Vybrané úlohy z matematické analýzy pro 1. a 2. ročník [Vyd. 5. ed.] 9788073782146, 8073782146

Citation preview

,

,

rane u o . , z matemat1c e ana PRO 1. A 2. ROČNÍK

matfyzpress VYOAYATELSlVI MATEMATICKO-l'YZIKÁI.NI FAAULTY UNIVERZITY ICARLOYY

,

•

'f-'

MATEMATICKO-FYZIKÁLNÍ FAKULTA Univerzita Karlova

LUDĚK ZAJÍČEK

VYBRANÉ ÚLOHY Z MATEMATICKÉ ANALÝZY pro 1. a 2. ročník

matfyzpress PRAHA 2013

•

I

I

Všechno práva vyhrazena Tato publikace ani žádni\ její část nesmí hýl reproduko,'ána nebo šífena ,. žádné fonně, elektronické nebo mechanické, včetně fotokopií, bez písemného souhlasu vydavatele.

I

@ Luděk Zajíček, 2013 © �IatfyzPress, vydavatelství P.Iatematicko-fyzikální fak ulty Uuh·erzity l{arlovy v Praze, 2013

ISBN 978-80-7378-214-6 ISBN 80-86732-58-4 (čtVl ll! vydá.ul) ISBN 80-858G3-91-'J (třclí vydání) ISBI\' 80-85863-57-X (druhl! vydá.ní) ISBN 80-85863-26-6 {první vydáni)

'

I

Obsah

1.

Předmluva

3

Doporučené úlohy

5

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 2.

Výroky, zobrazení, funkce, reálná čísla • Limity posloupností . . . . . . . Limita a spojitost funkce . . . . . • Cyklometrické funkce, derivace a průběh funkce Taylorova formule . . . . Primitivní funkce . . . . Diferenciální rovnice 1. řádu Určitý integrál . . . . . • • Konvergence číselných řad 11ocninné řady . . . . • Funkce více proměnných . :r-.1etrické prostory . . . Posloupnosti a řady funkcí Lineární diferenciální rovnice n--tého řádu . Extrémy funkcí více proměnných . . . Fourierovy řady a Fourierova transformace Výsledky a návody . . . . . . . . . .

5 7

• • •

• • •

•

••

. .

51 51

Poznámky k některým početním metodám

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14

Metody společné pro výpočet limit posloupností i funkcí Elementární metody výpočtu limity funkce Limita posloupnosti . . . . . . . Užití L'Hospitalova pravidla . . . . \f ýpočet limity pomocí Taylorovy věty • • • Definiční obor a spojitost funkce Výpočet derivace a jednostranných derivací Asymptoty funkce . . . . . . . . . 1ionotorue a extrémy funkce . . . . . Konvexnost, konkávnost a inflexni body • • Vyšetřování průběhu funkce . . . . . Spojitost a limita funkcí více proměnných . Parciální derivace a totální diferenciál . . Zjišfování otevřenosti a uzavřenosti podmnožin Rn

•

11 13 16 18 21 22 24 26 27 32 35 37 39 41 43

56

•

• •

• • •

61 64 69 71 73 75 76 83 86 89 91 93

1

1

I

I

-

i

I

" ji

•

Předmluva Tato publikace je určena hlavně pro studenty oboru matematika; včřún však, že z ní mohou mít užitek i studenti jiných oborů. Jejím zák.ladem jsou „doporučené úlohy", které jsem během svých přednášek z matematické analýzy pro 1. a 2. ročník oboru matematika průběžně zadával stu­ dentům. Tyt.-0 úlohy informovaly vedoucí cvičeni, jaké typy úloh se mají procvičovat. Hlavní motivací zadávání „doporučených úloh" však bylo zmenšeni rozsahu cvi­ čenJ z matematické analýzy ( ze 4 na 2 hod. týdně), které podstatně zvětšilo nut­ nost samostatné práce studentů. Cílem bylo poskytnout studentům pon1ěrně malý soubor úloh, který dostatečně ilustruje zákJadni pojmy a početní metody Uejichž zvládnutí se vyžaduje u zkoušek ). S tímto materiálem mohou studenti pracovat samostatně a přfklad)', s kterými mají potíže, lze probrat na cvičení. Většina úloh je převzata z řady zdrojů, převážná část početních příkladů z kla­ sické Děmidovičovy sbírky (De]. Těžší a speciálnější úlol1y jsou označeny hvězdičkou, těžké a pracné úlohy dvěma hvězdičkami. Většina úloh je opatřena výsledkem nebo návodem. Plánovaný rozsah publikace dovolil přidat k původním „doporučeným úlohám" následující materiál, který může být prospěšný při studiu, zvláště v náročném prv­ ním semestru: a) Poznámky k metodám počítáni limit, derivací, totálních diferenciálů a vyšet­ řování průběhů funkcí s řešenými příklady a upozorněním na některé časté chyby. b) Řadu příkladů, jejichž vzorové řešení lze najít v česk ých dostupných publi­ kacích ([Kl], [K2], [DI), [JI], [č:]); studenti mají tedy možnost tato řešení srovnat se svými. Tyto přfk.lady jsou označeny a zařazeny mezi ostatní úlohy; přesnější odkazy lze najít ve „Výsledcích a návodech". Děkuji kolegům dr. O. Kale11dovi, dr. M. Zelenému a zvláště doc. P. Holickému za upozornění na řadu nedostatků a mgr. M. Kubečkovi za zhotoveni obrázků a technic-.kou pomoc. Citovaná literatura:

[C] J.

č:erych a kol. : Příklady z matematické analýzy V. [DI] V. Jarnfk: Diferenciální počet I. [DII] V. Jarnfk: Diferenciální počet II. [De) B. P. Děmidovič: Sborrůk zadač i upražnenij po matematičeskomu analizu ( verze pro university a pedagogické instituty). {JI] V. Jarník: Integrální počet I. [Kl] J. Kopáček a kol. : Příklady z matematiky pro fyziky I. (K2] J. Kopáček a kol. : Příklady z matematiky pro fyziky TI.

3

Předmluva ke čtvrtému vydáni

Ve čtvrtém vydání je opraveno ještě 8 chyb a nepřesností; za upozornění na většinu z nicl1 děkuji dr. J. Kolářovi. Dále jsem provedl řadu drobnýcli změn a několik doplněni na základě připomínek recenzenta doc. J. Miloty. Provedl jsem také řadu typografických úprav. Přidal jsem pouze úlohy 338 d) a 458 b), takže číslování úloh je stejné jako v předchozích vydáních. Budu vděčen za upozornění (např. e-mailem na adresu [email protected]) na další chyby.

I

..

r I

f

•

4

j

I

l

1. Doporučené úlohy 1.1 Výroky, zobrazení, funkce, reálná čísla 'r/a E IR \;/b E R \;/c E R: la - b + cl � lal - lbi - lcl?

1.

Platí výrok

2.

Dokažte indukcí, že pro x1, ... , Xn E [O, 1r] platí nerovnost sin

n

j II

I:xk k=l

3. Nechť Dokažte, že *4.

x1, x2, ... , Xn

jsou reálná čísla větší než -1 mající stejné znaménko.

I

l

I

Dokažte indukcí, že pro každé přirozené n platí n+l n n.t O 3a E JR 'vx E JR: x E (a, a+€)# lx - al < 1 b) 3a E JR\;/€> O \;fa E IR 3x E JR: x E (a, a+€)# lx - al < 1 Nechť f(x)

I

I I

i

= 42_:IJ;. Nalezněte DJ, HJ, J- 1.

I

Jcp

2 (x) - 1. Dokažte, že 8. Nechť O) ==> n-oo

**58. Nechť platí O :$ · limn-oo � n *59.

'

lim n-oo

pak užijte k výpočtu

n-oo Xn

lim

n -oo

60.

n

\1yp očtěte součet řady komplexních čísel

f (1)

k=l

Dokažte pomocí odhadu částečného součtu, že řa- no: an < b n , a) limsup an < liminf n -.oo b) liminf an < limsup b,. n-+oo n-oo

c) lim sup On< limsup bn n-oo

*67.

n-oo

=> 'lno 3n > no: => Vno

a,. < bn .

3n > no: O n < bn ,

Nechť (an) a (b n) jsou reálné posloupnosti. �,[usí vždy platit tyto nerov11osti? liminf an + limsup b n < lim sup (an + bn ) < lim sup a n + limsup bn. n-.oo 11-00 n-oo lim inf an + lim inf b n s; lim inf (On + bn) S lim inf a n + limsup bn, n-oo n-oo n-oo n....;oo

n--,.00

Určete množinu hromadných hodnot posloupností v závislosti na x E R.

an = srn n1Tx,

bn

= cos n1rx

I !

'r 10

'

1.3

Limita a spojitost funkce

1.3 Limita a spojitost funkce Vypočtěte následující limity: 69.

(1 + mx) n - (1 + nx) 171 . lim , 2

m, n E N. 71.

I

70.

X

r-0

n E N.

✓ X + 2 - ,e,1X + 20 lim · r-7

77.

r-1r /4

lim- - - ---, x-0 X m,nEN,a,bE!R.

a> 1.

83.

lim (cos Jx + 1 -cos Jx - 1).

74.

:r-oo

76_

4

JJ E JR.

. - - arcsm ) -;:;:::;;:== lim x (r. X 2 r-oo 2 Jx + 1

x-0

X

.

x-oo

i arcsinx 82. lim . x-o íx +sinx - 2x · {i2 = -1).

x

lim ln{xlna)ln ( �: ) , r-0+ 1 n X a) lim :r-o

arctg(l+x) - arctg{l-x)

lim ln{l + 2x) ln{l + 3/x).

80.

(Příklad řešený v Kl.)

lim 1 + sinx - cosx , :r-o 1 + sinpx - cospx lim

78.

79. 81.

v'l + ax - v'l + bx

72.

v'x + 9 - 2

i sin(sin(sin x)) k x m 73· l ' r-o cos(f cosx) k=O,l, .... 75.

. x + x2 + • • • + xn - n lun------- , :r-1 X-1

Jl + cos2x

- Jl + cos3x.

ln(l + x2)

. 2

84.

(Příklad řešený v Kl.)

e8'"

x - cosx __ l im __.....,.... 2 x-o x

(Příklad řešený v Kl.)

2sin2 x +sin x -l lim 2 x-1r/6 2sin x - 3sinx + 1

86.

(Příklad řešený v Kl.)

cosx lim ( -:r-o cos 2x

87.

Najděte taková a, b E IR, aby

85.

*88.

Vypočtěte

)-;,z

lim ( ✓x2 - x + l - ax - b)

z--oo

= O.

lim x(Jx2 +2x-2Jx2 +x+x).

x-oo

11

I

I

I ;

Doporučené úlohy

1.

89. Vypočtěte limity (ve kterých [y] je celá část z y): c) lin1 x[l/x]. r:. .!._. b) lim ([xJ _ x); a) zwn [ J, z .....o z-1 oo X

90.

Nechť a E R· a existuje lim:r -a J(x) = A. Dokažte, že a) pokud A E R, pak lim (J(x) + g(x)) = lim f(x) + �a g(x), z z-a z-a má-li jedna strana rovnosti smysl; b) pokud A ER, A :f. O, pak lim (J(x) • g(x)) = lim f(x) · lim g(x), x-a z-a x-a m á -li jedna strana rovnosti smysl.

