Relativité générale et astrophysique: Problèmes et exercices corrigés 9782759818969

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Relativité générale et astrophysique Problèmes et exercices corrigés

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Relativité générale et astrophysique Problèmes et exercices corrigés Denis Gialis et François-Xavier Désert

17, avenue du Hoggar Parc d’Activité de Courtabœuf - BP 112 91944 Les Ulis Cedex A - France

Relativité générale et astrophysique Problèmes et exercices corrigés Cet ouvrage, labellisé par Grenoble Sciences, est un des titres du secteur Terre et Univers de la collection Grenoble Sciences d’EDP Sciences, qui regroupe des projets originaux et de qualité. Cette collection est dirigée par Jean Bornarel, Professeur émérite à l’Université Joseph Fourier, Grenoble 1. Comité de lecture de l’ouvrage :  Aurélien Barrau, Professeur à l’Université Joseph Fourier, Grenoble 1, membre de l’Institut Universitaire de France,  Thomas Buchert, Professeur à l’Université Claude Bernard, Lyon 1,  Damir Buskulic, Professeur à l’Université de Savoie,  Johann Collot, Professeur à l’Université Joseph Fourier, Grenoble 1. Coordination éditoriale et mise en page : Stéphanie Trine ; figures : Sylvie Bordage ; illustration de couverture : Alice Giraud, d’après Gravity Probe B and Space-Time and Stars and Galaxies (NASA).

Autres ouvrages labellisés sur des thèmes proches (chez le même éditeur) Introduction aux variétés différentielles (J. Lafontaine) • Du Soleil à la Terre. Aéronomie et météorologie de l’espace (J. Lilensten & P.-L. Blelly) • Sous les feux du Soleil (J. Bornarel & J. Lilenstein) • La mécanique quantique. Problèmes résolus. Tomes I et II (V.M. Galitski, B.M. Karnakov & V.I. Kogan) • Analyse statistique des données expérimentales (K. Protassov) • Petit traité d’intégration (J.-Y. Briend) • Minimum Competence in Scientific English (S. Blattes, V. Jans & J. Upjohn) • Mécanique. De la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien (C. Gignoux & B. Silvestre-Brac) • Problèmes corrigés de mécanique et résumés de cours. De Lagrange à Hamilton (C. Gignoux & B. Silvestre-Brac) • Méthodes numériques appliquées pour le scientifique et l’ingénieur (J.-P. Grivet) • Description de la symétrie. Des groupes de symétrie aux structures fractales (J. Sivardière) • Symétrie et propriétés physiques. Des principes de Curie aux brisures de symétrie (J. Sivardière) • Approximation hilbertienne. Splines, ondelettes, fractales (M. Attéia & J. Gaches) • Introduction à la mécanique statistique (E. Belorizky & W. Gorecki) • Mécanique statistique. Exercices et problèmes corrigés (E. Belorizky & W. Gorecki) • Magnétisme : I Fondements, II Matériaux (sous la direction d’E. du Trémolet de Lacheisserie) • Analyse numérique et équations différentielles (J.-P. Demailly) • Outils mathématiques à l’usage des scientifiques et ingénieurs (E. Belorizky) • Mathématiques pour l’étudiant scientifique. Tomes I et II (P.-J. Haug) • Éléments de Biologie à l’usage d’autres disciplines. De la structure aux fonctions (P. Tracqui & J. Demongeot) • Exercices corrigés d’analyse avec rappels de cours. Tomes I et II (D. Alibert) • Nombres et algèbre (J.-Y. Mérindol) et d’autres titres sur le site internet https://grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr

Avant-propos La théorie de la relativité générale constitue, avec la théorie quantique, l’une des plus grandes avancées scientifiques du xxe siècle. Le cadre mathématique sur lequel elle s’appuie est celui des variétés pseudo-riemanniennes, et l’une des découvertes majeures d’Albert Einstein est d’avoir compris le lien entre la gravitation, la matière et la géométrie de notre espace physique rebaptisé espace-temps. Tout étudiant en physique connaît les efforts et la persévérance dont il faut faire preuve pour comprendre les bases de la relativité générale. Les enseignants en Master, dans les écoles doctorales ou dans les Grandes Ecoles, savent également les difficultés que l’on rencontre lorsqu’il s’agit d’exposer une théorie si fondamentale. Pourtant, les applications pratiques et les conséquences théoriques dans l’astrophysique moderne sont innombrables et incontournables. Cet ouvrage de problèmes et d’exercices, de difficulté variable, a été construit dans l’unique but d’aider tout étudiant, chercheur ou curieux souhaitant assimiler les bases de la relativité générale via la pratique du calcul, tensoriel notamment, et du raisonnement mathématique et physique. De nombreuses démonstrations de cours, premiers tremplins vers des calculs plus complexes, sont ainsi intégrées dans des problèmes plus généraux et souvent très classiques. Chaque problème ou exercice fait l’objet d’une correction suffisamment détaillée pour permettre un travail parfaitement autonome de l’étudiant du Master au Doctorat. Les deux premiers chapitres sont conçus pour amener le lecteur à se familiariser avec les notions mathématiques essentielles de géométrie différentielle et de calcul tensoriel. De nombreux points de vocabulaire sont introduits, et l’espace-temps est présenté et étudié dans le cadre plus général des variétés pseudo-riemanniennes. Le troisième chapitre met l’accent sur le problème récurrent de la mesure du temps, des distances et des énergies par un observateur plongé dans un espace-temps courbé par un objet massif, ou bien artificiellement accéléré au cours d’un voyage spatial. Le problème pratique des systèmes de géolocalisation est abordé, tout comme celui de la gravitation en champ faible faisant le lien avec la gravitation de Newton.

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Relativité générale et astrophysique

Les chapitres quatre et cinq abordent l’étude de l’espace-temps au voisinage des deux principaux types de trous noirs observés dans l’Univers que sont les trous noirs à symétrie sphérique, sans rotation ni charge électrique, appelés trous noirs de Schwarzschild, et les trous noirs en rotation mais dénués de charge électrique que l’on nomme trous noirs de Kerr. Le formalisme 3+1, utilisé de nos jours dans de nombreuses publications, est présenté au lecteur. Le chapitre six propose une introduction à l’étude des ondes gravitationnelles, depuis la linéarisation de l’équation d’Einstein jusqu’aux conséquences pour la perte d’énergie d’un système binaire d’objets compacts. Dans le chapitre sept, on introduit le tenseur énergie-impulsion et le tenseur champ électromagnétique. Divers exemples, comme les célèbres équations de TolmanOppenheimer-Volkoff, permettent de découvrir leur utilisation dans le cadre de l’hydrodynamique et/ou de l’électrodynamique relativiste. Le formalisme 3+1 est de nouveau abordé et nous conduit à la projection des équations d’Einstein et des équations de Maxwell. Enfin, une construction du champ électromagnétique dans la magnétosphère d’un trou noir de Kerr est destinée à préparer le lecteur à l’étude du processus de Blandford-Znajek. Dans le chapitre huit, c’est une présentation du rôle de la relativité générale dans la cosmologie moderne qui est proposée au travers d’une série d’exercices et de problèmes dont certains sont issus du cours donné par François-Xavier Désert en Master 2, à l’Université Joseph Fourier de Grenoble. Les notations utilisées, les définitions et les relations fondamentales de la relativité générale sont regroupées dans un formulaire placé en fin d’ouvrage permettant à l’étudiant d’avoir un aperçu synthétique des bases de la théorie. D. Gialis 14 juin 2013 Avertissement – Au début de chaque problème, des lettres indiquent le niveau de difficulté : [M] signifie accessible dès la première année de Master, [MD] signifie accessible aux étudiants en fin de Master et plus, et enfin, [D] est réservé aux problèmes les plus difficiles de niveau Doctorat. Notations – La sommation associée aux indices est faite selon la convention d’Einstein. En revanche, le type de lettres (latines ou grecques) pour l’écriture des indices et la correspondance au type de coordonnées (spatiales ou temporelles) varient selon les problèmes.

Table des matières Chapitre 1 – Introduction à la géométrie différentielle 1.1. Courbes et vecteurs tangents ........................................................ 1.2. Géodésiques sur la sphère S2 ........................................................ 1.3. Métrique induite ....................................................................... 1.4. Pseudo-sphère en dimension 3 ....................................................... 1.5. Dualité métrique ...................................................................... 1.6. Quadri-vecteurs de genre lumière, temps et espace .............................. 1.7. Dérivée de Lie .......................................................................... 1.8. Changement de coordonnées dans l’espace-temps ................................ 1.9. Changement de coordonnées et élément de volume .............................. 1.10. Equations des géodésiques et principe variationnel ............................ 1.11. Unicité de la connexion de Levi-Civita ........................................... 1.12. Courbes auto-parallèles ............................................................. 1.13. Géodésiques nulles ................................................................... 1.14. Transport parallèle .................................................................. 1.15. Produit extérieur et formes différentielles ........................................

1 1 2 5 6 8 10 12 16 17 19 23 28 29 31 33

Chapitre 2 – Géométrie et calcul tensoriel 39 2.1. Equation des géodésiques et vecteur tangent ..................................... 39 2.2. Critère de tensorialité ................................................................ 42 2.3. Dérivée covariante seconde ........................................................... 43 2.4. Tenseur de Levi-Civita ............................................................... 44 2.5. Caractérisation de la courbure ...................................................... 46 2.6. Courbure de la sphère S3 ............................................................ 48 2.7. Courbure et élément de surface ..................................................... 49 2.8. Relations tensorielles ................................................................. 53

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Relativité générale et astrophysique

2.9. Propriétés du tenseur de courbure .................................................. 2.10. Platitude conforme .................................................................. 2.11. Vecteurs de Killing .................................................................. 2.12. Propriétés du tenseur de Weyl ..................................................... 2.13. Déviation géodésique ................................................................ 2.14. Tétrades et tenseur de Riemann ................................................... 2.15. Dérivée de Fermi-Walker ............................................................ 2.16. Hypersurfaces de l’espace-temps ................................................... 2.17. Equations de Gauss et Codazzi .................................................... 2.18. Comparaison de courbures .........................................................

55 58 59 62 65 67 71 74 80 84

Chapitre 3 – Espace-temps et mesure 87 3.1. Mesure des distances et des intervalles de temps ................................. 87 3.2. Energie dans un champ gravitationnel constant .................................. 90 3.3. Référentiel d’un observateur en rotation .......................................... 92 3.4. De l’inconvénient des voyages spatiaux ............................................ 94 3.5. Décalage vers le rouge gravitationnel .............................................. 98 3.6. Gravitation en champs faibles ....................................................... 99 3.7. Champ gravitationnel terrestre et géolocalisation ............................... 102 3.8. Période de rotation d’un pulsar ..................................................... 105 Chapitre 4 – Espace-temps de Schwarzschild 4.1. Espace-temps statique à symétrie sphérique ...................................... 4.2. Détermination de la métrique de Schwarzschild .................................. 4.3. Horizon des événements .............................................................. 4.4. Energie et moment cinétique orbital ............................................... 4.5. Courbure de l’espace-temps de Schwarzschild et effet de marée ............... 4.6. Géodésiques dans l’espace-temps de Schwarzschild .............................. 4.7. Mirages gravitationnels et anneaux d’Einstein ................................... 4.8. Avance du périhélie de Mercure ..................................................... 4.9. Vitesse et énergie dans l’espace-temps de Schwarzschild ........................ 4.10. Collapse gravitationnel d’une étoile massive ..................................... 4.11. Trous noirs, trous blancs et changement de coordonnées ...................... 4.12. Métrique de Schwarzschild en coordonnées isotropes ..........................

109 109 111 116 117 119 123 134 137 140 141 145 150

Table des matières

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Chapitre 5 – Espace-temps de Kerr 5.1. Singularité et limites de la métrique de Kerr ..................................... 5.2. Géodésiques nulles et coordonnées de Kerr-Schild ............................... 5.3. Formalisme 3+1 et métrique axisymétrique ...................................... 5.4. Surface limite de stationnarité ...................................................... 5.5. Horizon et ergorégion d’un trou noir de Kerr ..................................... 5.6. Processus de Penrose ................................................................. 5.7. Mesures d’un FIDO autour d’un trou noir de Kerr .............................. 5.8. Géodésiques dans l’espace-temps de Kerr ......................................... 5.9. Orbite circulaire stable autour d’un trou noir de Kerr .......................... 5.10. Extraction d’énergie d’un trou noir de Kerr ..................................... 5.11. Précession gyroscopique ............................................................. 5.12. Collision de particules près d’un trou noir de Kerr .............................

153 153 157 162 169 171 174 176 183 191 194 198 205

Chapitre 6 – Ondes gravitationnelles 6.1. Equation d’Einstein linéarisée ....................................................... 6.2. Ondes gravitationnelles et jauge TT ............................................... 6.3. Onde gravitationnelle et particules libres ......................................... 6.4. Formule du quadripôle ............................................................... 6.5. De la source stationnaire à la limite newtonienne ............................... 6.6. Emission et perte d’énergie d’un système binaire ................................

211 211 216 220 224 227 231

Chapitre 7 – Champs et matière 7.1. Tenseur énergie-impulsion et flux d’impulsion .................................... 7.2. Champs faibles et équation de Poisson ............................................ 7.3. Dualité de Hodge et équations de Maxwell ....................................... 7.4. Force de Lorentz et tenseur de Maxwell ........................................... 7.5. Propriétés du tenseur énergie-impulsion ........................................... 7.6. Rayonnement et luminosité d’une étoile compacte .............................. 7.7. Nuage de poussière .................................................................... 7.8. Transformation de jauge ............................................................. 7.9. Equations de Tolman-Oppenheimer-Volkoff ....................................... 7.10. Equations de Arnowitt, Deser et Misner ......................................... 7.11. Formalisme 3+1 et champ électromagnétique ................................... 7.12. Magnétosphère d’un trou noir de Kerr ...........................................

239 239 241 243 246 250 255 260 261 263 268 275 283

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Chapitre 8 – Cosmologie 8.1. Métrique de Friedmann-Robertson-Walker ........................................ 8.2. Géométrie d’hypersurfaces spatialement isotropes en tout point .............. 8.3. Courbure de l’Univers et géodésiques .............................................. 8.4. Dynamique de l’Univers et équations de FRW-Lemaître ....................... 8.5. Paramètre de décélération et densités réduites ................................... 8.6. Distance angulaire et distance de luminosité ..................................... 8.7. Horizon cosmique et taille de l’Univers ............................................ 8.8. Age de l’Univers et paramètre d’échelle ........................................... 8.9. Voyage intergalactique ................................................................

291 291 295 298 302 310 314 316 317 319

Formulaire abrégé de relativité générale

323

Quelques constantes astrophysiques

343

Bibliographie

344

Index

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Chapitre 1

Introduction à la géométrie différentielle [M]  EXERCICE 1.1 Les notions de base naturelle et de vecteur tangent sont illustrées dans cet exercice de niveau élémentaire. Courbes et vecteurs tangents – Dans l’espace euclidien R3 , muni de coordonnées cartésiennes {x, y, z}, on considère un point P de coordonnées (0, 1, 0) par lequel passent trois courbes définies par C1 (λ) = (λ, 1, λ) , C2 (ξ) = (sin ξ, cos ξ, ξ) , C3 (ρ) = (sinh ρ, cosh ρ, ρ + ρ3 ) . 1 – Calculer au point P , df /dλ, df /dξ, et df /dρ, pour la fonction f telle que f (x, y, z) = x2 − y 2 + z 2 . 2 – Déterminer les composantes des vecteurs tangents d/dλ, d/dξ, et d/dρ, à chacune des courbes, au point P et dans la base {∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z}. Que dire alors des trois courbes ?

 SOLUTION 1 – En dérivant la fonction f par rapport à un paramètre τ ∈ {λ, ξ, ρ}, on obtient df ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z = + + , dτ ∂x ∂τ ∂y ∂τ ∂z ∂τ

2

Relativité générale et astrophysique

avec et

∂f ∂x ∂x ∂λ ∂y ∂λ ∂z ∂λ

∂f ∂y ∂x ∂ξ ∂y ∂ξ ∂z ∂ξ

= 2x , = 1, = 0, = 1,

∂f ∂z ∂x ∂ρ ∂y ∂ρ ∂z ∂ρ

= −2y , = cos ξ , = − sin ξ , = 1,

= 2z , = cosh ρ , = sinh ρ , = 1 + 3ρ2 .

Au point P de coordonnées (x = 0, y = 1, z = 0), c’est-à-dire (λ = 0, ξ = 0, ρ = 0), on déduit       df df df = 0, = 0, = 0. dλ P dξ P dρ P 2 – On peut écrire d ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ∂ = + + , dλ ∂λ ∂x ∂λ ∂y ∂λ ∂z d ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ∂ = + + , dξ ∂ξ ∂x ∂ξ ∂y ∂ξ ∂z d ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ∂ = + + , dρ ∂ρ ∂x ∂ρ ∂y ∂ρ ∂z ce qui, d’après la question précédente, donne au point P de coordonnées (x = 0, y = 1, z = 0), d = (1, 0, 1) , dλ

d = (1, 0, 1) , dξ

d = (1, 0, 1) , dρ

dans la base {∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z}. Les trois courbes sont donc tangentes en P .

[M]  EXERCICE 1.2 Le but est ici de définir une géodésique sur une surface de l’espace euclidien et d’en déterminer explicitement les équations. Géodésiques sur la sphère S2 – On se place dans l’espace euclidien R3 . Une géodésique d’une surface S ⊂ R3 est une courbe γ, de classe C ∞ sur I ⊂ R, tracée sur S telle que, pour tout t ∈ I, et tout vecteur T du plan tangent à γ en t, γ¨ (t) ⊥ T . On admet que cette courbe est un arc paramétré régulier, c’est-à-dire tel que, ∀t ∈ I, γ(t) ˙ = 0. Remarque : on notera que γ(t) et ses dérivées γ(t), ˙ γ¨ (t) sont des vecteurs.

Chapitre 1 – Introduction à la géométrie différentielle

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1 – Soit {u, v} un système de coordonnées de S, et σ une courbe régulière de S de classe C ∞ sur I ⊂ R. Montrer que, ∀t ∈ I, 2 2 2 ||σ(t)|| ˙ = E(u(t), v(t)) (u(t)) ˙ + 2 F (u(t), v(t)) u(t) ˙ v(t) ˙ + G(u(t), v(t)) (v(t)) ˙ ,

avec E, F et G trois applications que l’on exprimera sous la forme d’un produit scalaire noté < ., . >. 2 2 – On admet que la fonction L : (t, u, v, u, ˙ v) ˙ → ||σ(t)|| ˙ vérifie les équations d’Euler-Lagrange. Démontrer que σ est une géodésique.

3 – Montrer que toute géodésique est parcourue à vitesse constante. 4 – On considère la sphère S2 = {x ∈ R3 , ||x||2 = 1}. Soient I ⊂ R et γ : I → S2 une géodésique de S2 . Montrer qu’il existe une fonction λ : t → < γ¨ (t), γ(t) >, telle que γ¨(t) = λ(t) γ(t). En déduire les équations des géodésiques sur S2 .

 SOLUTION 1 – On peut écrire, par définition, σ(t) = M (u(t), v(t)), avec M un point de σ, ce qui donne ∂M ∂M σ(t) ˙ = u˙ + v, ˙ ∂u ∂v avec {∂M/∂u, ∂M/∂v} la base naturelle associée au système de coordonnées {u, v} sur S. La norme au carré s’écrit donc 2 ||σ(t)|| ˙ = E(u, v) u˙ 2 + 2 F (u, v) u˙ v˙ + G(u, v) v˙ 2 ,

avec E(u, v) =
, F (u, v) = < , > , G(u, v) = < , > . ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v

2 – Les équations d’Euler-Lagrange s’écrivent   ∂L d ∂L = 0, − dt ∂ u˙ ∂u   d ∂L ∂L = 0, − dt ∂ v˙ ∂v c’est-à-dire d (E(u, v) u˙ + F (u, v) v) ˙ = dt d (F (u, v) u˙ + G(u, v) v) ˙ = dt

 1 ∂E 2 ∂F u˙ + 2 u˙ v˙ + 2 ∂u ∂u  1 ∂E 2 ∂F u˙ + 2 u˙ v˙ + 2 ∂v ∂v

 ∂G 2 v˙ , ∂u  ∂G 2 v˙ . ∂v

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Relativité générale et astrophysique

De plus, ∂M >, ∂u ∂M >, F (u, v) u˙ + G(u, v) v˙ = < σ, ˙ ∂v

E(u, v) u˙ + F (u, v) v˙ = < σ, ˙

ce qui implique

  d ∂M d ∂M (E(u, v) u˙ + F (u, v) v) ˙ =< σ ¨, > + < σ, ˙ >, dt ∂u dt ∂u   ∂M d ∂M d (F (u, v) u˙ + G(u, v) v) ˙ =< σ ¨, > + < σ, ˙ > . dt ∂v dt ∂v

Enfin,





∂2M ∂2M v˙ , σ˙ > u ˙ + ∂u2 ∂u ∂v   d ∂M =< , σ˙ > , dt ∂u   ∂G 2 ∂2M ∂F ∂ 2M 1 ∂E 2 u˙ + 2 u˙ v˙ + v˙ u˙ + v˙ , σ˙ > =< 2 ∂v ∂v ∂v ∂u ∂v ∂u2   d ∂M =< , σ˙ > . dt ∂v 1 2

∂G 2 ∂E 2 ∂F u˙ + 2 u˙ v˙ + v˙ ∂u ∂u ∂u

=
= 0, ∂u ∂M > = 0, = 0 , = dt dt puisque γ¨ ⊥ γ. ˙ La vitesse est donc constante le long d’une géodésique. −−→ 4 – La courbe γ étant une géodésique, le vecteur OM , égal à γ(t), est tel que −−→ ||OM || = 1, ce qui s’écrit aussi < γ(t), γ(t) > = 1. En dérivant deux fois, on obtient < γ¨ (t), γ(t) > + < γ(t), ˙ γ(t) ˙ >= 0. Comme < γ(t), ˙ γ(t) ˙ > est constant, on peut définir une fonction λ constante telle que −−→ λ(t) = − < γ(t), ˙ γ(t) ˙ > = −ω 2 . Cela montre aussi que OM ⊥ γ. ˙ On dispose donc, pour γ, de l’équation différentielle suivante : γ¨ + ω 2 γ = 0.

Chapitre 1 – Introduction à la géométrie différentielle

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Les géodésiques sur la sphère S2 sont donc telles que γ(0) ˙ sin(ω t) . ω Autrement dit, une géodésique est un grand cercle défini comme l’intersection de S2 −−→ −−→ avec le plan dont une base est {OM 0 , γ(0)}, ˙ avec OM 0 = γ(0). γ(t) = γ(0) cos(ω t) +

[M]  EXERCICE 1.3 Cet exercice illustre simplement, par l’étude d’un exemple, la notion de métrique induite, si importante en relativité générale. Métrique induite – Dans l’espace euclidien R3 , muni d’un repère {O, ex , ey , ez } cartésien, on considère une courbe C : s → (x(s), 0, z(s)), paramétrée par son abscisse curviligne s. 1 – Paramétrer la surface de révolution engendrée par la rotation autour de l’axe (Oz). 2 – Calculer la métrique induite par la métrique euclidienne dans cette paramétrisation.

 SOLUTION 1 – Pour obtenir une paramétrisation de la surface de révolution, il suffit d’exprimer les coordonnées d’un vecteur quelconque de cette surface, qui sont obtenues après rotation d’un vecteur de la courbe. Cette paramétrisation s’écrira ainsi ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ cos(p) − sin(p) 0 x(s) x(s) cos(p)  : (s, p) → ⎝ sin(p) cos(p) 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ = ⎝ x(s) sin(p) ⎠ . Σ 0 0 1 z(s) z(s) 2 – Un vecteur déplacement élémentaire sur cette surface s’écrit    = ∂ Σ ds + ∂ Σ dp , dΣ ∂s ∂p avec

⎛  ∂Σ ⎝ = ∂s ⎛  ∂Σ ⎝ = ∂p

⎞ x(s) ˙ cos(p) x(s) ˙ sin(p) ⎠ , z(s) ˙ ⎞ −x(s) sin(p) x(s) cos(p) ⎠ . 0

6

Relativité générale et astrophysique

La métrique induite est donc donnée par  2 = (x(s) dσ 2 = ||dΣ|| ˙ 2 + z(s) ˙ 2 ) ds2 + x(s)2 dp2 , en notant x(s) ˙ = dx/ds, et z(s) ˙ = dz/ds. La variable s étant l’abscisse curviligne sur C, ds2 = dx2 + dz 2 , c’est-à-dire, x(s) ˙ 2 + z(s) ˙ 2 = 1. Finalement, la métrique 2 2 2 2 induite est simplement : dσ = ds + x(s) dp .

[M]  EXERCICE 1.4 Le calcul de l’aire d’une pseudo-sphère dans un espace muni d’une métrique noneuclidienne est un exercice classique. Pseudo-sphère en dimension 3 – Soit l’espace R3 , muni de la métrique g telle que g(ds, ds) = ds2 = dx2 + dy 2 − dz 2 . On définit la pseudo-sphère comme étant la surface ΨS = {(x, y, z) ∈ R3 , x2 + y 2 − z 2 = −1}. On appelle projection stéréographique, l’application qui, à un point (x, y) du disque, D, de rayon 2 et de centre N = (0, 0, 1), tangent à la pseudo-sphère en N , associe le point d’intersection de la droite passant par les points S = (0, 0, −1) et A = (x, y, 1) avec la pseudo-sphère (voir figure 1.1). 1 – Exprimer, dans le système de coordonnées {x, y}, la métrique induite par la forme quadratique g sur la pseudo-sphère. 2 – Quelle est l’aire de la pseudo-sphère ?

 SOLUTION 1 – Soit M = (xM , yM , zM ) un point de la pseudo-sphère. On peut y associer le −−→ −→ point A du disque en écrivant SM = t SA, avec t  1. On déduit facilement {xM = t x, yM = t y, zM = 2 t − 1} . 2 2 − zM = −1, on a alors t (x2 + y 2 − 4) = −4, et la paramétrisation Comme x2M + yM suivante pour la pseudo-sphère,

4x , 4 − x2 − y 2 4y = , 4 − x2 − y 2 4 + x2 + y 2 = . 4 − x2 − y 2

xM = yM zM

Chapitre 1 – Introduction à la géométrie différentielle

7

z

ΨS M 1 0 –1

Plan de D

N A S ΨS

Figure 1.1 – Projection stéréographique de la pseudo-sphère.

De plus, dxM = x dt + t dx , dyM = y dt + t dy , dzM = 2 dt . On peut donc écrire, en réarrangeant les termes, 2 2 dx2M + dyM − dzM = (x2 + y 2 − 4) dt2 + 2 t dt (x dx + y dy) + t2 (dx2 + dy 2 ) .

De l’égalité t (x2 + y 2 − 4) = −4, on a la relation (x2 + y 2 − 4) dt + 2 t (x dx + y dy) = 0, ce qui implique 2 2 dx2M + dyM − dzM = t2 (dx2 + dy 2 ) .

La métrique induite s’écrit donc 2 2 − dzM = dσ 2 = dx2M + dyM

16 (dx2 + dy 2 ). (4 − x2 − y 2 )2

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Relativité générale et astrophysique

2 – D’après la métrique induite, l’élément d’aire s’écrit

16 dS = |g| dx dy = dx dy . (4 − x2 − y 2 )2 L’aire de la pseudo-sphère est donc égale à  2  2π  16 r dr dθ dx dy = = +∞ . S= 2 − y 2 )2 (4 − x (4 − r2 )2 r=0 θ=0 D

[M]  EXERCICE 1.5 La dualité métrique est une notion fondamentale pour comprendre les bases du calcul tensoriel et de la géométrie pseudo-riemannienne. Une interprétation géométrique vient illustrer ici sa définition et ses propriétés. Dualité métrique – On se place dans une variété pseudo-riemannienne V munie d’une métrique g. En tout point M de V, et pour tout vecteur u de l’espace vectoriel tangent TM (V), on peut définir une unique forme linéaire u de TM (V) telle que u : TM (V) → R v → u (v) = g(u, v) . On dit que u est associée à u par dualité métrique. Dans une base B = {eμ }, les coordonnées covariantes uμ d’un vecteur u sont définies comme les coordonnées de la forme u dans la base duale B  = {eμ } de B. De la même façon, les coordonnées contravariantes u˜μ d’une forme linéaire u sont définies comme les coordonnées dans B de l’unique vecteur u ˜ tel que, ∀v ∈ TM (V), v (˜ u) = g (u , v ). On dit alors que le vecteur u ˜ est associé à u par dualité métrique. 1 – Exprimer les coordonnées covariantes d’un vecteur u en fonction de ses coordonnées contravariantes dans une base B = {eμ }, et de gμν = g(eμ , eν ). En déduire les coordonnées covariantes d’un vecteur de la base B. 2 – Exprimer les coordonnées contravariantes d’une forme linéaire u en fonction de ses coordonnées covariantes dans la base B  = {eμ }, et de g μν = g (eμ , eν ), avec g le tenseur dual de g. En déduire les coordonnées contravariantes d’un vecteur de la base B  . 3 – Les formes linéaires associées aux vecteurs de la base B forment-elle une base de TM (V) ? 4 – Montrer que le produit scalaire entre un vecteur eλ de la base B et le vecteur u ˜ associé à la forme linéaire eλ de la base B  est égal au produit scalaire entre la forme linéaire eλ et la forme linéaire u associée au vecteur eλ .

Chapitre 1 – Introduction à la géométrie différentielle

9

5 – Donner une interprétation géométrique des coordonnées covariantes et contravariantes d’un vecteur u en choisissant une base normalisée mais non orthogonale pour g. Que se passe-t-il lorsque la base est orthonormée ?

 SOLUTION 1 – Si, dans la base B, u = uμ eμ , la définition de u donne u (eν ) = g(uμ eμ , eν ) = gμν uμ , et, en posant u = uμ eμ , u (eν ) = uμ eμ (eν ) = uμ δνμ = uν , c’est-à-dire, uν = gμν uμ . On en déduit la μ-ième coordonnée covariante, notée (eλ )μ , d’un vecteur eλ de la base B qui s’écrit donc (eλ )μ = gλμ . 2 – On pose u ˜ = u ˜μ eμ dans la base B, et u = uμ eμ dans la base B  . On u) = u ˜μ eν (eμ ) = u ˜ν , et, d’autre part, par définition, a donc d’une part, eν (˜ ν   ν μν ν μν e (˜ u) = g (u , e ) = g uμ . Ainsi, u ˜ = g uμ . On en déduit la μ-ième coordonnée contravariante, notée (eλ )μ , d’une forme linéaire eλ de la base B  qui s’écrit donc (eλ )μ = g λμ . Remarque : si u est associée à u par dualité métrique, alors u ˜ = u. 3 – Puisque les formes linéaires {ωλ } associées aux vecteurs de la base B ont pour coordonnées les composantes covariantes du tenseur métrique, on a : det g = 0 équivaut à {ωλ } est une base de TM (V). 4 – Le vecteur u ˜ associé à la forme linéaire eλ s’écrit u ˜ = g λμ eμ , donc le produit scalaire est ˜) = g λμ g(eλ , eμ ) = g λμ gλμ = 1. g(eλ , u Attention, dans cette expression, λ est fixé, et la sommation se fait uniquement sur μ . . . La forme linéaire u associée au vecteur eλ s’écrit u = gλμ eμ , donc le produit scalaire est g (eλ , u ) = gλμ g (eλ , eμ ) = gλμ g λμ = 1, où, là encore, la sommation se fait uniquement sur μ. On a donc bien égalité des deux produits scalaires. Remarque : on notera que g(eσ , u ˜) = δσλ et g (eσ , u ) = δλσ .

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Relativité générale et astrophysique

5 – Dans une base normalisée {eμ }, soit v le vecteur de coordonnées contravariantes v μ égales aux coordonnées covariantes uμ d’un vecteur u. D’après les questions précédentes, v μ = g(u, eμ ), donc v est la somme des projections orthogonales (pour g) du vecteur u sur les vecteurs de la base {eμ }. Chacune de ces projections sur un vecteur de base ne dépend pas des autres vecteurs de base, mais uniquement de la métrique via le produit scalaire. Par définition, chacune des coordonnées contravariantes d’un vecteur u correspond quant à elle à la projection sur un vecteur de base parallèlement à tous les autres vecteurs de la base (voir figure 1.2). Les coordonnées covariantes et contravariantes d’un vecteur ne sont donc égales que lorsque la base est orthogonale (ici, orthonormée). Références bibliographiques : [5], [12], [17], [15]. e2

v

u

e1 Figure 1.2 – Coordonnées covariantes et contravariantes en dimension 2 : les vecteurs u = (u1 , u2 ) et v = (u1 , u2 ) sont différents lorsque la base n’est pas orthogonale.

[M]  EXERCICE 1.6 Quadri-vecteurs de genre lumière, temps et espace – On se place dans un espace-temps muni d’une métrique g de signature (+, −, −, −), et l’on étudie quelques-unes des propriétés des quadri-vecteurs selon leur genre. 1 – Soient x et y deux quadri-vecteurs non nuls de genre lumière définis en un point P de cet espace-temps. (a) Montrer que si le pseudo-produit scalaire entre x et y est nul, alors les deux quadri-vecteurs sont colinéaires. (b) Montrer que tout vecteur orthogonal au vecteur x est soit de genre lumière, soit de genre espace.

Chapitre 1 – Introduction à la géométrie différentielle

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2 – Soit u un quadri-vecteur de genre temps défini en un point P de cet espacetemps. (a) Montrer que tout quadri-vecteur v colinéaire à u est aussi de genre temps. (b) Montrer que tout quadri-vecteur v orthogonal à u est de genre espace. 3 – Soit u un quadri-vecteur de genre espace défini en un point P de cet espacetemps. Montrer qu’il existe des vecteurs de genre espace, temps ou lumière qui sont orthogonaux à u.  SOLUTION 1(a) – En tout point P de l’espace-temps, on peut définir un système de coordonnées localement cartésiennes dans lequel le tenseur métrique a pour composantes covariantes non nulles : g00 = 1, et g11 = g22 = g33 = −1. De plus, par une simple rotation spatiale, ce système de coordonnées peut être choisi tel que, un des deux vecteurs (par exemple, le vecteur x) n’ait qu’une seule composante spatiale non nulle. Enfin, les quadri-vecteurs de genre lumière ont, par définition, une pseudo-norme égale à 0. On dispose donc des trois équations suivantes : gμν xμ xν = 0 , gμν y μ y ν = 0 , gμν xμ y ν = 0 , la dernière de ces équations traduisant la nullité du produit scalaire. En choisissant un système de coordonnées tel que les seules composantes non nulles du vecteur x soient x0 et x1 , les équations précédentes peuvent se réécrire simplement (x0 )2 − (x1 )2 = 0 , (y 0 )2 − (y 1 )2 − (y 2 )2 − (y 3 )2 = 0 , x0 y 0 − x1 y 1 = 0 , ce qui implique que (y 0 )2 = (y 1 )2 , et par suite (y 2 )2 = −(y 3 )2 , ou encore y 2 = y 3 = 0 : les vecteurs x et y sont donc colinéaires. 1(b) – Si le vecteur y est quelconque, la seule équation qui change, dans le système précédent, est la dernière. On a donc −(y 2 )2 − (y 3 )2 = A , avec A, la pseudo-norme de y. On en déduit donc que si A = 0 alors A < 0 et y est de genre espace. 2(a) – En posant v = λ u, avec λ = 0, on obtient g(v, v) = λ2 g(u, u) > 0, donc v est aussi de genre temps.

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Relativité générale et astrophysique

2(b) – Comme dans la question précédente, on peut définir un système de coordonnées localement cartésiennes dans lequel u et v ont pour coordonnées, respectivement, (u0 , u1 , 0, 0) et (v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ). Comme u est de genre temps, (u0 )2 − (u1 )2 > 0, et l’orthogonalité de u et v implique (u0 )2 (v 0 )2 = (u1 )2 (v 1 )2 . Ainsi, on déduit que (v 1 )2 > (v 0 )2 , et donc g(v, v) < 0. 3 – On reprend la démarche précédente. Soient u de genre espace et de coordonnées (u0 , u1 , 0, 0), et v de coordonnées (v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ) orthogonal à u. On a : (u0 )2 − (u1 )2 < 0, et (u0 )2 (v 0 )2 = (u1 )2 (v 1 )2 . Si v 0 = 0, comme u1 = 0, v 1 = 0, et g(v, v) < 0. Si v 0 = 0, comme (u0 )2 < (u1 )2 , (v 0 )2 > (v 1 )2 . Donc, si v 2 = v 3 = 0, alors g(v, v) > 0, et si v 2 et v 3 sont telles que (v 0 )2 = (v 1 )2 + (v 2 )2 + (v 3 )2 , alors g(v, v) = 0. Le quadri-vecteur v n’a donc pas de genre défini.

[MD]  EXERCICE 1.7 La dérivée de Lie est un outil important qui sera souvent utilisé, notamment dans le chapitre 7. Elle est introduite ici dans le cadre plus général des dérivations. Dérivée de Lie – On considère une variété pseudo-riemannienne munie d’un système de coordonnées {xμ }, dont la base naturelle associée est {eμ }. Par définition, une dérivation v est une fonction qui transforme tout champ scalaire f en un autre champ scalaire v(f ), et qui possède les propriétés suivantes : (a) v(f + g) = v(f ) + v(g), (b) v(f g) = v(f ) g + f v(g), et (c) si k est une fonction constante, v(k) = 0. 1 – Soit v une dérivation et V un vecteur de composantes v μ , telles que v μ = v(xμ ). Montrer que pour tout champ scalaire f , v(f ) = ∇V f , avec ∇V f = v ν ∂ν f . 2 – Pour tout champ scalaire f , en notant V[f ] = v(f ), montrer que V[f ] = < ∇f, V >, où ∇f est le gradient de f . 3 – Soient v et w, deux dérivations. Montrer que le crochet de Lie [v, w], défini pour tout f par [v, w](f ) = v(w(f )) − w(v(f )) , est aussi une dérivation. Exprimer les coordonnées [v, w](xμ ), dans la base {eμ }, du vecteur associé à [v, w], en fonction des coordonnées des vecteurs V et W, tels que V[f ] = v(f ) et W[f ] = w(f ). Quelle expression équivalente peut-on donner à ces coordonnées lorsque le tenseur de torsion est nul ?

Chapitre 1 – Introduction à la géométrie différentielle

13

4 – On appelle dérivée de Lie du champ vectoriel W dans la direction de V LV W = [V, W] , en notant [V, W] = [v, w]. Pour un champ scalaire f , la dérivée de Lie, dans la direction de V, est : LV f = V[f ]. (a) Déterminer les coordonnées, dans la base duale {eμ }, de la dérivée de Lie, suivant V, d’une forme linéaire Φ = φμ eμ . (b) Soient wμ et wμ , les coordonnées covariantes et contravariantes d’un champ vectoriel W : à quelle condition LV (wμ ) = 0 implique LV (wμ ) = 0 ? 5 – Soit T, un tenseur de composantes covariantes Tμν . Déterminer les coordonnées, dans la base {eμ ⊗ eν }, de la dérivée de Lie, dans la direction de V, du tenseur T. 6 – Soient V et W, deux champs vectoriels quelconques, et P et Q deux points de coordonnées respectives xμ et xμ + h v μ , avec 0 < h 1. On effectue un changement de coordonnées en Q, tel que les nouvelles coordonnées de Q soient égales aux coordonnées de P . Exprimer les nouvelles coordonnées contravariantes wμ , du vecteur W en Q. En déduire que wμ (Q) − wμ (P ) . h→0 h

LV (wμ ) = lim

 SOLUTION 1 – Soit P un point fixe quelconque de la variété, de coordonnées xμP . Pour tout autre point M , de coordonnées xμM , on peut écrire, au premier ordre f (M ) = f (P ) + (xμM − xμP ) ∂μ f (P ) . En appliquant la dérivation v, on obtient simplement v(f (M )) = v(xμM ) ∂μ f (P ) , ce qui implique v(f (P )) = v(xμP ) ∂μ f (P ) = v μ (P ) ∂μ f (P ) . 2 – Le gradient de f s’écrit : ∇f = ∂ν f eν , avec {eν }, la base duale de la base naturelle associée à {xμ }. Donc, on a < ∇f, V > = v μ ∂ν f < eν , eμ > = v μ ∂μ f = V[f ] .

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Relativité générale et astrophysique

3 – Pour tous champs scalaires f et g, on a les relations : [v, w](f + g) = v(w(f ) + w(g)) − w(v(f ) + v(g)) = v(w(f )) − w(v(f )) + v(w(g)) − w(v(g)) = [v, w](f ) + [v, w](g) , [v, w] (f g) = v(f w(g) + w(f ) g) − w(f v(g) + v(f ) g) = v(f w(g)) + v(w(f ) g) − w(f v(g)) − w(v(f ) g) = f v(w(g)) − f w(v(g)) + g v(w(f )) − g w(v(f )) = f [v, w] (g) + g [v, w](f ) , [v, w] (k) = v(w(k)) − w(v(k)) = v(0) − w(0) = 0 , avec k une constante. La fonction [v, w] est donc bien une dérivation. Les coordonnées des vecteurs V et W, dans la base naturelle, sont respectivement v μ = v(xμ ), et wμ = w(xμ ), donc [v, w](xμ ) = v(w(xμ )) − w(v(xμ )) = v(wμ ) − w(v μ ) = v ν ∂ν wμ − wν ∂ν v μ . Lorsque le tenseur de torsion est nul, les coefficients de connexion sont symétriques : Γλμν = Γλνμ . On peut donc remplacer les dérivées partielles par les dérivées covariantes : [v, w](xμ ) = v ν ∇ν wμ − wν ∇ν v μ . 4(a) – Pour tout vecteur W, on peut exprimer la dérivée de Lie du scalaire Φ(W) = φν wν : LV (φν wν ) = (LV (φν )) wν + φν (LV (wν )) = v λ ∂λ (φν wν ) , avec les relations, φν (LV (wν )) = φν (v λ ∂λ wν − wλ ∂λ v ν ) , v λ ∂λ (φν wν ) = v λ (∂λ φν ) wν + v λ φν (∂λ wν ) , ce qui implique, en réarrangeant les indices, (LV (φλ )) wλ = (v ν ∂ν φλ + φν ∂λ v ν ) wλ . Le vecteur W étant quelconque, on déduit LV (φλ ) = v ν ∂ν φλ + φν ∂λ v ν . 4(b) – Supposons que LV (wμ ) = 0, on peut écrire, LV (wμ ) = LV (gμλ wλ ) = wλ LV (gμλ ) = wλ (gσλ ∂μ v σ + gμσ ∂λ v σ ) = wλ (∂μ vλ + ∂λ vμ ).

Chapitre 1 – Introduction à la géométrie différentielle

15

La condition d’annulation de LV (wμ ) est donc ∂μ vλ + ∂λ vμ = 0, c’est-à-dire V est un vecteur de Killing. 5 – Pour tous vecteurs U et W, la dérivée de Lie du scalaire Tμν uμ wν , suivant le vecteur V, s’écrit LV (Tμν uμ wν ) = LV (Tμν ) uμ wν + Tμν LV (uμ ) wν + Tμν uμ LV (wν ) = v λ ∂λ (Tμν uμ wν ) , avec les relations Tμν LV (uμ ) wν = Tμν wν (v λ ∂λ uν − uλ ∂λ v ν ) , Tμν uμ LV (wν ) = Tμν uμ (v λ ∂λ wν − wλ ∂λ v ν ) , v λ ∂λ (Tμν uμ wν ) = v λ ∂λ (Tμν ) uμ wν + v λ Tμν wν ∂λ uμ + v λ Tμν uμ ∂λ wν , ce qui implique, LV (Tμν ) uμ wν = (v λ ∂λ (Tμν ) + Tλν ∂μ v λ + Tμλ ∂ν v λ ) uμ wν . Les vecteurs U et W étant quelconques, on déduit LV (Tμν ) = v λ ∂λ (Tμν ) + Tλν ∂μ v λ + Tμλ ∂ν v λ . 6 – Le changement de coordonnées en Q s’écrit : xμ = xμ − h v μ , ce qui implique ∂xμ = δνμ − h ∂ν v μ . ∂xν Par ailleurs, au premier ordre en h, wν (Q) = wν (P ) + h v λ ∂λ wν (P ). Les nouvelles coordonnées du vecteur W en Q sont donc données par wμ (Q) =

∂xμ ν w (Q) = (δνμ − h ∂ν v μ ) [wν (P ) + h v λ ∂λ wν (P )] , ∂xν

au premier ordre en h. Ainsi, on a wμ (Q) = wμ (P ) + h v λ ∂λ wμ (P ) − h wν (P ) ∂ν v μ . En passant à la limite, on obtient wμ (Q) − wμ (P ) = v λ ∂λ wμ − wν ∂ν v μ , h→0 h lim

c’est-à-dire wμ (Q) − wμ (P ) = LV (wμ ) . h→0 h lim

Références bibliographiques : [9], [12], [15], [17].

16

Relativité générale et astrophysique

[M]  EXERCICE 1.8

Changement de coordonnées dans l’espace-temps – On considère un espacetemps muni d’une métrique et d’un système de coordonnées {t, x, y, z} tel que le carré de l’élément de longueur infinitésimal s’écrit ds2 = (c2 − a2 t2 ) dt2 − 2 a t dt dx − dx2 − dy 2 − dz 2 ,

(1.1)

où a et c sont deux constantes non nulles. 1 – Par une transformation de coordonnées, montrer que ds2 peut être ramené à l’élément de longueur de l’espace-temps de Minkowski exprimé en coordonnées cartésiennes {t , x , y  , z  }. 2 – Quelle est la vitesse d’une particule spatialement fixe dans le système de coordonnées {t, x, y, z}, mesurée par un observateur spatialement fixe dans le système de coordonnées {t , x , y  , z  } ? 3 – Pour quelle raison le système de coordonnées {t, x, y, z} ne permet-il pas de décrire tout l’espace-temps de Minkowski ?  SOLUTION 1 – On peut réécrire l’élément de longueur ds2 de la façon suivante : ds2 = c2 dt2 − (a t dt + dx)2 − dy 2 − dz 2 . 2

Ainsi, en posant x = x + a2t , t = t, y  = y et z  = z, on obtient un élément de longueur de l’espace-temps de Minkowski ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 . 2 – Pour la particule, la variation des coordonnées spatiales sur sa ligne d’univers étant nulle : dx = dy = dz = 0. De plus, comme dx = dx + a t dt, la vitesse mesurée par l’observateur est telle que : dx /dt = a t , dy  /dt = dz  /dt = 0, le temps t étant le temps propre mesuré par cet observateur. 3 – Dans l’expression (1.1) de la métrique en coordonnées {t, x, y, z}, on lit directement gtt = c2 − a2 t2 . La métrique change donc de signature lorsque t > c/a. Dans la question précédente, on voit qu’une conséquence de ce changement est que la vitesse de la particule peut dépasser la vitesse de la lumière. C’est donc en contradiction avec les propriétés de l’espace-temps de Minkowski.

Chapitre 1 – Introduction à la géométrie différentielle

17

[MD]  EXERCICE 1.9

Changement de coordonnées et élément de volume – On se place dans une variété pseudo-riemannienne de dimension n munie de deux systèmes de coordonnées {xμ } et {xμ }. 1 – Pour toute fonction f intégrable sur un volume V quelconque de cette variété, montrer que  



μ n f (x ) |g| dx = f  (xμ ) |g  | dxn , V

V

avec g et g  les déterminants du tenseur métrique relativement aux systèmes de coordonnées {xμ } et {xμ }, et f  telle que f  (xμ ) = f (xμ ). Conclure. 2 – Dans l’espace euclidien R3 , un système de coordonnées {xμ } est relié aux coordonnées cartésiennes {xμ } par les relations : x1 = x1 + x2 , x2 = x1 − x2 , x3 = 2x1 x2 + x3 . (a) Décrire les surfaces obtenues en fixant les coordonnées {xμ }. (b) Déterminer les composantes covariantes du tenseur métrique dans le système {xμ }. En déduire que ces coordonnées ne sont pas orthogonales. (c) Exprimer l’élément de volume infinitésimal dV dans le système {xμ }.  SOLUTION 1 – On sait que





f  (xμ ) |J| dxn ,

f (xμ ) dxn = V

V

où J est le déterminant de la matrice jacobienne de la transformation de coordonnées, c’est-à-dire J = det(∂xμ /∂xν ). Par ailleurs, les composantes du tenseur métrique se transforment selon ∂xα ∂xβ  = gα β . gμν ∂xμ ∂xν Le déterminant de cette dernière relation donne donc



|g  | = |J| |g|, et l’on obtient

 μ

f (x ) V



 |g| dx = n

V

f  (xμ )

|g  | dxn .

18

Relativité générale et astrophysique

2(a) – En fixant les coordonnées {xμ }, comme (x1 )2 − (x2 )2 = 4 x1 x2 , on obtient l’ensemble des surfaces dont les équations cartésiennes sont de la forme F (x1 , x2 , x3 ) = x3 −

1 1 2 (x ) − (x2 )2 − x3 , 2

avec x3 ∈ R. Ce sont donc des paraboloïdes hyperboliques. 2(b) – Il faut réexprimer le carré de l’élément de longueur ds2 = (dx1 )2 + (dx2 )2 +(dx3 )2 en fonction des nouvelles coordonnées. On a facilement dx1 = dx1 + dx2 , dx2 = dx1 − dx2 , dx3 = 2x2 dx1 + 2x1 dx2 + dx3 . On déduit alors

ds2 = 2 + 4(x2 )2 (dx1 )2 + 2 + 4(x1 )2 (dx2 )2 + (dx3 )2 + 8x1 x2 dx1 dx2 + 4x2 dx1 dx3 + 4x1 dx2 dx3 . La présence des termes croisés dxμ dxν , avec μ = ν, implique que ces coordonnées ne sont pas orthogonales. Les composantes covariantes du tenseur métrique sont :  g11 = 2 + 4(x2 )2 ,

 g22 = 2 + 4(x1 )2 ,

 g33 = 1,

  = g21 = 4x1 x2 , g12

  g13 = g31 = 2x2 ,

  g23 = g32 = 2x1 .

2(c) – L’élément de volume dV peut être déterminé de deux façons différentes. La première utilise la valeur absolue du jacobien de la transformation des coordonnées : |J| = | det(∂xμ /∂xν )| . Dans notre cas,

  1  J =  1  2x2

1 −1 2x1

0 0 1

    = −2 .  

Le système de coordonnées {xμ } étant cartésien, on a ainsi dV = dx1 dx2 dx3 = |J| dx1 dx2 dx3 = 2 dx1 dx2 dx3 . La seconde méthode utilise le déterminant du tenseur métrique,    2 + 4(x2 )2 4x1 x2 2x2   g =  4x1 x2 2 + 4(x1 )2 2x1  = 4 . 2  2x 2x1 1  Nous obtenons alors dV =

√ g dx1 dx2 dx3 = 2 dx1 dx2 dx3 .

Chapitre 1 – Introduction à la géométrie différentielle

19

[MD]  EXERCICE 1.10 Le principe variationnel est un outil très efficace qui permet d’obtenir rapidement les équations des géodésiques. Le lecteur pourra, par exemple, se reporter au chapitre 4 et à la détermination des géodésiques dans l’espace-temps de Schwarzschild. Equations des géodésiques et principe variationnel – On se place dans un espacetemps E, muni d’une métrique g. Une géodésique de E peut être définie comme la ligne d’univers qui rend extrémal le temps propre d’une particule matérielle reliant un événement A à un événement B. 1 – Après avoir exprimé le temps propre reliant deux événements A et B reliés par une ligne d’univers quelconque de genre temps paramétrée affinement par λ, expliquer pourquoi une géodésique peut-elle maximiser ou minimiser le temps propre ? 2 – On choisit une métrique de signature (−, +, +, +), et l’on définit un lagrangien L par L(xμ , x˙ μ ) = −gμν x˙ μ x˙ ν , avec x˙ μ = dxμ /dλ. Démontrer, via le principe variationnel, que l’équation des géodésiques est de la forme x¨μ + Γμαβ x˙ α x˙ β = 0, où les coefficients Γμαβ s’écrivent Γμαβ =

1 μσ g (∂β gασ + ∂α gσβ − ∂σ gβα ). 2

Ces coefficients sont appelés symboles de Christoffel ou coefficients de la connexion (voir exercice page 23). 3 – On suppose que les composantes du tenseur métrique ne dépendent pas d’une certaine coordonnée xλ . Comment s’écrit l’équation d’Euler-Lagrange associée à cette coordonnée ? Que peut-on en déduire ? 4 – Pour une particule massive en chute libre, montrer que les symboles de Christoffel s’écrivent également Γλμν =

∂xλ ∂ 2 ξ α , ∂ξ α ∂xμ ∂xν

avec {ξ α }, un système inertiel local de coordonnées. 5 – Exemple 1 : Soit un espace-temps de de Sitter simplifié, en dimension 2, dont la métrique est donnée par ds2 = −dt2 + cosh2 t dx2 .

20

Relativité générale et astrophysique

(a) Donner les équations des géodésiques. (b) Retrouver ces équations en appliquant le principe variationnel avec un lagrangien qui s’écrit L2 = −(dt/dτ )2 + cosh2 t (dx/dτ )2 . 6 – Exemple 2 : On considère un espace-temps dont la métrique est donnée par ds2 = A(r) dt2 − B(r) dr2 − r2 dθ2 − r2 sin2 θ dϕ2 , où A et B sont des fonctions strictement positives sur R+ . (a) Déterminer les symboles de Christoffel. (b) En déduire les équations des géodésiques.

 SOLUTION 1 – Par définition, l’intervalle de temps propre dτ reliant deux événements infiniment proches de E est tel que c2 dτ 2 = ±gμν dxμ dxν , le signe dépendant de la signature de la métrique : si la métrique a pour signature (+, −, −, −) alors c’est un signe +, et si la métrique a pour signature (−, +, +, +), c’est un signe −. L’intervalle de temps propre dτ reliant deux événements A et B quelconques, reliés par une ligne d’univers xμ (λ) de genre temps paramétrée affinement par λ, s’écrit alors   dxμ dxν 1 λB dλ. τ= ±gμν c λA dλ dλ Une géodésique de genre temps minimise le carré de la pseudo-distance ds2 entre deux événements infiniment proches ; si ds2 > 0, alors c2 dτ 2 = ds2 et la géodésique minimise aussi le temps propre entre ces deux événements. En revanche, si ds2 < 0, alors c2 dτ 2 = −ds2 et la géodésique maximise le temps propre entre ces deux événements. 2 – Les équations d’Euler-Lagrange s’écrivent   d ∂L ∂L − μ = 0, dλ ∂ x˙ μ ∂x avec ∂L = −2 gμν x˙ ν , ∂ x˙ μ ∂gαν ∂L = − μ x˙ α x˙ ν . μ ∂x ∂x

Chapitre 1 – Introduction à la géométrie différentielle

21

En dérivant par rapport à λ la première expression, on trouve :   ∂L d dgμν ν x˙ ¨ν − 2 = −2 gμν x dλ ∂xμ dλ ∂gμν σ ν = −2 gμν x ¨ν − 2 x˙ x˙ . ∂xσ Après changement des indices et par symétrie du tenseur métrique, les équations d’Euler-Lagrange deviennent   1 μσ ∂gαβ ∂gβσ μ − x¨ + g 2 x˙ α x˙ β = 0 , 2 ∂xα ∂xσ avec

∂gβσ α β ∂gασ α β ∂gβσ α β x˙ x˙ = x˙ x˙ + x˙ x˙ . ∂xα ∂xβ ∂xα Conclusion, on obtient l’équation des géodésiques 2

x¨μ + Γμαβ x˙ α x˙ β = 0, avec les symboles de Christoffel, Γμαβ =

1 μσ g (∂β gασ + ∂α gσβ − ∂σ gβα ). 2

Par symétrie du tenseur métrique, Γμαβ = Γμβα . 3 – L’équation d’Euler-Lagrange associée à xλ est simplement ∂L = constante , ∂ x˙ λ c’est-à-dire, gλ ν x˙ ν = x˙ λ = constante. Autrement dit, la composante covariante x˙ λ du vecteur tangent à la géodésique, suivant la coordonnée xλ , est donc conservée le long de cette géodésique. 4 – La particule étant en chute libre, on peut écrire d2 ξ α = 0. dτ 2 Comme

dξ α ∂ξ α dxμ = , on obtient dτ ∂xμ dτ ∂ξ α d2 xμ ∂ 2 ξ α dxμ d2 ξ α + = = 0. dτ 2 ∂τ ∂xμ dτ ∂xμ dτ 2 ∂xλ , on trouve ∂ξ α  λ  ∂x ∂ξ α d2 xμ ∂xλ ∂ 2 ξ α dxμ + =0 ∂ξ α ∂τ ∂xμ dτ ∂ξ α ∂xμ dτ 2

En multipliant cette équation par

22 avec

Relativité générale et astrophysique ∂xλ ∂ξ α = δμλ ∂ξ α ∂xμ

et

∂ 2ξα ∂ = ∂τ ∂xμ ∂xμ



∂ξ α dxν ∂xν dτ

 =

∂ 2 ξ α dxν . ∂xμ ∂xν dτ

Par identification avec l’équation des géodésiques, on définit donc Γλμν =

∂xλ ∂ 2 ξ α . ∂ξ α ∂xμ ∂xν

5(a) – Les composantes covariantes du tenseur métrique sont gtt = −1 et gxx = cosh2 t. D’après l’expression des symboles de Christoffel, les seuls symboles non nuls sont les suivants : Γtxx = sinh t cosh t , Γxtx = Γxxt = tanh t . Les équations des géodésiques s’écrivent donc  2 dx d2 t + sinh t cosh t = 0, 2 dτ dτ d2 x dt dx = 0. + 2 tanh t 2 dτ dτ dτ  5(b) – Le principe variationnel s’écrit δ L2 dτ = 0. Les équations d’Euler-Lagrange,  2 ∂L d ∂L2 =0 − dτ ∂t ∂ t˙ et

d [cosh2 (t) x] ˙ =0 dτ avec t˙ = dt/dτ et x˙ = dx/dτ , redonnent facilement les équations précédentes.

6(a) – Les composantes covariantes du tenseur métrique sont : gtt = A(r), grr = −B(r), gθθ = −r2 , et gϕϕ = −r2 sin2 θ. Par définition des symboles de Christoffel, les seuls symboles non nuls sont les suivants : 1 tt 1 A (r) g ∂r gtt = , 2 2 A(r) 1 1 B  (r) , = g rr ∂r grr = 2 2 B(r)

Γtrt = Γttr = Γrrr

1 r sin2 θ Γrϕϕ = − g rr ∂r gϕϕ = − , 2 B(r) 1 Γθϕϕ = − g θθ ∂θ gϕϕ = − sin θ cos θ , 2 1 cos θ . Γϕθϕ = Γϕϕθ = g ϕϕ ∂θ gϕϕ = 2 sin θ

1 1 A (r) Γrtt = − g rr ∂r gtt = , 2 2 B(r) 1 r Γrθθ = − g rr ∂r gθθ = − , 2 B(r) 1 θθ 1 g ∂r gθθ = , 2 r 1 ϕϕ 1 = g ∂r gϕϕ = , 2 r

Γθrθ = Γθθr = Γϕrϕ = Γϕϕr

Chapitre 1 – Introduction à la géométrie différentielle

23

6(b) – L’équation des géodésiques se traduit par les relations suivantes : d2 t dt dr = 0, + 2 Γttr dτ 2 dτ dτ  2  2  2  2 dt dr dθ dϕ d2 r r r r r + Γ + Γ + Γ + Γ = 0, tt rr θθ ϕϕ 2 dτ dτ dτ dτ dτ  2 dϕ d2 θ dr dθ θ θ + 2 Γ rθ = 0, + Γ ϕϕ dτ 2 dτ dτ dτ dr dϕ dθ dϕ d2 ϕ + 2 Γϕθϕ = 0. + 2 Γϕrϕ dτ 2 dτ dτ dτ dτ Références bibliographiques : [17], [19].

[MD]  EXERCICE 1.11

Unicité de la connexion de Levi-Civita – Sur toute variété pseudoriemannienne V, munie d’une métrique g, il existe une infinité de connexions ou dérivations covariantes, notées ∇, telles que ∀M ∈ V : ∇ : TM (V) × TM (V) → TM (V) (u, v ) → ∇uv = uν ∇ν v μ eμ , avec {eμ } une base de l’espace vectoriel TM (V) tangent à V en M , {eμ } sa base duale, et ∇ν v μ les composantes de la dérivée covariante ∇v de v telle que ∇v = ∇ν v μ eμ ⊗ eν . Ces connexions doivent vérifier les propriétés suivantes : ∀(u, v , w)  ∈ (TM (V))3 ,

∇u (v + w)  = ∇uv + ∇u w ,  = ∇u w  + ∇v w,  ∇u+v w

et pour tout champ scalaire f défini sur V, ∇f uv = f ∇uv , ∇u (f v ) = < ∇f, u > v + f ∇uv , avec ∇f le gradient de f dans TM (V), l’espace dual de TM (V). 1 – Dans un système quelconque de coordonnées {xμ }, donner l’expression de < ∇f, u > pour un champ scalaire f défini en un point M de V et un vecteur u de TM (V).

24

Relativité générale et astrophysique

λ λ 2 – Soit ∇ une connexion définie par les coefficients γμν tels que : ∇eμ eν = γνμ eλ .

(a) Montrer que le vecteur ∇uv peut se mettre sous la forme μ ∇uv = uα [eα (v μ ) + γβα v β ] eμ ,

avec u = uμ eμ , v = v μ eμ , et en notant eα (f ) = < ∇f, eα > pour tout champ scalaire f (voir exercice page 12). (b) Que devient cette expression si {eμ } est la base naturelle associée à un système de coordonnées {xμ } ? Exprimer alors la dérivée covariante d’un vecteur v . (c) En déduire une définition de ∇ω = ∇μ ων eμ ⊗eν pour tout ω ∈ TM (V). Généraliser cette définition à tout tenseur de type pq . 3 – Soient C une géodésique de V pour la métrique g, et u un champ vectoriel de V tel que, en tout point de la géodésique C, u est un vecteur tangent à C. A partir de l’équation des géodésiques (voir exercice page 19), et sachant que u est transporté parallèlement à lui-même le long de C pour ∇ (⇔ ∇u u = 0), λ = Γλμν . Conclure. montrer que γμν 4 – On définit le tenseur de torsion S, par rapport à la connexion ∇, par S : TM (V) × (TM (V))2 (ω, u, v )

→ R  → < ω, ∇uv − ∇v u + [u, v ] >,

avec [·, ·] le crochet de Lie. (a) Quelles sont les composantes de S dans la base naturelle associée à {xμ } ? A quelle condition S est-il identiquement nul ? (b) On suppose que S est identiquement nul. Montrer que ∇g = 0, et que les composantes de la dérivée covariante du gradient de tout champ scalaire f sont symétriques.  SOLUTION 1 – En un point M de V, le gradient d’un champ scalaire f s’écrit ∂μ f (M ) eμ , avec les vecteurs eμ de la base de TM (V), duale de la base naturelle {eμ }. Un vecteur u se décomposera suivant u = uμ eμ . On aura donc < ∇f, u > = ∂μ f (M ) eμ (uν eν ) = uν ∂μ f (M ) δνμ , c’est-à-dire < ∇f, u > = uμ ∂μ f (M ) = u(f ).

Chapitre 1 – Introduction à la géométrie différentielle

25

2(a) – Par définition de la connexion, et d’après ses propriétés, on a ∇uv = < ∇v μ , u > eμ + v μ ∇ueμ = uα < ∇v μ , eα > eμ + v μ uν ∇eν eμ μ = uα eα (v μ ) eμ + v β uα γβα eμ μ = uα [eα (v μ ) + γβα v β ] eμ .

2(b) – Si {eμ } est la base naturelle associée à un système de coordonnées {xμ }, alors eμ = ∂μ et l’expression devient  μ  ∂v μ β ∇uv = uα + γ v eμ . βα ∂xα La dérivée covariante d’un vecteur v est alors simplement reliée à la connexion par  μ  ∂v μ β + γβα v eμ ⊗ eα . ∇v = ∂xα 2(c) – Soit la forme linéaire ω = ωμ eμ . On a : ∇[ω(u)] = ∇(ων uν ) = (∇μ ων uν + ων ∇μ uν ) eμ , ce qui équivaut à ∇μ ων uν eμ = ∇(< ω, u >) − ων ∇μ uν eμ .   On peut donc définir ∇ω comme le tenseur, de type 02 , de composantes ∇μ ων dans la base {eμ ⊗ eν }, et qui est tel que, pour tout couple de vecteurs (u, v ), ∇ω(u, v ) = v (< ω, u >) − ∇u(ω, v ). Comme le gradient de < ω, u > s’écrit  ∇(< ω, u >) = ∇(ωα uα ) =

∂ωα α ∂uα u + ω α ∂xμ ∂xμ

 eμ ,

et d’après les composantes ∇μ uν de la dérivée covariante de u, les composantes ∇μ ων sont telles que ∇μ ων uν =

∂ωα α u − ωα γ ανμ uν . ∂xμ

Après un changement des indices muets, on obtient ∇μ ων =

∂ων − γ ανμ ωα . ∂xμ

26

Relativité générale et astrophysique

 Regardons à présent ce qui se passe, par exemple, pour un tenseur T de type 11 : celui-ci peut se décomposer dans la base {eν ⊗ eμ } selon T = T νμ eν ⊗ eμ . Pour tout (ω, u) ∈ TM (V) × TM (V), on a alors ∇ [T(ω, u)] = ∇(T νμ ων uμ ) = (∇λ T νμ ων uμ + T νμ ∇λ ων uμ + T νμ ων ∇λ uμ ) eλ , ou encore ∇λ T νμ ων uμ eλ = ∇(T νμ ων uμ ) − (T νμ ∇λ ων uμ + T νμ ων ∇λ uμ ) eλ  ∂T νμ ∂uμ μ ν ∂ων μ ν eλ . ω u + T u + T ω ν μ μ ν ∂xλ ∂xλ ∂xλ  En définissant le tenseur ∇T de type 12 et de composantes ∇λ T νμ tel que, pour tout triplet (ω, u, v ) ∈ TM (V) × (TM (V))2 , 

avec

∇(T νμ ων uμ ) =

∇T (ω, u, v ) = ∇λ T νμ ων uμ v λ  ν  ∂T μ ∂uμ μ ν ∂ων μ ν ν μ ν μ = ων u + T μ u + T μ ων − T μ ∇λ ων u − T μ ων ∇λ u v λ ∂xλ ∂xλ ∂xλ  ν  ∂T μ ν α α ν = + γαλ T μ − γ μλ T α ων uμ v λ . ∂xλ On trouve à tout tenseur T de   alors facilement la généralisation de cettedéfinition  p type pq qui va donc donner un tenseur ∇T de type q+1 . 3 – L’équation des géodésiques, paramétrées affinement par λ, s’écrit duμ + Γμαβ uα uβ = 0 . dλ Par ailleurs, le transport parallèle de u le long de C s’écrit  μ  μ α ∂u β ∇u u = u + γβα u eμ = 0 , ∂xα avec

∂uμ dxα duμ ∂uμ = = , α α ∂x ∂x dλ dλ puisque, par définition, uα = dxα /dλ. On a donc uα

duμ μ + γαβ uα uβ = 0 , dλ μ = Γμαβ . La connexion assurant le transport parallèle des et, par identification, γαβ vecteurs tangents aux géodésiques est donc unique et ses coefficients sont égaux aux

Chapitre 1 – Introduction à la géométrie différentielle

27

symboles de Christoffel, eux-mêmes étant définis de façon univoque grâce aux coefficients de la métrique. Ainsi, μ γαβ =

1 μσ g (∂β gασ + ∂α gσβ − ∂σ gβα ). 2

μ μ = γβα . Cette connexion symétrique, La symétrie du tenseur métrique implique γαβ unique, est appelée connexion de Levi-Civita.

4(a) – Le crochet de Lie de deux vecteurs u et v est défini par [u, v ] = (v ν ∂ν uμ − uν ∂ν v μ ) eμ . On a donc S(ω, u, v ) = ωμ [(uν ∇ν v μ − v ν ∇ν uμ ) + v ν ∂ν uμ − uν ∂ν v μ ]   μ μ ωμ u α v β . − γαβ = γβα μ μ μ Les composantes de S sont donc : Sαβ = γβα − γαβ . Le tenseur de torsion est identiquement nul pour la connexion de Levi-Civita.

4(b) – Par définition du tenseur métrique, gμν = eμ · eν . En dérivant, ∂λ gμν = (∂λ eμ ) · eν + eμ · (∂λ eν ) , = Γρμλ gρν + Γρνλ gρμ . Ainsi, la dérivée covariante du tenseur métrique a pour composantes ∇λ gμν = ∂λ gμν − Γρμλ gρν − Γρνλ gμρ , c’est-à-dire, ∇λ gμν = 0. Les composantes de ∇(∇f ) s’écrivent simplement ∂ (∇μ f ) − Γαμν ∇α f ∂xν ∂2f = − Γανμ ∇α f ∂xμ ∂xν ∂2f = − Γανμ ∇α f ∂xν ∂xμ

∇ν ∇μ f =

= ∇μ ∇ν f. Elles sont donc symétriques.

28

Relativité générale et astrophysique

[MD]  EXERCICE 1.12 Courbes auto-parallèles – Soit une variété pseudo-riemannienne munie d’un système de coordonnées {xμ } et dont la connexion est sans torsion. On considère une géodésique paramétrée affinement par λ. 1 – Soit λ un paramètre quelconque tel que λ = f −1 (λ), avec f un C 1 -difféomorphisme. A quelle équation obéit xμ (λ ) ? A quelle condition xμ (λ ) vérifie l’équation des géodésiques ? 2 – Soit une courbe C de paramétrage quelconque λ tel que xμ (λ ) vérifie l’équation des courbes auto-parallèles μ dxν dxα d2 xμ μ  dx + Γ = f (λ ) , να dλ2 dλ dλ dλ

avec f un C 1 -difféomorphisme. Montrer que C est une géodésique.  SOLUTION 1 – La géodésique a pour équation d2 xμ dxν dxα = 0. + Γμνα 2 dλ dλ dλ Comme λ = f −1 (λ), on peut écrire μ dxμ   dx , = f (λ ) dλ dλ d2 xμ d2 xμ dxμ + (f  (λ ))2 = f  (λ ) 2 dλ dλ2 dλ    μ dxν dxα     dx   2 μ = f (λ ) f (λ ) + (f (λ )) −Γ να , dλ dλ dλ

c’est-à-dire dxν dxα dxμ d2 xμ + Γμνα = f  (λ ) f  (λ ) . 2   dλ dλ dλ dλ On retrouve donc l’équation des géodésiques si f  (λ ) f  (λ ) = 0, soit f  (λ ) = 0 (puisque f  (λ ) = 0). Ainsi, la condition recherchée est que λ soit aussi un paramètre affine : λ = a λ + b avec (a, b) ∈ R × R. 2 – Effectuons un changement de paramètre en posant σ = g(λ ), avec g un C 1 -difféomorphisme. L’équation de la courbe auto-parallèle devient  2 μ  dxμ   dxμ dxν dxα d x μ g (λ ) = f (λ ) g  (λ ) , + Γ (g  (λ ))2 + να 2 dσ dσ dσ dσ dσ

Chapitre 1 – Introduction à la géométrie différentielle

29

et xμ (σ) vérifie l’équation des géodésiques si g  (λ ) = f (λ ) g  (λ ). Cette condition équivaut à d(ln g  (λ )) = f (λ ) , dλ c’est-à-dire 





λ

g (λ ) = A exp g(λ ) = σ =



 f (x) dx ,

λ0 λ

g  (x) dx + B ,

λ0

avec (A, B) ∈ R × R. Ce changement de paramètre montre donc que toute courbe auto-parallèle est assimilable à une géodésique. Le paramètre σ ainsi défini est un paramètre affine.

[M]  EXERCICE 1.13

Géodésiques nulles – On considère une variété pseudo-riemannienne munie d’un système de coordonnées {xμ } et d’un tenseur métrique de composantes covariantes gμν . Une géodésique est dite nulle si, en chacun de ses points, gμν dxμ dxν = 0. Dans l’espace-temps, les géodésiques nulles représentent les trajectoires spatio-temporelles des particules de masse nulle comme les photons. 1 – Déterminer l’équation des géodésiques nulles lorsque les composantes covariantes du tenseur métrique sont constantes. 2 – En déduire l’équation des géodésiques nulles dans un espace-temps de Minkowski, c’est-à-dire tel que gij = −δij , pour (i, j) ∈ 1, 32 , et g00 = 1.  SOLUTION 1 – Lorsque les composantes du tenseur métrique sont constantes, les symboles de Christoffel sont tous nuls. L’équation des géodésiques est simplement d2 xμ = 0, ds2 avec s un paramètre affine. En intégrant, on obtient : xμ = aμ s + bμ , avec aμ et bμ les composantes contravariantes de deux vecteurs constants. Comme gμν dxμ dxν = 0,

30

Relativité générale et astrophysique

on a gμν aμ aν = 0. En remplaçant aμ par (1/s) (xμ − bμ ), l’équation des géodésiques nulles peut s’écrire gμν (xμ − bμ ) (xν − bν ) = 0 . 2 – Pour un espace-temps de Minkowski, l’équation précédente devient (x0 − b0 )2 − (x1 − b1 )2 − (x2 − b2 )2 − (x3 − b3 )2 = 0 . Cette équation est celle d’un cône de lumière en relativité restreinte (figure 1.3).

Futur de M vecteur de genre temps vecteur de genre lumière

M

vecteur de genre espace

Passé de M

Figure 1.3 – Représentation d’un cône de lumière et des différents genres de vecteurs, dans un espace-temps de Minkowski où l’on a supprimé une des trois dimensions d’espace.

Chapitre 1 – Introduction à la géométrie différentielle

31

[M]  EXERCICE 1.14 L’illustration du transport parallèle d’un vecteur est donnée ici, via un exemple simple, ainsi que la longueur d’une courbe dans un espace non euclidien. Transport parallèle – Dans l’espace euclidien R3 , on considère la sphère S2 dont le rayon est égal à R. 1 – Déterminer les vecteurs de la base naturelle et donner les composantes contravariantes et covariantes du tenseur métrique en coordonnées sphériques θ et ϕ. 2 – En déduire les symboles de Christoffel. 3 – Sur S2 , on définit la courbe C d’équation paramétrée θ(λ) = λ , ϕ(λ) = ϕ0 , où λ ∈ ]0, π[ et ϕ0 ∈ [0, 2π[. Vérifier que le transport parallèle le long de C ne modifie pas la norme d’un vecteur quelconque de l’espace tangent à S2 initialement au point M (θ0 , ϕ0 ). 4 – Déterminer la longueur d’une courbe de S2 , définie, pour λ ∈ [0, π], par la paramétrisation θ(λ) = λ , ϕ(λ) = 2λ − π .

 SOLUTION 1 – Par définition des coordonnées sphériques, les vecteurs de la base naturelle de S2 peuvent s’écrire ∂θ = R eθ et ∂ϕ = R sin θ eϕ , avec eθ et eϕ , deux des vecteurs de la base orthonormée usuelle associée aux coordonnées sphériques dans R3 . Le vecteur  = R dθ eθ + R sin θ dϕ eϕ , et sa norme au déplacement élémentaire sur S2 s’écrit dM carré fournit la relation métrique suivante : ds2 = R2 dθ2 + R2 sin2 θ dϕ2 . Les deux seules composantes covariantes non nulles du tenseur métrique sont donc gθθ = R2 et gϕϕ = R2 sin2 θ. La relation gik g kj = δij nous donne les seules composantes contravariantes non nulles g θθ = 1/R2 et g ϕϕ = 1/(R2 sin2 θ).

32

Relativité générale et astrophysique

2 – Les symboles de Christoffel sont donnés par la relation Γikj =

1 il g (∂k gjl + ∂j glk − ∂l gkj ) . 2

Les seuls symboles non nuls sont les suivants : Γϕϕθ = Γϕθϕ =

1 ϕϕ cos θ g ∂θ gϕϕ = , 2 sin θ

1 Γθϕϕ = − g θθ ∂θ gϕϕ = − cos θ sin θ . 2 3 – Soit v (M ) = (v θ (M ), v ϕ (M )), un vecteur quelconque muni de ses coordonnées naturelles. L’équation du transport parallèle le long de C se traduit ici par dϕ dv θ = −Γθϕϕ v ϕ = 0, dλ dλ cos θ ϕ dθ dv ϕ = −Γϕϕθ v ϕ =− v . dλ dλ sin θ Ainsi, ∀M  ∈ C, on obtient v θ (M  ) = v θ (M ) , sin θ0 ϕ v (M ) . v ϕ (M  ) = sin θM  Les vecteurs v (M ) = R v θ (M ) eθ (M ) + R sin θ0 v ϕ (M ) eϕ (M ) et v (M  ) = R v θ (M  ) eθ (M  ) + R sin θM  v ϕ (M  ) eϕ (M  ) = R v θ (M ) eθ (M  ) + R sin θ0 v ϕ (M ) eϕ (M  ) ont donc bien la même norme (mais pas la même direction !). 4 – Il suffit d’intégrer l’élément de longueur infinitésimal ds et la longueur s’écrit   L = R dθ2 + sin2 θ dϕ2 ,  π

c’est-à-dire L= R 1 + 4 sin2 λ dλ  5,27 R. 0

Chapitre 1 – Introduction à la géométrie différentielle

33

[MD]  EXERCICE 1.15

Produit extérieur et formes différentielles – On se place en un point M d’une variété pseudo-riemannienne V de dimension n. On note TM (V) l’espace vectoriel tangent à V en M , et TM (V) son dual. Le produit extérieur u ∧v de deux formes linéaires u et v de TM (V) est défini par u ∧ v  = u ⊗ v  − v  ⊗ u . 1 – (a) Montrer que le produit extérieur de deux formes linéaires est une forme bilinéaire et antisymétrique de (TM (V))2 dans TM (V) ⊗ TM (V). (b) Exprimer, pour tout (x, y) ∈ (TM (V))2 , u ∧ v (x, y). (c) Comparer, pour tout (u , v , w ) de TM (V)3 , les produits extérieurs u ∧ (v ∧ w ) et (u ∧ v ) ∧ w . 2 – Soient {xμ } un système de coordonnées défini dans un voisinage de M , et {eμ } sa base naturelle associée. (a) Montrer que toute forme bilinéaire antisymétrique peut s’écrire comme une combinaison linéaire d’éléments de la famille {eμ ∧ eν }. Former une famille libre à partir des éléments de cette famille. (b) Pour tout (u , v ) ∈ (TM (V))2 , exprimer les coordonnées covariantes du tenseur T = u ∧ v , en fonction des coordonnées de u et v , dans la base duale de {eμ ⊗ eν }. 3 – Par définition, une forme extérieure de degré k, ou k-forme, est une forme k-linéaire antisymétrique sur (TM (V))k . Le produit extérieur d’une k-forme u par une -forme v est une (k + )-forme dont les coordonnées covariantes sont (u ∧ v )α1 ...αk+ =

1 μ1 ...μk ν1 ...ν δ uμ1 ...μk vν1 ...ν , k!! α1 ...αk+

...μk ν1 ...ν où δαμ11 ...α est le symbole de Kronecker généralisé défini par k+

 q δαβ11...β ...αq =

(−1)σ(β1 ...βq ) si ∀(i, j) ∈ 1, q2 , i = j ⇒ αi = αj , 0 sinon,

où σ(β1 . . . βq ) est le nombre de transpositions nécessaires pour égaliser la suite des q entiers β1 . . . βq avec celle des q entiers α1 . . . αq . (a) Généraliser le résultat de la question 2(a) en donnant une base de l’espace vectoriel des k-formes sur (TM (V))k . En déduire la dimension de cet espace.

34

Relativité générale et astrophysique

(b) Montrer qu’un tel produit extérieur implique u ∧ v = (−1)k v ∧ u . (c) Retrouver le résultat de la question 2(b). 4 – Une forme différentielle de degré k, ou k-forme différentielle sur TM (V), est une application ω telle que ω : TM (V) −→ Ak [TM (V)] u −→ ω(u) , en notant Ak [TM (V)] l’espace vectoriel des k-formes sur (TM (V))k . Cette k-forme différentielle est une application de classe C p si ω(u) se décompose de la façon suivante ω(u) = ω ˜ μ1 ...μk (u) eμ1 ∧ . . . ∧ eμk , avec les u → ω ˜ μ1 ...μk (u) des applications de TM (V) dans R de classe C p . La dérivée extérieure de ω(u) est alors la (k + 1)-forme différentielle dω : TM (V) −→ Ak+1 [TM (V)] u

−→ dω(u) = d˜ ωμ1 ...μk (u) ∧ eμ1 ∧ . . . ∧ eμk ,

avec les différentielles, ou 1-formes, d˜ ωμ1 ...μk (u) sur TM (V). (a) Exemple : écrire la dérivée extérieure d’une 1-forme différentielle ω sur TM (V) en supposant que la variété, de dimension 3, est décrite localement par un système de coordonnées cartésiennes {x, y, z}. (b) Déterminer les composantes de la (k + 1)-forme dω(u) sur TM (V) dans la base {eμ1 ∧ . . . ∧ eμk+1 , (μ1 , . . . , μk+1 ) ∈ 1, nk+1 , μ1 < . . . < μk+1  n} de Ak+1 [TM (V)] en fonction des composantes covariantes de ω(u). (c) Soit ω(u), une k-forme de classe C 2 sur TM (V). Montrer l’identité suivante : d(dω(u)) ≡ 0 .

 SOLUTION 1(a) – Le produit extérieur est, par définition, une application Φ de (TM (V))2 dans TM (V) ⊗ TM (V). Cette application est clairement antisymétrique ; en effet, ∀(u , v ) ∈ (TM (V))2 , Φ(v , u ) = v ∧ u = v ⊗ u − u ⊗ v = −u ∧ v = −Φ(u , v ).

Chapitre 1 – Introduction à la géométrie différentielle

35

On notera que u ∧ u = 0, et que Φ est une 2-forme (voir ci-après). Il suffit alors de montrer la linéarité à gauche pour montrer la bilinéarité de cette application ; ∀(u , v , w ) ∈ (TM (V))3 et ∀λ ∈ R, (u + λ w ) ∧ v = (u + λ w ) ⊗ v − v ⊗ (u + λ w ) = u ⊗ v − v ⊗ u + λ (w ⊗ v − v ⊗ w ) = u ∧ v  + λ w  ∧ v  , par linéarité du produit tensoriel. Le produit extérieur est donc bilinéaire. 1(b) – Pour tout (x, y) ∈ (TM (V))2 , on peut écrire u ∧ v (x, y) = u (x) v (y) − v (x) u (y) = det(U, V) , avec U = (u (x), u (y)), et V = (v (x), v (y)). 1(c) – Les deux produits extérieurs sont égaux. En effet, d’une part, u ∧ (v ∧ w ) = u ∧ (v ⊗ w − w ⊗ v ) = u ⊗ (v ⊗ w − w ⊗ v ) − (v ⊗ w − w ⊗ v ) ⊗ u = u ⊗ v  ⊗ w  + w  ⊗ v  ⊗ u − u ⊗ w  ⊗ v  − v  ⊗ w  ⊗ u , et, d’autre part, (u ∧ v ) ∧ w = (u ⊗ v − v ⊗ u ) ∧ w = (u ⊗ v − v ⊗ u ) ⊗ w − w ⊗ (u ⊗ v − v ⊗ u ) = u ⊗ v  ⊗ w  + w  ⊗ v  ⊗ u − u ⊗ w  ⊗ v  − v  ⊗ w  ⊗ u , par associativité et distributivité sur l’addition du produit tensoriel. On pourra donc noter plus simplement u ∧ v ∧ w . 2(a) – Soit T le tenseur associé à une forme bilinéaire antisymétrique 1 quelconque : comme Tμν = −Tνμ , on a T = Tμν eμ ⊗ eν 1 = (Tμν − Tνμ ) eμ ⊗ eν 2 1 = Tμν (eμ ⊗ eν − eν ⊗ eμ ) 2 1 = Tμν eμ ∧ eν . 2 La famille {eμ ∧eν } est donc génératrice du sous-espace vectoriel des formes bilinéaires antisymétriques. En revanche, ce n’est pas une famille libre puisque eν ∧ eν = 0, et 1. appelée aussi forme extérieure de degré 2, ou encore simplement 2-forme.

36

Relativité générale et astrophysique

que eμ ∧ eν = −eν ∧ eμ . Pour former une famille libre, il suffit donc de considérer la sous-famille {eμ ∧ eν , (μ, ν) ∈ 1, n2 , μ < ν}. On notera que cette sous-famille contient n(n − 1)/2 éléments. 2(b) – On écrit simplement : T = u ∧ v  = u ⊗ v  − v  ⊗ u = uμ vν eμ ⊗ eν − uμ vν eν ⊗ eμ = (uμ vν − uν vμ ) eμ ⊗ eν c’est-à-dire Tμν = uμ vν − uν vμ . Notons que l’on a aussi T = uμ vν eμ ∧ eν , mais comme la famille {eμ ∧ eν } n’est pas une base, on n’identifiera pas cette expression avec celle obtenue précédemment ; en d’autres termes, Tμν = 2uμ vν . 3(a) – En généralisant le résultat précédent, une base de l’espace vectoriel des kformes sur (TM (V))k s’écrit {eμ1 ∧ . . . ∧ eμk , (μ1 , . . . , μk ) ∈ 1, nk , μ1 < . . . < μk  n}. Chaque vecteur de cette base est donc formé de k vecteurs de la base canonique de TM (V) parmi les n possibles, et ce k-uplet est différent pour chacun des vecteurs eμ1 ∧ . . . ∧ eμk ; ainsi, il est clair que la dimension de l’espace des k-formes est Cnk . Une k-forme quelconque ω se décomposera donc de la façon suivante : ω=ω ˜ μ1 ...μk eμ1 ∧ . . . ∧ eμk , et l’on appellera les ω ˜ μ1 ...μk , les composantes strictes de ω. L’antisymétrie de la k-forme impose alors que 1 ω ˜ μ1 ...μk = ωμ ...μ , k! 1 k où les ωμ1 ...μk sont les composantes covariantes de la k-forme dans la base {eμ1 ⊗ . . . ⊗ eμn }. 3(b) – La commutation des deux formes extérieures donne (v ∧ u )μ1 ...μk+ =

1 ν1 ...ν μ1 ...μk δ uμ1 ...μk vν1 ...ν , k!! α1 ...αk+

 μ1 ...μk k ν1 ...ν avec δαν11...ν = (−1)k δαμ11 ...μ . En effet, le nombre de transpositions né...αk+ ...αk+ cessaires pour transformer {μ1 . . . μk ν1 . . . ν } en {ν1 . . . ν μ1 . . . μk } tout en gardant l’ordre initial des deux familles d’indices 2 est k. La permutation a donc au final une signature égale à (−1)k .

