Resistencia Materiais [7 ed.] 9788576053736

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•

R. C. Hibbel 7º edição Conversão para SI S. C. Fan

Nanyang Technological University Tradução

Arlete Simille Marques

E n g e n h e i ra Quím ica - U n i versidade Federal do Paraná

Revisão técnica

Sebastião Simões da Cunha Jr.

Instituto de Engenh a ria Mecâ n i ca da U n iversidade Federal de ltaj u bá

EDITORA AFILIADA

São Paulo Brasil Argentina Colômbia Costa Rica Chile Espanha Guatemala México Peru Porto Rico Venezuela

© 2010 Pearson Education do Brasil © 2008 Pearson Education South Asia Pte Ltd.

Título original: Mechanics of materiais, seventh edition Tradução autorizada a partir da edição de Cingapura, adaptada da edição original em inglês Mechahics of materiais, 7th edition, de Russell Hibbeler, publicada pela Pearson Education, Inc., sob o selo Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluin,?o fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e trapsfnissã'o de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Pearson Education do Brasil.

Diretor editorial: Roger Trimer Gerente editorial: Sabrina Cairo Supervisor de produção editorial: Marcelo Françozo Editora: Gabriela Trevisan Preparação: Renata Gonçalves e Sonia Midori Revisão: Regiane Miyashiro Capa: Alexandre Mieda Editoração eletrônica: ERJ Composição Editorial

Dados Internacionais de Catalogação na P ublicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Hibbeler, Russell Charles Resistência dos materiais I Russell Charles Hibbeler ; tradução Arlete Simille Marques ; revisão técnica Sebastião Simões da Cunha Jr.7. ed. - São Paulo : Pearson Prentice Hall, 2010. Título original: Mechanics of materiais. ISBN 978-85-7605-373-6 1. Estruturas - Análise (Engenharia) 2. Resistência dos materiais I. Título. 09-10017

CDD-620.112 Índice para catálogo sistemático: 1. Resistência dos materiais : Engenharia 620.112

2009 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil Ltda., uma empresa do grupo Pearson Education Av. Ermano Marchetti, 1435 CEP: 05038-001 - São Paulo - SP Tel.: (11) 2178-8686 Fax: (11) 2178-8688 e-mail: [email protected]

Ao estudante

Com a esperança de que esta obra estimule o interesse pela resistência dos materiais e proporcione um guia aceitável para o entendimento da matéria.

Sumário 1

1.

Tensão

1.1

Introdução . .

3.7

O diagrama tensão-deformação de cisalhamento

.

........

.

....................................

1

*3.8

............... ....

Equilíbrio de um corpo deformável ......... 1

1 .3

Tensão

1.4

Tensão normal média em uma barra

....................................................

com carga axial 1.5

......................................

15

Tensão de cisalhamento média .............. 20

1.6

Tensão admissível

1.7

Projeto de acoplamentos simples

2.

14

...................................

4. 4.1 4.2

..........

33

.

2.1

Deformação

2.2

Conceito de deformação

3.

........... ..............................

.......................

47

Propriedades mecânicas dos materiais

57

3.1

O ensaio de tração e compressão .

......

57

3.2

O diagrama tensão-deformação

...........

58

3.3

Comportamento da tensão-deformação

..

de materiais dúcteis e frágeis .

.. .............

......................

85

.............

86

......................

95

...... .....

estaticamente indeterminado

.

................

96

Método de análise de força para ......

100

.....................................

106

elementos carregados axialmente 4.6

Tensão térmica

4.7

Concentrações de tensão

....................

111

. . ...... . . .......

114

.....................................

116

*4.8

Deformação axial inelástica

*4.9

Tensão residual

5.

Torção

60

76

Deformação elástica de um elemento

Elemento com carga axial

5.1

....

125

Deformação por torção de um eixo circular

.......... . .

125

...... ......................

126

...... ......................

.

63

5.2

A fórmula da torção

.......

64

5.3

Transmissão de potência...................... 132

..........................

73

5.4

Ângulo de torção

3.4

Lei de Hooke

3.5

Energia de deformação

3.6

Coeficiente de Poisson

...... .......................

.

Princípio de Saint-Venant

4.4

47

74

85

Princípio da superposição

4.5

.

Carga axial

4.3

47

Deformação

........ . ...................

submetido a carga axial

32

......................

Falha de materiais devida à fluência e à fadiga

1.2

.

............

.................

.

.................................

139

VIII

5.5

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Elementos estaticamente indeterminados

7.4

carregados com torque ....................... 150 *5.6 *5.7

Eixos maciços não circulares ................ 155

compostas por vários elementos . .

.. .. ...

7.5

Tubos de parede fina com seções

5.8

Concentração de tensão ...................... 165

*5.9

Torção inelástica................................... 167

*5.1O

Tensão residual ..................................... 172

*7.6

Fluxo de cisalhamento em elementos

1 81

Centro de cisalhamento para seções transversais abertas.............................. 289

8. 8.1

Flexão

276

de paredes finas ................................... 285

transversais fechadas ........................... 157

6.

Fluxo de cisalhamento em estruturas

8.2

Cargas combinadas

300

Vasos de pressão de paredes finas

. 300

... .

Estado de tensão causado por cargas combinadas .............................. 304

6.1

Diagramas de força cortante e momento fletor ................................. 181

6.2

Método gráfico para construir

9.

diagramas de força cortante e momento fletor 6.3

.....................................................

