Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants: Dosimétrie, instrumentation, protection radiologique 9782759823123

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Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants : dosimétrie, instrumentation, protection radiologique De l’approche analytique à la résolution numérique Monte-Carlo via MCNP

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants : dosimétrie, instrumentation, protection radiologique De l’approche analytique à la résolution numérique Monte-Carlo via MCNP Laurent Bourgois et Rodolphe Antoni

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ISBN (papier) : 978-2-7598-2309-3 – ISBN (ebook) : 978-2-7598-2312-3 Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés, réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 n’autorisant, aux termes des alinéas 2 et 3 de l’article 41, d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective », et d’autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite » (alinéa 1er de l’article 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du code pénal. © EDP Sciences, 2019

Table des matières

Avant-propos 7 Résumé 11  Chapitre 1   • Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques (fluence, kerma, dose et équivalent de dose ambiant) 21 1.I Calculs élémentaires du débit de fluence pour différentes géométries de sources 21 1.II Calculs élémentaires d’équivalents de doses ambiants 29 1.III Calcul de dose et de kerma pour les photons dans un milieu avec interfaces 36 1.IV Calcul du débit d’équivalent de dose ambiant dans un tuyau uniformément contaminé 45 1.V Calcul de la dose absorbée en profondeur pour des b 50 1.VI Calcul du profil de dose absorbée pour des protons de 170 MeV dans l’eau 60 1.VII Calculs du kerma neutron et des spectres microdosimétriques avec un compteur proportionnel équivalent tissu 72  Chapitre 2   • Principes de détection et réponses des détecteurs pour les grandeurs physiques de référence et les grandeurs dosimétriques opérationnelles 91 2.I Chambre fonctionnant en chambre d’ionisation pour les photons et en compteur proportionnel pour les neutrons 91

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2.II Étalonnage au 60Co d’une chambre d’ionisation 104 2.III Calcul d’un débit de dose dans un FLi 116 2.IV Mesure de H’(0.07, 0°) pour un spectre b avec une chambre d’ionisation à extrapolation 123 2.V Mesure de l’énergie et de la fluence pour des neutrons rapides mono-énergétiques au moyen d’un télescope à proton de recul 130 2.VI Mesure de l’énergie par temps de vol pour des neutrons rapides mono-énergétiques 137 2.VII Mesure du spectre neutronique au moyen des sphères de Bonner sur un poste de travail 141 2.VIII Mesure d’une dose dans un calorimètre à eau pour un faisceau de protons de 170 MeV dédié à la protonthérapie 149 2.IX Étalonnage d’un débitmètre neutron avec une source de 252Cf 156  Chapitre 3   • Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations(sources radioactives, générateurs X, accélérateurs…) 167 3.I Calcul d’un blindage pour une source neutronique d’Am-Be 167 3.II Calcul du débit d’équivalent de dose ambiant pour une source de photons de 60Co derrière un écran de 4 mètres d’eau 172 3.III Calcul de la protection biologique autour d’un générateur X 182 3.IV Calcul d’activation neutronique et du débit d’équivalent de dose ambiant résultant 194 3.V Calcul du débit d’équivalent de dose ambiant diffusé pour un faisceau de générateur X sur un fantôme d’eau 205 3.VI Calcul des protections radiologiques autour d’un accélérateur d’électrons avec une cible de conversion X 212 Références 247

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Avant-propos

Après un premier ouvrage (en français et en anglais) portant sur la physique de l’exposition externe, les auteurs font le point sur l’état de l’art en matière de calculs dosimétriques et de radioprotection au travers de problèmes liés à des applications concrètes du domaine. Pour chaque problème, l’ouvrage propose des résolutions au moyen de formules analytiques et semi-empiriques issues de la théorie de la physique nucléaire et des derniers développements de la recherche. Pour certaines problématiques (théorie des cavités, calcul des doses absorbées pour les protons, calculs de grandeurs et dimensionnements autour des générateurs X…), les données et les approches calculatoires les plus récentes figurent parmi les outils employés. De plus, dans l’essentiel des problèmes proposés, une inter-comparaison avec les résultats numériques issus d’un code de type Monte-Carlo est présentée. En effet, les codes de calculs fondés sur cette méthode sont largement répandus dans les domaines de l’exposition radiologique en raison de la qualité des estimations de grandeurs physiques et dosimétriques auxquelles ils donnent accès. En outre, l’accroissement récent des performances et la démocratisation des moyens de calculs informatiques rendent possible l’usage familier de ces codes nécessitant des ressources de calcul importantes. Le code MCNP développé au laboratoire national de Los Alamos est considéré depuis plusieurs années comme une des références dans le domaine des calculs numériques relatifs à la physique nucléaire ; il a été choisi dans cet ouvrage pour fournir, le cas échéant, les « valeurs vraies » afin d’éprouver les résultats calculés analytiquement ou de façon semi-empirique. Pour chaque cas étudié, les fichiers d’entrée sont fournis dans leur globalité et leur architecture est détaillée. Certaines géométries complexes intervenant dans la définition des scènes radiologiques simulées sont décrites ainsi que les fonctionnalités utilisées pour la

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génération et le suivi du transport des particules. Par ailleurs, un accent est mis sur les normalisations des résultats bruts de MCNP et sur les techniques de réduction de variance ajoutées pour faciliter, voire permettre, la convergence des estimateurs statistiques vers le résultat final. Sans se substituer au manuel d’utilisation de ce code, cet ouvrage fournit les éléments nécessaires pour la modélisation, la simulation et l’obtention des grandeurs recherchées dans le contexte des thèmes abordés. L’ensemble des calculs MCNP a été effectué à l’aide de la version 1.0 de MCNP6. À noter que les fichiers d’entrée proposés sont dans l’ensemble compatibles avec les versions antérieures MCNPX et MCNP5. Le code MCNP est distribué par le RSICC (Radiation Safety Information Computational Center) ; son utilisation nécessite une licence distribuée par ce centre. L’intérêt de la double résolution, analytique ou semi-empirique et numérique, est pluriel et répond à l’exigence de rigueur inhérente aux calculs de physique dans le domaine. Au premier chef, les connaissances théoriques et l’approche analytique qui en découlent permettent de corroborer les résultats numériques obtenus lors de la simulation ; elles peuvent éviter une utilisation courante du code de calcul en « boîte noire », c’est-à-dire sans réelle maîtrise des options physiques implémentées permettant d’aboutir au résultat recherché et sans élément tangible de comparaison pour éprouver ce dernier. Même si le résultat analytique ou semi-empirique ne fournit, en certains cas, qu’une estimation grossière des grandeurs, il n’en demeure pas moins une jauge de la valeur numérique obtenue ou, à tout le moins, fournit les ordres de grandeurs nécessaires à la validation de la méthode numérique choisie. À l’inverse, dans le contexte du dimensionnement radiologique des installations, par exemple, la simulation numérique peut constituer un apport en ce qu’elle peut permettre d’affiner les épaisseurs de protections biologiques calculées préalablement avec un modèle analytique ou semi-empirique. Ajoutons que selon l’objectif du calcul dosimétrique ou de radioprotection, et le degré de finesse du résultat recherché, le choix d’une méthode analytique ou semi-empirique peut s’avérer suffisant, engageant ainsi un coût limité pour l’étude d’ingénierie en comparaison avec celle impliquant une simulation numérique. Enfin, mentionnons, qu’en certains cas, seule une des deux résolutions est possible : le calcul rigoureux du facteur d’accumulation (build-up) en est l’illustration et ne peut être réalisé que de façon numérique. Trois grandes thématiques, regroupées en trois chapitres, sont traitées dans cet ouvrage : – chapitre 1 : Calculs des grandeurs radiométriques et dosimétriques (fluence, kerma, dose, équivalent de dose ambiant) ; – chapitre 2 : Principes de détection et réponses des détecteurs pour les grandeurs physiques de référence et grandeurs dosimétriques opérationnelles ; – chapitre 3 : Calculs des blindages et d’activation pour différents types d’installations (sources radioactives, générateurs X, accélérateurs…). Le premier chapitre débute par des calculs de fluence pour des géométries simples à complexes. Ensuite, des calculs élémentaires d’équivalents de dose sont étudiés ; ils constituent des applications simples du code MCNP et permettent de se familiariser avec des fonctionnalités usuelles et classiques du code. Les calculs de dose

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Avant-propos

absorbée en profondeur pour les rayonnements β et les protons sont également proposés avec une double résolution. De même une étude de profils de dose et de kerma pour une exposition à un champ de photons est détaillée pour des d’épaisseurs de matériaux successives. Enfin un calcul de kerma de première collision, pour un champ de neutrons, est résolu selon les deux approches et un spectre micro-dosimétrique avec un compteur proportionnel équivalent-tissu est établi à l’aide d’une simulation numérique. Le deuxième chapitre aborde les principes de détection, la réponse des détecteurs et l’étalonnage de ces derniers pour des applications liées à la radioprotection et à la métrologie des rayonnements ionisants. La détection et la mesure des grandeurs physiques et dosimétriques pour les photons, les neutrons, les électrons, les particules  β et les protons y sont étudiées. L’étude de différents types de détecteurs de référence et des dosimètres absolus fait l’objet des problèmes proposés : chambre d’ionisation, compteur proportionnel, détecteurs thermoluminescents (FLi), chambre à extrapolation, télescope à protons de recul, dispositif pour mesure par temps de vol, sphères de Bonner et calorimètre. Dans ce chapitre, un accent est mis sur l’estimation des termes correctifs d’importance pour la mesure métrologique (e.g. atténuation et diffusion dans la paroi d’un détecteur). Le dernier chapitre est dédié aux calculs de protections radiologiques et aux calculs de l’activation. Plusieurs installations sont étudiées, telles que celles abritant des sources émettrices de photons, de neutrons ou des générateurs X. Outre les calculs analytiques, les difficultés de convergence du code Monte-Carlo, typiques des problèmes de radioprotection, sont abordés et surmontées à l’aide de techniques de réduction de variance. Enfin un problème complet autour d’un accélérateur d’électrons est proposé dans lequel des étapes successives conduisent à l’évaluation du terme source (rayonnement de freinage, réactions photonucléaires…), au calcul de blindage (mur primaire, mur secondaire, effet de ciel), à l’activation de l’air et au calcul de la concentration en ozone. Concernant la démarche pédagogique de l’ouvrage, chaque problème est indépendant ; le lecteur peut ainsi étudier les problématiques qui l’intéressent dans l’ordre qu’il désire. Néanmoins il est conseillé dans un premier temps de s’intéresser au premier chapitre afin de comprendre et d’assimiler les méthodes et techniques des bases pour les calculs analytiques et Monte-Carlo des grandeurs physiques et dosimétriques. Remerciements : Mehdi Ben Mosbah, Cédrine Bourgois, Nicolas Estre, Vincent Bottau, Emmanuel Payan et Alain Faussot

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Résumé

Chapitre 1 : Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques (fluence, kerma, dose et équivalent de dose ambiant) 1.I Calculs élémentaires du débit de fluence pour différentes géométries de sources On se propose de calculer le débit de fluence pour des géométries de sources élémentaires. Pour l’ensemble des cas étudiés, les résultats des résolutions analytique et numérique sont comparés. Les objectifs de ce problème sont : – – – –

Calcul de la fluence d’une source ponctuelle (analytique et MCNP) Calcul de la fluence d’un faisceau parallèle (analytique et MCNP) Calcul de la fluence d’une ligne (analytique et MCNP) Calcul de la fluence d’un disque (analytique et MCNP)

1.II Calculs élémentaires d’équivalents de dose ambiants Dans cet exercice, des applications simples de calcul d’équivalent de dose ambiant pour des sources ponctuelles isotropes et pour différents radionucléides sont proposés. Des calculs analytiques et numériques à l’aide de MCNP sont effectués. Les objectifs de cet exercice sont : – Calcul d’équivalent de dose ambiant pour des sources ponctuelles isotopiques – Application de la loi des inverses carrés

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– Utilisation des facteurs de conversion fluence/équivalent de dose ambiant de la CIPR – Calcul d’équivalent de dose ambiant et normalisation du résultat à l’aide de MCNP 1.III Calcul de dose et de kerma pour les photons dans un milieu avec interfaces Cet application propose d’étudier les calculs de la dose et du kerma en profondeur en présence d’une interface. Les objectifs de cet exercice sont : – Calcul analytique de la dose et du kerma en profondeur pour des photons – Calcul du kerma et de la dose à une interface – Calcul de la dose et du kerma avec MCNP 1.IV Calcul du débit d’équivalent de dose ambiant dans un tuyau uniformément contaminé Pour cet exercice, on se propose de calculer le débit d’équivalent de dose ambiant à l’intérieur d’un tuyau uniformément contaminé. Les objectifs sont : – Calculs analytique et MCNP du débit d’équivalent de dose ambiant dans une géométrie complexe – Calcul avec MCNP d’une source complexe 1.V Calcul de la dose absorbée en profondeur pour des b Dans cette application, on se propose de calculer la dose en profondeur dans un massif d’eau, en présence d’une source ponctuelle et pour une contamination surfacique de 50 cm2 d’une source émetteur β. Les objectifs de cette application sont : – Calcul de dose β en profondeur de façon analytique – Calcul de dose β en profondeur à l’aide de MCNP – Utilisation d’un mesh tally pour le calcul de la dose avec MCNP 1.VI Calcul du profil de dose absorbée pour des protons de 170 MeV dans l’eau Dans cette application, on se propose de déterminer le profil de dose dans l’eau pour des protons de 170 MeV à partir d’une formulation analytique de la dose absorbée en fonction de la profondeur. Une deuxième partie s’attache à détailler la simulation numérique de la dose absorbée dans l’eau et à comparer les résultats obtenus avec ceux déterminés dans la première partie. Dans une troisième partie, la dose absorbée puis l’équivalent de dose directionnel à 0° sous 70 mm sont déterminés de façon analytique et numérique. Les objectifs de cette application sont : – Calcul analytique de la dose absorbée dans l’eau en fonction de la profondeur, pour des protons – Suivi des différentes particules mises en mouvement lors des interactions nucléaires dans MCNP – Création d’un maillage de la dose absorbée dans MCNP

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Résumé

– Détermination d’un pouvoir d’arrêt massique en n’importe quel point de la portée d’un ion léger au moyen de la fonction « ft let » de MCNP – Calcul d’un spectre micro-dosimétrique au moyen de la carte « ft let », avec MCNP – Calcul de la grandeur opérationnelle : équivalent de dose directionnel sous 70 mm, pour des ions légers 1.VII Mesure du kerma neutron avec un compteur proportionnel équivalent tissu Dans cette application, on se propose de mesurer le coefficient de conversion « fluence-kerma de première collision » pour des neutrons de 13.9 MeV au moyen d’un compteur proportionnel équivalent tissu à faible pression (CPET). Une seconde partie concernera la comparaison de ce coefficient avec les différentes valeurs de coefficient de conversion « fluence-dose moyenne aux organes » de l’ICRU, 1998. Enfin une approche MCNP visant à modéliser l’ensemble des résultats obtenus par mesure et par calcul théorique sera proposée. Les objectifs de cette application sont : – Calcul analytique d’un kerma de première collision pour des neutrons monoénergétiques – Étude de la technique de mesure de spectre microdosimétrique et du kerma de première collision avec un compteur de Rossi – Comparaison du kerma de première collision avec les doses moyennes aux organes, l’équivalent de dose ambiant et la dose efficace – Utilisation dans MCNP de la carte anticoïncidence « pulse-height tally » et calcul d’un spectre microdosimétrique par simulation numérique – Calcul du facteur de qualité moyen pour les neutrons à partir du spectre microdosimétrique

Chapitre 2 : Principes de détection et réponses des détecteurs pour les grandeurs physiques de référence et les grandeurs dosimétriques opérationnelles 2.I Détecteur gazeux fonctionnant en chambre d’ionisation pour les photons et en compteur proportionnel pour les neutrons Dans cette application, on se propose de faire fonctionner successivement un détecteur gazeux en chambre d’ionisation pour un champ photonique puis en compteur proportionnel pour un champ neutronique. Le but étant d’obtenir un raccordement de la grandeur dosimétrique respectivement à un courant et à un taux de

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comptage. Cette application a pour vocation de mettre en évidence qu’une même chambre peut être utilisée pour mesurer des grandeurs dosimétriques différentes selon le type de rayonnement et de régime de fonctionnement. Les objectifs de cette application sont : – – – – –

– – –

Établir si la paroi d’une chambre est équivalent-tissu Déterminer le type de cavité en présence selon la théorie des cavités Déterminer le courant généré dans une cavité étroite Évaluation d’une grandeur opérationnelle à partir de la mesure d’une grandeur physique pour la chambre d’ionisation soumise à un champ de photons Comprendre la chaîne d’acquisition électronique, de l’interaction du rayonnement dans le détecteur à l’impulsion comptée et enregistrée, pour un compteur proportionnel soumis à un champ de neutrons Calculer une grandeur de protection à partir de la fluence Calculer le kerma de première collision dans la paroi du détecteur, pour les neutrons Simuler numériquement la réponse en énergie d’une chambre

2.II Étalonnage au 60Co d’une chambre d’ionisation Le but de cette application est de réaliser l’étalonnage d’un radiamètre (type babyline 81) en équivalent de dose ambiant H*(10) au moyen d’une source de 60Co. Une première partie concerne l’évaluation du kerma dans l’air mesuré par une chambre équivalent-air de référence (type Sp01) dans un laboratoire primaire de métrologie. Dans la deuxième partie, l’étalonnage en équivalent de dose ambiant est réalisé dans un laboratoire secondaire d’étalonnage. La dernière partie s’attache à étudier la réponse du radiamètre, pour les gamma de l’241Am et à juger, le cas échéant, si l’écart entre la valeur mesurée et la valeur vraie de la grandeur opérationnelle est compatible avec les marges de tolérance prescrites par les normes. Les objectifs de cette application sont : – Comprendre un processus complet d’étalonnage d’appareils de radioprotection : du laboratoire primaire à l’utilisation sur le terrain – Calculer l’expression théorique d’un kerma dans l’air pour une chambre d’ionisation – Comprendre le déroulement d’une procédure d’étalonnage du raccordement avec le laboratoire primaire au coefficient d’étalonnage du radiamètre – Déterminer la réponse énergétique d’un radiamètre avec MCNP – Déterminer avec MCNP le facteur de diffusion d’une paroi – Pertinence d’un étalonnage pratiqué, en fonction de l’énergie mesurée en situation réelle

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Résumé

2.III Calcul d’un débit de dose dans un FLi Dans ce problème, on se propose, dans une première partie, d’appliquer la nouvelle théorie de la cavité (théorie de Haider) pour déterminer la dose absorbée moyenne dans une pastille de FLi scellée dans une coquille d’aluminium. Dans une seconde partie, une vérification du calcul analytique est réalisée au moyen de calculs MCNP. Les objectifs de cette application sont : – Application de la nouvelle théorie de la cavité – Calcul de la dose absorbée moyenne dans un volume sensible à partir de la dose absorbée sous la profondeur de paroi d’entrée du détecteur – Calcul de dose aux interfaces – Technique particulière de calcul du facteur de diffusion avec MCNP 2.IV Mesure de H′ (0.07, 0°) pour un spectre b avec une chambre d’ionisation à extrapolation Dans une première partie, on se propose de mesurer l’équivalent de dose directionnel à 0° : H′ (0.07, 0°) au moyen d’une chambre d’ionisation à extrapolation pour une source de référence de 90Sr+90Y. Les objectifs de cette application sont : – Calcul de dose sous la profondeur de la paroi d’entrée pour une chambre à extrapolation – Calcul d’un courant théorique généré dans le volume sensible à partir de l’estimateur statistique de l’énergie déposée, avec MCNP 2.V Mesure de l’énergie et de la fluence pour des neutrons rapides mono-énergétiques au moyen d’un télescope à proton de recul On se propose dans cet exercice de mesurer, au moyen d’un télescope à protons de recul, l’énergie et la fluence pour des neutrons mono-énergétiques. Cette méthode de mesure est l’une des méthodes préconisées pour caractériser de façon absolue la fluence et l’énergie d’un champ primaire de neutrons rapides. On en déduira ensuite le débit d’équivalent de dose ambiant au point d’interaction du faisceau de neutron et du convertisseur du télescope. Enfin, une comparaison des grandeurs calculées sera réalisée au moyen d’une simulation numérique du télescope dans MCNP. Les objectifs de cette application sont : – Calcul théorique de l’énergie des neutrons rapides diffusés élastiquement dans un convertisseur organique et détermination de l’incertitude associée – Modélisation d’un télescope à protons de recul dans MCNP – Calcul du rendement théorique d’un détecteur – Calcul de la résolution en énergie 2.VI Mesure de l’énergie pour des neutrons rapides mono-énergétiques par temps de vol On se propose dans cette application de mesurer, par temps de vol (TOF), l’énergie des neutrons mono-énergétiques d’un faisceau primaire. Dans une première partie,

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le calcul est réalisé avec l’expression analytique du TOF du neutron pour des données expérimentales. Dans une seconde partie, ce calcul est réalisé avec les résultats MCNP pour des neutrons issus d’un spectre de fusion. Les objectifs de cette application sont : – – – –

Calcul théorique d’un temps de vol Technique du TOF avec particule secondaire coïncidente Calcul d’incertitude et résolution en énergie pour le TOF Calcul du temps de vol au moyen de MCNP avec un spectre de fusion

2.VII Mesure du spectre neutronique au moyen des sphères de Bonner sur un poste de travail On se propose de calculer les débits de fluence neutronique et d’équivalent de dose ambiant sur 3 bandes d’énergie (thermique – épithermique/intermédiaire – rapide) à partir des 3 sphères de Bonner, pour un spectre réaliste de poste travail. Dans la première partie de cette application, la réponse des trois sphères de Bonner est simulée numériquement pour les 3 domaines d’énergie. Dans la seconde partie, les fluences pour chacune des bandes d’énergie sont calculées au moyen de la méthode des moindres carrés. Les objectifs de cette application sont : – Résolution d’un système d’équations physiques par la méthode des moindres carrés – Étude du principe de l’algorithme de déconvolution pour déterminer un spectre à partir du signal d’un ou plusieurs détecteurs – Calcul du rendement d’un compteur proportionnel à 3He avec MCNP – Étude du principe des sphères de Bonner pour déterminer un spectre de neutron de référence – Calcul d’un coefficient de conversion moyen « grandeur physique-grandeur dosimétrique » pour un spectre énergétique 2.VIII Mesure d’une dose dans un calorimètre à eau pour un faisceau de protons de 170 MeV pour la radiothérapie Dans ce problème, on cherche à mesurer la dose déposée pour un faisceau de protons d’énergie maximale 170 MeV pour la protonthérapie. Dans une première partie, la dose absorbée dans l’eau sera évaluée à partir de la variation de température dans les thermistors ; on déterminera le débit de fluence à l’entrée du fantôme d’eau pour que le faisceau de protons de 170 MeV génère une telle dose. Une deuxième partie consistera à déterminer la charge mesurée par une chambre d’ionisation Exradin T1 positionnée au point de mesure de référence pour le même faisceau de protons. Une dernière partie, indépendante des deux premières, mettra en évidence la différence de temps de maintien de la variation de température, liée à la dose, pour

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Résumé

un calorimètre à graphite et un calorimètre à eau et pour un faisceau de 60Co. Les objectifs de cette application sont : – Calcul de la dose à partir de la variation de température dans un calorimètre à eau – Détermination de la fluence du faisceau de protons selon la dose en profondeur – Étude du protocole d’étalonnage d’une chambre d’ionisation dans l’air pour l’évaluation de la dose due aux protons dans l’eau – Estimation de la durée de la variation de température dans le calorimètre 2.IX Étalonnage d’un débitmètre neutron avec une source de 252Cf Dans cette l’application, l’enjeu consiste, dans une première partie, à étalonner un débitmètre neutron en mSv.h–1/c.s–1 avec une source de 252Cf selon la méthode du cône d’ombre décrite dans la norme ISO 8529-2 (ISO, 2000). L’appareil étudié est une sphère de bonner 8’’. Dans une seconde partie, le débitmètre sert à mesurer un spectre typique de poste de travail matérialisé par une solution de PuF4 considérée comme ponctuelle. La pertinence de l’étalonnage 252Cf est ensuite jugée en fonction de l’écart entre la valeur mesurée par la sphère de bonner étalonnée et la valeur vraie du débit d’équivalent dose pour le PuF4. Les objectifs de cette application sont : – Application de la méthode cône d’ombre de la norme 8529-2 – Calcul de rendement physique et de la réponse en énergie pour une sphère de bonner avec MCNP – Calcul d’un coefficient d’étalonnage pour un compteur proportionnel – Appréciation de la pertinence d’un étalonnage en fonction des caractéristiques du champ de rayonnement au poste de travail – Évaluation de la pertinence d’un étalonnage en fonction des caractéristiques du champ de rayonnement au poste de travail

Chapitre 3 : Calcul de blindage, et d’activation pour différents types d’installations (sources radioactives, générateurs X, accélérateurs…) 3.I Calcul d’un blindage pour une source neutronique de Am-Be On se propose de calculer le blindage en polyéthylène autour d’une source usuelle de neutrons (AmBe). Les objectifs de cet exercice sont : – Calcul analytique d’un blindage neutronique – Calcul d’un blindage neutrons avec MCNP – Intégration d’un spectre de neutrons dans MCNP

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3.II Calcul du débit d’équivalent de dose ambiant pour une source de photons de 60Co derrière un écran de 4 m d’eau On se propose de calculer le débit d’équivalent de dose ambiant d’une source de photons de 60Co derrière un blindage important. Les objectifs de cet exercice sont : – – – –

Calcul analytique d’un blindage pour une source de 60Co Utilisation du facteur d’accumulation (Build-up) pour les photons Calcul d’un blindage avec MCNP Utilisation d’un biaisage avec MCNP (weight-window generator)

3.III Calcul de la protection biologique autour d’un générateur X On se propose d’étudier la protection radiologique autour d’un générateur X de 100 kV. Les objectifs de cet exercice sont : – Calcul analytique de la protection radiologique d’un générateur X – Calcul numérique avec MCNP de la protection radiologique d’un générateur X – Calcul d’un spectre X avec MCNP et réutilisation de celui-ci comme terme source pour des calculs 3.IV Calcul d’activation neutronique et du débit d’équivalent de dose ambiant résultant Dans ce problème, une étude d’activation neutronique est proposée pour un échantillon de 59Co irradié par un faisceau de neutrons pendant 10 ans. On se propose de calculer l’équivalent de dose ambiant dû à l’activation de l’échantillon à un mètre de celui-ci après un temps de refroidissement de 1 et 5 ans. Les objectifs de cet exercice sont : – Calcul analytique de l’activation d’un échantillon par des neutrons – Calcul d’activation avec MCNP à l’aide de la carte « act » 3.V Calcul du débit d’équivalent de dose ambiant diffusé pour un faisceau de générateur X sur un fantôme d’eau Dans cet exercice, on se propose de calculer l’équivalent de dose ambiant diffusé par un fantôme d’eau irradié par un faisceau de générateur X de 150 kV. Les objectifs de cet exercice sont : – Calcul du débit d’équivalent de dose ambiant dû au rayonnement diffusé – Calcul du rayonnement diffusé avec MCNP – Biaisage d’un calcul MCNP avec l’utilisation d’une sphère DXTRAN 3.VI Calcul des protections radiologiques autour d’un accélérateur d’électrons avec une cible de conversion X Dans cette application, on se propose d’étudier les problèmes de radioprotection liés à un accélérateur d’électrons d’énergie 20 MeV interagissant sur une cible de conversion en tungstène. Les problématiques de l’activation de l’air, de l’effet de ciel

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Résumé

ainsi que la production d’ozone sont également abordées. Dans cette application, les objectifs sont : – Étude globale des termes-sources pour un dispositif d’irradiation – Calcul de l’équivalent de dose ambiant dû aux rayonnements de freinage des électrons dans le tungstène – Évaluation de l’énergie des photoneutrons – Calcul de l’équivalent de dose ambiant dû aux neutrons engendrés lors des réactions photonucléaires – Calcul du blindage radiologique autour d’un accélérateur d’électrons muni d’une cible de conversion – Calcul de la composante d’exposition externe due à l’effet de ciel – Calculs numériques de l’activité à saturation dans la cible pour des réactions neutroniques et photonucléaires – Évolution de l’activité de l’air en fonction du temps avec prise en compte d’un taux de renouvellement – Calcul de la concentration en ozone suite à l’activation de l’air dans un dispositif d’irradiation

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Chapitre 1 Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques(fluence, kerma, dose et équivalent de dose ambiant)

1.I

Calculs élémentaires du débit de fluence pour différentes géométries de sources

Résumé On se propose de calculer le débit de fluence pour des géométries de sources élémentaires : une source ponctuelle émettant de façon isotrope, un faisceau parallèle, une source linéique et une source discoïde. Chaque source émet un flux de 106 particules par seconde. Pour l’ensemble des cas étudiés, les résultats des résolutions analytique et numérique sont comparés. Objectifs – Application du formalisme analytique pour les calculs de fluence – Calcul de la fluence d’une source ponctuelle (analytique et MCNP)

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Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

– Calcul de la fluence d’un faisceau parallèle (analytique et MCNP) – Calcul de la fluence d’une ligne (analytique et MCNP) – Calcul de la fluence d’un disque (analytique et MCNP) Ces applications triviales et classiques de l’exposition externe ont surtout pour but de se familiariser avec les normalisations des résultats MCNP aux bonnes unités. a) Calcul de la fluence à un mètre d’une source isotrope Pour une source émettant dans tout l’espace un flux N = 106 (particule).s–1, le débit de fluence à une distance d de un mètre, s’obtient trivialement selon : N 106 Φ = = = 7.96 s −1cm −2 4π d 2 4π × 1002 Pour la simulation il faut construire un fichier d’entrée au format - ASCII qui sera interprété par le code. Ce fichier comporte trois parties que nous dénommerons blocs dans cet ouvrage. Les blocs sont séparés par une ligne vierge. Le bloc 1 comporte la définition des cellules. Une cellule est définie par une géométrie, issue d’une composition de surfaces définies dans le bloc 2, une densité et un matériau. Pour cette application simple, le transport est réalisé dans le vide donc aucun matériau ou densité n’est défini. Cette hypothèse est spécifiée dans le fichier d’entrée 1.I.1, ci-après, par l’instruction « 10 0 -15 » qui se compose : – du numéro de la cellule, « 10 », dans laquelle le transport des particules est permis, – d’un matériau nul, « 0 », pour préciser que la cellule est vide, – du paramètre « -15 » dont le signe négatif spécifie que le transport sera circonscrit à l’intérieur de la surface « 15 » défini dans le bloc 2. Le bloc 2 liste les surfaces permettant de définir les cellules du bloc 1. D’une façon générale, on définit le domaine de transport des particules par une sphère englobant la scène simulée. À la frontière de cette sphère, les particules sont « tuées » et leur « histoire » est interrompue. En l’absence de cette dernière, les particules seraient transportées ad libitum, occasionnant un suivi infini de leur « histoire » qui entrainerait une « fatal error ». Pour modéliser cette sphère de transport, l’instruction « 15 so 200 » définit : – le numéro de la surface, « 15 », permettant de modéliser la cellule « 10 » du bloc 1, – le type de surface, « so », à savoir une sphère centrée à l’origine (0, 0, 0), – le rayon de 200 cm de la sphère. Pour connaitre le formalisme des surfaces disponibles dans MCNP, il est nécessaire de se référer au manuel d’utilisation de MCNP (Pelowitz, 2013). Enfin, le bloc 3 définit le type de particule généré et transporté ; pour le cas étudié, l’instruction « mode p» précise que les photons sont transportés. Ce bloc permet également de décrire la source d’émission ; l’instruction « sdef par=p erg=1 pos= 0 0 0 » définit une source de photons (« par=p ») de 1 MeV (« erg=1 ») émis à l’origine

22

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

(« pos=0 0 0 »). Les instructions de calcul sont spécifiées avec les estimateurs statistiques ou tally ; en l’espèce, les calculs de fluence ponctuelle sont réalisés au moyen d’un tally de type 5, i.e., « f5 ». Nous noterons que pour utiliser cet estimateur, il convient de définir une « sphère d’exclusion » de petites dimensions dont le rayon est précisé dans la quatrième entrée du tally de type 5 ; le rayon est, ici, de 0.1 cm. Ce paramétrage permet d’éviter un risque de singularité mathématique au cours du calcul. Dans notre cas l’instruction « f5 :p 0 0 100 0.1» calcule la fluence de photons au point de coordonnées « 0, 0, 100 ». Ajoutons, enfin, que ce dernier bloc est également la section où sont spécifiés les paramètres de physique pour la génération et le transport des particules au travers, entre autres, de la carte « phys » dont nous reparlerons dans certaines applications suivantes. Le fichier d’entrée permettant le calcul de la fluence ponctuelle est le suivant : Calcul de fluence source isotrope c bloc 1 définition des cellules

10 0 -15 $ intérieur sphère 10 transport

20 0 15 $ extérieur sphère 10 aucun transport C bloc 2 définition de la géométrie

15 SO 200 $ sphère de rayon 200 cm centrée en (0,0,0) C bloc 3 définition de la source, de la physique des résultats des matériaux imp:p 1 0 $ transport dans la cellule 10 aucun transport dans la 20 mode p

$ transport uniquement des photons

sdef par=p erg=1 pos= 0 0 0 $ source isotrope de photons de 1 MeV f5:p 0 0 100 .1 $ calcul de la fluence dans l’espace en (0,0,100)

stop F5 .000001 $ arret du calcul quand l’erreur du tally F5 est de .000001

 Fichier 1.I.1  

Le résultat obtenu dans le fichier de sortie est le suivant :

nps

1000

tally mean

5

error

vov

slope

fom

7.9577E-06 0.0000 0.0000 10.0 1.0E+30

Le résultat du tally 5 donne la valeur de la fluence par photon émis par la source virtuelle ; cette valeur est Φ /N = 7.96 × 10 −6 cm −2 (γ ) −1. Pour un flux de 106 (γ)⋅s–1, le débit de fluence résultant est :

( )

Φ  N = 7.96 × 10 −6 × 10 6 = 7.96 s −1cm −2 Φ = N Les débits de fluence obtenus par les deux méthodes sont identiques. Si le cas étudié ici est trivial, il souligne, d’emblée, la nécessité de procéder à la normalisation ad hoc des résultats « bruts » des estimateurs pour une mise en forme de ces derniers aux unités souhaitées.

23

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

b) Calcul de la fluence d’un faisceau parallèle Pour un faisceau de section circulaire de rayon 5 cm, traversé par un flux N = 106 (γ).s–1, le débit de fluence est : N 106 Φ = = = 1.27 × 10 4 s −1 ⋅ cm −2 S π × 52 Dans MCNP, pour ce type de source, la fluence par particule émise doit être calculée au moyen de l’estimateur statistique fluence moyenne dans une cellule, i.e. tally de type 4. En effet, le tally de type 5 utilisé précédemment ne convient pas dans ce cas de figure. Dans le fichier proposé, ci-après, la fluence est calculée dans une cellule vide sphérique de 0.1 cm de rayon, localisée à l’intérieur du faisceau. On notera que pour la définition de source, portée par la carte « sdef », la carte « vec » donne la direction du faisceau de particules selon l’axe des z, i.e., « vec 0 0 1 ». La carte « dir » renvoie l’ouverture du faisceau autour du vecteur directeur « vec » selon « dir cos(q) », ainsi avec l’instruction « dir 1 », le faisceau est parallèle puisque q=0. La carte « rad » donne le rayon du faisceau décrit dans « si1 » et la carte « axs » donne l’orientation de la surface d’émission. Si les cartes « vec », « dir » et « axs » sont omises, l’émission est isotrope comme dans le fichier 1.I.1. de l’application précédente. La représentation de ces différentes orientations est donnée à la figure 1.I.1. Le fichier MCNP pour le faisceau parallèle est le suivant : Fluence d’un faisceau parallèle

10 0 -10 15 $ cellule d’environnement de calcul 15 0 -15 $ cellule pour le calcul 20 0 10 $ hors domaine 10 SO 200

15 SZ 100 .1 $ sphere de calcul selon oz pour z=100 et r=0.1 imp:p 1 1 0 $ transport dans la cellule 10 15 mais pas dans 20 mode p

c sdef pour un faisceau // en oz de rayon 5 cm

sdef par=P pos 0 0 -10 axs 0 0 1 ext 0 rad=d1 vec 0 0 1 dir 1 erg 1 Si1 0 5

sp1 -21 1

f4:p 15 $ calcul de la fluence moyenne dans la cellule 15 stop F4 .003

 Fichier 1.I.2  

Le résultat final du fichier de sortie est :

nps

313560279

24

mean

tally error

vov

4

slope

fom

1.2731E-02 0.0030 0.0000 10.0

12889

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

Le résultat du tally 4 donne la valeur de la fluence moyenne par photon émis par la source virtuelle ; cette valeur est Φ /N = 1.27 × 10 −2 cm −2 (γ ) −1. Pour un flux de 106 (γ)⋅s–1 le débit de fluence est : Φ  Φ =   N = 1.27 × 10 −2 × 10 6 = 1.27 × 10 4 s −1cm −2 N  Là encore, les résultats obtenus par les deux méthodes sont identiques.

Figure 1.I.1 Définition des différents paramètres de « sdef » pour une émission anisotrope.

c) Calcul de la fluence d’une ligne On considère une source linéique de longueur L émettant de façon homogène, sur toute sa longueur, un flux total N . La figure 1.I.2 représente la géométrie et les grandeurs nécessaires au calcul.

L

1 cm

1

L1

h=3 cm

h

2

l

O

L=10 cm

ρ dl

Figure 1.I.2 Géométrie pour le calcul de la fluence d’une ligne.

En premier lieu, on considère le flux par unité de longueur nL : N nL = L

25

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Si on divise la source linéique en éléments infinitésimaux de longueur dl , chacun de ces éléments peut alors être considéré comme ponctuel vis-à-vis de l’observateur. Le flux émis par chacun de ces éléments est alors égal à nL dl et la fluence différentielle à une distance ρ est égale à : n d Φ = L 2 dl (1) 4 πρ On exprime ensuite la distance ρ en fonction de la distance h et de l’angle q de la figure 1.I.2 : dθ h h tan θ = l ⇔ h 2 = dl et ρ = cos θ par dérivation cos θ On remplace ρ et dl dans (1) par les expressions trouvées : h ( cos θ ) d θ = n d θ dΦ = 4π h h 4π ( cos θ ) nL

2

L

2

Cette expression est ensuite intégrée le long de la ligne : θ nL 2 N   L − L1   L1    Φ = ∫ dΦ = dθ = ∫  arctan  h  + arctan  h  π π 4 h 4 Lh L −θ 1

Avec les dimensions données à la figure 1.I.2, le débit de fluence calculé au point O est : 106 1 9 Φ = arctan + arctan = 4.17 × 103 s −1cm −2 4π × 10 × 3 3 3

(

()

( ))

Nous noterons que les angles des Arc tangentes doivent être exprimés en radian (unité SI). Pour le calcul numérique, la fluence est estimée au moyen du tally de type 5 localisé au niveau de l’observateur. La source linéique est décrite par les paramètres de « sdef », comme un cylindre, selon Oz, de rayon nul, i.e. « rad=0 » et de hauteur décrite par le paramètre « ext » dans le fichier 1.I.3 proposé ci-après. fluence d’une ligne 10 0 -10 20 0

10

10 SO 30 imp:p 1 0 mode p

SDEF par=p pos=0 0 0 axs=0 0 1 ext=d1 rad=0 erg=1 SI1 -9 1 $ ligne allant de z=-9 à z=1 SP1 -21 0

f5:p 3 0 0 .1 stop F5 .0001

 Fichier 1.I.3  

26

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

Le fichier de sortie donne : nps

49152000

mean

tally

error

5

vov

slope

fom

4.1665E-03 0.0000 0.0000 10.0 1.0E+30

Le résultat du tally 5 donne la valeur de la fluence par photon émis par la source virtuelle ; cette valeur est Φ /N = 4.17 × 10 −3 cm −2 (γ ) −1. Pour un flux de 106 (γ)⋅s–1 le débit de fluence est :

( )

Φ  N = 4.17 × 10 −3 × 106 = 4.17 × 103 s −1cm −2 Φ = N Les résultats obtenus par les deux méthodes sont encore identiques. d) Calcul de la fluence d’un disque Calculons la fluence à une distance D d’un disque uniformément contaminé de rayon R émettant un flux de N particule par seconde dans tout l’espace. La figure 1.I.3 détaille la géométrie considérée. dS

r

ρ dα

θ D

R

 Figure 1.I.3  Géométrie pour le calcul de la fluence d’un disque.

En premier lieu, on définit un flux surfacique ns comme suit : N N ns = = S π R2 Si on divise le disque en éléments infinitésimaux de surface dS, chacun de ces éléments peut alors être considéré comme ponctuel vis-à-vis de l’observateur. Le flux émis par chacun de ces éléments est alors égal à ns dS . Ainsi, pour une source ponctuelle émettant un flux total ns dS , la fluence différentielle à une distance ρ est égale à : n d φ = s 2 dS 4πρ Pour obtenir la fluence totale du disque, il faut intégrer la fluence différentielle sur toute la surface de source : ns φ = ∫∫ dS (1) 2 4 πρ S

27

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

À partir de la géométrie et des grandeurs de calcul de la figure 1.I.3, on obtient les trois équations suivantes : D dS = rdrd α (2) (2) ; ρ = (3) ; D tan θ = r (4) cos θ D dS = rdrd α (2) ; ρ = (3) (3) ; D tan θ = r (4) cos θ D dS = rdrd α (2) ; ρ = (3) ; D tan θ = r (4) ( 4) cos θ La différentiation de l’équation (4) donne : D d θ = dr (5) cos 2 θ



En injectant les expressions (2), (3) et (5) dans l’intégrale (1), il vient : n Φ = 4π

∫∫ r ( cosθ ) D

−2

n 4π

d α dr =

S

n ⇔ Φ = 4π

( DR )

2π

atan

0

0

∫ dα × ∫

Et finalement :

∫∫ D tan θ ( cos 2 θ )  ( cosθ ) D

D

−2

d α dθ

S

arctan( ) n D tan θ d θ = [− ln cos θ ]0 2 R

(

(

( )) )

N R Φ = − ln cos arctan D 2π R 2 En considérant la relation trigonométrique suivante :

 1  arctan θ = arccos    1+θ 2  On obtient, alors, l’expression finale du débit de fluence au niveau de l’observateur : N Φ = 2π R 2

    1 − ln    R  1+  D 

( )

2

    = N 2 ln 1 + R D  4π R  

( )

2

Si on considère pour l’application numérique R = 5 cm et D = 3 cm, le résultat numérique est :

( )

N R Φ = ln 1 + D 4π R 2

2

=

()

1 × 106 5 ln 1 + 3 4π 52

2

= 4231 cm −2 s −1

Pour la simulation numérique, la fluence est estimée par le tally de type 5. La source discoïde est décrite au moyen du paramètre radial « rad » de la commande « sdef » dans le fichier suivant :

28

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

fluence d’une source disque 10 0 -10 20 0

10

10 SO 30 imp:p 1 0 mode p

SDEF POS=0 0 0 AXS=0 0 1 EXT=0 RAD=d1 PAR=p ERG=1 SI1 0 5 $ rayon du disque entre 0 et 5 cm

SP1 -21 1 $ radial sampling weighting: r^1 for disk source f5:p 0 0 3 .1 stop F5 .0001

 Fichier 1.I.4  

Le résultat est le suivant :

nps

mean

16384000

tally error

vov

5

slope

fom

4.2314E-03 0.0000 0.0000 10.0 1.0E+30

Le résultat du tally 5 donne la valeur de la fluence par photon émis par la source virtuelle ; cette valeur est Φ /N = 4.23 × 10 −3 cm −2 (γ ) −1 . Pour un flux de 106 (γ)⋅s–1 le débit de fluence est :

( )

Φ  N = 4.23 × 10 −3 × 10 6 = 4.23 × 103 s −1cm −2 Φ = N Les résultats obtenus par les deux méthodes sont identiques.

1.II Calculs élémentaires d’équivalents de doses

ambiants

Résumé Dans ce qui suit, des calculs simples de débits d’équivalent de dose ambiant pour des sources ponctuelles isotropes sont réalisés pour différents radionucléides. Pour chacun des cas étudiés, les résolutions analytiques et numériques sont présentées. Objectifs – Calcul de débits d’équivalent de dose ambiant pour des sources ponctuelles isotropes – Application de la loi en carré inverse

29

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

– Utilisation des facteurs de conversions « fluence-équivalent de dose ambiant » de la CIPR – Calculs numériques des équivalents de doses – Normalisation des résultats dans MCNP pour des problèmes multi-sources – Définition de plusieurs sources dans un fichier MCNP unique Dans le domaine des calculs de radioprotection, les démarches détaillées ci-après, et permettant l’évaluation des grandeurs opérationnelles pour l’exposition externe, dans un contexte radiologique donné, constituent un savoir-faire élémentaire.

Partie 1 : Débit d’équivalent de dose ambiant pour une source ponctuelle de 10 GBq de 22Na à un mètre et 30 cm a) Calculs analytiques Pour un débit de fluence monocinétique Φ en un point de l’espace, le débit d’équivalent de dose ambiant s’obtient à partir du facteur de conversion « fluence-équivalent de dose ambiant » hΦ selon le produit : H = hΦ Φ Le débit de fluence est exprimé en cm–2⋅s–1 et le facteur de conversion hΦ en Sv.cm2. Pour une source isotrope d’activité A émettant des particules d’énergie différentes avec des pourcentages d’émission différents Γ E , le débit d’équivalent de dose ambiant à une distance ρ s’exprime selon :  N E   AΓ E  A = ∑hΦ ,E  =   H = ∑hΦ ,E Φ E = ∑hΦ ,E   2 2 4 π ρ 4 π ρ 4 π ρ2     E E E

∑hΦ ,E Γ E   (1) E

22Na

émet deux photons dont les énergies et les pourLors de sa désintégration, le centages d’émission sont : 511 keV à 180 % et 1274 keV à 99.94 %. (Le spectre d’émission photonique du 22Na est obtenu, ici, via : http://www.nucleide.org/ Laraweb/) Les facteurs de conversions « fluence-équivalent de dose ambiant », hΦ* (10), sont tirés de l’ICRP, 1996 (voir figure 1.II.1). Les valeurs du facteur obtenues pour les deux énergies et repérées sur la figure 1.II.1 sont : hΦ* (10)511 = 3 pSv.cm2 et hΦ* (10)1274 = 6.2 pSv.cm2. Il vient alors pour 10 GBq et à un mètre : H * (10)1 m = H * (10)511 + H * (10)1274 =

A (Γ 511hΦ* (10)511 + Γ 1 274 hΦ* (10)1274 ) 4π d 2

Soit : 10 × 109 H * (10)1 m = (1.8 × 3 × 10 −12 + 0.9994 × 6.2 × 10 −12 ) = 9.2 × 10 −7 Sv.s −1 4π × 1002

30

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

1274 keV

1

511 keV

H*(10) / φ (pSv.cm²)

10

0.1

0.01 0.01

0.1

1

10

Photons energy (MeV)

 Figure 1.II.1  Facteur de conversion « fluence-équivalent de dose ambiant », d’après les données de l’ICRP, 1996.

Le résultat converti en unité usuelle (mSv.h −1 ) est : H * (10)1 m = 3600 × 1000 × 9.2 × 10 −7 = 3.3 mSv.h −1 Pour une source isotrope de débit d’équivalent de dose ambiant H 1 à une distance  d1, le débit d’équivalent de dose ambiant H 2 à une distance d 2 est donné par la loi en carré inverse : H 2  d1  2 =  H 1  d 2  Attention ! Dans cette expression, les distances d1 et d 2 doivent être exprimées dans la même unité. Aussi à 30 cm, il vient : 2

( )

1  d  H * (10)30 cm = H * (10)1 m  1 m  = 3.3 × 0.3  d 30 cm 

2

= 36.7 mSSv.h −1

Nous rappellerons que la loi en carré inverse ne s’applique que pour des sources ponctuelles ou pour des objets considérés comme tel. On peut admettre qu’un objet irradiant est ponctuel vis-à-vis de l’observateur lorsque la distance objet-observateur est au moins égale à 5 fois la plus grande des dimensions de l’objet irradiant. b) Calcul numérique L’équivalent de dose ambiant est calculé au moyen de l’estimateur statistique de la fluence ponctuelle i.e. tally de type 5. Pour convertir la fluence calculée en équivalent de dose ambiant, il convient de pondérer le résultat du tally par les facteurs de conversion « fluence-équivalent de dose ambiant » conformément à la somme (1).

31

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Cette opération est réalisée par implémentation, dans le fichier, des cartes « de », définissant les valeurs discrètes des énergies, et « df », fournissant les valeurs discrètes de hΦ* (10) à l’énergie considérée pour chaque énergie de la carte « de ». Les valeurs de « df » sont décrites dans le fichier avec la même unité que l’ICRP, 1996, en pSv.cm2. Le résultat pondéré obtenu est un équivalent de dose ambiant par photon émis par la source virtuelle : H * (10) / N . Les estimateurs F5 et F15, ci-après, donnent respectivement les équivalents de doses à 1 mètre et à 30 cm de la source. Le transport étant réalisé dans l’air, la chaine de paramètres « 1 5 -0.00129 -100 » modélise une cellule « 1 », rempli d’air. L’air est caractérisé par le matériau « 5 » décrit dans le bloc 3 par la carte « m5 » et dont la densité est de « -0.00129 ». Le signe négatif de cette dernière entrée indique une unité en g.cm–3 ; le signe positif aurait indiqué des « (atomes)/barn-cm ». La dernière entrée, le paramètre « -100 », indique l’intérieur de la surface « 100 » définie dans le bloc 2. Dans le bloc 3, la source est caractérisée par l’instruction « sdef pos=0 0 0 par=p erg=d1 » dans laquelle le paramètre « erg=d1 » renvoie à l’énergie des photons de la distribution 1. Cette distribution, paramétrée selon « si1 l .511 1.274 », modélise, avec le paramètre « l », une source d’émission discrète avec des photons de 0.511 et 1.274 MeV. La carte « sp1 » associée à « si1 » spécifie l’intensité des deux photons, soit 1.8 et 0.9994. **** calcul pour une

source ponctuelle de Na-22 *******

C bloc 1 définition des cellules

1 5 -0.00129 -100 $ zone de calcul matériau 1 (air) densité 0.00129 10 0 100 $ zone sans transport

C bloc 2 définitions des géométries

100 SO 200 $ sphère de rayon 200 cm délimitant l’espace de calcul C bloc 3 définition de la source, des matériaux et des résultats imp:p

mode p

1 0 $ transport dans la cellule 1 et pas dans la 10

sdef pos=0 0 0 par=p erg=d1

SI1 L .511 1.274 $ énergies du Na-22

SP1 1.8 .9994 $ intensité d’émission du Na-22 ctme 1 $ temps de calcul de 1 minute F5:p 0 100 0 .1

$ fluence à 1 mètre

F15:p 0 0 30 .1 $ fluence à 30 cm

C énergie (MeV) pour les coefficients H*(10)/phi

DE5 .01 .015 .02 .03 .04 .05 .06 .08 .1 .15 .2 .3 .4 .5 .6 & .8 1 1.5 2 3 4 5 6 8 10

C coefficients H*(10)/phi pSv.cm2 pour les photons selon ICRP, 1996

DF5 0.061 .83 1.05 .81 .64 .55 .51 .53 .61 .89 1.2 1.8 2.38 2.93 3.44 & 4.38 5.2 6.9 8.6 11.1 13.4 15.5 17.6 21.6 25.6

DE15 .01 .015 .02 .03 .04 .05 .06 .08 .1 .15 .2 .3 .4 .5 .6 & .8 1 1.5 2 3 4 5 6 8 10

DF15 0.061 .83 1.05 .81 .64 .55 .51 .53 .61 .89 1.2 1.8 2.38 2.93 3.44 & 4.38 5.2 6.9 8.6 11.1 13.4 15.5 17.6 21.6 25.6 M5

1000 -1.0 7000 -78.0 8000 -21.0 $ air

 Fichier 1.II.1  

32

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

Les résultats des tally dans le fichier de sortie sont :

nps

14262217

mean

tally

error

5

vov

slope

fom

3.2728E-05 0.0002 0.0561 2.6 3.4E+07

mean

tally

error

15

vov

slope

fom

3.6408E-04 0.0001 0.0010 3.0 8.5E+07

Les valeurs obtenues à 1 mètre et 30 cm sont respectivement : 3.27 × 10 −5 pSv (γ ) −1 et 3.64 × 10 −4 pSv (γ ) −1. La normalisation de mise en forme des résultats diffère de l’approche analytique ; on est amené à considérer ici un flux total de particules, en sommant les pourcentages d’émission de chaque énergie.  H * (10)    H * (10)  H * (10) =   N =  N  A∑ Γ E  N    E

 H * (10)  −1 22  N  est la valeur calculée par MCNP en pSv (γ ) . Pour 10 GBq de Na, le   flux total obtenu est : N = A ∑ Γ E = 10 × 109 × (1.8 + 0.9994) = 2.8 × 1010 (γ ) .s −1 E

Les débits d’équivalent de dose ambiant à 30 cm et 1 mètre, exprimés en mSv.h–1, sont : H * (10) = 3.27 × 10 −5 × 2.8 × 1010 × 10 −12 × 3600 × 1000 = 3.3 mSv.h −1 1m

H * (10)30 cm = 3.64 × 10 −4 × 2.8 × 1010 × 10 −12 × 3600 × 1000 = 36.7 mSv.h −1 Le facteur 10 −12 × 3600 × 1000 permet de convertir les pSv/s en mSv/h. Nous retrouvons les valeurs obtenues selon l’approche analytique.

Partie 2 : Débit d’équivalent de dose ambiant pour deux sources ponctuelles : 10 GBq de 22Na à 1 m et 1 GBq de 60Co à 30 cm a) Calcul analytique Dans la partie 1, un débit d’équivalent de dose ambiant de 3.3 mSv.h–1 a été obtenu à un mètre d’une source ponctuelle de 22Na de 10 GBq. Pour les sources usuelles, il existe des références pratiques permettant d’accéder directement à la grandeur opérationnelle à une distance donnée, en fonction de l’activité de la source.

33

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Par exemple, Antoni et Bourgois (2017) donnent 0.351 mSv/h à un mètre d’une source ponctuelle de 60Co de 1 GBq. À 30 cm, il vient : 2

( )

1  d  H * (10)30 cm = H * (10)1 m  1 m  = 0.351 × 0 .3 d  30 cm 

2

= 3.9 mSv.h −1

Aussi le débit d’équivalent de dose ambiant pour les deux sources ponctuelles situées à des distances différentes de l’observateur est : H * (10) = 3.3 + 3.9 = 7.2 mSv.h −1 b) Calcul numérique La différence de position des deux sources impose à un traitement particulier dans la définition de source de la carte « sdef ». La position est repérée en fonction des énergies d’émission des sources par « pos=ferg ». Par ailleurs, le cas de figure à plusieurs sources nécessite un paramétrage spécial pour la probabilité de tir de telle ou telle énergie ; cette probabilité est portée par l’association des cartes « si1 » et « sp1 » dans le fichier proposé. Il est nécessaire d’affecter à chaque énergie une probabilité correspondant au ratio entre le nombre de particules émises et le flux total. D’une façon générale, pour k sources ponctuelles, le flux total peut être formalisé de la façon suivante :   N = ∑ N k = ∑  Ak ∑ Γ k ,E   k k  E Avec Ak les activités respectives de chacune des sources et Γ E ,k les pourcentages d’émission de ces sources à l’énergie E. Pour cette application, le flux total obtenu est : N = ANa × (Γ 0.511 + Γ 1.274 ) + ACo × (Γ 1.17 + Γ 1.333 ) donc : N = 10 × 109 × (1.8 + 0.9994) + 109 × (1 + 1) = 3 × 1010 (γ ) ⋅ s −1 On détermine ensuite, pour chacune des énergies E, le ratio rE du nombre de photons émis au flux total. Le nombre de photons émis est donné par le produit de l’activité fois l’intensité d’émission de la raie d’énergie E. Le ratio est alors donnée par : rk ,E =

N k ,E Ak Γ k ,E = N N

Par exemple, le ratio pour l’énergie de 511 keV du 22Na est : rNa , 0.511 =

34

N Na , 0.511 10 × 109 × 1.8 = = 0.6 3 × 1010 N

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

Un calcul similaire pour les autres énergies conduit à : rNa,1.2474 = 0.333, rCo,1.17 = 0.033 et rCo,1.33 = 0.033. Ces ratios figurent dans la succession de paramètres de la carte « sp1 » dans le fichier suivant : DDD pour deux sources ponctuelles 22Na à 1 m et 60Co à 30 cm 1 1 -0.00129 -100 $ cellule de calcul 10 0 100

$ extérieur pas de transport

100 SO 200 imp:p 1 0 mode p

sdef pos=ferg d2 par=p erg=d1

SI1 L .511 1.274 1.17 1.33 $ énergies de Na-22 et Co-60 SP1 .6 .333333333 .033333333 .033333333

$ ratio flux pour chaque énergie

DS2 S 3 3 6 6 $ numéro de position fonction de l’énergie SI3 L 0 0 0 $ position des 2 énergies du Na-22 SP3 1

SI6 L 0 0 70 $ position des 2 énergies du Co-60 SP6 1

ctme 10

F5:p 0 0 100 .1

$ fluence à un mètre

C énergie (MeV) pour les coefficients H*(10)/phi

DE5 .01 .015 .02 .03 .04 .05 .06 .08 .1 .15 .2 .3 .4 .5 .6 & .8 1 1.5 2 3 4 5 6 8 10

C coefficients H*(10)/phi pSv.cm2 pour les photons selon CIPR 74

DF5 0.061 .83 1.05 .81 .64 .55 .51 .53 .61 .89 1.2 1.8 2.38 2.93 3.44 & 4.38 5.2 6.9 8.6 11.1 13.4 15.5 17.6 21.6 25.6 M1

1000 -1.0 7000 -78.0 8000 -21.0 $ air

 Fichier 1.II.2  

Les résultats obtenus sont les suivants :

nps

35832630

mean

tally error

vov

6.6302E-05 0.0003 0.0002

5

slope 2.9

fom

945146

Le résultat du tally 5 est un équivalent de dose ambiant par photon émis par les deux sources virtuelles : H * (10) / N = 6.63 × 10 −5 pSv (γ ) −1. Finalement le débit d’équivalent de dose ambiant obtenu numériquement est :  H * (10)   −5 10 −12 H * (10) =   N = 6.63 × 10 × 3 × 10 × 10 × 3600  N  = 7.2 × 10 −3 Sv.h −1 (7.2 mSv.h −1 ) Nous retrouvons la valeur obtenue selon l’approche analytique.

35

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

1.III Calcul de dose et de kerma pour les photons

dans un milieu avec interfaces

Résumé Cette application propose une étude du profil de la dose et du kerma, en fonction de la profondeur, dans une succession de milieux. Le dispositif consiste en un cylindre irradié par un faisceau parallèle de photons de 2 MeV dont la section circulaire est de 2 cm de rayon. Le cylindre présente également un rayon de 2 cm et il est constitué de 3 épaisseurs successives de matériaux : 2 cm de tissus mous, 1 cm de titane et 2 cm de tissus mous. La géométrie d’étude est présentée dans la figure 1.III.1.

Figure 1.III.1 Géométrie pour l’étude des profils de kerma et de dose.

Objectifs – – – –

Calcul analytique du kerma et de la dose en profondeur pour des photons Calcul du kerma et de la dose à l’interface entre matériaux différents Simulation numérique du kerma et de la dose Calcul du facteur d’accumulation dans les tissus mous

Partie 1 : Calcul semi-empirique du profil de dose Dans ce qui suit, les étapes permettant de décrire de façon théorique les profils du kerma et de la dose absorbée dans les épaisseurs successives sont détaillées. a) Calcul du kerma à l’entrée du cylindre (x = 0) Pour i photons d’énergie Ei (MeV) et une fluence Φ i (cm–2), le kerma de collision (Gy) est donné par la formule générale suivante :

µ K col = 1.602 × 10 −10 ∑  en  Φ i Ei ρ i i 

36

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

Avec men/ρ le coefficient d’absorption massique en énergie, en cm–2.g dans le corps i. Le coefficient devant la somme permet le passage de MeV.g–1 à Gy. Dans notre cas, pour une seule énergie, le kerma à l’entrée du cylindre, en x = 0, se résume à :

µ K col (0) = 1.602 × 10 −10  en  Φ (0) Eγ (1)  ρ 

Pour 1 photon émis, la fluence dans le faisceau parallèle qui est également celle au niveau de la face d’entrée du cylindre est :

Φ (0) =

1 1 N = = = 7.96 × 10 −2 (γ ) .cm −2 S π R 2 π × 22

Les valeurs des coefficients d’absorptions massiques en énergies ( µ en / ρ ) peuvent être trouvées dans plusieurs références ; pour cette étude, ils sont tirés du site https://www.nist.gov/pml/x-ray-mass-attenuation-coefficients. Pour les tissus mous et une énergie de 2 MeV, ce coefficient est de 2.582 × 10 −2 cm 2 ⋅ g −1. Le calcul de (1) conduit à : K col (0) = 1.602 × 10 −10 × 2.582 × 10 −2 × 7.96 × 10 −2 × 2 = 6.59 × 10 −13 Gy b) Calcul du kerma après 2 cm de tissu mou Sous une profondeur x dans la première épaisseur de tissu mou, la fluence de photons à l’entrée est atténuée et le kerma de collision est :

()

µ K col ( x ) = K col (0) exp  −  ρ

ρtm x  (2)  tm La valeur proposée par le site https://www.nist.gov/pml/x-ray-mass-attenuationcoefficients pour le coefficient d’atténuation massique ( µ / ρ )tm à 2 MeV est 4.895 × 10 −2 g ⋅ cm −2 . Le résultat pour une profondeur de 2 cm est :

K col (2) = 6.59 ⋅ 10 −13 exp (−4.895 × 10 −2 × 1 × 2) = 6 × 10 −13 Gy La formule (2) proposée reste approximative. À l’énergie considérée, les photons vont diffuser dans les tissus mous essentiellement par effet Compton. En conséquence, il y a lieu de pondérer cette expression par un terme prenant en compte l’accroissement de la fluence en profondeur lié à cette diffusion et qui s’oppose au phénomène d’atténuation. Ce terme est appelé facteur d’accumulation (ou build-up) et sera représenté par B ( µ x , E ) dans la suite. L’expression (2) devient donc plus exactement : µ ρ x (3) K col ( x ) = B ( µ x , E ) K col (0) exp − ρ

(() )

Le facteur B ( µ x , E ) dépend du nombre de libres parcours moyen « mx » (mean free path), de l’énergie des photons et de la géométrie considérée. Il n’existe pas de formules théoriques pour accéder à ce coefficient mais seulement des formules empiriques telles que celle de Berger détaillée dans le § 3.II. Il est également possible de déterminer plus rigoureusement la valeur au moyen d’un calcul Monte-Carlo.

37

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Notons cependant que dans les tissus mous et à l’énergie considérée, ce coefficient s’écarte très faiblement de l’unité et il est donc pris égal à 1 dans la suite des calculs analytiques. c) Ratio des kermas à l’interface À l’interface entre les tissus mous et la face d’entrée du titane, le ratio des kermas est égal au ratio des coefficients d’absorption massique en énergie et vaut donc : K Ticol (2)  µen Ti 2.166 × 10 −2 = = 0.839  = col 2 K tm ( )  ρ tm 2.582 × 10 −2 Un ratio inverse pourra être considéré pour le passage de l’interface suivante, sous 3 cm de profondeur. d) Condition d’équilibre électronique et calcul de la dose En dehors des conditions d’équilibre électronique, le calcul de la dose est complexe et il n’existe pas d’approche analytique simple pour l’évaluer. Seule une simulation MonteCarlo peut permettre d’estimer la valeur de dose dans la zone comprise entre l’entrée d’un nouveau milieu et la profondeur à partir de laquelle l’équilibre électronique est vérifié. À partir de cette profondeur, la dose absorbée est égale au kerma de collision : D ( x ) = K col ( x ) Les conditions d’équilibre électronique sont vérifiées pour une profondeur au moins égale à la portée des électrons les plus énergétiques dans le milieu considéré. Pour 2 MeV, l’effet Compton étant prédominant, il convient de déterminer le parcours réalisé par les électrons Compton les plus énergétiques ; leur énergie Tc max se calcule comme suit : 4 Eγ2 4 × 22 Tc max ≈ = = 1.78 MeV 4 Eγ + 1 4 × 2 + 1 Pour 1.78 MeV, le parcours CSDA (Continuous Slowing Down Approximation) dans les tissus mous est 0.8516 g.cm–2 soit 0.8516 cm et dans titane 1.15 g.cm–2 soit 0.255 cm (donnée tirée du site https://physics.nist.gov/PhysRefData/Star/Text/ ESTAR.html). Ainsi pour une profondeur x supérieure à 0.85 cm dans les tissus mous et pour une profondeur x supérieure à 0.255 cm dans le titane, on peut considérer que D ( x ) = K col ( x ). e) Ratio des doses à l’interface En première approximation, l’énergie moyenne des électrons secondaires mis en mouvement dans un milieu est déterminée à partir des photons primaires selon : T e−

38

 µtr  ρ = µ ρ

  E

( )

γ

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

Pour ce calcul, on peut considérer que le coefficient d’absorption d’énergie massique est sensiblement égal au coefficient de transfert massique en énergie ( µtr ) ≅ ( µen ) : l’énergie moyenne transférée aux électrons secondaires est intégralement absorbée localement sans fraction remise en circulation sous forme de rayonnement de freinage. Les énergies moyennes des électrons Compton dans les tissus mous et le titane sont respectivement : 2.582 ×10−2 2.166 ×10−2   T e −  = × = = T 2 1 . 05 MeV et e −  Ti 4.18 ×10−2 ×2 = 1.04 MeV tm 4.893 ×10−2 Le ratio des doses absorbées à l’interface est donné par la loi du ratio des pouvoirs d’arrêts moyens. Dans ce ratio, les valeurs de pouvoirs d’arrêt sont prises à l’énergie moyenne des électrons secondaires calculée précédemment : Ti

DTi (2)  S  1.37 = = = 0.74 Dtm (2)  ρ tm 1.843 Si la démarche théorique est aisée, la simulation numérique nécessite une attention particulière liée à l’interprétation des algorithmes et paramètres régissant le transport des électrons dans le code de calcul (Antoni et Bourgois, 2017b).

