Resistências dos Materiais

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Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Julho - 2002

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ÍNDICE 1.1 - INTRODUÇÃO....................................................................................................3 1.2 – TIPOS DE ESTRUTURAS .................................................................................3 1.3 – ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR............................................4 1.4 – DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR............5 1.5 – COEFICIENTE DE SEGURANÇA (k) ..............................................................6 1.6 – EQUAÇÃO GERAL DA FLEXÃO ....................................................................6 1.7 – TENSÃO ADMISSÍVEL ....................................................................................6 1.8 – MÓDULO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO ......................................................6 1.9 – DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL ...................................7 1.9.1 – INTRODUÇÃO ................................................................................................7 1.9.2 – TIPOS DE SEÇÃO TRANSVERSAL .............................................................8 1.9.2.1 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL QUADRADA .................................8 1.9.2.2 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR ....................................9 1.9.2.3 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR.............................9 1.9.2.4 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL TUBULAR ...................................11 1.9.2.5 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CAIXÃO ......................................12 1.9.2.6 – VIGAS DE SÇÃO TRANSVERSAL FORMADAS POR PERFIS INDUSTRIAIS ...........................................................................................................14 1.10 – CÁLCULO DA MÁXIMA CARGA P QUE PODE SER APLICADA EM UMA ESTRUTURA SUJEITA À FLEXÃO .............................................................14 1.10.1 – INTRODUÇÃO ............................................................................................14 1.10.2 – CÁLCULO DO MÁXIMO VALOR DE P ..................................................15 1.10.2.1 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL QUADRADA .............................................................................................................15 1.10.2.2 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR ................................................................................................................16 1.10.1.3 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR .........................................................................................................16 1.10.2.4 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL TUBULAR .................................................................................................................17 1.10.2.5 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CAIXÃO .....................................................................................................................17 1.10.2.6 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL TIPO PERFIL INDUSTRIAL ..............................................................................................18 1.11 – TABELAS PARA SELEÇÃO DE PERFIS INDUSTRIAIS ..........................20 1.12 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................29 1.13 – EXERCÍCIOS PRÁTICOS DE PROJETO RESOLVIDOS ...........................39 1.14 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS ..........................................................................51 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS.....................................................91 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................92

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DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS SUJEITAS A ESFORÇOS DE FLEXÃO

1.1 -INTRODUÇÃO Neste capítulo é estudado o dimensionamento de estruturas sujeitas a esforço de flexão, considerando-se para tal estudo, diversos tipos de estruturas e seções transversais.

1.2 – TIPOS DE ESTRUTURAS A) VIGAS ENGASTADAS: São vigas que possuem uma de suas extremidades livre e a outra fixa. P

Figura 1.1 – Exemplo de viga engastada. B) VIGAS SIMPLESMENTE APOIADAS: Possuem apoios em suas extremidades, sendo um dos apoios fixo e o outro móvel, para garantir a estaticidade da estrutura. P

A

B

Figura 1.2 – Exemplo de viga simplesmente apoiada.

Equações da estática: 3 Equações -

∑F

V

= 0,

∑F

3 Incógnitas – RA V, RAH e RB .

H

0e

∑M =0.

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C) VIGAS SIMPLES COM BALANÇO NAS EXTREMIDADES: São vigas simplesmente apoiadas, porém com suas extremidades deslocadas em relação aos apoios. P

P

P

A

B

Figura 1.3 – Exemplo de viga simples com balanços.

1.3 – ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR A) ESFORÇO CORTANTE: Carga que tende a provocar cisalhamento da estrutura e conseqüente flexão da mesma pois o comprimento da barra não é desprezado. O esforço cortante é representado neste curso por Q, e, pode ser, positivo ou negativo, dependendo da convenção de sinais adotada. Q-

A

B

Q+

Q+

Q-

Viga Horizontal Viga Vertical Figura 1.4 – Convenção de sinais para o esforço cortante. Quando a carga é aplicada de cima para baixo, o esforço cortante é negativo. Quando a carga é aplicada de baixo para cima, o esforço cortante é positivo.

B) MOMENTO FLETOR: Pode ser definido como o momento resultante de todas as forças que são aplicadas na estrutura. Quando se trata de flexão, é possível conhecer o valor do momento fletor em cada ponto da estrutura. O momento fletor também pode ser positivo ou negativo.

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Compressão

Tração

Figura 1.5 – momento fletor positivo ou negativo. Quando as fibras inferiores da estrutura são comprimidas, o momento fletor é negativo. Quando as fibras inferiores da estrutura são tracionadas, o momento fletor é positivo.

1.4 – DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR Os diagramas de esforço cortante e momento fletor permitem ao projetista analisar qual é o ponto crítico da estrutura, ou seja, qual é a região que a viga pode se romper. P

Ponto crítico L

0 -P

0 -P.L

Figura 1.6 – Exemplo de diagramas de esforço cortante e momento fletor.

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1.5 – COEFICIENTE DE SEGURANÇA (k) Fator de correção com a finalidade de aumentar as dimensões da estrutura garantindo desse modo maior segurança ao projeto.

1.6 – EQUAÇÃO GERAL DA FLEXÃO A equação matemática que dimensiona uma estrutura sujeita a esforço de flexão é dada por: σ =

M Fmáx . wx

(1.1)

1.7 – TENSÃO ADMISSÍVEL A tensão admissível é obtida dividindo-se a tensão de escoamento do material utilizado no projeto pelo coeficiente de segurança empregado, pode ser calculada do seguinte modo: σ =

σe . k

(1.2)

1.8 – MÓDULO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO (wX) Representa em termos numéricos como determinado tipo de seção reage ao esforço, ou seja, representa a resistência da seção em relação ao esforço de flexão. Para cada tipo de seção transversal estudada tem-se uma equação diferente para se calcular o valor de wx.

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Tabela 1.1 – Módulo de resistência à flexão em relação ao eixo x. TIPO DA SEÇÃO TRANSVERSAL

MÓDULO DE RESISTÊNCIA (WX )

QUADRADA l wx =

l3 (1.3) 6

RETANGULAR

bh 2 6

(1.4)

πd 3 wX = 32

(1.5)

wX =

h b CIRCULAR d

TUBULAR D

d

π (D4 − d 4 ) wX = 32 D

(1.6)

BALCÃO OU CAIXÃO b a

b

a

wX =

a 4 − b4 6a

(1.7 )

1.9 – DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL 1.9.1 – INTRODUÇÃO O objetivo desta seção é apresentar a formulação matemática utilizada para o dimensionamento da seção transversal de alguns tipos de vigas mais utilizadas na construção de estruturas mecânicas.

