wird entweder mit dem Gewinde-Spannungsquerschnitt AS oder falls kleiner, mit dem Taillenquerschnitt AT berechnet, die Nenn-Torsionsspannung t analog mit den entsprechenden Widerstandsmomenten. Die Mises-Vergleichsspannung sV ergibt dann die Materialanstrengung. Wird eine 90%ige Ausnutzung der Schraubenwerkstoff-Mindeststreckgrenze als zulssig angesehen, dann lassen sich fr vorgegebene Reibungszahlen zulssige Montagevorspannkrfte Fsp und die zugehrigen Anziehdrehmomente Msp Tabellen wie in VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986, entnehmen oder mit den von Herstellerfirmen zu beziehenden Schraubenrechnern bestimmen. Einen Auszug aus solchen Tabellen gibt Anh. G 1 Tab. 7. Anziehverfahren. Erforderliche Anziehdrehmomente sind vom Anziehverfahren abhngig. Das Verhltnis der sich beim Anziehen praktisch ergebenden maximalen zur minimalen Vorspannkraft FM max =FM min wird als Anziehfaktor aA be-
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zeichnet, die Spannweite betrgt DFM ¼ FM max FM min ¼ FM min ðaA 1Þ: Der allein auf die Streuung der Reibungszahlen entfallende Anteil liegt erfahrungsgemß in den Grenzen 1,25 : 1 bis 2 : 1. Fr die Dimensionierung von Schraubenverbindungen knnen in Anlehnung an VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986, Richtwerte fr aA (Werte in Klammern) angegeben werden [79]: Impulsgesteuertes Anziehen mit Schlagschrauber (2,5 bis 4) und drehmomentgesteuertes Anziehen mit Drehschrauber (1,7 bis 2,5), wobei das Einstellen des Schraubers entsprechend einem experimentell ermittelten Nachziehmoment erfolgt. Fr drehmomentgesteuertes Anziehen mit Drehmomentschlssel, signalgebendem Schlssel oder Przisionsdrehschrauber mit dynamischer Drehmomentmessung: (1,6 bis 1,8), wenn Sollanziehmoment durch Schtzen der aktuellen Reibungszahl oder (1,4 bis 1,6), wenn Sollanziehmoment durch Messung von FM an der Verschraubung bestimmt wird. Hydraulisches Anziehen durch Einstellen ber Lngen- bzw. Druckmessung (1,2 bis 1,6), wobei die Vorspannkraft ber zustzliche Mutter auf dem verlngerten Gewinde und Beidrehen der Schraubenmutter erfolgt. Verlngerungsmessung der kalibrierten Schraube (1,2). Drehwinkelgesteuertes Anziehen , motorisch oder manuell (1,1 bis 1,3) mit versuchsmßig bestimmten Voranziehmoment und Drehwinkel; Streuung wird wesentlich durch Streuung der Streckgrenze im verbauten Schraubenlos bestimmt, so daß bei Dimensionierung entsprechend FM min formal der Wert aA ¼ 1 gesetzt werden kann. Streckgrenzengesteuertes Anziehen, motorisch oder manuell (1,1 bis 1,3, formal bei Dimensionierung fr FM min wieder aA ¼ 1). Thermisch kontrolliertes Anziehen wird im Turbinenbau angewendet und ist bezglich der Vor- und Nachteile mit dem hydraulischen Anziehen vergleichbar; die Schrauben zur Befestigung des Gehusedeckels sind dabei mit einer Mittelbohrung zum Heizen und berwachen ihrer Temperatur ausgerstet. Neufassung der VDI-Richtlinie 2230 vom Okt. 2001 enthlt detailliertere Angaben zu Anziehfaktor, Streuung und Einstellverfahren. Montagekraft. Krfte und Verformungen nach dem Anziehen richten sich nach der wirksamen Montagekraft FM . Unter der Annahme linearen Steifigkeitsverhaltens lassen sich die grafischen Einzeldarstellungen der Kraft-Verformungs-Kennlinien fr Schrauben und Platten in einem Geradlinien-Schaubild, dem sog. Verspannungsdreieck zusammenfassen, Bild 62. Mit den angegebenen Bezeichnungen gilt fr die Steifigkeit cS der Schrauben cS ¼ FS =fS ; fr die elastische Nachgiebigkeit dS der Schrauben dS ¼ 1=cS . Die Steifigkeit der Platten zwischen Schraubenkopf- und Mutternauflage ist cP ¼ FP =fP , die elastische Nachgiebigkeit dP ¼ 1=cP bei zentrischer Verspannung. Nach dem Anziehen der Mutter gilt fr die Montagekrfte in Schraubenbolzen und Platten FSM ¼ FPM ¼ FM ; fr die Verformung gilt fSM þ fPM ¼ sM , mit sM als Axialverschiebung der Mutter auf dem Gewinde, vorausgesetzt, daß Kopf und Mutter vor dem Anziehen allseitig satt auf den ebenen Platten oder passenden Ansenkungen aufliegen. Nachgiebigkeit der Schraube. Die Schraube setzt sich aus einer Anzahl von Einzelelementen zusammen, die durch zylindrische Krper verschiedener Lngen li und Querschnitte Ai gut ersetzbar sind, Bild 63. Die Nachgiebigkeit eines zylindrischen Einzelelements folgt zu di ¼ li =ðES Ai Þ mit dem Elastizittsmodul ES des Schraubenwerkstoffs. Die Nachgiebigkeit der Schraube dS insgesamt wird dS ¼ Sdi . Die elastische Nachgiebigkeit des Kopfes wird in VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986, fr genormte Sechskant- und Innensechskantschrauben mit dK ¼ 0;4d=ðES AN Þ bei AN ¼ pd2 =4 angegeben, fr die Nachgiebigkeit des eingeschraubten Gewindekerns gilt dG ¼ 0;5d=ðES A3 Þ mit Kernquerschnitt A3 ¼ pd32 =4 und fr
Bild 62. Verspannungsdreieck als grafische Darstellung der Krfte und Verformungen beim Anziehen. FS Zugkraft in Schraube FS ¼ FS ðfS Þ; fS Lngung der Schraube, FP Druckkraft in den Platten, FP ¼ FP ðfP Þ; fP Zusammendrckung der Platten, FM Vorspannkraft bei Montage, sM Weg der Mutter auf dem Gewinde
Bild 63. Aufteilung einer Schraube in einzelne zylindrische Krper zur Berechnung ihrer elastischen Nachgiebigkeit (VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986)
die Nachgiebigkeit der Schrauben- und Mutterprofile dM ¼ 0;4d=ðES AN Þ fr Muttern nach DIN 934, fr das freiliegende Gewindeteil mit Lnge lf und Kernquerschnitt A3 gilt df ¼ lf =ðES A3 Þ. Fr Bild 63 gilt also dS ¼ dK þ d1 þ d2 þdf þ dG þ dM . Detailliertere Berechnungsvorschlge siehe Neufassung der VDI-Richtlinie 2230 vom Okt. 2001. Nachgiebigkeit zentrisch verspannter Platten. Die Nachgiebigkeit der Platten dP bei zentrischer Verspannung lßt sich nach Birger [83] nherungsweise bestimmen, indem man die Nachgiebigkeit des unter einem Winkel jers (mit tan jers ¼ 0;5) unter Schraubenkopf und Mutter sich ausbreitenden Doppelkegels mit Bohrung dh und gleichmßig verteilter Druckspannung in den einzelnen Querschnitten ermittelt, Bild 61. Fr solche Platten gibt auch die VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986, Nherungsformeln; die Steifigkeit cP oder die Nachgiebigkeit dP der Platten werden aus Steifigkeit oder Nachgiebigkeit eines Ersatzzylinders mit einem Querschnitt Aers berechnet: Aers nach Bild 64; dP ¼ lK =ðAers EP Þ mit dem Elastizittsmodul EP der verspannten Platten. Streuungen beim Anziehen. Die beim Anziehen auftretenden Streuungen der Montagekraft FM zwischen FM min und FM max knnen nach Bild 65 bersichtlich im Verspannungsschaubild bercksichtigt werden. Die maximale Vorspannkraft FM max muß kleiner bleiben als die zulssige Schraubenkraft, die nach VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986, fr die nicht streckgrenzen- oder drehwinkelgesteuerten Anziehverfahren einer 90%igen Streckgrenzenausnutzung fr Schrauben bis M 39 entspricht – Grenze FM max ¼ FSp . Setzen. Whrend des Anziehens bis zur Montagevorspannkraft FM im Bereich FM min bis FM max werden die Auflageflchen unter Kopf und Mutter sowie die Trennfugen zwischen den Platten eingeebnet. Aber auch danach wird durch zeitlich vernderliche Betriebskrfte ein Setzen in den Trennfugen mit weiterem Einebnen von Oberflchenrauhigkeiten auftre-
I1.6 Schraubenverbindungen
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verwendet werden. Auch sollen die Auflageflchen unter Schraubenkopf und Mutter stets gut bearbeitet sein und rechtwinklig zur Schraubenachse stehen [75, 78]. 1.6.7 berlagerung von Vorspannkraft und Betriebslast Superposition of preload and working loads
Bild 64 a–c. Ersatzdruckzylinder zur Berechnung der elastischen Nachgiebigkeit von verspannten Hlsen und Platten nach VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986 a Aers ¼ p4 ðD2A dh2 Þ
2 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi !2 3 3 lK dw 15 þ 1 D2A
b Aers ¼ p4 ðdw2 dh2 Þ þ p8 dw ðDA dw Þ4
FK ¼ cS =ðcS þ cP Þ ¼ dP =ðdS þ dP Þ:
2 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi !2 3 lK dw 15: c Aers ¼ p4 ðdw2 dh2 Þ þ p8 dw lK 4 3 þ 1 ðlK þ dw Þ2
ten. Die Hhe des Setzbetrags fZ ist sowohl von der Anzahl der Trennfugen als auch von der Grße der Rauhigkeit der Fugenflchen abhngig. Er wchst im Mittel mit dem Klemmlngenverhltnis (lK =d). Fr massive Verbindungen mit Schrauben nach DIN 931 (praktisch auch DIN 933) gilt fZ 3;29ðlK =dÞ0,34 103 mm:
Zentrische Verspannung und Belastung. Greift an einer symmetrisch gestalteten und (zentrisch) vorgespannten Schraubenverbindung nach Bild 61 eine axiale Zugkraft FA zentrisch unter Kopf und Mutter der Durchsteckschraube an, dann wird die Schraube um einen Betrag fSA zustzlich verlngert und die Zusammendrckung der Platten um den gleichen Betrag fPA vermindert; d. h. Schraube und Platte sind weggleich (parallel) bezglich der Zugkraft FA geschaltet, solange kein Klaffen der Schraubenverbindung in der Trennfuge auftritt. Es gilt fr die Schraubenzusatzkraft FSA ¼ cS fSA und fr FA ¼ ðcS þ cP Þ fSA ; die Klemmkraft in den Platten wird um FPA ¼ FA FSA ¼ cP fSA vermindert. Die Krfte knnen zweckdienlich in das Verspannungsschaubild eingezeichnet werden, Bild 66. Weiter gilt FSA ¼ ðcS =ðcS þ cP ÞÞFA FK FA mit dem Kraftverhltnis FK fr Angriff der ußeren Kraft FA direkt unter Kopf und Mutter. Mit dS ¼ 1=cS und dP ¼ 1=cP wird dann
ð2Þ
Detaillierte Angaben zu fZ siehe VDI-Richtlinie 2230, Neufassung 2001. Durch das Setzen der Verbindung um den Betrag fZ verringert sich die Montagevorspannkraft FM nochmals um den Betrag FZ . Von FM min bleibt damit nur die Vorspannkraft FV ¼ FM min FZ brig (Bild 65). FV muß mindestens gleich der erforderlichen Vorspannkraft FV erf sein. Der Setzbetrag bewirkt eine Verringerung der Schraubenlngung um FZ dS und der Plattenzusammendrckung um FZ dP ; es gilt also fZ ¼ FZ dS þ FZ dP und somit FZ ¼ fZ =ðdS þ dP Þ. Um das Setzen nicht unntig zu vergrßern, drfen bei hochfesten, stark vorgespannten Schrauben keine Sicherungsbleche, Unterlegscheiben oder Federringe unter Schraubenkopf oder Mutter
Bild 65. Verspannungschaubilder zur Ermittlung des Einflusses von Setzen und Vorspannkraftstreuung
ð3Þ
Die Restklemmkraft in der Trennfuge FKR nach Belastung und Setzen ist FKR ¼ FV FPA ¼ FV ð1 FK ÞFA ; sie muß mindestens gleich der erforderlichen Klemmkraft sein: FKR ^ FK erf . Damit ergibt sich fr die erforderliche Vorspannkraft FV erf ¼ FK erf þ FPA % FV und fr die minimale Montage-Vorspannkraft FM min ¼ FV erf þ FZ mit dem Vorspannkraftverlust FZ infolge Setzens. Mit dem Anziehfaktor aA wird die maximale Montage-Vorspannkraft FM max ¼ aA FM min ¼ aA ½FK erf þ ð1 FK ÞFA þ FZ :
ð4Þ
Wird nach dem Anziehvorgang eine 90%ige Streckgrenzenausnutzung zugelassen, dann darf FM max hchstens FSp nach Anh. G 1 Tab. 7 bzw. VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986, erreichen. Damit nach Aufbringen der Betriebslast FA die Streckgrenze dann nicht berschritten wird, darf FSA nicht grßer als etwa 13% der maximalen Montage-Vorspannkraft FM max sein, was mglichst niedrige Werte des Kraftverhltnisses FK erfordert. Krafteinteilung ber die verspannten Teile. Im allgemeinen greift die ußere Axialkraft auch bei zentrischem Angriff nicht unmittelbar unter Kopf und Mutter an, sondern innerhalb der verspannten Teile. Nimmt man an, daß die Kraftangriffspunkte nicht die Entfernung lK zwischen Kopf- und Mutterauflage haben, sondern nur die Entfernung nlK (z. B.
Bild 66. Verspannungsschaubild zur Ermittlung der Schraubenzusatzkraft FSA , der max. Schraubenkraft FS max und der Restklemmkraft FKR mit tan gS ¼ cS und tan gP ¼ cP
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Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
n ¼ 0;5), dann werden nicht mehr alle Plattenbereiche durch die Axialkraft FA entlastet – die Steifigkeitsverhltnisse der be- und entlasteten Bereiche der Schraubenverbindung ndern sich. Die Zusammenhnge sind in Bild 67 dargestellt, wobei Setzen und Vorspannkraft-Streuungen nicht bercksichtigt wurden. Die Schraubenzusatzkraft FSA berechnet man nun mit FSA ¼ Fn FA mit dem Kraftverhltnis Fn fr zentrische Einleitung der Axialkraft FA in Ebenen im Abstand ðnlK Þ: Fn ¼ nFK ¼ ncS =ðcS þ cP Þ ¼ ndP =ðdS þ dP Þ:
G
ð5Þ
Schwingende ußere Lasten. Bei schwingender ußerer Last werden sowohl die maximale Betriebskraft FAo und die minimale Betriebskraft FAu unter Beachtung des Vorzeichens in das Verspannungsschaubild eingetragen (Bild 68 a) und hieraus die Schwingbelastung fr die Schraube abgeleitet. Bei wechselnder Betriebslast ist FAo ¼ FAu ; so daß der Wechselkraftanteil FSAa der Schraubenzusatzlast gleich FSAo ist. Bei schwellender Betriebslast ist FAo ¼ FA und FAu ¼ 0, womit der Wechselkraftanteil durch FSAa ¼ FK FA =2 bzw. FSAa ¼ Fn FA =2 gegeben ist, Bild 68 b. In Bild 68 c ist eine zentrisch angreifende statische Druckkraft FA eingezeichnet. Belastung bis in den plastischen Bereich. Wird eine Schraube durch eine zentrisch angreifende ußere Zugkraft FA in den plastischen Bereich hinein beansprucht, dann folgt nderung des (gestrichelt dargestellten) Vorspanndreiecks nach Bild 69. Nach dem Entlasten, dem Entfernen der ußeren Kraft FA , bleibt nur die um FZ verminderte Vorspannkraft zurck; FZ erhlt man mit FZ ¼ fSpl =ðdS þ dP Þ mit fSpl als plastischem Verformungsanteil unter der gesamten Schraubenkraft FS max nach Aufbringen von FA . Analoge Betrachtungen sind bei Druckkrften und einem Setzen der verspannten Platten erforderlich. Exzentrische Verspannung und Belastung. Der bisher behandelte Fall einer zentrisch verspannten und zentrisch belasteten Schraubenverbindung ist konstruktiv nur selten exakt zu verwirklichen. Wenn die Schraubenachse und die Resultie-
Bild 67. Verspannungsschaubild fr innerhalb der verspannten Teile eingeleitete Betriebskraft FA (ohne Bercksichtigung von Setzen und Vorspannkraftstreuung)
rende der ußeren Kraft FA nicht mit der Schwerlinie der verspannten Teile zusammenfallen, sondern nach Bild 70 parallel zu dieser liegen, wird die Schraubenzusatzlast dadurch u. U. wesentlich beeinflußt; zustzlich wird meist ein Biegemoment in der Trennfuge der Schraubenverbindung erzeugt, so daß die exzentrisch belastete Schraubenverbindung zum Abheben (Klaffen) in der Trennfuge neigt. Es ist anzustreben, das Klaffen der Schraubenverbindung durch geeignete Gestaltung zu verhindern; Gestaltungshinweise fr Einschraubenverbindungen nach Bild 71 (Zylinderverbindungen) und Bild 72 (Balkenverbindungen). Zur Berechnung der Krfte und Momente in exzentrisch belasteten Schraubenverbindungen sind in Tab. 20 die Ergebnisse verschiedener Modellrechnungen zusammengefaßt; vorausgesetzt wird, daß kein Klaffen in der Trennfuge auftritt und daß die Krafteinleitung ber die verspannten Teile im Abstand ðnlK Þ=2 von der Trennfuge der Schraubenverbindung erfolgt. Neben der Schrauben-(Zug-Druck-)Nachgiebigkeit dS ¼ 1=cS und der Platten-(Zug-Druck-)Nachgiebigkeit dP ¼ 1=cp nach Bild 62 werden die Schrauben-Biegenachgiebigkeit bS und eine Platten-Biegenachgiebigkeit bp bentigt. Fr prismatische Biegestbe gilt b ¼ lK =ðEIB Þ mit dem Elastizittsmodul E, der Klemmlnge lK und dem Trgheitsmoment des Biegekrpers IB . Der Abstand e der Kraft FA von der Schwerlinie der verspannten Teile nach Bild 70 a wurde mit e ¼ FK s sowie FK nach Gl. (3) so festgelegt, daß die Schraubenzusatz-
Bild 69. Verspannungsschaubild bei Beanspruchung der Schraube bis in den plastischen Bereich (unter Einfluß der Betriebskraft FA )
Bild 70 a–c. Vorgespannte und belastete prismatische Schraubenverbindung. a mit Zugkraft FA bei e ¼ FK s; b mit reiner Biegemomentbelastung MB ; c mit Zugkraft FA im Abstand a von der Schwerlinie des prismatischen Balkens mit Bohrung
Bild 68 a–c. Verspannungsschaubilder fr ußere Betriebskrfte FA . a als schwingende Zug-Druckkraft (FAu negativ!); b als schwellende Zugkraft; c als statische Druckkraft
I1.6 Schraubenverbindungen
G 47
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Bild 71. Richtlinien fr die Gestaltung von Zylinderverbindungen nach [75, 85], ergnzt
last FSA gleich der Schraubenzusatzlast einer zentrisch verspannten und belasteten Schraubenverbindung und das Zusatzbiegemoment in der Schraube MSb gleich Null wird; eine vorhandene Plattendruckkraft wird um die Plattenentlastung FPA vermindert und in der Trennfuge ein vorhandenes Biegemoment um MPb verndert. Eine reine Biegemomentbelastung MB nach Bild 70 b erzeugt eine Schraubenzusatzlast FSA ¼ nFmK MB =s mit dem Kraftverhltnis FmK ¼
bS bP s =ðbS þ bP Þ bP s dP þ dS þ ðbS bP s2 Þ=ðbS þ bP Þ dP þ dS þ ðbP s2 Þ ð6Þ 2
2
Bild 72. Richtlinien fr die Gestaltung von Balkenverbindungen nach [75, 85], ergnzt
da meist bP bS . Fr eine exzentrische Schraubenlast FA nach Bild 70 c ergibt sich dann durch berlagerung der Belastungen nach Bild 70 a, b mit MB ¼ FA ða eÞ die Schraubenzusatzlast FSA ¼ nFeK FA mit FeK
dP þ ðbP a sÞ : dP þ dS þ ðbP s2 Þ
ð7Þ
Die Schraubenvorspannkraft FV (Zug) erzeugt in der Trennfuge der Schraubenverbindung eine gleich große Druckkraft FP , auch ein Schraubenbiegemoment MSb ¼ FV sbP = ðbS þ bP Þ YK FV s und in der Trennfuge ein Biegemoment MPb ¼ FV sbS =ðbS þ bP Þ FV s:
Tabelle 20. Schrauben- und Platten(zusatz)krfte bzw. -(zusatz)momente infolge ußerer Belastung sowie Vorspannung
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Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
Fr prismatische Balken mit einer Ersatzflche Aers und einem Ersatztrgheitsmoment IB ers gilt bP =dP ¼ Aers =IB ers : In der VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986, werden als Beispiele die Berechnung einer Pleuellagerdeckelverschraubung und die Berechnung einer Zylinderdeckelverschraubung behandelt [75]. Die neuen Berechnungsvorschlge in der Neufassung der VDI-Richtlinie 2230 vom Okt. 2001 sind in der Praxis zu erproben; wegen der sehr niedrigen Werte fr n sollten in kritischen Fllen eigene FEM-Berechnungen erfolgen!
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Abhebegrenze. Zur Bestimmung der Grenzbelastung FAab bzw. MBab bei der in der Trennfuge der Schraubenverbindung gerade noch kein Klaffen auftritt, wird die Druckspannung aus der minimalen Vorspannkraft FV und den Betriebsbelastungen FA und MB in der Trennfuge berechnet. Fr NichtKlaffen ist erforderlich, daß diese Druckspannung an keiner Trennfugenstelle, z. B. an der Stelle U in Bild 70 c bei positivem FA , in den Zugbereich gelangt. Stlpen von Flanschen. Bei Flanschverbindungen mit dnnen Flanschblttern knnen sich diese unter den ußeren Zugkrften wie Tellerfedern stlpen oder unter ußeren Momenten wie Hutrnder krempeln. Konstruktive Gestaltungshinweise fr Mehrschraubenverbindungen mit Flanschen s. Bild 73. Bei elastischen Dichtungen zwischen den Flanschen ist deren Nachgiebigkeit zur Nachgiebigkeit der Flansche zu addieren. 1.6.8 Auslegung und Dauerfestigkeitsberechnung von Schraubenverbindungen Static and fatigue strength of bolted connections Betriebsbelastungen. Zur Auslegung der Schraubenverbindung mssen die im Betrieb auftretenden ußeren Belastungen mglichst genau bekannt sein. Fr den Entwurf ist es zweckmßig zwischen selten auftretenden hohen Sonderlasten und hufig auftretenden Betriebslasten zu unterscheiden. Die seltenen, hohen Sonderlasten wird man im Sinne der Festigkeitsberechnung statisch bewerten, fr die hufig auftretenden Betriebslasten wird man meist eine Dauerfestigkeitsbewertung zumindest in der Entwurfsphase anstreben. Ideal – aber nicht oft realisierbar – ist eine Schraubenverbindung, die die anschließenden Bauteilquerschnitte fr die auftretenden Betriebs- und Sonderlasten vollwertig ersetzt. Einschraubenverbindung. Aus den ußeren Belastungen einer Mehrschraubenverbindung sind im ersten Schritt die Belastungen der hchstbeanspruchten Einschraubenverbindung abzuleiten. Fr diesen Schritt stehen vielfltige Rechnerprogramme zur Verfgung, z. B. [86]. In einfachen Fllen lassen sich die auf die Einschraubenverbindungen wirkenden Betriebs- und Sonderlasten auch ohne Rechnereinsatz ermitteln, was aber bei der Abschtzung der Lasteinleitungshhe nlK erhebliche Erfahrung erfordert. Zur Auslegung der Einschraubenverbindung mssen danach die ußere Axialkraft FA , die gegebenenfalls ber die Trennfuge zu bertragenden Querkrfte Fx und Fy , sowie die Biegemomente Mx und My sowohl fr die Sonderlasten als auch fr Betriebslasten bekannt sein, Bild 74. Weiterhin sind zur Festlegung einer MindestRestklemmkraft die erforderliche Dichtpreßkraft und/oder qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi zur Aufnahme von Fugenreibungskrften FQ ¼ Fx2 þ Fy2
Bild 73. Richtlinien fr die Gestaltung von Mehrschraubenverbindungen nach [75, 85], ergnzt
¼ mFN die erforderliche Normalkraft FN anzugeben und das voraussichtlich angewandte Anziehverfahren mit dem Anziehfaktor aA festzulegen. Vordimensionierung. Die maximale Schraubenkraft FSmax kann fr eine erste berschlgige Rechnung zu FSmax aA ðFK erf þ FA Þ angenommen werden. Sie muß, wenn eine 90%ige Streckgrenzenauslastung beim Anziehen als zulssig angesehen wird, kleiner als FSp =0;9 nach Anh. G 1 Tab. 7 oder einer Tabelle der VDI-Richtlinie 2230,
Bild 74. Mgliche Belastungen einer Einschraubenverbindung. FA qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Axialkraft; FQ ¼ Fx2 þ Fy2 Querkraft; Mx ; My Biegemomente
I1.6 Schraubenverbindungen Ausgabe 1986, sein. Fr eine gewnschte Festigkeitsklasse kann damit der erforderliche Schraubendurchmesser d gefunden werden oder fr einen im ersten Entwurf zunchst festgelegten Schraubendurchmesser die notwendige Festigkeitsklasse der Schraube. Anhand des gegebenenfalls bereits hier zu korrigierenden Konstruktionsentwurfs ist die Klemmlnge lK festzulegen, deren Kenntnis fr die Berechnung der Schraubennachgiebigkeit dS und der Plattennachgiebigkeit dP erforderlich ist. Falls die berschlgig mit FS max ¼ FSp =0;9 bei elastischem Anziehen oder FS max ¼ 1;2FSp =0;9 fr streckgrenz- bzw. streckgrenzberschreitendes Anziehen zu berechnende Flchenpressung p unter Kopf und Mutter eine Klemmlngennderung wegen zustzlich erforderlicher hochfester Unterlegscheiben notwendig macht, ist auch dies zu bercksichtigen. Die Flchenpressung wird hierbei mit der Grße der Auflageflche AP nach der Formel p ¼ FS max =AP berechnet und darf nicht grßer als die Grenzflchenpressung pG nach Anh. G 1 Tab. 8 sein. Fr exzentrisch verspannte und exzentrisch belastete Schraubenverbindungen ist nun zu prfen, ob unter den ungnstigsten Belastungen Klaffen in der Trennfuge oder zumindest im Bereich des Birger-Kegels nach Bild 61 verhindert werden kann und ob die erforderliche Mindestklemmkraft FK erf unter Bercksichtigung von Setzen und Exzentrizitt gewhrleistet ist. Es ist auf jeden Fall anzustreben, daß die hufig auftretenden Betriebslasten quer zur Schraubenachse reibschlssig bertragen werden – zur bertragung von selten auftretenden hohen Sonderlasten knnen eventuell zustzliche Formschlußelemente (Stifte) eingesetzt werden [90]. Kraftverhltnisse. Die Zug-Druck-Nachgiebigkeiten dS und dP sind nach Bild 63 und Bild 64 zu bestimmen; die Biegenachgiebigkeiten bS und bP werden durch Aufsummieren der maßgebenden Teilnachgiebigkeiten bi ¼ li =ðEIBi Þ mit den Teillngen li , dem Elastizittsmodul E und den Flchentrgheitsmomenten IBi abgeschtzt. Fr eine Schraube nach Bild 63 gilt analog zur Ermittlung von dS sinngemß: bS bk þ b1 þ b2 þ bf þ bG þ 8dM =d 2 mit den Flchentrgheitsmomenten IBi ¼ pdi4 =64 und der Nachgiebigkeit fr die Mutterverschiebung dM . Die Biegenachgiebigkeit des Ersatzbiegebalkens ist wesentlich ungenauer zu berechnen. In erster Nherung gilt bP ¼ dP Aers =Iers mit Aers nach Bild 64 und Iers ¼ bh3B =12 mit geschtzten Werten fr die Breite b und die Hhe hb eines Rechteck-Biegebalkens; fr b und hB drfen hchstens Werte gewhlt werden, die den Durchmesser des Birger-Kegels (Bild 61) in der Trennfugenebene nicht berschreiten. Schraubenbelastungen. Fr die Einschraubenverbindungen nach Bild 70 werden die Schraubenkrfte FS und SchraubenBiegemomente MSb mit Tab. 20 bestimmt. Richtwerte fr den Faktor n s. Bild 71. Im Zweifelsfall ist jeweils der ungnstigere Wert von n zu whlen. Die Formeln setzen planparallele Auflageflchen fr Schraubenkopf und Mutter voraus. Die maximale Montage-Vorspannkraft wird mit Gl. (4) mit FK ! nFeK festgelegt, das Gewindereibungsmoment beim Anziehen nach G 1.6.6. Maximale Schraubenspannung. Unter der maximalen Montage-Vorspannkraft wird eine Vollschaftschraube im Bolzengewinde durch die Nenn-Zugspannung szM ¼FM max =AS und eine Nenn-Torsionsspannung ttM ¼MG =Wp (mit dem polaren Widerstandsmoment Wp des Spannungsquerschnitts AS ) belastet; das durch FM max in einer exzentrisch verspannten Schraubenverbindung erzeugte Biegemoment MSb darf meist unbercksichtigt bleiben. Zustzlich wirkt die aus den axialen Betriebskrften und -momenten resultierende Zusatzkraft FSAo und deshalb z. B. bei exzentrischer Betriebskraft FAo die zustzliche Zugspannung sSAo ¼ nFeK FAo =AS . Die berlagerung dieser Spannungen nach der Mises-Hypothese ergibt die
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Vergleichsspannung sz red , die nach VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986, bei elastischem Anziehen bis dicht an Rp 0;2 heranreichen, bei streckgrenz- bzw. streckgrenzberschreitendem Anziehen Rp 0;2 sogar rechnerisch beschrnkt berschreiten darf. Diese berschlgige Betrachtungsweise setzt voraus, daß das Material auch im gekerbten Zustand ausreichend fließfhig bleibt, daß das Gewinde nicht abgestreift wird und daß die bei Betriebslast auftretenden Setzerscheinungen bei der Bestimmung der Restklemmkraft jeweils beachtet werden. Bei großen Schrauben reicht diese einfache Berechnungsmethode zur Beurteilung des Bauteilversagens nicht mehr aus [80, 88]. Fr Dehnschaft- und Taillenschrauben ist statt des Spannungsquerschnitts AS der engste Querschnitt AT zu bercksichtigen, analoges gilt fr die Widerstandsmomente Wp . Flchenpressung unter Kopf und Mutter. Die Einhaltung der zulssigen Flchenpressung p in der Kopf- und Mutterauflage ist fr eine maximale rechnerische Schraubenkraft FS max ¼ fa ðFM max þFFAo Þ nachzuprfen, mit fa ¼ 1 fr elastisches Anziehen und fa ¼ 1;2 fr streckgrenz- bzw. streckgrenzberschreitendes Anziehen sowie dem ungnstigsten Kraftverhltnis F. Zulssige Flchenpressungen nach Anh. G 1 Tab. 8. Flchenpressung im Gewinde. Fr Schrauben-Mutter-Kombinationen mit festgelegten Prfkrften nach DIN ISO 898 ist die Flchenpressung im Gewinde bei zgiger Belastung nicht nachzurechnen. Bei Bewegungsschrauben bestimmt die Flchenpressung p im Gewinde die erforderliche Mutterhhe. Die tragende Flche eines Gewindegangs ergibt sich aus den Abmessungen nach Bild 57 und Bild 58. Mutterhhen mit h > 1;5d werden nicht ausgenutzt und sind nicht mehr zu bercksichtigen; als zulssige Flchenpressung kann dann unter der Annahme einer gleichmßigen Pressungsverteilung fr Bewegungsschrauben mit Bronzemuttern angenommen werden: pzul ¼ 7;5 N=mm2 bei unlegierten Maschinenbausthlen, pzul ¼ 15 N=mm2 bei hochfestem Stahl. Abstreiffestigkeit von Schrauben- und Muttergewinde. Die Tragfhigkeit der Gewindeverbindung bei zgiger Belastung wird durch die Schubfestigkeit tB 0;6Rm von Schraube oder Mutter und durch die zugeordneten effektiven Scherflchen ASG , die wiederum von der Mutteraufweitung, der plastischen Gewindeverbiegung und den Fertigungstoleranzen abhngen, bestimmt. Fr Muttern mit einem Verhltnis von Schlsselweite/Nenndurchmesser = 1,5 ist beispielsweise fr Mutteraufweitung und plastische Gewindeverformung zustzlich eine Reduktion der geometrischen Scherflche um 25% anzunehmen; der Einfluß der Reibung beim Anziehen der Schraubenverbindung kann durch einen Abschlag von 10 bis 15% bercksichtigt werden [75], Ausgabe 1986. Dauerschwingbeanspruchung. Der maßgebende Spannungsausschlag sSa bei Dauerschwingbeanspruchung mit 106 oder mehr Lastspielen wird aus der Nennspannungsamplitude sza ¼ nFeK ðFAo FAu Þ=ð2A3 Þ und der zugehrigen Biegenennspannungsamplitude sba ¼ ½ðMSb Þo ðMSb Þu =ð2W3 Þ ermittelt – Bild 68 und Tab. 20, Kernquerschnitt A3 und zugehriges Biegewiderstandsmoment W3 ¼ pd33 =32. Spannungsausschlag sSa muß kleiner als der zulssige Wert sA zul bleiben, der mit der erforderlichen Sicherheitszahl SD nach sA zul ¼ sA =SD und Tab. 21 fr Schrauben der Festigkeitsklassen 8.8, 10.9 und 12.9 nach VDI-Richtlinie 2230 abgeschtzt werden kann. Der Faktor 0,75 in der Formel fr sASV bercksichtigt, daß die Streuung der Dauerhaltbarkeit um den Versuchsmittelwert 25% betragen kann [75, Ausgabe 1986; leicht modifizierte Vorschlge siehe Neufassung]. Die Dauerhaltbarkeit sA ist wegen der scharfen Kerben des Spitzgewindes und der Krafteinleitung ber eine Druckmutter, z. B. nach Bild 61, sehr niedrig im Vergleich zur Dauer-
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Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
Tabelle 21. Dauerhaltbarkeit des Gewindes von Schrauben der Festigkeitsklassen 8.8, 10.9 und 12.9 (Anhaltswerte) mit Gewinde-Nenndurchmesser d bis 40 mm und Druckmuttern, Schraubenkraft an der 0,2%-Dehngrenze F0;2 , Vorspannkraft FV (nach VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986)
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haltbarkeit eines glatten Stabes aus gleichem Werkstoff. Die Lasteinleitung ber eine Druckmutter ist deshalb sehr ungnstig, weil durch die Formnderung des belasteten Gewindes die Zugkraft im Bolzen nicht gleichmßig ber alle Gewindegnge verteilt wird und durch die Kraftfluß-Umlenkung aus der Zugkraft im Bolzen eine Druckkraft in der Mutter wird. Man kann annehmen, daß bei einer blichen Druckmutter im ersten Gang bereits bis zu 40% der Zugkraft FS bertragen werden, wenn keine Lastumverteilung durch Fließvorgnge (Setzen) beim Anziehen der Schraube erfolgt. Schraubenverbindungen mit schlußvergteten Schrauben bis d=40 mm erweisen sich wegen solcher plastischer Lastumverteilungsvorgnge als relativ mittelspannungsunempfindlich, Bild 75. Die erhhte Dauerhaltbarkeit schlußgewalzter Schrauben geht dagegen mit wachsender Vorspannung zurck. Gewindeauslauf und Kopf-Schaft-bergang. Wird durch Vergten und Rollen die Dauerfestigkeit des Bolzengewindes erheblich gesteigert, so mssen auch Kerbstellen an anderen Stellen der Schrauben, wie z. B. der Gewindeauslauf nach DIN 76 T 1, auf Dauerhaltbarkeit nachgerechnet und wenn ntig konstruktiv verbessert werden. In Bild 76 ist der im Mittel ertragbare Spannungsausschlag in verschiedenen bergngen zwischen Gewinde und Schaft aufgefhrt [77, 94]. Der bergangsradius fr den Kopf-Schaft-bergang ist in den Normen fr Schrauben festgelegt. Die Ausfhrung als tolerierter bergangsradius reicht fr Normschrauben mit relativ niedrigen Kpfen auch meist noch aus, wenn durch Kaltverfestigung das Gewinde auf hchste Dauerhaltbarkeitswerte gebracht wird. Durch Erhhung der bergangsradien auf 0;08d knnen besonders dauerhafte Schrauben, allerdings mit
geringer Vergrßerung des Kopfaußendurchmessers, konstruiert werden. Große Schrauben [80, 88, 89]. Der Erhhung der Dauerfestigkeit durch Rollen sind abmessungsseitig Grenzen gesetzt. Fr große Schrauben werden deshalb bei hohen dynamischen Belastungsanteilen weitere Maßnahmen zur Steigerung der Dauerhaltbarkeit angewendet. In Bild 77 werden die ersten Gewindegnge an der Mutter durch eine Verlagerung der Kraftflußumlenkung und am Sacklochgewinde durch den kegeligen bergangsradius zum Schaft mit bergreifendem Gewinde entlastet. Die Dehnschraube ist biegeweich und wird mit einer Ansatzkuppe im Sacklochgrund verspannt. Die relativ biegeweiche Dehnschraube wird hydraulisch vorgespannt und durch eine Scherbchse von hohen seltenen Querkrften entlastet, whrend die hufig auftretenden Betriebs-Querkrfte durch Reibschluß bertragen werden. Die Vorspannkrfte beim Anziehen sind unter Beachtung bruchmechanischer Berechnungen festzulegen [80]. Schraubenverbindungen mit Sonderanforderungen. Sie werden bezglich hherer oder tieferer Temperaturen und/ oder Korrosion z. B. in [77–79] behandelt.
Bild 76. Einfluß der Gestaltung von Gewindeauslufen auf den ertragenen Wechselspannungsausschlag sA am bergang vom Gewinde zum Schaft [94]
Bild 75. Dauerhaltbarkeitsgrenzen fr schlußvergtete Schrauben mit geschnittenem Gewinde und Druckmutter (Schraubengewinde werden heute vorzugsweise gerollt; Dauerhaltbarkeitswerte deshalb auf sicherer Seite)
Bild 77. Konstruktive Maßnahmen zur Steigerung der Dauerfestigkeit großer Schrauben
I1.6 Schraubenverbindungen 1.6.9 Sicherung von Schraubenverbindungen Thread locking devices
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Tabelle 22. Einteilung der Sicherungselemente nach Funktion und Wirksamkeit nach [75, 77, 79]
Eine konstruktiv richtig ausgelegte Schraubenverbindung, die zuverlssig vorgespannt ist, braucht i. allg. keine zustzliche Schraubensicherung, insbesondere bei hochfesten Schraubenwerkstoffen, gengender Schraubennachgiebigkeit dS , gengender Klemmlnge ðlK ^ 5dÞ und einem Minimum von Trennfugen. Maßnahmen zur Vergrßerung der Klemmlnge oder zur Erhhung der Nachgiebigkeit dS (Bild 78) haben nicht nur den Vorteil, daß sie die Schraubenzusatzlast FSA herabsetzen, sondern auch den Vorteil erhhter Sicherheit gegen Losdrehen. Durch Lockern infolge Setzens bzw. Kriechens der Verbindungselemente oder durch selbstttiges Losdrehen als Folge von Relativbewegungen zwischen den Kontaktflchen kann in manchen Fllen die erforderliche Vorspannkraft jedoch unterschritten werden, so daß bereits bei der konstruktiven Auslegung geeignete Sicherungselemente vorzusehen sind. Kriechen kann z. B. beim Verspannen von niederfesten Kupferoder lackierten Stahl-Blechen selbst bei Raumtemperatur beobachtet werden, whrend Relativbewegungen zwischen den Kontaktflchen vor allem bei dnnen verspannten Teilen und Belastungen senkrecht zur Achsrichtung der Schraube bei unzureichender Vorspannkraft auftreten. Man unterscheidet zwischen „Setzsicherungen“ zur Kompensierung der Kriechund Setzbetrge und „Losdrehsicherungen“, die in der Lage sind, das bei Relativbewegung entstehende „innere“ Losdrehmoment zu blockieren oder zu verhindern; „Verliersicherungen“ knnen ein teilweises Losdrehen nicht verhindern, wohl aber ein vollstndiges Auseinanderfallen der Schraubenverbindung.
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Tab. 22 gibt einen berblick ber die Funktion und Wirksamkeit verschiedener Sicherungselemente [75, 77–79], s. auch DIN 25 201. Mitverspannte federnde Elemente vermgen in der Regel Losdrehvorgnge infolge wechselnder Querverschiebung nicht zu verhindern. Fr axialbeanspruchte sehr kurze Schrauben der unteren Festigkeitsklassen ( % 6.8) kann die Verwendung als Setzsicherung empfohlen werden. Die Federwirkung muß jedoch auch unter voller Vorspannkraft und hchster Betriebskraft vorhanden sein. Zu beachten ist die Gefahr von Spaltkorrosion in entsprechender Atmosphre [75, 78, 82]. Formschlssige Elemente knnen ein begrenztes Losdrehmoment aufnehmen und sollten daher auch nur bei Schrauben im unteren Festigkeitsbereich ( % 6.8) eingesetzt werden. Da sie in der Regel nur eine geringe Restvorspannkraft aufrechterhalten, sichern sie die Verbindung insbesondere nach Setzen gegen Verlieren, Bild 79. Fr Nutmuttern nach DIN 1804 werden i. allg. und insbesondere im Werkzeugmaschinenbau Sicherungsbleche mit Innennase nach DIN 462 verwendet, Bild 79 d. Klemmende Elemente in „selbstsichernden“ Muttern nach DIN 980/982/985/986/6924/6925 z. B. Bild 80 a bieten einen
Bild 79 a–f. Formschlssige Schraubensicherungen. a Sicherungsblech mit Lappen DIN 93; b Sicherungsblech mit zwei Lappen DIN 463; c Sicherungsblech mit Außennase DIN 432; d Sicherungsblech mit Innennase DIN 462 fr Nutmutter DIN 1804; e Kronenmutter DIN 935 mit Splint DIN 94; f Drahtsicherung
Bild 78. Konstruktive Maßnahmen mit steigender Dauerhaltbarkeit und steigender Losdrehsicherheit der Schraubenverbindung
hohen Reibschluß und knnen zumindest als Verliersicherungen angesehen werden. Kontermutter (mit einer niedrigeren Mutter als untere Mutter) nach Bild 80 b und Sicherungsmut-
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Mechanische Konstruktionselemente – 2 Federnde Verbindungen (Federn)
tern nach DIN 7967 nach Bild 80 c schtzen nicht zuverlssig gegen Losdrehen. Sperrende Elemente (Rippen oder Zhne) in der Auflageflche von Schraube oder Mutter nach Bild 80 d und Bild 80 e vermgen in den meisten Anwendungsfllen das innere Losdrehmoment zu blockieren und somit die Vorspannkraft in voller Hhe zu erhalten, da sie sich in nicht gehrtete Oberflchen eingraben [96]; allerdings ist die Kerbwirkung der Oberflchenverformung zu beachten [84].
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Klebende Elemente bewirken einen Stoffschluß im Gewinde und verhindern damit Relativbewegungen zwischen Bolzenund Muttergewindeflanschen, so daß die inneren Losdrehmomente nicht wirksam werden [78]. Klebende Sicherungselemente sind insbesondere bei gehrteten Oberflchen geeignet, wo sperrende Elemente nicht mehr anwendbar sind. Zu beachten ist die zum Teil stark strende Gewindereibung beim Anziehen sowie die Anwendungsgrenze von etwa 90 C. Im Großmaschinenbau werden Schrauben und Muttern oft durch Kehl-Schweißnhte an einer oder zwei Sechskantflchen gegen Losdrehen gesichert.
2 Federnde Verbindungen (Federn) Elastic connections (springs) H. Mertens, Berlin; H.D. Motz, Solingen (Abschn. 2.6)
2.1 Aufgaben, Eigenschaften, Kenngrßen Applications, characteristics, properties 2.1.1 Aufgaben. Applications Eine Feder ist ein Konstruktionselement mit der Fhigkeit Arbeit auf einem verhltnismßig großen Weg aufzunehmen und diese ganz oder teilweise als Formnderungsenergie zu speichern. Wird die Feder entlastet, so wird die gespeicherte Energie ganz oder teilweise wieder abgegeben. Eine Feder kann damit durch ihre energiespeichernden und -verzehrenden Eigenschaften (durch Speicher- und Dmpfungsvermgen) beschrieben werden. Hieraus knnen folgende Aufgaben abgeleitet werden: – Aufrechterhalten einer nahezu konstanten Kraft bei kleinen Wegnderungen durch Bewegung, Setzen und Verschleiß, z. B. Kontaktfedern, Ringspannscheiben zur Schraubensicherung, Andrckfedern in Rutschkupplungen; – Vermeiden hoher Krfte bei kleinen Relativverschiebungen zwischen Bauteilen durch Wrmedehnungen, Setzen oder andere eingeprgte Verformungen, z. B. Kompensatoren in Rohr- und Stromleitungen, Dehnfugenausgleich in Plattenkonstruktionen, Laschen oder Membranen in Kupplungen; – Belastungsausgleich oder rumlich gleichmßiges Verteilen von Krften, z. B. fr Federung von Fahrzeugen, fr Federkernmatratzen; – Spielfreies Fhren von Maschinenteilen, z. B. mit parallelen Blattfedern, mit Gummigelenken; – Speichern von Energie, z. B. Uhrenfedern oder Federmotoren fr Spielzeuge; – Rckfhren eines Bauteils in seine Ausgangslage nach einer Auslenkung, z. B. Ventilfedern, Rckstellfedern in hydraulischen Ventilen und Meßgerten – auch fr Rckschlagventile; – Messen von Krften und Momenten in Meß- und Regeleinrichtungen bei reproduzierbarem, gengend linearem Zusammenhang zwischen Kraft und Verformung, z. B. Federwaagen;
Bild 80 a–e. Reibschlssige und sperrende Schraubensicherungen. a Selbstsichernde Mutter DIN 982; b Kontermutter; c Sicherungsmutter DIN 7987; d Sperrzahnschraube; e Sperrzahnmutter
– Beeinflussen des Schwingungsverhaltens von Antriebsstrngen, insbesondere Tilgung oder Dmpfung angeregter Schwingungen bei stationrem oder instationrem Betrieb, aber auch umgekehrt zur Erzeugung von Resonanzschwingungen z. B. in Schwingfrderern oder Schwingprfmaschinen, s. B 4 und U 3.4; – Schwingungsisolierung, Schwingungsdmpfung, Verstimmung; aktive und passive Isolierung von Maschinen und Gerten, s. O 2.3; – Mildern von Stßen durch Auffangen der Stoßenergie auf lngeren Wegen, z. B. Fahrzeug-Gasfeder-Dmpfer, Pufferfedern, Stoßisolierung von Hammerfundamenten, s. Q 1.5.3. Eine vom Verwendungszweck unabhngige Einteilung der Federn kann ber den Federwerkstoff: Metallfedern, Gummifedern, faserverstrkte Kunststoffedern, Gasfedern erfolgen. Bei Metallfedern ist die Werkstoffdmpfungsfhigkeit verhltnismßig gering, bei Federn aus Gummi oder Kunststoff technisch nutzbar. Die federnden Eigenschaften von Metallen lassen sich nur durch bestimmte Formgebung ausnutzen (Formfederung); auch Gummi ist noch relativ steif und praktisch inkompressibel. Nur bei Gasfedern kann die Volumenfederung ausgenutzt werden.
2.1.2 Federkennlinie, Federsteifigkeit, Federnachgiebigkeit Load-deformation diagrams, spring rate (stiffness), deformation rate (flexibility) Federkennlinie. Sie gibt die Abhngigkeit der auf die Feder wirkenden Federkraft F (oder des Federdrehmoments Mt ) vom Federweg s (bzw. dem Verdrehwinkel j), der Auslenkungsdifferenz zwischen den Kraftangriffsstellen, wieder, Bild 1. Die Steigung der Kennlinie dF=ds wird Federsteifigkeit c oder nach DIN 2089 Federrate R genannt. Solange der Federwerkstoff dem Hookeschen Gesetz gengt und die Federn reibungsfrei sind, knnen fr kleine Federwege geradlinige Federkennlinien auftreten. Es gilt dann c ¼ d F=d s ¼ F=s ¼ Fmax =smax bzw. ct ¼ d Mt =d j ¼ Mt =j ¼ Mt max =jmax :
ð1Þ
I2.2 Metallfedern
Bild 1. Federkennlinien bei zgiger Belastung. 1 geradlinige Federkennlinie, 2 progressive Federkennlinie, 3 degressive Federkennlinie, Arbeitsaufnahmefhigeit W fr Kennlinie 1 schraffiert
Der Kehrwert der Federsteifigkeit (oft auch kurz Federsteife) heißt Federnachgiebigkeit d d ¼ 1=c ¼ d s=d F bzw: dt ¼ 1=ct ¼ d j=d Mt :
ð2Þ
2.1.3 Arbeitsaufnahmefhigkeit, Nutzungsgrad, Dmpfungsvermgen, Dmpfungsfaktor Energy storage, energy storage efficiency factor, damping capacity, damping factor
Zsmax
Zjmax F d s bzw: Wt ¼
0
Mt d j:
2 W ¼ Fmax smax =2 ¼ cs2max =2 ¼ Fmax =ð2cÞ
bzw. ð4Þ
Mit dem Hookeschen Gesetz s=Ee=E(s/ l) gilt fr die Arbeitsaufnahmefhigkeit eines Werkstoffs bei ber Federquerschnitt A und Federlnge l gleichmßig verteilter Zug- oder Druckbeanspruchung sowie dem Volumen V=Al: Zsmax
Zsmax F ds ¼ 0
ðF=AÞðAlÞdðs=lÞ ¼ Vs2max =ð2EÞ 0
bzw. Wt ¼ Vt2max =ð2GÞ
ð5Þ
bei Schubbeanspruchung. Bei nicht gleichmßig verteilter Beanspruchung gilt W
¼ hA Vs2max =ð2EÞ
bzw. Wt ¼ hA Vt2max =ð2GÞ
ð7Þ
Erweiterung auf nichtlineares Verhalten bei zyklischer Verformung [15]. Zur Kennzeichnung des nichtlinearen Federverhaltens, insbesondere bei nichtstationrer Beanspruchung, sind erweiterte Feder-Dmpfer-Simulations-Modelle [88] erforderlich, s. auch Q 1.8.
2.2 Metallfedern. Metal springs
Fr Federn mit geradliniger Kennlinie gilt zwischen s=0 und s ¼ smax
W¼
Verformungsamplitude ^s als Grundlinie und der zugehrigen Federkraftamplitude Fc als Hhe wieder; die Dreiecksflche ist ein Maß fr die in der Umkehrlage gespeicherte elastische Verformungsenergie Wpot :
ð3Þ
0
Wt ¼ Mtmax jmax =2 ¼ ct j2max =2 ¼ Mt2max =ð2ct Þ:
Bild 2 a, b. Federkennlinien bei schwingender Belastung. a Kennlinie bei schwellend beanspruchten, zweistufig geschichteten Blattfedern; b Hystereseschleife in Ellipsenform fr einen wechselbeanspruchten viskoelastischen Federwerkstoff mit geschwindigkeitsproportionaler Dmpfungskraft
y ¼ WD =Wpot :
Die Flche unter der Kennlinie (Bild 1) ist ein Maß fr die Arbeitsaufnahmefhigkeit oder das Arbeitsvermgen einer Feder (s. B 3.2), W¼
G 53
ð6Þ
mit dem Volumennutzungsgrad hA , der von der jeweiligen Federgestalt und der Belastungsart abhngt und einen ntzlichen Vergleich verschiedener Federarten hinsichtlich Werkstoffausnutzung gibt. Bei zyklischer Verformung, z. B. schwellendem Federweg nach Bild 2 a oder wechselndem Federweg nach Bild 2 b, ist die von der Kennlinie umschlossene Flche ein Maß fr die whrend eines Lastspiels dissipierte Energie WD . Fr linear viskoelastische Federwerkstoffe wird zur Kennzeichnung des hieraus resultierenden Dmpfungsvermgens der Dmpfungsfaktor y genutzt: Er gibt bei reiner Wechselverformung entsprechend Bild 2 b das Verhltnis der kennlinienumschlossenen, WD -proportionalen Flche zur Dreiecksflche mit der
Metallfedern [1–79] werden meist aus hochfesten Federwerkstoffen (s. E 3.1.4) hergestellt. Alle Normen ber Federsthle enthalten Anforderungen zur Oberflchenbeschaffenheit, da die Zeit- und Dauerfestigkeit von Federn wesentlich von einer kerbfreien Oberflche abhngt. Diese Forderungen mssen auch auf gefertigte und montierte Federn bertragen werden, was bedeutet, daß Riß- und Scheuerstellen bei Montage und Betrieb zu vermeiden sind, Qualittssicherung ist unerlßlich. Auch durch Korrosionseinfluß kann die Lebensdauer stark herabgesetzt werden. Als Korrosionsschutz knnen organische oder anorganische Schutzberzge aufgebracht werden [73]. Bei galvanischen Schutzberzgen ist die Gefahr von Wasserstoffversprdung zu beachten [70]. Weiterhin knnen je nach Korrosionsbelastung verschiedene Chrom-NickelSthle oder NE-Metalle eingesetzt werden. Bei Berechnung und Gestaltung von Federn sind die in Tab. 1 aufgefhrten DIN-Normen zu beachten. In technischen Zeichnungen werden Federn nach DIN ISO 2162 dargestellt. 2.2.1 Zug/Druck-beanspruchte Zug- oder Druckfedern Axially loaded straight bars and ring springs Zugstbe, Druckstbe. Anwendung. Wegen hoher Federsteife nur in hochfrequenten Prfmaschinen und Schwingungserregern sowie als Einzelelemente in Schraubenverbindungen (s. G 1.6). Grundlagen. Fr Stab mit Lnge l, Querschnitt A und Elastizittsmodul E gilt fr Federsteife c ¼ EA=l. Der Nutzungsgrad des federnden Volumens ist hA ¼ 1; falls Einspannkerbwirkung durch entsprechende bergnge vermieden wird: Schulterstbe. Ringfedern. Anwendung. Wegen hoher dissipierter Energie als Pufferfeder sowie als berlastsicherung und Dmpfungselement im Pressenbau [7, 18]. Bauform (Bild 3 a). Zug- und druckbeanspruchte Ringe mit konischen Wirkflchen; (Innenringquerschnitt Ai zu Außenringquerschnitt Aa ) 0;8: (Außenring-Außendurchmesser da zu Ringbreite b) 5 bis 6.
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Mechanische Konstruktionselemente – 2 Federnde Verbindungen (Federn)
Tabelle 1. Gestaltung und Berechnung von Stahlfedern nach Normen (bersicht)
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Grundlagen. Zur Vermeidung von Selbsthemmung wird bei feinbearbeiteten Ringen mit Reibungswinkel r 7 der Neigungswinkel a 12 gewhlt; bei unbearbeiteten grßeren,
im Gesenk geschlagenen Ringen mit r 9 der Neigungswinkel a 14. Fr Belastung F" und Entlastung F# gilt analog zu Bewegungsschrauben (s. B 1.11): F "¼ Fc tanða þ rÞ= tan a ð1;5 . . . 1;6ÞFc ;
ð8Þ
F #¼ Fc tanða rÞ= tan a;
ð9Þ
mit der Federkraft Fc ohne Reibungsbercksichtigung nach Bild 3 b. Fr Arbeitsaufnahme W" bei Belastung gilt W"= (F")s/2, fr Arbeitsabgabe W# bei Entlastung W#=(F#)s/2, dissipierte Energie WD ¼ W " W # 3=4W ". Fr die Zugspannung sz im Außenring und die Druckspannung sd im Innenring gilt aus Gleichgewichtsgrnden sz Aa ¼ sd Ai . Die Flchenpressung p in der Reibflche wird damit p ¼ sz Aa =ðldm Þ, mit der berlappungslnge l einer Kegelpaarung. Die Tangentialkraft Ft im Außenring Ft ¼ sz Aa begrenzt die maximale Tragkraft Fmax , da gilt Bild 3 a, b. Ringfeder. a Querschnitt; b Kennlinie vor dem Blockieren
F "¼ Ft p tanða þ rÞ ¼ sz Aa p tanða þ rÞ:
ð10Þ
I2.2 Metallfedern Die Zusammendrckung s einer Ringfedersule mit insgesamt n Ringen, darunter je zwei halben Endringen wird s ¼ 0;5nðsz dma þ sd dmi Þ=ðE tan aÞ:
ð11Þ
Entwurfsberechnung. Fr bearbeitete Ringe aus gehrtetem und angelassenem Edelstahl und seltene Hchstbeanspruchung kann als zulssige Beanspruchung sz zul ¼ 1000 N=mm2 angenommen werden; zulssige Druckbeanspruchung sd zul etwa 20% hher ðE ¼ 2;1 105 N=mm2 Þ. Feingestaltung. Abhngig von Schmierung (auch Lebensdauerschmierung). Serienprodukte nach Herstellerangaben, Tab. 1. 2.2.2 Einfache und geschichtete Blattfedern (gerade oder schwachgekrmmte, biegebeanspruchte Federn) Leaf springs and laminated leaf springs Einfache Blattfedern. Anwendung. Als Andrckfedern von Schiebern, Ankern, Klinken in Gesperren, als Kontaktfeder in Schaltern, als Fhrungsfedern. Grundformen (Tab. 2). Als Rechteckfeder (Tab. 2 a) mit einem ber die Lnge gleichbleibenden Rechteckquerschnitt der Dicke t und der Breite b oder als Dreieck- (Tab. 2 b) oder Trapezfeder (Tab. 2 d) mit gleichbleibender Dicke t und linear vernderlicher Breite b(x) oder als Parabelfeder (Tab. 2 c) mit gleichbleibender Breite b und parabolischem Verlauf der Hhe h(x) oder als Rechteck-Parallelfeder (Tab. 2 e).
G 55
Entwurfberechnung. Formeln fr die zulssige Querkraft Fzul , die Verformung s bzw. zulssige Verformung szul abhngig von der Querkraft F bzw. der zulssigen Biegenennspannung sb zul , die Federsteife c, die Federarbeit W und den Volumennutzungsgrad hA : Tab. 2. Ist die Breite b sehr groß gegenber der Dicke t, dann ist der E-Modul in den Formeln durch E=ð1 n2 Þ zu ersetzen, mit der Poissonschen Querkontraktionzahl n 0;3 (s. C 3). Die Dreieckfeder und die Parabelfeder sind Trger gleicher Rand-Biegebeanspruchung (s. C 2.4.5). Wird die Rechteck-Parallelfeder fr die vertikale Absttzung eines Schwingtisches mit dem Gewicht G=mg verwendet, dann ist bei der Berechnung der Eigenkreisfrequenz we die astatische Pendelwirkung zu bercksichtigen: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi we ¼ c=m g=lred , mit lred als Krmmungsradius der Bahnkurve der durch die sttzenden Blattfedern parallel gefhrten Masse, lred 0;82l; bei Aufhngung an senkrechten Blattfedern ist das Minuszeichen unter der Wurzel in ein Pluszeichen umzukehren. Feingestaltung. Um die Einspannkerbwirkung niedrig zu halten, mssen die Einspannkanten gerundet und Beilagen aus Papier, Kunststoff, Messing, Kupfer u. a. oder Verkupferung (oder Verzinkung) im Einspannbereich vorgesehen werden. Befestigungsbohrungen mssen von der Einspannkante der Federbltter um mindestens 3 t entfernt sein. Deckscheiben sollten mindestens 3t dick sein. Die Einspannkerbwirkung kann durch Dickenanpassung oder Breitenanpassung vermieden werden, Bild 4.
Tabelle 2. Grundformen und Berechnungsformeln zur Grobgestaltung von Blattfedern
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G 56
Mechanische Konstruktionselemente – 2 Federnde Verbindungen (Federn) tung (B 4.1). In erster Nherung knnen weggleich geschaltete Federteile gleicher Blechdicke als nebeneinanderliegend (mit derselben neutralen Faser) betrachtet werden. Die rechnerisch nicht erfaßbare, stark von der Schmierung und der Oberflchenbeschaffenheit der Bltter abhngige Reibung hat den (begrenzten) Vorteil der Dmpfung, aber gegenber anderen Dmpfern den Nachteil, daß Krperschall ungedmmt weitergeleitet wird. Anhaltswerte fr zulssige Beanspruchung nach DDR-Standard TGL 39 249. Feingestaltung. Gestaltungshinweise fr Federenden und Lasteinleitungsstellen s. Normen, Tab. 1 sowie [10, 46]. Bild 5 zeigt eine beanspruchungsgerecht gestaltete Mehrblatt-Parabelfeder fr Gterwagen [13]. Bei niedriger Belastung trgt alleine die Hauptfeder, nach einem bestimmten Federweg wird zustzlich die Zusatzfeder wirksam, was zu einer (geknickt) progressiven Kennlinie fhrt. Die Kennlinie nimmt den in Bild 2 a gezeigten Verlauf an. Zur Steigerung der Dauerfestigkeit werden die aus lhrtenden Edelstahl 50 CrV4 bestehenden Federbltter so gestaltet, daß die geschichteten Federbltter sich nicht in hochbeanspruchten parabelfrmigen Bereichen berhren; die Federbltter werden auf Rm ¼ 1450 bis 1600 N=mm2 vergtet, vorgesetzt, auf der Zugseite kugelgestrahlt und allseitig mit Zinkstaubfarbe gegen Korrosion geschtzt. Erzielte Dauerfestigkeitswerte im Versuch, s. [13].
G
Bild 4 a–c. Feingestaltung schwingend beanspruchter Blattfedern. a 1 Dreiecksfeder (mit auf 2b0 verbreiterter Einspannbreite), 2 Spannflche mit Anschlag, 3 Deckscheibe, 4 Schrauben (lackgesichert); b Dickenverlauf bei einer Brninghaus-Parabelfeder; c beiderseitig eingespannte Blattfeder (Fhrungsfeder), Einspannkerbwirkung durch beiderseitige Dickenreduzierung auf 2/3 t bercksichtigt
Geschichtete Blattfedern. Anwendung. Zur Federung und Radfhrung in Land-, Schienen- und Straßenfahrzeugen. Bauformen. Als elliptisch vorverformte Blattfedern mit Rechteckquerschnitt und Lngsrippen nach DIN 11 747 fr ein- und zweiachsige landwirtschaftliche Transportanhnger; als vorverformte Trapez- und Parabelfedern nach DIN 2094 fr Straßenfahrzeuge nach DIN 70 010; als vorverformte Parabelfedern nach DIN 5544 T 1, 2 nach Bild 5 fr Schienenfahrzeuge. Entwurfsberechnung. In Anlehnung an Tab. 2 unter Beachtung der eventuell von der Belastung abhngigen Federschal-
Bild 5 a–c. Zweistufige Parabelfeder fr Gterwagen. a Ansicht; b Draufsicht; c Querschnitt in Mitte. 1 Federblatt, 2 Hauptfederblatt (Zugseite kugelgestrahlt), 3 Zusatzfeder, 4 Federbund, 5 Zwischenlage (verzinkt), 6 Nasenkeil, 7 Treibkeil
2.2.3 Spiralfedern (ebene gewundene, biegebeanspruchte Federn) und Schenkelfedern (biegebeanspruchte Schraubenfedern) Spiral springs and helical torsion springs Spiralfedern. Anwendung. Als Triebfedern fr Uhren, als Rckstellfedern in elektrischen Meßgerten nach DIN 43 801. Bauformen. Als archimedische Spirale nach Tab. 3 a mit rechteckigem Querschnitt und beidseitig fest eingespannten Federenden, als spiralfrmig um einen Federkern (Welle) gewickeltes Federband nach DIN 8287. Tabelle 3. Grundformen und Berechnungsformeln zur Grobgestaltung von Spiralfedern und Schenkelfedern mit gleichmßiger Biegebeanspruchung
I2.2 Metallfedern
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Entwurfsberechnung (Tab. 3 a). In den Gleichungen ist die durch die Krmmung hervorgerufene Spannungserhhung innen im Federquerschnitt nicht bercksichtigt, da i. allg. das Wickelverhltnis w = Krmmungsradius/(halbe Banddicke) gengend groß ist und bei Beanspruchung im Wickelsinne dort eine Druckspannung mit hherer zulssiger Beanspruchung wirkt. Anhaltswerte fr zulssige Beanspruchung wie fr schraubenfrmig gewundene Biegefedern.
Entwurfsberechnung. Bei Krafteinleitung ber die Kreislinien I und III nach Bild 6 gelten fr h0 =t % 0;4 (Reihe A) die Nherungsformeln
Feingestaltung der Federn und der Befestigungsenden fr Triebfedern s. DIN 8287.
fr die Federkraft F, die Federsteife c, die Randspannung s, mit dem nach DIN 2092 fr Edelsthle gltigen 4E=ð1 n2 Þ ¼ 905;5 kN=mm2 . Fr De =Di ¼ 2 sind die vom Durchmesserverhltnis abhngigen dimensionslosen Beiwerte: K1 ¼ 0; 69; K3 ¼ 1; 38. Fr h0 =t > 0; 4 knnen die Nichtlinearitten der Federn nicht mehr vernachlssigt werden; hierfr sind die von Almen und La´szlo´ abgeleiteten Formeln [1] nach DIN 2092 bei Tellerfedern ohne Auflageflchen ausreichend genau. Die Auswertung dieser Gleichungen fhrt zu den Federkennlinien nach Bild 7. Die in Bild 8 dargestellte typische Spannungsverteilung [43] zeigt, daß abhngig von der Lage des lastabhngigen Spannungspols die grßten rechnerischen Zugspannungen an der Tellerfederunterseite an den Stellen II oder III auftreten, die grßte Druckspannung ist an der Stelle I zu erwarten. Bei Tellerfedern nach DIN 2093, die nur statisch ohne Lastnderung oder mit gelegentlichen Lastnderungen in grßeren Zeitabstnden und weniger als 104 Lastspielen belastet werden, darf die rechnerische Druckspannung sI bei s ¼ 0; 75h0 bis zu sI ¼ 2 000 bis 2400 N=mm2 betragen, ohne daß wesentliche Setzerscheinungen zu befrchten sind.
Schraubenfrmig gewundene Biegefedern. Anwendung. Zum Rckfhren oder Andrcken von Hebeln, Deckeln und dergleichen („Mausefallenfeder“). Bauformen. Nach DIN 2088 mit festeingespannten Federschenkeln oder Fhrung des ruhenden Schenkels auf einem Dorn nach Tab. 3 b. Wickelverhltnis w ¼ Dm =d ¼ 4 bis 20. Entwurfsberechnung (Tab. 3 b). Wegen der Einspannbedingungen nahezu gleichmßige Biegebeanspruchung im Wikkelbereich. Bei ausnahmsweise nicht im Wickelsinne wirkender schwellender Belastung ist der die Spannungsvergrßerung am Innenrand bercksichtigende Faktor q fr Rundfedern q ¼ ðw þ 0,07Þ=ðw 0,75Þ in die Rechnung einzubeziehen. Zulssige Beanspruchungen nach DIN 2088 oder vereinfacht mit um den Faktor 1,42 erhhten Werten fr torsionsbeanspruchte Schraubendruckfedern. Auch die Spannungen in den Drahtabbiegestellen an den Schenkeln sind nachzurechnen. Feingestaltung. Wird auf Dorn nach Tab. 3 b gefhrt, dann Spiel zwischen Feder und Fhrung notwendig (Dorndurchmesser 0;8 bis 0;9Di ), genauere Angaben, auch fr die Federsteife, s. DIN 2088.
4E ðt3 sÞ 4E t3 oder c ð1 n2 Þ K1 D2e ð1 n2 Þ K1 D2e
ð12Þ
sI; II FK3 =t2 sowie sIII; IV ðDi =De ÞsI; II
ð13Þ
F
2.2.4 Tellerfedern (scheibenfrmige, biegebeanspruchte Federn) Conical disk (Belleville) springs Anwendung. Wegen geringen Platzbedarfs (meist zu Sulen geschichtet) und/oder wegen großer Krfte bei kleinen Wegen als Spannelement in Vorrichtungen und Werkzeugen, zur Bettigung von Ventilen, fr Puffer- und Stoßdmpferfedern, zur Absttzung von Maschinen und Fundamenten, fr Lngsund Toleranzausgleich und dergleichen. Bauarten. Gebruchliche Tellerfedern nach DIN 2093 sind kegelschalenfrmig gestaltete, in Achsrichtung belastbare Ringscheiben. Sie werden mit und ohne Auflageflchen gefertigt, Bild 6. Grobgestaltung. De =Di 2; fr Reihe A gilt De =t 18; h0 =t 0;4; fr Reihe B gilt De =t 28; h0 =t 0;75; De und Di sind mit h12 bzw. H12 toleriert; Belastbarkeit im Bereich De ¼ 8 bis 250 mm z. B. fr Reihe B normgemß mit Fmax 120 N bis 120 kN bei Federweg s 0;75h0 .
Bild 6 a, b. Einzeltellerfeder und Querschnittsstellen der nach AlmenLa´szlo´ zu berechnenden Spannungen (nach DIN 2092). a ohne Auflageflchen. Gruppe 1 (t 105 min1 Þ: Die Membrankupplung (Bild 3 m) gleicht axiale, radiale und winklige Wellenverlagerungen durch elastische Verformung von Blechringen aus, die jeweils am ußeren und inneren Durchmesser befestigt sind ðD Kw ¼ 0,5 bis 1 ; D Ka ¼ 1 bis 5 mm). Die Kraftrckwirkungen sind berechenbar! Die berlastempfindlichkeit ist durch die Betriebsfestigkeit der Membranen gegeben und kann fr bestimmte Einsatzflle gegenber Zahnkupplungen nachteilig sein [25].
3.3 Elastische, nicht schaltbare Kupplungen Permanent elastic couplings Elastische Kupplungen enthalten bertragungselemente aus metallischen oder nichtmetallischen Werkstoffen, die sich unter Kraft- oder Momentenbelastung elastisch verformen. Aufgrund ihrer biege- und drehelastischen Eigenschaften konzentriert sich ihr Einsatzfeld auf den Ausgleich von axialen, radialen und winkligen Fluchtungsfehlern (z. B. Wrmedehnung oder betriebsbedingte Verlagerungen der Wellen), die schlupffreie bertragung von Drehbewegungen und die Verringerung von Drehmomentschwankungen und Schwingungen (z. B. bei Kolbenmaschinen, Frdermaschinen usw.) sowie von Drehmomentstßen (z. B. Anfahrstße im Antriebsstrang, Havarie).
G 69
metallische Federn ein berwiegend linearelastisches Verhalten aufweisen, werden viele Elastomere im Kurzzeitbereich durch ein nichtlineares, im Langzeitbereich durch ein viskoelastisches Materialverhalten beschrieben. Das dynamische Verformungsverhalten von Elastomerkupplungen ist eine Funktion von Geometrie, Frequenz, Amplitude, statischer Vorspannung, Temperatur, Belastungsdauer und Alter. Diese Parameter sind bei der dynamischen Auslegung entsprechend den Herstellerangaben zu bercksichtigen. Danach ergibt sich zumeist eine mit steigendem Drehmoment progressive Federkennlinie (Bild 5), die fr metallelastische Ausfhrungen besondere konstruktive Maßnahmen erfordert. Die dynamische Drehfedersteife von Elastomerkupplungen ist proportional zur Frequenz und zur statischen Vorlast und grßer als die statische Drehfedersteife CT dyn 1; 3 . . . 1; 4 CT (bei f=10 Hz und T=20 C). Sie verringert sich mit steigender Temperatur und Amplitude sowie mit zunehmendem Alter. Mit fallender Temperatur kommt es bei Elastomeren im Bereich der „Glasumwandlungstemperatur“ zur Kaltsprdigkeit, in deren Folge ein Anstieg des Elastizitts- und Schubmoduls sowie eine Abnahme der Bruchdehnung verzeichnet wird. Bei hheren Temperaturen stellt sich eine Beschleunigung der Alterungsprozesse durch Oxidation des Gummis mit Luftsauerstoff ein. Elastomere sind vor allem Natur- und Synthesegummi (Buna, Perbunan, Neoprene, Silikonkautschuk), Polyurethan (Vulkollan), Polyamid und Fluor-Elastomer (Viton). Synthetische Elastomere sind zur Verstrkung meist mit Gewebeeinlagen versehen, haben eine hhere Alterungsbestndigkeit und sind in aggressiver Umgebung bestndiger [27, 28]. Sie sollten auf Schub oder Druck, nicht auf Zug beansprucht werden. Die maximale Umgebungstemperatur ist bei Elastomerkupplungen mit 10 Hz : Sf ¼
Der Vergrßerungsfaktor Vfi fr einen zwangserregten Zweimassenschwinger gibt die Vergrßerung des mit der anregenden Frequenz fi wirkenden Drehmoments an vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 u u y u 1 þ u 2p Vfi ¼ u 2 2 : u t f2 y 1 i2 þ fe 2p Die Eigenfrequenz fe berechnet sich aus den Trgheitsmomenten JA und JL der Antriebs- bzw. Lastseite sowie der Drehfedersteife CT dyn zu sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1 1 : fe ¼ þ CT dyn 2p JA JL Sie soll nicht mit torsionserregenden Frequenzen fe wie z. B. der Betriebsfrequenz oder Vielfachen davon zusammenfallen (Abstand mindestens 20% fr alle Harmonischen der Erregerfrequenz). Zu beachten ist, daß Asynchronmotore beim Anfahren unabhngig von ihrer Nenndrehzahl mit der Netzfrequenz (50 Hz) erregen [5, 39, 40]. Manche Kupplungen (Kardan, Doppelzahn) knnen mit pffiffiffi zweifacher Betriebsfrequenz erregen. Ist fi < 2 fe ; so luft die elastisch angekuppelte Maschine ruhiger als die erregende. Beim Durchfahren der Resonanz wird das sich dabei einstellende Moment um so kleiner, je grßer die Dmpfung y ist. Fr 3. und 4. kann es notwendig sein, eine Frequenzanalyse der Anregungsmomente vorzunehmen, um Lage und Amplitude zu ermitteln. 5. Die zulssigen axialen, radialen und winkligen Verlagerungsmglichkeiten der Kupplung ðD Ka ; D Kr ; D KW vgl. Bild 3 m) mssen grßer sein als die tatschlich auftretenden Wellenverlagerungen ðD Wa Sq , D Wr Sq Sn , D WW Sq Sn Þ unter Beachtung des Drehzahlfaktors Sn, der die Walkarbeit bei großem Radial- oder Winkelversatz bercksichtigt. Durch Verlagerungen entstehen mit den Kupplungssteifigkeiten Ca ; Cr und CW Rckstellkrfte und -momente auf die benachbarten Bauteile, die auf ihre Zulssigkeit zu berprfen sind [41, 42]. Eine gute Ausrichtung, besonders bei Dauerbetrieb und hoher Drehzahl, ist die wichtigste Maßnahme zur Verlngerung der Kupplungslebensdauer. 6. Durch die hohen Dmpfungswerte von Elastomeren wird verhltnismßig viel mechanische Leistung in Wrme umgewandelt, die bei periodischen Belastungen zu einer inneren Aufheizung des Gummikerns und schließlich zur chemischen Zersetzung fhren kann. Es ist sicherzustellen, daß die auftretende Dmpfungsleistung PWi kleiner als die zulssige Wrmeleistung PKW der Kupplung ist PKW
2 pMWi fi : VR CT dyn
Die Mglichkeit c) zur Kupplungsauslegung ist die Anwendung hherer Berechnungsverfahren in Form von Drehschwingungsrechnungen unter Bercksichtigung von nichtlinearen Zusammenhngen und komplexeren Einflssen des Gesamtantriebsstrangs. Diese Berechnungsverfahren sind
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nach DIN 740 Teil 2 bei Mehrmassensystemen, nichtlinearen (Feder-)Kennlinien, Spiel und Stoßanregungungen, die keine Rechtecksfunktionen darstellen, anzuwenden. Wenn bei Resonanzdurchlufen die Drehmomentberhhungen zu ermitteln sind, die Dmpfungswrme nicht mit einer harmonischen Anregung berechnet werden kann und Kennwerte fr transiente Betriebszustnde gefordert sind, mssen ebenfalls Drehschwingungssimulationen im Zeitbereich durchgefhrt werden, um das dynamische Verhalten des Antriebsstrangs zu ermitteln und die Kupplungen auszulegen. 3.3.3 Bauarten. Types Metallelastische Kupplungen. Die Bauarten unterscheiden sich im wesentlichen durch die Verwendung unterschiedlicher Federarten (Verdrehwinkel j ¼ 2 . . . 25 Þ bei unterschiedlicher Dmpfung (Bild 7 a–d). Ferner kann durch konstruktive Mittel die an sich lineare Federkennlinie in eine meist progressive gendert werden, z. B. bei der Schlangenfederkupplung durch sich axial verjngende „Zhne“. Dadurch wird die freie Federlnge bei steigendem Drehmoment verkrzt, D Kr einige mm, D KW ¼ 1 . . . 2 ; D Ka bis 20 mm. Elastomerkupplungen mittlerer Elastizitt. Sie haben Verdrehwinkel j < 5 und sind entweder Bolzenkupplungen (Bild 8 a), die zylindrische, ballige oder gerillte Elastomerhlsen aufweisen, oder Klauenkupplungen (Bild 8 b) mit auf Biegung oder Druck beanspruchten Elementen. D Kr bewegt sich im Bereich von einigen mm, D KW zwischen 1 . . . 3 ; und D Ka bis 20 mm.
Bild 7 a–d. Metallelastische Kupplungen. a Schlangenfederkupplung (Malmedie-Bibby) mit konstruktiv erzwungener progressiver Kennlinie (j=1,2 ); b Schraubenfederkupplung (Cardeflex) mit tangentialen, vorgespannten Schraubendruckfedern (j bis 5 ); c GeislingerKupplung mit radial angeordneten Blattfederpaketen; Reibungs- und einstellbare ldmpfung durch lverdrngung aus Federkammern (j bis 9 ); d Voith-Maurer-Kupplung mit linearer Kennlinie
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Mechanische Konstruktionselemente – 3 Kupplungen und Bremsen entarten kann. Die Federkennlinien sind meist linear, wie auch bei den Scheibenkupplungen (Bild 8 d) mit anvulkanisierter Gummischeibe. Eine weitere Bauart ist die Rollenkupplung (Bild 8 f), bei der zylindrische Rollen, eingepreßt zwischen einer Nabe und einer dazu winklig versetzten Ausnehmung, das eingeleitete Drehmoment bertragen. Eine Mglichkeit zur Realisierung unterschiedlicher Kennlinienverlufe bieten Kombinationen aus Rollen- und Klauenkupplung (Bild 8 b und 8 f) oder die Kombination von Gummielementen in Parallel- oder Reihenschaltung (Bild 8 e). Sie weisen hinsichtlich des Torsionsverhaltens zum einen oft eine weiche Kennlinie fr das Einwirken von geringen Lasten und zum anderen eine harte Federkennlinie fr hohe Torsionsbelastungen auf. 3.3.4 Auswahlgesichtspunkte. Type selection
G
Einfache gleichfrmige Antriebe (Elektromotoren, Kreiselpumpen, Ventilatoren u. a.) werden zum Ausgleich von Anfahrstßen und Wellenlagefehlern mit Elastomerkupplungen mittlerer Elastizitt ðj < 5 Þ gekuppelt, die zudem preisgnstig und wartungsfrei sind. Stark ungleichfrmige Antriebe (Kolbenmaschinen, Brecher, Pressen, Walzwerke) oder die Verlegung der Resonanzdrehzahl erfordern hochelastische Kupplungen ðj ¼ 5 . . . 30 Þ; die auch fr große Wellenverlagerungen besonders gut geeignet sind. Große Axialverschiebungen sind vor allem mit Bolzen- und Klauenkupplungen gut beherrschbar. Da Elastomerkupplungen i. allg. das schwchste Glied im Antriebsstrang darstellen, bernehmen sie im Falle einer Havarie eine zustzliche Sicherheitsfunktion. Dennoch muß bei vielen Anwendungsfllen die Durchschlagsicherheit, d. h. die Fhigkeit, Drehmoment auch bei Zerstrung der elastischen Elemente zu bertragen, gewhrleistet sein (z. B. bei Aufzugsantrieben oder Schiffsantrieben). Diese Eigenschaft ist ohne konstruktiven Mehraufwand bei Bolzen- und Klauenkupplungen schon vorhanden. Die zulssigen Drehzahlen sind bei drehelastischen Kupplungen allgemein niedriger als bei drehstarren (z. B. Zahn- und Membrankupplungen).
3.4 Drehnachgiebige, nicht schaltbare Kupplungen Permanent rotary-flexible couplings Bild 8 a–f. Elastomerkupplungen. a Bolzenkupplung (ELCO-Kupplung, Renk), durch profilierte, vorgespannte Gummihlsen progressive Kennlinie j ¼ 2 . . . 3 [41]; b Klauenkupplung mit druckelastischen, ohne Axialverschiebung wechselbaren Elementen (TSCHAN), durchschlagsicher, Federkennlinie progressiv (j bis 2,5 ); c hochelastische Wulstkupplung (Periflex, Stromag) mit ringfrmigem, senkrecht zur Umfangsrichtung aufgeschnittenem Gummireifen, Federkennlinie progressiv; d hochelastische Scheibenkupplung (KegelflexKupplung, Kauermann) mit anvulkanisierter Gummischeibe, lineare Federkennlinie vernderbar durch unterschiedliche Gummisorten (j bis 10 ); e hochelastische Gummikupplung (TRI-Konzept, Stromag) mit einer Kombination aus Gummielementen fr hohe radiale und axiale Nachgiebigkeiten ðj ¼ 5 . . . 12 Þ; f hochelastische RollenKupplung (Centaflex-R) nach dem ROSTA-Prinzip mit leicht progressiver Kennlinie (j bis 15 )
Elastomerkupplungen hoher Elastizitt. Dies sind Kupplungen mit Verdrehwinkeln von j ¼ 5 . . . 30 , typisch >10 bei Nenndrehmoment ðD Kr ¼ 6 . . . 10 mm, D Kw ¼ 8 ; D Ka ¼ 10 . . . 15 mm). Diese Kupplungen fallen meist schon durch ihr großes Gummivolumen auf, z. B. die Wulstkupplungen (Bild 8 c) mit einem quergeschlitzten, reifenartigen Wulst, der bei Flanschkupplungen (Schwungradanbau) zur Scheibe
Drehnachgiebige, nicht schaltbare Kupplungen vereinen die Funktionen von Anlauf- und Sicherheitskupplung und dienen weiterhin zur Torsionsschwingungsdmpfung (vgl. G 3.3); durch zustzliche Einrichtungen knnen sie auch schaltbar ausgefhrt werden. Die bekannteste Bauart der drehnachgiebigen Kupplungen ist die hydrodynamische Kupplung [43–46, 84]. Ihre Hauptelemente sind Pumpenrad, Turbinenrad und viskoses Medium (Bild 9 a und 9 b). Beide Schaufelrder bilden zusammen mit der Gehuseschale einen Arbeitsraum, in dem das viskose Medium – angetrieben durch das Pumpenrad – umluft (Fliehkraftwirkung). Das Turbinenrad wird durch den Flssigkeitsstrom beaufschlagt und mitgenommen [43]. Das bertragbare Drehmoment MT ist proportional dem Quadrat der Antriebswinkelgeschwindigkeit wP und betrgt nach der hydrodynamischen Modellgleichung MT ¼ l r w2P D5P (Durchmesser des Pumpenschaufelrades DP , Dichte des viskosen Mediums r). Weitere Hinweise zur Auslegung dieser Kupplungsart gibt die VDI-Richtlinie 2153 [83]. Das Betriebsverhalten einer hydrodynamischen Kupplung wird von der Leistungszahl l ¼ f ðvÞ und dem Drehzahlverhltnis v ¼ nT =nP (Abtriebsdrehzahl nT , Antriebsdrehzahl nP ) bestimmt. Beeinflußt durch Bauart und -form sowie durch unterschiedliche Fllungsgrade der Pumpe ergeben sich
I3.5 Fremdgeschaltete Kupplungen
G 73
G Bild 9 a, b. Hydrodynamische Schlupfkupplung. a Schematische Darstellung: 1 Gehuse, 2 Turbinenrad, 3 Pumpenrad; b Schnittdarstellung: 1 Gehuse mit Verzgerungskammer, 2 Turbinenrad, 3 Pumpenrad, 4 Einspritzdse (TSCHAN)
mentflusses bei den fremdgeschalteten Kupplungen auf ein externes Signal durch mechanische, hydraulische, pneumatische oder elektromagnetische Bettigung. Entsprechend dem zur Drehmomentbertragung verwendeten physikalischen Prinzip unterscheidet man mechanisch, hydrodynamisch und magnetisch wirkende Kupplungen. Mechanische Kupplungen, welche die grßte praktische Bedeutung besitzen, werden weiterhin nach der Verbindungsart in formschlssige und kraftschlssige Schaltkupplungen untergliedert. In der Regel erlauben Schaltkupplungen keine Wellenverlagerungen, sie werden deshalb oft mit Ausgleichskupplungen (drehstarre, drehelastische oder drehnachgiebige nichtschaltbare Kupplungen) kombiniert. Fremdgeschaltete Kupplungen knnen nach folgenden Kriterien eingeteilt werden [1, 4, 47–51]: Bild 10 a, b. Kennfelder hydrodynamischer Kupplungen. a Konstantfllungskupplung; b Stell- und Schaltkupplung
vielfltige Drehmoment-Drehzahl-Kennfelder M lðv; F Þ (Bild 10 a, b). Damit ist es mglich, hydrodynamische Kupplungen fr unterschiedliche Charakteristiken auszulegen bzw. einzustellen. Im Gegensatz zu den bisher betrachteten Bauarten arbeiten drehnachgiebige Kupplungen immer mit einer Drehzahldifferenz zwischen An- und Abtriebsseite, dem sogenannten Schlupf s mit s ¼ 1 v, der durch die Betriebsbedingungen einstellbar ist. Bei der Induktionskupplung dienen magnetische Felder als bertragungsmedium. Die Magnetkrfte werden durch die induktive Wirkung unterschiedlich schnell rotierender, aneinander vorbeilaufender Polpaare erzeugt. Diese Kupplungen arbeiten verschleißfrei, die Magnetisierung umgebender Bauteile und die Zufhrung des Stroms ber Schleifringe sind jedoch problematisch. Außerdem bauen sie groß im Vergleich zu allen anderen Kupplungsarten.
3.5 Fremdgeschaltete Kupplungen. Clutches Schaltbare Kupplungen werden eingesetzt, um Teile eines Antriebsstrangs wahlweise miteinander zu verbinden oder zu trennen. Dabei erfolgt das ffnen und Schließen des Drehmo-
Schaltprinzip. Schließende Kupplungen bertragen im eingeschalteten Zustand das Drehmoment, whrend ffnende Kupplungen beim Einschalten den Drehmomentfluß unterbrechen. Bei elektromagnetisch bettigten Kupplungen werden arbeitsstrombettigte Kupplungen schließend und ruhestrombettigte Kupplungen ffnend genannt. Bettigungsart. Im Maschinenbau werden berwiegend elektromagnetisch oder durch Druckmittel (hydraulisch, pneumatisch) bettigte Kupplungen eingesetzt, weil die Schaltvorgnge im Vergleich zu mechanisch bettigten Kupplungen leichter automatisierbar sind (vgl. G 3.5.2). Mechanische Bettigungen ermglichen jedoch Direktschaltungen ohne zustzliche Energiebereitstellung (Kfz-Kupplung, Bootswendegetriebe). 3.5.1 Formschlssige Schaltkupplungen Positive (interlocking) clutches (dog clutches) Bei den formschlssigen Schaltkupplungen dienen Klauen, Zhne oder andere Formschlußelemente zur Kraftbertragung. Sie sind deshalb nur im Stillstand oder im Synchronlauf der Wellen einschaltbar, einige Bauformen erlauben jedoch das Ausrcken unter Last und bei voller Drehzahl, sofern die Trennkrfte nicht zu hoch sind. Die formschlssigen Schaltkupplungen bertragen, bezogen auf ihre Abmessungen, sehr hohe Drehmomente und sind vergleichsweise preisgnstig. In den meisten Fllen gestatten sie axiale Wellenverschiebungen bei oft hohen Verschiebekrften (Reibkrften).
G 74
Mechanische Konstruktionselemente – 3 Kupplungen und Bremsen durch den Reibschluß begrenzt ist, arbeiten sie gleichzeitig als Sicherheitskupplung. Nachteilig ist die beim Einschalten entstehende Reibungswrme (Rutschen) und der Verschleiß der Reibflchen.
G
Bild 11 a, b. Formschlssige Schaltkupplungen. a Mechanisch bettigte Zahnkupplung mit axial angeordneten Zhnen (Zahnradfabrik Friedrichshafen); b Schleifringlose Elektromagnet-Zahnkupplung mit radial angordneten Zhnen (Ortlinghaus)
Bauarten. Die ausrckbare Klauenkupplung (vgl. Bild 3 a) ist die einfachste und am hufigsten im allgemeinen Maschinenbau verwendete formschlssige Schaltkupplung. Schaltbare Zahnkupplungen werden vor allem im Getriebebau eingesetzt (Bild 11a), wobei das Schalten whrend des Betriebs durch Synchronisierungseinrichtungen erleichtert wird. Die elektromagnetisch bettigte Zahnkupplung [52] in Bild 11b verfgt ber zwei Planrder, die bei genau fluchtenden Achsen, zum Teil auch bei geringen Relativgeschwindigkeiten, durch Magnetkraft eingeschaltet und durch Federkraft ausgekuppelt werden. 3.5.2 Kraft-(Reib-)schlssige Schaltkupplungen Friction clutches Bei den reibschlssigen Kupplungen erfolgt die Drehmomentbertragung durch das Aneinanderpressen von mindestens zwei Reibflchen [53–61]. Dabei muß die Anpreßkraft ein dem zu bertragenden Drehmoment entsprechendes Reibmoment erzeugen. Reibungskupplungen bieten den Vorteil, daß sie unter Last und auch bei großen Drehzahlunterschieden ein- und ausschaltbar sind. Da das bertragbare Drehmoment
Bauarten. Nach der Form (eben, zylindrisch, kegelig) und Anzahl der Reibflchen unterscheidet man Einflchenkupplungen (Bild 12 a), Zweiflchen-(Einscheiben-)kupplungen (Bild 12 b), Mehrflchen-(Lamellen-)kupplungen (Bild 12 c), Zylinder- und Kegelkupplungen (Bild 12 d). Die Reibpaarungen dieser Kupplungen knnen entweder trocken- oder naßlaufend (lgeschmiert) ausgefhrt werden [53]. Fr den Naßlauf kommen Reibpaarungen wie Stahl/Stahl, Stahl/Papier und Stahl/Sinterbronze zur Anwendung, fr den Trockenlauf meist Stahl/Sinterbronze oder Stahl/organischer Belag [54]. Lamellenkupplungen (vgl. Bild 12 c) bertragen durch Parallelschaltung mehrerer Reibflchen trotz ihrer kleinen Außenabmessungen hohe Drehmomente und sind preisgnstig. Nachteilig sind die im nicht geschalteten Zustand auftretenden Leerlauf- und Schleppmomente, die zu Leistungsverlusten und zu einer bermßigen Kupplungserwrmung fhren knnen [55]. Da die Lamellenkupplungen wegen ihres geringen Bauvolumens nur geringe Wrmemengen speichern und abgeben knnen, sind sie i. d. R. naßlaufend. Dabei kommt der Bestimmung des erforderlichen Khllstroms und der thermischen Nachrechnung besondere Bedeutung zu [56–59]. Im Vergleich zu Lamellenkupplungen kann bei Ein-, Zweiflchen-, Kegel- und Zylinderkupplungen (vgl. Bild 12 a, b, d) die Reibungswrme gut abgefhrt werden, außerdem verfgen sie ber klar definierte Trennspalte, s. d. die Leerlaufdrehmomente vergleichsweise gering sind. Diese Kupplungen bauen jedoch bei vergleichbaren bertragungsmomenten grßer. Kupplungs-Brems-Kombinationen (Bild 13) stellen die Kombination einer Schaltkupplung mit einer Bremse in einer Baueinheit dar. Sie sind besonders geeignet fr hohe Schaltfrequenzen und schnelle, positionsgenaue Schaltungen. Um krzeste Schaltintervalle zu erreichen, knnen bei der (getrennten) Schaltung von Kupplung und Bremse berschneidungen gewhlt werden.
Bild 12 a–d. Bauarten reibschlssiger Schaltkupplungen. a Schleifringlose elektromagnetisch bettigte Einflchenkupplung (Ortlinghaus); b mechanisch bettigte Einscheibenkupplung (Membranfederkupplung) fr Nutzfahrzeuge (Sachs); c hydraulisch bettigte, naßlaufende Lamellenkupplung (Ortlinghaus); d mechanisch bettigte Kegelkupplung (Conax, Desch)
I3.5 Fremdgeschaltete Kupplungen
G 75
fuhr besonders fr die Automatisierung. Nachteilig sind u. a. die Wrmeentwicklung der Magnetspulen, Streustrme in der Zufhrung und die Magnetisierung der Umgebung. Mechanische Bettigungseinrichtungen werden im allgemeinen Maschinenbau selten eingesetzt, vorrangig dort, wo kleine Schaltkrfte erforderlich sind, die Schaltgenauigkeit ausreichend und eine feinfhlige Bedienung vorgesehen ist (z. B. Kfz-Kupplung).
Bild 13. Hydraulisch bettigte Kupplungs-Brems-Kombination (Ortlinghaus). 1 Bremse hydraulisch gelftet, 2 Kupplung hydraulisch gegen Federvorspannung geschlossen, 3 Federvorspannung, 4 leinfhrung
Bild 14. Magnetpulverkupplung (AEG-EMG) mit eingetragenem Magnetfluß [49]. 1 Eisenkrper mit 2 Magnetringspule, 3 Lufer, 4 Luftspalt mit Magnetpulver
Die Magnetpulverkupplung (Bild 14) ist eine elektromagnetisch bettigte Reibungskupplung. Das in einem Hohlraum zwischen An- und Abtrieb befindliche Magnetpulver wird durch Anlegen eines elektromagnetischen Feldes verdichtet, s. d. eine reibschlssige Verbindung der beiden Kupplungsseiten entsteht [60]. Dabei ist der Schlupf abhngig von der Strke des Magnetfeldes, die zulssige Schlupfleistung wird von der realisierbaren Wrmeabfuhr begrenzt. Die Kupplung ermglicht ein weiches Anfahren und kann durch entsprechende Steuerung als berlastkupplung verwendet werden. Bettigungsarten. Hydraulisch bettigte Kupplungen besitzen geringe ußere Abmessungen und ermglichen die bertragung hoher Drehmomente. Sie bentigen ein lversorgungssystem. Bei hydraulisch bettigten Kupplungen ist zu beachten, daß die Viskositt des Druckmittels Schaltverzgerungen verursachen kann. Die Masse des Druckmittels fhrt zu Fliehwirkungen, die bei der Druckberechnung bercksichtigt werden mssen und besondere Maßnahmen zum Trennen der Kupplungen erfordern. Fr Anwendungsflle, bei denen ein schnelles und genaues Schalten erforderlich ist, eignen sich besonders Kupplungen mit pneumatischer Bettigung. Generell zeichnen sich druckmittelbettigte Kupplungen durch Fernbedienbarkeit und Steuerbarkeit des Drehmomentes aus, sie erfordern im allgemeinen fr die Druckmittelzufuhr ein freies Wellenende. Elektromagnetisch bettigte Kupplungen eignen sich aufgrund der einfachen Energiezu-
Betriebsarten. Trockenlaufende Kupplungen werden mit maximal drei Reibscheiben ausgelegt, fr die ein Lftungsspiel von 0,5 mm bis 1 mm pro Reibflche blich ist [61]. Im normalen Betriebszustand ist deshalb das Leerlaufmoment vernachlssigbar klein. In Ausnahmefllen knnen Taumelbewegungen der Reib- und Innenscheibe (durch Axialschwingungen im Antriebsstrang) oder auch die Sogwirkung zwischen schnell rotierenden Kupplungsscheiben (durch Unterdruck) zu einer betrchtlichen Erhhung des Leerlaufmomentes fhren. Trockenlaufende Kupplungen haben kurze Ansprechzeiten. Nasse Kupplungen werden berwiegend dort eingesetzt, wo die Umgebung nicht lfrei gemacht werden kann (z. B. Getriebe) oder wenn hohe Schaltfrequenzen eine entsprechend hohe Wrmeabfuhr erfordern. Das l wird hierbei gezielt als Khlmittel eingesetzt (Innenlkhlung). Die Nachteile naßlaufender Reibsysteme sind niedrige Gleitreibungszahlen und ein relativ hohes Leerlaufmoment. Letzteres kann u. a. durch die Reibflchenausbildung (Nuten, Rillen) und eine gegebenenfalls eingesetzte Lamellenwellung beeinflußt werden. Reibwerkstoffe (Anh. G 3 Tab. 1) sollten mglichst geringe Unterschiede in den Reibungszahlen m0 und m aufweisen, da dann eher der Stick-Slip-Effekt (Rattern) vermieden werden kann. Dies ist besonders fr den Trockenlauf wichtig.
3.5.3 Der Schaltvorgang bei reibschlssigen Schaltkupplungen Transient slip in friction clutches during engagement Die Grundlagen der Kupplungsberechnung werden am vereinfachten Modell einer von w20 auf w11 zu beschleunigenden Last (z. B. Prallmhle, Pressenantrieb, Seiltrommel) erlutert (Bild 15) [47, 49, 53, 62, 63]. Der Motor mit dem Antriebsmoment MA besitzt das Massentrgheitsmoment JA und luft mit der Winkelgeschwindigkeit w10 um. Die Last (Lastmoment ML , Massentrgheitsmoment JL , Winkelgeschwindigkeit w20 ) kann ber die Schaltkupplung (Kennmoment MK , Außenradius R und Innenradius r der Reibflchen, Anpreßkraft F) mit dem Antrieb verbunden werden. In Bild 16 ist der prinzipielle Schaltvorgang vereinfacht dargestellt. Vor Bettigung der Kupplung liegt im Antriebssystem das Leerlaufmoment Mr vor (z. B. unvollstndige Trennung von Lamellen). Nach Bettigung und dem Ansprechverzug t11 wird whrend der Anstiegszeit t12 die Drehmomentbertragung aufgebaut. Das nach der Anstiegszeit im Kupplungsstrang wirkende Schaltmoment MS setzt sich aus dem Lastmoment ML und einem zur berwindung der Massentrgheiten notwendigen Beschleunigungsmoment Ma zusammen. Das
Bild 15. Ersatzmodell eines Antriebssystems
G
G 76
Mechanische Konstruktionselemente – 3 Kupplungen und Bremsen
Bild 17. Zulssige Schaltarbeit nach Gl. (4) als Funktion der Schalthufigkeit [47]
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Bild 16. Schaltvorgang fremdbettigter Reibkupplungen (nach [47, 53])
Moment MS muß somit um Ma grßer sein als ML , um die Drehzahl der Last erhhen zu knnen (vgl. Bild 16). MS ist i. allg. nicht konstant und hngt u. a. von der Gleitgeschwindigkeit, der Reibflchentemperatur sowie von konstruktiven Randbedingungen ab. Bei der Differenzgeschwindigkeit Null bildet sich kurzzeitig das Synchronmoment Msyn aus, bevor beim Gleichlauf von An- und Abtrieb schließlich das in diesem Beispiel konstante Lastmoment ML vorliegt. Fr die Berechnung des Kennmoments der Kupplung wird der reale Drehmomentverlauf durch einen linearen Anstieg (in der Zeit t12 ) mit nachfolgend konstantem Moment angenhert. Das dadurch definierte Kennmoment MK kann somit nach Gl. (1) vereinfacht bestimmt werden [53]. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi MK ¼ C C 2 B ð1Þ mit C ¼
ML t3 þ JL ðw10 w20 Þ t12 ML2 und B ¼ : 2 t3 t12 2 t3 t12
Gleichung (1) gilt fr ML ¼ const und w10 ¼ w11 ¼ const, d. h. die Motordrehzahl sinkt beim Kuppeln nicht ab. Die Anstiegszeit t12 ist eine kupplungs- bzw. bettigungsspezifische Grße, whrend die Rutschzeit t3 u. a. von der Last abhngt JL ðw10 w20 Þ t12 ML t3 ¼ þ 1þ : ð2Þ 2 MK MK ML Nach Gl. (2) steigt die Rutschzeit t3 mit grßerer Last ðML ; JL Þ und grßerer Anstiegszeit t12 ; whrend ein großes Kennmoment der Kupplung MK die Rutschzeit verringert. Die beim Einkuppeln in Wrme umgewandelte Schaltarbeit Q ergibt sich bei vorhandenem Kennmoment MK und der jeweiligen Differenz der Winkelgeschwindigkeiten zu D Q ¼ D w MK D t. Gemittelt ber die gesamte Rutschzeit t3 gilt D w ðw10 w20 Þ=2. Mit den Vereinfachungen von Gl. (1) kann die Schaltarbeit nach Gl. (3) berechnet werden ðw10 w20 Þ2 Q¼ 2
JL ðw10 w20 Þ þ t12 ML : ML 2 1 MK
ð3Þ
Diese Schaltarbeit setzt sich aus der vom Lastmoment herrhrenden statischen Schaltarbeit Qstat und der dynamischen Schaltarbeit Qdyn zur berwindung der Massentrgheit JL zusammen (vgl. Bild 16 oben). Bei einer Beschleunigung von w2 ¼ w20 auf w2 ¼ w21 ¼ w11 wird also die Hlfte der whrend des Schaltens zugefhrten Energie in Wrme umgewandelt. Da die Motordrehzahl normalerweise absinkt und damit der Gleichlauf der Kupplungsscheiben frher erreicht wird, ergibt sich eine gegenber dieser vereinfachten Betrachtung verringerte Reibarbeit. Wenn MS nach dem Einschalten erst langsam ansteigt, vergrßert sich die Reibarbeit, weil bis zum Erreichen von MS ¼ ML kein Drehzahlanstieg auftritt. Ebenso steigt t3 an. Wenn die Reibarbeit minimiert werden soll, muß der Ausdruck 1 ðML =MK Þ mglichst große Werte annehmen, d. h. es muß MK ML gewhlt werden. Bei gegebenem ML besteht demnach die Forderung nach einer „harten“ Kupplung mit einer entsprechend kurzen Rutschzeit t3, um die Wrmebelastung klein zu halten. Eine derartige Kupplung kann aber u. U. starke Drehmomentstße erzeugen; der gesamte Antriebsstrang muß auf das Kupplungsmoment ausgelegt sein. Das andere Extrem einer zu „weichen“ Kupplung mit MK ! ML ergibt ein sanftes Einkuppeln, aber auch eine hohe Erwrmung der Reibflchen. Die Wrmebelastung kann bei großer Rutschzeit t3 und hufigem Schalten zur thermischen Zerstrung der Kupplung fhren. Die beim einmaligen Kuppeln anfallende Wrme ist hauptschlich von der Winkelgeschwindigkeitsdifferenz und der Reibflchenpressung abhngig. Bei mehrmaligem Schalten steigt die Reibflchentemperatur mit der Schalthufigkeit an. Vom Kupplungshersteller werden Werte fr die maximal zulssige Wrmebelastung QE bei einmaliger Schaltung sowie Qzul bei mehrmaligem Schalten ermittelt. Dabei ist QE vom Reibflchenwerkstoff und der Wrmekapazitt der Kupplung abhngig, Qzul wird hauptschlich von der Khlung und Wrmeabfuhr bestimmt. Empirisch oder ber aufwendige mathematische Anstze gewonnene Werte fr QE und Qzul knnen als Kennlinien fr bestimmte Kupplungen dargestellt werden (Bild 17). Hier wird die zulssige Schaltarbeit Qzul (pro Schaltvorgang) als Funktion der Schalthufigkeit Sh aufgetragen. Die bergangsschalthufigkeit Sh bildet einen charakteristischen Wert der Kennlinie und wird vom Kupplungshersteller bestimmt. Mit den Kenngrßen QE und Sh kann somit die zulssige Wrmebelastung Qzul nach Gl. (4) in Abhngigkeit von der Schalthufigkeit Sh bestimmt werden [47, 53] Qzul ¼ QE ð1 eSh =Sh Þ:
ð4Þ
3.5.4 Auslegung einer reibschlssigen Schaltkupplung Layout design of friction clutches Reibschlssige Kupplungen werden in Abhngigkeit der Belastungsart nach verschiedenen Kennwerten ausgelegt [49,
I3.5 Fremdgeschaltete Kupplungen 53, 64, 65]. Schaltkupplungen, die im wesentlichen das Anlagenmoment bertragen mssen und lediglich zur Beschleunigung geringer Massen dienen, werden nach dem Schaltmoment MS ausgelegt. Schaltkupplungen, die bei einem definierten Drehmoment durchrutschen sollen (Sicherheitskupplungen), werden nach dem zu bertragenden maximalen Moment M dimensioniert. Kupplungen, die zur Beschleunigung großer Massen eingesetzt werden und die deshalb eine große Schaltarbeit aufnehmen mssen, werden nach der ertragbaren Wrmebelastung ausgelegt [61, 66–68]. Neue theoretische Anstze zielen darauf ab, durch die Vernderung des Kupplungsmomentes whrend der Rutschzeit die Reibtemperatur zu senken und somit die zulssige Schalthufigkeit zu erhhen [69]. Das zu bertragende Moment M richtet sich nach dem Nennmoment der Kraft- und Arbeitsmaschine, wobei Ungleichfrmigkeiten (z. B. bei Kolbenmaschinen) oder das Kippmoment ð2 . . . 3 MN Þ bei Kurzschlußlufermotoren zu bercksichtigen sind. Im allgemeinen ist das bertragbare Moment M , das sich im Synchronlauf der Reibflchen einstellt, grßer als das Schaltmoment MS der Kupplung, weil die Gleitreibungszahl m kleiner als die Haftreibungszahl m0 ist (vgl. Anh. G 3 Tab. 1). Dies gilt insbesondere fr naßlaufende Kupplungen. Fr die praktische Auslegung einer Reibkupplung wird das geforderte Moment MK in Gl. (5) eingesetzt, so daß die notwendige Anpreßkraft F, die Reibflchenzahl z und der notwendige mittlere Halbmesser der Reibflchen rm ¼ ðR þ rÞ=2 iterativ festgelegt werden knnen (vgl. Bild 15). MK ¼ F m z r m
ð5Þ
Ist beispielsweise ein kleiner Durchmesser der Kupplung gefordert, kann die Zahl der Reibbelge oder die Anpreßkraft (maximal zulssige Flchenpressung, vgl. Anh. G 3 Tab. 1) erhht werden. Fr die Berechnung der Schaltzeit tges ist nach Bild 16 der Ansprechverzug t11 zu beachten: tges ¼ t11 þ t3 : Im Sinne einer vereinfachten Auslegung kann die Anstiegszeit t12 vernachlssigt werden. Die Rutschzeit t3 (vgl. Gl. (2)) ergibt sich damit zu t3 ¼
JL ðw10 w20 Þ MK ML
ð6Þ
und die Schaltarbeit Q (vgl. Gl. (3)) kann wie folgt bestimmt werden Q¼
ðw10 w20 Þ2 JL : ML 2 1 MK
ð7Þ
Fr eine beanspruchungsgerechte Reibflchendimensionierung bietet sich der Vergleich mit reibpaarungsspezifischen Kennwerten, wie die zulssige, flchenbezogene Schaltarbeit bei einmaliger Schaltung qAE und die zulssige, flchenbezogene Reibleistung q_ A0 , an (vgl. Anh. G 3 Tab. 1). Die vorhandene flchenbezogene Schaltarbeit qA kann nach Gl. (8) berechnet werden, wobei ARg ¼ AR z ¼ p ðR2 r 2 Þ z die gesamte Reibungsflche der Kupplung angibt (z, R, r Anzahl bzw. Amessungen der Reibflchen). qA ¼
Q < qAE ARg
ð8Þ
Bezogen auf die Rutschzeit t3 ergibt sich die vorhandene flchenbezogene Reibleistung q_ A zu qA q_ A ¼ ¼ pR uR m < q_ A0 , ð9Þ t3 wobei pR die Reibflchenpressung, uR die Gleitgeschwindigkeit und m die Gleitreibungszahl bezeichnet.
G 77
3.5.5 Auswahl einer Kupplungsgrße Size selection of friction clutches Bevor fr einen Anwendungsfall eine passende Kupplung nach Herstellerangaben ausgewhlt werden kann, mssen zunchst die Anforderungen definiert werden. Eine Checkliste hierfr wird in [48] vorgeschlagen. Ausgehend vom Lastmoment ML , der (reduzierten) Massentrgheit JL , der Winkelgeschwindigkeitsdifferenz w, der ungefhr geforderten Rutschzeit t3 und der Anstiegszeit t12 kann das erforderliche Kennmoment MK der Kupplung abgeschtzt werden (vgl. G 3.5.3, Gl. (1)). Damit erfolgt die Auswahl einer passenden Kupplungsgrße entsprechend den Angaben eines Herstellers. Anschließend kann mit den zugeordneten Katalogwerten fr die Anstiegszeit t12 der gewhlten Kupplung die Rutschzeit t3 und die Schaltarbeit Q bestimmt werden (vgl. Gln. (2) und (3)). Sind keine Angaben ber die Anstiegszeit verfgbar, kann eine vereinfachte Berechnung nach Gl. (6) bzw. (7) durchgefhrt werden. Soll das Abfallen der Antriebsdrehzahl beim Einkuppeln sowie die Massentrgheit des Antriebs (mit Getriebe) bercksichtigt werden, so ist weiterfhrende Literatur [49, 53] heranzuziehen. Die berechnete Schaltarbeit Q kann mit den zulssigen Katalogwerten QE fr die gewhlte Kupplung verglichen werden. Bei hufigem Schalten ðSh > Sh Þ ist die zulssige Schaltarbeit mit Hilfe von Gl. (4) zu bestimmen und mit der tatschlich verrichteten Schaltarbeit zu vergleichen.
