Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy [1. vyd. ed.] 9788072005871, 8072005871

Citation preview

v

v

v

ar a u o a cv1cen1 r

...

r

!ii2..\.f

ana yzy ff'

ff

UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE Knii'tovna mat fyz. fakulty M�tematir.kP 'lddlení sig.

I?

Boris Pavlovič Děmidovič

Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy Originally published in Russian under the title "Collection of Prohl�s and Exercises in Mathematical Analysis" by B.P. Demidovich, Moscow, Nauka, 1990. AU rights reserved. Z ruského originálu přeložili Miroslav Rozložník. a Miroslav Tůma. Grafická úprava MarekJodas Odborná korektura Eva Murtinová Odpovědný redaktor Karel Kuna Technická redaktorka Alena Suchánková Vy dalo nakladatelství Fragment, Humpolecká 1503, Havlíčkův Brod, jako svou 631. publikaci. 1. vydání, 2003. Sazbu zhotovil Fragment DTP, s. r. o. Vytiskla Centa, spol. s r. o., Brno. České vydání© Fragment, 2003 Translation © Miroslav Rozložník, Miroslav Tůma, 2003 Typo © Marek Jodas, 2003 Všechna práva vyhrazena. Žádná část této publikace nesmí být rozšiřována bez písemného souhlasu majitelů práv. Kontaktní adresa: Radiová 1, 102 27 Praha 10- Hostivař e-mail: [email protected].: h ttp:/Avv,rw .fragment.cz

ISBN 80-7200-587-1 (I. vydání, 2003)

OBSAH KAPITOLA I - Úvod do matematické analýzy § L Reálná čísla . . .. . . . . .... . .. . . . . .... . . . . .. . . . .. . .. .. . . . . . ... . . . . . . . .... . . ... . 9

§2. Limitaposloupnosd ... , ........................... ,., .... ,...... ..... §3. Pojem funkce ............................... , . , ..... , ....... , ..... , . § 4. Grafické znázornění fonkce . , ................ , . , . , ...... , .. . . .. § 5. Limíta funkce ............. , .......... , . . . . . ... .. . . . . . § 6. Používání symbolu O ......... , .....•............... , ......... , § 7. Spojitost funkce .............. , ...................... , . . § 8. Inverzní funkce. :Funkce zadané parametricky .... ......... , . . . ...... § 9. Stejnoměrná spojitost funkce , .......... , ... , ............. , . . . . ... . § 10. i,�unkcion.ilní rovnice . , . , .......•......... , .. .. . . ... ... .. ............ , . .

14 26 32 42 62 65 74 77 79

KAPITOLA li - Diferenciální počet funkcí Jedné reálné proměnné

§l. Derivacefunkce ............ ,, .......... , ...... ,............................ 81 § 2. Derivace inverzní fu1tlu;e_ Derivace funkce zadané parametricky. Derivace implicitní funkce , , 96 § 3. Geometrický význam derivace .. , .. . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . 98 §4. Diferendálfunkce ............. , .. , ... , .............. ,.......... 101 § 5. Derivace a diferenciály vyšších řádů ........... , ... , , . . .... ... . .. . ... I 04 112 • § 6. Rolleova, Lagrangeova a Cauchyova věta . , , ..... , ... , f 7. Monotónní funkce. Nerovnosti ...... .................... , . .. . . .. . . .. . . .. .. . 117 § 8, Konvexní a konkávní funkce. lnflexní body . . .. . .. .. . .. ..... ................ 120 § 9. VýpOCet limit pomocí ťHospitalova pravidla • , . . .... • . • . 122 §IO, Taylorovavěta ...... , ..... , ........... , ....... ,.... 126 § l L Extrémy fimkce. Maximální a minimální hodnoty funkce .......... , , .. . . .. l 30 § 1 2. Vyšetřování pn'iběhu funkce ............ ,. ........................ , ....... , ... 134 § 13. Úlohy na maximum a minimum funkce .................... , . . ... . . . 137 § .14. Dotyky křivek. Oskulační kružnice {kružnice křivosti), Evoluta ........... , , .. , , , . . .. I 40 5·1s. Přibližnéfešenírovnic .......... , .. , ....................... , .............. 141

KAPITOLA Ill - Neurčitý integrál § 1. Nejjednodušší neurčité integrály .......... , .......... , ..... , ... , .............. § 2. Integrování racionálních lomených funkcí ... , . , , ............ , ............... , .. § 3. Inte&rrování funkcí s odmocninami , , .......... , ........ , . . .. .. . . .. . . . . .. . . . . . §4. Integrování goniometrických funkcí ......... , , .. .. . . ... .. . . . . . . . .. ... .. . .... § 5. Integrování transcendentních fi.mkcí ...... , .•............ , . . .. . .... . .. . § 6, Další příklady integrov-Jnf funkcí . , .... , .............. , . . .

143 153 157 161 167 169

KAPITOLA IV - Určitý integral § L Definice určitého integrálu . , ... , ........... , .......... , ......... , ........... . 172 175 § 2. Výpočet určitého integrálu pomocí primitivní funkce ......... , § 3. Větyostfedníhodnotě , ... , ... , ....... , ...... . , ....... 184 § 4. Nevlastní integrál ..... , ...... • • .. , .. • • 187 § 5. Výpoéet obsahu rovinných ploch 193 § 6 . Výpočet délky rovinných ki'ivek ... . , ............... , ... , . !96 § 7. Výpočet objemu těles ........... , ........ , ...... , ... , , . 198 § 8. Výpočet povrchu rotačních ploch . , ...... 200 § 9. Výpočet momentů. Souřadnice těžíště ... _ ........... , ... 201 § 10. Úlohy z med,aniky a fyziky . , ........ , . , .......... , .. ..... 203 § 11. Přibližné metody výpočtu určitých integrálů . , ......... , .. 204

·--=--------------=,

KAPITOLA V - Řady § 1. Číselné řady. Kritéria konvergence řad s konstantním znaménkem ................... 206 § 2. Kritéria konvergence řad s obecnými členy ...................................... 217 § 3. Operace s řadami .. .......... ....... ........ ...... .. . .... ... . .......... . .. 222 § 4. Řady funkcí ... ...... ........ ....... . ...... ...................... . . . .... .. 224

§ 5. Mocninné řady ... . . . . . ... ........... ... ....... .......... . . .. . .... ....... 234 244 ...................................................... _. § 7. Výpočet součtu řady .................. ....... ... ............ . . ............ . 248 § 8. Výpočet určitých integrálů pomocí součtu řady ................................... 251 § 9. Nekonečné součiny ... _ .................................. , .......·.... ...... 253 § 1O. Stirlingi'1v vzorec ......... . ..................... ...... ... . ....... .... ...... 259 § 1 l. Aproximace spojitých funkcí pomocí polynomú .. ...... ..... ... .... ... ... .... ... 259 § 6. Fourierovy fady

KAPITOLA VI - D,terenciálni počet funkci vice realných proměnnych § I. Limita a spojitost funkce ..... ....... ....... . . .... .. . . ... ....... .. . . ........ . 262 § 2. Parciální derivace. Diferenciál funkce .... ............. . .. .. ... .... . .. ..... . .... 268 § 3. Derivování implicitních funkcí ....... ........ ......... . . ..... .. .. . ....... .... 279 § 4. Záměna proměnných .. ..... . ...... . ......... ..... ....................... .. 286 § 5. Geometrické aplikace ..................................................... , 295 § 6. Taylorúv vzorec .. . . . ... .............. ........... ... . ........ ........... .. 299 § 7. Extrémy funkcí více proměnných ................. . . . . .. . . .... .. .............. 302

KAPITOLA VII - Integrály závislé na parametru § I. Určité integrály závislé na parametru ............... : .......................... 308 § 2. Neurčité integrály závislé na parametru. Stejnoměrná konvergence integrálů .......... 312 § 3. Derivace a integrování nevlastních integrálů závislých na parametru ........ ......... 317 § 4. Eulerovy integrály ............ ..... ......... ..... .. ..... . .................. 323 § 5. Integrální Fourierů.v rozvoj ................................................ , 326

KAPITOLA VIII - Vícerozměrné a křivkové ,ntegraly § l. Dvojné integrály ........................................................... 328 § 2. Výpočet obsahil rovinných ploch .............................................. 335 § 3. Výpočet objemů těles . ......... ....... . .... . ....................... ....... . 337 § 4. Výpočet obsahů prostorových ploch ..... , ......................... ............ 339 341 § 5. Použití dvojných integrálů v mechanice ...................... , ... .. ... § 6. Trojné integrály ............... , ...... . ..... ....... ..... .. . ... ............ 343 § 7. Výpočet objemu pomocí trojných integrálů ........... . ............. ............ 346 § 8. Použití trojných integrálů v mechanice .................................. , ...... 349 § 9. Nevlastní dvojné a trojné integrály ......... ........... ... . . ........... .. ..... 353 § 1 O. Vícerozměrné integrály .... .......... ........... ....... . . .................. 357 360 § 11. Kfivkové integrály . . . ............ .... .......... . . . ............. § 12. Greenova věta ............................................................. 368 § 13. Využití kr-ivkových integrálů ve fyzice ........... . ........... ....... . ....... . . . . 371 § 14. Plošné integrály ............. . .... . . .... ... .... ............ . ... .. .... 374 377 § 15. Stokesova věta ...................... , ... ....... ....... ... . .. § 16. Gaussova-Ostrogradského věta .... ....... ........ ......... . ........ .. . ...... 379 383 § I 7. Základy vektorové analýzy a teorie pole ............. ... ......... V 'sledk

Takjako mnoho dalších matematiků, ijájsem používal tuto velmi popul,ámí knihu dvakrát. Poprvé to bylo tehdy, když jsem studoval maternatickouanalýzu. Podruhéto bylo, kdyžjsem sám podle ní učiljiné. Protojsem velmi rád, že se stávám svědkem dalšího vydání sbírky pNklad11 B. P. Děmidoviče, tentokrát v českém jazyce. S přirozeným pocitem vděku tak reaguji na toto vydání napsánímjeho předmluvy. B. P. Děmidovič (1906-1977) vystudoval Běloruskou státní univerzitu. Několik let zde strávených vyučoval matematiku, pak přijal místo vedoucího katedry matematické analýzy na Moskevskéstátníuniverzitě. Zde přednášel více než čtyřicet let, získal tituly kandidáta a doktora matematických věd a stal se profesorem matematiky. Sbírka úloh, kterou nyní dostáváte do ruky, patří mezi jeho vysoce oceňovaná díla. Už po prvním vydání v roce 1952 si kniha, k níž autor shromažďoval materiál patnáct let, získala pověst základní univerzitní sbírky úloh z matematické analýzy. Struktura knihy byla zvolena natolik úspěšně, že ani v dalších vydáních nevyžadovala podstatné změny. Do dnešního dne se přitom dočkala třinácti vydání v ruskémjazyce s více než milionem výtisků a byla přeložena do mnoha dalšíchjazyků. Vývoj matematiky postupně přináší novou terminologii, pojmy, metody a koncepce, které obvykle sjednocují dosavadní poznatky. Často jsou tak ovlivněny i základní obory, které se již zdály být ucelené. To se dnes v plné míře týká diferenciálního a irúegrálního počtu s moderní invariarúní irúerpretací diferenciálu a pravidel derivování, jazyka diferenciálních forem a jejich irúegrace, které umožňují moderní zápís a chápání Nwtonova-Leibnizova vzorce. Přesto terúo formalismus i zobecněná Stokesova věta dodnes chybějí ve sbírkách příkladu i vpovinných kurzech matematickéanalýzy. Dále existují asymptotickémetody, které spojují více matematických odvětví a tvoří velmi užitečný aparát, jehož součásti, jakojsou teorie limitního přechodu a Taylorův vzorec, by také neměly chybět v wlné sbírce úloh z matematické analýzy. Praktická zkušenost ukázala, že sbírka úloh sestavená B. P. Děmidovičem umožňuje studentům získat potřebné znalosti v používání aparátu klasické matematické analýzy. I dnes se tato kniha těší zaslouženépopularitě. Proto mohujejí novévydání, nyní i v českémjazyce,jen přivítat jako vydáníjedné z nejlepších vysokoškolských sbírek příkladů z klasické matematické analýzy. Profesor V. A. Zorič Vedoucí Oddělení matematické analýzy Katedra mechaniky a matematiky Moskevská státní univerzita

I

,i l !

REÁLNÉ FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ KAPITOLA I Uvod do matematické analýzy § 1. Reálná čísla 1. METODA MATEMATICKÉ INDUKCE. K tomu, abychom dokázali, že nějaké tvrzení platí pro každé přirozené číslo n, stačí ukázat, že: 1) toto tvrzení platí pro n = I a 2) platí-li toto tvrzení pro nějaké přirozené číslo n, pak platí i pro následující přirozené číslo n + 1 .

s·

2. DEFINICE ŘEZU ČÍSELNt MNOŽINY. Dvojici množin racionálních čísel A a nazveme řezem, jsou-li splněny následujíá podmínky: I) žádná z množin A, B není prázdná; 2) každé racionální číslo leží právě v jedné z těchto množin a 3) libovolné číslo z množiny A (Mlní skupina Ťezu)je menší než libovolné číslo z množiny B (horní skupina řezu). Řez A!B jednoznačně určuje: a) číslo racionální, obsahuje-li jeho dolní skupina A největší číslo nebo obsahuje-lijeho horní skupina B nejmenší číslo; b) číslo iracionální, jestliže množina A neobsahuje největší číslo a množinaB neobsahuje nejmenší číslo. Čísla racionální a iracionální budeme dohromady nazývat reáln)!mi čisly. 1 > 3. ABsOLUTNÍ HODNOTA REÁLNÉHO CÍSLA. Absolutní hodnotou reálného čísla x rozumíme nezáporné číslo, které značíme symbolem lxl a které je určeno následujícími podmínkami:

I

lxl

={-x, je-li x < O, X, JC-h no.

-

I) V následujícím textu budeme pod pojmem číslo rozumět reálné č{slo, nebude-li explicitně zmíněno něco jinéhk � = "",�"

ŮVQD DO MATEMATICKÉ /.INALY'ZY

ti Pro libovolnou dvojici reálných čísel x a y platí nerovnosti lxl - lyl "lx +yl" lxl + IYI.

I

4. HORNÍADOLNÍHRANICE(SUPREMUMAINFIMUM)člsEI.NÉMNOŽINY. Nechť X= {x} je omezená množina reálných čísel. Reálné číslo

m=inf{x} nazýváme dolní hranicí nebo infimem množiny X pokud: 1) pro každé číslo x EX2l platí

'I

x�m;

I 2) ke každému e>O existuje aspoňjedno:_X'EX, pro které platí x' O existuje aspoň jedno x"EX, pro které platí

x">M-t. Není-li množina X omezená zdola, klademe inf {x} = -�; není-li množina X omezená shora, klademe sup{x} = +oo. 5. ABSOLUTNÍ A RELATIVNÍ ODCHYLKA (CHYBA). Nechť a (a, 0) je přesná hodnota nějaké měřené veličiny a x je její přibližná hodnota. Pak číslo D-=jx-aj nazýváme ahsoluiní odchylkou nebo absolutní chybou, a číslo Do 5=lal

I � nazýváme relativní odchylkou nebo relativní chybou měřené veličiny. � Říkáme, že číslo x má n platných číslic, není-li jeho absolutní chyba větší než polovina jednotky řádu určeného jeho n-tou číslicí.

2

--

) Zápis x EX vyjadřuje, že číslo x patří do Oe prvkem) množiny X.

§ 1 . REÁLNÁ ČÍSLA

Metodou matematické indukce dokažte, že pro libovolné přirozené číslo n platí násled ující rovnosti: n(n + 1) J.1+2+ ... +n-

.

2

5. Nechť a [nJ =a(a -h) ... [a -(n - l)h] a a [0l = 1. n Dokažte, že (a+b)[nJ= = Í: ( )a [n -m]b[ml, kde (n) je počet m-prvkových m=O

m

m

podmnožin n-prvkové množiny. Z této rovnosti pak odvoďte binomickou větu. 6. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 +x 1 )(1 +x2) ••• (1 +xn) ;,_ 1 +x 1 +x2 + ... +xn ,

kde x 1 ,x 2, .. . ,xn jsou buď všechna nezáporná, nebo všechna nekladná čísla větší než -1.

7. Dokažte, že pro x> -1 platí nerovnost (l+x)";,.l+nx (n>l), přičemž rovnost nastává, právě když x =O. 8. Dokažte platnost nerovnosti n!

I.

NÁVOD: Použijte následující nerovnost

1 2 (n• )••• =(1+--)•••>2, (n=l,2, ... ).

n+l

n+l

9. Dokažte platnost nerovnosti 2! ·4! ... (2n)! > [(n + l)!]", kde n > I. 10. Dokažte platnost nerovnosti 1 1 3 2n-l -·- ... --.,/n (n;,. 2 ); /2

.,/n

,f3

1

b)n"• >(n+l)" (n;,.3); c) sin( Í:xk) � ke I

Í: sinxk

ke I

d) (2n)! < 22n (n!)2 .

--

(O�x k �n; k=l, 2 , ... , n);

KNIHOVNA MAT•.f'IZ. FAKULTY Matematické odcleleoi SoiuJkM,ka83 18675Pnllla8

ÚVOD DO MATEMATICKÉ ANALÝZY

ll. Nechť c je kladné číslo, které není čtvercem celého čísla, a nechť AIB je číselný řez, který definuje reálné číslo {c, kde skupina B obsahuje všechna kladná racionální čísla b taková, že b 2 > c, a kde množina A obsahuje všechna ostatní racionální čísla. Dokažte, že dolní skupina řezu A neobsahuje největší číslo a že horní skupina řezu B neobsahuje nejmenší číslo. 3 12. Sestrojme číselný řez A!B, který definuje číslo /2, následujícím způsobem: Nechť skupina A obsahuje všechna racionální čísla a, pro která platí a 3 1).

2" n-"" n! . a" 61. hm-=0. n-'"' n!

62. lim nq" =O,

63. lim "{a'= 1, (a> O).

.

59. hm-=0.

an

lql < l.

. log" n 64. hm--=0, {a>l). n n-"'

65. lim".,fi. = I .

1 66. lim-- =O. n-.., n

Jrii.

67. Který z následujících výrazů je pro dostatečně velké hodnoty

a) 100n+200,nebo O,Oln ; b) 2",nebon 1000 ; 2

68. Dokažte, že platí

n větší: c) 1000",nebon!?

NÁVOD: Viz úloha 10.

69. Dokažte, že posloupnost

x. =(l +

!)"

{n = l, 2 , ...)

je ostře rostoucí a omezená shora a že posloupnost (

2

l I I . l. lffi [-- +--+ ... + --] •-� 1·2 2·3 n(n+I)

)

Dokažte platnost následujících vztahů:

n-oo

(-1)"-ln

( ) 54. lim [- + - + ...+ -'----'- ].

] 53. lim [-+-+ ... +-'---�. 3 n3 n3 n-oa n 5 . 5 �'.'.'.

2

52. lim - -- +-- .. +-'--..c_n n n . n

J)n+l

Y.= l+;

(n = l, 2 , ...)

ÚVOD 00 MATEMATICKÉ ANALÝZY

je ostře klesající a omezená zdola. Odtud pak odvoďte, že tyto posloupnosti mají společnou limitu n =e. hm l+- =hm l+-

. ( 1)

n-oo

· NAVOD:

U

n

.(

l)".i

n

n-oo

... x,.i Y. , • · vazuJte vyrazy -, - a pouzljte nerovnost z u'Iohy 7 . Xn

Yn-1

70. Dokažte, že platí O O (n = 1, 2, ... ) a - -1 limxn ·lim- = l, n-oo

n-oo xn

pakje posloupnost xn konvergentní. 136. Dokažte, že je-li, posloupnost xn

(n = 1,2, ... ) omezená a platí-li

lim(xn. 1 -xn) =O, pak její hromadné bodyjsou hustě rozložené mezi jejími limes inferior a limes superior:

l =limx a L =limxn , _ n

tj. libovolné číslo z intervalu [l,L] je hromadným bodem dané posloupnosti.

-

137. Nechť číselná posloupnost x l 'x2 ,., .,xn , ... splňuje podmínky O�xm+n�xm +xn (m,n = l,2, ... ).

ÚVOD DO MATEMATICKÉ ANALVZY

Dokažte, že pak lim-"- existuje. n-"" n

138. Dokažte, že je-li posloupnost x" (n = I, 2, ... ) konvergentní, je posloupnost

i: 1,·

jejích aritmetických průměrů 1

I

� =-(x1 +x 2+ ... +x) n (n=l,2, ... ) n n

také konvergentní a platí lim

x 1

+x2 + ...

+x

" limx . n-oo n

n

n-oo

Opačně to však neplatí: sestrojte protipříklad. 139. Dokažte, že je-li limxn = + ,je také 00

n -•

Xl +x2 ... +Xn h. m------= +oo. +

n

\

I I

,,

140. Dokažte, žeje-li posloupnost xn (n = 1, 2, ... ) konvergentní a x" > O, pak

"----

lim ✓x 1 x2 ••• x. =limx•. 141. Dokažte, že je-li

x.

>O

n -=

(n

=

n-""

1, 2, ... ),je také splněna rovnost

. Xn ,i I.lffi n {:;"" X = 1IID--, n-oo y

n

n-oo xn

přičemž předpokládáme, že limita na pravé straně rovnosti existuje. 142. Dokažte, že n I.trn--

=e.

143. Dokažte Stolzovu větu: Nechť jsou splněny následující tři podmínky:

c) existuje lim Pak lim -"- = lim

X n+

l

-x n

144. Vypočtěte:

n2 a) lim- (a> l); n-+Oa

n

b) lim

n-+..;

logn . n

--

Xn+ I -xn

§ 2. LIMITA POSLOUPNOSTI

145. Dokažte, že je-li p přirozené číslo, platí . JP+2P+ ... +nP 1 a) hm ----- =--·' n-� nf>•I p+I

b) Jim ( n-�

.

JP+2P+ ... +n P nP

_

_!I:_) = .!_; p+I

JP+3P+... +(2n-l)fr

2

21>

c) hm-----'---'-=--. n-� . nP•I p +l 146. Dokažte, že posloupnost 1 1 1 x" =l+-+-+ ... +--lnn (n = l,2, ...) n 2 3 je konvergentní. Platí tedy následující vztah

l

1

1

1 +-+-+ ... +- = C+lnn+c, n

n 2 3 kde C =0,577216 ... , což je takzvaná Eulerova konstanta, a en ~ O pro n-

1 1 147. Vypočtěte lim (-- +-- + ... n-� n + I n + 2

00•

+J_). 2n

148. Posloupnost čísel xn (n = 1,2, ... ) je určena následujícími vztahy:

Vypočtěte limxn.

:J

149. Nechť xn (n = l, 2, ... ) je posloupnost čísel definovaná rekurentním vztahem:

x0 >0, xn •l = ½(xn + Dokažte, že limxn = 1 .

(n = 0, 1 , 2 , ... ).

150. Dokažte, že posloupnosti xn a Yn (n = l, 2, ...) definované následujícími

vztahy: x 1 =a ' y I =b ' xn+l

mají společnou limitu

.,,., = V�y nJn'

µ,(a,b) =limxn =limyn

--

(aritmeticko-geometrický průměr čísel a a b ).

Xn +yn

yn+l =-2

ÚVOD 00 MATEMATICKÉ ANALÝIT

§ 3. Pojem funkce 1. POJEM FUNKCE. Proměnná y se nazývá jednoznačnoufunkcí f proměnné x na dané množině X={x), jestliže každé hodnotě xEX odpovídá právě jeden pn,ek y =f(x) z nějaké množiny Y={y}. Množina X se nazývá definiční obor funkce f(x); Y se nazývá obor hodnot této funkc;e. V nejjednodušších případech je množinou X otevřený interval (a,b): a (x ) =

{o X

207. cp( x)=sgn x, ljr(x)=-.

--

= O pro x s O, pro x s O, x ) {-x 2 ( X > ' o/ r 0 o pr o X > 0. p

X

ÚVOD DO MATEMATICKÉ ANALÝZY

'

; I ' !

'

209. Vypočtěte hodnoty f[f(x)], f{f[f(x)]},je-1i 1 f(x)=-. 1-x 210. Nechť fn(x) = f(f( .. f(x)... )). Vypočtěte fn(x),je-1i n

X

f(x) --.

•

211. Vypočtěte f(x), je-li f(x + I)

=x

�

2 - 3x + 2.

212. Vypočtěte f(x),je-1i[Íx+�) =x 2 +_!_ (lxl �2). l

213. Vypočtěte f(x),je-li

t(!)

x2

x

=x+Ji +x 2 (x>O).

_) =x rf_x lx+,

213.l Vypočtěte f(x),je-li 1

2.

Dokažte, že následující funkce jsou na daných intervalech ostře rostoucí: 214. f(x) = x 2 (O,;x< +=).

215. f(x) = sinx (-; ,;x,; ;) .

216. f(x) = tgx (�; O). Dokažte, že f(x) je periodická s periodou 2T. 236. Dokažte, že splňuje-li funkce f(x)(-oo < x < + 00) rovnost f(x + =kf(x), kde k a T jsou kladné konstanty, pak /(x) =a"

O, b>O).

ty'x-". ✓x)

555. lim(n',fa+ nlb 2 n-oo

-

)"

(x >O).

(a> O,b>O) .

,- \

..

'

'

I !

I

Ii: •

ÚVOD DO MATEMATICKÉ ANALÝZY

' \

I

bx + I +c x+l !lx a x.J +---) (a>O,b>O,c>O). ( 557. hm -.

1'

a +b +c·

x-o

l

ax 558. lim ( ' +b'') /x (a>O,b>O). x-0

a

X

x2

+b x bx 2

559.lim a 560. lim (a>O,b> O). x-0 (ax -bx)2 ln(l+3'); ln(l+Y) b)lim 561.a)lim x x--• ln(l +2 ) x-•• ln(l +2' ) 562. ;�� ln(l +2x)ln(l +

!) .

564. Dokažte, že

(a> O).

563. lim (l -x)logx2. x-1

x• lim -=O (a> 1,n>O).

x- +co a"

565. Dokažte, že

log x lim --"-=O (a> l,e>O).

x- +o

Najděte následujídlimity: ln(x 2 +ť) ; 566. a) lim x-o ln(x 4 +e 2x )

ln(l+xe ') . 567. lim x-o ln� +Ji +x 2)

b) lim

Xe

x- +co

ln(x 2+e ') ln(x 4 +e 2x)

568. lim [(x+2)ln(x+2)-2(x+l)ln(x+l)+xlnx]. x- +oo

I'

J I

I

lnax . ln(xlna)ln-569.hm (a>l). [ [ Xl x,O Ina l

JI +xsinx-1 ---. - --'--5 71 . 1lm x-0

ex

2

_1

2 573. lim (2ex/(x+l)_lt +l)lx_ x-0

- x 1 x 570. lim (ln + � ln 2 + ) . x-1 x-•· x+ri 572_ lim cos (xe ') - cos (xe -x) _ x-0

x

3

2. 574.lim (2 -x)'°'("-"1 1 x-1

§ 5. LIMITA FUNKCE

-;::=====:;::::

1-sin«+�x (a>O,P>O). 575. lim x-n12 J(I -sin" x)(l -sin�x) coshx-1. sinhx_ tghx (viz úloha 340). c) lim 576. a) rl� --, b) I' 2 l � X x-0 X x X x , smh 2 x (viz úloha 340). 576.I lim . x-0 ln(cosh3x) +x -sinhJx 2 -xsinhJx 2----� . --� - . 5 77 • 1lm x- +..,

coshx

. sinhx-sinha. 577. I a) 11m -----, X-a

x-a lncoshx 577.2 lim --­ x-o lncosx 579. lim

b) lim x-a

578. lim (x -lncoshx). X- +oo

e sin2x -e sinx tghx

x-0

coshx-cosha. x-a

. l -x 581. 1.1marcsm--. l +x x .. .., . x-4 583. hm arctg·--2 x-2 (x -2) arctg (x + h) -arctgx 585_ lim h h-o 1 +x 1n-1 -x 586. lim ---------­ x-0 arctg(l +x)-arctg(l -x)

cosh2:. n 580. lim 1t cos­ n

582. lim arccos(Jx 2 +x -x). X

-. 584. l,1m arctg-� x ➔ -oo

1 ·.

587.lim[narctg tg."(2:.+...:....)]· n-• 4 2n n(x 2 +1)+x x 588. lim x arctg- -) . x+l -• 4 x

(2:. -

x 589. lim x(1t -arcsin ). x-•• 2 Jx2+J 591. lim

1

x-0 X

-e -llx'.

lOO

n'

.