9.1

Deformação por flexão de um

6.4

A fórmula da flexão .............................. 203

6.5

Flexão assimétrica ................................ 216

*6.6

Vigas compostas .................................. 224

*6. 7

Vigas de concreto armado ................... 229

*6.8

Vigas curvas.......................................... 231

6. 9

Concentrações de tensão .................... 236

* 6.1O

Flexão inelástica ................................... 244

6.11

Tensão residual..................................... 251

Cisalhamento transversal

262 262

7.1

Cisalhamento em elementos retos

7.2

A fórmula do cisalhamento .................. 263

7.3

Tensões de cisalhamento em vigas ...... 264

......

321

de tensão

188

elemento reto ...................................... 201

7.

Transformação

9.2

Transformação de tensão no plano

......

321

Equações gerais de transformação de tensão no plano .............................. 324

9.3

Tensões principais e tensão de cisalhamento máxima no plano .......... 327

9.4

Círculo de Mohr- tensão no plano.... 338

9.5

Tensão em eixos provocada por carga axial e torção .............................. 345

9.6

Variações de tensão ao longo de uma viga prismática ........................ 346

9.7

Tensão de cisalhamento máxima absoluta ................................. 351

1 O.

Transformação da deformação

10.1 10.2

361

Deformação plana................................ 361 Equações gerais de transformação no plano de deformação...................... 362

SUMÁRIO

*10.3

12.9

Círculo de Mohr- plano

Vigas e eixos estaticamente indeterminados- método da superposição ........................................ 466

de deformação ..................................... 367 *10.4

IX

Deformação por cisalhamento máxima absoluta .................................. 373

10.5

Rosetas de deformação ....................... 376

10.6

Relações entre o material e suas

1 3.

Teorias de falhas................................... 387

1 1.

Projeto de vigas 401

e eixos 11.1

Base para o projeto de vigas ............... 401

11.2

Projeto de viga prismática ................... 401

*11.3

Vigas totalmente solicitadas ................ 411

*11.4

Projeto de eixos ................................... 413

1 2.

421

12.1

A linha elástica ..................................... 421

12.2

Inclinação e deslocamento por integração ............................................ 423

'12.4

Funções de descontinuidade ............... 435 Inclinação e deslocamento pelo método dos momentos de área .......... 442

12.5

Método da superposição ..................... 452

12.6

Vigas e eixos estaticamente indeterminados .................................... 457

12.7

13.1

Carga crítica .............................. .......... 477

13.2

Coluna ideal com apoios de pinos....... 478

13.3

Colunas com vários tipos de apoio...... 483

*13.4

A fórmula da secante ............ .............. 492

*13.5

Flambagem inelástica .......................... 497

'13.6

.

.

Projeto de colunas para cargas concêntricas ......................................... 502

*13.7

Projeto de colunas para cargas excêntricas ...................... ......... 510 .

1 4.

Métodos de energia

14.1

Trabalho externo e energia

Vigas e eixos estaticamente indeterminados- método da integração ...................... ................ 458 .

de deformação ..................................... 519 14.2

Energia de deformação elástica para vários tipos de carga.................... 522

14.3

Conservação de energia ...................... 531

14.4

Carga de impacto ................................ 535

*14.5

Princípio do trabalho virtual................. 543

*14.6

Método das forças virtuais aplicado a treliças ....... ........................ 545 .

'14.7

Método das forças virtuais aplicado a vigas.................................... 551

*14.8

Teorema de Castigliano ................... ... 558

*14.9

Teorema de Castigliano

.

aplicado a treliças ................. .... ......... 558 .

*12.8

519

Deflexão em vigas e eixos

'12.3

477

de colunas

propriedades ........................................ 379 *10.7

Flambagem

Vigas e eixos estaticamente indeterminados- método dos momentos de área ........................ 461

.

*14.10 Teorema de Castigliano

aplicado a vigas.................................... 561

X

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

B

Apêndices A

Propriedades geométricas de uma área 568 Centroide de uma área

A.2

Momento de inércia de uma área

A.3

Produto de inércia para uma área ....... 572

A.4

Momentos de inércia para uma área em torno de eixos inclinados

A.5

........

...............

570

574

Círcul o de Mohr para momentos de inércia

..............................................

de perfis estrutu rais

Inclinações e d eflexões de vigas

582

586

568

A.1

........................

c

P ro p riedades geométricas

576

D

Revisão d e fu n d a m e ntos de engen haria

588

Sol u ções parciais e respostas

599

Índ ice remissivo

628

Prefácio O objetivo deste livro é oferecer ao estudante uma apresentação clara e minuciosa da teoria e da apli­ cação dos princípios fundamentais da resistência. dos materiais. O entendimento é baseado na explanação do comportamento físico dos materiais sob carga e na subsequente modelagem desse comportamento para desenvolver a teoria. A ênfase recai sobre a importân­ cia de satisfazer os requisitos de equilíbrio, compatibi­ lidade de deformação e comportamento do material.

E l e m e ntos n ovos e a p ri m o ra d o s •

•

•

Material de revisão. Foram acrescentadas no­

vas seções de revisão no final de cada capítulo para atender às solicitações dos estudantes. Es­ sas novas seções foram planejadas para ajudá­ los a relembrar e estudar conceitos fundamen­ tais dos capítulos. Ilustrações. Com base no impressionante re­ torno positivo em relação às ilustrações inseridas na edição anterior, aprimoramos 100 ilustrações adicionais como parte do programa de arte fotorrealista. Problemas. Nesta sétima edição, os proble-

mas foram revisados, porém o equilíbrio entre aplicações fáceis, médias e difíceis foi mantido. Cada página do livro passou por uma revisão detalhada executada por três pessoas, além do autor, para verificar a precisão.