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1.9.2 – TIPOS DE SEÇÃO TRANSVERSAL Os principais tipos de seção transversal estudadas na presente seção são: quadrada, circular, retangular, tubular e caixão, também são estudados os perfis industriais tipo I, U, L (abas iguais) e L (abas desiguais). 1.9.2.1 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL QUADRADA A partir das Equações (1.1), (1.2) e (1.3), pode-se chegar a uma equação geral que fornece como resultado o valor numérico do comprimento l que representa a dimensão do lado da seção transve rsal quadrada. Substituindo-se a Equação (1.2) na Equação (1.1), tem-se que:

σ e Mf máx = . k wx

(1.8)

A Equação (1.8) é utilizada para todos os tipos de seção transversal utilizadas na presente seção. Para vigas de seção quadrada, basta substituir a Equação (1.3) na Equação (1.8), chegando-se a: σ e Mf máx = 3 . k l 6

(1.9)

Rearranjando-se os termos, a Equação (1.9) pode ser escrita do seguinte modo:

σ e 6Mf máx = . k l3

(1.10)

Resolvendo-se a Equação (1.10) com relação a l, chega-se a uma solução geral representada pela Equação (1.11), que pode ser aplicada sempre que a barra possuir seção transversal quadrada.

l=3

6 Mf máx k . σe

(1.11)

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1.9.2.2 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR A partir das Equações (1.4) e (1.8), pode-se chegar a uma equação geral que fornece como resultado o valor numérico do comp rimento d que representa a dimensão do diâmetro da circunferência que forma a viga. Substituindo-se a Equação (1.4) na Equação (1.8),pode-se escrever que: σ e Mf máx . = k πd 3 32

(1.12)

Rearranjando-se os termos, a Equação (1.12) pode ser escrita do seguinte modo:

σ e 32 Mf máx = . k πd 3

(1.13)

Resolvendo-se a Equação (1.13) com relação a d, chega-se a uma solução geral representada pela Equação (1.14), que pode ser aplicada sempre que a barra possuir seção transversal circular.

d =3

32 Mf máx k . πσe

(1.14)

1.9.2.3 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR A partir das Equações (1.5) e (1.8), pode-se chegar a uma equação geral que fornece como resultado numérico os valores de b e h, que representam as dimensões de base e altura da viga de seção retangular. Substituindo-se a Equação (1.5) na Equação (1.8), pode-se escrever que: σ e Mf máx . = k bh 2 6

(1.15)

Pode-se notar claramente na análise da Equação (1.15), que na solução de vigas de seção transversal retangular, existem duas incógnitas, b e h, portanto, é interessante assumir uma nova equação que forneça a relação entre b e h, fazendo desse modo com que

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uma das incógnitas seja camuflada em meio a solução do problema. Assim, define-se a variável x como a relação entre h e b, como pode-se observar na Equação (1.16): h . b

(1.16)

h = xb .

(1.17)

x=

Daí pode-se escrever que:

Substituindo-se a Equação (1.17) na Equação (1.15), tem-se que: σe Mf máx . = k b( xb) 2 6

(1.18)

Rearranjando-se os termos, a Equação (1.18) pode ser escrita do seguinte modo:

σ e 6 Mf máx = . k bx 2 b 2

(1.19)

Resolvendo-se a Equação (1.19) com relação a b, chega-se a uma solução geral representada pela Equação (1.20), que pode ser aplicada sempre que a barra possuir seção transversal retangular.

b=3

6Mf máx k , x2 σ e

(1.20)

onde x representa a relação entre h e b fornecida no problema. Uma vez conhecido o valor de b, o valor numérico de h pode ser calculado a partir da Equação (1.17) como citado anteriormente. Portanto, as Equações (1.20) e (1.17) são utilizadas para o dimensionamento de vigas de seção transversal retangular.

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1.9.2.4 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL TUBULAR A partir das Equações (1.6) e (1.8), pode-se chegar a uma equação geral que fornece como resultado numérico os valores de D e d, que representam as dimensões de diâmetro externo e diâmetro interno de uma viga de seção transversal tubular. Substituindo-se a Equação (1.6) na Equação (1.8), pode-se escrever que: σe Mf máx . = k π (D4 − d 4 ) 32 D

(1.21)

Novamente pode-se perceber que se tem na solução do problema duas incógnitas D e d, portanto, a variável y é definida como a relação entre d e D, como pode-se observar na Equação (1.22): d . D

(1.22)

d = yD .

(1.23)

y=

Daí pode-se escrever que:

Substituindo-se a Equação (1.23) na Equação (1.21), tem-se que: σe Mf máx . = k π ( D − yD ) 4 32 D

(1.24)

Rearranjando-se os termos, a Equação (1.24) pode ser escrita do seguinte modo:

σe 32 Mf máx D = . k πD 4 −π y 4 D 4

(1.25)

σe 32Mf máx D = . k πD 4 (1 − y 4 )

(1.26)

σe 32 Mf máx = . k πD 3 (1 − y 4 )

(1.27)

Daí pode-se escrever que:

Assim:

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Resolvendo-se a Equação (1.27) com relação a D, chega-se a uma solução geral representada pela Equação (1.28), que pode ser aplicada sempre que a barra possuir seção transversal tubular.

D=3

32Mf máx k , πσ e (1 − y 4 )

(1.28)

onde y representa a relação entre d e D fornecida no problema. Uma vez conhecido o valor de D, o valor numérico de d pode ser calculado a partir da Equação (1.23) como citado anteriormente. Portanto, as Equações (1.28) e (1.23) são utilizadas para o dimensionamento de vigas de seção transversal tubular.

1.9.2.5 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CAIXÃO A partir das Equações (1.7) e (1.8), pode-se chegar a uma equação geral que fornece como resultado numérico os valores de a e b, que representam as dimensões de diâmetro dos lados, externo e interno, de uma viga de seção transversal caixão. Substituindo-se a Equação (1.7) na Equação (1.8), pode-se escrever que: σe Mf = 4 máx4 . k a −b 6a

(1.29)

Novamente pode-se perceber que se tem na solução do problema duas incógnitas a e b, portanto, a variável z é definida como a relação entre b e a, como pode-se observar na Equação (1.30): b . a

(1.30)

b = za .

(1.31)

z=

Daí pode-se escrever que:

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Substituindo-se a Equação (1.31) na Equação (1.29), tem-se que: σe Mf = 4 máx 4 . k a − ( za) 6a

(1.32)

Rearranjando-se os termos, a Equação (1.32) pode ser escrita do seguinte modo:

σe 6aMf máx = 4 . k a − ( za ) 4

(1.33)

σe 6aMf máx = 4 . k a (1 − z 4 )

(1.34)

σe 6 aMf máx = 3 . k a (1 − z 4 )

(1.35)

Daí pode-se escrever que:

Assim:

Resolvendo-se a Equação (1.35) com relação a a, chega-se a uma solução geral representada pela Equação (1.36), que pode ser aplicada sempre que a barra possuir seção transversal caixão.

a=3

6 Mf máx k , σ e (1 − z 4 )

(1.36)

onde z representa a relação entre b e a fornecida no problema. Uma vez conhecido o valor de a, o valor numérico de b pode ser calculado a partir da Equação (1.31) como citado anteriormente. Portanto, as Equações (1.36) e (1.31) são utilizadas para o dimensionamento de vigas de seção transversal caixão.