91.

Nechť g je funkce spojitá v O a /(x) = g(x) sin(x-2). Dokažte, že : a.) je-li g(O) = O, pak O je bodem odstranitelné nespojitosti funkce f(x); b) je-li g(O) :f. O, pak O je bodem nespojitosti druhého dru11u funkce f(x).

92. (,,Neurčitost výrazu typu 100.") Xechť a E JR•. Určete množinu L všech l E JR•, pro která existují takové funkce J, g, že lim f(x) = l, lim g(x) = oo a lim f(x)9(:r) = l. z-a

93.

*94.

Zjistěte body spojitosti a klasifikujte body nespojitosti a) Dirichletovy funkce; b)• R.i.emannovy funkce. Platí výrok

(xn � a 95.

x-a

�-a

=}

f(xn) -+ J(a)) O 3K > O 38 > O \/x: (x E P5(a)) => (IJ(x) - Al< Ké); a) 38 > O Vé > O ' O 'vé > O 38 > O Vx: (x E Pó(a)) => (IJ(x) -Al< 1(€). c)

96. Nechť a, b E .R·, r.p je prostá reálná funkce reálné proměn né (definovaná na nějaké podmnožině JR) a nechť platí

lim O.

f(x)

(Příklad řešený v 1(1.)

,

= e-x

132.

Vyšetřete průběh funkce y = f(x) zadai1é parametricky rovnice1ni 3 3 X= t + 3t +1, y = t -3t +1.

*133.

\1yšetřete průběh funkce y = J(x) za.dané parametricky rovnicemi x = a(t-sint), y = a(l -cost),

kde a > O. (Grafem této funkce je tzv. cykloida - křivka, kterou opisuje bod kruž­ nice, která se „kutálí" po ose x.) 134.

Dokažte, že pro a � 1 a x > -1 platí

135.

Dokažte, že

2x < sinx + tgx 3

X

X - -

2

< SLD X
O.

7r

2

�

1 + ux.

;

; 2 1í

*136. Nechť J je funkce ryze konvexní na intervalu (a, c] i na intervalu [c, b). Nechť f je spojitá na (a , b). Pak f je ryze konvexní na (a, b), právě když f!+-(c) > J'_(c). Dokažte. **137. Nechť J je spojitá funkce na JR, která má tu vlastnost, že žádné tři body grafu f nejsou kolineární. Musí být f ryze konvexní nebo ryze konkávní? 138. Pro která a E JR se parabola y = ax2 dotýká grafu funkce y = lnx (tj. existuje bod ležící na obou grafech, ve kterých mají tyto grafy společnou tečnu)? *139.

Dokažte, že funkce J(x)

= (1 + ¾rz: je rostoucí na (O, oo).

15

Doporučené úlohy

1.

Dokažte, že funkc.e f(x) = x + x2 sin(2/x), /(O)= O, je rostoucí v boděO, je diferencovatelná na R, ale není rostoucí na žádném okolí bodu O.

140.

Dokažte, že funkce g(x) = x 2(2 + sin(l/x)), g(O) = O, má ostré lo� minimum v bodě O, je diferencovatelná na R, ale není monotónní na žádném Jed­ nostranném okolí bodu O.

141.

Nechť f(x) = x3 pro x racionální a /(x) = 2x3 pro x iracionální. Dokažte, že f je spojitá jen v bodě O a má v bodě O in.flexi.

142.

(�x) (s) . b)

Vypočtěte podle Leibnizovy formule:

143. 2

a) (x sin2x);

*144.

Nechť existuje f11 (x) = A E JR. Dokažte, že J(x + 2h) + J(x) - 2J(x + h) lim 2 h-0

h

= A.

Nechť funkce/ má derivaci na (O, oo), existuje limx....00 J'(x) a y = a.x+b je rovnicí asymptoty funkce f v oo. Dokažte, že pak lirnz....00 J'(x) = a. Lze vynechat předpoklad e.xistence limx....oo f'(x)?

145.

146.

Je funkce f(x) a) lipschitwvská?

=

x- 1

sin(x

3

)

147.

na [l, oo} b) stejnoměrně spojitá?

Pro která o> O je funkce f(x) a) lipschítwvská?

= sin(x0 ) na [O,oo)

b)* stejnoměrně spojitá?

I

I I I

1.5 Taylorova formule 148.

Vypočtěte diferenci

arctg(l, 01) - rr/4

I s chybou menší než 10-◄.

Jaké chyby se dopustíme, nahradíme-li diferenci � - ?'I hodnotou d příslušného diferenciálu {funkce � v l)? Určete d a příslušnou chybu c vypočtěte s přesností 10-6.

I

149. 150.

Vypočtěte ln(l, 1) s chybou menší než 10-4 •

151.

Vypočtěte .,fě s chybou menší než 10-2 .

*152. 16

Vypočtěte

v'5

s chybou menší než 10-3 .

I

I

Primitivní funkce

153.

1.6

Dokažte, že pro x E (-1, O) platí

3 x2 lxl ln(l + x) - x + _ O je parametr.

243.

*244. Nechť f,g,g' jsou funkce spojité na {a,b) a. g je nerostoucí a nezáporná na [a,b]. Dokažte, že existuje� E [a, b] takové, že

245.

Nechť / je spojitá funkce na {O, 1) a O < a < b . Vypočtěte J(x lim /� ) d.x. e-0+ Íae

X

Vyšetřete konvergenci (čili existenci) a případně i absolutní konvergenci následují­ cích nevlastních Riemaonových (Newtonových) integrálů. 1 lnx oo lnx d 246. / l - 2 d:r:. / 247. x· x lo lo 1 + x'I 248.

22

l

oo x - sinx ,1__ u;.(, xP o

249.

f 1

ln(l +x) d. . x x./ž

Určitý integrál

1 1

250.

p,q ER.

O,r

/

00

252.

O

2

1 1 1 1 1

d,x P

Q

SiJl XCOS X

XP + Xci ,

dx,

00

2 51.

P, q E IR.

/ 1r

*258.

P

260.

1 2

257. + ln x) dx.

(Příklad řešený,, Kl.) 00

dx

ci

XP 1n X

,

p, q E JR.

1 2

. ) dx = ln(smx

00

sin(x + ¼)

O

261.

1r/2

sin2 x

.jx

dx.

Xa

00

dx , a E IR.

dx

1 + X sin 0

2

X

, a E IR

(Příklad řešený v 1(1.)

00

1

ln(COS X) tgP X dx.

00

O

**259.

dx.

2

0

a ER.

00 1 x sin(x

X

O

255.

256.

sin(�) arctgx

O

253.

254.

1.8

_sin_ _ x_ dx x + 2 sinx

1rln 2 - 2 .

Dokažte, že 0 Návod: a) Použijte substituci x = 2t. b) ln(sin 2t) napište přirozeně jako součet tří členů. 4 c) f0,r1 ln(cos t) dt počítejte pomocí substituce t = 1r/2 - u..

262.

1

1

263.

Pomocí výsledku předchozího příkladu vypočtěte integrály 1 1 2 X ln X arcsin X ( dx. dx, dx , r./ 2 x tg x Jo J1 - x 0 o

264.

Vypočtěte derivaci funkce

*265.

Dokažte, že

*266. Nechť f je nerostoucí spojitá funkce na intervalu [1, oo) a nechť konverguje 00 f0 f(x) dx. Dokažte, že pak f(x) = o(l/x), x __. oo. Následující dva důležité příklady jsou řešeny v JI.

23

Doporučené úlohy

1.

267.

In :=

Vypočtěte

/r/2

Jo

pro n = O, 1, ...

sin" x dx

•268. Pomocí výsledku předchozího příkladu a nerovností l2n+1 < dokažte Wallisův vzorec

11'

oo

l2n


O; X y 2 2 2 ). 11 + (x ec) f(x, y ) = (x +y2 ) 1 d) J(x, y,z) = x3 + y2 + z2 - 3xz - 2y + 2z. (Příklad řešený v DII.) 2 455.

Zjistěte, zda lokální extrémy z předchozího příkladu jsou e :Ktrémy absolutní.

456. Dokažte, že funkce J(x, y) = (1 + e11) cosx- ye11 má lokální maximum v nekonečně mnoha bodech a lokální minimum v žádném bodě. 457. Dokažte, že funkce J(x, y) = (x-y2 )(2x -y2 ) má v bodě (O, O) lokálrú minimum vzhledem ke každé přímce procházející bodem (O, O), ale nemá v bodě (O, O) lokální extrém. 458. a) (Ph1 y J iy: 2x {x = + 9. . E [0,oo) 1),y H y + ip= 8. ,µ- (y) ( J 10. H9 = (-1,0), g- 1 (t) = (,s2 1, t;�1). 11. a) Ano; b) ne; c) ano; d) ne. 12. 13. a) Ano; b) ne; c) ano. Dokažte a) Zobrazení prostá; b) zobrazení na L. napřed obecné tvrzení: Pro h : A -+ B, g : A-+ C existuje f: B-----+ C takové, že g = f oh, právě když z rovnosti h(x) = h(y), (x, y E A) plyne g(x) = g(y). Užijte na h(x) = x + 1/x. 15. Pro ty, pro které je IR\ Hi konečná množina. 16. a) Ano; b) ne; c) ano. 17. a), b), d). 18. a) Částečně podělte; b) vyšetřete znan1énko J(y)- f(x); c),d) upravte na tvar f(x) = a+ bsin(cx+ d). 22. Ano, ne. 23. Ne. 24. Lze převést n a předchozího úlohu. 25. 1/2. 26. x/2. 27. O. 28. O. 29. Viz DII, 1. 30. max(a,b,c). 31. 1. 32. 1. 33. O. 35. Prox= k1r, k E Z. kap. II,§ 2, cvič . 7. 36. Pro shora neomezené. 37. Jsou ekvivalentní. 38. oo.

!

43

Doporučené úlohy

1.