3(c) – Le résultat de la question 2(b) est immédiat ; en prenant k =  = 1, le symbole μν de Kronecker devient égal à δαβ . 2. Autrement dit, si i < j alors μi apparaît toujours avant μj dans la suite des indices mélangés au cours des transpositions successives.

Chapitre 1 – Introduction à la géométrie différentielle

37

4(a) – On pose : e1 = dx, e2 = dy et e3 = dz. Soit alors une 1-forme quelconque ω(u) = ωx (u) dx + ωy (u) dy + ωz (u) dz. La différentielle de ωi (u), i ∈ {x, y, z}, étant dωi (u) = on obtient

 dω(u) =

∂ωi (u) ∂ωi (u) ∂ωi (u) dx + dy + dz , ∂x ∂y ∂z

∂ωi (u) ∂ωi (u) ∂ωi (u) dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

 ∧ di ,

ce qui, après développement et simplification (di ∧ di = 0), donne     ∂ωy (u) ∂ωx (u) ∂ωz (u) ∂ωy (u) dω(u) = − − dx ∧ dy + dy ∧ dz ∂x ∂y ∂y ∂z   ∂ωx (u) ∂ωz (u) − dz ∧ dx. + ∂z ∂x 4(b) – Par définition, la k + 1-forme dω(u) s’écrit dω(u) = d˜ ωμ1 ...μk (u) ∧ dxμ1 ∧ . . . ∧ dxμk , en notant eμi = dxμi , et avec 1 dωμ1 ...μk (u) k! 1 ∂ωμ1 ...μk (u) ν dx . = k! ∂xν

d˜ ωμ1 ...μk (u) =

On trouve donc dω(u) =

∂ωμ1 ...μk (u) α1 1 δ ν μ1 ...μk dx ∧ . . . ∧ dxαk+1 , (k + 1)! α1 ...αk+1 ∂xν

ce qui peut se réécrire dω(u) = Dωα1 ...αk+1 dxα1 ∧ . . . ∧ dxαk+1 , avec Dωα1 ...αk+1 =

∂ωμ1 ...μk (u) 1 δ ν μ1 ...μk . (k + 1)! α1 ...αk+1 ∂xν

4(c) – D’après la question précédente, on peut écrire   1 ∂ωμ1 ...μk (u) d(dω(u)) = d ∧ dxν ∧ dxμ1 ∧ . . . ∧ dxμk , k! ∂xν

38

Relativité générale et astrophysique

avec ν = μi , i ∈ 1, k, et   1 ∂ωμ1 ...μk (u) 1 ∂ 2 ωμ1 ...μk (u) μ d dx . = ν k! ∂x k! ∂xμ ∂xν Comme ω(u) est de classe C 2 , le théorème de Schwartz implique ∂ 2 ωμ1 ...μk (u) ∂ 2 ωμ1 ...μk (u) = , μ ν ∂x ∂x ∂xν ∂xμ et comme dxν ∧ dxμ = −dxμ ∧ dxν , on obtient bien d(dω(u)) ≡ 0. Références bibliographiques : [6], [17].

Chapitre 2

Géométrie et calcul tensoriel [M]  EXERCICE 2.1

Equation des géodésiques et vecteur tangent – On considère une variété pseudoriemannienne munie d’un système de coordonnées {xμ } et de sa base naturelle associée {eμ }, et d’un tenseur métrique de composantes covariantes gμν . 1 – (a) Montrer que les symboles de Christoffel ou coefficients de la connexion,  ∂e Γλμν =< eλ , ∂xμν >, ne sont pas les composantes d’un tenseur de type 12 . (b) Si l’on fixe l’indice μ, montrer que les coefficients Γλμν constituent les com posantes d’un tenseur de type 11 . 2 – Montrer la relation suivante : Γλμν =

1 λρ g (∂μ gνρ + ∂ν gρμ − ∂ρ gμν ) . 2

Que devient cette relation lorsque le tenseur métrique est diagonal ? 3 – Montrer que ∇λ gμν = 0. 4 – Exprimer Γλμν . En utilisant les expressions covariantes et contravariantes de la différentielle absolue, montrer que l’équation des géodésiques est équivalente à l’équation suivante : 1 p˙ μ = (∂μ gνλ ) pν pλ , 2 μ μ μ où l’on définit p ≡ x˙ = dx /ds, un vecteur tangent à la géodésique.

40

Relativité générale et astrophysique

 SOLUTION 1(a) – Dans la base naturelle, {eμ }, associée au système de coordonnées {xμ }, les symboles de Christoffel ou coefficients de connexion sont définis par Γλμν = < eλ ,

∂eμ >, ∂xν

avec la symétrie Γλμν = Γλνμ . Dans un autre système de coordonnées {y μ }, ces mêmes coefficients seront définis par 

Γ λμν = < e , λ

∂e μ > . ∂y ν

En introduisant les relations de changement de coordonnées pour les vecteurs, ∂xλ eλ , ∂y μ ∂y μ λ = e , ∂xλ

e μ = e

μ

on obtient 

Γ λμν =

∂y λ ∂xα ∂xβ ∂y λ ∂ 2 xα ρ ∂eα < e , > + < eρ , eα > , ∂xρ ∂y μ ∂y ν ∂xβ ∂xρ ∂y μ ∂y ν

c’est-à-dire 

Γ λμν =

∂y λ ∂xα ∂xβ ρ ∂y λ ∂ 2 xρ Γ αβ + . ρ μ ν ∂x ∂y ∂y ∂xρ ∂y μ ∂y ν

Le second terme du second membre de cette dernière relation montre   que les symboles de Christoffel ne sont pas les composantes d’un tenseur de type 12 . 1(b) – La dérivée covariante d’un vecteur v quelconque s’écrit  λ  ∂v λ ν ∇v = + Γ v eλ ⊗ eμ . μν ∂xμ Pour un vecteur eμ de la base naturelle, on déduit ∇eμ = Γλμν eλ ⊗ eν . Les coefficients Γλμν sont donc les composantes du tenseur dérivée covariante du vecteur eμ . 2 – Comme gμν = eμ · eν , on obtient, en dérivant, ∂λ gμν = (∂λ eμ ) · eν + eμ · (∂λ eν ) , = Γρμλ gρν + Γρνλ gρμ .

Chapitre 2 – Géométrie et calcul tensoriel

41

Par une simple permutation circulaire des indices, on a la relation suivante, ∂λ gμν + ∂ν gλμ − ∂μ gνλ = 2 Γρλν gμρ , c’est-à-dire, comme gμρ g ρν = δμν et en renommant les indices, Γλμν =

1 λρ g (∂μ gνρ + ∂ν gρμ − ∂ρ gμν ) . 2

Lorsque le tenseur métrique est diagonal, les seuls symboles de Christoffel pouvant être non nuls sont les suivants : 1 λλ g ∂μ gλλ , 2 1 = − g λλ ∂λ gμμ , 2

Γλλμ = Γλμμ

où il n’y a pas de sommation sur les doubles indices, et avec μ = λ. 3 – La dérivée covariante du tenseur métrique, d’ordre 2, est telle que ∇λ gμν = ∂λ gμν − Γρμλ gρν − Γρνλ gμρ . Or, on a vu dans la question précédente que ∂λ gμν = Γρμλ gρν + Γρνλ gρμ , donc ∇λ gμν = 0. 4 – Les symboles de Christoffel, Γλμν , sont tels que Γλμν ≡ gλσ Γσμν =

1 (∂μ gλν + ∂ν gμλ − ∂λ gμν ) . 2

L’équation des géodésiques s’écrit d2 xσ dxμ dxν σ + Γ = 0. μν ds2 ds ds Elle est équivalente à Dx˙ σ = dx˙ σ + Γσμν x˙ μ dxν = 0 , c’est-à-dire, Dpσ = dpσ + Γσμν pμ dxν = 0. On a donc également Dpσ = 0, ce qui s’écrit Dpσ = dpσ − Γμσν pμ dxν = 0 . En divisant par ds, on obtient p˙σ = Γμσν pμ pν .

42

Relativité générale et astrophysique

Comme Γμσν = g μρ Γ ρσν , on a l’égalité : Γμσν pμ = Γ ρσν pρ . Enfin, le coefficient Γρσν est tel que 1 Γρσν = (∂σ gρν + ∂ν gσρ − ∂ρ gσν ) . 2 En remplaçant ce coefficient dans l’équation de p˙ σ , et en simplifiant les termes qui s’annulent par symétrie, on déduit donc p˙ σ =

1 (∂σ gρν ) pρ pν . 2

[M]  EXERCICE 2.2 Critère de tensorialité – On considère une variété pseudo-riemannienne munie d’un système de coordonnées {xμ }. Soit V un vecteur quelconque de coordonnées covariantes Vμ . 1 – Montrer que les quantités ∂Vμ /∂xν ne forment pas, en général, les composantes d’un tenseur. 2 – Montrer que les différentielles dVμ ne forment pas, en général, les composantes d’un vecteur.  SOLUTION 1 – Soit {y μ } un autre système de coordonnées, la formule de changement de coordonnées pour le vecteur V s’écrit Vμ =

∂y ρ  V , ∂xμ ρ

avec {Vρ } les nouvelles coordonnées covariantes du vecteur V. En dérivant cette expression, on obtient ∂Vμ ∂y ρ ∂y σ ∂Vρ ∂ 2yρ = + V. ∂xν ∂xμ ∂xν ∂y σ ∂xν ∂xμ ρ La présence du deuxième terme dans le membre de droite de cette dernière relation montre que les quantités ∂Vμ /∂xν ne sont pas, en général, les composantes d’un tenseur. 2 – Les différentielles dVμ s’écrivent dVμ =

∂y ρ dV  + d ∂xμ ρ



∂y ρ ∂xμ



Vρ .

La présence du deuxième terme dans le membre de droite de cette dernière relation montre encore que les quantités dVμ ne sont pas, en général, les composantes d’un vecteur.

Chapitre 2 – Géométrie et calcul tensoriel

43

[M]  EXERCICE 2.3 Dérivée covariante seconde – On considère une variété pseudo-riemannienne munie d’un système de coordonnées {xμ }. Soit v, un vecteur quelconque, de composantes covariantes vμ , et s un paramètre affine d’une géodésique. On définit le vecteur p de composantes contravariantes dxμ /ds. 1 – Exprimer la différentielle absolue d(v · p). Que vaut cette différentielle si le vecteur v est transporté parallèlement le long de la géodésique ? 2 – En déduire les composantes covariantes, notées Dvμ , de la différentielle absolue dv. 3 – Déterminer la dérivée covariante seconde du vecteur v à partir de l’expression de sa dérivée covariante. 4 – Exprimer la différence ∇σ (∇λ vμ ) − ∇λ (∇σ vμ ), en fonction des composantes du tenseur de Riemann. Dans quel cas cette différence est-elle nulle ?  SOLUTION 1 – Le produit scalaire s’écrit v · p = vμ

dxμ . ds

La différentielle de ce produit scalaire est donc d(v · p) = dvμ

dxμ d2 xρ + vρ ds , ds ds2

avec dvμ = ∂λ vμ

dxλ ds , ds

et, d’après l’équation des géodésiques, d2 xρ dxλ dxμ . = −Γρλμ 2 ds ds ds On trouve alors

  dxμ d(v · p) = ∂λ vμ − vρ Γρλμ dxλ . ds Si le vecteur v est transporté  parallèlement le long de la géodésique, alors dv = 0, c’est-à-dire ∂λ vμ − vρ Γρλμ dxλ = 0, donc d(v · p) = 0. On retrouve que le transport parallèle conserve le produit scalaire. 2 – Le paramètre s étant affine, on a, par définition, dp = 0, donc d(v · p) = dv · p, et les composantes covariantes sont simplement   Dvμ = ∂λ vμ − vρ Γρλμ dxλ .

44

Relativité générale et astrophysique

3 – Les composantes covariantes du tenseur dérivée covariante de v sont, par définition, ∇λ vμ = ∂λ vμ − vρ Γρλμ . Pour un tenseur d’ordre 2 et de composantes covariantes Tλμ , les composantes covariantes du tenseur dérivée covariante sont, ∇σ Tλμ = ∂σ Tλμ − Γρλσ Tρμ − Γρμσ Tλρ . En remplaçant Tλμ par ∇λ vμ , on obtient ∇σ (∇λ vμ ) = ∂σ (∇λ vμ ) − Γρλσ (∇ρ vμ ) − Γρμσ (∇λ vρ ) = ∂σλ vμ − (∂σ Γρλμ ) vρ − Γρλμ ∂σ vρ − Γρμσ ∂λ vρ − Γρλσ ∂ρ vμ + Γνμσ Γρλν vρ + Γνλσ Γρμν vρ . 4 – D’après la relation précédente,   ∇σ (∇λ vμ ) − ∇λ (∇σ vμ ) = ∂λ Γρμσ − ∂σ Γρμλ + Γνmuσ Γρλν − Γνμλ Γρσν vρ = Rρμλσ vρ . On a donc ∇σ (∇λ vμ ) = ∇λ (∇σ vμ ), lorsque toutes les composantes du tenseur de Riemann sont nulles, c’est-à-dire lorsque l’espace est plat.

[MD]  EXERCICE 2.4 Tenseur de Levi-Civita – Soit un espace-temps E de dimension 4, muni d’un système de coordonnées {xμ } et de sa base naturelle associée {∂μ }. En tout point M de E, on peut définir le tenseur de Levi-Civita, noté , comme une forme 4-linéaire alternée (ou totalement antisymétrique) de l’espace vectoriel tangent TM (E) dans R, telle que  : TM (E)4 (u, v, w, z)

−→ R −→ αβγδ uα v β wγ z δ ,

βγδ avec αβγδ = ± |g| Δα 0 1 2 3 , le signe ± dépendant de la convention d’orientation de la base (+ pour une base directe, et − pour une base indirecte), et g, le βγδ déterminant du tenseur métrique. Le symbole Δα 0 1 2 3 sera défini par  (−1)τ (α,β,γ,δ) lorsque les entiers α, β, γ, δ sont tous différents, βγδ = Δα 0123 0 sinon. où τ (α, β, γ, δ) est le nombre de transpositions nécessaires pour égaliser la suite des entiers {α, β, γ, δ} avec celle des entiers {0, 1, 2, 3}.

Chapitre 2 – Géométrie et calcul tensoriel

45

1 – Que vaut (∂0 , ∂1 , ∂2 , ∂3 ) ? Quel est le résultat d’une permutation circulaire des indices de αβγδ ? 2 – (a) Montrer que les composantes contravariantes du tenseur de Levi-Civita s’écrivent

|g| α β γ δ αβγδ Δ0 1 2 3 . =±  g Que devient cette expression dans un espace-temps de Minkowski muni de coordonnées cartésiennes ? En déduire que αβγδ αβγδ = −24. (b) Montrer que ∇ = 0. 3 – Soient deux bases orthonormales B = {e0 , e1 , e2 , e3 } et

B  = {e 0 , e 1 , e 2 , e 3 }

de TM (E). Montrer que si (e0 , e1 , e2 , e3 ) = 1, alors (e 0 , e 1 , e 2 , e 3 ) = ±1.  SOLUTION 1 – En appliquant la définition du tenseur de Levi-Civita, on obtient trivialement :

(∂0 , ∂1 , ∂2 , ∂3 ) = 0123 = ± |g|. Il n’y a que trois autres suites d’entiers qui sont une permutation circulaire de la suite {α, β, γ, δ} : il s’agit de {δ, α, β, γ}, {γ, δ, α, β}, et {β, γ, δ, α}. Les signatures respectives des permutations associées sont −1, 1, et −1. On a donc δαβγ = −αβγδ , γδαβ = αβγδ , et βγδα = −αβγδ . βγδ 2(a) – On peut écrire : αβγδ = 0123 Δα 0 1 2 3 , ce qui implique βγδ αβγδ = 0123 Δα 0123 ,

avec la relation 0123 = 0123 g 0μ g 1ν g 2ρ g 3λ Δμ0 1ν 2ρ3λ  = 0123 (−1)I(σ) g 0σ(0) g 1σ(1) g 2σ(2) g 3σ3 σ∈S4

= 0123 det[g αβ ], avec I(σ), le nombre d’inversion de σ, et det[g αβ ], le déterminant de la matrice inverse de (gαβ ), c’est-à-dire, 1/g. On a donc finalement

|g| α β γ δ αβγδ Δ0 1 2 3 . =±  g

46

Relativité générale et astrophysique

Dans un espace-temps de Minkowski muni de coordonnées cartésiennes, les coordonnées de  sont constantes et égale à ±1, puisque g = −1. On trouve alors simplement αβγδ = −αβγδ . Pour tout quadruplet (α, β, γ, δ) fixé, le produit αβγδ αβγδ est égal à −1, et il y a 4! quadruplets différents. Ainsi, on en déduit que la contraction tensorielle αβγδ αβγδ est égale à −24. 2(b) – Dans un système de coordonnées localement cartésiennes, les coordonnées de  étant constantes, et les coefficients de la connexion étant identiquement nuls, on a ∇μ αβγδ = ∂μ αβγδ = 0. Cette équation covariante est vraie pour tout système de coordonnées, elle signifie donc ∇ = 0. 3 – Les deux bases orthonormées sont reliées par une matrice de passage P = (P νμ ) telle que e μ = P νμ eν . Cette matrice est, par définition, une matrice de Lorentz, et son déterminant est donc égal à ±1. Enfin, d’après la quadrilinéarité de , on a (e 0 , e 1 , e 2 , e 3 ) = (P μ0 eμ , P ν1 eν , P ρ2 eρ , P λ3 eλ ) = P μ0 P ν1 P ρ2 P λ3 (eμ , eν , eρ , eλ ). Comme (e0 , e1 , e2 , e3 ) = 1, on trouve donc (e 0 , e 1 , e 2 , e 3 ) = P μ0 P ν1 P ρ2 P λ3 Δμ0 1ν 2ρ3λ  σ(0) σ(1) σ(2) = (−1)I(σ) P 0 P 1 P 2 P σ3 3 σ∈S4

= det P = ±1.

[MD]  EXERCICE 2.5 Caractérisation de la courbure – On considère une variété pseudo-riemannienne de dimension 3, munie d’un système de coordonnées {xμ }, et d’une métrique qui est telle que ds2 = (dx1 )2 + 2 x1 (dx2 )2 + 2 x2 (dx3 )2 . 1 – Donner les composantes covariantes du tenseur métrique, et calculer les coefficients de la connexion. 2 – Déterminer les composantes mixtes du tenseur de Riemann. 3 – En déduire les composantes covariantes du tenseur de Ricci, et déterminer la courbure scalaire.

Chapitre 2 – Géométrie et calcul tensoriel

47

 SOLUTION 1 – Les composantes covariantes non nulles du tenseur métrique sont : g11 = 1, g22 = 2 x1 , g33 = 2 x2 . Les symboles de Christoffel de deuxième espèce, ou coefficients de la connexion, sont donnés par la relation Γikj =

1 il g (∂k gjl + ∂j glk − ∂l gkj ) . 2

Les seuls coefficients non nuls sont les suivants : Γ122 = −1 , Γ212 = Γ221 =

1 1 1 , Γ233 = − 1 , Γ323 = Γ332 = . 2 x1 2x 2 x2

2 – On déduit, de la question précédente, les composantes mixtes du tenseur de Riemann qui sont de la forme Rdabc ≡ ∂b Γdac − ∂c Γdab + Γeac Γdeb − Γeab Γdec . Les seules composantes non nulles sont les suivantes : 1 , 2 x1 1 =− , 4 (x2 )2 1 = . 4 x1 x2

1 , 4 (x1 )2 1 = , 4 x1 x2

R1212 = −R1221 =

R2112 = −R2121 = −

R3223 = −R3232

R2323 = −R2332

R3132 = −R3123

3 – Les composantes covariantes du tenseur de Ricci sont telles que Rab ≡ Rcabc . Les seules composantes non nulles sont donc 1 , 4 (x1 )2 1 1 =− 1 − , 2x 4 (x2 )2

R11 = −

R12 = R21 = −

R22

R33 = −

1 , 4 x1 x2

1 . 4 x1 x2

La courbure scalaire R est définie par : R = g μν Rμν . Comme g 11 = 1, g 22 = 1/(2 x1 ), g 33 = 1/(2 x2 ), on trouve R=−

x1 + 2 (x2 )2 . (2 x1 x2 )2

48

Relativité générale et astrophysique

[MD]  EXERCICE 2.6 Courbure de la sphère S3 – Dans l’espace R4 , on considère la surface S3 définie par w = a cos ξ , x = a sin ξ sin θ cos ϕ , y = a sin ξ sin θ sin ϕ , z = a sin ξ cos θ . 1 – Trouver la métrique de S3 dans le système de coordonnées {ξ, θ, ϕ}. 2 – Déterminer les symboles de Christoffel. 3 – En déduire les composantes du tenseur de courbure. 4 – Exprimer le tenseur de Ricci et calculer la courbure scalaire de S3 .  SOLUTION 1 – Il suffit d’exprimer le carré de l’élément de longueur ds2 = dw2 + dx2 + dy 2 + dz 2 dans le système de coordonnées {ξ, θ, ϕ}. En différenciant, dw = −a sin ξ dξ , dx = a (cos ξ sin θ cos ϕ dξ + sin ξ cos θ cos ϕ dθ − sin ξ sin θ sin ϕ dϕ) , dy = a (cos ξ sin θ sin ϕ dξ + sin ξ cos θ sin ϕ dθ + sin ξ sin θ cos ϕ dϕ) , dz = a (cos ξ cos θ dξ − sin ξ sin θ dθ) , ce qui donne, après quelques simplifications, ds2 = a2 dξ 2 + a2 sin2 ξ dθ2 + a2 sin2 ξ sin2 θ dϕ2 . Les seules composantes covariantes non nulles du tenseur métrique de S3 sont donc gξξ = a2 ,

gθθ = a2 sin2 ξ,

et

gϕϕ = a2 sin2 ξ sin2 θ.

La relation gik g kj = δij nous donne les seules composantes contravariantes non nulles : g ξξ = 1/a2 ,

g θθ = 1/(a2 sin2 ξ),

et

g ϕϕ = 1/(a2 sin2 ξ sin2 θ).

On notera que S3 est une sphère de rayon a dans R4 . 2 – Les symboles de Christoffel sont donnés par la relation Γikj =

1 il g (∂k gjl + ∂j glk − ∂l gkj ) . 2

Chapitre 2 – Géométrie et calcul tensoriel

49

Les seuls symboles non nuls sont les suivants : 1 1 Γξθθ = − g ξξ ∂ξ gθθ = − sin ξ cos ξ , Γξϕϕ = − g ξξ ∂ξ gϕϕ = − sin ξ cos ξ sin2 θ , 2 2 1 cos ξ 1 , Γθϕϕ = − g θθ ∂θ gϕϕ = − cos θ sin θ , Γθξθ = Γθθξ = g θθ ∂ξ gθθ = 2 sin ξ 2 1 cos θ 1 cos ξ , Γϕξϕ = Γϕϕξ = g ϕϕ ∂ξ gϕϕ = . Γϕθϕ = Γϕϕθ = g ϕϕ ∂θ gϕϕ = 2 sin θ 2 sin ξ 3 – On en déduit les composantes du tenseur de courbure qui sont de la forme Rdabc ≡ ∂b Γdac − ∂c Γdab + Γeac Γdeb − Γeab Γdec . En dimension 3, il n’y a, au maximum, que 6 composantes indépendantes pour ce tenseur. Pour que les composantes soient non nulles, il faut a = d et b = c, ce qui implique qu’il ne peut y avoir 3 ou 4 coefficients identiques. De plus, dans notre cas, toutes les composantes contenant un et un seul doublon dans les coefficients sont nulles. Ainsi, les seules composantes non nulles sont celles contenant deux doublons : Rθξθξ = −Rθξξθ = Rϕξϕξ = −Rϕξξϕ = 1 , Rξθξθ = −Rξθθξ = Rϕθϕθ = −Rϕθθϕ = sin2 ξ , Rξϕξϕ = −Rξϕϕξ = Rθϕθϕ = −Rθϕϕθ = sin2 ξ sin2 θ , sachant que Rdabc = −Rdacb . 4 – Par définition, les composantes covariantes du tenseur de Ricci sont de la forme c suivante : Rab ≡ Rabc . Les seules composantes non nulles sont donc : Rξξ = Rθξξθ + Rϕξξϕ = −2 , Rθθ = Rξθθξ + Rϕθθϕ = −2 sin2 ξ , Rϕϕ = Rξϕϕξ + Rθϕϕθ = −2 sin2 ξ sin2 θ . La courbure scalaire étant définie par R = g ab Rab = Raa , on obtient ici R = −6/a2 .

[MD]  EXERCICE 2.7 Courbure et élément de surface – On définit une variété pseudo-riemannienne par sa pseudo-métrique, 

 ds2 = K 2 1 − cosh2 θ sin2 ϕ dθ2 − sinh2 θ dϕ2 , avec K > 0.

50

Relativité générale et astrophysique

1 – Déterminer les composantes covariantes du tenseur métrique et calculer directement les symboles de Christoffel. 2 – En appliquant le principe variationnel, déterminer l’équation des géodésiques, et en déduire, par identification, les symboles de Christoffel. 3 – Calculer le tenseur de courbure. En déduire la courbure scalaire. 4 – On effectue le changement de coordonnées, (θ, ϕ) → (ξ, ψ), défini de la façon suivante : ξ = K cosh θ , ψ = K sinh θ cos ϕ . Déterminer les composantes covariantes du nouveau tenseur métrique, ainsi que les nouveaux symboles de Christoffel. 5 – Calculer un élément de surface de cette variété en fonction de ξ et ψ.  SOLUTION 1 – Les seules composantes  covariantes non nulles du tenseur métrique sont gθθ = K 2 1 − cosh2 θ sin2 ϕ et gϕϕ = −K 2 sinh2 θ. Les symboles de Christoffel étant donnés par la relation Γikj =

1 il g (∂k gjl + ∂j glk − ∂l gkj ) , 2

on déduit que les seuls symboles non nuls sont 1 θθ sinh θ cosh θ sin2 ϕ g ∂θ gθθ = , 2 cosh2 θ sin2 ϕ − 1 1 cosh2 θ cos ϕ sin ϕ = g θθ ∂ϕ gθθ = , 2 cosh2 θ sin2 ϕ − 1 1 − cosh θ sinh θ , = − g θθ ∂θ gϕϕ = 2 cosh2 θ sin2 ϕ − 1 1 = − g ϕϕ ∂ϕ gθθ = − coth2 θ sin ϕ cos ϕ , 2 1 ϕϕ = g ∂θ gϕϕ = coth θ . 2

Γθθθ = Γθϕθ Γθϕϕ Γϕθθ Γϕθϕ

  2 – Avec un lagrangien de la forme L2 = K 2 1 − cosh2 θ sin2 ϕ θ˙2 −K 2 sinh2 θ ϕ˙ 2 , où  θ˙ = dθ/dτ et ϕ˙ = dϕ/dτ , le principe variationnel s’écrit δ L2 dτ = 0. Les équations d’Euler-Lagrange donnent alors ∂θ L2 − dτ ∂θ˙ L2 = 0 ,

∂ϕ L2 − dτ ∂ϕ˙ L2 = 0 ,

Chapitre 2 – Géométrie et calcul tensoriel

51

ce qui est équivalent à cosh2 θ cos ϕ sin ϕ ˙ sinh θ cosh θ sin2 ϕ ˙2 cosh θ sinh θ θ¨ + + 2 θ θ ϕ˙ − ϕ˙ 2 = 0 , cosh2 θ sin2 ϕ − 1 cosh2 θ sin2 ϕ − 1 cosh2 θ sin2 ϕ − 1 ϕ¨ + 2 coth θ θ˙ ϕ˙ − coth2 θ sin ϕ cos ϕ θ˙2 = 0 . Par identification avec l’équation des géodésiques, on retrouve bien les symboles de Christoffel de la question précédente. 3 – La variété étant de dimension 2, le tenseur de courbure n’a qu’une seule composante indépendante. Comme les composantes covariantes du tenseur de courbure sont telles que Rabcd =

1 (∂d ∂a gbc − ∂d ∂b gac + ∂c ∂b gad − ∂c ∂a gbd ) − g ef (Γeac Γf bd − Γead Γf bc ) , 2

on peut choisir Rθϕθϕ, qui est tel que Rθϕθϕ = −

   1  2 ∂ϕ gθθ + ∂θ2 gϕϕ − gθθ Γθθθ Γθϕϕ − Γθθϕ Γθϕθ 2   −gϕϕ Γϕθθ Γϕϕϕ − Γϕθϕ Γϕϕθ ,

Donc, comme Γϕϕϕ = 0, on obtient  Rθϕθϕ = K

2

 (cosh2 θ sin2 ϕ)(sinh2 θ + cosh2 θ cos2 ϕ) cosh 2θ − 2 cosh θ sin ϕ − , cosh2 θ sin2 ϕ − 1 2

2

que le lecteur pourra essayer de simplifier encore. La courbure scalaire, R, est quant à elle donnée par   R = 2 g θϕ g ϕθ − g θθ g ϕϕ Rθϕθϕ = −2 g θθ g ϕϕ Rθϕθϕ . 4 – On a les différentielles suivantes : dξ = K sinh θ dθ , dψ = K (cosh θ cos ϕ dθ − sinh θ sin ϕ dϕ) , ce qui donne, en calculant l’inverse de la matrice jacobienne, 1 ∂θ = , ∂ξ K sinh θ ∂ϕ coth θ cot ϕ = , ∂ξ K sinh θ ∂ϕ 1 =− . ∂ψ K sinh θ sin ϕ

52

Relativité générale et astrophysique

Les composantes covariantes du nouveau tenseur métrique sont donc  2  2 ∂θ ∂ϕ 1 − cosh2 θ sin2 ϕ − coth2 θ cot2 ϕ , gξξ = gθθ + gϕϕ = ∂ξ ∂ξ sinh2 θ  2 ∂ϕ −1 gϕϕ = gψψ = , ∂ψ sin2 ϕ    ∂ϕ ∂ϕ coth θ cos ϕ gξψ = gψξ = . gϕϕ = ∂ξ ∂ψ sin2 ϕ Avec les relations suivantes, ξ2 − K 2 − ψ2 ξ2 − K 2 2 ξ − K2 sinh2 θ = K2 ξ2 coth2 θ = 2 , ξ − K2

ψ2 ξ2 − K 2 ξ2 cosh2 θ = 2 K ψ2 2 cot ϕ = 2 ξ − K 2 − ψ2 cos2 ϕ =

sin2 ϕ =

on déduit gξξ = K 2 − ξ 2 +

 1−

1 2 ξ − K 2 − ψ2

 ,

K 2 − ξ2 , − K 2 − ψ2 ξψ = 2 . ξ − K 2 − ψ2

gψψ = gξψ

ξ2 ψ2 2 ξ − K2

ξ2

Enfin, les nouveaux symboles de Christoffel se calculeront facilement à partir des relations Γξξξ = Γξψξ = Γξψψ = Γψψψ = Γψξψ = Γψξξ =

1 ξξ 1 g ∂ξ gξξ + g ξψ ∂ξ gξψ − g ξψ ∂ψ gξξ , 2 2 1 ξξ 1 g ∂ψ gξξ + g ξψ ∂ξ gψψ , 2 2 1 ξψ 1 g ∂ψ gψψ + g ξξ ∂ψ gξψ − g ξξ ∂ξ gψψ , 2 2 1 ψψ 1 g ∂ψ gψψ + g ξψ ∂ψ gξψ − g ξψ ∂ξ gψψ , 2 2 1 ψψ 1 g ∂ξ gψψ + g ξψ ∂ψ gξξ , 2 2 1 ξψ 1 g ∂ξ gξξ + g ψψ ∂ξ gξψ − g ψψ ∂ψ gξξ . 2 2

5 – L’élément de surface, noté dΣ, est donnée par | det(g)| dξ dψ, donc ici,  dΣ = |gξξ gψψ | dξ dψ .

Chapitre 2 – Géométrie et calcul tensoriel

53

[MD]  EXERCICE 2.8

Relations tensorielles – Montrer les relations suivantes : 1 ∂ν ln |g|, 2   1 g αβ Γραβ = − ∂λ g λρ |g| , |g| 

 1 ∇μ Aμ = ∂μ |g| Aμ , |g| 

 1 2 φ ≡ ∇μ ∇μ φ = ∂μ |g| g μλ ∂λ φ , |g| 

 1 |g| F μν , ∇μ F μν = ∂μ |g| Γμμν =

(2.1) (2.2) (2.3) (2.4) (2.5)

avec g, le déterminant du tenseur métrique, Aμ , les composantes contravariantes d’un vecteur, φ, un scalaire, et F μν , les composantes contravariantes d’un tenseur antisymétrique.  SOLUTION Relation (2.1) : Les symboles de Christoffel sont donnés par la relation Γikj =

1 il g (∂k gjl + ∂j glk − ∂l gkj ) . 2

Puisque le tenseur métrique est symétrique, on a donc Γμμν =

1 μλ g ∂ν gλμ . 2

Par ailleurs, pour toute matrice carrée M = (aij )(i,j)∈1,n2 de Mn (K), on peut montrer facilement, grâce à la n-linéarité du déterminant, que d(det(M )) = Aij daij , où Aij est le cofacteur associé à aij . Comme gμλ g λν = δμν , en notant g le déterminant du tenseur métrique, le cofacteur Gμν associé à gμν est égal à g g μν . Ainsi, on peut écrire dg = g g μν dgμν , ou encore d(ln |g|) = g μν dgμν , ce qui implique ∂ν (ln |g|) = g μλ ∂ν gλμ = 2 Γμμν .

54

Relativité générale et astrophysique

Remarque : En dimension n, comme n dg = gμν dGμν + Gμν dgμν , avec gμν dGμν = n dg + g gμν dg μν , et Gμν dgμν = g g μν dgμν , on obtient 1 g g μν dgμν = −g gμν dg μν . Relation (2.2) : D’après l’expression des symboles de Christoffel, g αβ Γραβ =

1 αβ ρλ 1 g g (∂α gβλ + ∂β gλα − ∂λ gαβ ) = g αβ g ρλ (∂α gβλ − ∂λ gαβ ) . 2 2

De l’expression de la différentielle de g, on déduit   1 λρ 1 1 g ∂λ |g| = − g λ ρ ∂λ |g| . − g αβ g ρλ ∂λ gαβ = − 2 2|g| |g| Par ailleurs, de l’égalité gαρ ∂λ g ρβ = −g ρβ ∂λ gαρ , on a g αλ gαρ ∂λ g ρβ = −g αλ g ρβ ∂λ gαρ c’est-à-dire −∂λ g ρλ = g αβ g ρλ ∂α gβλ . Conclusion,

  1 g αβ Γραβ = − ∂λ g λρ |g| . |g|

Relation (2.3) : La dérivée covariante contractée ou divergence du vecteur se traduit par ∇μ Aμ = ∂μ Aμ + Γμλμ Aλ . En utilisant la relation (1), on obtient facilement ∇μ Aμ = ∂μ Aμ +



 1 λ 1 A ∂λ ln |g| = ∂μ |g| Aμ . 2 |g|

Relation (2.4) : La dérivée covariante d’un scalaire est égale à la dérivée usuelle, ∇μ φ = ∂μ φ. On a donc ∇μ φ = g μλ ∂λ φ. En appliquant la relation (2.3) : 

 1 |g| g μλ ∂λ φ . 2 φ ≡ ∇μ ∇μ φ = ∂μ |g| Relation (2.5) : La dérivée covariante contractée ou divergence du tenseur antisymétrique se traduit par ∇μ F μν = ∂μ F μν + Γνλμ F λμ + Γμλμ F νλ , avec F μν = −F νμ , donc Γνλμ F λμ = −Γνμλ F μλ = 0. En utilisant la relation (2.1), on trouve facilement 

 1 ∇μ F μν = ∂μ |g| F μν . |g| ν. 1. Expression que l’on peut aussi retrouver en différenciant gμλ g λν = δμ

Chapitre 2 – Géométrie et calcul tensoriel

55

[MD]  EXERCICE 2.9 Propriétés du tenseur de courbure – On se place dans une variété pseudoriemannienne de dimension n, dont la torsion est nulle. Les composantes mixtes du tenseur de Riemann sont définies par Rdabc ≡ ∂b Γdac − ∂c Γdab + Γeac Γdeb − Γeab Γdec . 1 – Montrer que les composantes covariantes du tenseur de Riemann s’écrivent Rabcd =

1 (∂d ∂a gbc − ∂d ∂b gac + ∂c ∂b gad − ∂c ∂a gbd ) − g ef (Γeac Γf bd − Γead Γf bc ) . 2

Quelles sont ses symétries ? Déterminer le nombre de composantes indépendantes. 2 – Démontrer l’identité de Bianchi, ∇e Rabcd + ∇c Rabde + ∇d Rabec = 0 . 3 – En déduire la relation suivante :   1 ab ab ∇a R − g R = 0 , 2 avec le tenseur de Ricci de composantes covariantes définies par Rab ≡ Rcabc , et la courbure scalaire, R, définie par R ≡ g ab Rab . 4 – Montrer que, lorsque n = 2, le tenseur de courbure a pour composantes covariantes Rabcd = K (gac gbd − gad gbc ) , avec K, une fonction des coordonnées.  SOLUTION 1 – En plus de la définition donnée dans l’énoncé, on utilise les deux relations suivantes : Rabcd = gae Rebcd , 1 Γebd = g ef (∂b gdf + ∂d gf b − ∂f gbd ) . 2 On exprime simplement ∂c Γebd , ∂c Γebd =

1 ∂c g ef (∂b gdf + ∂d gf b − ∂f gbd ) 2 1 + g ef (∂c ∂b gdf + ∂c ∂d gf b − ∂c ∂f gbd ) , 2

56

Relativité générale et astrophysique

et on obtient, gae (∂c Γebd − ∂d Γebc ) =

1 (∂d ∂a gbc − ∂d ∂b gac + ∂c ∂b gad − ∂c ∂a gbd ) 2

1 − g ef [∂c gae (∂b gdf + ∂d gf b − ∂f gbd ) − ∂d gae (∂b gcf + ∂c gf b − ∂f gbc )] , 2 puisque gαρ ∂λ g ρβ = −g ρβ ∂λ gαρ . Par ailleurs, Γfbd Γef c =

1 f i ej g g (∂b gdi + ∂d gib − ∂i gbd ) (∂f gdj + ∂c gjf − ∂j gf c ) , 4

ce qui conduit à   1 gae Γfbd Γef c − Γfbc Γef d = g f i (∂b gdi + ∂d gib − ∂i gbd ) (∂f gda + ∂c gaf − ∂a gf c ) 4

− (∂b gci + ∂c gib − ∂i gbc ) (∂f gca + ∂d gaf − ∂a gf d ) . Enfin, en exprimant Γabc = ∂b gac + ∂c gab − ∂a gbd , on arrive à l’égalité suivante :

  g ef (Γead Γf bc − Γeac Γf bd ) = gae Γfbd Γef c − Γfbc Γef d −

1 ef g ∂c gae (∂b gdf + ∂d gf b − ∂f gbd ) − ∂d gae (∂b gcf + ∂c gf b − ∂f gbc ) , 2 ce qui achève la démonstration de la relation 1 (∂d ∂a gbc − ∂d ∂b gac + ∂c ∂b gad − ∂c ∂a gbd ) − g ef (Γeac Γf bd − Γead Γf bc ) . 2 On vérifie facilement que Rabcd = −Rbacd = −Rabdc = Rcdab , et que Rabcd =

Rabcd + Racdb + Radbc = 0 . Ce tenseur est donc antisymétrique par rapport à ses deux premiers indices et antisymétrique par rapport à ses deux derniers indices. En outre, il est symétrique lorsque l’on échange les deux paires d’indices. On peut donc voir les paires ab et cd chacune comme de simples indices. De plus, on sait qu’une matrice symétrique d’ordre m a m(m+1)/2 coefficients indépendants, alors qu’une matrice antisymétrique d’ordre n en possède n(n − 1)/2. Le nombre de composantes indépendantes serait donc    1 1 1 1 n (n − 1) n (n − 1) + 1 = (n4 − 2n3 + 3n2 − 2n) , 2 2 2 8 mais il faut tenir compte de la dernière relation de symétrie. Il faut donc enlever le nombre de composantes d’un tenseur d’ordre 4 totalement antisymétrique c’està-dire C4n . Le nombre de composantes indépendantes pour le tenseur de Riemann est donc n2 (n2 − 1) n (n − 1) (n − 2) (n − 3) 1 4 (n − 2n3 + 3n2 − 2n) − = . 8 24 12

Chapitre 2 – Géométrie et calcul tensoriel

57

2 – En un point P de la variété, on choisit un système de coordonnées 2 tel que Γcab (P ) = 0, c’est-à-dire ∂c gab (P ) = 0. Dans ce système, les composantes covariantes du tenseur de Riemann s’écrivent 1 Rabcd = gae (∂c Γebd − ∂d Γebc ) = (∂d ∂a gbc − ∂d ∂b gac + ∂c ∂b gad − ∂c ∂a gbd ) , 2 et, comme la dérivée covariante en P est égale à la dérivée ordinaire, 1 ∇e Rabcd (P ) = ∂e Rabcd (P ) = ∂e (∂d ∂a gbc − ∂d ∂b gac + ∂c ∂b gad − ∂c ∂a gbd ) . 2 En permutant les indices dans cette dernière relation, on montre facilement que ∇e Rabcd (P ) + ∇c Rabde (P ) + ∇d Rabec (P ) = 0 . Cette équation étant tensorielle et valable quel que soit le point P de la variété, elle reste valable dans tout autre système de coordonnées. On démontre ainsi l’identité de Bianchi. 3 – Après avoir fait monter l’indice a, et par contraction des indices a et d dans l’identité de Bianchi, on obtient ∇e Rabca + ∇c Rabae + ∇a Rabec = 0 , et, comme Rabae = −Rabea , cela équivaut à ∇e Rbc − ∇c Rbe + ∇a Rabec = 0 . Enfin, en montant l’indice b, et en contractant les indices b et e, cette dernière relation devient ∇b Rcb − ∇c R + ∇a Rabbc = 0 . De plus, puisque Rabcd = Rbadc , on a ∇a Rabbc = ∇b Rcb , et donc   ∇b 2 Rcb − δcb R = 0 , c’est-à-dire, en montant l’indice c et en faisant un changement d’indices,   1 ∇a Rab − g ab R = 0 . 2 4 – Lorsque n = 2, les indices du tenseur de courbure ne peuvent prendre que les valeurs 1 et 2. D’après les symétries, les seules composantes non nulles sont celles où il n’y a pas le même indice dans une même paire d’indices (ici ab et cd) : elles sont donc toutes égales à ±R1212 . Comme Rcabc = g cd Rdabc , on a R = g ab g cd Rdabc , c’est-à-dire, pour n = 2,   R = 2 g 12 g 21 − g 11 g 22 R1212 , ou encore, comme det[g −1 ] = [det g]−1 , 1 R1212 = − R (g11 g22 − g12 g21 ) . 2 2. appelées coordonnées géodésiques ou coordonnées normales de Riemann.

58

Relativité générale et astrophysique

[MD]  EXERCICE 2.10 Platitude conforme – On considère une variété pseudo-riemannienne de dimension 2, munie d’un système de coordonnées quelconque {xμ }μ∈1,2 . On notera gμν , les composantes covariantes du tenseur métrique associé à ce système de coordonnées. Montrer que cette variété est conformément plate, c’est-à-dire, que l’on peut définir un nouveau système de coordonnées {xμ }μ∈1,2 , tel que les composantes covariantes du tenseur métrique soient de la forme  gμν = Ω2 (x1 , x2 ) ημν ,

avec Ω, une fonction quelconque des nouvelles coordonnées, et [ημν ] = diag(±1, ±1).  SOLUTION  Pour que le tenseur métrique soit de la forme gμν = Ω2 (x1 , x2 ) ημν , il suffit de montrer l’existence d’un système de coordonnées tel que

∂x1 ∂x2 μν g = 0, g 12 = g 12 = μ ν  1 ∂x1 ∂x 2  ∂x ∂x ∂x ∂x2 11 22 g ±g = ± g μν = 0 , ∂xμ ∂xν ∂xμ ∂xν avec un signe moins si la métrique est définie positive ou négative 3 , et un signe plus si elle est indéfinie 4 . Dans la première équation, en posant ∂x1 ∂x2 ∂x2 = α + β , ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x2 =γ +δ , 2 1 ∂x ∂x ∂x2 avec (α, β, γ, δ) ∈ R4 , on obtient g 11 α + g 12 γ = 0 , g 11 β + g 12 (α + δ) + g 22 γ = 0 , g 12 β + g 22 δ = 0 . Une solution évidente de ce système est α = K g 12 , β = K g 22 , γ = −K g 11 , δ = −K g 12 , avec K une fonction de x1 et x2 . De façon plus élégante, cette solution se traduit par 2 ∂x1 νλ ∂x = K  g , μν ∂xμ ∂xλ 3. ou de signature (+, +) ou (−, −). 4. ou de signature (+, −) ou (−, +).

Chapitre 2 – Géométrie et calcul tensoriel

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avec 11 = 22 = 0, et 12 = −21 = 1. En remplaçant cette expression dans la seconde équation, on trouve   2 ∂x2 ∂x2 μν K ±1 g = 0, g ∂xμ ∂xν  ] = 0. Une solution est donc K 2 = g, si la métrique avec g = det[gμν ] = det[gμν est définie positive ou négative, et K 2 = −g, si la métrique est indéfinie. Ainsi, nous pouvons trouver un système de coordonnées {x1 , x2 }, vérifiant les conditions précédentes.

[MD]  EXERCICE 2.11

Vecteurs de Killing – On se place dans une variété pseudo-riemannienne de dimension n, munie d’un système de coordonnées {xμ }. Soit v, un vecteur de composantes contravariantes v a . 1 – Montrer que ∇c ∇b v a − ∇b ∇c v a = −Radbc v d . 2 – Montrer que si v est un vecteur de Killing, c’est-à-dire s’il vérifie l’équation de Killing, ∇a vb + ∇b va = 0, alors ∇c ∇b v a = Rabcd v d . 3 – Montrer que la dérivée de Lie du tenseur métrique, dans la direction d’un vecteur de Killing v, est nulle. En déduire que v a ∇a R = 0 , avec R, la courbure scalaire de Ricci. 4 – Montrer que si le tenseur métrique est indépendant d’une coordonnée xλ , alors le vecteur ∂λ , de la base naturelle associée à {xμ }, est un vecteur de Killing. 5 – Soient une géodésique C, de vecteur tangent u, et un champ vectoriel de Killing v. Montrer que le produit scalaire vμ uμ est constant le long de C. 6 – Application : déterminer tous les champs vectoriels de Killing d’un espacetemps de Minkowski.

60

Relativité générale et astrophysique

 SOLUTION 1 – Rappelons que les composantes mixtes d’un tenseur d’ordre 2, notées Tba , ont pour dérivées covariantes ∇c Tba = ∂c Tba + Tbe Γace − Tea Γecb . Avec Tba = ∇b v a , on obtient alors ∇c ∇b v a − ∇b ∇c v a = ∂c ∇b v a − ∂b ∇c v a + ∇b v e Γace − ∇c v e Γabe . Comme ∂c ∇b v a = ∂c ∂b v a + ∂c Γadb v d + Γadb ∂c v d et ∇b v e Γace = ∂b v e Γace + Γedb v d Γace , l’expression recherchée peut s’écrire ∇c ∇b v a − ∇b ∇c v a = ∂c Γadb v d − ∂b Γadc v d + Γedb v d Γace − Γedc v d Γabe = − (∂b Γadc − ∂c Γadb + Γedc Γabe − Γedb Γace ) v d = −Radbc v d . 2 – D’après la question précédente, nous avons les relations suivantes : ∇c ∇b va − ∇b ∇c va = −Rbcad v d , ∇a ∇b vc − ∇b ∇a vc = −Rbacd v d , ∇a ∇c vb − ∇c ∇a vb = −Rcabd v d ,

(2.6)

et v étant un vecteur de Killing, on peut dériver l’expression donnée dans l’énoncé : ∇c ∇b va + ∇c ∇a vb = 0 , ∇a ∇b vc + ∇a ∇c vb = 0 , ∇b ∇c va + ∇b ∇a vc = 0 . En additionnant les relations (2.6), on obtient donc 2 ∇c ∇b va = − [Rbcad + Rbacd + Rcabd ] v d , c’est-à-dire, en utilisant les relations de symétrie du tenseur de courbure, 2 ∇c ∇b va = 2 Rbadc v d ou encore ∇c ∇b v a = Rabcd v d .

Chapitre 2 – Géométrie et calcul tensoriel

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3 – Soit v est un vecteur de Killing. Comme ∇a vb + ∇b va = 0, la dérivée de Lie du tenseur métrique, dans la direction de v, s’écrit Lv gab = v c ∇c gab + gcb ∇a v c + gac ∇b v c = v c ∇c gab = 0 , puisque ∇c gab = 0. Le tenseur métrique est donc Lie-transporté suivant v. Le long des lignes de courant de v, la variété reste donc invariante. Autrement dit, la courbure R est telle que, le long d’une ligne de courant de v, dR = 0, ce qui s’écrit (∂a R) dxa = 0, avec dxa =  v a . Ainsi, v a ∂a R = 0, ou encore v a ∇a R = 0. 4 – La dérivée de Lie du tenseur métrique, dans la direction d’un vecteur quelconque U, a pour composantes covariantes LU (g) = uλ ∂λ gμν + gλν ∂μ uλ + gμλ ∂ν uλ . Le vecteur de la base naturelle ∂λ associé à la coordonnée xλ n’a qu’une seule composante non nulle et égale à 1 qui est celle suivant ∂λ , donc la relation précédente se réduit à L∂λ (g) = ∂λ gμν . Autrement dit, ∂λ est un vecteur de Killing si et seulement si ∂λ gμν = 0. 5 – Puisque C est une géodésique, on a uλ ∇λ uμ = 0. La dérivée du produit scalaire vμ uμ le long de C s’écrit alors uλ ∇λ (vμ uμ ) = uλ uμ ∇λ vμ + vμ uλ ∇λ uμ = uλ uμ ∇λ vμ , et comme v est un vecteur de Killing, uλ uμ ∇λ vμ = 0, donc la dérivée le long de C est nulle et le produit scalaire est constant. 6 – Les coefficients de la métrique d’un espace-temps de Minkowski sont indépendants des coordonnées cartésiennes {ct, x, y, z} ; d’après la question 4, les vecteurs de la base naturelle {∂t , ∂x , ∂y , ∂z } sont donc des vecteurs de Killing. Par ailleurs, dans la métrique de Minkowski, les coefficients de la connexion sont tous identiquement nuls, ce qui implique que ∇μ = ∂μ ; les vecteurs de Killing, v = [vμ ], obéissent donc à l’équation ∂ν vμ + ∂μ vν = 0. Pour tout (μ, ν) ∈ 0, 32 avec μ = ν, cette équation équivaut à ∂ν vμ = −∂μ vν , ∂μ vμ = 0 .

(2.7) (2.8)

L’équation (2.8) conduit à vμ = Fμ (xν ) , avec Fμ une fonction des coordonnées autres que xμ , tandis que l’équation (2.7) donne ∂ν Fμ (xν ) = −∂μ Fν (xμ ). Cette égalité étant vérifiée pour toutes les valeurs de xμ et de xν , les deux dérivées ne dépendent ni de xμ , ni de xν . Comme ν est quelconque (mais = μ), on a donc vμ = ωμν xν ,

62

Relativité générale et astrophysique

avec les constantes ωμν (et en appliquant la convention d’Einstein pour la sommation). Enfin, l’équation (2.7) montre que ωμν = −ωνμ . Autrement dit, les constantes ωμν forment une matrice antisymétrique. Conclusion : dans un espace-temps de Minkowski, outre les vecteurs constants, les champs vectoriels de Killing sont de la forme 5 V1 = x ∂t + c t ∂x , V4 = y ∂x − x ∂y ,

V2 = y ∂t + c t ∂y , V5 = z ∂x − x ∂z ,

V3 = z ∂t + c t ∂z , V6 = z ∂y − y ∂z .

Les vecteurs de Killing constants traduisent l’invariance de l’espace-temps par les translations spatiales ou temporelles, autrement dit son homogénéité. Les champs vectoriels V1 à V3 caractérisent quant à eux l’invariance de l’espace-temps par les rotations autour d’un plan spatio-temporel (par exemple (tOx)), autrement dit par les transformations de Lorentz. Enfin, les champs vectoriels V4 à V6 montrent l’invariance de l’espace-temps vis-à-vis des rotations spatiales, et donc l’isotropie spatiale de l’espace-temps.

[D]  EXERCICE 2.12

Propriétés du tenseur de Weyl – Dans une variété pseudo-riemannienne de dimension n  3, munie d’un système de coordonnées {xμ }, on peut décomposer le tenseur de Riemann en définissant un tenseur, appelé tenseur de Weyl, par Cabcd = Rabcd −

1 (gac Rbd + gbd Rac − gbc Rad − gad Rbc ) n−2 1 + (gac gbd − gad gbc ) R , (n − 1)(n − 2)

avec le tenseur de Ricci défini par Rab = Rcacb . 1 – Montrer que le tenseur de Weyl a les mêmes symétries que le tenseur de Riemann. Vérifier que si Rab = 0, alors Cabcd = Rabcd . 2 – Montrer que la trace du tenseur de Weyl est nulle, c’est-à-dire, g bd Cabcd = 0. 3 – On effectue une transformation conforme, c’est-à-dire une transformation du tenseur métrique, g, telle que g → g ˜ = Ω2 g, avec Ω une fonction des coordonnées {xμ } appelée facteur conforme.

5. avec v0 = v0 , et ∀μ ∈ 1, 3, vμ = −vμ pour une signature (+, −, −, −).

Chapitre 2 – Géométrie et calcul tensoriel

63

(a) Déterminer les nouveaux coefficients de la connexion. (b) Afin de simplifier les calculs, on suppose à présent que la fonction Ω est constante. En déduire les nouvelles composantes du tenseur de Riemann, du tenseur de Ricci, ainsi que l’expression de la courbure scalaire. (c) Toujours en supposant que Ω est une fonction constante, montrer que le tenseur de Weyl reste invariant conforme, c’est-à-dire que, lors d’une transformation conforme, ses nouvelles composantes sont telles que C˜abcd = Ω2 Cabcd .  SOLUTION 1 – Le tenseur de Riemann possède les symétries suivantes : Rabcd = −Rbacd = −Rabdc = Rcdab . Le tenseur métrique et le tenseur de Ricci sont des tenseurs symétriques, c’est-à-dire, gab = gba , et Rab = Rba . Exprimons les composantes Cbacd du tenseur de Weyl en fonction de Cabcd : 1 (gbc Rad + gad Rbc − gac Rbd − gbd Rac ) n−2 1 (gbc gad − gbd gac ) R + (n − 1)(n − 2) 1 (gac Rbd + gbd Rac − gbc Rad − gad Rbc ) = − Rabcd + n−2 1 (gac gbd − gad gbc ) R − (n − 1)(n − 2) = − Cabcd .

Cbacd = Rbacd −

De même, 1 (gad Rbc + gbc Rad − gbd Rac − gac Rbd ) n−2 1 (gad gbc − gac gbd ) R + (n − 1)(n − 2) 1 (gac Rbd + gbd Rac − gbc Rad − gad Rbc ) = − Rabcd + n−2 1 (gac gbd − gad gbc ) R − (n − 1)(n − 2) = − Cabcd .

Cabdc = Rabdc −

64

Relativité générale et astrophysique

Enfin, 1 (gca Rdb + gdb Rca − gda Rcb − gcb Rda ) n−2 1 + (gca gdb − gcb gda ) R (n − 1)(n − 2) 1 (gac Rbd + gbd Rac − gbc Rad − gad Rbc ) = Rabcd − n−2 1 (gac gbd − gad gbc ) R + (n − 1)(n − 2) = Cabcd .

Ccdab = Rcdab −

Le tenseur de Weyl possède donc les mêmes symétries que le tenseur de Riemann. Si le tenseur de Ricci est nul, ce qui correspond à une variété plate, on a R = Raa = 0, donc Cabcd = Rabcd . 2 – On a simplement g bd Cabcd = g bd Cbadc = C dadc , ce qui donne  1  d δd Rac + gac Rdd − gad Rdc − δcd Rad n−2  d  1 + δd gac − δcd gad R (n − 1)(n − 2) 1 = Rac − (n Rac + gac R − Rac − Rac ) n−2 1 (n gac R − gac R) + (n − 1)(n − 2) = 0.

C dadc = Rdadc −

3(a) – Par définition de la transformation conforme 6 , on a : g˜ab = Ω2 gab , et g˜ab = Ω−2 g ab , donc les nouveaux coefficients de la connexion s’écrivent ˜ a = 1 g˜al (∂c g˜bl + ∂b g˜lc − ∂l g˜cb ) Γ bc 2

1 = Ω−2 g al Ω2 (∂c gbl + ∂b glc − ∂l gcb ) + 2Ω (gbl ∂c Ω + glc ∂b Ω − gcb ∂l Ω) 2   = Γabc + Ω−1 δba ∂c Ω + δca ∂b Ω − g al gcb ∂l Ω . 3(b) – Le tenseur de Riemann a pour nouvelles composantes : ˜ d − ∂c Γ ˜d + Γ ˜d − Γ ˜d . ˜ d = ∂b Γ ˜e Γ ˜e Γ R abc ac ab ac eb ab ec 6. appelée aussi transformation de Weyl.

Chapitre 2 – Géométrie et calcul tensoriel

65

Si Ω est une fonction constante, les coefficients de connexion sont simplement tels que ˜ abc = Γabc . Γ Donc, les composantes mixtes du tenseur de Riemann ne changent pas : ˜ dabc = Rdabc R Cependant, on aura ˜ e = Ω2 gde Re = Ω2 Rdabc . ˜ dabc = g˜de R R abc abc Quant aux composantes du tenseur de Ricci, elles restent inchangées : ˜ ab = R ˜ c = Rc = Rab . R acb acb Mais la courbure scalaire, R, est modifiée et vaut ˜ = g˜ab R ˜ ab = Ω−2 g ab Rab = Ω−2 R. R 3(c) – D’après la question précédente, les nouvelles composantes du tenseur de Weyl 7 s’écrivent  1  ˜ bd + g˜bd R ˜ ac − g˜bc R ˜ ad − g˜ad R ˜ bc C˜abcd = Ω2 Rabcd − g˜ac R n−2 1 ˜ (˜ gac g˜bd − g˜ad g˜bc ) R + (n − 1)(n − 2)  1  2 = Ω2 Rabcd − Ω gac Rbd + Ω2 gbd Rac − Ω2 gbc Rad − Ω2 gad Rbc n−2 1 + (Ω4 gac gbd − Ω4 gad gbc ) Ω−2 R (n − 1)(n − 2) = Ω2 Cabcd .

[MD]  EXERCICE 2.13

Déviation géodésique – On se place dans un espace-temps muni d’une métrique ds2 = gμν dxμ dxν , de signature (+, −, −, −), dans le système de coordonnées {xμ }μ∈0,3 , où x0 est la coordonnée temporelle. On considère une congruence lisse de géodésiques, xμ (λ, p), paramétrées affinement par λ et labelisées continûment

7. Les lecteurs les plus courageux pourront essayer de prendre une fonction Ω quelconque, mais ils aboutiront au même résultat pour le tenseur de Weyl, qui est toujours un invariant conforme...

66

Relativité générale et astrophysique

par le paramètre p. On note U(uμ ) et N(nμ ), respectivement, les champs de vecteurs tangents et orthogonaux au flot géodésique qui sont tels que uμ =

∂xμ , ∂λ

nμ =

∂xμ . ∂p

Montrer que : uλ ∇λ nμ = nλ ∇λ uμ . En déduire l’accélération relative, aμ , entre deux géodésiques, qui est définie par aμ =

D2 nμ , dλ2

en fonction des composantes mixtes du tenseur de Riemann.  SOLUTION Si l’on développe nν ∇ν uμ , on obtient nν ∇ν uμ = nν ∂ν uμ + Γμνα uα nν =

∂ 2 xμ + Γμνα uα nν = uν ∇ν nμ . ∂λ ∂p

On déduit l’expression de l’accélération relative : aμ =

D2 nμ = uν ∇ν (uα ∇α nμ ) = uν ∇ν (nα ∇α uμ ) , dλ2

ce qui donne aμ = (uν ∇ν nα ) ∇α uμ + uν nα ∇ν ∇α uμ . Comme les composantes uμ vérifient les équations des géodésiques, c’est-à-dire uν ∇ν uα = 0, alors nν ∇ν (uα ∇α uμ ) = (nν ∇ν uα ) ∇α uμ + uα (nν ∇ν ∇α uμ ) = 0 . Donc, on trouve (uν ∇ν nα ) ∇α uμ = (nν ∇ν uα ) ∇α uμ = −uα (nν ∇ν ∇α uμ ) , et, en intervertissant les indices muets α et ν dans cette dernière expression, l’accélération relative se réécrit aμ = (∇ν ∇α − ∇α ∇ν )uμ uν nα , c’est-à-dire, en introduisant les composantes mixtes du tenseur de Riemann, aμ = Rμβνα uβ uν nα , qui constitue l’équation de déviation géodésique. Références bibliographiques : [8], [3], [17], [19].

Chapitre 2 – Géométrie et calcul tensoriel

67

[D]  EXERCICE 2.14 Tétrades et tenseur de Riemann – Soient E, un espace-temps muni d’une métrique dont la signature est (+, −, −, −), et TM (E) l’espace tangent à E en un point M . On appelle tétrade ou champ de bases, tout ensemble de quatre vecteurs {e(a)}a∈0,3 défini en un point M de E, et formant une base de TM (E), telle que, pour tout (a, b) ∈ 0, 32 , on a e(a) · e(b) = ηab , avec (ηab ) une matrice symétrique constante, dont la matrice inverse sera notée (η ab ). Ainsi, une tétrade sera dite orthonormée lorsque η00 = 1, et ηab = −δab , pour a = 0 ou b = 0. Remarque : les étiquettes ou indices entre parenthèses obéissent à la convention d’Einstein dans les équations. 1 – Que représente le vecteur e(0) d’une tétrade orthonormée lorsque celui-ci est tangent à la ligne d’univers d’un observateur placé en M ? 2 – A titre d’exemple, former une tétrade orthonormée en utilisant les vecteurs de la base naturelle associée aux coordonnées sphériques dans un espace-temps de Minkowski. 3 – Soit {e(a) }a∈0,3 la base duale associée à une tétrade {e(a) }a∈0,3 . (a) Dans un système de coordonnées {xμ }μ∈0,3 , montrer les relations suivantes entre les composantes covariantes des vecteurs de la tétrade et de sa base duale : ab e(a) μ = η e(b)μ ,

e(a)μ = ηab e(b) μ . (b) En déduire que les composantes covariantes du tenseur métrique peuvent s’écrire (b) gμν = ηab e(a) μ eν . 4 – Exprimer les composantes covariantes et contravariantes d’un vecteur V dans la tétrade en fonction de ses composantes initiales v μ et vμ . 5 – On définit les coefficients de rotation de Ricci, notés γabc , par γabc = e(a)μ; ν eμ(b) eν(c) , avec la notation : e(a)μ; ν = ∇ν e(a)μ . (a) Montrer que ces coefficients sont antisymétriques par rapport à la première paire d’indices.

68

Relativité générale et astrophysique

(b) On définit la dérivation, suivant la direction a, d’un champ scalaire φ par φ, (a) = eμ(a) ∂μ φ. Montrer que les composantes covariantes du tenseur de Riemann dans la tétrade peuvent s’écrire, avec la notation γ abc = η ad γdbc , R(a)(b)(c)(d) = γabc, (d) − γabd, (c) + γabe (γ ecd − γ edc ) + γaec γ ebd − γaed γ ebc . (c) On définit les quantités λabc par λabc = γabc − γacb . Montrer que les composantes covariantes du tenseur de Ricci dans la tétrade sont 1 c λ + λba c, (c) + λcca, (b) + λccb, (a) + λcd b λcda R(a)(b) = − 2 ab , (c)  1 + λcd b λdca − λb cd λacd + λccd λab d + λccd λba d . 2

 SOLUTION 1 – Le vecteur e(0) est colinéaire au quadri-vecteur vitesse u de l’observateur. Comme e(0) · e(0) = 1, on a donc 1 e(0) = u. c Il représente donc la quadri-vitesse normalisée de l’observateur. L’espace vectoriel orthogonal à e(0) , et dont une base est {e(a) }a∈1,3 , est appelé espace local de repos de l’observateur, ou encore espace absolu. 2 – Dans un espace-temps de Minkowski, de signature (+, −, −, −), les vecteurs de la base naturelle associée aux coordonnées sphériques {t, r, θ, ϕ} sont tels que les carrés de leurs pseudo-normes s’écrivent ∂t · ∂t = 1, ∂θ · ∂θ = −r2 ,

∂r · ∂r = −1, ∂ϕ · ∂ϕ = −r2 sin2 θ,

avec les pseudo-produits scalaires ∂i · ∂j = 0 si i = j. Une tétrade orthonormée peut donc être définie par les vecteurs e(t) = ∂t , 1 e(θ) = ∂θ , r

e(r) = ∂r , 1  ∂ϕ . e(ϕ) = r sin θ

On notera que la tétrade obtenue n’est pas une base naturelle (ou base coordonnée).

Chapitre 2 – Géométrie et calcul tensoriel

69

3(a) – Par définition de la tétrade : eμ(c) e(b)μ = ηcb . En multipliant cette égalité par η ab , on a eμ(c) η ab e(b)μ = η ab ηcb = δca . Or, par définition de la base duale, (a)

eμ(c) eμ = δca . Donc, par identification des deux dernières relations, ab e(a) μ = η e(b)μ . (b)

(b)

De la même façon, on a : e(c)μ eμ = η cb implique e(c)μ ηab eμ = ηab η cb = δac , et e(c)μ e(a)μ = δac , donc e(a)μ = ηab e(b) μ . Ces résultats sont importants car ils montrent que la matrice (ηab ) sert à abaisser ou relever les étiquettes des vecteurs de la tétrade. (a)

3(b) – On a eμ = gμν e(a)ν , donc en multipliant cette égalité par e(a)λ , on obtient gμν e(a)ν e(a)λ = e(a)λ e(a) μ , (a)

(b) (a)

avec e(a)ν e(a)λ = δλν , et e(a)λ eμ = ηab eλ eμ , d’après ce qui précède, c’est-à-dire, (b)

gμλ = ηab e(a) μ eλ . Autrement dit, la métrique peut s’écrire (b) μ ν ds2 = ηab e(a) μ eν dx dx .

4 – Il suffit d’exprimer le pseudo-produit scalaire de deux manières : d’une part, V · e(a) = v(b) e(b) · e(a) = v(b) δab = v(a) , et d’autre part, V · e(a) = vμ eν(a) ∂ μ · ∂ν = vμ eν(a) δνμ = vμ eμ(a) , donc on déduit v(a) = vμ eμ(a) . De la même façon, avec le pseudo-produit scalaire (a) V · e(a) , on trouve v (a) = v μ eμ . Ces relations se généralisent aisément aux tenseurs d’ordre quelconque. 5(a) – Par définition, ∇ν ηba = 0, c’est-à-dire   ∇ν e(b)μ eμ(a) = ∇ν e(b)μ eμ(a) + e(b)μ ∇ν eμ(a) = 0, donc ∇ν e(b)μ eμ(a) = −eμ(b) ∇ν e(a)μ , et γabc = −γbac . 5(b) – Par définition du tenseur de Riemann 8 , (∇λ ∇ν − ∇ν ∇λ ) e(a)μ = eσ(a) Rσ μ ν λ . 8. à la convention de signe près.

70

Relativité générale et astrophysique

D’après les résultats précédents, eμ(b) eν(c) eλ(d) eσ(a) Rσ μ ν λ = R(a)(b)(c)(d) , donc finalement R(a)(b)(c)(d) = eμ(b) eν(c) eλ(d) (∇λ ∇ν − ∇ν ∇λ ) e(a)μ . Par ailleurs, en introduisant les coefficients γabc , on a par exemple ∇ν e(a)μ = (i) (j) γaij eμ eν , puis en dérivant encore une fois, (j) (i) (j) ∇λ ∇ν e(a)μ = e(i) μ eν ∇λ γaij + γaij ∇λ (eμ eν )   (j) (j) (i) (i) (j) , = e(i) μ eν ∇λ γaij + γaij eν ∇λ eμ + eμ ∇λ eν

avec ∇λ γaij = ∂λ γaij , puisque γaij est un champ scalaire, et donc (j) eμ(b) eν(c) eλ(d) e(i) μ eν ∇λ γaij = γabc, (d) .

Enfin, on a les relations suivantes : (k)

(k)

in in (m) ∇λ e(i) eλ = γ imk e(m) eλ , μ = η ∇λ e(n)μ = η γnmk eμ μ (k)

j (m) ∇λ e(j) eλ , ν = γ mk eν

ce qui implique (i) i γaij eμ(b) eν(c) eλ(d) e(j) ν ∇λ eμ = γaic γ bd , j (j) γaij eμ(b) eν(c) eλ(d) e(i) μ ∇λ eν = γabj γ cd .

En permutant les indices λ et ν pour exprimer le terme contenant ∇ν ∇λ e(a)μ , on détermine facilement les composantes du tenseur de Riemann : R(a)(b)(c)(d) = γabc, (d) − γabd, (c) + γabj (γ jcd − γ jdc ) + γaic γ ibd − γaid γ ibc . 5(c) – Par définition du tenseur de Ricci : R(b)(d) = η ac R(a)(b)(c)(d) . On remarque également que γabc = 12 (λabc + λbca − λcab ) et λabc = −λacb . Après quelques manipulations d’indices, on trouve donc R(a)(b) = −

1  c λab , (c) + λba c, (c) + λcca, (b) + λccb, (a) + λcd b λcda 2  1 + λcd b λdca − λb cd λacd + λccd λab d + λccd λba d . 2

Références bibliographiques : [8], [12], [17].

Chapitre 2 – Géométrie et calcul tensoriel

71

[MD]  EXERCICE 2.15 Dérivée de Fermi-Walker – Dans un espace-temps E, muni d’un système de coordonnées {xμ } où x0 est la coordonnée temporelle, on considère un observateur O dont la ligne d’univers L, d’équation xμ (τ ), est paramétrée par son temps propre τ . 1 – On définit le quadri-vecteur vitesse unitaire u, de l’observateur O, par ses composantes contravariantes : uμ = (1/c) dxμ /dτ . Montrer que le quadri-vecteur accélération unitaire a, défini par a = ∇u u, est tel que a · u = 0. Quelle est la condition sur L pour que le quadri-vecteur a soit nul ? 2 – On suppose que E est munie d’une métrique dont la signature est (+, −, −, −). Soit v un champ vectoriel sur E. La dérivée de Fermi-Walker de v le long de la ligne d’univers L est le vecteur DFW u v, défini par DFW u v = ∇u v + (a · v) u − (u · v) a. Remarque : pour une signature du type (−, +, +, +), on trouvera plutôt la définition suivante : DFW u v = ∇u v + (u · v) a − (a · v) u. (a) Montrer : u · v = 0 =⇒ u · DFW u v = 0. (b) Exprimer DFW u u pour un observateur O inertiel. FW   (c) Soit w un champ vectoriel sur E. Montrer que si DFW u v = 0 et Du w = 0, alors v · w est constant le long de L.

3 – Soit {e(μ) }μ∈0,3 une tétrade orthonormée (voir exercice page 67) associée à l’observateur O telle que e(0) = u. On admet que tout champ vectoriel v(τ ), défini en chaque point de L et de composantes v μ (τ ) dans la tétrade, obéit à l’équation dv μ e(μ) + (u · v) a − (a · v) u + ω × v , (2.9) dτ dans laquelle l’opération × désigne un produit vectoriel dans l’hyperplan orthogonal au vecteur u, et ω  le quadri-vecteur rotation de l’observateur O. ∇u v =

(a) A quelle condition DFW u v est égale à la dérivée par rapport à l’observateur O, c’est-à-dire (dv μ /dτ ) e(μ) ? (b) Que devient l’équation (2.9) pour un observateur O inertiel ? Comment s’écrit l’équation d’évolution des vecteurs de la tétrade dans le système de coordonnées {xμ } ? 4 – Soient TM (E), l’espace tangent à E en un point M , et Pu , l’application linéaire définie par Pu : TM (E) v

−→ TM (E) −→ v − (u · v) u.

72

Relativité générale et astrophysique

(a) Montrer que Pu est un projecteur, et exprimer ses composantes mixtes P μν , dans la base naturelle associée à {xμ }, en fonction des composantes de u. (b) Montrer que si v est un champ vectoriel orthogonal à u, alors DFW u v = Pu (∇u v).

 SOLUTION 1 – Le produit scalaire s’écrit simplement a · u = ∇u u · u =

1 ∇u (u · u) = 0, 2

puisque, par définition, u · u = 1, en supposant que la signature de la métrique est (+, −, −, −). Par définition encore, si L est une géodésique, alors le quadri-vecteur u est transporté parallèlement à lui-même le long de L, ce qui se traduit par ∇u u = 0, donc a = 0. 2(a) – En supposant que u · v = 0, le produit scalaire s’écrit u · DFW u v = u · [∇u v + (a · v) u − (u · v) a] = u · ∇u v + (a · v) u · u = ∇u (u · v) − v · ∇u u + a · v = 0. La dérivée de Fermi-Walker 9 préserve donc l’orthogonalité. 2(b) – Pour un observateur inertiel, c’est-à-dire lorsque L est une géodésique, a = 0  et ∇u u = 0 implique DFW u u = 0. 2(c) – Il suffit de montrer que la dérivée du produit scalaire v · w suivant u, qui est tangent à L, est nulle : ∇u (v · w) = ∇u v · w + v · ∇u w

FW

= DFW u v + (u · v) a − (a · v) u · w + v · Du w + (u · w) a − (a · w) u = (u · v) (a · w) − (a · v) (u · w) + (u · w) (a · v) − (a · w) (u · v) = 0. 3(a) – L’équation (2.9) se réécrit : DFW u v = 9. appelée aussi transport de Fermi.

dv μ e(μ) + ω × v. dτ

Chapitre 2 – Géométrie et calcul tensoriel

73

Pour  ω = 0, c’est-à-dire pour un observateur qui ne subit aucune rotation spatiale dans l’hyperplan orthogonal à u, on a donc DFW u v =

dv μ e(μ) . dτ

3(b) – Pour un observateur inertiel, a = 0 et ω  = 0, ce qui implique que la dérivée absolue est égale à la dérivée selon l’observateur : ∇u v =

dv μ e . dτ (μ)

Pour les vecteurs de la tétrade, on déduit donc ∇u e(μ) = 0, ou encore, avec {eλ } la base naturelle et e(μ) = eλ(μ) eλ , deλ(μ) dτ

β + Γλαβ eα (μ) u = 0.

Autrement dit, les vecteurs de la tétrade sont transportés parallèllement le long de la géodésique de l’observateur. 4(a) – Tout vecteur v de TM (E) peut se décomposer en la somme d’un vecteur v⊥ , orthogonal à u, et d’un vecteur v , parallèle à u. Comme u est unitaire, on a donc Pu ◦ Pu (v) = Pu ◦ Pu (v⊥ + v )

= Pu Pu (v⊥ ) + Pu (v )

= Pu v⊥ − (u · v⊥ ) u + v − (u · v ) u = Pu (v) , ce qui montre que Pu est un projecteur orthogonal sur l’hyperplan qui est normal à u, c’est-à-dire l’hyperplan défini par les directions spatiales du référentiel de repos de l’observateur. Ces composantes mixtes s’écrivent, dans la base naturelle, P μν = δ μν − uμ uν . 4(b) – Si v est orthogonal à u, alors DFW u v = ∇u v + (∇u u · v) u = ∇u v + [∇u (u · v) − u · ∇u v] u = ∇u v − (u · ∇u v) u = Pu (∇u v). Références bibliographiques : [5], [15], [16].

74

Relativité générale et astrophysique

[D]  EXERCICE 2.16 Hypersurfaces de l’espace-temps – Soient E un espace-temps muni d’une métrique g de signature (−, +, +, +), sans torsion, et TM (E) l’espace vectoriel tangent à E en un point M . Une hypersurface de E est définie comme l’image par un homéomorphisme Φ d’une variété pseudo-riemannienne de dimension 3. Soit Σ une hypersurface de E telle que l’on peut définir un système de coor˜ de Σ ˜ = Φ−1 (Σ) de coordonnées données {xμ }μ∈0,3 sur E qui, à tout point M 1 2 3 (x , x , x ), fait correspondre un point M de Σ de coordonnées (0, x1 , x2 , x3 ). On choisira x0 comme coordonnée temporelle. La métrique γ induite sur Σ, appelée aussi première forme fondamentale de Σ, est alors définie par : ∀(i, j) ∈ 1, 3, γij = gij . 1 – Quel est le genre d’une hypersurface Σ ainsi définie ? Quelle équation cartésienne admet Σ au voisinage d’un point M de coordonnées (0, x1 , x2 , x3 ) ? En déduire un vecteur unitaire n orthogonal à l’espace vectoriel tangent TM (Σ) à Σ en M , et montrer que ce vecteur est de genre temps. 2 – Quelles sont les composantes mixtes, dans la base naturelle, du tenseur P associé au projecteur orthogonal P de TM (E) sur TM (Σ) parallèlement à Vect(n) ? En déduire les composantes covariantes. Quel est le lien avec le tenseur métrique γ ? De la même façon, on définira le projecteur orthogonal P  de TM (E), dual de TM (E), sur TM (Σ), dual de TM (Σ), parallèlement à Vect(n), n étant la forme linéaire associée à n par dualité métrique (voir exercice page 8). 3 – Un tenseur T est dit tangent à Σ si, par définition, T(. . . , n, . . .) ≡ 0, ou T(. . . , n, . . .) ≡ 0. (a) Montrer que P est un tenseur tangent à Σ.   (b) Soit T un tenseur de type pq . Montrer que le tenseur PT dont les composantes sont définies par p P T μ1ν...μ = P μα1 1 . . . P μαp p P βν11 . . . P βνqq T 1 ...νq

α1 ...αp β1 ...βq ,

est un tenseur tangent à Σ. (c) Exprimer PT en fonction de T, P et P  . 4 – On définit l’endomorphisme S de TM (Σ) tel que S : TM (Σ) u

−→ TM (Σ) −→ ∇un.

Vérifier que S(u) appartient à TM (Σ), et montrer que S est auto-adjoint c’est-àdire que, ∀(u, v ) ∈ T2M (Σ), g(u, S(v )) = g(S(u), v ).

Chapitre 2 – Géométrie et calcul tensoriel

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5 – On définit le tenseur de courbure extrinsèque de Σ (appelé aussi seconde forme fondamentale de Σ), noté K, par K : TM (Σ)2

−→ R

(u, v ) −→ −g(u, S(v )), et son extension K dans TM (E) par K : TM (E)2

−→ R

(u, v ) −→ K(P(u), P(v )). On notera Φ , l’application qui à un tenseur (ou forme multilinéaire) T agissant sur Σ associe T , l’extension de T sur E. (a) En posant a = ∇nn, montrer que les composantes covariantes de K s’écrivent  = −∇ν nμ − aμ nν . Kμν

(b) En déduire que K = −P∇n, et déterminer la trace de K . (c) Montrer que K est symétrique. 6 – Pour tout champ tensoriel T défini sur Σ, le tenseur dérivée covariante DT de T, relatif à la connexion de Levi-Civita D définie sur Σ c’est-à-dire relatif à la métrique γ, est tel que Φ (DT) = P∇ [Φ (T)] , avec ∇ la connexion de Levi-Civita sur E.   μ    (a) Ecrire 1les composantes (D T )α ν de D T , avec D = P∇ et T un tenseur de type 1 , en fonction des composantes de ∇T . Que devient cette expression pour un champ scalaire f ? Et pour un champ vectoriel ?

(b) Montrer que, ∀(u, v ) ∈ T2M (Σ), Duv = ∇uv + K(u, v ) n , où l’on a identifié K à son extension K .  SOLUTION 1 – Si la signature de la métrique g est (−, +, +, +), alors celle de la métrique γ est (+, +, +). Pour tout vecteur v de l’espace vectoriel tangent TM (Σ) à Σ en M , on a donc g(v , v ) = γij v i v j > 0, et v est de genre espace. Autrement dit, l’hypersurface Σ est de genre espace. Une représentation paramétrique quelconque de Σ peut être définie en posant : ∀(u, v, w) ∈ R3 , x0 (u, v, w) = 0, x1 (u, v, w) = u, x2 (u, v, w) = v, et

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Relativité générale et astrophysique

x3 = w. Ainsi, une équation cartésienne de Σ au voisinage de M peut s’écrire x0 (x1 , x2 , x3 ) = 0. Un vecteur orthogonal à TM (Σ) est donc défini, en tout point régulier M de Σ,  0 , de composantes contravariantes g μν ∂ν x0 , dans la base naturelle par le gradient ∇x {∂μ }μ∈0,3 (associée au système de coordonnées {xμ }μ∈0,3 ). L’hypersurface Σ étant de genre espace, ce vecteur est de genre temps : en effet, si ∂0 n’est pas nécessairement  0 est, par définition, orthogonal aux autres vecteurs de la base naturelle, le vecteur ∇x  orthogonal aux vecteurs ∂i pour i ∈ 1, 3, puisque ces derniers forment une base de TM (Σ). Dans un voisinage de M , on peut toujours définir des coordonnées localement cartésiennes et donc former une base naturelle orthonormée {eμ }μ∈0,3 , telle que  0 est colinéaire à e0 , {ei }i∈1,3 soit une base de TM (Σ). Dans cette nouvelle base, ∇x et le tenseur métrique est tel que les seules composantes non nulles sont g00 = −1, et  0 , ∇x  0 ) < 0. Ainsi, un vecteur unitaire n, lui g11 = g22 = g33 = 1 : on a donc g(∇x  0 : on pose aussi de genre temps, peut être défini en normalisant ∇x −1/2   0,  0)  0 , ∇x ∇x n = −g(∇x et l’on a bien g(n, n) = −1. 2 – L’espace vectoriel TM (E) se décompose en somme directe orthogonale selon la relation : TM (E) = TM (Σ) ⊕ Vect(n). Le projecteur P est tel que ∀v ∈ TM (E), on a P(v ) = v + g(n, v ) n , le signe + étant directement dû à la signature de la métrique. On retrouve bien que P(n) = 0. Les composantes mixtes du tenseur P associé à P s’écrivent P μν = δ μν + nμ nν . On en déduit les composantes covariantes : Pμν = gμν + nμ nν . Le tenseur P permet de définir une extension γ  du tenseur métrique γ dans l’espace TM (E) de la façon suivante : γ  : TM (E)2

−→ R

(u, v ) −→ γ(P(u), P(v )). Autrement dit, comme γ(P(u), P(v )) = g(P(u), P(v )) et que P ◦ P = P (ce qui équi vaut à P μα P αν = P μν ), on peut aussi écrire : ∀(μ, ν) ∈ 0, 32 , γμν = P αμ P βν gαβ = μ μ  Pμν , ou encore γ ν = P ν . En identifiant γ et γ , on peut dire que le tenseur métrique γ est égal au tenseur P. Néanmoins, dans la suite de cet exercice, nous continuerons à utiliser P et ses coordonnées pour garder à l’esprit le fait qu’il s’agit d’un projecteur.

Chapitre 2 – Géométrie et calcul tensoriel

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3(a) – Par définition, ∀u ∈ TM (E), P(n, u) = gμν nμ uν + nμ nν nμ uν = g(n, u) − g(n, u) = 0.   3(b) – Pour simplifier l’écriture, regardons ce qui passe pour un tenseur T de type 11 . En notant {eμ }μ∈0,3 et {eμ }μ∈0,3 , respectivement une base naturelle de TM (E) et sa base duale, on a PT(·, n) = P T μν < eν , n > eμ = P μα P βν T αβ nν eμ , et comme P βν nν = (δ βν + nβ nν )nν = nβ − nβ = 0, on trouve PT(·, n) ≡ 0. La généralisation à un tenseur de type pq est immédiate. 3(c) – ∀u ∈ TM (E), u se décompose dans la base {n, ∂i }i∈1,3 de la façon suivante : u = ui ∂i + λ n. De même, ∀ω ∈ TM (E), on peut décomposer ω dans la base {n, ∂ i }i∈1,3 : ω = ωi ∂ i + λ n. Par linéarité du tenseur PT, on écrit alors PT(ω, u) = PT(ωi ∂ i + λ n, ui ∂i + λ n) = PT(ωi ∂ i , ui ∂i + λ n) + λ PT(n, ui ∂i + λ n) = PT(ωi ∂ i , ui ∂i ) + λ PT(ωi ∂ i , n) = PT(ωi ∂ i , ui ∂i ) , puisque PT(n, ui ∂i + λ n) = PT(ωi ∂ i , n) = 0. Ainsi, la dernière égalité équivaut à PT(ω, u) = T(P  (ω), P(u)). 4 – Par définition de S, on peut écrire n · ∇un =

1 ∇u (g(n, n)) = 0 , 2

puisque g(n, n) = −1. Le vecteur S(u) est donc orthogonal à n et appartient à TM (Σ). De plus, on a g(u, S(v )) = u · ∇v n = ∇v (u · n) − n · ∇v u, avec ∇v (u · n) = 0, puisque u · n = 0, et n · ∇v u = n · (∇uv − [u, v ]) . Or, comme n · v = 0, n · ∇uv = ∇u (n · v ) − v · ∇un = −v · ∇un. Enfin, on a n · [u, v ] = nμ (uν ∇ν v μ − v ν ∇ν uμ ) = uν [∇ν (nμ v μ ) − v μ ∇ν nμ ] − v ν [∇ν (nμ uμ ) − uμ ∇ν nμ ] = uμ v ν ∇ν nμ − uν v μ ∇ν nμ = uμ v ν [∇ν nμ − ∇μ nν ] ,

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Relativité générale et astrophysique

 0 (voir question précédente), et comme n est colinéaire à ∇x

∇ν nμ − ∇μ nν = α ∇ν ∇μ x0 − ∇μ ∇ν x0 ,  0 . Le tenseur de torsion étant identiquement nul (voir exercice en notant n = α ∇x page 23), ∇ν ∇μ x0 − ∇μ ∇ν x0 = 0. Conclusion, le seul terme restant étant v · ∇u n, on a montré que g(u, S(v )) = g(S(u), v ). 5(a) – Par définition de l’extension du tenseur de courbure extrinsèque, pour tout (u, v ) ∈ TM (E)2 , on peut écrire K (u, v ) = K(P(u), P(v )) = −P(u) · ∇P(v)n = − [u + g(n, u) n] [∇v n + g(n, v ) ∇nn] = −u · ∇v n − (n · v ) (u · a) , avec a = ∇nn, et puisque n ·∇v n = (1/2)∇v (n ·n) = 0 pour tout vecteur v . Autrement dit, par définition de la connexion, comme u · ∇v n = uμ v ν ∇ν nμ = ∇n(u, v ), on obtient K = −∇n − a ⊗ n, avec a la forme linéaire associée à a. Les coordonnées covariantes sont donc  = −∇ν nμ − aμ nν . Kμν

(2.10)

  Remarque : comme a0 = 0 et [nμ ] = (−α, 0, 0, 0), K0μ = Kμ0 = 0.