Partie 2 : Calcul numérique avec MCNP Le calcul de la dose absorbée dans MCNP nécessite le transport simultané des photons et électrons au cours d’une même exécution, ce qui implique l’instruction « mode e p » dans le fichier d’entrée. La dose absorbée se calcule au moyen d’un tally de type 8 sur les électrons i.e. « *F8:e ». Pour l’évaluation du kerma, seuls les photons peuvent être transportés et ce dernier est estimé au moyen d’un tally de type 6 sur les photons i.e. « *F6:p ». Pour déterminer les profils en fonction de la profondeur, les calculs de dose absorbée et de kerma sont effectués dans des cellules cylindriques successives de faible épaisseur (∆x = 0.01 cm). Le traitement des électrons dans MCNP est fortement dépendant du choix de l’algorithme de transport et des paramètres à implémenter (Antoni et Bourgois, 2017b). En effet, plusieurs algorithmes d’échantillonnage de la trajectoire des électrons sont disponibles. Pour le cas étudié, l’algorithme par défaut de MCNP 6.1 « detailed electron energy – loss straggling logic » est activé. On notera que pour des utilisations de version antérieure à MCNP 5 (e.g. version X et 4), il est conseillé d’utiliser l’algorithme « ITS » que l’on peut activer avec la carte de physique « dbcn », en paramétrant la 18e entrée à 1. Par ailleurs, il est recommandé de paramétrer le nombre de sousétapes de transport, dans la carte « estep », selon l’estimation suivante : L ESTEP = 10 s (h ) −1 ρ Avec Ls la longueur du pas correspondant à la valeur par défaut du label “e step ” de la table 85 du fichier de sortie pour MCNP6 et à celle du label « drange » dans les versions précédentes de MCNP. Ces valeurs sont respectivement 8.51 × 10 −2 g.cm −2

39

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

et 1.103 × 10 −1 g.cm −2 pour les tissus mous et le titane. Ainsi, en sachant que la densité du titane est 4.51, le nombre de sous-étapes à paramétrer pour chacun des milieux est : ESTEPtm = 10 × (8.51 × 10 −2 / 1) × (0.01) −1 = 85 ESTEPTi = 10 × (1.103 × 10 −1 / 4.51) × (0.01) −1 = 22 Les valeurs obtenues sont entrées à la fin des lignes relatives à la définition des matériaux (voir m1 et m2 dans le fichier proposé). La géométrie MCNP modélisée est donnée dans la figure 1.III.2. Le fichier complet est fourni à la fin de l’application.

Figure 1.III.2 Modèle utilisé dans MCNP pour le calcul des profils de kerma et de dose absorbée.

Les résultats du tally de type *F6 correspondent à un « kerma moyen » dans la cellule = par photon émis par la source et que nous représenterons par K ∆x .= d’épaisseur ∆x et Dans le fichier résultat, ils sont donnés en « jerks.g–1 » (avec 1 jerk = 109 J). Ils doivent être pondérés par 1012 pour une conversion en Gy : K col ( x ) = 1012 × K ∆x

∀x ∈∆x

Les résultats des tally de type *F8 donnent l’énergie totale ε t ,∆x , en MeV, cédée dans la cellule d’épaisseur ∆x =et par photon émis par la source. Ainsi pour obtenir une donnée, le dose absorbée en Gy pour un photon, et dans une cellule d’épaisseur ∆x = calcul de normalisation suivant est nécessaire : ε  D ( x ) ∆x = 1.602 × 10 −13  t ,∆x  ∀x ∈∆x m   Avec = ρV , la masse de la cellule de calcul en kg. La masse pour le titane est : mTi = ρV =

40

ρ π r 2 h 4.51 × π × 12 × 0.01 = = 1.41 × 10 −4 kg 1000 1000

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

Pour la masse de tissu mou, un calcul similaire conduit à 3.14 × 10 −5 kg. Une synthèse comparative des calculs théoriques et par simulations numériques est fournie dans le tableau 1.III.1. Tous les résultats sont donnés pour 1 photon émis par la source virtuelle.  Tableau 1.III.1  Synthèse comparative des valeurs théoriques et numériques pour la dose absorbée et le kerma. Théorique

Numérique

6.59 × 10 −13 Gy

6.66 × 10 −13 Gy

x pour D = K dans les tissus

x > 0.85 cm

x >0.80 cm

x pour D = K dans le titane

x > 0.255 cm

x > 0.220 cm

K col (2)

6.0 × 10 −13 Gy sans B ( µ x , E )

6.4 × 10 −13 Gy avec B ( µ x , E )

col 2 K Ticol (2) / K tm ( )

0.84

0.85

DTi (2) / Dtm (2)

0.74

0.83

K

col

(0)

La figure 1.III.3 montre les profils simulés du kerma et de la dose absorbée, en fonction de la profondeur du cylindre irradié. Dans les deux tranches de tissus mous, on remarquera la séquence d’augmentation de la dose jusqu’à atteindre et suivre le profil rectiligne et décroissant du kerma. Le point de jonction des profils de kerma et de dose a lieu à la profondeur pour laquelle les conditions d’équilibre électroniques sont réalisées. Cette observation ne peut cependant pas être faite pour l’épaisseur de titane en raison de l’échelle de représentation et de la faible profondeur à partir de laquelle ces conditions sont vérifiées. -13

8.0x10

Titane

Tissus mous

Tissus mous

-13

7.0x10

-13

-13

5.0x10

-13

4.0x10

Vide

D - K (Gy)

6.0x10

-13

3.0x10

-13

2.0x10

Dose Kerma

-13

1.0x10

0

1

2

3

4

5

Profondeur (cm)

 Figure 1.III.3  Profils de kerma et de dose absorbée dans le cylindre irradié, en fonction de la profondeur.

41

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Plus généralement, cette étude de profil illustre qu’à chaque milieu traversé correspond un équilibre électronique pour les photons incidents. Par ailleurs, on notera que l’accroissement de la dose absorbée simulée est quasi exponentiel, à proximité de la face d’entrée du titane. Ce phénomène, non pris en compte par l’approche théorique, est imputable aux multiples rétrodiffusions des électrons secondaires mis en mouvement dans la tranche de tissu mou en amont. Ce phénomène est particulièrement prégnant lorsqu’un milieu de Z élevé succède à un milieu Z plus faible. Cet accroissement de la dose est pris en compte dans le nouveau modèle de la cavité (voir § 2.III sur le FLi). Ce phénomène peut avoir un impact non négligeable en matière de radiothérapie, en particulier lorsque des tissus humains de densités différentes se succèdent dans la zone irradiée. À noter, enfin, qu’il est possible de calculer le facteur d’accumulation dans les tissus à partir de l’expression (3) avec les valeurs trouvées par simulation numérique. B=

(( ) )

K col (2) µ 6.4 × 10 −13 ρ x exp = exp (−4.895 × 10 −2 × 1 × 2) = 1.06 ρ K col (0) 6.66 × 10 −13

Ce facteur est proche de 1 et peut être négligé pour des calculs approximatifs de radioprotection. Néanmoins pour les calculs liés, par exemple, à la métrologie des rayonnements ionisants en dosimétrie, celui-ci doit être pris en compte pour ajuster au mieux les mesures de références (voir § 2.II et § 2.III). Fichier d’entrée complet Dose - Kerma calcul C bloc cellule 10

1

-1

-10 $ tissus matériaux 1 densité -1

20

1

-1

-20

15 25 30 40 50 60 70 80 90 95

100 105 110 120 130 140 150 160 170 180 185 190

42

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

-15 -25 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -95

-100 -105 -110 -120 -130 -140 -150 -160 -170 -180 -185 -190

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

195

1

-1

-195

205

1

-1

-205 $ fin des tissus

200 210 215 220 225 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520

1 2

-1

-200

-210 $ titane matériau 2 densité 4.51

-4.51

-220

2

-4.51

2

-4.51

2

-215

2

-4.51

-225

2

-4.51

-230

2

-4.51

-240

2

-4.51

-250

2

-4.51

-260

2

-4.51

-270

2

-4.51

-280

2

-4.51

-290

2

-4.51

-300

1

-4.51

-310 $ fin du titane

-320

-1

-340

1

-1

1

-1

1 1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1 -1

$ tissus

-330 -350 -360 -370 -380 -390 -400 -410 -420 -430 -440 -450 -460 -470 -480 -490 -500 -510

$ fin des tissus

-520 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 90 100 110 &

95 105 120 130 140 150 160 170 180 185 190 195 200 205

535

2

-4.51 -535 210 215 220 225 230 240 250 &

260 270 280 290 300 310

530 1 -1 -530 320 330 340 350 360 370 &

380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 525 0 -525

550 0 520 530 535 525 C bloc géométrie 10

RCC

0

0

20

RCC

0

0

15 25 30 40

RCC RCC RCC RCC

0 0 0 0

0

0

0

0.01

1

0.1

0

0

0.01

1

0

.05

0

0.15

0 0

0.2 0.3

0 0 0 0

0 0 0 0

0.01 0.01 0.01 0.01

1 1 1 1

43

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

50

RCC

0

0

0.4

0

0

0.01

1

70

RCC

0

0

0.6

0

0

0.01

1

60 80 90 95

100 105 110 120 130 140 150 160 170 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500

44

RCC RCC RCC RCC

RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC RCC

0

0

0

0.5

0

0

0.7

0

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.8

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.85 0.9

0 0 0 0 0

0.95 0 1

0

1.2

0

1.1 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

0 0 0 0 0 0

1.75 0 1.8

0

1.9

0

2

0

2.1

0

2.2

0

2.4

0

1.85 0 1.99 0 2.05 0 2.15 0 2.3 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

0 0 0 0 0 0

2.99 0 3

0

3.3

0

3.2 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

510

RCC

0

0

5

0

0

0.01

1

530

RCC

0

0

3

0

0

2.1

2

520 535

RCC

0

525

RCC

0

RCC

0

0 0 0

0 2

-.1

0 0 0

0 0 0

2 1

2 2

.1

2

mode e p

imp:e,p 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 & 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 sdef par=p pos 0 0 -.05 axs 0 0 1 ext 0 rad=d1 vec 0 0 1 dir 1 erg 2 Si1 0 2

sp1 -21 1

M1 1001 -10.1 6000 -11.1 7000 -2.6 8000 -76.2 estep 85 $ tissus mous M2 22000 1 estep 22 $ titane

C calcul de la dose (*F8) and du kerma (*F6) dans les cellules 15 à 510 c *F8 dose dans toutes les cellules 10, 15, 20 ... 510

*F8:e 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 90 95 100 105 110 120 130 140 & 150 160 170 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 240 250 & 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510

&

c *F16 kerma dans toutes les cellules 10, 15, 20 ... 510 *F16:p

10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 90 95 100 105 110 120 130 140 &

150 160 170 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 240 250 & 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510

&

C DBCN pour un transport condensed history new straggling logic C pour

MCNPX ou 4 utiliser DBCN 17j 1 3j

DBCN 17j 2 3j stop F8 .005

c print 85 pour la valeur de estep print 85

 Fichier 1.III.1  

1.IV Calcul du débit d’équivalent de dose ambiant

dans un tuyau uniformément contaminé

Résumé Dans cette application, on se propose de calculer le débit d’équivalent de dose ambiant à l’intérieur d’un tuyau uniformément contaminé sur sa paroi interne par un mélange de radionucléides. La résolution analytique de ce problème « classique » est détaillée puis comparée au résultat numérique. Objectifs – Application du formalisme analytique pour les calculs de fluence et d’équivalent de dose ambiant – Calcul analytique et numérique du débit d’équivalent de dose ambiant pour une contamination surfacique

45

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Données La surface interne du tuyau est uniformément contaminée au 60Co (30 %) et au 137Cs (70 %). La somme des activités des deux contaminants est 1 GBq. L’observateur O est situé sur la génératrice du cylindre à L1 = 5 m d’une de ses bases. Le rayon et la longueur du cylindre sont : R = 1.5 m et H = 15 m (voir figure 1.IV.1). On se propose de calculer le débit d’équivalent de dose ambiant au point O.

Figure 1.IV.1 Cylindre uniformément contaminé, avec un observateur situé à l’intérieur.

Les résolutions analytiques et numériques de ce problème « classique » sont fortement inspirées de celles détaillées dans le § 1.I relative à la source discoïde.

Partie 1 : Calcul analytique Le flux surfacique lié à la contamination interne du cylindre est le rapport du flux total sur la surface latérale du cylindre : ns =

N γ N γ = S 2π RH

Si on divise la surface interne du tuyau en éléments infinitésimaux de surface dS, chacun de ces éléments peut alors être considéré comme ponctuel vis-à-vis de l’observateur. Le flux émis par chacun de ces éléments est alors égal à ns dS . Ainsi, pour une source ponctuelle émettant un flux total ns dS , la fluence différentielle à une distance ρ est égale à : n d Φ = s 2 dS 4πρ

46

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

Pour obtenir la fluence totale du disque, il faut intégrer cet élément différentiel sur toute la source : ns Φ = ∫∫ dS (1) 2 4 πρ S Pour R constant, l’élément infinitésimal de surface contaminée s’exprime en fonction de la variation infinitésimale de h selon : dS = 2π R dh On exprime ensuite l’élément différentiel dh et la distance ρ en fonction de R et q comme suit : R tan θ = h

R tan θ = h

par dérivation

⇔

R d θ = dh (2) cos 2θ

par dérivation

⇔

et ρ =

R R d θ = dh (2) (2) et ρ = (3) 2 c o sθ cos θ

R (3) (3) cos θ

Avec (2) et (3) dans (1), il vient : n 2π R d Φ = s 2 dh = 4πρ

ns 2π R

( )

R 4π cos θ

( cosR θ dθ ) = n2 dθ s

2

2

L’intégration de d Φ sur toute la longueur du tuyau conduit au résultat suivant : n Φ = s 2

L arctan 2  R

∫

dθ =

L − artan 1  R

N γ  L L arctan  2  + arctan  1   4π RH  R    R 

Le 60Co émet deux photons de 1.17 et 1.33 MeV avec pour chacun une intensité d’émission de 100 % et le 137Cs émet un photon de 662 keV avec une intensité de 85 %. Pour une activité de 1 GBq répartie entre 30 % de 60Co et 70 % de 137Cs, le flux global est : N t = N Co + N Cs = 1 × 109 × ((0.3 × 2) + (0.7 × 0.85)) = 1.195 × 109 (γ ) ⋅ s −1 Le débit de fluence total qui en découle au niveau de l’observateur à l’intérieur du tuyau est :

Φ t =

(

( )

( ))

1.195 × 109 10 5 + arctan = 1142 (γ ) s −1cm −2 arctan 4π × 150 × 1500 1.5 1.5

À noter que les arctan q sont exprimés en radian et non en degré. Le débit d’équivalent de dose ambiant global, pour ce cas d’étude, peut s’exprimer littéralement comme suit : L L A  H * (10) = arctan  2  + arctan  1   ∑ (%)k ∑Γ k ,E hΦ* (10) E 4π RH  R    R  k E

47

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Où (%)k est le pourcentage de l’activité globale dû au contaminant k et Γ k ,E est le pourcentage d’émission de la raie d’énergie E. Pour calculer le débit d’équivalent de dose ambiant, il est nécessaire de déterminer au préalable, sur la courbe de l’ICRP, 1996, les coefficients de conversion « fluence-équivalent de dose ambiant » pour les énergies des photons émis par les deux contaminants (voir application 1.II). Ces derniers sont : hΦ* (10)0.662 = 3.75 pSv.cm 2 , hΦ* (10)1.17 = 5.9 pSv.cm 2 et hΦ* (10)1.33 = 6.35 pSv.cm 2 et conduisent au débit d’équivalent de dose ambiant suivant :

(

( )

( ))

1 × 109  × arctan 10 + arctan 5 H * (10) = 1 × 10 −12 × 3600 ×   π 4 × 150 × 1500 1.5 1.5  × ((0.7 × 3.75 × 0.85) + (0.3 × 5.9 × 1) + (0.3 × 6.35 × 1)) H * (10) = 2 × 10 −5 Sv.h −1 (20 µSv.h −1 )

Partie 2 : Calcul numérique La modélisation numérique requiert une définition de source non triviale. En effet on est amené à modéliser « une peau » de 0.1 mm d’épaisseur, couvrant la surface du tuyau pour matérialiser la contamination interne de ce dernier ; celle-ci est paramétrée dans la carte géométrique « si » : selon « si2 150 150.01 ». Concernant les probabilités de tir des énergies émises, on détermine le ratio rE du nombre de photons émis au flux total, à l’instar de la démarche exposée dans l’application 1.II. Le nombre de photons d’énergie E , émis par le contaminant k, est le produit de l’activité globale A par (%)k et Γ k ,E  : rk ,E =

N k ,E (%)k Γ k ,E =A N N t

t

Ce ratio pour l’énergie du 137Cs est donc : r0.662 =

N 0.662 1 × 109 × 0.7 × 0.85 = = 0.497 1.195 × 109 N t

Pour les 30 % de 60Co et pour les deux raies d’émission, les ratios sont : r1.17 = r1.33 =

N 1.17 1 × 109 × 0.3 × 1 = = 0.251 1.195 × 109 N t

Ces ratios sont ensuite incorporés dans la carte « sp1 » relative à la probabilité de l’énergie d’émission des photons tirés. Les tally 5 et 15 fournissent, respectivement, la fluence par photon émis (Φ /N γ ) et l’équivalent de dose ambiant par photon émis au niveau de l’observateur (H * (10) /N γ ).

48

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

tuyau

c bloc cellule

10 1 -1.3e-3 -10

$ dans le tuyau en air

30 0 15

$ hors du tuyau

20 1 -1.3e-3 -15 10

$ source

10 RCC -500 0 0 1500 0 0 150 $ intérieur tuyau

15 RCC -500 0 0 1500 0 0 150.01 $ peau du tuyau imp:p 1 1 0

M1 7014 .781 8016 .212 7015 .007 $ air mode p

SDEF pos 0 0 0 cel 20 par=p erg=d1 rad D2 ext D3 axs 1 0 0

SI1 L 1.17 1.33 .662 $ 3 énergies discrètes (MeV) du Co-60 et Cs-137 SP1 .251 .251 .497 $ intensité de chaque énergie SI2 150 150.01 $ source peau SP2 -21 1

SI3 -500 1000 $ source dans la longueur de –L1 (500) à L2 (1000) SP3 -21 0

F5:p 0 0 0 .1 $

calcul fluence photon à O, voir figure

F15:p 0 0 0 .1 $ calcul équiv dose photon à O, voir figure C coefficient H*(10)/phi pSv.cm2 selon CIPR 74

DE15 0.01 0.015 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.08 0.1 0.15 0.2 0.3 0.4 & 0.5 0.6 0.8 1 1.5 2 3 4 5 6 8 10

DF15 7.2 3.19 1.81 0.9 0.62 0.5 0.47 0.49 0.58 0.85 1.15 1.8 2.38 & 2.93 3.44 4.38 5.2 6.9 8.6 11.1 13.4 15.5 17.6 21.6 25.6 stop F15 .002

 Fichier 1.IV.1  

Les résultats, après exécution sont :

nps

576000

mean

tally

error

vov

9.5303E-07 0.0020 0.0615

5

slope

fom

2.6 4959383

mean

tally

error

vov

4.6431E-06 0.0020 0.1094

15

slope

fom

2.5 5086648

Ainsi le débit de fluence, obtenu avec le flux photonique calculé analytiquement dans la partie précédente, est : Φ   −7 9 −1 −2 Φ =   N γ = 9.53 × 10 × 1.19 × 10 = 1139 (γ ) s cm N γ   Et le débit d’équivalent de dose ambiant est :  H * (10)   −6 −12 9 H * (10) =   N γ = 4.64 × 10 × 1 × 10 × 1.19 × 10 × 3600  Nγ  = 2 × 10 −5 Sv ⋅ h −1 (20 µSv ⋅ h −1 ) Les résultats trouvés pour ces deux grandeurs sont donc cohérents avec ceux déterminés analytiquement dans la partie précédente.

49

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

1.V Calcul de la dose absorbée en profondeur

pour des b

Résumé On se propose de calculer la dose absorbée délivrée par des β dans un fantôme d’eau permettant de simuler les tissus humains. Dans la première partie, ce calcul est effectué de façons semi-empirique et numérique pour une source ponctuelle d’ 90Y au contact de la face d’entrée du fantôme. Dans la deuxième partie, ces calculs permettent d’établir l’équivalent de dose aux extrémités H’(0.07) pour cette source ponctuelle. Dans la dernière partie, les calculs sont réalisés pour une contamination surfacique de la peau de 50 cm2 et pour le même radionucléide. Objectifs – Calcul semi-empirique de la dose absorbée en profondeur pour des β selon deux méthodes : la première, simple mais approximative sur une partie de la portée maximale des β et la seconde, complexe mais fiable sur l’intégralité de cette portée – Calcul numérique de la dose absorbée en profondeur pour des β – Calcul de la dose absorbée dans un maillage spatial avec MCNP – Calcul semi-empirique et numérique d’un équivalent dose aux extrémités pour une source ponctuelle de β Le calcul de la dose absorbée en profondeur, délivrée par une source de rayonnements β est généralement approché par une formule semi-empirique simple faisant intervenir la fluence des particules. Les hypothèses restrictives de cette approche ne permettent d’aboutir qu’à un profil grossier de la dose absorbée en fonction de l’épaisseur de matière traversée. Dans ce qui suit, nous proposons une approche semi-empirique issue de Cross, 1997, qui permet, pour une source ponctuelle et discoïde, un ajustement affiné de ce profil.

Partie 1 : Profil de dose absorbé pour la source ponctuelle a) Modèle semi-empirique simplifié Dans l’essentiel de la littérature dédiée à la dosimétrie externe, la relation simplifiée du calcul de dose absorbée délivrée par une source ponctuelle émettant un spectre β sous une profondeur x est la suivante : S Dβ ( x ) =   Φ β ( x )  ρ col

Avec (S / ρ ) le pouvoir d’arrêt massique à l’énergie moyenne du spectre β initial. Bien que la traversée du milieu modifie le spectre en énergie des électrons, cette

50

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

approche implique que la valeur moyenne de l’énergie reste invariante tout au long du parcours, ce qui constitue un biais sur la fiabilité des résultats. Aussi la dose absorbée calculée par l’équation de ce modèle ne varie en profondeur qu’en fonction de la fluence des β. D’après ce modèle simplifié, la fluence suit une atténuation selon une exponentielle décroissante unique sur l’ensemble de la portée comme suit : S Dβ ( x ) =   Φ β o exp (−υ x ) avec pour l′eau  ρ col

υ=

18..6

(E β max − 0.036)

1.37

où Φ β o est la fluence initiale des β au niveau de la face d’entrée du fantôme et υ est le coefficient d’atténuation de la fluence des β en cm 2 ⋅ g −1. Ainsi pour une source ponctuelle au contact du fantôme, la dose absorbée par β incident, sous une profondeur x s’écrit comme suit : S 1 Dβ ( x ) =   exp (−υ x ) 2 ρ  col 4π x Pour l’90Y, l’énergie maximale du spectre initial est E β max = 2.28 MeV (donnée tirée de RADAR (The Radiation Dose Assessment Resource) : http://www.doseinforadar.com/) et le coefficient d’atténuation υ vaut (Loevinger et al., 1956) :

υ=

18.6 = 6.15 cm 2 ⋅ g −1 (2.28 − 0.036)1.37

La valeur du pouvoir d’arrêt massique moyen (S / ρ ) pour l’90Y est environ 2 MeV g −1cm 2 . En pondérant par le coefficient de conversion permettant de passer des MeV . kg −1 à des Gy i.e., 1.602 × 10 −10 Gy MeV −1 kg, l’expression simplifiée de la dose, par β émis par la source, sous une profondeur x d’eau est égale à :

Dβ ( x ) =

2.55 × 10 −11 exp (−6.15 x ) (1) x2

Nous rappellerons que le profil de dose absorbé décrit par ce modèle usuel reste approximatif, en raison des deux hypothèses restrictives précitées (voir la figure 1.V.2). b) Calcul semi-empirique de Cross (1997) Cross (1997) a proposé des expressions semi-empiriques par intervalles de portée, pour une source β ponctuelle dans un milieu semi-infini. Ces expressions, plus fiables, permettent un ajustement affiné du profil de dose absorbée sur l’ensemble de la portée. Elles sont données ci-après pour trois intervalles de profondeur de calcul.

( ( ))

 k c − υ x exp 1 − υ x + υ x exp (1 − υ x ) − a   (υ x )2  c   k Dβ ( x ) =  [υ x exp (1 − υ x ) − a] 2 (υ x ) 0  

si x ≤ si

c υ

c < x < R (2) υ

si x > R

51

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Le coefficient d’atténuation υ, donné en cm 2 g −1 , dépend du matériau traversé. Pour l’eau, il s’exprime en fonction de l’énergie maximale du spectre β selon :

υ = 17.24 ( E β max ) avec f = −1.401 + 0.1186 ln ( E β max ) f

Le terme c dépend de l’énergie maximale des β, de la nature du spectre énergétique, selon qu’il s’agit d’un spectre classique maxwellien ou avec plusieurs composantes, et, enfin, du type de particule, selon qu’il s’agisse d’électrons ou de positrons :  1.349 − 0.416 ln ( E β max )  c = 1.637 − 0.496 ln ( E β max )  2  1.135 − 0.1086 ln ( E β max ) − 0.086 (ln ( E β max ))

spectre simple speectre multi-composants positons

La portée limite R permettant de décrire les intervalles de validité des expressions est obtenue à partir de la portée maximale Rmax des particules β dans le milieu selon : R = 0.74 Rmax Elle permet d’exprimer le paramètre a des deux premières expressions de (1) : a = υ R exp (1 − υ R ) Le facteur de dose k, en Gy, est exprimé selon l’énergie moyenne initiale du spectre β et d’un paramètre semi-empirique α selon la relation : υ 3 E β α  k = 1.602 × 10 −10    4πρ  Le paramètre α est obtenu à partir des paramètres υ, c et R selon :

α = [3c 2 − (c 2 − 1) exp (1) − (1 + υ R + υ 2 R 2 ) exp (1 − υ R )]

−1

Pour l’90Y, l’énergie moyenne est calculée, ici, à partir du spectre en histogramme donné à la figure 1.V.1 (données tirées de RADAR – The Radiation Dose Assessment Resource – : http://www.doseinfo-radar.com/). Elle s’obtient selon la moyenne pondérée suivante : Eβ =

∑ i Ei N (Ei ) = 0.93 MeV ∑ i N ( Ei )

On notera que cette énergie moyenne est sensiblement égale au tiers de l’énergie maximale, ce qui correspond à la fraction théorique et classique pour un spectre « simple » de forme maxwellienne. Les paramètres c et le coefficient d’atténuation υ pour l’eau sont : c = 1.349 − 0.416 ln (2.28) = 1.006 f = −1.401 + 0.1186 ln (2.28) = −1.303 ⇒υ = 17.24 × (2.28) −1.303 = 5.9 cm 2 g −1

52

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

Pour le calcul de la portée maximale des électrons du spectre, on peut utiliser les expressions semi-empiriques de Katz et Penfold (1952) : Rmax = 0.412 ( E β max )  avec n = 1.265 − 0.0954 ln ( E β max ) n

Soit pour l’90Y : n = 1.265 − 0.0954 ln (2.28) = 1.19 ⇒ Rmax = 0.412 × (2.28)1.19 = 1.094 g.cm −2 À la densité de l’eau, cette masse surfacique correspond à 1.094 cm d’eau.

0.07 0.06

P(E)

0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

E (MeV)

 Figure 1.V.1  Spectre β de l’90Y (données issues de RADAR).

La valeur de la borne R obtenue avec cette portée maximale est : R = 0.74 × 1.094 = 0.81 cm Viennent ensuite les coefficients suivants : a = 5.9 × 0.87 × exp (1 − (5.9 × 0.81)) = 0.11       

α = 3 × (1.006)2 − ((1.006)2 − 1) exp (1) − (1 + (5.9 × 0.8) + (5.92 × 0.82 )) exp (1 − 5.9 × 0.8)]

−1

= 0.426 Le facteur de dose k vaut alors : k = 1.602 × 10 −10  

5.93 × 0.93 × 0.426   = 1.04 nGy 4π × 1 

53

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Finalement, pour les trois intervalles de portée, la dose absorbée, en nGy par β émis par la source d’90Y, est :

( ( ))

 1.04 1.006 − 5.9 x exp 1 − 5.9 x + 5.9 x exp (1 − (5.9 x )) − 0.11 (5.9 x )2  1.006   si x ≤ 0.17  (2) Dβ (x ) =  1.04 . x exp . 9 0 11 0 17 0 8 5 9 1 − 5 − < < x . si . x . ( ( ) ) [ ]  2 (5.9 x )  si x > 0.8 0 Les 3 expressions précédentes conduisent au profil normalisé par β émis par la source présenté à la figure 1.V.2 a. Dans cette figure, le profil issu de l’approche simplifiée avec l’expression (1) est également représenté. -5

-5

10

-6

10

-7

10

10

Modèle de Cross MCNP

-6

10

-7

10

-8

10

-8

10

Gy/β

Gy/β

-9

-9

10

modèle de Cross

-10

10

10

-10

10

-11

10

-11

10

modèle simplifié

-12

10

-12

10

-13

10 -13

10

-14

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

profondeur x (cm)

0.7

0.8

0.9

1.0

10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Profondeur (cm)

 Figure 1.V.2  a) Profil de la dose absorbée pour l’90Y, selon l’approche simplifiée et l’approche de cross. b) Modèle de cross et calcul numérique de la dose absorbée β pour la source ponctuelle.

Comme indiqué précédemment, on observera une divergence des courbes des modèles simplifiés et de Cross, au-delà d’environ 5 % de la portée maximale des β. c) Calcul numérique Dans MCNP, on se propose d’estimer le profil de dose absorbée en utilisant un maillage spatial de l’estimateur statistique de dose absorbée. Ce calcul est réalisé avec un mesh-tally. Le mesh-tally est un découpage parallélépipédique (rmesh) en voxels cubiques comme montré sur la figure 1.V.3. Le découpage en x est réalisé avec la carte « cora », en y avec « corb » et en z selon « corc ». Dans chacun des voxels élémentaires, il est alors possible de faire un calcul de l’énergie déposée au moyen de la carte « pedep ». Le résultat bien qu’identique à un tally de type F6 sera fourni en MeV.cm–3. La dose absorbée est estimée dans une succession de 200 cellules virtuelles de 50 mm par 50 mm, sur une profondeur de 1.2 cm

54

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

sensiblement égale à la portée maximale du spectre b. L’axe central du réseau maillé passe par la source ponctuelle et est perpendiculaire à la face d’entrée du fantôme. Le spectre de l’90Y est paramétré dans le fichier suivant au moyen des cartes « si2 » et « sp2 ».

ra co

i=1 Plan YZ X=100

.

.

corb

.

i=12 Plan YX Z=0

1m co r

Y

c

X Z

Figure 1.V.3 À gauche : découpage spatial au moyen d’un mesh-tally. À droite : découpage du mesh tally pour l’application.

bêta dose c cellule

10 1 -1 -10 30 0

-30 10

40 0 30

10 RPP -6 6 -6 6 -15 -12 $ peau

30 RPP -20 20 -20 20 -20 20 $ hors peau imp:e 1 1 mode e

0

sdef par=e pos 0 0 -15 erg d2 c spectre Y90 # SI2 SP2 0 0

0.0571

4.26E-02

0.2855

5.94E-02

0.1713 0.3997 0.5139 0.6281 0.7423 0.8565 0.9707 1.0849

5.18E-02 6.49E-02 6.86E-02 7.08E-02 7.17E-02 7.15E-02 7.04E-02 6.85E-02

55

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

1.1991 6.57E-02 1.3133 6.19E-02 1.4275 5.69E-02 1.5417 5.07E-02 1.6559 4.30E-02 1.7701 3.42E-02 1.8843 2.46E-02 1.9985 1.50E-02 2.1127 6.43E-03 2.2269 1.13E-03 tmesh

RMESH1:e pedep

cora1 -.005 .005 corb1 -.005 .005

corc1 -15 200i -13.8 endmd M1

1000 2 8000 1

ctme 200

 Fichier 1.V.1  

Les résultats pour chacune des 200 cellules virtuelles sont fournis, dans MCNP, en MeV .cm −3 ; cette unité correspond à des MeV .g −1 à la densité de l’eau près. Il y a donc lieu de pondérer les résultats par le coefficient de conversion permettant de passer des MeV g −1 à des Gy  i.e. 1.602 × 10 −10 Gy MeV −1 g. Le profil obtenu avec MCNP et celui issu des expressions semi-empiriques (2) sont présentés à la figure 1.V.2 b). On remarquera une quasi-superposition des deux courbes permettant de confirmer la fiabilité du modèle de calcul semi-empirique de Cross, 1997.

Partie 2 : Calcul de l’équivalent de dose aux extrémités pour la source ponctuelle Le modèle semi-empirique de cross permet d’établir l’équivalent de dose aux extrémités H ′ (0.07) pour une source ponctuelle de b au contact de la peau. L’équivalent de dose aux extrémités est le produit de la dose absorbée sous 70 mm pondéré par le facteur de qualité Q qui, en l’espèce, vaut 1 pour les électrons : H ′ (0.07) = Q Dβ (0.07) = Dβ (0.07) Comme pour ce calcul x < c / υ puisque 0.07 < 0.17 , la première des expressions (2) est utilisée : H ′ (0.07) =

( (

1.04 1.006 − (5.9 ×0.007) exp 1 − 5.9 ×0.007 2  1.006 (5.9 ×0.007) 

))

+ (5.9 ×0.007) exp (1 − (5.9 ×0.007)) − 0.11 

= 0.547 µSv. ( β ) −1

56

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

Dans MCNP, le calcul permettant de conduire à ce résultat est cette fois réalisé au moyen de l’estimateur d’énergie déposée « *F8 » dans une sphère quasi ponctuelle située à une profondeur de 70 mm par rapport à la face d’entrée du fantôme d’eau (voir cellule 20 dans le fichier d’entrée qui suit). bêta dose c cellule

10 1 -1 -10 20 20 1 -1 -20 30 0

40 0 30

-30 10

10 RPP -6 6 -6 6 0 3 20 SZ 0.007 .001

30 RPP -6 6 -6 6 -.001 3.0001 imp:e 1 1 1 0 mode e

sdef par=e pos 0 0 0 erg d2 c spectre Y90 # SI2 SP2 0 0

0.0571 4.26E-02 0.1713 5.18E-02 0.2855 5.94E-02 . .

1.9985 1.50E-02 2.1127 6.43E-03 2.2269 1.13E-03 *F8:e 20 M1

1000 2 8000 1

stop F8 .001

 Fichier 1.V.2  

L’énergie moyenne ε déposée dans la sphère, par β émis par la source, est donnée par le résultat du tally : *F8 = 1.412 × 10 −5 MeV avec une incertitude relative de 0.1 %. Il convient de la diviser par la masse de la sphère msph afin d’obtenir la dose absorbée dans la sphère : H ′ (0.07) = Dβ (0.07) =

ε ε ε = = msph ρ V sph ρ (4 / 3) π r 3

L’expression précédente est pondérée par le facteur 1.602 × 10 −13 qui traduit la conversion J/MeV et divisée par 10 −3 afin de convertir les grammes en kilogrammes. Le résultat normalisé obtenu est : H ′ (0.07) = 1.602 × 10 −13 ×

1.412 × 10 −5 = 0.534 µSv. ( β ) −1 3 − 3 1 × (4 / 3) × π × (0.001) × 10

Les résultats selon les deux approches sont concordants avec un écart de 2.4 %.

57

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Partie 3 : Profil de dose absorbée pour une contamination surfacique On se propose dans cette troisième partie d’estimer le profil de dose absorbée, dans le fantôme d’eau pour une contamination surfacique sur la peau. d) Calcul semi-empirique (Bourgois, 2011) La contamination surfacique de 50 cm2 est répartie uniformément sur la peau et peut être assimilée à une source discoïde de rayon rd = 4 cm. La figure 1.V.4 représente la géométrie de calcul avec les variables utilisées.

Figure 1.V.4 Géométrie pour le calcul de la dose en profondeur due à une contamination surfacique de la peau.

Par la méthode de calcul du point Kernel, la dose absorbée sous une épaisseur x s’obtient selon l’intégrale double suivante. Ds ( x ) = ∫∫ Dβ ( ρ ) dS = 2π S

Rmax

∫

ρ Dβ ( ρ ) d ρ

x

Avec Dβ ( ρ ) l’expression (2) de la dose absorbée pour une source ponctuelle, le calcul de l’intégrale double fournit la dose absorbée pour les trois intervalles de portée. Pour des raisons pratiques, elle est exprimée ci-après en Gy et par b émis par cm2 de source discoïde :

(

( ) ( ))

()

2π k c 1 − exp 1 − υ x − ln υ x + exp (1 − υ x ) − exp (1 − υ R ) − a ln R   υ2  c c x  c  si x ≤  υ (3) Ds (x ) =  c 2π2k exp (1 − υ x ) − exp (1 − υ R ) − a ln R  si < x < R x  υ  υ   si x > R 0

()

Les paramètres et coefficients utilisés dans les expressions (3) sont identiques à ceux explicités dans la première partie pour l’90Y.

58

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

e) Calcul numérique Le profil de dose absorbée est calculé numériquement de la même façon que pour la source ponctuelle avec cette fois une définition de source discoïde dont l’intégration radiale de 0 à 4 cm est réalisé au moyen de la carte « si1 » dans le bloc 3. Beta dose source disque c cellule

10 1 -1 -10 30 0

-30 10

40 0 30

10 RPP -6 6 -6 6 -15 -12

30 RPP -20 20 -20 20 -20 20 imp:e 1 1 mode e

0

sdef par=e pos 0 0 -15 axs 0 0 1 ext 0 rad=d1 Si1 0 4 $ S=50 cm2

erg d2

sp1 -21 1

c spectre Y90 # SI2 SP2 0 0

0.0571 4.26E-02 0.1713 5.18E-02 0.2855 5.94E-02 . .

1.9985 1.50E-02 2.1127 6.43E-03 2.2269 1.13E-03 tmesh

RMESH1:e pedep cora1 -.5 .5 corb1 -.5 .5

corc1 -15 200i -13.9 endmd M1

1000 2 8000 1

ctme 1000

 Fichier 1.V.3  

De même que pour le traitement de la source ponctuelle, il y a lieu de pondérer les résultats par le coefficient de conversion 1.602 × 10 −10 Gy MeV −1 kg. La figure 1.V.5 montre les profils de la dose absorbée en fonction de la profondeur sur l’intégralité de la portée pour les calculs numériques et semi-empiriques avec les expressions (3). Dans cette représentation, la dose absorbée est normalisée en Gy par β émis par cm2 de source discoïde.

59

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

calcul semi-empirique MCNP -10

Gy/β par cm

2

10

-11

10

-12

10

-13

10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Pofondeur Profondeur(cm) (cm)

 Figure 1.V.5  Profil de la dose absorbée en fonction de la profondeur pour la tache de contamination β, obtenu numériquement et selon l’expression semi-empirique de Cross.

On observera une légère surestimation du calcul numérique par l’approche de Cross jusqu’à la moitié de la portée maximale des β ; au-delà, le modèle de cross présente un profil significativement infléchi vis-à-vis du calcul numérique.

1.VI Calcul du profil de dose absorbée

pour des protons de 170 MeV dans l’eau

Résumé Dans cette application, on se propose de calculer le profil de dose dans l’eau pour des protons de 170 MeV – énergie typique des traitements par protonthérapie. Une première partie s’inspire des travaux de Bortfeld, 1997, pour proposer une formulation analytique de la dose absorbée en fonction de la profondeur et déterminer le profil qui en résulte. Une seconde partie s’attache à détailler la simulation numérique de la dose absorbée dans l’eau et à comparer les résultats obtenus avec ceux déterminés dans la première partie. Dans une troisième partie, la dose absorbée puis l’équivalent de dose directionnel à 0° sous 70 mm sont déterminés de façon analytique et numérique. Objectifs – Calcul analytique de la dose absorbée dans l’eau en fonction de la profondeur, pour des protons – Suivi des différentes particules mises en mouvement lors des interactions nucléaires dans MCNP

60

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

– Création d’un maillage de la dose absorbée dans MCNP – Détermination d’un pouvoir d’arrêt massique en n’importe quel point de la portée d’un ion léger au moyen de la fonction « ft let » de MCNP – Calcul d’un spectre micro-dosimétrique au moyen de la carte « ft let », avec MCNP – Calcul de la grandeur opérationnelle : équivalent de dose directionnel sous 70 mm pour des ions légers

Partie 1 : Calcul analytique de la dose absorbée dans l’eau en fonction de la profondeur a) Détermination de l’expression de la dose absorbée par unité de fluence en fonction de la profondeur À la différence des électrons, on est amené à définir une nouvelle grandeur dosimétrique pour tenir compte des interactions nucléaires des protons dans le milieu traversé, en plus des interactions coulombiennes. Cette grandeur est le « terma » et traduit l’énergie totale libérée dans le milieu par unité de masse à la profondeur z. Elle s’exprime selon Φ ( z ) , la fluence de protons à la profondeur z et E ( z ) , l’énergie des protons à la profondeur z selon : T (z ) = −

dE ( z ) 1 d Φ ( z ) 1 Φ (z ) + E ( z )  ρ  ρ dz dz

Le terme de gauche traduit la perte d’énergie par interaction coulombienne ; on notera l’analogie de ce terme avec Φ ( z )(S /ρ ) z , où (S /ρ ) z est le pouvoir d’arrêt massique des protons en z. Le terme de droite traduit l’énergie libérée lors des interactions nucléaires inélastiques des protons au même point ; il s’exprime nécessairement en fonction de la diminution de fluence de protons en z selon d Φ ( z ) /dz . Si l’on considère que γ est la fraction de l’énergie libérée lors de ces réactions nucléaires qui est absorbée localement, nous obtenons une estimation de la dose absorbée à la profondeur z selon :

( ) Φ (z ) + γ ρ1 dΦdz(z ) E (z ) (1)

 (z ) = S D ρ

z

Typiquement, 60 % de cette énergie est déposée localement (Berger, 1993), aussi dans la suite du raisonnement nous postulerons que γ = 0.6 . Une formule empirique permet de déterminer la portée des protons dans l’eau :

R0 = α E 0p

(2)

avec α ≈ 2.2 × 10 −3 , p ≈ 1.77 =(ICRU, 1993) et E 0 en MeV. Dans l’expression (1), il est possible d’exprimer (S / ρ ) z en fonction de R0 et z à partir de l’expression du parcours (2). Cette approche semi-empirique permet de s’affranchir de l’insolubilité de l’intégration de la formule de Bethe-Block. De même pour le terme de droite, Lee et al., 1993 ont proposé une relation de proportionnalité entre Φ ( z )

61

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

et les grandeurs R0 et z. Cela étant, il y a lieu de tenir compte du fait que l’énergie absorbée dans le milieu, sous une profondeur z, n’est pas fixe mais répond à une distribution gaussienne. Cette réalité est encore plus prégnante au niveau du pic de Bragg, dont l’élargissement explique les valeurs au-delà de la portée R0 calculée avec (2). Pour une meilleure évaluation de la dose, on est amené à convoluer l’estimation de la dose donnée en (1) par une distribution gaussienne de d’écarttype σ :

D (z ) =

1 2πσ

R0

 ( z − z )  dz (3) 2σ 2 

∫ D (z ) exp −

−∞

La solution de cette intégrale n’est pas triviale et n’est utilisée que pour l’intervalle de profondeurs R0 − 10σ ≤ z ≤ R0 + 5σ . La figure 1 montre la modification apportée par cette convolution pour des protons de 150 MeV.

 Figure 1.VI.1  Courbes de Bragg avec et sans considération de la dispersion gaussienne pour des protons de 150 MeV dans l’eau. La ligne oblique en pointillé dans le bas du graphe représente la contribution à la dose due à la fraction de protons ayant subi une interaction, d’après Bortfeld, 1997.

En deçà de R0 − 10σ , l’effet de la convolution par la distribution gaussienne est  ( z ) en fonction de R et ténu et le développement de l’approximation de la dose D 0 z est suffisante. Ainsi selon la profondeur, la dose se calcule comme suit :  ( z ) pour z < R − 10σ .  D 0  D z pour R 10 z ≤ R0 + 5σ − σ ≤ ( )  0 Les expressions (4) et (5), ci-dessous, correspondent aux relations semi-empiriques avec les différents termes constants (Bortfeld, 1997). Pour les deux expressions,

62

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

entre crochets, le terme de gauche traduit la fraction liée à la diffusion coulombienne et le terme de droite celle liée aux réactions nucléaires inélastiques.

Φ0 31.7ε  −0.435  D   +  0.444 + (R − z )0.565   ( z ) = 1 + 0.012R0 17.93 (R0 − z ) R0  0      (R0 − z )2  11.26 R −z  σ 0.565 D z exp = Φ − D−0.565  − 0 ( )    0 2  1 + 0.012R0 σ  4σ   σ     11.26ε   R0 − z  +  0.157 +  D−1.565  − σ   R    0 

(4)

(5)

Dans ces expressions, le paramètre  correspond à la fraction de la fluence initiale qui n’est pas à l’énergie de 170 MeV. En pratique, les faisceaux de protons ne peuvent être totalement mono-énergétiques ; il y a une composante du faisceau aux énergies plus basses. Ce facteur permet de prendre en compte cet effet qui ne dépasse pas une dizaine de pourcents. Pour notre application, nous considérons un faisceau idéal. En conséquence, dans la suite du calcul ce terme est considéré comme nul. L’écart-type σ est estimé en fonction de la portée R0 selon :

σ ≈ 0.012R00.935 Les termes n ( z ) représentent les fonctions de Weber-Hermite et permettent le développement en série suivant (Lee, 1993) :

z2 n ( z ) = exp  −  [ao A0 + za1 A1 ] (6)  4 

Avec :  n  n +1  π π ao =  2 2   ;  a1 =  −2 2   ; 1 n  Γ  Γ −n − 2 2 2

)

(

∞

A0 = 1 + ∑ (−1) p k =1

∞

A1 = 1 + ∑ (−1) p k =1

( )

n (n − 2)…(n − 2k + 2) 2 k z  ; (2k ) !

(n − 1) (n − 3)…(n − 2k + 1) 2 k z (2k + 1) !

les valeurs de ao et a1 sont indépendantes de z et valent pour −0.565  : ao = 1.230 et a1 = −0.647 , pour −1.565  : ao = 1.145 et a1 = −1.230. Ce développement en série n’est pas trivial et converge vers le résultat vrai à 2 chiffres après la virgule, pour un développement jusqu’au moment d’ordre 10… Certains logiciels tel que LabVIEW calculent numériquement les fonctions de Weber-Hermite.

63

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

b) Calcul de la dose absorbée par unité de fluence au niveau du pic de Bragg et à 15 cm de profondeur L’obtention de la dose au niveau du pic de Bragg, pour z = R0 est cependant largement simplifiée puisque l’expression (6) se résume à n ( z ) = [a0 ]n . Ainsi l’expression de D (R0 ) s’écrit à partir de (5) comme suit : D (R0 ) = Φ 0

σ 0.565 11.26 [a0 ]−0.565 + 0.157 [a0 ]−1.565  1 + 0.012R0  σ 

En pondérant par le facteur 0.1602 nous obtenons le résultat en nGy et pour une dose absorbée par unité de fluence (nGy.cm 2) l’expression précédente devient : D (R0 ) σ 0.565 11.26 = 0.1602 × [a0 ]−0.565 + 0.157 [a0 ]−1.565  Φ0 1 + 0.012 R0  σ  La portée pour les protons de 170 MeV dans l’eau et l’écart-type de la gaussienne sont : R0 = 2.2 × 10 −3 × (170)1.77 = 19.51 cm et σ ≈ 0.012 × (19.51)0.935 = 0.193 cm Ainsi nous obtenons au niveau du pic de Bragg, les composantes de dose par diffusion coulombienne (c) et par réaction nucléaires (r) :

(

)

(0.193)0.565 11.26  D (R0 )  = 0.1602 × × × 1.230 = 3.68 nGy.cm 2  Φ  + × 1 0 . 012 19 . 51 0.193 ( )  0 c (0.193)0.565  D (R0 )  = 0.1602 × × (0.157 × 1.145) = 0.01 nGy.cm 2  Φ  1 + (0.012 × 19.51)  0 r La valeur de la dose totale par unité de fluence, au niveau du pic de Bragg est donc

(D (R0 ) / Φ 0 ) = 3.69 nGy.cm 2 . Nous noterons la faiblesse de la fraction liée aux réactions nucléaires à cette profondeur (2.6 %). Plus généralement, cette composante ne cesse de décroître à mesure que l’énergie des protons diminue en raison des sections efficaces de réactions nucléaires et des niveaux de seuils de certaines d’entre elles (voir figure 1.VI.1). L’application de la formule (4) est plus aisée ; elle peut être utilisée jusqu’à z < R0 − 10σ , autrement dit jusqu’à 17.6 cm. On se propose, ci-après, de calculer la dose par unité de fluence à une profondeur de 15 cm.  (15) D 0.1602 17.93 × (19.51 − 15) −0.435 + (0.444) × (19.51 − 15)0.565  = Φ0 1 + 0.012 × 19.51  = 1.34 nGy.cm 2 Le profil de dose obtenu par calcul avec les expressions (4) et (5) est présenté à la figure 1.VI.3.

64

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

Partie 2 : Calcul du profil de dose par unité de fluence avec MCNP On se propose de calculer avec MCNP la dose déposée en profondeur dans un fantôme d’eau de 30 × 30 × 30 cm3 par un faisceau parallèle de proton de 170 MeV et dont la section présente un rayon de 5 cm. Ce calcul est réalisé avec un maillage spatial de la dose absorbée au moyen de la fonctionnalité « mesh-tally » de MCNP (voir 1.V partie 2). Pour notre calcul, on considère le faisceau de proton sur l’axe Oz, et on découpe le fantôme d’eau en 200 intervalles sur une profondeur de 25 cm. Les axes x et y sont découpés par tranches de 2 cm. La 7e entrée de la carte de physique du neutron « phys :n » est fixée à 1, afin de permettre la génération et le suivi des protons de reculs sur l’hydrogène ainsi que des ions légers issus des réactions nucléaires telles que de type (n, p ) ou (n,α ) réalisées par les neutrons secondaires ; de même ce paramétrage sur la carte de physique des protons « phys:h » permet la génération et le suivi des ions légers issus des réactions nucléaires de type ( p, d ) , ( p,α ) … Le fichier MCNP est le suivant : proton dose c cellule

10 1 -1 -10 30 0 -30 10 40 0 30

10 RPP -15 15 -15 15 -15 15 30 RPP -20 20 -20 20 -20 20 imp:n,h,d,t,s,a,# 1 1

0

c transport des neutrons n, protons h ,deutons, d, triton t, helion s c alpha a, ions lourds # mode n h d t s a

#

sdef par=h pos 0 0 -16 axs 0 0 1 ext 0 rad=d1 vec 0 0 1 dir 1 erg 170 Si1 0 5

sp1 -21 1

c 7e entrée (coilf) de PHYS mise à 1 :

c production des ions légers par collisions élastiques PHYS:N 200 0 0 J J J 1 -1 J J J 0 0

phys:h 200 0 -1 J 0 J 1 J J J 0 0 j j c cut=0 (1e-3 for d t s a a,d HI)

c cut 3 et 4 entry=0 for analog capture cut:n,h,d,t,s,a,# j 0 0 0 j tmesh

c proton

RMESH1:h pedep cora1 -1 1 corb1 -1 1

corc1 -15 200i 10

65

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

c alpha

RMESH11:a pedep cora11 -1 1 corb11 -1 1

corc11 -15 200i 10 c neutron

RMESH21:n pedep cora21 -1 1 corb21 -1 1

corc21 -15 200i 10 c heavy ion

RMESH31:# pedep cora31 -1 1 corb31 -1 1

corc31 -15 200i 10 c deuton

RMESH41:d pedep cora41 -1 1 corb41 -1 1 c triton

RMESH51:t pedep cora51 -1 1 corb51 -1 1 c helion

RMESH61:s pedep cora61 -1 1 corb61 -1 1 RMESH3

Cora3 -1 1 Corb3 -1 1

Corc3 -15 200i 10 endmd M1

1001 2 8016 1 $ eau

ctme 1000

 Fichier 1.VI.1  

Les mesh de type 1 (« rmesh1 » à « rmesh61 ») associés au mot-clé « pedep » permettent d’estimer l’énergie déposée, par unité de volume, pour les différents types de particules chargées primaires et secondaires : « rmesh1 » pour les protons, « rmesh11 » pour les alpha, « rmesh21 » pour les ions lourds, « rmesh31 » pour les neutrons, « rmesh41 » pour les deutons, « rmesh51 » pour les tritons, et « rmesh61 » pour les hélions. Le mesh de type 3 (« rmesh3 » permet d’estimer l’énergie déposée totale par unité de volume. Au moment de l’exécution du fichier d’entrée, un fichier « mdata » est créé en plus du fichier de sortie classique. Ce fichier est de type binaire et doit être converti au format ASCII avec, par exemple, l’application « gridconv.exe » fournie dans le package MCNP. La séquence d’opérations à réaliser pour la conversion est reproduite dans l’invite de commande représentée à la figure 1.VI.2.

66

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

 Figure 1.VI.2  Procédure de conversion du fichier de sortie « mdata » de MCNP au format ASCII.

Le fichier (ici bragg_p) est alors lisible directement ou utilisable par des applications de post-traitement visuel 3D telles que MORITZ, ou VISED par exemple. Les résultats sont fournis en MeV .cm −3, ce qui revient pour l’eau à des MeV .g −1. Il convient donc de multiplier les résultats par le facteur 1.602 × 10 −19 × 10 6 × 103 pour obtenir les résultats en Gy  ; les résultats sont ensuite divisés par la fluence de proton pour une normalisation en Gy.cm 2 . Dans notre cas, s’agissant d’un faisceau parallèle de protons dont la section est de 5 cm rayon, la fluence par proton incident est Φ = 1 / π (5)2 cm −2 . Les profils de doses par unité de fluence pour le résultat total et pour chaque composante de particules lourdes chargées sont présentés à la figure 1.VI.3 a. On remarquera qu’audelà du pic de Bragg, à partir d’environ 20 cm de profondeur, il subsiste une faible composante de dose due aux neutrons (environ 4 décades inférieure au pic de Bragg). Ces neutrons proviennent essentiellement des réactions ( p, xn) sur les noyaux d’oxygène, azote et carbone. Les neutrons, à leur tour, sont responsables de diffusion élastique (n,n) essentiellement sur l’hydrogène avec mise en mouvement de protons secondaires et de réactions inélastiques (n, p ) et plus marginalement (n,α). Ces contributions sont visibles sur les courbes « protons » et « alpha » au-delà du pic de Bragg. 0

10

10

-1

10

10

proton HI neutron alpha all deuton

0

-1

-2

-3

-9

3.5x10

-9

3.0x10

-9

2.5x10

-9

2.0x10

-9

1.5x10

-9

1.0x10

-9

Calcul semi-empirique Calcul MCNP

2

10 10-3

Gy.cm

nGy.cm2 nGy.cm

2

10 10-2

4.0x10

-4

10 10-4 -5

10 10-5 -6

10 10-6 -7

10 10

-7

proton neutron deuton

IL alpha total

0 0 2 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 14 16 16 18 18 20 20 22 22 24 24

Profondeur (cm) Profondeur (cm)

5.0x10

-10

0.0

0

5

10

15

20

Profondeur (cm)

 Figure 1.VI.3  a) Profils de dose absorbée totale par unité de fluence et composantes des particules charges lourdes, calculées avec MCNP. b) En trait plein, le profil de dose totale par unité de fluence calculé par MCNP et en triangles, celui calculé analytiquement avec les équations (3) et (4).

67

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

La figure 1.VI.3-b) montre les profils de dose totale par unité de fluence, obtenus selon les expressions semi-empiriques (4) et (5) et selon MCNP. On remarque une quasi-superposition des deux profils ; la portée calculée avec l’expression (2) est de 19.5 cm et celle obtenue avec le maillage spatial de la dose absorbée se situe entre 19.2 et 19.4 cm. Pour les valeurs de dose calculée à 15 cm et au niveau de la portée, les valeurs obtenues dans MCNP sont respectivement 1.37 (0.085 %) et 3.95 (0.0724 %) nGy.cm 2 ; les écarts entre les valeurs obtenues par la méthode semiempirique et MCNP sont respectivement –2.2 % et –6.6 %.

Partie 3 : Calcul de la dose absorbée et de l’équivalent de dose directionnel à 0° sous 70 µm a) Calcul analytique de la dose absorbée sous 70 mm Pour une profondeur très faible devant la portée ( z  R0 ) l’impact de z devient négligeable devant R0 et l’expression (4) de la dose absorbée peut se résumer à :

 (z  R ) = D 0

Φ0 1 + 0.012 R0

17.93 R −0.435 +  0.444 + 31.7  R 0.565  (4) ( 0) ( )    R0  0  

Ainsi, en considérant un faisceau de protons parallèle et idéal ( = 0), la dose absorbée dans l’eau sous une profondeur de 70 mm par unité de fluence s’estime comme suit :  (70 µm) D 0.1602 17.93 × (19.51) −0.435 + (0.444) × (19.51)0.565  = Φ0 1 + 0.012 × 19.51  = 0.95 nGy .cm 2 b) Calcul numérique de la dose absorbée sous 70 mm Dans MCNP, le calcul permettant de conduire à la valeur de la dose sous 70 mm, D ′ (0.07) , est réalisé au moyen de l’estimateur d’énergie déposée *F8. L’énergie déposée est estimée dans un cylindre quasi ponctuelle de surface d’entrée 1 cm2 située à une profondeur de 65 mm et une longueur de 10 mm par rapport à la face d’entrée du fantôme d’eau, soit une profondeur moyenne de 70 mm (voir cellule 15 dans le fichier d’entrée qui suit). Le faisceau de protons modélisé présente une section de 1.5 cm de rayon. L’énergie moyenne ε déposée dans la cellule 15, par proton émis par la source, est donnée par le résultat du tally : *F8 = 8.12 × 10 −4 MeV . Il convient ensuite de la diviser par la masse du cylindre m afin d’obtenir la dose absorbée dans cette cellule. D ′ (0.07) = 1.602 × 10 −13

68

(mε )

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

Dose proton

C bloc cellule 10

1

-1

520

1

-1

15

1

-1

-10 15 $ eau -15

C bloc géométrie 10 15

RCC

0

RCC

0

$ cellule calcul

10 $ extérieur pas de transport

0 0

-1e-10 0

6.5e-3

0

0 0

30

1e-3

2

.5642

mode h

imp:h 1 1 0

sdef par=h pos 0 0 0 axs 0 0 1 ext 0 rad=d1 vec 0 0 1 dir 1 erg 170 phys:h 200 0 -1 J 0 J 1 J J J 0 0 j j Si1 0 1.5 sp1 -21 1 M1 1001

*F8:h 15

2 8016 1 $ eau

ctme 1200

 Fichier 1.VI.2  

Le facteur 1.602 × 10 −13 traduit la conversion J/MeV. La masse de la cellule de calcul est : m = ρV = ρ Sh = 1 × 1 × 1 × 10 −3 = 1 × 10 −3 g

(1 × 10 −6 kg)

De plus, il est nécessaire de normaliser la dose par rapport à la fluence de proton dans le faisceau, ce qui conduit au ratio suivant :

()

D ′ (0.07 ) D ′ (0.07 ) ε = = π r 2 × 1.602 × 10 −13 2 Φ0 m 1/πr

8.12 × 10 −4  = π × 1.52 × 1.602 × 10 −13    10 −6  2 2 − 10 = 9.2 × 10 Gy cm (0.92 nGy.cm ) On notera un léger écart significatif de 3 % entre les résultats des deux approches en sachant que l’incertitude sur le résultat de l’estimation MCNP est de ±1.2 %. c) Calcul de l’équivalent de dose directionnel à 0° sous 0.07 mm H’ (0.07, 0°) L’équivalent de dose directionnel à 0° sous 0.07 mm s’obtient à partir de la dose absorbée sous 70 mm par pondération avec le facteur de qualité moyen des protons sous 70 mm. H ′ (0.07) = Q × D ′ (0.07)

69

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Le facteur de qualité moyen Q est dépendant de Transfert Linéique d’Énergie moyen TLE, noté L, selon la relation : 1  Q =  0.32L − 2.2   300 / L

pour L < 10 keV .µm −1 pour 10 ≤ L ≤ 100 keV .µm −1 pour L > 100 keV .µm −1

Le TLE moyen dans la cellule 15 peut être évalué au moyen de la fonction « FT LET » de MCNP. Cette option permet de calculer la fluence de particules chargées en fonction du TLE, c’est-à-dire en fonction de l’énergie cédée dans la cellule par unité de distance traversée. Cette fonction est associée à un tally de type F4 pour les protons dans la cellule concernée. Pour établir un spectre de TLE, il est nécessaire d’ajouter une carte « e4 » avec un découpage énergétique. Les TLE sont fournis dans MCNP avec l’unité courante du pouvoir d’arrêt linéique : MeV .cm −1  ; on veillera donc à pondérer l’ensemble des résultats par 1/10 pour obtenir une conversion en keV .µm −1. Nous noterons que ces spectres découpés en keV/µm peuvent être également qualifiés de spectre d’énergie linéale ou encore de spectre microdosimétrique (voir exercice avec le compteur proportionnel de Rossi). Pour un calcul exhaustif, tenant compte de l’ensemble des particules chargées en mouvement, il est nécessaire, dans un premier temps, de toutes les transporter ; cette instruction est donnée au moyen de la carte « mode » qui permet le suivi des neutrons « n », des protons « h », des deutons « d », des tritons « t », des hélions « s », des alpha « a » et des ions lourds tels que les noyaux résiduels mis en mouvement au terme des réactions nucléaires « # ». Ces ions résiduels sont créés, transportés et suivis en fixant la 7e entrée de la carte de physique des protons « phys :h », à « 1 » ; de même, les protons de recul issus des réactions de diffusion élastiques des neutrons secondaires provenant des réaction ( p, xn) peuvent être suivis dès lors que la 7e entrée de la carte de physique des neutrons est également fixée à « 1 ». Sans le paramétrage de ces cartes de physique, les réactions nucléaires ont bien lieu, entraînant une annihilation du proton d’origine ou une diminution de l’énergie du proton mais ni les particules chargées secondaires, ni les noyaux résiduels ne sont suivis, ce qui occasionnerait une valeur nulle dans le spectre TLE pour ces composantes. Dans le fichier MCNP suivant, le tally « F4 » permet l’obtention du spectre TLE global ; les tally de « F14 » à « F34 » permettent d’obtenir les spectres TLE partiels de chacune des composantes des particules chargées en mouvement. Spectre en TLE C bloc cellule 10

1

-1

520

1

-1

15

1

-1

-10 15 20 $ eau -15

C bloc géométrie 10 15

70

RCC RCC

0 0

$ cellule calcul à 70 µm

10 $ extérieur pas de transport

0 0

-1e-10 0

6.5e-3

0

0 0

30

1e-3

2

.5642

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

imp:n,h,d,t,s,a,# 1 1 1 0 mode n h d t s a

#

sdef par=h pos 0 0 0 axs 0 0 1 ext 0 rad=d1 vec 0 0 1 dir 1 erg 170 phys:h 10000 10000 -1 J 0 J 1 J J J 0 0 j j PHYS:N 10000 10000 0 J J J 1 -1 J J J 0 0 cut:n,h,d,t,s,a,# j 0 0 0 j Si1 0 1.5 sp1 -21 1 M1 1001 FC4 all

2 8016 1 $ eau

F4:h,d,t,s,a,# 15 FT4 LET FC14 H

F14:h 15 FT14 LET FC24 a

F24:a 15 FT24 LET FC34 HI

F34:# 15 FT34 LET

 Fichier 1.VI.3  

La figure 1.VI.4 ci-après donne une représentation du spectre de fluence des particules chargées en fonction du TLE en keV .µm −1, pour les protons ayant traversé la cellule 15. -1

10

-2

10

protons toutes particules

-3

-2

φ (cm )

10

-4

10

-5

10

α

-6

10

ions lourds

-7

10

-8

10

1

10

100

1000

keV/µm

 Figure 1.VI.4  Spectre de fluence de particules chargées en fonction du TLE, calculé avec MCNP dans le micro-cylindre d’eau.