[

2 (-J)"]'osec(nJI •n )

590. hm I+--

--

n-oo

592. lim xlnx.

n

ÚVOD DO MATEMATICKÉ ANALÝZY

593.a)lim (Jx 2 +x-x);

b) lim (Jx 2 +x-x).

x- -oo

x- +oo

594.l Vypočtěte h = lim fix) - lim f(x) ,je-li x--oo

x+ ✓x 2+a2 fix) = ln-.,____

✓

x+ x 2 +·b

2

1 1 595. a) lim arctg--; b) lim arctg --. 1 -X 1 -x x.-1 X'-1 1 1 596. a) lim --- b) lim llx' +e I/X X'-0 1 1 +e 597. a) lim

x- _..,

ln(l +e x ) , X

b) lim

ln(l +e x) X

598. Dokažte, že 2x a) --,2 pro x- -oo· " '

2x b) --,2 pro x-+oo. 1 +x 1 +x 599. Dokažte, že a) 2', 1 pro x, O; b) 2x , 1 pro x, O. 600. Najděte fil), limf(x); limf(x),je-lif(x)=x+[x 2 ]. :vl

x,I

601. Najděte fin), limf(x), limf(x) (n = O,± l, ... ),je-li fix)=sgn(sinru:).

Najděte následující limity:

[.!.] .

1 602. lim x� cos .

603. lim x

604. lim sin(n�).

605.- lim sin2 (nJn 2 +n).

x-0

606. lim n- •

X

x-0

X

n-•

. . . Slll Slil ... s1nx

n -krát

607. Nechť lim cp(x) =A a lim ljl(x) =B. Vyplývá z toho, že

--

li m ljl(cp(x))=B? x-a

§ 5. LIMITA FUNKCE

Uvažujte funkce O a Yn =y._ 1 (2 -xy._ 1) (n = 1, 2, ... ). Dokažte, žeje-li Y; >O (i= O, I),

pak posloupnost Yn konverguje a i !

,, I

I![

lj

1 1.1m y11 =-. n�,,,

NÁVOD: Vyšetřete rozdíl

.!_ _y X

X

"

639.2 Hodnota y =lx, kde x >O, se počítá následujícím způsobem: nechť y0 > O je libovolné kladné číslo a yn = �(Yn -1 +-X-) (n = l, 2 , ... ). ' Y.- I Dokažte, že pak lim yn =lx. NÁVOD: Použijte identitu

Ya -.[x =(Ya-1 Yn +fo

-.fx)'

-Yn -1 +,[x

(na I).

--------------------"""'--�

§ 5. LIMITA FUNKCE

640. Pro přibližné řešení Keplerovy rovnice x-esinx=m (OO);

g) /x+Jx+.fx-.fx; h)x 2 +xln 100x-x 2 . 652. Dokažte, že pro dostatečně velké x > O platí následující nerovnosti: a)x 2 +10x+l00 O existuje takové O =0(t,x0) >O, že , pro Lx -x 0 j < ó a pro všechny hodnoty [(x), které mají smysl, platí nerovnost jf(x)-f(x0 ) j < E.

Funkci j(x) nazýváme spojitou na dané mrwži':ě X_={x} (otevřeném, uzavřeném intervalu apod.), je-li tato funkce spojitá v každém bodě množiny X. - -Jestliže pro nějaký b�d x =x 0 z definičního oboru X= {x} funkce fix) nebo pro nějaký hromadný .. bod této množiny nenf splněna rovnost.(!) (tj. buď a) funkce není definovaná v bodě x =x0, nebo b) neexistuje limita lim-f(x) nebo c) obě strany rovnosti ( 1) majf smysl, ale nerovnají se), pak bod x0 .

nazýváme botkm nespojitosti funkce f(x). Rozlišujeme: 1) b?�Y.- nespojitosti prvního druhu. �o, .prc;t které existují konečné jednostranné limity

.

lim f(x) a lim f(x)

x..-xo

x,xo

•i· 2) body mspojit�sti druhého druhu (ostat;,í)_' Rozdíl , I

i

I

ft

--

lim J(x)-lim f(x) X'-"o

nazýváme slwkemfankce f(x) v bodě x0•

:,;.-x0

ÚVOD DO MATEMATICKÉ ANALÝZY

ii

f.

I g

i

Platí-li rovnost

limf(x) =lim f(x), x�x0 x,x0

nazýváme bod nespojitosti x0 bodem odstranitelné nespojiiosti. Je-li jedna z limit lim /(x) nebo lim f(x) nevlastní (rovna sy mbolu oo ), nazýváme bod x0 bode mnekonečné nespojit:;;:

::o x,r0

-

Platí-li rovnost

i

lim f(x) =fix0) (nebo lim f(x) =fix0)), x,xo

x,.xo

říkáme, že je funkce fix0) spojitá zleva (nebo zprava) v bodě x0 . K tomu, aby by la funkce fix) � � spojitá v bodě x 0 ,je nutné a stačí, a by p latila rovnost následujících tří čísel: lim f(x) =lim f(x) =f(x0).

ii Ii

spojité v bodě x =x0 •

ig

Speciálně: a) polynomiál ní funkce (polynom) P(x) =a0 +a1x + ... +anx 12

il_

i

I

�

x,.xO

X-.Xo

2. SPOJITOST ELEMENTÁRNICH FUNKCÍ. Jsou-li funkce fix) a g(x) spojité v bodě x =x0 ,jsou také "' funkce

I

"

a) fix) ±g(x); b) fix)g(x); c) fix) (g(x 0) • O) g( x)

I j e spojitá v libovolném bodě x; b) lomená racionální funkce e a +a x+ ... +a"�x" R(x) 0 1 !l b0 +b 1x + ..• +bmx"' �

I je spojitá v každém bodě, v němž jejíjmenovatel není roven nule.

I

Všechny ele mentární funkce: x 11, sinx, cosx, tgx, a x, logax, arcsinx, arccosx, arctgx, ... j sou g spojité v každém bodě svého definifuíhooboru. Ještě obecnější tvrzeníje: Nechť fix) ej spojitá v bodě x =x0 a nechť funkce g(l') ej spojitá v bodě y =fix0). Pak je funkce g(f(.x)) spojitá v bodě x =x0•

I I

II

I

i

I

3. ZÁKLADNÍ vtTv o SPOJITÝCH FUNKCÍCH. Je-li funkce f(.x) spojitána uzavřeném intervalu [a,b], platí násle dujíá t v rzení: 1) funkce fi.x) ej na tomto inteivalu·omezená; 2) nabývá na ně m svéhoinfima m a suprema M (Weierstrassova věta); 3) na kaž dém intervalu (a, P)c [a,b] nabývá všech hodnot mezi fia) a fiP) (Cauchyova věta). Speciálně,je-li fia)fiP) O existuje takové číslo ó = ó (e,x0) >O, že je-li

lfix) -fix0 ) I < e, pak I x - x0 I < ó. Vyplývá z toho, že funkce fix) je spojitá v bodě x =x0 ?] aká vlastnost funkce fi x) je popsána těmito nerovnostmi?

673. Nechť ke každému číslu ó>O existuje číslo e=e(ó,x0)>0 tak, že je-li lfix) -fix0 ) I < E, pak I x -x0 I < ó. Vyplývá z toho, že je funkce fix) spojitá v bodě x =x0 ?] aká vlastnost funkce fix) je popsána těmito nerovnostmi?

Uvažujte následující příklad:

arctgx pro x racionální, -{ f(x) - 1t - arctgx pro x iracionální. 674. Pomocí definice spojitosti funkce dokažte spojitost následujících funkcí: a) ax+b;

b) x 2 ;

c) x 3 ;

d) .{x;

3

e) '.{x;

f) sinx;

g) cosx;

h) arctgx.

Rozhodněte, zda jsou následující funkce spojité, a sestrojte jejich grafy: 675. fix)= lx I. x 2 pro x * 2, 676. fix)={ x :; A pro x = 2. 1 , je-li x * - 1, a f( -1) je libovolná hodnota. 677. f(x) = 2 (1 +x)

sn x 678. a) J,(x)=l i xl,je-li X*O, a fi(O)=l; b)f2(x)= sin ,je-li X*O, a J;(O)=l.

lx I

lx I

679. fix)= sin _!_ , je-li x *O, a fiO) je libovolná hodnota. X

680. fix) =xsin_!_,je-li x * O, a fiO) =O. X

681. fix) =e -1/x' ,je-li X* O, a f(O) =O. 1 682. fix)= ,je-li x * 1, a fil) je libovolná hodnota. 1 +e 1/(x I)

683. fix) =x lnx 2, je-li x *O, a fiO) =a. 684. fix) = sgnx. 685. fix)=[x].

686. fix)

=/x-[/x].

--

§ 7. SPOJITOST FUNKCE

Najděte body nespojitosti následujících funkcí a určete charakter těchto nespo­ jitostí: 1 +x X 688. y=--. 687. y 2 1 +x 3 (1 +x) 1 1 X+ 1 X 690. = y 1 1 x-1 X 1-cosnx -x 2 4 694. y = sgn( sin:)

X

691. y =-.-.

692. y =

smx

l

2 693. y =cos-.

X

1t

cos­ X 695.y=--.

1

696. y = arctg- .

1t cos­

X

X

1 697. y =/x arctg-. X

1 699. y=-. lnx

700. y _,

1

1_,x/(1-x)

Rozhodněte, zdajsou následující funkce spojité, a sestrojte jejich grafy: 702.y=x-[x]. 701.y=sgn(sinx). 703.y=x[x]. 704.y=[x]sinnx. 705.y = x 2 -[x 2 ].

706.y =

707. y =x[! ]·

708. y = sgn( cos!).

[;]·

1t 710. y =cotg-.

709. y =[ \ ]sgn( sin ) : x

X

2 l 7 11. y =sec-.

712. y = (- l)ix'J.

X

( 1 1 1 ) 713. y =arctg - +-- +-x

x-1

x-2

--

714. y

1

I ÚVOD DO MATEMATICKÉ ANALÝZY

1 sin(x 2 ) 717. y =e -1/x.

x2

715. y

716. y =ln----­ x ( + l)(x-3) 718. y = 1 -e -llx'.

2x 719. y =tgh--. 1 -x 2

Rozho dn ěte, zda jsou násl edající funkce spojité, a sestroj tejejich g rafy: 1 nx-n-x 720.y = lim -- (x�O). 721.y=lim --n n-.., l+x

n-.., nx+n-x

722. y =lim "./1 +x 2".

723. y = lim cos2" x.

X

724. y = lim ---•-• 1 +(2sinx)2"

725. y =lim [x arctg(n cotgx)].

x+x 2 e nx 726. y=lim --1 +e nx

ln(l +e "' ) 727. y=lim --,- •• ln(l+e')

728. y = lim (1 +x)tghtx. l- +oo

729. Rozho dněte, zda je následující f;unkce spojitá: 2x pro O;;x;;l, fix)= { 2-x pro l O , - pro x = -, kde m a_ n J·SOU vza,.Jemne• nesoud"l e na' ce l'a cts n fix) = { n O pro x iracionální, je nespojitá pro každé racionální x aje spojitá pro každé iracionální x. Načrtněte graf této funkce. 737. Rozhodněte, zda je spojitá funkce fix), která je dána následujícím předpisem: nx fix)=-, n+I

ÚVOD DO MATEMATICKÉ ANALÝZY

je-li x racionální zlomek m (n 2 I) tvořený nesoudělnými čísl y, a n f(x)=lx l, je-li x iracionální číslo. Načrtněte graf této funkce. 1 co x 738. Funkce f(x) - - s je definovaná pro všechny hodnoty argumentu x krox2 mě případu x =O.Jakou hodnotou bychom měli dodefinovat funkci fix) v bodě

x =0, aby byla spojitá?

1 739. Ukažte, že pro libovolně zvolenou hodnotu f(l) búde funkce fix) = -- neI -x spOJlGI. .. , v bod'e X = 1 740. Funkce f(x) není definována pro x =O. Určete číslo fiO) tak, aby funkce fix) byla v bodě x =O spojitá, je-li: r,:;:-;; -1 tg2x a) fix)= T� ; b) fix)=-; c) fix)=sinxsin__!:_; d) fix) =(l +x) 11'; X X v'f+x-J , I e ) fix)= e -1/x ; f) fix) =x x (x >O); g) fix) =x ln2x. 2 X

i'

741. Je pravda, že v daném bodě x0 bude součet dvou funkcí f(x) +g(x) nespojitý,

pokud: a) funkce fix) je spojitá a funkce g(x) nespojitá v bodě x =x0 ; b) obě funkce f(x) ag(x) jsou nespojité v bodě x = x0 ? N�jděte odpovídající příklady.

742. Je pravda, že v daném bodě x0 bude mít součin dvou funkcí f(x)g(x) ne­ spojitost, pokud: a) je funkce f(x) spojitá a funkce g(x) nespojitá v tomto bodě; b) obě funkce fix) a g(x) jsou nespojité v bodě x =x0 ? Najděte odpovídající příklady. 743. Je pravda, že druhá mocnina nespojité funkce je také nespojitá? Najděte příklad všude nespojité funkce, jejíž druhá mocnina je spojitou funkcí. 744. Rozhodněte, zda jsou funkce f [g (x)] a g [f(x)] spojité,je-li: a) f(x) =sgnx ag(x) = I +x 2 ; b) fix) =sgnx ag(x) =x(l -x 2); c) fix)=sgnx ag (x)=l+x-[x]. 745. Rozhodněte, zda je spojitá složená funkce y =fiu), kde u =q,(x) ,je-li fiu)={ uproOO a x 2 +y 2> l.

778. Dokažte větu o sk ládání funkce arccos: arccosx +arccosy =(-l)'a,rccos(xy kde

-Ji -x

2

J1 -y 2) + 21te

(I x I s 1, IY I s 1),

e={O pro x+y;eO, 1 pro x+y O ( nějaké!) o =li(e), které vyhovuje definici stejno­ měrné spojitosti pro funkci /{x) v daném intervalu, je-li: a)/(x)=5x-3 (-oo,-O !í řťkáme, že funkce j(x) má v bodě x nevlastní derivaci. V tomto případě je tečna graťu funkce y =fix) v bodě x kolmá k vodorovné ose.

I

I!

--

,

§ 1. DERIVACE FUNKCE

821. Určete přírůstek t:J.x argumentu x a odpovídající přírůstek !:,.y funkce y=log x , mění-li se x od I do 1000. 822. Určete přírůstek t:J.x argumentu x a odpovídající přírůstek !:,.y funkce y=1/x 2, mění-li se x od 0,01 do 0,001. 823. Proměnná x se změní o přírůstek t:J.x. Určete přírůstek !:,..y , je-li: a)y=ax+b; b) y=ax 2+bx+c; c) y=a x . 824. Dokažte, že platí: a) !:,.!fix) +g(x)] =/:,..fix) +!:,.g(x); b) !:,..Ifi x)g(x)] =g(x +l:,.x)/:,.fix) +fix)!:,.g(x). 1 1 2 825. Body A = (2, 4) a A = (2 + t:J.x, 4+!:,..y) křivky y =x je vedena sečna AA . Najděte tangens úhlu této sečny,je-li: a) t:J.x = 1; b) t:J.x =0,1; c) t:J.x =0,01; d) t:J.x libovolně malý. Čemu je roven tangens úhlu tečny k dané křivce v bodě A? 826. Uzavřený interval I sx s 1+h osy x je pomocí funkce y =x 3 zobrazen na osu y. Určete průměrné natažení obrazu tohoto intervalu a vypočtětejteho hodnotu, je-li: a) h =0,1; b) h =0,01; c) h =0,001. Čemu je roven koeficient natažení pro toto zobrazení v bodě x = I ? 827. Zákon pohybu hmotného bodu po ose x je dán vzorcem x = I0t+5t 2 , kde t je čas v sekundách a x je vzdálenost v metrech. Určete průměrnou rychlost pohybu v časovém intervalu 20 st s 20 + !:,..t a vypočtěte ji, je-li: a) !:,.t = I ; b) !:,.t =O, I; c) !:,..t =0,01. Jaká je rychlost pohybu bodu v čase t =20? 828. Pomocí definice derivace najděte derivace těchto základních funkcí: 3 f) tgx; g) cotgx; h) arcsinx; a) x 2; b) x 3 ; c) .!.; d) .fx; e) -fx

;

i) arccosx; j) arctgx. 829. Vypočtěte ['(I), J'(2) a /1 (3),je-li fix) =(x- l)(x-2)2(x-3)3 • 830. Vypočtěte /'(2), je-li f(x) =x 2sin (x -2). 831. Vypočtěte

f1(1),je-li/(x)=x+(x-l)arcsin�

x

X+ I a) 832. Najděte lim fi ,je-li funkce fix) diferencovatelná v bodě a. X -a . xqa 833. Dokažte, že je-li funkce fix) diferencovatelná a n je přirozené číslo, pak platí: (I) �i� n�(x+ �)-J(x)]=J'(x). fix) -

Naopak, existuje-li pro funkci /(x) limita (I), vyplývá z toho, že je tato funkce diferencovatelná? Uvažujte případ Dirichletovy funkce (viz kapitola I, úloha 734).

II I I'

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ

Pomocí tabulek derivací najděte derivace následujících funkcí: 834.y= 2+x -x 2. 1 Čemu jsou rov ny y 1(0); y 1 y (1); y 1(-IO)? x 3 x 2 x. 835. y=- +-2 3 2 Pro jaké hodnoty x platí: a) y 1(x) =O; b) y 1(x) = -2; c) y 1(x) =IO? 836. y=a 5 +5a 3x 2 -x 5 . ax+b 837.y=--. a +b 838.y= (x -a)(x -b). 839.y = (x + l)(x +2)2 (x +3)3 . 840. y = (x sin o:+ cos o:)(xcoso: -sin o:). 841. y =(I +nx m)(l +mx "). 842. y =(l -x)(l -x 2 ) 2 (1 -x 3)3 . 842.1 y = (5 + 2x) 10 (3 -4x) 20 . I 2 3 843. y=-+-+-. x x2 x3 t;lb

(½);

cd ax+b 1 844. Dokažte vztah (--) = d cx+ (cx+d)2

Najděte derivace následujících funkcí: 2x 845. y=--. I -x 2 X

847. y - ---,---=(I -x)2 (1 +x)3 (I -x'!. (I +xt 3 851. y =x +,{x + ',{x. 84 9. y

3 C'i 2 853.y=yx --. ,{x 855. y =(l +x)J2 +x 2 3J3 +x 3 .

+x-x 2 846. y= 1 I -x +x 2

848.y

(2-x 2)(2-x 3) (l -x)2

85O.y

x P (l -xt 1 +x

I 1 . I 852. y=-+-+-. X 3 ,{x ,{x

854.y=x�.

--

856. y = m ·�(1 -x)"'(l +x)".

§ 1. DERIVACE FUNKCE

X

857. y

858.y= l

859. y -

" 2 ( Rx+/i+x ) 3 861. y = � l + Vl + 2 863. y =(2 -x )cos x + 2x sinx.

3,/x.

865. y =sinnx cosnx. sin2 x 867.y=--. sinx 2 l 869.y=--. cosn x

l +x-3 . 3 l -x 3�

862. y =cos2x-2sin x . 864. y =sin(cos2 x ) cos(sin2 x). 866. y =sin(sin(sin x)).

868.y

cosx

875. y=sin(cos2 (tg 3 x)).

2 sin 2x s1nx -xcosx 870.y cosx +xsinx l 1 872. y =tgx--tg 3 x +-tg 5 x. 3 5 874. y =sec2.:. +cosec2.:.. a a 876.y =e -x'.

877. y = 2'g 1/x.

878. y =e '(x 2 -2x +2).

879.y=[ l; \inx (l;x)\o sx]e-'.

880. y =e '(1 +cotg;).

881. y

882_ y =e"'

871. y =tg

X

2

-cotg

X

2

.

873.y =4 Jcotg 2 x + Jcotg 8 x. 3��-

3�--

x

ln 3 sinx + cosx 3'

.

883.y=ť+ť +ť

,•

887. y =ln(ln(lnx)).

I l 889. y =-ln(l +x)--ln(l +x 2 ) 2 4

I --. x 2 -l 890. y=-l n 4 x 2 +!

asinbx -bcosbx

ya 2 +b 2

= (í)' (� )" 884.y

886. y =log3x 2• l 2(l+x)

(�r

(a>O, b>O ).

888. y =ln(ln2 (ln3 x)).

x4 I ' l 891. y ---+-ln--. 4(1 +x 4 ) 4 I +x 4

--

01FERENCIÁLNI POČET FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMl::NNÉ

1 x 892. y=--ln {S fi._ 2./6 x{S+fJ. 1 1 +x /k 1 +x/k 893. y=--ln--+--ln-� (00).

2{ab

900. y

/a-x,/b

2+3x X

2 Ji

4

-x2+3ln t+R_ X

X

901. y=lntg-. 2 903. y =_!_cotg 2 x+lnsinx. 2 cosx

904. y =ln

I +cosx s1nx 2 sin x b +acosx +Jb 2 -a 2 sinx 906_ y=ln a +bcosx

905. y=

2

1 -sinx I +sinx

+ln

I I 1 908. y=-ln----. 4 4x X [6x 4

907.

y =_!_(ln3 x +3ln2 x+6lnx+6).

909.

y =�(1 - Ji +x 2 )+31n(t + �l +x 2 ). 2

3

910.y =ln [! +ln(! +ln!)]·

911. y =x[sin(lnx)-cos(lnx)].

912.y = ln(tgí)-cosx ln(;gx).

. X 913. y =arcsm-. 2

1-x 914. y =arccos--. fi. 1 fi. 916. y=-arcctg-. X fi.

x2 915. y=arctg-. a

--

§ 1. DERIVACE FUNKCE

917. y = .fx- arctg,{x.

918. y =x + ✓I -x 2 arccosx.

919.y=x arcsin ✓

920. y =arccos-.

x +arctg,{x-,{x. I +x 921. y =arcsin(sinx).

X

922. y =arccos(cos2 x). 924. y =arccosb -x 2 •

923. y=arcsin(sinx-cosx). I +x 925. y =arctg--. I -x 927. y-

I

926. y = arccotg

arctg (✓ a -b tg�) (a>b;,O). a+b 2 ✓a -b

( s1nx + cosx ) . s1nx - cosx

2

2

2

.

I -x

2

929.y

928. y = arcsm -- . I +x 2

I arccos2 (x 2)

I

930. y =arctgx +-arctg(x 3). 3 931. y =ln(I + sin2 x) -2 sinx arctg(sinx). x+a a x 933. y=ln---+-arctg- (b;,O). ✓x 2+b2 b b

932. y =ln (arccos �). X

���

a

2

X

934. y=-Ja 2 -x 2 +-arcsin- (a>O). a 2 2 2 2x-l I (x+I) I 935. y = -ln -'---'-- + - arctg--. 2 .,/3 6 x -x+l .,/3 I x 2 +x{J.+1 -I r --. x./2 936. y=--ln---'a ct g -2 4./2 x -x.j2+1 2./2 x 2 -l 937.y=x (arcsinx)2 +2Parcsinx-2x. 938 • y

-P

arccosx 1 I . . +-1n x 2 1 +Ji-x 2

� lnx 939. y =arctgyx - , ----.

✓x

2

- I

_ arcsinx +-n1 1-x ­ 940 .y1 2 l+x

1 --x 4 -x 2 +1 - -I .,/3 941. y= -l n arctg��-. 2 2 12 (x +J) 2x 2 -i 2.,/3 x6 942. y ---arccotgx 6• 12 I +x

p

"i I DIFERENCIÁLNÍ POČ:ET FUNKCi JEDNÉ REÁLNÉ PAOMÉNNÉ

I

943.

y =ln

1-

✓i + 3

3

3

'.{x

.fx

+

X

3p

1 2 +/3arctg + '.fx. /3 a-2x 945.y=arccotg--- (a>O). 2Jax-x 2

944. y =arctg----. 1+/17 946. y=

1 +x 3-x Ji-2x-x 2 +2arcsin _ 2 ,/2

·�

yl +x 4+x 4 �! 4

I

·� 4

I

yl +x 947. y = -ln------arctg,---. 4

y 1 +x -x

X

2

948.y=arctg(tg 2 x).

1 -x 1 +.!.ln -[17 +JJ-x 2+arcsinx. I +x 2 I +/17

949. y =/17 ln ✓

I I 950. y =x arctgx --ln(! +x 2)--(arctgx)2 .

2

951. y =ln 953.

2

(ť +Ji+e 2x ).

952. y=arccotg (x+Ji+x 2).

s1na s1nx . y = arcsm ( ----- ) . I -cosa cosx

Jx 2+2-x '3 I I Jx 2 +2 , . 954. y = --ln----�v_.., +-arctg x. 4/3 Jx 2+2+x/3 2 Ji +x 4 -xfi I xfi I 955. y = --arctg-�----ln�----. 2 ,/2 Ji +x 4 4,/2 Ji+x 4 +xfi

Jr

x,/2 x -x 2 3 956. y=�-- -- arccotg---. 2 {i l+x 957. y = arccos(sinx 2 - cosx 2).

[17

958. y = arcsin (sinx 2) + arccos(cosx 2).

959. y =e maccsinx [cos(m arcsinx) + sin(m arcsinx)]. 960. y =arctge x -ln 960.2

y = arccotg

rY_

�� 1

c:T . � w,5�

3

960.l y =� I+ b + �l +x 4 •

--

§ 1. DERIVACE FUNKCE

2 960.3 y = ln (sec2'vx).

961.y=x+x"+x"' (x>O). 963. y = ".jx (x >O).

962.y=x"" +x"' +a"' (a>O,x>O). 1 '° 964. y = (sinx) '" +(cosx)' "". acctg'x arcsin(sin2 x) ] 965.l y = [ ----'----'­ arccos (cos2 x)

965. y =(lnxYfx 1 "". 966. y = 1ogxe.

1 967. y=ln(coshx)+--2cosh2x

coshx ( x) 968. y --- - ln cotgh- . 2 2 sinh x

969. y =arctg(tgx).

1 970. y =arccos ( - -) . coshx

(

x) (O�lbl2(x)+1'12(x);

b)y=arctg:i:;;

c)y=�(xViv(x) (q>(x)*O; iv(x)>O);

d) y= log�(x) iv(x) (q>(x)>O; iv(x)>O). 986. Najděte y ', je-li: 2 2 2 a)y=f(x ); b)y=/(sin x)+/(cos x); c)y=f(ť)e f{x) ; d)y=f{JV(x)]}, kde /(u) je diferencovatelná funkce. 986. I Vypočtěte f'(O) , je-li f(x) =x(x- l)(x -2) ... (x-1000).

--

§ 1. DERIVACE FUNKCE

987. Dokažte následující pravidlo pro derivování determinantu n-tého řádu:

f11 (x) f.. 2 (x) ... f1.(x) I

f.. 1 (x)

J;,/x) J;,2(x) ... J;..(x)

=

I:

J,.(x)

fi,(x) f�2(x) ... f�(x) .

k•I

f,, 1 (x) f,,ix) ... f..(x) 988. Najděte F 1(x),je-li F(x ) =

f.. 2 (x) ...

f,,,(x) f,,2 (x) ... f,,.(x) x-1

I

2

-3

X

3

-2 -3 989. Najděte F'(x) ,je-li X

X

X+

I

2 x3

F(x) = 1 2x 3x 2

o

2

6x

990.Je-li dán graf funkce, sestrojte přibližně graf její derivace. 991. Ukažte, že funkce fix) =

{ 2• I

X �Ill;

pro x,oO, pro x = O

má nespojitou derivaci. 992. Za jakých podmínek funkce fix) =x"sin..!. (x „ O) a /(O)= O X

a)je spojitá v bodě x = O; b)je diferencovatelná v bodě x = O; c)má spojitou derivaci v bodě x = O ? 993. Za jakých podmínek má funkce 1 fix)= I x l"sin-- (x ,oQ) a fiO) =0 (m > O) m lxl a)omezenou derivaci v okolí počátku soustavy souřadnic; b) neomezenou derivaci v tomto okolí? 994. Najděte J'(a),je-li fix) =(x -a)q>(x), kde q>(x)je funkce spojitá v bodě x =a.

DIFERENCIÁLNÍ POČ:ET FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM�NNÉ

995. Ukažte, že funkce

f(x): lx-a I (fl(x), kde (fl(x) je spojitá funkce taková, že (fl(a) * O, nemá v bodě a derivaci. Čemu jsou

rovny jednostranné derivace /(a) a f;(a)?