5(b) – On a (P∇n)μν = P αμ P βν ∇β nα = (δ αμ + nα nμ ) (δ β ν + nβ nν ) ∇β nα = ∇ν nμ + nν nβ ∇β nμ + nμ nα ∇ν nα + nα nμ nν nβ ∇β nα = ∇ν nμ + nν nβ ∇β nμ = ∇ν nμ + aμ nν , ce qui montre que K = −P∇n. Remarque : par définition, K est bien tangent à Σ.  La trace de K s’obtient en contractant les composantes Kμν avec les composantes g μν du tenseur métrique :  = ∇ν nν + aν nν , Tr(K ) = g μν Kμν

Chapitre 2 – Géométrie et calcul tensoriel

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avec aν nν = a · n = 0. La trace de K est donc égale à la divergence du vecteur n : Tr(K ) = ∇ · n. Remarque : d’après les coordonnées de K , on a également : Tr(K ) = γij K ij , avec (i, j) ∈ 1, 32 .   5(c) – Comme K = −P∇n, la différence Kμν − Kνμ s’écrit   − Kνμ = P αν P βμ ∇β nα − P αμ P βν ∇β nα Kμν

= P αν P βμ (∇β nα − ∇α nβ ) = 0, puisque, d’après les résultats précédents, ∇μ nν − ∇ν nμ = 0. Le tenseur K est donc bien symétrique. 6(a) – Par définition, D T = Φ (DT), ce qui conduit à (D T )α μ ν = P μλ P σν P βα ∇β T λσ . Pour un champ scalaire f , l’expression devient simplement (D f )μ = P νμ ∇ν f = (δ νμ + nν nμ ) ∇ν f = ∇μ f + (nν nμ ) ∇ν f . Enfin, pour un champ vectoriel v = [v μ ], on a (Dv )νμ = Dν v μ = P αν P μβ ∇α v β = ∇ν v μ + nα nν ∇α v μ + nμ nβ ∇ν v β + nα nν nμ nβ ∇α v β .

(2.11)

6(b) – Pour tout (u, v ) ∈ T2M (Σ), (Duv )μ = uν Dν v μ = uν P αν P μβ ∇α v β = uα (δ μβ + nμ nβ ) ∇α v β = uα ∇α v μ + nμ uα nβ ∇α v β , avec uν P αν = uα , et nβ ∇α v β = −v β ∇α nβ puisque n · v = 0. Ainsi, on obtient (Duv )μ = uα ∇α v μ − nμ uα v β ∇α nβ , ce qui, avec −uα v β ∇α nβ = K(u, v ), donne finalement Duv = ∇uv + K(u, v ) n. Références bibliographiques : [28], [31], [32], [17].

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Relativité générale et astrophysique

[D]  EXERCICE 2.17 Equations de Gauss et Codazzi – Soient E un espace-temps muni d’une métrique g de signature (−, +, +, +), sans torsion, et TM (E) l’espace vectoriel tangent à E en un point M . Soient Σ une hypersurface de E, de genre espace, munie d’une métrique induite γ, et n un champ vectoriel unitaire et orthogonal à Σ. On reprend les notations de l’exercice précédent, mais on notera D l’extension sur E de la connexion de Levi-Civita sur Σ (définie par rapport à γ), telle que, ∀(u, v ) ∈ T2M (Σ), Duv = ∇uv + K(u, v ) n, avec K le tenseur de courbure extrinsèque de Σ étendu à E et défini par K = −P ∇n. On notera K = K i i , avec i ∈ 1, 3, sa trace relativement à γ. 1 – Montrer que les composantes mixtes du tenseur P, associé au projecteur orthogonal P de TM (E) sur TM (Σ) parallèlement à Vect(n), sont telles que ∇μ P αν = ∇μ nα nν + nα ∇μ nν . 2 – Pour tout champ vectoriel v = [v μ ] tangent à Σ, montrer que Dα Dβ v μ = −Kαβ P μλ nσ ∇σ v λ − K μα Kβλ v λ + P να P σβ P μλ ∇ν ∇σ v λ . 3 – On définit le tenseur de Riemann relativement à la connexion D dont les com˜μ posantes R ναβ vérifient l’identité de Ricci telle que, pour tout champ vectoriel v = [v μ ] tangent à Σ, ν ˜μ (Dα Dβ − Dβ Dα ) v μ = R ναβ v .

(a) Montrer l’équation de Gauss qui est γ γ ˜γ P μα P νβ P γρ P σλ Rρσμν = R λαβ + K α Kλβ − K β Kαλ ,

en notant Rρσμν les composantes du tenseur de Riemann relativement à la connexion ∇. (b) En déduire les deux équations suivantes : ˜ αβ + K Kαβ − Kαμ K μ , P μα P νβ Rμν + Pαμ P ρβ nν nσ Rμ νρσ = R β

(2.12)

˜ + K − Kij K , R + 2Rμν n n = R μ

ν

2

ij

˜ αβ les composantes des tenseurs de Ricci associés resavec (i, j) ∈ 1, 32 , Rμν et R ˜ leurs traces associées pectivement aux tenseurs de Riemann précédents, et R et R respectivement aux métriques g et γ.

Chapitre 2 – Géométrie et calcul tensoriel

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4 – En appliquant au vecteur n l’identité de Ricci associée à la connexion ∇, montrer l’équation de Codazzi : P μα P νβ P λρ nσ Rρσμν = Dβ K λα − Dα K λβ . En déduire que P μα nν Rμν = Dα K − Dμ K μα .

 SOLUTION 1 – Par définition du projecteur : P μν = δ μν + nμ nν . On a donc ∇μ P αν = ∇μ (δ αν + nα nν ) = ∇μ nα nν + nα ∇μ nν , avec ∇μ δ αν = 0. 2 – Par définition de la connexion : Dβ v μ = P σβ P μν ∇σ v ν , ce qui conduit à Dα Dβ v μ = P λα P ρβ P μγ ∇λ (Dρ v γ ) = P λα P ρβ P μγ ∇λ (P σρ P γν ∇σ v ν ) = P λα P ρβ P μγ (P γν ∇σ v ν ∇λ P σρ + P σρ ∇σ v ν ∇λ P γν + P σρ P γν ∇λ ∇σ v ν ). Etudions séparément les trois termes du membre de droite de cette dernière égalité. Le premier peut se réécrire P λα P ρβ P μγ P γν ∇σ v ν ∇λ P σρ = P λα P ρβ P μν ∇σ v ν (∇λ nσ nρ + nσ ∇λ nρ ) = P λα P ρβ P μν ∇σ v ν nσ ∇λ nρ , la seconde ligne étant obtenue avec P ρβ nρ = 0 (par définition du projecteur). Il vient donc P λα P ρβ P μγ P γν ∇σ v ν ∇λ P σρ = −Kαβ P μλ nσ ∇σ v λ , avec Kαβ = −P λα P ρβ ∇λ nρ . Le deuxième terme, quant à lui, est tel que P λα P ρβ P μγ P σρ ∇σ v ν ∇λ P γν = P λα P σβ P μγ ∇σ v ν (∇λ nγ nν + nγ ∇λ nν ) = P λα P σβ P μγ nν ∇σ v ν ∇λ nγ , puisque P μγ nγ = 0. De plus, comme nν v ν = 0, nν ∇σ v ν = −v ν ∇σ nν , ce qui donne P λα P ρβ P μγ P σρ ∇σ v ν ∇λ P γν = −K μα Kβλ v λ ,

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Relativité générale et astrophysique

avec K μα = −P λα P μγ ∇λ nγ et, comme v ν = P νλ v λ , Kβλ v λ = −P σβ P νλ ∇σ nν v λ . Enfin, après changement d’indices, le troisième terme s’écrit directement P λα P ρβ P μγ P σρ P γν ∇λ ∇σ v ν = P να P σβ P μλ ∇ν ∇σ v λ . En regroupant tous les termes obtenus, on a donc bien Dα Dβ v μ = −Kαβ P μλ nσ ∇σ v λ − K μα Kβλ v λ + P να P σβ P μλ ∇ν ∇σ v λ . 3(a) – D’après le résultat précédent et par symétrie du tenseur K, Dα Dβ v μ − Dβ Dα v μ = (K μβ Kαλ − K μα Kβλ ) v λ + P να P σβ P μλ (∇ν ∇σ v λ − ∇σ ∇ν v λ ), avec ∇ν ∇σ v λ − ∇σ ∇ν v λ = Rλγνσ v γ . La relation se réécrit donc μ μ ν μ λ ν σ λ γ ˜μ R ναβ v = (K β Kαλ − K α Kβλ ) v + P α P β P λ R γνσ v ,

c’est-à-dire, après changement d’indices et comme v est quelconque, γ γ ˜γ P μα P νβ P γρ P σλ Rρσμν = R λαβ + K α Kλβ − K β Kαλ .

3(b) – La contraction de l’équation de Gauss avec les indices α et γ donne tout d’abord α α ˜α P μα P νβ P αρ P σλ Rρσμν = R λαβ + K α Kλβ − K β Kαλ , μ α μ μ μ α i ˜α ˜ avec R λαβ = Rλβ , P α P ρ = P ρ = δ ρ + n nρ , et enfin K α = K i = K, puisque K 0 0 = 0. En remplaçant puis en changeant d’indices, on obtient donc la première équation

˜ αβ + K Kαβ − Kαμ K μ . P μα P νβ Rμν + Pαμ P ρβ nν nσ Rμ νρσ = R β La seconde équation est obtenue en prenant la trace par rapport à la métrique γ c’està-dire en multipliant la première équation par γ αβ = P αβ (voir exercice précédent). Calculons chaque terme de cette équation : P αβ P μα P νβ Rμν = g λβ P αλ P μα g νσ Pσβ Rμν = g νσ P λσ P μλ Rμν = P μν Rμν = R + Rμν nμ nν . De même, on a P αβ Pαμ P ρβ nν nσ Rμ νρσ = P ρμ nν nσ Rμ νρσ = (δ ρ μ + nρ nμ ) nν nσ Rμ νρσ = Rνσ nν nσ ,

Chapitre 2 – Géométrie et calcul tensoriel

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˜ P αβ Kαβ = K, et ˜ αβ = R, puisque nρ nμ nν nσ Rμ νρσ = 0. Enfin, P αβ R μ P αβ Kαμ K β = Kμν K μν = Kij K ij . Après changement d’indices, on retrouve ainsi l’équation ˜ + K 2 − Kij K ij . R + 2Rμν nμ nν = R 4 – L’identité de Ricci appliquée au vecteur n s’écrit (∇α ∇β − ∇β ∇α ) nμ = Rμναβ nν . En projetant cette égalité sur Σ, cette équation devient P σα P λβ P μρ (∇σ ∇λ − ∇λ ∇σ ) nρ = P σα P λβ P μρ Rρνσλ nν . Comme ∇ν nμ = −Kμν − aμ nν , avec a = ∇nn (voir exercice page 74), le premier terme du membre de gauche de cette égalité s’écrit P σα P λβ P μρ ∇σ ∇λ nρ = P σα P λβ P μρ ∇σ (−K ρ λ − aρ nλ ) = −P σα P λβ P μρ (∇σ K ρ λ + nλ ∇σ aρ + aρ ∇σ nλ ), avec les relations −P σα P λβ P μρ ∇σ K ρ λ = −Dα K ρ β , −P σα P λβ P μρ nλ ∇σ aρ = 0 , −P σα P λβ P μρ aρ ∇σ nλ = aμ Kαβ . La symétrie du tenseur K implique donc, après changement d’indices, l’équation P μα P νβ P λρ nσ Rρσμν = Dβ K λα − Dα K λβ . La dernière relation s’obtient en contractant cette équation avec les indices α et λ, ce qui donne P μρ P νβ nσ Rρσμν = Dβ K − Dα K αβ , ou encore (δ μ ρ + nμ nρ ) P νβ nσ Rρσμν = Dβ K − Dα K αβ , c’est-à-dire, après changement d’indices, P μα nν Rμν = Dα K − Dμ K μα . Références bibliographiques : [28], [31], [32], [17].

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Relativité générale et astrophysique

[D]  EXERCICE 2.18 Le but de cet exercice est de traiter deux exemples simples permettant de bien comprendre la différence entre la courbure intrinsèque qui est donnée par le tenseur de Riemann, et la courbure extrinsèque. Comparaison de courbures – Dans une variété pseudo-riemannienne M, munie d’une métrique g, on considère une hypersurface Σ, de genre espace, munie d’une métrique induite γ. On notera n, un vecteur unitaire orthogonal à Σ en un point M . On rappelle que le tenseur de courbure extrinsèque de Σ, noté K, est défini de la façon suivante : K : TM (Σ)2 (u, v )

−→ R −→ −u · ∇v n,

avec TM (Σ), l’espace tangent à Σ en M . On appellera trace du tenseur K, le réel : K = γ ij Kij . 1 – Premier exemple : dans l’espace R3 , muni de coordonnées cartésiennes {x, y, z}, on considère un cylindre Σ, de rayon R et d’équation x2 + y 2 = R2 . (a) Déterminer la métrique induite sur ce cylindre et montrer que le tenseur de Riemann associé est nul. (b) Déterminer le tenseur de courbure extrinsèque de Σ, ainsi que sa trace. 2 – Second exemple : dans l’espace R3 , muni de coordonnées cartésiennes {x, y, z}, on considère une sphère Σ, de rayon R et d’équation x2 + y 2 + z 2 = R2 . (a) Déterminer la métrique induite sur cette sphère, les composantes du tenseur de Riemann et du tenseur de Ricci, et la courbure scalaire de Ricci. (b) Déterminer le tenseur de courbure extrinsèque de Σ, ainsi que sa trace.

 SOLUTION 1(a) – En coordonnées cylindrique {r, θ, z}, le carré de la norme d’un vecteur déplacement élémentaire ds, sur la surface du cylindre s’écrit ds2 = R2 dθ2 + dz 2 . La métrique induite sur le cylindre est donc plate, et les seules composantes non nulles du tenseur métrique induit (γθθ = R et γzz = 1) sont constantes. Le tenseur de Riemann est donc identiquement nul. D’ailleurs, en posant ϕ = R θ, on peut exprimer cet élément de longueur dans le système de coordonnées {ϕ, z} pour obtenir une métrique induite de forme cartésienne ds2 = dϕ2 + dz 2 .

Chapitre 2 – Géométrie et calcul tensoriel

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1(b) – Un vecteur unitaire orthogonal au cylindre est donné par le gradient normalisé de la fonction scalaire f : (x, y, z) → x2 + y 2 − R2 . Il s’écrira   x y  =

n = ∇f ,

,0 . x2 + y 2 x2 + y 2 On déduit alors le tenseur dérivée covariante de n, de en coordonnées cartésiennes dans R3 ), ⎛ −x y y2 2 2 −3/2 ⎝ −x y x2 ∇ n = (x + y ) 0 0

composantes ∇ν nμ (= ∇ν nμ ⎞ 0 0 ⎠. 0

Par ailleurs, les composantes covariantes du tenseur de courbure extrinsèque dans la base naturelle {∂θ , ∂z } sont Kij = K(∂i , ∂j ) = −∇μ nν (∂i )ν (∂j )μ , avec (i, j) ∈ {θ, z}, et ∂θ = −y ∂x + x ∂y , ce qui donne     Kθθ Kzθ −R 0 (Kij ) = = . Kθz Kzz 0 0 Enfin, comme (γ ij ) = diag(R−2 , 1), la trace de K est K =−

1 . R

Pour le cylindre, seule la courbure extrinsèque est non nulle. 2(a) – En coordonnées sphériques {r, θ, ϕ}, le carré de la norme d’un vecteur déplacement élémentaire ds, sur la surface de la sphère s’écrit ds2 = R2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ). Les seules composantes non nulles du tenseur métrique induit sont donc : γθθ = R2 , et γϕϕ = R2 sin2 θ. En raison des symétries du tenseur de Riemann, les seules composantes non nulles en dimension 2 sont toutes égales au signe près : Rθϕθϕ = −Rϕθθϕ = Rϕθϕθ . On peut facilement simplifier la relation suivante donnant les composantes du tenseur de Riemann : Rabcd =

1 (∂d ∂a gbc − ∂d ∂b gac + ∂c ∂b gad − ∂c ∂a gbd ) − γ ef (Γeac Γf bd − Γead Γf bc ) , 2

avec Γϕθϕ = Γϕϕθ = (1/2) ∂θ γϕϕ , pour trouver 1 1 Rθϕθϕ = − ∂θ ∂θ γϕϕ + γ ϕϕ (∂θ γϕϕ )2 . 2 4

86

Relativité générale et astrophysique

Ainsi, comme γ ϕϕ = (γϕϕ )−1 , on obtient Rθϕθϕ = R2 sin2 θ, et la courbure intrinsèque n’est donc pas nulle. En dimension 2, le scalaire de Ricci, noté Rc , est donné par   Rc = 2 γ θϕ γ ϕθ − γ θθ γ ϕϕ Rθϕθϕ = −2 γ θθ γ ϕϕ Rθϕθϕ 2 = − 2. R Enfin, avec la relation Rab = Rcabc , les deux seules composantes non nulles du tenseur de Ricci sont Rθθ = Rϕθθϕ = −γ ϕϕ Rθϕθϕ = −1 Rϕϕ = Rθϕϕθ = − sin2 θ. 2(b) – Un vecteur unitaire orthogonal à la sphère est donné par le gradient normalisé de la fonction scalaire f : (x, y, z) → x2 + y 2 + z 2 − R2 . Il s’écrira   y z x  =

,

,

. n = ∇f x2 + y 2 + z 2 x2 + y 2 + z 2 x2 + y 2 + z 2 Le tenseur dérivée covariante de n est donc ⎛ 2 y + z2 2 2 2 −3/2 ⎝ ∇ n = (x + y + z ) −x y −x z

−x y x2 + z 2 −y z

⎞ −x z −y z ⎠ . 2 x + y2



Comme ∂θ = (x2 + y 2 )1/2 x z ∂x + y z ∂y − (x2 + y 2 ) ∂z , et que ∂ϕ = −y ∂x + x ∂y , on obtient     −R 0 Kθθ Kzθ . = (Kij ) = Kθz Kzz 0 −R sin2 θ Enfin, la trace de K est

2 . R Pour la sphère, les courbures, intrinsèque et extrinsèque, sont toutes les deux non nulles. K =−

Chapitre 3

Espace-temps et mesure [M]  EXERCICE 3.1 Cet exercice est fondamental pour la suite. Mesure des distances et des intervalles de temps – On considère un espacetemps muni d’une métrique ds2 = gμν dxμ dxν , de signature (+, −, −, −), dans le système de coordonnées {xμ }μ∈0,3 , où x0 est la coordonnée temporelle. 1 – Rappeler le lien entre un intervalle infinitésimal de temps propre, dτ , et un intervalle de temps coordonnée dx0 , séparant deux événements situés en un même point de l’espace. 2 – Soient deux points de l’espace infiniment proches, notés A et B, et situés respectivement en x et x + dx. Pour mesurer la distance spatiale infinitésimale, d, entre A et B, un observateur situé en A envoie un photon vers B qui le renvoie à l’aide d’un miroir vers A. (a) Exprimer le temps mis par le photon et mesuré par l’observateur A pour faire l’aller-retour entre A et B. (b) En déduire la distance d mesurée par l’observateur A, et donner les composantes covariantes du tenseur métrique de l’espace tridimensionnel. 3 – (a) A quelle condition sur la métrique, la notion de distance spatiale entre deux points quelconques de l’espace-temps garde-t-elle une signification ? (b) Que dire de la notion de référentiel ? 4 – On souhaite synchroniser deux horloges, l’une située en A et l’autre en B. En supposant que le photon est renvoyé en B à l’instant x0 , à quel instant cela correspond-il sur l’horloge située en A ? Quel est alors le décalage entre les deux horloges ? Conclure.

88

Relativité générale et astrophysique

 SOLUTION 1 – L’intervalle de temps propre dτ , entre deux événements P et P  infiniment proches sur la ligne d’univers d’un point matériel, est le temps mesuré par une horloge liée au point matériel entre P et P  : par définition, cet intervalle de temps propre est tel que, en notant ds, la distance spatio-temporelle, on a ds = c dτ . Dans notre cas, les deux événements ayant lieu au même point d’espace, dx1 = dx2 = dx3 = 0, on a ds = c dτ =

√ g00 dx0 .

2(a) – La distance d, mesurée par l’observateur en A, sera égale à la moitié du temps que met le photon pour faire l’aller-retour multipliée par c. La distance spatiotemporelle séparant les deux événements que constituent l’envoi en A et le retour en B du signal est nulle : elle s’écrit ds2 = g00 (dx0 )2 + 2g0i dx0 dxi + gij dxi dxj = 0 , avec (i, j) ∈ 1, 32 . Les coordonnées spatiales de A et B étant fixes, on trouve, lorsqu’elles existent, deux racines réelles à l’équation précédente,    1 dx0(1) = −g0i dxi − (g0i g0j − gij g00 ) dxi dxj , g00    1 dx0(2) = −g0i dxi + (g0i g0j − gij g00 ) dxi dxj , g00 correspondant aux sens aller et retour de propagation entre A et B. Le produit de ces deux racines étant 1 dx0(1) dx0(2) = (gij dxi dxj ) , g00 avec g00 > 0, et gij dxi dxj < 0, les deux racines sont de signes opposés. Supposons alors que dx0(1) < 0 et dx0(2) > 0 ; on peut dire que le photon part de A en x0 + dx0(1) , arrive en B en x0 , et revient en A en x0 + dx0(2) (voir figure 3.1).

x0

x 0 + dx 0(2)

x 0 + dx 0(1) Ligne d’univers de B

Ligne d’univers de A

Figure 3.1 – Lignes d’univers des observateurs A et B, et du photon échangé.

Chapitre 3 – Espace-temps et mesure

89

Ainsi, l’intervalle de temps coordonnée en A, entre le départ et le retour du photon, s’écrit  2 x0 + dx0(2) − (x0 + dx0(1) ) = dx0(2) − dx0(1) = (g0i g0j − gij g00 ) dxi dxj . g00 Le temps propre dτ , mesuré par A, sera donc tel que  √ 2 (g0i g0j − gij g00 ) dxi dxj , c dτ = g00 g00 ou encore 2 dτ = c



g0i g0j − gij g00

 dxi dxj ,

2(b) – L’observateur A déduit la distance d qui est   g0i g0j d = −gij + dxi dxj . g00 Les composantes covariantes du tenseur métrique de l’espace tridimensionnel, notées γij , sont simplement définies par γij = −gij +

g0i g0j . g00

On peut montrer facilement que γ ij = −g ij . 3(a) – La distance entre deux points quelconques de l’espace-temps pourrait être obtenue en intégrant la distance d ; cependant, dans le cas général, la métrique n’est pas stationnaire, et les coefficients gμν dépendent de x0 . La distance macroscopique ne serait donc pas déterminée de façon univoque et dépendrait de la ligne d’univers choisie pour faire l’intégration entre les deux points considérés. La distance macroscopique n’a donc de sens que si l’on considère une métrique stationnaire : en choisissant un système de coordonnées dans lequel le tenseur

métrique est diagonal, la distance macroscopique est alors obtenue en intégrant d = −gij dxi dxj , avec (i, j) ∈ 1, 32 . 3(b) – La notion de référentiel, telle que définie en mécanique classique et en relativité restreinte, perd donc tout sens global en relativité générale puisque deux observateurs situés en deux points distincts de l’espace-temps ne pourront s’accorder ni sur le temps propre qu’ils mesurent, ni sur la distance spatiale entre deux points. Une définition plus générale de référentiel pourrait alors être celle-ci : étant donné un système de coordonnées, le référentiel associé sera formé par l’ensemble des observateurs dont la vitesse coordonnée est nulle, c’est-à-dire par l’ensemble des observateurs spatialement fixes (ou statiques) par rapport au système de coordonnées choisi. La métrique, écrite dans ce système de coordonnées, sera dite exprimée dans ce référentiel. Dans un espace-temps de Minkowski, cette définition rejoint la définition classique de référentiel.

90

Relativité générale et astrophysique

4 – Suivant les notations précédentes, pour l’observateur situé en A, le photon arrivera en B à l’instant 12 (x0 + dx0(1) + x0 + dx0(2) ), c’est-à-dire à l’instant correspondant à la moitié du temps total de l’aller-retour. Comme pour B, le photon arrive à l’instant x0 , le décalage Δx0 d’indication entre les deux horloges sera Δx0 =

1 0 g0i i (x + dx0(1) + x0 + dx0(2) ) − x0 = − dx . 2 g00

La synchronisation des horloges est donc réalisée lorsque g0i dxi = 0, ce qui équivaut à g0i = 0 pour i ∈ 1, 3, condition qui peut être réalisée localement, par un changement de coordonnées, dans n’importe quel espace-temps. Références bibliographiques : [8].

[MD]  EXERCICE 3.2 Il est conseillé de faire l’exercice page 87 avant de commencer ce problème. Energie dans un champ gravitationnel constant – Un champ gravitationnel constant caractérise deux types d’espaces-temps : les espaces-temps stationnaires et les espaces-temps statiques (voir exercice page 109). Dans cet exercice, on choisit de se placer dans un tel espace-temps. On le munit d’une métrique ds2 = gμν dxμ dxν , de signature (+, −, −, −), dans le système de coordonnées {xμ }μ∈0,3 , où x0 est la coordonnée temporelle telle que ∂gμν /∂x0 = 0. Par définition, l’énergie E d’une particule de quadri-vecteur impulsion [pμ (M )], en un point M de sa ligne d’univers et mesurée par un observateur statique (ou fixe dans l’espace), est égale à la composante temporelle p0 (M ) (multipliée par c). 1 – Donner l’expression de la vitesse de la particule, notée v , telle qu’elle est mesurée par l’observateur statique. 2 – En déduire que l’intervalle spatio-temporel infinitésimal ds est tel que   v2 2 ds = g00 1 − 2 (dx0 − gi dxi )2 , c avec gi = −g0i /g00 pour i ∈ 1, 3. Quelles sont alors les composantes contravariantes de la quadri-vitesse de la particule ? 3 – Montrer que l’énergie E d’une particule libre de masse m (> 0) peut se mettre sous la forme √ m c2 g00 . E=

1 − v 2 /c2 Cette énergie est-elle conservée le long de la trajectoire de la particule ?

Chapitre 3 – Espace-temps et mesure

91

 SOLUTION 1 – La vitesse de la particule, mesurée par l’observateur statique, est égale à la distance spatiale dxi parcourue par la particule entre les positions spatiales xi et xi + dxi pendant l’intervalle de temps infinitésimal, dτ , mesuré par deux horloges synchronisées placées respectivement en xi et xi + dxi (voir exercice page 87). Pour déterminer cet intervalle de temps, appelé intervalle de temps propre synchronisé, on doit comparer l’instant x0 + dx0 où la particule est en xi + dxi avec l’instant qui, en xi + dxi , est simultané à l’instant x0 en xi et qui s’écrit x0 − (g0i /g00 ) dxi . Pour obtenir le temps √ propre de l’horloge en xi + dxi , il faut alors multiplier par g00 , ce qui donne      g0i g0i √ √ 0 0 0 i 0 i c dτ = g00 (x + dx ) − x − dx dx . = g00 dx + (3.1) g00 g00 La vitesse aura donc pour composantes contravariantes vi = √

c dxi , g00 (dx0 − gi dxi )

en notant gi = −g0i /g00 pour i ∈ 1, 3. Remarques : Le vecteur vitesse v est défini dans l’espace vectoriel tangent à la variété riemannienne tridimensionnelle dont le tenseur métrique a pour composantes γij = −gij +

g0i g0j , g00

γ ij = −g ij .

Si la métrique est diagonale pour l’observateur statique, alors gi = 0 pour i ∈ 1, 3 et la vitesse est simplement telle que vi = √

c dxi . g00 dx0

Cela signifie que l’intervalle de temps propre synchronisé est égal à l’intervalle de temps propre mesuré par l’observateur. Un référentiel dans lequel la condition gi = 0, pour i ∈ 1, 3, est vérifiée et qui, en plus, est tel que g00 = 1, est appelé référentiel synchrone (voir, dans la bibliographie, Landau & Lifschitz). 2 – En séparant les composantes temporelles des composantes spatiales, le carré de l’intervalle spatio-temporel infinitésimal ds s’écrit ds2 = g00 (dx0 )2 + 2g0i dx0 dxi + gij dxi dxj   2 = g00 dx0 − gi dxi − gi gj dxi dxj + gij dxi dxj  2 = g00 dx0 − gi dxi − d2 ,

92

Relativité générale et astrophysique

avec, d’après les notations de la remarque précédente, d2 = γij dxi dxj . De plus, comme vi = γij v j , on a v 2 = vi v i = et l’intervalle devient

 2

ds = g00

c2 d2 g00 (dx0 − gi dxi )

v2 1− 2 c



2,

 0 2 dx − gi dxi .

Par définition, les composantes contravariantes de la quadri-vitesse de la particule sont uμ = dxμ /ds. D’après les expressions de ds et de v i , on trouve, pour i ∈ 1, 3, vi ui =

, c 1 − v 2 /c2 et la composante temporelle est u0 =

1 dx0 gi v i =

. +

ds g00 (1 − v 2 /c2 ) c 1 − v 2 /c2

3 – L’énergie est par définition : E = p0 c = m c2 u0 , avec u0 = gμ0 uμ . En remplaçant par les expressions de ui et u0 , on obtient facilement √ m c2 g00 2 0 i . E = m c g00 (u − gi u ) =

1 − v 2 /c2 Le champ gravitationnel étant supposé constant, l’énergie est conservée le long de la trajectoire de la particule : en effet, d’après l’équation de la géodésique et en un point M de la géodésique, dp0 1 dE = = (∂0 gαβ ) pα pβ = 0, ds ds 2 puisque ∂0 gαβ = 0. Une autre façon de le dire est que le vecteur de la base naturelle ∂0 est un vecteur de Killing (voir l’exercice page 59). Références bibliographiques : [8], [5].

[M]  EXERCICE 3.3 Référentiel d’un observateur en rotation – On se place dans un espace-temps de Minkowski, dont l’élément spatio-temporel infinitésimal s’écrit, en coordonnées cylindriques de centre O et en posant c = 1, ds2 = dt2 − dr2 − r2 dθ2 − dz 2 .

Chapitre 3 – Espace-temps et mesure

93

On considère un observateur en rotation autour de l’axe (Oz) à la vitesse angulaire ω. 1 – Comment s’écrit ds2 pour cet observateur dans son propre système de coordonnées cylindriques {T, R, Θ, Z} ? En déduire les composantes du tenseur métrique. Conclure. 2 – On admet que le tenseur métrique de l’espace tridimensionnel a pour composantes covariantes g0i g0j , γij = −gij + g00 où les composantes covariantes gij , avec (i, j) ∈ 1, 3, sont celles du tenseur métrique de l’espace-temps. (a) Déterminer les composantes γij pour l’observateur en rotation dans le système de coordonnées {R, Θ, Z}. (b) Calculer le périmètre d’un cercle contenu dans le plan Z = 0, centré en R = 0 et de rayon R0 , tel qu’il est mesuré par l’observateur en rotation.  SOLUTION 1 – Les nouvelles coordonnées cylindriques pour l’observateur en rotation sont définies par T = t, R = r, Θ = θ + ω t et Z = z. On obtient donc facilement ds2 = dT 2 − dR2 − R2 (dΘ − ω dT )2 − dZ 2 , c’est-à-dire ds2 = (1 − ω 2 R2 ) dT 2 + 2ω R2 dΘ dT − dR2 − R2 dΘ2 − dZ 2 . Les composantes du tenseur métrique sont alors gT T = 1 − ω 2 R2 , gΘT = gT Θ = ω R2 , gRR = −1 , gΘΘ = −R2 , gZZ = −1. Avec les nouvelles coordonnées {T, R, Θ, Z}, la composante g00 (≡ gT T ) peut être négative pour R > 1/ω. Une conséquence serait que des corps massifs puissent avoir une vitesse supérieure à celle de la lumière ; ces coordonnées ne permettent donc pas de décrire complètement l’espace-temps de Minkowski. 2(a) – On déduit de la question précédente que les seules composantes covariantes non nulles du tenseur métrique tridimensionnel s’écrivent γRR = 1 ,

γΘΘ =

R2 , 1 − ω 2 R2

γZZ = 1.

2(b) – Pour déterminer le périmètre LC du cercle, il suffit d’intégrer l’élément de longueur infinitésimal,  R2 dΘ2 + dZ 2 , d = dR2 + 1 − ω 2 R2

94

Relativité générale et astrophysique

avec R = R0 , Z = Z0 et Θ qui varie entre 0 et 2π. On trouve donc  2π  2π R0 R02 LC = dΘ =

. 2 2 1 − ω R0 1 − ω 2 R02 0 Ce périmètre est donc supérieur à 2π R0 , ce qui traduit le fait que l’espace tridimensionnel défini ici est courbe contrairement à l’espace-temps de Minkowski qui, par définition, reste plat. Références bibliographiques : [8], [17].

[M]  EXERCICE 3.4

De l’inconvénient des voyages spatiaux – Nous reprenons, dans cet exercice, la célèbre situation des jumeaux de Langevin. Plaçons-nous dans un espace-temps de Minkowski. Dans un vaisseau spatial, deux observateurs A et B sont initialement inertiels. L’observateur B quitte le vaisseau à l’aide d’une petite navette. A l’aide d’un accéléromètre, il mesure une accélération à bord de la navette qui reste constante et égale à a0 . Au bout d’un temps propre τr , il décide d’inverser la poussée du moteur de la fusée afin de s’arrêter et de revenir vers l’observateur A. Au cours du voyage, il mesure toujours la même accélération dans sa navette. 1 – Déterminer l’accélération, mesurée par A, en fonction de la vitesse v de la navette et de l’accélération a0 . En déduire les expressions de la vitesse v et du facteur de Lorentz γv = (1 − v 2 /c2 )−1/2 en fonction du temps propre τ de l’observateur B. 2 – Désormais, on suppose que la navette est en mouvement rectiligne par rapport au vaisseau. Exprimer les composantes contravariantes de la quadri-vitesse et de la quadri-accélération de l’observateur B. Que vaut la pseudo-norme de la quadriaccélération ? 3 – Exprimer la position de la navette, mesurée par A, en fonction du temps propre t de A. Quelle est l’asymptote de cette position ? Conclure. 4 – Déterminer les durées du voyage, TA et TB , mesurées respectivement par les deux observateurs A et B en fonction de τr et de a0 . En déduire numériquement les valeurs de TA et TB pour effectuer un voyage vers une étoile située à 16 annéeslumière pour A, avec une accélération a0 = 10 m·s−2 . 5 – On rajoute une phase d’une durée τc pour B à vitesse constante au milieu du voyage, c’est-à-dire au bout de τr . (a) Déterminer la vitesse vmax à laquelle s’effectue cette nouvelle phase.

Chapitre 3 – Espace-temps et mesure

95

(b) De quelle quantité ΔT a changé la différence TA − TB entre les durées de voyage ? Avec les données numériques de la question précédente, et pour τc = 0,5 an, calculer vmax et ΔT .  SOLUTION 1 – Considérons un référentiel de repos instantané, noté R , coïncidant avec celui de l’observateur B à un instant donné. Ce référentiel inertiel est en translation uniforme par rapport au référentiel de A, noté R, à la vitesse v qui est égale à celle de B. Autrement dit, la vitesse v  de B dans R est nulle et, à chaque instant, le temps propre τ mesuré par B sera égal au temps coordonnée t mesuré dans R . L’accélération mesurée par B s’écrira donc a0 =

dv  dv  = . dτ dt

La transformation de Lorentz sur l’accélération donne alors l’accélération mesurée par A qui est  3/2 dv v2 = 1− 2 a0 . dt c Avec dτ = (1 − v 2 /c2 )1/2 dt, on déduit dv = dτ

  v2 1 − 2 a0 , c

ce qui conduit, après intégration, à c tanh−1 (v/c) = a0 τ, c’est-à-dire v(τ ) = c tanh

a τ  0 , c

(3.2)

avec la condition initiale v(0) = 0 lors du départ de B. Malgré une accélération constante de la navette, la vitesse mesurée par A tend donc vers c lorsque τ devient suffisamment grand. Enfin, on a facilement a τ  0 . γv = cosh c 2 – Supposons que la navette se déplace selon l’axe des x. Les composantes de la quadri-vitesse [uμ ] de la navette s’écrivent a τ  a τ  dt dx dt 0 0 = γv = cosh , =v = c sinh , dτ c dτ dτ c dz dy = 0, = 0, dτ dτ

96

Relativité générale et astrophysique

et celle de la quadri-accélération [aμ ] a τ  a0 d2 t 0 sinh , = 2 dτ c c d2 y = 0, dτ 2

a τ  d2 x dt 0 = a0 cosh , =v 2 dτ dτ c d2 z = 0. dτ 2

Le carré de la pseudo-norme de la quadri-accélération est égal à aμ aμ , c’est-à-dire −a20 . 3 – Les composantes de la quadri-vitesse s’intègrent facilement pour donner a τ  c 0 sinh , a0 c y = 0, t=

a τ   c2  0 cosh −1 , a0 c z = 0,

x=

avec pour conditions initiales : t(0) = x(0) = y(0) = z(0) = 0. On en déduit   c a0 t τ= sinh−1 , a0 c ⎡ ⎤  2 a0 t c2 ⎣ 1+ − 1⎦ . x= a0 c Lorsque t → +∞, la position x tend vers l’asymptote d’équation   c x0 = c t − a0 dans la plan {t, x}. Cela signifie qu’aucun message envoyé par A au-delà du temps c/a0 ne parviendra à l’observateur B, puisque ce dernier sort du cône de lumière de A. 4 – Le voyage de B peut être divisé en quatre phases symétriques ayant chacune une durée τr pour B. Pour l’observateur B le voyage va simplement durer TB = 4 τr , alors que pour l’observateur A, il dure TA =

a τ  4c 0 r . sinh a0 c

Application numérique : pour faire la moitié du voyage aller, on pose x = 8 annéeslumière  7,54 × 1016 m, et c/a0  3 × 107 s. On trouve la durée du voyage pour A qui est  2 4c  a0 x TA = + 1 − 1  35,6 ans. a0 c2 Le voyageur B trouvera, quant à lui, une durée de voyage TB =

 a x 4c 0 cosh−1 + 1  11,2 ans. a0 c2

Chapitre 3 – Espace-temps et mesure

97

40

Durée du voyage [années]

A 30

20 B 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Distance [années-lumière] Figure 3.2 – Durées du voyage de B en fonction de la distance à parcourir, mesurées par l’observateur A (pointillé) qui reste sur le vaisseau spatial (référentiel inertiel), et par l’observateur B (trait plein) qui voyage avec la navette (référentiel non inertiel).

5(a) – D’après l’expression (3.2), on a vmax = c tanh

a τ  0 r . c

5(b) – La durée de la phase τc à vitesse constante est un temps propre pour B, mais pas pour A. La durée de cette phase pour A va s’écrire  −1/2 2 vmax tc = 1 − 2 τc . c La différence TA − TB est donc augmentée de la quantité   −1/2 2 vmax ΔT = 1− 2 − 1 τc . c Numériquement, on obtient : vmax  0,9944 c, et donc ΔT  4,2 ans. Références bibliographiques : [8], [15].

98

Relativité générale et astrophysique

[M]  EXERCICE 3.5

Décalage vers le rouge gravitationnel – On considère un espace-temps muni d’une métrique ds2 = gμν dxμ dxν , de signature (+, −, −, −), dans le système de coordonnées {xμ }μ∈0,3 , où x0 est la coordonnée temporelle. Un observateur, situé en A et de quadri-vecteur vitesse [x˙ μA ], émet un photon qui est reçu par un observateur situé en B et de quadri-vecteur vitesse [x˙ μB ]. On notera [pμ (M )], le quadri-vecteur impulsion du photon, en un point M de sa ligne d’univers. 1 – Comment s’écrit le rapport des fréquences associées au photon et mesurées par les deux observateurs ? 2 – Que devient ce rapport lorsque les observateurs ont des coordonnées spatiales fixes et que la métrique est stationnaire ? 3 – Application numérique : on admet (voir exercice page 111) qu’autour d’un trou noir de Schwarzschild la métrique stationnaire est telle que g00 = 1 − rs /r, avec rs = 2G M/c2 . Calculer le rapport des fréquences mesurées par deux observateurs statiques, l’un situé à 3rs et l’autre à l’infini.  SOLUTION 1 – Les observateurs spatialement fixes en A et en B mesurent des énergies pour le photon qui valent respectivement E(A) = pμ (A) x˙ μA ,

E(B) = pμ (B) x˙ μB . Ces énergies étant reliées aux fréquences observées, νA et νB , par la relation E = h ν, on a donc pμ (B) x˙ μB νB = . νA pμ (A) x˙ μA 2 – Si les observateurs A et B sont fixes par rapport aux coordonnées, x˙ μA = x˙ μB = 0 pour μ = 0, et comme le carré de la pseudo-norme de ces quadri-vecteurs vitesse est égal à c2 , on obtient c , g00 (A)1/2 c u0B = , g00 (B)1/2 u0A =

ce qui conduit à νB p0 (B) = νA p0 (A)



g00 (A) g00 (B)

1/2 .

Chapitre 3 – Espace-temps et mesure

99

Si la métrique est stationnaire, c’est-à-dire si ∂gμν /∂x0 = 0, alors la composante covariante p0 (M ) du quadri-vecteur impulsion du photon 1 est conservée le long de sa géodésique, donc p0 (A) = p0 (B), et νB = νA



g00 (A) g00 (B)

1/2 .

3 – Si l’observateur A est en r = 3rs , et que l’observateur B est à l’infini, le rapport est égal à νB = (1 − 1/3)1/2 = 0,82 . νA

[MD]  EXERCICE 3.6

Gravitation en champs faibles – La métrique d’un espace-temps où règne un champ gravitationnel faible, se rapproche de la métrique de l’espace-temps de Minkowski. En coordonnées cartésiennes {c t, x, y, z}, le tenseur métrique d’un tel espace pourra s’écrire sous la forme gμν = ημν + hμν , avec |hμν | 1, et les composantes symétriques ημν = −δμν , si (μ, ν)2 ∈ 1, 3, et ημ0 = δμ0 , pour μ ∈ 0, 3. 1 – En supposant que la métrique est stationnaire, donner l’équation des géodésiques d’une particule massive non relativiste. Montrer que l’équation du mouvement de cette particule libre peut se mettre sous la forme d2 xi 1 = c2 ∂ i h00 , dt2 2 avec i ∈ 1, 3 . En déduire que g00 = 1+2Φ/c2, avec Φ, le potentiel gravitationnel newtonien. 2 – Un photon est émis depuis la surface du Soleil à une fréquence νe . Il est reçu par un astronaute situé à une distance R du centre du Soleil. La surface du Soleil et l’astronaute seront supposés fixes par rapport aux coordonnées spatiales. Exprimer la fréquence, νr , à laquelle le photon sera observé, en fonction de R, du rayon solaire R , et de la masse solaire M .

1. Ce quadri-vecteur est, par définition, tangent à la ligne d’univers du photon puisque pμ ∝ dxμ /dλ, avec λ un paramètre affine de cette ligne d’univers (ou géodésique de genre lumière).

100

Relativité générale et astrophysique

 SOLUTION 1 – La particule suit une géodésique donnée par l’équation ν ρ d2 xμ μ dx dx = 0. + Γ νρ dτ 2 dτ dτ

Comme la particule est non relativiste, dxi /dτ dx0 /dτ , pour i = 1, 2, 3, et l’équation précédente devient  2 d2 xμ dt μ 2 + Γ c = 0, 00 2 dτ dτ avec t = x0 /c. La métrique étant stationnaire, ∂0 gμν = 0, donc les symboles de Christoffel Γμ00 sont donnés par Γμ00 =

1 ρμ 1 g (∂0 g0ρ + ∂0 g0ρ − ∂ρ g00 ) = − g ρμ ∂ρ g00 , 2 2

c’est-à-dire, avec g00 = 1 + h00 , et au premier ordre en hμν , 1 Γμ00 = − ∂ μ h00 . 2 On a donc les équations d2 t = 0, dτ 2  2 d2 xi 1 2 dt = c ∂ i h00 , dτ 2 2 dτ pour i ∈ 1, 3. Puisque dt/dτ = constante, on peut diviser par (dt/dτ )2 la dernière des deux équations précédentes pour obtenir 1 d2 xi = c2 ∂ i h00 . dt2 2 En comparant cette relation avec l’expression newtonienne 2 de l’équation du mouvement d’une particule libre de masse m dans un champ gravitationnel, d2 xi 1 i f = ∂ i Φ, = dt2 m avec f = [f i ], la force gravitationnelle newtonienne. Par identification, on déduit que h00 = 2Φ/c2 , et donc g00 = 1 + 2Φ/c2 . Ce résultat permet également de retrouver l’équation de Poisson (voir l’exercice de la page 241).  est égal à l’opposé de la partie 2. Etant donnée la signature, le gradient tridimensionnel usuel ∇ spatiale du gradient quadridimensionnel.

Chapitre 3 – Espace-temps et mesure

101

Remarque : afin de décider de la pertinence du choix d’une métrique minkowskienne au voisinage d’un objet astrophysique dans l’étude de divers phénomènes physiques 3 , on définit le paramètre de compacité 4 ou de relativité de l’objet de taille caractéristique R par 2Φ(R) rs Ξ= , = c2 R avec rs , le rayon de Schwarzschild de l’objet. Si pour le Soleil, ce paramètre est égal à un peu plus de 10−6 , il atteint 10−4 pour une naine blanche, 10−1 pour une étoile à neutrons, et vaut, par définition, 1 pour un trou noir de Schwarzschild. 2 – La distance spatio-temporelle séparant deux maxima successifs de l’onde associée au photon, en un point fixe de l’espace-temps, s’écrit Δs = c

 1/2 2Φ(R ) 1+ Δt1 , c2

à la surface du Soleil, et  1/2 2Φ(R) Δt2 , ΔsA = c 1 + c2 pour l’astronaute. Ces distances, divisées par c, sont égales aux intervalles de temps propre mesurés à la surface du Soleil, noté Δτ , et par l’astronaute, noté ΔτA , c’està-dire, aux périodes de l’onde associée au photon. De plus, comme l’astronaute et la surface du Soleil sont au repos par rapport aux coordonnées spatiales et que la métrique est stationnaire, les différences de coordonnées temporelles, Δt1 et Δt2 , sont égales. Avec Φ = −G M /r, on a donc  1/2 1 − 2G M /(R c2 ) νA = . ν 1 − 2G M /(R c2 ) avec les fréquences ν = Δτ , et νA = 1/ΔτA . On montre ainsi que, si R > R , alors νA < ν : le photon subit donc un décalage vers le rouge, ou redshift, dû à la gravitation. Ce redshift, noté z, est défini par z=

ν −1. νA

3. Autrement dit, savoir si la courbure de l’espace-temps est négligeable ou pas. 4. Ce nom est également réservé, dans la littérature astrophysique, à un autre paramètre caractérisant, cette fois-ci, la profondeur optique d’un milieu.

102

Relativité générale et astrophysique

[MD]  EXERCICE 3.7 Champ gravitationnel terrestre et géolocalisation – La Terre est supposée être sphérique de rayon R = 6378 km, et avoir une masse M = 5,97 × 1024 kg, répartie de façon homogène et isotrope. On néglige les effets liés à sa rotation sur ellemême. La métrique, créée par la Terre, est celle d’un espace-temps où règne un champ gravitationnel faible. En coordonnées sphériques {t, r, θ, ϕ}, elle s’écrit     2 Φ(r) 2 Φ(r) 2 2 dt − 1 − c (dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θ dϕ2 ) , ds2 = 1 + c2 c2 avec Φ(r), le potentiel gravitationnel newtonien. 1 – Rappeler l’expression du potentiel Φ(r) en tout point de l’espace, puis vérifier que l’on a |Φ(r)|/c2 1. 2 – Une horloge fixe, située à une distance r ( R) du centre de la Terre mesure un intervalle de temps propre dτ . Exprimer le rapport dτ /dt, en fonction de Φ(r). On développera l’expression obtenue au premier ordre en Φ(r)/c2 . 3 – On suppose que l’horloge se déplace à une vitesse coordonnée v c, dans le référentiel terrestre. Montrer que le rapport précédent s’écrit Φ(r) dτ v2 1+ 2 − 2 . dt c 2c 4 – On compare à présent les temps propres dτ1 et dτ2 , mesurés respectivement par une horloge fixe située à la surface terrestre (r = R), et par une horloge située à une distance r2 > R et se déplaçant à la vitesse coordonnée v ( c), dans le référentiel terrestre. Montrer que   1 dτ1 GM 1 v2 1+ 2 − + 2. dτ2 c r2 R 2c En déduire la variation de fréquence relative mesurée, Δy = (ν2 − ν1 )/ν1 . Faire l’application numérique pour un satellite GPS (pour Global Positioning System) en orbite circulaire dont le rayon est égal à 20 200 km, et son récepteur fixé à la surface terrestre. 5 – L’horloge précédente, située en r2 et nommée H2 , est supposée être alignée avec l’horloge située au sol et nommée H1 , et le centre de la Terre. Un photon est émis, à l’instant t1 , depuis H1 vers H2 , puis il est réfléchi, à l’instant t2 , vers H1 , qui le reçoit à l’instant t3 . (a) Déterminer l’équation différentielle que vérifie la coordonnée t en fonction de r sur la trajectoire du photon. En déduire l’intervalle de temps, t3 − t1 , mis par le photon pour faire l’aller-retour entre H1 et H2 . Quel est le terme supplémentaire

Chapitre 3 – Espace-temps et mesure

103

qui apparaît par rapport à un espace-temps de minkowski ? Ce terme est appelé délai Shapiro. Faire l’application numérique pour l’horloge d’un satellite GPS. (b) Déterminer l’intervalle de temps propre, τ3 − τ1 , mesuré par l’horloge H1 lors de l’aller-retour. Comparer le nouveau terme qui apparaît avec le délai Shapiro. Ce terme est dû à l’effet Einstein. Faire l’application numérique pour l’horloge d’un satellite GPS.  SOLUTION 1 – L’expression du potentiel gravitationnel newtonien, lorsque r  R, est simplement Φ(r) = −

GM . r

Lorsque r < R, le théorème de Gauss et la continuité du potentiel, selon les hypothèses envisagées ici, nous conduit à l’expression suivante : G M  r 3 3 G M . − 2r R 2R

Φ(r) =

Les valeurs numériques montrent que, pour tout r, |Φ(r)|/c2 1. 2 – Par définition du temps propre, c2 dτ 2 = ds2 . Comme l’horloge est fixe par rapport au système de coordonnées, dr = dθ = dϕ = 0, et   2 Φ(r) 2 2 c dτ = 1 + c2 dt2 . c2 On trouve donc dτ = dt

 1+

2 Φ(r) Φ(r) 1+ 2 . 2 c c

3 – En divisant par c2 dt2 l’expression de la métrique, on obtient  2      2  2  2  dϕ dr dθ dτ 2Φ(r) 2Φ(r) 1 2 2 2 = 1+ +r + r sin θ , − 1− dt c2 c2 c2 dt dt dt c’est-à-dire, avec  v2 =

dτ = dt

 1+

dr dt



2 + r2

dθ dt



2 + r2 sin2 θ

dϕ dt

2 ,

2 Φ(r) v 2 2 Φ(r) v 2 Φ(r) v2 − 2 + 1+ 2 − 2 . 2 4 c c c c 2c

104

Relativité générale et astrophysique

4 – Le rapport s’écrit Φ(R) c2 Φ(r2 ) v2 1+ − c2 2 c2    Φ(r2 ) Φ(R) v2 1−  1+ 2 + 2 c c2 2c   2 1 GM 1 v 1+ 2 − + 2. c r2 R 2c 1+

dτ1 dτ1 dt = = dτ2 dt dτ2

Comme ν2 /ν1 = dτ1 /dτ2 , on obtient GM Δy = (ν2 − ν1 )/ν1  2 c



1 1 − r2 R

 +

v2 . 2 c2

En considérant que la vitesse

coordonnée du satellite est égale à sa vitesse orbitale newtonienne, c’est-à-dire, v = G M/r2 , on obtient   3 GM 1 ΔyGPS  2 −  −4,5 × 10−10 . c 2 r2 R 5(a) – Pour le photon, ds2 = 0, et sa trajectoire étant radiale, dθ = dϕ = 0, tout au long de sa ligne d’univers, la métrique donne facilement     2GM 2GM 2 2 1− dt = 1 + c dr2 , r c2 r c2 c’est-à-dire, avec r  2 G M/c2 , 1 dt ± dr c Lors de l’aller, comme dr > 0, on a 1 dt  dr c

  2GM . 1+ r c2   2GM , 1+ r c2

ce qui implique

r  r2 − R 2 G M 2 + . ln 3 c c R Lors du retour, comme dr < 0, on a   dt 1 2GM − , 1+ dr c r c2 t2 − t 1 =

ce qui implique t3 − t2 = −

2GM R − r2 − ln c c3



R r2

 ,

Chapitre 3 – Espace-temps et mesure

105

et donc

r  r2 − R 4 G M 2 + . ln 3 c c R Le délai Shapiro est ainsi défini par t3 − t1 = 2

ΔtS =

r  4GM 2 . ln c3 R

Dans le cas d’une horloge sur un satellite GPS : ΔtS  8,4 × 10−11 s. 5(b) – L’horloge au sol étant fixe, d’après la question 2, on a   GM dτ  1 − dt , R c2 ce qui donne, après intégration, τ3 − τ1  2

r  2 G M r − R r2 − R 4 G M 2 2 + − , ln c c3 R c3 R

au premier ordre en Φ(r)/c2 . Le terme dû à l’effet Einstein est donc ΔtE = −

2 G M r2 − R . c3 R

Il est de signe opposé à ΔtS , et vaut environ, dans le cas d’une horloge sur un satellite GPS, −9,4 × 10−11 s, ce qui est donc du même ordre de grandeur que ΔtS . Remarque : il existe de nombreuses autres corrections dont il faut tenir compte pour obtenir une précision inférieure au mètre avec un système de géolocalisation. Par exemple, citons la forme du géoïde terrestre, les effets des marées lunaires et solaires, ou encore les liaisons inter-satellites.

[MD]  EXERCICE 3.8

Période de rotation d’un pulsar – Les pulsars sont des étoiles à neutrons en rotation rapide, émettant dans l’espace un puissant rayonnement électromagnétique via deux jets de matière accélérés le long des axes magnétiques de l’étoile. L’axe de rotation de l’étoile étant différent des axes magnétiques, le phénomène pulsar est observé lorsque l’on se trouve périodiquement dans la direction d’un des deux axes magnétiques et que l’on reçoit durant un très bref instant un signal (ou pulse) électromagnétique. Le but de ce problème est de déterminer la période de rotation du pulsar, ou durée séparant deux pulses, suivant différents observateurs.

106

Relativité générale et astrophysique

1 – Un premier observateur inertiel O1 , loin de tout champ gravitationnel et fixe par rapport au centre du pulsar situé en P , mesure une période T1 pour la rotation de ce dernier. Déterminer la période T2 mesurée par un observateur O2 croisant O1 avec une vitesse relative v constante. Application numérique : calculer T2 sachant que T1 = 3,3 × 10−2 s, et que l’observateur se déplace dans la direction du pulsar avec une vitesse v = 0,5 c à une distance de 8 années-lumière. 2 – Un troisième observateur O3 , aligné avec O1 et P , est situé à la surface d’une naine blanche de masse M et de rayon R, dont on négligera la rotation. L’espace-temps au voisinage de O3 est décrit par la métrique en champ faible telle que     2 Φ(r) 2 Φ(r) 2 2 2 ds = 1 + c dt − 1 − (dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θ dϕ2 ) , c2 c2 avec Φ(r) = −G M/r pour r  R. On donne M = 1,3 M , et R = 9000 km. Vérifier que l’approximation de champ gravitationnel faible pour O3 est justifiée. Déterminer la période T3 mesurée par l’observateur O3 en fonction de T1 , de M et de R, ainsi que la valeur numérique du rapport (T1 − T3 )/T1 . 3 – Un quatrième observateur O4 , aligné avec O1 et P , est quant à lui stationnaire sur la dernière orbite stable autour d’un trou noir de Schwarzschild (voir exercice page 123), c’est-à-dire situé en r = 3 rs . L’espace-temps au voisinage du trou noir de Schwarzschild, de masse M , est décrit par la métrique telle que  rs −1 2 rs  2  dt − 1 − ds2 = c2 1 − dr + r2 dθ2 + r2 sin2 θ dϕ2 , r r avec rs = 2 G M/c2 . Déterminer la période T4 mesurée par l’observateur O4 en fonction de T1 , de M et de R, ainsi que la valeur numérique du rapport T4 /T1 .  SOLUTION 1 – Dans cette première situation, la différence entre les périodes mesurées T1 et T2 est due à l’effet Doppler, dans lequel l’observateur et l’émetteur d’un signal périodique sont en mouvement relatif. La métrique locale étant celle de Minkowski (champ gravitationnel négligeable donc espace-temps plat) et l’observateur O1 étant fixe par rapport au pulsar, la période T1 mesurée est égale à la période propre de rotation du pulsar. Pour l’observateur O2 , en revanche, le pulsar va occuper deux positions spatiales différentes lors de la réception de deux pulses successifs. Soient P1 et P2 deux événements de la ligne d’univers de P correspondant à l’émission de deux pulses successifs, et M1 et M2 les deux événements de la ligne d’univers de O2 simultanés, respectivement, aux événements P1 et P2 . Par définition de la vitesse relative entre le pulsar et O2 , on a alors la relation vectorielle suivante −−−→ −−−→ M2 P2 = M1 P1 − Δτ v ,

Chapitre 3 – Espace-temps et mesure

107

avec Δτ le temps propre mesuré par O2 entre M1 et M2 . Remarque : dans cette relation, les trois vecteurs sont définis dans l’espace local de repos (ou espace absolu) de O2 . Leur norme est donc euclidienne si l’on choisit une signature (−, +, +, +) pour l’espace de Minkowski. −−−→ Soit n le vecteur unitaire tel que M1 P1 = −r1 n. On obtient alors −−−→ ||M2 P2 ||2 = r22 = r12 + 2 r1 Δτ n · v + Δτ 2 v 2 , ce qui implique r2 − r1 =

2 Δτ 1 + r2 /r1

  Δτ 2 v 2 n · v + . 2 r1

Par ailleurs, la période T2 mesurée par O2 sera reliée à l’intervalle de temps propre Δτ par 1 T2 = Δτ + (r2 − r1 ). c Enfin, l’intervalle de temps propre mesuré par un observateur en P entre P1 et P2 est égale à la période propre du pulsar c’est-à-dire T1 , et il est donc tel que T1 =

1 Δτ , Γ

avec le facteur de Lorentz Γ = (1 − v 2 /c2 )−1/2 . En conclusion, T1 et T2 sont reliés par la relation    n · v Γ T1 v 2 2 T2 = Γ T1 1 + + . 1 + r2 /r1 c 2c r1 Application numérique : avec Γ  1,15, n · v = −v, Γ T1 v r1 et r2 /r1  1, on trouve  v T1  1,9 × 10−2 s , T2  Γ 1 − c soit moins de 58 % de la période propre. 2 – Le rayon de Schwarzschild de la naine blanche est rs = 2 G M/c2 , soit 3,8 km. On a donc rs /R 1, ce qui justifie l’approximation de champ gravitationnel faible. L’observateur O1 étant situé loin de la naine blanche et fixe par rapport au système de coordonnées, le temps coordonnée t de la métrique sera égal à son temps propre. L’observateur O3 étant supposé fixe entre la réception de deux pulses successifs, il mesurera donc un intervalle de temps propre ou période T3 défini par   2 Φ(r) c2 T32 = 1 + c2 T12 , c2 ou encore

 1/2 2GM T3 = 1 − T1 . R c2

Numériquement : (T1 − T3 )/T1 = 2,1 × 10−2 %.

108

Relativité générale et astrophysique

3 – L’observateur O4 , bien que fixe par rapport au système de coordonnées, est placé dans un champ gravitationnel non négligeable. Il mesure des intervalles de temps √ propre Δτ égaux à g00 Δt, avec g00 = 1 − r/rs . La période T4 qu’il mesure entre deux pulses successifs du pulsar sera donc telle que T4 =

√ g00 T1 ,

avec g00 = 2/3 en r = 3 rs . Autrement dit, T4 /T1  82 %.

Chapitre 4

Espace-temps de Schwarzschild [MD]  EXERCICE 4.1

Espace-temps statique à symétrie sphérique – On considère un espace-temps statique à symétrie sphérique dont la métrique est donnée par ds2 = gμν dxμ dxν , de signature (+, −, −, −), dans le système de coordonnées {xμ }μ∈0,3 , où x0 est la coordonnée temporelle. 1 – (a) Rappeler la différence entre un espace-temps statique et un espace-temps qui est seulement stationnaire. (b) Déterminer ce que l’on entend par symétrie sphérique, et en déduire que la forme générale de la métrique recherchée est ds2 = F0 (r) dt2 − F1 (r) dt dr − F2 (r) dr2 − F3 (r) (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ) , en coordonnées de type sphérique {t, r, θ, ϕ}, et avec les fonctions arbitraires {Fi }i∈0,3 positives et de classe C k , k  2. 2 – En effectuant le changement de variables, (t, r) → (˜ r , t˜), qui est tel que r˜2 = F3 (r), et   1 ˜ ˜ ˜ dt = G(˜ r ) F0 (˜ r ) dt − F1 (˜ r ) d˜ r , 2 avec F˜i (˜ r ) = Fi (F3 (r)), et G une fonction arbitraire positive et de classe C k , k  2, montrer la relation suivante : F˜0 dt2 − F˜1 dt d˜ r=

2 F˜1 1 2 ˜ dt − d˜ r2 . F˜0 G2 4 F˜0

110

Relativité générale et astrophysique

En déduire que la métrique peut se mettre sous la forme ds2 = A(r) dt2 − B(r) dr2 − r2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ) , avec A et B, deux fonctions arbitraires positives et de classe C k , k  2.  SOLUTION 1(a) – Un espace-temps est dit statique si (1) il existe un système de coordonnées dans lequel les composantes du tenseur métrique ne dépendent pas de la coordonnée temporelle, et si (2) l’élément de longueur ds2 est invariant par renversement du temps, c’est-à-dire par la transformation x0 → −x0 . Le vecteur ∂0 , associé à x0 , dans la base naturelle, est un vecteur de Killing orthogonal aux hypersurfaces de dimension 3 définies par x0 = constante. Si l’espace-temps est tel que seule la condition (1) est vérifiée, alors ce dernier est dit stationnaire. 1(b) – La solution recherchée est dite à symétrie sphérique si l’élément de longueur ds2 est invariant par rotation spatiale : la métrique est également dite spatialement isotrope. Les seuls invariants liés aux rotations spatiales qui peuvent être construits sont : x · x, dx · dx et x · dx, avec x = (x1 , x2 , x3 ). En posant x1 ≡ r sin θ cos ϕ, x2 ≡ r sin θ sin ϕ, et x3 ≡ r cos θ, on obtient x · x ≡ r2 , x · dx = r dr , dx · dx = dr2 + r2 dθ2 + r2 sin θ2 dϕ2 . La forme la plus générale de la métrique stationnaire et isotrope, formée à partir de ces invariants, est donc ds2 = A0 (r) dt2 − A1 (r) dt x · dx − A2 (r) (x · dx)2 − A3 (r) dx · dx = A0 (r) dt2 − A1 (r)r dt dr − A2 (r) r2 dr2 − A3 (r) (dr2 + r2 dθ2 + r2 sin θ2 dϕ2 ) = F0 (r) dt2 − F1 (r) dt dr − F2 (r) dr2 − F3 (r) (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ) , où les fonctions arbitraires Ai et Fi sont positives et de classe C k , k  2. 2 – Le changement de variables proposé conduit à   1 r + F˜12 d˜ r2 , dt˜2 = G2 F˜02 dt2 − F˜0 F˜1 dt d˜ 4 ce qui implique r= F˜0 dt2 − F˜1 dt d˜

2 1 F˜1 dt˜2 − d˜ r2 . F˜0 G2 4 F˜0

Chapitre 4 – Espace-temps de Schwarzschild

111

Par ailleurs, avec le seul changement r˜2 = F3 (r), la métrique peut se réécrire ds2 = F˜0 (˜ r ) dt2 − F˜1 (˜ r ) dt d˜ r − F˜2 (˜ r ) d˜ r2 − r˜2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ) . 2 En posant A = 1/(F˜0 G2 ), et B = F˜2 + F˜1 /(4 F˜0 ), on obtient donc

ds2 = A(r) dt2 − B(r) dr2 − r2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ) , après avoir posé simplement t˜ = t et r = r˜. Références bibliographiques : [8], [25], [17], [19].

[MD]  EXERCICE 4.2

Détermination de la métrique de Schwarzschild – On recherche une solution statique, à symétrie sphérique, des équations d’Einstein dans le vide. Cette solution permet de représenter l’espace-temps autour d’un astre massif dont la vitesse de rotation (ou moment cinétique) est négligeable ; c’est le cas, notamment, du modèle idéal que représentent les trous noirs de Schwarzschild . On admet que la métrique associée à cette solution – dans un système de coordonnées {t, r, θ, ϕ}, semblables à des coordonnées sphériques – peut s’exprimer de la façon suivante : ds2 = exp[a(r)] dt2 − exp[b(r)] dr2 − r2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ) , avec a et b deux fonctions de classe C k , k  2, que nous allons déterminer. 1 – Donner deux vecteurs de Killing associés à cette métrique. 2 – Déterminer les symboles de Christoffel associés à cette métrique. En déduire les composantes du tenseur de Ricci, ainsi que la courbure scalaire. 3 – Déterminer les composantes covariantes du tenseur d’Einstein. 4 – Ecrire le(s) système(s) d’équations différentielles vérifié(s) par les fonctions a et b. Déduire les expressions de a et b, en supposant que la masse ponctuelle, placée en r = 0, est égale à M . La métrique, ainsi obtenue, est appelée métrique de Schwarzschild. 5 – Montrer que la sous-variété, de dimension 2, qui est définie par t et r constants, a une aire égale à 4π r2 . 6 – Montrer que la distance spatiale entre deux points situés sur le même rayon et dont les coordonnées radiales sont r1 et r2 , tels que r2 > r1 > 2 G M/c2 , est supérieure à r2 −r1 . En déduire la distance entre un point de coordonnée radiale r et l’horizon des événements situé en rs = 2 G M/c2 .

112

Relativité générale et astrophysique

 SOLUTION 1 – Les seules composantes covariantes non nulles du tenseur métrique sont gtt = exp[a(r)], grr = − exp[b(r)], gθθ = −r2 , et gϕϕ = −r2 sin2 θ. Les composantes contravariantes sont obtenues en prenant la matrice inverse de la matrice des composantes covariantes : ici, on aura simplement, g ii = 1/gii , pour tout i ∈ {t, r, θ, ϕ}. Enfin, les composantes du tenseur métrique sont toutes indépendantes de t et de ϕ, donc les vecteurs ∂t et ∂ϕ de la base naturelle, associée au système de coordonnées {t, r, θ, ϕ}, sont deux vecteurs de Killing. Cette propriété associée au premier vecteur traduit le fait que la métrique est stationnaire et au second, le fait qu’elle est invariante par rotation autour de l’axe (Oz). 2 – Les symboles de Christoffel étant donnés par la relation Γμαβ =

1 μσ g (∂β gασ + ∂α gσβ − ∂σ gβα ), 2

les seuls symboles non nuls sont les suivants : Γtrt =

a , 2

Γrtt =

a exp(a − b) , 2

Γrθθ = −r exp(−b) ,

Γrϕϕ = −r sin2 θ exp(−b) ,

Γθϕϕ = − sin θ cos θ ,

Γϕθϕ = cot θ .

Γrrr =

b , 2

Γθrθ = Γϕrϕ =

1 , r

Le tenseur de Ricci est obtenu par contraction du tenseur de courbure et ses composantes covariantes s’écrivent Rμν = Rλμνλ ≡ ∂ν Γλμλ − ∂λ Γλμν + Γσμλ Γλσν − Γσμν Γλσλ . En remplaçant par les symboles de Christoffel obtenus, on a facilement les seules composantes non nulles,    a 1   a  + a (a − b ) + Rtt = − exp(a − b) , 2 4 r 1 a b + a (a − b ) − , Rrr = 2 4 r r Rθθ = exp(−b) − 1 + exp(−b) (a − b ) , 2 Rϕϕ = sin2 θ Rθθ . La courbure scalaire, notée R, est alors R = g tt Rtt + g rr Rrr + g θθ Rθθ + g ϕϕ Rϕϕ     1 − exp(−b) a 1   a − b   + a (a − b ) + =2 − exp(−b) . r2 2 4 r

Chapitre 4 – Espace-temps de Schwarzschild

113

3 – Le tenseur d’Einstein, noté Gμν , est défini par Gμν = Rμν −

1 R gμν . 2

Les seules composantes non nulles sont donc   1 b exp(a) Gtt = exp(a − b) − , − 2 r r r2 1 a Grr = − + 2 (exp(b) − 1) , r r   r 1 Gθθ = − exp(−b) r a + r a (a − b ) + (a − b ) , 2 2 Gϕϕ = sin2 θ Gθθ . 4 – Le tenseur d’Einstein est relié au tenseur énergie-impulsion, noté Tμν , par l’équation d’Einstein : Gμν = − 8πc4G Tμν , avec G la constante gravitationnelle newtonienne. Dans le vide, ce dernier tenseur est identiquement nul, donc le tenseur d’Einstein est également nul. De l’expression de ses composantes, on déduit le système suivant :   1 b 1 exp(−b) − − 2 = 0, r2 r r 1 a − + 2 (exp(b) − 1) = 0 , r r 1 r a + r a (a − b ) + (a − b ) = 0 . 2 Ce système peut se résoudre facilement après quelques manipulations. Cependant, un autre système d’équations différentielles, plus simple, peut être mis en évidence, si l’on considère une autre forme de l’équation d’Einstein qui est   8π G 1 Rμν = − 4 Tμν − T gμν , c 2 avec T ≡ Tμμ . La nullité du tenseur énergie-impulsion implique alors directement la nullité du tenseur de Ricci. On a ainsi le système suivant a 1 a + a (a − b ) + = 0, 2 4 r   a b 1 + a (a − b ) − = 0 , 2 4 r r 1 − exp(b) + (a − b ) = 0 . 2 La soustraction des deux premières équations donne immédiatement a = −b . La dernière équation devient équivalente à exp(−b) − r b exp(−b) = 1 ,

114 c’est-à dire y  +

Relativité générale et astrophysique 1 r

y = − 1r avec y = − exp(−b). On trouve donc les deux solutions exp(b) =

1

, C1 1+ r  C1 exp(a) = C2 1 + , r avec C1 et C2 , deux constantes que nous allons déterminer. Lorsque r → +∞, l’espacetemps est supposé devenir plat et la métrique doit tendre vers une métrique de Minkowski, du type ds2 = c2 dt2 − dr2 − r2 dθ2 − r2 sin2 θ dϕ2 , donc exp(a) → c2 , ce qui signifie C2 = c2 . Par ailleurs, en considérant l’approximation des champs faibles, c’est-à-dire une métrique qui doit être telle que   2Φ 2 gtt ∼ c 1+ 2 , c lorsque r devient suffisamment grand, et avec Φ = −G M/r, on obtient par identification 2GM C1 = − 2 . c La métrique de Schwarzschild est donc    −1 2GM 2GM 2 2 2 1− 2 dr2 − r2 dθ2 − r2 sin2 θ dϕ2 . dt − 1 − 2 ds = c c r c r Remarques : D’après le théorème de Birkhoff, seule l’hypothèse d’une symétrie sphérique quant à la distribution de matière est importante pour déterminer la métrique de Schwarzschild. L’hypothèse d’un espace-temps statique ne fait que simplifier les calculs. La métrique de Schwarzschild montre une singularité de coordonnées à la coordonnée radiale r = rs = 2 G M/c2 , appelée rayon de Schwarzschild. Cette singularité peut être levée en changeant de système de coordonnées (voir l’exercice page 145). Néanmoins, pour un trou noir, ce rayon représente bien la coordonnée radiale endeçà de laquelle il n’est plus possible pour une particule de s’éloigner de la singularité géométrique centrale. Enfin, pour un corps massif quelconque, ce rayon est égal à celui d’un trou noir de masse identique : pour le Soleil, par exemple, il n’est que d’environ 3 km, ce qui signifie qu’il faudrait concentrer la masse du Soleil à l’intérieur une sphère de 6 km de diamètre pour en faire un trou noir. 5 – L’élément infinitésimal de surface pour la sous-variété s’écrit √ dΣ = gθθ gϕϕ dθ dϕ. En intégrant, on obtient Σ=



 dΣ =

r2 sin θ dθ dϕ = 4π r2 .

Chapitre 4 – Espace-temps de Schwarzschild

115

6 – La distance spatiale n’a de sens que si la métrique est stationnaire, ce qui est vrai ici : elle correspond, par exemple, à la moitié du temps mis par un photon, et mesuré par un observateur fixe en un des deux points, pour effectuer le trajet aller-retour entre les deux points considérés. Cela équivaut à considérer la métrique spatiale d2 =

 −1 2GM 1− 2 dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θ dϕ2 . c r

Les deux points étant sur le même rayon, dθ = dϕ = 0, on déduit que la distance entre les deux points est  r2  r2 1  D12 = d = dr , 2GM r1 r1 1 − 2 c r c’est-à-dire ⎞⎤ ⎡ ⎛ rs     1 − − 1 r1 1 r1 rs rs ⎠⎦ > r2 − r1 , D12 = r2 1 − + ln ⎝  − r1 1 − + rs ⎣ ln r2 r1 2 r2 1 − rs − 1 r2

avec rs = 2 G M/c2 . Pour r2 = r et r1 = rs , on obtient donc la distance à l’horizon qui est      1  rs  rs rs + rs ln − ln 1 − 1 − D =r 1− . r 2 r r

Distance à l’horizon (D/rs)

Références bibliographiques : [8], [25], [17], [19].

9

5

1 0

0,5

1

Inverse de la coordonnée radiale réduite (rs/r) Figure 4.1 – Distance à l’horizon pour un observateur situé à la coordonnée radiale r : le rapport D/rs (en ordonnée) est représenté ici en fonction du rapport rs /r (en abscisse). Dans un espace-temps de Minkowski, cette courbe serait une droite.

116

Relativité générale et astrophysique

[MD]  EXERCICE 4.3

Horizon des événements – On se place dans un espace-temps muni d’une métrique ds2 = gμν dxμ dxν , de signature (+, −, −, −), dans le système de coordonnées {xμ }μ∈0,3 , où x0 est la coordonnée temporelle. Une hypersurface de l’espace-temps est dite de genre lumière (ou d’ordre 0, ou nulle) si, par définition, tout quadri-vecteur orthogonal, en un point de cette hypersurface, est de genre lumière. De plus, toute hypersurface est définie par une équation de la forme : f (x0 , x1 , x2 , x3 ) = 0 1 – Montrer que tout quadri-vecteur orthogonal à une hypersurface de genre lumière est aussi tangent à cette hypersurface. 2 – Quelle particularité ont les cônes de lumière construits en un point quelconque P de cette hypersurface ? Un horizon des événements est une hypersurface que les particules ne peuvent traverser que suivant un seul sens. En déduire qu’un horizon des événements est une hypersurface de genre lumière. 3 – Quelle équation aux dérivées partielles doit vérifier f dans le cas d’un espacetemps statique et à symétrie sphérique dans le système de coordonnées {t, r, θ, ϕ}, semblables à des coordonnées sphériques ? Déterminer l’horizon des événements d’un espace-temps de Schwarzschild.  SOLUTION 1 – Tout quadri-vecteur de genre lumière est orthogonal à lui-même puisque sa pseudonorme est nulle. Ainsi, tout vecteur orthogonal à une hypersurface de genre lumière est également tangent à cette hypersurface. 2 — Tout quadri-vecteur de genre lumière orthogonal à l’hypersurface est colinéaire au gradient défini en P par ∂μ f (lui-même de genre lumière !). Comme f est un scalaire, on a : df = ∂μ f dxμ = 0. Cette équation implique qu’un quadri-vecteur déplacement élémentaire dx = [dxμ ] de genre lumière est colinéaire à ∂μ f (voir exercice page 10), c’est-à-dire tangent à l’hypersurface. Tous les cônes de lumière sont donc tangents à une telle hypersurface. La ligne d’univers d’une particule étant de genre temps ou lumière, elle ne peut se situer qu’à l’intérieur du cône de lumière, c’est-à-dire, ici, que d’un seul côté de l’hypersurface de genre lumière. Cela correspond donc à la définition d’un horizon des événements qu’une particule ne peut traverser que suivant un seul sens. 3 – L’équation générale traduisant le genre lumière de l’hypersurface est celle de la pseudo-norme du vecteur orthogonal : g μν ∂μ f ∂ν f = 0.

Chapitre 4 – Espace-temps de Schwarzschild

117

Dans le système de coordonnées {t, r, θ, ϕ}, et pour un espace-temps statique et à symétrie sphérique, on a simplement g rr (∂r f )2 = 0, puisque f ne dépend alors que de r. En supposant que ∂r f = 0, on déduit donc g rr = 0. En prenant la métrique de Schwarzschild, on retrouve 1 − rs /r = 0, ou encore r = rs , avec rs , le rayon de Schwarzschild.

[MD]  EXERCICE 4.4

Energie et moment cinétique orbital – On considère une particule de masse m (= 0) se déplaçant suivant une géodésique paramétrée affinement par son temps propre τ , dans un espace-temps de Schwarzschild muni de la métrique telle que    rs −1 2 rs  2 1  2 2 2 2 2 2 dt − 2 1 − dr + r dθ + r sin θ dϕ , dτ = 1 − r c r avec rs = 2 G M/c2 . 1 – On associe à la particule le lagrangien L défini par L=

m dxμ dxν gμν , 2 dτ dτ

avec les composantes covariantes gμν du tenseur métrique. (a) Montrer que si la métrique ne dépend pas de xμ alors la composante covariante pμ = m dxμ /dτ de la quadri-impulsion p de la particule est constante le long de L. En déduire que les quantités E = pt et L = −pϕ sont conservées le long de L. (b) Donner l’expression de L. A quoi cette grandeur est-elle homogène ? 2 – Que représente E pour un observateur A de coordonnées spatiales fixes à l’infini ? 3 – Un observateur B est en mouvement circulaire uniforme (mais pas forcément en chute libre !) en r = r0 et dans le plan θ = π/2, à la vitesse angulaire dϕ/dt = ω autour du point O, de coordonnée r = 0. On suppose que la particule tombe vers le trou noir central suivant un mouvement radial. Que doit valoir ω pour que l’observateur B mesure, pour la particule, une énergie égale à E ? A quelle condition l’observateur peut-il rester fixe pour mesurer une telle énergie ?

118

Relativité générale et astrophysique

 SOLUTION 1(a) – La particule suit une géodésique, son lagrangien doit donc vérifier l’équation d’Euler-Lagrange   ∂L ∂L d = , ∂xμ dτ ∂ x˙ μ avec x˙ μ = dxμ /dτ . Donc, si les composantes covariantes gμν du tenseur métrique ne dépendent pas d’une coordonnée xμ alors   d ∂L = 0. dτ ∂ x˙ μ dp

μ ˙ μ x˙ ν , on déduit pμ = ∂∂L Comme L = m 2 gμν x x˙ μ , et donc dτ = 0. Autrement dit, la composante pμ est constante le long de la géodésique. Les composantes covariantes gμν du tenseur métrique étant indépendantes de t et de ϕ, les quantités E = pt et L = −pϕ sont conservées le long de la géodésique.

1(b) – Généralement, on définit le moment cinétique (ou angulaire) comme une 2-forme ou forme bilinéaire antisymétrique agissant dans l’espace vectoriel (de dimension 4) tangent à la variété espace-temps. Cependant, le moment cinétique orbital de la particule par rapport au point O, de coordonnée r = 0, peut être défini comme étant égal à la grandeur scalaire −pϕ , c’est-à-dire à L. On a simplement L = −pϕ = gϕϕ pϕ = r2 sin2 θ pϕ = m r2 sin2 θ

dϕ , dτ

ce qui est bien homogène à un moment cinétique. 2 – L’énergie  de la particule telle qu’elle est mesurée par un observateur spatialement fixe à l’infini s’écrit p · u, avec u la quadri-vitesse de l’observateur A qui a pour composantes contravariantes (1, 0, 0, 0). En effet, à l’infini, l’espace-temps de Schwarzschild tend vers un espace-temps de Minkowski, c’est-à-dire 1 gμν → ημν . La quantité E représente donc l’énergie  de la particule mesurée par cet observateur. 3 – En écrivant uϕ = ω ut (puisque ut = dt/dτ ), l’observateur B a un quadri-vecteur vitesse ut (1, 0, 0, ω). Il doit mesurer une énergie E telle que E = pμ uμ = ut (pt + pϕ ω). Comme la particule a un mouvement radial, son quadri-vecteur impulsion s’écrit (pt , pr , 0, 0), donc l’énergie mesurée E se réduit à ut pt , c’est-à-dire ut = 1. Enfin, la pseudo-norme du quadri-vecteur vitesse de l’observateur est égale à c : gμν uμ uν = (gtt + gϕϕ ω 2 ) (ut )2 = c2 .

1. On rappelle qu’ici : ημν = diag(c2 , −1, −1, −1).

Chapitre 4 – Espace-temps de Schwarzschild On obtient donc facilement ω :

 ω=

119

c2 − gtt . gϕϕ

Pour que l’observateur B mesure une énergie E tout en restant fixe, c’est-à-dire avec ω = 0, il faut que gtt = c2 à la position de l’observateur B. Cela n’est possible que lorsque r → +∞ dans un espace-temps de Schwarzschild.

[MD]  EXERCICE 4.5 Courbure de l’espace-temps de Schwarzschild et effet de marée – Soit un espace-temps de Schwarzschild muni de la métrique  rs −1 2 rs  2  dt − 1 − ds2 = c2 1 − dr − r2 dθ2 − r2 sin2 θ dϕ2 , r r avec rs = 2 G M/c2 . 1 – Déterminer les coefficients de la connexion. En déduire les composantes mixtes Rdabc du tenseur de Riemann. 2 – Montrer que la contraction des composantes covariantes du tenseur de Riemann donne la quantité scalaire 12 rs2 . r6 En déduire qu’il n’existe qu’une seule singularité intrinsèque à la géométrie de Schwarzschild. Rabcd Rabcd =

3 – On rappelle que l’équation de déviation géodésique pour un vecteur de connexion orthogonal au flot géodésique, de composantes contravariantes nμ , s’écrit D2 nμ = Rμβνα uβ uν nα , dτ 2 avec τ , le paramètre affine commun à deux géodésiques voisines, et uμ = dxμ /dτ . On considère deux particules en chute libre situées sur des géodésiques voisines, qui sont lâchées sans vitesse relative initiale et qui sont séparées par un vecteur de connexion orthogonal. (a) Montrer que les vecteurs associés à l’une des particules, dont les composantes contravariantes sont les suivantes, forment une tétrade orthonormée :  1 1  rs 1/2 μ rs −1/2 μ δt , er μ = 1 − δr , et μ = u μ = 1− c c r r 1 1 δμ . eϕ μ = eθ μ = δθμ , r r sin θ ϕ

120

Relativité générale et astrophysique

(b) Déduire les équations différentielles vérifiées par les composantes du vecteur de connexion orthogonal écrites dans la tétrade précédente. Quel est l’ordre de grandeur maximal des forces de marée qui s’exercent sur un objet de taille  ? (c) Quelle est la masse minimale que doit avoir un trou noir de Schwarzschild pour qu’un astronaute puisse traverser son horizon des événements sans être disloqué ? On supposera qu’un corps humain ne peut supporter, au maximum, qu’un gradient d’accélération de l’ordre de 400 m·s−2 /m.  SOLUTION 1 – Les seules composantes covariantes non nulles du tenseur métrique sont −1 gtt = c2 (1 − rs /r), grr = − (1 − rs /r) , gθθ = −r2 , et gϕϕ = −r2 sin2 θ. Les composantes contravariantes sont obtenues en prenant la matrice inverse de la matrice des composantes covariantes : ici, on aura simplement, g ii = 1/gii , pour tout i ∈ {t, r, θ, ϕ}. Les coefficients de la connexion étant donnés par la relation Γμαβ =

1 μσ g (∂β gασ + ∂α gσβ − ∂σ gβα ) 2

les seuls non nuls sont les suivants : rs  c2 rs  rs  rs −1 rs  rs −1 r r Γtrt = , Γ , Γ = = − , 1 − 1 − 1 − tt rr 2 r2 r 2 r2 r 2 r2 r     rs rs 1 , Γrϕϕ = −r sin2 θ 1 − , Γθrθ = Γϕrϕ = , Γrθθ = −r 1 − r r r Γθϕϕ = − sin θ cos θ , Γϕθϕ = cot θ . Les composantes mixtes du tenseur de Riemann sont définies par Rdabc ≡ ∂b Γdac − ∂c Γdab + Γeac Γdeb − Γeab Γdec . En remplaçant par les symboles de Christoffel obtenus, on trouve les composantes non nulles, rs  c2 rs  1 − , r3 r  rs  c2 rs 1 − , = Rϕtϕt = 2 r3 r rs , = Rrϕrϕ = − 2r r s = sin2 θ , r

Rrtrt = − Rθtθt Rrθrθ Rθϕθϕ

les autres composantes non nulles se déduisant des règles de symétrie pour ce tenseur : Rdabc = −Rdacb ,

Rdabc = −Radbc ,

Rdabc = −Rbcda .