3.5.6 Allgemeine Auswahlkriterien General Selection criteria [6, 70] Eine bersicht marktgngiger Kupplungsausfhrungen ist in Bild 18 dargestellt. Bei der Gegenberstellung wurde ein Kennmoment MK ¼ 500 Nm und eine Drehzahl von n= 1500 min1 zugrundegelegt. Damit ermglicht die Darstellung einen Vergleich von Durchmesser und Lnge der verschiedenen Kupplungen sowie einen Vergleich der zulssigen Schaltarbeit QE bei einmaliger Schaltung und der Grenzwerte QE Sh bei sehr hoher Schalthufigkeit. Mit Ausnahme der Nutzfahrzeugkupplung (ffnende Kupplung) handelt es sich hier um schließende Kupplungen. In Anh. G 3 Bild 2 ist ferner der Schaltmomentbereich verschiedener fremdbettigter, reibschlssiger Schaltkupplungen zusammengefaßt. Betriebsarten und Bettigungssysteme, Eigenschaften Einflchenkupplungen. Um bei gegebenem Drehmoment mglichst kleine Durchmesser zu erlangen, werden trockenlaufende Reibpaarungen bevorzugt. Ein geschlossener Axialkraftfluß innerhalb der Kupplung ist nur unter Verwendung einer elektromagnetischen Bettigung mglich; schnelles Ansprechen bei kurzen Lftwegen; geringes Leerlaufmoment. Einscheibenkupplungen. Ebenfalls Trockenlauf fr grßere Drehmomente; smtliche Bettigungsarten kommen vor, die hydraulische Bettigung wird aber wegen der Gefahr der Leckverluste meist vermieden (Reibbelge werden lverschmiert); gute Khlung (Khlrippen), schnelles Ansprechen; geringes Leerlaufmoment; relativ ratterfrei (Werkstoffe mit degressiver m=vR -Charakteristik). Lamellenkupplungen [55–59]. Kleine Baugrße auch bei großen Drehmomenten, bei hoher Schaltarbeit (z. B. Schaltungen unter Last in Getrieben) ist eine wirksame Khlung nur mit Hilfe eines lumlaufs zu erreichen, d. h. naßlaufend. Es sind alle Bettigungsarten mglich. Bei durchfluteten Lamellen (elektromagnetische Bettigung) knnen nur ferromagnetische Reibpaarungen gewhlt werden. Schnelles Ansprechen bei Naßlauf kann durch dnnes l, lnebel oder Nuten in den Lamellen erreicht werden; vergleichsweise hohes Leerlaufmoment (kann u. a. durch gewellte Lamellen, Nuten und Ril-
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Mechanische Konstruktionselemente – 3 Kupplungen und Bremsen
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Bild 18. bersicht reibschlssiger Schaltkupplungen im Vergleich fr ein Kennmoment MK ¼ 500 Nm und eine Drehzahl n=1500 min1 [48]
len in der Reibflche begrenzt werden); geringer Verschleiß bei Naßlauf, d. h. grßere Lebensdauer. Konuskupplung (Kegelkupplung). Geeignet fr hohe Drehmomente und hohe Schaltarbeiten im Trockenlauf; Bettigung meist mechanisch oder pneumatisch. 3.5.7 Bremsen. Brakes Bei Bremsen handelt es sich vom Funktionsprinzip her um Schaltkupplungen mit unbeweglichem Abtrieb und 100% Schlupf mit der Aufgabe, die Geschwindigkeit einer bewegten Masse zu verringern, eine Bewegung zu verhindern oder ein Lastmoment zu erzeugen. Im Vordergrund der Gestaltung steht deshalb eine mglichst rasche Wrmeabfuhr. Den physikalischen Wirkprinzipien der Schaltkupplungen entsprechend gibt es mechanische, hydraulische, pneumatische und elektromagnetische Bremsen. Nach dem Verwendungszweck unterscheidet man Sperren (Richtungskupplung), Haltebremsen (verhindert unbeabsichtigtes Anlaufen einer Welle aus dem Stillstand), Regelbremsen (Einhalten einer bestimmten Wellendrehzahl) und Leistungsbremsen (Leistungsumwandler). Weiterhin ist es mglich, Kupplung und Bremse zu einer konstruktiven Einheit – einer Kupplungs-Brems-Kombination – zusammenzufassen (vgl. Bild 13) [71]. Genauere Beschreibungen und Berechnungen knnen den Hauptanwendungsgebieten entsprechend Abschnitt Q, R bzw. U entnommen werden. Die Berechnung mechanischer, schaltbarer Bremsen erfolgt analog der Kupplungsberechnung, wobei das Kupplungsmoment MK durch das Bremsmoment und das Beschleunigungsmoment MA durch das Verzgerungsmoment ersetzt wird. Zu beachten ist der Einfluß und zeitliche Verlauf des Lastmoments, z. B. bei Leistungsbremsen, beim Abbremsen
gegen laufenden Antrieb und beim Abbremsen ablaufender Lasten in der Frdertechnik. Gestaltungsgrundstze fr Bremsen sind den Normen DIN 15 431 bis DIN 15 437 zu entnehmen. DIN 15 434-1 enthlt Berechnungsgrundstze fr Trommel- und Scheibenbremsen. Weitere Hinweise enthlt die VDI-Richtlinie 2241 [47, 48]. Bauarten. Bild 19 zeigt verschiedene Bremsenbauarten. Prinzipiell knnen alle Schaltkupplungsarten auch als Bremsen ausgefhrt werden (vgl. Bilder 12, 14 und 18), hinzu kommen spezielle Bauarten. Zu den mechanischen Bremsen zhlen Backen-, Scheiben- und Bandbremsen. Backenbremsen lassen sich in Außen- und Innenbackenbremsen (Bilder 19 b und 19 c) unterteilen (Fahrzeuge, Hebezeuge). Bandbremsen (Bild 19 a) erfordern wegen der selbstverstrkenden Wirkung der Umschlingungsreibung nur geringe Bettigungskrfte bzw. knnen selbstverstrkend ausgefhrt werden. Scheibenbremsen (Bild 19 d) weisen – insbesondere bei innenbelfteter Bauweise – gnstige Khlungsverhltnisse auf. Neue Systeme aus C/C-SiC-Faserkeramiken weisen eine hohe Temperaturstabilitt, eine geringe Wrmedehnung sowie ein geringes Gewicht auf (Rennsport, Flugzeugbau) [72]. Scheibenbremsen – im Automobilbau schon lange bewhrt – setzen sich auch in der Industrie aufgrund ihrer kompakten Bauweise und der Mglichkeit einer parallelen Anordnung immer strker durch. Pneumatisch bettigte, mechanische Bremsen eignen sich besonders zur Verzgerung großer Massen, z. B. bei Antrieben von Scheren und Pressen. Bei Bremsen mit elektromagnetischer Bettigung unterscheidet man die Bettigung gegen Federn oder Permanentmagneten (Industrieroboter). Durch die Verwendung temperaturstabiler Seltene-Erden-Magnete werden hohe, konstante Bremsmomente erreicht [73].
I3.6 Selbstttig schaltende Kupplungen
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Bild 19 a–f. Bremsbauarten (Bettigungskraft FB teilweise eingetragen). a Bandbremse [49]; b Außenbackenbremse (doppelt) [49]; c Innenbackenbremse (Trommelbremse, Simplex); d pneumatisch bettigte Scheibenbremse (Ortlinghaus); e Induktionsbremse mit Lfterrad (Stromag); f Permanentmagnetbremse (Lenze)
Leistungsbremsen werden berwiegend mit hydraulischem (Wasser oder l als Medium) oder elektromagnetischem Wirkprinzip (Generator- und Wirbelstrombremsen) ausgefhrt (Bilder 19 e und 19 f). Generator- und elektrische Wirbelstrombremsen sind verschleißfrei und erlauben eine leichte Abfuhr der anfallenden Verlustenergie. Bei Generatorbremsen kann die gewonnene Bremsenergie in das Leitungsnetz zurckgespeist werden. Wirbelstrombremsen haben den Vorteil einer reibungsunabhngigen Bremswirkung (Schienenfahrzeuge, Hebezeuge). Das Bremsmoment zeigt bei Leistungsbremsen ein stark drehzahlabhngiges Verhalten [74]. Eine weitere Bremse mit elektromagnetischem Wirkprinzip ist die Magnetpulverbremse, die sich durch einfachen Aufbau, niedriges Gewicht und geringen Platzbedarf auszeichnet (vgl. G 3.5.2).
3.6 Selbstttig schaltende Kupplungen Automatic clutches Als selbstttig schaltende Kupplungen werden alle Kupplungen bezeichnet, deren Schaltvorgang durch einen der Betriebsparameter Drehzahl, Drehmoment oder Drehrichtung ausgelst wird [75]. 3.6.1 Drehmomentgeschaltete Kupplungen Torque-sensitive clutches (slip clutches) Drehmomentgeschaltete Kupplungen werden hauptschlich zur Drehmomentbegrenzung zwischen Antriebs- und Abtriebsseite verwendet. In dieser Funktion werden sie auch als Sicherheitskupplungen bezeichnet [76]. Die Dimensionierung aller Komponenten einer Anlage auf maximale Spitzenmomente des Gesamtsystems kann durch Einbau einer Sicherheitskupplung entfallen [77]. Bauarten. Rutschkupplungen (Bild 20 a) sind als reibschlssige Kupplungen mit fest einstellbarer Kupplungskraft auszufhren. Dabei ist darauf zu achten, daß sich die Vorspannkraft nur wenig mit dem Verschleißweg ndert, um einen war-
tungsarmen Betrieb sicherzustellen (flache Federkennlinien). Mittels Schlupfwchter knnen diese Kupplungen berwacht werden, damit sie im Dauerschlupfbetrieb nicht berhitzen. Hufiges Schalten dieser Kupplungen fhrt zu starker Erwrmung, die bei der Auslegung bercksichtigt werden muß. Drucklverbindungen (Bild 20 b) bertragen in Abhngigkeit des anliegenden ldrucks das Drehmoment reibschlssig. Die radiale Anpreßkraft wird mit Druckl erzeugt, das sich in einer zylindrischen Druckkammer des Antriebsflansches befindet. Beim Rutschmoment setzt ein Abscherring das Druckl und somit die Drehmomentverbindung frei [78]. Sperrkrperkupplungen verwenden Ausrckelemente (Bild 20 c), z. B. federkraftbelastete Kugeln oder Bolzen, die bei einem vorberechneten Grenzmoment aus der Einrastposition herausgleiten [79]. Bei einigen Ausfhrungen koppeln die Elemente automatisch bei Unterschreiten des Grenzmoments wieder ein. Bei Brechbolzen-, Brechring- und Zugbolzenkupplungen (Bild 20 d) [80, 81] versagen die dafr vorgesehenen Elemente beim Erreichen des Grenzmoments durch einen kontrollierten Bruch (Sollbruchstelle). Bedingt durch Unterschiede in den Werkstoffeigenschaften und durch Fertigungseinflsse kann das Bruchmoment der Sollbruchstelle schwanken. Alle drehmomentgeschalteten Kupplungen knnen elektromechanische oder elektronische Schalter zur Abschaltung des Antriebsmotors auslsen.
3.6.2 Drehzahlgeschaltete Kupplungen Speed-sensitive clutches (centrifugal clutches) Bei diesen Kupplungen wird meist ab einer bestimmten Drehzahl die Drehmomentbertragung zwischen Antriebs- und Abtriebsseite zugeschaltet (Anlaufkupplungen); es gibt auch Bauformen, die bei Drehzahlberschreitung ein Abschalten bewirken. Anlaufkupplungen ermglichen ein lastfreies Hochfahren der Antriebsmaschine (Elektro- oder Verbrennungsmotor) und ein Zuschalten der Arbeitsmaschine bei der gewnschten Drehzahl. Damit knnen die Arbeitsmaschine entsprechend dem niedrigeren Arbeitsmoment und die An-
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Mechanische Konstruktionselemente – 3 Kupplungen und Bremsen triebsmaschine fr lastfreies Beschleunigen bzw. reines Arbeitsmoment ausgelegt werden. Bauarten. Bei Fliehkraftkupplungen nach Bild 21 a bertragen federkraftbelastete Segmente [82] beim berschreiten einer Grenzdrehzahl das Drehmoment MK in Abhngigkeit des Reibfaktors m, der Anzahl der Segmente i, des Radius des Schwerpunkts der Segmente rm , ihrer Masse m, der Winkelgeschwindigkeit w und des Reibradius R nach der Beziehung MK ¼ m i ðm rm w2 FF Þ R. Whrend des Schaltvorgangs wird durch die Zentrifugalkraft die Rckhaltekraft der Federn FF berwunden. Bei der Auslegung von reibschlssigen Kupplungen fr eine hohe Schalthufigkeit (Dauerschaltung) bzw. lnger andauerndes Durchrutschen, z. B. bei der Nutzung dieser Kupplungsart als Sicherheitskupplung, ist eine Wrmebilanz aufzustellen (vgl. G 3.5). Statt Segmenten wird bei Fllgutkupplungen (Bild 21 b) von einem sternfrmigen Rotor Fllgut, wie Pulver, Kugeln oder Rollen, gegen die Mantelflche des Abtriebsteils geschleudert. Dadurch wird ein Reibschluß zwischen Antriebs- und Abtriebsseite hergestellt. Auch hier steigt das bertragbare Moment mit dem Quadrat der Drehzahl. Bei Nenndrehzahl laufen diese Kupplungen schlupf- und damit verlustfrei. Diese Bauart wird hauptschlich bei hheren Drehzahlen eingesetzt.
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3.6.3 Richtungsgeschaltete Kupplungen (Freilufe) Directional (one-way) clutches, overrun clutches
Bild 20 a–d. Drehmomentgeschaltete Kupplungen (Sicherheitskupplungen). a Zweiflchen-Rutschkupplung mit Federvorspannung (Ringspann); b Kupplung mit Druckl-Preßverband (Voith): 1 Drucklraum, 2 Abschergabel fr vollstndige Entlastung im Rutschfall; c Sperrkrperkupplung mit Endschalter (Mayr); d Brechbolzenkupplung, 3 Bolzen am Umfang
Bild 21 a, b. Drehzahlgeschaltete Kupplungen. a Fliehkraftkupplung mit Segmenten [82]; b Fllgutkupplung [9]
Kupplungen, die durch die relative Drehrichtung der An- und Abtriebsseite geschaltet werden, gehren zu den richtungsbettigten Kupplungen [9, 85, 86]. Bei diesen Kupplungen werden in einer Drehrichtung die Antriebs- und Abtriebsseite reib- oder formschlssig gekoppelt (Sperrzustand), in der Gegendrehrichtung erfolgt eine Entkopplung der Antriebselemente (Freilaufzustand). Freilaufkupplungen werden im Maschinenbau z. B. als Rcklaufsperren (in Frdermitteln, Strmungsmaschinen, automatischen Kfz-Getrieben), berholkupplungen (in Mehr-Motor-Antrieben, Anlasserantrieben, Fahrradnaben und Schrittschaltfreilufen bei Vorschubeinrichtungen und Schaltwerkgetrieben) eingesetzt. Bauarten. Klinkenfreilufe (Sperrder und Ratschen) nehmen in einer Drehrichtung den Antrieb formschlssig mit. Bei Klemmfreilufen [4, 87] fassen hingegen die Elemente in jeder Stellung fast geruschlos, mit grßerer Schaltgeschwindigkeit und bei kleineren geometrischen Abmessungen. Bei der Bauform in Bild 22 a handelt es sich um Klemmrollenfreilufe mit Innenstern, bei denen einzeln gefederte Rollen in keilfrmige Taschen gedrckt werden. Klemmkrperfreilufe nach Bild 22 b [9, 88–92] besitzen unrunde Klemmkrper zwischen kreiszylindrischen Laufbahnen. Sie bertragen bei gleicher Baugrße mehr Drehmoment und sind gegen Fertigungstoleranzen wie Rundlauffehler unempfindlicher. Den grßten Einfluß auf die Lebensdauer [93] und die Schaltgenauigkeit haben verschleißmindernde Additive im Schmierstoff [94]. Bei Rcklaufsperren in Fliehkraftausfhrung lßt sich durch eine Fliehkraftentkopplung zwischen Antrieb und Abtrieb der Verschleiß herabsetzen [9] oder bei einer vlligen Fliehkraftabhebung sogar vermeiden. Fr eine einwandfreie Funktion ist eine exakte radiale und axiale Lagerung wichtig (Baueinheiten mit Wlzlagern) [4, 9]. In die Schaltung kann auch von außen eingegriffen werden: Abschaltung (vollkommener Freilaufzustand), Umschaltung, vollkommene Sperre, Zuschaltung nur whrend einer Umdrehung (Eintouren-Kupplung). Reibfreilufe sind Reibkupplungen mit Funktionsflchen in Scheiben- oder Kegelform, bei denen ber Stellmechanismen die Elemente in einer Drehrichtung angepreßt werden. Bei Klauen- oder Zahnfreilufen (Bild 22 c) [46] werden Zhne zur Drehmomentbertragung verwendet. Diese Zahnkupplung schaltet automatisch, wenn
I4.1 Kennzeichen und Eigenschaften der Wlzlager sich die Kupplungsmuffe axial auf dem Steilgewinde aufgrund einer Drehzahldifferenz zwischen Antriebs- und Abtriebsseite verschiebt. Allgemein wird diese Kupplungsart fr wenige Schaltungen ausgelegt. Die rechnerische Auslegung
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von Kupplungen als Rcklaufsperren [95] ist durch die hohe Dynamik der Krfte der Arbeitssysteme, z. B. Frderbnder, nur mittels Berechnung des Schwingungsverhaltens des Gesamtsystems mit hoher Genauigkeit mglich [96].
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Bild 22 a–c. Freilufe. a Klemmrollenfreilauf mit Innenstern und Einzelfederung: 1 Wirkflche, 2 Feder, 3 Klemmrolle; b Klemmkrperfreilauf (Ringspann); c Zahnfreilauf: 1 Klinke, 2 Kupplungsverzahnung, 3 Kupplungsmuffe, 4 Steilgewinde, 5 Antrieb, 6 Abtrieb, 7 Klinkenverzahnung; A offen, B Schaltvorgang, C geschlossen
4 Wlzlager. Rolling bearings
4.1 Kennzeichen und Eigenschaften der Wlzlager. Characteristics of rolling bearings
– geringer Khlungs- und Schmierstoffbedarf; Fettschmierung meist ausreichend, – radiale, axiale und kombinierte Belastbarkeit mit geringem Aufwand erzielbar, – annhernd spielfreier bzw. vorgespannter Betrieb mglich, – Wlzlager sind als einbaufertige Normteilbaureihen weltweit verfgbar.
Wlzlager bertragen – wie auch Gleitlager – Krfte zwischen relativ zueinander bewegten Maschinenteilen und fhren sie. Durch Zwischenschaltung von Wlzkrpern wird das Gleiten durch ein Rollen mit kleinem Gleitanteil (Wlzen) ersetzt, Bild 1, mit den Vorteilen: – leichter Aufbau eines elastohydrodynamischen Schmierfilms, – geringer Bewegungswiderstand auch beim Anlauf aus dem Stillstand,
Nachteile sind: – radialer Raumbedarf der Wlzkrper (weniger bei Nadellagern und Dnnringlagern), – hohe Anforderungen an die Fertigungsgenauigkeit der Umbauteile, – Empfindlichkeit gegenber Stßen, Stillstandserschtterungen, oszillierenden Bewegungen kleiner Amplitude und Stromdurchgang,
G. Poll, Hannover
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Mechanische Konstruktionselemente – 4 Wlzlager
Bild 1. Wirkprinzip eines Wlzlagers im Vergleich zum Gleitlager
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– Ein- und Ausbau oft schwieriger als bei Gleitlagern, da nur in Sonderausfhrung teilbar, – hohe Anforderungen an die Sauberkeit, – starke Streuung der Lebensdauer einzelner Lager. berlebenswahrscheinlichkeit nur fr eine hinreichend große Gruppe gleichartiger Lagerungen berechenbar, – Schwingungsanregung (Gerusche) durch die bewegten Einzelkontakte, – begrenzte Drehzahl u. a. durch Fliehkraft der umlaufenden Wlzkrper.
4.2 Bauarten der Wlzlager. Rolling bearing types In allen Wlzlagern rollen kugel- oder rollenfrmige Wlzkrper, meist von einem Kfig gehalten, auf Laufbahnen hoher Festigkeit, Oberflchengte und Formtreue, die in den Innen- bzw. Außenring des Lagers oder in die anschließenden Bauteile eingearbeitet sind. 4.2.1 Lager fr rotierende Bewegungen Rotating motion rolling bearings
Entsprechend der Wlzkrpergeometrie unterscheidet man Kugel- und Rollenlager, Bild 3. Rollen knnen als Zylinderabschnitte, als Kegelstmpfe oder als symmetrische bzw. asymmetrische Tonnen mit Kreisbogenprofil geformt sein. Theoretisch ergibt sich damit im unbelasteten Zustand eine Linienberhrung, whrend Kugellager Punktberhrung aufweisen, da der Kugelradius kleiner ist als die Laufbahnkrmmungsradien. Infolge der grßeren Berhrflchen, die bei Belastung durch elastische Verformung entstehen, nehmen Rollenlager bei gleicher Werkstoffbeanspruchung hhere Krfte auf. Praktisch herrscht eine „modifizierte Linienberhrung“: Um die bei reiner Linienberhrung unvermeidlichen Spannungsspitzen an den Enden abzubauen, erhielten Zylinderrollen zunchst zu den Stirnflchen hin ballige bergangszonen. Heute bevorzugt man fr Zylinder- und Kegelrollen leicht konvexe (z. B. logarithmische) Profile, so daß auch bei mehreren Winkelminuten Schiefstellung zwischen Innen- und Außenring keine unstetigen Spannungsverlufe mit Spitzen auftreten. Sphrische Rollen haben hnlich Kugellagern einen geringfgig kleineren Profilkrmmungsradius als ihre Laufbahnen. Da Rollen anders als Kugeln eine definierte Rotationsachse haben, mssen besondere Maßnahmen einen Schrglauf („ Schrnken“) verhindern. Kugellager sind daher i. allg. hinsichtlich der Schmierung weniger anspruchsvoll als Rollenlager, erreichen lngere Fettgebrauchsdauern und hhere Drehzahlen und neigen weniger zum katastrophalen Versagen. Rollen werden zwischen zwei Borden mit Spiel gefhrt (Zylinderrollenlager, frhere Bauformen von Pendelrollenlager und Tonnenlager), an einem festen Bord oder an einem losen Fhrungsring mit Spannfhrung (Kegelrollenlager, Pendelrollenlager), vorwiegend durch den Kfig (Nadellager) oder durch Reibungskrfte zwischen Rollen und Laufbahnen (Pendelrollen- und Toroidallager).
Rillenkugellager (DIN 625), Bild 2, sind am vielseitigsten einsetzbar, da sie besonders kostengnstig und leicht verfgbar sind, als Einzellager sowohl Radial- als auch Axialkrfte in beiden Richtungen aufnehmen, hohe Drehzahlen bei geringen Laufgeruschen ertragen, geringe Ansprche an die Schmierung stellen und den Schmierstoff wenig beanspruchen. Rillenkugellager werden in großer Stckzahl auch als befettete und abgedichtete Einheiten gefertigt. Die Standardausfhrung hat keine Einfllnuten und daher eine beidseitig gleich hohe axiale Tragfhigkeit, allerdings weniger Kugeln. Sie nimmt auch geringe Kippmomente auf (daher z. B. in Spannrollen ein einzelnes Lager ausreichend). Fr hohe radiale Belastungen gibt es zweireihige Lager. Rillenkugellager sind nicht zerlegbar. Aufgrund der relativ großen Axialluft sind mehrere Winkelminuten Schiefstellung zwischen den Lagerringen zulssig.
Bild 2. Rillenkugellager
Bild 3. Punktberhrung (Kugellager) und Linienberhrung (Rollenlager)
I4.2 Bauarten der Wlzlager Entsprechend dem Druckwinkel a und damit der bevorzugten Lastrichtung unterscheidet man reine Radial- ða ¼ 0°Þ, reine Axial- ða ¼ 90°Þ und Schrglager ð0° < a < 90°Þ. Der Druckwinkel gibt die Orientierung der Drucklinie an (die Senkrechte auf der Berhrtangente zwischen Wlzkrpern und bordloser Ringlaufbahn, Bilder 4, 6, 7 und 8). Der Schnittpunkt der Drucklinien mit der Lagerachse (der Druckmittelpunkt) ist gedachter Angriffspunkt der ußeren Krfte. Die axiale Tragfhigkeit nimmt mit dem Druckwinkel zu, die Eignung fr hohe Drehzahlen jedoch ab (ungnstigere Zerlegung von Fliehkrften, grßerer Bohrschlupf). Lager fr ausschließlich oder berwiegend radiale Belastung Zylinderrollenlager der Bauform NU mit Fhrungsborden am Außenring gestatten das kostengnstige Centerless-Schleifen der bordlosen Innenringlaufbahnen und deren visuelle Inspektion im Einbauzustand sowie die Demontage von Innenringen mit festem Sitz durch Erwrmen. Bei horizontaler Welle bilden die Borde ein lreservoir, das beim Anfahren aus dem Stillstand hilft. Die ltere Bauform N (heute z. B. bei zweireihigen Zylinderrollenlagern NN fr Werkzeugmaschinenspindeln) mit Fhrungsborden am Innenring erreicht bei drehender Welle und niedrigen Belastungen hhere Drehzahlen und Winkelbeschleunigungen, da die Rollenstze durch die Reibung an den Borden nicht gebremst, sondern angetrieben werden und sich berschssiges l nicht zwischen den Borden staut. Vollrollige Zylinderrollenlager ohne Kfig ertragen hohe radiale Belastungen bei mßigen Drehzahlen. Nadellager haben eine große Zahl langer, dnner Rollen (Lngen-Durchmesserverhltnis grßer oder gleich 2,5), so daß die Tragfhigkeit trotz geringer Bauhhe hoch ist, vorausgesetzt, die Laufbahnen fluchten sehr genau. Die Ursprungsbauform hat Wlzkrper mit abgerundeten Stirnflchen und fhrt diese hauptschlich ber den Kfig, der meist durch abnehmbare Borde gehalten wird; heutige Ausfhrungen arbeiten auch mit Bordfhrung.
Bild 4 a–f. Lager fr ausschließlich radiale Belastung. a, b, d Zylinderrollenlager mit Borden an einem Ring: a Bauform NU; b Bauform N; d Bauform NN (zweireihig); c Nadellager; e Tonnenlager; f Toroidallager. . radiale Last
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Zylinderrollenlager und Nadellager zeichnen sich durch folgende Vorteile aus: – hohe radiale Tragfhigkeit, – Eignung fr hohe Drehzahlen (gilt fr Zylinderrollenlager), – optimale Loslagerfunktion, da langsame Axialverschiebungen in den Wlzkontakten fast widerstandsfrei mglich sind, wenn die Lager umlaufen, – Zerlegbarkeit, so daß die Ringe einschließlich zugehriger Rollenstze getrennt montiert und demontiert werden knnen; feste Sitze beider Ringe sind damit mglich, ohne Ein- und Ausbaukrfte ber die Wlzkontakte zu leiten, – bordlose Laufbahnen knnen auch vom Anwender in die Umbauteile integriert werden. Dafr werden Einzelkomponenten (z. B. Nadelkrnze oder Nadelbchsen) angeboten. Nachteilig sind die Empfindlichkeit gegen Schiefstellung und die kostspieligen engen Fertigungstoleranzen bei Fhrung der Rollen zwischen zwei Borden. Zylinderrollenlager mit Fhrungsborden an einem Ring und zustzlichen Halteborden bzw. Bordscheiben oder Winkelringen am anderen Ring, Bild 5, knnen bei ausreichender Radialbelastung auch dauernd geringe und kurzzeitig mittlere Axialkrfte aufnehmen und damit als Festlager oder Sttzlager dienen (Steigerung der Axialbelastbarkeit durch hydrodynamisch gnstige „offene“ Bordgeometrien). Die Bauform NJ hat einen Haltebord am Innenring fr Axialkrfte in einer Richtung und ggf. einen Winkelring (HJ) fr die andere Richtung (zustzlicher axialer Bauraum!). Die Bauart NUP hat eine lose Bordscheibe und einen verkrzten Innenring (dadurch Breite wie Standardlager NU, aber kein Auffdelkegel fr die Wlzkrper). Entsprechende Varianten sind auch in der Grundbauform N mglich. Fr eine eindeutige Fhrung muß das Axialspiel zwischen den Fhrungsborden immer kleiner sein als zwischen den Halteborden und den Bordscheiben bzw. Winkelringen. Toroidallager und Tonnenlager (DIN 635) sind einreihige Radiallager mit hohlkugelfrmigen (sphrischen) Laufbahnen und tonnenfrmigen Rollen. Dadurch beeintrchtigen auch große Fluchtungsfehler und Schiefstellungen die Ermdungslebensdauer und die Funktion nicht. Langsame Winkelnderungen erfolgen bei umlaufenden Lagern verschleißfrei und nahezu widerstandslos durch Querschlupf innerhalb der Wlzkontakte genauso wie bei Pendelkugellagern und Pendelrollenlagern, siehe Abschnitt „Lager fr radiale und axiale Belastungen“ (Vorsicht jedoch bei schnellen Taumelbewegungen und großen Schiefstellungen bei umlaufendem Außenring!). Winkeleinstellbarkeit wird auch bei anderen Lagerbauarten erreicht, indem man die Außenringmantelflche sphrisch gestaltet und in hohlkugelige Gehuse einsetzt
Bild 5 a–c. Axial belastbare Zylinderrollenlager mit Borden innen und außen. a Bauform NJ (nur einseitig axial belastbar); b Bauform NJ + HJ; c Bauform NUP; . radiale Hauptlast; x mgliche axiale Zusatzlast
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Mechanische Konstruktionselemente – 4 Wlzlager
(z. B. Y-Lager als Abart der Rillenkugellager und spezielle Nadellager) oder Standardlager in die Bohrung von sphrischen Gelenkgleitlagern einbaut. (Nachteil: unvollkommene Einstellung bei Wellendurchbiegungen unter Last wegen Gleitreibung.) Im Gegensatz zu den lteren Tonnenlagern werden die Rollen der Toroidallager nicht zwischen Borden, sondern durch Reibungskrfte gefhrt. Aufgrund der inneren Lagergeometrie entspricht einem kleinen Radialspiel eine so große Axialluft, daß das Lager anstelle eines Zylinderrollenlagers als Loslager verwendet werden kann (jedoch weniger montagefreundlich, da nicht zerlegbar). Lager fr ausschließlich oder berwiegend axiale Belastung
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Reine Axiallager (Bild 6) sind Axialrillenkugellager (DIN 711, DIN 715), Axialzylinderrollenlager (DIN 722), Axialnadellager und Axialkegelrollenlager. Axialpendelrollenlager (DIN 728) und Vierpunktlager (DIN 628) sind vom Druckwinkel her eigentlich Schrglager, knnen aber nur bei berwiegender Axialbelastung zustzlich kleine Radialkrfte aufnehmen (sonst bei Vierpunktlagern keine kinematisch einwandfreie Zweipunktberhrung und bermßiger Bohrschlupf). In Kombination mit Radiallagern werden Axiallager mit radialem Spiel zwischen Außenring und Gehuse eingebaut, um Radialkrfte auszuschließen. Eine mit der Drehzahl zunehmende Mindestaxialbelastung ist erforderlich, damit die Wlzkrper trotz Fliehkrften und Kreiselmomenten kinematisch richtig abrollen. Nur Vierpunktlager knnen mit einer Wlzkrperreihe Axialkrfte in beiden Richtungen und Kippmomente aufnehmen. Die brigen Axiallager wirken nur als zweireihige Ausfhrung oder als Lagerpaar zweiseitig. Axialpendelrollenlager sind in sich winkeleinstellbar, die brigen Axiallager reagieren empfindlich auf Schiefstellungen (ungleichmßige Lastverteilung auf die Wlzkrper; Abhilfe durch ballige Gehusescheiben, in Bild 6 a fr Axialrillenkugellager dargestellt, Nachteil: Gleitreibung). Andererseits
Bild 6 a–g. Lager fr ausschließlich oder berwiegend axiale Belastung. a Einseitig wirkendes Axialrillenkugellager (hier winkeleinstellbar dank sphrischer Gehusescheibe); b doppelseitig wirkendes Axialrillenkugellager; c Vierpunktlager; d Axialzylinderrollenlager mit unterteilten Rollen; e Axialkegelrollenlager, symmetrische Bauform; f Axialkegelrollenlager, asymmetrische Bauform; g Axialpendelrollenlager; . axiale Hauptlast; x mgliche radiale Zusatzlast; [ { Kippmoment
gleichen Axialzylinderrollen-, Axialnadel- und asymmetrische Axialkegelrollenlager mit einer planen Scheibe radiale Verlagerungen der Welle durch Verschiebung im Lager reibungsfrei aus. Bohrschlupf tritt nur bei Axialkegelrollenlagern und Axialpendelrollenlagern nicht auf, dafr Gleitreibung an den Borden. Die grßte Bohrreibung haben Axialzylinderrollen- und Axialnadellager, weshalb die Wlzkrper hufig in Segmente mit unterschiedlichen Drehzahlen unterteilt werden. Lager fr radiale und axiale Belastungen (Schrglager) Schrglager sind fr radiale, axiale und kombinierte Belastungen geeignet, da die Drucklinien geneigt sind. Schrglager mit festen Druckwinkeln sind Schulterkugellager (DIN 615), Schrgkugellager (DIN 628), Kegelrollenlager (DIN 720), Kreuzkegel- und Kreuzzylinderrollenlager (Bild 7), Pendelkugellager (DIN 630) und Pendelrollenlager (DIN 635). Ril-
Bild 7 a–i. Lager fr radiale und axiale Belastungen (Schrglager). a Schulterkugellager; b einreihiges Schrgkugellager; c zweireihiges Schrgkugellager; d einreihiges Kegelrollenlager; e Kreuzkegelrollenlager; f Kreuzzylinderrollenlager; g Pendelkugellager; h Pendelrollenlager mit festen Fhrungsborden; i Pendelrollenlager mit losem Fhrungsring. ., c radiale bzw. axiale Last; [ { Kippmoment
I4.2 Bauarten der Wlzlager
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Bild 9. O-, X- und Tandemanordnung, hier z. B. mit Schrgkugellagern
Bild 8. Radiale und axiale Lagerluft sowie Druckwinkel von Rillenkugellagern links bei radialer, rechts bei axialer Belastungsrichtung
lenkugellager haben je nach resultierender Lastrichtung vernderliche Druckwinkel und werden dadurch bei Axialbelastung zu Schrglagern (Bild 8). Einreihige Schrgkugellager und Kegelrollenlager nehmen Axialkrfte nur in einer Richtung auf. Durch den Druckwinkel entsteht bei Radialbelastung eine innere Axialkraftkomponente. Bei wechselnder axialer Belastungsrichtung oder radialen Belastungen, deren innere Axialkraftkomponente nicht durch eine ußere Axialkraft im Gleichgewicht gehalten wird, mssen Schrglager daher zusammen mit einem Sttzlager, vorzugsweise einem weiteren Schrglager, fr die jeweils andere Lastrichtung eingesetzt werden oder es sind zweireihige Schrgkugellager (DIN 628-3), zweireihige Kegelrollenlager, Kreuzzylinderrollenlager oder Kreuzkegelrollenlager zu verwenden. Bei den Kreuzzylinder- und Kreuzkegelrollenlagern sind die Rollen, deren Durchmesser grßer ist als ihre Lnge, abwechselnd um 90° gegeneinander verschwenkt angeordnet, so daß die beiden Wlzkrperreihen hnlich wie bei Vierpunktlagern in einer Ebene liegen. Sie bauen dadurch kompakt, haben aber bei axialer Belastung nur die halbe Tragfhigkeit echter zweireihiger Lager, da jeweils nur die Hlfte der Wlzkrper trgt. Zweireihige Schrglager haben in der Regel O-Anordnung und eine fest vorgegebene Fertigungslagerluft. Sie werden zunehmend auch als befettete Lagerungseinheiten mit Dichtungen und teilweise auch integrierten Umbauteilen wie z. B. Flanschen gefertigt. Werden zwei einzelne Schrglager eingebaut, ist eine O- oder X-Anordnung mglich, Bild 9. Dabei muß der Anwender das Axialspiel durch „Anstellen“ der Lager gegeneinander bei der Montage einstellen. Hufig werden daher gepaarte Lager mit definierten Fertigungslagerluftwerten verschiedener Grßenklassen eingesetzt. Zusammen mit den Einbaupassungen ergibt sich bei Anordnung unmittelbar nebeneinander entweder ein positives Lagerspiel oder leichte, mittlere bzw. hohe Vorspannung. Solche Lager werden auch im Tandem verbaut, um hohe Axiallasten gleichmßig zu verteilen (Druckmittelpunkte beider Lager auf derselben Seite). Bei O-Anordnung liegen die Druckmittelpunkte in weitem Abstand voneinander auf den voneinander abgewandten Seiten der Lager, bei X-Anordnung in kleinerem Abstand auf den einander zugewandten. Die O-Anordnung nimmt daher beachtliche Kippmomente auf und reicht oft alleine als Lagerung einer Welle aus. Zusammen mit einem weiteren Lager entsteht ein statisch unbestimmtes
System (nur vorteilhaft, wenn hohe Biegesteifigkeit erforderlich). Schrgkugellager werden mit einer Reihe unterschiedlicher Druckwinkel gefertigt (bis Druckwinkel a ¼ 45° Radial-, darber Axialschrgkugellager). Lager mit kleinen Druckwinkeln sind radial steif und fr hohe Drehzahlen geeignet, Lager mit großen Druckwinkeln axial steif und fr hohe Drehzahlen weniger geeignet. Schrgkugellager sind zumindest im eingebauten Zustand nicht zerlegbar, wohl aber Schulterkugellager (veraltet); sie erlauben wegen der zylindrischen Laufbahnabschnitte auch eine begrenzte Axialverschiebung im Lager bei verringerter Tragfhigkeit wegen schlechter Schmiegung (das Verhltnis des Laufbahn- zum Wlzkrperkrmmungsradius). Kegelrollenlager sind zerlegbar und damit montagefreundlich (wie Zylinderrollen- und Nadellager, jedoch keine Loslagerverschiebung im Lager mglich). Wegen der Spannfhrung an nur einem Bord sind Kegelrollenlager kostengnstiger (axiale Lngentoleranzen unkritisch). Die kegelige Form der Rollen (fr ein bohrschlupffreies Abrollen Schnittpunkt aller Wlzkrpermantellinien in einem Punkt auf der Lagerachse) erzeugt immer eine Kraftkomponente mit entsprechendem Gleitreibungsanteil auf den Bord. Da alle Krfte primr als Normalkrfte ber die Laufbahnen bertragen werden und im Gegensatz zu Zylinderrollenlagern NJ oder NUP nur ein Bruchteil einer ußeren Axialkraft am Bord wirksam wird, sind Kegelrollenlager auch rein axial belastbar (um so hher, je grßer der Druckwinkel). Infolge der Neigung der Rollenachsen ist bei Kegelrollenlagern die Berhrgeometrie zwischen Rollen und Bord fr eine hydrodynamische Schmierung und genaue Fhrung der Rollen gnstig (bei lteren Lagerausfhrungen erst nach Einlauf mit Verschleiß; dadurch anfnglich hhere Reibung, aber automatisierte Lufteinstellung ber das Reibmoment leichter). Pendelkugellager und Pendelrollenlager sind zweireihige, nicht zerlegbare Schrglager, bei denen die Druckmittelpunkte der beiden Reihen zusammenfallen und die Außenringlaufbahn hohlkugelig ausgebildet ist. Dadurch sind sie wie die Tonnenlager und Toroidallager (siehe Abschnitt „Lager fr ausschließlich oder berwiegend radiale Belastung“) in sich winkeleinstellbar. Im Gegensatz zu diesen sind Pendelkugellager und Pendelrollenlager – je nach Baureihe und Druckwinkel unterschiedlich hoch – axial belastbar. Wegen der ungnstigen Schmiegung zwischen Kugeln und Außenringlaufbahn sind Pendelkugellager weniger tragfhig als Rillenkugellager. Dank der Tonnenform der Wlzkrper haben Pendelrollenlager hingegen eine gnstige Schmiegung und eine hohe Tragfhigkeit. ltere Ausfhrungen mit festen Borden und anfnglich auch asymmetrischen Rollen sind heute durch symmetrische Rollen ohne festen Bord, teilweise mit losem Fhrungsring, verdrngt. Dadurch kann sich bei axialer Belastung selbstttig ein grßerer Druckwinkel einstellen. Eine bermßige Axialbelastung im Verhltnis zur Radialkraft ist jedoch bedenklich, da dann eine Wlzkrperreihe vllig entlastet wird.
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Mechanische Konstruktionselemente – 4 Wlzlager und Stahl, in Sonderfllen Leichtmetall. Aus ihnen werden entweder Massivkfige spanend gefertigt bzw. gegossen oder Blechkfige geformt. Stahlblechkfige werden phosphatiert; bei selbstschmierenden Kfigen fr Spezialanwendungen sind in die Matrix (z. B. Polyimid) Festschmierstoffe (z. B. MoS2 oder PTFE) eingelagert, die sich auf die Wlzkrper bertragen, oder man versilbert metallische Kfige.
4.4 Wlzlagerwerkstoffe Rolling bearing structural materials Die Tragfhigkeit der Wlzlager beruht darauf, daß die wlzbeanspruchten Werkstoffe sehr rein und in den hochbeanspruchten Zonen ausreichend hart und zh sind. Dies wird durch entsprechende Erschmelzungsverfahren und Vergten (Hrten und anschließendes Anlassen) auf 670 + 170 HV erreicht. Dazu mssen Standard-Wlzlagersthle durchhrtbar, einsatzhrtbar oder fr Flamm- und Induktionshrtung geeignet sein, z. B.:
G Bild 10 a–c. Lngsfhrungen (s. Text)
– durchhrtender Stahl 100 Cr 6 oder – Einsatzstahl 17 MnCr 5, beide nach DIN 17 230.
4.2.2 Linearwlzlager. Linear motion rolling bearings
Wlzkrper werden meist durchgehrtet (mit Ausnahme hohlgebohrter Rollen z. B. im Verband mit Bolzenkfigen). Wlzlagerringe kleiner und mittlerer Durchmesser werden in Europa ebenfalls meist durchgehrtet; in USA (insbesondere bei Kegelrollenlagern) wird jedoch vorwiegend einsatzgehrtet. Bei Lagern mit geringen Anforderungen an die Tragfhigkeit werden auch naturharte Sthle eingesetzt, in Spezialanwendungen mit hohen Temperaturen, z. B. Triebwerkslagern, warmfeste Sthle. Hybridlager mit Stahlringen und Keramikwlzkrpern (z. B. aus Siliziumnitrid) eignen sich wegen deren geringerer Dichte besonders fr hohe Drehzahlen und stellen geringere Ansprche an die Schmierung (vollstndig keramische Lager fr extrem hohe Temperaturen und aggressive Medien). Im Kontakt mit Lebensmitteln und korrosiven Medien bei niedrigen Belastungen setzt man Kunststofflager ein, bei hheren Belastungen korrosionsbestndige Sthle, von denen es auch hrtbare oder nicht magnetisierbare Varianten gibt. Bei unzureichender Schmierung werden Beschichtungen aufgebracht, z. B. Wolframkarbid-Kohlenstoff im PVD-Verfahren. Weitere Informationen zu Lagerwerkstoffen siehe Abschnitt E 3.1.4.
Bei einfachen Kugelfhrungen (Bild 10 a) und Flachfhrungen (Bild 10 c) werden die Wlzkrper in hlsen- bzw. leiterfrmigen Kfigen gehalten, die dem Hub annhernd mit der halben Geschwindigkeit folgen. Dadurch ist der Weg begrenzt und es besteht infolge unsymmetrischen Schlupfes die Gefahr eines allmhlichen Auswanderns in Lngsrichtung. Bei Kugelumlaufbchsen (Bild 10 b) und Rollenumlaufschuhen wird dies vermieden, indem die Wlzkrper durch entsprechende Bahnen wieder zum Anfang des Kontaktbereiches zurckgefhrt werden. Die Bauformen mit Kugeln laufen auf geraden, runden Stangen mit entsprechend bearbeiteten Oberflchen. Die Bauformen mit Rollen eignen sich fr Flachfhrungen mit ebenen Gegenflchen.
4.3 Wlzlagerkfige. Bearing cages Lagerkfige haben je nach Lagerbauart unterschiedliche Aufgaben: – Weiterleitung von Massen- und Schlupfkrften, – Verhinderung einer unmittelbaren Berhrung der Wlzkrper, da sich dann wegen der einander entgegengerichteten, gleich großen Umfangsgeschwindigkeiten kein hydrodynamischer Schmierfilm aufbauen kann (nur bei niedrigen Geschwindigkeiten zulssig, siehe vollrollige Lager und Linearlager), – gleichmßige Verteilung der Wlzkrper bei teilgefllten Lagern (z. B. Rillenkugellager), – Fhrung von Wlzkrpern. Die Mehrzahl der Kfige ist wlzkrpergefhrt, entweder ber Stege auf deren ußeren Mantelflchen oder ber Bolzen in den Bohrungen hohler Rollen (dadurch grßere Rollenanzahl). Bei hohen Beschleunigungen werden bordgefhrte Kfige eingesetzt. Dabei sind einteilige Fensterkfige mehrteiligen genieteten, geklammerten, geschweißten oder geschraubten Ausfhrungen vorzuziehen, da diese Verbindungen eine Schwachstelle darstellen. Kunststoffkfige (meist aus glasfaserverstrktem Polyamid, fr hohe Temperaturen auch aus Polyimid, Polyethersulfon und Polyetheretherketon gespritzt, fr hohe Drehzahlen aus harzgetrnkten gewickelten Textilfasern) sind auch bei Rillenkugellagern einteilig, da infolge ihrer Elastizitt die Wlzkrper in die Taschen einschnappen. Sie bauen Zerrkrfte elastisch ab und haben gute Notlaufeigenschaften (kein katastrophales Versagen mit Blockieren des Lagers). Weitere gngige Kfigwerkstoffe sind Messing
4.5 Bezeichnungen fr Wlzlager Designation of standard rolling bearings Kurzzeichen fr Wlzlager setzen sich nach DIN 623 Teil 1 aus Vorsetzzeichen, Basiszeichen und Nachsetzzeichen zusammen. Vorsetzzeichen bezeichnen Teile von vollstndigen Wlzlagern (z. B.: L freier Ring eines nicht selbsthaltenden Lagers, R der dazu gehrige andere Ring mit dem Rollenkranz), Basiszeichen Art und Grße des Lagers, Tab. 1. Die Abmessungen (Bohrung d, Außendurchmesser D, Breite B) der Wlzlager sind so aufgebaut, daß jeder Lagerbohrung mehrere Breitenmaße und Außendurchmesser zugeordnet Tabelle 1. Basiszeichen fr Wlzlager
I4.6 Konstruktive Ausfhrung von Lagerungen
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Bild 11. Aufbau der Maßplne fr Radiallager
sind, um einen großen Lastbereich abzudecken (DIN 616). Die Stufung erfolgt fr Radiallager nach Breitenreihen (7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) und Durchmesserreihen (7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5). Durch Verbindung der beiden Kennzahlen (B vor D!) wird die Maßreihe gebildet, Bild 11. Daneben gelten Maßplne fr Kegelrollenlager und Axiallager (Hhenreihe 7, 9, 1, 2; Durchmesserreihe 0, 1, 2, 3, 4, 5). Fr Bohrungsdurchmesser von 20 bis 480 mm wird die Bohrungskennzahl angegeben. Ausgenommen fr die Lagergrßen bis d=17 mm Bohrung ergibt sich d in mm durch Multiplikation der Bohrungskennzahl mit 5. Zum Beispiel bedeutet das Basiskennzeichen 6204: Rillenkugellager einreihig (Lagerreihe 62), Maßreihe 02 (Breitenreihe 0 mit B=14 mm, sie wird bei Rillenkugellagern in der Bezeichnung weggelassen, und Durchmesserreihe 2 mit D=47 mm), Bohrung d=5 04=20 mm. Bei Bohrungsdurchmessern unter 20 und ber 480 mm ersetzt die Millimeterangabe (teilweise durch Schrgstrich getrennt) die Bohrungskennzahl. Fr Kegelrollenlager sieht DIN ISO 355 eine neue Kennzeichnung vor: T fr Kegelrollenlager (engl. taper), anschließend die Winkelreihe (2, 3, 4, 5, 7) fr den Druckwinkel a, die Durchmesserreihe (B, C, D, E, F, G), die Breitenreihe (B, C, D, E) und der dreistellige Bohrungsdurchmesser in mm. Die Nachsetzzeichen kennzeichnen die Stabilisierungstemperatur, Dichtungs- und Kfigausfhrung, Genauigkeit, Lagerluft etc.
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Bild 12 a, b. Fest-Los-Lagerungen (Prinzip) mit Loslagerverschiebung im Lager (a) und zwischen Außenring und Gehuse (b), hier fr nicht umlaufende Lastrichtung (Punktlast) am Außenring und umlaufende (Umfangslast) am Innenring
4.6 Konstruktive Ausfhrung von Lagerungen [1–5]. Bearing arrangements 4.6.1 Fest-Loslager-Anordnung Arrangements with a locating and a non-locating bearing Wellen mssen durch ein oder, je nach Lastrichtung abwechselnd, durch zwei Lager axial positioniert werden. Das jeweils nicht fhrende Lager muß – außer bei Anstellung von Schrglagern – axial beweglich sein, um unzulssige Verspannungen aufgrund der Lngentoleranzen bzw. ungleicher Wrmedehnung der Welle und des Gehuses zu vermeiden. Bei FestLoslagerung, Bild 12, fhrt das Festlager in beiden Richtungen. Dafr eignen sich axial beidseitig belastbare Lager oder Lagerpaare, also Rillenkugellager, zweireihige oder gepaarte Schrglager in O- oder X-Anordnung, Bild 13, Pendelrollenlager und Pendelkugellager, doppelseitig wirkende Axiallager und Zylinderrollenlager mit Halteborden. Als Loslager knnen Rillenkugellager, alle Radiallager und zweireihige Schrglager bzw. Schrglagerpaare in O- oder X-Anordnung eingesetzt werden, Bild 12 und Bild 13, meist muß dann aber der Innenring auf der Welle oder der Außenring im Gehuse verschiebbar sein (Nachteil: Reibungswiderstand, Gefahr der Passungsrostbildung, des Verschleißes oder des Ausschlagens der Sitze; Abhilfe: auf Schneiden oder elastisch gelagerte Gehuse). Die gnstigere Verschiebung in den Wlzkontakten des Lagers (bei rotierendem Lager annhernd widerstandslos, Preßsitz fr beide Ringe erlaubt) ist bei Zylinderrollenlagern, Bild 12 a und Bild 13 b, Nadellagern und Toroidallagern mglich. Andererseits bieten Rillenkugellager
Bild 13 a, b. Zwei mgliche konstruktive Ausfhrungen von FestLos-Lagerungen. a Mit Rillenkugellagern als Fest- und Loslager (mit Verschiebung zwischen Außenring und Gehuse fr nicht umlaufende Lastrichtung am Außenring und umlaufende am Innenring); b mit gepaarten Schrgkugellagern als Festlager und einem Zylinderrollenlager als Loslager (mit innerer Verschiebung)
als Loslager den Vorteil, daß sie ber Federn axial belastet werden knnen, siehe folgender Abschnitt. 4.6.2 Schwimmende oder Sttz-Traglagerung und angestellte Lagerung Axially floating bearing arrangements and clearance adjusted bearing pairs Eine wechselseitige Fhrung durch zwei Lager kann mit Axialspiel sals schwimmende bzw. Sttz-Traglagerung (Bild 14) oder ohne Axialspiel als angestellte Lagerung (Bild 15) ausgefhrt werden (schwimmende Lagerungen mit Rillenkugellagern oder Zylinderrollenlagern mit einem Haltebord; bei Rillenkugellagern i. d. R. beide Lager mit Schiebe-
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Mechanische Konstruktionselemente – 4 Wlzlager
Bild 14. Zwei Mglichkeiten der schwimmenden Lagerung
Bild 16 a, b. Zwei konstruktive Ausfhrungen angestellter Lagerungen (nicht umlaufende Lastrichtung fr die Außenringe und umlaufende fr die Innenringe). a Mit federnd angestellten Rillenkugellagern; b mit starr angestellten Schrgkugellagern
steigt. Bei starrer Anstellung wird die Luft in der Einbausituation ber Muttern oder Schrauben eingestellt oder ber Paßscheiben bzw. zugepaßte Zwischenringe festgelegt, Bild 15 und Bild 16 b. Bei entsprechend genauer Fertigung der Lagersitze kann mit Hilfe der im Abschnitt „Lager fr radiale und axiale Belastungen“ beschriebenen gepaarten Lagerstze die Lufteinstellung beim Einbau entfallen. Bei starrer Anstellung beeinflussen Wrmedehnungen im allgemeinen die Lagerluft; nur bei Schrglagern in O-Anordnung gibt es einen optimalen Lagerabstand, bei dem sich radiale und axiale Wrmedehnungen genau kompensieren. 4.6.3 Lagersitze, axiale und radiale Festlegung der Lagerringe. Bearing seats, axial and radial positioning
Bild 15. Zwei Varianten einer starr angestellten Lagerung (Prinzip)
sitzen innen oder außen; starr angestellte Lagerungen i. d. R. mit Schrglagern). Oft stellt man die Lager ber Federn axial gegeneinander an, Bild 16 a, um die Laufruhe zu erhhen bzw. eine Mindestbelastung sicherzustellen (bei hufigen Richtungswechseln der Axialkraft mit berschreitung der Federvorspannung Anlagewechsel mit Gleitbewegungen, dann Fest-Loslager-Anordnung mit federbelastetem Loslager besser, Bild 16 a gestrichelt). Federanstellung wird vorwiegend mit Rillenkugellagern ausgefhrt und hat den Vorteil eines zwanglosen Ausgleichs von Toleranzen und thermisch bedingten Lngennderungen. Bei Schrglagern ist die starre Anstellung funktionssicherer; bei Federanstellung knnen Innen- und Außenring unter unzulssiger Spielvergrßerung und ggf. Druckwinkelnderung auseinandergleiten, wenn die innere Axialkraftkomponente die Federvorspannung ber-
Zur axialen Festlegung von Lagerringen dienen Gehusedekkel, Achskappen, Muttern, Sprengringe, Spann- und Abziehhlsen. Eine radiale Absttzung ber feste Sitze ist mglichst vorzuziehen (Vermeidung von Relativbewegungen mit Passungsrostbildung, insbesondere bei Schwingungen z. B. in Fahrzeugen, gute Untersttzung der Lagerringe zur Vermeidung von Biegespannungen und zur Verteilung der Belastung auf mglichst viele Wlzkrper). Lose Passungen oder bergangssitze sind aber hufig erforderlich, um Axiallager radial freizusetzen, nicht zerlegbare Lager einzubauen, ohne die Wlzkontakte zu beschdigen und in sich nicht verschiebbare Lager als Loslager einzusetzen. Sie sind nur bei nicht umlaufender radialer Lastrichtung (Punktlast) relativ zum betrachteten Lagerring zulssig. Das Grßtspiel ist mglichst klein zu halten, um den Lagerring ausreichend zu untersttzen. Eine umlaufende Lastrichtung (Umfangslast) erfordert in der Regel, eine unbestimmte meist einen Festsitz (sonst Passungsrost und Verschleiß). Eine bermßige Streuung der Einbaulagerluft bis hin zu unzulssigen Verspannungen, zu lose Sitze oder zu große Zugspannungen in den Ringen sind dabei durch enge Tolerierung zu vermeiden (Hinweise zur Wahl des Sitzcharakters bei verschiedenen Lastfllen in Bild 17, detaillierte Empfehlungen zur Passungswahl in den Katalogen der Wlzlagerhersteller). Dabei ist zu beachten, daß nach DIN 620 Innen- und Außendurchmesser der Lager jeweils vom Nennmaß aus nach Minus toleriert sind, so daß sich mit einer Einheitsbohrung ein Schiebesitz und mit einer Einheitswelle ein bergangssitz ergibt, Bild 18, entsprechend dem hufigsten Lastfall mit Punktlast fr den Innenring und Umfangslast fr den Außenring. Die Außenringe von zur rei-
I4.7 Wlzlagerschmierung
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der Einbaulagerluft und Luftnderungen durch Temperaturdifferenzen. Die Einbaulagerluft ergibt sich aus der Herstellagerluft und Durchmessernderungen der Laufbahnen infolge von Passungsbermaßen. Diese Einflsse mssen bei der Wahl der Herstellagerluft beachtet werden. Fr unterschiedliche Einsatzbedingungen werden die Luftklassen C1, C2, CN (frher C0: Normalluft, in der Lagerbezeichnung nicht angegeben), C3, C4 und C5 (in der Reihenfolge wachsender Luft) gefertigt. Die Einbaulagerluft muß ausreichen, um unzulssig hohe Verspannungen durch Temperaturunterschiede sicher zu vermeiden. Bei Rillenkugellagern ist zu beachten, daß die Druckwinkel und damit die axiale Belastbarkeit mit steigender Betriebslagerluft zunehmen. Bei Toroidallagern gilt dasselbe fr die mgliche Axialverschiebung im Lager. Ansonsten sollte die Betriebslagerluft aber in Hinblick auf eine mglichst gleichmßige Lastverteilung auf die Wlzkontakte im Lager, die Fhrungsgenauigkeit und die Steifigkeit im Idealfall gerade nur so groß sein, daß keine Funktionsstrung oder Verminderung der Lebensdauer eintritt. Mit zunehmender radialer Belastung verlagert sich das Optimum vom Wert Null in den Vorspannungsbereich. Bild 17. Passungswahl abhngig vom Lastfall
4.7 Wlzlagerschmierung Lubrication of rolling bearings 4.7.1 Allgemeines. General considerations Fette, le und Festschmierstoffe erfllen im Wlzlager folgende Aufgaben: – Verhinderung oder Verminderung von Verschleiß an Kontaktstellen mit gleitenden Bewegungsanteilen, – Abbau von Spannungsspitzen und zustzlichen Reibungsschubspannungen an der Oberflche der Wlzkontakte, die zu vorzeitiger Ermdung fhren knnen, – Korrosionsschutz und – Khlung, indem sie die Abfuhr der Verlustleistung aus dem Lager untersttzen (nur mit len bei ausreichender Durchstrmung mglich).
Bild 18. Wlzlagertoleranzen und ISO-Toleranzen fr Wellen und Gehuse
nen Axialkraftaufnahme radial freigesetzten Lagern werden mit Haltenut und Stift am Mitdrehen gehindert, ebenso wie Außenringe, die trotz unbestimmter radialer Lastrichtung nur einen bergangssitz erhalten (z. B. bei geteilten Gehusen); ein axiales Festklemmen von Lagerringen reicht grundstzlich nicht aus. Aufgrund der geringen Dicke der Lagerringe sind starre Lagersitze mit geringen Form- und Lageabweichungen vorgeschrieben. Fr die Lager selber sieht DIN 620 die Toleranzklassen P0 (Normaltoleranz) P6, P6X, P5, P4 und P2 (in der Reihenfolge steigender Genauigkeit) vor. Fr hochgenaue Lagerungen z. B. von Werkzeugmaschinenspindeln werden auch die Toleranzklassen SP (Spezial-Przision), UP (Ultra-Przision) und HG (hochgenau) verwendet. Zllige Kegelrollenlager gibt es in den Toleranzklassen Normal und Q3. 4.6.4 Lagerluft. Rolling bearing clearance Die Radial- bzw. Axialluft ist das Maß, um das sich die Lagerringe in radialer bzw. axialer Richtung von einer Endlage in die andere gegeneinander verschieben lassen, Bild 8. Außer bei Zylinderrollenlagern gibt es eine eindeutig durch die innere Lagergeometrie festgelegte Beziehung zwischen radialer und axialer Lagerluft. Die Betriebslagerluft resultiert aus
Die beiden ersten Aufgaben erfordern es, die metallischen Oberflchen durch einen hydrodynamischen Flssigkeitsfilm oder eine schtzende Reaktionsschicht zu trennen. Bei der hydrodynamischen Schmierfilmbildung spielen bei Punkt- und Linienberhrung die elastischen Verformungen eine wesentliche Rolle, so daß man von elastohydrodynamischer Schmierung spricht. Dadurch ergibt sich ein etwas anderer Druckverlauf als nach Hertz, Bild 19. Man kann nach der Theorie von Dowson und Higginson berechnen [6], ob die Schmierfilmdicke die Rauheiten der Oberflchen weit genug bersteigt oder berprfen, ob die tatschliche, bei Betriebstemperatur vorliegende, kinematische Viskositt n mindestens die erforderliche Viskositt n1 erreicht (d. h.: ein Viskosittsverhltnis k ¼ n=n1 grßer als eins). Die Bezugsviskositt n1 reicht bei gegebener Rollgeschwindigkeit im Wlzkontakt gerade zur vollstndigen Trennung der Oberflchen aus. Sie ist in Bild 20 abzulesen, wobei die Rollgeschwindigkeit durch die Drehzahl und den mittleren Durchmesser des Lagers gegeben ist, oder lßt sich nach folgenden Gleichungen berechnen: 0,5 fr n < 1000 min1 v1 ¼ 45 000 n0,83 dm
ð1Þ
0,5 fr n 1000 min1 , mit : v1 ¼ 4 500 n0,5 dm
ð2Þ
2
n1 [mm /s] kinematische Bezugsviskositt, dm ¼ ðd þ DÞ=2 [mm] mittlerer Lagerdurchmesser, d [mm] Bohrungsdurchmesser, D [mm] Außendurchmesser, n [min–1] Lagerdrehzahl. An die Stelle von k kann auch unmittelbar der Schmierfilmparameter l, das Verhltnis aus Schmierfilmdicke und Summenrauheit der Oberflchen, treten. Die Angaben von Bild 20
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Mechanische Konstruktionselemente – 4 Wlzlager von bis zu 4000 MPa einen großen Einfluß auf die Schmierfilmausbildung. Bei Fetten wird nach heutigem Kenntnisstand mit der kinematischen Viskositt des Grundls gerechnet. 4.7.2 Fettschmierung. Grease lubrication
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Bild 19. Elastohydrodynamischer Schmierfilm, Beispiel Rolle/Innenring [6, 8]. h0 ½mm kleinste Schmierfilmdicke im Rollkontakt, a [mm 2 /N] Druck-Viskositts-Koeffizient, h [mPa s] dynamische Viskositt, n ½m=s ¼ ðv1 þ v2 Þ=2 hydrodynamisch wirksame Geschwindigkeit, r1 [mm] Radius der Rolle, r2 [mm] Radius der Innenringlaufbahn, Q [N] Rollenbelastung, l [mm] Rollenlnge, E [N=mm2 ] Elastizittsmodul = 2,08 105 fr Stahl, 1/m [–] Poissonsche Konstante=0,3 fr Stahl
Fette bestehen aus einem Seifengerst (Verdicker, dient als lspeicher) und einem Grundl. Fettschmierung ist die Standardlsung fr ber 90% aller Wlzlagerungen, da sie wenig konstruktiven Aufwand fr die Versorgung der Lagerstellen und fr die Dichtungen erfordert und eine Art Minimalmengenschmierung mit sehr geringen Reibungsverlusten darstellt. Neuerdings werden abgedichtete oder gedeckelte Lager mit Fettschmierung auch in ansonsten lgeschmierten Getrieben ohne Filtersystem eingesetzt, um sie vor Partikeln zu schtzen und dadurch ihre Ermdungslebensdauer zu steigern. Fette verlieren ihre Gebrauchseigenschaften nach einem Zeitraum, der von den physikalisch-chemischen Fetteigenschaften, der Lagerbauart, der Drehzahl und der Temperatur abhngt. Bei offenen Lagern ist ein Fettwechsel oder Nachschmieren sinnvoll, wenn die Fettgebrauchsdauer deutlich unter der geforderten Ermdungslebensdauer des Lagers liegt (bei Lagern mit integrierten Deck- oder Dichtscheiben unmglich, d. h. gleichzeitig Ende der Lagergebrauchsdauer). Beim Fettwechsel wird das Lager gereinigt und neu befettet (rechtzeitig vor Schdigung durch unzureichende Schmierung). Dagegen wird beim Nachschmieren die Lagerstelle nicht geffnet, sondern durch Bohrungen neues Fett bei betriebswarmem, sich drehendem Lager eingebracht und das gebrauchte Fett soweit wie mglich verdrngt. Es darf noch nicht verhrtet sein, weshalb die Nachschmierfristen wesentlich krzer anzusetzen sind als die Fettwechselfristen. Fettmengenregler (mit der Welle umlaufende Scheiben, die berschssiges Fett in seitliche Gehuserume oder nach außen abschleudern, kombiniert mit Stauscheiben, die eine ausreichende Fettmenge zurckhalten, Bild 21) erlauben dabei, grßere Mengen Neufett zuzufhren ohne das Lager dauerhaft zu berfllen. Bei Neubefettung oder einem Fettwechsel empfiehlt sich mit Rcksicht auf Gebrauchsdauer und Reibung eine Fllmenge von rund 30% des nicht von bewegten Teilen berstrichenen freien Volumens fr mittlere Drehzahlen (niedrige mehr, hhere weniger). Im Betrieb stellt sich im Lagerinnern drehzahlabhngig die notwendige Fettmenge selbstttig ein, wenn das berschssige Fett in seitliche Freirume ausweichen kann. Richtwerte fr die Nachschmier- und Fettwechselfrist von Lithiumfett ergeben sich aus Bild 22, wobei die Beiwerte kf aus Tabelle 2 hervorgehen. Die Schmierfrist tf entspricht dabei der Fettgebrauchsdauer F10 (maximale Fettwechselfrist mit Ausfallwahrscheinlichkeit 10% bei Standardbedingungen, d. h. Temperaturen von bis zu +70 C am Lageraußenring, darber Halbierung je 15 K Temperaturerhhung). Mit weiteren Minderungsfaktoren fn fr Verunreinigungen, Schwingungen, Luftstrmungen durch das Lager, Zentrifugalkrfte, vertikale Einbaulage und hhere Lagerbelastungen ergibt sich die verminderte Schmierfrist: tfq ¼ tf f1 f2 f3 f4 f5 f6 ¼ tf q, mit q als dem Gesamtminderungsfaktor:
Bild 20. Zur vollstndigen hydrodynamischen Trennung der Oberflchen in den Wlzkontakten notwendige kinematische Bezugsviskositt n1 von Minerallen in Abhngigkeit des mittleren Lagerdurchmessers dm und der Lagerdrehzahl n
gelten fr Mineralle; fr andere le sind sie nur anwendbar, wenn sie das gleiche Druck-Viskositts-Verhalten haben. Es hat wegen der in Wlzkontakten herrschenden hohen Drcke
ð3Þ
Die lngsten Fristen bis zum Nachschmieren liegen erfahrungsgemß bei: tfn ¼ 0,5 . . . 0,7 tfq . Bei gnstigen Betriebsbedingungen und speziellen Fetten knnen die Gebrauchsdauern und Schmierfristen auch erheblich hher liegen. Eine bersicht ber Aufbau und Eigenschaften der wichtigsten Fettarten gibt Anh. G 4 Tab. 1. Zur Wlzlagerschmierung werden berwiegend Schmierfette der Konsistenzklassen 1, 2 und 3 (NLGI-Werte) eingesetzt. Wenn – wie bei Wlzlagern in unsauberer Umgebung empfohlen – keine nach innen frdernden Dichtungen verwendet werden, mssen Fettverluste durch ausreichende Konsistenz (hher bei hohen
I4.7 Wlzlagerschmierung
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Tabelle 2. Beiwerte kf zur Bercksichtigung der Wlzlagerbauart bei der Schmierfrist [8]
G Bild 21. Wlzlager mit Fettmengenregler
Bild 22. Schmierfrist tf fr Standard-Lithiumseifenfette, gltig bei P/ C 0,1 und 70 C, ohne Minderungsfaktoren [7, 8]
Betriebstemperaturen, intensiven Schwingungen und vertikaler Welle) begrenzt werden. Fr geringe Anlaufreibung und die Fettfrderung in Nachschmieranlagen ist hingegen eine niedrige Konsistenz vorteilhaft. Fr viele Gebrauchseigenschaften der Fette, wie z. B. die Schmierfilmbildung und die Reibung im eingelaufenen Zustand, sind die Grundlviskositt und das labgabeverhalten wesentlich wichtiger als die Konsistenz (bei bermßiger labgabe, z. B. infolge Schwingungen, „Ausbluten“; bei zu geringer, z. B. infolge niedriger Temperaturen, Mangelschmierung). Weitere Richtlinien fr die Fettauswahl enthlt Anh. G 4 Tab. 2. Fetten hnlich sind Polymerschmierstoffe, deren schwammhnliche Matrix, z. B. aus Polyethylen, mit l gefllt ist und aufgrund ihrer Formstabilitt im Lager verbleibt.
belschmierung oder l-Luft-Schmierung). Bei leinspritzschmierung (mit mindestens 15 m/s zwischen Kfig und einem Ring, ausreichende Ablaufkanle erforderlich) fr hohe und lumlaufschmierung (drucklos, ggf. mit Hilfe von Frderringen oder der Frderwirkung von Lagern mit unsymmetrischen Querschnitten) fr mittlere Drehzahlen hingegen steht die Wrmeabfuhr im Vordergrund. Bei beiden kann man das umlaufende l filtern und so lebensdauermindernde Laufbahnbeschdigungen durch berrollte Partikel bekmpfen. Richtwerte fr die lmenge bei Umlaufschmierung in Abhngigkeit vom Wlzlageraußendurchmesser D enthlt Bild 23. Die lbad- oder ltauchschmierung ist fr niedrige Drehzahlen geeignet (lstand i. allg. nur bis Mitte des untersten Wlzkrpers, sonst Schaumbildung bzw. hohe Planschverluste!). Bei normalen Bedingungen knnen unlegierte (Mindestanfor-
4.7.3 lschmierung. Oil lubrication lschmierung herrscht vor, wo benachbarte Maschinenelemente ohnehin mit l versorgt werden, wo die Gebrauchsdauer von Fetten, z. B. wegen hoher Drehzahlen, zu kurz und hufiges Nachschmieren nicht mglich ist oder wo man z. B. wegen hoher Drehzahlen und Reibungsverlusten zustzlich Wrme abfhren muß. Die Gebrauchsdauer von len ist ebenfalls begrenzt, jedoch wegen der grßeren Volumina i. allg. lnger als die der Fette; lwechsel sind außerdem leichter durchzufhren als Nachschmieren oder Fettwechsel. Zwei Wege verhelfen zu einer niedrigen Lagertemperatur: eine sparsame oder eine sehr reichliche lzufuhr. Bei hohen Drehzahlen bevorzugt man zwecks Minimierung der Scherverluste heute kleinste lmengen (Tropflschmierung, lne-
Bild 23. lmenge bei Umlaufschmierung. a Zur Schmierung ausreichende lmenge; b obere Grenze fr Lager symmetrischer Bauform; c obere Grenze fr Lager unsymmetrischer Bauform
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Mechanische Konstruktionselemente – 4 Wlzlager
derungen nach DIN 51 501), bevorzugt aber inhibierte Mineralle (DIN 51 502, Kennbuchstabe L; verbesserte Alterungsbestndigkeit nach DIN 51 517) verwendet werden. Hohe Belastungen erfordern bei einem Viskosittsverhltnis k< 1 und/oder hohen Gleitreibungsanteilen le mit verschleißmindernden Zustzen (DIN 51 502: P bzw. EP-Additive). Synthetische le werden bei extrem hohen oder tiefen Temperaturen angewandt, Silikonle nur bei geringen Belastungen. Kennwerte verschiedener le enthlt Anh. G 4 Tab. 3. 4.7.4 Feststoffschmierung. Solid lubricants
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Die sehr kleine nach außen gefrderte Grundlmenge schtzt berhrende Dichtungen vor Verschleiß und hilft, Verunreinigungen fernzuhalten. Bei berschmierung kann berschssiges Fett entweichen. Hufig reichen berhrungsfreie Dichtungen aus; wirksamer sind berhrende Dichtungen, am besten mit vorgeschaltetem Labyrinth, Bild 24. Bei lschmierung ist es vordringlich, das l im Lagergehuse zu halten. Es werden aktive Dichtelemente eingesetzt, die nach innen frdern, Bild 25, solange der lstand die Dichtflchen nicht erreicht auch Labyrinthdichtungen, bei hherem lstand i. allg. berhrende Dichtungen. Dem Schutz gegen
Festschmierstoffe, z. B. Graphit, Wolframdisulfid, Molybdndisulfid (MoS2), Polytetrafluorethylen (PTFE) und Weichmetallfilme, z. B. aus Silber, werden bei sehr hohen Temperaturen bzw. im Vakuum eingesetzt oder bei sehr langsamen bzw. oszillierenden Bewegungen (dabei kein trennender hydrodynamischer Flssigkeitsfilm und keine verschleißmindernden Grenzschichten durch Additivreaktionen). Sie sind hnlich Reaktionsschichten aufgrund ihrer besonderen Struktur schmierwirksam (haftfhig und gegen Normalbeanspruchung stabil, aber niedriger Scherwiderstand). Weiteres zur Wahl des Schmierverfahrens in Anh. G 4 Tab. 4.
4.8 Wlzlagerdichtungen [9, 10] Rolling bearing seals Wlzlager mssen vordringlich gegen Zutritt von festen und flssigen Verunreinigungen geschtzt werden (sonst Korrosion, Verschleiß und vorzeitige Ermdungsschden; ohne hinreichende Sauberkeit keine Dauerwlzfestigkeit auch bei geringen Belastungen). Aktive Dichtelemente werden daher bei Fettschmierung bevorzugt nach außen frdernd eingebaut. Bei ausreichender Konsistenz des Fettes und normaler labgabe gengt dabei die Stauwirkung nicht berhrender Dichtungsteile, um ausreichend Schmierstoff im Lager zu halten.
Bild 24. Dichtungen gegen Zutritt von Verunreinigungen und Fettaustritt
Bild 25. Dichtungen gegen Austritt von l
I4.9 Belastbarkeit und Lebensdauer der Wlzlager
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Verunreinigungen dienen ußere Zusatzdichtungen oder zustzliche ußere Schutzlippen (Fettreservoir als Schutz gegen Verschleiß vorteilhaft). Berhrende Dichtungen sind Filzringe, Radialwellendichtringe (die als Spezialbauform, z. B. Dichtscheiben, Nachsetzzeichen RS, auch in das Lager integriert werden knnen) und Gleitringdichtungen. Sie knnen nach einem Einlauf verschleißfrei arbeiten, solange eine mikro-elastohydrodynamische Schmierung vorliegt und der Werkstoff nicht altert oder die Kontaktflchen durch lkohlebildung geschdigt werden. Dichtlippen aus Nitril-Butadien-Kautschuken (NBR) verhrten und versprden um so schneller, je hher die Betriebstemperaturen sind; Fluorkautschuke (FKM) und Polytetrafluorethylen (PTFE) sind hingegen alterungsbestndig, haben aber infolge lkohlebildung ebenfalls eine begrenzte Lebensdauer. Bei allen diesen Werkstoffen baut sich die Anpreßkraft im Laufe der Zeit durch bleibende Formnderungen ab, sofern nicht metallische Federn eingesetzt werden. Nicht berhrende Dichtungen sind in das Lager integrierte Deckscheiben (Nachsetzzeichen Z) oder ußere Labyrinthe als anwendungsspezifische Konstruktion bzw. als Kaufteile wie Z-Lamellen und federnde Dichtscheiben (Nilosringe, nach Einlaufverschleiß berhrungsfrei). Sie erlauben wegen der geringeren Reibungsverluste hhere Drehzahlen als berhrende Dichtungen und verschleißen auch bei unzureichender Schmierung i. allg. nicht. ußere Labyrinthe, Z-Lamellen und Radialwellendichtringe (Pumpwirkung vom kleinen zum großen Kontaktwinkel) frdern je nach Einbaurichtung aktiv nach innen oder außen.
G
4.9 Belastbarkeit und Lebensdauer der Wlzlager Load rating and fatigue life of rolling bearings 4.9.1 Grundlagen. Basic considerations Werkstoffanstrengung und Ermdung im Wlzkontakt Bei ausreichender Schmierung und Sauberkeit und mittleren bis hohen Belastungen endet die Lagerlebensdauer durch Ermdungsschden, die vom Werkstoffinnern bis zur Laufflche fortschreiten (Ausbrckelungen von Werkstoffpartikeln, Schlen und Grbchenbildung bei Schmierung). Wahrscheinlich beginnt der Ermdungsprozeß an Werkstoffinhomogenitten durch berschreiten der Schubschwellfestigkeit. Bei reiner Normalbeanspruchung bestimmen die Druckflchenabmessungen und die hchste Flchenpressung p0 (in Kontaktflchenmitte) die rumliche Verteilung und die Hhe der Werkstoffbeanspruchung (Bild 26 fr Linienberhrung nach verschiedenen Vergleichsspannungshypothesen). Sie folgen nach der Hertzschen Theorie (s. C 4; Annahmen: homogene und isotrope Krper, elastisches Verhalten, Druckflche eben und klein gegenber Krperabmessungen) aus der Berhrgeometrie (Schmiegung) und der Wlzkrperbelastung Q. Die grßte Schubspannung tmax ¼ 0,31 p0 (Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese sv ¼ 0,61 p0 , nach der Gestaltnderungsenergiedichtehypothese sv ¼ 0; 56 p0 ) wirkt im Punkt x=0, bei Linienberhrung im Abstand von 0,78 b von der Oberflche (b: halbe Breite der rechteckigen Druckflche), bei Punktberhrung im Abstand 0,47 a (a: kleine Halbachse der Druckellipse). Schubspannungen infolge Gleitbewegungen erhhen das Spannungsmaximum, Bild 27, und verschieben es in Richtung Oberflche. Lastverteilung im Wlzlager Die i. allg. ungleichmßige Lastverteilung auf mehrere Wlzkontakte (Wlzkontaktbelastung Qy , Maximalwert Qmax ) ergibt sich ber deren elastische Formnderungen aus dem Gleichgewicht mit den von außen am Lager angreifenden Krften (Radialkraft Fr , Axialkraft Fa ), s. z. B. Bild 28 fr
Bild 26 a–c. Dimensionslose Vergleichsspannungen sv =p0 [11] in der Kontaktzone bei Linienberhrung und reiner Normalbelastung. a Hauptschubspannungshypothese; b Gestaltnderungsenergiedichtehypothese; c Wechselschubspannungshypothese
Schrglager. Die Wlzkontaktkrfte Q wirken in Richtung des Druckwinkels a, whrend die radiale Lastkomponente Fr mit der Resultierenden F aus Fr und Fa den Winkel b bildet. Unterhalb eines Grenzwertes von Fa =Fr bzw. von b wird die Laufbahn nur ber einen Teil des Umfangs belastet, darber verteilt sich die Belastung gleichfrmiger auf immer mehr Wlzkrper (daher mit Fr zunehmende begrenzte axiale Vorspannung vorteilhaft). Eine vllig gleiche Belastung aller Wlzkrper ist nur bei reiner Axiallast ohne Schiefstellung mglich. Die Hertzsche Theorie ergibt fr Punktberhrung: Qy =Qmax ¼ ðdy =dmax Þ3=2 (Qy Wlzkontaktbelastung an der Stelle y, Qmax maximale Wlzkontaktbelastung, dy Verschiebung der Krper an der Stelle y, dmax maximale Verschiebung). Bei e ¼ 0;5 (Bild 28, halber Lagerumfang belastet)
G 94
Mechanische Konstruktionselemente – 4 Wlzlager griffe statisch und dynamisch beziehen sich somit nicht auf nderungen der ußeren Belastung. Die Tragzahlen ergeben sich nach DIN ISO 76 und DIN ISO 281, Teil 1, unter Bercksichtigung der Lastverteilung auf die Wlzkrper und ihrer Anzahl, der Schmiegung, der Grße des beanspruchten Volumens und der Werkstoffeigenschaften aus den zulssigen Spannungswerten. quivalente Lagerbelastung Zusammengesetzte Radial- und Axialbelastungen werden durch die quivalenten Lagerbelastungen P0 (statisch) bzw. P (dynamisch) ersetzt, die im Lager die gleichen Beanspruchungen hervorrufen:
G Bild 27. Dimensionslose Vergleichsspannung sv =p0 in der Kontaktzone bei Linienberhrung und berlagerter Normal- und Tangentialbelastung [12]
quivalente statische Belastung P0 ¼ max ðX0 Fr þ Y0 Fa , Fr Þ
ð6Þ
quivalente dynamische Belastung P ¼ ðX Fr þ Y Fa Þ
ð7Þ
Hierin sind Fr die Radialkomponente der Belastung, Fa die Axialkomponente der Belastung, X, X0 die Radialfaktoren und Y, Y0 die Axialfaktoren des Lagers (Tab. 2 und 3 der DIN ISO 76, unterschiedlich entsprechend dem Druckwinkel je nach Lagerbauart und Grßenreihe). Statische Tragfhigkeit
Bild 28. Lastverteilung im einreihigen Schrgkugellager [13]. a Druckwinkel, dL Laufbahndurchmesser, Fa Axialkraft, Fr Radialkraft, b Richtungswinkel der Lagerbelastung F, Qy Wlzkrperbelastung, y Lagewinkel des Wlzkrpers, Qmax maximale Wlzkrperbelastung, e dL Erstreckung der Laufbahnbelastung
gilt z. B.: Qmax ¼ 4,37Fr =ðz cos aÞ mit z Anzahl der Wlzkrper. ð4Þ Bei Linienberhrung (z. B. einreihiges Kegelrollenlager) folgt die Lastverteilung zu Qr =Qmax ¼ ðdr =dmax Þ1;08 : Fr e ¼ 0;5 ist die maximale Wlzkrperbelastung Qmax ¼ 4;06Fr =ðz cos aÞ:
ð5Þ
Mit a ¼ 0° sind diese Gleichungen auch fr spielfreie Radiallager und rein radial belastete Rillenkugellager gltig. Sie liegen der Berechnung der Tragzahlen zugrunde. 4.9.2 Statische bzw. dynamische Tragfhigkeit und Lebensdauerberechnung Static and dynamic capacity and computation of fatigue life Grundlagen Obwohl die Spannungen im Werkstoff unterhalb der Kontaktflche fr die Beanspruchung des Werkstoffs maßgeblich sind, werden in der Praxis bei der Lagerberechnung Kennzahlen mit der Dimension einer Kraft verwendet: die quivalente statische bzw. dynamische Belastung P0 bzw. P fr die Beanspruchung und die statische bzw. dynamische Tragzahl C0 bzw. C als Maß fr die Tragfhigkeit. Steht ein Lager still, schwenkt oder luft langsam um, so gilt es als statisch beansprucht. Auch wenn umlaufende Lager kurzzeitig starke Stße erleiden, ist die statische Tragsicherheit zu berprfen. Die dynamische Tragzahl C gilt fr umlaufende Lager. Die Be-
Bei statischer Beanspruchung entsprechen die zulssigen Spannungen und dementsprechend die statische Tragzahl C0 nach DIN ISO 76 einer bleibenden (plastischen) Formnderung von 0,01% des Wlzkrperdurchmessers (entsprechend einer maximalen Hertzschen Pressung p0 von 4600 N=mm2 bei Pendelkugellagern, 4200 N=mm2 bei Kugellagern und 4000 N=mm2 bei Rollenlagern; sie kann bei geringen Anforderungen an die Laufruhe bzw. sehr langsam umlaufenden Lagern auch berschritten werden; physikalisch begrndete Grenze ist das „Shakedown-Limit“ [14, 15], oberhalb dessen lokales Fließen bei jeder berrollung trotz Eigenspannungsaufbau und Verfestigung weiter fortschreitet). Forderung (statische Sicherheit S0 nach Anh. G 4 Tab. 5): P0 C0 =S0 :
ð8Þ
Dynamische Tragfhigkeit und Berechnung der Ermdungslebensdauer Bei dynamischer Beanspruchung geht die gegenwrtig in ISO 281:1990 genormte Berechnungsmethode davon aus, daß Wlzlager immer im Zeitfestigkeitsbereich arbeiten. Die Anzahl der Umdrehungen der Lagerringe oder der Lagerscheiben relativ zueinander bis zum Ausfall durch Werkstoffermdung, die sogenannte Lagerlebensdauer, streut auch bei identischer Belastung betrchtlich (Ursache: Unregelmßigkeiten des Werkstoffgefges und der wlzbeanspruchten Funktionsflchen, die sich nach Grße, Anzahl und Lage von Lager zu Lager unterscheiden), so daß die Vorausberechnung einer Lebensdauer fr ein bestimmtes Lager nicht mglich ist. Die dynamische Tragzahl wurde daher als diejenige quivalente Belastung definiert, bei der 90% einer grßeren Anzahl gleichartiger Lager unter Standardbedingungen eine Million Umdrehungen berleben. Die Lebensdauer ist definitionsgemß erschpft, wenn die ersten Schden infolge Werkstoffermdung an einer der wlzbeanspruchten Oberflchen erkennbar werden. Von der Ermdungslebensdauer ist die u. U. wesentlich krzere Gebrauchsdauer zu unterscheiden (die tatschliche funktionsfhige Einsatzzeit unter Einbezug aller Versagensmechanismen). Die Berechnung der sogenannten nominellen Lebensdauer (Ausfallwahrscheinlichkeit: 10%) fr beliebige Belastungen erfolgt ber das Verhltnis C/P der dynamischen Tragzahl zur tatschlich vorliegenden quivalenten dynamischen Belastung, potenziert mit einem Exponenten p (p be-
I4.9 Belastbarkeit und Lebensdauer der Wlzlager trgt nach Norm 3 fr Kugellager und 10/3 fr Rollenlager, wobei gewisse Abweichungen von einer gleichmßigen Spannungsverteilung entlang der Berhrlinie bereits eingerechnet sind; bei idealer Spannungsverteilung gilt p=4): L10 ¼ ðC=PÞp in 106 Umdrehungen des Lagers: Bei konstanter Drehzahl n des Lagers in min bensdauer L10 h in Stunden: L10 h ¼ 106 L10 =ð60 nÞ:
–1
ð9Þ
gilt fr die Leð10Þ
Die nominelle Lebensdauer dient hufig lediglich als hnlichkeitskennzahl (Vergleich der Lebenserwartung von Lagern bzw. Erfahrungswerte fr die notwendige nominelle Lebensdauer in verschiedenen Anwendungen s. Anh. G 4 Tab. 6). Die Hersteller erweitern aber die Berechnungsverfahren zunehmend mit dem Ziel genauerer quantitativer Angaben: die Lebensdauern fr von 90% abweichende Erlebenswahrscheinlichkeiten werden mit dem Faktor a1 berechnet; Werkstoffeigenschaften, die von Standard-Wlzlagersthlen abweichen, werden mit dem Faktor a2 und besondere Betriebsbedingungen, insbesondere Schmierungszustnde mit einem Viskosittsverhltnis k 6¼ 1, ber den Faktor a3 bercksichtigt. So entsteht die modifizierte Lebensdauer Lna (der Index n steht fr die Ausfallwahrscheinlichkeit in %, berlebenswahrscheinlichkeit S ¼ ð100 nÞ%): Lna ¼ a1 a2 a3 L10 ¼ a1 a2 a3 ðC=PÞp in 106
ð11Þ
Umdrehungen des Lagers. Tab. 3 gibt a1 in Abhngigkeit von n fr eine Weibull-Verteilung der Ausflle mit einem Exponenten e = 1,5 an; fr beliebige Werte von e gilt: 31 100 e 6 S 7 : a1 ¼ 4 100 5 ln 90 2
ln
ð12Þ
Eine Bercksichtigung des Werkstoffeinflusses an sich erfolgt nicht ber den Faktor a2 , sondern unmittelbar ber Beiwerte zu den Tragzahlen: – den Faktor bm fr die kontinuierliche Verbesserung der Wlzlagersthle, – den statischen Hrtefaktor (fH0 ; CH0 ¼ fH0 C0 ) und den dynamischen Hrtefaktor ðfH ; CH ¼ fH CÞ Hrtefaktor fr vom Standardwert HV ¼ 670 N=mm2 abweichende Oberflchenhrten, Anh. G 4 Tab. 7 und – den Temperaturfaktor fT ðCT ¼ fT CÞ fr Betriebswerte ber 150 C, s. Anh. G 4 Tab. 8. Darber hinaus gibt es einen wechselseitigen Einfluß von Werkstoff und Schmierstoff, so daß die Faktoren a2 und a3 sinnvollerweise zum Beiwert a23 verschmelzen: Lna ¼ a1 a23 L10 ¼ a1 a23 ðC=PÞP
ð13Þ
in 10 Umdrehungen des Lagers. 6
Er bercksichtigt, daß die Schmierfilmdicke auch oberhalb k = 1 (gerade vollstndige Trennung der Oberflchen) die Werkstoffbeanspruchung beeinflußt, so daß die Lebensdauer bei k 1 (dicke Filme) bis zum 2,5-fachen ansteigen kann.
Tabelle 3. Lebensdauerbeiwert a1 fr die Erlebenswahrscheinlichkeit
G 95
Bei niedrigen Drehzahlen oder Viskositten (k< 1), kann die Ermdungslebensdauer hingegen auf 1/10 des nominellen Wertes abfallen. Anh. G 4 Bild 1 und Anh. G 4 Bild 2 zeigen entsprechende Verlufe des Faktors a23 nach Angaben verschiedener Hersteller. Bei k< 1 knnen Lager statt durch Wlzermdung auch durch Verschleiß ausfallen; a23 bercksichtigt dies nicht. Die schdliche Wirkung von k< 1 wird bei ausreichender Sauberkeit durch geeignete Additivierung mit Hilfe verschleißschtzender und reibungsmindernder Reaktionsschichten gemildert. Bei ausreichend dicken Schmierfilmen und hoher Sauberkeit hingegen steigt nach neueren Erkenntnissen die Lebensdauer ber den Faktor 2,5 hinaus bis zur Dauerwlzfestigkeit, wenn die quivalente Belastung kleiner als die Ermdungsgrenzbelastung Pu oder Cu bleibt. Diese entspricht fr Standard-Wlzlagersthle und Fertigungstoleranzen ungefhr einer maximalen Hertzschen Pressung p0 ¼ 1500 N=mm2 (ideale Bedingungen: p0 2200 N=mm2 ; schlechtere Fertigungsqualitt und Werkstoffe: p0 2200 N=mm2 ). Sie kann aus der statischen Tragzahl C0 fr Lager mit einem Bohrungsdurchmesser dm < 150 mm wie folgt abgeschtzt werden: Rollenlager
Pu , Cu C0 =8,2;
Pendelkugellager :
Pu , Cu C0 =35,5,
brige Kugellager :
Pu , Cu C0 =27:
ð14Þ
Der Normvorschlag DIN ISO 281/A3 (1998) benutzt daher einen kombinierten Faktor axyz , der auf einer Systembetrachtung beruht, zur Berechnung der erweiterten Lebensdauer Lnm ¼ a1 axyz L10 ¼ a1 axyz ðC=PÞP
ð15Þ
in 106 Umdrehungen des Lagers. Die Buchstaben „xyz“ geben an, daß ein Hersteller oder eine Firma eine beliebige Buchstabenkombination whlen kann. Im Entwurf DIN UA8 AK8.2 geht axyz , hier aDIN genannt, bei Dauerfestigkeit gegen unendlich. Im Zeitfestigkeitsbereich wird axyz zur Korrektur der nominellen Lebensdauer dem Belastungsverhltnis Pu =P bzw. Cu =P, dem Viskosittsverhltnis x und einem Faktor ec oder hc fr die Verschmutzung entsprechend Anh. G 4 Bild 3 bis Anh. G 4 Bild 6 fr die unterschiedlichen Lagerhauptbauarten zugeordnet. Der Faktor hc bzw. ec erfaßt verschiedene Grade der Verunreinigung, Anh. G 4 Tab. 9. Beim berrollen von festen Partikeln mit einer Grße von mehr als 10 bis 20 m mit hinreichend hoher Streckgrenze und Duktilitt werden die Oberflchen so verformt, daß von lokalen Spannungsberhhungen bei nachfolgenden berrollungen vorzeitige Ermdungsschden ausgehen (weiche Partikel verformen sich im Wlzkontakt plastisch, whrend große sprde Partikel in kleine Teilchen zerbrechen; beide sind daher weniger schdlich). Fr k>4 ist jeweils die Kurve k=4 zu verwenden. Fr hc Pu =P gegen Null geht aDIN fr alle k-Werte gegen 0,1 (gilt fr Schmierstoffe ohne EP-Zustze, mit Additiven ggf. hher). Auch mit diesen Modifikationen knnen die herstellerspezifischen Wlzkrper- und Laufbahnprofile, die Lagerluft, Schiefstellungen, zustzliche Spannungen in den Ringen durch Preßsitze, Gehuseverformungen [16, 17] und Fliehkrfte bei der Ermdungslebensdauer nicht ber das genormte Berechnungsverfahren mit quivalenten Belastungen und Tragzahlen, sondern nur mit speziellen Berechnungsprogrammen der Lagerhersteller oder angenhert mit Beiwerten erfaßt werden. Nicht bercksichtigt sind weitere, die Gebrauchsdauer mglicherweise begrenzende, Ausfallursachen: Verschleiß der Laufbahnen oder der Kfige, Ermdungsbrche von Kfigbauteilen, Schmierstoff- oder Dichtungsversagen, Korrosion und Wlzkrperschlupf infolge zu niedriger Belastung. Die notwendige Mindestbelastung richtet sich unter anderem nach der Drehzahl und etwaigen Winkelbeschleunigungen.
G
G 96
Mechanische Konstruktionselemente – 4 Wlzlager
Lebensdauerberechnung bei zeitlich vernderlicher Belastung und Drehzahl
G
Luft ein Wlzlager bei vernderlichen Drehzahlen und Belastungen, so kann man die Ermdungslebensdauer aus Gl. (9) nach der Palmgren-Miner-Regel mit der mittleren Drehzahl nm und der mittleren quivalenten dynamischen Belastung Pm bestimmen. Beliebig vernderliche Drehzahl und Lagerbelastung: sind die Drehzahl und die Lagerbelastung im Zeitraum T eindeutig definierte Zeitfunktionen n ðtÞ und p ðtÞ, gilt: vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u T uZ u u nðtÞ Pp ðtÞ dt u ZT p u 1 0 und n Pm ¼ u ¼ nðtÞ dt: ð16Þ m u ZT T u u 0 nðtÞ dt t 0
Bei stufenweise vernderlichen Beanspruchungsgrßen ni und Pi im Zeitraum T gilt fr Pm die aus (16) abgeleitete Summenformel ber z Zeitabschnitte D ti , wobei qi ¼ ðD ti =TÞ 100 die jeweiligen Zeitanteile der Wirkungsdauer in % sind: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p p p p q1 n1 P þ q2 n2 P þ . . . þ qz nz P z 1 2 Pm ¼ q1 n1 þ q2 n2 þ . . . þ qz nz und nm ¼ q1 n1 þ q2 n2 þ . . . þ qz nz :
ð17Þ
Referenzoberflche der Radiallager außer Kegelrollenlager:
4.10 Bewegungswiderstand und Referenzdrehzahlen der Wlzlager Friction and reference speeds of rolling bearings
Ar ¼ pðD þ dÞ B mit:
Der Bewegungswiderstand von Wlzlagern ergibt sich bei vollstndiger Trennung der Oberflchen durch einen Schmierfilm aus zwei Beitrgen: Hystereseverluste im Werkstoff bei der zyklischen Verformung der Wlzkrper und der Ringe whrend jeder berrollung und Scherverluste im Schmierstoff im Wlzkontakt, zwischen Kfig und Wlzkrpern (bei bordgefhrten Kfigen auch zwischen Kfigen und Ringen) sowie durch Strmungen im Lager außerhalb der eigentlichen Kontakte. Diese Reibungskomponenten lassen sich formal ohne nhere Bercksichtigung der physikalischen Zusammenhnge zu einem Ausdruck mit zwei Termen zusammensetzen [18]: MR ¼ M0 þ M1
ð18Þ
In den ersten Term gehen die Drehzahl und die Schmierstoffviskositt exponentiell sowie ein Beiwert f0 linear ein; der zweite Term ist der sogenannte lastabhngige Anteil, der linear von der fr das Reibungsmoment maßgebenden quivalenten Lagerbelastung P1 (Berechnung siehe Kataloge der Wlzlagerhersteller) und einem Reibungskoeffizienten f1 abhngt: 3 MR ¼ 107 f0 ðv nÞ2=3 dm þ f1 P1 dm fr v n 2000 bzw: ð19Þ 3 MR ¼ 107 f0 160 dm þ f1 P1 dm
fr v n < 2000
spruchungen der Außenringlaufbahn und des Kfigs, die Gefahr von Wlzkrperschlupf am Innenring, die Verlustleistung und damit die Lagertemperatur. Die Wlzfestigkeit des Lagerwerkstoffs und seine Dimensionsstabilitt, die Zeitstandfestigkeit nichtmetallischer Kfigwerkstoffe und Dichtungen und die Schmierstoffgebrauchsdauer bestimmen die zulssigen Betriebstemperaturen. Mit Rcksicht auf den Schmierstoff strebt man an, die sogenannte Referenztemperatur nicht zu berschreiten. Diejenige Drehzahl, bei der unter Referenzbedingungen (Erwrmung des Lagers ausschließlich durch seine eigene Verlustleistung, natrliche Wrmeabfuhr mit der Referenzwrmeflußdichte qr ber die Referenzoberflche ohne zustzliche Khlung) eine Temperaturerhhung von 50 C gegenber der Referenzumgebungstemperatur 20 C auf die Referenztemperatur 70 C eintritt, wird als thermische Referenzdrehzahl nq r bezeichnet. Die weiteren Referenzbedingungen nach ISO CD (Committee Draft) 513 12, Referenz-Nr. ISO/TC 4/SC 8 N224 sind: – Referenzbelastung fr Radiallager (0 a 45): P1r ¼ 0:05 C0 (reine Radialbelastung). – Referenzbelastung fr Axiallager (45 a 90): P1r ¼ 0:02 C0 (reine zentrische Axialbelastung), – Referenzviskositt eines Schmierles bei Referenztemperatur 70 C: nr = 12 mm 2/s fr Radiallager, nr =24 mm2/s fr Axiallager, – Referenz-Grundlviskositt eines Lithiumseifenfettes mit mineralischem Grundl bei 40 C: nr = 24 mm 2/s, Fettfllung: 30% des freien Volumens.
ð20Þ
mit: MR [Nmm] Reibmoment, n [mm2/s] kinematische Viskositt bei Betriebstemperatur, n [min–1] Lagerdrehzahl, dm ¼ ðd þ DÞ=2 [mm] mittlerer Lagerdurchmesser, d [mm] Lagerbohrungsdurchmesser, D [mm] Lageraußendurchmesser. Die Koeffizienten f0 und f1 sind von der Schmierungsart und von der Lagerbauart abhngig (f0r und f1r fr Referenzbedingungen in Anh. G 4 Tab. 10). Absolute Maximaldrehzahlen von Wlzlagern lassen sich nicht angeben. Mit zunehmender Drehzahl wachsen die Bean-
ð21Þ
Ar [mm2] Referenzoberflche, D [mm] Lageraußendurchmesser, d [mm] Lagerbohrungsdurchmesser, B [mm] Lagerbreite. brige Lagerbauarten s. Normentwurf. Fr Radiallager bzw. Axiallager betragen die Referenzwrmeflußdichten qr : Ar 50 000 mm2 : qr ¼ 16 kW=m2 bzw: qr ¼ 20 kW=m2 ; Ar > 50 000 mm2 : qr ¼ 16 ðAr =50 000Þ0:34 kW=m2 bzw: qr ¼ 20 ðAr =50 000Þ0:16 kW=m2 :
ð22Þ
Im Referenzzustand fließt ber die Referenzoberflche der Wrmestrom Fr ¼ qr Ar ,
ð23Þ
der ohne zustzliche Khlung gleich der Lagerverlustleistung Nr bei Referenzdrehzahl nq r ist: Fr ¼Nr ¼ 2 p nqr ðM0r þ M1r Þ ¼ 3 þ f1r p1r dm Þ, s: Gl: ð19Þ 2 p nqr ð107 f0r ðv nÞ2=3 dm
ð24Þ
Die Referenzdrehzahl nq r ergibt sich als Lsung dieser Gleichungen. (Berechnung der Grenzdrehzahl fr eine Betriebstemperatur von 70 C bei beliebigen Betriebszustnden durch Einsetzen der zugehrigen Werte). Bei lumlaufschmierung wird zustzlich ein Wrmestrom Fl ¼ V_ l c rðTA TE Þ ber das l abgefhrt, daher im Referenzzustand: Nr ¼ Fr þ Fl
ð25Þ
mit: V_ l Volumenstrom, c spezifische Wrmekapazitt (1,7 bis 2,4 kJ/(kg K)) und r Dichte des ls, TA laustritts- und TE leintrittstemperatur.
I5.2 Berechnung hydrodynamischer Gleitlager
5 Gleitlagerungen. Plain bearings L. Deters, Magdeburg
5.1 Grundlagen. Fundamentals 5.1.1 Hydrodynamische Schmierung Hydrodynamic lubrication Fr die hydrodynamische Schmierung sind konforme Oberflchen charakteristisch. Im Schmierfilm entwickelt sich ein Tragdruck, wenn ein sich verengender Schmierspalt vorliegt, ein viskoser Schmierstoff verwendet wird und eine Gleitbewegung in Richtung des sich verengenden Spaltes stattfindet. Wird gengend Schmierstoff in den konvergierenden Spalt gefrdert, kommt es zu einer vollkommenen Trennung der Oberflchen durch den Schmierstoff, was fr Verschleißfreiheit und einen sicheren Betrieb entscheidend ist. Bei Radialgleitlagern wird der sich verengende Schmierspalt durch die Exzentrizitt der Welle im Lager erzeugt. Diese und der Verlagerungswinkel stellen sich in Abhngigkeit von Lagerkraft, Lagergeometrie, Viskositt und Geschwindigkeitsverhltnissen im Lager so ein, daß das Integral der Druckverteilung ber der Lagerflche mit der ußeren Lagerkraft im Gleichgewicht steht, Bild 1. 5.1.2 Reibungszustnde. Friction regimes Die im Bild 2 dargestellte Stribeck-Kurve gibt einen guten berblick ber die in Gleitlagern vorkommenden Reibungszustnde. Es wird der Zusammenhang zwischen der Reibungszahl f und dem bezogenen Reibungsdruck hwJ =p gezeigt. Die Reibungszahl f ist definiert als f ¼ Ff =F mit Ff als Reibungskraft und F als Lagerkraft. Beim Anfahren aus dem Stillstand wird zunchst das Gebiet der Grenzreibung durchlaufen, da die Oberflchen in der Regel wenigstens mit einem molekularen, vom Schmierstoff stammenden Film bedeckt sind. Das Reibungsverhalten wird hier von den Werkstoffen und den Oberflchenrauhigkeiten der Reibpartner sowie von den molekularen Oberflchenfilmen bestimmt. Mit zunehmender Gleitgeschwindigkeit wird die Schmierung mehr und mehr wirksam. Bei Mischreibung liegen Festkrper- und Flssigkeitsreibung nebeneinander
Bild 1. Radialgleitlager (schematisch) mit Druckverteilung. F Lagerkraft, wF Winkelgeschwindigkeit der Lagerkraft, wJ Winkelgeschwindigkeit der Welle, wB Winkelgeschwindigkeit des Lagers, DJ Wellendurchmesser, D Lager-Nenndurchmesser (Lagerinnendurchmesser), B Lagerbreite, h ðjÞ Schmierspalthhe, hmin kleinste Schmierspalthhe (minimale Schmierfilmdicke), e Exzentrizitt, p ðj; zÞ Druckverp spezifische teilung im Schmierfilm, pmax grßter Schmierfilmdruck, Lagerbelastung, b Verlagerungswinkel (Winkel zwischen der Lage der Wellenzapfen – Exzentrizitt e und der Lastrichtung), j und z Koordinaten
G 97
vor. Die Reibungszahl f erreicht innerhalb des Mischreibungsbereichs bei A ein Minimum. Der bergang von der Mischreibung in den Zustand der Flssigkeitsreibung erfolgt erst bei B. Nur bei Flssigkeitsreibung findet eine vollkommene Trennung der Oberflchen durch den Schmierfilm statt, so daß kein Verschleiß auftritt. Der Betriebspunkt C sollte von B weit genug entfernt liegen, damit beim An- und Auslauf die zu Verschleiß fhrenden Gebiete der Misch- und Grenzreibung mglichst schnell durchfahren werden und sich das Lager nicht zu stark erwrmt.
5.2 Berechnung hydrodynamischer Gleitlager Calculation of hydrodynamic bearings 5.2.1 Stationr belastete Radialgleitlager Plain journal bearings under steady-state conditions Die Berechnung basiert auf numerischen Lsungen der Reynoldsschen Differentialgleichung fr ein vollumschlossenes Lager mit endlicher Lagerbreite 1 ¶ ¶p ¶ ¶p ¶h h3 h3 ð1Þ þ ¼ 6heff weff 2 ¶j ¶j ¶z ¶z ¶j ðDJ =2Þ (Bezeichnungen nach Bild 1, ferner weff ¼ wJ þ wB 2wF als effektive Winkelgeschwindigkeit mit wF als Winkelgeschwindigkeit der konstanten Lagerlast und wJ und wB als Winkelgeschwindigkeiten von Welle und Lager, heff als effektive dynamische Viskositt des Schmierstoffs und h ¼ ðD=2Þyeff ð1 þ e cos jÞ als idealisierte Spalthhe ohne Bercksichtigung von Deformationen und Rauhigkeiten mit yeff als effektives relatives Lagerspiel und e ¼ 2e=ðD DJ Þ als relative Exzentrizitt). Die Lsungen gelten fr in Betrag und Richtung konstante Belastungen, wobei sowohl die Welle als auch das Lager mit gleichfrmiger Geschwindigkeit rotieren knnen. Außerdem knnen Flle berechnet werden, bei denen eine konstante Last mit der Winkelgeschwindigkeit wF umluft (z. B. Unwuchtkraft). Im Schmierfilm tritt Turbulenz auf, wenn die Reynoldszahl pffiffiffiffiffiffiffiffi Re ¼ rweff DJ ðD DJ Þ=ð4heff Þ 41; 3= yeff ð2Þ ist mit r als der Dichte des Schmierstoffs [1]. Es entstehen dann hhere Reibungsverluste und infolgedessen hhere Lagertemperaturen. Andererseits kann die Tragfhigkeit steigen. Lager mit turbulenten Strmungsverhltnissen im Schmierfilm lassen sich mit dem nachfolgend aufgefhrten Berechnungsverfahren nur nherungsweise auslegen.
Bild 2. Stribeck-Kurve (schematisch). f Reibungszahl, h Schmierstoffviskositt, wJ Winkelgeschwindigkeit der Welle, p spezifische Lagerbelastung, ðhw= pÞ bezogener Reibungsdruck, ðhwJ = pÞtr bezogener Reibungsdruck beim bergang von Misch- zur Flssigkeitsreibung
G
G 98
Mechanische Konstruktionselemente – 5 Gleitlagerungen
Spezifische Lagerbelastung, relative Lagerbreite, effektives relatives Lagerspiel und effektive dynamische Viskositt des Schmierstoffs
G
Zur Beurteilung der mechanischen Beanspruchung der Lagerwerkstoffe wird bei Radialgleitlagern die Lagerkraft F auf die projizierte Lagerflche BD bezogen und die spezifische Lagerbelastung p ¼ F=ðBDÞ gebildet, die dann anhand der zulssigen spezifischen Lagerbelastung plim aus Anh. G 5 Tab. 1 zu berprfen ist. Fr die relative Lagerbreite B ¼ B=D werden im allgemeinen Werte von B=D ¼ 0; 2 bis 1 gewhlt. Bei Konstruktionen mit B=D > 1 sollte eine Einstellbarkeit der Lager vorgesehen werden, um der Gefahr von Kantenpressungen vorzubeugen. Das Lagerspiel CD ¼ D DJ beeinflußt das Betriebsverhalten von Radialgleitlagern. Das im Betrieb erforderliche mittlere D =D mit C D als dem mittleren La ¼C relative Lagerspiel y gerspiel wird hufig berschlagsmßig nach [2] in Abhngigkeit von der Umfangsgeschwindigkeit der Welle UJ mit Hilfe pffiffiffiffiffiffi ¼ 0; 8 4 U J mit UJ in m/s und y in ‰ abgeder Beziehung y sind in Anh. G 5 Tab. 2 schtzt. Erfahrungsrichtwerte fr y zu finden. Das sich aufgrund von Passungen und Einbauverhltnissen nach dem Einbau ergebende mittlere relative La kann berechnet werden aus gerpiel y ¼ 0; 5ðymax þ ymin Þ y
ð3Þ
mit dem maximalen relativen Lagerspiel ymax ¼ Dmax DJ;min =D und dem minimalen relativen Lagerpiel ymin ¼ Dmin DJ; max =D. DJ; max und DJ; min beschreiben den maximalen und minimalen Wellendurchmesser aufgrund der Fertigungstoleranz. Dmax und Dmin reprsentieren den maximalen und minimalen Innendurchmesser des Lagers, wobei die Werte gelten, die sich nach dem Einbau bei Umgebungstemperatur einstellen. Fr die Berechnung von Radialgleitlagern ist jedoch nicht das mittlere relative Lagerspiel im Einbauzustand, das sog. Kaltspiel, von Interesse, sondern das effektive relative Lagerspiel yeff , das sich bei der effektiven Schmierfilmtemperatur Teff im Betrieb ergibt. yeff kann aus þ Dyth bestimmt werden, wenn die thermische nyeff ¼ y derung des relativen Lagerspiels Dyth bekannt ist. Knnen sich Welle und Lager frei ausdehnen, wird mit den linearen Wrmeausdehnungskoeffizienten al, J und al; B und den Temperaturen TJ und TB von Welle und Lager und der Umgebungstemperatur Tamb die thermische nderung des relativen Lagerspiels Dyth ermittelt aus Dyth ¼ al, B ðTB Tamb Þ al, J ðTJ Tamb Þ:
ð4Þ
Es kann aber auch der Fall auftreten, daß sich der Wellendurchmesser infolge Erwrmung vergrßert, whrend sich das Lager im klteren Maschinenrahmen nur nach innen ausdehnen kann und zuwchst. Die nderung des relativen Lagerspiels ergibt sich dann mit der Lagerwanddicke s zu Dyth ¼ 2al, B ðs=DÞðTB Tamb Þ þ al; J ðTJ Tamb Þ : ð5Þ
angegeben: a ¼ h40 expðb=135Þ mit h40 ¼ 0,98375 106 r15 VG, b ¼ 159,55787 ln ðh40 =0,00018Þ; h40 ist die dynamische Viskositt in Pas bei T ¼ 40 C (Nennviskositt). Bei Gleitlagern kann die Abhngigkeit der Viskositt vom Druck im allgemeinen vernachlssigt werden. Tragfhigkeit Die Tragfhigkeit von hydrodynamischen Radialgleitlagern kann mit Hilfe der dimensionslosen Sommerfeldzahl So ¼ py2eff =ðheff weff Þ
ð7Þ
beschrieben werden. Wenn die relative Exzentrizitt e mittels So und B=D anhand von Bild 3 bestimmt wird, kann anschließend die minimale Schmierfilmdicke hmin berechnet werden: hmin ¼ ðD=2Þyeff ð1 eÞ:
ð8Þ
Um Verschleiß zu vermeiden, sollte die im Betrieb auftretende minimale Schmierfilmdicke hmin grßer als die zulssige minimale Schmierfilmdicke im Betrieb hlim sein ðhmin > hlim Þ. Erfahrungsrichtwerte fr hlim knnen Anh. G 5 Tab. 3 oder der VDI-Richtlinie 2204 entnommen werden. Die Lage der kleinsten Schmierspalthhe im Lager wird durch den Verlagerungswinkel b angegeben, Bild 4. Die Verlagerung des Wellenmittelpunktes liegt angenhert auf einem Halbkreis, dem sog. Gmbelschen Halbkreis. Reibung Die im Radialgleitlager anfallende Reibungsleistung wird berechnet mit der Gleichung Pf ¼ f F ðU J UB Þ:
ð9Þ
Die auf das effektive relative Lagerspiel yeff bezogene Reibungszahl f ist im Anh. G 5 Bild 1 dargestellt. Sie lßt sich nach [4] auch nherungsweise aus pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð10Þ f =yeff ¼ p=ðSo 1e2 Þ þ ðe=2Þ sinb bestimmen. Die im Lager entstehende Reibungsleistung ist eine Verlustleistung und wird nahezu vollstndig in Wrme umgewandelt. Schmierstoffdurchsatz Der Schmierstoff im Lager soll einen tragfhigen Schmierfilm bilden, der die beiden Gleitflchen mglichst vollstndig voneinander trennt. Infolge der Druckentwicklung im
Nherungsweise kann in Gl. (4) und (5) TJ TB Teff gesetzt werden. Neben den zuvor aufgefhrten geometrischen Lagerkenngrßen ist fr die Lagerberechnung auch die Kenntnis der im Betrieb auftretenden dynamischen Viskositt des Schmierstoffs erforderlich. Wenn der Schmierstoff gegeben ist und die effektive Temperatur entweder bekannt ist oder zunchst geschtzt wird, kann die Schmierstoffviskositt nach der Beziehung h ¼ a exp ½b=ðT þ 95Þ
ð6Þ
von Vogel berechnet werden mit der Schmierstofftemperatur T in C. Fr die Konstanten werden in [3] unter Bercksichtigung der Dichte r15 (bei 15 C in kg/m 3) und des ISO-Viskosittsgrades VG nach DIN 51 519 folgende Beziehungen
Bild 3. Sommerfeldzahl So fr vollumschlossene Radialgleitlager in Abhngigkeit von B=D und e nach DIN 31652
I5.2 Berechnung hydrodynamischer Gleitlager
Bild 4. Verlagerungswinkel b fr vollumschlossene Radialgleitlager in Abhngigkeit von B=D und e nach DIN 31 652
Schmierfilm fließt Schmierstoff an beiden Seiten des Lagers ab, der durch dem Spaltraum neu zugefhrten Schmierstoff ersetzt werden muß. Fr diesen Anteil Q3 des Schmierstoffdurchsatzes gilt nach DIN 31 652: Q3 ¼ D3 yeff weff Q3 :
ð11Þ
Die Schmierstoffdurchsatz-Kennzahl Q3 fr den durch den hydrodynamischen Druckaufbau bewirkten Seitenfluß ist Anh. G 5 Bild 2 zu entnehmen. Die Zufuhr von Q3 kann drucklos erfolgen. Wenn der Schmierstoff mit dem Druck pen zugefhrt wird, erhht sich der Schmierstoffdurchsatz, was sich gnstig auf den Wrmetransport aus dem Lager auswirkt. Dieser Anteil Qp des Schmierstoffdurchsatzes infolge Zufhrdrucks ergibt sich nach DIN 31 652 aus Qp ¼ D3 y3eff pen Qp =heff
ð12Þ
mit der Schmierstoffdurchsatz-Kennzahl Qp infolge Zufhrdrucks, die je nach Schmierstoff-Zufhrungselement (Schmierloch, Schmiernut oder Schmiertasche) mit Hilfe von Anh. G 5 Tab. 4 bestimmt werden kann. Der Schmierstoffzufhrdruck pen liegt blicherweise zwischen 0,5 und 5 bar, damit hydrostatische Zusatzbelastungen vermieden werden. Bei Verwendung einer umlaufenden Ringnut entstehen zwei unabhngige Druckberge, Bild 5. Die Berechnung wird hier je Lagerhlfte mit der halben Belastung durchgefhrt. Bei der Wrmebilanz ist von Q3 nur der halbe Wert einzusetzen, da der Schmierstoff, der in die Ringnut strmt, nicht an der Wrmeabfuhr teilnimmt. Bei Verwendung von Schmiertaschen sollte die relative Taschenbreite bP =B < 0; 7 bis 0; 8 sein. Der gesamte Schmierstoffdurchsatz betrgt bei druckloser Schmierung Q ¼ Q3 und bei Druckschmierung Q ¼ Q3 þ Qp . Wrmebilanz Zur Berechnung der Tragfhigkeit und der Reibung ist die im Betrieb auftretende effektive Schmierstoffviskositt erforderlich, die wiederum von der effektiven Schmierstofftemperatur abhngt. Diese resultiert aus der Wrmebilanz von im Lager erzeugter Reibungsleistung und den abfließenden Wrmestrmen. Bei drucklos geschmierten Lagern, z. B. bei Ringschmierung, wird die Wrme hauptschlich durch Konvektion an die Umgebung abgefhrt. Lager mit Umlaufschmierung geben die Wrme vorwiegend durch den Schmierstoff ab. Fr die Lagertemperatur TB gilt bei reiner Konvektionskhlung TB ¼ ½Pf =ðkA AÞ þ Tamb
ð13Þ
G 99
Bild 5. Radialgleitlager (schematisch) mit Druckverteilung in Breitenrichtung bei Schmierstoffzufuhr durch eine umlaufende Schmiernut
mit dem der Flche A zugeordneten ußeren Wrmedurchgangskoeffizienten kA . Bei freier Konvektion (Luftgeschwindigkeit wamb < 1 m=s) betrgt kA ¼ ð15 bis 20Þ W=ðm2 K Þ, wobei der untere Wert fr Lager im Maschinengehuse gilt [4]. Bei Anstrmung des Lagergehuses mit Luft (erzwungene Konvektion) mit einer Geschwindigkeit wamb gt; 1; 2 m=s pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi kann kA berechnet werden aus kA 7 þ 12 wamb mit wamb in m/s. Bei zylindrischen Lagergehusen kann die wrmeabgebende Oberflche A aus A ðp=2ÞðD2H D2 Þ þ pDH BH mit dem Gehusedurchmesser DH und der axialen Gehusebreite BH bestimmt werden, bei Stehlagern nherungsweise aus A ¼ pH ðBH þ H=2Þ mit der Stehlagergesamthhe H und bei Lagern im Maschinenverband berschlagsmßig aus A = (15 bis 20) BD. Die effektive Schmierstofftemperatur Teff kann bei Wrmeabfuhr durch Konvektion angenhert gleich der Lagertemperatur gesetzt werden ðTeff ¼ TB Þ: Bei Umlaufschmierung werden i. allg. die Schmierstofftemperatur am Eintritt ins Lager Ten , der Schmierstoffzufhrdruck pen und die Art des Zufhrungselements mit der entsprechenden Geometrie vorgegeben. Bestimmt werden mssen der gesamte Schmierstoffdurchsatz durchs Lager Q ¼ Q3 þ Qp nach Gl. (11) und (12), die Schmierstofftemperatur beim Austritt aus dem Lager Tex und die effektive Schmierstofftemperatur Teff . Die beiden Temperaturen Tex und Teff werden ermittelt aus Tex ¼ Pf = cp r Q þ Ten ð14Þ und Teff ¼ ðTen þ Tex Þ=2:
ð15Þ
Die volumenspezifische Wrmekapazitt des Schmierstoffs cp r weist fr Minerall einen Wert von ungefhr cp r ¼ 1; 8 106 Nm=ðm3 KÞ auf. Bei hohen Umfangsgeschwindigkeiten empfiehlt es sich, anstelle des Mittelwertes fr Teff einen Wert zu whlen, der nher an Tex liegt. Da bei steigender Lagertemperatur Hrte und Festigkeit der Lagerwerkstoffe abnehmen, was sich besonders stark bei Pb- und Sn-Legierungen bemerkbar macht, und bei Temperaturen ber 80 C mit einer verstrkten Alterung der Schmierstoffe auf Minerallbasis zu rechnen ist, sollte sichergestellt werden, daß TB und Tex die hchstzulssige Lagertemperatur Tlim aus Anh. G 5 Tab. 5 nicht berschreiten. Im Berechnungsablauf zur Bestimmung von Teff sind am Anfang hufig nur Tamb und Ten bekannt. Zunchst werden daher je nach Wrmeabgabebedingung TB oder Tex geschtzt (Empfehlung: TB ¼ Tamb þ 20 C und T ex ¼ T en þ 20 C). Aus der
G
G 100
Mechanische Konstruktionselemente – 5 Gleitlagerungen
Wrmebilanz ergibt sich dann ein neuer Werte fr TB bzw. Tex ; der durch Mittelwertbildung mit dem zuvor zugrunde gelegten Temperaturwert solange iterativ korrigiert wird, bis in der Rechnung die Differenz zwischen Ein- und Ausgangswert akzeptabel ist. Betriebssicherheit
G
Wird ein Radialgleitlager mit variierenden Betriebsparametern betrieben, so ist zu beachten, ob der Wechsel von einem Betriebszustand zum nchsten allmhlich oder innerhalb einer kurzen Zeitspanne stattfindet. Wenn beispielsweise auf einen Betriebszustand mit hoher thermischer Belastung unmittelbar ein anderer mit hohem p und niedrigem weff folgt, sollte der neue Betriebspunkt auch mit den Viskositts- und Lagerspieldaten des vorhergehenden Falls berechnet werden. Der bergang in die Mischreibung kann durch die mindestzulssige bergangsschmierfilmdicke hlim, tr gekennzeichnet werden. Diese kann nach DIN 31 652 aus den gemittelten Rauhtiefen von Welle und Lager, der Schiefstellung und der Krmmung von Welle und Lager innerhalb der Lagerbreite und der effektiven Welligkeitsamplitude ermittelt werden und hngt vom Einlaufzustand ab. Wenn Schiefstellungen, Krmmungen und Welligkeiten vernachlssigbar sind, lßt sich hlim, tr auch nherungsweise aus qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð16Þ hlim, tr ¼ 3 R2q, J þ R2q, B mit den quadratischen Mittenrauhwerten Rq, J und Rq, B von Welle und Lager berechnen. Mit bekanntem hlim, tr kann dann nach [5] die Gleitgeschwindigkeit fr den bergang in die Mischreibung Utr nherungsweise aus folgender Gleichung bestimmt werden: pffiffiffiffiffiffiffiffih i2=3 pffiffiffi Utr ¼ pyeff hlim, tr heff 3=2 1 þ 2pD=ðErsl hlim, tr Þ ð17Þ mit dem resultierenden Elastizittsmodul Ersl aus 1=Ersl ¼ ð1=2Þ 1 v2J =EJ þ 1 v2B =EB , wobei EJ und EB die E-Module von Welle und Lager darstellen und vJ und vB die dazugehrigen Querkontraktionszahlen. Dabei wird bercksichtigt, daß sich infolge elastischer Deformationen die tragende Druckzone in Umfangsrichtung vergrßert und sich in diesem Bereich ebenfalls das effektive Lagerspiel verringert, was sich beides tragfhigkeitssteigernd auswirkt. Das Lager sollte so ausgelegt werden, daß Utr < Ulim, tr , die zulssige Gleitgeschwindigkeit fr den bergang in die Mischreibung, ist. Fr Ulim, tr gilt nach [6]: Ulim, tr ¼ 1 m/s fr U > 3 m/s und Ulim, tr ¼ U=3 fr U < 3 m/s. Um die Erwrmung des Lagerwerkstoffs beim Durchfahren des Mischreibungsgebiets im zulssigen Bereich zu halten, sollte nach [5] fr den Bereich 0; 5 m=s < U tr < 1 m=s der Grenzwert ðpUtr Þlim ¼ 25 105 W=m2 nicht berschritten werden. Fr Utr < 0; 5 m=s sollte die Bedingung p 5 N=mm2 eingehalten werden, weil sonst die Werkstoffestigkeit infolge zu großer spezifischer Lagerbelastung und zu hoher Reibflchentemperaturen bertroffen wird.