Co nteú d o O livro está organizado e m 1 4 capítulos. O Capí­ tulo 1 começa com uma revisão dos conceitos impor­ tantes da estática, seguida por uma definição formal de tensão normal e de cisalhamento e por uma discus­ são da tensão normal em eixos com cargas axiais e da tensão de cisalhamento média provocada por cisalha­ mento direto.

No Capítulo 2 são definidas as deformações nor­ mal e por cisalhamento, e no Capítulo 3 discutimos algumas das propriedades mecânicas importantes dos materiais. Tratamentos separados para carga axial, torção e flexão são apresentados nos capítulos 4, 5 e 6, respectivamente. Em cada um deles são considera­ dos o comportamento iinear elástico e o comporta­ mento plástico do material. Além disso, também estão incluídos tópicos relacionados com concentrações de tensões e tensão residual. Cisalhamento transversal é abordado no Capítulo 7, juntamente com uma discus­ são de tubos de parede fina, fluxo de cisalhamento e centro de cisalhamento. O Capítulo 8 inclui uma dis­ cussão de vasos de pressão de parede fina e apresenta uma revisão parcial do material abrangido nos capítu­ los anteriores, como o estado de tensão que resulta de cargas combinadas. No Capítulo 9 são apresentados os conceitos de transformação de estados multiaxiais de tensão. De modo semelhante, o Capítulo 10 discute os métodos de transformação de deformação, incluin­ do a aplicação de várias teorias de falha. O Capítulo 1 1 apresenta um meio para fazer um resumo e uma revisão adicionais de material anterior, ao abordar aplicações de projetos de vigas e eixos. O Capítulo 12 examina vários métodos para calcular deflexões de vigas e eixos, além de incluir uma discussão sobre a de­ terminação das reações desses elementos estruturais, se forem estaticamente indeterminados. O Capítulo 13 dá uma discussão de flambagem de colunas e, por fim, no Capítulo 14, são considerados o problema do impacto e a aplicação de vários métodos de energia para calcular deflexões. As seções deste livro que contêm material mais avançado são indicadas por um asterisco sobrescrito (*). Se o tempo disponível permitir, alguns desses tó­ picos poderão ser incluídos no curso. Além do mais, este material oferece uma referência adequada para os princípios básicos, quando forem estudados em ou­ tros cursos, e pode ser usado como base para projetas especiais.

XII

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

M étodo a lternativo d e a bordag e m . Al­ guns professores preferem abordar transformações de tensão e deformação primeiro, antes de discutir aplicações específicas de carga axial, torção, flexão e cisalhamento. Um método possível seria discutir pri­ meiro a tensão e sua transformação, capítulos 1 e 9, se­ guidas por deformação e sua transformação, Capítulo 2 e a primeira parte do Capítulo 10. A discussão e os problemas nesses últimos capítulos foram estrutu­ rados de modo a possibilitar essa abordagem. Além disso, os conjuntos de problemas foram subdivididos de modo que esse material possa ser estudado sem conhecimento prévio dos capítulos envolvidos. Então, os capítulos 3 a 8 podem ser estudados sem perda de continuidade.

E l e m e ntos d isti ntivos Org a n iza ção e abordagem.

O conteúdo de cada capítulo é organizado em seções bem definidas que contêm uma explanação de tópicos específicos, problemas ilustrativos resolvidos e um conjunto de problemas como exercícios para o estudante. Os tópi­ cos em cada seção estão reunidos em subgrupos espe­ cíficos definidos por títulos. A finalidade é apresentar um método estruturado para introduzir cada nova de­ finição ou conceito e tornar o livro conveniente para referência e revisão posteriores. Su mário do capít u l o .

Na primeira página de cada capítulo são apresentados os "Objetivos do ca­ pítulo", que dão uma visão geral do material que será estudado. P ro cedimentos para análise. Encontrado após várias seções do livro, esse recurso exclusivo ofe­ rece ao leitor um método lógico e ordenado para se­ guir quando aplicar a teoria. Os problemas dados como exemplo que vêm em seguida são resolvidos segundo o método descrito, de modo a esclarecer sua aplica­ ção numérica. Entretanto, é preciso entender que, uma vez dominados os princípios e adquiridas a confiança e a capacidade de julgamento suficientes, o estudante poderá desenvolver seus próprios procedimentos para resolver problemas.

Pontos importantes. Esse recurso proporciona uma revisão ou resumo dos conceitos mais importan­ tes apresentados em uma seção e destaca os pontos mais significativos que devem ser levados em conta na aplicação da teoria para resolver problemas. P rob l emas como exemplos. Todos os pro­ blemas dados como exemplo são apresentados de um modo conciso e em estilo fácil de entender. P roblemas para o estudante resol ver. Vá­

rios problemas neste livro descrevem situações reais encontradas na prática da engenharia. Esperamos que esse realismo estimule o interesse do estudante pela matéria e propicie-lhe um meio para desenvolver sua capacidade de, partindo da descrição física do proble­ ma, reduzi-lo a um modelo ou a uma representação sim­ bólica aos quais possa aplicar os princípios aprendidos. Há, no livro, um equilíbrio aproximado entre proble­ mas que usam unidades SI ou FP S. Além disso, tenta­ mos organizar os conjuntos de problemas e ordená-los segundo o grau crescente de dificuldade. As respostas para todos os problemas, exceto o quarto de cada série são apresentadas na parte final deste livro. Um aste­ risco sobrescrito(*) colocado antes do número de um problema indica que sua resposta não foi apresentada. As respostas são dadas com precisão de três algarismos significativos, ainda que os dados para as propriedades dos materiais possam não ter tal grau de precisão. Em­ bora pareça uma prática pouco recomendável, foi ado­ tada simplesmente por consistência e para permitir ao estudante melhor oportunidade de verificar a validade de sua solução. Um quadrado preto (ícone quadrado) é usado para identificar problemas que requerem aná­ lise numérica ou uma aplicação de computador. Apêndices.