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1.9.2.6 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL FORMADAS POR PERFIS INDUSTRIAIS Ao contrário do se possa parecer, a solução de problemas de dimensionamento de vigas com seção transversal formada por perfis industriais é mais simples que a solução apresentada para os casos anteriores. A partir da Equação (1.8), pode-se determinar o valor do módulo de resistência em relação ao eixo x (wx), resultando em:

wx =

kMf máx . σe

(1.37)

A Equação (1.37) pode ser utilizada sempre que se necessitar selecionar um perfil industrial. Para perfis dos tipos I, U, L (abas iguais) e L (abas desiguais), uma vez calculado o valor de (wx) através da Equação (1.37), o perfil pode ser selecionado na tabela correspondente ao perfil desejado. Vale ressaltar que se não for utilizado fator de segurança, ou seja, valor de k igual a 1 (k =1), a seleção do perfil deve ser realizada considerando-se um valor maior que o (wx) que foi calculado, ou seja, na tabela selecionase o valor de (wx) imediatamente superior ao calculado, uma vez que o mesmo representa a condição limite para o dimensionamento da estrutura.

1.10– CÁLCULO DA MÁXIMA CARGA P QUE PODE SER APLICADA EM UMA ESTRUTURA SUJEITA À FLEXÃO 1.10.1 – INTRODUÇÃO O objetivo desta seção é apresentar a formulação matemática utilizada para o cálculo da máxima carga P que pode ser aplicada em uma estrutura sujeita à flexão, constituída por uma seção transversal equivalente às estudadas na seção anterior.

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1.10.2 – CÁLCULO DO MÁXIMO VALOR DE P A seguir são apresentadas as equações gerais para o cálculo do máximo valor de P para alguns tipos de seção transversal já estudadas.

1.10.2.1 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL QUADRADA A partir da Equação (1.10), isola-se a variável Mf máx , resultando em: Mf máx =

σe l . 6k 3

(1.38)

Como se desconhece o valor de P, não é possível se conhecer o valor numérico de Mfmáx , portanto, é conveniente que para o valor de Mf máx seja adotada a relação apresentada na Equação (1.39): Mf máx= n P ,

(1.39)

onde n é o valor numérico obtido no diagrama de momento fletor para a estrutura. Assim, substituindo-se a Equação (1.39) na Equação (1.38), tem-se: σ el 3 n P= . 6k

(1.40)

Resolvendo-se a Equação (1.40) com relação a P, chega-se a uma Equação geral que pode ser utilizada para a determinação da carga máxima, sempre que a viga possuir seção transversal quadrada. P=

σ el 3 . 6kn

Portanto, a Equação (1.41) é geral para vigas de seção transversal quadrada.

(1.41)

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1.10.2.2 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR A partir da Equação (1.13), isola-se a variável Mf máx , resultando em: σ π d = e . 32k 3

Mf máx

(1.42)

Assim, substituindo-se a Equação (1.39) na Equação (1.42), tem-se: n P=

σe π d . 32k 3

(1.43)

Resolvendo-se a Equação (1.43) com relação a P, chega-se a uma Equação geral que pode ser utilizada para a determinação da carga máxima, sempre que a viga possuir seção transversal circular. P=

σe π d . 32kn 3

(1.44)

Portanto, a Equação (1.44) é geral para vigas de seção transversal circular.

1.10.2.3 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR A partir da Equação (1.15), isola-se a variável Mf máx , resultando em: Mf máx =

σe b h . 6k 2

(1.45)

Assim, substituindo-se a Equação (1.39) na Equação (1.45), tem-se: n P=

σe b h . 6k 2

(1.46)

Resolvendo-se a Equação (1.46) com relação a P, chega-se a uma Equação geral que pode ser utilizada para a determinação da carga máxima, sempre que a viga possuir seção transversal retangular.

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P=

σe b h . 6kn 2

(1.47)

Portanto, a Equação (1.47) é geral para vigas de seção transversal retangular. 1.10.2.4 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL TUBULAR A partir da Equação (1.21), isola-se a variável Mf máx , resultando em: Mf máx =

σ e π (D − d ) . 32 Dk 4

4

(1.48)

Assim, substituindo-se a Equação (1.39) na Equação (1.48), tem-se: n P=

σ e π (D − d ) . 32 Dk 4

4

(1.49)

Resolvendo-se a Equação (1.49) com relação a P, chega-se a uma Equação geral que pode ser utilizada para a determinação da carga máxima, sempre que a viga possuir seção transversal tubular. σ π (D − d ) P= e . 32 Dkn 4

4

(1.50)

Portanto, a Equação (1.50) é geral para vigas de seção transversal tubular.

1.10.2.5 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CAIXÃO A partir da Equação (1.29), isola-se a variável Mf máx , resultando em: Mf máx =

σ e (a − b ) . 6 a k 4

4

(1.51)

Assim, substituindo-se a Equação (1.39) na Equação (1.51), tem-se: n P=

σ e (a − b ) . 6 a k 4

4

(1.52)

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Resolvendo-se a Equação (1.52) com relação a P, chega-se a uma Equação geral que pode ser utilizada para a determinação da carga máxima, sempre que a viga possuir seção transversal caixão. σ (a − b ) P= e . 6 a k n 4

4

(1.53)

Portanto, a Equação (1.53) é geral para vigas de seção transversal caixão.

1.10.2.5 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL TIPO PERFIL INDUSTRIAL A partir da Equação (1.37), isola-se a variável Mf máx , resultando em: σ e WX . k

Mf máx =

(1.54)

Assim, substituindo-se a Equação (1.39) na Equação (1.54), tem-se: n P=

σ e WX . k

(1.55)

Resolvendo-se a Equação (1.55) com relação a P, chega-se a uma Equação geral que pode ser utilizada para a determinação da carga máxima, sempre que a viga possuir seção transversal tipo perfil industrial. P=

σ e wx . k n

(1.56)

Portanto, a Equação (1.56) é utilizada para a determinação do valor de P em vigas com seção de perfil industrial, lembrando-se que o valor de (wx) é obtido em tabelas, de acordo com o perfil utilizado.

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Tabela 1.2 – Formulário para dimensionamento à flexão. SEÇÃO QUADRADA

CIRCULAR

RETANGULAR

DIMENSIONAMENTO

CÁLCULO DE P σ el 3 P= 6kn

l=3

6 Mf máx k σe 32 Mf máx k πσe

P=

σe π d 32kn

3

d =3

6Mf máx k x2 σ e

P=

σe b h 6kn

2

b=3

h = xb TUBULAR

D=3

32Mf máx k πσ e (1 − y 4 )

P=

σ e π (D − d ) 32 Dkn 4

4

d = yD

CAIXÃO

6 Mf máx k a=3 σ e (1 − z 4 )

σ (a − b ) P= e 6 a k n 4

b = za PERFIL INDUSTRIAL

wx =

kMf máx σe

P=

σ e wx k n

4

Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples 1.11 - TABELAS PARA SELEÇÃO DE PERFIS INDUSTRIAIS

Tabela 1.3 – Perfis H – Padrão Americano.