996. Najděte příklad spojité funkce, která nemá derivaci v daných bodech 997. Ukažte, že funkce

f(x) :x 2jcos: I (x * O) a fiO); O

má v libovolném okolí bodu x; O body, v nichž není diferencovatelná, a přesto je v tomto bodě diferencovatelná. Načrtněte graf této funkce. 998. Ukažte, že funkce 2 fix); { x pro x :acioná!ní'. O pro x 1rac1onalm, je diferencovatelná pouze v bodě x ; O. 999. Vyšetřete, zda jsou následující funkce diferencovatelné: a)y:l(x-l)(x-2)2 (x-3) 3 I; b)y:lcosxl; c)y:ln2 -x 2 lsin2 x; d) y :arcsin( cosx); e)y: {

x - I (x + 1 )2 pro JxJ,;J; 4 pro JxJ>l. lx I - 1

Pro funkci fix) určete její derivaci zleva /(x) a derivaci zpravaf;(x),je-li:

I I

1000. fix): I x I .

1002. fix) :x cos: 1004. fix)

x

l +e 1/x

1006. flx):JlnJxJ

I

1001. fix); [x] sin 7tX.

(x * O), f(O); O. (x * O), fiO): O. (x*O).

1 x-2

*

1003. fix):�. 1005. f(x):

Ji -e -x'.

1007.fix):arcsin�. I +x 2

1008. f(x); (x -2)arctg- (x 2), fi2) :O.

--

1009. Ukažte, že přestože je funkce f(x) :x sin_!_ pro x X

x ; O, nemá v tomto bodě derivaci zleva ani zprava.

.,,o a flO) � O spojitá v bodě

r� '

§ �. DERIVACE FUNKCE

J009.l Nechť x 0 je bod nespojitosti prvního druhu funkce fix). Pak výrazy f(x0 +h) - lim /(x) x,x, (xo) = lim h h,O

l

a

nazýváme zobecněnými jednostrannými derivacemi (zleva nebo zprava) funkce fix) v bodě x0• Najděte J:(x 0) a J;(x0) v bodech nespojitosti x0 funkce fix), je-li: a) fix) = � ;

�-;-

1 +x b) fix) =arctg-; 1-x

JOJO, Nechť fix) =

{

c) fix)

2

1

1 +e 1/x

x pro x,;;x0, ax +b pro x >x0.

Najděte koeficienty .a a b tak, aby byla funkce f(x) spojitá a měla derivaci v bodě x =x0 • lOll. Nechť

fix) pro x ,;;x 0, ax +b pro x >xO' kde funkce f(x) má deri".aci zleva v bodě x =x0 • Najděte koeficienty a a b tak, aby F(x) = {

byla funkce F(x) spojitá a měla derivaci v bodě x0• 1012. Na uzavřeném intervalu a,;; x,;; b sestrojte spojité a hladké napojení dvou polopřímek y=k 1 (x-a) (-oo (Archimedova spirála); b) r = a(l +cosq>) (kardioida);

.I

!,I,

c) r=ae m • (logaritmická spirála),

kde r = ✓x 2 +y 2 a q> =arctg! jsou polární souřadnice. X

§ 3. Geometrický význam derivace

'I

1. ROVNICE TEČNY A NORMÁLY. Rovnice tečny MT a normály MN ke grafu diferencovatelné funkce y =fix) v bodě M = (x,y) tohoto grafu (viz obr. 7), mají tvar:

Y-y=y'(X-x) a

I

Y-y = - 1 (X-x), y kde X a Yjsou proměnné souřadnice bodu tečny, resp. normály, a kde y 1 =f'(x) je hodnota de. rivace funkce v bodě dotyku. 2. ÚSEČKY VYMEZENÉ TEČNOU NEBO NORMÁLOU. Pro úsečky, které jsou vy mezeny tečnou a normálou a které nazýváme: PT - subtangenta, PN - subnor111ála, MT - úsek tečny, MN úsek normál y (viz obr. ?), dostáváme užitím vz tahu tga =y I následující vztahy:

y

X

o

o

13. g

p Obr, 8

PT=l;,1• PN= l>Y'I, MT=1;.1✓i •y

12

12

, MN= 111Ji +y •

ÚHEL MEZI TEČNOU A VEKTOREM PRŮVODIČE BODU DOTYKU.Jestliže r =j( O) má konstantní subtangentu. Navrhněte způsob sestrojení tečny k této křivce. 1069. Vypočtěte délku úseku normály řetězovky X

y =acosha

:!I

Ii

v jejím libovolném bodě (x0,y0 ). 1070. Dokažte, že délka úseku tečny astroidy

x 2/3 +y2/3 =a 213 (a> O), který je vymezený osami souřadnic, je konstantní veličina. 1071. V jakém vztahu musí být koeficienty a, b a c, aby se parabola y =ax 2 +bx +c dotýkala osy x? 1072. Za jaké podmínky se kubická parabola y =x 3 +px +q dotýká osy x? 1073. Pro jakou hodnotu parametru a se parabola y =ax 2 dotýká křivky y =1nx? 1074. Dokažte, že se křivky y =fix) (f(x) > O) a y =fix)sinax, kde fix) je diferencovatelná funkce, dotýkají ve svých společných bodech. 1075. Ukažte, že třídy hyperbol x 2 -y 2 =a a xy =b vytvářejí ortogonální síť, tj. tyto křivky se protínají vždy pod pravým úhlem. 1076. Dokažte, že třídy parabol y 2 =4a(a-x) (a>O) ay 2 =4b(b+x) (b>O) vytvářejí ortogonální síť. 1077. Najděte rovnice tečny a normály ke křivce X

=2t-t 2, J =3t -t 3

v bodech a) t =O; b) t = l. 1078. Najděte rovnice tečny a normály ke křivce

2t+t 2 2t-t 2 x = --,y=-l+t 3 l+t 3 v bodech a) t=O; b) t=l;c) t=oo. 1079. Najděte rovnici tečny k cykloidě x =a(t -sint), y =a(I -cost) v libovolném bodě t =t 0 . Popište způsob sestrojení tečny k cykloidě.

§ 4. DIFERENCIÁL FUNKCE

1oso. Dokažte, že křivka traktrix x =a(lntg.:. +cost), y =asint (a> O, O (x) a v = itr(x) jsou dvakrát diferencovatelné funkce. Vyjádřete y 11 ,je-li: ll22. y =ln u. 1121. y s=u 2• 1123.y=Ju 2 +v 2 .

ll24.y=u" (u>O).

Nechť f(x) je třikrát diferencovatelná funkce. Vyjádřete y II a y 111, je-li: 1125. y =fix 2). 1127. y =j(ť).

ll26. y =

!) .

f( 1128. y =j(lnx).

1129. y =/(q>(x)), kde q>(x) má derivace dostatečně vysokých řádů. �130. Najděte d 2y pro funkci y =e x , jestliže: a) x je nezávisle proměnná; b) x je funkcí (argumentem) jiné proměnné.

Najděte d 2y, je-li x nezávisle proměnná a platí: ' lnx 1131. y =v�1 +x . 1132. y =-..

1133. Y =X X .

Nechť u a v jsou dvakrát diferencovatelné funkce proměnné x. Najděte d 2y , je-li: u 1134. y =uv. 1135. y =-. 1136. y = u mv" ( m a n jsou konstanty).

1138. y =lnJu 2 +v 2•

ll31.y=a" (a>O). u ll39. y =arctg-.

r I

I·,

:1'

l "

I

:'.

i I

DIFERENCIÁLNÍ POČ:ET FUNKCi JEDNÉ REÁLNÉ PROM!:NNÉ

111 . 1 11 N aJ"d"ete denvace Yx , yx, a yx, fun kce y =y(x) zadane• parametn"cky,Je. 1·1: 1140. x=2t-t 2 ,y = 3t-t 3 • 1141. x = acost, y = asint.

1142. x = a(t -sint), y =a (I -cost). 1144. X =J'(t), y =tf1(t) -fit),

1143. x =e 1cost, y =e 'sint.

1145. Nechť y =fix) má derivace dostatečně vysokých řádů. Najděte x 1, x 11, x 111 a x ( 2) + n(n- l)(n-2)(n -3) x ) (2x)"-4f•-2>(x 2) + ... 2! l! dx" 1231. Hermiteovy polynomy jsou definovány vztahem m x' _ -O, 1 , 2 , .... ) Hm(x)-(-1) e (e -x' )(m) (mNajděte explicitní vyjádření polynomu Hm(x). Dokažte, že Hm(x) je řešením rovmce li I H m (x)-2xHm (x) +2mHm(x) =0. NÁVOD: Uvažujte rovnost u 1 +2xu=0, kde u=ť-x

2

_

1232. Dokažte rovnost NÁVOD: Použijte metodu matematické indukce.

1232.l Dokažte vztah

.

·

L-

" 1) -(x" lnx) =n! (lnx + dx" k•I k d"

(x > O).

1232.2 Dokažte vztah ( 2n)I d 2" sihx · [C (x)sinx-S (x)cosx], (--) =-n n 2n+l dx2n X

kde

x2

x 2n

C• (x)=l--+ ... +(-1)"-{2n)!

a

_1233. Nechť

X

!

X2n-l

X3

S" (x)=x--+ ... +(-l)"-1--(2n-l)! 3! =D

označuje operaci �erivování a nechť /(D) = P,(x)D k

L

k•O

je symbolický diferehciální polynom, kde p/x) (k� O, 1, . .. ,n) jsou spojité funkce proměnné x. Dokažte, že platí /(D) {e J.xu(x)} =e J.xf(D + A I)u(x), kde ).. je konstanta a I identický operátor. .

-

KNIHOVNA MAT..fYZ. FAKUL'IY Matematické odděleni $okolO\ISk8 83 186 75 Praha 8

iI i

'I

I

DIFERENCIALNi POCET FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM�NNĚ

1234. Dokažte, že jestliže do rovnice

k L akx ky; ) k•O

=

O

dosadíme x = e 1, kde t je nezávisle proměnná, pak tato rovnice bude mít tvar

kde D =

!

L akD(D-l) ... (D-kl +l)y =0,

k•O

a I identický operátor.

§ 6. Rolleova, Lagr angeova a Cauchyova věta I. ROLLEOVA VĚTA. Jestliže jsou splněny následujíd podmínky: 1) funkce /(x) je definovaná a spojitá na uzavřeném intervalu [a,b]; 2) fi.x) má konečnou derivaci f'(x) uvnitř tohoto intervalu a 3) /(a) =/(b), pak existuje nejméně jedna hodnota c z intervalu (a,b) tak, že J'(c) =O.

2. LAGRANGEOVA VĚTA.Jestliže jsou splněny následující podmínky: 1) funkce /(x) je definovaná a spojitá na uzavřeném intervalu [a,b]; 2) /(x) má konečnou derivaci J'(x) na intervalu (a,b), pak j(b)-j(a )=(b-a)J'(c), kde a1(x) pro x �x0 , pak

lf(x) -f(x0 ) I � q>(x)-q>(x0) pro x � x0 .

Interpretujte toto tvrzení geometricky. 1285.Nechťfunkce fix)je spojitá na intervalua�x< +00 a f'(x)>k>O prox>a, kde k je konstanta. Dokažte, žeje-li fia) iji(n)(x) pro x>x0 , pak platí nerovnost q>(x) > iji(x) pro x > x0 • 1289. Dokažte následující nerovnosti: a) ť> 1 +x pro X*O;

x2

--

b) x--x+- pro O 1, x>a>0;

§ 8. Konvexní a konkávní funkce. Inflexní body

i

I . POSTAČUJÍCÍ PODMÍNKY PRO KONVEXITU AKONKÁVNOST. Grafdiferencovatelné funkce y =fix)

i I!

křivky

I se nazývá konvexním (konká1.mím) na uzavřeném intervalu [a,b].jestliže se odpovídající úsek její y=j(x) (a 1/e,

___,...__________________________=·�,� je-li a symbol "".

§ 9. VÝPOČET LIMIT POMOCi L'HOSPITALOVA PRAVIDLA

3) existuje konečná nebo nevlastní limita

1

lim f (x) I

,-, g (x)

pak

'

lim f(x) = lim f'(x) . ,-, g(x) ,-, g 1(x)

Analogická pravidla platí i pro limity zleva a zprava. Výpočet limit typu 0· 00, 00 -00, 1 00 o0 atd.: pomocí algebraických transformací a logaritmování se tyto neurčité výrazy převedou na dva základní typy ..2. a ..'.:'.:. ,

o

Vypočtěte hodnoty následujících výrazů: . sinax 1318. hm--. ,-o sinbx

.

1320. hm

tgx-x . .

00

coshx -cosx 1319. lim ----x-o

1321. lim x-0

x-0 x-sinx

X

2

3 tg4x -12 tgx 3 sin4x-12sinx

. tg3x 1322, hm--. • tgx

132 3. lim

1324. lim

x l)-2(e'-l). 1325. lim (ť+ x-0 x3

1 -cosx 2 1326. lim --x-o x 2 sinx 2

arcsin 2x - 2 arcsinx 1327. lim -------

,--2

-(,{a

1329. lim

arctg

a x -a sinx

x-0

3 x

G:_fo

��

(a> O).

ln(sinax) 1331. lim . ,-o ln(sinbx) cos(sinx)-cosx 1333_ lim x-0

cotg x -1 .

x-0

• x--

1 1328. lim x-0 x{x

x

arctg

G:).b

X

2

x3

x-0

�

1330. lim( x-1

x' -x ) . lnx-x +l

ln(cosax) 1332. lim . ,-o ln(cosbx) . 1 1 1 1334. 1lm - (-- - --) ,-o x tghx tgx

.

argsinh(sinhx) -argsinh(sinx) · h x = 1n(x+y1+x �l 2) . , kde args1n . . smhx-smx x-0 x" lnx 1336. lim 1337. lim - (a>O, n>O). (e >O).

1335. lim

x-+oa X

&

x- ... ,., e

ax

DIFERENCIÁLNi POCET FUNKCi JEDNÉ REÁLNÉ PROMtNNÉ l/ x e-

2

. -- , 1338. 1lm x-0

X

1339. lim X 2e -O.O lx.

100

1340. lim lnxln(l-x).

1341.limx'lnx (e>O).

xd

1342. lim x x.

1343. limx x x-0

1345. limx kf(I •lnx).

1344. lim(x x' - 1). x-0 1346. lim X l/(l-x). x-1 1348. lim (tgx)'g2x. x-1350. lim (1n x-..0

.!.)

1347. lim (2 - x)'g ""12. x-1 x. 1349. lim (cotgx)'in x-0

1tX 1/x 1351. lim (tg--) . x-� 2x + 1

x.

X

(a

tgx cotg(x-a) . 1352. hm (-) x-a tga 1354. lim x-0

x -xlna ) 1353. lim x-o b x -xlnb

(.!_ -�) X

e

x

1356. lim (cotgx x-0

-.!.) ,

1- . 1 -- - -135 7 . 11.m [--l x-0 ln (x +Ji +x•) ln(l +x)

X

1359. lim x-0

x

2

1362. lim (tghx)'.

sinx l/x . 1363.l hm (--) x-o

(a>O).

X

1361. lim (!arctgx) x. x- +"" TI ' arcsmx 1/x· ) 1363. lim ( . 1363.2 lim(

X

X

x-0

tg x llx' ) X

X

argsinhx . --) 1363.4 hm (-----'"-x-0

(l +x) l!x -e .

x-0

2

arctg x 11,' . 1363.3 lim ( ) x-0

X

llx'

1 1 1355. lim (- - ---) x-1 lnx X 1

-I

+x)' -a x 1360. lim (a x-0

' - l.

1/x

2

, kde argsmhx = ln \X 1 +x - . • / + v�)

§ 9. VÝPOCET LIMIT POMOCi ťHOSPITALOVA PRAVIDLA

l +x) l/x l/x . [( -l 1364. hm� x-o

2 1365. lim ( -arccos x)

e

COSX

1366 . 1.1m (-x-o coshx

x-0

llx 2 )

1t

lncoshx 1367. lim ------„ x-o ✓coshx - n✓coshx

cotghx

l +e x . 1368. hm ( --) 2 x-o

1/x

X

lnx

1368.1 lim -x- •� (lnx)'

3 ln(e x + x)] 3 2 2 [ l-Jx . Jx 9. lim +x +x+l +x+ 6 13

X

x- +oo

1370. lim [(x +a)l • llx -x l • 1/(x>aij. x- +oo

1371. Najděte lim

2, jestliže křivka y =fix) prochází pro x - O počátkem soustavy

x-0 X

souřadnic (0,0) (lim/(x) =fi0) =0) pod úhlem a. x-0

1372. Dokažte, že pokud graf spojité funkce y =f(x) prochází pro x, O počátkem

soustavy souřadnic (limfix)= O) a pro O< x < e je celý uvnitř ostrého úhlu x,O sevřeného přímkami y = -kx a y =kx (k*�), pak lim x flx) = 1. x,O 1373. Dokažte, že jestliže funkce fix) má druhou derivaci J' 1(x), pak J'1 =lim fix +h) +fix2-h)-2/(x). h-0 h 1373.1 Vyšetřete, zda je následující funkce diferencovatelná v bodě x =O: (x)

fix)=

l_!:_-+ x

pro X*O, e -I -1 prox = 0. 2 I •x

1373.2 Najděte asymptotu křivky y = x (x >O). (l+x)' 1374. Vyšetřete, zda se dá některé l'Hospitalovo pravidlo použít k výpočtu následujících limit:

s1n-l X a)lirn--­ smx x-0 x

•.

d) lim

2 .

x -smx b) lim x-oo x + s1nx

1 +x + sinxcosx (x+sinxcosx)e sinx

. e -2x(cosx + 2sinx) +e -x'sin2x ) 1lffi ----------x-•� e-x(cosx+sinx)

-C

_____,;."""""_..""""'_______,,,,,_=-··· x- 00

L.

TI DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PAOMl:NNÉ

1375. Najděte limitu podílu obsahu kruhové úseče s tětivou délky b a výškou h a obsahu rovnoramenného trojúhelníka, který je do úseče vepsaný, jestliže se délka oblouku příslušné části kružnice při konstantním poloměru R blíží nule. Pomocí získaného vztahu odvoďte přibližný vzorec pro obsah kruhové úseče ve tvaru 2 Sz-bh. 3 ! I

§ 10. Taylorova věta

i

I

L LOKÁLNÍ TAYLOROVA VĚTA.Jestliže funkce /(x) l)je definována na nějakém okolí I x -x0 I < E

lii bodu x 0 ; 2) má v tomto okolí derivace f'(x), ... ,f" - 'l(x) do řádu n-1 včetně; 3) v bodě x0 má

I

I

derivaci n-tého řádu f"l(x0). pak

J( x) =

kde

"

L a,(x-xoJ' +o(x -x )",

k=O

0

(I)

.f'\xo)

a, = � (k = O,l, ... ,n).

Speciálně pro x 0 = O dostaneme

J(x) =

" 111•>(0) L --x • +o(x "). k =0 k!

(2)

Vyjádření (1) je za uvedených podmínek jednoznačné.

I

Jestliže v bodě x0 existuje derivace f11 + 1\x0), pak je možné vyjádřit zbytkový člen ve vzorci (I) ve tvaru O'((x-x0)"'1).

Pomocí lokální Taylorovy věty (2) je možné odvodit pět následujících důležitých rozvojů: 11 X x2 � e =l +x+-+ ... +-+o(x 11). I. nl 2!

I

�; , ::."

Ij -

• §

II. III.

N.

sinx = x-�+ ... +(-1)" 1 x -l +o(x 2"). (2n-l)! 3! 2n

x2n ·

x2 cosx = l--+ ... +(-l) "--+o(x 2n„i ). (2n)! 2, (1 +x)'" = 1 +mx+ m(m l\2 + ... + m(m-1) ... (m-n+ l):X' n +o(x n). 21 n!

2. TAYLOROVA VĚTA. Jestliže funkce fix) l)je definována na uzavřeném intervalu [a,b]; 2) má na tomto intervalu -spojité derivace f1(x), ... ,fn - ll(x); 3) pro a (a+fJ(x-a))(x-a)" (OO); R (R+x)2

b) � l+x_� 1-x ; 1-x 1 +x

DIFERENCIÁLNÍ POCET FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMÉNNÉ

d)

l,

ln2

ln(l+�) 101 1412. Považujte absolutní hodnotu x za malou veličinu a odvoďte přibližný tvar vztahu x = a sinx + P tgx s přesností do členu s x 5• Použijte tento vztah pro přibližný výpočet délky oblouku s malým úhlem. 1413. Odhadněte relativní chybu Čebyševova vzorce: délka kruhového oblouku se přibližně rovná součtu délek ramen rovnoramenného trojúhelníka sestrojeného na tětivě tohoto oblouku, který má s výšku rovnou ✓413 výšky kruhové úseče. § 11. Extrémy funkce. Maximální a minimální hodnoty funkce

li

I

1. NUTNÁ PODMÍNKA EXISTENCE EXTRÉMU. Řekneme, že funkce j(x) má v bodě x 0 extrém (maximum, resp. minimum),je-li definována v oboustranném okolí bodu x 0 af(x)f(x )) pro všechny body x z množiny O < x -x 0 < 0 Jestliže v bodě extrému existuje derivace, pak pro ni platí /'(x0) =O.

I Prr.mípravidlo.Jestliže I) funkce f(x) je

I

I o.

I

2. POSTAČUJÍCÍ PODMÍNKA EXISTENCE EXTRÉMU. definovaná

a spojitá na nějakém okolí I x -x0 I < o bodu x 0, pro který platí /(x0) =O nebo ve kterém derivace neexistuje (krilický bod); 2) f(x) má konečnou derivaci J'(x) na množině O< x-x 0 < O; 3) derivace J'(x) má konstantní znaménko ; vlevo od bodu x0 a vpravo od bodu x0, pak je vztah funkce f(x) k extrému charakterizován přehledem v následující tabulce:

I

I

I

Znaménko derivace .

I

II I !

li lil

IV

Tvrzení

f' (x)

xx0

+ +

+

v bodě není extrém maximum minimum v bodě není extrém

-

-

+ -

Druhépravidlo. Jestliže funkce fix) má d ruhou derivaci f11(x) a v některém bodě x 0 jsou splněny podmínky f'0. _ Tfetí pravidlo. Nechť má funkce fix) na nějakém intervalu x -x0 < o derivace ['(x), ... ,f-" · 11(x) a v bodě x0 derivaci

--

f"\x0), pňčemž platí

J"l(x0)=0(k=l, ... ,n-l),

I

I

f'"1(x ),0. 0

§ 11, EXTRÉMY FUNKCE. MAXIMÁLNÍ A MINIMÁLNÍ HODNOTY FUNKCE

V takovém případě: l)jestližeje n sudé číslo, pak v bodě x0 má funkce fix) extrém a to: maximum, n je•li f )(x0) O). a

1 ·:1

!"

1511. y =Ji-e -x',

1509.1 y =e -2x sin2x.

1 -x 2 1520. y =arccos--. 1 +x 2 1522. y =2Jx' • l -.,/Ti.

'i,:'eJ'1i I .' '·I i

f!"f,'1

1509. y =x 213e -x. ť 1510. y =--. I +x lnx 1512. y=- .

1518. y =x arctgx.

J :c\! !' :

-

1508. y =x +e-x _

1516. y =x +arctgx _

;\,: ' 1:.1:· 1'

j

sinx 2 +cosx 1506. y = e 2x-x'. 1504.1 y

x 2 -3x+2 1523.* y =ln---­ x2+ 1

1-x 1525. y =arccos--. l -2x 1527.* y =x l/x 1529.* y=x( 1 +; r

(x>0).

2

1/(1 -x )

1530.• y - e 1 +x 2

(bez

vyšetřování'konvexity a konkávnosti).

Sestrojte křivky, které jsou zadány parametrickým popisem: 2 ( -!) 2 1531.x= (t+l) ,y t l532.x=2t-t2,y=3t�t3•

i

4

2

t t 1533.• x = --, y =--. 2 t-1 1 -1

'

'' 1

1535. x = t+e-', y=2t+e-2'.

/

i

4

:

: .

'!

\

..;...

t2 1 1534. x = --, y =--­ 2 l- t l +t 2

--

1536. x=acos2t, y=acos3t (a>0).

§ 13. ÚLOHY NA MAXIMUM A MINIMUM FUNKCE

• 4 1537. x =cos4 t, y =sm t.

1538.

a

3 1539. x=- -,y=atg t (a>O). 3 cos t 1540. x=a(sinht-t),y=a(cosht-1) (a>O).

X

!nt

=t Jnt, J =-. t

Parametrizujt e následující křivky a sestrojte je: 3 3 1541. x +y -3axy =0 (a> O). NÁVOD. Položte y =lx.

1544. x Y=y x (x>O,y>O).

1542. x 2 +y 2 =x 4 +y 4 . 1545. Sestrojte graf funkce cosh2x-cosh2y =I.

Sestrojte grafy následujících funkcí, které jsou zadány v polárních souřadnicích (q,,r), (r�O): 1547. r =asin3q, (a>O). 1546. r=a+bcosq> (OO). 1549. • r =a cp, kde q> > 1 (a> O). Jcos3q> cp-1 r-1 1550.• q> = arccos -. 2 T

Sestrojte grafy následujících tříd křivek (a je proměnný parametr): '

1551. y =x 2 -2x +a.

a2

1552. y =x +-. X

1555. y=xe

-x/a.

§ 13. Úlohy na maximum a minimum funkce 1?56. Dokažte, že je-li funkce /(x) nezáporná, pak má funkce F(x) =C/2(x) (C> O) přesně tytéž extremální body jako funkce fix). 1557. Dokažte,.žeje-li funkce cp(x) ostře rostoucí pro - O, n >O) dvou kladných čísel, jejichž součet je konstantní a roven a. 1'559:Najděte nejmenší hodnotu součtu m:té a n-té mocniny (m> O, n > O) dvou kladných čísel, jejichž součin je konstantní a roven a. 00

--

00,

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCi JEDNÉ REÁLNÉ PROM�NNĚ

1560. Pro jaké základy logaritmů existuje číslo, které je rovno svému logaritmu? 1561. Ze všech obdélníků daného obsahu S určete ten,jehož obvod je nejmenší. 1562. Ze všech pravoúhlých trojúhelníků s daným součtem délek přepony a od­ věsny určete ten, jehož obsah je maximální. 1563. Pro jaký poloměr a výšku bude mít uzavřená válcová nádoba daného obje­ mu V nejmenší povrch? 1564. Do dané kruhové úseče, která není větší než půlkruh, vepište obdélník ma­ ximálního obsahu. 2

2

1565. Do elipsy .:__ + L = 1 vepište obdélník,jehož strany jsou rovnoběžné s osa-

a 2 b2 mi elipsy a který má maximální obsah. 1566. Do trojúhelníka o základně délky b a výšce h vepište obdélník s maxi­ málním obvodem. Proveďte diskusi řešitelnosti této úlohy. 1567. Tyč kruhového průřezu o průměru d je ořezána na hranol o obdélníkovém průřezu se základnou délky b a výškou h. Pro jaké velikosti základny a výšky bude mít výsledná tyč největší pevnost, jestliže je pevnost úměrná bh 2 ? 1568. Do polokoule o poloměru R vepište kvádr s čtvercovou podstavou a maxi­ málním objemem. 1569. Do koule o poloměru R vepište válec s maximálním objemem. 1570. Do koule o poloměru R vepište válec s maximálním povrchem. 1571. Dané kouli opište kužel s minimálním objemem. 1572.Jaký je maximální objem kužele s danou délkou pláště I .. 1573. Do kuželu s úhlem 2a v osovém řezu u vrcholu a poloměrem podstavy R vepište válec s maximálním povrchem. 1574. Najděte nejmenší vzdálenost daného bodu (p,p) od paraboly y 2 = 2px. 2 2 1575. Najděte nejkratší a nejdelší vzdálenost bodu (2, O) od kružnice x +y =I. 2

2

bodem 1576. Najděte nejdelší sečnu elipsy .:__ + L = 1 (O< b mezi bočními stěnami a vodorovnou rovinou bude mokrá část obvodu průřezu kanálu minimální? 1580. Křivolakostí uzavřeného obrazce o ploše S se nazývá poměr jeho obvodu a délky kružnice vymezující kruh o stejném obsahu S. Jaká je výška rovnora­ menného lichoběžníka ABCD (AD li BC), který má minimální křivolakost, je-li délk a jeho základny AD= 2a a má-li ostrý úhel velikosti k železnici je potřeba postavit vlečku, aby náklady na dopravu zboží z továrny do města byly minimální, jestliže náklady na přepravu jedné tuny zboží na vzdálenost I km jsou na vlečce p, na železnici q, (p > q) a město B se nachází b km severně od továrny A? 1583. Dvě lodě plují konstantními rychlostmi u a v po přímých trasách, které spolu svírají úhel 0. Určete nejmenší vzdálenost, na kterou se sobě přiblíží,jestli­ že v určitý okamžik byly vzdáleny od průsečíku tras po řadě a a b. 1584. V bodech A a B se nacházejí zdroje světla o svítivostech S I a S2 . Najděte nejméně osvětlený bod M na úsečce AB o délce a. 1585. Bodový zdroj světla je umístěn na spojnici středů dvou neprotínajících se koulí o poloměrech R a r (R> r), přičemž leží vně obou koulí. Při jaké poloze zdroje bude součet osvětlených částí obou koulí největší? 1586. V jaké výšce nad středem kruhového stolu o poloměru a je zapotřebí umístit elektrické svítidlo, aby osvětlení okraje stolu bylo maximálně jasné? NÁPOVĚDA: Jasnost osvětleníje dána vzorcem l=k

sm

je úhel sklonu paprsků, r je vzdálenost světelného zdroje od osvětlovaného místa a k je svítivost zdroje.

