Wahrscheinlichkeitsrechnung mit einem Anhang über Informationstheorie [4 ed.]

Citation preview

INHALTSVERZEICHNIS I. Algebra der Ereignisse § 1. Die grundlegenden Beziehungen der Ereignisalgebren § 2. Weitere Operationen und Beziehungen § 3. Axiomatischer Aufbau der Ereignisalgebra '.' . . . . . . . . . . . . . § 4. Über die Struktur endlicher Ereignisalgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5. Darstellung von Ereignisalgebren durch Mengenalgebren . . . . . .. § 6. Aufgaben II. Die Wahrscheinlichkeit § 1. Die Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. . . . . •.. . ... . . . . .. .. .. § 2. Der Begriff der Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Wahrscheinlichkeitsalgebren ..•. .. . . .. . . . . . . . . ........... § 4. Endliche Wahrscheinlichkeitsalgebren § 5. Berechnung von Wahrscheinlichkeiten durch kombinatorische über. Iegungen . . . . . . .. . . . . . .• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. § 6. Wahrscheinlichkeitsalgebren von KOLMOGOROFF § 7. Über die Erweiterung von Mengemingen, Mengenalgebren und Maßen § 8. Bedingte Wahrscheinlichkeiten § 9. Die Unabhängigkeit von Ereignissen ,........ § 10. Geometrische Wahrscheinlichkeiten § 11. Bedingte Wahrscheinlichkeitsalgebren ......... . . . . . . .. . . . § 12. Aufgaben ...................................................•.. III. Diskrete Zufallsveränderliche § 1. Vollständige Ereignissysteme und Wahrscheinlichkeitsverteilungen. ... § 2. Der Satz über die vollständige Wahrscheinlichkeit und der Satz von

I

5 7 9 13 15 20 21 24 30 31 35 37 42 45 50 56 59 69

BAYES •.••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 69 § 3. Klassische Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 § 4. Der Begriff der Zufallsveränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 § 5. Unabhängigkeit von Zufallsveränderlichen . . . . . . . . .. .. . . . . . . . 82 § 6. Falturig diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen ',' . . . 84 § 7. Der Begriff des Erwartungswertes einer diskreten Verteilung 86 § 8. Einige Sätze über den Erwartungswert 88 § 9. Die Streuung .•••.•..........•........•........................ 92 § 10. Einige Sätze über die Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . 95 § 11. Der Korrelationskoeffizient....................................... 97 § 12. Die Poissonsche Verteilung 101 § 13. Einige Anwendungen der Poissonschen Verteilung 104 § 14. Algebra der Wahrscheinlichkeitsverteilungen 109 § 15. Erzeugende Funktionen 113 § 16. Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung .. 125 § 17. Das Bemoullische Gesetz der großen Zahlen 131 § 18. Aufgaben ......•......•...........•.............. - . . . . . . . . • . . .. 133

x

Inhaltsverzeichnis IV. Allgemeine Zufallsveränderliche § 1. Der allgemeine Begriff einer Zufallsveränderlichen § 2. Verteilungsfunktion und Dichtefunktion § 3. Mehrdimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen § 4. Bedingte Verteilungsfunktionen und bedingte Dichtefunktionen § 5. Unabhängigkeit von Zufallsveränderlichen § 6. Die Gleichverteilung § 7. Die Normalverteilung § 8. Die Verteilung einer Funktion einer Zufallsveränderlichen § 9. Die Faltung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen § 10. Die Verteilung von Funktionen mehrerer Zufallsveränderlicher § 11. Der allgemeine Begriff des Erwartungswerts § 12. Der Erwartungsvektor mehrdimensionaler 'Wahrscheinlichkeitsverteilungen , § 13. Mediane und Quantile § 14. Der allgemeine Begriff der Streuung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. § 15. über einige andere Maßzahlen für die Schwankung § 16. Die Streuung im mehrdimensionalen Fall § 17. Aufgaben V. Weiteres über Zufallsveränderliche § 1. Zufallsveränderliche auf bedingten Wahrscheinlichkeitaalgebreu § 2. Verallgemeinerung des Begriffs der bedingten Wahrscheinlichkeit in Kolmogoroffschen Wahrscheinlichkeitsalgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. § 3. Verallgemeinerung des Begriffs der bedingten Wahrscheinlichkeit in bedingten Wahrscheinlichkeitsalgebren § 4. Verallgemeinerung des Begriffs des bedingten Erwartungswerts in Kolmogoroffschen Wahrscheinlichkeitsalgebren § 5. Verallgemeinerung des Bayesschen Satzes § 6. Der Korrelationsquotient § 7. über einige andere Maßzahlen für die Abhängigkeit zweier Zufalls'............................................ veränderlicher § 8. Der Kolmogoroffsche Haupteatz § 9. Aufgaben