Chapitre 4 – Espace-temps de Schwarzschild

121

2 – Avec la relation Rabcd = gae Rebcd , on montre facilement que Rabcd Rabcd =

12 rs2 . r6

Cette quantité scalaire montre qu’il n’y a pas de singularité en r = rs (comme pouvait le suggérer la métrique de Schwarzschild) : la seule singularité intrinsèque à la géométrie de Schwarzschild est située en r = 0. 3(a) – Une tétrade est une base de l’espace tangent en un point M quelconque de l’espace-temps. Ici, la présence des symboles de Kronecker assure la nullité du produit scalaire entre deux vecteurs distincts de l’ensemble proposé. Quant aux carrés des pseudo-normes, ils s’écrivent rs −1 1  et · et = gtt 2 1 − = 1, c r  rs = −1 , er · er = grr 1 − r 1 eθ · eθ = gθθ 2 = −1 , r 1 = −1 . eϕ · eϕ = gϕϕ 2 r sin2 θ Les vecteurs forment donc une tétrade orthonormée qui n’est rien d’autre ici qu’une base attachée à l’une des deux particules et associée à un système de coordonnées localement cartésiennes. Enfin, on peut facilement montrer que la base duale est également une tétrade. 3(b) – Le vecteur de connexion orthogonal, n, a pour composantes contravariantes, dans la tétrade {eα }, nα ≡ eα · n = gμν eα μ nν , avec, par définition de n, la composante temporelle qui est nulle, soit nt = 0. Dans la tétrade orthonormée, la dérivée covariante est simplement la dérivée usuelle (puisque les coordonnées sont localement cartésiennes), et l’équation de déviation géodésique s’écrit d2 nα dτ 2

=

Rαμνβ uμ uν nβ

=

c2 Rαμνβ et μ et ν nβ

=

c2 Rαttβ nβ .

Exprimons alors les composantes du tenseur de Riemann ; Rαttβ = Rμttν < μ , eα > < ν , eβ > < t , et > < t , et > , avec une sommation uniquement sur les indices μ et ν, et en notant {μ }, la base naturelle associée au système de coordonnées {xμ }. D’après les expressions des composantes du tenseur de Riemann obtenues précédemment, les seules composantes non

122

Relativité générale et astrophysique

nulles contenant un double indice en t, sont telles que α = β = t. Ainsi, les différents produits scalaires sont tels que < μ , eα > =< ν , eβ >−1 1  rs −1 <  t , et > = 2 1 − . c r On en déduit 1 c2 1 = Rθttθ × 2 c 1 = Rϕttϕ × 2 c

Rrttr = Rrttr × Rθttθ Rϕttϕ



rs −1 rs 1− = 3, r r  rs −1 rs 1− =− 3, r 2r  rs −1 rs 1− =− 3, r 2r

et les équations différentielles vérifiées par les composantes contravariantes du vecteur de connexion orthogonal sont donc d2 nr c2 rs r = n , dτ 2 r3

d2 nθ c2 rs θ = − n , dτ 2 2 r3

d2 nϕ c2 rs ϕ = − n . dτ 2 2 r3

Ces équations montrent que l’accélération équivalente aux forces de marée maximales qui s’exercent sur un objet de taille  est de l’ordre de c2 rs /r3 , d’après l’expression de l’accélération radiale. 3(c) – L’astronaute doit ressentir un gradient d’accélération inférieur à 400 m·s−2 /m pour survivre en r = rs . En supposant que sa taille  est proche de 2 m, on doit avoir 2 c2  400 , rs2 c’est-à-dire, avec rs = 2 G M/c2 , M

c3 √  1,4 × 1034 kg , 20 2 G

soit presque 104 M . Seuls les trous noirs supermassifs permettent un voyage (hélas, sans retour !) au-delà de leur horizon des événements. Références bibliographiques : [5], [17].

Chapitre 4 – Espace-temps de Schwarzschild

123

[D]  EXERCICE 4.6 Géodésiques dans l’espace-temps de Schwarzschild – On considère un espacetemps de Schwarzschild muni de la métrique  rs −1 2 rs  2  ds2 = c2 1 − dt − 1 − dr − r2 dθ2 − r2 sin2 θ dϕ2 , r r avec rs = 2 G M/c2 . A. Géodésiques des particules massives 1 – Déterminer les équations des géodésiques, en utilisant le principe variationnel, pour une particule massive. 2 – Montrer que l’équation de la trajectoire d’une particule, de masse m non nulle, dans le plan équatorial θ = π2 , peut se mettre sous la forme d2 u c2 rs 3 + u = + rs u2 , 2 2 dϕ 2h 2 avec u ≡ 1/r, et h ≡ r2 ϕ. ˙ 3 – Exprimer la quadri-vitesse d’une particule massive en chute libre selon un mouvement radial, et arrivant de l’infini sans vitesse initiale, c’est-à-dire mesurant un temps propre τ , tel que τ → −∞ lorsque r → +∞. En déduire l’expression de r en fonction de τ , puis de t, la coordonnée temporelle d’un observateur stationnaire situé à grande distance de l’objet central, en fonction de r. Quelle durée de voyage va mesurer la particule pour passer de r(τ = 0) à r = 0 ? Que se passe-t-il pour l’observateur ? 4 – Montrer que, pour une particule massive en chute libre autour d’une masse centrale, on peut écrire  2 1 dr + Veff (r) = K , 2 dτ avec Veff (r), le potentiel effectif par unité de masse, et K une constante que l’on précisera. 5 – Déterminer l’énergie totale et le moment cinétique spécifique d’une particule massive en chute libre selon un mouvement circulaire uniforme en r = r0 . Quelle condition doit vérifier r0 pour qu’une telle trajectoire existe ? 6 – Déterminer quelle valeur de r correspond à la dernière orbite circulaire stable. Que vaut alors la vitesse angulaire Ω = dϕ/dt ? En déduire la vitesse d’une particule sur cette dernière orbite circulaire stable mesurée par un observateur stationnaire rencontrant cette particule.

124

Relativité générale et astrophysique

B. Géodésiques des particules de masse nulle 1 – Déterminer les équations des géodésiques, en utilisant le principe variationnel, pour une particule de masse nulle comme le photon. 2 – Montrer que l’équation de la trajectoire d’une particule de masse nulle, dans le plan équatorial θ = π2 , peut se mettre sous la forme d2 u 3 + u = rs u2 , 2 dϕ 2 avec u ≡ 1/r. En déduire qu’il existe une unique trajectoire circulaire pour une telle particule. 3 – Déterminer l’équation du mouvement d’un photon se déplaçant uniquement suivant la coordonnée r. 4 – (a) Montrer que, pour une particule de masse nulle, on peut écrire r˙ 2 1 + Veff (r) = 2 , h2 b

(4.1)

en explicitant Veff (r) et la constante b. (b) Discuter de l’évolution de r pour une particule arrivant de l’infini, suivant la valeur de b, et exprimer son angle de déviation sous la forme d’une intégrale. 5 – Exprimer la déviation d’un rayon lumineux arrivant de l’infini lorsque √ b  (3 3/2) rs . 6 – Application : un observateur terrestre étudie la déviation des rayons lumineux d’une étoile par le Soleil. Quelle sera la déviation maximale qu’il pourra mesurer ? C. Effet Shapiro On considère un photon qui est émis par un observateur A depuis une distance r1 , qui passe au plus près du corps central à une distance r0 r1 , et qui est renvoyé vers A au point B situé à une distance r2  r0 . 1 – En utilisant l’équation (4.1), montrer que 1 (1 − rs /r)3



dr dt

2 +

c2 b 2 c2 = 0. − 2 r 1 − rs /r

En déduire l’expression de r0 , en fonction de b et rs r0 , au premier ordre en rs . 2 – Exprimer la différence de coordonnées temporelles, Δt(r, r0 ), entre un point de la ligne d’univers du photon situé à une distance r  rs , et le point d’approche minimale en r0  rs . Effectuer un développement au premier ordre en rs /r pour

Chapitre 4 – Espace-temps de Schwarzschild

125

obtenir 

c Δt(r, r0 )  (r − 2

r02 )1/2

 1/2  r + (r2 − r02 )1/2 rs r − r0 + rs ln . + r0 2 r + r0

3 – En déduire le retard temporel, mesuré par l’observateur A, par rapport au cas où l’espace-temps serait considéré comme étant plat. C’est l’effet Shapiro ou retard de l’écho radar.  SOLUTION A1 – Suivant la métrique de Schwarzschild, nous pouvons considérer le lagrangien suivant, noté L2 , tel que  rs  ˙2  rs −1 2 L2 = c2 1 − r˙ − r2 (θ˙2 − sin2 θ ϕ˙ 2 ) , t − 1− r r dans lequel les dérivées temporelles sont prises par rapport au temps propre τ , paramètre de la ligne d’univers de la particule massive : autrement dit, on notera  x˙ μ = dxμ /dτ . Le principe variationnel s’écrivant δ L2 dτ = 0, les équations d’EulerLagrange donnent ∂xμ L2 − dτ ∂x˙ μ L2 = 0 , avec xμ ∈ {t, r, θ, ϕ}, ce qui est équivalent au système  

1−

1−

rs  ˙ t = C1 , r

rs −1 rs c2 ˙2  rs −2 rs 2 r¨ + − 1 − r˙ − r (θ˙2 + sin2 θ ϕ˙ 2 ) = 0 , t r 2 r2 r 2 r2 2 r˙ θ˙ − sin θ cos θ ϕ˙ 2 = 0 , θ¨ + r r2 sin2 θ ϕ˙ = C2 ,

avec C1 et C2 , deux constantes que nous allons identifier. A2 – La troisième équation admet pour solution particulière θ = π/2 : la métrique de Schwarzschild étant, par construction, à symétrie sphérique, toute solution θ = θ0 doit être une solution particulière. Par ailleurs, pour étudier la géodésique d’une particule libre, on peut toujours choisir un système de coordonnées tel que, à un instant donné, θ = π/2 et θ˙ = 0 pour la particule : la troisième équation nous montre alors que toutes les dérivées successives de θ s’annulent, ce qui équivaut à dire que θ reste constant et que les trajectoires des particules libres sont planes. On peut donc étudier les géodésiques, par exemple, dans le plan ou hypersurface d’équation θ = π/2, et généraliser les résultats obtenus à n’importe quelle hypersurface coordonnée d’équation θ = θ0 . Les équations précédentes se simplifient alors pour

126

Relativité générale et astrophysique

obtenir le système 

1−

rs  ˙ t = C1 , r

 rs −1 rs c2 ˙2  rs −2 rs 2 1− t − 1− r¨ + r˙ − r ϕ˙ 2 = 0 , 2 r 2r r 2 r2 r2 ϕ˙ = h ,

(4.2)

avec h = r2 ϕ˙ = C2 . Une autre équation peut remplacer la deuxième équation de ce système, qui est donnée par la métrique  ds2 rs  ˙2  rs −1 2 = 1 − − 1 − r˙ − r2 ϕ˙ 2 = c2 . t dτ 2 r r En utilisant les deux autres équations, on peut éliminer les coordonnées t et ϕ, pour obtenir rs  c2 rs h2  r˙ 2 + 2 1 − − = c2 (C12 − 1) . (4.3) r r r Par ailleurs, d’après ce système, et par conservation du vecteur quadri-impulsion, pμ = m x˙ μ , d’une particule, de masse m, le long d’une géodésique, on peut écrire p0 = m g00 t˙ = C1 m c2 , p3 = m g33 ϕ˙ = −m h .

(4.4)

Un observateur au repos en l’infini, de quadri-vecteur vitesse uμ = (1, 0, 0, 0) mesurera pour une particule, à l’infini, une énergie E égale à pμ uμ , c’est-à-dire C1 m c2 . La constante C1 n’est donc rien d’autre que le rapport entre l’énergie totale de la particule sur son orbite, et son énergie au repos 2 : C1 = E/m c2 . Quant à la constante h, elle peut être définie comme le moment cinétique spécifique de la particule. Enfin, on peut réexprimer r˙ comme étant dr dϕ h dr dr = = 2 , dτ dϕ dτ r dϕ ce qui permet de réécrire l’équation (4.3) sous la forme  2 h dr h2 rs h2 c2 rs + 3 . + 2 = c2 (C12 − 1) + 2 r dϕ r r r En posant u ≡ 1/r, on obtient facilement  2 du c2 c2 rs u + u2 = 2 (C12 − 1) + + rs u3 . dϕ h h2 2. Lorsque la particule est à l’infini, cette constante correspond au facteur de Lorentz mesuré par l’observateur au repos donc C1  1. Cela n’est plus vrai lorsque la particule reste à une distance finie du trou noir et C1  0.

Chapitre 4 – Espace-temps de Schwarzschild

127

En dérivant par rapport à ϕ, on arrive à l’expression demandée : d2 u c2 rs 3 +u= + rs u2 , 2 2 dϕ 2h 2

(4.5)

qui est la formule de Binet généralisée. A3 – Soit [x˙ μ ], le quadri-vecteur vitesse de la particule. La particule est sans vitesse initiale à l’infini, donc son énergie est E = m c2 , c’est-à-dire C1 = 1. Cela implique  rs −1 x˙ 0 = t˙ = 1 − . r Le mouvement considéré est purement radial donc x˙ 3 = ϕ˙ = 0, x˙ 2 = θ˙ = 0, et h = 0. L’équation (4.3) devient donc  rs 1 . x˙ = r˙ = −c r Cette équation s’intègre facilement pour obtenir  2/3 3c √ 3/2 r(τ ) = − rs τ + r(0) . 2

(4.6)

Enfin, comme on peut écrire dr dτ dr = = −c dt dτ dt



rs  rs  1− , r r

on trouve, en intégrant, ⎛  ⎞    2 ⎝ r03 r3 ⎠ 2rs r0 r t(r) = + − − 3c rs rs c rs rs 



( r/rs + 1) ( r0 /rs − 1) rs

ln

, + c ( r/rs − 1) ( r0 /rs + 1)

(4.7)

avec r = r0 lorsque t = 0. On remarque que cette expression n’est valable que pour r > rs . D’après la relation (4.6), pour passer de r = r(0) à r = 0, la particule va mesurer une durée propre finie qui est égale à (2/3c) r(0)3 /rs . Pour l’observateur, et d’après la relation (4.7), t → +∞, lorsque r → rs : la particule va donc mettre une durée infinie pour arriver à r = rs . A4 – L’équation (4.3) peut se réécrire sous la forme suivante : 1 2



dr dτ

2 + Veff (r) = K ,

128

Relativité générale et astrophysique

avec le potentiel effectif

  rs c2 h2 rs  c2 rs h2 c2  h2 Veff (r) = − + 2− 1− = 1+ 2 2 , 2 2r 2r 2r3 2 r c r

et l’on peut définir une énergie mécanique par unité de masse (ou spécifique), qui est bien une constante du mouvement, par 2  E c2 . K= 2 m c2 Contrairement au potentiel effectif de la dynamique newtonienne, le potentiel effectif relativiste peut présenter un maximum pour une coordonnée r finie, et tend vers −∞ lorsque r → 0 (voir figure 4.2).

Potentiel effectif (Veff /c2)

 = 10

=5 =0

0

1

5

10

15

20

Coordonnée radiale réduite (r/rs) Figure 4.2 – Potentiel effectif pour un observateur situé à la coordonnée radiale r et ayant un moment cinétique spécifique h. Le rapport Veff /c2 (en ordonnée) est exprimé en fonction de la coordonnée radiale réduite r/rs (en abscisse) et du paramètre μ = h2 /(2G M ) représentant différentes valeurs de h.

A5 – Pour une orbite circulaire de rayon r0 , u = 1/r0 , donc l’équation (4.5) devient c2 rs 3 + rs (1/r0 )2 . 2 2h 2 On en déduit le moment cinétique spécifique :  rs r02 , h=c 2 (r0 − (3/2) rs ) 1/r0 =

Chapitre 4 – Espace-temps de Schwarzschild

129

et l’équation (4.3) donne alors l’énergie : (1 − rs /r0 ) m c2 E = C1 m c2 =

. 1 − (3/2)rs /r0 Enfin, comme r02 ϕ˙ = h, on a ϕ˙ 2 =

rs c2 , 2 r02 (r0 − (3/2)rs )

(4.8)

ce qui montre que, pour que l’orbite circulaire existe, r0 doit être tel que r0 >

3 rs . 2

A6 – Pour une orbite circulaire, r étant constant, on a la condition dVeff /dr = 0, c’est-à-dire, rs c2 r2 − 2 h2 r + 3 rs h2 = 0 . Les deux extrema du potentiel effectif sont donc situés en 

h  2 − 3 r 2 c2 . h h ± s rs c2 √ √ Ils n’existent que si h  3 rs c, et sont confondus si h = 3 rs c. De plus, la condition de stabilité pour l’orbite circulaire est donnée par d2 Veff /dr2 = 0, c’est-à-dire rext =

rs c2 r2 − 3 h2 r + 6 rs h2 = 0 . La dernière orbite circulaire stable correspond donc à la seule coordonnée r, vérifiant ces deux conditions, qui est r = 3 rs . D’après la relation (4.8), l’expression de la vitesse angulaire propre sur cette orbite est ϕ˙ =

c3 c √ = √ . 3 3 rs 6 3G M

Par ailleurs, d’après l’équation (4.3), on peut exprimer la constante C1 , pour r = 3 rs , qui est telle que √ 2 2 1 − rs /r C1 =

= 3 1 − (3/2)rs /r ce qui donne, d’après l’équation des géodésiques liant t et τ ,

dτ 1 = 1 − (3/2)rs /r = √ . dt 2 On déduit donc Ω = ϕ˙

c dτ c3 = √ = 3/2 . dt 6 GM 3 6 rs

130

Relativité générale et astrophysique

Lorsque la particule voit sa coordonnée ϕ changer de dϕ lors d’une variation de coordonnée temporelle dt, l’observateur stationnaire situé en r = 3 rs mesurera une

√ variation de position égale à 3 rs dϕ pendant une durée dtobs = g00 dt = ( 2/3) dt. La vitesse de la particule mesurée par cet observateur sera donc √ 3 rs dϕ c 3 3 rs Ω= . = √ v= dtobs 2 2 B1 – Le calcul des géodésiques est identique à celui de la question A-1, mais les dérivées ne sont plus prises par rapport au temps propre de la particule, car celui-ci n’existe pas pour une particule de masse nulle : on choisit donc, à la place de τ , un paramètre affine quelconque noté λ pour la ligne d’univers de la particule. On a donc  rs  ˙ t = C1 , 1− r     2 rs −1 rs c ˙2 rs −2 rs 2 1− r¨ + r˙ − r (θ˙2 + sin2 θ ϕ˙ 2 ) = 0 , t − 1− 2 r 2r r 2 r2 2 r˙ θ˙ − sin θ cos θ ϕ˙ 2 = 0 , θ¨ + r r2 sin2 θ ϕ˙ = C2 , avec C1 et C2 , deux constantes qu’il reste à identifier. B2 – Le raisonnement est le même que pour la question A2 ; dans le plan équatorial θ = π/2, on a le système suivant  rs  ˙ 1− t = C1 , r  rs −1 rs c2 ˙2  rs −2 rs 2 1− t − 1− r¨ + r˙ − r ϕ˙ 2 = 0 , 2 r 2r r 2 r2 r2 ϕ˙ = h , avec h = r2 ϕ˙ = C2 . Là encore, la deuxième équation peut être remplacée par ds2 /dλ2 = 0, c’est-à-dire  rs  ˙2  rs −1 2 1− r˙ − r2 ϕ˙ 2 = 0 . t − 1− r r

(4.9)

Avec les deux autres équations, on obtient facilement r˙ 2 +

rs  h2  1 − = c2 C12 , r2 r

(4.10)

ce qui, lorsqu’on change la variable r par 1/u, et qu’on dérive par rapport à ϕ, conduit à d2 u 3 + u = rs u2 . (4.11) 2 dϕ 2

Chapitre 4 – Espace-temps de Schwarzschild

131

Pour une orbite circulaire 1/u = r0 est donc une constante unique qui est égale à (3/2) rs . B3 – Lors d’un mouvement radial, ϕ˙ = θ˙ = 0, et la relation (4.9) devient donc  rs  ˙2  rs −1 2 1− r˙ = 0 , t − 1− r r c’est-à-dire

 rs  1 dr =± 1− . c dt r Le signe du membre de droite correspond aux deux sens de parcours possibles pour le photon. En intégrant, on obtient  r    c t = ± r + rs ln  − 1 + constante . rs

B4(a) – L’équation (4.10) se réécrit r˙ 2 1 + Veff (r) = 2 , 2 h b

(4.12)

avec le potentiel effectif

rs  1  1 − r2 r et la constante b = h/(c C1 ). Le potentiel Veff ne possède qu’un extremum, qui est un maximum, lorsque r = (3/2) rs : il vaut alors 4/(27rs2 ). L’unique orbite circulaire définie à la question B2 est donc instable. Veff (r) =

˙ on déduit B4(b) – Comme h = r2 ϕ, ϕ˙ dϕ 1 = = 2 r˙ dr r



−1/2 1 1  rs  − 2 1− , b2 r r

ce qui implique, lorsque r  b > rs , dϕ = ±(b/r2 ) dr, c’est-à-dire r = b/ϕ, avec ϕ → 0 pour r → +∞. Ce résultat n’est valable que pour ϕ 1. Cependant, lorsque r  rs , on peut considérer que (3/2) rs u2 est négligeable devant les autres termes de l’équation (4.11), ce qui donne d2 u +u = 0, dϕ2 ce qui conduit à r = A/ sin ϕ, avec la condition ϕ → 0 pour r → +∞, et A une constante. La comparaison avec le résultat précédent montre que A = b. La constante b peut donc être définie comme le paramètre d’impact de l’orbite de la particule lorsqu’elle arrive ou repart à l’infini. Ainsi, d’après la relation (4.12) :

√ Si 1/b2 > Veff (r) pour tout r, c’est-à-dire si b < (3 3/2) rs , la particule sans masse est capturée par l’objet central.

132

Relativité générale et astrophysique

√ Si 1/b2 = Veff (3 rs /2) = 4/(27rs2 ), c’est-à-dire si b = (3 3/2) rs , la particule suit une orbite circulaire instable. Si la particule arrive de l’infini, et qu’il existe rmin tel que 1/b2 = Veff (rmin ), alors la particule ne peut pas s’approcher en-deçà de r = rmin , la distance minimale d’approche de la particule, et elle repart à l’infini. Dans ce cas, la déviation de la particule s’écrit  −1/2  +∞ rs  1 1 1  Δϕ = 2 − 2 1− dr . 2 b2 r r rmin r √ B5 – Lorsque b  (3 3/2) rs , le rayon est faiblement dévié en atteignant la distance minimale d’approche. Nous avons vu que, dans l’équation (4.11), le terme de droite pouvait être négligé pour obtenir la solution u = sin ϕ/b. Effectuons un développement perturbatif de cette équation, à l’ordre 1 en δu, en posant u = sin ϕ/b + δu, avec |δu| u : on obtient facilement l’équation 3 rs sin2 ϕ d2 δu + δu  . 2 dϕ 2 b2 Cette équation admet pour solution particulière   3 rs 1 δu = 2 1 + cos 2ϕ , 4b 3 ce qui implique u=

sin ϕ 3 rs + 2 b 4b

  1 1 + cos 2ϕ . 3

Lorsque r → +∞, ϕ → 0, et on a sin ϕ  ϕ et cos 2ϕ  1 : on déduit donc, de l’équation précédente, ϕ  −rs /b. La déviation totale vaut donc (Voir une conséquence de ce résultat dans l’exercice de la page 134) δϕ = 2|ϕ| = 2rs /b.

(4.13)

B6 – La métrique de l’espace-temps au voisinage du Soleil est celle de Schwarzschild. D’après la relation (4.13), plus la√distance d’approche du rayon lumineux est faible (tout en restant supérieure à (3 3/2) rs !), plus la déviation sera grande. Dans √ notre cas, en choisissant un paramètre d’impact b égal au rayon du Soleil R ( (3 3/2) rs ), on trouve la déviation maximale δϕmax =

4 G M  8,5 × 10−6 rad , c2 R

soit environ 1,75” d’arc. Historiquement, la mesure d’une telle déviation par Sir Arthur Eddington, lors d’une éclipse du Soleil en 1919, est la première vérification expérimentale de la théorie de la relativité générale, étant donné que la gravitation newtonienne ne prévoyait que la moitié de cette déviation.

Chapitre 4 – Espace-temps de Schwarzschild

133

C1 – On exprime d’abord r˙ 2 = (dr/dλ)2 en fonction de (dr/dt)2 : d’après la première équation des géodésiques de la question B1, on a 

dr dλ



2 =

dt dλ

2 

dr dt

2

C12 = (1 − rs /r)2



dr dt

2 .

En remplaçant r˙ 2 par cette expression dans l’équation (4.12), avec b2 = h2 /(c2 C12 ), on obtient directement  2 1 dr c2 b 2 c2 = 0. (4.14) + 2 − 3 (1 − rs /r) dt r 1 − rs /r En r0 , au point minimal d’approche, dr/dt = 0, donc r0 obéit à l’équation c2 c2 b 2 − = 0, 2 r0 1 − rs /r0 c’est-à-dire r03 − b2 r0 + b2 rs = 0 . Les racines de cette équation se trouvent analytiquement grâce, par exemple, à la méthode de Tartaglia, mais le calcul exact n’a aucun intérêt ici. On se propose plutôt de trouver une approximation de r0 avec un développement perturbatif à l’ordre 1 en rs . A l’ordre 0, comme r0  rs , on trouve que r0  b. Posons alors r0 = b + δr0 , avec |δr0 | r0 , pour trouver b3 + 3b2 δr0 − b3 − b2 δr0 + b2 rs  0 , autrement dit, δr0  −rs /2. C2 – En remplaçant c2 b2 par (c2 r02 )/(1 − rs /r0 ) dans l’équation (4.14), on peut écrire  1/2  dr rs  r02 (1 − rs /r) =c 1− , 1− 2 dt r r (1 − rs /r0 ) ce qui implique 

r

c Δt(r, r0 ) = r0

 −1/2 1 r2 (1 − rs /r) dr . 1 − 20 1 − rs /r r (1 − rs /r0 )

En développant l’intégrande au premier ordre en rs /r, on trouve 1 1 − rs /r



−1/2 r02 (1 − rs /r) r2 (1 − rs /r0 )     rs 2 rs r0 r rs + + o = 2 1 + . 2 1/2 r 2 r (r + r0 ) r (r − r0 ) 1−

134

Relativité générale et astrophysique

L’intégrale précédente peut donc être calculée, et on obtient 

c Δt(r, r0 )  (r − 2

r02 )1/2

 1/2  r + (r2 − r02 )1/2 rs r − r0 + rs ln . + r0 2 r + r0

C3 – Dans le cas d’un espace-temps plat, la distance entre A et B s’écrit simplement dAB = (r12 − r02 )1/2 + (r22 − r02 )1/2 . Dans notre cas, cette même distance est, d’après la question précédente, c Δt(r1 , r0 ) + c Δt(r2 , r0 ). La différence de distance, sur l’allerretour, se traduit par un retard sur les coordonnées temporelles pour A, qui est ΔtA = 2 [Δt(r1 , r0 ) + Δt(r2 , r0 ) − dAB /c] . En supposant que r1  r0 et r2  r0 , on a  c Δt(ri , r0 ) −

(ri2

−

r02 )1/2

 rs

1 + ln 2



2 ri r0



pour i ∈ {1, 2}. Le retard temporel peut alors s’écrire    2 rs 4 r1 r2 ΔtA = . 1 + ln c r02

(4.15)

L’observateur en A mesurera donc un retard sur son horloge égal à ΔτA = (1 − rs /r1 )1/2 ΔtA . Comme r1  rs , on peut simplement dire que ΔτA  ΔtA . Références bibliographiques : [8], [25], [17], [19].

[M]  EXERCICE 4.7 Il s’agit ici d’une application des résultats obtenus dans les parties B et C de l’exercice de la page 123. Mirages gravitationnels et anneaux d’Einstein – Un observateur terrestre étudie la déviation des rayons lumineux d’une étoile par un trou noir de Schwarzschild lorsque l’angle entre sa direction réelle, c’est-à-dire sa direction si il n’y avait pas de trou noir, et celle du trou noir est égal à θ ( 1). On notera respectivement D1 et D2 les distances du trou noir et de l’étoile par rapport à l’observateur (voir figure 4.3), et M la masse du trou noir. 1 – Montrer que, dans le plan contenant les deux directions (plan de la figure 4.3), l’observateur terrestre verra deux images distinctes de l’étoile.

Chapitre 4 – Espace-temps de Schwarzschild

135

2 – Que se passe-t-il lorsque l’alignement est parfait (θ = 0) ? Quel est le diamètre angulaire de l’image obtenue ? Faire l’application numérique avec D2 = 2 D1 = 200 a., et M = 3 M . 3 – Exprimer l’intervalle de temps, mesuré par l’observateur, entre la réception de deux photons émis simultanément depuis l’étoile mais suivant les deux chemins optiques possibles définis précédemment pour θ = 0. On donnera le résultat en fonction des écarts angulaires de chacune des deux images par rapport au trou noir.

Image Source

M 

b

N

D2



 Observateur

 D1

Trou noir Figure 4.3 – Déviation de rayons lumineux par un trou noir : dans le plan contenant les deux directions, celle de l’étoile s’il n’y avait pas de trou noir et celle du trou noir, deux images correspondant à deux déviations δϕ différentes peuvent être observées. Sur ce schéma, la formation d’une seule de ces images est représentée.

 SOLUTION 1 – Comme on peut le voir sur la figure 4.3, la déviation δϕ est égale à α + β. la question est de savoir s’il existe deux valeurs du paramètre d’impact b donnant deux images distinctes de l’étoile. Les angles étant tous très petits devant 1, on a les approximations suivantes : MN , D2 − D1 b − MN , θ  tan θ = D1

α  tan α =

ce qui implique

 δϕ = (b − D1 θ)

β  tan β =

1 1 + D2 − D1 D1

MN , D1

 .

Par ailleurs, nous avons montré (voir l’exercice de la page 123) que δϕ =

4GM . c2 b

136

Relativité générale et astrophysique

On trouve donc pour b l’équation b2 − D1 θ b − D 2 = 0 , avec

4GM D = c2 2



1 1 + D2 − D1 D1

−1 =

4 G M D1 (D2 − D1 ) , c2 D2

ce qui donne les deux solutions suivantes :       1 1 b1 = D1 θ + D12 θ2 + 4 D2 , b2 = D1 θ − D12 θ2 + 4 D2 . 2 2 L’observateur terrestre verra donc bien deux images distinctes de l’étoile, chacune d’entre elles constituant un mirage gravitationnel pour l’observateur puisque leurs positions apparentes respectives diffèrent de la direction réelle de l’étoile. Cette situation est un exemple simple de lentille gravitationnelle : l’observation de quasars en arrière plan d’une galaxie jouant le rôle du trou noir déflecteur montre que de nombreuses images d’une même source peuvent se former suivant la distribution de matière de la galaxie. La complexité de la situation tient ici de l’étendue angulaire de la source et du déflecteur. Par ailleurs, on peut également montrer que l’intensité totale reçue de la source, définie comme la somme des intensités de toutes les images, est supérieure à celle qu’aurait la source s’il n’y avait pas de déflecteur 3 . Ce phénomène de lentille gravitationnelle, expliqué par la relativité générale, permet donc d’étudier simultanément les propriétés physiques de la source et celles du déflecteur. 2 – Lorsque l’alignement est parfait (θ = 0) entre l’étoile, le trou noir et l’observateur, la symétrie du système implique que l’observateur voit se former un anneau, dit anneau d’Einstein, autour de la position du trou noir. Le paramètre d’impact est alors tel que |b| = D, et le diamètre angulaire de l’anneau est Θ = 2 β = 2 D/D1 . Lorsque D2 = 2 D1 , on peut donc écrire   2GM rs Θ=2 = 2 , c2 D 1 D1 avec rs , le rayon de Schwarzschild du trou noir. Avec les données numériques, cela donne : Θ  1,9 × 10−7 rad soit environ 0,04” d’arc. 3 – Pour le premier photon, l’effet Shapiro 4 implique un retard temporel par rapport à une trajectoire rectiligne dans un espace de Minkowski qui est, d’après la relation (4.15),    rs 4 r1 r2 Δt1 = , 1 + ln c b21 3. Le lecteur pourra voir une démonstration de ce résultat dans l’ouvrage Gravitation relativiste de R. Hakim (voir réf. [3] dans la bibliographie). 4. Attention au facteur 2 qui correspond à l’aller-retour : ici, c’est un aller simple !

Chapitre 4 – Espace-temps de Schwarzschild

137

avec r1 , la distance entre la source et le point M1 correspondant au premier chemin optique de paramètre d’impact b1 et r2 , la distance entre le point M1 et l’observateur. De la même façon et avec les mêmes notations, pour le second photon, ce retard s’écrira      4 r1 r2 rs Δt2 = , 1 + ln c b22 avec r1  r1 et r2  r2 . Pour l’observateur (à l’infini), l’intervalle de temps entre les deux photons sera donc   b2 2 rs ln Δt12 = Δt1 − Δt2  . c b1 Enfin, l’écart angulaire Θ1 entre la première image et le trou noir est égal à θ + β1 soit b1 /D1 (voir la figure 4.3). De même, pour la seconde image, l’écart angulaire Θ2 est égal à b2 /D1 . Conclusion, on aura   Θ2 2 rs ln Δt12  . c Θ1 Remarque : pour des sources et des déflecteurs situés à des distances cosmologiques (quasars, galaxies. . . ), il est nécessaire de tenir compte des différents redshifts cosmologiques et de l’évolution du paramètre d’échelle (voir le chapitre 8). Références bibliographiques : [3].

[MD]  EXERCICE 4.8 Avance du périhélie de Mercure – On considère le système gravitationnel formé par le Soleil et la planète Mercure. On néglige la rotation du Soleil sur lui-même, son moment quadrupolaire, ainsi que l’influence des autres planètes : la masse de Mercure sera considérée comme négligeable devant celle du Soleil, et la planète évoluera donc dans un espace-temps de Schwarzschild muni de la métrique  rs  2  rs −1 2 dt − 1 − dr − r2 dθ2 − r2 sin2 θ dϕ2 , ds2 = c2 1 − r r avec rs = 2 G M /c2 , et M , la masse du Soleil. 1 – On admet (voir exercice page 123) que la trajectoire de Mercure obéit à la formule de Binet généralisée : c2 rs 3 d2 u + u = + rs u2 , dϕ2 2h2 2 avec u ≡ 1/r, et h ≡ r2 ϕ. ˙ On souhaite, par un calcul perturbatif par rapport au cas newtonien, déterminer l’équation de la trajectoire de Mercure.

138

Relativité générale et astrophysique

(a) En notant δu la fonction perturbatrice de la solution newtonienne, montrer que la seule solution conduisant à une modification du périhélie au cours du temps est de la forme e δu =  ϕ sin ϕ , p avec p et e, respectivement le paramètre et l’excentricité de l’ellipse obtenue dans le cas newtonien, et , une constante que l’on précisera. (b) En déduire que l’équation de la trajectoire est de la forme r=

p . 1 + e cos[(1 − ) ϕ]

2 – Montrer que l’avance, notée δϕ, du périhélie de Mercure sur une révolution est égale à 6π G M δϕ = , a (1 − e2 ) c2 avec a, le demi-grand axe de l’orbite de Mercure. Calculer l’avance du périhélie, Δϕ, sur un siècle sachant que sa période de révolution est de 88 jours. Données numériques : e = 0,21, M = 2 × 1030 kg, a = 5,8 × 1010 m, et G = 6,67 × 10−11 S.I.  SOLUTION 1(a) – A la solution obtenue dans le cas newtonien, on rajoute une fonction perturbatrice δu, et l’on recherche une solution de l’équation de Binet généralisée de la forme 1 u = (1 + e cos ϕ) + δu , p où p = 2h2 /(c2 rs ), e est l’excentricité newtonienne et, par hypothèse, |δu| |(1 + e cos ϕ)/p|. Au premier ordre en δu, on obtient d2 u d2 δu 1 = − e cos ϕ + 2 dϕ p dϕ2 1 2 u2 = 2 (1 + 2e cos ϕ + e2 cos2 ϕ) + (1 + e cos ϕ) δu , p p et l’équation de Binet conduit à   d2 δu 3 rs 3 rs (1 + e cos ϕ) δu = + 1− (1 + 2 e cos ϕ + e2 cos2 ϕ) . dϕ2 p 2 p2

Chapitre 4 – Espace-temps de Schwarzschild

139

La constante p est de l’ordre de grandeur du demi-grand axe de l’orbite de Mercure, donc p  rs , et l’équation précédente se simplifie en 3 rs d2 δu + δu = (1 + 2 e cos ϕ + e2 cos2 ϕ) . dϕ2 2 p2 Cette équation différentielle se résout facilement ; à la solution de l’équation sans second membre, on peut rajouter trois solutions particulières correspondant chacune à l’un des termes du second membre, et l’on a    3 rs 1 1 2 δu = A cos(ϕ + Ψ) + − cos 2ϕ , 1 + e ϕ sin ϕ + e 2 p2 2 6 où A et Ψ sont deux constantes. Comme seules les solutions non périodiques et non constantes au cours du temps vont introduire une modification du périhélie, on ne retiendra, comme perturbation, que la fonction δu = ou encore δu =

3 e rs ϕ sin ϕ , 2 p2

3 rs e  ϕ sin ϕ en notant  = . p 2p

1(b) – Comme rs p et que, sur une révolution, ϕ  2π, on peut écrire  1, et  ϕ  sin ( ϕ) , cos ( ϕ)  1 , ce qui implique cos[(1 − ) ϕ]  cos ϕ +  ϕ sin ϕ. L’équation de la trajectoire de Mercure est donc p . r= 1 + e cos[(1 − ) ϕ] 2 – L’équation de la trajectoire obtenue n’est plus 2π-périodique, puisque sa période est égale à 2π/(1 − ). A chaque révolution, le périhélie se déplace donc d’un angle δϕ correspondant à la variation de période δϕ =

2π − 2π = 2π  + o() , 1−

c’est-à-dire, en ne retenant que le premier ordre et puisque p = a (1 − e2 ), δϕ 

6π G M 3π rs = . p a (1 − e2 ) c2

Sur un siècle, Mercure effectue (100 × 365/88) révolutions donc Δϕ  soit environ 43” d’arc.

36500 δϕ  2,09 × 10−4 rad , 88

140

Relativité générale et astrophysique

[MD]  EXERCICE 4.9 Vitesse et énergie dans l’espace-temps de Schwarzschild – On considère un espace-temps de Schwarzschild muni de la métrique  rs  2  rs −1 2 dt − 1 − dr − r2 dθ2 − r2 sin2 θ dϕ2 , ds2 = c2 1 − r r avec rs = 2 G M/c2 . Une particule est initialement à l’infini, en ayant un mouvement radial dirigé vers le centre, avec une vitesse v0 par rapport à un observateur stationnaire situé à l’infini. 1 – Montrer que la vitesse coordonnée est donnée par 

dr dt

2

   rs  rs 2 2 1  = 1− c 1− 2 1− , r γ0 r

avec γ0 = (1 − v02 /c2 )−1/2 . 2 – Déterminer la vitesse de la particule mesurée par un observateur stationnaire situé en r. Quelle est la limite de cette vitesse lorsque l’observateur se rapproche de rs ? 3 – On suppose que la particule, de masse m, est stoppée en r = r1 et que l’énergie perdue est convertie en un rayonnement qui peut être observé en l’infini. Exprimer l’énergie perdue qui est mesurée par l’observateur en r1 . 4 – Que vaut l’énergie perdue pour un observateur situé à l’infini ? Que se passet-il lorsque r1 tend vers rs ?  SOLUTION 1 – En géométrie de Schwarzschild, on dispose des deux équations des géodésiques suivantes :  rs  dt = C1 , 1− r dτ  2 rs  c2 rs dr h2  − = c2 (C12 − 1) , + 2 1− dτ r r r avec h = 0, puisque le mouvement est radial, et C1 = E/(m c2 ) = γ0 . On a donc  2  2  2    dr dr dτ rs 2 2 γ02 − 1 rs = = 1− c + 2 , dt dτ dt r γ02 γ0 r ou encore    2  rs  rs 2 2 dr 1  = 1− c 1− 2 1− . dt r γ0 r

Chapitre 4 – Espace-temps de Schwarzschild

141

2 – Une variation infinitésimale dr, de la coordonnée r, pendant un intervalle de temps coordonnée infinitésimal dt, se traduit pour l’observateur stationnaire en r par une variation infinitésimale drobs = (1 − rs /r)−1/2 dr, pendant une durée infinitésimale dtobs = (1−rs /r)1/2 dt. La vitesse de la particule, mesurée par l’observateur, sera donc  drobs rs −1 = 1− dtobs r



dr dt





1/2 rs  1  . =c 1− 2 1− γ0 r

Lorsque l’observateur se rapproche de rs , la vitesse de la particule se rapproche de c, et cela, indépendamment de la vitesse initiale v0 . 3 – L’énergie perdue par la particule, E,

est son énergie cinétique en r1 : elle est donc égale à (γ(r1 ) − 1) m c2 , avec γ(r1 ) = 1/ 1 − v(r1 )2 /c2 , et v(r1 ) =

  1/2 drobs 1 rs (r1 ) = c 1 − 2 1 − . dtobs γ0 r1 

On déduit E = mc

2

γ0

−1 1 − rs /r1

 .

4 – L’énergie étant perdue sous forme de rayonnement, le rapport des énergies mesurées en r1 et en l’infini est égal au rapport des fréquences des photons émis en r1 et reçus à l’infini. La métrique étant stationnaire, et l’émetteur comme l’observateur étant fixes par rapport aux coordonnées, on peut écrire E(+∞) = E(r1 )



g00 (r1 ) g00 (+∞)

1/2 =

 rs 1− , r1

et l’énergie mesurée à l’infini par l’observateur est donc    rs 2 E(+∞) = m c γ0 − 1 − . r1 Lorsque r1 → rs , l’observateur situé à l’infini mesurera une énergie égale à l’énergie totale initiale de la particule, c’est-à-dire, γ0 m c2 .

[MD]  EXERCICE 4.10 Cet exercice nécessite d’avoir fait la première partie de l’exercice de la page 123. Collapse gravitationnel d’une étoile massive – On s’intéresse au collapse gravitationnel d’une étoile massive, de masse M et de rayon initial R, conduisant à la formation d’un trou noir de Schwarzschild. Dans un modèle simplifié, on suppose

142

Relativité générale et astrophysique

que la pression interne ainsi que la rotation de l’étoile sont négligeables : l’effondrement de la matière vers son centre est purement radial. A chaque instant, la métrique de l’espace-temps extérieur à l’étoile est donc donnée par  rs  2  rs −1 2 dt − 1 − dr − r2 dθ2 − r2 sin2 θ dϕ2 , ds2 = c2 1 − r r avec rs = 2 G M/c2 . On considère une particule massive initialement au repos sur la surface de l’étoile et qui se retrouve soudainement en chute libre vers le centre de l’étoile lors de son effondrement. 1 – Montrer que l’énergie initiale de la particule, mesurée par un observateur fixe placé en r = R au voisinage de la particule, est égale à son énergie au repos. 2 – Montrer que la coordonnée radiale r de la particule en fonction du temps coordonnée t est telle que 

rs 1 − X0

X X0

dX  √ = ct, X 2 (1 − X  ) X  − X0

avec X = rs /r < 1, X0 = rs /R, et en choisissant l’instant t0 = 0 comme instant initial du collapse. Que devient cette intégrale lorsque la particule se rapproche de rs ? Au bout de quelle durée la particule atteindra-t-elle l’horizon pour un observateur spatialement fixe à l’infini ? En déduire l’évolution de la coordonnée radiale au voisinage de l’horizon. 3 – Quelle durée propre un observateur situé à la surface de l’étoile lors du collapse mesurera-t-il pour atteindre l’horizon ? Et pour atteindre la singularité centrale ?

On pourra utiliser le changement de variable u = y/(1 − X0 y), avec y = r/rs .

 SOLUTION 1 – Un observateur fixe placé en r = R aura une quadri-vitesse normée [uμ ] telle que u0 =

c

1

, 1 − rs /R

ur = uθ = uϕ = 0.

La particule, de masse m non nulle, se retrouvant en chute libre radiale, sa quadriimpulsion [pμ ] est telle que, d’après le système d’équations (4.4), p0 = C1 m c2 . De plus, la particule étant initialement au repos, on a d’après la métrique :   dt 1 , =

dτ r=R 1 − rs /R

Chapitre 4 – Espace-temps de Schwarzschild

143

ce qui implique C1 = 1 − rs /R. L’énergie de la particule mesurée par l’observateur sera donc bien égale à son énergie au repos, E = p μ u μ = m c2 . 2 – L’équation (4.3), avec h = 0 (le mouvement radial est se fait sans moment cinétique), donne 

2

dr dτ

= c2

r

s

r

−

rs  . R

(4.16)

Ainsi, comme d’après le système d’équations (4.2), 1 − rs /r dτ , =

dt 1 − rs /R on obtient 5

dr dτ 1 − rs /r dr = = −c

dt dτ dt 1 − rs /R



Autrement dit, pour r > rs et puisque t0 = 0,  r

dr

rs − 1 − rs /R  R (1 − rs /r ) r −

rs rs − . r R

rs R

= c t,

ce qui implique, en effectuant le changement de variable X = rs /r, et en posant X0 = rs /R, rs



1 − X0

X X0

dX  √ = ct. X 2 (1 − X  ) X  − X0

Lorsque la particule se rapproche de rs , c’est-à-dire lorsque X tend vers 1, l’intégrale diverge en raison du terme en (1 − X)−1 : pour un observateur fixe à l’infini, la particule met un temps infini pour s’approcher de l’horizon tandis que les photons qu’elle émet subissent un décalage vers le rouge qui tend vers l’infini. Autrement dit, le collapse de l’étoile semble durer infiniment longtemps pour cet observateur. De plus, en posant X = 1 − h, on obtient  X  1−X0 dX  dh 1 √ √ ∼ ∼ −√ ln h . 2    X→1 h→0 X (1 − X ) X − X h 1 − X 1 − X0 0 0 X0 h Conclusion, lorsque la particule se rapproche de l’horizon, la coordonnée radiale r est telle que r ∼ (1 − e−ct/rs ) rs . t→+∞

5. Le signe moins provient du fait que la particule se dirige vers le centre.

144

Relativité générale et astrophysique

3 – Il s’agit ici de déterminer la durée propre d’un observateur tombant avec la surface de l’étoile pour atteindre l’horizon. L’équation (4.16) donne simplement  cτ = r

R

dr

rs r −

 rs R

R/rs

= rs r/rs



y dy , 1 − X0 y

en choisissant τ = 0 en r = R. Le changement de variable proposé conduit à l’intégrale convergente suivante  +∞ u2 c τ = 2 rs du . (1 + X0 u2 )2 u1  avec u1 =

y , ce qui s’intègre facilement pour donner 1 − X0 y

 +∞

1 u cτ = R √ arctan( X0 u) − 1 + X0 u2 u1 X0    

π 1 X0 y √ + y (1 − X0 y) . =R −√ arctan 1 − X0 y 2 X0 X0

(4.17)

Pour y = 1, on obtient la durée propre pour atteindre l’horizon :    

π R 1 X0 √ τhor = + 1 − X0 −√ arctan c 2 X0 1 − X0 X0        R π rs R R rs /R + 1− . = − arctan c 2 rs rs 1 − rs /R R Pour y = 0, on obtient la durée propre pour atteindre la singularité centrale :  πR R τsing = . 2c rs Remarque : on pourra remarquer que ces résultats sont différents de ceux obtenus à la question A3 de l’exercice de la page 123. La situation dans les deux cas est différente puisque, dans le premier cas, la particule était supposée initialement fixe à l’infini, alors qu’ici, elle est spatialement fixe en R au départ. Références bibliographiques : [8].

Chapitre 4 – Espace-temps de Schwarzschild

145

/ 0

¯3 —— 2

1

r/rs

2

3

Figure 4.4 – Evolution du temps propre τ mesurée par un observateur situé à la surface de l’étoile lors du collapse en fonction de la coordonnée radiale r (voir équation (4.17)). Dans cette figure, τ0 = R/c, et R = 3 rs .

[D]  EXERCICE 4.11

Trous noirs, trous blancs et changement de coordonnées – On considère un espace-temps de Schwarzschild initialement muni de la métrique  rs  2  rs −1 2 dt − 1 − dr − r2 dθ2 − r2 sin2 θ dϕ2 , ds2 = c2 1 − r r avec rs = 2 G M/c2 . On rappelle que, dans un tel système de coordonnées, la ligne d’univers d’un photon ayant un mouvement radial est décrite par une équation de la forme  r    c t = ± r + rs ln  − 1 + constante , rs le signe − caractérisant les photons rentrants, c’est-à-dire ayant un mouvement dirigé vers le centre (r = 0), et le signe +, les photons sortants, c’est-à-dire ceux s’éloignant du centre. 1 – Le système des coordonnées de Schwarzschild présente une singularité en r = rs , et il reste donc inadapté pour décrire la trajectoire d’une particule qui traverserait cette surface. En posant, r    p = c t + r + rs ln  − 1 , rs

146

Relativité générale et astrophysique

déterminer la nouvelle métrique dans le système de coordonnées {p, r, θ, ϕ}. Qu’en est-il de la singularité ? En déduire les équations des géodésiques radiales de genre lumière. 2 – On définit le système de coordonnées avancées d’Eddington-Finkelstein en posant c t ≡ p − r. Déterminer à nouveau l’élément infinitésimal de longueur dans le système de coordonnées {t , r, θ, ϕ}, ainsi que les équations des géodésiques radiales de genre lumière. Représenter quelques-unes de ces géodésiques dans le plan {t , r}. Que se passe-t-il pour une particule qui, à un instant t , se trouve en r < rs ? 3 – Reprendre les deux questions précédentes en posant successivement r    q = c t − r − rs ln  − 1 rs et c t ≡ q + r. Le système de coordonnées {t , r, θ, ϕ} est appelé système de coordonnées retardées d’Eddington-Finkelstein. 4 – Les deux systèmes de coordonnées précédents permettent de décrire deux parties différentes de la variété spatio-temporelle, ce que ne pouvaient pas faire le système de coordonnées de Schwarzschild. Cependant, dans les deux cas, les systèmes de coordonnées présentent des géodésiques discontinues en r = rs . Il est alors intéressant de savoir si l’on peut construire un seul système de coordonnées capable de décrire entièrement cette variété en ne donnant que des géodésiques continues. (a) Déterminer la métrique de Schwarzschild dans le système de coordonnées {p, q, θ, ϕ}, où p et q sont les coordonnées définies précédemment. Quelle est la métrique induite sur la sous-variété définie par θ = constante et ϕ = constante ? (b) Exprimer la métrique induite précédente dans le système de coordonnées {p , q  } défini par les relations     p −q , q  = − exp . p = exp 2 rs 2 rs En déduire la métrique de Schwarzschild dans le système de coordonnées de Kruskal {v, u, θ, ϕ}, qui est tel que v=

1  (p + q  ) , 2

u=

1  (p − q  ) . 2

On pourra conserver et exprimer la coordonnée r comme une fonction de v et u. (c) Exprimer les coordonnées v et u en fonction des coordonnées initiales {t, r, θ, ϕ}. Conclure quant aux géodésiques radiales de genre lumière.

Chapitre 4 – Espace-temps de Schwarzschild

147

 SOLUTION 1 – En différenciant la relation donnant la coordonnée p, on obtient dp = c dt +

r dr . r − rs

En remplaçant le dt dans l’expression de la métrique de Schwarzschild, on déduit la nouvelle métrique,  rs  2 dp − 2 dp dr − r2 dθ2 − r2 sin2 θ dϕ2 . ds2 = 1 − r Le changement de coordonnées a fait disparaître la singularité en r = rs : dans cette métrique, l’élément infinitésimal de longueur reste fini pour tout r ∈ ]0, +∞[. On déduit aisément l’équation des géodésiques radiales (dθ = dϕ = 0) de genre lumière (ds = 0) :  2  rs  dp dp 1− = 0, −2 r dr dr et l’on trouve deux solutions, respectivement pour les photons entrants et sortants, qui sont p = constante ,

r    p = 2 r + 2 rs ln  − 1 + constante . rs 2 – Comme c dt ≡ dp − dr, on peut éliminer les dp de l’expression de la métrique précédente pour obtenir   rs  2 2 c rs  rs  2 dt − dt dr − 1 + dr − r2 dθ2 − r2 sin2 θ dϕ2 . ds2 = c2 1 − r r r Les solutions de l’équation des géodésiques radiales de genre lumière, que l’on a obtenues précédemment, deviennent c t = −r + constante , r    c t = r + 2 rs ln  − 1 + constante , rs avec r ∈ ]0, +∞[ pour la première équation, et r ∈ ]0, +∞[−{rs } pour la seconde. D’après cette seconde équation, aucune particule située dans la région r < rs ne peut rejoindre la région r > rs , alors que la première équation indique que les trajectoires des photons entrants sont représentées par des droites (voir figure 4.5). La surface r = rs est l’horizon des événements du trou noir.

Relativité générale et astrophysique

photo n entr ant

t’

horizon des événements

148

photon sortant échappé

photon sortant absorbé 1

r/rs Figure 4.5 – Quelques géodésiques radiales de genre lumière dans le plan {t , r} des coordonnées avancées d’Eddington-Finkelstein. En pointillé, les photons entrants suivent une ligne d’univers droite, alors que, en trait plein, les photons sortants n’échappent au trou noir que si leur coordonnée radiale initiale r, est supérieure à rs .

3 – On trouve facilement dq = c dt −

r dr , r − rs

ce qui conduit à la métrique  rs  2 dq − 2 dq dr − r2 dθ2 − r2 sin2 θ dϕ2 , ds2 = 1 − r et donc, avec c t ≡ q + r, aux géodésiques c t = r + constante , r    c t = −r − 2 rs ln  − 1 + constante . rs Cette fois-ci ce sont les photons sortants, qui ont une ligne d’univers droite, qui traversent la surface r = rs . Les photons rentrants ne peuvent, quant à eux, traverser cette même surface et suivent une géodésique qui les rapprochent de r = rs quel que soit l’endroit d’où ils sont émis. Un tel objet dans lequel aucune particule ne peut rentrer est appelé trou blanc. 4(a) – En reprenant l’expression des différentielles de p et q, et en remarquant que dt = (dp + dq)/2, on obtient facilement l’expression de la métrique de Schwarzschild dans le système de coordonnées {p, q, θ, ϕ} ;  rs  dp dq − r2 dθ2 − r2 sin2 θ dϕ2 , ds2 = 1 − r

Chapitre 4 – Espace-temps de Schwarzschild

149

avec r une fonction implicite de p et q. La métrique induite sur la sous-variété définie par θ = constante et ϕ = constante est donc  rs  ds2 = 1 − dp dq. r 4(b) – Les différentielles de p et de q  étant   exp 2 prs dp = dp , 2 rs   exp 2−q rs dq , dq  = 2 rs on obtient

 dp dq =

4 rs2

exp

q−p 2 rs

 dp dq  ,

r  p−q   = r + rs ln  − 1 . 2 rs La métrique induite précédente, dans le système de coordonnées {p , q  }, est donc   r 4 rs3 ds2 = exp − dp dq  . r rs avec

Enfin, dans le système de coordonnées de Kruskal {v, u, θ, ϕ}, comme 1 (dp + dq  ) , 2 1 du = (dp − dq  ) , 2 on déduit facilement l’expression de la métrique de Schwarzschild,   r 4 rs3 2 exp − ds = (dv 2 − du2 ) − r2 dθ2 − r2 sin2 θ dϕ2 , r rs dv =

avec la fonction r dépendant de v et u par la relation     r r v 2 − u2 = 1 − exp . rs rs 4(c) – En remplaçant p et q  par leur expression en fonction de p et q, puis en utilisant les expressions de p et q en fonction de r et t, on déduit      r ct r   2 2 v = 1 −  exp sinh , rs rs 2 rs      r ct r   u2 = 1 −  exp cosh2 , rs rs 2 rs

150

Relativité générale et astrophysique

c’est-à-dire, pour r > rs ,



v=  u= et, pour r < rs ,

r −1 rs r −1 rs

1/2

 exp

1/2

 exp

r 2 rs r 2 rs



 sinh



 cosh

ct 2 rs ct 2 rs

 ,  ,

  1/2    r ct r exp 1− sinh , rs 2 rs 2 rs   1/2    r r ct u= 1− exp cosh . rs 2 rs 2 rs v=

De l’expression de la métrique, on déduit que les géodésiques radiales de genre lumière sont, dans le plan {v, u}, des droites de la forme v = ±u + constante . Elles sont donc toutes continues en r = rs . Références bibliographiques : [5], [25], [17], [19].

[D]  EXERCICE 4.12 Métrique de Schwarzschild en coordonnées isotropes – On considère un espacetemps de Schwarzschild initialement muni de la métrique  rs −1 2 rs  2  dt − 1 − ds2 = c2 1 − dr − r2 dθ2 − r2 sin2 θ dϕ2 , r r avec rs = 2 G M/c2 . Par un changement de coordonnée radiale, on définit un nouveau système de coordonnées {t, r˜, θ, ϕ}, valable pour r > rs , tel que r˜ =

1  rs  r + r (r − rs ) − . 2 2

1 – Déterminer l’expression de la métrique dans le nouveau système de coordonnées. Justifier la dénomination de coordonnées isotropes pour un tel système. 2 – En déduire que la métrique de Schwarzschild, lorsque r  rs , peut se mettre sous la forme  rs  2  rs  dt − 1 + (dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θ dϕ2 ) . ds2 = c2 1 − r r

Chapitre 4 – Espace-temps de Schwarzschild

151

 SOLUTION 1 – La définition de r˜ donne r˜ dr. d˜ r=

r (r − rs ) Et, en inversant la relation donnant r˜, on trouve  rs 2 r = r˜ 1 + . 4˜ r On obtient alors facilement les relations  rs 2 1 − 4˜ rs r 1− = , rs r 1 + 4˜ r  rs 2  1 + 4˜ rs −1 2 r (r − rs ) 2  rs 4 2 r 1− dr = d˜ r = 1+ d˜ r , rs 2 r 1 − 4˜r r˜ 4˜ r ce qui conduit à une métrique de la forme  rs 2  1 − 4˜ rs 4 r dt2 − 1 + (d˜ r2 + r˜2 dθ2 + r˜2 sin2 θ dϕ2 ) . ds2 = c2 rs 1 + 4˜r 4˜ r La partie spatiale de cette métrique, obtenue pour t = constante, est conformément reliée à la métrique spatiale euclidienne d’élément de longueur infinitésimal d : ds2t=cte = Ω2 d2 , r2 + r˜2 dθ2 + r˜2 sin2 θ dϕ2 , et Ω, le facteur conforme, tel que avec d2 = d˜  rs 4 Ω2 = 1 + . 4˜ r Par définition d’une transformation conforme (voir également l’exercice page 62), cela signifie que les angles entre les courbes de cet espace ne changent pas, même si l’espace subit des dilatations locales et donc une variation des volumes infinitésimaux. Cette conservation des angles par rapport à la métrique spatiale isotrope euclidienne justifie le nom de coordonnées isotropes. 2 – Lorsque r  rs , c’est-à-dire r˜  rs , un développement limité donne   r    r  rs rs s s +o 1− +o dt2 ds2 = c2 1 − 2˜ r r ˜ 2˜ r r ˜  r   rs s +o (d˜ r2 + r˜2 dθ2 + r˜2 sin2 θ dϕ2 ) , − 1+ r˜ r˜ ou encore, toujours au premier ordre en rs /˜ r,     rs rs dt2 − 1 + (d˜ r2 + r˜2 dθ2 + r˜2 sin2 θ dϕ2 ) . ds2 = c2 1 − r˜ r˜

152

Relativité générale et astrophysique

Comme r˜ ∼ r lorsque r˜  rs , on peut tout aussi bien écrire  rs  2  rs  dt − 1 + (dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θ dϕ2 ) , ds2 = c2 1 − r r qui est une forme de la métrique de Schwarzschild lorsque le champ gravitationnel est faible.

Chapitre 5

Espace-temps de Kerr [MD]  EXERCICE 5.1

Singularité et limites de la métrique de Kerr – On admet que l’espace-temps autour d’un trou noir non chargé en rotation, appelé trou noir de Kerr, peut être muni d’une métrique, appelée métrique de Kerr, de la forme   2 c rs r a sin2 θ ρ2 2 rs r dr − ρ2 dθ2 ds2 = c2 1 − 2 dt dϕ − dt2 + 2 ρ ρ Δ   rs r a2 sin2 θ − r 2 + a2 + sin2 θ dϕ2 , ρ2 avec rs et a deux constantes, et en notant ρ2 = r2 +a2 cos2 θ et Δ = r2 −rs r +a2 . Le système de coordonnées {t, r, θ, ϕ} est appelé système de Boyer-Lindquist. 1 – En posant Σ2 = (r2 + a2 )2 − a2 Δ sin2 θ, montrer que cette métrique peut se mettre sous la forme ds2 =

Δ − a2 sin2 θ 2 2 2c rs r a sin2 θ c dt + dt dϕ ρ2 ρ2 Σ2 sin2 θ ρ2 2 dr − ρ2 dθ2 − dϕ2 . − Δ ρ2

2 – Déterminer les composantes covariantes et contravariantes du tenseur métrique. Quelles sont, a priori, les deux seules singularités possibles de la géométrie de Kerr ? Que retrouve-t-on lorsque la constante a tend vers 0 ? 3 – Le calcul de toutes les composantes non nulles du tenseur de Riemann est très long et fastidieux, mais il est nécessaire pour évaluer la quantité scalaire Rabcd Rabcd donnant les éventuelles singularités géométriques. Néanmoins, il est

154

Relativité générale et astrophysique

intéressant de déterminer au moins une de ces composantes afin de mettre en évidence l’unique singularité de la géométrie de Kerr. Calculer, par exemple, Rrtrt . Conjecturer alors l’unique singularité. 4 – On considère le changement de coordonnées suivant :

x = r2 + a2 sin θ cos ϕ ,

y = r2 + a2 sin θ sin ϕ , z = r cos θ , avec (r, θ, ϕ) ∈ R+ × [0, π] × [0, 2π[. (a) Quelle est l’équation, en coordonnées cartésiennes x, y, z, de la singularité qui a été définie précédemment ? (b) Lorsque la constante rs tend vers 0, montrer que la métrique de Kerr est équivalente à une métrique de Minkowski. Dans ce cas, que sont les surfaces d’équations r = constante, et θ = constante ?  SOLUTION 1 – Il n’y a que les termes en dt2 et en dϕ2 qui changent. Comme ρ2 = r2 + a2 − a2 sin2 θ, on a ρ2 − rs r = Δ − a2 sin2 θ et donc   Δ − a2 sin2 θ 2 2 rs r c2 1 − 2 c dt . dt2 = ρ ρ2 De même, ρ2 (r2 + a2 ) = (r2 + a2 )2 − r2 a2 sin2 θ − a4 sin2 θ , ce qui conduit à ρ2 (r2 + a2 ) + rs r a2 sin2 θ = (r2 + a2 )2 − a2 sin2 θ (r2 − rs r + a2 ) = Σ2 , et

  rs r a2 sin2 θ Σ2 sin2 θ 2 2 2 2 θ dϕ = dϕ2 . sin r +a + ρ2 ρ2

2 – Les composantes covariantes du tenseur métrique se lisent directement sur la métrique :   Δ − a2 sin2 θ 2 c rs r a sin2 θ rs r 2 gtt = c = c = , 1 − , g tϕ ρ2 ρ2 ρ2 grr = −

ρ2 , Δ

gθθ = −ρ2 ,

gϕϕ = −

Σ2 sin2 θ . ρ2

Chapitre 5 – Espace-temps de Kerr

155

La matrice inverse du tenseur métrique donne facilement les composantes contravariantes : g tt =

gϕϕ Σ2 = 2 2 , 2 gtt gϕϕ − gtϕ c ρ Δ

g rr =

1 Δ =− 2, grr ρ

g θθ =

g tϕ = −

1 1 =− 2, gθθ ρ

gtϕ a rs r 2 = c ρ2 Δ , gtt gϕϕ − gtϕ g ϕϕ =

gtt ρ2 − rs r . = − 2 gtt gϕϕ − gtϕ ρ2 Δ sin2 θ

Les deux seules singularités éventuelles sont définies par Δ = 0 et ρ = 0. L’une de ces deux singularités n’est qu’une singularité de coordonnées et l’autre est une singularité intrinsèque : cette dernière sera l’objet  de laquestion suivante. Lorsque a → 0, on obtient ρ2 → r2 , Σ2 → r4 , et Δ → r2 1 − rrs . On retrouve alors la métrique de Schwarzschild,  rs  2  rs −1 2 dt − 1 − dr − r2 dθ2 − r2 sin2 θ dϕ2 . ds2 = c2 1 − r r La constante a est donc liée à la rotation du trou noir, et la constante rs peut être identifiée au rayon de Schwarzschild qui vaut 2 G M/c2 , avec M la masse du trou noir. 3 – Les coefficients de connexion sont définis par Γijk =

1 il g (∂k gjl + ∂j glk − ∂l gkj ) , 2

et les composantes du tenseur de Riemann sont données par la relation Rdabc = ∂b Γdac − ∂c Γdab + Γeac Γdeb − Γeab Γdec . On a donc Rrtrt = ∂r Γrtt − ∂t Γrtr + Γett Γrer − Γetr Γret , avec ∂t Γrtr = 0, puisque la métrique de Kerr est stationnaire, et 1 c2 rs Δ (2r2 − ρ2 ) Γrtt = − g rr ∂r gtt = , 2 2 ρ6 c’est-à-dire ∂r Γrtt =

6c2 rs

c2 rs 2 2 2r Δ + (2r − r r Δ (2r2 − ρ2 ) . ) (2r − ρ ) − s 2 ρ6 ρ7

Enfin, on a Γett = − Γrer = donc Γett Γrer = −

 1  er g ∂r gtt + g eθ ∂θ gtt , 2

1 rr g ∂e grr , 2

1 rr 2 (g ) ∂r gtt ∂r grr + g θθ g rr ∂θ gtt ∂θ grr , 4

156

Relativité générale et astrophysique

avec 2r ρ2 + (2r − rs ) 2 , Δ Δ 2a2 c2 rs r ∂θ gtt = sin θ cos θ , ρ4 2a2 sin θ cos θ . ∂θ grr = Δ ∂r grr = −

On en déduit Γett Γrer =

c2 rs 2 (2r − ρ2 ) (2r Δ − (2r − rs ) ρ2 ) − 4a4 r sin2 θ cos2 θ . 8 4ρ

Le dernier terme Γetr Γret est tel que  1  et g ∂r gtt + g eϕ ∂r gtϕ , 2 1 = − g rr ∂r gte , 2

Γetr = Γret donc



1 Γetr Γret = − g rr g tt (∂r gtt )2 + 2g tϕ ∂r gtt ∂r gtϕ + g ϕϕ (∂r gtϕ )2 , 4

avec

 1 2r2 − 4 , ∂r gtϕ = c rs a sin θ ρ2 ρ 2 2 2 2 2 2 1 c rs Σ (2r − ρ ) − g rr g tt (∂r gtt )2 = , 4 4 ρ12 1 1 1 − g rr g tϕ ∂r gtt ∂r gtϕ = − [c2 a2 rs3 r sin2 θ (2r2 − ρ2 )2 ] 12 , 2 2 ρ 1 1 1 − g rr g ϕϕ (∂r gtϕ )2 = − [c2 a2 rs2 sin2 θ (ρ2 − rs r) (2r2 − ρ2 )2 ] 12 . 4 4 ρ



2

Nous pouvons alors additionner tous les termes pour obtenir l’expression finale de la composante Rrtrt du tenseur de Riemann, ce qui n’a pas beaucoup d’intérêt. En revanche, on constate que tous ces termes présentent une unique singularité en ρ = 0, c’est-à-dire pour r = 0 et θ = π/2, ce qui semble bien être la seule singularité intrinsèque à un espace-temps de Kerr. 4(a) – En coordonnées cartésiennes, la singularité précédente (r = 0, θ = π/2) a pour équation x2 + y 2 = a2 , dans le plan équatorial z = 0. C’est donc un cercle. 4(b) – Lorsque rs → 0, ce qui équivaut à une masse centrale M qui devient nulle, on a Δ → r2 + a2 , et l’expression de la métrique peut se simplifier pour donner ds2 = c2 dt2 −

ρ2 dr2 − ρ2 dθ2 − (r2 + a2 ) sin2 θ dϕ2 . r 2 + a2

Chapitre 5 – Espace-temps de Kerr

157

En effectuant le changement de coordonnées proposé, on obtient

r dx = √ sin θ cos ϕ dr + r2 + a2 (cos θ cos ϕ dθ − sin θ sin ϕ dϕ), r 2 + a2

r dy = √ sin θ sin ϕ dr + r2 + a2 (cos θ sin ϕ dθ + sin θ cos ϕ dϕ), r 2 + a2 dz = cos θ dr − r sin θ dθ, ce qui implique, après quelques simplifications, dx2 + dy 2 + dz 2 =

ρ2 dr2 + ρ2 dθ2 + (r2 + a2 ) sin2 θ dϕ2 . r 2 + a2

Ainsi, la métrique se réduit simplement à la métrique de Minkowski en coordonnées cartésiennes : ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 . En l’absence de masse, l’espace-temps devient plat. Comme x2 + y 2 = (r2 + a2 ) sin2 θ, on a x2 + y 2 + z 2 = r2 + a2 (1 − z 2 /r2 ), c’est-à-dire x2 + y 2 z2 + 2 = 1. 2 2 r +a r Les surfaces d’équation r = constante sont donc des ellipsoïdes centrées en (0, 0, 0). En éliminant la variable r et en réintroduisant la variable θ, on obtient x2 + y 2 z2 = 1. − 2 a2 sin θ a2 cos2 θ Les surfaces d’équation θ = constante sont donc des hyperboloïdes de révolution autour de l’axe (Oz).

[D]  EXERCICE 5.2 Géodésiques nulles et coordonnées de Kerr-Schild – On rappelle qu’un espacetemps de Kerr peut être décrit par la métrique de Kerr, associée aux coordonnées de Boyer-Lindquist, qui est telle que (avec G = c = 1)   rs r 2rs r a sin2 θ ρ2 2 Σ2 sin2 θ 2 2 dr ds2 = 1 − 2 dt dϕ − − ρ dθ − dϕ2 , dt2 + ρ ρ2 Δ ρ2 avec ρ2 = r2 + a2 cos2 θ, Δ = r2 − rs r + a2 et Σ2 = (r2 + a2 )2 − a2 Δ sin2 θ. 1 – Le lagrangien d’une particule suivant un mouvement géodésique peut s’écrire L(xμ , x˙ μ , τ ) =

1 gμν x˙ μ x˙ ν , 2

158

Relativité générale et astrophysique

avec gμν les composantes du tenseur métrique, xμ ∈ {t, r, θ, ϕ}, x˙ μ = dxμ /dτ , et τ un paramètre affine de la géodésique (généralement le temps propre pour une particule massive) tel que ds = dτ . (a) Exprimer et calculer le hamiltonien H associé à une particule quelconque. (b) En déduire l’expression de l’équation de Hamilton-Jacobi pour la métrique de Kerr en introduisant l’action S. 2 – Pour une particule telle que x˙ μ x˙ μ = q, avec q = 1 pour une particule massive et q = 0 pour une particule de masse nulle, on admet que S est de la forme 1 S = − q τ + E t − L ϕ + Sr (r) + Sθ (θ), 2 avec E et L deux constantes, et Sr et Sθ deux fonctions uniquement, respectivement, de r et de θ. Montrer, à partir de l’équation de Hamilton-Jacobi, que l’on peut écrire  2 C2 dSr − q τ 2 = −K , − Δ dr Δ  2 dSθ D2 + − q a2 cos2 θ = K, dθ sin2 θ avec K une constante, C = (r2 + a2 ) E − a L, et D = L − a E sin2 θ. 3 – En posant R = C 2 + Δ (q r2 − K) et Θ = K + q a2 cos2 θ − D2 / sin2 θ, donner les expressions de Sr et Sθ , puis de ∂S/∂q et ∂S/∂K sous forme d’intégrales. En déduire les équations des géodésiques ρ4 r˙ 2 = R , ρ4 θ˙2 = Θ . 4 – On s’intéresse, à présent, aux géodésiques nulles telles que K = 0, E = 1 et L = a sin2 θ. Quelles sont alors les composantes des vecteurs tangents à de telles géodésiques dans la base naturelle {∂t , ∂r , ∂θ , ∂ϕ } ? 5 – Dans le système de Boyer-Lindquist, la métrique d’un espace-temps de Kerr présente une singularité de coordonnées aux points tels que Δ = 0. Les coordonnées de Kerr-Schild permettent de lever cette singularité. Elles sont définies par a rs r dt˜ = dt + dr , r˜ = r , θ˜ = θ , dϕ˜ = dϕ + dr. Δ Δ Déterminer les composantes covariantes du tenseur métrique dans le système de coordonnées de Kerr-Schild. 6 – Que deviennent, dans le système de coordonnées de Kerr-Schild, les composantes du vecteur tangent précédemment défini pour les géodésiques nulles rentrantes ? Conclure.

Chapitre 5 – Espace-temps de Kerr

159

 SOLUTION 1(a) – Le hamiltonien est défini par H(xμ , pμ , τ ) = pμ x˙ ν − L , avec l’impulsion généralisée p de coordonnées pμ =

∂L = gμν x˙ ν . On a donc ∂ x˙ μ

1 μν g pμ pν . 2 Pour une particule massive, le quadri-vecteur vitesse, identifié à p ici, étant de norme constante et égale à 1 (avec c = 1), on a donc H = 1/2. Pour une particule de masse nulle, la norme de p restant nulle le long de la ligne d’univers, on trouve H = 0. H(xμ , pμ , τ ) =

1(b) – L’action S étant, par définition, telle que ∂μ S = pμ , on a 1 μν g ∂μ S ∂ν S. 2 L’équation de Hamilton-Jacobi s’écrit alors H=

1 ∂S + g μν ∂μ S ∂ν S = 0. ∂τ 2 D’après les composantes contravariantes du tenseur métrique en géométrie de Kerr (voir exercice page 153), cette équation devient 2

Σ2 ∂S a rs r Δ + 2 (∂t S)2 + 2 ∂t S ∂ϕ S − 2 (∂r S)2 ∂τ ρ Δ cρ Δ ρ 2 − rs r 1 ρ (∂ϕ S)2 = 0. − 2 (∂θ S)2 − 2 ρ ρ Δ sin2 θ

2 – L’expression de S implique que 1 ∂S = − q = −H. ∂τ 2 Comme ∂t S = E, ∂r S = dSr /dr, ∂θ S = dSθ /dθ, et ∂ϕ S = −L, l’équation de Hamilton-Jacobi précédente se réécrit      2 2 dSθ dSr C2 D2 2 2 2 −qτ + − + Δ − q a cos θ = 0. dr Δ dθ sin2 θ Les deux termes entre crochets ne dépendent pas de la même variable (r et θ) ; ils sont donc opposés et égaux à une constante K, appelée constante de Carter, telle que  2 dSr C2 − q τ 2 = −K , Δ − dr Δ  2 dSθ D2 + − q a2 cos2 θ = K. dθ sin2 θ

160

Relativité générale et astrophysique

3 – De la question précédente, on déduit  2 dSr R = 2, dr Δ et donc

 √ R dr, Sr = ± Δ



dSθ dθ

2

Sθ = ±

= Θ,  √ Θ dθ.

De plus, en reprenant l’expression de S, il vient   ∂S ∂R ∂Θ 1 1 1 √ √ =− τ± dr ± dθ = 0 , ∂q 2 2 R Δ ∂q 2 Θ Δ ∂q   ∂R ∂Θ 1 1 ∂S √ √ =± dr ± dθ = 0 . ∂K ∂K ∂K 2 RΔ 2 ΘΔ On peut faire apparaître le paramètre τ pour obtenir   1 ∂R 1 ∂Θ ˙ √ √ −τ ± r˙ dτ ± θdτ = 0 , R Δ ∂q Θ Δ ∂q   ∂R ∂Θ ˙ 1 1 √ r˙ dτ ± θ dτ = 0 . ± √ R Δ ∂K Θ Δ ∂K En dérivant par rapport à τ ces deux dernières expressions, comme ∂R = Δ r2 , ∂q

∂Θ = a2 cos2 θ , ∂q

∂R = −Δ , ∂K

∂Θ = 1, ∂K

on trouve a2 cos2 θ ˙ r2 θ = 1, ± √ r˙ ± √ R Θ θ˙ r˙ √ =√ . R Θ En introduisant ρ, on déduit facilement les équations des géodésiques ; ρ4 r˙ 2 = R , ρ4 θ˙2 = Θ . 4 – Pour les géodésiques nulles telles que K = 0, E = 1 et L = a sin2 θ, comme q = 0, on trouve D = 0, donc Θ = 0, et par suite, θ˙ = 0. Par ailleurs, R = C 2 =

2 2 r + a2 (1 − sin2 θ) = ρ4 implique r˙ = ±1. Enfin, puisque ∂t S = 1 et ∂ϕ S = −a sin2 θ, on a r 2 + a2 , θ˙ = g tμ ∂μ S = Δ a . ϕ˙ = g ϕμ ∂μ S = Δ

Chapitre 5 – Espace-temps de Kerr

161

Les deux vecteurs tangents − et + respectivement aux géodésiques rentrantes et sortantes sont donc 1 Δ 1 + = Δ

− =



(r2 + a2 ) ∂t − Δ ∂r + a ∂ϕ ,



(r2 + a2 ) ∂t + Δ ∂r + a ∂ϕ .

5 – En posant A=

a rs r rs r 2rs r a sin2 θ Σ2 sin2 θ , B= , F =1− 2 , G= , H = , Δ Δ ρ ρ2 ρ2

on obtient dt2 = dt˜2 − 2A dt˜d˜ r + A2 d˜ r2 , r2 , dr2 = d˜ dθ2 = dθ˜2 , dϕ2 = dϕ˜2 − 2B d˜ r dϕ˜ + B 2 d˜ r2 , dt dϕ = dt˜dϕ˜ − B dt˜r˜ − A d˜ r dϕ˜ + AB d˜ r2 , ce qui donne l’élément de longueur infinitésimal   ρ2 ds2 = F dt˜2 − (2AF + BG) dt˜d˜ r + G dt˜dϕ˜ + F A2 − B 2 H + ABG − d˜ r2 Δ −(AG − 2BH) d˜ r dϕ˜ − ρ2 dθ˜2 − H dϕ˜2 . De plus, 2rs r , ρ2 2r2 r2 a sin2 θ − 2a Σ2 sin2 θ AG − 2BH = s Δ ρ2 2

2a sin θ 2 2 rs r + a2 Δ sin2 θ − (r2 + a2 )2 = 2 Δρ

2a sin2 θ −Δ + a2 sin2 θ − 2rs r = 2 ρ   rs r 2 = −2a sin θ 1 + 2 , ρ 2AF + BG =

et enfin, F A2 − B 2 H + ABG −

1 ρ2 = 2 2 rs2 r2 (Δ + a2 sin2 θ) − a2 Σ2 sin2 θ − ρ4 Δ Δ Δ ρ rs r =1+ 2 . ρ

162

Relativité générale et astrophysique

Il n’y a donc plus de singularité de coordonnées en Δ = 0, et les composantes covariantes non nulles du tenseur métrique sont gt˜t˜ = 1 −

rs r rs r a sin2 θ rs r gt˜r˜ = − 2 , gt˜ϕ˜ = , gr˜r˜ = 1 + 2 , ρ ρ2 ρ   2 rs r Σ sin2 θ = a sin2 θ 1 + 2 . , gθ˜θ˜ = −ρ2 , gϕ˜ϕ˜ = − ρ ρ2

rs r , ρ2

gr˜ϕ˜

6 – Les nouvelles composantes ˜μ− du vecteur tangent aux géodésiques entrantes sont ∂ t˜ t ∂ t˜ r − +  = 1, ˜t− = ∂t ∂r − ∂˜ r r  = −1 , ˜r− = ∂r − ˜θ− = 0 , ˜ϕ = 0 . −

Autrement dit : ˜− = ∂t˜ − ∂r˜. Ce vecteur ne présente plus de singularité pour Δ = 0, et ne s’annule jamais. De plus, comme lorsque r → +∞, g(˜− , ∂t˜) → 1, ˜− pointe toujours vers le futur. Références bibliographiques : [17], [19].

[D]  EXERCICE 5.3 Pour ce problème, il est recommandé d’avoir fait l’exercice de la page 74. Formalisme 3+1 et métrique axisymétrique – On se place, tout d’abord, dans un espace-temps E orienté, de signature (−, +, +, +), muni d’une métrique de la forme ds2 = gμν dxμ dxν , dans un système quelconque de coordonnées {xμ }μ∈0,3 . A. Introduction au formalisme 3+1 1 – En posant t = x0 , définir un vecteur n, unitaire et orienté vers le futur, qui soit orthogonal aux hypersurfaces Σt définies par t = constante. En déduire un vecteur m  tel que ∇m  t = 1, et montrer que les hypersurfaces Σt sont Lie-transportées le long de m.  On prendra c = 1.

Chapitre 5 – Espace-temps de Kerr

163

2 – On considère un observateur, appelé fiducial observer ou FIDO (appelé aussi observateur eulérien), se déplaçant avec une quadri-vitesse égale à n. Montrer que la pseudo-norme de m  s’écrit α = δτ /δt, avec τ , le temps propre mesuré par le FIDO. En déduire que la quadri-accélération a du FIDO a pour composantes covariantes aμ = α−1 (∇μ α + nμ nν ∇ν α), et qu’elle est tangente aux hypersurfaces Σt . 3 – On suppose à présent que le système de coordonnées {xμ }μ∈0,3 est tel qu’il définit sur chaque hypersurface Σt un système de coordonnées {xi }i∈1,3 , avec xi = δμi xμ . Ainsi, ce système est adapté au feuilletage (ou foliation) de l’espacetemps qui s’écrit E = ∪ Σt . t∈R

(a) Quelle est la métrique induite sur chacune des hypersurfaces Σt ? Montrer que cette métrique est riemannienne.  (b) Montrer que le vecteur ∂t peut se décomposer de la façon suivante : ∂t = m+  β, avec β un vecteur tangent aux hypersurfaces Σt , qui est appelé vecteur shift. En  et donner déduire les coordonnées contravariantes de n en fonction de celle de β,  le genre de ∂t suivant α et la pseudo-norme de β. 4 – Montrer que la métrique de l’espace-temps peut se mettre sous la forme ds2 = −α2 dt2 + γij (dxi + β i dt) (dxj + β j dt) , avec (i, j) ∈ {1, 2, 3}2, et les composantes γij correspondant au tenseur de la métrique induite sur les hypersurfaces Σt . En déduire les composantes contravariantes de la vitesse coordonnée du FIDO. B. Application à une métrique stationnaire et axisymétrique 1 – On considère, à présent, que la métrique de l’espace-temps est stationnaire et axisymétrique. Dans un système de coordonnées {t, r, θ, ϕ}, où ϕ représente l’angle azimutal autour de l’axe de symétrie, quelle propriété ont les vecteurs ∂t et ∂ϕ ? Quelles sont les composantes nulles du tenseur métrique ? 2 – Montrer que la métrique peut se mettre sous la forme ds2 = −α2 dt2 + R2 (dϕ − ω dt)2 + A2 dr2 + B 2 dθ2 , en exprimant les coefficients α, R, ω, A et B, en fonction des composantes du tenseur métrique. Que se passe-t-il lorsque ω = 0 en tout point de l’espace-temps ? 3 – Quelles sont les composantes de la quadri-impulsion d’un FIDO de masse m ? En déduire que le moment cinétique d’un FIDO suivant l’axe de symétrie est nul.

164

Relativité générale et astrophysique

4 – Montrer que toute particule en chute libre, dont le moment cinétique suivant l’axe de symétrie est nul, admet une vitesse angulaire dϕ/dt qui est égale à ω. Quelle est la particularité des référentiels locaux dans lesquels la particule est au repos ?

 SOLUTION A1 – Un vecteur orthogonal aux hypersurfaces Σt telles que t(x1 , x2 , x3 ) = constante, est simplement le vecteur dual du gradient du champ scalaire t, c’est-à-dire le vecteur  de composantes g μν ∂ν t. Pour définir n, il suffit de normaliser ce vecteur : ∇t  = −α ∇t.   ∇t  >−1/2 ∇t n = < −∇t, Les hypersurfaces Σt étant de genre espace, le vecteur n est de genre temps (voir aussi l’exercice page 74) : g(n, n) = −1. Soit le vecteur m  défini par m  = α n. Alors, le carré de la pseudo-norme de m  est égal à −α2 , et la dérivée de Lie 1 de t suivant m  s’écrit μ ∇m  t = m ∂μ t

= =

 m < ∇t,  >  n > α < ∇t, 2  ∇t  > −α < ∇t,

=

1.

=

Soit P un point quelconque de Σt , de coordonnées xμ , et le vecteur déplacement élémentaire δt m,  alors t(xμ + δt mμ ) = t(xμ )+ < dt, δt m  > = t(xμ ) + δt. Autrement dit, le point P est Lie transporté sur l’hypersurface Σt+δt suivant le vecteur δt m.  A2 – Comme la quadri-vitesse du FIDO est égale à n, sa ligne d’univers est orthogonale aux hypersurfaces Σt . Lorsque le FIDO se déplace d’un vecteur δt m,  il mesure un déplacement élémentaire qui vaut (c = 1)

 δt m)  = α δt, δs = δτ = −g(δt m, ce qui donne α = δτ /δt avec δτ , l’intervalle de temps propre mesuré par l’observateur. La fonction α est appelée fonction lapse ou redshift gravitationnel : elle relie donc simplement le temps propre d’un FIDO au temps coordonnée. La quadri-accélération est, par définition, dn = ∇nn . a = dτ 1. On rappelle que pour un champ scalaire f , la dérivée de Lie suivant un vecteur  v est égale à < ∇f,  v >.