Os apêndices do livro oferecem uma fonte de revisão e listas de dados em forma de tabelas. O Apêndice A dá informações sobre o centroide e o momento de inércia de uma área. Os apêndices B e C apresentam tabelas com dados para formas estruturais e a deflexão e inclinações para vários tipos de vigas e ei­ xos. O Apêndice D contém problemas típicos, acompa­ nhados de soluções parciais, que são comumente usados em exames. Esses problemas também podem ser usados para revisão e prática na preparação para os exames.

PREFÁCIO

Verificação tripla da precisão.

A sétima edi­ ção foi submetida à nossa rigorosa revisão, denomi­ nada triple accuracy checking (verificação tripla de precisão) . Além da revisão feita pelo autor de toda a arte gráfica e também de todas as p áginas, o texto foi verificado por: • • •

Scott Hendricks, Virginia Polytechnic University Karim Nohra, University of South Florida Kurt Norlin, Laurel Technical Services

XIII

Recu rsos para os professores •

"

Manual de soluções (em inglês). Manual

de so­ luções preparado pelo autor; também verificado pelo programa triple accuracy checking.

Recursos de apresentação. Toda a arte gráfica do

texto está disponível em slides em PowerPoint e formato JPEG. Esses arquivos estão disponíveis no endereço www.prenhall.com/hibbeler_br. Se você precisar de um login e uma senha para esse site, favor entrar em contato com seu represen­ tante local da Pearson Education.

XIV

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Ag rad ecim entos Ao longo dos anos, este texto foi moldado pelas sugestões e comentários de muitos de meus colegas professores. Seu encorajamento e boa vontade de fa­ zer críticas construtivas são muito apreciados e espero que aceitem este reconhecimento anónimo. Gostaria de acrescentar uma nota de agradecimento aos reviso­ res das várias edições anteriores. B. Aalami, San Francisco State University R. Alvarez, Hofstra

University S. Biggers, Clemson University R. Case, Florida Atlantic University R. Cook, University ofWisconsin-Madison J. Easley, University of Kansas I . Elishakoff, Florida Atlantic University A. Gilat, Ohio State University J. Hashemi, Texas Tech University H. Huntley, University of Michigan-Dearborn J. Kayser, Lafayette College P. Kwon, Michigan State University W. Liddel, Auburn University at Montgomery J. Ligon, Michigan Technological University C. Lissenden, Penn State University D. Liu, Michigan State University

University of Rhode Island G. May, University of New Mexico D. Oglesby, University of Missouri-Rolla A . Pelegri, Rutgers-The State University ofNew Jersey D. Quesnel, University of Rochester M. P. Rossow, Southern Illinois University­ Edwardsville S. Schiff, Clemson University C. Sulzbach, Colorado School of Mines C. Tsai, Florida Atlantic University K. Walsh, Arizona State University T.W.Wu, The University of Kentucky A. Marcus,

Gostaria de agradecer também a todos os meus alunos que usaram as edições anteriores e ofereceram comentários para melhorar seu conteúdo. Por fim, gostaria de agradecer à assistência de mi­ nha esposa, Cornelie (Conny), durante o tempo decor­ rido para preparar o manuscrito para publicação. Gostaria muito de receber quaisquer comentários que vocês queiram fazer ou sugestões que queriam dar referentes ao conteúdo desta edição.

Russell Charles Hibbeler [email protected]

Tensão O BJ ETIVOS DO CAPÍTULO N este capítulo, faremos u m a revisão dos prin cípios i m portantes da estática e mostraremos como eles são usados para determ i nar a s cargas resu ltantes i nternas em um corpo. Depois, apresentaremos os conceitos de tensão n ormal e tensão de cisa l h a mento e a p l icações específicas da a n á l i se e do proj eto de elementos sujeitos a carga axial ou a cisa l h amento direto.

1 .1

Intro d u çã o

A resistência dos materiais é um ramo d a mecânica que estuda as relações entre as cargas externas aplica­ das a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que agem no interior do corpo. Esse assunto também envolve o cálculo das deformações do corpo e proporciona o estudo de sua estabilidade quando su­ jeito a forças externas. No projeto de qualquer estrutura ou máquina, em primeiro lugar, é necessário usar os princípios da estática para determinar as forças que agem sobre os vários elementos, bem como no seu interior. O tamanho dos elementos, sua deflexão e estabilidade dependem não só das cargas internas, mas também do tipo de material de que são feitos. Por consequência, a determinação precisa e a compreensão fundamental do comportamento do material serão de vital importância para o desenvolvimento das equações necessárias usadas na resistência dos materiais. Tenha sempre em mente que muitas fórmulas e regras de projeto definidas em códigos de engenharia e utilizadas na prática são baseadas nos fun­ damentos da resistência dos materiais, e, por essa razão, é muito importante entender os princípios dessa matéria. Desenvolvi m e nt o h i stórico. A origem da resistência dos materiais (ou mecânica dos mate­ riais) remonta ao início do século XVII, quando Ga­ lileu realizou experimentos para estudar os efeitos de cargas sobre hastes e vigas feitas de diferentes materiais. Entretanto, para a compreensão adequada desses efeitos, foi necessário fazer descrições expe­ rimentais precisas das propriedades mecânicas dos vários materiais. Os métodos utilizados passaram por uma notável melhoria no início do século XVIII. Nessa época, foram desenvolvidos estudos experi­ mentais e teóricos sobre o assunto, principalmen­ te na França, por cientistas extraordinários, como