5.2.2 Radialgleitlager im instationren Betrieb Dynamically loaded plain journal bearings Bei instationr belasteten Radialgleitlagern sind Lagerkraft (Betrag und Richtung) und effektive Winkelgeschwindigkeit weff von der Zeit abhngig. Demzufolge hngen auch Tragfhigkeit, Reibung, Schmierstoffdurchsatz und effektive Schmierstofftemperatur von der Zeit ab. Wenn sich Lagerkraft und effektive Winkelgeschwindigkeit periodisch ndern, wie z. B. in Lagern von Kolbenmaschinen, zeigt die Verlage-
rungsbahn des Wellenmittelpunktes einen geschlossenen Verlauf. Zur Berechnung von instationr belasteten Radialgleitlagern wird die Reynoldssche Differentialgleichung (Gl. (1)) auf der rechten Seite um das Glied 12¶ h=¶ t erweitert, denn neben den Drehbewegungen treten hier auch Verdrngungsbewegungen in radialer Richtung auf. Zur Lsung der Differentialgleichung kann z. B. das Verfahren der berlagerten Traganteile eingesetzt werden [7, 8]. Zur Berechnung der Wellenmittelpunktsbahn wird dabei hufig auf Nherungsfunktionen nach [9] fr die Sommerfeldzahl der Drehung SoD und die der Verdrngung SoV zurckgegriffen. Bei periodischer Lagerbelastung wird die Iteration solange durchgefhrt, bis sich eine geschlossene Verlagerungsbahn ergibt. 5.2.3 Stationr belastete Axialgleitlager Plain thrust bearings under steady state conditions Der zur hydrodynamischen Druckentwicklung erforderliche konvergierende Spalt wird bei Axialgleitlagern dadurch erzeugt, daß beispielsweise Keilflchen in feststehende Spurplatten eingearbeitet oder mehrere unabhngig voneinander kippbewegliche Gleitschuhe (segment- oder kreisfrmig) eingesetzt werden, bei denen sich, je nach Wahl der Untersttzungsstelle, der Lagerkonstruktion und der Betriebsbedingungen, die kleinste Schmierspalthhe am Schmierspaltaustritt oder kurz davor selbstndig einstellt, Bild 6, Bild 7 und Bild 8. Zwischen den Lagersegmenten angeordnete Freirume dienen der Schmierstoffzufuhr. Mittig untersttzte Gleitschuhe sind fr beide Drehrichtungen geeignet, weisen aber gegenber den im optimalen Bereich abgesttzten Gleitschuhen eine geringere Tragfhigkeit und eine hhere Reibung auf. Bei Kippsegmentlagern wirken sich im Betrieb auftretende Verformungen der Gleitschuhe aufgrund von Schmierfilmdrcken und Temperaturunterschieden zwischen Gleitschuhober- und -unterseite tragfhigkeitsmindernd, aber reibungssenkend aus. Die Auswahl der Lagerbauart hngt von den Betriebsbedingungen ab. Bei hohen Flchenpressungen und hufigem Anund Auslaufen unter Last sind Kippsegmentlager zu bevorzugen, da sich die Keilneigung, den Betriebsbedingungen entsprechend, selbstndig einstellt und die Segmente im Stillstand parallel zur Spurscheibe stehen. Um bei Segmentlagern mit fest eingearbeiteten Keilflchen im Stillstand das Gewicht des Rotors und eventuell eine zustzliche Lagerkraft aufnehmen zu knnen, sollte bei allen Lagersegmenten eine Rastflche vorgesehen werden. Nachfolgend werden Kippsegmentlager (Bild 7) und Segmentlager mit fest eingearbeiteten Keil- und Rastflchen (Bild 8) behandelt. Bei letzteren soll das Verhltnis von Keilflchenlnge lwed zu Segmentlnge L den optimalen Wert lwed =L ¼ 0; 75 aufweisen [10]. Es wird außerdem davon ausgegangen, daß die Oberflchen eben sind und sich im Betrieb nicht verformen. Wenn die Reynoldszahl Re ¼ rUhmin =heff fr Keilspalte mit hmin =Cwed ¼ 0; 8 Werte grßer als die kritische Reynoldszahl Recr ¼ 600 aufweist, liegen turbulente Strmungsverhltnisse vor. Das nachfolgend beschriebene Berechnungsverfahren ist fr turbulente Strmung im Schmierspalt nur begrenzt anwendbar. Untersttzungsstelle Bei Kippsegmentlagern werden durch die Wahl des relativen Abstands der Untersttzungsstelle aF ¼ aF =L vom Spalteintritt in Bewegungsrichtung und der relativen Lagerbreite B/L sowohl die bezogene minimale Schmierfilmdicke hmin =Cwed als auch die Tragfhigkeits-, Reibungs- und Schmierstoffdurchsatz-Kennzahl festgelegt. Diese Werte ndern sich auch bei wechselnden Betriebsbedingungen nicht im Gegensatz zu Segmentlagern mit fest eingearbeiteten Keilflchen, bei de-
I5.2 Berechnung hydrodynamischer Gleitlager
G 101
G Bild 8. Axialsegmentlager mit fest eingearbeiteten Keil- und Rastflchen (schematisch) mit Druckverteilung. pðx; zÞ Druckverteilung im Schmierfilm, U Gleitgeschwindigkeit auf dem mittleren Gleitdurchmesser, D mittlerer Gleitdurchmesser (mittlerer Tragringdurchmesser), Do Tragringaußendurchmesser, Di Tragringinnendurchmesser, B Segmentbreite, L Segmentlnge in Umfangsrichtung, lwed Keillnge, Cwed Keiltiefe, hmin kleinste Schmierspalthhe, x; y und z Koordinaten
Bild 6 a–c. Ausfhrungsvarianten fr Axialgleitlager. a Kippbeweglicher segmentfrmiger Gleitschuh fr eine Drehrichtung mit starrer kugelfrmiger Absttzung und Schmierlversorgung mittels Einspritzung zwischen den Gleitschuhen; b kippbeweglicher kreisfrmiger Gleitschuh fr gleichbleibende und wechselnde Drehrichtung mit elastischer Absttzung ber eine Tellerfeder (d Durchmesser des Kreisgleitschuhs); c kippbeweglicher segmentfrmiger Gleitschuh fr gleichbleibende und wechselnde Drehrichtung mit elastischer Absttzung
Bild 9. Bezogene Untersttzungsstelle aF fr Axialkippsegmentlager in Abhngigkeit von B=L und hmin =Cwed nach DIN 31 654
nen sich neben der bezogenen minimalen Schmierfilmdicke (anderes hmin ) auch alle anderen Kennzahlen den wechselnden Bedingungen anpassen. Die Lage der Untersttzungsstelle aF sollte anhand von Bild 9 so gewhlt werden, daß hmin =Cwed ¼ 0; 5 bis 1,2 (optimal 0,8) betrgt, wenn hohe Tragfhigkeit gewnscht wird, oder daß hmin =Cwed Werte von 0,25 bis 0,4 aufweist, wenn hoher Schmierstoffdurchsatz zur Khlung bentigt wird. Tragfhigkeit Die Tragfhigkeit von Axialkippsegmentlagern wird durch die dimensionslose Tragkraftkennzahl F bestimmt: Bild 7. Axialkippsegmentlager (schematisch) mit Druckverteilung. pðx; zÞ Druckverteilung im Schmierfilm, U Gleitgeschwindigkeit auf dem mittleren Gleitdurchmesser, D mittlerer Gleitdurchmesser, Di Innendurchmesser der Gleitflche, Do Außendurchmesser der Gleitflche, B Segmentbreite, L Segmentlnge in Umfangsrichtung, aF Abstand der Untersttzungsstelle vom Spalteintritt in Umfangsrichtung, Cwed Keiltiefe, hmin kleinste Schmierspalthhe, x; y und z Koordinaten
F ¼ p h2min =ðheff ULÞ:
ð18Þ
Da bei Segmentlagern mit fest eingearbeiteten Keil- und Rastflchen zu Beginn der Auslegung weder hmin noch heff und F bekannt sind und um eine zweifache Iteration ber hmin und Teff zu vermeiden, wird F nach DIN 31 653 zur Tragkraftkennzahl fr Segmentlager FB modifiziert:
G 102
Mechanische Konstruktionselemente – 5 Gleitlagerungen
FB ¼ F ðCwed =hmin Þ2 ¼ pC2wed =ðheff ULÞ:
ð19Þ
FB
F und sind im Bild 10 bzw. Bild 11 dargestellt, und zwar abhngig von hmin =Cwed und dem Verhltnis von Segmentbreite zu Segmentlnge B=L: Fr die Segmente werden Werte von B=L ¼ 0; 75 bis 1,5 (meist B=L 1; 0) gewhlt. Grßere B=L-Werte wirken sich i. allg. gnstig auf das Temperaturniveau im Schmierfilm aus. Die spezifische Lagerbelastung p berechnet sich aus p ¼ F=ðZBLÞ mit der Segmentanzahl Z , wobei diese je nach Lagergrße i. allg. zwischen Z=4 und Z=12 liegt. p sollte kleiner als plim aus Anh. G 5 Tab. 1 sein ðp < plim Þ: Sind die
G
Bild 10. Tragfhigkeitskennzahl F fr Axialkippsegmentlager in Abhngigkeit von B=L und hmin =Cwed nach DIN 31 654
Lagerabmessungen bei der Auslegung noch frei whlbar, wird nach Festlegung von B=L und Z die Segmentlnge L berpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi schlagsmßig mit L F=½ plim Z ðB=LÞ dimensioniert. Der mittlere Gleitdurchmesser D ergibt sich aus D ¼ ZL=ðpfÞ mit dem Ausnutzungsgrad der Gleitflche f ¼ ZBL=ðpDBÞ 0; 8: Ausnutzungsgrade kleiner als f ¼ 0; 8 senken in der Regel die Lagertemperatur ab. Mit der Winkelgeschwindigkeit der Spurscheibe w wird die mittlere Gleitgeschwindigkeit U aus U ¼ ðD=2Þw bestimmt. Bei vorgegebenem Schmierstoff und bekannter oder geschtzter effektiver Schmierstofftemperatur im Schmierfilm Teff kann die effektive Schmierstoffviskositt heff mit Gl. (6) berechnet werden. Bei Wahl von aF kann unter Bercksichtigung von B=L aus Bild 9 hmin =Cwed abgelesen und danach mit dieser Grße aus Bild 10 F entnommen werden. Nun liegen alle Grßen vor, um fr Kippsegmentgleitlager die minimale Schmierfilmdicke hmin aus hmin ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ermitteln zu knnen. F heff UL= Bei Segmentlagern mit eingearbeiteten Keil- und Rastflchen wird unter Vorgabe einer herzustellenden Keiltiefe Cwed mit den zuvor diskutierten Grßen zunchst FB mit Gl. (19) bestimmt und dann aus Bild 11 hmin =Cwed abgelesen, woraus hmin abgeleitet wird. Ein verschleißfreier Betrieb erfordert, daß hmin > hlim nach Anh. G 5 Tab. 6 ist. Richtwerte fr die mindestzulssige Schmierfilmdicke im Betrieb hlim knnen nach DIN 31 653 und DIN 31 654 auch aus der Beziehung pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi hlim ¼ C UDFst =F 105 gewonnen werden mit U in m/s, D in m und der im Stillstand auftretenden Belastung Fst in N. Wenn hlim 1; 25 hlim; tr wird, so ist die Beziehung hlim ¼ 1; 25 hlim; tr zu verwenden, wobei hlim, tr die minimale Schmierfilmdicke fr den bergang von Misch- zur Flssigpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi keitsreibung darstellt und aus hlim, tr ¼ C DRZ =12 000 berechnet wird mit dem mittleren Gleitdurchmesser D und der gemittelten Rauhtiefe der Spurscheibe Rz jeweils in m: In den Beziehungen fr hlim und hlim, tr ist fr Kippsegmentlager C ¼ 1 und fr Segmentlager C ¼ 2 zu setzen. Reibung Die Reibungsverluste von Axialkippsegmentlagern lassen sich mit Hilfe der Reibungskennzahl f erfassen: f ¼ f p hmin =ðheff UÞ:
ð20Þ
Fr Segmentlager gilt entsprechend: fB ¼ f ðC wed =hmin Þ ¼ f pCwed =ðheff UÞ:
ð21Þ
Die Kennzahlen f und fB sind im Anh. G 5 Bild 3 bzw. Anh. G 5 Bild 4 aufgezeichnet. Fr die Reibungsleistung ergibt sich bei Kippsegmentlagern Pf ¼ f heff U 2 ZBL=hmin und bei Segmentlagern Pf ¼ fB heff U 2 ZBL=Cwed . Schmierstoffdurchsatz Von dem an jedem Segment mit der Temperatur T1 in den Schmierspalt eintretenden Schmierstoffstrom Q1 =Z wird an beiden Seiten der Segmente infolge des hydrodynamischen Druckaufbaus jeweils der Teil Q3 =ð2 ZÞ mit der Temperatur ðT1 þ T2 Þ=2 wieder herausgefrdert. Der Rest Q2 =Z verlßt den Spalt am Austritt mit der Temperatur T2 , Bild 12. Fr das gesamte Lager folgt daraus: Q1 ¼ Q2 þ Q3 mit Q1 ¼ Q1 Q0 ; Q3 ¼ Q3 Q0 , Q2 ¼ Q1 Q3 und Q0 ¼ ZBhmin U. Die bezogenen Grßen Q1 und Q3 knnen Anh. G 5 Bild 5 fr Kippsegmentlager und Anh. G 5 Bild 6 fr Segmentlager entnommen werden. Die zur hydrodynamischen Lastbertragung mindestens erforderliche Schmierstoffmenge fr das Lager ergibt sich aus Q1 : Bild 11. Tragfhigkeitskennzahl FB fr Axialsegmentlager mit fest eingearbeiteten Keil- und Rastflchen in Abhngigkeit von B=L und hmin =Cwed nach DIN 31 653
Wrmebilanz Drucklos geschmierte Axialgleitlager leiten die im Schmierfilm durch Reibung entstehende Wrme berwiegend durch
I5.2 Berechnung hydrodynamischer Gleitlager
G 103
Konvektion ab. Fr die sich einstellende Lagertemperatur TB gilt damit TB ¼ Pf =ðkA AÞ þ Tamb :
ð22Þ
Der ußere Wrmebergangskoeffizient kA wird wie bei den Radiallagern berechnet. Die wrmeabgebende Flche A kann nach DIN 31 653 und DIN 31 654 bei Axiallagern mit zylindrischen Lagergehusen aus A ðp=2ÞD2H þ pDH BH (Bezeichnungen wie bei den Radiallagern) und bei Lagern im Maschinenverband aus A ð15 bis 20Þ ZBL bestimmt werden. Die effektive Schmierfilmtemperatur Teff entspricht bei Khlung mit Konvektion der Lagertemperatur TB , d. h. Teff ¼ TB : Bei der Wrmeabfuhr durch Umlaufschmierung mit Schmierstoffrckkhlung werden meistens die Erwrmung DT ¼ Ten Tex und die Eintrittstemperatur Ten des zuzufhrenden frischen Schmierstoffs vorgegeben. Dabei sollte die Temperaturdifferenz DT zwischen der Schmierstofftemperatur am Eintritt ins Lager Ten und derjenigen am Austritt aus dem Lager Tex ungefhr DT ¼ 10 bis 30 C betragen. Bestimmt werden muß dann noch der erforderliche Durchsatz von frischem Schmierstoff durch das Lager Q, die effektive Schmierstofftemperatur im Schmierfilm Teff und die Schmierstofftemperatur am Austrittsspalt T2 , die der Lagertemperatur TB entspricht, d. h. T2 ¼ TB : Q kann ermittelt werden aus Q ¼ Q Q0 ¼ Pf = cp rDT ð23Þ mit dem bezogenen Schmierstoffdurchsatz des Lagers Q ¼ f p= F cp rDT fr Kippsegmentlager und Q ¼ fB p= [FB cp rDT ðhmin =Cwed Þ] fr Segmentlager mit fest eingearbeiteten Keil- und Rastflchen. Fr Teff und T2 folgen aus Bild 13: Teff ¼ Ten þ DT1 þ DT2 =2
ð24Þ
und T2 ¼ Ten þ DT1 þ DT2 :
ð25Þ
Mit Hilfe von Bild 12 kann nach [11] fr die Temperaturerhhung des Schmierstoffs im Spalt DT2 die Beziehung DT2 ¼ T2 T1 ¼ DTQ = Q1 0; 5Q3 abgeleitet werden und fr die Temperaturdifferenz DT1 ¼ T1 Ten zwischen der Schmierstofftemperatur am Spalteintritt T1 und der Temperatur des frisch zugefhrten Schmierstoffs Ten die Gleichung
Bild 12. Schmierstoffdurchsatz- und Wrmebilanz in Zwischenrumen und Schmierspalten (schematisch) von hydrodynamischen Axialgleitlagern mit Segmenten nach [11]. Z Anzahl der Segmente, Q Schmierstoffdurchsatz durchs Lager, Q1 Schmierstoffdurchsatz am Spalteintritt, Q2 Schmierstoffdurchsatz am Spaltaustritt, Q3 Schmierstoffdurchsatz an den Seitenrndern, M Mischungsfaktor, Ten Schmierstofftemperatur am Eintritt ins Lager, T1 Schmierstofftemperatur am Spalteintritt, T2 Schmierstofftemperatur am Spaltaustritt
Bild 13. Temperaturverlauf im Schmierfilm (schematisch) von Axialgleitlagern mit Segmenten. Ten Schmierstofftemperatur am Eintritt ins Lager, T1 Schmierstofftemperatur am Spalteintritt, T2 Schmierstofftemperatur am Spaltaustritt, Teff effektive Schmierstofftemperatur, DT1 Temperaturdifferenz zwischen T1 und T en , DT2 Temperaturdifferenz zwischen T2 und T1
DT1 ¼ DT2 Q1 Q3 = MQ þ ð1 M ÞQ3 : Der Mischungsfaktor M, der zwischen M ¼ 0 (keine Mischung) und M ¼ 1 (vollkommene Mischung) variieren kann, bercksichtigt Mischungsvorgnge in den Zwischenrumen, Bild 12. Erfahrungsgemß liegt der Mischungsfaktor zwischen M ¼ 0; 4 und 0,6. Er hngt von den Betriebsbedingungen, den konstruktiven Gegebenheiten, dem Schmierstoff und der Art der Schmierstoffzufuhr ab [12]. Zum Schluß muß berprft werden, ob TB (bei Konvekton) bzw. T2 (bei Umlaufschmierung) kleiner als die hchstzulssige Lagertemperatur Tlim nach Anh. G 5 Tab. 5 ist. Wie bei den Radiallagern sind auch bei den Axiallagern im Berechnungsablauf zur Bestimmung von Teff am Anfang hufig nur Tamb und Ten bekannt. Zunchst wird daher je nach Wrmeab gabebedingung TB bzw. Teff geschtzt. Aus der Wrmebilanz ergibt sich dann ein neuer Wert fr TB bzw. Teff , der durch Mittelwertbildung mit dem zuvor zugrunde gelegten Temperaturwert solange iterativ korrigiert wird, bis in der Rechnung die Differenz zwischen Ein- und Ausgabewert akzeptabel ist. Betriebssicherheit Betriebssicherheit wird erreicht, wenn die errechneten Bep die entsprechenden triebskennwerte hmin , TB bzw. T2 und zulssigen Betriebsrichtwerte nicht unter- bzw. berschreiten. Wenn hmin < hlim, tr wird, tritt Mischreibung auf und damit verbunden Verschleiß. Um das Mischreibungsgebiet beim An- und Auslaufen mglichst schadensfrei zu durchfahren, sollten fr die mittlere Gleitgeschwindigkeit fr den bergang in die Mischreibung Utr Werte grßer als Utr ¼ 1; 5 bis 2 m/s vermieden werden, da sonst unzulssig hohe Temperaturen im Schmierfilm und den Gleitflchen auftreten knnen. Fr Kippsegmentlager ergibt sich Utr aus Utr ¼ ph2min; tr =ðheff F LÞ und fr Segmentlager mit fest eingearbeitep C2wed = ðheff FB , tr LÞ, woten Keil- und Rastflchen aus Utr ¼ bei FB , tr aus Bild 11 mit hmin =Cwed ¼ hmin, tr =Cwed und B=L gewonnen wird. Bei Lagern mit konstanter Last sollte der Auslegungspunkt weit genug oberhalb von Utr liegen. Treten nur drehzahlabhngige Belastungen auf (z. B. Strmungskrfte beim Ventilator mit waagerechter Welle), kommt Mischreibung erst bei hohen Drehzahlen vor, da die Belastung schneller ansteigt als die Tragfhigkeit des Lagers. Hier sollte U < Utr sein. Ferner gibt es Anwendungsflle, bei denen neben einer konstanten Axialkraft noch ein drehzahlabhngiger Anteil dazu addiert werden muß (z. B. bei Wasserturbinen mit senkrechter Welle). Dann existieren ein unterer und ein oberer Mischreibungsbereich. U sollte weit genug entfernt von beiden liegen.
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G 104
Mechanische Konstruktionselemente – 5 Gleitlagerungen
5.2.4 Mehrgleitflchenlager Multi-lobed and tilting pad journal bearings
G
Leichtbelastete und schnellaufende Wellen (z. B. in Schleifspindeln, Gas- und Dampfturbinen, Turboverdichtern, Turbogetrieben usw.) neigen in zylindrischen Radialgleitlagern zu instabilem Laufverhalten. Bei Mehrgleitflchenlagern mit drei und mehr Gleitflchen tritt dieses Problem i. allg. nicht auf, da sie selbst im unbelasteten Zustand bei zentrischer Wellenlage mehrere konvergierende Spalte am Umfang aufweisen, die bei Wellendrehung zur Bildung von annhernd gleichen stabilisierenden Druckverteilungen fhren. Die am Umfang verteilten Druckberge bleiben auch unter Last, allerdings in genderter, an die Last angepaßter Form erhalten, wobei deren Tragkrfte sich geometrisch addieren und der Lagerkraft das Gleichgewicht halten, Bild 14. Dadurch wird einerseits eine gute Fhrungsgenauigkeit erreicht, andererseits aber die Tragfhigkeit verringert und eine erhhte Reibungsleistung erzeugt. Eine umlaufende Lagerkraft kann bei Mehrgleitflchenlagern Schwingungen anregen, da die Lagersteifigkeit richtungsabhngig ist, Bild 14. Um bei hohen Umfangsgeschwindigkeiten die Lagertemperaturen von vollumschließenden Lagern im zulssigen Bereich zu halten, sind relativ große Spiele erforderlich, die jedoch den bergang zu turbulenter Strmung begnstigen. Mit Radial-Kippsegmentlagern (Bild 15) knnen die hohen Reibungsverluste und die Lagertemperaturen verringert werden, da sie die Welle nur teilweise umschließen und klterer Schmierstoff in den Schmierspalt gelangen kann. Außerdem sind sie bei punktfrmiger Absttzung unempfindlich gegen Schiefstellungen der Welle. Die Anwendung eines Radialgleitlagers mit Kippsegmenten bei vertikaler Wellenanordnung ist im Bild 16 zu sehen.
Bild 16. Vertikallager-Einsatz mit einem Radialgleitlager aus einzeln einstellbaren Kippsegmenten und einem Axiallager aus kippbeweglichen Kreisgleitschuhen (Renk, Hannover)
5.3 Hydrostatische Anfahrhilfen Hydrodynamic bearings with hydrostatic jacking systems Wenn bei hydrodynamischen Gleitlagern hufiges Anfahren unter hoher Startlast ð p > 2; 5 bis 3 N=mm2 Þ, Trudelbetrieb mit niedrigen Drehzahlen oder sehr lange Auslaufzeiten auftreten, kann der Einsatz von hydrostatischen Anfahrhilfen empfehlenswert sein. Hierzu werden eine oder gnstiger zwei Schmiertaschen (bessere radiale Wellenfhrung) in der unteren Lagerschale im Kontaktbereich mit der Welle eingebracht, die mit einem unter Druck stehenden Schmierstoff von einer externen Pumpe mit einem Pumpendruck von max. 200 bar beim Anheben und von ca. 100 bar beim Halten der Welle versorgt werden.
5.4 Berechnung hydrostatischer Gleitlager Calculation of hydrostatic bearings
Bild 14 a, b. Vollumschlossene Mehrgleitflchenlager mit Druckverteilungen und Krftegleichgewichten (schematisch). a Kraftrichtung mittig auf die Gleitflche; b Kraftrichtung auf lversorgungsnut; F Lagerkraft, wJ Winkelgeschwindigkeit der Welle, e Exzentrizitt, b Verlagerungswinkel (Winkel zwischen der Lage der WellenzapfenExzentrizitt e und der Lastrichtung), p1 bis p3 Druckverteilungen an den entsprechenden Gleitflchen, F1 bis F3 Tragkrfte aus den Druckverteilungen, Fres Tragkraft des Lagers
Bei hydrostatischen Gleitlagern wird der zum Tragen erforderliche Druck im Schmierspalt von einer externen Pumpe erzeugt. Der unter Druck stehende Schmierstoff kann den Schmiertaschen im Lager mit jeweils einer Pumpe pro Tasche oder mit einer Pumpe fr alle Schmiertaschen und jeweils einer Drossel (Kapillare, Blende usw.) vor jeder Tasche zugefhrt werden. Die Schmierspalthhe im Lager stellt sich entsprechend der Belastung ein. 5.4.1 Hydrostatische Radialgleitlager Hydrostatic journal bearings Es werden Lager mit und ohne Zwischennuten zwischen den Schmiertaschen hergestellt. Nachfolgend werden Lager mit Zwischennuten (Bild 17) behandelt, die z. B. bei schnelldrehenden Wellen eingesetzt werden. Fr die Berechnung, die sich an DIN 31 656 anlehnt, wird auf die Bezeichnungen in Bild 17 verwiesen. Es gelten folgende Voraussetzungen: Lastrichtung mittig auf Schmiertasche, konstanter Pumpendruck pen , Kapillare vor jeder Tasche, Drosselverhltnis x ¼ 1, relative Exzentrizitt e < 0; 4: Fr die gilt: effektive Tragkraftkennzahl Feff Feff ¼ pF=ðZbc bax pen Þ
ð27Þ
mit Z als Anzahl der Schmiertaschen. Die minimale Schmierfilmdicke hmin kann berechnet werden aus Bild 15. Radialgleitlager mit Kippsegmenten (Sartorius, Gttingen)
hmin ¼ CR ð1 eÞ
ð28Þ
I5.4 Berechnung hydrostatischer Gleitlager
G 105
ð2=pÞfpðlax =BÞ þ Z ðlc =DÞ½1 2ðlax =BÞ Z ðlax =BÞðbG =DÞg die bezogene Stegflche bedeutet. Fr die aufzubringende Gesamtleistung ptot gilt dann Ptot ¼ Pp þ Pf :
ð32Þ
Die Gesamtleistung lßt sich minimieren, wenn fr das Leistungsverhltnis P ¼ Pf =Pp ungefhr P ¼ 2 gesetzt und die Bedingung qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi pf ¼ hB w= pen y2 ¼ ð1=2Þ P Q = Pf ðB=DÞ eingehalten wird. So weist z. B. ein Lager mit Z ¼ 4; B=D ¼ 1; e ¼ 0; 4; hP ¼ 40 CR ; a ¼ 0; bG =D ¼ 0; 05; P ¼ 2 und lax =B ¼ 0; 1 eine optimierte Umfangssteglnge von lc =D ¼ 0; 1 auf und die dazugehrigen Kenngrßen lauten: Bild 17. Hydrostatisches Radialgleitlager mit Zwischennuten (schematisch). F Lagerkraft, wJ Winkelgeschwindigkeit der Welle, e Exzentrizitt, b Verlagerungswinkel, Z Anzahl der Schmiertaschen, a Stellwinkel der 1. Tasche bezogen auf Taschenmitte, B Lagerbreite, D Lagerdurchmesser, DJ Wellendurchmesser, hmin kleinste Spalthhe, hP Schmiertaschentiefe, lax axiale Steglnge, lc Umfangssteglnge, bG Zwischennutbreite, jG ¼ lc =D þ bG =D halber Umfangswinkel von lc und bG ; bax ¼ ½ðp=Z Þ jG D Abstrmbreite in axialer Richtung, bc ¼ B lax Abstrmbreite in Umfangsrichtung
mit CR ¼ ðD DJ Þ=2 als radiales Lagerspiel. Die relative Exzentrizitt e folgt aus =½ðFeff =Feff; e ¼ 0; 4 Feff 0 Þ ðe ¼ 0; 4Þ Feff; 0 ðe ¼ 0; 4Þ mit der effektiven Tragkraftkennzahl Feff , 0 ðe ¼ 0,4Þ fr wJ ¼ 0 aus Anh. G 5 Bild 7 und dem Tragkraftkennzahlenver =Feff hltnis ðFeff , 0 Þ ðe ¼ 0; 4Þ aus Anh. G 5 Bild 8. Darin bedeuten k ¼ lax bc =ðlc bax Þ das Widerstandsverhltnis und Krot, nom ¼ ½k=ð1 þ kÞ x pf ðlc =DÞ die nominelle Dreheinflußkennzahl mit dem bezogenen Reibungsdruck pf ¼ hB wJ = pen y2 , wobei die dynamische Schmierstoffviskositt im Lager hB aus Gl. (6) und das relative Lagerspiel aus y ¼ 2 CR =D berechnet werden. Der Schmierstoffdurchsatz Q lßt sich unter der Annahme, daß Q ðe < 0; 5Þ Q ðe ¼ 0Þ ist, folgendermaßen bestimmen:
Q ¼ Q CR3 pen =hB mit
ð29Þ
k ¼ 1; 416; Feff ¼ 0; 3927; pf ¼ 1; 288; Pf ¼ 1; 531; Q ¼ 5; 08
und Ptot ¼ Ptot =ðFwCR Þ ¼ 10; 349: 5.4.2 Hydrostatische Axialgleitlager Hydrostatic thrust bearings Es soll hier ein Mehrflchen-Axiallager mit Schmiertaschen und Kapillaren als Drosseln vorgestellt werden. Fr die Berechnung gelten die in Bild 18 angegebenen Bezeichnungen. Es wird angenommen, daß bei der Bestimmung der Tragkraft und des Schmierstoffdurchsatzes die Scher- gegenber der Druckstrmung vernachlssigt werden kann (gltig fr kleine Umfangsgeschwindigkeiten). Außerdem bleiben die Tragfhigkeit und die Reibung im Stegbereich zwischen den Schmiertaschen unbercksichtigt. Die Tragkraft F kann dann nherungsweise bestimmt werden aus F ¼ðZjP =16Þ ½ pen =ð1 þ xÞ ½ðD21 D22 Þ = lnðD1 =D2 Þ ðD23 D24 Þ=lnðD3 =D4 Þ
ð33Þ
mit dem Umfangswinkel der Schmiertasche jP ¼ ð2p=ZÞ 2 lc =D und dem mittleren Spurplattendurchmesser D ¼ ðD1 þ D4 Þ=2: Der Schmierstoffdurchsatz Q ergibt sich aus Q ¼ðZjP =12Þ ðh3min =hB Þ ½pen =ð1 þ xÞ ½1=lnðD1 =D2 Þ þ 1=lnðD3 =D4 Þ:
ð34Þ
Q ¼ðZ=6Þf½1=ð1 þ xÞ ðB=DÞ½ðk þ 1Þ=k ½1 ðlax =BÞ=ðlc =DÞg als der Schmierstoffdurchsatzkennzahl. In dieser Gleichung ist 1=ð1 þ xÞ ¼ ðpP, 0 =pen Þ mit dem Taschendruck pP, 0 bei e ¼ 0 und dem Drosselverhltnis x ¼ Rcp =RP, 0 , wobei sich der Strmungswiderstand der Kapillare Rcp aus Rcp ¼ 128hcp lcp ð1 þ aÞ=ðpd4cp Þ mit der dynamischen Schmierstoffviskositt in der Kapillare hcp nach Gl. (6), der Lnge und dem Durchmesser der Kapillare lcp und dcp und dem Trgheitsanteil des Strmungswiderstandes a ¼ 0; 135 rQ= hcp lcp Z mit der Dichte r des zugefhrten Schmierstoffs berechnen lßt und der Strmungswiderstand einer Tasche RP, 0 bei e ¼ 0 der Gleichung RP, 0 ¼ 6hB lax = bax C3R ½1 þ k gengt. Die Pumpenleistung betrgt ohne Bercksichtigung des Pumpenwirkungsgrades Pp ¼ Q pen ¼ Q p2en CR3 =hB :
ð30Þ
Die Reibungsleistung Pf folgt aus Pf ¼ Pf hB w2J BD3 =ð4CR Þ
ð31Þ
mit der Reibungsleistungskennzahl Pf aus der Beziehung Pf ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pAlan fð1= 1 e2 Þ þ ð4CR =hP Þ½ð1=Alan Þ 1g in der Alan¼
Bild 18. Hydrostatisches Mehrflchen-Axialgleitlager (schematisch). F Lagerkraft, w Winkelgeschwindigkeit der Spurscheibe, p Druckverteilung, pP Taschendruck, pen Zufhrdruck (Pumpendruck), jP Umfangswinkel der Schmiertasche, Z Anzahl der Schmiertaschen, Q Schmierstoffdurchsatz des Lagers, D1 Spurplattenaußendurchmesser, D2 Schmiertaschenaußendurchmesser, D3 Schmiertascheninnendurchmesser, D4 Spurplatteninnendurchmesser, lc Stegbreite in Umfangsrichtung auf dem mittleren Spurplattendurchmesser
G
G 106
Mechanische Konstruktionselemente – 5 Gleitlagerungen
Fr das Reibungsmoment Mf gilt Mf ¼ ðp=32ÞðhB w=hmin Þ D41 D42 þ D43 D44 :
ð35Þ
Die Reibungsleistung Pf folgt aus Pf ¼ Mf w und mit der Pumpenleistung Pp ¼ pen Q kann die Gesamtleistung Ptot ¼ Pf þ Pp ermittelt werden. Das Drosselverhltnis x sollte bei x ¼ 1 liegen und die Spaltweite hmin grßer als pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi hlim ¼ 1; 25 ðDRz Þ=3000 sein mit D als dem mittleren Spurplattendurchmesser und Rz als der gemittelten Rauhtiefe der Spurscheibe jeweils in m:
Bild 20. Aufbau eines wartungsfreien Gleitlagers aus Verbundwerkstoffen nach [13]
5.5 Dichtungen. Bearing seals
G
An Gleitlagern haben Wellendichtungen die Aufgabe, den Austritt von l und lnebel zu verhindern bzw. zu minimieren und das Eindringen von Fremdkrpern und Wasser in schdlichen Mengen zu verhten. Die Art der Dichtung richtet sich nach dem jeweiligen Anwendungsfall. Folgende Dichtungsarten werden serienmßig eingesetzt: Schneidendichtungen, schwimmende Schneiden- und Spaltdichtungen, einstellbare Kammerdichtungen, Schneidendichtungen mit Zusatzlabyrinth oder mit Zusatzkammer, Dralldichtungen, Weichdichtungen, Filzringe, fettgeschmierte Dichtungen, Spritzringdichtungen usw.
5.6 Wartungsfreie Gleitlager. Dry rubbing bearings Wartungsfreie Gleitlager zeigen ihre hchste Tragfhigkeit bei kleiner Gleitgeschwindigkeit. Hier knnen sie oft um ein Vielfaches hher belastet werden als hydrodynamische Gleitlager, die bei niedriger Gleitgeschwindigkeit im Mischreibungsgebiet laufen. Mit zunehmender Geschwindigkeit nimmt die ertragbare spezifische Belastung p jedoch ab pU ð pU Þzul , weil durch die zunehmende Reibungswrme die Lagertemperatur unzulssig hoch ansteigen wrde. Typische Einsatzbereiche fr unterschiedliche wartungsfreie Gleitlager sind in Bild 19 dargestellt. Als Lagerbauarten werden beispielsweise Sintergleitlager, metallkeramische Gleitlager, Vollkunststofflager aus Thermoplasten oder Duroplasten, Gleitlager aus Verbundwerkstoffen oder aus Kunstkohle eingesetzt. Der typische Aufbau eines Gleitlagers aus Verbundwerkstoffen ist im Bild 20 dargestellt.
Bild 19. Zulssige Betriebsbereiche fr verschiedene wartungsfreie bzw. wartungsarme Gleitlager nach [13]. 1 Gleitlager aus Sinterbronze; 2 Gleitlager aus Sintereisen; 3 metallkeramische Gleitlager; 4 Verbundgleitlager mit Acetatharz; 5 Verbundgleitlager mit PTFESchicht; 6 Vollkunststoff-Gleitlager (Polyamid). (Der zulssige Einsatzbereich liegt jeweils unterhalb der Kurve.)
Wartungsfreie Gleitlager bentigen fr die Funktion einen gewissen Verschleiß, um den Festschmierstoff (z. B. PTFE, Graphit) oder den Lagerwerkstoff selbst freizusetzen, wenn dieser als Schmierstoff wirken soll. Der Festschmierstoff wird besonders beim Einlauf auf den Gegenkrper bertragen und setzt dort die Rauheitstler zu, so daß bei gnstigen Bedingungen der Kontaktbereich zwischen Lager und Welle vollstndig mit Festschmierstoff ausgefllt ist. Die Berechnung der wartungsfreien Gleitlager umfaßt die mechanische Belastbarkeit, die Lagertemperatur, wobei die richtige Erfassung der Wrmeabgabebedingungen entscheidend ist, den Verschleiß und damit die Lebensdauer [14]. Anwendung finden wartungsfreie Gleitlager vor allem da, wo ein hydrodynamischer Schmierfilmaufbau wegen niedriger Gleitgeschwindigkeiten nicht mglich, eine hydrostatische Lagerung zu aufwendig oder ein Einsatz von flssigen Schmierstoffen unerwnscht ist. Fr Lager mit oszillierenden Schwenkbewegungen werden in weiten Bereichen des Maschinenbaus auch Gelenklager eingesetzt, die am Innen- und Außenring sphrische Gleitflchen besitzen [15].
5.7 Konstruktive Gestaltung Design of plain bearings 5.7.1 Konstruktion und Schmierspaltausbildung Influence of the design on the form of the lubricated gap between bearing and shaft Die Berechnung hydrodynamischer Radialgleitlager legt eine in axialer Richtung parallele Schmierspaltform zugrunde, Bild 1. Durch die sich unter Belastung einstellende Verformung der Welle (Krmmung) und durch Fluchtungsfehler (Schiefstellung) wird in starr angeordneten Lagern die Parallelitt des Schmierspaltes gestrt, Bild 21. Das fhrt zu Kantentragen (erhhte Kantenpressung) und zu Tragkraftminderungen, die bei Lagerbreiten B=D > 0; 3 deutlich sprbar werden. Durch konstruktive Maßnahmen zur Anpassung des Lagers an den Verformungszustand der Welle kann dem entgegengewirkt werden. Grundstzlich ist das mglich durch Anwendung mglichst kleiner Lagerbreiten. Bei Endlagern, die strker von Wellenschiefstellungen betroffen sind, kann eine Anpassung aber auch erreicht werden durch elastische Nachgiebigkeit des Lagerkrpers (Bild 22 a) oder durch eine kippbewegliche Anordnung, Bild 22 b. Bei Mittellagern, bei denen hufiger eine Wellenkrmmung zu Problemen fhrt, lßt sich das Kantentragen dadurch vermindern, indem die Lagerbohrungsenden leicht konisch erweitert werden (Bild 22 c) bzw. die Lagerschale nicht ber die ganze Lnge im Lagerkrper abgesttzt wird, Bild 22 d und e. Weitere Anpassungen zur Tragfhigkeitssteigerung werden ber Einlaufvorgnge erreicht. Bei Axiallagern knnen Schiefstellungen der Spurplatte durch eine elastische Absttzung der Spurplatte oder der einzelnen Segmente ausgeglichen werden, Bild 6 b. Letzteres bewirkt auch ein gleichmßiges Tragen aller Segmente.
I5.7 Konstruktive Gestaltung
G 107
Bild 21 a, b. Kantentragen bei starren Lagerkrpern [16]. a Wellenschiefstellung in einem Endlager; b Wellenkrmmung in einem Mittellager
G
Bild 23 a–c. Ringschmierung. a Fester Schmierring mit Abstreifer fr beidseitige lversorgung; b fester Schmierring fr innere lbergabe und Abstreifer fr einseitige lversorgung (Gefahr des labschleuderns geringer als bei Variante a); c loser Schmierring Bild 22 a–e. Konstruktive Maßnahmen zur Minderung des Kantentragens. a Elastische Nachgiebigkeit [16]; b Kippbeweglichkeit des Lagerkrpers [17]; c konische Erweiterung der Lagerbohrungsenden [17]; d und e elastische Verformung der Lagerbuchse bei verringerter Sttzbreite im Lagerkrper [17]
5.7.2 Lagerschmierung. Lubricant supply Ein Lager muß so konstruiert sein, daß sich der Gleitraum hinreichend mit Schmierstoff versorgen lßt. Das kann geschehen durch feste oder lose Schmierringe (Bild 23) oder durch Umlaufschmierung (Bild 24). Feste Schmierringe mit Abstreifer (Bild 23 a) sind nach VDI 2204 fr Geschwindigkeiten von 10 m/s am Ringaußendurchmesser geeignet. Bei hheren Geschwindigkeiten schleudert das l ab, und es bildet sich Schaum im lvorrat. Bei festen Schmierringen im geschlossenen Ringkanal oder mit geeignetem Ringquerschnitt (Bild 23 b) nimmt dagegen die Frdermenge mit steigender Ringgeschwindigkeit zu. Hier liegt der Einsatzbereich nach VDI 2204 bei 14 bis 24 m/s. Bei losen Schmierringen (Bild 23 c) wchst das Frdervolumen zunchst mit steigender Ringgeschwindigkeit an, erreicht ein Maximum und fllt dann wieder ab. Lose Schmierringe knnen nach VDI 2204 zwischen 10 und 20 m/s eingesetzt werden, wobei die Einsatzgrenze von der Ringform, der Schmierstoffviskositt, der Reibung zwischen Ring und Welle und der Eintauchtiefe abhngig ist. Sie knnen zwischen 1 und 4 l/min frdern. Die oberen Werte werden aber nur mit
Bild 24. lumlaufschmierung mit Khlung (schematisch)
profilierten Ringen erreicht. Bei dynamischer Belastung oder Stßen sind lose Ringe ungeeignet. lumlaufschmiersysteme, im wesentlichen bestehend aus Pumpe, lbehlter, Khler, Volumenstromregler, Filter, Zufhr- und Rcklaufleitungen und Mess- und Regeleinrichtungen fr ltemperatur und -druck versorgen meist mehrere Lager zentral mit gekhltem und gefiltertem l, wobei der Zufhrdruck zwischen 0,5 und 5 bar liegen kann. Die Geschwindigkeit in den Zufhrleitungen sollte 1,5 bis 2 m/s nicht berschreiten. Die Rohrdurchmesser der Rcklaufleitungen sollte 4- bis 6-mal so groß wie die der Zufhrleitungen sein und ein gleichmßiges Geflle von ca. 15 aufweisen. Die Schmierstoffzufuhr sollte in der unbelasteten Zone im Bereich des di-
G 108
G
Mechanische Konstruktionselemente – 5 Gleitlagerungen
vergierenden Spalts erfolgen, um in der belasteten Zone einen ungestrten Druckaufbau mit maximaler Tragwirkung zu erzielen und die Verschumungsgefahr fr den Schmierstoff zu mindern. Bei instationr belasteten Radialgleitlagern kann die gnstigste Lage der Schmierstoffzufuhr aus der Wellenverlagerungsbahn ermittelt werden. Die gleichmßige Verteilung des Schmierstoffs ber der Lagerbreite erfolgt in der Regel entweder ber eine oder mehrere Taschen oder Bohrungen oder ber eine Ringnut. Letztere (ganz oder teilweise umlaufend) wird hufig bei rotierender oder unbestimmter Lastrichtung eingesetzt. Bei einem schmalen Lager wird i. allg. eine Bohrung eingebracht. Die axiale Breite von Schmiertaschen sollte weniger als 70% der Lagerbreite betragen, um den Seitenfluß klein zu halten. Abstreifer knnen verhindern, daß heiß austretender Schmierstoff wieder in den Gleitraum eintritt. Bei Axiallagern fr vertikal angeordnete Wellen ist darauf zu achten, daß trotz der Wirkung der Fliehkraft die innenliegenden Bereiche der Gleitflchen ausreichend mit Schmierstoff versorgt werden. 5.7.3 Lagerkhlung. Bearing cooling Bei Lagern mit Ringschmierung wird die Reibungswrme berwiegend ber das Lagergehuse an die Umgebung abgegeben. Dabei hngt die Khlwirkung von den Umstrmungsverhltnissen am Lagergehuse ab. Bei Umlaufschmierung wird die Wrme hauptschlich mit dem Schmierstoff abgefhrt. Ohne zustzliche Khlung des lvorrats sind dabei labkhlungen bis zu 10 K mglich [18]. Durch den Einbau von Rohrschlangen, die von gekhltem Wasser oder Khll durchflossen werden, in den lsumpf oder -sammelbehlter (Bild 24) lßt sich eine lrckkhlung von 20 bis 30 K erzielen. 5.7.4 Lagerwerkstoffe. Bearing materials Neben ausreichender Festigkeit, Widerstandsfhigkeit gegen Korrosion und Kavitation und chemischer Bestndigkeit gegen den Schmierstoff und die sich darin befindlichen Stoffe (Additive) sollten die Lagerwerkstoffe auch besondere Gleiteigenschaften besitzen. Hierfr spielen eine gute Benetzbarkeit und eine hohe Kapillaritt durch den eingesetzten Schmierstoff, Notlaufeigenschaften und ausreichendes Einlauf-, Einbettungs- und Verschleißverhalten eine wichtige Rolle. Bei guter Benetzbbarkeit wird die Gleitlageroberflche vollstndig von einem Schmierfilm bedeckt, und bei hoher Kapillaritt kann der Schmierstoff auch in den engen Spalt zwischen Welle und Lagerschale eindringen und dort fr einen Schmierfilmaufbau zur Verfgung stehen. Von Bedeutung sind diese Eigenschaften vor allem im Mischreibungsgebiet beim An- und Auslauf des Lagers, wenn nur wenig Schmierstoff in der Kontaktzone vorhanden ist. Der Lagerwerkstoff sollte auch Notlaufeigenschaft aufweisen, damit bei Versagen der Schmierung das Lager kurzzeitig ohne große Schdigung betriebsfhig gehalten werden kann. Dabei wirken noch Restlmengen sowie eventuell im Lagerwerkstoff vorhandene Festschmierstoffe (Graphit, Molybdndisulfid) mit. Hauptschlich werden die Notlaufeigenschaften aber durch die Eigenschaften der Lagermetalle bestimmt. Am besten eignen sich niedrig schmelzende Metalle geringer Hrte, die bei rtlicher Erhitzung aufschmelzen und so die Reibung niedrig halten. Wichtig ist in diesem Zusammenhang auch die Unempfindlichkeit gegen Fressen, d. h. der Widerstand des Gleitlagerwerkstoffs gegen die Bildung von adhsiven Bindungen mit dem Gegenkrper. Gnstig ist außerdem ein gutes Einlaufverhalten, um die Oberflchen und die Form der Laufflchen durch Abrieb und Verformung ohne merkliche Beeintrchtigung der Funktionen in kurzer Zeit so anzupassen, daß
die durch Fertigung, Montage und elastische Verformungen bedingten Abweichungen von der Sollform des Gleitraumes weitgehend ausgeglichen werden. In Verbindung mit Stahlwellen nehmen die Gleiteigenschaften und das Einlaufverhalten von Lagerwerkstoffen in folgender Reihenfolge ab: Weißmetall (WM) auf Bleibasis, WM auf Zinnbasis, Bleibronzen, Rotguß, Zinnbronzen, Sondermessing [19]. Durch das Einbettungsverhalten knnen Fremdkrper (Schmutz- und/oder Verschleißpartikel) in die Gleitflche eingelagert und dadurch deren schdigende Wirkung gemildert werden. Dennoch verlangen auch einbettungsfhige Werkstoffe, die Lager vor Verschmutzung zu schtzen und den Schmierstoff durch Filterung sauber zu halten. Die Verschleißfestigkeit der Lagerwerkstoffe nimmt ausgehend von den Bronzen ber Messing, Al-Pb-Bronzen, Rotguß, Al-Zn- und Kadmiumlegierungen bis hin zu den Weißmetallen ab [19]. In Gleitlagern tritt Verschleiß dann auf, wenn sie bei Mischreibung (z. B. whrend des An- und Auslaufs) betrieben werden. Wegen der starken Abhngigkeit von den Betriebsbedingungen und den Eigenschaften der Reibpartner und des Schmierstoffs lassen sich allgemeingltige Aussagen zum Verschleiß kaum machen. Als metallische Lagerwerkstoffe werden Blei-, Zinn-, Kupferund Aluminium-Legierungen eingesetzt. Fr eine Auswahl von Lagerwerkstoffen sind im Anh. G 5 Tab. 1 Werte ber die hchstzulssige spezifische Lagerbelastung angegeben. Fr bestimmte Anwendungsflle (Wasserschmierung, Trokkenlauf, chemisch aggressive Medien) werden auch nichtmetallische Werkstoffe, wie z. B. Gummi, Kunststoff und Keramik, verwendet. Dabei sind deren von den Metallen abweichende physikalische Eigenschaften (Festigkeit, Elastizitt, Wrmeleitfhigkeit, thermische Stabilitt) besonders zu beachten. 5.7.5 Lagerbauformen. Bearing liners Bei den Bauformen werden Massiv- und Verbundlager sowie Dick- und Dnnwandlager unterschieden. Kleine Massivlager werden aus Rohr, große im Schleudergußverfahren als Buchsen hergestellt und in Gehusebohrungen eingepreßt. In Verbundlagern wird auf eine Stahlsttzschale das Lagermetall in einer Dicke von 0,3 bis 0,5 mm in einem Bandaufgieß- oder Walzplattierverfahren aufgebracht (Zweischichtlager). Fr besonders hohe Beanspruchungen werden Mehrschichtlager hergestellt, Bild 25. Dabei wird auf die Lagermaterialschicht (Bronze oder Aluminium) mit einer Nickelzwischenschicht von 1 bis 2 mm Dicke eine maximal 20 mm dicke weiche Gleitschicht aufgetragen. Durch die Gleitschicht wird die Benetzungsfhigkeit der Gleitflche wesentlich erhht und die Korrosionsbestndigkeit verbessert. Diese Gleitschicht dient als Verschleißschicht, z. B. beim Einlaufen des Lagers [8].
Bild 25. Aufbau eines Verbundlagers (Dreischichtlager) nach [8]
I6.2 Flachriemengetriebe
G 109
6 Zugmittelgetriebe Belt and chain drives H. Mertens, Berlin
6.1 Bauarten, Anwendungen. Types, applications Zugmittelgetriebe dienen zur Wandlung von Drehzahlen und Drehmomenten zwischen zwei oder mehr nichtkoaxialen Wellen, auch mit grßeren Wellenabstnden, bei geringem Bauaufwand. Als Zugmittel finden endlose Flachriemen, Keilriemen, Synchronriemen oder Ketten Verwendung, die die Riemenscheiben oder Kettenrder von An- und Abtriebswellen umschlingen und dabei Umfangsgeschwindigkeiten und Umfangskrfte bertragen [1, 16]. Reibschlssige Zugmittelgetriebe. Sie erfordern zur Aufrechterhaltung des Reibschlusses stets eine Mindestvorspannkraft. Die Drehzahlwandlung erfolgt bei richtiger Auslegung mit einem geringen, lastabhngigen Schlupf (Dehnschlupf) und nahezu konstanter (Bild 1) oder stufenlos verstellbarer (z. B. Bild 8 c) bersetzung. Formschlssige Zugmittelgetriebe. Sie erfordern zur Erzielung eines optimalen Laufverhaltens mit hoher Lebensdauer und/oder zur Vermeidung von bersetzungsfehlern (berspringen von Zhnen) ebenfalls eine bauartabhngige Mindestvorspannkraft, Bild 2. Sie erzeugen dann eine konstante bersetzung, wenn die meist geringe Ungleichfrmigkeit der Drehbertragung mit der Frequenz der einlaufenden Zhne oder Kettenglieder (Polygoneffekt) vernachlssigt wird. Flachriemen, Keilriemen und Synchronriemen ermglichen wegen ihrer leichten Tordierbarkeit den Aufbau rumlicher Antriebe mit nichtparallelen Wellen, Bild 3 d, e. Stahlketten sind nur fr Antriebe zwischen parallelen Wellen geeignet. Die mit wachsender Umfangsgeschwindigkeit u des Zugmittels wachsenden Fliehkrfte vermindern die bertragbaren Umfangskrfte. Die maximale Leistung wird daher bei einer, allerdings meist vom kleinsten Scheibendurchmesser abhngigen, optimalen Umfangsgeschwindigkeit uopt des Zugmittels bertragen.
G Bild 3 a–e. Ebene (a bis c) und rumliche (d und e) Antriebe. a offenes Riemengetriebe; b gekreuztes Riemengetriebe; c Vielwellenantrieb mit Flachriemen; d rumlicher Flachriementrieb mit drei Leitrollen L; e rumliches Synchronriemengetriebe
6.2 Flachriemengetriebe. Flat belt drives 6.2.1 Krfte am Flachriemengetriebe Forces in flat belt transmissions Die bertragung der Umfangskraft zwischen Riemen und Riemenscheibe erfolgt durch Schubspannungen. Fr den Grenzfall des Gleitens im gesamten Umschlingungsbogen (Gleitschlupf, s. B 1.11) gilt nach Eytelwein F10 =F20 ¼ emb mit den Trumkrften F10 und F20 ohne Fliehkraft und dem Umschlingungswinkel b ½rad ¼ ðp=180Þ b ½Grad (e=2,718) (Bild 4). Im normalen Betrieb durchluft der Riemen auf jeder Riemenscheibe zuerst einen Ruhebogen br , in dem der Riemen auf der Riemenscheibe nicht gleitet und dann den Wirkbogen bw ¼ b br . Schubspannungen werden im Ruhebogen durch Haftreibung bertragen, im Wirkbogen durch Gleitreibung [2]. Vernachlssigt man die Schubspannungsbertragung im Ruhebogen, dann gilt nach Grashof fr das Trumkraftverhltnis F10 =F20 ¼ embw . In Entwurfsberechnungen wird der Bemessungslast der volle Umschlingungswinkel b der kleineren Scheibe zugeordnet F10 =F20 ¼ m ¼ emb :
Bild 1 a–c. Reibschlssige Zugmittel. a Flachriemen; b Keilriemen; c Rundriemen, jeweils mit Riemenscheibe
ð1Þ
Die in den Umschlingungsbgen des Riemens wirkenden Fliehkrfte, die dort den Auflagedruck vermindern, werden durch die freien Trume abgesttzt und wirken daher als Fliehkraft Ff ¼ ru2 A ¼ qu2 gleichmßig im gesamten Riemen (r mittlere Dichte, A Querschnitt des Riemens, q Masse eines Zugmittels je Lngeneinheit). Nutzbare Trumkrfte F10 ¼ F1 Ff ¼ mF20 ; F20 ¼ F2 Ff ¼ F10 =m; Umfangskraft (Nutzkraft) Fu ¼ F1 F2 ¼ F10 F20 ¼ F10 ð1 1=mÞ, maximale Trumkraft Fmax ¼ F1 ¼ F10 þ Ff ¼ F20 þ Fu þ Ff :
Bild 2 a–c. Formschlssige Zugmittel. a Rollen- bzw. Hlsenkette auf Kettenrad; b Zahnkette auf Zahnrad; c Synchronriemen auf Synchronscheibe
Die Wellenspannkraft FW , die i. allg. nicht in Richtung der Winkelhalbierenden von b weist, die aber fr die Lagerbelastung maßgebend ist, betrgt nach Bild 5 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FW ¼ F102 þ F202 2F10 F20 cos b: ð2Þ Der Durchzugsgrad F kennzeichnet die zur Erzeugung der Umfangskraft mindestens erforderliche Wellenspannkraft in
G 110
Mechanische Konstruktionselemente – 6 Zugmittelgetriebe
Bild 4. Bezeichnungen am offenen Riemengetriebe mit Index 1 fr die kleinere Scheibe
ser im Riemen von Dicke und E-Modul der einzelnen Schichten ab. Bild 6 zeigt die Spannungsverteilung bei Zug- und Biegebeanspruchung qualitativ. Fr die praktische Auslegung auch von Mehrschichtriemen wird vereinfacht nur die fr den jeweiligen Riementyp zulssige Umfangskraft pro Riemenbreite Fu zugrundegelegt, die auch die ertragbare Wechselbiegebeanspruchung fr zulssige Mindestscheibendurchmesser dmin und die zugeordnete, maximal zulssige Biegefrequenz fB bercksichtigt. Die neutrale Faser bei Biegung wird in der Mitte der Riemendicke bei s/2 angenommen; die Dehnung e bei Zugbeanspruchung mit einem mittleren Zug-Modul ðEAÞ berechnet: e ¼ F =ðEAÞ.
G Bild 5. Auf eine Riemenscheibe wirkende Krfte
Abhngigkeit von Reibungszahl m und Umschlingungswinkel b pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð3Þ F ¼ Fu =FW ¼ ðm 1Þ= m2 þ 1 2m cos b: Die Ausbeute k kennzeichnet die mit der zulssigen Trumkraft F10 erzielbare Umfangskraft Fu in Abhngigkeit von m und b k ¼ Fu =F10 ¼ 1 ð1=mÞ:
ð4Þ
Die Verminderung der Ausbeute mit abnehmendem Umschlingungswinkel wird durch den Winkelfaktor cb ausgedrckt, der auf b ¼ p bzw. 180 bezogen ist. Winkelfaktor cb ¼ kb =kp bei m ¼ const; es gilt fr b > p: cb ^ b=p ¼ ðb ½GradÞ=180. 6.2.2 Beanspruchungen. Stresses Homogene Flachriemen. Aus den Krften und dem Riemenquerschnitt A ¼ bs ergeben sich die Spannungen fr homogene Riemen. Fr Mehrschichtriemen sind diese Spannungen nur als fiktive, rechnerische Mittelwerte zu betrachten. Trumspannungen s1 ¼ F1 =A, s2 ¼ F2 =A; Nutzspannung sn ¼ Fu =A ¼ s1 s2 ; Fliehspannung sf ¼ Ff =A ¼ ru2 : Die Biegespannung ergibt sich aus der Biegedehnung im Umschlingungsbogen der kleineren Scheibe. Biegespannung sb ¼ Eb eb ¼ Eb s=dw1 (Eb Elastizittsmodul bei Biegung, eb Riemendehnung bei Biegung, s Riemendicke). Max. Beanspruchung smax ¼ s1 þ sb ¼ s2 þ sn þ sb :
Bild 6 a, b. Dehnungen und Spannungen in Mehrschichtriemen. a bei Zugbeanspruchung; b bei Biegebeanspruchung (n neutrale Faser)
ð5Þ
Bei halb gekreuzten (geschrnkten) und gekreuzten Riemengetrieben erfhrt der Riemen eine zustzliche Schrnkspannung ss an seinen Rndern, so daß hier smax; s ¼ s1 þ sb þ ss ist. Mehrschicht-Flachriemen. Bei Mehrschichtriemen (Bild 10), die aus einer hochfesten tragenden Zugschicht Z, einer Laufschicht L zur bertragung der Reibkraft auf der Innenseite und hufig noch aus einer Deckschicht D oder einer weiteren Laufschicht (fr Mehrscheiben-Antriebe) auf der Außenseite des Riemens zusammengesetzt sind, entstehen bei Dehnungen sehr unterschiedliche Spannungen in den einzelnen Schichten. Bei Biegung hngt die Lage der neutralen Biegefa-
6.2.3 Geometrische Beziehungen. Geometrical relations Der wirksame Laufdurchmesser dw eines Riemens ist durch die Lage seiner biegeneutralen Faser im Umschlingungsbogen gegeben. Fr berschlgige Rechnungen kann man vereinfacht den Scheibendurchmesser d statt dw einsetzen. Fr homogene Riemen gilt: dw1 ¼ d1 þ s; dw2 ¼ d2 þ s; fr Schichtriemen gilt dies angenhert. Offenes Riemengetriebe (Bild 4). Umschlingungswinkel b1 ¼ 2 arccos½ðd2 d1 Þ=2e; b2 ¼ 2 p b1 ; Riemenlnge (gestreckte Lnge der neutralen Biegefaser) Lw ¼ 2e sinðb1 =2Þ þ ðdw1 b1 þ dw2 b2 Þ=2: Nherungsformel fr Wellenmittenabstand e bei gegebener Riemenlnge pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi e ðp þ p2 qÞ mit p ¼ 0;25Lw pðdw1 þ dw2 Þ=8 und q ¼ ðdw2 dw1 Þ2 =8. Die Vergrßerung De des Wellenabstands zum Vordehnen des Riemens um e0 ¼ DL=L ergibt sich aus je einer Rechnung fr Lw und ð1 þ e0 Þ Lw oder De ðe0 Lw =2Þ= sinðb1 =2Þ. Gekreuztes Riemengetriebe. Bild 3 b mit Bezeichnungen nach Bild 4. Umschlingungswinkel b1 ¼ b2 ¼ bkr ¼ 2 p bR mit bR ¼ 2 arccos½ðdw1 þ dw2 Þ=ð2eÞ: Lnge des gekreuzten Riemens (mittlere Faser) Lkr ¼ 2e sinðbR =2Þ þ ðdw1 þ dw2 Þbkr =2Þ: Wegen Schrnkspannungen ss empfiehlt sich e ^ 20b. Lebensdauer wegen gegenlufiger Biegung geringer als bei offenem Riemengetriebe. Geschrnktes Riemengetriebe (Bild 7). Kreuzungswinkel d 6¼ 0. Lnge der mittleren Faser des halbgekreuzten Riemens mit d ¼ 90: L90 2e þ dw1 ðp þ gÞ=2 þ dw2 ðp þ jÞ=2 mit tanðg=2Þ ¼ dw1 =ð2eÞ und tanðj=2Þ ¼ dw2 =ð2eÞ. Konstruktionsmaße e1 und e2 (%b=2) beachten, damit der Riemen in der richtigen Scheibenebene aufluft! Das ablaufende Trum darf im Winkel (bis 25) zur Scheibenebene liegen, Laufrich-
I6.2 Flachriemengetriebe
G 111
schlingungsbogen nicht gleitendes Riemenstck muß die unterschiedlichen Geschwindigkeiten ber Dehnungen ausgleichen, es muß die Form eines Kegelstumpfmantels annehmen und gleichsam hochkant gebogen werden, Bild 8 b. Gleichgewicht tritt ein, wenn das durch diese Biegeverformung bei A entstehende Biegemoment durch Schrgzug des Trums ausgeglichen wird, Bild 8 c. Axialversatz etwa 0;6 Riemenbreite, der genaue Versatz ergibt sich nach kurzer Einlaufzeit.
Bild 7 a, b. Riemengeometrie am geschrnkten Riemengetriebe. a stumpfwinklig geschrnkt; b rechtwinklig geschrnkt
tung nicht umkehrbar. Wegen Schrnkspannung ss empfiehlt sich e ^ 20b und e > 2ðdw Þmax . 6.2.4 Kinematik, Leistung, Wirkungsgrad Kinematics, power, efficiency Riemengeschwindigkeiten u1 ¼ pnan dw; an ; u2 ¼ pnab dw; ab :
ð6Þ
Infolge der grßeren Dehnung muß die Geschwindigkeit u1 des Lasttrums zum Aufrechterhalten eines stationren Betriebs etwas grßer als die Geschwindigkeit u2 des Leertrums sein. Der Ausgleich zwischen den Dehnungen von Last- und Leertrums erfolgt praktisch durch Dehnschlupf in den Wirkbgen von Antriebs- und Abtriebsscheibe. Der Dehnschlupf y ergibt sich zu y ¼ e1 e2 ¼ ðs1 s2 Þ=E ¼ sn =E ðu1 u2 Þ=u1 . Die bersetzung i ist daher im normalen Betrieb geringfgig lastabhngig: i ¼ nan =nab ¼ dw, ab u1 =ðdw, an u2 Þ dw, ab =½dw, an ð1 sn =EÞ:
ð7Þ
Bei Leerlauf gilt i dab =dan : Biegefrequenz (Anzahl der Biegewechsel je s; zs Anzahl der Scheiben.) fB ¼ zs u=Lw ¼ ðzs pdw1 n1 Þ=Lw
ð8Þ
Die Drehmomente folgen aus den Trumkrften M1 ¼ Fu dw1 =2; M2 ¼ Fu dw2 =2: Leistungen: Pan ¼ 2pMan nan ; Pab ¼ 2pMab nab :
ð9Þ
Bemessungsleistung cB Pan mit Betriebsfaktor cB nach Tab. 1 fr ersten Entwurf ohne Schwingungsrechnung (in Anlehnung an DIN 2218 oder Richtlinie VDI 2758). Wirkungsgrad h ¼ Pab =Pan ¼ Mab =ðMan iÞ ð1 sn =EÞ ¼ 1 y: Der Wirkungsgrad hngt bei Vernachlssigung von Lagerreibung und Ventilationsverlusten praktisch nur vom Schlupf ab, weil die Umfangskraft eines jeden Trums an beiden Scheiben als gleich groß anzunehmen ist. Wirkungsgrade im Bestpunkt h ¼ 0;96 (Chromleder) und h ¼ 0;98 (Elastomer-Laufschicht).
Flachriemengetriebe mit konstanten bersetzungen. Die Scheiben blicher offener und gekreuzter Flachriemengetriebe werden mit leicht kreisfrmig gewlbten Laufflchen nach DIN 111 (ISO/R 100) ausgefhrt (Tab. 2), um den stets zum grßten Scheibendurchmesser strebenden Riemen axial zu fhren. Bei offenen Riemengetrieben mit waagerechten Wellen kann bei einer bersetzung i>3 die kleinere Scheibe zylindrisch ausgefhrt werden. Voraussetzungen fr guten Riemenlauf sind: Achsparallelitt beider Wellen, zentrisch laufende Riemenscheiben, Ausrichten der grßten Durchmesser gewlbter Riemenscheiben fluchtend in einer Ebene, Riemenrnder innerhalb der Scheibenbreite bs > b, glatte Scheibenlaufflchen nach DIN 111. „Griffige“, porse oder wellige Oberflchen oder klebende Haftmittel behindern den natrlichen Dehnschlupf im Wirkbogen, erhhen den Verschleiß und knnen durch Stick-Slip-Effekte Lngsschwingungen des Riemens anregen. Rumliche Riemengetriebe (Bild 3 d, e) erhalten zylindrische Riemenscheiben. Zur sicheren Riemenfhrung bei halbgekreuzten Riemengetrieben ðd ¼ 90Þ werden empfohlen: Scheibenbreite bs ¼ 2b, axialer Abstand der Scheibenmittelebene vom jeweiligen Gegenrad e1 ; e2 ¼ ð0;2 . . . 0;5Þb (Bild 7 b), d2 =d1 ¼ 1 . . . 2;5, e ^ 20b. Erzeugung der Vorspannung. Die fr den Reibschluß mindestens erforderliche Wellenbelastung FW kann mit den Verfahren nach Bild 9 a bis d erzeugt werden durch: a. Auflegedehnung bei starrem Achsabstand. Hierbei wird die Riemenlnge so bemessen, daß der Riemen beim Auflegen auf die Scheiben durch elastische Dehnung vorgespannt wird. Bei einstellbarem Achsabstand (z. B. Antriebsmotor auf Spannschienen) kann die Vorspannung auch nach dem Auflegen durch Vergrßerung des Achsabstands erzeugt werden. Bei starrem Achsabstand bleibt die Riemenlnge bei allen Betriebszustnden konstant. Deshalb werden die Trumkrfte F 0 und die Wellenspannkrfte FW durch die Fliehkraft vermindert. Die Auflegedehnung muß daher entsprechend sf grßer gewhlt werden, um bei Betriebsdrehzahl den erforderlichen Reibschluß sicherzustellen. Die Wellenbelastung steigt schwach mit zunehmendem Drehmoment, sie wird durch die genaue Dehnungsverteilung festgelegt [2]. Da die Auflegedehnung ber lange Betriebszeiten aufrechterhalten werden soll, eignet sich dieses Spannverfahren vor allem fr Riemen mit hoher Maßstabilitt, z. B. Mehrschichtriemen mit Poly-
6.2.5 Riemenlauf und Vorspannung Coming action of flat belts, tensioning Konusscheiben bei Verstellgetrieben. Auf einer konischen Scheibe nimmt der auf den grßeren Durchmesser auflaufende Riemenrand eine hhere Geschwindigkeit an als der andere, so daß das folgende Riemenstck zum grßeren Durchmesser hin gekippt wird und dadurch auf einen grßeren Laufdurchmesser dL auflaufen will, Bild 8 a. Ein im Um-
Bild 8. a Axiales Auflaufen des Riemens zum grßeren Durchmesser; b Gleichgewicht beim tangentialen Auflaufen des Riemens auf konische Scheibe; c Antrieb mit zwei konischen Scheiben fr stufenlos verstellbare bersetzung
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Mechanische Konstruktionselemente – 6 Zugmittelgetriebe
Tabelle 1. Betriebsfaktor cB zur angenherten Bercksichtigung des dynamischen Verhaltens von Antriebs- und Arbeitsmaschine sowie der tglichen Betriebsdauer fr offene Zugmittelgetriebe ohne Spannrolle
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Tabelle 2. Empfohlene Wlbhhen h entsprechend DIN 111
amid- oder Polyester-Zugschichten; es ist das dafr berwiegend angewandte Spannverfahren.
b. Spannwelle. Die Wellenbelastung FW wird durch Gewichte oder (weiche) Federn auf die querbewegliche Welle aufgebracht, geeignet fr Riemen mit zeitabhngiger Nachdehnung unter Belastung. Neben dem hheren Aufwand ist jedoch die Gefahr von Schwingungen zu beachten. c. Spannrolle am Leertrum. Die bewegliche feder- oder gewichtsbelastete Spannrolle erzeugt konstante Trumkraft F2 bei allen Betriebszustnden. Bei Anwendung der Spannrolle auf der Außenseite des Riemens wird zugleich der Umschlingungswinkel b erhht und dadurch der Winkelfaktor cb verbessert. Die zustzliche Spannrolle erhht jedoch die Biegefrequenz und mindert dadurch bei grßeren Riemengeschwindigkeiten die zulssige Nutzspannung. Ihr Durchmesser soll mit Rcksicht auf die Lebensdauer des Riemens grßer als d1, min , ihre Laufflche stets zylindrisch sein. Dieses Spannverfahren fhrt bei kleinen Drehmomenten zu niedrigen Trum- und Wellenbelastungen, es ist daher geeignet fr Antriebe mit berwiegend Teillastbetrieb und Riemen mit zeitabhngiger Nachdehnung, wobei auch hier die Gefahr von
I6.2 Flachriemengetriebe Schwingungen zu beachten ist. Wird eine feste (einstellbare) Spannrolle am Leertrum zur Einstellung der Auflegedehnung und auch zur Vergrßerung von b benutzt, so stellt sich das gleiche Betriebsverhalten wie im Spannverfahren nach (Bild 9 a) ein. d. Selbstspannung mit Doppelspannrolle [3]. Die Spannrollen im Last- und Leertrum besitzen einen festen (einstellbaren) Achsabstand, sie werden auf einer Kreisbahn um eine Riemenscheibenlagerung reibungsarm gefhrt und mssen deshalb in jedem Betriebszustand jeweils gleiche Achsbelastungen besitzen, was aber unterschiedliche Umschlingungswinkel der Spannrollen bedingt und zur Selbstspannung fhrt. Bei Teillast stellen sich niedrige Trumkrfte F10 und F20 und damit niedrige Wellenbelastungen ein. Die Trumkrfte und die Wellenbelastungen steigen mit zunehmender Umfangskraft Fu . Es ist eine sorgfltige Anpassung der Spannrollengeometrie an Achsabstand, Scheibendurchmesser und Riemenelastizitt bei diesem auch fr wechselnde Antriebsrichtung (Bremsen) wirksamen Spannverfahren notwendig. Die relativ einfache Konstruktion ist geeignet fr Antriebe bis zu sehr hohen Leistungen mit vorwiegendem Teillastbetrieb und Riemen ohne nennenswerte zeitliche Nachdehnung, wenngleich auch hier die Neigung zu Querschwingungen gegenber Konstruktionen mit festen Spannelementen zunimmt. 6.2.6 Riemenwerkstoffe. Materials Frher bliche Riemen aus Leder wurden wegen ihrer geringeren Festigkeit, krzeren Lebensdauer und starken Nachdehnung im Betrieb von Kunststoff-Mehrschichtriemen (Verbundriemen) abgelst. Die Riemen werden entweder in passender Lnge endlos hergestellt oder am Einsatzort an ihren schrg geschnittenen, zugeschrften Enden unter Erwrmung endlos geklebt. Bild 10 und Tab. 3 zeigen Aufbau und Werkstoffe gebruchlicher Riemenbauarten. Tab. 4 die Werkstoffkennwerte von Flachriemen-Zugschichten.
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6.2.7 Entwurfsberechnung. Calculation Die zulssige Beanspruchung von Riemen wird nicht durch deren Zugfestigkeit, sondern durch Zerrttung (Zermrbung) und bei ungengender Vorspannung durch Verschleiß begrenzt. So betrgt die Zugfestigkeit Rm bei Flachriemen das 10- bis 20fache der zulssigen Betriebsbeanspruchung sn . Die Schdigung von Riemen wird beschleunigt durch hhere Temperaturen und hhere Walkarbeit, d. h. durch hhere Biegefrequenzen und kleinere Biegeradien. Die zulssige Betriebsbelastung wird aus Versuchen bestimmt. Die berschlgige Auslegung eines offenen Flachriemengetriebes der hufigsten Bauart nach Bild 10 d geht von der zulssigen auf 1 mm Riemenbreite bezogenen (Index ) Nennumfangskraft bei einem zugeordneten kleinsten zulssigen ScheibenFuN durchmesser d1, min der kleineren Riemenscheibe nach Anh. G 6 Tab. 1 aus. Die Riemengeschwindigkeit umax und die Biegefrequenz fB; max nach Tab. 3 sollen nicht berschritten werden. Mit Durchmesser der kleinsten Scheibe d1 ; Umschlingungswinkel b1 ; Winkelfaktor cb ; Riemenbreite b und Antriebsdrehzahl nan ergeben sich fr Riemen nach Bild 10 d in Anlehnung an Herstellerangaben [4]: ð2 d zul: bezogene Umfangskraft Fu;zul cb FuN 1, min =d1 Þ Bemessungsleistung c P % F bd pn B an
u; zul
w; an
Riemenbreite b ^ cB Pan =ðFu; zul dw; an pnan Þ:
an
Verbesserungen der Berechnung entsprechend Gl. (11) bei Keilriemen sind zu erwarten. Wird ein Riemengetriebe mit starrem Achsabstand nach Bild 9 a vorgesehen, muß der Riemen mit elastischer Auflegedehnung montiert werden. Whlt man bei Betrieb mit Fu; zul die Summe ðF10 þ F20 Þ ¼ kv Fu; zul b und bercksichtigt die Fliehkraft im Betrieb nach Bild 9 a, so errechnet sich die Auflegedehnung ea zu
Bild 9 a–d. Abhngigkeit der Trumkrfte und der Wellenbelastung FW von der Umfangskraft Fu bei konstanter Drehzahl mit verschiedenen Spannverfahren a bis d (fr b1 ¼ b2 ¼ 180). Index 0: Krfte im Stillstand
Bild 10 a–d. Aufbau von Schichtriemen. a Einlagiger Textilriemen; b mehrlagiger Textilriemen; c Polyestercordriemen; d Bandriemen mit breiten Zugbndern, berwiegend verwendete Bauart; D Deckschicht, Z Zugschicht, L Laufschicht
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Mechanische Konstruktionselemente – 6 Zugmittelgetriebe
Tabelle 3. Aufbau und Anwendung der Riemen nach Bild 10 (Richtwerte, maßgebend sind die Herstellerangaben)
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Tabelle 4. Werkstoffkennwerte von Flachriemen-Zugschichten
ea ¼ DL=L ¼ e0 þ ef ¼ ½ðkv =2ÞFu; zul þ Ff =ðEAÞ mit Ff ¼ r 0 u2 ; ðEAÞ und r0 nach Anh. G 6 Tab. 1. Anhaltswerte fr kv ¼ ðm þ 1Þ=ðm 1Þ mit m nach Gl. (1), z. B. fr b1 ¼ p und m ¼ 0;51: kv ¼ ð5 þ 1Þ=ð5 1Þ ¼ 1;5 oder m ¼ 0;4: kv ¼ 1;8. Riemenlnge entspannt, d. h. um die Auflegedehnung kleiner:
sem kleineren Riementyp lassen sich unter Inkaufnahme hherer Wellenbelastungen die Riemenscheibendurchmesser d1 und d2 verkleinern. Maßgebend fr eine abschließende Entscheidung ist auch das Schwingungsverhalten des Riementriebs mit Berechnungen in Anlehnung an DIN 740 fr Nachgiebige Wellenkupplungen und fr Saitenschwingungen. Die Erfahrungen der Riemenhersteller sollten im Einzelfall stets erfragt werden, Hersteller [11].
L ¼ Lw =ð1 þ ea Þ: Wellenbelastung durch Vorspannung im Stillstand mit Zuschlag Ff und F1 ¼ F2 ¼ ½ðkv =2ÞFu, zul þ Ff b ¼ ea ðEAÞ b pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FW0 ¼ F1 2ð1 cos b1 Þ ¼ 2 F1 sinðb1 =2Þ:
ð10Þ
Vergleich der Biegefrequenz fB mit der zulssigen Biegefrequenz fB; max fr kleinsten Riemenscheibendurchmesser d1, min nach Herstellerangaben. Beispiel. Offenes Riemengetriebe fr Drehkolbengeblse mit d1 ¼ 315 mm, d2 ¼ 800 mm, e=870 mm, n1 ¼ 1 450 min1 , P1 ¼ Pan =90 kW. Mit dw d wird mit Gl. (6) u ¼ 23;9 m/s, i dab =dan ¼ d2 =d1 ¼ 2;54; b1 ¼ 147;6 ; b2 ¼ 214;4 ; Lw ¼ 3 559;5 mm. Riementyp fr d1, min < d1 ¼ 315 mm nach Anh. G 6 ¼ 35 N=mm2 . WinkelTab. 1: Typ 40 mit d1, min ¼ 280 mm und FuN faktor fr Grobdimensionierung cb b1 =180 ¼ 0;82. Dann wird Fu, zul ¼ 0; 82 35 ð2 280=315Þ ¼ 31; 89 N=mm2 und mit cB 1; 23 nach Tab. 1 wird b ¼ 1; 23 90 106 =ð31; 89 315 p 1 450=60Þ mm ¼ 145;1 mm 140 mm. Auflegedehnung (fr kv ¼ 1;76) ea ¼ ½ð1; 76=2Þ 31; 89 þ 4; 5 23; 92 103 =2 000 = 0,0153, somit L= 3 559,5/1,0153 = 3 505,8 mm 3 505 mm. Wellenbelastung nach Gl. (10) FW0 ¼ 2 0; 0153 2 000 140 0; 9165 ¼ 7 860 N; fr kv ¼ 2;11 wird FW0 ¼ 9 293 N. Biegefrequenz fB ¼ 2 24 000/3 559,5 = 13,5 s1 < fB; max ; Anhaltswert fB; max = 30 s1 fr d1, min fr berechneten Riemen. Die Aufgabe kann auch mit dem Riementyp 28 mit d1, min ¼ 200 mm und grßerer Riemenbreite gelst werden. Mit die-
6.3 Keilriemen. V-belts 6.3.1 Anwendungen und Eigenschaften Use and characteristics Keilriemen (Bild 1 b) dienen der reibschlssigen Bewegungs- und Leistungsbertragung ber mittlere Wellenabstnde [5]. Sie werden in den Keilriemenscheiben in allen Lagen sicher gefhrt, auch bei kurzem Durchrutschen und bei Winkeltrieben. Fast alle Typen sind auch zum Kuppeln (Spannen des Keilriemens bei laufender Antriebsscheibe mittels radialbeweglicher Welle oder Spannrolle) geeignet. Abmessungen sind fr die Grundtypen international genormt, s. Anh. G 6 Tab. 2. Weitere Typen fr Sonderzwecke, Bild 12. Die reibschlssige bertragung der Umfangskraft erfolgt nur ber die seitlichen Keilflchen des Riemenprofils. Aufliegen auf dem Rillengrund fhrt zur Verminderung der bertragbaren Umfangskraft, Gleitschlupf und Schdigung durch berhitzung. Verstellbarkeit des Wellenabstands um Betrge x nach ISO 155 oder Herstellerangaben ist vorzusehen; berschlgig reicht meist x ^ þ 0; 03Lw zum Spannen und Nachspannen des Riemens und jxj ^ 0; 015Lw zum zwanglosen Auflegen des Riemens ber den Scheibenrand hinweg. Die Wirkdurchmesser dw (Bild 1 b) und zugeordneten Wirkbreiten bw (Bild 12 a und Anh. G 6 Tab. 2) von Riemen und Keil-
I6.3 Keilriemen riemenscheibe kennzeichnen die Lage der biegeneutralen Zugschicht im Keilriemenprofil. Sie sollten mit dem entsprechenden Richtdurchmesser dr und der Richtbreite br der Keilriemenscheiben mglichst bereinstimmen (gilt nicht fr Keilrippenriemen nach DIN 7867). Der Scheibenwinkel a wird wegen der Querdehnung des Riemens abhngig von dr vorgeschrieben. Hufige ðfB Þ und große ð1=dw Þ Biegeverformungen steigern die innere Erwrmung des Riemens und mindern bei gleicher Lebensdauer seine bertragbare Leistung, Bild 11 a. Voraussetzung fr hohe Lebensdauer sind: stndige Aufrechterhaltung (Kontrolle) der richtigen Vorspannung, genaue Ausrichtung sowie glatte Oberflchen der Rillenscheiben, dw; min und Wellenmittenabstand e nicht kleiner als ntig, Gegenbiegung (Rckenspannrolle) vermeiden. Spannrollen, wenn unvermeidbar, als Keilriemenscheiben mit dw > dw; min ausbilden. Betriebsgrenzen. Umgebungstemperaturen = 30 bis 80 C ( 55 bis 70 C); imax 10; e ð0; 7 . . . 2Þðdw1 þ dw2 Þ; FW ¼ ð1; 5 . . . 2; 5ÞFu ; Leistungen bis Pmax >1 000 kW (bis zu 35 parallele Strnge), hmax ¼ 0; 97 fr Einzelriemen; hmax bis 0,95 fr Keilrippenriemen. 6.3.2 Typen und Bauarten von Keilriemen Types and Sizes Die Typen sind gekennzeichnet durch die geometrischen Abmessungen des Riemenprofils, die Bauarten durch den inneren Aufbau. Bild 12 a bis i zeigt die hufigsten Typen von Keilriemen: a. Endlose Keilriemen nach DIN 2215 (auch klassische Keilriemen). b0 =h 1; 5 . . . 1; 6; Profile bezeichnet nach Breite
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b0 ; Keilriemenscheibenmaße und Werkstoffe s. DIN 2211 und DIN 2217. Anwendungsbeispiele: Typen 5 und 6 fr Laborgerte, Feinwerktechnik; 8 und 10 fr Haushaltsmaschinen; 13 bis 22 fr Maschinenbau (mittlere Drehzahlen) und Landmaschinen; 25 bis 40 fr schwere Antriebe mit großen Wellenabstnden, großen Scheibendurchmessern, niedrigen Drehzahlen und rauhem Betrieb. b. Endliche Keilriemen nach DIN 2216. Meterware, starke Gewebeeinlagen, vorgelocht fr Riemenschloß, fr mittlere Umfangsgeschwindigkeiten. Pmax bis zu 15% niedriger, dw; min bis zu 15% grßer als bei endlosen Keilriemen nach DIN 2215 mit gleichem Profil. Grßere bleibende Dehnung, daher fteres Nachspannen oder Krzen erforderlich. Verbindung der Riemenenden nach dem Auflegen mittels Riemenschloß, einfache Montage schwieriger Antriebe auch dort, wo endlose Riemen nicht montierbar. Einfache Lagerhaltung. c. Endlose Schmalkeilriemen nach DIN 7753, b0 =h 1; 2 . . . 1; 4 mit Schmalkeilriemenscheiben nach DIN 2211 (Maße und Werkstoff). Sie bertragen hhere Leistung als Keilriemen gleicher Wirkbreite nach DIN 2215. Meistverwendeter Riementyp. d. Endlose Breitkeilriemen fr industrielle Drehzahlwandler nach DIN 7719. b0 =h ¼ 2; 8 . . . 3; 25. Rillenwinkel a=24 bis 30°. Kleinere Keilwinkel ergeben grßeren Stellbereich, aber Gefahr der Selbsthemmung (Festklemmen des Keilriemens in der Scheibenrille). bertragbare Leistung etwa 20% geringer als bei Keilriemen gleicher Profilhhe nach DIN 2215. DIN 7719 gilt nicht fr Drehzahlwandler von Kraftfahrzeugen oder Landmaschinen. Stellbereich imax =imin ¼ 4 . . . 12 mglich bei zwei Verstellscheiben. e. Gezahnte Keilriemen. Keilriemen nach a bis d mit Quernuten in der Profilinnenflche zur Erhhung der Biegewilligkeit. Sie ermglichen kleinere Scheibendurchmesser und kleineren Bauraum bei geringfgig verminderter Leistung. Nuten verursachen jedoch – sofern keine ungleiche Teilung der Quernutenabstnde gewhlt wird – periodische Einlaufstße und Gerusch.
Bild 11 a, b. bertragbare Leistung von Schmalkeilriemen nach DIN 7753 bei gleicher Lebensdauer [5, 8]. a ummantelte Keilriemen; b Verhltnis der Leistung Pfo flankenoffener zur Leistung Pum ummantelter Schmalkeilriemen. dw; min nach Anh. G 6 Tab. 2
Bild 12 a–i. Typen von Keilriemen. a bis i s. Text
f. Endlose Hexagonalriemen fr Landmaschinen (Doppelkeilriemen) nach DIN 7722. bmax =h 1; 3. Fr ebene Vielwellenantriebe mit gegenlufigen Scheiben. bertragbare Leistung etwa wie bei Keilriemen nach DIN 2215 mit gleicher maximaler Profilbreite. Anwendung bei mittelschweren Antrieben (Mhdrescher) bis leichten Arbeitsgerten (Gartengerte, Kehrmaschinen). g. Flankenoffene Keilriemen. Profile nach DIN 2215 und DIN 7753 Teil 1. Sie haben nur eine ußere Gewebedeckschicht, jedoch – im Gegensatz zu den brigen Bauarten – keine Gewebeummantelung an den tragenden Flanken und der „gezahnten“ Innenflche. Der Riemenunterbau aus einer Polychloroprene-Gummi-Mischung ist sehr biegeelastisch und durch quer zur Laufrichtung ausgerichtete Sttzfasern fr hhere Spreizkrfte (Vorspannung) verstrkt. Sie bertragen hhere Leistungen insbesondere bei kleinen Scheibendurchmessern und hohen Geschwindigkeiten (Bild 11 b), vertragen kleinere Scheibendurchmesser (etwa 0,7 bis 0,8 dw; min nach Anh. G 6 Tab. 2) als ummantelte Keilriemen, erfordern dadurch auch weniger Bauraum bei gleicher Leistung und sind weniger empfindlich gegen l, Wrme, Schlupf und Abrieb. h. Verbund-Schmalkeilriemen (Kraftbnder). Sie bestehen aus bis zu fnf gleich langen (satzkonstanten) Schmalkeilriemen oder klassischen Keilriemen, die durch ein Deckband fest miteinander verbunden sind. Deckband verhindert Verdrillen oder starkes Schwingen einzelner Riemen des Satzes. Rillenscheiben nach DIN ISO 5290.
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i. Keilrippenriemen (Rippenbnder) nach DIN 7867. Weiterentwicklung von Verbundkeilriemen in Richtung Flachriemen. Fnf Profile mit Rippenabstand in mm: PH 1,60; PJ 2,34; PK 3,56; PL 4,70; PM 9,40. PK vorzugsweise fr Kraftfahrzeugbau, PJ, PL, PM vorzugsweise fr industrielle Riemenantriebe, PH fr spezielle Anwendungen. Breite bis zu 60 Rippen aus Polychloroprene ohne Ummantelung, die die Rillen der zugehrigen Riemenscheiben vollstndig ausfllen. Zugstrang aus dehnungsarmen Polyester-Cordfden. bertragbare Leistung mit bersetzungszuschlag pro Rippe nach Herstellerangaben. Umfangsgeschwindigkeiten je nach Profil bis u 60 m/s. Kleinere Scheibendurchmesser und hhere bersetzungen je Stufe als bei Keilriemen vermindern den erforderlichen Bauraum, Laufruhe und Gleichfrmigkeit der Bewegung sind grßer; Gegenbiegung mglich.
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6.3.3 Entwurfsberechnung. Calculation Zur Berechnung der lebensdauerabhngigen Nennleistung PN offener Keilriemengetriebe wird eine in ISO 5292 angegebene, an Versuchsergebnisse anpaßbare Zahlenwertgleichung zunehmend verwendet. Durch Einfhrung von Bezugskenngrßen lßt sich diese Gleichung bersichtlicher gestalten: u dw, min 1 PN ¼ cb P0 1 þ K2 1 dw1 Ki u0 " 2 # # ð11Þ u u0 Lw þ K3 1 þ K4 ln u L0 u0 mit dem Winkelfaktor cb ¼ 1;25 ð1 5b1 =p Þ; Umschlingungswinkel b1 der kleineren Scheibe; Nennleistung P0 bei Umfangsgeschwindigkeit u0 fr Mindest-Scheibendurchmesser dw; min bei bersetzung i=1 ðb1 ¼ 180 bzw: pÞ sowie Riemenlnge L0 ; Nennleistung PN bei Umfangsgeschwindigkeit u fr Wirkdurchmesser der kleineren Scheibe dw1 bei bersetzung i 6¼ 0 ðb1 6¼ 180 bzw: pÞ sowie Riemenlnge Lw ; Ki 1;124 0;124 expð3ði 1ÞÞ und i ^ 0. In Anh. G 6 Tab. 2 ist eine Auswertung der Katalogangaben eines Herstellers zur ersten Orientierung angegeben. Da im Einzelfall durchaus Abweichungen von den Herstellerangaben auftreten, sind fr Nachrechnungen die Angaben der Keilriemenhersteller verbindlich. Zur Orientierung knnen auch die Normen DIN 2218 und DIN 7753 genutzt werden. Die richtige Bemessung eines Riementriebs hngt von einer Reihe von Faktoren und Umweltbedingungen ab. – Es wird deshalb empfohlen, besonders bei schwierigen Antriebsproblemen die Erfahrungen der Firmen dieses Fachgebiets, d. h. Hersteller von Keilriemen und Antrieben zu bercksichtigen; Hersteller [11]. Die Bemessungsleistung cB Pan % zPN fr z parallellaufende Riemen wird mit Schtzwerten fr cB nach Tab. 1 bestimmt, so daß die erforderliche Riemenanzahl z ^ cB Pan =PN ist. Berechnung aller anderen Systemgrßen wie bei Flachriemen oder nach Richtlinie VDI 2758.
6.4 Synchronriemen (Zahnriemen) Synchronous belts 6.4.1 Aufbau, Eigenschaften, Anwendung Design, characteristic and use Synchronriemen (Bild 13) haben eine einseitige oder doppelseitige Verzahnung, mit der sie die Umfangskrfte formschlssig ohne Schlupf bertragen, Bild 2 c. Der Riemenkrper besteht aus Neoprene oder Polyurethan mit Zugstrngen aus hochfesten Glasfasern oder Stahl-, Kevlar- bzw. Polyestercord, die bei den meist endlos in Normlngen hergestellten Riemen schraubenfrmig gewickelt sind. Der Zugstrang bestimmt die neutrale Biegeebene, seine Lnge ist zugleich
Bild 13 a–c. Profilformen von Zahnriemen. a, b einfach und doppelt verzahnt nach DIN 7721 mit metrischer und DIN/ISO 5296 mit ZollTeilung; c HTD-(High Torque Drive-)Profil
die Wirklnge Lw des Riemens, er luft auf den Wirkdurchmessern dw1; 2 ¼ z1, 2 pb =p um die Synchronscheiben (Zahnscheiben) mit den Zhnezahlen z1 , z2 und der Zahnteilung pb . Synchronriemen (Zahnriemen) laufen bei richtiger Einstellung wartungsfrei, keine Schmierung erforderlich. Bei grßeren Geschwindigkeiten, Leistungen, Vorspannungen und Riemenbreiten entstehen Zahneingriffsgerusche, Grundfrequenz f0 ¼ n1 z1 . Synchronriemen eignen sich wegen der formschlssigen Bewegungsbertragung fr bersetzungstreue Antriebe (z. B. Ventilsteuerungen), bei beidseitiger Verzahnung auch fr Vielwellenantriebe mit gegenlufigen Scheiben, bei grßeren Achsabstnden auch fr rumliche Antriebe, Bild 3 e. Normen: DIN 7721 und DIN ISO 5296 zu Abmessungen und Messung der Wirklnge. Scheiben DIN ISO 5294. 6.4.2 Gestaltungshinweise. Design hints Bei ebenen Getrieben mssen die Synchronriemen durch seitliche Borde an mindestens einer Zahnscheibe beidseitig oder wechselseitig an zwei Zahnscheiben axial gefhrt werden. Zum Auflegen und Vorspannen sollte eine Welle oder Spannwelle radial beweglich sein. Bei festem Wellenabstand werden die Zahnscheiben gemeinsam mit dem aufgelegten Riemen montiert. Spannrollen mglichst als Zahnscheiben ðdw > dw1 Þ ausbilden und zur Vermeidung von Gegenbiegung am Leertrum innen anordnen, aber nicht federnd, weil keine Nachdehnung des Riemens bei richtiger Auslegung zu erwarten ist. Empfohlene Grenzwerte: e ð0;5 bis 2Þðdw1 þ dw2 Þ, d1 =b ^ 1. Bei rumlichen Synchronriementrieben muß die Gerade zwischen Auf- und Ablaufpunkten zugleich Schnittlinie der beiden mittleren Radebenen sein, so daß der Riemen nur verdrillt, nicht aber seitlich abgezogen wird (s. Bild 3 e); seitliche Borde knnen entfallen; Wellenabstand je 90 Verdrillung e90 ^ 12b. Betriebsgrenzen. Umgebungstemperatur = 40 bis 90 C; Pmax ¼ 400 kW; umax ¼ 40 (Typ T 20). . . 80 (T 5) m/s; fB; max 100 s1 ; imax 12; hmax 0;98. 6.4.3 Entwurfsberechnung. Calculation Berechnung von Lw (angenhert), e und u wie fr Flachriemengetriebe; genau: Lw ¼ pb zb mit zb = Riemenzhnezahl; Zahl der eingreifenden Zhne ze1 ¼ z1 b1 =2 p (auf ganze Zahl abgerundet); bersetzung i ¼ z2 =z1 ; Wahl des Riemens nach der gegebenen Leistung und der Zhnezahl z1 ^ z1, min mit Leistungsangaben fr Bezugsbreite bs0 nach Anh. G 6 Tab. 3 und Breitenfaktor kw ¼ ðbs =bs0 Þ1;14 nach ISO 5295 sowie Lasteinleitungsfaktor kz ¼ 1 fr ze1 ^ 6 bzw. kz ¼ 1 0;2ð6 ze1 Þ fr ze1 < 6. Mit der bertragbaren Leistung ( 2 ) u bs bs 0;14 u 1;5 0;5 cB Pan % kz P0 bs0 u0 bs0 u0 und u ¼ n1 z1 pb ¼ n2 z2 pb ergibt sich die mindest erforderliche Riemenbreite bs . Maximale Riemenbreiten bs; max ð4 . . . 10Þpb : Empfohlene Wellenvorspannkraft FW0 Fu : Der
I6.5 Kettengetriebe Betriebsfaktor cB ist bei bersetzungen ins Schnelle fr 1=i 1;24 gegenber Tab. 1 nach Herstellerangabe zu erhhen. Hhere Leistungen sind mit HTD-(High Torque Drive-) Riemen [6] und RPP-Riemen (Riemen mit parabolischem Profil) [9] als weiterentwickelte Trapezzahnriemen sowie mit AT-Riemen [10] als verstrkte T-Typen bertragbar. Zustzliches Entscheidungskriterium bei der Riemenauswahl, insbesondere im Automobilbau, ist eine mglichst niedrige Geruschentwicklung, die durch modifizierte Trapezzahnformen angestrebt wird. Hersteller [11]. Rechengang fr Trapezprofil und kreisbogenfrmiges Profil s. Richtlinie VDI 2758.
6.5 Kettengetriebe. Chain drives 6.5.1 Bauarten, Eigenschaften, Anwendung Characteristics and use Kettengetriebe (Bild 2 a, b) bertragen formschlssig und schlupflos Leistungen bis 200 kW je Einzelkette mit niedrigen Umfangsgeschwindigkeiten zwischen parallelen Wellen, bei mehr als zwei Wellen auch gegenlufig. Leistungen bis ber 500 kW sind mit Mehrfachketten (ausgefhrt bis 12fach, berwiegend bis 3fach) mglich. Bei kleinen Zhnezahlen des kleineren Kettenrads wird die Drehbertragung wegen des rhythmisch vernderlichen Kettenab- bzw. -auflauforts, des sog. Polygoneffekts, ungleichmßig. Daraus folgen periodisch schwankende Trumgeschwindigkeiten, Anregung von Schwingungen und Geruschen bei hheren Kettengeschwindigkeiten. Milderung bei grßerer Zhnezahl und kleinerer Teilung. Andererseits mildert die Kette Betriebsstße aufgrund ihrer Lngselastizitt. Die Lebensdauer einer Kette wird begrenzt durch die maximal ertragbare Verschleißlngung und vermindert durch ungengende Schmierung, Verschmutzung, Stoß- und Schwingungsbeanspruchung. Hufigste Bauarten sind die Buchsenkette nach DIN 8154, Bild 14 a (im geschlossenen Getriebegehuse bei sehr guter Schmierung), die Rollenkette nach DIN 8187 und DIN 8188, Bild 14 b (meistverwendete Bauart, die geschmierte Rolle vermindert Verschleiß und Gerusch) und die Zahnkette nach DIN 8190 (Bild 2 b) (ruhiger Lauf bei hheren Umfangsgeschwindigkeiten). Weitere Stahlgelenkketten s. DIN 8194 mit Bauformen und Benennungen (deutsch, englisch, franzsisch). Stufenlos verstellbare Kettengetriebe (sogenannte CVT-Getriebe – Continuously Variable Transmission) werden entweder mit radialverzahnten Kegelscheiben und Ketten mit querbeweglichen, in die Zhne der Kegelscheiben eingreifenden Lamellen (berwiegend Formschluß) oder mit glatten Kegelscheiben und reibschlssig zwischen diesen laufenden Ketten (Zylinder- und Ringrollenketten, Wiegedruckstckketten, Keilketten) ausgefhrt [12, 13]. Als Alternative zur zugkraftbelasteten Stahlgelenkkette sind auch Schubgliederbnder (Ganzmetall-Keilriemen) bekannt, deren Glieder im wesentlichen auf Druck beansprucht werden [14].
Bild 14 a, b. Getriebeketten. a einfache Buchsenkette; b einfache Rollenkette; 1 Innenglied mit eingepreßten Hlsen, 2 Außenglied mit Bolzen, 3 bewegliche Rolle
G 117
6.5.2 Gestaltungshinweise. Design hints Wellenabstnde mglichst fr eine gerade Zahl von Kettengliedern (Teilung p) bemessen, um gekrpfte Glieder zu vermeiden. Achsabstand so, daß Umschlingungswinkel mindestens 120 auf Kleinrad, normal: e ¼ 30 . . . 50 p. Der Durchhang im Leertrum soll etwa 1% des Achsabstands betragen. Die maximal zulssige Verschleißlngung der Kette Dl sollte i. allg. 3% der ursprnglichen Kettenlnge l nicht berschreiten, bei Kettenrdern mit mehr als 67 Zhnen nur Dl=l % 200=z2 in %, jedoch bei festem Wellenabstand ohne Spannvorrichtung nur Dl=l % ð0;6 . . . 1;5Þ% . Ausgleich des Kettenverschleißes durch querverschiebliche Wellen oder, bei festem Wellenabstand, durch zylindrische Spannrolle (bis u ¼ 1 m/s) oder verzahntes Spannrad, jeweils im Leertrum, durch Federn oder Gewicht gering belastet. Wegen des Polygoneffekts sollten Rder mit mindestens 17 Zhnen gewhlt werden. Fr mittlere bis hohe Geschwindigkeit oder hchstzulssige Belastung soll das Kleinrad gehrtete Zhne und mglichst 21 Zhne aufweisen. Kettenrder sollten normalerweise hchstens 150 Zhne besitzen. Bevorzugte Zhnezahlen: 17, 19, 21, 23, 25, 38, 57, 76, 95 und 114. Wenn Kettentrieb mit Neigung zur Waagerechten grßer als 60 angeordnet, dann notwendige Kettenspannung durch Spannrollen, Spannrder oder andere geeignete Hilfsmittel. Von Spannund Umlenkrdern sollen mindestens drei Zhne im Eingriff sein. bersetzung i: 3 bis 7 gnstig, bis ber 10fach mglich. Erforderliche Schmierung ist abhngig vom Kettentyp und Kettengeschwindigkeit u. Hinweise zu Rollenketten s. DIN 8195: Fr Kette DIN 8188-08A-1 mit Teilung p ¼ 12;7 mm gilt z. B.: lzufuhr durch lkanne oder Pinsel bis u 0,7 m/s (unsicher, mindestens einmal tglich), Tropfschmierung bis u 3;9 m/s (Tropfl fr jede Laschenreihe mit je 2 bis 6 Tropfen pro Minute); lbad (lstand bis maximal zur untersten Rollenmitte) oder Schleuderscheibe bis u 8;4 m/s; Druckumlaufschmierung, gegebenenfalls mit Filter und lkhler bis umax 19 m/s (mit gleichmßigem lstrom auf Innenseite des Leertrums und auch Zugtrums; auch zur Kettenkhlung). Wirkungsgrad sinkt bei einmaliger Schmierung mit wachsender Betriebszeit schnell ab; hmax < 0;97. Maximale Leistungsbertragung bei uopt ¼ n0 z1 p, Anhaltswerte fr n0 mit z1 ¼ 19 und 15 000 Betriebsstunden mit bersetzungsverhltnis i=3 bei 100 Kettengliedern nach DIN 8195 s. Anh. G 6 Tab. 4. Gestaltungs- und Berechnungshinweise siehe [13, 14]. Anwendungsgebiete s. Q 1.3.2 und T 1.2.2, meistens in Kombination mit nachgeschaltetem Zahnradgetriebe. Stellbereiche bis etwa 6, Leistungsbereiche fr formschlssige Lamellenketten bis 13,5 kW, fr reibschlssige Ketten bis 175 kW. 6.5.3 Entwurfsberechnung. Calculation Kettengeschwindigkeit u ¼ n1 z1 p ¼ n2 z2 p, Teilkreisdurchmesser (Rollenmitten) dw1; 2 ¼ p= sinðp=z1, 2 Þ, Kettenlnge l= Xp mit Gliederanzahl X (volle, gerade Anzahl), X ^ X0 mit X0 ¼ 2e=p þ ðz1 þ z2 Þ=2 þ pðz2 z1 Þ2 =ð4ep2 Þ, Achsabstand " rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi # p z1 þ z2 z1 þ z2 2 z2 z1 2 e 2 X : þ X 2 2 p 4 Die Teilung p der Rollenketten nach DIN 8187 (europische Bauart, Kennbuchstabe B) und DIN 8188 (amerikanische Bauart, Kennbuchstabe A) ist in Zollstufung genormt, s. Anh. G 6 Tab. 4. Zur Drehzahl n0 gehrt die Leistung P0 ; fr n1 % n0 , i % 7 gilt in Anlehnung an DIN 8195 0;9 z 1;073 i 0;18 e 0;26 n1 1 N 0;97 PN P0 n0 19 3 40p
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Mechanische Konstruktionselemente – 7 Reibradgetriebe
mit Bemessungsleistung cB Pan % PN , wobei der Betriebsfaktor in Anlehnung an Tab. 1 geschtzt werden kann oder auch nach DIN 8195; N=1 fr Einfachkette, N=2 fr Zweifach-
kette, N=3 fr Dreifachkette. Typisches Leistungsdiagramm zur Auslegung nach Herstellerunterlagen s. Anh. G 6 Bild 1. Hersteller [11].
7 Reibradgetriebe. Traction drives
welle angeordnet sind. Zur Verringerung der hohen Anpreßkrfte, die in diesem Fall vollstndig von den Lagern aufgenommen werden mssen, bevorzugt man Paarungen mit grßeren Reibwerten (Bild 2). Besondere Eigenschaften lassen sich durch Konstruktionen mit Zwischengliedern erzielen, was mit dem Nachteil einer Reihenschaltung zweier Kontaktstellen im Leistungsfluß verbunden ist, jedoch eine Parallelschaltung mehrerer Zwischenglieder ermglicht, wodurch sich die Leistung erhhen und die Lagerbelastung verringern lßt (z. B. planetenartige Anordnung zur Verringerung der Radialkrfte). Bei Verstellgetrieben knnen An- und Abtriebswelle dann raumfest angeordnet werden, und die Bohrbewegung lßt sich im gesamten Verstellbereich minimieren. Die Anpreßkraft Fn wird entweder durch Federkraft erzeugt, wodurch sie in der Regel konstant ist und ein Durchrutschen bei berlast ermglicht wird, oder sie wchst mit zunehmender Belastung. Die Kraft ist dabei prinzipbedingt lastabhngig (Bild 5 b, d) oder sie wird durch drehmomentabhngige Anpreßvorrichtungen, wie z. B. in Bild 3 dargestellt, gezielt beeinflußt. Dadurch ndert sich die bersetzung mit schwankender Belastung nur geringfgig, das Getriebe ist „drehmomentensteif“.