On remarque la présence d’un pic pour le TLE le plus faible du spectre, situé aux alentours de 0.5 keV .µm −1 et, au-delà, d’un fond pour lequel les occurrences sont

71

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

marginales et qui s’étend jusqu’à environ 1000 keV .µm −1. Le pic correspond aux protons de 170 MeV qui à cette énergie déposent très peu d’énergie dans l’eau, expliquant un TLE faible. Jusqu’à quelques dizaines de keV .µm −1, le fond correspond aux protons ayant essentiellement diffusé élastiquement sur les noyaux des constituants de l’eau (diffusion de Rutherford) et des protons de recul lors des diffusions élastiques, sur l’hydrogène, des neutrons issus des réactions ( p, xn) . Au-delà d’une dizaine de keV .µm −1, le fond est dû essentiellement aux alpha des captures ( p,α ) et ions lourds résiduels en mouvement ; rappelons qu’en début de parcours, environ 20 % de l’énergie cédée dans le milieu est le fait de réactions nucléaires. Le TLE moyen sous 70 mm d’eau s’obtient à partir du spectre en histogramme par bandes de TLE selon la moyenne pondérée suivante : L (70 µm) =

∑ Li × Φ i = 0.53 keV .µm −1 ∑Φ i

Comme L (70 µm) < 10 donc Q = 1 et ainsi l’équivalent de dose directionnel est égal : H ′ (0.07) D ′ (0.07) × Q = 9.2 × 10 −10 Sv.cm 2 = Φ0 Φ0 On notera qu’un calcul similaire dans le pic de Bragg aurait conduit à un TEL moyen plus important d’environ 5 keV .µm −1 en raison de la diminution de la vitesse des protons à ce stade du parcours. On ajoutera que cette technique de détermination du TLE moyen peut permettre d’accéder au pouvoir d’arrêt linéique ou massique en n’importe quel point de la portée d’une particule chargée ; elle permet alors une juste application de la formule usuelle de la dose absorbée pour les particules chargées (sans rayonnement de freinage) : L ( z ) MCNP ⇒

( ρS )

⇒ D (z ) = z

( ρS ) Φ (z ) z

On rappellera que pour l’application simplifiée de cette formule de la dose absorbée, le pouvoir d’arrêt massique est pris constant sur l’ensemble de la portée, ce qui constitue un biais vis-à-vis de l’obtention de la valeur vraie.

1.VII Calculs du kerma neutron et des spectres

microdosimétriques avec un compteur proportionnel équivalent tissu

Résumé : Dans la première partie de cet exercice, on se propose de mesurer le coefficient de conversion « fluence-Kerma de première collision » pour des neutrons de 13.9 MeV au moyen d’un compteur proportionnel équivalent tissu à faible pression (CPET). La valeur déterminée sera ensuite comparée à la valeur théorique calculée. Une seconde partie concernera la comparaison de ce coefficient avec différentes valeurs de coefficient de conversion

72

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

« fluence-dose moyenne aux organes » de l’ICRU, 1998. Dans cette partie, nous étudierons également la possibilité d’évaluer l’équivalent de dose ambiant, H * (10), à partir du kerma neutron. Enfin, dans une dernière partie, le détecteur sera modélisé, afin de détailler la méthodologie de calcul d’un spectre microdosimétrique avec MCNP et de réaliser une intercomparaison sur le kerma neutron avec la valeur déduite de ce spectre. Objectif : – Calcul analytique d’un kerma de première collision pour des neutrons monoénergétiques, – Étude de la technique de mesure du spectre microdosimétrique et du kerma de première collision avec un CPET standard de type Rossi, – Comparaison du kerma de première collision avec les doses moyennes aux organes et évaluation de l’équivalent de dose ambiant, – Utilisation, dans MCNP, de la carte « anticoïncidence pulse-height » et calcul d’un spectre microdosimétrique par simulation numérique, – Calcul du facteur de qualité moyen pour les neutrons à partir d’un spectre microdosimétrique. La chambre CPET utilisée est sphérique et de type Rossi. Sa paroi est composée de plastique A150 équivalent-tissu d’une épaisseur de 2.54 mm. Cette épaisseur est compatible avec l’équilibre des particules chargées secondaires mises en mouvement dans la paroi par les neutrons. La cavité interne présente un diamètre de 1.27 cm et elle est remplie de méthane équivalent-tissu dont la densité est ρm = 1.064 × 10 −3 g cm −3 TPN . La pression du méthane dans la cavité est Pm = 7.4 kPa ; cette pression fait correspondre à la longueur du diamètre, la masse surfacique suivante : P 7.4 × 10 −2  ms = d ρm  m  = 1.27 × 1.064 × 10 −3 ×    Patm   1.013  = 9.87 × 10 −5 g.cm −2 ≅ 1 × 10 −4 g.cm −2 La masse surfacique de 10–4 g.cm–2, correspond à une distance de 1 mm pour la densité classique de 1 g.cm–3 dans les tissus ; cette longueur est typique de la dimension des cellules vivantes et permet la mesure de spectre microdosimétrique.

Figure 1.VII.1 Compteur de Rossi pour la mesure de spectre micro-dosimétrique d’un champ neutronique (adapté de Oak Ridge Associated Universities).

73

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Le champ de neutron de 13.9 MeV est obtenu au moyen de la réaction de capture 3 H(d,n)4He avec un accélérateur de type van de graff. Le compteur est situé à 30 cm de la cible de conversion et son étalonnage est réalisé au moyen d’une source α d’Am-Be. Les données liées au résultat de la mesure du coefficient de conversion « fluence-Kerma de première collision » sont les suivantes : – Le ratio de l’énergie déposée par les alpha sur la corde moyenne de la sphère 2 1 l = d vaut (∆ε α /l ) = 1277 MeVg −1cm 2 ICRU, 1983, ρ 3 – Le ratio des pouvoir d’arrêt massique pour les particules secondaires chargées mises en mouvement par les neutrons, dans la paroi, entre la paroi et le gaz vaut w (S /ρ ) = 1,

)

(

g

– L’énergie moyenne d’ionisation pour les alpha de l’Am-Be est Wα = 28 eV (Thomas et Burke, 1985), – Le ratio des énergies moyennes d’ionisation pour les neutrons et les alpha de l’Am-Be vaut Wn /Wα = 1, – La fluence de neutron, par unité de charge du faisceau dans l’accélérateur, est (Φ/q ) = 1.33 × 10 4 cm −2 µC −1 à 30 cm de la cible et l’accélérateur fonctionne avec une intensité nominale I = 10 µA (Menzel et al., 1984), – Le courant mesuré dans la chambre pendant le tir est i = 2.75 × 10 −2 pA

Partie 1 : Calcul du coefficient de conversion « fluenceKerma de première collision » et du signal mesuré Pour traiter cette question, nous partons de la relation classique de Bragg-Gray pour les cavités étroites, qui donne la mesure de la dose, Dt , sous l’épaisseur de paroi en fonction de la charge totale qt produite dans la cavité :

q Dt =  t  mg

 W g   e 

  S W    (1) ρ  g

Cette relation va être, cette fois, adaptée à un compteur proportionnel présentant un gain d’amplification g . La charge totale correspond à l’intégration sur l’ensemble du spectre de charge q relative au comptage individuel de chaque évènement, rendu possible grâce au fonctionnement du détecteur en régime proportionnel : ∞

qt = ∫ q n (q ) dq 0

la charge q correspond à l’énergie perdue par la particule chargée secondaire ε sur un trajet de 1 mm du gaz interne. La collection de l’ensemble des charges permet, in fine, la constitution d’un spectre micro-dosimétrique en fonction de l’énergie linéale y = ε /l . La longueur l représente la corde moyenne dans la cavité qui vaut, pour la

74

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

sphère, 2d /3. En incluant l’intégrale du spectre de charges collectées l’expression (1) peut s’écrire de la sorte :  ∞  W 1  ∫ 0 q n (q ) dq   W g   S  Dt =     (2)  e  ρ g g mg     Avec n (q ) la distribution des charges dans les canaux d’acquisition. L’intégrale sur l’ensemble des charges donne la charge totale. Il y a ensuite une correspondance directe entre la distribution de charge et le spectre micro-dosimétrique n (q ) ∝ d ( y ) . À ce stade, il est nécessaire de faire un étalonnage en énergie pour connaitre la correspondance entre la charge collectée q et l’énergie cédée par les particules chargées secondaires. On réalise, ici, un étalonnage en énergie avec une source α d’Am-Be. Si ∆ε α est l’énergie cédée par les alpha de l’Am-Be dans la cavité et que cette dernière est responsable de l’ionisation d’une charge qα , il est possible d’exprimer alors l’énergie linéale y en fonction de ces deux paramètres (on fait, ici, l’hypothèse que le gain est le même quel que soit la particule chargée) :  q (W g ) ε  1  q (W g )n 1 qα (W g )α n =  ⇒ y = et ∆Eα =   e  qα (W g ) g l  g  el  α

  ∆ε    α  (3)  l   L’expression (3) de y permet la réalisation du spectre microdosimétrique montré à la figure 1.VII.2 et commenté dans la suite. Nous pouvons également exprimer la dose absorbée en fonction de la valeur moyenne de la distribution en fréquence de l’énergie communiquée ε f et de l’énergie linéale moyenne y f  : y=

D=

εf N εf N = = ρV m

εf N

=

εf εf  4N 4N 4N =  = yf (4) 2 2 2d ρπ d ρ π ρ π d2 d l   3

() ( )

4 d ρ π 3 2

3

N est le nombre de dépôt moyen d’énergie. Ainsi avec les expressions (3) et (4), et en considérant que la dose est égale au kerma puisque les conditions d’équilibre des particules chargées secondaires dans la paroi du détecteur sont respectées, expression (2) devient :   ∞ W 4  ∫ 0 q n (q ) dq  (W g )n  S   ∆ε α  Kn = (5)  (W g )  ρ  g  l  qα ρπ d 2  α   Cette expression peut ensuite être déclinée en débit de kerma en fonction du courant mesuré. Avec la mise en concordance des différentes unités, l’expression (6) fournit le débit de kerma de première collision en µGy.s −1 :

K n = 6.38 × 10 −4

(W g )n i ρπ d 2 qα (W g ) α

W

 S   ∆ε α   (6) ρ   g  l 

L’ensemble des paramètres l’expression (6) est accessible à l’exception de la charge qα . Pour déterminer cette grandeur, on utilise le rapport de l’énergie déposée par les

75

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

alpha sur la corde moyenne de la sphère pour évaluer d’abord l’énergie déposée ∆ε α  ; on considère que le pouvoir d’arrêt est constant sur la faible distance parcourue, ce qui permet de postuler que le nombre de charges créées est également constant pour un tel dépôt d’énergie :  1  ∆ε α ρ 2  d  3

 2 2  −1 2 −4  = 1277 MeV .g cm ⇔ ∆Eα = 1277 × 3 ρ d = 1277 × 3 × 10 = 85.13 keV   ∆E 85130 qα = α e = × 1.6 × 10 −19 = 4.86 × 10 −16 C Wα 28

Le résultat du débit de kerma de première collision est :

K n = 6.38 × 10 −4 ×

2.75 × 10 −14 × 1 × 1 × 1277 = 9.11 µGy.s −1 (7) 2 − 16 π × (1.27) × 4.86 × 10

Pour déterminer le facteur de conversion, on détermine d’abord le débit de fluence à 30 cm de la cible :  =  Φ  I = 1.33 × 10 4 × 10 = 1.33 × 105 (n) .cm −2 .s −1 Φ q Il vient finalement pour le coefficient de conversion « fluence-kerma de première collision », qualifié également de « facteur de kerma » : 9.11 × 10 −6  Kn  = = 6.84 × 10 −11 Gy.cm 2 = 68.4 pGy.cm m2 Φ  13.9 1.33 × 105 Le figure 1.VII.2 représente le spectre microdosimétrique en fonction de l’énergie linéale reconstitué après acquisition et traitement du signal mesuré dans le CPET. L’ordonnée est exprimée, ici, en yd ( y ) K n / Φ avec pour unité des cm2. L’intégrale sur l’ensemble du spectre de yd ( y ) est normalisé à 1 et l’air total sous la courbe donne le facteur de conversion K n / Φ. � �� ��� 30

p

������� ⁄� �Gy. cm �� �

25

20

15

α

10

C,N,O

5

0 0,01

0,1

1

10

100

� ����. �� �� �

1000

10000

 Figure 1.VII.2  Spectres micro-dosimétriques mesurés avec un compteur de Rossi (d’après Menzel et al., 1984).

76

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

Le pic principal centré sur une énergie linéale de 10 keV.mm–1 concerne les protons de recul des diffusions élastiques (n, n) sur l’hydrogène et pour une part plus marginale les protons issus des réaction (n, p ) . Il s’étend jusqu’à une énergie d’environ 150 keV.mm–1 qui est qualifiée dans la littérature de « p-edge ». Cette valeur est atteinte pour des neutrons incidents d’énergie supérieure ou égale à 100 keV. En effet, à partir de 100 keV, si toute l’énergie du proton de recul est déposée dans le gaz de la cavité, un évènement d’énergie linéale y = 100 / (2 / 3) = 150 keV .µm −1 sera compté. Pour des énergies incidentes supérieures à 100 keV, cette valeur limite de l’énergie linéale ne peut être dépassée puisque l’énergies des protons de reculs mis en mouvement est en moyenne supérieure et le pouvoir d’arrêt moyen dans le gaz plus faible, entrainant un dépôt d’énergie inférieur ou égal à 100 keV. Cette observation permet également d’expliquer que, à partir des 100 keV, pour des énergies croissantes, le maximum d’énergie linéale du pic proton diminue : elle est de 10 keV.mm–1 pour des neutrons de 13.9 MeV et de 100 keV.mm–1 pour des neutrons de 1 MeV. Pour le spectre des neutrons de 13.9 MeV mesurés, Le second pic observable à 380 keV.mm–1 concerne les alpha des réactions (n,α ) et de la réaction (n, n′3α ) sur le 12C ; il est qualifié de « α-edge » dans la littérature. Le dernier épaulement sur la droite du spectre concerne les noyaux lourds de recul issus des diffusions élastiques le carbone, l’oxygène et l’azote. Pour connaitre le signal mesuré S en (c ) .cm 2, une estimation du rendement du TEPC, en fonction de l’énergie des neutrons, est réalisée à partir de la formule empirique de Nunomiya et al., 2002 :

ε d = 0.045 ( E n )0.9 = 0.045 × (13.9)0.9 = 0.48 Ce qui fournit un signal mesuré pendant l’irradiation de :  = 0.48 × 1.33 × 105 = 6.4 × 10 4 (c ) .s −1 S = ε d Φ

Partie 2 : Calcul théorique du facteur de kerma et comparaison avec les grandeurs opérationnelles et de protection Dans cette partie, nous allons calculer de façon théorique le facteur de Kerma de première collision. Il sera ensuite comparé à celui obtenu par la mesure dans la partie précédente. a) Calcul théorique du facteur de kerma La répartition massique des constituants chimiques des tissus, retenue pour les calculs est : 72.9 % d’oxygène, 12.3 % de carbone, 10.2 % d’hydrogène et 3.5 % d’azote. Les sections efficaces et chaleurs des réactions susceptibles d’intervenir dans le processus de transfert d’énergie pour les 4 éléments chimiques, à une énergie des neutrons de 13.9 MeV sont donnés dans le tableau 1.VII.1 (d’après http://www. nndc.bnl.gov/exfor/endf02.jsp). On notera la réaction inélastique « exotique » : (n,n’3α) sur le 12C qui est responsable de la moitié du kerma partiel lié au carbone.

77

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

 Tableau 1.VII.1  Sections efficaces et chaleur pour les réactions nucléaires des neutrons de 13.9 MeV sur les éléments chimiques des tissus. Oxygène :

Azote :

Réaction

s (barn)

Q (MeV)

Réaction

s (barn)

Q (MeV)

(n,n)

0.993

0

(n,n)

0.932

0

(n,p)

0.045

–9.638

(n,p)

0.054

0.625

(n,α)

0.138

–2.215

(n,α)

0.062

–0.175

(n,n’)

0.306

–6.05

Carbone :

Hydrogène :

Réaction

s (barn)

Q (MeV)

Réaction

s (barn)

Q

(n,n)

0.687

0

(n,n)

0.803

0

(n,α)

0.064

–5.70

(n,n’3α)

0.300

–7.79

La formule générale du kerma de première collision est définie pour une interaction sur une profondeur inférieure ou égale au libre parcours total des neutrons dans le milieu traversé. Au-delà, on considère que les phénomènes de diffusion s’opposant à l’atténuation des neutrons peuvent devenir important. C’est la raison pour laquelle, le kerma de première collision est la seule grandeur dosimétrique que l’on puisse calculer analytiquement pour les neutrons. Sous la faible profondeur où le kerma de première collision est calculé, l’équilibre des particules secondaires chargées est postulé et le kerma est considéré égal à la dose. Son expression générale pour un corps chimique unique est la suivante : Kn =

Φ N ρ

∑ σ i (ε tr )i i

Avec N le nombre d’atomes par cm du corps considéré, σ i la section efficace de la réaction i sur ce corps et (ε tr )i l’énergie moyenne transférée aux particules secondaires chargées au terme de la réaction. Pour un mélange d’éléments chimiques avec des pourcentages massiques wc et avec un kerma exprimé en Gy cette expression devient : w K n = 1.6 × 10 −10η A Φ ∑ c ∑ σ c ,i (ε tr )c ,i Ac i c 3

Avec η A le nombre d’Avogadro et Ac le masse molaire du corps c. Le facteur 1.6 × 10 −10 permet la conversion de MeV .g −1 en Gy . Ainsi le facteur de kerma peut s’écrire : Kn w = 9.63 × 1013 ∑ c ∑ σ c ,i (ε tr )c ,i (8) Φ Ac i c Les résultats du facteur de kerma, dans la référence ICRU, 2000, pour des énergies comprises entre 25 meV et 150 MeV, sont calculés selon cette approche théorique

78

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

(ICRU, 2000). On se propose, dans ce qui suit, de détailler les calculs de l’expression (8) pour la fraction du facteur de kerma liée à l’oxygène (kerma partiel de l’oxygène) puisque à l’énergie des neutrons considérée, quatre réactions sont possibles : – Réaction de diffusion élastique (n,n) Il s’agit ici de calculer l’énergie du proton de recul qui est donnée par l’expression suivante : 2A ε tr = En ( A + 1)2 Donc la contribution au facteur de kerma pour cette réaction sera : O

0.729 2 × 16  Kn  = 9.63 × 1013 × × 0.993 × 10 −24 × × 13.9 Φ 16  (n,n) (16 + 1)2 = 6.71 × 10 −12 Gy.cm 2 – Réaction de capture (n,p) L’énergie transférée au proton secondaire et au noyau de recul est la somme de l’énergie du neutron et de la chaleur de réaction :

ε tr = E n + Q Donc la contribution au facteur de kerma pour cette réaction est : O

0.729  Kn  = 9.63 × 1013 × × 0.045 × 10 −24 × (13.9 − 9.6) = 8.49 × 10 −13 Gy.cm 2 Φ 16  (n, p) – Réaction de capture (n,α) Même principe que la réaction précédente. Donc la contribution au facteur de kerma pour cette réaction est : O

0.729  Kn  = 9.63 × 1013 × × 0.138 × 10 −24 × (13.9 − 2.2) = 7.08 × 10 −12 Gy.cm 2 Φ 16  (n,α ) – Réaction de diffusion inélastique (n,n’) L’énergie transférée au noyau de recul est donnée par l’expression suivante (Ritts et al., 1969) : 2 AE n  Q ( A + 1)  ε tr = 1+ 2 AE n  ( A + 1)2  Donc la contribution au facteur de kerma pour cette réaction est : O

0.729 2 × 16 × 13.9  6.05 × (16 + 1)   Kn  = 9.63 × 1013 × × 0.306 × 10 −24 × × 1+ Φ  16 2 × 16 × 13.9   (n,n′) (16 + 1)2 = 2.54 × 10 −12 Gy.cm 2

79

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Ainsi la contribution au kerma de première collision des réactions sur l’oxygène est : O

O

 K n  =  K n  = 1.72 × 10 −11 Gy.cm 2 Φ ∑  Φ i   i Les kermas partiels de chaque élément chimique ainsi que le kerma total sont donnés dans le tableau suivant :  Tableau 1.VII.2  Kermas partiels de chaque élément chimique et Kerma total, obtenus par calcul théorique.

Kn  Φ  13.9

H

O

C

N

total

4.69 × 10 −11

1.72 × 10 −11

3.044 × 10 −12

7.81 × 10 −13

6.79 × 10 −11

Les réactions majoritairement responsables de l’énergie transférée sont les diffusions élastiques sur l’hydrogène et l’oxygène ainsi que la réaction (n,α) sur l’oxygène. Le résultat total de 67.9 pGy.cm2 est sensiblement égal à celui trouvé à la question précédente. b) Comparaison du facteur de kerma avec les coefficients de conversion « fluence-dose moyenne aux organes » de l’ICRU, 1998 et évaluation de l’équivalent de dose ambiant Le facteur de qualité, Q * (10) , pour les neutrons de 13.9 MeV est de 7.1 (Leuthold et al., 1992). Ce dernier est obtenu à partir d’une moyenne des facteurs de qualité de l’ensemble des particules, primaires et secondaires, sous 10 mm de sphère ICRU. Les coefficients de conversion « fluence-dose moyenne aux organes » pour les seins (en pGy.cm 2 ) et la moelle, le coefficient de conversion « fluence-dose efficace » (en pSv.cm 2 ) pour la géométrie antéro-postérieure (AP) tirés de la ICRP, 2010 et le coefficient de conversion fluence-équivalent de dose ambiant tiré de l’ICRP, 1996 sont fournis dans le tableau 1.VII.3.  Tableau 1.VII.3  Coefficients de conversion « fluence-dose moyennes aux organes » pour les seins et la moelle, « fluence-dose efficace » et « fluence-équivalent de dose ambiant ».

80

 DT   Φ   bre

 DT   Φ   rab

( ΦE )

 H * (10)   Φ   

78.5

52.9

495

520

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

On observera que le facteur de kerma se situe, à l’énergie considérée, entre les doses moyennes aux seins et la moelle. La position du premier de ces organes, à l’avant de l’organisme, favorise les diffusions multiples et ainsi un accroissement de la dose moyenne vis-à-vis du kerma neutron. A contrario, le second situé en profondeur, à l’intérieur des os, favorise l’atténuation des neutrons et une surestimation de la dose moyenne par le kerma neutron. Une estimation du coefficient de conversion « fluence-équivalent de dose ambiant » à partir du facteur de kerma peut être réalisée. Il s’agit d’évaluer la dose absorbée sous 10 mm de profondeur dans la sphère ICRU en équivalent-tissu, D * (10), à partir du kerma de première collision. Pour une énergie de 13.9 MeV, cette estimation est, a priori, possible comme en atteste la figure 1.VII.3 qui montre, qu’à partir d’environ 100 keV et pour des énergies croissantes, le kerma de première collision est superposé à D * (10).

1000

area : st 1 collision kerma =dose

100

2

H*(10)/φ (pSv.cm ) 10

Q*(10) 2

D*(10)/φ (pGy.cm )

1

area : st 1 collision kerma =dose

2

K/φ (pGy.cm )

0.1

0.01 -7

10

10

-6

10

-5

10

-4

10

-3

-2

10

-1

10

0

10

10

1

En (MeV)

 Figure 1.VII.3  Grandeurs dosimétriques en fonction de l’énergie des neutrons (d’après Antoni et Bourgois, 2017).

Cette estimation est avérée puisqu’elle conduit sensiblement à la valeur de du coefficient de conversion « fluence-équivalent de dose ambiant » du tableau 1.VII.3 : H  * (10)   K   H * (10)    =  n Q * (10) = 67.9 × 7.1 = 482 pSv.cm 2 ≅    Φ  Φ  Φ    L’estimation peut être considérée de bonne qualité puisque l’écart relatif observé avec la valeur de H * (10) / Φ, du tableau 1.VII.3, est de –7 %.

81

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Partie 3 : Modèle MCNP pour simuler un spectre microdosimétrique, calcul du facteur de kerma de première collision et estimation de l’équivalent de dose ambiant (Antoni et Bourgois, 2019) Dans cette troisième partie, on se propose de calculer numériquement la dose et l’équivalent de dose ambiant dans le compteur de Rossi à l’aide du spectre micro-dosimétrique. La géométrie du détecteur, telle que modélisée, est inspirée de celle représentée à la figure 1.VII.1. Le compteur est exposé à un faisceau parallèle de neutrons de 13.9 MeV dont la section présente un rayon de 1 cm ; soit une fluence Φ = 1 / π r 2 = 1 / π . Les compositions du plastique A150 équivalent tissu et du méthane équivalent tissu sont présentés aux tableaux 1.VII.4. (McConn Jr et al., 2011). La masse volumique du méthane équivalent tissu est 1.064 × 10 −3 g.cm −3 à 1.013 × 105 Pa donc pour une pression de 7400 Pa elle est de 1.064 × 10 −3 × 7400 / 1.013 × 105 = 7.77 × 10 −5 g.cm −3.  Tableau 1.VII.4  Composition du plastique A150 (masse volumique 1.127 g.cm–3) et du méthane équivalent tissu (masse volumique 1.064×10–3 g.cm–3 TPN). A150

Méthane

Élément

Fraction massique

Élément

Fraction massique

H

0.101327

H

0.101869

C

0.775501

C

0.456179

N

0.035057

N

0.035172

O

0.052316

O

0.406780

F

0.017422

Ca

0.018378

a) Utilisation de la carte « anti-coïncidence » pour le spectre des dépôts en énergie des particules secondaires mises en mouvement dans la paroi Pour le calcul des fréquences de chaque type de réaction neutronique dans la paroi du détecteur, il est nécessaire pour chacune d’elle, de coupler un tally F8 à un tally F6. Le tally F8 associé à la carte de fonctionnalité Anticoincidence pulse-height, i.e., « ft8 phl », permet alors de comptabiliser l’ensemble des neutrons ayant produit le type d’ions spécifiées dans le tally F6 (Fawaz Ali, 2014). A titre d’exemple, les instructions qui suivent permettent de connaitre la fréquence des réactions de diffusion élastiques (n, n) sur l’hydrogène et des réactions plus marginales (n, p ) sur les autres noyaux puisque le tally F6 suivi du paramètre « h » pour proton, ne comptabilise que les interactions ayant produits des protons secondaires. Par ailleurs, l’association au tally F8 d’une carte de spectre en énergie « e8 » permet de calculer le spectre des dépôts en énergie dans le compteur pour les ions de la réaction considérée. Dans le

82

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

lignes d’instructions suivantes elles permettent d’établir le spectre des dépôt d’énergie des protons. F6:H 10 F8:N 10

E8 0 13.9E-12 0.00040 183LOG 2.02 FT8 PHL 1 6 1 0

Le paramétrage de l’ensemble des ions dans le tally F6 permet d’obtenir le spectre total en énergie pour l’ensemble des particules chargées secondaires produites ; les tally F66 et F68 du fichier d’entrée global permettent cette fonctionnalité. Les tallys de type F8 renvoyant les spectres en énergie dans le volume sensible, pour chacune des réactions nucléaires dans la paroi sont donnés dans le tableau 1.VII.5.  Tableau 1.VII.5  Réactions suivies dans le calcul MCNP et estimateurs statistiques correspondants. Réaction

Tally

H(n,n), ions lourds(n,p)

F8

(n,α)

F28

(n,3He)

F58

(n,d)

F48

ions lourds de recul

F18

(n,toutes reactions)

F68

b) Caractérisation du spectre micro-dosimétrique à partir des résultats MCNP Les résultats de MCNP, pour chacun des tally de type F8, sont présentés dans le fichier de sortie sous forme de colonnes renvoyant le résultat « F 8i  » pour chaque bande d’énergie ε i . Le tableau ci-après donne, par exemple, le formalisme de représentation du spectre en énergie pour l’ensemble des réactions F 68 et pour les 185 bandes d’énergie spécifiés dans la carte « e8 ». E (MeV)

F68 (impulsions)

ε1

F 681

ε2

F 682

…

…

εi

F 68i

…

…

ε185

F 68185

83

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Comme y = ε / l avec l = 2d / 3 et d = 1 µm, l’énergie linéale s’obtient dans MCNP, en fonction de l’énergie ε i , en MeV, pour chaque groupe, selon : yi =

ε = 1500 ε (1000 2/3) i

i

Le nombre d’impulsion dans le canal de yi est égal à ni = F 68i et le nombre total de toutes les impulsions est donné par la somme de tous les ni . Pour chaque yi , la distribution en fréquence est donnée par : f ( yi ) =

ni = ∑ ni

∑

F 68i i =185 F 68i i =1

L’intégrale de la fonction f ( y ) est normalisée à 1. À partir de la distribution en fréquence, on peut calculer deux grandeurs micro-dosimétriques : l’énergie linéale moyenne en fréquence, y f , et l’énergie linéale moyenne en dose, y D , en keV .µm −1. En termes quantitatifs, l’énergie linéale moyenne en fréquence représente l’énergie linéale la plus fréquente mesurée par le CPET alors que l’énergie linéale moyenne en dose représente l’énergie linéale qui contribue le plus, en moyenne à la dose absorbée délivrée dans la cavité du CPET par le champ de rayonnement. ∞

∞

y f = ∫ yf ( y ) dy     y D

y 2 f ( y ) dy ∫ 0 = yf

0

Ces expressions théoriques se traduisent, pour l’histogramme des résultats des 185 bandes, comme suit : yf

i =185

∑ ε i ni = ∑ yi f ( yi ) = 1500 × i =i 1=185 i =1 ∑ i =1 ni i =n

i =n

= 12.3 keV .µm −1

i =185

∑ yi2 f ( yi ) = 1500 × ∑ i =1 ε i2ni y D = ii==1n i =185 ∑ i =1 yi f ( yi ) ∑ i =1 ε i ni

= 111 keV .µm −1

Les incertitudes associées à ces deux grandeurs s’obtiennent à partir des incertitudes statistiques σ i des résultats des tally 8 pour le pas d’énergie linéale i selon :  σ ( y f ) = y f      σ ( yD ) = yD   

84

∑ i (ε iσ i )2  ∑ i ε i ni  2

2

 +  

2 ∑ i (ε i2σ i )  +  ∑ i ε i2ni  

∑ i σ i2  ∑ i ni 

2

  

1/ 2

; 2 1/ 2

∑ i (ε iσ i )2   ∑ i ε i ni

   

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

Pour représenter le spectre d’énergie linéale, on définit la fraction de la dose absorbée totale délivrée par évènement dans la i-ème bande d’énergie linéale y . d ( y) =



yf ( y ) (9) yf

Il est commode de représenter cette fraction de la dose en échelle semi-logarithmique (abscisse en Log). Si l’on considère que l’intégration sur l’ensemble du spectre fournit la dose : d ( y) =

dD dD dD ⇒ d ( y) = ⇔ yd ( y ) = dy dy d (ln y )

Ainsi pour la représentation de yd ( y ) , les résultats MCNP sont traités de la façon suivante : yi d ( yi ) =

∑

ε i ni  ( )  1  1   ∆ ln y  ⇔ yi d ( yi ) = 185  ln (ε / ε )      i 1 i i − ( yi ) ∑ i =1 ε i ni

yi f yi i =n y f i =1 i

c) Instructions de physique dans le bloc 3 et méthode du calcul deux-étapes dans MCNP Le calcul du facteur de kerma doit être réalisé en deux étapes pour évaluer l’ensemble des composantes de particules secondaires chargées au spectre microdosimétrique. Un premier calcul concerne l’évaluation du kerma partiel du aux protons et aux alpha et le second, concerne le kerma partiel relatif aux noyaux lourds : O, C et N. En effet, à l’énergie considérée, la production des alpha issue des réactions de capture n’est que partiellement prise en charge par la physique de la cascade intranucléaire implémentée par défaut dans MCNP, i.e., CEM03.03. Dans un premier fichier, le modèle de cascade intranucléaire CEM03.03 est donc remplacé par les modèles INCL4/ABLA, ce qui conduit à un taux de production des alpha plus précis, en particulier grâce au processus d’évaporation du noyau composé décrit par le modèle ABLA. Ce premier fichier permet également de déterminer la composante liée au protons de recul et issus des réactions (n,p). Cependant, cette substitution a pour effet de ne pas générer de noyaux lourds de recul lors des chocs élastiques. Il y a donc lieu de définir un second fichier, avec le modèle par défaut CEM03.03 pour déterminer cette composante. Les instructions à inclure dans les deux fichiers d’entrée sont les suivantes : TEPC Roosi chamber

10 1 -7.77E-05 -10 $ cavit interieure 20 2 -1.127 -20 10 $ paroi 30 0 -30 20 40 0 30

10 SO 0.635 20 so 0.889 30 SO 2

85

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

imp:n 1 1 1 0

imp:h,a 1 1 0 0 mode n h a

act fission=none nonfiss=a

sdef par=n pos 0 0 -1.5 axs 0 0 1 ext 0 rad=d1 vec 0 0 1 dir 1 erg 13.9 Si1 0 1

sp1 -21 1

m1 1001 -.103 6000.00a -.569 7014.00a -.035 8016.00a -.293 mx1:h 1001.70h 6012.70H 7014.70h 8016.70h

HSTEP 30

mx1:n model model model model

M2 1001 -0.1011327 6000.00a -0.775501 7014.00a -0.035057 & 8016.00a -0.052316 9019.00a -0.017422 20000.00a -0.018378 mx2:h 1001.70h 6012.70h 7014.70h 8016.70h j 20040.70h mx2:n model model model model model model PHYS:N 20 20 0 J J J 1.001 -1 J J J 0 0

PHYS:H 20 20 -1 J 0 J 1 J J J 0 0 0 0.917 phys:a 20 3j 0 5j 0 0 0 .917 LCA 8J

2 1

cut:n,h,a j 0 0 0 j CTME 600

C ++++++++++++++++++++++++ PROTON Energy Deposition ++++++++++++++++++++++++++++ F6:H 10 F8:N 10

E8 0 1.39E-11 0.0004 183LOG 2.02 FT8 PHL 1 6 1 0

C ++++++++++++++++++++++++ ALPHA Energy Deposition +++++++++++++++++++++++++++++ F26:A 10 F28:N 10

E28 0 1.39E-11 0.0004 183LOG 2.02 FT28 PHL 1 26 1 0

C ++++++++++++++++++++++++ ALL NUCLEI Energy Deposition +++++++++++++++ c F66:h,a,# 10 F66:h,a 10 F68:N 10

E68 0 1.39E-11 0.0004 183LOG 2.02 FT68 PHL 1 66 1 0

Le mode de transport est défini avec les neutrons « n », les protons « h » et les alpha « a », i.e., « mode n h a ». La 7e entrée des cartes « phys:n » et « phys:p » est paramétrée à 1 pour assurer la génération et le transport des protons et des alpha. La seconde entrée, i.e., « emcnf », de la carte « phys :n » est fixée à « 20 » et les paramètre « wc1 » et « wc2 » à 0 dans la carte d’énergie de coupure en énergie « cut » pour les neutrons, les protons et les alpha, afin que le transport soit traité de façon « analogue » en dessous de 20 MeV. pour le transport des neutrons, on utilse les modèles via la carte « model », les bibliothèques endf70prot (« 70h ») et tendl17 sont appelées, respectivement pour le transport des protons et des alpha. La première entrée de la carte « cut : h,a » est paramétrée à 1 keV pour transporter toutes les particules au-dessus de cette énergie. L’implémentation du modèle de cascade intranucléaire INCL4/ABLA est réalisée en introduisant la carte de physique « lca »

86

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

avec la 9e entrée, i.e., « icem », paramétrée à « 2 ». Enfin, la carte d’activation « act » est ajoutée avec le paramétrage : « act fission=none nonfiss=a » pour l’émission des alpha retardés. Remarquons qu’une attention particulière doit être portée sur le fait que le code MCNP prend en charge le transport des particules chargées avec un algorithme de classe I ; la faiblesse du diamètre interne de la cavité du détecteur impose de paramétrer le nombre de « sous-étapes » de transport, avec une valeur appropriée au moyen de la carte « hstep ». Cette carte fonctionne sur le même mode que la carte « estep » pour le transport des électrons. Pour comprendre les modalités de calcul du nombre de sous étapes, le lecteur pourra se référer au § 1.III partie 2. Pour le transport des α la bibliothèque tendl a été implémentée et utilisée. En effet, aucune bibliothèque α n’est implémentée par défaut dans MCNP (un modèle est utilisé). Pour implémenter une bibliothèque, comme tendl, il faut la télécharger sur le site https://tendl.web.psi.ch/tendl_2017/tendl2017.html, la copier dans le répertoire \mcnp6\MCNP_DATA\xdata. Ensuite il vous faut ajouter les lignes ad-hoc dans le fichier « xsdir_mcnp6.1». Les paramètres du second fichier restent sensiblement les mêmes que précédemment, avec cette fois un mode de transport défini pour les neutrons « n » et les ions lourds « # », i.e., « mode n # ». Une carte « cut :# » est ajoutée avec également la première entrée fixée à « 1 » et les paramètres « wc1 » et « wc2 » à 0, pour un traitement analogue du transport des ions lourds au-dessus de 1 keV. La ligne de commande de la carte « lca » est supprimée pour que le modèle de cascade intranucléaire soit celui par défaut, i.e., CEM03.03., et ainsi que la génération et le transport des noyaux lourds soient réalisés durant l’exécution. Les lignes de commandes différentes ou nouvelles vis-à-vis du fichier précédent et permettant d’évaluer la composante liée aux ions lourds sont les suivantes :  Changement dans le bloc 3 : c imp:h,a,# 1 1 0 0 c mode n h a #

imp:h,# 1 1 0 0 mode n h #

c phys:a 20 3j 0 5j 0 0 0 .917 phys:# 20 3j 1 5j 0 0 0 .917 c LCA 8J

2 1

c cut:n,h,a j 0 0 0 j cut:n,h,# j 0 0 0 j

C ++++++++++++++++++++++++ HEAVY RECOIL NUCLEI Energy Deposition +++++++++++++++ F16:# 10 F18:N 10

E18 0 1.39E-11 0.0004 183LOG 2.02 FT18 PHL 1 16 1 0

C ++++++++++++++++++++++++ ALPHA Energy Deposition +++++++++++++++++++++++++++++ c F26:A 10 c F28:N 10

c E28 0 1.39E-11 0.0004 183LOG 2.02 c FT28 PHL 1 26 1 0

87

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

d) Spectre microdosimétrique et kerma partiel de chacune des composantes La figure 1.VII.4 de gauche montre le spectre microdosimétrique, yd ( y ), en fonction de l’énergie linéale, pour des neutrons de 13.9 MeV, obtenu avec la calcul numérique en deux-étapes et par la mesure expérimentale. La figure de droite montre les différentes composantes du spectre microdosimétrique, i.e., protons, alpha et ions lourds, obtenues à partir de la fonctionnalité Anticoincidence pulse-height. 0.35

0.40

Menzel et al. MCNP 6.1

0.35

0.30

0.30

Protons

0.25

y d(y)

y d(y)

0.25 0.20

0.20

alpha

0.15

0.15

0.10

0.10

0.00

ions lourds

0.05

0.05

1

10

100

1000

0.00 0.1

1

y (keV/µm)

10

100

1000

y (keV/µm)

 Figure 1.VII.4  À gauche, spectre microdosimétrique obtenu par simulation numérique et par la mesure expérimentale, pour des neutrons de 13.9 MeV à droite, composantes du spectre simulé, i.e., protons, alpha et ions lourds mis en mouvement dans la paroi du CPET.

La répartition des kermas partiels pour chaque type de particules chargées mises en mouvement, calculé avec MCNP, est : 79.5 % pour les protons, 15.2 % pour les alpha et 5.3 % pour les ions lourds de recul. La répartition théorique, établie au moyen de l’expression (2), conduit à : 78.9 % pour les protons, 11.4 % pour les alpha, et 9.7 % pour les ions lourds. On remarquera donc que la composante, majoritaire, liée aux protons secondaires est sensiblement la même que celle obtenue de façon théorique. En revanche, la simulation MCNP surestime légèrement la contribution des alpha, tout en sous-estimant légèrement celle des ions lourds.  e) Calcul du facteur de kerma Pour déterminer la dose et donc le kerma de première collision dans la paroi qui sont égaux dans le gaz puisque (S /ρ ) = 1, on procède à la mise en forme suivante : W g

Kn  l  i =n 1.6 × 10 −10 = 1.6 × 10 −13  yi ni = ∑  Φ Φ mg  Φ m g  i =1

88

i =185

∑ ε i ni i =1

Chapitre 1. Calcul des grandeurs radiométriques et dosimétriques

La masse m g de gaz de la cavité est directement accessible dans une rubrique spécifique du fichier de sortie MCNP. L’incertitude associée à ce calcul est donnée par :

( )

 K 1.6 ×10 −10  σ = (ε i σ i )2  Φ ΦρV ∑  i

1/ 2

Le calcul global conduit à un facteur de Kerma de 69.7 ± 0.2 pGy.cm 2 pour un temps de calcul de 1000 minutes. Cette valeur est donc très proche de celle obtenu par mesure expérimentale : 68.4 pGy.cm 2 et celle obtenue par calcul théorique : 67.9 pGy.cm 2 , ce qui valide l’approche numérique proposée. l’énergie linéale moyenne en fréquence et l’énergie linéale moyenne en dose sont respectivement y f = 11.4 ± 0.1 keV .µm −1 et y D = 87.7 ± 1.1 keV .µm −1 ; ces valeurs sont cohérentes avec celles proposées dans la littérature. f) Calcul du facteur de qualité moyen à partir du spectre micro-dosimétrique Il est possible de déterminer, pour une énergie de neutron donnée, le facteur de qualité moyen à partir de la fraction de la dose absorbée totale : ∞

∫ Q ( y ) d ( y ) dy Q= 0 ∞ ∫ 0 d ( y ) dy En remplaçant d ( y ) par l’expression (9), le facteur de qualité moyen devient : ∞

∫ Q ( y ) yf ( y ) dy Q= 0 ∞ ∫ 0 yf ( y ) dy Au moyen des résultats de MCNP ce rapport se traduit par : i =185

i =n

∑ Q ( yi ) yi f ( yi ) = ∑ i =1 Q ( yi ) ε i ni Q = i =1 i =n i =185 ∑ i =1 yi f ( yi ) ∑ i =1 ε i ni avec Q ( yi ) exprimé, selon l’ICRU, 1986, avec la formule : Q ( yi ) =

a [1 − exp (−byi 2 − cyi 3 )] yi

avec les paramètres : a = 5510 keV ⋅ µm −1  −5 −2 2 b = 5 × 10 keV ⋅ µm  c = 2 × 10 −7 keV −3 ⋅ µm 3 

89

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

En procédant au calcul global on obtient finalement un facteur de qualité moyen Q = 8.8 qui évalue la valeur de référence Q * (10) = 7.1 avec un écart de 24 %. Cet écart tient pour partie aux multiples diffusions ayant lieu sous 10 mm de sphère ICRU qui ne peuvent être prises en compte dans le contexte de la mesure neutronique du CPET. Si on procède à la même estimation que dans la partie précédente, du facteur de conversion « fluence-équivalent de dose ambiant » à partir du facteur de kerma de première collision et du facteur de qualité, nous obtenons cette fois : H  * (10)   K  n  = Q = 67.9 × 8.8 = 597 pSv.cm 2  Φ   Φ 13.9   Il y a donc un écart de 15 % avec la valeur de référence de 520 pSv.cm2, imputable essentiellement à la mauvaise évaluation du facteur de qualité Q * (10).

90

Chapitre 2 Principes de détection et réponses des détecteurs pour les grandeurs physiques de référence et les grandeurs dosimétriques opérationnelles

2.I

Chambre fonctionnant en chambre d’ionisation pour les photons et en compteur proportionnel pour les neutrons

Résumé Dans cette application, on se propose de faire fonctionner successivement un détecteur gazeux en chambre d’ionisation pour un champ photonique puis en compteur proportionnel pour un champ neutronique. Le but étant d’obtenir un raccordement de la grandeur dosimétrique respectivement à un courant et à un taux de comptage (voir figure 2.I.1). Cette application a pour vocation de mettre en évidence qu’une même chambre peut être utilisée pour mesurer des grandeurs dosimétriques différentes selon le type de rayonnement et le régime de fonctionnement.

91

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Objectifs – – – – –

– – –

Établir si la paroi d’une chambre est équivalent-tissu Déterminer le type de cavité en présence selon les théories des cavités Déterminer le courant généré dans une cavité étroite Évaluer une grandeur opérationnelle à partir de la mesure d’une grandeur physique pour la chambre d’ionisation soumise à un champ de photons Comprendre la chaîne d’acquisition électronique, de l’interaction du rayonnement dans le détecteur à l’impulsion comptée et enregistrée, pour un compteur proportionnel soumis à un champ de neutrons Calculer une grandeur de protection à partir de la fluence Calculer le kerma de première collision dans la paroi du détecteur, pour les neutrons Simuler numériquement la réponse en énergie d’une chambre

Figure 2.I.1 Détecteur fonctionnement en régime de chambre d’ionisation et de compteur proportionnel respectivement pour un champ de photons et de neutrons.

Partie 1 : Chambre d’ionisation et champ photonique On considère une chambre avec une cavité gazeuse. Le volume cylindrique de la cavité est de 500 cm 3 , pour une longueur de 8 cm et un rayon 4.5 cm. Le gaz de remplissage est un équivalent-tissu ( ρ = 5.2 × 10 −3 g.cm −3 et W g = 26 eV ). La paroi est composée d’un mélange de polyéthylène (CH2)n et de fluorure de magnésium (MgF2) et présente une épaisseur surfacique de 300 mg.cm–2. On soumet ce détecteur, fonctionnant en mode courant, au champ de rayonnement suivant : – – – – –

92

source ponctuelle de 137Cs gainée par 1 mm d’acier ; A = 3.7 × 1010 Bq ; Eγ = 662 keV; Γ γ = 0.85 ; coefficient de conversion « kerma dans l’air-équivalent de dose ambiant sous 3 mm » pour 662 keV : (H ′ (3.0°) / K a ) = 1.184 Sv.Gy −1 (d’après Behrens, 2017).

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

La source est placée dans l’air à une distance de 40cm de la face avant du détecteur. Les données nécessaires au problème pour 662 keV sont fournies dans le tableau 2.I.1 (issues du site https://www.nist.gov/pml/x-ray-mass-attenuation-coefficients).  Tableau 2.I.1  Coefficients d’absorption massique en énergie, coefficients d’atténuation massique, masses molaires et densité. Élément

H

C

F

Mg

Tissu mou

 µen  cm 2 g −1  ρ   

0.0583

0.0294

0.0288

0.0291

0.0324

Masse molaire g. (mole–1)

1

12

19

24

()

Acier

air 0.0294

µ cm 2 g −1 ρ

0.0853

0.0737

0.0774

ρ

1

8

1.3×10–3

a) Calcul du pourcentage massique de polyéthylène pour une paroi équivalent-tissu Pour que la paroi soit équivalent-tissu, à l’énergie considérée, la condition nécessaire est une égalité des pouvoirs d’absorption massique en énergie entre le matériau de la paroi (m) et les tissus (t) : t m  µen  =  µen   ρ   ρ    662   662 Pour se faire, il convient initialement de déterminer les valeurs du coefficient d’absorption massique en énergie, séparément, pour le CH2 et le MgF2 à l’énergie considérée. On se sert de la loi de composition du milieu pour i corps avec des pourcentages massiques wi : i  µen  = w  µen   ρ  ∑ i ρ    i   Pour le CH2 le calcul conduit à : CH 2

 µen   ρ   

=

H

C

2  µen  12 µ 2 12 +  en  = × 0.0583 + × 0.0294 = 0.0335 cm 2 .g −1   14 14  ρ  14  ρ  14

Et pour le MgF2 un calcul similaire conduit à :  µen   ρ   

MgF2

= 0.0289 cm 2 .g −1

Les proportions massiques doivent, ensuite, être solutions du système à deux équations, suivant : CH MgF t  µ  2 +w  µen  2 =  µen   wCH 2  en    ρ  MgF2    ρ   ρ     w w = 100 % + CH 2 MgF2 

93

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Ce système, après résolution, fournit les pourcentages suivants : wCH 2 = 76.1 % et w MgF2 = 23.9 %. b) Calcul du débit de kerma de collision dans l’air au niveau de la face avant du détecteur Avec la mise aux dimensions pour obtenir un résultat en mGy.h −1 , l’expression du débit de kerma de collision en fonction du débit de fluence Φ au point de calcul dans l’air est : µ a K acol = 5.76 × 10 −4  en  Φ Eγ  ρ  L’expression en fonction de l’activité de la source A et des différentes transmissions au travers des milieux entre la source et le point de calcul (acier et air) est :

( ) ρ x  exp  − ( µρ ) ρ x 

AΓ γ µ a  µ exp  − K acol = 5.76 × 10 −4  en  Eγ 2 ρ 4 d π    ρ

a

s

s s

a a

L’application numérique donne : 3.7 × 1010 × 0.85 × exp (−0.0737 × 8 × 0.1) K acol = 5.76 × 10 −4 × 0.0294 × 0.667 × 4π × 40 2 × exp (−0.0294 × 1.3 × 10 −3 × 39.9) = 16.5 mGy.h −1 c) Calcul la dose absorbée sous l’épaisseur de paroi de 300 mg.cm–2 Il convient de vérifier au préalable si, dans la paroi, à la profondeur de la portée des électrons secondaires les plus énergétiques, la condition d’équilibre électronique est vérifiée. Pour l’énergie des photons de l’application, le processus Compton est largement majoritaire. On détermine donc dans un premier temps l’énergie maximale des électrons Compton. 4 Eγ2 4 × (0.667)2 = 0.48 MeV = EC max = 4 Eγ + 1 (4 × 0.667) + 1 L’utilisation de la formule de Katz & Penfold, 1952 permet de définir la portée dans la paroi des électrons à cette énergie.

R = 412 × (0.48)n

avec n = 1.265 − 0.0954 ln (0.48) (2)

⇒ R = 154.6 mg.cm −2 Cette portée étant inférieure aux 300 mg.cm −2 de la paroi, l’équilibre électronique est réalisé ; ce qui entraîne, en ce point, une égalité entre le débit de kerma de collision et le débit de dose. µ t  µ t  D t (3) = K tcol (3) = K acol  en  exp  − ρt xt  ρ ρ  a  

()

0.0324 D t (3) = 16.5× × exp (−0.0853 × 300 × 10 −3 ) = 17.7 mGy.h −1 0.0294

94

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

d) Type de cavité auquel répond cette chambre Pour déterminer le type de cavité en présence, large ou étroite, il faut initialement déterminer le parcours moyen des électrons secondaires mis en mouvement dans la paroi, dans le gaz de la cavité. En postulant que ( µtr )t ≅ ( µen )t puisque le Z du milieu ainsi que l’énergie des électrons secondaires sont relativement faibles, l’énergie moyenne se calcule comme suit : t

T e−



 µtr   ρ    0.0324 = Eγ = × 662 = 251.4 keV (3) t 0.0853 µ ρ

()

Notons que l’énergie calculée précédemment peut être considérée comme majorante ; l’énergie moyenne des électrons sortant de la paroi est, de fait, inférieure en raison des multiples diffusions coulombiennes subies par les électrons secondaires dans la paroi. Attix (2007) préconise de prendre T e − / 2 et un calcul MCNP montre que l’énergie moyenne, pour le 60Co, se situe plutôt aux alentours de 2T e − / 3 . Nous considérons ici, de façon majorante, l’énergie calculée selon (3). Le parcours dans le gaz à cette énergie en appliquant l’expression de Katz & Penfold est : R = 51.9 mg.cm −2 ⇒ R =

51.9 × 10 −3 = 34.6 cm 1.5 × 10 −3

Ce parcours est ensuite comparé à la corde moyenne de la chambre : l=

4V 4π r ²h = = 2r = 9 cm S 2π rh

Il y a donc un ratio d’environ 3.8 en plus pour le parcours des électrons. De plus, on peut postuler que les fluences de photons primaires et d’électrons secondaires ne seront pas modifiées au passage du volume de gaz : la cavité peut être considérée comme étroite et répondant aux règles de Bragg-Gray. e) Calcul du courant généré par cette chambre La relation entre le courant généré dans le volume gazeux et le débit de dose sous la profondeur de paroi de 300 mg.cm–2 pour une cavité étroite, est : Wg D t (3) = 3.6 × 109 ρg Vg

t

S ρ i  g

Comme le gaz est considéré comme équivalent-tissu, le ratio (S / ρ ) = 1. Le coug rant délivré par la chambre est donc : t

i = D t (300)

ρ gV g

g

S 5.2 × 10 −3 × 500 = × = 4.9 × 10 −10 A 17 7 .   3.6 × 109 × 26 3.6 × 109 W g  ρ t

95

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

f) Estimation, à partir de la dose sous 300 mg.cm–2, de l’équivalent de dose directionnel sous 3 mm à 0° et comparaison avec la valeur vraie obtenue à partir du kerma dans l’air Si nous postulons que la mesure de D t (3) réalisée avec cette chambre est assez proche de la mesure de la dose sous 3 mm de sphère ICRU, la simple pondération par le facteur de qualité Q = 1 Sv.Gy −1 , permet une estimation de l’équivalent de dose directionnel sous 3 mm à 0°.  ′ (3.0°) = D (3)Q = 17.7 mSv.h −1 H t Le calcul exact de cette grandeur opérationnelle à partir du kerma dans l’air donne : H ′ (3.0°)  −1 H ′ (3.0°) = K acol   = 16.5×1.184 = 19.5 mSv.h  Ka  Cette estimation occasionne l’erreur suivante, par rapport à la valeur vraie : ∆H ′ 17.7 − 19.5 × 100 = −9.2 % = H′ 19.5

Partie 2 : Compteur proportionnel et champ neutronique Pour cette partie, on considère la même chambre que précédemment, mais cette fois fonctionnant en régime compteur proportionnel et capable de délivrer un taux de comptage. Ce compteur proportionnel est soumis au champ neutronique suivant : – – – –

source ponctuelle de 252Cf à 40 cm de la paroi ; émission neutronique : N = 7.2 × 108 (n) .s −1 dans 4π sr ; énergie moyenne du spectre de neutrons : 2.4 MeV ; coefficient de conversion « fluence-équivalent de dose ambiant » pour le 252Cf : H * (10) / Φ = 385 pSv.cm 2 (Antoni et Bourgois, 2017).

La charge collectée passe, au travers d’un préamplificateur de charge, par un circuit intégrateur de constante RC petite devant le temps de collection de charges, afin de limiter la taille de l’impulsion et permettre un taux de comptage plus important. Les données relatives au détecteur en mode impulsionnel sont les suivantes (Ravazzani, 2006) : Caractéristiques de la chambre : – Rayon de l’anode : a = 2.5 × 10 −3 cm – Rayon de la cathode : b = 1.22 cm

96

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

– Pression du gaz : p = 4 atm. – Rendement de détection : ε d = 0.1(c ) .cm 2 Régime de fonctionnement et propriétés électroniques du gaz : – HT appliquée : V = 1430 V – Différence de potentiel entre deux ionisations successives : δV = 34.5 V – Valeur minimum du champ électrique réduit en dessous duquel la multiplication ne peut avoir lieu K = ( E / p )min = 10 4 V .cm −1 .atm −1 – Facteur de Fano : F = 0.2 – Paramètre de la distribution de Polya : b p = 0.7 – Temps migration des électrons : Tel = 1 µs – Temps de migration des ions positifs : Tion = 1 ms Caractéristiques électroniques de l’acquisition : – Capacité du condensateur du circuit intégrateur RC : C = 3.4 pF – Facteur d’amplification A = 80 – Seuil de discrimination en comptage total Vth = 2 V

Figure 2.I.2 Schéma électronique type pour l’acquisition du compteur proportionnel en mode impulsion.

On négligera, pour les calculs, l’atténuation des neutrons dans l’air ainsi que l’influence du diffusé. Par ailleurs, on considérera une fluence constante sur tout le volume sensible du détecteur. Les autres données nécessaires sont les suivantes.

97

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Données dosimétriques :  Tableau 2.I.2  Facteurs de conversion fluence-dose moyenne à l’organe en géométrie AP tirés de l’ICRP, 2010. Organe

DT en pGy.cm 2 Φ

Vessie

26.5

Moelle osseuse (rouge)

17.4

Surface osseuse

21.2

Sein

42.8

Côlon

24.6

Gonades

34.7

Foie

20.2

Poumon

23.5

Œsophage

21.2

Tissu restant

21.1

Peau

26.8

Estomac

24.3

Thyroïde

37.8

Cerveau

15.4

glandes Salivaires

23.6

 Tableau 2.I.3   Facteurs de pondération tissulaire pour les différents organes, tirés de l’ICRP, 2007.

98

Tissu ou organe

Facteur de pondération WT

Tissu ou organe

Facteur de pondération WT

Gonades

0.08

Foie

0.04

Moelle osseuse (rouge)

0.12

Œsophage

0.04

Côlon

0.12

Thyroïde

0.04

Poumon

0.12

Peau

0.01

Estomac

0.12

Surface osseuse

0.01

Vessie

0.04

Glandes salivaires

0.01

Sein

0.12

Cerveau

0.01

Tissu restant

0.12

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

Facteurs de pondération radiologique pour les neutrons en fonction du type de particules et de l’énergie, tirés de l’ICRP, 2007. 2.5 + 18.2 exp − (ln ( E n ))2 / 6 E n < 1 MeV     W R = 5 + 17 exp − (ln (2 E n ))2 / 6 1 MeV < E n < 50 MeV  2 E n > 50 MeV 2.5 + 3.25 exp − (ln (0.04 E n )) / 6 Du point de vue des réactions nucléaires, nous ne considérerons que les réactions de collision élastiques sur l’hydrogène de la paroi du détecteur. a) Calculer le débit de kerma de première collision La formule générale du kerma de première collision est définie pour une interaction sur une profondeur inférieure ou égale au libre parcours total des neutrons dans le milieu traversé ; c’est la seule grandeur dosimétrique que l’on peut calculer analytiquement pour les neutrons. Son expression générale pour un corps chimique élémentaire et unique est la suivante : Kn =

Φ N σ i ε tr ,i ρ ∑ i

Avec N le nombre d’atomes par cm3 du corps considéré, σ i la section efficace de la réaction i sur ce corps et (ε tr )i l’énergie moyenne transférée aux particules secondaires chargées au terme de la réaction. Pour un mélange de plusieurs matériaux m avec des pourcentages massiques wm et avec un kerma exprimé en mGy.h −1 , cette expression devient : w K n = 5.76 × 10 −4η A Φ ∑ m Am m

∑ nm,c ∑ σ m,c,i ε tr ,m,c,i c

i

Avec η A le nombre d’Avogadro et Am la masse molaire du matériau m et nm,c le nombre d’atomes du corps chimique simple c dans la composition chimique du matériau. Pour cette application, comme seule la diffusion élastique sur l’hydrogène du CH2 est considérée, et qu’en conséquence (ε tr )(n,n) = E n /2, l’expression précédente se simplifie comme suit : E nH  N  K n = 5.76 × 10 −4 η A  σ (n,n) n  wCH 2 A 2 2  4π d  CH 2 La section efficace de diffusion élastique sur l’hydrogène est déterminée ici au moyen de la formule empirique de Gammel (1973) exprimée en fonction de l’énergie des neutrons (en MeV) :

σ (n,n) ( E n ) =

5.063 π 0.8652 π + 2 1 + 7.412 E n + 0.1105 ( E n ) 1 + 0.2427 E n + 0.0028 ( E n )2

99

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

La section efficace à l’énergie de 2.4 MeV est :

σ (n,n) (2.4) =

5.063π 0.8652π + 1 + (7.412 ×2.4) + 0.1105 × (2.4)2 1 + (0.2427 × 2.4) + 0.0028 × (2.4)2

= 2.52 barn Ainsi le débit de kerma de première collision sur la paroi du détecteur est : 7.2 × 108 2 2.4 × 0.716 × × 2.52 × 10 −24 × K n = 5.76 × 10 −4 × 6.02 × 1023 × 2 14 2 4π × 40 = 3.9 mGy.h −1 b) Détermination de la charge totale recueillie pour une impulsion et l’incertitude associée On négligera les effets de paroi et on considérera uniquement le cas où toute l’énergie transférée moyenne lors d’une collision avec l’hydrogène est déposée dans le volume sensible du détecteur. La charge produite par le dépôt complet de l’énergie du proton de recul est : (ε tr )(n,n) q=g e (4) Wg La valeur du gain, en l’absence d’effet de charge d’espace, est donnée selon la formule de Diethorn (1956) : ln g =

V ln 2   V  − ln K  ln  ln (a / b ) δV   p a ln (a / b ) 

Pour cette application, le calcul conduit au gain suivant :  1430 ln 2 ⇔ g = exp  × −3 34 .5 × ln 1 . 22 / 2 . 5 10 ( )      1430 × ln  − ln10 4  −3 × ln 1.22 / 2.5 × 10 −3  × . × 4 2 5 10 ( )    = 50 Ainsi la hauteur d’impulsion maximale mesurée est : q = 50 ×

2.4 × 106 1.6 × 10 −19 × = 3.69 × 10 −13 C 2 26

L’incertitude relative sur la charge se calcule à partir de l’expression de l’expression (4). En considérant que no = (ε tr )(n,n) / W g est le nombre primaire de paires d’ions créées, la loi de propagation des incertitudes se décompose en une somme des incertitudes relatives sur le nombre primaire d’ions et sur le gain : 2 2 2  σ q   σ no   σ g  = +  q  n   g     o   

100

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

On montre que cette incertitude relative se résume à la somme suivante (Knoll, 1989) : 2 (F + b p ) = W g (F + b p ) σ q   q  = n (ε tr )(n,n) o   Ainsi l’incertitude relative sur la charge est :

σq 26 × (0.2 + 0.5) = ≅ 4 × 10 −3 q 1.2 × 106 Et donc la charge obtenue serait : 3.69 × 10 −13 ± 0.01 × 10 −13 C. c) Détermination de la hauteur d’impulsion en volt correspondant à la charge maximale précédente L’essentiel de la charge collectée est le fait des ions positifs secondaires créés dans la zone d’avalanche et qui migrent vers la cathode avec un temps Tion = 1 ms. Tion correspond sensiblement au temps total de collection de charge. Seule une petite fraction de la charge collectée est due aux électrons qui se déposent sur l’anode avec un temps très court Tel = 1 µs. Cependant pour limiter la durée des impulsions et donc augmenter les taux de comptages on fixe une constante de temps RC très petite (~10 µs ) au niveau du préamplificateur de charge, de sorte que la montée de l’impulsion se termine à Tel (voir figure 2.I.3).

Figure 2.I.3 Processus de collection de charge du compteur proportionnel.