S aint-Venant, Poisson, Lamé e Navier. Como esses estudos se baseavam em aplicações da mecânica de corpos materiais, foram denominados "resistência dos materiais". Nos dias atuais, contudo, em geral são denominados "mecânica de corpos deformáveis" ou, simplesmente, "mecânica dos materiais" ou, como é mais comum, "resistência dos materiais" . Com o .passar dos anos, depois de muitos dos problemas fundamentais da mecânica dos materiais terem sido resolvidos, tornou-se necessário usar téc­ nicas avançadas da matemática e da computação para resolver problemas mais complexos. Como re­ sultado, esse assunto se expandiu para outras áreas da mecânica avançada, como a teoria da elasticidade e a teoria da plasticidade. A pesquisa nessas áreas é contínua, não apenas para atender à necessidade de resolver problemas avançados de engenharia, mas também para j ustificar a maior utilização e as limitações a que está sujeita a teoria fundamental d a mecânica dos materiais.

1 .2

E q u i l íbrio d e u m corpo d efo rmável

Haja vista o importante papel desempenhado pela estática no desenvolvimento e na aplicação da resis­ tência dos materiais, também é muito importante que seus fundamentos sejam bem compreendidos. Por essa razão, revisaremos alguns dos princípios essenciais da estática que serão usados neste livro. Cargas externas. Um corpo pode ser submeti­ do a vários tipos de cargas externas; todavia, qualquer uma delas pode ser classificada como uma força de su­ perfície ou uma força de corpo (Figura 1.1). de Como o nome sugere, forças de supeifície são causadas pelo contato direto de um corpo

2

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

\

Idealização da força concentrad&

\�, �

t

s

G

���"""r � i Força de

""-- ... : _superfície .......,.::!S;::.:J -+-r.

Idealização da carga linear distribuída

i

'Força de corpo

Figura 1.1

com a superfície de outro. Em todos os casos, essas forças estão distribuídas pela área de contato entre os corpos. Se essa área for pequena em comparação com a área da superfície total do corpo, então a força de superfície pode ser idealizada como uma única força concentrada, aplicada a um ponto do corpo. Por exemplo, a força do solo sobre as rodas de uma bicicleta pode ser conside­ rada uma força concentrada quando estudamos a carga que age sobre a bicicleta. Se a carga de superfície for apli­ cada ao longo de uma área estreita, ela pode ser idea­ lizada como uma carga distribuída linear, w (s). Neste caso, a carga é medida como se tivesse uma intensidade de força/comprimento ao longo da área, e é representada graficamente por uma série de setas ao longo da linha s. A força resultante FR de w(s) é equivalente à área sob a curva da carga distribuída, e essa resultante age no centroide C ou centro geométrico dessa área. A carga ao longo do comprimento de uma viga é um exemplo típico de aplicação frequente dessa idealização.

Força de corpo. Aforça de corpo é desenvolvida quando um corpo exerce uma força sobre outro, sem contato físico direto entre eles. Citamos como exem­ plo os efeitos causados pela gravitação da Terra ou seu campo eletromagnético. Embora as forças de cor­ po afetem cada uma das partículas que compõem o corpo, elas normalmente são representadas por uma única força concentrada que age sobre ele. No caso da gravidade, essa força é denominada peso do corpo e age no centro de gravidade deste.

Reações do apoio. As forças de superfície que se desenvolvem nos apoios ou pontos de contato en­ tre corpos são denominadas reações. Para problemas bidimensionais, isto é, corpos sujeitos a sistemas de forças coplanares, os apoios mais comuns são mostra­ dos na Tabela 1.1. Observe cuidadosamente o símbolo usado para representar cada apoio e o tipo de reações que cada um exerce sobre o elemento de contato. Em geral, sempre podemos determinar o tipo de reação do apoio imaginando que o elemento a ele acopla-

do está sendo transladado ou está girando em uma determinada direção. Se o apoio impedir a transla­ ção em uma determinada direção, então uma força deve ser desenvolvida no elemento naquela direção. Da mesma forma, se o apoio impedir a rotação, um momento deve ser exercido no elemento. Por exem­ plo, um apoio de rolete só pode impedir translação na direção do contato, perpendicular ou normal à super­ fície. Por consequência, o rolete exerce uma força nor­ mal F sobre o elemento no ponto de contato. Como o elemento pode girar livremente ao redor do rolete, não é possível desenvolver um momento sobre ele. Eq uações de equil íbrio . O equilíbrio de um corpo exige um equilíbrio de forças, para impedir a translação ou um movimento acelerado do corpo ao longo de uma trajetória reta ou curva, e um equilíbrio de momentos, para impedir que o corpo gire. Essas condições podem ser expressas matematicamente pe­ las duas equações vetoriais

(1.1) Nessas fórmulas, �F representa a soma de todas as forças que agem sobre o corpo, e �M0 é a soma dos momentos de todas as forças em torno de qualquer ponto O dentro ou fora do corpo. Se estipularmos um sistema de coordenadas x, y, z com origem no ponto O, os vetares força e momento podem ser resolvidos em componentes ao longo dos eixos coordenados, e as duas equações apresentadas podem ser escritas como seis equações em forma escalar, ou seja,