39. oo. 40. Neexistuje. 41. oo. 42. oo. 43. 1/e. 44. l. 45. O. 46. e2. 47. oo. 50. 2. 52. fo. 53. l; Kl, Kap. 2, př. G. 54. (v'S-1)/2. Dokažte, že posloupnosti (a20)�=l• (a20 _1 )�1 jsou monotónní a mají stejnou limitu. 55. 56. Přejděte k linůtě v rekurentním a) -4i; b) O; c) -1 + i/3; d) neexistuje. vzorci. 57. (p+l)- 1. Lze užít Stolzo\'u větu (viz § 20). 59. Obecné tvrzení lze dokázat také užitím Stolzovy věty (Yi.z § 20) po ,,zlogaritmování". Limita je 1/e. 60. - 11 3'. 61. S n 1-a. 62. Použijte rovnost n{n1+l) = � - n�l • 63. Lze jednoduše vyjádřit částečný součin. 64. Zkownejte n1onotonii a vztah posloup­ 65. a) ností an ,bn , kde 0n (resp. b0 ) je součin prvních 2n - 1 (resp. 2n) členů. 3, -1; b) 1, -1/2; c) e+ 1, -e- 1//2. 66. a) Platí; b) neplatí; c) platí. 67. Ne. Kterákoliv nerovnost platí, pokud mají oba výrazy smysl (tj. když jeden z nich není např. tvaru oc + (-oo)); to ale ne1ú vidy pravda. Například pro nezáporné nebo omezené posloupnosti platí vždy. 68. Pro racionální x je to konečná množina, pro iracionální x je to celý interval [-1, 1). \.'iz Dil, kap. Il, § 2, cvičení 6. 69. � nm(n - m). 70. ½n(n +1). 71. 112/27. 72. a/m - b/n. 73. k =O .. . neexistuje,k = 1 ... 4/1r, k > l ... O. 74. O. 75. 1/2. 76. 1/p, (p i O). 77. l. 78. l. 79. 2/3. 80. ln 8. 81. 2lna. 82. 1/2 - i/2. 83. 4)2; Kl, 3.1., př. H. 84. 3/2; Kl, 3.1., př. CH. 85. -3, Kl, 3.1., př. I. 86. e312 ; Kl, 3.1.,př. K. 87. a= -1,b = 1/2. 88. -1/4. 89. a) I; b} neexistuje; c) I. 90. a) Použijte g(x} = {/(x) +g(x))- f(x); b) použijte g(x) = (f(x)g(x))/J(x). 92. L = [O, oo)u{oo}. 93. Dirichleto,·a funkce má v každém bodě nespojitost druhého drul1u. lliemannova funkce je spojitá v iracionálních bodech a má odstranitelnou nespojitost v racionálních bodech. 94. Ano. Pracuje se ovšem s posloupnostmi, jejichž členy jsou definovány až na konečně mnoho indexů. 95. a) f je omezená na nějakém prstencovém okolí a; b} / = A na nějakém prstencovém okolí a; c) limz-a f(x) = A. 99. a) /2; b) -2. 100. O. 101. I. 102. e- 1/3 . 103. -e/2. 104. -1/3; DI, Kap XI,§ 2, Příklad 2. 105. -1/6. 108. DI, Kap.VII,§ 2, Příklad 4. 109. J- 1 (y) = i - ½ arcsiny, y E (O, 7,)- 110. Dl,Kap. VII, § 2, Příklad 2; f(x1,x2) = x1Jl-�+x2Jl-�. 114. Kl; Příklad 4.2.A; + z;1 �11, x ER. 115. f'(x) = 2(x2 + 1)- 1 sgn(l -x2 ), r E f'(x) = arcsin ( 1R \ {I, -1}; v bodech 1, -1 existuj{ různé jednostranné derivace. 116. a) a> -1; 118. a) 1/6; b) -1/36. b) o> O. 117. a) a > -3; b) a E {-2,oe,)U {-3}. 119. Lze užít Lagrangeovu větu. 120. Lze užít Lagrangeovu větu. 121. Lze 123. užít Lagangeovu větu. 122. y = ½x - 1 v oo, y = -íx - 1 v -oo. Nee,,jstuje. 124. Ano, y = x/e +l/2e; srov.§ 39 125. Kl, Příklad 6.2.A; 4 a -16. 126. Sudá funkce; klesá na (-oo,0), roote na (O,oc,); absolutní a ostré lo­ kální minimum O v bodě O; absolutní ani lokální maxima nemá; obor hodnot [O 1r)· Ji(o) = 2,/�(0) = -2; ry1,e konkávní na (-oo,O] i [O, 'Xl), ale ne na R; nemá infl� body; asymptota y = 1r v oo i� l+sin x0 }. 227. a) y = arctg(2 - e:,;)3 pro x S ln 2, y = O pro x > ln 2; b) y = I arctg(2 -ez)3 1, x E R; c) neexistuje. 228. y = e-z' (c + x2 /2). 229. Funkce tvaru y(x) = c1 x2 + x4 pro x S O, y(x) = �x2 + x4 pro x > O. 230. y = xecx,(c ER) na (-oo,O) a (O,oo). 231. Funkce y(x) = O, x ER a (pro každé c ER) funkce Y c na R, kde Yc(x) = (x4 /4)(c+lnlxl)2 na intervalech (-oo,-1/ec } a (1/ec ,oc,) a Y c(x) = O na [-1/ec , 1/ec]. 232. y(x) = � - 3x2, c E R na maximálních inter­ valech, na který ch je nenulová. 233. C, str. 298. Po úpravě vyjde: fllllkce y(x) = x+4± J2(x+ 1)2 +K na R pro I O a na (-oo,-1 - J-K/2) a (-1 + J-K/2, oo} pro I< < O, a ještě funkre y(x) = 3 + (x + 1)(1 ± /2) na R. 234. K2, 1.3., G; y = x2 /(4c} - c, c > O. 235. K2, 1.3.,H; y = x - 3, y =

7s,

½

46

½

J2,

Výsledky a n�vody

1.17

-x - 1 a ře.še11í implicitně zadaná rovnicemi (x + ·y + 1) = 3 c(x _ Y _ 3), c ..J. -,- o· ,,, · · , 236. Řeš te pnsluš nou d1ferenciáln1 rovnici })ro inver"�ni funkc i· ,,x - x( Y)" . vYJ'de Y = ln(x + ✓x2 + 4) - ln 2. 238. a) 1r/4, b) ! . Uvažujte integrály od O do 1 v 1 funkcí �l + x2)- 1 a xP. 239. 5v'21r. 240. ln(l + 2f) = -1n(5 - 2Jš). 243. a) 27�10� - l); b) a - .ja +JI+ e 2a - ln(l + J2) - ln(l + Jl + e2a); c) ?TaJ� + 4rr + 2 ln( 2� + ✓1 + 4rr2). 245. J(O) ln�- Lze užít 1. větu o středtú hod­ notě �tegrálního poč tu s „váhovou funkcí" 1/x. 246. Konverguje. 247. Kon­ verguJe. 248. Konverguje pro 2 < p < 4. 249. I(onverguje. 250. I(onverguje pro P > -1, q > � 1. 251. Konverguje absolutně. 252. Konverguje v případě, že ma...x(p,q) > 1, mm(p,q) < l. 253. Konverguje pro 1 > p > -3. 254. Konver­ guje pro O < a < 5, absolutně pro 1 < a < 5. 255. Diverguje. (Vyjádřete sin2 x J)Omocí cos 2x, roztrhněte na dva integrály a užijte Dirichletovo kritériwn.) 256. Konverguje. (Substituujte t = u4 .) Absolutně nekonverguje. 257. I(onverguje pro pro O < a < 2. Absolutně nikdy. 258. Konverguje pro p < O.(Rozšiřte deri­ vací výrazu x + lnx. Pro důkaz konvergence pak užijte Dirichletovo kritérium, pro důkaz divergence Abelovo.) Absolutně pro p < -1. 259. Konverguje pro a> 2. 260. Kl, 8.3.G. Konverguje pok'1.ld 1> > 1 nebo p = I, q > I. 261. Kl, 8.3.H. Konverguje..l\.bsolutně nekonverguje. 264. g'(x) = 2$,, x > O; g�(O) = oo. Užívá se věta o derivaci složené funkce. 265. Užijte L'Hospitalo vo pravidlo. 267. JI, kap. Ill, § 5, příklad 2. Návod: za užití integrace per partes od voďte vztah mezi In a /n+2· 270. Diverguje. 269. Diverguje. 268. JI, kap. m, § 5, příklad 2. 271. Diverguje. 272. Konverguje. 273. I(on verguje. 274. Konverguje pro 275. Absolutně konverguje pro lal > 5. Jinak diverguje. 276. Konvera> 279. Konverguje. 278. Konverguje. guje pro a+ b > 1. 277. Diverguje. 282. Konverguje. 283. Absolutně 280. Konverguje. 281. Konverguje. konverguje pro lxl < 4. Jinak diverguje. 284. Absolutně konverguje pro lxl < l. 285. Konverguje podle Raabeova kritéria. 286. Konverguje Jinak diverguje. 287. Ko11verguje. Absolutně jen pro pro p > 3/2; lze užít Raabeovo kritérium. 290. Konverguje 289. Konverguje neabsolutně. 288. Diverguje. a = O. neabsolutně. 291. Kon,,erguje neabsolutně. Pro důkaz konvergence je nejrycltlejší užít nejprve Dirichletovo a pak Abelovo kritérium. Pro důkaz toho, že nekonver­ 2 292. > n = (1/2)(1 - cos(2n)). sin ni sin i I nost v nero ě, užít 17,e lutn guje abso Konverguje absolutně pro lxl < 1/3; neabsolutně ještě pro lxl = 1/3, x # ±1/3. 294. l(onverguje pro x # 2krr, k E Z, a to neab­ 293. Konverguje neabsolutně. solutně. 295. Konverguje neabsolutně. 296 . Konverguje neabsolutně. 297. olutně pro P > 1. 298. Konverguje pro p > 1/2, abs Konverguje neabsolutně. n+2 - (n + l)xn+l + x). 2 2 + b2• (nx 1)(x 300. 299. Použijte nerovnost ab$ a 305. 304, R = 1/e, v obou _diver�je 303. R = 1/3, konv. v x = -4/3. x ±1. R = 00. 306. R = l,a > 1... konverguje v x = ±1, a$ 1... d1verguJc v =. 308. R = 2. v_� = -2 div er­ 307. R = 1/4, v krajních bodech diverguje. _ dosazerú po š1; těž Je to ale , uje v erg kon 2 = x V ia. tér kri a guje podle Raabeov adno vidíme, že bn Sn O. > bn kde , b l)n (n nem čle ným e obec u 8 ám řad táv dos kud m (po rce vzo 1 výn go rlin Sti ě en roz při zat ká do lze le, je klesající. To že jde k nu

½-

47

Doporučené úlohy

1.

