Singularidades de aplicacoes diferenciaveis

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Singularidades de aplica¸co˜es diferenci´aveis.

Notas de aula 2011

Sum´ ario Introdu¸c˜ ao

1

1 Introdu¸c˜ ao

2

2 Transversalidade e estabilidade

6

2.1

Aplica¸co˜es suaves e formas locais . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2

Variedade e Espa¸co Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3

Transversalidade e valores regulares . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.1

Valores regulares e pontos cr´ıticos . . . . . . . . . . . . 12

2.3.2

Transversalidade e densidade

. . . . . . . . . . . . . . 13

2.4

Germes e Jatos, Transversalidade de Thom . . . . . . . . . . . 15

2.5

Singularidades de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 A¸c˜ oes de grupos e ´ orbitas 3.1

3.2

25

A¸ca˜o de grupos de Lie em variedades . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.1

Os polinˆomios homogˆeneos de grau d . . . . . . . . . . 27

3.1.2

Ad -equivalˆencia em d-jatos . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Estabilidade e o Lema de Mather . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2.1

Codimens˜ao e Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1

3.2.2

Lema de Mather . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Germes em En

35

4.1

A ´algebra En . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2

O grupo R e seu espa¸co tangente . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3

Singularidade isolada e codimens˜ao finita . . . . . . . . . . . . 42

4.4

Determina¸ca˜o finita e codimens˜ao finita . . . . . . . . . . . . . 44

4.5

Germes de codimens˜ao ≤ 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5 Transversal completa e germes simples

53

5.1

Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2

A Transversal completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3

Germes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6 O n´ umero de Milnor

61

6.1

O n´ umero de Milnor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.2

O n´ umero de Milnor do discriminante . . . . . . . . . . . . . . 65

7 Desdobramentos

69

8 Germes do plano no plano

70

8.1

O grupo A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.2

As A-´orbitas singulares em E2,2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8.3

Germes com 2-jato (x, xy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.4

Germes com 2-jato (x, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8.5

Diagramas de bifurca¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

1

Cap´ıtulo 1 Introdu¸c˜ ao Neste curso abordaremos dois aspectos da Teoria de Singularidades: classifica¸ca˜o de singularidades e invariantes associados a uma singularidade. Mas o que ´e uma singularidade? No c´alculo vimos que um ponto cr´ıtico de uma fun¸ca˜o de uma vari´avel ´e um ponto onde a primeira derivada se anula ou n˜ao existe. Assim se considerarmos somente fun¸co˜es de classe C ∞ , um ponto cr´ıtico ´e um ponto onde a primeira derivada ´e nula. Para aplica¸co˜es f : U → Rp , onde U ´e um aberto de Rn e f de classe C ∞ , um ponto x ∈ U ´e um ponto cr´ıtico se Dx f : Rn → Rp n˜ao ´e sobrejetora nem injetora (isto ´e, n˜ao tem rank m´aximo). Chamamos de ponto singular de f a imagem por f de um ponto cr´ıtico. Nosso primeiro objetivo deste curso ´e a classifica¸ca˜o das singularidades que surgem em aplica¸c˜oes diferenci´aveis f : U → Rp , com U aberto de Rn . Mas qual classifica¸c˜ao? A classifica¸ca˜o de objetos ´e uma atividade fundamental na matem´atica. Cada ´area tem sua no¸ca˜o natural de rela¸ca˜o de equivalˆencia e um dos obje2

tivos ´e listar seus objetos a menos desta equivalˆencia. Assim por exemplo, temos a no¸c˜ao de isomorfismo para espa¸cos vetoriais ou grupos e difeomorfismos para superf´ıcies. No caso de aplica¸c˜oes de classe C ∞ definidas em abertos de Rn com valores em Rp , a rela¸ca˜o de equivalˆencia natural consiste em mudan¸cas de coordenadas locais (difeomorfismos locais) no dom´ınio (fonte) e contradom´ınio (meta). Assim, classificar singularidades ´e obter as classes de equivalˆencia segundo esta rela¸ca˜o. Podemos entender esta classifica¸ca˜o como uma continua¸c˜ao natural do estudo de c´alculo em v´arias vari´aveis, onde os resultados finais nos levam `as formas locais das imers˜oes e das submers˜oes, com aplica¸co˜es definidas em conjuntos que tem somente pontos regulares, e o teorema do posto constante que considera conjuntos com somente um tipo de ponto cr´ıtico, ou seja um aberto em que todos os pontos s˜ao cr´ıticos e tem o mesmo posto. Neste sentido, a teoria de singularidades come¸ca a partir do teorema do posto constante, onde s˜ao estudadas fun¸co˜es ou aplica¸co˜es definidas em abertos que tem diferentes tipos de pontos cr´ıticos. Neste caso, a quest˜ao mais natural que se coloca ´e determinar uma forma normal para cada tipo de singularidade da aplica¸ca˜o. Se considerarmos por exemplo o caso p = 1, ou seja fun¸co˜es f : U → R, com U um aberto do Rn , quais as formas normais das singularidades que aparecem na imagem de f ? Neste caso, basta considerarmos a rela¸c˜ao de equivalˆencia dada por mudan¸cas de coordenadas na fonte, ou seja fixado um ponto x ∈ U , dizemos que f ´e equivalente a g em x, se existe uma vizinhan¸ca V de x contida em U e uma mudan¸ca de coordenadas (difeomorfismo local) h : V → h(V ) ⊂ Rn , tal que f|V = g ◦ h|V .

3

Neste caso, se f : U → R, onde U ´e um aberto de Rn , e a ∈ U tal que Da f : Rn → R ´e sobrejetora, ou seja f ´e uma submers˜ao em a, a forma local das submers˜oes nos diz que f ´e equivalente (por mudan¸ca de coordenadas na fonte) a uma proje¸ca˜o. Estes pontos s˜ao chamados pontos regulares. Tendo a forma normal das submers˜oes, ´e natural questionar qual ´e a forma normal de uma singularidade, naturalmente o primeiro passo ´e a busca pelas singularidades que s˜ao em maior n´ umero no conjunto singular, ou seja aquelas que s˜ao est´aveis, que em um sentido s˜ao singularidades em que ”perto delas”existem somente singularidades de mesmos tipo. Como exemplo, consideremos a fun¸c˜ao f (x) = x3 . Como sabemos, a origem ´e um ponto de inflex˜ao de f . Se incluirmos esta fun¸ca˜o em uma fam´ılia de fun¸co˜es de tipo ft (x) = x3 + tx, quais s˜ao as singularidades de ft , e de que tipo s˜ao? Para t = 0, temos f0 = f com uma u ´nica singularidade na origem, mas para t > 0 as fun¸co˜es ft tˆem dois pontos cr´ıticos, n˜ao mais na origem: um ponto de m´aximo e um ponto de m´ınimo. Se considerarmos x ∈ C tal fenˆomeno ocorre para todo t. Neste caso, f ´e um exemplo de fun¸ca˜o que n˜ao ´e est´avel na origem, pois pr´oximo de f , ou seja para pequenos valores de t, as fun¸co˜es ft tem singularidades de tipo diferente que as de f . Um exemplo de fun¸ca˜o est´avel ´e f (x) = x2 , se analogamente considerarmos a fam´ılia ft (x) = x2 − tx, neste caso obtemos fun¸c˜oes ft com o mesmo tipo de singularidade que f , ou seja pontos de dobra. Ressaltamos aqui que isto n˜ao ´e uma demonstra¸c˜ao para o fato de que a fun¸ca˜o f (x) = x2 ´e est´avel, a demonstra¸ca˜o deste fato sera vista depois. 4

No caso geral de uma fun¸ca˜o f definida em um aberto U ⊂ Rn , o Lema de Morse nos diz que f ´e est´avel se, e somente se, todo ponto cr´ıtico a ∈ U ´e n˜ao degenerado, ou seja Da f n˜ao ´e sobrejetora, mas a Hessiana tem determinante n˜ao nulo em a. Neste caso em todo ponto cr´ıtico n˜ao degenerado, f ´e equivalente a f (x1 , . . . , xn ) = x21 + · · · + x2i − x2i+1 − · · · − x2n . A seguir vem o estudo das formas normais das singularidades n˜ao est´aveis, tais como a fun¸c˜ao f (x) = x3 , um bom exerc´ıcio ´e a determina¸ca˜o de todas as fun¸co˜es que tˆem a fun¸c˜ao f (x) = x3 como forma normal. Outra abordagem no estudo das singularidades ´e a geom´etrica, onde s˜ao obtidos resultados sobre a geometria das fun¸c˜oes ou aplica¸co˜es atrav´es da determina¸ca˜o de invariantes num´ericos associados a fam´ılias destas. Por exemplo, temos o n´ umero de Milnor, definido para fun¸co˜es com singularidade isolada na origem. Outro invariante ´e o n´ umero de Tjurina, e em geral este n´ umero ´e menor ou igual que o n´ umero de Milnor. O c´alculo destes invariantes ´e uma ferramenta muito utilizada na classifica¸ca˜o de fun¸c˜oes com singularidade isolada na origem. O que nos permite determinar estes n´ umeros s˜ao f´ormulas alg´ebricas que s˜ao resolvidas atrav´es da determina¸ca˜o de ra´ızes de polinˆomios.

5

Cap´ıtulo 2 Transversalidade e estabilidade 2.1

Aplica¸co ˜es suaves e formas locais

Sejam X ⊂ Rn e Y ⊂ Rp subconjuntos abertos. Uma aplica¸c˜ao f : X → Y ´e chamada suave ( de classe C ∞ ) se para todo x ∈ X existem uma vizinhan¸ca aberta U de x em Rn e uma aplica¸c˜ao de classe C ∞ F : U → Rp tais que f = F em U ∩ X. f : X → Y ´e um difeomorfismo se f ´e bijetora e f e f −1 s˜ao suaves. Exerc´ıcio: Se x = (x1 , . . . , xn ) ´e um sistema de coordenadas em Rn e f1 , . . . , fp s˜ao as fun¸co˜es coordenadas de f em rela¸ca˜o a x, mostre que a condi¸ca˜o acima se realiza se as derivadas parciais existem e s˜ao cont´ınuas em U .

6

∂αf α n, ∂x1 1 ...∂xα n

α = α1 +. . .+αn

Defini¸c˜ ao 2.1.1. Sejam f : U ⊂ Rn → Rp uma aplica¸c˜ ao suave, x ∈ U e h 6= 0 um vetor em Rn . A derivada direcional de f em x na dire¸c˜ ao h:

dfx (h) = lim t=0

f (x + th) − f (x) . t

Para cada x ∈ U definimos a aplica¸c˜ao derivada de f em x dfx : Rn → Rp por h 7−→ dfx (h). Exerc´ıcio 2.1.2. 1. Mostre que dfx ´e linear e determine sua matriz em rela¸ca˜o `as bases canˆonicas. Se f ´e um difeomorfismo ent˜ao dfx ´e isomorfismo. 2. Prove a regra da cadeia: Sejam f : U → V e g : V → Rm aplica¸c˜oes suaves, U ⊂ Rn e V ⊂ Rp abertos. Ent˜ao d(g ◦ f )x = dgf (x) ◦ dfx , ∀x ∈ U . 3. Se f : U → Rp ´e linear, ent˜ao dfx = f em U . 4. 5. Mostre que dfx ´e um isomorfismo para f (x, y) = (ex cos y, ex sen y) 6. Mostre que dfx ´e um isomorfismo para f (x, y) = (x, y + 2kπ), mas f n˜ao ´e difeomorfismo. Teorema 2.1.3. Fun¸ c˜ ao inversa Se dfx ´e um isomorfismo, ent˜ao, para cada x ∈ U existem vizinhan¸cas U 0 e V 0 de x e f (x) tal que fU 0 : U 0 → V 0 ´e um difeomorfismo (local). Defini¸c˜ ao 2.1.4. Uma Imers˜ ao de um aberto U ⊂ Rn em Rp ´e uma aplica¸ca˜o suave f : U → Rp com dfx : Rn → Rp transforma¸ca˜o linear injetora, ou seja tem posto n e n ≤ p. Uma Submers˜ ao de um aberto U ⊂ Rn em Rp ´e uma aplica¸c˜ao suave f : U → Rp com dfx : Rn → Rp transforma¸c˜ao linear sobrejetora, ou seja tem posto p e n ≥ p.

7

Teorema 2.1.5. Forma Local das submers˜ oes Se f : (Rn , 0) → (Rp , 0) ´e submers˜ao, ∃ difeomorfismo h : (Rn , 0) → (Rn , 0) com f ◦ h−1 (x1 , . . . , xn ) = (x1 , . . . , xp ). Forma Local das imers˜ oes Se f : (Rn , 0) → (Rp , 0) ´e imers˜ao, existe difeomorfismo h : (Rp , 0) → (Rp , 0) com k ◦ f (x1 ,. . .,xn ) = (x1 ,. . .,xn , 0,. . . ,0). Teorema do Posto constante [8], p. 300. Sejam f : U → Rp uma aplica¸c˜ ao tal que em todos os pontos de U f tem posto constante, m ent˜ao existem difeomorfismos locais h : (U ⊂ Rn , 0) → (Rn , 0) e k : (Rp , 0) → (Rp , 0) com k ◦ f ◦ h−1 (x1 ,. . .,xn ) = (x1 ,. . .,xm , 0,. . . ,0). Imers˜oes e submers˜oes s˜ao exemplos de aplica¸co˜es de posto constante.

2.2

Variedade e Espa¸co Tangente

Defini¸c˜ ao 2.2.1. Uma parametriza¸ca˜o n-dimensional de um conjunto X ⊂ Rk ´e uma aplica¸ca˜o suave ϕ: V → Rk , onde V ´e um aberto de Rn tal que ϕ(V ) = X e a aplica¸c˜ao ϕ: V → ϕ(V ) ´e um difeomorfismo. Defini¸c˜ ao 2.2.2. Um subconjunto N ⊂ Rk ´e uma variedade diferenci´avel n-dimensional se para cada x ∈ N existe um aberto U em Rk tal que U ∩ N admite uma parametriza¸c˜ao n-dimensional ϕ: V → Rk . Nota¸c˜ao: N n . As variedades diferenci´aveis s˜ao generaliza¸c˜oes das variedades no espa¸co. Exemplos: 1. Um aberto de Rk ´e uma variedade k-dimensional. 2. Um subespa¸co vetorial V de dimens˜ao n em Rk ´e uma variedade n-dimensional. 8

3. A esfera S n ⊂ Rn+1 ´e uma variedade de dimens˜ao n. As proje¸c˜oes estereogr´aficas partindo do polo norte e do polo sul s˜ao parametriza¸co˜es. 4. Se M m ⊂ Rj e N n ⊂ Rk s˜ao variedades, ent˜ao M × N ´e uma variedade em Rj+k de dimens˜ao m + n. 5. O gr´afico de uma aplica¸c˜ao diferenci´avel f : Rn → Rp ´e uma variedade n-dimensional em Rn+p . 6. O Toro ´e uma variedade de dimens˜ao 2. 7. A Faixa de Moebius (do IMPA) ´e uma variedade de dimens˜ao 2. Qual a diferen¸ca entre a faixa de Moebius e o Toro? E Entre o Toro e a S 2 ? 8. Determine parametriza¸c˜oes de todas as variedades destes exemplos. 9. Justifique usando somente a defini¸c˜ao de variedade que o conjunto {(x, y) ∈ R2 : xy = 0} n˜ao ´e uma variedade. Defini¸c˜ ao 2.2.3. O espa¸ co tangente, Tx N , a uma variedade N n ⊂ Rk em um ponto x ∈ N ´e a imagem da diferencial Du ϕ: Rn → Rk , onde ϕ: V → Rk ´e uma parametriza¸ca˜o de uma vizinhan¸ca de x em N n com ϕ(u) = x. O espa¸co tangente Tx N ´e um subespa¸co vetorial de Rk de dimens˜ao n e ´e uma generaliza¸c˜ao natural do conceito de plano tangente a uma superf´ıcie regular parametrizada no espa¸co. Exerc´ıcio: Mostre que o espa¸co tangente n˜ao depende da parametriza¸ca˜o. Defini¸c˜ ao 2.2.4. Um subconjunto N de uma variedade M n+k ´e uma subvariedade de dimens˜ao n de M se este tem uma estrutura de variedade n dimensional e a inclus˜ao i : N → M ´e um mergulho suave, ou seja i ´e uma imers˜ao suave e um difeomorfismo de N sobre N ⊂ M . 9

Exerc´ıcio 2.2.5.

(i) U ⊂ Rk aberto, ent˜ao Tx U = Rk .