20

Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples Tabela 1.4 – Perfis I – Padrão Americano.

21

Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples Tabela 1.5 – Perfis I – Padrão Americano.

22

Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples Tabela 1.6 – Perfis U Padrão Americano.

23

Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples Tabela 1.7 – Perfis U Padrão Americano.

24

Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples Tabela 1.8 – Perfis L (Abas Iguais) - Padrão Americano.

25

Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples Tabela 1.9 – Perfis L (Abas Desiguais) - Padrão Americano.

26

Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples Tabela 1.10 – Perfis L (Abas Desiguais).

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Tabela 1.11 – Propriedades dos Materiais. TENSÕES Material

Tensão de Escoamento [MPa]

Tensão de Ruptura [MPa]

Aço Carbono ABNT 1010 – L

220

320

ABNT 1010 – T

380

420

ABNT 1020 – L

280

360

ABNT 1020 – T

480

500

ABNT 1030 –L

300

480

ABNT 1030 – T

500

550

ABNT 1040 – L

360

600

ABNT 1040 – T

600

700

ABNT 1050 – L

400

650

ABNT 1050 – T

700

750

Aço Liga ABNT 4140 – L

650

780

ABNT 4140 – T

700

1000

ABNT 8620 - L

440

700

ABNT 8620 – T

700

780

Materiais não Ferrosos Alumínio

30-120

70-230

Duralumínio 14

100-420

200-500

Cobre Telúrio

60-320

230-350

Bronze de Níquel

120-650

300-750

Magnésio

140-200

210-300

Titânio

520

60

Zinco

-

290

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1.12 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Dimensionar a estrutura representada a seguir com relação à flexão, considerando que a mesma possui seção transversal quadrada. Dados:σ e = 220 MPa

k =3 Solução :

3kN 4m

σ e = 220 MPa = 220 ⋅ 10 6 N / m 2 l l

Do diagrama de Mf : Mf

Q

= 12 kNm = 12000 Nm

máx

Daí pode − se escrever que : -3 kN

l =3

6 Mf máx k σe

Mf

Assim : -12 kNm

l =3

6 ⋅12000 ⋅ 3 220 ⋅10 6

Por tan to : l = 0 ,09939 m l = 99 ,39 mm

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2) Dimensionar a estrutura representada a seguir com relação à flexão, considerando que a mesma possui seção transversal circular. Dados:σ e = 360 MPa

k=2

7kN

Solução :

1m

0,7m

5kN

0,4m

d

σ e = 360 MPa = 360 ⋅10 6 N / m 2 Do diagrama de Mf :

6kN

Mf 4kN

Daí pode − se escrever que : d=

Q -2 kN

= 8 ,4 kNm = 8400 Nm

máx

3

32 Mf máx k π ⋅σ e

Assim : d=

-7 kN Mf -6,8 kNm -7,4 kNm -8,4 kNm

3

32 ⋅ 8400 ⋅ 2 360 ⋅ 10 6

Por tan to : d = 0 ,07804 m d = 78 ,04 mm

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31

3) Dimensionar a estrutura representada a seguir com relação à flexão, considerando que a mesma possui seção transversal retangular. Dados:σ e = 360 MPa k=3 h x= =3 b 3kN

Solução :

4kN

σ e = 360 MPa = 360 ⋅ 10 6 N / m 2 0,5m

1m

0,5m

h

Do diagrama de Mf : b 3,25kN

b=

Q -3,75kN

1,625 kN.m

= 1,875 kNm = 1875 Nm

máx

Daí pode − se escrever que :

0,25kN

Mf

Mf

1,875 kN.m

3

6 Mf máx k x 2 ⋅σ e

Assim : d=

3

6 ⋅ 1875 ⋅ 3 3 2 ⋅ 360 ⋅ 10 6

Por tan to : b = 0 ,01842 m b = 18 ,42 mm O valor de h é dado por : h = x ⋅b h = 3 ⋅ 18 ,42 h = 55 ,26 mm

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32

4) Dimensionar a estrutura representada a seguir com relação à flexão, considerando que a mesma possui seção transversal tubular. Dados: σ e = 360 MPa k=3

y=

d = 0,8 D Solução :

15kN/m

σ e = 360 MPa = 360 ⋅ 10 6 N / m 2 D

d 2m

Do diagrama de Mf : = 7 ,5 kNm = 7500 Nm

Mf

máx

Daí pode − se escrever que :

15kN

d =

3

Q -15kN ,5kN.m

Mf

32 Mf máx k π ⋅σ e ⋅ ( 1 − y 4 )

Assim : d =

3

32 ⋅ 7500 ⋅ 3 π ⋅ 360 ⋅ 10 6 ⋅ ( 1 − 0 ,8 4 )

Por tan to : d = 0 ,10254 m d = 102 ,54 mm O D D D

valor de D é dado por : = y⋅d = 0 ,8 ⋅ 102 ,54 = 82 ,03 mm

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33

5) Dimensionar a estrutura representada a seguir com relação à flexão, considerando que a mesma possui seção transversal caixão. Dados:σ e = 300 MPa k=3 b z = = 0 ,6 a 7kN 5kN/m 5kN/m

Solução : σ e = 300 MPa = 300 ⋅10 6 N / m 2

5kNm b 1m

1m

1m

1m

b

a

Do diagrama de Mf : Mf

máx

= 11 ,7 kNm = 11700 Nm

a

Daí pode − se escrever que : 6,4kN

a=

2,4kN

3

6 Mf máx k σ e ⋅( 1 − z 4 )

Q

Assim : -4,6kN

a= -9,6kN

3

6 ⋅ 11700 ⋅ 3 300 ⋅ 10 6 ⋅ ( 1 − 0 ,6 4 )

11,7kNm Mf

Por tan to : a = 0 ,09308 m a = 93 ,08 mm O valor de b é dado por : b = z⋅a b = 0 ,6 ⋅ 93 ,08 b = 55 ,85 mm

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34

6) Selecionar o perfil industrial tipo I adequado para atuar com segurança na estrutura representada a seguir. Dados: σ e = 180MPa

Solução :

7kN

σ e = 180 MPa = 180 ⋅ 10 6 N / m 2 1,2m

0,9m

0,8m 3kNm

7kN

Do diagrama de Mf : Mf máx = 10 ,056 kNm = 10056 Nm Daí pode − se escrever que : k ⋅ Mf máx wx = σe

7kN 1,62kN

Assim : 1⋅ 10056 wx = 180 ⋅ 10 6

Q

Por tan to :