.ID,� 7, ho známe) nebo z teorie nekonečných součinů (srov. § :l �ebo DII, Kap ého rada cvič. 2). Lze to dokázat např. i (trikem) z Raabeova krité. ri.a. podle kter 309. s obecným členen1 (bn)P konverguje pro ,·bodné p > O a tedy bn -+ O. 310. x(l - x)(l + x)-�, x E (-1, 1). 1 + 1-z ln(l - x),x E (-1,1) \ {O}. 313. 312. ½(x cos x - srn x). 311. arctg x + ¼ ln �!:, x E (-1, 1). ? 1)" x�", { 2 z2. 316. 2 2 X ER. ! 315. í:::'::0 n ,fEl (x /4 + x/2 + 1). 314. (1 + 2x ) e 00 n n , X E (-1/2, 1/2). ) x �oo (- l) n 2,.. -1 x2n 1 X ER. 317. !3 '° (1(-2) 1 + L...n=l -1 L..n= (2n)! n+l n 320. (-l) 318. J(lO)(Q) = O. 319. +l(�:n_; � z2 , X E R. 1 l ! 1 2 12 4 n n L:=0 " �( ir/ )x , xER. 321.arctg2+)=_ (-lJ::i- :r?n- 1, xE (-¼,½)-

1

¾E::

1

1

322. L:=0(n+ l)xn , lxl < l. 323. E:=0 ;:".;1 lxl < 1. 324. Použijte rozvoj komplexní exponenciály; E:-o cC:�0 x ", x ER. 325. Dvojnásobné linůty jsou O, dvojná neexistuje. 326. Jedna z dvojnásobných limit nee.xistuje, dvojná je O. 327. Neexistuje. 328. O 329. Xeexistuje 330. 1 331. 1/2. 332. O 333. Ano. Asi nejrychlejší je použít funkci jedné proměnné g(z), která je spojitým rozšířenún funkce sin z/z. 335. 1,054. 336. t = 2 + (x - 2) + 4 ln 2 (y - 1). 337. Ano. Počítejte derivaci parciální funkce /(.,b) v bodě a jako limitu deri­ Yace. 338. a) 1\,fimo osy a v počátku existuje totální diferenciál, jinde joona z parciálních derivací (a tedy i totální diferenciál) neexistuje; b) mimo osy má to­ tální diferenciál; v počátku má parciální derivace, ale ne LOtální diferenciál; jinde jedna z parciálních derivací neexistuje (protože nekonečné se nepřipouštějí); c) má LOtální diferenciál mimo přímku o rovnici y = -x; " počátku má parciální deri­ vace, ale ne totální diferenciál; v bodech (x,-x), x :fa O parciální derivace neexis­ tují Usou oo); d) parciální deri,·ace má ve ,·šech bodech; totální diferenciál ,·šude kromě počátku. 339. a) Totální diferenciál existuje všude, parciální derivace jsou spojité všude kromě počátku; b} má spojité parciální derivace ve všech bo­ dech (a tedy Yšude existuje tot. dif.}; c) parciální derivace jsou spojité (a tedy totální diferenciál existuje) všude kromě počátku, v počátku tot. d.if. neexistuje. 342. *(x,y) = f(x,y)f(z,11)�(x,y)(l+ lnf(x,y)); �(x,y) = 341 . ./3. f(x,y)f(v,z)(Jf�:=��(x, y) +111/(x,y)�(y,x)). 343. 4. 344. 9;(1,1) = -2 a g;(1, l) = 2. 345. /'(l) = -1, /"(l) = -16. 346. \'yšetřujte průběh f1mkce 9z(Y) = e11 + ln x + xy. Pro c) je asi nutno pracovat se vzor­ cem pro /'. 347. a),c) Vyšetřujte průběh funkce 9z (Y) = x3 + ,J - 2xy. a = (2/3) W; e) /1 ...0,-oo, /z...(2/3) �. O, /3 ...(2/3) {/4, O. Pro b) a e) je vhodné 348. zjistit jediný možný stacionární bod uvažovaných implicitních funkcí. 349. �(x,y) = 1. 350. G!:(a;,, ... ,a�) = z= 2:+-i(x - 3}-½(y+2); dy; dv(l,2) •= -d:c + dy . -x�-, / P'(xo). 351. 2,003. 352. du(l,2) = 354. � 353. 4z{l,- 1) =½hr+ h1h 2 + 355. = O; např. = O. pfíklad l.; � + +� u(x, y) = x2 + �2 • 356. Viz DII, kap. �57. K2, 3.6., příklad O; F = Zoo• 358. Viz DII, kap. IX,§ 1, cvič. 4. a 5. 359. � = r; pro důkaz existence r(a-) potřebujeme podmínku y'(x}:i: ,t. y(x). 360. a = (1,O,O); tečna k P v bodě (x, y,z} je {(x, y,.z)+ t (-4vz,2z(2x - 1),2y) : 1 ,

-m-

½�-

48

-½

°':•

t

¼�

½

fa�

Výsledky a návody

1.17

*

tER}. 361. {(1,0, 1 /2, -1/2), (0, 1,1 /2,n/4+1/2)}. 362. K2, 3.6., příklad E; F = 2 - 4wuu· = ; · ����. 364. Nutná a postačující pod­ �63. mínka: Hessova matice x , i, j = 1,... , n je regulární; funkce J* (u,v) splňuje

Z fb::

u·

g:�:

rovnici A(u,ti)�- - B(u, v) + C(u, v) = O . 366. a) Ano; b) ne; c) ano. 37 2. Ano. �6 :- Obecně _platí jenv a) a d). 375. Ne. 376. a) Jen � te':ena; b),c),d) Jen uzavrená; e) ani otevřená, ani uzavřená; f) otevřená i uzavrena. 377. Vyroky (a) - (d) jsou obecně ekvivalentní; z výroku (e) obecně neplyne spojitost a ani ze spojitosti obecně neplyne výrok (e). 378. a) Ne; b) f ne, g ano. 385. Nalez11ěte spojité prosté zobrazení eukleidovské přímky na kompak"tní metrický prostor. 386. Lze dokázat, že je totálně omezená, a pak použít vhodnou větu. 392. Jsou uzavřené i řídké. 396. Druhé kategorie, dokonce reziduální. 397. První není a drul1á je. 398. Konverguje stejnoměrně. 399. Konverguje jen lokálně stejnoměrně. 400. Konverguje Stejnoměrně. 401. Konverguje jen lokálně stejnoměrně. 402. Konverguje stej­ noměrně. Je ,•hodné ve správný oka.mžik substituovat nx = y. 403. Konverguje jen lokálně stejnoměrně. 404. Konveguje stejnoměrně dle \Veierstrassova krité­ ria. 405. Konverguje jen lokálně stejnoměrně (\Veierstrassovo kritérium; n-tý člen nejde stejnoměrně k O.) 4 06. Konverguje stejnoměrně. 407. Konverguje jen lokálně stejnoměrně. (Není splněna základní nutná podmínka pro stejnoměrnou konvergenci řady.) 408. Konverguje jen lokálně stejnoměrně. Pro důkaz nestej­ noměrnosti konvergence lze užít Bolzano - Cauchyovu podmínku pro stejnoměrnou konvergenci a např. odhad s2n(l/n ) - sn (l/n) > (sin 1)/2. 409. Konverguje 410. Konverguje stejnoměrně. (Dirichletovo krit.; na prvním členu nezáleží.) 411. Konverguje jen lokálně stejnoměrně. (Nejlépe užít Dirichle­ stejnoměrně. tovo kritérium a pak Abelovo; ,,Moore-Osgood v O".) 415. c) Tou je podmínka z b). Standardní důkaz užívá srovnání součtu řady s hodnotou příslušného inte­ 419. 3½ + �grálu. 417. a) V bodech x -1- -k,k E N; b} v x -I- O. Použijte binomický rozvoj a Abelovu 422. 421. 1 0. 420. ln 2 - -fs. větu. Těžší je ale dokázat, že zadaná řada konverguje podle Leibnizova kritéria. 423. 11 ; , c.t E (O, 2rr). Návod: n­ To lze udělat jako v návodu k úloze 308. tý člen znásobte xn, zderivujte podle x a pak sečtěte s už.i tím Eulerových vzorců pro komplexní exponenciálu. (Lze ovšem udělat snadněji, známe-li souvislost mezi 11 /n v komplexním oboru, viz Dli, Kap z I: řady tem souč a m em komplexní logaritm XII). 424. -lnl2 sin�l,o E (0,2rr). Viz náv2 od k předchozí úloze. 4 25. Yt = 1 +c1 •(2x-l)+c2· e-x. 427. Y = :r = ) y(x . 426 e:r. �+ x+ c1 x +E x 2:r2-+1, y2 = c1 2 3x xe3x. x +cs e x +i%, x E (0, 11) b) t' = L;:: 1 (�(-l)n+l + -!,;r((-1)" - 1)) sin nx, X E (0,1r). 465. Součty jsou sudé 21r-periodické funkce g(a), h(o), kde g(o) = ½o(rr - o) a h(o) = k(rr2 - 3rro + 3o-2 ) pro O 5 o< 'lf. 472. Rovnost platí právě pro funkce si:w coswx dw, f(x) = a cosx+bsinx. 473. a) d(x) := ½(/(x+)+ /(x-)) 00 funkci d(x) se říká Dirichletů\· diskontinuitní faktor·• b) g(x) = 12 r O zřejmě tvaru x314 (a 1 (x) + a.,(x} + a3 (x + a4 x)), kde každá z funkcí ai(x) má v oo linůtu 1 (např. ( v'x+3)3 = (' x(l + 3/x))3 = x314 (1 + 3/x)314 pro x > O). P ř í k lad Vhodným rozšířením lze také počítat důležitou limitu

i 1 - cosx lm x-o x2

54

= lim (1 -cosx)(l + cosx) z-o

x2 (1 + cosx)

_ sin2 z l 1 1 lim im r-0 :r,2 • z-o 1 + c.osx - 2·

Metody společné pro výpočet limit posloupností i funkcí

2.2

(Jde vlastně o předchozí případ, protože na nějakém okolí nuly platí rovnost cosx = J1 - sin2 x.)

Použití „lemmatu o strážnících". Pro posloupnosti jde o tvrzení:

§8.

Jestliže, počínaje od jistého indexu, platí nerovnosti an :::; bn � C.i a posloup­ nosti (--­ a x-oo Pro x > 1 zreJme p at1 X X [x] v

v

55

Poznámky k některým početním metodám

2.

2.2 Elementární metody výpočtu limity funkce „Elementární" zde znamená, že jde o výpočet bez užití L'Hospitalo va pravidla či Taylorovy věty. §9. Výpočet limity „dosazením". Jestliže funkce J je spojitá v bodě a E JR, víme, že limz.....0 J(x) = J(a). P ř í k 1 a d Platí lim cos(arcsin x + ln(l + x)) = cos(O + O, = 1 .

.r-0

Naše funkce je spojitá v bodě O (s rov. § 33), till,e stačí dosadit x

= O.

Někdy funkce J není v bodě a spojitá, ale na nějakém prstencovém okolí bodu a platí /(x) = g(x), přičemž funkce g již v bodě a spojitá je. Pří kl a d

§10.

x3 -1 lim -:r-l X - I

li1n(x2 + x + 1) = 3. = :r-1

Užití věty o limitě složené funkce. Tato velmi důležitá věta tvrdí toto:

Nechť f, 'P jsou reálné funkce reálné proměnné; a, b, L E JR•. Nechť platí lim:z:.....a 1 , pak X2 = 2x1 (1 - X1) < O, takže podle (a) je lim n-oo Xn = -oo.

=

n

n

Důkaz nulovosti limity p o sloupnosti „podílovým kritériem". Jde §19. o použití následující jednoduché věty (DI, věta 155), která je také důsledkem podí­ lového kritéria pro konvergenci řad: Jestliže a n > O a lirnn-oo (an+1/an ) < 1 (obecněji limsupn-oo (an+1/an) < 1), pak limn-oo an = O. Používá se hlavně na posloupnosti, které nejsou zadány v „uzavřeném tvaru" (tj. zhruba řečeno vzorečkem, ve kterém se vyskytuje pemiý konečný počet elemen­ tárních funkcí), ale posloupnost an+1/an již v takovém tvaru je (to se stává, když an je zadána pomocí faktoriálů, kombinačních čísel apod.). P ř í k I a d Pro každé a E JR platí limn-oo a"/n! = O, protože n l a lal- -o lal" - --'+ . .;...._;._ l l ___ n+l (n+l)!" n! Zde jsme ještě použili triviální, ale užitečné tvrzení, že limn-oo an když lim n-oo !ani = O.