Chapitre 5 – Espace-temps de Kerr

165

Les composantes covariantes s’écrivent donc aμ = nν ∇ν nμ = −nν ∇ν (α ∇μ t) = −nν (∇ν α ∇μ t + α ∇ν ∇μ t)   1 1 ν ν = nμ n ∇ν α + α n ∇μ nν α α 1 1 = nμ nν ∇ν α − ∇μ α nν nν + nν ∇μ nν α α 1 = (nμ nν ∇ν α + ∇μ α) . α Remarque : par définition de la connexion D sur Σt (voir exercice page 74), pour tout champ scalaire f , Dμ f = ∇μ f + nμ nν ∇ν f , ce qui implique ici aμ = α−1 Dμ α = Dμ ln α. Par ailleurs, la quadri-accélération est orthogonale à la quadri-vitesse, donc tangente aux hypersurfaces (Σt ). En effet, comme n · n = −1, n · a = n · ∇nn =

1 ∇n (n · n) = 0. 2

A3(a) – Par définition du système de coordonnées sur chaque hypersurface Σt , les vecteurs ∂i , avec i ∈ 1, 3, forment une base naturelle des espaces tangents aux hypersurfaces. On peut donc définir les composantes γij d’une métrique purement spatiale induite sur chacune des hypersurfaces Σt en posant γij = < ∂i , ∂j > = gij . Autrement dit, la métrique induite est telle que dσ 2 = γij dxi dxj > 0. Elle est donc riemannienne. Remarque : on notera que, en général, γ ij = γ ik γ j γk = g ij . A3(b) – Par définition de la décomposition 2 , le vecteur ∂t est tangent aux lignes coordonnées définies par xi = constante, avec i ∈ 1, 3. On a  ∂t >= ∂μ t < ∂ μ , ∂t >= 1, < ∇t, et la projection du vecteur ∂t suivant n qui s’écrit  = m.  ∂t > α2 ∇t < n, ∂t > n = < ∇t,  2. C’est la décomposition orthogonale 3+1 (ou, en anglais, 3+1 split).

166

Relativité générale et astrophysique

Si le vecteur m  est, par définition, orthogonal aux hypersurfaces, il n’en est pas de même pour le vecteur ∂t : les lignes coordonnées ne sont pas, généralement, orthogo tangent aux hypersurfaces nales aux hypersurfaces Σt . Il existe donc un vecteur β,   tel que l’on puisse décomposer le vecteur ∂t de la façon suivante : ∂t = m  + β.  Le vecteur shift β traduit le décalage en coordonnées d’un FIDO lorsque ce dernier se déplace de l’hypersurface Σt à l’hypersurface Σt+δt : ses coordonnées xi (t) sur les hypersurfaces sont telles que xi (t + δt) = xi (t) − β i δt. En d’autres termes, le FIDO  suit l’espace-temps dans son mouvement. Le vecteur n est tel que n = α−1 (∂t − β), ce qui implique [nμ ] = α−1 (1, −β i ). Remarquons que les coordonnées covariantes de n sont telles que [nμ ] = (−α, 0). Enfin, comme < m,  β >= 0, la pseudo-norme de ∂t est simplement  β  > = −α2 + < β,  β  >,  m  > + < β, < ∂t , ∂t > = < m,  β  >= βk β k , k ∈ 1, 3. Conclusion, avec < β, ⎧ ⎪ ⎨ Si βk β k > α2 , alors ∂t est de genre espace. Si βk β k = α2 , alors ∂t est de genre lumière. ⎪ ⎩ Si β β k < α2 , alors ∂ est de genre temps. k t A4 – Exprimons les composantes du tenseur métrique de E : g00 = < ∂t , ∂t > = −α2 + βk β k , avec k ∈ 1, 3. Puis, pour i ∈ 1, 3, on a >  +β gi0 = < ∂i , ∂t > =< ∂i , m >  > + < ∂i , β =< ∂i , m = gij β j . Enfin, pour (i, j) ∈ 1, 32 , on a défini précédemment gij = γij , avec γij , les composantes covariantes du tenseur métrique sur une hypersurface Σt . On peut donc écrire ds2 = (−α2 + βk β k ) dt2 + γij dxi dxj + 2γij β j dxi dt = −α2 dt2 + γij (dxi + β i dt) (dxj + β j dt). On a vu qu’un FIDO mesure un intervalle de temps propre dτ = α dt pour une variation dt du temps coordonnée, donc l’expression de la métrique implique que dxi + β i dt = 0, c’est-à-dire que les composantes contravariantes de la vitesse coordonnée du FIDO soient telles que dxi = −β i . dt

Chapitre 5 – Espace-temps de Kerr

167

Un FIDO peut être vu comme fixe dans les hypersurfaces Σt (Thorne et al., 1986), mais il se déplace par rapport aux lignes coordonnées. L’espace vectoriel tangent à Σt , au point où se trouve le FIDO, est l’espace local de repos du FIDO.  sont : βi = g0i , pour i ∈ 1, 3, Remarque : les coordonnées covariantes du vecteur β i i 2 0 et β0 = g0i β = βi β = g00 + α puisque β = 0.



y 

x

 n

M



t 



Espace tangent en M

Hypersurface de genre espace t

Figure 5.1 – Représentation de la décomposition 3+1 de l’espace-temps dans laquelle l’espace est restreint à deux dimensions : au point M , le vecteur n est orthogonal à l’espace vectoriel tangent à Σt , alors que les vecteurs spatiaux de la base naturelle  appartiennent à ce même espace tangent. Le vecteur ∂x et ∂y et le vecteur shift β ∂t est quant à lui quelconque, mais il n’appartient pas à l’espace tangent.

B1 – La métrique étant stationnaire, les composantes du tenseur métrique sont indépendantes du temps, le vecteur ∂t est donc un vecteur de Killing. De même, la métrique étant axisymétrique, le vecteur ∂ϕ est aussi un vecteur de Killing. La seule source de champ gravitationnel étant la matière, cette dernière ne doit avoir qu’un mouvement azimutal (suivant ϕ) et non poloïdal (suivant r ou θ). Cela se traduit par le fait que l’élément de longueur infinitésimal doit être invariant par renversement simultané du temps (t → −t) et de ϕ (ϕ → −ϕ). On obtient donc gtr = gtθ = gϕr = gϕθ = 0. B2 – De la question précédente, on déduit ds2 = gtt dt2 + 2 gtϕ dt dϕ + gϕϕ dϕ2 + grr dr2 + gθθ dθ2 = −α2 dt2 + R2 (dϕ − ω dt)2 + A2 dr2 + B 2 dθ2 ,

168

Relativité générale et astrophysique

avec −α2 + R2 ω 2 = gtt , R2 = gϕϕ , R2 ω = −gtϕ , A2 = grr , B 2 = gθθ , ce qui donne encore 2 gtϕ α2 = −gtt + , gϕϕ gtϕ . ω=− gϕϕ Lorsque ω = 0 en tout point de l’espace-temps, on a donc gtϕ = 0 et la métrique devient statique, c’est-à-dire invariante par renversement du temps. B3 – D’après les questions précédentes, la quadri-impulsion d’un FIDO, de masse m, a pour composantes contravariantes (avec c = 1) pt = m

m dt = , dτ α

pr = m

dr = 0, dτ

pθ = m

dθ = 0, dτ

pϕ = m

ω dϕ =m , dτ α

et son moment cinétique (ou angulaire) suivant l’axe de symétrie s’écrit Lz = −gμν (∂ϕ )μ pν = −gϕt pt − gϕϕ pϕ (= −pϕ ), c’est-à-dire

m ω + R2 m = 0. α α Dans un espace-temps stationnaire et axisymétrique, un FIDO est aussi appelé Zero Angular Momentum Observer, ou plus simplement, ZAMO. Lz = −R2 ω

 est tel que [β i ] = (0, 0, −ω). Remarque : on notera que, dans ce cas, le vecteur shift β B4 – Une particule, massive ou non, dont le moment cinétique est nul, va suivre une géodésique telle que la composante covariante pϕ de sa quadri-impulsion reste nulle. En effet, soit λ un paramètre affine de la géodésique alors, l’équation de la géodésique implique 1 dpϕ = (∂ϕ gμν ) pμ pν = 0, dλ 2 puisque la métrique axisymétrique est indépendante de ϕ. Ainsi, avec les relations pt = g tt pt + g tϕ pϕ = g tt pt , pϕ = g ϕt pt + g ϕϕ pϕ = g tϕ pt , et, par définition de la quadri-impulsion 3 (avec c = 1), pt = m dt/dλ et pϕ = m dϕ/dλ, on obtient la vitesse angulaire de la particule qui est pϕ g tϕ gtϕ dϕ = t = tt = − = ω. dt p g gϕϕ 3. avec m, la masse de la particule si elle est massive, ou bien un coefficient de proportionnalité pour une particule de masse nulle.

Chapitre 5 – Espace-temps de Kerr

169

A toute particule en chute libre et sans moment cinétique 4 , on peut associer, en chaque point de l’espace-temps, un référentiel localement inertiel dans lequel celleci est au repos : ici, la vitesse angulaire de la particule libre étant non nulle, celle d’un tel référentiel inertiel est également non nulle et égale à ω. On peut alors parler d’entraînement du référentiel d’un observateur inertiel. Références bibliographiques : [28], [33], [22].

[MD]  EXERCICE 5.4 Surface limite de stationnarité – On considère un espace-temps, dont la signature est (+, −, −, −), muni d’une métrique stationnaire et axisymétrique de la forme ds2 = gtt dt2 + 2 gtϕ dt dϕ + grr dr2 + gθθ dθ2 + gϕϕ dϕ2 , dans le système de coordonnées {t, r, θ, ϕ}. Deux photons sont émis depuis une position (t, r, θ, ϕ) dans les directions de ±∂ϕ . 1 – Donner l’expression initiale de dϕ/dt pour chacun des deux photons. Que se passe-t-il lorsque les photons sont émis depuis une région où gtt > 0 ? 2 – Que deviennent les expressions précédentes lorsque les photons sont émis depuis la surface définie par gtt = 0 ? Cette surface est appelée surface limite de stationnarité. 3 – Montrer qu’il ne peut pas exister de particule dont la vitesse coordonnée spatiale est nulle lorsque gtt < 0 ? 4 – On considère un observateur dont la quadri-vitesse a pour composantes contravariantes ut (1, 0, 0, Ω). (a) Quelles sont les valeurs limites de Ω ? A quelle condition Ω peut-il s’annuler ? En déduire qu’un observateur ne peut pas rester en une position fixe (r, θ, ϕ) de la surface limite de stationnarité. (b) Quelles sont les conditions sur la métrique pour que tous les observateurs soient contraints d’avoir la même valeur de Ω ? Où cela se produit-il ?  SOLUTION 1 – Les deux photons suivent des géodésiques de genre lumière telles que, initialement, dr = dθ = 0. On peut écrire ds2 = gtt dt2 + 2 gtϕ dt dϕ + gϕϕ dϕ2 = 0, 4. De telles particules ne sont pas des FIDO, sauf éventuellement à l’infini.

170

Relativité générale et astrophysique

c’est-à-dire



dϕ dt

2 +2

gtt gtϕ dϕ + = 0. gϕϕ dt gϕϕ

Deux équations différentielles se déduisent donc  1/2 2 gtϕ gtϕ dϕ gtt =− ± − . dt gϕϕ gϕϕ gϕϕ Si gtt > 0 alors, comme gϕϕ < 0, on a 

gtϕ gϕϕ

2

gtt − gϕϕ

1/2

g   tϕ  > , gϕϕ

ce qui implique que gtϕ dϕ =− + dt gϕϕ



gtϕ gϕϕ

2

gtt − gϕϕ

1/2 >0

correspond au photon émis en direction des ϕ croissants, alors que  1/2 2 gtϕ gtϕ dϕ gtt =− − − 0, les photons peuvent partir suivant deux directions opposées. 2 – Lorsque les photons sont émis depuis la surface définie par gtt = 0, alors les équations différentielles obtenues précédemment donnent 2gtϕ dϕ =− dt gϕϕ

et

dϕ = 0. dt

Cela implique qu’une seule direction est possible pour l’émission d’un photon, l’autre photon restant fixe à la position spatiale {r, θ ϕ} : une autre conséquence est qu’aucun observateur ou particule matérielle ne peut rester fixe en {r, θ ϕ} puisqu’il serait fixe par rapport au photon (voir la question 4). 3 – Dans une région où gtt < 0, considérons une particule dont la vitesse coordonnée est nulle, c’est-à-dire gardant une position fixe {r, θ, ϕ}. Seule la coordonnée temporelle ut de sa quadri-vitesse est non nulle et sa pseudo-norme, qui s’écrit gtt (ut )2 , doit être égale à c2 , ce qui est impossible si gtt < 0. Toute particule doit donc avoir une vitesse coordonnée non nulle. 4(a) – La pseudo-norme de la quadri-vitesse de l’observateur s’écrit gtt (ut )2 + 2 gtϕ ut uϕ + gϕϕ (uϕ )2 = (ut )2 (gtt + 2 gtϕ Ω + gϕϕ Ω2 ) = c2 .

Chapitre 5 – Espace-temps de Kerr

171

Comme ut est un réel, la condition sur Ω est simplement : gtt + 2 gtϕ Ω + gϕϕ Ω2 > 0. Puisque gϕϕ < 0, on retrouve donc Ω− < Ω < Ω+ , avec gtϕ Ω± = − ± gϕϕ



gtϕ gϕϕ

2

gtt − gϕϕ

1/2 .

La condition d’annulation pour Ω est que Ω− et Ω+ ne soient pas de même signe : cela équivaut à −gtt /gϕϕ > 0, donc à gtt > 0. Sur la surface limite de stationnarité, gtt = 0 implique 5 Ω− = 0 donc Ω > 0 ; l’observateur ne peut donc pas rester en une position fixe (r, θ ϕ). 4(b) – Les deux racines Ω+ et Ω− sont égales lorsque  2 gtϕ gtt − = 0, gϕϕ gϕϕ et tous les observateurs sont alors contraints d’avoir la même vitesse angulaire qui est Ω = −gtϕ /gϕϕ . Dans le cas d’un trou noir de Kerr, cette vitesse est atteinte sur l’horizon externe, et elle est définie comme la vitesse de rotation du trou noir.

[MD]  EXERCICE 5.5 Horizon et ergorégion d’un trou noir de Kerr – On considère un espace-temps de Kerr muni de la métrique suivante : ds2

=

Δ − a2 sin2 θ 2 2 2c rs r a sin2 θ ρ2 2 dr − ρ2 dθ2 c dt + dt dϕ − 2 2 ρ ρ Δ Σ2 sin2 θ − dϕ2 , ρ2

avec ρ2 = r2 + a2 cos2 θ, Δ = r2 − rs r + a2 et Σ2 = (r2 + a2 )2 − a2 Δ sin2 θ. 1 – Déterminer les équations des surfaces limites de stationnarité correspondant à gtt = 0, ainsi que celles des surfaces correspondant à Δ = 0. Au-delà de quelle valeur maximale de la constante a, la nature de la métrique change-t-elle ? 2 – Lesquelles de ces surfaces sont des horizons des événements ? 3 – La vitesse angulaire, ΩH , d’un trou noir de Kerr est définie comme la vitesse angulaire d’un photon émis suivant la direction ∂ϕ , et dans le sens de rotation du trou noir, à partir de l’horizon des événements de plus grand rayon. Déterminer ΩH . 5. si gtϕ > 0, sinon on a Ω+ = 0, ce qui donne Ω < 0 et ne change rien à la conclusion.

172

Relativité générale et astrophysique

4 – La région de l’espace-temps comprise entre les deux surfaces d’équations  rs2 rs + − a2 cos2 θ r= 2 4  rs2 rs + − a2 r= 2 4 est appelée ergorégion. Montrer qu’aucune particule ne peut y être au repos par rapport à un observateur situé à l’infini. et

 SOLUTION 1 – Les surfaces limites de stationnarité (gtt = 0) sont telles que Δ − a2 sin2 θ = 0, c’est-à-dire r2 − rs r + a2 cos2 θ = 0. On peut alors exprimer r en fonction de θ et trouver deux surfaces solutions qui sont  rs rs2 ± rs = ± − a2 cos2 θ. 2 4 Quant aux surfaces correspondant à Δ = 0, elles ont comme équation r2 − rs r + a2 = 0, qui donne donc, elle aussi, deux surfaces solutions qui sont  rs2 rs ± ± − a2 . rΔ = 2 4 Les surfaces obtenues coïncident deux à deux au niveau de l’axe de rotation du trou noir en θ = 0. Ces équations montrent que la valeur maximale que peut prendre la constante a est rs /2 : au-delà de cette valeur, la nature de la métrique change. Cependant, le principe de censure cosmique, évoqué par Roger Penrose, interdit aux trous noirs physiques qu’une telle situation se produise. 2 – Un horizon des événements est une hypersurface de genre lumière, c’est-à-dire une hypersurface qui, en chaque point, admet un vecteur orthogonal de genre lumière. Une hypersurface de genre lumière, d’équation f (x1 , . . . , xn ) = 0, doit vérifier g μν ∂μ f ∂ν f = 0. Dans notre cas, pour les surfaces limites de stationnarité,  rs rs2 f (t, r, θ, ϕ) = r − ± − a2 cos2 θ = 0 2 4 =⇒ g rr (∂r f )2 + g θθ (∂θ f )2 = 0 ,

Chapitre 5 – Espace-temps de Kerr

173

donc ces deux surfaces ne sont pas de genre lumière. En revanche, les surfaces correspondant à Δ = 0 (ou g rr = 0) sont telles que  rs rs2 f (t, r, θ, ϕ) = r − ± − a2 = 0 2 4 =⇒ g rr (∂r f )2 = 0 , et donnent donc deux horizons des événements. 3 – Lors de l’émission, le photon suit une géodésique telle que dr = 0, et dθ = 0, donc ds2 = gtt dt2 + 2 gtϕ dt dϕ + gϕϕ dϕ2 = 0, ce qui donne facilement dϕ gtϕ =− ± dt gϕϕ



gtϕ gϕϕ

2

gtt − gϕϕ

1/2 .

+ , comme Δ = 0, on trouve, d’après la Sur l’horizon externe, c’est-à-dire en r = rΔ métrique,  2   gtϕ gtt a2 c2  2 +2  +2 2 2 r = 0, − = r − r + a s Δ Δ gϕϕ gϕϕ Σ4

ce qui conduit à ΩH = −

+ ) gtϕ (rΔ ac ac = + = +2 +. 2 gϕϕ (rΔ ) rs rΔ rΔ + a

Le signe de la constante a est donc directement relié au sens de rotation du trou noir. 4 – L’ergorégion est comprise entre l’horizon des événements de plus grand rayon et la surface limite de stationnarité externe que l’on appelle ergosphère. La métrique, dans cette région, est telle que gtt < 0. Supposons qu’une particule puisse garder des coordonnées spatiales (r, θ, ϕ) fixes, alors sa quadri-vitesse serait égale à [uμ ] = (ut , 0, 0, 0). Mais la pseudo-norme de la quadri-vitesse doit être égale à c2 , ce qui s’écrit gμν uμ uν = gtt (ut )2 = c2 , ce qui impossible avec gtt < 0. Dans l’ergorégion, toute particule doit donc être en mouvement. Références bibliographiques : [17], [19].

174

Relativité générale et astrophysique

[D]  EXERCICE 5.6 Processus de Penrose – On considère un espace-temps de Kerr muni de la métrique suivante : ds2 =

Δ − a2 sin2 θ 2 2 2c rs r a sin2 θ ρ2 2 dr − ρ2 dθ2 c dt + dt dϕ − 2 2 ρ ρ Δ Σ2 sin2 θ − dϕ2 , ρ2

avec ρ2 = r2 + a2 cos2 θ, Δ = r2 − rs r + a2 et Σ2 = (r2 + a2 )2 − a2 Δ sin2 θ. On s’intéresse à une particule massive suivant une géodésique de cet espace-temps. 1 – Exprimer les deux grandeurs associées aux vecteurs ∂t et ∂ϕ qui sont conservées le long de la géodésique de la particule massive. De quel signe est l’énergie de la particule loin du trou noir central ? Et dans l’ergorégion ? 2 – Montrer que l’énergie de la particule, mesurée par un observateur à l’infini, est liée à son moment cinétique L par la relation E = α2 pt + ω L, avec α, la fonction shift, et ω, la vitesse angulaire, définies par α2 = gtt − ω=−

2 gtϕ , gϕϕ

gtϕ . gϕϕ

3 – Un observateur, fixe à l’infini, envoie une particule massive dont l’énergie initiale est égale à E0 . Cette dernière pénètre dans l’ergorégion, région où gtt < 0, puis subit une désintégration en deux particules : la première tombe vers le trou noir avec une énergie E1 et l’autre revient vers l’observateur avec une énergie E2 . Montrer que l’on peut avoir E2 > E0 . 4 – En exprimant l’énergie mesurée par un observateur situé dans l’ergorégion, et dont la quadri-vitesse est [uμ ] = ut (1, 0, 0, Ω) avec Ω = dϕ/dt > 0, montrer que le moment cinétique suivant l’axe de symétrie de la particule tombant dans le trou noir est négatif. En déduire l’inégalité δJ
0. En revanche, dans l’ergorégion, le quadri-vecteur ∂t est de genre espace (gtt < 0), ce qui implique que l’énergie de la particule peut être négative. 2 – D’après la question précédente, l’énergie est un invariant suivant la géodésique de la particule, et on a E = gtt pt + gtϕ pϕ , L = −gtϕ pt − gϕϕ pϕ , ce qui conduit à ωL=

2 2 gtϕ gtϕ pt + gtϕ pϕ = E + pt − gtt pt , gϕϕ gϕϕ

c’est-à-dire E = α2 pt + ω L. 3 – Dans l’ergorégion, nous venons de voir que l’énergie d’une particule peut être négative : supposons que la particule se désintègre en une particule d’énergie négative E1 qui tombe vers le trou noir, et une particule d’énergie positive E2 qui retourne vers l’observateur. La conservation de l’énergie, que traduit la conservation de la composante covariante temporelle de la quadri-impulsion de chacune des particules le long de leurs géodésiques respectives, nous donne donc : E0 = E1 + E2 avec E1 < 0, ce qui implique E2 > E0 .

176

Relativité générale et astrophysique

4 – L’énergie négative E1 , égale à la composante temporelle covariante pt de la quadriimpulsion de la particule qui tombe vers le trou noir, n’est pas l’énergie que mesure un observateur situé dans l’ergorégion. En effet, un tel observateur mesurera une énergie positive qui s’écrit Eobs = pμ uμ = ut (pt + Ω pϕ ) > 0. Comme le moment cinétique de la particule suivant l’axe de symétrie est L = −pϕ , on déduit pt , (5.1) L = −pϕ < Ω et donc, comme Ω > 0, L < 0. La particule, qui traverse l’horizon des événements, diminue ainsi la masse M et le moment cinétique total J du trou noir 6 qui deviennent égaux respectivement à M +E1 /c2 et J +L. Ce processus, proposé par Roger Penrose, permet d’extraire une partie de l’énergie de rotation du trou noir. L’inégalité (5.1) étant vraie pour tout observateur de l’ergorégion, nous pouvons prendre un observateur placé sur l’horizon externe, c’est-à-dire tel que Ω = ΩH , où ΩH (> 0) est la vitesse angulaire de rotation de l’horizon. En appelant δM et δJ, respectivement les variations de masse et de moment cinétique du trou noir, on a donc δJ
0, pour r > rΔ , le rayon de l’horizon externe des événements. Rappelons − + que les rayons des événements interne et externe, notés respectivement rΔ et rΔ , sont tels que Δ = 0 et valent  rs2 rs ± ± − a2 . rΔ = 2 4 Comme a < rs /2, et que Δ = r2 −rs r+a2 , on intègre les deux expressions précédentes qui, après simplifications et à une constante près, donnent     r  (rs /2)2 rs   +

ln  + ct = ± r + + 2 rΔ − 1 (rs /2)2 − a2     r  (rs /2)2 rs   −

ln  −  , 2 rΔ − 1 (rs /2)2 − a2  r − r+  a  Δ ϕ=

ln  −. r − rΔ 2 (rs /2)2 − a2

B3 – D’après l’expression du potentiel, on a : dVeff (r, b)/dr = −(2/h2 ) r¨. Une orbite circulaire de rayon rc est telle que r˙ = r¨ = 0, ce qui implique Veff (rc , b) = 1/b2 et dVeff (rc , b)/dr = 0. Ces deux conditions s’écrivent respectivement rc3 = rc (b2 − a2 ) − rs (b − a)2 , rc =

3 rs (b − a) , 2 (b + a)

ce qui est équivalent au système suivant, rs (b − a)2 , 2 27 2 (b + a)3 = r (b − a) , 4 s rc3 =

c’est-à-dire



rs rc − a, 2   

rs rc − 2a . = rs /2 3 2

b=3 rc3/2

Chapitre 5 – Espace-temps de Kerr

191

1/2

En posant x = rc , on doit donc déterminer les racines de l’équation du troisième degré suivante :

3 x3 − rs x + 2a rs /2 = 0. 2 Comme Δ = 4 (rs /2) (a2 − (rs /2)2 ) < 0 (avec a < rs /2), la méthode de Tartaglia nous donne deux racines réelles positives, correspondant aux deux sens de parcours de l’orbite circulaire, qui sont    2 arccos(± 2a/rs ) . rc = rs 1 + cos 3 Lorsque a tend vers 0, cette expression redonne bien le rayon de l’orbite circulaire du genre lumière en géométrie de Schwarzschild soit (3/2) rs . En outre, on peut démontrer que ces orbites circulaires ne sont pas stables. Références bibliographiques : [5], [25], [17], [19].

[D]  EXERCICE 5.9 Orbite circulaire stable autour d’un trou noir de Kerr – On considère un espacetemps de Kerr muni de la métrique suivante : ds2 =

Δ − a2 sin2 θ 2 2 2c rs r a sin2 θ ρ2 2 dr − ρ2 dθ2 c dt + dt dϕ − ρ2 ρ2 Δ Σ2 sin2 θ − dϕ2 , ρ2

avec ρ2 = r2 + a2 cos2 θ, Δ = r2 − rs r + a2 et Σ2 = (r2 + a2 )2 − a2 Δ sin2 θ. On admet que, pour toute particule massive en orbite équatoriale autour d’un trou noir de Kerr, on peut écrire 1 2



dr dτ

2 + Veff (r, h, γ) =

1 2 (γ − 1) c2 , 2

avec h, le moment cinétique par unité de masse de la particule, γ, le rapport entre son énergie totale orbitale et son énergie de masse au repos et Veff (r, h, γ), le potentiel effectif par unité de masse, qui s’écrit Veff (r, h, γ) = −

(γ 2 − 1) a2 c2 − h2 c2 rs rs (h − a γ c)2 − − . 2r 2 r2 2 r3

1 – A partir de l’expression du potentiel Veff (r, h, γ), et en introduisant les variables u = 1/r et v = h − a γ c, donner les conditions pour qu’une particule massive soit en orbite circulaire équatoriale stable.

192

Relativité générale et astrophysique

2 – Montrer que les variables u et v obéissent à une équation de la forme  2 1 2 A u v − 2B c u v + c = 0, a u − rs 2 2

avec

4

2

2

4

2 3 rs u − 1 − 2a2 rs u3 , A= 2      3 1 1 2 2 rs u − 1 rs u − 1 . B= a u − rs − 2a u 2 2 2 

Grâce à la condition de stabilité, en déduire les expressions de γ et de h pour une telle orbite. 3 – Montrer que le rayon coordonnée r de l’orbite circulaire stable la plus proche d’un trou noir de Kerr vérifie l’équation

r2 − 3 rs r − 3 a2 ∓ 8 a rs r/2 = 0. Retrouver la valeur du rayon de l’orbite circulaire stable la plus proche d’un trou noir de Schwarzschild.  SOLUTION 1 – Pour un mouvement circulaire, la coordonnée radiale r de la particule massive doit être constante, ce qui implique dr/dτ = 0 et d2 r/dτ 2 = 0. D’après le résultat admis dans l’énoncé, le potentiel Veff (r, h, γ) est également constant et égal à (γ 2 − 1) c2 /2, alors que dVeff /dr = −d2 r/dτ 2 = 0. La condition de stabilité sera, quant à elle, définie par d2 Veff /dr2 = 0. En introduisant la variable u = 1/r, la première condition sur le potentiel s’écrit −

1 2 1 1 c2 rs u− (γ − 1) a2 c2 − h2 u2 − rs (h − a γ c)2 u3 = (γ 2 − 1) c2 . 2 2 2 2

et comme dVeff /dr = (dVeff /du) (du/dr), la condition dVeff /dr = 0 peut être remplacée par dVeff /du = 0, c’est-à-dire par l’égalité −

c2 rs 2 3 − (γ − 1) a2 c2 − h2 u − rs (h − a γ c)2 u2 = 0. 2 2

En introduisant la variable v = h − a γ c, ces deux dernières égalités deviennent   1 1 2 c 1 − rs u + rs v 2 u3 = c2 γ 2 , 2 2     3 1 2 2 2 rs u − 1 − c uv a u − rs = 2a c γ u v. (5.6) 2 2

Chapitre 5 – Espace-temps de Kerr

193

2 – En élevant au carré la dernière des égalités obtenues à la question précédente, on élimine facilement γ 2 pour obtenir une équation de la forme  2 1 A u2 v 4 − 2B c2 u v 2 + c4 a2 u − rs = 0, 2 avec

2 3 rs u − 1 − 2a2 rs u3 , 2      3 1 1 rs u − 1 rs u − 1 . a2 u − rs − 2a2 u B= 2 2 2 

A=

On peut alors exprimer v 2 en fonction de u :    2 2 2 2 B ± B − A (a u − rs /2) c v2 = , Au ce qui se simplifie, après avoir développé les expressions de A et B, pour donner  √ 2

c2 a u ± rs /2 . v2 = 

u 1 − (3/2) rs u ∓ 2a rs u3 /2 Pour déterminer le signe de v, il est utile de regarder la condition de stabilité d2 Veff /dr2 = 0, qui équivaut à d2 Veff /du2 = 0. L’équation obtenue, v 2 (3 rs u − 1) − 2 γ a c v − a2 c2 = 0, n’est vérifiée que par la racine négative, c’est-à-dire par  √ 

c a u ± rs /2 v = −  1/2 .

u 1 − (3/2) rs u ∓ 2a rs u3 /2 Le système d’équations (5.6) et la relation h = v + a γ c donnent alors  



c rs /2 1 + a2 u2 ± 2 a rs u3 /2 1 − rs u ∓ a rs u3 /2   .

γ= , h=∓

1 − (3/2) rs u ∓ 2 a rs u3 /2 u 1 − (3/2) rs u ∓ 2 a rs u3 /2 3 – La condition de stabilité d2 Veff /du2 = 0, c’est-à-dire l’équation v 2 (3 rs u − 1) − 2 γ a c v − a2 c2 = 0, peut se réécrire u=

h2 − a2 c2 (γ 2 − 1) , 3 rs v 2

194

Relativité générale et astrophysique

ce qui, après avoir remplacé h, γ et v par leurs expressions, conduit à

1 − 3 a2 u2 − 3rs u ∓ 8 a rs u3 /2 = 0, ou encore

r2 − 3 rs r − 3 a2 ∓ 8 a rs r/2 = 0.

Pour un trou noir de Schwarzschild, a = 0 ; on retrouve alors que le rayon de l’orbite circulaire stable la plus proche est r = 3 rs . Références bibliographiques : [5], [25], [17], [19].

[D]  EXERCICE 5.10 Extraction d’énergie d’un trou noir de Kerr – On considère un espace-temps de Kerr muni de la métrique suivante : ds2 = −

Δ − a2 sin2 θ 2 2 2c rs r a sin2 θ ρ2 2 c dt − dt dϕ + dr + ρ2 dθ2 ρ2 ρ2 Δ Σ2 sin2 θ + dϕ2 , ρ2

avec ρ2 = r2 + a2 cos2 θ, Δ = r2 − rs r + a2 et Σ2 = (r2 + a2 )2 − a2 Δ sin2 θ. A. Aire et masse irréductible d’un trou noir de Kerr 1 – On définit le système de coordonnées de Kerr {v, r, θ, χ} par r 2 − a2 dr , Δ a dχ = dϕ + dr . Δ Montrer que la métrique en coordonnées de Kerr ne présente pas de singularité lorsque Δ = 0. dv = dt +

2 – L’aire de l’horizon des événements d’un trou noir de Kerr est définie comme + l’aire de la surface égale à l’intersection entre les hypersurfaces r = rΔ et + v = constante, avec rΔ le rayon de l’horizon des événements externe vérifiant Δ = 0. Exprimer la métrique induite sur cette surface, et en déduire l’aire, notée A+ , de l’horizon des événements. 3 – Déterminer la masse, notée Ms , d’un trou noir de Schwarzschild qui possède la même aire qu’un trou noir de Kerr de masse M et de moment cinétique J = M a c. En déduire la formule de Christodoulou : M 2 = Ms2 +

J 2 c2 . 4 G 2 Ms2

Chapitre 5 – Espace-temps de Kerr

195

B. L’exemple du processus de Penrose On admet que, lors d’un processus de Penrose (voir exercice page 174), c’est-àdire lorsque des particules tombent dans l’ergorégion avec une énergie négative, la variation du moment cinétique total du trou noir, notée δJ, est telle que δJ
0,

+ et la vitesse angulaire de l’horizon qui est telle que Ω−1 H = rs rΔ /(a c) > 0. Conclusion : 2 −1 lors d’un processus de Penrose, l’inégalité c ΩH δM − δJ > 0 implique que la masse

Chapitre 5 – Espace-temps de Kerr

197

associée au trou noir de Schwarzschild de même aire ne peut pas décroître, ce qui justifie l’appellation de masse irréductible : δMs > 0. De même, la variation d’aire d’un trou noir de Kerr de même aire est toujours positive et s’écrit δA+ =

32π G 2 Ms δMs > 0 . c4

On en déduit la formule de Smarr : c 2 ΩH ΩH δA+ + 2 δJ , 16π G 2 κ c qui constitue une expression de la première loi dynamique des trous noirs, et qui peut se réécrire de la façon suivante : δM =

δM = K δA+ + avec

 2 2 c4 M 4 − JG 2c  K=  16π G M M 2 + M 4 −

ΩH δJ , c2

 2 4 c4 M 2 − aG 2c   =  J 2 c2 16π G M M + M2 − 2 G

a2 c 4 G2

.

Cette constante K est égale à l’intensité de la gravité de surface du trou noir de Kerr divisée par 8π (voir exercice page 176) et peut se réécrire K=

+ c2 (2 rΔ − rs ) . + 16 π (rΔ rs )

On retrouve donc une forme analogue au premier principe de la thermodynamique en définissant l’aire de l’horizon externe A+ comme l’entropie, et la gravité de surface proportionnelle à K comme la température. B2 – Au cours d’un processus de Penrose, la masse et le moment cinétique d’un trou noir de Kerr peuvent diminuer jusqu’à atteindre une masse M  > Ms et un moment cinétique nul : autrement dit, le trou noir de Kerr devient un trou noir de Schwarzschild. Le maximum d’énergie que l’on peut extraire d’un trou noir de Kerr, initialement de masse M et de moment cinétique J, est donc ⎛ ⎞   2 2 c2 1 M J ⎠ c2 . + Emax = (M − Ms ) c2 = ⎝M − M4 − 2 2 G2 Cette énergie correspond simplement à l’énergie rotationnelle du trou noir et reste inférieure à son énergie de masse totale : en effet, pour un trou noir de Kerr extrême, avec J = G M 2 /c, on obtient =

M − Ms 1 = 1 − √ = 0,29 , M 2

c’est-à-dire une énergie rotationnelle égale, au maximum, à 29 % de l’énergie de masse totale. Références bibliographiques : [22], [17], [19].

198

Relativité générale et astrophysique

[D]  EXERCICE 5.11 Précession gyroscopique – On considère un observateur muni d’un gyroscope modélisé par une particule de taille négligeable dotée d’un vecteur moment angulaire propre (ou spin) noté s. A ce moment angulaire, on associe un quadri-vecteur s = [s0 , s] de genre espace tel que, en tout point d’une géodésique suivie par le gyroscope, u · s = 0, avec u la quadri-vitesse du gyroscope. On notera τ le temps propre associé à l’observateur. A. En orbite autour de la Terre Dans cette partie, l’observateur et son gyroscope sont en orbite circulaire autour de la Terre. L’espace-temps est localement décrit par la métrique de Schwarzschild de la forme  rs  2  rs −1 2 dt − 1 − dr − r2 dθ2 − r2 sin2 θ dϕ2 , ds2 = c2 1 − r r avec rs = 2 G M/c2 , où M est la masse de la Terre. On rappelle la formule de Binet généralisée dans le plan équatorial θ = π/2 (voir exercice page 123), qui est c2 rs 3 d2 u +u= + rs u2 , 2 2 dϕ 2h 2 avec u ≡ 1/r et h ≡ r2 dϕ/dτ , ainsi que les équations  rs  dt 1− = r dτ  2 dr rs  m c2 rs m h2  1− − = + 2 m dτ r r r

E , m c2 E2 − m c2 , m c2

(5.9) (5.10)

avec m, la masse de la particule considérée, et E, son énergie totale orbitale. 1 – Montrer que la quadri-vitesse du gyroscope peut se mettre sous la forme [uμ ] = ut (1, 0, 0, Ω), avec Ω = (rs c2 /2r3 )1/2 . 2 – Montrer que son quadri-vecteur moment angulaire obéit à l’équation dsμ + Γμνλ sν uλ = 0 . dτ En déduire les composantes sμ du quadri-vecteur moment angulaire. 3 – (a) En supposant que l’axe de rotation du gyroscope pointe initialement dans la direction radiale, déterminer l’angle de rotation de cet axe au bout d’une révolution complète autour de la Terre. (b) Faire l’application numérique pour un gyroscope placé en orbite à une altitude de 450 km pendant un an. Données : la masse de la Terre est M = 5,97 × 1024 kg, et son rayon est R = 6378 km.

Chapitre 5 – Espace-temps de Kerr

199

B. En chute libre vers un trou noir de Kerr L’observateur et son gyroscope sont à présent en chute libre radiale le long de l’axe de rotation d’un trou noir de Kerr, de masse M , en rotation lente. On choisira d’orienter initialement l’axe de rotation du gyroscope dans le plan orthogonal à la direction radiale. On rappelle la métrique Kerr qui est ds2 =

Δ − a2 sin2 θ 2 2 2c rs r a sin2 θ ρ2 2 dr − ρ2 dθ2 c dt + dt dϕ − 2 2 ρ ρ Δ Σ2 sin2 θ − dϕ2 , ρ2

avec ρ2 = r2 + a2 cos2 θ, Δ = r2 − rs r + a2 et Σ2 = (r2 + a2 )2 − a2 Δ sin2 θ. 1 – Montrer que, au premier ordre en a et pour r  rs , la métrique de Kerr peut se mettre sous la forme   rs  2  rs   2 dt − 1 + dr + r2 dθ2 + r2 sin2 θ dϕ2 ds2 = c2 1 − r r 4GJ + 2 sin2 θ dϕ dt , c r avec J = M a c, le moment angulaire du trou noir. Réexprimer cette métrique en coordonnées cartésiennes : x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, et z = r cos θ. 2 – Déterminer, en coordonnées cartésiennes, les coefficients de la connexion le long de l’axe de rotation du trou noir. 3 – En supposant que la vitesse de chute du gyroscope est non relativiste, déterminer les composantes cartésiennes sμ du quadri-vecteur moment angulaire. En déduire que le taux de précession à une altitude z ( rs ) est égal à Ω=

2GJ . c2 z 3

Que devient ce taux de précession pour l’observateur en chute libre avec le gyroscope ?  SOLUTION A1 – En orbite circulaire, les composantes ur et uθ sont nulles, et u = 1/r est une constante. L’équation de Binet généralisée devient donc 1/r =

c2 rs 3 + rs (1/r)2 . 2h2 2

200

Relativité générale et astrophysique

On peut alors exprimer le moment cinétique spécifique h tel que  −1 r rs c2 r2 rs c2 3 rs h2 = = . 1− 2 (r − (3/2)rs ) 2 2r Par ailleurs, d’après l’équation (5.10), comme dr/dτ = 0,  2 E rs  h2  rs 1 − + . = 1 − m c2 r c2 r 2 r En remplaçant h2 par son expression, cette dernière relation devient   2   −1  E rs rs  3 rs 1+ . = 1− 1− m c2 r 2r 2r Ainsi, l’équation (5.9) donne 

dt dτ

2

  −1   rs rs −1 3 rs 1+ = 1− 1− r 2r 2r  −1 3 rs = 1− , 2r

(5.11)

et l’on déduit l’expression de dϕ/dτ qui est telle que dϕ dϕ dt = = dτ dt dτ

 −1/2 3rs dϕ 1− , 2r dt

ce qui implique, avec h = r2 dϕ/dτ et Ω = (rs c2 /2r3 )1/2 , dϕ = dt

 1/2 3rs h 1− = Ω. 2r r2

La quantité Ω peut être définie comme la vitesse angulaire coordonnée de l’observateur muni du gyroscope (voir la question suivante). La quadri-vitesse s’écrit donc   dt dr dθ dϕ μ , , , [u ] = = ut (1, 0, 0, Ω) , dτ dτ dτ dτ  −1/2 3rs avec la composante temporelle u = 1 − . 2r t

A2 – En orbite, l’observateur et son gyroscope suivent une géodésique C. Le produit scalaire u · s étant conservé le long de C, et le quadri-vecteur u étant, par définition, tangent à cette géodésique, le quadri-vecteur s est transporté parallèlement le long de C, autrement dit, ∇u s = 0 ou encore, dsμ + Γμνλ sν uλ = 0 . dτ

Chapitre 5 – Espace-temps de Kerr

201

Les seuls coefficients non nuls de la connexion Γμνλ , pour θ = π/2, sont les suivants (voir exercice page 119) : rs −1 rs  rs  c2 rs  r , Γ = 1 − 1 − , Γtrt = −Γrrr = tt 2 r2 r 2 r2 r   rs 1 , Γθrθ = Γϕrϕ = . Γrθθ = Γrϕϕ = −r 1 − r r On en déduit que les équations vérifiées par les composantes sμ s’écrivent dst rs −1 r t rs  + 2 1− s u dτ 2r r  dsr rs  t t c2 rs  rs  ϕ ϕ 1− + s u −r 1− s u 2 dτ 2r r r dsθ dτ 1 r ϕ dsϕ + s u dτ r

= 0, = 0, = 0, = 0.

(5.12)

De plus, d’après l’expression des composantes de [uμ ], le produit scalaire u · s = 0 équivaut à rs −1 ϕ Ω r2  1− s , st = 2 c r et les équations (5.12) deviennent simplement dsr = rΩ dτ

 1/2 3rs 1− sϕ , 2r

dsθ = 0, dτ  −1/2 dsϕ Ω 3rs =− sr . 1− dτ r 2r Ainsi, on obtient facilement d2 sr = −Ω2 sr , dτ 2 sθ (τ ) = A , d2 sϕ = −Ω2 sϕ , dτ 2 avec A, une constante, et les solutions de ces équations différentielles sont de la forme sr (τ ) = S cos(Ω τ + ψ) ,

sϕ (τ ) = −

S r

avec S et ψ, deux constantes d’intégration.

 −1/2 3rs sin(Ω τ + ψ) , 1− 2r

202

Relativité générale et astrophysique

A3(a) – Les solutions obtenues pour les composantes de [sμ ] montrent que la projection de s dans le plan (er , eϕ ) est en rotation à la vitesse angulaire propre Ω. Nous avons vu précédemment que Ω était également la vitesse angulaire coordonnée de l’observateur et du gyroscope sur leur orbite : ainsi, lorsque ces derniers effectuent une révolution complète autour de la Terre, cela correspond à un temps coordonnée tr´ev égal à 2 π/Ω. Mais le temps propre mesuré par l’observateur en orbite sera, d’après la relation (5.11), égal à τr´ev tel que  τr´ev =

3rs 1− 2r

1/2 tr´ev .

Si l’axe de rotation du gyroscope, c’est-à-dire s, pointe initialement dans la direction de er , alors, au bout d’une révolution complète, l’angle de rotation du gyroscope par rapport à er sera égal à   1/2  3rs θ = 2π 1 − 1 − . 2r Cet angle peut être appelé angle de précession géodétique. A3(b) – Pour un gyroscope placé en orbite à 450 km d’altitude, c’est-à-dire sur une orbite dont le rayon Rorb est égal à environ 6,83 × 106 m, l’angle de précession géodétique sera égal à environ 1,3 × 10−3 secondes d’arc par révolution. La période 3/2 √ de révolution étant égale à 2π Rorb / G M , le gyroscope effectue 5610 révolutions complètes par an et tourne donc d’un angle de 7,3 secondes d’arc. B1 – Au premier ordre en a, on a ρ2 = r2 +o(a), Δ = r2 −rs r+o(a), et Σ2 = r4 +o(a), ce qui implique Δ − a2 sin2 θ ρ2 ρ2 Δ Σ2 sin2 θ ρ2 2 c rs r a sin2 θ ρ2

rs + o(a) , r   rs −1 rs  = 1− + o(rs /r) + o(a) , + o(a) = 1 + r r

=1−

= r2 sin2 θ + o(a) , =

4GJ sin2 θ + o(a) , c2 r

avec J = M a c. On obtient donc la métrique de Schwarzschild à laquelle on a rajouté un terme en dϕ dt. Or, on sait (voir exercice page 150) que la métrique de Schwarzschild en champ faible, c’est-à-dire pour r  rs , est de la forme  rs  2  rs  ds2Schw = c2 1 − dt − 1 + (dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θ dϕ2 ) . r r

Chapitre 5 – Espace-temps de Kerr

203

La métrique de Kerr autour d’un trou noir en rotation lente peut donc s’écrire, au premier ordre en a,   rs  2  rs   2 ds2 = c2 1 − dt − 1 + dr + r2 dθ2 + r2 sin2 θ dϕ2 r r 4GJ + 2 sin2 θ dϕ dt . c r En coordonnées cartésiennes, on a r2 = x2 + y 2 + z 2 ,

dx2 + dy 2 + dz 2 = dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θ dϕ2 ,

dx = sin θ cos ϕ dr + r cos θ cos ϕ dθ − r sin θ sin ϕ dϕ , dy = sin θ sin ϕ dr + r cos θ sin ϕ dθ + r sin θ cos ϕ dϕ , x dy − y dx = r2 sin2 θ dϕ . Ces relations impliquent donc que la métrique peut se mettre également sous la forme   rs   2 rs  2  4GJ dt − 1 + dx + dy 2 + dz 2 + 2 3 (x dy − y dx) dt . ds2 = c2 1 − r r c r B2 – Pour obtenir les coefficients de la connexion, on peut déterminer les équations des géodésiques donnant la ligne d’univers suivie par le gyroscope suivant l’axe (Oz) qui est l’axe de rotation du trou noir. On pourra ainsi poser r = z, puis x = y = 0. ds2 Définissons le lagrangien L2 par L2 = dτ 2 . L’équation d’Euler-Lagrange pour la variable x qui s’écrit   ∂L2 d ∂L2 − = 0, ∂x dτ ∂ x˙ avec x˙ = dx/dτ , est composée des termes 4GJ ∂L2 = 2 3 y˙ t˙ , ∂x c z     12 G J d ∂L2 2rs 4GJ  rs  ˙ x ¨ + 2 z˙ x˙ − 2 3 y˙ t˙ + y t¨ + 2 4 y z˙ t. = −2 1 + dτ ∂ x˙ z z c z c z Elle se réduit donc, sur l’axe (Oz) (c’est-à-dire avec y = 0), à d2 x dy dt rs dx dz 4GJ − = 0. + 2 2 dτ 2 c z (z + rs ) dτ dτ z (z + rs ) dτ dτ Par identification avec l’équation des géodésiques 9, on en déduit les expressions des coefficients de la connexion sur l’axe (Oz), 2GJ , c2 z 2 (z + rs ) rs . =− 2 z (z + rs )

Γxyt = Γxxz 9. Ne pas oublier de diviser par 2...

204

Relativité générale et astrophysique

Par symétrie des coordonnées x et y dans la métrique, les seuls autres coefficients de la connexion non nuls sur l’axe (Oz) sont 2GJ , + rs ) rs . =− 2 z (z + rs )

Γyxt = − Γyyz

c2

z 2 (z

B3 – On a vu précédemment que le quadri-vecteur s est transporté parallèlement le long de la géodésique suivie par le gyroscope et son observateur. Il vérifie donc l’équation dsμ + Γμνλ sν uλ = 0 , dτ qui se traduit ici par le système d’équations dsx + Γxxz sx uz + Γxyt sy ut = 0 , dτ dsy + Γyyz sy uz + Γyxt sx ut = 0 . dτ La vitesse de chute étant supposée non relativiste, on peut poser ut  1 et uz  0. Le système précédent devient alors dsx 2GJ =− 2 2 sy  −Ω sy , dτ c z (z + rs ) 2GJ dsy = 2 2 sx  Ω sx , dτ c z (z + rs ) avec Ω = 2 G J/(c2 z 3 ), lorsque z  rs . Cela montre que la projection de s dans le plan (Oxy) est en rotation : l’axe de rotation du gyroscope subit donc une précession dans la direction de chute avec un taux de précession, égal à Ω, et mesuré par un observateur situé à l’infini. Ce taux de précession est identique à celui mesuré par l’observateur en chute libre avec le gyroscope, puisque la transformation de Lorentz instantanée, qui relie les deux référentiels, est un boost dans la direction de chute qui ne modifie pas les composantes transverses sx et sy . Cela est une conséquence de ce que l’on appelle l’effet Lense-Thirring, qui traduit l’entraînement du référentiel localement inertiel (puisqu’en chute libre) de l’observateur par rapport à un observateur situé à l’infini (voir l’exercice page 183).

Chapitre 5 – Espace-temps de Kerr

205

[D]  EXERCICE 5.12 Cet exercice est inspiré d’une publication de Clifford Will datant de 2012 (voir la bibliographie). Collision de particules près d’un trou noir de Kerr – On considère deux particules de même masse m (> 0) en chute libre au voisinage d’un trou noir de Kerr de masse M . Dans un système d’unités où G = c = 1, la métrique de l’espace-temps en coordonnées de Boyer-Lindquist sera telle que  2  dr 2M r (dt − a sin2 θ dϕ)2 2 2 2 2 − (r + dθ ds2 = dt2 − + a cos θ) r2 + a2 cos2 θ Δ − (r2 + a2 ) sin2 θ dϕ2 , avec Δ = r2 − 2M r + a2 et a = J/M , où J est le moment angulaire du trou noir. Par ailleurs, on admet (voir l’exercice page 183 ou la référence [25]) que les équations des géodésiques dans le plan équatorial du trou noir (θ = π/2) peuvent se mettre sous la forme    1 2M a2 dt 2M a h 2 2 = r +a + ε− , dτ Δ r r     1 2M a ε 2M dϕ = + 1− h , dτ Δ r r  2 dr 2M (a ε − h)2 a2 ε 2 − h2 − Δ δ1 = ε2 + + , dτ r3 r2 avec τ , ε et h, qui sont respectivement le temps propre, l’énergie spécifique (c’est-à-dire par unité de masse) et le moment cinétique spécifique orbital de la particule. Enfin, δ1 = 0 pour les géodésiques nulles et δ1 = 1 pour les géodésiques de type temps. 1 – Montrer que l’énergie du système constituée par les deux particules identiques, et mesurée par un observateur placé au centre de masse de ce système, peut s’écrire  Ecm = m 2 (1 + uμ(1) u(2)μ ) , avec u(1) = [uμ(1) ] et u(2) = [uμ(2) ], les quadri-vecteurs vitesse des deux particules. 2 – On rappelle que les horizons des événements externe et interne (ou rayon de Cauchy) sont respectivement



+ − rΔ = M + M 2 − a2 , rΔ = M − M 2 − a2 . Afin d’étudier, au voisinage du trou noir, la collision de deux particules identiques non-relativistes à l’infini (ε1 = ε2 = 1), on définit les variables réduites x = r/M , + − x+ = rΔ /M , x− = rΔ /M , xa = a/M et i = hi /M .

206

Relativité générale et astrophysique

(a) Montrer que l’énergie Ecm est telle que  2 Ecm 1 = 2x2 (x − 1) + 1 2 (2 − x) + 2x2a (x + 1) − 2xa (1 + 2 ) 2m2 x Δx     2 2 2 2 2 2 − 2x + 2 (1 − xa ) − 1 x 2x + 2 (2 − xa ) − 2 x , avec Δx = x2 − 2x + x2a = (x − x+ ) (x − x− ). + (b) En déduire la limite de Ecm lorsque r → rΔ en fonction de 1 , 2 , x− et + + = 2x /xa . Exprimer cette limite pour un trou noir extrême, c’est-à-dire lorsque a = M .

3 – (a) Trouver les intervalles de  pour lesquels une particule massive, nonrelativiste à l’infini et suivant une géodésique√équatoriale, franchit l’horizon des √ événements externe. On notera min = −2 (1+ 1 + xa ), et max = 2 (1+ 1 − xa ). (b) Au voisinage de l’horizon des événements externe, montrer que la valeur maximale limite de  est égale à + . Conclure. 4 – Au voisinage de l’horizon des événements externe, on considère une collision entre deux particules identiques de moments cinétiques spécifiques respectivement tels que 1 = + −δ avec max < 1 < + , et 2 < max , après la collision. Exprimer un équivalent de l’énergie Ecm lorsque δ tend vers 0. Conclure.

 SOLUTION 1 – D’après le principe d’équivalence, on peut construire un référentiel localement inertiel en chute libre avec le centre de masse du système. Dans ce référentiel, un observateur mesurera une énergie Ecm telle que (Ecm , 0, 0, 0) = m (uμ(1) + uμ(2) ) et, comme la métrique est localement lorentzienne, on a    2 Ecm = m2 uμ(1) + uμ(2) u(1)μ + u(2)μ , ce qui donne, avec uμ(i) u(i)μ = 1,   2 Ecm = 2 m2 1 + uμ(1) u(2)μ . Le produit scalaire uμ(1) u(2)μ étant invariant par changement de coordonnées, cette formule est valable pour tout système de coordonnées ou tout champ gravitationnel.

Chapitre 5 – Espace-temps de Kerr

207

2 2(a) – On développe le calcul de Ecm /2m2 = 1 + uμ(1) u(2)μ avec ε1 = ε2 = 1. Pour θ = π/2, les composantes covariantes non nulles du tenseur métrique s’écrivent :

gtt = 1 −

2 2M =1− , r x

gθθ = −r2 = −M 2 x2 ,

2a x2 2M a r2 = , grr = − = − , r x Δ Δx 2M a2 2a2 − r 2 − a2 = − − M 2 (x2 − x2a ) . =− r x

gtϕ = gϕϕ

Quant aux composantes contravariantes des quadri-vecteurs vitesse, elles s’écrivent   1 2M a2 2M a h dt 2 2 = − (r/M ) + (a/M ) + dτ Δ/M 2 r M2 r M2   1 x3 + x x2a + 2x2a − 2xa  , (5.13) = x Δx  dr =± dτ

1+ 

=± 1 x

=±

2(a − h)2 /M 2 (a/M )2 − (h/M )2 − Δ/M + r3 /M 3 (r/M )2

2(xa − )2 x2 − 2 − Δx + a 3 x x2 2(xa − )2 , 2x − 2 + x

1+ 

(5.14)

dθ = 0, dτ     dϕ 2a/M 1 2 1 = + 1 − h/M dτ M Δ/M 2 r/M r/M     2xa 2 1 1 + 1−  . = M Δx x x On en déduit donc     1  3 2 gtt ut(1) ut(2) = 1 − x + x x2a + 2x2a − 2xa 1 x3 + x x2a + 2x2a − 2xa 2 , 2 2 x x Δx grr ur(1) ur(2)

1 =− Δx =−



1 x Δx

2x − 21 +

2(xa − 1 )2 x

 2x − 22 +

2(xa − 2 )2 x



 (2x2 + 2 (1 − xa )2 − 21 x) (2x2 + 2 (2 − xa )2 − 22 x) ,

208

Relativité générale et astrophysique

et enfin,

     2 2xa 1 2a2 2 2 2 − M + 1 − (x − x ) − 1 a M 2 Δ2x x x x     2xa 2 + 1− 2 x x    2   2xa 2xa 2 1 + (x2 − x2a ) + 1− =− 2 1 Δx x x x     2xa 2 + 1− 2 , x x

ϕ gϕϕ uϕ (1) u(2) =

ce qui équivaut à ϕ gϕϕ uϕ (1) u(2)

   

1 2 2 2 2 = − 3 2 2xa + (x − xa ) x 2xa + 1 − 1 x x Δx x     2 2xa + 1 − 2 x . x

En additionnant ces expressions, on obtient, après quelques simplifications, l’expression demandée :  2 Ecm 1 = 2x2 (x − 1) + 1 2 (2 − x) + 2x2a (x + 1) − 2xa (1 + 2 ) 2m2 x Δx   2 2 2 2 2 2 − (2x + 2 (1 − xa ) − 1 x) (2x + 2 (2 − xa ) − 2 x) . 2(b) – En posant x = x+ + ξ, on peut chercher la limite lorsque ξ tend vers 0 grâce à un développement limité à l’ordre 2 en ξ. En utilisant les relations x+ + x− = 2, x2a = x+ x− et x+ = 1 + 1 − x2a , on peut simplifier l’expression de la limite de la façon suivante :    Ecm (1 − 2 )2 , (5.15) lim √ = 1+ − ξ→0 2x (1 − + )(2 − + ) 2m avec + = 2x+ /xa . Pour un trou noir extrême, a = M implique x+ = x− = 1 et + = 2, on a donc  √ (1 − 2 )2 lim Ecm = 2 m 1 + ξ→0 2 (1 − 2)(2 − 2)  √ 2 − 2 1 − 2 = 2m + . 1 − 2 2 − 2 3(a) – Pour qu’une particule atteigne l’horizon des événements et tombe vers la singularité centrale, il faut que dr/dτ existe pour tout x : d’après la relation (5.14), cela se traduit par 2x2 − 2 x + 2(xa − )2  0 .

(5.16)

Chapitre 5 – Espace-temps de Kerr

209

Cette inégalité n’est vraie pour tout x que si 4 − 16 (xa − )2  0. On obtient alors les encadrements possibles pour  qui sont √ √ −2 (1 + 1 + xa )    −2 (1 − 1 + xa ) ou bien 2 (1 −

√ √ 1 − xa )    2 (1 + 1 − xa ).

Pour xa ∈ [0, 1[, ces intervalles sont disjoints. 3(b) – Au voisinage de l’horizon en x  x+ , la particule qui arrive de l’infini est telle que dt/dτ > 0, ce qui équivaut, d’après la relation (5.13) à x+2 + x2a +

2x2a 2xa − +  > 0. + x x

Comme 2x+ = x2a + x+2 et x2a /x+ = 2 − x+ , on trouve la condition  < + =

2x+ . xa

√ Puisque 1 + 1 − x2a > xa (1 − 1 − xa ), on a + > max : une particule qui est telle que max <  < + peut donc s’approcher de l’horizon des événements externe sans être capturée par le trou noir. On peut exprimer cet intervalle en fonction de xa : √ √ 2 1 − xa √ + − max = [ 1 − xa + 1 + xa − xa ]. xa Lorsque xa tend vers 1 (trou noir extrême), la largeur de cet intervalle tend vers 0. 4 – D’après la relation (5.15), lorsque 1 = + − δ,  m + − 2 Ecm ∼ √ . δ →0 x− δ L’énergie des particules, mesurée par un observateur placé au centre de masse du système, peut ainsi devenir arbitrairement grande lorsque δ tend vers 0 et xa < 1. Il s’agit donc d’un processus d’accélération de particules au voisinage de l’horizon des événements externe d’un trou noir de Kerr. Evidemment, un observateur placé à l’infini, et observant la particule qui s’échappe du trou noir, mesurera une énergie fortement atténuée étant donné l’important décalage vers le rouge ou redshift gravitationnel. Références bibliographiques : [34].

7KLVSDJHLQWHQWLRQDOO\OHIWEODQN

Chapitre 6

Ondes gravitationnelles [D]  EXERCICE 6.1 Equation d’Einstein linéarisée – Dans une région de l’espace-temps où règne un champ gravitationnel suffisamment faible, il existe toujours un système de coordonnées cartésiennes {xμ } tel que la métrique prenne la forme quasiminkowskienne suivante : gμν = ημν + hμν , avec les termes symétriques hμν tels que |hμν | 1, et les composantes symétriques ημν = −δμν , si (μ, ν)2 ∈ 1, 3, et ημ0 = δμ0 , pour μ ∈ 0, 3. 1 – (a) A l’aide d’une transformation quelconque de coordonnées, montrer que les termes hμν peuvent ne pas être les composantes d’un tenseur. (b) Montrer que, lors d’une transformation de Lorentz, les termes hμν se comportent comme les composantes d’un tenseur symétrique. (c) Même question lors d’un changement de coordonnées infinitésimales. 2 – Montrer que, au premier ordre en hμν , les composantes mixtes du tenseur de Riemann linéarisé s’écrivent Rλμνσ =

 1  ∂ν ∂μ hλσ + ∂σ ∂ λ hμν − ∂ν ∂ λ hμσ − ∂σ ∂μ hλν . 2

En déduire que les composantes covariantes du tenseur de Ricci et le scalaire de courbure sont respectivement  1  ∂ν ∂μ h + hμν − ∂ν ∂λ hλμ − ∂λ ∂μ hλν , 2 R = h − ∂λ ∂σ hσλ ,

Rμν =

avec la trace h = hλλ et le d’Alembertien  = ∂λ ∂ λ .

212

Relativité générale et astrophysique

¯ μν par 3 – On définit les quantités h ¯ μν = hμν − 1 ημν h. h 2 ¯ = −h, et exprimer hμν en fonction de h ¯ μν et de h. ¯ En déduire (a) Montrer que h ν μν l’expression des composantes hμ et h . (b) Montrer que l’équation d’Einstein linéarisée s’écrit ¯ μν + ημν ∂λ ∂σ h ¯ λσ − ∂ν ∂λ h ¯ λ − ∂μ ∂λ h ¯ λ = − 16π G Tμν , h μ ν c4 avec les composantes covariantes Tμν du tenseur énergie-impulsion. 4 – On effectue une transformation de jauge en posant hμν = hμν − ∂μ ν − ∂ν μ , où les composantes μ sont du même ordre de grandeur que les termes hμν . (a) Montrer la relation suivante : ¯ = h ¯ μν − ∂μ ν − ∂ν μ + ημν ∂λ λ . h μν ¯ μλ = ∂λ h ¯ μλ − μ . En déduire que ∂λ h (b) On impose la condition de jauge harmonique (appelée aussi jauge de Lorenz ¯ λσ = 0. Montrer que l’équation d’Einstein linéarisée se ou jauge de Hilbert) : ∂λ h réduit à ¯  = − 16π G T  . h μν μν c4

 SOLUTION 1(a) – Considérons un changement quelconque de système de coordonnées du type xμ → xμ = xμ +aμ (x), avec aμ les composantes d’un vecteur non constant. Le tenseur métrique se transforme selon la relation suivante :  gμν =

∂xσ ∂xλ gσλ , ∂xμ ∂xν

(6.1)

avec gσλ = ησλ + hσλ et ∂xμ = δσμ + ∂xσ ∂xσ = δμσ − ∂xμ

∂aμ , ∂xσ ∂aσ ∂aσ ∂aλ ∂aσ = δμσ − μ + μ . μ ∂x ∂x ∂x ∂xλ

En développant la relation (6.1), on obtient donc  gμν = ημν + hμν ,

(6.2)

Chapitre 6 – Ondes gravitationnelles

213

avec

∂aλ ∂aλ − ηνλ μ + ... ν ∂x ∂x qui perd son caractère infinitésimal puisque les dérivées de aμ n’ont aucune raison d’être négligeables devant ημν . hμν = hμν − ημλ

1(b) – Lors d’une transformation de Lorentz-Poincaré, on a, par définition, xμ → xμ = Λμν xν + aμ , avec aμ , les composantes d’un vecteur constant, et les composantes constantes du tenseur Λ telles que ημν = Λρμ Λσν ηρσ . Comme Λμν = ∂xμ /∂xν , le changement de coordonnées sur le tenseur métrique s’écrit  gμν = Λσμ Λλν gσλ = ημν + Λλμ Λσν hλσ .

Autrement dit, on peut définir hμν = Λλμ Λσν hλσ . Ici, non seulement le caractère infinitésimal est conservé, mais les coefficients hμν apparaissent comme les composantes d’un tenseur symétrique d’ordre 2 défini dans un espace-temps de Minkowski. 1(c) – Considérons enfin un changement de coordonnées infinitésimal de la forme suivante : xμ → xμ = xμ + μ (x), avec des composantes μ (x) du même ordre de grandeur que les termes hμν . On obtient alors ∂μ ∂xμ μ = δ + , σ ∂xσ ∂xσ et, d’après la relation (6.2) et au premier ordre en ∂σ /∂xμ , ∂σ ∂xσ σ = δ − . μ ∂xμ ∂xμ Le tenseur métrique se transforme donc suivant la relation    ∂λ ∂σ  λ σ gμν = δμ − μ δν − ν gλσ = ημν + hμν , ∂x ∂x toujours au premier ordre en ∂σ /∂xμ , et avec hμν = hμν −

∂ν ∂μ − ν ∂xμ ∂x

puisque ∂λ ∂λ ∂μ = gλν  ηλν . ν ν ∂x ∂x ∂xν Dans l’espace-temps de Minkowski, cette dernière équation peut être considérée comme une transformation de jauge semblable à celle effectuée en électromagnétisme pour le potentiel vecteur.

214

Relativité générale et astrophysique

2 – Par définition, les composantes du tenseur de Riemann sont Rλμνσ ≡ ∂ν Γλμσ − ∂σ Γλμν + Γρμσ Γλρν − Γρμν Γλρσ . La linéarisation des coefficients de la connexion, Γλμν , définis par Γλμν =

1 λσ g (∂μ gνσ + ∂ν gσμ − ∂σ gμν ) , 2

conduit simplement, au premier ordre en hμν , à 1 λσ η (∂μ hνσ + ∂ν hσμ − ∂σ hμν ) 2 1 = (∂μ hλν + ∂ν hλμ − ∂ λ hμν ) , 2

Γλμν =

puisque ∂ λ  η λμ ∂μ . Les produits du type Γρμσ Γλρν , dans l’expression des composantes du tenseur de Riemann, sont donc du second ordre et négligeables devant les dérivées des coefficients de la connexion. On obtient alors Rλμνσ  ∂ν Γλμσ − ∂σ Γλμν

1 = ∂ν (∂μ hλσ + ∂σ hλμ − ∂ λ hμσ ) − ∂σ (∂μ hλν + ∂ν hλμ − ∂ λ hμν ) 2 1 = (∂ν ∂μ hλσ + ∂σ ∂ λ hμν − ∂ν ∂ λ hμσ − ∂σ ∂μ hλν ) . 2 En contractant ces composantes par rapport au premier et au dernier indice, on trouve les composantes covariantes du tenseur de Ricci, Rμν ≡ Rλμνλ =

1 (∂ν ∂μ h + hμν − ∂ν ∂σ hσμ − ∂σ ∂μ hσν ). 2

Enfin, une nouvelle contraction donne le scalaire de courbure, R ≡ Rλλ = η μν Rμν = h − ∂λ ∂σ hσλ . 3(a) – On peut écrire ¯ μ = η μλ h ν

  1 1 hλν − ηλν h = hμν − δνμ h , 2 2

ce qui conduit, avec δμμ = 4, à la relation ¯=h ¯ μ = −h. h μ On a donc également ¯ μν + hμν = h

1 ¯ μν − 1 ημν h. ¯ ημν h = h 2 2

Chapitre 6 – Ondes gravitationnelles

215

Enfin, les composantes mixtes et contravariantes sont respectivement 1 ν¯ δ h, 2 μ 1 ¯. − η μν h 2

¯ν − hνμ = h μ ¯ μν hμν = h

3(b) – L’équation d’Einstein est, par définition, Gμν ≡ Rμν −

1 8π G gμν R = − 4 Tμν . 2 c

En remplaçant Rμν et R par leurs expressions et avec gμν  ημν , l’équation d’Einstein linéarisée s’écrit 1 8π G 1 (∂ν ∂μ h + hμν − ∂ν ∂σ hσμ − ∂σ ∂μ hσν ) − ημν (h − ∂λ ∂σ hσλ ) = − 4 Tμν . 2 2 c En utilisant les relations ¯, h = −h ¯, ∂ν ∂μ h = −∂ν ∂μ h ¯ μν − 1 ημν h ¯, hμν = h 2 ¯ σ − 1 ∂ν ∂μ ¯h , ∂ν ∂σ hσμ = ∂ν ∂σ h μ 2 1 σ σ ¯ ¯, ∂σ ∂μ hν = ∂σ ∂μ hν − ∂μ ∂ν h 2 ¯ σλ − 1 ημν h ¯, ημν ∂λ ∂σ hσλ = ημν ∂λ ∂σ h 2 on peut simplifier et arranger les indices pour obtenir l’équation ¯ μν + ημν ∂λ ∂σ h ¯ λσ − ∂ν ∂λ h ¯ λ − ∂μ ∂λ h ¯ λ = − 16π G Tμν . h μ ν c4 ¯ μν , on a 4(a) – Par définition des quantités h 1 ¯ hμν = hμν − ημν h 2 1 ημν (h − 2 ∂λ λ ) 2 − ∂μ ν − ∂ν μ + ημν ∂λ λ .

= hμν − ∂μ ν − ∂ν μ − ¯ μν =h On en déduit facilement

¯ μλ = ¯ h hμλ − ∂ μ λ − ∂ λ μ + η μλ ∂σ σ ,

(6.3)

216

Relativité générale et astrophysique

et donc ¯ μλ = ∂λ h ¯ μλ − ∂λ ∂ μ λ − ∂λ ∂ λ μ + η μλ ∂λ ∂σ σ ∂λ h ¯ μλ − μ . = ∂λ h ¯ λσ = 0, implique ∂λ h ¯ μλ = μ , ainsi 4(b) – La condition de jauge harmonique, ∂λ h λσ ¯ que la nullité des termes du type ∂λ ∂σ h . L’équation (6.3) devient alors ¯ = − h μν

16π G  Tμν , c4

(6.4)

 , les nouvelles composantes du tenseur énergie-impulsion. Toute transformaavec Tμν tion de jauge, telle que μ = 0, laisse invariante la condition de jauge harmonique. Enfin, l’équation (6.4) est une équation d’onde montrant que la perturbation ¯hμν de la métrique minkowskienne se propage à la vitesse c dans l’espace-temps plat.

Références bibliographiques : [5], [8], [12], [17], [19].

[D]  EXERCICE 6.2 Cet exercice reprend les notations de l’exercice de la page 211. Ondes gravitationnelles et jauge TT – On considère l’équation d’Einstein linéa¯ μν = 0 avec risée dans le vide (Tμν = 0) en jauge harmonique, c’est-à-dire, h μν ¯ = 0. ∂μ h ¯ μν = ¯hμν − ∂ μ λ − ∂ λ μ + 1 – On effectue une transformation de jauge telle que h μλ σ μ η ∂σ  , avec  , les composantes d’un champ vectoriel tel que μ = 0. (a) Vérifier que cette transformation conserve la condition de jauge harmonique. ¯ = h ¯ λ = 0. (b) Montrer qu’il existe une jauge harmonique telle que h λ 2 – On se place dans la jauge définie dans la question 1(b). La solution physique générale de l’équation d’Einstein linéarisée est une superposition d’ondes planes qui peut s’écrire   μν μν 3 Π exp(−i k · x) d k , h (x) = Re avec le quadri-vecteur position x = [xμ ], le quadri-vecteur d’onde k = [k μ ] = (ω/c, k) tel que k2 = ω 2 /c2 − k 2 , et les composantes complexes Πμν d’un tenseur symétrique. Pour simplifier, nous ne considérerons, dans la suite, qu’une seule onde plane. (a) Montrer que le quadri-vecteur d’onde k d’une onde plane est de genre lumière.

Chapitre 6 – Ondes gravitationnelles

217

(b) Montrer que la condition de jauge harmonique choisie implique Πμν kν = 0 et Πμμ = 0. (c) Le tenseur de composantes Πμν est appelé tenseur de polarisation. Avec les notations de la question 1, on définit une transformation de jauge harmonique en posant μ = Re [i αμ exp(−i k · x)] , avec αμ , les composantes d’un quadri-vecteur. Montrer que kμ αμ = 0. Comment se transforment les composantes du tenseur de polarisation ? (d) On considère une onde qui se propage suivant la ligne coordonnée x3 . Par un choix convenable des composantes αμ , montrer que les seules composantes non nulles du tenseur de polarisation sont telles que Π12 = Π21 et Π11 = −Π22 . En déduire les trois conditions de jauge, définissant ce que l’on appelle la jauge TT, sur les composantes hμν . 3 – Exprimer les composantes Πμν d’un tenseur polarisation quelconque d’une onde gravitationnelle se propageant suivant un vecteur d’onde quelconque k, en fonction des composantes Πμν T T de ce même tenseur dans la jauge TT. 4 – Ecrire, dans la jauge TT, la matrice associée au tenseur [hμν ] d’une onde gravitationnelle plane monochromatique se propageant suivant la ligne coordonnée x3 , et polarisée (a) rectilignement, puis (b) circulairement.

 SOLUTION ¯ μλ = h ¯ μλ − ∂ μ λ − ∂ λ μ + η μλ ∂σ σ , on trouve 1(a) – En dérivant l’expression h ¯ μλ = ∂λ h ¯ μλ − μ = 0 . ∂λ h La condition μ = 0 implique donc que la condition de jauge harmonique est conservée : ¯ μλ = ∂λ h ¯ μλ = 0. ∂λ h ¯ − 2 ∂λ λ . Il nous faut donc construire ¯ = h 1(b) – On sait, par définition, que h 1 ¯ μ λ un champ vectoriel { } tel que ∂λ  = 2 h, tout en gardant la condition μ = 0. ¯ et {wμ } tel que Soient un champ vectoriel {v μ }, solution de l’équation ∂λ v λ = 12 h, μ μ w = v . On peut écrire ∂μ wμ = ∂μ (v μ ) = (∂μ v μ ) =

1 ¯ h = 0 , 2

¯ μν = 0. Il existe donc un tenseur antisymétrique de composantes Aμν tel puisque h μ que w = ∂ν Aμν : en effet, ∂μ wμ = 0 équivaut ainsi à ∂μ ∂ν Aμν = 0, avec ∂μ ∂ν Aμν = ∂μ ∂ν Aνμ = −∂μ ∂ν Aμν . Définissons alors le tenseur antisymétrique de composantes

218

Relativité générale et astrophysique

B μν tel que B μν = Aμν , et posons μ = v μ − ∂ν B μν . On aura 1¯ h 2 μ μ μν μ  = v − (∂ν B ) = w − ∂ν Aμν = 0 .

∂λ λ = ∂λ v λ − ∂λ ∂ν B λν = ∂λ v λ =

¯ μν , et l’équation d’Einstein s’écrit donc Dans cette jauge, on aura également hμν = h μν μλ h = 0, avec la condition de jauge ∂λ h = 0. 2(a) – Définissons les quantités hμν telles que hμν = Re (hμν ) et   hμν = Πμν exp −i kλ xλ . La dérivation de ces quantités donne ∂λ hμν = −i kλ hμν et ∂σ ∂λ hμν = −kσ kλ hμν . En remplaçant cette dernière expression dans l’équation d’Einstein linéarisée, on trouve hμν = η λσ ∂σ ∂λ hμν = −η λσ kσ kλ hμν = 0 , ce qui ne peut être réalisé que si η λσ kσ kλ = k λ kλ = 0, c’est-à-dire si k est un quadri-vecteur de genre lumière. 2(b) – La condition de jauge harmonique s’écrit ∂μ hμν = 0, c’est-à-dire, kμ hμν = 0, ou encore, par symétrie des composantes Πμν , Πμν kν = 0. De plus, h = hμμ = 0, implique trivialement Πμμ = 0.   2(c) – En posant μ = i αμ exp −i kλ xλ , la transformation de jauge s’écrit hμν = h μν − ∂ν  μ − ∂μ  ν , ce qui conduit à

Πμν = Πμν − kν αμ − kμ αν .

¯ = 0 implique ∂λ λ = 0 donc, ici, kμ αμ = 0. De plus, la condition de jauge h 2(d) – Pour une onde qui se propage selon la ligne coordonnée x3 , k = [k μ ] = (k, 0, 0, k). La condition Πμν kν = 0 donne facilement Π0μ = Π3μ , c’est-à-dire Π00 = Π30 = Π33 ,

Π01 = Π31 ,

Π02 = Π32 ,

et la condition Πμμ = 0 implique Π11 = −Π22 . Le tenseur de polarisation est donc déterminé par cinq de ses composantes qui se transforment selon les relations Π00 = Π00 − 2 k α0 , Π11 = Π11 , Π12 = Π12 , Π01 = Π01 − k α1 , Π02 = Π02 − k α2 ,

Chapitre 6 – Ondes gravitationnelles

219

et la condition kμ αμ = 0 conduit à α0 = α3 . On peut alors choisir les composantes αμ telles que Π00 Π01 Π02 α0 = , α1 = , α2 = , 2k k k ce qui annule toutes les composantes Π0μ et qui donne (sans les primes) Π12 = Π21 ,

Π11 = −Π22 .

La jauge ainsi obtenue est appelée jauge TT (pour Transverse-Traceless) et donne trois conditions sur les composantes hμν qui sont h0μ = 0 ,

hμμ = 0 ,

∂μ hμν = 0.

3 – D’après les conditions de jauge TT définies précédemment, seules les composantes spatiales Πij T T du tenseur polarisation sont non nulles. De plus, ce tenseur doit être orthogonal au vecteur d’onde k et sa trace (ΠT T )ii doit être nulle. Définissons alors le tenseur de projection spatiale sur le plan orthogonal à k. Ses composantes mixtes sont Pji = δji − ni nj avec ni = k i /||k||, et sa trace est égale à 2. Puisque le tenseur de composantes transverses Pki Plj Πkl a une trace égale à Pkl Πkl , on en déduit que les composantes Πij T T peuvent s’écrire   1 ij ij i j ΠT T = Pk Pl − P Pkl Πkl , 2 et qu’elles vérifient (ΠT T )ii = 0. 4(a) – En notant Π11 = −Π22 = Π+ exp(−i φ) et Π12 = Π21 = Π× exp(−i ψ), on a

hμν = Re{Πμν exp −i k (x0 − x3 ) } , c’est-à-dire, dans le cas d’une polarisation rectiligne où Π× = 0 et φ = 0, ⎛ ⎞ 0 0 0 0 ⎜ 0 Π+

0 0 ⎟ 0 3 ⎟ (hμν ) = ⎜ ⎝ 0 0 −Π+ 0 ⎠ cos k (x − x ) . 0 0 0 0 4(b) – Dans le cas d’une polarisation circulaire, avec Π× = Π+ , on obtient ⎛ 0

00

0 ⎜ 0 cos k (x0 − x3 ) sin k (x − x3 ) μ

(hν ) = Π+ ⎜ ⎝ 0 sin k (x0 − x3 ) − cos k (x0 − x3 ) 0 0 0 Références bibliographiques : [5], [8], [12], [17], [19].

φ = 0, et ψ = −π/2, ⎞ 0 0 ⎟ ⎟. 0 ⎠ 0

220

Relativité générale et astrophysique

[D]  EXERCICE 6.3

Onde gravitationnelle et particules libres – On se place dans un espace-temps de Minkowski, muni d’un système de coordonnées {xμ }, traversé par une onde gravitationnelle plane se propageant suivant la ligne coordonnée x3 . On se place en jauge TT, c’est-à-dire telle que h0μ = 0, hμμ = 0, ∂μ hμν = 0. 1 – Montrer qu’une particule massive libre, initialement au repos par rapport au système de coordonnées, reste au repos lors du passage de l’onde gravitationnelle. 2 – Déterminer, dans la jauge TT, les composantes Ri0j0 et Ri0j0 , avec (i, j) ∈ 1, 32 , du tenseur de Riemann. 3 – On considère, à présent, deux particules massives libres au repos, dont les géodésiques d’équations respectives xμA (τ ) et xμB (τ ) sont séparées par un quadri-vecteur spatial infinitésimal ξ = [ξ μ (τ )] tel que xμB (τ ) = xμA (τ ) + ξ μ (τ ). On rappelle l’équation de déviation géodésique qui peut s’écrire D2 ξ μ dxσA dxλA ν μ ξ . = R σλν dτ 2 dτ dτ (a) Montrer, à partir de l’équation de déviation géodésique, que [ξ μ (τ )] est un quadri-vecteur constant. En déduire une expression de la séparation spatiale  entre les deux particules, ainsi que l’écart relatif δ/0 au premier ordre en hij . (b) On effectue le changement de coordonnées défini par xμ = xμ +

1 μ ν h x . 2 ν

Ces nouvelles coordonnées sont appelées coordonnées de Fermi. Montrer que la séparation spatiale est telle que 2 = δij ξ i ξ j , avec les nouvelles coordonnées  On prendra pour hypothèse que la distance séparant les ξ μ du quadri-vecteur ξ. deux particules est négligeable devant l’échelle de variation de la perturbation hμν , autrement dit,   ∂h  μσ σ  x  |hμν |.  ∂xν 4 – Un observateur O prend la position de la particule A. Une onde gravitationnelle plane monochromatique (de pulsation ω) et polarisée linéairement se propage suivant x3 . (a) Ecrire, dans la jauge TT, la matrice associée au tenseur [hμν ] d’une telle onde en fonction des composantes de son tenseur de polarisation. (b) Déterminer, dans le système de coordonnées précédent, l’équation du mouvement de la particule B dans le référentiel de O, sachant que [ξ μ ] = (0, ξ 1 , ξ 2 , 0).

Chapitre 6 – Ondes gravitationnelles

221

 SOLUTION 1 – La quadri-vitesse u = [uμ ] d’une particule massive libre obéit à l’équation des géodésiques : duμ + Γμσλ uσ uλ = 0 , dτ avec τ , le temps propre de la particule. Initialement, la particule est au repos par rapport au système de coordonnées, ce qui se traduit par [uμ (τ = 0)] = c (1, 0, 0, 0), et par une équation des géodésiques, à l’instant initial, qui s’écrit duμ = −c2 Γμ00 , dτ avec l’expression linéarisée de Γμ00 qui est Γμ00 = ∂0 hμ0 −

1 μ ∂ h00 , 2

ce qui, dans la jauge TT, revient à Γμ00 = 0. On obtient ainsi duμ /dτ = 0 en τ = 0. De même, on a facilement, pour tout n ∈ N et τ = 0, dn uμ /dτ n = 0. La quadri-vitesse est donc constante et égale à la vitesse initiale, c’est-à-dire nulle dans sa partie spatiale. Autrement dit, la particule reste au repos, par rapport au système de coordonnées, lors du passage de l’onde gravitationnelle. 2 – Les composantes linéarisées du tenseur de Riemann s’écrivent Rλμνσ = ou encore Rλμνσ =

1 (∂ν ∂μ hλσ + ∂σ ∂ λ hμν − ∂ν ∂ λ hμσ − ∂σ ∂μ hλν ) , 2 1 (∂ν ∂μ hλσ + ∂σ ∂λ hμν − ∂ν ∂λ hμσ − ∂σ ∂μ hλν ) . 2

Les composantes Ri0j0 , avec (i, j) ∈ 1, 32 , dans la jauge TT, sont donc Ri0j0 =

1 1 (∂j ∂0 hi0 + ∂0 ∂i h0j − ∂j ∂i h00 − ∂0 ∂0 hij ) = − ∂0 ∂0 hij , 2 2

avec les symétries : Ri0j0 = R0i0j = Rj0i0 = −Ri00j = −R0ji0 . Les composantes Ri0j0 sont quant à elles 1 Ri0j0 = − ∂0 ∂0 hij . 2 3(a) – Le quadri-vecteur spatial infinitésimal est orthogonal au flot géodésique : les particules étant au repos par rapport aux coordonnées, ce quadri-vecteur est donc tel que ξ 0 = 0. D’après la question précédente, dans la jauge TT, l’équation de déviation géodésique s’écrit  D2 ξ i dx0A dx0A j 1  i ξ = c2 ∂0 ∂0 hij ξ j . = R 00j dτ 2 dτ dτ 2

222

Relativité générale et astrophysique

Par ailleurs, le tenseur dérivée covariante seconde de ξ μ a pour composantes ∇λ ∇ν ξ μ = ∂λ ∂ν ξ μ + (∂λ Γμσν ) ξ σ + Γμσν ∂λ ξ σ + Γμλσ ∂ν ξ σ + Γμλσ Γμρν ξ ρ − Γσλν ∂σ ξ μ − Γσλν Γμρσ ξ ρ  ∂λ ∂ν ξ μ + (∂λ Γμσν ) ξ σ + Γμσν ∂λ ξ σ + Γμλσ ∂ν ξ σ − Γσλν ∂σ ξ μ , avec les termes Γμλσ Γμρν ξ ρ et Γσλν Γμρσ ξ ρ négligeables devant les autres. Le long de la géodésique, on obtient donc D2 ξ μ dxλ dxνA = c2 ∇0 ∇0 ξ μ , = ∇λ ∇ν ξ μ A 2 dτ dτ dτ puisque la particule A est au repos. Ainsi, comme l’expression linéarisée de Γμσ0 est égale à ∂0 hμσ /2, c2 ∇0 ∇0 ξ μ = avec ∂0 Γμσ0 =

d2 ξ μ + c2 [(∂0 Γμσ0 ) ξ σ + Γμσ0 ∂0 ξ σ + Γμ0σ ∂0 ξ σ − Γσ00 ∂σ ξ μ ] , dτ 2

1 ∂0 ∂0 hμσ , Γσ00 = 0, et en négligeant les termes Γμ0σ ∂0 ξ σ , on trouve 2 D2 ξ μ d2 ξ μ 1 = + c2 (∂0 ∂0 hμσ ) ξ μ . 2 dτ dτ 2 2

Cette dernière équation, comparée à l’équation de déviation géodésique, montre que d2 ξ μ /dτ 2 = 0, c’est-à-dire que ξ μ (τ ) = τ aμ + ξ μ (0), avec [aμ ] et [ξ μ (0)] deux quadrivecteurs indépendants de τ . Or les deux particules ne changent pas de coordonnées au passage de l’onde, ξ μ ne peut donc pas être une fonction strictement monotone : ainsi, aμ = 0, et ξ μ reste constant au cours du temps, même si cela ne signifie pas que la distance spatiale (infinitésimale) entre les deux particules n’est pas affectée. Cette distance spatiale, notée , s’exprimera simplement   g0i g0j 2 ξi ξj  = −gij + g00 = −gij ξ i ξ j = (δij − hij ) ξ i ξ j , puisque, dans la jauge TT, h0μ = 0 implique g0μ = 0. Quant à l’écart relatif δ/0 , avec 20 = δij ξ i ξ j , l’expression de  devient 2 = 20 − hij ξ i ξ j , c’est-à-dire, 2 /20 = 1 − hij ni nj , avec le vecteur unitaire de composantes ni = ξ i /0 . On aboutit donc à  δ 1 = 1 − hij ni nj − 1  − hij ni nj , 0 2 au premier ordre en hij .