1587. Kolmo k řece o šířce a m je přiveden kanál o šířce b m. Jakou maximální délku může mít kláda, která se dá splavit z řeky do tohoto kanálu? 1588. Denní náklady na plavbu lodi se skládají ze dvou částí: konstantní, která je rovna a a proměnné, která se zvětšuje úměrně třetí mocnině rychlosti. Pro jakou rychlost v lodi bude plavba nejekonomičtější? 1589. Břemeno o hmotnosti P, které leží na vodorovné drsné rovině, je třeba zdvihnout s použitím určité síly. Pro jaký sklon této síly vzhledem k vodorovné rovině bude její velikost nejmenší, jestliže koeficient tření břemene je k? 1590. Najděte rovnovážnou polohu kolíku délky I vloženého do misky tvaru po­ lokoule o poloměru a, je-li l > 2a.

r

' DIFERENCIÁLNÍ POČ:ET FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMi;:NNÉ

§ 14. Dotyky křivek. Oskulační kružnice (kružnice křivosti). Evoluta

i 1. DoTYK n-TÉHO ŘÁDU. Řekneme, že dvě křivky

• !J

I

i mají v bodě x

f

0

y=q,(x) aj=ljr(x)

ootyk n-tého řádu (v ostrém smyslu!), jestliže platí q,(,•ll(x0)•1jr('' 1 \x

0

).

V tomto případě je pro x-x0

q,(x)-ljr(x)=O'[x-x0]"1.

i 2. OSKULAČNÍ KRUŽNICE (KRUŽNICE KŘIVOSTI). Kružnice ( x-�)2+(y-TJ2)=R2, �

i

která má s danou křivkou y =f(x) dotyk alespoň druhého řádu, se nazývá oskulační kružnicí

� v odpovídajícím bodě. Poloměr této kružnice 1 2 312 R (l+(y))

!

I

I

I

11

IY 1

se nazývá poloměrem křivosti a hodnota k=.! se nazývá křivostí.

R

i 3. EVOLUTA. Geometrické místo středů oskulačních kružnic (�, rl) (středy křivosti) l+(y 1)2 /(l+(y 1)2) �=x "----"-"---'--'- Y]=y+--I

1

m se nazývá evolutou dané křivky y=J(x).

�

y"

,

y"

1591- Najděte parametry k a b přímky y =kx +b tak, aby měla s křivkou y =x 3 -3x 2 + 2 dotyk řádu většího než prvního. 1592. Pro jaké koeficienty a, b a c má parabola y =ax 2 +bx +c

v bodě x =x0 dotyk druhého řádu s křivkou y =e x ? 1593.Jaký řád dotyku s osou x mají v bodě x =O následující křivky: 2

c) y =ť-( l +x + x ). 2 ' tfx 1594. Dokažte, že křivka y =e pro x * O a y = O pro x = O má v bodě x = O s osou x dotyk nekonečně velkého řádu. 1595. Vypočtěte poloměr a střed křivosti hyperboly xy = l v bodě: a) ( I, I); b) (100;0,0l). a) y = 1-cosx;

b) y =tgx -sinx;

Určete poloměry křivosti následujících křivek: 1596. Paraboly y 2 =2px. 1597. Elipsy

--

x2 y2 -+-=I a 2 b2

(a�b>O).

§ 15. PŘIBU!NÉ ŘEŠENI ROVNIC

2

2

y 1599. Astroidy x 213 +y 213 =a 213• 1598. Hyperboly -2 - - = I. a b2 1600. Elipsy x =acost, y =bsint. 1601. Cykloidy x=a (t- sint), y =a (1- cost). 1602. Evolventy kružnice x =a(cost +tsint), y =a(sint-tcost). 1603. Dokažte, že poloměr křivosti křivky druhého řádu y 2 = 2px -qx 2 je úměrný třetí mocnině úseku její normály. 1604. Vyjádřete poloměr křivosti křivky zadané v polárních souřadnicích. X

Určete poloměry křivosti následujících křivek zadaných v polárních souřadnicích (s kladnými parametry): 1606. Logaritmické spirály r =ae m�. 1605. Archimedovy spirály r =acp. 1608. Lemniskaty r 2 =a 2 cos2cp. 1607. Kardioidy r =a(l +cosq>). 1609. Najděte na křivce y =1nx bod, v němž je křivost maximální. 1610. Maximální křivost kubické paraboly y = kx . 6

3

(O� x < +

00,

k> O) je rovna

1 - -. Najděte bod x, ve kterém je dosaženo této křivosti. 1000

Napište rovnice následujících křivek: 1611. Evoluty paraboly y 2 = 2px.

1613. Evoluty astroidy x 213 +y 213 =a 213•

X2

J2

a2

b2

1612. Evoluty elipsy - +- = I.

✓

2

2

C'l7 a+ a -y 1614. Evoluty křivky traktrix x =aln-�-� -ya 2 -y 2 .

y

1615. Evoluty logaritmické spirály r =ae "' �. 1616. Dokažte, že evoluta cykloidy x =a(t - sint), y =a(l -cost)

je také cykloida, která se od původní cykloidy liší pouze pozicí. § 15. Přibližné řešení rovnic

11. ME?'°DAREGULAFALSI (METODASEČEN).Je-h funkce f{x) spojitá na uzavřeném intervalu [a,b] 1•plau-h

J(a)J(b) O 2 ' f tf.x

1 x -=--arcsin Y +C pro aO;

2) Jax 2 +bx +c =xz ± /c,je-li c> O; 3) Ja(x - x1 )(x -x2 ) =z( x -x 1 ) 1966.

f

1968.

Jx Jx

vypočtěte následující integrály: d:,.:

1967. --;== =;.

�2x+2dx.

1969. f x -Jx 2 +3x + 2 dx.

x+Jx 2 +x+l 2

1970. lr--;:: d:,.:=:=;:;

fl +Jl-2x-x d:,.:

x+Jx 2 +3x+2

[1 + ✓x(l +x)f

Různými postupy vypočtěte následující integrály: 1971.

dx -----.

f �-�

1973. I

f

(l-x 3 )Jl-x 2

d:,.:

1977.

f

✓x(x + I) dx. ..fx+ ✓x+l 2 (x + l)d:,.:

xdx

1972. -----.

. . .... ,/2 +Fx +_✓1 +:x . 1975. I

2

1976.

f

(x 2 - l)dx

4 2 (x +l)Jx + l

(x 2 -l)Jx 4 +1

1979 f (x 2 + l)dx . . : ' x-Vx 4 +x 2 +1. -1980. Dokažte, že integrál

fR(x, ✓ax+b, ✓cx+d)dx,

kde R je racionální lomená funkce, lze převést na integrál racionální lomené funkce.

§ 4. INTEGROVÁNÍ GONIOMETRICKYCH FUNKCÍ

Integrál diferenciálnílw binomu

JxP(a+bx')'dx, kde p, q a r jsou racionální čísla, lze převést na integraci racionálních lomených funkcí pouze v následujících třech případech (Čel,yfrvova vlta): I.je-lir celé číslo, použijeme substituci x =z n , kde n je společný jmenovatel zlomků p a q. 1 2. Je-li P + celé číslo, použijeme substituci a +bx q =z n , kde n jejmenovatel zlomku r.

q

3.Je-li p + I +r celé číslo, použijeme substituci ax -q +b =z n , kde n je jmenovatel zlomku r.

q

Pro q = l jsou tyto podmínky ekvivalentní podmínkám: l) r je celé číslo; 2) p je celé číslo; 3) p +r je celé číslo.

Vypočtěte následující integrály: 198t.[Jx 3 +x 4 dx.

1982-f 1985.

1987. f

X

6

dx

Ji

6 +X

!

.[x dx. (1 + ✓xr

3

dx

J1 +x

1988.f x3

1990. V jakých případech je integrál

3

R

xdx 1983. f---.

Ji.3,p

1986.

4

. f� dx

1 +­ x

f�dx.

kde p je racionální číslo, elementární funkcí?

§ 4. Integrování goniometrických funkcí

I

Integrál funkcí tvaru f sinmx cos" xdx, kde m a n jsou celá čísla, lze vypočíst pomocí vhodných transformaó nebo převodem na výrazy s nižšími mocninami.

Vypočtěte následující integrály: 1992. fsin6 xdx. 1991. J cos5 xdx. 1994. sin2 x cos4 xdx. 1995. f sin4 x cos 5 xdx.

J

1993. 1996.

J cos xdx. 6

f sin5 x cos5 xdx.

] !' '

NEURČITY INTEGRÁL

I

!

I 1 I

I

i.

L., ....

f

199 7.

f

3 s.m x x. d cos 4x

1998. 2001.

2000. _!=_· cos3 x 2003. 2006. 2009.

f

f

dx sinx cos4 x

2004.

4

f f

cos4x dx. sin3x 4

dx

4

sin x cos x

f tg 5 xdx.

2007. f

✓tgx

2010. f dx 3 ✓tgx

2002. 2005.

dx 3 ✓sin x cos5 x

sin x dx. cos6 x

I_:!:._-

1999.

2008.

2011. Odvoďte rekurentní vztahy pro integrály a) I.= f sin•xdx; · b) Kn = f cos"xdx (n > 2) a pomocí nich vypočtěte integrály f sin6 xdx a f cos8 xdx 2012. Odvoďte rekurentní vztahy pro integrály

=f__!!:._;

•=f_!=_

f__!!:._· f f f

sin3 x

dx sin x cos5 x 3

cotg 6 xdx.

dx · 3 cosx Jsin2 x

.

a) I , b) K (n > 2). n cosnx n :' sinn x a pomocí nich vypočtěte integrály

f si�x a f c::;x. Následující integrály se vypočtou s použitím těchto vztahů:

I. sin«sinp =¾[cos(« -P)-cos(« •P)].

I

II. cos «cos P =2[cos(«-P) +cos(« + P ll. III. sin ,xcos P =¾[sin(« -P) +sin(«+ P)J.

Vypočtěte následající integrály: 2013. fsin5x cos�dx. 2015. f sinx sin; sin idx.

2014. fcosx cos2xcos3xdx.

2016. f sinx sin (x +a) sin (x +b)dx.

§ 4. INTEGROVÁNi GONIOMETRICKÝCH FUNKCÍ

2018. Jsin3 2x cos2 3xdx.

2 2 2017. Jcos ax cos bxdx.

Následující integrály se vypočtou pomocí rovností: sin(a -P) = sin[(x + a) -(x +P)l cos(a -P) =cos[(x +a)-(x + Pll.

t te násl ící integrály: Vypoč ě e!uj 2019. f ------· sin(x +a)sin(x +b) 2021.

_

2023.

f f

2022. f

dx

cos(x +a)cos(x +b)

dx -

cosx +cosa

2020. f

2024.

.

'lntCgTáI"ý tvaru

dx sin(x +a)cos(x +b) dx

s1nx -s1na

J tgx tg(x +a)dx.

fR(sinx,cosx)dx,

kde R je racionální lomená funkce, lze obecně převést na integrály racionálních lomených funkcí

. porno□, subslltuce tg- =t. X

2

a)Jestliže platí rovnost nebo

R(-sinx, cpsx),=R (sinx,cosx)

R(sinx, -cosx) = -R(sinx,cosx), pak lze výhodriě použít substituci cosx =t, respek,tive sinx =t. b) Jestliže platí rovnost R(-sinx, -cosx) =R(sinx,cosx), pak lze použít substituci tgx =t.

Vypočtěte následující integrá.ly: 2025. f 2027. f

dx 2sinx -cosx +5

sin2 x dx sinx + 2 cosx

2 2029. f sin x dx. I+ sin2 x

2026. 2028.

--

f f

dx (2 + cosx) sinx

dx ; a)0 O) konvergují pro p >O.

xP

5. INTEGRÁL VE SMYSLU HLAVNÍ HODNOTY. Jestliže funkce /(x) je taková, že pro každé E > 0 b c-c existují vlastní integrály f(x)dx a J f(x)dx (a O). o

Pomocí rekurentního vztahu vypočtěte hodnoty následujících nevlastních inte­ grálů (n je přirozené číslo):

..

2348. I.= f x•e-'dx. o

dx 2349. I.=f•• · _ (ax 2 +2bx _ I

2351. /n =f

O

2353. a)

X

/(1 -x)(l +x) b)

2350. In =f

dx x(x+l) ... (x+n)

dx 2352. In =f•· . coshn+lx

•dx

f ln sinxdx; o

(ac-b 2 >0}.

..

n/2

f lncosxdx. o

nx - cosx I 2354. Vypočtěte integrál Je -x/2 I si dx, kde E je množina těch hodnot x Jsinx E z intervalu (O, +oo), pro které má integrovaný výraz smysl.

t(

2355. Dokažte rovnost J ax +�) dx =± JJ(Jx 2 +4ab)dx, kde a >O a b> O, o o ,' za předpokladu, že výraz na levé straně rovnosti má smysl.

2356. Střední hodnotou fankce J(x) na intervalu (O, + 00) nazýváme číslo 1 X M(f) = lim- fJ(�)d�. x-+ooX O

--

,Vypočtěte střední hodnoty následujících funkcí: a) /(x)=sin 2x+cos2 (x/2); b) /(x)=arctgx; c) f(x)=,{xsinx.

23 57. Vypočtěte následující limity s nevlastními integrály: X

f�dt b) lim _o___

1

co a) lim xf :t dt; x-0

x

x- O) a y =0 vzhledem k osám x a y. Čemu se rovnají poloměry setrvačnosti r x a ry, to jest veličiny určené vztahy 2

2

I =Sr, , 1 =Sr , , , 1

kde S je plocha této úseče? 2503. Vypočtěte momenty setrvačnosti homogenní eliptické destičky s poloosami o velikostech a a b vzhledem k jejím hlavním osám (Q = 1). 2504. Vypočtěte statický moment a moment setrvačnosti homogenního kru­ hového kužele s poloměrem základny r a výškou h vzhledem k rovině jeho podstavy (Q = 1). 2504.1 Vypočtěte moment setrvačnosti homogenní koule o poloměru R a hmot­ nosti M vzhledem k jejímu průměru. 2505. Dokažte první Guldinovu větu: povrch tělesa, které vznik.lo rotací rovinné křivky C kolem osy, která ji neprotíná a která leží v rovině této křivky, se rovná součinu její délky a délky kružnice opisované těžištěm křivky C. 2506. Dokažte druhou Guldinovu větu: objem tělesa, které vzniklo rotací rovinné plochy S kolem osy, která ji neprotíná a která leží v rovině této plochy, se rovná součinu obsahu plochy S a délky kružnice opisované těžištěm této plochy. 2507. Určete souřadnice těžiště kruhového oblouku zadaného rovnicemi x = a cosq>, y=asinq> (lqil sas1t}. 2508. Určete souřadnice těžiště plochy vymezené parabolami ax = y 2, ay =x 2 (a>O). 2

2.2

2509. Určete souřadnice těžiště plochy .=_ + s 1 (O ,;x s a, O ,;y,; b). a 2 b2510. Určete souřadnice těžiště homogenní polokoule o poloměru a. 2511. Určete souřadnice těžiště (q>0 , r0) části logaritmické spirály r =ae "'• (m > O) od bodu (-=, O) k bodu (q>, r) .Jakou křivku opisuje bod (q>O' r0 ) při pohybu bodu (q>,r)? 2512. Určete souřadnice těžiště plochy vymezené křivkou r = a(l +cosq>). 2513. Určete souřadnice těžiště plochy, která je vymezena prvním obloukem cykloidy x=a(t-sint), y=a(l-cost) (O,;t,;21t) a osou x. 2514. Určete souřadnice těžiště tělesa vzniklého rotací plochy O ,;x ,;a, y 2 s 2px kolem osy x. 2515. Určete souřadnice těžiště polosféry x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (z:e: O).

--

------------------------------· .•-?""'

§ 10. ÚLOHY Z MECHANIKY A FYZIKY

§i.IO. Úlohy z mechaniky a fyziky Řešte následující úlohy sestavením odpovídajících integrálních součtů a vypočte­ núnjejich limit. 25 16, Určete hmotnost tyče délky l = 10 m, jestliže se její hustota mění podle vztahu li =6 +0,3x kg/m, kde x je vzdálenost od jednoho konce tyče. !517. Vypočtěte velikost práce, která se vykoná zvednutím tělesa o hmotnosti rn i povrchu Země o poloměru R do výšky h. Jaká bude velikost této práce, jestliže těleso vzdálí do nekonečna? Vypočtěte velikost práce, která se vykoná roztažením pružiny o 1 O cm, 18. 25 jestliže se silou 1 N roztáhne o 1 cm.

st

:trf�VQU: Použijte Hookův zákon.

%519. ,,.,,,, Válec o průměru 20 cm a výšce 80 cm je naplněn parou pod tlakem 1 O kPa. -�-rpočtěte práci potřebnou k zmenšení objemu páry na polovinu při konstantní teplotě. 2520. Vypočtěte sílu, kterou působí voda na kolmou stěnu tvaru půlkruhu o polo­ měru a, který má průměr v úrovni vodní hladiny. 2521. Vypočtěte sílu, kterou působí voda na kolmou stěnu tvaru lichoběžníka o spodní základně délky a = I O m, horní základně délky b = 6 m a o výšce h = 5 m, je,li spodní základna c =20 m pod úrovní vodní hladiny.. Řešte následující úlohy sestavením a řešením příslušných diferenciálních rovnic: 2522. Rychlost hmotného bodu se mění podle vztahu v =v0 +at. Jakou dráhu urazí tento bod během časového intervalu [O, TJ? 2523. Homogenní koule o poloměru R a hustotě o rotuje kolem svého průměru úhlovou rychlostí w. Určete kinetickou energii koule. 2524.Jakou silou přitahuje hmotná přímka s konstantní hustotou µ,0 hmotný bod o hmotnosti rn, který se nalézá ve vzdálenosti a od této přímky? 2525. Vypočtěte sílu, kterou přitahuje homogenní kruhová destička o poloměru a a konstantní plošné hustotě 110 hmotný bod P o hmotnosti rn, který je umístěn na přímce procházejícíjejím středem Q, kolmé k rovině kruhu.je-li vzdálenost PQ tohoto bodu od středu kruhu rovna b . 2526. Podle Toricelliho zákona je rychlost vytékání kapaliny z nádoby rovna v •cJ2gh, kde g je gravitační zrychlení, h je výška hladiny kapaliny nad výto­ kovým otvorem a c = 0,6 je empiricky určený koeficient. Kdy se vyprázdní naplněná a kolmo postavená válcová nádoba o průměru základny D = I m, výšce H =2 m, ze které vytéká tekutina otvorem o průměru d = I cm ve dně?

U RCITY INTEGRÁL

i

I i ť : \. i

'I 1

\j :li. '' ''

2527. Jaký tvar musí mít rotačně symetrická nádoba, aby snižování hludiny kapaliny při vytékání z ní bylo rovnoměrné? 2528. Rychlost radioaktivního rozpadu radia je v každém okamžiku úměrná jeho okamžitému množství. Najděte zákon radioaktivního rozpadu radia, jestliže na počátku rozpadu v čas,e .t = O bylo jeho množství '2i, a během doby T = 1600 let se jeho množství zmenší na polovinu. 2529. V případě procesu druhého řádu je rychlost chemické reakce, která mění látku A na látku B, úměrná součinu koncentrací těchto látek. Vypočtěte procentuální množství látky B v reakční směsi v čase t = I h, jestliže v čase t = O bylo ve směsi 20% látky B a v čase t = 15min bylo ve směsi této látky 80%. 2530. Podle Hookova zákona je relativní prodloužení tyče e úměrné napětí síly o v jejím příslušném průřezu, tj. platí e=o/E, kde E je Youngův modul v tahu, Vypočtěte prodloužení namáhaného tělesa tvaru kužele upevněného základnou a obráceného vrcholem-směrem dolu, jestliže jeho základna má poloměr R, výška kužele je H a jeho hustota y.

§ 11. Přibližné metody výpočtu určitých integrálů

I

Í

t,

If I

I

I

1. OBDÉLNÍKOVÉ PRAVIDLO�Jestliže funkce y =y(x) je spojitá a má derivace dostatečně vysokých

( ) řádů na omezeném uzavřeném intervalu [a,b] ah=b-a,x.=a+ih (i=O,l, ... ,n),yI.=� � x.I ,pak , ,, · n I · fy(x)dx=h(y0 + y 1 + ... •y._ 1 )+R,, a

kde

R,= (b- )hy'm (a0), paka.=o��),kde q1 >q.

· %591.1 Nechť pró řadu Ean (a.> O), která má všechny členy kladné,je splněna n:l a + nerovnost : I ,; Q < 1 pro n ;,n0• Dokažte, že pro zbytekřady R. =a.+ 1 +a.+ 2 + ... platí odhad

n -n0 + 1

R ,;a _Q__ pro n ;,n 0• •o 1 -Q n

2591.2 Kolik členů řady

L [�2:::;it

,kde (2n)!!=2·4 ...2n,stačí vzít,abyse od-

n=I

s. se lišil od součtu S této řady o méně než e = 10-6 ?

.povídající částečný součet .

_a

I

2592. Dokažte, že je-li lim ...č:.:'._ =q < 1 (a.> 0), pa kje řada � Lan konvergentní. n-oo

an

n"'l

Opačné tvrzení neplatí. Uvažujte případ 1 1 1 I

-+-+-+-+-+-+ ... 2 3 22 32 23 33

2593. Dokažte, že existuje-li pro řadu

I

1

L a. (a.> O) limita

n "' I

(I)

KNIHOVNA MAT.-FYZ. FAKULTY Matematické �83

186 75 Praha 8

ŘADY

pak existuje také limita

I:

I

(2)

Opačné tvrzení neplatí:jestliže existuje limita (2), pak limita (I) nemusí existovat. Uvažujte případ • �3+(-1)"

Í-J

n=1

2n +

l

•

2594. Dokažte, že je-li lim { O b>O d> O). b b(b+d) b(b+d)(b+2d) ' � ! n ťp /nf \' --. 2600. + nn 260 L (2 + .;r)(2 + /2) ... (2 + ,/n)

L L L. L. .

n

2602.

n

2604.

"'

=

L

1

l

n!n-P (q >O). q(q+l) ... (q+n) [

n=I

2605.

-L

n =1

[

2603.

n= I

I p(p+l) ... (p+n-1) ·-· n! . nq

1·3·5 ... (2n-l) P I ] ·-. . nq 2·4·6 ... (2n)

-

p(p+l) ... (p+n-1) " ] (p>O,q > O). q (q + I) ... (q +n - I)

n l ----------------------"""'=---=

§ 1. ČiSELNÉ ŘADY. KRITÉRIA KONVERGENCE r.tAD S KONSTANTNÍM ZNAMÉNKEM

(1)

2606. Dokažte, že platí-li pro řadu

L

a (a.> O) s kla dnými členy pro n n•l .

a. p •• , = 1 +-:;;,- +o -:;;: p k a , : =o -l' n ( ) nP~t: kde E > O je libovolně malé číslo. Přitom, je-li p >O, pak an , O pro n ' (tj. a. pro n� n0 ostře klesá k nule).

podmínka

00

00

Stanovením řádu klesání členů a. vyšetřete konvergenci řady I:a.,je-li: n= I

ť&09. an =({,,+I -[ri)P ln n - l (n > 1). n+I

i�n.

2610. a. =l nP (sec:).

a. =logb " ( 1 + "-:) (a> 0, b> O).

2613. a .

n

=

1 n I +k/lm1

1 2614. an =--.

---

nl+l/n

26.14,l Dokažte následující kritérium konvergence řad: řada �J,_,

· · ·

La

n=I

n

s kladnými

členy je konvergentní, platí-li .. --�-L,; '. aje divergentní, platí-li

ra)

( 1-" _!!__ �P > 1 pro n >no , y-. Inn

ra)

( 1-" _!!__ $ 1 pro n >no . y-. Inn

%615. Dokažte, že řad a

L a.

n=: l

(a > O) je ko nvergentní, existuje-li takové číslo .

I 1 lnlna ··--�-�-.>O, že --" � 1 +a pro n�n0 , aje divergentní, platí-li --" Inn Inn (logaritmické kritérium).

$ [

pro n�n0

ŘADY

Vyšetřete konvergenci řad s následujícími obecnými členy: I 2616. an =n1"x (x>0). 2617. a ---- (n> 1). n (ln lnn)lnn 1 2618. a --(n>l). (lnn)1"1""

i

Pomocí Cauchyova integrálního kritéria vyšetřete konvergenci řad s následujícími obecnými členy: I 1 2619. a --- (n> I). 2620. a (n >2). n n n ]nPn n (lnn)P (lnlnnt 2620.1 Vyšetřete konvergenci řady

. f' ln

'i

! 1 ,

ÍJ

n=l

ln2·ln3 ... ln(n+l) > O) (2+p)·ln(3+p) ... ln(n+l +p) (p

) 2620.2 Vyšetřete konvergenci řady E v�: , kde v(n) je počet cifer čísla n. 2620.3 Nechť

}..n

(n =

n= l

.

1, 2, ...) jsou po sobě jdoucí kladné kořeny rovnice tgx =x .

Vyšetřete konvergenci řady

L ')..:2 .

n=l

2621. Vyšetřete konvergenci řady

f'--1-. ÍJ 1n(n!)

n =2

L a. s kladnými a klesajícími členy konverguje nebo diverguje právě tehdy, konverguje-li nebo diverguje-li řada L 2" a •• 2622. Dokažte, že řada

n: I

n ::cO

2

L 00

2623. Nechť f(x) je kladná nerostoucí funkce. Dokažte, že jestliže řada f(n) ••1 konverguje, pak pro její zbytkový člen R.= platí odhad

L

k =n + l

f (k )

f f(x)dx

00

a) " L,,,, a n ± " L.,, b n =" L.,, (an ± bR ) •· n =I

•

n " L,,,,

n=I

n =l

•

bn =" L.,, cn , n.:l

cfl„ -a I bn +a2 bn-1 + ··· +an b I"

Rovnost a) má smysl tehdy,jsou-li obě řady

Ě a a Ě bn konvergentní, a rovnost b) má smysl,

n "-I

11

n =l

� jestliže je navíc alespoň jedna z těchto řad absolutně konvergentní. ;;

__________

�

________________

§ 3. OPERACE S MDAMI _;;_

¾706- Co můžeme říci o součtu dvou řad, a) je-li jedna z nich konvergentní :i druhá divergentní; b)jsou-li obě řady divergentní? %707. Najděte součet: ť' ..!_+i:..!2'.'. + [ 3" n3 ]

L

n=l

ť'[_l1 + (-1)"•' . 3

L

n=l

n

3" •

]

Najděte součty následujících řad: 1 (-1)" 7 2 08. " +�. 2

- r·í- [ l n=1

c::2709. -- --,---- 2710. . ,,

-

n=l

Lx

n=O

2n7l cos-3 2"

ln12ly[(n•l)l2]

2711. Dokažte, že �•.. ·_.,

(lxyl < 1) .

t' t' ( -�)" Ln.� · L n.

n=O

=

I.

n=O

i1�2. Dokažte, že (�q•r= � (n+l)q" (lql 1 a divergentní řadou pro a + P < 1 . 2715. Ověřte, že součin dvou divergentních řad

_____ ____________-� 1-t( ¾)" l+t( ¾)"-'( a

je řada absolutně konvergentní.

_.,;;..,.,.

1 2"+ n 2 ,, )

ŘADY

§ 4. Řady funkcí

I

!g 1. OBOR KONVERGENCE. Množinu X těch hodnot x, pro které je řa.da funkcí

I (

I

u1 (x) +u,(x) + ... +u, (x) + ...

konvergentní, nazveme oborem konvergence této řady a funkci

jejím součtem.

(I)

S(x)=limt u;(x) (xEX) n-,.,i�l

= 2. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE. Posloupnost funkcí I . Ji( x),J2(x), ... .f.(x), ... se nazývá stejnoměrně konvergentní na množině X, jestliže: „ 1) existuje limitní funkce J(x)=l imf.(x) (xEX);

1 1 I

= 2) ke každému t>O existuje číslo N=N(r,) takové, že 1 l{(x)-J.(x)I Na xEX. V tomto případě budeme zapisovat f. (x)�f(x). n-�

m

I II

!I

Řada funkcí (1) se nazývá stejnoměrně konvergentní na množině X, jestliže je na této množině stejnoměrně konvergentní posloupnost jejích částečných součtů

.