Le profil de tension est donné par l’expression suivante (Knoll, 1989) : V (t ) =

{

}

q t  1 ln a 2 + (b 2 − a 2 ) − ln (a 2 ) C 2 ln (b / a )  Tion 

101

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Lorsque t = Tion l’amplitude est maximale et vaut : q  σ Q  q 3.69 × 10 −13 7.38 × 10 −11 ± = ± × 4 × 10 −3 C  Q  C 3.4 × 10 −12 3.4 × 10 −12 = 108.5 ± 0.4 mV

V m ± σ Vm =

d) Détermination de la hauteur d’impulsion en volt pour une constante RC fixant la hauteur des impulsions pour un temps de montée égal au temps de dérive des électrons Le passage dans le circuit intégrateur RC limite le temps de montée de l’impulsion à t = Tel ce qui génère une impulsion avec la tension suivante : V (Tel ) = 108.5 ×

1 2 ln (1.22 / 2.5 ×10 −3 )

{

(

)

(

2 2 10 −6  2 × ln (2.5 ×10 −3 ) + 1.22 2 − (2.5 ×10 −3 ) − ln (2.5 ×10 −3 ) 10 −3   = 48 mV

)}

Soit avec l’incertitude associée : V (Tel ) ± σ V (Tel ) = 48 ± 0.2 mV Avec une amplification d’un facteur 80 en sortie d’amplificateur, la hauteur V a de l’impulsion de forme sensiblement gaussienne serait finalement de V a ± σ Va = AV (Tel ) ± A σ V (Tel ) = 80 × 0.048 ± 80 × 2 × 10 −3 = 3.84 ± 0.16 V Cette valeur peut ensuite être traitée de deux façons différentes selon les besoins : – En spectrométrie : dans un analyseur multicanal, un sélecteur monocanal compare la valeur de V a à un seuil haut et un seuil bas (phase de discrimination) et envoie une impulsion logique (type TTL) dans le canal correspondant. Dans notre cas, idéalement 3.84 V correspondraient à une impulsion dans le canal de 1.2 MeV après étalonnage des canaux en énergie. – En comptage total : la hauteur d’impulsion V a est comparée à un seuil bas Vth pour s’affranchir des signaux parasites provenant du bruit de fond, rayonnement gamma… Si la valeur est supérieure, une impulsion logique est générée et comptabilisée. e) Détermination de la résolution en énergie de la chambre ainsi que le taux de comptage Si l’étalonnage en énergie fait correspondre au canal de 3.84 V une énergie de 1.2 MeV , la résolution en énergie correspondant à la largeur à mi-hauteur du pic suivant une loi de distribution gaussienne est :  σV  FWHM = 2.355  a  (ε tr )(n,n) = 11.3 keV  Va  D’un point de vue pratique, la résolution réelle est déterminée par l’électronique d’acquisition, en particulier par la finesse de discrimination du sélecteur monocanal.

102

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

En considérant que toutes les hauteurs d’impulsions sont les mêmes (intégralité de l’énergie transférée dans le gaz et pas d’effets de paroi), comme V a ± σ Va > Vth , en mode de comptage total, le signal mesuré sera le produit du rendement par la fluence de neutron initiale : S = ε d Φ = ε d

7.2 × 108 N = 0.1 × = 3.6 × 103 (c ) .s −1 4π d ² 4π × 40²

f) Calcul du débit de dose efficace et d’équivalent de dose ambiant en lieu et place du détecteur et de comparer ces valeurs Le débit de dose efficace est calculé selon l’expression suivante : D  E = ∑ WT H T = ∑ WT ∑ W RΦ  T  Φ  T T R Avec le débit de fluence : 7.2 × 108 Φ = = 3.6 × 10 4 (n) cm −2 s −1 4π × (402 ) En considérant l’énergie moyenne de 2.4 MeV , le facteur de pondération radiologique est : W R = 5 + 17 exp − (ln (2 × 2.4))2 / 6 = 16.2 Le tableau 4 ci-après fournit les détails des calculs conduisant au résultat final :  Tableau 2.I.4  Résultats des doses moyennes aux organes et des doses équivalentes aux organes. DT (mGy .h −1 )

H T (mSv.h −1 )

WT H T (mSv.h −1 )

Vessie

3.43

55.91

2.24

Moelle osseuse (rouge)

2.26

36.71

4.41

Surface osseuse

2.75

44.73

0.45

Sein

5.55

90.30

10.84

Côlon

3.19

51.90

6.23

Gonades

4.50

73.21

5.86

Foie

2.62

42.62

1.70

Poumon

3.05

49.58

5.95

Œsophage

2.75

44.73

1.79

Tissu restant

2.73

44.52

5.34

Peau

3.47

56.54

0.57

Estomac

3.15

51.27

6.15

Thyroïde

4.90

79.75

3.19

Cerveau

2.00

32.49

0.32

103

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

La somme de la colonne de droite donne pour le débit de dose efficace : E = 55.5 mSv.h −1. On remarquera que le débit de kerma de première collision trouvé à la question précédente 3.9 mGy.h −1 est proche de l’ensemble des valeurs DT de la première colonne. Pour certains organes, le kerma de première collision majore les valeurs trouvées (cas des organes situés en profondeur, e.g. côlon) et pour d’autres il les sous-estime (cas des organes situés en avant, e.g. seins). Le premier cas traduit « un avantage » à l’effet d’atténuation de la fluence de neutrons et le second à l’effet de diffusion des neutrons. Le débit d’équivalent de dose ambiant vaut :  H * (10)   −12 4 −5 −1 H * (10) =  Φ = 385 × 10 × 3.6 × 10 = 1.386 × 10 Sv.s Φ   H * (10) = 1.386 × 10 −5 × 3600 = 0.0499 Sv.h −1 ≈ 50 mSv.h −1 Nous obtenons, in fine, une sous-estimation de la grandeur de protection par la grandeur opérationnelle : H * (10) < E Cette observation va à l’encontre de l’intérêt de la grandeur opérationnelle censée surestimer légèrement la grandeur de protection. Notons cependant que, pour des cas plus réalistes de spectres neutroniques rencontrés sur les postes de travail, présentant dans la plupart des cas une énergie moyenne aux alentours d’une centaine de keV, la grandeur de protection est majorée par la grandeur opérationnelle.

2.II Étalonnage au 60Co d’une chambre d’ionisation Résumé Le but de cette application est de réaliser l’étalonnage d’un radiamètre (type babyline 81) en équivalent de dose ambiant H*(10) au moyen d’une source de 60Co. Cette opération est réalisée dans un laboratoire secondaire et nécessite l’utilisation d’un instrument de raccordement capable de mesurer parfaitement le kerma dans l’air. Une première partie concerne tout d’abord l’évaluation du kerma dans l’air mesuré par une chambre équivalent-air de référence (type Sp01) dans un laboratoire primaire de métrologie (ex. : LNHB au CEA Saclay). Dans la deuxième partie, l’étalonnage en équivalent de dose ambiant est réalisé dans un laboratoire secondaire (ex. : banc d’étalonnage d’un Service de Protection contre les Rayonnements). La dernière partie s’attache à étudier la réponse du radiamètre pour les gammas de l’ 241Am et à vérifier, le cas échéant, si l’écart entre la valeur mesurée et la valeur vraie de la grandeur opérationnelle est compatible avec les marges de tolérance prescrites par les normes.

104

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

Objectifs – Comprendre un processus complet d’étalonnage d’appareils de radioprotection : du laboratoire primaire à l’utilisation sur le terrain – Calculer l’expression théorique d’un kerma dans l’air pour une chambre d’ionisation – Comprendre le déroulement d’une procédure d’étalonnage du raccordement avec le laboratoire primaire au coefficient d’étalonnage du radiamètre – Déterminer la réponse énergétique d’un radiamètre avec MCNP – Déterminer avec MCNP le facteur de diffusion d’une paroi – Pertinence d’un étalonnage pratiqué en fonction de l’énergie mesurée en situation réelle

Figure 2.II.1 Processus d’étalonnage d’un appareil de radioprotection pour la dosimétrie d’ambiance : du laboratoire primaire à la mesure d’une source.

Données : Le détecteur utilisé en tant que dosimètre absolu pour la mesure du kerma dans l’air est une chambre d’ionisation équivalent-air, sphérique de type Sp01, utilisée dans un laboratoire primaire (e.g. Laboratoire National Henri Becquerel au CEA) et qui présente les caractéristiques suivantes : – paroi : 3 mm de graphite (C) de masse volumique ρC = 1.847 g.cm–3 ; – rayon interne de la cavité = 1.2 cm ; – volume utile = 7.215 cm3 ;

105

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

– gaz interne : air sec de masse volumique ρa = 1.293×10–3 g.cm–3 ; – lorsque la chambre Sp01 est exposée à la source à 100 cm, l’intensité mesurée par la chambre est i = 2×10–12 A. Pour la deuxième partie, les caractéristiques de la chambre d’ionisation cylindrique (type Babyline 81) sont : – – – – – –

cylindre rempli d’air sec de longueur l = 10 cm et de 8 cm de diamètre ; épaisseur du capot : 1000 mg.cm–2 ; matériau capot : équivalent tissu (H 10 %, C 61 %, F 18 % et Mg 11 %) ; masse volumique du capot : ρt = 1.12 g.cm −3 ; la condition d’équilibre électronique est vérifiée pour les gamma de 1.25 MeV ; facteur d’étalonnage fourni par le constructeur : N 1 = D t (10) / i = 2.08 × 1011 mGy.h −1 .A −1 pour le 60Co ; – distance source-détecteur : 1 m. Les autres données nécessaires à l’exercice sont : – la fraction moyenne d’énergie cinétique pour le spectre d’électrons secondaires perdus sous forme de rayonnement photonique dans l’air (Allisy et al., 2006) : g = 0.0032 ; – énergie moyenne d’ionisation dans l’air sec : W = 33.97 eV .  Tableau 2.II.1  Coefficients d’absorption massique en énergie, d’atténuation massique et pouvoir d’arrêt massique. Valeurs tirées du NIST.  µen   ρ    Eγ = 1.25 MeV

a

0.0267

( µρ )

 µen   ρ   

 µen   ρ   

0.0569

0.0267

0.0293

C

C

t

( µρ )

t

S  ρ  

a

C

S  ρ  

0.0626

T e − = 586 keV

1.757

1.736

 Tableau 2.II.2  Coefficient de conversion grandeur physique-grandeur de protection et opérationnelle.  E  K   air 

 H*  K   air 

Eγ = 60 keV Eγ = 1.25 MeV

hΦ* (10) 0.51 pSv.cm2

1.0002 Sv.Gy −1

1.16 Sv.Gy −1

Nota : dans ce qui suit, l’ensemble des résultats sont donnés avec 3 chiffres après la virgule, conformément à des conditions de mesure métrologique.

106

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

Partie 1 : Calcul du débit de kerma dans l’air obtenu par la chambre Sp01 à 1 mètre de la source La première phase de l’étalonnage se déroule dans un laboratoire primaire et consiste à déterminer au moyen de la chambre de référence i.e., un dosimètre absolu, la valeur exacte du kerma dans l’air à une distance de 1 mètre d’une source primaire de 60Co.

Figure 2.II.2 Schéma de principe de la chambre de référence Sp01 pour la mesure absolue du kerma dans l’air.

a) Vérification de la propriété d’équivalence-air de la paroi vis-à-vis des gamma de 1.25 MeV Une vérification rapide dans le tableau 2.II.1 permet d’observer que pour cette énergie les coefficients d’absorption massique en énergie sont les mêmes pour le carbone et l’air. Cette condition implique que pour ces deux matériaux, l’absorption d’une partie de l’énergie des photons incidents par les électrons secondaires sera en moyenne la même pour l’air et la paroi de la chambre. a c  µen   µen  =  ρ     1.25  ρ 1.25

(1)

b) Vérification de l’équilibre électronique dans la paroi et des conditions de Bragg-Gray pour la chambre, pour les photons de la source À cette énergie le processus Compton est majoritaire ; on recherche donc l’énergie maximale des électrons mis en mouvement par ce processus. EC max =

4 Eγ2 4 × (1.25)2 = 1.041 MeV = 4 Eγ + 1 (4 × 1.25) + 1

107

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

L’utilisation des expressions de Katz et Penfold (1952) permettent d’évaluer la portée, en masse surfacique, des électrons dans le carbone à cette énergie :

R = 412 × (1.041)n

avec n = 1.265 − 0.0954 ln (1.041) (2)

⇒ R = 433 mg.cm −2 Cette portée en centimètres est : R=

433 × 10 −3 g.cm −2 = 0.23 cm 1.847 g.cm −3

Cette valeur est inférieure aux 3 mm d’épaisseur de la paroi sous lesquels est mesurée la dose dans la chambre Sp01. En conséquence, l’équilibre électronique est réalisé sous cette épaisseur pour l’énergie des photons considérés. La théorie de Bragg-Gray implique que la fluence de photon soit sensiblement la même en tout point de la chambre, ce qui en l’espèce peut être postulé, et que la fluence des électrons secondaire ne soit pas modifiée par la présence de la cavité gazeuse. Pour la seconde condition, il faut préalablement calculer l’énergie moyenne des électrons secondaires mis en mouvement par les gamma dans la paroi. Pour ce calcul, l’approximation sera faite que le coefficient d’absorption d’énergie massique est sensiblement égal au coefficient de transfert massique en énergie pour le carbone de la paroi à savoir : ( µtr )C ≅ ( µen )C . C



T e−

 µtr   ρ   1.25 0.0267 = Eγ = × 1.25 = 0.586 MeV V (3) C 0.0569 µ ρ 1.25

()

L’application des expressions de Katz et Penfold dans l’air, pour des électrons secondaires à l’énergie précédente, donne : R=

191 × 10 −3 g.cm −2 = 147 cm 1.293 × 10 −3 g.cm −3

Cette distance, bien supérieure au 2.4 cm de diamètre de la chambre, permet de confirmer que cette dernière peut être considérée comme fonctionnant en cavité et étroite. c) Calcul du débit de kerma dans l’air au moyen de l’expression de la dose dans la cavité étroite L’expression du débit de dose sous l’épaisseur de paroi, pour cette cavité étroite est : C



W S DC (3) = 3.6 × 109 i (1) ρ aV a  ρ  a

L’équilibre électronique étant réalisé dans le carbone, le débit de dose sous l’épaisseur de la paroi est égal au débit de kerma de collision en ce même point. La fluence

108

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

d’électrons secondaires étant considérée comme constante et la faiblesse de l’énergie perdue par les électrons secondaires dans la cavité gazeuse permettent de postuler que l’équilibre électronique est également réalisé dans l’air de la cavité. En conséquence, le débit de dose dans l’air de la cavité est égal au débit de kerma de collision ( K col ) .

µ c µ air D c (3) = K ccol (3) =  en  Ψ c et D air = K acol =  en  Ψ a  ρ   ρ  Le terme Ψ correspond à la fluence énergétique, c’est-à-dire au produit Φ × Eγ pour le champ de photons. Cette fluence énergétique peut être considéré comme constante dans la paroi et dans le gaz de la cavité et ainsi : Ψ C = Ψ air . Les expressions précédentes permettent d’écrire que : a

µ K acol =  en  DC (3) (2)  ρ c Or le kerma total est la somme du kerma de collision ( K col ) et de celui dû aux radiations émises par rayonnement de freinage, lors des annihilations en vol et pour une faible part par fluorescence : ( K rad ). La fraction de l’énergie transférée en moyenne aux électrons secondaires réémise sous forme de rayonnement photonique rad / K , en conséquence nous pouvons écrire que : est donnée par le facteur g = K air air





 K rad K a = K acol + K arad ⇒ K acol = K a 1 − a K a 

K acol    ⇒ K a = (1 − g ) (3) 

Finalement avec les expressions (1), (2) et (3), on obtient l’expression finale du kerma dans l’air dans la cavité gazeuse de la chambre. c



a

W  S   µen   1  K air = 3.6 × 109 i ki (4) ρ aV a  ρ  a  ρ C  1 − g  ∏ i

Les termes ki sont des facteurs correctifs qui tiennent compte de : – – – – –

l’atténuation et diffusion dans la paroi ; les recombinaisons de charges ; la polarité de la haute tension ; la correction sur la capacité du condensateur permettant la mesure de la charge ; la non-uniformité radiale et axiale de la fluence dans le volume gazeux par comparaison à la mesure ponctuelle du kerma…

Dans cette application, seul le premier de ces facteurs : atténuation et diffusion dans la paroi, est traité ; les autres facteurs ne faisant varier l’unité qu’à partir de 4 chiffres derrière la virgule.

∏ki ≈ kwall = ksc exp  ( ρ )  µ

 ρC d   i Le terme en exponentiel traduit l’atténuation en ligne droite dans la paroi en carbone et ksc traduit le facteur d’accumulation (build-up) de la fluence photonique c

109

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

lié aux diffusions dans la paroi. Ce dernier terme ne peut s’obtenir que par un calcul Monte-Carlo. Le modèle utilisé dans MCNP pour déterminer le facteur de correction de paroi global kwall consiste en un faisceau parallèle de gamma de 1.25 MeV, dans le vide, dirigé vers un cylindre de graphite de 3 mm d’épaisseur. Afin de déterminer, distinctement, les composantes de diffusion et d’atténuation, la fluence moyenne et le spectre énergétique de cette dernière sont calculés dans un cylindre, vide, coaxial, et de même rayon que la paroi de graphite, accolé derrière la paroi (voir figure 2.II.3).

Figure 2.II.3 Schéma de principe du calcul MCNP pour déterminer les composantes d’atténuation et de diffusion du facteur kwall.

Les calculs sont réalisés au moyen de l’estimateur fluence moyenne dans une cellule i.e. tally F4. Le spectre énergétique de la fluence est obtenu à partir de la carte « e4 » associée au tally. Le fichier MCNP est le suivant. Estimation du Build up c cell

10 1 -1.847 -10 $ matériaux 1 carbone densité 1.847 15 0 -15 20 0 -20

$ cellule de calcul

30 0 20 10 15 10 RCC 0 0 0 0 0 .3 1.5 $ carbone 15 RCC 0 0 .3 0 0 .0001 1.5 20 RCC 0 0 -.1 0 0 .1 1.5

$ cellule de calcul

mode p

imp:p 1 1 1 0

sdef par=p pos 0 0 -.05 axs 0 0 1 ext 0 rad=d1 vec 0 0 1 dir 1 erg 1.25 Si1 0 1.5 sp1 -21 1 M1 6000 1 F4:p 15

E4 0 100i 1.25 ctme 3000

Fichier 2.II.1

110

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

Le résultat total de l’estimateur statistique F4 est 0.1425 cm–2 et représente la fluence moyenne totale dans le cylindre de vide en aval de la paroi (Φ t ). Le résultat du dernier pas en énergie de la carte « e4 » est 0.1371 cm–2 et correspond à la fluence sans choc des photons de 1.25 MeV transmis dans le cylindre de vide (Φ 1.25 ) . Le coefficient de paroi kwall s’obtient selon le ratio entre la fluence à l’entrée du cylindre de graphite (Φ i ) et la fluence moyenne totale dans le cylindre de vide. La fluence Φ i est normalisée par photon émis par la source et se calcule comme l’inverse de la section du faisceau.

Φi =

1 Φ 0.1415 = 0.1415 cm −2 ⇒ kwall = i = = 0.993 2 Φ t 0.1425 π × (1.5)

Le ratio de la fluence à l’entrée du cylindre (de graphite Φ i ) sur celle de la fluence moyenne des photons de 1.25 MeV dans le cylindre de vide (résultat du tally F5 pour le dernier intervalle en énergie) fournit la composante liée à l’atténuation (flux sans choc).  µ c  Φi 0.1415 ρc d  = = 1.032 ≈ exp  ρ 0 . 1371 Φ 1.25  

()

Le calcul exact de l’exponentiel conduirait à un résultat théorique de 1.032 pour l’atténuation. Le coefficient de diffusion dans la paroi ksc s’obtient finalement selon : ksc =

kwall

( ) ρ d 

 µ exp   ρ

c

=

Φ 1.25 0.1371 = = 0.962 0.1425 Φt

c

Pour le ratio des pouvoirs d’arrêt massique S / ρ du carbone et de l’air, nous considérons, ici, les valeurs pour l’énergie moyenne des électrons secondaires mis en mouvement dans la paroi : T e − = 586 keV. Le ratio obtenu est de 0.988, ce qui est très proche de l’unité ; ce qui permet de vérifier une condition supplémentaire à respecter pour que le dosimètre soit considéré comme absolu. Il faut noter que certains auteurs e.g. Attix préconisent de prendre les valeurs des pouvoirs d’arrêt massique à T e − / 2 pour une meilleure représentativité du spectre énergétique des électrons secondaires dans la paroi qui subissent des collisions avant de pénétrer dans le gaz de la cavité. Un calcul MCNP indique que l’énergie moyenne du spectre sortant de la paroi se situe plutôt aux alentours de 2/3 de T e − (483 keV). En ce qui concerne les coefficients d’absorption massique en énergie de l’expression (4), leur valeur doit être prise à l’énergie moyenne des photons traversant le détecteur. Cependant, la faible quantité des photons initiaux ayant diffusé dans la paroi et a fortiori dans la cavité gazeuse, permet de considérer que leur valeur soit prise à l’énergie initiale des photons. L’application numérique fournit le résultat suivant : K a = 3.6 × 109 × 2 × 10 −12 ×

(

)

33.97 1 × 0.988 × 1 × × 0.992 1 − 0.0032 1.293 × 10 −3 × 7.215 K a = 25.778 mGy.h −1

111

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Partie 2 : Calcul du facteur d’étalonnage d’une Babyline 81 avec la source de 60Co On se propose de calculer le facteur d’étalonnage en équivalent de dose ambiant d’une chambre d’ionisation cylindrique (type babyline 81). Cette « opération de raccordement » est réalisée dans un laboratoire secondaire. Pour cette opération, une première étape consiste à recréer les conditions du laboratoire primaire pour la chambre de référence : la chambre Sp01 est située à 1 mètre d’une source ponctuel de 60Co. On considère dans cette partie la même source que précédemment, ce qui conduirait à une mesure identique de débit de kerma dans l’air, à savoir : K a = 25.778 mGy.h −1. L’étape suivante consiste à raccorder au débit de kerma dans l’air, un débit d’équivalent de dose ambiant au même point (voir figure 2.II.1). a) Calcul du débit de débit d’équivalent de dose ambiant au point de mesure Le débit d’équivalent de dose ambiant est obtenu par produit du coefficient de conversion kerma dans l’air-équivalent de dose ambiant : H*  H * (10) = K a  = 25.778 × 1.16 = 29.90 mSv.h −1   K a 1.25 On positionne désormais en lieu et place de la chambre de référence, le détecteur à étalonner ; soit à une distance de 1 mètre de la source. Dans un premier temps, déterminons la valeur de la dose absorbée sous 10 mm de tissu devant être mesuré idéalement par ce détecteur. b) Calcul du débit de dose absorbée sous la profondeur de capot du détecteur Pour ce faire il faut initialement connaître le débit de fluence de gamma à 1 mètre de la source ; cette valeur peut être déterminée à partir de l’expression théorique du débit de kerma de collision en ce point. a

µ 1  K a = 5.76 × 10 −4 Φ  en    Eγ ⇒ Φ =  ρ 1.25  1 − g  Φ =

K a (1 − g ) a

µ 5.76 × 10 −4 Eγ  en   ρ 1.25

25.778 × (1 − 0.0032) = 1.336 × 106 (γ ) . cm m −2 .s −1 5.76 × 10 −4 × 1.25 × 0.0267

En raison de l’équilibre électronique réalisé sous 10 mm de profondeur pour les gamma de 1.25 MeV, la dose sous 10 mm de tissu, c’est-à-dire sous les 1 000 mg.cm–2 du capot, s’obtient, théoriquement, comme suit :

µ t Φ Eγ  en  D t (10) = K tcol (10) = 5.76 × 10 −4 kwall  ρ 1.25 Avec kwall le produit de l’inverse de la transmission et du coefficient de diffusion ksc dans la paroi en tissu.

112

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

()

 µ kwall = ksc exp   ρ

 ρt d  1.25  Si le second terme est calculable, le coefficient de diffusion ne peut être obtenu de façon rigoureuse que par simulation numérique. Un calcul MCNP similaire à celui réalisé pour le dosimètre absolu Sp01 conduit à ksc = 0.926 . Le résultat du débit de dose sous la paroi est : t

5.76 × 10 −4 × 1.336 × 10 6 × 0.0293 × 1.25 D t (10) = = 28.37 mGy.h −1 0.926 × exp (0.0626 × 1.12 × 1) Ce résultat montre que l’on est très proche de la valeur du débit d’équivalent de dose ambiant au facteur de qualité de 1 Sv.Gy −1 près et donc que : H * (10) ≈ D t (10)Q Ce qui confirme le postulat que pour des rayonnements gamma dans cette gamme d’énergie ce type de chambre constitue un mesureur correct de l’équivalent de dose ambiant, sans étalonnage. c) Calcul du coefficient d’étalonnage à appliquer au détecteur Pour un étalonnage rigoureux de l’appareil selon la grandeur H * (10), on est amené à définir un nouveau coefficient d’étalonnage N ′ = N 1N 2 avec : N2 =

H * (10) 29.90 = = 1.054 Sv.Gy −1 D t (10) 28.37

⇒ N ′ = N 1N 2 = 2.08 × 1011 × 1.054 = 2.19 × 1011 mSv.h −1 .A −1 On se propose maintenant d’évaluer la mesure du débit d’équivalent de dose ambiant avec cette Babyline étalonnée avec le coefficient N ′, pour une source d’241Am.

Partie 3 : Calcul de la réponse de la Babyline 81 pour une source de 241Am Nous considérons pour les calculs une énergie de 60 keV avec une émission de 100 % et une fluence à la face d’entrée du détecteur, identique à celle précédemment calculée pour la source de 60Co. Bien que la portée dans l’air soit de 0.8 cm pour des photons de 60 keV et donc que cette dernière soit très inférieure aux dimensions de la chambre, on ne peut appliquer le principe de la cavité large ou la théorie de la cavité mixte de Burlin : l’atténuation du champ initial de photon dans 10 cm d’air devient trop importante et l’hypothèse d’un champ de photons quasi constant dans le volume sensible ne peut être postulée. Pour cette étape, nous devons donc avoir recours à un calcul Monte-Carlo visant à déterminer, à fluence équivalente, le ratio entre la dose absorbée dans le gaz, pour la source de 60Co et celle pour la source d’241Am.

113

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Pour ce calcul Monte-Carlo, on considère la chambre aux mêmes conditions que celle de la question précédente. Le détecteur est soumis à un champ parallèle de photons dans le vide pénétrant la face d’entrée, avec une section de 15 cm de rayon. Un calcul de l’estimateur statistique de l’énergie totale déposée (tally *F8) est réalisé pour déterminer ε t , l’énergie cédée au gaz par les photons afin d’en déduire la dose absorbée moyenne dans le volume sensible. Le fichier d’entrée pour l’énergie de 1.25 MeV du 60Co est le suivant : babyline

c cellule

10 1 -1.293e-3 -10 20 2 -1.12 30 0 40 0

-20 10 -30 20 30

10 RCC 0 -5

0 0 10

0 4

20 RCC 0 -5.893 0 0 11.786 0 4.893 30 SO

100

mode e p

imp:p 1 1 1 0 imp:e 1 1 0 0

sdef par=p pos 0 0 -5 axs 0 0 1 ext 0 rad=d1 vec 0 0 1 dir 1 erg 1.25 Si1 0 15

sp1 -21 1 *F8:e 10 c Air M1

006000 -0.000124 $ C 007000 -0.755268 $ N 008000 -0.231781 $ O

018000 -0.012827 $ Ar

c equivalent tisu

M2 1000 -.1 6000 -.61 9000 -.18 12000 -.11 ctme 500

 Fichier 2.II.2  

Pour le calcul avec l’241Am, il suffit de modifier la carte énergétique de la définition de source en remplaçant « erg 1.25 » par « erg 0.06 ». Les résultats obtenus pour l’énergie ε t déposée dans la chambre, par gamma incident, sont 28.1 eV pour le 60 Co et 1.6 eV pour l’241Am. Le calcul du facteur de conversion « fluence-dose absorbée dans le volume gazeux » s’obtient ensuite comme suit : Dg  εt  = 1.602 × 10 −19     Φ  ρ airV airΦ 

114

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

Pour un flux de 1 gamma par seconde, le débit de fluence correspondant est Φ = 1 / (π × 152 ) = 1.415 × 10 −3 (γ ) .cm −2 .s −1 et les coefficients de conversion obtenus sont :   Dg  28.1 −19 −12 2   Φ  = 1.602 × 10 × 0.65 × 10 −3 × 1.415 × 10 −3 = 4.90 × 10 Gy.cm   Co  D   g 1.6  = 0.28 × 10 −12 Gy.cm 2 = 1.6 × 10 −19 ×   − 3    Φ  Am 0.65 × 10 × 1.415 × 10 −3 Avec ρ airV air la masse d’air, en kg, contenue dans la cavité. Le facteur 1.602 × 10 −19 permet la conversion de eV à Joule. Le calcul de la dose absorbée dans le volume gazeux, pour chacune des sources, s’obtient comme suit :  Dg    −12 6 −1  (D g )Co =  Φ  Φ = 4.9 × 10 × 1.336 × 10 × 3600 = 23.56 mGy..h   Co  Dg   −12 6 −1  (D ) =  g Am    Φ = 0.28 × 10 × 1.336 × 10 × 3600 = 1.39 mGy.h  Φ   Am Ainsi, le résultat affiché pour un détecteur étalonné avec le facteur d’étalonnage N ′ soumis à une source d’241Am responsable d’une même fluence que la source de 60Co serait : (D g ) Am 1.39 m Am = H * (10)Co = 29.90 × = 1.76 mSv.h −1 .56 23 (D g )Co Or avec le coefficient de conversion « fluence-équivalent de dose ambiant » de l’ICRP, 1996 pour des photons de 60 keV : hΦ* (10) = 0.51 pSv.cm 2 , la valeur vraie du débit d’équivalent de dose ambiant devrait être : H * (10) Am = 3600 × hΦ* (10) × Φ = 3600 × 0.51 × 10 −12 × 1.336 × 106 = 2.45 mSvv.h −1 Ainsi l’écart par rapport à la valeur vraie serait de : m − H * (10) Am  1.76 −2.45  R ( E ) =  Am *  × 100 =  2.45  × 100 = −28.2 %  H 10 ( )   Am En fonction des prescriptions sur les normes relatives à la réponse en énergie des appareils de radioprotection pour la mesure d’ambiance, cette sous-estimation et donc l’utilisation de ce débitmètre pour mesurer une telle énergie serait tolérée ou non. Notons que la technique détaillée ci-dessus, étendue à l’ensemble du spectre énergétique, peut permettre de fournir la réponse en fonction de l’énergie de la grandeur opérationnelle mesurée pour le détecteur.

115

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

2.III Calcul d’un débit de dose dans un FLi Résumé Depuis quelques années, la théorie de la cavité intermédiaire de Burlin (composition d’une cavité étroite et d’une cavité large) a été améliorée par Haider et al. (1997) ; en particulier, en raison de la prise en compte des électrons rétrodiffusés dans la face arrière de la chambre. Dans l’application qui suit, on se propose, dans une première partie, d’appliquer la nouvelle théorie de la cavité pour déterminer la dose absorbée moyenne dans une pastille de FLi scellée dans une coquille d’aluminium. Dans cette théorie, cette dose moyenne peut être déterminée à partir de la dose absorbée (ponctuelle) sous la profondeur de paroi en aluminium au moyen d’une expression analytique. Dans une seconde partie, une vérification du calcul analytique est réalisée au moyen de calculs MCNP. Objectifs – Application de la nouvelle théorie de la cavité – Calcul de la dose absorbée moyenne dans un volume sensible à partir de la dose absorbée ponctuelle sous la profondeur de paroi d’entrée du détecteur – Calcul de dose aux interfaces – Technique particulière de calcul du facteur de diffusion avec MCNP Données La pastille scellée est constituée d’un cristal de 7LiF d’une épaisseur t = 2.7 mm, entouré d’une épaisseur d = 3.7 mm d’aluminium correspondant à une masse surfacique de 1000 mg.cm −2. Ce dosimètre est soumis à un champ parallèle de photons de 1.25 MeV avec un débit de fluence 106 (γ).cm–2.s–1. Pour une énergie de photon de 1.25 MeV, les coefficients, en g.cm–2, nécessaires au calcul sont :  µen   ρ   

Al

= 0.025

() µ ρ

Al

= 0.055

LiF

 µen  = 0.961  ρ    Al

LiF

S  ρ  = 1.040   Al

Les masses volumiques de l’aluminium et du FLi sont respectivement 2.698 et 2.635 g.cm–3. Le coefficient de rétrodiffusion des électrons secondaires dans la paroi d’aluminium est bm = 0.26 (Frujinoiu, 2001).

Figure 2.III.1 Schéma de la pastille de FLi dans sa coquille d’aluminium.

116

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

Partie 1 : Calcul de la dose moyenne dans une pastille de FLi avec la nouvelle théorie de la cavité La première phase consiste à déterminer la dose absorbée sous la profondeur de paroi en aluminium. a) Calcul du débit de dose absorbée dans l’aluminium à l’interface Al-FLi Dans un premier temps, nous vérifions que l’équilibre électronique est réalisé sous la profondeur de 1 000 mg.cm–2 d’aluminium. À cette énergie, le processus Compton est majoritaire. On recherche donc l’énergie maximale des électrons mis en mouvement par ce processus. 4 Eγ2 4 × (1.25)2 = 1.041 MeV = EC max = 4 Eγ + 1 4 × 1.25 + 1 L’utilisation de Katz et Penfold permet de définir la portée dans l’aluminium, pour des électrons secondaires mis en mouvement à cette énergie.

R = 412 × (1.041)n

avec n = 1.265 − 0.0954 ln (1.041) (2)

⇒ R = 433 mg.cm −2 Comme R < d , la condition d’équilibre électronique est réalisée à cette profondeur et le débit de dose absorbé est égal au débit de kerma de collision. Al  col 10 = 5.76 × 10 −4 Φ E  µ en  D Al (10) = K Al ( )  γ  kwall  ρ 

Avec kwall le produit de l’inverse de la transmission et du coefficient de diffusion ksc dans la paroi en aluminium :

()

 µ kwall = ksc exp   ρ

 ρ Al d   Si le terme en exponentiel est calculable, le coefficient de diffusion ne peut être obtenu, de façon rigoureuse que par simulation numérique. Le calcul MCNP conduit à ksc = 0.926 (cf. partie suivante). Le calcul de débit de dose sous la paroi donne : Al

5.76 × 10 −4 × 10 6 × 0.0256 × 1.25 D Al (10) = = 18.83 mGy.h −1 0.926 × exp (0.0550 × 1) a) Calcul du débit de dose absorbée dans la pastille FLi Pour déterminer le débit de dose absorbée dans le FLi, il faut calculer le ratio f entre la dose absorbée moyenne dans le FLi et la dose absorbée dans l’aluminium à l’interface Al-FLi. Ce ratio est obtenu au moyen des formules simplifiées de la théorie de la cavité intermédiaires de Haider et al. (1997), Frujinoiu (2001). Cette théorie est dérivée de la théorie de Burlin en y intégrant l’effet de rétrodiffusion,

117

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

proportionnel au Z du matériau, au travers d’un coefficient bm . Le ratio f se calcule selon une composante pour la cavité étroite et une composante pour la cavité large comme suit : LiF µ LiF D S f = LiF = d1   + (1 − d1 )  en  D Al  ρ  Al  ρ  Al Avec : d1 =

1 − bm − (1 − 2bm ) exp ( − β g ) − bm exp (−2 β g ) βg

Dans ce paramètre, la variable b correspond au coefficient d’atténuation massique du flux des électrons secondaires dans le FLi ; il est obtenu, en fonction de l’énergie des électrons, selon l’expression de Paliwal et Almond (1976) :  β = 14 1.09  LiF Tmax  β LiF = 37.9 1.61 Tmax 

pour 0.23 < Tmax < 2.27 MeV poour 8 < Tmax < 20 MeV

Dans notre cas l’énergie maximale est de 1.04 MeV, le paramètre b vaut donc :

β=

14 = 13.4 cm 2 g −1 (1.04)1.09

Le terme g désigne la longueur de parcours moyen des électrons secondaires traversant la cavité de FLi. Cette grandeur est couramment estimée à partir du volume et de la surface de la cavité selon 4V / S . Mais nous utiliserons ici une estimation plus rigoureuse, à partir de la section efficace de diffusion angulaire des électrons Compton (Horowitz et al., 1983). π /2

g=

∫ 0

t P (θ ) d θ = 1.539 t cosθ

Où P (θ ) est la fonction de distribution de probabilité angulaire de Klein-Nishina pour la diffusion Compton des photons de 1.25 MeV. Pour l’épaisseur de FLi de l’application, la longueur de parcours moyen dans la pastille de FLi vaut donc : g = 1.539 × 0.267 = 0.411 g.cm −2 L’application numérique pour le paramètre d1 donne : 1 − 0.26 − (1 − (2 × 0.26)) exp (−13.4 × 0.411) − 0.26 exp (−2 × 13.4 × 0.411) 13.4 × 0.411 = 0.134

d1 =

118

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

Il peut donc être considéré que la cavité LiF fonctionne à 13.4 % en cavité étroite et à 86.6 % en cavité large. Finalement le facteur f vaut : f = 0.134 × 1.040 + 0.866 × 0.961 = 0.971 Le débit de dose dans la cavité vaut finalement : D LiF = f D Al (10) = 0.971 × 18.83 = 18.29 mGy.h −1

Partie 2 : Vérification par simulation numérique a) Détermination du facteur f La modélisation se fonde sur les travaux d’Ogunleye et al. (1980). La pastille de FLi est cylindrique de rayon 1.7 mm et d’épaisseur 2.7 mm (masse volumique 2.635 g/cm3) et est modélisée dans une coquille d’aluminium présentant une paroi de 3.7 mm en entrée (masse volumique 2.698 g/cm3) et une épaisseur totale de 4.4 cm soit 12 fois 0.37. Un faisceau parallèle de photons de 1.25 MeV et de 6 cm de rayon irradie cet ensemble (voir figure 2.III.1). Dans l’approche proposée, le transport des électrons est réalisé uniquement jusqu’à une profondeur de 3.7 mm dans la face arrière en aluminium (voir figure 2.III.2). Au-delà de cette profondeur le transport des électrons n’est plus réalisé dans MCNP. En effet, à partir de cette profondeur, on peut postuler que le rayonnement électronique rétrodiffusé n’a plus d’incidence sur la dose dans le FLi. Seuls les photons continuent d’être transportés (cf. « imp:e » dans le fichier d’entrée). En outre, cette méthode permet de s’affranchir d’un temps de calcul prohibitif lié au transport des électrons dans l’ensemble de l’aluminium.

Figure 2.III.2 Schéma de gauche : calcul de la dose moyenne dans le FLi, schéma de droite : calcul de la dose ponctuelle D Al (10) sous la paroi d’aluminium.

119

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Le fichier d’entrée MCNP pour le calcul de la dose moyenne dans le FLi est le suivant : LiF simulation c cell

10 1 -2.698 -10 15 15 2 -2.635 -15 20 3 -2.698 -20 25 0 -25 30 0

25

21 10

$ Alu

$ LiF

$ Alu diffuseur

10 RCC 0 0 0 0 0 1.01 6

15 RCC 0 0 .37 0 0 .27 .17 20 RCC 0 0 1.01 0 0 3.39 6 21 RCC 0 0 0 0 0 4.44 6

25 RCC 0 0 -.1 0 0 4.5 6 mode p e

imp:p 1 1 1 1 0 imp:e 1 1 0 0 0

sdef par=p pos 0 0 -.05 axs 0 0 1 ext 0 rad=d1 vec 0 0 1 dir 1 erg 1.25 PHYS:E 2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 J J 0.917 0.001 PHYS:P 2 0 0 0 0 J 0 Si1 0 6

sp1 -21 1

M1 13000 1 estep 50

M2 3000 1 9000 1 estep 50 M3 13000 1 *F28:e 15

stop F28 .006

 Fichier 2.III.1  

Le fichier d’entrée MCNP pour le calcul du kerma sous la profondeur maximale d’aluminium est le suivant : Kerma

c cell

10 1 -2.698 -10 15 12 12 1 -2.698 -12 15 2 -2.635 -15 20 3 -2.698 -20 25 0 -25 30 0

25

$ Alu

$ LiF

$ Alu diffuseur

10 12 15 20

10 RCC 0 0 0 0 0 .64 6

12 RCC 0 0 .36 0 0 .01 .17 15 RCC 0 0 .37 0 0 .27 .17 20 RCC 0 0 .64 0 0 4.44 6 25 RCC 0 0 -.1 0 0 7 6

120

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

mode p

imp:p 1 1 1 1 1 0

sdef par=p pos 0 0 -.05 axs 0 0 1 ext 0 rad=d1 vec 0 0 1 dir 1 erg 1.25 PHYS:P 2 0 0 0 0 J 0 Si1 0 6

sp1 -21 1

M1 13000 1 estep 50

M2 3000 1 9000 1 estep 50 M3 13000 1 *F6:p 12

stop F26 .0004

 Fichier 2.III.2  

L’énergie moyenne déposée ε dans le FLi est donnée par le résultat du tally : *F28 = 1.857 × 10 −5 MeV avec une incertitude relative de 0.58 %. Le résultat de dose par unité de fluence est normalisé comme suit : DLiF ε ε = = Φ Φ MCNP mLiF 10 −3 (1 / π R ²) π r ² z ρ Le facteur 10 −3 traduit la conversion kg/g. Le débit de dose avec la mise aux dimensions pour obtenir des mGy/h est :

( ε × 106 ) × Φ D D LiF =  LiF Φ = 3600 × (1 / π R ²) π r ² z ρ  Φ  1.857 × 10 −5 × 1.602 × 10 −19 D LiF = 3600 × 106 × × 1 × 106 8.842 × 10 −3 × 6.459 ⋅ 10 −5 = 0.018747 Gy .h −1 (18.747 mGy.h −1 ) Le facteur 1.602 × 10 −19 traduit la conversion de Joule à eV. Avec l’incertitude relative du calcul MCNP, le résultat est : D LiF ± σ D = 18.747 ±0.109 mGy.h −1 . Le LiF kerma K dans l’aluminium, obtenu au moyen du second fichier MCNP, est donné par le résultat du tally : *F6 = 4.767 × 10 −26 jerk .g −1 avec une incertitude relative de 0.04 % en sachant que 1 jerk = 1 GJ et 1 jerk .g −1 = 1012 Gy . La précision du calcul MCNP est accrue pour le calcul du kerma par rapport au calcul de D LiF en raison du transport unique des photons et donc d’une meilleure convergence de l’estimateur statistique. K 4.767 × 10 −26 × 1 × 1012 4.767 × 10 −26 × 1 × 1012 = = = 5.391 pGy.cm 2 Φ 1/π R2 8.842 × 10 −3 Pour cette géométrie, le calcul du débit de kerma sous la paroi d’entrée d’aluminium conduit à :

( )

K K = D Al (10) = ⋅ Φ = 5.391 × 10 −12 × 1 × 106 × 1000 × 3600 = 19.408 mGy −1 Φ

121

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Avec l’incertitude relative du calcul MCNP, le résultat est : K ± σ K = 19.408 ± 0.00  K ± σ K = 19.408 ± 0.008 mGy.h −1 . Le ratio f avec une incertitude obtenue par propagation des incertitudes est finalement : 2 2 D LiF  ∂f  2  ∂f  2 f ±σ f = ±   σ D LiF +    σ D Al D al (10)  ∂D LiF   ∂Dal 

=

f ±σ f =

2 2 D LiF  D LiF  2  1  2 ±  σ +  D LiF  D 2  σ D Al D al (10)  D Al   Al 

(

18.747 0.109 2 18.747 ± + 19.408 19.4082 19.4082

) × (0.008) 2

2

= 0.966 ± 0.006

b) Détermination du facteur de diffusion Nous souhaitons maintenant déterminer le facteur de diffusion ksc de la partie précédente. Pour ce faire, une seconde géométrie a été modélisée, pour laquelle la largeur de l’aluminium a été réduite aux dimensions latérales du FLi afin de réduire au minimum la diffusion photonique (voir figure 2.III.3).

122

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

Le fichier MCNP correspondant à cette configuration de calcul est : Build up c cell

10 1 -2.698 -10 11 1 -2.698 -11 15 2 -2.635 -15 20 1 -2.698 -20

25 0 -25 20 10 15 11 30 0

25

10 RCC 0 0 0 0 0 .36 .17

11 RCC 0 0 .36 0 0 .01 .17 15 RCC 0 0 .37 0 0 .27 .17 20 RCC 0 0 .64 0 0 .37 .17 25 RCC 0 0 -.1 0 0 1.5 .17 mode p e

imp:p,e 1 1 1 1 1

0

sdef par=p pos 0 0 -.05 axs 0 0 1 ext 0 rad=d1 vec 0 0 1 dir 1 erg 1.25 Si1 0 .17 sp1 -21 1

M1 13000 1 estep 50

M2 3000 1 9000 1 estep 50 *F6:p 11

ctme 3000

 Fichier 2.III.3  

Dans cette configuration, le résultat trouvé avec le formalisme ci-dessus pour K est ′ (10) = 17.971 mGy.h −1 ainsi le coefficient de diffusion trouvé est : D Al ksc =

′ (10) 17.971 D Al = = 0.926  D Al (10) 19.409

2.IV Mesure de H’(0.07, 0°) pour un spectre b

avec une chambre d’ionisation à extrapolation

Résumé Dans une première partie, on se propose de mesurer l’équivalent de dose directionnel à 0° : H ′ (0.07, 0°) au moyen d’une chambre d’ionisation à extrapolation PTW de type 23392 pour une source de référence de 90Sr+90Y. Ce type d’appareil est préconisé par la norme ISO 6980 pour la mesure de la dose absorbée des β dans les tissus sous 70  mm, Dt (0.07) . Sur ce type de chambre, une vis micrométrique sur un piston permet un réglage de la profondeur du volume sensible. Cette fonctionnalité a pour but de

123

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

déterminer la pente du courant délivré en fonction de la profondeur du volume sensible. Une vérification par simulation numérique de la valeur de cette pente est réalisée dans une seconde partie. Objectifs – Calcul de dose sous la profondeur de la paroi d’entrée pour une chambre à extrapolation – Calcul d’un courant théorique généré dans le volume sensible à partir de l’estimateur statistique de l’énergie déposée

Partie 1 : Détermination de l’équivalent de dose directionnel à 0° : H’(0.07, 0°) Une source b de 90Sr + 90Y est située à 30 cm de la face avant d’une chambre à extrapolation PTW de type 23392 (voir figure 2.IV.1). On se propose de déterminer, de façon absolue, le débit de dose absorbée sous 7 mg.cm–2 de tissu en fonction du courant délivré puis le débit d’équivalent de dose directionnel à 0°.

Figure 2.IV.1 Dispositif de chambre à extrapolation-source de 90Sr + 90Y.

Les données relatives à la source de 90Sr + 90Y sont : – – – –

énergie moyenne : 967 keV ; énergie maximale : 2.28 MeV ; période : 28.8 ans ; activité nominale : 1.857 GBq.

Les données relatives à la chambre PTW 23392 sont : – cavité remplie d’air sec à profondeur variable ( ρ a = 1.293 × 10 −3 g.cm −3 ,W = 33.97 eV) ;

124

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

paroi d’entrée d’une épaisseur de 7 mg.cm–2 en équivalent tissu ; champ électrique E = 10 V .mm −1 (10 4 V .m −1 ) ; profondeur de cavité recommandée : 0.5 < z < 2 mm; la charge mesurée par un électromètre sur l’électrode de collection est ∆Q = 6.393 × 10 −11 C pour une profondeur de cavité de 2 mm ; – les résultats de mesure de l’intensité pour des profondeurs de z1 = 0.5 mm et z 2 = 2 mm sont respectivement : i1 = 1.22 pA et i2 = 3.93 pA (Patrícia, 2012) ; – constante diélectrique du vide ε o = 8.854 pF.m −1 et constante diélectrique de l’air ε r ≈ 1;

– – – –

t

S –   = 1.110 pour le spectre moyen des électrons du 90Sr + 90Y dans la paroi.  ρ a Dans l’expression de la dose absorbée, contrairement à l’expression reliant le débit de dose sous la paroi d’entrée à l’intensité pour la cavité étroite, le volume sensible est cette fois variable : dV a = Aeff dz Avec Aeff l’aire de la surface effective de l’électrode de collection, qui est à calculer. Cette approche permet de faire apparaître la dérivée du courant en fonction de la profondeur de cavité. La condition limite pour laquelle z = 0 (cavité virtuelle de profondeur nulle) permet de garantir que les conditions de Bragg-Gray seront respectées pour tous les électrons du spectre β et en particulier ceux de faible énergie. Pour cette approche, le débit de dose absorbée sous 7 mg.cm–2 de tissu en fonction du courant est donné par l’expression suivante (Lecante et al., 2006) : D t (0.07, 0°) = 3.6 × 109

t

W  S  ′  d (ki )  k ρ a Aeff  ρ  a  dz  z =0

Le terme k est un produit de facteurs dépendant de la taille de la cavité tels que : correction des pertes dues à la recombinaison, correction due à la divergence du champ dans le volume de collection, correction due à l’attraction électrostatique de la fenêtre de la chambre… Le terme k ′ est un produit de facteurs correctifs indépendants de la taille de la cavité : correction due à la non-uniformité radiale du champ dans le volume de collection, correction des effets de l’humidité sur l’ionisation dans l’air de la cavité… (Lecante et al., 2006). a) Calcul de la dérivée du courant en fonction de la profondeur de la cavité Le courant mesuré est linéaire avec la profondeur de la cavité ; la dérivée du courant se calcule comme la pente de la droite qui représente le courant en fonction de la profondeur. ∆i (3.93 − 1.22) × 10 −12  d (ki )  = = = 1.806 × 10 −9 A .m −1 (1.806 pA .mm −1 )  dz  z =0 ∆z (2 − 0.5) × 10 −3 Notez que les valeurs de i1 et i2 intègrent le produit de facteurs correctifs k.

125

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

b) Calcul de la surface effective de l’électrode de collection Pour mesurer cette surface, le système d’électrodes de la chambre est assimilé à un condensateur de capacité C. C=

Aeff ∆Q = εo εr ∆V z

avec : ∆V = E z il vient : Aeff =

∆Q 6.393 × 10 −11 = = 7.22 × 10 −4 m 2 ε o ε r E 8.854 × 10 −12 × 1 × 10 4

c) Calcul du débit de dose absolu D t (0.07, 0°) Finalement, en convertissant la masse volumique en g.m −3 pour homogénéiser les unités et en négligeant les termes correctifs k ′ , l’application numérique donne : 33.97 × 1.110 × 1.806 × 10 −9 1.293 × 103 × 7.22 × 10 −4 = 262.6 mGy.h −1

D t (0.07, 0°) = 3.6 × 109

La pente calculée est dépendante de l’activité initiale de la source. Pour obtenir un résultat indépendant de cette contrainte, on peut définir un facteur d’étalonnage FD qui définit le débit de dose par unité de pente pour le 90Sr+90Y : d (ki )  FD = D t (0.07, 0°)   dz 

−1

=

262.6 = 145.4 mGy.h −1 / pA..mm −1 1.806

Comme le facteur de qualité vaut 1 pour les électrons, la mesure de référence de l’équivalent de dose directionnel à 0° est obtenue instantanément : H ′ (0.07, 0°) = Q Dt (0.07, 0°) = Dt (0.07, 0°) en Sv ⇒ H ′ (0.07, 0°) = 262.6 mSv.h−1 De même on peut définir un facteur d’étalonnage qui décrit le débit d’équivalent de dose par unité de pente : FH = 145.4 mSv.h −1 / pA .mm −1.

Partie 2 : Vérification de la pente de variation du courant en fonction de la profondeur de chambre, par simulation numérique On se propose de simuler la chambre à extrapolation pour la source de 90Sr-90Y située à 30 cm afin de prédire la pente (en pA .mm −1) en fonction de la profondeur de la chambre. La chambre simulée présente une paroi en PMMA avec une fenêtre d’entrée de rayon 1.5 cm d’épaisseur 7 mg.cm–2 équivalent-tissus. La chambre, telle que simulée dans MCNP, est montrée à la figure 2.IV.2 (gauche). Le spectre

126

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

de la source est pris sur la référence RADAR (http://www.doseinfo-radar.com/ RADARHome.html). Le spectre est composé d’une part de la composante 90Sr et d’autre part de celle du 90Y. Ce spectre est représenté à la figure 2.IV.2 (droite).

-2

8,0x10

-2

7,0x10

-2

6,0x10

-2

P(E)

5,0x10

90

Y

-2

4,0x10

90

Sr

-2

3,0x10

-2

2,0x10

-2

1,0x10

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

E (MeV)

Figure 2.IV.2 À gauche, modèle numérique de la chambre à extrapolation. À droite, spectre b de la source de 90Sr-90Y échantillonné et entré dans le jeu de données MCNP.

La source est placée à 30 cm et considérée comme ponctuelle ; aucun filtre n’est placé entre la source et la chambre. Le fichier MCNP est le suivant (exemple pour z = 1.5 mm). Chambre à extrapolation

10 1 -1.293e-3 -10 $ chambre 20 2 -1.19

10 -20 $ PMMA

30 1 -1.293e-3 20 -30 35 0 30

10 RCC 0 0 0 0 0 0.15 1.5 $ cavité z=0.15 cm R=1.5 cm 20 RCC 0 0 30 RCC 0 0

-5.88e-3 0 0 .6 5 -31

imp:e,p 1 1 1 mode e p

0 0 31.9

5

0

c SDEF par=e pos 0 0 -20 erg d2 sdef

par=e erg fpos d2 pos d1

si1 l 0 0 -30 0 0 -30 $ position source sr et y sp1 d 1 1 $ même intensité pour le sr et le y90 ds2 s 3 4

127

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

c Sr90

# si3 sp3 0 0

0.0137 7.79E-02 0.0410 7.60E-02 0.0683 7.50E-02 0.0956 7.40E-02 0.1229 7.30E-02 0.1502 7.17E-02 0.1775 7.01E-02 0.2048 6.80E-02 0.2321 6.53E-02 0.2594 6.19E-02 0.2867 5.78E-02 0.3140 5.27E-02 0.3413 4.68E-02 0.3686 4.01E-02 0.3959 3.27E-02 0.4232 2.48E-02 0.4505 1.71E-02 0.4778 9.75E-03 0.5051 4.28E-03 0.5324 1.01E-03 c Y90

# si4 sp4 0 0

0.0571 4.26E-02 0.1713 5.18E-02 0.2855 5.94E-02 0.3997 6.49E-02 0.5139 6.86E-02 0.6281 7.08E-02 0.7423 7.17E-02 0.8565 7.15E-02 0.9707 7.04E-02 1.0849 6.85E-02 1.1991 6.57E-02 1.3133 6.19E-02 1.4275 5.69E-02 1.5417 5.07E-02 1.6559 4.30E-02 1.7701 3.42E-02 1.8843 2.46E-02 1.9985 1.50E-02 2.1127 6.43E-03 2.2269 1.13E-03

M1 6000 -0.000124 7000 -0.755268 8000 -0.231781 18000 -0.012827 M2 1000 -0.080538 6000 -0.599848 8000 -0.319614 *F28:e 10

stop F28 .01

 Fichier 2.IV.1  

128

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

Le calcul est réalisé dans MCNP au moyen de l’estimateur statistique *F8 fournissant un résultat en MeV, avec une incertitude de 1 %. Ce dernier estime l’ensemble de l’énergie totale déposée dans le gaz de la chambre ε t . Le courant calculé en pA est déduit de la façon suivante : i = 1018

εt e A fe W

Avec l’activité A en Bq, W énergie pour la production d’une paire d’ions dans l’air (W = 34 eV), f e est le facteur d’émission qui tient compte de l’équilibre entre l’yttrium et le strontium ; ce facteur vaut 2 et e est la charge de l’électron. Le terme 1018 est le produit du facteur de conversion de MeV à eV par le ratio de facteur de conversion A à pA. Pour une activité de 1.85 GBq et pour différentes profondeurs de chambre, les résultats sont fournis dans le tableau 2.IV.1.  Tableau 2.IV.1  Résultats de calculs MCNP pour l’intensité théorique en fonction de la profondeur de chambre. z (mm)

εt

i (pA )

0.7

9.54×10–8

1.66

1

1.33×10–7

2.32

1.5

1.96×10–7

3.42

2

2.63×10–7

4.58

La figure 3 donne une représentation en fonction z des différentes valeurs de courant calculées et donnée dans le tableau 1. 5.0 4.5

MCNP Fit linear

4.0 3.5

i (pA)

3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

z (mm)

 Figure 2.IV.3   Représentation des valeurs calculées dans MCNP et fournies dans le tableau 2.IV.1.

129

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Nous déterminons ensuite la pente au moyen de la méthode des moindres carrés. cov ( z , i ) a= = var ( z )

∑ j =1 (z j − z ) (i j − i ) = 2.24 pA .mm −1 2 j =n ∑ j =1 (z j − z ) j =n

L’estimateur de l’écart-type de la pente, avec pour notre cas n = 4 degrés de liberté : j =n ∑ j =1 (i j − i ) 2 j =n ∑ j =1 (z j − z ) 2

1 σˆ a = n−2

= 0.08

La pente obtenue est a ± σˆ a = 2.24 ± 0.08 pA .mm −1 pour une pente obtenue par mesure de 1.81 pA .mm −1. Cet écart est dû pour partie, au produit de facteurs correctifs k de l’équation (1).

2.V Mesure de l’énergie et de la fluence

pour des neutrons rapides mono-énergétiques au moyen d’un télescope à proton de recul

Résumé On se propose dans cet exercice de mesurer, au moyen d’un télescope à proton de recul, l’énergie et la fluence pour des neutrons mono-énergétiques issus d’un accélérateur de deuton de 150 keV sur cible de 3H. Cette méthode de mesure est l’une des méthodes préconisées pour caractériser de façon absolue la fluence et l’énergie d’un champ de neutrons rapides de référence pour la dosimétrie externe. On en déduira ensuite le débit d’équivalent de dose ambiant au point d’interaction du faisceau de neutron et du convertisseur du télescope. Enfin, une comparaison des grandeurs calculées théoriquement et numériquement sera réalisée en effectuant une simulation numérique du télescope dans MCNP. Objectifs – Calcul théorique de l’énergie des neutrons rapides diffusés élastiquement dans un convertisseur organique et détermination de l’incertitude associée – Modélisation d’un télescope à protons de recul dans MCNP – Calcul du rendement théorique d’un détecteur – Calcul de la résolution en énergie Données Le dispositif expérimental se compose d’un convertisseur en polyéthylène (CH2), d’une épaisseur e = 200 µm et de densité 0.91, qui est disposé dans l’axe du faisceau de neutrons collimaté. Le faisceau de neutrons sortant du tendatron est collimaté et

130

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

éclaire le convertisseur sur une surface a = 10 cm 2 . Les neutrons subissent dans ce convertisseur des diffusions élastiques avec une section efficace à l’énergie du neutron incident : σ (n,n) = 0.691 barn. À une distance de d = 1 m et à un angle de 40° est disposé un détecteur en silicium dont la face d’entrée est discoïde ; la section du détecteur est de 4 cm de rayon. Sa résolution en énergie pour l’énergie des protons de recul est de 3 % à l’énergie du neutron et l’angle considérés (voir figure 2.V.1). L’énergie des protons de recul mesurée par le détecteur est E pd = 7.79 ± 0.23 MeV. L’efficacité de détection du détecteur silicium est considérée égale à 100 % et on considérera que les protons de recul perdent en moyenne dans le convertisseur 5 % de leur énergie initiale. Pour les canaux d’acquisition de la diode Si compris entre 7.79 ± 0.23 MeV , 10 000 coups sont comptés sur 10 minutes de tir de l’accélérateur.

Figure 2.V.1 Dispositif de détermination de la fluence et de l’énergie absolue par télescope à proton de recul.

a) Calcul de l’énergie des neutrons Pour une diffusion élastique, la relation liant l’énergie du neutron incident au noyau de recul de masse atomique A est : En =

(1 + A)2 4A

( cos1 θ ) E 2

A

Avec q l’angle formé entre la direction d’incidence du neutron et le proton diffusé au terme de l’interaction. Dans le cas d’une diffusion sur le proton de l’hydrogène (A = 1), cette expression se simplifie selon : En =

Ep cos 2 θ

(1)

Il faut cependant prendre en compte l’incertitude sur le résultat de l’énergie des neutrons initiaux qui tient compte de l’incertitude sur la mesure de l’angle en raison de la diffusion coulombienne dans le convertisseur. La loi de propagation des incertitudes donne : 2  ∂E n  2  ∂E n  2 2 2 σ En =   σ E p +  ∂θ  σ θ    ∂E p 

131

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

En calculant les dérivées de l’expression (1) de E n, on obtient :

σ E2n =

(

1 cos 2 θ

)

2

2  E p 2 sin θ  2 σ E2 p +   σθ 3  cos θ 

Et en divisant par E n2, on aboutit à l’expression suivante : 2

 σ En   σ E p  2 2  E  =  E  + 4 tan θ σ θ (2) n p     2



L’incertitude globale est à la fois dépendante de la dispersion angulaire des protons de recul dans le convertisseur mais également de l’angle de mesure. Pour le calcul de E n l’énergie des neutrons diffusés, on détermine d’abord l’énergie des protons de recul au moment de leur création dans le convertisseur.

E p = E pd + E cp = E pd + 0.05 E p ⇒ E p =

E pd 7.79 = = 8.20 MeV (3) 1 − 0.05 0.95

Avec E pd l’énergie de proton mesurée dans la diode et E cp l’énergie du proton perdue dans le convertisseur par diffusions coulombiennes. Avec l’expression (1), il vient ensuite : 8.20 En = = 13.97 MeV (4) cos 2 (40°) Il convient d’associer à ce résultat l’incertitude de l’expression (2). Le terme σ θ se calcule en rad selon l’expression de la formule de Gerald et al., 1991.

σΘ =

13.6 β pc

e  e 1 + 0.038 log   X o   X o 

Avec e l’épaisseur du convertisseur, b le facteur de Lorentz du proton de recul, pc sa quantité de mouvement et X o la longueur de radiation donnée en cm pour un matériau (Z, A) qui se détermine comme suit : Xo =

716.4 A  287  ρ Z ( Z + 1) ln    Z

On détermine dans un premier temps les A et Z du CH2 : A=

1 × 12 + 2 × 1 1× 6 + 2 ×1 = 4.7 et  Z = = 2.7 3 3

Donc : Xo =

132

716.4 ×4.7 287  0.91 × 2.7 × (2.7 + 1) ln    2.7 

= 71.7 cm

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

Le facteur de Lorentz et la quantité de mouvement se calculent à partir de l’énergie trouvée en (3) comme suit : 2

(

 m pc 2  v 939.6 β = = 1 −   = 1 − 8.20 + 939.6 2 c  E p + m pc 

)

2

= 0.1

pc = E p ( E p + 2m p c 2 ) = 8.20 × (8.20 + (2 × 939.6)) = 124.4 MeV La dispersion angulaire vaut donc :

σΘ =

13.6 200 × 10 −4 0.1 × 124.4 71.7

1 + 0.038 log  200 × 10 −4  =15.7 mrad  71.7    

Ainsi l’incertitude relative globale sur la détermination de l’énergie et donc la résolution en énergie sera :

σ En = (0.03)2 + 4 tan 2 (40°) × (0.0157 )2 = 0.04 (2) En



L’énergie du neutron mesuré et l’incertitude associée sont E n ± σ En = 13.97 ± 0.56 MeV ± σ En = 13.97 ± 0.56 MeV. L’énergie des neutrons est donnée avec une résolution de 560 keV. La résolution en énergie théorique correspondant à la largeur à mi-hauteur du pic suivant une loi de distribution gaussienne est : FWHM = 2.355σ En = 1.32 MeV D’un point de vue pratique, pour la résolution en énergie, il est nécessaire de tenir compte des qualités physiques de détecteur Si et de l’électronique d’acquisition, en particulier par la finesse de discrimination du sélecteur monocanal. b) Calcul de la fluence de neutrons Le nombre de protons créés par unité de temps est donné en fonction du nombre de neutrons par unité de temps selon (5) : N p = N n (1 − exp ( − N H σ n,n e )) (5)



Avec σ n,n la section efficace totale de diffusion élastique des neutrons à l’énergie calculée ci-dessus (≅ 14 MeV ,σ (n,n) = 0.691 barn ) et N H le nombre d’atomes par cm3 dans le convertisseur. N H s’exprime en fonction de la fraction massique d’hydrogène W H , du nombre d’Avogadro η A et de la densité du convertisseur selon : 2 ×1  × 6.02 × 1023 × 0.91 = 7.826 × 1022 (atoom) .cm −3 N H = W H η A ρ =    (2 × 1) + (12 × 1)  Ainsi le libre parcours moyen de la diffusion élastique sera :

λn,n =

1 1 1 = = = 18.5 cm Σ n,n N H σ n,n 7.826 × 1022 × 0.691 × 10 −24

133

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Dans le cas où l’épaisseur du convertisseur est suffisamment petite par rapport au libre parcours moyen des neutrons avant diffusion élastique ; il est possible de faire un développement limité de la fonction exponentielle. L’équation (5) devient : N p ≈ N n N H σ n,n e En considérant que l’ensemble des protons créés traversent le convertisseur, le nombre de protons collectés par unité de temps par la diode Si, N pd , peut s’exprimer comme suit : Ωd  dσ  N pd = ε d ∫ N n N H  n,n  e d Ω  dΩ  0 Avec d σ n,n / d Ω la section efficace élastique différentielle angulaire, Ω d =l’angle solide de détection couvert par la diode Si et ε d l’efficacité du détecteur pour la mesure des protons franchissant le détecteur. La résolution de cette intégrale conduit à une expression faisant intervenir la section efficace élastique totale : cosΘ N pd = ε d N n N H σ n,n e Ω d k π an Avec kan qui est un terme traduisant l’anisotropie dans le laboratoire de la section efficace élastique (Bame et al., 1957) : 2

kan

E 1 +  n  cos 2 2θ  90  = 2 2  En  1+ 3  90 

()

En conséquence, le rendement donnant le ratio du nombre de protons détecté par neutron entrant dans le convertisseur est : N pd cosΘ k ε n→ p = = ε d N H σ n,n e Ω d  π an Nn Conformément à la figure 1, l’angle solide couvert par le détecteur est :  d Ω d = 2π (1 − cos ϕ ) = 2π 1 − 2  d + r2 Le calcul de kan fournit : kan =

1+

  100  = 2π 1 −   1002 + 4 2

  = 0.005 srr 

(1490 ) cos (2 × 40) = 0.984 2 14 1+ ( )×( ) 3 90 2

2

2

Finalement en considérant un rendement total de détecteur de 100 %, le rendement de détection des protons produits est : cos (40)  ε n → p = 1 × 7.826 × 1022 × 0.691 × 10 −24 × 0.005 × 200 × 10 −4 ×   × 0.984  π  = 1.30 × 10 −6

134

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

Les 10 000 coups comptés sur 10 minutes de tir de l’accélérateur, sur les canaux d’acquisition de la diode Si compris entre 7.79 ± 0.23 MeV , correspondent à un taux de comptage N pd = 16.7 (c ) .s −1. Le débit de fluence à l’entrée du convertisseur est donc finalement : N pd N 16.7 Φ n = n = = = 1.28 × 10 6 (n) .cm 2 s −1 ε n → p a 1.30 × 10 −6 × 10 a Ainsi l’accélérateur, au niveau du convertisseur, délivre une fluence de 1.28 × 10 6 (n) .cm 2 s −1 de neutrons dont l’énergie est E n ± σ En = 13.97 ± 0.56 MeV. Pour une énergie de 14 MeV, le facteur de conversion fluence-équivalent de dose ambiant, tiré de l’ICRP (1996) est h¦* (10) = 520 pSv.cm 2 . Le débit d’équivalent de dose ambiant horaire au point de calcul sera donc : H * (10) = 3600 hΦ* (10)Φ n = 3600 × 520 × 10 −12 × 1.28 × 106 = 2.4 Sv.h −1 c) Simulation du télescope avec MCNP On considère un faisceau parallèle de neutrons de 13.97 MeV de rayon r = 1.784 cm, soit une section de 10 cm2, qui interagit sur un cylindre de polyéthylène de 1.784 cm de rayon et de 200 mm d’épaisseur pour modéliser le convertisseur. On place à 1 m et 40° de la génératrice du convertisseur, un cylindre vide de 4 cm de rayon et de 1 cm d’épaisseur, afin de modéliser le volume sensible de la diode. Le modèle MCNP est montré à la figure 2.V.2 (gauche).