�F = O �M = O X

X

�Fy = O �M = O y

�F = O �M = O z

(1.2)

z

Na prática da engenharia, muitas vezes a carga so­ bre um corpo pode ser representada como um siste­ ma de forças coplanares. Se for esse o caso, e se as for­ ças encontrarem-se no plano x-y, então as condições de equilíbrio do corpo podem ser especificadas por apenas três equações de equilíbrio escalares, isto é , �Fx = O �Fy = O �Mo = O

(1.3)

Neste caso, se o ponto O for a origem das coordenadas, então os momentos estarão sempre dirigidos ao longo do eixo z, perpendicular ao plano que contém as forças. A aplicação correta das equações de equilíbrio exige a especificação completa de todas as forças co-

TENSÃO

Tip o de acop lamento

v

�

F

Uma incógnita: F

Cabo

Rolete

�

Apoio liso

Reação

F

Uma incógnita: F

A

F8

---

Uma incógnita: F

nhecidas ou desconhecidas que agem sobre o corpo. A melhor maneira de levar em conta essas forças é dese­ nhar o diagrama de corpo livre do corpo. Certamente, se o diagrama de corpo livre for desenhado de maneira correta, os efeitos de todas as forças e momentos biná­ rios aplicados poderão ser levados em conta quando as equações de equilíbrio forem escritas. Cargas resu lta ntes i nternas.

Uma das mais importantes aplicações da estática na análise de pro­ blemas de resistência dos materiais é poder determi­ nar a força e o momento resultantes que agem no in­ terior de um corpo e que são necessários para manter a integridade do corpo quando submetido a cargas externas. Como exemplo, considere o corpo mostrado na Figura 1.2a, mantido em equilíbrio pelas quatro forças externas.* Para obtenção das cargas internas que agem sobre uma região específica no interior de um corpo, é necessário usar o método das seções. O método exige que seja feita uma seção ou "corte" imaginário passando pela região onde as cargas inter­ nas deverão ser determinadas. Então, as duas partes do corpo são separadas e o diagrama de corpo livre de uma das partes é desenhado (Figura 1.2b) . Pode­ mos ver que há, na verdade, uma distribuição de força interna agindo sobre a área "exposta" da seção. Essas forças representam os efeitos do material que está na parte superior do corpo agindo no material adjacente na parte inferior. ' O peso do corpo não é mostrado, já que admitimos que é bem peque­

no e, portanto, desprezível em comparação com as outras cargas.

Ti po de acop lamento

Reação

�--=

F.

1k Pino externo

� "

Pino interno

F= Apoio fixo

3

Duas incógnitas: Fn Fy

Fx"

Fx ��.

[r)'

Duas incógnitas F,, f';.

Mf '

�=:=

c=::

_______

Três incógnitas: F,, Fy,

M

Embora a distribuição exata da carga interna seja

desconhecida, podemos usar as equações de equilíbrio

força e o momento resultantes da distribuição, FR e MRo' em qualquer ponto especifico O na área secionada (Fi­ gura 1.2c). Observe que FR age no ponto O, embora seu valor calculado não dependa da localização desse pon­ para relacionar as forças externas sobre o corpo com a

to. Por outro lado, MR0 depende dessa localização, pois os braços do momento devem se estender de O até a linha de ação de cada força externa no diagrama de cor­ po livre. Mais adiante, mostraremos que, na maioria das vezes, o ponto O escolhido coincide com o centroide da área secionada e, portanto, sempre escolheremos essa localização para O, a menos que digamos o contrário. Além disso, se um elemento for longo e delgado, como no caso de uma haste ou viga, a seção considerada será, de modo geral, perpendicular ao eixo longitudinal do elemento. Esta seção é denominada seção transversal.

Três dimensões. Mais adiante, mostraremos como relacionar as cargas resultantes, FR e MRo' com a dis­ tribuição de forças na área secionada e, desse modo, desenvolver equações que possam ser usadas para análise e projeto. Todavia, para isso devemos conside­ rar as componentes de FR e MRO' que agem normal ou perpendicularmente à área secionada e no interior do plano da área (Figura 1 .2d). Há quatro tipos diferentes de cargas resultantes que podem ser definidos:

Essa força age perpendicularmen­ te à área e se desenvolve sempre que as cargas exter­ nas tendem a empurrar ou puxar os dois segmentos do corpo.

4

RESISTtNCIA DOS MATERIAIS

ou T. Esse efeito é desenvolvido quando as cargas externas tendem a tor­ cer um segmento do corpo com relação ao outro.

I

\

seção

�F

/ Fl

Momento dt�

F4

F3

z

(a)

'\\\!YI�

Momento M. O momento fietor é causado pelas cargas externas que tendem a fietir o corpo em torno de um eixo que se encontra no plano da área. Observe que, neste livro, a representação gráfica de um momento ou torque é apresentada em três dimensões, como um vetor acompanhado pelo sím­ bolo gráfico de uma seta curvada. Pela regra da mão direita, o polegar dá à seta o sentido do vetor e os dedos, ou curvatura da seta, indicam a tendência da rotação ( torção ou flexão ) . Usando um sistema de coordenadas x, y, z , cada uma das cargas descritas pode ser determinada diretamente pelas seis equa­ ções de equilíbrio aplicadas a qualquer segmento d o corpo.

sistema de forças coplanares (Figura 1 .3a) , então ha­ Se o corpo for submetido a um

verá na seção apenas componentes da força normal, força de cisalhamento e momento fietor (Figura 1 .3b ) Se usarmos os eixos coordenados x, y, z com origem no ponto O, como mostrado no segmento à esquerda, então a solução direta para N pode ser obtida apli­ cando-se 2.F, = O, e V pode ser obtida diretamente de 2.F, = O. Por fim, o momento fietor M0 pode ser deter�inado diretamente pela soma dos momentos em torno do ponto O ( o eixo z ) , 2.M0 = O de modo a eliminar os momentos causados pelas forças desco­ nhecidas N e V. Os seguintes exemplos ilustram esse procedimento numericamente e também servem como revisão de al­ guns dos princípios importantes da estática.