-8,38kN

wx = 0 ,00005586 m 3 wx = 55 ,86cm 3

Mf -3kNm

Na tabela encontra − se o perfil adequado Como não se utilizou fator de segurança

-8,598kNm -10,056kNm

escolhe − se wx imediatame nte sup erior ao calculado , assim : wx = 58 ,9cm 3 Perfil selecionad o : I − 101 ,6 x 71mm

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35

7) Selecionar o perfil industrial tipo U adequado para atuar com segurança na estrutura representada a seguir. Dados: σ e = 180MPa Solução : 10kN

σ e = 180 MPa = 180 ⋅ 10 6 N / m 2 1,25m

0,75m

5kNm

Do diagrama de Mf : Mf máx = 7 ,8125 kNm = 7825 Nm Daí pode − se escrever que : k ⋅ Mf máx wx = σe

3,75kN

Q

-6,25kN

Assim : 1 ⋅ 7825 wx = 180 ⋅ 10 6 Por tan to :

8,8125kNm

wx = 0 ,0000434 m3 wx = 43 ,4cm 3

2,8125kNm

Na tabela encontra − se o perfil adequado Como não se utilizou fator de segurança

Mf

escolhe − se wx imediatame nte sup erior ao calculado , assim : wx = 71,7 cm 3 Perfil selecionad o : U − 152 x 48 ,8 mm

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36

8) Selecionar o perfil industrial tipo L de abas iguais adequado para atuar com segurança na estrutura representada a seguir. Dados: σ e = 180MPa

Solução :

8kN 0,5m

4kN 1m

0,5m

σ e = 180 MPa = 180 ⋅ 10 6 N / m 2 Do diagrama de Mf : Mf máx = 3,5kNm = 3500 Nm Daí pode − se escrever que : k ⋅ Mf máx wx = σe

7kN

Q Assim : 1 ⋅ 3500 wx = 180 ⋅ 10 6

-1kN -5kN

Por tan to : wx = 0 ,00001944 m 3

3,5kNm 2,5kNm

wx = 19 ,44 cm 3 Na tabela encontra − se o perfil adequado Como não se utilizou fator de segurança

Mf

escolhe − se wx imediatame nte sup erior ao calculado , assim : wx = 58 ,9cm 3 Perfil selecionad o : L − 101 ,6 x101,6 mm

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9) Selecionar o perfil industrial tipo L de abas desiguais adequado para atuar com segurança na estrutura representada a seguir. Dados: σ e = 180MPa 3kN

Solução :

10kN 7kNm

0,5m

1m

1m

σ e = 180 MPa = 180 ⋅ 10 6 N / m 2

0,5m

Do diagrama de Mf : Mf máx = 15 kNm = 15000 Nm 8kN

23kN 13kN

Daí pode − se escrever que : k ⋅ Mf máx wx = σe Assim : 1⋅ 15000 wx = 180 ⋅ 10 6

Q -3kN -8kN

Por tan to : wx = 0 ,00008333 m3

8,5kNm

15kNm

wx = 83 ,33 cm 3 Na tabela encontra − se o perfil adequado Como não se utilizou fator de segurança escolhe − se wx imediatame nte sup erior ao

Mf

calculado , assim : -3kNm

wx = 102 cm 3 Perfil selecionad o : L − 152 ,4 x101,6mm abas desiguais

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38

10) Para a estrutura representada a seguir, determine qual é o máximo valor de P que pode ser aplicado. Dados:σ e = 280MPa k = 1,6 Seção tubular D = 100mm d = 85mm

3P 1,5m

Solução : 1,5m

σ e = 280 MPa = 280 ⋅ 10 6 N / m 2 Do diagrama de Mf : Mf máx = 2 ,25 P

1,5P

Daí pode − se escrever que : Q

P=

-1,5P

Assim : P=

2,25P

Mf

σ e ⋅π ⋅( D 4 − d 4 ) 32 ⋅ D ⋅ n ⋅ k

280 ⋅ 10 6 ⋅ π ⋅ ( 0 ,14 − 0 ,085 4 ) 32 ⋅ 0 ,1 ⋅ 2 ,25 ⋅ 1,6

Por tan to : P = 3649 ,97 N

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39

1.13 – EXERCÍCIOS PRÁTICOS DE PROJETO RESOLVIDOS 11) Para a estrutura representada abaixo, dimensionar a viga superior quanto a flexão, sabendo-se que a mesma possui perfil industrial I com tensão de escoamento igual a: σ e = 180MPa 1,3m

Solução :

1,3m

σ e = 180 MPa = 180 ⋅ 10 6 N / m 2 Do diagrama de Mf : Mf

máx

= 6 ,5 kNm = 6500 Nm

Daí pode − se escrever que : k ⋅ Mf máx wx = σe 10KN

Assim : 1 ⋅ 6500 wx = 180 ⋅10 6 Por tan to : w x = 0 ,00003611 m 3 w x 36 ,11cm 3

10kN

Na tabela encontra − se o perfil adequado Como não se utilizou

fator de segurança ,

escolhe − se w x imediatame nte sup erior ao calculado , Assim :

5kN

w x = 49 ,4 cm 3

Q -5kN 6,5kNm Mf

Perfil selecionad o : I − 101 ,6 x 67 ,6 mm

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40

12) Dimensionar a viga da empilhadeira para que suporte com segurança o carregamento representado na figura. Dados: Material Aço Liga ABNT 4140-L; σ

e

= 650 MPa ; k = 1,5; h = 0,2916b.

Seção retangular h b

25KN

Diagramas 8,33KN/m

1,5m

Q 12,5KN Mf

9,375KN.m

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Solução : σ e = 650 MPa = 650 ⋅ 10 6 N / m 2 Do diagrama de Mf : Mf

máx

= 9 ,375 kNm = 9375 Nm

Daí pode − se escrever que : b=

3

6 Mf máx k x2 ⋅σ e

Assim : b=

3

6 ⋅ 9375 ⋅ 1,5 0 ,2916 2 ⋅ 650 ⋅ 10 6

Por tan to : b = 0 ,1151 m b = 115 ,1mm O valor de h é dado por : h = x ⋅b h = 0 ,2916 ⋅ 115 ,1 h = 33 ,56 mm

41

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42

13) Para a estrutura representada a seguir, dimensionar a viga superior quanto à flexão, sabendo-se que a mesma possui seção transversal caixão. Dados: σ e = 300 MPa k = 2 ,5 b z = = 0 ,7 a

1,5m

Solução :

2m

σ e = 300 MPa = 300 ⋅10 6 N / m 2

15kN

Do diagrama de Mf : Mf

= 30 kNm = 30000 Nm

máx

Cilindro hidráulico

Daí pode − se escrever que : a=

3

6 Mf máx k (1 − z 4 ) ⋅ σ e

15kN

Assim : 1,5m

2m

15kN

a=

3

6 ⋅ 30000 ⋅ 2 ,5 ( 1 − 0 ,7 4 ) ⋅ 300 ⋅ 10 6

Por tan to : a = 0 ,12544 m a = 125 ,44 mm O valor de b é dado por : b = z⋅a b = 0 ,7 ⋅125 ,44 b = 87 ,81mm