S,(x)=�u,(x) (n = l,2, ...).

Ii 3. BOlZANOVO-CAUCHYOVO KRITÉRIUM STEJNOMĚRNÉ KONVERGENCE.. Řada ( l )je na množině X

stejnoměrně konvergentní právě t�hdy, když k� každé�_u t>O existuje číslo N=N(e) takové, I že pro všechna n > N a p >O platí nerovnost

I-

iI :l

pro všechna x EX.

4. WEIERSTRASSOVO KRITÉRIUM. Řada (1) je absolutně a stejnoměrně konvergentní na množině X, existuje-li konvergentní číselná řada (2) c1+c2+ •.• +c11 + •••

taková,že lu.(x)l0).

n=1

x n +y "

Í• -- (y � O).

2734.

Í -ln('--! +x---'") (x �O).

2736. Ítg"(x+�).

n=1

x"

n=l

2735.

Í.

ti = l

(q> O; O< x < n).

nPsinnx

x"

{'- (n +x)" 2731. l,; n"" 2733.

Í"'

--2-·

. I:

t1"'

2723.

n:: l

n n+y

n'

t

n=:l

2 " x "2 + J1 l IYl" •

n=I

2737. Dokažte, že je-li Laurentova řada

L anx" konvergentní pro x =x

1

a pro

x =x2 (lx 1 I< lx2 1), pakje tato řada konvergentní také pro lx 1 1 < lxl < lx 2 12738. Určete obor konvergence l.aurentovy řady

r·

ti=_..,

1 x" r 27n

a najděte její součet. 2739. Určete obory konvergence a absolutní konvergence Newtonových řlul: a)

E.

x [ n}

1 b) n. ;

"E

I

x l n}

n. ; c) --; n -1

(ex)"y l"l , kde x 1•1=x(x-l)... [x-(n-l)]. nn

-

---------------------------""""n::ol

n::l

n"'I

,. _{:_------------�§_4._ŘA_DY_F_U_N_KC_i_____________

2 740- Dokažte, žeje-li Dirichletova řada _ řada konvergentní také pro x > x 0•

Í ::

n

=

konvergentní pro x =x0, pak.je tato

I

2741. Dokažte, že k tomu, aby na množině X daná posloupnost J,,(x) (n = 1, 2, ... ) . �iejnoměrně konvergovala ke své limitní funkci l(x),je nutné a stačí, aby platila rovnost ��{:�rrn (x)}=o, kde rn (x)=ll(x)-J,,(x)I. 2742. Co znamená, že je posloupnost ln (x) (n = 1, 2, ...) : a) konvergentní na intervalu (x0, +00); b) stejnoměrně konvergentní na každém omezeném intervalu (a, b)c(x0, +00); c) stejnoměrně konvergentní na intervalu (x0 , +00)? · :. 2743. Určete pro posloupnost ln (x) =x n (n = I, 2, ...) (O I). a• n::: I

2 n 2 ". 2819. f,(-1)"[ •( !) \ (2n+ I)! ]

:;,,

'l,:1i-.ť: :}( i;! 11•.1• I . ,

i[ 11·.

X .

x• -(a>O,b>O). = a n +b n

nw :

:;· �''. :h{

a•'·x" (O.sin ; , n =l

I

(4)

2fJ(x)sm. nnx -dx (n=0,1,2, ... ). b.= 1

1

1

Funkci /(x) definovanou na interv�u (O,l), která splňuje výše uvedené předpoklady spojitosti, lze rozvinout na tomto intervalu jak do tvaru (3), tak do tvaru (4). 2. PODMÍNKA ÚPLNOSTI. Pro každou funkci f(x). která je spolu se svou druhou mocninou integrovatelná na intervalu [-/,l], splňuje řada(!) s koeficienty (2), (2') Parsevalovu rovnost 2

I·i

= 0,1,2, ... );

ao

""

2

2

'

lf'

-+ L (a, +b,)=- f (x)dx. 2

n:I

/

-l

3. INTEGROVÁNÍ FOURIEROVÝCH ŘAD. Konvergentní nebo divergentní Fourierovu řadu (1) funkce f(x), která je na intetvalu(-l,l) riemannovsky integrovatelná, lze na tomto intervalu integrovat člen po členu.

§ 6. FOURIEROVY AADY

4 2936. Rozviňte funkci f(x) =sin x do Fourierovy řady. 2937. Jaký tvar má Fourierova řada trigonometrickéhopolynomu

Pn(x) = i,_ � (a.cosix + �.sinix) ? l I i=O

2 938.Rozviňte do Fourierovy řady funkci f(x) =sgnx (-1t O a O < 6n < I . S jakou přesností aproximujeme hodnotu integrálu

--�:; . e -x dx, jestliže ve vzorci (I) použijeme první dva členy? } JOO +x

§ 9. Nekonečné součiny 1. KONVERGENCE SOUČINU. Říkáme_, že nekonečný souán P 1 P,.,.p .... = IIP.

(I)

n=I

· konverguje.jestliže existuje konečná nenulová limita posloupnosti

. ·iŇechť P=O. Jestliže žádný z členů

lim ílP; = limP =P. n-"' .

n-.., i=l

p

11

není roven nule, pak řekneme, že součin (1) diverguje

k nul.e. V opačném případě říkáme, že součin konverguje k nul,e. Nutnou podmínkou·konvergence součinu je rovnost

lim P. = l. Součin nenulových členů (1) konverguje, právě když existuje n_0 takové, že konverguje řada

(2) Jestliže Pn= l +a;11 (n = 1, 2, ... ) a a;11 nemění znaménko, pak pro'konverg'enci součinu (l)je nutné ' a stačí, aby konver govala řada

L a,= nLl (p, -1).

n=I

(3)

=

,y obecném případě, když a;11 mění znaménko a řada (3) konverguje, so�čin (1) konverguje nebo diverguje k nule, právě když konverguje -nebo diverguje řada

Ě a!= Ě (p" -1)2

n=I

•

n= I

2. ABSOLUTNÍ KONVERGENCE. Ř.fkáme, že součin (l) konverguje absolutně (resp. neabsolutně), jestliže absolutně (resp. neabsolutně) konvergúje řada (2). Nutnou a postačující podmínkou pro

.,absolutní konvergenci součinu (I) je absolutní konvergence řady (3).

ŘADY

li 3. ROZVOJ FUNKCE DO NEKON NÉHO SOUČINU. Pro - < x < + oo platí následující rozvoje: � : l 4

I Speciálně

:I

I

sinx=x

rr( I-+.] n 1t

a cosx=

I1[1

(2n-l)2 1t

x'

substituci x =1t/2 do prvního z ich získáme Wallisův vzorec � "�I-

n�I

,]-

1t II 2n 2n 2 = ,;1 2n -J 2n +I·

! Dokažte následující rovnosti:

3053 .

P.2[1

2

n(n+l) l = _!_ 3·

3055.

IT cos-1t

3057.

sinhx IT cosh-x =--.

3060.

n� �

3059.

2n•l

n:l

n 2

n-:1

n•l

2

= -.

1t

X

3056.

s1nx IT cos-x =--. n"l

'

2

n

X

· 3058. IT(l +x 2 •),;_l_ (lxl< 1). 1 -x n=O

= 21t _ 3n-l 3n+l 3-,/3

Dokažte, že následující součiny konvergují, a vypočtěte jejich hodnoty:

3061.

-4 nIT -2 . 2

• •3 n -1

(2n + 1)(2n +7) _ 3063_ IT n+'3)(2n+5) n•l (2

3062.

1 IT[1 + ]n(n+2) ••,

3064. ITa ( -I)"/n (a>O). n= l

§ 9. NEKONECNÉ SOUČINY

! · : ��- Vyplývá z konvergence součinů

_T]/n

a IJ. qn konvergence součinů: n l

ITI Pn ; •

b)

2

n=

Yyšetře �e konvergenci nekonečných součinů: • 2 1 (n+l) -. 3067. ---,----,o,-. 5066. I ' n•l n n•l n(n+2)

IT

IT

•1?· .'

""

). : IT(1 +-¾. _ �8 -(.,,,, n

3069. IT •2n

n=l

(1 � �) ·

IT Jnn2+1

3074. n•l .. 3076.

.

.

�077.

TT(l +;;)

so19_

II (1 -x n>.

·.,

··3081.

n=l

""

II n=l

e-�n.

3078. . 3080.

.

n

rrl n'

:

X

TT(

.

:

1 - c n) e xln, kde c > O.

ů(l n•.I

1 +-

1+

II rn.

n=l

+

X

:),

2

I ' I

3083.

IT. (

3085.

IT

n=

.

I

n: I

.

x")

x"

nP

nq

1 +- cos-.

3084.

IT

. X p s1n-

n

X

n=l

n

"{!n(n +x)-lnn.

3086. Dokažte, že součin 3087.Dokažte, žesouč n � guje absolutně řada

i�+l

. . 2 II cosx. konverguje,jestliže konverguje součin II x, .

.

IT n=l

L a•.

n"' I

tg(: +a.) ( l«.I < :) konverguje,jestližekonver-

n= 1

Vyšetřete absolutní konvergenci a konvergenci následujících nekonečných součinů: 3088.

+ (-l�"·'].

3090.1�+[1 + (-:); .. ].

.

3092.

IT n•2

,/n

/n+(-1)"

3094. IT"vn(-ll". n= I

.

( l)"·1 3089. Ů[1 + ].

{n

n•d

3091. IT[1 n 2 =

3093. 3095.

rr

� (�:l�].

n (-I)".

IT• [ (-

n=1

n= I

l)n(n -1)12]

I + ��--

.

3096. ( 1 + �) ( 1 - �) ( 1 - ;) ( I + �) ( 1 - �) ( 1- �)( I + �) ... 3097.( l+

t.)(

) 1-;.r( l+ :.J(1�i.)( 1-;.r( l+ ;. ···

--

§ 9. NEKONECNE SOUCINY

5á99. Ukažte, že součin

,. ' ½

IT ( 1 + an ) , kde

n=I

,i

1

an =

1

/k

pro n =2k-l, 1

1

k

k,/k

pro n =2k,

-+-+-

, Ě [ a; divergují. ._: �erguje, přestože řady a. a n= I

n= I

JIOO. Nechť jJ,:· ";

'

.

((x)=

L,� n

-n=l

(Jliemannova zeta-fankce) a pn (n = 1, 2, ... ) je vzestupné očíslování posloupnosti všech prvočísel.

P,okažte, že

II(

1-

1 )-

--; Pn

1

= ( (x) .

1 5101.Dokažte,žesoučin IT(i--)-l na!

a řada

L,-1,kdep.

na! Pn n ) Pn posloupnost všech prvočísel, divergují(Eulerovo tvrzení).

· ,. :

··

--. 3102. Nechť a.> O (n = I, 2, ...) a a . ·> Dokažte, že

( nI )

-·-•-=1+ P +o--

n

a-n-+I

,

- - ··NAvon: Vyšetřete limitu lim _

a

,r-oo

ann P =a 1

-

II

an + an 11 „ 1

I.,

(e >O).

1 ( l +.!..) P. n

1·3·5 ... (2n-l) I 3103. Pomocí Wallisova vzorce dokažte, že ----'----'2 ·4 · 6 ... (2n) -{itn

(n = l,2, ... )je

i'lADY

iI

n1 e n 3104. Dokažte, že výraz a = má nenulovou limitu A pro n , n

nn+J/2

➔ 00•

Odvoďte pak Stirlingovu formuli n 1 =An n • 112e -n (l +en), kde limen =0 aA =,/2ři. NÁVOD: Limitu vyjádřete jako součin,

A =1man=a I.

n-w

_,., a

1nII

Konstantu A určete pomoá Wallisova vzorce.

-. ••I

�l an

3105. Eulerova definice gamafankce r(x) je

r(x}=lim n••

n!n' x(x+l) ... (x+n)

Pomocí tohoto vzorce: a) vyjádřete funkci I'(x) ve tvaru nekonečného součinu; b) dokažte, že r(x) je definována pro všechna reálná čísla x kromě celých zápor­ ných čísel; c)odvoďtevztah r(x + l') =xr(x) ;_d)vypočtěte hodnotu r(n) pro každé přirozené číslo n. b-a 3106. Nechť funkce f(x) má vlastní integrál na intervalu [a,b] a I\=--, n (i=l,2, ... ,n). Dokažte, že J;m =f(_ a+ió) n Jf(x)dx

n

limII(l +ón J;,, • )=ť n-ooi=O

3107. Dokažte, že

..

lim

,

n n-1 II (a +ib) i=O

n -I

2

I (a +ib)

i=O

kde a>O a b>O. 3108. Nechť J,. (x) (n = I� 2, ... ) jsou spojité funkce na intervalu (a,b) a (n = 1, 2, ...), kde řada I cn konverguje. Dokažte, že funkce n=I

F(x) = II [ I +fn (x)] n=1

je spojitá na intervalu (a, b). 3109. Najděte vztah pro derivaci funkce·· F(x) = II [I+/, (x)]. n=

I

Jaké jsou postačující pod mínky k tomu, aby derivace F 1(x) existovala?

1/, (x) I � c,

§ 10. STIRLINGŮV VZOREC

. JlJO. Dokažte, že jestliže 0, y =rsin0sinq>, z =rcose

. N°ÁVOD: Záměnu proměnných proveďte postupně jako dvě částečné substituce x =Rcos= lyl), je-li u = x+y, v =x-y, x2-y 2 (x 2 -y2)2 ax 2 ay 2 z w = --Jx2 -y 2 . . a2 z . az az • k az'd ou rovn1c1 • ze 3521. D ok azte, - +a-+ b - +cz= O, kde a, b , c JSOU k onaxay ax ay stanty, je možné záměnou proměnných z =ue•x•�Y, kde a: a � jsou konstanty a2 u a u=u(x,y), převést na tvat +c u =O, kde c 1 je konstanta. axay 1 . a2 u au • ze • rovmce • 'ch • , SVUJ , . tvar pn•. z áměne• promenny 3522. Do k azte; -- = - nezmem 2 a ax y x 1 = �, y 1 = -.!. u 1= .!!...e y y /ý

kde u 1 jefunkceproměnnýchx 1 ay 1 • a2 z a2 z a2 z 3523. Proveďte v rovnici q(l +q)- -(I +p +q +2pq)-- +p(I +p)- =0, kde , axay ax 2 ay 2 az az p=- a q=-, záměnu proměnných u=x+z, v=y+z·, w=x+y+z, víte-li, že ay ax w =w(u,v). 2 u a2 u + 2 a2u =(x au) 2 +(y au) 2 +(z au)2 3524. Proveďte v rovnici x 2 a +y2 z az ax ay ax 2 ay2 az 2 záměnu proměnných x =e', y =e", z =e', u =e w, kde w =w(�, ri,(). 41 ,

a2 z a2 z ( a2 z . • ze 3525. Ukazte, • se tvar rovmce -- -- -axay ax 2 ay 2 h jemné záměně proměnnýc x, y a z.

--

)2 = O nezmem • , pn •. za ''dne, vza,

§ 5. GEOMETRICKĚ APLIKACE

. ·}}'9526. Považujte x za funkci proměnných y a z a řešte rovnici ·.: i i t.• •.' · áz 2 a2z az az a2z ( a2 z -_ 0. az) 2 -· . ) ---2----+ •:,J ( . . ay ax 2 ax ay axay ax ay 2 :::· · ). . i: ., 5527. Transformujte rovnici 2 2 A( az' az) a z + 2B( dz, az) a2z +c( az' az) a z -O

ax ay ax2 ax ay ay 2 ax ay axay , az az az az ., .užttiml.egendreovytransformace X=-, Y=-, Z =x- +y- -z, kde Z =Z(X,Y). . ax ay ay ax

:,:-o:·J.5. Geometrické aplikace .1----· ·~---· .

_I.TEČNA A NORMÁLOVÁ ROVINA. Rovnice tečny ke křivce x =(t), y ="1(t), z =x(t) v bodě (x,y,z) · X-x Y-y Z-z . tná tvar -- = -- = --. Rovntce normálove• roviny v tomto b o dě"Je

dx dt

.i , .

dy dt

dz dt

dz dy dx -(X-x) +-(Y-y) +-(Z-z) =O. dt ds dt

,:

2. TEČNÁ ROVINA A NORMÁLA. Rovnice tečné raviny k ploše z =J(x,y) v jejím bodě (x,y,z) má tvar •. X-x Y-y Z-z . ,' Z -z = az(Y -y). Rovmcenormay Bz(X -x) +'/ v tomto bodeJe --=--=--.

dz dx

dy

ax

dz dy

-1

)�-li plocha zadána implicitně rovnicí F(x,y,z) =O, pak je rovnice její tečné roviny Y-y Z-z BF BF X-x = -BF -z = . . .•t orma•1 . e -= --. - (X -x) +- (Y -y ) +(Z ) O arovmce JeJ n yJ

Bx

By

Bz

BF ax

BF ay

BF az

':3. •OBAWVÁ KŘIVKA PARAMETRICKJl SOUSTAVY ROVINNÝCH KŘIVEK. Obalová křivka jednopa• rametrické soustavy křivek J(x,y, a)= O, kde a je parametr, vyhovuje soustavě rovnic f(x,y, a)= O, J:(x,y,a) =O.

'

'4. OBAWVÁ PLOCHA PARAMETRICKJl SOUSTAVY PLOCH. Obalová plocha jednoparametrické soustavy ploch F(x,y,z, a) =O vyhovuje soustavě rovnic F (x,y,z, a) =0, F: (x,y,z,a) =O. V případě dvojparametrické soustavy ploch (x,y,z,a,P) =O jejich obalová plocha splňuje rovnice (x.y,z, a, Pl =o. : (x,y,z, a, P) =o. ; (x,y,z,a, Pl =o.

r

DtFERENCIÁLNi POČET FUNKCi vice REÁLNÝCH PAOMl:.NNYCH

I

Napište rovnice tečen a normálových rovin k následujícím křivkám v daných bodech: 3528. x = acosacost, y=asinacost, z = asint vbodě t = t0 • 3529. x = asin2 t,y = bsintcost, z = ccos2 t v bodě t=..'.:.. 4 3530.y=x, z=x 2 v bodě (1,1,1). 353I.x 2 +z2 = 10,y 2 +z 2 = 10vbodě (1,1,3). 3532. x 2 +y2 +z 2 =6, x +y +z =O v bodě (1, -2, 1). 3533. Najděte na křivce x=t, y=t 2 , z=t 3 takový bod, aby tečna, kterájím prochází, byla rovnoběžná s rovinou x +2y +z =4. 3534. Dokažte, že tečna k šroubovici x =acost, y =asint, z =bt svírá sósou z úhel konstantní velikosti. 3535. Dokažte, že křivka x =ae 'cost, y =ae I sint, z =ae I protíná všechny přímky vytvářející kuželovou plochu x 2 + y 2 = z 2 pod stejným úhlem. 3536. Dokažte, že loxodroma tg( : +

!)

=e k � (k je konstanta),

kde q> je úhlová délka a 1jr je úhlová šířka pozicebodu na kulové ploše, protíná všechny její poledníky pod konstantním úhlein. 3537. Vypočtěte tangens úhlu, který svírá tečna v bodě (x0,y0) ke křivce z =f(x,y), X

-x

y-y

0 __o = -. , kde f je diferencovatelná funkce, s rovinou xy. cosa sma X 3538. Vypočtěte derivaci funkce v bodě (1, 2, - 2) ve směru tečny J x 2 +y 2 +z 2 v tomtobodě ke křivce x =t, y =2t 2 , z= -2t 4 •

u---;::;::===

Najděte rovnice tečné roviny a normály k následujícím plochám v daných bodech: 3540. x 2 +y 2 +z 2= 169 v bodě (3,4,12). 3539. z = x 2 +y2 vbodě (1,2,5). 3541. z = arctgl vbodě (1, l, ..'.:.). X 4

3542.ax 2 +by 2 +cz2 = 1 vhodě (x0,y 0,z 0).

3544. 2xl'+21"=8 v bodě (2,2,1). 3543. z=y+ln� v bodě (1,1,1). z 3545. x =a cos ijrcosq>, y =bcosijr sinq>, z =c sin 1jr v bodě (%, 1jr0).

--

3546. x =rcosq,, y =rsinq>, z =rc.otga v bodě (%,r0). 3547.x=ucosv,y=usinv, z = av vbodě (u0 ,v 0).

§ 5. GEOMETRICKÉ APLIKACE

5548. Najděte limitní polohu tečné roviny k ploše x =u +v, y =u 2 +v 2, z =u 3 +v 3, j\;�tliže bod dotyku (u,v) (u*v) neomezeně přibližuje k bodu (u0 ,u0 ) mezní křivky u = v této plochy. 5 549. Najděte na ploše x 2 +2y 2 +3z 2 +2xy +2xz +4yz =8 body, ve kterých jsou · ·"·Íťčilé roviny rovnoběžné se souřadnicovými rovinami. 2

' 2

a2

2 b

2

55!;o_. V jakém bodě elipsoidu 2._ + L + .:_ = 1 svírá jeho normála stejné úhly se . .

.

c

2

r,šemi souřadnicovými osami? 3551. Sestrojte tečné roviny k ploše x 2 + 2y 2 +3z 2 =21, kteréjsou rovnoběžné sro­ vinou x +4y +6z =0 . ..... .. 35,52. Dokažte, že tečné roviny plochy xyz =a 3 (a> O) vytvářejí se souřadnicovými ...... -ťóvinami čtyřstěn konstantního objemu. 3553. Dokažte, že tečné roviny plochy ,{x +.fy+ {z= ,{a (a> O) vytínají na souřad­ nicových osách úsečky s konstantním součtem délek. �-�54. Dokažte, že tečné roviny kužele z =xf(

f)

procházejí jeho vrcholem.

3555. Dokažte, že normály k rotační ploše z =J(Jx 2 +y 2) lf1* O) protínají osu její rotace. 3556. Najděte průměty elipsoidu x 2 +y 2 +z 2 -xy = 1 do souřadnicových rovin. 3557. Čtverec {O sx,; I, Osy sl} je rozdělen na konečný počet částí o průměru s 6. Odhadněte shora číslo 6, liší-li se směry normál k ploše z = I -x2 -y 2 v libo­ volných bodech (x,y) a (xl 'y 1) téže části o méně než 1 ° . 3558. Nechť z =f(x,y), kde.(x,y)ED, (I) d, je rovnice plochy a (jl (P" P) je úhel mezi normálami k ploše (I) v bodech I;,=(x,y}.ED a P 1 =(x l 'y,)ED„ Dokažte, že jc;stližeje množina D omezená -�- a uzavřená a funkce f(x,y) má omezené derivace druhého řádu na D, pak platí Ljapunovova nerovnost (2) kde C je konstanta a Q (P I ' P) je vzdálenost mezi body P a P 1 • 3559. Pod jakým úhlem protíná válcový plášť x 2 +y 2 =a 2 plochu bz =xy ve společném bodě (x0 ,y0 ,z0)? 3560. Dokažte, že souřadnicové plochy sférických souřadnic x 2 + y 2 + z 2 = r 2, ___ .y,=xtg(jl, x2 +y 2 =z 2 tg 2 0 jsou všechny navzájem kolmé. 356L Do�žte, že sféry x 2 +y 2 +z 2 = 2ax, x2 +y 2 +z 2 � 2by, x 2 +y 2 +z 2 = 2cz tvoří ortogonální systém.

_.....,_.....,

_______________ --

""""'- ,__

,

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE REÁLNÝCH PROMl=NNÝCH

I '

3562. Každým bodem (x,y,z) procházejí pro A= A 1 , A= A2 , A= A3 tři plochy dru. 2 x2 z2 hého řádu tvaru + y +_ __ = - l (a> b >c >O). Dokažte ortogonaa 2 -A2 b2-A2 c 2 -A2 litu těchto ploch. 3563. Najděte derivaci funkce u =x +y +z ve směru vnější normály ke sféře x 2 +y 2 +z 2 = 1 v jejím bodě (x0 ,y0,z0). V jakých bodech této sféry derivace funkce u ve směru normály nabývá: a) svého maxima; b) svého minima; c) hodnoty O? 3564. Najděte derivaci funkce u =x 2 +y 2 + z 2 ve směru vnější normály elipsoidu 2 22 x2 - +y += 1 v jeho bodě (x ,y , z ) 0 0 0 . a 2 b2 c2 au av · 3565. Nechť - a - JSOU norma'1 ove, denvace funkct, u .a v v bo d'e p 1ochy · an an av + au _ v F(x,y,z)=O. Dokažte, že �(uv)=u an an an Najděte obalové křivky následujících jednoparametrických soustav rovinných křivek: 3566. xcosa+ysina = p, kde p je konstanta. a2 3567. (x -a)2 +y 2 =-. 2 3568. y = kx + !: , kde a je konstanta. k 2 3569. y =2px +p 2• 3570. Najděte křivku vytvářenou úsečkou délký I ,jejíž konce kloužou po osách souřadnic. 2 2 3571. Najděte obalovou křivku elips � + L = 1, které mají konstantní obsah S. a2

·b2

3572. Najděte obalovou křivku trajektorií náboje, který byl vystřelen ve vakuu s počáteční rychlostí v 0 , pro různé úhly výstřelu a měřené ve svislé rovině. 3573. Dokažte, že obalová křivka normál rovinné křivky je evolutou této křivky. 3574. Vyšetřete charakter diskriminantních křivek následujících soustav křivek, kde c je parametr: a) kubických parabol y=(x-c) 3 ; b) semikubických parabol a x y 2 = (x -c) 3 ; c) parabol tvaru y 3 =(x-c) 2 ; d) strofoid (y-c)2 =x 2 - .

--

a+x

3575. Najděte obalovou plochu množiny sfér o poloměru r, jejichž středy jsou umístěny na kružnici x =Rcost, y = Rsint, z =O, kde t je parametr a R >r.

§ 6. TAYLOAŮV VZOREC

l0 (C>O); 2) maximum, pokud D >O, A< O (C< O); 3) extrém neexistuje, pokud D < O. 4. VÁZANÝ EXTRÉM. Úloha nalezení extrému funkce J(P) =f(x,, ... ,x ,), který vyhovuje podmínkám cj,.(P) =O (i= 1, ...,m; m.

:{.'siwo.

;ť·;,�642. u =x 2 +y 2 + z 2 +2x +4y -6z.

·

3643. u =x 3 +y 2 +z 2 + 12xy + 2z.

>c.r

2 2 2 : :)644. u =x +L +.:... +(x> O,y >O, z> O). ,,,,,. 4x y z 2 3 (a-x-2y-3z) (a>O). :?3645. u = xyz _, 2 a x 2 y2z2 3646. u = -++-+- (x>O, y>O, z>O, a>O, b>O). b z y X '"�';ti.56:47. u =sinx+siny +sinz-sin(x +y +z) (O ,x� rc; Osy, rc; O,z, rc). :,,: O, x2 >O, ... , x. >O).

. 2 ':( ,:: u =x +Xn X3 . X2 +!•;;:S,649. + ... +-- +- (x. >O,,= 1,2, ... ,n). , -_,.o,-. . ,

s"i/·

X

I

X

2

X

n-1

X n

t

,-·--

. ;_iJ650. Huygensova úloha. Vložte mezi dvě kladná čísla a a b n čísel x 1 , x 2 , ... ,x. tak, x 1 x2 ... x• i�l"·__ : �;;;Jby hodnota zlomku u = byla maximální. (a+x,)(x l +x2 ) ... (x. +b) s±H

ilJ�. :::------------------------------=

jí\j

--

DIFERENCIÁLNÍ POČ:ET FUNKCi vicE REALNÝCH PROMĚNNÝCH

Najděte extremální hodnoty následujících implicitních funkcí z proměnných x a y: 3651. x 2 +y 2 +z 2 -2x +2y-4z -10 =O . 3652. x 2 +y 2 +z 2 -xz-yz +2x +2y +2z-2 =0. 3653. (x 2 +y 2 +z 2 )2 =a 2 (x 2 +y2-z 2). Najděte body, ve kterých mají následující funkce vázaný extrém: 3654. z =xy,je-li x +y =1. 3655. z==- +L,je-li x 2 +y 2 = I. a b 3656. z =x 2 +y 2 ,je-li =- + 2'. = 1. a b 2 3657. z=Ax +2Bxy +Gy 2 ,je-li x 2 +y 2 =1. 3657.l z = x 2 +12xy+2y 2 ,je-li 4x 2+y 2 = 25. 3658. z = cos2 x+cos2 y,je-li x-y=2:..