(ii) Se V ´e subespa¸co vetorial de Rk de dim n, ent˜ao Tx V = V . (iii) Calcule o espa¸co tangente T(1,0,0) S 2 . Mostre que O espa¸co Tv S n ´e o hiperplano perpendicular a v. (iv) Se f : M m → N n ´e uma aplica¸c˜ao suave entre variedades M e N , mostre que df x(Tx M ) ⊂ T yN (v) Mostre que os elementos de Tx M s˜ao os vetores velocidade em x de todos os caminhos suaves em M passando por x. (vi) Determine o Espa¸co tangente a um ponto do gr´afico de uma aplica¸ca˜o suave entre variedades. (vii) Se M m e N n s˜ao variedades, determine T(x,y) M × N .

2.3

Transversalidade e valores regulares

Defini¸c˜ ao 2.3.1. Entre Espa¸cos vetoriais Dois subespa¸cos U e V de um espa¸co vetorial W s˜ao transversais se U + V = W . Nota¸ca˜o: U ∩| V . Defini¸c˜ ao 2.3.2. Entre Subvariedades Duas subvariedades N1 e N2 de uma variedade N se encontram transversalmente em um ponto x ∈ N1 ∩ N2 se Tx N1 e Tx N2 s˜ao transversais em TX N , ou seja Tx N1 + Tx N2 = Tx N . Nota¸ca˜o: N1 ∩| N2 em x.

10

Defini¸c˜ ao 2.3.3. Entre uma aplica¸c˜ ao e uma Subvariedade Seja f : N → P uma aplica¸ca˜o suave e Q uma subvariedade de P . f ´e transversal a Q se graf(f ) e N × Q s˜ao transversais em N × P . Nota¸c˜ao: f ∩| Q. Exemplos 2.3.4. 1. Seja f : R → R2 , f (x, y) = (0, t) e Q o eixo x em R2 . Ent˜ao graf(f ) = {(t, 0, t) ∈ R3 }, N × Q = {(t, x, 0) ∈ R3 e f ∩| Q. 2. Seja g : R → R2 , g(x, y) = (t, t2 ) e Q o eixo x, ent˜ao g n˜ao ´e transversal a Q, pois T(0,0,0) grafg = reta x = y, no plano xy, que ´e o espa¸co T(0,0,0) N × Q. Observe que a origem ´e o u ´nico ponto em que g n˜ao ´e transversal a Q. Proposi¸c˜ ao 2.3.5. Sejam f : N n → P p suave e Q subvariedade de P . Ent˜ao f ∩| Q se, e somente se, dfx (Tx N ) + Ty Q = Ty P, ∀x ∈ N e y = f (x) em Q. Demonstra¸c˜ ao: (−→) Se f ∩| Q ent˜ao graf(f ) ∩| Q em N × Q, ou seja para y = f (x) ∈ Q, T(x,y) graf(f ) + T(x,y) N × Q = T(x,y) N × P.

(∗)

Como dfx : Tx N → Ty P , temos dfx (Tx N ) + Ty Q ⊂ Ty P e junto com (∗), obtemos que graf(dfx ) + Tx N × Ty Q = Tx N × Ty P.

(∗∗)

Agora, para cada par (w, v) ∈ Ty P × Tx N , segue de (∗∗) que existe w1 , w2 ∈ Tx N e u ∈ Ty Q tal que (w, v) = (w1 , dfx (w1 )) + (w2 , u). Portanto v = dfx (w1 ) + u ∈ dfx (Tx N ) + Ty Q. (←−) Neste caso, para um dado par (u, v) em Tx N × Ty P , podemos escrever v = dfx (w1 ) + u ∈ dfx (Tx N ) + Ty Q e tomar w2 = w − w1 para obter (∗∗) ||| Exerc´ıcio 2.3.6. 1. Mostre que se f : N → P ´e uma submers˜ao, ou seja dfx : Tx N → Tf (x) P ´e sobre, para qualquer subvariedade Q em P , f ∩| Q. Logo, se Q ⊂ P ´e subvariedade, dfx (Tx N ) + Ty Q = Ty P. 11

2. Suponha que f ∩| Q e que exista x ∈ N tal que y = f (x) ∈ Q. Ent˜ao dfx (Tx N ) + Ty Q = Ty P implica que dim N ≥ codim Q. 3. Se codim Q > dim N ent˜ao f ∩| Q se, e somente se Imagem (f ) ∩| Q = ∅

2.3.1

Valores regulares e pontos cr´ıticos

Defini¸c˜ ao 2.3.7. Seja f : N → P suave, dizemos que y ´e valor regular de f se f ∩| {y}, onde {y} ´e considerado como uma variedade 0-dimensional. Observamos que: 1. Se y 6∈ Imagem de f , ent˜ao y ´e valor regular de f . 2. y ´e valor regular de f se dfx ´e sobre para qualquer x ∈ f −1 (y). Se y n˜ao ´e valor regular de f , dizemos que y ´e valor cr´ıtico de f , neste caso existe pelo menos um x0 ∈ f −1 (y), tal que dfx0 n˜ao ´e sobrejetora, neste caso x0 ´e chamado ponto cr´ıtico de f . Se y ´e valor cr´ıtico de f , podem existir pontos de f −1 (y) que n˜ao s˜ao pontos cr´ıticos de f . Por exemplo, seja f : R2 → R definida por f (x, y) = x3 − y 2 , a origem 0 ∈ R ´e valor cr´ıtico, mas o u ´nico ponto cr´ıtico de f −1 (0) em R2 ´e a origem (0, 0). Neste caso dizemos que a origem ´e uma singularidade isolada da curva x3 − y 2 = 0 em R2 . Exerc´ıcio 2.3.8. 1. Se N = Rn e P = R ent˜ao x ∈ Rn ´e ponto cr´ıtico se, e somente se, ∇f (x) = 0. 2. Sejam f : N n → P p suave e Qq uma subvariedade de P . Ent˜ao M = f −1 (Q) ´e uma subvariedade em N com a mesma codimens˜ao de Q em P . Al´em disso, se x ∈ N ´e tal qu f (x) = y ∈ Q, ent˜ao Tx M = (dfx )−1 (Ty Q). 12

3. Se Q = {y} ´e valor regular de f ent˜ao f −1 (y) ´e vazio ou uma subvariedade de codimens˜ao m − n em M e Tx M ´e o n´ ucleo de dfx . 4. Seja A = (aij )n×n uma matrix sim´etrica e f : Rn → R, dada por f (x) = hAx, xi. Mostre que: dfx : Rn → R ´e dada por dfx (v) = 2hAx, vi. 5. 1 ´e valor regular de f e calcule = f −1 (0). 6. Fixe n = 3, se A ´e a matriz identidade ent˜ao M = S n−1 . 7. Determine a matriz A para que M seja um: elipsoide, paraboloide, hiperboloide de duas folhas, hiperboloide de uma folha, cone. Exerc´ıcio 2.3.9. Determine os pontos cr´ıticos e os valores cr´ıticos das aplica¸c˜oes: (i) f : R → R2 , f (t) = (t, t2 ), fs : R → R2 , fs (t) = (t, t2 − st), (ii) f : R2 → R2 , f (x, y) = (x, y 3 − xy), g : R2 → R2 , f (x, y) = (x, y 5 − xy), (iii) f : R2 → R3 , f (x, y) = (x, y 3 −xy, y), g : R2 → R3 , g(x, y) = (x, xy, y 2 ),

2.3.2

Transversalidade e densidade

Nosso pr´oximo passo ´e mostrar como obter conjuntos densos de aplica¸co˜es transversais a um conjunto de variedades, e iniciamos isto com o seguinte Exemplo 2.3.10. Seja Q a esfera S 2 em R3 e F : R2 × R → R3 definida por f ((x, y), s) = (x, y, s). Ent˜ao temos fs ∩| Q para todo s 6= 1 ou −1. E a quest˜ao: Seja F : N × S → P uma aplica¸c˜ ao suave com F ∩| Q. Se considerarmos a fam´ılia associada de aplica¸c˜ oes suaves fs : N → P , fs (x) = F (x, s), o que podemos dizer sobre fs ∩| Q para s ∈ S? 13

Teorema 2.3.11. Teorema de Sard Seja fi : Ni → P uma fam´ılia enumeravel de aplica¸c˜ oes suaves, ent˜ao o conjunto de valores regulares comuns a todas as fi ´e um conjunto denso em P . Neste teorema estamos considerando a estrutura de espa¸co topol´ogico de P determinada pela estrutura de variedade suave de P . Lema 2.3.12. Lema b´ asico de Transversalidade Seja F : N × S → P uma aplica¸c˜ ao suave com F ∩| Qi , para uma fam´ılia finita de subvariedades Qi , ent˜ao existe um conjunto denso de parˆ ametros s ∈ S tal que fs ∩| Qi para todo i. Demonstra¸c˜ ao: Como Mi = F −1 (Qi ) ´e uma subvariedade em N × S, seja π|Mi a restri¸c˜ao da proje¸ca˜o π : N × S → S, ent˜ao ´e so mostrar que fz ∩| Qi se, e somente se, π|Mi ∩| {s} e o resultado segue do Teorema de Sard. Como temos uma quantidade finita de subvariedades Qi , podemos considerar nesta demonstra¸c˜ao somente uma subvariedade Q, com M = F −1 (Q), pois temos que fazer caso a caso. Ent˜ao, se F ∩| Q, para todo z = (x, s) ∈ N × S com w = F (z), temos: Tz F (Tx N × Ts S) + Tw Q = Tw P. (1) E para obter a condi¸ca˜o fs ∩| Q basta mostrar que para x em (1), temos Tz F (Tx N × 0) + Tw Q = Tw P

(2)

Al´em disto, temos que esta condi¸c˜ao ´e equivalente `a condi¸ca˜o de N × (s) ser transversal a M em N × S, ou seja Tx N × 0 + Tz M = Tx N × Ts S

(3).

Mas esta condi¸c˜ao (3) ´e equivalente `a condi¸ca˜o Tz π(Tz M ) = Ts S, que ´e a condi¸ca˜o para que π|M seja transversal a {s}.

14

|||

2.4

Germes e Jatos, Transversalidade de Thom

Nosso pr´oximo objetivo ´e mostrar que a transversalidade entre aplica¸c˜oes e variedades ocorre em geral. Para isto, temos que definir uma topologia conveniente para o conjunto das aplica¸co˜es suaves f : N → P , denotado por C ∞ (N, P ). Como vamos trabalhar localmente, o conceito de germes de aplica¸ca˜o se torna fundamental. Sejam N e P variedades de dimens˜oes n e p respectivamente, e x ∈ N . No conjunto das aplica¸c˜oes suaves definidas numa vizinhan¸ca de x em N e com valores em P introduzimos a seguinte rela¸c˜ao de equivalˆencia ( ∼): Defini¸c˜ ao 2.4.1. Duas aplica¸co˜es suaves f1 : U1 → P e f2 : U2 → P s˜ao equivalentes (f1 ∼ f2 ) quando existir uma vizinhan¸ca U ⊂ U1 ∩ U2 de x em N tal que as restri¸co˜es f1 |U e f2 |U coincidem. As classes de equivalˆencia dessa rela¸ca˜o s˜ao chamadas de germes de aplica¸co˜es em x e um elemento da classe de equivalˆencia ´e um representante do germe. Nota¸c˜ao: f : (N, x) → (P, y) , f (x) = y, chamamos N fonte e P meta. Defini¸c˜ ao 2.4.2. A derivada dx f : Tx N → Ty P de um germe f : (N, x) → (P, y) ´e a derivada em x de qualquer representante. f : (N, x) → (P, y) ´e um germe de difeomorfismo se, e somente se, um de seus representantes (e portanto qualquer) ´e um difeomorfismo local, e portanto. Neste caso segue do Teorema da Fun¸ca˜o Inversa que sua derivada ´e um isomorfismo. 15

Observamos que nestes casos temos as formas normais destes germes dadas pelo teorema de formas normais de fun¸co˜es suaves em variedades. O posto de um germe ´e definido como o posto de sua derivada em x. Quando o posto ´e igual a dimens˜ao de N o germe ´e imers´ıvel e quando o posto ´e igual a dimens˜ao de P o germe ´e submers´ıvel. Defini¸c˜ ao 2.4.3. Dois germes f1 : (N1 , x1 ) → (P1 , y1 ) e f2 : (N2 , x2 ) → (P2 , y2 ) s˜ao A-equivalentes quando existem germes de difeomorfismos h : (N2 , x2 ) → (N1 , x1 ) e k : (P2 , y2 ) → (P1 , y1 ) tal que f1 = k ◦ f2 ◦ h−1 (ou f1 ◦ h = k ◦ f2 ), ou seja o diagrama comuta: f1

(N1 , x1 ) −→ (P1 , y1 ) h

↑

↑

k

f2

(N2 , x2 ) −→ (P2 , y2 ) Exerc´ıcio 2.4.4. Qualquer germe f : (N, x) → (P, y) ´e A-equivalente a algum germe g : (Rn , 0) → (Rp , 0). A partir de agora somente consideramos germes de (Rn , 0) em (Rp , 0). Defini¸c˜ ao 2.4.5. O espa¸co dos jatos J k (n, p) ´e o espa¸co vetorial real das aplica¸co˜es f : Rn → Rp onde cada componente fi de f ´e um polinˆomio de grau ≤ k nas coordenadas canˆonicas x1 , x2 , . . . , xn de Rn com termo constante nulo. Os elementos de J k (n, p) s˜ao chamados de k-jatos. Defini¸c˜ ao 2.4.6. Para cada aplica¸ca˜o de f em C ∞ (Rn , Rp ) e cada a ∈ Rn , definimos a aplica¸ca˜o j k f : Rn → J k (n, p) por: j k f (a) ´e o polinˆomio de Taylor de f (x + a) − f (a) de ordem k na origem. A aplica¸ca˜o j k f ´e de classe C ∞ e j k f (a) ´e chamado de k-jato de f em a. 16

Exemplo: Seja f : R → R ent˜ao j k f (a) = f 0 (a)x +

f 00 (a) 2 x 2!

+···+

f (k) (a) k x . k!

Exerc´ıcio: Determine a s´erie de Taylor at´e a ordem 3 e o 3-jato de: 1. f : Rn → R, para qualquer a ∈ Rn . 2. f : R2 → R, f (x, y) = x3 − y 2 , para qualquer a ∈ R2 . 3. f : R2 → R3 , f (x, y) = (x, y 2 , xy) em (0, 0) ∈ R2 . Defini¸c˜ ao 2.4.7. Dois germes de aplica¸co˜es f e g de classe C ∞ tˆem d-jatos Ad -equivalentes se existem germes de difeomorfismos h : (Rn , 0) → (Rn , 0) e k : (Rp , 0) → (Rp , 0) tais que j d (f ◦ h) = j d (k ◦ g). Defini¸c˜ ao 2.4.8. Topologia de Whitney Uma base para a topologia de classe C k -de Whitney de C ∞ (Rn , Rp ) ´e dada pelos seguintes conjuntos V (f, δ) = {g : Rn → Rp , ||j k g(x) − j k f (x)| < δ(x), onde δ : Rn → R ´e cont´ınua e positiva. A Topologia de C ∞ -de Whitney de C ∞ (Rn , Rp ) tem como base a uni˜ao de todos os abertos das topologias C k -de Whitney, com k ≥ 0. encia uniforme das partes Defini¸c˜ ao 2.4.9. Topologia da convergˆ compactas Para todo |x| ≤ R, onde δ e R s˜ao reais positivos e k ∈ N, uma base para esta topologia de C ∞ (Rn , Rp ) ´e dada pelos seguintes conjuntos V (f, δ, R, k) = {g : Rn → Rp , ||j k g(x) − j k f (x)| < δ. Os pr´oximos resultados s˜ao interessantes para obter resultados sobre estabilidade de aplica¸c˜oes.

17

Teorema 2.4.10. O conjunto das aplica¸c˜ oes suaves f : Rn → Rp que s˜ao transversais a uma cole¸c˜ ao finita de variedades Q1 , , ..., Qp ´e um conjunto denso em C ∞ (Rn , Rp ), considerando a sua topologia da convergˆencia uniforme das partes compactas. Demonstra¸c˜ ao: Para cada f : Rn → Rp , basta mostrar que existe uma fam´ılia de aproxima¸c˜oes F : Rn × S → Rp que ´e transversal a cada Qi . Sejam S = Rp e F (x, s) = f (x) + s. Claramente F ´e uma submers˜ao, pois J(F (x, s) = [f 0 (x), Ip×p ] tem sempre um menor de ordem p diferente de zero. Agora so resta mostrar que quando s se aproxima do zero em Rp as aplica¸co˜es fs = F (−, s) se aproximam de f0 = f , ou seja para qualquer vizinhan¸ca V = V (f, δ, R, k) de f , existe s com fs ∈ V . Pelo Lema b´asico, existe um conjunto denso de s ∈ Rp tal que fs ´e transversal a Qi , para todo i = 1, . . . , l Para k = 0, temos |fs (x) − f (x)| = |f (x) + s − f (x)| = |s|, ent˜ao basta considerar s < δ e a desigualdade |fs (x) − f (x)| ≤ δ vale para qualquer x. Para k > 0, temos j k fs (x) = j k f (x), portanto |j k fs (x) − j k f (x)| = 0 < δ para qualquer x.

|||

Exerc´ıcio 2.4.11. Verifique se este resultado vale se considerarmos a topologia C ∞ de Whitney. Teorema 2.4.12. Transversalidade de Thom. Sejam Q1 , , ..., Qp subvariedades suaves em J k (n, p). Ent˜ao o conjunto de todas as aplica¸c˜ oes suaves f : Rn → Rp tal que j k (f ) : Rn → J k (n, p) ´e transversal a todos os Qi´e denso em C ∞ (Rn , Rp ).