H. Peeken, Aachen; berarbeitet von G. Poll, Hannover
7.1 Wirkungsweise, Definitionen Mode of operation, definitions
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Reibradgetriebe oder auch Wlzgetriebe sind gleichfrmig bersetzende Reibschlußgetriebe [1], bei denen im Gegensatz zu Zugmittelgetrieben keine großflchige Berhrung auftritt, sondern nherungsweise punkt- oder linienfrmige Kontakte vorliegen. Die Grße der durch Abplattung entstehenden Berhrflche sowie die Pressungsverteilung lassen sich mit Hilfe der Hertzschen Gleichungen (s. C 4) bestimmen. Bei weichen nichtmetallischen Werkstoffen findet die Theorie der Stribeckschen Wlzpressung Anwendung. Die Momentenbertragung erfolgt durch Umfangskrfte Ft , die zwischen den rotationssymmetrischen Rdern unter der Anpreßkraft Fn (Bild 1 a) wirken. Man definiert einen Kraftschlußbeiwert f bzw. Nutzreibwert (s. a. Tab. 2) mN ¼ f ¼ Ft =Fn ,
ð1Þ
der stets kleiner als der tatschliche Reibwert m ist. Damit ist die Kraftschlußausnutzung bzw. der tangentiale Nutzungsgrad nt ¼ mN =m ¼ f =m:
ð2Þ
Die Drehachsen liegen zumeist in einer Ebene, um den bei windschiefen Achsen auftretenden Schrglauf zu vermeiden. Bei Verstellgetrieben muß jedoch eine Bohrbewegung (s. G 7.3.1) in Kauf genommen werden. Nur wenn die Spitzen der beiden Wlzkegel in einem Punkt zusammenfallen, ist reines Rollen mglich (Bild 1 b). Die bersetzung ist definiert als Drehzahlverhltnis von Antriebs- (Index 1-) und Abtriebs(Index 2-)welle: i ¼ n1 =n2 ¼ d2 =d1 :
7.2.1 Reibradgetriebe mit festem bersetzungsverhltnis Friction drives with fixed transmission ratio Bei allen Anwendungen, die keinen Synchronlauf erfordern, stehen Reibradgetriebe mit festem bersetzungsverhltnis in direkter Konkurrenz zu formschlssigen Getriebetypen wie z. B. Zahnradgetrieben. Sie zeichnen sich durch einfachen Aufbau aus, der kostengnstige Konstruktionen erlaubt und knnen gleichzeitig die Aufgabe einer berlastkupplung bernehmen. Eine zweifache Funktion erfllen sie auch bei Lagerung und Antrieb großer rohrfrmiger Behlter.
ð3Þ
In der Literatur findet man fr die bersetzung, insbesondere von Verstellgetrieben auch den u. U. vorzeichenbehafteten Kehrwert i ¼ n2 =n1 . Die in der Praxis oft konstante Antriebsdrehzahl n1 dient dabei als Bezugsgrße, mit der Folge, daß bei stillstehender Abtriebswelle ðn2 ¼ 0Þ nicht i= 1 wird.
7.2 Bauarten, Beispiele. Types, examples Reibradgetriebe bestehen in der einfachsten Ausfhrung aus zwei Rotationskrpern, die unmittelbar auf An- und Abtriebs-
Bild 1 a–c. Krfte und bersetzung bei Reibrdern. a Mit parallelen Achsen; b mit einander schneidenden Achsen, ohne Bohrreibung; c mit einander schneidenden Achsen, mit Bohrschlupf in der Berhrlinie
Bild 2 a–c. Reibrder mit Reibbelgen, wobei B>b. a Harter organischer Reibbelag; b Reibring aus Gummi, aufvulkanisiert; c Reibring aus Gummi, aufgespannt
Bild 3. Vorrichtung zur Erzeugung einer drehmomentabhngigen Axialkraft Fa ¼ Ft tan a ¼ ðM=rÞ tan a
I7.2 Bauarten, Beispiele
Bild 4. Planeten-Reibradgetriebe nach [2]. 1 Antriebswelle fr geteiltes Sonnenrad, 2 feststehender Außenring, 3 ballige Planetenrder, 4 Einrichtung zur drehmomentabhngigen Anpassung der beiden auf Welle 1 axial verschieb- und drehbaren Sonnenradhlften (vgl. Bild 5). s Planetentrger als Abtrieb
Da die Geometrie der Kontaktzone zeitlich unvernderlich ist, sind im Gegensatz zu Zahnradgetrieben keine periodischen Schwingungsanregungen (Eingriffsstoß, Zahnsteifigkeitsschwankung) zu befrchten. Es lassen sich daher sehr geruscharme Getriebe realisieren (Bild 4) und auch sehr hohe Drehzahlen (z. B. bis 16 000 1/s bei Texturiermaschinen) sind bei bersetzung ins Schnelle erreichbar. 7.2.2 Wlzgetriebe mit stufenlos einstellbarer bersetzung. Continuously variable traction drives Der fehlende Formschluß bei Wlzgetrieben ermglicht eine stufenlose Vernderung ihrer bersetzung in den Grenzen imin und imax . Diese Eigenschaft wird durch das Stellverhltnis j ¼ imax =imin gekennzeichnet. Durch Kombination mit einem Planetengetriebe zu einem Stellkoppelgetriebe (s. G 8.9) kann das Stellverhltnis beliebig erweitert oder eingeengt werden, wodurch z. B. mit jeder Bauart eine Drehrichtungsumkehr mglich ist. Verstellgetriebe oder auch kurz Stellgetriebe werden oft als komplette Antriebseinheiten mit anmontierten Asynchronmo-
G 119
toren angeboten, womit man durch Polumschaltung den Verstellbereich zustzlich vergrßern kann. In den meisten Fllen knnen abtriebsseitige Untersetzungsgetriebe montiert werden, mit deren Hilfe beliebige Drehzahlbereiche mglich sind. Bild 5 zeigt eine Auswahl gebruchlicher Funktionsprinzipien. (Getriebe nach Bild 5 a trockenlaufend mit Kunststoff-Reibring, alle brigen mit geschmierten Wlzkrpern aus Stahl.) Die große Vielfalt entsteht durch die unterschiedlichen Anforderungen, die an Reibradgetriebe gestellt werden, wie Wirtschaftlichkeit (Preis, Wirkungsgrad, Lebensdauer), Verstellung im Stillstand, Verstellung bis n2 ¼ 0 usw. Die Auswahl eines geeigneten Verstellgetriebes fr einen bestimmten Anwendungsfall erfolgt unter der Voraussetzung, daß der Antrieb den Drehmomentenbedarf der Arbeitsmaschine im gesamten Drehzahlbereich decken muß. Der als Abtriebskennlinie bezeichnete Verlauf des Abtriebsmoments ber der Drehzahl n2 ist somit eine wichtige Eigenschaft des Verstellantriebs. Bei konstanter Antriebsdrehzahl n1 lßt sich das Verhalten der Bauarten nach Bild 5 durch verschiedene Bereiche (Tab. 1) der schematischen Abtriebskennlinie nach Bild 6 darstellen. Das bei vielen Bauarten in einem gewissen Verstellbereich II konstante zulssige Drehmoment kann bei extremen bersetzungen (Bereiche I und III) oft nicht mehr bertragen werden, da dann z. B. die zulssigen Hertzschen Pressungen durch kleinere Krmmungsradien berschritten werden oder die Bohrbewegung zu erhhtem Verschleiß fhrt. Der hufig hyperbelfrmige Drehmomentabfall im Bereich wird zudem durch die begrenzte Antriebsleistung verursacht. Gegenwrtig stehen drei Bauarten von Reibradgetrieben als stufenlose Fahrzeugantriebe (CVT) zur Diskussion [3–7]: – das Halbtoroidgetriebe, Bild 5 i, – das Volltoroidgetriebe, Bild 7 und – das Kegelringgetriebe, Bild 8. Es wird erwartet, daß sie hhere Leistungsdichten erreichen werden als die konkurrierenden Umschlingungsmittelgetriebe.
Tabelle 1. Kenndaten der Wlzgetriebe (Bild 5) nach Herstellerkatalogen (Stand 1989). Werte fr jeweils grßten und kleinsten Typ mit angeflanschtem Antriebsmotor, n1 ¼ 24 1/s
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Mechanische Konstruktionselemente – 7 Reibradgetriebe
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Bild 5 a–j. Schematische Darstellung einiger Wlzgetriebe (vgl. Tab. 1). 1 Antrieb, 2 Abtrieb, 3 Zwischenglied, 4 Einrichtung zur drehmomentenabhngigen Anpassung der Wlzkrper
Bild 6. Schematische Abtriebskennlinie der Wlzgetriebe nach Bild 5. Die bei den einzelnen Bauarten vorhandenen Bereiche sind in Tab. 1 angegeben
Toroidgetriebe haben torusfrmige An- und Abtriebsscheiben, zwischen denen Momente ber Zwischenrollen bertragen werden; sie befinden sich im Torusraum zwischen diesen Zentralscheiben und werden zur Einstellung der gewnschten bersetzung um Achsen geschwenkt, die den Torusmittenkreis tangieren. Meist werden zwei Halbgetriebe parallel geschaltet, um die fr die Leistungsbertragung ntige axiale Vorspannung ohne verlustreiche Axiallager zu erzeugen und
Bild 7. Volltoroidgetriebe, schematische Darstellung [4]
eine hhere Leistung bertragen zu knnen. Die beiden Antriebsscheiben sitzen dabei auf der inneren, die zwei Abtriebsscheiben auf der ußeren Zentralwelle. Halbtoroidgetriebe (Bild 5 i) ntzen nur die innere Hlfte des Torusraumes aus (e< 180 ). Die Berhrflchennormalen der
I7.3 Berechnungsgrundlagen beiden Kontaktstellen schließen einen Winkel ein, so daß eine erhebliche Axialkraft auf die Zwischenrolle entsteht, die durch eine entsprechende Lagerung mit hohen Bohrschlupfverlusten abgefangen werden muß. Hingegen sind die Bohrschlupfverluste in den eigentlichen Traktionskontaktstellen gering (1% im optimalen Betriebspunkt bei 80% Kraftschlußausnutzung), da sich die Berhrtangenten und die Drehachsen annhernd in einem Punkt schneiden (Bohr/Wlzverhltnis i. allg. 0 bis 0,2, maximal bis 0,5). Bei Volltoroidgetrieben (Bild 7) durchstßt die Verbindungslinie zwischen den beiden Kontaktstellen einer Zwischenrolle den Mittenkreis des Torus (e=180 ), so daß keine Axialkraft auf die Rollen wirkt. Allerdings sind die Bohrschlupfverluste in den Traktionskontaktstellen hher (2 bis 3%, Bohr/Wlzverhltnis 0,8 bis 1,0). Das Kegelringgetriebe (Bild 8) besteht aus einem Ausgangsreibkegel und einem Eingangsreibkegel, um den ein Reibring angeordnet ist. Die Position dieses Reibrings bestimmt die aktuelle bersetzung. Die erforderliche Anpressung entsteht durch Verschieben des Ausgangsreibkegels. Mit entsprechend schlanken Kegeln knnen hnlich gnstige Bohr/Wlzver-
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hltnisse ( 0,18) erzielt werden wie mit Halbtoroidgetrieben, jedoch bei geringen Axialkrften. Im Vergleich zu Kegelgetrieben mit zwischengeschalteten Rollen ist die spezifische Belastung der Kontaktstellen kleiner. Durch Aufprgen eines Schrglaufwinkels kann erreicht werden, daß Zwischenrollen und Reibringe mit geringem ußeren Kraftaufwand durch Querreibkrfte in Positionen mit genderten bersetzungen gelenkt werden.
7.3 Berechnungsgrundlagen. Computational basics 7.3.1 Bohrbewegung. Rolling with spin Zur Berechnung der Relativbewegung im Kontaktbereich werden die beteiligten Reibrder durch Kegel ersetzt, die die als eben angenommene Berhrflche tangieren. Im allgemeinen fallen die in der Berhrebene liegenden Spitzen dieser Wlzkegel nicht in einem Punkt zusammen, wie in Bild 9 dargestellt. Die Umfangsgeschwindigkeiten sind dann nur im Punkt P identisch, entlang der Mantellinien nimmt ihre Differenz zu. Diese dem reinen Abrollen berlagerte Bewegung lßt sich durch eine Relativdrehung mit der Winkelgeschwindigkeit wb beschreiben, die normal zur Berhrebene gerichtet ist. Allgemein ergibt sich die Relativbewegung von Wlzkrper 2 gegenber 1 durch die Vektorgleichung ~ wrel ¼ ~ w2 ~ w1 . Durch Zerlegung in Anteile senkrecht und parallel zur Berhrflche lassen sich die gesuchten Bohr- und Wlzgeschwindigkeiten bestimmen: ~ wb þ ~ ww ¼ ~ w2 ~ w1 mit den Betrgen
Bild 8. Kegelringgetriebe, schematische Darstellung [7]
wb ¼ jw2 sin a2 w1 sin a1 j
ð4Þ
ww ¼ jw2 cos a2 w1 cos a1 j
ð5Þ
Pluszeichen, wenn P zwischen S1 und S2 liegt, Minuszeichen, wenn ein Wlzkegel Hohlkegel ist.
Bild 9 a–d. Wlzkontakt mit Bohrbewegung. a im Leerlauf; b unter Last; c vergrßerte Berhrellipse mit Reibkrften in Richtung der Gleitgeschwindigkeit, Verlagerung des Drehpols P um l bei Auftreten einer Umfangslast Ft ; d geklappte Schnittdarstellung von a mit Hauptkrmmungsradien r01 und r02
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Mechanische Konstruktionselemente – 7 Reibradgetriebe
Das Bohr/Wlzverhltnis wb =ww kennzeichnet das Ausmaß der Bohrbewegung und der damit verbundenen Verluste. Es wird durch die Bauart bestimmt und variiert im Verstellbereich (z. B. 0 bis 15 Bild 5 a und 0 bis 0,5 Bild 5 i). 7.3.2 Schlupf. Ratio of slip
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Die Grße und Form, d. h. die Halbachsen a und b der Hertzschen Berhrellipse werden u. a. durch die Hauptkrmmungsradien der Wlzkrper im Berhrpunkt bestimmt. In der durch die Drehachsen aufgespannten Ebene sind das die Radien r1 und r2 . Die dazu und wiederum zur Berhrflche senkrechte Ebene erzeugt Kegelschnitte mit den Krmmungsradien r01 und r02 im Berhrpunkt. Bei vorhandener Bohrbewegung sind die Umfangsgeschwindigkeiten der Wlzkrper nur in einem Punkt, dem Drehpol P, identisch. Seine Lage bestimmt infolgedessen die jeweilige bersetzung. Im Leerlauf liegt P in der Mitte M der Berhrellipse (Bild 9 a), womit das Drehzahlverhltnis w02 =w01 ¼ r01 =r02 festliegt. In Richtung der Gleitgeschwindigkeiten entstehen Reibkrfte, die zwar ein Moment um P erzeugen, jedoch aus Symmetriegrnden keine resultierende Umfangskraft ergeben. Bei Momentenbertragung und unvernderlicher Lage der Berhrflche muß der Drehpol demzufolge außerhalb der Mitte M liegen [8]. Die integrale Wirkung der Reibkrfte mp dA in Umfangsrichtung ergibt dann die gewnschte Tangentialkraft Ft . Weiterhin entsteht ein Bohrmoment Mb um P. Diese Schnittreaktionen lassen sich zu einer resultierenden Kraft Ft zusammenfassen, deren Wirkungslinie durch den fiktiven Kraftangriffspunkt K geht. Damit gilt Mb ¼ Ft lN . Um das Bohrmoment zu minimieren, sollte die Berhrflche mglichst klein sein. Bei vorhandenen Bohrbewegungen bevorzugt man daher Punktberhrung. Die wiederum in P bereinstimmenden Umfangsgeschwindigkeiten beider Wlzkrper liefern das Drehzahlverhltnis unter Last
setzen zumeist eine von Tangentialkrften unbeeinflußte Geometrie und Druckverteilung in der Hertzschen Berhrflche voraus. Fr den einfachsten Fall eines konstanten Reibwerts liegen Zustandsdiagramme vor [8, 12], die in anschaulicher Weise die gegenseitige Abhngigkeit der Einflußgrßen l, lN , a, b und nt darstellen. Aktuelle Theorien [13] bercksichtigen vom Schlupf bzw. von der Gleitgeschwindigkeit abhngige Schubspannungen in der Kontaktflche, speziell fr den hufigsten Fall geschmierter Hertzscher Kontaktflchen. Die gleichzeitige Berechnung elastischer Verformungen und hydrodynamischer Vorgnge charakterisiert diese EHD-(elasto-hydrodynamischen) Kontakte. Der Druckverlauf in der Kontaktzone hnelt der Hertzschen Pressungsverteilung mit Maximalwerten von einigen 1000 N=mm2 . Dadurch werden die Schmierstoffeigenschaften im Spalt stark verndert. Insbesondere spezielle Reibradle, sog. traction fluids [14], verfestigen sich dabei und ermglichen eine Trennung der Oberflchen (Spaltweite < 1 m [15]) bei gleichzeitig hoher zulssiger Scherbeanspruchung in der Grßenordnung von t ¼ 100 N=mm2 . Bild 10 zeigt gemessene Reibungszahlkurven fr ein herkmmliches Minerall mit gnstigem, hohem Naphtengehalt und ein synthetisches Reibradl bei unterschiedlichen Bohr/Wlzverhltnissen. Unabhngig von dem hier untersuchten Wlzschlupf tritt bei unterschiedlichen elastischen Eigenschaften der Wlzkrper eine bersetzungsnderung durch nderung der Reibradien infolge lastabhngiger elastischer Verformungen auf. Es sind
w2 =w1 ¼ r1 =r2 : Die relative bersetzungsnderung gegenber dem Leerlauf bezeichnet man als Wlzschlupf sw w02 =w01 w2 =w1 r1 =r2 ¼ 1 w02 =w01 r01 =r02 ðr01 l sin a1 Þ=ðr02 þ l sin a2 Þ ¼1 ; r01 =r02 ðr01 l sin a1 Þ=r01 sw ¼ 1 ðr02 þ l sin a2 Þ=r02
sw ¼
ð6Þ
Bei konstanter Anpreßkraft Fn sowie unvernderlichem Reibwert m vergrßert sich der Schlupf demnach mit steigender Belastung, d. h. zunehmender Polauswanderung l. Große Raddurchmesser sowie kleine Kegelwinkel a und damit kleinerer Bohrschlupf wirken sich gnstig auf den Wirkungsgrad aus, da sie den Lngsschlupf verringern. Auch bei a1,2 ¼ 0, das heißt ohne Bohrschlupf (z. B. Bild 1 a, b), ist der Nutzreibwert mN bzw. der Kraftschlußbeiwert f vom Lngsschlupf in hnlicher Weise abhngig; allerdings ist der Kraftanstieg mit dem Schlupf steiler, da die Gleitgeschwindigkeitsvektoren in der Berhrflche nicht in die Richtung der gewnschten Kraftbertragung gedreht werden mssen, um den hchstmglichen Kraftschluß zu erzielen. Dies liegt daran, daß sowohl bei trocken laufenden als auch bei geschmierten Wlzkontakten elastischer Formnderungsschlupf auftritt [9–11], dem sich bei geschmierten Kontakten zustzlich die Scherung im Fluidfilm berlagert. Der Wlzschlupf wird dann definiert als: sw ¼ ðr01 w1 r02 w2 Þ=r01 w1
ð7Þ
Berechnungsverfahren zur Bestimmung der bertragbaren Umfangskrfte und der die Kinematik bestimmenden Lnge l
Bild 10. Reibungszahlkurven nach [16] eines naphtenbasischen Mineralls und eines synthetischen Reibradls (hhere N -Werte) bei verschiedenen Bohr/Wlzverhltnissen
I7.3 Berechnungsgrundlagen
G 123
Konstruktionen denkbar, bei denen der Wlzschlupf dadurch sogar vollstndig kompensiert wird. Die Schlupfwerte sw ausgefhrter Stellgetriebe liegen bei Nennlast zwischen 1,5 und 5%, ausnahmsweise darber. 7.3.3 bertragbare Leistung und Wirkungsgrad Transmittable power and efficiency Tab. 1 gibt die Leistungsdaten der in Bild 5 gezeigten Getriebebauarten nach Herstellerkatalogen fr den jeweils grßten und kleinsten Typ wieder. Die angegebene Leistung ist die zur Verfgung stehende mechanische Leistung P2 an der Abtriebswelle. Der damit gebildete Gesamtwirkungsgrad berechnet sich unter Zugrundelegung der aufgenommenen elektrischen Leistung Pel . Neben der durch Werkstoffestigkeit und Reibungsverschleiß begrenzten Hertzschen Pressung bestimmen die bei zunehmender Baugrße infolge schlechter Wrmeabfuhr ansteigenden Temperaturen die Leistungsgrenze von Wlzgetrieben. Bei gleichem Gewicht und damit etwa gleicher Wellen- und Lagerbelastbarkeit ist die Nennleistung von Wlzgetrieben etwa eine Grßenordnung geringer als die von Zahnradgetrieben (Bild 11), weil diese bei gleicher Beanspruchung der Berhrflchen die volle Normalkraft Fn , reibschlssige Getriebe jedoch nur mFn als Umfangskraft bertragen knnen. Leistungsverluste treten vor allem in den Lagern und im Reibkontakt selbst auf. Nur bei Wlzpaarungen ohne Bohrbewegung kann die Reibleistung unmittelbar angegeben werden. Die Differenz der Umfangsgeschwindigkeiten in der Kontaktflche ist dabei nherungsweise berall gleich und hat im Leerlaufberhrpunkt den Wert Du ¼ w1 r01 w2 r02 ¼ w1 r01 ð1 w2 r02 =w1 r01 Þ ¼ w1 r01 sw :
Tabelle 2. Eigenschaften einiger Werkstoffpaarungen
ð8Þ
Bild 11. Leistungsgewicht von Wlzgetrieben im Vergleich
Damit ist die Reibleistung PV ¼ Du mN Fn ¼ w1 r01 sw mN Fn :
ð9Þ
Zusammengehrige Reib- und Schlupfwerte mN und sw entnimmt man z. B. vorhandenen Reibungszahlkurven oder rechnet berschlgig mit den in Tab. 2 angegebenen Daten. Bei vorhandener Bohrbewegung lßt sich die Reibleistung nach [17] folgendermaßen abschtzen. Zunchst ermittelt man den zu dem vorliegenden Kraftverhltnis mN ¼ Ft =Fn zugehrigen Schlupf aus der Kraftschluß-Schlupfkurve fr Bohrbewegung und setzt diesen in obige Gleichung ein. Den Nutzreibwert whlt man dann jedoch fr diesen Schlupf aus der Kurve ohne Bohrbewegung aus. Von diesem hohen Reibwert wird bei Bohrbewegung nur ein Teil fr die bertragung der Umfangskraft ausgenutzt, der Rest ist den Bohrreibungsverlusten zuzuordnen. Genauere Berechnungsverfahren findet man z. B. in [13].
G
G 124
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
7.3.4 Gebruchliche Werkstoffpaarungen Typical combinations of materials Tab. 2 zeigt eine Auswahl verwendeter Reibradwerkstoffe mit Richtwerten fr die Berechnung. Bei metallischen Werkstoffen ist die zulssige Hertzsche Pressung pHzul angegeben, sonst die erlaubte Stribecksche Wlzpressung
G
kzul ¼ Fn =ðbd1 Þ; ð10Þ ¼ F =ðd bÞ mit d ¼ d d =ðd þ d Þ, vgl. Bild 2 b bzw. kzul n 0 0 1 2 1 2 Bild 2 a. Die angegebenen Nutzreibwerte mN enthalten eine gewisse, bliche Sicherheit. Angaben nach [17], sonstige Quellen sind gekennzeichnet. Die an Reibpaarungen gestellten Anforderungen in bezug auf hohe Wlz- und Verschleißfestigkeit bei gleichzeitig hohem Reibwert sind nicht gleichzeitig optimal zu erfllen. Wegen der bei Verstellgetrieben gnstigen Punktberhrung findet man dort fast ausschließlich Ganzstahlgetriebe. Reibradgetriebe mit festem bersetzungsverhltnis weisen demgegenber meist Linienberhrung auf und lassen sich preisgnstig mit Elastomer-Reibrdern gestalten, da die auftretenden Wellen- und Lagerbelastungen gering sind. Schmierstoffe und Schmutz mssen jedoch unbedingt von den Laufflchen ferngehalten werden, um den hohen Reibwert gewhrleisten zu knnen.
7.4 Hinweise fr Anwendung und Betrieb Application and operation Reibradgetriebe mit festem bersetzungsverhltnis werden hufig in feinmechanischen Antrieben zur bertragung geringer Leistungen eingesetzt. Durch Abheben der Rder wirken sie als Schaltkupplung (Tonbandgerte). Bei weichem Gum-
8 Zahnradgetriebe. Gearing B.-R. Hhn und H. Winter, Mnchen Vorteile: Schlupflose bertragung von Bewegungen (Feingerte) sowie von Leistungen (bis 140 000 kW in einer Paarung). Relativ kleine Baugrße. Hoher Wirkungsgrad (beachte Bedingungen bei Schnecken- und Schraubradgetrieben).
mireibbelag sind sie besonders geruscharm, leise bei gehrteten, feingeschliffenen und geschmierten Stahlreibflchen, aber laut bei schnellaufenden trockenen metallischen Reibpaarungen. Verstell-Reibradgetriebe dienen zum Antrieb solcher Gerte und Maschinen, deren Antriebsgeschwindigkeit stufenlos einstellbar sein soll (Fahrzeuge, Rhrwerke, sanftanlaufende Frderbnder), aber auch zur Konstanthaltung einer Drehzahl durch manuelle bersetzungseinstellung oder automatische Regelung. Der Verstellbereich sollte so klein wie mglich gewhlt werden, um ihn voll auszunutzen. So wird rtlicher Verschleiß, d. h. Laufrillenbildung bei lngerer Laufzeit mit gleicher bersetzung vermieden. Eine Ausnahme stellt das Getriebe nach Bild 5 f dar, da die Kugelrollbahnen sich auch bei gleicher bersetzung mit jedem Umlauf ndern [19]. Bei langsam laufenden Antrieben ist die Verwendung einer kleinen Baugrße mit vorgeschalteter bersetzung ins Schnelle und nachgeschalteter bersetzung ins Langsame meist gnstiger als eine schwere Baugrße ohne Zusatzgetriebe, da die Wirtschaftlichkeit von Reibradgetrieben mit steigendem Drehzahlniveau zunimmt [20]. Wenn fr Feinregelungen nur ein geringes Stellverhltnis erforderlich ist, sollte ein Planeten-Stellkoppelgetriebe (s. G 8.9.8) verwendet werden, wodurch das Stellgetriebe nur einen Teil der Gesamtleistung bertragen muß und entsprechend klein gewhlt werden kann. Bei den meisten ausgefhrten Getrieben steigt die Anpreßkraft entweder bauartbedingt oder infolge drehmomentabhngiger Anpreßvorrichtungen mit steigender Belastung an. Im Teillastbereich erreicht man dadurch eine Entlastung der Wlzkrper und vermeidet bei Lastberschreitungen starken Verschleiß durch Rutschen. Zur Verringerung der bei großer berlastung drohenden Bruchgefahr bieten manche Hersteller ihre Getriebe mit zustzlichen Rutschkupplungen an.
Geruschverhalten (s. O 3). Gnstig sind hohe Gleitanteile: Schnekkengetriebe (bis 10 dB niedrigerer Geruschpegel als bei Stirnradgetrieben erreichbar), Hypoidgetriebe. Bei hochbelasteten Stirnradgetrieben feiner Qualitt lßt sich Geruschpegel nur durch bergang von Gerad- auf Schrgverzahnung (Gesamtberdeckung >2,5) entscheidend senken. Bei niedrig belasteten Getrieben (Feingerte) berwiegt Einfluß der Verzahnungsgenauigkeit. Bei kleinen Leistungen Kunststoffzahnrder (Ritzel aus Metall), Geruschminderung bis
Nachteile: Starre Kraftbertragung (evtl. elastische Kupplung vorsehen), Schwingungen durch Zahneingriff, z. B. Rattermarken bei Zerspanprozessen; Gegenmaßnahmen: Feinere Verzahnungsqualitt, Schrgverzahnung, Stufe mit Riemengetriebe usw. Rderpaarungen (Bild 1), Parallele Wellen: Stirnrder, einfachste Herstellung, am sichersten beherrschbar, bis zu hchsten Leistungen und Drehzahlen; – Innenverzahnung teurer, eingeschrnkte Herstellmglichkeiten, u. U. „fliegende Ritzel“, hauptschlich fr Planetengetriebe. – Sich schneidende Wellen (meist unter 90 ): Kegelrder. – Kleine Achsversetzung: Hypoidrder, wegen Lngsgleitens bei Punktberhrung EP-Schmiermittel erforderlich [1]. – Große Achsversetzung (Achsabstand): Stirnschraubrder, fr kleine Krfte (Punktberhrung) außer bei kleinen Kreuzungswinkeln. Schneckengetriebe fr hohe Tragkraft (Linienberhrung) bei grßeren bersetzungen; bei Umkehr des Kraftflusses u. U. selbsthemmend.
Bild 1. Zahnradpaarungen
I8.1 Stirnrder – Verzahnungsgeometrie 6 dB; Paarung Kunststoff/Kunststoff bis 12 dB gegenber Stahl/Stahl [20]. Wirkungsgrad h . Bei voller Belastung einschließlich Plansch-, Lager-, Dichtungsverlusten bei lschmierung: Einstufiges Stirnradgetriebe mit Wlzlagern ca. 98% (1% Verlust je Welle) bei bester Qualitt (Turbogetriebe) bis 99%, langsam laufende, fettgeschmierte Stirnradstufe, gegossen h ¼ 93%, gefrst 95%; Kegelradgetriebe 97%; Hypoidgetriebe 85 bis 96%, Schneckengetriebe 30 bis 98% (s. G 8.8.5). Reibungszahl bei lgeschmierten Zahnflanken mm ¼ 0;02 . . . 0;07. Gesamtwirkungsgrad h ¼ h1 h2 . . . mit h1 Wirkungsgrad der 1. Stufe, usw. Bei Teillast und Anfahren (niedrigere Temperatur) Wirkungsgrad erheblich niedriger.
8.1 Stirnrder – Verzahnungsgeometrie Spur and helical gears – gear tooth geometry Ein Zahnradpaar soll Drehbewegung gleichfrmig von Welle a auf Welle b bertragen: wa =wb ¼ const: Dies geschieht, wenn zwei gedachte Wlzzylinder aufeinander abrollen, Bild 2. Die Zahnformen mssen so beschaffen sein, daß diese Bedingung eingehalten wird. 8.1.1 Verzahnungsgesetz. Rule of the common normal Bild 3 gilt fr ebene Verzahnung: Die Umfangsgeschwindigkeiten beider Wlzkreise mssen im Berhrpunkt – Wlzpunkt C – gleich sein. Statt Drehung um O1 und O2 lßt man Rad 2 (Wlzkreis 2) auf stillstehendem Rad 1 (Wlzkreis 1) abrollen. Jeder Punkt auf Rad 2 – auch der momentane Berhrpunkt Y2 – macht dabei eine Drehbewegung um den jeweiligen Momentanpol – den Wlzpunkt C. Damit sich Flanke 2 dabei weder von Flanke 1 abhebt noch in diese eindringt, muß gemeinsame Tangente TT in Y auch Tangente an Kreis mit Radius CY um C sein. Das heißt TT muß senkrecht auf YC stehen – fr jede Wlzstellung: Die Berhrnormale muß stets durch den Wlzpunkt gehen. Rumliche Verzahnung. Die Bewegung wird demnach auch
G 125
gleichfrmig bertragen, wenn das Verzahnungsgesetz nur fr eine Eingriffsstellung im Stirnschnitt eingehalten ist und der Berhrpunkt bei der Drehbewegung ber die Breite wandert. Schrgverzahnung mit Sprungberdeckung Gl. (13) eb > 1. Wildhaber-Novikov-Verzahnung (s. G 8.1.8). 8.1.2 bersetzung, Zhnezahlverhltnis, Momentenverhltnis Transmission ratio, gear ratio, torque ratio bersetzung (Bild 2) i ¼ wa =wb ¼ na =nb ¼ rb =ra :
ð1Þ
Gesamtbersetzung i ¼ i1 i2 . . . mit i1 bersetzung der 1. Stufe, usw. Zhnezahlverhltnis (bei Stirnrdern = Radienverhltnis) u ¼ z2 =z1 ¼ r2 =r1 ¼ w1 =w2 stets > 1: ð2Þ u zur Berechnung der Ersatzkrmmungsradien (s. G 8.1.7) erforderlich. bersetzung ins Langsame (Rad 1 treibt): i ¼ u. bersetzung ins Schnelle (Rad 2 treibt): i ¼ 1=u. Wlzpunkt C teilt demnach Achsabstand a im umgekehrten Verhltnis der Winkelgeschwindigkeiten, Gl. (6). Bei Verzahnungen mit nicht konstanter bersetzung (z. B. elliptischen Zahnrdern) muß C seine Lage auf Mittenlinie O1 O2 nach Gl. (1) ndern. Momentenverhltnis iM ¼ Mb =Ma :
ð3Þ
Bei Leistungsgetrieben mit hohem Wirkungsgrad praktisch iM ¼ i, nicht jedoch bei manchen Uhrenverzahnungen (s. G 8.1.8). 8.1.3 Konstruktion von Eingriffslinie und Gegenflanke Geometric construction for path of contact and conjugate tooth profile Flanke 1 und Wlzkreise gegeben, Bild 4. Normale in Punkt Y1 schneidet Wlzkreis 1 in C1 . Dreht man Rad 1 mit Dreieck Y1 C1 O1 bis C1 in C fllt, so ist Y ein Punkt der Eingriffslinie (geometrischer Ort aller Eingriffspunkte), da YC Flankennormale. Zurckdrehen des Dreiecks YCO2 um Bo_ _ genstck CC2 ¼ CC1 fhrt Y in den Y1 zugeordneten Punkt der Gegenflanke Y2 .
Bild 2. Wlzzylinder mit gemeinsamer Wlzebene. 1 Achse des Kleinrades (Ritzel); 2 Achse des Großrades (Rad); Ritzel treibend: w1 ¼ wa , w2 ¼ wb ; Rad treibend: w2 ¼ wa ; w1 ¼ wb ; Gerade O1O2: Mittenlinie, Strecke O1 O2 : Achsabstand a
Bild 3. Zum Verzahnungsgesetz
8.1.4 Flankenlinien und Formen der Verzahnung Tooth traces and tooth profiles Flankenlinien (Bild 5). Geradverzahnung fr kleine Umfangsgeschwindigkeiten; Vorteil: keine Axialkrfte, einfache Herstellung, geeignet fr Schieberder; Nachteil: weniger laufruhig.
Bild 4. Punktweise Konstruktion von Eingriffslinie und Gegenflanke
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G 126
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
Bild 5 a–c. Stirnrder. a Gerad-; b Schrg-; c Doppelschrgverzahnung
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Schrgverzahnung fr hhere Tragfhigkeit und Umfangsgeschwindigkeit wegen gleichfrmiger bertragung unter Belastung, Laufruhe; Nachteil: Axialkrfte. Doppel-Schrgverzahnung ermglicht Ausgleich der Axialkrfte. Nachteil: Spalt fr Werkzeugauslauf, Lastaufteilung nicht immer sicher, u. U. Axialschwingungen. Beachte: Wlz– und Gleitbewegungen vollziehen sich auch bei Schrgverzahnung im Stirnschnitt. Einzelverzahnung. Einfaches Zahnprofil eines Rades vorgegeben. Profil des Gegenrades nach G 8.1.3 konstruieren bzw. gegebenes Profil wird beim Abwlzen durch Werkzeug nachgebildet [1]. Paarverzahnung. Erzeugen der Verzahnungen durch Abwlzen eines gemeinsamen Bezugsprofils der Planverzahnung: Fr Stirnrder ist dies die Verzahnung einer ebenen Platte – d. h. einer Zahnstange (z. B. Bild 10), fr Kegelrder die eines ebenen Rades – des Planrades, Bezugsprofil und Gegenprofil sind nicht identisch, zwei Werkzeuge erforderlich [1]. Satzrderverzahnung. Profil und Gegenprofil (Zahnstangen-Werkzeug fr Rad und Gegenrad) der Planverzahnung sind hier identisch, so daß ein Werkzeug gengt, um smtliche Rder herzustellen, die auch smtlich miteinander kmmen knnen, wenn bei Herstellung Profilmittellinie = Wlzbahn ist. Evolventen-Satzrder [4]. 8.1.5 Allgemeine Verzahnungsgrßen General relationships for all tooth profiles Bild 6 und Bild 7. Die Gleichungen gelten auch fr Schrgstirnrder (knftige Schreibweise fr Schrgstirnrder: ==Schr: : . . . ==Þ: Stirnschnittwerte (Bild 5) werden mit Index t und Normalschnittwerte mit n gekennzeichnet. Bei Geradverzahnung knnen Indizes t und n wegfallen. Angaben zur Innenverzahnung s. G 8.1.7. Teilung p. Abstand zweier gleichliegender Flanken auf dem Wlzkreis. Wenn p durch genormten Modul m ¼ p=p bestimmt ist, wird zugehriger Kreis als Teilkreis bezeichnet. (Bei Evolventenverzahnung evtl. Teilkreis 6¼ Wlzkreis.)
Bild 7. Verzahnungsmaße der Stirnradpaarung (Evolventenverzahnung). B innerer Einzeleingriffspunkt: Vorauseilendes Zahnpaar tritt gerade außer Eingriff (Pkt. E). D ußerer Einzeleingriffspunkt: Nachfolgendes Zahnpaar tritt gerade in Eingriff. – Fr Rad 2 ist B der ußere Einzeleingriffspunkt
p ¼ pd=z ¼ pm,
ð4Þ
==Schr.: pn ¼ pt cos b ¼ pmn ; pt ¼ pmt ==: Teilungen von Ritzel und Rad mssen bereinstimmen. Teilkreisdurchmesser d1 ¼ 2 r1 ¼ z1 p=p ¼ z1 m, d2 ¼ 2r2 ¼ z2 p=p ¼ z2 m, ==Schr.: d1 ¼ z1 pt =p ¼ z1 mt , d2 ¼ z2 pt =p ¼ z2 mt ==:
) ð5Þ
Achsabstand (Bild 2): a ¼ r1 þ r2 ¼ mðz1 þ z2 Þ=2 ¼ mz1 ð1 þ uÞ=2
)
==Schr.: mit m ¼ mt ==:
ð6Þ
Evolventenverz. s. Gl. (30, 33). Bei Innenverzahnung z2 ; d2 ; a negativ (s. G 8.1.7). Modul m. Wichtige Maßstabsgrße. Kopf- und Fußhhen meist abhngig von m gewhlt. Zur Beschrnkung der Werkzeuganzahl mn aus Normreihe whlen. Tab. 1. ==Schr.: mt ¼ mn = cos b==: (In England und USA Diametral Pitch blich: Pd ¼ z=d: Mit d in Zoll: m in mm = 25,4/Pd .) Zahnhhen. Kopfhhe ha (normal=m), Fußhhe hf ðnormal ¼ 1,1 m . . . 1,3 mÞ: ==Schr.: mit m ¼ mn ==;
ð7Þ
Zahnhhe h ¼ ha þ hf ; gemeinsame Zahnhhe hw ¼ ha1 þ ha2 : Tabelle 1. Modulreihe (DIN 780 und ISO-Norm 54-1977). Ohne Zeichen: Vorzugsreihe I, mit Zeichen æ Æ: Reihe II
Bild 6. Bezeichnungen und Maße der Stirnradverzahnung
I8.1 Stirnrder – Verzahnungsgeometrie
G 127
Kopfkreisdurchmesser da ¼ d þ 2ha ¼ 2a df Gegenrad 2c:
ð8Þ
Fußkreisdurchmesser df ¼ d 2hf :
ð9Þ
Kopfspiel c. Abstand des Kopfkreises vom Fußkreis des Gegenrades (normal = 0;1 m . . . 0;3 m), ==Schr.: mit m ¼ mn ==, ) c1 ¼ h1 hw ¼ a ðda1 þ df2 Þ=2, ð10Þ c2 ¼ h2 hw ¼ a ðda2 þ df1 Þ=2: Zahndicke im Teilkreis s¼pe
ð11Þ
mit Lckenweite e. s1 und s2 werden um Zahndickenabmaß AS kleiner als das Nennmaß ausgefhrt. Dadurch entsteht Drehflankenspiel jt ¼ p s1 s2 ;
ð12Þ
Normalflankenspiel jn ¼ jt cos a; krzester Abstand zwischen den Rckflanken; erforderlich, um Klemmen bei Erwrmung, Quellen (Kunststoffe!) oder infolge Fertigungstoleranzen zu vermeiden. ==Schr.: jn ¼ jt cos an cos b==. Anhaltswerte fr As nach Tab. 4. Eingriffsstrecke ga . Fr den Eingriff ausgenutzter Teil der Eingriffslinie. Normalerweise durch Kopfkreise begrenzt, bei unterschnittenen Zhnen schon vorher, Bild 7, 11. Eingriffslnge l. Von Beginn bis Ende des Eingriffs durchlaufener Drehweg A1 bis E1 auf Wlzkreis, Bild 7. Profilberdeckung ea . Verhltnis Eingriffslnge zu Teilung. Fr gleichfrmige Bewegungsbertragung bei Geradverzahnung ea ¼ l=p > 1 erforderlich; meist 1;1 . . . 1;25 (auch fr Schrgverzahnung) gefordert. ea bei Evolventenverzahnung s. G 8.1.7.
Bild 8. Sprung U und Schrgungswinkel b an einem Schrgstirnrad (DIN 3960)
Zustzliche Grßen fr Schrgverzahnung: Sprung (bei Schrgverzahnung) U: Abstand der Endpunkte einer Flankenlinie ber die Breite, gemessen auf dem Teilkreisbogen. U ¼ b tan b; Bild 8. Flankenrichtung. Rechtssteigend: b positiv, linkssteigend: b negativ. Bei Außenverzahnung mssen Flankenrichtungen von Ritzel und Rad entgegengesetzt, bei Innenverzahnungen gleich sein. Sprungberdeckung eb ¼ U=pt ¼ b sin b=ðmn pÞ:
ð13Þ
Auch bei kleinen Zahnhhen (Grenzfall Null) gleichfrmige Bewegungsbertragung mglich, wenn eb > 1: Gesamtberdeckung eg ¼ ea þ eb :
ð14Þ
8.1.6 Gleit- und Rollbewegung. Sliding and rolling motion Nach Bewegungsgesetz (s. B 2.1.2) Absolutgeschwindigkeit in Richtung der Eingriffstangente TT (Bild 9) ) wa ¼ wa ra ¼ ðut =ra Þðra sin a gy Þ ¼ ut ðsin a gy =ra Þ, ð15Þ wb ¼ wb rb ¼ ðut =rb Þðrb sin a gyÞ ¼ ut ðsin a gy =rb Þ: Oberes Vorzeichen fr Eingriffspunkt auf Fußflanke a oder Kopf b, unteres Zeichen auf Kopfflanke a oder Fuß b. + am Kopf ( a oder b); am Fuß ( a oder b).
Eingriffswinkel a. Winkel zwischen Tangente an Wlzkreis in C und jeweiliger Eingriffsnormalen YC (Bild 4 und 7); a bei Evolventenverzahnung s. G 8.1.7, ==Schr.: tan at ¼ tan an = cos b==, mit at Stirneingriffswinkel und an Normaleingriffswinkel.
Summengeschwindigkeit, wichtig fr Schmierdruck (s. G 8.3), uS ¼ wa þ wb ¼ ut ½2 sin a gy ð1=ra þ 1=rb Þ ¼ ut ½2 sin a gy ð1 þ 1=iÞ=ra ;
Eingriffsprofil, aktives Profil, Bild 7: Der fr den Eingriff ausgenutzte Teil der Zahnflanke AK.
Minus-Zeichen am Fuß a oder Kopf b; Plus-Zeichen am Fuß b oder Kopf a.
Bild 9 a, b. Geschwindigkeiten an den Zahnflanken. a Maße zur Berechnung, Index a: treibend, b: getrieben; b Geschwindigkeiten der Flankenberhrpunkte whrend des Eingriffs
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G 128
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
Summenfaktor KS ¼ uS =ut ¼ ½2 sin a gy ð1 þ 1=iÞ=ra : ð16Þ Gleitgeschwindigkeit, wichtig fr Erwrmung, Freßbeanspruchung (s. G 8.5.1), ugaa ¼ wa wb ; ugbb ¼ wb wa ¼ ugaa ; ug ¼ ut gy ð1=ra þ 1=rb Þ:
ð17Þ
Gleitfaktor Kg Kg ¼ ug =ut ¼ gy ð1=ra þ 1=rb Þ ¼ gy ð1 þ 1=iÞ=ra :
ð18Þ
Minus-Zeichen an Fuß a oder b, Plus-Zeichen an Kopf a oder b. Das Vorzeichen kennzeichnet die Richtung der Reibkraft, Bild 9 b. 8.1.7 Evolventenverzahnung. Involute teeth
G
Im Maschinenbau fast ausschließlich verwendet: Einfaches genaues Herstellen im Hllschnittverfahren (geradflankiges Bezugsprofil, Bild 10), Satzrdereigenschaften, gleichfrmige Bewegungsbertragung auch bei Achsabstandsabweichungen, unterschiedliche Zahnformen und Achsabstnde mit gleichen Werkzeug durch Profilverschiebung mglich, Richtung und Grße der Zahnnormalkraft (Lagerkraft) whrend des Eingriffs konstant (s. S 5.2). Besonderheiten der Evolventenverzahnung. Eingriffslinie ist Gerade unter Eingriffswinkel a, wirksame Profile der Zahnflanken sind Kreisevolventen, wobei die Zahnflanken der Planverzahnung (Zahnstange) gerade, die der Außenrder konvex und die der Hohlrder konkav sind. Kreisevolventen werden beschrieben von Punkten einer Geraden, der „Erzeugenden“, die sich auf einem Kreis, „Grundkreis“, abwlzt (s. A bzw. DUBBEL interaktiv). Das geradflankige Bezugsprofil ist fr den Maschinenbau in DIN 867 genormt (Bild 10 a); entsprechende Werkzeugbezugsprofile I und II fr Fertigbearbeitung sowie III und IV fr Vorbearbeitung von Verzahnungen siehe (DIN 3972). Fr die meisten Anwendungsflle erhlt man hiermit geeignete und ausgewogene Verzahnungen. – Bezugsprofil fr die Feinwerktechnik DIN 58 400.
Sonderflle. Protuberanzprofil (Bild 10 b), das Zahnfuß freischneidet, um Kerben durch Verzahnungsschleifen zu vermeiden. – Grßere Zahnhhe ðhw 2; 5 m statt 2 m) fr besonders laufruhige Getriebe (Hochverzahnung, Freßgefahr beachten!). – Eingriffswinkel 15 bei verstellbaren Achsabstnden (grßere Profilberdeckung). – ISO- und auslnd. Normen: ISO 53; AGMA 201.02, 207.06; und durch ISO 6336 ersetzen. Evolventenfunktion. Zur Berechnung zahlreicher Grßen der Evolventenverzahnung, z. B. der Zahndicke an beliebiger Stelle, benutzt man zweckmßig Evolventenfunktion „inv a“ (sprich „involut a“), die als Funktion von a tabelliert ist und in Rechnerprogrammen vorliegt (s. Anh. G 8 Tab. 1, alte Schreibweise „evolut a“). _ inv a ¼ tan a a : ð19Þ Verzahnungsgrßen der Evolventenverzahnung. Es gelten die allgemeinen Beziehungen in G 8.1.5. Weitere Maße siehe Bild 7: Grundkreis: rb1 ¼ r1 cos a; rb2 ¼ urb1 ; ==Schr: : rb ¼ r cos at ==:
ð20Þ
Eingriffsteilung pe ¼ p cos a ¼ pb Grundkreisteilung, ==Schr.: Stirneingriffsteilung pet ¼ pt cos at Normaleingriffsteilungpen ¼ pn cos an ==: Krmmungsradien ==Schr.: Im Stirnschnitt == nach Bild 7 und 9 a: rC1 ¼ T1 C ¼ 0,5db1 tan aw ¼ 0,5d1 sin aw , 1=2
2 2 rC2 ¼ CT2 ¼ urC1 , rA2 ¼ AT2 ¼ 0,5ðda2 db2 Þ
2 2 1=2 db1 Þ , rB1 ¼ T1 B ¼ rE1 pet , rE1 ¼ 0,5ðda1
rB2 ¼ BT2 ¼ a sin aw rB1 mit db ¼ 2rb ; da (Bild 6), aw Betriebseingriffswinkel, ==Schr.: aw ¼ awt ==. (r mit Index 2 bei Innenverzahnung negativ!) 9 Eingriffsstrecke: ga ¼ gf þ ga mit > > > > Fußeingriffsstrecke: gf ¼ AC ¼ rA2 rC2 und > > > > = Kopfeingriffsstrecke 1: ga ¼ CE ¼ rE1 rC1 , 2 1=2 > ga ¼ 0,5db1 ð½ðda1 =db1 Þ 1 > > > > > þ u½ðda2 =db2 Þ2 11=2 tan aw ½u þ 1Þ, > > ; ==Schr: : aw ¼ awt ==: Profil¨uberdeckung : ea ¼ ga =pe , ==Schr: : ea ¼ ga =pet :
9 Zahndicke am Radius ry ðStirnschnittwerteÞ: > > > > sy ¼ 2 ry ðs=2 r þ inva invay Þ = mit ay aus cos ay ¼ rb =ry ¼ r cos a=ry > > bei gegebenem s und a am Radius r: > > ; Am Kopf san > 0,2 mn , Bilder 13 und 14:
9 Achsabstand ay aus Zahndicken bei spielfreiem > > > Eingriff (Stirnschnittwerte): ay ¼ a cos a=cos ay > > > = mit a nach Gl: ð6Þ und ay aus inv ay ¼ inv a þ ½z1 ðs1 þ s2 Þ 2 p r1 =½2 r1 ðz1 þ z2 Þ > > > > mit s1 am Radius r1 , s2 und > > ; r2 ðGl: 27Þ: a bei r1 und r2 :
Bild 10 a–c. Bezugsprofile der Evolventenverzahnung. a BezugsZahnstange nach (DIN 867); b Protuberanz-Werkzeug nach [49], aprP0 ð0; 3 . . . 0; 6Þan (der Kopfhhe haP0 des Werkzeug-Bezugprofils entspricht die Fußhhe hfP des Verzahnungs-Bezugsprofils); c mit b erzeugte Zahlenflanke
9 > > > > > ,= > > > > > ;
ð22Þ
ð23Þ
ð24Þ
ð25Þ
ð26Þ
Unterschnitt (Bild 11). Bei kleinen Zhnezahlen unterschneidet die Kopfflanke der Zahnstange den Zahnfuß des Rades dann, wenn Schnittpunkt H unterhalb T1 liegt. Die Bahn des abgerundeten Zahnstangenkopfes (relative Kopfbahn) schneidet beim Abwlzen Evolvente in U; entsprechender Punkt auf Eingrifflinie: U0 . Unterschnitt kann berdeckung verringern, Bild 11 („schdlicher“ Unterschnitt) und schwcht den Zahnfuß. Grenzzhnezahl folgt aus Bedingung, daß H in T1 fllt.
I8.1 Stirnrder – Verzahnungsgeometrie
G 129
zG ¼ 2 cos bðhNaP0 xmn Þ=ðmn sin2 at Þ mit hNaP0 ¼ haP0 raP0 ð1 sin an Þ s. Bild 11. Durch Abrcken des Werkzeuges (positive Profilverschiebung x), kleineres hNaP0 oder Schrgverzahnung kann man demnach Unterschnitt vermeiden, d. h. die Grenzzhnezahl verringern, Bilder 13 und 14. Profilverschobene Verzahnung (Normalfall der Evolventenverzahnung). Beim Herstellen wird Werkzeug-Bezugsprofil um Betrag xm vom Teilkreis (Radius r) abgerckt (Profilverschiebung =+ xm) oder hineingerckt (– xm) und auf diesem abgewlzt. Grundkreisradien rb ¼ r cos a bleiben unverndert. – Hiermit Unterschnitt vermeidbar, grßere Krmmungsradien, dickerer Zahnfuß und Einhalten bestimmter Achsabstnde bei genormtem Modul mglich. berdeckung meist kleiner, Radialkraft grßer als Folge des grßeren Betriebseingriffswinkels. Nur geringe nderung der Zahnform bei großen Zhnezahlen. Maße profilverschobener Rder Zahndicke am Teilkreisradius r: s ¼ mðp=2 þ 2x tan aÞ þ As mit (negativem) Zahndickenabmaß As ; Anhaltswerte fr As , Tab. 4 (s. G 8.2);
Bild 11. Unterschnitt: Beginn des Eingriffs erst bei U mglich; verbleibende Eingriffsstrecke: ga . „Schdlicher“ Unterschnitt, wenn Kopfkreisradius des Gegenrades > O2 U 0 .
mit ad (Achsabstand der Nullverzahnung) nach Gl. (33). Fr Bezugsprofil nach DIN 867: a ¼ 20 ; cos a ¼ 0;940; tan a ¼ 0;364; inv a ¼ 0;0149: Null-Verzahnung: x1 ¼ x2 ¼ 0; aw ¼ a; a ¼ ad ¼ 0;5mðz1 þ z2 Þ;
ð33Þ
==Schr: : sn ¼ st cos b ¼ mn ðp=2 þ 2x tan an Þ þ Asn ==:
ð27Þ
Fußkreisdurchmesser df ¼ d þ 2xm 2hfP ; ==Schr: : mit m ¼ mn ==:
ð28Þ
V-Null-Verzahnung: x1 ¼ x2 ; aw ¼ a, a ¼ ad . Zur Beseitigung des Unterschnitts und zur Verstrkung des Ritzels auf Kosten des Rads bei u 6¼ 1.
Kopfkreisdurchmesser da ¼ 2a df gegen 2c da ¼ d þ 2xm þ 2haP þ 2km,
ð29Þ
V-Verzahnung: x1 þ x2 6¼ 0: Viele brauchbare Profilverschiebungssysteme [4, 5].
==Schr.: mit m ¼ mn ==; hfP ; haP ; c; s. Bild 10 a. k m Kopfhhennderung (= Zusammenschiebung, Bild 12), Gl. (32), zur Aufrechterhaltung des Kopfspiels negative Werte bei Außenradpaaren (positive bei Innenradpaaren, dann meist null gesetzt).
Beispiel 1: Radpaar mit Schrgverzahnung. Gewhlt: Summenlinie P 4 . . . 5; berechnet aus gerundetem Achsabstand: x1 þ x2 ¼ 0,242; Aufteilung fr bersetzung ins Langsame; Bild b: (x1 þ x2 )/2 = 0,121 aufgetragen ber (zn1 þ zn2 )/ 2 = 69,55, Punkt A; Paarungslinie durch A ergibt fr zn1 = 23,5; x1 = 0,313; fr zn2 = 115,6: x2 =–0,071.
Achsabstand: a ¼ 0; 5mðz1 þ z2 Þ cos a= cos aw ¼ ad cos a= cos aw ;
ð30Þ
==Schr.: mit m ¼ mt ¼ mn = cos b; a ¼ at ; aw ¼ awt ==, ad Achsabstand der Null-Verzahnung. Fertigungstoleranz ( Achsabstandsabweichung Aa ¼ Aa1 þ Aa2 ) vergrßert oder verkleinert Flankenspiel. Anhaltswerte fr Aa1 ; Aa2 s. Tab. 4 (s. G 8.2). Betriebseingriffswinkel aw aus inv aw ¼ inv a þ 2 tan aðx1 þ x2 Þ=ðz1 þ z2 Þ;
ð31Þ
==Schr.: inv awt ¼ inv at þ 2 tan an ðx1 þ x2 Þ=ðz1 þ z2 Þ==. Kopfhhennderung kmn ¼ a ad mn ðx1 þ x2 Þ
ð32Þ
==Schr.: awt ¼ at ==.
Beispiel 2: Radpaar mit Geradverzahnung fr hohe Tragfhigkeit; z1=16, z2=38. Gewhlt: Summenlinie P7; in Bild a ber z1 þ z2 ¼ 54 abgelesen: x1 þ x2 ¼ 0,85; Aufteilung fr bersetzung ins Schnelle; Bild c: (x1 þ x2 )/2 = 0,425 aufgetragen ber (z1 þ z2 )/2 = 27, Punkt B; Paarungslinie durch B ergibt fr z1 = 16: x1 = 0,37; fr z2 = 38: x2 = 0,48. Empfehlungen Flexible Regel, die zu ausgeglichenen Verzahnungen fhrt, in DIN 3992. Wahl von (x1 þ x2 ) nach Bild 13 a: a nach Gl. (31) und (30), evtl. aufrunden und zugehriges (x1 þ x2 ) nach Gl. (30) und (31) oder aus gegebenem a bestimmen; (x1 þ x2 ) nach Paarungslinie aufteilen, Bild 13 b oder c.
Einfache Regel: 05-Verzahnung nach (DIN 3994 und 3995). x1 ¼ x2 ¼ þ0;5; Satzrderverzahnung; a ¼ Fðz1 þ z2 Þm; Zahl
Bild 12. Profilverschobene Verzahnung (V-Verzahnung). Links: Verzahnung von Rad und Gegenrad mit gemeinsamem Bezugsprofil (beachte: keine Flankenberhrung!); rechts: Betriebsstellung der Verzahnung nach Zusammenschieben und Kopfhhennderung k m (beachte: kein gemeinsames Erzeugungs-Bezugsprofil)
G
G 130
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
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Bild 13 a–c. Wahl der Profilverschiebung (DIN 3992). a Empfehlungen fr die Summe der Profilverschiebungsfaktoren; b und c Empfehlungen fr die Aufteilung einer Profilverschiebungssumme; b bersetzung ins Langsame; c bersetzung ins Schnelle. Gerasterte Felder: Gefahr von Eingriffsstrungen. Fr Aufteilung von x1 þ x2 bei z2 > 150 kann man z2 ¼ 150 setzen
I8.1 Stirnrder – Verzahnungsgeometrie F liegt mit ðz1 þ z2 Þ und b fest; F und wichtige Verzahnungsdaten knnen aus (DIN 3995) entnommen werden. Zustzliche Angaben fr Evolventen-Schrgverzahnung. Die Berhrlinien sind auch hier Geraden, verlaufen jedoch schrg ber die Zahnflanken und wandern beim Eingriff ber die Zahnbreite. Die Profilverschiebung wird in Vielfachen des Normalmoduls angegeben; Wahl der Profilverschiebung s. Bild 13 entsprechend Ersatzzhnezahl znx nach Gl. (34). Im Normalschnitt ist die Zahnform der einer Evolventen-Geradverzahnung mit einer Ersatzzhnezahl znx hnlich: znx ¼ z=ðcos2 bb cos bÞ z=cos3 b;
ð34Þ
wird benutzt bei Wahl der Profilverschiebungen, fr Festlegung der geometrischen Grenzen (z. B. Kopfdicke) und fr die Festigkeitsberechnung. ) Grundschr a¨ gungswinkel bb aus tan bb ¼ tan b cos at ð35Þ oder sin bb ¼ sin b cos an : Sonderverzahnungen mit Ritzelzhnezahlen 1 bis 4 siehe [6]. Zustzliche Angaben fr Evolventen-Innenverzahnung. Man kann alle Gleichungen der Verzahnungsgeometrie ungendert anwenden, wenn die Zhnezahl des Hohlrades z2 negativ eingesetzt wird. Alle Rechenwerte der Durchmesser werden damit negativ, so auch Zhnezahlverhltnis und Achsabstand eines Innenradpaars. (In den Zeichnungen sind jedoch die Absolutwerte anzugeben!) Profilverschiebung zum Kopf hin – also bei Innenverzahnung nach innen wird als positiv bezeichnet. Lediglich der Fußkreisdurchmesser ergibt sich aus dem erzeugenden Werkzeug: df2 ¼ 2a0 da0 ; mit a0 Achsabstand beim Verzahnen, da0 Schneidrad-Kopfkreisdurchmesser. Wahl der Profilverschiebung. Gnstig: V-Null-Verzahnung mit x ¼ 0; 5 . . . 0; 65: Bei z2 < 40 (extrem – 26), z1 ^ 14 (extrem 12) und z1 þ z2 % 10 Bedingungen fr Herstellung und Montage (radialer Zusammenbau) beachten. Andere VNull-Verzahnungen s. (DIN 3993). – V-Verzahnung ergibt keine wesentlich hhere Tragfhigkeit, jedoch grßere Freiheit in der Gestaltung, erfordert allerdings Nachprfung auf Eingriffsstrungen, Kopfdicken und Lckenweiten, Bild 14. Bei Planetengetrieben Planetenzhnezahl zP um 0,5 bis 1,5 kleiner whlen als sich aus zZ (Sonnenrad) und zH (Hohlrad) fr Nullverzahnung ergbe. Mit Gl. (30) und (31) bestimmt man xZ þ xP und teilt z. B. nach Bild 13 auf; xP þ xH % 0 anstreben. – Steigungsrichtung bei Schrgverzahnung s. G 8.1.5. Umfassende Darstellung der Geometrie-Beziehungen: (DIN 3993) [8–10].
G 131
8.1.8 Sonstige Verzahnungen (außer Evolventen) und ungleichmßig bersetzende Zahnrder Other tooth profiles (besides involute) and gears for non-uniform transmission Zykloidenverzahnung. Flankenformen entstehen durch Abwlzen zweier Rollkreise auf den Wlzkreisen. Außer fr Kapselpumpen kaum noch angewendet, da genaue Herstellung schwierig (fr jede Zhnezahl eigener Wlzfrser), empfindlich gegen Achsabstandsabweichungen und nicht momententreu (s. G 8.1.2). Kreisbogenverzahnung. Anforderungen im Feingertebau (große bersetzung, konstantes Momentenverhltnis – Gl. (3), kleine Lagerkrfte, kaum Schmierung, großes Flankenspiel, d. h. kein Klemmen wegen Verschmutzung; nicht dagegen winkeltreue bertragung und hohe berdeckung) besser als bei Zykloide durch Kreisbogenverzahnung und Evolventenverzahnung (DIN 58 405) erreichbar. Da nicht winkeltreu, Profilberdeckung stets 1. Zahndicke am Ritzel (i. allg. Stahl) meist kleiner als am Rad (i. allg. Messing oder Kunststoff). Fr Tragfhigkeit meist Biegespannung am Fuß des Rades maßgebend. – Herstellung bei Metallen meist durch Wlzfrsen, z. T. Scheibenfrsen, bei Kunststoffen durch Spritzgießen [11]. Triebstockverzahnungen. Angewendet fr Drehkrnze bei großen Durchmessern und rauhem Betrieb, Zahnstangenwinden, Bild 15. Bei Abwlzen von W2 auf W1 beschreibt M Kurve Z; quidistante mit Bolzenradius ergibt Ritzelflanke. Anhaltswerte. Kleinste Ritzelzhnezahl min z1 8 . . . 12 fr Umfangsgeschwindigkeit ut ¼ 0; 2 . . . 1; 0 m/s; Bolzendurchmesser dB 1; 7 m; Zahnkopfhhe ha mð1 þ 0; 03z1 Þ; Zahnbreite b 3,3 m, mittlere Auflagelnge des Bolzens l b+m+5 mm; Lckenradius rL 0; 5dB +0,02 m; Abstand aL 0; 15 m; Flankenspiel jt 0; 04 m. – Tragkraft nach praktischen Erfahrungen: Tab. 2.
Wildhaber-Novikov-(W-N-)Verzahnung Zahnformen. In der Grundform besteht Ritzelflanke aus konvexem und Radflanke aus konkavem Kreisbogen mit Radius r1 ¼ r2 um Wlzpunkt C, Bild 16. Berhrung auf gesamtem Kreisbogen nur in dieser Eingriffsstellung, d. h. keine Profilberdeckung vorhanden. Gleichmßige Bewegungsbertragung nur durch Schrgverzahnung mit Sprungberdeckung eb > 1 mglich. – Um Kantentragen an Kopf oder Fuß bei Achsabstandsabweichungen zu vermeiden, wird r2 etwas grßer als r1 ausgefhrt – Punktberhrung. – Bei Drehbertragung wandert Berhrpunkt ber die Zahnbreite.
Bild 15. Triebstockverzahnung. Konstruktion von Eingriffslinie und Zahnflanke, Abmessungen Tabelle 2. Anhaltswerte fr Triebstockverzahnung von Krandrehwerken mit Ritzel aus St70 und Bolzen aus St60 bei schwerem Betrieb [51]Bild 14. Bereich der ausfhrbaren Profilverschiebungen nach DIN 3960 fr Evolventenverzahnungen mit Bezugsprofil nach DIN 867. 1 Mindest-Zahnkopfdicke; 2 Unterschnitt; 3, 4 Mindest-Kopfkreisdurchmesser; 5 Mindest-Lckenweite; E Empfohlener Bereich fr VNull-Verzahnung bei Innenradpaaren
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G 132
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe Tabelle 3. Abschtzung der Flankenlinien-Winkelabweichung fHb . Genauwerte s. DIN 3961: fHb ¼ Hj 4;16b0;14 ; Tabellen: DIN 3962
Bild 16. W-N-Verzahnung. Ritzelflanke konvex, Radflanke konkav (links: Grundform; rechts: praktische Ausfhrung r2 > r1 )
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Einheitliche Werkzeuge (je Modul und Schrgungswinkel) fr Ritzel und Rad erhlt man bei Verzahnung mit konvexem Kopf- und konkavem Fußprofil [1, 12, 13]. Tragfhigkeit. Hertzsche Abplattungsflche ist sphrische Flche. Wegen der guten Anschmiegung in Breitenrichtung ist die entsprechende Ausdehnung grßer als die in Hhenrichtung. ber die Zahnbreite wandernde Druckflche gnstig fr Schmierdruckbildung; Reibleistung gering. Gleitgeschwindigkeit im Stirnschnitt fr jeden Flankenberhrpunkt gleich. Dadurch Verschleiß gleichmßig (gnstig fr Einlauflppen). Flankentragfhigkeit (aus Vergleich der Hertzschen Pressung), Drehmoment ca. 2- bis 3mal so hoch wie bei Evolventenverzahnung. Zahnfußtragfhigkeit etwa gleich wie bei Evolventenverzahnung. Wegen des punktfrmigen Kraftangriffs Gefahr von Eckbrchen bei eb 1 und Ausbrchen in Zahnmitte (Einzeleingriff) bei eb > 1; 2. Betriebsverhalten. Bei genauer, steifer Ausfhrung gnstiges Gerusch- und Schwingungsverhalten. Teilungs- und Flankenlinienabweichungen fhren zu Stßen bei Zahneingriffsbeginn. Achsabstands- und Achsneigungsabweichungen (auch durch Verformung) bewirken u. U. beachtliche Verlagerung des Eingriffs zu Kopf bzw. Fuß, d. h. Erhhung von Flanken- und Fußbeanspruchung sowie verstrktes Laufgerusch. Exzentrische Zahnrder [38–42, 52]. Unrunde Zahnrder [53–57].
8.2 Verzahnungsabweichungen und -toleranzen, Flankenspiel Tooth errors and tolerances, backlash Verzahnungsgenauigkeit durch Angabe der Qualitt nach DIN 3961 bis 67 vorschreiben! Qualitt 1: Hchste Genauigkeit, Qualitt 12 grbste. Beispiele: Lehrzahnrder Q 2 bis 4; Schiffs- und Turbogetriebe Q 4 bis 6; Schwermaschinenbau Q 6 bis 7; kleinere Industriegetriebe, Kran- und Bandgetriebe Q 6 bis 8; langsame, offene Getriebe Q 10 bis 12; Drehkrnze Q 9 (gegossen > Q 12). – Bei großen Zahnbreiten zustzlich Vorschrift eines Tragbildes erforderlich (kein Austauschbau!). Evtl. Flankenlinien- oder Profilkorrekturen, d. h. bewußte Abweichungen zum Ausgleich von Verformungen zweckmßig [1] (s. W 2.3). Toleranzen der Einzelabweichungen (Profil, Teilung, Rundlauf, Flankenlinien): DIN 3962, der Wlzabweichungen – frher: Sammelfehler – (Einflanken-, Zweiflanken-): DIN 3963. – Hufig gengt Abnahme der Zahnrder durch Ein- oder Zweiflankenwlzprfung. – Toleranzen der Achsabstnde DIN 3964, der Zahndicken DIN 3967. – fHb s. Tab. 3.
Bild 17. Verzahnungsqualitt und Herstellverfahren (ungefhre Zuordnung der DIN-, ISO- und AGMA-Qualitten nach der Einzelteilungs-Abweichung, m ¼ 6; d ¼ 75 . . . 150 mmÞ: Herstellverfahren s. S 5.2
Durch verschiedene Fertigungs- und Wrmebehandlungsverfahren erreichbare Genauigkeiten und Vergleich der DIN- mit den ISO- und AGMA-Qualitten s. Bild 17. Empfehlungen zur Wahl der Zahndicken-Abmaße Asne , Zahndicken-Toleranzen Tsn und Achsabstandsabmaße Aa : Tab. 4. Damit theoretisches Flankenspiel: jt ¼ ½ðAsn 1 þ Asn 2 Þ þ Aa tan an = cos b;
ð36Þ
max jt mit Asn ¼ Asne Tsn und Aa max , min jt mit Asn ¼ Asne und Aa min . Theoretisches Verdreh-Flankenspiel jn ¼ jt = cos an cos b. Abnahme-Flankenspiel durch Fertigungsabweichungen meist kleiner. Betriebs-Flankenspiel z. B. beim Anlaufen durch schnellere Erwrmung der Rder gegenber dem Gehuse u. U. wesentlich kleiner als jn, t ; s. Tab. 4, Fußnote a).
8.3 Schmierung und Khlung Lubrication and cooling Schmierfilmdicke: Zur Beurteilung des Schmierzustandes, insbesondere bezglich Gleitverschleiß, Kaltfressen und Grauflecken, eignet sich die minimale Schmierfilmdicke im
I8.3 Schmierung und Khlung Tabelle 4. Empfehlungena; b ) fr obere Zahndickenabmaße Asne und -toleranzen Tsn nach DIN 3967 (Mai 1977) und Achsabstandsabmaße Aa nach DIN 3964 (Febr. 1976)
G 133
J0 ¼ JL þ 7400½PVZ =ðabÞ0,72 JL þ 2;2 104 ðea m=aÞ0,72 u0t ,576 p1C,73 in C: Hierbei bedeuten: Achsabstand a und Breite b in mm, Umfangsgeschwindigkeit ut in m/s, Leerlauftemperatur JL ltemp. in C, Zahnverlustleistung PVZ aus Gl. (38) in kW, Hertzsche Pressung im Wlzpunkt pC in N=mm2 (s. Gl. (37)) und ea die Profilberdeckung. Zur qualitativen Beurteilung dient die spezifische Schmierfilmdicke l¼
hc ; ðRa1 þ Ra2 Þ=2
l>2: berwiegend hydrodynamische Schmierung, kaum Verschleiß. l < 0;7: Bereich vieler Industriegetriebe, Grenzschmierung berwiegt. Graufleckenrisiko prfen!
G Schmierstoff und Schmierungsart Hinweise zur Auswahl: Tab. 5 Schmierstoffzhigkeit (DIN 51 502) bzw. Walkpenetration (DIN 51 804) je nach Temperatur: Handauftrag; Haftschmiermittel NLGI-Klasse 1 bis 3 (NLGI = National Lubricating Grease Institut). Zentralschmieranlagen: Schmierfette NLGI 1 bis 2 (frderbar); Sprhauftrag: Fließfette NLGI 00-0 (sprhbar); Tauchschmierung: Fließfette NLGI 000-0 (fließfhig); Schmierlzhigkeit: Anhaltswerte nach Bild 18. (Einfluß von Rauheit, Temperatur, Schmierungsart, Betriebsart [1]). EP-Zustze bei Freßgefahr; synthetische le (kleine Reibungszahl, hoher Viskosittsindex, teuer) bei extremen Betriebsbedingungen. Schmiereinrichtungen, Gehuseanschlsse s. G 8.10.4. Wlzpunkt nach der EHD-Theorie. Fr Stahlzahnrder gilt nach Oster auf der Basis von [14] mit dem bei der Innenverzahnung negativen Zhnezahlverhltnis u als Nherung die Zahlenwertgleichung hC ¼ 0;003½ðauÞ=ðu þ 1Þ2 0;3 ðn0 ut Þ0,7 ðpC =840Þ0;26 in mm rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð37Þ Ft u þ 1 nach Gl:ð48Þ : pC ¼ ZH ZE d1 b u Die Schmierfilmstoffzhigkeit n0 in mm2 /s ergibt sich aus der Massentemperatur Tabelle 5. Wahl von Schmierstoff und Schmierungsart
Wrmehaushalt. Verlustleistung PV soll Khlleistung PK nicht berschreiten. Fr kleine bis mittlere Getriebe meist Luftkhlung durch Gehusewnde (Khlflche A in m2 ) und Temperaturunterschied von Gehuse zur Umgebungsluft JG J1 in K ausreichend. berschuß an Verlustleistung durch Wasserkhlung abfhren. PV ¼ PVZ þ PVL þ PVD :
ð38Þ
berschlgig. Verzahnungsverluste PVZ ¼ 0;5 . . . 1% der Nennleistung je Stufe (bei u > 20 m=s lastunabhngige Verzahnungsverluste PVZO zustzlich bercksichtigen [1]). Lagerverluste PVL (s. G 5.2). PVD sonstige Verluste, Dichtungen (s. G 5.5).
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Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
G
Bild 18. Wahl der Schmierl-Viskositt fr Stirn-, Kegel- und Schneckengetriebe. Nherungsweise Zuordnung der ISO- und SAE-Viskosittsklassen; Vorzugsklassen schraffiert. Tauchschmierung bei hheren ut auch mglich, wenn abgeschleudertes l durch Rippen oder lleitbleche dem Zahneingang zugefhrt wird
Khlleistung (Wrmeabgabe) des Gehuses: PKG ¼ aAðJG J1 Þ mit a ¼ 15 . . . 25 W=ðm2 KÞ
ð39Þ
fr ruhende Luft und unbehinderte Konvektion (untere Grenze: hoher Schmutz- und Staubabfall, kleine Drehzahlen, große Getriebe). Bei Lfter auf schnellaufender Welle erhht sich a um Faktor fK : Stirnradgetriebe mit 1 Lfter fK 1;4; 2 Lfter fK 2;5; Kegelradgetriebe mit 1 Lfter fK 2;0. – Einfluß von Windgeschwindigkeit sowie Sonneneinstrahlung beachtlich.
8.4 Werkstoffe und Wrmebehandlung – Verzahnungsherstellung Materials and heat treatment – gear manufacture (Schneckengetriebe s. G 8.8). Tragfhigkeit der Werkstoffe und entsprechende Qualittsanforderungen s. Tab. 14. Daneben sind Kosten von Werkstoff und Wrmebehandlung, Zerspanbarkeit bzw. Verarbeitbarkeit, Geruschverhalten, Stckzahl (Herstellverfahren) entscheidend (in manchen Bereichen allein wichtig) fr die Auswahl. Typische Beispiele aus verschiedenen Anwendungsgebieten Zahnrder fr Kleingerte, Instrumente, Haushaltsgerte usw. (d. h. fr Bewegungsbertragung oder kleine Krfte):
Zn-, Ms-, Al-Legierungen. Thermoplaste (Spritzguß); Automatensthle, Bausthle; Al-, Zn-, Cu-Knetlegierungen, Hartgewebe, Thermoplaste (Strangpressen, Kaltziehen, Pressen bzw. Stanzen, bzw. Frsen); Sintermetalle (Fertigsintern). Kraftfahrzeug-Zahnrder. Legierte Einsatzsthle – gefrst oder gestoßen, geschabt – einsatzgehrtet – (evtl. geschliffen statt geschabt); niedrig legierte Vergtungssthle – gefrst oder gestoßen, geschabt – carbonitriert. Turbogetriebe-, Schiffsgetriebe-Zahnrder. Legierte Vergtungssthle – gefrst evtl. geschabt; Al-freie Nitriersthle – gefrst, geschabt (oder geschliffen) – gasnitriert (evtl. geschliffen); legierte Einsatzsthle – gefrst – einsatzgehrtet – geschliffen. Großzahnrder, Drehkrnze. Legierter Stahlguß (Ausschußrisiko durch Lunker beachten) legierter Vergtungsstahl (gewalzt) – gefrst – evtl. Induktions- oder Flamm-Einzelzahnhrtung. Industriegetriebe, Baukastengetriebe Unlegierte und legierte Vergtungssthle – wlzgefrst oder gestoßen oder -gehobelt. Legierte Einsatzsthle – wlzgefrst o. . – einsatzgehrtet – geschliffen (evtl. mit HartmetallWlzfrser fertiggefrst, evtl. gehont). Al-freie Nitriersthle – wlzgefrst o. . (evtl. geschabt oder geschliffen, evtl. gelppt) – gasnitriert. Unlegierte und legierte Vergtungssthle – wlzgefrst o. ., geschabt – nitrocarburiert. Unlegierte und
I8.5 Tragfhigkeit von Gerad- und Schrgstirnrdern legierte Vergtungssthle – wlzgefrst o. . – induktiv – oder flammumlaufgehrtet. Unlegierte und legierte Vergtungssthle – wlzgefrst o. . – induktive oder Flamm-Einzelzahnhrtung – (evtl. geschliffen).
8.5 Tragfhigkeit von Gerad- und Schrgstirnrdern Load capacity of spur- and helical gears
Werkstoffe und Wrmebehandlung
8.5.1 Zahnschden und Abhilfen Types of tooth damage and remedies
Gesichtspunkte fr die Auswahl Grauguß GG, Sphroguß GGG, Stahlguß GS – Hinweise siehe Tab. 14. Sondergußeisen bei geeigneter Wrmebehandlung den Vergtungssthlen, gleichwertig (Zerspanbarkeit beachten!) [15]. Vergtungssthle – ungehrtet. Die Zahnrder – damit auch die Getriebe – bauen grßer, schwerer, teurer als mit gehrteten Verzahnungen. Jedoch: Wrmebehandlung (vor dem Verzahnen) risikolos, keine Maßnderungen nach dem Verzahnen, meist kein Verzahnungsschleifen erforderlich; der relativ weiche Werkstoff gleicht Mngel in Konstruktion und Fertigung durch Einlaufen eher aus; Nacharbeiten der Zahnflanken von Hand mglich; meist berschuß an Bruchsicherheit. Einssatzsthle – einsatzgehrtet. Aufwendig, aber fr kleine bis mittlere Radgrßen bis in Bereich hchster Hrte (HRC=58 . . . 62), Fuß- und Flankenfestigkeiten beherrschbar. Hrteverzge erfordern bei Einzelfertigung Verzahnungschleifen (normal: d % 900 mm; m % 25 mm; extrem d bis 3000 mm, m bis 36 mm). Fr grbere Qualitten ungeschliffen (s. Bild 17) (meist d % 250 mm; m % 6 mm; mit Einschrnkung d % 500 mm; m % 10 mm). Hrterisse sicher vermeidbar – zuverlssiges Hrteverfahren. Vergtungssthle – Umlaufhrtung (Flamm- oder Induktion). Kostengnstig fr kleine bis mittlere Radgrßen (normal: d % 200 mm; m % 6 mm; extrem d bis 1500 mm, m bis 18 mm), im mittleren Hrtebereich (HRC = 45 bis 56) sicher beherrschbar, darber erhhte Rißgefahr. Gleichmßige Verzahnungsqualitt nur bei konstanten Werkstoffwerten und konstant gehaltener Wrmebehandlung [15]. Vergtungssthle – Einzelzahn – Beidflankenhrtung (Flamm- oder Induktion). Kostengnstig fr Großrder (d bis ca. 3000 mm, m>8 mm); im mittleren Hrtebereich (HRC=45 bis 56) beherrschbar. Sorgfltige Vorbereitung (Hrteprobestcke), konstante d. h. laufend berwachte Hrte-Einstelldaten erforderlich. Verzugsarm, Verzahnungsschleifen meist nicht erforderlich. Zahngrund ungehrtet, reduzierte Fußfestigkeit [16]. Vergtungssthle – Einzelzahn – Lckenhrtung (Flamm- oder Induktion). Zahngrund mitgehrtet. Kostengnstig fr Großrder im mittleren Hrtebereich (wie bei Beidflankenhrtung, aber Flamme nur bei m > 16 mm) (HRC=45 bis 52, evtl. 56). Geringes Hrterisiko (Hrterisse) nur bei entsprechender Vorbereitung und berwachung, langjhrigen Erfahrungen, geeigneten Werkstoffen und optimalen Hrtebedingungen (Hrteprobestcke). Verzugsarm, aber hufig Teilungsfehler bei Hrtebeginn; Verzahnungsschleifen oft erforderlich [16]. Al-freie Nitriersthle, Vergtungssthle, Einsatzsthle – nitriert (Langzeitgasnitriert). Verzugsarmes, diffiziles Verfahren. Normal: Nitrierhrtetiefe Nht 0;3 mm; d < 300 mm; m % 6 mm; schwieriger: Nht 0;6 mm; d < 600mm; m < 10 mm. Bei Nitriersthlen fr grßere d und m geringere Festigkeit ansetzen! Hierbei und bei dnnwandigen Rdern wegen Verzug meist Verzahnungsschleifen nach dem Nitrieren. Hohe Festigkeit sicher erreichbar nur bei besonderer Werkstoffqualitt, langjhriger Erfahrungen, optimalen Fertigungs- und Kontrolleinrichtungen. Sonst starke Schwankungen der Festigkeit mglich. Besonders Nitriersthle sind empfindlich gegen Stße und Kantentragen. Verbindungsschicht < 15 m anstreben.
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Definitionen und Ursachen s. DIN 3979, vgl. Bild 19. Gewaltbruch meist durch Unfall, Blockierungen o. .; Krfte kaum abschtzbar. Abhilfe: berlastschutz, Soll-Brechglieder. Dauerbruch. Ermdungsbruch nach lngerer Laufzeit oberhalb der Dauerfestigkeit, meist ausgehend von Kerben, Hrterissen, Werkstoff- oder Wrmebehandlungsmngeln im Zahnfuß. – Abhilfe: grßere Moduln, Betriebseingriffswinkel (Profilverschiebung), Fußausrundung (Schleifkerben vermeiden), Oberflchenhrten (insbesondere Einsatzhrtung), Kugelstrahlen, genaue Verzahnung, Zahn-Endrcknahme oder Breitenballigkeit zur Entlastung der Zahnenden. Grbchenbildung (pitting). Grbchenartige Ausbrckelungen insbesondere zwischen Fuß- und Wlzkreis infolge zu hoher Flankenpressung. Kleine Einlaufgrbchen (initial pitting) bauen bei Vergtungsstahl rtliche berlastungen ab und kommen zum Stillstand – daher unschdlich. Fortschreitende Grbchenbildung (progressive pitting) fhrt zur Zerstrung der Zahnflanken. – Abhilfe: Große Krmmungsradien (Profilverschiebung), Oberflchenhrtung (insbesondere Einsatzhrtung) s. Bild 19, zhere le, genaue Verzahnung, kleine Flankenrauheit [72, 76, 79]. Grauflecken (micropitting). Vielzahl von mikroskopisch kleinen Anrissen und Ausbrchen, optischer Eindruck eines grauen Flecks. Abhilfe durch verbesserte Schmierbedingung (auch Einfluß des Additivs) [57]. Warmfressen. Riefen und Freßmarken im Bereich hoher Gleitgeschwindigkeiten infolge einer durch Werkstoff und Schmierstoff bedingten Grenztemperatur. – Abhilfe durch kleinere Moduln, Kopf- und Fußrcknahme, Nitrieren, kleine Flankenrauheit (Einlaufen), besonders wirksam: EP-le (le mit chemisch aktiven Zustzen). Kaltfressen. Riefenverschleiß mit starkem Materialabtrag bei niedrigen Umfangsgeschwindigkeiten. – Abhilfe durch bessere Verzahnungsgenauigkeit, glattere Zahnflanken, zheren Schmierstoff, Kopfrcknahme. Abriebverschleiß. Flchenhafter Materialabtrag insbesondere an Kopf und Fuß, oft maßgebend bei kleinen Umfangsgeschwindigkeiten (ut < 0;5 m=s) infolge mangelnder Schmierdruckbildung. – Abhilfe durch hohe Schmierstoff-Zhigkeit,
Vergtungssthle – nitrocarburiert (kurzzeit-gasnitriert). Neues verzugsarmes Verfahren, das viele Probleme des Kurzzeit-Badnitrierens vermeidet [17] und dieses weitgehend verdrngt hat. Nur wenig berlastbar. Vergtungssthle – nitrocarburiert (kurzzeit-badnitriert). Verzugsarmes Verfahren. Normal: d < 300 mm; m < 6 mm; schwieriger: d bis 600 mm, m bis 10 mm. Praktisch keine Diffusionszone, d. h. reduzierte Tragfhigkeit, wenn Verbindungsschicht (3000 min 1
G 138
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
Tabelle 10. Mindestwerte fr den Modul
gen und Verformungen; Baugrßeneinfluß, Schmierung (Umfangsgeschwindigkeit; Viskositt, Rauheit); Fußausrundung usw. Die Wirkung dieser Abweichungen wird durch Einflußfaktoren erfaßt. Eingangsgrßen s. Rechenschema mit Beispiel. Umfangskraft Ft ¼ 2M=d ¼ 2P=ðdwÞ;
ð41Þ
Umfangsgeschwindigkeit ut ¼ 0;5dw ¼ pdn:
ð42Þ
Bis ut ¼ 2 m/s mit Q 10–12 ungehrtet, Q 7–8 gehrtet,
Anwendungsbereich fr vereinfachte Berechnung von Industriegetrieben: Bezugsprofil DIN 867: a0 ¼ 20 , ha0 =m ¼ 1,25 0,05, ra0 =m ¼ 0,25 0,05: Ritzelzhnezahl: 20 % z1 % 50: Mittlere bis hohe Belastung: KA Ft =b ’ 200 N=mm2 Zahnbreite. Betrieb im unterkritischen Bereich, s. Bild 21. Profilberdeckung: 1,2 < ea < 1,9. ut > 1 m/s. Rauheit in der Fußausrundung Rz < 16 mm. Schmierstoff nach Tab. 5 und Bild 18. Dauergetriebe. Bei Schrgverzahnung eb ^ 1: Bei abweichenden Voraussetzungen Berechnung nach DIN 3990, [1].
bis ut ¼ 5 m/s mit Q 8–9 ungehrtet, Q 7–8 gehrtet,
Kraftfaktoren
bis ut ¼ 20 m/s mit Q 6–7, ber ut = 40 m/s mit Q 4–5.
Sie dienen zur Bestimmung der maßgebenden Kraft pro mm Zahnbreite, gltig fr alle Beanspruchungsgrenzen. Die Faktoren werden nherungsweise wie folgt berechnet: Kv mit Qualitt der Verzahnung und KHb oder KFb mit Umfangskraft Ft KA Kv =b. Manche Kraftfaktoren werden bei kleinen Fehlern und hohen ußeren Umfangskrften zu 1.
G Schrgungswinkel. Einfache Schrgverzahnung b=6 bis 15 (Begrenzung der Axialkraft). – Sprungberdeckung Gl. (13) prfen: Bis ut = 20 m/s: eb ^ 1;0ð0;9Þ; eg ^ 2;2; ber 40 m/s: eb ^ 1;2; eg ^ 2;5: Doppelschrgverzahnung nur wenn Einfach-Schrgverzahnung zu breit oder Axialkrfte zu groß: b=20 bis 30 . Achtung: Nur eine Welle axial festlegen und prfen ob Axialkrfte von außen eingeleitet werden (dann ungleichmßige Kraftaufteilung!). – Pfeilspitze sollte i. allg. nacheilen. Grenzen der Herstellung (z. B. Frserauslauf) beachten (s. G 8.10.3). Bezugsprofil (s. Bild 10). Profilverschiebung (s. G 8.1.7). Lagerkrfte (Bild 20). Zahnnormalkraft Ft = cos awt wirkt als Querkraft, Axialkraft Fx ¼ Ft tan b am Hebelarm r auf Welle. Hieraus Radial- und Axial-Lagerkrfte bei A und B entsprechend den Abstnden der Lager bestimmen. Bei Berechnung der Radiallagerkrfte Kippmoment der Axialkrfte beachten!
Anwendungsfaktor K A. Er bercksichtigt die von Antrieb oder Abtrieb eingeleiteten Zusatzkrfte. – Anhaltswerte siehe Tab. 11. – Rechnet man mit dem Maximalmoment (s. Tab. 11 c), so ist KA ¼ 1 zu setzen. Dynamikfaktor Kv bercksichtigt innere dynamische Zusatzkrfte: Bild 21. Breitenfaktor KHb (Flanke) KFb (Fuß) bercksichtigt Einfluß von Herstelltoleranzen fma und Gesamt-Verformung fshg
8.5.4 Nachrechnung der Tragfhigkeit Evaluation of load capacity Man prft, ob das Getriebe bei geforderter Lebensdauer ausreichende rechnerische Sicherheiten gegen alle Schadensgrenzen aufweist. Grundgedanke. Berechnung basiert auf der am Zahn angreifenden Nenn-Umfangskraft einer fehlerfreien, starren Verzahnung, mittleren Schmierbedingungen und auf Festigkeitswerten, die an Standard-Referenz-Prfrdern bei Standard-Prfbedingungen ermittelt wurden. In Wirklichkeit liegen abweichende Voraussetzungen vor: ußere Zusatzkrfte durch Anfahrstße, Belastungsschwankungen; innere Zusatzkrfte durch Verzahnungsabweichun-
Bild 20. Zahnkraft-Komponenten zur Berechnung der Lagerkrfte
Bild 21 a, b. Dynamikfaktor Kv (DIN 3990/ISO 6336). a Geradstirnrder; b Schrgstirnrder mit eb ’1 (fr eb < 1 s. DIN 3990, [1])
I8.5 Tragfhigkeit von Gerad- und Schrgstirnrdern Tabelle 11. Anwendungsfaktoren fr Zahnradgetriebe
G 139
auf Kraftverteilung ber die Zahnbreite: Man bestimmt Fby ¼ xb Fbx ¼ xb ðfma þ fshg Þ
ð43Þ
und entnimmt KHb ð KFb Þ aus Bild 22. xb s. Tab. 12. fma fHb eines Rades nach Tab. 3 oder nach Sondervorschrift einsetzen. fshg nach bewhrten Getrieben Tab. 13; die Konstruktion ist entsprechend steif auszufhren. Im Zweifelsfalle Verformung – insbesondere der Ritzelwelle – nachprfen. Kontrolle nach Tragbild unter Last mit lfestem Tragbildlack mglich (DIN 3990). Stirnfaktoren K Ha (Flanke) und K Fa (Fuß) bercksichtigen ungleichmßige Aufteilung der Umfangskraft auf die im Ein-
G
Bild 22. Breitenfaktor KHb ð KFb Þ (DIN 3990/ISO 6336) Tabelle 12. Einlauf-Kennwert fr Gl. (43)
Tabelle 13. Anhaltswerte fr zulssige Flankenlinienabweichungen durch Gesamt-Verformung fshg in mm (fr das Radpaar im Getriebe)
G 140
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
griff befindlichen Zahnpaare infolge von Teilungs- und Formabweichungen. Fr berschlagsrechnungen oder grobe Verzahnung bei niedriger Belastung:
Geradverz.:
KH a ¼ 1=Ze2 ^ 1,2; KH a ¼ ean ^ 1,4: ) KF a ¼ 1=Ye ^ 1,2;
Schrgverz.:
KF a ¼ ean ^ 1,4:
Geradverz.: Schrgverz.:
G
ð44Þ ð45Þ
Man rechnet hiermit auf der sicheren Seite, Ze s. Gl. (50), Ye s. Gl. (54). Fr normalbelastete Getriebe (Dauerbruchsicherheit SF % 2, Grbchensicherheit SG % 1; 3) mit DIN Qualitt 8 oder feiner bei Geradverzahnung bzw. 7 oder feiner bei Schrgverzahnung: KHa ¼ KFa 1: ð46Þ Sicherheit gegen Grbchenbildung Die Flankenpressung (Hertzsche Pressung s. C 4.2) im Wlzpunkt muß kleiner als die zulssige Pressung sein; damit Bedingung fr die Sicherheit: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi SH ¼ sH lim ZX =ðsH0 KA Kv KHb KHa Þ ^ SH min : ð47Þ Hierin ist sH lim die Dauer-Wlzfestigkeit nach Prfstandversuchen und Erfahrungen mit ausgefhrten Getrieben Tab. 14. sH0 Nennwert der Flankenpressung: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi Ft u þ 1 sH0 ¼ ZH ZE Ze Zb ¼ ZH ZE K Ze Zb : d1 b u |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}
Die am Zahnfuß auftretende rtliche Spannung (unter Bercksichtigung der Kerbwirkung) muß kleiner als die zulssige Spannung sein. Damit Bedingung fr die Sicherheit: ð52Þ
Hierin ist sFE ¼ sF lim 2;0; sF lim die Biege-Nenn-Dauerfestigkeit des Standard-Referenz-Prfrades mit Spannungskorrekturfaktor ( Kerbformzahl)=2,0; Anhaltswerte fr sFE nach Prfstandsversuchen s. Tab. 14. YX Grßenfaktor fr Zahnfußfestigkeit Bild 23. sF0 Nennwert der Grundspannung:
ð49Þ
ZE Elastizittsfaktor: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 St=St : ZE 190 N=mm ; St=GG : ZE 165 N=mm ; pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 GG=GG : ZE 145 N=mm : Ze berdeckungsfaktor, Zb Schrgenfaktor: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 Ze ¼ pð4 ffi ea Þ=3 fr Geradverzahnung, = ffiffiffiffiffiffiffiffiffi Ze ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1=ea fr Schrgverzahnung ðeb ^ 1Þ,;ð50Þ Zb ¼ cos b: u Zhnezahlverhltnis z2 =z1 , bei Innenradpaaren negativ. Schmierfilmeinfluß: Bei anderen Schmierstoffen und Zhigkeiten als nach Tab. 5 und Bild 18: Einfluß auf sH lim nach DIN 3990 bercksichtigen. Bei gefrsten Zahnflanken 85% von sH lim einsetzen (Rauhigkeitseinfluß). Bei gehrteten, geschliffenen Gegenrdern kann sH lim vergteter Rder um Werkstoffpaarungsfaktor ZW erhht werden: ZW ¼ 1; 2 ðHB 130Þ=1 700
Sicherheit gegen Dauerbruch
SF ¼ sFE YX =ðsF0 KA Kv KFb KFa Þ ^ SF min : ð48Þ
pC
pC : Hertzsche Pressung im Wlzpunkt ZX Grßenfaktor fr Grbchenfestigkeit Bild 23. ZH Zonenfaktor, erfaßt Krmmung im Wlzpunkt: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 cos bb cos awt ZH ¼ : cos2 at sin awt
Bild 23. Grßenfaktor fr Zahnfußfestigkeit (Index F). Grßenfaktor fr Grbchentragfhigkeit (Index H) n. DIN 3990
ð51Þ
mit HB des vergteten Rades. Gleichung (48) gilt fr Schrgverzahnungen mit eb ^ 1; sie ist auch brauchbar fr Schrgverzahnungen mit eb < 1 und Geradverzahnungen, sofern die Profilverschiebungen nach Bild 13 fr hohe Fuß- und Flankentragfhigkeit gewhlt werden. Andernfalls s. DIN 3990. Bei zn1 < 20 : sH0 auf inneren Einzelgriffspunkt B (s. Bild 7) umrechnen (DIN 3390), [1]. Mindest-Sicherheit SH min : Anhaltswerte s. Tab. 15. Graufleckigkeit s. [24, 58], nherungsweise: lkrit 0;7: Bei l > lkrit ist nach bisherigen Erfahrungen nicht mit Grauflekken zu rechnen, l s. G 8.3.
sF0 ¼
Ft YFS Ye Yb : bmn
ð53Þ
YFS Kopffaktor, erfaßt Zahnform einschließlich Kerbform bei Kraftangriff am Kopf. Fr Bezugsprofil nach DIN 867 s. Bild 24. Ye berdeckungsfaktor erfaßt Umrechnung auf Kraftangriff im ußeren Einzeleingriffspunkt (bei Schrgverzahnung fr die Ersatzverzahnung im Normalschnitt, Gl. (34)). Yb Schrgenfaktor. ) Ye ¼ 0,25 þ 0,75=ean ð54Þ Yb ¼ 1 b =120 ^ 0,75: Bei großen Fußausrundungen muß man die Kerbempfindlichkeit bercksichtigen (DIN 3990), [1]. Einfluß von grßerer Rauheit, Schleifkerben, Kugelstrahlen, Ausschleifen der Kerben [18, 77, 81]. Sicherheit gegen Warmfressen und Kaltfressen Oft nachtrgliche Abhilfemaßnahmen mglich (s. G 8.5.1) [1, 74, 80]. Berechnung s. [1] und DIN 3990. Sicherheit gegen Gleitverschleiß Notwendig bei Geschwindigkeiten unter 0,5 m/s. Nach [19] ist mit erhhtem Verschleiß zu rechnen, wenn die rechnerische Mindestschmierfilmdicke nach Gl. (37) 0,1 mm unterschreitet (Verschleißhochlage bei ca. 0,01 bis 0,02 mm. Abhilfemaßnahmen (s. G 8.5.1). Berechnung s. [1]. Berechnung von Zeitgetrieben, Getrieben mit selten auftretenden Belastungsspitzen oder mit Lastkollektiven: [1, 19].
Rechenschema mit Beispiel Nachrechnung der Tragfhigkeit der 1. Stirnradstufe eines Rhrwerks. Antrieb: E-Motor. h bedeutet Zeichnungsangabe.
I8.5 Tragfhigkeit von Gerad- und Schrgstirnrdern
G 141
Tabelle 14. bliche Zahnradwerkstoffe, Anwendung, Festigkeit
G
G 142
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
Tabelle 15. Anhaltswerte fr Sicherheitsfaktoren
G
Gegeben: Motordrehzahl: n1 ¼ 1 000 min1 , Leistung P= 51 kW; ruhiger Lauf gefordert, s. a. G 8.5.3. Achsabstand a vorgegeben h Verzahnungsqualitt 6 nach DIN 3962 (s. a. Tab. 3), fHb ¼ 10 mm. h Bezugsprofil nach DIN 867, an ¼ 20 ; Bild 10. h Zahnradwerkstoff: Ritzel 16 Mn Cr 5 (Tab. 14, Nr. 30), Rad 42 CrMo 4 V (Tab. 14, Nr. 15). h Hrte: Ritzel 60 HRC, Rad 300 HB. h Flankenbearbeitung (Rauheit): geschliffen, Ra ¼ 0;5 mm (entsprechend Rz 3 mm). h Rauheit am Zahnfuß: Ra % 2 mm (entsprechend Rz 12 mm).
Umfangsgeschwindigkeit Gl. (42): ut ¼ 6;7 m/s. Schmierlviskositt bei 40 C, Bild 18: v40 1;3 102 mm2 =s, ISOVG 220.
Kraftfaktoren Anwendungsfaktor: KA ¼ 1;3 angesetzt (s. auch Tab. 11). Dynamikfaktor: Kv 1;08 ½u2 =ð1 þ u2 Þ1=2 ¼ 2;1:
nach
Bild 21 b
mit
ðut z1 =100Þ
Breitenfaktor, KHb ð KFb Þ:
Umfangskraft, Gl. (41), Ft ¼ 7561 N.
Einlauf-Kennwert nach Tab. 12 fr sH lim ¼ 750 N=mm2 /eins. geh.: xb ¼ 0;55=0;85; fma fHb ¼ 10 mm (Verzahnungsqualitt 6, s. oben), Flankenlinienabweichung durch Gesamtverformung: fshg ¼ 8 mm nach Tab. 13. Mit Gl. (43): Fby =12,6 mm.
K -Faktor, Gl. (40) = 1,74 nach Tab. 7 ausreichend dimensioniert.
Aus Bild 22, mit Ft KA Kv =b ¼ 200 N=mm2 : KHb ð KFb Þ 1;6.
Nachrechnung der Tragfhigkeit
Bild 24. Kopffaktor (DIN 3990, ISO 6336). YFS ð¼ YFa YSa Þ fr Bezugsprofil: an ¼ 20; ha =mn ¼ 1; ha0 =mn ¼ 1; 25; ra0 =mn ¼ 0; 25; fr Zahnstange YFS ¼ 4; 62; fr Innenstirnrder mit rF ¼ ra0 =2 : YFS ¼ 5; 79.
I8.6 Kegelrder Stirnfaktor, KHa und KFa : Schrgverzahnung, DIN Qualitt % 7, Gl. (46): KHa ¼ KFa ¼ 1:
Sicherheit gegen Grbchenbildung Zonenfaktor, Gl. (49) mit bb nach Gl. (35), at ; awt : ZH 2;3: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 Elastizittsfaktor, fr St/St: ZE 190 N=mm .
G 143
schiedene Verfahren einsetzbar. Detaillierte Auslegung von Bogenverzahnungen nach Vorschriften der Maschinenhersteller. 8.6.3 Zahnform. Tooth profile
Grbchen-Dauerfestigkeit, Tab. 14 angesetzt fr Ritzel sH lim ¼ 1 500 N=mm2 , fr Rad 300 HB sH lim ¼ 750 N=mm2 .
Geradflankiges Bezugsplanrad, realisiert durch Werkzeuge mit geraden Schneiden (meist getrennt fr beide Flanken), fhrt zu Oktoiden-Verzahnung [3]. Deshalb Profilverschiebung nur als V-Null-Verzahnung (s. G 8.1.7), daneben Verstrkung des Ritzels zu Lasten des Rades durch Zahndickennderung (Profil-Seitenverschiebung) und/oder unterschiedliche Flankenwinkel auf Vor- und Rckflanke mglich.
Werkstoffpaarungsfaktor (Rad) Gl. (51): ZW ¼ 1;1.
8.6.4 Kegelrad-Geometrie. Bevel gear geometry
Sicherheitsfaktor fr Grbchenbildung, Gl. (47): Ritzel SH ¼ 2;1, Rad SH ¼ 1;2: Nach Tab. 15 ausreichend.
Verzahnungsabmessungen (Bild 25). Maße am ußeren Teilkegel (Rckenkegel): Index e. Die Zahnform ist (auf dem Rckenkegel RK) nherungsweise gleich der einer Stirnradverzahnung mit den Radien rv1 und rv2 auf den Mantellinien der Rckenkegel. Fr Schrg- und Bogenverzahnungen gelten die folgenden Beziehungen fr die Stirnschnittwerte der Kegelrder und Ersatzstirnrder, d. h. m = mt = mn/cos b. ð55Þ Achsenwinkel S ¼ d1 þ d2 , meist S ¼ 90 : ð56Þ Teilkegelwinkel d1 aus tan d1 ¼ sin S=ðu þ cos SÞ: fr S = 90 : tan d1 ¼ 1=u; tan d2 ¼ u: ð57Þ ð58Þ ußere Teilkegellnge Re ¼ 0; 5 de =sin d pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð59Þ fr S = 90 : Re ¼ ðde1 =2Þ u2 þ 1: ußerer Teilkreisdurchmesser de1 ¼ z1 me ; de2 ¼ z2 me ð60Þ mit Modul am Rckenkegel me. Zhnezahlverhltnis ð61Þ u ¼ z2 =z1 ¼ de2 =de1 ¼ sin d2 = sin d1 ; fr S = 90 , siehe Gl. (57). ð62Þ Kopfkreisdurchmesser dae1 ¼ de1 þ 2hae1 cos d1 ; ð63Þ dae2 ¼ de2 þ 2hae2 cos d2 ; ð64Þ normal: hae1 ¼ me ð1 þ xh Þ; hae2 ¼ me ð1 xh Þ: Maße am inneren Teilkegel: Index i statt e.
berdeckungs- und Schrgenfaktor Gl. (50): Ze Zb 0;8: Nennwert der Flankenpressung, Gl. (48): sH0 ¼ 466 N=mm2 . Grßenfaktor, Bild 23: ZX ¼ 1:
Sicherheit gegen Dauerbruch Kopffaktor, Bild 24: zn1 ¼ 38;3; zn2 ¼ 67).
YFS 1 4,32; YFS 2 4,35
(mit
Gl.
(34):
berdeckungs- und Schrgenfaktor, Gl. (54): Ye Yb 0,67: Nennwert der Grundspannung, Gl. (53): sF0 1 ¼ 157 N=mm2 ; sF0 2 ¼ 158 N=mm2 . Grunddauerfestigkeit, nach Tab. 14 angesetzt fr Ritzel sFE ¼ 900 N=mm2 , fr Rad sFE ¼ 600 N=mm2 . Grßenfaktor, Bild 23: YX ¼ 1: Sicherheitsfaktor fr Dauerbruch, Gl. (52): Ritzel SF 1 ¼ 3,4, Rad SF 2 ¼ 2,2. Nach Tab. 15 ausreichend.
8.6 Kegelrder. Bevel gears Eigenschaften (s. G 8, Einleitung). Gegenber Schneckengetrieben hherer Wirkungsgrad und bei grßeren Leistungen (oft als Kegel-Stirnradgetriebe, s. G 8.10.1) kostengnstiger. Gegenber Stirnrdern schwieriger (Hhenversatz, Achsenwinkelabweichungen, starke Hrteverzge, axiale Lage von Rad und Ritzel, Ausbiegung bei fliegendem Ritzel). Gegenmaßnahmen: Beschrnkung der Zahnbreite, breitenballige Verzahnung, Zusammen-Lppen und -Paaren von Ritzel und Rad oder Schleifen bzw. Hartschneiden, axiales Einstellen des Ritzels, Wlzlager (kleines Lagerspiel), steife Gehuse (s. G 8.6.5).
Ersatz-Stirnrder, bezogen auf Mitte Zahnbreite (Maße: Index m) – maßgebend fr die Tragfhigkeitsberechnung (unabhngig vom Zahnhhenverlauf), Bild 25. ð65Þ dm1 ¼ de1 b sin d1 ; dm2 ¼ udm1 ; pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð66Þ fr S = 90 : dm1 ¼ de1 ðb= u2 þ 1Þ:
8.6.1 Geradzahn-Kegelrder. Straight bevel gears Normal bis u=6 m/s, geschliffen bis 50 m/s (Flugzeugbau). Zahnhhe i. allg. zur Kegelspitze abnehmend (proportionaler Zahnhhenverlauf) [50]. Herstellung durch Frsen oder Hobeln, hufig auch durch Gesenkschmieden oder Gießen. Verwendung: Kegelrad-Differentiale, kleine Verstellantriebe. 8.6.2 Kegelrder mit Schrg- oder Bogenverzahnung Helical and spiral bevel gears Geruscharmer Lauf; gefrst oder gehobelt und gelppt bis u=40 m/s; geschliffen oder hartgeschnitten bis 80 m/s (extrem bis 130 m/s); Axialkrfte beachten! Verwendung: Industriegetriebe, Fahrzeuggetriebe. Schrgverzahnung. Konstanter Schrgungswinkel ber die Breite, i. allg. proportionaler Zahnhhenverlauf. Herstellung durch Frsen oder Hobeln. Bogenverzahnung. Spiralwinkel (Schrgungswinkel) ber die Breite vernderlich. Flankenlinienverlauf, Zahnhhenverlauf (proportional oder parallel = konst. Zahnhhe) und Spiralwinkel weitgehend durch Herstellverfahren bedingt, traditionell abhngig von einzelnen Maschinenherstellern (s. S 5.2). Moderne CNC-Maschinen sind zunehmend fr ver-
Bild 25. Kegelradpaar und Ersatzstirnrder zur Berechnung der Tragfhigkeit. 1 Ferse, 2 Zehe
G
G 144
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
Tabelle 16. Anhaltswerte fr die Wahl von Ritzelzhnezahla ), Zahnbreite und Profilverschiebungsfaktorb ) bei Kegelrdern mit S ¼ 90 und ohne Achsversetzung
Tabelle 17. Normale Flankenspiele fr Kegel- und Schneckengetriebe
G dvm1 ¼ dm1 = cos d1 ; dvm2 ¼ dm2 = cos d2 ; ð67Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi fr S = 90 : dvm1 ¼ dm1 ðu2 þ 1Þ=u2 ; ð68Þ dvm2 ¼ dvm1 u2 mm ¼ dm1 =z1 ¼ dm2 =z2 ¼ mvm ¼ dvm1 =zv1 ¼ dvm2 =zv2 : ð69Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi zv1 ¼ z1 ðu2 þ 1Þ=u2 ; zv2 ¼ zv1 u2 : ð70Þ Empfehlungen zur Wahl von Zhnezahl, Modul, Zahnbreite, Profilverschiebung, Tab. 16, Flankenspiel Tab. 17. Bezugsprofil fr Geradzahn-Kegelrder s. Bild 10, ISO 677. 8.6.5 Tragfhigkeit. Load capacity Die Tragfhigkeit wird fr alle Kegelrder unabhngig vom Herstellverfahren fr die Ersatz-Stirnrder nach Gl. (65) bis (70) mit Ft ¼ 2M1 =dm1 bestimmt. Detaillierte Berechnungsverfahren nach DIN 3991, ISO 10 300 und [1, 73, 75, 82], hnlich der Tragfhigkeitsberechnung fr Stirnrder (s. G 8.5.4), jedoch unter Bercksichtigung kegelradtypischer Besonderheiten. Anhaltswerte fr Kba ¼ ðKHb KHa Þ ðKFb KFa Þ nach Gl. (47) und (52) wegen begrenzten Tragbildes (breitenballige Verzahnung): Kba ¼ 2,0 bei beidseitiger Lagerung von Ritzel und Rad, Kba ¼ 2,2 bei fliegendem Ritzel und beidseitig gelagertem Tellerrad. Kba ¼ 2,5 bei fliegend gelagertem Ritzel und Tellerrad
Bild 26. Zahnkraft-Komponenten zur Berechnung der Lagerkrfte
Kontrolle: Tragbild darf bei keinem Betriebszustand an einem Zahnende liegen (s. G 8.6.7). 8.6.6 Lagerkrfte. Bearing loads Berechnung der Kraftkomponenten nach Tab. 18 und Bild 26. Bei Berechnung der Radial-Lagerkrfte Kippmoment der Axialkrfte beachten. 8.6.7 Hinweise zur Konstruktion von Kegelrdern Design hints for bevel gears Bei Ritzeln, auf Welle aufgesteckt: Zahnkranzdicke unter der Zehe 2 m (evtl. Nut beachten). – Abstand der Lager nach Bild 26: l1 ¼ ð1;2 . . . 2Þd1 bei u ¼ 1 . . . 2; l1 ¼ ð2 . . . 2;5Þd1 bei u ¼ 3 . . . 6; ein Lager mglichst dicht am Ritzelkopf; l2 > 0;7d2 : – Tragbild unter Vollast ca. 0;85b (Zahnenden frei) bei hoher Verzahnungs- und Gehusegenauigkeit und steifer Ausfhrung, sonst kleiner (ca. 0;7b). – Schrgungsrichtung so whlen, daß Axialkraft das Ritzel vom Eingriff
Tabelle 18. Berechnung der Zahnkraft-Komponenten am Kegelrad. – Werte der Winkel b; a und d des Zahnrads verwenden, fr das die Belastung bestimmt wird
I8.8 Schneckengetriebe weg drckt (Sichern des Flankenspiels). – Lagerung muß axiales Verschieben von Ritzel und Rad gestatten (Einstellen von Tragbild und Flankenspiel). – Zahnbreiten von Ritzel und Rad mglichst gleich (Einlaufkanten!) – lzufuhr zum hinteren Ritzellager sicherstellen. Radkrper und Verzahnungstoleranzen DIN 3965, Verzahnungsangaben in Zeichnungen DIN 3966. 8.6.8 Sondergetriebe. Special gears Hypoidgetriebe. Kegelrder mit sich kreuzenden Achsen (Bild 1). Ausfhrung durchweg mit Bogenverzahnung nach Angaben der Maschinenhersteller [25–28]. Verwendung insbesondere in Kfz-Hinterachsgetrieben. Tragfhigkeitsberechnung mit Hilfe von Ersatz-Kegelrdern [1] und anschließender Vorgehensweise nach G 8.6.5. Kronenradgetriebe (Bild 27). Ritzel ist Gerad- oder Schrgstirnrad, Kronenrad wird durch Wlzstoßen mit Schneidrad, hnlich dem Ritzel, hergestellt; auch Achsversetzung des Ritzels ist mglich. Ritzel unempfindlich gegen Tragbildverlagerung, muß nicht axial eingestellt werden. Tragfhigkeit geringer als bei Kegelrdern gleicher Baugrße [2]. Kegelige Stirnrder (Bild 28). Gerad- oder Schrgstirnrder mit ber der Breite vernderlicher Profilverschiebung. Nach Bild 28 a geeignet zur Einstellung auf spielfreien Eingriff, nach Bild 28 b fr kleine Teilkegelwinkel, die auf KegelradVerzahnmaschinen nicht eingestellt werden knnen [21–23].