4 3659. u =x -2y+2z,je-li x +y +z 2 = 1. 2

2

3660. u =x my•z P ,je-li x+y+z=a (m>0,n>0,p>0,a>0). 2

2

a2

b2

2

Z Y 3661. u = x 2 +y 2 +z2·1-X (a>b>c>0). ,Je-1 -+-+-=l c2 3662. u = xy z ,je-li x+2y+3z = a (x>O,y>O,z>O). 2

3

3663. u =xyz,je-li x 2 +y 2 +z 2 =1, x+y+z=0. 3663.l u =xy+yz,je-li x 2 +y 2 = 2, y+z=2 (x>0,y>0,z>0).

3664. u =sinxsinysinz,je-li x +y +z =2:. (x>0,y>O,z> O). 2 x 2 y2 2 2 2 2 3665. u = + + ,je-li x +y +z 2 = 1, xcosa +ycosP +zcosy = 0 2 -2 a b 2 c (a>b>c >O, cos2 a +cos2 P +cos2 y = 1).

3666. u =(x -�) 2 +(y-ri)2 +(z-() 2 ,je-li Ax +By +Cz = O, x 2 +y 2 +z 2 =R 2, -�- = _TJ_ = -'-, kde cos2 a + cos2 p +cos2 y = 1. cosa cosP cosy xn X2 . xl 2 . 2 2 3667.u = x1 +x2 + ... +x.,Je-h -+-+ ... +-=l (a;>O; i=l,2, ... ,n). an al a2

--

3668.u = x/+x/+ ... +x! (p>l),je-lix1 +x2 + ... +x.=a (a>0).

•

§ 7, EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMl=NNÝCH

·:o;: · a a a .ji;69. u = -1 +2+... +�,je-li P 1 x1 +P 2x2 + ... +pnxn =l ;�;,,

XI

X2

Xn

.1{/l.>O, p.>0,x.>0; i= 1,2,... ,n). I I

• •

'S-_:c ,1.

•

•

1

n

S670.u =x1 x2 ' ... x.",je-lix1 +x2 + ... +x.=a (a>O,a;>l; i=l,2, ... ,n).

· s6.7l. Najděte extrém kvadratické formy u =[a ..x.x. (aI).. =a)'.. ) za podmínky • • IJ I J -'o--

.

,::•-' 2

•.EX; j,d

IJ

=

1.

J&72. Dokažte nerovnost

•

" x"+y" ;, x+y (- -) , je-li n;, l a x;, O, y;, O. 2 2

n ( n ) n ')

�?:t: . NAvon: Najděte minimum funkce z =.!.(x n· +y n) za podmínky x +y =s.

2

, �67. 3. bokažte Hofderovu nerovnost _[.a;x; $. _La/ ,=I �,1 _ t=l

t,i� '

l 1�(

llk(

_Lx;'

l/k 1

1= 1

:Ía.;,0,x.;,O;i=l,2, ...,n;k> 1, .!. +..!,.=1). k k' :••

:·NÁVOD: Najděte minimum funkce u = •_

r.

( n

1=l

a,'

n

_Lx;'

1 1) 1/1

I� l

za podmínky

\TI(J,a;}).

n

L a,x; =A.

i= I

''3674. Dokažte Hadamardovu nerovnost pro determinant A= ia;·� I řádu n:

;,c,

.

.

A2

:

n

:·� ;-,:, '.

A= la l za podmínek .L ai} =Si (i= 1, 2, .. ,n). i:���oo: Vyšetřete extrém determinantu ij ,_ ·�' .

1� I

a.-;

!Určete maximální a minimální hodnoty (suprema a infima) následujících funkcí cc-.J,nazadaných množinách: _ •;�675. z =x-2y-3,je-li Osx s 1, Osy$ I, Osx +y $ l. ;]5676. z =x 2 +y 2 � 12x + 16y,je-li x 2 +y 2 s 25. · ťš677. z =x 2 -xy +y 2 ,je-li lxl + IYI s 1. ''3678. u =x 2 +2y 2 +3z 2 ,je-li x 2 +y 2 +z 2 s 100. ,.�679. u =x +y +z,je-li x 2+y 2 $ZS 1.

--

_,J_t;,80. Najděte dolní hranici (infimum) a horní hranici (supremum) funkce ···•·;,f�(x +y +z)e ·(x• 21•3 ,1 na množině dané nerovnostmi x >O, y >O, z> O.

-----------------------==

-�·-::Jf

DIFERENCIÁLNÍ POČ::ET FUNKCÍ VÍCE AEÁLNYCH PAOM�NÝCH

JI I'

II 1·- !,!, , , I',.. 1:: ,1:: l J ':i i; l J: i:

'··

i,•

I

3681. Dokažte, že funkce z =(l +e 1)cosx -ye Y nabývá maximální hodnoty v neko. nečně mnoha bodech a nenabývá žádné minimální hodnoty. 3682. Je postačující podmínkou existence minima funkce f(x,y) v bodě M0 = (x 0,y0 ) existence minima na každé přímce procházející bodem M0 ? Uvažajte případ J(x,y) = (x -y 2)(2x -y 2). 3683. Dané kladné číslo a rozložte na n kladných součinitelů tak, aby součet jejich inverzních hodnot byl minimální. 3684. Dané kladné číslo a rozložte na n sčítanců tak, aby součet jejich dru hých mocnin byl minimální. 3685. Dané kladné číslo a rozložte na n kladných součinitelů tak, aby součet jejich daných kladných mocnin byl minimální. 3686. V rovině je dán systém n hmotných bodů P 1 =(x l 'y 1), P2 = (x2 'y 2), ••.• , Pn =(xn,Y.) o hmotnostech rovných m l 'm 2, .•• ,mn. Při jaké pozici bodu (x,y) bude moment setrvačnosti systému P 1 , ... , Pn vzhledem k tomuto bodu minimální? 3687. Při jakých rozměrech bude mít otevřená nádoba tvaru kvádru daného objemu V minimální povrch? 3688. Při jakých rozměrech bude mít otevřená válcová vana s půlkruhovým průřezem,jejíž povrch je S, maximální objem? 3689. Najděte na sféře x 2 +y 2 +z 2 = 1 bod, pro který bude součet druhých mocnin jeho vzdáleností od daných bodů M 1 = (x,,y,,z 1) (i= 1,2, ...,n) minimální. 3690. Těleso se skládá z rotačního válce zakončeného rotačním kuželem. Určete jeho rozměry, víte-li, že jeho povrch je Q a jeho objem je za této podmínky maximální. 3691. Těleso složené z kvádru, jehož obě podstavy jsou zakončeny stejnými pravidelnými čtyřbokými pyramidami, má objem V. Pro jaký úhel sklonu boč­ ních hran pyramid vzhledem k jejich podstavám bude povrch celého tělesa mi­ nimální? 3692. Najděte obdélník s daným obvodem 2p, který vytvoří rotací kolem jedné ze svých stran těleso s maximálním objemem. 3693. Najděte trojúhelník s daným obvodem 2p, který vytvoří rotací kolem jedné ze svých stran těleso s maximálním objemem. 3694. Do polokoule o poloměru R vepište kvádr maximálního objemu. 3695. Do daného rotačního kužele vepište kvádr maximálního objemu. 2

2

2

3696. Do elipsoidu .:...... + L_ +.:... = 1 vepište kvádr maximálního objemu. a 2 b2 c 2 3697. Do rotačního kužele, jehož plášť o výšce I svírá s podstavou úhel a, vepište kvádr o maximálním povrchu.

--

'I

§ 7: EXTR�MY·FUNKCf_VicE PRÓ.M�NNYCH

.

2

·

2

>3698. Do úseče eliptického· paraboloidu �=�+1-, z = c, vepište kvádr · c a2 b2 • 111aximálního objemu. ·· 5699. Vypočtěte vzdálenost bodu (xD 'y0 ,z0 ) od roviny Ax + By +Cz+D =O. __ x-x 1 y-y 1 z-z 1 x-x2 y-y2 z-z2 ., , •• _ ,. . 5700. Vypoctete vzdalenost d pnmek -- = -- = --. a -- = -- = -m1 P1 ni n2 m2 P2 v•;prostoru. Vypočtěte vzdálenost mezi parabolou y =x 2 a přímkou x -y -2 =O. . 3701. w: · 5702. Najděte poloosy křivky druhého řádu bez lineárních členů . Ax 2 +2Bxy+Cy 2 =1. 3:703. Najděte poloosy plochy druhého řádu bez lineárních členů -··-··. Ax 2 +By 2 +Cz 2 +2Dxy +2Ey z+2Fxz = l. ·

2

2

5704. Určete obsah vnitřku elipsy získané protnutím válcové plochy ; +; = 1 b a · rovinou Ax +By +Cz =O. x2 y2 z 2 5705. Určete obsah řezu elipsoidu -+- +-= 1 a 2 b2 c 2 rovinou xcosa +ycosP +zcosy = O, kde cos2 a +cos2 p +cos2 y = 1. 3.71!6- Podle Fermatova principu se světlo vycházejíá z bod)l A do bodu B šíří po takové křivce, po které projde za minimální čas. Předpokládejte, že body A a B jsou umístěny v opticky různých prostředích oddělených rovinou. Odvoďte zákon · lomu světla, víte-li, že rychlost šíření světla v prvním prostředí je v 1 a rychlost šíření světla v druhém prostředí je v 2 • . 37_07. Projaký úhel dopadu je odklon světelného paprsku (tj. úhel mezi dopadají­ vycházejícím paprskem); který prochází optickým hranolem s úhlem lomu a arindexem lomu n, minimální? Určete tento minimální úhel. .:__�?OS. Proměnné veličiny x a y vyhovují lineární rovnici y= ax + b ,jejíž koeficienty ·::]Ltřeba určit. Výsledkem řady měření se stejnou přesností· se získají pro pro, b1, . '. .· �ěnné x a y hodnoty x;, Y; (i= 1, 2, ... , n). Určete nejpravděpodobnější hodnoty ,koeficientů a a b metodou nejmenších čtverců. . ·

. dm' a

· N:�voo: Podle metody nejmenších čtverců jsou nejpravděpodobnějšími hodnotami koeficientů a a b .. �ové, pro které je součet druhých mocnin chyb

"

"

i= I

i= I

L, �2 = L (axi +b-y/

minimální.

:3?09. V roviněje dán systém n bodů M; =(x;,Y;l (i= 1, 2, . .. ,n). Pro jakou polohu Ptímky xcosa +ysina -p =Oje součet druhých mocnin vzdáleností bodů M; od 'C'Ftéto přímky minimální? ,ď37IO. Funkci x 2 aproximujte na intervalu (1,3) lineární funkcí ax +b tak, aby .,absolutní chyba ó.=sup jx 2 -(ax+b)I (l�x�3) byla minimálnL

--

KAPITOLA VII

Integrály závislé na parametru § 1. Určité integrály závislé na parametru I. VĚTA o SPOJITOSTI INTEGRÁLU. Jestliže je funkce f(x,y ) definovaná a spojitá na omeze né A

množině R={(x,y)la(x),je-li F(x)= JJ(t)(x-t)"- 1 dt.

l�lW>

o

INTEGRÁLY ZÁVISLÉ NA PARAMETRU

3722.I Dokažte, že platí

x

� sinx =-1 fy"cosÍy+ n1t dy (n=l,2, ... ). ) ( n+ l 2) l x dx n X o Pomocí vztahu (1) odvoďte následuj,ící odhad: I d" sinx ,,_l_ pro XE(-oo,+oo). ( ) n+l • x

( l)

fw"

3723. Aproximujte funkci f(x) =x 2 _na intervalu 1 ;; x,; 3 lineární funkcí tvaru 3

a+bx tak, aby byl J(a+bx-x 2) 2dx minimální.

3724. Odvoďte přibližný vztah tvaru J1 +x 2 =a+bx (O;;x;; 1) z podmínky, že

střední kvadratický rozdíl funkcí a +bx a � na daném intervalu [O, l] je minimální.

Ji

•12 r---,,--,,---

3725. Vyjádřete derivace úplných eliptických integrálů E(k) = J -k 2 sin2

O).

3807.

fo e -(x'•a'lx'>dx (a> O).

--

INTEGRÁLY ZÁVISLE NA PARAMETRU

3809.

f e -ax' cosbxdx (a> O). o

3810.

f xe -ax' sinb o

38 11.

fx

2

o

x dx

(a> O).

"e-x' cos2bxdx (n je přirozené číslo).

3811.1 Dokažte, že lim fo f e-ax,'dt= ,:-+...

-l;

ln (a>0,6>0).

� �

J s 3812. Pomocí integrálu /(a)= e -ox i:Px dx (a:e:O) vypočtěte Di,rú;hletův integrál o +•

D(P) = r sinPx dx. X o 3812.1 Jaký přibližný tvar má graf integrálsinu y =Si x , kde Six =

XI si:t dt? .

o

Pomocí hodnot Dirichletova a Frullaniova integrálu vypočtěte hodnoty následu­ jících integrálů: +• ' e-•x -cosPx sinax sinpx dx (lal . dx (a>O). 3814. * IPI). 3813 2 x x o o

f

+!•

f sina\cosPx

3815_

o

3817.

f(

3819.

3821.

f sin�x ) o

3816.

2

dx.

sm

o

3818.

o

4

s m x dx . 2 o x

+•

dx.

si:ax r . dx

f. o

+•

f. f( f·

+•

+•

3820_

o

3

x

ax

dx.

si ax 3 d : ) x. 4

· 4A pX sm ax:sm dx

--

x sn 3822. fe-kx sina i. px dx (hO, a>O, P>O). x2 o

§ 3. DERIVACE A INTEGROVÁNI NEVLASTNiCH INTEGRÁLŮ ZÁVISLÝCH NA PARAMETRU

}s23. Najděte nespojitý Dirichletův faktor D(x)

-:,l . ·�, .

=!I O

d sinACOSAX / pro různé

•·:::hodnoty argumentu x. Sestrojte graf funkce y = D (x). :��.JS.24. Vypočtěte integrály : ':

•w

cosax b) v.p. I --dx. x+b

}825. Pomocí rovnosti

•�- •··-

1 :x 2 = I

e -y(l •x'>dy vypočtěte Laplaceův integrál •w

cosax I dx. 2 o l +x

+DO

, xsinax ·• �826. Vypoctete , • mtegra . 1 J--- d x. ·

..

l+x 2

o

ť>."·

I

· Vypočtěte následující integrály: .

.�827.

o

•

sin2x l +x

2

dx.

I

•w

3828.

w

cosax

d o (1 +x 2 )2 x.

cosax dx (a>O, ac -b 2 >O). . �829. J 2 -wax +2bx+c __ ··. 3830. Pomocí vztahu J_ =�Je -xy' dy (x >O) vypočtěte Fresnelovy integrály ..[x frr. o

I

+oo

o

. l sm(x 2 )dx =

J

,too

sinx -·-dx,

2 o-fx

·J

+oo

+oo

o

cos(x 2 )dx =

• • Vypočtěte hodnoty následujících integrálů:

J sin(ax +2bx+c)dx (a*O) .

•w

,

.

3831 .

2

3832.

J sinx

2

1 J cosx . --dx.

2 o-fx

cos2axdx.

INTEGRÁLY ZÁVISLÉ NA PARAMETRU

3834. Dokažte následující vztahy:

+0>

+0>

1t . 7t cosax sinax 1) I ---dx = -smaa; 2) f x---:---::-dx=--cosaa, 2 2 2 2 2a 2 o a -x o a -x kde a* O a i ntegrály jsou definovány ve smyslu hlavní hodnoty. 3835. Najděte Laplaceovutransformaci F(p)=Je -P'f(t)dt (p > O) funkce f(t) ,je-li: o a) f(t) =t" ( n je přirozené čís lo); b) f(t) =/i; c) f(t)=e "'; d) f(t )=te -•,; e e) f(t)=cost; f)f(t)= l- -\ g) f(t)=sina/i. t +�

1 (a> O), 3836. Dokažte vztah (Lipschitzův in tegrál) f e -a'fO (bt)dt 2 2 +b ✓ a o • kde ]0 (x) =: J cos(xsincp)dcp je Besselova funkce indexu O (viz úloha 3726). o +� 1 3837. Najděte Weierstrassovu transformaci F(x) =e -(x-y)'f(y)dy následujících funkcí: {rc -� a) f(y)=l; b) f(y)=y 2 ; c ) f(y)=e 2"'; d) f(y)=cosay. 2 2 d n 3838. Hermiteovy polynomy definujeme vztahem Hn (x) = ( - 1 )"e x --(e -x )

-J

.

(n = O, 1, 2, ... ). Dokazte, ze

, ,

dx

n

prom *n, O x' H (x)H,i. (x)e - dx = { = n. 1 +J� m r:;; 2• n.y1tprom _,.,

I

3839. Vypočtěte hodnotu integrálu +�

1 . cp(x) = 2110,02

-

1 [''

(x-()']

e 2 a; +T dl; (01 > O, 02 > O),

která má velký význ_am v teorii pravděpodobnosti. 3840. Nechť funkce f(x) je spojitá a absolutně integrovatelná na intervalu (-oo, +oo). Dokažte, že integrál +� u(x,t) =

1

f(/;)e -

2a[ici f

4

"

2

1

((-x)'

dl;

. , ,_ au 1 a2 u . , , , , kou 1-1m u(x, t) =/(x) . ,, , , pod mm - =- -- s pocatecm rovnice vedeni tepu,, Je resemm at a 2 ax 2 ,,o

--

§ 4. EULEROVY INTEGRÁLY

t:4- Eulerovy integrály ]. FuNKCE GAMA, Pro x > O definujeme P(x) =

, vr.iádřena rekurentním vztahem r(x + I) =x r(x). Je-li n přirozené číslo, pak r(n) =(n -1) l; r( n

ft

x

-le -tdt. Základní vlastnost funkce gama je

0

•½)

13 ... (2n-l) r= v"· 2"

2. VZOREC PRO KOMPLEMENT. Pro O O).

I

J1nI'(x) sin nxdx. o

I

�i7L flnI'(x)cos 2n nxdx (n je přirozené číslo).

--'·

o

I I

· Dokažte následující rovnosti: I

3872.

0

dx

J1-x 4

+oo

I

0

x 2 dx =2:. . J1-x 4 4

+oo

3875. lim

f e-•"dx = 1.

n-oo O

•f·

_I Užitím rovnosti _l_ = _ t "' - 1 e -•1 dt (x > O) vypočtěte následující integrály: "' x I'(m) o _,..

•3876. -' J -cosax -dx (O O).

INTEGRÁLY ZÁVISLÉ NA PARAMETRU

§ 5. Integrální Fourierův rozvoj 1. INTEGRÁLNÍ FOURIERŮV ROZVOJ F1.JNKCE. Jestliže jsou splněny následující předpoklady: 1) funkce f(x) je definována na celé ose -oo l. p

< 1, ={ sOgnx pro [x[ [x[ > 1.

3882.

f(x)

3883.

/(x)=sgn(x-a)-sgn(x-b) (b>a).

3884.

Í'(x) = {

pro

-11a )• pr• o [x[ sa, h(1 · O

--

pro .[x[ >a.

i{i-

ti;885.f(x)=-1 (a>O). a

2

- --

§ 5. INTEGRÁLNÍ FOURIERŮV ROZVOJ

+x 2

X

(a>O). '. 3886. f(x) =-2 2

-·:

+x

a

-'�5887_ f(x)

={ sinx pro lxl s 1t,

pro lxl >1t.

O

pro lxl > ..::. 2

cosx pro lxl s;,

3888. f(x) = j

,: '"

O

21tn t � --, pro 11 · jA smúlt . (n je přirozené číslo). . úl f(t) = 3889. ·· -· 21tn pro ltl >--, o . �890. f(x)=e-•lxl (a>O). 3891. f(x) =e -• lxl cos �x (a> O). 5892. f(x) =e -• lxl sin �x (a> O). 3893. f(x) =e -x

'

3894. f(x) =xe -x

'

3895. Najděte integrální Fourierův rozvoj funkce f(x) =e -x (O O).

-J

· 3897. f(x) =xe -•lxl (a> O).

'

3898. f(x) =e -x'l2.

3899. f(x) =e -x'12 cosax.

-�·-a) ·1· O).

--

J

: I

KAPITOLA VIII

Vícerozměrné a křivkové integrály § 1. Dvojné integrály

I[ I

I. PŘÍMÝ VÝPOČET DVOJNÉHO INTEGRÁLU. Dvojným integrákm spojité funkce f(x,y) přes omezenou a uzavřenou množinu O se nazývá číslo

fff(x,y)dxdy = 0

lim

'f,'f,f(x,,y;)l1x/1Y;•

maxl6.x;I-O i j max!l\.Jjl-0

kde .6.xi =xi ... 1 -xi , ll.y =y • 1 -y a součet se provádí přes všechna i aj, pro která (xi,Y)Eíl:. Je-li i i i množina O zadána pomocí nerovností asxsb, y 1 (x)sysy2 (x), kde y 1 (x) a y2 (x) jsou spojité funkce na uzavřeném intenralu [a,b], pak odpovídající dvojný integrál vypočteme podle vztahu b

1zM

fff(x,y) dxdy = f dx f f(x,y)dy. Q

a

y 1 (x)

2. ZÁM.ĚNA PROMĚNNÝCH V DVOJNÉM INTEGRÁLU. Představují-li spojitě diferencovatelné funkce x =x (u, v), y =y (u, v} vzájemnějednoznačné zobrazení omezené a uzavfenémnožiny O' v rovině uv xy na množinu Q v rovině xy a má-li Jakobián D ( , ) konstantní znaménko na množině í.l až na množinu míry nula, pak platí vztah

D(u,v)

fff(x,y)dxdy = fff(x(u, v),y(u, v))I

i �:� ldud

v.

( o o' Speciálně v případě přechodu k polárním souřadnicím r a

O). dxdy (a>O), je-li množina Q vymezena osami souřadnic a kratším 3 393 . J2a -x

ff 11

kruhovým obloukem o středu v bodě (a,a) a poloměru a, který se dotýká os. lxy I d xdy, je-li Qkruh o poloměru a se středem v počátku soustavy 3934.

f!l f

souřadnic. 35. J O). y 2 dxdy ,je-li Q vymezena osou x a prvním obloukem cykloidy 3936.

ff !l

x = a(t-sint), y=a(l-cost) (0$l$21t). Přejděte v dvojném integrálu J Jf(x,y)dxdy k polárním souřadnicím r a

, y = brsin"q> (r�O), kde a, ba a jsou vhodně zvolené konstanty

: !

i

I

i

a D (x, Y) = a a br cos" - 1 q> sin• - 1 q,, a vypočtěte obsahy rovinných ploch vymezených D(r,q,) následujícími kňvkami Gejich parametry jsou kladné): X2 y2 X y 3991. -+-=-+-. a 2 b2 h k x' y 3 x 2 y 2 x=O,y=O. -+-=-+-; a3 b3 h2 k 2 (X y 4 X 2 y 2 3993. - + -) = - + - (x > O, y > O). a b h2 k 2 (X y 4 x 2 y 2 3994. -+-) =--- (x>O, y>O). a b h2 k2 (X y)5 x 2y 2 3994.l -+- =--. a b c4

3992.

3995.

TI+

'1t

= 1 ; x =O, y =O.

Pomocí vhodné záměny proměnných vypočtěte obsahy následujících rovinných ploch, které jsou vymezeny danými křivkami: 3996.x+y=a, x+y= b,y = ax,y=Px (O, y = (b +a cosljl) sin q>, z =asinljl (O = q> 1, q> =q>2 a dvěma rovno­ běžkami ljl = ljl 1, ljl = ljl2• Čemu je roven povrch celého toru?

4050. Vypočtěte velikost prostorového iihlu w, pod kterým je pozorován z po­

soustavy souřadnic obdélm'k x =a> O, Osy sb, Oszsc. Odvoďte přibližný - _ čátku _ vztah pro w, je-li a velké.

§ 5. Použití dvojných integrálů v mechanice I. TĚŽIŠTĚ.jsou-li x0 ay0 souřadnice těžiště rovinného obrazce Q, kteiýležívrovině xy aje-li Q =Q(x,y) jeho hustota, pak platí následující vztahy x0 =

kde M =

!ff

Q Xdxdy, y0

JJQdxdy je hmotnost obrazce. Q

=!ff Q

!!Jdxdy,

(I)

Je-li obrazec homogenní, pak ve vztazích (1) můžeme položit Q = l. 2. MOMENT SETRVAČNOSTI. Momenty setrvačnosti lx a J Y rovinného obrazce Q, který leží v rovi­ _ ně xy , vzhledem k osám x a y, se dají vyjádřit rovnostmi I,=

ff Qy 'dxdy, 1, =[fex'dxdy, Q

(2)

Q

kde_ Q = Q (x,y) je hustota obraz�e. O�tředivj moment setrvačnosti se vyjadřuje vzorcem

I,_,�

JJ exydxdy.

(3)

Dosazením Q = 1 do vzorců (2) a (3) získáme geometrické momen.ty setrvačnosti rovinného obrazce.

--- 4051. Vypočtěte hmotnost čtvercové destičky o velikosti strany a, je-li hustota destičky v každém jejím bodě přímo úměrná vzdálenosti tohoto bodu od nej­ ?e"- bližšího vrcholu a je rovna g0 ve středu čtverce.

--

VÍCEROZMĚRNÉ A KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY

Najděte souřadnice těžišť homogenních destiček, které jsou vymezeny násle­ dujícími křivkami: 4053. /x +fy = {ti, x =0, y =0. 4052. a y =x 2, x +y =2a (a>O).

( . .

y 3 xy X - +-) =- (smycka). c2 a b 4057. r=a(l +cos O).

4055.

2

4056. (x 2 +y 2 ) =2a 2 xy (x>0,y>0).

4058. x = a(t-sint), y = a(l -cost)(Osts21t), y = 0. 4059. Najděte souřadnice těžiště kruhové destičky x 2 +y 2 � a 2, je-li její hustota v bodě (x,y) přímo úměrná vzdálenosti od bodu (a, O). 4060. Najděte křivku opisovanou těžištěm plochy, která je vymezená křivkami

y = ✓2px,y=0,x = X.

Najděte geometrické momenty setrvačnosti I, a I, ploch vzhledem k osám x a y, které jsou vymezeny následujícími křivkami:

4061. ..:..+L=l ..:..+2'..=1 y = 0 (b 1 >O' b2 >O' h>0).

b I .h 'b 2 h ' 4062. (x-a)2+(y-a)2 =a 2 , x = 0,y=0 (0�xsa). 4063. r=a(l +cos0, y>0).

f

4066. Najděte polární moment /0 = J (x 2 +y 2)dxdy plochy S, která je vymezena

s křivkou (x +y ) =a 2(x 2 -y 2). 4066.1 Vypočtěte odstředivý moment setrvačnosti Ixy homogenní plochy vyme­ zené křivkami ay =x 2, ax =y 2 (a>O). 4067. Dokažte vzorec /1 =11 +Sd 2 , kde /1 á /1 jsou momenty setrvačnosti obrazce o o vzhledem ke dvěma rovnoběžným osám / a /0 takovým, že /0 prochází těžištěm tohoto obrazce a d je jejich vzájemná vzdálenost. 4068. Dokažte, že moment setrvačnosti rovinné plochy S vzhledem k přímce, která prochází jejím .těžištěm (0,'0) a svírá úhel a s osou x, je roven I =IX cos2a -2/� sin a cos a+ IJ sin2a, kde IX a/J J·soumomentysetrvačnosti plochy S vzhl�dem k osám x a y a I,, = exydxdy je její odstředivý moment. s 2

2 2

ff

§ 6. TROJNÉ INTEGRÁLY

4(169.Vypočtěte moment setrvačnosti rovnostranného trojúhelni'ka o straně délky a vzhledem k přímce, která prochází jeho těžištěm a svírá úhel a s jeho výškou. '41170. Vypočtěte tlakovou sílu vody na boční stěnu x � O válcového sudu x 2 +y 2 =a 2, z =0,je-li výška hladiny vody rovna z =h. 4071. Koule o poloměru a je ponořena do tekutiny o konstantní hustotě o do 0 :::'t hloubky h (měřeno od středu koule), kde h �a. Vypočtěte tlakovou sílu tekutiny na vrchní a spodní části povrchu koule. 4072. Rotační válec o poloměru základny a a výšce b je celý ponořen do tekutiny o hustotě o tak, že jeho těžiště je v hloubce h pod hladinou a osa válce svírá úhel a se svislým směrem.Vypočtěte tlakovou sílu tekutiny na spodní a vrchní podstavu válce. 4073. Určete přitažlivou sílu homogenního válce x 2 +y 2 �a 2 , O�z�h, kterou působí na hmotný bod (0,0,b),je-li hmotnost válce rovna M a hmotnost bodu rovna m.

r--

2

2

4074. Rozdělern tlaku tělesa na plochu přítlaku .:__ + L � 1 je dáno vzorcem a 2 b2

(

2

)·.

p =p 0 I-� - Y Určete střední tlak tělesa na tuto plochu.. a 2 b2 4075. Louka, která má tvar obdélníka o stranách a a b, je rovnoměrně pokryta pokosenou travou o hustotě p kg/m 2• Jaká je minimálni' velikost práce potřebná pro svoz všeho sena do středu louky.jestliže práce na přepravu nákladu P kg na vzdálenost r je dána vztahem k Pr (O< k< I)?