18

Demonstra¸c˜ ao: Aqui consideramos S = J k (n, p), que ´e um espa¸co Euclideano de de dimens˜ao finita, portanto podemos considerar a aplica¸ca˜o F : Rn × S → J k (n, p) definida como F (x, s) = j k (f + s)x, assim F ´e uma submers˜ao e pelo Teorema 2.3.12 existe um conjunto denso de s tal que fs ´e transversal a todas as variedades Qi . Claramente podemos tamb´em mostrar f + s se aproxima de f para valores de s suficentemente pequenos.

2.5

|||

Singularidades de primeira ordem

Defini¸c˜ ao 2.5.1. Definimos o conjunto singular de f , denotado Σ(f ), como o conjunto dos pontos x em Rn tal que o posto de x em f ´e menor que min(n, p), ou seja o germe f n˜ao ´e imers´ıvel e nem submers´ıvel em x. Neste caso dizemos que x ´e ponto singular de f . O principal objetivo desta se¸c˜ao ´e usar o Teorema de Transversalidade de Thom para mostrar que para um conjunto denso de aplica¸c˜oes suaves f : Rn → Rp o conjunto singular Σ(f ) pode ser particionado em um n´ umero finito de subconjuntos Σi (f ), onde f tem posto constante em cada subconjunto Σi (f ). Defini¸c˜ ao 2.5.2. Conjuntos de singularidade de primeira ordem: Σi (f ) = {x ∈ Rn : dim{ker(df (x))} = i} Exemplo 2.5.3. 1. Seja f : R2 → R2 , f (x, y) = (x2 , y 2 ). Neste caso, Σ2 (f ) = {(0, 0)}, os s˜ao de tipo Σ1 (f ) ´e formado pelos eixos das coordenadas, a menos da origem e Σ0 (f ) = R2 − {(x, y) : xy = 0}. 19

2. Seja f : R2 → R2 , f (x, y) = (x2 +y, y 2 ). Neste caso n˜ao existem pontos de tipo Σ2 , os eixos das coordenadas s˜ao de tipo Σ1 e os outros pontos s˜ao de tipo Σ0 . Neste exemplo ressaltamos que o conjunto Σ1 (f ) n˜ao tem uma estrutura de subvariedade, mas existem deforma¸c˜oes por termos lineares fs de f que tˆem o conjunto conjunto Σ1 (fs ) sendo uma subvariedade. Por exemplo basta considerar fs = f + (0, sx). Aqui o conjunto Σ1 (fs ) ´e definido pela equa¸c˜ao xy = s, que ´e uma hip´erbole, neste caso podemos ver que se s tende a zero, o conjunto singular Σ1 (fs ), se aproxima das assintotas, que ´e o par de retas xy = 0 e o conjunto Σ2 (fs ) ´e vazio para qualquer s < 1/4. A partir dos conjuntos singulares Σi (f ) dos germes de aplica¸c˜ao f em C∞ (Rn , Rp ) ´e poss´ıvel definir as subvariedades Σi no espa¸co dos jatos J 1 (n, p), que s˜ao fundamentais para a determina¸ca˜o de germes est´aveis em C∞ (Rn , Rp ). Observamos que o espa¸co J 1 (n, p) pode ser identificado com o espa¸co das matrizes M(n,p) com rela¸ca˜o `a base canˆonica, pois para cada x ∈ Rn para termos um elemento em j 1 f (x) ∈ J 1 (n, p), basta considerarmos a derivada df (x), que ´e uma transforma¸c˜ao linear. Ent˜ao podemos considerar que J 1 (n, p) ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao n × p. Defini¸c˜ ao 2.5.4. Σi := {σ ∈ J 1 (n, p) : existe f : Rn → Rp com j 1 f (x) = σ e dim(kerj 1 f (x)) = i}. Exemplo 2.5.5. Se p = 1 e n ´e qualquer, somente temos conjuntos de tipo Σn e Σn−1 em J 1 (n, 0), todos os outros Σi com 0 ≤ i ≤ n − 2 s˜ao vazios. O pr´oximo resultado nos mostra como obter a codimens˜ao deste conjunto em J 1 (n, p). 20

Teorema 2.5.6. Σi ´e uma subvariedade de codimens˜ ao i(p − n + i) em J 1 (n, p). A demonstra¸c˜ao deste resultado aplica fortemente o Teorema de transversalidade de Thom (ou do ´ıtem 3 do exerc´ıcio 2.3.8). Ou seja vamos obter o conjunto Σi como Σi = F −1 (0), para alguma fun¸ca˜o suave que ´e uma submers˜ao na origem. Assim precisamos definir f convenientemente para obter a codimens˜ao descrita no teorema. Aqui estamos considerando a identifica¸ca˜o entre J 1 (n, p) e cada elemento de J 1 (n, p) ser´a denotado como uma matriz no conjunto das matrizes reais Mn×p . Neste caso, se fixamos k = n − i, podemos considerar um elemento de Σi como uma matriz Mn×p de posto k e assim nosso trabalho ´e mostrar que este conjunto ´e uma subvariedade de codimens˜ao (n − k) × (p − k) no conjunto das matrizes reais Mn×p . Nosso primeiro passo ´e ent˜ao caracterizar as matrizes de posto k.   A B , uma matriz p × p com A uma matriz Lema 2.5.7. Seja E =  C D k × k invers´ıvel. Ent˜ao E tem posto k se, e somente se, D = CA−1 B. Demonstra¸c˜ ao: Primeiro observamos que o posto de uma matriz permanece constante ao fazermos o seu produto por uma matriz invers´ıvel, ou seja para qualquer X(n−k)×k , o posto de E ´e igual ao posto da matriz  matriz   A B I 0 , onde Ir denota a matriz identidade em M r × r.   k C D X Ip−k Agora basta considerar X = −CA−1 . |||

21

Demonstra¸ c˜ ao do Teorema 2.5.6: Consideremos k com i + k = n e seja  A0 B0  uma matriz em Σi com A0 matriz k × k invers´ıvel. E0 =  C0 D0 1 Agoraescolhemos  a vizinhan¸ca U de E0 em J (n, p) constituida de todas matrizes 

A B

, com A uma matriz k × k invers´ıvel. C D Ent˜ao, temos que U ∩ Σi ´e uma subvariedade de codimens˜ao i(p − n + i)

(Prove isto como exerc´ıcio), definimos a aplica¸ca˜o F : U → J 1 (p − k, n − k), por F (E) = D − CA−1 B. Agora basta mostrar que F ´e uma submers˜ao (exerc´ıcio) e segue do Teorema de Thom que F −1 (0) ´e uma subvariedade suave de codimens˜ao (p-k)(nk)=i(p-n+i) e segue do passo 1 que F −1 (0) = U ∩ Σi .

|||

Com este resultado, podemos caracterizar as aplica¸c˜oes f cujos conjuntos Σi (f ) s˜ao subvariedades de Rn . Teorema 2.5.8. Existe um conjunto denso de aplica¸c˜ oes suaves f : Rn → Rp para as quais j 1 (f ) ´e transversal a todos os conjuntos Σi e portanto para todo f neste conjunto Σi (f ) ´e uma subvariedade de codimens˜ ao i(p − n + i). Demonstra¸c˜ ao: A primeira parte ´e consequˆencia imediata do Teorema de Thom, a segunda segue por que Σi (f ) ´e a imagem inversa por j 1 (f ) de Σi . |||

Exemplo 2.5.9. 1. Para f : R2 → R2 , f (x, y) = (x2 , y 2 ), todos os conjuntos Σ2 (f ) = {(0, 0)}, Σ1 (f ) = eixos das coordenadas, a menos da origem e Σ0 (f ) = R2 − {(x, y) : xy = 0} s˜ao subvariedades de codimens˜ao 2, 1 e 0 respectivamente.

22

2. Mas para f : R2 → R2 , f (x, y) = (x2 + y, y 2 ) o conjunto Σ1 (f ) = {(x, y) : xy = 0} (eixos das coordenadas) n˜ao ´e uma subvariedade, ou seja f n˜ao ´e transversal a Σ1 em J 1 (2, 2). De acordo com o Teorema anterior, sempre existem fun¸co˜es pr´oximas de f que s˜ao tranversais a todos os conjuntos Σ0 , Σ1 e Σ2 em J 1 (2, 2). Neste exemplo basta considerar fs = f + (0, sx). Aqui o conjunto Σ1 (fs ) ´e definido pela equa¸ca˜o xy = s, que ´e uma hip´erbole, neste caso podemos ver que se s tende a zero, o conjunto singular Σ1 (fs ), se aproxima das assintotas, que ´e o par de retas xy = 0 e o conjunto Σ2 (fs ) ´e vazio para qualquer s < 1/4. Nosso pr´oximo passo ´e estudar quais s˜ao as subvariedades Σi que existem em J 1 (n, p) para pares (n, p) fixos. Inicalmente procuramos os que tˆem codimens˜ao menor poss´ıvel, ou seja aqueles que tˆem de codimens˜ao zero. Neste caso, primeiro observamos que para i = 0 isto vale sempre, ou seja, Σ0 ´e sempre um conjunto de codimens˜ao 0, desde que ele exista para um par (n, p). Assim concluimos que Σ0 ´e sempre um aberto em J 1 (n, p). Agora se consideramos i = 1, por exemplo, para quais pares (n, p), Σ1 ´e um aberto em J 1 (n, p)? Neste caso, i(p − n + i) = p − n + 1 = 0 se, e somente se, n = p + 1, ou seja Σ1 ´e um aberto em J 1 (n, p) se, e somente se, n = p + 1. Exemplo 2.5.10. Para o caso em que p ≥ 2n, temos que para qualquer i, os poss´ıveis conjuntos Σi (f ) de uma aplica¸ca˜o suave f : Rn → Rp tal que j 1 (f ) ´e transversal a Σi tˆem codimens˜ao i(p − n + i) ≥ i(n + i) > n, e isto ocorre se, e somente se, i = 0, ou seja: Σi (f ) = ∅ ou seja, f ´e uma imers˜ao. Assim obtemos que se p ≥ 2n o conjunto das imers˜oes ´e denso em C ∞ (Rn , Rp ). 23

Para um exemplo mais expl´ıcito, se considerarmos a curva f : R → R2 , f (t) = (t2 , t3 ), claramente temos que f n˜ao ´e imers˜ao, pois n˜ao ´e uma imers˜ao, a origem ´e um ponto singular de f cuja imagem ´e um ponto de c´ uspide. Mas sempre ´e poss´ıvel obter aproxima¸co˜es fs de f por termos lineares, com fs sendo uma imers˜ao, como fs (t) = (t2 , t3 − ts). Exerc´ıcio 2.5.11. Fixe o caso de fun¸c˜oes em C ∞ (Rn , R). 1. Mostre que as u ´nicas singularidades s˜ao de tipo Σn−1 e Σn e determine as codimens˜oes destes subconjuntos. 2. Mostre que para uma fun¸c˜ao f , temos que j 1 (f ) ´e transversal a cada Σi se, e somente se, a matriz Hessiana formada pelas segundas derivadas parciais de f ´e n˜ao singular (ou seja tem determinante n˜ao nulo) nos pontos singulares de f . Neste caso estes pontos s˜ao chamados n˜ao-degenerados. 3. Mostre que f (x, y) = x2 − 3xy 2 tem um ponto cr´ıtico degenerado na origem, determine uma deforma¸ca˜o por termos lineares de f cujo um jato seja transversal a todos os Σi .

24

Cap´ıtulo 3 A¸co ˜es de grupos e ´ orbitas 3.1

A¸c˜ ao de grupos de Lie em variedades

A rela¸ca˜o de equivalˆencia no espa¸co dos jatos J d (n, p) pode ser interpretada como uma a¸ca˜o de um grupo de Lie neste espa¸co (que ´e uma variedade). As classes de equivalˆencia ser˜ao as ´orbitas desta a¸c˜ao. Assim listar as classes de equivalˆencia ser´a o mesmo que listar as ´orbitas. Nesta se¸c˜ao introduzimos o conceito de a¸ca˜o de um grupo de Lie em uma variedade e obtemos a classifica¸ca˜o dos jatos homogˆeneos de grau d. Uma a¸c˜ ao de um grupo G em um conjunto M ´e uma aplica¸c˜ao ϕ: G × M → M , denotada por ϕ(g, x) = g.x, tal que para todo x ∈ M e g, h ∈ G temos: (i) 1.x = x, onde 1 denota o elemento identidade de G, (ii) (gh).x= g.(h.x). Uma a¸ca˜o induz uma rela¸c˜ao de equivalˆencia: x, y ∈ M s˜ao equivalentes 25

se existir g ∈ G tal que y = g.x. O conjunto dos elementos y ∈ M tal que existe g ∈ G com y = g.x ´e chamado de ´orbita de x em M (observe que a ´orbita de x ´e a classe de equivalˆencia de x). Este conjunto ser´a denotado por G.x, ou seja, G.x = {y ∈ M : ∃g ∈ G, / y = g.x}. Exerc´ıcio: Mostre que o conjunto Diff(Rn , 0) = {h : (Rn , 0) → (Rn , 0) / h ´e germe de difeomorfismo} ´e um grupo com a opera¸c˜ao de composi¸ca˜o. Considere M = En,p , G = Diff(Rn , 0) × Diff(Rp , 0) e ϕ : G × M → M , ϕ((h, k), f ) = k ◦ f ◦ h−1 . Mostre que ϕ ´e a¸c˜ao. Defini¸c˜ ao 3.1.1. Um grupo de Lie ´e um grupo G (multiplicativo) que ´e uma variedade e as opera¸c˜ oes de multiplica¸c˜ ao e de invers˜ao s˜ao aplica¸c˜ oes suaves. Exemplo 3.1.2. O grupo GL(n) ´e um exemplo de grupo de Lie. Para ver isto, identificamos GL(n) com o conjunto das matrizes invert´ıveis de ordem n, que ´e um subconjunto aberto do espa¸co das matrizes M (n), portanto ´e uma variedade. Por fim temos que a multiplica¸c˜ao de matrizes em M (n) ´e uma aplica¸ca˜o polinomial, portanto suave e a invers˜ao de matrizes em GL(n) ´e uma aplica¸ca˜o racional com denominador n˜ao nulo, portanto ´e suave. Observamos que o produto de grupos de Lie tamb´em ´e grupo de Lie. Defini¸c˜ ao 3.1.3. Uma a¸ca˜o de um grupo de Lie G em uma variedade M ´e uma a¸ca˜o ϕ : G × M → M tal que ϕ ´e suave. Exemplo 3.1.4. Seja H d (n, p) o subespa¸co vetorial de J d (n, p) constitu´ıdo dos jatos f : Rn → Rp tais que fi ´e um polinˆomio homogˆeneo de grau d, i = 1, . . . , p, onde f = (f1 , . . . , fp ). Denotamos por GL(s) o grupo dos isomorfismos lineares de Rs . 26

Ent˜ao a a¸c˜ao de GL(n) × GL(p) em H d (n, p) dada por [(h, k), f ] → k ◦ f ◦ k −1 ´e a¸ca˜o de grupo de Lie em variedade.