= O, právě

§20. V některých případech je užitečné užití následující Stolzovy věty, která je jakousi „diskrétní obdobou" L'Hospitalova pravidla: Nechť 1/l < y2 < • • • a limn-oo Yn = oo. Pak platí Xn+l - Xn Xn -= lim lim n-+OO Yn+l - Yn n-oo Yn .

komplexní.) existuje-li limita napravo. (Posloupnost x„ může být i li Xn nebo y,, zadána Jako je, dy teh . př na ít už po é Stolwvu větu bý vá výhodn částečný součet "jednoducl1é" řady. P ř í k I a d Platí -··+ l l+l 2+ - 1 ' protože n lim Inn n-oo lim n-oo

(1 + ½ · · · + n�l) - (l+ ½ + · · ·+ ¼) = lim n-oo ln(n + 1) - ln n

1/n . n ln(l + 1/n) n + 1

= l. 63

Poznámky k některým početním metodám

2.

Pro poslední rovnost viz § 16 a§ 12. §21. * Nechť a1 > a2 > • • • > O; pak jistě (podle věty o limitě monotónní posloupnosti) limn-oo On existuje. Pokud On+1 /a,,, -+ 1, nemůžen1e otázku, zda an -+ O, rozhodnout podle věty z § 19. Tuto otázku však lze převést na problém konvergence jisté řady. Z teorie nekonečných součinů (srov. DII, věta 48 a Kap.ID,§ 7, cvič. 2) totiž vyplývá., že On+l On+l o ) = 00. o I::c1

= lim On = IT n-oo On On (X)

(X)

••=l

n-1

P ř í k I a d Jestliže a,.

=

(2n)! 4"( n!)2'

pak

f

Protože

n=l

On+i On

=

(l _ On+l On

)

(2n + 1)( 2n + 2 ) O a druhá s e rovná O pokud 2o < 3/2. Tedy např. volba a= 1/2 dává výsledek L = O. §28.

Je také užitečné vědět, že funkce tvaru

„jdou do oo, když t - 0+", přičemž funkce tvaru eT nejrychleji, funkce tvaru t-P pomaleji a funkce tvaru (- ln t)"Y nejpomaleji.

Limity, které dávají přesný smysl předchozí větě, okamžitě dostáváme z limit předchozího paragrafu pomocí substituce x = 1/l. P ř í k l a d Podle předešlého 5 x ln 5 lim -lim ýxln x = xo+ x-1/2 x-o+ •

= O,

nou spočívá ve tši vě it lim ích ějš an ov lik mp ko u čt po vý ob ůs §29. Nejrychlejší zp pravidlem, případně ým lov ita sp Ho L' s d" to me 1 ícl .m tá en em „e vhodné kombinaci l rovy ylo cí Ta mo po čet po vý ší lej ch jry ne vá bý ale dy s užitím limit z § 27 a § 28. (Něk formule; viz § 30.) Pří k l a d

67

Poznámky k některým početním metodám

2.

I

I

1 ,:(l+r) - (l+:z:)2 =2e

2x-3

Pozn.: Pro druhou rovnost jsme potřebovali fakt, že g(x) := x ln( 1::z: ) + 1 i- O pro všechna dostatečně Yelká x. Tent.o fakt ale snadno vyplývá z dalšího výpočtu - ten totiž ukazuje, že linlz-ooxg(x) = 1/2. Z toho vyplývá, že xg(x) > O (a tedy i g(x) > O) pro všechna dostatečně velká x. Pro třetí i čtvrtou {možnost užití L'Hospitalova pravidla) rovnost jsme také potřebovali, že limx-oo g(x) = O; to j e snadné (srov. poslední příklad v§ 38). P ř í k l a d Nechť a

i- O. Pak l

I (!±!.) ln(r+a) ..ln..L e n " + " -:.+0 -

1 ln x ln( x + a) x+a • J.o...L · ( ln (-- ) + ---'--= zlim xe"itt · ----...,.....--- -- ) = ln(:r+a) lnr -oo X X+ a X ln(:z:fa) x + z x+a = lim

;z;-oo

ln(x+a) _ ln x) = ) + a + x ( ln ( x· +a X

X

X

Pozn.: Limity jsme počít.a.li pomocí metod § 12 a § 27. Pro druhou rovnost je třeba vědět, že rozšitujeme nenulovýln výrazem {pro dostatečně velká x). To nám dává následující výpočet - srov. s poznámkou za předchozím příkladem. První a předposlední rovnost je vhodné ověřit na papíře, ostatní nutné výpočty zkušenější počtář zvládne zpaměti.

68

Výpočet limity pomocí Taylorovy věty

2.5

2.5 Výpočet limity pomocí Taylorovy vety §30. Tato metoda sice není univerzální (například ji nelze použít pro výpočet limity limx.... oo x- 1 lnx), ale často je nejrychlejší. Při jejím užití je však třeba znát Taylorovy rozvoje elementárních funkcí a umět pracovat se symbolem „o", což není snadné. P ř í k 1 ad Počítejme

L

ln(l + y) ln (1 +

:= x��

y2

(

x - x2 1n (1

= y - 2 + o(y2 ),

.!:.) =

+ �)).

Protože

platí

y---+ O,

1 ..!.. - 2 + o (�) , x --+ oo. Proto X 2x X

X

L= lim (x-x2 x-oo

(.!:.x - 2x1 +o(�)))= . x 2 ..!..

2

2

(Při výpočtu jsme použili skutečnost, že pokud J(y) = o(y2), y--+ O, pak f (1/x) = o(l/x2 ), x --+ oo, která snadno plyne z věty o limitě složené funkce.) P ř í k l a d Počítejme L := lim x; · ( Jx + 1 x-+oo

+ Jx - I - 2Jx).

Substitucí y = ¼ přejdeme k ekvivalentní limitě L = lim v-o+

2

Y

·

Jl +x= 1 + ½ - � + o(x2), x--+ O, takže

Binomická formule dává

L = lim

JI + y + JI - y - 2

1 + 21l

-

- 2 .IC - lC + l - 1l. 8 2 8

y-+0

2

+ o(y2 )

11/2 '

1 4.

- --

-

P ř í k I a d Počítejme limitu sin(sinx) - x-1/1 - x2 · lim x5 x-+O řádu Je zreJmé, ze k vypočtu limi� ná) m stačí najít Taylorův polynom T5 (x) pátého ynom čitatele (funkce f(x) = sin(BI.IlX -x -1/1 -x2 ) v O · (To ' že tento Taylorův pol v

•

v

,

•

69

Poznámky k některým početním metodám

2.

"' z elementárních a aven ,,sest je / ože prot é, dobn děpo prav e velic být existuje, se zdá fi.mkcí, takže má v O asi derivace všech řádů. Příslu�ná věta, pomocí které lze tuto nepřesnou úvahu precizovat, se ale většinou dokazuje na přednášce až pro funkce více proměnných, srov. Dli, věta 199). Tento Taylorův polynom můžeme jistě dostat 5 >(0) - početní obtížnost tohoto , • • • j< J'(O), ace deriv teme vypoč pně postu tak, že postupu je však přesně stejná, jako pateronásobné užití L'Hospitalova pravidla na naši limitu. Podstatně jednodušší je použít znán1é Taylorovy rozvoje funkcí sin x, (1 + x)! v bodě O. (Bez užití výše zmíněné věty vlast.ně nebudeme vědět, že obdržený polynom aproximující f v O ,,s přesností o(x5 ).., je Taylorův - tento fakt však pro výpočet limity nepotřebujeme.) Prot O. Protože limz-o+xlnx = O (srov.§ 28), platí limz-o+f(x) = lim:.c -o+e=z: tn .r = 1, takže/ je v O spojitá zprava. Protože lim J'(x) = lim e:.c 1V(l + lnx) = -oo, :z:-o+ z-o+

dostává.lne J�(O) = -oo. §36.

Ve větě z § 35 nelze vynechat předpoklad spojitosti !

P ř í k I a d Zřejmě platí limr-osgn'(x) = O, ale určitě nemůže platit sgn'(O) = O. (Pak by totiž funkce sgn byla v O spojitá.) Podle definice derivace sgn(x) - sgn(O) sgn'(O) = limo = lim_.!_ = oo . .rx- O :.c-o lxl (Tento fakt by měl každý „vidět" z grafu funkce sgn: ,,směrnice sečen jdou k oo" .) Vidíme tedy, že {bez předpokladu spojitosti funkce/ v bodě a) nemusí rovnost J'(a) = lim.-o J'(x) platit, ani když obě strany mají smysl. Implikaci z věty§ 35 nelze obrátit ani za předpokladu spojitosti funkce J §37. v bodě a. Pokud tedy limita derivace neexistuje, derivace přesto existovat může·' jerli tomu tak, musíme ale zjišťovat z definice.

74

Asymptoty funkce

2.8

Př í kl ad Nechť f(x) = x2 sin¼ pro x i O, f (O) = O. Platí ( srov. § 4) . . 1 !'(O)= lim f(O + li) - f(O) = hm sin li - = o) h- o h h-. O h z toho také plyne, že f je v O spojitá. Nicméně lim J'(x)

x-0

= x-.O lim

(2x sín.!.-cos.!.) X

X

�?�

z 1:Ieine �o věty jako v § 15b). Derivace v O tedy existuje, ale n �tuje _ at ako e Jl počí l em � � �tu �eriva;e. Tento klasický příklad zároveň ukazuje, � �� zeden\ace nemus1 být spoJ1ta ani v př1padě, že existuje všude.

2.8 Asymptoty funkce Přímka o rovnici y = kx + q je podle definice asymptotou funkce J v oo, jes tliže limx -oo (J(x) - kx - q) = O. Geometricky to zna mená, že graf funkce f se „blízko nekonečna" k přímce o rovnici y = kx + q v přirozeném smyslu „přimyká". Počítání asymptot se úplně převádí na počítání limit - platí totiž věta: Přímka o rovnici y = kx + q je asymptotou v oo funkce J, právě když limx--.oo J(x)/x = k a limx-oo(f(x) - kx) = q. Definice a příslušná věta pro asymptotu v -oo jsou zcela analogické. (Ve starších učebnicích se občas připouštějí i „vertikální asymptoty" o rovnici x = c ve vlastních bodech c; takové „asymptoty" zde neuvažujeme.)

§38.

P ř í k I ad Funkce J(x)

= (ln x) x/x1" x nemá asymptotu v oo, protože

. f(x ) 1m 1

x-oo

X

lim = x-oo

-

exlnln:z:-ln2 .:r-lnx _"" VV •

(V exponentu sta.čí vytknout převláda jící člen - nebo jen x - a použít známé limity z § 27) .) Koeficient k přitom musí být reálné číslo. 2 ) • sinx nemá asymptotu v -oo. Snadno x + In(x = ) e J(x nkc í k I ad Př Fu dostáváme, že

ln(x2 -x) sínx _ . O, ,X lim J(x)/x = lim J(-x)/(-x) = r1.:..moo x-+oo .

x-+-oo

75

Poznámky k některým početním metodám

2.

k tomu stačí např. použít odhad O < ln(x2 - x) < 2lnx pro x > 2. Jediným ,.kandidátem na koeficient k" asymptoty v -oo je O, ale limita lim.r- -oo (/�x) kx) = lirn:z:--oo (ln(x+x 2) sin x) neexistuje, což zdů,·odní mc sna.dno podle He1neho věty (srov. § 15b ).

př í k I a d

Počítejme asymptotu fw1kce f(x)

) lim f(x x-oo X

:z: x ) =

= :z:l-imoo ( 1 +

I

= x1 +.r/(l+x):z: v oo. Dostáváme

lim e.rln(rfř) r-oo

= !,e

protože ln(l - {I +x)- 1). x x = -1. ) = lim (lim xln ( ) r-oo x-oo l+x -(l+x)-1 l+x Jediným „kandidátem na koeficient k" asymptoty v oo je tedy k= 1/e. Limita

X) = -1

zl+:z: lim (f(x) - kx) = lim ( --.r-oo z-co (1 + x )7 e

2e

je vypočítána v § 29 . Hledanou asymptotou je tedy přímka o rovnici y =

: + ie.