-10

-2

Protons fluence in the detector (cm )

3,5x10

-10

3,0x10

MCNP calculation gaussian fit

-10

2,5x10

-10

2,0x10

-10

1,5x10

-10

1,0x10

-11

5,0x10

0,0 -11

-5,0x10

6,0

6,5

7,0

7,5

8,0

8,5

9,0

9,5

Ep (MeV)

Figure 2.V.2 À gauche, géométrie modélisée dans MCNP. À droite, spectre de la fluence en fonction de l’énergie des protons.

On calcule le spectre de fluence énergétique des protons dans la diode, modélisée par la cellule 15 dans le jeu de données, au moyen de l’estimateur statistique de

135

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

fluence moyenne i.e. tally F4, suivi d’une carte d’échantillonnage en énergie « e4 » découpant le spectre en 200 intervalles entre 5 et 10 MeV. À noter que pour ce cas de figure, il faut modifier la 7e entrée de la carte « phys:n » pour pouvoir générer les réactions de diffusion élastiques (n,n) et transporter les protons de reculs. Le fichier MCNP de modélisation du télescope est le suivant : calcul télescope c cells

10 1 -.92 -10$ (CH2)n 15 0 -15

$ detector

20 0 10 15 -20 30 0 20

10 RCC 0 0 -1E-2 0 0 1E-2 1.784

15 RCC 0 64.278761 76.6 0 .64279 .766 4 20 SO 110

imp:n,h 1 1 1 0

VOL j 50.26 j j $ volume of cell 15 must be input c phys 7e entrée coilf=n.m=1.001

PHYS:N 20 0 0 J J J 1.001 -1 J J J 0 0 mode n h

sdef par=n pos 0 0 -.05 axs 0 0 1 ext 0 rad=d1 vec 0 0 1 dir 1 erg 13.97 Si1 0 1.784 sp1 -21 1 ctme 3000

M1 1001 2 6012 1 F4:h 15

E4 5 200i 10

 Fichier 2.V.1  

Le spectre de protons obtenu, ajusté avec une distribution gaussienne, est donné à la figure 2.V.2 (droite). On obtient une énergie moyenne des protons de E p ± σ E p = 7.87 ± 0.41 MeV . La résolution en énergie théorique correspondant à la largeur à mi-hauteur du pic suivant une loi de distribution gaussienne est : FWHM = 2.355σ En = 0.96 MeV Dans le fichier résultat de MCNP, une population de 3 253 protons est comptée pour un nombre de neutrons tirés de 3.26 × 109, soit un rendement du nombre de protons détectés par la diode par neutrons traversant le convertisseur ε n → p ≅ 10 −6 . Ce résultat montre un accord satisfaisant entre les deux approches.

136

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

2.VI Mesure de l’énergie par temps de vol

pour des neutrons rapides mono-énergétiques

Résumé On se propose dans cette application de mesurer, par temps de vol (TOF), l’énergie des neutrons mono-énergétiques issus de la réaction 3H(p,n)3He avec des protons issus d’un tendatron de 2 MV fonctionnant en régime pulsé à 2 MHz. On dispose à 2.5 mètres et à 0° un scintillateur liquide BC501A dans lequel la diffusion élastique sur l’hydrogène du solvant organique en xylène permet l’émission de protons qui excitent ensuite le scintillateur organique présent sous forme de soluté. Le soluté réémet ensuite une lumière, proportionnelle à l’énergie déposée, vers un photomultiplicateur. Les résultats du comptage dans le scintillateur, après quelques milliers de pulses sont donnés à la figure 1. Dans une première partie, le calcul est réalisé avec l’expression analytique du TOF du neutron pour des données expérimentales. Dans une seconde partie, ce calcul est réalisé avec les résultats MCNP pour des neutrons issus d’un spectre de fusion. Objectifs – – – –

Calcul théorique d’un temps de vol Technique du TOF avec particule secondaire coïncidente Calcul d’incertitude et résolution en énergie pour le TOF Calcul du temps de vol au moyen de MCNP avec un spectre de fusion

Données – TOF des neutrons (Cognet et al., 2010) : t n = 214.10 ns – TOF des photons coïncidents (Cognet et al., 2010) : t γ = 114.58 ns σ – Incertitude relative sur la distance cible-détecteur : d = 0.075 % d – Incertitude relative sur le coefficient de calibration en temps pour les canaux : σA = 0.72 % A – Incertitude sur le temps de mesure des photons coïncidents : σ tγ = 0.08 ns – Incertitude sur le temps de mesure des neutrons : σ t n = 0.4 ns

Figure 2.VI.1 Spectre de temps de vol pour un champ de neutrons mono-énergétiques mesuré à une distance de 2.5 m de la cible de production des neutrons (d’après Cognet et al., 2010).

137

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Partie 1 : Calcul du TOF au moyen des données expérimentales Il est nécessaire de déterminer le temps de vol TOF du neutron pour parcourir la distance d = 2.5 mètres entre la cible et le détecteur.

Figure 2.VI.2 Schéma de principe du dispositif TOF pour mesurer l’énergie des neutrons à 0°, avec les différents temps nécessaires au calcul.

On considère t n le temps total entre l’émission du proton par la source, lors du pulse, et la détection du neutron dans le scintillateur (voir figure 2.VI.2). Le temps de réponse du scintillateur pour compter le neutron est t rep n. Si t o est le temps nécessaire pour que le proton parcoure la distance entre la source et la cible, le temps de vol du neutron, TOF, peut s’écrire : TOF = t n − t rep n − t o Le problème est que le temps t o n’est pas connu avec certitude. Une solution consiste à réaliser une mesure en coïncidence du photon émis lors de la réaction 3H(p,n)3He et qui a lieu simultanément avec la production du neutron. Le photon émis est mesuré également par le scintillateur et son temps de vol peut être calculé comme suit : t γ = t d + t rep γ + t o avec t d =

d c

Avec t rep γ le temps de réponse du photon dans le scintillateur. Pour le scintillateur BC501A, les temps de réponse des photons et des neutrons sont les mêmes ce qui permet de s’affranchir de t o pour le calcul du temps de vol : TOF = t n − t γ +

d c

(1)

La figure 2.VI.1 donne les valeurs suivantes : t n = 215.1 ns et t γ = 113.3 ns. Ainsi le temps de vol des neutrons est : TOF = 214.10 − 114.58 +

138

( 3 ×210.5 ×10 ) = 107.85 ns 8

−9

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

L’énergie du neutron est ensuite obtenue comme suit :     1 1 E n = mn c 2  − 1 = mn c 2  − 1 (2)  1 − (d / (cTOF ))2   1− β 2      1 E n = 939.56 ×  − 1 = 2.82 MeV  1 − 2.5 / 3 × 108 × 107.85 × 10 −9 2 ( ( ))   Il convient à présent de déterminer l’incertitude sur cette valeur calculée. Le principal terme d’incertitude concerne la mesure du temps de vol TOF. L’équation (1) peut s’écrire en fonction du coefficient de calibration en temps A et des canaux d’acquisition du signal correspondant aux temps de détection des neutrons et des photons, c n et c γ , comme suit : d c L’incertitude globale sur le temps de vol, calculée selon la loi de propagation des incertitudes, est : 2 σ 2 d 2 σ A  2 2 2 σ TOF =  d  + TOF −  A  + σ t n + σ tγ c c     Avec les valeurs des incertitudes exprimées en ns, l’incertitude sur le temps de vol est : TOF = A (c n − c γ ) +

)

(

σTOF

(

2

(

0.075 × 10−2 × 2.5 2.5 =  × 109  + 107.85 − × 109 8 3 × 10 3 × 108  

)) (0.72 ×10 2

)

−2 2

+ 0.42 + 0.082

σ T = 0.82 ns L’incertitude globale sur l’énergie des neutrons, avec la loi de propagation des incertitudes, peut s’écrire selon l’expression suivante : 2 2 σ En 1− u  σ d  +  σ TOF  =     En u (1 − u )  d   TOF 

⇒u = 1 − ⇒

(

2.5 3 × 108 × 107.85 × 10 −9

σ En 1 − 0.994 = × En 0.994 × (1 − 0.994 )

u=

avec

(0.075 × 10 −2 )2 +

)

2

(

1 d =1− cTOF γ2

)

2

= 0.994

(1070.82.85)

2

= 0.0153 = 1.53 %

Ainsi, l’énergie des neutrons mesurée sera finalement à 1 σ : E n ± σ En = 2.82 ± 0.43 Me E n ± σ En = 2.82 ± 0.43 MeV pour une énergie en sortie de cible évaluée à 2.8 MeV et correspondant à une des énergies monocinétiques préconisées par la norme ISO pour les faisceaux primaires de référence. La résolution en énergie théorique correspondant à la largeur à mi-hauteur du pic suivant une loi de distribution gaussienne est : FWHM = 2.355σ En = 0.10 MeV

139

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Partie 2 : Étude numérique du spectre d’une réaction de fusion de type D-D par temps de vol On se propose d’étudier par simulation numérique, le temps de vol des neutrons émis lors de la réaction de fusion d-d : 2H(d,n)3He. Pour cela, on utilise le « Gaussian fusion spectrum » de MCNP, qui se traduit dans le fichier d’entrée par le paramètre -4 dans la carte « sp2 ». Le fichier MCNP est le suivant : calcul TOF c cellules 10 0 -10

20 0 10 -20 30 0 20

10 RCC 0 0 -.5

0 0 1 4

20 RCC 0 0 -1 0 0 260 5 imp:p,n

mode p n

1 1 0

sdef par=n pos 0 0 0

erg D2

c Gaussian fusion spectrum at 10 keV (0.01 MeV) SP2 -4 -.01 -2 ctme 15

F15:n 0 0 250 .1 T15 0 200i 50

F35:n 0 0 10 .1 E35 0 100i 10

 Fichier 2.VI.1  

La fluence pour les neutrons en fonction du temps est calculée avec le tally 15 auquel est associée la carte temporelle t5. Le spectre en énergie est déterminé au moyen du tally 35. Précisons que, dans MCNP, l’unité des temps est le shake, correspondant à 1×10–8 s). Ainsi, en multipliant les résultats par un facteur 10, nous obtenons des ns. Les résultats de la distribution de fluence en fonction du temps sont donnés dans la figure 3 suivante : -5

-8

6.0x10

8,0x10

-8

7,0x10

-5

5.0x10

-8

6,0x10

-5

4.0x10

-8

-5

-8

4,0x10

Φ

Φ cm

-2

5,0x10

3.0x10

-8

3,0x10

-5

2.0x10

-8

2,0x10

-5

1.0x10

-8

1,0x10

0,0

0

10

20

30

40

50

60

70

time (ns)

80

90

100 110 120 130

0.0 2.0

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3.0

E (MeV)

 Figure 2.VI.3  a) Spectre du temps de vol obtenu par simulation numérique. b) Dispersion en énergie de la mesure du neutron issu de la réaction d-d dans MCNP.

140

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

Le temps de vol des neutrons pour parcourir les 2.5 m séparant la cible du détecteur correspond au maximum du pic de la figure 3, soit 115 ns. L’énergie correspondante est alors obtenue selon l’équation (2) précédente :     1 1 E n = mn c 2  − 1 = mn c 2  − 1  1 − (d / cTOF )2   1− β 2      1 E n = 939.56 ×  − 1 = 2.47 MeV  1 − 2.5 / 3 × 108 × 115 × 10 −9 2 ( ( ))   Si ce calcul est réalisé pour l’ensemble des intervalles temporels de la figure 2.VI.3-a, nous obtenons la résolution théorique en énergie. Cette dernière est directement calculée par MCNP au moyen du tally 35 comme montré à la figure 2.VI.3-b.

2.VII Mesure du spectre neutronique au moyen

des sphères de Bonner sur un poste de travail

Résumé  On se propose de calculer les débits de fluence neutronique et d’équivalent de dose ambiant sur 3 bandes d’énergie (thermique - épithermique/intermédiaire - rapide) à partir des 3 sphères de Bonner (BSS), à 50 cm de l’installation Canel/T400 de l’IRSN de Cadarache. Cette installation permet de fournir un spectre réaliste de poste travail. Pour ce cas d’étude, l’accélérateur produit des neutrons de 3 MeV avec des deutons d’une centaine de keV sur une cible de deutérium. Ces neutrons impactent ensuite une cible d’238U pour produire un flux de neutrons secondaires de fission qui franchit un écran sphérique de fer et puis un écran plan d’eau, inclus dans un cylindre en polyéthylène. Dans cette succession de matériaux, les neutrons sont ralentis par diffusion élastique, inélastique, (n,2n)…. Dans la première partie de cette application, la réponse des trois sphères de Bonner est simulée numériquement pour les 3 domaines d’énergie. Dans la seconde partie, les fluences pour chacune des bandes d’énergie sont calculées au moyen de la méthode des moindres carrés. Notons que la méthode des sphères de Bonner est préconisée en tant qu’instrument de référence pour mesurer la fluence et le spectre des champs neutroniques. Objectifs – Résolution d’un système d’équation physique par la méthode des moindres carrés – Étude du principe de l’algorithme de déconvolution pour déterminer un spectre à partir du signal d’un ou plusieurs détecteurs – Calcul du rendement d’un compteur proportionnel à 3He avec MCNP – Étude du principe des sphères de Bonner pour déterminer un spectre de neutron de référence – Calcul d’un coefficient de conversion moyen « grandeur physique-grandeur dosimétrique » pour un spectre énergétique

141

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

 Figure 2.VII.1  À gauche, photographie du dispositif CANEL en sortie de l’accélérateur T400 avec une sphère de Bonner. À droite, schéma du dispositif CANEL tel que modélisé dans MCNP (d’après Lacoste et al., 2011).

Données La mesure neutronique est réalisée au moyen de sphères de Bonner en polyéthylène, de rayon croissant : 2, 4 et 8 in. Un détecteur sphérique rempli d’3He de 3.2 cm de diamètre est situé au centre de chacune d’elles. La pression du gaz interne est de 172 kPa. À 50 cm de l’écran d’eau, les mesures m s des taux de comptage, en coups par seconde, des BSS sont fournies pour cette application dans le tableau 2.VII.1 suivant :  Tableau 2.VII.1  Taux de comptage des BSS à 50 cm du dernier écran de CANEL/T400. Sphère

2 in.

4 in.

8 in.

m s

955.78

1183.63

483.18

Partie 1 : Simulation numérique de la réponse des sphères de Bonner Dans cette première partie, nous proposons de simuler numériquement les réponses de ces trois sphères pour trois intervalles d’énergie représentant grossièrement les domaines thermiques : E n < 0.5 eV , épithermique : 0.5 eV < E n < 50 keV et rapide : E n > 50 keV. Ce découpage en énergie permet de séparer les 3 zones caractéristiques du spectre en sortie de dispositif Canel/T400, pour une mesure réalisée à 50 cm de l’écran d’eau. Ce spectre est présenté à la figure 2.VII.2.

142

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

Figure 2.VII.2 Fluence énergétique des neutrons en sortie de l’installation CANEL/T400. Normalisé par nombre de protons (NDA) issus de la réaction D(d,p)3H détectés sur une diode située à 0.9 m derrière la cible.

L’exemple détaillé ci-après concerne le calcul théorique de la sphère de Bonner de 8’’, soit, d’un diamètre 20.32 cm, irradiée par un faisceau parallèle de neutrons de rayon 10.16 cm. La méthode est transposable aux deux autres sphères de 2’’ et 4’’.

Figure 2.VII.3 Schéma de principe du modèle numérique utilisé pour calculer la réponse de la BSS de 8’’.

Dans le calcul MCNP dont le fichier est fourni ci-après, on détermine le nombre de réactions (n,p) dans le volume gazeux V du compteur à 3He. Cette opération est réalisée en appliquant un tally de type F4 sur la cellule modélisant ce volume auquel est associée une fonction de multiplication « fm » avec l’instruction suivante : « fm4 .2364 1 103 ». Dans cette instruction, le paramètre .2364 correspond au produit de la densité atomique d’3He par le volume gazeux, soit nHe V multiplié par la section du faisceau a s ; ce facteur permet d’obtenir une réponse par unité de fluence. La densité atomique de l’hélium à 273 °K est : nHe = 4.25 × 1019 cm −3 (Mares et al., 1991) cependant elle s’exprime en atm.cm–3.barn dans MCNP et nécessite, en conséquence, de multiplier la valeur de la densité atomique par un

143

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

facteur 10–24 pour une mise aux dimensions recherchée. La valeur de ce premier paramètre s’obtient, finalement, comme suit : 4 a s nHe V = π × (10.16)2 × 4.25 × 10 −5 × × π × (1.6)3 = 0.2364 3 Le second paramètre « 1 » correspond au numéro du matériau décrivant l’hélium dans le fichier d’entrée MCNP et « 103 » signifie que la fluence par bande d’énergie est multipliée par la section efficace par bande d’énergie des réactions (n,p) pour l’ensemble des neutrons ayant pénétré dans le volume sensible. Ainsi, la réponse d’une sphère k à un neutron d’énergie E n se calcule alors de la façon suivante : Rk ( E n ) = a s nHe V



En

 dΦ k  ( E ) dE (1) dE (n, p)

∫  0

Le fichier MCNP suivant permet de calculer la réponse de la sphère de 8’’ pour l’énergie E n = 1 MeV : simulation BSS c cell

10 1 4.2497e-5 -10 20 2 -.95

-20 10

30 0

-30 20

40 0 30

$ He3 $ CH2

10 SO 1.6

20 SO 10.16 30 SO 50

imp:n 1 1 1 mode n

0

sdef par=n pos 0 0 -11 axs 0 0 1 ext 0 rad=d1 vec 0 0 1 dir 1 erg 1 Si1 0 10.16 sp1 -21 1 F4:n 10

FM4 .2364 1 103

PHYS:N 20 20 0 J J J 1 -1 J J J 0 0 m1 2003 1

m2 1001 2 6000 1

c MT2 S(a,b) THERMAL NEUTRON SCATTERING in polyethylen mt2 poly.20t stop F4 .01

 Fichier 2.VII.1  

Le calcul doit être répété pour différentes valeurs d’énergies de neutron correspondant à l’échantillonnage de spectre complet compris entre 0 et 10 MeV. Ces valeurs d’énergie sont successivement paramétrées dans la carte « erg » de la définition de source du fichier d’entrée MCNP. Pour la sphère de 8’’ (k = 3) , la réponse, issue des résultats du calcul MCNP, obtenue sur l’ensemble du spectre en énergie est présenté à la figure 2.VII.4. S’il est possible de réaliser un ajustement de la courbe, on obtient

144

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

la réponse sur l’intervalle en énergie i à partir du ratio de l’aire sous la courbe sur l’intervalle d’énergie comme suit : Rk ,i

1 = ∆Ei

Eimax

∫

Rk ( E n ) dE n

Eimin

Concernant le facteur de conversion « fluence-équivalent de dose ambiant » moyen hΦ* (10), il est déterminé par calcul, pour chacun des 3 groupes d’énergie ∆Ei , =selon la moyenne suivante : 1 hΦ* (10) = ∆Ei Φ

 d Φ  h * (10) dE ]E n n  dE  [ Φ n ∆Ei 

∫

Les réponses Rk ,i , en cm2 ainsi que le facteur moyen de conversion « fluenceéquivalent de dose ambiant » (en pSv.cm2) pour les trois BSS et les trois intervalles d’énergies, sont fournies dans le tableau 2.VII.2. Tableau 2.VII.2 Réponses Rk,i (en cm2) calculées avec MCNP, ainsi que le facteur moyen de conversion « fluence-équivalent de dose ambiant » (en pSv.cm2) pour les trois BSS et pour les trois intervalles d’énergie. Rk ,i

hΦ* (10)

Bande d’énergie

2 in.

4 in.

8 in.

E n < 0.5 eV

2.045

1.447

0.263

13.04

0.5 eV < E n < 50 keV

0.217

2.175

1.001

21.44

E n > 50 keV

0.003

0.227

0.953

495

Figure 2.VII.4 Fonction réponse de la BSS de 8’’ calculée avec MCNP, en fonction de l’énergie et représentation des 3 groupes d’énergie pour l’échantillonnage du spectre représentatif du spectre de l’installation CANEL/T400.

145

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Partie 2 : Calcul de la fluence dans chacun des groupes d’énergie par la méthode de minimisation des carrés La relation entre la mesure mk d’une sphère et les débits de fluence Φ i = Φ E ,i ∆Ei dans chacune des bandes d’énergie est donnée par la somme suivante :

i =n

i =n

i =1

i =1

m k = ∑ Rk ,i Φ E ,i ∆Ei = ∑ Rk ,i Φ i (1)

Avec ici n = 3 bandes d’énergie. Le terme Rk ,i est la réponse de la sphère k pour l’intervalle d’énergie ∆Ei . =En exprimant l’expression (1) pour chacune des 3 sphères on obtient la relation matricielle suivante. M = R Φ (1)



Avec les valeurs tirées des tableaux 1 et 2 pour chacun des termes, on obtient les matrices suivantes :  Φ1   2.045 0.217 0.003   955.78    M = 1183.63  R = 1.4447 2.175 0.227  Φ = Φ 2   0.263 1.001 0.953   483.18  Φ       3 On peut résoudre ce système d’équation par la méthode classique de l’inversion des matrices : Φ = R −1 M Cette méthode permet l’obtention d’un résultat unique pour Φ mais n’exclut pas des valeurs négatives, donc non physiques. Nous appliquerons ici la méthode « plus robuste » des moindres carrés ou minimisation du χ 2 qui consiste à minimiser le χ 2 des débits de fluence par bande d’énergie, et qui peut présenter un intérêt lorsque le nombre de sphères et d’intervalles en énergie est plus important. Son application peut se révéler particulièrement pertinente quand la fluence varie très peu pour des intervalles en énergie adjacents. Précisons cependant que cette méthode, bien qu’en n’en minimisant le risque, n’exclut pas pour autant des solutions « non physiques ». On peut alors avoir recours à des méthodes encore plus robustes, essentiellement de type itératives telles que celles implémentées dans les codes GRAVEL, SANDII… (Matzke, 2002). Dans notre contexte, le χ 2 peut s’écrire sous la forme suivante :

χ2

N  n  (Φ ) = ∑ σ12  ∑Rk ,iΦ i − m k  k =1 s  i =1 

2

avec = n N= 3 puisqu’il y a autant de sphères que de bandes d’énergie. On peut exploiter la linéarité du modèle pour exprimer χ 2 (Φ ) sous forme matricielle. Il est démontré que χ 2 (Φ ) peut alors s’écrire :

146

T χ 2 (Φ ) = ( M − R Φ ) W ( M − R Φ ) (2)

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

Avec W la matrice des poids qui correspond à l’inverse de la matrice de covariance C des mesures de sphères ms . Cette dernière se calcule comme suit : W = C −1 =

( n 1− 1 R R ) T

−1

Au dénominateur, n représente le nombre de degrés de liberté qui est de 3 pour cet exemple. En différenciant la relation (2) ci-dessus par rapport à chaque Φ (∆Ei ), on obtient : grad χ 2 (Φ ) = 2RTWR Φ − 2RT WM Le minimum Φmin est donc atteint pour grad χ 2 (Φ ) = 0, ce qui conduit à : −1 Φmin = (RT WR ) RT WM

La matrice des poids obtenue après calcul matriciel réalisé sous Excel est la suivante :  2.045 1.447 0.263   2.045 0.217 0.003  1 1 RT R =  0.217 2.175 1.001  1.447 2.175 0.227  3 −1 2    0.003 0.227 0.953   0.263 1.001 0.953   3.174 1.930 0.293  = 1.930 2.891 0.724   0.293 0.724 0.480    Le déterminant étant non nul, cette matrice est inversible. Elle peut être inversée selon la méthode classique faisant intervenir le déterminant C et la transposée de la comatrice com (C ) : 0.566 −0.468 0.360  T com C ( )  W = C −1 = = −0.468 0.943 −1.137  C  0.360 −1.137 3.579    Le calcul final conduit à :  442  −1 Φmin = (RT WR ) RT WM =  236  137    C=

( )

Ainsi le débit de fluence et le débit d’équivalent de dose ambiant se répartissent sur les trois bandes d’énergie comme indiqué dans le tableau 2.VII.3 :  Tableau 2.VII.3  Valeur des débits de fluences calculées par la méthode de minimisation des moindres carrés et débit d’équivalent de dose ambiant, pour chacun des groupes d’énergie. Bande d’énergie

Φ i (cm2.s–1)

 * (10) = h * (10) × Φ × 3600 (mSv/h) H Φ i

E n < 0.5 eV

442

21

0.5 eV < E n < 50 keV

236

18

E n > 50 keV

137

245

Total

815

284

147

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Le débit d’équivalent de dose ambiant total à 50 cm du dispositif est environ de 0.3 mSv/h. On remarquera la forte contribution de la dernière bande d’énergie, bien que présentant une composante de débit de fluence plus faible que les autres.

Commentaires sur les sphères de Bonner Nous noterons qu’en pratique, la méthode des BSS est fiable pour une évaluation de la fluence totale sur l’ensemble d’un spectre neutronique, de thermique à rapide, avec néanmoins une incertitude importante sur la partie thermique en raison de la faiblesse de la réponse des BSS aux faibles énergies (cf. figure 2.VII.4). Cependant, du point de vue de la spectrométrie, les performances de ce dispositif sont nécessairement limitées par le nombre limité de BSS (en général 12 BSS). Un système à multi-type de détecteurs peut être préféré pour la qualité de la résolution en énergie des spectres, en particulier aux énergies rapides, tel que le système ROSPEC composé de plusieurs détecteurs à proton de recul de type SP (voir tableau 2.VII.4). Ces détecteurs fonctionnent en régime proportionnel et permettent de quantifier l’énergie des protons issus de la diffusion élastique des neutrons rapide sur l’hydrogène des gaz de remplissage. Une méthode de déconvolution, qui peut être proche de celle développée dans l’application, est utilisée pour convertir le spectre de protons de recul en spectre de neutrons.  Tableau 2.VII.4   Caractéristiques des compteurs proportionnels à protons de recul (chambre SP) utilisée dans le dispositif ROSPEC pour couvrir un domaine d’énergie compris entre 0.01 eV et 16 MeV (Ben Mosbah, 2007).

En plus des détecteurs à protons de recul, le dispositif ROSPEC comporte un compteur rempli de 3He gazeux dont la paroi externe est couverte d’une couche de 10B, pour couvrir le domaine des neutrons épithermiques (énergie comprise de 1 eV à 50 keV) et d’un compteur rempli de 3He gazeux sensible aux neutrons thermiques (énergie comprise de 0.01 à 1 eV). Pour la spectrométrie des neutrons rapides, les scintillateurs liquides (e.g. BJ308 et BC501A) sont également largement utilisés et peuvent couvrir des énergies supérieures à 4.5 MeV (voir application VI) avec un bon rendement (de l’ordre de 30 %) et une bonne résolution en énergie. Leur sensibilité importante aux gamma, en champ mixte, peut être palliée avec une

148

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

discrimination n/γ de bonne qualité en particulier au moyen de la méthode de discrimination des signaux d’acquisition PSD (Pulse Shape Discrimination).

2.VIII Mesure d’une dose dans un calorimètre à eau

pour un faisceau de protons de 170 MeV dédié à la protonthérapie

Résumé Dans ce problème, on cherche à mesurer la dose déposée pour un faisceau de protons, dédié à la protonthérapie, dont l’énergie maximale est 170 MeV. Une « proton box » de 8 cm × 8 cm × 8 cm, correspondant à la zone du plateau de Bragg dans l’eau, est réalisée par balayage du faisceau dans un calorimètre étanche constitué d’un récipient scellé en verre avec une eau ultra-pure à 4 °C et dans lequel est disposé un thermistor NTC (Negative Temperature Coefficient). Ce dernier est relié à un pont de wheatstone et un amplificateur qui permet de relier la différence de résistance en fonction de la température, à une différence de potentiel amplifiée. Le récipient de verre est situé dans un fantôme d’eau cubique de 30 cm × 30 cm × 30 cm, voir figure 2.VIII.1 (Gagnebin et al., 2010). Dans une première partie, la dose absorbée dans l’eau sera évaluée à partir de la variation de température dans les thermistors ; une question complémentaire consistera à déterminer le débit de fluence à l’entrée du fantôme d’eau pour que le faisceau de protons génère une telle dose. Une deuxième partie consistera à déterminer la charge mesurée par une chambre d’ionisation Exradin T1 positionnée au point de mesure de référence pour le même faisceau de protons. Précisons que, cette procédure suit le protocole IAEA, 2000b. Une dernière partie, indépendante des deux premières, mettra en évidence la différence de temps de maintien de la variation de température, liée à la dose, pour un calorimètre à graphite et un calorimètre à eau et pour un faisceau de 60Co.

Figure 2.VIII.1 À gauche, schéma de principe du dispositif de mesure de la dose absorbée sous 15 cm d’eau dans un calorimètre. À droite, pont de wheatstone pour la mesure de variation de la température.

149

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Objectifs – Calcul de la dose à partir de la variation de température dans un calorimètre à eau – Détermination de la fluence du faisceau de protons selon la dose en profondeur – Étude du protocole d’étalonnage d’une chambre d’ionisation dans l’air pour l’évaluation de la dose due aux protons dans l’eau – Estimation de la durée de la variation de température dans le calorimètre Données Les caractéristiques du thermistor et de l’amplificateur sont : – Résistance à To = 4 °C : Ro = 10 kΩ (Gagnebin, 2010) – Paramètre de la courbe d’étalonnage de la résistance en fonction de la température : β = 3340 K −1 – Le coefficient de variation de la résistance en fonction de la variation de la tension : FC = 0.13 Ω.V −1 – variation de tension mesurée à la sortie de l’amplificateur au terme de l’irradiation du faisceau de protons est ∆U = 7.5 V – le thermistor situé à 16.8 cm de l’entrée du fantôme d’eau (Brede et al., 2006) Les caractéristiques de la chambre d’ionisation Exradin T1 – le facteur d’étalonnage en Gy/C donnant, dans les conditions de référence, le ratio entre la charge lue par la chambre d’ionisation pour un faisceau de 60Co dans l’air et de la dose dans l’eau pour ce même faisceau, en ce même point : N Dw ,Co = 7.67 × 108 Gy.C −1 (Vatnitskya et al., 1999) – valeur de l’énergie moyenne d’ionisation dans l’air pour les électrons issus du 60Co : W Co = 33.97  eV (Vynckier et al., 1991) – valeur de l’énergie moyenne d’ionisation dans l’air pour les protons : W Co = 35.18 W Co = 35.18 eV (Vynckier et al., 1991) – ratio des pouvoirs d’arrêt massique entre l’eau et l’air pour les électrons du 60Co : (S / ρ )w  = 1.134 (Brede et al., 2006) a  Co  Autres données : – le débit de dose absorbée du faisceau de proton de 170 MeV au niveau du pic de Bragg : τ = 10 Gy.min −1 – point de référence de la mesure à la moitié du plateau de bragg (Gagnebin et al., 2010) : Rm = 15 cm – parcours du proton à 10 % du pic de Bragg dans l’eau (Gagnebin et al., 2010) : R10% = 18 cm – parcours maximal du proton le plus énergétique (sans modulateur) dans l’eau (Gagnebin et al., 2010) : Rmax = 19.51 cm – Capacité calorifique de l’eau à 4°C (Gagnebin et al., 2010) : cW = 4206 J kg −1K −1

150

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

La figure 2.VIII.2 donne le « défaut thermique » (heat defect) pour différents ions et différents transferts d’énergie linéique. La ligne pleine est un ajustement avec deux fonctions exponentielles. La ligne en pointillé donne la valeur moyenne de la zone d’incertitude décrite par l’intervalle ombrée. Les barres d’erreur des points sont les incertitudes sur les valeurs moyennes issues des différentes campagnes de mesures (Brede et al. 2006).

 Figure 2.VIII.2  Points de mesures et ajustement du défaut thermique h en fonction du transfert linéique d’énergie pour différentes énergies et types de particules : ions 12C (c), ions 4He (a), deutons (d) et protons (p) (d’après Brede et al. 2006).

Partie 1 : Calcul de la dose au niveau des thermistors Dans un premier temps, il convient de déterminer la variation de température, au niveau du calorimètre, engendrée par l’exposition au faisceau de protons. a) Calcul de la variation de température de l’eau On calcule d’abord la variation de résistance du thermistor correspondant à une variation de tension de 7.5 V ; ces derniers sont liés linéairement par le coefficient FC . ∆R = FC ∆U = 0.13 × 7.5 ~1 Ω Il faut ensuite calculer la variation de température liée à cette variation de résistance. La résistance du thermistor en fonction de la température est donnée par l’expression suivante : 1 1 R (T ) = Ro exp  β  −   (1)  T To   Ainsi à partir de (1) on obtient la température en fonction de la résistance : ln R − ln Ro 1  T (R ) =  +  β To  

−1

151

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Les thermistors de type NTC diminuent leur résistance à mesure que la température est : augmente. La température liée à la diminution de la résistance ∆R = ln (Ro − ∆R ) − ln Ro 1  −1 T (Ro − ∆R ) =  +  β To   −1 ln (9999) − (ln10000) 1  + =   4 + 273.15  3340  = 277.1523 K

Finalement la variation de température obtenue est : ∆T = T (Ro − ∆R ) − T (R ) = 277.1523 − 277.15 = 2.3 mK b) Calcul de la dose au niveau du thermistor dans l’eau hyper-pure Nous préciserons, ici, que les mesures primaires pour les faisceaux de protons fortement énergétiques, en radiothérapie, sont réalisées dans des fantômes d’eau et le calorimètre à eau constitue un dosimètre de choix pour réaliser une telle mesure (protocole de l’IAEA, 2000b). L’expression de la dose dans l’eau en fonction de la variation de température est donnée par : DW , p = cW ∆T k

(1 −1 h )

Où k est un produit de facteurs correctifs tel que la correction sur le transfert de chaleur ; ces facteurs sont proches de l’unité et seront négligés dans cette application. Le terme h correspond au facteur de défaut thermique. Par convention, ce facteur est défini comme : εa h= εa − εh Où ε a représente l’énergie absorbée localement et ε h , l’énergie thermique apparaissant à mesure que la température augmente. Un défaut thermique exothermique correspond à une valeur négative de h et un défaut endothermique à une valeur positive ; le lecteur pourra y voir une analogie, au niveau nucléaire, avec la prise en compte des chaleurs de réactions Q dans les bilans de l’énergie cédée localement, lorsque des réactions nucléaires interviennent au passage des rayonnements. Le défaut thermique dans l’eau est presque entièrement dû aux réactions chimiques des radicaux libres produits dans l’eau et résultant de l’irradiation de l’eau et de ses impuretés. La courbe donnée dans l’énoncé permet d’évaluer ce paramètre. Au point où sont situés les thermistors, ces derniers « voient » passer, lors des balayages successifs, les faisceaux de protons compris entre 150 et 170 MeV. En deçà, les portées sont inférieures à 15 cm dans l’eau. Pour évaluer l’énergie moyenne des protons, on se fonde, en première approximation, sur le résultat de « l’énergie efficace » des protons, calculée dans la suite, selon l’expression (2), à savoir E p = 58.7 MeV . À cette énergie moyenne, le pouvoir d’arrêt linéique vaut environ

152

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

1 keV.mm–1 (calcul PSTAR). Nous considérerons donc ici un défaut thermique de 1 % correspondant à la borne haute de l’intervalle de l’incertitude (zone grisée sur la figure). La dose dans l’eau obtenue est finalement : DW , p = 4206 × 2.3 × 10 −3 ×

(1 − 10.01) = 9.77 j kg

−1

ou 10 Gy

Notons que cette dose est, de fait, la même pour l’intervalle de profondeur : Rmax − 8 cm < z < Rmax . c) Calcul de la fluence de protons de 170 MeV pour obtenir une dose de 10 Gy La profondeur maximale du plateau de Bragg correspond à la portée des protons les plus énergétiques c’est-à-dire celle des protons de 170 MeV. Dans l’application 1.VI, nous avons calculé ce parcours dans l’eau : 19.51 cm. On se propose de calculer le débit de fluence du faisceau de protons à l’entrée du fantôme d’eau pour aboutir à une dose de 10 Gy sous cette profondeur limite. Dans l’application 1.VI, nous avons calculé de façon semi-empirique une dose absorbée par unité de fluence de 3.69 nGy.cm 2 au niveau du pic de Bragg pour des protons de 170 MeV. L’inverse de cette valeur pondérée par la dose mesurée par le calorimètre fournit la fluence totale nécessaire : −1

D (Rmax )  10 Φ =  = 2.71 × 109 (proton) .cm −2  DW , p = 3.69 × 10 −9  Φ0  Le débit de dose absorbée est τ = 10 Gy.min −1, en conséquence le débit de fluence du faisceau de protons pendant le tir serait : 2.71 × 10 Φ = = 4.52 × 107 ( proton) .cm −2 s −1 60 9

On remarquera que ce débit de fluence est a priori le plus faible de l’ensemble des tirs nécessaires à une distribution de dose de 10 Gy dans la zone du plateau de Bragg. En effet, jusqu’à 8 cm en amont du parcours des protons de 170 MeV, l’énergie des protons tirés, dans chacune des profondeurs, diminue au fur et à mesure, donc le pic de Bragg également ; il est donc, par conséquent, nécessaire d’augmenter le débit de fluence de protons pour atteindre 10 Gy dans l’ensemble de la zone du plateau de Bragg.

Partie 2 : Calcul de la charge mesurée par une chambre d’ionisation étalonnée en 60Co dans le faisceau de protons au niveau du plateau de Bragg La relation entre dose absorbée dans l’eau et la dose absorbée déterminée par la chambre d’ionisation est définie par ICRU, 1998b : DW , p = M p N Dw ,Co k p,Co

153

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Où N Dw ,Co est le facteur d’étalonnage en Gy.C −1 donnant, en condition de référence, le ratio de la charge lue par la chambre d’ionisation pour un faisceau de 60Co dans l’air et de la dose dans l’eau pour ce même faisceau, en ce même point. M p est la charge lue lorsque la chambre d’ionisation est située au point de mesure de la partie précédente, dans l’air, avec le faisceau de proton précédent et k est un facteur de conversion de dose entre les protons et les gamma du 60Co et peut être défini selon Vatnitskya et al. (1999) par : p

 S w   W p  k p,Co =       ρ  a Co  W Co  a Le premier terme traduit le ratio des ratios des pouvoirs d’arrêt moyen dans l’eau et l’air pour les protons et les électrons secondaires mis en mouvement par le 60Co et le second, le ratio des énergies moyennes d’ionisation dans l’air pour les protons et les électrons produits par le 60Co. Pour déterminer le premier ratio, il convient, au préalable, d’évaluer l’énergie moyenne des protons au point de mesure de référence qui se situe à la moitié du plateau de Bragg, soit dans le cas étudié sous une profondeur de 15 cm (Gagnebin, 2010). Cette énergie aussi qualifiée d’ « énergie effective » est obtenue au moyen du parcours résiduel. Ce parcours résiduel (ICRU, 1998b) correspond au parcours des protons à 10 % du pic de bragg R10% moins Rm la distance de référence pour la mesure, c’est-à-dire : Rres = R10% − Rm = 18 − 15 = 3 cm L’énergie efficace est donnée pour l’eau et pour des faisceaux de protons d’énergie comprise entre 20 et 400 MeV par la formule suivante (Vynckier et al., 1991) : E p = a (Rres )b + c Rres (2)



= = .676, b 0.57305 et c = 1.0348. On peut obtenir ensuite le ratio des Avec a 30 pouvoirs d’arrêt moyen de l’eau sur celui de l’air, pour les protons à cette énergie effective selon Vynckier et al. (1994) : p

 S w  f E  ρ   = d ( E p ) + g p   a  Avec d = 0.14687 , f = −0.025218 et g = 1.00000619. Le résultat numérique pour ces deux grandeurs est :

E p = 30.676 × (3)0.57305 + 1.03483 = 58.7 MeV (2) p

 S w  −0.025218 + 1.0000061958.7 = 1.1328  ρ   = 0.14687 × (58.7)    a  Finalement le coefficient conversion de dose obtenu est : k p,Co =

154

1.1328 35.18 × = 1.034 1.134 33.97

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

Ainsi une fois corrigée de l’ensemble des facteurs correctifs liés à la chambre (facteur de correction de recombinaison des ions, facteur de correction de la température et de la pression…), la charge lue par la chambre d’ionisation dans le faisceau de protons devrait être : Mp =

DW , p 10 = = 1.26 × 10 −8 C N Dw ,Co k p,Co 7.67 × 108 × 1.034

Partie 3 : Durée de la variation de température entre un calorimètre à eau et un calorimètre au graphite pour un faisceau de 60Co (Ross et Klassen, 1996) Si l’objectif est de mesurer la variation de température avec une incertitude inférieure à 0.5 %, Ross et Klassen (1996) ont proposé de calculer le temps dont on dispose pour réaliser l’irradiation et la mesurer avec un calorimètre en graphite puis en eau. L’effet de la conductivité du transfert de chaleur peut être estimé à partir de l’équation générale du transport de chaleur :

∂T ( z , t ) 1 ∂D ( z , t ) = α ∇ 2T ( z , t ) + (3) ∂t c ∂t

Avec α w = κ / ρ c w où κ est la conductivité thermique, ρ la densité et c la capacité calorifique du milieu calorimétrique. En considérant que la dose est déposée sur un temps très court, le terme de droite peut être considéré comme négligeable. De plus, comme le gradient de température à lieu essentiellement selon la profondeur dans l’eau, donc selon l’axe des z, l’équation (3) se résume à :

∂ 2T ( z , t ) ∂T ( z , t ) ≈α (4) ∂t ∂z 2

Pour une irradiation par un faisceau large de photon, la variation de la dose en fonction de la profondeur revêt la forme suivante :

D = Do exp ( − µ ( z − z o )) (5)

Où Do est la dose maximale au niveau de la paroi d’entrée du calorimètre en z o . Comme nous faisons l’hypothèse que la dose est délivrée sur un temps très court, le gradient de température va suivre l’exponentielle de l’expression de la dose (5). Ainsi l’expression (4) devient : ∂ 2T ( z , t ) ≈ µ 2T (6) ∂z 2 Avec les expressions (4) et (6) on peut estimer comment la distribution de température va se comporter en fonction de la distribution de dose : ∂T ≈ α µ 2T ∂t

⇔

∆t ≈

( )

1 ∆T α µ2 T

155

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Or pour un coefficient d’atténuation linéique m approximativement de 0.5 cm–1 dans l’eau et le graphite, pour le 60Co et un coefficient α respectivement de 0.8 cm2s–1 et 1.41×10–3 cm2s–1 pour le graphite et l’eau, et pour une incertitude de sont : mesure ∆T / T = 0.005, les temps correspondants ∆t = ∆t g ≈

1 × 0.005 = 2.5 s 0.8 × (0.5)2

∆tW ≈

1 1.41 × 10 −3

× (0.5)2

× 0.005 ~ 23 min

Ainsi, pour les débits de dose typiquement utilisés en radiothérapie, un temps de 2.5 s n’est pas suffisant pour opérer une irradiation et une mesure, d’où la nécessité d’isoler thermiquement le mieux possible l’élément absorbant dans le calorimètre graphite. En revanche, ce n’est pas le cas pour l’eau, dont la température dans le milieu reste stable plus longtemps après l’irradiation.

2.IX Étalonnage d’un débitmètre neutron

avec une source de 252Cf

Résumé Dans l’application qui suit, l’enjeu consiste, dans une première partie, à étalonner un débitmètre neutron en mSv.h–1/c.s–1avec une source de 252Cf selon la méthode du cône d’ombre décrite dans la norme ISO 8529-2 (ISO, 2000). L’appareil étalonné est ici un compteur sphérique 3He entouré d’une épaisseur de polyéthylène identique à la sphère de bonner 8’’ étudiée dans l’application 2.VII. Dans une seconde partie, le débitmètre sert à mesurer un spectre typique de poste de travail matérialisé par une solution de PuF4 considérée comme ponctuelle. La pertinence de l’étalonnage 252Cf est ensuite jugée en fonction de l’écart entre la valeur mesurée par la sphère de bonner étalonnée et la valeur vraie du débit d’équivalent dose pour le PuF4. Objectifs – Application de la méthode cône d’ombre de la norme 8529-2 – Calcul de rendement physique et de la réponse en énergie pour une sphère de bonner avec MCNP – Calcul d’un coefficient d’étalonnage pour un compteur proportionnel – Appréciation de la pertinence d’un étalonnage en fonction des caractéristiques du champ de rayonnement au poste de travail Données Pour l’installation contenant le banc d’étalonnage, on considère les dimensions minimales de la salle d’irradiation pour une contribution de la diffusion de 40 %. Selon la norme ISO 8529-2 (annexe B), pour une source de 252Cf, une salle semi-cubique et L W= 2 H = 4.4 m. Les murs une grosse sphère, la salle doit avoir pour dimensions = de l’installation sont modélisés dans MCNP par des épaisseurs importantes de béton

156

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

standard de densité 2.3. Le banc d’étalonnage est situé au centre de la pièce à une hauteur de 1 mètre du sol. Les autres données nécessaires pour cette application sont : – – – – – – –

– – –

Rayon de la sphère de CH2 : rd = 10.16 cm (diamètre de 8’’) Rayon de la sphère 3He : rHe = 1.6 cm Distance source-centre du détecteur : 100 cm Facteur de conversion fluence-équivalent de dose ambiant neutron pour la source de 252Cf nue : hΦ* = 385 pSv.cm 2 (Antoni et Bourgois, 2017) Activité de la source de 252Cf : ACf = 1 GBq Débit d’émission neutronique par Bq : B A = 0.116 (n) .s −1 .Bq −1 (Antoni et Bourgois, 2017) Coefficient de perte électronique essentiellement dû à l’application d’un seuil bas pour la discrimination n/g (pas de temps mort étant donné les faibles taux de comptage) : ke = 0.7 (Allinei, 1992) Facteur d’anisotropie à 90° : F (θ ) = 1 (Ogheard, 2012) Facteur correctif total de diffusion dans l’air pour la fluence et pour le 252Cf : A = 1.4 % (ISO, 2000) Coefficient d’atténuation linéaire dans l’air pour le 252Cf : Σ = 1.055 × 10 −4 cm −1 (ISO, 2000)

Partie 1 : Étalonnage de la sphère de Bonner avec une source de 252Cf Il s’agit de réaliser une mesure avec et sans cône d’ombre afin d’évaluer la diffusion neutronique dans l’air et au niveau des murs de la pièce. Le cône d’ombre recommandée par la norme ISO 8529-2 est composé de deux troncs de cône adjacents. Le facteur d’étalonnage permettant de raccorder le taux de comptage au débit d’équivalent de dose ambiant s’obtient comme suit :

NH =

H * (10) H * (10) F1 (d ) F1 (θ )  hΦ* Φ = = mn mt − ms FA (d )  mt − ms

  (1) 

avec : – mn la mesure nette ; – mt la mesure de l’appareil sans cône d’ombre ; – ms la mesure avec cône d’ombre. Pour notre exemple les deux grandeurs mt et ms sont obtenues avec MCNP en utilisant la technique détaillée dans le problème 2.VII. Pour un étalonnage ces valeurs sont évidemment mesurées ; – Φ est le débit de fluence au centre du détecteur ; – F1 (θ ) est le facteur d’anisotropie qui vaut, ici, 1 en raison de la ponctualité supposée de la source ; – FA (d ) est le facteur d’atténuation de l’émission neutronique dans l’air, exprimé par l’exponentiel du produit de d par Σ la section efficace macroscopique ;

157

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

– F1 (d ) est un facteur de correction géométrique lié aux dimensions propres de la source et du détecteur. Ce facteur est donné, pour un détecteur sphérique, par Allinei (1992) :  2d 2 F1 (d ) = 1 + δ  2  rd

2   r    1 − 1 −  d   − 1  d    

La valeur recommandée pour δ est 0.5 (ISO, 2000). Dans notre cas, comme d / rd > 2, l’expression précédente se résume à :

(

2

r 10.16 F1 (d ) = 1 + δ  d  = 1 + 0.5 × 2 2 × 100 d  

)

2

= 1.0013 ≅ 1

Ce terme sera négligé dans la suite des calculs. L’expression (1) du coefficient d’étalonnage peut donc s’exprimer comme suit :

NH =

hΦ* ACf B A 4 π d 2 (mt − ms )

exp (−Σ d ) (2)

Le calcul MCNP consistera à calculer le nombre de réaction (n,p) sur l’3He par neutron émis par la source, ce qui revient au rendement physique du détecteur ε . Ensuite, en pondérant par l’émission neutronique ACf B A et le coefficient de perte électronique ke , on obtient le résultat final en nombre de coups par seconde pour la source considérée.

∫ ( dE )t ,s σ (n, p) (E ) dE (3)

E



mt ,s = ke ACf B A ε t ,s = ke ACf B A nHe V

dΦ

0

Avec nHe la densité volumique d’atome d’3He, V le volume de gaz de la chambre, (d Φ / dE )t ,s la distribution énergétique moyenne de la fluence neutronique dans le volume gazeux, pour la mesure sans ou avec cône d’ombre, σ (n, p) ( E ) la section efficace de réaction (n,p) à l’énergie des neutrons E. a) Mesure sans cône d’ombre pour la source de 252Cf Pour la détermination du rendement de la sphère de bonner, on calcule initialement, dans MCNP, la fluence de neutron au moyen de l’estimateur statistique dans une cellule i.e. tally F4. Cette grandeur est ensuite pondérée par une carte de fonction de multiplication « fm » qui permet de réaliser directement le calcul du rendement ε t de l’expression (3). Le paramétrage de cette carte, entré dans le fichier MCNP, est « fm4 7.2913e-4 1 103 ». La première entrée traduit le nombre d’atomes d’3He dans le volume V. Cette densité, à 273 K et à la pression considérée, est de 4.249 × 1019 (atom).cm–3. Pour prendre en compte le fait que les sections efficaces sont exprimées en barn dans les bibliothèques appelées, cette densité atomique doit être pondérée par un facteur de conversion de barn à cm2, soit 10–24 cm2. Ce calcul conduit à : 4 nHe V = 4.249 × 10 −5 × × π × (1.6)3 = 7.2913 × 10 −4 (a ) .cm −3 3

158

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

Le paramètre « 1 » renvoie au matériau de définition de l’3He et « 103 » permet la pondération de la fluence par bande d’énergie par la section efficace de réaction (n,p) par bande d’énergie, pour l’ensemble des neutrons ayant pénétré le volume sensible de la sphère. Le spectre du 252Cf est simulé par un spectre de fission spontanée de Watt dont la forme classique est :

( Ea ) sinh

p ( E ) = c exp −

bE

Pour le 252Cf, on a a =1.025 MeV et b = 2.926 MeV–1 (Briesmeister, 2000). Pour une distance source-centre du détecteur de 100 cm, le fichier MCNP est le suivant : simulation neutron dosimetry c cell

10 1 4.2497e-5 -10

$ He3

30 3 -1.3e-3

$ air

20 2 -.95

-20 10

40 4 -2.35

-40 30

50 0 40

-30 20

$ CH2 $ béton

10 Sx 50 1.6

20 Sx 50 10.16

30 RPP -220 220 -220 220 -110 110 40 RPP -270 270 -270 270 -160 160 imp:n 1 1 1 1 0 mode n

sdef par=n pos -50 0 0 erg d1

c Watt spectrum a=1.025 b=2.926 sp1 -3 1.025 2.926 F4:n 10

FM4 7.2913e-4 1 103 m1 2003 1 $ He3

m2 1001 2 6000 1 $ CH2

m3 7014 .781 8016 .212 7015 .007 $ air c béton

M4 14000 -20.68 13027 -.363 8016 -50.853 20000 -21.645 12000 -.198 19000 -.088 & 11023 -.0384 16000 -.139 6000 -4.52 22000 -.0155 15031 -.0208 25055 -.0192 & 1001 -.701 26054 -.0418 26056 -.6588 26057 -.0157 26058 -.0024 24052 -.00057 mt2 poly.20t stop F4 .01

 Fichier 2.IX.1  

Le rendement obtenu par ce calcul MCNP est donné par le tally F4 : ε t = 3.046 × 10 −5 c.n −1. En pondérant par l’émission neutronique et le coefficient de perte électronique, on obtient la mesure totale sans cône d’ombre pour la source de 1 GBq : mt = ke ACf B A ε t = 0.7 × 109 × 0.116 × 3.046 × 10 −5 = 2473 c.s −1

159

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

b) Mesure avec cône d’ombre pour la source de 252Cf Le cône d’ombre tel que modélisé dans MCNP est décrit dans la norme 8529-2 (annexe E). Il est composé de deux troncs de cône, l’un en fer de longueur d 2 = 20 cm, l’autre en CH2 (avec 5 % de bore) de longueur d 2 = 30 cm. La distance entre la source et le premier tronc de cône est d1 = 5 cm (Sang in kim et al. 2015). L’angle du cône d’ombre est choisi de sorte que le cône sous-tende un angle solide supérieur à celui de l’appareil testé mais inférieur à deux fois celui-ci. Dans notre cas, on choisit r4 = 1.5 fois le rayon de la sphère de bonner (r4 = 1.5×10.16 = 15.24 cm). La sphère de bonner est placée à 100 cm de la source. Avec l’application du théorème de Thalès, il vient alors r1 = 0.76 cm ; r2 = 3.81 cm et r3 = 8.38 cm. L’ensemble du dispositif est montré à la figure 2.IX.1.

Figure 2.IX.1 Cône d’ombre proposé par la norme 8529-2, tel que modélisé dans MCNP.

Pour modéliser le tronc de cône dans MCNP, on utilise une surface fermée pré-définie ou macrobody de type « trc » dont la nomenclature se présente sous la forme « trc x y z hx hy hz r1 r2 » avec x, y et z, les coordonnées du début du cône, hx, hy et hz, les coordonnées du vecteur définissant l’axe du cône et enfin r1 et r2 le premier et second rayon du cône. Le fichier MCNP pour le calcul est le suivant : simulation cone d’ombre c cell

10 1 4.2497e-5 -10

$ He3

30 3 -1.3e-3

$ air

20 2 -.95

-20 10

40 4 -2.35

-40 30

50 5 -7.8 60 6 -.95 100 0 40

-30 20 50 60 -50

$ CH2 $ beton

$ cone Fe

-60

$ cone CH2 B

10 Sx 50 1.6

20 Sx 50 10.16

30 RPP -220 220 -220 220 -110 110 40 RPP -270 270 -270 270 -160 160 50 TRC -45 0 0 20 0 0

.762 3.81

60 TRC -24.999999 0 0 30 0 0

160

3.81 8.38

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

imp:n 1 1 1 1 1 1 0 mode n

sdef par=n pos -50 0 0 erg d1

sp1 -3 1.025 2.926 $ spectre Watt pour Cf-252 F4:n 10

FM4 7.2913e-4 1 103

PHYS:N 100 100 0 J J J 1 -1 J J J 0 0 m1 2003 1 $ 6000 1 8016 2o m2 1001 2 6000 1

m3 7014 .781 8016 .212 7015 .007 $ air

M4 14000 -20.68 13027 -.363 8016 -50.853 20000 -21.645 12000 -.198 19000 -.088 & 11023 -.0384 16000 -.139 6000 -4.52 22000 -.0155 15031 -.0208 25055 -.0192 & 1001 -.701 26054 -.0418 26056 -.6588 26057 -.0157 26058 -.0024 24052 -.00057 M5 26000 1

M6 1001 -0.136501 5011 -0.040785 mt2 poly.20t

1002 -0.000031

6000 -0.813468

5010 -0.009215

&

mt6 poly.20t stop F4 .015

 Fichier 2.IX.2  

La géométrie modélisée est donnée à la figure 2.IX.2.

 Figure 2.IX.2  Modélisation de la scène radiologique dans MCNP pour la mesure avec cône d’ombre.

Le rendement obtenu par ce calcul est ε s = 1.232 × 10 −5 (c ) .n −1 . En pondérant par l’émission neutronique et le coefficient de perte électronique, on obtient la mesure totale sans cône d’ombre pour la source de 1 GBq : ms = ke ACf B A ε s = 0.7 × 109 × 0.116 × 1.232 × 10 −5 = 1001 c.s −1 Ainsi la mesure nette du compteur mn , sans diffusion, conduit à : mn = mt − ms = 2473 − 1001 = 1472 c.s −1

161

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

À titre de comparaison, on calcule par ailleurs, la réponse théorique de la sphère de Bonner dans le vide pour la source de 252Cf (voir § précédent sur les sphères de Bonner 2.VII partie 1). On trouve une réponse théorique en fluence : Rth = 2.328 cm 2 . Ensuite on peut calculer la mesure nette, théorique, de la sphère sans le rayonnement diffusé et sans l’atténuation dans l’air :

(mn )th = ke Rth

ACf B A 4π

d2

= 0.7 × 2.328 ×

1.16 ×108 = 1504 c.s −1 (4) 2 4 π (100)

Ainsi (mn )th ≈ mn à 2 % près. Le protocole décrit est donc idéal. c) Calcul du coefficient d’étalonnage en équivalent de dose ambiant Nous calculons désormais l’expression (2). NH =

385 × 1.16 × 108 exp (−1.055 × 10 −4 × 100) = 243 pSv.. (c ) −1 4 π (100 2 ) × 1472

Ou encore : N H = 243 × 3600 = 0.87 µSv.h −1 /c.s −1 Ainsi pour le 252Cf le coefficient de conversion coups détectés – équivalent de dose ambiant est de 0.87 µSv.h −1 /c.s −1. En reprenant la source précédente dans les conditions de mesure sans cône d’ombre, on obtiendrait le débit d’équivalent de dose suivant : H * (10) = mt N H = 2473 × 0.87.10 −3 = 2.16 mSv.h −1

Partie 2 : Mesure de l’équivalent de dose ambiant pour un spectre typique de poste de travail sous rayonnement neutronique Une fois le débitmètre étalonné, nous soumettons dans les mêmes conditions que précédemment (même distance source-détecteur et même environnement de béton) une solution de 100 g de PuF4 de 100 g, considérée comme ponctuelle et responsable d’une émission neutronique de B = 106 n.s −1 dans 4π (Stewart, 1991). Il s’agit de mesurer le débit d’équivalent dose à 1 mètre de cette solution avec la sphère de Bonner telle qu’étalonnée précédemment pour le 252Cf. Une étape suivante consistera à déterminer l’écart observé avec la valeur vraie du débit d’équivalent de dose ambiant pour cette solution de PuF4. Pour obtenir cette valeur vraie, nous calculerons le débit d’équivalent de dose ambiant à 100 cm de la solution, sans sphère, au moyen de MCNP pour la source de PuF4.

162

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

a) Mesure de l’équivalent de dose ambiant pour la solution de PuF4, par la sphère de Bonner étalonnée en 252Cf Le spectre de la solution de PuF4 mesuré au poste de travail et tiré de l’ IAEA, 2001 est donné à la figure 2.IX.3 suivante. 0.30

0.25

p(E)

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00 10

-9

10

-8

-7

10

-6

10

-5

10

-4

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

En (MeV)

 Figure 2.IX.3  Spectre de la solution de PuF4 au poste de travail.