3.1.1

Os polinˆ omios homogˆ eneos de grau d

Nosso objetivo no que segue ´e obter uma classifica¸ca˜o dos polinˆomios homogˆeneos, isto ´e, obter as ´orbitas da a¸ca˜o de GL(n) × GL(p) em H d (n, p). Exemplo 3.1.5. O caso p = 1. Um elemento f em H d (n, 1) ´e um polinˆomio homogˆeneo de grau d em n vari´aveis. Observamos que a dificuldade de se descrever as ´orbitas aumenta conforma aumenta o valor de d. Consideremos inicialmente d = 1. Assim H 1 (n, 1) ´e o espa¸co vetorial das formas lineares em n vari´aveis. Usando ´algebra linear elementar obtemos que existem somente duas ´orbitas: uma constitu´ıda somente da forma nula e outra contendo as formas n˜ao nulas. Nosso pr´oximo passo ´e considerar d = 2. Ent˜ao H 2 (n, 1) ´e o espa¸co vetorial das formas quadr´aticas em n vari´aveis. Neste caso, atrav´es de uma mudan¸ca de coordenadas apropriada, cada elemento f em H 2 (n, 1) pode ser escrito na forma f (x1 , . . . , xn ) = x21 + . . . + x2s − x2s+1 − . . . − x2r . Os n´ umeros s e r s˜ao chamados de posto e ´ındice da forma respectivamente. Observamos que, neste caso, o posto de f ´e o posto da hessiana de f na origem. Aplicando a Lei da In´ercia de Sylvester obtemos que o posto ´e invariante por mudan¸ca de coordenadas, mas se multiplicarmos a forma por −1 o ´ındice pode mudar, portanto consideramos o semi-´ındice s0 definido como s0 = min(s, r − s). Ent˜ao as formas quadr´aticas em x1 , . . . , xn s˜ao classificadas pelo posto e pelo semi-´ındice. No caso de duas vari´aveis (n = 2), uma forma quadr´atica 27

f ´e dada por f (x, y) = ax2 + 2bxy + cy 2 com a, b e c n´ umeros reais. Assim identificamos o espa¸co H 2 (2, 1) com o R3 e obtemos quatro ´orbitas: 1. A origem, que ´e uma forma de posto 0 (chamada de tipo simb´olico), constitui uma ´orbita. 2. As formas de posto 1 (tipo parab´olico): b2 = ac (determinante da Hessiana de f em 0), que representa um cone em R3 , constituem uma ´orbita. 3. As formas de posto 2 (b2 − ac 6= 0) se dividem em duas ´orbitas: b2 − ac > 0 (fora do cone) de semi-´ındice 1, chamada de tipo hiperb´olico e b2 − ac < 0 (dentro do cone) de semi-´ındice 0, chamada de tipo el´ıptico. Se continuarmos com o caso d = 3, obtemos o espa¸co H 3 (n, 1) das formas c´ ubicas em n vari´aveis. Para ilustrar este caso, fixemos n = 2, obtendo as formas c´ ubicas bin´arias f (x, y) = ax3 + 3bx2 y + 3cxy 2 + dy 3 , que podem ser identificadas com pontos do R4 de coordenadas (a, b, c, d). Obviamente a obten¸c˜ao das ´orbitas neste caso n˜ao ´e t˜ao simples quanto nos casos anteriores e ´e obtida em fun¸ca˜o das ra´ızes do polinˆomio f (x, y) = 0 (ver [5]). Temos 4 ´orbitas de tipo: 1. El´ıptico: as ra´ızes de f (x, y) = 0 s˜ao reais e distintas; x3 − xy 2 ´e um representante. 2. Hiperb´olico: f (x, y) = 0 tem uma ra´ız real e duas complexas; x3 + xy 2 ´e um representante. 3. Parab´olico: f (x, y) = 0 tem duas ra´ızes reais, sendo uma com multiplicidade 2, cujo representante ´e x2 y. 4. Simb´olico, uma ra´ız real com multiplicidade 3, com representante x3 .

28

3.1.2

Ad -equivalˆ encia em d-jatos

Defini¸c˜ ao 3.1.6. Dois germes de aplica¸co˜es f e g de classe C ∞ tˆem d-jatos Ad -equivalentes se existem germes de difeomorfismos h : (Rn , 0) → (Rn , 0) e k : (Rp , 0) → (Rp , 0) tais que j d (f ◦ h) = j d (k ◦ g). Esta rela¸ca˜o induz naturalmente uma rela¸c˜ao de equivalˆencia nos espa¸co dos jatos J d (n, p) ao considerarmos germes f e g neste espa¸co. Lema 3.1.7. Dois jatos f e g em H d (n, p) s˜ao Ad -equivalentes se, e somente se, existem isomorfismos lineares H : Rn → Rn e K : Rp → Rp tais que f ◦ H = K ◦ g. Demonstra¸c˜ ao: A condi¸ca˜o ´e suficiente, ´e preciso mostrar que ´e necess´aria. Suponha que existam germes de difeomorfismos h : (Rn , 0) → (Rn , 0) e k : (Rp , 0) → (Rp , 0) tais que j d (f ◦ h) = j d (k ◦ g). Podemos escrever a s´erie de Taylor de h e k na forma H+ termos de ordem superior a 2 e K+ termos de ordem superior a 2, respectivamente, onde H e K s˜ao isomorfismos lineares. Como as fun¸co˜es coordenadas de f e g s˜ao polinˆomios homogˆeneos de grau d, a s´erie de Taylor de f ◦ h ´e f ◦ H + termos de ordem maior que d, e a s´erie de Taylor de k ◦ g ´e K ◦ g + termos de ordem maior que d e f ◦ H = j d (f ◦ h) = j d (k ◦ g) = K ◦ g. ||| Segue do Lema 3.1.7 que a rela¸c˜ao de equivalˆencia em H d (n, p) prov´em da a¸c˜ao de GL(n) × GL(p) em H d (n, p) dada por (H, K).f = K ◦ f ◦ H −1 .

29

3.2

Estabilidade e o Lema de Mather

Em geral, as ´orbitas de uma a¸c˜ao de um grupo de Lie numa variedade n˜ao s˜ao subvariedades e sim variedades imersas. Se supormos que as ´orbitas s˜ao subvariedades, o seguinte resultado descreve o espa¸co tangente a uma ´orbita. Teorema 3.2.1. Seja ϕ: G × M → M uma a¸c˜ ao de um grupo de Lie G em uma variedade M . Se as ´orbitas s˜ao subvariedades de M , ent˜ao para qualquer x ∈ M a aplica¸c˜ ao ϕx : G → G.x, ϕx (g) = g.x, ´e uma submers˜ao. Demonstra¸c˜ ao: Primeiro mostremos que ϕx tem posto constante em todo h ∈ G: para isto mostramos que o posto de ϕx em h coincide com o posto de ϕx no elemento identidade 1 de G. Sejam θ : G → G o difeomorfismo dado por θ(g) = hg e ψ : M → M o difeomorfismo dado por ψ(y) = h.y. Temos ent˜ao: ϕx (θ(g)) = ϕx (hg) = h.g = ψ(ϕx (g)) e o seguinte diagrama comutativo: G

ϕx

−→

θ↓ G

G.x ↓ψ

ϕx

−→

G

Logo segue da Regra da Cadeia que o seguinte diagrama ´e comutativo: T1 G

d1 ϕx

−→

d1 θ ↓ Th G

Tx G.x ↓ dx ψ

dh ϕx

−→ Th.x G.x

Portanto o posto de ϕx em h coincide com o posto de ϕx em 1, para todo h ∈ G. Agora ´e suficiente mostrar que ϕx ´e uma submers˜ao em algum ponto 30

de G, mas isto segue imediatamente do Teorema de Sard, pois existe pelo menos um valor regular na imagem de ϕx .

|||

Segue do Teorema 3.2.1 que o espa¸ co tangente ` a ´ orbita G.x em x, denotado por Tx G.x ´e a imagem de d1 ϕx : T1 G → Tx M . Exerc´ıcio 3.2.2. 1. Se M = H d (n, p) e G = GL(n) × GL(p), mostre que ∂F TF G · F = h ∂x .xj i + h(0, . . . , fj , 0, . . . , 0)i. Com todos os fj = 1, . . . , p i

aparecendo em todas as coordenadas. 2. Calcule TF G·, para F (x, y) = x2 y em H 3 (2, 1). ∂F 3. Mostre que se F ∈ H d (n, 1), ent˜ao TF G · F = h ∂x .xj i. i

3.2.1

Codimens˜ ao e Estabilidade

O conceito de estabilidade ´e um dos principais assuntos em Teoria de Singularidades e aparece em v´arias situa¸co˜es diferentes, a seguir iremos introduzir este conceito no a partir da dimens˜ao das ´orbitas de uma a¸ca˜o de um grupo de Lie em variedades. A partir de agora, nesta se¸c˜ao estamos considerando uma a¸c˜ao G × M → M em que as ´orbitas s˜ao subvariedades. Defini¸c˜ ao 3.2.3. A codimens˜ao de um elemento x ∈ M ´e definida como a codimens˜ao de sua ´orbita G.x em M . Denotamos por codx esta codimens˜ao. Defini¸c˜ ao 3.2.4. x ∈ M ´e est´avel se a sua ´orbita G.x ´e um aberto em M . Exerc´ıcio: Considere a a¸ca˜o de GL(2) × GL(1) em M = H 3 (2, 1). Mostre que f (x, y) = x3 + xy 2 ´e est´avel, enquanto que g(x, y) = x2 y n˜ao ´e. Defini¸c˜ ao 3.2.5. x ∈ M ´e infinitesimalmente est´avel se codx = 0. 31

Proposi¸c˜ ao 3.2.6. x ∈ M ´e est´avel se, e somente se, x ´e infinitesimalmente est´avel. A demonstra¸ca˜o desta Proposi¸ca˜o ´e um simples exerc´ıcio de ´algebra linear. Exerc´ıcio: Mostre que as ´orbitas em M = H 3 (3, 1) sob a a¸c˜ao de GL(3) × GL(1) coincidem com as ´orbitas de M sob a a¸ca˜o do grupo GL(3). Verifique quais s˜ao os elementos est´aveis sob esta a¸ca˜o.

3.2.2

Lema de Mather

Nossa pr´oxima quest˜ao ´e obter condi¸co˜es para determinar as ´orbitas G.x em M , e para isto usamos o Lema de Mather, que mostra quando uma subvariedade conexa N de M est´a contida em uma u ´nica ´orbita. ao de um grupo de Lie G Lema 3.2.7. Lema de Mather Seja ϕ uma a¸c˜ em uma variedade M e N subvariedade conexa de M . Ent˜ao N est´ a contida em uma u ´nica ´orbita se, e somente se: 1. Ty G.y ⊇ Ty N para qualquer y ∈ N . 2. dimTy G.y ´e constante para qualquer y ∈ N . Demonstra¸c˜ ao: =⇒ 1.) Supor que N ⊂ G.x para algum x ∈ M , ent˜ao ´e claro que Ty N ⊂ Ty G.x = Ty G.y para qualquer y ∈ N . 2.) Segue da demonstra¸ca˜o do Teorema 3.2.1 que dimdϕz (T1 G) = dimdϕhz (Th G) para todo h ∈ G, portanto dimTz F.z = dimThz G.z. Suponha agora que dimTx G.x = k e seja y ∈ N , segue da hip´otese que y = gx para algum g, ent˜ao dimTy G.y = dimTgy G.y = dimTx G.y = dimTx G.x = k. ⇐= Basta mostrar que para cada y ∈ N , G.y ∩ N ´e aberto em N , pois como ´orbitas distintas s˜ao disjuntas e N ´e conexo, o resultado segue. 32

Afirma¸ c˜ ao: A aplica¸ca˜o ϕ : G × N → M tem posto constante, isto ´e: Dϕ(g,x) : (Tg G × Tx N ) → Tx M tem posto constante. De fato, para qualquer y ∈ N , temos dimTy Gy = k e obtemos que dϕ(1,y) tem posto k para qualquer y ∈ N pois dϕ(1,y) (T1 G×Ty N ) = dϕ(1,y) (T1 G×{0})+dϕ(1,y) ({0}×Ty N ) = Ty G.y+Ty N = Ty G.y. Agora, para g0 ∈ G vamos mostrar que dimdϕ(g0 ,y) (T(g0 ,y) (G × N )) = k. Consideremos o seguinte diagrama: ϕ

G × N −→ N α

↑

↑

β

G × N −→M onde α(g, y) = (g0 g, y e β(x) = g0 x s˜ao difeomorfismos. Segue do Teorema do posto constante, que k = dimdϕ(1,y) (T(1,y) G × N ) = dimdϕ(g0 ,y) (T(g0 ,y) G × N ) e a afirma¸c˜ao est´a provada. Para mostrar que G.y ∩ N ´e aberto em N , consideremos z ∈ G.y ∩ N , ou seja z = g.y para algum g, ψ : U → G × N uma parametriza¸ca˜o de uma vizinhan¸ca de (g, y) em G × N , onde U ´e um aberto de R` (` = dim G × N ) com ψ(0) = (g, y) e θ : V → M uma parametriza¸c˜ao de uma vizinhan¸ca de z = (g, y) em M , onde V ´e um aberto de Rm (m = dim M ) com θ(0) = (g, y). ϕ

(G × N, (g, y)) ψ

−→

↑ U ⊂ R`

(M, z) ↑

H=θ−1 ◦ϕ◦ψ

−→

θ

V ⊂ Rm

Como ψ e θ s˜ao difeomorfismos, temos que H = θ−1 ◦ ϕ ◦ ψ : U ⊂ R` → V ⊂ Rm tem posto constante k em U .

33

Segue do Teorema do Posto que existem difeomorfismos ψ e θ tal que θ

−1

◦ θ−1 ◦ ϕ ◦ ψ ◦ ψ(x1 , . . . , xk , x` ) = (x1 , . . . , xk , 0, . . . , 0).

Logo ϕ(ψ(U )) contem uma parte da ´orbita G.y em uma vizinhan¸ca de gy. Como G.y tem dimens˜ao k, concluimos que ϕ(ψ(U )) e G.y coincidem em uma vizinhan¸ca de gy, mas como ϕ(ψ(U )) contem uma vizinhan¸ca de gy em N o resultado segue.

|||

Exerc´ıcio 3.2.8. Considere a a¸c˜ao de G = GL(n) em M = H d (n, 1), definida por (h, f ) → f ◦ h−1 . Use o Lema de Mather para determinar todas as ´orbitas de M nos casos em que d = 1 e d = 2.

34

Cap´ıtulo 4 Germes em En 4.1

A´ algebra En.

Denotamos por En,p o conjunto dos germes de aplica¸c˜oes f : (Rn , 0) → Rp de classe C ∞ . Quando p = 1 este conjunto ´e denotado por En . Em geral consideramos germes f em En,p tais que f (0) = 0. O conjunto de tais germes 0 ser´a denotado por En,p .

Exerc´ıcio: Mostre que: a. f ∈ En ´e invert´ıvel, se, e somente se, f (0) = 0. b. En ´e um anel local cujo ideal maximal ´e mn = {f ∈ En : f (0) = 0}. c. Mostre tamb´em que En,p ´e um En -m´odulo. Em En,p definimos a seguinte topologia: Defini¸c˜ ao 4.1.1. Seja f ∈ En,p . Dados ² > 0, R > 0 e k ∈ N associamos a f uma vizinhan¸ca fundamental em En,p constitu´ıda dos germes de aplica¸co˜es g : (Rn , 0) → Rp tais que: ∀x ∈ Rn com |x| ≤ R, kj k f (x) − j k g(x)k < ², onde k k ´e uma norma fixada no espa¸co dos jatos J k (n, p).