2.9 Monotonie a extrémy funkce §39. Definiční obor „běžných funkcí„ lze většinou rozložit na konečný (pro pe­ riodické funkce spočetný) počet intervalů takových, že na každém z nich je funkce spojitá a monotónní. Pokud tyto intervaly určíme a vypočteme-l i ještě linůty v kraj­ ních bodech těchto intervalů, jsme zpravidla sna.dno schopni odpovědět na otázky týkající se extrémů (absolutních i lokálních) a umíme také určit obor hodnot dané funkce. �Iůžeme také zhruba načrtnout graf vyšetřované funkce, z kterého lze tyto odpovědi „vyčíst". Standardrú metoda vyšetřování lokálrúch extrémů a absolutrúch (čili globálních) extrémů (tj. největší a nejmenší hodnoty funkce) spočívá ve vyšetřování tohoto ,.hrubého průběhu„ funkce. Někdy je však možné (nebo dokonce nutné-zvláště v případě vyšetřování lokál­ ních extrémů složitých funkcí v určeném bodě) vyšetřovat extrémy jiným způsobem bez vyšetřování monotonie. §40. Občas jsme schopni okamžitě zjistit monotonii funkce bez užití derivace - například tehdy, je-li vyšetřovaná funkce zadána jako slo'1...ení dvou (nebo více) funkcí, o kterých víme, 1,e jsou monotónrú.

76

Monotonie a extrémy funkce

2.9

P ř í k I a d Funkce . /(x) _ arcco� (!11 3 x) Je klesající na (O,oo). To pl)'-ne � z toho, že funkce p(z) = arccotg z -:-Je klesaJ1c1 na IR, funkce q(y) . _ Y3 Je • 1ostouc . f na n "' a funk ce s(x) == ln x Je rostoucí na (O 'oo). .i.edy fun kce / = Po q o s je klesající. 'T'

§41. Zpravidla monotonii funkce vyš e tvrUJ. eme pomoci der iva ce. Opíráme se při ton1 o tuto základní větu: · "t • Nechťfu nkce J je e �alu I {libo volného druht,) a f '(x) > O (re$p. n t v f'(x) < O) v každém ::::::ií:n;o � e x intervalu 1. Pak J je ťOStoucí (resp. klesa jící) na celém I.

Ve ,·ětšině běžných příkladů jsme scl1opni snadno řešit nerovnosti f '(x) > O, f'(x) < O a z toho okamžitě určit inten·al_y monotonie. P ř í k I a d Vyšetřujme monotonii a extrémy funkce lnx _ J(X) - ,.ji' Funkce f je zřejmě spojitá na DI = (O, oo). Formální derivo,·ání dává

( _ lnx)

i J'(x) = x I vx na celém D1 == (O, oo). Řešením nerovností

2

1 (1-l� ) -1r/2 pro každé x E D1 , Funkce f nabývá ab;lu�nfho maxima. O v bodě O, protože funkce 1 - x2 zřejmě nabývá absolutnťho maxima v O a funkce arctgo ln je rostoucí. Oborem hodnot je tedy Hi = (-1r/2, O]. Pro vyšetřování lokálních ex trémů je vehni důležitá tato věta (někdy §44. nazÝ''ána. Fermatova). Jestliže má funkce f v bodě c E !R lokální extrém, pak buď (i) /'(c) = O, tj. bod r. je stacionární, nebo (ii) J'(c) neexistuje. Začátečníci při vyšetřování extrémů dělají řadu hrubých chyb. Občas považují hledání lokálnír.h (nebo dokonce absolutních) ťA'trémů a stacio­ nárních bodů z a ekvivalentní problémy. Někdy také tvrdí, že pokud f má v bodě a absolutní extrém, pak f má v bodě a také lokální extrém. To platí ovšem pouze tehdy, když existuje okolí bodu a, které je částí defin.ičnťho oboru DI· P ř í k I a d Funkce J(x) = lxl má zřejmě v bodě O lokální i absolutní nůrumum, ale / nemá ,, O derivaci, takže O není stacionárním bodem. P ř í k I a d Víme, že funkce /(x) = arcsinx na.bývá absolutního minima -1r/2 v bodě -1 a absolutního maxima v bodě rr/2. V těchto krajních bodech definičního oboru / nemá lokální extrémy (protd'� funkce musí být podle definice definovaná na nějakém oboustranném okolí bodu, ve kterém má lokální extrém) ani derivaci má v nich pouze jednostranné derivace.J../'_(1r/2) = Jt(-1r/2) = oo) . • P ř í k l a d Nechť /(x) = x3• Pak platí f'(O) = O, tj. O je stacionárním bodem, ale / zřejn1ě nemá v O lokální extrém - funkce / je totiž rostoucí na R.

Casto můžeme ,-yšetřit absolutní extrémy dané funkce, aniž bychom plně §45. vyšetřili „hrubý průběh" funkce; výpočty, které musíme provést, však již tento ,,hrubý průběh" prakticky vždy dávají. Nechť například ,-yšetřujeme spojitou funkci / na intervalu (a, b]. Podle věty z§ 43 funkce f nabývá své absolutní extrémy, a to buď (i) v krajních bodech intervalu, nebo v bodech, kde má lokální extrém. Ten může mít funkce (viz věta z§ 44) ve (ii) stacionárních bodech, nebo v bodech, ve kterých (iii) derivace neexistuje. Jen body z (i), (ii) a (iii) jsou „podezřelé" z toho, že v ruch / na.bývá svou největší nebo nejmenší hodnotu. Pokud takových „podezřelých" bodd je jen konečně

80

Monotonie a extrémy funkce

2.9

3,r -

7í 2 O ,--'---7T-:;:--\-___:� -�_:�-iL-

27T

2

-1

Osn. 2.3. Graf funkce f(x) = sin3 x + cos3 x

mnoho, �tačí v r_úch vypočítat funkční hodnoty f - největší z těchto hodnot bude absolutrum ma.xunem, nejmenší absolutním minimem. T)'to p �dez !elé body ale dělí náš interval [a, b] na konečně ID11oho intervalů a na � každém z ruch Je f ryze monotónní (podle tvrzení z§ 42). Umíme-li tedy porovnat hodnoty f v „sousedních" podezřelých bodech, 1náme vyšetřenu funkci i z hlediska monotonie. P ř í k I a d Vyšetřujn1e funkci f (x) = sin3 x + cos3 x. Tato funkce je 271"-periodická, takže ji stačí vyšetřit na intervalu [O, 27r]. Funkce je spojitá, nabývá tedy na tomto intervalu své největší a nejmenší hodnoty. Protože J'(x) = 3sin2 x cos x - 3cos2 x sin x = 3sin x cosx(sin x - cosx), snadno nacházíme stacionární body; absolutní extrémy jsou tedy na.byty v někte­ rých z „podezřelých bodů": 51r 311" 1r 1r O, 4' 2' 1r, 4' 2' 21r. Funkce f v nich má po řadě hodnoty

1

' 1, -1, -

1

' -1, 1. ./2 ./2 \7idíme tedy, že f má absolutní maximum 1 v bodech tvaru 2k1r a 1r/2 + 2k1r a absolutní minimum -1 v bodech tvaru 7í + 2k1r a 31r/2 + 2k1r, kde k E Z. Nyní už máme ale také v yšetřen ,,hrubý průběh" J - na každém z šesti intervalů, na . který „podezřelé body" dělí interval [O, 21r], je totiž f monotónní (viz § 42) a. snadným srovnáním velikosti hodnot f v sousedních bodech dostáváme charakter monotonie na těchto intervalech. Můžeme tedy snadno udělat „hrubý náčrt grafu", který bude podobný uvedenému výše (obr. 2.3). Z náčrtu vidíme a jsme schopni snadno dokázat, že f má lokální maxima v bodech 51r/4 + 2k1r a lokální minima v bodech 1r/4 + 2k1r.

1,

Výjimečně ovšem existují případy, kdy snadno určíme největší a nejmenší hodnotu vyšetfované funkce, ale určit „hrubý průl)ěli funkce" by bylo obtížné.

81

Poznámky k některým početním metodám

2.

P ř í k I a d Funkce f(x) = sin(2xarctg(x5 + x2 - 1) + 2arctg(x3 - 1)) má absolutní maximum I (tuto hodnotu nabývá. např. v bodě 1, větší hodnotu nabývat nemůže) a absolutní minimum -1 v bodě O. Úplné vyšetřeni monotonie by bylo obtížné. Zjistili jsme ovšem jen hod.noty absolutních extrémů, ne však všechny body, ve kterých je funkce J nabý.rá. §46. Chceme-li rozhodnout, zda funkce J ,ná ve stacionárním bodě a (tj. v bodě, kde J'(a) = O) lokální extrém, máme k dispozici tuto větu:

Pokud J'(a) = O a f"(a) > O (resp. J"(a) < OJ, pak má J v bodě a ostré lokální minimum (resp. maximum). V běžných případech tuto větu nepotřebujeme, protože dokážeme V)'šetřit „hrubý průběh funkce", a tedy i lokální extrémy jen pomocí 1. derivace. Někdy je užití druhé derivace dokonce zcela neadekvátní. P ř í k I a d Vyšetřujme lokální extrémy funkce f(x) = arctg3 x. Rovnice l r J'(x) = 3 · �1�:/ = O má jediný kořen x = O, takže f může mít loká.l.n.í e:>.."trém pouze v bodě O. Počítat /"(O) by zde ale bylo zcela zbytečné. Funkce f je totiž zřejmě rostoucí na celém R. To je Yidět z první derivace nebo z toho, že f vznikla složením dvou rostoucích funkcí. •

�lůže se ale stát, že funkce je natolik složitá, že je těžké vyšetřit její průběh z hlediska monotonie a přesto nás zajímá, zda v zadaném bodě a má f loká.l.n.í extrém. Pak výše uvedená věta může být Yelmi prospěšná. P ř í k l a O, takže podle výše uvedené věty ve stacionárním bodě 1 má f ostré lokální minimum. Pokud ve stacionárním bodě a platí /"(a) = O, vý·še uvedená věta nám nedá odpověď. Pak lze někdy rozhodnout Ja základě výpočtu derivací vyšších řádů (viz DI, Yěta 144). Pokud ale známe Taylorovu větu s Peanovým tvarem zbytku, nemu­ síme si znění zmíněné věty z DI pamato,·at- o tom, zda v bodě a je lokální extrém, rozhodne \"hodný Taylorův polynom. Pak J'(x) = e2 -e--"-2sinx, takže a = O je stacionárním bodem funkce /. Sna.dno dostáváme že /"(O) = O, /'"(O) = O, ale J{")(O) = 4. Podle Ta.yloroV}· věty s Pea.novým t�a.rem zbytku n1ame 4 4 J(x) = 4 + x + o(x4 ), x - O. 41 Protože Pří k l a I(O) na nějakém prstencovém okolí bodu O, takže J má v bodě O ostré lokální ,ninimum.