8.7 Stirnschraubrder. Crossed helical gears Eigenschaften (s. G 8, Einleitung), Verwendung: Tachoantriebe, kleine Gerte, Textilmaschinen, Zentrifugen u. . [1, 43–49].
G 145
Bild 29 a–c. Paarungsarten der Schneckengetriebe. a ZylinderSchneckengetriebe (Zylinderschnecke – Globoidrad); b StirnradSchneckengetriebe (Globoidschnecke – Stirnrad); c Globoid-Schnekkengetriebe (Globoidschnecke – Globoidrad)
8.8 Schneckengetriebe. Worm gears Eigenschaften (s. G 8, Einleitung): bliche bersetzung in einer Stufe 5 . . . 70 ins Langsame, 5 . . . 15 ins Schnelle. Selbsthemmung bei treibendem Rad (d. h. h0 % 0) bedingt Wirkungsgrad h < 50% bei treibender Schnecke! Jede nderung der Schnecke erfordert nderungen des Werkzeugs (Paarverzahnung, s. G 8.1.4). Hauptanwendung bis Achsabstand a % 160 mm, n1 bis 3 000 min1 ; ausgefhrt bis a=2 m und 1 000 kW Leistung. – Spielarme Duplex-Schnecken fr Teilgetriebe [29]. Paarungsarten, Bild 29; am gebruchlichsten sind ZylinderSchneckengetriebe Bild 29 a. Globoid-Schneckengetriebe s. [30], Stirnrad-Schneckengetriebe [31]. Flankenform ergibt sich aus der Herstellung (s. S 5.2). ZA-, ZN-, ZK- und ZI-Schnecken unterscheiden sich nur wenig in Wirkungsgrad und Flankentragfhigkeit. ZC-(Hohlflanken-) Schnecken sind diesbezglich etwas gnstiger, jedoch empfindlicher gegen Belastungsschwankungen (Schneckendurchbiegungen). 8.8.1 Zylinderschnecken-Geometrie Cylindrical worm gear geometry Fr Achsenwinkel S ¼ 90 : Ausgangsgrßen sind Mittenkreisdurchmesser der Schnecke dm1 und Zahnprofil im Axialschnitt, Bild 30. Bei anderen Achsenwinkeln gelten die Beziehungen fr zylindrische Schraubenrder sinngemß (s. G 8.7). Gleichungen folgen aus den Beziehungen zwischen Zahnstangenprofil der Schnecke (im Axialschnitt) und Schneckenrad (Zeichen: Z) oder aus Betrachtung der Schnecke als Schrgstirnrad (Zeichen: S) oder als Gewindespindel (Zeichen: G).
Bild 27. Kronenradgetriebe mit Achsversetzung a
Bild 28 a, b. Kegelige Stirnrder. a als Stirnradpaar (parallele Achsen); b als Kegelradpaar (Achsenwinkel S)
G
G 146
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
G Bild 30. Bestimmungsgrßen eines Zylinderschneckengetriebes. Sk Kranzdicke, rK Kopfkehlhalbmesser, J Umfassungswinkel
z1 ð7 þ 2,4 a1=2 Þ=i;
ð85Þ
Zhnezahl z1 auf nchste ganze Zahl auf- oder abrunden; dann nach Gl. (72) z2 . Beachten: Nicht ganzzahliges Verhltnis z2 =z1 erleichtert Herstellen des Rades mit Schlagzahn und verringert schdliche Wirkung von Teilungsabweichungen. Mit der Radzhnezahl z2 wchst die Laufruhe; mglichst z2 ^ 30 bei ax ¼ 20 und normaler Zahnhhe. Wahl des Durchmesser-Achsabstands-Verhltnisses dm1 =a nach Bild 31. Tendenzen von SH ; Sd und hz beachten! Hinsichtlich eines mglichst hohen Wirkungsgrads strebt man also ein kleines dm1 =a an, jedoch ist die Durchbiegung zu beachten, Gefahr des Schneckenwellenbruchs. Dann dm1 ¼ a ðdm1 =aÞ und tan gm nach Gl. (83). Schließlich ist zu prfen, ob vorhandene Werkzeuge (insbesondere Wlzfrser) verwendet werden knnen. Damit liegt meist auch die Zahnform fest. Empfehlung fr Profilverschiebungsfaktor x – ZI-Schnecken: – 0,5 % x % +0,5, vorzugsweise: x 0; – ZC-Schnecken: 0 % x % 1,0, vorzugsweise: x 0,5. Weitere Grßen: nach Gln. (74)–(81). Anhaltswerte fr weitere Maße (s. Bild 30): Berhrlinien (B-Linien) Berhrpunkte und Zahnform des Rads knnen aus gegebenem Achsschnittprofil A der Schnecke bei gegebenem Wlzkreis (= Teilkreis) des Rads nach dem Verzahnungsgesetz berechnet oder konstruiert werden (s. G 8.1.1). Dasselbe gilt fr jeden Schnitt P parallel zum Schnecken-Achsschnitt. So erhlt man B-Linien; Beispiel s. Bild 30. Da das Zahnprofil der Schnecke im Schnitt P von dem im Achsschnitt abweicht, ergibt sich hier auch ein anderes Gegenprofil. Konstruktion s. [1, Berechnung 32, 33]. 8.8.2 Auslegung. Rating Vorab alle Anforderungen und Einflsse auf Beanspruchung und Funktion sorgfltig klren. Vergleiche Pflichtenheft fr Stirnradgetriebe, Tab. 6. Man bestimmt Abmessungen und kontrolliert gemß DIN 3996 die Sicherheiten SH ; SF ; SW, Sd bei hohen Drehzahlen sowie die Temperatursicherheit ST und korrigiert – wenn ntig – die angenommenen Werte. Achsabstand a , bersetzung i und Leistung P1 gegeben Zhnezahl z1 nach Erfahrung [BS 721] whlen (a in mm) Zahlenwertgleichung
b1 2 m ðz2 þ 1Þ1=2 ;
b2H 2 m ½0; 5 þ ðdm1 =m þ 1Þ1=2 :
ð86Þ
Schnecke ðdm1 ; z1 ; mÞ und bersetzung i gegeben Interessant, wenn Wlzfrser fr das Verzahnen des Rades vorhanden sind. Weiter beachten, daß eine Schnecke (d. h. auch ein Wlzfrser) fr verschiedene bersetzungen verwendbar ist und hierfr unterschiedliche Achsabstnde ergibt. Zunchst z2 nach Gl. (72) bestimmen und x2 whlen, dm2 nach Gl. (78) und a nach Gl. (73). Weiter wie oben beschrieben. Radmoment T 2 , Drehzahl n2 , bersetzung i gegeben Achsabstand a aus Gl. (105) und den dort angegebenen Grßen berechnen. a auf nchsthheren Wert der Reihe nach (DIN 3976) aufrunden. Weiter wie oben beschrieben. 8.8.3 Zahnkrfte, Lagerkrfte. Tooth loads, bearing loads Berechnung der Umfangskraft Ft aus Drehmoment M, das sich mit Anwendungsfaktor KA aus dem Nennmoment MN bestimmt, s. Tab. 11. Auch die Zahnkrfte profilverschobener Rder werden fr rm angegeben [1].
I8.8 Schneckengetriebe
G 147
G
Bild 31. Durchmesser-Achsabstands-Verhltnis dm1 =a; nach Gl. (83) mit x=0; (linke Ordinate), Einfluß (Tendenzen) auf Sicherheiten S , SH , ST und Wirkungsgrad z . Verzahnungswirkungsgrad bei treibender Schnecke z nach Gl. (101) (rechte Ordinate). Schraffiertes Feld begrenzt Bereich industriell ausgefhrter Schneckengetriebe
Ftm1 ¼ Ftm2 tanðgm þ arctan mzm Þ ¼ Fxm2 :
ð87Þ
mzm nach Gl. (100) (s. G 8.8.5).
– Gleitgeschwindigkeit am Mittenkreis:
Ftm2 ¼ Fxm1 ;
ð88 aÞ
Frm1 ¼ Frm2 ¼ Ftm2 tan ax :
ð88 bÞ
Lagerkrfte ergeben sich aus diesen Kraftkomponenten, Radien und Lagerabstnden, Bild 32. Dabei Kippmomente beachten: MK1 ¼ Ftm2 rm1 ; MK2 ¼ Ftm1 rm2 :
8.8.4 Geschwindigkeiten, Beanspruchungskennwerte Velocities, loading parameters
ð89Þ
Ebenso evtl. ußere Querkrfte auf Eingangs- oder Ausgangswelle bercksichtigen.
ugm ¼ p dm1 n1 = cos gm :
ð90Þ
– Beanspruchungskennwerte: Zur Beurteilung der Tragfhigkeit von Schneckengetrieben sind dimensionslose Kennwerte (p*m fr die mittlere Flankenpressung sHm , h* fr die mittlere Schmierspaltdicke h, s* fr den mittleren Gleitweg sgm) eingefhrt, die nur von der Geometrie der verwendeten Verzahnung abhngen. Diese sind fr ZI-, ZA-, ZN- und ZK-Schneckengetriebe in Gl. (91) bis Gl. (93) als Nherungsgleichungen beschrieben. x b2H p*m ¼ 1;03 0;4 þ þ 0;01 z2 0;083 mx u ð91Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 q 1 q þ 50 ðu þ 1Þ=u þ þ ; 6;9 15; 9 þ 3; 75 q q 1 x u þ þ 7;86 ðq þ z2 Þ z2 110 36 300 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b2H 2q 1 ; þ 213;9 370;4 mx
h* ¼ 0;018 þ
s* ¼ 0;78 þ 0;21 u þ 5;6=tan gm :
Bild 32. Zahnkrfte an einem Schneckengetriebe
ð92Þ
ð93Þ
Fr ZC-Schneckengetriebe sind Gl. (94) bis Gl. (96) relevant: x b2H p*m ¼1; 03 0;31 þ 0;78 þ 0;008 z2 0;065 mx u pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 q 1 q þ 50 ðu þ 1Þ=u þ þ ; ð94Þ 8;9 20;3 þ 47;9 q
G 148
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe q 1 x u þ þ 5,83 ðq þ z2 Þ z2 81;6 26 920 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2q 1 b2H ; þ 158;6 274;7 mx
Gesamtwirkungsgrad
h* ¼ 0; 025 þ
ð95Þ
s* ¼ 0;94 þ 0;25 u þ 6;7=tan gm :
ð96Þ
– Mittlere Flankenpressung sHm : 0;5 4 p*m M2 103 Ered sHm ¼ : 3 p a
ð97Þ
– Ersatz-E-Modul: Ered ¼
G
2 : ð1 v21 Þ=E1 þ ð1 v22 Þ=E2
ð98Þ
Fr verschiedene Werkstoffe ist der E-Modul sowie die Querkontraktionszahl v in Tab. 20 angegeben. – Mittlere Schmierspaltdicke: hmin m ¼ 21 h*
0;7 0;7 0;03 1;39 c0;6 Ered a h0M n1 a 0;13 TM 2
:
ð99Þ
Nherungswert fr Druckviskosittsexponenten fr Mineralle ca ¼ 1; 7 108 m2 =N, fr Polyglykole ca ¼ 1; 3 108 m2 =N; h0M dynamische Viskositt bei Massentemperatur JM , s. DIN 3996.
ð103Þ
PV ¼ PVz þ PV0 þ PVLP þ PVD
ð104Þ
PV0 Leerlaufverlustleistung, PVLP Lagerverlustleistung infolge der Lagerbelastung und PVD Dichtungsverlustleistung nach DIN 3996. Anhaltswerte s. Bild 34. Tendenzen bezogen auf die dort angegebenen Werte decken einen Streubereich von 2 . . . 3 % ab: Radwerkstoff CuSn-Bronze gnstiger als GG, Al-Bronze, Messing; Gehrtete, geschliffene Schnecke gnstiger als vergtete, gefrste Schnecke; ZC-Schnecke gnstiger als brige Zahnformen; Geeignete Synthesele gnstiger als Mineralle (Einlaufeigenschaft beachten); Große Steigung (mehrgngige und dnne Schnecken – Durchbiegung beachten) gnstiger als kleine Steigung (eingngige und dicke Schnecken). 8.8.6 Nachrechnung der Tragfhigkeit Evaluation of load capacity Zahlenwertgleichung
– Mittlere Zahnreibungszahl:
SH ¼ sH lim Zh Zv Zs Zoil =sHm SH lim ¼ 1;0 ð100Þ
Grundreibungszahl m0T ist aus Bild 33 zu bestimmen; Baugrßenfaktor YS ¼ ð100=aÞ0;5 im Bereich von a= 65 . . . 250 mm; Geometriefaktor YG ¼ ð0; 07=h Þ0;5 ; Werkstoffaktor YW nach Tab. 20; Rauheitsfaktor YR ¼ ðRa1 =0; 5Þ0;25 mit Ra1 als arithmetische Mittenrauheit der Schnecke. – Verzahnungswirkungsgrad hZ (Schnecke treibt): tan gm hz ¼ tan ðgm þ arc tan mzm Þ;
hges ¼ P2 =ðP2 þ PV Þ ¼ ðP1 PV Þ=P1
Nachrechnung der Sicherheit gegen Grbchenbildung SH
8.8.5 Reibungszahl, Wirkungsgrad Coefficient of friction, efficiency mzm ¼ m0T YS YG YW YR :
Gesamtwirkungsgrad h ist mittels Gesamtverlustleistung PV zu bestimmen:
ð105Þ
(Einheiten s. Tabellen). sH lim Grbchenfestigkeit s. Tab. 20, sHm mittlere Flankenpressung nach Gl. (97). – Lebensdauerfaktor Zh ¼ ð25 000=Lh Þ1=6 1; 6 mit Lh in h; Geschwindigkeitsfaktor Zv ¼ ½5=ð4 þ ugm Þ0;5 ; Baugrßenfaktor Zs ¼ ½3 000=ð2 900 þaÞ0;5 ; Schmierstoffaktor Zoil ¼ 1,0 fr Polyglykole bzw. Zoil ¼ 0,89 fr Mineralle. Nachrechnung der Verschleißsicherheit SW
ð101Þ
– Verzahnungsverlustleistung PVz bei treibender Schnecke: 0;1 M2 n1 1 1 : ð102Þ PVz ¼ u hz
Bild 33. Grundreibungszahl m0T des Standard-Referenzgetriebes
Gefhrdet sind in erster Linie die Flanken geringerer Hrte, d. h. meist die Radflanken. SW ¼ dW lim n Ered =ðJ0 WML s sHm a NL Þ SW min ¼ 11:
ð106Þ
dW lim n Grenzwert des Flankenabtrages – hierfr sind diverse Kriterien ansetzbar, z. B. Flankenspielkriterium dW lim n ¼ 0; 3 mx cos gm oder Spitzgrenze dW lim n ¼ mx cos gm ðp=2 2 tan a0 Þ. J0 Grundverschleißintensitt nach Bild 35;
Bild 34. Gesamtwirkungsgrade in % von Zylinderschneckengetrieben (Anhaltswerte), Wlzlagerung, bliches Polyglykol. Unterer Wirkungsgradbereich fr Achsabstnde a< 200 mm, oberer Bereich fr a bis 500 mm. Bei Verwendung von Minerall sind die Werte um etwa 2% (niedrige bersetzung) bis 10% (hohe bersetzung) zu verringern. Fr Wirkungsgrade geringer als 50% besteht Selbsthemmung oder Gefahr der Selbsthemmung
I8.8 Schneckengetriebe
G 149
Tabelle 19. Werkstoff/Schmierstoffaktor WML
G tF lim Schubdauerfestigkeit s. Tab. 20, wenn Qualittsverschlechterung tolerierbar sind nach DIN 3996 hhere Werte zugelassen. – Lebensdauerfaktor YNL nach Bild 36; berdekkungsfaktor Yeps ¼0,5; Formfaktor YF ¼ 2; 74 mx =½ðmt2 p=2 D sÞ þ ðd m2 d f2 Þ tan a0 =cos gm mit s als Abnahme der Zahnfußdickensehne durch Verschleiß innerhalb der geforderten Lebensdauer; Steigungsfaktor Yg ¼ 1=cos gm ; Kranzdickenfaktor YK ¼1,0 fr Kranzdicke sK 1; 5 mx , YK ¼1,25 fr sK < 1; 5 mx ðsK s. Bild 30). Bild 35 a, b. Bezugsverschleißintensitt, Radwerkstoff GZ-CuSn12 Ni (Mittelwerte und Streubereich) [78]. a Schmierung mit Minerall; b Schmierung mit Polyglykol
Schmierfilmdickenkennwert KW ¼ hmin m WS mit hmin m nach Gl. (99) und Schmierstoff-Strukturfaktor WS ¼ 1 fr Minerall, WS ¼ 1=h0;35 0M fr Polyglykole; die dynamische Viskositt h0M ist fr die Radmassentemperatur JM einzusetzen, welche nach DIN 3996 zu bestimmen ist. Werkstoff/Schmierstoffaktor WML nach Tab. 19. s nach Gln. (93, 96); sHm nach Gl. (97); NL Lastspielzahl bis Lebensdauerende; Ered nach Gl. (98). Nachrechnung der Zahnbruchsicherheit SF Durch zu hohe Zahnfußspannungen knnen die Schneckenradzhne plastisch verformt werden oder ausbrechen. SF ¼ tF lim YNL b2H mx =½Ftm2 Yeps YF Yg YK ð107Þ SF min ¼ 1,1: Tabelle 20. Werkstoffkennwerte fr Schneckengetriebe
Nachrechnung der Durchbiegesicherheit S Die Durchbiegung d der Schnecke muß begrenzt werden, um Strungen des Eingriffs (Verletzung des Verzahnungsgesetzes, s. G 8.1.1) und grßere Tragbildverlagerungen (rtliche Beanspruchungserhhung, ungleichmßiger Verschleiß) zu vermeiden. 4 ðlA þ lB Þ=½3;2 105 l2A l2B Ftm2 Sd ¼ dlim dm1 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi tan2 ðgm þ arctan mzm Þ þ tan2 a0 =cos2 gm Sd min ¼ 1;0 ð108Þ
dlim Grenzwert der Durchbiegung, nach Praxiserfahrungen dlim ¼ 0; 01 mx : Nachrechnung der Temperatursicherheit ST Mit steigender Temperatur sinkt die Schmierstofflebensdauer rapide, Radialwellendichtringe werden angegriffen. Bei Einspritzschmierung kann ST ¼ PK =PV durch Steigerung der Khlleistung PK erhht werden. Bei Tauchschmierung ist die
G 150
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
8.8.7 Gestaltung, Werkstoffe, Lagerung, Genauigkeit, Schmierung, Montage Embodiment design, materials, bearings, accuracy, lubrication, assembly Gestaltung von Gehusen (s. G 8.10). Beispiel s. Bild 37. Lage der Schnecke bei Tauchschmierung mglichst unten, bei u1 < 10 m/s auch seitlich, bei u1 < 5 m/s auch oben; bei Einspritzschmierung Lage beliebig. Schnecke optimal aus Einsatzstahl ð58 . . . 62 HRC) oder legiertem Vergtungsstahl randgehrtet (HRC 0,5 m/s; Anhaltswert nach [83].
Genauigkeit, Flankenspiel. Qualitten nach DIN 3974, Einzel- und Sammelabweichungen: DIN-Qualitt 4 bis 5 fr genaue Teilgetriebe, Richtgerte u. .; DIN-Q. 5 bis 6 fr Aufzge und laufruhige Getriebe mit u1 < 5 m/s; DIN-Q. 8 bis 9 fr normale Industriegetriebe; DIN-Q. 10 bis 12 fr Nebenantriebe, Handantriebe u. . mit u1 < 3 m/s.
Bild 37. Schneckengetriebe (Flender, Bocholt). Nennleistung 24,5 kW, n1 ¼ 1500 min1 ; i ¼ 20. 1 ZC-Schnecke, 16 MnCr5 einsatzgehrtet, geschliffen; 2 Radkranz GZ – CuSn 12 Ni; 3 Nabe St 37; 4 Gehse GG 20 mit waagerechten Rippen; 5 Lfter; 6 lablaß 7 Schaulochdeckel mit Entlftung; 8 Radialdichtringe (nach innen dichtend); unterschiedliche Abdichtung der Schneckenwelle dargestellt; 9 zustzliche Dichtringe; 10 Schleuderscheibe; 11 lrcklauf (versetzt gezeichnet); 12 Schulterkugellager (fr leichten Betrieb); 13 Kegelrollenlager (fr schweren Betrieb); 14 Paßscheiben fr axiales Einstellen des Rads
I8.9 Umlaufgetriebe
G 151
Tragbild auf Auslaufseite einstellen (Schmierkeil!). Einlaufen (mit Nennmoment, niedriger Drehzahl, dnnflssigem l) erhht Wirkungsgrad und Flankentragfhigkeit, jedoch nur in Sonderfllen wirtschaftlich mglich. Flankenspiel etwa nach Tab. 17. Spielarme Getriebe [29]. Schmierung. Anhalt fr die Wahl der lviskositt und Schmierungsart s. Bild 18. Fettschmierung nur bei u1 < 1 m/s oder Aussetzbetrieb (Wrmeabfuhr), Abrieb im Fett (schwierigen Fettwechsel beachten!). Mineralle mit milden EP-Zustzen erleichtern das Einlaufen. Synthesele ermglichen niedrige Reibungszahlen d. h. hohen Wirkungsgrad und hohe Wrmegrenzleistung; reduzieren Verschleiß, Einlaufverhalten daher meist ungnstiger (gesteigerte Gefahr der Grbchenbildung). lwechsel nach Einlauf, dann nach ca. 3 000 h, dann etwa jhrlich [35]. Z. T. Lebensdauerschmierung blich.
G
8.9 Umlaufgetriebe. Epicyclic gear systems basiert im wesentlichen auf der Fassung der 18. Auflage (Autor: H. W. Mller) 8.9.1 Kinematische Grundlagen, Bezeichnungen Kinematic fundamentals, terminology Umlaufgetriebe unterscheiden sich nur in einem Punkt wesentlich von einfachen, blichen bersetzungsgetrieben: Whrend bei bersetzungsgetrieben das Gehuse mitsamt den darin gelagerten Rdern fest mit einem Fundament verbunden ist, wird es bei Umlaufgetrieben drehbar mit einer zustzlichen (Hohl-)Welle im Fundament gelagert. Dadurch entsteht aus dem zwanglufigen bersetzungsgetriebe mit dem Laufgrad F=1 ein zwangloses Differential- oder berlagerungsgetriebe mit dem Laufgrad F=2. (Der Laufgrad eines Getriebes gibt an, wie viele Bewegungen ihm beliebig vorgegeben werden knnen und mssen, um seinen Bewegungszustand eindeutig zu bestimmen.) Das ursprngliche Gehuse schrumpft dabei auf einen Steg s zusammen, der nur noch die Radlagerungen trgt. Schutz und ldichtheit werden durch ein neues Gehuse gewhrleistet, das aber jetzt kinematisch ein Teil des Fundaments ist. Das Drehmoment der neuen Stegwelle s ist identisch mit dem Sttzmoment des ursprnglichen Getriebegehuses. Auf diese Weise entstehen Umlaufgetriebe aus Zahn- und Reibradgetrieben (Umlaufrdergetriebe), hydrostatischen Getrieben, Zugmittel-, Gelenk- und sonstigen Getrieben [59]. Umlaufrdergetriebe (hufigste Bauarten s. Bild 38) werden auch als „Planetengetriebe“ und ihre Rder mit umlaufenden Achsen als „Planetenrder“ oder „Planeten“ bezeichnet. Wird die neue Stegwelle s momentan oder stndig festgehalten oder stillstehend gedacht, so wird das Umlaufgetriebe wieder zum „Standgetriebe“ mit der „Standbersetzung“ i12 seiner beliebig mit 1 und 2 bezeichneten „Standgetriebewellen“ und den „Standwirkungsgraden“ h in den beiden bei Vertauschung von An- und Abtrieb mglichen Richtungen des Leistungsflusses (Lfl): n1 Standbersetzung i12 ¼ n2 ðns ¼0Þ Standwirkungsgrad h12 bei Antrieb an Welle 1; Abtrieb bei 2 Standwirkungsgrad h21 bei Antrieb an Welle 2; Abtrieb bei 1: Die Indices 1, 2, s kennzeichnen jeweils die zugeordneten Wellen mit ihren Rdern bzw. dem Steg. Die Reihenfolge der Indices bedeutet bei Drehzahlverhltnissen oder -bersetzungen: erster Index Zhler, zweiter Index Nenner, bei Wirkungsgraden: erster Index Antriebswelle, zweiter Index Ab-
Bild 38 a–g. Die hufigsten Bauarten von Planetengetrieben. a bis c Minusgetriebe; d bis f Plusgetriebe; g offenes Planetengetriebe. z Zhnezahlen; A: mglicher Bereich der Standbersetzung bei q=3 Planeten(stzen) am Umfang, etwa gleiche Zahnfußspannung aller Rder, zmin ¼ 17, zmax =300; B: Standbersetzung; C: h12 ¼ h21 mit hwa =0,99 einer Stirnradstufe, hwi ¼ 0;995 einer Hohlradstufe; D: Zhnezahlbedingungen fr gleichmßige Anordnung von q Planeten(stzen) am Umfang, g ganze Zahl, t grßter gemeinsamer Teiler von zp1 und zp2 eines Stufenplaneten
triebswelle. Planetenrder werden mit p und dem Index des Rads, mit dem sie jeweils kmmen, bezeichnet, Bild 38. Diese einheitliche Indizierung mit 1, 2 und s der Umlaufgetriebewellen vereinfacht und erleichtert die Berechnung und erlaubt z. B. das Betriebsverhalten aller Bauformen der Umlaufgetriebe mit einem einzigen, einfachen Rechenprogramm zu analysieren [60, 61]. Bei einem Zahnradstandgetriebe wird die Leistung ausschließlich als „Wlzleistung“ PW beim Abwlzen der Rder mit ihren „Wlzdrehzahlen“ nw1 und nw2 ber den Zahneingriff bertragen. Dabei geht die Zahnreibungsverlustleistung Pvz als Verlustwrme verloren.
G 152
G
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
Werden bei einem zunchst stillstehenden Standgetriebe der Steg s und die beiden Standgetriebewellen 1 und 2 mit gleichen Drehzahlen ns , n1 ¼ ns und n2 ¼ ns in Bewegung gesetzt, so rotiert das gesamte Getriebe einschließlich der beiden Standgetriebewellen ohne innere Relativbewegung, wie eine Kupplung. Es kann dabei „Kupplungsleistung“ Pk verlustlos mit der „Kupplungsdrehzahl“ ns bertragen. Wird eine Kupplungsdrehzahl ns einem laufenden Standgetriebe berlagert, so entsteht der typische Betriebszustand eines Umlaufgetriebes mit drei laufenden Wellen mit den Drehzahlen ns , n1 ¼ nw1 þ ns und n2 ¼ nw2 þ ns . Dabei berlagern sich zugleich auch die nur zwischen den Radwellen 1 und 2 bertragbare Wlzleistung Pw und die verlustfrei zwischen allen drei Wellen bertragene Kupplungsleistung Pk , vgl. G 8.9.4. Umgekehrt ergeben sich die Wlzdrehzahlen eines mit drei Wellen laufenden Getriebes zu nw1 ¼ n1 ns und nw2 ¼ n2 ns sowie die Standbersetzung nw1 n1 ns ¼ : ð110Þ i12 ¼ nw2 n2 ns
Tabelle 21. Allgemein gltige Umrechnung von freien Drehzahlverhltnissen k oder 1/k eines Getriebes mit einer bekannten Stand- oder Umlaufbersetzung iab . Fr a und b die Indices der bekannten bersetzung, fr c den Index der brigen Welle einsetzen
Umgeformt vereinfacht sich diese fr alle Umlaufgetriebebauarten gltige Drehzahl-Grundgleichung zu n1 n2 i12 ns ð1 i12 Þ ¼ 0:
ð111Þ
Whrend die bersetzung i12 eines zwanglufigen Standgetriebes durch seine geometrischen Daten, z. B. Raddurchmesser, unvernderlich festgelegt ist, knnen beim dreiwelligen Umlaufgetriebe zwei beliebige Drehzahlen vorgegeben werden, die seinen Bewegungszustand bestimmen. Die mit solchen Drehzahlen gebildeten Drehzahlverhltnisse knnen nicht mehr als bauartabhngige „bersetzung“ i bezeichnet werden, sondern werden „freie Drehzahlverhltnisse“ k genannt. Diese Unterscheidung ist besonders zu beachten, weil beide Grßen in einer Gleichung vorkommen knnen. So ergibt sich z. B. aus Gl. (111) bei beliebig vorgegebenen freien Drehzahlen n1 und n2 : k1s ¼ n1 =ns ¼ ð1 i12 Þ=ð1 i12 =k12 Þ: Wird jedoch eine der drei Wellen festgehalten, z. B. n2 ¼ 0, oder n1 ¼ 0, so wird das Getriebe wieder zwanglufig und es ergeben sich mit Gl. (111) die „Umlaufbersetzungen“ i1s ¼ 1 i12 ;
i2s ¼ 1 1=i12
ð112Þ
sowie deren Reziprokwerte, bei denen Steg und Planetenrder umlaufen. Die jeweils im Index einer bersetzung i nicht genannte Welle steht still. 8.9.2 Allgemeingltigkeit der Berechnungsgleichungen Generalization of calculations Kinematisch sind die beiden Standgetriebewellen und die Stegwelle eines Umlaufgetriebes gleichrangig. Daher kann Gl. (111) auch in allgemeiner Form geschrieben werden [58]: na nb iab nc ð1 iab Þ ¼ 0;
ð113Þ
wobei a, b und c in beliebiger Zuordnung durch 1, 2 oder s ersetzt werden knnen. Daraus folgt z. B. Tab. 21 zur unmittelbaren Berechnung eines beliebigen freien Drehzahlverhltnisses k oder 1/k, wenn eine beliebige Stand- oder Umlaufbersetzung i und ein beliebiges freies Drehzahlverhltnis k oder 1/ k eines Getriebes bekannt sind. Daraus folgt in weiterer Konsequenz, daß auch die Gleichungen aller Betriebsdaten, also auch fr Drehmomente, Leistungen und Wirkungsgrade, gltig bleiben, wenn die Indices der Wellen in beliebiger aber in allen Gleichungen in gleicher Weise vertauscht werden. Da diese Betriebsgrßen nur von einer Standbersetzung und den zugehrigen Standwirkungsgraden, nicht aber vom inneren Aufbau eines Umlaufgetriebes abhngen, gelten die fr einfache Umlaufgetriebe gegebenen Gleichungen auch fr beliebig zusammengesetzte Getriebe, solange diese mit drei u-
Bild 39. Beispiel fr drei kinematisch gleichwertige Planetengetriebe
ßeren Anschlußwellen a, b und c den Laufgrad F=2 aufweisen und sofern ihre Drehzahlen und Drehmomente nicht gegenseitig voneinander anhngen, wie etwa bei hydrodynamischen Wandlern. Dabei ist es gleichgltig, welche drei aus einer Vielzahl von im Getriebe vorhandenen Gliedern bzw. Wellen als ußere Anschlußwellen gewhlt werden. Bei ungleichmßig bersetzenden Getrieben, z. B. Gelenkgetrieben, gelten die Gleichungen jeweils nur fr eine relative Gliedlage ihrer zwanglufigen kinematischen Kette [62] und die zugehrige momentane bersetzung zwischen zwei der drei Anschlußwellen. Aus der beliebigen Vertauschbarkeit der Indices folgt der fr die Getriebesynthese ntzliche Satz: Stimmt eine beliebige Stand- oder Umlaufbersetzung eines Umlaufgetriebes mit einer beliebigen Stand- oder Umlaufbersetzung eines anderen Umlaufgetriebes berein, so sind beide Getriebe kinematisch gleichwertig, d. h., beide haben dieselben sechs bersetzungen, jedoch in der Regel unterschiedliche Wirkungsgrade. Beispiel fr kinematisch gleichwertige Getriebe s. Bild 39. 8.9.3 Vorzeichenregeln. Sign conventions Drehzahlen. Alle Drehzahlen paralleler Wellen mit gleicher Drehrichtung haben gleiche Vorzeichen. Die positive Drehrichtung (n>0) wird beliebig gewhlt. Drehzahlen mit entgegengesetzter Drehrichtung sind dann negativ. Daraus folgt bersetzungen i und freie Drehzahlverhltnisse k sind bei gleichsinnig laufenden Wellen positiv (i, k>0), bei gegenlufigen Wellen negativ (i, k0), wenn es in der positiv definierten Drehrichtung auf (!) das Getriebe wirkt; in der entgegengesetzten Wirkungsrichtung ist es negativ (M 0Þ, weil eine Antriebswelle stets die Drehrichtung im Drehsinn des antreibenden Drehmoments annimmt. Abtriebsleistungen sind dagegen negativ ðPab < 0Þ, weil das ußere, auf das Getriebe bremsend wirkende Abtriebsmoment der Abtriebsdrehrichtung entgegengerichtet ist. Verlustleistungen sind als abgefhrte Leistungen negativ ðPv < 0Þ. 8.9.4 Drehmomente, Leistungen, Wirkungsgrade Torques, powers, efficiencies Drehmomente. Das Verhltnis der Drehmomente wird allein durch die Standbersetzung i12 und die Standwirkungsgrade h12 und h21 bestimmt. Es verndert sich nicht, wenn einem laufenden Standgetriebe beliebige Kupplungsdrehzahlen ns (verlustfrei) berlagert werden. Aus den Gleichgewichtsbedingungen folgt das Momentengleichgewicht M1 þ M2 þ Ms ¼ 0:
ð114Þ
Fr das Standgetriebe folgt aus der Leistungsbilanz in den beiden Lfl.-Richtungen: Antrieb bei 1: M2 n2 ¼ M1 n1 h12 , Antrieb bei 2: M2 n2 ¼ M1 n1 =h21 . Durch Zusammenfassen der beiden Wirkungsgrade im Ausdruck hw1 0 lassen sich die Drehmomentverhltnisse unabhngig vom Leistungsfluß formulieren: M2 n1 ¼ hw1 ¼ i12 hw1 0 : M1 n2 0
ð115Þ
Mit Gln. (114) und (115) folgt Ms ¼ i12 hw1 0 1; M1
ð116Þ
Ms 1 ¼ 1: M2 i12 hw1 0
ð117Þ
Dabei folgt der Exponent w1 aus dem Vorzeichen der Wlzleistung Pw1 der Welle 1 : Ist Pw1 > 0, fließt die Wlzleistung von Welle 1 nach 2, ist Pw1 < 0, von 2 nach 1. Daraus folgt die Definition von hw1 fr die Berechnung: 0 Ist Pw1 ¼ M1 ðn1 ns Þ > 0 : w1 ¼ þ1 ! hw1 0 ¼ h12 2p ð118Þ < 0 : w1 ¼ 1 ! hw1 0 ¼ 1=h21 wobei M1 das vorgegebene Drehmoment ist, oder bei Vorgabe von M2 oder Ms , mit hw1 0 ¼ 1 (!) aus Gl. (115) oder (116) berechnet wird. Die Gln. (115) bis (117) zeigen, daß die Verhltnisse der drei Wellenmomente zueinander nur von der Standbersetzung i12 und den Standwirkungsgraden hw1 0 bestimmt werden und somit bei jedem der beiden Wlzleistungsflsse konstant sind M1 : M2 : Ms ¼ f ði12 ; hw1 0 Þ ¼ const:
ð119Þ
Diese fr Differentialgetriebe charakteristische Gleichung gilt unabhngig von den jeweiligen Drehzahlen, auch wenn eine Welle stillgesetzt ist. Wird ber die drei Wellen eines Umlaufgetriebes Leistung zwischen drei Maschinen bertragen, so mssen Gl. (111) fr die Drehzahlen wie auch Gl. (114) und (119) fr die Drehmomente erfllt sein. Dabei regelt sich ein Betriebszustand ein, bei dem die noch freie gegenseitige Zuordnung von Drehzahlen und Drehmomenten durch die
G 153
Tabelle 22. Formeln fr die Drehmomente. Mit w1 ¼ þ1 : hw1 0 ¼ h12 oder w1=-1: hw1 0 ¼ 1=h21 , w1 aus Tab. 23 fr bersetzungsgetriebe, aus Tab. 24 fr berlagerungsgetriebe oder aus Gl. (102)
Kennlinien M=f(n) der angeschlossenen Maschinen erfolgt [59]. Ist damit kein stabiler Zustand erreichbar, geht die Anlage durch oder bleibt stehen. Ist eines der Drehmomente M=0 (z. B. Maschine abgekuppelt), so werden nach Gl. (119) auch die brigen Momente gleich Null, das Getriebe luft leer, Leistungsbertragung ist nicht mglich. Zusammenfassung der Drehmomentgleichungen s. Tab. 22. Nach Gl. (114) muß eines der drei Wellenmomente das entgegengesetzte Vorzeichen der beiden brigen haben und im Betrag gleich deren Summe sein. Diese Welle heißt Summenwelle, die anderen beiden Differenzwellen. Bei Umlaufgetrieben mit negativer Standbersetzung (Minusgetriebe) ist die Stegwelle stets Summenwelle, bei positiver Standbersetzung (Plusgetriebe) ist es die langsamer laufende Standgetriebewelle. Wird die Summenwelle stillgesetzt, entsteht an den beiden laufenden Differenzwellen wegen ihrer gleichsinnigen Drehmomente stets eine negative bersetzung, bei Stillsetzung einer Differenzwelle eine positive. Daher kann jedes einfache Umlaufgetriebe zwei reziproke negative und vier paarweise reziproke positive bersetzungen erzeugen. Leistungen. Mit M in Nm (kNm), n in s1 , werden die Wellenleistungen und die Verlustleistung Pv : P1 ¼ M1 n1 2 p W ðkWÞ;
ð120Þ
P2 ¼ M2 n2 2 p W ðkWÞ;
ð121Þ
Ps ¼ Ms ns 2 p W ðkWÞ
ð122Þ
Pv ¼ M1 ðn1 ns Þ2 p ð1 hw1 0 Þ W ðkWÞ:
ð123Þ
Ein charakteristisches Merkmal der Umlaufgetriebe ist die Entstehung der Wellenleistungen P1 und P2 als Summe (berlagerung) von Wlz- und Kupplungsleistung. Mit w ¼ 2pn wird: Wellenleistung ¼ W a¨ lzleistungþ Kupplungsleistung P1 ¼ Pw1 þ Pk1 ¼ M1 ðw1 ws ÞþM 1 ws P2 ¼ Pw2 þ Pk2 ¼ M2 ðw2 ws Þþ M2 ws Ps ¼ Pks ¼ Ms ws : Je nach Wahl der Drehzahlen knnen Wlz- und Kupplungsleistung gleiche oder entgegengesetzte Vorzeichen, d. h. gleich- oder einander entgegengerichtete Leistungsflsse aufweisen. Daher knnen sich die Wellenleistungen P1 und P2 als Summe oder als Differenz dieser beiden Teilleistungen ergeben. Im ersten Fall bleibt die verlustbehaftete Wlzleistung kleiner als die Wellenleistung, dann wird der Gesamtwirkungsgrad hher als der Standwirkungsgrad. Bei entgegengerichteten Teilleistungsflssen kann die Wlzleistung aber beliebig grßer als die Wellenleistung werden; der Gesamtwirkungsgrad wird dann entsprechend niedriger als der Standwirkungsgrad. Er kann sogar negativ werden und dadurch zur Selbsthemmung des Getriebes fhren, s. G 8.9.5. Diese Betrachtung der Teilleistungen gibt Einblick in das Betriebsverhalten eines einfachen Planetengetriebes, sie ist aber zur Berechnung der Betriebsdaten nicht erforderlich. Durch berlagerung beliebiger Wlz- und Kupplungsleistungen kann bei jedem Umlaufgetriebe jeder der sechs mglichen Leistungsflsse erzeugt werden: je drei mit Welle 1, 2 oder s als alleiniger Antriebswelle und zwei Abtriebswellen (Leistungsteilung) oder 1, 2 oder s als alleiniger Abtriebswelle mit zwei Antriebswellen (Leistungssummierung). Welches die alleini-
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Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
ge An- oder Abtriebswelle (Gesamtleistungswelle GLW) ist, wird allein durch die Standbersetzung i12 und ein beliebiges freies Drehzahlverhltnis k bestimmt, s. Tab. 24. Soll ein berlagerungsgetriebe mit seiner GLW als einziger Antriebswelle (Motor) und zwei Abtriebswellen (Arbeitsmaschinen) laufen, so knnen die Drehzahlverhltnisse k12 , k1s bzw. k2s nur innerhalb der in Tab. 24 dafr angegebenen Bereiche liegen. Werden einem berlagerungsgetriebe bei Anschluß von zwei Motoren und einer Arbeitsmaschine die Drehzahlen vorgegeben und ist dabei die Abtriebswelle zugleich GLW, so herrscht Leistungssummierung. Ist jedoch einer der beiden Motoren an die GLW angeschlossen, so treibt er allein das Getriebe an, whrend der andere Motor neben der Arbeitsmaschine einen Abtrieb bilden muß und bersynchron als Bremse angetrieben wird, vgl. G 8.9.7.
Tabelle 23. Wirkungsgrade der Umlauf-bersetzungsgetriebe (Fr einfache Zahnradplanetengetriebe gilt: h12 h21 , fr Planeten-Koppelgetriebe hI II und hII I getrennt bestimmen; erster Index Antriebswelle, zweiter Abtriebswelle.)
Wirkungsgrad. Mit den allgemeinen Definitionen
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Wirkungsgrad h ¼ ðPab =Pan Þ ¼ 1 z
ð124Þ
Verlustgrad z ¼ ðPv =Pan Þ ¼ 1 h
ð125Þ
wird der Gesamtwirkungsgrad eines Planetengetriebes mit zwei oder drei laufenden Wellen hges ¼ 1 þ
Pv M1 ðn1 ns Þ2pð1 hw1 0 Þ ¼1 SPan SPan
ð126Þ
mit Pv nach Gl. (123) und der einen oder den beiden Wellenleistungen nach Gl. (120) bis (122), die sich durch ihr positives Vorzeichen als Antriebsleistungen Pan ausweisen. (Bei einem selbsthemmungsfhigen Getriebe darf jedoch eine Abtriebswelle, deren Leistung nur infolge von Selbsthemmung (s. G 8.9.5) ein positives Vorzeichen annimmt, jedoch ohne Sh. mit M aus Gln. (115)–(117) fr hw1 0 =1 negativ wre, nicht bercksichtigt werden.) Die Minuszeichen in den Defi-
nitionsgleichungen (124) und (125) sind erforderlich, damit h und z, wie gewohnt, trotz der negativen Quotienten ðPv ; Pab < 0Þ einen positiven Wert annehmen. Der Wirkungsgrad lßt sich bei bersetzungsgetrieben auch allein durch Standbersetzung und Standwirkungsgrad, bei berlagerungsgetrieben zustzlich durch ein freies Drehzahlverhltnis, z. B. k12 , das die GLW bestimmt, ausdrcken, Tab. 23, 24 [59], wobei die zutreffende Gleichung noch vom jeweils zugehrigen Leistungsfluß abhngt.
Tabelle 24. Wirkungsgrade der berlagerungsgetriebe und Zuordnung der Bereiche von k12 , k1s und k2s zur Lage der Gesamtleistungswelle GLW [59]; Lfl. Leistungsfluß
I8.9 Umlaufgetriebe Einfache Zahnrad-Planetengetriebe sind als Standgetriebe wie bliche Zahnrad-bersetzungsgetriebe praktisch verlustsymmetrisch, d. h. h12 ¼ h21 . Bei Umlaufgetrieben, insbesondere bei Plusgetrieben, knnen die Wirkungsgrade in jeweils entgegengesetzten Leistungsflußrichtungen wegen der berlagerung von Wlz- und Kupplungsleistung jedoch sehr unterschiedlich sein. Bei Minusgetrieben sind die Umlaufwirkungsgrade stets hher als der Standwirkungsgrad. In Gl. (126) und Tab. 23, 24 wird – wie auch in der brigen Literatur – angenommen, daß bei umlaufendem Steg die Zahnreibungs- und Planetenlagerverluste bei bertragung der Wlzleistung Pw der Last proportional und gleich groß wie beim Standgetriebe seien. Nur diese Verluste werden der Berechnung zugrunde gelegt. Bei mitrotierendem Steg auftretende zustzliche Plansch- und Ventilationsverluste, Verluste durch Dichtringreibung sowie Einflsse durch die Schmierlfhrung knnen gegebenenfalls nach der Berechnung von hges zustzlich bercksichtigt werden. Bei der Bestimmung des Standwirkungsgrads drfen nur die genannten lastabhngigen Verluste herangezogen werden. Liegen genauere Angaben nicht vor, so gengt es fr praktische Berechnungen, einen Wlzwirkungsgrad hwa 0;99 fr eine außenverzahnte Stirnradpaarung und hwi =0,995 fr eine Hohlradstufe mit einer Innenverzahnung anzunehmen, vgl. Bild 36; fr genauere Wirkungsgradbestimmung s. [70]. 8.9.5 Selbsthemmung und Teilhemmung Selflocking and partial locking Bei Selbsthemmung (Sh) kann ein Getriebe auch mit beliebig großen Antriebsmomenten nicht bewegt werden; es wird durch den Antriebsmoment proportionale Reibkrfte innerlich blockiert. Seine Reibungsverlustleistung Pv wre grßer als die Antriebsleistung Pan . Es luft jedoch, wenn ihm die zur berwindung der Reibung noch fehlende Leistung bzw. das zum Lsen der Verklemmung erforderliche „Lsemoment“ durch Antreiben der Abtriebswelle in Abtriebsdrehrichtung zustzlich zugefhrt wird. Beispiel: Selbsthemmende Hubwerke mssen zum Senken einer (antreibenden) Last am eigentlichen Abtrieb angetrieben werden.
Einfache Planetengetriebe mit zwei oder drei angeschlossenen Wellen sind bei einer Standbersetzung h12 < i12 < 1=h21 selbsthemmungsfhig. Selbsthemmung tritt jedoch nur ein, wenn Welle s einzige Abtriebswelle ist. Analog sind beliebig zusammengesetzte Planetengetriebe mit hab < iab < 1=hba und Laufgrad 2 selbsthemmungsfhig aber nur selbsthemmend, wenn Welle c die einzige Abtriebswelle bildet (vgl. G 8.9.2). Bei Leistungsfluß in Selbsthemmungsrichtung kehren das Drehmoment Mj der Abtriebswelle j und somit die „Abtriebsleistung“ Pj im Vergleich zu einem reibungsfreien Betrieb (h12 ¼ h21 ¼ 1) ihr Vorzeichen um. Die dabei positiv werdende „Abtriebsleistung“ Pj wird aber nicht zu einer „echten“ Antriebsleitung. So bleiben z. B. die tragenden Flanken dieselben wie wenn j eine Abtriebswelle wre, sie wechseln nicht auf die bei „echtem“ Antrieb tragende andere Seite. Deshalb darf die positiv gewordene „Abtriebsleistung“ nicht als Pan in Gln. (124) bis (126) eingesetzt, sondern nur als Pab gt; 0 in Gl. (124) bercksichtigt werden! Damit ergibt sich als Kriterium fr Selbsthemmung ein negativer Wirkungsgrad fr den Laufzustand mit Leistungsfluß in Selbsthemmungsrichtung. Ist Welle s (bzw. c) eines selbsthemmungsfhigen Getriebes nur eine von zwei Abtriebswellen, so tritt Teilhemmung ein, ausfhrlich s. [59, 61]. Dabei kann die Welle s (bzw. c) hchstens ihr „Lsemoment“ ML in Antriebsrichtung auf die angeschlossene Maschine bertragen und nimmt eine Drehzahl an von a) n=0, wenn die Maschine mit ML nicht zu bewegen ist,
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b) n ¼ nan , wenn die Maschine nur M < ML fordert, c) 0 < n ¼ f ðML Þ nach Kennlinie der Maschine < nan . Der Wirkungsgrad wird dabei je nach Antriebsfall: ha ¼ h12 bzw. ha ¼ h21 ; h12 ; h21 < hb ; hc < 1: Die Gln. (114) bis (117) gelten auch fr den Laufzustand in Selbsthemmungsrichtung. Das errechnete Drehmoment einer „gehemmten“ Welle ist dabei zugleich das erforderliche „Lsemoment“ zum Senken einer Last bzw. zum Bewegen dieser Welle bei Teilhemmung. Der den Wert 1 des Verlustgrades (Gl. (125)) bersteigende Betrag kennzeichnet die Sicherheit einer Selbsthemmung. Sh eines Planetengetriebes tritt auch auf, wenn sein Wlzleistungsfluß mit dem gehemmten Leistungsfluß eines selbsthemmungsfhigen Standgetriebes bereinstimmt. 8.9.6 Konstruktive Hinweise. Hints for design Planetengetriebe weisen gegenber einfachen bersetzungsgetrieben einige konstruktive Besonderheiten auf [63]. Mittels Leistungsverzweigung ber q am Umfang angeordnete Planetenrder oder Planetenradstze lßt sich die bertragbare Leistung von Planetengetrieben oder gleichartig aufgebauten Standgetrieben, Verzweigungs- oder Sterngetriebe genannt, um den Faktor q steigern, wenn gleichmßiges Tragen aller Verzahnungen einer solchen statisch berbestimmten Anordnung gesichert ist, z. B. dadurch, daß die elastische Nachgiebigkeit im Verzahnungsbereich grßer ist als die hier wirksamen Maßabweichungen. Bei q=3 Planeten(stzen) am Umfang ist das Getriebe statisch bestimmt , wenn eines der drei Getriebeglieder 1, 2 oder s, wie hufig ausgefhrt, ohne Lagerung im Getriebegehuse nur durch die Zahneingriffe unter Last zentriert wird. Trotzdem sind dynamische Zusatzbelastungen vorhanden s. [64]. Alle vorstehenden Berechnungen werden von der Anzahl q dieser Planeten(stze) nicht beeinflußt. Eine gleichmßige Verteilung mehrerer Planeten am Unfang ist geometrisch nur mglich, wenn die Zhnezahlbedingungen nach Bild 38 (fr andere Getriebebauformen s. [59]) ganzzahlig erfllt sind. Bei „Stufenplaneten“, Bild 38 b, d, e ist zustzlich eine genaue gegenseitige Lagezuordnung ihrer beiden Planetenzahnkrnze und eine Markierung der in Montagestellung kmmenden Zahnpaare erforderlich. Getriebe mit Einfachplaneten sind deshalb einfacher zu fertigen. Bei der Lebensdauerberechnung der Planetenlager sind die Fliehkrfte der Planeten zu bercksichtigen und deren Relativdrehzahlen (np ns ) gegenber dem Steg zugrunde zu legen [65]. Fr Getriebe nach Bild 38 sind diese ðnp1 ns Þ ¼ ðn1 ns Þz1 =zp1 ¼ ðnp2 ns Þ ¼ ðn2 ns Þz2 =zp2 : Bei Getrieben nach Bild 38 a, c, f ist zp1 ¼ zp2 ¼ zp und np1 ¼ np2 ¼ np zu setzen. 8.9.7 Auslegung einfacher Planetengetriebe Design of simple planetary trains bersetzungsgetriebe Beispiel: isoll ¼ þ3, kleinste Zhnezahl zn ¼ 19, q=3 Planeten am Umfang. Es gibt drei mgliche Standbersetzungen nach Gl. (112), mit jeweils geeigneten Bauarten nach Bild 38: isoll ¼ i12 ¼ þ3, Bauarten d, f isoll ¼ i1s : i12 ¼ 1 i1s ¼ 1 3 ¼ 2, Bauarten a, b isoll ¼ is1 : i12 ¼ 1 1=is1 ¼ 1 1=3 ¼ 2=3, Bauarten d, e, f isoll ¼ i21 ; is2 ; i2s ergibt gleiche Getriebe mit vertauschten Bezeichnungen 1 und 2. Geeignete Bauart: Getriebe nach Bild 38 a mit i12 ¼ 2 fhrt zur einfachsten Konstruktion, s. Bild 39. Bestimmung der Zhnezahlen: Zugleich mssen die Gleichungen B und D nach Bild 38 a sowie fr die Achsabstnde a1p ¼ a2p erfllt sein. Fr ein Nullgetriebe ðx1 ¼ x2 ¼ 0, G 8.1.5) folgt: z2 ¼ i12 z1 ¼ ð2Þ34 ¼ 68:
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Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
a1p ¼ a2p ¼ ðz1 þ zp Þm=2 ¼ ðjz2 j zp Þm=2; somit werden zp ¼ ðjz2 j z1 Þ=2 ¼ 17: ðz1 þ jz2 jÞ=q ¼ ð34 þ 68Þ=3 ¼ 34 ganzzahlig, Montagebedingung erfllt. Falls sie nicht erfllt ist, zmin variieren und Achsabstnde mittels Profilverschiebung angleichen, s. G 8.1.7. Abschließend die Berechnung des Moduls nach G 8.5 und den konstruktiven Entwurf unter Bercksichtigung der auf die Planetenradlager wirkenden Fliehkrfte ausfhren.
berlagerungsgetriebe
G
Bei jedem berlagerungsgetriebe sind mit dessen Standbersetzung i12 und zwei Drehzahlen n oder einem freien Drehzahlverhltnis k die Gesamtleistungswelle bestimmt und durch ein Drehmoment zustzlich der Leistungsfluß (Lfl) und der Gesamtwirkungsgrad hges festgelegt. Daher kann die Zuordnung eines gewollten Lfl zu vorgegebenen Drehzahlen nur in begrenzten Bereichen der freien Drehzahlverhltnisse k realisiert werden, s. Tab. 24. Die Bereichsgrenzen sind jeweils durch Stillstand einer Welle bei einer Stand- oder Umlaufbersetzung oder durch den „Kupplungspunkt“ ðn1 ¼ n2 ¼ ns Þ gekennzeichnet. Drehzahlen konstant. Werden drei konstante Drehzahlen na ; nb ; nc vorgegeben, so ergibt sich die dazu erforderliche Standbersetzung i12 ¼ isoll aus Gl. (110). Setzt man dabei na ; nb ; nc in den sechs mglichen Kombinationen als n1 ; n2 und ns ein, so erhlt man drei Paare von zueinander reziproken Standbersetzungen und damit drei verschiedene, kinematisch gleichwertige Getriebe, z. B. nach Bild 39, mit jeweils vertauschten Indices 1 und 2 der Standgetriebewellen. Aus der kinematischen Gleichwertigkeit dieser drei Getriebe folgt, daß bei jedem die Welle mit derselben Drehzahl na ; nb oder nc Gesamtleistungswelle ist. Somit liegt bei Vorgabe von drei Drehzahlen die Leistungsverteilung zwischen den zugehrigen Wellen fest und zwar unabhngig davon, wo und wie diese Wellen in der schließlich gewhlten Getriebebauart angeordnet sind, s. Tab. 24. Beispiel: na ; nb ; nc ¼ 18, 9, 12 s1 . Mit z. B. n1 ¼ 9, n2 ¼ 12, ns ¼ 18 folgt mit Gl. (110): i12 ¼ 1;5, k12 ¼ 9=12, damit aus Tab. 24 unter i12 > 1 und k12 ¼ 0 . . . 1 ! GLW ist Welle 2, d. h. die Welle mit n=12 s1 .
Werden zwei konstante Drehzahlverhltnisse, z. B. kab ; kcb vorgegeben, so errechnet man iab aus Tab. 21 und findet mit iab ¼ isoll drei Standbersetzungen sowie geeignete Bauarten wie im Abschnitt bersetzungsgetriebe. Drehzahlen stufenlos vernderlich. Bei einem berlagerungsgetriebe mit stufenlos vernderlichen Drehzahlen erfolgen die Berechnungen jeweils fr dessen beide, beliebig mit und * bezeichneten Drehzahl-Verstell grenzen wie bei konstanten Drehzahlen. Bei einer Anordnung nach Bild 40 seien den Getriebewellen a, b und c, Drehzahlen wie folgt zugeordnet: na variable Abtriebsdrehzahl ð127Þ j ¼ n =n ¼ k =k Stellverhltnis Welle a a
a
a
ab
ab
nb = konstant vorgegeben (Hauptmotor H) nc einstellbar vorgegeben (Nebenmotor N) =kcb Stellverhltnis Welle c: jc ¼ nc =nc ¼ kcb
ð128Þ
Bei einer Drehzahlumkehr innerhalb eines Stellbereichs wird j|50| [60, 67]. Mit den
Bild 41. Abhngigkeit der Leistungsverhltnisse e0 von der Kombination der Stellverhltnisse ja und jc eines berlagerungsgetriebes nach Bild 40 sowie j ð¼ ja ) und j0 ð¼ jc ) eines Stellkoppelgetriebes nach (Bild 45) Beispiel mit Lsungen 1 und 2: gefordert na ¼ 66 . . . 40 s1 , nb ¼ 25 s1 , nc; 1 ¼ 33 . . . 50 s1 , nc; 2 ¼ 50 . . . 33 s1 . Daraus ja ¼ na =na ¼ 66=40 ¼ 1;650, jc; 1 ¼ nc =nc ¼ 33= 50 ¼ 0;660; jc; 2 ¼ 50=33 ¼ 1;515.
Bild 42 a–f. Symbole fr Umlaufgetriebe. a mit beliebiger oder unbekannter Lage der Stegwelle; b Welle 2 konstruktiv stillgesetzt; c Wellen 2 und s knnen an- oder abgekuppelt oder festgebremst werden; d Umlauf-Stellgetriebe mit stufenlos verstellbarer Standbersetzung, z. B. hydrostatisches Umlauf-Stellgetriebe; e einfaches bersetzungsgetriebe mit stillstehendem Gehuse und zwei Anschlußwellen, bezeichnet mit Ziffern >2; f einfaches Stellgetriebe mit stufenlos verstellbarer bersetzung, stillstehendem Gehuse und Wellenbezeichnungen >2, z. B. Keilriemen-Stellgetriebe
Lsung 1: kab , soll ¼ 40/25 = 1,60, k cb; soll; 1 ¼ –50/25=–2, Gl. (129 a): iba, a1 ¼ ð1 þ 0;660Þ=½1;60ð1;650þ0; 660Þ ¼ 0; 449, Gl. (129 b): kcb; al ¼ ð1 0;449 1;60Þ=ð1 0;449Þ ¼ 0;511 6¼ kcb; soll; 1 , Ergnzungsgetriebe C: iCc; 1 ¼ 2;00=0;511 ¼ 3;914. Lsung 2: kab; soll = 1,60, kcb; soll; 2 ¼ 33=25 ¼ 1;320, Gl. (129 a): iba, a2 ¼ ð1 þ 1;515Þ=½1;60 ð1;650 þ 1;515Þ ¼ 0;497, Gl. (129 b): kcb; a2 ¼ ð1 0;497 1; 60Þ=ð1 0;497Þ ¼ 0;407 6¼ kcb; soll; 2 , iCc; 2 ¼ 1;320= 0; 409 ¼ 3;243. Die beiden weiteren Lsungen mit Gln. (130) folgen aus Gl. (130 a): iba; c1 ¼ 1;141 bzw. iba; c2 ¼ 0;844, Gl. (130 b): kab, c1 ¼ 0;627 6¼ k 6¼ kab, soll bzw. kab, c2 ¼ 0;941 6¼ kab, soll , daraus iAa; 1 ¼ 1;60=0;629 ¼ 2;544; und iAa; 2 ¼ 1;60=0; 941 ¼ 1; 70. Gleiche Rechnung mit umgepoltem Hauptmotor, nb ¼ 25, ergibt gleiche Leistungsverhltnisse e0 , gleich große aber negative Standbersetzungen iba aber andere Ergnzungsgetriebe. e0; 1 ¼ ð1 1;65Þ= ð1 þ 0;66Þ ¼ 0;39 (Nebenmotor luft als Generator), e0; 1 ¼ 0;66ð 0;39Þ=1;65 ¼ 0;16 (Nebenmotor luft mit geringer Antriebsleistung, wie erwnscht). e0; 2 ¼ ð1 1;65Þ= 0;258;
Bild 43. Beispiel eines dreistufigen Reihen-Planetengetriebes. a Schema; b Symbol mit den aus a bertragenen Wellenbezeichnungen, hier iAB ¼ i1s i10 s0 i100 s00 ; hAB ¼ h1s h10 s0 h100 s00 ; hBA ¼ hs00 100 hs0 10 hs1
e0; 2 ¼ 1;52ð 0;258Þ=1; 65 ¼ 0;24.
8.9.8 Zusammengesetzte Planetengetriebe Compound planetary trains Getriebesymbole und Wellenbezeichnungen Getriebesymbole nach Bild 42, die nur noch die fr die Berechnung erforderlichen Informationen (Lage der Wellen und deren Koppelungen) enthalten, erleichtern die bersicht und vereinfachen die Analyse und Synthese zusammengesetzter Planetengetriebe erheblich. Die Wellen aller Teilgetriebe eines zusammengesetzten Planetengetriebes werden weiterhin mit 1, 2 und s bezeichnet, wobei fr die Wellen des zweiten Getriebes ein Strich (10 , 20 , s0 Þ und fr die Wellen eines etwa vorhandenen dritten Planetengetriebes zwei Striche (100 , 200 , s00 ) hinzugefgt werden usw. Bilder 43, 44. Damit knnen alle bisher angegebenen Gleichungen einschließlich der Tab. 21 bis 24 oder ein vorhandenes Rechenprogramm [60] unmittelbar fr jedes Teilgetriebe benutzt werden. Die zur
Bild 44 a–d. Beispiel eines Planeten-Koppelgetriebes als Turboprop. Reduktionsgetriebe [69]. a Schnittzeichnung; b Schema mit Wellenbezeichnungen; c Getriebesymbol mit lagegerecht aus b bernommenen Wellenbezeichnungen; d Symbol eines Planeten-Koppelgetriebes mit funktionsorientierter Bezeichnung seiner Wellen nach ihrer Lage: a; a0 angeschlossene Koppelwelle, f ; f 0 freie Koppelwelle, e; e0 Einzelwellen; I, II, S analog dem einfachen Umlaufgetriebe bezeichnete ußere Anschlußwellen
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ußeren Anschlußwellen I, II und S nach Bild 44 b bis d hat ein Planeten-Koppelgetriebe drei Anschlußwellen mit dem Freiheitsgrad F=2, wie ein einfaches Planetengetriebe. Daher hat es als Gesamtgetriebe auch das gleiche Betriebsverhalten und lßt sich genau wie ein solches mit denselben Gleichungen und den Tab. 21 bis 24 berechnen, wenn man die Indices 1, 2 und s statt der analogen Wellenbezeichnungen I, II und S einsetzt [59]. Wird die angeschlossene Koppelwelle S festgehalten, so wirkt das Getriebe als Reihengetriebe wie ein Standgetriebe und seine „Reihenbersetzung“ (analoge Standbersetzung) iI II sowie seine Reihenwirkungsgrade (analoge Standwirkungsgrade) hI II und hII I lassen sich wie fr Reihengetriebe, Bild 43, bestimmen, s. Beispiel. Luft ein Planeten-Koppelgetriebe als berlagerungsgetriebe, so sind seine beiden Teilgetriebe in ihren Funktionen gleichwertig. Wird eine seiner Einzelwellen, z. B. Welle II, Bild 44 b, c, festgehalten, so luft das zugehrige Teilgetriebe als bersetzungsgetriebe und kann durch ein Planetengetriebe mit einer stillgesetzten Welle oder durch ein einfaches bersetzungsgetriebe mit stillstehendem Gehuse gebildet werden. Als „Nebengetriebe“ N hat es hier nur die Aufgabe, das Drehzahlverhltnis k2s ¼ i20 10 des mit den ußeren Anschlußwellen verbundenen „Hauptgetriebes“ H vorzugeben. Die ußere bersetzung des Planeten-Koppelgetriebes iIS ¼ kea lßt sich dann mit Tab. 21 berechnen. Ersetzt man die Funktionsorientierten Bezeichnungen nach Bild 44 d durch die allgemeinen Bezeichnungen (s. G 8.9.2), z. B. e ! a, a ! b, f ! c, so wird in Tab. 21, 1. Zeile, das gesuchte Drehzahlverhltnis kea ¼ kab ¼ kcb ð1 iab Þ þ iab und rcktransformiert zu den ursprnglichen Bezeichnungen nach Bild 44 d: iIS ¼ kea ¼ kfa ð1 iea Þ þ iea ;
ð133Þ
wobei iea die bersetzung des Hauptgetriebes bei stillstehend gedachter Welle f bedeutet. Beispiel: Fr das Getriebe nach Bild 44 gilt: i12 ¼ 4;3, i10 20 ¼ 0;36. Damit wird in vorstehender Gleichung kfa ¼ k2s ¼ i20 10 ¼ 1= 0;36 ¼ 2;778 und iea ¼ i1s ¼ 1 i12 ¼ 1 þ 4;3 ¼ 5;3, somit Gl. (133) iIS ¼ kea ¼ 2;778ð1 5;3Þ þ 5;3 ¼ 17;24. Gleiches Ergebnis und zustzlich die Wirkungsgrade erhlt man, wenn man das einem einfachen Planetengetriebe analoge Planeten-Koppelgetriebe erzeugt: Nach Bild 44 d, c und Gl. (112) wird iI II ¼ ief if 0 e0 ¼ i12 i20 s0 ¼ i12 ð1 1=i10 20 Þ ¼ 4;3 ð1 1= 0;36Þ ¼ 16;24. Daraus mit Gl. (112) iIS ¼ 1 iI II ¼ 1 ð16;24Þ ¼ 17;24. Reihenwirkungsgrad: hI II ¼ hef hf 0 e0 ¼ h12 h20 s0 ¼ 0;985 0;989 ¼ 0;974; mit h20 s0 ¼ ði10 20 h20 10 Þ=ði10 20 1Þ nach Tab. 23 und mit h12 ¼ h21 ¼ h10 20 ¼ h20 10 ¼ 0;985. Daraus nach Tab. 23 unter i12 < 0 : hIS ¼ ðiI II hI II 1Þ=ðiI II 1Þ ¼ ð16;24 0;974 1Þ=ð16;24 1Þ ¼ 0;976:
wird, Bild 45 c. Das Stellverhltnis j (Stellbereich) eines Stellkoppelgetriebes ist fr ein beliebiges Stellverhltnis j0 des Nebengetriebes N bei geeigneter Auslegung des Hauptgetriebes H beliebig whlbar. In der Regel wird als Nebengetriebe ein handelsbliches Stellgetriebe verwendet, dessen Gehuse als festgehaltene „Stegwelle“ der Einzelwelle e0 des Nebengetriebes entspricht. Die Berechnung erfolgt, wie fr Planeten-Koppelgetriebe mit konstanter bersetzung, je einmal fr die beiden bersetzungsgrenzen des Stellbereichs. Dabei werden alle einander zugeordneten Grßen an einer beliebigen der beiden bersetzungsgrenzen mit , die entsprechenden Werte der anderen bersetzungsgrenze mit bezeichnet. Damit werden die Stellverhltnisse j des Koppelgetriebes und j0 des Nebengetriebes wie folgt definiert: j ¼ iIS =iIS ; j0 ¼ if0 a0 =if 0 a0
ð135Þ
Bei Drehzahlumkehr innerhalb eines Stellbereichs werden j und/oder j0 negativ. Der durch das Nebengetriebe fließende Anteil e0 der ußeren Leistung lßt sich bei reibungsfrei (Index o) gedachtem Betrieb bereits aus den Stellverhltnissen abschtzen: Mit e0 nach Gl. (134) werden an den Stellgrenzen e0 ¼ ð1 jÞ=ð1 j0 Þ;
e0 ¼ e0 j0 =j:
Bild 41 zeigt die Bereiche fr e0 |0,5| fr die mglichen Kombinationen der Stellverhltnisse j und j0 . Zur Verwirklichung der vorgegebenen Stellverhltnisse j und j0 ist ein Planetengetriebe mit der bersetzung iea zwischen den Wellen e und a bei stillstehend gedachter Welle f auszulegen. Je nachdem, ob dabei von der bersetzungsgrenze iIS oder if 0 a0 ausgegangen wird, ergibt sich iea ¼ iIS ðj j0 Þ=ð1 j0 Þ
ð136Þ
oder 1=iea ¼ 1 þ ð1 jÞ=½if 0 a0 ðj j0 Þ:
ð137Þ
Die jeweils nicht vorgegebene bersetzungsgrenze if 0 a0 bzw. iIS ergibt sich dann mit kfa ¼ if 0 a0 aus Gl. (133). Sie weicht in der Regel von der gewollten Sollbersetzung isoll ab, so daß Ergnzungsgetriebe III und/oder V nach Bild 45 a , b bei Auslegung mit Gl. (136) oder nach Bild 45 c, d mit Gl. (137) er-
Die durch das Nebengetriebe fließende Leistung hngt bei Vernachlssigung der Reibung (Index 0) nur von den bersetzungen ab und lßt sich mit Bezeichnungen nach Bild 44 d leicht abschtzen: Mit der Definition des Leistungsverhltnisses e0 ¼ ¼
Antriebsleistung des Nebengetriebes Antriebsleistung des Koppelgetriebes Pf 0 Pa0 ¼ gilt½59 PI PS
ð134Þ
e0 ¼ 1 iea =kea ¼ 1 iea =iIS oder auch e0 ¼ ð1 1=iIS Þ=ð1 1=if 0 a0 Þ: Mit diesen Gleichungen wird fr das Beispiel zu Bild 44 e0 ¼ ð1 1=17; 24Þ=1 1= 2; 778Þ ¼ 0;693:
Stellkoppelgetriebe (Bild 45) sind Planeten-Koppelgetriebe, die als Nebengetriebe ein Stellgetriebe mit stufenlos verstellbarer bersetzung if 0 a0 enthalten und damit auch eine stufenlos verstellbare Gesamtbersetzung iIS bieten. Ihre Wirkungsweise entspricht derjenigen eines berlagerungsgetriebes mit stufenlos vernderlichen Drehzahlen, Bild 40, bei dem statt eines drehzahlvernderlichen Nebenmotors N ein Nebengetriebe N mit stufenlos vernderlicher bersetzung eingesetzt
45 a–d. Stellkoppelgetriebe mit stufenlos verstellbarem Keilriemengetriebe [71]. a Symbol einer Ausfhrung mit zum Nebengetriebe zhlenden Ergnzungsgetrieben III und V; b Rderschema eines Stellkoppelgetriebes nach a mit Ergnzungsgetriebe III; c symbolische Darstellung mit ußeren Ergnzungsgetrieben III und V; d Rderschema eines Getriebes nach c mit Ergnzungsgetriebe V und einem zustzlichen zweistufigen Getriebe mit i=1 zur Achsabstandsberbrkkung
I8.10 Gestaltung der Zahnradgetriebe
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mit I und II verbundenen Wellen der Teilgetriebe I, II und III mit y. Dann wird i12 oder i21 zu ixy . In Bild 46 sind die Summenwellen in den Symbolen durch Doppelstriche markiert. Kombination Bild 46 c erweist sich als das wirkungsgleiche Planeten-Koppelgetriebe, das nun stellvertretend fr das reduzierte Koppelgetriebe analysiert wird, wie es zum Bild 44 beschrieben wurde.
8.10 Gestaltung der Zahnradgetriebe Design of geared transmissions Die hier angegebenen Regeln und Anhaltswerte basieren auf vielen ausgefhrten Konstruktionen im Maschinenbau fr mittlere Verhltnisse. Die so ermittelten Maße sind sinnvoll aufzurunden. Andere Abmessungen sind nach Erfahrungen in bestimmten Bereichen oder nach Einzeluntersuchungen zweckmßig oder notwendig. Wenn mglich, sind Festigkeit und Steifigkeit nachzurechnen. 8.10.1 Bauarten. Types Stirnradgetriebe
Bild 46 a–d. Reduziertes Planeten-Koppelgetriebe. a Schema des reduzierten Koppelgetriebes; b bis d schematische Darstellung und Symbole (mit Doppelstrich fr Summenwelle) der drei davon herleitbaren kinematisch gleichwertigen einfachen Planeten-Koppelgetriebe mit c als dem wirkungsgleichen
forderlich sind. Die bersetzungen dieser Ergnzungsgetriebe werden sinngemß wie in Unterabschnitt 8.9.7 berlagerungsgetriebe bestimmt. Die Zuordnung von iIS zu if 0 a0 ergibt sich fr beliebige Betriebspunkte innerhalb des Stellbereichs aus Gl. (133), ausfhrlicher s. [71]. Reduzierte Planeten-Koppelgetriebe sind Planeten-Koppelgetriebe, bei denen die Stege der beiden Teilgetriebe die freie Koppelwelle f f 0 (Bild 44 d) bilden und dadurch zu einem Bauteil zusammengefaßt werden knnen. Außerdem sind die auf der angeschlossenen Koppelwelle sitzenden Zahnrder der beiden Teilgetriebe und die mit ihnen kmmenden Planetenrder gleich groß; sie lassen sich deshalb auf ein einziges Rderpaar reduzieren [59, 68], Bild 46. Ein gegebenes reduziertes Koppelgetriebe lßt sich jedoch zu drei verschiedenen Planeten-Koppelgetrieben erweitern, je nachdem, ob Welle A, B oder C als dessen angeschlossene Koppelwelle S betrachtet wird. Alle drei haben bezglich der Wellen A, B und C das gleiche Drehzahlverhalten und sind deshalb kinematisch gleichwertig, jedoch knnen ihre Wirkungsgrade erheblich voneinander abweichen. Das einzige, dem reduzierten Koppelgetriebe „wirkungsgleiche“ einfache Koppelgetriebe ist dasjenige, bei dem die Drehmomente der zur angeschlossenen Koppelwelle gehrigen Zentralrder gleiche Wirkungsrichtungen haben und somit gleichgerichtete Leistungsflsse erzeugen. Sein Kennzeichen: Seine Einzelwellen I und II bilden je eine Differenz- und eine Summenwelle ihres Teilgetriebes, G 8.9.4 [59, 61]. Dieses hat zugleich den hchsten Wirkungsgrad. Seine Ermittlung geschieht durch einen einfachen Formalismus [61]: Ist eine Standbersetzung ixy > 1, so ist y Summenwelle, andernfalls, also auch bei negativer Standbersetzung, ist y eine Differenzwelle. Man bezeichne nacheinander die Welle S in Bild 46 b bis d mit x und die jeweils
Normalbauform nach Bild 47 a, b – einfach, betriebssicher, gut zugnglich. Fr grßere, mehrstufige Getriebe symmetrische Bauart nach Bild 47 c – grßere Gesamtzahnbreite, kompakt. Koaxialer An- und Abtrieb. Bei Bauart nach Bild 48 a erste Stufe schlecht ausgenutzt. Durch Leistungsverzweigung, z. B. nach Bild 48 b kleinere und leichtere Getriebe – (jedoch komplizierter, Lastausgleichselemente ntig); Planetengetriebe (s. G 8.9). Aufteilung der Gesamtbersetzung fr die Bedingung: Minimales Gesamtvolumen der Rder, freie Wahl von b/d oder b/a (berprfen nach Tab. 8); Index I erste Stufe usw. sH lim Werte siehe Tab. 14. Zweistufiges Getriebe: uI 0;8ðusH lim I =sH lim II Þ2=3 :
ð138Þ
Dreistufiges Getriebe: uI 0;6u4=7 ðsH lim I =sH lim II Þ2=7 ðsH lim I =sH lim II Þ4=7 ;
ð139Þ
uII 1;1u2=7 ðsH lim II =sH lim I Þ4=7 ðsH lim II =sH lim III Þ2=7 : ð140Þ Gesamt u ¼ uI uII . . .
ð141Þ
Bild 47 a–c. Getriebe mit seitlich versetztem An- und Abtrieb. a einstufig fr i 10 m : hA m; bei b < m : hA 1 þ 0;1 m: P1 Richtflchen (innen oder außen) fr Zahnrder, die nicht auf Welle oder Spanndorn verzahnt werden knnen, ab ca. 700 mm Durchmesser: hP 0;1 mm; bP 10 mm. 2. Richtflche P2 bei b>500 mm. Planlaufabweichung: N bei ut % 25 m/s, T bei ut > 25 m/s.
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Transport-, Spann- und Erleichterungslcher, Anzahl n: da< 300: – (Spannen durch Bohrung) 300 < da< 500: n = 4, 500 < da 2;5 m; Einsatz-, Flamm-, Induktions-, Flanken-, oder Lckenhrtung hR > 3;5 m; flamm- oder induktive Umlaufhrtung hR > 6 m (Lage der Paßfeder und Schrumpfspannung beachten).
Bei Oberflchenhrtung angeben, welche Bereiche weich bleiben mssen, z. B. Gewindelcher, evtl. Bohrungen). Schnecken-Stirnradgetriebe Je nach Baugrße ab i>12 wirtschaftlich. Mglichst Schnekkengetriebe in 1. Stufe (Wirkungsgrad, Gerusch, Baugrße); Ausnahme: Wenn Stirnritzel direkt auf Motorwelle sitzt, z. B. bei Getriebemotoren (keine Kupplung, keine gesonderte Ritzellagerung erforderlich).
8.10.2 Anschluß an Motor und Arbeitsmaschine Connection to driving and driven machine Bei Getriebemotoren bis 50 kW (meist 0,4 bis 4 kW) E-Motor oft direkt am Getriebe angeflanscht (keine Kupplung, keine getrennte Aufstellung, kein Ausrichten). Bei grßeren Leistungen meist getrennte Aufstellung, Anschluß an Motor und Arbeitsmaschine durch Ausgleichkupplungen (s. G 3). Durch Quer- und Winkelversatz oder berhngende Kupplungen, Axialbewegungen des Motorankers und des Abtriebs knnen – trotz Ausgleichkupplungen – erhebliche Krfte eingeleitet werden (bei Dimensionierung der Lager, Gehuse, Wellen und Kraftaufteilung auf zwei Pfeilhlften beachten!). Dies trifft bei Zapfen-(Aufsteck-)getrieben fr die Abtriebswelle nicht zu, bei angeflanschtem Motor auch nicht fr die Antriebsseite. Die Getriebe-Abtriebswelle ist fest mit der Welle der Arbeitsmaschine verbunden, das Getriebe reitet auf ihr. Getriebegewicht und Querkrfte aus dem Absttzmoment mssen von dieser Welle und einer Drehmomentsttze aufgenommen werden.
8.10.3 Gestalten und Bemaßen der Zahnrder Detail design and measures of gears Fertig – einschließlich Verzahnung – gegossene (auch Spritzguß-)Zahnrder bei kleinen Abmessungen, geringen Beanspruchungen und großen Stckzahlen, evtl. mit angegossenen Nocken, Klauen usw., fr hohe Belastungen auch fertiggeschmiedet (z. B. Differentialkegelrder). Im Maschinenbau fr kleine und mittlere Abmessungen meist Voll- oder konturgedrehte Scheibenrder; bei grßeren Abmessungen haben geschweißte Rder (auch bei Legierungssthlen bis 300 HB evtl. 340 HB) Guß-, Schrumpf- und Schraubkonstruktionen weitgehend verdrngt (s. G 8.4). Zahnradbauarten Bei d 1 000 . . . 1 500 mm: Dreischeibenrder). – bergang bei den kleineren Werten bei hoher Beanspruchung, dicker Bandage, senkrechter Welle, wenn hohe axiale Steifigkeit ntig (großes b), bei feinerer Verzahnungsqualitt (Steifigkeit beim Verzahnen)!
Bild 49. Kegelstirnradgetriebe (Lohmann & Stolterfoht, Witten). Nennleistung P=280 kW, Tauchschmierung 35 l l, Gewicht ohne l 495 kg, lstandskontrolle durch Peilstab, Stirnrder einsatzgehrtet und geschliffen, Kegelrder einsatzgehrtet und gelppt. 1 Sprengringe als Anschlag fr Kupplungsnaben, 2 Wellenmutter, Sicherungsring und Scheibe, 3 Einpaßtiefe der Deckel bei Montage angepaßt, 4 lzufhrung aus Fangtasche, 5 NUP Lager in Gehusebohrung H 7, 6 Paßstifte, 7 Axiallager, 8 Radiallager, 9 Sprengring mit scharfkantiger Beilegscheibe, 10 Schrumpfsitz H 6/u6, 11 Abdichtung der Dekkel durch Dichtpaste
Allgemeine Gestaltungsregeln. Bild 50. Wenn hR den hier angegebenen Grenzwert unterschreitet, muß die Verzahnung in die Welle geschnitten werden. Bei aufgeschrumpften, dnnen Zahnkrnzen Schrumpfspannung und Zahnfußbeanspruchung beachten [37]. – Stets prfen, ob Spannen zum Verzahnen und Verzahnungschleifen mglich. Voll- und Scheibenrder s. Bild 51, geschweißte Rder s. Bild 52. Angaben fr Verzahnungen und Radkrpermaße in Zeichnungen s. DIN 3966 und DIN 7184.
I8.10 Gestaltung der Zahnradgetriebe
Bild 50 a–c. Radkrperabmessungen – allgemein
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Bild 51 a, b. Abmessungen von gedrehten oder geschmiedeten und gedrehten Radkrpern. – V Vorstehende Nabe vermeiden (Bearbeitung der Planflche, Paketspannung). a Normalform (sofern keine Gewichtsbeschrnkung) aus geschmiedetem Rundstahl; seitliche Ausdrehung wegen Bearbeitungskosten und fr eindeutige Auflage auf Planscheibe nur bei ðdJ dN Þ=2 > 25 mm. Kostengnstig fr ungehrtete und gehrtete Zahnrder (geringes Zerspanvolumen, wenig Hrteverzug). hJ ^ 3 m; bA ¼ 0;5 þ 0;1 m; max. 2 mm. Querlcher (Anzahl: Bild 50): dM 0;55ðdN þ dJ Þ; dH da =20 ^ 30 mm, Randabstand zwischen Lchern ^0;8dH ; dN s. Bild 50. b Leichtbau-Ausfhrung (z. B. Luft- und Raumfahrzeuge, – kleine Schwungmasse, nach Prototyperprobung): hH > 2rS ; dH ¼ ð0;1 . . . 0;2Þda ; Lochzahl s. Bild 50; hJ ¼ hR ^ 1 m (nach Bild 50 c); rS t nach Bild 50 b; dN s. Bild 50; dM s. Bild 51 a. Ungehrtet, nitriert, einsatzgehrtet (sehr leicht): bS = 1,5 m + 0,1 b. Flamm- oder induktiv gehrtet, einsatzgehrtet (weniger leicht): hJ hR nach Bild 50 c; bS ¼ 2 mþ0,15 b. Gesenk- oder freiformgeschmiedet: Mantel-Linien K: 5 bis 10 konisch
8.10.4 Gestalten der Gehuse Embodiment design of gear cases Meist Gesamtgehuse als tragende Konstruktion, Beispiele s. Bilder 49 und 37. Bei grßeren Getrieben mitunter steifer Unterkasten mit aufgesetzten Lageroberteilen. Oberkasten hat dann nur Schutzfunktion, gute Inspizierbarkeit [1].
Allgemeine Gestaltungsregeln Gegossene Gehuse bei mehr als 3 Stck vorzugsweise aus GG 20, Großgetriebe GG 18 (leicht vergießbar, Schwund und Verzug gering, leicht zerspanbar), GGG 40, GS 38.1 (schweißbar!) (hhere Festigkeit, schwierigere Verarbei-
Bild 52 a–c. Abmessungen geschweißter Radkrper. Stegbleche und Rippen meist aus St 37.1 oder 2, Nabe aus St 52.3. Ausbildung der Nahtstße nach Beanspruchung und Fertigungsmglichkeiten. hJ ¼ hR nach Bild 50 c; dH ; dM ; hH nach Bild 51 b; Anzahl der Lcher bzw. Rohre s. Bild 50. a Einscheibenrad: bS 0;12 da þ ð5 . . . 10 mm) je nach Schwere des Betriebs evtl. dicker, wenn genaue Herstellung (Spannen) erschwert. Ohne seitliche Rippen, wenn b < 10 . Mit seitlichen Rippen allgemein, wenn b > 10 ; Dicke der seitlichen Rippen =0;6bS ; bB 1;5bS ; rS ¼ 1;5bS (mindestens 10 mm). Anzahl der Rippen: bei 10 < b < 20 ¼ Anzahl der Lcher, bei b > 20 ¼ doppelte Anzahl der Lcher. b, c Zweischeibenrder: bS 0;08da þ ð5 . . . 10 mm) je nach Schwere des Betriebs; bE b=7; hR > 40 mm; dR ¼ ð0;12 . . . 0;20ÞðdJ dN Þ; mindestens 50 mm; sR ¼ ð0;3 . . . 0;5ÞbS fr kleine . . . große Rohrdurchmesser. Versteifungsrippen zwischen den Rohren ca. 0;8bS dick; hV 2bS ; rS und Anzahl der Rippen nach a. Sonstige Maße und Anzahl der Versteifungsrohre s. Bild 50. E Entlftungsloch ca. [ 6 mm, nach Spannungsarmglhen zuschweißen oder mit Schraube verschließen. b Ausfhrung fr da < 2000 mm. hR > 40 mm. Form b1) bei vor- oder zurckstehender Nabe (gestrichelt). Dann Auflage zum Verzahnen auf Radkranz und Rohr. Sichere, (teure) Ausfhrung der Schweißnahtanschlsse fr hohe dynamische Beanspruchungen. (Auch bei Bauarten nach Bild 52 a und Bild 52 c sinnvoll.); c Ausfhrung fr da > 2 000 mm. Kleineres Rohr nahe Zahnkranz ðhZ 40 mm; so klein wie mglich) zum Durchlaß der Spannschraube; grßeres Rohr zum Durchlaß des Spannpilzes. – brige Maße wie b
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Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
tung). Bei Leichtmetallen hhere Wrmedehnung und geringere Steifigkeit beachten. Geschweißte Gehuse ermglichen Gewichtsersparnis (Versteifung durch Rippen oder Profile); geeignet fr Einzelfertigung und Stoßbeanspruchung. Werkstoff meist St 37-1 oder 2 (hochbeansprucht: St 52-3). Ungeteilte Gehuse bei Kleingetrieben bevorzugt; Einbau durch seitliche ffnungen. Im brigen waagerechte Teilfuge in Wellenebene gnstig fr Abdichtung, Montage, Inspektion.
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Lagerschrauben entsprechend statischer Zahnfußtragfhigkeit auslegen. Anziehen auf 70 bis 80% Re . – Mindestens 2 Paßstifte (d 0;8 Flanschschraubendurchmesser) im Teilfugen-Flansch vorsehen, bei grßeren Getrieben weitere nahe den Lagern. – Schrauben im Getriebeinneren mit Draht sichern. – Im Oberflansch mind. zwei gegenberliegende Gewinde fr Abdrckschrauben vorsehen. Fußschrauben aus Absttzmoment des Getriebes berechnen. – Bei Stahlrahmenfundamenten Paßstifte und Einstellschrauben (mit Feingewinde) im Getriebefuß zweckmßig. Abstand zwischen Rdern und Gehusewnden groß genug, um Einklemmen von Bruchstcken und Hochpumpen des ls zu vermeiden. Abstand zwischen Rdern sowie zwischen Rdern und Gehusewnden seitlich und am Durchmesser nach Zahlenwertgleichung sA 2 þ 3 m þ B mit B ¼ 0;65ðut 25Þ ^ 0; ðut in m=sÞ zum Boden etwa 2 sA , sofern der lvorrat ausreicht. Bei Einspritzschmierung große Ablaufffnung wichtig: Durchmesser ca. ð3 . . . 4ÞsA :
Bei Tauchschmierung lablaßschraube (evtl. mit Magnetkerze s. unten) an der tiefsten Stelle. Neigung des Getriebebodens zur Ablaßffnung 5 bis 10%. Ausrichtflchen bei grßeren Getrieben an den Schmalseiten des Unterflansches ca. 120 mm 40 mm vorstehend, bei Großgetrieben auch an den ußeren Lagerstellen. Mit Wasserwaage kann Tragbild reproduzierbar eingestellt werden. Bearbeitung der Flanschflchen Rz ¼ 25 m, Lagersitze und Lagerstirnflchen Rz ¼ 16 mm, Schaulochdeckel, Fußflchen Rz ¼ 100 mm. Schaulochdeckel soll Inspektion aller Zahneingriffe ber die ganze Zahnbreite und der Schmierlversorgung gestatten. Bei Verliergefahr Klappdeckel und -schrauben vorsehen (z. B. bei Krangetrieben). Durchgangsbohrungen zum Gehuseinneren vermeiden (ldichtigkeit). Hebenasen, Ringschrauben o. . zum Abheben des Oberkastens und zum Heben des Getriebes (am Unterkasten) vorsehen. Entlftung zum Druckausgleich mit Filter (gegen Schmutz und Feuchtigkeit) an der hchsten Stelle (Spritzrichtung beachten!). – Bei Tauchschmierung Schauglas oder Peilstab erforderlich. Der Peilstab kann mit Magnetkerze versehen werden (Verschleißkontrolle). Bei Einspritzschmierung Anschlsse fr berwachung von ldruck, Durchflußmenge, Temperatur [1]. Gehuseabmessungen werden durch die Formsteifigkeit (nicht die Festigkeit) bestimmt. Anhaltswerte siehe Tab. 25.
Tabelle 25. Anhaltswerte fr die Maße von Getriebegehusen (L = grßte Gehuselnge in mm)
I9.1 Getriebesystematik
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8.10.5 Lagerung. Bearings
Vierpunktlager (auch bei Umkehr der Axialkraft),
Wlzlager durchweg bevorzugt (s. G 4). Gleitlager nur bei Schnellaufgetrieben (etwa ut > 30 m=s), sehr großen Abmessungen oder besonderer Laufruhe (s. G 5). Lager mglichst dicht neben den Zahnrdern (Mindestabstand s. G 8.10.4), jedoch Mindest-Lagerabstand 0;7d2 (Auswirkung von Achsabstandsabweichungen, Lagersteifigkeit, Kippmoment aus Axialkraft).
Pendelrollenlager bis Fa =Fr ¼ 0;55; hierbei beachten: Bei Fa =Fr > 0;1 . . . 0;25 zentrieren die Lager ein, darunter nicht; evtl. Schiefstellung bei Umkehr der Axialkraft und relativ großes Axialspiel beachten. Zweireihige Kegelrollenlager fr hohe Axialkrfte und Richtungswechsel geeignet, Bild 37.
Fliegende Lagerung vermeiden. Gegebenenfalls Lagerabstand ca. 2- bis 3mal berhang whlen, Wellendurchmesser > berhang. Bei Doppelschrgverzahnung nur eine Welle axial festlegen, i. allg. die Radwelle (mit den grßeren Massen; ber die oft grßere Axialkrfte von außen eingeleitet werden). Bei kleinen Getrieben meist Rillen-Kugellager, Fest-Los-Lagerung wirtschaftlich, bei mittleren Grßen Rillenkugellager als Festlager, Zylinderrollenlager als Loslager oder Kegelrollenlager in 0-Anordnung (sofern Lagerabstand nicht zu groß). – Bei Gerad- oder Schrgstirnrdern mit Fa =Fr % 0;3 Zylinderrollenlager mglich. – Hohe Axialkrfte in getrennten Axiallagern aufnehmen:
Einstellbare Lagerung z. B. durch Exzenterbchsen bei Großund Schnellaufgetrieben zum Einstellen des Tragbildes angewendet. Lagerschmierung bei Seriengetrieben durch Spritzl oder durch lfangtaschen, von denen aus l oder Bohrungen (d 0;01Lageraußendurchmesser, mindestens 3 mm) hinter die Lager geleitet wird. Bei Groß- und Schnellaufgetrieben meist Einspritzschmierung (ldsendurchmesser ^2;5 mm wegen Verstopfungsgefahr, entsprechend ca. 3 l/min); lrcklauf aus dem Raum hinter dem Lager durch Bohrung (d 0;03Lageraußendurchmesser, mindestens 10 mm oder mehrere Bohrungen) sicherstellen (in der Hhe der unteren Wlzkrper, dadurch lvorrat fr Anfahren).
9 Getriebetechnik Mechanism-engineering, kinematics H. Kerle, Braunschweig
9.1 Getriebesystematik. Systematics of mechanisms 9.1.1 Grundlagen. Fundamentals Getriebedefinition. Getriebe sind mechanische Systeme zum Wandeln oder bertragen von Bewegungen und Krften (Drehmomenten). Sie bestehen mindestens aus drei Gliedern, eines davon muß als Gestell festgelegt sein [R3]. Hinsichtlich Vollstndigkeit unterscheidet man zwischen der kinematischen Kette, dem Mechanismus und dem Getriebe. Der Mechanismus entsteht aus der Kette, wenn von dieser ein Glied als Gestell gewhlt wird. Das Getriebe entsteht aus dem Mechanismus, wenn dieser an einem oder mehreren Gliedern angetrieben wird. Getriebeaufbau. Strukturelle Untersuchungen hinsichtlich der Art, Anzahl und Anordnung der Glieder und der sie verbindenden Gelenke beginnen meist bei der kinematischen Kette. Es gibt offene und geschlossene sowie offene verzweigte und geschlossene verzweigte kinematische Ketten, Bild 1. Punkte auf Gliedern ebener Getriebe bewegen sich auf Bahnen in zueinander parallelen Ebenen; Punkte auf Gliedern (allgemein) rumlicher Getriebe bewegen sich auf Raumkurven oder auf Bahnen in nicht zueinander parallelen Ebenen; sphrische Getriebe sind spezielle rumliche Getriebe mit Punktbahnen auf konzentrischen Kugeln, Bild 2. Ein Elementenpaar aus zwei sich berhrenden Elementen(teilen) bestimmt das Gelenk. Ebene Getriebe brauchen zum Aufbau ebene Gelenke mit bis zu zwei Gelenkfreiheiten (Drehungen und Schiebungen), rumliche Getriebe dagegen neben ebenen Gelenken sehr oft zustzlich rumliche Gelenke mit bis zu fnf Gelenkfreiheiten, Bild 3. Beispielsweise ist das Dreh- und das Drehschubgelenk durch Welle und Bohrung, das Schubgelenk durch Voll- und Hohlprisma, das Schraubgelenk durch Schraube und Mutter, das Kugelgelenk durch Vollkugel und Kugelpfanne gekennzeichnet. Niedere Ele-
Bild 1 a–d. Kinematische Ketten. a offen; b geschlossen; c offen verzweigt; d geschlossen verzweigt
Bild 2 a–c. Getriebebeispiele. a eben; b allgemein rumlich (Wellenkupplung); c sphrisch. 1 Gestell
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Mechanische Konstruktionselemente – 9 Getriebetechnik
mentenpaare oder Gleitgelenke berhren einander in Flchen (z. B. Welle und Bohrung), hhere in Linien (z. B. Kurvenscheibe und Rolle) oder in Punkten (z. B. Kugel auf Platte). Formschlssige Gelenke sichern die Berhrung der Elemente durch angepaßte Formgebung; bei kraftschlssigen Gelenken bedarf es einer oder mehrerer zustzlicher ußerer Krfte, um die Berhrung dauernd aufrechtzuerhalten.
Bei ebenen Getrieben mit zumeist Dreh- und Schubgelenken ist es sinnvoll, die Getriebeglieder mit der Zahl der Elemententeile in binre (n2 -), ternre (n3 -) und quaternre (n4 -) Glieder zu unterteilen (Bild 4), zumal zustzlich ein ebenes Kurvengelenk kinematisch durch ein binres Glied ersetzt werden kann (vgl. G 9.1.2). Getriebe-Laufgrad (Getriebe-Freiheitsgrad). Der Laufgrad oder Freiheitsgrad F eines Getriebes ist von der Zahl n der Glieder (einschließlich Gestell), der Zahl g der Gelenke mit dem jeweiligen Gelenkfreiheitsgrad f (= Anzahl der Gelenkfreiheiten) und dem Bewegungsgrad b abhngig: F ¼ bðn 1Þ
g X
ðb fi Þ:
ð1Þ
i¼1
Fr allgemein rumliche Getriebe ist b=6, fr sphrische und ebene Getriebe b=3 einzusetzen. Wenn obendrein einzelne Glieder bewegt werden knnen, ohne daß das ganze Getriebe bewegt werden muß (z. B. drehbar gelagerte Rolle auf Kurvenscheibe), ist F um diese identischen Freiheiten zu verringern. Fr ebene Getriebe, die nur Dreh- und Schubgelenke mit f=1 besitzen, gilt die Grblersche Laufbedingung
G
F ¼ 3ðn 1Þ 2 g:
ð2Þ
F=1 bedeutet Zwanglauf nach der Definition von Reuleaux, z. B. fr das viergliedrige Getriebe (Bild 5 a) mit n=4 und g=4. Fr ein fnfgliedriges Getriebe (Bild 5 b) mit n=5 und g=5 gilt F=2. Der Laufgrad eines Getriebes gibt an, wieviel Antriebe bzw. Antriebsimpulse ein Getriebe mindestens erhalten muß, um eine im voraus berechenbare Funktion zu erfllen. Bei F=2 mssen an zwei Stellen unabhngig voneinander Bewegungen eingeleitet werden (z. B. Haupt- und Verstellantrieb), oder es sind zwei voneinander unabhngige Krfte bzw. Momente als Abtriebsimpulse wirksam (Differentialgetriebe oder selbsteinstellende Getriebe). Fr F>2 gelten entsprechend hhere Mindestvoraussetzungen. 9.1.2 Arten ebener Getriebe. Types of planar mechanisms
Bild 3. Gelenke und Gelenksymbole
Bild 4 a–f. Gliedersymbole fr ebene Getriebe. a binres (n2 -)Glied mit zwei Drehgelenkelementen; b binres (n2 -)Glied mit zwei Schubgelenkelementen; c ternres (n3 -)Glied mit drei Drehgelenkelementen; d quaternres (n4 -)Glied mit vier Drehgelenkelementen; e quaternres (n4 -)Glied mit zwei Drehgelenk- und zwei Schubgelenkelementen; f Gestellglied
Viergliedrige Drehgelenkgetriebe. Ein viergliedriges Drehgelenkgetriebe ist umlauffhig, wenn die Grashof-Bedingung erfllt ist: Die Summe aus den Lngen des krzesten und des lngsten Glieds muß kleiner sein als die Summe aus den Lngen der beiden anderen Glieder. Es kann nur ein „krzestes“ (lmin Þ, aber bis zu drei „lngste“ Glieder (Lngengleichheit) geben. Je nach Zuordnung von lmin zu den vier Lngen a, b, c, d (Bild 5 a) entsteht die Kurbelschwinge (lmin ¼ a; c), die Doppelkurbel (lmin ¼ d) oder die Doppelschwinge (lmin ¼ b). Die nicht umlauffhigen viergliedrigen Drehgelenkgetriebe werden als Totalschwingen bezeichnet. Smtliche RelativSchwingbewegungen erfolgen symmetrisch zum benachbarten Glied. Es gibt Innen- und Außenschwingen. Totalschwingen knnen nur ein „lngstes“, aber bis zu drei „krzeste“ Glieder enthalten [1]. Als dritte Gruppe gibt es die durchschlagfhigen Getriebe mit Lngengleichheit je zweier Gliederpaare, z. B. Parallelkurbelgetriebe [R9].
Bild 5 a, b. Ebene Drehgelenkgetriebe. a viergliedriges Getriebe (F=1); b fnfgliedriges Getriebe (F=2)
I9.1 Getriebesystematik Viergliedrige Schubgelenkgetriebe. Beim Ersatz von Drehgelenken durch Schubgelenke entstehen Schubgelenk-Ketten und -Getriebe. Schleifenbewegungen entstehen, wenn das Schubgelenk zwei bewegte Glieder verbindet. Aus dem Gelenkviereck (kinematische Kette jedes viergliedrigen Getriebes) kommen drei Ketten zustande (Bild 6): Kette I mit einem Schubgelenk, Kette II mit zwei benachbarten und Kette III mit zwei Diagonal-Schubgelenken. Die drei Ketten fhren durch kinematische Umkehrung (Elementenumkehrung und Gestellwechsel) zu sechs viergliedrigen Schubgelenkgetrieben. Jedes Schubgelenk verursacht – unbeeinflußt von den Getriebeabmessungen – Winkelgeschwindigkeits-Gleichheiten, z. B. bei der Kette I w12 ¼ w13 und w24 ¼ w34 . Allgemein gilt: wij ¼ wji ist die Winkelgeschwindigkeit des Glieds i gegenber dem Glied j. Schubgelenkgetriebe sind deshalb teilweise gleichmßig bersetzende Getriebe (konstante bersetzungsverhltnisse). Mehrgliedrige Gelenkgetriebe. Fr jede Gruppe kinematischer Ketten gleicher Gliederzahl und gleichen Laufgrads gibt es eine eindeutig bestimmbare Zahl unterschiedlicher Ketten und Getriebe. Bild 7 zeigt sechsgliedrige zwanglufige Ketten (F=1) auf der Grundlage der Wattschen und Stephensonschen Kette (Varianten durch Gestellwechsel) mit zwei Anwendungsbeispielen. Bei Verwendung von Doppelgelen-
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ken kommen noch fnf unterschiedliche Ketten hinzu. Die Aufbaugleichungen (Bild 8) fhren zu achtgliedrigen zwanglufigen Ketten mit zwei quaternren und sechs binren, mit einer quaternren, zwei ternren und fnf binren sowie mit vier ternren und vier binren Gliedern. Wenn auch Mehrfachgelenke bercksichtigt werden, gibt es nach Hain 60 unterschiedliche achtgliedrige zwanglufige Ketten, aus denen durch kinematische Umkehrung insgesamt 330 Getriebe entstehen. Kurvengetriebe. Die Standard-Kurvengetriebe sind dreigliedrige Kurvengetriebe, bestehend aus Kurvenglied, Eingriffsglied (Stßel bzw. Schieber oder Schwinge) und Steg. Kurvenglied und Eingriffsglied berhren einander im Kurvengelenk (Berhrpunkt K) – in vielen Fllen verbessert dort ein zustzliches Abtastglied, z. B. eine drehbar im Eingriffsglied gelagerte Rolle mit einer identischen Freiheit, die Laufeigenschaften, ohne die Kinematik zu verndern – ; der Steg verbindet Kurvenglied und Eingriffsglied [R10]. Im Normalfall ist der Steg das Gestell 1, das Kurvenglied das Antriebsglied 2 und das Eingriffsglied das Abtriebsglied 3. Alle dreigliedrigen Kurvengetriebe lassen sich durch Gestellwechsel aus der dreigliedrigen Kurvengelenkkette mit Drehund Schubgelenken ableiten, die wiederum aus einer entsprechenden viergliedrigen Kette (Ersatzkette) hervorgeht
Bild 6 a–f. Viergliedrige Schubgelenkgetriebe. a Kurbelschleife; b Schubkurbel; c Doppelschieber; d Kreuzschubkurbel; e Doppelschleife (OldhamKupplung); f Schubschleife
Bild 7 a–e. Sechsgliedrige zwanglufige kinematische Ketten und Getriebebeispiele (I: Wattsche, II: Stephensonsche Kette)
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Mechanische Konstruktionselemente – 9 Getriebetechnik
(Bild 9) [2]. In dieser Ersatzkette verbindet ein binres Glied die augenblicklich im Berhrpunkt K zugeordneten Krmmungsmittelpunkte von Kurvenglied und Eingriffsglied bzw. Abtastglied. Der in der Getriebetechnik bekannte „Dreipolsatz“ sagt aus, daß die Relativbewegungen dreier Glieder i, j, k (beliebige Gliednummern) zueinander durch die drei auf einer Geraden (Polgerade) liegenden Momentan(dreh)pole ij, ik und jk festgelegt werden (Doppel- und Mehrfachgelenke stellen in einem Punkt entartete Polgeradenstcke dar). Gerade bei Kurvengetrieben hat dieser Satz sowohl fr die Systematik (Ersatzgetriebe, Gleit- oder Wlzkurvengetriebe) als auch fr die Analyse (Geschwindigkeitsermittlung) als auch
fr die Synthese (Ermittlung der Hauptabmessungen) besondere Bedeutung. Allgemein entstehen aus jeder Kette mit Drehgelenken und mindestens vier Gliedern Kurvengelenkketten, wenn je ein binres Glied durch ein Kurvengelenk ersetzt wird. Ist das Verbindungsgelenk dieses binren Glieds zum Nachbarglied ein Umlaufgelenk [3, 4], so wird die zugehrige Kurve als geschlossene Kurve voll umrollt, ist ein Schwinggelenk vorhanden, so kann nur eine teilberollte Kurve (Kulisse) mit Hinund Rckgang des Abtastglieds in dieser Kulisse vorgesehen werden. Die Austauschbarkeit zwischen Ketten bzw. Getrieben mit Dreh- und Kurvengelenken (Theorie der Ersatzgetrie-
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Bild 8 a–p. Achtgliedrige zwanglufige kinematische Ketten und Getriebebeispiele
Bild 9 a–r. Systematik dreigliedriger Kurvengetriebe mit Dreh- und Schubgelenken
I9.2 Getriebeanalyse be) reicht bis zur Beschleunigungsstufe bei den kinematischen Berechnungsmethoden, vgl. G 9.2. Im allgemeinen stellt sich im (ebenen) Kurvengelenk Gleiten und Wlzen (= Rollen) der sich berhrenden Glieder entsprechend den beiden Gelenkfreiheiten ein; die meisten Kurvengetriebe sind deshalb Gleitkurvengetriebe. Im speziellen Fall der Wlzkurvengetriebe findet im Kurvengelenk reines Rollen statt, weil der Momentanpol 23 in einem dreigliedrigen Kurvengetriebe (Bild 9) mit dem Berhrpunkt K zusammenfllt. Zahnradgetriebe mit zwei kmmenden Kurvenflanken ordnen sich als Gleitkurvengetriebe hier problemlos ein.
9.2 Getriebeanalyse. Analysis of mechanisms 9.2.1 Kinematische Analyse ebener Getriebe Kinematic analysis of planar mechanisms bertragungsfunktionen der viergliedrigen Getriebe. Lagenbeziehungen. Bei Gelenkgetrieben im allgemeinen und bei viergliedrigen Getrieben im besonderen besteht eine wichtige Aufgabe darin, bestimmte Relativlagen zweier Getriebeglieder zueinander festzulegen. Diese Zuordnung wird als „bertragungsfunktion nullter Ordnung“ bezeichnet. Bei der Schubkurbel mit der kinematischen Versetzung e ist die augenblickliche Lage des Gleitsteins c als Abtriebsglied der Lage der Kurbel a als Antriebsglied in Abhngigkeit vom Kurbelwinkel j zuzuordnen (Bild 10 a): qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð3Þ s ¼ a cos j þ b2 ða sin j eÞ2 : Fr die Kurbelschleife (Bild 10 b) kennzeichnet die Lage y des Schleifenhebels c die Beziehung zur Lage der Kurbel a: y ¼ y arcsinðe=mÞ:
ð4Þ
Beim viergliedrigen Drehgelenkgetriebe gilt in bereinstimmung mit Bild 10 c 2 m þ c2 b2 y ¼ y K arccos : ð5Þ 2m c K=+1 fr y>y bzw. K ¼ 1 fr ya+e) und die umlaufende (d< a + e) Kurbelschleife sowie das viergliedrige Drehgelenkgetriebe als Kurbelschwinge und als Doppelkurbel zur Verfgung. Die schwingende Kurbelschleife und die Kurbelschwinge werden fr hin und her gehende Bewegungen verwendet, die umlaufende Kurbelschleife und die Doppelkurbel dienen zur Erzeugung ungleichmßiger Umlaufbewegungen, z. B. als Vorschaltgetriebe [5, R9]. Schleifen-Iterationsmethode Die Struktur des zu untersuchenden Getriebes wird in die komplexe (Gaußsche) Zahlenebene gelegt, Bild 11. Die komplexe Zahl pffiffiffiffiffiffiffi z ¼ x þ iy ¼ r expðijÞ; i ¼ 1; ð11Þ
G
beschreibt dann die Verbindungsgerade zweier Gelenkpunkte. Zunchst geht man von einer vorgegebenen Anfangslage des Antriebsglieds (der Antriebsglieder) – r ¼ ran fr einen Antriebsschieber und j ¼ jan fr eine Antriebskurbel – und dazu passend geschtzten Lagegrßen (Wege rj und/oder Winkel jj im Bogenmaß) der brigen Glieder aus: ð12Þ r ¼ r þ Dr ; j ¼ j þ Dj : j
j
j
j
j
j
Die Abweichungen Drj und/oder Djj dieser Schtzwerte von den exakten Werten r j bzw. jj werden als Unbekannte in einem linearen Gleichungssystem so lange iterativ berechnet, bis sie vom Betrage her einen vorzuschreibenden kleinen positiven Wert nicht mehr berschreiten. Dann wird ran bzw. jan um ein Inkrement erhht, wobei die zuvor iterierte Lage des Getriebes als neue Schtzlage dient, usw. [6, 46]. Grundlage der Iterationsrechnung bilden die „Geschlossenheitsbedingungen“ der das Getriebe ersetzenden Polygone oder Schleifen aus den komplexen Zahlen zj : ek ¼
m m X X ðzj Þ ¼ ½rj expðijj Þ ¼ 0; k ¼ 1ð1Þp j¼1
ð13Þ
j¼1
(Summation ber m Gelenkabstnde). Die Gl. (13) ist p-mal auszuwerten. Die Anzahl p der voneinander unabhngigen Schleifen errechnet sich unabhngig vom Laufgrad F eines Getriebes mit n Gliedern und g Gelenken zu [7] p ¼ g ðn 1Þ:
ð14Þ
Fr das Getriebe in Bild 11 ergibt sich p ¼ 7 ð6 1Þ ¼ 2 und folglich jan ¼ j2 ¼ j2
ðAntriebsgleichungÞ; r2 expðij2 Þ þ r3 expðij3 Þ r8 expðij8 Þ ir1 r6 ¼ 0; r7 expðij7 Þ þ r5 expðij5 Þ r4 expðij4 Þ ir1 r6 ¼ 0:
Mit den konstanten Winkeln b2 und b4 gilt j7 ¼ j2 þ b2 bzw. j8 ¼ j4 þ b4 . Die Lngen rj sind bis auf r6 ebenfalls konstant und wie jan vorgegeben.