Chapitre 6 – Ondes gravitationnelles

223

3(b) – Le changement de coordonnées xμ = xμ + hμν xν /2 est infinitésimal, le tenseur métrique se transforme donc selon la relation (voir exercice page 211)  = ημν + hμν , gμν

  ∂h  μσ σ  x avec, au premier ordre et dans l’hypothèse où   |hμν |, ∂xν     1 1 ∂ ∂ hμν = hμν − μ hνσ xσ − ν hμσ xσ ∂x 2 ∂x 2 1 1 = hμν − hνσ δμσ − hμσ δνσ 2 2 = 0. On en déduit que, dans ce système de coordonnées, on a 2 = δij ξ i ξ j . On notera que ce système de coordonnées permet de définir une tétrade avec les vecteurs de la base naturelle associée. 4(a) – Dans la jauge TT, le tenseur de polarisation n’a de composantes non nulles que dans les directions spatiales transverses à la direction de propagation de l’onde. Le quadri-vecteur d’onde, associé à l’onde gravitationnelle, est [k μ ] = (k, 0, 0, k). En notant Πμν les composantes mixtes de son tenseur de polarisation, on pose Π11 = −Π22 = Π+ , et Π12 = Π21 = Π× . Sa polarisation étant linéaire, on peut poser Π× = 0, et choisir Π+ ∈ R. La matrice associée au tenseur [hμν ] s’écrit alors ⎛ ⎞ 0 0 0 0 ⎜ 0 Π+

0 0 ⎟ 0 3 ⎟ (hμν ) = ⎜ ⎝ 0 0 −Π+ 0 ⎠ cos k (x − x ) . 0 0 0 0 4(b) – Pour l’observateur O, les coordonnées de la particule B s’écrivent ξ 0 = ξ 0 ,

1 Π+ cos k (x0 − x3 ) ξ 1 , 2

1 2 = ξ − Π+ cos k (x0 − x3 ) ξ 2 , 2 = 0.

ξ 1 = ξ 1 + ξ 2 ξ 3

Pour l’observateur O, la particule oscille donc au passage de l’onde gravitationnelle et ce, dans le plan orthogonal à sa direction de propagation. Références bibliographiques : [5], [8], [12], [17], [19].

224

Relativité générale et astrophysique

[D]  EXERCICE 6.4

Formule du quadripôle – L’équation d’Einstein linéarisée, en jauge de Lorenz, s’écrit ¯ μν = − 16π G T μν , h c4 μν ¯ = 0. Le caractère cartésien des coordonnées liées à la avec la condition ∂μ h jauge de Lorenz permet d’écrire la solution générale d’une telle équation sous la forme bien connue des potentiels retardés en un point situé en x = (c t, x) = [xμ ] :  T μν (c t − |x − x |, x ) 3  ¯ μν (x) = − 4 G d x , h 4 c |x − x | Source dans laquelle le vecteur spatial x est celui d’un point de la source de l’onde gravitationnelle, situé en x = (c t, x ) = [xμ ]. Les particules composant la source seront considérées comme non-relativistes, et l’origine des coordonnées spatiales sera choisie au centre de la source. 1 – L’équation d’Einstein linéarisée étant valable à une distance beaucoup plus grande que le rayon de Schwarzschild de la source considérée, montrer que la solution générale précédente peut se simplifier de la façon suivante :  ¯ μν (x) = − 4 G T μν (c t − r + n · x , x ) d3 x , h c4 r Source avec r = |x|, et n = x/r. Que devient cette expression si la source est compacte et lentement variable, autrement dit si la période d’évolution de la source est beaucoup plus grande que le temps mis par la lumière pour la traverser ? 2 – Dans l’hypothèse d’une source compacte et lentement variable, montrer que  ab  ∂T ∂ 1 ∂ 2 T 00 , = 2 a b ∂x ∂x c ∂t2 avec (a, b) ∈ 1, 3. En déduire la relation   ∂ 2 T 00 i j 3  1 x x d  x = 2 T ij d3 x , c2 Source ∂t2 Source avec (i, j) ∈ 1, 3. 3 – On définit le tenseur moment d’inertie (ou quadrupolaire) de la source par ses composantes  I ij (t) = ρ(t, x ) xi xj d3 x , Source

Chapitre 6 – Ondes gravitationnelles

225

avec ρ, la masse volumique propre de la source. En déduire une expression de la formule du quadripôle ;  r 2G ¯ , hij (t, x) = − 4 I¨ij t − c r c avec I¨ij = d2 I ij /dt2 . Réexprimer ce résultat dans la jauge TT, en introduisant les composantes du tenseur moment quadrupolaire réduit défini par Qij = I ij −

 1  δkl I kl δ ij . 3

 SOLUTION 1 – La distance à la source étant bien plus grande que la taille de la source : r  |x |, ce qui implique |x − x | = r|n − x /r|    2 1/2 x n · x + =r 1−2 r r    n · x  r 1− , r au premier ordre en |x /r|, ce qui donne donc  ¯ μν (x) = − 4 G h T μν (c t − r + n · x , x ) d3 x . c4 r Source Si la source est compacte et lentement variable, on peut négliger le terme n · x devant c t, et l’on a simplement  4G μν ¯ h (x) = − 4 T μν (c t − r, x ) d3 x . c r Source 2 – La conservation du tenseur énergie-impulsion se traduit par ∇μ T μν = 0. La métrique étant quasi-minkowskienne, cela équivaut à ∂μ T μν = 0. Pour ν = 0 et ν = b = 0, on obtient respectivement 1 c 1 c

∂T 00 + ∂a T a0 = 0 , ∂t ∂T 0b + ∂a T ab = 0 , ∂t

226

Relativité générale et astrophysique

avec a = 0. En dérivant encore par rapport à c t, comme le tenseur énergie-impulsion est symétrique, ces deux relations donnent 1 ∂ 2 T 00 1 ∂(∂a T a0 ) = ∂b ∂a T ab . = − c2 ∂t2 c ∂t En intégrant cette relation sur toute la source, on trouve   1 ∂ 2 T 00 i j 3  x x d x = ∂b ∂a T ab xi xj d3 x (6.5) c2 Source ∂t2 Source    ∂b (∂a T ab xi xj ) − ∂a T ab (δbi xj + δbj xi ) d3 x , = Source

avec (i, j) ∈ 1, 3. D’après la formule de Stokes (ou théorème de Gauss-Ostrogradsky), le tenseur énergie-impulsion s’annulant au bord de la source (qui est à support compact), on aura  ∂b (∂a T ab xi xj ) d3 x = 0 . Source

De plus, la deuxième partie de l’intégrale s’écrit   ∂a T ab (δbi xj + δbj xi ) d3 x = (∂a T ai xj + ∂a T aj xi ) d3 x Source Source 

∂a (T ai xj + T aj xi ) − T ai δaj − T aj δai d3 x , = Source

avec, encore, d’après la formule de Stokes,  ∂a (T ai xj + T aj xi ) d3 x = 0 . Source

La relation (6.5) devient donc   1 ∂ 2 T 00 i j 3  x x d x = 2 T ij d3 x . c2 Source ∂t2 Source 3 – Les particules composant la source étant supposées non-relativistes, le tenseur énergie-impulsion est tel que T 00  ρ c2 . On en déduit que  ∂ 2 T 00 i j 3  1 ij ¨ I (t) = 2 x x d x , c Source ∂t2 c’est-à-dire



T ij (c t − r, x ) d3 x =

Source

r 1 ¨ij  t− , I 2 c

ce qui donne la formule du quadripôle :  2G r ¯ . hij (t, x) = − 4 I¨ij t − c r c

Chapitre 6 – Ondes gravitationnelles

227

¯ ij = hij , et les composantes h ¯ ij se déduisent des composantes h ¯ ij En jauge TT, h TT TT TT par une projection sur le plan orthogonal au vecteur d’onde k (voir exercice page 216), c’est-à-dire, ici, suivant le vecteur spatial x. On a donc   1 ij i j ¯ kl , P = P P − P h hij kl k l TT 2 avec, par définition, Pji ≡ δji − ni nj , et ni = xi /r. Autrement dit, hij TT

2G =− 4 c r

 Pki

Plj

  1 ij r , − P Pkl I¨kl t − 2 c

ou, de façon équivalente, hij TT

2G =− 4 c r

    1 ij i j ¨ kl t − r . Pk Pl − P Pkl Q 2 c

Références bibliographiques : [5], [8], [12], [17], [19].

[D]  EXERCICE 6.5

De la source stationnaire à la limite newtonienne – La solution générale de l’équation d’Einstein linéarisée lorsque la source est stationnaire, c’est-à-dire lorsque ∂0 T μν = 0, s’écrit simplement  4G T μν (x ) 3  ¯ hμν (x) = − 4 d x , c x − x | Source | en un point x de l’espace. 1 – On suppose que la source est une étoile constituée d’un fluide non relativiste de masse volumique ρ(x), ayant un champ de vitesse u = [ui (x)], et une pression négligeable devant la densité volumique d’énergie. Déterminer les composantes ¯ μν (x) en fonction des potentiels gravitationnels scalaire et vectoriel définis de la h façon suivante :  ρ(x ) 3  d x , Φ(x) = −G x − x | Source |  ρ(x ) ui (x ) 3  4G Gi (x) = − 2 d x . c |x − x | Source En déduire la forme de la métrique autour d’une telle étoile.

228

Relativité générale et astrophysique

2 – En prenant le centre de l’étoile pour origine des coordonnées spatiales, montrer ¯ μν (x) s’écrivent que les composantes h   1 4GM 00 ¯ +o 2 , h =− 2 c r r   1 2G a0 ab ¯ h = 3 3 xb J + o 3 , c r r avec |x| = r, la distance de l’observateur au centre de l’étoile, et par définition,  M= ρ(x ) d3 x , Source a b 

ab x p (x ) − xb pa (x ) d3 x , J = Source

où les quantités pa (x) = ρ(x) ua (x) sont les composantes de la densité d’impulsion. 3 – On rajoute comme hypothèse que la source est statique. Que devient la métrique précédemment obtenue ? Comparer cette métrique avec celle de Schwarzschild dans la limite newtonienne (rs r).  SOLUTION 1 – Les hypothèses impliquent que le tenseur énergie-impulsion a pour seules composantes contravariantes non nulles T 00 (x) = ρ(x) c2 ,

T a0 (x) = c ρ(x) ua (x) ,

avec (a, b) ∈ 1, 32 . On en déduit donc  ¯ 00 (x) = − 4 G h c4 Source  ¯ a0 (x) = − 4 G h c4 Source  ¯ ab (x) = − 4 G h c4 Source

T ab (x) = ρ(x) ua (x) ub (x) ,

ρ(x ) c2 3  4 Φ(x) d x = , |x − x | c2 c ρ(x ) ua (x ) 3  Ga d x = ,  |x − x | c ρ(x ) ua (x ) ub (x ) 3  d x . |x − x |

¯ ab | |h ¯ a0 |. Le fluide étant supposé non-relativiste, |ua | c implique que |h a ab ab ¯ ¯ Au premier ordre en u , on peut donc négliger les composantes h , et poser h = 0.

Chapitre 6 – Ondes gravitationnelles ¯ μν − Les composantes non nulles hμν = h

229 1 2

¯ 00 , sont alors ¯=h ¯μ = h η μν ¯h, avec h μ

1 00 ¯ 00 2 Φ(x) η h (x) = , 2 c2 1 ¯ 00 (x) = 2 Φ(x) , haa (x) = − η aa h 2 c2 a 1 ¯ a0 (x) − η a0 ¯h00 (x) = G . ha0 (x) = h 2 c ¯ 00 (x) − h00 (x) = h

Le tenseur métrique ayant pour composantes gμν = ημν + hμν , on a également, au premier ordre en hμν , h00 = h00 , haa = haa , ha0 = −ha0 , et Ga = −Ga . La métrique autour d’une telle étoile sera donc de la forme     2Φ 2Φ ds2 = 1 + 2 c2 dt2 + 2 Ga dt dxa − 1 − 2 dxa dxa . c c 2 – On peut effectuer un développement limité de 1/|x − x | avec |x|  |x | : 1 1 1 = |x − x | r |n − x /r|   n · x 1  1  = 1 + +o 2  r r r   1 1 xa xa = + + o , r r3 r3 avec n = x/r. On obtient donc    1  3  ¯ 00 = − 4 G ρ( x ) d  x + o h c2 r Source r2   1 4GM +o 2 , =− 2 c r r où M est la masse de l’étoile. Par ailleurs, le centre d’impulsion étant confondu avec le centre de l’étoile, on a  c ρ(x ) ua (x ) d3 x = 0 , Source

ce qui implique  ¯ a0 (x) = − 4 G c ρ(x ) ua (x ) xb xb d3 x h c4 r3 Source  4G = − 4 3 xb T a0 (x ) xb d3 x . c r Source

230

Relativité générale et astrophysique

La conservation du tenseur énergie-impulsion en métrique quasi-minkowskienne, ∂μ T μν = 0, donne les équations 1 c 1 c

∂T 00 + ∂a T a0 = 0 , ∂t ∂T 0b + ∂a T ab = 0 , ∂t

avec, respectivement, ν = 0 et ν = b = 0, et a = 0. La source étant stationnaire, ces équations se réduisent à ∂a T a0 = 0 , ∂a T ab = 0 . D’après la formule de Stokes, comme le tenseur énergie-impulsion s’annule à la surface de l’étoile,  ∂c (T 0c xa xb ) d3 x = 0 , Source

ce qui équivaut à   (∂c T 0c ) xa xb d3 x + Source

ou encore

(T 0a xb + T 0b xa ) d3 x = 0 ,

Source



(T 0a xb + T 0b xa ) d3 x = 0 .

Source

Cette dernière expression permet d’écrire   1 0a b 3  T x d x = − (T 0b xa − T 0a xb ) d3 x . 2 Source Source En conclusion, on a donc    1 2G ¯ (T 0b xa − T 0a xb ) d3 x + o 3 , ha0 (x) = 3 3 xb c r r Source   1 2G = 3 3 xb J ab + o 3 . c r r 3 – Si la source est statique, l’invariance par renversement du temps implique que le coefficient de dt dxa , dans l’expression de la métrique, soit nul. Autrement dit, Ga = 0, et la métrique est de la forme     2Φ 2Φ ds2 = 1 + 2 c2 dt2 − 1 − 2 dxa dxa . c c

Chapitre 6 – Ondes gravitationnelles

231

En coordonnées sphériques {r, θ ϕ}, on a dxa dxa = dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θ d2 ϕ. Par ailleurs, au premier ordre en hμν , l’équation des géodésiques d’une particule massive libre conduit à d2 xa 1 = c2 ∂ a h00 . dt2 2 En passant à la limite newtonienne, d2 xa /dt2 = ∂ a ΦN , avec ΦN = −G M/r. On déduit que Φ = ΦN , et     2GM 2GM 2 2 2 ds = 1 − 2 c dt − 1 + 2 (dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θ d2 ϕ) , c r c r ce qui est la métrique de Schwarzschild au premier ordre en rs /r, avec rs = 2G M/c2 . Références bibliographiques : [5], [8], [12], [17], [19].

[D]  EXERCICE 6.6 Emission et perte d’énergie d’un système binaire – On s’intéresse à l’émission d’ondes gravitationnelles d’un système binaire constitué de deux étoiles à neutrons N1 et N2 , de même masse M = 1,4 M , séparées initialement d’une distance a = 2,0×109 m. Leur mouvement, décrit dans la limite newtonienne, sera supposé circulaire dans le plan (O, x, y), le point O étant situé au centre de masse du système. 1 – Quelle est la période de révolution des étoiles à neutrons autour de leur centre de masse ? Sont-elles en mouvement relativiste ? En déduire leurs coordonnées à un instant t, en supposant qu’à t = 0, les deux étoiles sont situées sur l’axe (Ox). 2 – Déterminer les composantes du tenseur moment quadrupolaire du système binaire défini par  I ij (t) = ρ(t, x) xi xj d3 x , Syst` eme

avec ρ, la masse volumique propre du système, et xi ∈ {x, y, z}. En déduire ¯ ij (t, x) (voir la formule du quadripôle page 225). Calculer la les composantes h fréquence de l’onde gravitationnelle produite par le système binaire. 3 – Exprimer dans la jauge TT, les composantes hμν de l’onde gravitationnelle pour un observateur situé sur l’axe (Oz) tel que r  a, puis pour un observateur situé sur l’axe (Ox). En déduire l’amplitude de l’écart relatif de position entre deux particules massives proche de l’axe (Oz) et au repos dans le voisinage d’un observateur situé à une distance de 23 000 années-lumière de la source. On supposera que, initialement, ces particules sont séparées par un vecteur spatial (0 , 0, 0). Faire l’application numérique.

232

Relativité générale et astrophysique

4 – On admet que, dans la jauge TT, le tenseur énergie-impulsion du champ gravitationnel dans le vide, au passage d’une onde gravitationnelle, s’écrit Tμν =

,  c4 + (∂μ hαβ ) ∂ν hαβ , 32π G

avec . . ., une moyennisation sur une échelle de plusieurs longueurs d’onde. Déterminer les flux d’énergie par unité de surface associés à deux ondes gravitationnelles issues du système binaire précédent et se propageant l’une dans la direction (Oz), et l’autre dans la direction (Ox). On se placera loin de la source en r  a. 5 – On définit le tenseur moment quadrupolaire réduit, noté J ij , par J ij = I ij −

1 ij δ I, 3

avec I, la trace du tenseur [I ij ]. (a) – Montrer que la puissance ou luminosité gravitationnelle, notée LG , rayonnée par le système binaire à travers une sphère de centre O et de rayon r  a, est de la forme LG =

64 G 4 M 5 . 5 c5 a5

Faire l’application numérique. (b) – En déduire que la vitesse orbitale des étoiles à neutrons augmente avec le temps, et exprimer le taux de variation de la période de révolution du système binaire. (c) – Application numérique : déterminer la durée au bout de laquelle la période de révolution initiale du système binaire est divisée par deux.  SOLUTION 1 – Dans la limite newtonienne, la période de révolution d’un système binaire dont les composantes ont la même masse est donnée par la troisième loi de Képler, 2π a3/2 T =

 2,9 × 104 s. G (2M ) Leur orbites étant circulaires, et leurs vitesses orbitales étant identiques et égales à Vorb =

πa  2,2 × 105 m · s−1 , T

Chapitre 6 – Ondes gravitationnelles

233

leur mouvement n’est pas relativiste (Vorb c). Les coordonnées spatiales des deux étoiles seront simplement   i

1 1 a cos(Ω t), a sin(Ω t), 0 , xN1 (t) = 2 2   i

1 1 xN2 (t) = − a cos(Ω t), − a sin(Ω t), 0 , 2 2 avec Ω = 2π/T  2,2 × 10−4 s−1 . 2 – La taille des étoiles à neutrons (quelques km de diamètre) étant négligeable devant leur distance de séparation, nous pouvons les considérer comme deux masses ponctuelles identiques. La masse volumique propre du système peut donc s’écrire      1 1 ρ(t, x) = M δ(z) δ x − a cos(Ω t) δ y − a sin(Ω t) 2 2     1 1 + δ x + a cos(Ω t) δ y + a sin(Ω t) . 2 2 On obtient alors facilement

⎛ 1 + cos 2Ω t ij 1 I (t) = M a2 ⎝ sin 2Ω t 4 0

⎞ sin 2Ω t 0 1 − cos 2Ω t 0 ⎠ . 0 0

(6.6)

D’après la formule du quadripôle,  2G r ¯ , hij (t, x) = − 4 I¨ij t − c r c ce qui donne ici

⎛ cos[2Ω (t − r/c)] 2 2

2 G M a Ω ¯ ⎝ sin[2Ω (t − r/c)] hij (t, x) = c4 r 0

sin[2Ω (t − r/c)] − cos[2Ω (t − r/c)] 0

⎞ 0 0 ⎠. 0

La fréquence f de l’onde gravitationnelle est donc deux fois plus élevée que celle de la rotation du système binaire : f = 2Ω/2π = 2/T , c’est-à-dire

G (2M ) , f= π a3/2 soit ici, f  6,9 × 10−5 Hz. 3 – A grande distance du système (r  a), la source est considérée comme compacte. De plus, le système étant isolé, il peut être considéré comme stationnaire sur une échelle de temps négligeable devant le temps caractéristique de perte d’énergie du système. Nous avons donc (voir exercice page 227) :   4GM 1 ¯ ¯ , h0μ = O . h00  − 2 c r r3

234

Relativité générale et astrophysique

¯ 00 n’est pas une composante radiative, c’est-à-dire On remarque que la composante h associée à l’onde gravitationnelle ; elle est statique. La partie radiative du tenseur ¯ μν ] est donc [h ⎛ ⎞ 0 0 0 0 2 2 ⎜ μν

sin[2Ω (t − r/c)] 0 ⎟ ¯ (t, x)  2 G M a Ω ⎜ 0 cos[2Ω (t − r/c)] ⎟. h ⎝ 4 0 sin[2Ω (t − r/c)] − cos[2Ω (t − r/c)] 0 ⎠ c r 0 0 0 0 Pour un observateur situé sur l’axe (Oz), ce tenseur est déjà exprimé dans la jauge TT puisqu’il correspond à une onde gravitationnelle polarisée circulairement se μν propageant μν

le long de cet axe (voir exercice page 220) ; on a donc [hT T (t, x)] = ¯ h (t, x) . Pour un observateur situé sur l’axe (Ox), comme l’onde gravitationnelle se propage ¯ μν ] le long de cet axe, il faut tout d’abord projeter les composantes du tenseur [h sur le plan orthogonal au vecteur d’onde, c’est-à-dire le plan (Oyz). Pour cela, il ¯ 12 et h ¯ 21 . Puis, la jauge TT impose que la ¯ 11 , h suffit d’annuler les composantes h trace du tenseur [hμν ] soit nulle : on doit donc retirer la moitié de la trace du TT ¯ 33 , pour aboutir à ¯ 22 et h tenseur que l’on vient d’obtenir aux composantes h ⎛ ⎞ 0 0 0 0 ⎟ G M a 2 Ω2 ⎜ 0 0 ⎜ 0 0 ⎟. x)]  [hμν T T (t,  ⎝ ⎠ 4 0 0 − cos[2Ω (t − r/c)] 0 c r 0 0 0 cos[2Ω (t − r/c)] L’onde gravitationnelle observée est polarisée rectilignement. Pour les deux particules, l’écart relatif, en jauge TT et au premier ordre en hij , s’écrit δ 1  − hij ni nj , 0 2 avec, ici, [ni ] = (1, 0, 0). L’amplitude A de cet écart au passage de l’onde sera donc A

G M a 2 Ω2 2 (G M )2 = , 4 c r c4 r a

soit, avec r  2,2 × 1020 m, A  2,0 × 10−23 , ce qui extrêmement faible ! 4 – Par définition du tenseur énergie-impulsion, le flux d’énergie (ou puissance) par unité de surface dans la direction (Oz) est simplement Fz = c T 03 , où le signe + est dû à la signature de la métrique qui est (+, −, −, −). On se place loin de la source, ce qui signifie que l’onde gravitationnelle peut être considérée comme plane. Dans notre cas, il vient T 03 = −T03 = −

  ,    c4 + (∂0 h11 ) ∂3 h11 + 2 (∂0 h12 ) ∂3 h12 + (∂0 h22 ) ∂3 h22 , 32π G

Chapitre 6 – Ondes gravitationnelles

235

2 avec 1, d’après l’expression du tenseur [hμν T T ] et puisque < sin (ω t + φ) >= 1/2,

2 2 Ω2 2 G M a 2 Ω2 , c4 r c2 +    , + , + , et (∂0 h11 ) ∂3 h11 = (∂0 h12 ) ∂3 h12 = (∂0 h22 ) ∂3 h22 . On trouve donc  + , (∂0 h11 ) ∂3 h11 = −

c 3 Ω2 Fz = 4π G





2

2 G M a 2 Ω2 c4 r

.

De même, le flux d’énergie dans la direction (Ox) est, par définition, Fx = c T 01 , et T 01 = −T01 = −

 ,   c4 + (∂0 h22 ) ∂1 h22 + (∂0 h22 ) ∂1 h22 , 32π G

avec les expressions + , + ,   (∂0 h22 ) ∂1 h22 = (∂0 h22 ) ∂1 h22 = −



G M a 2 Ω2 c4 r

2

2 Ω2 , c2

ce qui conduit à Fx =

c 3 Ω2 8π G



G M a 2 Ω2 c4 r

2 .

Le système binaire rayonne donc de façon anisotrope puisque le flux dans la direction (Oz), perpendiculaire au plan de révolution des deux étoiles à neutrons, est 8 fois plus important que dans la direction (Ox). 5(a) – La luminosité gravitationnelle, LG , rayonnée par le système binaire à travers une sphère Σ de centre O et de rayon r  a est telle que  2 LG = r F (er ) dΩs , Σ

avec er , le vecteur unitaire radial orthogonal à la sphère, dΩs = sin θ dθ dϕ, l’angle solide élémentaire, et F (er ), le flux d’énergie par unité de surface dans la direction de er . D’après la question précédente, ce dernier peut s’écrire F (er ) = −

, c4 + (∂t hij )(∂r hij ) , 32π G

où les composantes hij sont exprimées dans la jauge TT. Pour passer dans la jauge TT, considérons la formule du quadripôle (voir exercice page 224)  r 2G hij . x) = − 4 I¨TijT t − T T (t,  c r c 1. Attention : x0 ≡ c t, et ∂0 = (1/c) ∂t .

236

Relativité générale et astrophysique

Par définition, la trace du tenseur moment quadrupolaire réduit est nulle. La projection de ce tenseur sur le plan orthogonal à la direction de propagation de l’onde gravitationnelle en un point de la sphère, c’est-à-dire orthogonalement au vecteur radial er donne   1 ij ij i j JT T = Pk Pl − P Pkl J kl , (6.7) 2 avec Pji = δji − ni nj , où er = [ni ]. Ainsi, on obtient ITijT = JTijT , et hij (t, x) = −

2 G ¨ij  r JT T t − , 4 c r c

ij en notant hij = hij T T . Les dérivées partielles des composantes h sont alors

r 2 G ...T T  t − , J c4 r ij c   r r 2 G ...ij  2G ∂r hij (t, x) = 4 2 J¨TijT t − + 5 J TT t − , c r c c r c ...  puisque ∂r J¨TijT (t ) = ∂t J¨TijT (t ) × ∂r t , et ∂t J¨TijT = ∂t J¨TijT = J ij T T , avec t = t − r/c. 2 Comme on se place loin de la source, le terme en 1/r est négligeable devant celui en 1/r, et l’on peut faire l’approximation suivante ∂t hij (t, x) = −

∂r hij (t, x) 

2 G ...ij  J (t ) . c5 r T T

Le flux d’énergie par unité de surface dans la direction de er s’écrit donc . - ... G T T  ...ij  (t ) (t ) . J J ij T T 8π r2 c5 ...T T ...ij ...T T La relation (6.7), utilisée avec J ij , permet de réexprimer le produit J ij J T T en ...ij fonction de J : F (er ) =

...T T ...ij ... ...ij ...j ...ik 1 ...ij ...kl J ij J T T = J ij J − 2 J i J nj nk + J J ni nj nk nl . 2 Comme J ij est indépendant des variables angulaires θ et ϕ, on a 0  / ... ...ij ...j ...ik G 1 ...ij ...kl LG = J ij J − 2 J i J nj nk + J J ni nj nk nl dΩs , 8π c5 Σ 2   . ... ...ij ...j ...ik . G dΩs − 2 J i J nj nk dΩs = J ij J 8π c5 Σ Σ   1 - ...ij ...kl . + ni nj nk nl dΩs . J J 2 Σ

Chapitre 6 – Ondes gravitationnelles

237

Et, puisque les composantes covariantes de er sont [ni ] = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ), on obtient facilement les égalités suivantes :  dΩs = 4π , Σ  4π δjk , nj nk dΩs = 3 Σ  4π (δij δkl + δik δjl + δil δjk ). ni nj nk nl dΩs = 15 Σ ...ij Puisque la trace de J est nulle, la luminosité gravitationnelle s’écrit . ... G - ...ij LG = 5 J (t ) J ij (t ) . 5c ...ij Calculons alors explicitement les composantes du tenseur [ J ] dans le cas de notre système binaire. L’expression (6.6) conduit à définir ⎛ 1 ⎞ sin 2Ω t 0 3 + cos 2Ω t ij 1 1 J (t) = M a2 ⎝ sin 2Ω t 0 ⎠, 3 − cos 2Ω t 4 0 0 − 23 lorsque l’on enlève le tiers de la trace de [I ij ] aux composantes de la diagonale. Les dérivées successives par rapport au temps donnent alors ⎛ ⎞ sin 2Ω t − cos 2Ω t 0  ...  ij 3 2 J (t) = 2 Ω M a ⎝ − cos 2Ω t − sin 2Ω t 0 ⎠ , 0 0 0 et

. - ... + , ij  ... 2  3 2 2  2  J (t ) J ij (t ) = (2 Ω M a ) 2 sin (2 Ω t ) + 2 cos (2 Ω t ) = 8 Ω6 M 2 a 4 .

Conclusion, la luminosité gravitationnelle du système binaire est LG = ou encore, comme Ω =

8 G Ω6 M 2 a 4 , 5 c5

√ 2 G M /a3/2 , LG =

64 G 4 M 5  7,9 × 1023 W. 5 c5 a5

5(b) – Soit E, l’énergie totale du système binaire. D’après la question précédente, la perte d’énergie liée à l’émission du rayonnement gravitationnel sera telle que 64 G 4 M 5 dE = −LG = − . dt 5 c5 a5

238

Relativité générale et astrophysique

Par ailleurs, dans l’approximation newtonienne, cette énergie totale est égale à 2 E = M Vorb −

G M2 . a

Leur mouvement étant supposé circulaire, Vorb = 2 E = −M Vorb , et

G M/2a, donc on déduit que

dE dVorb = −2 M Vorb < 0, dt dt c’est-à-dire dVorb /dt > 0. La vitesse orbitale augmente au cours du temps. Comme Vorb = π a/T , on a également 64 G 4 M 4 3 dT =− T , dt 10 π 2 c5 a7 c’est-à-dire, avec T 2 = 2π 2 a3 /(G M ), 64 27/3 π 8/3 dT =− dt 10 c5



GM T

5/3 .

5(c) – L’expression (6.8) conduit à une durée Δt qui est telle que    8/3 T0 3 64 27/3 π 8/3 8/3 5/3 =− − T0 (G M ) Δt , 8 2 10 c5 qui se réarrange en Δt =

15 c5 8/3 −5/3 (G M ) [1 − (1/2)8/3 ] T0 , 256 27/3 π 8/3

avec une période initiale T0 qui vaut  2π 2 a3  2,9 × 104 s. T0 = GM On trouve donc Δt  9,4 × 109 s, soit environ 300 ans. Références bibliographiques : [5], [8], [12], [17], [19].

(6.8)

Chapitre 7

Champs et matière [MD]  EXERCICE 7.1 La signification physique des composantes du tenseur énergie-impulsion est illustrée via un exemple simple dans un espace-temps de Minkowski. Tenseur énergie-impulsion et flux d’impulsion – Dans un espace-temps de Minkowski, on considère un gaz mono-énergétique constitué de particules sans interaction entre elles, de masse m, et de vitesse v dans le référentiel instantané de repos du gaz, supposé localement inertiel et noté (R0 ). Dans ce référentiel, la répartition des vitesses des particules sera considérée comme spatialement isotrope. Enfin, on associe à (R0 ) le système de coordonnées cartésiennes locales {t, x, y, z}. 1 – Exprimer la densité d’énergie propre ε du gaz en fonction de la densité de particules n mesurée dans (R0 ). 2 – Calculer le flux de particules dont le vecteur vitesse pointe dans la direction (θ, ϕ) (en coordonnées sphériques) et traversant un élément de surface dS = dx dy orthogonal à l’axe des z. En déduire le flux d’impulsion lié à ces particules à travers cette même surface, ainsi que le quadri-vecteur flux surfacique total d’impulsion jz = [jzμ ] lié à toutes les particules. 3 – En déduire, dans le système de coordonnées cartésiennes locales {t, x, y, z}, les composantes contravariantes T μν du tenseur énergie-impulsion T qui peuvent chacune être définies comme la μ-ième composante du flux surfacique d’impulsion à travers la surface d’équation xν = constante.

240

Relativité générale et astrophysique

 SOLUTION 1 – Dans (R0 ), on mesure une densité n de particules qui ont chacune une vitesse v donc une énergie m γ c2 avec γ = 1/ 1 − v 2 /c2 . La densité d’énergie du gaz dans (R0 ) est donc ε = n m γ c2 . 2 – Pendant un intervalle de temps dt, il passe un volume à travers dS correspondant à un parallélépipède dont la base est dS et la hauteur v cos θ dt. Ce volume a une densité de particules (ayant la vitesse souhaitée) égale à une fraction sin θ dθ dϕ/4π de la densité totale. Le flux de particules (ou nombre de particules par unité de temps traversant dS) est donc dFz = n

sin θ dθ dϕ v cos θ dx dy. 4π

Chacune de ces particules a pour quadri-vecteur impulsion p = [pμ ] = m (γ c, γ v ). Le flux d’impulsion dFpz a donc pour composantes μ dFpz = pμ dFz = n

sin θ dθ dϕ v cos θ dx dy pμ . 4π

Le quadri-vecteur flux surfacique total d’impulsion jz = [jzμ ] s’obtient en intégrant sur toutes les directions :  π  2π  dFpz (θ, ϕ) , jz = dxdy θ=0 ϕ=0 ce qui devient, avec p = m γ (c, v sin θ cos ϕ, v sin θ sin ϕ, v cos θ), ⎛ ⎞ 0 ⎜ 0 ⎟ ⎟ jz = n m γ ⎜ ⎝ 0 ⎠. v 2 /3 3 – D’après la question précédente, on peut trouver de la même façon les flux surfaciques d’impulsion à travers, respectivement, les surfaces d’équations x = constante et y = constante : ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ 0 0 ⎜ v 2 /3 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎟ ⎟ jx = n m γ ⎜ jy = n m γ ⎜ ⎝ 0 ⎠, ⎝ v 2 /3 ⎠ . 0 0 Enfin, le nombre de particule par unité de surface traversant une surface d’équation t = constante pendant dt est égale à n c dt puisque le fluide est localement au repos dans (R0 ). Le quadri-vecteur impulsion de toute particule peut se décomposer de la façon suivante : p = p + p⊥ , avec p = (m γ c, 0), une composante colinéaire à l’axe du temps et identique pour chacune des particules, et p⊥ = (0, m γ v ), une

Chapitre 7 – Champs et matière

241

composante orthogonale à ce même axe. Le flux surfacique d’impulsion, à travers une surface d’équation t = constante, est alors simplement ⎛ 2 ⎞ c ⎜ 0 ⎟ ⎟ jt = n m γ ⎜ ⎝ 0 ⎠. 0 La composante T 00 du tenseur énergie-impulsion est donc égale à la densité d’énergie propre du gaz. Dans le système de coordonnées choisi, le tenseur énergie-impulsion s’écrit donc ⎛ 2 ⎞ 0 0 0 c ⎜ 0 v 2 /3 0 0 ⎟ ⎟. [T μν ] = n m γ ⎜ ⎝ 0 0 ⎠ 0 v 2 /3 0 0 0 v 2 /3

[MD]  EXERCICE 7.2 Cet exercice fait suite aux exercices des pages 99 et 211. On étudie la limite en champs faibles de l’équation d’Einstein. Champs faibles et équation de Poisson – On considère une région de l’espacetemps isolée remplie d’un gaz de poussières non relativistes, de masse volumique ρ, à l’origine d’un faible champ gravitationnel. Le caractère non-relativiste du gaz signifie que sa vitesse coordonnée [v i ] est faible devant celle de la lumière. Cette région peut être décrite par une métrique stationnaire telle que gμν = ημν + hμν , avec |hμν | 1, et les composantes symétriques ημν = −δμν , si (μ, ν)2 ∈ 1, 3, et ημ0 = δμ0 , pour μ ∈ 0, 3. 1 – Montrer qu’au premier ordre en hμν le tenseur de courbure est tel que R00  −∂i Γi00 , avec i ∈ 1, 3. 2 – Déterminer la composante T00 et la trace T du tenseur énergie-impulsion du gaz de poussières. En déduire que l’équation d’Einstein conduit à 8π G ρ. c2 Montrer que l’on retrouve alors l’équation de Poisson newtonienne : h00 

∇2 Φ  4π G ρ. 3 – Que devient l’équation de Poisson newtonienne si l’on rajoute une constante cosmologique Λ non nulle dans l’équation d’Einstein ? Dans ce cas, comment varie la composante additionnelle du champ gravitationnel dans un nuage sphérique ?

242

Relativité générale et astrophysique

 SOLUTION 1 – Par définition, le tenseur de courbure s’écrit Rμν ≡ ∂ν Γσμσ − ∂σ Γσμν + Γλμσ Γσλν − Γλμν Γσλσ , ce qui implique R00 ≡ ∂0 Γσ0σ − ∂σ Γσ00 + Γλ0σ Γσλ0 − Γλ00 Γσλσ , avec ∂0 Γσ0σ = 0 puisque la métrique est supposée stationnaire. Par ailleurs, rappelons que nous avons montré (voir exercice page 211) que la métrique quasi-minkowskienne conduit à une expression linéarisée des coefficients de la connexion qui est Γλμν =

1 (∂μ hλν + ∂ν hλμ − ∂ λ hμν ) , 2

ce qui signifie que ces coefficients sont d’ordre 1 en hμν . Autrement dit, les produits Γλ0σ Γσλ0 et Γλ00 Γσλσ sont d’ordre 2 en hμν donc négligeables dans l’expression de R00 qui devient R00  −∂i Γi00 , au premier ordre en hμν . 2 – Les composantes du tenseur énergie-impulsion d’un gaz de poussières, c’est-à-dire d’un fluide dont on néglige la pression, sont telles que Tμν = ρ c2 uμ uν , avec [uμ ] la quadri-vitesse normalisée du fluide (voir exercice page 260). Cette quadri-vitesse peut s’écrire quant à elle [uμ ] = u0 (1, v i /c) avec v i = dxi /dt et en notant t = x0 /c le temps coordonnée. Les particules de poussières étant non-relativistes, on a v i /c 1, ce qui implique que [uμ ]  u0 (1, 0, 0, 0) au premier ordre en v/c. Ainsi, uμ uμ = g00 (u0 )2 = 1 équivaut à u0 = 1. Enfin, d’après la métrique, u0 = g0μ uμ = u0 . On trouve donc T00 = ρ c2 . La trace T du tenseur énergie-impulsion se déduit facilement : T = gμν T μν = g00 T 00 = ρ c2 . La métrique étant stationnaire, l’expression de Γi00 est simplement 1 Γi00 = − ∂ i h00 . 2 L’équation d’Einstein pour μ = ν = 0 s’écrit donc   1 8π G 1 4π G i R00 = − ∂i ∂ h00 = − 4 T00 − T g00 = − 2 ρ. 2 c 2 c Autrement dit, avec ∂i ∂ i = ∇2 =  (car ∂0 ≡ 0), on a montré que h00 

8π G ρ. c2

(7.1)

Enfin, nous avons vu (voir exercice page 99) que l’équation du mouvement d’une particule libre dans un champ faible tend vers l’équation obtenue en mécanique newtonienne à la condition que h00 = 2 Φ/c2 . Cette condition implique alors

Chapitre 7 – Champs et matière

243

que la relation (7.1) devienne la classique équation de Poisson : ∇2 Φ  4π G ρ. On retrouve, de cette façon, un potentiel gravitationnel suivant une loi en 1/r à l’extérieur d’un nuage de poussière supposé sphérique, ainsi qu’un champ gravitationnel  newtonien (−∇Φ) variant comme 1/r2 . 3 – L’équation d’Einstein qui s’écrit à présent   8πG 1 Rμν = − 4 Tμν − T gμν + Λ gμν , c 2 conduit à

1 4π G R00 = − ∂i ∂ i h00 = − 2 ρ + Λ , 2 c et donc à l’équation de Poisson modifiée ∇2 Φ  4π G ρ − Λ c2 . Ainsi, le terme constant en −Λ c2 , introduit initialement par Albert Einstein pour construire un modèle d’Univers statique, est à l’origine d’une force répulsive variant comme r. Cette force subsiste même en l’absence de matière (ρ = 0) et reste une propriété intrinsèque du vide. On peut y associer un tenseur énergie-impulsion de la forme (voir le chapitre 8) Λ c4 vide gμν . = Tμν 8π G Bien qu’oubliée pendant quelques décennies, l’observation récente d’un Univers en expansion accélérée suggère que cette constante cosmologique est bien non nulle. En outre, on l’associe souvent à la présence d’une énergie sombre qui constituerait, selon les observations, environ 70 % du contenu de l’Univers. Références bibliographiques : [5], [12].

[MD]  EXERCICE 7.3 Pour cet exercice, il est conseillé d’avoir fait l’exercice de la page 33. Dualité de Hodge et équations de Maxwell – On considère un point M d’une variété pseudo-riemannienne orientable V de dimension n (de torsion nulle). On note E l’espace vectoriel tangent à V en M , E  son dual et {dxμ }μ∈1,n une base de E  . Pour tout k ∈ 0, n, l’opérateur (ou étoile) de Hodge est un isomorphisme de l’ensemble des k-formes sur E k , noté Ak [E], l’ensemble des (n− k)formes sur E n−k , noté An−k (E). Cet opérateur, noté , est tel que  : Ak [E] −→ An−k (E) ω = ωμ1 ...μk dxμ1 ⊗ . . . ⊗ dxμk −→ ω = ωμ1 ...μn−k dxμ1 ⊗ . . . ⊗ dxμn−k

244

avec

Relativité générale et astrophysique

1 ν1 ...νk  μ1 ...μn−k ων1 ...νk , k! et ν1 ...νkμ1 ...μn−k , les composantes du tenseur de Levi-Civita généralisé (voir exercice page 44). ωμ1 ...μn−k =

1 – Dans le cas d’une variété riemannienne de dimension 3, exprimer dx1 , dx2 , et dx3 à l’aide d’un produit extérieur. Même question pour (dx1 ∧ dx2 ). 2 – On suppose que la variété V, de dimension 4, est décrite localement comme un espace-temps de Minkowski muni d’un système de coordonnées lorentziennes {t, x, y, z} et d’une métrique de signature (−, +, +, +). Le quadri-potentiel A peut être défini comme une 1-forme sur E  telle que : A = Aμ dxμ = (A0 , A). La 1-forme champ électrique et le vecteur champ magnétique (dans le 3-espace) sont alors ∂A , E = ∇A0 − ∂t  = ∇ ∧ A, B tandis que le tenseur de Maxwell s’écrit simplement F = dA, avec dA la dérivée extérieure de A. On prendra c = 0 = μ0 = 1 dans tout l’exercice. (a) Quel est l’ordre du tenseur de Maxwell ? Exprimer ses composantes cova En déduire l’expression riantes en fonction des composantes des champs E et B. de F en fonction de produits extérieurs formés à l’aide des différentielles des coordonnées {t, x, y, z}. (b) Que vaut la dérivée extérieure dF ? En déduire les équations de Maxwell sans source. (c) Déterminer F. En introduisant la 1-forme différentielle J = −ρ dt + jx dx + jy dy + jz dz, représentant localement la densité volumique de charges ρ et le vecteur densité volumique de courant j = (j x , j y , j z ), démontrer que les équations de Maxwell avec sources se réduisent à d  F = J.

 SOLUTION 1 – Pour n = 3 (et ici k = 1), en appliquant la définition, dx1 = 123 dx2 ⊗ dx3 + 132 dx3 ⊗ dx2 = dx2 ⊗ dx3 − dx3 ⊗ dx2 = dx2 ∧ dx3 , dx2 = 213 dx1 ⊗ dx3 + 231 dx3 ⊗ dx1 = dx3 ⊗ dx1 − dx1 ⊗ dx3 = dx3 ∧ dx1 , dx3 = 312 dx1 ⊗ dx2 + 321 dx2 ⊗ dx1 = dx1 ⊗ dx2 − dx2 ⊗ dx1 = dx1 ∧ dx2 .

Chapitre 7 – Champs et matière

245

De même, on a (dx1 ∧ dx2 ) = (dx1 ⊗ dx2 − dx2 ⊗ dx1 ) = (dx1 ⊗ dx2 ) − (dx2 ⊗ dx1 ) 1 1 = 123 dx3 − 213 dx3 2 2 = dx3 . 2(a) – Le quadri-potentiel étant une 1-forme, sa dérivée extérieure, F, est une 2-forme.  Autrement dit, le tenseur de Maxwell est d’ordre 20 . D’après les propriétés du produit extérieur et de la dérivée extérieure (voir exercice page 33), on peut l’écrire 1 Fμν dxμ ∧ dxν 2 1 = (∂μ Aν − ∂ν Aμ ) dxμ ∧ dxν . 2

F=

 étant défini comme le rotationnel en dimension 3 de A, il s’écrit Par ailleurs, B  = (∂y Az − ∂z Ay ) ∂x + (∂z Ax − ∂x Az ) ∂y + (∂x Ay − ∂y Ax ) ∂z , B et le champ électrique est quant à lui, E = (∂x A0 − ∂t Ax ) dx + (∂y A0 − ∂t Ay ) dy + (∂z A0 − ∂t Az ) dz. Ainsi, comme Fμν = ∂μ Aν − ∂ν Aμ , on obtient Fxy = B z ,

Fxz = −B y ,

Comme F est antisymétrique, ⎛

Fyz = B x , Fxt

0 ⎜ Ex [Fμν ] = ⎜ ⎝ Ey Ez

−Ex 0 −B z By

= Ex ,Fyt

−Ey Bz 0 −B x

= Ey ,Fzt

= Ez .

⎞ −Ez −B y ⎟ ⎟, Bx ⎠ 0

ce qui s’écrit aussi F = Ex dx ∧ dt + Ey dy ∧ dt + Ez dz ∧ dt + B z dx ∧ dy + B x dy ∧ dz + B y dz ∧ dx. 2(b) – On a : dF = d(dA) = 0, c’est-à-dire (∂y Ez − ∂z Ey + ∂t B x ) dt ∧ dy ∧ dz + (∂z Ex − ∂x Ez + ∂t B y ) dt ∧ dz ∧ dx + (∂x Ey − ∂y Ex + ∂t B z ) dt ∧ dx ∧ dy + (∂x B x + ∂y B y + ∂z B z ) dx ∧ dy ∧ dz = 0 , ce qui donne bien les deux équations de Maxwell suivantes : ∇∧E=−  = 0. ∇·B

 ∂B , ∂t

246

Relativité générale et astrophysique

2(c) – On a les relations 1 : (dx ∧ dy) = −dz ∧ dt , (dx ∧ dt) = dy ∧ dz ,

(dy ∧ dz) = −dx ∧ dt , (dy ∧ dt) = dz ∧ dx ,

(dz ∧ dx) = −dy ∧ dt , (dz ∧ dt) = dx ∧ dy ,

donc F = B x dx ∧ dt + B y dy ∧ dt + B z dz ∧ dt − Ez dx ∧ dy − Ex dy ∧ dz − Ey dz ∧ dx. On en déduit d  F = (∂y B z − ∂z B y − ∂t Ex ) dt ∧ dy ∧ dz + (∂z B x − ∂x B z − ∂t Ey ) dt ∧ dz ∧ dx + (∂x B y − ∂y B x − ∂t Ez ) dt ∧ dx ∧ dy − (∂x Ex + ∂y Ey + ∂z Ez ) dx ∧ dy ∧ dz. Par ailleurs, avec les relations dt = dx ∧ dy ∧ dz , dx = dt ∧ dy ∧ dz , dy = dt ∧ dz ∧ dx , dz = dt ∧ dx ∧ dy , on trouve J = −ρ dx ∧ dy ∧ dz + j x dt ∧ dy ∧ dz + j y dt ∧ dz ∧ dx + j z dt ∧ dx ∧ dy. L’égalité d  F = J se traduit donc bien par les équations de Maxwell :  = j + ∂t E , ∇∧B ∇ · E = ρ. Références bibliographiques : [15], [6].

[MD]  EXERCICE 7.4 Dans cet exercice, on définit la notion de quadri-force, et l’on détermine son expression, pour un observateur inertiel, lorsqu’une particule est plongée dans un champ électromagnétique. Force de Lorentz et tenseur de Maxwell – On se place dans un espace-temps E orientable muni d’une métrique dont la signature est (−, +, +, +) et dans lequel règne un champ électromagnétique. En un point M de E, toute particule de charge q et de quadri-vitesse normalisée u subit une quadri-force de Lorentz, notée f, définie sur l’espace vectoriel tangent TM (E). On admet que cette force est une quadri-force pure, c’est-à-dire orthogonale à u en tout point de la ligne 1. En prenant garde à la métrique : ijkt = ijkt , mais itjk = −itjk , pour i, j et k dans {x, y, z}.

Chapitre 7 – Champs et matière

247

d’univers de la particule, et qu’elle est telle que f = q F(., u), avec F, le tenseur champ électromagnétique ou tenseur de Maxwell. 1 – Sachant que F est une 2-forme différentielle (ou forme bilinéaire antisymétrique), écrire les composantes contravariantes de f dans une base quelconque de TM (E) en fonction des composantes mixtes F μν de F. 2 – Pour un observateur O de quadri-vitesse normalisée u0 en un point M de E, on définit la forme linéaire champ électrique E et le vecteur champ magnétique B en fonction du tenseur champ électromagnétique par la relation suivante : F = u0 ⊗ E − E ⊗ u0 + (u0 , c B, ., .), avec u0 orthogonale à E et à B, et  le tenseur de Levi-Civita (voir exercice page 44). (a) Ecrire les composantes mixtes F μν dans une base quelconque, puis dans une tétrade orthonormée directe {u0 , ei }i∈1,3 liée à O. Que représentent alors les composantes F μ0 pour μ ∈ 0, 3 ? (b) En déduire l’expression matricielle de Fμν dans la base {u0 , ei }i∈1,3 . 3 – On s’intéresse à présent à la force de Lorentz relative à un observateur inertiel O de quadri-vitesse normalisée u0 en un point M de E. On rappelle (voir exercice page 250) que, si vr est la vitesse relative d’une particule par rapport à O, on a la relation   1 u = Γ u0 + vr , (7.2) c avec Γ, le facteur de Lorentz de la particule défini par  −1/2 vr · vr Γ = 1− . c2 (a) Donner l’expression des composantes contravariantes de la quadri-force f , agissant sur une particule de charge q, dans la base {u0 , ei }i∈1,3 liée à l’observateur O, en fonction des composantes de u, E et B.  = (E 1 , E 2 , E 3 ), et B  = (B 1 , B 2 , B 3 ). (b) Dans la base {ei }i∈1,3 , on note E En déduire l’expression des composantes contravariantes de f en fonction de Γ,  et du produit vectoriel vr × B  dans l’espace orthogonal à u0 . vr , E (c) Décomposer la quadri-impulsion p de la particule en fonction de son énergie ε0 mesurée par O, de u0 , et de p le projeté de p sur l’espace orthogonal à u0 . En déduire l’expression de f en fonction de ces mêmes grandeurs. (d) La force de Lorentz subie par la particule, et relative à un observateur inertiel O, est définie par fL = d p/dt. Montrer que fL est orthogonale à u0 .  et B.  En déduire son expression en fonction de vr , E

248

Relativité générale et astrophysique

 SOLUTION 1 – Dans une base quelconque {eμ }μ∈0,3 , les composantes contravariantes de f s’écrivent f μ = q F(eμ , u) = q F σρ uν < eμ , eσ > < eρ , eν >, avec u = uν eν . 2(a) – Dans une base quelconque {eμ }μ∈0,3 , le tenseur F peut se décomposer de la façon suivante :

F = uσ0 Eρ − u0ρ E σ + c αβ σρ uλ0 B γ < eα , eλ > < eβ , eγ > eσ ⊗ eρ , ce qui implique

F μν = F(eμ , eν ) = uσ0 Eρ − u0ρ E σ + c αβ σρ uλ0 B γ < eα , eλ > < eβ , eγ > [< eσ , eμ > < eρ , eν >] , avec u0 = uμ0 eμ , E = Eμ eμ , et B = B μ eμ . Dans une tétrade orthonormée {u0 , ei }i∈1,3 , l’expression précédente se simplifie et devient β F μν = uμ0 Eν − u0ν E μ + c αβ μν uα 0 B .

Comme, dans cette base, [uμ0 ] = (1, 0, 0, 0) et, dans sa base duale, [u0μ ] = (−1, 0, 0, 0), on obtient tout d’abord F μ0 = uμ0 E0 − u00 E μ = δ 0μ E0 + E μ . Mais, par définition, le quadri-vecteur [E μ ] est orthogonal à u0 , donc E0 = 0, et F μ0 = E μ . 2(b) – Dans la base {u0 , ei }i∈1,3 , les composantes Fμν s’écrivent β Fμν = u0μ Eν − u0ν Eμ + c αβμν uα 0 B

= −δ0μ Eν + δ0ν Eμ + c 0jμν B j , avec j ∈ 1, 3 puisque le quadri-vecteur sous forme matricielle, ⎛ 0 −E1 ⎜ E1 0 [Fμν ] = ⎜ ⎝ E2 −c B 3 E3 c B 2

[B μ ] est orthogonal à u0 . Autrement dit, −E2 c B3 0 −c B 1

⎞ −E3 −c B 2 ⎟ ⎟. c B1 ⎠ 0

3(a) – Dans la base {u0 , ei }i∈1,3 , par définition de f, et d’après la question précédente, on a f 0 = q F 0ν uν = q Eν uν ,   f i = q F i ν uν = q E i u0 + c 0β iν B β uν , avec i ∈ 1, 3.

Chapitre 7 – Champs et matière

249

3(b) – La relation (7.2) permet d’introduire Γ et vr pour donner  · vr , f 0 = q Γ Ei (vri /c) = q (Γ/c) E   f i = q Γ E i + 0k ij B k vrj , avec (i, j, k) ∈ 1, 33 . Le vecteur [f i ] s’écrit encore    + vr × B  . [f i ] = q Γ E 3(c) – Comme u0 · u0 = −1, la quadri-impulsion p de la particule est telle que p = −(p · u0 ) u0 +  p = (ε0 /c) u0 + p, avec, par définition, ε0 = −c (p·u0 ). La quadri-force f est reliée à la quadri-impulsion p de la particule par dp , f= dτ où τ est le temps propre de la particule. En utilisant le temps propre t de l’observateur O, on a dp dt dp f= =Γ . dt dτ dt L’observateur O étant inertiel, du0 /dt = ∇u0 u0 = 0, donc on obtient   1 dε0 d p f =Γ u0 + . c dt dt 3(d) – Par définition de la dérivée de Fermi-Walker (voir exercice page 71), pour l’observateur inertiel O, on a d p . p= DFW u  dt La dérivée de Fermi-Walker préservant l’orthogonalité, le vecteur dérivé fL = d p/dt est donc orthogonal à u0 . On en déduit    + vr × B  . fL = q E Références bibliographiques : [8], [15].

250

Relativité générale et astrophysique

[MD]  EXERCICE 7.5 Propriétés du tenseur énergie-impulsion – On se place dans un espace-temps E muni d’une métrique dont la signature est (−, +, +, +). Le tenseur énergieimpulsion, noté T, est une forme bilinéaire symétrique, définie sur l’espace vectoriel tangent TM (E) en un point M de E, traduisant le contenu en énergie et en impulsion d’une partie macroscopique de E. Un observateur O, de quadri-vitesse normalisée u0 et muni d’une base orthonormale {ei }i∈1,3 , mesurera : une densité d’énergie : ε = T(u0 , u0 ), un vecteur densité d’impulsion : jp = − 1c T(u0 , ei ) ei , un tenseur des contraintes de composantes covariantes : Sij = T(ei , ej ). A. Le modèle du fluide parfait Le tenseur énergie-impulsion T d’un fluide parfait isolé peut être défini par la relation T = (ρ c2 + p) u ⊗ u + p g, avec g, le tenseur métrique, u, la quadri-vitesse normalisée d’une particule de fluide, ρ, la masse volumique du fluide, et p, sa pression. 1 – Exprimer, en fonction de u0 et de u, le facteur de Lorentz Γ entre l’observateur O et le fluide. En déduire l’expression de Γ en fonction de la 3-vitesse relative vr entre O et le fluide. 2 – Montrer que la densité d’énergie du fluide mesurée par O peut s’écrire ε = Γ2 (ρ c2 + p) − p. 3 – Montrer que le vecteur densité d’impulsion et les composantes covariantes du tenseur des contraintes s’écrivent respectivement  p jp = Γ2 ρ + 2 vr , c p 2 Sij = p δij + Γ ρ + 2 vi vj , c en notant vr = v i ei . En déduire les composantes contravariantes du tenseur énergie-impulsion pour un observateur suivant le fluide dans son mouvement. 4 – On admet que tout tenseur énergie-impulsion doit vérifier : (a) la condition faible sur l’énergie qui est T(v, v)  0, pour tout quadri-vecteur v de genre temps. Montrer que, dans le cas d’un fluide parfait, cela implique ρ  0 et ρc2 + p  0. (b) la condition forte sur l’énergie qui est T(v, v)  12 tr(T) v · v, pour tout quadri-vecteur v de genre temps. Montrer que ρ c2 +3p  0, et que R(u0 , u0 )  0, avec R le tenseur de Ricci.

Chapitre 7 – Champs et matière

251

B. Le champ électromagnétique Le tenseur énergie-impulsion T associé au champ électromagnétique a pour composantes covariantes   1 Tμν = 0 Fαμ F αν − Fαβ F αβ gμν , 4 avec 0 la permittivité du vide, et les composantes du tenseur champ électromagnétique F. 1 – Calculer tr(T), et vérifier que T est symétrique. 2 – Montrer que, pour l’observateur O, la densité d’énergie du champ électromagnétique, notée εem , peut se mettre sous la forme  0     ·B  , εem = E · E + c2 B 2  et B  respectivement les vecteurs champ électrique et champ magnétique avec E mesuré par O. 3 – Montrer que, pour l’observateur O, le vecteur densité d’impulsion, de composantes covariantes ji , du champ électromagnétique est tel que ji = −

0 Fαμ eμi E α . c

4 – Montrer que, pour l’observateur O, les composantes covariantes du tenseur des contraintes s’écrivent   1 2  μ ν αβ   Sij = 0 g Fαμ Fβν ei ej − (c B · B − E · E) δij 2

 SOLUTION A1 – Par définition, en notant dτ l’intervalle de temps propre mesuré par un observateur O au repos par rapport au fluide entre deux positions sur sa ligne d’univers, et dτ0 l’intervalle de temps mesuré par O entre les deux positions de O , le facteur de Lorentz Γ est tel que dτ0 = Γ dτ . Soit dx le quadri-vecteur déplacement élémentaire de O par rapport à O pendant dτ : ce quadri-vecteur appartient à l’espace vectoriel tangent à l’hypersurface orthogonale à la ligne d’univers de O, il peut donc être vu comme un 3-vecteur dans cet espace (espace local de repos). On a la relation vectorielle c dτ u = c dτ0 u0 + dx,

252

Relativité générale et astrophysique

c’est-à-dire c dτ u = c Γ dτ u0 + dx. Puisque dx · u0 = 0 et u0 · u0 = −1, le produit scalaire avec u0 donne donc Γ = −u0 · u. La vitesse relative vr entre O et le fluide est simplement égale à dx/dτ . Des relations précédentes, on déduit   1 u = Γ u0 + vr , c ce qui implique u · u = Γ2

    1 1 u0 + vr · u0 + vr , c c

ou encore, avec u0 · u0 = u · u = −1 et vr · u = 0, −1/2  vr · vr Γ = 1− . c2 A2 – Par définition de la densité d’énergie du fluide, l’observateur O mesurera ε = T(u0 , u0 ) = (ρ c2 + p) (u · u0 )2 + p g(u0 , u0 ), ce qui, avec Γ2 = (u · u0 )2 et g(u0 , u0 ) = −1 donne la relation ε = Γ2 (ρ c2 + p) − p. A3 – De la même façon, par définition,   1 p (u · u0 ) (u · ei ) + p g(u0 , ei ) ei , jp = − T(u0 , ei ) ei = − ρ c + c c   1 avec u · u0 = −Γ, g(u0 , ei ) = 0, et comme u = Γ u0 + vr , c    1 Γ (u · ei ) ei = Γ u0 + vr · ei ei = vr . c c  p jp = Γ2 ρ + 2 vr . c Enfin, les composantes covariantes du tenseur des contraintes s’écrivent

On a donc bien la relation

Sij = T(ei , ej ) = (ρ c2 + p) (u · ei ) (u · ej ) + p g(ei , ej ), avec u · ei = (Γ/c) v i , et puisque la base {ei }i∈1,3 est orthonormée, g(ei , ej ) = δij . On obtient donc  p Sij = p δij + Γ2 ρ + 2 vi vj . c

Chapitre 7 – Champs et matière

253

Pour un observateur en co-mouvement avec le fluide, u0 = u, vr = 0, donc Γ = 1 et les composantes contravariantes du tenseur énergie-impulsion s’écrivent T 00 = ρ c2 ,

T 0i = T i0 = 0 ,

T ij = p δ ij ,

pour tout (i, j) ∈ 1, 3. A4(a) – Comme u0 (= u) est de genre temps, on a T(u0 , u0 )  0 ⇐⇒ ε = Γ2 (ρ c2 + p) − p  0. Pour Γ = 1, on obtient donc ρ  0, et lorsque Γ → +∞, on trouve la condition ρ c2 + p  0. A4(b) – Comme tr(T) = gμν T μν = −ε + 3p, et u0 · u0 = −1, on a T(u0 , u0 ) 

1 1 tr(T) u0 · u0 ⇐⇒ ε  (ε − 3p), 2 2

c’est-à-dire ε+3p  0. D’après les équations d’Einstein (et la signature de la métrique),   8π G 1 R= 4 T − tr(T) g , c 2 ce qui implique directement que R(u0 , u0 )  0. B1 – On a : tr(T) = g μν Tμν   1 = 0 g μν Fαμ F αν − Fαβ F αβ g μν gμν 4   αμ = 0 Fαμ F − Fαβ F αβ = 0. Par ailleurs, par symétrie du tenseur métrique, Tμν − Tνμ = 0 (Fαμ F αν − Fαν F αμ ) = 0 (Fαμ F αν − gαλ F λν g αλ Fλμ ) = 0 (Fαμ F αν − δαλ Fλμ F λν ) = 0. Le tenseur T est donc symétrique. B2 – Par définition, comme εem = T(u0 , u0 ), on trouve d’abord   1 εem = 0 Fαμ F αν uμ0 uν0 − Fαβ F αβ gμν uμ0 uν0 , 4

254

Relativité générale et astrophysique

avec gμν uμ0 uν0 = −1, Fαμ uμ0 = Eα et F αμ uμ0 = E α . Par ailleurs, pour l’observateur O muni de la tétrade {u0 , ei }i∈1,3 , le tenseur champ électromagnétique (voir exercice page 246) est tel que ⎛ ⎞ 0 E1 E2 E3 ⎜ −E1 0 c B 3 −c B 2 ⎟ ⎟. F μν = ⎜ ⎝ −E2 −c B 3 0 c B1 ⎠ −E3 c B 2 −c B 1 0 On déduit alors l’invariant suivant :

   ·B  −E  ·E  , Fαβ F αβ = 2 c2 B

ce qui implique εem =

 0     ·B  . E · E + c2 B 2

B3 – Les composantes covariantes du vecteur densité d’impulsion 2 s’écrivent, par définition, 1 ji = − T(u0 , ei ) c   0 1 μ α μ ν ν αβ =− Fαμ ei F ν u0 − Fαβ F gμν ei u0 , 2 4 ce qui, avec F αν uν0 = E α , et gμν eμi uν0 = 0 donne ji = −

0 Fαμ eμi E α . c

B4 – Les composantes covariantes du tenseur de contraintes s’écrivent, par définition, Sij = T(ei , ej )   1 μ α ν μ ν αβ = 0 Fαμ ei F ν ej − Fαβ F gμν ei ej , 4  ·B  −E  · E),  et gμν eμ eν = δij . avec l’invariant défini précédemment, Fαβ F αβ = 2 (c2 B i j On obtient donc   1  ·B  −E  · E)  δij . Sij = 0 g αβ Fαμ Fβν eμi eνj − (c2 B 2 Références bibliographiques : [5], [15], [8].

2. On ne confondra pas ce vecteur avec le quadri-vecteur courant électrique.

Chapitre 7 – Champs et matière

255

[D]  EXERCICE 7.6

Rayonnement et luminosité d’une étoile compacte – On considère l’espacetemps, supposé vide, autour d’une étoile compacte de masse M , de rayon Re , et située loin de toute autre source d’énergie. On négligera la rotation de l’étoile sur elle-même : l’espace-temps sera donc décrit par une métrique de Schwarzschild telle que  rs  2  rs −1 2 dt + 1 − dr + r2 dθ2 + r2 sin2 θ dϕ2 , ds2 = −c2 1 − r r avec le rayon de Schwarzschild rs = 2 G M/c2 . Cette étoile émet dans l’espace, de façon isotrope et stationnaire, un rayonnement électromagnétique. 1 – On rappelle les coefficients non nuls de la connexion associée à la métrique de Schwarzschild de coordonnées {t, r, θ, ϕ} : rs −1 rs  1 − , 2 r2 r   −1 rs rs =− 2 1− , 2r r   rs , = −r sin2 θ 1 − r = − sin θ cos θ ,

rs  c2 rs  1 − , 2 r2 r   rs , = −r 1 − r 1 = Γϕrϕ = , r = cot θ .

Γtrt =

Γrtt =

Γrrr

Γrθθ

Γrϕϕ Γθϕϕ

Γθrθ Γϕθϕ

(a) Quelles équations vérifie la quadri-impulsion p d’un photon émis par l’étoile ? (b) En déduire la relation entre les composantes pt et pr de cette quadriimpulsion, et montrer que la quantité (1 − rs /r) pt est égale à une constante K dont on déterminera la dimension. (c) Exprimer la quadri-impulsion p en fonction de la constante K précédente, et des vecteurs de la base naturelle ∂t et ∂r . Comment peut-on retrouver que K est une constante ? (d) En supposant qu’un photon est émis à une coordonnée r = R avec une énergie ε0 , quelle sera son énergie ε mesurée par un observateur statique situé en r > R ? Que peut-on en déduire sur K ? 2 – On admet que le tenseur énergie-impulsion T associé au champ électromagnétique produit par l’étoile est proportionnel à k ⊗ k, avec le quadri-vecteur k = (1 − rs /r)−1 ∂t + ∂r . (a) Quelles équations vérifie le quadri-vecteur k ? En déduire la trace de T, ainsi que son expression en fonction de k ⊗ k.

256

Relativité générale et astrophysique

(b) Exprimer la quantité d’énergie par unité de temps propre traversant une surface élémentaire dS définie dans l’espace local de repos d’un observateur statique, situé à la coordonnée r. On exprimera ce résultat en fonction de k, d’un quadrivecteur unitaire normal à dS, et de la quadri-vitesse normalisée de l’observateur. (c) En déduire l’expression de la luminosité totale L de l’étoile mesurée par cet observateur, c’est-à-dire la quantité d’énergie par unité de temps propre traversant une sphère Σ définie par r = constante et t = constante (r étant la coordonnée de l’observateur), en fonction de la luminosité L0 de cette étoile mesurée par un observateur statique à l’infini. Que vaut la luminosité maximale Lmax ?  SOLUTION 1(a) – Le photon suit une géodésique de genre lumière dont un vecteur tangent est le quadri-vecteur p qui est donc tel que p · p = 0, et ∇p p = 0. Dans notre cas, le photon étant émis radialement, le quadri-vecteur p n’a pas de composante suivant les vecteurs de la base naturelle ∂θ et ∂ϕ , donc il peut s’écrire 3 : p = pt ∂t + pr ∂r . Enfin, la symétrie du système implique que les composantes pt et pr ne peuvent dépendre que de la coordonnée r. 1(b) – De la question précédente, on déduit gtt (pt )2 + grr (pr )2 = 0 ,  rs  t p. pr = 1 − r

c’est-à-dire Par ailleurs, on a

 p

μ

∂pν + Γνμλ pλ ∂xμ

 = 0,

c’est-à-dire

dpν + Γνμλ pμ pλ = 0. dr En remplaçant pr par (1 − rs /r) pt et pour ν = 0, on obtient facilement pr

   rs  rs 2 rs  1 dpt t t t 1 − 1 − 1− + Γ + Γ + 2 Γ = 0, tt tr rr r pt dr r r autrement dit, d’après les coefficients de la connexion, comme Γttt = 0 et Γtrr = 0, d [(1 − rs /r) pt ] = 0, dr t · ∂t = −(1 − rs /r). 3. On choisit comme coordonnée temporelle c t (au lieu de t) : cela implique que ∂

Chapitre 7 – Champs et matière

257

ou encore (1 − rs /r) pt = K. La constante K a la même dimension que pt , qui est donc une énergie divisée par une vitesse. Ainsi, la composante pr de la quadri-impulsion du photon est une quantité conservée le long de sa ligne d’univers. 1(c) – Des résultats précédents, on déduit p=

K ∂t + K ∂r . 1 − rs /r

La métrique étant indépendante de t, le vecteur ∂t est un vecteur de Killing. Or, le produit scalaire de tout vecteur tangent à une géodésique avec un vecteur de Killing est constant (voir exercice page 59). Le vecteur p étant tangent à la géodésique, on a donc  rs  t p = −K. p · ∂t = − 1 − r On retrouve donc que K est une constante. 1(d) – Un observateur statique situé en r > R a une quadri-vitesse u0 de coordonnées (ut , 0, 0, 0) dans la base naturelle et elle est telle que u0 · u0 = gtt (ut )2 = −c2 , avec gtt = ∂t · ∂t = −(1 − rs /r), c’est-à-dire c . ut =

(1 − rs /r) L’énergie d’une particule de quadri-impulsion p qu’il mesure s’écrira cK ε = −u0 · p = −gtt ut pt =

. 1 − rs /r Cette relation montre que la constante K est égale à l’énergie du photon divisée par c et mesurée par un observateur statique situé à l’infini. Par ailleurs, comme l’émission a lieu en r = R, on a cK ε0 =

, 1 − rs /R ce qui donne l’expression de ε en fonction de ε0 ,  1 − rs /R . ε = ε0 1 − rs /r On retrouve le décalage vers le rouge gravitationnel ou effet Einstein puisque ε < ε0 . 2(a) – Tout d’abord, le quadri-vecteur k est de genre lumière. En effet, on a k·k =

1 ∂t · ∂t + ∂r · ∂r , (1 − rs /r)2

258

Relativité générale et astrophysique

avec ∂r · ∂r = grr = (1 − rs /r)−1 , donc k · k = 0. Par ailleurs, le quadri-vecteur k est tel que ∇k k = [k ν ∇ν k μ ] = [k t ∇t k μ + k r ∇r k μ ] = [k t (k t Γμtt + k r Γμrt ) + k r (∂r k μ + k t Γμtr + k r Γμrr )] , ce qui, d’après les coefficients de la connexion 4 , donne (∇k k)t = k t k r Γtrt + k r ∂r k t + k r k t Γttr = 0 , ˜ r + k r Γr = 0 , (∇k k)r = (k t )2 Γ tt

rr

c’est-à-dire ∇k k = 0. On définit T = λ k ⊗ k, avec λ un scalaire dépendant éventuellement de r, mais pas de t, ni de θ ou de ϕ étant donnée la symétrie du système. La trace de T s’écrit T = Tμμ = gμν T μν = λ gμν k μ k ν = λ k · k = 0. L’étoile étant isolée, la seule source d’énergie est celle du champ électromagnétique. La conservation locale de cette énergie se traduit par ∇ · T = 0, c’est-à-dire ∇μ T μν = ∇μ (λ k μ k ν ) = ∇μ (λ k μ ) k ν + λ k μ ∇μ k ν = ∇μ (λ k μ ) k ν = 0. Comme k = 0, on a donc ∇μ (λ k μ ) ≡ 0 : cela équivaut à (voir exercice page 53) 

 1

∂μ |g| λ k μ = 0 , |g| avec, d’après l’expression de la métrique, |g| = | det(g)| = r4 sin2 θ. On a donc 1 ∂t (r2 sin θ λ k t ) + ∂r (r2 sin θ λ k r ) = 0 , c ou encore, ∂r (r2 λ k r ) = 0. Ainsi, avec k r = 1, on trouve λ = A/r2 , avec A une constante et T=

A k⊗ k. r2

˜ r = Γr /c2 , en coordonnées {ct, r, θ, ϕ}. 4. avec Γ tt tt

Chapitre 7 – Champs et matière

259

2(b) – Soit un quadri-vecteur unitaire n orthogonal à la surface élémentaire dS, et u ˜ 0 la quadri-vitesse normalisée de l’observateur statique. La surface dS étant dans l’espace local de repos, le quadri-vecteur n appartient aussi à cet espace : autrement dit, n · u ˜ 0 = 0. Par ailleurs, par définition du tenseur énergie-impulsion, le vecteur densité (volumique) d’impulsion traversant dS s’écrit 1 u0 , n) n. jp = − T(˜ c La quantité d’énergie électromagnétique traversant dS pendant un intervalle de temps de propre dτ est donc u0 , n) dS dτ. d2 E = c × (jp · n) × (c dτ dS) = −c T(˜ On obtient ainsi

d2 E cA = − 2 (k · u ˜ 0 ) (k · n) dS. dτ r

2(c) – Le quadri-vecteur unitaire n orthogonal à la surface élémentaire dS est, dans notre cas, proportionnel au vecteur de la base naturelle ∂r . En normalisant ce dernier, on obtient donc n = (1 − rs /r)1/2 ∂r . Par ailleurs, d’après la métrique (avec dt = dr = 0), la surface élémentaire est quant à elle : dS = r2 sin θ dθ dϕ. La luminosité de l’étoile s’écrit donc   2 d E cA = − 2 (k · u ˜0 ) (k · n) r2 sin θ dθ dϕ , L= dτ r Σ Σ avec u ˜0 = u0 /c, et

1 k·u ˜0 = gtt k t u ˜t = −

, 1 − rs /r 1 . k · n = grr k r nr =

1 − rs /r

Conclusion, la luminosité de l’étoile mesurée par un observateur statique à une coordonnée r est L0 4π c A = . L= 1 − rs /r 1 − rs /r La luminosité maximale est atteinte sur la surface de l’étoile en r = Re , c’est-à-dire, Lmax =

L0 . 1 − rs /Re

Remarquons que Re > rs , sinon l’étoile serait un trou noir et sa luminosité intrinsèque serait nulle.

260

Relativité générale et astrophysique

[MD]  EXERCICE 7.7 Nuage de poussière – On considère un nuage de poussière, situé au voisinage d’un objet compact de type trou noir, que l’on modélise comme un gaz parfait dont la pression est négligeable. 1 – Rappeler l’expression du tenseur énergie-impulsion d’un tel gaz en fonction de la quadri-vitesse normalisée u d’une particule de fluide, et de sa masse volumique propre ρ. En déduire l’équation de continuité relativiste : ∇μ (ρ uμ ) = 0, et montrer que chaque particule suit une géodésique. 2 – On suppose, à présent, que les particules du nuage de poussière sont chargées. Montrer que les particules du fluide ont pour équation du mouvement ρ uν ∇ν uμ = ρc F μν uν , avec ρc la densité volumique propre de charge, et F μν les composantes mixtes du tenseur champ électromagnétique. 3 – En décomposant les composantes contravariantes du tenseur énergie-impulsion μν μν , avec Tem , les composantes du nuage de poussière sous la forme T μν = Tpμν + Tem du tenseur énergie-impulsion associé au champ électromagnétique, montrer que μν ∇μ Tpμν = −∇μ Tem = ρc F νμ uμ .

 SOLUTION 1 – Pour un fluide parfait dont la pression est négligeable, les composantes contravariantes du tenseur énergie-impulsion s’écrivent T μν = ρ uμ uν . L’équation du mouvement se traduit par ∇μ T μν = 0, c’est-à-dire ∇μ (ρ uμ uν ) = ∇μ (ρ uμ ) uν + ρ uμ ∇μ uν = 0 . Comme uν uν = c2 , la contraction avec uν donne alors c2 ∇μ (ρ uμ ) + ρ uμ uν ∇μ uν = 0 , où l’on a la relation uν ∇μ uν = 0. En effet, ∇μ (uν uν ) = 0 ,

Chapitre 7 – Champs et matière

261

équivaut à (∇μ uν ) uν = −(∇μ uν ) uν , c’est-à-dire, gλν (∇μ uλ ) uν = −gλν (∇μ uν ) uλ , qui est une relation symétrique par rapport aux indices ν et λ, puisque le tenseur métrique est symétrique. On en déduit l’équation de continuité relativiste : ∇μ (ρ uμ ) = 0. L’équation du mouvement, ∇μ T μν = 0, devient alors uμ ∇μ uν = 0, qui est l’équation d’une géodésique suivie par une particule du fluide. 2 – Par définition, la force électromagnétique qui agit sur une particule de fluide de masse m, de charge q et de quadri-vitesse uμ , est égale à q F μν uν . On écrit donc m

Duμ = q F μν uν . dτ

En posant m = ρ dV , et q = ρc dV , avec dV le volume spatial infinitésimal de la particule de fluide, et comme Duμ /dτ = uν ∇ν uμ , on obtient ρ uν ∇ν uμ = ρc F μν uν . 3 – L’équation du mouvement s’écrit encore ∇μ T μν = 0, autrement dit μν ∇μ Tpμν = −∇μ Tem . Or, d’après la première question, nous avons trouvé que μν μ ∇μ Tp = ρ u ∇μ uν . En inversant les indices μ et ν, on a bien ∇μ Tpμν = ρc F νμ uμ .

[MD]  EXERCICE 7.8

Transformation de jauge – On considère un espace-temps muni d’un système de coordonnées {xμ }μ∈0,3 , où x0 est la coordonnée temporelle. On note F, le tenseur champ électromagnétique. 1 – Montrer que l’on peut réécrire l’équation de Maxwell ∂λ Fμν + ∂ν Fλμ + ∂μ Fνλ = 0 , de la façon suivante : ∇[λ Fμν] = 0. 2 – Soit A, le 4-potentiel vecteur. Montrer que l’équation de Maxwell précédente, ainsi que l’équation ∇μ F μν = μ0 j ν , avec les composantes contravariantes j μ du quadri-vecteur courant j, restent invariantes sous la transformation de jauge suivante : Aμ = Aμ + ∂μ ψ , avec ψ, un champ scalaire.

262

Relativité générale et astrophysique

 SOLUTION 1 – On développe ∇[λ Fμν] pour obtenir 1 (∇λ Fμν + ∇ν Fλμ + ∇μ Fνλ − ∇λ Fνμ − ∇ν Fμλ − ∇μ Fλν ) 6  1 ∇λ (Fμν − Fνμ ) + ∇ν (Fλμ − Fμλ ) + ∇μ (Fνλ − Fλν ) , = 6

∇[λ Fμν] =

ce qui implique, avec Fμν = −Fνμ , ∇[λ Fμν] =

1 (∇λ Fμν + ∇ν Fλμ + ∇μ Fνλ ) . 3

De plus, par symétrie des coefficients de la connexion (torsion nulle), ∇λ Fμν + ∇ν Fλμ + ∇μ Fνλ = ∂λ Fμν + ∂ν Fλμ + ∂μ Fνλ . Une autre écriture de l’équation de Maxwell est donc ∇[λ Fμν] = 0. 2 – Les composantes covariantes du tenseur de Maxwell deviennent  Fμν = ∇μ Aν − ∇ν Aμ

= ∂μ Aν − ∂ν Aμ = ∂μ Aν − ∂ν Aμ + ∂μ (∂ν ψ) − ∂ν (∂μ ψ) , ce qui donne, avec ∂μ (∂ν ψ) = ∂ν (∂μ ψ),  Fμν = ∂μ Aν − ∂ν Aμ = Fμν .

On a ainsi une invariance de l’équation de Maxwell par cette transformation de jauge,  c’est-à-dire, ∇[λ Fμν] = 0. De la même façon, on écrit μ0 jν = g μσ (∇μ ∇σ Aν − ∇μ ∇ν Aσ ) = g μσ ∇μ [∂σ Aν − ∂ν Aσ + ∂σ (∂ν ψ) − ∂ν (∂σ ψ)] = g μσ (∇μ ∇σ Aν − ∇μ ∇ν Aσ ) , puisque ∂μ (∂σ (∂ν ψ)) = ∂μ (∂ν (∂σ ψ)). On obtient donc j ν = j ν , et ∇μ F μν = μ0 j ν .

Chapitre 7 – Champs et matière

263

[D]  EXERCICE 7.9 Equations de Tolman-Oppenheimer-Volkoff – On recherche une solution statique, à symétrie sphérique, des équations d’Einstein à l’intérieur d’un fluide parfait. Cette solution permettra de décrire, par exemple, l’espace-temps à l’intérieur d’une étoile de forte densité comme une naine blanche ou une étoile à neutrons. On admet que la métrique associée à cette solution, dans un système de coordonnées {t, r, θ, ϕ} semblables à des coordonnées sphériques, peut s’exprimer de la façon suivante : ds2 = A(r) dt2 − B(r) dr2 − r2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ) , avec A et B deux fonctions arbitraires positives et de classe C k , k  2. 1 – On rappelle que le tenseur énergie-impulsion T, associé à un fluide parfait, est de la forme  p T = ρ+ 2 u⊗u −pg, c avec les deux grandeurs ρ, la masse volumique du fluide, et p, sa pression isotrope, mesurées par un observateur ayant une quadri-vitesse égale à celle d’une particule de fluide, c’est-à-dire égale à u. Enfin, on note g, le tenseur métrique. Quelles sont les composantes covariantes de la quadri-vitesse u ? Déterminer les composantes Tμν du tenseur T, dans le système de coordonnées {t, r, θ, ϕ}. 2 – Déterminer les composantes covariantes Rμν du tenseur de Ricci de deux façons différentes, en utilisant l’équation d’Einstein, puis à l’aide du tenseur métrique. En déduire le système d’équations différentielles vérifié par les fonctions A et B. 3 – Montrer que la fonction B peut alors se mettre sous la forme  B(r) =

1−

2 G m(r) c2 r

−1 ,

avec m, une fonction que l’on explicitera et qui est telle que dm(r) = 4π r2 ρ(r). dr

(7.3)

Que vaut m dans le cas d’une solution de Schwarzschild dans le vide ? 4 – A l’aide de l’équation du mouvement ∇μ T μν = 0, déterminer l’équation différentielle vérifiée par la fonction A. En déduire que G dp = − 2 2 (ρ c2 + p) dr c r



 −1 4π r3 2 G m(r) p + m(r) 1− . c2 c2 r

(7.4)

264

Relativité générale et astrophysique

5 – On modélise l’intérieur d’une étoile ultra-dense de masse M , composée de quarks, par une densité ρ, qui reste constante et égale à ρ0 pour r < R, avec R le rayon de l’étoile. (a) Résoudre les équations (7.3) et (7.4). Exprimer la pression au centre de l’étoile en fonction de ρ0 et de R, et en déduire une condition sur R suivant ρ0 . Montrer que la condition sur le rapport M/R pour qu’il n’y ait pas de singularité est indépendante de ρ0 . (b) Déterminer les fonctions A et B en supposant qu’en r = R, on retrouve la métrique de Schwarzschild.  SOLUTION 1 – La solution recherchée étant statique (et à symétrie sphérique), la quadri-vitesse du fluide a des composantes spatiales nulles dans la base naturelle ; autrement dit, elle est colinéaire au vecteur de Killing ∂t . Comme uμ uμ = c2 , on trouve finalement g tt ut ut = c2 , c’est-à-dire √ [uμ ] = c A (1, 0, 0, 0). On déduit aisément les composantes du tenseur énergie-impulsion. Seules les composantes diagonales sont non nulles : Ttt = ρ c2 A ,

Trr = p B ,

Tθθ = p r2 ,

Tϕϕ = p r2 sin2 θ .

2 – L’équation d’Einstein s’écrit Rμν

8π G =− 4 c

  1 σ Tμν − Tσ gμν , 2

 p avec Tσσ = ρ + 2 c2 − p δμμ = ρ c2 − 3p. On obtient donc c   p 8π G  1 2 ρ + 2 uμ uν − (ρ c − p) gμν , Rμν = − 4 c c 2 et les seules composantes non nulles sont les composantes diagonales : 4π G c4 4π G =− 4 c 4π G =− 4 c 4π G =− 4 c

Rtt = −

(ρ c2 + 3p) A ,

Rrr

(ρ c2 − p) B ,

Rθθ Rϕϕ

(ρ c2 − p) r2 , (ρ c2 − p) r2 sin2 θ .

(7.5)

Chapitre 7 – Champs et matière

265

Par ailleurs, ces mêmes composantes s’obtiennent à partir du tenseur métrique via les deux relations suivantes : 1 il g (∂k gjl + ∂j glk − ∂l gkj ) , 2 = ∂b Γcac − ∂c Γcab + Γeac Γceb − Γeab Γcec .