Le fichier MCNP pour le calcul du rendement ε t , sans cône d’ombre, de la solution de PuF4 à 100 cm, est le suivant : simulation BSS avec spectre PuF4 c cell

10 1 4.2497e-5 -10

$ He3

30 3 -1.3e-3

$ air

20 2 -.95

-20 10

40 4 -2.35

-40 30

50 0 40

-30 20

$ CH2 $ concrete

10 Sx 50 1.6

20 Sx 50 10.16

30 RPP -220 220 -220 220 -110 110 40 RPP -270 270 -270 270 -160 160 imp:n 1 1 1 1 0 mode n

sdef par=n pos -50 0 0 c PuF4 spectrum

erg d2

si2 h 1.00E-09 2.15E-09 4.64E-09 1.00E-08 2.15E-08 4.64E-08 1.00E-07 2.15E-07 & 4.64E-07 1.00E-06 2.15E-06 4.64E-06 1.00E-05 2.15E-05 4.64E-05 1.00E-04 &

2.15E-04 4.64E-04 1.00E-03 2.15E-03 4.64E-03 1.00E-02 1.25E-02 1.58E-02 & 1.99E-02 2.51E-02 3.16E-02 3.98E-02 5.01E-02 6.30E-02 7.94E-02 1.00E-01 & 1.25E-01 1.58E-01 1.99E-01 2.51E-01 3.16E-01 3.98E-01 5.01E-01 6.30E-01 & 7.94E-01 1.00E+00 1.25E+00 1.58E+00 1.99E+00 2.51E+00 3.16E+00 3.98E+00 & 5.01E+00 6.30E+00 7.94E+00

163

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

sp2 d 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 3.76E-02 9.49E-02 1.41E-01 4.38E-02 &

2.27E-02 2.25E-02 2.43E-02 1.96E-02 2.25E-02 2.43E-02 1.96E-02 2.25E-02 & 2.43E-02 1.96E-02 2.25E-02 2.41E-02 1.95E-02 2.21E-02 2.27E-02 2.35E-02 & 2.13E-02 1.98E-02 1.89E-02 1.90E-02 2.35E-02 2.35E-02 2.45E-02 3.78E-02 & 4.81E-02 5.71E-02 7.69E-02 8.35E-02 9.21E-02 1.18E-01 1.24E-01 1.32E-01 & 1.79E-01 1.96E-01 2.43E-01 2.80E-01 2.84E-01 5.79E-02 1.64E-02 1.17E-02 & 8.84E-03 5.71E-03 4.62E-04 3.19E-05 F4:n 10

FM4 7.2913e-4 1 103 m1 2003 1 $ He-3

m2 1001 2 6000 1 $ CH2

m3 7014 .781 8016 .212 7015 .007 $ air c m4 concrete

M4 14000 -20.68 13027 -.363 8016 -50.853 20000 -21.645 12000 -.198 19000 -.088 & 11023 -.0384 16000 -.139 6000 -4.52 22000 -.0155 15031 -.0208 25055 -.0192 & 1001 -.701 26054 -.0418 26056 -.6588 26057 -.0157 26058 -.0024 24052 -.00057 mt2 poly.20t stop F4 .01

 Fichier 2.IX.3  

Le spectre montré à la figure 2.IX.3 est échantillonné en énergie et en probabilité d’émission respectivement dans les carte « si2 » et « sp2 » du fichier. Le rendement obtenu par ce calcul MCNP est ε t = 2.308 × 10 −5 (c ) .n −1. En pondérant par l’émission neutronique et le coefficient de perte électronique, on obtient la mesure totale sans cône d’ombre pour la source de 1 GBq : mt = ke B ε t = 0.7 × 106 × 2.308 × 10 −5 = 16 c.s −1 Pour obtenir le résultat lu sur le détecteur, on pondère par N H le coefficient d’étalonnage trouvé dans la partie précédente. H * (10) = mt N H = 16 × 0.87 × 10 −3 = 0.0139 mSv.h −1 = 13.9 µSv.h −1 b) Calcul du débit d’équivalent dose « vrai » pour la solution de PuF4 et comparaison avec le résultat précédent On calcule, désormais, le débit d’équivalent de dose ambiant théorique due à la solution de PuF4 dans les mêmes conditions d’environnement et de distance. Ce calcul est réalisé au moyen d’un estimateur de fluence ponctuelle i.e. tally F5 pondéré par les facteurs de conversions fluence équivalent de dose ambiant de la CIPR au moyen des cartes « de » et « df ». Le résultat obtenu pour ce tally pondéré est un équivalent de dose ambiant par neutron émis par la source : H * (10) / B . Le fichier MCNP est le suivant :

164

Chapitre 2. Principes de détection et réponses des détecteurs

PuF4 calcul d’équivalent de dose ambiant c cell

30 3 -1.3e-3

-30

40 4 -2.35

$ air

50 0 40

-40 30

$ béton

30 RPP -220 220 -220 220 -110 110 40 RPP -270 270 -270 270 -160 160 imp:n 1 1 0 mode n

sdef par=n pos -50 0 0 c PuF4 spectrum

erg d2

si2 h 1.00E-09 2.15E-09 4.64E-09 1.00E-08 2.15E-08 4.64E-08 1.00E-07 2.15E-07 & 4.64E-07 1.00E-06 2.15E-06 4.64E-06 1.00E-05 2.15E-05 4.64E-05 1.00E-04 &

2.15E-04 4.64E-04 1.00E-03 2.15E-03 4.64E-03 1.00E-02 1.25E-02 1.58E-02 & 1.99E-02 2.51E-02 3.16E-02 3.98E-02 5.01E-02 6.30E-02 7.94E-02 1.00E-01 & 1.25E-01 1.58E-01 1.99E-01 2.51E-01 3.16E-01 3.98E-01 5.01E-01 6.30E-01 & 7.94E-01 1.00E+00 1.25E+00 1.58E+00 1.99E+00 2.51E+00 3.16E+00 3.98E+00 & 5.01E+00 6.30E+00 7.94E+00

sp2 d 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 3.76E-02 9.49E-02 1.41E-01 4.38E-02 &

2.27E-02 2.25E-02 2.43E-02 1.96E-02 2.25E-02 2.43E-02 1.96E-02 2.25E-02 & 2.43E-02 1.96E-02 2.25E-02 2.41E-02 1.95E-02 2.21E-02 2.27E-02 2.35E-02 & 2.13E-02 1.98E-02 1.89E-02 1.90E-02 2.35E-02 2.35E-02 2.45E-02 3.78E-02 & 4.81E-02 5.71E-02 7.69E-02 8.35E-02 9.21E-02 1.18E-01 1.24E-01 1.32E-01 & 1.79E-01 1.96E-01 2.43E-01 2.80E-01 2.84E-01 5.79E-02 1.64E-02 1.17E-02 & 8.84E-03 5.71E-03 4.62E-04 3.19E-05 F5:n 50 0 0 .1

C coef CIPR 74 H*(10) neutrons

DE5 1e-9 1e-8 2.53e-8 1e-7 2e-7 5e-7 1e-6 2e-6 5e-6 1e-5 2e-5 5e-5 1e-4 2e-4 & 5e-4 1e-3 2e-3 5e-3 1e-2 2e-2 3e-2 5e-2 7e-2 .1 .15 .2 .3 .5 .7 .9 1 1.2 2 & 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 15 16 18 20 30 50 75 100 125 150 175 201

DF5 6.6 9 10.6 12.9 13.5 13.6 13.3 12.9 12 11.3 10.6 9.9 9.4 8.9 &

8.3 7.9 7.7 8 10.5 16.6 23.7 41.1 60 88 132 170 233 322 375 400 416 425 420 & 412 408 405 400 405 409 420 440 480 520 540 555 570 600 515 400 330 285 260 & 245 250 260

m3 7014 .781 8016 .212 7015 .007 $ air

M4 14000 -20.68 13027 -.363 8016 -50.853 20000 -21.645 12000 -.198 19000 -.088 & 11023 -.0384 16000 -.139 6000 -4.52 22000 -.0155 15031 -.0208 25055 -.0192 & 1001 -.701 26054 -.0418 26056 -.6588 26057 -.0157 26058 -.0024 24052 -.00057 mt2 poly.20t stop F5 .001

 Fichier 2.IX.4  

Le résultat du calcul est H * (10) / B = 2.708 × 10 −3 pSv.n −1. Ainsi la valeur vraie du débit d’équivalent de dose ambiant serait :  H * (10)  −6 −3 6 −1 H * (10) =   B = 3600 × 2.708 × 10 × 10 × 10 = 9.74 µSv.h  B 

165

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Ainsi l’écart observé entre la mesure avec la sphère de Bonner et la valeur vraie de l’équivalent de dose ambiant à cette énergie est d’environ 43 %, or la norme IEC, 1997 prescrit un critère d’acceptabilité de ± 30 % sur l’écart entre la mesure de l’appareil et la valeur vraie de la grandeur opérationnelle. En conséquence l’étalonnage de la sphère de Bonner avec une source de 252Cf ne permettrait pas la mesure, a posteriori, d’un spectre de poste de travail typique de type PuF4. Nota : pour réaliser une mesure avec un spectre, au poste de travail, de type PuF4, il eut été plus commode d’étalonner la sphère de Bonner avec un spectre de 252Cf modéré à l’eau lourde. Le spectre de 252Cf seul, ne présente qu’une très faible fraction d’émission dans les domaines thermiques et épithermiques. Une fois modéré par de l’eau lourde, ces composantes sont représentées dans le spectre d’émission (voir figure 2.IX.4). Cette présence permet un étalonnage plus représentatif des spectres neutroniques typiques aux postes de travail où ces composantes existent presque toujours.

252

Cf Cf + D2O PuF4 in room

1.0

252

P(E)

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 -9 10

-8

10

-7

10

-6

10

-5

10

-4

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

E (MeV)

 Figure 2.IX.4  Spectre de 252Cf, de l’IAEA, 2001).

166

252Cf

modéré à l’eau lourde et PuF4 (selon les données

Chapitre 3 Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations(sources radioactives, générateurs X, accélérateurs…)

3.I

Calcul d’un blindage pour une source neutronique d’Am-Be

Résumé Dans cette application, on cherche l’épaisseur de polyéthylène à interposer pour limiter l’exposition externe à 2 mSv/h pour un observateur situé à un mètre d’une source de 60 GBq d’Am-Be. Cette épaisseur est déterminée selon une approche semi-empirique puis vérifiée numériquement. Objectifs – Calcul semi-empirique et numérique du blindage autour d’une source neutronique – Utilisation de l’indice de transmission pour les neutrons

167

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

– Implémentation d’un spectre de neutrons dans MCNP – Calcul numérique des équivalents de dose pour un champ mixte de particules : neutrons et photons Cette application fait appel au concept d’indice de transmission : outil semi-empirique usité pour les calculs de blindage de sources neutroniques. Ce dernier permet, au moyen d’un nombre d’opérations limitées, de déterminer rapidement l’épaisseur de protection à interposer entre la source et l’observateur. Il tient compte de l’impact radiologique de l’ensemble des rayonnements en présence : neutrons et photons.

Partie 1 : Calcul semi-empirique de la protection À l’instar des photons, le débit d’équivalent de dose ambiant, dû aux neutrons, derrière une protection H * (10)d peut s’exprimer en fonction du débit de fluence Φ , du coefficient de conversion « fluence-équivalent de dose ambiant » et de la transmission T (Σ x , E ). H * (10) = Φ h * (10)T (Σ x , E ) (1) d

Φ

Les calculs doivent tenir compte du rayonnement neutronique primaire mais également du rayonnement secondaire issu des multiples réactions nucléaires ayant lieu dans l’écran biologique, au premier rang desquels celui issu des captures radiatives générant des photons de haute énergie. Pour les neutrons, on utilise communément le concept d’indice de transmission I (Σ x , E ) . Cet indice est le produit du facteur de conversion « fluence-équivalent de dose ambiant » moyen par la transmission (Antoni et Bourgois, 2017). Ce dernier permet d’accéder directement à l’épaisseur de blindage respectant la limite d’exposition externe recherchée, et ce seulement à partir de la fluence des neutrons primaires. Ainsi pour une source isotrope émettant un flux N n de neutrons, l’expression (1) devient :  N  H * (10)d = Φ I (Σ x , E ) =  n 2  I (Σ x , E ) (2)  4π d  Pour une source de Am/Be, l’indice de transmission I (Σ x , E ) en fonction de l’épaisseur de blindage, est donné par la courbe de la figure 3.I.1. L’émission spécifique d’une source d’Am-Be est Yn = 6.6 × 10 −5 (n) .s −1 .Bq −1 (Antoni et Bourgois, 2017). Ainsi, pour une activité de 60 GBq, le flux de neutrons correspondant est : N n = AYn = 60 × 109 × 6.6 × 10 −5 = 4 ⋅ 10 6 (n) .s −1 On exprime ensuite l’indice de transmission en fonction des autres termes de l’expression (2) :  N   4π d 2  H * (10)d =  n 2  I (Σ x , E ) ⇔ I (Σ x , E ) = H * (10) d    4π d   N n  Pour le cas étudié, le calcul conduit à : 2 × 10 −6   4π × 100 2  −11 2 I (Σ x , E ) =  ×  = 1.74 × 10 (17.4 pSv ⋅ cm )  3600   4 × 10 6 

168

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

Conformément à la courbe de la figure 3.I.1, pour respecter un indice de transmission de17.4 pSv ⋅ cm 2 , il est nécessaire d’interposer une épaisseur de 30 cm de polyéthylène. Ce blindage permet d’assurer une limite d’exposition externe de 2 mSv/h à un mètre d’une source de 60 GBq d’Am-Be. 1000

100

I(Σx,E)

10

1

0.1

0.01 0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Thickness (cm)

 Figure 3.I.1  Indice de transmission en fonction de l’épaisseur de polyéthylène pour une source d’Am/Be (d’après les données de Antoni et Bourgois, 2017).

Pour des faibles épaisseurs, des matériaux de numéro atomique, Z, faibles et de faibles densités, la convergence des estimateurs statistiques mis en jeu pour évaluer les grandeurs opérationnelles est relativement rapide. Nous verrons que pour des épaisseurs de protections conséquentes ce n’est plus le cas et qu’il y a lieu, dès lors, d’appliquer des techniques de réduction de variance pour accélérer, voire permettre, cette convergence. Dans la partie qui suit, la scène modélisée consiste à déterminer les débits d’équivalents de dose ambiants dus aux composantes neutroniques et photoniques derrière les 30 cm de polyéthylène.

Partie 2 : Simulation numérique avec MCNP Pour simuler cette scène radiologique, il est nécessaire d’introduire le spectre d’émission neutronique de la source d’Am-Be. Dans le fichier proposé, ce dernier est décrit par un histogramme de valeurs avec la carte « si1 h » (énergies successives des bornes des pas en énergie) associée à la carte « sp1 » (probabilité d’émission pour chacun des pas en énergie). Le spectre est ici tiré de Antoni et Bourgois (2017). L’estimation du débit d’équivalent de dose ambiant se fait selon la même procédure que l’application précédente. Le calcul est réalisé avec l’estimateur statistique de fluence ponctuelle i.e. tally de type 5 qui évalue la fluence moyenne par bande d’énergie dans les intervalles précisés dans le découpage en énergie de la carte « de15 ». Chacun des résultats est ensuite pondéré par le coefficient de conversion « fluence-équivalent de

169

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

dose ambiant » ad hoc et paramétré, par bande d’énergie, dans la carte « df15 ». La sommation sur l’ensemble des bandes d’énergie fournit le résultat final de l’équivalent de dose ambiant par particule émis par la source. Dans le fichier MCNP proposé, le tally 5 estime cette grandeur pour les neutrons : (H n* (10) / N n ) , et le tally F15 celle pour les photons secondaires (H γ* (10) / N n ). On notera l’utilisation d’une carte spécifique à ce type d’étude : « mt2 poly.20t », qui permet de prendre en compte les spécificités moléculaires du polyéthylène vis-à-vis des sections efficaces de réactions d’absorption pour les neutrons thermiques. À titre de comparaison, la figure 3.I.2 donne la courbe de section efficace totale de réactions inélastiques sur le 12C en tant qu’élément chimique simple (« section efficace par défaut ») et celle pour le même corps sous forme de graphite spécifiée au moyen de l’instruction « grph.01t » dans le jeu de données d’entrée (« section efficace grph.01t »).

Figure 3.I.2 Section efficace de réactions inélastiques des neutrons sur le 12C : par défaut et en utilisant la carte de spécificité moléculaire « grph.01t ».

En ne considérant que la section efficace de la courbe « section efficace par défaut », on remarquera le manque de prise en compte des résonances entre 0.01 et 0.1 eV des courbes « section efficace grph.01t ». Ainsi, l’absence de la carte de spécificité moléculaire peut provoquer un déficit d’absorptions aux faibles énergies. Le fichier d’entrée proposé pour la scène modélisée est le suivant :

170

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

Équivalent Dose Ambiant pour de l’AmBe avec 30 cm de CH2 c les cellules

10 1 -1.3e-3 -10 15 $ air cellules de calcul 15 2 -.92

-15

20 0 10

$ CH2

$ extérieur pas de transport

10 SO 300 $ Calcul dans une Sphere R=300cm centrée à l’origine

15 RPP -100 100 -100 100 1 31 $ CH2 slab S=200x200 épaisseur 30 cm imp:n,p 1 1 0 $ neutron, photon transport cellule 10 et 15 uniquement M1 7014 .781 8016 .212 7015 .007 $ air M2 1001 2 6012 1

$ (CH2)n

MT2 poly.20t $ THERMAL NEUTRON SCATTERING Hydrogen in Polyethylene mode p n $ transport des neutrons SDEF pos 0 0 0 par=n erg=d1 c

Spectre AmBe énergies

si1 h 4.140E-07

1.100E-01

3.300E-01

5.400E-01

7.500E-01

9.700E-01

1.180E+00

1.400E+00

1.610E+00

1.820E+00

2.040E+00

2.250E+00

3.750E+00

3.970E+00

4.180E+00

4.390E+00

4.610E+00

4.820E+00

2.470E+00

2.680E+00

5.040E+00

2.900E+00

5.250E+00

6.320E+00

5.470E+00

6.540E+00

7.610E+00

6.750E+00

7.820E+00

8.890E+00 c

et des photons dus aux interations

1.018E+01

9.110E+00

8.030E+00

1.039E+01

9.320E+00 1.060E+01

Spectre AmBe intensités

sp1 d 0.00

1.44E-02

3.34E-02

3.110E+00 5.680E+00 6.960E+00 8.250E+00 9.530E+00 1.082E+01

3.13E-02

3.320E+00 5.890E+00

3.540E+00 6.110E+00

7.180E+00

7.390E+00

8.460E+00

8.680E+00

9.750E+00

9.960E+00

1.100E+01

2.81E-02

2.50E-02

2.14E-02

1.98E-02

1.75E-02

1.92E-02

2.23E-02

2.15E-02

3.07E-02

3.00E-02

2.69E-02

2.86E-02

3.18E-02

3.07E-02

2.25E-02 3.33E-02 1.77E-02 1.88E-02 4.26E-03 4.68E-03

F5:n 0 0 100 .1

2.28E-02 3.04E-02 2.04E-02 1.84E-02 3.67E-03 3.70E-03

2.95E-02 2.74E-02 1.83E-02 1.69E-02 3.81E-03 2.78E-03

3.56E-02 2.33E-02 1.63E-02 1.44E-02 5.06E-03 1.51E-03

3.69E-02 2.06E-02 1.67e-02 9.68E-03 6.25E-03 3.63E-04

3.46E-02 1.82E-02 1.68E-02 6.52E-03 5.52E-03

$ fluence neutron à 100 cm (axe z)

F15:p 0 0 100 .1 $ fluence photon à 100 cm (axe z)

c xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx C coefficient H*(10)/phi psv.cm2 pour les neutrons

DE5 1e-9 1e-8 2.53e-8 1e-7 2e-7 5e-7 1e-6 2e-6 5e-6 1e-5 2e-5 5e-5 1e-4 2e-4 & 5e-4 1e-3 2e-3 5e-3 1e-2 2e-2 3e-2 5e-2 7e-2 .1 .15 .2 .3 .5 .7 .9 1 1.2 2 & 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 15 16 18 20 30 50 75 100 125 150 175 201

DF5 6.6 9 10.6 12.9 13.5 13.6 13.3 12.9 12 11.3 10.6 9.9 9.4 8.9 &

8.3 7.9 7.7 8 10.5 16.6 23.7 41.1 60 88 132 170 233 322 375 400 416 425 420 & 412 408 405 400 405 409 420 440 480 520 540 555 570 600 515 400 330 285 260 & 245 250 260

c xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx C coefficient H*(10)/phi psv.cm2 pour les photons

DE15 0.01 0.015 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.08 0.1 0.15 0.2 0.3 0.4 & 0.5 0.6 0.8 1 1.5 2 3 4 5 6 8 10

DF15 7.2 3.19 1.81 0.9 0.62 0.5 0.47 0.49 0.58 0.85 1.15 1.8 2.38 & 2.93 3.44 4.38 5.2 6.9 8.6 11.1 13.4 15.5 17.6 21.6 25.6 stop F5 .02

 Fichier 3.I.1  

171

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Les résultats des tally 5 et 15 sont repérés sous le label « mean » dans le fichier de sortie :

nps

304000

mean

tally

error

vov

5

slope

1.1594E-04 0.0198 0.0028 10.0

fom

523

mean

tally

error

vov

15

slope

1.6263E-05 0.0063 0.0003 8.9

fom

5092

L’équivalent dose totale, dû aux expositions neutronique et photonique est normalisé pour obtenir un résultat en µSv.h −1 avec une pondération par un facteur 3.6 × 10 −3 pour convertir les pSv/s en mSv/h, et obtenu selon :  H γ* (10)   H n* (10)   H t* (10) = 3.6 × 10 −3  +  N n  N n   N n  Soit : H * (10) = 3.6 × 10 −3 × (1.1594 × 10 −4 + 1.6263 × 10 −5 ) × 4 × 106 = 1.9 µSv.h −1 Ce résultat est conforme à l’objectif initial de dimensionnement de l’installation d’une limite de débit d’équivalent de dose ambiant de 2 mSv.h–1.

3.II Calcul du débit d’équivalent de dose ambiant

pour une source de photons de 60Co derrière un écran de 4 mètres d’eau

Résumé On se propose de calculer le débit d’équivalent de dose ambiant d’une source de photons de 60Co derrière un écran de protection en eau. L’activité de la source est 20 TBq. Entre la source et l’observateur, une épaisseur de 4 mètres d’eau est interposée. La distance entre la source et le point de calcul est de 4.2 mètres. Objectifs – – – –

Calcul analytique d’un blindage pour une source de 60Co Utilisation du facteur d’accumulation pour les photons Calcul numérique d’un blindage de forte épaisseur Utilisation d’une technique de réduction de variance pour les calculs de blindage

Les modèles semi-empiriques de calcul des facteurs d’accumulations sont souvent établis avec des hypothèses conservatives sur les dimensions latérales des épaisseurs traversées. Ces dernières sont, dans la majorité des cas, définies comme

172

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

semi-infinies. Les facteurs obtenus peuvent ainsi contribuer à majorer significativement les grandeurs opérationnelles calculées. L’application suivante met en évidence les écarts observés sur le facteur d’accumulation entre la meilleure approche de la valeur vraie obtenue par simulation Monte-Carlo et une évaluation par méthode semi-empirique.

Partie 1 : Calcul semi-empirique Pour une source isotrope de photons, le débit d’équivalent de dose ambiant derrière la protection s’exprime en fonction de H 0* , le débit d’équivalent de dose ambiant à un mètre de la source non blindée, selon :

(() )

H * µ ρx H * (10) = 20 B ( x , E ) exp − ρ d

Avec d la distance, source/observateur, en mètres ; x l’épaisseur de l’écran, en cm, de masse volumique ρ (en g.cm–3) et d’atténuation massique ( µ /ρ ), en cm2.g–1. Pour une source ponctuelle de 60Co, le débit d’équivalent de dose ambiant H 0* vaut 351 mSv.h–1.GBq–1. Ainsi, pour 20 TBq, il vient : H 0* = 351 × 2 × 10 4 = 7 × 106 µSv.h −1 Le facteur d’accumulation B ( µ x , E ), en dehors d’un calcul Monte-Carlo, ne peut être approximé que par une formule empirique. Il peut être, par exemple, calculé selon la formule de Berger : B ( µ x , E ) = 1 + a µ x exp (b µ x ) Pour l’eau, les paramètres a et b sont donnés à la figure 3.I.3. Les valeurs des coefficients d’atténuation massique ( µ /ρ ) sont accessibles, par exemple sur le site du NIST : https://physics.nist.gov/PhysRefData/XrayMassCoef/tab4.html. Le 60Co émet deux photons de 1.17 et 1.33 MeV avec une intensité de 100 % chacun. Ces deux énergies étant assez proches, il sera considéré dans la suite une énergie unique de 1.25 MeV avec 200 % d’émission. Pour l’eau et pour une énergie de 1.25 MeV, le site du NIST donne une valeur de coefficient d’atténuation massique µ / ρ = 6.323 × 10 −2 cm 2 g −1. Pour une épaisseur de 400 cm d’eau, le nombre de libres parcours moyens est :

µx =

( µρ ) ρ x = 6.323 ×10

−2

× 1 × 400 = 25

Ce nombre correspond au nombre moyen d’interactions que réalise le photon dans l’épaisseur d’eau considérée.

173

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

7.0 6.5

a (échelle de gauche)

0.16

6.0

0.14

5.5

0.12

b (échelle de droite)

5.0

0.10

4.0

0.08

3.5

0.06

3.0

b

a

4.5

0.04

2.5

0.02

2.0 1.5

0.00

1.0

-0.02

0.5

-0.04

0.0 0.01

0.1

1

10

E (MeV)

 Figure 3.I.3  Paramètres a et b de la formule de Berger pour le calcul du facteur d’accumulation dans l’eau, en fonction de l’énergie.

Les valeurs des paramètres de Berger obtenues sur les courbes de la figure 3.I.3 pour 1.25 MeV sont : a = 1.32 et b = 0.028. Le facteur d’accumulation dans la configuration étudiée est : B (25,1.25) = 1 + [1.32 × 25 exp (0.028 × 25)] = 67 On notera que la valeur trouvée est élevée et que l’expression du facteur d’accumulation est fortement dépendante de l’épaisseur de l’écran interposé : plus cette dernière augmente, plus le nombre de libres parcours moyens augmente et plus le facteur d’accumulation augmente. L’équivalent de dose ambiant pour un observateur situé à 4.2 mètres de la source blindée est : 7 × 10 H * (10) = × 67 × exp (−25) = 3.7 × 10 −4 µSv.h −1 (0.37 nSv.h −1 ) 4.2 2 6

Si la résolution semi-empirique proposée est d’un emploi aisé, il est cependant important de garder à l’esprit que le facteur d’accumulation est déterminé moyennant des hypothèses conservatives telles que des écrans de hauteurs infinies. Cette démarche peut donc entraîner des écarts significatifs avec la valeur vraie ; ces écarts peuvent être d’autant plus marqués lorsque la protection est constituée d’écrans de matériaux et densités différentes. Une meilleure évaluation de facteur d’accumulation et donc de l’équivalent de dose ambiant peut être réalisée avec un calcul Monte-Carlo. Cependant, en raison de l’épaisseur d’eau importante mise en jeu, un calcul de ce type peut s’avérer fastidieux en termes de temps de calcul, voire conduire à une absence de convergence de l’estimateur statistique. L’application de techniques de réduction de variance facilitant la convergence et donc le temps de calcul va s’avérer nécessaire.

174

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

Partie 2 : Calcul numérique avec MCNP La scène radiologique est modélisée dans le premier fichier MCNP proposé ci-après. La source est localisée en (0, 0, 0) et l’observateur en (0, 0, 420). Un parallélépipède de 1 000 × 1 000 cm2 de surface et de 4 mètres d’épaisseur est modélisé perpendiculairement à la distance séparant la source de l’observateur. L’estimateur statistique utilisé est de type F5. Comme pour l’application précédente, le calcul de l’équivalent de dose ambiant procède du produit de la fluence par bandes d’énergie par les coefficients de conversions « fluence-équivalent de dose ambiant ». Calcul source de Co-60 avec blindage eau c the cells 10 15

1

-1.3e-3 -10

2

140 1

-1

$ cellule air

-1.3e-3 -200

-15

200 0 10 15 10 RPP 15 RPP

$ cellule eau

$ air

200

$ extérieur

-1000 1000 -1000 1000 -100 10 $ air -1000 1000 -1000 1000

200 RPP -1000 1000 -1000 1000

10 410 $ eau S=1000x1000 ep=400 cm 410 500 $ air

imp:p 1 1 1 0

M1 7014 .781 8016 .212 7015 .007 $ air M2 1000 2 8000 1

$ eau

mode p

SDEF pos 0 0 0 par=p erg=d1

SI1 L 1.17 1.33 $ 2 raies discrete (MeV) du Co-60 SP1 1 1 $ intensité du Co60

F15:p 0 0 420 .1 $ fluence photon à 420 cm (axe z) C coefficient H*(10)/phi pSv.cm2 pour les photons

DE15 0.01 0.015 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.08 0.1 0.15 0.2 0.3 0.4 & 0.5 0.6 0.8 1 1.5 2 3 4 5 6 8 10

DF15 7.2 3.19 1.81 0.9 0.62 0.5 0.47 0.49 0.58 0.85 1.15 1.8 2.38 & 2.93 3.44 4.38 5.2 6.9 8.6 11.1 13.4 15.5 17.6 21.6 25.6 nps 6E9

 Fichier 3.II.1  

Les résultats du fichier de sortie sont les suivants :

nps

5784574089

mean

tally

error

15

vov

8.0698E-16 0.4047 0.5542

slope

fom

1.7 6.8E-04

On remarque que pour environ 5.8 × 109 particules tirées et pour un temps de calcul numérique important d’environ 150 heures, l’erreur statistique accompagnant le résultat moyen de calcul est d’environ 40 %. La validité du résultat n’est donc pas

175

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

avérée : on considère que 5 % d’erreur est un critère d’acceptabilité raisonnable pour un tally de type 5. Cette observation est corroborée par le comportement erratique de la valeur moyenne, de l’erreur et de la variance de la variance (VOV) au cours du temps de calcul et donc en fonction du nombre d’histoires (nombre de particules tirées aléatoirement par la source) (voir figure 3.I.4).

 Figure 3.I.4  Évolution de la moyenne, de l’erreur sur la moyenne et de la variance de la variance en fonction du nombre d’histoires pour le premier fichier MCNP.

À ce stade, pour obtenir un résultat statistiquement fiable, il est nécessaire de mettre en œuvre une technique de réduction de variance. Pour les calculs avec de fortes épaisseurs de blindage, la technique de maillage spatial des poids statistiques i.e. « weight windows generator » est particulièrement indiquée. Pour pouvoir l’appliquer,

176

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

il faut dans un premier temps quadriller l’épaisseur de la protection d’eau en cellules de faibles dimensions. Dans notre cas, on procède à un découpage de la profondeur d’eau de 4 mètres en 25 tranches de 16 cm chacune. Ensuite on introduit dans le bloc 3 du fichier d’entrée le « weight-window generator » au moyen de la carte « WWG ». Ce dernier se paramètre de la façon suivante : – la première entrée est le numéro du tally à faire converger ; dans notre cas, le tally 15, donc « 15 » ; – la seconde entrée est le numéro de cellule où est localisée la source de photon ; dans notre modèle, celle-ci est localisée dans la cellule 10, donc le paramètre est « 10 » ; – les deux premières entrées doivent être suivies de la séquence « 0 j j j j j 0 ». De cette façon, un diagnostic va être réalisé lors de l’exécution du fichier, qui va permettre d’affecter un poids statistique optimal à chaque cellule pour que la tally 15 converge au mieux lorsque des particules sont tirées par la source située dans la cellule 10. Le fichier d’entrée à exécuter pour ce diagnostic est le suivant : Blindage pour une source de

Co-60

c definition des cellules bloc1 10

1

-1.3e-3

-10

$

cellule d’air

15 2 -1 -15 $ eau

20 2 -1 -20 $ eau

25 2 -1 -25 $ eau

30 2 -1 -30 $ eau

35 2 -1 -35 $ eau

40 2 -1 -40 $ eau

45 2 -1 -45 $ eau

50 2 -1 -50 $ eau

55 2 -1 -55 $ eau

60 2 -1 -60 $ eau

65 2 -1 -65 $ eau

70 2 -1 -70 $ eau

75 2 -1 -75 $ eau

80 2 -1 -80 $ eau

85 2 -1 -85 $ eau

90 2 -1 -90 $ eau

95 2 -1 -95 $ eau

100 2 -1 -100 $ eau

105 2 -1 -105 $ eau

110 2 -1 -110 $ eau

115 2 -1 -115 $ eau

120 2 -1 -120 $ eau

125 2 -1 -125 $ eau

130 2 -1 -130 $ eau

135 2 -1 -135 $ eau

140

1

-1.3e-3

-200

$

cellule d’air pour le calcul

200 0 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 & 110 115 120 125 130 135 200 $ outside

177

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

C geometrie bloc2 10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

RPP -1000 1000 -1000 1000 -100 10

RPP

-1000 1000 -1000 1000 10

26

RPP

-1000 1000 -1000 1000 42

58

RPP

RPP

RPP

RPP

RPP

RPP

RPP

RPP

RPP

RPP

RPP

RPP

RPP

RPP

RPP

-1000 1000 -1000 1000 26

-1000 1000 -1000 1000 58

-1000 1000 -1000 1000 74

42

74

90

-1000 1000 -1000 1000 90

106

-1000 1000 -1000 1000 122

138

-1000 1000 -1000 1000 106

-1000 1000 -1000 1000 138

-1000 1000 -1000 1000 154

122

154

170

-1000 1000 -1000 1000 170

186

-1000 1000 -1000 1000 202

218

-1000 1000 -1000 1000 186

-1000 1000 -1000 1000 218

-1000 1000 -1000 1000 234

-1000 1000 -1000 1000 250

-1000 1000 -1000 1000 266

202

234

250

266 282

100 RPP -1000 1000 -1000 1000 282 298

105 RPP -1000 1000 -1000 1000 298 314

110 RPP -1000 1000 -1000 1000 314 330

115 RPP -1000 1000 -1000 1000 330 346

120 RPP -1000 1000 -1000 1000 346 362

125 RPP -1000 1000 -1000 1000 362 378

130 RPP -1000 1000 -1000 1000 378 394

135 RPP -1000 1000 -1000 1000 394 410

200 RPP -1000 1000 -1000 1000 410 500 $ C Bloc 3

imp:p 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

c weight windows genertor

c WWG (numéro de tally) (cellule où se trouve la source) 0 j j j j j 0 WWG 15 10 0 j j j j 0

M1 7014 .781 8016 .212 7015 .007 $ air M2 1000 2 8000 1 mode p

SDEF pos 0 0 0 par=p erg=d1

SI1 L 1.17 1.33 $ the 2 discrete energies (MeV) of Co-60 SP1 1 1 $ frequency of each energy

F15:p 0 0 420 .1 $ photon fluence calculation at 300 cm (in z axis)

c xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx C coef CIPR 74 H*(10)/phi psv.cm2 photons

DE15 0.01 0.015 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.08 0.1 0.15 0.2 0.3 0.4 & 0.5 0.6 0.8 1 1.5 2 3 4 5 6 8 10 DF15 7.2 3.19 1.81 0.9

0.62 0.5 0.47 0.49 0.58

2.93 3.44 4.38 5.2 6.9 8.6 11.1 13.4 15.5 17.6 21.6 25.6 Ctme 5

 Fichier 3.II.2  

178

0.85 1.15 1.8 2.38 &

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

Au terme des 5 minutes d’exécution définies par la ligne de commande « ctme 5 » en fin de fichier, un fichier de sortie spécifique nommé « wwout » est créé. Ce fichier pour notre cas est : wwe:p

wwn1:p

1.0000E+02

5.0000E-01

3.3108E-01

1.7703E-01

9.0161E-02

4.0648E-02

1.9262E-04

7.3564E-05

3.1546E-05

1.8956E-05

7.3541E-04

1.7258E-02 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

7.2003E-03 0.0000E+00

2.9740E-03

0.0000E+00

0.0000E+00 0.0000E+00

0.0000E+00 -1.0000E+00

1.2316E-03 0.0000E+00 0.0000E+00

5.0556E-04 0.0000E+00 0.0000E+00

Ces sept lignes sont à inclure dans le bloc 3 du fichier d’entrée d’origine comme montré ci-dessous (les blocs 1 et 2 du fichier d’origine restent inchangés). Bloc 1 Bloc 2 C Bloc 3

imp:p 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

c weight windows genertor

c WWG (number of tally) (cell of source) 0 j j j j j 0 WWG 15 10 0 j j j j 0

M1 7014 .781 8016 .212 7015 .007 $ air M2 1000 2 8000 1 mode p

SDEF pos 0 0 0 par=p erg=d1

SI1 L 1.17 1.33 $ the 2 discrete energies (MeV) of Co-60 SP1 1 1 $ frequency of each energy

F15:p 0 0 420 .1 $ photon fluence calculation at 300 cm (in z axis)

c xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx C coef CIPR 74 H*(10)/phi psv.cm2 photons

DE15 0.01 0.015 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.08 0.1 0.15 0.2 0.3 0.4 & 0.5 0.6 0.8 1 1.5 2 3 4 5 6 8 10 DF15 7.2 3.19 1.81 0.9

0.62 0.5 0.47 0.49 0.58

2.93 3.44 4.38 5.2 6.9 8.6 11.1 13.4 15.5 17.6 21.6 25.6 Ctme 5 wwe:p

wwn1:p

1.0000E+02

0.85 1.15 1.8 2.38 &

5.0000E-01

3.3108E-01

1.7703E-01

9.0161E-02

4.0648E-02

1.9262E-04

7.3564E-05

3.1546E-05

1.8956E-05

7.3541E-04

1.7258E-02 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

7.2003E-03 0.0000E+00 0.0000E+00

2.9740E-03 0.0000E+00 0.0000E+00

0.0000E+00 -1.0000E+00

1.2316E-03 0.0000E+00 0.0000E+00

5.0556E-04 0.0000E+00 0.0000E+00

 Fichier 3.II.3  

179

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Ce nouveau fichier est également exécuté pendant 5 minutes. On crée alors un nouveau fichier « wwout ». Les 7 dernières lignes du fichier précédent sont remplacées par ces nouvelles lignes créées dans le fichier « wwout ». Cette opération est réitérée jusqu’à ce que le nombre de particules transportées soit sensiblement le même dans chacune des 25 cellules constituant le blindage. Ce nombre est accessible dans la colonne « population » du fichier de sortie. 1photon

activity in each cell tracks cell

print table 126

population

collisions

entering

collisions * weight (per history)

number

flux

average

average

weighted

weighted

track weight

track mfp

energy

energy

(relative)

(cm)

1

10

15664585

12828734

309514

2.3893E-02

1.0455E+00

1.0455E+00

9.8331E-01

1.2106E+04

2

15

9440273

8009246

36258866

2.3912E+00

6.3712E-01

6.3712E-01

8.8250E-01

1.0669E+01

3

20

7678375

8091835

43042315

1.4762E+00

3.4876E-01

3.4876E-01

4.4277E-01

8.0330E+00

4

25

7176244

7817824

40966837

7.1415E-01

2.8134E-01

2.8134E-01

2.2310E-01

7.3675E+00

5

30

7143668

7624563

39258231

3.0812E-01

2.5295E-01

2.5295E-01

1.0178E-01

7.0829E+00

6

35

6243276

8245446

42707915

1.2589E-01

2.3840E-01

2.3840E-01

3.7506E-02

6.9376E+00

7

40

6859949

7401009

37897908

5.0058E-02

2.2981E-01

2.2981E-01

1.7058E-02

6.8531E+00

8

45

5790207

7707099

39845374

1.9626E-02

2.2404E-01

2.2404E-01

6.2592E-03

6.7964E+00

9

50

6238483

6752209

34514326

7.6046E-03

2.2016E-01

2.2016E-01

2.8426E-03

6.7591E+00

10

55

6174179

7752163

39626587

2.9255E-03

2.1722E-01

2.1722E-01

9.5143E-04

6.7308E+00

11

60

5912529

7914175

40865577

1.1218E-03

2.1519E-01

2.1519E-01

3.4850E-04

6.7120E+00

12

65

6297782

6846595

34956739

4.2879E-04

2.1346E-01

2.1346E-01

1.5812E-04

6.6954E+00

13

70

6178368

7773304

39719633

1.6323E-04

2.1215E-01

2.1215E-01

5.2916E-05

6.6831E+00

14

75

5880815

7878789

40682993

6.2110E-05

2.1099E-01

2.1099E-01

1.9374E-05

6.6715E+00

15

80

6225358

6768965

34551676

2.3571E-05

2.1012E-01

2.1012E-01

8.7893E-06

6.6635E+00

16

85

6073231

7644057

39089533

8.9320E-06

2.0936E-01

2.0936E-01

2.9417E-06

6.6565E+00

17

90

5751168

7713121

39814237

3.3783E-06

2.0869E-01

2.0869E-01

1.0767E-06

6.6498E+00

18

95

6063605

6598451

33666180

1.2766E-06

2.0831E-01

2.0831E-01

4.8849E-07

6.6463E+00

19

100

5899534

7441192

38016384

4.8298E-07

2.0778E-01

2.0778E-01

1.6352E-07

6.6411E+00

20

105

5587347

7500548

38698854

1.8234E-07

2.0744E-01

2.0744E-01

5.9783E-08

6.6379E+00

21

110

5856884

6372913

32565580

6.8808E-08

2.0722E-01

2.0722E-01

2.7206E-08

6.6362E+00

22

115

4782845

6413695

33092528

2.5955E-08

2.0693E-01

2.0693E-01

9.9530E-09

6.6331E+00

23

120

5012627

5448105

27844449

9.7948E-09

2.0691E-01

2.0691E-01

4.5290E-09

6.6337E+00

24

125

4078806

5471903

28266611

3.6933E-09

2.0683E-01

2.0683E-01

1.6585E-09

6.6332E+00

25

130

4193971

4590344

23452310

1.3807E-09

2.0759E-01

2.0759E-01

7.5771E-10

6.6436E+00

26

135

2048782

4038669

18441055

4.5352E-10

2.2245E-01

2.2245E-01

3.0665E-10

6.8260E+00

27

140

299818

299789

7153

9.0151E-13

3.0921E-01

3.0921E-01

1.5690E-09

6.7062E+03

164552709

188944743

total

898159365

5.1214E+00

Dans le dernier fichier d’entrée optimisé, le critère de convergence est fixé à 2 % par la ligne de commande « stop 15 .02 » qui permet de stopper l’exécution lorsque ce critère est respecté sur le tally 15.

180

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

bloc 1 bloc 2 imp:p 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

WWG 15 10 0 j j j j 0

0

M1 7014 .781 8016 .212 7015 .007 $ air M2 1000 2 8000 1 mode p

SDEF pos 0 0 0 par=p erg=d1

SI1 L 1.17 1.33 $ the 2 discrete energies (MeV) of Co-60 SP1 1 1 $ frequency of each energy

F15:p 0 0 420 .1 $ photon fluence calculation at 300 cm (in z axis)

c xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx C coef CIPR 74 H*(10)/phi psv.cm2 photons

DE15 0.01 0.015 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.08 0.1 0.15 0.2 0.3 0.4 & 0.5 0.6 0.8 1 1.5 2 3 4 5 6 8 10 DF15 7.2 3.19 1.81 0.9

0.62 0.5 0.47 0.49 0.58

2.93 3.44 4.38 5.2 6.9 8.6 11.1 13.4 15.5 17.6 21.6 25.6 wwe:p

wwn1:p

1.0000E+02

0.85 1.15 1.8 2.38 &

5.0000E-01

2.5477E-01

1.3333E-01

6.6512E-02

2.8988E-02

1.0930E-04

4.2132E-05

1.6189E-05

6.1778E-06

2.3445E-06

1.1923E-02 8.9854E-07 7.4257E-09 9.0428E-11

stop 15 .02

4.7831E-03 3.4418E-07 2.8823E-09

1.8847E-03 1.3083E-07

7.3893E-04

1.1359E-09

4.9977E-08

4.8461E-09 -1.0000E+00

4.5731E-10

2.8308E-04 1.9287E-08 1.9332E-10

 Fichier 3.II.4  

Le résultat final obtenu est le suivant :

nps

12472359

mean

tally error

vov

2.2381E-15 0.0201 0.0191

15

slope

fom

5.0 7.5E+00

On obtient finalement un équivalent de dose ambiant par photon émis par la source : H * (10) / N = 2.2381 × 10 −15 pSv ⋅ γ −1. Ainsi, pour 20 TBq de 60Co, l’équivalent de dose ambiant obtenu avec une normalisation permettant d’obtenir un résultat en nSv.h −1 est : H*  −15 12 H * (10) = 3600 × 10 −12 × 109 × A Γ   = 3.6 × 20 × 10 ×2 × 2.24 × 10 N  = 0.32 nSv.h −1 Le résultat de l’approche semi-empirique majore de 15 % la valeur plus fiable de la simulation numérique. Cette majoration est, pour une grande partie, imputable

181

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

aux limites de la méthode de calcul du facteur d’accumulation qui se fonde sur l’hypothèse d’une protection semi-infinie. Cette hypothèse de calcul a pour effet un surcroît de diffusion Compton et en conséquence une surestimation du résultat Monte-Carlo qui peut être considéré comme valeur de référence dans ce cas.

3.III Calcul de la protection biologique

autour d’un générateur X

Résumé Dans cette application, on se propose de dimensionner l’installation d’un générateur X en calculant la protection biologique à interposer entre le dispositif irradiant et l’observateur, pour respecter la limite d’exposition externe de 0.5 mSv.h–1. Dans une première partie, le calcul est réalisé avec une approche semi-empirique ; la seconde partie s’attache à comparer ces résultats avec ceux calculés numériquement. Objectifs – Calcul analytique de la protection biologique autour d’un générateur X – Utilisation du facteur de transmission pour un spectre X – Calcul numérique « multi-étapes » pour le dimensionnement des protections autour d’un générateur X – Calcul numérique d’un spectre de rayonnements X en tant que terme source primaire – Utilisation d’une technique de réduction de variance appliquée aux calculs de blindage Données Le générateur X fonctionne avec une haute tension de 100 kV et une intensité i = 50 µA . L’anode du générateur est en tungstène et fait un angle de 45° avec la direction d’incidence des électrons accélérés. Un filtre de 0.5 mm d’aluminium est utilisé : il permet de s’abstraire de la composante de faible énergie du spectre X. En sortie de filtre, le faisceau de rayonnements X irradie sur une surface 400 cm2 à 1 mètre. L’objectif de radioprotection à garantir est une limite d’équivalent de dose ambiant de 0.5 mSv/h à 2 mètres de la cible et derrière la protection biologique.

Partie 1 : Calculs analytiques Pour le calcul du débit d’équivalent de dose ambiant derrière la protection, on utilise la formule faisant intervenir le facteur de transmission Tm ( x , E ) pour un matériau m :  H * (10)  H * (10) =  0 2 Tm ( x , E )  d 

182

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

Dans cette expression, la valeur de H * (10) est fixée à la limite de l’exposition externe recherchée, soit 0.5 mSv/h. Le terme H 0* est le débit d’équivalent de dose ambiant à 1 mètre de la source sans protection, d est la distance source-observateur en mètre. Le calcul du facteur de transmission va permettre de déterminer l’épaisseur x de la protection. H * (10) d 2 Tm ( x , E ) = (1) H * 0

Pour le dimensionnement d’un générateur X de cette énergie, le terme source à considérer est le spectre X de rayonnement de freinage issu de l’interaction des électrons primaires sur la cible de tungstène (voir figure 3.III.1). En effet, à cette énergie, on peut postuler l’absence de neutrons secondaires issus des réactions photonucléaires dont le seuil se situe aux alentours de 5 MeV. Pour une haute tension de 100 kV, l’énergie des électrons accélérés impactant la cible est de 100 keV. Le spectre de freinage résultant s’étend de 0 à cette énergie. photons filter

housing

Berylium window

cathode electron beam

cooling water

Anode (target)

Vacuum

+

 Figure 3.III.1  Schéma de principe d’un générateur X.

Pour calculer la grandeur initiale H 0* (10), il existe des abaques fondés, pour la plupart, sur des calculs Monte-Carlo. À titre d’exemple, Antoni et Bourgois (2017) proposent les valeurs de H 0* pour des énergies d’électrons comprises entre 50 et 900 kV et pour différents types de filtrations. Le nombre de photons produits est directement corrélé au nombre d’électrons incidents et ce dernier est proportionnel à l’intensité de fonctionnement du générateur : le débit d’équivalent de dose ambiant dû aux rayonnements X est donc proportionnel au courant d’électrons du point de fonctionnement. Dans la référence précitée, pour 100 kV et une filtration de 0.5 mm d’aluminium, le débit d’équivalent de dose ambiant, à 1 mètre, en fonction de l’intensité est H * (10) / i = 19.4 mSv.h −1 .mA −1. Ainsi, pour une intensité de 50 mA et à un mètre, il vient : H 0* (10) = 0.05 × 19.4 × 60 = 58.2 mSv.h −1

183

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

En complément, ces abaques fournissent également le débit de kerma dans l’air en fonction de l’intensité des électrons primaires. Notons que cette grandeur dosimétrique est largement usitée par les professionnels de la radiologie pour caractériser les faisceaux de générateurs X. Dans la même référence et pour les mêmes caractéristiques de générateur X, le débit de kerma dans l’air, à 1 mètre, est en fonction de l’intensité : K a (1) / i = 26 mGy.h −1 .mA −1 . Ainsi, pour une intensité de 50 mA et à un mètre, il vient : K a (1) = 0.05 × 26 × 60 = 78 mGy.h −1 Pour le calcul du facteur de transmission, il est possible d’utiliser une équation paramétrique développée par Archer et al. (1983). Pour une énergie et un matériau donnés, cette expression est une fonction de l’épaisseur x traversée et de 3 paramètres d’ajustements : α , β et γ .

( )

()

1

β β  −γ Tm ( x , E ) =  1 + exp (αγ x ) − α α  

On déduit, de l’expression paramétrée, l’épaisseur de protection à interposer :



()

T ( x , E ) −γ + β   m α  1 x= ln   (2) β αγ 1+   α  

()

Il existe un certain nombre de publications donnant les valeurs des paramètres α , β et γ  ; on peut citer la NCRP (2004) qui propose des facteurs de transmission pour des générateurs médicaux de hautes tensions comprises entre 25 kV à 150 kV dans des matériaux tels que le plomb, le béton, l’acier, le plâtre et le bois. Plus récemment Bourgois et Ménard (2018) ont calculé ces facteurs pour des hautes tensions comprises entre 120 et 800 kV pour le plomb et entre 200 et 800 kV pour le béton. Pour une haute tension de 100 kV et un écran de plomb, les paramètres sont : α = 2.5 mm–1, β = 15.28 mm–1 et γ = 0.7557 (NCRP, 2004 ou Antoni et Bourgois, 2017). Le facteur de transmission recherché pour garantir la limite fixée est donné par l’équation (1) avec H 0* (10) = 58.2 mSv.h −1. T pb ( x ,100) =

0.5 × 10 −6 × 2 2 = 3.5 × 10 −5 58.2 × 10 −3

L’épaisseur correspondante obtenue avec l’expression (2) est :

(

 (3.5 × 10 −5 ) −0.7557 + 15.28  1 2.5 ln x= 15.28 2.5 × 0.7557  1+  2.5 

(

)

) = 3 mm   

Il est donc nécessaire d’interposer un écran de 3 mm de plomb pour se limiter à un débit d’équivalent de dose ambiant de 0.5 mSv/h à 2 mètres du générateur considéré.

184

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

Partie 2 : Simulation numérique Dans ce type de problème, le suivi simultané des électrons primaires et des rayonnements X produits peut s’avérer extrêmement coûteux en temps de calcul, en particulier lorsque des protections biologiques avec des matériaux de Z élevés et d’épaisseurs importantes sont mises en jeu. La solution proposée, ici, consiste à séparer le calcul en deux étapes. Dans une première étape, le spectre X de rayonnement de freinage est déterminé sans écran. Les débits de kerma dans l’air et d’équivalents de doses ambiants à 1 mètre de l’anode dans l’air et sans écran sont également calculés. Dans une seconde étape, l’écran est interposé et l’équivalent de dose ambiant derrière ce dernier est évalué ; le terme source implémenté dans le fichier est alors le spectre de rayonnements de freinage calculé dans l’étape précédente et les électrons ne sont plus transportés. a) Étape 1 : détermination du spectre de rayonnement de freinage, du débit de kerma dans l’air et du débit d’équivalent de dose ambiant à 1 mètre, sans protection La géométrie du modèle MCNP pour la première étape est représentée à la figure 3.III.2. La gaine modélisée est considérée comme totalement opaque aux photons secondaires, ce qui se traduit par une absence de transport de ces derniers dans cet élément de structure. La gaine est modélisée par la cellule 10 dans le fichier d’entrée avec une importance nulle pour les photons et les électrons. Les dimensions latérales du filtre en aluminium sont définies de façon arbitraire puisque seule la composante du spectre à 45° de la cible est mesurée. Le faisceau d’électrons est parallèle avec une section de 0.3 cm de rayon dans la direction de l’axe des z (voir figure 3.III.2).

Figure 3.III.2 Modèle MCNP pour l’étape 1 sans protection biologique.

La cible, définie par la cellule 1 dans le fichier, est un cylindre de tungstène. Elle est modélisée par une surface fermée, prédéfinie, de type cylindrique i.e. « macrobody » de type rcc. Le paramétrage de cette surface est : « rcc x0 y0 z0 0 a.sin(q) a.cos(q) R »

185

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

dans lequel R est le rayon, ( x 0 , y0 , z o ) est le centre de la base du cylindre, θ est l’angle du cylindre par rapport à la direction z et a la hauteur du cylindre, donc l’épaisseur de cible (voir figure 3.III.2). Le spectre en fluence du rayonnement X est calculé avec l’estimateur statistique de fluence ponctuelle i.e. tally F5 pour un découpage énergétique de 100 intervalles entre 0 et 100 keV. Cette fonctionnalité est obtenue avec la ligne de commande « E5 0 100i .1 » associée au tally 5. Le point de calcul est situé à 1 mètre de la cible, sur l’axe des y (voir figure 3.III.2). Le débit d’équivalent de dose ambiant dans chaque intervalle est calculé, comme dans l’application 1.II, par pondération du spectre en fluence par les coefficients de conversion « fluence-équivalent de dose ambiant » de l’ICRP, 1996 (tally 15). L’évaluation du kerma dans l’air procède d’un même calcul avec les coefficients de conversion « fluence-kerma dans l’air » de l’ICRP, 1996 (tally 25). ***** Générateur X

*********

c ***** partie 1 calcul du spectre *** 1 11 -19.3 -200

$ cible en tungstene

10 0 -220 210 #30 $ gaine

30 13 -2.7 -220 210 -250 260 -270 280 -290 $ filtration Al 35 0 -210 200

$ interieur généX

40 14 -1.293e-3 -91 220 $ air 9 0 91 $ extérieur 91 so 500

200 RCC 0 0 0 0 .707 .707 2.5 210 RCC 0 0 -10 0 0 20 10.

220 RCC 0 0 -11 0 0 22 10.05 250 PZ 3

260 PZ -3 270 PX 3

280 px -3 290 PY -8 imp:e 1 0 0 1 0 0 imp:p 1 0 mode p e

1 1

1 0

c source: faisceau parallele electron direction z

SDEF POS=0 0 -1 AXS=0 0 1 EXT=0 RAD=d1 PAR=e ERG=.1 & VEC=0 0 1 DIR=1 SI1 0 .3

SP1 -21 1

m11 74000 1 $ W

m13 13000 1 $ filtration Al

c Air - Densité 0.00123 g/cm3 M14

006000 -0.000124 $ C

007000 -0.755268 $ N 008000 -0.231781 $ O

018000 -0.012827 $ Ar

ctme 6000

186

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

F5:p 0 -100 0 .1 $ beam spectrum

C 100 intervals pour le spectre entre 0 to O.1 MeV E5 0 100i .1

F15:p 0 -100 0 .1 $ equivalent dose à 1 m C coefficient H*(10)/phi pSv.cm2

DE15 .01 .015 .02 .03 .04 .05 .06 .08 .1 .15 .2 .3 .4 .5 .6 & .8 1 1.5 2 3 4 5 6 8 10

DF15 0.061 .83 1.05 .81 .64 .55 .51 .53 .61 .89 1.2 1.8 2.38 2.93 3.44 & 4.38 5.2 6.9 8.6 11.1 13.4 15.5 17.6 21.6 25.6 F35:p 0 -100 0 .1 $ kerma à 1 m

c coefficient K/phi pSv.cm2 pour les photons

DE35 0.01 0.015 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.08 0.1 0.15 0.2 0.3 0.4 0.5 & 0.6 0.8 1 1.5 2 3 4 5 6 8 10

DF35 7.43 3.12 1.68 0.721 0.429 0.323 0.289 0.307 0.371 0.599 0.856 & 1.38 1.89 2.38 2.84 3.69 4.47 6.14 7.55 9.96 12.1 14.1 16.1 20.1 24

 Fichier 3.III.1  

Le spectre en fluence du rayonnement de freinage est exposé dans le corps du fichier de sortie comme montré ci-après. La première colonne est l’énergie en MeV de la borne supérieure des intervalles, la deuxième la fluence de photons en cm–2 par électron du faisceau primaire et la troisième l’erreur statistique sur le résultat de l’estimateur. tally type 5

particle flux at a point detector.

detector located at x,y,z = 0.00000E+00-1.00000E+02 0.00000E+00 energy

0.0000E+00

0.00000E+00 0.0000

1.9802E-03

0.00000E+00 0.0000

9.9010E-04 .

units

1/cm**2

0.00000E+00 0.0000

. .

9.6040E-02

5.82330E-11 0.0417

9.8020E-02

3.00925E-11 0.0521

9.7030E-02 9.9010E-02 1.0000E-01 total

4.72500E-11 0.0454 1.86723E-11 0.0670 7.56700E-12 0.0916 6.97931E-08 0.0015

187

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

La figure 3.III.3 donne une représentation du spectre X en fonction de l’énergie des photons. -9

1.8x10

-9

-2

Φ (X.cm per electron)

1.6x10

-9

1.4x10

-9

1.2x10

-9

1.0x10

-10

8.0x10

-10

6.0x10

-10

4.0x10

-10

2.0x10

0.0 0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.10

E (MeV)

 Figure 3.III.3   Spectre de rayonnement de freinage obtenu pour des électrons de 100 keV pour une cible de conversion en tungstène et une filtration de 0.5 mm d’aluminium.

On remarquera, dans le spectre continu de freinage, les raies de fluorescence monocinétiques typiques du tungstène. En fin de fichier, les résultats des tally obtenus sont : tally nps

mean

error

5 vov

tally

slope

fom

mean

error

vov

15

tally

slope

fom

mean

error

vov

35 slope

fom

8192000

7.0066E-08 0.0053 0.0464

2.0

689

4.9994E-08 0.0059 0.1006

2.1

554

6.1370E-08 0.0061 0.1765

1.9

513

93608108

6.9793E-08 0.0015 0.0182

2.8

740

4.9747E-08 0.0016 0.0564

2.8

636

6.1387E-08 0.0018 0.0940

2.6

507

Le tally 15 donne l’équivalent de dose ambiant dû aux photons, en pSv et par un électron primaire : H * (10) / N e = 4.9747 × 10 −8 pSv. (e) −1 . Pour 50 mA, le flux d’électrons est : i 50 × 10 −6 = 3.125 × 1014 (e − ) s −1 N e = = q 1.602 × 10 −19 Ainsi le débit d’équivalent de dose ambiant à 1 mètre de la cible, donné en mSv.h −1 est :  H * (10)  H * (10) = 3600 × 1000 × 10 −12 N e    Ne  = 3.6 ×10 −6 × 3.125 × 1014 × 4.97 × 10 −8 = 56 mSv.h −1

188

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

Le tally 35 donne le kerma dans l’air en pGy par un électron primaire : K a / N e = 6.14 × 10 −8 pGy. (e) −1. Ainsi le débit de kerma dans l’air à 1 mètre, donné en mGy.h −1 est : K K a = 3600 × 1000 × 10 −12 N e  a  = 3.6 × 10 −6 × 3.125 × 1014 × 6.14 × 10 −8 N  e = 69 mGy.h −1 b) Étape 2 : détermination du débit d’équivalent de dose ambiant et de kerma, à 2 mètres de la cible, derrière la protection de plomb Pour la deuxième étape, deux calculs numériques sont nécessaires. Il convient, préalablement, de calculer un facteur de normalisation permettant de passer de l’équivalent de dose ambiant pour un photon du spectre X à l’équivalent de dose ambiant que l’on obtiendrait pour une intensité de 50 mA d’électrons primaires. Le fichier qui suit permet de calculer ce facteur. La source de ce jeu de données est ponctuelle et émet de façon isotrope le spectre X, calculé précédemment, ( N E , X ) , déterminé dans l’étape précédente. Les tally 5 et 15 permettent de calculer respectivement l’équivalent de dose ambiant et le kerma par photon émis par la nouvelle source à 2 mètres de cette dernière. c ***** calcul transmisison généX ********* c L. Bourgois 05 2016 1 0 -900 5 0 900

900 SO 500 imp:p

mode p

1 0

sdef pos=0 0 0 par=p erg=d2 c

spectre calculé précédemment

# SI2 SP2

C 34567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789 SI2 H 0.00E+00

9.90E-04

1.98E-03

2.97E-03

3.96E-03

4.95E-03

5.94E-03 &

6.93E-03

7.92E-03

8.91E-03

9.90E-03

1.09E-02

1.19E-02

1.29E-02

&

2.08E-02

2.18E-02

2.28E-02

2.38E-02

2.48E-02

2.57E-02

2.67E-02

&

1.39E-02 2.77E-02 3.47E-02 4.16E-02 4.85E-02 5.54E-02 6.24E-02 6.93E-02 7.62E-02 8.32E-02 9.01E-02 9.70E-02

1.49E-02 2.87E-02 3.56E-02 4.26E-02 4.95E-02 5.64E-02 6.34E-02 7.03E-02 7.72E-02 8.42E-02 9.11E-02 9.80E-02

SP2 D 0 0 0 0

1.58E-02 2.97E-02 3.66E-02 4.36E-02 5.05E-02 5.74E-02 6.44E-02 7.13E-02 7.82E-02 8.51E-02 9.21E-02 9.90E-02

1.40E-45

1.68E-02 3.07E-02 3.76E-02 4.46E-02 5.15E-02 5.84E-02 6.53E-02 7.23E-02 7.92E-02 8.61E-02 9.31E-02 1.00E-01

3.63E-31

1.78E-02 3.17E-02 3.86E-02 4.55E-02 5.25E-02 5.94E-02 6.63E-02 7.33E-02 8.02E-02 8.71E-02 9.41E-02

1.88E-02 3.27E-02 3.96E-02 4.65E-02 5.35E-02 6.04E-02 6.73E-02 7.43E-02 8.12E-02 8.81E-02 9.51E-02

1.98E-02 3.37E-02 4.06E-02 4.75E-02 5.45E-02 6.14E-02 6.83E-02 7.52E-02 8.22E-02 8.91E-02 9.60E-02

& & & & & & & & & & &

2.25E-25 &

189

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

5.83E-15

4.69E-13

2.37E-11

5.04E-11

1.11E-10

2.22E-10

3.41E-10

&

1.75E-09

1.73E-09

1.78E-09

1.79E-09

1.80E-09

1.75E-09

1.76E-09

&

5.44E-10 1.72E-09 1.42E-09 1.13E-09 8.85E-10 6.90E-10 5.25E-10 4.84E-10

7.63E-10 1.69E-09 1.38E-09 1.08E-09 8.50E-10 6.69E-10 5.19E-10 4.03E-10

9.79E-10 1.66E-09

1.18E-09

1.34E-09

1.61E-09

1.07E-09 6.48E-10 4.98E-10

1.22E-09

3.47E-10

4.73E-10 3.35E-10

2.47E-10

1.93E-10

1.87E-10

1.75E-10

1.64E-10

4.73E-11

3.01E-11

1.87E-11

7.57E-12

1.06E-10

stop F5 .001

9.55E-11

3.22E-10

2.41E-10

8.66E-11

1.54E-10

&

7.19E-10

1.63E-09

4.45E-10

&

9.01E-10

7.37E-10

6.06E-10

&

1.19E-09

9.40E-10

7.72E-10

&

1.50E-09

1.20E-09

9.85E-10

7.74E-10

1.59E-09

1.49E-09

1.24E-09

1.00E-09

8.36E-10

1.51E-09

1.56E-09

1.30E-09

2.87E-10 2.78E-10 2.60E-10 1.23E-10

1.33E-09

&

8.12E-10

5.59E-10

&

3.11E-10

4.21E-10

&

2.98E-10

&

2.15E-10 2.09E-10 & 1.41E-10

8.08E-11

1.33E-10

6.59E-11

&

5.82E-11

&

F5:p 0 0 200 .1

C conversion coefficient H*(10)/phi pSv.cm2 pour les photons ICRP, 1996 DE5 .01 .015 .02 .03 .04 .05 .06 .08 .1 .15 .2 .3 .4 .5 .6 & .8 1 1.5 2 3 4 5 6 8 10

DF5 0.061 .83 1.05 .81 .64 .55 .51 .53 .61 .89 1.2 1.8 2.38 2.93 3.44 & 4.38 5.2 6.9 8.6 11.1 13.4 15.5 17.6 21.6 25.6 F15:p 0 0 200 .1

c conversion coefficient K/phi pSv.cm2 for photons

DE15 .01 .015 .02 .03 .04 .05 .06 .08 .1 .15 .2 .3 .4 .5 .6 & .8 1 1.5 2 3 4 5 6 8 10

DF15 7.6 3.21 1.73 0.739 0.438 0.328 0.292 0.308 0.372 0.6 0.856 &

1.38 1.89 2.38 2.84 3.69 4.47 6.12 7.51 9.89 12 13.9 15.8 19.5 23.2

 Fichier 3.III.2  

Les résultats obtenus pour les deux estimateurs sont :

nps

68000

tally

mean

error

vov

5

slope

fom

1.4172E-06 0.0010 0.0000 10.0 2.3E+08

mean

tally

error

vov

15

slope

fom

1.8033E-06 0.0039 0.0002 10.0 1.5E+07

Le tally 5 donne l’équivalent de dose ambiant pour un photon du spectre de rayon X. Avec le débit d’équivalent de dose ambiant H * (10) = 56 mSv.h −1 obtenu dans l’étape précédente pour l’intensité de 50 mA, le facteur de normalisation pour l’équivalent de dose ambiant est donc : fH =

56 = 3.95 × 107 mSv.h −1 /pSv. (γ ) −1 1.42 × 10 −6

Le tally 15 donne le kerma dans l’air pour un photon du spectre de rayon X. Avec le kerma dans l’air obtenu dans l’étape précédente, le facteur de normalisation pour le kerma dans l’air pour 50 mA est donc : fK =

190

69 = 3.83 × 10 7 mGy.h −1 /pGy. (γ ) −1 1.80 × 10 −6

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

Le second calcul reprend le fichier précédent avec, cette fois, la modélisation de l’épaisseur de 3 mm de plomb évaluée dans la partie analytique. Cette dernière est subdivisée en 25 cellules adjacentes de 120 mm d’épaisseur afin d’appliquer la technique de réduction de variance de maillage spatial des poids statistiques (« weight windows generator ») utilisée dans l’application 3.II précédente. La source est la même que pour le fichier précédent mais, cette fois, collimatée par un passage circulaire de 0.113 cm de rayon (voir cellule 5 dans le fichier) afin de produire un cône de rayonnement X responsable d’une irradiation discoïde de 400 cm² à 1 mètre. Les tally 5 et 15 sont situés à 2 mètres sur l’axe des z (voir figure 3.III.4).

Figure 3.III.4 Modèle MCNP pour le calcul final de l’étape 2 avec protection biologique.

