Zur Behandlung baustatischer Aufgaben als Randwertprobleme 9783486762112, 9783486762105

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ZUR BEHANDLUNG BAUSTATISCHER AUFGABEN ALS RANDWERTPROBLEME

VON

Dr.-Ing. KARL SCHÄFER

MIT 47 TEXTABBILDUNGEN

MÜNCHEN UND BERLIN 1931 VERLAG VON R.OLDENBOURG

Copyright 1931 by R. Oldenbourg, München und Berlin. Alle Rechte, einschließlich des übersetzungsrechtes, vorbehalten. Druck von R. Oldenbourg, München und Berlin.

Vorwort. Der Behandlung baustatischer Aufgaben als Randwertprobleme entspricht, in der üblichen Statik der Baukonstruktionen, die Einteilung der Tragwerke nach bestimmten Systemen. Die begriffliche Formulierung der Systeme stützt sich dabei im wesentlichen auf sogenannte Auflagerbedingungen, beispielsweise bei dem einfachen Balken auf eine feste Einspannung, auf feste — gleitende — und rollende Lager usw. Im Grunde sind dies aber nur Aussagen über bestimmte Werte von Kraft- oder Spanngrößen. Erst in der Statik der statisch unbestimmten Systeme treten g e o m e t r i s c h e Bedingungen, als da sind Angaben über Verschiebungen und Verdrehungen von ausgezeichneten Punkten oder Graden, in den Vordergrund der Untersuchungen. Dabei ist die Beobachtung zu machen, daß bei dieser Art der Angabe von Auflagerbedingungen fast nur Extremwerte der genannten Größen in Rechnung gezogen werden. In Wirklichkeit kommen diese ausgezeichneten Werte fast nie vor, es sei denn, daß sie durch besondere Maßnahme bewirkt und für die Dauer sichergestellt werden. Daß in der Überzahl der Fälle diese Annahmen erlaubt sind, soll nicht bestritten werden, doch existieren auch genügend Fälle, bei denen erhebliche Abweichungen die Regel bilden. Erwähnt seien nur die eingespannten Gewölbe, die Druckstäbe von Stabwerken und insbesondere die Stützen. Dem vorherrschenden Einfluß der sogenannten Euler-Gleichung ist es zuzuschreiben, daß bei Knickstäben in der Regel nur die bekannten vier Belastungsfälle behandelt wurden. Nicht selten sind deshalb, weil eine Stütze oder Druckstab nun unter einen dieser vier Fälle subsummiert werden sollte, erhebliche Fehler in der Querschnittsbemessung vorgekommen. Eine volle Ubersicht über derartige Aufgaben wird aber erst dann erreicht, wenn die allgemeinsten Auflager- oder Randbedingungen, wie sie insbesondere hier genannt werden sollen, in den Vordergrund der Betrachtungen gestellt werden. Der erwähnte Aufbau der Statik auf Grund der Eigenart der verschiedenen Tragsysteme hat auch dazu geführt, bei der Durchführung der Untersuchungen solche Verfahren zu bevorzugen, die in weitestem Umfange ihre Grundlage in der Mechanik haben. Als Folge hiervon zeigt jedes System einen mehr oder weniger stark ausgeprägten, selbständigen Charakter, und diese Besonderheiten treten dann hinter all-

gemeine Betrachtungen zurück, wenn es gelingt, eine Reihe von Tragsystemen so zusammenzufassen, daß sie analytisch von einer einzigen Differential- oder Differenzengleichung beherrscht werden und ihre Besonderheiten sich lediglich in den dazugehörigen Randbedingungen wiederfinden. Der letztgenannte Weg, der in dem vorliegenden Buche beschritten werden soll, stellt auch geometrische Dinge als solche wieder in den Vordergrund, wo ihre Eigenart unter mechanischen Betrachtungen zurücktrat. Erwähnt sei hier nur das sogenannte w Gewicht, was im Grunde doch nur eine Winkeländerung ist und bei dem schon begrifflich viel gewonnen würde, wenn es als w Änderung bezeichnet würde. Die vorliegende, stärker nach der mathematischen Seite neigende Durchführung von Aufgaben dürfte auch geeignet sein, besonderen Nutzen aus der wertvollen Arbeit zu ziehen, welche die Mathematiker auf den in Frage kommenden Gebieten geleistet haben. Hierin liegt weiter eine Möglichkeit zu einer Gemeinschaftsarbeit zwischen Mathematiker und Ingenieur, die nach Ansicht hervorragender Fachgelehrter, zu gemeinsamem Nachteil nicht genügend gepflegt worden ist. Da nun aber auch der hier eingeschlagene Weg in seinem weiteren Verlauf den Ingenieur auf neue Betrachtungsweisen führt, die in der modernen Physik besondere Bedeutung erlangt haben, und die Ergebnisse in vielen Fällen von einer für die praktische Anwendung erwünschten Einfachheit sind, hoffe ich, mit dieser kleinen Schrift, die aus meiner, von der Technischen Hochschule Darmstadt, Referent Prof. Dr.-Ing. Kammer, Korreferent Prof. Dr. Walther, genehmigten Dissertation hervorgegangen ist, auf Rechnungsmethoden hingewiesen zu haben, die in der Statik der Baukonstruktionen mit großem und wachsendem Nutzen herangezogen werden können. Karl Schäfer.

Inhaltsverzeichnis. Seite

Einleitung § § § §

5

1. 2. 3. 4.

Problemstellung 8 Randbedingungen 9 Allgemeines über die Greensche Funktion 10 Die Differentialgleichung u" (x) = —