Q

-20kN Mf

-30kNm

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43

14) O robô industrial mostrado na figura é mantido na posição estacionária indicada, considerando que ele seja rotulado em A e conectado a um cilindro hidráulico BD, dimensione a viga ABC admitindo que o braço e a garra tenham um peso uniforme de 0,3 kN/m e suportam uma carga de 3 kN em C. Considerar seção tubular. Dados: σ e = 120 MPa k =2 d y = = 0 ,8 D 0,1m 0,25m

Solução :

1,25m

σ e = 120 MPa = 120 ⋅ 10 6 N / m 2 Do diagrama de Mf : Mf

= 5 kNm = 5000 Nm

máx

Daí pode − se escrever que : D =

3

32 Mf máx k π ⋅ ( 1 − y 4 ) ⋅σ e

Assim : 0,48kN 0,1m 0,25m 0,45m

4,48kN

0,8m

4kN

Q

-20,86kN

Mf -3kNm -5kNm

4kN

D =

3

32 ⋅ 5000 ⋅ 2 π ⋅ ( 1 − 0 ,8 4 ) ⋅120 ⋅ 10 6

Por tan to : D = 0 ,1128 m D = 112 ,8 mm O valor de d é dado por : d = y⋅D d = 0 ,8 ⋅ 112 ,8 d = 90 ,3mm

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44

15) A ferramenta representada a seguir é utilizada para a fixação de elementos de cabeça sextavada. Dimensionar a haste da ferramenta considerando que a mesma possui seção transversal circular. Dados:σ e = 220 MPa

k =2 0,3kN

Solução : σ e = 220 MPa = 220 ⋅ 10 6 N / m 2 Do diagrama de Mf : Mf

0,3m

= 0 ,09 kNm = 90 Nm

máx

Daí pode − se escrever que : d =3 0,3kN

0,3m

32 Mf máx k π ⋅σ e

Assim : d =3

32 ⋅ 90 ⋅ 2 π ⋅ 220 ⋅ 10 6

Por tan to : d = 0 ,02027 m d = 20 ,27 mm

Q -0,3kN

Mf

-0,09kN

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45

16) A viga mostrada na figura é utilizada na linha de produção de uma fábrica para elevação de carga da esteira inferior para a esteira superior. Selecionar o perfil tipo I adequado para operar com segurança no sistema representado. Dados:σ e = 180 MPa 3,5m

2m

1,5m

Solução : σ e = 180 MPa = 180 ⋅ 10 6 N / m 2

4kN

4kN

Do diagrama de Mf : Mf

= 9 ,975 kNm = 9975 Nm

máx

Daí pode − se escrever que : wx =

4kN 3,5m

4kN 2m

1,5m

k ⋅ Mf máx σe

Assim : wx =

1 ⋅ 9975 180 ⋅ 10 6

Por tan to : w x = 0 ,00005441 m

3

w x = 54 ,41 cm 3 Na tabela encontra − se o perfil adequado

2,85kN

Como não se utilizou

escolhe − se w x imediatame nte sup erior ao

Q

calculado , assim :

-1,15kN

w x = 58 ,9 cm 3

-5,15kN

9,975kNm 7,675kNm Mf

fator de segurança ,

Perfil selecionad o : I − 101 ,6 x 71 mm

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46

17) Dimensionar o eixo representado na figura com relação à flexão, considerando que o mesmo possui seção circular. Dados:σ e = 280 MPa

k =2

Solução : 0,25 m

0,8m

σ e = 280 MPa = 280 ⋅ 10 6 N / m 2 Do diagrama de Mf :

24kN

Mf

= 6 kNm = 6000 Nm

máx

Daí pode − se escrever que : 24kN d 0,25 m

d =3

0,8m

32 Mf máx k π ⋅σ e

Assim : d =3 7,5kN Q

-24kN

6kNm

Mf

32 ⋅ 6000 ⋅ 2 π ⋅ 280 ⋅ 10 6

Por tan to : d = 0 ,07585 m d = 75 ,85 mm

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47

18) Dimensionar o eixo representado na figura com relação à flexão, considerando que o mesmo possui seção tubular. Dados: σ e = 300 MPa k = 1,5 d y = = 0,75 D 0,35m

0,6 m

0,35m

Solução :

0,2m

σ e = 300 MPa = 300 ⋅10 6 N / m 2 Do diagrama de Mf :

0,35kN

0,35kN 0,5kN

Mf

0,15kN

0,5kN

Daí pode − se escrever que :

0,15kN D

0,35m

0,6 m

0,35m 0,2m

= 0 ,3 kNm = 300 Nm

máx

D =3

d

32 Mf máx k π ⋅(1− y4 )⋅σ e

Assim : D =3 0,3674kN 0,15kN 0,0174kN Q

-0,4826kN

0,13903kNm 0,1286kNm

Mf -0,3kNm

32 ⋅ 300 ⋅ 1,5 π ⋅ ( 1 − 0 ,75 4 ) ⋅ 300 ⋅ 10 6

Por tan to : D = 0 ,02816 m D = 28 ,16 mm O valor de d é dado por : d = y⋅D d = 0 ,75 ⋅ 28 ,16 d = 21 ,12 mm

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48

19) O mecanismo representado a seguir é acionado hidraulicamente e utilizado para elevação de cargas em uma industria. Dimensionar a viga ABCD considerando que a mesma possui seção transversal quadrada. Dados: σ e = 360 MPa k = 2 ,5 Vista superior

Solução : σ e = 360 MPa = 360 ⋅10 6 N / m 2

A

B

D

C

Do diagrama de Mf : Mf

= 1,875 kNm = 1875 Nm

máx

Daí pode − se escrever que : l=

30kN

3

Cilindro hidráulico

6 Mf máx k σe

Assim : 5kN/m

0,5m

2m

0,5m

5kN 2,5kN Q -2,5kN -5kN 1,875kNm

Mf -0,625kNm

6 ⋅ 1875 ⋅ 2 ,5 360 ⋅ 10 6 Por tan to : l = 0 ,04274 m l = 42 ,74 mm l=

-0,625kNm

3

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49

20) O eixo mostrado na figura a seguir é apoiado em mancais radiais lisos nos pontos A e B. Devido à transmissão de potência para o eixo, as correias das polias estão sujeitas às tensões indicadas. Determinar o diâmetro do eixo. Dados: σ e = 220 MPa k = 2 ,5