Le fichier MCNP du calcul final de la seconde étape est donné ci-après. c ***** calcul avec 3 mm de plomb ********* c

1 14 -1.293e-3 370 -110 -900 #5 imp:p=1

5 0 100 -104 101 -102 imp:p=0 $ cone emission (400 cm2 @ 1m) 10 1 -11.35 110 -120 -900

imp:p=1 $ plomb

30 1 -11.35 130 -140 -900

imp:p=1 $ plomb

20 1 -11.35 120 -130 -900 40 1 -11.35 140 -150 -900 50 1 -11.35 150 -160 -900 60 1 -11.35 160 -170 -900 70 1 -11.35 170 -180 -900 80 1 -11.35 180 -190 -900 90 1 -11.35 190 -200 -900

100 1 -11.35 200 -210 -900 110 1 -11.35 210 -220 -900 120 1 -11.35 220 -230 -900 130 1 -11.35 230 -240 -900 140 1 -11.35 240 -250 -900 150 1 -11.35 250 -260 -900 160 1 -11.35 260 -270 -900 170 1 -11.35 270 -280 -900

imp:p=1 $ plomb imp:p=1 $ plomb imp:p=1 $ plomb imp:p=1 $ plomb imp:p=1 $ plomb imp:p=1 $ plomb imp:p=1 $ plomb

imp:p=1 $ plomb imp:p=1 $ plomb imp:p=1 $ plomb imp:p=1 $ plomb imp:p=1 $ plomb imp:p=1 $ plomb imp:p=1 $ plomb imp:p=1 $ plomb

191

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

180 1 -11.35 280 -290 -900

imp:p=1 $ plomb

200 1 -11.35 300 -310 -900

imp:p=1 $ plomb

190 1 -11.35 290 -300 -900 210 1 -11.35 310 -320 -900

imp:p=1 $ plomb imp:p=1 $ plomb

220 1 -11.35 320 -330 -900

imp:p=1 $ plomb

230 1 -11.35 330 -340 -900

imp:p=1 $ plomb

240 1 -11.35 340 -350 -900

imp:p=1 $ plomb

250 1 -11.35 350 -360 -900

imp:p=1 $ plomb

800 14 -1.293e-3 360 -400 -900 999 0 -370:900:400

imp:p=1

imp:p=0 $ exterieur

100 CZ .113 101 Pz 1

102 pz 1.0001 104 cZ 500 110 PZ 50

120 PZ 50.012 130 pz 50.024 140 pz 50.036 150 pz 50.048 160 pz 50.06

170 pz 50.072 180 pz 50.084 190 pz 50.096 200 pz 50.108 210 pz 50.12

220 pz 50.132 230 pz 50.144 240 pz 50.156 250 pz 50.168 260 pz 50.18

270 pz 50.192 280 pz 50.204 290 pz 50.216 300 pz 50.228 310 pz 50.24

320 pz 50.252 330 pz 50.264 340 pz 50.276 350 pz 50.288 360 pz 50.3 370 pz -1

400 pz 500 900 cz 500 WWG 5 1 0 j j j j 0 stop F5 .02 mode p

sdef pos=0 0 0 par=p erg=d2

c SI2/SP2 spectre X calculé avec le premier fichier MCNP SI2 H 0 9.90E-04 6.93E-03 1.39E-02

192

1.98E-03

7.92E-03 1.49E-02

2.97E-03

8.91E-03 1.58E-02

3.96E-03

9.90E-03 1.68E-02

4.95E-03

1.09E-02 1.78E-02

5.94E-03 &

1.19E-02 1.88E-02

1.29E-02 1.98E-02

& &

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

2.08E-02

2.18E-02

2.28E-02

2.38E-02

2.48E-02

2.57E-02

2.67E-02

&

3.47E-02

3.56E-02

3.66E-02

3.76E-02

3.86E-02

3.96E-02

4.06E-02

&

2.77E-02

2.87E-02

4.16E-02

4.26E-02

4.85E-02

6.93E-02

7.03E-02

7.62E-02

7.72E-02

8.32E-02

5.83E-15 5.44E-10 1.75E-09 1.72E-09 1.42E-09 1.13E-09 8.85E-10 6.90E-10 5.25E-10 4.84E-10

9.11E-02

8.51E-02

0

9.80E-02

9.21E-02

0.00E+00

9.90E-02

1.00E-01

0.00E+00

9.51E-02

3.63E-31

9.60E-02

2.25E-25 &

& & & & & & & &

2.37E-11

5.04E-11

1.11E-10

2.22E-10

3.41E-10

&

1.73E-09

1.78E-09

1.79E-09

1.80E-09

1.75E-09

1.76E-09

&

7.63E-10 1.69E-09

9.79E-10

1.38E-09

1.66E-09

1.18E-09

1.08E-09

1.34E-09

1.61E-09

8.50E-10

1.07E-09

1.30E-09

6.69E-10

8.36E-10

1.00E-09

5.19E-10

6.48E-10

7.74E-10

4.03E-10

4.98E-10

1.22E-09

3.47E-10

4.73E-10 3.35E-10

2.47E-10

1.93E-10

1.87E-10

1.75E-10

1.64E-10

4.73E-11

3.01E-11

1.87E-11

7.57E-12

1.06E-10

9.55E-11

M1 82000 1 $ plomb M14

8.91E-02

&

4.69E-13

2.87E-10 2.78E-10 2.60E-10 1.23E-10

8.22E-02

8.81E-02

9.41E-02

1.40E-45

7.52E-02

8.12E-02

8.71E-02

9.31E-02

6.83E-02

7.43E-02

8.02E-02

8.61E-02

6.14E-02

6.73E-02

7.33E-02

7.92E-02

5.45E-02

6.04E-02

6.63E-02

7.23E-02

7.82E-02

8.42E-02

9.01E-02 SP2 D 0

7.13E-02

4.75E-02

5.35E-02

5.94E-02

6.53E-02

3.37E-02

4.65E-02

5.25E-02

5.84E-02

6.44E-02

3.27E-02

4.55E-02

5.15E-02

5.74E-02

6.34E-02

3.17E-02

4.46E-02

5.05E-02

5.64E-02

6.24E-02

3.07E-02

4.36E-02

4.95E-02

5.54E-02

9.70E-02

2.97E-02

8.66E-11

1.33E-09

1.51E-09

1.56E-09

1.59E-09

1.49E-09

1.24E-09

1.50E-09

1.20E-09

9.85E-10

1.19E-09

9.40E-10

7.72E-10

9.01E-10

7.37E-10

6.06E-10

7.19E-10

1.63E-09

4.45E-10

5.59E-10

3.22E-10

8.12E-10

2.41E-10

3.11E-10

4.21E-10

1.54E-10

2.15E-10

2.98E-10

8.08E-11

1.41E-10

2.09E-10 & 1.33E-10

6.59E-11

5.82E-11

& & & & & & & & & &

006000 -0.000124 $ C

007000 -0.755268 $ N 008000 -0.231781 $ O

018000 -0.012827 $ Ar

F5:p 0 0 200 .1

C coefficient H*(10)/phi pSv.cm2 pour les photons

DE5 .01 .015 .02 .03 .04 .05 .06 .08 .1 .15 .2 .3 .4 .5 .6 & .8 1 1.5 2 3 4 5 6 8 10

DF5 0.061 .83 1.05 .81 .64 .55 .51 .53 .61 .89 1.2 1.8 2.38 2.93 3.44 & 4.38 5.2 6.9 8.6 11.1 13.4 15.5 17.6 21.6 25.6 F15:p 0 0 200 .1

C coefficient K/phi pSv.cm2 pour les photons

DE15 .01 .015 .02 .03 .04 .05 .06 .08 .1 .15 .2 .3 .4 .5 .6 & .8 1 1.5 2 3 4 5 6 8 10

DF15 7.6 3.21 1.73 0.739 0.438 0.328 0.292 0.308 0.372 0.6 0.856 &

1.38 1.89 2.38 2.84 3.69 4.47 6.12 7.51 9.89 12 13.9 15.8 19.5 23.2 wwe:p

wwn1:p

1.0000E+02

5.0000E-01 -1.0000E+00

8.7613E-03

1.9089E-03

9.7501E-04

8.8418E-05

4.9230E-05

3.7550E-05

2.9136E-05

5.7967E-04

3.7102E-04

2.2833E-05

1.8107E-05

8.4169E-06 7.0213E-06

6.5413E-05 7.2818E-06 1.0492E-05

2.4816E-04 1.4568E-05 6.5378E-06

1.7146E-04 1.1919E-05 6.1076E-06

0.0000E+00 -1.0000E+00

1.2183E-04 9.9170E-06 6.0968E-06

 Fichier 3.III.3  

193

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Les résultats pour l’équivalent de dose ambiant et le kerma dans l’air par photon émis, en présence de la protection biologique en plomb sont :

nps

2953734

mean

tally

error

vov

5

slope

3.1079E-11 0.0141 0.0145 10.0

fom

2809

mean

tally

error

vov

15

slope

1.8270E-11 0.0143 0.0147 10.0

fom

2765

Les résultats finaux des deux observables sont obtenus par pondération des facteurs de normalisation déterminés précédemment :  H * (10)  7 −11 −3 −1 H * (10) = f H   = 3.95 × 10 × 3.11 × 10 = 1.2 × 10 mSv ⋅ h N γ   K  K a = f K  a  = 3.83 × 107 × 1.83 × 10 −11 = 7 × 10 −4 mGy ⋅ h −1  Nγ  On note un écart important (plus d’un facteur 2) entre le calcul semi-empirique (0.5 mSv/h) et le calcul numérique (1.2 mSv/h) pour le débit d’équivalent de dose ambiant. Cette différence est imputable aux hypothèses avec lesquelles le facteur de transmission est défini. En effet, ce facteur est déterminé pour des conditions spécifiques et figées en termes de : filtration, dimensions du faisceau… L’intérêt du calcul Monte-Carlo réside dans la possibilité de simuler les « structures fines » du dispositif radiologique, en l’espèce, l’ensemble cible-source du générateur X, et ainsi de s’approcher davantage de la valeur vraie des observables dosimétriques recherchées.

3.IV Calcul d’activation neutronique et du débit

d’équivalent de dose ambiant résultant

Résumé Dans la première partie de cette application, on se propose de calculer analytiquement l’activation au 60Co ainsi que les débits de fluence et d’équivalent de dose ambiant, à 1 mètre, résultant de l’irradiation continue d’un échantillon de 59Co par un faisceau de neutrons monocinétique. Dans la deuxième partie, les mêmes évaluations sont réalisées numériquement puis comparées aux précédentes. La troisième partie montre la possibilité d’évaluer les débits de fluences et d’équivalents de doses pour différents paliers d’irradiations et de refroidissement de l’échantillon et ainsi de dresser un profil temporel d’exposition externe. Objectifs – Calcul analytique de l’activation d’un échantillon par des neutrons, ainsi que des débits de fluence et d’équivalent de dose ambiant résultants – Calcul d’activation et des débits de fluence et équivalents de dose photoniques résultants avec MCNP

194

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

– Normalisation des résultats MCNP dans le cadre de l’utilisation de la carte d’activation « ACT » – Définition d’un profil temporel d’irradiation dans MCNP – Calcul d’un spectre de photons prompts et retardés dans MCNP, lors d’une irradiation continue – Calcul d’un profil temporel de débit de fluence à une distance d’un objet irradié, pour une succession de paliers d’irradiations et de refroidissements Données L’échantillon de 59Co est un cylindre de 1 cm de rayon et 0.1 cm de hauteur. Il est irradié par un faisceau parallèle de neutrons de 1 MeV de 1 cm de rayon et présentant un flux constant de 1010 n.s −1 . Pour cette application, nous considérerons que seul du 60Co est formé par réaction nucléaire de capture radiative. La période radioactive du 60Co est de 5.27 ans et sa masse volumique est ρ = 8.9 g.cm −3.

Partie 1 : Activité induite, débits de fluence et d’équivalent de dose ambiant pour une irradiation constante de 10 ans Pour cette partie, on considère une irradiation constante de l’échantillon sur une durée de 10 ans. L’activation en 60Co qui en résulte et les débits de fluence et d’équivalent de dose ambiant à un mètre de l’échantillon sont déterminés pour des temps de refroidissements de 1 et 5 ans. a) Calculs analytiques de l’activité du 60Co Pour ce problème, considérons que la cible est composée de N c atomes de 59Co, irradiés par un débit de fluence neutronique constante Φ n. La section efficace σ (n,γ ) conduit à la création de N r noyaux radioactifs de 60Co de constante de décroissance  λ. Dans le même temps, des transmutations des noyaux de 60Co sont susceptibles de se produire, par différentes réactions d’absorptions, avec une section efficace totale σ t . En considérant que le nombre de noyaux cibles ne varie pas au cours de l’irradiation (N c = cste), le processus de production des N r noyaux de 60Co est décrit par l’équation différentielle suivante :

dN (t ) = N c σ (n,γ )Φ n dt − λ N (t ) dt − σ tΦ n N (t ) dt (1)

Le premier terme de droite traduit la production de 60Co par activation neutronique, le second la transmutation des noyaux de 60Co en noyau fils lors des désintégrations  β et le troisième la transmutation des noyaux de 60Co par réactions d’absorption. À noter que ce formalisme n’est valable que si le fils créé par décroissance n’est pas l’atome cible. La résolution de l’équation différentielle procure le nombre de noyaux créés au terme d’une durée d’irradiation t i  : N c σ (n,γ )Φ n N (t i ) = 1 − exp (− (λ + σ t Φ n ) t i ) λ + σ Φ  t

n

195

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Les sections efficaces de transmutation du 60Co n’apparaissent que pour des énergies supérieures à 1 MeV (e.g. le seuil de la réaction (n,2n) est de 8 MeV). En conséquence, le troisième terme de l’équation (1) est nul et l’activité rémanente en 60Co au terme de l’irradiation se résume à : A (t i ) = λ N (t i ) = N c σ (n,γ )Φ n [1 − exp (−λt i )] L’activité à saturation est obtenue lorsque t i →∞ et vaut : Asat = N c σ (n,γ )Φ n Le nombre de noyau cible N c peut s’exprimer en fonction de la masse m de l’échantillon et l’expression précédente peut s’écrire : A (t i ) = m

ηA σ Φ [1 − exp (−λt i )] A (n,γ ) n

L’activité de l’échantillon pour une durée t d après la fin de l’irradiation est : A (t i , t d ) = m

ηA σ Φ [1 − exp (−λt i )] exp (−λt d ) A (n,γ ) n

La section efficace de la capture radiative (n, γ ) est issue de la Bibliothèque ENDF/ B-VII.1 déterminée ici sur le site http://www.nndc.bnl.gov/exfor/endf02.jsp. Cette dernière, pour des neutrons de 1 MeV est 6.44 mb. La constante de décroissance du 60Co est : λ = ln 2 / 5.27 = 0.13 a −1 . La masse de l’échantillon est égale à : ( ) m = ρπ r 2 h = 8.9 × π × 12 × 0.1 = 2.79 g Le débit de fluence en tout point du faisceau parallèle de neutrons est (voir l’exemple 1.I) : N 1010 φn = n2 = = 3.2 × 109 (n) s −1cm −2 πr π × 12 Pour une irradiation de 10 ans et un refroidissement de 1 an, on obtient l’activité suivante : 6.02 × 10 23 A (10,1) = 2.79 × × 0.00644 × 10 −24 × 3.2 × 109 59 × [1 − exp (−0.13 × 10)] exp (−0.13 × 1) A (10.1) = 3.74 × 105 Bq (0.36 MBq ) b) Calculs analytiques du débit de fluence des photons issus du 60Co à 1 mètre de l’échantillon Afin de comparer au mieux les résultats des approches numériques et analytiques pour les calculs de débits de fluence dus aux photons du 60Co, les pourcentages d’émission à deux chiffres après la virgule sont considérés, soit : 99.98 % pour la raie de 1.33 MeV et 99.85 % à 1.17 MeV (voir http://www.nucleide.org/Laraweb/).

196

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

Le débit de fluence des photons d’énergie de 1.33 MeV à 1 mètre de l’échantillon, pour un temps de refroidissement de 1 an, en considérant ce dernier ponctuel et une atténuation nulle pour les rayonnements émis est : A (10.1) Γ 1.33 3.74 × 105 × 0.9998 φ1.33 (10,1) = = = 2.97 (γ ) s −1cm −2 4π d 2 4π × 100 2 Un calcul similaire pour l’énergie de 1.17 MeV conduirait au même débit de fluence. Pour un temps de refroidissement de 5 ans, les débits de fluence obtenus pour 1.17 MeV et 1.33 MeV sont 1.77 ( ³ ) s −1cm −2 pour chacun. c) Calculs analytiques du débit d’équivalent de dose ambiant à 1 mètre de l’échantillon Pour le 60Co, la constante spécifique de débit d’équivalent de dose ambiant par activité est H 0* (10) / A = 351 µSv.h −1 .GBq −1 à 1 mètre. Ainsi pour l’activité calculée précédemment, le débit d’équivalent de dose ambiant à 1 mètre est :  H * (10)  H 0* (10)1an =  0 A (10.1) = 351 × 3.74 × 105 × 10 −9 = 0.131 µSv/h A   (131 nSv/h) Pour un même temps d’irradiation et pour 5 ans de refroidissement, des calculs similaires conduiraient à une activité rémanente A (10.5) = 0.22 MBq et un débit d’équivalent de dose ambiant à 1 mètre H 0* (10)5ans = 78 nSv.h −1.

Partie 2 : Calcul numérique des fluences et débits d’équivalent de dose ambiant à 1 mètre de l’échantillon Dans MCNP, l’activation peut être évaluée au moyen de l’instruction « ACT ». En mode temporel, cette dernière permet l’émission des gammas retardés liés aux produits d’activation formés. En ce qui concerne la simulation du temps dans MCNP, rappelons que ce dernier s’exprime en « shakes » correspondant à 10–8 s l’unité. Ainsi un temps d’irradiation de 10 ans doit être converti dans le fichier d’entrée en 10 × 365 × 24 × 3600 × 1 × 108 = 3.1536 × 1016 shakes. Les durées d’irradiations sont paramétrées au moyen de la carte temporelle « tme=d2 » dans la définition de source (« sdef »). L’étiquette « d2 » renvoie à l’instruction « SI2 0 3.1536E+16 » dans laquelle figure le temps du pallier d’irradiation. Les différents temps des calculs des débits de fluence et des équivalents de dose à 1 mètre sont repérés dans la carte « T5 » associée au tally 5 : T5 0 3.46896E+16 3.47760E+16 4.7304E+16 4.73904E+16

197

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Il est important de noter que les calculs de fluences de gamma retardés ne peuvent être réalisés de façon ponctuelle dans le temps. En effet, il est nécessaire de les moyenner sur des paliers spécifiques de temps. Dans notre exemple, ci-dessus, ces zones temporelles de calcul sont des paliers de 10 jours (∆t1 =et ∆t 2 )=et les résultats des tally en fluence sont moyennés sur cette durée. Ainsi dans la carte « t5 » : – la seconde entrée, 3.46896 × 1016 correspond à Td1 = 11 ans en termes de shakes, soit 10 ans d’irradiation et 1 an de refroidissement ; – la troisième entrée correspond à 11 ans plus 10 jours ( ∆t1 ) ; – la quatrième entrée correspond à Td2=15 ans ; – la cinquième entrée correspond à 15 ans plus 10 jours ( ∆t 2 ) . Les débits de fluence recherchés sont ceux calculés dans le second intervalle (entre 11 ans et 11 ans et 10 jours, soit ∆t1)=et le quatrième intervalle (entre 15 ans et 15 ans et 10 jours, soit ∆t 2).=Le diagramme synthétisant ce découpage temporel est donné dans la figure 3.IV.1 ci-après.

Figure 3.IV.1 Diagramme temporel de l’irradiation, des temps de refroidissement et des zones de calcul.

Dans le fichier d’entrée suivant, les tally 5 et 15 concernent, respectivement, les calculs de fluence et de d’équivalent de dose ambiant par neutron-source à 1 mètre de l’échantillon : (Φ γ / N n ) et (H 0* (10) / N n ) . Pour circonscrire les résultats de calcul aux énergies du 60Co, la carte énergie « e5 » est ajoutée et paramétrée sur un intervalle compris entre 1 et 1.5 MeV.

198

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

*************** calcul c cellules

d’Activation **********

10 1 -8.9 -10 $ Echantillon Co-59 20 0 10 -20 30 0 20

$ cellule de calcul $ exterieur

C geometrie

10 RCC 0 0 0 0 0 .1 1

$ Echantillon

20 RCC 0 0 -.5 0 0 150 16 imp:n 1 1 0 mode n p

m1 27059 1

$ Co-59

c *************** source definition ***************** c faisceau // de neutrons de 1 MeV r=1 cm z direction c 10 ans d’irradiation en shakes

sdef par=n pos 0 0 -.10 axs 0 0 1 ext 0 rad=d1 vec 0 0 1 dir 1 erg 1 tme=D2 SI2 0 3.1536E+16 $ temps d’irradiation Sp2 0 1 Si1 0 1

sp1 -21 1

$ rayon du faisceau

c *********** activation calculation ACT card ************

c FISSION= NONE => Create no delayed particles from fission events c NONFISSION=p => Create delayed gammas from non-fission events c DG=LINES => Sample delayed gammas using models based on c

line-emission data.

ACT FISSION=none NONFISSION=p DG=LINES

C ***** F5 : photons fluence à 1 meter de l’échantillon **** F5:P 0 0 100 .5

C T5 temps pour les resultats de calcul C T5 0 T1 T1+DT1 T2 T2+DT1 T5

0 3.46896E+16 3.47760E+16

4.7304E+16 4.73904E+16

C E5 calcul de la fluence entre 1 to 1.5 MeV intéressant C pour le Co-60 E5 1 100i 1.5

C ** F15 comme F5 mais but en équivalent de dose DE/DF coefficient F15:P 0 0 100 .5 T15

0 3.46896E+16

3.47760E+16

4.7304E+16 4.73904E+16

C conversion coefficient H*(10)/phi pSv.cm2

DE15 .01 .015 .02 .03 .04 .05 .06 .08 .1 .15 .2 .3 .4 .5 .6 & .8 1 1.5 2 3 4 5 6 8 10

DF15 0.061 .83 1.05 .81 .64 .55 .51 .53 .61 .89 1.2 1.8 2.38 2.93 3.44 & 4.38 5.2 6.9 8.6 11.1 13.4 15.5 17.6 21.6 25.6 ctme 100

 Fichier 3.IV.1  

199

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

a) Résultats pour les débits de fluence à 1 mètre Les résultats des calculs de fluence, pour l’intervalle compris entre 1 et 1.5 MeV et pour les différents paliers de calculs précisés par la carte « t5 » sont donnés dans le fichier de sortie comme suit : tally type 5

particle flux at a point detector.

units

1/cm**2

particle(s): photons

detector located at x,y,z = 0.00000E+00 0.00000E+00 1.00000E+02 time:

0.0000E+00

3.4690E+16

3.4776E+16

4.7304E+16

4.7390E+16

1.1733E+00

0.00000E+00 0.0000

2.40949E-10 0.0002

8.20672E-13 0.0017

9.30016E-11 0.0003

4.87702E-13 0.0023

1.3366E+00

0.00000E+00 0.0000

2.41483E-10 0.0002

8.26641E-13 0.0017

9.31877E-11 0.0002

4.88181E-13 0.0023

energy

Les résultats des fluences de MCNP pour les deux paliers de refroidissement ∆t1 et = ∆t 2 = de 10 jours et pour les deux énergies du 60Co sont donnés dans le tableau suivant :  Tableau 3.IV.1  Résultats MCNP des fluences par neutron tirés pour les deux énergies du 60 Co et les deux paliers de calculs. Énergies du 60Co

 Φγ  N   n  ∆t1

 Φγ  N   n  ∆t 2

1.17

8.207 × 10 −13

4.877 × 10 −13

1.33

8.266 × 10 −13

4.882 × 10 −13

Pour ce type de calcul, les résultats doivent être multipliés par un facteur de normalisation spécifique N n′ en neutrons par seconde. Ce facteur, non trivial, est le rapport entre le nombre de neutrons ayant irradié l’échantillon (c’est-à-dire le produit du flux de neutrons par le temps d’irradiation 10 ans) et la durée du palier de calcul (soit 10 jours pour les deux paliers).

N n′ =

N nt i N nt i 1 × 1010 × 10 × 365 × 24 × 3600 = = = 3.65 × 1012 (n) ⋅ s −1 (2) ∆t1 ∆t 2 10 × 24 × 3600

Il vient donc, par exemple, pour le premier palier de calcul ∆t1 =et l’énergie de 1.17 MeV :  Φγ  −13 12 −1 m −2 φ∆t1 = N n′   = 8.207 × 10 × 3.65 × 10 = 2.99 (γ ) ⋅ s cm  N n  ∆t1 L’ensemble des résultats des débits de fluence à 1 mètre pour les énergies du 60Co et pour les deux paliers de calcul sont synthétisés, dans le tableau 3.IV.2., pour les approches analytiques et numériques.

200

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

 Tableau 3.IV.2  Synthèse des résultats numériques et analytiques des débits de fluences pour les deux énergies du 60Co et les deux paliers de calcul. φ∆t1

Énergies du 60Co

(γ

φ∆t 2

s −1cm −2 )

(γ

s −1cm −2 )

numérique

analytique

numérique

analytique

1.17

2.99

2.97

1.78

1.77

1.33

3.01

2.97

1.78

1.77

On remarquera que l’écart observé sur les résultats des deux approches est quasiment nul. b) Résultats pour les débits d’équivalent de dose ambiant à 1 mètre Les résultats de calculs des débits d’équivalent de dose ambiant obtenus pour le tally 15 et pour les différents paliers sont : detector located at x,y,z = 0.00000E+00 0.00000E+00 1.00000E+02 time:

0.0000E+00

3.4690E+16

3.4776E+16

4.7304E+16

4.7390E+16

0.00000E+00 0.0000

1.63161E-08 0.0011

1.02965E-11 0.0013

1.16363E-09 0.0002

6.10044E-12 0.0016

Les résultats MCNP sont donnés en pSv.(n–1). Le résultat final est obtenu avec le facteur de normalisation trouvé précédemment (2). Pour le premier palier de calcul ∆t1, =après 1 an de refroidissement, on obtient le débit d’équivalent de dose ambiant suivant :  H * (10)  −11 −12 12 H 0* (10) ∆t1 = N n′  0  = 3.65 × 10 × 1.03 × 10 × 10  Nn  = 3.76 × 10 −11 Sv.s −1 ⇔ H * (10) = 135 nSv.h −1 0

∆t1

L’ensemble des résultats des débits d’équivalents de doses ambiants à 1 mètre pour les deux paliers de calcul sont synthétisés pour les approches analytiques et numériques dans le tableau 3.IV.3.   Tableau 3.IV.3  Synthèse des résultats numériques et analytiques des débits d’équivalents de dose ambiants issus des photons du 60Co pour les deux temps de refroidissement. H 0* (10) ∆t1 (nSv.h −1 )

H 0* (10) ∆t 2 (nSv.h −1 )

Numérique

analytique

Numérique

analytique

135

131

80

78

201

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Les écarts observés entre les résultats des deux approches sont ténus et tiennent essentiellement à une légère modification du spectre photonique en sortie de l’échantillon ayant pour conséquence une légère modification du coefficient moyen de conversion « fluence-équivalent de dose ambiant » fourni au paragraphe b) de la première partie.

Partie 3 : Calcul numérique d’un profil de débit de fluence pour une succession de paliers d’irradiation et de refroidissement Il est possible d’étendre la méthode d’évaluation de l’activation de MCNP pour des calculs de débits de fluences et d’équivalents de doses avec de multiples paliers d’irradiation et de refroidissement. Dans l’exemple ci-après, on se propose de calculer le profil temporel de débit de fluence à 1 mètre de l’échantillon pour trois paliers d’irradiations distincts ponctués par un palier de refroidissement comme montré à la figure 3.IV.2. 10

5x10

10

(n).s

-1

4x10

10

3x10

10

2x10

10

1x10

0

0

5

10

15

20

25

30

time (years)

 Figure 3.IV.2  Paliers d’irradiations et de refroidissements pour le calcul de la partie 3.

Dans un premier temps, il faut définir les paramètres de description des paliers d’irradiations et de refroidissements à intégrer dans la carte de probabilité d’émission de la source « SP ». Pour cela, on calcule le ratio rk entre le nombre de neutrons ayant irradié l’échantillon et le nombre total de neutrons, pour chacun des paliers d’irradiation. Le nombre total de neutrons ayant irradié l’échantillon est de façon générale : N t = c ∑ (t i )k ( N n )k k

Le coefficient c correspond à la conversion des années en secondes et vaut 3.1536 × 107 s. (an −1 ) . Pour le cas présent, ce calcul conduit à : N t = 3.1536 × 107 × [(5 × 1 × 1010 ) + (5 × 1 × 1010 ) + (5 × 5 × 1010 )] = 1.103 × 1019 (n)

202

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

Pour chaque palier d’irradiation k, le ratio rk à paramétrer dans la carte « sp » est : c (t i )k ( N n )k rk = Nt Pour le premier palier d’irradiation et en factorisant le calcul de N t , ce ratio vaut : r1 =

3.1536 × 107 × (5 × 1 × 1010 )

3.1536 × 107

×7×(

5 × 1 × 1010

)

=

1 = 0.14 7

r3 5= / 7 0.71. La somme de ces Ce calcul conduit également à 1 / 7 pour r2 et à= trois ratios est nécessairement égale à 1. Pour le palier de refroidissement entre 5 et 10 ans, ce ratio est, de fait, nul. Ces valeurs sont celles paramétrées dans la carte « sp2 » du fichier MCNP suivant. Ce fichier permet de calculer la fluence totale des photons tous les ∆t = 0.5 an (voir les paramètres de la carte « t5 ») avec le profil d’irradiations et de refroidissements de la figure 3.IV.2. *************** c cellules 10 1 -8.9 -10 $ 20 0 10 -20 $ 30 0 20 $

Activation avec palier ********** echantillon Co-59 cellule pour le calcul de la fluence photons exterieur pas de transport

C geometrie 10 RCC 0 0 0 0 0 .1 1 $ échantillon 20 RCC 0 0 -.5 0 0 150 16 imp:n 1 1 0 mode n p m1 27059 1 $ Co-59 c *************** source definition ***************** c 1 MeV neutron parallel beam radius=1 cm z direction c 10 years irradiation in shakes sdef par=n pos 0 0 -.10 axs 0 0 1 ext 0 rad=d1 vec 0 0 1 dir 1 erg 1 tme=D2 c temps 0 5 ans 10 ans 15 ans 20 ans SI2 0 1.5768E+16 3.1536E+16 4.73E+16 6.31E+16 C the profile is 1/7 0 1/7 5/7 Sp2 0 .14 0 .14 .71 Si1 0 1 sp1 -21 1 ACT FISSION=none NONFISSION=p DG=LINES F5:P 0 0 100 .5 $ fluence at 1 meter C calcul tlous les 0.5 ans 1.5768E15 shakes T5 0 1.5768E+15 3.1536E+15 4.7304E+15 6.3072E+15 7.884E+15 9.4608E+15 & 1.10376E+16 1.26144E+16 1.41912E+16 1.5768E+16 1.73448E+16 1.89216E+16 & 2.04984E+16 2.20752E+16 2.3652E+16 2.52288E+16 2.68056E+16 2.83824E+16 & 2.99592E+16 3.1536E+16 3.31128E+16 3.46896E+16 3.62664E+16 3.78432E+16 & 3.942E+16 4.09968E+16 4.25736E+16 4.41504E+16 4.57272E+16 4.7304E+16 & 4.88808E+16 5.04576E+16 5.20344E+16 5.36112E+16 5.5188E+16 5.67648E+16 & 5.83416E+16 5.99184E+16 6.14952E+16 6.3072E+16 6.46488E+16 6.62256E+16 & 6.78024E+16 6.93792E+16 7.0956E+16 7.25328E+16 7.41096E+16 7.56864E+16 & 7.73E+16 7.88E+16 8.04E+16 8.20E+16 8.36E+16 8.51E+16 8.67E+16 8.83E+16 & 8.99E+16 9.15E+16 9.30E+16 1 100i 1.5 ctme 100

 Fichier 3.IV.2  

203

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Le facteur de normalisation N n′′ à appliquer aux résultats des fluences correspond au ratio entre le nombre total de neutrons ayant irradié l’échantillon et la durée des pas temporels de calcul, à savoir 0.5 an : N n′′ =

Nt 1.103 × 1019 = = 7 × 1011 (n) ⋅ s −1 ∆t 0.5 × 365 × 24 × 3600

Le profil de flux et de débit de fluence des photons par pas temporel de 0.5 an sur l’ensemble du profil d’irradiations et de refroidissement est donné dans la figure 3.IV.3. Nous noterons que ce profil tient compte des photons retardés issus des désintégrations des noyaux de 60Co au cours du temps, mais également, pour une très faible part, des photons prompts émis lors de l’interaction des neutrons avec les noyaux de 59Co. Cette seconde composante est de fait nulle lors des paliers de refroidissement. 10

6x10

24 22

10

5x10

Flux (n).s

-1

16 14

10

3x10

12 60

10

débit de fluence dû au Co (échelle de droite)

10

2x10

8 6

10

1x10

-1

18

Fluence rate (γ).s .cm

10

4x10

-2

20 profil d'irradiation (échelle de gauche)

4 2

0

0

5

10

15

20

25

0 30

Temps (années)

 Figure 3.IV.3  Profils de flux et de débit de fluence à 1 mètre de l’échantillon irradié, par pas temporel de 0.5 an.

Dans le fichier d’entrée suivant, on se propose de calculer le spectre de débit de fluence pour le pas temporel compris entre 16.5 et 17 ans, c’est-à-dire situé au milieu du troisième palier d’irradiation ; les cartes « e5 » et « t5 » du fichier précédent doivent être remplacées par les lignes de commande suivantes : T5 0 5.20344E+16 5.36112E+16 9.30E+16 E5

.1

500i 8

La ligne « e5 » permet cette fois de calculer la distribution spectrale de débit de fluence de 100 keV à 8 MeV pour le pas temporel choisi. La figure 3.IV.4 montre

204

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

cette distribution. On remarquera les deux pics du 60Co, un fond de diffusion de ces pics dans l’échantillon jusqu’à une énergie d’environ 1 MeV et un fond extrêmement faible dû aux photons prompts jusqu’à 8 MeV.

7 6

-1

-2

φ (γ.s .cm )

5 4 3 2 1 0

0

1

2

3

4

5

6

7

Energie (MeV)

 Figure 3.IV.4  Spectre du débit de fluence de photons prompts et retardés à 1 mètre de l’échantillon irradié, au milieu du troisième palier d’irradiation.

3.V Calcul du débit d’équivalent de dose ambiant

diffusé pour un faisceau de générateur X sur un fantôme d’eau

Résumé Dans cette application, on se propose de calculer l’équivalent de dose ambiant résultant de la diffusion d’un faisceau de générateur X diffusé sur un fantôme d’eau. Objectifs – Calcul de rayonnement diffusé et de l’équivalent de dose ambiant résultant de façon semi-empirique et avec MCNP – Technique de réduction de variance par la méthode des « pseudo-particules » et de la sphère DXTRAN – Calcul de grandeurs dosimétriques liées au rayonnement de freinage des électrons d’un générateur X en une seule étape dans MCNP Données Le générateur X fonctionne sous une haute tension de 150 kV et une intensité de 1 mA ; il est muni d’un filtre de 3 mm d’aluminium. La géométrie considérée pour ce calcul est

205

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

montrée à la figure 3.V.1. Pour cette dernière, on considère pour les distances : d1 = 1 m et d 2 = 50 cm et un angle de diffusion du faisceau sur le fantôme de 45°. Le diffuseur est un fantôme d’eau cylindrique de 10 cm de rayon et 40 cm de long ; il est éclairé par le faisceau primaire collimaté de photons de freinage sur une surface de 200 cm2 (disque de 8 cm de rayon). On cherche à calculer le débit d’équivalent de dose ambiant résultant de la diffusion, au niveau de l’observateur. H sec observateur

d2

ne rayon ment

diffuseur

faisceau primaire

é diffus

θ

d1

 Figure 3.V.1  Géométrie de calcul.

Partie 1 : Calcul semi-empirique de l’équivalent de dose ambiant du rayonnement diffusé * 10 , Pour calculer le débit d’équivalent de dose ambiant du faisceau secondaire, H sec ( ) dû à la diffusion de photons dans une géométrie telle que présentée à la figure 3.V.1, certains auteurs, NCRP, 2004, Antoni et Bourgois 2017 utilisent un modèle semiempirique formalisé avec l’équation suivante. * 10 = Γ R α S H sec ( ) d12 d 22

Le terme Γ R est le débit d’équivalent de dose ambiant dû au faisceau primaire à un mètre de la source, en l’absence de diffuseur. La longueur d1 est la plus courte distance entre la sortie du générateur et la face avant du fantôme ; le débit d’équivalent dose dû au faisceau primaire à la surface du diffuseur est donné par Γ R / d12 . La longueur d 2 correspond à la distance entre le centre du diffuseur et l’observateur (les deux distances sont donnés en mètres). S est la surface du diffuseur éclairée par le faisceau primaire et a, un facteur de diffusion. Le produit S n’a pas de dimension

206

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

6.5x10

-6

6.0x10

-6

5.5x10

-6

5.0x10

-6

4.5x10

-6

4.0x10

-6

3.5x10

-6

3.0x10

-6

100

-1

-6

ΓR (Sv.mn .mA ) at 1 meter

7.0x10

-1

-2

α (cm )

et par conséquent a est l’inverse d’une surface. Cette équation n’est valide que pour une surface éclairée suffisamment petite vis-à-vis de la distance d 2 afin de considérer la source diffusée comme ponctuelle vis-à-vis de l’observateur. Le facteur a est dépendant de l’angle de diffusion q, du spectre des rayonnements X et du matériau diffuseur. Les valeurs du facteur a sont accessibles dans la littérature ; on peut citer la NCRP, 1976, Simpkin et Dixon, 1998, la NCRP, 2005. Pour cette application, on se fonde sur la publication récente de Bourgois et Ménard, 2017 qui compile les calculs pour des hautes tensions variant de 50 à 800 kV, pour différentes filtrations et différents diffuseurs ; eau, TNT, béton, fer, et pour différents angles de diffusion. La figure 3.V.2a donne les valeurs du facteur a en fonction de l’angle de diffusion q pour un générateur X de 150 kV mini d’une filtration de 3 mm d’aluminium (d’après les données de Bourgois et Ménard, 2017). La figure 3.V.2b donne la valeur de Γ R pour des hautes tensions variant de 50 à 900 kV et pour une filtration de 3 mm d’aluminium (d’après les données de Antoni et Bourgois, 2017).

0

5

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

Angle (°)

10

1

100

200

300

400

500

600

700

800

900

HV (kV)

 Figure 3.V.2  a) Facteur de diffusion a en fonction de l’angle de diffusion θ pour un générateur X de 150 kV avec une filtration de 3 mm d’aluminium (d’après Bourgois et Ménard, 2017). b) Équivalent de dose ambiant à 1 mètre de la source pour des hautes tensions entre 50 et 900 kV et pour une filtration de 3 mm d’aluminium (d’après les données de Antoni et Bourgois, 2017).

Pour notre cas de figure, on obtient α = 5.64 × 10 −6 cm −2 pour une diffusion à 45° et un débit d’équivalent de dose ambiant Γ R = 22 mSv.min −1mA −1 à 1 mètre. L’équivalent de dose ambiant dû au rayonnement diffusé au niveau de l’observateur pour une tache de 200 cm 2 et une intensité de 1 mA , est : −6 * 10 = Γ R α S = 1 × 22 × 5.64 × 10 × 200 H sec ( ) 2 2 2 2 d1 d 2 1 × 0.5

= 9.9 × 10 −2 mSSv.mn −1 (5.94 mSv/h ) On remarquera que cette composante, bien que très inférieure à celle du rayonnement primaire (22 mSv.mn −1) est cependant non négligeable et peut nécessiter, selon l’objectif de radioprotection, un blindage latéral adéquat du dispositif.

207

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Partie 2 : Calcul numérique de l’équivalent de dose ambiant du rayonnement diffusé Dans l’application 3.III relative au calcul de l’épaisseur de plomb pour dimensionner un générateur X de 100 kV, l’estimation de l’équivalent de dose ambiant était réalisée en deux étapes distinctes : la première consistait à calculer le spectre énergétique du rayonnement photonique de freinage et la seconde à implémenter ce dernier dans un second fichier MCNP permettant le calcul final de la grandeur recherchée. Sous certaines conditions, il est cependant possible d’estimer la grandeur dosimétrique liée aux photons en une seule étape avec un transport mixte d’électrons et de photons. Il y a lieu alors d’appliquer une ou plusieurs techniques de réduction de variance afin de permettre une convergence plus rapide des résultats. On peut, par exemple, dans un premier temps biaiser l’énergie des électrons et des photons, en se limitant au transport des particules supérieures à une certaine énergie : dans notre cas d’étude, cette fonction est activée au moyen de la carte d’énergie de coupure « cut » fixée à 10 keV. Cette option permet le transport des électrons et des photons qu’au-delà de cette énergie ; ceux dont l’énergie est inférieure sont alors « tués », ce qui limite le suivi aux particules énergétiques utiles pour la convergence des résultats. Un biaisage spatial peut également être utilisé afin de forcer le transport des photons secondaires dans des zones d’intérêt de l’espace. Ce biaisage est obtenu au moyen d’une sphère virtuelle DXTRAN (Breismeister, 2000 ; Boothe, 1985) ; elle permet de focaliser les particules lancées vers des zones pour lesquelles la probabilité d’accès est faible lors d’un traitement classique du transport. Lors de chaque collision ou tir de la source, une « pseudo-particule » est créée au point de tir ou de collision et diffusée de façon déterministe vers la sphère DXTRAN. Dans le même temps, au point de tir ou de collision, une « particule réelle » est également engendrée et son transport est traité de façon classique ; si cette dernière franchit la sphère DXTRAN, elle est alors tuée sinon elle contribue de façon normale au tally. Du point de vue des poids statistiques, la « particule réelle » conserve le poids initial avant collision, par exemple wo , alors que la « pseudo-particule » est affectée d’un poids statistique qui est une fraction de poids statistique de la particule réelle : pwo . Cette fraction correspond à la probabilité pour la « pseudo-particule » de diffuser vers la sphère DXTRAN. Le formalisme de la carte DXTRAN se présente comme suit : dxt:p x o yo z o ri ro . La première entrée p correspond au type de particule transportée, l’ensemble (x o yo z o ) correspond au centre de la sphère. ri est le rayon interne de la sphère et ro , son rayon externe. Ainsi, la sphère DXTRAN peut donc se penser comme un ensemble de deux sphères concentriques ; les « pseudo-particules » arrivant systématiquement sur la sphère externe. L’usage de la sphère interne permet de concentrer le tir des « pseudo-particules » dans l’angle solide formé par cette dernière vis-à-vis du point de collision initial. La présence de cette sphère interne a donc un effet sur la probabilité p. Cette probabilité est déterminée selon l’expression suivante : p=

208

P (µ ) exp (−Σ t l ) P (η )

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

Avec P ( µ ) la probabilité que le cosinus de l’angle formé par la direction de la collision et de la direction de diffusion vers la sphère DXTRAN soit m, et P (η ) est la probabilité que le cosinus de l’angle formé entre l’axe reliant le point de collision au centre de la sphère et la direction de diffusion vers la sphère DXTRAN soit η ; le cosinus η étant limité sur sa borne supérieure par la dimension de la sphère externe. Ce ratio de probabilités peut être pensé comme la probabilité pour qu’une pseudo-particule dirigée vers la sphère DXTRAN, le soit avec une direction précise portée par η . La probabilité P (η ) que la pseudo-particule soit diffusée en direction de la sphère interne est 5 fois plus forte que pour le reste de la sphère externe. En conséquence, les pseudo-particules en direction de la sphère interne ont un poids statistique 5 fois plus faible que celle en direction du reste de la sphère externe (voir figure 3.V.3). Enfin, le terme en exponentiel, traduit le transport déterministe de la pseudo-particule, sans interaction sur le parcours en ligne droite de longueur l , jusqu’à la surface de la sphère externe. Dans ces conditions, si une particule est affectée d’un poids statistique wo avant la collision, le poids de la pseudo-particule au moment de son intersection avec la sphère externe est : w pp = pwo = wo

P (µ ) exp (−Σ t l ) P (η )

Une fois à la surface de la sphère externe, la « pseudo-particule » suit un mode de transport et une contribution au tally avec le traitement classique. Cette possibilité de concentrer le tir vers une sphère interne présente un intérêt, par exemple, lorsque la sphère DXTRAN est centrée sur un tally de type ponctuel : l’essentiel des pseudoparticules est alors concentré dans la région proche du tally et le reste participe à des interactions dans une région plus éloignée circonscrites aux limites imposées par la sphère externe.

Figure 3.V.3 Principe de la sphère DXTRAN dans MCNP.

209

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Dans notre cas d’étude, pour calculer le rayonnement diffusé à 45° du fantôme d’eau, il ne convient pas de « ceinturer » le tally par une sphère DXTRAN, mais plutôt de concentrer les tirs sur la face avant du fantôme responsable de la diffusion. Idéalement, la sphère externe doit être d’un diamètre égal au diamètre de la surface diffusante, à savoir 16 cm et centrée au milieu de la face avant du fantôme présentant un diamètre de 20 cm. Les rayons des sphères interne et externe sont fixés avec la même valeur de 8 cm puisque dans ce cas d’étude, le flux de rayonnement primaire de freinage est sensiblement le même sur toute la largeur de la tâche de diffusion ; il n’est donc pas nécessaire de privilégier une zone centrale pour les « pseudo-particules ». Dans le fichier MCNP, ci-après, le faisceau primaire d’électrons interagit avec une cible de tungstène de pente 45°, générant le rayonnement X de freinage. Ce rayonnement de freinage est filtré par 3 mm d’aluminium. Pour cela une peau sphérique de 3 mm d’aluminium ceinture la cible de tungstène. Le faisceau de photons de freinage est collimaté au moyen d’un cylindre de 1 mm d’épaisseur (voir figure 3.V.4 et cellule 30). L’estimateur statistique utilisé est de type F5 ; il permet le calcul de la fluence ponctuelle à 45° de la génératrice du fantôme et à une distance de 50 cm du centre de sa face avant. La pondération du spectre énergétique des photons secondaires, en ce point, par les coefficients de conversion « fluence-équivalent de dose ambiant » de l’ICRP (1996), permet l’obtention d’un résultat de calcul en équivalent de dose ambiant par électron-source (H * (10) / N e − ) en pSv. (e −) −1. c ***** diffusion d’un faisceau de généX sur un fantome****** 10 11 -19.3 -200 $ geneX

15 12 -2.7 -920 910 $ filtration 20 0

-91 #10 #15 #30 #40 $ zone de calcul

30 0 100 -104 101 -102 $ cone emission 40 1 -1 -110

$ fantome

50 0 91

91 RCC 0 0

-10.31 0 0 170 100

100 CZ 1.59577 101 Pz 20

102 pz 20.0001 104 cZ 100

110 RCC 0 0 100 0 0 40 10

200 RCC 0 0 0 0 .707 -.707 5 910 SO 10

920 SO 10.3 imp:e imp:p

$ 920-910 : épaisseur filtration

1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0

mode e p

sdef pos=0 0 0 vec=0 1 0 dir=1 par=e M1 1001 2 8000 1 M11 74000 1 M12 13000 1

F5:p 0 -35.35 64.64 .1 $ 45°

210

erg=.15

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

C coef CIPR 74 H*(10) photons

DE5 .01 .015 .02 .03 .04 .05 .06 .08 .1 .15 .2 .3 .4 .5 .6 & .8 1 1.5 2 3 4 5 6 8 10

DF5 0.061 .83 1.05 .81 .64 .55 .51 .53 .61 .89 1.2 1.8 2.38 2.93 3.44 & 4.38 5.2 6.9 8.6 11.1 13.4 15.5 17.6 21.6 25.6 c F15:p 0 -35.35 64.64 .1 $ 45° C coef CIPR 74 H*(10) photons

c DE15 .01 .015 .02 .03 .04 .05 .06 .08 .1 .15 .2 .3 .4 .5 .6 & c .8 1 1.5 2 3 4 5 6 8 10

c DF15 0.061 .83 1.05 .81 .64 .55 .51 .53 .61 .89 1.2 1.8 2.38 2.93 3.44 & c 4.38 5.2 6.9 8.6 11.1 13.4 15.5 17.6 21.6 25.6 stop F5 .04

cut:p j .01 j j j cut:e j .01 j j j DXT:p 0 0 100 8 8

 Fichier 3.V.1  

Le résultat obtenu est :

nps

tally

mean

5

error

vov

25000000 2.2407E-10 0.0263 0.0170

slope 7.5

fom

5.8E+00

Le calcul final du débit d’équivalent de dose ambiant (mSv/h) s’obtient à partir de l’intensité i du générateur X comme suit :  H (10)  i H * (10) = 3.6 × 10 −6    Ne−  e *

 H * (10)  Avec   le résultat MCNP, en pSv par électron, i le courant en ampère  Ne−  qui vaut 1 × 10–3 A, e la charge élémentaire d’un électron, i.e. 1.602 × 10–19 et le facteur 3.6 × 10 −6 correspondant à la conversion de secondes en heures et de pSv en mSv. Ce calcul conduit finalement à : 1 × 10 −3  −1 H * (10) = 3.6 × 10 −6 × 2.24 × 10 −10 ×   = 5 mSv.h  1.602 × 10 −19  La résolution semi-empirique surestime de 16 % le calcul Monte-Carlo, ce qui compte tenu de la complexité de la scène radiologique modélisée constitue un écart qui peut être considéré comme satisfaisant vu la simplicité de la méthode semi-empirique proposée. La figure 3.V.4-b montre le transport des photons de freinage pour une exécution du fichier avec 1 000 électrons. On remarquera la focalisation des pseudo-particules photoniques vers la sphère DXTRAN au niveau de la face avant du fantôme, ainsi que le tir des particules réelles.

211

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Figure 3.V.4 a) Modélisation de la scène radiologique dans MCNP (sphère DXTRAN en pointillé). b) Visualisation du transport des particules (photons de freinage) pour 1 000 électrons tirés.

3.VI Calcul des protections radiologiques autour

d’un accélérateur d’électrons avec une cible de conversion X

Résumé On se propose d’étudier les problèmes de radioprotection liés à un accélérateur d’électrons d’intensité 100 nA et d’énergie 20 MeV interagissant avec une cible de conversion en tungstène. La durée mensuelle de fonctionnement du dispositif est de 20 heures. L’objectif de dimensionnement de l’installation consiste à obtenir une zone non réglementée à l’extérieur des protections, soit un équivalent de dose ambiant cumulé inférieur ou égal à 80 mSv par mois. Pour cette application, on considère une distance source observateur d = 5 m (voir figure 3.VI.1). Les problématiques connexes de l’activation de l’air, de l’effet de ciel ainsi que la production d’ozone sont également abordées. Avertissement Nous considérons pour cette application, un « accélérateur idéal » ; c’est-à-dire pour lequel seules sont prises en compte les interactions des électrons de 20 MeV avec la cible. Pour une étude exhaustive, il y aurait lieu d’évaluer le terme-source et de réaliser les calculs inhérents pour l’ensemble des pertes du faisceau d’électrons susceptibles de provoquer des interactions secondaires avec des éléments de structure (perte dans un aimant de déviation, diagnostic faisceau…).

212

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

x

d

observateur

θ faisceau d'électrons

cible

 Figure 3.VI.1  Schéma de principe du dispositif d’irradiation avec blindage radiologique.

Objectifs – Étude globale des termes-sources pour un dispositif d’irradiation – Calcul de l’équivalent de dose ambiant dû aux rayonnements de freinage des électrons dans le tungstène – Évaluation de l’énergie des photoneutrons – Calcul de l’équivalent de dose ambiant dû aux neutrons engendrés lors des réactions photonucléaires – Calcul du blindage radiologique autour d’un accélérateur d’électrons avec cible de conversion – Calcul de la composante d’exposition externe due à l’effet de ciel – Calculs numériques de l’activité à saturation dans la cible pour des réactions neutroniques et photonucléaires – Évolution de l’activité de l’air en fonction du temps avec prise en compte d’un taux de renouvellement – Calcul de la concentration en ozone suite à l’interaction des photons avec les molécules d’air dans un dispositif d’irradiation Dans cette application, on s’attache à mettre en évidence les différents termessources en présence, que ce soit de façon instantanée lors du fonctionnement du dispositif : rayonnements primaires et secondaires, ou de façon différée : activation des éléments de structures, production d’ozone… Selon les objectifs de radioprotection, la première composante peut donner lieu à la conception d’un blindage et la seconde à la mise en place de contre-mesures telles que l’ajout d’une ventilation avec débit ajusté.

213

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Partie 1 : Calcul des débits d’équivalent de dose ambiant lors de l’interaction des électrons avec le tungstène Concernant les composantes instantanées du terme-source, elles sont de deux types. L’interaction du faisceau d’électrons dans la cible de tungstène induit pour partie le freinage de ces derniers dans la matière, ce qui provoque l’émission de photons secondaires dont l’énergie est inférieure ou égale à celle des électrons incidents. Ces photons peuvent être suffisamment énergétiques pour être responsables, à leur tour, de la production des neutrons à partir des réactions photonucléaires permises par les seuils en énergie. a) Approche semi-empirique pour la composante photonique Pour le calcul du débit d’équivalent de dose ambiant dû aux photons de freinage, il est possible d’utiliser des abaques ; par exemple, celui montré à la figure 3.VI.2 donne H * (10) / i , le débit d’équivalent de dose ambiant à un mètre de la cible et par mA, en fonction de l’énergie des électrons primaires et pour les directions d’incidence (0°) et perpendiculaire à la cible (90°). 0°

3

2

10

1

10

90°

-1

-1

H*(10) Sv.h .µA à 1 mètre de la cible

10

0

10

-1

10

-2

10

1

10

100

Energie des électrons (MeV)

 Figure 3.VI.2  Débit d’équivalent de dose ambiant à un mètre de la cible et par mA, en fonction de l’énergie des électrons primaires et pour les deux directions : 0 et 90° (d’après les données de Antoni et Bourgois, 2017).

214

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

D’après cet abaque, pour une énergie de 20 MeV, on obtient à 1 mètre de la cible : (H γ* (10) / i )0° = 100 Sv.h −1 .µA −1 à 0° et (H γ* (10) / i )90° = 1.4 Sv.h −1 .µA −1 à 90°. Pour un point de fonctionnement avec une intensité de 100 nA, on obtient : H γ* (10)0° = 100 × 100 × 10 −3 = 10 Sv/h H γ* (10)90° = 1.4 × 100 × 10 −3 = 0.14 Sv/h On notera un écart d’environ deux décades entre les débits d’équivalent de dose ambiant pour les deux directions ; cette différence tient, pour partie, à une émission préférentielle du rayonnement de freinage, dans la direction d’incidence des électrons primaires. b) Approche analytique et semi-empirique pour la composante neutronique Les photons de freinage pouvant atteindre une énergie de 20 MeV, il convient de vérifier si ces derniers sont susceptibles de provoquer des réactions à seuil de type photonucléaire (a minima la réaction (γ,n)). Pour les différents isotopes du tungstène, les seuils des réactions (γ,n) sont donnés dans le tableau 3.VI.1 et sont issus de la référence IAEA, 2000.  Tableau 3.VI.1  Seuils des réactions (γ,n) pour les isotopes du tungstène. Isotope

Seuil (en MeV) de la réaction (g,n)

182W

8.07

183W

6.19

184W

7.41

186W

7.19

Les seuils de production de la réaction (γ,n) sont donc atteints pour chacun des isotopes du tungstène. L’énergie des neutrons créés peut être évaluée, par exemple, au moyen de la formule de Wattenberg, 1947 proposée ci-après.

En =

2 ( A − 1) ( Eγ − E s ) Eγ2  A −1  E − E − (1) + Eγ cos θ   γ s A  1862 ( A − 1)  913 A 3

avec A la masse atomique de la cible, E l’énergie des photons responsables de la réaction, E s l’énergie seuil de la réaction et θ l’angle d’émission des neutrons produits. Dans cette formulation analytique, on remarque que pour des masses atomiques importantes, typiquement celles des isotopes du tungstène, le second terme est négligeable et qu’en conséquence, la direction d’émission du neutron n’influence pas l’énergie de ce dernier. De même, le terme de gauche est sensiblement égal à la différence d’énergie Eγ − E s . Ainsi, il peut être conclu que pour la cible de tungstène, les photoneutrons créés ont une énergie maximale environ égale à 20 − 8 = 12 MeV.

215

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Sv per electrons at 1 meter

Pour estimer l’équivalent de dose ambiant dû à ces neutrons secondaires, on utilise, ici, les abaques proposés à la figure 3.VI.3. Ces derniers fournissent l’équivalent de dose ambiant par électrons du faisceau primaire en fonction de l’énergie des électrons pour différents matériaux de cible. 10

-15

10

-16

10

-17

10

-18

10

-19

10

-20

10

-21

10

-22

10

-23

W cu pb Be U

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Electrons energy (MeV)

 Figure 3.VI.3  Abaques de l’équivalent de dose ambiant en fonction de l’énergie des photoneutrons (d’après Antoni et Bourgois, 2017).

Pour des électrons de 20 MeV , on obtient H n* (10) / N e − = 8.2 × 10 −18 Sv. (e −) −1 ; pour 100 nA il vient donc :  H * (10)  i 100 × 10 −9 = 8.2 × 10 −18 × H n* (10) =  n  1.602 × 10 −19  Ne−  e = 5.1 × 10 −6 Sv.s −1 (18.4 mSv ⋅ h −1 ) On remarque la faiblesse de cette valeur comparée à l’équivalent de dose ambiant dû aux photons. c) Calcul numérique des équivalents de dose pour les composantes photoniques et neutroniques Pour modéliser la scène radiologique, on simule un cylindre de tungstène de 1 cm de long et 1 cm de rayon. Nous préciserons qu’une profondeur de 1 cm correspond approximativement à deux fois la portée des électrons de 20 MeV dans le tungstène. La génération des photoneutrons dans MCNP nécessite que la 4e entrée i.e. « ispn » de la carte de paramétrage de la physique des photons « phys:p », soit différente de 0. On choisit pour le fichier d’entrée de fixer la valeur de ce paramètre à –1 afin d’obtenir une production de photoneutrons de manière « analogue », c’est-à-dire avec une description détaillée des phénomènes physiques intervenant lors des interactions. Le transport mixte d’électrons, de photons et de neutrons est prohibitif en termes de suivi des particules et de temps de calcul dans MCNP ; la technique

216

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

de biaisage en énergie est donc activée au moyen de la carte d’énergie de coupure « cut » pour se limiter au transport des électrons et photons dont l’énergie est supérieure à 100 keV. Le fichier permettant ce calcul mixte est proposé ci-après. calcul accélératr d’électrons c cells

10 1 -19.3 -10 $ cible 20 0 -20 10 30 0 20

10 RCC 0 0 0 0 0 1 1 $ 2 x le parcours 20 RCC 0 0 -1e-3 0 0 110 110 imp:e

1 0 0

imp:p,n

1 1 0

mode p n e

sdef par=e pos 0 0 1e-5 axs 0 0 1 ext 0 vec 0 0 1 dir 1 erg 20 PHYS:N 20 0 0 J J J 0 -1 J J J 0 0

PHYS:E 20 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 J J 0.917 0.001

c 4e entrée de PHYS:p ispn=-1, then photonuclear particle production is analog PHYS:P 20 0 0 -1 0 J 0

M1 74182 -.26 74183 -.14 74184 -.3 74186 -.3 F5:p 0 0 100 .1 E5 0 100i 20

F15:n 0 0 100 .1 E15 0 100i 20

F25:p 0 100 0 .1 E25 0 100i 20

F35:n 0 100 0 .1 E35 0 100i 20

F45:p 0 0 100 .1 F55:n 0 0 100 .1 F65:p 0 100 1 .1 F75:n 0 100 1 .1

C coef CIPR 74 H*(10)/phi neutrons

DE55 1e-9 1e-8 2.53e-8 1e-7 2e-7 5e-7 1e-6 2e-6 5e-6 1e-5 2e-5 5e-5 1e-4 2e-4 & 5e-4 1e-3 2e-3 5e-3 1e-2 2e-2 3e-2 5e-2 7e-2 .1 .15 .2 .3 .5 .7 .9 1 1.2 2 & 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 15 16 18 20 30 50 75 100 125 150 175 201

DF55 6.6 9 10.6 12.9 13.5 13.6 13.3 12.9 12 11.3 10.6 9.9 9.4 8.9 &

8.3 7.9 7.7 8 10.5 16.6 23.7 41.1 60 88 132 170 233 322 375 400 416 425 420 & 412 408 405 400 405 409 420 440 480 520 540 555 570 600 515 400 330 285 260 & 245 250 260

DE75 1e-9 1e-8 2.53e-8 1e-7 2e-7 5e-7 1e-6 2e-6 5e-6 1e-5 2e-5 5e-5 1e-4 2e-4 & 5e-4 1e-3 2e-3 5e-3 1e-2 2e-2 3e-2 5e-2 7e-2 .1 .15 .2 .3 .5 .7 .9 1 1.2 2 & 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 15 16 18 20 30 50 75 100 125 150 175 201

DF75 6.6 9 10.6 12.9 13.5 13.6 13.3 12.9 12 11.3 10.6 9.9 9.4 8.9 &

8.3 7.9 7.7 8 10.5 16.6 23.7 41.1 60 88 132 170 233 322 375 400 416 425 420 & 412 408 405 400 405 409 420 440 480 520 540 555 570 600 515 400 330 285 260 & 245 250 260

C conversion coefficient H*(10)/phi pSv.cm2 pour les photons

DE45 .01 .015 .02 .03 .04 .05 .06 .08 .1 .15 .2 .3 .4 .5 .6 & .8 1 1.5 2 3 4 5 6 8 10 20

217

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

DF45 0.061 .83 1.05 .81 .64 .55 .51 .53 .61 .89 1.2 1.8 2.38 2.93 3.44 & 4.38 5.2 6.9 8.6 11.1 13.4 15.5 17.6 21.6 25.6 50

DE65 .01 .015 .02 .03 .04 .05 .06 .08 .1 .15 .2 .3 .4 .5 .6 & .8 1 1.5 2 3 4 5 6 8 10 20

DF65 0.061 .83 1.05 .81 .64 .55 .51 .53 .61 .89 1.2 1.8 2.38 2.93 3.44 & 4.38 5.2 6.9 8.6 11.1 13.4 15.5 17.6 21.6 25.6 50 cut:p j .1 j j j cut:e j .1 j j j nps 62E6

 Fichier 3.VI.1  

L’estimateur statistique utilisé est de type « F5 » et permet le calcul de la fluence ponctuelle. L’ajout de la carte « e5 » permet d’obtenir le spectre énergétique par bandes d’énergie et par électron émis par la source, (Φ E / N e − ) , selon le nombre d’intervalles définis ; ce nombre dans le fichier ci-après est de 100 jusqu’à 20 MeV. La pondération du spectre énergétique des photons et des neutrons secondaires par les coefficients de conversion « fluence-équivalent de dose ambiant » de l’ICRP (1996) est opérée au moyen des cartes « de » et « df » ; elle permet l’obtention d’un résultat de calcul en équivalent de dose ambiant par électron-source (H * (10) / N e − ) en pSv. (e −) −1. Les spectres et équivalents de dose pour les neutrons et les photons, à 1 mètre de la cible sont calculés pour 0° et 90°. Le tableau 3.VI.2 donne pour chaque tally du fichier d’entrée la grandeur calculée.   Tableau 3.VI.2  Grandeurs calculées pour chaque tally du fichier MCNP. tally

Type de résultat

Type de particule

Direction du point de calcul (à 1 mètre de la cible)

5

Spectre de la fluence

photons

0°

15

Spectre de la fluence

neutrons

0°

25

Spectre de la fluence

photons

90°

35

Spectre de la fluence

neutrons

90°

45

Équivalent de dose

photons

0°

55

Équivalent de dose

neutrons

0°

65

Équivalent de dose

photons

90°

75

Équivalent de dose

neutrons

90°

Le calcul final du débit d’équivalent de dose ambiant en Sv.h −1, s’obtient à partir de l’intensité i du courant d’électrons de l’accélérateur comme suit :  H (10)  i H * (10) = 3.6 × 10 −9    Ne−  e *

218

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

Avec (H * (10) / N e − ) le résultat MCNP (pSv par électron), i le courant en ampère, e la charge élémentaire d’un électron et le facteur 3.6 × 10 −9 permettant la conversion de secondes en heures et de pSv en Sv . L’ensemble des résultats obtenus pour la grandeur opérationnelle et pour les deux composantes est synthétisé dans le tableau 3.VI.3.  Tableau 3.VI.3  Synthèse des résultats des calculs numériques des équivalents de dose pour les composantes photonique et neutronique, à 0 et 90°. Calcul MCNP H γ* (10)0°

9.94 Sv/h

H γ* (10)90°

0.13 Sv/h

H n* (10)0°

11.4 mSv/h

H n* (10)90°

9.6 mSv/h

-4

10

-5

10

-6

10

-7

10

-8

10

-9

-8

10

0° 90°

-9

10

0° 90°

-2

10

φ/ΔE (n).cm pour 1 électron

-2

-1

φ/ΔE - (γ).cm .MeV par électrons

Les spectres photoniques et neutroniques obtenus avec les tally de 5 à 35, pour les deux composantes et aux angles 0 et 90° sont donnés dans les figures 3.VI.4-a et 3.VI.4-b. Concernant les spectres neutroniques, on remarquera que, comme montré précédemment au moyen de la formule (1), l’énergie maximale des neutrons secondaires est de l’ordre de 12 MeV et le spectre est invariant quelle que soit la direction d’émission. Pour les spectres énergétiques de la fluence des photons de freinage, a contrario, on observera une diminution importante de l’énergie maximale, ainsi qu’une diminution globale des fluences par bande d’énergie à 90°.