Γikj = Rab

On trouve donc successivement A , 2A r =− , B

Γttr = Γrθθ

A , 2B r sin2 θ , =− B 1 = , r

Γrtt = Γrϕϕ

Γθϕϕ = − sin θ cos θ ,

Γϕrϕ

B , 2B 1 = , r

Γrrr = Γθrθ

Γϕθϕ = cot θ ,

et le système d’équations différentielles suivant :    A B A A A + + , Rtt = − − 2B 4B A B rB   A A B A B Rrr = − + , − 2A 4A A B rB    r B A 1 −1+ − Rθθ = , B 2B A B Rϕϕ = Rθθ sin2 θ .

(7.6)

L’égalité des systèmes d’équations (7.5) et (7.6) donne le système d’équations différentielles vérifié par les fonctions A et B. 3 – Le système d’équations (7.5) conduit facilement à la relation Rrr 2Rθθ Rtt 16π G ρ + + 2 =− . A B r c2 En substituant, dans cette relation, les expressions de Rtt , Rrr et Rθθ obtenues dans le système (7.6), on trouve 1− c’est-à-dire

r B 8π G ρ r2 1 + 2 = , B B c2

   d 1 8π G ρ r2 . r 1− = dr B c2

En intégrant, comme la fonction B ne s’annule pas en r = 0, on obtient finalement −1   8π G r ρ(˜ r ) r˜2 d˜ r , B(r) = 1 − 2 c r 0

266

Relativité générale et astrophysique

ce qui peut se réécrire  B(r) =

2 G m(r) 1− c2 r

−1 ,

avec m, une fonction qui est telle que dm(r) = 4π r2 ρ(r). dr Remarque : La valeur m(r) ne doit pas être confondue avec la masse contenue à l’intérieur d’une sphère de rayon r qui s’écrit  r

Mint (r) = 4π ρ(˜ r ) B(˜ r ) r˜2 d˜ r, 0

l’élément de volume spatial infinitésimal étant d3 V =

√ 2 B r sin θ dr dθ dϕ .

Si l’on considère une solution de Schwarzschild dans le vide, la condition ρ = 0 implique que m(r) = constante = M , avec M la masse de la singularité centrale. 4 – D’après l’expression obtenue pour T μν , l’équation de conservation ∇μ T μν = 0 se réécrit     1 p p

∂μ |g| ρ + 2 uμ uν + ρ + 2 Γνσμ uμ uν − g μν ∂μ p = 0 . c c |g| Comme la seule composante non nulle de la quadri-vitesse est ut , et que Γνtt = −(1/2) g μν ∂μ A d’après la métrique, on trouve ρ c2 + p μν g ∂μ A + g μν ∂μ p = 0 , 2A ou encore ρ c2 + p ∂σ A + ∂σ p = 0 . 2A Comme la fonction A ne dépend que de r, on déduit qu’il en est de même pour p, et on a A 2 p =− 2 , A ρ c + p avec p = dp/dr. Par ailleurs, les systèmes d’équations différentielles obtenus précédemment nous conduisent à l’égalité    r A B 1 4π G r2 −1+ − (ρ c2 − p) , =− B 2B A B c4 ce qui donne, en utilisant les expressions de A et B,   −1 G 4π r3 2 G m(r) dp = − 2 2 (ρ c2 + p) p + m(r) 1 − . dr c r c2 c2 r

Chapitre 7 – Champs et matière

267

5(a) – Avec ρ = ρ0 , l’équation différentielle vérifiée par m peut s’intégrer facilement :  (4/3)π ρ0 r3 , si r  R, m(r) = (4/3)π ρ0 R3 , si r > R. On peut alors remplacer m(r) dans l’équation différentielle vérifiée par p pour obtenir 4π G r dp =− (ρ0 c2 + p) (ρ0 c2 + 3p) dr 3 c4

 −1 8π G ρ0 r2 1− , 3c2

qui est une équation à variables séparables p et r, que l’on peut donc intégrer ; en posant p(0) = p0 , on a    p(r) (ρ0 c2 + 3p)(ρ0 c2 + p0 ) 1 d˜ p = ln (ρ0 c2 + p˜) (ρ0 c2 + 3˜ p) 2ρ0 c2 (ρ0 c2 + 3p0 )(ρ0 c2 + p) p0 et

 0

r

  3c2 r˜ d˜ r 8π G ρ0 r2 = − ln 1 − . 1 − 8π G ρ0 r˜2 /(3 c2 ) 16π G ρ0 3 c2

Conclusion, on trouve simplement ρ0 c2 + 3p0 ρ0 c2 + 3p = 2 ρ0 c + p ρ0 c 2 + p 0

 1−

8π G ρ0 r2 3 c2

1/2 .

A la surface de l’étoile, en r = R, la pression p s’annule et l’expression précédente donne  1/2 ρ0 c2 + 3p0 8π G ρ0 R2 = 1, 1 − ρ0 c 2 + p 0 3 c2 c’est-à-dire

1 − 1 − rs /R p 0 = ρ0 c

, 3 1 − rs /R − 1 2

où l’on a fait apparaître le rayon de Schwarzschild, rs = 2G M/c2 , avec M = (4/3)π ρ0 R3 . Comme p0 > 0, cette dernière expression fournit une condition sur R qui est

3 1 − rs /R − 1 > 0 , c’est-à-dire 5

R< √

c . 3π G ρ0

Remarque : En substituant R par son expression en fonction de M , la condition sur M s’écrit 4 c3 M
0, donc R > rs est moins forte puisqu’elle aboutit à R
9 G M/(4 c2 ) > rs . 5(b) – Les conditions pour avoir une métrique de Schwarzschild en r = R sont les suivantes :  rs  A(R) = c2 1 − , R   rs −1 B(R) = 1 − . R Les équations différentielles vérifiées par A et B conduisent à   1/2 2  c2 rs 1/2 rs r2 A(r) = 3 1− − 1− 3 , 4 R R  −1 rs r2 B(r) = 1 − 3 . R Références bibliographiques : [17], [19], [8], [5].

[D]  EXERCICE 7.10 Cet exercice nécessite d’avoir fait les exercices des pages 74, 80 et 162. Il introduit les équations de Arnowitt, Deser et Misner : celles-ci expriment une formulation de l’équation d’Einstein en formalisme 3+1 qui se révèle très utile en relativité générale numérique (voir par exemple la référence [28]). Equations de Arnowitt, Deser et Misner – Suivant le formalisme 3+1, on munit l’espace-temps E, orientable, d’une métrique de la forme ds2 = −α2 dt2 + γij (dxi + β i dt) (dxj + β j dt) , avec (i, j) ∈ {1, 2, 3}2, dans laquelle les composantes γij correspondent au tenseur de la métrique γ induite sur les hypersurfaces Σt telles que E = ∪t∈R Σt . On rappelle que β = [β μ ], appelé vecteur shift, est un vecteur tangent à Σt , et α est la fonction lapse. On notera n = [nμ ] un vecteur unitaire de genre temps orthogonal à Σt , et g = [gμν ], le tenseur métrique de E que l’on supposera non vide. Les coordonnées entre crochets sont relatives à la base naturelle {∂t , ∂i }i∈1,3 ou à sa base duale {∂ t , ∂ i }i∈1,3 . On prendra c = 1.

Chapitre 7 – Champs et matière

269

1 – (a) Exprimer la densité d’énergie ε mesurée par un FIDO en fonction des composantes Tμν du tenseur énergie-impulsion T. (b) En introduisant une tétrade liée au FIDO, montrer que les composantes covariantes jμ et Sμν relatives à la base naturelle, respectivement du vecteur densité d’impulsion jp et du tenseur des contraintes S, s’écrivent jμ = −Tαβ nα γ βμ , Sμν = Tαβ γ αμ γ βν . (c) En déduire que le tenseur T peut s’écrire T = S + n ⊗ jp + jp ⊗ n + ε n ⊗ n , avec n = [nμ ] et jp = [jμ ], et que sa trace T est égale à S − ε, en notant S la trace de S. 2 – (a) A partir de l’équation d’Einstein et de l’équation scalaire de Gauss (établie dans l’exercice page 80) qui est ˜ + K 2 − Kij K ij , R + 2Rμν nμ nν = R montrer l’équation dite de contrainte hamiltonienne, ˜ + K 2 − Kij K ij = 16π ε. R (b) A partir de l’équation d’Einstein et de l’équation contractée de Codazzi (établie dans l’exercice page 80) qui est γ μα nν Rμν = Dα K − Dμ K μα , montrer l’équation dite de contrainte impulsionnelle, Dj K ji − Di K = 8π ji , avec i ∈ 1, 3.  = α n, 3 – On rappelle que l’on peut définir un vecteur m,  tel que m  = ∂t − β μ de composantes contravariantes m , et un vecteur a = ∇nn, de composantes covariantes aμ telles que Kμν = −∇ν nμ − aμ nν , où l’on identifie le tenseur K à son extension K (voir exercice page 74). (a) Montrer que ∇ν mμ = −α K μν − nν Dμ α + nμ ∇ν α. En déduire que la dérivée de Lie Lm  K a pour composantes covariantes σ σ σ σ Lm  Kμν = α n ∇σ Kμν − 2α Kμσ K ν − Kμσ nν D α − Kνσ nμ D α.

270

Relativité générale et astrophysique

(b) Montrer que la dérivée de Lie du tenseur γ = [γ μν ] suivant m  est nulle. En déduire que Lm  K est tangent à Σt , et que σ β λ σ Lm  Kμν = α γ μ γ ν n ∇λ Kσβ − 2α Kμσ K ν .

(c) En projetant l’identité de Ricci appliquée au vecteur n, montrer l’équation de Ricci qui est σ γμσ nλ γ βν nρ Rσλβρ = α−1 (Lm  Kμν + Dμ Dν α) + Kμσ K ν .

En déduire que σ γ σμ γ βν Rσβ = −α−1 (Lm  Kμν + Dμ Dν α) + Rμν + K Kμν − 2Kμσ K ν .

(7.7)

4 – A partir de l’équation d’Einstein et de l’équation (7.7), montrer que    σ Lm  Kμν = −Dμ Dν α + α Rμν + K Kμν − 2Kμσ K ν + 4π (S − E) γμν − 2 Sμν .

 SOLUTION 1(a) – Par définition, un FIDO est un observateur dont la quadri-vitesse propre normalisée est égale à n, et la densité d’énergie qu’il mesure est telle que ε = T(n, n) = Tμν nμ nν . 1(b) – Par définition, le vecteur densité d’impulsion mesuré par un FIDO se décompose dans une tétrade orthonormée {n, e(i) }i∈1,3 liée à cet observateur de la façon suivante : jp = −T(n, e(i) ) e(i) . Ce dernier est tangent à Σt et n’a pas de composantes suivant ∂t dans la base naturelle. Les coordonnées covariantes du vecteur jp seront donc jμ = gμλ j λ = −gμλ Tαβ nα eβ(i) eλ(i) . Rappelons que les composantes mixtes du tenseur γ, étendu à l’espace vectoriel tangent à E en un point M et identifié au projecteur sur l’espace vectoriel tangent à Σt parallèlement à Vect(n), s’écrivent γ μν = δνμ + nμ nν . Ainsi, gμλ eβ(i) eλ(i) = eβ(i) e(i)μ = γ βμ . En effet, pour tout vecteur x = [xμ ], on a : eβ(i) e(i)μ xμ = g(e(i) , x) eβ(i) , avec g(e(i) , x), les coordonnées covariantes de x dans la base {e(i) }i∈1,3 qui est une base orthonormée

Chapitre 7 – Champs et matière

271

de l’espace vectoriel TM (Σt ) tangent à Σt au point M où se trouve le FIDO. Dans cette base, les coordonnées covariantes et contravariantes de x sont égales, ce qui implique que les g(e(i) , x) eβ(i) correspondent bien aux coordonnées du projeté de x dans la base naturelle (ici la coordonnée selon ∂β ). Autrement dit, on obtient bien jμ = −Tαβ nα γ βμ . Quant aux composantes du tenseur des contraintes, elles sont, par définition, telles que Sij = T(e(i) , e(j) ) , lorsque (i, j) ∈ 1, 32 , et Sμν = 0, si μ = 0 ou ν = 0. On peut alors écrire β Sij = Tαβ eα (i) e(j) ,

mais ces coordonnées sont relatives à la base {e(i) ⊗ e(j) } duale de la base {e(i) ⊗e(j) }. Dans la base {∂ μ ⊗ ∂ ν }, on a donc β (i) (j) Sμν = Tαβ eα (i) e(j) eμ eν .

Or, la base {e(i) }i∈1,3 étant orthonormée et puisque les vecteurs de cette tétrade (i) n’ont pas de composantes suivant ∂t , pour tout (i, μ) ∈ 1, 32 , eμ = e(i)μ (voir (i)

(j)

β α β l’exercice page 67). On en déduit eα (i) eμ = γ μ et e(j) eν = γ ν . Conclusion,

Sμν = Tαβ γ αμ γ βν . 1(c) – En remplaçant les γ μν par δνμ + nμ nν dans l’expression de Sμν , on obtient Sμν = Tαβ (δμα + nα nμ ) (δνβ + nβ nν ) = Tαβ δμα δνβ + Tαβ δμα nβ nν + Tαβ δνβ nα nμ + Tαβ nα nμ nβ nν , avec les différents termes qui sont tels que Tαβ δμα δνβ = Tμν , Tαβ nα nμ nβ nν = ε nμ nν , Tαβ δνβ nα nμ = Tαβ nα (γ βν − nβ nν ) nμ = −nμ jν − ε nμ nν , Tαβ δμα nβ nν = Tαβ nβ (γ αμ − nα nμ ) nν = −jμ nν − ε nμ nν , où la dernière égalité est justifiée par le fait que le tenseur T est symétrique. Conclusion, on en déduit Tμν = Sμν + nμ jν + jμ nν + ε nμ nν ,

272

Relativité générale et astrophysique

c’est-à-dire T = S + n ⊗ jp + jp ⊗ n + ε n ⊗ n . Enfin, la trace T est telle que T = T μμ = S μμ + 2 nμ jμ + ε nμ nμ , avec S μμ = S, la trace de S, nμ jμ = 0 puisque n et jp sont orthogonaux, et nμ nμ = −1 par définition. On a donc bien : T = S − ε. 2(a) – L’équation d’Einstein peut s’écrire R−

1 R g = 8π T , 2

avec c = G = 1. En appliquant cette égalité de formes bilinéaires au couple (n, n), c’est-à-dire en projetant orthogonalement l’équation d’Einstein sur Vect(n), on obtient Rμν nμ nν −

1 R gμν nμ nν = 8π Tμν nμ nν , 2

avec gμν nμ nν = −1 et Tμν nμ nν = ε. Cela se réécrit R + 2 Rμν nμ nν = 16π ε , ce qui, avec l’équation scalaire de Gauss, implique ˜ + K 2 − Kij K ij = 16π ε. R

(7.8)

2(b) – Cette fois-ci, l’équation d’Einstein peut être appliquée au couple (n, γ ), en définissant γ = [γ μα ], ce qui se traduit par deux projections orthogonales, l’une sur Vect(n) et l’autre sur TM (Σt ). On a alors Rμν nμ γ να −

1 R gμν nμ γ να = 8π Tμν nμ γ να , 2

avec Rμν nμ γ να = Dα K − Dμ K μα d’après l’équation contractée de Codazzi, gμν nμ γ να = 0 puisque γ est tangent à Σt , et Tμν nμ γ να = −jα . Le vecteur jp étant lui aussi tangent à Σt , on a donc bien Dj K ji − Di K = 8π ji ,

(7.9)

avec i ∈ 1, 3. 3(a) – Soit m = α n = [mμ ], alors ∇ν mμ = α ∇ν nμ + nμ ∇ν α = −α Kμν − α aμ nν + nμ ∇ν α , et comme (voir exercice page 162) aμ = α−1 (∇μ α + nμ nν ∇ν α) = α−1 Dμ α = Dμ ln α,

(7.10)

Chapitre 7 – Champs et matière

273

on trouve ∇ν mμ = −α Kμν − nν Dμ α + nμ ∇ν α , ou encore ∇ν mμ = −α K μν − nν Dμ α + nμ ∇ν α. Par définition, les composantes de la dérivée de Lie de K suivant le vecteur m  s’écrivent σ σ σ Lm  Kμν = m ∇σ Kμν + Kσν ∇μ m + Kμσ ∇ν m = α nσ ∇σ Kμν − 2α Kμσ K σν − Kμσ nν Dσ α

− Kνσ nμ Dσ α + Kσν nσ ∇μ α + Kμσ nσ ∇ν α , où l’on a remplacé les ∇ν mμ par leur expression, mσ par α nσ , et utilisé la symétrie du tenseur K. Enfin, comme K est un tenseur tangent, on a Kσν nσ = Kμσ nσ = 0 , ce qui implique la relation σ σ σ σ Lm  Kμν = α n ∇σ Kμν − 2α Kμσ K ν − Kμσ nν D α − Kνσ nμ D α.

(7.11)

3(b) – Exprimons les composantes mixtes de la dérivée de Lie du tenseur γ suivant le vecteur m  : μ σ μ σ μ μ σ Lm  γ ν = m ∇σ γ ν − γ ν ∇σ m + γ σ ∇ν m = α nσ ∇σ (nμ nν ) + γ σν (α K μσ + nσ Dμ α − nμ ∇σ α)

−

γ μσ

(α K σν

(7.12)

+ nν D α − n ∇ν α) , σ

σ

en remplaçant les termes de la forme ∇σ mμ par leurs expressions, et le premier ∇σ γ μν par ∇σ (δνμ + nμ nν ) c’est-à-dire ∇σ (nμ nν ). En développant, nσ ∇σ (nμ nν ) = (nσ ∇σ nμ ) nν + nμ (nσ ∇σ nν ) = α−1 (nν Dμ α + nμ Dν α), puisque aμ = nσ ∇σ nμ , et

γ σν K μσ = K μν , γ μσ K σν = K μν , γ σν nσ Dμ α = 0 , γ σν nμ ∇σ α = nμ Dν α , γ μσ nν Dσ α = nν Dμ α , γ μσ nσ ∇ν α = 0.

μ En injectant ces termes dans la relation (7.12), on trouve bien : Lm  γ ν = 0. Puisque μ μ β σ K est un vecteur tangent, K ν = γ σ γ ν K β . Cela implique μ μ β σ Lm  K ν = Lm  (γ σ γ ν K β ) μ β σ μ β σ μ β σ = (Lm  γ σ ) γ ν K β + γ σ (Lm  γ ν ) K β + γ σ γ ν (Lm  K β) σ = γ μσ γ βν (Lm  K β ).

274

Relativité générale et astrophysique

Ainsi, Lm  K est aussi un tenseur tangent à Σt . Remarque : Cette propriété importante est vraie pour tout tenseur tangent à Σt ; la dérivée de Lie d’un tel tenseur est elle aussi tangente à Σt . La relation (7.13) projetée sur Σt ne change pas et donne donc σ β λ λ λ λ Lm  Kμν = γ μ γ ν (α n ∇λ Kσβ − 2α Kσλ K β − Kσλ nβ D α − Kβλ nσ D α)

= α γ σμ γ βν nλ ∇λ Kσβ − 2α Kμσ K σν .

(7.13)

3(c) – En projetant orthogonalement une fois sur Vect(n) et deux fois sur TM (Σt ) l’identité de Ricci que l’on applique au vecteur n, on a γμσ nλ γ βν (∇β ∇λ nσ − ∇λ ∇β nσ ) = γμσ nλ γ βν Rσρβλ nρ , ce qui donne

γμσ nλ γ βν Rσρβλ nρ = γμσ nλ γ βν ∇λ (K σβ + nβ Dσ ln α) − ∇β (K σλ + nλ Dσ ln α) , puisque l’on a ∇λ nσ = −K σλ − nλ aσ = −K σλ − nλ Dσ ln α . Ainsi, en développant et grâce aux relations nλ nλ = −1 , nλ ∇β nλ = 0 , nλ ∇λ nβ = Dβ ln α , γ βν nβ = 0 , ∇ν (K μσ nσ ) = nσ ∇ν K μσ + K μσ ∇ν nσ = 0 , on obtient   γμσ nλ γ βν Rσρβλ nρ = γμσ γ βν K σλ ∇β nλ + ∇β Dσ ln α + nλ ∇λ K σβ + Dβ ln α Dσ ln α = −Kμλ K λν + α−1 Dν Dμ α + γ σμ γ βν nλ ∇λ Kσβ . La relation (7.13) permet de remplacer le terme γ σμ γ βν nλ ∇λ Kσβ , et donne l’équation de Ricci σ γμσ nλ γ βν nρ Rσλβρ = α−1 (Lm  Kμν + Dμ Dν α) + Kμσ K ν . L’équation contracté de Gauss (équation (2.12)) donne facilement σ γ σμ γ βν Rσβ = −α−1 (Lm  Kμν + Dμ Dν α) + Rμν + K Kμν − 2Kμσ K ν .

4 – L’équation d’Einstein peut se mettre sous la forme   1 R = 8π T − T g . 2

Chapitre 7 – Champs et matière

275

La projection orthogonale complète de cette équation sur TM (Σt ) s’écrit   1 γ σμ γ βν Rσβ = 8π γ σμ γ βν T σβ − T γ σμ γ βν gμν , 2 ce qui, avec les relations γ σμ γ βν T σβ = Sμν , γ σμ γ βν gμν = γμν , T = S −ε, et l’équation (7.7), conduit à    σ Lm  Kμν = −Dμ Dν α + α Rμν + K Kμν − 2Kμσ K ν + 4π (S − E) γμν − 2 Sμν . Cette dernière relation, ainsi que les équations (7.8) et (7.9), constituent les équations de Arnowitt, Deser et Misner (ou, plus simplement, équations ADM). Références bibliographiques : [20], [17], [28].

[D]  EXERCICE 7.11 Cet exercice nécessite d’avoir fait les exercices des pages 74, 162 et 268. Le lecteur pourra se reporter avec profit aux publications de Thorne et al. (1982), et de Gourgoulhon (2012) (voir la bibliographie). Formalisme 3+1 et champ électromagnétique – On reprend toutes les notations de l’exercice précédent (voir page 268), en munissant l’espace-temps E, orientable, d’une métrique de la forme ds2 = −α2 dt2 + γij (dxi + β i dt) (dxj + β j dt) , avec (i, j) ∈ {1, 2, 3}2. Dans cet exercice, on prendra c = 1 et l’on choisira le système des unités gaussiennes (CGS) pour les équations de l’électromagnétisme. Un observateur eulérien (ou FIDO) mesure une densité de charge électrique ρe ,  = [E i ], un vecteur densité volumique de courant J = [J i ], un champ électrique E i  un champ magnétique B = [B ], un potentiel scalaire φ et un potentiel vecteur  = [Ai ], les coordonnées entre crochets étant relatives à la base naturelle et A i ∈ {1, 2, 3}. On notera E = [0, E i ], B = [0, B i ], J = [0, J i ], et A = [0, Ai ] les  B,  J et A.  On rappelle que les extensions quadri-dimensionnelles des vecteurs E, équations de Maxwell et l’équation de conservation de la charge s’écrivent, sous forme covariante, ∇ν F μν = 4π jeμ , ∇ν  F μν = 0 , ∇μ jeμ = 0 ,

(7.14) (7.15) (7.16)

276

Relativité générale et astrophysique

avec je = [jeμ ], le quadri-vecteur courant électrique, F = [F μν ], le tenseur champ électromagnétique et F = [F μν ], son dual de Hodge. 1 – Rappeler la relation entre les composantes de F, et celles de E, B et n. Quel est ˜ le quadri-potentiel électromagnétique ? le lien entre J, je et ρe , et entre A, φ et A, 2 – Pour tout 3-vecteur v = [v i ] tangent à Σt , on définit la divergence et le rotationnel par

 · v = 1 ∂i ( |γ| v i ) , ∇ |γ|

 × v )i = ijk ∂j vk , (∇

avec |γ|, la valeur absolue du déterminant du tenseur métrique tridimensionnel

γ, et ijk , les composantes du tenseur spatial de Levi-Civita tel que 123 = 1/ |γ|. Le produit vectoriel est quant à lui tel que, pour tout vecteur w  = [wi ], (w  × v )i = ijk wj vk . (a) Montrer que la projection orthogonale sur Vect(n) de l’équation (7.14) conduit à l’équation  ·E  = 4π ρe . ∇ (b) Montrer les relations suivantes : μ μ μ ν ∇ν (nμ E ν − nν E μ ) = −α−1 Lm  E + K E + n Dν E ,

∇ν (

μνλσ

−1 νμλσ

n λ Bσ ) = α



nν Dλ (α Bσ ) ,

Lm  γμν = −2α Kμν ,

1 ∂ |γ| i α K = Di β −

, |γ| ∂t avec m  = α n et K, la trace du tenseur de courbure extrinsèque. (c) En déduire l’équation de Maxwell-Ampère : 

i  × (α B  − β × E)  ∇

= 4π α jei + √1 ∂t ( |γ| E i ) , |γ|

3 – On rappelle que le tenseur F, dual de Hodge de F, est tel que F μν =

1 αμ βν g g αβλσ F λσ = −nμ B ν + nν B μ + λσμν nλ Eσ . 2

(a) Montrer que l’équation (7.15) s’écrit μ μ μ ν νμλσ Lm nν Dλ (α Eσ ) = 0 .  B − α K B − α n Dν B + 

(7.17) (7.18) (7.19) (7.20)

Chapitre 7 – Champs et matière

277

(b) En déduire les deux équations de Maxwell suivantes :  ·B  = 0, ∇  i

1  × (α E  + β × B)  ∇ = − ∂t ( |γ| B i ) . |γ| 4 – Montrer que l’équation locale de continuité de la charge devient

 · (α J) = − 1 ∂t ( |γ| ρe ). ∇ |γ|

(7.21)

 SOLUTION 1 – D’après ce que l’on a établi précédemment (voir l’exercice page 246), on a F μν = nμ E ν − nν E μ + μνλσ nλ Bσ , avec μνλσ , les coordonnées du tenseur de Levi-Civita généralisé (voir l’exercice page 44). Le quadri-vecteur J n’est rien d’autre que la projection orthogonale du quadri-vecteur je sur l’espace vectoriel TM (Σt ) tangent à Σt au point M où se trouve le FIDO : J μ = γ μν jeν = (δνμ + nμ nν ) jeν = jeμ + (nν jeν ) nμ , avec, par définition, nν jeν = n · je = −ρe . On peut donc écrire je = ρe n + J. De la même façon, le quadri-vecteur A est la projection orthogonale du quadri˜ sur TM (Σt ). Cette projection s’écrit vecteur A Aμ = γ μν A˜ν = A˜μ + (nν A˜ν ) nμ , ˜ = −φ. Ainsi, avec, par définition, nν A˜ν = n · A ˜ = φ n + A. A 2(a) – L’équation de Maxwell ∇ν F μν = 4π jeμ équivaut à ∇ν (nμ E ν − nν E μ + μνλσ nλ Bσ ) = 4π (ρe nμ + J μ ) , c’est-à-dire, comme ∇ = 0, nμ ∇ν E ν + (∇ν nμ ) E ν − nν ∇ν E μ − (∇ν nν ) E μ +μνλσ nλ ∇ν Bσ + μνλσ (∇ν nλ ) Bσ = 4π ρe nμ + 4π J μ .

(7.22)

278

Relativité générale et astrophysique

Le produit scalaire de cette équation avec n donne ∇ν E ν + nμ nν ∇ν E μ = 4π ρe ,

(7.23)

avec nμ nμ = −1, et étant données les relations suivantes : 1 ∇ν (nμ nμ ) = 0 , 2 nμ E μ = 0 , nμ J μ = 0 ,

nμ (∇ν nμ ) =

nμ μνλσ nλ = 0 , nμ μνλσ (∇ν nλ ) = 0 . Par ailleurs, en notant D la dérivation sur Σt , on a Dν E μ = γ αν γ μβ ∇α E β , ce qui, en égalant μ et ν, conduit à la divergence Dν E ν = ∇ν E ν + nβ nν ∇ν E β .

(7.24)

Ainsi, l’équation (7.23) se réécrit Dν E ν = Di E i = 4π ρe , c’est-à-dire, par définition,  ·E  = 4π ρe . ∇

(7.25)

On obtient donc l’équation de Maxwell-Gauss. 2(b) – Relation (7.17) : Développons tout d’abord le premier membre de l’égalité : ∇ν (nμ E ν − nν E μ ) = nμ ∇ν E ν + (∇ν nμ ) E ν − nν ∇ν E μ − (∇ν nν ) E μ , avec la relation (7.24), l’égalité ∇ν nν = −K, puisque K = −∇n, et enfin (∇ν nμ ) E ν − nν ∇ν E μ = −Ln E μ μ ν μ −1 = −α−1 Lm  E + E n α ∇ν α μ ν μ = −α−1 [Lm  E + E n ∇ν α] .

Autrement dit, μ μ ν −1 ν ∇ν (nμ E ν − nν E μ ) = −α−1 Lm E ∇ν α) nμ .  E + K E + (∇ν E − α

De plus, on a

∇ν E ν − α−1 E ν ∇ν α = ∇ν E ν − E ν ∇ν (ln α) ,

Chapitre 7 – Champs et matière

279

avec (voir la remarque page 165) ∇ν (ln α) = nβ ∇β nν , et, comme E et n sont orthogonaux, E ν nβ ∇β nν = −nν nβ ∇β E ν . Ainsi, la relation (7.24) conduit à ∇ν E ν − α−1 E ν ∇ν α = Dν E ν , et on montre bien que μ μ μ ν ∇ν (nμ E ν − nν E μ ) = −α−1 Lm  E + K E + n Dν E .

(7.26)

Relation (7.18) : L’équation (7.14) peut se décomposer en deux parties orthogonales : l’une colinéaire à n, qui nous a déjà donné l’équation (7.25), et l’autre appartenant à TM (Σt ) qui conduira à l’équation de Maxwell-Ampère. Grâce à la relation (7.26), on peut réécrire l’équation (7.22) qui devient μ μ μνλσ −α−1 Lm nλ ∇ν Bσ + μνλσ (∇ν nλ ) Bσ = 4π J μ , E +KE +

(7.27)

avec nμ Dν E ν = 4π ρe nμ . Simplifions les termes contenant le champ magnétique avec la relation (2.10) (voir exercice page 74) : ∇ν nλ = −(Dλ ln α) nν − Kνλ . Ceci implique μνλσ (∇ν nλ ) Bσ = −μνλσ (Dλ ln α) nν Bσ , puisque μνλσ Kνλ = 0, K étant un tenseur symétrique. Par ailleurs, la relation (2.11) permet d’écrire μνλσ nλ ∇ν Bσ = μνλσ nλ Dν Bσ = μλνσ nν Dλ Bσ = −μνλσ nν Dλ Bσ , puisque, toujours en raison de l’antisymétrie du tenseur , tous les termes dans lesquels les composantes de n apparaissent plusieurs fois s’annulent, et μνλσ = −μλνσ . On a donc montré finalement que ∇ν (μνλσ nλ Bσ ) = −μνλσ [(Dλ ln α) nν Bσ + nν Dλ Bσ ] = −α−1 μνλσ nν Dλ (α Bσ ) = α−1 νμλσ nν Dλ (α Bσ ).

(7.28)

280

Relativité générale et astrophysique

Relation (7.19) : Intéressons-nous à présent à la dérivée de Lie suivant m  = α n du tenseur métrique : σ σ σ Lm  γμν = α n ∇σ γμν + γσν ∇μ m + γμσ ∇ν m ,

ce qui, avec ∇σ γμν = ∇σ (nμ nν ) et la relation (7.10), ∇ν mμ = −α K μν − nν Dμ α + nμ ∇ν α , devient σ σ σ σ Lm  γμν = α n ∇σ (nμ nν ) + γσν (−α K μ − nμ D α + n ∇μ α)

+ γμσ (−α K σν − nν Dσ α + nσ ∇ν α) . De plus, comme γσν nσ ∇μ α = 0, et que nσ ∇σ (nμ nν ) = nμ nσ ∇σ nν + nν nσ ∇σ nμ = α−1 (nμ Dν α + nν Dμ α), on obtient, en regroupant et en simplifiant les termes, Lm  γμν = −2α Kμν .

(7.29)

 on peut écrire Relation (7.20) : Enfin, comme m  = ∂t − β, Lm  γμν = L∂t  γμν − Lβ  γμν , avec ∂γμν , ∂t σ = β Dσ γμν + γσν Dμ β σ + γμσ Dν β σ

L∂t  γμν = Lβ γμν

= γσν Dμ β σ + γμσ Dν β σ = D μ βν + D ν βμ . Rappelons que β est tangent à Σt et qu’alors Dμ βν + Dν βμ = Di βj + Dj βi , avec (i, j) ∈ 1, 32 . L’équation (7.29) implique alors ∂γij − (Di βj + Dj βi ) = −2α Kij . ∂t En contractant cette dernière équation avec γ ij , on obtient γ ij

∂γij − 2 Di β i = −2α K , ∂t

puisque γ ij Kij = gμν K μν = K. Par ailleurs (voir exercice page 53) :

1 ∂ |γ| ij ∂γij =

. γ ∂t |γ| ∂t

Chapitre 7 – Champs et matière

281

Conclusion, on obtient la dernière relation :

1 ∂ |γ| . α K = Di β −

|γ| ∂t i

(7.30)

2(c) – La dérivée de Lie d’un vecteur tangent à Σt étant elle aussi tangente 6 à Σt , et [νμλσ nν Dλ (α Bσ )] ne pouvant avoir de composantes non nulles 7 suivant n, la projection orthogonale sur TM (Σt ) de l’équation (7.27) donne donc 

 1 ∂ |γ| i j E i + νijk nν Dj (α Bk ) = 4π α J i , −Lm  E + Dj β −

|γ| ∂t pour tout (i, j, k) ∈ 1, 33 , et grâce à la relation (7.30). Par ailleurs, on a, d’une part, i i i Lm  E = L∂ t E − Lβ E =

∂E i − β j Dj E i + E j Dj β i , ∂t

(7.31)

et, d’autre part,  i  × (α B)  νijk nν Dj (α Bk ) = ijk Dj (α Bk ) = ∇ ,

(7.32)

puisque n = (1, 0, 0, 0) dans la base {n, ∂i }i∈1,3 . Ainsi, on aboutit à l’équation de Maxwell-Ampère qui s’écrit  

i ∂ |γ| E 1 −

+ β j Dj E i − E j Dj β i + (Dj β j ) E i ∂t |γ|  i  × (α B)  + ∇ = 4π α J i , (7.33) avec

 i  × E)  × (β  β j Dj E i − E j Dj β i + (Dj β j ) E i = − ∇ + (Dj E j ) β i , (Dj E j ) β i = 4π ρe β i , α J i − ρe β i = α (ρe ni + J i ) = α jei .

Conclusion, nous pouvons mettre l’équation de Maxwell-Ampère sous la forme  i

1  × E)  × (α B  −β  ∇ = 4π α jei + ∂t ( |γ| E i ) . |γ| Remarque : si les coordonnées sont relatives à la base {n, ∂i }i∈1,3 , comme ni = 0, on aura jei = J i . 6. Voir la remarque page 274. 7. Cela est vrai toujours en raison de la contraction νμλσ nν et du caractère antisymétrique de .

282

Relativité générale et astrophysique

3(a) – L’équation (7.15) s’écrit ∇ν (B μ nν − B ν nμ ) + ∇ν (λσμν nλ Eσ ) = 0 , avec, d’après la relation (7.26) dans laquelle on a remplacé E μ par −B μ , μ μ μ ν ∇ν (B μ nν − B ν nμ ) = α−1 Lm  B − K B − n Dν B ,

et, d’après la relation (7.28), ∇ν (λσμν nλ Eσ ) = α−1 νμλσ nν Dλ (α Eσ ). On obtient donc μ μ μ ν νμλσ Lm nν Dλ (α Eσ ) = 0 .  B − α K B − α n Dν B + 

(7.34)

 est tangent à Σt (voir précédemment), la projection orthogonale 3(b) – Comme B sur Vect(n) de l’équation (7.34) donne α nμ Dν B ν = 0, c’est-à-dire Di B i = 0 pour i ∈ 1, 3, ou encore  ·B  = 0. ∇ Par ailleurs, d’après la relation (7.32), la projection orthogonale sur TM (Σt ) de l’équation (7.34) s’écrit i  i i   = 0, (7.35) Lm  B − α K B + ∇ × (α E) avec, grâce aux relations (7.30) et (7.31), ∂B i − β j Dj B i + B j Dj β i , ∂t 

 1 ∂ |γ| i j −α K B = − Dj β −

Bi . ∂t |γ| i Lm B =

(7.36)

De plus, comme Di B i = 0, on a  i  × B)  × (β  β j Dj B i − B j Dj β i + (Dj β j ) B i = − ∇ . L’équation (7.35), appelée équation de Maxwell-Faraday, se met donc sous la forme i 

1  × (α E  + β × B)  ∇ = − ∂t ( |γ| B i ) . |γ| 4 – En prenant la divergence spatiale de l’équation de Maxwell-Ampère, comme  · (∇  × .) ≡ 0, on obtient ∇ 

 1 4π Di (α jei ) = − ∂t |γ| Di E i , |γ|

Chapitre 7 – Champs et matière

283

ce qui donne, avec l’équation de Maxwell-Gauss, 

 1 Di (α jei ) = − ∂t |γ| ρe , |γ| ou encore, comme Di ni = 0,

 · (α J) = − 1 ∂t ( |γ| ρe ). ∇ |γ| Références bibliographiques : [28], [31], [32], [33].

[D]  EXERCICE 7.12 Il est recommandé d’avoir fait les exercices des pages 162 et 275. Magnétosphère d’un trou noir de Kerr – On se place au voisinage d’un trou noir de Kerr de masse M et de moment cinétique J, et l’on décrit l’espace-temps à l’aide de la métrique de Kerr ds2 = −

Δ − a2 sin2 θ 2 2 2c rs r a sin2 θ ρ2 2 dr + ρ2 dθ2 c dt − dt dϕ + ρ2 ρ2 Δ Σ2 sin2 θ + dϕ2 . ρ2

avec rs , le rayon de Schwarzschild, et en notant a = J/(M c), ρ2 = r2 + a2 cos2 θ, Δ = r2 − rs r + a2 , et Σ2 = (r2 + a2 )2 − a2 Δ sin2 θ. Dans la suite, on prendra  B),  supposé stationnaire, c = 1. On s’intéresse au champ électromagnétique (E, mesuré par un FIDO situé au-delà de l’horizon des événements, et l’on reprend toutes les notations de l’exercice précédent (voir page 275). A. Electromagnétisme autour d’un trou noir de Kerr 1 – Donner les expressions de la fonction lapse α et de la vitesse angulaire ω d’un FIDO autour d’un trou noir de Kerr. 2 – Montrer que les équations de Maxwell-Faraday et de Maxwell-Ampère s’écrivent respectivement  × (α E)  = (B  · ∇ω)  ∂ϕ , ∇  × (α B)  = −(E  · ∇ω)  ∂ϕ + 4π α J . ∇ Que devient l’équation locale de continuité de la charge ?

284

Relativité générale et astrophysique

3 – Un FIDO observe un volume spatial V(t) (de dimension 3 !) se déplacer à une vitesse v . Exprimer la charge par unité de temps traversant la frontière ∂V(t) de ce volume. En déduire l’équation globale de continuité de la charge  1 d  · dS . ρe dV = α (ρe v − J) dt V(t) ∂V(t) B. Quelques propriétés de la magnétosphère De nombreux trous noirs possèdent un disque d’accrétion de matière issu de leur processus de formation. Ce disque d’accrétion est à l’origine d’une région entourant le trou noir, appelée magnétosphère, dans laquelle règne un fort champ magnétique. Une telle configuration permet d’extraire de l’énergie rotationnelle du trou noir selon le processus de Blandford-Znajek (voir [21] et [31]). Notre but est ici de caractériser complètement le champ électromagnétique et le vecteur courant électrique au sein de cette magnétosphère en se fixant quelques hypothèses simples. On suppose, dans toute cette partie, que la magnétosphère a une structure station ·B   0, naire et axisymétrique, et que le champ électromagnétique est tel que E     avec |B| > |E|. On décompose les champs E et B en une composante toroïdale, dirigée selon ∂ϕ et indicée par T , et une composante poloïdale, dirigée selon ∂r  =E T + E  P et B  =B T +B  P . De même, et ∂θ , et indicée par P . On notera ainsi E J = JT + JP . 1 – Notre FIDO observe une surface spatiale S(t) (de dimension 2 !) se déplacer à une vitesse v . Soit ∂S(t) la frontière de cette surface. On admet (voir, par exemple, [32]) les formes intégrales suivantes des équations de Maxwell-Faraday et de Maxwell-Ampère :  1  · dS ,  + v × B)  · d = − d B α (E dt S(t) ∂S(t)  1  d       · dS . E · dS − 4π α (B − v × E) · d = α (ρe v − J) dt S(t) ∂S(t) S(t) Montrer que si ∂S(t) = C est un cercle d’équation (r, θ) = constante, attaché au FIDO, alors on peut écrire 1  · d = 0 , αE C 1  · d = −4π I , αB C

avec I, le courant électrique traversant le disque D de contour C en direction du trou noir. En déduire les composantes toroïdales des champs électrique et magnétique.

Chapitre 7 – Champs et matière

285

2 – On suppose que la magnétosphère est formée par un plasma de paires e+ − e− de conductivité électrique infinie et suffisamment peu dense pour que l’on puisse négliger les forces inertielles : cela se traduit par la relation locale  + J × B   0. ρe E

(7.37)

 P ⊥B  P , et JP  B P . (a) Montrer que les composantes poloïdales sont telles que E (b) On suppose que les lignes de champ magnétique tournent à la vitesse ΩB ∂ϕ par rapport à un observateur fixe situé à l’infini. Qu’implique l’hypothèse d’axisymétrie du champ magnétique sur ΩB ? Quel est le champ électrique induit mesuré par notre FIDO ? En déduire que ΩB est constant le long des lignes de champ magnétique. (c) On note Ψ le flux du champ magnétique à travers le disque D. Exprimer les  P , et JP en fonction de Ψ et I. P , B composantes poloïdales E  P , Ψ et I. En déduire une expression de JT . (d) Exprimer JP en fonction de B

 SOLUTION A1 – Dans la partie B de l’exercice de la page 162, nous avons établi les expressions de la fonction lapse α et de la vitesse angulaire ω = dϕ/dt dans le cas d’une métrique stationnaire axisymétrique quelconque. Pour la métrique de Kerr, et après quelques simplifications, cela donne 2 gtϕ ρ2 Δ = , gϕϕ Σ2 rs r a = . Σ2

α2 = −gtt + ω=−

gtϕ gϕϕ

A2 – Dans la partie B de l’exercice de la page 162, nous avons vu que pour une  n’a qu’une seule compométrique axisymétrique stationnaire, le vecteur shift β i  sante non nulle qui est selon ∂ϕ : [β ] = (0, 0, −ω). Par ailleurs, la métrique et le champ électromagnétique étant axisymétriques et stationnaires, ∂t = 0, Di β i = 0 et Dϕ B i = 0. Les relations (7.30) et (7.36) donnent alors α K = Di β i = 0 et i j i    Lm  B = B Dj β = −(B · ∇ω) ∂ϕ , ce qui permet d’écrire l’équation (7.35) :  × (α E)  = (B  · ∇ω)  ∂ϕ . ∇ De même, l’équation de Maxwell-Ampère écrite sous la forme (7.33) donne  i  × (α B)  −E j Dj β i + ∇ = 4π α J i ,

(7.38)

286

Relativité générale et astrophysique

ce qui devient donc  × (α B)  = −(E  · ∇ω)  ∂ϕ + 4π α J . ∇ Enfin, l’équation de conservation de la charge (7.21) devient  · (α J)  = −∂t ρe , ∇ puisque le déterminant γ (= ρ2 Σ2 sin2 θ/Δ) de la métrique spatiale ne dépend pas de t. Pour le FIDO mesurant un temps propre τ , comme α = dτ /dt, cette relation s’écrit  · (α J)  = −α dρe . ∇ dτ A3 – La charge, par unité de temps propre du FIDO, traversant la surface de ∂V(t)  et pénétrant dans V(t) s’écrit de vecteur dS 1 dq , = (−J + ρe v ) · dS dτ ∂V(t)  traduit la variation, par unité de temps propre, de la charge liée à où le terme −J · dS  la variation, par unité la densité volumique de courant du milieu, et le terme ρe v · dS, de temps propre, de la charge liée au déplacement du volume V(t) par rapport au FIDO. Comme, par définition, la charge q contenue dans le volume V(t) est telle que  ρe dV , q= V(t)

on trouve

d dτ



1

V(t)

, (−J + ρe v ) · dS

ρe dV = ∂V(t)

c’est-à-dire, en introduisant le temps coordonnée,  1 d  · dS . ρe dV = α (ρe v − J) dt V(t) ∂V(t) Remarque : on rappelle que le volume élémentaire dV s’écrit

dV = |γ| dr dθ dϕ , tandis que le vecteur surface élémentaire a pour composantes covariantes dSi = ijk

∂xj ∂xk du dv , ∂u ∂v

avec {i, j, k} ∈ 1, 3, {u, v} un système de coordonnées quelconque sur ∂V(t), et ijk les composantes du tenseur de Levi-Civita en dimension 3.

Chapitre 7 – Champs et matière

287

B1 – Le cercle étant attaché au FIDO, sa vitesse v est nulle. De plus, la stationnarité des champs électrique et magnétique implique que d/dt ≡ 0 dans les formes intégrales des équations de Maxwell-Faraday et de Maxwell-Ampère qui donnent alors 1  · d = 0 , αE (7.39) C 1   · d = 4π . αB α J · dS C

D

Enfin, d’après la question A3, on sait que   = −α dq = − dq , α J · dS dτ dt D où dq est la charge, par unité de temps propre, traversant D. Autrement dit, en définissant le courant électrique I = dq/dt, on obtient bien 1  · d = −4π I . αB (7.40) C

 P · d = 0, La définition du cercle C est telle que d est orienté selon ∂ϕ : on a donc E et l’équation (7.39) implique 1  T · d = 0 . αE C

 T ·d est constant le long du cercle C : ainsi, E  T = 0. Or, la symétrie axiale impose que E  P · d = 0, et l’axisymétrie Pour le champ magnétique, le raisonnement est le même : B  T ·d est constant le long du cercle C. L’équation (7.40) s’écrit impose également que B donc 1  T · d = −4π I , αB C

c’est-à-dire, en intégrant avec d = (Σ sin θ/ρ) dϕ ∂ϕ , T = − B

2I ρ  ∂ϕ . α Σ sin θ

Remarque : la longueur 2 π (Σ sin θ/ρ) est égale à la circonférence du cercle C.  T = 0, la relation (7.37) donne : B2(a) – Puisque E  P = −(JP + JT ) × (B P + B T ) . ρe E

(7.41)

 et à B  T , donc à B  P . Les vecteurs JT × B  P et JP × B T  P est orthogonal à B Le vecteur E  P ne peut ne peuvent pas avoir de composantes toroïdales, alors que le vecteur JP × B  T est nul. En conclusion, avoir qu’une composante toroïdale, et que le vecteur JT × B  P est nul, donc JP  B P . JP × B

288

Relativité générale et astrophysique

B2(b) – L’hypothèse d’axisymétrie pour le champ magnétique implique que ΩB est invariant par rotation autour de l’axe de rotation du trou noir, ce qui s’écrit aussi  B · ∂ϕ = 0. ∇Ω La conductivité électrique du plasma étant supposée infinie, le champ électrique s’annule dans le référentiel du plasma et les lignes de champ magnétique tournent à la  com = 0 memême vitesse que le plasma 8 . La relation entre le champ électrique E suré par l’observateur en co-mouvement avec le plasma et le champ électrique induit  com = γ(vC ) (E  +vC × B)  = 0, c’est-à-dire  =E  P mesuré par le FIDO peut s’écrire E E  P = −vC × B P , E

(7.42)

2 −1/2 avec γ(vC ) = (1 − vC ) , et vC la vitesse des lignes de champ mesurée par le −1  = α−1 (ΩB − ω) ∂ϕ (voir l’exercice de la page 176). FIDO : vC = α (ΩB ∂ϕ + β)  ne peut avoir qu’une composante poloïdale, ce qui L’axisymétrie impose que ∇ω  · ∇ω  =B  P · ∇ω.  implique que B L’équation (7.38) se réécrit alors      × αE P = ∇  P = (B  ∂ϕ ,  × −(ΩB − ω) ∂ϕ × B  P · ∇ω) ∇

ce qui, en développant, donne       P + B P · ∇   · (ω − ΩB ) ∂ϕ B (ω − ΩB ) ∂ϕ ∇  B  P = (B  P · ∇ω)  ∂ϕ . −(ω − ΩB ) (∂ϕ · ∇)  P · ∇Ω  B ) ∂ϕ doit être Cette dernière relation 9 montre que la composante toroïdale (B  B = 0. Ainsi, ΩB est constant le long des lignes de champ  P · ∇Ω nulle ou encore que B magnétique et l’on parle alors d’isorotation. B2(c) – Le flux Ψ du champ magnétique à travers D s’écrit      P · dS , B · dS = B Ψ= D

D

 T est dans le plan de D. Une faible variation du rayon de D implique une puisque B variation de ce flux qui est  P = (2π ∂ϕ × B  P ) · dr ,  · dr = (2π dr × ∂ϕ ) · B dΨ = ∇Ψ  = 2π ∂ϕ × B  P , et ce qui implique donc : ∇Ψ  × ∂ϕ = 2π (∂ϕ × B  P ) × ∂ϕ ∇Ψ  P − (B  P · ∂ϕ ) ∂ϕ = 2π (∂ϕ · ∂ϕ ) B P , = 2π (Σ sin θ/ρ)2 B 8. On dit que le champ magnétique est gelé dans le plasma.   ) v + f (  v . 9. Rappelons que : ( u · ∇)(f v ) = ( u · ∇f u · ∇)

Chapitre 7 – Champs et matière

289

 P · ∂ϕ = 0. Conclusion, on obtient avec ∂ϕ · ∂ϕ = gϕϕ , et B ρ2  × ∂ϕ , ∇Ψ 2π Σ2 sin2 θ  ,  P = ω − ΩB ∇Ψ E 2π α

P = B

 P , et avec ∇Ψ  · ∂ϕ = 0. Enfin, le courant en utilisant la relation (7.42) pour exprimer E traversant D étant par définition (voir les questions A3 et B1)    =− , I=− α J · dS α JP · dS (7.43) D

D

P : on trouve directement par analogie avec le calcul de B JP = −

ρ2  × ∂ϕ . ∇I 2π Σ2 sin2 θ

 P . Posons JP = λ B  P ; la relation (7.43) s’écrit B2(d) – On a vu que JP  B  P · dS  = −α λ dΨ , dI = −α λ B ce qui conduit à 1 dI  JP = − BP . α dΨ Les composantes poloïdales et toroïdales permettent, via les relations (7.37) et (7.42), de donner une expression de J :  P = −J × B  ρe E

 P = JT × B  P + JP × B  ⇔ ρe vC × B  T  −1 −1 dI     P , BT × B ⇔ ρe α (ΩB − ω) ∂ϕ × BP = JT + α dΨ

et l’on obtient dI  BT JT = ρe α−1 (ΩB − ω) ∂ϕ − α−1 dΨ   dI  2ρI −1 = ρe α (ΩB − ω) + 2 ∂ϕ . α Σ sin θ dΨ Références bibliographiques : [33], [22], [31], [32], [30], [21].

7KLVSDJHLQWHQWLRQDOO\OHIWEODQN

Chapitre 8

Cosmologie [D]  EXERCICE 8.1 Métrique de Friedmann-Robertson-Walker – L’Univers est supposé être une variété pseudo-riemannienne dont la géométrie peut être décrite à l’aide d’une métrique satisfaisant le principe cosmologique : l’Univers est spatialement isotrope en chacun de ses points. Cette isotropie implique nécessairement son homogénéité spatiale (l’inverse est faux). Pour déterminer une telle métrique, on réalise un feuilletage (voir exercice page 162) de l’Univers en introduisant un paramètre temporel t appelé temps cosmique et pour chaque t une hypersurface Σt (correspondant à t = constante) du genre espace munie de coordonnées spatiales {x1 , x2 , x3 }. Ces dernières peuvent être choisies telles qu’un observateur, dit fondamental, puisse mesurer un temps propre égal à t, et rester fixe par rapport à {x1 , x2 , x3 }. Ces coordonnées sont dites comobiles. Les lignes d’Univers de deux observateurs fondamentaux différents forment une congruence c’est-à-dire, ne se coupent jamais, mais convergent vers l’instant initial, appelé Big Bang, dans le passé. En outre, ces lignes d’Univers sont orthogonales en chaque point aux hypersurfaces Σt . 1 – Montrer que le principe cosmologique implique que la métrique peut s’écrire sous la forme ds2 = c2 dt2 − gij dxi dxj , avec (i, j) ∈ 1, 32 . Quelle forme prennent alors les coefficients gij ? 2 – Les symétries imposées par le principe cosmologique ne concernent que la partie spatiale de la métrique, autrement dit, la métrique associée à une hypersurface Σt , dont les coefficients seront notés γij . Les hypersurfaces Σt sont alors définies comme des variétés riemanniennes de dimension 3 à symétrie maximale, c’est-à-dire dont les composantes du tenseur de Riemann sont de la forme   Rijk = k δ ik γj − δ i γjk , (8.1) avec k, une constante.

292

Relativité générale et astrophysique

(a) Combien de composantes indépendantes possède le tenseur de courbure ? Montrer que la courbure scalaire est constante sur l’hypersurface Σt . (b) Montrer que la métrique de Σt peut être donnée par un élément de longueur infinitésimal de la forme d2 = A(r) dr2 + r2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ) , avec {r, θ ϕ} les coordonnées sphériques associées à {x1 , x2 , x3 }, et A une fonction positive quelconque de r. (c) Exprimer les coefficients de la connexion en fonction de A. En déduire les composantes du tenseur de Ricci, et montrer que la fonction A obéit au système différentiel dA = 2k r A2 (r) , dr 1 dA r − = 2k r2 . 1+ 2A2 (r) dr A(r) 3 – En déduire que l’Univers peut être décrit par la métrique de FriedmannRobertson-Walker (FRW) :   dr2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ds = c dt − R(t) + r dθ + r sin θ dϕ , (8.2) 1 − K r2 avec K = k/|k| lorsque k = 0, et R, une fonction positive quelconque du temps t. 4 – Montrer que les hypersurfaces Σt sont conformément plates (voir la définition dans l’exercice page 58).  SOLUTION 1 – La métrique a pour forme générale ds2 = g˜μν dxμ dxν avec x0 = t. Dans notre cas, l’hypothèse d’isotropie spatiale (autrement dit, l’absence de direction privilégiée) implique que l’on peut synchroniser les horloges de tous les observateurs fondamentaux : la condition de cette synchronisation globale est donc g˜ti = 0 pour i ∈ 1, 3, en tout point de l’espace-temps (voir l’exercice page 87). Quant au coefficient g˜00 , un observateur fondamental mesurera, le long de sa ligne d’Univers, un intervalle de temps propre infinitésimal dτ tel que ds2 = c2 dτ 2 = g˜00 dt2 , étant donné que dx1 = dx2 = dx3 = 0. Comme, par définition, on a défini cet observateur pour que τ = t, on trouve g˜00 = c2 . Conclusion, la métrique peut s’écrire sous la forme ds2 = c2 dt2 − gij dxi dxj ,

Chapitre 8 – Cosmologie

293

avec (i, j) ∈ 1, 32 et gij = −˜ gij . Enfin, l’isotropie spatiale implique également la conservation des angles au cours du temps ; les coefficients gij , traduisant la métrique de l’hypersurface Σt , ne peuvent donc dépendre que globalement du temps et sont de ˜ 2 γij , où les γij sont des fonctions des coordonnées spatiales uniquement la forme R(t) ˜ une fonction positive de t. et R 2(a) – La symétrie de l’expression (8.1), rajoutée aux règles de symétrie des composantes du tenseur de Riemann (voir exercice page 55), montre qu’il n’y a plus qu’une seule composante indépendante et qu’elle reste constante sur toute l’hypersurface Σt . Les composantes du tenseur de Ricci s’écrivent Rij = R ij = k (γij − δ

γij ) = −2k γij ,

(8.3)

et, par définition, la courbure scalaire est Rs = Rii = γ i Ri = −2k δ

= −6k . Elle est donc constante sur tout Σt . 2(b) – En reprenant le raisonnement fait dans l’exercice page 109, l’isotropie spatiale postulée par le principe cosmologique correspond à une symétrie sphérique autour de n’importe quel point de Σt . La métrique de Σt , construite à partir des quantités invariantes par rotation (à savoir les produits scalaires x · x, dx · x et dx · dx) a pour forme générale   ˜ dr2 + B(r) ˜ 2 A(r) ˜ r2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ) , d2 = R(t) ˜ deux fonctions de r uniquement, positives et de classe C k , k  2. avec A˜ et B ˜ r2 , on obtient bien une métrique de la forme (en notant r˜ = r) En posant r˜2 = B(r)

˜ 2 A(r) dr2 + r2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ) , d2 = R(t) (8.4) avec A, une fonction qu’il nous faut préciser. 2(c) – D’après la métrique (8.4), le tenseur [γij ] a pour composantes non nulles γrr = A(r) ,

γθθ = r2 ,

γϕϕ = r2 sin2 θ.

˜ 2 près) étant donnés par la relation Les coefficients de la connexion (au facteur R(t) 1 i γ (∂k γj + ∂j γ k − ∂ γkj ) , 2 les seuls qui sont non nuls sont les suivants : Γikj =

1 dA , 2A(r) dr 1 = Γϕrϕ = , r

r , A(r)

Γrrr =

Γrθθ = −

Γθrθ

Γθϕϕ = − sin θ cos θ ,

r sin2 θ , A(r) cos θ . = sin θ

Γrϕϕ = − Γϕϕθ

294

Relativité générale et astrophysique

Comme les composantes du tenseur de Ricci sont telles que Rij = −2k γij , les seules non nulles sont donc Rrr , Rθθ et Rϕϕ . On les calcule grâce à la relation Rij = ∂j Γkik − ∂k Γkij + Γ ik Γk j − Γ ij Γk k , qui donne 1 dA , r A(r) dr r dA 1 −1− , = A(r) 2A2 (r) dr   1 r dA −1− = sin2 θ. A(r) 2A2 (r) dr

Rrr = − Rθθ Rϕϕ

En égalant avec la relation (8.3), on obtient le système différentiel dA = 2k r A2 (r) , dr 1 dA r − = 2k r2 . 1+ 2A2 (r) dr A(r)

(8.5)

3 – La première équation du système (8.5) peut s’intégrer facilement 1 pour donner une expression de A : 1 , A(r) = C − k r2 avec C, une constante d’intégration. Cette constante nous est donnée par la seconde équation du même système : en remplaçant A(r) par son expression, on obtient 1+

2k r r (C − k r2 )2 + k r2 − C = 2k r2 , 2 (C − k r2 )2

c’est-à-dire C = 1. La métrique d’une hypersurface Σt peut donc se mettre sous la forme   dr2 2 2 2 2 2 2 ˜ d = R(t) + r (dθ + sin θ dϕ ) , 1 − k r2 alors que celle décrivant l’Univers s’écrit   dr2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˜ ds = c dt − R(t) + r dθ + r sin θ dϕ . 1 − k r2 Pour obtenir la métrique de FRW, il suffit de normaliser la constante de courbure k en posant K = k/|k|, lorsque k = 0, et r˜ = |k|1/2 r, ce qui donne   −1 2 r˜ ) 2 2 2 2 2 d(|k| −1 2 2 −1 2 2 ˜ ds = c dt − R(t) + |k| r˜ dθ + |k| r˜ sin θ dϕ , 1 − K r˜2 1. C’est une équation à variables séparables !

Chapitre 8 – Cosmologie

295

1/2 ˜ ou encore, en notant r˜ = r et R(t) = R(t)/|k| ,   dr2 2 2 2 2 2 ds2 = c2 dt2 − R(t)2 + r dθ + r sin θ dϕ . 1 − K r2

Avec ces coordonnées, la courbure spatiale de l’Univers est caractérisée par la constante K qui ne peut prendre que trois valeurs : −1, 0 ou 1. Lorsque K = 0, on retrouve évidemment un espace-temps de Minkowski. 4 – Il suffit de faire le changement de variable suivant : r= pour obtenir

r˜ 1+

K r˜2 4

,

2

1 − K4r˜ d˜ r, dr =  2 2 1 + K4r˜ 2  K r˜2 1 + 4 1 =   . K r˜2 2 1 − K r2 1−

et

4

L’élément de longueur infinitésimal sur Σt étant   dr2 2 2 2 2 d2 = R(t)2 + r (dθ + sin θ dϕ ) , 1 − K r2 il se réécrit

2 R(t)2 2 2 2 2 d2 =  + r ˜ (dθ + sin θ dϕ ) . d˜ r  2 2 1 + K4r˜

Autrement dit, d2 est de la forme Ω(t, r˜)2 dσ 2 , avec dσ 2 = d˜ r2 + r˜2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ) l’élément de longueur infinitésimal de l’espace euclidien de dimension 3. Les hypersurfaces Σt sont donc conformément plates. Références bibliographiques : [5], [10], [17], [18], [19].

[MD]  EXERCICE 8.2

Géométrie d’hypersurfaces spatialement isotropes en tout point – On considère les hypersurfaces Σt , définies dans l’exercice précédent, dont la métrique peut se mettre sous la forme   dr2 2 2 2 2 + r (dθ + sin θ dϕ ) , d2 = R(t)2 1 − K r2 en coordonnées sphériques, et avec K = −1, 0 ou 1.

296

Relativité générale et astrophysique

1 – Dans cette question, on suppose que K = 1. Montrer que le changement de variable r = sin χ conduit à une métrique qui se réécrit d2 = dw2 + dx2 + dy 2 + dz 2 , où {w, x, y, z} sont les coordonnées cartésiennes usuelles de l’espace euclidien R4 . Quelle est alors l’équation de l’hypersurface Σt ? Que vaut son volume ? 2 – Si K = −1, quel est le changement de variable conduisant à la métrique d2 = dw2 − dx2 − dy 2 − dz 2 , où {w, x, y, z} sont les coordonnées cartésiennes de l’espace-temps de Minkowski ? Donner alors une équation de l’hypersurface Σt et déterminer son volume. 3 – Que retrouve-t-on lorsque K = 0 ?  SOLUTION 1 – Le changement de variable r = sin χ, justifié par le fait que la métrique présente une singularité de coordonnée pour r = 1, implique dr = cos χ dχ. Ainsi, on a dr2 = dχ2 , 1 − r2 et la métrique se réécrit



d2 = R(t)2 dχ2 + sin2 χ (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ) .

En posant, w = R(t) cos χ, x = R(t) sin χ sin θ cos ϕ, y = R(t) sin χ sin θ sin ϕ, et z = R(t) sin χ cos θ, on exprime les différentielles, dw = −R(t) sin χ dχ , dx = R(t) (cos χ sin θ cos ϕ dχ + sin χ cos θ cos ϕ dθ − sin χ sin θ sin ϕ dϕ) , dy = R(t) (cos χ sin θ cos ϕ dχ + sin χ cos θ cos ϕ dθ + sin χ sin θ cos ϕ dϕ) , dz = R(t) (cos χ cos θ dχ − sin χ sin θ dθ) , et on trouve facilement d2 = dw2 + dx2 + dy 2 + dz 2 . Par définition des coordonnées {w, x, y, z}, une équation de Σt est w2 + x2 + y 2 + z 2 = R(t)2 . Cela correspond à l’équation d’une 3-sphère plongée dans un espace euclidien de dimension 4. Le volume infinitésimal de cette 3-sphère s’exprime de la façon suivante :

dV = |J| dχ dθ dϕ ,

Chapitre 8 – Cosmologie

297

avec le jacobien J qui est égal à R(t)6 sin4 χ sin2 θ. Pour obtenir le volume, il faut intégrer sur les domaines de définition de χ, θ et ϕ qui sont respectivement [0, π], [0, π] et [0, 2π] :  π  π  2π R(t)3 sin2 χ sin θ dχ dθ dϕ = 2π 2 R(t)3 . V= χ=0

θ=0

ϕ=0

Lorsque K = 1, la grandeur R(t) peut donc être interprétée comme le rayon de l’Univers à l’instant t. 2 – La question précédente suggère de considérer à présent le changement de variable r = sinh χ, pour avoir dr = cosh χ dχ, et surtout dr2 = dχ2 . 1 + r2 La métrique devient alors telle que

d2 = R(t)2 dχ2 + sinh2 χ (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ) . En posant, cette fois-ci, les coordonnées w = R(t) cosh χ, x = R(t) sinh χ sin θ cos ϕ, y = R(t) sinh χ sin θ sin ϕ, et z = R(t) sinh χ cos θ, on a les différentielles dw = R(t) sinh χ dχ , dx = R(t) (cosh χ sin θ cos ϕ dχ + sinh χ cos θ cos ϕ dθ − sinh χ sin θ sin ϕ dϕ) , dy = R(t) (cosh χ sin θ cos ϕ dχ + sinh χ cos θ cos ϕ dθ + sinh χ sin θ cos ϕ dϕ) , dz = R(t) (cosh χ cos θ dχ − sinh χ sin θ dθ) . On obtient, par conséquent, la métrique d2 = dw2 − dx2 − dy 2 − dz 2 . Ces coordonnées donne une équation de Σt qui s’écrit w2 − x2 − y 2 − z 2 = R(t)2 . Cette équation est celle d’un hyperboloïde plongé dans un espace-temps de Minkowski. Le volume infinitésimal de cet hyperboloïde est alors

dV = |J| dχ dθ dϕ = R(t)3 sinh2 χ sin θ dχ dθ dϕ. La coordonnée χ n’étant pas bornée, la présence du terme sinh χ dans cette intégrale montre que le volume de Σt est infini. 3 – Si K = 0, en posant r = χ/R(t), la métrique devient d2 = dχ2 + χ2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ). On retrouve la géométrie de l’espace euclidien R3 en utilisant les coordonnées sphériques usuelles : x = χ sin θ cos ϕ, y = χ sin θ sin ϕ, et z = χ cos θ, pour obtenir d2 = dx2 + dy 2 + dz 2 . La coordonnée χ n’étant pas bornée, le volume de Σt est celui de R3 tout entier, il est donc infini.

298

Relativité générale et astrophysique

[D]  EXERCICE 8.3

Courbure de l’Univers et géodésiques – L’Univers est décrit par une métrique du type Friedmann-Robertson-Walker qui peut se mettre sous la forme   dr2 2 2 2 2 2 ds2 = c2 dt2 − R(t)2 + r dθ + r sin θ dϕ (8.6) 1 − K r2 où le principe cosmologique implique l’existence d’un temps t universel, d’un paramètre K caractérisant la courbure spatiale de l’Univers, et d’un paramètre d’échelle R(t) qui est une fonction positive quelconque du temps. La partie spatiale (entre crochets) de la métrique n’a pas de dépendance explicite avec le temps. 1 – Montrer que la géodésique d’une particule libre (massive ou non) est telle que la particule garde des coordonnées angulaires constantes. 2 – En posant r = F (χ), avec F telle que ⎧ ⎨ sin χ si K = 1, sinh χ si K = −1, F (χ) = ⎩ χ si K = 0, vérifier que la métrique peut se mettre sous la forme

ds2 = c2 dt2 − R(t)2 dχ2 + F (χ)2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ) . Que peut-on dire alors de la coordonnée radiale χ d’une particule libre ? En déduire une expression de dt/dλ, où λ est un paramètre affine de la géodésique, en fonction de dχ/dλ. 3 – Pour les trois types de courbure (suivant le signe de K), étudier les géodésiques d’un photon émis en r = r0 et observé en r = 0 en introduisant le temps conforme τ , défini par dτ = dt/R(t). 4 – Montrer que (a) l’énergie d’un photon ainsi que (b) le module de la vitesse d’une particule massive non relativiste suivent l’inverse du paramètre d’échelle.  SOLUTION 1 – Coordonnée φ : La métrique de FRW, donnée par la relation (8.6), est écrite avec des coordonnées spatiales sphériques {x1 = r, x2 = θ, x3 = ϕ}. Les composantes du tenseur métrique ne dépendent pas des coordonnées angulaires θ et ϕ. Aussi, l’équation des géodésiques qui peut se mettre sous la forme (voir exercice page 39) p˙ μ =

1 (∂μ gνσ ) pν pσ , 2

Chapitre 8 – Cosmologie

299

avec pμ = dxμ /dλ, λ étant un paramètre affine quelconque de la géodésique, conduit tout d’abord à p˙ ϕ = 0, c’est-à-dire à pϕ = constante. Le principe cosmologique impose que l’origine des coordonnées est arbitraire : la géodésique peut donc passer, à un instant t quelconque, par l’origine, c’est-à-dire en r = 0. Ainsi, comme pϕ = gϕϕ pϕ = −R(t)2 r2 sin2 θ pϕ on trouve que pϕ = 0 le long de la géodésique. En évaluant pϕ en un autre point de la géodésique, on obtient alors également pϕ = pϕ /gϕϕ = 0. Conclusion, la coordonnée ϕ de la particule reste constante le long de sa géodésique. Coordonnée θ : Pour la coordonnée θ, on a l’équation p˙ θ =

1 ∂θ gϕϕ (pϕ )2 2

donc p˙θ = 0, puisque pϕ = 0. Ainsi, pθ est aussi une constante que l’on peut évaluer en r = 0 avec l’équation pθ = gθθ pθ = −R(t)2 r2 pθ , ce qui donne donc pθ = 0. De même, en un autre point, on trouve pθ = 0, et la coordonnée θ de la particule est constante le long de sa géodésique. 2 – Les différentielles associées aux trois cas s’écrivent ⎧ √ 1 − r2 dχ si K = 1, ⎨ cos χ dχ = √ dr = cosh χ dχ = 1 + r2 dχ si K = −1, ⎩ dχ si K = 0, ce qui donne facilement la métrique

ds2 = c2 dt2 − R(t)2 dχ2 + F (χ)2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ) . Cette métrique a pour avantage de donner une composante gχχ qui ne dépend pas de la coordonnée radiale χ. Ainsi, pour la coordonnée radiale, comme pθ = pϕ = 0, l’équation 1 p˙ χ = (∂χ gνσ ) pν pσ , 2 conduit à p˙ χ = 0, c’est-à-dire à pχ = constante. L’évaluation en χ = 0 donne alors pχ = gχχ pχ = −R(t)2 pχ . Autrement dit, la coordonnée radiale est telle que R(t)2

dχ = constante , dλ

le long de la géodésique. Pour une particule massive, comme pμ pμ = c2 , on trouve 

dt dτ

2 =1+

R(t)2 (dχ/dτ )2 , c2

300

Relativité générale et astrophysique

avec λ = τ , le temps propre de la particule. Pour une particule de masse nulle, la condition pμ pμ = 0 conduit à  2 dt R(t)2 (dχ/dλ)2 = . dλ c2 3 – Pour une particule sans masse comme le photon, ds2 = 0. Comme nous venons de le montrer, les rayons lumineux qui nous parviennent ont leurs coordonnées angulaires constantes. Ainsi la coordonnée radiale du photon en fonction du temps satisfait à   c dt dr √ (8.7) =− 2 R(t) 1−Kr le signe − étant choisi car on considère les photons qui nous parviennent : autrement dit, r diminue avec le temps. Trois cas doivent être analysés séparément selon le signe de K : (a) Si K = 0, alors

 r=−

t

t0

c dt = −c(τ − τ0 ) + r0 R(t)

(8.8)

où l’on a introduit le temps conforme τ , et la constante d’intégration τ0 ( τ ) correspondant à l’instant d’émission du photon. Le photon décrit une droite avec une vitesse conforme constante. √ (b) Si K > 0, définissons le rayon de courbure b = 1/ K et la coordonnée curviligne χ avec b sin χ = r . Cette coordonnée satisfait différentiellement à dr/b = cos χ dχ , c’est-à-dire dχ =

dr dr dr =

. = √ 2 b cos χ b 1 − K r2 b 1 − sin χ

La relation (8.7) conduit à dχ = −

c dt , b R(t)

ce qui amène une équation très similaire à l’équation (8.8) : c χ = − (τ − τ0 ) + χ0 , b

(8.9)

avec χ0 = arcsin(r0 /b). Cette solution se redéveloppe en   c r = b sin χ = b sin − (τ − τ0 ) + χ0 . b (c) Si K < 0, le raisonnement est le même que précédemment, mais avec des sinus et cosinus hyperboliques. Définissons b = 1/ |K| et la coordonnée curviligne χ avec b sinh χ = r .

Chapitre 8 – Cosmologie

301

L’équation (8.9) reste valide et  c  r = b sinh χ = b sinh − (τ − τ0 ) + χ0 , b avec χ0 = sinh−1 (r0 /b). 4(a) – Supposons que l’oscillation du champ électromagnétique possède une période Te = 1/νe à l’émission et une période Tr = 1/νr à la réception. L’émetteur et le récepteur sont supposés fixes en coordonnées comobiles. Dans ce cas, la relation (8.7) montre que  rr  tr +Tr  tr c dt dr c dt √ = , = 2 R R 1−Kr te re te +Te ce qui conduit à Tr Te − = 0, Rr Re et donc νr =

Re νe . Rr

Si R est une fonction croissante du temps, autrement dit, si l’Univers est en expansion, la fréquence d’un photon reçu est diminuée par rapport à la fréquence d’émission comme le rapport des paramètres d’échelle. Ce décalage vers le rouge pour des photons visibles est communément appelé redshift cosmologique. La fréquence d’un photon est proportionnelle à l’inverse du paramètre d’échelle. La perte d’énergie h ν du photon lors de sa traversée géodétique se retrouve (de façon infinitésimale pour un seul photon) dans la courbure de l’Univers. Le paramètre de redshift, désigné par z, est par définition l’accroissement relatif de la longueur d’onde λ = c/ν : z≡

νe Rr λr − λe = −1= −1. λe νr Re

La vitesse de récession est, par définition, vR = c z, lorsque z 1. Ce n’est pas une vitesse au sens de la relativité générale, quoique l’effet Doppler avec une vitesse d’éloignement égale à vR produise le même changement de fréquence du photon que le rougissement dans un Univers en expansion. On verra dans l’exercice page 310, pour un z suffisamment faible, que vR = H0 d, avec H0 la constante de Hubble, et d la distance propre à laquelle a été émis le photon. 4(b) – Dans le cas des particules non-relativistes, on étudie l’équation qui régit la dérivée de la quadri-vitesse [uμ ]. Seule l’équation sur la dimension temporelle nous servira sachant que la quadri-vitesse est normée (uμ uμ = 1) : du0 + Γ0μν uμ uν = 0 , ds

(8.10)

˙ gij où le point signifie la dérivée par rapport au temps. Pour avec Γ0ij = (R/R) une particule non-relativiste, ds  c dt et la norme u du 3-vecteur vitesse vérifie

302

Relativité générale et astrophysique

u0 =

1 + (u)2 avec (u)2 1. Ainsi, on a du du0 u √  ds dt 1 + u2

et l’équation (8.10) devient R˙ du u √ + u2  0 , 2 dt 1 + u R qui se simplifie en

R˙ u˙ − . u R La vitesse particulière d’une particule voit sa dérivée logarithmique suivre celle du paramètre d’échelle avec un signe moins. Ainsi u ∼ 1/R : la vitesse particulière est proportionnelle à l’inverse du paramètre d’échelle. Dans un Univers en expansion, la vitesse particulière décroît. Un gaz non relativiste qui ne subit que la gravitation a une température (∼ u2 ) qui décroit comme 1/R2 . Références bibliographiques : [5], [10], [17], [18], [19].

[D]  EXERCICE 8.4 Dynamique de l’Univers et équations de FRW-Lemaître – On s’intéresse à l’équation d’Einstein incluant une constante cosmologique Λ, 1 Rμν − gμν Rs = −8πG Tμν + Λ gμν 2

(8.11)

dans le cas d’un Univers muni d’une métrique de FRW. Dans cette équation, Rs est la courbure scalaire de Ricci, que l’on ne confondra pas avec le paramètre d’échelle R(t). On prendra c = 1. Enfin, la matière composant l’Univers sera considérée comme un fluide parfait. 1 – A partir de l’équation d’Einstein, déduire les équations de FriedmannRobertson-Walker-Lemaître (FRWL) qui sont  2 Λ R˙ K 8πG ρ+ , (8.12) + 2 = R R 3 3 ¨ R 4πG Λ =− (ρ + 3P ) + , R 3 3 d(ρR3 ) dR3 = −P , dt dt

(8.13) (8.14)

où le point signifie la dérivée par rapport au temps, ρ la densité propre totale de la matière, considérée comme un fluide, et P , sa pression.

Chapitre 8 – Cosmologie

303

˙ 2 – On définit le taux d’expansion, H ≡ R/R. Dans un Univers sans constante cosmologique, et à partir de deux des trois équations de FRWL reliant la géométrie de l’univers à son contenu en énergie-matière, indiquer l’évolution (densité en fonction du temps et paramètre d’échelle en fonction du temps) d’un Univers de courbure nulle et fait d’un seul type de matière dont l’équation d’état satisfait à l’un de ces quatre critères : (a) P = 0, Univers fait de poussières c’est-à-dire fait de matière ordinaire dont la pression est négligeable par rapport à la densité d’énergie venant de la masse ; (b) P = ρ/3, Univers fait de particules relativistes ; (c) P = −ρ, Univers fait d’énergie sombre, ou encore dominé par une constante cosmologique Λ (montrer l’équivalence) ; (d) P = wρ (le cas généralisé) avec w, une constante. 3 – L’âge de l’Univers est noté t0 . Dans le cas général, on définit la constante de Hubble   R˙ (8.15) H0 ≡ H(t0 ) = R 0

comme la valeur présente du taux d’expansion, et ρc0 ≡ (3H02 )/(8πG), la densité critique actuelle. (a) Que se passe-t-il si la densité totale ρ0 de l’Univers est aujourd’hui égale à la densité critique ρc0 ? On séparera la densité du rayonnement ρr et la densité de la matière non-relativiste ρm . (b) Donner l’âge de l’Univers sous forme d’une intégrale impliquant les densités réduites Ω ≡ ρ0 /ρc0 présentes. Indiquer sous quelles conditions cet âge est fini. Retrouver les 4 cas particuliers de la question précédente.  SOLUTION 1 – Le tenseur énergie-impulsion [Tμν ] ne dépend que de deux quantités du fait du principe cosmologique, la densité totale de la matière ρ et sa pression P , quantités qui ne dépendent que du temps. Dans le référentiel propre du fluide, comme [uμ ] = (1, 0, 0, 0), ce tenseur est tel que Tμν = (ρ c2 + P ) δμ0 δν0 − P gμν , et sa trace vaut T = Tμμ = ρ − 3P (avec c = 1). Le tenseur Tνμ est donc diagonal, et sa diagonale s’écrit [−ρ, P, P, P ] (voir aussi exercice page 250). Relation (8.12) : Evaluons, pour (μ, ν) = (0, 0), les termes de l’équation d’Einstein qui se réécrit aussi   1 Rμν = −8πG Tμν − T gμν + Λ gμν . 2

304

Relativité générale et astrophysique

A partir des coefficients non nuls de la connexion (voir exercice page 291), Γtrr =

R R˙ , c (1 − K r2 )

Γtθθ =

c R˙ , R = −r (1 − K r2 ) ,

R R˙ r2 , c

Γtϕϕ =

R R˙ r2 sin2 θ , c

1 Kr , Γrrr = , r 1 − K r2 = −r (1 − K r2 ) sin2 θ , Γθϕϕ = sin θ cos θ ,

Γrtr = Γθtθ = Γϕtϕ =

Γθrθ = Γϕrϕ =

Γrθθ

Γrϕϕ

Γϕθϕ = cot θ , et de la définition, Rμν = ∂ν Γσμσ − ∂σ Γσμν + Γλμσ Γσλν − Γλμν Γσλσ , on peut facilement montrer que 3R˙ , R ¨ + 2R˙ 2 + 2K RR Rii = − , R2 ¨ + R˙ 2 + K RR Rs = 6 . R2

R00 =

Ainsi l’équation (8.11) donne 

R˙ R

2 +

Λ K 8πG ρ+ . = 2 R 3 3

(8.16)

Mise sous la forme suivante : Λ 8πG ρR3 R˙ 2 − = K + R2 , 3 R 3 cette équation a l’interprétation classique de la conservation de l’énergie totale (c’est-à-dire cinétique et potentielle) dans le cas Λ = 0. La relativité générale nous donne la signification de l’énergie totale sous la forme d’une courbure du 3-espace. La ˙ est sous relation (8.16) illustre comment la dynamique de l’Univers, donnée par R, l’influence combinée de son contenu en matière-énergie, de sa courbure globale et de la constante cosmologique. Pour un Univers avec K = 0 et Λ = 0, la constante de Hubble donne accès directement à la densité de l’Univers : H 2 = (8πG/3)ρ. Relation (8.13) : Pour (μ, ν) = (1, 1), l’équation (8.11) donne ¨ R 4πG Λ =− (ρ + 3P ) + , R 3 3

(8.17)

la même équation serait obtenue pour (μ, ν) = (2, 2) ou (μ, ν) = (3, 3). Ainsi, nous avons trouvé les deux premières équations de Friedmann-Robertson-Walker-Lemaître.

Chapitre 8 – Cosmologie

305

Relation (8.14) : Un peu d’algèbre est requise pour obtenir une troisième équation à partir des deux premières obtenues. Multiplions l’équation (8.16) par R3 et dérivons-la (toujours par rapport au temps) : 8πG d(ρR3 ) Λ d(R3 ) d(RR˙ 2 ) + K R˙ = + , dt 3 dt 3 dt ce qui donne 8πG d(ρR3 ) + ΛR2 R˙ . 3 dt ¨ dans l’équation précédente et d’obtenir L’équation (8.17) nous permet de remplacer R ¨ + R˙ 3 + K R˙ = 2RR˙ R

−

2 8πG 2 ˙ 8πG d(ρR3 ) 2 ˙ R R(ρ + 3P ) + ΛR2 R˙ + R(−ΛR . + R˙ 2 + K) = 3 3 3 dt

(8.18)

L’équation (8.16), multipliée par R2 , nous permet d’évaluer 8πG 2 ΛR2 R˙ 2 + K = ρR + , 3 3 qui est inséré dans la relation (8.18). On développe ainsi en   2 8πG 2 ˙ 8πG 2 ΛR2 8πG d(ρR3 ) − R R(ρ + 3P ) + R˙ ΛR2 − ΛR2 + ρR + , = 3 3 3 3 3 dt ce qui permet d’obtenir la formule finale d(ρR3 ) dR3 = −P . dt dt

(8.19)

C’est la troisième équation de Friedmann-Robertson-Walker-Lemaître. La constante cosmologique a disparu. Sous cette forme, la densité d’énergie comobile ne change que sous les effets de pression. On peut donc parler d’une forme généralisée de conservation de l’entropie : T dS = dU + P dV = 0 (pas d’apport d’énergie externe !). A ce stade, les équations FRWL ne peuvent pas donner de solutions car seulement deux équations sont indépendantes et trois inconnues demeurent, à savoir : R, ρ, et P . 2 – Si l’Univers est dominé par une seule forme d’énergie-matière avec une relation ρ − P , appelée équation d’état, bien définie alors on obtient une solution unique. Distinguons 4 cas pour l’équation d’état : 2(a) – Cas où P = 0 : l’Univers est fait de poussières. Il s’agit en fait de particules sans interaction de taille allant des atomes neutres aux galaxies mais toujours nonrelativistes. Ainsi, l’équation (8.19) nous donne directement :  3 R0 , (8.20) ρ = ρ0 R c’est-à-dire que la densité d’énergie (dominée par l’énergie de masse au repos des particules) suit l’inverse du cube du paramètre d’échelle : le nombre de particules (de

306

Relativité générale et astrophysique

masse m) par volume comobile nc = ρR3 /(mc2 ) est constant. Pour K = 0 et Λ = 0, l’équation (8.16) donne  2 dR 8πG ρ0 R03 . = dt 3 R On prend la racine positive, car expérimentalement l’Univers est en expansion, pour obtenir :  3 dt = R1/2 dR 8πGρ0 R03 qui s’intègre en prenant la référence du temps à R = R0 en t = t0



R R0

3/2 ,

(8.21)

avec t0 = 1/ 6πG ρ0 . Le paramètre d’échelle varie comme le temps à la puissance 2/3. La densité de l’Univers définit son âge. 2(b) – Cas où P = ρ/3 : l’Univers est constitué de particules relativistes de masse nulle. Pour un gaz de photons en équilibre thermique, la distribution d’énergie des photons suit la loi de Planck. La densité d’énergie du gaz, donnée par la loi de StefanBoltzmann, est proportionnelle à la puissance quatrième de la température Tph . La pression de radiation exercée par les photons vaut exactement le tiers de la densité d’énergie. Dans ce cas, l’équation (8.19) nous donne la dérivée logarithmique : d(ρR3 ) 1 dR3 = − , ρR3 3 R3  − 1 donc ρR3 ∝ R3 3 = R−1 , soit  ρ = ρ0

R0 R

4 ,

(8.22)

c’est-à-dire que la densité d’énergie des photons suit l’inverse de la puissance quatrième du paramètre d’échelle. La température Tph du gaz de photons décroît donc comme 1/R. De fait, la température, qui reflète l’énergie moyenne des photons, subit un effet de décroissance (refroidissement) comme les photons subissent l’effet de redshift. Pour K = 0 et Λ = 0, la relation (8.16) donne 

dR dt

2 =

8πG ρ0 R04 . 3 R2

On prend la racine positive, car expérimentalement l’Univers est en expansion, pour obtenir  3 dt = R dR 8πGρ0 R04

Chapitre 8 – Cosmologie

307

qui s’intègre en prenant la référence du temps à R = 0 en t = t0



R R0

2 ,

(8.23)

avec t0 = 1/ 32πGρ0 /3. Le paramètre d’échelle varie comme la racine carrée du temps. La densité de l’Univers définit aussi son âge. 2(c) – Cas où P = −ρ : l’Univers est fait d’énergie sombre. La constante cosmologique Λ peut très bien être intégrée sous la forme d’une densité d’énergie ρΛ , constante dans le temps, dans l’équation (8.16) avec ρΛ =

Λ . 8πG

(8.24)

Dans ce cas, la deuxième équation de FRWL (8.17) n’est valide, en ayant oté la constante cosmologique, que si 4πG Λ =− (ρΛ + 3PΛ ). 3 3 Ainsi, on a Λ =− 4πG



Λ + 3PΛ 8πG



et finalement

Λ = −ρΛ . (8.25) 8πG La pression équivalente de la constante cosmologique est négative. Elle est égale et opposée à la densité d’énergie noire équivalente. L’équation (8.19) est identiquement satisfaite car la densité ρΛ est constante dans le temps. L’équation (8.16) se développe en  Λ R˙ = R 3 L’expansion de l’Univers est exponentielle :   Λ (t − t0 ) . R = R0 exp (8.26) 3 PΛ = −

C’est l’inverse de la racine carrée de la constante cosmologique qui donne le temps typique de la croissance exponentielle du paramètre d’échelle. Un Univers dominé par une constante cosmologique est appelé Univers de de Sitter. 2(d) – Cas généralisé avec une équation d’état de type P = wρ et sans constante cosmologique. L’équation (8.19) nous donne   d R3 d  3 ρR = −wρ , (8.27) dt dt

308

Relativité générale et astrophysique

soit, en développant le terme de gauche,     R3 dρ + ρ d R3 = −w ρ d R3 , d’où

  R3 dρ = −(w + 1) ρ d R3 ,   d R3 dρ = −(w + 1) . ρ R3

et ainsi

On intègre alors, en identifiant les dérivées logarithmiques, avec ρ ∝ R−3(w+1) , soit  ρ = ρ0

R0 R

3(w+1) .