A

0,3kN

0,2kN 0,55kN

0,4kN

B

Plano vertical 0,95kN 0,25m

0,25m

Plano horizontal 0,15m

0,5m

0,15m

0,5kN 0,475kN 0,15kN Q

Q

-0,475kN -0,5kN 0,11875kNm Mf

0,075kNm Mf

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50

Solução : σ e = 220 MPa = 220 ⋅ 10 6 N / m 2 Momento

fletor resul tan te Mf R :

Mf R = 118 ,75 2 + 75 2 Mf R = 140 ,145 Nm Daí pode − se escrever que : d =

3

32 Mf máx k π ⋅σ e

Assim : d =

3

32 ⋅ 140 ,45 ⋅ 2 ,5 π ⋅ 220 ⋅ 10 6

Por tan to : d = 0 ,02533 m d = 25 ,33 mm

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51

1.14 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção transversal quadrada. Dados: σ e = 280 MPa k=2 5KN 1m

l , l

Q

-5KN Mf

-5KNm

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52

2) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção transversal quadrada. Dados: σ e = 300 MPa k =3 2KN

4KN 1m

l

1m l

Q

-4KN -6KN

-6KNm

-10KNm

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53

3) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção transversal quadrada. Dados: σ e = 360 MPa k =3 3KN 2m

l l

Q

-3kN

Mf -6kNm

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54

4) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção transversal quadrada. Dados: σ e = 220 MPa k=2 5KN l 1m

1m

l 8KN

3KN Q

-5KN

Mf -2KNm -5KNm

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55

5) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção transversal circular. Dados: σ e = 130 MPa k=2 10kN/m d 1m

1m 1,5m

7,5kN Q

-7,5kN 10,31kNm

Mf

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56

6) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção transversal circular. Dados: σ e = 10 MPa k = 1,5 d 12kN 1m

1m

1m

10kN

4,66kN 2,66kN Q

-7,34kN 4,66kNm Mf -2,66kNm

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57

7) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção transversal circular. Dados: σ e = 650 MPa k =3

15kN 1m

10kN 1m

1,2m

20kN 1m

17,8kN 7,8kN Q -12,2kN -15kN 12,2kNm 2,8kNm Mf -15kNm

d

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58

8) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção transversal circular. Dados: σ e = 50 MPa k=2

2kN 1m

4kN 1m

1m

2kN 1m

2kN

2kN Q -2kN

-2kN

Mf -2kNm

-2kNm

d

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59

9) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção transversal retangular. Dados: σ e = 360 MPa k=2 h x = = 1,8 b 8kN 0,5m

1,5m h b

6kN Q -2kN

3kNm

Mf

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60

10) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção transversal retangular. Dados: σ e = 130 MPa k = 1,3 h x= =2 b

7kN/m

h

2,5m b 8,75kN

Q

-8,75kN

5,46kNm

Mf

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61

11) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção transversal retangular. Dados:σ e = 40 MPa k = 2 ,5 h x = =3 b

20kN/m

1m

15kN

0,8m

0,5m

15kN

10,27kN

Q

-9,73kN 2,635kNm Mf -7,5kNm

h b

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62

12) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção transversal retangular. Dados: σ e = 220 MPa k=2 h x = = 2 ,4 b 8kN/m

15kNm

1m

2m

1m

15kN Q -1,75kN -8kN

Mf

-4kNm -7,5kNm

h b

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63

13) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção transversal tubular. Dados: σ e = 50 MPa k = 2 ,2 d y = = 0 ,5 D

5kN D

1m

1m 4kNm

0,5kN Q

-4,5kN

4,5kNm 0,5kNm Mf

d

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64

14) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção transversal tubular. Dados: σ e = 130 MPa k =3 d y = = 0,55 D 6kN

7kN 1,5m

1m 2kNm

d 3kNm

6,428kN Q -0,572kN

-6,57kN

6,57kNm 6,428kNm

Mf

D

1m

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65

15) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção transversal tubular. Dados: σ e = 80 MPa k = 2 ,5 d y= = 0 ,7 D 7kN 1m

3kN/m D

1m 3kNm

1m

3kN 1,25kN Q

-5,75kN 4,25kNm

Mf -1,5kNm

d

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66

16) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção transversal tubular. Dados: σ e = 360 MPa k = 1,3 d y = = 0 ,8 D 10kN 4kN/m

10kN 2m

1m

D

1m d 4kN/m

10kN Q -10kN

Mf -4kNm

-14kNm

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67

17) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção transversal caixão. Dados: σ e = 360 MPa k = 1,5 b z = = 0,7 a

20kN 2m

2m b a

10kN Q

-10kN

20kNm

Mf

b

a

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68

18) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção transversal caixão. Dados: σ e = 450 MPa k=2 b z = = 0,8 a 7kN/m

b

1m

a

Q

-7kN

Mf

-3,5kNm

b

a

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69

19) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção transversal caixão. Dados: σ e = 360 MPa k = 2,5 b z = = 0,7 a 8kN/m

b

2m

a 8kN Q -8kN

4kNm

Mf

b

a

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70

20) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção transversal caixão. Dados: σ e = 280 MPa k = 3,5 b z = = 0,5 a 4kN/m

1m

15kN

1m

2kNm 1m

4kN/m

1m

b a

8,5kN

4kN

Q -4kN -6,5kN 6,5kNm 4,5kNm Mf -2kNm

-2kNm

b

a

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71

21) Para a viga representada a seguir, selecione o perfil I adequado para que a estrutura suporte o carregamento com segurança. Dados: σ e = 180 MPa

5kN/m 1,5m 1m 4kN/m

1kN Q

-5kN

Mf

5,625kNm

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72

22) Para a viga representada a seguir, selecione o perfil U adequado para que a estrutura suporte o carregamento com segurança. Dados: σ e = 180 MPa

7kN 1m

1m

8kN

1kN Q

-7kN Mf -6kNm -7kNm

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73

23) Para a viga representada a seguir, selecione o perfil L de abas iguais adequado para que a estrutura suporte o carregamento com segurança. Dados: σ e = 180 MPa

4kN 1m

7kN 0,4m

3kN

0,4m 1m

4kNm

3kN Q -0,25kN -4kN

-7,25kN

Mf

-4,1kNm

-3kNm

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74

24) Para a viga representada a seguir, selecione o perfil L de abas desiguais adequado para que a estrutura suporte o carregamento com segurança. Dados: σ e = 180 MPa

7kN/m

8kN 0,8m 5kNm

2m

12,7kN

Q -1,3kN -8kN 0,12kNm Mf -5kNm

-11,4kNm

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75

25) Para a estrutura representada a seguir, calcular o máximo valor de P que pode ser aplicado. Dados: σ e = 280 MPa k=2 Seção quadrada l = 85 mm

4P 0,5m

1m

1m

3P

2,2P

Q -0,8P

-1,8P

1,8P Mf -0,4P

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76

26) Para a estrutura representada a seguir, calcular o máximo valor de P que pode ser aplicado. Dados: σ e = 300 MPa k=2 Seção circular d = 70 mm