82

Konvexnost, konkávnost a inflexní body

2.10

2.10 Konvexnost, konkávnost a inflexní

body NejčW:těji vyšetř �em konvexnost a konkáv nost zadané funkce _ O pro x E (xo -6,xo) (ii) J"(x) < O J>ro x E (xo - ó, xo) Pak funkce f má v bodě x0 inftexi.

(i)

(C)

a J"(x) < O pro x E (x0 ,x0 +ó); a f"(x) > O pro x E (x0 ,x0 + ó).

Jestliže f má v bodě xo inflexi, pak buď (i) J"(xo) = O, nebo (ii) f"(xo) neexistuje.

V literatuře existuje řada různýcl1 definic inflexního bodu. 11y zde používáine definici z DI. Podle ní (zhruba řečeno) má funkce f v bodě xo inflcxi, jestliže graf funkce f přechází v bodě (x0, f(xo)) z jedné strany tečny (v tomto bodě) na druhou. Podle této definice tedy f musí mít v inflexnín1 bodě vlastní derivaci (ale v každém jiném bodě může být dokonce nespojitá, viz úloha 142). Někteří autoři definují inflexní bod jako bod, ve kterém se „konvexnost mění na konkávnost" a existenci deri,,ace v x0 případně nevyžadují nebo připouštějí i derivaci nevlast1ú. Poznamenejme ještě, že výše uvedená postačující i nutná podmínka se hodí na všechny běžné definice inflexních bodů funkce. 3 P ř í k l a d Necl1ť J(x) = x . Platí J"(x) = 6x, takže J"(x) < O pro ní x < O a J"(x) > O pro x > O. Funkce f je tedy podle věty (A) ryze konkáv em na (-oo, O] a ryze konvexní na [O, oo). Podle věty (B) je xo = O inflex.nim bod ( ó > O můžeme zvolit libovolně, třeba ó = 1).

P ř í k I a d Nechť J(x) = �- Víme, že f je spojitá na JR . Platí lim J'(x) = oo (srov. § 35) Dále f'(x) = � pro x -:f: O a J'(O) = .r--0 3 83

Poznámky k některým početním metodám

2.

J"(x) =

-2

pro

x :f O,

gVx5' takže f"(x) > O pro x < O a J"(x) < O pro x > O. Funkce / je tedy ryze konvexní na (-oo, OJ a ryze konkávní na (O, oo). Podle věty (C) jediným bodem ,,podez řelým z inflexe" je O (/11 (0) ovšem nemůže existovat, protože !'(O) = oo). Podle naší definice však v O inflexe není, protože J'(O) není konečná. §48. Konvexnost nebo konk:ávnost funkce lze někdy dokázat jen po­ mocí první derivace. Přitom užíváme následující větu, která je trochu obecnější než věta (A) z předchozího § 47.

(D) Nechť f

je funkce spojitá na intervalu I a nech(/' je rostoucí (resp. kle­ sající) uvnitř intervalu I. Pak f je ryze konvexní (re.sp. ryze konkátmí} na intervalu I.

Chceme-li ale dokázat, že J' je monotónní, většinou vyšetřujeme její derivaci, tedy J". Výjimečně však můžeme využít větší obecnost právě uvedené věty. P ř í k I a d Vyšetřujme funkci f(x) = lxl 3l2. 3 Snadno dostáváme J'(x) = Jfxi sgn x pro x ER. 2 (Nejprve počítáme pro x -:j; O a derivaci v O dopočítáme jako limitu derivace, srov. § 35.) I bez počítání druhé derivace Uen ze znalosti toho, že Jy je rostoucí funkce) sna.dno dostáváme, že/' je rostoucí na (-oo, O} i [O, oo), a tedy i na celém JR. Funkce f je proto podle věty (D) ryze konvexní na R. Kdybychom usuzovali jen pomocí druhé derivace, vznikl by jistý problém, pro­ tože, jak se sna.dno přesvědčíte, /"(O) neexistuje. Takže bychom pouze sna.dno zjis­ tili, že f je ryze konvexní na (-oo,ll] i [O,oo). Abychom usoudili, že f je ryze konvexní na R, museli bychom provést nějakou dodatečnou netriviální úvahu. Na­ příklad bychom mohli použít následující tvrzení (viz úlol1a 136 a návod k jejímu řešení): Nechť J je funkce ryze konvexní (resp. konvexní) na interoalu (a, c) i na interoalu [c, b). Nechť f je spojitá na (a, b). Pak f je ryze konvexní (resp. konvexní) na (a, b), právě když f!+.(c) � /'_ (c). Toto tvrzení se dá někdy použít i tehdy, kdy nám věta (D) tohoto paragrafu nedá odpověď. Například s jeho pomocí sna.dno dostáváváme, že funkce /(x) = lxl je konvexru na 1R a funkce g(x) = lxl + x2 je ryze konvexní na R. Pokud /"(a)= O, je bod a pouze „podezřelý" z inflexe. §49. Pokud navíc /'"(a) :f O, bod a skutečně infiexrú je. Pokud J'"(a) neexistuje, nemůžeme obecně udčlat žádný závěr. Pokud /'"(a) = O, také nemůžeme zatím o inflexi rozhodnout, odpověď však můžeme často dostat pomocí hodnot derivací vyšších řádů v bodě a. O tom hovoří 84

Vyšetřování průběhu funkce

2.11

věta 145 z DI. Pokud známe ale Taylorovu větu s Peanovým tvarem zbytku, ne1nu­ sí1ue si tuto větu pamatovat a o „vzájemné poloze grafu funkce a tečny " můžeme často (vždy, kdy dává odpověď věta 145 z DI) rozhodnout pomocí Taylorova poly­ non1u funkce f v bodě a , který má stupeň větší než jedna. (To ovšem n1ůže být např. Taylorův polynom řádu 9 pokud J" (a) = J"' (a) = ... = J (1+t3) 2

o.

Spojitost a limita funkcí více proměnných

2.12

Tedy !" je kladná na ( -oo ' O) • a proto Je . na (-oo, O) ryze konvexní f . Vypočteme Ještě as:ymptotu funkce v -oo . l\1áme (srov. §38) f k = lim f(x) .r-.-oo

X

=

lim 1/;(t) - t� t = -1. t-, -1+ cp(t) +

Dále q=

lim (v.,(t) + cp(t.)) = .r.!!11100 (f(x) - kx) = t-.1+

lim

t--1+

) ( t 2 t+ 1 1 + t3

= -�. 3

As)'lllptotou funkce f v -oo je tedy přúnka o rovnici y = -x _ 2/3.

2.12 Spojitost a limita funkcí vice proměnných Většinou je vyšetřovaná funkce „sestavena'' ze spojitých funkcí, §53. a proto spojitost zjišťujeme snadno užitim vět o spojitosti součtu, rozdílu, součinu a podílu spojitých funkcí a věty o spojitosti složené funkce. Přitom je třeba použít také snadný fakt, že funkce fi(x 1, • · · , x,. ) = Xi je spojitá funkce n proměnných. Př í k I a d Nechť f(x,y) = sin(xy)/(x2 +y4) pro (x,y) # (0,0) a J(O,O) = O. Funkce f je zřejrnč spojitá v každén1 bodě 1R2 \ {(O, O)}. Funkce g(x, y) = x, h(x, y) = y, j(z) = sin z jsou totiž spojité; je proto spojitý i součin funkcí xy = g(x, y)h(x, y), dále i složená funkce sin(xy) = j(g(x, y)h(x, y)), atd. V bodě (O, O) je ale jmenovatel x2 + y 4 nulový, takže nemůžeme použít větu o spojitosti podílu. Otázka po spojitosti f v bodě (O, O) se převádí na výpočet !unity - musí1ne zjistit, zda lim(z,y)-(O,O) J(x, y) = O. §54. V bodech spojitosti se liinita ovšem rovná funkční hodnotě. l\'1áme-li ale počítat limitu funkce J(x, y) v bodě (a, b), ve kterém nemůžeme dokázat spojitost podle vět zmíněných v předešlém paragrafu, musíme vyšetřovat limitu jinak. Pak bývá vhodné nejprve zjistit, zda má naše funkce stejnou limitu vzhledem ke všem přímkám procházejícím bodem (a, b). Pokud ton1u tak není, vime, že lim(:c,1,1)-(a,b) f(x,y) neexistuje. Nejdříve zpravidla zkusíme přímky rovnoběžné s osami (y = ba x = a) - to lze často snadno i zpaměti. sin(:z: 1,1) Zpamět1. vi"díme, .,. ze 1·1ID1·ta vz hlez:2+v• . 0,o) P ř í k I a d Vyšetřujme limc:c,1,1)-( dem k souřadnicovým osám je O - funkce je na nich totiž (kromě počátku) nu­ l lová. Limita v (O, O) naší funkce vzhledem k přímce x = t, y = kl vede na imitu

89

Poznámky k některým početním metodám

2.

lim,_0 1�i�;l:. = k. Prot.o naše dvojná limita neexistuje. \'idíme tedy, že funkce z příkladu předchozího paragrafu není v (O, O) spojitá. Podobně postupujeme pro funkce tří a více proměnných. Pokud limity funkce vzhledem ke všem přímkám procházejídm bodem (a, b) jsou stejné, dvojná limita v bodě (a, b) existovat může, ale nemusí. P ř í k I a d Kechť J(x, y) = pro (x, y) # (O, O) a /(O, O) = O. Pak linůta / v (O, O) vzhledem ke každé přímce prochw.jíd bodem (O, O) je rovna O. Nicméně 2 2 2 limita vzhledem k parabole y = x Yede na limitu limx-o x•�(�')' = 1/2, ta.k.že dvojná limita lim(r,v)-(O,O) J(x, y) neexistuje. Obecněji, pokud limcx,v)-(o,o) J(x, y) neexistuje, velmi často (ale ne vždy!) se to pozná podle limit vzhledem ke křivkám y = clxl0, a > O, c E JR. Neexistenci limity můžeme ovšem dokazovat také pomocí obdoby Heinebo věty pro funkce více proměnných (srov. § 15). §55.

z::�,

Při di'1kazu existence limity často dokazujeme,

§56.

že

lim

(r,11)-(a,b)

g(x, y) = O,

tak, že najdeme vhodnou (,,majorant.ní") funkci h(x, y) takovou, že lg(x, y)I :::; h(x, y) na nějakém prstencovém okolí bodu {a, b) a limcz.v)-(a,b) h(x, y) = O.