Mit den Geschlossenheitsbedingungen stehen 2p (Real- und Imaginrteil) transzendente Gleichungen fr die Ermittlung ebenso vieler Lagegrßen des Getriebes zur Verfgung. Eine Taylorreihen-Entwicklung fr zj ¼ zj þ Dzj ;
ð15Þ
die nur die Reihenglieder 1. Ordnung bercksichtigt, fhrt nach dem Einsetzen in die Gl. (13) auf die Iterationsvorschrift Dran bzw: Djan ¼ 0 ðAntriebsgleichungÞ m X ½expðijj ÞDrj þ irj expðijj ÞDjj ¼ ek ; j¼1
ð16 aÞ
ð16 bÞ
k ¼ 1ð1Þp: Aus Real- und Imaginrteil der Gl. (16 b) und aus Gl. (16 a) entsteht auf diese Weise ein lineares Gleichungssystem K D e ¼ bL
ð17Þ
mit einer (2p+1) · (2p+1)-Koeffizientenmatrix K fr die Komponenten des Korrekturvektors De, der die Abweichungen Drj und/oder Djj enthlt, j=1(1) m. Nach jedem Iterationsschritt erfolgt eine Verbesserung des (Start-)Vektors bL – bestehend aus den Real- und Imaginrteilen der komplexen Summen ek in Gl. (13) – entsprechend Gl. (12). Fr die exakt berechnete Lage des Getriebes verschwinden die ek (Kontrollmglichkeit und Abbruchkriterium). Der Wert der Determinante der Koeffizientenmatrix K ist fortwhrend zu beobachten. Wenn das Gleichungssystem (17) keine Lsung besitzt, ist entweder eine Geschlossenheitsbedingung verletzt oder eine Sonderstellung des Getriebes mit schlechten bertragungseigenschaften hinsichtlich der Bewegungen und Krfte erreicht. Ein Vorzeichenwechsel der Determinante weist auf einen Wechsel der Einbaulage hin. Zur Ermittlung der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen werden die Geschlossenheitsbedingungen – Gl. (13) – einbzw. zweimal nach der Zeit abgeleitet. Das fhrt auf zwei weitere lineare Gleichungssysteme mit der bekannten Koeffizientenmatrix K, die jetzt nur einmal zu lsen sind K e_ ¼ bV
ð18Þ
bzw. K€e ¼ bA :
ð19Þ
Die Vektoren e_ und €e enthalten die Geschwindigkeiten r_ j €j ; und/oder j_ j bzw. Beschleunigungen €rj und/oder j j=1(1)m; der Vektor bV enthlt bis auf die Antriebsgeschwindigkeit r_ an bzw. j_ an lauter Nullen; im Vektor bA treten im wesentlichen Normal- und Coriolisbeschleunigungsterme auf. Modul-Methode
Bild 11. Sechsgliedriges Getriebe mit Verzweigung (F=1). 2 Antriebskurbel, 6 Abtriebsschieber
Diese Methode erweist sich als besonders anwenderfreundlich fr Gelenkgetriebe, die sich aus „Zweischlgen“ (zwei gelenkig verbundene binre Glieder) mit Dreh- und Schubgelenken zusammensetzen. Voraussetzung ist ferner, daß die Antriebsgrßen (Weg oder Drehwinkel, bezogen auf das Gestell) als Zeitfunktionen vorliegen. Die in Bild 12 skizzierte Struktur eines zwanglufigen achtgliedrigen Gelenkgetriebes (Doppelpresse) enthlt die einfacheren Kinematikbaugruppen (Module) „Antriebskurbel (ANK)“ A0 A0 , „Zweischlag mit drei Drehgelenken (DDD)“ A0 C 0 C0 ; C0 C0 C00 ; A0 A0 A00 und „Zweischlag mit Abtriebsschieber (DDA)“ C00 D; A00 B [8, 9, R23]. Die Ausgabegrßen A (Koordinaten x, y eines Gliedpunkts P und Winkel w eines Glieds mit zeitlichen Ableitungen) eines Moduls sind entweder variable Eingabegrßen EV fr das nachfolgende Modul oder Endergebnisse. Konstante Eingabe-
I9.2 Getriebeanalyse grßen EK stellen z. B. Gelenkpunktabstnde l, Kurbelradien r, statische Versetzungen u und Lagekennwerte K dar. Ein ternres Glied mit drei Drehgelenken (Glieder 2 und 6 in Bild 12) lßt sich formal auf einen Zweischlag DDD zurckfhren. Modul „Antriebskurbel (ANK)“. Berechnung der Koordinaten x, y in m mit zeitlichen Ableitungen x_ ; y_ in m/s und €x; €y in m/s2 des Gelenkpunkts P bei Vorgabe der Koordinaten x0 ; y0 in m des Gestellpunkts P0 , des Kurbelradius r in m, der Winkellage w in Grad oder rad, der Winkelgeschwindigkeit w_ € in rad/s2 , Bild 13 a. in rad/s und der Winkelbeschleunigung w
ð22 bÞ
Modul „Zweischlag mit drei Drehgelenken (DDD)“. Berechnung der Koordinaten x, y in m mit zeitlichen Ableitungen x_ ; y_ in m/s und €x; €y in m/s2 des Gelenkpunkts P bei Vorgabe der Koordinaten x1 ; y1 ; x2 ; y2 in m mit zeitlichen Ableitungen x_ 1 ; y_ 1 ; x_ 2 ; y_ 2 in m/s und €x1 ; €y1 ; €x2 ; €y2 in m/s2 , der Abstnde l1 ; l2 in m der Gelenkpunkte P1 ; P2 und des Lagekennwerts K (K=+1, falls die Reihenfolge der Punkte P1 P2 P mathematisch positiv orientiert ist, sonst K ¼ 1), Bild 13 b. Eingabe: l1 ; l2 ; K; P1 ½x1 ; y1 ; x_ 1 ; y_ 1 ; €x1 ; €y1 ; P2 ½x2 ; y2 ; x_ 2 ; y_ 2 ; €x2 ; €y2
Eingabe: r; P0 ½x0 ; y0 ; W½w; w_ ; w € Ausgabe: P½x; y; x_ ; y_ ; €x; €y
Ausgabe: P½x; y; x_ ; y_ ; €x; €y
Rechengang: x ¼ x0 þ r cosðwÞ; y ¼ y0 þ r sinðwÞ;
ð20Þ
x_ ¼ ðy0 yÞw_ ; y_ ¼ ðx x0 Þw_ ;
ð21Þ
€x ¼ ðy0 yÞ€ w þ ðx0 xÞw_ 2 ;
€y ¼ ðx x0 Þ€ w þ ðy0 yÞw_ 2 :
G 169
ð22 aÞ
Rechengang:
G
H1 ¼ x2 x1 , H2 ¼ y2 y1 , H3 ¼ H12 þ H22 , qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi H4 ¼ l21 l22 þ H3 , H5 ¼ K 4H3 l21 H42 , H6 ¼ ðH1 H4 H2 H5 Þ=ð2H3 Þ, H7 ¼ ðH2 H4 þ H1 H5 Þ=ð2H3 Þ, x ¼ x1 þ H6 , y ¼ y1 þ H7 ,
ð23Þ
H8 ¼ x_ 2 x_ 1 , H9 ¼ y_ 2 y_ 1 , H10 ¼ H6 H1 , H11 ¼ H7 H2 , H12 ¼ H8 H10 þ H9 H11 , H13 ¼ H7 H10 H6 H11 , H14 ¼ H7 H12 =H13 , H15 ¼ H6 H12 =H13 , x_ ¼ x_ 1 þ H14 , y_ ¼ y_ 1 þ H15 , Bild 12. Aus einfachen Modulen zusammengesetztes achtgliedriges Getriebe (F=1). 2 Antriebskurbel, 4 und 8 Abtriebsschieber
ð24Þ
H16 ¼ €x2 €x1 , H17 ¼ €y2 €y1 , H18 ¼ ðH14 H8 ÞH7 þ H10 H15 ðH15 H9 ÞH6 H11 H14 , H19 ¼ ðH14 H8 ÞH8 þ H10 H16 þ ðH15 H9 ÞH9 þ H11 H17 , €x ¼ €x1 þ ðH12 H15 þ H7 H19 H14 H18 Þ=H13 ,
ð25 aÞ
€y ¼ €y1 ðH12 H14 þ H6 H19 þ H15 H18 Þ=H13 :
ð25 bÞ
Modul „Zweischlag mit Abtriebsschieber (DDA)“. Berechnung der Koordinaten x, y in m mit zeitlichen Ableitungen x_ ; y_ in m/s und €x; €y in m/s2 des Gelenkpunkts P bei Vorgabe der Koordinaten x1 ; y1 in m mit zeitlichen Ableitungen x_ 1 ; y_ 1 in m/s und €x1 ; €y1 in m/s2 , der Schubgeraden mit Richtung durch die Koordinaten x3 ; y3 und x4 ; y4 in m zweier Punkte P3 ; P4 , des Abstands l in m der Gelenkpunkte P1 ; P, der statischen Versetzung u in m (u>0, falls die Reihenfolge der Punkte P3 P4 P mathematisch positiv orientiert ist, sonst u0) eingefhrt wird. Mit einem Vorleitrad mit drehbaren Schaufeln lassen sich ber den Vordrall Druckverhltnis und Durchfluß des Verdichters regeln (s. R 1.7.5). 1.5.5 Radiale Repetierstufe eines Verdichters Radial repeating stage of multistage compressor
Schluckkenngrße. Sie wird hauptschlich fr Turbinenstufen angewendet qffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð59Þ mT cm2 = 2 jyj ¼ j2 = jyy j
Umfangsgeschwindigkeits-Zunahme. Hier sind die Umfangsgeschwindigkeiten nicht gleich. Bei zentrifugaler Durchstrmung (Bild 31 a) wird u1/u2 u00a ¼ u2 . Fr das spezifische Volumen gilt u2 > u1 . Querschnittsverlauf. Die Strmungsquerschnitte (Bild 35 a) wrden bei gleicher Schaufelbreite b in Durchflußrichtung mit dem Radius D/2 abnehmen, also wre A2/A1=D2b2/ (D1b1). Damit der Massenstrom bei etwa gleicher Meridian-Komponente durch den Querschnitt 2 fließt, muß nach der Kontinuittsgleichung (Gl. (2)) b2>b1 sein, b2 =b1 ¼ u2 D1 cm1 =ðu1 D2 cm2 Þ:
ð68Þ
R 19
gen, so ist nach Gl. (53) yhTð2Þ =2 ¼ DhT =u22 ¼ cu1 u1 =u22 ; sie wird durch den Bezug auf das Quadrat der kleineren Umfangsgeschwindigkeit besonders groß. Oft wird fr Radialstufen auch die grßere Umfangsgeschwindigkeit u1 als Bezugsgrße gewhlt; denn sie ist mit Rcksicht auf die Festigkeit des Rads begrenzt. Dann ist die Enthalpie-Kenngrße yhTð1Þ =2 ¼ DhT =u21 ¼ cu1 =u1 : Sie hat dann einen kleineren Wert als j cu1 =u2 j, ist aber je nach Durchmesserverhltnis immer noch grßer als fr eine Axialstufe. Die Meridiankomponente kann auf die Umfangsgeschwindigkeit am Austritt bezogen werden j2(2) cm2/u2. Der Vergleich dieser Kenngrße mit der von Axialstufen ist aber schlecht, weil die Bezugsgeschwindigkeit u2 klein ist. Deswegen wird die Form vorgezogen j1(1) cm1/u1. Ihre kleineren Werte lassen sich besser mit Axialstufen vergleichen, weil sich ungefhr gleiche Bezugsgeschwindigkeiten in beiden Stufenarten verwirklichen lassen.
1.5.9 Kenngrßen-Bereiche fr Turbinenstufen Performance parameter range of turbine stages Fr Turbinenstufen ist aus den analogen Grnden wie fr Verdichterstufen (s. R 1.5.6) der Enthalpieabbau und damit der Arbeitsumsatz in Radialstufen grßer als in Axialstufen. Das auf die Umfangsgeschwindigkeit am Eintritt bezogene Durchfluß-Geschwindigkeits-Verhltnis fr Radialstufen ist kleiner als das bliche auf die Umfangsgeschwindigkeit am Austritt bezogene Durchfluß-Geschwindigkeits-Verhltnis fr Axialstufen (s. R 1.5.8). Die fr verschiedene Radial- und Axialturbinenstufen blichen Anwendungsbereiche s. Bild 36. Gegenber den Verdichterstufen (Bild 32) werden bei ungefhr gleichen Durchfluß-Geschwindigkeits-Verhltnissen in Turbinenstufen doppelt so große Enthalpie-Kenngrßen erreicht, da sich eine beschleunigte Strmung bei gutem Wirkungsgrad strker umlenken lßt als eine verzgerte. In Bild 36 sind auch die Bereiche fr die blichen Wasserturbinenbauarten angegeben: einstrahlig beaufschlagte Pelton-, Francis- und Kaplanturbine.
Die Radbreite am Eintritt b1 muß also klein gewhlt werden.
R
Bezugsgrße fr Enthalpie- und Durchfluß-Kenngrße. Mit u1/u2>1 ist bei etwa gleichem relativem Eintrittswinkel (Bild 35 b) in das Laufgitter b1 die absolute Eintrittsgeschwindigkeit strker zur Umfangsgeschwindigkeit geneigt als bei der Axialstufe; deshalb ist die Umfangs-Komponente cu1/u2 grßer. Wird die Enthalpie-Kenngrße wieder auf die Umfangsgeschwindigkeit am Austritt aus dem Laufrad bezo-
Bild 35 a, b. Radiale Repetierstufe einer Turbine. a Meridianschnitt; b normierte Geschwindigkeitsdreiecke
Bild 36. Bereiche der Enthalpie (y h)- und Durchfluß (j)-Kenngrßen fr Radial- und Axialturbinenstufen
R 20
Strmungsmaschinen – 1 Gemeinsame Grundlagen
1.6 Maschine. Overall machine design
1.6.2 Maschinenkenngrßen Overall machine performance parameters
1.6.1 Beschaufelung, Ein- und Austrittsgehuse Blading, inlet and exhaust casing Beschaufelung. Ihr muß das Arbeitsfluid vom einen Maschinenflansch in einem Eintrittsgehuse zugefhrt werden, z. B. Bild 6. Dahinter fließt es im Austrittsgehuse zum anderen Maschinenflansch, wobei noch mglichst viel kinetische Energie in Druck umgesetzt wird. Ein- und Austrittsgehuse. Hier wird keine Arbeit zu- oder abgefhrt; der Wrmeaustausch mit der Umgebung ist vernachlssigbar, wenn entweder die Temperaturdifferenzen klein, oder die Gehuse ausreichend isoliert sind. Nach dem Energieerhaltungssatz (Gl. (12)) bleibt die Totalenthalpie beim Durchstrmen der Gehuse gleich; jedoch ndern sich die Enthalpien und alle anderen Zustandsgrßen: ha he ¼ ðc2a c2e Þ=2 gðza ze Þ: In Eintrittsgehusen sinkt die Enthalpie bei zunehmender und steigt in Austrittsgehusen bei abnehmender kinetischer Energie. In der gesamten Enthalpienderung der Maschine sind die Gehuse durch DhE und DhA (mit E fr EinX und A fr Austrittsgehuse) und die Stufen durch Dhi (mit i ¼ I; II . . .Þ zu bercksichtigen (Bild 37) X X X DhM ¼ Dhi þ DhE þ DhA ¼ Dhi þ DhG : ð69Þ Die Dissipation in den Gehusen (Index G) folgt aus Gl. (16) bei Vernachlssigung der nderung der potentiellen Energien g DzG ¼ 0 2 c c2 jG ¼ DhG yG ¼ a e yG : 2 2 Bei kleinen Dichtenderungen gilt yG ffi ðpa pe Þ=r: c2a =2 ffi ðpat pa Þ=r und c2e =2 ffi ðpet pe Þ=r (mit t fr den Totalzustand). Dann folgt pat pet DptG 1 1 DptG ¼ , DsG ffi jG ¼ r r T T r und DpG ¼ r DhG þ DptG :
jG ffi
R
ð70Þ
Entsprechend gilt dann auch X X X X Dsi þ DsG , DpM ¼ Dpi þ DpG und DsM ¼ X X yi þ yG ffi yM , ð71Þ ySM ¼ wobei durch ySM angedeutet wird (s. R 1.5.1), daß als Integrationsweg die Aneinanderreihung der einzelnen Zustandsnderungen gewhlt wurde. Dieser Weg kann nherungsweise als yM fr eine Polytrope durch Ein- und Austrittszustand ersetzt werden.
Sie sind analog zu den Stufen-Kenngrßen definiert, aber auf andere Durchfluß- und Umfangs-Geschwindigkeiten bezogen, um dafr nur ein Lngenmaß und ein Maß fr die Drehbewegung zu verwenden. Da sich strenggenommen alle Kenngrßen nur auf geometrisch hnliche Maschinen bertragen lassen, gengen die beiden Bezugsgrßen, wenn sie nur in gleicher Art fr die ganze Familie verwendet werden. Bezugsgrßen. Fr die Lnge ist es der grßte Durchmesser DB des Rotors (des Laufgitters), fr die Drehbewegung die Umfangsgeschwindigkeit uB ¼ p n DB :
ð72Þ
Fr die fiktive Durchfluß-Geschwindigkeit wird der Volumenstrom V_ ¼ m_ =r auf den gesamten Querschnitt p D2B =4 bezogen: cD 4V_ =ðp D2B Þ:
ð73Þ
Enthalpie-Kenngrße. Mit der Enthalpiedifferenz fr die Maschine DhM (Gl. (69)) und der Umfangsgeschwindigkeit (Gl. (72)) ergibt sich yhM
DhM 2DhM : ¼ u2B =2 p2 n2 D2B
ð74Þ
Druck-Kenngrße. Die Strmungsarbeit yM (Gl. (71)) wird ebenso bezogen yM 2yM yyM 2 ¼ 2 2 2 : ð75Þ uB =2 p n DB Wirkungsgrad. Fr einen Verdichter bzw. eine Turbine gilt: hMV ¼ yM =DhM ¼ yyM =yhM , hMT ¼ DhM =yM ¼ yhM =yyM :
ð76Þ
Durchfluß-Kenngrße. Sie ist das Verhltnis der fiktiven Durchflußgeschwindigkeit (Gl. (73)) zur Umfangsgeschwindigkeit (Gl. (72)) jM
cD 4V_ ¼ : uB p2 n D3B
ð77Þ
Schluck-Kenngrße jM 4V_ ffi¼ pffiffiffiffiffiffiffiffi : mM qffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2y p D M B yyM
ð78Þ
Momenten-Kenngrße tM
yhM 1 DhM DB DhM m_ p DB p DB ¼ ¼ 2 ¼M 2 : jM 2 w nV_ rV_ rV_
ð79Þ
Reibungseinfluß. Die neben Turbulenzgrad und Oberflchenbeschaffenheit maßgebende Reynoldszahl wird mit der Umfangsgeschwindigkeit (Gl. (72)) definiert ReM ¼ uB DB r=m:
ð80Þ
Kompressibilittseinfluß. Die Machzahl wird ebenfalls mit der Umfangsgeschwindigkeit (Gl. (72)) gebildet MaM ¼ uB =cs :
ð81Þ
Sie und die Eigenschaften des Fluids sind die Einflußgrßen der Kompressibilitt (s. R 1.4.6). hnlichkeitsbedingungen. Analog zu den Kenngrßen fr Gitter (Gl. (40)) gilt auch fr die Maschinenkenngrßen oenverh:Þ: yhM ¼ yhM ðjM , ReM , Tu, MaM , k, a, b, geom: Gr€ Bild 37 a, b. Zustandsnderung in der Maschine. a Zweistufiger Verdichter; b zweistufige Turbine
Von den gleichen Kenngrßen hngen auch yyM, hM, mM und tM ab.
I1.6 Maschine 1.6.3 Wahl der Bauweise. Selection of machine type Mit den verschiedenen Maschinenbauarten lassen sich jeweils nur bestimmte Bereiche der Kenngrßen erreichen. Zur Auswahl der zweckmßigen Bauart werden die Kenngrßen folgendermaßen umgeformt. In den Kenngrßen yyM (Gl. (75)) und jM (Gl. (77)) kommen jeweils beide noch unbekannten Grßen DB und n vor, die die Maschine charakterisieren, whrend nur jeweils eine der beiden Grßen yM und V_ enthalten ist, die durch die Aufgabe vorgegeben sind. Zur Wahl der Bauweise wre es einfacher, je eine Kenngrße fr die beiden Unbekannten n und DB zu haben, wobei in jeder die durch die Aufgabe gegebenen Grßen yM und V_ vorkommen knnen. Deswegen werden die beiden Kenngrßen yyM und jM durch zwei aus ihnen zweckmßig gebildeten Potenzprodukten ersetzt. Spezifische Drehzahl. Die Forderung, es solle nur n, nicht aber DB vorkommen, wrde mit den Gln. (75) und (77) das Potenzprodukt jM/|yyM|3/2 erfllen; soll die Drehzahl in der ersten Potenz enthalten sein, so ist aus diesem Verhltnis die Wurzel zu ziehen:
sM
pffiffiffiffi n V_ ¼ ð2 p2 Þ1=4 : jyyM j3=4 jyM j3=4 jjM j1=2
R 21
ð82Þ
Spezifischer Durchmesser. Das Potenzprodukt yyM/j2M gemß den Gln. (75) und (77) enthlt die Drehzahl nicht; daraus ist die vierte Wurzel zu ziehen, um den Bezugsdurchmesser DB in der ersten Potenz stehen zu lassen jyyM j1=4 DB jyM j1=4 p2 1=4 dM ¼ pffiffiffiffi : ð83Þ 1=2 8 jjM j V_ Cordier-Diagramm. Fr einstufige Verdichter und Turbinen lassen sich sM und dM eindeutig einander zuordnen (Bild 38); dazu drfen nur Maschinen mit den unter den jeweiligen Verhltnissen besten aus Rechnung oder Messung erreichbaren Wirkungsgraden herangezogen werden, Optimalpunkte in den Bildern 32 und 36. Ist neben dem Volumenstrom V_ und der Strmungsarbeit y eine der beiden Grßen n oder DB vorgegeben, so lßt sich eine der beiden Kenngrßen berechnen, die andere folgt aus Bild 38 und damit die andere Auslegungsgrße [53].
R
Bild 38. Durchmesser-Kenngrße dM in Funktion der spezifischen Drehzahl sM fr einstufige Turbomaschinen (Cordier-Diagramm)
R 22
Strmungsmaschinen – 1 Gemeinsame Grundlagen
Zustzlich sind Netze mit Linien konstanter Druck- yyM und Durchfluß-Kenngrße jM eingetragen. Außerdem sind den einzelnen Bereichen von sM oder dM bestimmte Bauweisen (axial, diagonal, radial) zugeordnet, mit denen ein guter Wirkungsgrad zu erzielen ist. Mehrstufige Maschinen. Hier sind keine so einfachen Zusammenhnge zu finden, da hier die Stufenzahl als zustzlicher Parameter hinzutritt; durch Hintereinanderreihung mehrerer Stufen lassen sich die fr die Stufen und die Gehuse aufsummierten Strmungsarbeiten fr alle Bauweisen in einem weiten Bereich ndern. Nur bei Umrechnung vielstufiger Maschinen in einstufige lassen sich diese in den gleichen Zusammenhang einordnen. Hierbei spielen die Zustandsnderungen in den Gehusen bei Maschinen mit sehr vielen Stufen nur eine untergeordnete Rolle.
1.7 Betriebsverhalten und Regelmglichkeiten Operational behaviour and control 1.7.1 Maschinencharakteristiken Machine performance characteristics Turbomaschinen knnen nicht immer unter den Auslegungsbedingungen betrieben werden, Eintrittszustand und Austrittsdruck stellen sich nach dem Gleichgewicht zwischen Maschine und Anlage ein. Dies wird durch Eingriffe sowohl in die Anlage, wie auch in die Maschine beeinflußt. Solche Eingriffe knnen auf der Anlagenseite z. B. durch unterschiedliche Entnahme aus Wasser- oder Luftspeicherbehltern, durch ffnen oder Schließen von Drossel- oder Beipaßventilen, durch Verstellen der Feuerung von Dampfkesseln oder von Gasturbinenbrennkammern geschehen; Beispiele fr Eingriffe an der Maschine sind: ndern der Drehzahl, Verstellen der Schaufeln (s. R 1.7.3–R 1.7.6). Maschine und Anlage ben also eine gegenseitige Wechselwirkung aufeinander aus, die fr den Betriebspunkt maßgebend ist.
R
Dimensionslose Charakteristiken. Sie geben die Eigenschaften bei allen mglichen Betriebspunkten der Maschine an, Bild 39. blicherweise werden sie als Verknpfungen zwischen yhM und jM oder pM und jM bei bestimmten Werten von MaM und ReM und fr ein bestimmtes Fluid angegeben (s. R 1.6.2). Ein auf ihnen gelegener Punkt enthlt zwar alle dazu hnlichen Betriebspunkte, von Punkt zu Punkt verzerren sich jedoch die Geschwindigkeitsdreiecke, und damit ndern sich die Kenngrßen und ihre Beziehungen zueinander.
Grßere Verzgerung bedeutet grßere Enthalpiezunahme, hhere Dichtesteigerung und deshalb Geschwindigkeitsabnahme, die sich in den folgenden Gittern in zunehmendem Maß bemerkbar machen. Dadurch verschieben sich auch die Betriebspunkte zunehmend von Gitter zu Gitter auf ihren Charakteristiken (Bild 21), und grßere Verluste entstehen. Fr die Maschine hat die Volumenfluß- bzw. jM-Abnahme eine y hM-Steigerung und einen Wirkungsgradabfall zum Ergebnis. Die Maschinencharakteristiken mssen deshalb von Gitter zu Gitter gerechnet oder an Modell- bzw. ausgefhrten Maschinen gemessen werden. Trotzdem lassen sich unter vereinfachenden Annahmen fr die Maschinencharakteristiken einige grundstzliche Tendenzen angeben.
Stufe. Fr einen Verdichter bzw. eine Turbine folgt aus den Gln. (52) bzw. (53) mit cu2=wu2+u2, wu2¼ cot b2 wm2, cu1¼ cot a1 cm1 die Enthalpie-Kenngrße: u1 j1 Dðc2 Þ yh ¼ 2 1 þ j2 cot b2 cot a1 ð84Þ 2 : u2 j2 u2 Bei einer nicht zu großen Verschiebung des Betriebspunkts sind b2, a 1, j1/j2=cm1/cm2 und u1/u2 nahezu konstant und Dc2 ffi 0: Damit folgt aus Gl. (84) yh=2+j2K. Die negative Konstante K ist klein fr Turbinen und groß fr Verdichterstufen. In einer radialen Verdichterstufe ist bei a1 ¼ 90 und b2 ¼ 90, d. h. bei rein radialer Abstrmung K=0 und yh=2. Maschine. Fr eine vielstufige Maschine ergibt sich eine hnM Þ-Charakteristik (Bild 39), wenn in j M das liche ðyhM ; j zwischen Eintritt und Austritt gemittelte Frdervolumen eingesetzt wird. Der Wirkungsgrad hM fllt i. allg. bei Abweichung vom Auslegungspunkt (mit dem besten Wirkungsgrad) und damit anderen Anstrmrichtungen zu den Gittern. M ¼ f ðyhM Þ und von hM=f(yhM) ist Mit dem Verlauf von j M ¼ f ðyyM Þ gegeben. auch der Verlauf von j Die gemessenen Charakteristiken eines zwlfstufigen Axialverdichters (Bild 40) besttigen das unter vereinfachenden Annahmen bestimmte Verhalten. Anfahren. Das hierbei wichtige Drehmomentenverhalten wird durch die Momenten-Kenngrße tM nach Gl. (79) und durch das Drehzahl-Durchflußverhltnis 1= jM , den Kehrwert M nach Gl. (77) dargestellt. der Durchfluß-Kenngrße j Unter den vereinfachenden Annahmen (Bild 41) gilt tM ¼
2 K: M j
ð85Þ
Das Steigungsmaß der Drehmomenten-Charakteristik ist ¼ tan a
Dð1= jM Þ 1 ¼ : Dt 2
Beispiel: Ein vielstufiger Verdichter muß einen kleineren Volumenfluß frdern als bei der Auslegung vorgesehen. Im ersten Laufgitter (Bild 30 b) hat die kleinere Geschwindigkeit c1 bei gleicher Umfangsgeschwindigkeit also auch kleinerem Verhltnis c1/u einen grßeren Zustrmwinkel b1 mit grßerem Umlenkungswinkel Db und Verzgerungs-Verhltnis zur Folge.
Bild 39. Maschinencharakteristiken (idealisiert) (fr bestimmte Werte von Reu, Mau, k, a, b). Verdichter y hM 100 m eignen sich zur Messung des Wirkungsgrads nach dem thermodynamischen Verfahren [1]. Wegen der relativ niedrigen Umfangsgeschwindigkeiten und Temperaturen sind die Zentrifugalbeanspruchungen leichter zu beherrschen als bei thermischen Strmungsmaschinen. Statt dessen besteht die Gefahr schdlicher Kavitation. Im Normalfall sind schalltechnische Fragen unbedeutend fr die Auslegung. Natrliche Wasserkrfte. Sie sind in Europa nicht mehr wesentlich ausbaufhig; die meisten Reserven befinden sich heute in Asien, Afrika und Sdamerika [1, 12]. In den Industrielndern kommt den Wasserturbinen beim Bau großer Pumpspeicherkraftwerke als Regel- und Spitzenkraftwerke in Ergnzung zu den dominierenden thermischen Kraftwerken weiterhin große Bedeutung zu. Arbeitsweise. Wasserturbinen werden eingeteilt in: Gleichdruckturbinen (Bild 2 a, b). Die statischen Drcke sind am Laufradein- und -austritt gleich groß (daher Teilbeaufschlagung mglich); berdruckturbinen (Bild 2 c–e). Der statische Druck ist am Eintritt in das Laufrad grßer als am Austritt. Daher sind nur vollbeaufschlagte Laufrder mglich. Einsatzbereich (Bild 3). Der Leistungsbereich betrgt i. d. R. 1 kW bis 1 000 MW; Wasserturbinen sind energiesparend
Bild 1 a–d. Wasserkraftwerke. a Niederdruckanlage im Seitenkanal im Francisturbine; b Niederdruckanlage im Fluß mit Kaplanturbine; c Hochdruckanlage an einer Talsperre mit Francisturbine; d Hochdruckanlage im Gebirge mit Peltonturbine. OW Oberwasser, UW Unterwasser, WS Wasserschloß
I2.2 Gleichdruckturbinen
R 31
flche, bessere Anpassung an schwankende Wasserstnde im UW) sein. Die Fallhhen betragen 2 bis 2 000 m, die Laufraddurchmesser 0,3 bis 11 m und mehr [1–5, 12]. Die wichtigsten Begriffe, Zeichen und Einheiten aus der Wasserturbinentechnik sind in [3, 10–12] festgelegt. 2.1.2 Wasserkraftwerke. Hydroelectric power plants Je nach der verfgbaren statischen Fallhhe Hstat lassen sich Wasserkraftwerke in Mittel- bis Hochdruckkraftwerke (^ 50 m) und Niederdruckkraftwerke (< 50 m) einteilen. Hauptteile. Ein Wasserkraftwerk besteht in der Regel aus folgenden Hauptteilen (Bild 1): – Speicheranlage OW (See, Staustufe, Seitenkanal) – Entnahmeanlage (Rechen, berlauf, Schtze) – Leitung (bei lngeren Leitungen Druckstoßsicherung in Form eines offenen Wasserschlosses WS zur Aufnahme von Wassersulenschwingungen bis 20 m Hhe erforderlich, Druckleitung auf Gefllstrecke dennoch auf Festigkeit bei schnellen Regelvorgngen nachzurechnen) – Wasserturbine (Maschinenhaus) – Rckgabeanlage UW (bei Niederdruckanlagen Fallhhenverlust durch Hochwasser mglich). Bild 2 a–e. Zur Arbeitsweise der Wasserturbinen. a Pelton-, b Ossberger-, c Francis-, d De´riaz- und e Kaplanturbine
Sonderformen. Verschiedene Wasserkraftwerke bentigen kein besonderes Maschinenhaus (Freiluftaufstellung); Wasserturbine und Druckleitungen werden sehr hufig in Felsen eingebaut (Kavernenkraftwerk), Zusammenfassung von Turbinen und Pumpen im gemeinsamen Maschinenhaus bei Pumpspeicheranlagen. Zusammenfassende Literatur in [1–2, 12]. 2.1.3 Wirtschaftliches. Economics Bei kleineren Wasserkraftwerken ( NPSHR: Die Gefahr, durch Kavitation Schden im Dauerbetrieb zu erleiden, ist offensichtlich um so geringer, je grßer NPSHA gegenber NPSHR ist, so daß der Differenz NPSHA NPSHR die Bedeutung einer Sicherheit gegenber Kavitation zukommt. 3.3.2 Kennlinien. Characteristic curves Die Kennlinien einer Kreiselpumpe sind Darstellungen folgender Grßen in Abhngigkeit vom Frderstrom V_ : Frderhhe H oder spezifische Frderarbeit Y=gH, Leistungsbedarf P, Pumpenwirkungsgrad h ¼ rV_ Y=P mit r Dichte des Fluids unter den Bedingungen am Saugstutzen, NPSHR-Wert und u. U. auch akustische und mechanische Schwingungsgrßen, u. a. Voraussetzungen fr die einzelne Kennlinie sind die Konstanz der Pumpendrehzahl n, der Pumpengeometrie (z. B. Schaufelwinkel) und der physikalischen Beschaffenheit des Fluids. Mit dem maximalen Wirkungsgrad hmax ist der Bestpunkt Hopt, Popt, NPSHRopt ber V_ opt bestimmt; der Nennbetriebspunkt sollte i. allg. mglichst nah bei dem Bestpunkt liegen. Verlauf. In Bild 6 sind, bezogen auf die Bestwerte, die Kennlinien fr drei unterschiedliche Bauarten einstufiger Kreiselpumpen qualitativ dargestellt, in Bild 7 findet sich eine quantitative Darstellung.
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Drosselkurven (Frderhhenkurven). Die Steigung ist vorwiegend negativ; Kurvenstcke mit positiven Steigungen heißen nichtstabil wegen u. U. nicht eindeutig definierter Betriebspunkte. Die Nullfrderhhe ðV_ ¼ 0Þ liegt, bezogen auf Hopt, um so hher, je grßer nq ist. Drosselkurven axialer und halbaxialer Kreiselpumpen zeigen – je hher nq, um so ausgeprgter – einen Sattel im Teillastgebiet V_ =V_ opt < 1. Leistungskurven. Axialpumpen nehmen bei V_ ¼ 0 maximale, Radialpumpen dagegen minimale Leistung auf. Daher sind – um berlastung des Antriebs zu vermeiden – Axialpumpen bei geffnetem und Radialpumpen bei geschlossenem Absperrorgan anzufahren. Wirkungsgradkurven. In Richtung Teillast und berlast fllt der Wirkungsgrad um so mehr, je hher nq ist. Diesem Nachteil kann durch die gnstigeren Regelmglichkeiten aufgrund von Schaufelverstellung begegnet werden. NPSH-Kurven. Der Verlauf wird von der Radialpumpe zur Axialpumpe ungnstiger (vgl. dazu die winkelabhngigen Unterdruckspitzen von Tragflgeln). In Richtung Teillast werden die meisten Kreiselpumpen zunchst unempfindlicher gegen Kavitation (um so mehr eingeschrnkt, je grßer nq). Betriebspunkt. Er ist der Schnittpunkt zwischen Drosselkurve HðV_ Þ und Anlagenkennlinie (Rohrleitungskennlinie) HA ðV_ Þ fr die Frderhhe H der Pumpe und Frderhhe HA der Anlage (Bilder 8 und 9):
Bild 6. Einfluß der spezifischen Drehzahl nq auf die Kennlinien der Pumpen (ohne Viskosittseinflsse). a axial nq 200 min1 , h halbaxial n q 80 min1 , r radial nq 25 min1 [4]
p2 p1 u22 u21 þ , rg 2g 2 pII pI uII u2I HA ¼ zII zI þ þ þ HJ:I,1 þ HJ:II,2 : rg 2g
H ¼ z2 z1 þ
ð5Þ ð6Þ
Whrend in Gl. (5) fr H nur pumpenspezifische Grßen enthalten sind (Leistungsangebot), so gibt Gl. (6) fr HA den anlagenbedingten Leistungsbedarf wieder, um den Frderstrom V_ zwischen dem Eintrittsquerschnitt AI und Austrittsquerschnitt AII aufrechtzuerhalten. Im Beharrungszustand der Frderung, d. h. im Betriebspunkt, ist H=HA, Bilder 9 und 10. In der Regel kann nicht jeder Punkt der Drosselkurve ein Dauerbetriebspunkt sein. Meist ist der Frderstrom nach oben durch nicht mehr ausreichenden NPSH-Wert der Anlage NPSHA, nach unten durch unzulssig starke wirbelerregte Schwingungen (Teillastwirbel), insbesondere bei Drosselkurven mit Sattel, begrenzt. 3.3.3 Anpassung der Kreiselpumpe an den Leistungsbedarf Matching of pump and system characteristics Die Anpassung an den Leistungsbedarf P ¼ r gV_ H=h kann durch nderung der Anlagenkennlinie oder der Drosselkurve geschehen. Anlagenkennlinie Drosselung. Da HA ðV_ Þ nur durch Vergrßern der Strmungsverluste beeinflußt wird, ist sie hinsichtlich der Betriebskosten unwirtschaftlich; dagegen sind die Investitionskosten fr
I3.3 Betriebsverhalten
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Bild 8. Schema einer Kreiselpumpe und Anlage [12]. BN Bezugsniveau, SS Saugspiegel, DS Druckspiegel, Pu Pumpe, S saugseitige Anlage, D druckseitige Anlage, Sy System. AI ; AII Eintritts-, Austrittsquerschnitte der Anlage; A1 ; A2 Eintritts-, Austrittsquerschnitte (Saug-, Druckstutzenquerschnitte) der Kreiselpumpe; z Hhenkoten zum Bezugsniveau BN; p berdruck (p>0) oder Unterdruck (p ns bersynchron
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Strmungsmaschinen – 5 Fttinger-Getriebe
Bild 9. Stellkupplung mit Schpfrohr (Voith Turbo). 1 Pumpenrad, 2 Turbinenrad, 3 Schale, 4 Schpfrohrgehuse, 5 lbehlter, 6 Betriebsmittelpumpe, 7 Schpfrohr, 8 Wrmeaustauscher, a Schpfrohrabstand vom Boden
typischen parabolischen Momentenverlufe. Der Betriebspunkt ist durch den Schnittpunkt von Bremskennlinie und Fllungsgradkennlinie f = konstant gegeben, wobei die Bremskennlinie durch eine Fllungssteuerung aufgeprgt wird [5].
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Bild 10. Kennlinien einer Stellkupplung. Fllungsgrad f ist proportional zum Schpfrohrhubverhltnis a/amax (s. Bild 9). Stabile Schnittpunkte zwischen Betriebskennlinie und Kupplungskennlinie erlauben Drehzahlstellungsgenauigkeiten bis 0,1 %
Bild 11. Hydrodynamische Bremse (Voith Turbo). 1 Rotor, 2 Stator, 3 Retardergehuse, 4 lbehlter, 5 Ritzelwelle, 6 Antriebsrad, 7 Wrmebertrager, 8 Khlwasseranschlsse
ist als Zahnradpumpe ausgefhrt, die ber einen Nebenantrieb von der Welle des Pumpenrades (1) angetrieben wird. Die Wellen sind wlzgelagert und mit Druckl geschmiert. Die zugehrigen Kennlinien sind im Bild 10 dargestellt [7].
5.4 Bremsen. Retarders Bild 11 zeigt eine hydrodynamische Bremse (Retarder) fr den Einsatz in Omnibussen und Lastkraftwagen. In der Regel bernehmen die Retarder ca. 90 % aller Bremsvorgnge. Der angetriebene Rotor (Pumpe) frdert die Flssigkeit in den Stator (festgebremste Turbine). Die kinetische Energie wird dort in Wrme gewandelt, das Fahrzeug gebremst. Die anfallende Wrme wird ber den Wrmebertrager an die Fahrzeugkhlanlage abgefhrt (Khlwasseranschlsse). Bei der Konstruktion ist auf ein Minimum drehender Massen geachtet worden, um negative Einflsse auf den Gelenkwellenstrang zu vermeiden. In Bild 12 ist ein Bremsenkennfeld eines Retarders fr Kraftfahrzeuge mit fnf schaltbaren Bremsstufen dargestellt. Die angegebenen Fllungsgrade f ergeben die fr Kreiselpumpen
Bild 12. Bremsenkennfeld qualitativ
I5.5 Fttinger-Wandler 5.5 Fttinger-Wandler. Torque convertors Der Wandler (Bild 13) besteht aus dem Pumpenrad P, dem Turbinenrad T und dem Leitrad R, das feststehend oder – wie dargestellt – ber einen Freilauf (Trilokprinzip) am feststehenden Gehuse abgesttzt sein kann. Wesentliche Baugruppen hierbei sind in Blech konstruiert. Kennlinien Bild 14; bei Betrieb im Wandlungsbereich m > 1 (MT>MP) ist R stets mit dem Gehuse verbunden; bei m ¼ 1 (MP = MT) wirkt Wandler wie Kupplung, Leitrad ist wirkunglos (Freilauf). Zweiphasige Wandler. Die Leitradabsttzung ber Freilauf (Bild 4 a, 13) ermglicht also zwei Betriebsphasen. In der ersten sttzt sich das Leitrad gegen das Gehuse ab, das An-
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triebsdrehmoment wird gewandelt. Die zweite arbeitet mit ber den Freilauf gelstem Leitrad, der Wandler arbeitet als hydraulische Kupplung. Die berbrckungskupplung verbindet Pumpen- und Turbinenrad mechanisch und wird immer dann bettigt, wenn der Wandler nicht mehr zur Zugkrafterhhung beitrgt. Damit wird der bertragungswirkungsgrad verbessert. Hauptanwendungsgebiete sind Automatik-Getriebe fr Nutzkraftwagen (Bus, Lkw) und Arbeitsmaschinen mit berwiegendem Fahreinsatz. Stellwandler. Sie besitzen verstellbare Leitschaufeln. Ihre große Bedeutung liegt im Ausgleich bei der Verbindung von Kraft- und Arbeitsmaschinen, z. B. beim Anfahren einer Gasturbine. Arbeitsweise. Der Wandler (Bild 15) enthlt die drei Hauptglieder Pumpe (2), Turbine (3), Leitrad (5) in jeweils radialer Bauart. Der Wandlerkreislauf ist stndig mit l gefllt, durch eine Zahnradpumpe (primrseitig) auf Druck gehalten (Absicherung durch berdruckventil). Das feststehende Leitrad nimmt das Differenzendrehmoment MT MP auf (Absttzung
Bild 13. Fttinger-Wandler mit Freilauf und berbrckungskupplung (Fichtel & Sachs). 1 Antrieb, 2 Abtrieb, 3 Freilauf, 4 Leitrad, 5 Pumpe, 6 Turbine, 7 Torsionsdmpfer, 8 berbrckungskupplung
Bild 14. Kennlinien eines einstufigen, zweiphasigen Wandlers (Bild 4 a)
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Bild 15. Gasturbinen-Anfahrwandler (Voith Turbo). 1 Antriebswelle, 2 Pumpe, 3 Turbine, 4 Abtriebswelle, 5 Leitrad mit verstellbaren Leitschaufeln, 6 Verstelleinrichtung (Einleitung der Verstellkraft ber Hydraulikkolben und elektrischen Stellantrieb), 7 Gleitlagerung Antriebseite, 8 Gleitlagerung Abtriebseite, 9 Gehuse, 10 elektrischer Stellantrieb
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Strmungsmaschinen – 5 Fttinger-Getriebe
am Gehuse); die Leitradschaufeln sind in bezug auf die Anstrmrichtung verstellbar. Die dadurch vernderliche lichte Weite zwischen den Leitschaufeln, bezogen auf den Wert im Auslegungspunkt, dient als „relative Leitschaufelstellung“ Lx (in %) zur Beschreibung ihres Betriebsverhaltens. Kennfeld (Bild 16). Die Drehzahl des Antriebs ist konstant ðnp ¼ constÞ. Im oberen Teil sind die Abtriebdrehmomente des Stellwandlers bei verschiedenen Lx und das konstant verlaufende Aufnahmedrehmoment einer Kolbenpumpe (bei gleichen Frderdrcken) eingezeichnet – dicke durchgezeichnete Linie. Die Abtriebsdrehzahl wird ber Lx gendert. Der untere Teil zeigt den Verlauf des Wandlerwirkungsgrads bei den verschiedenen Abtriebsdrehzahlen. Bei Drehzahlminderung ergeben sich wesentlich bessere Wirkungsgrade als bei Verwendung einer Kupplung (Schlupfregelung) – punktierte Linie. Die mittlere Kurvenschar gibt die Leistungsaufnahme des Wandlers bei den verschiedenen Abtriebsdrehzahlen wieder, die Punkte folgen aus MP ¼ ðMT =hw Þ n und PP ¼ MP wP : Neben dem gnstigen Wirkungsgradverlauf bei verringerten Abtriebsdrehzahlen ist auch die Reduzierung des Stoßfaktors (Maß fr die periodische Ungleichfrmigkeit in der Drehbewegung von Kolbenmaschinen) durch Fluiddmpfung, Torsionsdmpfung, Bild 13 (7) und die sehr kleinen Schwungmassen des Wandlers vorteilhaft [8]. Vollautomatisches Strmungsgetriebe (Bild 17). Es wird bei Dieselantrieben von Schienenfahrzeugen verwendet. Das vom Motor abgegebene Drehmoment wird von der Eingangswelle 1 ber das Stirnradpaar 2/3 auf die Primrwelle 4 bertragen; nicht dargestellt: ein Teil der Eingangsleistung kann ber einen Nebenabtrieb fr den Antrieb des Getriebelkh-
Bild 16. Kennlinien eines Stellwandlers (Voith)
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Bild 17. Schematischer Lngsschnitt eines Turbogetriebes mit hydrodynamischer Bremse B (Voith) (s. Text). – Bewegliche Teile nicht schraffiert. 1 Eingangs-(Antriebs-)Welle, 2, 3 Stirnradpaar (Hochgang), 4 Primrwelle, 5 Sekundrwelle, 6 Wendeschaltvorrichtung, 7 Zwischenwelle, 8 Abtriebswelle, 9 Fll- und Steuerpumpe, 10 Sekundrschmierpumpe, B Bremse, W Wandler, K Kupplung, HTSD Hydrodynamischer Torsions-Schwingungs-Dmpfer, a Antriebsdrehzahl-Aufnehmer, b Abtriebsdrehzahl-Aufnehmer, c Endlagenerfassungs-Aufnehmer
I6.2 Bauarten
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lers und/oder der Lichtmaschine abgezweigt werden. Die Turbinenrder von Wandler (W) und Kupplung (K) treiben gemeinsam die Sekundrwelle 5. Von hier wird die Leistung je nach Stellung des Kolbens in der Wendeschaltvorrichtung 6 direkt – Vorwrtsgang, Fahrtrichtung I – oder ber die Zwischenwelle 7 – Rckwrtsgang, Fahrtrichtung II – auf die Abtriebswelle 8 bertragen. Der Abtrieb erfolgt vom Turbogetriebe ber eine Gelenkwelle zu den Achsgetrieben des
Triebdrehgestelles der Lokomotive. Die Schmierung der Zahnrder und Wlzlager des Turbogetriebes wird durch Getriebel vorgenommen, das von der Fll- und Steuerpumpe 9 gefrdert und in einem Spaltfilter gereinigt wird. Bei Fahrt mit abgestelltem Motor bzw. Schleppfahrt bernimmt eine Sekundrschmierpumpe 10 die Schmierung der Zahnrder und Wlzlager.
6 Dampfturbinen. Steam turbines
6.2 Bauarten. Types
E. Krmer, Baden
6.2.1 Kraftwerksturbinen. Power Plant Turbines
Der Beitrag basiert auf Ausfhrungen der 19. Auflage von L. Busse, Mannheim
6.1 Benennungen. Terminology, classification Nach DIN 4304 sind zu unterscheiden: Dampfturbine. Sie ist eine Wrmekraftmaschine mit rotierenden Laufteilen, in der das Enthalpiegeflle stetig strmenden Dampfes in einer oder mehreren Stufen in mechanische Arbeit umgewandelt wird. Dampfturbosatz. Er besteht aus einer Dampfturbine mit angetriebener Arbeitsmaschine, auch mit Getriebe. Dampfturbinenanlage. Dies ist ein Dampfturbosatz einschließlich Kondensationsanlage, verbindender Rohrleitungen und Hilfseinrichtungen.
Turbinen fr konventionelle Dampfkraftwerke Der weltweite Erfolg der Dampfturbine – ber 70 % der Weltstromerzeugung stammen von Dampfturbostzen – beruht auf ihrer hohen Leistungsdichte bei gleichzeitiger Mglichkeit, große Einheiten zu bauen, ihrer sehr hohen Verfgbarkeit, ihrer langen Lebensdauer und auf ihrem guten thermischen Wirkungsgrad (s. D 8.3.2). Dieser lßt sich darstellen als hth=(Qzu Qab)/ Qzu, wobei Qzu die der Turbine zugefhrte, Qab die aus dem Kondensator abgefhrte Wrme bedeutet. Wrmezufuhr. Da sie hauptschlich bei der Verdampfung erfolgt, ist der Frischdampfdruck und vor allem die Frischdampftemperatur fr den thermischen Wirkungsgrad maßgebend. Sie sind gekoppelt ber die Bedingung, daß die Dampfnsse am Ende der Expansion bei der Kondensationsturbine den Wert von etwa 15 % nicht berschreiten darf. blicherweise wird die spezifische Wrmezufuhr und damit der thermische Wirkungsgrad durch die einfache Zwischenberhitzung des Dampfes erhht. Damit ergeben sich dann im h, s-Diagramm (Bild 1) die blichen Bereiche fr Frischdampftemperatur und -druck. Heute hat sich unter Vermeidung der
Weitere Benennungen. Hierfr ist der Zustand und das Verhalten des Dampfes in der Turbine maßgebend. Durchflußrichtung. Hiernach gibt es Axial- und Radialturbinen. Arbeitsverfahren. Hiernach gibt es Gleichdruckturbinen (Entspannung des Dampfes vorwiegend im Leitteil der Turbinenstufen) und berdruckturbinen (Entspannung etwa je zur Hlfte im Leit- und Laufteil).
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Eintrittszustand. Es werden unterschieden Heißdampfturbinen, bei denen der Dampfeintrittszustand mindestens 50 K berhitzt ist, und Sattdampfturbinen (vorwiegend fr Leichtwasser-Kernkraftwerke) sowie Niederdruck-, Mitteldruck-, Hochdruck und Hchstdruckturbinen. Dampfzufhrung. Es werden Frischdampf-, Abdampf-, Speicherdampf und Zwei- oder Mehrdruckturbinen unterschieden. Dampfabfhrung. Hiernach werden die Dampfturbinen meist benannt: Bei Kondensationsturbinen wird die Kondensationswrme des Abdampfes durch ein Khlmittel ohne weitere Ausnutzung an die Umgebung abgefhrt. Bei der Frischwasserkhlung an einen Fluß, See oder das Meer, bei der Rckkhlung durch im Kreislauf gefhrtes Khlwasser ber einen Naß- oder Trockenkhlturm an die Luft, bei der Luftkondensation direkt an die Luft. Bei Gegendruckturbinen wird die Abdampfenergie noch fr andere Zwecke – meist zur Heizung – ausgenutzt. Bei der Anzapfturbine wird ein Teil des Dampfes nach teilweiser Entspannung ungeregelt, bei der Entnahmeturbine geregelt entnommen. Damit bestimmt der weiterfließende Dampfstrom den Anzapfdruck, whrend der Entnahmedruck durch nachgeschaltete Drosselorgane, Regelstufen oder verstellbare Leitschaufeln konstantgehalten wird.
Bild 1. bliche Dampfzustnde von Zwischenberhitzungsturbinen (1) und Kondensationsturbinen (2)
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Strmungsmaschinen – 6 Dampfturbinen
teuren austenitischen Werkstoffe bei den Großturbinen die Frischdampf- und Zwischenberhitzungstemperatur auf etwa 540 bis 565 C, der Frischdampfdruck weltweit auf etwa 160 bis 250 bar eingependelt. In Europa und Japan wird mit neu entwickelten ferritisch martensitischen Werkstoffen derzeit der Anwendungsbereich zu erhhten Dampfdaten mit 620 C und 300 bar ausgeweitet. Angesichts steigender kologischer Anforderungen wird an einer mittelfristigen Anhebung der Frischdampftemperatur auf 700 C gearbeitet, womit sich Netto-Wirkungsgrade von 50% erreichen lassen. Wrmeabfuhr. Um diese zu verringern, wird die untere Prozeßtemperatur mglichst tief, also nahe an die Umgebungs-
temperatur abgesenkt wie bei der Frischwasserkhlung, die aber wegen der schon bestehenden Wrmebelastung unserer Gewsser kaum noch zu verwirklichen ist. So bleibt nur die Wrmeabfuhr ber Naß- oder Trockenkhltrme an die Luft (s. K 4.6). Die Vorwrmung des Speisewassers mit Anzapfdampf aus der Turbine verringert die Prozeßabwrme ebenfalls und hebt die mittlere Temperatur der Wrmezufuhr an. Die obere Grenze dieses Verfahrens ist dadurch gegeben, daß bei einer zu hohen SpeisewasserEndtemperatur die Kessel-Abgas-Temperatur trotz Luftvorwrmung nicht mehr auf dem Tiefstwert gehalten werden kann. Das Wrmeschaltbild (Bild 2) zeigt eine 350-MWDampfturbinenanlage mit unterkritischen Frischdampfzustn-
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Bild 2. Wrmeschaltbild einer unterkritischen 350-MW-Zwischenberhitzungs-Dampfturbinenanlage
I6.2 Bauarten den am Turbineneintritt und siebenstufiger Speisewasservorwrmung, bestehend aus vier Niederdruckvorwrmern, einem Mischvorwrmer-Entgaser und zwei Hochdruckvorwrmern. Damit wird ein thermischer Wirkungsgrad von 46 % erreicht, was einem Netto-Wirkungsgrad von 40 % entspricht. Im Vergleich dazu zeigt das nchste Wrmeschaltbild (Bild 3) eine 350-MW-Dampfturbinenanlage mit berkritischen Frischdampfzustnden am Turbineneintritt und neunstufiger Speisewasservorwrmung. Durch die hheren Dampfzustnde am Turbineneintritt, die bessere Vorwrmung und eine tiefer liegende Khlwassertemperatur betrgt der Netto-Wirkungsgrad ca. 47 %.
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Das Ergebnis der rechnerischen Optimierung der Variabeln des Dampfturbinenprozesses ist stark abhngig von den standortspezifischen konomischen und kologischen Randbedingungen. Unter Bercksichtigung von Stromliefervertrgen, Kraftwerksfinanzierung, Umweltauflagen, Brennstoffpreisen, Wasserverfgbarkeit und den klimatischen Verhltnissen werden Frischdampf- und Zwischenberhitzungszustnde, Anzahl, Gtegrad und Anzapfdrcke der Vorwrmer, Anzahl und Grße der Niederdruckbeschaufelungen, Grße und Ausfhrung des Kondensators und Khlturms optimal aufeinander abgestimmt. Konstruktiver Aufbau. Den vielfltigen Anforderungen werden am besten Baukastensysteme fr Ein- und Mehrge-
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Bild 3. Wrmeschaltbild einer berkritischen 350-MW-Zwischenberhitzungs-Dampfturbinenanlage
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Strmungsmaschinen – 6 Dampfturbinen
huse-Turbinen gerecht. Bei den mehrgehusigen Großturbinen sind die Niederdruckteile und ihre Beschaufelung genormt, bei den Hochdruck- und Mitteldruckteilen werden Wellen und Beschaufelungen lediglich angepaßt. Ferner sind Konstruktionselemente wie Ventile, Schaufeln, besonders Endschaufeln, Lagergehuse und Lager, Kupplungen, Wellendichtungen und Lufer-Dreheinrichtungen durch Werknormen festgelegt. Der Aufbau der Großturbinen ist bei den verschiedenen Herstellern, bei Gleichdruck- und berdruckturbinen weitgehend hnlich. In der 300-MW-Klasse sind Hochdruck- und Mitteldruckbeschaufelungen einflutig, die Niederdruckteile bei Khlturmbetrieb zweiflutig ausgefhrt. Zwischen 600 und 800 MW sind die Hochdruckteile einflutig, die Mitteldruckteile ein- oder zweiflutig und die Niederdruckteile meist vierflutig ausgelegt. Da bei den krzesten Schaufeln auch die Axialspiele und damit die Relativdehnungen zwischen Lufern und Gehusen am kleinsten sein mssen, sitzt das Axiallager immer zwischen Hochdruck- und Mitteldruckturbine und die Zudampfstutzen liegen neben dem Axiallager. Hoch-
druck- und Mitteldruckgehuse sind in Topf- oder Doppelmantelbauweise, die Niederdruckteile mit geschweißten Außengehusen und teils gegossenen, teils geschweißten Innengehusen ausgefhrt. Das Hochdruck-Topfgehuse einer 800-MW-Turbine in berdruckbauweise fr 50 1/s, 180 bar, 525 C (Bild 4), ein entsprechender Mitteldruckteil fr 50 1/s, 60 bar, 588 C in Gleichdruckbauart (Bild 5) sowie der Hochdruck-, Mitteldruck- und ein von drei Niederdruckteilen einer der grßten Einwellen-Anlagen mit 930 MW fr 50 1/s, gebaut fr 260 bar, 550 C (Bild 6) zeigen die konstruktive Gestaltung moderner Dampfturbinen. Turbinen fr kombinierte Gas-Dampfkraftwerke Kombinierte Gas-Dampfkraftwerke (L 3.1.3) haben in den letzten Jahren enorm an Bedeutung gewonnen. Grnde sind: in vielen Gebieten gnstiges und in ausreichenden Mengen zur Verfgung stehendes Erdgas, die durch den Brennstoff, den hohen Wirkungsgrad und fortschrittliche Verbrennungstechnologie bedingten geringen Emissionen, die Entwicklung großer Gasturbinen (s. R 8) mit Leistungen bis 350 MW so-
Bild 4. Hochdruckteil einer 800-MW-Zwischenberhitzungsturbine (Siemens, UB KWU). 1 hydraulische Dreheinrichtung, 2 Lagergehuse, 3 Hochdruckgehuse in Topfbauweise, 4 Lagergehuse mit Radial-Axiallager
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Bild 5. Mitteldruckteil einer 850-MW-Zwischenberhitzungsturbine in Gleichdruckbauart (Alstom). 1 Innengehuse, 2 Laufbeschaufelung, 3 Wellendichtung
I6.2 Bauarten
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Bild 6. 930-MW-Zwischenberhitzungsturbine (Alstom). 1 Lufer-Dreheinrichtung, 2 einflutige Hochdruckturbine, Innengehuse mit Schrumpfringen, 3 geschweißte Welle, 4 Axiallager, 5 doppelflutige Mitteldruckturbine, 6 geschweißtes Niederdruckgehuse
Bild 7. Dampfturbine fr Einwellenanordnung mit Gasturbine und Generator (Alstom). 1 Schaltbare Kupplung (SSS), 2 Hochdruckturbine mit 360 Einlaßspirale, 3 kombinierte Mittel- und Niederdruckturbine, 4 axiales Abstrmgehuse
wie geringe spezifische Investitionen bei Neuanlagen im Vergleich zu anderen Technologien. Die in typischen GUD-Prozessen eingesetzten Dampfturbinen arbeiten mit Frischdampfzustnden von 100 bis 160 bar und 540 bis 585 C je nach Abgastemperatur der Gasturbine. Im Vergleich zu Dampfkraftwerken wird zugunsten der Investitionskosten meist auf einfachere Vorwrmkonzepte zurckgegriffen und teilweise auch auf die Zwischenberhitzung verzichtet. Statt dessen wird dem Abhitzekessel sogenannter Zweit-, manchmal auch Drittdampf auf tieferem Druck- und Temperaturniveau entnommen und der Dampfturbine zugefhrt. Neben den bisher blichen Aufstellungskonzepten, welche ein Zusammenschalten von 2 bis 3 Gasturbinen mit einer Dampfturbine vorsahen, setzt sich die Einwellenanordnung, d. h. Gasturbine, Generator und Dampfturbine in einem Wellenstrang, immer strker durch. Mittels einer schaltbaren Kupplung zwischen Generator und Dampfturbine ist es mglich, die Dampfturbine vom Rest des Wellenstranges ab- und anzukuppeln. Dadurch wird dem unterschiedlichen Anfahr-
und Auslaufverhalten von Dampf- und Gasturbine Rechnung getragen. Die bei Einwellenanordnungen derzeit resultierenden Dampfturbinenleistungen bis ca. 180 MW knnen berwiegend mit einflutigen Niederdruckteilen ausgefhrt werden. Mit einer separaten, einflutigen Hochdruckturbine und einer kombinierten, im Umkehrfluß ausgefhrten Mitteldruck-Niederdruckturbine mit axialem Abdampf (Bild 7) ergeben sich kompakte Anordnungen. Turbinen fr nukleare Kraftwerke Der Frischdampfzustand bei Siedewasserreaktoren liegt nur bei etwa 70 bar, der Sttigungstemperatur (etwa 285 C) und einer Dampffeuchte von etwa 0,3 %. Druckwasserreaktoren liefern um bis zu 30 K berhitzten Dampf. Die großen Volumenstrme und die Dampfnsse in der Hochdruckteilturbine stellen besondere Anforderungen an die Konstruktion von Sattdampfturbinen. Um die Endnsse in Grenzen zu halten, wird in der Rohrleitung nach der Hochdruckturbine ein Hochgeschwindigkeitsabscheider und dahinter ein mit Frischdampf
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Strmungsmaschinen – 6 Dampfturbinen
beheizter berhitzer eingesetzt. Diese verbessern den thermischen Wirkungsgrad um 1,0 bis 1,5 %. Das optimale Druckniveau fr Wasserabscheidung und berhitzung liegt bei 8 bis 12 bar. Abmessungen. Da die Anlagenkosten bei einem Kernkraftwerk mit zwei Dritteln in die Stromgestehungskosten eingehen, sind große Einheiten notwendig. Dazu kommt wegen der niedrigen Frischdampfdaten im Vergleich zu einer konventionellen Zwischenberhitzungsturbine gleicher Leistung ein vierfacher Volumenstrom am Eintritt und ein etwa 70 % grßerer Abdampfvolumenstrom. Dies fhrt bei frischwassergekhlten Anlagen zu sogenannten halbtourigen Turbinen, d. h. Drehzahlen mit halber Netzfrequenz (25 oder 30 1/s). Werden nmlich bei einer gegebenen volltourigen Endstufe alle geometrischen Abmessungen verdoppelt, so bleiben Strmungsverhltnisse, mechanische Beanspruchungen und relative Lage der Schaufeleigenfrequenzen bei halber Drehzahl konstant, der Abdampfvolumenstrom aber steigt um den Faktor vier. Die Sattdampfturbinen der heute blichen Leistungsklasse 1000 bis 1300 MW sind im Hochdruckteil zweiflutig und im Niederdruckteil, je nach Abdampfdruck, vier- oder sechsflutig ausgefhrt.
Bild 8. Leistungsbedarf von Speisepumpen-Antriebsturbinen. 1 Mgliche Leistung der Speisepumpen-Antriebsturbinen im Anzapfbetrieb, 2 Speisepumpenleistung im Festdruckbetrieb, 3 Speisepumpenleistung im Gleitdruckbetrieb. Leistungen: PSP Speisepumpe, PST Speisepumpenturbine, PHPHmax Hauptturbine
Erosion und Korrosion. Hierfr und fr die Abschaltsicherheit ist die Dampfnsse in der Hochdruckturbine maßgebend. Erosionskorrosion tritt im Bereich hoher Dampfdichte und hoher Dampfgeschwindigkeit, also in der Hochdruckturbine an allen Drosselstellen, im Wasserabscheider und in den Anzapf- und berstrmleitungen an un- und niedriglegierten Werkstoffen auf. Abhilfe bringen Panzerung durch hochlegierte Schweiß- oder Spritzschichten bzw. bergang zu hochlegierten Werkstoffen. Die Nachverdampfung des Kondensatfilms in der Beschaufelung und des Kondensats im Wasserabscheider bei einer Abschaltung erfordern zustzliche Maßnahmen – z. B. Abfang- oder Bypassklappen vor der Niederdruckturbine – um die Sattdampfturbinen abschaltsicher zu machen, also um ein Hochlaufen in die Schnellschlußdrehzahl zu vermeiden. Speisepumpen-Antriebsturbinen
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Speisepumpen werden direkt von der Hauptturbine, von einem Elektromotor oder einer speziellen Dampfturbine angetrieben. Verwendet werden heute meist Turbinen mit eigenem Kondensator, die bei Normalbetrieb mit Dampf aus einer Anzapfung der Hauptturbine zwischen etwa 3 und 10 bar und im Niedriglast-Bereich bzw. Strfall aus der Leitung zum Zwischenberhitzer versorgt werden. Die Leistungen der Speisepumpe und der Antriebsturbine im Anzapfbetrieb stimmen ber dem Lastbereich relativ gut berein (Bild 8), so daß oft ein Regelrad entbehrlich ist. Andererseits verlangen hohe Pumpendrehzahlen und kleine Geflle meist eine zweiflutige Beschaufelung. 6.2.2 Industrieturbinen. Industrial turbines Leistungen von einigen Hundert kW bis ber 100 MW, einfache Gegendruckturbinen bis zu Doppelentnahme-Kondensationsturbinen, Drehzahlen zwischen 50 und 300 l/s bei niedrigen und hohen Dampfdaten, Antrieb von Generatoren, Pumpen, Geblsen und Kompressoren lassen sich hier mit Baukastensystemen bedienen. Mglich war dies durch Baugruppen auch fr die Gehuse, die durch Steckmodelle und Flansche weitgehend anpassungsfhig sind, Bild 9. Die Hauptabmessungen der Baugruppen sind meist nach einer Normzahlreihe abgestuft. Die Drehzahlen sind dann umgekehrt proportional zu den Bezugsdurchmessern der Beschaufelungen, z. B. den Regelraddurchmessern und stammen aus der gleichen Normzahlreihe. Dabei bleiben mit den Gefllen die Stufenzahlen, Durchfluß- und Druck-Kenngrßen (s. R 1.6.2) konstant. So ergeben sich auch bei kleinen Leistungen gute Wirkungsgra-
Bild 9. Industrieturbinen-Baukasten (Alstom). 1 Lagergehuse Einstrmseite, 2 Stellventilgehuseblock, 3 Gehuse-Einstrmteil, 4 Gehuse-Mittelteil, 5 Gehuse-Abdampfteil, 6 Lagergehuse Abdampfseite, 7 Gehuse-Abdampfteil fr hohen Gegendruck
de, fr den Generatorantrieb ist aber ein Getriebe erforderlich. Die bei Industrieturbinen blichen Frischdampfdaten reichen bis etwa 150 bar und 540 C, bei vorgeschalteten Gasturbinen sogar 565 C, die Gegen- und Entnahmedrcke bis etwa 55 bar. Von den Radialturbinen wird nur noch die auf dem Konstruktionsprinzip von Khler beruhende, von außen nach innen durchstrmte Turbine (Bild 10) gebaut. Sie eignet sich nur fr relativ kleine Volumenstrme erreicht aber hohe Wirkungsgrade dank Deckplattenbeschaufelung und verlustarmer Abstrmung.
I6.2 Bauarten
R 63
durch das Geflle d. h. durch die Frischdampfdaten erreichen. Ist die bentigte Leistung grßer als die im Gegendruckbetrieb erzeugbare, bietet sich der Bezug aus dem ffentlichen Netz oder eine Entnahme-Kondensationsturbine an. Gegendruckturbinen werden im allgemeinen auf konstanten Gegendruck, also auf bentigten Wrmestrom geregelt, die Mehroder Minderleistung wird vom Netz bernommen. Ist bei Netzstrungen ein Inselbetrieb erforderlich, so luft die Turbine leistungsgeregelt, fehlenden Dampf liefert eine Reduzierstation, fehlende Leistung muß durch Abschalten nicht lebensnotwendiger Verbraucher kompensiert oder durch Zuschalten eines Notkondensators erzeugt werden. Die Gegendruckturbine in berdruck-Bauart (Bild 11) aus einer Baukastenreihe ist fr Frischdampf von 140 bar, 540 C, Gegendrcke bis 16 bar, Drehzahlen bis 270 l/s und Leistungen bis 140 MW ausgelegt.
Bild 10. Gegendruck-Radialturbine (KKK). 450 C Frischdampftemperatur, 64 bar Frischdampfdruck und 4 MW Leistung
Kondensationsturbinen. Zur reinen Stromerzeugung sind sie in der Industrie meist nicht wirtschaftlich und daher relativ selten. Ausgenommen sind Turbinen fr Entwicklungslnder und die Flle, in denen Dampf aus Abwrme erzeugt wird, wie bei bestimmten Prozessen in der Chemie, in Mllverbrennungsanlagen oder kombinierten Gas-Dampf-Anlagen (s. R 8.5.2). Meist dienen sie zum Antrieb von Geblsen, Verdichtern und Pumpen. Mit Rcksicht auf die Endnsse liegen die Frischdampfdrcke oft unter 100 bar, maximal bei 130 bar. Auch hierfr wurden Baukastenreihen mit einem Leistungsbereich von 0,5 bis ber 150 MW und Drehzahlen bis 250 l/s entwickelt.
Gegendruckturbinen. Sie werden berall dort eingesetzt, wo elektrische Energie und Wrme gebraucht wird. Da die Kondensationswrme des Gegendruckdampfes ausgenutzt wird, ist der Gegendruck durch das geforderte Temperaturniveau, der Dampfstrom durch den bentigten Wrmestrom gegeben. Die bentigte Leistung lßt sich dann in gewissen Grenzen
Anzapf- und Entnahmeturbinen. Es gibt zwei Mglichkeiten, Dampf aus einer oder mehreren Zwischenstufen der Beschaufelung zu entnehmen: Bei der Anzapfung ungeregelt, wobei der Druck an der Zwischenstufe vom Dampfstrom durch die nachfolgende Beschaufelung bestimmt wird und bei der Entnahme geregelt, wobei der Druck an der Zwischenstufe durch ein nachgeschaltetes Drosselorgan konstantgehalten
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Bild 11. Baukasten-Gegendruckturbine (Alstom). 1 Drehzahlwchter, 2 Axiallager, 3 Leitschaufeltrger
R 64
Strmungsmaschinen – 6 Dampfturbinen
wird. Da, abgesehen von der Speisewasservorwrmung, vom Dampfverbraucher meist ein konstanter Druck gefordert wird, muß bei der Anzapfung im Teillastbereich auf eine oder mehrere im Druck hher gelegene Anzapfungen umgeschaltet werden (Wanderanzapfung). Die Anzapfung ist einfacher und billiger als die Entnahme, hat aber dort ihre Grenzen, wo der geforderte Druck bei großen Anzapfmengen, also kleinen weiterstrmenden Dampfmengen nicht mehr gehalten werden kann. Anzapfdiagramm. Es zeigt den Fahrbereich einer Anzapfturbine mit Wanderanzapfung im Dampfstrom-Leistungsdiagramm m_ F ¼ f ðPK Þ mit dem relativen Wert A= m_ A =m_ Amax des Anzapfstroms m_ A , Bild 12. Seine Grenzkurven sind: Der Betrieb ohne Anzapfung a, die Linie minimalen Anzapfdrucks b an der Anzapfung 2, die maximale Anzapfmenge c – begrenzt durch die Dampfgeschwindigkeit im Stutzen und die Schaufelbeanspruchung –, die maximale Frischdampfmenge d und die maximale Leistung e, begrenzt durch den Generator. In dem Zwickel zwischen den Linien f und g, den Verbindungslinien der Umschaltpunkte von Anzapfung 1 auf Anzapfung 2 ist kein Betrieb mglich, da beim Umschalten bei konstanter Anzapfmenge die Leistung von f nach g oder umgekehrt springt.
ventile h, zu finden. Die Entnahme-Kondensationsturbine (Bild 14) gehrt zu einem Bausteinsystem fr einen Frischdampfzustand bis 130 bar 540 C, Entnahmedrcke bis 45 bar und Abdampfdrcke bis 0,2 bar. Die Regelstufe im Hochdruck ist einkrnzig, im Niederdruck zweikrnzig ausgefhrt. Die fr Baukastenturbinen typischen Leitschaufeltrger haben folgende Vorzge: Etwa gleich schnelle Erwrmung von Lufer und dampfumspltem Leitschaufeltrger, große zulssige Belastungs- und Temperaturnderungen, Einhaltung kleiner Schaufelspiele, schnelle Reparaturmglichkeit im Schadensfall und die Unterbringung stark unterschiedlicher Beschaufelungen im gleichen Gehuse.
Entnahmediagramm. Bei einer Entnahmeturbine (Bild 13) mit dem relativen Entnahmestrom E ¼ m_ E =m_ Emax ist diese Unstetigkeit nicht vorhanden. Dafr ist hier eine weitere Grenzlinie, nmlich die der Schluckfhigkeit der berstrm-
Zweidruckturbinen: Sie entsprechen im Aufbau der Entnahmeturbine. An einer Zwischenstufe wird Dampf einer niedrigeren Druckstufe zugefhrt. Bei der Entnahme-ZweidruckTurbine wird der Dampf zugefhrt oder entnommen. Eingesetzt werden Zweidruck-Turbinen dort, wo Abdampf aus einem industriellen Prozeß, meist mit stark schwankender Menge angeboten wird oder ein Abhitzekessel Dampf in zwei Druckstufen liefert. Die mittlere Temperaturdifferenz bei der Wrmebertragung im Abhitzekessel lßt sich dadurch erheblich verringern und damit der Gesamtprozeß verbessern. Zwei- oder Dreidruckturbinen heißen auch die Turbinen, die das Dampfangebot eines Gefllespeichers ausnutzen. Da beim Entladevorgang der Dampfdruck stark sinkt, muß fr konstante Turbinenleistung der Speicherdampf stufenweise auf die Stufen niedrigeren Drucks umgeschaltet werden.
Bild 12. Anzapfdiagramm
Bild 13. Entnahmediagramm
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Bild 14. Baukasten-Entnahme-Kondensationsturbine (GHH). 1 Hochdruck-Dsengehuse, 2 Regelrad einkrnzig, 3 berdruckstufen mit Leitschaufeltrger, 4 berstrm-Stellventil, 5 Regelrad zweikrnzig
I6.3 Konstruktionselemente
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Bild 16. Hochdruck-Dampfeinfhrung (Alstom). 1 Außengehuse, 2 Druckring, 3 Kolbenring, 4 Innengehuse, 5 Dampffhrungsgehuse, 6 Dichtungstrger, 7 Dse
Bild 15. Einrad-Getriebeturbine (KKK). 1 Frischdampfstutzen, 2 Aktions-Rad verschraubt mit Hirth-Verzahnung, 3 Abdampfstutzen, 4 Entwsserung, 5 Wellendichtung, 6 Spritzring, 7 labstreifer, 8 Radiallager, 9 Druckkamm
6.2.3 Kleinturbinen. Small turbines Sie werden in der Industrie und im Schiffbau als Haupt- und Hilfsantriebe vielfach verwendet. Meist sind es Einradturbinen mit ein- oder zweikrnziger Gleichdruckbeschaufelung, oft mit einem Getriebe zusammengebaut. Sie sind einfach im Aufbau, robust und zuverlssig im Betrieb und unkompliziert in der Bedienung. Das ist, besonders bei nur zeitweisem Betrieb, wichtiger als bester Wirkungsgrad. Die einkrnzige Getriebeturbine (Bild 15) ist mit einer radialen Wellendichtung ausgerstet. Diese Turbine kann maximal mit 4 000 kW, 215 l/s, 125 bar, 530 C und 20 bar Gegendruck betrieben werden.
6.3 Konstruktionselemente. Components 6.3.1 Gehuse. Casings Das Turbinengehuse hat die Druck- und Temperaturdifferenz zwischen dem Dampf in der Beschaufelung und der Atmosphre aufzunehmen. Einschalige Gehuse. Mit horizontaler Teilfuge werden sie nur bis zu einem Frischdampfzustand von etwa 140 bar und 565 C ausgefhrt. Hhere Druckdifferenzen sind wegen der Flanschabmessungen schwer zu realisieren, die mit ihren großen Massen auch die zulssigen Temperaturnderungen bei instationren Betriebszustnden begrenzen. Doppelmantelgehuse. Bei hheren Dampfzustnden wird deshalb die Gesamtdifferenz auf zwei Schalen aufgeteilt, wobei der Zwischendruck meist dem Abdampfdruck entspricht. Die Abdichtung des Innengehuses bernehmen verschraubte
Bild 17. Winkelringverbindung (Siemens, UB KWU). 1 Außengehuse, 2 Winkelring, 3 Fhrungsring, 4 Innengehuse
Teilflansche oder Schrumpfringe. Letztere ergeben kleinere Außengehuse-Abmessungen, rotationssymmetrische Innengehuse ohne Materialanhufungen und besseres Betriebsverhalten bei instationren Zustnden. Topfgehuse. Sein rohrfrmiger Mantel weist die kleinsten Zusatzspannungen auf und vermeidet die Schwierigkeiten des horizontalen Teilflansches. Die Abdichtung bernimmt hier ein stirnseitiger Deckel, der geflanscht oder mit einem selbstdichtenden Verschluß versehen sein kann. Die Vorteile des Topfgehuses werden mit einer schlechteren Zugnglichkeit bei Revisionen und Reparaturen erkauft. Meist kann es nur im Herstellerwerk geffnet werden. Die Dampfeinfhrung in das Innengehuse verlangt wegen der Relativdehnung zwischen Innen- und Außengehuse eine axial und radial bewegliche Dichtung mit Kolbenringen (Bild 16) oder einem Winkelring, Bild 17. 6.3.2 Ventile und KlappenValves Eine Dampfturbine bentigt fr ihren sicheren Betrieb folgende Ventile: Auf der Frischdampfseite eine doppelte Absperrung durch Schnellschluß- und Frischdampfstellventile, nach der Zwischenberhitzung zur Ausschaltung des Zwischenberhitzervolumens eine doppelte Absperrung durch Abfang-Schnellschluß- und -Stellventile, fr die Entnahme
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berstrm-Stellventile und Schnellschluß-Rckschlagventile. Dazu kommen Rckschlagklappen in den Anzapfleitungen zu den Vorwrmern, um das Rckstrmen von Wasser und Dampf in die Beschaufelung zu verhindern sowie Abfangklappen vor den Niederdruckteilen der Sattdampfturbinen. Alle Schnellschlußventile gehren zum Schutzkreis gegen berdrehzahlen (s. R 6.5). Einsitzventile. Sie werden wegen ihrer guten Dichtheit und ihres kleinen Druckverlustes am hufigsten verwendet: Unentlastete Einsitzventile wegen ihrer großen Stellkrfte nur fr relativ kleine Sitzdurchmesser, sonst entlastete Einsitzventile mit Vorhubkegel oder Rohrventile. Beide Ventile bentigen nur kleine Stellkrfte, das Rohrventil ist allerdings nicht vllig dicht. Die Abfang-Schnellschlußklappe kombiniert mit dem entlasteten Stellventil hat einen besonders kleinen Druckverlust, Bild 18. Der Diffusor des Stellventils ist als Dampfdurchfhrung zum Innengehuse ausgestaltet. Doppelsitzventile. Sie haben kleine Stellkrfte, sind aber schwer dicht zu halten und kommen meist bei Industrieturbinen vor. Der Stellventil-Dsengehuseblock (Bild 19) einer Industrieturbine hat drei Doppelsitz-Stellventile, von denen nur das erste vom Stellantrieb direkt bettigt wird, whrend
Bild 20. Entnahme-Schnellschluß-Rckschlagventil (Alstom). 1 Ventilkolben, 2 Rckschlagteller
die beiden anderen durch das jeweils vorhergehende Ventil geffnet und durch eine Feder geschlossen werden. Wegen der kleinen Stellkrfte gengt ein Antrieb fr die drei Stellventile. Das mediumbettigte Entnahme-Schnellschluß-Rckschlagventil (Bild 20) besitzt einen frei beweglichen Rckschlagteller. Es wird durch Beaufschlagung des Kolbens mit dem Vordruck und durch Federkraft geschlossen und ffnet durch Absenken des Druckes im Kolbenraum.
6.3.3 Beschaufelung. Blading
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Bild 18. Abfang-Schnellschlußklappe und Stellventil (Alstom). 1 Schnellschlußklappe, 2 Stellventil, 3 Entlastungsventil, 4 Dampfsieb
Sie soll den Wrmeinhalt des Dampfes mglichst verlustlos in Geschwindigkeitsenergie umwandeln und die dabei auftretenden Krfte auf die Welle und das Gehuse bertragen. Jedes Schaufelprofil ist infolgedessen ein Kompromiß zwischen strmungstechnischen, festigkeitsmßigen, schwingungstechnischen und wirtschaftlichen Forderungen. Die Schaufelprofile stehen mit meist geometrisch abgestuften Sehnenlngen zur Verfgung. Leit- und Laufschaufeln. In Hoch- und Mitteldruckteilturbinen werden fast ausnahmslos aus dem Vollen gefrste Deckplattenschaufeln verwendet, die gute Festigkeitseigenschaften mit hohen Wirkungsgraden verbinden, Bild 21 a und b. Nur im Bereich geringer Dampfdrcke und Temperaturen kommen Leitschaufeln aus gezogenen Profilstangen zum Einsatz, die mit aufgenieteten Deckbndern versehen werden (Bild 21 c). Regelstufen. Ihre Laufschaufeln sind besonders hoch beansprucht, da sie teilbeaufschlagt sind und bei Teillast große Geflle verarbeiten. Sie erhalten bei Großturbinen Steckfße, axiale Tannenbaumfße oder werden mit der Welle verschweißt, Bild 21 d.
Bild 19. Stellventil-Dsengehuseblock (Alstom). 1 Stellventil, 2 Dsen
Endschaufeln. Sie sind am hchsten beansprucht. Fr ihre Auslegung gilt in vermehrtem Maße der schon erwhnte Kompromiß zwischen Aerodynamik, Schaufelfestigkeit und Schwingungsverhalten. Die Modellgesetze erlauben die Bildung von Familien mit geometrisch hnlichen Schaufeln, wenn sich die Abmessungen umgekehrt proportional zu den Drehzahlen ndern. Bei konstanter Drehzahl trifft dies fr verschiedene Austrittsflchen nicht zu. Der Steck- und der Tannenbaumfuß (Bild 22) sind die heute allein blichen Befestigungsarten fr Endschaufeln von Großturbinen. Man unterscheidet ferner freistehende und gebundene Endschaufeln, wobei letztere im ußeren Profilbereich Bindelemente wie
I6.3 Konstruktionselemente
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Bild 21 a–d. Stufenformen. a berdruckstufe mit integralen Fßen und Deckplatte und Spaltabdichtung in Noniusteilung (Siemens, UB KWU); b Gleichdruckstufe mit geschweißtem Leitrad und Laufschaufel mit Steckfuß und Deckplatte (Alstom); c Leitschaufeln aus gezogenen Profilstangen mit Fußzwischenstcken und aufgenietetem Deckband (Alstom); d aus dem Vollen erodierter und anschließend auf die Welle geschweißter Regelradschaufelkranz (Alstom)
eingelegte Drhte und Bolzen oder integrale Sttzflgel aufweisen. Der ausgeprgt dreidimensionale Charakter der Strmung im Niederdruckstrmungskanal erfordert diesen Verhltnissen angepaßte Schaufelgeometrien. Durch die mechanischen Einschrnkungen bei der hochbelasteten Laufschaufel kommt der aerodynamischen Gestaltung der letzten Leitreihen eine besondere Bedeutung zu. Sehr lange Endschaufeln knnen wegen der hohen Fliehkrfte nicht mehr aus Stahl ausgefhrt werden. Endschaufeln bei Dampfturbinen mit einer Drehzahl 50 1/s werden ab einer Profillnge von ca. 1100 mm in Titan ausgefhrt.
Bild 22 a, b. Endschaufeln von Großturbinen. a Leitreihe und freistehende Laufschaufel mit gebogenem Tannenbaumfuß; b gebundene Laufschaufel mit Steckfuß
6.3.4 Wellendichtungen. Shaft seals Berhrungsfreie Labyrinthdichtungen (Bild 23) sind heute allgemein blich. Form c wird an Niederdruckteilen mit ihren großen Relativdehnungen zwischen Welle und Gehuse verwendet. Alle Wellendichtungen von Großturbinen sind in einzelne Abschnitte mit dazwischenliegenden Ringkammern aufgeteilt und haben federnde Dichtsegmente. Die ußerste Kammer besitzt eine Absaugung zur Vermeidung von Dampfaustritt an der Welle, die zweite Kammer ein Sperrdampfsystem. Hier herrscht ein leichter berdruck, um das Eindringen von Luft in die Niederdruckteile zu verhindern. Das System wird von den Wellendichtungen der Hochdruck- und Mitteldruckteile sowie von den Spindeldichtungen der Ventile und meist auch noch von einem Hilfsnetz gespeist. berschssiger Dampf wird in eine Niederdruckanzapfung abgefhrt. Ebenfalls in eine Anzapfung und zur Verringerung der Leckverluste geht der Dampf aus einer dritten Kammer der HochdruckWellendichtungen. Auch die Dichtungen der Ausgleichkolben haben meist eine Anzapfung zur Verringerung ihrer Leckverluste.
6.3.5 Lufer-Dreheinrichtung. Turning gear Wenn beim Abstellen einer Turbine der Lufer zum Stillstand gekommen ist, bildet sich in dem noch heißen Gehuse eine Temperaturschichtung aus, die zu einer Verkrmmung von Lufer und Gehuse fhrt, so daß die Turbine erst wieder nach dem Erkalten angefahren werden kann. Alle grßeren Turbinen haben deshalb eine Dreheinrichtung mit einer Drehzahl von 0,1 bis 2 l/s. Als Antriebsenergie stehen Strom, Druckl oder Druckluft zur Verfgung, wobei letztere meist nur fr Hilfsantriebe verwendet wird. Meist treibt ein Elektrooder Hydraulikmotor ber Getriebe und Freilauf oder Schlingfeder den Lufer an (Bild 6). Besonders einfach ist der Antrieb durch eine ein- oder zweikrnzige lturbine. Zur Verringerung des Losbrechmoments und zur Vermeidung trockener Reibung in den Lagern wird bei Großturbinen unter die Lagerzapfen Hochdruckl eingespeist, das den gesamten Luferstrang beim Anfahren aufschwimmen lßt und das auch im Drehbetrieb meist zugeschaltet bleibt.
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Strmungsmaschinen – 6 Dampfturbinen
Bild 25 a, b. Segment-Axiallager. a Mit Ausgleichs-Federring; b mit Ausgleichhebeln. 1 Tragsegment, 2 Federring, 3 Ausgleichhebel, 4 Lagergehuse, 5 Wellenscheibe
chenlager, sonst meist Klotzlager, deren auf Kippkanten gelagerte Kltze zum Belastungsausgleich auf Federelementen oder Ausgleichhebeln (Bild 25) sitzen.
6.4 Anfahren und Betrieb. Start up and operation
Bild 23 a–c. Wellendichtungen. a Mit eingestemmten Streifen in der Welle; b mit federnden Dichtsegmenten; c mit glatter Welle
6.3.6 Lager. Bearings
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Radiallager. Bei den Dampfturbinen sind fast alle im Maschinenbau vertretenen Gleitlager-Typen zu finden (s. G 6): Taschenlager (Bild 24), Mehrkeillager. Die Lager haben oft zur berwachung eine eingebaute Temperaturmeßstelle und bei Großturbinen Anschlsse fr das Hochdruckl zur Luferanhebung. Axiallager. Sie nehmen den Restschub der Beschaufelung auf und sind bei Klein- und Industrieturbinen oft starre Mehrfl-
Anfahren. Hierbei treten an den vom Dampf umstrmten Bauteilen mit grßerer Wandstrke zustzliche Beanspruchungen auf, die die Lebensdauer verringern. Sie sind vom zeitlichen Ablauf des Anfahrvorgangs und den dabei gefahrenen Dampfdruck- und Temperaturtransienten abhngig. Mit der Finite-Element-Methode ist es heute mglich, diese Anfahrspannungen zu berechnen. Bei Großturbinen ermitteln Gerte aus Temperaturmessungen die Spannungen in den gefhrdeten Bauteilen und steuern den Anfahrvorgang automatisch so, daß die Turbine schnell und schonend hochfhrt und daß die kritischen Drehzahlbereiche so schnell wie mglich durchfahren werden. Schwingungsverhalten. Die Lage der biege- und torsionskritischen Drehzahlen der aus bis zu sieben Einzelwellen bestehenden Luferstrnge wird mit Hilfe moderner Rechenverfahren (s. O 2.7) bestimmt, die auch eine Aussage ber das Auftreten von Lauf-Instabilitten erlauben. Der Luferstrang wird mit Schwingungsaufnehmern an den Lagergehusen und/oder an den Lufern berwacht. Fehler an diesen Teilen knnen so rasch erkannt und vor dem Auftreten grßerer Schden beseitigt werden.
6.5 Regelung, Sicherheits- und Schutzeinrichtungen Control, safety and protection devices
Bild 24. Taschenlager (Alstom). 1 lzulauf, 2 Paßplatte, 3 HD-lanschluß
Regelkreis. Turbinen sind meist mit Drehzahlreglern ausgerstet. Regelgrße ist also die Drehzahl, Stellgrße der Dampfstrom. Strgrßen sind die Belastung, aber auch der Entnahmestrom, der Gegen- und der Vordruck, Stellglieder sind die Stellventile, Bild 19. Die Regelstrecken haben, vom Hochfahren abgesehen, einen Ausgleich. Die Regler wirken bei Netzbetrieb nach dem PI-, beim Inselbetrieb nach dem PVerfahren. Sie arbeiten entweder mechanisch mit Fliehgewichten, also Pendeln oder Stabfedern, hydraulisch mit einer lpumpe oder elektronisch mit einem Tachogenerator als Impulsgeber. Weiterhin werden noch weitere Grßen wie der Vor-, Gegen- und Entnahmedruck geregelt (s. X 6).
I6.6 Berechnungsverfahren
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Schutzkreis. Schnellschluß- und Stellventile schließen, um Schden bei Ausfall der Regelung zu verhten. Auslsend wirken Drehzahlwchter (bei 110 % der Nenndrehzahl), Druckwchter (zu niedriger Schmierldruck, zu hoher Kondensatordruck, Gegendruck, Entnahmedruck), Temperaturwchter (zu hohe Kondensatortemperatur, Lagertemperatur), Niveauwchter (zu hoher Wasserstand in den Vorwrmern), Wellenlagewchter (zu große Axialschubkrfte) und Schwingungsberwachung.
6.6 Berechnungsverfahren. Design calculations 6.6.1 Allgemeines. Introduction Seitdem die Wasserdampfgleichungen programmiert sind, werden selbst Kleinturbinen mit Rechenprogrammen ausgelegt. Die fr die Wirkungsgradberechnung der Schaufelprofile notwendigen Einzelverlust-Rechnungen sind auch so kompliziert geworden, daß sie nur noch auf elektronischen Rechenanlagen durchgefhrt werden knnen. Deshalb werden hier nur berschlagsrechnungen gebracht, deren Genauigkeit aber fr Projektierungsrechnungen vllig ausreicht. Fr den Wrmeverbrauch der Kraftwerksturbinen wird auf das VDI-Handbuch Energietechnik, Teil 2 Wrmetechnische Arbeitsmappe, Arbeitsbltter 6.4, 6.5 und 6.6 verwiesen.
6.6.2 Auslegung von Industrieturbinen Design of industrial turbines Gegendruckturbinen Gegeben sind i. allg. die Kupplungsleistung PK, der Frischdampfdruck pF, die Frischdampftemperatur tF, der Gegendruck pG. Kupplungswirkungsgrad. Aus der Dampftafel bzw. dem h, s-Diagramm folgen die Enthalpie hF und die Entropie sF des Frischdampfes. Durch Auftragen im h, s-Diagramm oder auch durch Interpolieren in der Dampftafel lßt sich die isentrope Enthalpiedifferenz ys zwischen dem Frischdampfzustand und dem Gegendruck (Index G) bestimmen, Bild 26. ys=hF hGo. Mit dem inneren Wirkungsgrad hi=0,8 folgt yi=0,8ys. Damit wird vorlufig die Gegendruckenthalpie hG=hF yi und der Frischdampfstrom m_ F ¼ PK =yi hmech . Hierbei ist der mechanische Wirkungsgrad h mech = 0,98. Fr den Frischdampf- und Abdampfzustand wird aus der Dampftafel das spezifische Volumen vF und vG abgelesen. Damit ergibt sich der Zudampf- und Abdampfvolumenstrom pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi V_ F ¼ m_ F vF und V_ G ¼ m_ F vG und ihr Mittelwert V_ m ¼ V_ F V_ G .
Bild 26. Gefllebestimmung im h, s-Diagramm
Aus dem Bild 27 folgt damit hk=hi hmech. Mit diesem Wert wird m_ F und V_ m verbessert. Eine weitere Iteration ergibt meist den endgltigen Wirkungsgrad. Hhere Drehzahlen bei kleinem mittlerem Volumenstrom verbessern den Wirkungsgrad, Bild 27. Dabei verursacht aber das dann notwendige Getriebe einen Verlust von 2 bis 3 % und zustzliche Kosten. Stutzen und Ventile. Die Zudampf- und Abdampfstutzenabmessungen lassen sich aus V_ F und V_ G und den blichen Dampfgeschwindigkeiten c bestimmen: 30 bis 60 m/s fr Zudampf- und 50 bis 80 m/s fr Gegendruckstutzen. Die Druckverluste in den Schnellschluß- und Stellventilen sollen 1 bis 2 bzw. 3 bis 4 % nicht berschreiten. Die Durchmesser ergeben sich dann mit Dp ¼ zc2 r=2 (s. B 6.2). Die z-Werte betragen: Schnellschlußventil 1,5 bis 2,5, Einsitzstellventil 0,4 bis 0,8, Doppelsitzstellventil 1,0 bis 2,0. Kondensationsturbinen Gegeben sind i. allg. die Kupplungsleistung PK, der Frischdampfdruck pF, die Frischdampftemperatur tF, der Kondensatordruck pc oder die Khlwassertemperatur tKW. Ist nur tKW bekannt, lßt sich der Kondensatordruck pc ¼ fðts Þ mit der Sttigungstemperatur des Kondensats ts ¼ tKW þ Dt abschtzen. Hierbei ist D t ¼ 13 K (Khlwasseraufwrmung=10 K, Grdigkeit des Kondensators = 3 K). Kupplungswirkungsgrad. Zunchst wird die Enthalpiedifferenz zwischen dem Frischdampfzustand und dem Kondensatordruck ys=hF hc bestimmt. Mit den Wirkungsgraden hi=0,82 und hmech=0,99 und mit Bild 28 wird dann wie bei
Bild 27. Kupplungswirkungsgrad h K als Funktion des mittleren Volumenstroms V_ m von Gegendruckturbinen
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Strmungsmaschinen – 7 Turboverdichter
der Gegendruckturbine weitergerechnet. (Abdampf-Dampfnsse 15 % nicht berschreiten!)
Stutzen und Ventile. Der Zudampfstutzen und die Ventile werden wie fr die Gegendruckturbinen ausgelegt. Der Abdampfstutzen sollte fr eine Geschwindigkeit von 100 bis 150 m/s bemessen werden. Entnahmeturbinen
Bild 28. Kupplungswirkungsgrad hK als Funktion des Frischdampfvolumenstromes V_ F von Kondensationsturbinen
Der Hochdruckteil wird wie eine Gegendruckturbine, der Niederdruckteil wie eine Gegendruck- oder Kondensationsturbine berechnet. Das Entnahmediagramm (Bild 13) entsteht, wenn der Dampfverbrauch der beiden Teilturbinen ber der Leistung aufgetragen wird und die Punkte gleichen Entnahmestroms miteinander verbunden werden. Beim Anzapfdiagramm (Bild 12) muß dabei, da der Anzapfdruck gleitet, fr jeden Punkt das Geflle neu bestimmt werden.
7 Turboverdichter Turbocompressors K. Ldtke, Berlin Turboverdichter sind Strmungsmaschinen zur Verdichtung von Gasen nach dem dynamischen Prinzip. Als Element der Energiebertragung auf das Gas dient das beschaufelte, kontinuierlich durchstrmte Laufrad. Druck, Temperatur und Geschwindigkeit des Gases sind nach dem Verlassen des Laufrads grßer als am Eintritt. Das dem Laufrad nachgeschaltete Leitteil sorgt fr weitere Druck- und Temperaturerhhung durch Verzgerung der Geschwindigkeit (s. R 1).
7.1 Einteilung und Einsatzbereiche Classification and rating ranges
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Zur Unterteilung in Axial- und Radialmaschinen wird die Hauptstrmungsrichtung in der Meridianebene des Laufrads, d. h. einer Ebene, die die Drehachse enthlt, herangezogen. Diese fr den Durchsatz maßgebende Meridianstrmung verluft bei der Strmungsmaschine axialer Bauart im wesentlichen axial, bei der radialen Bauart im wesentlichen radial von innen nach außen. Gelegentlich trifft man auch Mischbauarten, sog. Diagonalverdichter an. Eine andere Unterteilung in Verdichter und Ventilatoren basiert auf der Hhe der spezifischen Verdichtungsarbeit. Beim Ventilator bleibt sie so gering, so daß keine nennenswerten Dichte- und Temperaturnderungen auftreten. Der bergang ist jedoch fließend.
7.1.1 Ventilatoren. Fans Die Auslegungsberechnung wird mit den Formeln fr inkompressible Medien durchgefhrt. Die niedrige Umfangsgeschwindigkeit des Laufrads und der Betrieb meist auf niedrigem Druckniveau fhren im Vergleich zum aufwendigen Turboverdichter zu einfachen, leichten, dnnwandigen Blechkonstruktionen. Der ungefhre Einsatzbereich von Axial- und Radialventilatoren ist aus Bild 1 ersichtlich. Einsatzbereiche: Gruben- und Tunnelbelftung, Kesselluftversorgung, Klima-, Chemie-, Verbrennungs-, Entstaubungsanlagen, Zement-, Papier-, Glasindustrie u. a. Außer fr Luft auch fr erosive, korrosive, explosive, toxische und staubhaltige Gase.
Bild 1. Nherungsweise Arbeitsbereiche Verdichter und Ventilatoren. V_ Ansaugevolumenstrom, pd max maximaler Betriebsdruck, RV Radialverdichter, vertikal geteiltes Gehuse, RH Radialverdichter, horizontal geteiltes Gehuse, RG Radialverdichter, integriertes Getriebe, A Axialverdichter (Druckverhltnis > 8: 2gehusig), VR Radialventilatoren (1- bis 2stufig), VA Axialventilatoren, a maximaler Betriebsdruck fr RV und RH fr Ansaugdruck 1 bar. b maximaler Betriebsdruck fr RG fr Ansaugedruck 1 bar. Bereichsgrenzen variieren erheblich je nach Hersteller
7.1.2 Axialverdichter. Axial compressors Die statische Druckerhhung im Laufrad erfolgt ausschließlich durch Strmungsumlenkung und die damit verbundene Verzgerung, weil durch die Abwesenheit jeglicher Radialstrmung die Arbeit des Fliehkraftfelds entfllt. Somit bleibt die polytrope Arbeit je Stufe verhltnismßig gering, wodurch der Axialverdichter fr das gleiche Druckverhltnis wesentlich mehr Stufen bentigt als der Radialverdichter, whrend bei gleichem Volumenstrom die Drehzahl des Axialverdichters hher ist. Kennzeichen des Axialverdichters sind große Volumenstrme bei moderaten Druckverhltnissen (s. Bild 1) und vergleichsweise hohen Wirkungsgraden. Axialverdichter haben steilere Kennlinie und, bei festen Leitschaufeln, einen schmaleren Betriebsbereich. Bild 2 zeigt einen Axialverdichter als Industriemaschine, der hohe Wirtschaftlichkeit mit einem axialen Einlauf und einer radialen Endstufe erreicht. Ist der Antrieb nicht drehzahlregelbar, werden die vorderen Stufen mit verstellbaren Leitschaufeln versehen.
I7.1 Einteilung und Einsatzbereiche
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Bild 2. Axialverdichter mit Leitschaufelregelung (MAN Turbo) fr Volumenstrme bis zu 1,2 Mio. m3/h und Druckverhltnisse bis zu 8 (Luft). 1 Saugstutzen, 2 Druckstutzen, 3 Axialbeschaufelung, 4 Leitschaufelverstelleinrichtung, 5 radiale Endstufe, 6 Ausgleichskolben, 7 Axiallager, 8 Radiallager, 9 doppelschaliges Lagergehuse mit Sperrung
Die Abdeckung des in der Strmung liegenden Lagers ist doppelwandig ausgefhrt. Der Zwischenraum wird so mit Sperrluft beaufschlagt, daß unter allen Betriebsbedingungen kein l in den Strmungskanal dringen kann. Einsatzbereiche. Hochofenwinderzeugung, Luftzerlegungsanlagen und in chemischen und petrochemischen Prozessen zur Verdichtung von Luft und Gasen.
7.1.3 Radialverdichter. Centrifugal compressors Der radiale Prozeßverdichter in Einwellenbauweise ist im lund Gasfeldbetrieb, in der Erdgasverarbeitung, in der lraffinerie- und petrochemischen Verfahrenstechnik und in der chemischen Industrie weit verbreitet. – Er frdert Gas-Massenstrme auf ein fr die Verarbeitung erforderliches Druckniveau. – Er stellt die Druckdifferenzen zur berwindung von Systemwiderstnden zur Verfgung und ermglicht so den Gasdurchfluß in Reaktoren, Wrmetauschern und Rohrleitungen. – Als Teil von Industrieklteanlagen khlt oder verflssigt er Stoffstrme. Die vom Radialverdichter gefrderten Medien reichen vom H2 -Reichgas in der Kraftstoffherstellung mit der niedrigsten vorkommenden molaren Masse von M 2,5 und Drcken bis p=200 bar bis zum Kltemittel R 134A mit der hchsten molaren Masse von M=102. Im unteren Feld liegen NH3 Synthesegas (M=8,5; pmax =180 bar), Methanolsynthesegas (M=11,3; pmax =85 bar) und NH3 (M=17; Saugtemperatur ts min =–40 C). Im Mittelfeld findet sich Erdgas, gemischt mit anderen Normal-Paraffinen (M=18–26) in GasliftingAnlagen bis 220 bar und Reinjections-Anlagen bis 600 bar. Atmosphrische Luft (M=28,8) wird bis maximal 50 bar in Ammoniak-, Terephthal- und Essigsure-Anlagen verdichtet.
thylen-Anlagen erfordern einen Rohgasverdichter (M=28; p=30 bar), einen thylen- (M=28; ts =–101 C) und einen Propylen-Verdichter (M=42; ts =– 43 C). Im Bereich schwerer Gase liegt auch die CO2 -Verdichtung in HarnstoffAnlagen (M=44; pmax =200 bar) und Chlor (M 70; pmax =13 bar). Die Stufenzahlen der Prozeß-Radialverdichter in Einwellenbauweise reichen von 1 bis 26 in bis zu drei hintereinandergeschalteten, bis zu fnfmal zwischengekhlten Gehusen. Maximale Stufenzahl je Gehuse: zehn; maximale Zwischenkhlungen je Gehuse: drei, d. h. maximal vier Stufengruppen und maximal acht Stutzen je Gehuse. Antrieb durch Elektromotore, Dampf- und Gasturbinen; Einwellenverdichter-Drehzahlen bis ca. 20 000 1/min; Getriebeverdichter-Ritzeldrehzahlen bis ca. 40 000 1/min; Leistungen bis ca. 30 MW, in seltenen Fllen auch darber. Da das Gas whrend der Energiebertragung im Laufrad von innen nach außen strmt, unterliegt es der nderung des Zentrifugalfelds. Damit wird die statische Enthalpie um den Summanden ðu22 u21 Þ=2 erhht, wodurch die erzielbaren Druckverhltnisse wesentlich hher als beim Axialverdichter werden. Die radiale Strmungsrichtung im Laufrad erfordert wiederum radial angeordnete Diffusoren, die den Außendurchmesser des Gehuses auf etwa das Doppelte des Laufraddurchmessers erhhen. Serpentinenartig wird das Gas der nchsten Stufe zugefhrt, nachdem es in der Rckfhrbeschaufelung vom Drall befreit wurde (drallbehaftete Eintrittsstrmung wrde in dieser Stufe nach der Euler-Formel das Druckverhltnis vermindern). Die nach außen wachsenden Leitteile mit vielen Umlenkungen und langen Strmungswegen erklren die gegenber dem Axialverdichter niedrigeren Wirkungsgrade und setzen dem Radialverdichter durch Anwachsen des Außendurchmessers und der Masse Volumenstromgrenzen, s. Bild 1. Einen 5stufigen Radialverdichter mit hintereinandergeschalteten Laufrdern zeigt Bild 3.
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Bild 3. Radialer Einwellenverdichter (MAN Turbo) mit horizontal geteiltem Schweiß-Gehuse, pd bis 70 bar, V_ bis 250 000m3 /h. 1, 2 Saug-, Druckstutzen, 3, 4 Radial-, Axiallager, 5 Labyrinthdichtung, 6 gasgeschmierte Gleitringdichtung, 7 Kupplung
Disziplinen bestimmt: Aero-Thermodynamik muß Volumenstrom, polytrope Arbeit, Wirkungsgrad und Betriebsbereich sicherstellen; Festigkeitsberechnung muß statische und dynamische Integritt nachweisen; Rotordynamik muß Laufruhe und Fertigungstechnik soll wirtschaftliche Herstellung gewhrleisten. Bild 4 zeigt schematisch die wichtigsten Parameter der verschiedenen Bauformen und, durch Pfeile angedeutet, deren fortschreitende Entwicklung.
7.2 Radiale Laufradbauarten Centrifugal impeller types Die aero-thermodynamischen und strukturmechanischen Mglichkeiten und Grenzen dieses schnellaufenden und daher hochbeanspruchten Bauteils bestimmen das Einsatzpotential des Verdichters. Die Auslegung des Laufrads, d. h. die Festlegung der Geometrie und der Drehzahl wird durch mehrere
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Bild 4. Bauarten und Kenndaten von radialen Laufrdern. max. Volumenstromzahl fr betreffenden Radtyp, pges Verdichterdruckverhltnis, i Stuu2 fenzahl, n Drehzahl, u2 Umfangsgeschwindigkeit 100 % 350 m/s, V_ ¼ j p d 22 u2 ; hP ¼ yP 2 ; j Volumenstromzahl; yP polytrope Druckzahl, hp spezi4
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fische polytrope Arbeit. Die Pfeile kennzeichnen die Entwicklung whrend der letzten drei Jahrzehnte
I7.2 Radiale Laufradbauarten 7.2.1 Das geschlossene 2 D-Laufrad The shrouded 2 D-impeller Ausgangspunkt ist das traditionelle Laufrad des Industrieverdichters mit Deckscheibe und rckwrtsgekrmmten Schaufeln, die ber die ganze Schaufelbreite dieselbe Krmmung besitzen (2 D). Volumenstromzahl j bis ca. 0,06; Schaufelaustrittswinkel b2 meist 40 bis 50 (gemessen von Tangente). Je hher das Druckverhltnis je Gehuse, desto strker nehmen beim Einwellenverdichter die Volumenstromzahlen von Stufe zu Stufe ab. Das fhrt zu 2 D-Laufrdern mit j-Werten bis unter 0,01 mit erheblich abgesenkten Stufenwirkungsgraden. Dadurch werden jedoch kleine Volumenstrme V_ , hohe Druckverhltnisse pges, niedrige Drehzahlen n und große Stufenzahlen je Gehuse i erst mglich gemacht. 7.2.2 Das geschlossene 3 D-Laufrad The shrouded 3 D-impeller Eine Erhhung des Volumenstroms bei gleichem Raddurchmesser fhrt zu breiteren Schaufelkanlen und grßeren jWerten, derzeit bis ca. 0,15. Schaufelaustrittswinkel b2 meist 45 bis 60 . Zur Erzielung hoher Wirkungsgrade muß die Schaufeleintrittskante an die unterschiedlichen Strmungswinkel an Deck- und Nabenscheibe angepaßt und die Schaufellnge vergrßert werden. Diese Forderungen fhren zu rumlich verwundenen Schaufeln mit vorgezogenen Eintrittskanten, mit unterschiedlichen Krmmungen ber die Schaufelbreite (3 D), zu kleineren Nabenverhltnissen und vergrßerter axialer Baulnge (s. Bild 9). Geschlossene 3 D-Rder sind gekennzeichnet durch hohen Wirkungsgrad bei verringertem Außendurchmesser, weiten Betriebsbereich, hohe Drehzahl und eine reduzierte maximale Stufenzahl je Einwellenverdichtergehuse. 7.2.3 Das offene Laufrad. The semi-open impeller Eine hhere Umfangsgeschwindigkeit ist Voraussetzung fr eine weitere Steigerung des Volumenstroms und der polytropen Arbeit. Dazu sind erforderlich: Weglassen der Deckscheibe, Gestaltoptimierung der Nabenscheibe, weiteres Vorziehen der Schaufeln in den Einlauf (daraus wird dann der axiale sog. „Vorsatzlufer“), Aufdrehen des Schaufelaustrittswinkels, konische Schaufeln mit schwingungsmindernder Dikkenverteilung. Die offenen Rder operieren mit engem Spalt zwischen Gehuse und Schaufelspitzen und haben rumlich verwundene Schaufeln. Das Rad mit rckwrtsgekrmmten Schaufeln, deren Axialprojektion eine leichte S-Form erkennen lßt, sei hier der Krze halber mit S-Rad bezeichnet. Der Austrittswinkel b2 betrgt meist 45 bis 65. Das R-Rad, eine hier gewhlte Bezeichnungskurzform fr radial endende Schaufeln, mit einem Austrittswinkel von 90, ermglicht die hchste Umfangsgeschwindigkeit aller Laufrder bei merklich niedrigerem Wirkungsgrad, eingeschrnktem Betriebsbereich und flacher Kennlinie gegenber Rdern mit rckwrtsgekrmmten Schaufeln, d. h. geringem Anstieg des Druckverhltnisses vom Normalpunkt zur Pumpgrenze. 7.2.4 Laufradverwendung. Impeller application Einwellenverdichter werden fast ausschließlich mit geschlossenen 2 D- und 3 D-Laufrdern bestckt. In Einzelfllen war frher ein offenes Rad als erste Stufe in einem vielstufigen Verdichter anzutreffen. Offene Laufrder sind prdestiniert fr den Einsatz als fliegend gelagerte Rder mit axialer Ansaugung, also in ein- und vielstufigen Getriebeverdichtern, weil die Vorteile hoher Umfangsgeschwindigkeiten durch die
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Rotordynamik der kurzen Ritzelwellen nicht behindert und die Laufradspalte gut beherrscht werden. In vielen Anwendungsfllen werden Getriebeverdichter auch mit geschlossenen 3 D- und bei hohen Enddrcken deren letzte Stufen auch mit 2 D-Rdern ausgerstet.
7.2.5 Laufradherstellung. Impeller manufacture Je nach Herstellerfirma, Anforderungen der Betreiber, Laufradgrße etc. kommen in Frage: Frsen der Schaufeln. Aus dem vollen Schmiedematerial der Nabenscheibe nach dem NC-Verfahren herausgefrste Schaufelkanle. 2 D-Rder erfordern 3 Achsen; Rder mit rumlich verwundenen Schaufeln erfordern 5 Achsen (drei translatorische, zwei rotatorische Bewegungen relativ zwischen Werkzeug und Werkstck). Da die Schaufeloberflchen aus erzeugenden Geraden, die keine Nachteile fr die Aerodynamik darstellen, bestehen (s. Bild 4, Linienraster), ist Flankenfrsen entlang dieser Geraden mglich, wobei der Frser ber die gesamte Schaufelhhe im Eingriff ist. Vakuum-Hochtemperatur-Lten der Deckscheibe. Bei geschlossenen Rdern wird die Deckscheibe vakuum-hochtemperatur-aufgeltet oder aufgeschweißt. Ltung fr Laufraddurchmesser derzeit bis maximal ca. 1 000 mm. Fr grßere Durchmesser wird whrend der Aufheizung die absolute Verformung so groß, daß die Ltspaltweite die zulssigen Grenzen ber- oder unterschreitet und eine einwandfreie Bindung entlang der ganzen Schaufellnge nicht gewhrleistet ist. Als Lot wird meist eine Gold-Nickel-Legierung gewhlt. Schweißen der Deckscheibe. Aufschweißen der Deckscheibe durch Einfhren der Elektrode in den Strmungskanal vom Innen- oder Außendurchmesser her. Unterschreitet die Strmungskanalbreite am Austritt ca. 20 mm, wird die Deckscheibe mit den Schaufeln von außen durch gefrste Schlitze, die sich exakt der Schaufelgeometrie anpassen mssen, verschweißt (Schlitzschweißen). Separate Schaufelfertigung. Schaufeln knnen auch separat durch Gesenkschmieden, Freiverformung oder Gießen hergestellt und mit Deck- und Nabenscheibe verschweißt werden; meist fr Laufraddurchmesser ber ca. 1 300 mm. Gegossene Laufrder. Sandguß fr offene und geschlossene Rder aus einem Stck fr Laufrder ber ca. 400 mm Durchmesser. Die durch Einschlsse verringerte Integritt des Gußstcks reduziert die maximale Umfangsgeschwindigkeit, Modellkosten erzwingen mehr als drei Abgsse und verhindern geometrische Variation. Feinguß (Wachsausschmelzverfahren) fr kleinere Laufraddurchmesser und grßere Stckzahlen. Sehr hohe Modellkosten, keine geometrische Variationsmglichkeit bei gegebenem Modell. Ein in 1986 patentiertes, schnelles und relativ preiswertes Verfahren der Gußmodellherstellung ist das 3 D-Stereolithografie-Verfahren (auch „Rapid Prototyping“ genannt). Ein von den CAD-Daten des Werkstcks gesteuerter UV-Laserstrahl „baut“ das positive Laufradmodell in einem lichtempfindlichen Kunstharzbad durch sukzessives Aushrten dnner, horizontal bereinanderliegender Schichten auf. Das Modell dient vielfach zunchst der Entwurfsverifikation oder als erster Prototyp und kann auch in einem Modellausschmelzverfahren zur Herstellung eines Gußrades verwendet werden. Genietete Laufrder. Deckscheibe aufgenietet. Nabenscheibe, Schaufeln und Deckscheibe erhalten axial verlaufende Bohrungen zur Aufnahme der Durchsteckniete. Nur fr 2 DSchaufeln geeignet, grßere erforderliche Schaufeldicke senkt den Wirkungsgrad, Nietfestigkeit reduziert maximale Umfangsgeschwindigkeit. Veraltete Fgetechnik.
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Strmungsmaschinen – 7 Turboverdichter
Bild 5 a, b. Festigkeitsberechnung von Laufrdern. Verformung (gestrichelt in bertriebenem Maßstab) und Vergleichsspannung sv nach v. Mises in N/mm2 bei Umfangsgeschwindigkeit u2. a 2 D-Rad; b R-Rad
Elektroerodierte Laufrder. Elektroerosion (EDM) der Strmungskanle basiert auf Werkstoffabtrag durch Funkenentladung in einer dielektrischen Flssigkeit zwischen dem Werkstck und dem Werkzeug, das die Form eines Laufradkanals hat. Beschrnkt auf kleine Laufrder und sehr einfache Kanalformen. 7.2.6 Laufradfestigkeit. Impeller stress analysis
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Spannungen und Dehnungen werden nach der Finite-Elemente-Methode (FEM) berechnet (s. C 8). Bild 5 zeigt als Ergebnis Linien gleicher Vergleichsspannungen, d. h. der nach der Schubspannungshypothese oder nach dem Verfahren von v. Mises kombinierten Axial-, Radial- und Tangentialspannungen. Die letzteren stellen bei solchen fliehkraftbelasteten Strukturen den Hauptanteil dar. Hier wurde eine vereinfachte zweidimensionale FEM-Methode angewandt. Bei breiten Rdern treten die Maximalspannungen meist am Innenrand der Deckscheibe auf (Stelle B), bei schmalen Rdern meist am hinteren Ende der Laufradbohrung (Stelle A). Das Rad verformt sich durch axiale Verkrzung, und Aufweitung smtlicher Durchmesser. Bei 2 D-Rdern Rckwrts-, bei 3 D-Rdern Vorwrtskippen des Radialteils. Bei offenen Rdern liegt die Maximalspannung normalerweise am hinteren Ende der Bohrung (Stelle C). Durch Materialentnahme an der Nabenrckseite (Stelle D) kann die Bohrungsspannung vermindert werden, wodurch gleichzeitig die Spannung an der Hohlkehle D erhht wird. Das Rad verformt sich durch Vorwrtskippen des Radialteils (Achtung: dadurch Spielverkleinerung zum Gehuse!).