§ 6. Trojné integrál,y I. PŘÍMÝ VÝPOČET TROJNÉHO INTEGRÁLU. Nechť je funkce J(x,y,z) spojitá a množina V je Omezená a definováná,nerOvnostmi: x1 =,x.s.x2, y 1 (x)"=,y=,:y (x)-, z 1 .(x,y):.:z:,;z 2 (x,y), kde y (x), 2 1 y,(x), z (x,y), z2 (x,y) jsou spojité funkce, pak trojný integrál funkce J(x,y,z) přes množinu V lze 1 spočítat podle vzorce l'7

J7(.\')

l7(X,_Y)

x1

y1(x)

z1(x,_v)

= z. ff ff(x,y,z)dxdydz fdxf dy J J(x,y,z)d V

V některých případech je vhodné použít vzorec

,,

fffJ(x,y,z)dxdydz = fdx V

kde S (x) je řez množiny V rovinou x = const.

x1

JJf(x,y,z)dydz, S(x)

V[CEAOZMÉANÉ A Kl�.IVKOVÉ INTEGRÁLY

v,

2. ZÁMĚNA PROMĚNNÝCH v TROJNÉM INTEGRÁLU. Je-li omezená a uzavřen� podmnožina prostoru uvw vzájemně jednoznačně zobrazena na množinu V prostoru xyz pomoá spojitě di,.· z ferencovatelných funkci x= x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w),jejichžJakobián D(x,y, ) má (u,v,w) D na V' téměř všude (ve smyslu míry ) konstantní znaménko, l)ak platí vzorec ) D(x,y, ld udvdw. JJJJ(x,y,z)dxdydz =JJJf(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)) D(u,v,w) z

V

V'

Speciálně tak získáme: D I) cylindriclwu soustavu souřadnic q>, r, h, kde x =rcosq,, y =rsinq,, z =h a (x,y,;: -r; D(r,q,, ) 2) sférickou soustavu souřadnic cp; V, r, kde x =réosq>cosf, y =rsincpcostlr, z =rsin 1'r a D(x,y, ) r2cosllf. D(r,q,,ljl) z

Vypočtěte následující trojné integrály: 4076. xy2z 3dxdydz, kde množina V je vymezena plochami z = xy,y = x, x =I; v z = O. dxdy dz , kd� množina V je vymezena lochami x +y +z = 4077. I, x = O, p · · · · v (I +x+y+z}3

J JJ

fff

y=O, z = O. 4078. xy z dxdyd z , kde množina V je vymezena plochami x 2 +y 2 +z 2 =I, v . x = O, y=O, z=O. . . •. 4079. +ť_ +�)dxdy dz, kde množina V je vymezena plochou a2 b 2 c2 x2 y2 z 2 -+-+-=l. a2 b2 c 2 ✓x 2 +y 2dxdydz, kde množina V je vymezen� plochami x 2 +y 2 =z 2, 4080. v z = I.

JJJ

fff [ _:__'_ JJ J

Najděte meze integrace při různém pořadí integrování v následujících výrazech:

J J dy J f(x,y, )d . I

1-x

4081. dx o

x+y

z

O

O

x 2 1-y 2

J J J I

I

z

f(x,y,z)d z . 4083. dx dy o o o

i-

4082.

✓i-x

Jdx J I

-I

--

2

J 1

dy

-../17 ✓x

2

f(x,y,z)dz.

+y2

§ 6. TROJNÉ INTEGRÁLY

. ijijÍ;!)l ahraďte' následující trojné integrály jednorozměrnými: tj�;;.:;

x

�

11

4085.

f f f

d � d TJ f(Od (. �tfgos4. �, f '.'! . o o o '.i�ít: :::�-):

�';E:"

I

I

x-+y

o

o

o

fdxfdy f f(z)dz.

J J J A

B

C

\f,"·4086. Vypočtěte dx dy f(x,y,z)dz,je-1i f(x,y,z) =F:;:(x,y,z) a a,b,c,A,B, C jsou -·•-·

a

konstanty.

b

c

Vypočtěte následující integrály pomocí přechodu ke sférickým souřadnicím: 4087. Jx 2 +y 2 +z 2 dxdydz, kde množina V je vymezena plochou

JJJ

•x2+y2+z2=z.

,/17 ,/2-.,.-

J J 1

4088. dx O

dy

O

J

2

-y 2

z 2 dz.

,/x 2 +y2

4089. Převeďte do sférických souřadnic integrál

J J Jf(Jx +y 2

2

+z 2 )dxdydz, kde

množina V je vymezena plochami z =x2 +y2, x =y, x = 1, y =O, z =O. 4090. Vypočtěte následující integrál pomocí vhodné záměny proměnných:

III .. ·v

X2 y 2 z 2 X2 y 2 Z 2 1 - - - - -=-dxdydz, kde V je vnitřek elipsoidu - + -2 +-2 = 1. a2

b2

c2

a2

b

c

4091. Vypočtěte následující integrál pomocí přechodu k cylindrickými souřad­ nicím: 2 2 2 2 j(x +y )dxdydz, kde množina V je vymezena plochami x +y = 2z, z = 2. v 4092. Vypočtěte integrál x 2dxdydz, kde množina V je vymezena plochami v 2 2 z=ay , z=by , y>O (O O a je vymezena plochami z -�-, z -�-, xy =a 2, xy =b 2,

--

y =ax, y =Px (O, ljJ) D (x,y, z )

::;

4112.

-i< ljJ < !) , které jsou definovány následujícími vztahy: x =ar cos"

O,y

>

O).

=O,

-

2 +y2

--

+z

2 �4az

2 + 2 + a = 4 2? y a z 2 +y 2 = z a, plocham i x

plocha x

Vypočtěte ob jem a povrch tělesa, kteréje vymezeno

z = 2a-Jx 2 +y 2 (a>O).

(x

Z

4125.Vjakém poměru dělí ob jem koule x

4126.

par a .

§ 8. POU2!TÍTROJNÝCH INTEGRÁLŮ V MECHANICE

4127. Vypočtěte objem rovnoběžnostěnu vymezeného rovinami a ix + b iy +c i z =±h i 1

b,

C1

� (i=l,2,3),je-li L\.=a 2 b2 c 2

..

,eQ.

a3 b3 c3

4128. Vypočtěte objem tělesa vymezeného plochou

4129. Vypočtěte objem tělesa vymezeného plochou (

Y2 -+x2

) n

z

2n

z

(

x

2

Y

2

) n-2

+-=- -+(n> 1). c 2" h a2 b2 b2 . -� 4130. Vypočtěte objem tělesa, které se nachází v prvním oktantu prostoru xy z (x;, O,y;, 0,z;, O) aje vymezeno následujícími plochami:

a2

§ 8. Použití trojných integrálů v mechanice · I. HMOTNOST TĚLESA. Jestliže těleso má objem V a Q =Q(x,y,z) je jeho hustota v bodě · pak je jeho hmotnost rovna

ff Qdxdydz.

(x,y,z),

M =J

2.

TĚŽIŠTĚ TĚLESA.

x0

(I)

Souřadnice těžiště tělesa (xO'y0,z 0) se vypočítají podle následujících vzorců:

=�ffvf QXdxdydz, y =�ffvf Qydxdydz, z =�ffv f Qzdxdy 0

0

dz.

(2)

Je-li těleso homogenní, pak můžeme ve vzorcích (1) a (2) položit Q = 1.

3. MOMENTY SE'IRVAČNOSTI. Momenty setroačnosti tělesa vzhledem k souřadnicovým rovinám se vyjadřují následujídmi integrály:

I,,=ffvf

QZ

dxdydz, t,, = J

2

ff QX dxdydz, I,,= fff Qy dxdydz. 2

v v Momentem setrvačnosti tělesa vzhledem k dané ose l se nazývá integrál 11 =

JJJ gr dxdydz, 2

2

VfCEROZM�RNÉ A KŘIVKOVĚ INTEGRÁLY

kde r je vzdálenost bodu tělesa (x.y,z) od osy l. Speciálně pro osy x, y, z platí následujíd vztahy: Ix =Ixy +Ixz' Iy =Iyx +Iyz' Iz =Izx +Izy .

Momentem setroačnnsti těksa vzh/,edem počátku soustavy souřadnic se nazývá integrál Q(x 2 +y 2 +z 2)dxdy dz. 10 = Přitom zřejmě platí

JJ J

l = l +I_n 0 +[zx' xy

4. POTENCIÁL riHOVÉHO POLE. Newtonauým potenciálem tělesa v bodě (x,y,z) se nazývá integr ál d�d 11d( kde V je objem tělesa, Q =Q(t 11,() je jeho hustota , u(x,y,z) , J Q(�, 11, ()

=ff

Hmotný bod o hmotnosti m a těleso se vzájemně přitahují silou F = (F x,F 'Fz),jejíž projekce na J osy x,y,z jsou rovny:

kde k je gravitační konstanta.

4131. Vypočtěte hmotnost tělesa jednotkového objemu O� x � I , O� y � I , O ,;z,; I ,jestliže hustota tohoto tělesa v bodě (x,y,z) je dána vzorcem Q =x +y +z. 4132. Vypočtěte hmotnost tělesa, které vyplňuje neomezenou množinu x 2 +y 2 + z 2 � 1 , jestliže hustota tohoto tělesa se mění podle zákona Q = Q0 e -k

✓,' +y' +,', kde Q

0

> O a k> O jsou konstanty.

Vypočtěte souřadnice těžišť homogenních těles vymezených následujícími plochami: x 2 y2 22 4133. -+-=-, z=c. a 2 b2 c 2 4134. z = x 2 +y 2 , x+y=a, x=O, y=O, z=O. 4135. x 2 =2pz, y 2 =2px, x= P , z=O.

2

2 z2 x y 4136. -+-+-=I x=O y=O z=O. .,• ' ' a 2 b2 C 2 2

--

§ 8. Pou!rTfTROJNYCH INTEGRÁLŮ v MECHANICE

(n > 0,x 2: O,y 2: O,z 2: O) .

..... Al41.

4142. Vypočtěte souřadnice těžiště tělesa tvaru krychle O,; x,; 1, O,; y,; 1, O,; z,; 1, :·;

jestliže je jeho hustota v bodě (x,y,z) rovna O

o, i= 1,2, ... ,n).

§ 10. VÍCEROZM�RNÉ INTEGRÁLV

4210.Vypočtěte objem n-rozměrného kužele vymezeného plochami 2

XI

2

2

2

Xn

Xn-1

X2

-+-+ ... +--=-' 2

al

2

2

2

a2

an

an-l

X =a. n n

4211. Vypočtěte objem n-rozměrné koule x� +xi + ... +x; sa 2•

4212. Vypočtěte integrál .

2

fJ-Ó-Jx;dx 1 dx2

2

:µerovnostnu x 1 +x2 + ..• +xn2 _ 1 :s;a 2 ,

4213. Vypočtěte integrál

•••

dx., kde množina Q je definována

h h -2:s;;xn:s;2.

ff f J1 ...

x�+xi+ ... +x;s.1

dx 1 dx2 ••• dx 2

2

•

2

-xl -x2 - ··· -xn

4214. Dokažte rovnost jdx 1 J dx2 •• .'/f(x.)dx. = jJ(u) (�n-�G�' du. o o o o

4216. Dokažte Dirichletův vzorec

f(p,)f(p2) ... r(p.) ' p,+ + ft(u)u p, .. +p.,-ldu O), f(pl •P2 •···•P.) o · je-li f(u) spojitá funkce. =

NÁVOD: Použijte metodu matematické indukce.

4218. Převodem na jednorozměrný integrál vypočtěte n-rozměrný integrál (n� 2)

ff ... ft( ✓x, +x; + ... +x; 2

) dx dx ••• dx definovaný na množině 2 1 .

--

x� +xi + ... +x; sR 2, kde /(u) je spojitá funkce.

ViCEAOZMl:RNÉ A KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY

. • • 4219. Vypočtěte . potenciál homogenní koule s poloměrem R a hustotou Q0, 2 , dxt dyt d zt d x2 dy2 dz 2 !lo = I]. vypoctete mtegral u --------, 2 r 1,

ffffff 2

2

2

X i +yl +zl sR

2

2

xi+Ji+zisR 2

n

kde . L a„IJ xI.xJ. (aI).. =aJI..) je pozitivně definitní kvadratická forma. . i,J = l

§ 11. Křivkové integrály I. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL PRVNÍHO DRUHU. Jestliže f(x,y, z) je funkce definovaná a spojitá v bodech hladké křivky C: x = x(t),y=y(t), z=z(t) (t0 0, b>0, n>0)

NÁVOD: Použijte parametrizaci .=_ = cos21n

0, b>0 , c>0, n>0 ).

4318. Epicykloidou nazveme křivku, kterou opisuje bod na kružnici o poloměru r

valící se po vnější části nehybné kružnice o poloměru R. Vypočtěte obsah plochy,

kterou vymezuje epicykloida, za.předpokladu, že poměr R = nje přirozené číslo. · r · Vyšetřete speciální případ r =R (kardioida). 4319. Hypocykloidou nazveme křivku, kterou opisuje bod na kružnici o poloměru r valící se po vnitřní části nehybné kružnice o poloměru R. Vypočtěte obsah plochy, kterou vymezuje hypocykloida, za předpokladu, že poměr R/r =n je přirozené číslo ( n 2 2 ). Vyšetřete speciální případ r =R/4 (astroida). 4320. Vypočtěte obsah části válcové plochy x 2 +y 2 =ax, kterou vymezuje plocha x 2 +y 2 +z 2 =a 2 .

§ 13. Vvužrri KŘIVKOVÝCH INTEGRÁLŮ VE FYZICE

p

4320.1 Dokažte, že objem tělesa, které vznikne rotacíjednoduché uzavřené křivky C umístěné v horní polovině y;,, O kolem osy x, je roven V= - n

t

y 2 dx.

C

1 d d 4321.Vypočtěte integrál /=--J. X Y-Y X,kde = ax+by, Y=cx+dy a jednoX 21t x 2 +Y 2 duchá uzavřená křivka C obíhá počátek soustavy souřadnic (ad-bc,; 0). 4322. Vypočtěte integrál I z předchozí úlohy, jestliže X=cp(x,y), Y=ijr(x,y) a jednoduchá uzavřená křivka C obíhá počátek soustavy souřadnic, přičemž křivky cp(x,y) =O a ijr(x,y) =O se několikrát protínají uvnitř plochy vymezené křivkou C. 4323. Dokažte, že je-li C uzavřená křivka a l libovolný směrový vektor, pak ·- pcos(l,n)ds = O, kde n je vnější normálový vektor ke křivce C. _'.__ �324. Vypočtěte hodnotu integrálu •

p C

.

[xcos(n,x) +ycos(n,y)]ds, kde C je jedno-

duchá uzavřená křivka, která je hranicí omezené plochy S, a n je její vnější normálový vektor.

.!.

p

(F·n)ds, kde S je plocha vymezená křivkou C, která S C obíhá bod (x0,y0), d (S) je průměr plochy S, n je jednotkový vektor vnější normály ke křivce C a F je spojitě diferencovatelný vektor na SuC.

4325. Najděte lim

d(S)-0

§ 13. Využití křivkových integrálů ve fyzice 4326. Jakou silou přitahuje hmotnost M rovnoměrně - rozložená na horní 2 2 2 -- půlkružnici x +y =a , y.:O, bod o hmotnosti m, který je umístěn v počátku soustavy souřadnic? _ 4327. Vypočtěte logaritmický potenciál jednoduché vrstvy u (x,y) =

p C

xln 7ds, kde

x = const jejejí hustota, r = V(�-x)2 +(ri-yf a Cje kružnice �2 +TJ 2 =R 2 . 4328. Vyjádřete v polárních souřadnicích

J

2x

J

2x

Q

a cp logaritmické potenciály jedno-

duchévrstvy / 1 = cosm tjrln;diJr a /2 = sinmijrln : dtjr, kde r je vzdálenost mezi . o o '="body (Q,cp) a (l,tjr) a m je přirozené číslo.

ViCEROZM�RNÉ A KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY

p

cos , n ) (r ds, kde r =J(� -x)2 + (Ti -y) 2 r C je délka vektoru r, který spojuje bod (x,y) s bodem M =(�,Ti) jedn oduché uzavřené křivky C, a (r,n) je úhel mezi vektorem r a vnějším normálovým vektorem n ke křivce C v jejím bodě M. 4330. Vyjádřete v polárních souřadnicích Q a q> logaritmicképotenciály dvojité vrstvy 21t 21t n cos ) .,, cos (r, n )d•'• •" (r, ,,, K d 't', K2 cosm'+' s1nm'+' ... , 1 r r o o kde r je vzdálenost mezi bodem A= (Q,q>) a proměnným bodem M = (I, ljl), (r, n ) je úhel mezi směrovým vektorem AM = r a vektorem pruvodiče O M =n z bodu O = (O, O) a m je přirozené čísl o . 4331. Dvakrát diferencovatelnou funkci u =u(x,y) nazveme harmonickou,jestliže . ··• a2u + -a2u = OD ' ze • u Je . h armomc "kou fuk' . okazte, n CI tehdy vyh OVUJe rovmo u u= -ax 2 ay 2 au a a jen tehdy, když ds =O, kde C je lib ovolná uzavřená křivka a u je an C an 4329. Vypočtěte Gaussův integrál u(x,y) =

=f.

=f

p

derivace podle vnější normály k této křivce. 4332. Do kažte, že

ff[( �: S

r

+( �; rrxdy

=-ff S

u udxdy +fu�: ds, t:.. C

kde hladká uzavřená křivka C je hranic í omezené plochy S. 4333. D okažte, že funkce, která je harmo nická uvnitř omezené množiny S a na její hranici C, je jednoznačně určená svými hodnotami na křivce C (viz úloha 4332). 4334. Dokažte druhou Greeno u větu v rovině v au av u v dxdy = P an an ds, t:.. u t:..v

ff S

C

U

V

kde hladká křivka C je hranicí omezené plochy S a � je derivace ve směru an vnější normály ke křivce C. 4335. Užitím druhé Greenovy věty dokažte, že jestliže u =u(x,y) je harmonická funkce na uzavřené omezené množině S, pak

--

§ 13. VYUŽITÍ KŘIVKOVÝCH INTEGRÁLŮ VE FYZICE

au u(x,y) =-1-f (u alnr -lnr ) ds, an 21t C an

kde C je hranice množiny S, n je vnější normálový vektor ke křivce C, (x,y) je

vnitřní bod množiny S a r =J(� -x)2 + (TJ -y) 2 je vzdálenost mezi bodem (x,y) a bodem (t TJ) na křivce C.

NÁVOD: Uvažujte bod (x,y) množiny S spolu sjeho nekonečně malým kruhovým okolím a použijte druhou Greenovu větu na zbylé části množiny S.

-f

4336. Dokažte větu o střední hodnotě pro harmonickou funkci u (M) = u (x,y) ve tvaru 1 u(M) =u(�. TJ)ds, 21tR c

•- kde C je kružnice o poloměru R se středem v bodě M. 4337. Dokažte, že funkce u (x,y), která je harmonická a nekonstantní na omezené -··•-uzavřené množině, nenabývá své maximální ani minimální hodnoty ve vnitřním bodě této množiny (princip maxima). 4338. Dokažte Riemannovu rovnost L[u] M[v] dxdy=f Pdx+Qdy,

ff S

U

V

C

. av av a2 v 00 au a2 u kde L[u] =--+a- +b-+cu, M[v] =-- -a--b- +ev (a,b,c JSOU konay ax axay ay ax axay stanty), P a Qjsou funkce a křivka C je hranicí omezené množiny S. 4339. Nechť u =u(x,y) a v =v(x,y) jsou složky rychlosti stacionárního toku tekutiny. Vypočtěte množství tekutiny, které vyteče za jednotku času plochou S vymezenou křivkou C (tj. rozdíl mezi množstvím kapaliny, která vyteče a přiteče danou plochou). Jakou rovnici splňují funkce u a v, jestliže je tekutina nestla­ čitelná a v ploše S nejsou žádné zdroje ani odtoky kapaliny? �� 4340. Podle Biotova-Savartova-Laplaceova zákona indukuje elektrický proud i , který protéká vodičem délky ds, v bodě M =(x,y,z) magnetické pole o intenzitě (r x ds) dH =ki r3 ' kde r je vektor, který spojuje element ds s bodem M a k je příslušný koeficient úměrnosti. Najděte jednotlivé projekce H,,H ,H, intenzity H v bodě M y v případě vodiče tvaru smyčky C.

VICEROZMl=RNÉ A KŘIVKOVÉ INTEGRALY

§ 14. Plošné integrály

• PLOŠNÝ INTEGRÁL PRVNÍHO DRUHU. Jestliže S je po částech hladká oboustraoná plocha 11.

I

I

x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) ((u,v)dl) (I) a f(x,y,z) je funkce defi novaná a spojitá ve všech bodech plochy S, pak definujeme plošný integrál prvního druhu předpisem

fff(x,y,z)dS= fff(x(u,v),y(u,v),z(u,v))JEG-F 2 dudv, (2) o s G=( a x)' •( ay)' •(�)', F=� a x kde E=( ax)' au au av av au av au av au av au av Speciálně, jestliže má rovnice plochy S tvar z =z(x,y) ((x,y) e o), kde z(x,y) je jednoznačná spo­ jitě diferencov atelná funkce, pak platí

•(.Sl'..)'•(�)',

!

I•( ::

ff(x,y , z)dS = [ ff(x,y, z (x,y))

r •( :;r

+.Sl'...Sl'..+��-

dxdy.

Tento integrál nezávisí na volbě sn:any-plochy S. Jestliže budeme funkci f(x,y, z) považovat za hustotu plochy S v bodě (x,y,z), pak má integrál (2) význam hmotnosti této plochy. 2. PLOŠNÝ INTEGRÁL DRUHÉHO DRUHU. Nechť S je hladká oboustraoná plocha, S• je její strana, kterou charakterizuje směr normálového vektoru n{cosa,cosp,cosy} a nechť P=P(x,y,z), Q =Q(x,y,z) a R =R(x,y,z) jsou tři funkce definované a spojité na ploše S. Plošný iruegrdl druhého druhu definujeme jako ffPdydz+Qdzdx+Rdxdy= J J(Pcosa.+Qcos�+Rcosy)dS. (3) s s· • J es� ižeje plocha S zadána v parame trickém tvaru (I), pak srn ěrové kosiny normálového vektoru n � . maJt tvar . C . A B . = --;::::;::::: cosa ===• cosP=--;::;;::= =:;;• cosy---;::;:=:::;:=:;;, . . :::;: ±JA2+B 2 +c2 ±JA 2 +B-2+c 2 ±JA 2 +B 2 +C 2

_1

i

i

a(y, z ) = B(z, x ) C = B(x,y ) ,B a znaménko před výrazem se určuje způsobem odpovída, B(u,v) . B(u,v) B(u,v) jícím zvolenému směru normálového vektoru. V případě přechodu na druhou stranu S - plochy S se mění znamén_ko integrálu (3). . kde A=

'

4341.Jak se liší hodnoty plošných integrálů 2 2 / = J(x 2 +y 2 +z 2 )dS a / J(x 2 +y +z )dP, 2 1 s p je-li S sférax 2 +y 2 +z 2 = a 2 a P povrch osmistěnu lxl +lyl +lzl =a vepsaného do této sféry? zdS, kde S je část plochy x 2 +z 2 = 2az (a>O) vymezená 4342. Vypočtěte

f

ff s

plochou z = Jx 2 +y 2 .

=

f

§ 14. PLOŠNÉ INTEGRÁLY

Vypočtěte následující plošné integrály prvního druhu:

J j(x +y+z)dS, kde S je plocha x +y +z =a z;, O. s 4344. J j(x +y )dS, kde S je povrch tělesa Vx +y sz,; 1. s dS 4345. J J , kde S je povrch čtyřstěnu x +y +z,; I, x;, O, y;, O, z;, O. (1 +x +y) s 4346. J f lxyz I dS, kde S je část plochy z =x +y kterou vymezuje rovina z 2

4343.

2

2

2

2

2

2

,

2

2

2

2

,

s

=

1.

ff

d:, kde S je elipsoid a h je vzdálenost jeho středu od tečné roviny 434 :__ ; 7. s � v bodě d S elipsoidu. 4348. fzdS, kde S je část šroubové plochy x =ucosv, y =u sin v, z =v

J

(O , z=_!!:_ q> od bodu A= (a, O, O) k bodu 21t B=(a,0,h). NÁVOD: Doplňte křivku p(!IB) úsečkou a použijte Stokesovu větu.

4369. Nechť Cje uzavřená křivka, která leží v rovině xcosa +ycosP +zcosy-p =O (cosa, cosp, cosy jsou směrové kosiny normálového vektoru roviny) a která vymezuje plochu S. Vypočtěte dx dz dy

f C

cosa cosp cosy, X

z

y

přičemž křivka C je kladně orientována.

Užitím Stokesovy věty vypočtěte následující integrály: 4370. p (y +z)dx +(z +x)dy +(x +y)dz, kde C je elipsa x =asin2 t, y =2asintcost, C

z =acos2 t (Os t,; n) orientovaná ve směru růstu parametru t .

4371. p(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz, kde Cje elipsa x 2 +y 2 =a 2 , �+-=-=l . .a h c (a> O, h > O) orientovaná proti směru hodinových ručiček vzhledem ke kladné Části OS)' X. 4372. p(y 2 +z 2)dx+(x 2 +z 2)dy+(x 2 +y 2 )dz, kde C je křivka � 2 +y 2 +z 2 ,;2Rx, C

x 2 +y 2 =2rx (O O).

Pomocí Gaussovy-Ostrogradského věty vypočtěte následující plošné integrály: 4387. x 2dydz +y 2 dzdx +z 2 dxdy, kde S je vnější strana pláště krychle Osx �a, s Osysa, O� z sa. 4388. x 3 dydz +y 3 dzdx +z 3 dxdy, kde S je vnější strana sféry x 2 +y 2 +z 2 =a 2• s 4389. (x -y +z) dydz +(y-z +x)dz dx +(z -x +y)dxdy, kde S je vnější strana plochy s lx-y+zl +ly-z+xl +lz-x+yl =I.

ff

fJ

ff

4390. Vypočtěte

J J (x cosec +y cos� +z cosy)dS, kde S je část kuželové plochy 2

2

2

x 2 +y 2 =z 2 (Oszsh) a cosec, cos�, cosy jsou směrové kosiny normálového vektoru této plochy. NÁVOD:

--

2 2 �važujte navíc část roviny z =h, x +y sh 2.

§ 16. GAUSSOVA-OSTR0GRADSKÉH0 VĚTA

4391. Dokažte rovnost d� d d ( cos(r, n )dS, ; II I =½II s v kde S je uzavřená plocha, která vymezuje těleso V, n je vnější normálový vektor plochy S v jejím bodě (�. TJ,0, r=J(� -x) 2 +(TJ -y) 2 +(( -z) 2 a r je vektor průvodiče spojujícího bod (x,y,z) s bodem (�.TJ,(). 4392. Vypočtěte Gaussův integrál co n l(x,y,z)= I s(;, ) dS, I r kde S je jednoduchá uzavřená hladká plocha, která v ymezuje těleso V, n je vnější normálový vektor plochy S v bodě (�,TJ,(), r je vektor průvodiče spojují cího bod (x,y,z) s bodem (�.TJ,() a r =J(� -x)2 +(TJ -y)2 + (( -z)2 • Uvažujte dva případy: a) těleso vymezené plochou S neobsahuje bod (x,y,z); b) těleso vymezené plochou S bod (x,y,z) obsahuje. ' 2 2 u 2u u 4393. Dokažte, že je-li ti. u= a + a + a a S je hladká plocha, která v ymezuje 2 ay 2 az 2 ax těleso V o konečném objemu, pak platí následující vztahy: a

) ff:

s

II

dS =f f t.udxdydz; f

v

I

II[( :r +( :r+(

u :d s f :r}x dy dz+JJ ut.udx dy dz , = s v v kde u je funkce spojitá na množině V u S spolu se svými parciálními derivacemi

b)

do druhého řádu včetně a

au an

je její derivace podle vnější normály k ploše S.