Pokud si myslíme (např. na základě výpočtu límit vzhledem ke přímkám), že lim(:c,y)-(a,b) f(x, y) = L, je vhodné dokazovat, že limcz,v)-(a,b) (J(x, y) - L) = O. P ř í k I a d Platí x 3 + xz + y3 + y2 lim -1 2 2 + x y (x,11)-(0,0) �fáme totiž (pro (x, y) # (O, O)) x3 + x-2 + 11 + v2 x3 + y 3 xl3 lvl3 l 1I = + 2+ x l + IYI- '; l < < 2 2 z 2 x y2 x 2 + y2 + +y x y x F\mkce lxl + IYI je spojitá na 1R2 (viz §53) a má v (O, O) hodnotu O. Někdy je třeba (kromě vhodných odhadů) použít verzi věty o linůtě složené funkce, ve které vnitřní funkcí je funkce více proměnných a vnější funkcí je vhodná funkce jedné proměnné. P ř í k I a d Ukážeme, že lim (x 2 + y1 + z2 )z11z = l. L := (x,11,z)-(O,O,O)

' 2 _.,2 l . N ( 1n prve 1 eJ x vyraz uprav íme: = z limcx ,y,z)-+(o,o,o) e L +11 + ) z11z. Pak vypočítáme _ _ limitu exponentu. ln(x2 + y2 + z2)xyz = lim (x,y,z)-+(0,0,0)

= 90

lim

(x,11,.r)-(O,O,O)

(1n(x2 + y2 + z2) . Jx2 + y2 + z2)

xyz Jx2 +y2 +z2

-o

7 Parciální derivace a totální diferenciál

2.13

V poslední limitě má totiž prv2ní zá ork·a rumt · � O podle věty o limitě složené funkce � _ (vnitřní funkce 'i'(X y z) - x + Y + z2 ' vněJší funkce J(u) =ln u. v..,, fu\, a druhá e uu ut u O po'd1'e odhadu ,:_: má tak, xyz

Jx2 +y2 +z2 Je tedy L = e0

lxllvllzl

,=x=,;=2= += y=;:: z 2 ::; I Y I I Z I· 2=+== ✓

= 1.

2.13 Parciální derivace a totální diferenciál §57. Problém existence a výpočtu parciálních derivací se převádí na příslušný problém pro obyčejné derivace - parciální derivace je totiž obyčejná derivace parciální funkce. P ř í k 1 a d Nechť J(x, y) = ijx3 + y3 . Zvolme y E JR a derivujme parciální funkci g(x) := f(x, y); dostáváme g'(x) = ½ ij(x3 + y3)-2 • 3x2 pro x -:j, -y. Pokud y # O, pak (srov.§ 35) máme g'(-y) = lim:i:--y9'(x) = oo. Pokud y = O, máme g(x) = � = x, takže g'(x) = 1 i pro x = y = O. 11á.Ine tedy výsledek: �(x, 11) = x 2 {!(x3 + y3)-2, pokud x -:j, -y, U(o, O) = 1 a U(x, y) neexistuje, pokud x = -y # O; obvykle se totiž připouštějí jen konečné parciální derivace. Výpočet � je zcela symetrický : máme U(x, y) = y2 (j(x� + y3)-2, pokud x # -y, U(O, O) = 1; jinde ,U neexistuje. Při vyšetřování totálního diferenciálu v běžných případech nemusíme pou­ §58. žívat definici totálního diferenciálu, ale stačí ná.In znát souvislost totálního cliíeren ciálu s parciálními derivacemi: bodě a = v xn) , · · · 1, J(x kce fun a) df( l ciá ren dife í áln tot je stu exi e (i) Jestliž rma), jejíž koefici(fo kce fun í eárn lin je l ciá ren dife í áln tot to te11 k , pa 0-n) , (a1, • .. enty jsou parciální derivace v bodě a:

(Cas to se piše df(a) = /f1 (a) dx 1 + • • • + lineární forma dxi (li1, ... , hn) = hi.)

a8f.. (a) dxn,

kde dxi je podle definice 91

Poznámky k některým početním metodám

2.

Speciálně existence všech parciálních derivaci v daném bodě je nutná podmínka pro exi.stenci totálního diferenciálu v tomto bodě. (ii) Jsou-li všechny parciální derivace z.11 (x), · · z.1 (x) spojité v bodě a, pak ,. df(a) existuje.

;

/

p ř í k I a d Vyšetřujme, ve kterých bodech existuje totální diferenciál funkce f(x, y) = x3 + y3. Její parciální derivace jsme již vyšetřili v předchozím para­ grafu. Podle (i) tedy dostáváme, že v bodech (x, y), x = -y f. O totální diferenciál neexistuje. Dále vidúne (srov. § 53), že obě parciální derivace jsou spojité v každém bodě (x, y), pro který x 'I -y; v takovém bodě existuje podle (ii) totální diferenciál df(x, y) a rovná se podle (i) lineární funkci

V

df(x, y) : (h, k) -+ x2 ij'(x 3 + y 3)- 2 . h + y 2 ij'(x3 + y3)-2. k.

Totální diferenciál v bodě (O, O) vyšetříme v následujícún paragrafu. §59. Ve výjimečných bodecl1 a, ve kterých sice parciální derivace funkce f exis­ tují, ale jejich spojitost v bodě a není jasná (nebo je dokonce jasná jejich nespojitost - ta nevylučuje existenci totálru110 diferenciálu), je vhodné postupovat podle defi­ nice totálního diferenciálu. Víme, že totálním diferenciálem může být jedině lineární -8 1 (a) h,.. funkce � H(a) h1 + • • • + a;: Př f k I a d Vyšetřujme df(O,O) pro funkci f(x,y) = Vx3 + y3. Podle§ 57 víme, že �(O, O) = *(O,O) = l. Parciální derivace však určitě nejsou spojité v bodě (O, O), protože v každém okolí bodu (O, O) existuje bod tvaru (x, -x), x 'I O, ve kterém parciální derivace funkce f neexistují. Totálním diferenciálem df(0, O) může být pouze lineární funkce (h, k) -, h + k. Víme, že podle definice totá.Jního diferenciálu tato lineární funkce je df(O, O), právě když

h,O + k)- .,C.(0,0)- (h + k) /(O+ lim (h,k)-(0,0) Jh2 + k2 Vzhledem k osám se tato limita skutečně rovná nule. Ale již limita vzhledem k přímce h = k vede na limitu lim �h-2h 11-0 v'21hl '

která. neexistuje. Totální diferenciál df(0, O) tedy neexistuje.

92

Zjišťování otevřenosti a uzavřenosti podmnožin Rn

2.14

2.14 Zjišťování otevřenosti a uzavřenosti n podmnožin R §60.

�� třeb ! si osvojit stan�ardní �působ,jak dokazovat otevřenost (uzavřenost) podmnoziny JR zadané analyticky (tJ. formulí). Tento způsob se opírá o tuto větu:

1:e::hť I : ( P, P) -+ 1 ( Q, o-) je spojité zobrazení a A c Q je otevřená (uzavřená) mnozina. Pak vzor 1- (A) je otevřená (uzavřená) podmnožina P. P � í k 1 �d N �hť Af = �(x, y) : x2 ;+ sin xy < O}. Položíme-li l(x, y) = 2 x +sm �y,Je {: JR -+ JR spoJ1té zobrazeru (srov. §53). Dále Af = J- 1 (-oo,O) a (-oo, O) Je o tevrcná podmnožina IR. P roto je M otevřená podmnožina IR2 . P ř í k 1 a d Nechť P = {(x,y,z) : x + y = z,x2 + y3 � z4 }. Položíme-li l(x,y,z)= x + y - z, g(x,y, z)= x 2 + y3 - z 4 , můžeme P vyjádřit jako P = 1- 1 ({0}) ng- 1 ([0,oo)). Pro tože f,g jsou funkce spojité na IR3 a {O},[O,oo) jsou uzavřené po dmnožiny R, je P průnikem dvou uzavřených množin a je tedy také uzavrena. v

,

Následující příklad ilu struje trochu složitější situaci, která svádí k chybným závěrům. P ř í k I a d Zkoumejme množiny A = {(x,y) : Jiy + x > O}, B = {(x, 11) : .Jifj + x < O}. Označíme-li l(x,y) = fiy + x, je funkce f sice spojitá, ale ne na celém R2, ale pouze na svém definičním obo ru D f = {(x, y) : xy > O}. Podrobněji: zobraz.ení I : D1 -+ JR je spojité; není ale pravda, že by funkce f byla spojitá vzhledem k JR2 v každéln bodě D1. (Není spojitá například v bodě (1, O),protože f 1 není definovaná na žádném jeho okolí.) Tedy A = 1- (O, oo) je množina otevřen2á v metrickém podpro sto ru DI C JR2 ; z to ho však neplyne, že by A byla otevřená v IR • 2 otevřen á není. Na druhé straně 0 lR ,. A t akže , A A\ E O) (1, že e, no vidím Snad 2. !R v řená uzav 1 ě á zřejm je kter D J, žině mno v řená uzav B = 1- ((-oo,O]), takže je Proto je B uzavřená podmno žina JR2 . Také další velmi jednoduchý příklad ukazuje, že s heslem „ostrá nerovnost dává otevřené množiny a neostr á uzavřené" je třeba zacházet obezřetně. K chybám někdy dochází, když se pracuje s funkcemi, které nejsou spojité na celém prostoru. 2 př í k J a d Nechť A = {x: ln x � O}. Pak zřejmě A v JR, ale je v JR otevřená.

=

(O, oo) není uzavřená

93

•

•

matfyzpress

aktuální nabídka na http://matfyzpress.cz/ ntuly je možno zakoupit v prodejně nakladatelství nebo objednat na e-shopu nakladatelství s doručením na odběrová místa v knihovnách MFF UK nebo poštou. Objednané publikace zasíláme poštou - platba předem nebo na doblrku (pro soukromé osoby) nebo ji3ko obchodní balík s platbou na fakturu (pro organizace). K ceně publikace je připočteno balné a poštovné podle váhy zásilky a platných tarifů české pošty (pro ČR). Odběr v knihovnách MFF UK je zdarma.

iverzity Karlovy Un lty ku fa l áln zik fy oick at em at M í tv els matfyzpí8SS nakladat ova MFF UK) ud (b n rlí Ka 8a ah Pr 75 6 18 , 83 ká vs Sokolo ss@kar in.mff.cun1..cz re zp fy at .m op sh l: ai m e4, 14 -3 3, 14 -3 tel. 95155 3141,

r

http://matfyzpress.cz/

Luděk Zajíček VYBRAN� ÚLOHY Z MATEMATICKÉ ANALÝZY pro 1. a 2. ročník Vydal ?vlatfy.tPress vyda vatelst vf Matematicko-fyzi.kální fakulty Uníverlity Karlovy v Praze Sokolovská 83, 186 75 Praha 8 jako svou 408. publikaci ,

Obálku navrhl Petr Kubát

Z ptedloh připravených v systému Tv( vytisklo Reprostředisko UK MFF Sokolovská 83, 186 75 Praha 8 VydAnf pá.té Praha 2013

ISDN 978-80-7378-214-6 ISDN 80-86732-58-4 (čtvrté vydání) ISBN 80-85863-94-4 (třetí vyd�nf) ISDN 80-85863-57-X (druhé vydám) ISBN 80-85863-28-6 (prvnf vydání)

ISBN 978-80-7378-214-6

9 788073 782146