7.3 Radiale Verdichterbauarten Centrifugal compressor types 7.3.1 Einwellenverdichter. Single shaft compressor Die berwiegend geschlossenen Laufrder sind auf einer Welle zwischen den beiden Lagern angeordnet (Rder haben durchgesteckte Welle). Befestigung meist mittels Schrumpfsitz; auch der aus Einzelabschnitten zusammengesetzte und mit Zugankern gehaltene Rad-Wellen-Verband ist anzutref-
fen. Die Eintrittsstutzen sind radial, die Austrittsstutzen meist tangential zum zylindrischen Gehusekrper orientiert. Es werden Maschinen mit bis zu acht Stutzen, d. h. maximal vier Stufengruppen mit drei Zwischenkhlungen je Gehuse ausgefhrt. Eine Stufengruppe wird von den zwischen zwei aufeinanderfolgenden Stutzen liegenden Stufen gebildet. In der Prozeßtechnik wird die Stufengruppe oftmals mit Stufe bezeichnet. Horizontale und vertikale Teilfuge. Der wartungsfreundliche Verdichter mit horizontaler Gehuseteilfuge (Bild 3) wird bis zu einem maximalen Betriebsdruck von ca. 70 bar eingesetzt, bei H2-haltigen Gasen bis zu einem maximalen H2-Partialdruck von 14,8 bar [1]. Oberhalb dieser Grenze kommt der (Topf-)Verdichter mit vertikaler Teilfuge, die grßere Dichtfhigkeit hat, zum Einsatz (Bild 6). Schaltung der Laufrder. Sind keine Zwischenkhler vorhanden, werden die Laufrder hintereinandergeschaltet, d. h. das Gas wird der jeweils folgenden Stufe ber Rckfhrkanle rotationssymmetrisch verteilt zugefhrt; erst in der letzten Stufe wird es in der Spirale gesammelt und aus dem Gehuse geleitet (Bilder 7 a 1.1, a 2). Den Axialschubausgleich besorgt ein auf der Welle montierter, hinter dem letzten Rad sitzender Kolben. Bei Gegeneinanderschaltung, die hufig bei Zwischenkhlung angewandt wird, bernehmen die Rder selbst zum grßten Teil den Schubausgleich (Bild 7 a 1.2). Die im mittleren Wellenlabyrinth berfließende Leckmenge ist kleiner und zirkuliert nur in der zweiten Stufengruppe. Die Leistung ist daher kleiner als bei Hintereinanderschaltung. Zwischenzufhrung und Doppelflutigkeit. Maschinen mit Zwischenzufhrung(en) haben eine spezielle Rckfhrbeschaufelung, die Zumischung eines Seitenstroms zwischen zwei Laufrdern gestattet, so wie sie bei Industrieklteverdichtern hufig ausgefhrt wird. Das Konzept der Doppelflutigkeit (Bild 7 a 1.3) ermglicht durch Teilung des Massenstroms auf zwei spiegelbildliche Verdichterhlften die Reduzierung des Außendurchmessers um 30 %; bei Stufenzahlen ber drei jedoch wird wegen der Verdoppelung der Laufradzahl meist ein zweites Gehuse erforderlich.
I7.3 Radiale Verdichterbauarten
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Bild 6. Radialer Einwellenverdichter (MAN Turbo) mit vertikal geteiltem Gehuse (Topfverdichter), pd bis 400 bar, V_ bis 200 000 m3/h. 1, 2 Saug-, Druckstutzen, 3, 4 Radial-, Axiallager, 5 Ausgleichskolben, 6 Einkammer-Labyrinthdichtung, 7 gasgeschmierte Gleitringdichtung, 8 Scherring-Verschluß, 9 Kupplung.
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Bild 7 a, b. Radialverdichter. a Einwellenverdichter (Laufrder beidseitig gelagert), a 1 horizontal geteilte Gehuse, a 1.1 und a 1.2 Laufrder hinterbzw. gegeneinandergeschaltet, a 1.3 doppelflutig, a 2 Topfbauart, a 3 Zweigehusig mit Zwischengetriebe; b Getriebeverdichter (Laufrder fliegend gelagert, ein- bis achtstufig), b 1 einstufig mit einer Ritzelwelle, b 2 vierstufig mit zwei Ritzelwellen, b 3 sechsstufig mit drei Ritzelwellen
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Maximale Stufenzahl. Die maximale Stufenzahl je Gehuse wird berwiegend bestimmt durch das Stabilittsverhalten des Lufers. Die Grenze der Stabilitt ist erreicht, wenn bei steigendem Lagerabstand (Zunahme der Stufenzahl) und/ oder fallendem Wellendurchmesser (Zunahme der Volumenstromzahl) subsynchrone Wellenschwingungen hoher Amplitude einsetzen, die ein Betreiben des Verdichters unmglich machen. Rotorstabilitt wird sichergestellt, wenn das Wellensteifigkeitsverhltnis, d. h. das Verhltnis von 1. kritischer Drehzahl in starr gesttzten Lagern und maximaler Drehzahl F ¼ n1 starr =nmax bestimmte Grenzwerte Fmin nicht unterschreitet. Die von Fulton [2] empirisch ermittelten Ergebnisse knnen durch die 1 beschrieben werden. F muß alFormel F 3,24 0,36 ln rm so um so hher sein, je hher die mittlere Gasdichte rm im Verdichter ist. Fr die Mehrzahl der Prozeßverdichter-Anwendungen ist Fmin =0,42 bis 0,45. Subsynchrone Schwingungen, deren Frequenz kleiner als die Drehfrequenz ist, knnen angeregt werden durch sog. Spalterregung im lfilm des Lagers, in den Labyrinthdichtungen der Welle und durch innere Reibung in den Schrumpfsitzen der Laufrder. Bild 8 zeigt grobe Richtwerte der maximal im horizontal und vertikal geteilten Gehuse unterzubringenden Stufenzahl als Ergebnis statistischer Daten zahlreicher ausgefhrter Verdichter. Der Einfluß der Volumenstromzahl ist offensichtlich: mit j steigt die axiale Stufenlnge und sinkt der Wellendurchmesser unter dem Laufrad, wodurch n1starr verringert wird. Dieser grundlegende Unterschied der Stufengeometrie ist in Bild 9 dargestellt. Mit steigender Umfangs-Machzahl steigt die Kompressibilitt, d. h. die Volumenreduzierung des Gases von Stufe zu Stufe, so daß die Volumenstromzahl jedes folgenden Rads strker abnimmt. Die daraus resultierende Reduzierung der Baulnge kommt der Erhhung der Stufenzahl zugute.
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Bild 9 a, b. Stufengeometrie, Unterschiede. a mittlere, b kleine Volumenstromzahl L axiale Lnge, dW Wellendurchmesser d2 Laufraddurchmesser Tabelle 1. Korrektur des Grundwertes der max. Laufradzahl
So kann z. B. ein Verdichter, dessen 1. Stufe eine kleine Volumenstromzahl von 0,015 bei einer Umfangs-Machzahl von 0,5 hat, maximal 9 Laufrder aufnehmen. Dagegen ist fr eine Maschine bei der gleichen Machzahl mit einem hochschluckfhigen ersten Laufrad (j ¼ 0; 13) die Aufnahmekapazitt mit 4 Laufrdern bereits ausgeschpft. Die maximale Laufradzahl/Welle aus Bild 8 muß noch korrigiert werden, um den Einfluß der Gasdichte, des Laufraddurchmessers, der Umfangsgeschwindigkeit und der Zahl der Zwischenkhler zu erfassen, Tab. 1. Aus Kostengrnden sollte stets angestrebt werden, den Verdichter eingehusig auszufhren. Dies ist prinzipiell mglich, wenn sich fr einen gegebenen Anwendungsfall eine Stufenzahl i 9 ergibt. Um die Wellensteifigkeit zu gewhrleisten ist bei Stufenzahlen i 6 dann jedoch das Volumenstromzahl-Niveau abzusenken mit dem Resultat eines im Durchmesser grßeren Gehuses und eines verringerten Wirkungsgrades (s. Bild 14). In diesem Fall werden also niedrigere Investitions- durch hhere Betriebskosten erkauft. Die volumetrische Schluckfhigkeit eines (im Durchmesser) vorgegebenen Gehuses ist demnach um so grßer, je kleiner die Stufenzahl ist. 7.3.2 Mehrwellen-Getriebeverdichter Integrally geared compressor
Bild 8. Einwellenverdichter, angenherte maximale Laufradzahl je Gehuse. Bezugswerte: mittl. Gasdichte 11 kg=m3 , Raddurchmesser 500 mm, mittl. Umfangsgeschwindigkeit 270 m/s. Tatschliche max. Laufradzahl: imax ¼ imax 0 þ Di. a max. Machzahl fr Lufer mit identischen Rdern, b max. Machzahl fr ungekhlte Verdichter
Der vielstufige Mehrwellenverdichter mit integriertem Getriebe, kurz auch Getriebeverdichter genannt (Bilder 7 und 10), besteht aus einzelnen am Getriebe angeflanschten und durch Rohrleitungen verbundenen Spiralgehusen. Die Eintrittsstutzen sind axial, die Austrittsstutzen tangential angeordnet. Die fliegend gelagerten Laufrder sind meist paarweise auf die verlngerte Ritzelwelle mittels Hirthverzahnung oder Polygonsitz mit Dehnschraube montiert. Die maximale
I7.3 Radiale Verdichterbauarten
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Bild 10. Mehrstufiger Getriebeturboverdichter (DEMAG DELAVAL), Stufenzahl 2 bis 8, V_ bis 450 000 m3/h, pd/ps bis 90, P bis 45 000 kW. 1, 2 Saug-, Druckstutzen, 3 verstellbare Eintrittsleitschaufeln, 4 1., 2. und 3. Stufe offene Laufrder, 5 4. Stufe geschlossenes Laufrad, 6 Getriebegehuse, 7 Zahnrad, 8 Ritzel, 9 Druckkamm zur Axialschubbertragung, 10 kombiniertes Axial/Radiallager, 11 Kupplung
Laufradzahl betrgt derzeit acht auf vier Ritzelwellen mit maximal sieben Zwischenkhlern. Auch doppelflutige Ausfhrungen sowie Zwischenzufhrungen und Entnahmen sind mglich. Verdichter mit mehr als acht Stufen sind im Versuchs- und Prototypstadium. Da die Laufrder meist paarweise gegeneinander geschaltet sind, wird ein Teil des Schubs dadurch bereits ausgeglichen. Der Restschub wird ber die Druckkmme der Ritzel zu dem auf der langsamlaufenden Radwelle liegenden Axiallager geleitet. 7.3.3 Bauartmerkmale, zusammengefaßt Summary of design characteristics Einwellenverdichter Frdermedium. Geeignet fr alle Prozeßgase, Luft, Erdgas und Kltemittel bis ca. 800 bar Enddruck. Stufenzahl. Der mit bis zu zehn Laufrdern bestckte Rotor ist unempfindlich gegen mechanisch und thermisch bedingte axiale Differenzbewegung, da die mit Deckscheiben versehenen Rder große Axialspiele zum Gehuse aufweisen. Wellendichtungen. Geeignet zur Unterbringung von Labyrinth-, Kohlering-, l- und gasgeschmierten Gleitring- sowie Sperrlschwimmringdichtungen in Verbindung mit Sperrgassystemen je nach Druck und Gasart. Prozeßverdichter werden heute fast ausschließlich mit gasgeschmierten Gleitringdichtungen („trockenen Gasdichtungen“) ausgerstet. Hierdurch wird der Druckraum am Durchtritt der Welle durch das Gehuse gegenber der Umgebung sicher abgedichtet, um Energieverlust und Emission von explosiven und toxischen Gasen zu vermeiden. Unabhngig von der Stufenzahl sind je Gehuse zwei Dichtungen gleichen Durchmessers, die auf
gleichen l- bzw. Sperrgasdruck geregelt werden, erforderlich. Mehrgehusigkeit. Bis zu drei in Serie geschaltete, direkt oder ber Zwischengetriebe gekuppelte Verdichtergehuse sind ausfhrbar. Antriebe. Geeignet fr alle Antriebsarten. Antrieb durch Dampf- oder Gasturbine erfolgt direkt, E-Motorantrieb erfordert meist ein bersetzungsgetriebe. lfreie Ausfhrung. Verdichter knnen lfrei, d. h. mit Magnetlagern, gasgeschmierten Dichtungen und lfreien Kupplungen ausgerstet werden. Soll der gesamte Maschinenstrang vllig ohne lsystem auskommen, muß auch das Getriebe entfallen und der Motor durch einen Hochfrequenzmotor ersetzt werden. Getriebeverdichter Frdermedium. Gut geeignet fr nichttoxische und nichtexplosive Gase, wie z. B. Wasserdampf, Luft, Stickstoff und Kohlendioxid bis ca. 80 bar. Bei Verwendung fr Kohlenwasserstoffe muß hoher Aufwand fr Wellenabdichtsysteme getrieben werden. Umbauter Raum. Die kompakte Anlage, bestehend aus der Verdichtergetriebeeinheit und den Khlern fllt hinsichtlich Grundflche, Raumbedarf und Gewicht gnstiger aus als der Einwellenverdichter. Optimale Auslegung. Die Reduzierung der Laufraddurchmesser, gekoppelt mit einer Drehzahlerhhung nach jedem Stufenpaar ermglicht eine optimale Auslegung, so daß sich die Volumenstromzahlen um das Wirkungsgradmaximum gruppieren (s. Bild 14) und schmale verlustreiche Laufrder meist vermieden werden knnen.
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Hohe Stufenarbeit. Die Festigkeit der hufig verwendeten offenen Laufrder, die Rotordynamik der kurzen Verdichterwellen und die Drehzahlerhhung fr jedes folgende Stufenpaar gestatten fr die genannten Gase hhere polytrope Stufenarbeiten als beim Einwellenverdichter. Dies fhrt zu weniger Stufen mit im Mittel kleineren Durchmessern. Wellendichtungen. Am Durchtritt der Welle durch das Spiralgehuse wird zur Reduzierung von Energieverlusten der Druckraum durch Labyrinthe oder Kohleringe mit geringer Lssigkeit abgedichtet. Im Gegensatz zum Einwellenverdichter ist die Zahl der Dichtungen gleich der Stufenzahl. Zwischenkhler. Da das Gas ohnehin nach jeder Stufe den Verdichter verlassen muß, bietet sich die Einschaltung eines Zwischenkhlers nach jeder Stufe zur Leistungsreduzierung an. Regelbare Leitschaufeln. Jede einzelne Stufe kann mit regelbaren Vor- und/oder Nachleitschaufeln ausgerstet werden zur Verbesserung der Teillastwirkungsgrade und Erweiterung des Betriebsbereichs. Laufradwechsel. Die Befestigung der Laufrder an den Wellenenden ermglicht zeitsparenden Austausch von Laufrdern, wenn z. B. auf andere Betriebsbedingungen umgestellt werden soll.
7.4 Regelungsarten. Regulation methods
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Wird der Verdichter mit einem vom Auslegungspunkt abweichenden Volumenstrom bzw. Druckverhltnis betrieben und geschieht das, ohne die Drehzahl, die Stufengeometrie oder die Gaszusammensetzung zu ndern, erweitert sich der Betriebspunkt zur Kennlinie. Durch Drehzahlvariation, Saugdrosselung, Verstellung von Vor- und Nachleitschaufeln, sowie Bypassbetrieb entstehen weitere Kennlinien, die in ihrer Gesamtheit als Kennfeld bezeichnet werden. Dabei werden die Verstellorgane Saugdrosselklappe, Eintrittsleit-, Diffusorschaufeln und Bypassventil thermodynamisch als integrale Bestandteile des Verdichters betrachtet und deren Verluste dem Verdichterwirkungsgrad zugerechnet. blicherweise werden fr das gesamte Kennfeld Ansaugdruck, Ansaugtemperatur und Gasdaten konstant gehalten, obwohl sie im praktischen Betrieb mit der Entfernung vom Auslegungspunkt von diesen Bezugsgrßen abweichen knnen. Durch eine entsprechende Regelung, d. h. automatische Vernderung der Verstellparameter, kann jeder Punkt im Kennfeld angefahren werden. Auch Kombinationen von verschiedenen Regelungsmethoden sind mglich und blich. Die Merkmale der fnf wichtigsten Regelungsarten seien im folgenden charakterisiert. Dazu zeigt Bild 11 die typischen Kennfelder verschiedener Regelungsarten einzelner Stufen mit Laufrdern mit rckwrtsgekrmmten Schaufeln bei mittleren Umfangsmachzahlen. Hierbei bezeichnet der Punkt bei V_ =V_ 0 ¼ 1 und hp =hpo ¼ 1 den Auslegungspunkt und die gestrichelte Linie die Pumpgrenze, die den stabilen Arbeitsbereich abgrenzt. Bilder 11 a–c und 11 e gelten fr eine Einwellenverdichterstufe, Bild 11 d fr eine Getriebeverdichterstufe.
7.4.1 Drehzahlregelung. Speed regulation Entsprechend dem Strmungsmaschinengesetz V_ ¼ c1 n und hp ¼ c2 n2 , das auch fr kompressible Medien noch nherungsweise gltig ist, werden durch Drehzahlnderung der Volumenstrom linear und die polytrope Arbeit quadratisch mit der Drehzahl variiert (Bild 11 a).
Bild 11 a–e. Typische Einzelstufen-Kennfelder fr verschiedene Regelungarten. a Drehzahlregelung, n=n0 Drehzahlverhltnis; b Saugdrosselregelung, ps =ps0 Druckverhltnis an der Drosselklappe; c Eintrittsleitschaufel-Regelung, a1 Leitschaufelwinkel; d Nachleitschaufel-Regelung, a2 nderung des Schaufelwinkels; e Bypass-Regelung, Dm_ =m_ Bypassverhltnis; h=h0 bezogener Wirkungsgrad
I7.4 Regelungsarten
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Merkmale. Hohe Teillastwirkungsgrade, da der Verdichter nur die bentigte polytrope Arbeit erzeugt (keine zustzliche Energiedissipation); volumetrische berlast durch berdrehzahl mglich; wirkt auf alle Stufen des Verdichters; eignet sich fr alle Laufrad- und Verdichterbauarten, besonders aber fr parabolische Anlagenkennlinie; Antrieb mit vernderlicher Drehzahl oder Regelkupplung erforderlich. Die vergleichsweise hchsten Wirkungsgrade im Kennfeld und die ausgezeichnete Betriebs-Flexibilitt machen die Drehzahlregelung zur ersten Wahl aller Regelungsarten. 7.4.2 Saugdrosselregelung. Suction throttling Wird eine in die Saugleitung eingebaute Drosselklappe als integraler Bestandteil des Verdichters betrachtet, ergibt sich das im Bild 11 b dargestellte Saugdrosselkennfeld. Der Verdichteransaugzustand ist vor der Klappe definiert und der Kurvenparameter ist das Druckverhltnis an der Klappe. Wird die Klappe aus der Offenstellung verdreht, erzeugt sie einen mit dem Verstellwinkel wachsenden Widerstand, der den Laufradansaugdruck absenkt. Dadurch werden der Massenstrom, der Enddruck und die Leistung reduziert. Merkmale. Sehr niedrige Teillastwirkungsgrade, da die nicht bentigte polytrope Arbeit zwar vom Laufrad erzeugt, aber in der Klappe dissipiert wird; bei konstanter polytroper Arbeit keine volumetrische berlast mglich; wirkt auf alle Stufen des Verdichters; geeignet fr alle Laufrad- und Verdichterbauarten, besonders aber fr Anlagenkennlinie mit (nahezu) konstantem Enddruck; niedrige Investitionskosten, hohe spezifische Betriebskosten bei Betrieb mit stark abgesenktem Enddruck. In vielen Fllen nicht geeignet fr Verdichter mit atmosphrischem Ansaugdruck, da Unterdrcke im Verdichter bei entflammbaren Gasen wegen der Gefahr des Lufteinbruchs untersagt sind.
7.4.3 Eintrittsleitschaufelregelung Adjustable inlet guide vane regulation Eine vor dem Laufrad verstellbar angeordnete Schaufelreihe („Dralldrossel“) erzeugt positiven oder negativen Vordrall. Gemß der Euler-Gleichung hp ¼ ðcu2 u2 cu1 u1 Þ hh wird damit durch Variation der Umfangskomponenten der Zustrmgeschwindigkeit cu1 primr die Arbeit beeinflußt (Frderhhenregelung) (Bild 12). Ein gegebener positiven Vordrall (Mitdrall) erzeugender Leitschaufelwinkel bewirkt jedoch keine gleichmßige Reduzierung der polytropen Arbeit entlang der Kennlinie: im volumetrischen berlastbereich ist die Wirkung sehr stark, da cu1 groß und im Teillastgebiet gering, da cu1 klein gegenber cu2 ist. Dadurch tritt bei Mitdrall de facto eine Linksverschiebung des gesamten Kennfelds ein (Bild 11 c). Die Pumpgrenze wird ebenfalls nach links versetzt, da der fr die Einleitung des Pumpens maßgebende kleinste Absolutwinkel a2 min erst bei kleinerem Volumenstrom erreicht wird. Der hydraulische Wirkungsgrad hh erfaßt alle inneren Stufenverluste außer Leck- und Scheibenreibungsverlusten. Merkmale. Mittlere Teillastwirkungsgrade; der Verdichter erzeugt nur die bentigte polytrope Arbeit; volumetrische berlast durch negativen Vordrall (Gegendrall); Verstellschaufeln wirken nur auf das nachgeschaltete Laufrad; fr Getriebeverdichter sehr gut geeignet, da vor jeder Stufe Platz zur Unterbringung vorhanden; mehrstufige Einwellenverdichter knnen jedoch in der Regel aus Platzgrnden nur mit ein bis zwei Vorleitapparaten bestckt werden; geeignet fr alle Laufradtypen; Wirkung bei rckwrtsgekrmmten Rdern strker, da
Bild 12. Verstellbare Eintrittsschlaufen, axiale Anordnung (Beispiel: Laufrad mit Vorsatzlufer). N Drehrichtung, mD Stromlinie mit Drall, oD ohne Drall
cu2 kleiner, besonders aber fr Anlagenkennlinie mit (nahezu) konstantem Enddruck; hhere Investitions- und niedrigere spezifische Teillast-Betriebskosten als mit Saugdrosselung.
7.4.4 Nachleitschaufelregelung Adjustable diffuser vane regulation Eine nach dem Laufrad im Diffusor angeordnete verstellbare Schaufelreihe sorgt im ganzen Betriebsbereich fr eine effizientere Umsetzung der kinetischen Energie in statische Enthalpie als es der schaufellose Diffusor vermag. Zudrehen der Schaufeln bedeutet Verkleinerung des Schaufelwinkels und der engsten Stelle zwischen zwei Schaufeln, womit die gesamte Durchstrmflche verkleinert wird. Dies bedeutet eine verlustarme Anpassung an den bei reduziertem Volumenstrom ebenfalls kleiner werdenden Strmungswinkel (Bild 13). Diese Beeinflussung des Volumenstroms ist also keine energiedissipative Drosselung wie bei der Saugklappe, sondern eine inzidenzarme (mit kleinem Anstellwinkel durchgefhrte) Flchenreduzierung durch Akkommodation des Diffusors an den viel weiteren Betriebsbereich des Laufrads. Die Stufe als
Bild 13. Verstellbare Diffusor-Schaufeln L Stellung bei berlast, TL bei Teillast, R Drehachse, a Stromlinie mit Schaufeln, b Stromlinie ohne Schaufeln
R
R 80
Strmungsmaschinen – 7 Turboverdichter
Ganzes erhlt dadurch bei konstantem Druckverhltnis einen unverhltnismßig großen Betriebsbereich (Bild 11 d). Im Gegensatz zur Eintrittsleitschaufelregelung bleibt bei gegebenem Massenstrom durch Verstellung der Diffusorschaufeln die Leistung unverndert. Es wird lediglich der Druckrckgewinn im Diffusor verndert. Merkmale. Weiter Betriebsbereich bei konstanter polytroper Arbeit durch sehr gute Pumpgrenze; sehr niedrige Wirkungsgrade bei reduzierter polytroper Arbeit; meist volumetrische berlast mglich durch Schaufelaufdrehung; Diffusorschaufeln wirken nur auf die betreffende Stufe, fr Getriebeverdichter sehr gut geeignet, da an jeder Stufe Platz fr den Verstellmechanismus vorhanden; fr mehrstufige Einwellenverdichter schlecht geeignet aus Platzmangel fr den Verstellmechanismus; geeignet fr alle Laufradtypen, besonders aber fr Konstant-Druck-Anlagenkennlinie; Investitionskosten vergleichbar mit Eintrittsleitschaufelregelung, niedrige spezifische Betriebskosten im Teillastbereich bei konstantem Enddruck, hohe spezifische Betriebskosten bei abgesenktem Enddruck.
sind. Die Differenz zwischen dem gewnschten Prozeß- und dem Verdichter-Massenstrom Dm_ bei dem Soll-Enddruck wird nach Durchstrmen eines Bypass-Khlers zur Saugleitung zurckgefhrt. Wenn die Umfhrungsleitung als interne Angelegenheit des Verdichters betrachtet wird, entsteht fr jedes Bypass-Verhltnis eine neue „Verdichter“Kennlinie und der prozeßrelevante Verdichter-Wirkungsgrad muß modifiziert werden gemß: h ¼ ð1 Dm_ =m_ Þ hu , wobei m_ der Verdichtermassenstrom und hu der eigentliche Verdichter-Wirkungsgrad sind. Merkmale. Hohe Energieverluste bei großem Unterschied zwischen Soll- und tatschlichem Verdichter-Betriebspunkt; geeignet fr alle Laufrad- und Verdichterbauarten; am besten geeignet fr Anlagenkennlinie mit (nahezu) konstantem Enddruck; bei parabolischer Anlagenkennlinie sehr hohe Verluste.
7.4.5 Bypass-Regelung. Bypass regulation
7.5 Beispiel einer Radialverdichterauslegung nach vereinfachtem Verfahren Example: approximate centrifugal compressor sizing
Obwohl diese Methode allein auf Energie-Dissipation beruht, wird sie hufig in der l- und Gasindustrie angewandt, wenn andere Regelungsarten nicht mglich oder nicht angemessen
Vielstufiger Einwellenverdichter mit geschlossenen Laufrdern mit rckwrtsgekrmmten Schaufeln. Berechnung basiert auf Totalzustnden fr Drcke und Temperaturen.
7.5.1 Betriebsbedingungen (vorgegeben) Operating conditions
R
7.5.2 Gasdaten. Gas data Gasgemisch-Kennwerte werden aus Zustandsgleichungen fr reale Gase berechnet, z. B. LKP (Lee-Kesler-Plcker) oder BWRS (Benedict-Webb-Rubin-Starling) oder RKS (Redlich-Kwong-Soave) [3, 4]. In dem hier benutzten Nherungsverfahren werden die Realgasfaktoren nach der generalisierten Methode von Nelson-Obert [5] als Funktion der reduzierten Werte fr Druck und Temperatur und ein mittlerer Isentropenexponent fr ideales Gasverhalten als Funktion der Temperatur ermittelt; spezifische isobare Wrmekapazitt cp z. B. aus Wrmeatlas [6].
I7.5 Beispiel einer Radialverdichterauslegung nach vereinfachtem Verfahren
R 81
7.5.3 Volumenstrom, Laufraddurchmesser, Drehzahl Volume flow, impeller diameter, speed
7.5.4 Endtemperatur, spezifische polytrope Arbeit Discharge temperature, polytropic head
7.5.5 Wirkungsgrad, Stufenzahl Efficiency, number of stages
R
7.5.6 Leistung. Power consumption
R 82
Strmungsmaschinen – 8 Gasturbinen
Bild 14. Grobe Richtwerte fr polytrope Druckzahl, polytropen Stufenwirkungsgrad und Arbeitszahl als Funktion der Volumenstromzahl (Grundwerte). Fr geschlossene Laufrder, b2 ¼ 40° . . . 50° , d2 ¼ 400 mm, Mu2 ¼ 0; 7, Reu2 ¼ 500 000 erforderliche h-Korrekturen: Grßeneinfluß, Mach-, Reynoldszahl, Diffusorverhltnis, Ein-, Austrittsverlust, Geometrievarianten, Rauhigkeit
8 Gasturbinen. Gas turbines H. Pucher, Berlin
8.1 Einteilung und Verwendung Classification and configurations Die Gasturbine zhlt zu den Wrmekraftmaschinen, weil sie, in der Regel durch Verbrennung von Brennstoff freigesetzte, Wrme in mechanische Energie (Wellenleistung) oder in Schubkraft (bei Luftfahrt-Triebwerken) umsetzt. Sie besteht im einfachsten Fall (Bild 1 a) aus einem Verdichter, einer Turbine und einer Brennkammer. Der Verdichter saugt einen bestimmten Luftmassenstrom aus der Umgebung an und bringt ihn auf einen erhhten Druck. Durch isobare Verbrennung eines bestimmten Brennstoffmassenstroms mit diesem Luftmassenstrom in der Brennkammer wird zustzlich die Temperatur des Arbeitsgasstroms erhht, so daß bei dessen anschließender Entspannung auf Umgebungsdruck in der Turbine diese mehr Leistung abgeben kann, als der von ihr angetriebene Verdichter aufnimmt. Der Leistungsberschuß der Turbine steht als Nutzleistung (z. B. zum Antrieb des Generators G) zur Verfgung.
R
Gasturbinenprozesse. Nach dem Weg des Arbeitsmediums unterscheidet man: – Offener Prozeß. Das Arbeitsmedium wird (als Luft) aus der Umgebung angesaugt und nach dem Durchstrmen aller Komponenten des Gasturbinenaggregats (in der Regel als Verbrennungsgas) wieder an die Umgebung abgegeben (Bild 1 a und c–e). – Geschlossener Prozeß. Das Arbeitsmedium luft geschlossen um und nimmt nicht an der Verbrennung teil. An die Stelle der Brennkammer im offenen Prozeß tritt ein Wrmetauscher (= Erhitzer). Zum Schließen des thermodynamischen Kreisprozesses ist zustzlich ein Rckkhler erforderlich (Bild 1 b). Außer Luft kommen auch andere Gase als Arbeitsmedium in Frage (z. B. Helium). Der geschlossene Kreislauf ermglicht es, den Ansaugdruck des Verdichters ber den Umgebungsdruck und damit das Dichteniveau des Arbeitsmediums insgesamt anzuheben, was zur Verkleinerung der Aggregat-Abmessungen und zu einer wirkungsgradgnstigen Leistungsregulierung (Druckpegelregelung) genutzt wird [4]. – Halboffener Prozeß. Dabei wird einer der beiden Teilkreislufe der aus einem Hochdruck- und einem Niederdruckkreislauf bestehenden Gasturbinenanlage offen, der andere geschlossen gefhrt. Prozeßfhrung. Man unterscheidet: – Einfache Prozesse. Sie bestehen nur aus einer Verdichtung, einer Erhitzung und einer Entspannung (beim offenen Prozeß); beim geschlossenen Prozeß tritt noch die Rckkh-
lung hinzu. Dabei ist es unerheblich, ob die Entspannung in nur einer Turbine (Bild 1 a) oder gemß Bild 1 c zum Teil in der Turbine des Gaserzeugersatzes (V+BK+T) und zum Rest in der Nutzturbine dieses zweiwelligen Aggregats erfolgt. – Prozeß mit Abgaswrmetauscher (Bild 1 d). Die im Arbeitsmedium nach der Turbine (5) enthaltene Abgaswrme (Restexergie) wird zur Vorwrmung der verdichteten Luft vor der Brennkammer benutzt, womit der Brennstoffverbrauch reduziert wird. – Prozeß mit Zwischenkhlung bzw. Zwischenerhitzung (Bild 1 e). Durch Rckkhlung des Arbeitsmediums zwischen den Verdichtungsstufen und/oder Wiederaufheizung zwischen den Entspannungsstufen lßt sich bei gleichbleibender thermischer und mechanischer Belastung die Leistungsdichte des Gasturbinenaggregats erhhen. In der Praxis sind auch Kombinationen der unter Bild 1 c–e gezeigten Prozeßfhrungen zu finden. Luftfahrttriebwerke. Die Gasturbine ist hier vertreten als – Turboluftstrahl-Triebwerk (Bild 2 a). Die am Austritt der Verdichterturbine im Arbeitsgas noch enthaltene Expansionsenergie wird in der Schubdse in kinetische Energie umgesetzt und als Schubleistung abgegeben. – Propeller-Turboluftstrahl-Triebwerk (Bild 2 c) und Zweistrom-Turboluftstrahl-Triebwerk (Bild 2 b). Ein Turboluftstrahl-Triebwerk treibt zustzlich einen Propeller bzw. ein Geblse (Fan) zur Erzeugung eines Zweitstroms. Der Zweitstrom wird einer zum Kernstrom konzentrischen Schubdse zugefhrt.
8.2 Thermodynamische Grundlagen Fundamental thermodynamics 8.2.1 Idealisierte Kreisprozesse Theoretical gas-turbine cycles Das Arbeitsmedium durchluft beim kontinuierlichen Durchstrmen der Komponenten des Gasturbinenaggregats einen thermodynamischen Kreisprozeß, der sich in einem h, s-, T, soder p, v-Diagramm darstellen lßt. Reale Gasturbinenprozesse werden bezglich Wirkungsgrad und Arbeitsvermgen an idealisierten Kreisprozessen gemessen. Fr diese gelten folgende Voraussetzungen: – Das Arbeitsmedium ist ein ideales Gas, d. h. die kalorischen Stoffgrßen cp, cv, k und R sind Konstanten. – Das Arbeitsmedium luft geschlossen um und ndert seine Zusammensetzung nicht. – Die Zustandsnderungen in den Strmungsmaschinen (Verdichter, Turbine) sind reversibel. – Es treten keine Druckverluste und, außer in Wrmetauschern, auch keine Wrmeverluste auf.
I8.2 Thermodynamische Grundlagen
R 83
Bild 2 a–c. Luftfahrttriebwerke (schematisch). B Brennstoff, BK Brennkammer, E Einlauf, F Fan-Turbine, G Getriebe, L Luft, N Nutzturbine, P Propeller, T Turbine, V Verdichter, VG Verbrennungsgas
und einer isobaren Wrmeabfuhr 4–1. Der thermische Wirkungsgrad hth ¼ 1
1 p
k1 k
hngt nur vom Druckverhltnis p ab und steigt mit diesem an. Die spezifische Nutzarbeit wt des Prozesses, mit cp T1 dimensionslos gemacht, wt T3 1 k1 ¼ 1 k1 ðp k 1Þ cp T1 T1 pk hngt außer vom Druckverhltnis p auch noch, bei gegebener Ansaugtemperatur T1, von der Turbineneintrittstemperatur T3 ab (Bild 4), wobei fr jedes T3 ein anderes optimales Druckverhltnis p existiert. Im T, s-Diagramm (Bild 3 a) entspricht wt der vom Zustandsverlauf 1–2–3–4–1 eingeschlossenen Flche.
Bild 1 a–e. Beispiele fr Gasturbinenschaltungen. BK Brennkammer, E Erhitzer, G Generator bzw. angetriebene Maschine, HDT Hochdruckturbine, HDV Hochdruckverdichter, K Rckkhler, NDT Niederdruckturbine, NDV Niederdruckverdichter, NT Nutzturbine, T Turbine, V Verdichter, WT Abgas-Wrmetauscher, ZE Zwischenerhitzer, ZK Zwischenkhler, 1–6 Zustnde des Arbeitsmediums
– Die Zustandsnderungen verlaufen unendlich langsam, so daß keine kinetischen Energieanteile zu bercksichtigen sind. a) Joule-Prozeß. Er bildet den theoretischen Vergleichsprozeß fr den einfachen Gasturbinenprozeß gemß Bild 1 a und b. Er besteht gemß Bild 3 a aus einer isentropen Verdichtung 1–2 um das Druckverhltnis p, einer isobaren Wrmezufuhr 2–3, einer isentropen Expansion 3–4, wobei p3/p4=p gilt,
Bild 3 a–c. Idealisierte Gasturbinenprozesse im Temperatur-EntropieðT; sÞ Diagramm
R
R 84
Strmungsmaschinen – 8 Gasturbinen c) Joule-Prozeß mit Abgaswrmetauscher (Bild 3 c). Durch einen Abgaswrmetauscher gemß Bild 1 d lßt sich im Idealfall aus dem Abgas die spezifische Wrme qR entsprechend der Flche 5–6–a–b–5 entnehmen und auf die verdichtete Luft zur isobaren Temperaturerhhung 2–3 bertragen. Bei gleicher spezifischer Nutzarbeit wie beim Joule-Prozeß gilt fr den thermischen Wirkungsgrad nunmehr hth ¼ 1
T1 k1 p k : T4
Wie Bild 5 verdeutlicht, geht der Vorteil des Abgaswrmetauschers ab einem (von T4/T1 abhngigen) Wert von p jedoch in einen Nachteil ber, weil dann ein Wrmeaustausch in der umgekehrten Richtung erfolgt. Bei einer Kombination des Ericsson-Prozesses mit einem Abgaswrmetauscher kann die spezifische Wrme entsprechend der Flche 4–1–a–b in Bild 3 b getauscht, d. h. zur isobaren Aufheizung 2–3 verwendet werden, wodurch der thermische Wirkungsgrad gleich dem Carnot-Wirkungsgrad (Bild 4) wird. 8.2.2 Reale Gasturbinenprozesse. Real gas-turbine cycles Demonstriert am Beispiel des einfachen offenen Gasturbinenprozesses entsprechend der Schaltung in Bild 1 a unterscheidet sich der Ablauf des realen Prozesses von dem des Idealprozesses (Joule-Prozeß) gemß Bild 6. Polytrope Kompression und Expansion, Druckverluste Bild 4. Thermischer Wirkungsgrad hth und bezogene spezifische Nutzarbeit wt =ðcp T1 Þ abhngig vom Druckverhltnis p fr Jouleund Ericsson-Prozeß
b) Ericsson-Prozeß (Bild 3 b). Im Unterschied zum JouleProzeß verlaufen die Verdichtung 1–2 und die Expansion 3–4 jeweils isotherm, was sich praktisch durch mglichst viele Zwischenkhl- und Zwischenerhitzungsstufen (siehe Bild 1 e) annhern lßt. Fr gleiche Werte bezglich T3/T1 und p liegt im Vergleich zum Joule-Prozeß die spezifische Nutzarbeit hher (Zugewinn entspricht schraffierten Teilflchen in Bild 3 b), der thermische Wirkungsgrad liegt jedoch niedriger und hngt außer von p auch von T3/T1 ab.
R
Durch den Ansaugverlust (Druckabfall p0 p1) nimmt schon die zum Erreichen des Verdichteraustrittsdrucks p2 ideal aufzubringende isentrope Enthalpiedifferenz von D hsV0 auf D hsV zu; die real aufzubringende Enthalpiedifferenz D hV ist infolge polytroper Verdichtung noch grßer. Ohne den Druckverlust in der Brennkammer D pBK ¼ p2 p3 wrde die Expansion in der Turbine vom Punkt 30 aus erfolgen und im Idealfall bei isentroper Expansion auf den Umgebungsdruck p0 eine spezifische Turbinenarbeit entsprechend D hsT0 freisetzen. Real erfolgt die Expansion in der Turbine von 3 ausgehend auf den Druck p4, nicht isentrop nach 4 S, sondern polytrop nach 4, wodurch die reale spezifische Turbinenarbeit nur noch D hT betrgt. Die Druckdifferenz p4 p0 stellt den Auspuffdruckverlust dar. Druckverluste werden vielfach als jeweils relativer Druckverlust e ¼ D p=p angegeben, wobei der Druckabfall D p ber den betrachteten Abschnitt auf den Druck p vor diesem Abschnitt bezogen wird. Der Ausbrenngrad ha der Brennkammer ha ¼
ðm_ L þ m_ B Þ h3 m_ L h2 mit ha < 1 m_ B Hu
bercksichtigt, daß infolge unvollstndiger Verbrennung des Brennstoffs und durch Wandwrmeverluste die Enthalpieerhhung in der Brennkammer kleiner ausfllt, als sie aus der theoretischen Heizleistung m_ B Hu des zugefhrten Brennstoffs im Idealfall entstehen wrde. Das Arbeitsmedium ist ein reales Gas, d. h. die kalorischen Stoffgrßen sind mit Druck und Temperatur vernderlich. Im Falle des offenen Prozesses ndert sich zudem whrend des Durchlaufs auch die Zusammensetzung des Arbeitsmediums.
Bild 5. Thermischer Wirkungsgrad hth des idealen Gasturbinenprozesses mit Abgaswrmetauscher abhngig vom Druckverhltnis p fr unterschiedliche Turbineneintrittstemperaturen T4
Verluste durch Leckage-, Sperr- und Khlluft. Durch Lekkage von Luft an der berhrungslosen Verdichter-Wellenabdichtung und gegebenenfalls am regenerativen Abgaswrmetauscher sowie durch Entnahme verdichteter Luft zur Bereitstellung von Sperrluft fr die Turbinenwellenabdichtung und insbesondere fr die Turbinenschaufel-Khlung verringert
I8.3 Baugruppen
R 85
Bild 6. Vergleich von idealem und realem (verlustbehafteten) Gasturbinenprozeß im Enthalpie-Entropie-ðh; s-ÞDiagramm
sich der Gesamtwirkungsgrad der Gasturbine, weil diese Luft-Teilstrme zwar zuvor die volle spezifische Verdichterarbeit aufnehmen, dann aber keine bzw. nur zu einem sehr geringen Anteil spezifische Turbinenarbeit erzeugen. Leistung und Wirkungsgrad Alle bislang aufgefhrten Verluste lassen sich im inneren Wirkungsgrad hi der Gasturbinenanlage zusammenfassend bercksichtigen. Mit diesem erhlt man aus der zugefhrten Brennstoffleistung m_ B Hu die innere Leistung Pi Pi ¼ m_ B Hu hi : Unter Bercksichtigung der Reibleistung Pr, bestehend aus der Lagerreibung und eventuell zustzlich aus der Antriebsleistung fr Hilfsaggregate (z. B. Brennstoff- und Schmierlpumpen) ergibt sich die effektive Leistung Pe an der Kupplung (Kupplungsleistung ) Pe ¼ Pi Pr :
Bild 7. Effektiver Wirkungsgrad eines einfachen Gasturbinenprozesses ber dem Druckverhltnis fr verschiedene Turbineneintrittstemperaturen T3
Entsprechend gilt fr den mechanischen Wirkungsgrad hm ¼
Pe Pe ¼ Pi Pe þ Pr
und den effektiven Wirkungsgrad (= Kupplungswirkungsgrad) he ¼ hi hm ¼
Pe : m_ B Hu
Bild 7 zeigt, daß he des realen Gasturbinenprozesses sich insbesondere ber eine Anhebung der Turbineneintrittstemperatur steigern lßt, dabei aber das Druckverhltnis p mitanzuheben ist. In jedem Fall aber sollten die Strmungsmaschinenwirkungsgrade hv und hT hoch sein.
8.3 Baugruppen. Components 8.3.1 Verdichter. Compressor In Gasturbinen finden sowohl Radialverdichter als auch Axialverdichter Anwendung. Der Radialverdichter kann schon in einstufiger Ausfhrung, bei dennoch relativ gutem Wirkungsgrad, ein Druckverhltnis bis p ¼ 4 erreichen. Noch hhere Werte (bis 6) sind durchaus realisierbar, allerdings unter Einbußen am Wirkungsgrad. Der Radialverdichter wird demgemß bevorzugt bei Kleingasturbinen eingesetzt, die normalerweise gar keine hheren Verdichter-Druckverhltnisse bentigen, so auch bei Fahrzeug-Gasturbinen sowie bei den Abgasturboladern jeder Grßenordnung. Aus Wirkungsgradgrnden werden die Laufrder heute berwiegend mit rckwrts gekrmmten Schaufeln (b2 < 90 ) gestaltet gegenber den frher aus Festigkeitsgrnden bevorzugten radial endenden Schaufeln (b2 ¼ 90 ). Der Axialverdichter liefert in einer Stufe ein Druckverhltnis von p=1,2 bis 2,0 und wird daher in der Regel mehrstufig gebaut. Sein Wirkungsgrad liegt gnstiger als der des Radialverdichters. Wegen der zustzlich gnstigen Eigenschaft des großen Massenstroms relativ zu seinen radialen Abmessungen ist in Industriegasturbinen und Flugtriebwerken ausschließlich der mehrstufige Axialverdichter in Anwendung, mit Gesamtdruckverhltnissen von etwa 10 bis 16 bei schweren Industrie-Gasturbinen und bis zu 35 bei modernen Zweistrom-Luftfahrt-Triebwerken.
R
R 86
Strmungsmaschinen – 8 Gasturbinen
Da die Leistung der Gasturbine dem durchgesetzten Massenstrom proportional ist, erfordert unter sonst gleichbleibenden Bedingungen (u. a. Turbineneintrittstemperatur) eine beabsichtigte Leistungssteigerung einen erhhten Verdichtermassenstrom, dem jedoch nach oben Grenzen gesetzt sind. Nach Ausschpfen der zulssigen Umfangsgeschwindigkeit (mechanische Belastung) bietet der bergang zu transonischen Schaufelprofilen eine Durchsatzsteigerung gegenber dem Unterschallverdichter. Isentrope Wirkungsgrade. Sie nehmen grundstzlich mit der Baugrße zu und erreichen Bestwerte von 87 bis 92 % (Axialstufe) bzw. 78 bis 85 % (Radialstufe). 8.3.2 Turbine. Turbine Wie der Verdichter ist auch die Turbine in axialer und radialer Bauart in Gasturbinen zu finden. Die isentropen Wirkungsgrade von Turbinenstufen liegen hher als die der entsprechenden Verdichterstufen, weil die in den (konvergenten) Turbinen-Schaufelkanlen stattfindende Dsenstrmung mit weniger Verlusten darstellbar ist als die Diffusorstrmung in den (divergenten) Verdichter-Schaufelkanlen. Ihre Bestwerte betragen 88 bis 93 % (Axialstufe) und 83 bis 88 % (Radialstufe), wobei eine zunehmende Baugrße sich wie bei allen Strmungsmaschinen positiv auswirkt. Die Axialturbine berwiegt in den mglichen Gasturbinenanwendungen und ist in Industriegasturbinen und Flugtriebwerken immer mehrstufig ausgefhrt. In Abgasturboladern von Großdieselmotoren ist sie in einstufiger Ausfhrung zu finden
(mit einem einstufigen Radialverdichter auf der gemeinsamen Welle). Die Axialturbinenstufe wird bei Gasturbinen aus Wirkungsgradgrnden als Reaktions-(=berdruck-)stufe mit einem Reaktionsgrad von etwa 50 % ausgefhrt, d. h. nicht als Aktions-(=Gleichdruck-)stufe, wie sie als Anfangsstufen (Regelstufen) von Dampfturbinen verwendet werden. Die Schaufellnge L nimmt entlang der Stufenreihe zu. Die auf den mittleren Stufendurchmesser Dm (Rotorkreis durch halbe Schaufelhhe) bezogene Schaufellnge sollte zur Vermeidung von Schaufel(biege)schwingungen L/Dm=0,25 jedoch nicht berschreiten. Schaufelkhlung. Um bei immer weiter gesteigerter Turbineneintrittstemperatur zum Zweck der Erhhung des Gesamtwirkungsgrades die thermische Belastung der Turbinenschaufeln beherrschbar zu halten, werden bei Flugtriebwerken und Kraftwerksturbinen zustzlich zur Verwendung extrem hochwarmfester Werkstoffe die Leit- und Laufschaufeln der Anfangsstufen gekhlt. Dazu wird Luft hinter dem Verdichter abgezweigt und – bei der Laufschaufel ber den hohlen Rotorinnenraum durch den Schaufelfuß, bei der Leitschaufel ber das Turbinengehuse – ins Innere der Schaufel geleitet. Nach Aufnahme der Khlwrme wird der Khlluftstrom wieder dem Arbeitsmedium zugemischt. Es wird unterschieden (s. Bild 8) in – Konvektionskhlung. ber eine mglichst große wirksame innere Schaufeloberflche wird durch Konvektion Wrme aus dem Schaufelmaterial auf die Khlluft bertragen, die ber Bohrungen am Profilende austritt. – Filmkhlung. Zustzlich zur Konvektionskhlung im Schaufelinneren lßt man ber kleine Bohrungen an thermisch besonders hochbelasteten Stellen der Schaufeloberflche Khlluft austreten, die dort einen Khlluftfilm bildet. – Transpirationskhlung. Die Khlluft gelangt ber eine porse Außenhaut vom Inneren an die Oberflche der Schaufel. Der praktische Einsatz steht aus Werkstoffgrnden noch aus. Die Wirksamkeit der Schaufelkhlung lßt sich, hnlich wie bei einem Wrmetauscher, ber einen Rekuperationsgrad hR, Sch ¼
TG TM TG TK
beschreiben, wobei TG die Heißgastemperatur vor der Schaufel, TM die mittlere Schaufel-Materialtemperatur an der Oberflche und TK die Khlmitteleintrittstemperatur bedeuten. Durch Schaufelkhlung sind heute Turbineneintrittstemperaturen bei Industriegasturbinen bis 1 200 C und bei LuftfahrtTriebwerken (geringere Lebensdauer) bis 1 600 C mglich. Der Gesamtwirkungsgrad steigt mit intensivierter Schaufelkhlung allerdings degressiv (Bild 8), weil die dazu erforderliche Erhhung des Khlluftstroms ihrerseits der Wirkungsgradsteigerung entgegenwirkt. Die Radialturbine zeichnet sich analog dem Radialverdichter dadurch aus, daß sie bei relativ hohem Wirkungsgrad und geringen Abmessungen schon in einer einzigen Stufe ein relativ hohes Enthalpiegeflle bzw. Druckverhltnis abarbeiten kann. Sie ist dementsprechend bevorzugt in Kleingasturbinen zu finden, meist auf gemeinsamer Welle mit einem Radialverdichter, eine Bauform, die im Abgasturbolader von Fahrzeugmotoren die stckzahlmßig grßte Anwendung gefunden hat.
R
8.3.3 Brennkammer. Combustion chamber (burner)
Bild 8. Einfluß der Schaufelkhlung auf den effektiven Wirkungsgrad
Energieumsatz. In der Brennkammer (Bild 9) findet die kontinuierliche isobare Verbrennung des Brennstoffmassenstroms m_ B , von der gegenber dem Heizwert Hu vernachlssigbar kleinen Enthalpie des unverbrannten Brennstoffs hB , mit dem
I8.3 Baugruppen
Bild 9. Energie- und Massenbilanz der adiabaten Brennkammer
Luftmassenstrom m_ L , von der Enthalpie hL(T2), zum Turbinenmassenstrom m_ T , von der Enthalpie hT( T3), statt. Aus der Energiebilanz m_ L hL ðT2 Þ þ m_ B ð hB þ Hu ha Þ ¼ m_ T hT ðT3 Þ |{z} 0
und der Massenbilanz m_ L þ m_ B ¼ m_ T ergibt sich das (massenmßige) Brennstoff/Luft-Verhltnis m_ B hT ðT3 Þ hL ðT2 Þ : ¼ m_ L Hu ha hT ðT3 Þ Unter Verwendung der Luftverhltniszahl l, kurz Luftverhltnis genannt, m_ L l¼ Lmin m_ B mit Lmin als dem Mindestluftbedarf des Brennstoffs, T2 als der Bezugstemperatur fr die Enthalpie und cp, BK als Mittelwert fr cp, L (T2) und cp, T (T3) ergibt sich fr die Temperaturerhhung in der Brennkammer Hu ha : DTBK ¼ T3 T2 ¼ cp, BK ðl Lmin þ 1Þ Beispielsweise mit Dieselkraftstoff oder Heizl EL als Brennstoff (Hu=42 500 kJ/kg, Lmin=14,5 kg/kg) kann demnach die Temperaturerhhung in der Brennkammer maximal (fr ha=1,0, l=1,0, cp, BK=1,16 kJ/(kg K)) den Betrag DTBK =2 364 K erreichen. Aufbau und Funktionsprinzip (Bild 10). Die zustrmende Luft wird durch die Anordnung von Flammrohr und Gehuse in den Primr- und in den Sekundrluftstrom aufgeteilt. Drallschaufeln prgen der Primrluft eine Rezirkulationsstrmung in der Primrzone auf. Der flssige Brennstoff wird ber eine Dralldse bei Drcken bis 100 bar in die Primrzone eingespritzt, zerstubt, verdampft, mit der Primrluft vermischt und mit dieser bei relativ kleinem l (1,2 bis 1,5) bei einer Temperatur von etwa 2 000 C verbrannt (Diffusionsbrenner). Die nachfolgend ber die Sekundrluftbohrungen im Flammrohr zugemischte Sekundrluft khlt Gehuse und Flammrohr, vervollstndigt die Verbrennung und ist mengenmßig so bemessen, daß die Brennkammeraustrittstemperatur die zulssige Turbineneintrittstemperatur nicht berschreitet,
R 87
wobei bei Vollast l-Werte von 3,5 bis 4 vorliegen, bei Teillast Werte bis l=15. Bei Vormischbrennern, fr gasfrmige oder zuvor verdampfte flssige Brennstoffe, werden (Primr-)Luft und Brennstoff bereits vor der Primrzone gemischt. Vormischbrenner ermglichen gegenber Diffusionsbrennern ein hheres l in der Primrzone, wodurch die Temperatur in der Primrzone sinkt und dementsprechend weniger NOx gebildet wird. Instabilitt der Flamme infolge zu mageren Gemisches in der Primrzone kann durch eine (fett brennende) Pilotflamme zu hheren l-Werten verschoben werden. In katalytischen Brennkammern sorgen katalytisch beschichtete keramische oder metallische Wabenkrper (Oxidationskatalysatoren) dafr, daß das durchstrmende Brennstoff/ Luft-Gemisch auch noch bei l-Werten von 1,5 und grßer stabil brennt, was extrem niedrige NOx-Werte ermglicht. Bauarten. Hierbei wird unterschieden in 1. Gleichstrom- und Gegenstrombrennkammer, je nachdem ob die Sekundrluft in Flammenrichtung (z. B. Bild 10) oder entgegengesetzt strmt (Bild 11). 2. Einzelrohr-Brennkammer, entsprechend Bild 11. Sie ist bei Kleingasturbinen und bei Gasturbinen in Schwerbauweise (auch in Mehrfachanordnung) zu finden. 3. Rohr-Ringbrennkammer. Auf einem Kreis um die Lngsachse des Gasturbinenaggregats sind einzelne Flammrohre in einem gemeinsamen kreisringzylindrischen Gehuse angeordnet, von dem aus die Sekundrluft zugefhrt wird. Diese Bauform ist bei Flugtriebwerken und davon abgeleiteten stationren Gasturbinen anzutreffen. 4. Ringbrennkammer. Primr- und Sekundrluftstrme werden in zur Triebwerkslngsachse konzentrischen Ringrumen gefhrt, mit ber dem Umfang verteilten einzelnen Brennern (Bild 14 a). Anwendung wie bei 3. Belastung und Verluste. Die spezifische Brennkammerbelastung qBK ¼
m_ B Hu VBK pBK
mit VBK fr das Brennkammervolumen und pBK fr den Druck in der Brennkammer, liegt bei Flugtriebwerken bei 20 bis 50 MW/(m3 bar) am hchsten. Fr Industriegasturbinen kann sich dieser Wert bis auf ein Zehntel verringern, was an den mglichen grßeren Abmessungen und daran liegt, daß vielfach Abgaswrmetauscher eingesetzt sind. Die Druckverluste betragen je nach Bauart zwischen 1 und 6 %. 8.3.4 Wrmetauscher. Heat exchangers Vor allem in der Anwendung als Abgaswrmetauscher sind zu unterscheiden (s. K 1): Rekuperatoren. Sie werden als Platten- oder Rohr-Wrmetauscher von den wrmetauschenden Medien (Luft, Abgas) im Gleichstrom, Gegenstrom oder Kreuzstrom durchstrmt, wobei der Gegenstrom am wirksamsten ist. Regeneratoren. Eine rotierende (Wrme-)Speichermatrix aus Metall oder Keramik wird abwechselnd vom heißen Abgas und von der verdichteten Luft durchstrmt. Sie erreichen sehr hohe Wrmeaustauschgrade und werden daher bevorzugt bei Fahrzeuggasturbinen eingesetzt (Bild 19), weisen jedoch relativ hohe (Luft-)Leckverluste auf. Der Wrmeaustauschgrad (=Rekuperationsgrad) ist mit den Indizes aus Bild 1 d definiert zu hR ¼
Bild 10. Gleichstrom-Brennkammer mit Diffusionsbrenner (schematisch)
T3 T2 T5 T2
und erreicht bei Rekuperatoren Werte bis zu 90 %, bei Regeneratoren sind Werte deutlich grßer als 90 % mglich.
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Strmungsmaschinen – 8 Gasturbinen
Bild 11. Gasturbine in Schwerbauweise (Niederdruck-(ND-)Turbine als Nutzleistungsturbine). 1 Vorderes Gehuse, 2 Gehuse fr vorderes Lager der Gaserzeugerwelle, 3, 4 Lager der Gaserzeugerwelle, 5 Lufer des Verdichters, 6, 7 Hlften des Verdichtergehuses, 8, 9 Hlften des Gaserzeugergehuses, 10 Einzelbrennkammer (zwei Stck), 11 Gaseintrittskanal, 12, 13 Hlften des Gehuses fr hinteres Lager der Gaserzeugerwelle, 14 Gehuse fr Leitschaufeln der Hochdruck- (HD-)Turbine, 15 Gehuse fr Leitschaufeln der ND-Turbine, 16, 17 Hlften des Gehuses fr ND-Turbine, 18, 19 Lager der ND-Turbine, 20, 21 Hlften des Gehuses fr Lager der ND-Turbine, 22 Abgaskanal, 23 Kupplungsflansch, 24 Welle der ND-Turbine, 25 ND-Turbine, 26 Abstandhalter, 27 HD-Turbine, 28 Antriebswelle fr Hilfsaggregate
8.4 Hilfssysteme. Auxiliary systems 8.4.1 Drehzahlregelung. Speed control Bei Gasturbinen im offenen Prozeß stellt die Drehzahl die Regelgrße, der Brennstoffstrom die Stellgrße dar. Als Strgrßen treten neben Belastungsnderungen auch wechselnde Umgebungsbedingungen auf (s. X 1).
R
Regelstrecke. Infolge der komplexen Vorgnge in der Gasturbine, besonders wegen der verzgerten Temperaturnderungen, erfordern die Regelstrecken hherer Ordnung mit ausgeprgter Totzeit einen hohen regelungstechnischen Aufwand. Regler. Einfache Flle kommen mit P-Reglern aus. Drehzahlkonstanz erfordert PID-Regler, in besonderen Fllen sind Strgrßen-Aufschaltungen erforderlich (hier die Belastung). Hufig wird ein Sollwertsteller fr die Fhrungsgrße W (s. X 4.1.5 und X 5.3) angebracht. Sicherheitseinrichtungen. Bei kleineren Turbinen sind sie mit dem Stellglied des Reglers verbunden und schalten die Turbine ab bei zu hoher Gasaustrittstemperatur, Ausfall der Schmierung oder der Khlung. 8.4.2 Brennstoffsystem. Fuel system Dieses hat die Aufgabe, den von der Regelung jeweils geforderten Brennstoffstrom mit dem entsprechenden Druck an der Brennkammer zur Verfgung zu stellen. Bild 12 zeigt ein Brennstoffsystem, das zwischen Brenngas- und Brennlbetrieb umgeschaltet werden kann. Gasbetrieb (hier Erdgas). Das Erdgas gelangt von der Druckminderstation ber den Gasabsperrschieber 1 und das Sieb 2 vor die Gashauptabschließung 3. Whrend des Stillstands ist der Absperrschieber 1 geschlossen und der Entlftungsschieber 4 offen. Beim Anfahren und im Betrieb ist die Hauptab-
schließung 3 geffnet. Das Erdgas gelangt weiter ber die Rckschlagklappe 5 vor das Gasregelventil 6. Dieses dosiert den Brennstoff und steht unter dem Einfluß der Regelung oder Anfahrsteuerung. Das kombinierte Zndgas-Ausblaseventil 7 dient im Stillstand bzw. lbetrieb mit der Hauptabschließung 3 als Entlastungsorgan. Der Ausblaseteil ist geffnet und Gasleckagen werden durch die Gasausblaseleitung b abgefhrt. Die Zndgasleitung e fhrt im Bypass um das noch geschlossene Gasregelventil 6 in die Hauptgasleitung c. Die Zndgasmenge wird durch die Blende 8 bestimmt. Im Gasbetrieb wird die Brennstoffdse gekhlt. Das Khlgas strmt ebenfalls ber das Ventil 7 sowie die Dsenkhlgasleitung d und Blende 10 zur Brennstoffdse. Im Fall einer Verpuffung in der Brennkammer wird das Gasnetz mit Hilfe der Rckschlagklappen 5 und 9 geschtzt. Brennlbetrieb. Die Zubringerpumpe 14 frdert das l ber den umschaltbaren Filter 16 zur Hauptpumpe 18. Das Druckhalteventil 19 hlt den Brennstoffdruck konstant und steuert die berflssige Menge in den Behlter 11. ber das Umwlzventil 20, die Leitung f und das Brennstoffventil vor der Dse 21 gelangt das Brennl zum Hauptabsperrventil 23. Dieses Dreiwegeventil gibt den Weg zur Dse frei. Es soll im Schnellschlußfall die Brennstoffzufuhr zur Dse unterbrechen und das in der Brennstoffleitung vor der Dse verbleibende Brennl in den Behlter 24 ablaufen lassen. Die im Brenner angeordnete Brennstoffdse dosiert den Brennstoff. Besondere Betriebszustnde. Whrend des lbetriebs tritt an der Dse eine Leckage auf, die ber das Dreiwegeventil 25 in den Leckagetank 24 abgefhrt wird. Im Gasbetrieb wird diese Verbindung durch das Dreiwegeventil 25 geschlossen, damit die Gase nicht aus der Brennkammer in den Behlter 24 strmen. Hierbei wird auch die Brennl-Dse mit Erdgas gesplt. Das Splgas gelangt aus der Hauptgasleitung c ber das Dreiwegeventil 25 zur Dse. Im Mischbetrieb muß diese Verbindung geschlossen werden, um die beiden Systeme Erdgas und Brennl zu trennen. Die beiden Rckschlagklappen 22 erfl-
I8.4 Hilfssysteme
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Bild 12. Brennstoffsystem fr Gas-, Brennl- und Mischbetrieb. 1 Gasabsperrschieber, 2 Sieb, 3 Gashauptabschließung, 4 Entlftungsschieber, 5 Rckschlagklappe, 6 Gasregelventil, 7 Zndgas-Ausblaseventil, 8 Blende in der Zndgasleitung, 9 Rckschlagklappe, 10 Blende in Dsen-Khlgasleitung, 11 Brennlbehlter, 12 Absperrorgan, 13 Filter, 14 Zubringerpumpe, 15 Druckhalteventil fr Zubringerpumpe, 16 umschaltbarer Filter, 17 Bypass, 18 Hauptpumpe, 19 Druckhalteventil fr Hauptpumpe, 20 Umwlzventil, 21 Brennstoffventil vor Dse, 22 Rckschlagklappe, 23 Hauptabsperrventil, 24 Behlter, 25 Dreiwegeventil, 26 Pumpe zum Entleeren des Behlters, 24, 27 Druckhalteventil, a Entlftungsleitung, b Ausblaseleitung, c Hauptgasleitung, d Dsen-Khlgasleitung, e Zndgasleitung, f Hauptleitung fr Brennl, g Brennl-Entlastungsleitung, h Umwlzleitung, i Entlftungsleitung, k Rckfhrleitung
len in Verbindung mit dem Hauptabsperrventil 23 und dem Dreiwegeventil 25 die Aufgabe, daß bei jedem Betriebszustand ein unter Druck stehendes System eine Absperrung mit anschließender Entlastung hat. Whrend des Anfahrvorgangs, jedoch vor der Zndung, wird der Brennstoffstrom mit Hilfe des Umwlzventils 20 in der Leitung k abgefhrt. ber die Umwlzleitung h wird dabei das Brennstoffsystem unter Druck gebracht. 8.4.3 Schmierlsystem. Lubrication system Es deckt den erforderlichen lbedarf sowohl fr die Schmierung und Khlung aller Lager der Gasturbinengruppe als auch denjenigen fr die Steuerung und Regelung.
Zentrale lversorgung (Bild 13). Sie liefert das Schmierl a fr das verdichterseitige Traglager, das Drucklager der Turbogruppe, alle Lager des Stromerzeugers sowie das Zwischengetriebe, das Khll b fr das verdichter- und turbinenseitige Traglager, das Hochdruck-Kraftl c fr alle vorgesteuerten hydraulischen Stellorgane, das Niederdruck-Kraftl d fr die Signalbertragung, das Anhebe-l e fr die Traglager der Turbogruppe und des Stromerzeugers sowie gegebenenfalls fr l f fr die Wellendrehvorrichtung. Der Schmierlbehlter ist ausgerstet mit einem Niveauwchter, einem Belftungsfilter, einer Stillstand-Heizung 2 mit Umwlzpumpe 3 und einem ldunst-Absaugeventilator 4. Betrieb. Hierbei liefert die durch die Hauptwelle angetriebene zweistufige Hauptlpumpe 6 in der ersten Stufe das Schmier-
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Bild 13. Schmier- und Kraftlsystem. 1 Schmierlbehlter, 2 Widerstandsheizung, 3 Umwlzpumpe, 4 ldunst-Absaugeventilator, 5 labscheider, 6 Hauptlpumpe, 7 Hilfs-Schmierlpumpe, 8 Hilfs-Kraftlpumpe, 9 Khllpumpe, 10 Pumpe fr die Wellendrehvorrichtung, 11 Anhebe-lpumpe, 12 lkhler, 13 Filter, 14 Temperaturregler mit Dreiwege-Mischventil, 15, 17, 18, 27, 28 Druckhalteventil, 16 Druckminderventil, 19 bis 26 Rckschlagklappen, a Schmierl, b Khll, c Hochdruck-Kraftl, d Niederdruck-Kraftl, e Wellenanhebe-l, f lversorgung der Wellendrehvorrichtung, g lrcklauf, h lrcklauf von der Wellendrehvorrichtung
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Strmungsmaschinen – 8 Gasturbinen
l und in der zweiten Stufe das l mit hherem Druck fr Steuerung und Regelung – und das oberhalb 80 % der Nenndrehzahl. Anfahrvorgang. Die lversorgung bernehmen die HilfsSchmierlpumpe 7 und die Hilfs-Kraftlpumpe 8, bis die erforderlichen ldrcke von der Hauptlpumpe aufgebaut sind. Drehzahlabhngig schaltet sich nur die Hilfsschmierlpumpe 7 automatisch ein, ebenso bei einem Sinken des Schmierldrucks whrend des Betriebs, wobei gleichzeitig die Maschine abgestellt wird. Um das Losbrechmoment fr die Anwurfeinrichtung klein zu halten, wird der Wellenstrang mittels Hochdruckl der Anhebe-lpumpen 11 angehoben. Spannungsausfall. Hier sichert die von einem Gleichstrommotor angetriebene Khllpumpe 9 die lversorgung fr ein schadenfreies Auslaufen der Maschine sowie die Pumpe 10 fr das Wellendrehen mit der Wellendrehvorrichtung.
8.4.4 Weitere Hilfssysteme Further auxiliary systems Khlsystem. Bei geschlossenen Anlagen ist es meist ein geschlossener Wasserkreislauf, der die Wrme des Schmierlsystems und des elektrischen Generators aufnimmt und ber einen Oberflchen-Wrmetauscher an die Umgebungsluft abgibt. Zum Khlsystem zhlen ein Wasserbehlter, Rohrleitungen, Pumpen, Wrmetauscher, das Geblse des Wasser-LuftWrmetauschers, Schieber und die Temperatur-Regelung. Bei Luftfahrt-Triebwerken erfolgt die Schmierlkhlung mit Luft oder Brennstoff. Anfahreinrichtung. Zum Anfahren der Gasturbine aus dem Ruhezustand muß die Anfahreinrichtung das Losbrechmoment berwinden und dann den Turbosatz weiter beschleunigen, bis die Zndung eingeleitet werden kann. Nach erfolgter Zndung bringt die Anfahreinrichtung den Turbosatz auf die
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Bild 14. a Einwellige Kraftwerks-Gasturbine mit Hybrid-Vormischbrenner fr Erdgas oder Heizl (Siemens KWU V64.3A). 1 Verdichter-Sttze, 2 Gehuse, 3 Turbinen-Sttze, 4 Turbinen-Lagergehuse, 5 Abgasdiffusor, 6 Ansaugkanal, 7 Axial-Radial-Lager, 8 Vorleitgitter-Verstelleinrichtung, 9 Radscheibe, 10 Verdichter-Leitschaufeltrger, 11 Verdichter-Diffusor, 12 Brennkammer, 13 Khllufttrennrohre, 14 Turbinen-Leitschaufeltrger, 15 Radial-Lager, 16 Zuganker. b Vom Propeller-Turboluftstrahl-Triebwerk (PTL) abgeleitete Gasturbine fr mechanische Nutzleistungsabgabe. 1 Lufteintritt, 2 Verdichtereintritt, 3 Abblasleitung, 4 Ringbrennkammer, 5 Eintritt der Hochdruck-Turbine, 6 Eintritt der Niederdruck-Turbine (Nutzleistungsturbine), 7 Eintritt in Abgaskanal, 8 Austritt aus Abgaskanal, 9 Planetengetriebe, 10 Kupplungsflansch
I8.5 Gasturbine im Kraftwerk Freidrehzahl (etwa 55 % der Nenndrehzahl); ab dieser Drehzahl kann die Gasturbine aus eigener Kraft hochlaufen.
8.5 Gasturbine im Kraftwerk Gas turbines in power plants 8.5.1 Allgemeines und Bauweise General and configurations Basierend auf ihrer hohen Leistungsdichte und ihrem schnellen Lastannahmevermgen, dienten Gasturbinen im Kraftwerksbetrieb ber Jahrzehnte berwiegend zur Spitzenlastdeckung, fr Reservekraftwerke sowie als fahrbare Notstromaggregate. Die Abgaswrme wird gegebenenfalls nicht in einem Abgaswrmetauscher im Sinne von Bild 1 d genutzt, sondern zur Erzeugung von Nah- oder Fernwrme, fr Trocknungsprozesse oder zur Meerwasserentsalzung (Kraft-Wrme-Kopplung). Heute steht der Einsatz in Gas- und DampfAnlagen (s. R 8.5.2) im Vordergrund. Die hchsten Einheitenleistungen von Gasturbinen in Schwerbauweise liegen derzeit bei 240 MW, wofr ein Luftmassenstrom von etwa 1 200 kg/s erforderlich ist. Die Kupplungswirkungsgrade reichen bis etwa 38 % (Bild 14 a). Fr Leistungen bis 25 MW werden auch aus Luftfahrt-Triebwerken abgeleitete Gasturbinen eingesetzt, wobei das hinter dem Gaserzeuger noch verfgbare Enthalpiegeflle eben nicht zur Schuberzeugung verwendet, sondern in einer Nutzturbine abgearbeitet wird, die den elektrischen Generator antreibt (Bild 14 b).
8.5.2 Gas- und Dampf-Anlagen Combined-cycle power plants Die im Abgas der Gasturbine enthaltene Restexergie wird einem Dampfkraftprozeß zugefhrt, der daraus zustzliche elektrische Energie liefert. Zwischen folgenden beiden Grundkonzepten ist zu unterscheiden [5]. Gasturbine mit Abhitzekessel (Bild 15). Die elektrische Leistung wird berwiegend von der Gasturbinenwelle abgegeben, ergnzt um die elektrische Zusatz-Leistung aus dem Dampfkraftprozeß, der entweder einzig aus der Abgaswrme
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der Gasturbine gespeist wird oder im Falle des befeuerten Abhitzekessels eine entsprechend grßere Zusatzleistung liefert. Gas- und Dampf-Kombiprozesse. Da die Gasturbine bei Vollast bei etwa l=4 betrieben wird, demnach 3 von 4 Teilen Luftsauerstoff nicht verbraucht werden, kann das Gasturbinenabgas als (bereits sehr heiße) „Ansaugluft“ einem Dampferzeuger zugefhrt und in diesem zustzlich noch das Dreifache der Gasturbinen-Brennstoff-Leistung an Brennstoff verbrannt werden (Bild 16). Die vom Dampfturbinensatz daraus erzeugte elektrische Leistung betrgt wegen des hheren Dampfturbinenwirkungsgrades das rund Vierfache der Gasturbinenleistung. Der besondere Vorteil dieses ber zwei getrennte Feuerungen verfgenden Nicht-integrierten Kombiprozesses besteht darin, daß im Dampferzeuger auch relativ minderwertige Brennstoffe (Kohle, Schwerl) verfeuert werden knnen. Demgegenber wird beim Integrierten Kombiprozeß in der Gasturbinen-Brennkammer praktisch der gesamte Luftsauerstoff zur Verbrennung genutzt und mit diesem Verbrennungsgas (l nahe bei 1) zunchst der Dampfkraftprozeß beheizt und anschließend die Turbine des Gasturbinensatzes beaufschlagt. Die Brennstoffauswahl hat sich dabei an den (anspruchsvolleren) Anforderungen der Gasturbine zu orientieren. Allerdings kann bei Einsatz einer Druck-Wirbelschichtfeuerung inzwischen auch schon Kohlestaub im offenen Gasturbinenprozeß verfeuert werden. In Kombianlagen werden Gesamtwirkungsgrade (elektrische Leistung/Brennstoffleistung) bis zu 58 % erzielt. Kombianlagen eignen sich außer fr Neuanlagen besonders auch zur Leistungsaufstockung bestehender Dampfturbinen-Kraftwerke (siehe L 3.1.3).
8.5.3 Luftspeicher-Kraftwerk (Bild 17) Air-storage gas-turbine power plant Analog zum Pumpspeicher-Wasserkraftwerk werden entsprechend große, natrliche Speichervolumina (z. B. ausgelaugter Salzstock) mit Luft (bis 75 bar, mit 2,5 bar/h) aufgepumpt, wobei die Verdichter mit billigem Nachtstrom betrieben werden. Tagsber wird zur Spitzenlastdeckung verdichtete Luft entnommen (von 75 auf 55 bar, mit 10 bar/h) und einem Gasturbinensatz zugefhrt, dessen gesamte Turbinenleistung
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Bild 15. Gasturbinenanlage mit (unbefeuertem) Abhitzekessel
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Bild 16. Nicht-integrierter Gas-Dampf-Kombiprozeß
R Bild 17. Luftspeicherkraftwerk
nunmehr als Nutzleistung verfgbar ist, weil der Verdichter dabei abgekoppelt ist.
Geschwindigkeit des Flugzeugs relativ zur Geschwindigkeit der Umgebungsluft (Fluggeschwindigkeit), S ¼ ðm_ L þ m_ B Þ cD m_ L c1
8.6 Gasturbine fr Verkehrsfahrzeuge Gas-turbine propulsion systems 8.6.1 Luftfahrt. Aircrafts Hier hat sich die Gasturbine wegen ihrer hohen Leistungsdichte bezglich Gewicht und Bauvolumen gegenber dem Verbrennungsmotor durchgesetzt, der als Flugantrieb nur noch in Sport- und Leichtflugzeugen zu finden ist [7–9, 11]. Neben Turbo- und Propeller-Turboluftstrahl-Triebwerken (TL bzw. PTL) sind in der Luftfahrt vor allem ZweistromTurboluftstrahl-Triebwerke (ZTL) in Anwendung (Bild 18). Der vom Triebwerk erzeugte Schub S, mit m_ L und m_ B als den Massenstrmen von Luft und Brennstoff, cD als der Dsenaustrittsgeschwindigkeit relativ zum Flugzeug und c1 als der
lßt sich wegen m_ B m_ L nherungsweise beschreiben mit S m_ L ðcD c1 Þ: Das Wirkprinzip des ZTL-Triebwerks baut darauf auf, daß mit sehr hohen Werten fr cD der Vortriebswirkungsgrad hP ¼ 2 c1 =ðc1 þ cD Þ sehr niedrig wird, und realisiert deshalb die Schubsteigerung nicht ber die Steigerung von cD, sondern von m_ L . Der ber das Geblse (Fan) erzeugte Zweitluftstrom kann bei ZTL(= Fan-)Triebwerken bis zum Siebenfachen des Kernluftstroms betragen, wodurch diese ber einen hohen StandSchub verfgen.
I8.6 Gasturbine fr Verkehrsfahrzeuge
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Bild 18. Dreiwelliges Zweistrom-Turboluftstrahltriebwerk mit dem Nebenstromverhltnis 6. a Nebenluftstrom, b Kernluftstrom, 1 Geblse fr Nebenluftstrom (gleichzeitig 1. Verdichterstufe des Kernluftstroms), 2 Verdichter des Kernluftstroms, 3 Brennkammer, 4 Turbinenstufen
8.6.2 Schiffahrt. Marine application In der militrischen Schiffahrt kommen Gasturbinen vornehmlich in Schnellbooten zum Einsatz, meist als von Flugtriebwerken abgeleitete Versionen. In der zivilen Schiffahrt werden Gasturbinen ebenfalls in schnellen Schiffen eingesetzt, wobei sie in vielen Fllen in CODOG-(combined diesel or gas turbine-)Anlagen zu finden sind, in denen die Gasturbine gemeinsam oder wechselweise mit einem Dieselmotor arbeitet. Der Antrieb von großen seegehenden Schiffen erfolgt heute weltweit praktisch ausschließlich ber Großdieselmotoren, weil hier der Vorteil der Gasturbine in Form einer hohen Leistungsdichte nicht von Bedeutung ist, der Dieselmotor jedoch den besseren Wirkungsgrad und zudem extreme Schwerltauglichkeit aufzuweisen hat.
Bild 19. Vollast-Drehmoment Md ber der Abtriebsdrehzahl n bei ein- und zweiwelliger Fahrzeuggasturbine (Md100 ; n100 . . . Werte bei Nennleistung als Referenz)
8.6.3 Straßenfahrzeuge. Road vehicles Als Antrieb fr Straßenfahrzeuge (PKW, LKW, Bus) ist die Gasturbine bislang nicht ber die prototypische Anwendung hinausgekommen, weil sie, zumindest bei metallischer Ausfhrung, dem Otto- und erst recht dem Dieselmotor wirkungsgradmßig weit unterlegen ist [12]. Ihren Vorteil der im Vergleich zum Verbrennungsmotor in jedem Fall gnstigeren Abgasqualitt kann die Gasturbine erst dann ausspielen, wenn sie durch eine Steigerung der Turbineneintrittstemperatur bis zu 1 350 C wirkungsgradmßig an den Verbrennungsmotor heranreicht. Dies erfordert den Einsatz von Keramik ðSiC; Si3N4) fr die heißgasfhrenden Komponenten, woran weltweit mit wechselnder Intensitt gearbeitet wird. Ebenfalls aus Wirkungsgradgrnden wird eine Fahrzeuggasturbine immer ber einen Abgaswrmetauscher (Regenerator oder Rekuperator) verfgen. Folgende Bauweisen sind zu unterscheiden: Gasturbine als direkter Antrieb. Bei einwelliger Bauart ist wegen der dabei ungnstigen Drehmomentencharakteristik (Bild 19) unbedingt ein CVT-Getriebe erforderlich. Trotz des fr den Fahrzeugantrieb an sich gnstigen, steilen Drehmomentanstieges mit abfallender Nutzturbinen-Drehzahl im Falle der zwei- oder mehrwelligen Bauart (Bild 20), wird aus Wirkungsgradgrnden auch hier ber ein (mglichst CVT-) Getriebe dafr gesorgt, daß die Nutzturbine immer nahe ihrer Auslegungsdrehzahl laufen kann.
R Gasturbine im Hybridkonzept. In einer erfolgversprechenden Variante mglicher Hybridkonzepte wird das Fahrzeug von einem Elektromotor angetrieben, der von einer Batterie gespeist wird. Eine mglichst auf einer gemeinsamen Welle angeordnete Einheit aus (einwelliger) Gasturbine und elektrischem Generator sorgt dafr, daß die Batterie immer ausreichend geladen ist. Da die Fahrzeug-Beschleunigungsleistung aus der Batterie entnommen wird und diese als Energiespeicher fungiert, kann die Gasturbine fr eine relativ kleine Leistung ausgelegt und immer in ihrem Auslegungspunkt betrieben werden. Letzteres begnstigt den Gesamtwirkungsgrad bei einer in jedem Fall hervorragenden Abgasqualitt. 8.6.4 Abgasturbolader (Bild 21) Exhaust-gas turbocharger Er stellt eine Sonderform der einwelligen Gasturbine dar. Anstelle der Brennkammer (in Bild 1 a) liefert ein Verbrennungsmotor sein Abgas an die Turbine und erhlt dafr vom Verdichter vorverdichtete Luft (Aufladung). Entsprechend der Luftdichteerhhung kann die Motorleistung gegenber der des nicht-aufgeladenen Motors angehoben werden (s. P 4.3.5).
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Strmungsmaschinen – 8 Gasturbinen
Bild 20. Kraftfahrzeug-Gasturbine. 1 Lufteintritt, 2 Verdichter, 3 Brennkammer, 4 Hochdruckturbine, 5 Niederdruck-Turbine (Nutzleistungsturbine), 6 Regenerator, 7 Untersetzungsgetriebe, 8 Antriebswelle
R Bild 21. Abgasturbolader eines Großdieselmotors, mit Axialturbine, Typ MAN B&W, NA/S
8.7 Brennstoffe. Fuels Gasturbinen im offenen Prozeß sind auf gute Brennstoffqualitten angewiesen, da Brennstoffaschen zu Schaufelerosion und Ablagerungen an den Schaufeln, Brennstoffgehalte an Schwefel, Natrium und Vanadium durch Bildung von Na2SO4 und V2O5 zu Schden durch Heißkorrosion fhren. Von den flssigen Brennstoffen kommen daher vor allem alle Destillatkraftstoffe (wie Heizl EL, Dieselkraftstoff, Kerosin, Benzine) und auch Alkoholkraftstoffe (Methanol, Ethanol) in Frage, von den gasfrmigen spielt vor allem Erdgas eine wichtige Rolle. An sich sind alle bekannten Brenngase (s. L 2.4) fr den Gasturbineneinsatz geeignet, sofern sie ausreichend schwefelfrei (H2S) und weitestgehend staubfrei ( FT 2) kommt noch ein asymmetrischer Anteil hinzu, der die Grße der Spannungen nur unwesentlich verndert, die Verteilungsfunktion aber etwas gegen FT 1 verschiebt. Die Stirnwnde werden als Kreiszylinderplatte berechnet. In radialer Richtung auftretende Biegespannung sr (Bild 14 b), ausgezogen bei h = const., strichpunktiert bei Turbinenboden. Bild 14 c gibt die Verformungen wieder; dort auch bernahme eines Teils MN des Biegemoments M der Welle durch die Stirnwand ersichtlich, der um so kleiner wird, je weicher die Stirnwand ist; zwischen den Naben verbleibt fr die Welle der meist grßere Anteil MW [24] .
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Frdertechnik – 3 Stetigfrderer Bild 15. Zweitrommelantrieb mit drei gleichen Kfiglufermotoren und fllungsverzgerten Strmungskupplungen fr waagerechte Frderbandanlage 1 200 m Lnge, 1 400 m3/h bei 4 m/s Gurtgeschwindigkeit. Stahlseilgurt. Antriebstrommeln nur von sauberer Gurtseite berhrt. Vorspannkraft durch seitlich angebrachtes Spanngewicht. Zum raschen Stillsetzen Doppel-Backenbremse mit Bremslfter auf Antrieb II
Antriebs- und Spannstationen
Bild 16. Transportable Antriebsstation fr Massengutfrderung im Tagebaubetrieb (4 2 000 kW) mit transportabler Umkehre (2 2 000 kW), 40 000 t/h bei 7,5 m/s Gurtgeschwindigkeit. 1 Frdergurt St 4500, 2 Motor 2 000 kW (Schleifringlufer), 3 Scheibenbremse, 4 Zweistufiges Kegelstirnradgetriebe, 5 Antriebstrommel, 6 Spanntrommel, 7 Spannwinde, 8 Prallplatte, 9 Elektrische Einrichtungen, 10 Standponton, 11 Lngstrger zum Andocken der Transportraupe, 12 Transportraupe fr Masse von 700 t, 13 Umkehre mit 2 Antrieben, 14 Transportraupe fr Masse von 200 t, 15 Aufgabetrichter, 16 Schmutzfanggurt, 17 Auflaufbrcke (Krupp Frdertechnik GmbH, Duisburg; Rheinbraun AG, Kln)
Bild 16
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Antriebsstationen. Bei kleinen ortsfesten, tragbaren oder fahrbaren Gurtfrderern Antrieb durch Kfiglufermotor/ Keilriemen- und Zahnradvorgelege/Trommel. Vereinigung von Motor und Vorgelege innerhalb der Trommel: ElektroFrdergurttrommel (serienmßig bis etwa 20 kW, Einzelfertigung bis 150 kW). Anordnung meist am Kopf der Anlage; bei fahrbaren Anlagen und Auslegern zum Vermeiden der Kopflastigkeit auch am Aufgabeende (hohe Gurtbeanspruchung auch im Untertrum). Mittlere und große Anlagen sind meist am Kopf angetrieben. Trommelantrieb durch ein oder zwei Antriebseinheiten: Motor/Kupplung (elastische oder Anlaufkupplung)/Getriebe/ Kupplung/Trommel (auf festem Rahmen) (Bild 15) oder Motor/Kupplung/Steckgetriebe/Trommel; Trommelwellenstumpf trgt hier die davorliegenden Antriebselemente, deren Tragrahmen mit Drehmomentensttze abgefangen ist: Tatzlagerung (Bild 13). Fr stark ansteigend frdernde Anlagen Anbau einer Rcklaufsperre an zweite Stufe eines Getriebes oder Schlingbandbremsen auf den Getriebeeingangswellen. Zur Bewltigung grßter Massenstrme (bis 40 000 t/h) im Tagebaubetrieb Einsatz von transportablen Antriebsstationen und -umkehren (Eigenmasse 700 t) (Bild 16). Mobilitt wird erreicht durch eigenverfahrbare Transportraupen oder durch anbaubare, hydraulisch bettigte Schreitwerke. Vorspannung von Seilwinde auf im Betrieb fest eingestellte Spanntrommel aufgebracht. Einsatz von Asynchronmaschinen mit Schleifringlufern (zur Begrenzung des Anfahrmoments), Kegelstirnradgetriebe ber Flanschkupplungen zur schnellen Montage an der Trommelwelle stirnseitig angeschraubt. Einzelantrieb 2 000 kW, vier Einheiten an der Station, zwei an der Umkehre, Gurtbreite 2 800 mm, Gurtgeschwindigkeit 7,5 m/s, Muldungswinkel 43, Mitteltragrolle lM =600 mm [17, 18, 29].
I3.2 Stetigfrderer, Zug- und Tragorgan vereinigt (Gurtfrderer)
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Weitere Antriebsformen. Ein- oder Zweitrommelantrieb am Kopf und Eintrommelantrieb am Heck (fr wenig abwrts frdernde Anlagen gnstig; auch fr schwere etwa waagerechte Anlagen) gegebenenfalls zustzlicher Mittelantrieb zur Verringerung der maximalen Gurtzugkrfte; reversierbare Anlagen, angetrieben in Mitte Untertrum oder an einem der Enden oder an beiden. Einleitung von Antriebskraft in den Gurt auch durch angetriebene Treibgurte, die durch Reibung das aufliegende Ober- oder angepreßte Untertrum mitnehmen [25]. Spannstationen. Fr trag- und fahrbare Gurtfrderer, auch fr ortsfeste Kleinanlagen Spindelspannvorrichtungen (Bild 17 a); zum Begrenzen der Vorspannung auch gefedert (Bild 17 b). Bei grßeren Anlagen wird bewegliche Spannstation erforderlich. Spanntrommel auf Spannwagen gelagert dicht am Kopfantrieb (Bild 15) oder in senkrechten Fhrungen fahrend. Spannkraft durch Gewicht oder Winde. Gewichte erzeugen konstante Vorspannkraft; fest eingestellter Achsabstand bedingt im Ruhezustand grßere Vorspannkraft, damit im Betrieb die noch notwendige vorhanden ist (Bild 18). Einstellen der Windenzugkraft von Hand oder elektromotorisch nach Anzeige eines eingebauten Dynamometers. Elektrische Spannwinde gestattet auch Ausbildung selbstttiger Einstellung der Windenzugkraft zwischen zwei Grenzwerten oder Regelung auf konstante Grße (Bild 16). Vorzusehender Spannweg abhngig von Achsabstand und Betriebsdehnung der Gurtart. Wird zulssige Gurtzugkraft voll ausgenutzt, so kann gerechnet werden mit Betriebsdehnungen von etwa: 2 % bei Baumwoll-, 1,5 % bei Chemiefaser- und 0,15 % bei Stahlseil-Einlagen. Frdergutaufgabe, -bergabe und -abgabestellen Frdergutaufgabe. Mglichst in Laufrichtung und unter Vermeidung grßerer Fallhhen. Bei Schttgtern Anbringen von Trichtern und Zulaufschurren, deren Kanten mit Gummileisten gegenber dem laufenden Gurt abgedichtet werden. Schonende Aufgabe von Schttgtern mit verschiedener Krnung durch Anbringen eines Rosts, auch Rollenrosts (bei kohsivem Frdergut Verstopfungsgefahr!).
Bild 17 a, b. Spindelspannvorrichtungen. a Mit Druckschraube; b mit gefederter Zugschraube
Bild 19. Rechtwinklige bergabe mit Gurtbreite 2 800 mm (Rheinbraun AG, Kln)
Frdergutbergabe. Winklig angeordnete bergabestellen erhalten einstellbare Prallplatten zum mittigen Beschicken des abfrdernden Gurts (Bild 19). Zur Vermeidung von Anbackungen bei kohsivem, klebrigem Frdergut Ausrstung der Prallplatten mit profilierten Gummischrzen [26]. Frdergutabwurf (-abgabe). Meist ber Kopf am Anlagenende; auf der Frderstrecke durch einseitige oder pflugfrmige Abstreifer oder Abwurfwagen (Gurtschleifenwagen). Der lngs der Frderstrecke verfahrbare Gurtschleifenwagen gibt entweder in einen Trichter ab, von dem das Schttgut seitlich durch ein oder zwei Rohre weitergeleitet wird, oder wirft es auf ein nachgeschaltetes Querband ab. Zum Beseitigen der nach dem Frdergutabwurf noch am Gurt haftenden Schttgutreste Anordnung von gewichts- oder federbelasteten Abstreifern bestehend aus nachstellbaren Gummileisten; fr breite Gurte und klebriges Schttgut: Fcherabstreifer. Rotierende Abstreifer mit Gummilamellen oder Perlonborsten nur bei leichtem, wenig backendem Schttgut. Pflugabstreifer auf dem Gurtuntertrum vor Trommeln. Zur Trommelreinigung bei blanken Trommeln Stahlabstreifer mit festen oder querbeweglichen Vorrichtungen: glatte oder kammartige Stahlschiene, Abstreiffinger. Gummibelge auf Trommelmnteln vermindern Anbackungen [9, 10]. Verschmutzung der Untergurt-Tragrollen und Schmutzansammlung unter dem Untertrum werden vermieden durch Wenden des Gurts im Untertrum hinter dem Antrieb und vor der Umkehre. Sttzkonstruktionen
Bild 18 a, b. Wirkung einer Gewichts- oder Winden-Vorspanneinrichtung auf die Gurtzugkraft. a Spannstation mit konstanter Vorspannkraft; b Spannstation mit fest einstellbarem Achsabstand
Die Traggerste bestehen aus Lngsholmen und Sttzen aus U-Normal- oder Abkantprofilen; Quersteifigkeit durch die aus U-Profilen, dachfrmig gestellten Winkeleisen oder Rohren gebildeten Trger der Muldenstze; zuweilen eingefgte Diagonalverbnde verhindern Lngsverschiebungen, Abdeckbleche verhindern Untergurtverschmutzung (Bild 20). Bei umlegbaren und rckbaren Gurtfrderanlagen werden die Traggerste aus einzelnen Stßen gebildet, die auf Stahlschwellen gelagert sind (Bild 21). ber das deformierende Rcken von Gurtfrderanlagen s. [27]. Abgedeckte, leicht auf- und abbaubare Gurttraggerste fr unter Tage DIN 22 111. Stationre Anlagen dort zuweilen mit Traggersten, die mit nachstellbaren Ketten oder Seilen am Grubenausbau oder dem Gestein hngend befestigt sind.
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Frdertechnik – 3 Stetigfrderer gebenen Berechnungsgrundlagen beziehen sich auf Plattenund Kastenband- sowie Trogbandfrderer. Sinngemße Anwendung auch auf Kreisfrderer. DIN 22 200 behandelt nur Berechnungsgrundstze von Gliederbandfrderern.
Bild 20. Ortsfestes Traggerst. Tragrollen mit Festachse
Rollengirlanden knnen auch an lngs der Frderstrecke ausgespannten, vielfach untersttzten Tragseilen angebracht werden: Tragseil-Gurtfrderer. Gurtlenkkonstruktionen Zur Fhrung von Gurten fr die Steilfrderung, z. B. Wellkantengurt mit Stollen (s. a. Bild 2 d), werden zur Erzielung sehr kleiner Vertikalradien Umlenkscheiben und eng gestellte, durchgehende Rollen eingesetzt. Aufgabe des Frderguts auf horizontaler Strecke und Einstellung von Neigungen zwischen 0 und 90 mglich (Bild 22). Bei vertikaler Lage angepaßt an die Eigenschaften des Festigkeitstrgers Drehen der beiden Trume um die vertikale Achse ohne Sttzung durch Rollen ausfhrbar [28]. Dadurch Einstellmglichkeit einer vernderbaren, winkligen Lage zwischen den horizontalen Strecken (Aufgabe und Abgabe).
3.3 Stetigfrderer, Zug- und Tragorgan getrennt Conveyors with separate components for hauling and carrying 3.3.1 Gliederfrderer Conveyors with articulated links Gleichartige Frderelemente (Platten, Trge, Ksten, Becher, Gehnge, Kratzer) sind an einem endlosen Zugmittel (Rundstahlkette, Laschenkette, Sonderkette, Gurt, Drahtseil) in gleichen Abstnden aneinandergereiht. Die in DIN 22 200 ange-
Bild 22. Fhrung eines Wellkantengurtfrderers (Scholtz GmbH, Hamburg)
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Bild 21. Rckbarer Traggerststoß eines Langstreckengurtfrderers. Rollengirlanden an festen Lngsholmen (oben), an einer Sttze (unten). Frdergutstrom 17 000 t/h bei 6,5 m/s Frdergeschwindigkeit (Rheinbraun AG, Kln)
I3.3 Stetigfrderer, Zug- und Tragorgan getrennt Gliederbandfrderer Je nach Ausbildung der Tragglieder: Platten-, Trog- und Kastenbnder; sie berdecken sich gelenkig; bei Plattenbndern fr Stckgut auch stumpf aneinanderstoßend. Zugmittel (s. G 6). Zerlegbare Gelenkketten oder Stahlbolzenketten mit ein- oder zweiseitigen Befestigungslappen; an Stelle der Tempergußausfhrung Buchsenfrderketten mit gekrpften Stahllaschen; fr schwereren Betrieb auch Stahlgelenkketten mit geraden Laschen (DIN 8165 und DIN 8175), oder als Buchsenketten mit glatten oder Bund-Laufrollen DIN 8166, Rundstahlketten DIN 764 auch in hochfester Sonderausfhrung, hauptschlich fr Trogbnder. Anordnung zwei- oder einstrngig; letztere erforderlich bei kurvengngigen Gliederbndern. Tragglieder. Leisten oder Platten aus Holz oder Stahl fr Stckgut-Plattenbnder. Fr Schttgut sich berdeckende Platten. Bei den Trogbndern berdecken sich auch die hochgezogenen Seitenwnde schuppenfrmig (Bild 23). Kasten werden gebildet durch eingezogene Querwnde. Anordnung im Abstand von 1 bis zu 12 Kettenteilungen. Bei kurvengngigen Gliederbndern zustzlich Fhrungsrollen mit senkrechter Achse. Absttzung. Sie erfolgt beim Gliederband durch Laufrollen und Fhrungsschienen; selten schleifend oder auf Sttzrollen. Meist werden die mit Bund (Spurkranz) versehenen Laufrollen auf im Zugmittel befestigten Steck- oder durchgehenden Achsen fliegend mittels Wlzlagern gelagert (Bild 23 b–d). Antrieb und Umlenkung. Sie erfolgen durch Kettenrder oder Kettensterne (Turasse) aus Grau- oder Stahlguß. Frdergeschwindigkeiten 0,1 bis 1,2 m/s. Lange Trogbandfrderer
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erfordern Anlaufkupplungen (z. B. Flssigkeitskupplung); hier auch Zwischenantrieb anwendbar, bei dem kurze endlose Kette mit Mitnehmern in die Frderkette eingreift. An Umkehre gefederte Spindelspannvorrichtung (Bild 17 b). Anwendung. Holz- und Stahlplattenbnder fr Stckgter, insbesondere in der Fließfertigung. Trogbnder fr schwere, grobstckige, stark schleißende, auch heiße Stck- oder Schttgter, z. B. kurze Bunker-Austragbnder, Frderbnder fr Kohle und Berge unter Tage (Frdergutstrom bis 300 t/h, Frderlnge bis 400 m mit Antrieb am Kopf und Schluß des Bands; grßere Lngen mit Zwischenantrieben); bei Steigungen (bis 50) Kastenbnder (z. B. fr Koksverladung). Becherwerke Senkrecht- oder Schrgbecherwerke (Elevatoren) mit Bechern als Tragorgan, die am Zugorgan (Gurt, Ein- oder Zweistrangkette) befestigt sind. Selbstschpfend (Schpfbecherwerk) (Bild 24 a), oder durch Aufgabetrichter beschickt (Aufgabebecherwerk). Schnellaufende Gurt-Becherwerke bis 2,5 m/s Gurtgeschwindigkeit; Ketten-Becherwerke mit 1,0 bis 1,2 m/s oder langsam mit 0,3 bis 0,5 m/s Kettengeschwindigkeit. Die Becher sind in grßerem Abstand oder in dichter Folge angebracht (Vollbecherwerk) (Bild 24 b). Antrieb und Umlenkung (Spannung) ber Trommeln, Rollen oder Kettenrder. Offen und fahrbar (Becherwerkslader) oder in geschlossenem Gehuse (Kastenschlot oder Doppelschlot). Abwurf ber Kopf in Abgabeschurre unter Wirkung der Zentrifugalkraft (Bild 24 a, b) (ab 0,8 m/s); bei Vollbecherwerken Schttgut durch Rinne am Becherrcken gefhrt (Bild 24 b). Langsame Becherwerke erfordern Ablenkung des Leertrums nach innen (Bild 24 c), oder schtten zwischen den Kettenstrngen aus, Mittenaustrag (Bild 24 d). Zugmittel und Tragglieder. Bei den Gurtbecherwerken werden die Becher am Textil-, Gummi- oder Drahtgurt mittels Tellerschrauben und Tellerscheiben angebracht: DIN 15 236 T 1 und DIN 15 237; auch Segment-Befestigung ausgefhrt (Bild 25 a); bei Verwendung von Gummigurten mit Stahlseileinlagen fr Hochleistungsbecherwerke Befestigung an aufgeklebten Gummiprofilleisten (Schwingmetall) (Bild 25 b). Befestigung der Becher an Stahlbolzenketten, Rundstahlketten (gemß DIN 15 236 T 4) oder Buchsenketten durch Schrauben. Becherformen (0,1 bis 140 l) je nach Schttgut genormt (DIN 15 231/35) aus Blech, auch aus Leichtmetall oder Kunststoff (Tab. 5). Antrieb und Umlenkung. Antriebswelle im Becherwerkskopf trgt Antriebstrommel bzw. Antriebsrollen, Antriebskettenrder oder Turasse. Ungleichfrmige Kettengeschwindigkeit, die zustzlich Trgheitskrfte im Zugorgan ergibt, wird in Kauf genommen. Die Umkehre im Becherwerksfuß wird
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Bild 23. a Plattenband mit seitlichen Borden, 1 Platten, 2 Borde, 3 Laufrollen, 4 Ketten; b Laufrolle mit Befestigung durch Steckachse; c Befestigung mit Mutter; d Lagerdichtung (Aumund, Rheinberg)
Bild 24 a–d. Becherwerke. a Schpfbecherwerk (Abwurf durch Zentrifugalkraft); b Vollbecherwerk (Abwurf durch Zentrifugalkraft); c Becherfhrung bei Abwurf durch Schwerkraft; d Schwerkraftentleerung mit Mittenaustrag
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Frdertechnik – 3 Stetigfrderer Leistungsbedarf und Krfte im Zugorgan. In Anlehnung an DIN 22 200 und [30] berechnet sich die Beharrungsleistung PU an der Antriebswelle zu PU ¼ Hubleistung þ Reibungsleistung þ Schpfleistung PU ¼ m_ gH þ PR þ PS ; z. B. mit P in kW fr m_ in kg/s, H in m und g in m/s2. Fr die Reibungsleistung kann bei Senkrecht-Kettenbecherwerken geschrieben werden
Bild 25 a, b. Becherbefestigung bei Gurtbecherwerken. a Segmentbefestigung bei Gurten mit Gewebeeinlagen; b Schwingmetallbefestigung bei Gurten mit Stahlseileinlagen
Tabelle 5. Senkrechtbecherwerke mit Bechern (DIN 15 234) (Beumer, Beckum)
durch Schraubenspindel (ohne oder mit Feder) oder gewichtsbelasteten Hebel gespannt. Bei Antrieb durch Kfiglufermotor Turbokupplung als Anfahrhilfe. Anwendung. Zur Schrg- und Senkrechtfrderung (ab etwa 50) auf Hhen bis 60 m (max. bis 120 m), Frdergutstrom bis 400 kg/s. Gurtbecherwerke fr Getreide und andere leichte Schttgter. Kettenbecherwerke in Kies-, Kohle-, ErzAufbereitungsanlagen, in der Industrie der Steine und Erden; als Bestandteil von Eimerketten-Naßbaggern. Frdergutstrom. Er ergibt sich aus dem Becherinhalt ( Wasserinhalt) V, dem Fllungsgrad j, der Schttdichte r, der Frdergeschwindigkeit u und dem Becherabstand a zu V_ ¼ ðVj uÞ=a; m_ ¼ ðVj r uÞ=a; 3
ð11Þ 3
z. B. mit V in m , u in m/s, a in m und r in kg/m . Fllungsgrad j ¼ 0;6 . . . 0;8 bei kleinstckigem, 0;4 . . . 0;5 bei grobstckigem Schttgut; auch bei grßeren Frdergeschwindigkeiten kleinere Fllungsgrade.
PR ¼ Hg f ½m_ þ ð2 m0B þ 2FTV =HgÞ u;
ð12Þ
mit H Frderhhe, f Gesamtverlustbeiwert (abhngig von Vorspannkraft FTV; f = 0,07 bei kleiner, 0,03 bei großer Vorspannkraft), m B0 Masse eines leeren Becherstrangs pro Lngeneinheit. FTV Vorspannkraft je Becherstrang (herrhrend von Spanngewicht, Spannspindeln oder sonstigen Spanneinrichtungen, einschließlich Gewichtskraft der unteren Umlenktrommel). Der bei Gurtbecherwerken auftretende Umlenkwiderstand beim Biegen des Gurts um die Trommeln sowie der Trommellagerwiderstand knnen vernachlssigt werden. Die bei Becherwerken erforderliche Schpfleistung PS kann mit Hilfe der Diagramme Bild 26 und Bild 27 (aus [30]) ermittelt werden: Bild 26 zeigt die spezifische Schpfarbeit in Abhngigkeit von der Bechergeschwindigkeit u in m/s fr verschiedene Materialien. Die Kurven wurden experimentell an einem Becherwerk mit 400 mm Becherbreite, einer Becherausladung l von 0,224 m bei einer Becherfolge von mehreren Sekunden gewonnen. Bei anderer Becherausladung und anderen zeitlichen Becherfolgen sind die Diagrammwerte mit einem Minderungsfaktor K zu multiplizieren, der in Bild 27 ber der „relativen zeitlichen Becherfolge“ aufgetragen ist; diese betrgt nach der Zahlenwertgleichung: tF ¼ 0;224 a=ðl uÞ, wobei a in m der Becherabstand und l in m die Becherausladung sind. Fr einen Frdergutstrom m_ in kg/s wird mit den Diagrammwerten AS in Nm/kg und K die Schpfleistung in W
PS ¼ KAS m_ :
ð13Þ
Die Motorleistung PMot ergibt sich aus PU durch Division durch den Getriebewirkungsgrad ha 0,90 und gegebenenfalls den der Turbokupplung hT 0,97. Die grßte Zugkraft im Ketten- oder Gurtstrang fr den Beharrungszustand folgt aus der Umfangskraft an Antriebsrdern (an der Antriebstrommel) und der Becherstrangmasse zu FT 1 ¼ PU =u þ m0B gH þ FTV :
ð14Þ
Bei schnellaufenden Becherwerken ist zu beachten, daß der Anteil der Zugkraft, der durch den Schpfwiderstand verursacht wird, beim Schpfen von Null ber einen Mittelwert FS bis zu einem Wert von 2FS etwa geradlinig ansteigt und eben-
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Bild 26. Spez. Schpfarbeit AS als Funktion der Bechergeschwindigkeit u fr verschiedene Frdergter [30]
I3.3 Stetigfrderer, Zug- und Tragorgan getrennt
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Bild 27. Minderfaktor K in Abhngigkeit von der relativen zeitlichen Becherfolge tF [30] Bild 28 a–c. Kreisfrderer. a Laufrollenpaar mit Steck-Kette auf I-Laufbahn; b Winkelschienen-Laufbahn; c Kastenprofil-Laufbahn
so wieder auf Null abfllt. Der Hchstwert FS max ist aus der Schpfleistung zu ermitteln FS max ¼ 2FS ¼ 2 PS =u: Die hchste Zugkraft whrend des Anfahrens kann durch eine Turbokupplung zwischen Motor und Getriebe auf das 1,5fache der Kraft im Beharrungszustand begrenzt werden. Pendelbecherwerke. Die gegossenen, meist aber aus Stahlblech geschweißten Becher (30 bis 300 l) sind in gleichen Abstnden an Achsen pendelnd zwischen zwei mit Laufrollen versehenen endlosen Laschen-Kettenstrngen aufgehngt. Kettengeschwindigkeit 0,25 bis 0,5 m/s. Beschicken durch vom Becherstrang selbst gettigte Flleinrichtungen z. B. Flltrommel mit Schlitzen, deren Entfernung voneinander dem Becherabstand entspricht). Schttgutabgabe durch Kippen der Becher um etwa 90. Die Becherstirnwnde tragen hierfr Rollen oder Nocken, die gegen ein- und ausrckbare Kurvenbahnen der ortsfesten oder verschiebbaren Kippvorrichtung fahren. Fhrung des Becherstrangs waagerecht, schrg, senkrecht; auch raumbewegliche Ausbildung mglich. Als Zugmittel dienen meist zweistrngige Frderketten (z. B. DIN 8165, mit Rollen DIN 8166); die Becher werden mittels Flanschlagern an den Kettenachsen aufgehngt. Anwendung fr Bunkerbekohlung und Aschetransport in kleineren Kraft- und Gaswerken, aber auch fr andere Schttgter, wenn Frderweg von der Horizontalen in die Vertikale abgelenkt werden muß und Abgabeort wechselt. Kreisfrderer An Laufrollenpaaren (einem oder zwei), die durch eine offene oder geschlossene Laufbahn gefhrt werden, sind angepaßte Tragglieder angeordnet, z. B. ein- oder mehrstckige Plattformen, Gestelle, Gabeln, Bgel, Haken, Mulden, Behlter. Sie sind durch eine endlose Kette verbunden, die ber ein Kettenrad angetrieben wird (bei lngeren Strecken mehrmals auch durch Mitnehmerketten): Ab- und Umlenkung durch Kettenrder, Scheiben oder Rollenbatterien; Spannvorrichtung erforderlich. Beliebige Streckenfhrung mit raumbeweglicher Kette, Aufnahme und Abgabe des Frderguts von Hand oder selbstttig. Vorwahl der Abgabestellen durch rechnergesttzte Zielsteuerungen. Laufbahnen und -rollen. I-Schiene fr Einschienen-Kreisfrderer (Bild 28 a). Winkelstahlschienen fr Zweischienen-
Kreisfrderer (Bild 28 b); Rohr mit Schlitz (Tubusfrderer, Stotz AG, Stuttgart-Kornwestheim); Kastenprofil (Bild 28 c). Die Rollen (glatt oder mit Bund) laufen auf Wlz- oder Gleitlagern, DIN 8166. Zugmittel. Die Ketten, raumbewegliche Rundstahlketten DIN 762, Stahlbolzenketten, Frderketten DIN 8165 (ntigenfalls mit Kardangelenk), im Gesenk geschmiedete, zerlegbare Steck-Ketten (Bild 28 a) greifen an einem einfachen oder doppelten Zugbgel des Laufrollenpaars unterhalb der Laufbahn an. Am Zugbgel ist auch das Gehnge beweglich befestigt. Bei rohrfrmiger Laufbahn Kettenangriff auch in Mitte Laufrollenachse; dann Rollenpaare abwechselnd mit um 90 versetzten Achsen an Kardankette befestigt. Drahtseile als Zugmittel selten. Antrieb und Umlenkung. Antriebsort gnstig hinter Strekken großen Bewegungswiderstands, z. B. hinter Steigungen und nach Gutabgabe. Antriebskettenrad in waagerechter Kurve; Mitnehmerkettenantrieb auf waagerechter gerader Strekke; Antriebs- und Umlenkkettenrder der Kettenart angepaßt; Kettenumlenkung in waagerechter Ebene auch durch Rollenkurven. Kettenspannung mittels Spindel- oder Gewichtsspannvorrichtung, die an verschiebbarer 180-Umlenkung angreift. Umlenken des Frderstrangs in senkrechter Ebene (Vertikalbgen) durch Fhren der Rollenpaare in entsprechender Laufbahnkrmmung. Kettengeschwindigkeit u bis 0,4 m/s; oft stufenlos regelbar. Frdergutstrom m_ ¼ ðm uÞ=a; m Gutmasse in kg je Tragglied, a in m Abstand der Glieder. Zur Berechnung des Leistungsbedarfs und der Kettenzugkraft aus den Einzelwiderstnden (Fahrwiderstand, Widerstand an Umlenkrdern, Rollenkurven, Vertikalbgen, Steigungswiderstand) vgl. [31]. Anwendung. Als Zubringer und Verbindungsmittel fr Arbeitspltze in Werksttten (z. B. Montagestraßen), Abteilungen, Stockwerken; zum Fhren von Einzelteilen durch Behandlungsanlagen (Bder, Spritzkammern, Trockenrume); als bewegliches Zwischenlager, insbesondere wenn Gehnge, die dann eigene Rollwagen besitzen, vom Frderstrang getrennt und auf Ausweichgleise geleitet werden knnen (Power and Free-System). Als Sortiereinrichtungen mit Einschleusbndern und Ausschleuseinrichtungen (Bild 29) in Warenverteilzentren und in der Fluggepckdistribution. Rechnergesttzte Steuerung der gezielten Ein- und Ausschleusung durch automatisch lesbare
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Frdertechnik – 3 Stetigfrderer
Bild 29. Kippschalen-Sortierfrderer (Beumer, Beckum). 1 Taktband, 2 Beschleunigungsband, 3 Einschleusband, 4 Dreh-Kippelement mit Schale, 5 Rutsche zur Endstelle, 6 Dreh-Kippelement mit Schale (gekippt)
Bild 30. Kippschalen-Sortierfrderer (Beumer, Beckum). 1 Schale frdernd, 2 Schale gekippt zum Ausschleusen des Stckguts, 3 DrehKippelement, 4 Rutsche zur Endstelle, 5 Kettenlaufgerst, 6 Kettenlaufrollen, 7 Gerst
Zielcodierungen. Ausschleusung des Stckguts von der frdernden Schale durch gefhrtes Kippen (Bild 30). Frdergeschwindigkeit bis 2 m/s, abhngig von dem zu frdernden Gut. Kratzerfrderer
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In waagerechter oder wenig geneigter feststehender Holzoder Stahlblechrinne schieben Kratzerbleche oder -stege, die an Ein- oder Doppelstrangkette befestigt sind, kleine Schttguthaufen vor sich her. Sttzung der Kratzer durch mitlaufende Rollen; Rckfhrung des Leertrums ober- oder unterhalb des Frdertrogs. Zum Erzielen niedriger Bauhhe fr Bunkerabzug; Gleitsttzung von Ketten und Stegen (Bild 31). Trotz einfacher Bauweise und hohen Leistungsbedarfs Anwendung als Bunkeraustragsorgan (z. B. fr aggressive Schttgter). Untertageausfhrung ist hufigstes Strebfrdermittel im Steinkohlenbergbau. Kratzerfrderer fr den Bergbau werden aus 1,5 m langen Rinnenschssen zusammengesetzt, deren Verbindung eine geringe Ablenkbarkeit in der Waagerechten und Senkrechten gestattet. Zugmittel: hochfeste Rundstahlketten DIN 22 252. Hufigste Bauart heute im Steinkohlenbergbau unter Tage mit Doppelmittelkette. Antrieb vom Elektromotor (mit Flssigkeits- oder mechanischer Anlaufkupplung) ber Untersetzungsgetriebe auf Kettensternrder. Frdergeschwindigkeit 0,6 bis 0,9 m/s. Kohlenstrom je nach Frderergrße 25 bis
Bild 31. Rinnen- und Kettenausfhrung eines Doppelketten-Kratzerfrderers zum Bunkeraustrag (Aumund, Rheinberg). 1 Frderndes Trum, 2 Rcklaufendes Trum, 3 Bunkerinhalt, 4 Rundstahlkette, 5 Mitnehmer
85 kg/s. Frderlnge bis 200 m (mit Kopf- und Schlußantrieb). Rinnenkonstruktion gestattet, Gewinnungsmaschine (Schrmmaschine, Kohlenhobel) zu tragen und zu fhren. Trogkettenfrderer Im Gegensatz zum Kratzerfrderer wird hier eine Einstrangoder Zweistrangkette mit eng aufeinanderfolgenden Mitnehmern in einem geschlossenen Trog mit mßiger Geschwindigkeit ( 0,3 m/s) vorwrtsbewegt. An der Aufgabestelle fllt das Frdergut (feinkrniges Gut oder Grobgut mit Feingut gemischt) auf das frdernde Kettentrum und wird zunchst durch die Querstege und dann durch die bereits in Bewegung befindliche Gutschicht mitgenommen. Die Bewegung der unteren Gutschichten wird bis zu einer bestimmten, sich selbst einstellenden Hhe auf die oberen bertragen, so daß das gesamte Frdergut zusammen mit der Kette einen mit gleichmßiger Geschwindigkeit dahingleitenden Krper bildet. Frderung waagerecht und leicht geneigt (Bild 32); bei Vertikal-
Bild 32. Waagerechter Trogkettenfrderer mit Zweistrangkette. 1 Spannstelle, 2 Guteinlauf, 3 Antriebsstelle, 4 Gutauslauf
I3.3 Stetigfrderer, Zug- und Tragorgan getrennt
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Bild 34. Schneckenfrderer mit Vollschnecke. 1 Antriebslager (fr Radial- und Axiallast), 2 Zwischenlager (pendelnd), 3 Endlager (fr Radiallast) Bild 33 a–c. Kettenformen fr Trogkettenfrderer. a Einstrang-Gabelkette; b Zweistrang-Blockkette; c Kette Bauart Redler
Tabelle 6. Hauptdaten von Vollschnecken (DIN 15 262)
kurven und Senkrecht-Frderung: besondere Ketten- und Trogausbildung. Mehrfach Auf- und Abgabe mglich. Kettenformen. Fr waagerechte und leicht geneigte Frderung (Bild 33 a, b); die U-frmige Ausbildung der Mitnehmer Bild 33 c ist auch fr senkrechte Linienfhrung geeignet. Antrieb und Umkehre ber Kettenrder oder -sterne. Kettenspannung an Umkehre mit ungefederter oder gefederter Spindelspannvorrichtung. Berechnungsgrundlagen. Der Frdergutstrom V_ ergibt sich aus dem gefllten Frdererquerschnitt b h0 abzglich der durch die Kette in Anspruch genommenen Flche m K0 =rK (m K0 Kettenmasse je Lngeneinheit, rK spez. Masse der Kette) und der Gutgeschwindigkeit (u Kettengeschwindigkeit, c Minderungsfaktor fr Zurckbleiben des Guts gegenber Kette: 0,6 bis 0,9 fr fein- bis grobkrniges Gut und waagerechte oder wenig geneigte Frderung, 0,5 bis 0,7 fr steiles oder senkrechtes Frdern) zu V_ ¼ c uðb h0 m0K =rK Þ und mit der Schttdichte r der Massenstrom (s. Gl. (1)), z. B. mit V_ in m3/s, m K0 in kg/m, rK in kg/m3, u in m/s, r in kg/m3, b und h0 in m. Zum Zusammenhang zwischen Schttguthhe (ber Mitnehmer), Kettenteilung und Trogbreite bei verschiedenen Schttguteigenschaften und waagerechter sowie leicht geneigter Frderung vgl. [32]. Leistungsbedarf. An Antriebswelle angenhert mit Gesamtverlustbeiwert f1 (0,75 bis 0,6 bei staubfrmigem bis grberem Gut; Kette gleitet auf dnner Gutschicht): PU ¼ L f1 gðm_ þ 2 m0K uÞ þ m_ gH; worin L Frderlnge und H Frderhhe in m, m_ in kg/s, m K0 in kg/m einzusetzen sind, um P in W zu erhalten. Anwendung. Fr Mehl, Zucker, Zement, Brikettierkohle, lsaaten, Getreide, Chemikalien, jedoch nicht fr klebriges, backendes und stark schleißendes Gut; Transport auf kurze und mittlere Entfernung, Silobeschickung und -abzug, Schiffsentladung. Den Vorteilen schonender Gutbehandlung und staubdichter Frderung bei geringem Platzbedarf stehen Ketten- und Trogverschleiß nachteilig gegenber. 3.3.2 Schneckenfrderer. Screw conveyors Frderndes Element ist eine Schraubenflche aus Blech oder Bandstahl (selten Guß), die um ihre Achse gedreht wird und das Frdergut in einem Trog oder Rohr vorwrtsschiebt [33]. Schneckenfrderer mit umlaufender Welle Gelochte und lngs eines Radius aufgeschnittene Blechronden sind zu einem Schneckengang gepreßt und untereinander und mit einer Rohrwelle (seltener Vollwelle) verschweißt. Vollschnecke (Bild 34); Herstellung der Schraubenflche auch durch Walzen. Bei der Bandschnecke (fr stckiges Gut)
sttzt sich eine Wendel aus Flachstahl mit Armen gegen die Schneckenwelle ab. Besondere Misch- und Rhrwirkung durch einzeln auf die Welle aufgesetzte einstellbare Paletten, von denen jede den Teil einer Voll- oder Bandschnecke bildet: Rhrschnecke. In die Rohrwelle werden Antriebs- und Endlagerzapfen eingenietet; Lngen ber 2,5 bis 3,5 m erfordern Zwischenlagerzapfen oder Flanschkuppelstcke; die zugehrigen am Trog aufgehngten Lager bedingen Unterbrechung der Schraubenflche. Der Stahlblechtrog soll mit seiner Rundung eng an die Schraubenflche anschließen (sonst erhhter Abrieb und Zermahlen) und hat gewhnlich gerade Seitenwnde, die auf Abkantung oder Saumwinkel den Trogdeckel tragen. Verwendung von Gleit- oder Wlzlagern, wobei ein Lager auch Axialschub aufnehmen muß, der entgegen Frderrichtung wirkt: Anordnung so, daß Schneckenwelle auf Zug beansprucht. Welle vor Endlager an Trog-Stirnwand durch Stopfbuchse gedichtet, whrend Antriebslager meist als Flanschlager ausgebildet ist. Antrieb durch Elektromotor ber Vorgelege; heute hufig Getriebemotor. Abmessungen (Tab. 6) und Berechnungsgrundstze nach DIN 15 261 und 15 262. Mit Schneckendurchmesser D, Ganghhe S, Drehzahl n, Schttdichte des Frderguts r und Fllungsgrad j (von 0,15 bei schwerem, stark schleißendem Frdergut bis 0,45 bei leichten, gut fließenden, nicht schleißenden Gtern) wird der Frdergutstrom V_ bzw. m_ beim waagerechten und leicht geneigten (bis d = bdyn , dem dynamischen Bschungswinkel des Frderguts) Schneckenfrderer mit Vollschnecke V_ ¼ j p D2 Sn=4 bzw: m_ ¼ rV_ :
ð15Þ
Die Antriebsleistung PU an der Schneckenwelle besteht aus einem Anteil PR zur berwindung der Reibungswiderstnde (Verschiebewiderstandsbeiwert l zwischen 4 und 2, vgl. Tab. 2 in DIN 15 262) und der Hubleistung PH . Sie ergibt sich zu PU ¼ PR þ PH ¼ Lgl m_ cos d þ m_ gH:
ð16Þ
Steile und senkrechte Frderung mit Vollschnecken in Rohrtrog bei hoher Drehzahl mglich; hierfr gelten andere Berechnungsgrundlagen [34]. Anwendung. Schneckenfrderer mit umlaufender Welle fr staubfrmige, feinkrnige bis stckige Frdergter ber verhltnismßig kurze Entfernungen (selten ber 40 m), vielfach als Zubringer oder Zwischenfrderer; Verbindung von Frder- und Mischvorgang. Schneckenrohrfrderer Andere seltenere Ausfhrungsform des Schneckenfrderers. In dem auf Rollen gesttzten, umlaufenden Rohr, meist gro-
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Frdertechnik – 3 Stetigfrderer
ßen Durchmessers, ist ein Schraubengang aus Flachstahl innen angeschweißt. Ganghhe S gegenber Rohrdurchmesser D klein (S/D 0,5), ebenso Drehzahl, um Gutumlauf mit Rohr zu vermeiden; auch Fllungsgrad sinkt gegenber Schneckenfrderer auf etwa die Hlfte. Dagegen gute Mischwirkung; außerdem einfache Heiz- und Khlmglichkeit fr das Gut whrend des Frdervorgangs.