35

Lema 4.1.2. Lema de Hadamard Sejam U uma vizinhan¸ca convexa de 0 em Rn , e f : U × Rq → R de classe C ∞ tal que f (0, y) = 0, para qualquer y ∈ Rq . Ent˜ao existem fun¸c˜ oes f1 , f2 , . . . , fn definidas em U × Rq tais que f (x1 , . . . xn , y1 , . . . , yq ) = x1 f1 + . . . + xn fn . Demonstra¸c˜ ao: Aplicando o Teorema fundamental do c´alculo para a fun¸ca˜o f (tx1 , . . . txn , y1 , . . . yq ), com rela¸ca˜o `a vari´avel t, obtemos: Z 1 df (tx1 , . . . txn , y1 , . . . yq ) dt = f (1) − f (0) = f (x, y). dt 0 df (tx1 , . . . txn , y1 , . . . yq ) , e obtemos dt 1 ∂f (tx1 , . . . txn , y1 , . . . yq )dt. ||| 0 ∂xi

Agora aplicamos a regra da cadeia em Z f (x, y) = x1 f1 + . . . + xn fn , onde fi =

Exerc´ıcio 4.1.3. a. Mostre que mn ´e o ideal gerado por {x1 , . . . , xn }. b. Defina Fk = {f ∈ En : j k−1 f (0) = 0}, mostre que Fk = mkn . Nosso pr´oximo passo ´e relacionar os germes do espa¸co En com as suas s´eries de Taylor, que est˜ao naturalmente inseridas no espa¸co da s´eries formais de potˆencia R[[x1 , . . . , xn ]], denotado por Eˆn . ao ϕ : En → Eˆn que a cada f associa Lema 4.1.4. Lema de Borel A aplica¸c˜ a sua s´erie de Taylor em torno do zero, denotada por fˆ, ´e um homomorfismo de ´algebras e alem disto ´e sobrejetiva. A importˆancia do Lema de Borel se mostra quando observamos que: ∞ k e ideal em En , (i) kerϕ = ∩∞ k=1 mn = mn ´ k ˆ ˆ k. ˆ (ii) En /m∞ n n ' En e mais ainda, En /mn ' En /m

36

Ressaltamos que a u ´ltima rela¸c˜ao nos permite concluir que o espa¸co quociente En /mkn tem dimens˜ao finita como espa¸co vetorial real sobre En e ´e gerado pelos monˆomios de grau menor ou igual a k. Lema 4.1.5 (Lema de Nakayama). Sejam E um anel comutativo com elemento unidade 1 e m um ideal de E com a propriedade que 1 + x ´e invert´ıvel em E para todo x ∈ m. Sejam M um E-m´ odulo e A e B E-subm´ odulos com A finitamente gerado. Se A ⊆ B + m.A, ent˜ao A ⊆ B. Demonstra¸c˜ ao: Sejam a1 , . . . , at geradores de A, pela hip´otese, existem b1 , . . . , bt em B e λi,j em m tal que para 1 ≤ i ≤ t podemos escrever ai = bi + Pt ca˜o matricial a = (a1 , . . . , at ), j=1 λi,j aj . Assim se considerarmos em nota¸ b = b1 , . . . , bt e Λ = (λi,j ) a matriz formada pelos λi,j temos (Id − Λ)a = b onde Id denota a correspondente e matriz identidade. Ent˜ao para obter que A ⊆ B, basta mostrar que existe uma solu¸ca˜o u ´nica deste sistema, ou seja basta mostrar que a matriz (Id − Λ) ´e invers´ıvel, para isto, mas isto ocorre se, e somente se, o determinante da matriz (Id − Λ) ´e diferente de 0, mas este determinante e da forma 1 + x com x ∈ m, que por hip´otese ´e diferente de zero.

|||

Com o Lema de Nakayama ´e poss´ıvel mostrar que o anel En n˜ ao ´ e Noetheriano, ou seja existe pelo menos um ideal que n˜ao ´e finitamente ∞ gerado, que neste caso ´e o ideal m∞ n . Para isto basta vermos que se mn fosse ∞ finitamente gerado, poderiamos escrever m∞ n ⊆ {0} + mn · mn e concluir pelo

ao ´e verdade. Lema de Nakayama que m∞ n = {0}, o que n˜

37

Antes de enunciar o pr´oximo resultado, estabelecemos a seguinte nota¸ca˜o: Sejam M um En -m´odulo livre finitamente gerado, M = En ⊕ En ⊕ . . . ⊕ En e I um sub-m´odulo de M . Defini¸c˜ ao 4.1.6. I tem codimens˜ao finita em M se o espa¸co quociente M/I tem dimens˜ao finita como espa¸co vetorial sobre En . A codimens˜ao de I ´e definida como a dimens˜ao deste espa¸co. ao finita em M se, e somente se, existe Proposi¸c˜ ao 4.1.7. I tem codimens˜ um inteiro k ≥ 1 tal que mkn · M ⊆ I. Demonstra¸c˜ ao: (⇐=) Se existe k tal que mkn M ⊆ I, ent˜ao obtemos M/I ⊆ M/mkn M e dim M/I ≤ dim M/mkn M , mas M/mkn M = En /mkn ⊕ . . . ⊕ En /mkn tem dimens˜ao finita e o resultado segue. (=⇒) Podemos escrever a sequˆencia descendente de sub´odulos: I + M ⊇ I + mn M ⊇ I + m2n M ⊇ I + m3n M ⊇ . . . ⊇ I + mkn M e como a codimens˜ao de I ´e finita, existe um k ≥ 1 tal que I + mkn M = I + mk+1 n M e como mkn M ´e finitamente gerado, aplicamos o Lema de Nakayama para concluir que mkn ⊆ I.

|||

38

4.2

O grupo R e seu espa¸co tangente

Neste cap´ıtulo estudamos germes f : (Rn , 0) → R, ou seja, elementos do anel En . Nosso objetivo ´e obter uma lista parcial das classes de equivalˆencia que s˜ao determinadas a menos de mudan¸cas de coordenadas em Rn , mais precisamente, Defini¸c˜ ao 4.2.1. Dois germes f e g em mn En s˜ao R-equivalentes se existe um germe de difeomorfismo h: (Rn , 0) → (Rn , 0) tal que f = g◦h−1 . Nota¸ca˜o: f ∼ g. O conjunto dos germes de difeomorfismos h: (Rn , 0) → (Rn , 0) com a opera¸ca˜o de composi¸ca˜o ´e um grupo, que no cap´ıtulo anterior foi denotado por Diff(Rn , 0) e a partir de agora iremos denotar por R = Diff(Rn , 0). Este grupo age em mn En da seguinte maneira: h.f = f ◦ h−1 . Assim, os germes f, g ∈ mn En s˜ao R-equivalentes se, e somente se, est˜ao na mesma ´orbita segundo esta a¸c˜ao. No entanto, R n˜ao ´e um grupo de Lie nem tampouco En ´e uma variedade. Logo as ´orbitas n˜ao s˜ao subvariedades. Como esta rela¸c˜ao de equivalˆencia induz a rela¸c˜ao de equivalˆencia em J d (n, 1): dois jatos f, g ∈ J d (n, 1) s˜ao Rd -equivalentes se existe um germe de difeomorfismo h: (Rn , 0) → (Rn , 0) tal que f = j d (g ◦ h−1 )(0), podemos interpretar esta rela¸ca˜o de maneira an´aloga `a a¸c˜ao de um grupo de Lie em J d (n, 1), cujas ´orbitas s˜ao subvariedades e podemos calcular o espa¸co tangente usando o Teorema 3.2.1. Mas o nosso objetivo ´e classificar germes e n˜ao jatos. Para isto vamos fazer uma analogia com o caso dos jatos. Neste caso ressaltamos que apesar de o conjunto En n˜ao ser uma variedade 39

como definido neste curso, pois tem ”dimens˜ao n˜ao finita”, e Diff(Rn , 0) n˜ao ser um grupo de Lie”, estes conjuntos tˆem todos os requisitos necess´arios para obtermos o conceito de espa¸co tangente, pois este conceito pode ser obtido somente atrav´es das derivadas dos germes f em En e dos difeomorfismos h em R. Assim usamos a t´ecnica do Teorema 3.2.1 para obter o ”espa¸co tangente” `as ´orbitas. Desta forma podemos pensar no espa¸co tangente `a ´orbita de f ∈ En , denotado Tf G.f , como sendo a imagem da derivada, calculada na identidade, da aplica¸c˜ ao R → En definida por h → f ◦ h−1 . ´ um exerc´ıcio elementar mostrar que tal derivada tem a mesma imagem E que a derivada de φ : R → En definida por h → f ◦ h. Para obter a derivada de φ em um ponto h, denotada por dh φ, inicialmente lembramos que ´e uma transforma¸c˜ao linear entre espa¸cos vetoriais. O dom´ınio desta derivada ´e o ”espa¸co tangente” a Diff(Rn , 0) na identidade. Como R ´e um subconjunto aberto (porque?) do espa¸co dos germes 0 ϕ: (Rn , 0) → (Rn , 0), denotado por En,n , portanto o espa¸co tangente em qual0 quer ponto ´e En,n .

A imagem desta derivada ´e o pr´oprio En , pois ´e um espa¸co vetorial. 0 Assim a derivada procurada ´e uma transforma¸c˜ao linear dh φ : En,n → En .

Agora precisamos da lei que define esta derivada. Um vetor tangente a Diff(Rn , 0) em 1 deve ser um germe ϕ: (Rn , 0) → (Rn , 0), ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕn ). Consideremos a curva γ(t) = 1 + tϕ. Temos que γ(t) ∈ Diff(Rn , 0) para t pr´oximo da origem. Al´em disso, γ(0) = 1 e γ 0 (0) = ϕ. Logo d1 φ(ϕ) = (φ ◦ γ)0 (0) Em outras palavras, d1 φ(ϕ) ´e a derivada com respeito `a vari´avel t, calculada em 0, da aplica¸c˜ao φ ◦ γ(t) = f (x1 + tϕ1 , x2 + tϕ2 , . . . , xn + tϕn ). Aplicando 40

a Regra da Cadeia obtemos d1 φ(ϕ) = ϕ1

∂f ∂f + . . . + ϕn ∂x1 ∂xn

Agora vamos obter uma descri¸c˜ao alg´ebrica deste ”espa¸co tangente”. Temos que ϕi ∈ mn para i = 1, . . . , n. Seja J(f ) o ideal em En gerado pela derivadas parciais

∂f ∂f , . . . , ∂x . ∂x1 n

Logo a imagem de d1 φ ´e o produto de

ideais mn .J(f ). co tangente `a ´orbita de f ∈ En segundo a a¸c˜ao Defini¸c˜ ao 4.2.2. O espa¸ de R ´e o ideal mn J(f ). Nota¸ca˜o: Tf Rf . Se considerarmos fun¸c˜oes ao inv´es de germes, o difeomorfismo h n˜ao necessariamente deixa fixa a origem e portanto procedendo analogamente ao que foi feito acima, definimos: co tangente estendido `a ´orbita de f ∈ En seDefini¸c˜ ao 4.2.3. O espa¸ gundo a a¸c˜ao de R ´e o ideal J(f ). Nota¸c˜ao: Tf Re f . A Re -codimens˜ ao (ou simplesmente codimens˜ao) de um germe f ∈ En En . Nota¸c˜ao: ´e definida como a dimens˜ao do espa¸co vetorial real ∂f ∂f h ∂x1 , . . . , ∂x i n cod(f ). Se este quociente ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita, dizemos que o germe f tem codimens˜ao finita em En . Exerc´ıcio 4.2.4. 1. Calcule a codimens˜ao de f (x, y) = x3 + xy 2 em E2 . En 2. Mostre que se 0 < cod(f ) < ∞, ent˜ao = Re -cod ∂f ∂f mn h ∂x1 , . . . , ∂x i n (f ) + n. 41

4.3

Singularidade isolada e codimens˜ ao finita

Defini¸c˜ ao 4.3.1. Um germe f : (Rn , 0) → (R, 0) tem uma singularidade isolada na origem se, e somente se, existe uma vizinhan¸ca V de 0 em Rn tal que 0 ´e a u ´nica solu¸ca˜o das equa¸co˜es

∂f (x) ∂xi

= 0, para todo i = 1, . . . , n.

Exemplo: O germe f (x, y) = x5 − y 7 tem singularidade isolada na origem, pois

∂f (x, y) ∂x

= 5x4 = 0 e

∂f (x, y) ∂y

= −7y 6 = 0 se, e somente se, (x, y) =

(0, 0). Proposi¸c˜ ao 4.3.2. Seja f um germe em En de codimens˜ ao finita positiva, ent˜ao f ´e um germe com uma singularidade isolada na origem. Demonstra¸c˜ ao: Primeiro observamos que a origem deve ser um ponto singular de f , pois se para algum i = 1, . . . , n temos

∂f (0) ∂xi

6= 0, ent˜ao

∂f ∂xi

´e um elemento invert´ıvel de En , logo J(f ) = En e f tem codimens˜ao zero. Como f tem codimens˜ao positiva, existe um k tal que mkn ⊆ J(f ). Desta forma, os monˆomios xk1 , xk2 , . . . , xkn se escrevem como combina¸ca˜o linear de ∂f ∂f , . . . , ∂x ∂x1 n

com coeficientes em En . Como em um ponto singular de f todos

as derivadas parciais se anulam, ent˜ao estes monˆomios se anulam tamb´em, ou seja, o ponto singular ´e a origem.

|||

Exemplo: 1. Seja f (x, y, z) = y 2 − z 2 x2 + z 5 . Neste caso as derivadas parciais de f se anulam ao longo do eixo x, portanto a origem em R3 n˜ao ´e um ponto singular isolado e o germe f n˜ao tem codimens˜ao finita em E3 . 2. Seja f (x, y) = (x2 + y 2 )2 . A origem ´e um ponto singular isolado mas f n˜ao tem codimens˜ao finita. 42

Observamos que no caso de germes complexos f : (Cn , 0) → (C, 0), vale a rec´ıproca da Proposi¸ca˜o 4.3.2, mas a demontra¸ca˜o exige mais resultados para ser obtida. O resultado seguinte mostra que a codimens˜ao ´e um invariante do germe. Proposi¸c˜ ao 4.3.3. Se dois germes f e g em En s˜ao R-equivalentes ent˜ao f e g tˆem a mesma codimens˜ ao. Demonstra¸c˜ ao: Como f e g s˜ao R-equivalentes existe um germe de difeomorfismo h : (Rn , 0) → (Rn , 0) tal que g = f ◦h. Portanto h induz um isomorfismo h∗ : En → En dado por h∗ (f ) = f ◦ h. Afirmamos que h∗ (J(f )) = J(g). De fato, da Regra da Cadeia obtemos n

n

X ∂f ∂g ∂hj X ∗ ∂f ∂hj = ( ◦ h) = h( ) ∂xi ∂x ∂x ∂x ∂xi j i j j=1 j=1 ent˜ao J(g) ⊆ h∗ (J(f )). Se considerarmos a inversa h−1 procedemos analogamente para obter h∗ (J(f )) ⊆ J(g).

|||

Defini¸c˜ ao 4.3.4. O n´ umero de Milnor, denotado por µ(f ) ´e

µ(f ) = dimR

En ∂f ∂f h ∂x , . . . , ∂x i n 1

Exemplos: 1. Seja f (x, y) = x3 − y 4 , ent˜ao J(f ) = h ∂f , ∂f i = hx2 , y 3 i e ∂x ∂y µ(f ) = dimR

E2 R[[x, y]] = dim =6 R h ∂f h ∂f , ∂f i , ∂f i ∂x ∂y ∂x ∂y

43

4.4

Determina¸c˜ ao finita e codimens˜ ao finita

Defini¸c˜ ao 4.4.1. Um germe f ∈ En ´e k-determinado se para qualquer germe g ∈ En com j k (g) = j k (f ), temos f R-equivalente a g. Dizemos que um germe f ∈ En ´e finitamente determinado se existir um k finito tal f ´e k-determinado para algum k. Como exemplo, podemos considerar qualquer submers˜ao f em En . A seguir apresentamos o primeiro crit´erio para que um germe seja finitamente determinado. Proposi¸c˜ ao 4.4.2. Se para um germe f ∈ En , temos mkn ∈ mn J(f ) ent˜ao f ´e k-determinado. Demonstra¸c˜ ao: Seja g ∈ En com j k (g) = j k (f ). Para mostrar que f ´e R-equivalente a g consideramos F : Rn × [0, 1] → R o caminho de germes F (x, t) = ft (x) = (1 − t)f (x) + tg(x) e iremos mostrar que quaisquer dois germes ft (x) = F (x, t) e fs (x) = F (x, s), deste caminho s˜ao R-equivalentes, ou seja, basta mostrar que se t e s s˜ao pr´oximos, ent˜ao ft ´e R-equivalente fs e como [0, 1] ´e compacto o resultado segue. Afirma¸ c˜ ao 1: Existe H : (Rn × R, (0, s)) → Rn de classe C ∞ tal que a. H(x, s) = x b. H(0, t) = 0 c. F (H(x, t), t) = F (x, s). Se a afirma¸ca˜o 1. ´e verdadeira, seja ht (x) = H(x, t), ent˜ao segue de b. que ht (0) = e de a. obtemos que hs (x) = x, logo hs ´e germe de difeomorfismo e

44

para t pr´oximo de s, ht tamb´em ´e germe de difeomorfismo, finalmente, segue de c. que ft (ht (x)) = F (ht (x), t) = F (H(x, t), t) = fs (x), ou seja, ft ◦ ht = fs para t pr´oximo de s e o resultado segue. Nos resta mostrar ent˜ao que a afirma¸ca˜o 1 ´e verdadeira. Afirma¸ c˜ ao 2. Podemos trocar a condi¸ca˜o c. da afirma¸ca˜o 1. por n X ∂F ∂Hi ∂F (H(x, t), t). (x, t) + (H(x, t), t) = 0 ∂x ∂t ∂t i i=1

c0 .

De, fato de c’ obtemos

∂F (H(x,t),t) ∂t

= 0, logo F (H(x, t), t) = F (x, s). Como

F (H(x, s), s) = G(x) = F (x, s) obtemos F (H(x, t), t) = F (x, s). Afirma¸ c˜ ao 3. Existe ξ : Rn × R, (0, s) → Rn , ξ = (ξ1 , . . . ξn ) suave que satisfaz a equa¸c˜ao diferencial : P ∂F d. ξi ∂xi = − ∂F ∂t com valor inicial e. ξi (0, t) = 0 Agora, se existe ξ, ent˜ao existe H, pois a equa¸ca˜o x˙ = ξ(x, t) tem por solu¸ca˜o H : Rn × R → Rn com f.

∂H (x, t) ∂t

= ξ(H(x, t), t) satisfazendo a condi¸c˜ao inicial H(x, s) = x.

Agora so resta mostrar que estas condi¸co˜es implicam as condi¸c˜oes a., b. e c’. Mas vemos que a condi¸c˜ao a. segue de f, a condi¸ca˜o c’ segue de d. e f. Aplicando d. em (H(x, t) = t), temos n X i=1

ξi (H(x, t), t)

∂F ∂F (H(x, t), t) = − (H(x, t), t) ∂xi ∂t 45

e de f. obtemos n X ∂Hi i=1

∂t

(x, t)

∂F ∂F (H(x, t), t). (H(x, t), t) = − ∂xi ∂t

Agora considere o P.V.I.