P 1m

Q

-P

Mf

-P

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77

27) Para a estrutura representada a seguir, calcular o máximo valor de P que pode ser aplicado. Dados: σ e = 360 MPa k = 2,5 Seção re tan gular b = 90 mm h = 120 mm

P

2P 1m

1m

Q

-P -3P

Mf -P -4P

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78

28) Para a estrutura representada a seguir, calcular o máximo valor de P que pode ser aplicado. Dados: σ e = 280 MPa k = 1,5 Seção tubular D = 80mm d = 65 mm

3P 1m

3P 3m

1m

3P Q -3P

3P

Mf

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79

29) Para a estrutura representada a seguir, calcular o máximo valor de P que pode ser aplicado. Dados: σ e = 450 MPa k =3 Seção caixão a = 80 mm b = 60mm

1,5m

P

1m

2P

1m

3P 6P

3P P Q

10,5P 4,5P 1,5P Mf

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80

30) Para a estrutura representada a seguir, calcular o máximo valor de P que pode ser aplicado. Dados: σ e = 180 MPa k=2 Perfil tipo I wx = 52 ,4 cm 3

2P 1m

2P 1m

1m

2P

Q

-2P

2P

Mf

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81

31) Para a estrutura representada a seguir, calcular o máximo valor de P que pode ser aplicado. Dados: σ e = 180 MPa k = 1,5 Perfil tipo U wx = 82 ,9 cm 3

P 0,7m

0,8m

0,6m

3P 3P

Q -P -2P

2,1P 1,3P Mf

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82

32) Para a estrutura representada a seguir, calcular o máximo valor de P que pode ser aplicado. Dados: σ e = 180 MPa k=2 Perfil tipo L abas desiguais wx = 38 cm 3

4P 0,5m

1m

1m

3P

2,2P

Q -0,8P -1,8P

1,8P Mf -0,4P

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83

33) Dimensionar a viga representada a seguir, considerando que a mesma possui seção transversal retangular. Dados: σ e = 300 MPa k=2 Calcular : h =2 b h B ) x = = 0 ,5 b C )Qual consome menos material ? A )x =

6kN 1,5m

1,5m

3kN

Q

-3kN

4,5kNm

Mf

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84

34) A viga mostra na figura é utilizada no pátio de uma estrada de ferro para carregar e descarregar vagões. Se a carga máxima de elevação é P=15kN, selecione o perfil I para suportar com segurança esta carga. Dados: σ e = 180 MPa 10m

15kN

15kN 5m

5m

7,5kN

Q

-7,5kN

37,5kNm

Mf

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85

35) A viga de aço mostrada na figura tem uma tensão de flexão admissível

σ adm = 140 MPa . Determine a carga máxima que a viga pode suportar com segurança. Dados: Seção quadrada a = 60 mm

P 2m

2m

P Q -P

Mf

-2P

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86

36) Determine o menor diâmetro admissível para o eixo que está sujeito às forças concentradas mostradas na figura. Os mancais A e B suportam apenas forças verticais, e a tensão de escoamento é σ e = 280MPa , com k=2. 0,3kN 0,5kN

0,3kN 0,1m

0,2m

0,5kN 0,1m

0,5kN 0,033kN Q -0,267kN

0,0033kNm Mf -0,05kNm

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87

37) Dimensionar a viga representada a seguir, considerando que a mesma possui seção transversal tubular. Dados: σ e = 300 MPa k = 2,5 d y = = 0 ,8 D 12kN 1m

1,5m

7kN 7kN

Q

-5kN

7kNm

Mf -0,5kNm

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88

38) Dimensionar a viga representada a seguir, considerando que a mesma possui seção transversal circular. Dados: σ e = 360 MPa k = 1,75

2m

2m 12kN

6kN

Q

-6kN

Mf

-12kNm

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89

39) Dimensionar a viga representada a seguir, considerando que a mesma possui seção transversal caixão. Dados: σ e = 280 MPa k=2 b z = = 0,65 a

8kN 1m

3m

8kN 1m

8kN Q -8kN

Mf

-8kNm

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40) Dimensionar a viga representada a seguir, considerando que a mesma possui seção transversal quadrada. Dados: σ e = 450 MPa k =3

10kN

7kN 1m

2m

Q -7kN -17kN

Mf -7kNm

-41kNm

Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples Respostas dos Exercícios Propostos

1) l = 59,84mm 2) l = 84,34mm 3) l = 66,94mm 4) l = 64,84mm 5) d = 117,36mm 6) d = 192,47mm 7) d = 89,02mm 8) d = 93,41mm 9) b = 31,36mm, h = 56,46mm 10) b = 43,42mm, h = 86,85mm 11) b = 67,86mm, h = 203,58mm 12) b = 41,41mm, h = 99,39mm 13) D = 129mm, d = 64,5mm 14) D = 119mm, d = 65,45mm 15) D = 121mm, d = 84,7mm 16) D = 95,54mm, d = 76,43mm 17) a = 89,97mm, b = 60,88mm 18) a = 54,07mm, b = 43,25mm 19) a = 60,30mm, b = 42,21mm 20) a = 80,41mm, b = 40,20mm 21) Perfil I – 101,6 x 67,6mm 22) Perfil U – 152,4 x 48,8mm 23) Perfil L abas iguais - 101,6 x 101,6mm 24) Perfil L abas desiguais – 152,4 x 101,6mm 25) P = 7960N 26) P = 5050N 27) P = 7776N 28) P = 1765N 29) P = 7960N 30) P = 833N 31) P = 2358N 32) P = 1900N 33) A) b = 35,56mm, h = 71,12mm; B) b = 44,81mm, h = 89,62mm; C) A 34) Perfil I – 203,2 x 101,6mm 35) P = 2520N 36) d = 15,37mm 37) D = 100,21mm, d = 80,17mm 38) d = 84,06mm 39) a = 74,73mm, b = 48,57mm 40) l = 117,92mm

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Referências Bibliográficas 1 – Beer. Ferdinand. P, Johnston. Russel. E, “Resistência dos Materiais” McGrawHill – New York 1992. 2 – Hall. Allen. S, Holowenko. Alfred. R, “Machine Design” Shaum´s Outlines, McGraw Hill – New York 1962. 3 – Hibbeler. R. C, “Resistência dos Materiais”, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A, Rio de Janeiro 1997. 4 – Hibbeler. R. C, “Mecânica Estática”, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A, Rio de Janeiro 1998. 5 – Jackson. J. J, Wirtz. H. G, “Statics and Strength of Materials ”, Shaum´s Outlines, McGraw Hill – New York 1983. 6 – Meriam. J. L, Kraige. L. G, “Mecânica Estática”, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A, Rio de Janeiro 1997. 7 – Melconian. S, “Mecânica Técnica e Resistência dos materiais”, Editora Érica, São Paulo 1999.