3.4 Stetigfrderer ohne Zugorgan, mit Energiezufuhr (Schwingfrderer) Vibrating conveyors Frderprinzip. Die trog- oder rohrfrmige Rinne wird durch schnelle Schwingungen mit kleiner Amplitude vor-aufwrts und zurck-abwrts bewegt. Hin- und Rckgang der schrg gerichteten, im Idealfall sinusfrmigen Schwingbewegung haben gleiche Zeitdauer. Das in der Rinne liegende Schttgut wird hierdurch in eine fließende Bewegung versetzt. Den Gutteilchen kann eine Mikro-Wurfbewegung zugeordnet werden (Bild 35), sie werden zunchst im Kontakt mit der Rinne bewegt und lsen sich, wenn die Vertikalbeschleunigung die Fallbeschleunigung berwindet.
Bild 35. Schematische Darstellung der Mikro-Wurfbewegung bei Schwingrinnen. f Frequenz, r Amplitude, t Zeit, ts Ablsezeitpunkt, ta Aufschlagzeitpunkt, sR Rinnenweg, sG Gutweg, b Anstellwinkel blich 25 bis 30
Rinnen- und Gutbewegung [35, 36]. Mit den in Bild 35 angegebenen Bezeichnungen wird bei sinusfrmigem Schwingungsverlauf der Rinnenweg sR ¼ r½1 cosð2 p f tÞ und daraus (nach zweimaliger Differentiation) die Rinnenbeschleunigung €sR ¼ 4 p2 f 2 r cosð2 p f tÞ: Maßgebend fr den Mikrowurf ist die Vertikalkomponente der Rinnenbeschleunigung €yR ¼ €sR sin b ¼ 4 p2 f 2 r cosð2 p f tÞ sin b:
Bild 36. Diagramm zur Ermittlung des Faktors n
Kennzeichnend fr die Gutbewegung ist das Verhltnis G der maximalen Vertikalbeschleunigung ðcosð2 p f tÞ ¼ 1Þ zur Fallbeschleunigung g, die Wurfkennziffer G ¼ ð4p2 f 2 r sin bÞ=g
ð17Þ
(G % 1 keine Wurfbewegung, G>1 Wurfbewegung (Schwingrinne)). Die Frdergeschwindigkeit vtheor des Guts ergibt sich aus der mittleren horizontalen Rinnengeschwindigkeit whrend der Haftzeit ta bis ts und der horizontalen Gutgeschwindigkeit whrend der Wurfzeit ts bis ta zu vtheor = ( gn2cot b)/2 f. Der Faktor n bedeutet den Anteil der Wurfzeit an der gesamten Periodendauer T = 1/f, also n = (ta ts)/T und ist mit dem Kennwert G verknpft durch s ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi cos 2 p n þ 2 p2 n2 1 2 þ1: G¼ 2 p n sinð2 p nÞ
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Diese implizite Funktion ist fr die Berechnung von vtheor in Bild 36 graphisch dargestellt, so daß zu der aus den gewhlten Schwingrinnendaten f, r und b berechneten Wurfkennziffer G die Grße n daraus entnommen werden kann. Die Geschwindigkeitsformel gilt fr den Bereich: 0 % n % 1, entsprechend: 1 % G % 3,3, d. h. bis zu einer Wurfzeit von einer Periodendauer. Die so errechnete theoretische Frdergeschwindigkeit stimmt mit der praktisch auftretenden bei krnigem Schttgut und geringer Schtthhe gut berein; bei normaler Schtthhe wirkliche Frdergeschwindigkeit 10 bis 20 % kleiner. Diese Minderung wird bedingt durch die Rckwirkung der Schttguteigenschaften, wie Korngrße, Schttdichte, Schtthhe auf der Rinne. Mit der Querschnittsflche A und der Schttdichte r des Frderguts wird der Frdergutstrom m_ ¼ A u r. Werte fr Frequenz und Amplitude sind durch die auftretenden Massenkrfte begrenzt. Grßte Massenkraft (bei leerer Rinne) mit m als Masse der Rinne
Bild 37. Anstellwinkel b zur Erzielung einer hohen Frdergeschwindigkeit als Funktion der Maschinenkennziffer K sowie die zugehrige Wurfkennziffer G
Fmax ¼ m€sR max ¼ mð4 p2 f 2 rÞ; 2
ð18Þ 3
z. B. mit F in N, A in m , u in m/s, r in kg/m , r in m, f in 1/s, m in kg. Verhltnis Fmax =mg ¼ K ¼ 4 p2 f 2 r=g; K heißt Maschinenkennziffer und gilt als Maß fr die Beanspruchung der Rinnenteile; normale Schwingrinne K = 3 bis 10 meist % 5 (mit b = 30 wird hierfr G = K sin b = 2,5). Masse des Frderguts wird durch Erhhung von m um bis 20 % bercksichtigt (Ankopplungsfaktor bis 0,2) [37, 38]. Bild 37 gibt den optimalen Anstellwinkel b zur Erzielung einer hohen Frdergeschwindigkeit als Funktion der Maschinenkennziffer K an sowie die zugehrige Wurfkennziffer G. Antriebsarten [39] (s. G 10). Zwanglaufantrieb durch Kurbeltrieb mit kleinem Schubstangenverhltnis ðl ¼ r=l ¼ 0;1 . . . 0;01Þ, Amplituden von 15 bis 3 mm, dazu Frequenzen f von 5 bis 25 Hz. Sttzung der Rinne auf Lenkern
I3.5 Stetigfrderer ohne Zugorgan und ohne Energiezufuhr (Schwerkraftfrderer)
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(Rinne oder Auskleidung aus nicht rostendem Stahl, Gummi, Kunststoff), auf kurze Entfernungen bis 30 m mit einer Einheit; grßere Frderstrecken durch Aneinanderreihen mehrerer Einzelrinnen; waagerecht und leicht geneigt. Frdergutstrom bis 250 kg/s; als Bunkerabzugsrinnen, Aufgabeund Dosierrinnen, Schttelsiebe. Das Frderverfahren ergibt geringen Rinnenverschleiß und Leistungsbedarf.
3.5 Stetigfrderer ohne Zugorgan und ohne Energiezufuhr (Schwerkraftfrderer) Gravity conveyors 3.5.1 Rutschen. Chutes
Bild 38 a–c. Schwingrinnenantriebe. a Schubkurbelantrieb, 1 Speicherfeder, 2 Koppelfeder; b Wuchtmassenantrieb, federnd aufgehngt; c elektromagnetischer Vibrator
oder Blattfedern aus Stahl. Zustzliche Federelemente (Stahl oder Gummi), damit Eigenfrequenz des Systems nahe der Betriebsfrequenz, um Kraftbedarf zum Aufrechterhalten der Schwingung klein zu halten (Betriebsfrequenz 10 % kleiner als Resonanzfrequenz) (Bild 38 a). Erreichbare Frdergeschwindigkeit 0,4 m/s. Wuchtmassenantrieb mittels zweier um 180 versetzter, gegenlufiger, gleich großer Unwuchtmassen. Zum Antrieb verwendete gleiche Drehstrom-Asynchronmotoren laufen selbstttig synchron, wenn sie auf einer gemeinsamen, beweglichen Plattform befestigt sind. Blatt- oder Schraubenfedersttzung der Rinne, auch Gummifedersttzung oder gefederte Aufhngung der Rinne; Amplituden 5 bis 0,5 mm; Frequenz 15 bis 30 Hz (kleinere Ausfhrungen bis 50 Hz) (Bild 38 b). Frdergeschwindigkeit bis 0,25 m/s. Werden die Unwuchtmotoren nicht starr mit der Rinne verbunden, sondern ber Federn mit stark progressiver Kennlinie an die Rinne angeschlossen, so entsteht ein Zwei-MassenSchwingsystem, das in der Nhe der Resonanz betrieben werden kann. Durch Schlupfregelung der Motoren ber Drehstrom-Stelltransformatoren oder Thyristoren ist eine einfache Regelung der Schwingweite und damit des Frdergutstroms whrend des Betriebs mglich. Antrieb durch elektromagnetischen Vibrator (Bild 38 c). Der Anker eines Elektromagneten ist mit der Rinne fest verbunden, whrend der mit einer Freimasse versehene Spulenkrper ber vorgespannte Druckfedern mit der Nutzmasse (Anker, Rinne, Schttgut) gekoppelt ist. Da die elektromagnetische Kraft dem Quadrat des Stroms proportional ist, erzeugt eine angelegte Wechselspannung von 50 Hz eine Rinnenfrequenz von 100 Hz, mit der kleinere Rinnen betrieben werden. Die grßeren Ausfhrungen werden ber Einweggleichrichter angeschlossen, so daß die Rinne mit 50 Hz schwingt. Amplituden von 0,05 bis 1 mm. Einfache nderung der Amplitude und damit der Frdergeschwindigkeit, auch whrend des Betriebs, mittels vorgeschalteten Spannungsreglers. Frdergeschwindigkeit bis 0,12 m/s. Zur Erzielung grßerer Frdergeschwindigkeiten, leiseren Laufs und kleinerer dynamischer Krfte Betrieb auch mit 25 Hz; Anschluß an das bliche Netz von 220 V/50 Hz ber Thyristor-Gerte. Anwendung. Zur Frderung stckiger, grob-feinkrniger Schttgter, auch wenn mechanisch oder chemisch aggressiv
Offene oder geschlossene Rinnen (Rutschen, Schurren, Rohre) frdern in gerader oder gekrmmter Ein- oder Mehrwegbahn Schttgut oder Stckgter geneigt oder senkrecht abwrts. Erforderliches Geflle d grßer als Reibungswinkel rr der Ruhe zwischen Rutsche und Gut ðtan rr ¼ mr Þ. Praktisch angewendete Geflle fr gerade Stahlblech-Rutschen: Getreide 30 bis 35, Scke 25 bis 30, Kohle je nach Stckigkeit 30 bis 40, Erze 45, Salze 50, staubfrmige Gter 60. Die Austrittsgeschwindigkeit aus der Rutsche (Anfangsgeschwindigkeit gleich Null) bei Hhenunterschied h, Rutschenneigung d und Gleitreibungsbeiwert mgl zwischen Rutsche und Gut wird qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi va ¼ 2ghð1 mgl cot dÞ: Bei Kurven- und Wendelrutschen wird als Weg des Schwerpunkts der Frdergutstcke eine Schraubenlinie vorgesehen. Rutschenboden dabei in Kreis-, Ellipsen- oder Parabelform [40]. Offene Wendelrutschen mit Mittelsule fr Pakete und Scke; geschlossene, in Rohrschssen von 850 bis 1 450 mm Durchmesser eingebaute Wendeln fr Abwrtsfrderung von Kohlen und Bergen unter Tage (1,5 m/s, bis 100 kg/s Kohle bei 1 250 mm Wendelaußendurchmesser). Teleskop-Fallrohre zum Niedertragen von Schttgut (auf Lagerpltze, in Schiffe). 3.5.2 Rollenbahnen. Roller conveyors In Flach- oder Winkelstahlrahmen sind eng aufeinander folgend Tragrollen mit fester Achse angeordnet. Notwendiges Geflle bei kugelgelagerten Rollen 2 bis 5 %. Die Rahmen von 1 bis 3 m Lnge, auf hhenverstellbaren Bcken oder fest gesttzt, werden zur Bahn zusammengesetzt. Kurvenweichen, Drehscheiben- und aufklappbare Durchgangsstcke, Senkrecht-Abwrtsfrdern mit Wendelrollenbahn. Kurvenstcke knnen zwar mit zylindrischen Rollen in radialer Anordnung gebildet werden, ergeben aber teilweises Gleiten des Stckguts, das verringert wird durch Unterteilen der zylindrischen Rollen oder Verwenden kegeliger Tragrollen. Bei lngeren Frderstrecken Wiederanheben des Stckguts durch angetriebene Rollen (Kettentrieb). Leichte Rollenbahnbauart: Scheibenrollen- oder Rllchenbahnen. Sie bestehen aus kugelgelagerten Scheibenrollen, die auf dnnen, im Rahmen eingespannten Achsen laufen. Kugeltische zum leichten Verschieben von Stckgut von Hand in waagerechter Ebene. Kugeln sitzen in Kugeltpfen, auf kleinen Kugeln gesttzt. Vielseitige Anwendung fr Stckgut mit ebener Bodenflche, z. B. Pakete und Kisten beim Warenumschlag und in Lagern. In Werksttten, insbesondere Gießereien, fr Werkstcktransport.
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Frdertechnik – 3 Stetigfrderer
3.6 Strmungsfrderer Fluid operated conveyors 3.6.1 Frderung im Luftstrom. Pneumatic conveyors Fr den pneumatischen Transport der Gutteilchen von einer Einfhrungs- zu einer Austragstelle ist in der Frderrohrleitung eine Mindestluftgeschwindigkeit erforderlich. Je nach Erzeugung des tragenden Luftstroms zwei Frderarten: Frderung im Saugluftstrom: Geblse am Ende der Frderstrekke; Frderung von mehreren Aufnahmestellen nach Sammelstelle. Frderung im Druckluftstrom: Drucklufteinfhrung am Anfang der Frderstrecke; Frderung von einer Aufgabestelle nach mehreren Verteilerstellen. Saug- und Druckanlagen auch hintereinander schaltbar (Sonderflle). Beide Verfahren fr staubfrmige, krnige, kleinstckige Schttgter geeignet. Neben der pneumatischen Flugfrderung (Dnnstromfrderung) erlangt die pneumatische Dichtstromfrderung zunehmende Bedeutung. Saugluft-Frderanlagen Bild 39. Aufnahme des Frderguts durch Saugdse 1; Weiterfhrung in Rohrleitung 2 (flexible Zwischenstcke, Gelenke) zum Abscheider 3. Dort fllt das Frdergut infolge Richtungsnderung der Luftstrmung und erheblicher Querschnittsvergrßerung (Verringerung der Luftgeschwindigkeit) aus. Ausschleusen des Frderguts mittels Zellenrads (ohne Frderunterbrechnung). Reinigen der Trgerluft in Trocken-Staubabscheider 4 (3 und 4 auch in einem Rezipienten vereinigt). Erzeugen des Saugluftstroms durch Vakuum-Kolbenpumpe 5 (0,2 bis 0,5 bar Unterdruck). Anlagen ortsfest, verfahrbar, schwimmend.
Statt der Luftpumpe mit Scheibenkolben werden verwendet: Drehkolbenpumpen (Rotationsgeblse), Wasserringpumpen (unempfindlich gegen Staub, aber nur fr kleinere Leistungen), Zentrifugalventilatoren; letztere dort, wo Frdergut durch Luftstromerzeuger hindurchtritt (z. B. Spneabsauganlage). Fr mehr oder minder gute Frderbarkeit eines Schttguts im Luftstrom ist dessen Schwebegeschwindigkeit maßgebend, worunter die Luftgeschwindigkeit verstanden wird, bei der die Teilchen im senkrechten Luftstrom gerade in Schwebe gehalten werden (abhngig von Teilchenform und -grße, Dichte von Teilchen und Luft). Die fr den Frdervorgang notwendige Luftgeschwindigkeit ist wesentlich grßer (20 bis 40 m/s). Der Energiebedarf ist hoch; er betrgt z. B. bei einem aus dem Vollen ansaugenden Getreideheber der 40 t/h durch ein Rohr von 120 mm Durchmesser auf 20 bis 25 m Hhe frdert (geringe waagerechte Frderstrecke) etwa 1 kWh/t an der Pumpenantriebswelle. Anwendung daher nur, wenn Vorteile des Verfahrens: große Anpassungsfhigkeit, bequeme Verlegung und geringer Raumbedarf der Rohrleitung, ruhiges staubfreies Arbeiten, Durchlftung (Getreide) und Khlung
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Bild 40 a, b. Aufgabevorrichtung fr Druckluftfrderanlagen. a Diffusor-Aufgabe; b Preßschnecke und Zellenradaufgeber
des Frderguts (chemische Erzeugnisse), Wegfall von Trimmarbeit (Aufnahme von Restmengen mglich) berwiegen. berbrckbare Frderstrecke bis 300 m; erreichbare Frderhhe 25 m; Frdergutstrom bei großen Getreidehebern 150 (bis 500) t/h je Einheit. Druckluft-Frderanlagen An der Aufgabestelle wird das Frdergut einem Geblse- oder Druckluftstrom zugegeben. Abschluß gegen Außenluft durch Frdergut selbst (Bild 40 a) bzw. durch Zellenrad; bei staubfrmigem Gut unter Zwischenschalten einer raschlaufenden Preßschnecke (Bild 40 b). Gutzufuhr auch durch Mehrkammer-Schleusensystem. Abgabe aus der Frderleitung in Abscheider, die unten mit Gutaustrittsstutzen, oben mit Abluftffnung versehen sind. Drucklufterzeuger. Geblse bis 0,03 bar (Exhaustoren fr Getreidefrderung auf Entfernungen bis 100 m); Drehkolbenverdichter 1,3 bis 1,8 bar (fr normale Druckluftfrderanlagen bis 100 t/h ber Entfernungen bis 500 m); bei staubfrmigem Gut und Preßschnecke: Preßluftdruck von 1,5 bis 4 bar je nach Entfernung (bis 1 500 m, bis 100 t/h); Entnahme aus Preßluftnetz, 5,5 bis 7 bar, unter Drosselung auf 3,5 bis 4,5 bar fr Blasversatzanlagen. Anwendung. Innerhalb von Getreidesilos; in Zementfabriken, in Kraftwerken fr Kohlenstaubtransport, in chemischen Fabriken. Unter Tage fr Blasversatz. Rohrleitungen, insbesondere Krmmer, unterliegen starkem Verschleiß. Hoher Energieverbrauch. Pneumatische Frderrinne. Pulvriges oder feingrießiges Frdergut wird durch Zufuhr von Geblseluft oder Inertgas durch porsen, schwach geneigten Rinnenboden zum Fließen gebracht. Rinnenneigung 2 bis 4 %; Luftdruck 0,01 bis 0,03 bar; Frdergutstrom 15 bis 100 t/h bei 125 bis 500 mm Rinnenbreite. 3.6.2 Frderung im Wasserstrom. Hydraulic conveyors
Bild 39. Schema einer Saugluftfrderanlage (Erluterungen im Text)
Das Frdergut wird in offenen geneigten Rinnen in Wasser vorwrtsbewegt: Splverfahren; in geschlossener Rohrleitung beliebiger Streckenfhrung durch Druckwasser getragen und gefrdert: Druckwasserfrderung; mit dem Saugrohr einer Pumpe aufgenommen und durch das Druckrohr weitergeleitet: kombinierte Saug- und Druckwasserfrderung. Die hydraulische Frderung von Erzen, Kohle und anderen Feststoffen wird auch ber grßere Entfernungen eingesetzt [41, 42, 44].
I4.2 Motorisch angetriebene Stckgutfrderer Druckwasserfrderung von feiner bis kleinstckiger Kohle ber weite Entfernungen (z. Z. bis 450 km), in Schachtsteigleitungen. Einfhrung auch zum Transport von gemahlenem Rohkalk und Ton von Gewinnungs- zur Verarbeitungsstelle; wirtschaftlich unter Ausnutzung natrlichen Geflles. Feststoffzugabe bereits als Wasser-Gut-Gemisch in Saugleitung der Frder-Kreiselpumpe oder Einschleusung in die Druckwasserleitung. Trennung von Gut und Wasser am Ziel in Absetzbecken. Saugbagger nehmen Baggergut durch Ansaugtrichter der auf den Baggergrund schrg abgesenkten Saugleitung auf (Wasser zu Gut 6 : 1 bis 3 : 1); Gemisch passiert Frder-Kreiselpumpe und wird durch Druckrohr in Schuten oder an Land abgegeben. Gemischabgabe auch in eigene Schiffsbunker (Hopperbagger). 3.6.3 Frderung nach dem Lufthebeverfahren Air-lift conveying of solid/liquid suspensions Unter Lufthebeverfahren (Synonyme: Lscherpumpe, Mammutpumpe, Airlift, Mischluftantrieb ) versteht man ein Pumpenprinzip, das speziell zur Vertikalfrderung von WasserFeststoff-Gemischen verwendet wird [43]. Als Antriebsmedium dient Druckluft, die in das Innere des Frderrohrs eingeblasen wird. Die Pumpwirkung entsteht durch Verringerung der Dichte des Luft-Wasser-Gemisches im Pumpenrohr, das unter Druck des umgebenden Wassers steht. 3.6.4 Berechnungsgrundlagen zur Strmungsfrderung Fundamentals of calculation for pneumatic and hydraulic conveyors
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samtdrucknderung im Frderrohr und dem Gesamtvolumenstrom zusammen [45] ð19Þ P ¼ ðDpges V_ ges Þ=hges : Der Gesamtvolumenstrom berechnet sich zu V_ ges ¼ V_ s þ V_ f ¼ ½cv vs þ ð1 cv Þ uf A;
ð20Þ
mit V_ s Feststoffvolumenstrom, V_ f Volumenstrom des Trgermediums, A Querschnitt des Rohrs, cv Feststoffvolumenanteil, vs Frdergeschwindigkeit des Feststoffs, vf Strmungsgeschwindigkeit des Trgermediums, hges Gesamtwirkungsgrad. Die Gesamtdrucknderung setzt sich im stationren Zustand aus einer geodtisch bedingten Druckabnahme (bei Abwrtsfrderung Druckzunahme) und dem dynamischen Druckverlust zusammen: Dpges ¼ Dpgeod þ Dpdyn , Dpgeod ¼ ½ð1 cv Þ rf g þ cv rs g sin dDl, r u2 r u2 Dpdyn ¼ ð1 cv Þ lf f f þ cv lz s s 2d 2d ws þ cv ðrs rf Þ g cos2 d Dl, uf
ð21Þ
mit rf Dichte des Trgermediums, rs Dichte des Frderguts, lf Rohrreibungsbeiwert des Trgermediums, lz Rohrreibungsbeiwert des Feststoffs, Dl Frderstrecke, d Rohrdurchmesser, g Fallbeschleunigung, d Neigung der Frderstrecke, ws Sinkgeschwindigkeit des Feststoffs. Fr die kompressible pneumatische Frderung wird in die Gleichung das Mischungsverhltnis m eingefhrt m¼
c v r s us A m_ s ; ¼ m_ f ð1 cv Þ rf uf A
Die aufzubringende Leistung zur hydraulischen sowie pneumatischen Frderung von Feststoffen setzt sich aus der Ge-
mit m_ s Massenstrom des Feststoffs, m_ f Massenstrom des Trgermediums.
4 Flurfrderer. Industrial trucks
4.1.3 Roller. Dollies
M. Hager, Hannover, und R. Bruns, Hamburg
4.1 Hand-Flurfrderzeuge. Hand trucks Fr kurze Entfernungen (bis 50 m Frderweg), kleine Tragfhigkeiten (bis 1 t) und zeitlich unregelmßig anfallende Transporte finden gezogene oder geschobene Handfahrzeuge (Einteilung nach DIN 4902) und Hand-Hubwagen Verwendung. 4.1.1 Karren. Barrows Lastaufnahme im Stillstand durch ein oder zwei Rder und Sttzen, beim Verfahren durch Rder und Bedienungsmann. Einrdrige Karre mit Platten- oder Kastenaufbau. Zweirdrige Stechkarre fr Sack-, Faß- und Kistentransport. Sonderkarren mit zweckbedingtem Gerstaufbau fr Stahlflaschen, Tonnen usw. Fr geringe Anhebearbeit wird das Rad mglichst unter Last angeordnet. 4.1.2 Wagen. Hand trolleys Last ruht auf drei oder vier Rdern. Gnstiger Kraftangriff zum Schieben in 90 cm, zum Ziehen, auch bei Deichsel, in 75 cm Hhe. Je nach Aufbau Plattformwagen, Wandwagen mit Stirn- oder Seitenwnden, Kastenwagen. Bei Dreiradsttzung mindestens ein gelenktes Rad oder eine Lenkrolle, bei Vierradsttzung mindestens zwei; deichselgefhrte Handwagen auch mit vorderem Drehschemel.
Drei oder vier Lenkrollen kleinen Durchmessers sind durch Tragrahmen verbunden: Dreieckroller, Viereckroller; letztere auch mit festen Rollen. Sonderausfhrung Rollpritsche mit Heberoller: die auf zwei Rdern und zwei Sttzen ruhende Rollpritsche wird durch zweirdrige Deichsel mit Hebeleinrichtung unterfahren, angehoben, fortbewegt und wieder abgesetzt. 4.1.4 Hubwagen. Hand lift trucks Zum Unterfahren von Ladepritschen und zur Aufnahme von Flachpaletten usw. werden Hand-Hubwagen und Gabelhubwagen (ISO 509) eingesetzt (Bild 1). Hubeinrichtungen zumeist hydraulisch durch Deichsel bettigt. Fr grßere Hubhhen Hochhubwagen. Benennungen und Kurzzeichen nach VDI-Richtlinie 3586: Flurfrderzeuge (H Handantrieb).
4.2 Motorisch angetriebene Stckgutfrderer Power-driven unit load carriers Begriffe und Kurzzeichen gemß VDI-Richtline 3586: Flurfrderzeuge. Die Kurzzeichen bestehen zumeist aus drei Buchstaben, von denen der erste den Antrieb, der zweite die Bedienung, der dritte die Bauform kennzeichnet: Erster Buchstabe (Fahr- und gegebenenfalls Hubantrieb). B Benzin, D Diesel, E Elektro (Batterie), N Netz, P Preßluft, T Treibgas, Y Hybrid (Verbrennungsmotor – Elektromotor);
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Frdertechnik – 4 Flurfrderer
Bild 1. Gabelhubwagen 2 t Tragfhigkeit mit hydraulisch bettigter Hubeinrichtung (Still GmbH, Hamburg). 1 Stahlrohr-Deichsel, 2 Pumpengehuse enthlt lbehlter, Pumpenkolben und Steuerventile, 3 Hubgabel, 4 Lenkrder, 5 Tandem-Gabelrollen
Zweiter Buchstabe (Bedienung). G durch Gehenden, S vom Fahrerstand, F vom Fahrersitz, K vom hebbaren Fahrerplatz (Kommissionierfrderzeuge), A fahrerlos (Automatik-Flurfrderzeug); Dritter Buchstabe (Bauform). Wird im folgenden bei jeder behandelten Bauform angegeben. Bei zwangsgelenkten oder -gefhrten Flurfrderzeugen zustzlich: Vierter Buchstabe (Leitlinienfhrung). I induktiv zwangsgelenkt, R mechanisch zwangsgelenkt, Z mechanisch zwangsgefhrt, V virtuell zwangsgelenkt. Richtlinie fr kraftbetriebene Flurfrderzeuge allgemein: VDI-Richtlinie 2198, Typenbltter fr Flurfrderzeuge.
4.2.1 Wagen W. Trucks Elektrowagen EFW (ESW)
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Sie werden eingesetzt fr regelmßige, schnelle Frderung grßerer Lasten (600, 1 000, 2 000, 3 000 kg und hher) auf einer Plattform. Bedienung vom Fahrersitz (selten und nur noch bei Tragfhigkeiten bis 1 000 kg vom Fahrerstand). Absttzung auf vier Rdern, von denen zwei oder seltener alle vier gelenkt werden (Bild 2). Die Batterie (24, 48 oder 80 V), unter der Plattform zwischen den Achsen angeordnet, versorgt einen Gleichstrom-Reihenschlußmotor, der ein Rderpaar ber ein Ausgleichsgetriebe antreibt. Werden zwei Motoren verwendet, so treibt jeder ein Rad ber ein Zahnradvorgelege. Fahrgeschwindigkeiten 10 bis 25 km/h; Fahrbereich 30 bis 50 km mit einer Batterieladung. Auch hydraulische Spurhaltung, so daß beim berfahren von Bodenunebenheiten Lenkradstellung unbeeinflußt bleibt. Hydraulisch bettigte Allradbremsung und zustzliche elektrische Nutzbremsung mit Energierckspeisung. Bereifung mit Elastik- oder Luftreifen auf Stahlblech-Scheibenrdern. An Stelle einer Plattform knnen Sonderaufbauten treten: Pritsche, Kasten, Tank, Kippmulde, Schwenkkran usw. Wagen mit Verbrennungsmotor DFW (BFW, TFW) Fr Hoftransporte und Werkrundverkehr bietet ein Wagenantrieb mit Dieselmotor (seltener Benzin- oder Treibgasmotor) wirtschaftliche Vorteile. Tragfhigkeiten 3 bis 10 t (auch bis 30 t), Geschwindigkeiten bis 30 km/h. Der Verbrennungsmo-
Bild 2. Elektrofahrersitzwagen fr 2 t Tragfhigkeit mit Hinterradantrieb 4,5 kW – 80 V (Still GmbH, Hamburg). Hierzu Leistungsdiagramm zur Ermittlung der Zugkraft, Fahrgeschwindigkeit und pro Stunde zulssigen Fahrstrecke je nach Belastung und Steigung
tor wird an Stelle der Batterie unter der Plattform (oder ber den vorderen gelenkten Rdern) angeordnet. Bei schweren Fahrzeugen zumeist Antrieb ber hydraulischen Drehmomentwandler. Lenkung, Bremseinrichtungen, Federung wie bei Kraftfahrzeugen ausgebildet. Bei Anwendung einer hydrostatischen Kraftbertragung treibt der Dieselmotor eine stufenlos regelbare Axialkolbenpumpe an, die ihrerseits die Hydraulikmotoren an den angetriebenen Rdern mit Druckl versorgt. Deichselgefhrte Elektrowagen Bild 3. Fr kurze Transportwege, bei beengten Raumverhltnissen, insbesondere als Zubringerfahrzeuge, dienen mit
I4.2 Motorisch angetriebene Stckgutfrderer
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Bild 3. Deichselgefhrter Elektro-Gabelhubwagen mit 2 t Tragfhigkeit (Jungheinrich AG, Hamburg). 1 Angetriebenes und gelenktes Rad, 2 gefedertes Sttzrad, 3 Lastrder, 4 Batterie, 5 Deichsel, 6 Hubgabel
Schrittgeschwindigkeit (4 bis 6 km/h) fahrende, deichselgefhrte, dreiradgesttzte Elektro-Niederhubwagen mit Gabeln (oder Plattform). Tragfhigkeit 1,2 bis 3 t (auch bis 10 t), Batterie 24 V 100 bis 200 (350) Ah. 4.2.2 Schlepper Z. Industrial tractors DIN 15 172: Schlepper und schleppende Flurfrderzeuge, Zugkraft, Anhngelast. VDI-Richtlinie 3973: Schleppzge mit ungebremsten Anhngern.
Elektro-Schlepper EFZ Ausgefhrt in Dreirad- und Vierradbauweise. Dreirad-Elektroschlepper sind kleine, wendige Fahrzeuge mit Fahrersitz fr Zugkrfte ab 0,6 kN (bis 8,5 kN) mit 6 bis 15 km/h Fahrgeschwindigkeit in der Ebene; Fahrbereich mit einer Batterieladung 30 km. Motorleistungen 2 bis 8,5 kW; Batterie 24 oder 48 V, bis 600 Ah. blich sowohl Lenkung und Antrieb des Vorderrads als auch Vorderrad nur gelenkt, Einmotorenantrieb ber Differential auf die beiden Hinterrder wirkend (Bild 4). Vierrad-Elektroschlepper mit Fahrersitz werden fr grßere Zugkrfte (Anhngelasten bis 30 t) und zumeist hhere Fahrgeschwindigkeiten (bis 20 km/h) eingesetzt.
Entweder Einmotorenantrieb mit mechanischem Ausgleichsgetriebe auf Hinterachse wirkend oder Zweimotorenantrieb, wobei jeder Motor ber eine Getriebestufe ein Hinterrad treibt. Batterie 24, 48 oder 80 V; Motorleistung bis 18 kW. Konstruktion der Lenk- und Bremseinrichtungen wie bei Elektrowagen. Schlepper mit Verbrennungsmotor DFZ (BFZ, TFZ) Sie werden bis zu grßten Zugkrften (ber 300 kN) vorzugsweise mit Dieselmotor (seltener Benzin- oder Treibgasmotor) gebaut (Anhngelasten 14 bis 400 t). Lenkung und Bremsen werden wie bei Kraftfahrzeugen ausgebildet. Kraftbertragung zumeist ber hydraulischen Drehmomentwandler und Lastschaltgetriebe, nur bei kleineren Schleppern Kupplung und mechanisches Schaltgetriebe. Auch hydrostatische Kraftbertragung. Sonderbauarten: Schlepper fr den Einsatz im Roll on/Roll off-Verkehr, ausgebildet als Sattelschlepper mit hebbarer Sattelkupplung zum Anheben und Transportieren von Rollplattformen. Flughafenschlepper zum Bewegen von Flugzeugen. Schwerlastschlepper, z. B. auf Werften und in Fertigungsbetrieben. Schlepper mit Hybridantrieb YFZ Kombinierter Antrieb: batterieelektrisch und durch Verbrennungsmotor (Dieselmotor). Bei der Fahrt in geschlossenen Hallen erhlt der elektrische Fahrmotor seine Energie aus einer Batterie, im Freien treibt der Dieselmotor einen Gleichstromgenerator, dessen Strom je nach Leistungsbedarf des Schleppers sowohl den Fahrmotor versorgen als auch gleichzeitig die Batterie aufladen kann. Bei hohen erforderlichen Antriebsleistungen speisen Generator und Batterie gemeinsam den Fahrmotor. Einsatz z. B. auf Flughfen und in Flugzeughallen sowie in Fertigungsbetrieben. 4.2.3 Gabelstapler. Fork lift trucks
Bild 4. Elektroschlepper in Dreiradbauweise mit 6 t Schleppvermgen (1,2 kN Zugkraft am Haken), Fahrmotor 2,8 kW – 24 V; Fahrgeschwindigkeit horizontal mit (ohne) Last bis 6,5 (14,0) km/h (Still GmbH, Hamburg)
Frontgabelstapler G Hufigstes und universell einsetzbares motorisch getriebenes Flurfrderzeug. Einzelne oder zu Ladeeinheiten zusammengestellte Stckgter werden aufgenommen (normalerweise
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Frdertechnik – 4 Flurfrderer
Bild 6. Hubgerst im ausgefahrenen Zustand (Jungheinrich AG, Hamburg). 1 ußerer Hubrahmen, 2 mittlerer Hubrahmen, 3 innerer Hubrahmen, 4 Hubzylinder, 5 Hubketten, 6 Gabeltrger, 7 Gabelzinke
Bild 5. Diesel-Gabelstapler mit 2 t Tragfhigkeit (Steinbock Boss GmbH, Moosburg a. d. Isar). c Abstand des Lastschwerpunkts von der Lastanlage am Gabelrcken. Last 2 t und Lastschwerpunktabstand 500 mm in der Ansicht entsprechen dem im Diagramm hervorgehobenen Punkt (Nenntragfhigkeit). Vierradbauweise, Freisichthubgerst, hydrostatischer Fahrantrieb. Vier-Zylinder-Dieselmotor 26,2 kW – 2 500 1/min; Fahrgeschwindigkeit bis 18 km/h, Hubgeschwindigkeit mit Last 0,46 m/s, Senkgeschwindigkeit mit Last 0,50 m/s
auf Gabel), angehoben, verfahren und wieder abgesetzt oder gestapelt. Bei allen Arbeitsvorgngen befindet sich die Last außerhalb der Radbasis. An Stelle der Gabel auch andere Lastaufnahmemittel: Dorn, Klammer, Greifer, Kranausleger, Manipulator, Schaufel und Kippkbel fr Schttgut. Ausfhrung fr Tragfhigkeiten von 0,3 bis 90 t.
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ISO 2328: Flurfrderzeuge, Gabelzinken mit Gabelhaken und Gabeltrgern, Anschlußmaße; VDI-Richtlinie 3578: Anbaugerte fr Gabelstapler.
Der Gabelstapler besteht aus einem auf drei oder vier Rdern ungefedert gesttzten Fahrzeugkrper, einem zumeist unmittelbar an der Vorderachse neigbar gelagerten, durch zwei Hubzylinder teleskopartig ausfahrbaren Hubmast und dem in ihm gefhrten Hubschlitten mit Gabel (Bild 5). Der Fahrzeugkrper enthlt den gesamten Fahrantrieb und den Hydraulikantrieb sowie Steuerorgane und Lenkung; zum Erzielen der Standsicherheit wird die Fahrzeugrckwand durch ein Gegengewicht gebildet. Als Energiequelle dienen batteriegespeiste Elektromotoren oder Verbrennungsmotoren. Dreiradbauweise Sie ergibt fr Fahrzeuge mit elektrischem Antrieb bis 3 t Tragfhigkeit sehr wendige Fahrzeuge. Die Batterie treibt zwei Fahrmotoren, die ber je ein Vorgelege auf die Vorder-
rder wirken. Der Fahrzeugrahmen sttzt sich ber ein Wlzlager auf dem gelenkten, nicht angetriebenen Hinterrad und vorn auf den Antriebseinheiten ab. Weitere bliche Anordnung der Fahrantriebe: Einzelner Fahrmotor wirkt ber Differential und Vorgelege auf beide Vorderrder oder drehbar angeordnet auf das gelenkte Hinterrad. Vierradbauweise Bei dieser (von etwa 1 t Tragfhigkeit aufwrts) wird der Stahlblech-Fahrzeugrahmen vorn (lastseitig) von der Treibachse und hinten von der als Pendelachse ausgebildeten Lenkachse getragen. Bei Tragfhigkeiten ab etwa 6 t werden die Rder der Lastachse als Zwillingsrder ausgefhrt, um die Bodenbelastung zu verringern (auch Dreifachanordnung der Lastrder bei Schwergabelstaplern). Hubgerst Das Hubgerst – der Hubmast – besteht je nach Bauart (Einfach-, Zweifach-, Dreifach- oder Vierfachhubgerst) aus 1 bis 4 Hubrahmen. Die Hubrahmen sind Schweißkonstruktionen aus zwei parallel angeordneten Walzprofilen und mindestens 2 Quertrgern zur Verbindung der Profile und zur Aufnahme der Hubzylinder. Die Hubrahmen sind ineinander geschachtelt und mittels Rollen gefhrt, damit das Hubgerst auch unter Last aus- und eingefahren werden kann (Bild 6). Der ußere Hubrahmen ist drehbar an der Vorderachse oder vorn am Fahrzeugrahmen gelagert und kann durch die Neighydraulik (2 Neigezylinder) nach vorn und nach hinten geneigt werden. Der innere Hubrahmen des Zweifachhubgerstes und der mittlere Hubrahmen des Dreifachhubgerstes wird durch 2 Hubzylinder (einseitig wirkende Plungerzylinder) ausgefahren. Der innere Hubrahmen des Dreifachhubgerstes wird ber Hubketten (Laschenketten) bewegt. Im inneren Hubrahmen ist der Hubschlitten mittels Rollen gefhrt. Er besteht aus zwei senkrecht angeordneten Wangen,
I4.2 Motorisch angetriebene Stckgutfrderer
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Bild 7. Schubmaststapler mit 1,6 t Tragfhigkeit (Jungheinrich AG, Hamburg). 1 Angetriebenes und gelenktes Rad, 2 Lastrad, 3 Hubgerst, 4 Schutzdach, 5 Radarm, 6 Fahrersitz quer zum Stapler
die durch die waagerecht verlaufenden Gabeltrger verbunden sind. An den Wangen sind die Fhrungsrollen befestigt. Die Gabeltrger nehmen die seitlich verschiebbaren Gabelzinken auf. Die Hubzylinder und die Hubketten sind mglichst nahe an den Hubrahmenprofilen angeordnet, um die Sicht des Fahrers auf die Fahrbahn und die Gabelzinken zu verbessern (Freisichthubgerst). Die Hydaulikanlage zur Bettigung der Hub- und Neigezylinder besteht aus einer Hochdruckzahnrad- oder einer Axialkolbenpumpen, den Steuerorganen (Ventile mit Bettigungshebeln), einem berdruck-Sicherheitsventil, einem Senkbremsventil und dem lbehlter besteht. ldruck zwischen 120 und 220 bar. Hubgeschwindigkeiten 0,2 bis 0,6 m/s. Die Senkgeschwindigkeit ist aus Sicherheitsgrnden auf 0,5 m/s beschrnkt. Vierradgabelstapler mit Dieselmotor (auch Benzin- oder Treibgasmotor) werden luftbereift vorwiegend im Freien, auf Fahrbahnen mit hherem Fahrwiderstand oder grßerer Steigung eingesetzt. Fr Tragfhigkeiten ber 16 t werden Gabelstapler nur mit Verbrennungsmotor ausgerstet. Im Gelnde eingesetzte Gabelstapler (z. B. im Forstbereich) besitzen Allradantrieb. Zur Kraftbertragung vom Verbrennungsmotor zu den Antriebsrdern dienen Drehmomentwandler, Lastschaltgetriebe und Differential, hydrostatische Kreislufe aus Verstellpumpe und hydraulischen Kolbenmotoren oder elektrische Getriebe, aus einem Generator und einem Elektromotor (Dieselelektrischer Antrieb). Weitere Bauarten von Gabelstaplern Sie sind durch die Optimierung auf spezielle Einsatzbereiche wie z. B. beengte Platzverhltnisse, hohe Hubhhen, ausschließliches Ein- und Ausstapeln in Palettenregallagern, Transport von Langgut usw. gekennzeichnet. Der Antrieb fr das Fahren und Heben erfolgt durch batteriegespeiste Elektromotoren. Lediglich der Quergabelstapler ist hufig mit einem verbrennungsmotorischen Antrieb ausgestattet. Gabelhochhubwagen V. Die Vorderrder sind in festen Radarmen angeordnet, ber denen sich die Gabelzinken befinden.
Die aufzunehmende Last wird von den Radarmen und der Gabel unterfahren (z. B. Paletten ohne Bodenauflagen quer zur Fahrtrichtung). Spreizenstapler P. Hier ist der Fahrzeugrahmen so weit nach vorn offen, daß die vorderen in Pratzen gelagerten Rder jeweils seitlich an der Last vorbeirollen. Die Gabel kann bis auf Flur gesenkt werden. Gabelhochhubwagen und Spreizenstapler gehren zu den Radarmstaplern, die die Last innerhalb der Radbasis aufnehmen, transportieren und heben. Schubmaststapler M. Der gesamte Mast ist zwischen den Radarmen nach vorn verschiebbar angeordnet (Bild 7). Die Last wird außerhalb der Radbasis aufgenommen und innerhalb transportiert. Dreiseitenstapler (Schmalgangstapler, Hochregalstapler). Schmalgangstapler sind Flurfrderzeuge zum Ein- und Ausstapeln von Paletten in hohen Regallagern. Mittels eines speziellen Lastaufnahmemittels (Schwenkschubgabel oder Teleskopgabel) knnen sie Lasten seitlich ein- und ausstapeln. Dadurch bentigen sie nur schmale Gnge zwischen den Regalen. Außerdem erreichen sie sehr große Hubhhen (bis 14 m). Die Last wird außerhalb der Radbasis aufgenommen. Kommissionier-Flurfrderzeuge sind spezielle Flurfrderzeuge zum Kommissionieren, d.h. zum auftragsbezogenen Zusammenstellen, von sortenunreinen Ladeeinheiten in Palettenregallagern. Zum Stapeln sind sie ungeeignet. Horizontalkommissionierer besitzen keine Hubvorrichtung, die es dem Fahrer ermglicht, Waren aus hher gelegenen Regalfchern zu entnehmen. Erreichbar sind nur die erste und die zweite Regalzeile. Sie sind jedoch hufig mit sehr langen Hubgabeln zur Aufnahme mehrerer Paletten hintereinander ausgestattet. Die Bedienung erfolgt ber kurze klappbare Deichsel oder ber ein kleines Lenkrad. Vertikalkommissionierer sind mit einem Hubmast zum Heben einer Kabine und der zu beladenen Palette ausgestattet. Der Fahrer kann von der hebbaren Kabine aus alle Lagerfcher erreichen.
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Frdertechnik – 4 Flurfrderer
Bild 8. Quergabelstapler mit 6,5 t Tragfhigkeit. Hubhhe 4 000 mm; Dieselmotor 56 kW – 2 400 1/min; Fahrgeschwindigkeit horizontal bis 22 km/h (Kalmar LMV, Ljungby)
U Bild 9. Vierwegegabelstapler mit 3 t Tragfhigkeit. 80-V-Elektrobatterie-Antrieb, 5-kW-Fahrmotor, 8-kW-Hubmotor; Fahrgeschwindigkeit horizontal bis 8 km/h; Hubgeschwindigkeit mit (ohne) Last 0,16 (0,22) m/s (Kalmar LMV, Ljungby)
Quergabelstapler Q (Langgutgabelstapler). Der Hubmast mit Schlitten und Gabel ist in der Mitte eines Plattformfahrzeugs quer zur Fahrzeuglngsachse in einer Aussparung verschiebbar angeordnet. Bei Lastaufnahme und Stapeln steht der Hubmast bndig mit der Fahrzeugseitenwand. Fr das Verfahren der Last wird der Hubmast, z. B. durch diagonal angeordnete Hydraulikzylinder, in die Aussparung hineingezogen und die Last auf die Plattform abgesenkt (Bild 8). Mastneigung durch Neigen des gesamten Staplers ber Hydraulikzylinder zwischen Fahrzeugrahmen und Achsen auf der Fahrerseite.
Vierwegestapler Y. Eine Kombination aus Schubmast- und Quergabelstapler, die Rder sind um 90 verstellbar, so daß in Fahrzeuglngs- und -querrichtung gefahren werden kann (Bild 9). Der Hubmast ist bis zur Außenkante des Staplers verschiebbar; die Last wird je nach Fahrtrichtung entweder vor Kopf oder seitlich aufgenommen und bei zurckgezogenem Mast innerhalb der Radbasis transportiert. Je nach Tragfhigkeit (1 bis 15 t) sind ein, zwei oder alle vier schwenkbaren Rder angetrieben.
I4.2 Motorisch angetriebene Stckgutfrderer
Bild 10. Versuchsbedingungen zur Ermittlung der Standsicherheit von Gabelstaplern bis 5 t Nennlast (ISO 1074)
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Bild 11. Portalhubwagen mit 30 t Tragfhigkeit. Hubhhe 600 mm; Dieselmotor 144 kW – 2 400 1/min; Fahrgeschwindigkeit horizontal bis 30 km/h vor- und rckwrts; hydraulische Allradlenkung (Valmet, Tampere)
Standsicherheit
Portalstapler E
Allgemeine Angaben zur Standsicherheit von Flurfrderzeugen enthalten DIN EN 1726-1 und DIN EN 1726-2. Fr Gabelstapler mit Tragfhigkeiten bis 50 t, ist die Standsicherheit auf einer neigbaren Plattform in Lngs- und Querrichtung, jeweils fr einen Typ, vom Hersteller nachzuweisen. Versuchsbedingungen in ISO 1074 (Bild 10).
Portalstapler nehmen Container mit einem Tragrahmen (Spreader) von oben auf. Dabei werden drehbare Bolzen in den Eckbeschlgen der Container automatisch verriegelt. Containerlnge bis 40 ft (12 192 mm), Containerhhen bis 9 12 ft (2 896 mm). Zumeist Ausfhrung der Portalstapler fr Dreifachstapelung (Bild 12), damit an jeder Stelle eines Zweifachstapels ein Container aufgenommen und abtransportiert werden kann. Portalstapler fr zweifache Stapelung sind ebenfalls im Einsatz; in wenigen Fllen auch fr vierfache Stapelung. Bewegung des Tragrahmens durch horizontal angeordnete Hydraulikzylinder ber Ketten. Senkrechte Anordnung der Hubzylinder ist ebenfalls mglich. Gleichlauf der Kettenstrnge wird durch querliegende Synchronisationswelle sichergestellt. Alternativ auch Aufhngung des Tragrahmens an Seilen, die von Seilwinden bewegt werden. Zur Erleichterung der Lastaufnahme ist der Tragrahmen um 2 300 mm seitlich verschiebbar und um 2 6 horizontal drehbar. Kraftbertragung zwischen Antriebsmotor und angetriebenen Rdern (wahlweise zwei oder vier) ber hydrodynamischen Drehmomentwandler, Lastschaltgetriebe und Gelenkwellen mit Winkelgetrieben. Alternativ zum Antrieb durch einen einzelnen Antriebsmotor auf dem Portal werden zwei getrennte Motoren auf den seitlichen Lngstrgern in Radnhe angeordnet, die jeweils zwei Rder einer Seite antreiben. Kraftbertragung zwischen Motor und angetriebenen Rdern auch hydrostatisch oder elektrisch (Dieselmotor-GeneratorElektromotoren). Gelenkt werden alle acht Rder, hydraulisch ber einen Lenkzylinder je Fahrzeugseite.
4.2.4 Portalhubwagen und -stapler Straddle carriers and van carriers Zum Transport von schweren Stckgtern, z. B. Langgut, Brammen, Unit Loads und Containern, werden Flurfrderzeuge eingesetzt, die als portalartig hochgebaute Fahrzeuge die Last zwischen den Rdern aufnehmen. Der dieselmotorische Antrieb mit Getriebe, die Fahrerkabine und die Hubwerke sind zumeist oben auf dem Portal angeordnet. Portalhubwagen F Fr Lasten bis 30 t (Bild 11) werden zwei von vier Rdern ber vertikale Ketten angetrieben und alle Rder in Drehschemeln gelenkt. Die Last wird mit Lastschuhen beiderseits unten erfaßt und mit hydraulischen Zylindern um ca. 500 mm gehoben. Eine Horizontiereinrichtung sorgt fr gleichmßiges Heben auch fr den Fall, daß der Lastschwerpunkt außermittig liegt. Beim Transport von Containern wird ein Tragrahmen (Spreader) eingesetzt (s. Portalstapler). Portalhubwagen auch fr grßere Tragfhigkeiten (bis 60 t) mit acht gelenkten Rdern, von denen die inneren vier angetrieben werden. Kraftbertragung zwischen Motor und angetriebenen Rdern auch hydrostatisch, oder ber Drehmomentwandler, Lastschaltgetriebe und Gelenkwellen.
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Frdertechnik – 4 Flurfrderer
Bild 12. Portalstapler mit 40 t Tragfhigkeit zum Stapeln von Containern bis 9 12 Fuß (2 896 mm) Hhe dreifach aufeinander. Dieselmotor 223 kW, 2 300 1/min; Fahrgeschwindigkeit mit (ohne) Last bis 25 (27) km/h; Hubgeschwindigkeit mit (ohne) Last bis 12,5 (16) m/min; hydraulische Allradlenkung (Noell GmbH, Wrzburg)
4.2.5 Fahrerlose Flurfrderzeuge Automatically guided vehicles (AGV) Auch als FTS-Fahrzeuge bezeichnet (FTS Fahrerloses Transportsystem). Fahrerlose Flurfrderzeuge verkehren leitliniengefhrt auf vorgegebenen Fahrkursen und dienen zur Verknpfung von einzelnen Stationen in Lager, Fertigung und Montage. Einsatz auch fr Warenverteil- und Kommissionieraufgaben. Die batteriebetriebenen FTS-Fahrzeuge fahren mit Schrittgeschwindigkeit; Leitlinienfhrung zumeist induktiv. Dabei erfassen Tastspulen im Fahrzeug das elektromagnetische Feld eines stromdurchflossenen, im Boden verlegten Leitdrahts (Wechselstrom 5 bis 10 kHz) und veranlassen bei Fahrkursabweichungen Stellbewegungen des Lenkmotors. Leitlinienfhrung auch optisch (Abtasten einer Farbspur) oder induktiv mit passivem, auf dem Boden aufgeklebten Leitband. Ausfhrung der FTS-Fahrzeuge als Wagen, Schlepper, Gabelhubwagen, Gabelstapler oder mit besonderer Lastbergabeeinrichtung (z. B. Kettenfrderer, Rollenbahn, Hubtisch) und als Werkstcktrger und fahrbarer Montagearbeitsplatz. VDI-Richtlinie 2510: Fahrerlose Transportsysteme (FTS)
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Wa ¼ m a 1 þ
! Qred ic ; 2 m rdyn
Wst ¼ m g sin a : Fr eine Fahrgeschwindigkeit u und einem Getriebewirkungsgrad h ist die erforderliche Fahrmotorleistung: PF ¼ ðWF uÞ=h: Die Auslegung des Fahrantriebs erfolgt nach den geforderten Werten fr die Steigfhigkeit, die Zugkraft und die maximale Fahrgeschwindigkeit gemß VDI 2198, welche im Typenblatt fr Flurfrderzeuge angegeben werden. Bei elektrischem Antrieb wird auf Kurzzeitbetrieb S2 mit begrenzten, gemß VDI 2198 festgelegten Zeiten ausgelegt. Beispielsweise wird zwischen Zugkraft fr S2 60 min und maximaler Zugkraft fr S2 5 min unterschieden, um durch eine kurzzeitige zulssige berlastung der Elektromaschine eine kostengnstige Dimensionierung zu ermglichen. Bei verbrennungsmotorischen Staplern ist neben der erforderlichen Fahrleistung auch die erforderliche Hubleistung fr die Auslegung des Antriebs maßgeblich.
4.2.6 Fahrwiderstnde und Fahrmotorleistung Resistance to motion and engine performance Der Fahrwiderstand von Flurfrderern auf fester Fahrbahn besteht aus dem Rollwiderstand Wr (Zapfen- und Rollreibung) und dem Steigungswiderstand Wst , bei motorgetriebenen Fahrzeugen ist auch der Beschleunigungswiderstand Wa zu bercksichtigen. Der Luftwiderstand kann bei der kleinen Fahrgeschwindigkeit im allgemeinen vernachlssigt werden (s. Q 1.2.1). Fr die einzelnen Widerstnde und den Gesamtfahrwiderstand gilt: WF ¼ Wr þ Wst þ Wa ; Wr ¼ mr m g cos a ;
4.3 Motorisch angetriebene SchttgutFlurfrderer Power-driven mobile bulk handling equipment Schttgut-Flurfrderer werden vorwiegend im Bau- und Bergwerksbetrieb eingesetzt. Sie knnen nach Art der Schttgutbewegung in Frderer fr bodenfreien Transport, z. B. Schaufellader und Schrfmaschinen, und in Frderer fr bodengebundenen Transport, z. B. Planiermaschinen und Grader, untergliedert werden. Entsprechend ihrem Haupteinsatzgebiet werden sie bei den Erdbaumaschinen (s. U 6.3) behandelt.
I5.1 Aufbau und Arbeitsweise von Materialflußsystemen (MFS)
5 Frderelemente und Frdersysteme fr den innerbetrieblichen Materialfluß Material handling Systems and Components W. Gnthner, Garching, und D. Severin, Berlin
5.1 Aufbau und Arbeitsweise von Materialflußsystemen (MFS) Construction and working method Struktur. Materialflußsysteme (MFS) in Fertigungsbetrieben, Versandhusern, Hfen usw. sind u. a. wegen ihrer vom Menschen nicht mehr beherrschbaren Grße i. allg. automatisiert. Sie gliedern sich (Bild 1) in das administrative System und in das Transportsystem (TPS). Das TPS umfaßt die teils hintereinander geschalteten, teils vernetzten Transport- und Lagerelemente sowie die Prozeßsteuerung. Das administrative System plant und berwacht den Materialfluß. Es leitet seine Auftrge an das TPS und lßt sich die Erledigung besttigen [1, 2, 3] . Die Steuerung der Prozesse erfolgt ber Materialflußrechner (Bild 2), die ber einen Feldbus mit den speicherprogrammierbaren Steuerungen (SPS) kommunizieren. Die untereinander vernetzten SPS steuern die Frderelemente. Sie lassen sich einfach der jeweiligen Aufgabenstellung (Messen, Schalten, Steuern, Regeln, Verriegeln, Verknpfen) anpassen und leicht programmieren. Dank ihrer Ausgangsleistung knnen sie die Schaltelemente der Frdersysteme direkt bettigen. Weiterentwickelte Feldbussysteme ermglichen die Verlagerung der Intelligenz zur Maschine und damit die Reduktion des Verkabelungsaufwands und ggf. die Einsparung der SPS. Funktionen (Operationen). Der strungsfreie Ablauf setzt die gleichzeitige Organisation von Materialfluß und Informationsfluß voraus. Notwendige Funktionen in automatisierten MFS sind Informieren, Steuern und berwachen. Weitere im TPS auszufhrende Operationen s. Bild 3 [4, 5]. Zielsteuerung. In automatisierten TPS bewegen sich die Transporteinheiten (TEs) von den Eingngen zu ihren Bestimmungsorten ohne Eingriff durch den Menschen. Zur Identifizierung tragen sie eine Kennung [6]. Gengt es, TEs durch ußere Merkmale voneinander zu unterscheiden, knnen Ge-
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wicht, Abmessungen, Form zur Identifizierung dienen. Im allgemeinen tragen die TEs eine objekteigene Kennung, die entweder das Ziel beschreibt (direkte Steuerung Bild 4 a) oder – heute gebruchlicher – eine der TE zugeordnete Identnummer. Diese wird an diskreten Orten gelesen, decodiert und dem Rechner zugefhrt, der entsprechende Operationen, wie Stellen einer Weiche, Zuweisung eines Lagerplatzes, veranlaßt. Diese sog. indirekte Steuerung (Bild 4 b) ermglicht eine schnelle Vernderung des Ziels durch den Rechner. Dieser hat ein virtuelles Bild ber den augenblicklichen Zustand im MFS gespeichert und kann jederzeit Auskunft geben ber die Position jeder TE, ber die Belegung von Lagerpltzen (permanente Inventur) und ferner, da er die Stammdatei fhrt, ber Eigenschaften einer TE (Gewicht, Abmessungen, Lieferant, Inhalt, Verfalldatum, Bestimmungsort usw.). Identifikationssysteme. Sie dienen der Erkennung einer TE anhand der ihr mitgegebenen objekteigenen verschlsselten Information [7, 8]. Diese kann mechanisch (z. B. durch Schaltnocken), magnetisch, durch OCR-Schriftzeichen oder durch den am hufigsten eingesetzten Strichcode verschlsselt sein. Der Strichcode (barcode) – auf den von der TE mitgefhrten Codetrger gedruckt – besteht aus nach einem bestimmten Bildungsgesetz (Codeart) angeordneten dicken und dnnen Balken und den dazwischenliegenden weißen Lcken. Bekannte Codearten sind: Code 2/5 (Bild 5) verschlsselt Ziffern 0–9 durch jeweils zwei dicke und drei dnne Balken, wobei der letzte Balken ein der Selbstberprfung dienendes Parittsbit ist. Die nach einem bestimmten Algorithmus (z. B. Modulo 10) aus den einzelnen Ziffern gebildete sog. Prfziffer berprft die Gesamtinformation in bezug auf Lesefehler. Jede aus mehreren Ziffern bestehende Information ist durch ein Start- und Stopzeichen begrenzt. Code 2/5 i (interleaved) nutzt zur Informationsbertragung auch die Lcken zwischen den Balken. Code 39 verschlsselt neben den zehn Ziffern 26 alphanumerische Zeichen und sieben Sonderzeichen durch zwei dicke und drei dnne Balken sowie eine dicke Lcke und drei dnne Lcken. Da selbstprfend, bentigt dieser Code weder Parittsbits noch Prfziffer. EAN Code (Europ. Artikel Nummer), Code 129 u. a. sind im Handel blich. Die Identifizierungsgte wird u. a. durch die Breite (b > 0,4 mm) und das Breitenverhltnis (gnstig 1: 3) der dnnen und dicken Balken bzw. Lcken, ihre Dickentoleranz, den Schwrzungsgrad und die Kantenschrfe der Balken be-
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Bild 1. Aufbau automatisierter Materialflußsysteme (Erluterungen im Text)
Bild 2. Steuerung automatisierter Materialflußsysteme (Erluterungen im Text)
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Frdertechnik – 5 Frderelemente und Frdersysteme fr den innerbetrieblichen Materialfluß
Bild 4 a, b. Funktionsweise einer Zielsteuerung (ZS). a Direkte ZS; b indirekte ZS (Erluterungen im Text)
Bild 5. Aufbau einer codierten Information am Beispiel des 2/5-Codes (Erluterungen im Text)
Programmierbare Datentrger (EEPROM, RAM) ermglichen der TE an bestimmten Stellen auf der Strecke Informationen abzugeben und aufzunehmen (z. B. Fertigungsinformationen, Prfdaten) und reduzieren damit stark den Datenfluß im TPS nach oben [9 – 11] .
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Bild 3. Funktionen (Operationen) in Materialflußsystemen (Erluterungen im Text)
stimmt. Das Abtasten erfolgt i. allg. durch Laserscanner. Zwei im rechten Winkel zueinander stehende Scanner lesen, ebenso wie die teureren sog. omnidirektionalen Scanner oder die CCD-Kameras, die Information in jeder beliebigen Lage des Codetrgers.
Abfertigungsstrategien vor Transportknoten. Bei gleichwertigen Materialstrmen erfolgt die Abfertigung in der Reihenfolge der ankommenden TEs. Bei schubweiser Abfertigung werden zwei oder mehr TEs gleichzeitig durch den Transportknoten bedient. Bei Vorfahrtberechtigung (Bild 6 a) wird eine nicht vorfahrtberechtigte TE nur dann abgefertigt, wenn keine vorfahrtberechtigte TE auf Abfertigung wartet, bei absoluter Vorfahrtberechtigung (Bild 6 b) nur, wenn dadurch eine TE aus dem vorfahrtberechtigten Strom nicht behindert wird. Die Vorfahrtberechtigung mindert den mglichen Gesamtdurchsatz in dem Transportknoten. Zur Vermeidung von Kollisionen oder zur Pufferbildung kann man den Frderweg in sog. Blockstrecken unterteilen. Solange sich eine TE in einer Blockstrecke befindet, ist der Zugang fr die nachfolgende gesperrt.
5.2 Theoretische Behandlung der Materialflußsysteme Theoretical treatment of material handling systems Ein MFS kann gedacht werden als eine Hintereinander- oder Parallelschaltung verschiedener Bediensysteme, die durch
I5.2 Theoretische Behandlung der Materialflußsysteme
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Bild 6 a, b. Abfertigungsstrategien. a Bei Vorfahrtberechtigung; b bei absoluter Vorfahrtberechtigung (Erluterungen im Text)
Transportstrecken und Weichen miteinander verbunden sind. Fr das zunchst manuell geplante MFS muß durch Berechnung sicher gestellt werden, daß der mgliche Durchsatz in allen Transportstrecken und -knoten um ca. 10 % grßer ist als der gewnschte Durchsatz und sich vor keiner Bedienstation eine unzulssig lange Warteschlange bildet. Bediensystem. hnlich wie bei der Post besteht das Bediensystem aus der Bedienstation (Schalter), in der eine TE (Kunde) unterschiedlich lange abgefertigt wird, und aus dem Warteraum (Schalterhalle), in dem andere TEs auf Abfertigung warten (Bild 7 a). Der zeitliche Abstand zweier nacheinander ankommender TEs ist die sog. Zwischenankunftszeit ta . Um Strungen im Gesamtsystem zu vermeiden, darf die Warteschlange in jedem Bediensystem nicht mehr Pltze belegen, als sie sein Warteraum bereit hlt [12]. Eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung zur Begrenzung der Warteschlangenlnge ist r = l/m < 1. Dabei sind: r der Auslastungsgrad, l = 1/ta der mittlere Durchsatz (z. B. Stck/h) des ankommenden und m = 1/tb des abgefertigten Stroms, ta und tb die mittlere Zwischenankunftszeit bzw. Abfertigungszeit. Wegen der mit ungleichen Zwischenankunftszeiten ta ankommenden TEs und der unterschiedlich langen Bedienzeiten tb bestimmt man die mittlere und maximale Zahl der wartenden TEs mit Hilfe der Dichtefunktionen f (ta) und f (tb) (Bild 7 b und c). Dazu bildet man i. allg. das MFS auf dem Rechner ab und simuliert den geplanten Gterfluß [13, 14, 15]. Fr jedes Bediensystem bestimmt der Rechner aus f (ta) und f (tb) die Verteilungsfunktionen F(ta) und F(tb) (Bild 8) und darber mittels eines Zufallszahlengenerators fr jeden Simulationsschritt die zufllige Zwischenankunftszeit ta und Abfertigungszeit tb . Die Simulation luft so lange, bis sich abgesicherte Aussagen ber die Zahl der wartenden TEs und deren zeitliche Verteilungen in den einzelnen Bediensystemen machen lassen (Bild 7 d). Zur mathematischen Beschreibung von f (ta) und f (tb) empfiehlt sich die Erlang-Verteilung (Bild 9). f ðtÞ ¼ ðl kÞk
tðk1Þ el k t ðk 1Þ!
Bild 7. a Bediensystem; b Wahrscheinlichkeits-Dichtefunktion des ankommenden Stromes; c Wahrscheinlichkeits-Dichtefunktion des abgefertigten Stromes; d rel. Hufigkeit der belegten Pltze im Warteraum
Bild 8. a Dichtefunktion eines Ankunftprozesses; b daraus abgeleitete Verteilungsfunktion zur Bestimmung der nchsten Zwischenankunftszeit ta mit Hilfe des Zufallsgenerators
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ð1Þ
mit k ¼ ðt=sÞ , wobei t die mittlere Ankunfts- bzw. Abfertigungszeit und s die zugehrige Standardabweichung ist (s. A bzw. DUBBEL interaktiv). Durch Variation des k-Werts lßt sich die Form der Verteilungsfunktion verndern. Mit k = 1 ergibt sich der Dirac-Impuls (Kurzzeichen D, getakteter Betrieb), mit k=30 die Gaußverteilung und mit k = 1 die oft verwendete Exponentialverteilung f ðtÞ ¼ lel t (Kurzzeichen M, Markow-Prozeß), die eine relativ große Standardabweichung ðs ¼ tÞ besitzt und bei der TEs mit t = 0 am hufigsten auftreten. 2
Bild 9. Erlang-Verteilungen bei unterschiedlichen k-Werten (Erluterungen im Text)
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Frdertechnik – 5 Frderelemente und Frdersysteme fr den innerbetrieblichen Materialfluß
Bild 11. a Transportknoten; b Transportstrommatrix mit den von den Eingngen i zu den Ausgngen j fließenden Transportstrmen lij
Bild 10 a–c. Mindestabstand smin zwischen zwei benachbarten TEs auf der Frderstrecke. a Bei festem Abstand der TEs auf dem Frderer; b bei Staufrderern mit fester Stauplatzlnge; c bei selbstfahrenden TEs
Analytische Lsungen, und dann nur fr die mittlere Warte w ¼ l tw der wartenden zeit tw bzw. die mittlere Anzahl N TEs, bestehen nur fr die Bediensysteme mit Dichtefunktions-Kombinationen von f (ta) und f (tb). Durchsatz auf freier Strecke. Frdergeschwindigkeit v und Mindestabstand smin der aufeinander folgenden TEs bestimmen den mglichen Durchsatz
Bild 12. a Verteilelement mit zwei Ausgngen; b Beziehung zwischen den Grenzstrmen m11 und m12 sowie den mglichen Durchstzen l11 und l12
mij ist der sog. Grenzstrom, d. h. der max. mgliche Durchsatz fr die jeweilige Frderrichtung i j, wenn nur zwischen dem Eingang i und dem Ausgang j gefrdert wrde [16, 17]. Bild 12 zeigt, wie sich bei einem Verteilelement mit einem Eingang (i = 1) und zwei Ausgngen (j = 2) und den Grenzstrmen m11 und m12 die Durchstze l11 und l12 gegenseitig beeinflussen (Bild 12 a). Vergrßert sich z. B. l11 , verkleinert sich l12 .
m ¼ u=smin ¼ 1=tmin ð2Þ
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in Stck/Zeiteinheit. smin wird bestimmt durch die Breite b der TE und das Frderprinzip. Liegen die TEs mit festen Abstnden zueinander auf dem Frdermittel (z. B. Bandfrderer) und drfen die TEs beim Anhalten auf die davor stehende TE auffahren (Stauen unter Staudruck), ist smin = b + s0 (Bild 10 a). Der Sicherheitsabstand s0 muß so groß sein, daß sich die TEs bei der Befrderung (z. B. bei Kurvenfahrt) nicht behindern. Drfen die TEs nicht auffahren (staudruckloses Stauen), teilt sich die Frderstrecke in individuell ein- und abschaltbare Einzelfrderer gleicher Lnge bmax+s0 , die durch die breiteste zu frdernde TE bestimmt wird (Bild 10 b). Werden die TEs durch selbstfahrende (aktive) Elemente (z. B. Elektrohngebahn) transportiert, ist smin = sr+ sa + b + s0 (Bild 10 c) mit: Reaktionsweg sr = u tr , Reaktionszeit tr , Verzgerungsweg sa = u2/2 a, Verzgerung a. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Bei der Frdergeschwindigkeit u ¼ uopt ¼ 2 a ðb þ s0 Þ ergibt sich der grßtmgliche Durchsatz mmax ¼ 1=ðtr þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 ðb þ s0 Þ=aÞ: Durchsatz in Transportknoten. Transportknoten (TPK) (Bild 11 a) wie z. B. Weichen, vereinen und/oder verteilen Transportstrme lij . Der Durchsatz ist i. allg. kleiner als der auf freier Strecke, da die nchste TE erst in den TPK einfahren kann, wenn dieser die Vorgngerin abgefertigt hat und wieder aufnahmebereit ist (sog. eingeschrnkte Durchfahrt). Auch sich kreuzende Fahrwege von Flurfrderzeugen bilden einen TPK. Der Gesamtdurchsatz X des TPK ist die Summe der Durchstze aller Teilstrme lij (Bild 11 b), die durch das allgemeine X Grenzstromgesetz lij/mij 1 miteinander verknpft sind.
5.3 Transporteinheit (TE) und Transporthilfsmittel (TPH) Transportation unit and remedy Die Transporteinheit (TE) ist das zu frdernde einzelne Stckgut. Hufig faßt man mehrere Einzelstcke auf einem Transporthilfsmittel (TPH) zu einer grßeren Transporteinheit zusammen [18]. Das TPH ist ein flacher oder behlterartiger Unterbau mit standardisierter Grundflche, der jeweils als Mittler zwischen dem Frdergut einerseits und dem Lastaufnahmemittel, dem Frdergert und dem Lagerregal andererseits wirkt und oft den besonderen Formen des Transportguts angepaßt ist. Hufig eingesetzte TPH sind Flachpaletten [19] und Behlter (Bild 13). Im innerbetrieblichen Materialfluß sind spezielle Kunststoffbehlter unterschiedlicher Grße im Einsatz. Vielfach werden verpackte, relativ leichte Gter ohne TPH gefrdert (Pakete in Versandhusern und Post). Vorteile des TPH-Einsatzes: Reduzierung der Transporte sowie der Ein- und Auslagervorgnge; betriebsbergreifende Standardisierung der Transport-, Frder- und Lagermittel; optimale Nutzung der Laderume von Verkehrsmitteln. Ferner „Ladeeinheit = Transporteinheit = Lagereinheit“, deswegen kein Umpacken, daher Schonung des Gutes, einfachere Verpackung, schnellerer Transport.
5.4 Frderelemente fr den innerbetrieblichen Materialfluß Components of material handling systems Transportsysteme (TPS) entstehen durch Verknpfung von aufgabenspezifisch arbeitenden Frderelementen und Teil-
I5.4 Frderelemente fr den innerbetrieblichen Materialfluß
Bild 13 a–c. Ladungstrger. a Vierwege-Flachpalette (DIN 15 146) aus Holz, seltener aus Kunststoff mit Außenmaßen (a b): 800 mm 1 000 mm; 800 mm 1 200 mm (Europische Tauschpalette) ; 1 000 mm 1 200 mm; b Zweiwege-Flachpalette, erweitert mit Aufsteckrahmen 1, sonst wie a; c Gitterboxpalette (DIN 15 155) aus Stahl mit Vorderwandklappen, alternativ mit abnehmbarer geteilter Vorderwand (DIN 15 144), Grundflche wie a, stapelbar fnffach bereinander
systemen. Wegen der oft großen Zahl von parallel und hintereinander geschalteten Elementen wird von diesen eine große Zuverlssigkeit und Verfgbarkeit bei kleinstmglichen Kosten gefordert. Ihre Frderquerschnitte, Frdergeschwindigkeiten, Tragfhigkeiten, mglichen Durchstze und bergabestellen sind aufeinander abzustimmen. Zur Lastabsttzung und fr den Transport dienen wlzgelagerte Kugeln, Rllchen, Rollen sowie Ketten und Gummi- oder Stahlgurtbnder. Tragkonstruktion und Art des Antriebs werden durch die Gewichtsklasse (GK) bestimmt. GK 1 Lasten bis 50 kg fr leichte Frdergerte. Wegen der gewnschten manuellen Bewegungsmglichkeit wiegen die TEs mehrheitlich weniger als 15 kg. GK 2 Lasten von 50 bis 1500 kg fr schwere Frdergerte (i. allg. auf Paletten). Die Transportgewichte liegen mehrheitlich unter 800 kg. Frdergeschwindigkeit. Sie wird begrenzt durch die Abfertigungskapazitt zwischengeschalteter Transportknoten. Sie liegt bei einfachen Frderelementen zwischen 0,3 und 0,5 m/s, blicherweise bei 0,35 m/s. Fr Sortiersysteme, Schleppkreisfrderer, Elektrohngebahnen, Fahrerlose Transportsysteme siehe dort. 5.4.1 Elemente zur Frderung auf freier Strecke Open line conveying components Kugeltische. Sie werden eingesetzt an Gutaufgabestationen, an Weichen oder Kreuzungen (Bild 14 a). Sie erlauben die gleichzeitige Frderung der TEs in zwei Richtungen und eine zustzliche Drehung um deren vertikale Achse. Sie bestehen aus ber die Frderebene verteilten wlzgelagerten Kugelelementen 1 (Bild 14 b) oder aus parallel- und hintereinander geschalteten sog. Omni-Rollen (Bild 14 c), bei denen die Achsen 1 der drehbaren Rahmen 2 in die Hauptfrderrichtung weisen, und die Achsen der drei drehbar im Rahmen gelagerten tonnenfrmigen Rollen 3 dazu senkrecht stehen. Rllchenfrderer (Bild 15 a). Mehrere wlzgelagerte, nicht angetriebene Rllchen 1 sitzen auf einer Achse. Mehrere in einem Rahmen 2 hintereinander angeordnete rllchenbestckte Achsen bilden das Frderelement.
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Bild 14. a Weiche mit Kugeltisch; b wlzgelagertes Kugelelement; c sog. Omni-Frderrolle (INTERROLL)
Bild 15. a Rllchenfrderer und b Rollenfrderer fr GK 1 (Erluterungen im Text)
Rollenfrderer. Er besteht aus hintereinander liegenden, wlzgelagerten Rollen 1, die i. allg. angetrieben werden. Bei der leichten Ausfhrung fr GK 1 (Bild 15 b) werden einfach auswechselbare Rollen von oben in den Tragrahmen 2 gelegt. Den Antrieb bernimmt ein stndig umlaufender Flach-, Keiloder Rundriemen 3. Diesen drcken federnd gelagerte Rllchen 4 nur so leicht an die Frderrollen 1, daß sich diese bei ruhenden TEs (z. B. im Stau) nicht drehen. Rollenfrderer der schweren Ausfhrung fr GK 2 (Bild 16 a) transportieren vorzugsweise Paletten 1. Deren Bodenbretter 2 stehen mit den Frderrollen 3 in Kontakt. Zur Fhrung der Paletten auf den Rollen dienen kegelfrmige Abweisringe 4. Der Antrieb erfolgt zentral ber Kettenrder 5 und Rollenketten, die je zwei benachbarte Rollen verbinden. Tragkettenfrderer. Fr GK 2 (Bild 16 b). Zwei mit gleicher Geschwindigkeit parallellaufende, unten durch Kunststoffleisten 2 gesttzte endlose Rollenketten 3 tragen auf der Oberseite der Kettenglieder die Palette 1. Tragkettenfrderer arbeiten geruscharmer und palettenschonender als Rollenfrderer. Bandfrderer (fr GK 1, siehe Bild 17). Sie erlauben grßere Frdergeschwindigkeiten als Rollenfrderer. Ein ber ein Schneckengetriebe oder direkt durch einen Trommelmotor 1 getriebenes Gurtband 2, das durch Tragrollen 3 (Bild 17 a) gesttzt wird, frdert die TEs. Zur Geruschminderung knnen die Sttzrollen durch ein Sttzblech 4 (Bild 17 b) ersetzt werden (gleitende Abtragung), wobei der Antrieb die Reibkrfte zwischen Blech und Gurt berwinden muß. Kurvenfrderer. Kurvenfahrt der TEs in GK 1 ist u. a. mglich durch Rollenfrderer mit ber Riemen 10 angetrie-
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Bild 19 a, b. Schwerkraftfrderer; a mit Rllchenbahn fr GK 1; b mit Rollenbahn fr GK 1 und GK 2 (Erluterungen im Text)
Bild 16. Fr GK 2 a Rollenfrderer und b Tragkettenfrderer mit gegenber a um 90 gedrehter Palette (Erluterungen im Text)
Bild 17. Bandfrderer fr GK 1 (Erluterungen im Text)
Bild 20. Staurollenfrderer (Erluterungen im Text)
Abstandsweise eingesetzte Bremsrollen knnen die Geschwindigkeit begrenzen. Ungewollter Stillstand des Materialflusses ist mglich, wenn Bewegungswiderstnde unplanmßig groß werden, z. B. beim Anlaufen der TEs an Seitenbegrenzungen.
Bild 18. Kurvenfrderer fr GK 1 (Erluterungen im Text)
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benen kegligen Rollen 9 (Bild 18 a) oder durch Bandfrderer, bei denen das Frderband 1 (Bild 18 b) ber zwei keglige Rollen 2 (eine davon angetrieben) luft und an der Außenkante ber ein aufvulkanisiertes Profilband 3 aus PUR und festgelagerte Sttzrollen 4 auf dem Gleitblech 5 gefhrt wird. Werden die Kegelrollen an den Enden durch mehrere zylindrische Sttzrllchen 6 ersetzt (Bild 18 c), kann die Außenkantengurtfhrung entfallen. Den lose aufgelegten Gurt 7 treibt ein Reibrad 8. Die Lcken zum geradeauslaufenden Anschlußfrderer knnen enger gestaltet werden als bei kegligen Endrollen (vgl. bergangsstelle X (Bild 18 a) und Y (Bild 18 c)). Schwerkraftfrderer. Schurre, Wendelrutsche, leicht geneigte Rllchen- (Bild 19 a) und nicht angetriebene Rollenfrderer (Bild 19 b), vorzugsweise fr GK 1, nutzen die Hangabtriebskraft auf der schiefen Ebene zur berwindung der Bewegungswiderstnde zwischen TE und Tragelementen.
Staufrderer ermglichen das geplante Anhalten der TEs. Wenn die TEs dabei aufeinander auffahren drfen (Stauen unter Staudruck), knnen Schwerkraftfrderer nach Bild 19 eingesetzt werden. Der gestaute Materialstrom setzt sich selbstttig in Bewegung, wenn Stopper 1 (Bild 19 b) abgesenkt wird. Bei empfindlichem Gut oder bei den TEs der GK 2 drfen sich die gestauten TEs nicht berhren (Bild 20). In diesem Fall ist die Staustrecke in abstandsgleiche Teilstrecken (Staupltze) mit eigenen Antrieben 1, z. B. Antriebsrolle nach Bild 21 und Riementrieb 2, unterteilt. Die Stauplatzlnge wird durch die lngste zu frdernde TE bestimmt. Staubildung erfolgt, indem nach Beladung eines Stauplatzes dessen Antrieb 1 abgeschaltet wird, wenn der Stauplatz davor durch eine TE besetzt ist. Wenn eine TE von ihrem Stauplatz abgezogen wurde, besetzt die nachfolgende den freigewordenen Platz, so daß auf diese Weise alle nachfolgend gestauten TEs sich zeitlich versetzt um je einen Platz vorbewegen. Die Steuerung erfolgt mechanisch durch Schaltnocken oder optisch durch Sensoren S. 5.4.2 Elemente zum Zusammenfhren und Verteilen von Transportstrmen Components for unification and operation of material flow Diese Elemente (z. B. Weichen) verteilen in Transportknoten (s. Bild 11) aus unterschiedlichen Richtungen ankommende TEs in andere Richtungen (Bild 22 und Bild 23). Am hufigsten sind Verteilelemente mit einem Eingang und zwei Ausgngen und Sammelelemente mit zwei Eingngen und einem Ausgang.
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Bild 21. Selbsttreibende Frderrolle, GK 1 fr Staufrderer und Verschiebewagen (INTERROLL). 1 regelbarer Gleichstrommotor mit Permanentmagneterregung fr 24 Volt, 2 zweistufiges Umlaufgetriebe, 3 reibschlssige Gummikupplung zwischen Getriebeausgang und Rollenkrper, 4 fr die Montage verschiebbare Achse, 5 Vorspannfeder fr Achse, 6 feste Achse mit Sechskantprofil als Drehmomentensttze, 7 Kollektor
Bild 22 a–e. Sammel- und Verteilelemente fr leichtes Stckgut (GK 1). a Sammelelement fr Rollenfrderer. Fr ungehinderte Durchfahrt der TE entweder aus Richtung E1 oder E 2 nach A1 sorgt ein ber optische Sensoren S1, S2 gesteuerter Schwenkarm 1, der jeweils eine Frderrichtung sperrt. Seitenfhrungsrolle 2 erleichtert Umlenkung der TE. b Verteilelement fr Rollenfrderer mit Schwenkarm 1 und Umlenkrolle 2. Sensor S identifiziert die TE und schaltet Schwenkarm 1 in die gewnschte Richtung. c Zur schnelleren Umlenkung kann Schwenkarm 1 mit einem umlaufenden Band 3 ausgerstet werden. d Verteilelement fr Gurtbandfrderer. Ein stets umlaufendes, schwenkbares, ber Sensor S gesteuertes Transportband 1 verteilt die TEs in die alternativen Richtungen A1 , A2 , A3 . e Verteilelement mit mehreren Ausgngen. In chaotischer Reihenfolge ankommende TEs werden durch Sensor S identifiziert und mit Hilfe druckluftbettigter Zylinder 1 und verschiebbarer Mitnehmer 2 (Pusher) den einzelnen Ausgngen A1 , A2 , An zugefhrt
Bild 23 a–c. Sammel- und Verteilelemente fr schweres Gut (GK 2). Jedes der drei Elemente kann als Sammel- oder als Verteilelement arbeiten. a Mit Verschiebewagen 1, der auf Schienen 2 fhrt und mit einem angetriebenen Rollentisch 3 ausgerstet ist. Er nimmt die Last an einer Stelle auf, bringt sie zu dem gewnschten Ausgang und gibt sie dort ab; b mit Drehweiche 1, die einen angetriebenen Rollentisch 2 besitzt; c mit integriertem Kettenfrderer 1, welcher auf einem zwischen den Rollen eingelassenen Rahmen 2 sitzt. Dieser wird bei gewnschter nderung der Frderrichtung ber Hydraulikzylinder 3 angehoben, bernimmt die TE z. B. in Pos. A vom Rollenfrderer RF 1, frdert sie nach Pos. B und bergibt sie dort durch Absenken dem RF 2
5.4.3 Sortiersysteme. Sorting systems Gegenber den Verteilelementen unter U 5.4.2 verteilen Sortiersysteme (Sorter) die TEs der GK 1 (i. allg. unter 15 kg, z. B. Postpakete) auf eine grßere Zahl von Ausgngen und dies bei wesentlich grßeren Frdergeschwindigkeiten und Durchstzen (5 000 bis 15 000 h–1) [20, 21] (Bild 24).
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Bild 24. Funktionsprinzip der Sortiersysteme fr leichtes Gut (GK 1) (Erluterungen im Text) Bild 27. Zip-Sorter (Erluterungen im Text)
Bild 28. Drehschub-Sorter (Erluterungen im Text)
Bild 25. Kippschalen-Sorter (Erluterungen im Text)
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Bild 26. Quergurt-Sorter (Erluterungen im Text)
Kippschalen-Sorter (Bild 25). Eine Vielzahl gelenkig aneinander gekoppelter Wagen 1 werden durch ein Zugmittel 2 in einem Hohlprofil 3 auf einem geschlossenen Kurs mit mglichen Vertikal- und Horizontalbgen verfahren (u = 2,3 m/s). Jeder Wagen ist mit einem quer zur Hauptfrderrichtung kippbaren Lastaufnahmemittel 4 ausgerstet, das die TE an dem durch das Identifizierungssystem vorgegebenen Ausgang abkippt. Quergurt-Sorter (Bild 26). hnlich aufgebaut wie der Kippschalensorter besitzt jeder Wagen 1 anstelle der Kippschale einen quer zur Hauptfrderrichtung (u = 2,0 m/s) wirkenden Gurtbandfrderer 2. Sein Antrieb 3 wird nur zum Ausschleusen der TE in den vorgesehenen Ausgang aktiviert.
Zip-Sorter (Bild 27). Zwei parallel umlaufende Ketten 1 (u = 2,8 m/s), die durch Platten 2 verbunden sind, tragen die TEs. Das Ausschleusen bernehmen Abschiebeschuhe 3, die zwischen zwei benachbarten Stben liegen und zur Ausschleusung der TE quer zur Hauptfrderrichtung verschoben werden knnen. Zu diesem Zweck werden die Schuhe 3 zustzlich in Gleitschienen 4 gefhrt, die unterhalb und an beiden Seiten des Stabkettenfrderers liegen und in Hauptfrderrichtung weisen. Soll eine TE ausgeschleust werden, leitet eine Weiche 5 die Schuhe in eine im Winkel zur Hauptfrderrichtung liegende Fhrungsbahn 6 um, so daß sich die mit den Stben umlaufenden Schuhe zustzlich quer verschieben und die TE abweisen. Je nachdem, wo die TE ausgeschleust werden sollen, mssen die ihr zugedachten Abschiebeschuhe bereits am Eingang des Zip-Sorters nach Identifizierung der TE der linken oder der rechten Fhrungsschiene zugeordnet werden. Die Anzahl der Schuhe wird durch die Frdergutlnge bestimmt. Rotationspusher (Bild 28). Jeder Ausgang des Sortiersystems ist mit einem Drehschubarm ausgerstet, bestehend aus dem Dreharm 1, dem Abweiser 2, dessen Kontaktflchen 3 infolge einer im Dreharm eingebauten Parallelfhrungskinematik stets senkrecht zur Frderrichtung bewegt werden, und dem Antrieb 4, der aktiviert wird, wenn eine auf dem Band 5 ankommende TE in den betreffenden Ausgang gefrdert werden soll (z. B. TE 2 nach Ausgang 2). 5.4.4 Kreisfrdersysteme. Circular conveying systems Sie bestehen aus einer Vielzahl gleichartiger lastentragender Rollenlaufwerke mit Gehnge, die sich i. allg. auf oder ber dem Flur auf geschlossenen Fahrkursen bewegen. Weichen knnen ihre Fahrwege verzweigen und zusammenfhren. Die Lastaufnahmemittel (Gehnge) knnen den individuellen Bedrfnissen angepaßt werden.
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Bild 31. Prinzip der Fahrerlosen Transportsysteme (FTS) (Erluterungen im Text)
Bild 29 a, b. Zugmittel fr Kreisketten- und Schleppkreisfrderer. a Kreuzgelenkkette; b Steckkette nach VDI-Richtlinie 3614 (Erluterungen im Text)
Bild 30. Schleppkreisfrderer (Eisenmann) (Erluterung im Text)
Kreiskettenfrderer. Fr leichtes Gut bernimmt eine endlos umlaufende Kreuzgelenkkette den Transport der Lasten (Bild 29 a). Sie wird durch horizontale 1 und vertikale Rollen 2 in einem unten teilweise offenen Rechteckrohr 3 gefhrt (u = 6 bis 30 m/min). Infolge des Kreuzgelenks 4 kann die Fahrbahn ansteigend, abfallend oder in der horizontalen Ebene gekrmmt sein. Das beliebig gestaltbare Lastaufnahmemittel 5 ist drehbar zwischen zwei Kettengliedern 6 angeordnet. Fr schweres Gut wird die sog. Steckkette (Bild 29 b) nach VDI-Richtl. 3614 eingesetzt. Im entspannten Zustand lßt sie sich einfach in die drei Elemente Innenglied 1, Außenglied 2 und Bolzen 3 zerlegen. Die Kette wird durch Rollen aus Stahl auf den Flanschen eines I-Profils gefhrt (s. U 3 Bild 28). Schleppkreisfrderer (Power & Free Frderer). Sie verwenden als Zugmittel die gleichen Elemente wie die Kreiskettenfrderer. Allerdings hngen die Lasten an eigenen Laufwagen (Bild 30). Diese knnen ber einen Klinkenmechanismus 1 an die umlaufende Zugkette 2 angehngt werden (u = 6 bis 30 m/min) und sich von dieser wieder abkuppeln, wenn z. B. der die Klinke bedienende Hebel 3 auf die Gleitkurve 4 eines stehenden Laufwagens auffhrt. Dies ermglicht die automatische Pufferbildung. Der Laufwagen besteht aus den beiden Fahrwerken 5 und 6 und der sie gelenkig verbindenden Lasttraverse 7. Wird der vorderste Laufwagen 8
abgezogen, kuppeln sich die nachfolgenden Wagen taktweise an die stets umlaufende Schleppkette 2 an. Kurvenfahrt und ansteigende Frderung bis 45 sind mglich. Die bergabe der Transportwagen von einem Frderkreis auf einen anderen (Weiche) erfolgt durch Transfer-Frderer. Elektrohngebahn-System (EHB). Die Fahrbahn ist eine einseitig aufgehngte Schiene [22–24]. Jedes Fahrzeug (Aufbau und Funktion s. U 2 Bild 74) mit eigenem Antrieb und eigener Identnummer kann durch den Rechner einzeln angesteuert, an jeder beliebigen Stelle angehalten und bei frequenzgeregelten Motoren bei unterschiedlich großen Geschwindigkeiten (z. B. Reduzierung bei Kurvenfahrt) betrieben werden. Der Fahrweg ist in Blockstrecken unterteilt. Sobald ein Fahrzeug die Blockstrecke belegt, ist die Einfahrt durch das nachfolgende unterbunden. Pufferbildung ist mglich. Bei Steigungen ber 5 % untersttzen Schlepptriebe die Bergauffahrt. Grßere Hhenunterschiede werden durch aufzughnliche Hub/Senkstationen berbrckt, in die die Fahrzeuge einfahren. Verzweigung der Fahrwege erfolgt ber einschiebbare Weichenelemente. Fahrgeschwindigkeiten zwischen 20 bis 50 m/min sind blich, 120 m/min ist mglich. Fahrerloses Transportsystem (FTS). Batteriegetriebene, durch Rechner fernsteuerbare Flurfrderzeuge 1 bewegen sich mit bis zu 1 m/s entlang eines im Boden verlegten Leitdrahts 2, der ein elektrisches Wechselfeld bestimmter Frequenz um sich aufbaut (Bild 31) [25–27] . Zwei Hall-Sensoren 3 fhren das Fahrzeug entlang des Leitdrahts, indem sie die Fahrantriebe 4 so regeln, daß die gemessenen Feldstrkewerte beider Sensoren stets gleich sind. Kurzzeitiges Verlassen des Leitdrahts ist mglich. An definierten Orten des Fahrkurses (z. B. vor Weichen) bestimmen die FTS ihre Position durch in den Boden eingelassene sog. Responder 5, die auf einen Anfrageimpuls mit einer dem Ort zugeordneten Frequenz antworten. Auf den Leitdraht kann verzichtet werden, wenn die Positionsbestimmung und Fahrzeugfhrung ber Laserstrahlen erfolgt, die die Winkelstellung und Entfernung des Fahrzeugs zu ortsfesten Reflektoren messen. Die Vorwrtsbewegung des in Bild 31 gezeigten FTS erfolgt durch zwei unabhngig voneinander um 360 um die vertikale Achse drehbare Antriebsrder 6 und zwei Sttzrder 7, so daß sich das Fahrzeug um jeden Punkt auf der Mittellinie YY drehen kann. Andere Radanordnungen sind mglich [28]. Die FTS knnen zum selbstttigen Aufnehmen von Lasten mit individuell angepaßten
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Lastaufnahmemitteln ausgerstet werden. Dem Vorteil des automatisierten Transports durch FTS stehen als Nachteil die relativ großen Systemkosten einschließlich Platzbedarf fr Fahrwege, Bahnhof und Batterieladestation entgegen.
5.5 Lagertechnik. Warehouse technology 5.5.1 Aufgabe, Struktur und Funktion eines Lagersystems Structure and function of warehouse systems Ein Lager sorgt fr den zeitlichen und mengenmßigen Warenausgleich zwischen Angebot (z. B. Hersteller) und Nachfrage (z. B. Verbraucher) (Bild 32). Es stellt damit einen unvermeidbaren Puffer dar. Wegen des gebundenen Kapitals und der Zinskosten sollen die Lagermenge so klein und die Lagerdauer so kurz wie mglich sein. Bild 33 erklrt den Aufbau und die Funktion eines automatisierten Lagersystems. Es gliedert sich in das Administrative, Dispositive und Technische System. Zu letzterem gehren die Frder- und Lagermittel. Die per Bahn oder LKW angelieferten TEs werden im Wareneingang (WE) entladen und dort nach bereinstimmungsprfung mit der Bestellung i. allg. auf Staupltzen 1 zwischengespeichert. Frderer 2, wie Rollen-, Kettenfrderer oder Fahrerlose Transportsysteme, transportieren die TEs zur bergabestelle 3. Vorher erfolgt die berprfung der Konturenmaße der TEs sowie am sog. I-Punkt (Identifizierungspunkt) die Lagerplatzanweisung und damit die bergabe der TEs in den automatisierten Betrieb. An der bergabestelle 3 bernimmt das sog. Lagerbediengert 4 die TEs und bringt sie nacheinander auf die vorbestimmten Lagerpltze, z. B. in ein Hochregal 5. Aus der Transporteinheit (TE) wird die Lagereinheit (LE). Die Auslagerung erfolgt auf gleiche Weise ber die bergabestelle 6. Frderer 7 transpor-
tieren die TEs in den Warenausgang (WA), wo sie vor dem Versand gegebenenfalls auf den Staupltzen 8 zwischengespeichert werden. Warenverteilzentren besitzen zustzlich ein dem Lagerbereich nachgeschaltetes Kommissioniersystem (Bild 33), in dem Artikel aus dem Lagersortiment entsprechend eines kundenspezifischen Auftrags zu einer TE (z. B. Postpaket) zusammengestellt werden [29, 30] (s. U 5.5.7). Oft wird direkt im Regalgang kommissioniert (s. U 5.5.6). Sog. Vorratslger z. B. in Fertigungsbetrieben verzichten i. allg. auf den Kommissionierbereich und besitzen keinen Warenausgang. Lger zwischen Produktion und Montage (sog. Zwischenlger) bestehen lediglich aus dem Lagermittel und dem Lagerbediengert. Ihre Steuerung ist eng mit der Produktion verknpft. 5.5.2 Lagerungsmglichkeiten. Storage systems Die Lagerungsart hngt ab von der Art und Menge des Lagergutes sowie vom gewnschten Automatisierungs- und Zugriffsgrad (ZG). Der ZG ist das Verhltnis der direkt erreichbaren LEs zur Gesamtzahl aller gelagerten LEs. Bodenlager. ZG < 1. Die TEs werden auf den Boden abgesetzt und zur bestmglichen Flchennutzung neben- und bereinander in Form eines Blockes (Blocklager Bild 34 a) oder einer Zeile (Zeilenlager Bild 34 b) gestapelt. Lagergter sind Kartons, Behlter z. B. in der Getrnkeindustrie, Scke, leere und beladene Paletten, Papierrollen usw. Regallager. Regale sind das am hufigsten eingesetzte Lagermittel. Die Lagerung erfolgt in Regalfchern. Die Regale und die LEs in ihnen stehen fest (statische Lagerung) oder die Regale, bzw. die LEs in ihnen, knnen verfahren (dynamische Lagerung). Das Ein- und Auslagern geschieht selten manuell, i. allg. teil- oder vollautomatisiert durch Bediengerte. Die dynamische Lagerung ermglichen Verschieberegale (Bild 35), Umlaufregale (Bild 36), Durchlaufregale (Bild 37) zur Lagerung eines großen Sortiments von Kleinteilen mit jeweils relativ kleiner Stckzahl z. B. in Fertigungsbetrieben, im Einzelhandel, in der Getrnkeindustrie. Feststehende Regale mit Boden (Bild 38 a) oder mit Auflagetrgern (Bild 38 b) der unter-
Bild 32. Allgemeine Aufgabe eines Lagers (Erluterungen im Text)
Bild 34 a, b. Bodenlager. a Blocklager; b Zeilenlager (Erluterungen im Text)
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Bild 33. Struktur eines automatisierten Lagersystems (Erluterungen im Text)
Bild 35 a, b. Verschieberegale. a Mit Querverschiebung; b mit Lngsverschiebung der Regale 1. Letztere werden einzeln oder im Pulk auf Schienen 2 durch Eigenantrieb so verfahren, daß jeweils der gewnschte Gang 3 zur Entnahme der Ware frei wird
I5.5 Lagertechnik
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Bild 36 a, b. Umlaufregale. a Vertikales Umlaufregal. Die Regalksten 1 sind beidseitig an vertikal umlaufenden Ketten 2 aufgehngt. Sie knnen durch Antrieb 3 nach Schalterbettigung in die gewnschte Arbeitsplatzhhe gefahren werden; b Horizontales Umlaufregal. Die Regalksten 1 hngen an einem umlaufenden Kettenfrderer 2. Sie werden durch Antrieb 3 in die Entnahmeposition gefahren und dabei unten z. B. durch Rder 4 an einer Schiene 5 gefhrt
rer (Bild 30), Fahrzeuge der Elektrohngebahn (U 2 Bild 74) oder Fahrerlose Transportsysteme (Bild 31) zustzlich die Funktion eines Lagers bernehmen. Die beladenen Frdermittel werden in einer Staustrecke abgestellt und bei Bedarf abgerufen. Vorteil: Kosten- und Zeitersparnis, da Lagermittel sowie das Aus- und Einlagern entfallen. 5.5.3 Abmessungen von Regalen in Palettenlagern Dimensions of pallet shelves Bild 37. Durchlaufregal. Die LEs 1 werden an einer Regalseite eingelagert und an der anderen ausgelagert. Sie bewegen sich dabei selbstttig durch Schwerkraft auf einem geneigten Rollenfrderer 2 weiter, sobald die vorderste LE 3 z. B. nach Freigabe durch Stopper 4 ausgelagert wurde
blich ist die sog. Mehrplatz-Lngslagerung mit empfohlenen Systemmaßen nach Bild 39. Drei Paletten 1 lagern mit ihren kurzen Seiten nebeneinander in einem Regalfach. Sie werden durch je zwei in Regallngsrichtung laufende Trger 2 gesttzt. Sog. Steher 3 begrenzen das Fach und nehmen die Vertikallasten auf. Je zwei hintereinanderstehende Regale bilden eine Baueinheit. Fr die Stabilitt der Regalkonstruktion sorgen Lngs- und Querverbnde zwischen den Stehern. Bei der Einplatz-Querlagerung (Bild 40) liegt nur eine LE im Regalfach. Ihre lngere Seite liegt parallel zur Gangrichtung. Die LEs werden im Regal nur seitlich durch direkt an den Stehern 3 befestigte, vorne mit Einfhrungsbogen 1 versehene Kufen 2 gesttzt. Die Einplatz-Querlagerung wird vorzugsweise zur Lagerung von Behltern mit Grundflchen nach Bild 13 c, wegen des zu erwartenden Durchhangs seltener zur Lagerung von Paletten eingesetzt. 5.5.4 Das Hochregallager (HRL) High-rise storage system
Bild 38 a–c. Feststehende Regale. a Mit Boden 1; b mit Auflagetrgern 2; c mit Kragarmen 3 (Kragarmregal) (Erluterungen im Text)
schiedlichsten Bauart und Grße dienen der Lagerung von Kleinteilen oft in Kleinbehltern oder auf Tablaren, Kartons, Paletten und Behltern (Bild 13) usw. Kragarmregale (Bild 38 c) lagern Halbzeuge relativ langer Abmessungen. Kanalregale (Bild 42 a) ermglichen die Lagerung von fnf bis acht hintereinander stehenden Paletten oder Behltern bei guter Flchennutzung, aber ZG < 1 (s. U 5.5.5). Lagerung auf Frdermitteln. Bei kurzer Lagerdauer und kleiner Stckzahl, z. B. in Puffern der Automobilindustrie, knnen Frdermittel wie Tragketten- oder Schleppkreisfrde-
Funktion (Bild 41). Das HRL (VDI-Richtl. 2697) dient der automatischen Lagerung großer Stckzahlen von Paletten und Behltern mit standardisierten Grundflchen nach Bild 13. Unbeschdigte Paletten sind die Voraussetzung fr einen strungsfreien Betrieb. Die Vielzahl zeilenfrmig angeordneter Regale (bis zu 45 m hoch und 140 m lang) sind aus Walzoder Spezialprofilen gefertigt und in Fcher unterteilt (s. U 5.5.3). Im Gang zwischen je zwei Regalen fhrt das Regalbediengert 1. Es nimmt die LE am sog. Einlagerungsplatz 2 auf, bringt sie in das vorgewhlte Regalfach und fhrt entweder zurck, um die nchste LE aufzunehmen (Einfachspiel ES), oder es fhrt zu einem anderen Regalfach, um dort eine LE zu entnehmen und diese zum Auslagerungsplatz 3 zu transportieren (Doppelspiel DS). Durch zweckmßige Anordnung der bergabepltze 2 und 3, z. B. in zwei bereinander liegenden Ebenen 4 und 5, ist dafr zu sorgen, daß der ankommende und der abfließende Materialstrom sich nicht behindern. Vor dem Einlagerungsplatz 2 und gegebenenfalls
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Frdertechnik – 5 Frderelemente und Frdersysteme fr den innerbetrieblichen Materialfluß auch hinter dem Auslagerungsplatz 3 sind Staupltze 6 und 7 in ausreichender Zahl vorzusehen. Regalbediengerte (RGB). (VDI-Richtl. 2361, Bl. 1), Kenngrßen s. Tab. 1. Die RGBs sind vollautomatisiert und mit Positioniereinrichtungen ausgerstet [31]. Sie fahren, durch Seitenrollen oder Spurkrnze gefhrt (Bild 41), mit zwei Rdern auf einer Bodenschiene 8. Ein Rad, seltener beide Rder, werden durch geregelte Motoren 9 angetrieben [32]. Der Fahrbalken 10 ist biegesteif an den Mast 1 angeschlossen. Die Rolle 11 an seiner Spitze nimmt die Krfte infolge der exzentrischen Last auf. Ein am Mast durch Seil- oder Kettenhubwerk 12 verfahrbarer Hubwagen 13 trgt den Teleskoptisch 14 (Bild 45), auf dem die Palette oder der Behlter whrend der Fahrt steht. Seine teleskopierbare Gabel bedient die links und rechts des Ganges gelegenen Fcher. 5.5.5 Das Kanalregallager fr Paletten Channel shelf system for pallets
Bild 39 a, b. Regalmaße bei Mehrplatz-Lngslagerung. a Fachhhe hF =Trgerhhe hT +Palettenhhe hP (150 mm)+Beladehhe hL +100 mm zum Anheben oder Absetzen der LE. Fachlnge lF =Steherbreite bS +Abstand zwischen Steher 1 und LE (2 75 mm)+Abstand der LEs untereinander (2 100 mm)+ 3 LE-Breite bL (bL =Palettenbreite+2 50 mm berhang). b Doppelregalbreite bR =2 LE-Lnge lL (lL =Palettenlnge+2 50 mm berhang) +250 mm Zwischenraum fr Querverband und Sprinkleranlage. Gangbreite bG (Tab. 1) ist der Abstand zwischen den beiden beladenen Regalen, die den Gang bilden. Auflagetrger 2 kann hinter oder vor (wie gezeichnet) den Stehern liegen. berstand s 75 mm
Das Kanalregalsystem (Bild 42 a) [33] besteht aus den Regalen 1, in dessen kanalartigen, nach hinten erweiterten Fchern bis zu acht Paletten 2 eng hintereinander abgestellt werden knnen (dadurch grßerer Raumnutzungsgrad als das Hochregallager bei ZG