∂y ∂t

= ξ(y, t), com y = y(t) e y(s) = o, cuja

solu¸ca˜o ´e y(t) = H(0, t), mas y(t) = 0 e concluimos que H(0, t) = 0. Mostremos ent˜ao a firma¸ca˜o 3. Seja En+1,(0,s) = En+1,s = {ϕ : Rn × R, (0, s)) → R} de classe C ∞ Notemos que En pode ser visto vomo um subanel de En+1,s , isto ´e, um germe de En pode ser considerado como um germe em En+1,s que n˜ao depende de t. Assim condi¸ca˜o e mostra que ξi ∈ mn .En+1,s . Como

∂F ∂t

=

∂((1−t)f +tg) ∂t

k k = g − f ∈ mk+1 n , pois j f (0) = j g(0) implica que

j k (g − f )(0) = 0. Al´em disso,

∂F ∂xi

=

∂((1−t)f +tg) ∂xi

∂F ∂f − =t ∂xi ∂xi

µ

∂f ∂g = (1 − t) ∂x + t ∂x . i i

∂g ∂f − ∂xi ∂xi

¶

µ =t

∂(g − f ) ∂xi

¶ .

Portanto ∂f ∂F iEn+1,s ⊂ mn h iE + mk+1 n En+1,s ⊂ ∂xi ∂xi n+1,s ∂F mn h iEn+1,s + mn+1,s mkn En+1,s , ∂xi

mkn En+1,s ⊂ mn h

∂F pois mkn En+1,s ⊂ mn h ∂x iEn+1,s . i

Observamos ent˜ao que mkn En+1,s ´e finitamente gerado em En+1,s , pois ´e gerado pelos monˆomios de grau k, nas vari´aveis xi , portanto mk+1 ⊂ mkn En+1,s ⊂ mn h n 46

∂F iE . ∂xi n+1,s

∂F ∈ mk+1 ⊂ mn h ∂x iEn+1,s . Notemos que ∂f n ∂t i P ∂f = ηi ∂x onde ηi ∈ En+1,s , ηi (x, t), ni (0, t) = 0, ent˜ao tome Ent˜ao ∂f ∂t i

ξi = −ηi .

|||

Corolario 4.4.3. 1. Se codf < ∞ ent˜ao f ´e finitamente determinado. 2. Se mk+1 ⊂ m2n J(f ), ent˜ao f ´e k-determinado. n Exemplo 4.4.4. f (x, y) = x3 + y 3 , ent˜ao J(f ) =< x2 , y 2 > e m2 J(f ) = m32 , logo f ´e 3-determinado. Exemplo 4.4.5. f (x, y) = x4 +y 4 , ent˜ao J(f ) =< x3 , y 3 >, porem m2 J(f ) =< x4 , x3 y, xy 3 , y 4 >6= m42 , mas m22 J(f ) = m52 e obtemos que f ´e 5-determinado.

4.5

Germes de codimens˜ ao ≤ 5

A classifica¸ca˜o dos germes de fun¸ca˜o se realiza ao determinarmos um representante para cada classe de R-equivalˆencia. Em geral os representantes escolhidos s˜ao aqueles que tˆem a forma mais simples poss´ıvel com rela¸c˜ao a um sistema de coordenadas conveniente, ou seja, para um germe dado, fazemos mudan¸cas de coordenadas convenientes, de tal forma que a descri¸ca˜o deste germe ´e a mais simples. A estes germes damos o nome de forma normal para esta classe de equivalˆencia. Observamos que conforme aumenta a codimens˜ao do germe, mais dif´ıcil fica a escolha do sistema de coordenadas que descreve a forma normal. Nesta se¸ca˜o iremos descrever os germes com codimens˜ao ≤ 5.

47

Para os germes de codimens˜ao 0 temos o seguinte ao 0 se, e somente se, a Proposi¸c˜ ao 4.5.1. Um germe f tem codimens˜ origem n˜ao ´e um ponto singular de f . Neste caso, f ´e equivalente a (x1 , . . . , xn ) → x1 . Demonstra¸c˜ ao: Suponhamos que f tem codimens˜ao zero. Ent˜ao J(f ) = ∂f ∂f En . Logo o elemento identidade 1 ∈ J(f ), ou seja, 1 = ψ1 ∂x + . . . + ψn ∂x n 1

com ψi ∈ En . Tomando x = 0 na ultima equa¸ca˜o obtemos que existe pelo menos um i = 1, . . . , n com

∂f (0) ∂xi

6= 0. Portanto f ´e n˜ao singular.

Reciprocamente suponhamos que f ´e n˜ao singular. Logo existe pelo menos um i = 1, . . . , n com

∂f (0) ∂xi

6= 0 e portanto

∂f ∂xi

´e invert´ıvel. Ent˜ao

J(f ) = En e f tem codimens˜ao 0. O fato de f ser equivalente ao germe (x1 , . . . , xn ) → x1 segue da Forma Local das Submers˜oes.

|||

O pr´oximo passo ´e obter a classifica¸c˜ao dos germes de codimens˜ao 1. Consideremos inicialmente a seguinte defini¸ca˜o Defini¸c˜ ao 4.5.2. Um germe f ∈ m2n (isto ´e, a origem ´e um ponto singular) 2

f ´e n˜ ao degenerado se a matriz Hessiana H(f ) = ( ∂x∂i ∂x (0)) ´e n˜ao singular. j

Lema 4.5.3 (Lema de Morse). Um germe f ∈ m2n ´e de codimens˜ ao 1 se, e somente se, ´e n˜ao degenerado. Neste caso f ´e equivalente a um germe da forma (x1 , . . . , xn ) → x21 + · · · + x2s − x2s+1 − · · · − x2n Demonstra¸c˜ ao: Inicialmente observamos que aplicando o Lema de Nakayama ´e poss´ıvel mostrar que f ∈ m2n ´e n˜ao degenerado se, e somente se, J(f ) = mn . 48

Portanto, se f ´e n˜ao degenerado, temos codim f = dim

En En = dim = 1. J(f ) mn

En Por outro lado, se f tem codimens˜ao 1, ent˜ao dim J(f = 1 e concluimos )

que J(f ) = mn . Portanto f ´e n˜ao degenerado. Para concluir, resta mostrar que f ´e equivalente ao germe dado acima, mas isto segue do fato que mn = J(f ) e isto implica que f ´e equivalente ao seu 2-jato. Concluimos da classifica¸ca˜o das formas quadr´aticas que f ´e equivalente ao germe acima.

|||

Defini¸c˜ ao 4.5.4. Seja f ∈ m2n de codimens˜ao ≥ 2. Dizemos que f tem corank c se o rank da matriz Hessiana de f ´e n − c. O Lema de Morse nos d´a a classifica¸ca˜o dos germes de corank 0. A seguir obteremos a classifica¸c˜ao dos germes de corank 1 e codimens˜ao finita. Para isto enunciamos um resultado auxiliar. Lema 4.5.5 (Lema da Separa¸c˜ao). Seja f ∈ m2n de corank c. Ent˜ao f ´e equivalente ao germe (x1 , . . . , xn ) → g(x1 , . . . , xc ) ± x2c+1 ± · · · ± x2n Observamos que neste caso os germes f e g tˆem a mesma codimens˜ao. Mostre isto como exerc´ıcio. ao k − 1. Ent˜ao f Proposi¸c˜ ao 4.5.6. Seja f ∈ m2n de corank 1 e codimens˜ ´e equivalente ao germe (x1 , . . . , xn ) → ±xk1 ± x22 ± · · · ± x2n . Este germe ´e chamado de singularidade Ak . 49

A demonstra¸ca˜o deste resultado ´e simples e segue diretamente dos seguintes fatos: 1. Pelo ”Splitting Lemma”f ´e equivalente ao germe (x1 , . . . , xn ) → g(x1 ) ± x22 ± · · · ± x2n com g ∈ m31 . 2. Como g ∈ m31 tem codimens˜ao finita, existe um germe h, com h(0) 6= 0 e g(x1 ) = xj1 h(x1 ). 3. Um c´alculo direto nos permite ent˜ao mostrar que g ´e equivalente ao germe ±xk1

|||

Como aplica¸c˜ao do lema da divis˜ao iremos estabelecer uma conex˜ao entre entre o corank e a codimens˜ao de um germe, que ´e fundamental para determinarmos as formas normais. Lema 4.5.7. Se f ∈ m2n ´e um germe de codimens˜ ao finita e de corank c, ent˜ao codim f ≥

c(c+1) 2

+1

Demonstra¸c˜ ao: Como f ´e de codimens˜ao finita, temos pelo lema da divis˜ao que f ´e equivalente a um germe g(x1 , . . . , xc ) ± x2c+1 ± · · · ± x2n , com g ∈ m3n . Com f e g tendo a mesma codimens˜ao. Ent˜ao, como I = mc J(g) ⊂ m3c temos codim I = codim0 I + codim1 I + . . . + codimr I + . . . com codim I = 0

I + mc I + m2c I + Ec = 1, codim I = dim = c, codim I = dim = dim 1 2 I + mc I + m2c I + m3c c(c + 1) c(c + 1) . Portanto 1 + c + ≤ codim I = c + codim J(g) e o resultado 2 2 segue. ||| Assim obtemos as seguintes estimativas: 50

(i) Se c = 1, codim f ≥ 2, (ii) se c = 2, codim f ≥ 4 e (iii) se c = 3, codim f ≥ 7. Como estamos interessados na classifica¸c˜ao dos germes de codimens˜ao ≤ 5, basta considerarmos os germes de coposto ≤ 2. Como aplica¸c˜ao direta do Lema 4.5.6, para os germes de coposto 1 obtemos o seguinte resultado: Proposi¸c˜ ao 4.5.8. R. Thom Para um germe f ∈ m2n de coposto 1 e codimens˜ao ≤ 5, a menos de uma soma de uma forma quadr´atica n˜ao degenerada em n − 1 vari´aveis, f ´e equivalente a um dos seguintes germes (i) x3 , se codim f = 2, dobra, uspide, (ii) x4 , se codim f = 3, c´ (iii) x5 , se codim f = 4, rabo de andorinha, (iv) x6 , se codim f = 5, borboleta. Para completar a lista dos germes de codimens˜ao ≤ 5, a proposi¸ca˜o seguinte descreve os germes de coposto 2. ao Proposi¸c˜ ao 4.5.9. R. Thom Todo germe f ∈ m2n de coposto 2 e codimens˜ ≤ 5, a menos de uma soma de uma forma quadr´atica n˜ao degenerada em n−2 vari´aveis, f ´e equivalente a um dos seguintes germes: x3 − xy 2 (umb´ılico eliptico), x3 + y 3 (umb´ılico hiperb´ olico) ou x2 y + y 4 (umb´ılico parab´ olico).

51

Demonstra¸c˜ ao: O primeiro passo desta demonstra¸ca˜o ´e consequencia direta do ”Splitting Lemma”, ou seja como f ´e de corank 2, f ´e equivalente a g(x, y) ± x23 ± x24 ± . . . ± x2n com g ∈ m32 e codim g = codim f = 4 ou 5. Observando que os termos de ordem 3 da S´erie de Taylor destes germes ´e uma forma c´ ubica bin´aria nas vari´aveis x e y, a determina¸ca˜o destas formas normais segue diretamente da classifica¸c˜ao das formas c´ ubicas bin´arias, ja feita anteriormente e de uma an´alise dos jatos de ordem 4 destes germes. Deixamos como exerc´ıcio a finaliza¸c˜ao desta an´alise. Observamos que as duas primeiras formas normais tˆem codimens˜ao 4 e a u ´ltima tem codimens˜ao 5.

|||

52

Cap´ıtulo 5 Transversal completa e germes simples O principal objetivo deste cap´ıtulo ´e descrever um m´etodo que permite a classifica¸ca˜o completa dos germes finitamente determinados a partir de um fixado k-jato. A ideia central ´e que para cada k-jato fixado j k (f ), temos que descrever todas as ´orbitas dos jatos de ordem k + 1, g k+1 que tem o mesmo k-jato que f , ou seja j k (f ) = j k (g), para as ´orbitas que forem finitamente determinadas o processo se encerra, mas para cada ´orbita j k+1 (g) que n˜ao ´e finitamente determinada, ´e preciso descrever todas as ´orbitas dos j k+2 (h) com j k+1 (g) = j k+1 (h) e assim por diante.

5.1

Exemplo

Como exemplo consideramos a classifica¸c˜ao dos germes de co-posto 2 e codimens˜ao menor ou igual a cinco. 53

Neste caso, como os germes s˜ao de coposto 2, temos que fixar o 2-jato j 2 (f ) = 0 e considerar inicialmente os 3-jatos e obter uma classifica¸ca˜o para estes. Como qualquer 3-jato se escreve na forma: g(x, y) = ax3 + bx2 y + cxy 2 + dy 3 , por mudan¸ca de coordenadas e com a fixa¸ca˜o de condi¸c˜oes para as constantes a, b, c, d serem iguais ou n˜ao a zero, ´e possivel mostrar que qualquer 3-jato pertence a uma das ´orbitas: x2 y ± y 3 , x3 + y 3 , x2 y, x3 e 0. Alem disto, podemos mostrar tamb´em que os germes x2 y ± y 3 e x3 + y 3 s˜ao na verdade R-equivalentes, obtendo portanto cinco ´orbitas x2 y ± y 3 , x2 y, x3 e 0. Nosso pr´oximo passo ´e determinar quais destes representantes s˜ao finitamente determinados, e neste caso obtemos que qualquer germe da forma g(x, y) = x2 y + y k ´e k-finitamente determinado, pois para k ≥ 3, temos J(f ).M2 ⊃ Mk2 . Assim temos que x2 y ± y 3 ´e 3-determinado e o processo para estas duas ´orbitas esta encerrado. Como as outras trˆes ´orbitas x2 y, x3 e 0 n˜ao s˜ao finitamente determinadas (prove isto), temos que considerar os 4-jatos de cada ´orbita e obter os finitamente determinados. Inicialmente consideremos o germe x2 y, ent˜ao qualquer 4-jato com este 3-jato se escreve na forma: f (x, y) = x2 y + ax4 + bx3 y + cx2 y 2 + dxy 3 + ey 4 . O pr´oximo lema classifica todas as ´orbitas deste espa¸co. Lema 5.1.1. Qualquer 4-jato com 3-jato igual a x2 y ´e R-equivalente a um germe x2 y + ty 4 para algum valor de t. Demonstra¸c˜ ao: Para demonstrar este lema vamos exibir varias mudan¸cas de coordenadas cuja composi¸c˜ao final garante a equivalˆencia. A primeira mudan¸ca de coordenadas a ser feita neste caso ´e x = − d2 y 2 para obtermos f ∼ x2 y+ax4 +bx3 y+cx2 y 2 +ey 4 +R(x, y), com R(x, y) ∈ M52 54

e como f ∼ x2 (y + ax2 + bxy + cy 2 ) + ey 4 + R(x, y), fazemos y = y + ax2 + bxy + cy 2 para obter f ∼ x2 y + ey 4 + R(x, y), ent˜ao como e 6= 0 obtemos f ∼ x2 y + y 4 + R(x, y) e pelo fato de x2 y + y 4 ser 4-finitamente determinado obtemos f ∼ x2 y + y 4 . Assim todos os k-jatos que tem o 4-jato x2 y + y 4 est˜ao em uma u ´nica ´orbita que tem por representante o germe x2 y + y 4 . O pr´oximo passo ´e uma an´alise dos germes da forma x2 y+y k−1 , com k ≥ 5 e analogamente, obtemos as ´orbitas de tipo x2 y ± y k−1 que s˜ao k-finitamente determinados. Estes germes de singularidades s˜ao chamados por Arnold de singularidades de tipo Dk . Mostre que a codimens˜ao destes germes ´e k. Tendo obtido todas as ´orbitas dos germes que tem 3-jato x2 y, o pr´oximo passo ´e estudar os germes de 3-jato x3 . Neste caso uma an´alise semelhante `a feita anteriormente mostra que existem tres ´orbitas com este 3-jato, que s˜ao x3 + y 4 : singularidade E6 , x3 + xy 3 : singularidade E7 e x3 + y 5 : singularidade E8 . Fa¸ca esta an´alise como exerc´ıcio e determine a codimens˜ao destes germes.