-10

10

-11

10

0

2

4

6

8

10

E (MeV)

12

14

16

18

20

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

E (MeV)

 Figure 3.VI.4  Spectres énergétiques de la fluence pour les composantes photoniques (a) et neutroniques (b), à 0 et 90°, calculés avec MCNP.

219

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Partie 2 : Calcul des protections biologiques pour le terme-source instantané La connaissance du terme-source instantané rend dès lors possible le calcul des épaisseurs de protection biologiques à mettre en place pour se conformer aux limites de l’exposition externe, imposées par l’objectif de radioprotection. a) Modèle semi-empirique pour le calcul du mur primaire Le mur primaire permet la protection contre l’exposition dans l’axe d’incidence des électrons à l’arrière de la cible. L’épaisseur de ce mur peut s’obtenir au moyen de facteurs de transmission. Le débit d’équivalent de dose ambiant total H t* (10)obs derrière le mur et à une distance d entre la source et l’observateur se calcule alors selon l’expression suivante :

H t* (10)obs =

H γ* (10)0° d2

Tγ (θ , x ) +

H n* (10) Tn ( x ) (2) d2

H γ* (10)0° est le débit d’équivalent de dose ambiant dû aux photons à 1 mètre sans protection et précédemment calculé, d est la distance en mètres entre la cible et l’observateur, q est l’angle formé entre le faisceau d’électrons et l’observateur. Le terme Tγ (θ , x ) désigne le facteur de transmission des photons pour une épaisseur x de protection ; cette valeur peut être déterminée au moyen d’abaques. H n* (10) est le débit d’équivalent de dose ambiant des neutrons à 1 mètre de la cible sans protection ; le rayonnement neutronique étant isotrope, cette valeur est invariante avec q. Enfin Tn ( x ) est le facteur de transmission des neutrons pour une épaisseur x de protection ; il est de fait également indépendant de q. On peut négliger dans un premier temps l’équivalent de dose ambiant dû aux neutrons, en raison de la faiblesse de cette composante en comparaison avec celle des photons. Avec un débit d’équivalent de dose ambiant pour les photons et à 0°, calculé précédemment de 10 Sv.h −1, ce débit devient 200 Sv.mois −1 pour un fonctionnement mensuel de 20 heures. Ainsi, pour une limite mensuelle de 80 mSv imposée par l’objectif initial, la valeur du facteur de transmission correspondante est :  H * (10)obs Tγ (0°, x ) = d 2  t *   H γ (10)0°

 2 80 × 10 −6  = 5 × 200 = 10 −5 

L’abaque présenté à la figure 3.VI.5 donne l’épaisseur de béton en fonction du facteur de transmission pour des générateurs X de 1 à 100 MeV. Pour un facteur de transmission de 10 −5, l’épaisseur de béton à interposer en tant que mur primaire est 2.3 mètres.

220

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

0

10

-1

10

-2

10

-3

mur secondaire

10

E0 (MeV)

-4

10

Tγ

100 mur primaire

-5

10

-6

10

-7

10

2

-8

10

3

4

6

10

40

15

30 20

1

-9

10

0

50

100

150

200

250

300

Epaisseur de béton (cm)

Figure 3.VI.5 Épaisseur de béton en fonction du facteur de transmission pour des accélérateurs d’électrons d’énergie comprise entre 1 et 100 MeV (d’après Antoni et Bourgois, 2017).

Il convient de vérifier désormais si pour une telle épaisseur, le débit d’équivalent de dose ambiant dû à la composante neutronique est négligeable. Le facteur de transmission pour les neutrons peut être évalué à partir de l’exponentielle décroissante suivante : xρ Tn ( x ) = exp − ρλ

( )

avec ρλ la longueur d’atténuation homogène à une masse surfacique en kg.m −2 . Les valeurs de ce terme, en fonction de l’énergie des neutrons sont tirées de la NCRP, 2003, et fournies à la figure 3.VI.6. Pour une énergie de neutrons de 12 MeV, cette valeur est de 300 kg.m −2.

Figure 3.VI.6 Longueur d’atténuation pour des neutrons atténués par du béton ordinaire (d’après la NCRP 144).

221

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Avec un débit d’équivalent de dose ambiant pour les neutrons et à 0°, calculé précédemment de 1.8 × 10 −2 Sv.h −1, ce débit devient 0.36 Sv.mois −1 pour un fonctionnement mensuel de 20 heures ; l’équivalent de dose ambiant mensuel qui en résulterait derrière la protection serait :

( )

H * (10) xρ 0.36 2.3 × 2.35 × 103  = 2 exp  − H n* (10)obs = n 2 exp −  ρλ 300 5 d   = 2.1 × 10 −10 Sv.mois −1 En conséquence, l’équivalent de dose ambiant neutronique peut être négligé pour une telle dimension de protection biologique. D’une façon plus générale, cette démarche peut être étendue aux études des accélérateurs d’électrons de moins de 50 MeV pour lesquelles les protections biologiques peuvent être uniquement dimensionnées pour le terme-source instantané lié aux photons, en négligeant la composante neutronique marginale. b) Calcul du mur secondaire Le mur secondaire disposé latéralement vis-à-vis de la direction d’incidence des électrons est dimensionné pour la composante à 90°. L’hypothèse de calcul reste la même que précédemment et le facteur de transmission n’est déterminé que pour la composante photonique. Avec un débit d’équivalent de dose ambiant pour les neutrons et pour un angle de 90°, calculé précédemment de 0.14 Sv.h −1, ce débit devient 2.8 Sv.mois −1 pour un fonctionnement mensuel de 20 heures. La valeur de transmission qui en découle est :

 H * (10)obs  2  80 × 10 −6  −4 Tγ (90°, x ) = d 2  t* = 5 ×  = 7 × 10 (3)  (10)  2 . 8 H   90°   γ

Le spectre de freinage émis à 90° de la cible est moins énergétique qu’à 0° (voir les spectres calculés par MCNP en figure 3.VI.4a). Aussi, pour obtenir l’épaisseur de béton du mur secondaire et de manière pénalisante, la NCRP (1977) propose de considérer 2/3 de l’énergie initiale des électrons, soit, ici : 13.3 MeV. Par défaut, la valeur de l’épaisseur est lue sur la ligne « mur secondaire » de la figure 3.VI.5, relative au facteur de transmission à 15 MeV ; l’épaisseur trouvée est de 140 cm. L’équivalent de dose ambiant au niveau de l’observateur dû à la composante neutronique pour une telle épaisseur est : 0.36 1.4 × 2.35 × 103  −7 −1 * H neutron = 2 exp  −  = 2.5 × 10 Sv.moiss 300 5   Là encore, l’équivalent de dose ambiant mensuel pour cette composante due aux neutrons peut être considéré comme négligeable. c) Calcul numérique de l’équivalent de dose ambiant derrière les protections radiologiques L’approche retenue pour le calcul numérique est similaire à celle détaillée dans la partie 2 de l’exercice 3.III relatif au calcul de la protection biologique autour d’un

222

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

générateur X ; il s’agit de réaliser l’évaluation de l’équivalent de dose ambiant derrière la protection en deux étapes. Le facteur de normalisation f H est déterminé au moyen d’un fichier MCNP dans lequel le spectre des photons de freinage du paragraphe c) de la partie précédente, se substitue aux faisceaux d’électrons incidents et à la cible. Le fichier ci-après permet d’obtenir ce facteur pour le spectre de freinage à 0°. dose photon O° 10 0 -10 20 0 10

10 SO 150 mode p

imp:p 1 0

sdef par=p pos 0 0 0 erg=d2

SI2 H 0.00E+00 1.98E-01 3.96E-01 5.94E-01 7.92E-01 9.90E-01 1.19E+00 1.39 & 1.58E+00 1.78E+00 1.98E+00 2.18E+00 2.38E+00 2.57E+00 2.77E+00 2.97E+00 & 3.17E+00 3.37E+00 3.56E+00 3.76E+00 3.96E+00 4.16E+00 4.36E+00 4.55E+00 & 4.75E+00 4.95E+00 5.15E+00 5.35E+00 5.54E+00 5.74E+00 5.94E+00 6.14E+00 & 6.34E+00 6.53E+00 6.73E+00 6.93E+00 7.13E+00 7.33E+00 7.52E+00 7.72E+00 & 7.92E+00 8.12E+00 8.32E+00 8.51E+00 8.71E+00 8.91E+00 9.11E+00 9.31E+00 & 9.51E+00 9.70E+00 9.90E+00 1.01E+01 1.03E+01 1.05E+01 1.07E+01 1.09E+01 & 1.11E+01 1.13E+01 1.15E+01 1.17E+01 1.19E+01 1.21E+01 1.23E+01 1.25E+01 & 1.27E+01 1.29E+01 1.31E+01 1.33E+01 1.35E+01 1.37E+01 1.39E+01 1.41E+01 & 1.43E+01 1.45E+01 1.47E+01 1.49E+01 1.51E+01 1.52E+01 1.54E+01 1.56E+01 & 1.58E+01 1.60E+01 1.62E+01 1.64E+01 1.66E+01 1.68E+01 1.70E+01 1.72E+01 & 1.74E+01 1.76E+01 1.78E+01 1.80E+01 1.82E+01 1.84E+01 1.86E+01 1.88E+01 & 1.90E+01 1.92E+01 1.94E+01 1.96E+01 1.98E+01 2.00E+01

SP2 D 0.00E+00 1.26E-07 2.67E-06 1.45E-05 1.88E-05 2.00E-05 1.93E-05 &

1.80E-05 1.66E-05 1.51E-05 1.38E-05 1.24E-05 1.15E-05 1.04E-05 9.66E-06 & 8.88E-06 8.26E-06 7.62E-06 7.07E-06 6.57E-06 6.15E-06 5.74E-06 5.32E-06 & 5.10E-06 4.81E-06 4.51E-06 4.26E-06 4.04E-06 3.82E-06 3.64E-06 3.45E-06 & 3.28E-06 3.10E-06 2.98E-06 2.84E-06 2.69E-06 2.60E-06 2.46E-06 2.37E-06 & 2.27E-06 2.14E-06 2.06E-06 2.03E-06 1.93E-06 1.84E-06 1.76E-06 1.69E-06 & 1.66E-06 1.59E-06 1.54E-06 1.47E-06 1.43E-06 1.37E-06 1.31E-06 1.27E-06 & 1.23E-06 1.19E-06 1.14E-06 1.10E-06 1.06E-06 1.04E-06 9.90E-07 9.46E-07 & 9.42E-07 8.97E-07 8.48E-07 8.36E-07 7.93E-07 7.98E-07 7.50E-07 7.37E-07 & 7.19E-07 6.97E-07 6.58E-07 6.54E-07 6.24E-07 6.04E-07 5.97E-07 5.82E-07 & 5.48E-07 5.26E-07 5.19E-07 4.88E-07 4.87E-07 4.68E-07 4.40E-07 4.36E-07 & 4.10E-07 4.09E-07 3.69E-07 3.43E-07 3.44E-07 3.30E-07 2.98E-07 2.57E-07 & 2.32E-07 2.18E-07 2.00E-07 1.59E-07 1.33E-07 9.64E-08 6.43E-08 F45:p 0 0 100 .1

DE45 .01 .015 .02 .03 .04 .05 .06 .08 .1 .15 .2 .3 .4 .5 .6 & .8 1 1.5 2 3 4 5 6 8 10 20

DF45 0.061 .83 1.05 .81 .64 .55 .51 .53 .61 .89 1.2 1.8 2.38 2.93 3.44 & 4.38 5.2 6.9 8.6 11.1 13.4 15.5 17.6 21.6 25.6 50 stop F45 .0001

 Fichier 3.VI.2  

223

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Le tally 45 donne, ici, l’équivalent de dose ambiant pour un photon du spectre de freinage à 0° et sans protection ; la valeur obtenue est 9.5201 × 10 −5. Avec le débit d’équivalent de dose ambiant H γ* (10)0° = 9.94 Sv.h −1 obtenu pour 50 mA (voir tableau 3.VI.3), le facteur de normalisation pour l’équivalent de dose ambiant est donc : 9.94 fH = = 1.04 × 105 Sv.h −1 /pSv. (γ ) −1 9.5201 × 10 −5 Ensuite, dans un second fichier, le mur de 2.3 m de béton est modélisé. Pour faciliter la convergence du tally 45, on utilise la technique de réduction de variance par maillage spatial des poids statistiques au moyen de la carte « wwg » (voir le problème 3.II relatif au calcul du débit d’équivalent de dose ambiant d’une source de photons de 60Co derrière un blindage). Le fichier est le suivant : Mur primaire

c bloc1 les cellules 10 1 -1.3e-3 -10

$ air

20 2 -2.35

$ protection béton

15 2 -2.35

-15

25 2 -2.35

-25

30 2 -2.35 35 2 -2.35 40 2 -2.35 45 2 -2.35 50 2 -2.35 55 2 -2.35 60 2 -2.35 65 2 -2.35 70 2 -2.35 75 2 -2.35 80 2 -2.35 85 2 -2.35

$ protection béton

-20

$ protection béton

-30

$ protection béton

-35

$ protection béton

-40

$ protection béton

-45

$ protection béton

-50

$ protection béton

-55

$ protection béton

-60

$ protection béton

-65

$ protection béton

-70

$ protection béton

-75

$ protection béton

-80

$ protection béton

-85

$ protection béton

90 1 -1.3e-3 -90

$ air

200 0 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 10

RPP

-1000

1000

-1000

1000

-10

200

20

RPP

-1000

1000

-1000

1000

215

230

15 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

224

RPP RPP RPP RPP RPP RPP RPP RPP RPP RPP RPP RPP RPP RPP RPP

-1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000

1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000

-1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000

1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000

200 230 245 260 275 290 305 320 335 350 365 380 395 410 430

215 245 260 275 290 305 320 335 350 365 380 395 410 430 510

$ ext

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

imp:p 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 mode

p

1 1 0

WWG 45 10 0 j j j j 0

M1 7014 .781 8016 .212 7015 .007 $ air

c M3 74182 -.26 74183 -.14 74184 -.3 74186 -.3

c composition labo des bétons : béton standart d=2.381

M2 14000 -20.68 13027 -.363 8016 -50.853 20000 -21.645 12000 -.198 19000 -.088 & 11023 -.0384 16000 -.139 6000 -4.52 22000 -.0155 15031 -.0208 25055 -.0192 & 1001 -.701 26054 -.0418 26056 -.6588 26057 -.0157 26058 -.0024 24052 -.00057 sdef par=p pos 0 0 0 erg d2

SI2 H 0.00E+00 1.98E-01 3.96E-01 5.94E-01 7.92E-01 9.90E-01 1.19E+00 1.39 & 1.58E+00 1.78E+00 1.98E+00 2.18E+00 2.38E+00 2.57E+00 2.77E+00 2.97E+00 & 3.17E+00 3.37E+00 3.56E+00 3.76E+00 3.96E+00 4.16E+00 4.36E+00 4.55E+00 & 4.75E+00 4.95E+00 5.15E+00 5.35E+00 5.54E+00 5.74E+00 5.94E+00 6.14E+00 & 6.34E+00 6.53E+00 6.73E+00 6.93E+00 7.13E+00 7.33E+00 7.52E+00 7.72E+00 & 7.92E+00 8.12E+00 8.32E+00 8.51E+00 8.71E+00 8.91E+00 9.11E+00 9.31E+00 & 9.51E+00 9.70E+00 9.90E+00 1.01E+01 1.03E+01 1.05E+01 1.07E+01 1.09E+01 & 1.11E+01 1.13E+01 1.15E+01 1.17E+01 1.19E+01 1.21E+01 1.23E+01 1.25E+01 & 1.27E+01 1.29E+01 1.31E+01 1.33E+01 1.35E+01 1.37E+01 1.39E+01 1.41E+01 & 1.43E+01 1.45E+01 1.47E+01 1.49E+01 1.51E+01 1.52E+01 1.54E+01 1.56E+01 & 1.58E+01 1.60E+01 1.62E+01 1.64E+01 1.66E+01 1.68E+01 1.70E+01 1.72E+01 & 1.74E+01 1.76E+01 1.78E+01 1.80E+01 1.82E+01 1.84E+01 1.86E+01 1.88E+01 & 1.90E+01 1.92E+01 1.94E+01 1.96E+01 1.98E+01 2.00E+01

SP2 D 0.00E+00 1.26E-07 2.67E-06 1.45E-05 1.88E-05 2.00E-05 1.93E-05 &

1.80E-05 1.66E-05 1.51E-05 1.38E-05 1.24E-05 1.15E-05 1.04E-05 9.66E-06 & 8.88E-06 8.26E-06 7.62E-06 7.07E-06 6.57E-06 6.15E-06 5.74E-06 5.32E-06 & 5.10E-06 4.81E-06 4.51E-06 4.26E-06 4.04E-06 3.82E-06 3.64E-06 3.45E-06 & 3.28E-06 3.10E-06 2.98E-06 2.84E-06 2.69E-06 2.60E-06 2.46E-06 2.37E-06 & 2.27E-06 2.14E-06 2.06E-06 2.03E-06 1.93E-06 1.84E-06 1.76E-06 1.69E-06 & 1.66E-06 1.59E-06 1.54E-06 1.47E-06 1.43E-06 1.37E-06 1.31E-06 1.27E-06 & 1.23E-06 1.19E-06 1.14E-06 1.10E-06 1.06E-06 1.04E-06 9.90E-07 9.46E-07 & 9.42E-07 8.97E-07 8.48E-07 8.36E-07 7.93E-07 7.98E-07 7.50E-07 7.37E-07 & 7.19E-07 6.97E-07 6.58E-07 6.54E-07 6.24E-07 6.04E-07 5.97E-07 5.82E-07 & 5.48E-07 5.26E-07 5.19E-07 4.88E-07 4.87E-07 4.68E-07 4.40E-07 4.36E-07 & 4.10E-07 4.09E-07 3.69E-07 3.43E-07 3.44E-07 3.30E-07 2.98E-07 2.57E-07 & 2.32E-07 2.18E-07 2.00E-07 1.59E-07 1.33E-07 9.64E-08 6.43E-08 F45:p 0 0 500 .1

DE45 .01 .015 .02 .03 .04 .05 .06 .08 .1 .15 .2 .3 .4 .5 .6 & .8 1 1.5 2 3 4 5 6 8 10 20

DF45 0.061 .83 1.05 .81 .64 .55 .51 .53 .61 .89 1.2 1.8 2.38 2.93 3.44 & 4.38 5.2 6.9 8.6 11.1 13.4 15.5 17.6 21.6 25.6 50 stop F45 .02 wwe:p

wwn1:p

1.0000E+02

5.0000E-01

2.5461E-01

1.0270E-01

3.3066E-02

1.1413E-02

5.2268E-05

2.3536E-05

1.0832E-05

5.1590E-06

2.5948E-06

4.2113E-03 1.4487E-06

1.6411E-03

6.6374E-04

2.4543E-04 -1.0000E+00

2.7679E-04

1.1848E-04

 Fichier 3.VI.3  

Le résultat obtenu pour le tally 45 est : tally

45

nps

mean

17408000

error

vov

slope

3.5191E-11 0.0200 0.0161

fom

4.2 7.3E+00

225

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Le résultat final du débit d’équivalent de dose ambiant derrière le mur primaire est finalement :  H * (10)  5 −11 H t* (10)obs ≅ f H   = 1.04 × 10 × 3.52 × 10  N γ 0° = 3.7 × 10 −6 Sv ⋅ h −1 (3.7 µSv ⋅ h −1 )

Pour 20 h de fonctionnement mensuel, le débit d’équivalent de dose ambiant est de 73 µSv.mois −1. On note que le calcul semi-empirique surestime de 9 % le résultat numérique. Cet écart est imputable à l’hypothèse de facteur d’accumulation semiinfini, et probablement à la différence de composition du béton modélisé. Le même calcul avec le spectre de freinage à 90° et 1.4 m de béton pour les murs secondaires conduit à un débit mensuel de 20 µSv.mois −1. Cette valeur est 4 fois plus faible que celle obtenue de façon semi-empirique. Cet écart important peut s’expliquer par le choix pénalisant, préconisé par la NCRP, de ne considérer que 2/3 de l’énergie des électrons incidents et par le choix de lire la courbe du facteur de transmission à 15 MeV faute de disposer de celle à l’énergie précise. En effet, pour un débit mensuel de 20 µSv.mois −1, le facteur de transmission selon l’expression (3) calculé de façon numérique serait :  H * (10)obs  2  20 × 10 −6  −4 −4 Tγ (90°, x ) = d 2  t* = 5 ×  = 1.92 × 10 ~ 2 × 10  (10)  2 . 8 H   90°   γ Cette valeur diffère de la valeur trouvée au paragraphe b) : 7 × 10 −4 . Or, sur les courbes de facteur de transmission, le couple formé par les paramètres : T = 2 × 10 −4 et une épaisseur de mur de 1.4 m, coïncide avec la courbe pour des électrons incidents de 10 MeV (voir figure 3.VI.7) qui s’éloigne des 13 MeV préconisés par la NCRP. Précisons que les facteurs de transmission étant ajustés selon une exponentielle, des écarts importants peuvent rapidement être trouvés entre les calculs semi-empiriques et Monte-Carlo. Néanmoins l’approche semi-empirique reste conservatoire et va dans le sens de la protection. 10

0

10

-1

10

-2

10

-3

10

-4

10

-5

10

-6

E0 (MeV)

mur secondaire

Tγ

100

10

-7

10

-8

10

-9

2

3

4

6

10

40

15

30 20

1 0

50

100

150

200

250

300

Epaisseur de béton (cm)

 Figure 3.VI.7  Incertitude sur le facteur de transmission pour le mur secondaire.

226

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

Partie 3 : Calcul de l’effet de ciel En certains cas, en raison de contraintes mécaniques, l’épaisseur du toit au-dessus du dispositif irradiant ne peut être aussi importante que les murs primaires ou secondaires. Il y a lieu alors d’estimer le débit d’équivalent de dose ambiant pour un observateur situé au niveau de ce toit et de conclure sur les restrictions d’accès à envisager. Par ailleurs, la diffusion des rayonnements, au niveau du toit, sur les molécules d’air, au niveau du toit, peut engendrer un accroissement de l’exposition externe pour un observateur situé à distance des murs primaires et secondaires ; cet accroissement est désigné par « effet de ciel ». Une représentation schématique du phénomène et des grandeurs permettant de l’évaluer est donnée dans la figure 3.VI.8.

Figure 3.VI.8 Schéma de principe de l’effet de ciel.

a) Calculs semi-empiriques de l’effet de ciel photons et neutrons L’effet de ciel pour un observateur situé à l’extérieur de l’installation est évalué, ici, au moyen de la formule semi-empirique proposée par la NCRP, 1977. Cette approche, bien qu’ancienne, est encore recommandée par les normes récentes françaises ou ISO. L’accroissement du débit d’équivalent de dose ambiant dû aux photons au niveau de l’observateur se calcule en µSv.h −1 comme suit : H γef = 2.5 × 10 4

Tt ,γ H 0,γ Ω 1.3

(d i d s ) 2

Le paramètre d s correspond à la distance en mètres entre la source et l’observateur, d i est la distance verticale, en mètres, entre la source et 2 mètres au-dessus du toit (voir figure 3.VI.8), Tt ,γ est le facteur de transmission des photons pour le toit, H 0, le débit d’équivalent de dose ambiant en Sv.h −1 à 1 mètre de la source et Ω  est l’angle solide d’émission en stéradians au niveau du toit, délimité par l’intérieur de l’installation (voir figure 3.VI.8). L’accroissement du débit d’équivalent

227

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

de dose ambiant dû aux neutrons au niveau de l’observateur se calcule en µSv.h −1 comme suit : T H Ω H nef = 5.4 × 102 t ,n 0,n 2π Tt ,n est le facteur de transmission des neutrons pour le toit ; H 0,n le débit d’équivalent de dose ambiant en Sv.h −1 à 1 mètre de la source, pour les neutrons ; et Ω est l’angle solide d’émission en stéradians au niveau du toit, délimité par l’intérieur de l’installation. On remarque d’emblée que cette relation est indépendante de la distance source-observateur. La NCRP (1977) précise que cette relation n’est valable que pour des distances inférieures à 20 m et que dans cette zone le débit d’équivalent de dose ambiant est constant. La casemate étant parallélépipédique, il faut calculer l’angle solide Ω délimité par un rectangle de côté 2p par 2q pour un observateur situé à une distance h sur l’axe central de ce rectangle selon la figure 3.VI.9.

Figure 3.VI.9 Géométrie de calcul de l’angle solide Ω.

Cet angle solide s’obtient selon les différents paramètres comme suit :  pq Ω = 4 arcsin   q 2 + h2 p2 + h2 

  

Pour cette application, on considère un toit d’épaisseur négligeable n’apportant aucune atténuation des champs de rayonnements, ainsi Tt ,γ = Tt ,n = 1. Les valeurs des débits d’équivalents de dose H 0,γ et H 0,n sont donnés dans le tableau 3.VI.3 et sont prises à 90° en raison de la configuration géométrique considérée, soit respectivement : 0.13 Sv/h et 0.01 Sv/h. La surface intérieure de la casemate est délimitée par un rectangle de 7.2 m par 5.4 m, la hauteur entre la cible et le toit est de 1.5 m ; ainsi les paramètres de calculs sont les suivants : p = 3.6 m ; q = 2.7 m et h = 1.5 m. Et l’angle solide trouvé est :  3.6 × 2.7 Ω = 4 arcsin  2  2.7 + 1.52 3.6 2 + 1.52

228

  = 3.8 Sr 

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

Avec d i = 1.5 + 2 = 3.5 m (voir figure 3.VI.8), il vient pour les deux composantes : H ef d = 2.5 × 10 4 × 1 × 0.13 × 3.81.3 = 1.5 × 103  γ ( s ) ds2 (3.5× d s )2  H ef = 5.4 ⋅ 10 2 × 1 × 0.01 × 3.8 = 3.3 µSv.h −1 ∀ d s < 20 m  n 2π b) Calculs numériques Pour ce calcul, on modélise la casemate, la cible de conversion en tungstène, positionnée au centre en (0, 0, 0) et un environnement externe d’air de grande dimension autour de la casemate défini par un parallélépipède de 2×106 m3. En raison de l’atténuation négligeable apportée par le toit, ce dernier n’est pas modélisé. Afin de simuler uniquement l’effet de ciel, aucun transport de particules n’est simulé dans les murs de la casemate ; ce qui se traduit par une importance nulle dans la cellule 30. Le faisceau d’électrons est dirigé selon l’axe des z. Pour faciliter la convergence des estimateurs statistiques, une sphère DXTRAN est ajoutée au-dessus du toit de la casemate (voir le problème 3.V). La géométrie en coupe ZY est donnée sur la figure 3.VI.10. Les calculs des débits d’équivalent de dose ambiant à l’extérieur de la casemate se font selon l’axe des z, à la hauteur de la cible de tungstène, tous les 5 mètres jusqu’à 100 mètres. Les calculs des équivalents de dose sont réalisés à l’aide de tally de type F5 pondérés par les facteurs de conversions fluence-équivalents de dose via les cartes « de » et « df ». Dans le fichier d’entrée ci-après, l’utilisation d’un couple unique de cartes « de0 » et « df0 » permet l’application de la pondération à l’ensemble des tally.

Figure 3.VI.10 Vue en coupe selon le plan zy de la géométrie simulée. À noter que la scène est limitée en z et y à 20 m.

229

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Le fichier pour le calcul des équivalents de dose de la composante photonique est le suivant : calcul effet de ciel c cellules 10 2 -19.3 -10 $ cible W 20 1 -1.2e-3 -20 10 $ air 30 0 -30 20 $ béton 50 1 -1.2e-3 -50 30 100 0 50 10 20 30 50

RCC RPP RPP RPP

0 0 0 0 0 2 1 -360 360 -150 150 -270 270 -500 500 -150 150 -500 500 -10000 10000 -150 10000 -500 10000

vol j 1.1664E8 j j imp:n,p 1 1 0 1 0 imp:e 1 0 0 0 0 mode n p e m1 6000 -0.000124 7014 -0.755268 8016 -0.231781 18000 -0.012827 mx1:p 6012 j j 18040 $ substitution pour photonucléaire m2 74182 -.3 74183 -.1 74184 -.3 74186 -.3 sdef par=e pos 0 0 1e-10 axs 0 0 1 ext 0 rad=d1 vec 0 0 1 dir 1 erg 20 c 4èeme entrée de PHYS:p ispn=-1, then photonuclear particle production is analog PHYS:P 100 0 0 -1 0 J 0 Si1 0 1 sp1 -21 1 ctme 10000 cut:p,e j .01 F5:p 0 0 510 0.1 F55:p 0 0 1000 0.1 F105:p 0 0 1500 0.1 F155:p 0 0 2000 0.1 F205:p 0 0 2500 0.1 F255:p 0 0 3000 0.1 F305:p 0 0 3500 0.1 F355:p 0 0 4000 0.1 F405:p 0 0 4500 0.1 F455:p 0 0 5000 0.1 F505:p 0 0 5500 0.1 F555:p 0 0 6000 0.1 F605:p 0 0 6500 0.1 F655:p 0 0 7000 0.1 F705:p 0 0 7500 0.1 F755:p 0 0 8000 0.1 F805:p 0 0 8500 0.1 F855:p 0 0 9000 0.1 F905:p 0 0 9500 0.1 F945:p 0 0 9900 0.1 C coefficients H*(10)/phi pSv.cm2 pour les photons selon CIPR 74 DE0 .01 .015 .02 .03 .04 .05 .06 .08 .1 .15 .2 .3 .4 .5 .6 & .8 1 1.5 2 3 4 5 6 8 10 DF0 0.061 .83 1.05 .81 .64 .55 .51 .53 .61 .89 1.2 1.8 2.38 2.93 3.44 & 4.38 5.2 6.9 8.6 11.1 13.4 15.5 17.6 21.6 25.6 DXT:p 0 540 0 308 308

 Fichier 3.VI.4  

230

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

Pour le calcul des équivalents de dose neutrons certaines parties du fichier sont modifiées. L’instruction de limite en énergie du transport des photons : « cut:p,e j .01 » et remplacée par « cut:p,e j 5 ». En effet, les seuils de production des photoneutrons étant élevés, il n’est pas utile de transporter les électrons et les photons de moins de 5 MeV pour le calcul des équivalents de dose dus aux neutrons. De plus, les tally de type 5 et les facteurs de pondération « fluence-équivalent de dose ambiant » paramétrés avec les cartes « de0 » et « df0 » sont, cette fois, dédiés aux neutrons. Enfin, l’instruction de carte DXTRAN « DXT:p 0 540 0 308 308 » est remplacé par « DXT:n 0 540 0 308 308 », pour dédier également la sphère aux neutrons. Le calcul final du débit d’équivalent de dose ambiant en mSv/h s’obtient à partir de l’intensité i du courant d’électrons de l’accélérateur comme suit :  H (10)  i H * (10) = 3.6 × 10 −3    Ne−  e *

avec (H * (10) / N e − ) le résultat MCNP (en pSv par électron) et le courant i = 100 nA. c) Résultats de la simulation numérique Le résultat du débit d’équivalent de dose ambiant de la composante photonique en fonction de la distance entre la cible et l’observateur est donné à la figure 3.VI.11-a) ; pour les neutrons, il est donné à la figure 3.VI.12-b). 3.5

20

Pas de formulation pour une distance > 20 m

calcul semi-empirique MCNP

14 12 10 8 6 4 2 0

0

10

20

30

40

50

60

70

Distance par rapport à la cible (m)

80

90

100

calcul semi-empirique MCNP

2.5 Côté accélérateur

16

Débit d'équivalent de dose (µSv/h)

3.0

côté casemate

Débit d'équivalent de dose (µSv/h)

18

2.0 1.5 1.0 0.5 0.0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Distance par rapport à la cible (m)

 Figure 3.VI.11  Débit d’équivalent dû à l’effet de ciel a) pour les photons b) pour les neutrons.

On remarque que, pour les photons, l’approche semi-empirique surévalue largement les résultats numériques pour des distances inférieures à une quinzaine de mètres. Entre vingt et cinquante mètres, le calcul semi-empirique sous-estime la simulation d’un facteur 3 et au-delà de cinquante mètres d’un facteur 4. Pour les neutrons, la formule semi-empirique donne une bonne approximation de la valeur maximale du débit d’équivalent de dose ambiant dû à l’effet de ciel. Par contre cette

231

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

formulation ne prend pas en compte la décroissance de l’équivalent de dose ambiant en fonction de la distance. Concernant l’approche numérique, on observe « un effet d’ombre » à l’approche du mur de la casemate : en deçà de 10 mètres, le débit d’équivalent de dose ambiant diminue à mesure que la distance diminue. Cet effet d’écrantage doit être pris en compte lors des contrôles radiologiques réalisés autour de ce type de dispositif. En effet, une mesure au contact du mur de la casemate ne donne pas nécessairement le débit d’équivalent de dose ambiant maximal ; il y a donc nécessité pour l’opérateur effectuant le contrôle, de réaliser des mesures en plusieurs points à distance des murs. Concernant l’ordre de grandeur des valeurs calculées, on remarque que le débit d’équivalent de dose ambiant maximal, situé aux alentours de 10 mètres, est de 9 mSv.h–1 pour les photons et 3.5 mSv.h–1 pour les neutrons, soit un débit d’équivalent de dose ambiant maximal total de 12.5 mSv.h–1 correspondant à un débit mensuel de 250 µSv.mois −1 pour les hypothèses de fonctionnement du dispositif. Cette valeur est largement supérieure à l’objectif initial visant à limiter l’exposition externe à 80 µSv.mois −1 : la présence d’une protection radiologique au niveau du toit est donc requise pour se conformer à cette limite. L’épaisseur de cette protection se = T 80 = / 250 0.3. détermine à partir du facteur de transmission pour les photons, Pour cette valeur de transmission, il faudrait dimensionner la casemate avec un toit de 23 cm de béton (voir figure 3.VI.5). Pour cette épaisseur, le facteur de transmission des neutrons serait de 10 (voir partie 2), ce qui permettrait de confirmer le respect de la limite de débit recherchée.

Partie 4 : Calcul de l’activation de l’air et de ces conséquences radiologiques Du point de vue de la radioprotection, il est également nécessaire de quantifier l’activation des structures du dispositif et de l’air dans le lieu d’implantation de l’accélérateur. Plusieurs processus physiques peuvent conduire à une activité rémanente après arrêt du faisceau. L’activation est majoritairement induite par les photons de freinage via des réactions de type photonucléaire : (γ,n), (γ,p), (γ,α) et (γ,3He) selon le corps chimique et l’énergie des neutrons. Les neutrons produits lors des réactions (γ,n) peuvent, à leur tour, induire des réactions inélastiques de capture, au premier rang desquelles les réactions (n,γ) et (n,2n). Ces réactions neutroniques restent cependant marginales devant celles réalisées par les photoneutrons provenant de la cible. Dans ce qui suit, nous nous limiterons à évaluer l’activation de l’air ; l’activation des structures du dispositif requérant une définition fine des géométries et des compositions des matériaux constitutifs. a) Réactions photonucléaires sur l’air Les réactions photonucléaires présentant des seuils, il faut dans un premier temps étudier celles qui sont permises sur les constituants de l’air, à l’énergie maximale des photons. Rappelons que l’air est réparti, en masse, selon 0.0124 % de carbone,

232

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

75.5 % d’azote, 23.18 % d’oxygène et 1.3 % d’argon. Ces réactions et leurs seuils sont présentés dans le tableau 3.VI.4.  Tableau 3.VI.4  Réactions photonucléaires permises sur les isotopes de l’air, pour une énergie maximale des photons de 20 MeV. Réaction

Seuil (MeV)

Période du fils

12C(γ,n)11C

18.72

20.36 min

12C

(γ,p)11B

15.96

Stable

12C

(γ,α)8Be

7.37

7E-17 s

14N(γ,n)13N

10.55

10 min

14N(γ,p)13C

7.55

Stable

14N(γ,α)10B

11.61

Stable

16O(γ,n)15O

15.66

2 min

16O(γ,p)15N

12.13

Stable

16O(γ,α)12C

7.16

Stable

40Ar(γ,n)39Ar

9.87

Stable

40Ar(γ,p)39Cl

12.53

56 min

40Ar(γ,α)36S

6.80

Stable

Dans MCNP, les activités induites par les réactions photonucléaires peuvent être évaluées au moyen de la carte de fonction de multiplication « fm » associée à un tally de type 4 fournissant la fluence moyenne de photons dans une cellule Φ γ / N e − . Le i du radionucléide i, par électron résultat obtenu est alors l’activité à saturation Asat émis par la source ; le calcul MCNP conduisant à cette activité peut être formalisé comme suit :  Φγ  i =c σ Asat ∫ (γ , X ),Eγ  N e −  dEγ Eγ Eγ avec σ (γ , X ),Eγ la section efficace des réactions photonucléaires (γ , X ) conduisant à la production du radionucléide i. Les paramètres de la carte « fm », pour un calcul de fluence moyenne dans une cellule sont : F4 :p [n° cellule]

Fm4 c M σ (γ ,X1) σ (γ , X 2 ) σ (γ , X 3 ) …

Avec c la constante de normalisation qui dépend du résultat recherché. Ici, cette constante est déterminée pour obtenir une activité massique à saturation Am, sat (i ). Par exemple, pour des noyaux cible d’14N, cette constante vaut : c=

η 6.02 × 10 23 × 10 −24 = × 10 −24 = 4.3 × 10 −2 14 A

233

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Le facteur 10 −24 correspond au passage de barn à cm² et A est la masse molaire des noyaux-cibles. La nomenclature de description des sections efficaces des réactions photonucléaires σ (γ ,X ) dans MCNP est fondée sur le numéro de la particule secondaire émise au terme de la réaction. Ce numéro est accessible dans le manuel d’utilisation dans la rubrique « IPT designation ». Ces numéros sont respectivement pour les neutrons, les protons et les alphas : 1, 9 et 34. Le troisième paramètre à entrer dans la carte « fm » est ce numéro, pour la réaction recherchée, suivi de 001. Ainsi les paramètres pour les trois voies de sortie sont respectivement : 1001, 9001 et 34001. Pour les réactions photonucléaires permises sur l’14N, ces trois paramètres peuvent être entrés à la suite dans la carte « fm » ; les activités à saturation correspondantes sont alors calculées séparément. Enfin, le paramètre M correspond à un matériau « virtuel » spécifiquement constitué des noyaux-cibles pour la ou les réactions étudiées ; ce dernier est défini dans la section des matériaux du fichier d’entrée. Ce matériau ne sert que pour le besoin des calculs d’activités et n’est affecté à aucune cellule de la scène. Dans le même temps, la cellule simulant l’air interne à la casemate est affectée d’un matériau « air » qui est nécessaire au transport classique des particules et sur lequel sont échantillonnées les réactions photonucléaires. À titre d’exemple, le fichier d’entrée suivant synthétise les instructions nécessaires au calcul des activités à saturation issues des réactions sur l’14N. Les calculs sont réalisés dans la cellule 20, l’air « réel » est matérialisé avec le matériau m1 et le matériau « virtuel » de noyaux cible d’14N par le matériau « m4 ». C composition de l’air

m1 6000 -0.000124 7014 -0.755268 8016 -0.231781 18000 -0.012827 mx1:p 6012 j j 18040 $ substitution pour photonucléaire c azote 14 seul m4 7014 1

c fluence dans la cellule d’air 20 FC24 cible azote N-14 F24:p 20

FM24 4.3e-2 4 (1001) (9001) (34001) $ cible azote N-14

On notera l’utilisation de l’instruction « mx1:p » ou mix and match qui permet de substituer certaines bibliothèques photonucléaires à d’autres. Pour ce cas d’étude, les bibliothèques utilisées ne couvrent pas le matériau 6000 (ensemble des isotopes du carbone naturel) et 18000 (ensemble des isotopes de l’argon naturel) ; ils sont remplacés respectivement par 6012 (12C) et 18040 (40Ar) pour lesquels les bibliothèques photonucléaires sont implémentées dans le xsdir de MCNP. b) Réactions neutroniques sur l’air Pour l’évaluation de l’activation neutronique de l’air, due aux photoneutrons produits dans la cible, on peut utiliser l’estimateur statistique F8 associé à la carte « ft res ». Par exemple, les instructions ci-dessous permettent le calcul de l’activité à saturation dans la cellule 20 : F8 :n 20 FT8 RES

234

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

Sans autre information, ces lignes d’instruction renvoient l’ensemble des atomes créés dans la cellule 20 sous la forme « zzaaa », soit 2 200 valeurs, y compris celles qui sont nulles. Pour cibler le résultat souhaité, on peut faire suivre la carte « res » d’un intervalle de numéros atomiques ; les instructions suivantes permettent de renvoyer les radionucléides formés compris entre les numéros atomiques z1 et z2. F8 :n [n° cellule] FT8 RES Z1 Z2

Avec l’instruction « FT8 RES ZZAAA », seule la valeur du nombre d’atome ZZAAA sera renvoyée. Par exemple, la commande « FT8 RES 18041 » permet de connaître uniquement la production d’41Ar à saturation. c) Calcul complet de l’activation à saturation avec MCNP Pour ce fichier d’entrée, l’interaction des électrons de 20 MeV sur la cible de tungstène de 2 cm de long et 1 cm de rayon est simulée. La cible est contenue dans une casemate dont les épaisseurs de béton sont celles calculées dans la partie précédente (voir figure 3.VI.12). Le volume d’air intérieur est parallélépipédique avec pour dimensions et volume : 720 cm × 300 cm × 540 cm = 1.166 × 108 cm 3 . Les murs sont décrits afin de prendre en compte la diffusion des neutrons dans la casemate ; les réactions photonucléaires dans le béton ne sont pas simulées, puisque seule l’activation de l’air est évaluée dans ce calcul. Un biaisage en énergie est réalisé afin de se limiter au suivi des particules utiles à la production d’activité ; les seuils des réactions photonucléaires étant supérieurs à 5 MeV, les électrons et les photons de moins de 5 MeV ne sont pas simulés. Cette instruction est commandée au moyen de la carte « cut » avec la dernière entrée fixée à 5 i.e. « cut:p,e j 5 ». Dans le cadre d’un calcul avec un tally de type 4, le volume de la cellule doit pouvoir être calculé par MCNP. Ce calcul est rendu possible pour des géométries simples, en particulier en l’absence de surface « écrasante » (voir Antoni et Bourgois, 2013). Dans la scène simulée qui suit, le volume de la cellule d’air contient une surface écrasante : la cible. Aussi le volume de la cellule doit être précisé dans le jeu de données via la carte « vol ».

Figure 3.VI.12 Scène radiologique simulée pour le calcul de l’activité à saturation dans l’air interne à la casemate.

235

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Le fichier d’entrée pour le calcul global des activités à saturation des nucléides identifiés est le suivant : calcul activation c cells

10 2 -19.3 -10 $ cible W

20 1 -1.2e-3 -20 10 $ air

30 10 -2.35 -30 20 $ béton 40 0 30

10 RCC 0 0 0 0 0 2 1 20 RPP -360 30 RPP -500

360 -150 150 -270 270 500 -250 259 -500 500

vol j 1.1664E8 j j imp:n,p,e 1 1 1 0 mode n p e

m1 6000 -0.000124 7014 -0.755268 8016 -0.231781 18000 -0.012827 mx1:p 6012 j j 18040 $ substitution pour photonucléaire m2 74182 -.3 74183 -.1 74184 -.3 74186 -.3

c composition labo des bétons : béton standard d=2.381

M10 14000 -20.68 13027 -.363 8016 -50.853 20000 -21.645 12000 -.198 & 19000 -.088 11023 -.0384 16000 -.139 6000 -4.52 22000 -.0155 15031 & -.0208 25055 -.0192 1001 -.701 26054 -.0418 26056 -.6588 26057 & -.0157 26058 -.0024 24052 -.00057

MX10:p 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m3 6012 -1 m4 7014 -1 m5 8016 -1

m6 18040 -1

sdef par=e pos 0 0 1e-10 axs 0 0 1 ext 0 rad=d1 vec 0 0 1 dir 1 erg 20

c 4èeme entrée de PHYS:p ispn=-1, then photonuclear particle production is analog PHYS:P 100 0 0 -1 0 J 0 Si1 0 1

sp1 -21 1

FC14 cible C F14:p 20

FM14 5e-2 3 (1001) (9001) (34001) $ cible C FC24 cible azote N-14 F24:p 20

FM24 4.3e-2 4 (1001) (9001) (34001) $ cible azote N-14 FC34 cible o-16 F34:p 20

FM34 3.7625e-2 5 (1001) (9001) (34001) $ cible o-16 FC44 cible Argon F44:p 20

FM44 1.505e-2 6 (1001) (9001) (34001) $ cible Argon F8:n 20 FT8 RES

ctme 10000

cut:p,e j 5

 Fichier 3.VI.5  

236

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

À titre d’exemple, au terme de l’exécution, les résultats pour l’activation de l’14N de l’air, via les réactions photonucléaires, sont formalisés dans le fichier de sortie comme suit : cible azote N-14

tally type 4

track length estimate of particle flux.

particle(s): photons volumes

cell

20

multiplier bin:

cell

20

multiplier bin:

cell

20

multiplier bin:

cell:

20

1.16640E+08

4.30000E-02

4

1001

4.30000E-02

4

9001

4.30000E-02

4

34001

4.11633E-13 0.0004

1.38743E-12 0.0003

1.04711E-14 0.0005

La valeur de la réaction (1001) donne l’activité massique à saturation et par 13 N électron-source Am,sat / N e − du 13N, c’est-à-dire via la réaction 14N(γ,n)13N. L’activité à saturation en 13 N pour l’ensemble de l’air de la casemate et par électron-source, en considérant que l’ensemble de l’azote présent n’est constitué que de 14 N , est :

)

(

13 N A N Asat =  m,sat Ne−  Ne−  13

 A N  m14 N =  m,sat   Ne−   13

  ρ airV air % 14 N =  

(

)

13 N

Asat = 4.11 × 10 −13 × 1.17 × 108 × 1.2 × 10 −3 × 0.755 = 4.35 × 10 −8 Bq. (e −) −1 Ne− Pour un courant de 1 mA il vient : A N =  sat  Ne−  13

13 N

Asat

i 1 × 10 −6  = 4.3 × 10 −8 × = 2.72 × 105 Bq e 1.6 × 10 −19 

237

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Les autres résultats obtenus sont donnés dans le tableau 3.VI.5.  Tableau 3.VI.5   Activités à saturation, par électron-source et pour 1 mA de faisceau d’électrons, pour les radionucléides formés par réactions photonucléaires dans l’air. Réaction

Asat Ne−

Asat = µA

12C(γ,n)11C

6.54 × 10 −14

4.09 × 10 −1

14N(γ,n)13N

4.35 × 10 −8

2.72 × 105

16O(γ,n)15O

4.39 × 10 −9

2.74 × 10 4

40Ar(γ,p)39Cl

3.12 × 10 −10

1.95 × 103

Pour les activations neutroniques, les résultats se présentent sous la forme suivante (exemple donné pour les radionucléides ZZAAA compris 18039 et 18043) : cell

20

user bin

cell

20

user bin

cell

20

user bin

cell

20

user bin

cell

20

user bin

1.80390E+04

0.00000E+00 0.0000

1.80400E+04

0.00000E+00 0.0000

1.80410E+04

7.89893E-08 0.0716

1.80420E+04

0.00000E+00 0.0000

1.80430E+04

0.00000E+00 0.0000

Dans cette plage de radionucléides, on ne retiendra comme seul résultat non nul, celui relatif au label 18041, à savoir l’41 Ar ; le résultat est cette fois donné pour la masse totale d’air de la cellule 20, puisque obtenu avec l’instruction « ft res ». Pour un courant de 1 mA, il vient :  A Ar =  sat  Ne−  41

41 Ar

Asat

238

i 1 × 10 −6  = 7.9 × 10 −8 × = 4.994 × 105 Bq e 1.6 × 10 −19 

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

Le 14C dispose également d’une activité à saturation et par électron-source, non nulle, de 4 × 10 −5 Bq. (e −) −1, soit 2.5 × 108 Bq.µA −1. d) Évolution de l’activité de l’air en fonction du temps et sans ventilation Rappelons que l’activité varie au cours de l’irradiation, en fonction du temps comme (voir l’exercice 3.IV sur l’activation du 59Co) : A (t i ) = Asat [1 − exp (−λt i )] Pour un refroidissement d’une durée t d minutes après l’arrêt du faisceau d’électrons, l’activité évolue selon une exponentielle décroissante : A (t i , t td ) = A (t i ) exp (−λt td ) Par exemple, pour une irradiation de 4 heures (240 minutes) et pour la production de l’14N, le terme en exponentielle de A (t i ) tend vers 0, A (t i ) = Asat , et l’activité durant le refroidissement, par mA de faisceau, évolue comme : A

13 N

ln 2   t = 2.72 × 105 exp (−6.93 × 10 −2 × t td ) (240, t td ) = Asat exp  −  T  td  13 N

 

1/ 2





Les profils de l’évolution de l’activité des radionucléides formés pendant les phases d’irradiation et de refroidissement, sont montrés à la figure 3.VI.13-a). Lors de la phase d’irradiation, on remarquera le plateau de saturation de l’activité de l’13N qui s’installe à partir d’environ 50 minutes d’irradiation soit environ 5 fois la période. 700000

300000

400000 300000

200000 -1

-1

A (Bq.µA )

500000

C11 N13 O15 CL39 AR41 C14 totale

250000

A (Bq.µA )

C11 N13 O15 CL39 AR41 C14 totale

600000

150000

100000

200000

50000

100000

0

100

200

300

T en minutes

400

500

0

50

100

150

200

250

300

T en minutes

 Figure 3.VI.13  Profils temporels des activités induites dans l’air pour une irradiation de 4 heures a) sans ventilation et b) avec ventilation.

Les profils d’activité de la figure 3.VI.13-a) sont donnés pour une installation confinée, on se propose désormais d’étudier l’impact de l’ajout d’une ventilation dans le dispositif.

239

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

e) Évolution de l’activité de l’air en fonction du temps et avec ventilation Lorsque la casemate d’irradiation est ventilée, la production des radionucléides, leur disparition par décroissance radioactive et le taux de renouvellement de l’air entrent en compétition. La cinétique des radionucléides produits dans l’air par activation est régie par une équation différentielle du même type que l’équation (1) de l’application 3.IV, avec l’ajout d’un terme tenant compte du taux de renouvellement R de l’air de la casemate : dN (t ) = N c σΦ (t ) dt − λ N (t ) dt − σ tΦ (t ) N (t ) dt − R N (t ) dt (3)



Le taux de renouvellement R est le rapport du débit par le volume d’air interne et est exprimé comme l’inverse d’un temps. On notera que l’expression proposée ci-dessus n’est valable que si le débit d’entrée est identique au débit de sortie. En effet, dans ce cas le nombre de molécules d’air dans le volume reste constant. La résolution de l’équation différentielle (3) conduit à : N (t i ) =

N c σΦ 1 − exp (− (λ + σ tΦ + R ) t i ) λ + σ tΦ + R 

En négligeant les transmutations des radionucléides par réactions et en remplaçant N c σΦ par Asat , l’activité est alors donnée par l’équation : A (t i ) = λ N (t i ) =



λ Asat [1 − exp (− (λ + R ) t i )] (4) λ+R

Après un temps de refroidissement t d , l’activité varie comme : A (t i , t d ) = A (t i ) exp (− (λ + R ) t d ) Pour les mêmes conditions que précédemment mais avec un taux de renouvellement de 3 h–1 soit 0.05 min–1, l’activité du 13N varie comme : A

13 N

13 N

λA (240, t td ) = sat exp (− (λ + R ) t d ) = 1.58 × 105 exp (−5.69 × 10 −2 t td ) (4) λ+R

L’évolution des activités des radionucléides formés, en présence d’un renouvellement de l’air, est montrée à la figure 3.VI.14-b. Lors du fonctionnement de l’accélérateur, on remarquera que, l’activité de l’air, avec un système ventilé, atteint plus rapidement l’activité à saturation (voir plateaux sur la figure 3.VI.14-b). De même, après l’arrêt de l’accélérateur, l’activité décroît plus vite avec un système ventilé. Ceci est dû au terme R + λ dans l’exponentielle, qui se comporte comme une « pseudo-période » infléchissant plus rapidement la courbe de décroissance radioactive. On note également que la valeur de l’activité à saturation est différente pour les deux systèmes. En effet, pour un dispositif non ventilé, la valeur à saturation est N C σΦ , alors que pour un dispositif ventilé, elle est λ N c σΦ / λ + R  ; ceci explique la différence de comportement de l’activité durant l’irradiation entre l’13N et l’41Ar pour des systèmes avec et sans ventilation. En raison de la différence de période (109 minutes pour l’41Ar), pour le système sans ventilation, au bout de 4 heures

240

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

d’irradiation, l’activité maximale de l’13N, qui n’est pas à saturation, est supérieure à celle, à saturation, de l’argon 41. En revanche, pour le système ventilé, les deux radionucléides atteignent assez rapidement la saturation mais cette fois l’activité maximale est celle de l’13N en raison de sa période plus faible. f) Équivalent de dose ambiant dû à l’air activé On se propose d’estimer la dose efficace reçue par un opérateur, lorsque celui-ci entre dans la casemate juste après l’arrêt de l’accélérateur. On s’intéresse, ici, uniquement à l’activité de l’13N ; ce calcul pouvant être transposé à l’41Ar et l’15O. L’13N est un gaz inerte et ne provoque donc aucune exposition interne due à l’inhalation ; seule l’exposition externe due à la répartition homogène dans la casemate est prise en compte. L’évaluation de cette exposition est réalisée, ici, au moyen d’une simulation numérique. Il s’agit de calculer le débit d’équivalent de dose ambiant pour un observateur situé au centre de la casemate qui est modélisée par un parallélépipède de 720 cm × 300 cm × 540 cm ). Ce calcul est effectué avec l’estimateur statistique de fluence ponctuelle i.e. tally de type 5, qui évalue la fluence moyenne par bande d’énergie dans les intervalles précisés dans le découpage en énergie de la carte « de15 ». Chacun des résultats par bande d’énergie est ensuite pondéré par le coefficient de conversion « fluence-équivalent de dose ambiant » ad hoc dans la carte « df15 ». La sommation sur l’ensemble des bandes d’énergie fournit le résultat final de l’équivalent de dose ambiant par gamma-source. calcul cube c cells

20 1 -1.2e-3 -20 $ air 40 0 20

20 RPP -360 imp:p 1 mode p

360 -150 150 -270 270

0

m1 6000 -0.000124 7000 -0.755268 8000 -0.231781 18000 -0.012827 sdef par=p pos 0 0 0 cel 20 Si1 -360 sp1 0 1

360

erg .511 x=D1 y=d2 z=d3

Si2 -150 150 sp2 0 1

Si3 -270 270 sp3 0 1

stop F15 1e-3

F15:p 0 0 0 .1

DE15 .01 .015 .02 .03 .04 .05 .06 .08 .1 .15 .2 .3 .4 .5 .6 & .8 1 1.5 2 3 4 5 6 8 10

DF15 7.6 3.21 1.73 0.739 0.438 0.328 0.292 0.308 0.372 0.6 0.856 &

1.38 1.89 2.38 2.84 3.69 4.47 6.12 7.51 9.89 12 13.9 15.8 19.5 23.2

 Fichier 3.VI.6  

241

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

Le résultat obtenu pour le tally 15 est (H* (10) / N γ ) = 5.8 × 10 −6 pSv.(γ )−1. L’13N émet 2 photons de 511 keV. Le résultat de l’équivalent de dose ambiant par heure et par Becquerel est donc : *  H * (10)  −9  H (10)  Γ  γ  A  = 3.6 × 10  N γ    

( 13N ) = 3.6 × 10 −9 × 5.8×10 −6

×2

= 4.2 × 10 −14 Sv.h −1 .Bq −1 Calculons l’équivalent de dose ambiant reçu par l’observateur pour le même temps d’irradiation que précédemment, c’est-à-dire, un temps d’irradiation très grand devant la période de l’13N et pour une intensité i. L’expression (4) fournit l’activité par mA, donc l’expression est pondérée par l’intensité pour obtenir l’activité liée au régime de fonctionnement : A (t i , t td ) =

λ Asat i exp (− (λ + R ) t d ) λ+R

Le débit d’équivalent de dose ambiant à un temps quelconque de refroidissement est :  H * (10)   H * (10)  λ Asat i A (t i , t td ) =  exp (− (λ + R ) t d ) H * (10)t d =     A   A  λ+R Pour notre cas d’étude, le terme à gauche de l’exponentiel vaut :  H * (10)  λ Asat i −14 5 −10 −1  A  λ + R = 4.2 × 10 × 1.58 × 10 × 0.1 = 6.7 × 10 Svv.h   Lorsqu’un travailleur entre dans la casemate juste après l’arrêt de l’accélérateur et y séjourne un temps suffisamment long, il intègre au maximum l’équivalent dose ambiant suivant : ∞

H * (10)∞ = 6.7 × 10 −10 ∫ exp (− (λ + R ) t d ) dt d = − 0

⇔ H * (10)∞ =

6.7 × 10 −10 [exp (− (λ + R ) t d )]0∞ λ+R

6.7 × 10 −10 6.7 × 10 −10 = 5.6 × 10 −9 Sv = λ+R ln (2 / 10) + 0.05

En toute rigueur, il y aurait lieu d’adjoindre au bilan global de l’exposition différée, les contributions dues aux éléments de structure du dispositif, dont essentiellement celles constitutives de l’accélérateur, pour la plupart en acier.

242

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

Partie 5 : Problématique de la production d’ozone Dans les installations à fort débit de dose, la radiolyse de l’air peut être à l’origine de la production de gaz toxiques (non radioactifs) comme l’ozone (O3) qui constitue le plus toxique d’entre eux. Pour l’ozone, en France, la valeur limite d’exposition (VLE) est fixée à 0.2 ppm (soit 0.4 mg.m −3 ) et la valeur moyenne d’exposition (VME) à 0.1 ppm (soit 0.2 mg.m −3 ). La valeur limite de 0.1 ppm est couramment admise dans la littérature normative internationale. En outre, ajoutons que l’ozone est un puissant oxydant produisant une corrosion rapide des éléments en acier ou en cuivre. La NCRP (2003) a décrit la cinétique de production et destruction de l’ozone sous irradiation au moyen de l’équation différentielle suivante : dN o = gI − α N o − κ IN o − RN o dt La grandeur N o est le nombre de molécules d’ozone par unité de volume au temps t (m −3) ; I est l’énergie déposée dans l’air par unité de volume (eV .m −3 .s −1) ; g est le taux de molécules d’ozone formées par énergie cédée (eV −1) ; α est le taux de décomposition des molécules d’ozones par unité de temps (s −1) ; κ est le nombre de molécules d’ozone détruites par unité d’énergie et de volume (eV −1 .m −1) ; R est le taux de renouvellement de l’enceinte (s −1). La résolution de l’équation différentielle conduit à l’expression de l’évolution du nombre de molécules d’ozone au cours du temps : gI N o (t i ) = [1 − exp (− (α + κ I + R ) t i )] α +κI + R La NCRP (2003) propose des valeurs usuelles pour les paramètres g et α , qui sont respectivement 0.074 eV −1 et 2.3 × 10 −4 s −1. La valeur très faible de κ , de l’ordre de 1 × 10 −16, implique que le produit I soit couramment négligé. À noter qu’après la fin d’une irradiation de durée t i , le taux d’ozone variera selon une exponentielle ne tenant compte que des taux de décomposition et de renouvellement : N o (t i , t r ) = N o (t i ) exp (− (α + R ) t d ) Il reste donc à calculer I, l’énergie déposée dans l’air par unité de volume. Pour ce cas, on considère que l’énergie déposée dans le volume d’air est due exclusivement aux photons de freinage. En effet on peut postuler que le faisceau d’électrons reste circonscrit au tube à vide de l’accélérateur et qu’en conséquence il n’interagit pas dans le volume d’air environnant. On se propose de calculer le facteur à l’aide de MCNP ; on notera que ce facteur peut être estimé à l’aide d’abaques. Il est calculé, ici, au moyen de l’estimateur statistique de dose absorbée (tally de type F6) qui fournit le résultat en MeV .g −1 et par électron-source : (D / N e − ). Le fichier est très similaire à celui utilisé pour le calcul de l’activation de l’air ; seuls les tally changent et les photoneutrons ne sont pas créés en raison de la faiblesse de leur dépôt d’énergie.

243

Résolutions de problèmes sur les rayonnements ionisants

calcul facteur pour l’ozone c cells

10 2 -19.3 -10 $ cible W

20 1 -1.2e-3 -20 10 $ air

30 10 -2.35 -30 20 $ béton 40 0 30

10 RCC 0 0 0 0 0 2 1 20 RPP -360

360 -150 150 -270 270

30 RPP -500

500 -250 259 -500 500

vol j 1.1664E8 j j imp:p,e 1 1 1 0 mode p e

m1 6000 -0.000124 7000 -0.755268 8000 -0.231781 18000 -0.012827 m2 74182 -.3 74183 -.1 74184 -.3 74186 -.3

c composition labo des bétons : béton standard d=2.381

M10 14000 -20.68 13027 -.363 8016 -50.853 20000 -21.645 12000 -.198 & 19000 -.088 11023 -.0384 16000 -.139 6000 -4.52 22000 -.0155 15031 & -.0208 25055 -.0192 1001 -.701 26054 -.0418 26056 -.6588 26057 & -.0157 26058 -.0024 24052 -.00057

sdef par=e pos 0 0 1e-10 axs 0 0 1 ext 0 rad=d1 vec 0 0 1 dir 1 erg 20 Si1 0 1

sp1 -21 1 F6:p 20

stop F6 .005 cut:p,e j .1

 Fichier 3.VI.7  

Le résultat est le suivant : tally

6

nps

30496

mean

error

vov

slope

1.9846E-07 0.0046 0.0001 10.0

fom

49248

Le résultat MCNP donne (D / N e − ) = 2 × 10 −7 MeV .g −1 . (e −) −1 . On en déduit l’énergie déposée par unité de volume avec la normalisation suivante :  D i I = 1012 ρ air    Ne−  e Avec 1012 le facteur permettant de passer de cm 3 à m 3 et de MeV à eV . La valeur de I trouvée pour une intensité de faisceau de 1 mA est : I = 1012 × 1.3 × 10 −3 × 2 × 10 −7

244

1 × 10 −6 = 1.6 × 1015 eV .m −3 .s −1 .µA −1 1.602 × 10 −19

Chapitre 3. Calcul de blindage et d’activation pour différents types d’installations

L’accélérateur fonctionne sous une intensité de 100 nA donc I =1.6 ×1014 eV .m−3 .s−1. Pour un temps d’irradiation de 4 heures (soit 1.44 × 10 4 s) et pour un taux de renouvellement de 3 h −1 (soit 8.33 × 10 −4 s ), le nombre de molécules d’ozone présentes au terme de l’irradiation est : N o (4h) =

0.074 × 2.2 ×1014 [1 − exp (− ((2.3 ×10−4 ) + (8.3 ×10−4 )) ×1.44 ×104 )] (2.3 ×10−4 ) + (8.3 ×10−4 )

= 1.1× 1016 (mol).m−3 La concentration de cet élément toxique est par conséquent : −1

η 1.1×1016 c o (4h) =  A  N o (4h) = = 8.8 ×10 −7 mg.m −3 (4.4 ×10 −7 ppm)  nA  (6.02 ×1023 / 3 ×16) Pour ces conditions, il n’est pas nécessaire d’engager de contre-mesure (le seuil est de 0.1 ppm). Pour des accélérateurs avec des cibles de conversion, la production d’ozone est contraignante pour des points de fonctionnement avec des courants supérieurs au mA. Cependant, lorsque le faisceau d’électrons passe dans l’air, la problématique de l’ozone peut être avérée pour des intensités bien moindres.

245

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