4394. Dokažte druhou Greenovu větu v prostoru:

fff

t.:

au av an dS, t.: dxdydz =ff an u v s

v kde těleso Vje vymezeno plochou S, n je směrový vektor vnější normály plochy S a funkce u =u(x,y,z), v =v (x,y,z) jsou dvakrát diferencovatelné na množině Vu S.

4395. Funkce u=u(x,y,z), která má na nějaké množině spojité derivace do druhého řádu včetně, se nazývá harmonickou na této množině, jestliže a2 u a2 u a2 u ÁU=-+-+-=0. 2 ax 2 ay 2

--

a,

ViCEROZMl=.ANÉ A Kl�UVKOVÉ INTEGRÁLY

:r +(

Dokažte, že jestliže je u harmonická funkce na omezené uzavřené množině V, která je vymezena hladkou plochou S, pak platí následující vztahy: a)

fs

J:dS=O;

b).

fffv [( :r+(

r dz= �:r xdy

ffs

u ::ds,

kde n je vnější normálový vektor plochy S. Pomocí vztahu b) dokažte, že harmo­ nická funkce na množině V je jednoznačně určena hodnotami na její hranici S. 4396. Dokažte, že je-li funkce u = u (x,y,z) harmonická na omezené uza­ vřené množině V, která je vymezena hladkou plochou S, pak cos (r, n) 1 au l U--'--'--'-+--]ds , U (X,, J Z)-- _-2 :,,.,. 4 1t rvn · r.

ff[ s

kde r je vektor průvodiče spojujícího vnitřní bod (x,y,z) množiny V s bodem (�,TJ,() ploc hy S, r = ✓ -x)2 + (TJ -y) 2 + (( - z)2 a n je vnější normálový vektor plochy S v jejím bodě (�,TJ,(). 4397. Dokažte, že je-li funkce u =u(x,y,z) harmonická uvnitř sféry S o poloměru R a středu v bodě (x O'y0 ,zJ, pak 1 fu(x,y,z)dS (věta o střední hodnotl). u(x0,y0,z0) = 4nR 2 s 4398. Dokažte, že funkce u = u(x,y,z), která je spojitá na omezené uzavřené množině V a harmonická uvnitř této množiny, nenabývá své maximální ani minimální hodnoty ve vnitřním bodě, pokud není identicky konstantní funkcí (princip maximá). 4399. Těleso V bylo ponořeno do kapaliny. Pomocí Pascalova zákona dokažte, že těleso je nadlehčováno silou orientovanou vzhůru, jejíž velikost je rovna tíze kapaliny stejného objemu, jako je objem tělesa (Archimedův zákon). 4400. Nechť S, je koule (�-x)2 +(TJ-y}2 +((-z}2 =t 2 o proměnném poloměru a nechť f (�,TJ,() je spojitá funkce. Dokažte, že funkce

) v polárních souřad­ nicích r a

O). Výsledek ověřte pomocí Gaussovy. Ostrogradského věty. 4445.1 Vypočtěte tok vektoru a =x 3 i +y 3j +z 3 k sférou x 2 +y 2 +z 2 =x. 4446. Dokažte, že tok vektoru rot a plochou S zadanou rovnicí r = r(u, v) ((u, v )EQ)je roven

ff

an dS=

ff (a::

::)dudv,

o kde an =a·n a n je jednotkový normálový vektor plochy S. 4447. Vypočtěte tok vektoru a =mr/r 3 (m je konstanta) uzavřenou plochou S, která obklopuje počátek soustavy souřadnic. 4448. Vypočtěte tok vektoru n s

a(r) = L,.grad ( i=l

---2....), 41tri

kde ei jsou konstanty a r i je vzdálenost bodu Mi (zdroje) od pohybujícího se bodu M (r), uzavřenou plochou S, která body Mi = (i= 1, 2, ... ,n) obklopuje. 4449. Dokažte, že

Js J a n JJv f ; +

2

00

;

2

2

-co; +eo. 107. -; -oo. 108. O;+=; O;+«>, 109. -(x))=sgnx (x,0). 208. q,(q,( x))=q,(x);

if,(q,(x)) = if,(x); if,(if,(x)) = q,(if,(x)) =O. 212. x 2 -2

(lxl;,: 2.!.). 2

213.

1-x 209. --;x (x,O,x'1).

l+ �. x

X

213.1 /(x)

=(2-) l -x

2

•

X 2 210.[,(x =--. 211.x -5x+6. n ) � +nx yl

221. a)Je rostoucípro a >O a·klesajÍcí

pro a O je klesající na intervalu (-00, - :a) a rostoucí na intervalu (-:a,_+,.,); c)je ros�oucí;

00, -f) (-f, 00) ;

d)pro ad -bc >Oje rostoucí na intervalech (-

a

O O). 1043.y'.=-cgt " " a :,: a 2 +1 c1 \ 1t, k je celé) . 1044. y: =cotg½ (t .t 2k 1t, k je celé). 1045. y � =tgt · tg(t

(t

(

tF�+kn,t,i1,�+k1t,kcelé). 1046.y 1 =sgnt(0< lt1 07,3. 1064. a) 2arctg 1061. ; arctg = 37 . 1062. arctg2y2 ; b) . i;;T 2 4 2

'

1066.1.:.1. 1069. !..._ 1071.b 2 -4ac = 0. 1072. +(i.)' =O. 1073.a = ...!.... 1077. a) 3x-2y = O, n !al 3 2 2e 2x +3y=O;b) 3x-y- I =O, x +3y -7 = O. 1078.a ) y=x, y=-x; b) 3x-y-4 =O, x + 3y -3=O; c) y= -x, y=x. t 1079. y -2a =(x-alJcotgf. Tečna cykloidy je kolmá k úsečce, která spojuje bod dotyku tečny s bodem

(t)'

dotyku kutálející se kružnice. 1081. 3x+5y -50 = O, 5x -3y - 10,8 =O. 1082. x +2y -3 :O, 2x -y -1=O. 1083. 6/(1) =6x +3(6x)' +(6x)'; df(l)=6x. a)5,1; b)0,131; 0,1; c) 0,01030 1, 0,01.

1084.6 x =2061 +5(61) 2 ; dx=2061;a) 25m, 20m; b) 2,05 m. 2m; c)0,020005m, 0,02m. 1085. - dx (x, O).

dx sgna dx dx (lxl • lall- 1088, --. 1089. ---. dx (lxl < !al). , 1086. ____ 1087. --, 2 a 2 +x 2 x -a Jx +a Ja 2 -x� . 3dx 2 - lnx xdx dx 1090.a)(l+x)e'dx;b)xsmxdx;c) -- (xO);e) (lxlO). 1096.a) l-4x 3 -3x 6 ;b) -(cosx---l ;c) -cotgx (x-,1,k1t,kJecele); x u 2 +v 2 2x2 d) -tg2 x (x +k-n, k je celé) ; e) -1 (lxl< 1). 1097. a) Zvětší se o 104, 7 cm 2; b) zmenší se o 43,6 cm 2. l- x 2

2xdx

„ j"

--

VÝSLEDKY

1098. Zvětšit o 2,23 cm. 1099. 1,007 (podle tabulek; 1,0066). 1100. 0,4849 (podle tabulek; 0,4848). 1101. -0, 8747 (podle tabulek; -0, 8746). 1102. 0,8104 • 46° 26' (podle tabulek; 46 ° 24' ) . 1103, 1,043 (podle tabulek; 1, 041 ). 1104. a) 2,25 (podle tabulek; 2,24); b) 5,833 (podle tabulek; 5,831); c) 10,9546 (podle tabulek; 10,9545 ). 1105. a) 2,083 (podle tabulek; 2,0 80); b) 2.9907 (podle tabulek; 2,990 7); c) 1,93 8 (podle tabulek; 1,931); d) 1,9954 (podle tabulek; 1,9953). 1106. 0,24 m 2; 4,2%. 1107. 6• s 0,33%. 3x x(3 +2x2 ) 1108. a) 6g =61 ; b) 6g =26 " 1109. 0,436. 1111, �-,-. 1112.--,,--;:; (lxl < I). l T (l +x 2),12 ( x2)sn _ 2sinx 2k+l 2x 2 1113. 2e x (2x -1). 1114. -ctgx. (X'--rc,k=0,±1, ... . 1115.--+2ar 2 cos3 x l +x2 ( 2x ) csinx l l < I (x 1116. �. I • ' u ). 1117. .'.. (x>0). 111 8. l(x)l"M-ť(x) (f(x)>0). X (I -x')' (l -x 2 )°n f(x)

l

%

1119. -!sin(lnx) (x>0) . 1120.y(0)=l,y 1(0)=1,y 11(0)•0. 1121. 2(uu 11+u 12) . X Uu"-u" vv"-v 12 ") ( iv- v i 2 1122. ---,(uv>O). 1123. (u ' +v ')(uu " +vv + u u ) (u2+v2>0). 2 2 2 2 u u v ( +v )m

1124. y 11

•u"[(

1

v : +v 11nu)' +v

uu u •+ 2u 1 + 11 1nu :: v ]. 1125. y" •4x 2l11(x 2) +2f'(x'); :�

y Ill=8x'l111(x ') + l2xf"(x'). 1126.y "·_]_!"(.!.) +!...f'(.!.); y 111 a - -, 1111(.!.) -�111(.!.) - �ť(.!.). x x3 x x x x4 x6 x5 x4 x 1127.y 11 =e 2"ť'(e x) +e "f 1(e j; y m ::e '!"f111(e ,:) + 3e hf11(e-j +e xť(e x) ._ 1128. y 11 =_!_ [f"(lnx) -/'(lnx)]; x' y 111• _]_[f111 (1nx) -3f"(lnx) + 2f'(lnx)]. 1129. y 11 • 'f'"(x)f"('f'(x)) +'f' 11(x)f'(cp(x)); 3 � 111 1 y 111 •cp�(x) l (cp(x)) + 3cp(x) cp''(x)l11 (cp(x )) +cp111(x)f'(cp(x)). 1130. a) e 'dx 2; b) e '(dx 2+d2x). d x2 2lnx-3 .2 I] x 2 . 1134., ud 2v+2dudv+ vd 2u. 1131. 1132. ---,;---d x (x>0). 1133. x x [(1 +lnx), +-d 2 312 x (I +x ) x3 (vd 2u-ud 2v)-2dv(vdu-udv) 1135: (v>0). v' 2 2 2 2 1136. u "'- v"- {[m(m -1 )v du +2mnu vdudv +n (n -l)u 2dv 7]+uv(mvd 2u +nud2v)}. 1137. a "lna(du 2lna-+d 2u). 1138. [(v 2-u 2)du 2 -4uvdudv +(u 2 -v 2) dv 2 +(u 2 +v 2) (ud2u +vd2v] (u 2 +v 2) "2 (u 2 +v 2 >O). 1139. [-2uvdu 2 +2(u2 -v 2 )dudv +2uvdv2 +(u 2 +v 2)(vd2u-ud 2v }](u2 +v 2f2 (u 2 +v 2>O). 3 3 l , 3cost t•h,k. ecel e,. ). 1140.y 11 •--;y m •---; (1'1). 1141.y " •---;y"•----( J 3 3 2 4(1-t) 8(1-1 asin i ) a sin5 t . . t cos2 e -1 1142.y"=; y 111 (t„2krt, kjecelé). 1143.y 11 ; n 4asin4 .!. 4a 2 sin 7 .!. .ficos3 (t+-l 2 2 4 Ill I m = e -21(2sin t +c;si) t" ¾ +kn, k ""O,± I,... . 1144. y 11 = f � ; y m =-:11 �� (f11([) "O). 1145. x' = y'; ' t y 3 ) .flcos5 ( t+- l

---==·

' (

l

. 4

111 - 1" /1 y2_y(4l-Ioy'y"y111 +l5 Y /fj 1 3y y 1yY x 111 ·� �-· x x 11 = --· (y *0). ,,,· y/5 ' . y /1 ' 2 3 _ 225 2x-y ' 3 5 4x 6 P " = ' = ll4S. , _ p , 47 y 11 _p_, _ y ,y" = - _ _ _5 x-2y 1024 y y' y' (x-2y )' (x-2y) (4l

--

KAPITOLA li .

2na . 2rc 41t a 21t 1152. 20- lOt, -10; O, -10. 1153. v=---sm-l 1=---cos-t. T T ' T' T 2 2 visin2a vg 1 x 2 2 2 � ; ---; -sin2o:. y=v0tsino:-L; v=Jv0 -2voKtsin«+g t , j=g; y=xtga 2 2g 2�cos2o: g 2

.,,

1155.x 2 +y 2 =25; 5lwl, 5w2 • 1156.y (6l=4·6!;y(7l=0. 1157.y 111= am(m+l)(m+2) (x*O ). (x > O), kde n!! označuje součin pfirnzených čísel, kle� nejsou větší než číslo n 1158. y = -� 2 rn x9./X 8 1 a která jsou stejné parity jakon. Například: 17!! = l ·3·5... 17. 1159.yC81 =---9 (X* 1). (l -x) = 197!! (3-99 -x) 1160. ye1001 (x < 1). 1161. Y·(20) =2 2oe 2x(x2 +20x + 95). 1162. y (IOJ =e xf (- ti A.i'o1 x" ;., 2 100 (1-x)100 .,tr='x 274 120 kde A,'0 • 10·9 ... (li -i) a Ai°o • I. 1163. y (5), _ _I!,_ ( x >O). 1164. y (S)• lnx (x > O). 6 6 "' 1165. y (5Dl = 250 1166•

(-x

x

x

2 �in2x+ 50xcos2x + 1 �25 sin2x . )

ll

27(1 -3x)2 -36. 27(1-3x)2 -28 -'J-,,, -�--'-, .,,--S10 3X-..,.-�-�1W3 ,c--COS 3X (X"'-7 3 (l-3x) " (I -3x)

x

,

1167. y (IO)= -28 sin2x-2 18 sin4x + 28 • 3 iosin6x. 1168. y (IOO) =xsinhx + lO0coshx. 1169. y C4l"'-4e "cosx.

l

60 1170. y = - +[ 144 - 160 - 96 sin2 x+( 60 - lSO + � + 32lnx cos2x. 1171. l 2 0dx 5 . ) x ) x6 xs x6 x 4 x 2 x :t 15 4 6 8 6 . 1172. ---dx 3 (x>0). 1173. -1024(xcos2x+5sm2x)dx io . 1174. e" ( lnx+---+--- dx 4 • 3 x x2 x 3 x 4 8x ,/x 3 7 4 2 6 1176. 6 9 + 1175. 8 sinxsinhxdx • 2ud iou +20dud u 90d ud u + 240d ud u +420d ud 6u .;252 (d 5u)2 • 2du 2 3dud 2u d3u 1177. e "(du 4+6du 2d 2u +4dud 3u + 3d 2 u 2+d 4 u). 1178. ------+-. 1 179. d2y =y"dx 2+y 1d 2x; u3 u2 u 11 3 =y mdx 3 + y 11dx 2 x + 1 3 ; 111 2 4 2 3 4 d y y d x d4< )=y C 1dx +6y dx d x+4y dxd x + 3y " d 2x 2+y 1d 4x. 3 d

I �x d{ dx d{ dy I ;y"'· dxl� d x d{ (-1) "·I n.r c ,,., (ad- bc)_ dy -3d'xld dy_ 1 .P'"'(x)•a n! llSO.y" I� 1188 _ 187 , d 3x (cx+d)"d dx. 5

(-1 1 1189, n![ )" + x"d (l-x}"'1

l·

3 2 1 1190. (-l)"n!L.....!.._]· 1191. 1· ...( n 1121) l �a). 12::�.�"' (x) = ( -1r[x • -m 'x • - + m ' m l ·2

1231. H"' (x)=(2xt-

m(m-l)

I!

(2x)"'-2+

m(m -

)( -2) ( -3) l m m (2x )'" -4-... 1236. Prox =O neexistuje konečná

2!

derivace['(x). 1244.(-1,-1), (1,1). 1245.NeplatL 1246.a)8=1/2;b)8=

I x 2+x.6.x + -(6.x)2 -x 3

x I ,"-I I !-. • = ) l+--1 (x(x+!-.x)>O);d)8 -ln--. 1248.c=-afl. 1250.0becne (n0,t-.x>O);c 8=x .6.x .6.x tJ.x 2 X (g x )

nelze. 1261. /(x) =c0 +c 1 x+...+c.,_ 1 x"- 1, kde ci (i=O, 1, ... ,n-1) jsou konstanty. 1268.Pro -00 -i)I· 5 5 5.fiT ,/7-.,f!, (2tg�- I ) 2 "'-1 +2tg� l 8 V" . 2 1 2+sinx . Cosxl 2 ar (-2052. -(sinx +3cosx) +--lnl------=-l 2 054. -ctg - 1n--. 5 .,f!, 4 2-smx 5,/5 ,/5+1-2tg� .,f!, 2 . 1 ,,/6 +2sinx +cosx 3 2055. -arctg(smx-2cosx)+--ln-'------. 5 l0,/6 ,/6-2sinx-cosx 1_ 3+ 2(sinx-cosx)I· 3_1n 2(sinx+cosx)+l __ 2056__ 1n 4.fi .fi(sinx+cosx)-1 4,/6 .,f!,-.fi(sinx-cosx)

KAPITOLA 111

2058 _

2sinx-cosx arctg2 · b (2n-3)a . =+-l-lnltg(.=.+ )1 2059 A ;B , 2 2 (n-l)(a2-b2) IO(sinx+2cosx)' 0 (n-l)(a2-b2) 1 ,/5

=

I J2tgx n-2 tgx+ 2tgx+I +-arctg-­ I I n�-'=c"c ,/2 +� 0"'061 . 2 vt gx--C= ---,,.--,,... 0"'060 . I In�----,''--�-,-

✓

lc osxl tgx-1 ,/2 2,/2 tgx-{2tgx+I ,/2 sinx-co sx -.!..t ( (tgx>O). 2062 . .!..arcsin( n sinx+cosx +,/2 +sin2x). ) 2 2 ,/3 2 &sinx arctg(� l -&tg.=.). 2064. --2-(cos�)"(sin�)-" (cosa-1c-O). + 2063". l+e 2 ncosa 2 2 (l-e:2)(l+t:cosx) (l-&2f'f.! (n-l)(a 2 -b 2 )

_!_) .

2x _ 2 ina t" 1, kde n > a t = n x-a si x + ·'. 2068.e3"(� _i:.+ 2065. I,. ""21,,_ 1 cosa -1„ 2 + s 2 si ( n a) 2 2 n- I 3 3 9 2i

2069. -e-x(x 2 +2). 2070.

-(x55 - 4x ' + 24x) cos 5x +(x - 12x +�) sin5x. 5 125 3 2 1 5 25 625 "'

l!

-,'

2071. (21-10x2+x4)sinx-(20x-4x3)cosx. 2072. --'-(x6+3x4+6X2 +6 ). 2 4 5 !'I 2 2073. 2e l(t -5t +20t -6 0t + 120t-120), kde t=,{x. 2074. t ax [...!_+ acos2bx +2bsin2 bxl· 2a 2(a 2 +4b 2) e"' asin3bx-3 bx-bcosbx) bcos3bx "'0076• ť 0 - . ) +cosx. -"--',075. -I-3(asin .l ---��--. - [x(smx-cosx -'--�� l 4 2 a 2 +b 2 a 2 +9b 2 2077.

e

" [x'J. (sinx+cosx)-2xsin.x+sinx-cosx]. 2 x 1 2078. e "[ - -�(2 sin2x +cos2x) +_!_(4sin2x-3cos2x)]. 2 IO 50

2079 . . !.x4 +.:!.x'J. + x 3 2 cosx -x(6 sinx +.:!.sin2x) -(5cosx+.:!.cos2x ) -.!.cos3x. 8 3 4 4 4 1 2080. �+.!..[xsin(2rx}+.!.cos(2/x). 2082. x+---ln(l +e"). 2083. e" - ln(l +e"). 2 2 4 l +e" 1 1 8 2084. -� +- In 1e • - I I +- In(t • +2). 2085. x-31n{(1 +e"'6)Ji .,.-.}-3arctg, ..,. . 2086. x+-. 6 2 3 1 +e ,:14 2087. -2arcsin�·"'). 2088. ln�•+�)•arcsin�·•). 2ť-1 2089. ýe 2" +4e" - I +2ln(e" +2 +iJe 2,:; +4e " -I).-arcsin---. ť,/5

a 2090. -.!.e-"{/i:;"x-�+.!..tn(�-I)(t-� . 2092. a1+ a2+ ,+ ... +�=0. 2 4 (�+i)(i+� . I! 2! (n-1)!

2093.ť(i-�)- 2094. -,-•-li�·•). 2095.e 4 li�"-•) -,'Ii�"·'). 2096 . ::I

21 32 •"(x2 +3 x+---•1·/.2·-•) 2097 • ) + 64 e lf 2 x-2 2 2098. x[ln"x-nln" -1x +n(n - l)ln" ·2x+... + ( -1)" 1n (n -1) ... 2lnx + (- l)"n t]. 1 2099. �( ln3 x-.:!.ln2 x +.:!.lnx-�)- 2100. ---( ln3x+.:!.t n2 x+.:!.tnx 4 4 2 2 4 8 32 2x'

+2).

2101. ln(x +a)ln (x +b).

2102. xln2 �+�-2Jt +x 2 ln�+Jt +x2)+2x. 2103. -í+xln{Jf=i+�+½arcsinx.

--

xlnx x2 x +-l ln(x 2 +2x+2) +I � arctg(x+ 1). +x-1. 2105. -2104. ---ln�+vt 2 2 2

�

VÝSLEDKY 2x'x r:; 3+x� 2x 2 -3 x I 2106. --+- ln(l +x) +--V-"arctgyx. 2107. ---y2x-x2 +---arcsin(l -x). 3 3 3 4 4

I r--::,+ x- -I) arcsmyx. . r:; 2109. 2108. -yx-x ( 2 2

sgn x c,c x' I ---vx -1 +-arccos-. 2

2

xarccosx � arccosx 1 l+x 2111.---- lnyl-x. 2112. ---+-ln--. 2 2 2 1-x b-x b-x

2114.x-

x

. 2..{x I rl 2110. 21-yxi+(l +x)arcsm--. l +x

I +x 2 2113.x-arctgx+(--arctgx-- [ln(l+x 2)-1]. 2 2

x)

x 1-x 2 x sinh4 x_ 1n l+ _ 2115. -ln�+- -1n{x+b+x 2}. 2116. -..:.+ 1-x 2 . 8 32 +x2

Ji

cosh3 x sinh2x + sinh4x. cosh6x _ cosh4x _ cosh2x 2117_ �+ 2118_ _ 2120_ lncoshx. -coshx. 2119_ 8 4 32 3 24 16 8 2121. x-cotghx. 2122. 0,5[1n� 2-'" +Je h "- 1}+arcsin� -2x)]. 2123. �arctg3-112( 2tgh.:_ +I . ) 212U ...!:...arctg tg

,/5

2124_

h

3tgh x 2 - . 2123.2 �arctg[ f]. 2123.3 �x-_:l_lnl3sinhx-:co,hxl.

,/5

3/IT

acoshaxsinbx-bsinhaxcosbx

_ 2125_

/IT

·

7

7

acoshaxcosbx-+bsinhaxsinbx.

l I 1 I x+x 3 l 1l·+x1 I l+x./3+x 2 - \2--ln 2126. --+----arctgx. 21%7; -. 21%8. --ln 5 1-x 3x' x 5x S l-x( 21 16 4./S l -x{S+x 2 2

a +b

2

a 2 +b2

I

l-x 2 arctg--. 2./S x{S

2129. 2,ÍX-3:;, +6 {x-61n('..[x+ 1) (n O). 2130. -...!:...(] 5 + !Ox +S x') (l-x) + �arcsin..[x (O I. %193.4 ;a í[(a)-/(b)]. 2201. Obecně nemusí být integrovatelná.

2181� 12.':. 2

G:,

íI;

2203. Nemusí být integrovatelná. 2206. 11..!... 2207. 2. 2208. �- 2209. 2:.. 2210. 1. 2211. I. 4 3 6 1 +,/ah I 21t 1t I . ., 1t 2212. -.-. 2213. --. 2214. -ln---. -2215. --. 2216. a) Integrovaná funkce - aJeJJ 2 labl _,2 2sma · x {rib 1-,(ab

Ji

primitivní funkce ln lxl jsou nespojité na inteivalu integrace [ C l, I]; b) funkce �arctg[:) • která je

--

primitivní funkcí,je nespoitá j na interva lu O .s;x:, 21t; c) funkce arctg..!.. je nespojitá v bodě x :Q. 2217.

X

!_ 3

I ) 2( I I 2 n 2218. 200.fl. 2219. -. 2220. ln2. 2221. -. 2222. -. 2223. -. 2224. - 2.fl-1. 2225. -. 3 e p+l 1t 4 2

VÝSLEDKY 1" 5 1t I l 2226. -JJ(x)dx. 2227. -1t. 2228. -. 2229. x+-. 2230. -. 2231. O; -sina2; sinb2. 6 2 ln2 b-a. ,/'S � 3x 2 2x _ n2 2232.a) 2xy1.,.;t" ;b) ------;c) (sinx-cosx)cos(1tsin2x). 2233.a) l;b)-;c)O. 2233.IA. �� J 2235. I.2237. a) �; b) .!._. 2238. a) !-�.J·e-li a< O; .!.-� + l; b) 2:, 5·2·· 3 2 ·323 . 23 2

je-li l«I d; �.jeli l«I >I; c) 2,je-li l«I d; -3...,je-li l«I > I. 2259. .!.in.:..2240. "· 2241. 41t. 2 2 2a2 l«I 9 4 2242. 2(1-.!:.). 2243. I. 2244. E.!é,.:/i. 2245. .!:.. 2%46. na•. 2247. ...!...1n • .fl_ 2248. 2-.:Ó. , 2 3 2 ,fl 6 16 7 ' 2249. .,!t__ 2250. �. 2251. a) Inverzní funkce x"' ±t s,2 jedvojznačná; )b funkce x"' lit je nespojitá v bodě 4 ,fl t ::O; c) neexistuje jednoznačná spojitá větev funkce x =arctgt definovaná na omezeném imervalu a oborem 3 "' hodnot od O do n. 2252. Nelze.2253. Lze. 2256. f(x +b) -f(x +a). 2260. -, 2 I O n' . 2261. jrf(arcsint)·f(n-arcsirit))dt+ jrf(2Úarc sint)-f(1t·artsinl)]dt. 2262. 4n. 2263. O

4

·I

I I 1t 5,2 6 1t 32 2264. arctg--21t.2268. 315-. 2269. -ln3--- 2270. -, --. 2271. -66-. 2272. --. 3 27 7 2 6 2 27 27 2,/3

1 2273. �- 2274. �n-,/3. 2275. 2n(...!...---). 2276. 2",/'l. 2277. 2278. n' -.:O. 270 3 6 6 4 ,/3 2,/'l 225 (2k)!! 2 k " !! lj ·e-lin•2k·/ . 2281./• ·el- in•2k+l. 2279.I(ť-1). 2280. Itn2' " (2k + I)!! ,J 8 0 1 24 5 (2k)!! 2 ,J 2282.Vizúloha2281. 2283. (·l)"[.::-(1-.!:.+.!:_._,, + (-)t "·')]. 2284. 2 2"�- 2285.Vizúloha 4 3 5 2n-l (2n•l)! 2281. 2286. I_ - ( l)"n!. 2287./ •.(·l)' {"in '2+.!:.[1".!:. •· ...•( l '·1.!:. ·. •. - �-· � ... 2··_2·___:·. - ) · n }] _ _ ·" ·cm+1r�'- ·_ 2 )!(2n) ! . 2!91. O.je-li n sudé; 1t,je-li n liché.2%92. (-l)"n. %%93. �m 2290. 2 n( 2 2" "' ' "' 1mln! (m +n)! 2

L

.
I. 2644. Konverguje pro a +b > 1. 2645. Konver�je. 2646. Konverguje. 2647. Konverguje . 2648. Diverguje. 2649. Konverguje. 2650. Konverguje. 2651. Konverguje. 265%. Konverguje pro Ct > 2. 2653. Konverguje. 2654. Konverguje. 2655. a) N> 100000; b) N.:.12; . 2 3 3 l c) N>4. 2659. -. 2660. 1-. 2661. ln 2. 2662. a) -ln2; b) -ln 2. 2664. Konverguje. 9 7 2 2 2665. Konverguje. 2666. Konverguje. 2666.1 Nevyplývá. 2667. Konverguje. 2668. Konverguje. 2669. Konverguje. 2670. Diverguje. 2671. Konverguje. 2672. Konverguje. 2673. Diverguje. 2673.1 Konverguje. 2675. Konverguje absolutně pro p > l; konverguje neabsolutně pro O

I; konverguje neabsolutně pro O I; konverguje neabsolumě pro { l; konverguje neabsolutně pro 1/2