5.2

A Transversal completa

Antes de enunciar o Teorema da Transversal completa, descrevemos primeiro um corolario do Lema de Mather: Corolario 5.2.1. Sejam A um espa¸co afim com VA um espa¸co vetorial adjacente, W um subespa¸co vetorial de VA e x ∈ A. Ent˜ao se: (i) W ⊆ LGx (ii) LGx = LGy para qualquer y = x + w e w ∈ W . Ent˜ao x + w esta contida em uma u ´nica ´orbita. 55

Demonstra¸c˜ ao: Seja N = x + W , ent˜ao a condi¸ca˜o 2. garante que para qualquer y ∈ x + W , temos LGy = LGx, portanto a condi¸ca˜o 2 do lema de Mather se verifica. Por outro lado W ⊂ LGx = LGy, e a condi¸c˜ao 1 do lema de Mather se verifica. Teorema 5.2.2. Transversal Completa Seja G um grupo de Lie agindo suavemente em um espa¸co afim A e seja W um subespa¸co vetorial de VA . Suponha que: (i) LG(x + w) = LGx, para qualquer x ∈ A e qualquer w ∈ W . Ent˜ao x + {LGx ∪ W } ⊂ Gx ∪ {x + W }. (ii) Se x0 ∈ A e T ´e um subespa¸co vetorial de W tal que W ⊂ T + LGx0 , ent˜ao para qualquer w ∈ W , existem g ∈ G, t ∈ T tal que G(x + w) = x0 + t. Demonstra¸c˜ ao: Exerc´ıcio Exemplo 5.2.3. Para f0 = x5 + y 5 , temos J(f0 ) =< x4 , y 4 > e portanto m22 J(f ) =< x6 , yx5 , y 2 x4 , y 4 x2 , xy 5 , y 6 > em m62 . Como m22 J(f0 )+ < x3 y 3 >= m62 , se considerarmos W = R{x3 , y 3 }, obtemos que para qualquer g(x, y) = ax6 +bx5 y+cx4 y 2 +dx3 y 3 +ex2 y 4 +f xy 5 +gy 6 em H 6 {2, 1}, existe um t ∈ R tal que o germe x5 +y 5 +g(x, y) se escreve como x5 + y 5 + tx3 y 3 . Neste caso temos ent˜ao que f0 + W = {g ∈ J 6 {2, 1}|g = x5 + y 5 + tx3 y 3 }. Mas quando t = 0, o monˆomio x3 y 3 n˜ao pertence ao ideal m22 J(f0 ) + m72 , tambem o elemento 5x5 + 3tx3 y 3 n˜ao pertence ao ideal m22 J(f0 ) + m72 , portanto m22 J(f0 ) + m72 n˜ao ´e igual a m22 J(ft ) + m72 para t 6= 0 e a condi¸c˜ao 1. do Teorema acima n˜ao ´e satisfeita. 56

Como consequencia deste Teorema, no caso de germes de fun¸c˜oes f : (Rn , 0) → (R, 0) sob a a¸ca˜o do grupo R, temos a seguinte: ao polinomial Proposi¸c˜ ao 5.2.4. Seja f : (Rn , 0) → (R, 0) um germe de fun¸c˜ de grau k e {G1 , . . . , Gr } uma cole¸c˜ ao de polinˆ omios homogˆeneos de grau k + 1 satisfazendo m2n J(f ) + R{G1 , . . . , Gr } + mk+2 ⊃ mk+1 ao qualquer n n , ent˜ P g ∈ J k+1 (n, 1) com j k g(0) = j k f (0) ´e R-equivalente a f (x) + ri=1 ui Gi para alguma r-upla (u1 , . . . , ur ). Demonstra¸c˜ ao: Seja W = H k+1 (n, 1), ent˜ao precisamos verificar a condi¸ca˜o 1, ou seja ∀w ∈ W , temos m2n J(f ) + W + mk+2 = m2n J(f ) + mk+2 n n . Escolhendo a transversal T := R{G1 , . . . , Gr } o resultado ´e imediato de Teorema da transversal completa

5.3

Germes simples

Vamos considerar f ∈ mn E(n, p) finitamente determinado segundo uma a¸ca˜o de um grupo G em E(n, p), ou seja existe k ∈ N tal que para qualquer g ∈ mn E(n, p) com j k (g) = j k (f ) temos que g ´e G-equivalente a f . Defini¸c˜ ao 5.3.1. Um germe f ´e G-simples se existe vizinhan¸ca V de j k (f ) em J k (n, p) que contem somente um n´ umero finito de ´orbitas. Inicialmente iremos mostrar exmplos de germes n˜ao simples, pois estes s˜ao de fundamental importˆancia no desenvolvimento da Teoria.

57

Exemplo 5.3.2. O germe f = x2 y(x + y) n˜ao ´e simples segundo a a¸ca˜o do grupo R. Para mostrar isto, Kuo mostrou que na curva de germes ft = xy(x + y)(x − ty) n˜ao existem intervalos de germes R-equivalentes entre si. Observamos que para cada t 6= 0 o conjunto ft−1 (0) ´e composto por quatro retas distintas entre si no plano e sendo que trˆes delas iguais nos dois conjuntos, mas n˜ao existe difeomorfismo linear que leve uma reta x = t1 y na reta x = t2 y e deixe as outras trˆes retas fixas. Exemplo 5.3.3. O germe f = x3 + xy 4 n˜ao ´e simples segundo a a¸ca˜o do grupo R. Inicialmente vamos usar o m´etodo da transversal completa para descrever todas as ´orbitas dos 6-jatos em J 6 (2, 1) que tem o mesmo 5-jato que f , ou seja os germes de tipo g(x, y) = x3 + xy 4 + αx6 + βx5 y + γx4 y 2 + δx3 y 3 + ϕx2 y 4 + ηxy 5 + νy 6 sob a a¸ca˜o do grupo J 6 R. Como J(f ) =< 3x2 + y 4 , 4xy 3 > obtemos J(f )m22 + m72 =< 3x2 y 2 + y 6 , 4x3 y 3 , 4x2 y 4 , 4xy 5 > +m72 , portanto temos que o espa¸co transversal completo T em J 6 (2, 1) de f = j 5 (f ) ´e gerado pelo monˆomio y 6 , pois J(f )m22 + m72 + T = m62 . Ou seja todo 6-jato g(x, y) = x3 + xy 4 + αx6 + βx5 y + γx4 y 2 + δx3 y 3 + ϕx2 y 4 + ηxy 5 + νy 6 ´e R equivalente a um germe de tipo x3 + xy 4 + ty 6 para algum t ∈ R. Denotamos este conjunto de germes por V = {σt ∈ J 6 (2, 1) : σt = x3 + xy 4 + ty 6 } e observamos que este espa¸co ´e uma reta afim no espa¸co dos 6-jatos com ”origem” em f (x, y) = x3 + xy 4 , alem disto esta reta afim ´e um conjunto alg´ebrico em J 6 (2, 1), pois ´e isomorfa a uma reta. Nosso pr´oximo passo ´e mostrar que n˜ao existe nenhum intervalo contido em uma u ´nica ´orbita dos germes. Ent˜ao para cada valor t fixado, denotamos 58

por J 6 Rσt a ´orbita do germe σt e vamos mostrar que a interse¸ca˜o J 6 Rσt ∪ V ´e formada por um n´ umero finito de pontos. O primeiro passo ´e aplicar um resultado que garante que toda ´orbita de uma a¸c˜ao de um grupo de Lie em um conjunto alg´ebrico ´e um conjunto semi alg´ebrico, assim obtemos que a interse¸c˜ao J 6 Rσt ∩ V ´e um conjunto semi alg´ebrico de V e como V ´e uma reta, este conjunto ´e uma uni˜ao finita de pontos e intervalos. Agora para mostrar que este conjunto n˜ao pode conter um intervalo, observamos que se existisse um intervalo I = (t0 − e, t0 + e) com σt Rdσt equivalente a σt0 , teriamos = y 6 em m22 Jσt + m72 , mas isto n˜ao ocorre. dt Assim esta interse¸c˜ao n˜ao contem intervalo na reta e concluimos que n˜ao existe ´orbita aberta em V . Exerc´ıcio 5.3.4. Mostre que o germe f = x2 y(x + y) n˜ao ´e simples seguindo a demonstra¸ca˜o feita acima. Nosso pr´oximo passo ´e descobrir todos os germes de fun¸co˜es que s˜ao simples, e isto come¸ca pelas singularidades de codimens˜ao menor ou igual a 5 descobertas por Thom. Exerc´ıcio 5.3.5. Mostre que as seguintes singularidades s˜ao simples: x3 , x4 , x5 , x6 , x3 − xy 2 , x3 + y 3 e x2 y + y 4 . Alem disto, o pr´oximo lema exclui da lista dos germes simples todas os germes de coposto maior ou igual a trˆes. ao ´e simples. Lema 5.3.6. Qualquer germe f ∈ m3n de coposto c ≥ 3 n˜ Demonstra¸c˜ ao: Como f ∈ m3n e ´e de coposto c, temos j 2 f = 0 e f pode ser considerado como um germe em m3c , a a¸ca˜o neste caso se reduz `a a¸c˜ao 59

do grupo Gl(c) em H 3 (c, 1). Assim, como para qualquer c ≥ 3 a dimens˜ao do grupo Gl(c) ´e sempre exclusivamente menor que a dimens˜ao do espa¸co H 3 (c, 1) e as ´orbitas tem no m´aximo a mesma dimens˜ao de Gl(c), n˜ao existe ´orbita aberta neste espa¸co e isto ´e suficiente para obter que o germe n˜ao ´e simples. Por exemplo, se c = 3, dimGL(3) = 9 e dimH 3 (c, 1) = 10. Nos resta ent˜ao determinar os germes simples de coposto 1 ou 2. Um procedimento an´alogo ao feito no exerc´ıcio anterior nos mostra que os germes simples em En s˜ao os germes AK , Dk e E6 , E7 e E8 , a menos de adi¸ca˜o de termos quadr´aticos nas outras variaveis. Este resultado foi provado por Arnold no inicio da d´ecada de 70.

60

Cap´ıtulo 6 O n´ umero de Milnor O objetivo deste cap´ıtulo ´e estudar o comportamento geom´etrico de um germe numa vizinhan¸ca de um ponto singular isolado. Os objetos que descrevem tal comportamento s˜ao os invariantes. Invariante de um germe ´e um n´ umero que pode ser obtido independentemente de mudan¸cas de coordenadas. O principal invariante associado a germes de fun¸co˜es com singularidade isolada na origem ´e a codimens˜ao do germe, que foi definida algebricamente no cap´ıtulo anterior. Este n´ umero foi descoberto por J. Milnor e por isto ´e chamado de n´ umero de Milnor. Vimos que germes R-equivalentes tˆem o mesmo n´ umero de Milnor. Em geral os invariantes s˜ao obtidos como a dimens˜ao de certas ´algebras e portanto funcionam bem para germes complexos e n˜ao para germes reais, e isto se deve principalmente ao fato do conjunto dos n´ umeros complexos ser algebricamente fechado. Tamb´em, a equivalˆencia de germes, segundo algum grupo, pode ser obtida atrav´es da determina¸c˜ao de invariantes. Em 61

outras palavras, geralmente podemos concluir que, dois germes s˜ao ou n˜ao equivalentes, quando estes n´ umeros s˜ao iguais ou n˜ao Neste cap´ıtulo consideraremos germes de aplica¸c˜oes anal´ıticas f : (Cn , 0) → Cp . As defini¸co˜es e resultados descritos nos cap´ıtulos anteriores tamb´em s˜ao v´alidas para germes complexos, mas nem sempre podemos afirmar que um resultado v´alido para germes complexos tamb´em ´e verdadeiro para germes reais. Na se¸c˜ao 4.1 faremos uma descri¸ca˜o geom´etrica do n´ umero de Milnor e na se¸ca˜o 4.2 generalizaremos tal conceito para germes de aplica¸c˜oes.

6.1

O n´ umero de Milnor

O anel dos germes de aplica¸co˜es anal´ıticas f : (Cn , 0) → C ´e denotado por On . Temos que On ´e isomorfo ao anel das s´eries de potˆencias formais em x1 , . . . , xn , denotado por C[[x1 , . . . , xn ]], este isomorfismo ´e entre ´algebras pois os an´eis em quest˜ao tˆem estrutura de espa¸co vetorial. O conjunto dos germes f : (Cn , 0) → Cp ´e denotado por On,p . Como 0 ´e uma singularidade isolada de f , temos que f −1 (0) ´e uma variedade que ´e n˜ao singular fora da origem. Segue do Teorema da Fun¸ca˜o Impl´ıcita que, numa vizinhan¸ca da origem e para ε 6= 0, f −1 (ε) ´e uma variedade anal´ıtica n˜ao singular. Exemplo: Seja f : (C2 , 0) → (C, 0) dada por f (x, y) = x2 + y 2 . Temos que a origem ´e uma singularidade isolada de f . Ainda, f −1 (0) ´e a reuni˜ao de duas retas complexas: x + iy = 0 e x − iy = 0. Portanto f −1 (0) − {0} ´e uma variedade. Se ε 6= 0, f −1 (ε) ´e uma esfera em C2 , portanto uma variedade. 62

Dado um n´ umero real ε > 0, denotamos por Bε a bola aberta em Cn de centro em 0 e raio ε. Temos o seguinte resultado Teorema 6.1.1 (Teorema de Milnor). Se a origem ´e uma singularidade isolada de f : (Cn , 0) → (C, 0), ent˜ao para um n´ umero real ε > 0 suficientemente pequeno, existe um δ > 0 tal que para todo t ∈ C com 0 < |t| < δ temos: (i) A restri¸c˜ ao de f a f −1 (Bδ −{0})∩Bε → Bδ −{0} ´e um fibrado vetorial. (ii) A fibra Xt = f −1 (t) ∩ Bε tem o tipo de homotopia de um bouquet de esferas de dimens˜ao real n − 1. (iii) O n´ umero de esferas do bouquet ´e calculado algebricamente como dimC

On ∂f ∂f h ∂x1 , . . . , ∂x i n

Nota¸c˜ ao: O fibrado determinado no ´ıtem (i) ´e chamado Fibra¸c˜ ao de Milnor de f e cada fibra Xt ´e chamada fibra de Milnor de f . O n´ umero de esferas do ´ıtem (iii) ´e o n´ umero de Milnor de f e ´e denotado por µ(f ). Os ´ıtens (i) e (ii) nos dizem que para t e s suficientemente pequenos, as fibras Xt e Xs s˜ao difeomorfas e Xt ´e, a menos de uma homotopia, um bouquet de esferas, ou seja, uma uni˜ao disjunta de esferas, em cada esfera fixamos um ponto (chamado ponto base) que ´e identificado aos pontos bases das outras esferas. O ´ıtem (iii) fornece uma f´ormula alg´ebrica de se computar o n´ umero de esferas de cada bouquet. Este n´ umero ´e a codimens˜ao do ideal J(f ) = ∂f ∂f h ∂x , . . . , ∂x i em On , ou seja, ´e a codimens˜ao do germe f . n 1

63

, ∂f i = hx2 , y 3 i e Exemplos: 1. Seja f (x, y) = x3 − y 4 , ent˜ao J(f ) = h ∂f ∂x ∂y µ(f ) = dimC

O2 ∂f ∂f h ∂x , ∂y i

= dimC

C[[x, y]] =6 h ∂f , ∂f i ∂x ∂y

2. O fato da fibra Xt ser homotopicamente equivalente a um bouquet de esferas n˜ao vale para germes em En , isto ´e, germes reais. Consideremos, por exemplo, f (x, y) = x2 + y 2 . Se (x, y) ∈ C2 , f −1 (t) ´e homotopicamente equivalente a uma esfera de dimens˜ao 1. Se (x, y) ∈ R2 este fato s´o ´e verdade se t > 0. Al´em disso, consideremos g(x, y) = x2 −y 2 . Temos que f e g s˜ao Requivalentes como germes complexos. Mas n˜ao s˜ao equivalentes como germes reais. Assim, considerando g complexo, g −1 (t) tem o tipo de homotopia de uma esfera, mas isto n˜ao ´e verdade sobre os reais, para qualquer valor de t. Existem outras formas de se calcular o n´ umero de Milnor. Uma delas ´e atrav´es da homologia (com coeficientes em Z) das fibras Xt , ou seja: µ(f ) = rank Hn−1 (Xt , Z), mais precisamente, descrevemos abaixo as homologias da fibra Xt :     Hk (Xt ; Z) =

  

Z

se

0

se k 6= 0 e k 6= n − 1

Z ⊕ . . . ⊕ Z se

k=0

k =n−1

Para germes em On temos que uma singularidade ´e isolada se, e somente se, o n´ umero de Milnor ´e finito. Tamb´em, se dois germes s˜ao R-equivalentes, eles tˆem o mesmo n´ umero de Milnor (por isto o n´ umero de Milnor ´e chamado de invariante).