.

(b)

(c)

MRo

i'if--------�f i

· �. N

i�l. " 1

1

M

\\,

i 1. I I

Momento fletor

Momento de torção T ,

'

1

,

Força ---!:� rmal

- ---:.;,� FR ,p:Y"'

.#.,e·

II iforça de ci�alhamento I 'V

(d)

Figma 1.2 A força de cisalhamento

encontra-se no plano da área e é desenvolvida quando as cargas externas tendem a provocar o deslizamento de um dos segmentos do corpo sobre o outro.

(a)

yl

Força de visalhamento

O"

(b)

to

Figura 1.3

) •-x N Força

Momento fletor

.

normal

TENSÃO

""

"�

'"

_

"'

�"'A =

,

"'

"""'

"' V""'

li!�

-�'"'

"'

R®�mms IIVIR®RIF��mms �

�

" Resistência. dos materiais é um estudo da relação entre as

""

'"

0

-

�x �

"

,

�

2

cargas externas que agem sobre: um corpo e a intensidade:

cargas de superffcie distribufdas ou concentradas ou.como forças de corpo que agem em todo o volu me do corpo. " Cargas distribuídas lineares produzem umà força resultante cujo valor é igual à área s ob o diagrama de carga e cuja localização passa pelo centroide dessa área: das cargas internas no interior do corpo.

"Forças externas podem ser aplicadas aum corpo como

" Um apoio prod uz um� força emuma dete:rrrrÍt!ada diteção sobre o lilh�mento. a ele acopiado se ele impedir a t�anslà­ çiio do eleménto naquela direção e produz utninomento sobre o elemento se ele impedir a rotação. " As equações de equilíbrio .!F == O e.};M == O devem ser satisfeitas de modo a impedir, respectivamente, a translação com movimento acelerado e a rotação de um. corpo.

" Ao aplicarmos as equações de e qu ihbrio, é importante desenhar o diagrama de corpo livre antes, de modo a consi­

. ·.·... ,

éto do das seções éusado para deter:minar as cargas resultantes i nternas que agem sobre a superf(cie do corpo secionado; Em geral , essas res u ltantes consistem em uma força normal, uma força de ci salha men to, um momento de

derar todos OS termos presentes nas equaçõt�S.

" o

m

torção e

..

.

·

um momento fietor.

O método das seções é usado para determinar as cargas resultantes internas em um ponto localizado sobre a seção de um corpo. Para obter essas resultantes, a aplicação do método das seções deve obedecer às etapas descritas a seguir.

Reação dos apoios

segmento do corpo deverá ser considerado. Se esse segmento tiver um apoio ou um acoplamento com outro corpo, será necessário determinar as reações que agem no segmento do corpo escolhido antes de secioná-lo. Desenhe o diagrama de corpo livre para o corpo inteiro e aplique as equações de equilíbrio necessárias para obter essas reações.

" Em primeiro lugar, decida qual

Diagrama de corpo livre

todas as cargas distribuídas externas, momentos, torques e forças que agem sobre o corpo em suas locali­ zações exatas e, então, trace uma seção imaginária que passe pelo corpo no ponto onde as cargas resultantes internas devem ser determinadas. " Normalmente, se o corpo representar um elemento de uma estrutura ou dispositivo mecânico, a seção será perpen­ dicular ao eixo longitudinal do elemento. " Desenhe um diagrama de corpo livre de um dos segmentos "cortados" e indique as resultantes desconhecidas N, V, M e 'f na seção. Essas resultantes geralmente são localizadas no ponto que representa o centro geomét rico ou centroide da área secionada. " Se o elem ento estiver sujeito a um sistema de forças coplanares, somente N, VeM agem no centroide. "Defina os eixos co ordenados x, y, z com origem no centroide e mostre as componentes resultantes que agem ao longo dos eixos.

• Mantenha

Equações de equilíbrio

" Os momentos gerados na s e ção

em tomo de cada um dos eixos coordenados onde as resultantes agem devem ser so­ as forças desconhecidas NeVe pe rmite uma solução díreta paraM (e T). " Se a solução das equações de equilíbrio produzir um valor negativo para uma resultante, o sentido direcional admi­ tido para a resultante será oposto ao mostrado no diagrama de corpo livre. mados. Isso elimina

5

6

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

""""' �"'=""'""'==*"�"�=S'i!!�E"" �''Jp�a=

�2,F, =

!Él�Uf'' , ;���� '"�"' 3 '"�

8

Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em C da viga mostrada na Figura 1.4a.

O;

· +'�'2,F I y = o,

270 N/m

-Ne = O Ne = O Ve - 540 N = O Ve = 540 N -Me - 540 N (2 m) = O Me = -1.080 N·m

Resposta Resposta Resposta

O sinal negativo indica que Me age na direção oposta à mostrada no diagrama de corpo livre. Tente resolver esse problema usando o segmento AC, obtendo, em primeiro lugar, as reações do apoio em A, que são dadas na Figura 1.4c.

OBSERVAÇÃO:

(a ) 540 N lSO N/ m

r-- 1

-- -

I

Determine as cargas resultantes internas que agem na seção transversal em C do eixo de máquina mostrado na Figura 1.5a. O eixo está apoiado em mancais em A e B, que exercem somente forças verticais no eixo. SOLUÇÃO

(b)

Resolveremos esse problema usando o segmento AC do eixo.