VI. Charakteristische Funktionen § 1. Komplexwertige Zufallsveränderliche § 2. Charakteristische Funktionen und ihre Eigenschaften. . . . . . . . . . . . . .. § 3. Charakteristische Funktionen von einigen wichtigen Verteilungen § 4. Einige grundlegende Sätze über charakteristische Funktionen § 5. Charakteristische Eigenschaften der Normalverteilung § 6. Charakteristische Funktionen mehrdimensionaler Verteilungen . . . . . .. § 7. Unbeschränkt teilbare Verteilungen § 8. Stabile Verteilungen § 9. Charakteristische Funktionen bedingter Wahrscheinlichkeitsverteilungen § 10. Aufgaben .............•........................................ VII. Die Gesetze der großen Zahlen § 1. Die Tschebyscheffsche Ungleichung und verwandte Ungleichungen § 2. Die stochastische Konvergenz § 3. Verallgemeinerung des Bernoullischen Gesetzes der großen Zahlen

144 144 148 151 152 154 155 161 162 170 174 181 182 183 186 188 194

206 214 222 228 231 232 236 242 245 254 255 261 263 272 286 291 293 296 ~08

313 314 316

Inhaltsverzeichnis § § § § §

4. 5. 6. 7. 8. § 9. § 10. § 11. § 12. § 13. § 14.

Die Bernsteinsehe Verschärfung der Tschebyscheffschen Ungleichung .. Das Lemma von BOREL-CANTELLI Die Kolmogoroffsche Ungleichung Das starke Gesetz der großen Zahlen Der Hauptsatz der mathematischen Statistik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Der Satz vom iterierten Logarithmus Mischende Mengenfolgen ..••.................................... Das "Null-oder-Eins"-Gesetz Der Kolmogoroffsche Dreireihensatz Die Gesetze der,großen Zahlen auf bedingten Wahrscheinlichkeitsalgebren Aufgaben......... • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

VIII. Die Grenzverteilungssätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung § 1. Die zentralen Grenzverteilungssätze § 2. Die lokale Gestalt des zentralen Grenzverteilungssatzes § 3. Das Anziehungsgebiet der Normalverteilung § 4. Konvergenz gegen die Poissonsche Verteilung § 5. Der zentrale Grenzverteilungssatz für Stichproben aus einer endlichen Gesamtheit .................••..•••............................ § 6. Anwendung der Mischungssätze zur Verallgemeinerung der Grenzverteilungssätze § 7. Der zentrale Grenzverteilungssatz, wenn die Anzahl der Summanden vom Zufall abhängt § 8. Grenzverteilungssätze für Markoffsehe Ketten.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. § 9. Grenzverteilungssätze bei geordneten Stichproben § 10. Grenzverteilungssätze über die empirischen Verteilungsfunktionen '" § 11. Grenzverteilungssätze über Irrfahrtprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. § 12. Aufgaben Einführung in die Informationstheorie 1. Die Hartleysche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. Die Shannonsche Formel 3. Die bedingte und die relative Information 4. Der Informationsgewinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. Statistische Deutung der Information 6. Weitere Maßzahlen für die Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. Statistische Interpretation der Information e-ter Ordnung 8. Definition der Information für allgemeine Verteilungen 9. Anwendung der Informationsgrößen beim Beweis von Grenzverteilungssätzen ........•................................................ § 10. Verallgemeinerung der Informationstheorie auf bedingte Wahrscheinlichkeitsalgebren § 11. Aufgaben

Anhang. § § § § § § § § §

XI 322 326 328 330 335 337 340 342 344 348 352 362 369 373 377 379 384 388 392 401 406 412 424 435 440 447 451 45.5 459 471 474 482 487 489

Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 499 Anmerkungen und Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 520 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 526 Namen- und Sachverzeichnis

540