64

6.2

O n´ umero de Milnor do discriminante

Para germes de aplica¸co˜es anal´ıticas f : (Cn , 0) → (Cp , 0), p > 1, n˜ao existe um u ´nico invariante assim t˜ao completo. Existem mais invariantes e um deles ´e uma generaliza¸c˜ao do n´ umero de Milnor. No que segue descreveremos este invariante. Seja Σ(f ) o conjunto dos pontos cr´ıticos de f , ou seja, os pontos x ∈ Cn ´ ³ ∂fi tais que dx f n˜ao ´e sobrejetora, isto ´e, rank ∂x (x) < p. A imagem do j conjunto Σ(f ) pela aplica¸c˜ao f ´e chamada de discriminante do germe f e ´e denotado por ∆(f ) = f (Σ(f )). Suponhamos que f perten¸ca a uma fam´ılia a um parˆametro de germes de aplica¸c˜oes anal´ıticas, isto ´e, existe um germe F : (Cn × C, 0) → (Cp , 0), ft (x) = F (x, t), tal que f0 (x) = f (x). Al´em disso, suponhamos que cada germe ft da fam´ılia F seja est´avel para t 6= 0. Um germe g ´e est´avel se qualquer outro germe suficientemente pr´oximo de g ´e A-equivalente a g. Tal fam´ılia F ´e chamada de perturba¸ca˜o est´avel. O resultado seguinte ´e devido a J. Damon e D. Mond [4, 9]. Teorema 6.2.1. Se n ≥ p ou p = n + 1, o discriminante ∆(ft ) tem o tipo de homotopia de um bouquet de esferas de dimens˜ao p − 1. Defini¸c˜ ao 6.2.2. O n´ umero de esferas do bouquet ´e chamado n´ umero de Milnor do discriminante. Este n´ umero ´e denotado por µ∆ (f ) Observamos que o n´ umero de Milnor do discriminante ´e um invariante por mudan¸cas de coordenadas. 65

Exemplos: 1. Germes de C2 em C2 . Consideremos os germes f : (C2 , 0) → (C2 , 0) tais que 0 ´e uma singularidade isolada e µ∆ (f ) ≤ 1. Temos a seguinte classifica¸c˜ao: • Germes est´aveis. Neste caso podemos tomar ft = f e mostra-se que µ∆ (f ) = 0. Tais germes foram classificados por Whitney na d´ecada de 50. Temos duas classes de equivalˆencia: (i) A dobra, cujo representante ´e (x, y) → (x, y 2 ): ∆(ft ) = f ({y = 0}) = {(x, 0)}. (ii) a c´ uspide, com representante (x, y) → (x, y 3 + xy): ∆(ft ) = {(−3y 2 , −2y 3 )}, que ´e uma c´ uspide. • Germes f : (C2 , 0) → (C2 , 0) tal que µ∆ (f ) = 1. Temos duas classes de equivalˆencia: (i) A singularidade ”lips” com representante f (x, y) = (x, y 3 + x2 y): p temos que ft (x, y) = (x, y 3 +x2 y+ty) e ∆(ft ) = {(± −t − 3y 2 , −2y 3 )} (ii) Rabo de andorinha, cujo representante ´e f (x, y) = (x, y 4 + xy): temos que ft (x, y) = (x, y 4 + xy + ty 2 ) e ∆(ft ) = {(−4y 3 − 2ty, −3y 4 − ty 2 )} Novamente observamos que no caso de germes reais tal fenˆomeno n˜ao acontece. Por exemplo, o germe f (x, y) = (x, y 3 + x2 y) n˜ao ´e equivalente a g(x, y) = (x3 , y 3 − x2 y) se (x, y) ∈ R2 , mas ´e equivalente se (x, y) ∈ C2 . A figura (em R2 ) da ”lips” foi obtida considerando f e ft (x, y) = (x, y 3 + x2 y + 66

ty), t < 0. A figura (em R2 ) do rabo de andorinha foi obtida considerando f e ft (x, y) = (x, y 4 + xy + ty 2 ), t < 0.

Figuras da ”lips” e rabo de andorinha, respectivamente.

2. Germes de C2 em C3 . Consideremos os germes f : (C2 , 0) → (C3 , 0) onde a origem ´e um ponto singular isolado e µ∆ (f ) ≤ 1. Neste caso, ∆(ft ) ´e a imagem de ft (porque?). • Os germes est´aveis. Neste caso ft = f e podemos mostrar que µ∆ (f ) = 0 Temos uma u ´nica classe de equivalˆencia, cujo representante ´e chamado de cruzamento transversal, ou cross-cap: (x, y) → (x, y 2 , xy). • Germes com µ∆ (f ) = 1. Temos tamb´em uma s´o classe de equivalˆencia, com representante (x, y) → (x, y 2 , y 3 + x2 y), que ´e chamado S1 .

67

A figura da imagem de S1 abaixo (em R2 ) foi obtida considerando f (x, y) = (x, y 2 , y 3 + x2 y + ty), t < 0.

Estes exemplos levaram D. Mond a conjecturar que germes complexos satisfazendo µ∆ (f ) = 1 possuem um representante real f que admite uma perturba¸c˜ao est´avel ft (tamb´em real) tal que ∆(ft ) tem a mesma topologia do caso complexo, isto ´e, tem o tipo de homotopia de um bouquet de esferas e o n´ umero de esferas coincide com o do caso complexo. Temos o seguinte resultado [3] Teorema 6.2.3. Seja f : (Cn , 0) → (Cp , 0), n ≥ p ou p = n + 1, tal que µ∆ (f ) = 1 e f tem corank 1. Ent˜ao f possui um representante real que admite uma perturba¸c˜ ao est´avel (tamb´em real) cujo discriminante tem a mesma topologia do discriminante complexo, isto ´e, tem o tipo de homotopia de um bouquet de esferas e o n´ umero de esferas coincide com o do caso complexo O corank de f : (Cn , 0) → (Cp , 0) ´e definido como min{n, p} − rankf . No entanto, em [10], D. Mond e R. Wik Atique mostram que o Teorema 6.2.3 n˜ao vale para germes de corank 2.

68

Cap´ıtulo 7 Desdobramentos

69

Cap´ıtulo 8 Germes do plano no plano Neste cap´ıtulo estudamos germes f : (R2 , 0) → (R2 , 0), ou seja elementos do anel E2,2 que preservam a origem. Nosso objetivo ´e obter uma lista parcial das classes de equivalˆencia que s˜ao determinadas a menos de mudan¸cas de coordenadas na fonte e na meta, ou seja a A-equivalˆencia. Ressaltamos a importˆancia destes resultados em Teoria de Singularidades por que Whitney em [?, 1955] publicou o que foi considerado o primeiro trabalho da Teoria de Singularidades, mostrando quais as poss´ıveis singularidades que aparecem em uma aplica¸ca˜o est´avel do plano no plano. A partir deste artigo apareceram v´arias listas com a classifica¸c˜ao das singularidades que aparecem em germes com codimens˜ao baixa, e em [?] temos uma lista mais completa com as singularidades simples. Neste cap´ıtulo apresentamos as singularidades em germes de codimens˜ao menor ou igual a dois e temos por referˆencia o cap´ıtulo 8 de [?].

70

8.1

O grupo A.

Neste cap´ıtulo estudamos germes f : (R2 , 0) → (R2 , 0), ou seja elementos do anel E2,2 que preservam a origem. Nosso objetivo ´e obter uma lista parcial das classes de equivalˆencia que s˜ao determinadas a menos de mudan¸cas de coordenadas na fonte e na meta, ou seja a A-equivalˆencia. Defini¸c˜ ao 8.1.1. Dois germes f e g s˜ao A-equivalentes se existem germes de difeomorfismo h: (R2 , 0) → (R2 , 0) e k: (R2 , 0) → (R2 , 0) tal que f = k◦g◦h−1 . Aqui tambem temos que uma a¸ca˜o do grupo A, formado pelos pares de difeomorfismos (h, k), em E2,2 e as ´orbitas Ag segundo esta a¸ca˜o s˜ao obtidas por todos os elementos f que se escrevem na forma f = k ◦ g ◦ h−1 . Lembramos aqui que o espa¸co E2,2 tem uma estrutura de E2 -m´odulo e os espa¸cos tangentes `as ´orbitas s˜ao sub-conjuntos de E2,2 . Defini¸c˜ ao 8.1.2. Um germe ´e chamado A-estavel se a sua A ´orbita ´e um conjunto aberto em E2,2 . Whitney em [?] foi quem primeiro determinou quais s˜ao as singularidades que aparecem em um germe de aplica¸ca˜o est´avel do plano no plano. Este trabalho ´e considerado pioneiro em Teoria de Singularidades e sua publica¸c˜ao determinou os rumos da pesquisa nesta Teoria por muito tempo. Seu principal resultado diz que na curva singular de qualquer aplica¸c˜ao est´avel existem somente c´ uspides e dobras transversais como singularidades isoladas.

71

Exemplo 8.1.3. Para f : R2 → R2 , (x, y) 7→ f (x, y) = (x, y 4 + xy − y 2 ), o conjunto de pontos cr´ıticos de f ´e dado por: Σ(f ) = {(x, y) ∈ R2 /4y 3 + x − 2y = 0}. A curva singular de f : ∆(f ) = f (Σ(f )) ´e uma curva com dois pontos de c´ uspide e um ponto duplo.

8.2

As A-´ orbitas singulares em E2,2

O germe mais simples de aplica¸ca˜o do plano no plano que preserva origem ´e a identidade F (x, y) = (x, y) e este germe n˜ao tem singularidades, pois sua matriz Jacobiana sempre tem posto dois, ou coposto zero. Nosso pr´oximo passo ´e estudar os germes de coposto um, ou seja aqueles em que a matriz Jacobiana tem exatamente posto um, neste caso primeiro observamos que qualquer germe de coposto um, a menos de mudan¸ca de coordenadas, pode ser escrito na forma F (x, y) = (x, f (x, y)). Iremos inicialmente considerar os germes de grau no m´aximo dois, ou seja germes em J 2 (2, 2). Neste sentido nosso primeiro resultado ´e descrito na seguinte proposi¸c˜ao. Proposi¸c˜ ao 8.2.1. Qualquer germe de coposto um em J 2 (2, 2) ´e A-equivalente a um dos seguintes germes: (x, y 2 ), (x, xy) ou (x, 0). Para demonstrar esta proposi¸ca˜o escrevemos o germe F (x, y) na forma geral F (x, y) = (x, ax + bx2 + cxy + dy 2 ). Observamos que a segunda coordenada de F (x, y) n˜ao pode ter termo puro y em sua s´erie de Taylor, pois neste caso o germe seria n˜ao singular e A-equivalente a (x, y).

72

Para eliminar o termo puro x desta fun¸c˜ao coordenada fazemos a mudan¸ca na meta: k 0 (u, v) = (u, v − au) e obtemos F1 = k 0 ◦ F = (x, bx2 + cxy + dy 2 ). A seguir, se d 6= 0, a mudan¸ca na fonte h0 (x, y) → (x, y − c/dx) nos da F2 = F1 ◦ h = (x, Ax2 + By 2 ). Agora fazemos uma mudan¸ca de coordenadas na meta k 00 (u, v) = (u, v − Au2 ) para obter F3 = k 00 ◦ F2 = (x, dy 2 )). Agora podemos mostrar facilmente que este germe F3 ´e A-equivalente a (x, y 2 ). Se d = 0 e c 6= 0, a mudan¸ca na fonte (x, y) → (x, bx + cy) nos da o germe (x, xy). Se d = c = 0, F ´e A-equivalente a (x, 0). Agora damos in´ıcio ao estudo das A-´orbitas nos germes de grau maior. Para isto em cada um destes representantes acrescentamos termos de grau maior e tentamos descobrir representantes para as respectivas A-´orbitas. Dentre estes trˆes germes, primeiro estudamos (x, y 2 ). A principal quest˜ao ´e descobrir um representante para as A-´orbitas com 2-jato (x, y 2 ) de todos os germes de coposto 1? A menos de mudan¸cas de coordenadas, tal germe se escreve na forma P (x, y 2 + ai,j xi y j ) com i + j ≥ 3. Uma aplica¸ca˜o imediata de um teorema an´alogo ao Teorema ??, mas relativo `a A-equivalˆencia nos mostra que todos P os germes da forma (x, y 2 + ai,j xi y j ) com i + j ≥ 3 est˜ao na A-´orbita do germe (x, y 2 ). Observamos tamb´em que este germe ´e A-est´avel.

8.3

Germes com 2-jato (x, xy)

Este se escreve na forma (x, xy +

P

ai,j xi y j ) com i + j ≥ 3. Ao fatorarmos os

termos divisiveis por x na segunda coordenada do germe, a composi¸ca˜o deste P com o difeomorfismo na fonte (x, y) → (x, y + ai,j xi−1 y j ) elimina todos 73

estes termos na segunda componente, exceto o termo xy, ent˜ao este germe ´e P equivalente a (x, xy + ai y i ). A partir deste resultado, obtemos ao ≤ 2 e 2-jato (x, xy) s˜ ao: Teorema 8.3.1. As ´orbitas de A-codimens˜ (i) (x, xy + y 3 ), chamado de c´ uspide, de codimens˜ ao zero, ou est´avel. (ii) (x, xy + y 4 ), chamado de rabo de andorinha, de codimens˜ ao 1. (iii) (x, xy + y 5 + y 7 ), chamado de borboleta, de codimens˜ ao 2. Demonstra¸c˜ ao. Se a3 6= 0 no germe (x, xy +

P i≥3

ai y i ) qualquer germe ´e

equivalente ao germe (x, y 3 ). Agora se a3 = 0 e a4 6= 0 ent˜ao qualquer germe ´e equivalente ao germe (x, y 4 ) e finalmente se, a3 = a4 = 0 e a5 6= 0, ent˜ao qualquer germe ´e equivalente ao germe (x, xy + y 5 + y 7 ). A demonstra¸ca˜o termina ao mostrarmos que se a3 = a4 = a5 = 0 ent˜ao os germes tem codimens˜ao maior que 2.

8.4

Germes com 2-jato (x, 0)

No lema a seguir classificamos as ´orbitas com 2-jato (x, 0) em J 3 (2, 2). Lema 8.4.1. As ´orbitas com 2-jato (x, 0) em J 3 (2, 2) s˜ ao (x, y 3 ± x2 y), (x, xy 2 ) e (x, 0). Demonstra¸c˜ ao. Qualquer germe em J 3 (2, 2) de coposto um com este 2-jato se escreve na forma (x, ax3 + bx2 y + cxy 2 + dy 3 ). Se d 6= 0 fazemos a mudan¸ca de coordenadas na meta (u, v) → (u, v −au3 ) e a mudan¸ca de coordenadas na fonte (x, y) → (x, y − c/dx), para obter o germe (x, (3bd − c2 )/dx2 y). Neste 74

caso, se (3bd − c2 ) = 0 obtemos que o germe ´e A-equivalente a (x, y 3 ), se n˜ao, obtemos que o germe ´e A-equivalente a (x, y 3 ± x2 y). Ressaltamos aqui que estes dois germes n˜ao s˜ao equivalentes, ou seja s˜ao representantes de ´orbitas diferentes, mostre isto como exerc´ıcio. Se d = 0 e c 6= 0, usando resultados mais sofisticados, ´e poss´ıvel mostrar que o germe ´e A-equivalente a (x, x2 y). Finalmente, se todos os coeficientes s˜ao nulos temos o germe (x, 0). Para completar a classifica¸c˜ao, temos o seguinte. Teorema 8.4.2.

(i) Para k ≥ 3, todo k + 1-jato com k-jato A-equivalente

a (x, y 3 ) ´e A-equivalente a (x, y 3 ± xk y) ou (x, y 3 ). Os dois primeiros tem codimens˜ ao k − 1. (ii) Para k ≥ 3, todo k-jato cujo k − 1-jato seja A-equivalente a (x, xy 2 ) P ´e A-equivalente a (x, xy 2 + ki=4 ai,i y i ). Se a4,4 6= 0 ent˜ ao o 4-jato ´e equivalente a (x, xy 2 + y 4 ). ao finita, com k-jato A(iii) Para k ≥ 2, todo k + 1-jato de codimens˜ equivalente a (x, xy 2 + y 4 ) ´e A-equivalente a (x, xy 2 + y 4 + y 2k−1 ), este germe tem codimens˜ ao k − 2. (iv) As outras ´orbitas tem codimens˜ ao maior ou igual a 2. A demonstra¸ca˜o deste Teorema fica como exerc´ıcio e para finalizar.

75

Teorema 8.4.3. Germes de codimens˜ ao menor ou igual a dois em E2,2 : ao 0. (i) Submers˜ao, com forma normal (x, y) e codimens˜ (ii) Dobra, com forma normal (x, y 2 ) e codimens˜ ao 0. uspide, com forma normal (x, y 3 + xy) e codimens˜ ao 0. (iii) C´ (iv) Rabo de andorinha, com forma normal (x, y 4 + xy) e codimens˜ ao 1. (v) Labios ou bicos, com forma normal (x, y 3 ± x2 y) e codimens˜ ao 1. ao 2. (vi) Borboleta, com forma normal (x, y 5 + xy ± y 7 ) e codimens˜ (vii) Ganso, com forma normal (x, y 3 + x3 y) e codimens˜ ao 2. (viii) Gaivota, com forma normal (x, xy 2 + y 4 + y 5 ) e codimens˜ ao 2.

8.5

Diagramas de bifurca¸c˜ ao

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