La densité croît en loi de puissance de l’inverse du paramètre d’échelle. Pour K = 0 et Λ = 0, l’équation (8.16) donne 

dR dt

2

3(w+1)

= R2

8πG ρ0 R0 . 3 R3(w+1)

On prend la racine positive : 

3

dt = 8πG

3

3(w+1) ρ0 R0

1

R 2 w+ 2 dR ,

qui s’intègre en prenant la référence du temps à R = R0 en t = t0



R R0

 32 (w+1) ,

(8.28)

 

avec t0 = 1/ (w + 1) 6πGρ0 ou encore t0 =

2H0−1 . 3(w + 1)

On retrouve les cas particuliers, à savoir l’équation (8.21) pour w = 0 et l’équation (8.23) pour w = 1/3. Le cas d’un univers sans matière ni rayonnement mais avec une courbure se retrouve pour w = −1/3 et ρ = −K/R2 = −3P , avec t ∝ R. Seul le cas d’une constante cosmologique n’entre pas dans le cadre de l’équation (8.28). 3(a) – La première équation de FRWL (équation (8.16)) peut se réécrire H2 =

8πG K Λ (ρr + ρm ) − 2 + , 3 R 3

(8.29)

où l’on a séparé la densité du rayonnement (relativiste) ρr de la densité de la matière non-relativiste ρm , cette dernière regroupant la matière baryonique ordinaire et la

Chapitre 8 – Cosmologie

309

matière noire. On observe que, pour le présent, la densité critique de l’Univers se situe à la valeur de 3H02 ρc0 ≡ . (8.30) 8πG Si la densité de l’Univers ρ ≡ ρr + ρm est maintenant égale à la densité critique, alors l’Univers a une courbure et une constante cosmologique nulles. 3(b) – On simplifie l’équation (8.29) en la divisant par H02 : 2  ρr ρm K Λ H = + − 2 2+ . H0 ρc0 ρc0 R H0 3H02

(8.31)

La densité du rayonnement varie comme R−4 , et la densité de la matière comme R−3 . On a retrouvé cette propriété avec un Univers fait d’un seul constituant (équations (8.20) et (8.22)), mais elle reste vraie même si l’Univers est fait de plusieurs composantes qui coexistent (ce qu’il est en pratique !). On définit donc maintenant, pour les différents constituants de l’Univers (y compris la courbure et la constante cosmologique), une densité réduite en divisant la densité de chaque constituant par la densité critique : ρr0 , Ωr ≡ ρc0 ρm0 Ωm ≡ , ρc0 3K K =− 2 2, Ωc ≡ − 2 8πG R0 ρc0 R0 H0 Λ Λ ΩΛ ≡ = . 8πG ρc0 3H02 Ces quantités sont fixes car prises à l’état présent de l’Univers. On définit enfin le paramètre d’échelle réduit : R . (8.32) a≡ R0 Ainsi, les densités s’écrivent simplement ρr = Ωr ρc0 a−4 et ρm = Ωm ρc0 a−3 , et l’équation (8.31) se réduit à la forme suivante : 2  H = Ωr a−4 + Ωm a−3 + Ωc a−2 + ΩΛ . (8.33) H0 C’est sous cette forme qu’apparaît le mieux la décomposition de la dynamique de l’Univers. Pour des paramètres d’échelle suffisamment petits, c’est le rayonnement qui domine. Ensuite, les composantes de matière non-relativistes de courbure puis de constante cosmologique vont prendre peu à peu le dessus et l’une après l’autre (voir figure 8.2). La dérivée par rapport au temps apparaît de façon explicite dans l’équation (8.33) en la réécrivant selon

1 da 1 dR = = H0 Ωr a−4 + Ωm a−3 + Ωc a−2 + ΩΛ , R dt a dt

310

Relativité générale et astrophysique

ce qui permet d’intégrer le temps explicitement :  1 da √ . t0 = H0−1 −2 + Ω a−1 + Ω + Ω a2 Ω a r m c Λ 0

(8.34)

Pour un Univers où l’une au moins des densités réduites de rayonnement, de matière ou de courbure n’est pas nulle, l’intégrale est finie, c’est-à-dire qu’il existe un temps fini dans le passé où le paramètre d’échelle est nul. Seul le cas d’un Univers ne contenant qu’une constante cosmologique a un âge infini. On ne sait pas, en général, trouver analytiquement l’intégrale (8.34), mais on peut représenter graphiquement l’évolution temporelle du paramètre (ou facteur) d’échelle (voir figure 8.1). Les équations (8.21) et (8.23) donnent l’intégrale pour les cas particuliers où une seule composante domine. Références bibliographiques : [5], [10], [17], [18], [19]. 4

m m m Λ

a = R/R0

3

= = = =

0,5 1,0 1,5 1,0

; ; ; ;

c c c c

= = = =

+ + − +

0,5 0,0 0,5 0,0

2

1

0 −2

0

H0(t −t0)

2

4

Figure 8.1 – Evolution temporelle du paramètre d’échelle réduit suivant plusieurs combinaisons de densités réduites (Ωc représente la densité de courbure).

[MD]  EXERCICE 8.5

Paramètre de décélération et densités réduites – L’Univers est muni d’une métrique de FRW de la forme

ds2 = c2 dt2 − R(t)2 dχ2 + F (χ)2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ) , (8.35)

Chapitre 8 – Cosmologie

311

avec χ, la coordonnée radiale, et F , une fonction de χ, toutes deux définies dans l’exercice page 298. On définit le paramètre de décélération comme la valeur au temps t0 notée   ¨ RR q0 ≡ − . (8.36) R˙ 2 0 1 – Montrer comment q0 intervient dans le développement limité (à l’ordre 2) de a ≡ R/R0 en fonction de t au voisinage de t0 . 2 – On rappelle que lorsqu’un photon est reçu à un instant t0 , le redshift cosmologique z relie les valeurs du paramètre d’échelle aux instants t0 et t, où t est l’instant d’émission du photon : ainsi, par définition, z≡

R(t0 ) − 1. R(t)

(a) Donner un développement limité (à l’ordre 2) de z en fonction de t au voisinage de t0 , et de q0 . (b) En déduire un développement limité (à l’ordre 2) de t0 − t et de χ en fonction de z au voisinage de 0. (c) Montrer la loi de Hubble reliant la distance propre d d’une galaxie proche au redshift des photons qu’elle émet : cz d , H0 avec H0 , la constante de Hubble, et z 1. 3 – Exprimer q0 en fonction des densités réduites à partir de la deuxième équation de FRW-Lemaître (voir exercice précédent) : ¨ R 4πG Λ =− (ρ + 3P ) + . R 3 3 4 – Prenons un observateur à un instant où le paramètre d’échelle vaut R. Exprimer les densités réduites ω ≡ ρ/ρc , pour cet observateur, en fonction des densités réduites présentes, Ωm , Ωr , Ωc , ΩΛ et du paramètre réduit a.  SOLUTION 1 – Par définition du paramètre de décélération, si l’on fait un développement limité de a au voisinage de l’instant présent, avec a(t ˙ 0 ) = H0 , on obtient :   1 a = 1 + H0 (t − t0 ) − q0 H02 (t − t0 )2 + o (t − t0 )2 , 2 avec H0 , la constante de Hubble ou taux d’expansion actuel (voir exercice précédent).

312

Relativité générale et astrophysique

2(a) – La formule de Taylor nous donne facilement     1 z = H0 (t0 − t) + 1 + q0 H02 (t0 − t)2 + o (t − t0 )2 . 2 2(b) – L’inversion du développement limité précédent lorsque z 1 conduit à       1 1 2 2 t0 − t = . z − 1 + q0 z + o (t − t0 ) H0 2 t Enfin, comme par définition, χ = t 0 (c/R(t))dt, on trouve  t0 c dt χ= a R0 t  t0 c = [1 + H0 (t − t0 )]−1 dt R0 t     c 1 2 2 = (t0 − t) + H0 (t0 − t) + o (t − t0 ) R0 2   c 1 2 2 = z − (1 + q0 ) z + o(z ) . R0 H0 2 2(c) – La dernière relation nous montre que pour z 1, on a, au premier ordre, χ  c z/(R0 H0 ). D’autre part, la partie spatiale de la métrique (8.35) donne, avec dθ = dϕ = 0 et t = t0 , une distance propre d = R0 χ. On obtient donc la loi de Hubble, valable pour les z 1 : cz d . H0 3 – Pour exprimer q0 en fonction des densités réduites, la deuxième équation de FRW-Lemaître peut se réécrire ainsi :   ¨ R H2 4πG Λ Λ ρc0 Ωm + = − 0 Ωm + , =− R 3 3 2 3 0

ce qui donne, en utilisant les définitions de la densité critique (équation (8.30)) et de la constante de Hubble (équation (8.15)),         ¨ ¨ ¨ RR R R R2 q0 = − =− =− H0−2 , 2 2 ˙ ˙ R R R R 0 0 0 0 c’est-à-dire

Ωm − ΩΛ . 2 Remarque : Ωc n’intervient pas dans q0 . q0 =

(8.37)

Ainsi, un univers dominé par une constante cosmologique subit une accélération du paramètre d’échelle (car q0 négatif).

Chapitre 8 – Cosmologie

313

4 – Pour les densités réduites ω à un instant différent du moment présent, le calcul est direct à partir de l’équation (8.33). Le voici pour la densité de matière : ωm =

ρm ρm0 a−3 Ωm = = , 2 −1 ρc ρc0 (H/H0 ) Ωr a + Ωm + Ωc a + ΩΛ a 3

(8.38)

pour la densité réduite de courbure : ωc = −

K R2 H 2

=

Ωr

a−2

Ωc + Ωm a−1 + Ωc + ΩΛ a2

pour la densité de constante cosmologique : ωΛ =

Λ ΩΛ = , 2 −4 −3 3H Ωr a + Ωm a + Ωc a−2 + ΩΛ

(8.39)

et pour la densité de rayonnement (ou particules relativistes) : ωr = 1 − ωc − ωm − ωΛ =

Ωr

a−1

Ωr a−1 . + Ωm + Ωc a + ΩΛ a 3

Ces relations impliquent que, tant que la densité de rayonnement est petite, les modèles d’Univers dans le passé tendent vers un Univers dit d’Einstein-de Sitter avec ωm = 1 et ωΛ = 0. Dans le futur, on a toujours ωΛ → 1 aux dépens de toutes les autres composantes (tant que Λ est non nul). Total Particules relativistes Matière non-relativiste Constante cosmologique Maintenant

Densité réduite

1,5

1,0

0,5

0,0 106

105

104

103

102

1 + z = 1/a

101

100

10−1

Figure 8.2 – Evolution des différentes densités réduites en fonction du redshift (ou de l’inverse du paramètre d’échelle).

314

Relativité générale et astrophysique

[MD]  EXERCICE 8.6 Distance angulaire et distance de luminosité – L’Univers est muni de la métrique de FRW de la forme

ds2 = c2 dt2 − R(t)2 dχ2 + F (χ)2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ) , (8.40) avec χ la coordonnée radiale, et F une fonction de χ, toutes deux définies dans l’exercice page 298. Selon les théories actuelles, un sursaut gamma (ou Gamma-Ray Burst) est un objet astrophysique résultant soit de l’effondrement gravitationnel d’une étoile très massive, soit de la coalescence de deux objets compacts de type étoiles à neutrons ou trous noirs. Il est composé d’un trou noir central, entouré d’un disque d’accrétion épais, et produit un éjecta ultrarelativiste responsable d’une forte émission de photons. Le redshift de certains sursauts gamma peut dépasser 5. 1 – Montrer que la coordonnée radiale χ d’un sursaut gamma dont le redshift est z peut s’écrire 

R(t0 )

χ(z) = R(t0 )/(1+z)

c dR , R˙ R

avec R˙ = dR/dt, et t0 , l’instant où l’on mesure le redshift. 2 – On considère deux photons émis par l’éjecta à une coordonnée radiale χ1 , à un instant t1 , et séparés initialement par une distance spatiale d. Exprimer sous quel angle seront observés ces deux photons, par un observateur terrestre placé en χ0 = 0 et t = t0 , en fonction de d et de la distance angulaire, notée DA , définie par DA = R(t1 ) F (χ1 ). 3 – On suppose que l’éjecta est sphérique et de luminosité L lorsqu’il atteint une coordonnée radiale χ1 , à un instant t1 et pendant un temps δt1 . Exprimer le flux surfacique d’énergie mesuré par l’observateur terrestre à l’instant t0 en supposant que l’énergie moyenne des photons, pour un observateur fondamental placé en χ1 , est égale à E1 au moment de l’émission. On donnera ce flux en introduisant la distance de luminosité, notée DL , et définie par DL = R(t0 )2 F (χ1 )/R(t1 ). En déduire une relation entre la distance angulaire, la distance de luminosité et le redshift z du sursaut gamma.  SOLUTION 1 – Comme, pour un photon, ds2 = dθ2 = dϕ2 = 0, on a dχ = c dt/R(t), ce qui donne  t0 c dt . χ= t1 R(t)

Chapitre 8 – Cosmologie

315

Le changement de variable défini par dt dR = , R (dR/dt) R conduit à l’expression 

R(t0 )

χ(z) = R(t0 )/(1+z)

c dR , R˙ R

puisque R(t1 ) = R(t0 )/(1 + z). 2 – Les deux photons parviennent à l’observateur en suivant des géodésiques avec des coordonnées angulaires constantes (voir exercice page 298). D’après la métrique, la distance spatiale initiale d s’écrit d = R(t1 ) F (χ1 ) (dθ2 + sin2 θ dϕ2 )1/2 , en supposant infinitésimales les différences dθ et dϕ entre les coordonnées angulaires des deux photons. Or, par définition, l’angle dΩ sous lequel seront observés les photons est justement égal à (dθ2 + sin2 θ dϕ2 )1/2 . On a donc dΩ =

d d . = R(t1 ) F (χ1 ) DA

3 – La luminosité L peut s’écrire L = Nγ E1 /δt1 , avec Nγ , le nombre de photons émis par l’éjecta à l’instant t1 pendant δt1 . Pour l’observateur, ces Nγ photons seront uniformément répartis sur une sphère de rayon R(t0 ) χ1 , et de surface 4π R(t0 )2 F (χ1 )2 . Par ailleurs, leur énergie moyenne E0 est, pour l’observateur, égale à (R(t1 )/R(t0 )) E1 . Enfin, leur émission s’étale sur une durée δt0 = (R(t0 )/R(t1 )) δt1 . Ainsi, le flux surfacique d’énergie au niveau de l’observateur s’écrit Φobs =

Nγ E0 L = 2 , 4π R(t0 )2 F (χ1 )2 δt0 4π DL

avec DL = R(t0 ) F (χ1 ) (1 + z), où l’on a introduit le redshift z = R(t0 )/R(t1 ) − 1. La relation entre la distance de luminosité et la distance angulaire est donc DA =

DL . (1 + z)2

On voit donc que la distance angulaire est toujours plus faible que la distance de luminosité. Remarque : Dans ces calculs, on ne s’intéresse pas à la luminosité ou à l’énergie des photons dans le référentiel comobile à l’éjecta. La luminosité L est bien celle mesurée par un observateur spatialement fixe en χ1 qui voit passer l’éjecta. Dans le cas contraire, il faudrait tenir compte du facteur de Lorentz élevé de l’éjecta qui peut atteindre plusieurs centaines.

316

Relativité générale et astrophysique

[MD]  EXERCICE 8.7

Horizon cosmique et taille de l’Univers – L’Univers est muni de la métrique de FRW de la forme

ds2 = c2 dt2 − R(t)2 dχ2 + F (χ)2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ) , avec χ la coordonnée radiale, et F une fonction de χ, toutes deux définies dans l’exercice page 298. Dans un modèle d’Univers supposant un Big Bang initial, choisi comme origine des temps t = 0, on peut supposer que le paramètre d’échelle suit une loi de puissance du type R(t) = R0 (t/t0 )α , avec R0 = R(t0 ) et α > 0. 1 – Exprimer la coordonnée radiale χ du lieu d’émission d’un photon en prenant comme origine la position d’un observateur fondamental recevant le photon en t0 . Pour quelles valeurs de α, cette coordonnée reste-elle finie ? 2 – L’horizon cosmique d’un observateur, à un instant t0 , peut être défini comme le lieu des points de l’Univers ayant une coordonnée radiale χ maximale. Exprimer cette valeur maximale, notée χH (t0 ), en fonction de t0 et de α. Que vaut alors le redshift cosmologique d’un photon émis à l’horizon ? 3 – Exprimer la distance propre de l’horizon cosmique pour un observateur fondamental, à un instant t0 , en fonction de la constante de Hubble H0 . Faire l’application numérique avec H0 = 67,8 km/s/Mpc, et α = 2/3.  SOLUTION 1 – Pour un photon (voir précédemment) émis à l’instant t et reçu à l’instant t0 par un observateur fondamental placé en χobs = 0, la coordonnée radiale du lieu d’émission est   1−α   t0 t 1 c t0 c dt χ(t) = = 1− , ) R(t 1 − α R t 0 0 t si α = 1. Cette coordonnée reste donc finie pour tout 0 < t < t0 si et seulement si 0 < α < 1. Pour α = 1, on obtient    t0 c t0 t0 c t0 dt χ(t) = = ln ,  R0 t R0 t t dont la valeur devient infinie lorsque t tend vers 0. 2 – La valeur χH (t0 ) n’existe que pour 0 < α < 1 et vaut donc χH (t0 ) = χ(0) =

1 c t0 . 1 − α R0

Chapitre 8 – Cosmologie

317

Le redshift d’un photon émis à l’horizon s’écrit   α t0 zH = lim − 1 = +∞. t→0 t Autrement dit, au-delà de l’horizon cosmique, aucun photon ne peut parvenir à l’observateur : cette région extérieure à l’horizon est causalement déconnectée de l’observateur. 3 – D’après la métrique, la distance propre de l’horizon, à l’instant t0 , est simplement dH (t0 ) = R0 χH (t0 ) =

αc 1 , 1 − α H0

puisque, par définition, ˙ 0) R(t α = . R(t0 ) t0 Avec H0 = 67,8 km/s/Mpc, et α = 2/3, on trouve dH  28,8 milliards d’annéeslumière. On notera que cette valeur est fortement dépendante de l’exposant α, luimême déterminé par le contenu de l’Univers en matière et en rayonnement, et par la constante cosmologique Λ. H0 =

Références bibliographiques : [5], [10], [17], [18], [19].

[MD]  EXERCICE 8.8 Age de l’Univers et paramètre d’échelle – L’Univers est muni de la métrique de FRW. On admet (voir exercice page 302) que l’âge de l’Univers, noté t0 , est donné par l’intégrale  1 da √ , (8.41) t0 = H0−1 −2 Ωr a + Ωm a−1 + Ωc + ΩΛ a2 0 avec H0 , la constante de Hubble, a ≡ R/R0 , le paramètre d’échelle réduit, et les densités réduites présentes Ωr , Ωm , Ωc , ΩΛ de rayonnement, de la matière, de la courbure et de la constante cosmologique, respectivement. 1 – Donner l’expression exacte de l’âge de l’Univers en fonction de la densité réduite de matière Ωm et de la constante de Hubble, pour un modèle d’Univers à deux fluides : poussières et constante cosmologique. (Aide : on pourra faire le changement de variable x = a3/2 .) 2 – (a) Application numérique : les derniers résultats expérimentaux, en particulier venant du satellite Planck, sont en faveur d’un Univers de courbure nulle avec Ωm = 0,307 et H0 = 67,8 km/s/Mpc. Donner l’âge de l’Univers. (b) A quel instant le paramètre d’échelle de l’Univers accélère-t-il ? Quelle est alors sa valeur ?

318

Relativité générale et astrophysique

 SOLUTION 1 – Pour le cas d’un Univers dominé par la matière non-relativiste et la constante cosmologique, et avec le changement de variable x = a3/2 , l’équation (8.41) devient :  dx 2 1

. H0 t 0 = 3 0 Ωm + (1 − Ωm )x2  m Effectuons le changement de variable u = x 1−Ω Ωm . On obtient facilement 

 1−Ω m Ωm du 2 √ H0 t 0 = √ . (8.42) 3 1 − Ωm 0 1 + u2 √ √ On rappelle que la primitive de 1/ 1 + u2 est argsh(u) = ln(u + 1 + u2 ). Cela donne simplement l’âge présent de l’Univers : √   1 + 1 − Ωm 2 √ √ ln t0 = . 3H0 1 − Ωm Ωm 2(a) – Pour une constante de Hubble H0 égale à 67,8 km/s/Mpc, soit H0−1  14,4 milliards d’années, et pour une densité réduite de matière de 0,307, on obtient H0 t0 = 0,958, donc l’âge de l’Univers est de 13,8 milliards d’années. 2(b) – Le moment où l’accélération de l’Univers commence se définit par q(t) = 0, ce qui équivaut, d’après l’équation (8.37) écrite à l’instant t, à ωm = 2 ωΛ . De plus, comme ωm + ωΛ = 1, on trouve ωm = 2/3 et ωΛ = 1/3. On combine avec les équations (8.38) et (8.39), pour obtenir 2ΩΛ Ωm = , Ωm + ΩΛ a3acc Ωm a−3 acc + ΩΛ soit a3acc =

Ωm , ce qui conduit à 2ΩΛ aacc =



Ωm 2 (1 − Ωm )

1/3 .

Pour l’application numérique, le paramètre d’échelle est de 0,605, soit un redshift de zacc = 1/aacc − 1 = 0,65. D’après la question 1, on peut poser  √ 1 − Ωm 3/2 uacc = aacc = 1/ 2, Ωm et la relation (8.42) intégrée donne l’âge de l’Univers au moment du début de l’accé lération : √  2 1+ 3 √ √ tacc = ln , 3H0 1 − Ωm 2 soit environ 7,6 milliards d’années.

Chapitre 8 – Cosmologie

319

√ √ Remarque : D’après l’équation (8.33), comme H0 1 − Ωm = H(tacc ) 1 − ωm , on peut également retrouver ce résultat en écrivant  √  √   1 + 1 − ωm 2 1+ 3 2 √ √ √ tacc = ln ln , = √ ωm 3H0 1 − Ωm 3H0 1 − Ωm 2 Références bibliographiques : [5], [10], [17], [18], [19].

[MD]  EXERCICE 8.9 Voyage intergalactique – On considère un voyageur intergalactique se déplaçant à une vitesse spatiale v par rapport à un observateur fondamental, dans un Univers en expansion muni de la métrique de FRW de la forme

ds2 = c2 dt2 − R(t)2 dχ2 + F (χ)2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ) , (8.43) avec χ la coordonnée radiale, et F une fonction de χ, toutes deux définies dans l’exercice page 298. On supposera que le voyageur est suffisamment loin de l’influence de tout champ gravitationnel produit par une étoile ou une galaxie, et qu’il n’a plus de carburant. 1 – Exprimer la vitesse v en fonction de R et de χ au temps cosmique t. En déduire la quadri-vitesse propre du voyageur en fonction de v et de R. 2 – On considère deux observateurs fondamentaux mesurant la vitesse du voyageur respectivement aux instants t1 et t2 avec t1 < t2 . (a) Exprimer le rapport R(t1 )/R(t2 ) en fonction des vitesses mesurées. (b) On suppose que v1 c. Montrer que la vitesse v2 est également non relativiste. 3 – A l’instant t0 , un observateur fondamental, pris comme origine des coordonnées, mesure une vitesse v0 c pour le voyageur. (a) Déterminer à l’instant t > t0 , la coordonnée radiale χ, en fonction de R0 = R(t0 ), dans les deux cas suivants : 1. R(t) ∝ t, correspondant à un Univers vide (ΩT = Ωm = 0), 2. R(t) ∝ t2/3 correspondant à un Univers critique (Ωm = 1, K = 0). En déduire, dans chacun des cas, la coordonnée radiale maximale χmax que peut atteindre le voyageur. (b) Exprimer, dans les deux cas précédents, la coordonnée radiale χgal d’une galaxie dont le redshift est z pour l’observateur fondamental à t0 . En déduire le redshift zmax de la galaxie la plus lointaine que peut atteindre le voyageur, en fonction de v0 .

320

Relativité générale et astrophysique

 SOLUTION 1 – N’ayant plus de carburant, on sait que le voyageur suit une géodésique et qu’il garde ses coordonnées angulaires constantes. Sa vitesse, à un instant t, est celle mesurée par un observateur spatialement fixe. Pour cet observateur fondamental, le voyageur parcourt une distance R(t)dχ pendant un intervalle de temps dtobs = dt (voir exercices pages 87 et 90). La vitesse du voyageur est donc égale à v = R(t)

dχ . dt

(8.44)

En notant τ le temps propre mesuré par le voyageur, le long de sa géodésique et d’après la métrique (8.43), on a c2 dτ 2 = c2 dt2 − R(t)2 dχ2 , ce qui, d’après l’expression de v, conduit à dt 1 =

. dτ 1 − v 2 /c2 Enfin, on trouve également dχ dt 1 dχ v = =

. dτ dt dτ 1 − v 2 /c2 R(t) Ce sont les deux seules composantes non nulles de la quadri-vitesse propre du voyageur. 2(a) – Le long de la géodésique du voyageur, on peut écrire (voir exercice page 298) R2 (t)

dχ = constante. dτ

(8.45)

D’après l’expression obtenue précédemment pour dχ/dτ , on obtient donc γ(v1 ) R(t1 ) v1 = γ(v2 ) R(t2 ) v2 .

avec le facteur de Lorentz du voyageur γ(v) = 1/ 1 − v 2 /c2 , et en posant v1 = v(t1 ) et v2 = v(t2 ). Autrement dit, R(t1 ) γ(v2 ) v2 = . R(t2 ) γ(v1 ) v1 2(b) – Avec v1 c, la relation (8.46) devient R(t1 )2 2 v22 = v , 2 2 1 − v2 /c R(t2 )2 1

(8.46)

Chapitre 8 – Cosmologie

321

ce qui conduit à v2 =

R(t1 ) R(t2 )

−1/2  v 2 R(t1 )2 v1 . 1 + 21 c R(t2 )2

L’Univers étant en expansion R(t1 )/R(t2 ) < 1, donc on a bien v2 c. 3(a) – Puisque v0 c, la vitesse v à un instant t ultérieur est donc telle que v c. Avec γ(v0 )  γ(v)  1, la relation (8.46) donne v=

R0 v0 . R(t)

Ainsi, la relation (8.44) qui s’écrit dχ =

R0 v0 dt , R(t)2

peut s’intégrer dans les deux cas proposés : 1. Puisque R(t) = R0 (t/t0 ), χ(t) =

v0 t20 R0



1 1 − t0 t

 ,

(8.47)

ce qui, pour t → +∞, tend vers χmax = v0 t0 /R0 . 2. Avec R(t) = R0 (t/t0 )2/3 , 4/3

3v0 t0 χ(t) = R0



1 1/3

t0

−

1 t



1/3

.

(8.48)

et l’on déduit : χmax = 3 v0 t0 /R0 . 3(b) – Pour avoir la coordonnée radiale de la galaxie, il faut déterminer la coordonnée à laquelle a été émis un photon de redshift z que reçoit l’observateur fondamental en t0 . Pour un tel photon, dχ = c dt/R(t). 1. Dans le premier cas, comme R(t) = R(t) = R0 (t/t0 ), on a z=

t0 R(t0 ) −1= − 1, R(t1 ) t1

avec t1 , l’instant d’émission du photon considéré. Ainsi, on obtient la coordonnée radiale de la galaxie,  t0 c t0 c t0 dt = ln(1 + z). χgal = R t R0 0 t1 D’après la relation (8.47), l’instant t auquel le voyageur atteindra cette galaxie est donc tel que   1 1 v0 t20 c t0 − ln(1 + z) , = R0 t0 t R0

322

Relativité générale et astrophysique

ce qui conduit à t=

1 , H0 [1 − (c/v0 ) ln(1 + z)]

˙ 0 )/R(t0 ) = 1/t0 . Le puisque la constante de Hubble est, par définition, H0 = R(t redshift maximal zmax est donc tel que 1 − (c/v0 ) ln(1 + zmax ) = 0 , c’est-à-dire

v0 , c puisque v0 c. On retrouve également ce résultat en égalant χmax et χgal . zmax = exp(v0 /c) − 1 

2. Dans le deuxième cas, R(t) = R0 (t/t0 )2/3 implique  z=

t0 t1

2/3 − 1,

avec t1 , l’instant d’émission du photon considéré. La coordonnée radiale de la galaxie est donc  2/3  t0 2/3 t0 c 3c t0 1/3 1/3 dt = (t0 − t1 ) , χgal = R t R 0 0 t1 c’est-à-dire χgal =

√ 3c t0 (1 + z − 1 + z). R0

La relation (8.48) donne l’instant t auquel le voyageur atteindra cette galaxie et qui est tel que   4/3 √ 3v0 t0 1 1 3c t0 − 1/3 = (1 + z − 1 + z), 1/3 R0 R0 t t 0

ce qui donne

t0 t=

3 . √ 1 − (c/v0 ) (1 + z − 1 + z)

Le redshift maximal zmax est alors tel que 1 − (c/v0 ) (1 + zmax −

√ 1 + zmax ) = 0 ,

ce qui, avec v0 c, conduit à zmax  2v0 /c.

Formulaire abrégé de relativité générale Ce formulaire est destiné à rappeler aux étudiants les définitions physiques et mathématiques, ainsi que les équations de base que l’on rencontre dès que l’on aborde la relativité générale. Il n’est en aucun cas exhaustif, et ne peut certainement pas remplacer un cours détaillé. Néanmoins, il peut s’avérer très pratique lors de la résolution d’exercices. Enfin, ce formulaire contient toutes les notations utilisées dans cet ouvrage qui ne sont pas définies dans les énoncés ou les corrections de problèmes. On se place dans un espace-temps E, variété pseudo-riemannienne de dimension 4 munie d’un système de coordonnées curvilignes {xμ }μ∈0,3 dont la composante temporelle sera notée x0 . On prendra des indices grecs lorsque ces derniers varient de 0 à 3, et des indices latins lorsque seules les composantes spatiales interviennent, c’est-à-dire pour des indices variant entre 1 et 3.

1. Géométrie différentielle et formalisme tensoriel 1.1. Définition d’une variété lisse On appelle topologie (ou encore structure topologique) sur un ensemble E, un ensemble X de parties de E tel que 1. La réunion de toute famille d’éléments de X appartient à X. 2. L’intersection de toute famille finie d’éléments de X appartient à X. Un espace topologique est un ensemble muni d’une topologie. On appelle partie ouverte, ou ouvert, toute partie de E appartenant à X. Un homéomorphisme est une bijection bicontinue entre deux espaces topologiques. Enfin, si deux points distincts de E admettent des voisinages distincts, alors l’espace topologique est dit séparé (ou de Hausdorff).

324

Relativité générale et astrophysique

Variété topologique de dimension n : espace topologique séparé dont tout point est contenu dans un ouvert homéomorphe à Rn . Carte d’une variété topologique E : couple (U, Φ), avec U un ouvert de E, appelé domaine de la carte, et Φ : U → Rn un homéomorphisme. La donnée d’une carte équivaut à celle d’un système de coordonnées. Atlas d’une variété topologique E : famille de cartes dont la réunion des domaines recouvre E. Deux cartes (U1 , Φ1 ) et (U2 , Φ2 ) sont compatibles d’ordre k (k ∈ N ) si 1. U1 ∩ U2 = ∅ k 2. φ2 ◦ φ−1 1 : φ1 (U1 ∩ U2 ) → φ2 (U1 ∩ U2 ) est un C -difféomorphisme. Atlas de classe C k : atlas de cartes deux à deux compatibles d’ordre k. Il est maximal s’il contient toutes les cartes compatibles d’ordre k. Structure différentielle de classe C k : atlas maximal de classe C k . Variété différentielle de classe C k : variété topologique de dimension n munie d’une structure différentielle de classe C k . Si k = +∞, la variété est dite lisse ou analytique.

1.2. Espaces vectoriels tangents, métrique et produit scalaire En tout point M de E, une variété lisse, on définit l’espace vectoriel tangent à E, noté TM (E), dont une base {eμ } est la base naturelle (ou base coordonnée) définie par eμ =

∂M ≡ ∂μ . ∂xμ

Le dual de TM (E) ou espace vectoriel cotangent à E, noté TM (E), admet une base duale {eμ } associée à {eμ }, constituée des formes linéaires coordonnées (voir ci-après) : eμ ≡ dxμ . Dans la suite, sauf mention contraire, E désigne la variété lisse nommée espace-temps, et la base {eμ } est la base naturelle associée au système de coordonnées curvilignes {xμ }μ∈0,3 . En tout point M de E, on munit TM (E) d’une forme bilinéaire g qui est symétrique, non dégénérée et de signature 2 (+, −, −, −) ou, de manière équivalente, (−, +, +, +). Cette forme bilinéaire ou la forme quadratique associée est appelée métrique de E. Une variété lisse munie d’une telle métrique est une variété pseudo-riemannienne. Si la métrique a pour signature −2, en tout point M de E, il existe une base B de TM (E) telle que, pour tout (U, V) ∈ [TM (E)]2 , g(U, V) = u0 v 0 − u1 v 1 − u2 v 2 − u3 v 3 , 2. Mathématiquement, la signature est égale à 1 − 1 − 1 − 1 = −2 ou −1 + 1 + 1 + 1 = 2.

Formulaire

325

avec U = [uμ ] et V = [v μ ] dans B. En tout point M de E, on définit : dans la base {eμ ⊗ eν }, le tenseur métrique g = gμν eμ ⊗ eν , avec les composantes covariantes gμν = g(eμ , eν ) ; dans la base {eμ ⊗ eν }, le tenseur métrique dual g = g μν eμ ⊗ eν , avec les composantes contravariantes g μν = g (eμ , eν ) ; dans la base {eμ ⊗ eν }, les composantes mixtes g μν = < eμ , eν > = δνμ . Pour deux vecteurs quelconques U = [uμ ] et V = [v ν ] de TM (E), le produit scalaire (ou pseudo-produit scalaire) est défini par U · V = g(U, V) = gμν uμ v ν = uν v ν . La norme (ou pseudo-norme) ||U|| d’un vecteur U associée à ce produit scalaire est telle que ||U||2 = g(U, U). Propriétés du produit scalaire : 1. Si U · V = 0 alors U et V sont orthogonaux pour g. 2. Pour une métrique de signature −2, un vecteur U est : du genre temps si et seulement si g(U, U) > 0, du genre espace si et seulement si g(U, U) < 0, du genre lumière ou nul si et seulement si g(U, U) = 0. 3. Un vecteur U est unitaire si et seulement si g(U, U) = [±]1. 4. < eμ , eν >= g μλ gλν = δνμ . 5. Dans TM (E), l’ensemble des vecteurs de genre lumière est appelé cône isotrope de g. L’ensemble des rayons lumineux émis depuis un point M de E est appelé cône de lumière en M . Les formes linéaires coordonnées en un point M de E : dxμ : TM (E) V = v ν eν

→ R → dxμ (V) =< eμ , V >= v μ .

Vecteur déplacement infinitésimal : ds = eμ dxμ , avec dxμ =< eμ , ds >. Expression de la métrique ou de la forme quadratique associée : ds2 = g(ds, ds) = gμν dxμ dxν . Pour un observateur mesurant un intervalle de temps propre Δτ lorsqu’il se déplace d’un vecteur ds : ds2 = [±]c2 Δτ 2 , le signe étant égal à l’opposé de celui de la signature.

326

Relativité générale et astrophysique

En tout point M de de E, on peut toujours définir un système de coordonnées {xμ }μ∈0,3 localement cartésiennes tel que, dans un voisinage de M ,  gμν (x ) = ημν + O[(x − xM )2 ] ,

avec [ημν ] = diag(1, −1, −1, −1), si la métrique a pour signature −2.

1.3. Changements de bases Formule de changement de base : soient B = {eμ }μ∈0,3 et B  = {fμ }μ∈0,3 , deux bases quelconques de TM (E), telles que, ∀μ ∈ 0, 3, eμ = [P νμ ] fν , avec [P νμ ] la matrice de passage de B à B  . Tout vecteur U = [uμ ] dans B est tel que uμ = P μν uν , uμ = Pν μ uν , avec U = [uμ ] dans B  . Pour un tenseur T de type ( k ), cette relation se généralise : 

..ρ 1 ..μ Tνμ1 ..ν = Pρ1μ1 . . . Pρμ · P σν11 . . . P σνkk Tσρ11..σ . k k

Formule de changement de base naturelle ou de coordonnées pour un tenseur T de type ( k ) : soit {xμ }μ∈0,3 , un nouveau système de coordonnées sur E. Avec P μν = ∂xμ /∂xν et Pν μ = ∂xμ /∂xν , on a 

1 ..μ Tνμ1 ..ν = k

∂x 1 ∂x  ∂xσ1 ∂xσk ρ1 ..ρ . . . · . . . T . ∂xρ1 ∂xρ ∂xν1 ∂xνk σ1 ..σk μ

μ

Formule du changement de déterminant du tenseur métrique : soit g le déterminant du tenseur métrique dans le système de coordonnées {xμ }μ∈0,3 , et g  le déterminant du tenseur métrique dans le système de coordonnées {xμ }μ∈0,3 , alors



|g  | = |J| |g| avec J, le jacobien ou déterminant de la matrice de passage (jacobienne) [P μν ].

1.4. Connexion de Levi-Civita et dérivation En tout point M de E, on définit la différentielle absolue (ou covariante) d’un (co-)vecteur V = [v μ ] : dV = Dv μ eμ = Dvμ eμ , avec les relations suivantes : Dv μ = (∂α v μ + v β Γμβα ) dxα = dv μ + v β Γμβα dxα , Dvμ = (∂α vμ − vβ Γβμα ) dxα = dvμ − vβ Γβμα dxα ,

Formulaire

327

et les coefficients de la connexion dite de Levi-Civita ou symboles de Christoffel, Γμαβ = g μσ Γ σαβ = Γμαβ = gμσ Γσαβ =

1 μσ g (∂β gασ + ∂α gσβ − ∂σ gβα ) , 2

1 (∂α gμβ + ∂β gμα − ∂μ gβα ) . 2

∂eα ∂eα >, ou de façon équivalente, = Γμαβ eμ . β ∂x ∂xβ Différentielles absolues des vecteurs de la base naturelle : Par définition : Γμαβ = < eμ ,

deμ = ∂ν eμ dxν = ωμν eν , deμ = ∂ν eμ dxν = ω μν eν , avec les formes différentielles ωμν = < eν , deμ > = Γνμα dxα , ω μν = < deμ , eν > = −Γμνα dxα , ωμν = eν · deμ = Γναμ dxα , et les relations ∂ν eμ = Γαμν eα et ∂α (< eμ , eν >) = 0. Autres propriétés : dgμν = gμα ωνα + gνα ωμα = (Γμνα + Γνμα ) dxα , ∂α gμν = Γμνα + Γνμα , (si la torsion est nulle), Γνμα = Γναμ Γνμα = Γναμ . Tenseur dérivée covariante ∇V d’un (co-)vecteur V = [v μ ] : Composantes covariantes : ∇ν vμ = ∂ν vμ − vα Γαμν . Composantes mixtes : ∇ν v μ = ∂ν v μ + v α Γμαν . Autre notation :

v μ; j = v μ, ν + v α Γμαν .

Par définition : Dv μ = ∇ν v μ dxν , et Dvμ = ∇ν vμ dxν . Propriété : si, pour tout (μ, ν) ∈ 0, 32 , ∇ν v μ = 0, alors le champ vectoriel V est uniforme. Divergence d’un (co-)vecteur V = [v μ ] : ∇ · V = ∇μ v μ = ∇μ vμ .

328

Relativité générale et astrophysique

Rotationnel d’un (co-)vecteur V = [v μ ] : ∇ ∧ V = [(rot V)μν ] = [∇μ vν − ∇ν vμ ]. Remarque : en dimension 3, le rotationnel d’une 1-forme A peut être défini comme le vecteur dont les composantes sont égales à celles de la 2-forme différentielle ω = dA dans la base {dxμ ∧ dxν , μ < ν} (voir exercice page 33). Laplacien ou d’Alembertien d’un champ scalaire f : f = ∇μ ∇μ f = ∂μ ∂ μ f . β α Pour un champ tensoriel T = [tα μν ] : T = ∇β ∇ tμν . Tenseur dérivée covariante seconde ∇(∇V) d’un vecteur V = [v μ ] : Composantes mixtes : ∇λ ∇ν v μ = ∂λ ∂ν v μ + (∂λ Γμσν ) v σ + Γμσν ∂λ v σ + Γμλσ ∂ν v σ + Γμλσ Γμρν v ρ − Γσλν ∂σ v μ − Γσλν Γμρσ v ρ . Différentielle d’un champ scalaire f en un point M de E : dM f : TM (E) → V = v μ eμ →

R dM f (V) = v μ ∂μ f (M ) .

En particulier : dM f (eμ ) = ∂μ f (M ). Abus de notation et usage : 1. dM f = df = ∂μ f (M ) dxμ = ∂μ f dxμ . 2. df = ∂μ f dxμ (dxμ eμ ) = ∂μ f dxμ . Gradient d’un champ scalaire f : ∇f : E M

→ TM (E)  → ∇f (M ) = ∂μ f (M ) eμ .

Autrement dit : ∇f (M ) = dM f = ∂μ f eμ ∈ TM (E), et ∇f (M ) est la dérivée covariante du champ scalaire f en M avec ∇μ f = ∂μ f . Action d’un vecteur V sur un champ scalaire f : V(f ) =< ∇f (M ), V >= v μ ∂μ f (M ). Abus de notation : df =< ∇f (M ), dxν eν >= ∂μ f dxμ . Vecteur gradient d’un champ scalaire f en M ou dual de ∇f (M ) :  (M ) = g μν ∂ν f (M ) eμ . ∇f  (M ) Propriété : si Σ est une surface définie en M par f (M ) = 0, alors le vecteur ∇f est orthogonal à Σ. Différentielle absolue (ou covariante) d’un tenseur T = [tα μν ] : λ μ ν dT = ∇λ tα μν dx eα ⊗ e ⊗ e μ ν = Dtα μν eα ⊗ e ⊗ e ,

avec les composantes du tenseur dérivée covariante ∇T de T : α σ α α σ α σ ∇λ tα μν = ∂λ tμν + tμν Γ λσ − tσν Γ λμ − tμσ Γ λν .

Formulaire

329

Pour le tenseur métrique : Dgμν = 0 et ∇λ gμν = 0. Relations utiles : 1 ∂ν ln |g|, 2   1 g αβ Γραβ = − ∂λ g λρ |g| , |g| 

 1 ∇μ Aμ = ∂μ |g| Aμ , |g| 

 1 2 φ ≡ ∇μ ∇μ φ = ∂μ |g| g μλ ∂λ φ , |g| 

 1 |g| F μν , ∇μ F μν = ∂μ |g| Γμμν =

avec g, le déterminant du tenseur métrique, Aμ , les composantes contravariantes d’un vecteur, φ, un scalaire, et F μν , les composantes contravariantes d’un tenseur antisymétrique. Dérivée directionnelle ou dérivée de Lie au point M , d’un champ scalaire f , dans la direction du vecteur V = [v μ ] : ∇V f (M ) = v μ ∇μ f = v μ ∂μ f . Par définition : ∇V f (M ) = dM f (V). Dérivée directionnelle au point M , d’un champ vectoriel U = [uμ ], dans la direction du vecteur V = [v μ ] : ∇V U(M ) = v ν ∇ν uμ eμ . Soit V = [dxμ /dλ], le vecteur tangent à la courbe C (ligne de courant), définie par xμ (λ), alors ∇V U(M ) = dU/dλ est la dérivée absolue ou intrinsèque de U le long de C et a pour composantes Duμ duμ = + Γμνσ uν dλ dλ duμ Duμ = − Γνμσ uν dλ dλ

dxσ , dλ dxσ . dλ

Conséquences : 1. Pour deux vecteurs de la base : ∇eν eμ = Γαμν eα . 2. Si ∇V U(M ) = 0, alors U est transporté parallèlement le long de C. 3. C est une géodésique ⇔ ∇V V(M ) = 0, pour tout M de C.

330

Relativité générale et astrophysique

Par définition, si C est une géodésique définie par xμ (s), alors d2 xμ Dx˙ μ + Γμαν = ds ds2 d2 xμ Dx˙ μ = − Γαμν ds ds2

dxα dxν = 0, ds ds dxα dxν = 0, ds ds pν ∇ν pμ = 0 , 1 p˙μ = (∂μ gνα ) pν pα , 2

avec pμ = x˙ μ dxμ /ds. Dérivée directionnelle seconde au point M , d’un champ vectoriel U = [uμ ], dans la direction du vecteur V = [v μ ] : ∇V (∇V U) (M ) = v ν ∇ν (v α ∇α uμ ) eμ . Dérivée de Lie au point M , d’un champ vectoriel U = [uμ ], dans la direction du vecteur V = [v μ ] (avec une torsion nulle) : LV U(M ) = [U, V] = (v ν ∇ν uμ − uν ∇ν v μ ) eμ = (v ν ∂ν uμ − uν ∂ν v μ ) eμ . Si, pour tout M , LV U(M ) = 0, on dit que le vecteur est Lie-transporté le long des lignes de courant du vecteur V. Si, au point M , V = eλ , alors LV U(M ) = ∂λ uμ eμ . Dérivée directionnelle au point M , d’un champ tensoriel T = [tα μν ], dans la direction du vecteur V : T(M + h V) − T(M ) . h→0 h

∇V T(M ) = lim

Soit V = [dxμ /dλ], le vecteur tangent à la courbe C, définie par xμ (λ), alors ∇V T(M ) = dT/dλ est la dérivée absolue ou intrinsèque de T le long de C et a pour composantes dtα Dtα dxβ μν μν σ α σ = + (tσμν Γαβσ − tα . σν Γ βμ − tμσ Γ βν ) dλ dλ dλ Si dT/dλ = 0, alors T est transporté parallèlement le long de C. ...μk Dérivée de Lie au point M , d’un champ tensoriel T, de composantes tμν11...ν , dans la p direction du vecteur V (avec une torsion nulle) : ...μk LV T(M ) = v σ ∂σ tμν11...ν p μk μ1 ...λ k − (∂λ v μ1 ) tλ...μ ν1 ...νp − . . . − (∂λ v ) tν1 ...νp ...μk 1 ...μk + (∂ν1 v λ ) tμλ...ν + . . . + (∂νp v λ ) tμν11...λ . p

Formulaire

331

Un champ vectoriel de Killing K = [k μ ] est défini par : LK (g) = k λ ∂λ gμν + gλν ∂μ k λ + gμλ ∂ν k λ = 0 , ce qui est équivalent à l’équation de Killing : ∇μ kν + ∇ν kμ = 0. 

Quadri-volume T d’une partie compacte V de E : T = |g| dx0 dx1 dx2 dx3 . V

1.5. Tenseurs remarquables α Tenseur de torsion S = [Sμν ] (identiquement nul en RG standard) : α Sμν = Γαμν − Γανμ . α Soit f , un champ scalaire : ∇μ (∂ν f ) − ∇ν (∂μ f ) = Sμν ∂α f .

Tenseur de Riemann ou tenseur de courbure : Composantes mixtes et covariantes (le signe dépend de la convention choisie) :   Rβμνα = [±] ∂ν Γβμα − ∂α Γβμν + Γσμα Γβσν − Γσμν Γβσα , 1 Rμναβ = [±] (∂β ∂μ gνα − ∂β ∂ν gμα + ∂α ∂ν gμβ − ∂α ∂μ gνβ ) 2 − g σρ (Γσμα Γρνβ − Γσμβ Γρνα ) . Règles de symétrie : Rβμνα = −Rβμαν = −Rμβνα = Rναβμ , Rμναβ = Rαβμν = −Rμνβα = −Rνμαβ . Par définition : Rμναβ = gμσ Rσναβ . Identités cycliques : Rβμνα + Rβαμν + Rβναμ = 0 , Rμναβ + Rμαβν + Rμβνα = 0 . Identités de Ricci : ∀ V ∈ TM (E) ,

(∇ν ∇α − ∇α ∇ν ) v β = [±]Rβμνα v μ , (∇ν ∇α − ∇α ∇ν ) vβ = [±]Rμβαν vμ ,

avec v μ et vμ les composantes de V. Tenseur de Ricci R = [Rμν ] : Composantes covariantes (le signe dépend de la convention choisie) : Rμν ≡ [±]Rσμνσ = [±](∂ν Γσμσ − ∂σ Γσμν + Γλμσ Γσλν − Γλμν Γσλσ ) .

332

Relativité générale et astrophysique

Propriété de symétrie : Rμν = Rνμ . Courbure scalaire ou de Ricci : R = g μν Rμν = Rμμ . Identités de Bianchi : ∇σ Rμναβ + ∇α Rμνβσ + ∇β Rμνσα = 0 ,   1 ∇μ Rμν − g μν R = 0 . 2 Autres relations : ∇σ Rνα + ∇α Rμνμσ + ∇μ Rμνσα = 0 , ∇σ Rνα − ∇α Rνσ + ∇μ Rμνσα = 0 , ν ∇ν Rα − ∇α R + ∇μ Rμννα = 0 ,

avec, par définition, Rμναβ = g νσ Rμσαβ . Tenseur d’Einstein G = [Gμν ] : 1 G = R − Rg. 2 Règle de symétrie : Gμν = Gνμ . Tenseur de Weyl pour une variété pseudo-riemannienne de dimension n : Composantes covariantes avec (a, b, c, d) ∈ 1, n4 : Cabcd = Rabcd −

1 (gac Rbd + gbd Rac − gbc Rad − gad Rbc ) n−2 1 + (gac gbd − gad gbc ) R , (n − 1)(n − 2)

avec Rab = Rcacb . d Propriété : Cadc = g bd Cabcd = 0.

2. Espace-temps et dynamique 2.1. Quadri-vitesse, quadri-impulsion et quadri-accélération Soit une particule P , de masse m non nulle, en M . La ligne d’univers de P est l’ensemble des points de l’espace-temps occupés par P . La quadri-vitesse ou vitesse propre de P : u = dM/dτ , avec l’intervalle de temps propre dτ = ds/c. Ce quadri-vecteur est tangent à la ligne d’univers de P paramétrée par le temps propre τ . Le genre de la ligne d’univers de P est le même que celui de sa quadri-vitesse. Composantes contravariantes : uμ = dxμ /dτ .

Formulaire

333

La quadri-vitesse normalisée ou unitaire de P : u ˜ = u/c. La vitesse coordonnée de P : v = [dxi /dx0 ], avec i ∈ 1, 3. L’espace local de repos pour un observateur de quadri-vitesse u en M : espace vectoriel orthogonal à u en M . La quadri-impulsion de P : p = m u. L’énergie de P mesurée par un observateur de quadri-vitesse normalisée u ˜0 = [˜ uμ0 ] μ dans le cas d’une signature égale à −2 : E = c p · u ˜ 0 = c pμ u ˜0 . Pour une métrique de signature −2, les pseudo-normes au carré sont : u · u = c2 , u ˜·u ˜ = 1, p · p = m2 c2 . La quadri-accélération de P : a = du/dτ = ∇u u. Composantes contravariantes : aμ = Duμ /dτ = uν ∇ν uμ . Une particule est dite libre si elle ne subit que l’interaction gravitationnelle. On a alors : a = 0, et sa ligne d’univers est une géodésique. Un observateur libre est appelé aussi observateur inertiel. Sur une particule non libre, il s’exerce une quadri-force f définie par : f = dp/dτ. Cette quadri-force est dite pure si elle orthogonale à la quadri-vitesse u de la particule : < f , u > = 0. Dans ce cas, f = m a. Pour une particule de masse nulle comme le photon, le temps propre n’étant pas défini, il suffit de prendre les dérivées par rapport à un paramètre affine de sa ligne d’univers. De plus, la quadri-impulsion est de genre lumière : p · p = 0.

2.2. Tenseur énergie-impulsion et équations d’Einstein Tenseur énergie-impulsion T : tenseur de type (02 ) ou forme bilinéaire symétrique sur TM (E) telle que, pour tout observateur, de quadri-vitesse normalisée u0 , on définit : 1. une densité d’énergie : ε = T(u0 , u0 ), 2. un vecteur densité d’impulsion : jp = − 1c T(u0 , ei ) ei , 3. un tenseur des contraintes S de composantes covariantes : Sij = T(ei , ej ). avec {ei }i∈1,3 une base orthonormale de l’espace local de repos de l’observateur. On notera T ≡ Tμμ . Condition faible sur l’énergie : ∀V ∈ TM (E) de genre temps, T(V, V)  0. Condition forte sur l’énergie : ∀V ∈ TM (E) de genre temps, T(V, V)  Relation entre la courbure scalaire et la trace de T : R = [±]

8πG T. c4

1 2

T V · V.

334

Relativité générale et astrophysique

Equations d’Einstein avec une constante cosmologique nulle : 8πG Tμν , c4   8πG 1 = [±] 4 Tμν − T gμν . c 2

Gμν = [±] Rμν

Equations d’Einstein avec une constante cosmologique Λ non nulle : 8πG Tμν + Λ gμν , c4   8πG 1 = [±] 4 Tμν − T gμν + Λ gμν . c 2

Gμν = [±] Rμν

2.3. Espace-temps de Minkowski Métrique de Minkowski d’un espace-temps plat ou avec un champ gravitationnel négligeable : ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 . Pour tout (μ, ν, α) ∈ {t, x, y, z}3, Γαμν = 0. Référentiel : ensemble de points de E spatialement fixes par rapport à un observateur muni d’une horloge mesurant le temps, appelé temps propre de l’observateur. Une telle définition de référentiel ne peut être que locale pour un espace-temps quelconque. Un référentiel est dit inertiel lorsqu’il est lié à un observateur inertiel (voir aussi l’exercice 3.1). Transformation de Lorentz : Soient R et R deux référentiels inertiels fixes respectivement dans les systèmes de coordonnées cartésiennes {t, x, y, z} et {t , x , y  , z  }. Si R est en translation à la vitesse v selon x, alors Δt = γv [Δt − (β/c) Δx] , Δx = γv [Δx − β c Δt] , Δy  = Δy , Δz  = Δz , 1 avec le facteur de Lorentz γv =

, et β = v/c. 1 − β2 En introduisant la rapidité ψ = tanh−1 β, cette transformation devient, selon t et x, c Δt = cosh(ψ) c Δt − sinh(ψ) Δx , Δx = cosh(ψ) Δx − c sinh(ψ) Δt . Autres relations : γ = cosh(ψ), et γ β = sinh(ψ).

Formulaire

335

Composition des vitesses et des accélérations : Dans R, une particule située en (t, x(t), y(t), z(t)) aura pour 3-vecteur vitesse v , le vecteur de composantes vx = dx/dt, vy = dy/dt, vz = dz/dt. Dans R , en translation à la vitesse v selon x, ces composantes deviennent dx vx − v = , dt 1 − vx v/c2 dy  vy , vy =  = dt γv (1 − vx v/c2 ) dz  vz vz =  = . dt γv (1 − vx v/c2 )

vx =

Le 3-vecteur accélération a, de composantes ax = dvx /dt, ay = dvy /dt, et az = dvz /dt, deviendront dans R , dvx ax = 3 , dt γv (1 − vx v/c2 )3 dvy ay vy v ax + 2 2 , ay =  = 2 dt γv (1 − vx v/c2 )2 c γv (1 − vx v/c2 )3 dv  az vz v ax az = z = 2 + 2 2 . dt γv (1 − vx v/c2 )2 c γv (1 − vx v/c2 )3

ax =

2.4. Principe d’équivalence Les lois de la physique prennent la même forme (ou sont covariantes) dans un référentiel localement inertiel en présence d’un champ gravitationnel non nul et dans un référentiel inertiel en l’absence de champ gravitationnel.

2.5. Champs gravitationnels faibles Métrique d’un champ gravitationnel faible créé par une masse ponctuelle M en coordonnées sphériques :     2 Φ(r) 2 Φ(r) 2 2 dt − 1 − ds2 = 1 + c (dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θ dϕ2 ) , c2 c2 avec Φ(r) = −G M/r, le potentiel gravitationnel newtonien.

2.6. Espace-temps de Schwarzschild Métrique de Schwarzschild en coordonnées de Schwarzschild, pour un trou noir non chargé et sans rotation :  rs  2  rs −1 2 dt − 1 − ds2 = c2 1 − dr − r2 dθ2 − r2 sin2 θ dϕ2 , r r

336

Relativité générale et astrophysique

avec le rayon de Schwarzschild rs = 2 G M/c2 , où M est la masse du trou noir central. Equations des géodésiques pour une particule quelconque :  

1−

1−

rs  ˙ t = C1 , r

rs c2 ˙2  rs −2 rs 2 rs −1 t r¨ + − 1 − r˙ − r (θ˙2 + sin2 θ ϕ˙ 2 ) = 0 , r 2 r2 r 2 r2 2 r˙ θ˙ − sin θ cos θ ϕ˙ 2 = 0 , θ¨ + r r2 sin2 θ ϕ˙ = C2 ,

avec C1 et C2 , deux constantes liées respectivement à l’énergie et au moment cinétique orbital de la particule. Les dérivées sont prises par rapport au temps propre de la particule si elle est massive, ou bien par rapport à un paramètre affine de sa ligne d’univers pour une particule de masse nulle. Coefficients non nuls de la connexion : rs −1 rs  rs −1 rs  c2 rs  rs  1− 1− , Γrrr = − 2 1 − , Γrtt = , 2 2 2r r 2r r 2r r   rs  rs  1 , Γrϕϕ = −r sin2 θ 1 − , Γθrθ = Γϕrϕ = , = −r 1 − r r r = − sin θ cos θ , Γϕθϕ = cot θ .

Γtrt = Γrθθ Γθϕϕ

2.7. Espace-temps de Kerr Métrique de Kerr, en coordonnées de Boyer-Lindquist, pour un trou noir non chargé et en rotation, de masse M et de moment cinétique J :   2c rs r a sin2 θ ρ2 2 rs r ds2 = c2 1 − 2 dr − ρ2 dθ2 dt dϕ − dt2 + 2 ρ ρ Δ   rs r a2 sin2 θ 2 2 − r +a + sin2 θ dϕ2 , ρ2 avec rs , le rayon de Schwarzschild, et en notant a = J/(M c), ρ2 = r2 + a2 cos2 θ, et Δ = r2 − rs r + a2 . En posant Σ2 = (r2 + a2 )2 − a2 Δ sin2 θ, cette métrique peut se mettre sous la forme ds2 =

Δ − a2 sin2 θ 2 2 2c rs r a sin2 θ ρ2 2 dr − ρ2 dθ2 c dt + dt dϕ − 2 2 ρ ρ Δ Σ2 sin2 θ − dϕ2 . ρ2

Formulaire

337

Invariants associés aux vecteurs de Killing ∂t et ∂ϕ pour une particule quelconque :  rs  ˙ c rs a ϕ˙ p t = c2 1 − t+ r r  rs  c rs a ˙ t − r 2 + a2 1 + pϕ = ϕ˙ , r r avec pμ = dxμ /dλ, et λ un paramètre affine de la géodésique. Equations des géodésiques pour une particule de masse m (= 0) dans le plan θ = π/2, arrivant de l’infini et telle que pθ = 0 :    rs  E0 1  2 a rs Lz r + a2 1 + − pt = , Δ r c2 cr 

a2 (E0 /c)2 − m2 c2 − L2z E02 m2 c2 rs r 2 2 + −m c + p = c2 r r2  2 1/2 rs [Lz − a (E0 /c)] + , r3   rs  1 a rs E0  + 1− Lz , pϕ = Δ cr r avec E0 = pμ uμ , l’énergie de la particule à l’infini et Lz = r2 pϕ = −pϕ , son moment cinétique orbital. Equations des géodésiques pour une particule de masse nulle dans le plan θ = π/2, arrivant ou retournant à l’infini et telle que pθ = 0 :    rs  a rs h 1  2 t 2 p = r +a 1+ − , Δ r cr  2   1/2  a 2 r  a 2 h h2 s 1− − , + 2 pr = ± − 2 1 − r b r b b rs   1  a rs c   + 1− h , pϕ = Δ r r avec  = pt /c2 , h = −pϕ , et b = h/( c). Equations des géodésiques principales, avec a = h/( c), pour une particule de masse nulle dans le plan θ = π/2, arrivant ou retournant à l’infini et telle que pθ = 0 : (r2 + a2 )  , Δ pr = ±c , ca , pϕ = Δ pt =

le signe − correspondant aux particules entrantes, et le signe + aux particules sortantes.

338

Relativité générale et astrophysique

3. Electromagnétisme Dans cette section, on définit un observateur O ayant une quadri-vitesse normalisée u0 = [uμ0 ], et muni d’une tétrade orthonormée {u0 , ei }i∈1,3 . Les matrices sont exprimées par rapport à cette tétrade. Avertissement : le système d’unités est le système international (S.I.). Tenseur de Maxwell ou tenseur champ électromagnétique F = [Fμν ] : Pour l’observateur O : Fμν = −δ0μ Eν + δ0ν Eμ + c 0jμν B j , avec j ∈ 1, 3, ce qui équivaut à ⎛ 0 −E1 ⎜ E1 0 [Fμν ] = ⎜ ⎝ E2 −c B 3 E3 c B 2

−E2 c B3 0 −c B 1

⎞ −E3 −c B 2 ⎟ ⎟, c B1 ⎠ 0

 = [B μ ] = avec E = [Eμ ] = (0, E1 , E2 , E3 ) la forme linéaire champ électrique, et B 1 2 3 (0, B , B , B ) le vecteur champ magnétique, tous les deux relatifs à l’observateur O et à sa tétrade. Propriété d’antisymétrie : Fμν = −Fνμ . Relations champ électromagnétique-tenseur de Maxwell : Eμ = Fμν uν0 , 1 B μ = − μαβν Fαβ uν0 . 2c Equations de Maxwell : ∇[λ Fμν] = 0 ∇μ F μν = μ0 j ν ,

⇔

∇λ Fμν + ∇ν Fλμ + ∇μ Fνλ = 0,

avec j = [j μ ], le quadri-vecteur courant électrique. Quadri-force f = [fμ ] agissant sur une particule de charge q et de quadri-vitesse normalisée u : fμ = q Fμν uν .    ·B  −E  ·E  , avec E  = [E μ ]. Champ scalaire invariant : Fαβ F αβ = 2 c2 B    ·B  .  ·E  + c2 B Densité d’énergie électromagnétique : εem = 12 0 E

Formulaire

339

Quadri-potentiel A = [Aμ ] : Fμν = ∇μ Aν − ∇ν Aμ

⇔

F = dA ,

avec dA la dérivée extérieure de A (voir exercice page 243). Jauge de Lorenz : ∇μ Aμ = 0 ⇒ Aμ = μ0 jμ . Conservation locale de la charge électrique : ∇μ j μ = 0. Tenseur dual de Hodge F = [Fμν ] : Fμν = Pour l’observateur O : ⎛ 0 c B1 1 ⎜ −c B 0 [Fμν ] = ⎜ ⎝ −c B 2 −E3 −c B 3 E2

1 μναβ F αβ . 2 c B2 E3 0 −E1

⎞ c B3 −E2 ⎟ ⎟. E1 ⎠ 0

 >. Champ scalaire invariant : Fαβ F αβ = 4 c < E, B Autres écritures des équations de Maxwell (voir aussi exercice page 275) : dF = 0 J d  F = ε−1 0

⇔ ∇ν  F μν = 0 ⇔

μ ∇ν F μν = ε−1 0 j

⇔ ⇔

∂Fνλ ∂Fλμ ∂Fμν + + = 0, ∂xμ ∂xν ∂xλ   ∂

1 μ

|g| F μν = ε−1 0 j , |g| ∂xν

où d désigne la dérivée extérieure (voir exercice page 243), |g| la valeur absolue du déterminant du tenseur métrique et J = [jμ ], la 1-forme associée à j par dualité métrique. Equation de d’Alembert : F = −ε−1 0 dJ. μ Avec le quadri-potentiel : Aμ − ∇ν ∇μ Aν = ε−1 0 j . Equation d’onde électromagnétique (dans le vide, J = 0) : F = 0. Tenseur impulsion-énergie du champ électromagnétique T = [Tμν ] :   1 α αβ Tμν = 0 Fαμ F ν − Fαβ F gμν . 4 Tenseur des contraintes de Maxwell pour l’observateur O :

˜0 ⊗ u ˜ 0 ) − E ⊗ E − c2 B ⊗ B , Sem = 0 εem (g + u  par dua˜ 0 = [u0μ ], et B = [Bμ ] les 1-formes associées respectivement à u0 et B avec u lité métrique.

340

Relativité générale et astrophysique

4. Cosmologie 4.1. Principe cosmologique L’Univers est spatialement isotrope en chacun de ses points ou, ce qui est équivalent, l’Univers est homogène et isotrope.

4.2. Métrique de Friedmann-Robertson-Walker (FRW) En coordonnées spatiales comobiles {r, θ, ϕ}, et temporelle synchronisée t (temps cosmique) :   dr2 2 2 2 2 2 2 2 2 ds = c dt − R (t) + r (dθ + sin θ dϕ ) , 1 − K r2 avec K ∈ {−1, 0, 1} le coefficient de courbure, et R(t) un paramètre d’échelle. Un observateur fixe en r, θ, ϕ est appelé observateur fondamental. Coefficients non nuls de la connexion : Γtrr =

R R˙ , c (1 − K r2 )

Γtθθ =

c R˙ , R = −r (1 − K r2 ) ,

R R˙ r2 , c

Γtϕϕ =

R R˙ r2 sin2 θ , c

1 Kr , Γrrr = , r 1 − K r2 = −r (1 − K r2 ) sin2 θ , Γθϕϕ = sin θ cos θ ,

Γrtr = Γθtθ = Γϕtϕ =

Γθrθ = Γϕrϕ =

Γrθθ

Γrϕϕ

Γϕθϕ = cot θ , avec R˙ = dR/dt. Composantes non nulles du tenseur de Ricci : ¨ 3R , 2 c R ¨ + 2R˙ 2 + 2c2 K RR , = [±] c2 (1 − K r2 ) ¨ + 2R˙ 2 + 2c2 K) r2 (R R = [±] , c2 ¨ + 2R˙ 2 + 2c2 K) sin2 θ r2 (R R = [±] , c2

Rtt = [±] Rrr Rθθ Rϕϕ ¨ = d2 R/dt2 . avec R

En coordonnées spatiales comobiles {χ, θ, ϕ}, et temporelle synchronisée t (temps cosmique) :

ds2 = c2 dt2 − R(t)2 dχ2 + F (χ)2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ) ,

Formulaire

341

avec r = F (χ) tel que ⎧ si K = 1, ⎨ sin χ F (χ) = sinh χ si K = −1, ⎩ χ si K = 0.

4.3. Equations de FRW-Lemaître Avec les notations précédentes, les équations de FRWL sont  2 R˙ Λ c2 K c2 8πG ρ+ , + 2 = R R 3 3   ¨ R 4πG Λ c2 3P =− , ρ+ 2 + R 3 c 3 P dR3 d(ρR3 ) =− 2 , dt c dt où le point signifie la dérivée par rapport au temps, Λ la constante cosmologique, ρ la densité propre totale de la matière, considérée comme un fluide, et P , sa pression.

4.4. Paramètres cosmologiques Les valeurs actuelles des grandeurs physiques, en t = t0 , sont indicées par 0. Paramètre de Hubble : H(t) =

˙ R(t) . R(t)

Constante de Hubble : H0 = H(t0 ). Paramètre de décélération : q(t) = − Paramètre d’échelle réduit : a(t) = Densité critique : ρc (t) =

¨ R(t) R(t) . ˙ 2 R(t)

R(t) . R0

3H(t)2 . 8π G

Densité d’énergie du vide : ρΛ (t) = ρΛ =

Λ c2 . 8π G

ρi (t) , ρc (t) avec i = m pour la matière, i = r pour le rayonnement, et i = Λ pour le vide.

Paramètres de densité ou densités réduites : Ωi (t) =

Densité de courbure réduite : Ωc (t) = −

c2 K . H(t)2 R(t)2

Paramètre de densité totale : ΩT = Ωm + Ωr + ΩΛ .

342

Relativité générale et astrophysique

Pour un fluide cosmologique, dont l’équation d’état pour chacune des composantes est pi = wi ρi c2 , avec pi la pression et ρi la densité de la composante i, on a ρi (t) ∝ R(t)−3 (1+wi ) , avec wi = 0 pour de la poussière, wi = 1/3 pour le rayonnement, et wi = −1 pour le vide. Décalage vers le rouge ou redshift cosmologique pour un photon émis à l’instant t et reçu en t0 : R0 − 1. z= R(t) Relations entre les paramètres cosmologiques : Ωm (t) + Ωr (t) + ΩΛ (t) + Ωc (t) = 1, ΩT (t) = 1 − Ωc (t), q(t) = 

H(t) H0

2

1 [Ωm (t) + 2Ωr (t) − 2ΩΛ (t)] , 2

= Ωr0 a−4 + Ωm0 a−3 + Ωc0 a−2 + ΩΛ0 .

Remarque : dans certains exercices du chapitre 8, les densités réduites Ωi (t) à un instant t quelconque sont notées ωi avec i = m, r, Λ ou c, tandis que les densités réduites au temps présent sont notées Ωi .

Quelques constantes astrophysiques On trouvera les noms, les symboles et les valeurs en unités du système international (S.I.) et en unités gaussiennes (C.G.S.) de quelques constantes astrophysiques utilisées dans cet ouvrage ou, de façon plus générale, dans la littérature scientifique. Quantités physiques

S.I.

C.G.S.

Vitesse de la lumière dans le vide c = 2,99792458 108 m·s−1

2,99792458 1010 cm·s−1

Constante gravitationnelle

G = 6,6726 10−11 m3 ·s−2 ·kg−1 6,6726 10−8 dyne·cm2 ·g−2

Constante de Planck

h = 6,6261 10−34 J·s

6,6261 10−27 erg·s

Charge élémentaire

e = 1,6022 10−19 C

4,8032 10−10 statcoul

Masse de l’électron

me = 9,1094 10−31 kg

9,1094 10−28 g

Masse du proton

mp = 1,6726 10−27 kg

1,6726 10−24 g

Permittivité du vide

ε0 = 8,8542 10−12 F·m−1

Perméabilité du vide

μ0 = 4π 10−7 N·A−2

Section efficace Thomson

σT = 6,6525 10−29 m2

6,6525 10−25 cm2

Constante de Stefan-Boltzmann

σ = 5,6705 10−8 W·m−2 ·K−4

5,6705 10−5 erg·cm−2 ·s−1 ·K−4

Constante de Boltzmann

kB = 1,3807 10−23 J·K−1

1,3807 10−16 erg·K−1

Masse solaire

M = 1,99 1030 kg

1,99 1033 g

108

6,96 1010 cm

Rayon solaire

R = 6,96

Gravité de surface solaire

g = 2,74 102 m·s−2

2,74 104 cm·s−2

Constante solaire

1,36 103 W·m2

1,36 106 erg·cm2 ·s−1

Rayon de Schwarzschild solaire

2955 m

2,955 105 cm

Unité Astronomique

1 U.A.= 1,496 1011 m

m

1015

1,496 1013 cm

Année-lumière

1 a. . = 9,46

m

9,46 1017 cm

Parsec

1 pc = 3,09 1016 m

3,09 1018 cm

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Bibliographie Ouvrages accessibles en Master [1] Cartan, H., Cours de calcul différentiel, 1977 (nouveau tirage 1997), Hermann. [2] Einstein, A., La théorie de la relativité restreinte et générale, 1916, rééd. 2004, Dunod. [3] Hakim, R., Gravitation relativiste, 2001, collection Savoirs Actuels, EDP Sciences/CNRS Editions. [4] Heyvaerts, J., Astrophysique. Etoiles, univers et relativité, 2012, Dunod. [5] Hobson, M.P., Efstathiou, G.P., Lasenby, A.N., Relativité générale, 2010, De Boeck. [6] Lafontaine, J., Introduction aux variétés différentielles, 1996, collection Grenoble Sciences, Presses Universitaires de Grenoble. [7] Lachièze-Rey, M., Initiation à la cosmologie, 4e éd., 2004, Dunod. [8] Landau, L.D., Lifchitz, E., Théorie des champs, 5e éd., 1994, Mir/Ellipses. [9] Ludvigsen, M., La relativité générale, une approche géométrique, 2000, Dunod. [10] Rich, J., Principe de la cosmologie, 2002, Les Editions de l’Ecole Polytechnique. [11] Schwartz, L., Les tenseurs, 1975 (nouveau tirage 1998), collection Méthodes, Hermann. [12] Schutz, B., A First Course in General Relativity, 2e éd., 2009, Cambridge University Press. [13] Thorne, K.S., Trous noirs et distorsions du temps, 1997, Flammarion.

346

Relativité générale et astrophysique

Ouvrages et publications de niveau Master et Doctorat [14] Carroll, S.M., Lecture Notes on General Relativity, 1997, arXiv:gr-qc/9712019. [15] Gourgoulhon, E., Relativité restreinte. Des particules à l’astrophysique, 2010, collection Savoirs Actuels, EDP Sciences/CNRS Editions. [16] Gourgoulhon, E., An Introduction to Relativistic Hydrodynamics, in Stellar Fluid Dynamics and Numerical Simulations : From the Sun to Neutron Stars, Eds Rieutord, M., Dubrulle, B., 2006, EAS Publications Series 21, arXiv: gr-qc/0603009. [17] Misner, C.W., Thorne, K.S., Wheeler, J.A., Gravitation, 1973, Freeman & Co. [18] Weinberg, S., Cosmology, 2008, Oxford University Press. [19] Weinberg, S., Gravitation and Cosmology, 1972, John Wiley & Sons Inc.

Publications scientifiques de niveau Recherche [20] Arnowitt, R.L., Deser, S., Misner, C. W., Canonical Analysis of General Relativity, in Recent Developments of General Relativity, 1962, Polish Scientific Publisher, p. 127. [21] Blandford, R.D., Znajek, R.L., Electromagnetic Extraction of Energy from Kerr Black Holes, 1977, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 179, p. 433–456. [22] Camenzind, M., Les noyaux actifs de galaxies : galaxies de Seyfert, QSO, quasars, lacertides et radiogalaxies, 1997, Lecture notes in physics 46, Springer. [23] Cartan, E., Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie), 1923, Annales scientifiques de l’E.N.S. 3ème série, tome 40, p. 325–412. [24] Cartan, E., Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (deuxième partie), 1925, Annales scientifiques de l’E.N.S. 3ème série, tome 42, p. 17–88. [25] Chandrasekhar, S., The Mathematical Theory of Black Holes, 1983, Oxford University Press. [26] Durrer, R., Straumann, N., Some Applications of the 3+1 Formalism of General Relativity, 1988, Helvetica Physica Acta 61, 8, p. 1027–1062. [27] Font, J.A., Numerical Hydrodynamics and Magnetohydrodynamics in General Relativity, 2008, Living Rev. Relativity 11, 7, http ://www.livingreviews.org/ lrr-2008-7. [28] Gourgoulhon, E., 3+1 Formalism in General Relativity ; Bases of Numerical Relativity, 2012, Lecture Notes in Physics 846, Springer.

Bibliographie

347

[29] Gourgoulhon, E., An Introduction to the Theory of Rotating Relativistic Stars, 2010, arXiv:gr-qc/1003.5015v2. [30] Komissarov, S.S., Electrodynamics of Black Hole Magnetospheres, 2004, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 350, p 427–448. [31] MacDonald, D.A., Thorne, K.S., Black Hole Electrodynamics - An AbsoluteSpace/Universal-Time Formulation, 1982, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 198, p. 345–382. [32] Thorne, K.S., MacDonald, D.A., Electrodynamics in Curved Spacetime : 3+1 Formulation, 1982, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 198, p. 339. [33] Thorne, K.S., Price, R.H., MacDonald, D.A., Black Hole, the Membrane Paradigm, 1986, Yale University Press. [34] Will, C.M., Capture of Non-Relativistic Particles in Eccentric Orbits by a Kerr Black Hole, 2012, Classical and Quantum Gravity 29, issue 21.

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Index A ADM (équations), 268 âge de l’Univers, 303, 317 d’Alembert (équation de), 339 d’Alembertien, 328 atlas, 324

B base coordonnée, 68, 324 base duale, 324 base naturelle, 324 Bianchi (identité de), 55, 332 Big Bang, 291 binaire (système), 231 Binet (formule généralisée de), 127 Birkhoff (théorème de), 114 Blandford-Znajek (processus de), 284 boost, 204 Boyer-Lindquist (coordonnées de), 153

C carte, 324 Carter (constante de), 159 Cauchy (rayon de), 205 censure cosmique, 172 champ électrique, 244, 338 champ gravitationnel constant, 90 champ magnétique, 244 champs faibles, 99, 241 changement de base, 326 Christodoulou (formule de), 194 Christoffel (symboles de), 19, 39, 327 coefficients de rotation, 67 collapse, 141

composante poloïdale, 284 composante stricte, 36 condition sur l’énergie, 333 cône de lumière, 325 cône isotrope, 325 conforme (transformation), 62 congruence, 291 connexion, 23 connexion (coefficients de la), 19, 39, 327 constante cosmologique, 241, 302 constante de Hubble, 303, 341 contrainte hamiltonienne, 269 contrainte impulsionnelle, 269 coordonnées comobiles, 291 coordonnées contravariantes, 8 coordonnées covariantes, 8 coordonnées géodésiques, 57 coordonnées isotropes, 150 coordonnées normales de Riemann, 57 courbe auto-parallèle, 28 courbure extrinsèque, 75, 84 courbure intrinsèque, 84 courbure scalaire, 55, 332 crochet de Lie, 12

D de Sitter (Univers de), 307 décalage vers le rouge, 101, 164, 301 densité critique, 303, 341 densité d’énergie, 333 densité de courbure, 341 densité du rayonnement, 303 densité réduite, 303, 310, 341

350 dérivation, 12 dérivation covariante, 23 dérivée absolue, 329, 330 dérivée covariante, 43 dérivée covariante seconde, 43, 328 dérivée de Fermi-Walker, 71 dérivée de Lie, 13, 330 dérivée directionnelle, 329 dérivée extérieure, 34 déviation géodésique, 65, 220 différentielle, 328 différentielle absolue, 326, 328 distance angulaire, 314 distance de luminosité, 314 divergence, 276, 327 domaine, 324 Doppler (effet), 106 dual, 324 dualité de Hodge, 243 dualité métrique, 8

E Eddington-Finkelstein (coordonnées de), 146 effet de marée, 119 effet Doppler, 106 effet Einstein, 103, 257 effet Lense-Thirring, 187, 204 effet Shapiro, 124 Einstein (anneau d’), 134 Einstein (équation d’), 211, 334 Einstein (tenseur d’), 111, 332 Einstein-de Sitter (Univers d’), 313 énergie, 333 énergie sombre, 243, 307 équation d’onde, 339 ergorégion, 171, 173 ergosphère, 173 espace absolu, 68, 180 espace local de repos, 68, 107, 333 espace topologique, 323 espace vectoriel cotangent, 324 espace vectoriel tangent, 44, 324 espace-temps, 324 Euler-Lagrange (équations d’), 3

Relativité générale et astrophysique

F facteur conforme, 62, 151 Fermi (coordonnées de), 220 Fermi (transport de), 72 feuilletage, 163 fiducial observer (FIDO), 163, 176 foliation, 163 fonction lapse, 164, 268 formalisme 3+1, 162, 275 forme bilinéaire, 324 forme différentielle, 34, 327 forme extérieure, 33 forme linéaire coordonnée, 325 forme quadratique, 324 formule du quadripôle, 225 FRW (métrique de), 291, 340 FRWL (équations de), 302, 341

G Gauss-Codazzi (équations de), 80 genre espace, 10, 325 genre lumière, 10, 325 genre lumière (hypersurface de), 116 genre temps, 325 géodésique, 2, 19, 330 géodésique nulle, 29 géodésique principale, 185, 337 géodésiques (équation des), 39 GPS, 102 gradient, 328 gravité de surface, 178, 197 gravitomagnétique (champ), 178 gyroscope, 198

H Hamilton-Jacobi (équation de), 158 Hilbert (jauge de), 212 Hodge (opérateur de), 243 homéomorphisme, 323 horizon cosmique, 316 horizon des événements, 116, 147 Hubble (loi de), 311 hypersurface, 74

Index

351

I

M

identité cyclique, 331 identité de Bianchi, 55, 332 invariant, 185, 337 isorotation, 288

magnétosphère, 284 marée (effet de), 119 masse irréductible, 196 matière noire, 309 Maxwell (équations de), 243, 275 métrique, 324, 325 métrique induite, 5, 74 Minkowski (espace-temps de), 29, 334 Minkowski (métrique de), 334 mirage gravitationnel, 134 moment angulaire propre, 198 moment cinétique, 118 moment quadrupolaire, 224, 231

J jacobien, 18, 326 jacobienne (matrice), 17 jauge harmonique, 212 jauge TT, 216, 219

K Képler (loi de), 232 Kerr (coordonnées de), 194 Kerr (métrique de), 153, 336 Kerr (trou noir de), 153 Kerr-Schild (coordonnées de), 157 k-forme, 33 k-forme différentielle, 34 Killing (équation de), 59, 331 Kronecker (symbole de), 33 Kruskal (coordonnées de) , 146

L lagrangien, 20, 50, 157, 185 laplacien, 328 Lense-Thirring (effet), 187, 204 lentille gravitationnelle, 136 Levi-Civita (connexion de), 23, 326 Levi-Civita (tenseur de), 44 Lie (crochet de), 12 Lie (dérivée de), 13, 330 ligne d’univers, 332 Lorentz (facteur de), 177, 334 Lorentz (transformation de), 95, 211, 334 Lorenz (jauge de), 212, 339 luminosité, 256 luminosité gravitationnelle, 232

N newtonienne (limite), 227 norme, 325 nul (genre), 325

O observateur eulérien, 163 observateur fondamental, 291, 340 observateur inertiel, 333 omposante toroïdale, 284 onde gravitationnelle, 216 ouvert, 323

P paramètre d’échelle, 340 paramètre de compacité, 101 paramètre de décélération, 310, 341 paramètre de densité, 341 paramètre de Hubble, 341 paramètres cosmologiques, 341 Penrose (processus de), 174 périhélie de Mercure (avance du), 137 platitude conforme, 58 Poisson (équation de), 241 potentiels retardés, 224 précession géodétique, 202 précession gyroscopique, 198 première forme fondamentale, 74

352 principe cosmologique, 291, 340 principe d’équivalence, 335 produit extérieur, 33 produit scalaire, 325 produit vectoriel, 276 projection stéréographique, 6 pseudo-sphère, 6 pulsar, 105

Q quadri-accélération, 333 quadri-force, 333, 338 quadri-force de Lorentz, 246 quadri-force pure, 246 quadri-impulsion, 333 quadri-potentiel, 244, 339 quadri-vecteur courant électrique, 276, 338 quadri-vitesse, 332 quadri-volume, 331

R rapidité, 334 redshift, 101, 164, 301 redshift cosmologique, 311, 342 référentiel, 89, 334 référentiel de repos instantané, 95 référentiel en rotation, 92 référentiel inertiel, 334, 335 référentiel localement inertiel, 335 référentiel synchrone, 91 Ricci (équation de), 270 Ricci (identités de), 331 Ricci (tenseur de), 55, 331 Riemann (tenseur de), 55, 331 rotationnel, 276, 328

S Schwarzschild (coordonnées de), 335 Schwarzschild (métrique de), 111, 335 Schwarzschild (rayon de), 114, 336 Schwarzschild (trou noir de), 111 seconde forme fondamentale, 75

Relativité générale et astrophysique Shapiro (effet), 124 signature, 324 Smarr (formule de), 195 stationnaire (espace-temps), 90, 109 statique (espace-temps), 90, 109 Stefan-Boltzmann (loi de), 306 Stokes, 226 structure différentielle, 324 surface limite de stationnarité, 169 sursaut gamma, 314 symétrie maximale, 291

T taux d’expansion, 303 temps conforme, 298 temps cosmique, 291, 340 temps propre, 325, 332 temps propre synchronisé, 91 tenseur énergie-impulsion, 239, 250, 333 tenseur champ électromagnétique, 247, 261, 338 tenseur de courbure, 331 tenseur de Maxwell, 244, 246, 338 tenseur de polarisation, 217 tenseur de torsion, 12, 24, 331 tenseur dérivée covariante, 327, 328 tenseur des contraintes, 250, 333 tenseur métrique, 325 tenseur tangent, 74 tétrade, 67, 71, 223 Tolman-Oppenheimer-Volkoff, 263 topologie, 323 transformation conforme, 62, 151 transformation de jauge, 261 transport parallèle, 31, 329, 330 trou blanc, 145, 148 trou noir, 145, 147 trou noir extrême, 182

U Univers d’Einstein-de Sitter, 313 Univers de de Sitter, 307

Index

V variété différentielle, 324 variété lisse, 324 variété pseudo-riemannienne, 323, 324 variété topologique, 324 vecteur déplacement infinitésimal, 325 vecteur de Killing, 59 vecteur densité d’impulsion, 259, 333 vecteur gradient, 328 vecteur shift, 163, 166, 177, 268 vecteur unitaire, 325

353 vitesse conforme, 300 vitesse coordonnée, 102, 333 vitesse de récession, 301

W Weyl (tenseur de), 62, 332

Z ZAMO, 168