50 mm (a) SOLUÇÃO Reações dos apoios. Este problema pode ser resolvido da maneira mais direta considerando o segmento CB da viga, já que, assim, as reações dos apoios em A não têm de ser calculadas. Diagrama de corpo livre. Passar uma seção imaginária pela perpendicular ao eixo longitudinal da viga resulta no diagrama de corpo livre do segmento CB mostrado na Figu­ ra 1.4b. É importante manter a carga distribuída exatamente onde ela se encontra no segmento até que a seção tenha sido feita. Somente depois disso é que essa carga será substituída por uma única força resultante. Observe que a intensidade da carga distribuída em C é determinada por proporção, isto é, pela Figura 1.4a, w/6 m = (270 N/m)/9 m, w = 180 N/m. O valor da resultante da carga distribuída é igual à área sob a curva de carga (triângulo) e age no centroide dessa área. Assim,F = 1/2 (180 N/m)(6 m) = 540 N, que age a 1/3(6 m) = 2 m de C, como mostra a Figura 1.4b. Equações de equilíbrio. Aplicando as equações de equi­ líbrio, temos:

(SOO

(b)

50 mm

TENSÃO

7

SOLUÇÃO Reações dos apoios. A Figura 1.5b mostra um diagrama de corpo livre do eixo inteiro. Visto que apenas o segmento O modo mais direto de resolver este problema é secio­ AC deverá ser considerado, somente a reação em A terá de nar o cabo e a viga em C e, então, considerar todo o seg­ ser determinada. Por quê? mento esquerdo. 1 + "'i,MB = O; -A/0,400 m) + 120 N(O,l25 m) - 225 N(O,lOO m) Diagrama de corpo livre. Veja Figura 1.6b. A Y

=O = - 18,75 N

Equações de equilíbrio.

O sinal negativo para AY indica que AY age no sentido

contrário ao mostrado no diagrama de corpo livre.

Se passarmos uma seção ima­ ginária perpendicular à linha de centro do eixo em C, obte­ remos o diagrama de corpo livre do segmento AC mostrado na Figura 1.5c. Diagrama de corpo livre.

� "'i.F, = O ; +j"'i.F)' = O;

Equações de equilíbrio.

Resposta

Nc = O

- 18,75 N - 40 N Vc = O Resposta Vc = -58,8 N L+ "'i.Mc = O;Mc + 40N(0,025m) + 18,75 N(0,250m) = O Resposta Me= -5,69 N·m OBSERVAÇÃO: Os sinais negativos para Vc e Me indicam que elas agem em direções opostas às mostradas no diagrama de corpo livre. Como exercício, calcule a reação em B tente obter os mesmos resultados usando o segmento CBD do eixo. e

O guindaste na Figura 1.6a é composto pela viga AB e rol­ danas acopladas, além do cabo e do motor. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em C se o motor estiver levantando a carga W de 2.000 N ( 200 kg) com velocidade constante. Despreze o peso das roldanas e da viga. =

125

+ "'i.F = O·' X

�

+i"'i.F) = o,· '

2.000 N + Nc= O Nc = -2.000 N -2.000 N - Vc= O Vc = -2.000 N

2.000 N(1,125 m) - 2.000 N(0,125 m) + Me = O Me= -2.000 N·m Resposta OBSERVAÇÃO: Como exercício, tente obter esses mesmos re­ sultados considerando apenas o segmento de viga AC, isto é, retire a roldana em A da viga e mostre as componentes da força de 2.000 N da roldana que agem sobre o segmento AC da viga.

Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em G da viga de madeira mostrada na Fi­ gura 1.7a. Considere que as articulações em A, B, C, D e E estejam acopladas por pinos. SOLUÇÃO Reações dos apoios. Neste problema, consideraremos o segmento AG para análises. A Figura 1.7b mostra um diagra­ ma de corpo livre da estrutura inteira. Verifique as reações calculadas em E e C. Observe, particularmente, que BC é um elemento de duas forças, pois somente duas forças agem sobre ele. Por essa razão, a reação em C deve ser horizontal, como mostrado. Uma vez que BA e BD também são elementos de duas forças, o diagrama de corpo livre da articulação B é mos­ trado na Figura 1.7c. Novamente, verifique os valores das forças calculadas F BA e F Diagrama de corpo livre. Usando o resultado obtido para F a seção esquerda da viga é mostrada na Figura 1. 7d. Equações de equilíbrio. Aplicando as equações de equi­ líbrio ao segmento AG, temos + "'i.F = O · 7.750 N(-t) + N G= o N G = -6.200 N Resposta +j"'i.F)' = O; -1.500 N + 7.750 N(f) - VG = o VG = 3.150 N Resposta L+"'i.MG = O; M0 - (7.750 N)(f)(1 m) + (1.500 N)(l m) = O M0 = 3.150 N·m Resposta ,

BA

�,)�Nc

2.000 N

c

/Me

V

2.000 N

(b) Figura 1.6

Resposta

L + "kMc =O;

sv·

125 m

Resposta

---3to

X

'

8

RESIST�NCIA DOS MATERIAIS

Como exercício, obtenha esses mesmos resultados usando o segmento GE.

(a)

(a)

Ex=

6.200N (b)

1.500 N 7.750N ,�-.6.200N l ffi /�3t� A --��).!o f--lm-lv:Ma FsA = 7.750N Fsv = 4.650N . (d )

(c)

Figura 1.7

,"'pli���Rikpodempro"\IQC?J; o,.cisal�amento do,111a� ..te�iatJ